/
Автор: Борисенко О.Д. Мішура Ю.С. Радченко В.С. Шевченко Г.М.
Теги: математика математичний аналіз видавництво київ фінанси фінансова математика
Год: 2007
Текст
щи
ШЕ
щм
щшшЛ}
і §т
Г а 1 ® I ^ 1
1 \J 1 га І /I
|В
щВ|
^ 1—
\ -
1 v V > ! і j < j i__jL
Іу v [H v iB
іивТніМЧ’ІІ
ІНШІИИій
»уД ,1
((*J 1 fjj
О. Д. Борисенко
Ю. С. Мішура
В. М. Радченко
Г. М. Шевченко
ЗБІРНИК ЗАДАЧ
З ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ
Київ
2007
ЗМІСТ
Передмова 4
Розділ І. Фінансовий аналіз 6
1.1. Моделі грошових потоків 6
1.2. Залежність вартості грошових сум від часу надходження 9
1.3. Прості та складні відсотки 11
1.4. Дисконтування та акумулювання грошових потоків 16
1.5. Використання складних відсотків для підрахунку вартостей грошових
потоків 35
1.6. Визначення банківського відсотка та інтенсивності відсоткової
ставки 44
1.7. Виплата боргу 49
1.8. Оцінка інвестиційних проектів 67
1.9. Способи інвестування 79
1.10. Використання складних відсотків у підрахунку прибутку та ефективної
відсоткової ставки 83
1.11. Визначення ціни форвардних контрактів за припущення відсутності
арбітражу 110
1.12. Часова структура відсоткової ставки 113
1.13. Стохастичні моделі відсоткової ставки 144
Розділ II. Фінансова математика 161
2.1. Арбітраж та інші економічні можливості в одноперіодній моделі 161
2.2. Справедлива ціна платіжних зобов’язань, повнота ринку, доходність
акцій, премія за ризик 168
2.3. Найпростіші приклади обчислення вартості цінних паперів за
відсутності арбітражу 176
2.4. Багатоперіодні моделі в межах ігор і закладів. Арбітражна теорема
для ігор та її наслідки 181
2.5. Мартингали та мартингальні перетворення з дискретним часом.
Моменти зупинки 186
2.6. Загальна теорія багатоперіодних моделей 190
2.7. Європейські платіжні зобов’язання в багатоперіодній моделі 199
2.8. Американські опціони з дискретним часом 208
2.9. Броунівський рух, геометричний броунівський рух, мартингали з
неперервним часом 212
2.10. Стохастичний інтеграл, формула Іто, стохастичні диференціальні
рівняння 216
2.11. Формула та рівняння Блека - Шоулса 222
2.12. Фінансові ринки з неперервним часом 227
2.13. Функція корисності у фінансових задачах 230
Короткий англо-український словник фінансових та економічних термінів 240
Список рекомендованої літератури 250
Ануїтетні таблиці 252
З
ПЕРЕДМОВА
Сучасна фінансова система розвиненої держави є складним механіз¬
мом, функціонування якого неможливе без повсякденного аналізу ситу¬
ації, коротко- і довгострокового прогнозу та передбачення основних тен¬
денцій. У свою чергу, вміння аналізувати, прогнозувати та передбачати
неможливе без володіння основними поняттями, пов’язаними з фінанса¬
ми і кредитно-банківською системою. Невід’ємною частиною цих понять
є математичний апарат, поданий у даному збірнику задач через прикла¬
ди, задачі і розв’язки. Математичними основами теорії фінансів повинен
володіти в повному обсязі кожний фінансовий аналітик та актуарій.
Як відомо, найкращий шлях оволодіти деяким математичним апара¬
том — розв’язати певну кількість відповідних задач. Той, хто вперше
розв’язує подібні задачі, може повною мірою скористатися відповідями
та вказівками, більш досвідчені читачі зможуть розв’язувати задачі са¬
мостійно.
Згідно з науковою традицією, термін “фінансовий аналіз” належить
до тієї частини розрахунків з фінансами, яка стосується відсоткових і
кредитних ставок, ануїтетів, сучасних вартостей і теорії імунізації, а
терміни “фінансова математика” і “фінансова стохастика” характеризу¬
ють розрахунки на фінансовому ринку, що пов’язані з випадковістю цін
фінансових активів, первинними і вторинними цінними паперами, фінан¬
совою рівновагою.
Відповідно до цієї класифікації ми поділили наш збірник задач на
два розділи. В першому розділі розглянуто основні моделі грошових по¬
токів і види цінних паперів, дисконтування та акумулювання грошових
сум, розклад боргу на капітальну і відсоткову складові, оцінки та порів¬
няння між собою інвестиційних проектів, зміни відсоткової ставки в
часі, підрахунки, пов’язані з різними видами ануїтетів, і найпростіші
стохастичні, тобто випадкові, моделі відсоткової ставки. Частину задач з
цього розділу взято з текстів екзаменаційних задач Британського Інсти¬
туту Актуаріїв, що проводились з 1998 по 2004 рік у квітні та вересні
кожного року з дисципліни “Фінансова математика”. У другому розді-
4
лі розглянуто питання, пов’язані з функціонуванням фінансових рин¬
ків, купівлею та продажем цінних паперів, обрахуванням справедливих
цін в умовах, коли зміна цін основних активів відбувається залежно
від випадку. Велику увагу приділено поняттям арбітражу й арбітражної
можливості, відсутність якої на фінансовому ринку гарантує йому ста¬
більне функціонування. Розглянуто одно- та багатоперіодні моделі, про¬
демонстровано дії, до яких повинен вдатися фінансовий інвестор, щоб
бути успішним. Подано основні фінансові інструменти на біржі — опціо-
ни, детально проаналізовано, як правильно оцінити Американські та Єв¬
ропейські платіжні зобов’язання. Розглянуто фінансові ринки з непе¬
рервним часом, наведено ряд задач, що стосуються знаменитої формули
Блека - Шоулса. Подано необхідні математичні поняття — мартингалу,
броунівського руху, стохастичного диференціального рівняння. Окре¬
мий розділ присвячено використанню функції корисності у фінансових
задачах.
Матеріал для посібника зібрано та підготовлено за підтримки програ¬
ми Tempus у рамках проекту TEMPUS PROJECT IB-JEP-25054-2004.
5
Розділ I
Фінансовий аналіз
1.1. МОДЕЛІ ГРОШОВИХ ПОТОКІВ
Теоретичні відомості
Потоки платежів (cash flows) — суми грошей, які виплачують або
отримують у різні моменти часу. Розміри платежів і моменти сплати
можуть бути відомими або невизначеними. Платежі можуть надходити
в окремі моменти часу або неперервно протягом певного періоду. З то¬
чки зору інвестора, гроші, які він одержує, утворюють додатний потік
платежів (inflows), а гроші, які він сплачує — від’ємний потік платежів
(outflows).
Приклади потоків платежів такі.
Облігація з нульовим купоном (zero-coupon bond) — цінний папір
або угода, за якими виплачується визначена сума грошей (номінальна
вартість) у визначений момент часу (час погашення). Для такої облігації
визначається її вартість на умовах дисконтування її номінальної вартості.
Для інвестора це від’ємний потік платежів у момент інвестування та
одиничний додатний потік платежів у момент погашення.
Цінні папери з фіксованим відсотком (fixed-interest securities) ви¬
пускаються як облігації з визначеною номінальною вартістю. Власник
облігації одержує суму, що складається з номінальної вартості, яка ви¬
плачується в час погашення, і серії регулярних виплат (купонні виплати)
до часу погашення.
Для інвестора це від’ємний грошовий потік у момент придбання облі¬
гації та додатні грошові потоки, що складаються з виплати номінальної
вартості у момент погашення і з купонних виплат до погашення.
Індексовані цінні папери (index-linked securities) — облігації, у яких
купонні виплати й остаточна виплата пов’язані з “індексом”, що відоб¬
ражає рівень інфляції. При цьому за початковим від’ємним грошовим
потоком слідує ряд додатних грошових потоків у зазначені дати. Розмі¬
ри виплат залежать від індексу інфляції (індексу цін), тому такі грошові
потоки називають відомими “в реальному часі”. Як правило, індексація
відбувається із запізненням, тому що для підрахунку індексу цін потрі¬
бен час.
6
Депозитні вклади (cash on deposit). Якщо гроші покладено на де¬
позит, то інвестор може вибирати, в який момент часу зняти гроші і
одержати відсотковий приріст капіталу за період інвестування. Відсот¬
ковий приріст капіталу залежить від дати і тому відомий лише в день
зняття. Отже, розміри і моменти платежів невизначені.
Звичайна акція (equity) — цінний папір без фіксованого терміну дії,
який випускається компаніями і засвідчує право власності на підприєм¬
ство, а також дає право власнику на отримання дивідендів.
Дивіденди — регулярні виплати власнику, які визначаються доходами
компанії. Оскільки ці доходи заздалегідь невідомі, то і дивіденди є змін¬
ними. Щоб побудувати модель грошового потоку для звичайної акції,
слід зробити припущення про зростання у майбутньому дивідендів. Та¬
ким чином, моменти виплати і розміри платежів невідомі. Оскільки тер¬
мін дії акції невизначений, то терміни виплат невизначені і майбутні
додатні грошові потоки можуть виявитися меншими у сумі, ніж поча¬
тковий від’ємний грошовий потік.
Ануїтет (annuity) забезпечує ряд регулярних виплат у відповідь на
одиничний початковий внесок. Найпростіший ануїтет — потік платежів
протягом життя людини, яка тримає поліс (довічний ануїтет, life annui¬
ty). Для інвестора це від’ємний грошовий потік на початку і ряд менших
додатних грошових потоків протягом життя. Після смерті виплати при¬
пиняються.
Можливі інші типи ануїтетів, наприклад, виплати відбуваються про¬
тягом життя людини і визначено максимум кількості платежів. Такий
контракт називають тимчасовим довічним ануїтетом (temporary life annu¬
ity). З іншого боку, виплати можуть провадитися протягом життя вла¬
сника, але з гарантованою мінімальною кількістю платежів. Такі ануїте¬
ти називають ануїтетами з гарантованим періодом.
Для того, хто забезпечує ануїтет, маємо додатний грошовий потік на
початку, а потім — невизначену кількість регулярних відомих від’ємних
потоків платежів.
Тимчасове страхування (term assurance). Поліс тимчасового стра¬
хування — контракт, який забезпечує виплату страхової суми у випадку
смерті власника поліса, якщо смерть настала у період дії поліса. Період
може бути як досить довгим (20 років), так і коротким (1 рік).
Поліс тимчасового страхування забезпечується рядом щорічних ви¬
плат (premiums) з боку власника поліса, які можуть бути сталими або
змінними, і припиняються після смерті власника поліса. Іноді премії мо¬
жуть виплачуватися протягом більш короткого періоду, ніж дія поліса,
або поліс можна придбати за умови разової виплати премії. Для компа¬
нії, яка забезпечує поліс, маємо невідому, але обмежену кількість регу¬
лярних, відомих за розміром додатних грошових потоків, за якими або
7
слідує від’ємний грошовий потік відомого обсягу, але з невідомим тер¬
міном платежу, або від’ємного потоку платежів не буде, якщо власник
поліса залишається живим протягом дії поліса.
Страхування із забезпеченням (endowment assurance). Поліс стра¬
хування із забезпеченням — контракт, який гарантує виплату загальної
суми (її називають сумою страхування) у випадку смерті власника полі¬
са протягом дії контракту або після закінчення його дії, якщо власник
залишається живим.
Такі поліси викупаються регулярними виплатами премій, які припи¬
няються у випадку смерті або закінчення терміну дії поліса. Грошові
потоки подібні до потоків при тимчасовому страхуванні, за винятком то¬
го, що від’ємний грошовий потік для страхової компанії є обов’язковим,
а для власника поліса страхові внески (премії) є вищими.
Позика за відсотки (interest-only loan) — позика, яка повертаєть¬
ся серією виплат за відсотками і виплатою позиченої суми наприкінці
терміну дії.
У найпростішому випадку грошові потоки будуть протилежними до
потоків платежів для облігації з фіксованим відсотком. Кредитор купує
облігацію з фіксованим відсотком у того, хто бере позику. На практиці,
однак, відсоткові ставки не завжди фіксуються. Отже, розмір регулярних
потоків платежів буде невідомим. Існує можливість повернути позику
раніше, тому кількість платежів і термін остаточної виплати невідомі.
Поліс повернення капіталу (capital redemption policy) — поліс з
регулярними преміями і єдиною виплатою при закінченні дії. Такі поліси
можуть використовуватися разом з позиками за відсотки.
Застава (позика з виплатою, іпотека, позика під заставу нерухомос¬
ті, mortgage). Позика з виплатою — позика, яка повертається серією
виплат, що включають виплати за відсотками і часткову виплату суми
позики. У найпростішому варіанті відсоткову ставку фіксовано, однакові
за величиною виплати провадяться регулярно у фіксовані моменти часу.
Потоки платежів аналогічні потокам для ануїтету, за виключенням того,
що кількість платежів фіксована і не пов’язана з тим, що власник поліса
залишається живим (у разі смерті решта платежів передається у спадок).
Як і для позики “за відсотки”, можливі зміни у відсотковій ставці, а
також допускається дострокове повернення позики.
Додатково можна встановити, що регулярні виплати зростають або
спадають з часом. Важливо зауважити, що при виплаті позики поділ
попереднього платежу на “відсотки” і “капітал” суттєво змінюється про¬
тягом періоду позики. Перша виплата, в основному, складається з відсо¬
ткового платежу і невеликого повернення капіталу, а остання виплата —
майже повністю з повернення частини капіталу і незначної суми від¬
сотків.
8
Страхування автомобіля (motor insurance) — частковий випадок за¬
гального страхування. (Термін “загальне страхування” використовується
для всіх страхових операцій, які відмінні від страхування життя.)
Зазвичай страхування автомобіля провадиться щороку. На початку
року страхова компанія отримує внесок (премію) і приймає на себе фі¬
нансові ризики власника поліса. Для компанії початковий додатний гро¬
шовий потік відомий, а наступні грошові потоки невідомі як за величи¬
ною, так і за часом.
Далі використовуються поняття доходу та прибутку. Прибуток — рі¬
зниця між доходами та витратами фінансової організації.
Задача
1.1.1. Є три типи інвестування на 10 років: облігація з нульовим
купоном, індексована облігація, страховий поліс із забезпеченням. їх
можна змоделювати як процеси потоків платежів. Для яких з них час і
розмір усіх грошових потоків визначені для покупця? Можливість пере¬
продажу і знецінення не беруться до уваги.
Відповідь
1.1.1. Покупцю відомі час і розмір грошових потоків для облігації з
нульовим купоном. Для індексованої облігації виплати відсотків і сума
погашення залежать від індексу інфляції, а тому заздалегідь не відомі.
Страховий поліс із забезпеченням передбачає виплату страхової суми
або у разі смерті власника поліса, або у разі закінчення терміну кон¬
тракту. Крім того, премії (внески) виплачуються регулярно, але потоки
платежів припиняються після смерті власника поліса, або після закін¬
чення терміну контракту. Тому ні розмір платежів, ні кількість виплат
заздалегідь не відомі.
1.2. ЗАЛЕЖНІСТЬ ВАРТОСТІ ГРОШОВИХ СУМ
ВІД ЧАСУ НАДХОДЖЕННЯ
Теоретичні відомості
Відсотки (interest) — винагорода, яку сплачує той, хто отримує по¬
зику, за використання капіталу, що належить іншій особі або організації
(кредитору). Капітал і відсотки мають вимірюватися в однакових одини-
9
цях. Якщо вимірювання провадиться у грошових одиницях, то капітал
називають основним (principal).
Прості відсотки (simple interest). Якщо суму С покладено на депози¬
тний рахунок під прості відсотки з відсотковою ставкою і • 100 % річних і
рахунок закривається через п років, то за умови відсутності поповнення
рахунку і зняття грошей матимемо суму С(1+ш), в якій С — повернення
початкового вкладу; піС — розмір відсоткового прибутку.
Складні відсотки (compound interest). Нехай С — початкова сума,
яку покладено на депозит під складні відсотки з відсотковою ставкою
М00 % річних, а Ап — сума, яку інвестор одержить при закритті рахунку
наприкінці п-го року. Тоді
Ап = Ап-і + іАп-1 = Л„_г( 1 + г)2 = ... = С(1 + і)п.
При цьому накопичений відсотковий прибуток дорівнює С(1 + г)” — С.
Нехай маємо два моменти t\ < тоді за умови інвестування у мо¬
мент t\ суми С(1 + г')<1-<2 у момент одержимо капітал С. Тому говорять,
що дисконтована вартість у момент часу t\ капіталу С відносно моменту
часу t<i дорівнює С(1 +
Зокрема, дисконтоване значення в момент t = 0 капіталу С відносно
моменту часу t > 0 називається його сучасною вартістю (або дисконто¬
ваною сучасною вартістю) і дорівнює С(1 + і)~1. Якщо визначити дис¬
контний множник v = 1/(1 + і), то сучасна вартість дорівнюватиме Су1.
Просте дисконтування. Нехай d — річна ставка простого дисконту¬
вання. Тоді для того, щоб одержати суму С через п років, ми повинні
інвестувати зараз С(1 — nd). На практиці звичайно розглядають період
менше року. Тоді кредитор, щоб одержати суму X через період t < 1,
при простому дисконтуванні повинен у початковий момент надати пози¬
ку Л^(1 — td). При цьому d ще називають номінаційним дисконтом.
Розглянемо інвестицію однієї грошової одиниці на період в одну ча¬
сову одиницю, що починається в момент t. Нехай ми одержали дохід
1 + і(0 у момент t+ 1. Тоді i(t) називають ефективною відсотковою став¬
кою для цього періоду часу. Якщо відсоткова ставка не залежить від
суми інвестованих грошей, то інвестиція капіталу розміром С у момент
t дасть дохід С[1 + i(f)] у момент t+ 1. Тому накопичений інвестицією
розміром С капітал за період від 0 до п дорівнює
С[1 + г(0)][1 +1(1)]... [1 + і{п — 1)].
Якщо ефективна ставка не залежить від t, то накопичений капітал за
цей період дорівнює С(1 + і)п.
10
Задачі
1.2.1. Суму в 100 грн поклали під простий відсоток 10 % річних на
2,5 року. Потім накопичену суму поклали під простий відсоток 16 %
річних на наступні 7 місяців. Наприкінці терміну одержали накопичену
суму в 140 грн. Чому дорівнює 7?
1.2.2. У початковий момент зроблено інвестицію в 1000 грн під такі
ставки: 8 % річних за простими відсотками на 2 роки, а потім під 6 %
номінальної облікової (дисконтної) ставки, що нараховується щомісячно
протягом двох років. Яку суму буде накопичено через 4 роки?
1.2.3. Суму в 100 грн інвестували на рік на умовах номінальної облі¬
кової (дисконтної) ставки 5,5 % річних, що нараховується щоквартально,
а потім на рік на умовах номінальної відсоткової ставки 5,5 %. Яка сума
накопичиться наприкінці другого року?
Відповіді та вказівки
1.2.1. Накопичену суму за простими відсотками обчислимо за фор¬
мулою С(1 + Мі)(1 + hh), де і/ — відсоткова ставка за період tj, / = 1,
2. Маємо
100(1 +0,1 -2,5) (1 +0,16-7/12) = 140.
Звідси 7 = 9 місяців.
1.2.2. С = 1000(1 + 0,08 • 2)(1 - 0.06/12)-24 = 1 308,29 грн.
1.2.3. С = 100(1 -0,055/4)“4(1 +0.055/4)4 = 111,63 грн.
1.3. ПРОСТІ ТА СКЛАДНІ ВІДСОТКИ
Теоретичні відомості
Якщо людина вкладає в банк гроші на суму С, відсотки нарахову¬
ються щороку і річна відсоткова ставка дорівнює і, то через рік на її
рахунку буде сума С( 1 + і). Якщо ж відсотки нараховуються п разів
на рік з номінальною річною ставкою і, то через рік відповідна величи¬
на дорівнюватиме С( 1 + і/п)п. При неперервному нарахуванні відсотків
матимемо суму
lim С(1 + і/п)п = Се1.
п—ї ос
Банківський рахунок ще іноді називатимемо безризиковим активом, або
облігацією.
11
Якщо річний банківський відсоток (відсоткова ставка) дорівнює і,
то власник банківського рахунку розміром С (або банківської облігації
вартістю С) для будь-якого t > 0 через t років матиме на рахунку суму
С(1 + іУ (або зможе продати облігацію за С(1 + і)*).
Якщо річна дисконтна банківська ставка дорівнює d, то власник бан¬
ківського рахунку розміром С на початку року отримує авансом відсотки
розміром dC, і через рік може зняти з рахунку суму С. Має місце рів¬
ність d = і/(І + і).
Нехай відсоткові нарахування провадяться за однією ставкою п разів
на рік наприкінці кожного періоду тривалістю 1 /п року. Тоді говорять,
що ставка конвертується п разів на рік, і розглядається номінальний
банківський відсоток № такий, що сума С на рахунку через 1 /п року
дасть суму С (1 + №/п). Має місце рівність (1 + №/гі)п = 1 + і. Ана¬
логічним чином для нарахувань на початку кожного періоду тривалістю
1/л року вводяться дисконтні ставки d^n\ (1 — d^/n)n = 1 — d.
Якщо номінальна ставка відсотка при депозитуванні грошей у момент
часу to на строк h дорівнює ihih), то сума, накопичена інвестицією в
С одиниць за строк h, дорівнює С [1 + hih(to)].
Ефективна відсоткова ставка reff на внесок L обчислюється за форму¬
лою
Гг\\ = D/L — 1,
де D — розмір виплати через один рік.
Вартість на даний момент суми о, що виплачуватиметься через t ро¬
ків, дорівнює о(1 + і)~1.
Задачі
1.3.1. Нехай людина позичила грошей на суму С і повинна віддати
їх через рік, причому річна відсоткова ставка дорівнює і, але складні
відсотки нараховуються щопівроку. Скільки виплатить людина через рік?
Те саме питання, коли відсотки нараховуються щоквартально.
1.3.2. Багато з компаній, що надають кредити, вимагають 15 % рі¬
чних, причому складні відсотки нараховуються щомісяця:
1. Якою буде виплата наприкінці року на кредит розміром С?
2. Чому дорівнюватиме ефективна відсоткова ставка?
3. Якими будуть виплата та ефективна відсоткова ставка, якщо склад¬
ні відсотки нараховуються неперервно?
1.3.3. Скільки років треба виплачувати відсотки, що нараховуються
щорічно, щоб сплатити подвоєну суму? Відповісти на попереднє питан¬
ня, якщо г = 0,03, 0,06, 0,08, 0,1.
12
1.3.4. Людина поклала гроші в банк з номінальною відсотковою став¬
кою 10 % на рік. Через який час гроші подвояться, якщо відсотки нара¬
ховуються неперервно?
1.3.5. Навести приблизну формулу для обчислення кількості років
для потроєння капіталу при відсотковій ставці і, якщо відсотки нарахо¬
вуються один раз на рік.
1.3.6. Якщо відсоткова ставка 5 %, то через скільки приблизно ро¬
ків грошей стане в 4 рази більше? А якщо ставка 4 %? Вважаємо, що
відсотки нараховуються один раз на рік.
1.3.7. Скільки грошей треба вносити на початку кожного з 60 міся¬
ців, якщо людина хоче мати 100000 грн через 60 місяців, причому річна
відсоткова ставка дорівнює 6 % і відсотки нараховуються щомісяця?
1.3.8. Нехай відсоткова ставка банку дорівнює 6 % і відсотки нара¬
ховуються неперервно протягом року. Обчислити ефективну відсоткову
ставку.
1.3.9. Визначити ефективну відсоткову ставку, якщо номінальна від¬
соткова ставка дорівнює 10 % і складні відсотки нараховуються:
а) щопівроку;
б) щоквартально;
в) щомісяця;
г) неперервно.
1.3.10. Підрахуйте номінальну річну відсоткову ставку, що конвер¬
тується щоквартально, яка є еквівалентом:
а) ефективної відсоткової ставки 0,5 % на місяць;
б) номінальної відсоткової ставки 6 % річних, що конвертуються що
два роки.
1.3.11. Номінальна річна відсоткова ставка, яка сплачується за де¬
позитом, набуває у фіксований день таких значень:
Строк
Номінальна
Строк
Номінальна
відсоткова ставка, %
відсоткова ставка, %
1 день
ні
1 місяць
ні
2 дні
3 місяці
іЦ
7 днів
Визначити суму, накопичену інвестицією в 1 000 грн, покладених на
рахунок у цей фіксований день:
а) за 7 днів;
б) за 1 місяць.
1.3.12. Для відсоткової ставки 7 % річних, що сплачується щомісяця,
підрахуйте:
а) еквівалентну річну ставку відсотка, що сплачується раз у півроку;
б) еквівалентну річну дисконтну ставку, що сплачується щомісяця.
13
1.3.13. Облікова (дисконтна) ставка за рік конвертується (сплачу¬
ється) щоквартально і становить 8 %. Підрахуйте:
а) еквівалентну ставку відсотка, конвертовану щопівроку;
б) еквівалентну дисконтну ставку за рік, конвертовану щомісяця.
1.3.14. Уряд випустив 90-денні векселі з простою дисконтною став¬
кою 6 % річних. Підрахуйте ефективну ставку річного доходу, отрима¬
ного інвестором, що купує вексель, випущений у продаж і тримає його
до терміну погашення.
1.3.15. Урядовий 91-денний вексель забезпечує покупцю ефективну
норму прибутку 5 % річних. Визначте річний простий дисконтний відсо¬
ток, за яким враховується вексель.
1.3.16. Урядом випущено 90-денні казначейські векселі з простою
дисконтною ставкою 5 % на рік. Підрахуйте норму прибутку за рік, яка
конвертується щопівроку, що її отримає інвестор, який придбав вексель
і тримає його до терміну погашення.
1.3.17. За облігацією з плаваючою ставкою виплачуються відсотки,
які пов’язані з індексом локальних плаваючих відсоткових ставок. Облі¬
гацію було куплено за ціною 99 одиниць 1 січня 2000 року і продано за
ціною 101 одиниця 31 грудня 2000 року. Номінальна вартість облігації
100, а ставка відсотка, що виплачується за облігацією, дорівнює 6,5 %
номінальної вартості 31 червня 2000 року і 6,6 % номінальної варто¬
сті 31 грудня 2000 року. Підрахуйте номінальну норму прибутку за рік,
сплачувану щопівроку.
1.3.18. Інвестор придбав 90-денний вексель казначейства номіналом
100 грн за ціною 91 грн. Через 30 днів він продав вексель іншому ін¬
вестору за ціною 93,90 грн. Інший інвестор погасив цей вексель за но¬
міналом у призначений час. Визначте, хто з інвесторів отримав вищу
ефективну норму прибутку, тобто чия ставка відсотка в перерахунку за
один і той самий проміжок часу була вищою.
1.3.19. Покупець придбав автомобіль за 15000 грн у кредит, який
буде погашати однаковими внесками на початку кожного місяця протя¬
гом двох років, відсоткова ставка при цьому вважається рівною 12,36 %.
Визначте незмінну відсоткову ставку вказаної позики.
Відповіді та вказівки
1.3.1. (1 + і/2)2С, (1 +і/4)4С.
1.3.2. 1. 1,012512С« 1.161С. 2. Гей = 1,0125і2-1 «0,161, або 16,1 %.
3. [ехр(0,15) - 1] С * 1Д62С, rdf = ехр(0,15) - 1 * 0,162, або 16,2 %.
1.3.3. In 2/ 1п( 1 + і). Для і = 0,03, 0,06, 0,08, 0,1 маємо приблизно 23,
12, 9, 7 років відповідно.
14
1.3.4. 101п2«7 років.
1.3.5. In 3/ 1п(1 + і) « 1,1/ї.
1.3.6. Приблизно через 28 і через 35 років.
1.3.7. 100000 (е®=і 1,005а)"1 « 1426 грн.
1.3.8. ехр(0,06) — 1 « 0,062 або 6,2 %.
1.3.9. Відсоткова ставка: а) 10,25%; б) 10,38%; в) 10,47%; г) 10,51 %.
1.3.10. Треба визначити і^4\ що відповідає вказаним ставкам. Обчис¬
люємо це значення з наступних рівнянь:
а) [1 + і^/4]4 = (1 + 0,005)12, звідки № = 0,060301 або 6,0301 % (ми
порахували приріст капіталу за один рік за двома ставками);
б) аналогічно до пункту а), [1 + №/4]8 = 1,12, звідки = 5,7068 %.
1.3.11. Перепишемо дані в термінах строку h, на який можна покла¬
сти гроші, та відповідних номінальних ставок ih(to), де to — фіксована
дата створення рахунку:
Строк h 1/365 2/365 7/365 1/12 1/4
ih(to) 0,1175 0,11625 0,115 0,11375 0,1125
Накопичена сума обчислюється за формулою 1 000[1 + hi^to)] і дорівнює
а) h = 7/365, 1 000 (1 + 0,115 • 7/365) = 1002,21;
б) /і = 1/12, 1000(1+0,11375-1/12) = 1009,48.
1.3.12. Обчислюємо: а) значення г*2\ що відповідає вказаній ставці.
Маємо рівність [1 + г®/2] 2 = (1 +0.07/12)12, звідки і® = 7,103 % (ми
порахували дисконтування капіталу за один рік за двома ставками);
б) значення що відповідає вказаній ставці. Аналогічно до пун¬
кту а), (1 — rfO2)/12)12 = (1 +0.07/12)12, звідки ^02) _ 6,959 %.
1.3.13. Обчислюємо: а) значення і®, що відповідає вказаній ставці.
Маємо рівність [1 + №/2] 2 = (1 — 0.08/4)4, звідки № = 8,247 % (тут
записано дисконтування капіталу за один рік за двома ставками);
б) значення rfO2), що відповідає вказаній ставці. Аналогічно до пун¬
кту а), [1 — d*12V 12]12 = (1 — 0,08/4)4, звідки = 8,0539 %.
1.3.14. Розглянемо рік з 365 днів. Якщо номінал векселя дорівнює
С, то вартість його покупки дорівнює С(1 -0,06-90/365) (це випливає з
означення простої дисконтної ставки та 90-денного строку погашення).
Якщо ефективна річна ставка дорівнює і та вексель буде викуплено
через 90 днів за ціною С, то його сучасна ціна дорівнює С(1 + і)-90/365.
З рівності
С(і - Л • 0,06) = С(1 + о—
визначаємо і = 6,2313 %.
15
1.3.15. Аналогічно до розв’язання задачі 1.3.14, розглянемо рік три¬
валістю 365 днів і вважатимемо номінал векселя рівним С. Позначи¬
мо через d невідому просту дисконтну ставку і для терміну погашення
91 день дістанемо рівність
V—91/365
С(1 - 365‘І)=С(1-05>'
звідки d = 4,8495 %.
1.3.16. Розглянемо рік з 365 днів, номінал векселя позначимо че¬
рез С. Тоді вартість його покупки дорівнює С (1 — 0,05 • 90/365), і ми
одержимо рівність
/90 \ Г
C(1-«8-WB)“C[1 + t]
звідки шукане значення № = 5,0949 %.
1.3.17. Шукана величина — №. Запишемо прибуток від акції станом
на 31 грудня 2000 року двома способами і одержимо рівність
2-90/365
99
і® 1
2
(®1
[1 + т]
= 6,5
[1 + tJ
+ 6,6+ 101,
звідки № = 0,15175 = 15,175 %.
1.3.18. Інший інвестор тримав вексель вдвічі довше, ніж перший.
Тому нам слід порівняти величини (93,9/91)2 = 1,06475 і 100/93,9 =
= 1,06496. Оскільки друга величина більша, інший інвестор отримав
вищу норму прибутку.
1.3.19. Маємо у = 1/1,1236 = 0,89. Нехай розмір щомісячної випла¬
ти за позикою дорівнює X. Тоді
X(l +v1/12 + ... + v23/12) = 15000 грн,
звідки X = 697,27171 грн. Загальна виплата за 24 місяця становитиме
2АХ = 16734,521 грн. Шуканий відсоток дорівнює
16734*21 - 1*000
або 5,782 %.
2 -15000
1.4. ДИСКОНТУВАННЯ ТА АКУМУЛЮВАННЯ
ГРОШОВИХ ПОТОКІВ
Теоретичні відомості
Швидкість і одержання прибутку від інвестицій обчислюється як і =
= Ь/а— 1, де Ь — прибуток, отриманий через рік; а — початковий внесок.
Якщо прибуток було отримано в кілька етапів, причому через k років
16
ПІСЛЯ інвестиції суму bk, k = 1, то швидкість одержання прибутку
визначається як корінь і* рівняння L(i) = 0, де
П
L(i) =—a+ ^^bk(l + і) к.
k=\
Припустимо, що відсоткова ставка i(t) є неперервною функцією від часу
t > 0. Нехай у момент t = 0 ми поклали на рахунок одиницю; через
D(t) позначимо суму, що лежатиме на рахунку в момент t. Має місце
формула
D(t) = exp І ЛІ i(s) .
Середнє значення
~,,s І °> / = 0,
*и *>о
називається кривою доходів. При цьому D(t) = exp {ґг(ґ)} •
Нехай 5(t) — інтенсивність відсотка, y(t) = ехр{— 6(s) ds} — дис¬
контна функція, р(t) — інтенсивність платежів, що здійснюються непе¬
рервно до моменту часу Т, {С^} — потоки платежів, що провадяться у
моменти часу fe, k = 1,п. Тоді сучасна вартість, або сучасне значення
(present value), дискретного і неперервного потоків платежів дорівнює
П j
^2Ctky{tk) + Jo v(0p(0 dt.
k=\
Вартість у момент часу t\ суми С на момент часу
m.<2) = Cexp{-J%(S)*}=C^.
Вартість у момент часу t\ суми С на момент часу називається:
а) накопиченням із суми С з моменту до моменту t\, якщо t\ > t£,
б) дисконтованим значенням суми С у момент часу t\ відносно мо¬
менту часу ^2) якщо t\ < ^2-
Нехай інвестор вкладає капітал С і неперервно одержує дохід за від¬
сотками, зберігаючи капітал С сталим до моменту вилучення Т. Тоді
т
сучасна вартість доходу за відсотками дорівнює С J0 b(t)y{t) dt, а сучас¬
на вартість капіталу — Су(Т). Отже,
т
C = CJQ 8(t)y(t)dt + Cy(T).
17
Задачі
1.4.1. Нехай людина одержуватиме суму Xk наприкінці k-то з п пе¬
ріодів за відсоткової ставки і. Довести, що сучасна вартість такої послі¬
довності виплат дорівнює Ylk=\ yk)Ck- Яка послідовність виплат вигідніша
при і = 0,1, 0,2, 0,3 та п = 5:
а) 12, 14, 16, 18, 20;
б) 16, 16, 15, 15, 15;
в) 20, 16, 14, 12, 10?
1.4.2. Розглянемо дві послідовності прибутків, одержаних наприкінці
відповідного року: 20, 20, 20, 15, 10, 5 та 10, 10, 15, 20, 20, 20. Яка
з послідовностей має перевагу, тобто сучасна вартість якої послідовнос¬
ті більша, якщо відсотки нараховуються щорічно за ставкою: а) 3 %;
б) 5 %; в) 10 %?
1.4.3. Виробництво має придбати певне обладнання на наступні 5 ро¬
ків. Воно має й зараз таке обладнання, яке коштує 6000 грн, втрачає
щороку 2 000 грн вартості й через 3 роки буде недійсним. Операційні ви¬
трати на його утримання становлять 9000 грн і зростають на 2000 грн
кожного року (ураховуються на початку кожного року утримання). Нове
обладнання можна купити на початку будь-якого року за 20000 грн, при
цьому одночасно продається старе. Термін придатності нового обладнан¬
ня 6 років, а його вартість зменшується на 2000 грн кожного з перших
двох років, а потім на 4000 грн щорічно. Операційні витрати на його
утримання — 6 000 грн на перший рік, і вони збільшуються на 1 000 грн
кожного наступного року. Відсоткова ставка становить 10 %.
1. Показати, що грошові потоки витрат за умови купівлі обладнання
на початку 1, 2, 3, 4-го року та продажу на початку 6-го року дорівнюють
(у тисячах гривень):
за умови купівлі на початку 1-го року: 20, 7, 8, 9, 10, —4;
на початку 2-го року: 9, 22, 7, 8, 9, —8;
на початку 3-го року: 9, 11, 24, 7, 8, —12;
на початку 4-го року: 9, 11, 13, 26, 7, —16.
2. Підрахувати сучасну вартість кожного грошового потоку. На почат¬
ку якого року найвигідніше купити обладнання?
1.4.4. П’ятирічна облігація номінальною вартістю 10000 грн має ку¬
понну ставку 10 % з виплатами раз у півроку. Це означає, що власнику
облігації сплачується 500 грн щопівроку протягом 5 років і після цього
ще 10000 грн як остаточна виплата. Визначити її вартість на момент
купівлі, якщо відсоткова ставка дорівнює: а) 6 %; б) 10 %; в) 12 %.
1.4.5. Облігація з нульовою купонною ставкою має номінал F, і за
нею виплачується сума F у момент погашення. Нехай відсоткова ставка
18
8 % нараховується неперервно. Обчисліть сучасну вартість облігації при
F = 1 000, якщо гроші за нею виплачуються через 10 років.
1.4.6. Щоб повернути кредит, можна або сплатити 16000 грн відразу,
або 10000 відразу і 10000 через 10 років. Що вигідніше людині, яка
повертає кредит, якщо відсоткова ставка нараховується неперервно й
дорівнює: а) 2 %; б) 5 %; в) 10 %?
1.4.7. Людина вирішила піти на пенсію через 20 років. Вона планує
протягом 20 років вносити до банку суму в А грн щомісячно з метою
потім протягом ЗО років забирати 1 000 грн щомісячно. Нехай відсотки
(складні) сплачуються щомісяця, відсоткова ставка — 12 % на рік (став¬
ка номінальна, тобто відповідає 1 % на місяць).
Визначте А.
1.4.8. Хлопець купив музичний центр, який продавався за 4200 грн.
Він домовився заплатити відразу 1 000 грн і зробити 24 щомісячні випла¬
ти по 160 грн, починаючи через місяць з моменту покупки. Обчислити
значення ефективної річної відсоткової ставки.
1.4.9. Людина взяла кредит у 100000 грн для купівлі квартири. Вона
виплачуватиме суми для повернення кредиту щомісяця протягом 10 ро¬
ків, з відсотковою ставкою 1 % на місяць. Однак банк стягує 600 грн
як плату за надання кредиту, 400 грн — за інспекцію квартири, і ще
1 % треба сплатити при одержанні кредиту. Підрахувати за цих умов
справжню річну відсоткову ставку.
1.4.10. Обчислити швидкість одержання прибутку від інвестицій,
якщо початковий внесок у 1 000 грн приніс прибуток у 700 грн двічі,
наприкінці кожного з двох років.
1.4.11. Визначити швидкість одержання прибутку дворічної інвести¬
ції, яка на початковий внесок у 1 000 грн дає наприкінці першого ро¬
ку прибуток 400 грн і прибуток наприкінці другого року: а) 400 грн;
б) 600 грн; в) 800 грн.
Як зміниться відповідь, якщо поміняти місцями річні прибутки?
1.4.12. Щорічний грошовий потік дорівнює —1 000, —1 200, 820, 900,
800. Чи є прийнятним цей потік для людини, яка і позичає, і вносить
гроші за умов, що відсоткова ставка дорівнює 5 %?
1.4.13. Нехай людина позичає гроші під 8 % річних, а отриманий
додатний прибуток відразу повністю вносить у банк під 5 % річних.
Якщо початковий капітал нульовий і грошовий потік інвестицій по роках
становить —1 000, 900, 800, —1 200, 700, то чи треба інвестувати?
1.4.14. Швидкість інфляції визначається швидкістю зростання цін.
Наприклад, якщо річна швидкість інфляції 4 %, то те, що коштува¬
ло 100 грн минулого року, коштує 104 грн цього року. Нехай Г; —
швидкість інфляції. Розглянемо інвестицію зі швидкістю прибутку г.
Ми можемо цікавитись швидкістю прибутку інвестора з погляду на те,
19
на скільки інвестиція збільшує купівельну вартість. Ця величина на¬
зивається інфляційно-регуляційною швидкістю прибутку. Позначимо її
через га. Оскільки купівельна спроможність суми грошей (1 + г)х через
рік еквівалентна купівельній спроможності (1 +г)х/( 1 + гі) сьогодні, то
Інвестиція переводить за ОДИН рік суму X у суму (1 + г)х/{ 1 + Гі). Отже,
інфляційно-регуляційна швидкість прибутку Га = (1 + г)/(1 + Гі) — 1.
Якщо г та гі невеликі, то га « г — гі. Обчислити точне і приблизне
значення га, якщо банк сплачує 10 %, а швидкість інфляції 6 %.
1.4.15. Розглянемо Інвестиційний грошовий ПОТІК Cq,C\ с„, при¬
чому Ck < 0, k < п, та сп > 0. Покажіть, що для
П
/>(0 = £>0 + 0“*. і>-і,
k=0
а) існує єдиний розв’язок і* рівняння Р (і*) = 0;
б) Р(і) не обов’язково є монотонною функцією і.
1.4.16. Припустимо, що відсоткова ставка
І(І) = (1 + t) *і’і + f(l + t) ^І2-
Визначити криву доходів г(ґ) і розмір рахунку D(t).
1.4.17. Довести, що i(t) є неспадною функцією t тоді й тільки тоді,
коли P(od) > Я“(0 для всіх 0<а<1,1>0, де P(t) — сучасна вартість
одиниці, одержаної в момент t.
1.4.18. Довести, що якщо i(t) не спадає за t, то і i(t) не спадає.
1.4.19. Показати, що
Ці) = -P'(t)/P(t), та 7(0 = -In P(t)/t,
де P(t) — сучасна вартість одиниці, одержаної в момент t.
1.4.20. Дехто має 200000 грн для інвестування з постійною ставкою
9 %. Він бажає наприкінці кожного наступного року протягом 20 років
знімати з рахунку фіксовану суму в І грн. Визначити:
а) максимальне можливе значення /;
б) максимальне можливе значення І, якщо гроші зніматимуться на
початку кожного з наступних 20 років.
1.4.21. Яку суму треба покласти на банківський рахунок зараз, якщо
відсоткова ставка 7 %, а людина бажає при цьому знімати по 1 000 грн
наприкінці кожного з наступних ЗО років?
1.4.22. Деяка особа виграла у лотерею і тепер вибирає, одержати
зараз 180000 грн або по 10000 грн на початку кожного року.
Нехай банківський відсоток дорівнює 6 %. Що краще вибрати, якщо
договір з банком укладається:
а) на 25 років;
б) на 60 років;
в) довічно?
20
і.4.23. Нехай час вимірюється роками, і припустимо, що для всіх
0 < h сума A(t\, 0), накопичена в момент 0 одиничною інвестицією,
зробленою в момент t\, визначається формулою
Обчислити суму, акумульовану 600 грн, вкладеними в будь-який момент
часу, через 15 років.
1.4.24. Припустимо, що інтенсивність відсотка б(t) задається форму¬
лами:
Визначити суму, накопичену одиничною інвестицією від моменту t\
до моменту Ьі-
1.4.25. Інтенсивність відсотка 5(t) = 0,12. Час вимірюється роками.
Визначити номінальну річну ставку відсотка для депозиту:
а) на 7 днів;
б) на 1 місяць;
в) на 6 місяців.
1.4.26. Нехай час вимірюється в роках, інтенсивність відсотка б(і) =
= 0,06(0,9)* для всіх t. Спростити вираз для y(t), дисконтованої сучасної
вартості одиничної суми на момент t, і обчислити дисконтовану сучасну
вартість суми грошей, яка через 3,5 року дорівнюватиме 100 грн.
1.4.27. Інтенсивність відсотка б(0 = 0,05 + 0,ООП+ 0,000И2, 0 < t <
< 10.
1. Обчислити загальне накопичення в момент часу t = 10 інвестиції
в 100 грн, яку зроблено в момент часу t = 0, і інвестиції в 100 грн, яку
зроблено в момент часу t = 5.
2. Визначити еквівалентну сталу інтенсивність відсотка операції з
пункту 1.
1.4.28. Інтенсивність відсотка б (t) у момент t
Чому дорівнює:
а) накопичення у момент часу t інвестиції в 1 грн, яку зроблено в
момент t = 0;
б) вартість у момент t = 0 суми в 100 грн на момент часу t = 5;
в) накопичення у момент часу t = 12 неперервного грошового потоку
з моменту t = 4 до моменту t = 6, який відбувався з інтенсивністю
платежів p(f) = 12 — t?
а) 6(0 = б;
б) 6(0 = а + Ы.
г0,06 + 0,005*,
6(0 = <0,12-0,0П,
,0,06,
0 < t < 4,
4 < t < 6,
6 < t.
21
і.4.29. Нехай v(t) — дисконтна функція, яка відповідає інтенсив¬
ності відсотка 5(t). Які з наступних виразів задають сучасну вартість
неперервного ануїтету, що виплачується п років з інтенсивністю плате¬
жів t:
а) Jo" MO dt;
б) Jo" texp {- Jo" 5(s) ds} dt;
в) Jo” t exp {- Jo 6(s) rfs} dt\
r) Jo” t exP {- J” 6(s) rfs} dt?
1.4.30. Нехай
Визначити v(t) при всіх t > 0.
1.4.31. Нехай час вимірюється в роках, інтенсивність відсотка
Визначити y(t) та сучасну вартість неперервного потоку платежів, який
провадиться з одиничною річною інтенсивністю протягом 15 років, по¬
чинаючи з t = 0.
1.4.32. Інтенсивність відсотка набуває таких значень:
Обчислити:
а) накопичення на 150 грн з моменту часу t = 0 до t = 20;
б) сучасну вартість (СВ) неперервного потоку платежів з щорічною
виплатою 10 грн з моменту часу t = 5 до моменту часу t = 10;
в) сучасну вартість неперервного потоку платежів з інтенсивністю
платежів е-0'03<, що триває з моменту часу t = 0 до моменту t = 10.
1.4.33. Неперервний потік платежів інтенсивністю р(£) = e~0,04t три¬
ває Т років. Інтенсивність відсотка дорівнює б(t) = 0,1. Сучасну вартість
одної грошової одиниці на момент часу t позначимо через v(t). Який з
наступних виразів не задає сучасну вартість даного грошового потоку:
0,09, 0 < t < 5,
5(0 = і 0,08, 5 < t < 10,
0,07, t > 10.
6(0 =
0,04, 0 < t < 10,
0,03, t > 10.
6(0 =
0,04,
0,001 (t- 10)2 + 0,04,
0 < t < 10,
t > 10.
г) (1 — e-014r)/0,14?
22
1.4.34. Для інтенсивності відсотка 8(0 = 0,01 (t3 — 91) обчислити
еквівалентну ефективну річну відсоткову ставку за період з t = 3 до
1. Обчислити:
а) накопичення на 100 грн з моменту часу t = 0 до моменту t = 15;
б) сталу річну ефективну відсоткову ставку для інвестиції з пун¬
кту 1а);
в) сучасну вартість неперервного потоку платежів, який триває з мо¬
менту t = 5 до моменту / = 10 з інтенсивністю платежів р(0 = 60 — 30
2. Показати, що інвестування в момент t = 0 суми, обчисленої в
пункті їв), у купівлю неперервного потоку платежів з пункту їв), дає
сталу ефективну річну відсоткову ставку у період з£ = 0до£=10
меншу за 5,5 %.
1.4.36. Інтенсивність відсотка 8(0 у момент t задано так:
5(0 = (°’06’ , 0<^6’
w \0,05 + 0,0002*2, 6<*<12.
Підрахуйте накопичення у момент t = 12 неперервного потоку платежів
у 100 грн щороку, який виплачується з моменту t = 0 до моменту t = 6.
1.4.37. Інтенсивність відсотка 6(0 задано формулою
Підрахуйте:
а) сучасну вартість одиничної суми грошей на момент часу t = 10;
б) ефективну відсоткову ставку за період з£ = 9по£=10;
в) сучасну вартість v(0 одиничної суми грошей, яку сплатять за
період 0 < t < 5, у термінах t\
г) сучасну вартість потоку платежів, що надходять неперервно за
період 0 < t < 5 з інтенсивністю платежів р (0 = е0,04і.
1.4.38. Інтенсивність відсотка 6(0 у будь-який момент часу t, що
вимірюється в роках, задається формулою
t = 4.
1.4.35. Інтенсивність відсотка 6(0 у момент t задано так:
0,07 - 0,0050
6(0 = < 0,06 - 0,0030
0,03,
0 < t < 5,
5 < t < 10,
t > 10.
0 < t < 5,
t > 5.
6
0,04 + 0,010
0,07,
0 < t < 8,
t> 8.
23
1. Визначте і спростіть, наскільки це можливо, вираз для Л(*), де A(t)
є накопиченим значенням у момент * інвестиції розміром у 1 грн, яку
зроблено в момент * = 0.
2. Підрахуйте сучасну вартість у момент * = 0 суми, що дорівнює
100 грн у момент * = 10.
і.4.39. Інтенсивність відсотка б (*) визначено так:
'0,05, 0 < * < 10,
6 (0 = < 0,006*, 10 < * < 20,
0,003*+ 0.0002*2, *>20.
Підрахуйте:
а) сучасну вартість одиничної суми грошей у момент * = 25;
б) ефективну ставку відсотка за одиницю часу від моменту * = 19 до
моменту * = 20;
в) сучасну вартість неперервного потоку платежів з інтенсивністю
,-0,03*
за одиницю часу між часом * = 0 та часом * = 5.
1.4.40. Інтенсивність відсотка 6(*) задано так:
6 (*) = 0,005* + 0,0001 *2, *>0.
Підрахуйте:
а) суму, накопичену на момент * = 8 інвестицією розміром у 100 грн,
яку зроблено в момент * = 0;
б) сталу річну ефективну відсоткову ставку за восьмирічний період.
1.4.41. Інтенсивність відсотка б (*) є функцією часу, який вимірює¬
ться у роках, і в будь-який момент часу має вигляд
6(0= 0£,£8’
Г 0,03 + 0,01*,
\0,05,
* > 8.
1. Визначте і спростіть, наскільки це можливо, вираз для v(*), де
v (*) — сучасне значення одиничної суми грошей на момент часу *.
2. Підрахуйте:
а) сучасну вартість суми в 500 грн, яка очікується через 15 років;
б) річну ставку дисконтування, що конвертується щоквартально, по¬
роджену операцією з пункту 2а);
в) сучасну вартість неперервного потоку платежів з річною інтенсив¬
ністю ІОе~0,02‘ між * = 10 і * = 14.
1.4.42. Інтенсивність відсотка 5(*) в будь-який момент *, що вимірю¬
ється в роках, задається формулою
0,05, 0 < * < З,
б (*) = { 0,09-0,01*, 3 < * < 8,
0,01*-0,03, * > 8.
24
1. Якщо 500 грн інвестуються в момент t = 2 і наступні 800 грн
інвестуються в момент t = 9, підрахуйте накопичену суму в момент
t = 10.
2. Визначте постійну ефективну річну ставку відсотка з точністю до
1 %, для якої результат буде такий самий, як і в пункті 1.
1.4.43. Інтенсивність відсотка Ь(І) у момент часу t, що вимірюється
в роках, задано так:
6 (*) = (°’05’ °<'<8’
w \0,04 + 0,0004г2, 8<*<15.
Підрахуйте накопичену вартість у момент * = 15 неперервного потоку
платежів у 50 грн за рік, який виплачується з моменту * = 0 до моменту
* = 8.
1.4.44. Інтенсивність відсотка б(*) у момент часу * задано так:
5(0 =
0,05,
0,08 + 0,003*,
0 < * < 10,
* > 10.
Обчислити:
а) накопичення на момент * = 15 інвестиції в 100 грн, зробленої в
момент * = 5;
б) еквівалентну сталу інтенсивність відсотка з моменту * = 5 до
моменту * = 15;
в) сучасну вартість неперервного потоку платежів з інтенсивністю
р(*) = Ю0е0,0и, який відбувався з моменту * = 0 до моменту * = 5.
1.4.45. Інтенсивність відсотка б (*) у момент часу *, що вимірюється
в роках, задано так:
б(0 =
0,07 - 0,005*,
0,06,
0 < * < 8,
* > 8.
Обчислити:
а) накопичення на момент * = 10 інвестиції в 500 грн, зробленої в
момент * = 0;
б) сучасну вартість при * = 0 неперервного потоку платежів, який
відбувався із ставкою платежів р(*) = 200е°,и з моменту * = 10 до
моменту * = 18.
1.4.46. Для деякого банківського депозиту для даного року інтенсив¬
ність відсотка дорівнювала 0,15 на початку року, 0,1 в середині року
і 0,08 наприкінці року. Обчислити суму, накопичену наприкінці року
інвестицією 5000 грн на початку року у таких випадках:
а) інтенсивність відсотка є квадратичною функцією часу;
б) інтенсивність відсотка лінійно залежить від часу у першому і дру¬
гому півріччях.
25
1.4.47. 1. Для оцінювання майбутніх платежів інвестор використовує
для теперішньої вартості 1 грн у момент часу t таку формулу:
v(0 = к(а+1)
щ (а+!)(«+(+ 1)’
де а > 0. Показати, що
а) інтенсивність відсотка в момент часу t дорівнює
21 “Ь 2а -Ь 1
«(*) =
(а+ £)(а +1 + 1)
б) ефективна відсоткова ставка в період від t = ге до t = ге+1 дорівнює
і(п) = 2/(ге + а);
в) сучасна вартість серії з ге платежів по 1 грн — а(л) = -.
п + ос+ І
2. Нехай а = 15. Обчислити розмір щорічної премії, що виплачуєть¬
ся авансом протягом 12 років і яка забезпечить ануїтет у 1800 грн
щорічних виплат протягом 10 років, з першою виплатою ануїтету через
один рік після виплати останньої премії. Яке значення в момент часу
t = 12 серії платежів ануїтету?
1.4.48. Інтенсивність відсотка 6 (і) у момент і, що вимірюється в
роках, буде лінійною функцією t протягом т років, а потім сталою на
рівні, досягнутому в момент /ге.
1. Розглядаючи окремо випадки ге < /ге та ге > т, визначити в термінах
п, т, 8(0) та 8(т) значення, акумульоване одиничною сумою на проміжку
часу від 0 до п.
2. За умови, що /ге = 16, 5(0) = 0,08 та 8(16) = 0,048, обчислити
акумульоване значення для ге = 15 та ге = 40.
3. Визначити сталу інтенсивність відсотка, яка забезпечить те саме
акумульоване значення для ге = 15 та окремо для ге = 40.
1.4.49. Підприємець позичив такі суми: 1000 грн 1 січня 2000 року,
2500 грн 1 січня 2001 року та 3000 грн 1 липня 2001 року. За умови,
що інтенсивність відсотка є сталою і дорівнює 0,06 на рік, визначити
вартість цього грошового потоку:
а) на 1 січня 1998 року;
б) на 1 березня 1999 року.
1.4.50. Банк нараховує відсотки на депозит, застосовуючи змінну ін¬
тенсивність відсотка. На початку нинішнього року інвестор поклав на
депозит 20000 грн. Акумульоване значення на цьому рахунку дорівню¬
вало 20596,21 грн у середині року і 21 183,70 грн наприкінці року. За
припущень, що час вимірюється в роках і що протягом року інтенсив¬
ність відсотка є лінійною функцією часу, визначити цю інтенсивність
відсотка як функцію часу і обчислити суму на рахунку, накопичену че¬
рез 3/4 року.
26
1.4.51. Боржник повинен сплатити банку суму в 6280 грн через
4 роки, 8460 грн через 7 років і 7350 грн через 13 років. Замість цього
боржник пропонує банку одне з двох:
а) сплатити борг однією виплатою, зробленою через 5 років;
б) сплатити весь борг, тобто 22090 грн однією виплатою у деякий
момент у майбутньому.
За припущення, що інтенсивність відсотка стала і дорівнює In 1,08 =
= 0,076961, обчислити потрібну виплату у випадку а) і момент виплати
у випадку б).
1.4.52. (Кусково-стала інтенсивність відсотка.)
Нехай інтенсивність відсотка задається формулою
0,08,
0 < t < 5,
0,06,
5 < t < 10,
0,04,
t > 10.
1. Записати вираз для сучасної вартості "v(0 одиничної суми в мо¬
мент t.
2. Інвестор підписує контракт, згідно з яким він виплатить 15 премій
щорічно авансом на рахунок, що має вказану інтенсивність відсотка.
Кожна премія розміром у 600 грн, причому першу буде виплачено в
момент t = 0. Натомість він одержить одне з двох:
а) суму, накопичену на рахунку через 1 рік після виплати останньої
премії;
б) щорічний ануїтет, що виплачуватиметься протягом 8 років, причо¬
му перша виплата за ануїтетом відбудеться через рік після того, як буде
виплачено останню премію.
Визначити суму виплати у випадку 2а) та величину щорічної виплати
у випадку 26).
Відповіді та вказівки
1.4.1. При і = 0,1 — перша послідовність; при і = 0,2 — друга; при
г = 0,3 — третя.
1.4.2. У випадках а) і б) — друга; у випадку в) — перша.
1.4.3. Сучасні вартості грошових потоків витрат дорівнюють відпо¬
відно 44080, 41 980, 42 110, 44 120 грн. Найвигідніше купувати на почат¬
ку другого року.
1.4.4. У випадку а) — 11 747 грн; б) — 10093 грн; в) — 9384 грн.
1.4.5. Fe~°’B « 449.
1.4.6. У випадках а) і б) — все відразу; у випадку в) — 10000 грн
відразу, 10000 грн через 10 років.
27
1.4.7. А = 1 000 (1 - 1,01-360) (1,01240 - 1) 1 » 98 грн.
1.4.8. Приблизно 19,6 %.
1.4.9. Приблизно 13,2 %. Зауваження. При розв’язанні цієї і попере¬
дньої задач потрібно чисельно знаходити приблизний розв’язок алгебри¬
чного рівняння.
1.4.10. 25,7 %.
1.4.11. Швидкість одержання прибутку в пункті а) дорівнює —14 %
(тобто маємо збитки); б) — 0 %; в) — 12 %.
Якщо поміняти місцями прибутки, то відповіді у пунктах а) і б) не
зміняться, у пункті в) матимемо 15 %.
1.4.12. Так. Сучасна вартість даного грошового потоку додатна.
1.4.13. Не треба. Вартість даного потоку, підрахована для моменту
надходження останнього прибутку, є від’ємною.
1.4.14. Точне значення 3,77 %, приблизне — 4%.
1.4.15. У випадку а) Ці) = 0 сп = Z^=d(-c*)0 + і)п~к- Функція
в правій частині монотонно зростає при і є (— 1, +00) від 0 до +оо і
є неперервною; у випадку б) функція Ці) = —і/(І + і)2 = —1/(1 + 0 +
+ 1/(1 + г)2_спадає при і є (—1, 1) і зростає при і є (1, + оо).
1.4.16. i(t) = і2 + [(г'і - г2) ln(l + t)]/t, D(t) = exp{i2*} (1 + О*1-*2-
1.4.17. При а = 0 вказана нерівність очевидна. Розглянемо функцію
/(а) = 1пЯ(а0/а, 0 < а < 1. Записана в умові нерівність еквівалентна
нерівност[/(а) > /(1). Оскільки P(t) = 1 /D(t), то маємо /(а) = —ti(oct),
/(1) = —ti(t). У свою чергу, виконання для довільних 0<а<1і£>0
нерівності i(oct) < i(t) означає, що і(і) неспадна.
1.4.18. i(ty > 0 ti{t) — Jd i{s) ds>0<= i(t) > i(s), 0 <s<t.
1.4.19. Використайте рівність P(t) = 1 /D(t) та формули для D(t).
1.4.20. Суми дорівнюють: а) — 21 909,925 грн; б) — 20 100,27 грн.
1.4.21. 12409,04 грн.
1.4.22. У будь-якому випадку треба вибрати першу можливість.
1.4.23. Ця акумульована сума
600Л(*, t + 15) = 600ехр{0,05 • 15} = 1 270,20 грн.
1.4.24. Накопичена сума: а) — A(t\, ґ2) = ехр{6(£2 — ґі)};
б) — A(t\, t2) - ехр{/^(а + bt) dt} = exp{a(f2 - *i) + (b/2)(t$ -tf)}.
1.4.25. За формулою
• /а єхр{!l+h 6(s)ds} ~ 1
Ш = h
одержуємо
а) h = 7/365, Ш) = (exp{0,12 • 7/365} - 1) • 365/7 = 12,01 %;
б) h = 1/12, ih(t) = (exp{0,12 • 1/12} - 1) • 12 = 12,06 %;
в )h= 1/2, ih(t) = (exp{0,12 • 1/2} - 1) • 2 = 12,37 %.
28
1.4.26. Спрощений вираз для v(*) матиме вигляд
y(t) = exp j— 6(s) ds j = exp j — 0,06(0,9)s ds j =
= exp {0,06 (1 - (0,9)') / In 0,9} .
Якщо підставити t = 3,5, дістанемо
y(t) = exp {o,06 (l - (0,9)3-5) / In0,9} = 83,89 грн.
1.4.27. 1. Позначимо через S загальне накопичення, тоді
S = lOOexpjJ^ b(t)dtj + 100exp5(t)dtj =
= 100(e0,583 + e0'317) = 316,45 грн.
2. Позначимо через 5 еквівалентну сталу інтенсивність відсотка. Тоді
316,45 = 100 (е106 + е56). Зробивши заміну х = е5& і розв’язавши квад¬
ратне рівняння, одержимо 6 = 5,97 %.
1.4.28. Обчислимо: а) накопичення 4(*) у момент часу * одиничної
інвестиції у момент * = 0 4(*) = exp{J^ 5(s) rfs}, тобто
при 0 < * < 4 A{t) = exp {0,06/ + 0,025/2 } ,
при 4 < t < 6 A(t) = 4(4)exp|[0,12s — 0,005s2]|^| =
= exp {0,12/ - 0,005*2 - 0,12} ,
при * > 6 4(*) = 4(6) exp {0,06* — 0,36} = exp {0,06* + 0,03};
б) сучасну вартість суми, що в момент часу * = 5 становить 100 грн,
СВ = 100 ехр{— Jq5 5(t) dt} = 100/4(5) = 100/ехр{0,325} = 72,25 грн;
в) накопичення з моменту t = 4 до моменту t = 6
5(4,6) = J46 р(*)^ dt = J4(12 - *) exp{j; 5(s) ds} dt =
= (12 — *) exp jj| (0.12 — 0,01s) dsj dt =
= J^6(12 - *)e°'005/2-0'12/+0'54d* = 15,027 грн.
Накопичення до моменту часу * = 12 дорівнює
S(4,6)exp|J^ 6(*)rf*| = 15,027е6'0,06 = 21,54 грн.
1.4.29. Оскільки v(*) = єхр{— Jg 5(s) ds}, то сучасну вартість зада¬
ють вирази 1 і 3.
1.4.30. Очевидно, y(t) = ехр{—0,09*} при 0 < * < 5. Якщо 5 < * < 10,
то v(*) = exp {—0,09 • 5 — 0,08(* — 5)} = exp {—0,05 — 0,08*}, а при * > 10
v(*) = exp {-0,09 • 5 — 0,08 • 5 — 0,07(* — 10)} = exp {—0,15 - 0,07*} .
29
1.4.3І. Спочатку визначаємо v(t) = ехр{— J0* 6(s) ds}:
5/a = Jexp{-0,04f}, 0 < t < 10,
|exp{—0,1 — 0,030, Ю < t.
Потім сучасну вартість неперервного потоку платежів обчислюємо за
формулою
рі /*15 /"іи с ю
J y(t)p(t)dt = J y(t)dt = J ехр{—0,04f}df + J ехр{-0,1 -0,03f}<ff =
- 1 - ехр{0,4} +аф(_0і1}«Р{-0.3)-ар{-0.48} = пз5
-10
15
0,04
0,03
1.4.32. Результати обчислень: a) S(0,20) = 150 exp{JJj20 6(f) dt} =
= 150 x exp{JJj10 0,04 dt} exp{J,Q°(0,001 (f - 10)2 + 0,04) dt} = 465,899;
б) CB = J510 10exp j— Jq 6(s)ds j dt = 10е~°-тdt = 37,103;
в) CB = J0'° e-0,03* exp j — б(s) ds j dt = JJ)10 e~0,07t dt = 7,192.
1.4.33. Сучасна вартість даного неперервного грошового потоку
CB = р (t)y(t) dt = e~0,04ty(t) dt = e~°m exp j— 6(s) ds j dt =
= ^e-^e-^dt = jV^df = (1 - е-0-147У0,14,
тому невірним є вираз а).
1.4.34. Нехай і — ефективна річна відсоткова ставка. Тоді накопиче¬
ння на одну грошову одиницю за період з£ = Здо£ = 4зі ставкою і і з
інтенсивністю відсотка 6(f) мають збігатися, тобто
1 + і = ехр{J3 6(f) dt} = ехр{0,01 (f3 — 9f) dt} = e0,1225.
Звідси і = 13,03 %.
1.4.35. 1. Обчислимо:
а) S(0,15) = 1004(0,15) = 100exp{j0156(s)ds} = 100exp{JQ5(0,07 -
- 0,005s) ds + J510(0,06 - 0,003s) ds + J^5 0,03 ds} = 186,825 грн;
б) нехай і — стала ефективна відсоткова ставка. Тоді 100(1 + і)15 =
= 186,825 і і = 4,25 %;
ЗО
в) з умови y(£')v(£') = V(t")y(t"), де V(t) — значення грошового
потоку в момент часу t, маємо
v(5) = ехр{- J^5(0,07 - 0,0050 dt} = e~°'2m = 0,75014;
У (5) = Jg0 PW exp{-£ 8(s) ds} dt =
= J510(60 - 30 exp{- Jj(0,06 - 0,003s) ds} dt = 170,97;
У(0) = У(5М5) = 128,25 грн.
2. Нехай і — стала ефективна відсоткова ставка, v = 1/(1 + і). Тоді
128,25 = У(0) = V(5)v5 = v5 J^0 р^)у‘~5 dt = £Ш(60 - 3t)Vdt =
= |s = t — 5| = v5 (45 — 3s)vs ds — v5 ^45ag| — 3(70)^j .
При і = 0,055 ціна потоку платежів дорівнювала б 126,99 грн, що менше
за ціну купівлі. Тому і < 0,055.
1.4.36. Обчислимо
S(0,12) = 100expjj^ 5(s) dsj dt exp|J6 5(s)dsj =
= 100 Jo6e°'06(6-°^exp|J612(0,05 + 0,0002*2) d*} = 1078,28.
1.4.37. Обчислимо:
а) Л(0,10) = exp{J010 5(0^} = exp{Jo50,04dOexp{J51O0,01(f2 - t)dt} =
= 1,2214 [exp{17/6> - exp{ 1,75/6}], звідки CB = l/v(0,10) = 0,06447;
б) 1 + і = exp{J9'° 6(s) ds} = exp{J9100,01(^2 — t)dt} = 2,24416, звідки
і = 124,416 %;
в) y(t) = exp{— 5(s)ds} = e~fo°’Mdt = 0 < t < 5;
г) CB = JQ5 p(t)y(t) dt = J05 eo,°4te-o.04/ fa — 5
1.4.38. 1. A(t) = exp{£ 6(s) ds}.
Для 0 < t < 8: A{t) = exp j Jq (0,04 + 0,0 Is) ds j = exp{0,04£ + 0,005£2}.
Для t > 8: A(t) = exp| J08 6(s) ds} • exp j Jg 6(s) ds} = Л(8)е0'07*-0'56 =
_ g0,07i+0,08
2. CB = 100exp{— JQ106(s)rfs} = 100/Л(10) = 100exp{-0,78} = 45,84.
1.4.39. Результати обчислень: а) сучасна вартість ехр{— J0 8(s)ds} =
= ехр{—10 • 0,05} • ехр{- J20 0,006s ds}-ехр{- J225(0,003s + 0,0002s2)rfs} =
= 0,10584;
31
б) нехай і позначає ефективну відсоткову ставку в період з t = 19 до
t = 20. Тоді 1 +1 = ехр{ J2g° 0,006s ds} => 1 + і = ехр{0,03(202 — 192)},
звідки г = 12,412 %;
в) СВ = J05 ехр{— £ 0,05 ds}e-°-03t dt = J05 e”0'08' = 4,121.
1.4.40. a) S(0,8) = 100 exp{J08(0,005s + 0,0001s2) ds} = 1,1937;
б) нехай і — ефективна річна відсоткова ставка у восьмирічний пері¬
од, тоді 100(1 +1)8 = S(0,8) =+ і = 2,238 %.
1.4.41. 1. Для t < 8: y(t) = ехр{—! J0* (0,03 + 0,01s)ds} = ехр{—0,03£ —
— 0,005£2}, для t > 8: y(t) = v(8)exp{— Jg 0,05 ds} = e-0,56 • е-о,05г+о,4 _
_ e-(0,16+0,05г)
2. a) CB = 500v(15) = 500e-<°'16+0'0515) = 201,26;
б) якщо річна ставка дисконтування, що застосовується щокварталь¬
но, дорівнює d^, то 500(1 — d*4V4)60 = 201,26. Звідси d^ = 6,0209 %;
в) СВ = /,0 \0e-°'Q2tv(t)dt = 10 j/o іОе-одае-(°'16+0'05^ dt = 14,763.
1.4.42. 1.Накопичена сума
s(io>=+=5ооехр{ґад *}+
+800ехрІJg Hs) ds j = 500 exp 0,05 ds j • exp (0,09 — 0,01s) ds jx
x exp j Jg (0,01s — 0,03)dsj + 800 exp jjg (0,01s — 0,03)dsj = 1 559,72.
2. Нехай і — ефективна річна відсоткова ставка. Тоді 1 559,72 =
= 500(1 + г)8 + 800(1 + і). Звідси і « 5 %.
1.4.43. S(0,15) = S(0,8)i4(8,15) = 50 JQ8 Л(г,8МгехрЦ15 6(s)ds} = 50x
x J08 exp{J8 0,05 ds} dt exp{Jg15(0,04 + 0,0004*2) dt} = 953,23 грн.
1.4.44. Результати обчислень: a) 5(5,15) = 100Л(5,10)Л(10,15) =
= 100exp{ J5106(s)ds} exp{ j'058(s)ds} = 100 exp{J51°0,05ds}exp{J,105(0,08+
+ 0,03s) ds} = lOOe0,25 • g°'4+°'0i5-125 = 231,06 грн;
б) нехай б — стала інтенсивність відсотка. Тоді ЮОе106 = 231,06.
Звідси 5 = 0,084; в) СВ = J05 ЮОе0,(Ш exp { — J0* 5(s) ds}dt = 100 JQ5 e0,01< x
x e~0,05t dt = 453,17 грн.
1.4.45. a) S(0,10) = 500Л(0,8)Л(8,10) = 500exp{J08(0,07-0,005*)<ft} x
x exp{ J810 0,06d£} = 500e°'56-0’16 • e0-12 = 841,01 грн.
6) CB = Jo 2Q0e°’uy(t)dt = 200 Jo e°-u{-Jo S(s)ds}dt = 200 J1® e°-u x
x exp{- J08(0,07 - 0,005s) ds - Jg 0,06ds}df = 3047,33 грн.
1.4.46. У випадку а) зауважимо, що 6(0) = 0,15. Нехай 6(0 =
= 0,15 + bt + ct2. Якщо в цьому рівнянні покласти t = 1/2, то одер¬
жимо 0,10 = 0,15 + 6/2 + с/4, а якщо t = 1, то 0,08 = 0,15 + 6 + с.
32
З цих рівнянь b = —0,13 і с = 0,06, звідки 6(f) = 0,15 — 0,13ґ + 0,0612.
Отже, §Qb{t)dt = 0,105. Тому акумульоване значення наприкінці року
5000ехр{0,105} = 5553,55 грн;
у випадку б) 6 (0 є лінійною між 0 і 1/2 і між 1/2 і 1, тому
Cmdt = Cmdt + 5m^d‘='2\
1 Г5(0) + 5(1/2) 5(1/2)+ 5(1)
= ^(0,15 + 0,10) + ^(0,10 + 0,08) = 0,1075.
Остаточно, акумульоване значення 5000ехр{0,1075} =5567,45 грн.
1.4.47. 1. Міркування наступні: а) з формули v(0 = ехр{—Jq 5(s) rfs}
маємо
xm = = 2t + 2ot+l
v(0 ((X + t){oc + t + 1)
б) з формули ih(t) = ( exp{ jf+h 5(s) rfs} — 1 )/h
i(n) = exp { Г + 5(s) ds\ - 1 = - 1 = —-—;
r I Jn J v(n+1) n + oc
в) оскільки v(0 = a(a+ 1) [1 /(t + a) — l/(t + a + 1)], to
Ф) = J^v(f) = a(a+
/=i l і + a
1
n + 0C+ 1-
mx
n + a+ Г
2. Нехай P — розмір щорічної премії. Накопичена сума в момент
часу t = 11 дорівнює ^S*lov(0/v(ll) = Я[1 + a(ll)]/v(ll), а вартість
ануїтету в цей же момент часу 1 800 1) = 1800[a(21) —
—a(l l)]/v(l 1). Отже, маємо рівняння Я[1+а(11)] = 1 800 [а(21)—а(11)].
Звідси Р = 608,11 грн. Вартість серії платежів ануїтету у момент часу
t = 12 дорівнює 1 800Ym=\2"v(0/"v(12) = 1 800[a(21) — a(l l)]/v(12) =
= 13622 грн.
1.4.48. 1. Позначимо 5(0) = бо, б(т) = Ьт. Акумульоване до моменту
п значення дорівнює exp {J0n 5(0 dt}. Тепер для 0 < t < т б(0 = бо +
+ t(Ьт — бо)//га, так що для п < т акумульоване значення дорівнює
ехр {«бо + п2(бт — бо)/2т}. Якщо ж п > т, то акумульоване значення
дорівнює
exp I Jo 6(0 dt + Jm 6(0 dt J = exp {^(60 + 5m) + (n- m)6m|.
2. Через 15 років акумульоване значення
г 152 -і
exp {15 • 0,08 + (0,048 - 0,08)} = 2,6512.
Через 40 років це буде
exp {у (0,08 + 0,048) + (40 - 16) • 0,048} = 8,8110.
33
3. Для п = 15 має виконуватись рівність ехр{15б} = 2,6512, звідки
б = 0,065. Для п = 40 відповідна рівність має вигляд ехр{406} = 8,8110,
звідки б = 0,0544.
1.4.49. Нехай час вимірюється в роках з 1 січня 1998 року:
а) згідно з формулою сучасної вартості грошового потоку, значення
грошового потоку вказаної позики на 1 січня 1998 року дорівнює
1 000v(2) + 2 500v(3) + 3 000v(3,5) =
= 1 ОООе-0,12 + 2500е-°'18 + ЗОООе"0'21 =5406,85 грн;
б) прирівнюючи дисконтовані вартості в моменти t\ і к
У(*іМ*і) = Уі.к)у(.к),
одержуємо при = 0, t\ = 14/12
5406,85 exp {0,06 • 14/12} = 5798,89 грн.
1.4.50. Нехай для 0 < t < 1 F(t) означає суму, накопичену на мо¬
мент t одиничною сумою, покладеною на депозит у момент часу 0. Тоді
F( 1/2) = 20596,21/20000 і F( 1) = 21 183,70/20000. Тому 1пД(1/2) =
= 0,029375 і lnF(l) = 0,057500. За умовою задачі, при 0 < t < 1 5(t) =
= а + bt. Тому
гt 1 о
Jo 6(s) ds = at + 2^ >
а тоді, за формулою 1пД(Г) = 5(s)ds одержуємо 1пД(Г) = at + bt2/2.
Складаємо систему
L + \b = 0,29375, a + ]rb = 0,057500,
2 о 2
звідки а = 0,06 і b = —0,005. Отже, б(t) = 0,06 — 0,005£. Крім того,
In/7(3/4) = За/4 + 96/32 = 0,043594, звідки F(3/4) = 1,044558. Нарешті,
акумульоване на депозиті значення 20000/7(3/4) = 20891,16 грн.
1.4.51. Нехай час вимірюється в роках. Якщо інтенсивність відсотка
є сталою, то фактор дисконтування в момент часу t дорівнює
y(t) = exp I — 6rfs| = у1, де v = e-6, t > 0.
Для того, щоб розв’язати задачу, треба прирівняти сучасні вартості
трьох заданих виплат і тих виплат, які пропонуються:
а) запишемо рівність
6280v4 + 8460v7 + 7 350v13 = Ху3,
звідки X = 18006 грн;
б) нехай t — момент часу, коли буде виплачено 22090 грн. Тоді
6280v4 + 8460v7 + 7350v13 = 22 090V,
звідки t = 7,66 року.
34
і.4.52. 1. Загальна формула для дисконтного множника v(t) має ви¬
гляд \(t) = exp { — Jq 5(s) rfs}. За умов задачі
'от,
* 0,4 + 0,06(і — 5),
0,4 + 0,03 + 0,04(*- 10),
0 < t < 5,
5 < t < 10,
t > 10.
Тому
y(t) =
exp {—0,08*},
exp (—0,1 — 0,06*},
exp {—0,3 — 0,04*},
0 < * < 5,
5 < * < 10,
* > 10.
2. У випадку а) позначимо суму, накопичену на рахунку через 1 рік
після виплати останньої премії через S. Тоді сучасна вартість цієї суми
має дорівнювати сучасній вартості всіх премій:
600 [v(0) + v(l) + ... + v(14)] = Sy(15),
звідки
S = 600(1 + а”0'08 + є”0'08'2 + ... + є-0-08'5 +
+ є”0-46 + ... + є”0'7 + а"0-74 + ... + e-°'86)e0'9 = 14 119 грн;
у випадку б) позначимо щорічну виплату через А. Тоді має місце
рівність сучасних вартостей:
600 [v(0) + v(l) + ... + y(14)] = A [v(15) + v(16) + ... + v(22)],
звідки
600(1 + є"0'08 + ... + e-°'86)
g-0,9 _|_ g—0,94 + . . . + e-US
= 2022 грн.
1.5. ВИКОРИСТАННЯ СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ
ДЛЯ ПІДРАХУНКУ ВАРТОСТЕЙ ГРОШОВИХ ПОТОКІВ
Теоретичні відомості
Ануїтет (рента) — регулярні виплати, що провадяться на початку або
наприкінці кожного відповідного періоду.
Сталий ануїтет (level annuity) складається з одиничних виплат, які
виплачуються щороку протягом п років.
Сталий ануїтет постнумерандо (level deferred annuity) виплачує¬
ться наприкінці кожного року, тобто із заборгованістю, сучасна вартість
35
сталого ануїтету постнумерандо позначається
ап\ = у + у2 + • • ■ + уП
(1 -V*)//,
п,
і ф о,
і = 0.
Сталий ануїтет постнумерандо застосовується найчастіше, тому його
називають просто ануїтетом (або звичайним ануїтетом), і його значення
є табульованими.
За сталим ануїтетом пренумерандо (level annuity due) перша ви¬
плата здійснюється негайно, тобто авансом. Сучасна вартість ануїтету
пренумерандо позначається
ац = І + v + v2 + ... + V1-1 = (1 + ї)а-1.
Коли виплата після г'-го року дорівнює і, ануїтет називається зроста¬
ючим і його сучасна вартість позначається
(7а)-| = v + 2v2 + 3v3 + ... + пуп.
Зростаючі ануїтети застосовуються, коли виплати утворюють арифме¬
тичну прогресію: якщо перша виплата дорівнює Р, друга Р + Q, і-та
Р + Q(i — 1), то сучасна вартість такого ануїтету
(Р -Q)a-l+Q(Ia)-].
У задачі 1.5.7 буде наведено формулу і приклади обчислень зростаючого
ануїтету. Зростаючий ануїтет пренумерандо позначається (Іа)ц = (1 +
+ ї)(Іа)-у Зростаючі ануїтети використовуються також при підрахунку
тривалості активів.
Сталий ануїтети постнумерандо і пренумерандо, що сплачуються про¬
тягом п років р разів на рік, позначаються відповідно і а^. Неважко
переконатися, що
а~^ = ~гта-\, d-^ = —1-rCL—i.
п\ іір) п\ п\ dip) п\
Вартості ануїтетів на кінець дії ануїтету відрізняються від відповід¬
них сучасних вартостей множником (1 + і)п і позначаються s-|, s-|, (/s)-|
тощо.
Якщо п = оо, то відповідний ануїтет називається безстроковим (до¬
вічним, без обмежень у часі) і позначається а—|, а—| тощо.
Задачі
1.5.1. Рента сплачується щопівроку протягом 20 років із заборговані¬
стю з річною виплатою 1 000 грн. Ефективна ставка відсотка становить
5 % річних у перші 12 років і 6 % річних, що конвертуються щоквар¬
тально впродовж останніх 8 років. Підрахуйте ренту, накопичену через
20 років.
36
1.5.2. Інвестор придбав звичайну акцію за два місяці до виплати
наступного дивіденду розміром 12 коп за акцію. Дивіденди сплачуються
щорічно. Інвестор передбачає, що дивіденди зростатимуть з постійною
ставкою 4 % річних безстроково. Підрахуйте ціну за акцію, яку інвестор
сплатить, щоб отримати чистий дохід 7 %.
1.5.3. Очікується, що за акцією сплачуватиметься дивіденд d\ через
один рік, дивіденди зростатитимуть на g % щороку і сплачуватимуться
щороку. Нехай Vo — сучасна вартість акції і г — річна ефективна норма
прибутку, яку бажає отримувати інвестор.
Покажіть, що Vo = d\/(r — g).
1.5.4. Інвестор збирається вкласти гроші в акції деякої компанії.
1. За акціями виплачуються дивіденди щопівроку з наступним диві¬
дендом, що буде виплачено через 4 місяці. Наступний дивіденд дорівню¬
ватиме d\, ціна акції р і річна ефективна норма прибутку, яка очікується
від інвестицій, 100г %. Дивіденди зростатимуть зі швидкістю 100g % за
рік від рівня d\, де g < і. Дивіденди виплачуватимуться довічно.
Покажіть, що
d\ (1 + і)1/6
р [(і+і)1/2-(і+гЛ'
2. Інвестор відкладає придбання акції рівно на 2 місяці, причому в
цей момент ціна акції буде 18 грн, 100g % = 4 % і d\ = 0,50 грн.
Підрахуйте річну ефективну норму прибутку, яку очікує інвестор, з
точністю до 1 %.
1.5.5. Інвестор придбав облігацію номіналом 100 грн, вона погашає¬
ться за номінальною ціною, і за облігацією сплачуються піврічні купони
зі ставкою 8 % річних. До сплати наступного купону 8 днів, і цей ди¬
віденд не сплачується. Облігація має 7 років до погашення після цієї
(нездійсненої) виплати за купоном. Підрахуйте ціну покупки, що відпо¬
відає доходу 6 % річних.
1.5.6. Компанія зробила певну фінансову операцію 1 січня 2001 ро¬
ку. Початкова інвестиція на той момент становила 2 млн грн, потім ще
1,5 млн грн потрібно вкласти 1 серпня 2001 року. Очікується, що з
1 січня 2002 року чистий прибуток (тобто дохід мінус поточні витра¬
ти) надходитиме зі ставкою 0,3 млн грн за перший рік, і що ставка
збільшуватиметься на 0,1 млн грн за рік 1 січня кожного наступного ро¬
ку. Припускається, що чистий прибуток надходитиме неперервно в часі
протягом усього проекту. Компанія хоче продати свій бізнес 31 грудня
2011 року за 3 млн грн.
Підрахуйте чисте сучасне значення фінансової операції на 1 січня
2001 року при номінальній відсотковій ставці 6 % річних, конвертованій
щопівроку.
37
1.5.7. 1. Покажіть, що сучасна вартість зростаючого ануїтету (Іа)ц =
= (Йй| - пуп)/і.
2. Підрахуйте:
а) сучасну вартість ануїтету з ефективною ставкою 3 % річних, за
яким 10 гри сплачуються наприкінці першого року, 12 наприкінці дру¬
гого року і так далі з виплатами, що збільшуються на 2 грн за рік
упродовж 20 років, після чого виплати припиняються;
б) заборгованість за капіталом вказаного ануїтету наприкінці 15-го
року після виплати, зробленої на той момент;
в) складові виплат за відсотком і за капіталом у 16-й виплаті.
1.5.8. 1. Підрахуйте значення при ефективній річній відсотковій
ставці 13 %.
2. Поясніть фінансовий зміст числа, отриманого у пункті 1.
1.5.9. Інвестор має намір придбати 100 звичайних акцій у компанії.
Дивіденди від акцій виплачуватимуться щорічно. Наступний дивіденд
очікується через один рік і дорівнюватиме 8 коп за акцію. Другий диві¬
денд буде на 8 % більше, ніж перший дивіденд і третій дивіденд — на
7 % більше, ніж другий. Після цього дивіденди зростатимуть щорічно
на 5 відсотків безстроково.
Підрахуйте сучасне значення цього потоку дивідендів, що відповідає
ефективній ставці відсотка 7 % на рік.
1.5.10. Студент отримав трирічний грант. Виплати за цим грантом
здійснюються так:
перший рік: 5000 грн неперервно протягом року;
другий рік: 5000 грн рівними частинами щомісяця авансом;
третій рік: 5000 грн рівними частинами щопівроку авансом.
Визначте сучасну загальну вартість вказаних виплат, пораховану на
початок першого року. Відсоткова ставка, конвертована щокварталу, до¬
рівнює 8%.
1.5.11. Інвестор купує ануїтет, що виплачується неперервним чином
протягом п років, де п — ціле число. Інтенсивність виплати ануїтету є
лінійною функцією часу.
1. Вимірюючи час у роках, з моменту купівлі ануїтету, і позначаючи
через Ik(k= 1,2 п) суму, виплачену за ануїтетом протягом &-го року,
виразити через І\ і 1<і річну інтенсивність виплати в момент t. Обчислити
також загальну суму, виплачену за ануїтетом до моменту часу t.
2. Вважаючи інтенсивність відсотка сталою і рівною б, виразити су¬
часну вартість ануїтету через п, б, І\ і /г.
3. Нехай б = 1,06, п = 20, /2 = 1,07/|, сучасна вартість ануїтету
9047 грн. Визначити І\ та сучасну вартість частини ануїтету, виплаченої
протягом останнього року.
38
1.5.12. Нехай інтенсивність відсотка у момент t задається формулою
6 (t) = ae~bt.
1. Довести, що сучасна вартість суми, що в момент t дорівнює 1,
дорівнює
v(0 = ехр{|(е ы - 1)}.
2. Нехай інтенсивність відсотка задається рівністю 6(f) = ae~bt, відо¬
мо, що вона в момент t = 0 дорівнює 0,10, а через 10 років ця інтенсив¬
ність зменшиться вдвічі. Визначити сучасну вартість серії з чотирьох
щорічних виплат, кожна в 1 000 грн, перша виплата відбудеться в мо¬
мент t = 1.
3. При якому значенні сталої інтенсивності відсотка серія виплат ма¬
тиме ту саму сучасну вартість?
1.5.13. (Сучасна вартість неперервного грошового потоку.)
Нехай річна інтенсивність відсотка в момент t дорівнює 6(f) = г +
+ se~rt. Визначити:
а) сучасну вартість одиничної суми на момент f;
б) сучасну вартість неперервно сплачуваного ануїтету, що сплачуєть¬
ся протягом п років зі сталою швидкістю 1 000 на рік;
в) величину з пункту б) при п = 50, r = In 1,01 і s = 0,03.
1.5.14. Боржник взяв 100 грн і пообіцяв повернути 110 грн через
7 місяців. Визначити:
а) річну відсоткову ставку;
б) річну дисконтну ставку;
в) річну інтенсивність відсотка.
1.5.15. Позику розміром у 2400 грн буде повернуто двадцятьма одна¬
ковими щорічними виплатами. Відсоткова ставка за цією операцією до¬
рівнює 10 % річних. Визначити величину виплати, якщо ці виплати від¬
буваються: а) із заборгованістю; б) авансом.
1.5.16. Інвестор вносив 500 грн на банківський рахунок 15 листопада
щороку з 1984-го по 1999-й роки. 15 листопада 2003 року інвестор ви¬
лучив свої гроші з банку. Протягом всього часу банк застосовував річну
відсоткову ставку 7 %. Визначити суму, яку забрав інвестор.
1.5.17. Ануїтет виплачується щорічно протягом 20 років із забор¬
гованістю. Перша виплата має розмір 8000 грн, потім виплати щороку
зменшуються на 300 грн. Визначити сучасну вартість ануїтету за відсот¬
кової ставки 5 % річних.
1.5.18. Ануїтет виплачується щопівроку протягом 6 років, причому
перша виплата розміром 1 800 грн відбудеться через 2 роки. Розмір на¬
ступних виплат зменшується на 30 грн щопівроку. За умови, що піврічна
відсоткова ставка дорівнює 5 %, визначити сучасну вартість ануїтету.
39
Відповіді та вказівки
1.5.1. Щопівроку сплачується по 500 грн. Знайдемо що відпо¬
відає ефективній річній ставці 5 %. Маємо [1 + і®/2] = 1,05, звідки
г'(2) = 1,04939 %. Сума, отримана за перші 12 років, конвертується що¬
півроку зі ставкою №/2 до кінця 12-річного терміну. Потім всю суму,
отриману за 12 років, буде 32 рази конвертовано за ставкою (1 + 0,06/4).
Кожні 500 грн, отримані в наступні 8 років, конвертуватимуться до
кінця терміну кожні чверть року за ставкою (1 +0,06/4). Розглянувши
окремо доданки, що відповідають виплатам за перші 12 років, та випла¬
там за наступні 8 років, обчислюємо шукане значення:
23 k 15
500 (1 + 0.06/4)32 ^2 [:1 + г(2)/2] + 500^(1 + 0,06/4)2*
k=0
k=0
= 500 • 1,01532
1.02469524 - 1
0,024695
+ 500-
1,01532 — 1
1,0152 — 1
36044,55.
1.5.2. Вказаній ставці доходу відповідає дисконтний множник v =
= 1/1,07. Дивіденди за k-й рік становитимуть 0,12 • 1,04*—1. Оскільки
серія щорічних виплат почнеться через 2 місяці, ще помножимо вартість
на множник V1/®. Тому шукана ціна
0,12v1/6 (1 + l,04v + 1,04V + ...)
0,12 1
1,07і/6 ' 1 - 1,04/1,07
4,232.
1.5.3. Оскільки в k-й рік дивіденди становитимуть с?і(1 + g)*_1, які
ми маємо враховувати з дисконтним множником (1 + г)~к, то отримуємо
рівність
У _ d\ d\{\ +g) fi?i(l +g)2 _ d\
0 1+r (1+r)2 + (l+r)3 r-g
Задача має розв’язок при г > g.
1.5.4. 1. Виплати починаються через 1/3 року, кожна &-та виплата
дивідендів провадитиметься через 1/3+(& — 1)/2 років, розмір дивідендів
дорівнюватиме rfi(l+g)^-1^2, і ми враховуємо його з дисконтним множ¬
ником y'Wk-m = (і + і)-і/з-(*-і)/2> k > і Тому
di d{(l+g)l/2 rfi(l+g)2/2 rfi(l+i)'/6
P (1+і)1/3 (l + 01/3+1/2 (l+01/3+2/2 (l + i)1/2-(l+g)'/2‘
2. Аналогічно до пункту 1, виплати починаються через 1/6 року, ко¬
жну k-ry виплату ми враховуємо з дисконтним множником v-1/6-^-1^2,
40
k > 1. Тому маємо рівність
dx dx(l+g)l/2 dx(l+g)2/2 dx(l+i)m
p (l + i)i/6 + (l + i)1/6+1/2 (l+i)1/6+2/2 ‘ (1 +/)!/*_(!+£)«/*’
ЗВІДКИ
,Є 0,5(1 +01/3
(i + 01/2- 1,041/2'
Позначивши x = (1 + і), прийдемо до рівняння x1/2 — x^3/36 — 1,04і/2 =
= 0, для якого треба з вказаною точністю обчислити корінь, більший
за 1. Позначимо f(x) = х1/2 — лс1у^3/36 — 1,04і/2. Легко перевірити, що
для х > 1 похідна /(х) додатна, /(х) є зростаючою функцією, рівняння
має не більше одного кореня х > 1. Також /(1,09) < 0, / (1,1) > 0. Тому
шукане значення 1,09 < х < 1,1, і = 10 % з точністю до одного відсотка.
1.5.5. Щопівроку виплачуватиметься 4 грн, k-ту виплату ми бере¬
мо з дисконтним множником 1,06-*/2. Тому ціна в момент найближчої
купонної виплати дорівнюватиме
4 (і,06"1/2 + 1,06-' + 1,06-3/2 + ... + 1,06-7) + 100 • 1,06"7 =
= 45,31918 + 66,5057= 111,82488.
Оскільки покупку буде зроблено за 8 днів до найближчої купонної
виплати, ціна покупки дорівнюватиме 111,82488-(1,06)-8/365 = 111,68216.
1.5.6. Для даного значення г® = 6 % визначимо і = [1 +№/2] —
— 1 = 6,09 %, v = (1 + г)-1 = 0,9426, б = In 1,0609. На 1 січня 2001 року
вартість двох інвестицій (інтервалом у 7 місяців) становить 2+l,5v7/12 =
= 3,4492 млн грн. Вартість очікуваного прибутку на той самий момент,
враховуючи стрибкові збільшення ставки на початку кожного року, і
неперервне надходження протягом кожного року:
0,3 Jf2e~btdt + 0,4 Jje~btdt + ... + 1,2 J^' e~btdt =
= т-р— (3v + y2 + v3 + ... + Y10 — 12V1 *) = 4,9922 млн грн.
106 4 7
Дохід від продажу бізнесу на 1 січня 2001 року 3V11 = 1,5657 млн грн.
Таким чином, сучасна вартість даної операції 4,9922+ 1,5657 — 3,4492 =
= 3,1087 млн грн.
1.5.7. 1. З означення даного грошового потоку його вартість
(Іа)ц = v + 2v2 + 3v3 + ... + пуп,
(1 + г)(/а)й| = 1 + 2v + 3v2 + ... + nv"-1 =>
=> г(/а)-| = (1 + v + v2 + ... + v"-1) - пуп = а-\ — пуп.
41
2. Маємо: а) у даному випадку і = 0,03, у = 0,97087. Вартість
10v + 12v2 + 14v3 + ... + 48v20 = вазо, + 2(/а)я =
„20
0 1 - Vм 2
8 :— +
20| ^ *\л “^20|
J (ощ - 20v20) = 402,37 грн;
б) шістнадцята виплата дорівнює 40 грн, заборгованість за цією та
наступними виплатами наприкінці 15-го року
40v + 42v2 + 44v3 + 46v4 + 48v5 = 200,97 грн;
в) відсоткова складова дорівнює 0,03 • 200,97 = 6,03 грн, капітальна
складова — 40 — 6,03 = 33,97 грн.
1.5.8. 1. Для і = 0,13 вказана акумульована вартість
ї<!|> = 1 [(1 + ;)W2 + „ + 065/12 + ... + (!+ =
і (і + о67/12-(і +о1/12
12
(І + 01/12- і
7,883.
2. Величина дорівнює сумі, накопиченій за 5,5 років, якщо на
початку кожного місяця виплачувалась 1/12. При цьому в даній задачі
річна відсоткова ставка дорівнює 13 %.
1.5.9. Перший дивіденд від 100 акцій дорівнюватиме 8 грн. Для і =
= 0,07, v = 0,93458 визначимо вартість всього вказаного грошового
потоку, враховуючи підвищення дивідендів, зафіксовані умовою:
8 (v + 1,08v2 + 1,08-1,07v3 + 1,08-1,07-1,05v4 + 1,08-1,07-1,052v5 + ...) =
= 8v + 8 • l,08v2 + 8 • 1,08 • 1,07 (v3 + l,05v4 + 1,05V + ...) =
= 7,4766 + 7,5465 + 403,7384 = 418,7615 грн.
1.5.10. Маємо t<4> = 0,08, тому і = 1,024—1 = 0,082432, v = 0,923845.
Шукана вартість грошового потоку, тис. грн:
5 Г’y‘dt + (5/12)(v + v13/12 + ... + v23/12) + (5/2)(v2 + v5/2) = 13,447388.
«у 0
1.5.11. 1. Нехай p(f) — інтенсивність річної виплати в момент t. За
умовою р(£) = pi + Р21, де рі і Р2 — сталі. Тоді виплата протягом г-го
року дорівнює
h = Ґ , (pi + Р2О dt = Рі + (2г - 1)рг/2, г = 1,2 п.
Jr—І
Звідси /і = рі + рг/2, h = рі+Зр2/2, і рі = 3/х/2—/2/2, р2 = h~h- Тому
р(£) = (З/j — /г)/2 + (/2 — h)t. Сума, виплачена за ануїтетом до моменту
t, дорівнює
5(0 = p(s)ds = pit + p3t2/2 = ^3/l2 /2^ +
42
2. Сучасна вартість вказаного ануїтету
J0"pWe btdt = рі(
/1 -е~Ьп\
= РЧ—6—)
1 - е
— Ьп
-Ы
1-е~Ьп\ 1
+ 92 —
)+P2Jo“te
пЬе~пЪ
dt =
-пЬ
б2
1 - е~пЬ - пЬе~пЬ
Ь2 1
3. Прирівняємо останнє значення до 9047, і розв’яжемо одержане
лінійне рівняння відносно І\. Дістанемо І\ = 500 грн. Суми, виплачені
щороку, утворюють арифметичну прогресію, причому І2 = І\ + 500 х
х 0,07 = /і +35. Тому за останній рік буде виплачено суму в /і + (п— 1) х
х 35 = 500+ 19-35 = 1 165 грн.
1.5.12. 1. Сучасна вартість одиничної суми в момент t
y(t) = exp I - 5(s) rfs} = exp { - a e bs rfsj = exp bt - i) }.
2. Оскільки 5(0) = 0,1, то a = 0,1. Далі, за умовою, 5(10) = 0,55(0),
тобто е~т = 0,5, звідки b = 0,069315. Тому сучасна вартість вказаної
серії виплат дорівнює 1 000[v(l) + v(2) + v(3) + v(4)] = 3205,43. 3. Суча¬
сна вартість тієї ж серії виплат, за умови сталої інтенсивності відсотка,
дорівнює 1 000[v(l) + v(2) + v(3) + v(4)] = 1 000(e-6 + e~26 + e-36 +
+ e-46) = 3205,43, де 5 — стала інтенсивність відсотка. Якщо позначити
х := е~ь, то одержуємо рівняння х + х2 +х3 +х4 = 3,20543. Розв’язуємо
його чисельно і визначаємо 5 = 0,09063.
1.5.13. 1. Сучасна вартість одиничної суми v(t) = exp {-Jo6(s)rfs} =
= ехр{—rt + s(e~rt — 1 )/r}.
2. Сучасна вартість неперервного потоку виплат
1000j y(t) dt = 1 000exp { — -} J exp{—rt} exp {-e~rt} dt =
= 1 OOOexp { - J} ( - j exp {V"}) [ = ^(1 - exp {S-(.e~m - 1)}).
3. Підставимо n = 50, r = In 1,01 і s = 0,03, одержимо 23 109 грн.
1.5.14. У випадку а) для відсоткової ставки маємо рівняння 100(1 +
+ і)7/12 = 110, звідки і = 17,749 %;
у випадку б) для дисконтної ставки відповідне рівняння має вигляд
110(1 - rf)7/12 = 100, звідки d = 15,074 %;
у випадку в) для річної інтенсивності відсотка складемо рівняння
100е78/12 = 110, звідки б = 16,339 %.
1.5.15. У випадку а) позначимо щорічну виплату X. Тоді 2400 =
= X(y + v2 + ... + v20) = Хащ при ставці 10 %, звідки X = 2400/ащ =
= 2400/8,5136 = 281,90;
43
у випадку б) позначимо щорічну виплату Y. Тоді 2400 = T("v + "v2 +
+ ... + V19) = Уйщ при ставці 10 %, звідки Y = 2400/сіщ = 2400/(1 +
+ ощ) = 2400/9,3649 = 256,28.
1.5.І6. Інвестор зробив загалом 16 внесків, кожен розміром 500 грн.
На 15 листопада 1999 року сума на депозиті дорівнювала 500$щ при
ставці 7 %, що дорівнює 500-27,88805 = 13944,03. Чотири роки потому,
тобто 15 листопада 2003 року, сума на рахунку дорівнювала 13944,03 х
х (1,07)4 = 18277,78. Цю суму він і забрав.
1.5. і 7. Нехай сучасна вартість ануїтету дорівнює X. Тоді
X = 800v + 7 700v2 + 7 400v3 + ... + 2 600v19 + 2 300v20,
або
(1 + i)X = 800 + 7700v + 7400v2 + ... + 2600v18 + 2300V9.
Віднімемо друге рівняння від першого:
ІХ = 8000 - 300(v + v2 + ... + V19) - 2 ЗООг20,
звідки X = (8000 — ЗООа-щ — 2300v20)/i при і = 5 %, отже, X = 70151.
1.5.18. Піврічний термін буде нашою основною одиницею часу. Всьо¬
го відбудеться 12 виплат за ануїтетом, розмір останньої дорівнювати¬
ме 1800 — 11 • ЗО = 1470 грн. Тому сучасна вартість ануїтету дорів¬
нює X = 1 800v4 + 1 770уь + 1 740v6 + ... + 1 470v15. Звідси (1 + і)Х =
= 1 800v3 + 1 770v4 + 1 740v5 + ... + 1 470v14. Віднімемо і одержимо X =
= 18OOOv4-30(v4+v5+.. ,+v14)-l 470v15, звідки X = [1 вООл^-ЗО^-
— agj) — 1470v15]/i = 12651 грн.
1.6. ВИЗНАЧЕННЯ БАНКІВСЬКОГО ВІДСОТКА
ТА ІНТЕНСИВНОСТІ ВІДСОТКОВОЇ СТАВКИ
Теоретичні відомості
Нехай існують два грошових потоки, яким відповідають виплати, що
відбуваються в моменти часу t\, fe, •••, tn. У першому потоці виплати
дорівнюють відповідно Сі, Сг С„, у другому — D\, D2 Dn (мож¬
ливо, деякі з цих виплат дорівнюють нулю). Якщо відомо, що вартості
цих грошових потоків однакові, то можемо записати рівняння вартостей
+ С2Ук + ... + Cnytn = Di Vі + D2yt2 + ...+ Dnytn,
з якого можна визначити значення дисконтного множника у і відсоткової
ставки і, а у випадку неперервного дисконтування — значення інтенсив¬
ності відсотка 6.
44
Задачі
1.6.1. Підприємець взяв кредит розміром у 500000 гри, а через 2
роки — ще 200000 гри. Повертаючи борг, через 5 років після першого
кредиту він виплатив 1000000 грн. Визначте річну відсоткову ставку з
точністю до одного відсотка.
1.6.2. Підприємець взяв кредит у банку розміром у 100000 грн. По¬
вертаючи борг, через 7 місяців він заплатив 110000 грн. Визначити:
а) річну відсоткову ставку;
б) річну дисконтну ставку;
в) інтенсивність відсоткової ставки.
Відразу після взяття кредиту підприємець пропонує повернути суму в
50000 грн у раніше обумовлений термін, а решту внести через 6 місяців
після обумовленого терміну. За цих умов і тих самих значень річної
ставки обчисліть розмір другої виплати підприємця.
1.6.3. Підприємець має повернути позику у вигляді грошового потоку
з виплатами Х\, х2 хп у моменти t\, t2 tn відповідно. Він
пропонує виплатити всю суму х\ + х2 + ... + хп у момент
_ Х\ t\ + Х2І2 + ■ . ■ + Xntn
Х\ + Х2 + ... + хп
Банк, що надавав позику, пропонує повернути її сплатою суми х\ + х2 +
+ ... + хп у момент часу Т, що для даного значення інтенсивності бан¬
ківського відсотка 5 визначається рівністю
(*1 + Х2 + . . . + Хп) Є~ЬТ = X\e~bh + х2е~Ьк + ... + хпе~6іл.
Довести, що t* > Т.
1.6.4. Позичальник розраховує короткотермінову позику з викори¬
станням дисконтного комерційного відсотка D. Це означає, що позика
у розмірі ЛЦ — Dt) повертається через час t Є (0,1] у розмірі X. Для
вказаної позики визначити відповідне значення дисконтного відсотка d
як функції від D та t. Чи буде ця функція зростати або спадати за t на
інтервалі (0,1]?
1.6.5. Будівельна компанія бере позику розміром у 1 000 грн і пропо¬
нує три можливості повернення цієї суми:
одноразова виплата розміром у 1 330 грн через 3 роки;
одноразова виплата розміром у 1 550 грн через 5 років;
чотири щорічні виплати розміром у 425 грн, причому перша виплата
робиться через 5 років.
Інвестор має вибрати одну з цих трьох можливостей.
1. Запишіть рівняння вартостей для грошових потоків, з яких визнач¬
те відповідні відсоткові ставки.
45
2. Припустимо, що інвестор вибрав першу можливість і через три
роки він вкладає отриману суму ще на два роки під певний відсоток.
Яким має бути цей відсоток, щоб після цих двох років він отримав
1 550 грн?
3. Припустимо, що інвестор вибрав другу можливість, і через п’ять
років за отриману суму він купує чотирирічний ануїтет з виплатами по
425 грн на початку кожного року. Для якої річної відсоткової ставки
пораховано цей ануїтет?
1.6.6. Інвестор має вибрати перед першою виплатою один з двох
варіантів вкладення коштів:
платити по 100 грн на початку кожного року, зробивши всього 10 ви¬
плат, і отримати через 10 років суму в 1 700 грн;
платити по 100 грн на початку кожного року, зробивши всього 15 ви¬
плат, і отримати через 15 років суму в 3200 грн;
1. Обчисліть річну відсоткову ставку для кожного варіанту.
2. Припустимо, що інвестор вибрав перший варіант. Отримавши через
10 років належну йому суму, він відразу вносить її на 5 років на депо¬
зит з фіксованою річною відсотковою ставкою. Крім того, на початку
кожного з цих 5 років він вносить на рахунок по 100 грн з тією самою
відсотковою ставкою. Якою має бути відсоткова ставка, щоб наприкінці
15-го року інвестор мав на рахунку 3200 грн?
1.6.7. Інвестиційний план передбачає внесення платежів розміром
у 1000 грн на початку кожного року протягом десяти років, а потім
отримання десяти щорічних виплат розміром у 2000 грн, причому перша
виплата робиться через рік після внесення останнього платежу. Визначте
річну відсоткову ставку, що відповідає вказаному інвестиційному плану.
1.6.8. У гірничому інвестиційному проекті інвестор має внести певну
суму для початку видобування сировини в даний момент часу, через
два роки деяку суму витратити на облаштування території виробленої
копальні, а прибуток отримує через рік після початкового внеску. Чому
дорівнює річна відсоткова ставка, що відповідає двом вказаним нижче
наборам виплат? (Визначити всі можливі значення.)
Проект
Початковий
внесок, млн грн
Внесок через
2 роки, млн грн
Прибуток через
рік, млн грн
а
10
11,55
21,5
б
10
10,395
20,4
1.6.9. 1. Виробник іграшок пропонує продаж залишків своєї проду¬
кції за будь-яким з двох варіантів:
заплатити зараз суму на 30 % нижче від звичайної ціни;
заплатити через 6 місяців суму на 25 % нижче від звичайної ціни.
46
Визначте ефективну річну дисконтну ставку в першому варіанті у
порівнянні з другим, і ефективну річну відсоткову ставку в другому
варіанті у порівнянні з першим.
2. Нехай у другому варіанті пропонуються інші умови — заплатити
через 3 місяці суму на 27,5 % нижче від звичайної ціни. Перший ва¬
ріант залишається без змін. Як зміниться для другого варіанту річна
дисконтна ставка у порівнянні з першим?
1.6.10. Інвестор платитиме по 100 грн на початку кожного року про¬
тягом 20 років і через 20 років після першого внеску отримає накопичену
суму. Протягом перших п’яти років банківський відсоток дорівнює 8 %
на рік, протягом наступних семи — 6 %, в останні вісім років — 5 %.
Обчисліть розмір накопиченої суми та річний банківський відсоток для
всієї операції.
Відповіді та вказівки
1.6.1. З рівняння вартостей одержимо
500000 + 200000(1 + і)~2 = 1000000(1 + і)~5.
Розглянемо функцію /(і) = 5 + 2(1 + г)-2 — 10(1 + г)-5. Для неї /(0,08) =
= —0,09 < 0, /(0,09) = 0,18 > 0. Також / неспадна на множині реально
можливих значень і (наприклад, для 0 < і < 1). Тому з точністю до
одного відсотка і = 8 %.
1.6.2. З рівності 100000(1 + г)7//12 = 110000 обчислюємо: а) і =
= 0,1775;
б) d = i/(l + г) = 0,1507;
в) 5 = 1п(1 + г) = 0,1634.
Друга виплата підприємця
100000(1 + і)13/12 - 50000(1 + і)1/2 = 65107,45 грн.
1.6.3. Спочатку припустимо, що числа х\, Хч хп цілі. Викори¬
стовуючи нерівність Коші, одержимо
0—5Т _ Х\Є~Ь1' + Х2Є~Ьк + . . . + ХпЄ~Ьіп
Х\ + Х2 + . . . + хп
> (е~Х'Ы' ■ e~X2bk e-xnbtny/(x'+x*+ -+xn) _ g-бї*
Якщо числа Хі, Х2 хп раціональні, зведемо розв’язання до розгляну¬
того випадку шляхом введення досить дрібної грошової одиниці. Якщо
Х\, Х2 хп не всі раціональні, використаємо раціональні наближення
та граничний перехід.
1.6.4. Прирівнюючи коефіцієнти, отримані за допомогою дисконтного
відсотка d, в момент часу t та з дисконтним комерційним відсотком D,
47
маємо (1 — d)f = 1 — Dt, звідки d = 1 — (1 — Dt)^{. Крім того, ln(l — d) =
= [ln(l — Dt)]/t. Для похідної правої частини по t отримуємо співвідно¬
шення
-Dt/( 1 — Dt) — ln(l — Dt)
і2
< 0 о -ln(l -Dt) <
Dt
I-Dt
о
-о- In
Dt \
-Dt)
Dt
< 1 -Dt'
де остання нерівність є наслідком нерівності 1п(1 + х) < х, х ^ 0. Тому
при зростанні Пп(1 — d) спадатиме, a d є зростаючою функцією від t.
1.6.5. 1. Для першої можливості 1,330 = 1000(1 + г)3> і = 0,0997,
для другої 1,550 = 1000(1 + і)5» і = 0,0916. Для третьої можливості з
рівняння вартостей одержимо
1000 = 425 [(1 + г)-5 + (1 + г)"6 + (1 + і)~7 + (1 +1)"8] .
У правій частині спадна функція від і, тому рівність може мати не біль¬
ше одного кореня. Послідовними наближеннями визначимо і = 0,084.
2. З рівності 1 330(1 + і)2 = 1 550 одержимо і = 0,0795.
3. Маємо рівність
1 550 = 425
1 + (1 + г)-1 + (1 + г')-2 + (1 + О-3]
Права частина спадає за і. Послідовними наближеннями визначимо при¬
близне значення і = 0,065.
1.6.6. 1. Рівняння вартостей для першого варіанту на кінець 10-го
року
1 700 = 100 [(1 + і) + (1 + і)2 + • ■ ■ + (1 + і)10] = Ю0(1 + і)[(1 + О10 -1]//.
У правій частині зростаюча функція від і. Послідовними наближеннями
визначимо приблизне значення і = 0,095.
Рівняння вартостей для другого варіанту на кінець 15-го року
3200 = 100 [(1 + і) + (1 + і)2 + • ■ ■ + (1 + О15! = Ю0(1 + і)[(1 + О15 -1 ]/і-
Визначимо приблизне значення і = 0,09.
2. Рівняння вартостей грошових потоків на кінець 15-го року
3200 = 1 700(1 + і)5 + ЮО [(1 + і) + (1 + г)2 + • • • + (1 + і)5] =
= 1700(1 + о5 + юо(і + о*1 + г-5 —•
Приблизне значення і = 0,085.
1.6.7. Рівняння вартостей на момент початку внесків
1000 (і +v + ... + v9) =2000(v10 + vn + ... + V9) .
Звідси 1 = 2v10, v = 0,933, і = 0,0718.
48
1.6.8. Для першого проекту запишемо рівняння вартостей на час
першої інвестиції і одержимо 10 = 21,5"v — ll,55"v2, звідки у = 22/23,1
або у = 21/23,1, і відповідно і = 0,05 або і = 0,1.
Для другого проекту одержимо 10 = 20,4v — 10,395v2, звідки у =
= 21/20,79 або у = 19,8/20,79. Перше значення у > 1 неможливе. Для
другого значення маємо і = 0,05.
1.6.9. 1. Нехай запланована ціна дорівнює X. Маємо 0,7X = 0,75 х
х (1 - d)1/2X. Тоді d = 12,89 %, і = 14,8 %.
2. Зараз 0,7Х = (1 — d)x^0,72ЬХ. Звідси d = 13,1 %, тобто маємо
відсоток вищий, ніж у попередній пропозиції.
1.6.10. Накопичена сума дорівнює
100 (і,085 + 1,084 + ... + 1,08) 1,067 • 1,058+
+100 (1,067 + 1,066 + ... + 1,06) 1,058+
+ 100 (1,058 + 1,057 + ... + 1,05) =3 724,77 грн.
Для шуканого відсотка і маємо рівність
Гп + Л20 _ і]
100%, = 100(1 + і)[V ' і = 3724,77.
У лівій частині рівності маємо неспадну функцію від г; відповідне єди¬
не і визначимо послідовними наближеннями, тобто і = 5,6 %.
1.7. ВИПЛАТА БОРГУ
Теоретичні відомості
Нехай у момент часу t = 0 взято в борг суму X. Для повернення
боргу в моменти часу t\, fe, •••, tn виплачуються суми Сі, Сг, ..., С„
відповідно. Тоді має виконуватись рівність
X = Сіу(і + С2у‘2 + ... + Спу‘".
Ставка відсотка, при якій ліві і праві частини однакові, називається
річною фактичною вартістю кредиту (РФВ, annual percentage rate of
return, APR), її значення заокруглюють до десятих частин відсотка у
менший бік (наприклад, 1,283 % заокруглюють до 1,2 %). Якщо це рів¬
няння задовольняють декілька значень відсоткової ставки, річною фа¬
ктичною вартістю кредиту називається найменше додатне з цих значень.
Після виплати в момент ^ сума несплаченого боргу дорівнюватиме
Lk = Ck+iytM~tk + Ck+2ytM~tk + ... + Cnytn~tk.
49
Відсоткова складова виплати в момент 4+1 дорівнює величині відсотка,
нарахованого за час 4+1 — 4 на суму LТому вона становитиме
&*= +
Капітальна складова відповідної виплати йде власне на погашення боргу
і дорівнює Ck+1 - bk.
Припустимо, що борг розміром Р повертається рівними частинами
(Р + D)/n із заборгованістю протягом п років, і боржник хоче повер¬
нути борг завчасно, за t років до закінчення кредиту. Тоді він не має
сплачувати відсотків за користування кредитом, і, в чому неважко пере¬
свідчитися, справедлива відсоткова компенсація (interest redemption) за
раннє повернення становить kD, де
k = ^~,
п~ ап\
причому відсоткова ставка, що застосовується при підрахунку, дорівнює
РФВ кредиту.
Але нерідко для підрахування відсоткової компенсації використову¬
ється інша формула, так зване правило 78, що полягає в наступному:
борг умовно розділяють на однакові частини, з яких п частин у першому
платежі, п— 1-у другому, і так далі (для річної позики і щомісячних
виплат буде якраз 1 + 2-1 1-12 = 78 частин, звідси походить назва цьо¬
го правила). Тоді відсоткова компенсація за раннє повернення дорівнює
k'D, де
k' =
/(/ + 1)
п(п + 1) '
Можна пересвідчитися, що при цьому k' < k, тобто кредитор перебуває в
кращому становищі. Зважаючи на те, що раннє повернення відбувається
завжди за ініціативою боржника, таку схему не вважають несправедли¬
вою і широко застосовують. З іншого боку, різниця між k і k' звичайно
невелика. Якщо повернення позики відбувається між датами платежів,
іноді використовують змінену версію правила 78, за якою, якщо залиша¬
ються t платежів, компенсація становить k"D, де
„=((-<*)(<-«+!) ,
л(л+1) ’
і k" = 0 при t < а.. Звичайно а покладають рівним 1, 2 або 3.
Якщо позика повертається за допомогою єдиного платежу розміром
Р + D через п років, і боржник хоче повернути її завчасно, за t років до
строку, то справедлива сума, яку він має повернути, є Р( 1 + D/P)l~^n.
Але на практиці, як і для випадку кількох платежів, звичайно викори¬
стовують пропорційне нарахування відсотка, тобто компенсація за раннє
50
повернення дорівнює tD/n. З метою врахувати операційні витрати, не¬
рідко використовують запізнення (lag) дати повернення, тобто операція
завчасного повернення вважається такою, що її здійснено через місяць
або два, і замість компенсації tD/n боржник отримує компенсацію t'D/n
з t' < t.
Задачі
1.7.1. Нехай людина бере кредит розміром L, який треба повернути
через п місяців, сплачуючи суму А наприкінці кожного місяця. Відсо¬
ткова ставка дорівнює і % на місяць, відсотки нараховуються щомісяця.
1. Чому дорівнює А у термінах L, п та г?
2. Після того, як наприкінці /-го місяця зроблено платіж, чому дорів¬
нює розмір боргу? (Визначити вартість наприкінці /-го місяця.)
3. Який розмір виплати протягом /-го місяця відповідає відсоткам, а
який — основному боргу? (Це важливо, оскільки деякі контракти дозво¬
ляють дострокову виплату кредиту, а тоді відсоткова частина вилучає¬
ться.)
1.7.2. Банк надає деякому індивідууму кредит у 100000 грн. Кредити
повертаються щомісячними однаковими внесками протягом 25 років (із
заборгованістю). Часткові внески такі, що індивідуум виплачує відсотки
з ефективною ставкою 5 % річних за кредит.
Визначте:
а) суму часткового внеску;
б) борг за капіталом через 12 років, відразу ж після сплати чергового
внеску;
в) розподіл 145-го внеску між основним капіталом і відсотками.
1.7.3. 1. Доведіть, що вартість спадної послідовності виплат трива¬
лістю п років дорівнює
П~ап\
І
якщо наприкінці кожного k-ro року виплачується сума п — k+ 1.
2. Банк надає кредит, який повертатиметься частковими внесками, що
сплачуватимуться кожного року із заборгованістю. Перший частковий
внесок становитиме 20 грн, другий — 19 грн, зменшуючись на одиницю
в рік до кінця 10-го року, після чого виплати припиняться. Відсоткова
ставка, якою керується кредитор, становить 6 % річних.
Підрахуйте:
а) суму кредиту;
б) відсоткову та капітальну складові першої виплати;
в) складову капіталу в сумі, сплаченій наприкінці восьмого року.
51
1.7.4. Кредит у 10000 грн було надано 1 квітня 1994 року. Борг
виплачується щомісяця із заборгованістю впродовж 15 років. Сума що¬
місячної виплати збільшилася на 10 грн після 5 років і ще на 10 грн
після 10 років, і підрахована за річною номінальною ставкою відсотка
8 %, що конвертується щоквартально.
1. Підрахуйте початкове значення щомісячної виплати.
2. Визначте капітальну складову суми, сплаченої 1 травня 1994 року.
3. Підрахуйте суму кредиту, що залишиться несплаченою після що¬
місячної виплати, очікуваної 1 квітня 2002 року.
4. Згідно з новою умовою надання грошей у борг, після того як 1 квіт¬
ня 2002 року виплату буде зроблено, наступні виплати будуть фіксованої
величини і сплачуватимуться кожного 1 квітня, остаточна виплата відбу¬
деться 1 квітня 2006 року. Підрахуйте суму нової річної виплати, якщо
відсоткова ставка залишається незмінною.
1.7.5. Кредит розміром у 80000 грн виплачується протягом 25 років
однаковими щомісячними частковими внесками із заборгованістю за ка¬
піталом і відсотками. Погашення підраховуються з використанням ефек¬
тивної відсоткової ставки 8 % річних.
1. Підрахуйте:
а) капітальну складову першого місячного часткового внеску;
б) загальну суму відсоткових складових виплат за останні 6 років;
в) виплату за відсотками в останньому щомісячному платежі.
2. Поясніть, як зміниться (збільшиться чи зменшиться) відповідь в
пункті 16), якщо згідно з початковими умовам займу, виплати здійсню¬
ватимуться рідше, ніж щомісяця.
1.7.6. Кредит підлягає погашенню за допомогою спадного ануїтету,
що виплачується щорічно із заборгованістю протягом 20 років. Виплата
наприкінці першого року становить 6000 грн і наступні виплати зменшу¬
ються на 200 грн щороку. Виплати розраховані за ефективною ставкою
9 % річних.
1. Підрахуйте початкову суму кредиту.
2. Побудуйте схеми виплат протягом восьмого року (після сьомої ви¬
плати) і дев’ятого, показавши несплачений капітал на початку року, від¬
соткову і капітальну складові виплати у кожному з цих років.
3. Відразу ж після дев’ятої виплати відсотків і капіталу відсоткова
ставка несплаченого кредиту знизиться до 7 % річних. Підрахуйте суму
десятої виплати, якщо наступні платежі продовжують зменшуватися на
200 грн щороку, і кредит все одно буде виплачено через 20 років.
1.7.7. Особа купує автомобіль за 15000 грн. Для цієї покупки вона
бере кредит, за яким має сплачувати авансом 24 місячних внески. Річна
ефективна ставка відсотка становить 12,36 %. Визначте розмір незмінної
відсоткової ставки за цим кредитом.
52
1.7.8. Кредит розміром у 20000 грн підлягає погашенню за допомо¬
гою ануїтету, що виплачується однаковими виплатами що три місяці із
заборгованістю протягом 20 років. Виплати розраховано за ефективною
ставкою 10 % річних.
Обчисліть:
а) розмір щоквартальної виплати;
б) капітальну та відсоткову складові в 25-й виплаті.
1.7.9. Позику було взято 1 вересня 1998 року і виплачено наступним
зростаючим ануїтетом. Першу виплату було зроблено 1 липня 1999 року,
і вона дорівнювала 1 000 грн. Потім виплати робилися кожного 1 листо¬
пада, 1 березня та 1 липня до 1 березня 2004 року включно. Кожна
виплата на 5 % перевищувала попередню. Річна ефективна відсоткова
ставка протягом всього періоду становила 6 %.
1. Покажіть, що розмір позики дорівнював 17692 грн (заокруглено
до гривень).
2. Обчисліть капітальну складову у виплаті 1 липня 1999 року.
3. Обчисліть капітальну та відсоткову складові у сьомій виплаті.
1.7.10. 1. Позику, взяту на 20 років, повертають щорічними виплата¬
ми по 1 000 грн із заборгованістю. Річна відсоткова ставка дорівнює 5 %
за перші 10 років і 7 % за наступні 10 років. Покажіть, що розмір по¬
зики дорівнює 12033,60 грн. (У підрахунках можливі незначні похибки
заокруглення.)
2. Нижче наведено фінансові дані для k-то року повернення позики.
Залишок боргу на початок k-то року: 8790,48 грн.
Відсоткова складова k-ї виплати: 439,52 грн.
Капітальна складова k-ї виплати: 560,48 грн.
Визначте k.
3. На початку 11-го року було узгоджено, що річна відсоткова став¬
ка 5 % залишиться надалі незмінною. Також не зміниться розмір і час
щорічних виплат, при цьому можуть зменшитися тривалість повернення
боргу та розмір останньої виплати.
Визначте:
а) на скільки років зменшиться тривалість повернення боргу;
б) розмір останньої виплати;
в) на скільки загалом зменшиться сума відсоткових складових усіх
виплат завдяки узгодженості про незмінність відсоткової ставки.
1.7.11. 1. Доведіть рівність
(Іа)ц =
йп\
— ПУп
і
Кредит має сплачуватися у вигляді зростаючого щорічного ануїтету з
заборгованістю впродовж 15 років.
53
Виплата наприкінці першого року становить 3 000 грн і подальші пла¬
тежі збільшуватимуться на 200 грн щороку. Виплати будуть підраховані
за ефективною ставкою відсотка 8 % річних.
2. Підрахуйте початковий розмір кредиту.
3. Дайте розклад на капітальну та відсоткову складові виплати за
дев’ятий рік (після восьмої виплати) і десятий рік, показавши заборго¬
ваність за капіталом на початку кожного року.
4. Відразу ж після десятої виплати за відсотками і за капіталом від¬
соткову ставку на кредит, що залишився, знижено до 6 % річних.
Підрахуйте суму 11-ї виплати, якщо наступні виплати продовжують
збільшуватися на 200 грн щороку, і кредит сплачуватиметься протягом
тих самих 15 років від початку.
1.7.12. Банк надає деякому індивідууму кредит у 100000 грн з фі¬
ксованим відсотком на 25 років. Для погашення боргу на початку ко¬
жного місяця виплачуються однакові внески, розраховані з ефективною
ставкою 6 % річних.
Через 10 років боржник має можливість повернути будь-яку частину
невиплаченого боргу і взяти новий кредит, що дорівнює невиплаченому
залишку початкового боргу (за умови, що відсоток за цей кредит на
15 років буде на той момент менший за 6 % річних). Новий борг також
повертатиметься однаковими внесками на початку кожного місяця.
1. Підрахуйте суму часткового внеску початкового кредиту.
2. Визначте капітальну і відсоткову складові 25-го внеску.
3. Боржник використовує можливість викупу частини боргу через
10 років. Відсоткова ставка на подальші 15 років дорівнюватиме 2 %
річних. Початковий борг виплачується повністю і береться нова позика
на 15 років у розмірі, що дорівнює капітальній складовій початкового
боргу, яка залишилася на той момент.
Визначте:
а) розмір щомісячної виплати, що йде на погашення нового боргу;
б) із розрахунку 2 % річних вартість на момент взяття нової позики
суми, яку заощадить боржник, якщо він використає можливість викупу.
1.7.13. Особа позичає у банку 100000 грн у вигляді 25-річної іпотеки
з фіксованим відсотком. Позику повертають за допомогою щомісячних
внесків авансом. Розмір внесків визначено із використанням ефективної
ставки 6 % на рік. Після 10 років боржник має право повернути зали¬
шок боргу, взявши новий кредит, що дорівнює цьому залишку, якщо на
цей час ефективна відсоткова ставка за 15-річними кредитами менша за
6 %. Нова позика також повертатиметься у вигляді щомісячних внесків
авансом.
1. Підрахуйте розмір щомісячних внесків за початковим кредитом.
2. Обчисліть капітальну і відсоткову складові у 25-му внеску.
54
3. Боржник використовує своє право на повернення боргу через 10 ро¬
ків. На цей час (ефективна) відсоткова ставка за 15-річними кредитами
впала до 2 %. Перший борг повертається за допомогою нової 15-річної
позики, що дорівнює залишку першого боргу.
Визначте:
а) розмір щомісячного внеску для нової позики;
б) акумульоване значення заощадженої суми внесків за ставки 2 %.
1.7.14. Телевізор вартістю 200 грн придбають у кредит, за яким
протягом року щотижня сплачується 4 грн із заборгованістю. Визначте
РФВ.
1.7.15. (Декілька коренів рівняння для РФВ.)
1 квітня фермер дає заставу 100 грн кредитній компанії, щоб узяти в
подальшому позику на збирання врожаю. 1 липня він позичає 1 760 грн,
які повертаються за допомогою двох платежів — 605 грн 1 жовтня і
1 331 грн 1 січня наступного року. Підрахуйте РФВ кредиту.
Зауваження. Вважайте всі тримісячні періоди такими, що мають
однакову тривалість.
1.7.16. (Рахунок, що змінюється від дебету до кредиту і навпаки.)
Банк стягує 1,5 % на місяць за овердрафт рахунку, більший від 1 000 грн
і 1 % на місяць за овердрафт, менший від 1 000 грн. Стягування відсотка
відбувається наприкінці місяця.
1 січня клієнт банку, який не має ані кредиту, ані дебету, позичив
2000 грн у банку.
1. Якою має бути сума виплати наприкінці кожного місяця, щоб цей
рахунок був нульовим 1 січня наступного року? (Ви маєте припускати,
що ніяких інших операцій з рахунком клієнт не робить.)
2. Якщо цей клієнт вирішив провести зазначені виплати, якою є РФВ
операції?
1.7.17. Позику розміром у 1000 грн повертають 60 щомісячними
виплатами розміром 27,92 грн із заборгованістю. Визначте РФВ позики.
1.7.18. Позику розміром у 1000 грн буде повернуто за допомогою
щомісячних виплат 48 грн із заборгованістю протягом трьох років. Бор¬
жник вирішує повернути борг завчасно, після 30-го місяця (тобто зали¬
шається шість платежів). Визначте відсоткову компенсацію за модифі¬
кованим правилом 78, в якому а = 2, і суму, що сплатить боржник.
1.7.19. Покупець автомобіля позичає 5000 грн, що буде повернуто
24 щомісячними платежами із запізненням, порахованими з незмінною
відсотковою ставкою 10 % річних.
1. Підрахуйте розмір щомісячного платежу і РФВ кредиту.
2. Відразу після 12-го платежу боржник повертає залишок боргу.
Кредитор визначає суму, що має сплатити боржник, за (можливо, моди-
55
фікованим) правилом 78. Визначте цю суму і річний дохід кредитора за
всіма операціями, якщо в модифікованому правилі 78: а) ос = 0; б) ос = 2.
1.7.20. Розглянемо позику розміром Я, що повертається п рівними
внесками т разів на рік із заборгованістю. Нехай плата за користування
позикою дорівнює D. Покажіть, що РФВ кредиту приблизно дорівнює
2D/[P(n + \)/п + D(n -3т + 2)/(3т)\.
1.7.21. Фінансова компанія позичає клієнту 1 200 грн, які буде повер¬
нуто шістьма щомісячними внесками, порахованими за незмінною відсот¬
ковою ставкою 2 % на місяць.
1. Підрахуйте розмір щомісячного внеску і ефективну відсоткову
ставку і на місяць.
2. Наведіть таблицю залишків боргу після кожного місяця якщо:
а) нараховуються складні відсотки за ставкою і % на місяць;
б) відсотки нараховуються за арифметичною прогресією, визначеною
правилом 78.
1.7.22. 15 квітня особа позичила 2000 грн і зібралася повернути їх
єдиним платежем у 2200 грн через рік. Насправді, 17 липня 2001 року
боржник повністю повертає борг. Визначте суму, яку має сплатити бор¬
жник, і РФВ всієї операції, якщо відсоткова компенсація розраховується
за пропорційною схемою, та
а) немає запізнення дати сплати;
б) дату сплати запізнюють на два місяці.
1.7.23. З січня особа позичила 160 грн, які має повернути 3 жовтня
цього самого року єдиною виплатою розміром 185 грн. 14 травня особа
завчасно повертає борг, відсоткову компенсацію визначають за пропор¬
ційною схемою із двомісячним запізненням дати сплати.
Визначте:
а) РФВ позики за укладеним договором;
б) суму, що її сплатить боржник при завчасному поверненні і РФВ
повної операції.
1.7.24. Борг розміром 100000 грн буде погашено через 10 років за до¬
помогою щомісячного ануїтету із заборгованістю. Величину щомісячної
виплати розраховують на основі відсоткової ставки 1 %.
1. Визначити щомісячну виплату.
2. Визначити сумарні виплати за капіталом і за відсотками, зроблені:
а) протягом першого року;
б) протягом останнього року.
3. Після якої щомісячної виплати залишок боргу вперше не переви¬
щуватиме 5000 грн?
4. Для якої щомісячної виплати частина виплати за капіталом вперше
перевищить виплати за відсотком?
56
Відповіді та вказівки
1.7.1. l.A = Li/[l-(l + i)-n].2.A = L[l-(l + i)>-n]/[l-(l + i)-n].
3. Відсоткам відповідає виплата Li[l — (1 + г)/_л_1 ] [1 — (1 + О-”] \ по-
гашенню основного боргу — Li{\ + [1 — (1 + і)~п ]
1.7.2. У випадку а) і = 0,05, у = 0,9524. Якщо часткові внески
дорівнюють X, то має місце рівність
100000 = х(у]'12 + V2/12 + V3/12 + ... + V25) = *V/12
Звідси X = 578,14 грн;
у випадку б) борг за капіталом через 12 років
X(v1/12 + v2/12 + v3/12 + ... + v13) = 578,14v1/12 = 66650 грн;
у випадку в) 145-та виплата — перший внесок після 12 років виплат.
Ми знаємо з випадку б) залишок боргу за капіталом. Тому відсоткова
складова відповідного платежу
/(12)
66650^ = 66,650[(1 + і)1/12 - 1] = 271,54 грн.
Капітальна складова
578,14-271,54 = 306,60 грн.
1.7.3. 1. З означення спадної послідовності виплат тривалістю п ро¬
ків, використовуючи результат задачі 1.5.7, дістанемо
iDa)n\ = (п+1)ац- (Іа)ц =
2. Згідно з умовою, і = 0,06, у = 0,9434, при цьому: а) шукана
величина дорівнює
20v + 19v2 + ... + 12v9 + 1 lv10 = фо)Ш| + 10 (v + v2 + ... + v10) =
= + ^10 — (v + v2 + ... + v10) = 117,6 грн;
б) відсоткова складова дорівнює 0,06-117,6 = 7,056 грн. Звідси скла¬
дова капіталу: 20 — 7,056 = 12,944 грн;
в) сума, що її залишилося повернути після виплати наприкінці 7-го
року, дорівнює L7 = 13v+12v2+llv3, наприкінці 8-го — L& = 12v+llv2.
Шукана капітальна складова — Lj — L% = у + v2 + 1W3 = 11,069 грн.
1.7.4. 1. За умовою № = 0,08, звідки і = [1 +1^/4]4 — 1 = 0,08243,
у = 0,92385. Позначимо через X розмір першої виплати. Тоді після 5 ро-
57
ків виплат внески становитимуть X + 10, після 10 років — X + 20, і ми
маємо рівність
10 000 = X (v1/12 + v2/12 + v3/12 + ... + V5) =
= (X + 10) (v61/12 + v62/12 + v63/12 + ... + Vю) =
= (X + 20)(v121/12 + v122/12 + v123/12 + ... + v15) = 104,975a: + 779,586.
Звідси X = 87,835 грн.
2. На 1 травня 1994 року залишається несплаченою сума в 10000 грн.
Плата за відсотками за місяць становить
[(1 + і)1/12 - 1] ЮООО = (1,021/3 - 1)10000 = 66,227 грн.
Тому капітальна складова дорівнює 87,835 — 66,227 = 21,608 грн.
3. Для знайденого X = 87,835 грн ще протягом 2 років треба буде
виплачувати суму X + 10, і ще потім 5 років — X + 20. Невиплачена
частина кредиту становитиме
(X + 10)(v1/12 + v2/12 + v3/12 + ... + v2) =
= (X + 20) (v25/12 + v26/12 + v27/12 + ... + v7) = 6 709,07 грн.
4. Несплаченою залишиться сума в 6709,07 грн. Позначимо через Y
розмір річної виплати і одержимо рівність
6 709,07 = Y (у + у2 + v3 + v4) = 4,895У, Y = 2 036,58 грн.
1.7.5. 1. За умовою і = 0,08, v = 0,9259, при цьому: а) позначимо
розмір щомісячної виплати через X і одержимо рівність
80000 = Х{ух/п + v2/12 + ... + v25), X = 602,73 грн.
Тут відсоткова складова за один місяць
80 000 [(1 + і)1/12 - 1] = 514,72 грн.
Тому капітальна складова
602,73 - 514,72 = 88,01 грн;
б) загальна сума виплат за останні 6 років, підрахована на момент
закінчення 19 років виплат, становитиме
X(V/12 + v2/12 + ... + V6) =34645,14 грн.
Якщо додамо всі суми виплат за 6 років, отримаємо 72Х = 43396,56.
З цієї суми відсоткова складова дорівнює
43396,56 - 34645,14 = 8751,42 грн;
в) відсоткова складова останньої щомісячної виплати дорівнює Л^(1 —
_ V1/12) = 3,85 грн.
2. У даному випадку виплати робитимуться рідше, частини відпо¬
відних сум грошей повертатимуться пізніше, тому загальна відсоткова
складова збільшиться.
58
1.7.6. 1. Наприкінці k-ro року виплата становитиме 6200 — 200^.
Також маємо і = 0,09, у = 0,9174. Сума кредиту
6 OOOv + 5 800v2 + 5 600v3 + ... + 2,200v20 = 2 000 (v + v2 + ... + v20) +
+ 200 (20v + 19v2 + ... + v20) = 42 415,88 гри.
Тут ми використали те, що, згідно з пунктом 1 задачі 1.7.3,
п\ + (п— l)v2 + (я — 2)v3 + ... + уп = (п — у — у2 v" j /і.
2. Відразу після сьомої виплати сума, яку ще треба буде виплатити,
дорівнює
4600v + 4400v2 + ... + 2200v13 = 2000 (v + у2 + ... + v13) +
+ 200 (13v + 12v2 + ... + v13) =27225,13 грн.
Тут у підрахунках ми використали результат пункту 1 задачі 7.3. Тому
відсоткова складова восьмої виплати дорівнюватиме 0,09 • 27225,13 =
= 2450,26 грн. Загальний розмір восьмої виплати становить 4600 грн,
тому її капітальна складова є 4600 — 2450,26 = 2 149,74 грн.
Відразу після восьмої виплати несплаченим залишиться капітал роз¬
міром 27225,13 — 2 149,74 = 25075,39 грн. Відсоткова складова дев’ятої
виплати дорівнюватиме 0,09 • 25075,39 = 2256,79 грн. Загальна величи¬
на дев’ятої виплати дорівнює 4,400 грн, тому її капітальна складова —
4400 - 2256,79 = 2 143,21 грн.
3. Після дев’ятої виплати несплачена сума капіталу дорівнюватиме
25075,39 — 2143,21 = 22932,18 грн. Зараз і = 0,07, у = 0,9346. Позна¬
чимо розмір десятої виплати через X, і одержимо рівність
22 932,18 = Ху + (X - 200)v2 + (X - 400)v3 + ... + (*- 2 OOOJv11 =
= Хащ - 200у(/а)щ = 7.4987А: - 6493,30.
Звідси X = 3924,08 грн. (Тут ми використали пункт 1 задачі 1.5.7.)
1.7.7. Спершу потрібно обчислити виплати. Нехай розмір щорічної
виплати дорівнює X. Тоді 15000 = хЩ2^ = ia^/dSX2\ звідки X = 8367,29.
Загальна плата за користування кредитом у ці два роки дорівнює 2 х
х 8 367,29—15000 = 1 734,58. Тому незмінна ставка 1 734,58/(2-15000) =
= 5,782 %.
1.7.8. За умовою г = 0,1, у = 0,909091, при цьому: а) якщо часткові
внески дорівнюють X, то має місце рівність
20000 = Х(у1/4 + v2/4 + Ут + ... + v20) = JCv1/4 _^1/4.
Звідси X = 566,48 грн;
59
б) 25-та виплата — перший внесок після 6 років виплат. Борг за
капіталом через 6 років
1 - V14
Х{ущ + Ут + v3/4 + ... + "V14) = 566,48v1/4 х _ = 17305,77 грн.
Тому відсоткова складова за відповідні три місяці
/(4)
17305,77— = 17305,77[(1 + і)1/4 - 1] = 417,31 грн.
Складова капіталу
566,48-417,31 = 149,17 грн.
1.7.9. 1. Кожну 6-ту виплату було зроблено через 10+4(6 — 1) місяців
після взяття позики, вона дорівнює 1,05*—1 • 1000, і її ми враховуємо з
дисконтним множником 1,06-|ш+4(*-1)1/12. Тому сума позики
1<КЮ'1.06-5/6(і + щ^ +
1,052 1,0514 \
1,062/3 + - + ! )0614/3 )
= 17691,77 грн.
Якщо заокруглити до гривень, то ми отримаємо 17692 грн.
2. Зараз і = 0,06. За 10 місяців виплата відсотка за користування
позикою
[(1 + і)10/12 - 1] 17691,77 = 880,27 грн.
Тому капітальна складова першої виплати
1000-880,27= 119,73 грн.
3. Сьома виплата становитиме 1000- 1,056 = 1340,10 грн. Невипла-
чена сума боргу відразу після шостої виплати дорівнюватиме
1000-1,056-1,06-1/3(і +
1,05 1,052
1,058
1,06і/3 + 1 .Об2/3 + - + 1 068/з
) = 13341,57 грн.
За чотири наступні місяці виплата відсотка за користування позикою
[(1 + і)4/12- 1] 13341,57 = 261,67 грн,
що і дає відсоткову складову сьомої виплати. Капітальна складова цієї
виплати
1 340,10 - 261,67 = 1 078,43 грн.
1.7.10. 1. Всі обчислення провадитемо у тисячах гривень. Маємо
■V] = 1/1,05 = 0,952381, V2 = 1/1,07 = 0,934579, розмір позики
(vi + у\ + ... + v}°) + vj° (у2 + у\ + ■ • • + ^4°) = 12033,60.
60
2. Відмітимо, що 439,52/8 790,48 = 0,05, тому k < 10. Маємо рівність
8,79048 = (vi + v2 + ... + + v}1-* (v2 + у\ + ... + у12°) =
= Vj —;—!—+ vj1-= 20 (l -vj1-*) + 7,023581V!1-*,
y{1_* = 0,863838, ft = 8.
3. Результати будуть такі: а), б) позначимо через Y розмір останньої
виплати.
Припустимо, що повернення позики в нових умовах триватиме також
20 років. Тоді
12,03360 = (vi + v? + ... + vj9) + Yyf,
Звідси Y = —0,13723, що неможливо.
Припустимо, що повернення позики триватиме 19 років. Тоді
12,03360 = (vi + у\ + ... + v}8) + Yy\9, Y = 0,86930.
Тому час повернення позики скоротиться на один рік, розмір остан¬
ньої виплати дорівнює 869,30 грн;
в) за старих умов повернення позики сума відсоткових складових
всіх виплат дорівнюватиме 20000— 12033,60 = 7966,40 грн. За нових
умов для повернення позики було зроблено 18 виплат по 1000 грн та
одна виплата 869,30 грн. Тому сума відсоткових складових тут дорівнює
18869,30 — 12033,60 = 6835,70 грн. Відсоткові виплати зменшились на
7966,40 - 6835,70 = 1 130,70 грн.
1.7.12. 1. Маємо v = 1/1,06 = 0,943396. Нехай розмір щомісячної
виплати за позикою дорівнює X. Тоді
*(1 + v1/12 + ... + v299/12) = 100000 грн,
звідки
І _ vl/12
X = 100000 , = 631,54676 грн.
1 — V25
2. Після двох років виплат залишок боргу на наступні 13 років до¬
рівнюватиме
1 — V23
*(1 + v1/12 + ... + v275/12) = 631,54676 */12 = 96245,296 грн.
Відсоткова складова
96245,296(1 -у1/]2) =466,20955 грн.
Звідси капітальна складова 631,54676 — 466,20955 = 165,33721.
61
3. Результати будуть такі: а) залишок боргу через 10 років дорівню¬
ватиме
*(1 + v1/12 + ... + V179/12) = 631,54676у~~ї/Ї2 = 75975>737 грн.
Тепер маємо у = 1/1,02 = 0,98039. Нехай розмір нової щомісячної
виплати за позикою дорівнює Y. Тоді
Y (і + v1/12 + ... + V79'12) = 75975,737 грн,
звідки
1 -yU\2
Y = 75975,737- пг = 487,47233 грн;
1 - V15
б) щомісяця буде заощаджено 631,54676-487,47233 = 144,07443 грн.
За 15 років при у = 1/1,02 накопичиться сума
144,07443 (і + ух/п + ... + V179/12) = 22454,938 грн.
1.7.11. 1. Див задачу 1.5.7.
2. Виплати за кредитом утворюють арифметичну прогресію. Тому при
ставці 8 % початковий розмір кредиту
а-гсі — 15v15
200(/a)-[5j + 2 800а-ія = 200
15|
15|
0,08
+ 2800-8,5595
= 200
1,08-8,5595- 15-0,31524
0,08
+ 23966,6 = 35355,76.
3. Виплата наприкінці 8-го року дорівнює 4400 грн. Тому заборгова¬
ність на початку 9-го року становить
а,] - 7у7
200(/а)т| + 4 400ayj =200
7|
0,08
+ 4400-5,2604
= 200
1,08 • 5,2604 - 7 • 0,58349
0,08
+ 23145,76 = 26754,36.
Відсоткова складова виплати за боргом за 9-й рік становить 26 754,36 х
х 0,08 = 2140,35. Капітальна складова дорівнює 4600 — 2140,35 =
= 2459,65. Заборгованість на початку 10-го року 26754,36 — 2459,65 =
= 24294,71, відсоткова складова виплат за 10-й рік 24294,71 -0,08 =
= 1 943,58, капітальна складова 4 800 — 1 943,58 = 2 856,42.
4. Заборгованість на початок 11-го року — 24294,71 — 2856,42 =
= 2 1438,29. Нехай X — виплата за 11-й рік, тоді при ставці 6 %
200(/а)^ + (X - 200)ад| = 21438,29,
=
1,06 -4,2124 - 5v5
0Д6
= 12,1476.
62
Звідси
200(12,1476 - 4,2124) + X • 4,2124 = 21438,29,
отже, Л: = 4 712,57.
1.7.13. 1. Щомісячним внеском є */12, де
= 10000°- 5П2) = 1.03221 і, = 12,7834,
звідки X = 7578,533 і */12 = 631,544.
2. Залишок боргу через 2 роки становить Хащ6% = 96245,132. Від¬
соткова складова платежу дорівнює (d*12Vl2)-96245,132 = 466,21. Тому
капітальною складовою є 631,544 — 466,21 = 165,334.
3. Результати будуть такі: а) залишок боргу дорівнює
*Ц12)6% = 7578,533 • 1,032211 • 9,7122 = 75975,094.
Новий розмір щомісячного внеску — У/12, де Ya^2% = 75975,094.
Звідси Y = 5849,599, У/12 = 487,4666;
б) заощаджена сума дорівнює 7 578,533 — 5 849,599 = 1 728,934 що¬
року. Тому акумульоване значення заощадженої суми (на момент взяття
другого кредиту) — 1 728,9340^2% = 22455,54.
Зауваження: розв’язання також вважається правильним, якщо аку¬
мульоване значення правильно підраховане в якийсь інший момент часу
(наприклад, наприкінці цього 25-річного періоду).
1.7.14. РФВ визначимо з рівняння 200 = 208oj?2\ тобто aj-32^ =
= 0,96154. При і = 8 % і і = 8,1 % маємо значення aj?2* відповідно
0,96178 і 0,96133. Враховуючи, що РФВ заокруглюють у менший бік до
десятих частин відсотка, маємо, що РФВ дорівнює 8 %.
1.7.15. Вимірюючи час у кварталах з ефективною ставкою у на квар¬
тал, маємо
-100(1 + у)3 + 1 760(1 + у)2 - 605(1 +у) - 1331 &
[10(1 + у) - 11] [10(1 + у)2 - 165(1 + у) - 121] = 0,
звідки у = 1, 16,203 або —1,703. Маємо кілька розв’язків, найменший
додатний з них дорівнює 0,1, тому РФВ дорівнює (1 + 0,1)4 — 1 = 0,464 =
= 46,4 %.
1.7.16. 1. Нехай Р — розмір щомісячного платежу. Вимірюємо час у
місяцях і вважаємо, що після п-ї виплати залишок боргу став меншим,
ніж 1 000 грн. Відразу після n-ї виплати залишком боргу є Ln, де
L, = 2000(1,015)'-/^, 0 < t < п.
63
У подальшому ставка відсотка дорівнює 1 %. З того, що борг буде по¬
вернуто з останнім платежем, випливає
L„(l,01)12-n-PsT2^=0,
тобто
[2000(1,015)" -Я^](1,01)12"" -Ps^ = 0.
Розв’язок даного рівняння можна підібрати, а саме: при п = 7 маємо Р =
= 182,29, L$ = 1 051,30, Lj = 884,78, що узгоджується з умовою. Таким
чином, розмір кожного внеску — 182,29 грн.
2. РФВ визначимо з рівняння 2000 = 182,29 • 12тобто Ц|2* =
= 0,91429. Значення а^ при і = 18,2 % і і = 18,3 % дорівнюють
відповідно 0,91447 і 0,91406, звідки РФВ — 18,2 %.
1.7.17. РФВ визначимо з рівняння 1 000 = 27,92- 12аі|2\ тобто =
51 5|
= 2,98472. Значення при г = 25 % і і = 25,1 % дорівнюють відпо¬
відно 2,98505 і 2,98005, звідки РФВ — 25 %.
1.7.18. Плата за користування кредитом дорівнює 36 • 48 — 1000 =
= 728 грн. Відсоткова компенсація розраховується з двомісячним запіз¬
ненням, тому її розмір
728
(6 — 2)(7 — 2)
36-37
= 10,93 грн.
Сума при завчасному поверненні боргу — 6 • 48 - 10,93 = 277,07 грн.
1.7.19. 1. Плата за користування кредитом дорівнює 2 • 0,1 • 5000 =
= 1000 грн, тобто загальна сума платежів — 6000 грн, тому кожен
щомісячний платіж дорівнює 250 грн. РФВ визначимо з рівняння 5000 =
= 3000аі|2\ тобто аі?2* = 1,6667. Значення при і = 19,7 % і і =
= 19,8 % дорівнюють відповідно 1,6673 і 1,6659, звідки РФВ є 19,7 %.
2. Залишаються 12 платежів, при цьому: а) сума компенсації 1 000 х
х 12 • 13/(24 • 25) = 260, тобто сума, потрібна для повернення боргу —
12 • 250 — 260 = 2740 грн. Дохід і задовольняє рівняння
5 000 - 3 000о^°) - 2 740v = 0.
Тому і = 0,2016 = 20,16 % (РФВ дорівнює 20,1 %);
б) компенсація дорівнює 1000- 10- 11/(24-25) = 183,33, тобто су¬
ма, потрібна для повернення боргу — 2816,67 грн. Дохід і задовольняє
рівняння
5000 - ЗОООоі^ - 2618,67v = 0.
Тому і = 0,2222 = 22,22 % (РФВ дорівнює 22,2 %).
64
1.7.20. Тривалість позики є п/т років, і за незмінної ставки відсотка
F на рік плата за користування кредитом дорівнює D = PFn/m, звідки
F = mD/(nP). РФВ визначається з рівняння
Р — тР(\/п + F/m)
яке можна переписати у вигляді
rn[(l + i)l/m-l] = (rn/n + F)[l-(l + i)-n/m].
Розвинемо обидві частини в ряд і знехтуємо степенями і більшими за 4
і членами Fik, k>3 (Fi3 має той самий порядок малості, що й г4). Після
спрощень маємо наближену рівність
nF . (я+1) п(п + т) (я + l)(n + Зт — 1) ,2
+ ‘ =0-
Перше наближення отримуємо, нехтуючи членами з г2 і Fi: і = 2F х
х п/(п+ 1). (Зверніть увагу, що для великих п це близько до 2F, що є
інтуїтивно зрозумілим: “в середньому” залишком боргу є його половина,
а відсоток F нараховується на весь борг.)
Запишемо
. г(я+1) п(п + т) (п + 1)(я + Зт — 1) л _ nF
4 2 т + 2m2 6т2 3 т
і підставимо в дужках замість і його перше наближення. Отримаємо
друге наближення
2 F
1 ~ п + 1 п — Зт + 2
+ F 5
п Зт
Підставляючи F = mD/(nP), дістанемо потрібну наближену рівність.
1.7.21. 1. Плата за користування кредитом дорівнює 6 • 0,02 • 1 200 =
= 144 грн, тому щомісячний платіж становить (1 200+ 144)/6 = 224 грн.
Ефективна ставка відсотку на місяць визначається з рівності 1 200 =
= 224ag|, звідки і = 0,03337 = 3,337 %.
2. Таблиця має вигляд: а)
№
місяця
Залишок боргу на
початку місяця
Відсоткова
складова
Капітальна
складова
Залишок боргу
наприкінці місяця
1
1200
40,05
183,95
1016,05
2
1 016,05
33,91
190,09
825,96
3
825,96
27,56
196,44
629,52
4
629,52
21,01
202,99
426,53
5
426,53
14,23
209,77
216,76
6
216,76
7,24
216,76
0
65
б) схема правила 78: плата за користування кредитом ділиться на
1 + ... + 6 = 21 “частини” відсотка, кожна з яких дорівнює 144/21 =
= 6,857143 грн.
№
місяця
Залишок
боргу
на початку
місяця
Кількість
частин
відсотка
Відсоткова
складова
Капітальна
складова
Залишок
боргу
наприкінці
місяця
1
1200
6
41,14
182,86
1017,14
2
1017,14
5
34,29
189,71
827,43
3
827,43
4
27,43
196,57
630,86
4
630,86
3
20,7
203,43
427,43
5
427,43
2
13,71
210,29
217,14
6
217,14
1
6,86
217,14
0
1.7.22. Спочатку термін позики був 365 днів, а плата за користування
позикою — 200 грн, тому:
а) борг сплачується на 272 дні раніше зазначеного терміну. Відсотко¬
ва компенсація дорівнює (272/365) • 200 = 149,04, тому сума, яку має
сплатити боржник, — 2200 - 149,04 = 2050,96. Рівняння на РФВ —
2000(1 + г)93/365 = 2050,96, з якого і = 0,10379, тобто РФВ - 10,3 %;
б) при підрахунку компенсації кредитор встановлює дату розрахунку
на 17 вересня, це 210 днів до зазначеного терміну. Тому компенсація
дорівнює (210/365)200 = 115,07, а сума, яку має сплатити боржник, —
2200-115,07 = 2084,93. Рівняння на РФВ - 2000(1+і)93/365 = 2084,93,
з якого і = 0,1773, тобто РФВ дорівнює 17,7 %.
1.7.23. Спочатку термін позики був 273 дні, а плата за користування
позикою — 25 грн, тому:
а) РФВ = 21,4 % визначається з рівняння 160(1 + і)273/365 = 185;
б) при підрахунку компенсації кредитор встановлює дату розрахунку
на 14 липня, це 81 день до зазначеного терміну. Тому компенсація дорів¬
нює (80/273)25 = 7,42, а сума, яку має сплатити боржник, 185 — 7,42 =
= 177,58 грн. Фактично ж борг повернуто 14 травня, через 131 день
після взяття позики. Тому РФВ задовольняє рівняння 160(1 + j)131/365 =
= 177,58, з якого і = 0,33704, тобто РФВ дорівнює 33,7 %.
1.7.24. Виберемо місяць як одиницю часу і покладемо і = 0,01.
1. Оскільки виплата боргу відбувається протягом 120 місяців одна¬
ковими виплатами у X грн, нам треба обчислити а^(1 — v120)/i =
= 69,700522. Тому Хащ = X • 69,700522 = 10000, звідки X = 143,47.
При цьому повна річна виплата протягом кожного року дорівнює 12Х =
= 1 721,64 грн.
2. Результати будуть такі: а) загальна сума боргу за капіталом, що
залишиться після першого року (тобто відразу після 12-ї виплати) — зна-
66
чення на цей момент усіх наступних виплат, тобто -Хащ = 9448,62 грн.
Це означає, що капітал, виплачений протягом першого року, дорівнює
10000 — 9448,62 = 551,38 грн, а відсотки, виплачені протягом першого
року, дорівнюють 12 • 143,47 — 551,38 = 1 721,64 — 551,38 = 1 170,26 грн;
б) капітал, виплачений за останній рік - це просто борг за капіта¬
лом, що залишився через 9 років, і він дорівнює Ха-щ = 143,470^ =
= 1614,77 грн. Тому відсотки, виплачені за останній рік, дорівнюють
143,47 -12- 1 614,77 = 1 721,64 - 1 614,77 = 106,87 грн.
3. Після t-'i щомісячної виплати залишок боргу за капіталом дорівнює
■Ха120_,| = 143,47а120 <|. Розглянемо рівняння 143,47а120 <| = 5000, тобто
а120_,| = 34,850 при ставці 1%. Оскільки а^ = 34,8100, а а-щ = 35,4555,
борг за капіталом вперше стає меншим, ніж 5000, коли 120 — t = 43,
тобто t = 77.
4. Виплата боргу за капіталом за 1-й місяць дорівнює X — 0,01 х
х 10000 = 143,47 — 100 = 43,47. Послідовні виплати капіталу утворю¬
ють геометричну прогресію зі знаменником 1 + і = 1,01, тобто випла¬
та капіталу за t-й місяць дорівнює 43,47(1,01)*-1. Треба обчислити, в
який момент вперше ця виплата перевищить половину щомісячної ви¬
плати. Таким чином, ми шукаємо найменше ціле t, для якого викона¬
но нерівність 43,47(1,01)і—1 > 143,47/2, або (1,01 )і—1 > 1,6502, звідки
t - 1 > In 1,6502/ln 1,01 = 50,34. Отже, t = 52.
1.8. ОЦІНКА ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЕКТІВ
Теоретичні відомості
Розглянемо інвестиційний проект на інтервалі часу (0, Т). Нехай при¬
бутки від проекту складаються з надходжень Ctl,Ct2 Ctn у моменти
t\,t2 tn, відповідно, та неперервного грошового потоку з інтенсивні¬
стю p(f) (величини С/(, р можуть бути і від’ємними). Тоді чиста зведена
вартість проекту дорівнює
Значення і, при якому чиста зведена вартість проекту дорівнює нулю,
називається внутрішньою нормою прибутку проекту. (Нагадаємо, що у =
Нехай у моменти часу 0 і Т вартість деякого фонду дорівнює Fq і Ft-
відповідно, прибуток від проекту складається з грошових надходжень
«=і
= 1/(1 + 0. І = (1 - v)/v.)
67
розміром C*lf Ct2, ... Ctn у моменти fi, ..., tn відповідно. Тоді нормою
прибутку, зваженою грошима, називається значення і, що задовольняє
рівняння
F0(l + і)т + С/,(1 + + ... + CJ1 + і)т= FT.
Через Ftl-, Ft2-, ..., Ftn- позначимо вартість фонду безпосередньо
перед моментами часу t\, tn відповідно. Річною нормою прибут¬
ку, зваженою часом, називається значення і, що задовольняє рівняння
П + л7- = Fh- . Fk- . Fh- ft
Fo + Co Ft, _ + Ch Ft2- + Ct2 Ftn- + Ctn
Якщо задано розбиття інтервалу часу (0, Т) на k підінтервалів (0, «і),
(si> s2)> (sA-i> Т), то зв’язана внутрішня норма прибутку визначається
так. На всіх підінтервалах визначимо ефективні річні відсоткові ставки
г‘і, г‘г 4- Шукана ставка і визначається з рівності
(і + if = (і + i,)si(i + ;2)S2-Sl • • • (1 + ik)T~Sk-1.
Задачі
1.8.1. Бізнесмен розмірковує над інвестицією, яка вимагає початко¬
вих витрат у 60000 грн і подальших витрат у 25000 грн через вісім
місяців. Починаючи з двох років після початкових витрат дохід над-
ходитиме неперервно протягом чотирьох років зі ставкою 5000 грн за
рік, збільшуючись до 9000 грн за рік протягом наступних 4 років, по¬
тім до 13000 грн за рік у наступні 4 роки і так далі, до призупинення
потоків платежів, після того, як дохід буде отримано впродовж 20 років
(22 роки після початкових витрат). У момент, коли дохід призупиниться,
інвестиції можуть бути продані за 50000 грн.
Підрахуйте чисту зведену вартість проекту з ефективною ставкою
9 % річних.
1.8.2. Компанія погодилася побудувати та експлуатувати міст. Вона
інвестуватиме 10 млн грн за рік впродовж перших двох років проекту,
причому інвестування буде неперервним впродовж цього періоду. Піз¬
ніше міст почне працювати, і компанія отримуватиме платежі наприкін¬
ці кожного року, перший платіж відбудеться наприкінці третього року
проекту. Сума платежу наприкінці третього року становитеме 8 млн грн,
знижуючись на 0,5 млн грн кожного наступного року до річної суми, що
становить 3 млн грн, після чого річне зниження буде 1 млн грн. Коли
виплата знизиться до нуля, матеріальну участь компанії в проекті буде
припинено.
Підрахуйте чисту зведену вартість проекту за ефективною ставкою
10 % річних.
68
1.8.3. 1. Для інвестиційного проекту дайте означення:
а) дисконтованого періоду повернення платежів;
б) періоду повернення платежів.
2. Поясніть, чому обидва періоди (дисконтований період повернення
платежів і період повернення платежів) є гіршими критеріями, ніж чи¬
ста зведена вартість, для визначення того, чи слід інвестувати в даний
проект.
3. Консорціум інвесторів розглядає можливість інвестування в спор¬
тивний проект. Проект вважатимуть життєздатним, якщо він має дода¬
тну чисту сучасну вартість при ефективній відсотковій ставці 10 % за
рік. Консорціум передбачає, що проект супроводжуватимуть такі потоки
готівки (всі суми в сотнях мільйонів гривень):
Початкові на будів¬
ництво
Поточні
Вартість заявки
Витрати
Будуть вкладені неперервно з одиничною швид¬
кістю протягом 5 років, починаючи з 1 січня
2006 року
Будуть вкладені неперервно з одиничною швид¬
кістю протягом 3 місяців, починаючи з 1 січня
2011 року
0,2 буде вкладено 1 січня 2004 року
Продаж прав на те¬
левізійне мовлення
Інші від продажу,
маркетингових
прав, квитків
Від продажу ста¬
діону та інших
інфраструктур
Доходи
Надходитимуть неперервно зі швидкістю 0,3 на
рік протягом трьох місяців, починаючи з 1 січня
2011 року
Надходитимуть у середині кожного року з 2004
по 2015 рік включно. Дохід з цього джерела по¬
чне надходити зі швидкістю 0,1 на рік і збільшу¬
ватиметься щороку на 0,1, включаючи 2011 рік.
У 2012 році очікується такий самий дохід, як і
в 2011 році. Після 2012 року очікується падіння
доходу на 0,2 за рік до 2015, і після цього року
не буде доходів з цього джерела
Будуть отримані на 1 січня 2015 року
Визначте ціну продажу стадіону та інших інфраструктур, які забез¬
печать життєздатність проекту.
1.8.4. 1. Інвестор вирішує, чи потрібно вкладати інвестиції в про¬
ект. Поясніть, чому дисконтований період повернення платежів є гіршим
критерієм, ніж чиста зведена вартість у припущенні, що інвестор не
обмежений у капіталі.
69
Інвестор розглядає два проекти: А і В. Проект А передбачає інвес¬
тицію в розмірі 1 млн грн на самому початку. Єдиний дохід буде випла¬
чено у розмірі 3,5 млн грн через десять років. Проект В також передба¬
чає інвестицію в розмірі 1 млн грн на самому початку. Дохід від цього
проекту надходитиме неперервно. Протягом першого року інтенсивність
платежу становитиме 0,08 млн грн, протягом другого року 0,09 млн грн,
протягом третього року 0,10 млн грн, зі ставкою, що збільшується на
0,01 млн грн щороку, починаючи з цього моменту до кінця десятого
року, після чого надходження припиняться.
2. Підрахуйте чисту зведену вартість обох інвестиційних проектів з
ефективною відсотковою ставкою 4 % річних.
3. Покажіть, що дисконтований період повернення платежів за про¬
ектом А більший, ніж за проектом В (без додаткових обчислень).
4. Для обґрунтування Вашої відповіді у пункті 1 поясніть, який про¬
ект для інвестора з необмеженим капіталом є більш прийнятним і чому.
1.8.5. Підприємець, що займається автомобілями, розробляє нову мо¬
дель машини, яку вироблятиме з 1 січня 2002 року протягом шести років
до 31 грудня 2007. Вартість розробки становитиме 33 млн грн, з яких
18 млн грн буде внесено 1 січня 2000 року, 10 млн грн 1 липня 2000 року
і 5 млн грн 1 січня 2001 року.
Собівартість кожної машини буде внесено на початку відповідного ка¬
лендарного року, і вона становитиме 9000 грн протягом 2002 року. Ціну
продажу кожної машини буде отримано наприкінці календарного року
виробництва. Собівартість продукції і ціна продажу збільшуватимуться
на 5 % кожного 1 січня, перше збільшення відбудеться 1 січня 2003 ро¬
ку. Також припускається, що 5000 машин вироблятиметься щороку і
що всі вони продадуться. Ціна продажу кожної машини, яку вироблено
в 2002 році, становить 12 100 грн.
1. Підрахуйте дисконтований період погашення платежів з ефектив¬
ною відсотковою ставкою 9 % за рік.
2. Не проводячи будь-яких наступних обчислень, поясніть, чи буде
дисконтований період погашення платежів більше, дорівнювати або мен¬
ше періоду, підрахованого у пункті 1, якщо ефективна ставка відсотка
буде значно менше, ніж 9 % за рік.
1.8.6. Інвестиційний проект складається з наступних грошових по¬
токів. З початку кожного з перших трьох років 180000 грн буде інве¬
стовано в проект. З початку першого року до кінця 25-го року чистий
дохід надходитиме неперервно. Початкова інтенсивність виплат чисто¬
го доходу дорівнює 25000 грн за рік. Інтенсивність виплат зростатиме
неперервно зі швидкістю 6 % на рік.
1. Підрахуйте чисту зведену вартість проекту при ефективній відсот¬
ковій ставці 7 % річних.
70
2. Підрахуйте дисконтований період виплат за проектом при ефектив¬
ній відсотковій ставці 7 % річних.
3. Підрахуйте річну ефективну ставку зростання чистого доходу, яка
потрібна для того, щоб проект мав нульову зведену вартість з ефектив¬
ною відсотковою ставкою 7 % річних.
1.8.7. Інвестор позичив 120000 грн, причому щорічна ефективна від¬
соткова ставка дорівнює 7 %. За ці гроші він придбав ануїтет розміром
14000 грн на рік, що виплачуються щопівроку із заборгованістю про¬
тягом 25 років. Як тільки позику буде виплачено, від виплат ануїтету
інвестор може отримувати дохід з річною ставкою 5 %.
1. Визначте дисконтований період повернення платежів.
2. Визначте прибуток інвестора до кінця терміну ануїтету.
1.8.8. На 1 січня 2001 року в фонді накопичено суму в 120000 грн
1 листопада 2001 року фонд отримав надходження 20000 грн у чистому
вигляді, потім 1 травня 2002 року фонд отримав 48000 грн у чистому
вигляді. Безпосередньо перед надходженням першої суми в фонді було
137000 грн, а безпосередньо перед надходженням другої суми фонд мав
173000 грн. На 31 грудня 2002 року в фонді було 205000 грн.
1. Обчисліть річну ефективну зважену часом норму прибутку, що
відповідає прибуткам фонду за період з 1 січня 2001 року до 31 грудня
2002 року.
2. Проаналізуйте відносні сильні та слабкі сторони використання зва¬
женої часом відсоткової норми прибутку у порівнянні зі зваженою гро¬
шима нормою прибутку, коли порівнюються переваги двох інвестиційних
проектів за один період.
1.8.9. Нижче надано інформацію щодо інвестиційних капіталовкла¬
день (всі суми в сотнях мільйонів гривень):
Календарний рік
2000
2001
2002
Вартість фонду на 1 січня до потоку готівки
100
80
200
Чистий потік готівки, отриманий на 1 січня
20
зо
10
Вартість фонду на 31 грудня
80
200
200
Підрахуйте ефективну річну норму прибутку, зважену часом, за три
роки.
1.8.10. Інвестор обмірковує два інвестиційних проекти, А та В. В
обох витрати становлять 1 млн грн. За проектом А буде отримано єди¬
ний платіж розміром 1,7 млн грн через вісім років. За проектом В буде
отримано суму в 1 млн грн через 8 років, 321 тис. грн через 9 років,
229 тис. грн через 10 років і 245 тис. грн через 11 років.
1. Визначте ставку відсотка г'і, за якої чисті сучасні значення обох
проектів однакові.
71
2. За допомогою загальних міркувань або обчислень покажіть, що за
відсоткової ставки і2 < і\ чисте сучасне значення для проекту В буде
вищим, ніж для А.
1.8.11. Інформацію про пенсійний фонд подано в таблиці нижче (су¬
ми наведено в тисячах гривень).
Підрахуйте річну зважену часом норму прибутку, отриманого фондом
за період з 1 січня 1997 року по 1 січня 2000 року.
Кален¬
дарний
рік
Вартість
фонду на
1 січня
Вартість фонду
на ЗО червня
Чистий потік готівки,
отриманий на 1 липня
1997
180
212
25
1998
261
230
18
1999
273
295
16
2000
309
—
—
1.8.12. Нижче надано інформацію, що стосується інвестиційного
фонду (суми наведено в мільйонах гривень):
Календарний рік
1997
1998
1999
2000
Вартість фонду на ЗО червня
—
460
500
650
Грошові надходження, отримані 1 липня
—
50
40
60
Вартість фонду на 31 грудня
400
550
600
X
Якщо норма прибутку, зважена часом, що її зароблено фондом про¬
тягом періоду з 31 грудня 1997 року по 31 грудня 2000 року, становить
11 % річних, підрахуйте X, вартість фондів на 31 грудня 2000 року.
1.8.13. Компанія швидкого приготування їжі планує відкрити нову
торговельну точку. Початкова вартість проекту дорівнює 1000000 грн.
Очікується, що вартість оренди розміром у 40000 грн річних сплачу¬
ватиметься інвестором щоквартально авансом впродовж десяти років,
збільшуючись після десяти років до 48000 грн річних. Чистий дохід
(дохід мінус інші витрати, не враховуючи орендну плату) від цієї комер¬
ційної справи очікується розміром 100000 грн впродовж першого року
і 200000 грн впродовж другого року. Очікується, що з цього моменту
чистий дохід зростатиме на 3 % річних, тобто становитиме 206000 грн
третього року, 212 180 грн четвертого року і так далі. Доходи надходи-
тимуть неперервно впродовж кожного року. Через двадцать років після
початку проекту дохід і витрати призупиняться і проект в подальшому
не матиме цінності. Підрахуйте внутрішню норму прибутку від проекту.
1.8.14. Пенсійний фонд має активи, що разом становлять 40 млн грн
на 1 січня 2000 року. Чистий дохід розміром у 4 млн грн буде отримано
1 січня 2001 року і дохід розміром у 2 млн грн — 1 липня 2001 року.
72
Вартість фонду становить:
43 млн грн на 31 грудня 2000 року;
49 млн грн на ЗО червня 2001 року;
53 млн грн на 31 грудня 2001 року.
1. Підрахуйте за період з 1 січня 2000 року по 31 грудня 2001 року,
до четвертої значущої цифри:
а) річну зважену часом норму прибутку;
б) зв’язану внутрішню норму прибутку, при цьому треба використати
підінтервали завдовжки в календарний рік.
2. Вкажіть як у загальному, так і в даному частковому випадку, ко¬
ли зв’язана внутрішня норма прибутку буде такою самою, як і зважена
часом норма прибутку.
1.8.15. Вартість інвестиційного фонду на 31 грудня 2001 року ста¬
новила 2,2 млн грн, а на 31 грудня 2004 року — 4,2 млн грн. Також
відомо, що 31 грудня 2003 року було отримано грошове надходження
в розмірі 1,44 млн грн. Норма прибутку, зважена грошима, та норма
прибутку, зважена часом, за період з 31 грудня 2001 року по 31 грудня
2004 року однакові (з точністю до двох значущих цифр). Визначте вар¬
тість фонду на момент часу безпосередньо перед отриманням грошового
надходження 31 грудня 2003 року.
1.8.16. Технологічна компанія готується виробляти новий чіп в пе¬
ріод з 1 січня 2008 року по 31 грудня 2020 року. Інвестиції в це ви¬
робництво складаються з 6 млн грн, що вносяться 1 січня 2006 року,
та 12 млн грн, що вносяться неперервно протягом 2007 року. 1 січня
2008 року можна буде починати виробництво чіпа, передбачається, що
прибуток надходитиме однаковими частинами наприкінці кожного пів¬
річчя, 5 млн грн на рік.
1. Обчисліть дисконтований період повернення платежів при значенні
річної ефективної ставки 9 %.
2. Без додаткових обчислень поясніть, чи буде дисконтований період
повернення платежів більшим, меншим чи рівним за значення, обпиле¬
не у пункті 1, якщо значення річної ефективної ставки стане істотно
більшим за 9 %.
Відповіді та вказівки
1.8.1. Тут у = 1/1,09 = 0,917431. Шукана зведена вартість, тис. грн:
-60-25v2/3+ f6 5v* dt + f109V<ft+ f’4 13 y* dt =
J2 J6 J10
= f1817v*£ft+ [22 2\yl dt + 50v22 = 7,154485.
J14 J18
73
1.8.2. Тут у = 1/1,1 = 0,909091. Шукана вартість, млн грн:
- Ґ 10V dt + 8v3 + 7,5v4 + ... + 3v13 + 2v14 + V5 = 14,591694.
Jo
1.8.3. 1. Для інвестиційного періоду: а) дисконтований період повер¬
нення платежів — перший момент часу, коли чиста зведена вартість
грошового потоку інвестиційного проекту стає невід’ємною; б) період
повернення платежів — перший момент часу, коли загальний розмір над¬
ходжень від інвестиції стає не меншою за загальні витрати (при цьому
не враховуються час витрат та отримання надходжень).
2. Дисконтований період повернення платежів вказує лише на пев¬
ний момент, у який повернуться затрачені на той час кошти, але не
дає можливості оцінити прибутковість інвестиції в цілому. Ще менш
інформативним є період повернення платежів, в підрахунку якого не ви¬
користовується час витрат та доходів. Можливі випадки інвестицій, при
яких дисконтований період повернення платежів та період повернення
платежів менші за тривалість проекту, але чиста зведена вартість інве¬
стиції — від’ємна.
3. Визначимо вартість всіх наступних затрат та доходів, підраховану
на 1 січня 2004 року (в сотнях мільйонів гривень), при цьому у =
= 1/1,1 =0,909091.
Вартість заявки: 0,2.
Початкові витрати на будівництво (почнуться через 2 роки і тривати¬
муть 5 років):
Ґ V dt = (у7 - v2)/ln v = 3,287038.
«у 2
Поточні витрати (почнуться через 7 років і триватимуть квартал):
J77,25 V dt = (у7'25 - У7)/ІПУ = 0,126773.
Надходження від продажу прав на телевізійне мовлення (почнуться
через 7 років і триватимуть квартал):
J77'25 0,3V ^ = 0,038032.
Вартість інших доходів становить:
0,lv1/2 + 0,2v3/2 + ... + 0,8V15/2 = 2,240633 (за 2004-2011 роки),
0,8v17/2 + 0,6v19/2 + 0,4v21/2 + 0,2v23/2 = 0,812332 (за 2012-2015 роки).
Нехай стадіон буде продано за суму в X грн (продаж відбудеться
через 11 років). Щоб проект був життєздатним, потрібне виконання не¬
рівності
0,2 + 3,287038 + 0,126773 < 0,038032 + 2,240633 + 0,812332 + у11Х,
звідки X > 1,491649. Тому найменша можлива ціна продажу дорівнює
149,1649 млн грн.
74
1.8.4. 1. Див. розв’язання пункту 2 задачі 1.8.3.
2. Маємо у = 1/1,04 = 0,961538. Чиста зведена вартість проекту А
дорівнює (в мільйонах гривень) —1 + 3,5v10 = 1,364475, проекту В
-1 + J*1 0,08V dt + f* 0,09 V dt + ... + Jg‘° 0,17V dt = 0,00731.
3. Оскільки чиста зведена вартість проекту В додатна, гроші надхо¬
дять неперервно, то дисконтований період повернення платежів менший
від десяти років. Для проекту А до кінця десятого року загальний зведе¬
ний прибуток буде від’ємним, і тому відповідний дисконтований період
дорівнює десяти рокам.
4. Очевидно, що проект А привабливіший для інвестора, ніж про¬
ект В, оскільки має значно більшу чисту зведену вартість. При цьому
дисконтований період повернення платежів для проекту А більший.
1.8.5. 1. Маємо у = 1/1,09 = 0,917431. У 2002 році собівартість всіх
машин становитиме 5000 • 9 = 45000 тис. грн, ціна їхнього продажу —
5000- 12,1 = 60500 тис. грн, і ці значення збільшуватимуться на 5 %
щороку. Чиста зведена вартість проекту на 1 січня 2000 року за 3 <
< Т < 8 років становитиме, млн грн:
-18 - 10V/2 - 5v + (60,5V - 45V) [і + l,05v + ... + (1,05V)7--3] .
Поступово обчислюючи значення цього виразу для Т = З, Т = 4 і т. д.,
перше невід’ємне значення отримаємо при 7 = 6. Тобто вказаний період
буде наприкінці 2006 року.
2. При значному зменшенні відсоткової ставки дисконтований пері¬
од повернення платежів скоротиться. Адже основні затрати припадають
на початок проекту, доходи очікуються пізніше. При зменшенні ставки
майбутні доходи будуть більш вагомими в підрахунку чистої зведеної
вартості проекту, і ця вартість раніше буде невід’ємною.
1.8.6. 1. Маємо v = 1/1,07 = 0,934579, зробимо всі підрахунки
в тисячах гривень. Інтенсивність виплат у момент часу t становитиме
25(1,06)*. Тоді чиста зведена вартість проекту
-180(1 +v + v2)+ f2525(l,06)V^ = 51,61779.
«у 0
Шукана вартість становить 51,617,79 грн.
2. Потрібно визначити таке т > 2, що зведена вартість всіх грошових
потоків, здійснених до моменту т, дорівнюватиме нулю, тобто
-180(1 +v + v2)+ fT25(l,06)V<ft = 0.
«У 0
Отримуємо рівняння
(1,06/1,07)^-!
1п( 1,06/1,07)
звідки т = 22,42049 років.
505,44327,
75
3. Потрібно визначити таке а, що
Отримуємо
-180(1+v + v2) + Jq 25(1 + a.yV dt = 0.
-180(1 + v + v2) + 25 |,a)vj2! Т 1 = 0-
ІП [ (1 + £X)v]
Поступово підбираємо потрібне значення. При a = 0,05 ліва частина
останньої рівності дорівнює —7,169427, при a = 0,06 — 51,617793. Шу¬
кане значення а можна оцінити методом лінійної інтерполяції
a-0,05 _ -7,169427
a-0,06 W 51,617793’
звідки <х« 0,0512 = 5,12 %.
1.8.7. 1. Маємо v = 1/1,07 = 0,934579. Всі розрахунки робитимемо
у тисячах гривень. Визначимо час t, потрібний для повернення позики.
Беремо найменше t, що задовольняє нерівність
-120 + 7 (v1/2 + v + v3/2 + ... + V) > 0, 7~v1/2 > 120.
Отримуємо, що t > 13,17256. Оскільки 21 має бути цілим числом, то
шуканий дисконтований період повернення платежів t = 13,5 року.
2. Порахуємо вартість отриманого прибутку наприкінці 25-го року.
Перший дохід інвестор отримає в момент часу t = 13,5 року, він дорів¬
нюватиме
(1,07)
13,5
120 + 7(-
,1/2 + V + V3/2 + . . . + V
13,5
13,5\
Тому загальний
4
(l,07)13-5(- 120 + 7v1/2l1_^1/2)
.ний дохід наприкінці 25-го року
,55735(1,05)11-5 + 7[(1,05)п + (1,05)10
)]-
4,55735.
+ ... + !] =
1 гк11’5 — 1
= 7,987103 + 7 ^ 1/2 _ t = 221,31036,
тобто він становить 221310,36 грн.
1.8.8. 1. Для визначення зваженої часом річної норми прибутку і
маємо рівність
2 _ 137 173 205
( +г^ 120 137 + 20 173 + 48’
звідки і = 0,080249 = 8,0249 %.
2. Зважена часом норма прибутку є більш інформативною, оскільки,
крім чистих грошових надходжень, враховує і зміну вартості фондів ком¬
панії. Це дає можливість оцінити якість менеджменту компанії протягом
періоду часу, що розглядається.
76
Певний недолік використання зваженої часом ставки полягає в тому,
що для її визначення потрібно більше інформації, ніж для ставки, зва¬
женої грошима. Потрібно знати вартість фондів не тільки на початку та
наприкінці терміну, але і в деякі проміжні моменти.
1.8.9. З визначення зваженої часом річної норми прибутку отримуємо
з _ 80 200 200
( +г) — 100 + 20 80 + 30 200 + 20 ’
звідки і = 0,0049024 = 0,49024 %.
1.8.10. 1. Чисті сучасні вартості проектів однакові, якщо
l,7v8 = v8 + 0,32 lv9 + 0,229v10 + 0,245V1,
тобто якщо 0,7 = 0,321v + 0,229V + 0,245v3. Права частина зростає за
V, і при і = 7 % маємо рівність. Тобто шукана ставка дорівнює і'і = 7 %.
2. Загальні міркування: проект В більш тривалий за А, тому чиста су¬
часна вартість В зростає швидше при спаданні і, тобто при г‘г < г'і чисте
сучасне значення буде вище, ніж для А. Інакше, можно скористатися
тим, що в останньому рівнянні з попереднього пункту права частина
зростає при спаданні і в той час, як ліва частина залишається незмін¬
ною. Тому при І2 < її чисте сучасне значення проекту В буде більшим
за сучасне значення А.
1.8.11. Шукана норма прибутку і визначається з рівності
З _ 212 230 295 309
( +1) ~ 180 212 + 25 230+ 18 295+ 16’
звідки і = 0,105445 = 10,5445 %.
1.8.12. Використовуючи означення зваженої часом норми прибутку
для і = 0,11 та даних задачі, отримуємо рівняння
1,113 =
460 500
650
400 460 + 50 500 + 40 650 + 60 ‘
Звідси X = 715,501 млн грн.
і.8.ІЗ. Чиста зведена вартість проекту, млн грн:
X = -1 - 0,01 (і + ущ + ... + v39/4) - 0,012v10 (l + v1/4 + ... + v39/4) +
12 З
"І- 0,2V dit “Ь 1,03 J2 0,2v* dt+
+1,032 Ґ 0,2V1 dt + - - + 1,0318 f2°0,2V dt =
J3 J19
= -l-(0.0.+0,012v'»)|f^ + ^i
0,1 +0,2v
1 -(l,03v)19
1 - l,03v
Далі підставляємо у = 1/(1 -ь г) і підбираємо приблизно значення і, для
якого X = 0. При і = 0,15 X = 0,172845, при і = 0,20 X = —0,116815.
Бачимо, що X змінює знак між двома взятими значеннями. На малому
77
інтервалі можемо вважати, що X приблизно лінійно залежить від і.
співвідношення
/-0,15 _ 0,172845
і — 0,20 * -0,116815
Із
обчислимо і « 0,18 = 18 %.
Зауваження. У даній задачі ми не обґрунтували, що обчислене і є
єдиним можливим.
і.8.14. 1. Результати будуть такі: а) для знаходження зваженої часом
річної норми прибутку і маємо рівність
(і + 02 =
43 49 53
40 43 + 4 49 + 2 ’
звідки і = 0,07921 = 7,921 %;
б) весь інтервал часу від 1 січня 2000 року до 31 грудня 2001 року
розбито на два підінтервали тривалістю по одному року. Норму прибутку
г'і для першого підінтервалу визначимо з рівності 40(1 + і) = 43, звідки
і = 0,075. Для другого підінтервалу г'г обчислюємо з рівняння
43(1 + г’г) + 4(1 + іг) + 2(1 + г’г)^ = 53.
Для невідомої х = (1 + г’г)1//2 отримуємо квадратне рівняння, додатним
розв’язком якого є х = 1,04085. Звідси І2 = 0,083368. Із співвідношення
(1 + г)2 = (1 + іі)(1 + г’г) одержуємо, що шукане значення і = 0,07918
(або г = 7,918 %).
2. Вказані ставки будуть однаковими, якщо, наприклад, межі підін-
тервалів у підрахунку зв’язаної внутрішньої норми прибутку збігатиму¬
ться з моментами грошових надходжень у підрахунку зваженої часом
норми прибутку. В даному випадку треба брати три підінтервали: від
01.01.2000 до 01.01.2001, від 01.01.2001 до 01.07.2001 та від 01.07.2001
до 31.12.2001.
і.8.15. Використовуючи означення норми прибутку, зваженої гроши¬
ма, та дані задачі, отримуємо рівняння
2,2(1+ і)3 +1,44(1 +г) = 4,2,
розв’язок якого з точністю до двох значущих цифр і = 6,60 % можна
підібрати. Використовуючи обчислене значення як норму прибутку, зва¬
жену часом, для шуканої вартості фонду F отримуємо рівність:
F 4,2
1,066'*
2,2 F+ 1,44
Тому F = 2,5 млн грн.
1.8.16. 1. Всі підрахунки провадитимемо в мільйонах гривень на
момент 1 січня 2006 року при у = 1/1,09 = 0,917431. Вартість інвестицій
9+12 jVd/= 19,54814.
78
Після k надходжень прибутку інвестор поверне собі
-,5/2
2,5 [v5/2 + v3 + ... + v<*+4>/2] = 2,5^—- (v*/2 - 1).
При k = 12 вартість повернутої суми дорівнює 19,294157, при k = 13 —
20,495909. Тому саме 13-те надходження прибутку повертає інвестору
вкладені кошти. Дисконтований період повернення платежів дорівнює
8,5 року.
2. Всі прибутки інвестиційного проекту надходять після інвестицій.
При збільшенні відсоткової ставки вартість прибутків зменшиться знач¬
ніше за вартість інвестицій. Дисконтований період повернення платежів
збільшиться.
1.9. СПОСОБИ ІНВЕСТУВАННЯ
Теоретичні відомості
Урядова облігація (government bond) — облігація, що випускається
урядом або урядовою організацією. її можна погасити за номіналом, та¬
кож вище або нижче номіналу. Ставка виплачуваного відсотка є фіксо¬
ваною. Дата повернення вартості облігації може бути невизначеною.
Урядовий вексель (government bill) випускається на короткий термін
з метою задовольнити термінові потреби держави в грошах. Погашаєть¬
ся за номіналом без виплат за купонами. Урядові облігації та векселі
абсолютно захищені державою і дуже високоліквідні. Часто використо¬
вуються як еталонна безризикова короткотривала інвестиція.
Корпоративна облігація (corporate bond) менш захищена, ніж уря¬
дова. Рівень захисту залежить від виду облігації, компанії, що її випу¬
скала і строку дії. Корпоративна облігація менш ліквідна, ніж урядова,
тому що обсяги випуску таких облігацій набагато менші.
Боргова облігація (debenture stock) — боргове зобов’язання загаль¬
ного характеру, є частиною боргового капіталу компанії. Вона більш
ризикова за урядову облігацію і, як правило, менш ліквідна. Дохід інве¬
стора вищий, ніж за урядовою облігацією. Видається на досить довгий
строк. Відсоток фіксовано.
Незабезпечена облігація (unsecured loan stock) видається певною
компанією і не захищена від ризику збитків. Прибуток вищий за боргову
облігацію.
Єврооблігація (eurobond) — одна з форм довгострокової позики, що
полягає у виданні облігації, за якою регулярно сплачуються відсотки,
а потім відбувається погашення за номіналом. Єврооблігації видаються
великими компаніями, урядовими або міжнародними організаціями і роз-
79
повсюджуються поза межами країни, у валюті якої їх деноміновано. До¬
хід залежить від того, яка організація видала облігацію, але, як правило,
він нижчий від доходу за незахищеними облігаціями.
Депозитний сертифікат (certificate of deposit) — документ, що за¬
свідчує наявність грошей на депозиті. Видається банком або будівельною
компанією. Термін погашення депозитного сертифікату — від 28 днів до
6 місяців. Відсоток сплачується в момент погашення. Міра захищеності
та ліквідності залежить від банку або компанії, що видає сертифікат.
Існує чималий вторинний ринок вторинних сертифікатів на депозити.
Привілейована акція (preference stock) має характеристики, ближчі
до незабезпечених облігацій, ніж до звичайних акцій. Основна різниця
між звичайними і привілейованими акціями полягає в тому, що фіксова¬
на сума дивідендів за останніми виплачується майже завжди. Власники
привілейованих акцій зберігають право голосу навіть у випадку, коли
дивіденди не сплачуються. Якщо компанія має борг за привілейованими
акціями, вона не сплачує дивідендів за звичайними. Дохід за привіле¬
йованими акціями менший, ніж за звичайними, бо вони менш ризикові.
Ліквідність їх є подібною до ліквідності незахищених облігацій.
Власність (property) може бути об’єктом інвестування, це, напри¬
клад, заводи, магазини тощо. Дохід від інвестицій у власність склада¬
ється з виплати ренти та коштів, що можуть надійти від її продажу.
Інвестиції у власність, як правило, більші, ніж в акції, тому менш гнуч¬
кі. Власність важко оцінити, бо вона є унікальною. Оцінка власності
дорого коштує. Дохід від її продажу є невизначеним. Витрати на ку¬
півлю і продаж вищі, ніж для акцій. Власність у деякі періоди може
бути нічиєю, тоді і доходів від неї нема. Ліквідність власності невелика.
Доходи від інвестування у власність вищі, ніж в акції, причому вони
зростають з часом.
Дериватив, або похідний цінний папір (derivative) — фінансовий ін¬
струмент, вартість якого залежить від вартості іншого первинного папе¬
ру. Опишемо наступні деривативи.
Ф’ючерс (future) — контракт (угода ) між двома сторонами, який
полягає в тому, що фіксований актив буде продано у деякий момент у
майбутньому за фіксованою ціною. Ф’ючерси поділяються на 4 основні
категорії: ф’ючерси на облігацію, ф’ючерси на короткострокові відсоткові
ставки, ф’ючерси на біржові індекси, ф’ючерси на валюту.
Опціон (option) — дериватив, що дає інвестору право, але не зобо¬
в’язує його, купити або продати фіксований актив за фіксованою ціною
у фіксований момент часу в майбутньому. Бувають опціони купівлі та
опціони продажу. Опціон Американського типу можна подати до вико¬
нання в будь-який момент від 0 до Т, де Т — кінцева дата виконання.
Опціон Європейського типу має фіксовану дату виконання.
80
Своп (swap) — угода між двома сторонами, за якою вони погоджу¬
ються обмінятися серією виплат за формулою, обумовленою в момент
підписання угоди. Найбільш поширена форма — своп на відсоткову став¬
ку, в якому одна сторона погоджується виплатити іншій деяку кількість
фіксованих сум у фіксовані моменти часу. Натомість, інша сторона по¬
годжується зробити певну кількість виплат невизначеного обсягу, зале¬
жного від рівня відсоткової ставки. Фіксовані виплати можна трактувати
як відсоткові виплати за депозитом з фіксованим відсотком, а змінні ви¬
плати — як виплати за тим самим депозитом, але з плаваючою ставкою.
Бувають також валютні свопи. Кожний учасник свопу зазнає два види
ризику. Ринковий ризик (market risk) полягає у тому, що ринкові умови
зміняться так, що сучасне значення чистих витрат, зумовлених прое¬
ктом, зросте. Ринковий ризик треба намагатися хеджувати, включаючи
його в компенсаційну угоду. Кредитний ризик (credit risk) полягає у то¬
му, що партнер може збанкрутувати і буде не в змозі зробити виплати
за контрактом.
Конвертовані активи (convertible assets) — як правило, незахищені
облігації або привілейовані акції, які конвертуються у звичайні акції ті¬
єї самої компанії. За конвертованими активами сплачується фіксований
відсоток. Дата конвертування може бути фіксованою або, за вибором
власника активу, одною з множини фіксованих дат. Дохід за конверто¬
ваними активами, як правило, нижчий, ніж за звичайними акціями, але
вищий, ніж за привілейованими акціями або незахищеними облігація¬
ми. Конвертовані активи зазнають менших змін у ціні. Вони обіцяють
інвестору менший ризик з потенційно високими прибутками. “Платою”
за це є менший поточний дохід.
Задачі
1.9.1. 1. Визначте характеристики урядових індексованих облігацій.
2. Поясніть, чому більшості індексованих облігацій на практиці при¬
таманний інфляційний ризик.
1.9.2. З’ясуйте основні розбіжності між привілейованою та звичай¬
ною акціями.
1.9.3. Опишіть основні ознаки і ризикові характеристики урядової
облігації.
1.9.4. Дайте означення депозитного сертифіката.
1.9.5. Які грошові потоки беруть участь у “відсотковому свопі”?
1.9.6. Що таке “валютний своп”?
1.9.7. Деяка компанія випускає незабезпечені акції і незахищені бор¬
гові акції. Опишіть різницю між цими двома типами активів.
81
1.9.8. Страхова компанія має пасиви, для погашення яких буде зроб¬
лено серію готівкових виплат, і ці виплати розтягнуто на найближчі
10 років. Всі інвестиції компанії містяться в готівці. Опишіть форму
своп-контракту з фіксованим відсотком, що міг би допомогти страховій
компанії імунізувати її заборгованості.
Відповіді та вказівки
1.9.1. 1. Облігацію видає уряд і виплати робить він же. Виплати за
купонами залежать від індексу інфляції (як правило, він обчислюється
з затримкою). В зв’язку з цим облігація є захищеною від інфляції.
2. Виплати за більшістю з указаних облігацій залежать від індексу
інфляції, обчисленого із деякою затримкою в часі. Тому є розбіжність
між моментом, на який обраховується індекс інфляції, потрібний для
виплати за облігацією, і датою самої виплати. Якщо інфляція між ци¬
ми датами насправді вища, ніж очікувалось, фактична вартість виплати
зменшиться.
1.9.2. Дивіденди за привілейованою акцією є фіксованими, а за зви¬
чайною сплачуються залежно від прибутків компанії, згідно з рішенням
ради директорів. Дивіденди за привілейованою акцією сплачуються в
першу чергу; ніяких дивідендів за звичайними акціями не сплачується,
поки є борги за привілейованими акціями. Власники привілейованих
акцій мають переваги у прийнятті рішень радою директорів.
1.9.3. Урядові облігації є короткотривалими цінними паперами, які
випускаються урядом з метою провести короткотривале інвестування або
віддати борги. їх продають за дисконтованою ціною (нижче номіналу) і
викуповують за номіналом; за ними не сплачують купонів. Як правило,
вони перераховуються у внутрішній валюті, хоча випускатися можуть і
в іноземній. Дохід за урядовими облігаціями обраховується за простою
відсотковою ставкою, що відповідає їх строку дії, наприклад, тримісячна
урядова облігація може мати відсоткову ставку в розмірі 2 %. Це озна¬
чає, що початковий внесок буде на 2 % менший, ніж остаточна виплата
через три місяці. Урядові облігації є захищеними і високоліквідними, не¬
зважаючи на те, що їхні котирування на біржі не встановлено. їх часто
використовують як еталонну безризикову короткострокову інвестицію.
1.9.4. Депозитний сертифікат засвідчує, що певну суму грошей по¬
кладено на депозит. Ці сертифікати видаються банками або будівельни¬
ми компаніями. Строк виконання може коливатися від 28 днів до 6 мі¬
сяців. Відсотки сплачуються в момент погашення. Міра захищеності та
ліквідності залежить від банку, який видав сертифікат. Існує чималий
вторинний ринок депозитних сертифікатів.
82
1.9.5. Одна зі сторін погоджується виплачувати відсотки за плаваю¬
чою ставкою, а одержувати виплати за фіксованою ставкою, інша сторона
погоджується виплачувати за постійною ставкою, а одержувати платежі
за плаваючою ставкою. Фіксовані виплати відбуваються в узгоджені мо¬
менти часу з постійною ставкою, а змінні виплати пов’язуються з рівнем
короткострокової відсоткової ставки.
1.9.6. Валютний своп — угода про те, що у встановлені моменти
часу даний грошовий потік в одній валюті буде конвертовано у грошовий
потік в іншій валюті.
1.9.7. Боргова акція — частина боргового капіталу компанії. Термін
“борговий капітал”, як правило, стосується довгострокових позик, а не
короткострокових. Компанія, що випустила боргові акції, дотримується
певних форм захисту їхніх власників. Як правило, цей захист полягає
у заставі ліквідних активів компанії. Незабезпечені акції не мають ви¬
значених активів, що їм відповідають, і їхні власники займають своє
місце серед інших незахищених кредиторів. Доходи тут встановлюються
вищими, ніж за борговими акціями через вищий ризик дефолту.
1.9.8. Придбання довготривалого свопу з фіксованим відсотком для
сплати плаваючого відсотку і отримання фіксованого дасть можливість
компанії отримувати платежі з фіксованим відсотком для імунізації спла¬
ти за зобов’язанням. Зобов’язання сплачувати за плаваючим відсотком
можна виконати з прибутків від інвестицій, що зроблені страховою ком¬
панією.
1.10. ВИКОРИСТАННЯ СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ
У ПІДРАХУНКУ ПРИБУТКУ
ТА ЕФЕКТИВНОЇ ВІДСОТКОВОЇ СТАВКИ
Теоретичні відомості
Норма грошового прибутку, або внутрішня норма прибутку —
ставка дисконтування, яка прирівнює початкове інвестування до суми
усіх дисконтованих надходжень за інвестицією. Якщо і — норма гро¬
шового прибутку, ТО ВІДПОВІДНИЙ ДИСКОНТНИЙ МНОЖНИК У = 1/(1 + і)
визначається з рівняння
П
P = J2xkvtk,
k=\
де Р — початкове інвестування; — надходження за інвестицією в
момент 4- Це рівняння звичайно розв’язується наближено: вибираються
83
два достатньо близькі значення її та г'г норми прибутку, для одногоз
яких значення правої частини менше за Р, для іншого — більше, тоді
наближене значення
і
= «, + (/>-/>,)
Ч — *1
Рі~Р{
Реальна норма прибутку обчислюється з урахуванням сталої інфляції
г = (1 +г)/(1 + £,) — 1, де і — норма грошового прибутку; £, — рівень
інфляції.
Надходження інвестора зазвичай обкладаються податками, які поді¬
ляються на податок на прибуток (прибутковий податок, income tax) і по¬
даток на приріст капіталу (capital gains tax). Податку на прибуток підля¬
гають регулярні відсоткові виплати (купонні виплати, виплати відсотків
за позикою, дивідендів, тощо). Натомість податок на приріст капіталу
сплачується не більш одного разу для кожного контракту — оподаткову¬
ється різниця між виплатою при погашенні акції чи іншого активу та її
ціною (якщо ця різниця додатна).
Корисною при розгляді оподаткування може бути формула Мейкема,
що полягає в наступному. Нехай відсоткові виплати за позикою здій¬
снюються р разів на рік із заборгованістю, а саму позику буде повернуто
після п (не обов’язково ціле число, але кратне 1 /р) років виплатою роз¬
міром С. Якщо податок на прибуток інвестора дорівнює t\, податок на
приріст капіталу відсутній, річні відсоткові виплати становлять g, а ефе¬
ктивним чистим (без податків) річним доходом інвестора є і, то ціна, яку
має сплатити інвестор у день відсоткової виплати (якої він не отримає),
дорівнює
Р = К + (С -К)
g( l-*l)
І(р)
де К = Суп — сучасна вартість капітальної виплати; g( 1 — t\)(C —
— К)/№ — сучасна вартість відсоткових виплат.
Зауважимо, що формула Мейкема залишається вірною, якщо позика
повертається кількома виплатами, що здійснюються в моменти відсотко¬
вих виплат (відразу після останніх). З формули Мейкема, зокрема, ви¬
пливає, що приріст капіталу буде в тому і тільки в тому випадку, коли
g(l — t\) < При цьому цінний папір найвигідніше для позичальника
погашати в останній можливий момент (якщо він має можливість виби¬
рати дату погашення). Якщо g( 1 — t\) > то немає приросту капіталу
(відповідно й податок на приріст капіталу не сплачується), а цінний
папір найвигідніше погашати при першій нагоді.
Зауважимо також, що, взагалі кажучи, формула Мейкема не є вір¬
ною, якщо позичання або капітальна виплата здійснюється не в момент
відсоткової виплати.
84
Задачі
1.10.1. Інвестор заплатив 500 грн у момент t = 0 і 200 грн два роки
потому. Одержить він 1000 грн через 5 років. Визначити внутрішню
норму прибутку від цієї операції.
1.10.2. Особа, що позичила 3000 грн у борг, погодилась сплатити
цей борг 15 річними виплатами по 500 грн, причому першу виплату буде
здійснено через 5 років. Визначити внутрішню норму прибутку від цієї
операції.
1.10.3. Звичайна акція приносить щорічний дохід у дивідендах. Пер¬
ший дивіденд очікується розміром 5 коп за акцію і його виплатять через
три місяці. Очікується, що наступні дивіденди зростуть зі ставкою, що
становить 4 % за рік у складних відсотках, і що інфляція буде 1,5 %
річних. Ціна акції 1 грн 25 коп і дивіденди очікуються довічно. Підра¬
хуйте ефективну реальну річну норму прибутку інвестора, що придбав
акцію.
1.10.4. 1. Опишіть характерні ризики випущених урядом облігацій з
фіксованим відсотком.
2. За урядовою облігацією купони виплачуються наприкінці кожно¬
го року в кількості 8 % номінальної вартості облігації. Через 5 років
зроблять виплату за капіталом в обсязі половини номінальної вартості
облігації негайно після оплати купона. Капітал повертатимуть за номі¬
нальною ціною. Після закінчення 5-го року купони платитимуть тільки
за ту частину (основного) капіталу, що ще не повернуто. Наприкінці
10-го року весь капітал, що залишився, буде повернуто. Підрахуйте ціну
покупки облігації номіналом у 100 грн на момент випуску, що забезпе¬
чує покупцеві ефективну чисту норму прибутку 6 % на рік. Покупець
платить податок за ставкою 30 % тільки за виплати за купонами.
1.10.5. Припустимо, що постійний рівень інфляції становить 2,5 %
на рік. Інвестор купив державну індексовану облігацію за ціною, що
забезпечує реальну річну ефективну норму прибутку 2 %. Облігацію
згодом буде погашено. Поясніть, чому реальний дохід при погашенні
знижуватиметься, якщо постійна інфляція буде вище, ніж 2,5 % на рік.
1.10.6. Інвестор придбав облігацію через три місяці після випуску.
Облігацію буде погашено за номінальною ціною через 10 років після
випуску і за нею виплачуються купони у розмірі 6 % річних щорічно з
заборгованістю. Інвестор виплачує 25 % податку як на прибуток, так і на
приріст капіталу (за відсутності пільги на податок з приводу індексації).
1. Підрахуйте ціну, за якою придбано облігацію в 100 грн номіналу,
якщо ефективна норма прибутку дорівнює 8 % річних.
2. Ефективна норма прибутку, яка очікується інвестором від облігації,
становить 3 % на рік. Підрахуйте щорічну інфляцію, яку очікує інвестор.
85
1.10.7. Інвестор придбав облігацію номіналом 100 гри з терміном по¬
гашення 20 років. Облігація погашається за номіналом і приносить дохід
брутто 6 %. Наприкінці кожного року сплачуються купони розміром 5 %.
Доходи інвестора не оподатковуються.
1. Підрахуйте ціну, сплачену при покупці облігації.
2. Через десять років, відразу після сплати купона, інвестор продає
облігацію іншому інвестору. Той інвестор сплачує податок на прибуток
і податок на приріст капіталу за ставкою ЗО %. Другий інвестор купує
облігацію за ціною, що забезпечує отримання реальної норми прибутку
6,5 % річних. Підрахуйте:
а) ціну, сплачену другим інвестором;
б) ефективну річну норму прибутку першого інвестора за період во¬
лодіння ним облігацією.
1.10.8. 15 березня 1996 року уряд країни випустив індексовані облі¬
гації строком на 6 років. Купони мають виплачуватися наприкінці ко¬
жного півріччя і річна номінальна ставка купона становить 3 %. Відсо¬
ткові і капітальні виплати індексуються з урахуванням індексу інфляції
із запізненням у часі на 8 місяців.
Інвестор, доходи якого не оподатковуються, купив акцію за 111 грн,
при номінальній вартості 100 грн, 16 вересня 1999 року, відразу після
того, як купон був виплачений.
Дано наступні значення індексу інфляції:
1. Підрахуйте суму купона, який виплачується за акцію номіналом у
100 грн 15 березня 2000 року.
2. Підрахуйте ефективний річний реальний прибуток інвестора на
16 вересня 1999 року. Вважайте, що індекс інфляції зростатиме постійно
від його значення на вересень 1999 року з ефективною ставкою в 4 %
річних.
3. Без подальших обчислень поясніть, якою буде Ваша відповідь на
питання пункту 2, якщо індекс інфляції за липень 1995 року буде вищим
за 110,5.
І.І0.9. Інвестор придбав акцію в момент випуску за ціною 96 грн за
100 грн номіналу. Купони з річною ставкою 4 % сплачуються наприкінці
кожного року. Облігацію буде викуплено за номіналом через 20 років
після дати випуску. Підрахуйте дохід брутто від облігації.
Дата
Індекс інфляції
Липень 1995
Березень 1996
Липень 1999
Вересень 1999
110,5
112,1
126,7
127,4
86
1.10.10. За звичайною акцією щороку сплачуються дивіденди. На¬
ступний дивіденд буде 10 грн за акцію і буде сплачений через 9 місяців.
Очікується, що наступні дивіденди зростатимуть зі ставкою 5 % річних,
і що інфляція становитиме 3 % за рік. Ціна акції дорівнює 250 грн та
дивіденди сплачуватимуться довічно.
Підрахуйте очікувану ефективну реальну норму прибутку за рік для
інвестора, який придбав акцію.
1.10.11. За облігацією купон розміром 7 % річних виплачується що-
півроку, 1 квітня і 1 жовтня. Облігацію буде викуплено за номіналом
в один із днів 1 квітня між 1 квітня 2004 року і 1 квітня 2010 року
включно на розсуд її власника.
1 липня 1991 року інвестор придбав облігації номінальною вартістю
10000 грн за ціною, яка дає чистий прибуток 6 % ефективних річних
при сплаті податку в розмірі 25 % на купонну виплату.
1 квітня 1999 року інвестор продав облігацію за ціною, що дала чи¬
стий прибуток 5 % річних, іншому покупцеві, який також оподатковує¬
ться за ставкою 25 % на виплати по купонах.
1. Підрахуйте ціну, за якою перший інвестор придбав облігацію.
2. Підрахуйте ціну, за якою перший інвестор продав облігацію.
1.10.12. 1 червня 2000 року уряд випустив індексовані облігації, які
будуть викуплені 1 червня 2002 року. Кожна облігація має номінальну
річну купонну ставку 3 %, що буде виплачуватись наприкінці щопівроку,
номінальна ціна викупу дорівнює 100 грн. Кожна купонна виплата та
ціна викупу індексуються відповідно до зростання індексу роздрібних
цін, починаючи з 6 місяців перед випуском облігації до 6 місяців перед
моментом виплати.
Значення індексу роздрібних цін наведено нижче.
Дата
Індекс цін
Грудень 1999
100
Червень 2000
102
Грудень 2000
107
Червень 2001
111
Грудень 2001
113
Червень 2002
118
1. Інвестор придбав облігації номінальною вартістю 100000 грн у мо¬
мент випуску і тримає їх до погашення. Ціна продажу в момент випуску
дорівнювала 94 грн за 100 грн номіналу облігації. Обчисліть чистий
грошовий потік, який отримає від цієї інвестиції інвестор.
2. Інвестор має сплатити прибутковий податок у розмірі 25 % та
податок на приріст капіталу у розмірі 35 %. При підрахунку приросту
капіталу, що обкладається відповідним податком, ціна, сплачена за ін-
87
вестицію, індексується у відповідності з тим, як зріс індекс роздрібних
цін між місяцем, коли інвестицію було придбано і місяцем, коли облігації
було викуплено.
Обчисліть:
а) розмір податку на приріст капіталу, яку має сплатити інвестор за
цю інвестицію;
б) річний чистий ефективний прибуток, що отримав інвестор від цих
облігацій.
1.10.13. Інвестор придбав тримісячну облігацію казначейства номі¬
налом у 100 грн за 91 грн. Через місяць він продав облігацію другому
інвестору за ціною 93,90 грн. Другий інвестор тримав облігацію до за¬
кінчення терміну дії, коли її було погашено за номіналом. Визначте, який
з інвесторів має більшу річну ефективну норму прибутку.
1.10.14. Нехай у країні прибутковий податок і податок на приріст
капіталу виплачуються 1 квітня кожного року відповідно до прибутку за
попередні 12 місяців.
Облігації з фіксованим відсотком випущено 1 січня 2003 року і буде
викуплено через 25 років за 110 % від номіналу. Купонні виплати станов¬
лять 8 % на рік і виплачуються наприкінці кожного півріччя. Інвестор,
що має сплачувати прибутковий податок у розмірі 25 % та податок на
прибуток капіталу у розмірі ЗО %, за 9000 грн, придбав облігації номі¬
налом 10000 грн.
1. Припускаючи розмір інфляції 3 % на рік протягом всього часу
дії облігації, обчисліть реальний чистий прибуток інвестора, якщо він
тримає всі свої облігації до часу викупу.
2. Без будь-яких подальших обчислень поясніть, як і чому зміниться
Ваша відповідь на пункт 1, якщо податки виплачуватимуться 1 червня
замість 1 квітня.
1.10.15. За звичайною акцією сплачуються річні дивіденди, причому
наступний дивіденд, що має бути сплаченим через 10 місяців, очікується
розміром у 5 коп. З цього моменту дивіденди зростають на 3 % щороку.
Інфляція становитиме 2 % на рік впродовж всього періоду. Підрахуйте
вартість акції, якщо припускається, що реальний прибуток буде 2,5 %
річних, конвертованих щопівроку.
1.10.16. За цінним папером виплачуються купони з фіксованим від¬
сотком 8 % річних щопівроку 1 січня та 1 липня. Цінний папір можна
погасити за номіналом на яке-небудь 1 січня між 1 січня 2006 року та
1 січня 2011 року включно за вибором його власника.
Інвестор придбав цей цінний папір 1 січня 2001 року відразу ж після
сплати купона, за ціною, яка дала йому чистий дохід як мінімум 5 %
річних. Інвестор сплачує прибутковий податок 40 % і податок в 30 %
на приріст капиталу. 1 січня 2003 року відразу ж після виплати купона
88
інвестор продав право на володіння папером фонду, який не сплачує
податків, за ціною, що дає фонду дохід принаймні 7 % річних.
Підрахуйте:
а) ціну за 100 грн номіналу, за якою інвестор придбав цінний папір;
б) ціну за 100 грн номіналу, за якою інвестор продав цінний папір;
в) чистий прибуток за рік, що конвертується щопівроку, який інве¬
стор дійсно отримав за два роки, коли він володів цінним папером.
1.10.17. 1. Опишіть характеристики звичайних акцій.
2. Очікувана прибутковість за дивідендами для звичайної акції ви¬
значається як відношення розміру наступного очікуваного дивіденда до
поточної ціни акції. Для певної акції чистий ефективний прибуток очіку¬
ється у розмірі 5 % на рік. Очікуваний рівень інфляції становить 2 % на
рік. Також очікується, що дивіденди зростатимуть на 3 % кожного року.
Дивіденди сплачуватимуться щомісячно і перші дивіденди буде сплачено
через 6 місяців. Порахуйте очікувану прибутковість за дивідендами для
цієї акції.
1.10.18. Цінний папір з фіксованим відсотком, за яким щопівроку
сплачуються купони у розмірі 4 % на рік і який погашається за 110 %
номіналу через 20 років після випуску, було випущено 1 січня даного
року. Інвестор, що сплачує податки на прибуток і на приріст капіталу у
розмірі 25 % кожний, придбає цінний папір у день випуску. Податок на
прибуток за купонами сплачується наприкінці року. Податок на приріст
капіталу сплачується при погашенні.
Підрахуйте:
а) ціну (у відсотках від номіналу), сплачену інвестором, якщо його
ефективний чистий прибуток становить 6 % на рік;
б) тривалість чистих прибутків для інвестора, який сплачує прибутко¬
вий податок у розмірі 25 %, але не сплачує податок на приріст капіталу,
якщо ефективна норма прибутку інвестора 6 % на рік.
1.10.19. Кредит розміром у 100000 грн надається під 7 % річних, які
сплачуються із заборгованістю раз у півроку. Кредит буде сплачено роз¬
міром 110 грн за 100 грн номіналу в деякий момент між 10 та 15 роками
після дати випуску, причому дату виплати вибирає боржник.
Інвестор, який зобов’язаний сплачувати податок на прибуток у розмірі
25 % і податок на приріст капіталу в розмірі 30 %, бажає придбати
весь кредит у момент випуску за ціною, яка гарантує чистий реальний
прибуток принаймні 5 % річних.
1. Визначте, чи дійсно інвестор отримає приріст капіталу, якщо інве¬
стиція перебуває в його розпорядженні до сплати.
2. Поясніть, як Ваша відповідь на питання пункту 1 вплине на при¬
пущення, зроблені при підрахунку ціни, сплаченої інвестором.
3. Підрахуйте максимальну ціну, яку сплатить інвестор.
89
1.10.20. Позику номіналом 1 650000 грн буде видано у вигляді облі¬
гацій номіналом 100 грн з щопіврічними відсотковими виплатами за
ставкою 5,5 % річних.
Позику буде повернуто у розмірі 110 % номіналу, перше погашення
1 000 облігацій відбудеться через 5 років. Кожного наступного року пі¬
сля цього кількість облігацій, що погашаються, зростатиме на 100, до
повного повернення позики. Облігації в кожному погашенні вибираються
за допомогою лотереї.
1. Синдикат, що сплачує прибутковий податок у розмірі 25 %, збира¬
ється придбати всю позику у день випуску. Яку ціну він має сплатити,
щоб отримати чистий ефективний прибуток 4 % на рік?
2. Інвестор, що сплачує прибутковий податок у розмірі 30 %, придбав
одну облігацію у день випуску за 107 грн. Яка ймовірність того, що він
отримає чистий ефективний річний дохід на рівні принаймні 4 %?
1.10.21. За позикою номіналом 100000 грн наприкінці кожного квар¬
талу сплачуються купони за річною ставкою 5 %. Позику має бути по¬
вернуто у розмірі 103 % номіналу в момент купонної виплати між 15
та 20 роками від взяття позики включно. Право вибору часу повернення
позики належить боржнику. Інвестор, що сплачує податок на прибуток у
розмірі 20 % і податок на приріст капіталу у розмірі 25 %, хоче придба¬
ти позику. Підрахуйте, яку ціну має сплатити інвестор, щоб забезпечити
чистий ефективний прибуток розміром принаймні 4 % річних.
1.10.22. За довічним цінним папером відсотки розміром 1,75 грн на
100 грн номінальної вартості сплачуються щороку 1 червня і 1 грудня.
Підрахуйте річний ефективний прибуток інвестора, що не сплачує пода¬
тків, якщо він придбав 100 грн номіналу даного цінного паперу 14 серп¬
ня 1984 року за ціною 35,125 грн.
1.10.23. За позикою номіналом 1000000 грн відсотки сплачуються
щоквартально за купонною ставкою 8 % річних. Наприкінці 15-го і ко¬
жного з дев’яти наступних років погашається 75000 грн номіналу пози¬
ки. Решту позики буде повернуто наприкінці 25-го року.
Інвестор, що сплачує податковий прибуток у розмірі 30 %, бажає
придбати позику в день випуску за ціною, що гарантує річний чистий
ефективний прибуток 7 %. Визначте ціну, яку він має сплатити, якщо:
а) погашення відбувається у розмірі 110 % номіналу;
б) погашення £-го року відбувається у розмірі (125 — ґ) % номіналу.
1.10.24. Позику номіналом 300000 грн, що складається з обліга¬
цій номіналом 100 грн, буде повернуто 30 щорічними погашеннями по
100 облігацій, перше погашення буде зроблено через рік після випуску.
Відсотки сплачуватимуться щоквартально із заборгованістю за ставкою
8 % на рік. Погашення відбуватиметься за номіналом для перших 15 ро¬
ків, і за 120 % номіналу після цього.
90
Інвестор, який сплачує прибутковий податок у розмірі 40 %, придбає
позику у день випуску за ціною, що забезпечує йому чистий ефективний
прибуток у розмірі 7 % на рік.
Яку ціну інвестор сплатить за кожну облігацію?
1.10.25. За борговою акцією сплачуються відсотки за ставкою 11 %
річних 15 травня і 15 листопада кожного року, а всю позику буде повер¬
нуто за номіналом в одну з цих дат 2018 року або в якийсь з наступних
років.
Інвестор, що сплачує прибутковий податок у розмірі 50 %, придбав
частину цієї позики 15 листопада 1986 року, відразу після виплати від¬
сотків.
Визначте найбільшу ціну у відсотках номіналу, яку він міг сплатити,
щоб отримати річний ефективний чистий прибуток у розмірі: а) 4 %;
б) 7 %. Припускаючи в обох випадках, що він сплатив дану ціну, визнач¬
те найбільший можливий чистий прибуток, який він може отримати.
1.10.26. За певною борговою акцією номіналом 175 млн грн відсотки
сплачувалися із заборгованістю за ставкою 3 % на рік 16 січня, 16 квіт¬
ня, 16 липня і 16 жовтня кожного року. Акцію було видано 16 квітня
1870 року у вигляді облігацій номіналом 100 грн і погашено за наступ¬
ним графіком:
Період Погашений номінал,
млн грн
1879-1907 1
1908-1925 2
1926-1938 З
1939-1945 4
1946-1950 5
1951-1953 6
Акції для погашення вибиралися у цей період за допомогою лотереї
щороку 16 квітня.
1. Визначте ціну 100 грн номіналу залишку позики на 16 квітня
1915 року за ефективної річної відсоткової ставки 3,5 %.
2. Визначте ймовірність того, що покупець, що придбав за цією ці¬
ною одну облігацію даної акції 16 квітня 1915 року, отримає річний
ефективний прибуток 5 %. (Відсотки у день придбання не сплачуються.)
1.10.27. Позику номіналом 10000 грн випущено у вигляді облігацій
номіналом у 100 грн, за якими відсотки сплачуються щоквартально із
заборгованістю за ставкою 4,5 % на рік. Десять облігацій погашаються
наприкінці кожного з наступних років до повного повернення позики.
Наприкінці /2-го року облігації погашаються за ціною Rn = 100 + /г2/10.
Визначте ціну, яку сплатить інвестор за всю позику, щоб отримати річ¬
ний ефективний прибуток 7 %. (Податками знехтувати.)
91
1.10.28. 1 квітня 1986 року уряд певної країни видав дві індексовані
облігації терміном на 20 і ЗО років. За кожною облігацією купони спла¬
чуються щопівроку за ставкою 3 %. І відсоткові, і капітальні виплати
індексуються із запізненням на 8 місяців.
Значення індексу в серпні 1985 року було 187,52, а в момент випуску
облігацій останнє відоме значення індексу стосувалося лютого 1986 року
і дорівнювало 192,1.
Ціна випуску облігацій була такою, що при неперервному зростанні
індексу цін за ефективною ставкою 6 % на рік покупець кожної обліга¬
ції міг отримати реальний прибуток на рівні 3 % річних, конвертованих
щопівроку (реальний прибуток підраховується із врахуванням вказаного
зростання індексу цін).
1. Покажіть, що ціни облігацій були однакові і визначте їхню ціну в
момент випуску.
2. Покажіть, що якщо індекс цін зростатиме неперервно з інтенсив¬
ністю 4 % річних, то реальний прибуток за 20-річною облігацією буде
більшим, ніж за 30-річну; якщо ж інтенсивність зростання індексу —
8 % річних, то все навпаки.
1.10.29. 14 серпня 1984 року ринкова ціна індексованої облігації каз¬
начейства була 85,625 % номіналу. Облігація погашається за номіналом
16 квітня 2020 року, а відсотки сплачуються 16 квітня і 16 жовтня
кожного року за ставкою 2,5 % річних. Відсотки і капітальні виплати
індексуються за допомогою ІРЦ (індексу роздрібних цін) із запізненням
у 8 місяців. Облігацію випущено у жовтні 1983 року. Значення ІРЦ у
лютому 1983 року (тобто “базисне” на 14 серпня) дорівнювало 327,3, у
лютому 1984 року — 344, на 14 серпня 1984 року останнім відомим було
значення 351,9 за червень 1984 року.
1. Визначте відсоткову виплату на 100 одиниць номіналу у жовтні
1984 року.
2. 14 серпня 1984 року інвестор, прибутки якого не оподатковують,
підраховує реальний ефективний прибуток, який він отримає від придба¬
ння облігації, припускаючи, що ІРЦ зростатиме неперервно від остан¬
нього відомого значення з ефективною ставкою 10 % на рік. Яке значення
він отримає?
і. 10.30. Позику номіналом 50000 грн випустять у вигляді облігацій
номіналом 100 грн з щорічними виплатами із заборгованістю розміром
6 % на рік. Наприкінці кожного з наступних 20 років 10 облігацій по¬
гасять за номіналом, наприкінці кожного з 20 років потому погасять ще
15 облігацій.
Кожного року облігації, що підлягають погашенню, вибираються за
допомогою лотереї. В день випуску інвестор купив одну облігацію за
125 грн.
92
1. Визначте ймовірність того, що ефективний річний прибуток, отри¬
маний інвестором, буде: а) між 3 % та 5 %; б) від’ємним.
2. Визначте річний прибуток, отриманий інвестором, якщо облігацію
погасять через чотири роки.
1.10.31. 31 грудня 1981 року було випущено позику, що буде повер¬
нуто сталим ануїтетом, сплачуваним щоквартально протягом 12 років в
останній день березня, червня, вересня і грудня. Значення ануїтету було
підраховане за відсоткової ставки 12 % річних, конвертованої щоквар¬
тально. Сума відсотків, сплачених у 1985 році, дорівнювала 6374,41 грн.
31 грудня 1985 року інвестор, що сплачує прибутковий податок у розмірі
40 % на відсоткову складову кожної виплати, викупив цю позику.
Визначте ціну, сплачену інвестором, якщо його чистий ефективний
прибуток дорівнює: а) 8 % на рік; б) 8 % на рік, конвертованих що-
півроку.
1.10.32. Позика розміром 100000 грн повертається за допомогою ста¬
лого ануїтету, що сплачується наприкінці кожного четвертого року з на¬
ступних 40 років. Розмір виплат розраховано за відсоткової ставки 4 %
на рік.
Інвестор, який сплачує прибутковий податок на відсоткову складову
у розмірі 50 % протягом перших 16 років і 25 % після цього, придбає
всю позику в момент випуску, щоб отримати чистий ефективний річний
прибуток на рівні 4 % річних. Визначте ціну, яку він сплатить.
і. 10.33. Позику номіналом у 30000 грн буде повернуто трьома пла¬
тежами по 10000 грн, наприкінці 8, 16 та 24-го років. Відсотки сплачу¬
ватимуться щорічно із заборгованістю зі ставкою 6 % на рік протягом
перших 8 років, 4 % протягом наступних 8 років і 2 % в останні 8 років.
Інвестор, що сплачує прибутковий податок на відсоткові виплати у
розмірі 30 % протягом 12 років і 50 % після цього, сплачує 26000 грн за
всю позику у момент випуску. Підрахуйте чисту ефективну річну норму
прибутку інвестора.
і. 10.34. Позика в 100000 грн повертається протягом 15 років за
допомогою сталого ануїтету, що сплачується щомісяця із заборговані¬
стю. Розмір виплат розраховано за відсоткової ставки 16 % на рік, що
конвертується щоквартально.
Інвестор, який сплачує прибутковий податок 80 % на відсоткову скла¬
дову кожного платежу, бажає придбати всю позику в момент випуску і
підраховує, що для того, щоб отримати чистий ефективний прибуток у
розмірі 5 % на рік від своєї інвестиції, він повинен сплатити 86467 грн
за позику. Насправді він сплачує 88000 грн.
1. Визначте розмір щомісячної виплати за ануїтетом.
2. Визначте чистий ефективний прибуток, який отримає інвестор.
93
1.10.35. За позикою номіналом 80000 грн відсотки сплачуватимуться
щоквартально за ставкою 10 % річних. Наприкінці другого, четвертого,
шостого та восьмого років частину позики номіналом 2000 грн буде
погашено премією, яка пропорційна часу, що минув з дати випуску.
Інвестор, який сплачує прибутковий податок на відсоткові виплати на
рівні 40 % протягом 5 років і 50 % після цього строку, підраховує, що
для того, щоб отримати чистий ефективний прибуток від своєї інвестиції
розміром 7 % на рік, він повинен запропонувати ціну 7 880,5 грн за всю
позику.
Визначте ціну погашення позики.
1.10.36. Позика в 100000 грн повертатиметься протягом 15 років за
допомогою сталого щорічного ануїтету. Розмір виплат розраховується за
ефективної відсоткової ставки 8 % річних.
Інвестор, який сплачує прибутковий податок 40 % на відсоткову скла¬
дову кожного платежу, бажає придбати всю позику в день випуску.
Визначте ціну, яку він повинен заплатити, щоб досягти чистого ефек¬
тивного щорічного прибутку у розмірі: а) 7 %; б) 8 %.
1.10.37. За позикою відсотки розміром 10 % сплачуються щорічно
із заборгованістю. Позика повертається за номіналом в одну з наступ¬
них п’яти річниць випуску. Через п’ять місяців після випуску інвестор
придбає частину позики за 102 % номінальної ціни.
Покажіть, що, незважаючи на формулу Мейкема (невірну, якщо кон¬
тракт укладено не у момент відсоткової виплати), прибуток інвестора
буде максимальним при погашенні позики в останній момент.
Відповіді та вказівки
1.10.1. Виберемо рік як одиницю часу. Якщо і — шукана внутрішня
норма прибутку, то для неї має місце рівняння 1000(1 + г)-5 = 500 +
+ 200(1 + г)-2. Це рівняння має єдиний корінь, оскільки його можна
переписати у вигляді 1000 = 500(1 + і)5 + 200(1 + і)3, а права частина
останнього рівняння монотонно зростає за і.
Тепер перепишемо рівняння у вигляді /(і) = —500 — 200(1 + г)-2 +
+ 1000(1 + г)-5. Оскільки /(0,08) = 9,115, /(0,09) = —18,405, то і зна¬
ходиться між 8 % та 9 % на рік. Апроксимація за допомогою лінійної
інтерполяції дає 0,08 + (0,09 — 0,08) 9 іі5-(-І8 405) = 0>0833, тобто 8,33 %
на рік.
1.10.2. Рівняння, що визначає норму прибутку, має вигляд 3000 =
= 500(v5+"v6+.. .+v19) = 500(<3jgj — ), де v = 1/(1-И), і — шукана став¬
ка прибутку. Права частина рівняння спадає, тому рівняння має єдиний
розв’язок. При і = 8 % права частина дорівнює 500(9,6036 — 3,3121) =
94
= 3 145,75 > 3000, а при і = 9 % - 500(8,9501 - 3,2397) = 2855,20 <
< 3 000. Шукаємо і методом лінійної інтерполяції
0,08 + (0,09 - 0,08)
3145,75-3000
3145,75-2855,20
0,08502.
Отже, і = 8,5 %.
І.ІО.З. Позначимо шукану норму прибутку і, у = 1/(1 +і) — дисконт¬
ний множник, одержимо рівняння на реальну норму прибутку
5 V/4 5v5/4 • 1,04 5v9/4 • 1,042
- 1,015і/4 + 1,0155/4 + 1,0159/4 +
_ 5v'/4 / v-1,04 v-1,042 \_
= 1,015і/4 Vі + 1,015 + 1,0152 +'") =
= 4,98142v1/4(1 _ { q2463v) = 4,98142(1 + г)3/4і - 0,02463.
При і = 6 % права частина дорівнює 147,129, при і = 7 % вона дорівнює
115,511, тобто потрібне нам значення 125 досягатиметься приблизно в
точці
отже, значення реальної ефективної норми прибутку приблизно дорівнює
6,7 % на рік.
І.І0.4. 1. Загальна безпека при випуску державою з гарним рейтин¬
гом; низька волатильність прибутків порівняно з іншими видами інвес¬
тицій; забезпечують сталий прибуток до моменту погашення; можуть
бути ризикові в реальному численні.
2. Отримана через 5 років частина доходу за облігацією номіналом
у 100 грн на момент придбання складається із дисконтованих виплат за
купонами у перші 5 років і дисконтованої виплати у 50 грн і становить
при ефективній ставці 6 %
0,7 • 4огі +
50
5І 1,065
Отримана через 10 років частина доходу
= 0,7 • 4 • 4,21236 + 50 • 0,74726 = 49,1576.
0,7 • 4afn, +
50
= 0,7 • 4 • 7,36009 + 50 • 0,558395 = 48,5280.
ю| т 1,06і0
Отже, ціна покупки облігації становить
49,1576 + 48,5280 = 97,6856.
І.ІО.5. У такому випадку облігація мала б затримку в індексації. Це
означає, що виплати пізніше реагують на зміни цін, тобто інвестор не
отримає компенсацію за весь проміжок часу між датою покупки і датою
погашення.
95
І.І0.6. 1. З нерівності і > (1 — £i)g (0,08 > 0,75 • 0,06) випливає, що
є приріст капіталу. Нехай ціною облігації номіналом 100 грн у момент
купівлі є Р, тоді ціна в момент випуску є у1^Р, отже,
Р = [6ащ • 0,75 + 100v10 - 0,25(100 - Р)у10] (1,08)1/4
(перший доданок — дивіденди з урахуванням податку на прибуток; дру¬
гий — виплата при погашенні; третій — податок на приріст капіталу).
Враховуючи, що а-щ = 6,71008, у = 0,463193 при ставці 8 %, маємо
Р = 30,78195 + 47,21912 - 11,80478 + 0,11805Я,
звідки
0,88195Я = 66,19629,
отже, Р = 75,06 грн.
2. Шуканий рівень інфляції £, має задовольняти рівність (1 + £,)1,03 =
= 1,08, звідки £, = 4,854 %.
1.10.7. 1. Ціна облігації складається з дисконтованих виплат за ку¬
понами і дисконтованої виплати при погашенні, тобто дорівнює
5 ащ + ІООу20 = 5-11,4699 + 100-0,311805 = 88,53.
2. За підрахунками: а) ціна акції становить з урахуванням податків
Р = 0,7 ■ 5ащ + lOOv10 - 0,3(100 - Р)у10 = 0,35аШ| + 70v10 - 0,3ylQP,
звідки
0,35ащ + 70v10
Р= 1 + 0,3v10 ’
При відсотковій ставці 6,5 % маємо а-щ = 7,18883, V10 = 0,53273, звідки
Р = 74,33161;
б) маємо
88,53 = 5а-щ + 74,33161v10.
Оцінимо норму прибутку (виходячи з того, що а-щ яз 10/(1 + Юг), v10 «
1/(1 + Юг)):
5
88,53
(88,53-74,33161)/10
88,53
100 % = 4,04401 %.
Ціна при і = 4 % становить 90,76994, тобто норма прибутку має бути
нижча. При і = 4,5 % ціна становить 87,4279. Методом лінійної інтер¬
поляції визначимо наближене значення норми прибутку:
1.10.8. 1. Позначимо значення індексу в липні f-ro року через It.
Сума купона становить (враховуючи 8-місячне запізнення індексації)
0,03 • 100 /і999
— = 1,72 грн на облігацію номіналом 100 грн.
'1995
96
2. Розв’язувати задачу можна різними шляхами. Один з них такий.
Вимірюватимемо час t півріччями, починаючи з 16 вересня 1999 року
і позначимо через і реальний прибуток за півріччя. Покладемо (1 + г) =
= (ІДИ)1/2, нульовим місяцем назвемо вересень 1999 року. Тоді Q(t) =
= Q(0)(1 + r)t є згідно з умовою прогнозованим значенням індексу в
момент t, Q(0) = 127,4. Перша виплата за купоном у момент t = 1
дорівнює 1,72 згідно з попереднім пунктом, і Q( 1) = Q(0)(1 + г). Для
t >2 t-ту виплату буде отримано в місяць з номером 6t, і її значення
дорівнює
(1 г\№ ®)/6 (1 _і_ 4/3)
15 110,5 0(0) - ‘««Т'
Цю суму буде отримано в момент t, коли індекс інфляції становитиме
Q(t). Виплати при погашенні відбудуться у момент t = 5 разом з остан¬
ньою виплатою за купоном; сума цих виплат дорівнюватиме
100Q(0)(1 + г)<5-3/4)
110,5
а значення індексу — Q(0)(1 + г)5.
Таким чином, реальна ефективна піврічна норма прибутку інвестора
визначається з рівняння
1.72 .. . ^ (1 + г)^-4/3> t 100Q(0)(1 + г)(5-3/4> 5
I 1 1 Л 1,1 * 1 G/"lrn\ \l ' J -\-Г)
II '-0 = TT7V + |r '■5<?(0) 110,5(1 + r)<v + 110,5(1 + 0»
v“. (1)
Підставляючи і = 2 % та і = 1,5 %, отримаємо відповідно 109,67 та
112,32 у правій частині. За допомогою лінійної інтерполяції маємо на¬
ближене значення піврічної норми прибутку інвестора
тому річна норма прибутку становить 3,53 %.
3. З рівняння (1), якби індекс цін був більший за 110,5, то права
частина була б менша за 111,0 при і = 1,749 % на півріччя. Тому реаль¬
ний прибуток і мав би бути меншим за 1,749 % на півріччя для правої
частини 111,0. Отже, реальний прибуток спадає.
І.І0.9. Маємо рівняння
96 = Аащ + lOOv20.
При і = 4 % права частина дорівнює 100, при і = 4,5 % вона дорівнює
93,4961. Інтерполюючи, маємо
і — 0,04 + 0,005
100 - 96
100-93,4961
= 4,3 %.
97
1.10.10. Складаємо рівняння для ефективної реальної річної норми
прибутку:
10v3/4 10(l,05)v7/4 10(1,05)2 Vі 1/4
5U ~ 1,033/4 + 1,037/4 + 1,03 і1/4 + ''' ’
звідки 250 = 254,854"v + 9,78075"V3/4. Реальний прибуток має бути при¬
близно 6 % (прибуток по дивідендах + зростання дивідендів — інфляція).
Для значення і = 6 % ліва частина дорівнює 249,791, для і = 5,5 % —
250,9639. Інтерполюючи, маємо наближене значення
1.10.11. 1. Маємо 1 + і = 1,06 = [1 + і®/2]2 =► і® = 5,91 % > g( 1 -
— її) = 7 %(1 — 0,25) = 5,25 %, тобто є приріст капіталу, тому можна
вважати, що облігацію буде погашено в кінцевий момент.
На 100 грн номінальної вартості ціна на 1 квітня 1991 року
Р' = 0,75а® + 10(Ь19 =
1У|
= 5,25- 1,014782- 11,1581 + 100 • 0,33051 = 92,497.
Тому на 1 липня 1991 року ціна за облігацію номінальною вартістю
100 грн дорівнює Р = 92,497 • (1,06)3/'2 = 93,854, а за 10000 грн —
9385,40 грн.
2. Зараз і® = 4,94 % < 5,25 %, тому немає приросту капіталу, і облі¬
гацію можна вважати погашеною за першої можливості (тобто 1 квітня
2004 року). На 100 грн номінальної вартості
Я = 0,75 • 7<4f = 101,364.
“І
Тому ціною облігацій номінальною вартістю 10000 грн є 10136,40 грн.
1.10.12. 1. Нехай час вимірюється півріччями. Виплата за купоном у
момент t, t > 1, становить
0,015- 100000(1,015)ї-1у^,
де It — індекс цін у момент t. Виплата при погашенні — 100 ООО/5/100 =
= 113000. Отже, можемо скласти таблицю потоку платежів.
Дата
Грошовий потік
Пояснення
1 червня 2000 року
-94000
Придбання облігації
1 грудня 2000 року
1530
Купон
1 червня 2001 року
1605
Те саме
1 грудня 2001 року
1695
»
1 червня 2002 року
1695
»
Те саме
+ 113000
Виплата при погашенні
98
2. Результати обчислень: а) індексована ціна покупки облігації дорів¬
нює 94000- 118/102 = 108 745. Отже, приріст капіталу становить 4255,
тому податок 4 255 • 0,35 = 1489;
б) річний прибуток задовольняє рівняння
94000 = 0,75(1 530v1/2 +1 605v +1 665v3/2 +1 695v2) + (113 000 -1489)v2.
Приблизно це рівняння можна переписати як
94000 = 4871v+ 111 51 lv2,
звідки у = 0,8965 і і « 11,5 %. Підставляючи значення 11 % і 12 %,
методом лінійної інтерполяції визначимо і « 11,47 %.
1.10.13. Потрібно порівняти числа (93.9/91)2 і 100/93,9. Друге число
більше, тому норма прибутку другого інвестора вища.
1.10.14. 1. Нехай і — норма грошового прибутку. Тоді
9 900 = 800agj + 11 OOOv25 - 200v1/4a^ - 0,3 • 11000 • 9 900v25? =
= 800agj + 11 OOOv25 - 200v1/4a^ - 330v25+
Маємо
25
аЩ ~ “25І ~ 1 + 251’
і в першому наближенні
600 + (11000 - 330 - 990)/25
і «
9,900
v25«
1
1+251’
^4«1,
= 6,4 %.
При і = 7 % права частина дорівнює 9 158,61, при і = 6 % — 10345,41,
тому наближено
і = 0,07 -
9900-9158,61
10345,41 -9158,61
0,01 = 0,0638,
тобто норма грошового прибутку є 6,38 % на рік. Тоді реальний прибуток
г = 1,0638/1,03 - 1 = 3,28 % на рік.
2. Якщо податок сплачується на два місяці пізніше (тобто 1 черв¬
ня, а не 1 квітня), то видатки інвестора затримуються, отже, реальний
прибуток зростає і буде вищим за 3,28 % на рік.
1.10.15. Річна норма грошового прибутку
і = (1,0125)2(1,02) - 1 = 4,5659 %.
Тоді вартість акції, коп,
5 М* + 1,03л^ + (1,03)VA + ...]= 5v5/6- J—-
L -II — 1 ,UuV
321,69.
99
1.10.16. Для випадку а) маємо g(l - fi) = 0,08 • 0,6 = 0,048 < if^% =
= 0,04939, тому є приріст капіталу, отже, можна вважати, що облігацію
буде погашено якомога пізніше. Маємо
Р = 0,6 • 8ojg + lOOv10 - 0,3(100 - Р)у10;
Р = 4,8 • 1,012348 • 7,7217 + 100 • 0,61391 - ЗО • 0,61391 + 0,ЗЯ • 0,61391;
Р =
98,9128- 18,4173
= 98,67;
1-0,184173
для випадку б) g = 0,08 > г®% = 0,068816, тому можна вважати, що
облігацію буде погашено якомога раніше. Маємо
Р' = 8а^ + lOOv3 = 8 • 1,017204 • 2,6243 + 100 • 0,81630 = 102,99;
для випадку в) податок на приріст капіталу становить
0,3(102,99-98,67) = 1,30.
Тому (ми працюємо по півроку)
98,67 = 0,6 • 4а^ + 0,6(102,99 - l,30)v4 = 2,4ащ + 101,69V1.
При і = 3 % права частина дорівнює 99,272, при і = 4 % — 95,636, тому
наближено
і — 0,03 +
99.272 - 98,670
99.272 - 95,636
0,01 =3,166
о/
/о.
Отже, річна ставка дорівнює 2 • 3,166 % = 6,332 %, конвертованих що-
півроку.
1.10.17. 1. Суттєвими є такі характеристики:
• акції випускаються комерційними підприємствами і іншими юри¬
дичними особами;
• власники акцій отримують дивіденди з прибутків підприємства пі¬
сля дотримання решти зобов’язань;
• до доходу, крім отриманих дивідендів, додається будь-яке зростан¬
ня (або віднімається будь-яке зменшення) ринкової ціни акції;
• більш ризикові за корпоративні облігації, видані тим же підприєм¬
ством;
• з усіх видів фінансів компанії мають найнижчий ранг;
• компанія не має жодних зобов’язань щодо сплати дивідендів;
• початковий дохід звичайно низький, але зростає з часом;
• дату викупу (погашення) не зафіксовано;
• до акції додається право голосу;
• ліквідність залежить від розміру компанії.
100
2. Нехай нинішня ціна — Р, а перший очікуваний дивіденд — d.
Маємо
rfv0'5 d(l,03)v1,5 , d(l,03)V-5 , _ l,02°'5rfv°'5
— ZO,Z~rZDu.
p =
+
+
+ ...=
1,020-5 1,02і'5 1,022'5 ' 1,02 - 1,03v
Звідси очікувана прибутковість за дивідендами дорівнює 1/25,2426
= 0,03962, або 3,962 %.
1.10.18. Підрахуємо: а) шукану ціну
0,25(110 - V)v20 - 0,25 • 4ащ.
V = 4agj + 110v20
При ставці 6 %
V = 4-1,014782 -11,47 н-110-0,31180—0,25(110—V)0,31180—0,25-4-11,47,
звідки V = 65,9524;
б) тривалість чистих платежів; простіше працювати у термінах півріч
з відсотковою ставкою 2,9563 %. Чисельник у формулі для тривалості
виплат брутто дорівнює
40 20
^2 2tv* + 110- 40V10 - 0,25 • 4 ^2к\2к = 1,5(/а)щ + 40V40 - 2(Іа)щ5
/= 1 k= 1
Маємо (/0)401 = (^4о| — 40v4°)/0,029563 = 388,828. Звідси шуканий вираз
для чистих виплат дорівнює 2149,598. Далі
(/а)щ5 = (Ogqg о/о — 20v2°%)/0,05 = 98,69942.
Таким чином, шуканий чисельник у формулі для тривалості дорівнює
1952,199. Знаменник у цій формулі дорівнює 2ащ29563 % + 1 lOv^ggg „/о —
— ащ5 = 69,38589. Звідси тривалістю є 1952,199/69,38589 = 28,136
півріччя, або 14,068 року.
1.10.19. 1. У стандартних позначеннях маємо
1 + г(2)/2]2 = 1,05 ^ і(2) = 4,939 %,
g(1 “ Ґі) = ГТ5 ’0,75 = 0,0477 °’04939’
тому є приріст капіталу.
2. З того, що є приріст капіталу, випливає, що борг буде найменш
вигідним для інвестора, якщо боржник зробить виплати в останній мож¬
ливий момент. Тому для підрахунку мінімального доходу ми змушені
вважати, що погашення відбувається через 15 років після підписання
угоди.
3. Якщо А — ціна 100 грн кредиту, то
А= 100 -0,07 -0,75а£1 + [110 -0,3(110- 4)]v15 =
15|
= 100 • 0,07 -0,75-1,012348-10,3797+ [110 -0,3(110- Л)]0,48102.
101
Тоді
„ 55,1663 + 37,0385 1Л77С
Л = 1 -0,3 - 0,48102 = 107'75'
1. 10.20. 1. Нехай кількість розіграшів дорівнює т. Маємо
т
^(900 + 1000 = 900т + 50т (т + 1) = 16500,
*=1
звідки т = 11. Тобто розіграші відбуваються в моменти 5,6,7,... ,15.
Далі, С = 1,1 • 1650000 = 1815000, g = 0,055/1,1 = 0,05, р = 2,
і = 0,04. Сучасна вартість капітальних виплат
її
К = 5^(900 + 1000110v4+i = 900-1 lOVajij + 11(№у*(Іа)щ = 1 203 394,
*=і
і ціна позики за формулою Мейкема —
К + 8^5000 — К) = 1 784452 грн, або108,03 грн за облігацію.
2. Оскільки сплачена ціна менша за 110 грн, то прибуток зменшу¬
ється із збільшенням часу до погашення. При погашенні через п років
рівняння вартості має вигляд
107 = 0,7 • 5,5a^f + 1 lOv".
Підставивши і = 4 %, після елементарних перетворень дістанемо v£ а/в =
= 0,7656. Але V® 0/4 > 0,7656 > у\ в/в, тобто прибуток буде не менше 4 %,
якщо час до погашення не більший шести років, тобто для перших двох
розіграшів. Тому шукана ймовірність дорівнює (1000+ 1100)/16 500 =
= 0,1273.
1.10.21. (1 + г<4>/4)4 = 1,04 => і<4> = 0,039414; g(l - tx) = 0,05 •
0,80/1,03 = 0,038835. Отже, є приріст капіталу і ми можемо вважати,
що борг повертається в останній момент, тоді дохід мінімальний. Нехай
ціна дорівнює Р, тоді
Р = 100000 • 0,05 • 0,80agj + [103000 - 0,25 • (103000 - Я)]^20,
ЗВІДКИ
4 ОООа^] + 77 250v20
1 - 0,25V20 =-02072.25.
1.10.22. Проміжок часу між 14 серпня 1984 року та 1 грудня 1984 ро¬
ку є 109 днів, між 1 червня та 1 грудня — 183 дні. Визначимо t =
= 109/183. Прибуток за півроку і є розв’язком рівняння вартості 1,75(1 +
+ і)1-</г = 35,125, з якого і = 0,05083. Річний прибуток тоді (1 + г)2— 1 =
= 0,1042 = 10,42 %. Відповідне номінальне значення, конвертоване що-
півроку, дорівнює 2 • 0,05083 = 0,10166 = 10,166 %.
102
і. 10.23. Вимірюватимемо гроші тисячами гривень. У випадку а) у
позначеннях теоретичної частини С = 1 000 тис грн, g = 0,08/1,1, р = 4.
Тоді, оскільки 250 одиниць номіналу буде повернуто наприкінці 25-го
року, маємо при ставці 7 %
К = 1,1[75(о^ - aj4|) + 250v25] = 275,3875.
Тоді за формулою Мейкема ціна дорівнює
П 08 0 7
Р = 275,3875 + 2 t о q7(4) П 100 - 275,3875) = 890,626 тис грн;
у випадку б) припустимо, що ціна дорівнює Р'. Тоді за відсоткової
ставки 7 %
р' = р - р" = р - 75 • 0,0l(v16 + 2v17 + ... + 9v24) - 250 • 0,lv25 =
= P — 0,750(/a)gj - 25v25 = P — 12,668 = 877,958 тис грн,
де P" — сучасне значення різниці цін при погашенні у пунктах 1 і 2.
і. 10.24. Вимірюватимемо час роками, а гроші — тисячами гривень.
Спочатку припустимо, що погашення відбувається за номіналом, потім
ми відкоригуємо результати відповідним чином. У позначеннях теорети¬
чної частини маємо С = 300, К = ІОощ = 124,0904 за відсоткової ставки
7 %. Тоді за формулою Мейкема сучасна вартість позики
К + 00°07(4)6(300 - *) = 247’836-
Додаємо тепер сучасну вартість різниці між ціною при погашенні та
номіналом, тобто
2(ащ — °Ї5|) = 6,602,
звідки маємо повну вартість 254,548, тобто одна акція коштує 84,81 %.
І.І0.25. У випадку а) за грошову одиницю візьмемо 100 грн номі¬
налу. Маємо С = 100, р = 2, g = 0,11, t\ = 0,5. Оскільки gi(l — t\) =
= 0,55 > 0,04® = 0,044, то ми припускаємо, що борг буде сплачений
якнайшвидше. Таким чином, ми маємо при ставці 4 % К = 100v31,5 =
= 29,0703, тому ціна за формулою Мейкема
О О1^
к+Іш(с-*) = 127,564 грн-
Чистий прибуток інвестора буде найбільшим, якщо акцію не погасять
ніколи. Тоді чистий ефективний прибуток і — розв’язок рівняння
127,564 = 5,5о®, 0/,
оо| і %
звідки г'(2) = 0,043116, тому і = 4,358 %;
103
у випадку б) маємо g(l — £і) = 0,55 < 0,07® = 0,071225, тому вва¬
жаємо, що позику не буде повернуто ніколи. Тоді ціна при ставці 4 %
дорівнює 5,5a^j = 79,923 грн.
Чистий прибуток буде найбільшим, якщо акцію погашено якнайшвид¬
ше, тобто 25 травня 2018 року. Чистий прибуток — розв’язок рівняння
79,923 = 5,5а#- + 100v31'5.
31,5|
Розв’язуючи його наближено, маємо і = 7,23 %.
1.10.26. 1. Всі розрахунки провадитемо у мільйонах гривень. Но¬
мінал залишку боргу на 16 квітня 1915 року після сплати відсотків
становить 130, а значення майбутніх капітальних виплат у цей момент
2аШ| + 3v10a^ + 4v23a^ + б-у30^ + frv35^ = 62,717.
За формулою Мейкема значення залишку боргу
* + ШЗі(130~'о = І21’14-
Тому ціна за 100 грн номіналу на 16 квітня 1915 року дорівнює 93,18 грн.
2. Прибуток інвестора при погашенні через п років визначається як
розв’язок рівняння 93,18 = За® + 100v”. Оскільки ціна акції нижча
за номінал, то прибуток зменшуються, якщо час до погашення зростає.
Тобто нам потрібно визначити таке п, що прибуток більший за 0,05 при
погашенні через п років і менший від 0,05 через п+1 років. При і = 0,05
рівняння вартості можна перетворити:
93,18 0,05® - З
Л/П
v0,05
0,8246.
100 • 0,05® - З
Через те, що Vq05 > 0,8246 > Vq05, прибуток буде на рівні принаймні
5 % лише для перших трьох років. Імовірність того, що облігацію буде
погашено у ці роки, дорівнює (2 + 2 + 2)/130 = 0,0462.
і.ІО.27. Спочатку оцінимо вартість позики за припущенням погаше¬
ння за номіналом, потім додамо різницю. Маємо при ставці 7 %
К = 1 000а-щ = 7023,58,
і сучасна вартість позики за формулою Мейкема
0,045
К +
(10000 - К) = 8986,51.
0,07®
Сучасне значення різниці між цінами погашення і номіналом дорівнює
ю
k2yk =
2(/а)їо| - ащ ~ 100v
її
= 228,44.
k=\
1 -v
Тоді ціна всієї позики 8986,51 + 228,44 = 9214,95 грн.
104
1.10.28. 1. Нехай /о = 187,52 — значення індексу у серпні 1985 року,
/і = 192,1 — значення індексу у лютому 1986 року, а г позначає ставку
зростання індексу, тоді за півроку індекс збільшиться у (1 + г)1/2 разів.
Вимірюватимемо час півріччями від дати випуску, і нехай Qq — значення
індексу в момент випуску.
Розглянемо облігацію з терміном п. Нехай ціна випуску становить
Р % від номіналу. Припустимо, що придбано 100 грн номіналу облігації.
Покупець має від’ємний грошовий потік Р у момент 0.
7 жовтня 1986 року, коли значення індексу дорівнює Qo(l + г)1/2,
покупець отримає відсотки, індексовані відношенням значення індексу
у лютому 1986 року до значення у серпні 1985 року, тобто розміром
1,5/і//о, 7 квітня 1987 року він отримає відсотки, індексовані відношен¬
ням значення індексу у серпні 1986 року до значення у серпні 1985 року,
тобто 1,5(1 + г)'^2/і//о. Продовжуючи ці міркування, одержимо, що інве¬
стор у момент t < п, при значенні індексу QoO + г)^2. отримає відсотки
розміром 1,5(1 + r)(f-1)/2/i//0. Індексоване значення капітальної випла¬
ти у момент п дорівнює 100(1 + r^-^h/k. Таким чином, ефективну
відсоткову ставку можна отримати з рівняння
Р h 1,5(1 + r)<*-0/V /і 100(1 + r)(n-0/V
~®>+hTo Qo(l+r)-'/2 +7o Qo(l + r)~n/2 ’
звідки
',=(i4^;(l'^+100v")'
Для реального прибутку 3 % річних, конвертованих щопівроку, і =
= 0,015, тому маємо
Р =
h
•100
(1+г)1/2/0
для будь-якого п. Оскільки за припущенням г = 0,06, ціна кожної акції
при випуску дорівнює
192,10-100
1,06і/2187,52 ’ 7
2. Складаємо рівняння на реальний прибуток, використовуючи ре¬
зультат пункту 1:
, с , 1ПП „ 99,50(1 +г)'/2187,52
1,5а;, + 100V* = Ї92Л0 '
При г = 0,04 права частина цього рівняння дорівнює 99,05, що менше
за 100, тому облігація з меншим терміном дає вищий прибуток. При
г = 0,08 права частина дорівнює 100,94 > 100, і все навпаки, що й по¬
трібно довести. (При г = 0,04 реальний прибуток для 40-річної облігації
105
дорівнює 1,5319 %, для 60-річної — 1,5242 %, при г = 0,08 — 1,4688 %
і 1,4763 % відповідно.)
І.І0.29. 1. Позначимо It значення ІРЦ у лютому і-го року. Відсоткова
виплата на 100 грн номіналу у жовтні 1984 року дорівнює
1,25
11984
1,25
344
1,3137 грн.
/1983 ’ 327,3
2. Нехай г — піврічне зростання індексу цін за припущенням (тоб¬
то (1 + г)2 = 1,1). Вимірюємо час по півроку з 14 серпня 1984 року.
Зауважимо, що при цьому період з 14 серпня 1984 року до 16 жовтня
1984 року становить / = 63/183.
Нехай значення індексу в момент 0 — Qo- Покупець акції одержить
72 відсоткові виплати, і /-та з них відбудеться в момент (/ — 1 +/), коли
значення індексу становитиме QoO + г)/_1+Л Перша відсоткова випла¬
та дорівнюватиме 1,3137 грн, /-ту, що відбудеться у (6/— 2)-му місяці
(рахуючи від серпня 1984 року), буде проіндексовано значенням ІРЦ у
(6/ — 10)-му місяці. Тоді значення цієї виплати дорівнюватиме
1,25/о(1 + Г)(6/~10)/6 = 1,25/о(1+Г)/~10/6.
Беручи до уваги те, що значення виплати при погашенні також прив’я¬
зано до ІРЦ, інвестор підрахував свій реальний прибуток з рівняння
1,3137V ^ , ос/о(1 + г)Ы°/б V-1+/
Ь 4"
А -85,625
Qo(l +r)f
QoO + r)i~]+f
+
+ 100
/о(1+г)72—ю/6 v71+/
QoO + r)71+/’
ЗВІДКИ
85,625 = yf [l,3137(1 + r)~f + j{ 1 + r)~f~2/z{ 1,25ащ + 100v71)].
Підставляючи всі значення з умови, маємо і = 0,01665, звідки (1 -Н)2 =
= 1,0336, тобто шукане значення прибутку — 3,36 %.
І.І0.30. 1. Оскільки ціна за облігацію більша за 100 грн і менша
від 150 грн, то прибуток іп при погашенні у рік п зростає для п < 20 і
спадає для 21 < п < 40. Прибуток іп знаходимо, розв’язавши рівняння
вартості 125 = 100v" + бац при п < 20 або рівняння 125 = 150v" + бац
при 21 < п < 40.
Міркування будуть наступні: а) неважко переконатися, що ід < 0,03
і г'ю > 0,03, отже, при 10 < п < 20 ї„ > 3%, а при 1 < п < 9 іп> 3%.
Також зрозуміло, що з першого рівняння випливає, що іп < 5% при
п < 20.
106
Далі визначимо, що г’зб > 0,05 і Ї37 < 0,05. Таким чином, маємо іп <
< 5 % при 37 < п < 40, іп > 5% при 21 < п < 36. З другого рівняння,
очевидно, іп > 3 % при 21 < п < 40. Отже, прибуток лежатиме в межах
від 3 % до 5 % тоді і лише тоді, коли 10 < п < 20 або 37 < п < 40.
Ймовірність цього дорівнює (10 • 11 + 4 • 15)/(10 • 20 + 20 • 15) = 0,34;
б) оскільки іп > 3 % при 21 < п < 40, ми повинні розглядати лише
п < 20. Очевидно, що ц < 0 і і& > 0. Отже, прибуток від’ємний тоді і ли¬
ше тоді, коли п < 4. Ймовірність погашення протягом перших чотирьох
років дорівнює 10 • 4/500 = 0,08.
2. Розв’яжемо перше рівняння при п = 4, тобто 125 = 100V1 + ба^,
отримаємо і = —0,0022 = —0,22 %.
1.10.31. Вимірюватимемо час кварталами. Нехай L — розмір позики.
Згідно зі схемою повернення позики, 1985 року повернення капіталу
дорівнює Ь(ащ — ощ)/ощ при відсотковій ставці 3 %, тому відсоткова
складова виплати
4 L
°48j
—(«361 — азі) = 0,101181L.
a48j
Прирівнюючи останній вираз до 6374,41, маємо L = 63000. Звідси зали¬
шок боргу на момент придбання дорівнює ащ за відсоткової ставки
’48|
З %, тобто 50837,35 грн, а розмір щоквартальної виплати — L/ащ =
= 2493,4 грн.
У випадку 1 чистий прибуток за квартал становить 2 %. Ми оцінюємо
чистий розмір платежів, що залишаються, за цієї відсоткової ставки. За
відсутності податку значення цих платежів дорівнює А = 2493,4аз2| =
= 58515,95, тому значення капітальних виплат ми можемо обчислити з
формули Мейкема, а саме:
58 515,95 = К + ^ (50 837,35 - К)
(тут 50837,35 — залишок боргу в момент придбання позики). Звідси
К = 35480,16, а ціна, яку сплатив інвестор, дорівнює
К + 0’ппо0’6(50837’35 " *) = 49^302.
У випадку 2 чистий прибуток за квартал дорівнює 0,08^/4. Пов¬
торюючи міркування попереднього пункту за цієї відсоткової ставки,
отримаємо, що інвестор сплатив 49735 грн.
1.10.32. Вимірюватимемо час по 4 роки. Нехай X — розмір кожної
виплати. Маємо рівняння Аащ = 100000 за ефективної відсоткової став¬
ки У за 4 роки, тобто 1 +/ = (1,04)4. Звідси
100 000[(1,04)4 — 1]
х =
1 — (1.04)
-40
= 21454,6.
107
Капітальні складові виплат у моменти 1, 2, ..., 10 дорівнюють, відповід¬
но, AVj°, Ху), ..., Ху. Тоді повернення капіталу становить
К = *(vj°v3i04 + v|v§i04 + . . . + V/V^) =
= X (VP04 v0,04 + vofo4vO,04 + • • • + v0,04v0°04) = 10-^vofo4 = 38 199,1.
Припускаючи, що прибутковий податок дорівнює 25 %, отримаємо суча¬
сне значення ануїтету за формулою Мейкема:
К + 0,75(100000 - К) = 84549,8.
Підрахуємо тепер значення додаткових податкових платежів у перші
16 років. Відсоткові складові платежів у ці роки дорівнюють Х(1 — у}0),
Х(1 — у]), ЛХ1 —V®), Х(1 — у]), тому сучасне значення додаткових пода¬
ткових виплат становить
0. 25.[(1 — vj°)Voo4 + (1 — v/)v0,04 + (1 — vf)vofo4 + (1 — vJ)vofo4] =
= 0,25X[(vq,o4 + vo,04 + vofo4 + — = 10897,9.
Тому ціна, сплачена за позику, 84549,8 — 10897,9 = 73651,9.
1. 10.33. Нехай і — чистий річний прибуток. Сучасне значення капі¬
тальних виплат при ставці і
К= 10000(v8+v16 + v24).
Сучасне значення відсоткових виплат без податків
І = 30000 • 0,06 • OJflg! + 20000 • 0,04 • 0,7(0^ - а^)+
+20000 • 0,04 • 0,5(а^ — a-щ) + 10000 • 0,02 • 0,5(а^ — а^) =
= 700agj + 160&щ + ЗООа^ + lOOo^j.
Значення і визначимо з рівняння 26000 = К + І. Наближено розв’язуючи
його, одержуємо і = 4,63 %.
1.10.34. 1. Нехай розмір щомісячного внеску дорівнює^. Вимірюючи
час кварталами, одержуємо = 100000 при ставці 4 %, звідки X =
bU|
= 1454,17.
2. Вимірюватимемо час місяцями. Відсоткова ставка у = 0,04^/3 =
= 0,013159. Зауважимо, що відсотки, які сплачуються наприкінці міся¬
ця, дорівнюють залишку боргу на початку місяця, помноженому на у.
Чистий прибуток дещо менший від 5 % на рік. Оцінимо позику при
значенні прибутку 4,5 % на рік: сучасне значення ануїтету (без ураху¬
вання податків) дорівнює Лащ при ставці 0,045^12Vl2, тобто 191240.
З формули Мейкема значення капітальних виплат К можна обчислити з
рівняння
191240-*+ий^(100000-'0’
108
звідки К = 64 645. Тоді чисте (без податків) значення ануїтету
0,2 0,013159
К +
(100000 — К) = 89964.
0,045<12)/12
При значенні чистого прибутку 5 % права частина дорівнює 86467 за
умовою задачі. Інтерполюючи, маємо, що чистий річний прибуток при¬
близно дорівнює 4,78 %.
І.І0.35. Нехай у 2&-й рік ціна погашення дорівнює 100+kX відсотків
номіналу. Оцінимо спочатку позику за умови погашення за номіналом і
оподаткування на рівні 50 %, а потім відкоригуємо результат. За цих
припущень при ставці 7 %
К = 2000(v2 + v4 + v6 + v8) = 5 769,37.
З формули Мейкема чисте значення позики
к + (8000 — К) = 7 403,91.
Сучасне значення “надлишку” податку у перші 5 років
20 Ц4) + а® + 2а^] = 274,85,
а надлишок премій при погашенні
20A(y2 + 2у4 + 3v6 + 4v8) = 134.562Л.
Звідси маємо рівняння
7403,91 + 274,85 + 134.562Л = 7880,95,
з якого Л = 1,5. Тоді ціна погашення позики у 2, 4, 6 і 8-й роки дорівнює
відповідно 101,5, 103, 104,5 і 106 %.
1.10.36. Для випадку 1 відразу помітимо, що розмір кожного плате¬
жу 100 OOO/ajgj в % = 11682,95. Сучасне значення цих виплат без ураху¬
вання податків при ставці 7 % 11 682,% = 106407. Якщо капі¬
тальна складова цих виплат дорівнює К, то за формулою Мейкема
К + ^(100000 - К) = 106407.
0,0о
Звідси К = 55 149, а ціна, яку потрібно сплатити,
К + °’°Q 0°7’Q6(100000 - К) = 85904 грн.
Зауваження. Це значення можна визначити і як К + 0,6(106407 — К).
Для випадку 2, оскільки g = і, формулу Мейкема для визначення К
застосовувати не можна. Але К можна обчислити безпосередньо:
К= П 862,95(vo508v0,o8 + v^408vg08 + • • • + уо,о»у10508) = 51 152,08.
Тоді ціна, яку потрібно сплатити за позику,
К + 0,6(100000-/0 = 80461 грн.
109
1.10.37. Вимірюємо час роками з моменту випуску. Інвестор придбає
позику в момент 1/2. Якщо позику буде повернуто в момент п, річний
прибуток і задовольняє рівняння
102 = (1 + 01/2(100vn + IOojjj).
Наближено розв’язуючи, отримаємо такі значення і:
п 1 2 3 4 5
і 0,163 0,122 0,1138 0,1103 0,1084
Найменший прибуток буде при поверненні позики через п’ять років
після випуску. Тобто, хоча ціна при погашенні менша за ціну покупки,
раннє погашення веде до більшого прибутку. Це відбувається через те,
що період до першої відсоткової виплати досить малий.
1.11. ВИЗНАЧЕННЯ ЦІНИ ФОРВАРДНИХ КОНТРАКТІВ
ЗА ПРИПУЩЕННЯ ВІДСУТНОСТІ АРБІТРАЖУ
Теоретичні відомості
Форвардний контракт — угода між двома сторонами, за якої одна
сторона погоджується придбати в іншої зазначену кількість активу за
зазначеною ціною (ціною при доставці) у зазначений момент часу. Інве¬
стор, що погоджується продати актив, займає “форвардну коротку пози¬
цію” за цим активом, а покупець — “форвардну довгу позицію”. Ціна при
доставці на момент укладання форвардного контракту дорівнює форвар¬
дній ціні, що котирується. Припущення про безарбітражність, або від¬
сутність арбітражу, означає, що інвестор не може досягти прибутку без
ризику для себе. Якщо не сказано супротивне, припускають, що фор¬
вардний контракт є безкоштовним. За такого припущення, якщо сучасна
ціна активу дорівнює Р, а безризикова відсоткова ставка і, то безарбі-
тражна форвардна ціна дорівнює /> = Я(1 + іУ, де t — час виконання
контракту. Якщо за активом сплачуються дивіденди розміром Хі у мо¬
мент часу ti < t, то значення дивідендів на момент виконання контракту
віднімається від форвардної ціни. У такому разі форвардна ціна
ft = Р{ 1 + іУ - £( 1 + іу-'Хі = (1 + іу(р -
і=і ' ;=і
Другий вираз у цій формулі природно інтерпретувати як перераховану
на момент t сучасну вартість грошового потоку до моменту t. Якщо
форвардний контракт не є безкоштовним, його вартість за припущення
відсутності арбітражу дорівнює дисконтованій різниці між котируванням
форвардної ціни активу і безарбітражною форвардною ціною.
110
Задачі
1.11.1. Актив має поточну ціну 1,20 грн. У випадку, коли безризи-
кова ставка відсотка дорівнює 5 % річних і припускається безарбітра-
жність, підрахуйте форвардну ціну, яку буде виплачено через 91 день.
1.11.2. Ціна акції становить 80 грн. Безризикова відсоткова ставка
становить 5 % на рік і сплачується щоквартально. З урахуванням без-
арбітражності і того, що за акцією не буде виплачуватися ніякий дохід,
підрахуйте форвардну ціну акції через один квартал.
1.11.3. Інвестор уклав довгостроковий форвардний контракт на акцію
7 років тому назад і контракт буде виконано через 3 роки. Ціна за
100 грн номіналу за акцію становила 96 грн сім років тому і зараз
становить 148 грн. Безризикова ставка відсотка дорівнює 4 % річних на
час контракту. Підрахуйте вартість контракту на даний момент, якщо за
цінним папером буде виплачено єдиний купон вартістю в 7 грн через два
роки і це відомо з самого початку. Вам потрібно припустити відсутність
арбітражу.
1.11.4. Актив має поточну ціну 100 грн. Дохід у розмірі 5 грн буде
виплачено через 20 днів. Безризикова річна відсоткова ставка 6 % кон¬
вертується щопівроку. Припускаючи безарбітражність угоди, підрахуйте
форвардну ціну, яку буде сплачено через 40 днів.
1.11.5. Десятимісячний форвардний контракт на акцію випущено
1 березня 2002 року на акцію ціною в 12 грн. Дивіденди розміром у
1.50 грн за акцію очікуються 1 червня, 1 вересня та 1 грудня 2002 ро¬
ку. Підрахуйте форвардну ціну, якщо відсутній арбітраж і безризикова
відсоткова ставка дорівнює 6 % річних, конвертованих щопівроку.
1.11.6. Тримісячний форвардний контракт було укладено 1 лютого
2001 року на акцію ціною 150 грн. Дивіденди виплачуються неперервно
і становлять 3 % річних. Крім того, очікується, що спеціальний дивіденд
розміром 30 грн на акцію буде виплачено 1 квітня 2001 року.
Припускаючи безризикову інтенсивність відсотка в 5 % річних і від¬
сутність арбітражу, підрахуйте форвардну ціну акції за контрактом.
1.11.7. Семимісячний форвардний контракт було випущено 1 січня
2000 року на акцію ціною в 60 грн за штуку. Дивіденди розміром 2 грн
на акцію очікуються після трьох і шести місяців.
Припускаючи безризикову інтенсивність відсотка 7 % за рік і відсут¬
ність арбітражу, підрахуйте форвардну ціну.
1.11.8. Деяка компанія випустила акції як частини трирічного фор¬
вардного контракту. Поточна риночна вартість однієї акції дорівнює
4.50 грн, і дивіденд 0,20 грн на кожну акцію було тільки що випла¬
чено. У подальшому планується, що дивіденди виплачуватимуться що¬
квартально, зростатимуть на 1 % кожного кварталу перші два роки і на
111
1,5 % щокварталу в останній рік (тут відсотки складні). Припускаючи
безризикову інтенсивність відсотка 5 % за рік і відсутність арбітражу,
підрахуйте форвардну ціну.
1.1 і.9. Форвардний контракт терміном на один рік укладено 1 квітня
2003 року на акцію ціною в 600 грн на той момент. Дивіденди по ЗО грн
на акцію очікуються ЗО вересня 2003 року і 31 березня 2004 року. Піврі¬
чна і річна ефективні спотові безризикові відсоткові ставки дорівнюють
4 % і 4,5 % річних на 1 квітня 2003 року. Розрахуйте форвардну ціну
контракту, припускаючи безарбітражність угоди.
1.11.10. Ціна облігації становить 95 грн за 100 грн номінальної вар¬
тості. За облігацією щопівроку сплачуються купони за річною ставкою
5 %, термін обігу становить 5 років. Інвестор займає коротку позицію
у форвардному контракті на 1 000 000 грн номіналу за цією облігацією,
з ціною при доставці 98 грн за 100 грн номінальної вартості, контракт
закінчується через рік, відразу після відповідної купонної виплати. Без¬
ризикові ставки відсотку на півроку і на рік становлять відповідно 4,6 %
та 5,2 % річних при неперервному дисконтуванні. Обчисліть вартість
цього контракту для інвестора у припущенні відсутності арбітражу.
Відповіді та вказівки
1.11.1. Різниця між володінням активом і володінням форвардом по¬
лягає у тому, що в другому випадку суму, що дорівнює вартості активу,
можна інвестувати за безризиковою ставкою, отже, форвардна ціна
/91 = 1,2 • (1,05)91/365 = 1,2147.
1.11.2. Ціна становить 80- 1,0125 = 81 грн.
1.11.3. Форвардна ціна при укладанні угоди: 96(1,04)10 — 7 • 1,04 =
= 134,82. Форвардна ціна, яка має бути зараз: 148(1,04)3 — 7 • 1,04 =
= 159,20. Отже, сучасна вартість контракту (159,20— 134,82)v3 = 21,67.
Зауваження. Вартість можна було порахувати і безпосередньо як
148 — 96(1,04)7 = 21,67, у цьому випадку виплата за купоном не має
жодного значення.
1.11.4. Форвардна ціна
/40 = Ю0(1,03)40/182-5 - 5(1,03)20/182-5 = 95,64475 грн.
1.11.5. Сучасна вартість дивідендів І = l,5(v1/4 + v1/>2 + v3/4). Ефе¬
ктивна ставка становить і = (1,03)2 — 1, тобто і % = 6,09 %, тому
І = 4,3693. Отже, форвардна ціна F = (12 — 4,3693)(1,0609)10/12 =
= 8,0160 грн.
1.11.6. З урахуванням неперервного надходження дивідендів і непе¬
рервної ставки форвардна ціна
150е(0'05-°'03)/4 - 30е°'°5/12 = 120,63 грн.
112
і.і 1.7. Сучасна вартість дивідендів
/ = 2(е-0,07'0,25 + е-°-07 0'5) = 3,8965, T-t = {-2 = 0,58333.
Тому форвардна ціна
F = (60 - З,8965)е0,07 0’58333 = 58,44 гри.
1.11.8. Сучасна вартість дивідендів, коп:
1 = 20 [і,01е-°'05/4 + 1,012е—0,05/2 + ... + 1,018е-0,1 +
+ 1,018 (1,015е—0,05/4 + 1,0152е—0,05/2 + 1,0153е_0,05'3/4 + 1,0154е-0,05)
= 2о.,оіе-»®ЬІІ^^ +
I,vie 1 _ l,01e-°.05/4 +
+ 20- 1,018е—0,051,015
1 - (і,015е-°,05/4)
1 - 1,015е—0 05/4
237,031.
Тоді форвардна ціна акції
(4,50 - 2,37031)е0,15 = 2,474 гри.
1.11.9. Сучасна вартість дивідендів
0,З^У% + 0,3v4 5 0/4 (0,980581 + 0,956938) = 0,581256.
Тому форвардна ціна
F = (6 - 0,581256)1,045 = 5,66259.
1.11.10. Сучасна вартість купонних виплат
І = 2,5(е-0,046 0,5 + є-0,052'1) = 4,81648.
Тому дисконтоване значення безарбітражної форвардної ціни дорівнює
95 — 4,81648 = 90,18352. Отже, вартість контракту на 100 гри номіналу
98е_0,052 — 90,18352 = 2,85701 грн. Таким чином, вартість вказаного
контракту 28570,1 грн.
1.12. ЧАСОВА СТРУКТУРА ВІДСОТКОВОЇ СТАВКИ
Теоретичні відомості
Одинична облігація з нульовим купоном і терміном погашення п років
є угодою виплатити 1 грн наприкінці п-го року без виплати купонів.
Позначимо через Рп ціну випуску цієї облігації; n-річною дискретною
спотовою відсотковою ставкою назвемо таку відсоткову ставку уп, що
Рп = (1+УпГП-
113
Довільну інвестицію з фіксованим відсотком можна розглядати як
комбінацію облігацій з нульовим купоном. Наприклад, облігацію, що
виплачує наприкінці кожного року купони на суму D протягом п ро¬
ків і з сумою погашення R наприкінці n-го року, можна розглядати як
комбінацію п облігацій з нульовим купоном з сумою погашення D і з
термінами погашення відповідно в 1, 2, ..., п років плюс облігація з
нульовим купоном з сумою погашення R і з терміном погашення п років.
Позначимо уУі = (1 + yt)~l, тоді сучасна вартість облігації дорівнює
А = D(P\ + ... + Рп) + RPn = В(уух + "v^ + ... + VyJ + R-Vya.
Дискретна форвардна ставка Д,г — річна відсоткова ставка, яку
узгоджено в початковий момент часу t = 0 і яка стосується інвестиції,
що буде зроблено в момент часу t > 0 на термін у г років. Таким чином,
якщо в нульовий момент часу інвестор погодився інвестувати капітал С
у момент t на г років, то накопичена в момент t + r сума дорівнюватиме
C(1 +ft,r)r- Маємо співвідношення (1 + yt)f( 1 + ft,r)r = (1 + yt+r)t+r = Pf+l-
Отже, (1 + ft,r)r = Pt/Pt+r■ Одноперіодну форвардну ставку позначимо
ft = ft,і, тоді (1 + у{У = (1 + /0)(1 + /і) • • • (1 + Л—і)-
Неперервна f-річна спотова відсоткова ставка У* визначається із
співвідношення Pt = e~Ylt, звідки Yt = —(InPt)/t. Із означення випливає,
що (1 + у{У = eY,t.
Неперервна форвардна ставка Ftir — інтенсивність відсотка, екві¬
валентна річній дискретній форвардній ставці ДіГ, тобто (1 + ft,r)r =
= eF,-'r. Звідси ft,r = eF‘-r — 1. Мають місце співвідношення eYtteFt'r =
= e^t+AY‘+r => Ftг = 7 [(* + r)Yt+r - tYt]. Оскільки Yt = -(InPt)/t, to Ftr =
= ІП (Pt/Pt+r)/r.
Миттєва форвардна ставка Ft визначається як Ft = lim Ftr. Отже,
r—їО
Ft = lim - In (Pt/Pt+r) = In Pt=>Pt = exp { - Ґ Fsds\.
г-*о г at I JO J
Номінальний n-річний дохід ycn — розмір купонних виплат за облі¬
гацією номіналом у 1 грн терміном на п років з ціною в 1 грн. Таким
чином, має місце співвідношення 1 = усп(ууі + + • • • + v” ) + Уу, де
Ъ, = 0 +&)“'■
Нехай {С/4}, k = 1, ..., п, — грошовий потік і нехай А — сучасна
вартість цього грошового потоку відносно ставки доходності до погашен¬
ня і. Тоді А = Ylk=\ Ctkyf’ Де уі = т+і- Волатильністю v називають таку
міру зміни сучасної вартості А відносно і:
„ If. Е;.іС,.4уГ‘
Adl ELi c»v* •
114
Дисконтованим середнім часом, або тривалістю, грошового потоку нази¬
вається величина
_ Ylk=i
ELi c„v(*'
Таким чином, т = (1 + i)v. Дисконтований середній час для облігації, ви¬
даної на п років з річними купонними виплатами D і з сумою погашення
R, дорівнює
D(Ia)-{ + Rnwn
Т Z)a-| + Rvn
Опуклість с грошового потоку визначається як
= l#_A = Y!k=\ Ctjkjtk + l)v-t+2
А ** ЕЇ-, cbv?
Нехай деякий фонд має грошовий потік по активах {Atk} і грошовий
потік по зобов’язаннях (пасивах) {Ltk}. Позначимо через 1/д, Vi сучасну
вартість грошових потоків за активами і пасивами відповідно. Нехай
VA, Vl — волатильності, а Са, Сі — опуклості відповідних грошових по¬
токів. При відсотковій ставці г’о фонд імунізовано відносно малих змін
є відсоткової ставки тоді і тільки тоді, коли V^i(io) = Vi(io) і 1^4(го +
+ є) > Vi(io + є). Умови імунізації Редінгтона: Уа(іо) = Vi(io), од(іо) =
= vi(io), са(іо) > Сі(Іо).
Задачі
1.12.і. 1. Нехай {С^} — значення грошового потоку в моменти часу
tk,k=l,2,...,n:
а) дати означення волатильності грошового потоку і вивести формулу
для волатильності у термінах tk,Qk і v;
б) дати означення опуклості грошового потоку і вивести формулу для
опуклості у термінах tk,Qk і у.
2. Боргову облігацію випущено 1 березня 2005 року, щорічні купонні
виплати наприкінці кожного року дорівнюють 8 % річних. Облігацію
буде погашено за номіналом через 10 років:
а) показати, що волатильність цієї облігації на 1 березня 2005 року
при ефективній річній відсотковій ставці 8 % дорівнює 6,71;
б) 1 березня 2005 року інвестор має зобов’язання на 100000 грн,
які він повинен виплатити через 7,247 року. Обчислити волатильність
і опуклість цих зобов’язань 1 березня 2005 року за ефективної річної
відсоткової ставки 8 %;
115
в) 1 березня 2005 року інвестор вирішує інвестувати суму, еквіва¬
лентну сучасній вартості зобов’язань, у боргову облігацію. Сучасна вар¬
тість зобов’язань і ціна облігації обчислюються при ефективній річній
відсотковій ставці 8 %. Вважаючи, що опуклість облігації на 1 бере¬
зня 2005 року дорівнює 60,53, з’ясувати, чи буде інвестор імунізований
відносно малих змін відсоткової ставки.
3. Обчисліть різницю сучасних вартостей активів і зобов’язань інвес¬
тора на 1 березня 2005 року, якщо зразу після купівлі облігації позики
ефективна відсоткова ставка зросла до річних.
1.12.2. Однорічна форвардна ставка Д для t = 0,1,2 дорівнює відпо¬
відно /о = 0,06, /і = 0,065, = 0,07. Який номінальний дохід 3-річної
облігації?
1.12.3. 1. Інвестор купив облігацію з купонами в 10 % на рік, які
виплачуються наприкінці кожного півріччя. Облігацію буде погашено
через 20 років сумою в ПО грн. З купонних виплат береться податок
розміром 25 %:
а) покажіть, що ціна облігації при ефективній відсотковій ставці 10 %
річних дорівнює 81,76 грн;
б) обчисліть волатильність облігації при 10 % річних.
2. Інвестор має два платіжних зобов’язання. Сучасна вартість зобо¬
в’язань при ефективній відсотковій ставці 10 % річних дорівнює сучасній
вартості облігації з купонами, яку купив інвестор. Виплати по обох зо¬
бов’язаннях однакові. Друге платіжне зобов’язання має бути погашено
через 10 років:
а) покажіть, що при терміні погашення для першого зобов’язання в
9,61 років волатильність зобов’язань дорівнюватиме волатильності об¬
лігації;
б) обчисліть опуклість зобов’язань;
в) відомо, що опуклість облігації дорівнює 318,413. Чи буде інвестор
імунізований відносно малих змін відсоткової ставки?
1.12.4. Задано наступні л-річні спотові ставки в момент часу t = 0:
1/1=4 %, 1/2 = 5 %, і/з = 6 %, 1/4 = 7 %, г/s = 7,5 %, уе = 8 %.
1. Дайте означення «-річної спотової ставки.
2. Обчисліть дворічну форвардну відсоткову ставку в момент t = 3.
3. Обчисліть значення шестирічного номінального доходу в момент
t = 0.
1.12.5. Позначимо через «-річну форвардну ставку операцій, що
починаються в момент часу t і закінчуються в момент часу t + п. За¬
дано /о,і = 6 %, /о,2 = 6,5 %, /і 2 = 6,6 % річних. Визначити 3-річний
номінальний дохід усз.
1.12.6. Інвестор зобов’язаний виплатити загальну суму в 20000 грн
через 15 років, а також забезпечити виплати за ануїтетом, за яким ви-
116
плануються 5000 грн річних авансом щопівроку протягом 25 років і
виплати починаються через 10 років від нинішнього часу. Інвестор має
капітал, що дорівнює сучасній вартості цих двох зобов’язань за ефектив¬
ної річної відсоткової ставки 7 %. Інвестор хоче імунізувати свої фонди
відносно малих змін відсоткової ставки інвестуванням наявних коштів
у дві облігації з нульовим купоном X і У. Ціна облігацій визначається
річною ефективною відсотковою ставкою 7 %. Інвестор вкладає в облі¬
гацію X суму, яка забезпечить 25000 грн при погашенні через 10 років.
Залишок наявних коштів інвестор вкладає в У.
1. Обчислити суму грошей, інвестовану в облігацію У.
2. Визначити термін погашення облігації У і суму погашення.
3. Без обчислень визначити умови імунізації фондів інвестора.
1.12.7. Задано спотові відсоткові ставки у\ = 7 %, г/2 = 6 %, г/з =
= 5,5 % річних. Чому дорівнює 2-річна форвардна відсоткова ставка з
моменту часу t = 1?
1.12.8. 1. Нехай {С/4} — грошовий потік у моменти часу tk, k= 1
niV — сучасна вартість цих платежів при ефективній відсотковій ставці
і. Таким чином, V = Ylk= і + i)~tk- Дайте означення:
а) дисконтованого середнього часу т цих грошових потоків у термінах
4, Ctk, у, у = 1/(1 +1);
б) волатильності v грошового потоку в термінах V і покажіть, що
т = (1 + i)v.
2. Фонд має забезпечити виплати за ануїтетом, за яким виплачується
60000 грн щорічно із заборгованістю протягом 9 років і з сумою погаше¬
ння 750000 грн через 10 років. Фонд має кошти, що дорівнюють суча¬
сній вартості зобов’язань при 7 % річних ефективної відсоткової ставки.
Менеджер фонду має бажання інвестувати ці кошти у дві облігації з
нульовими купонами: облігацію А, що погашається через 5 років і облі¬
гацію Б, що погашається через 20 років. Менеджер хоче, щоб активи і
зобов’язання мали однакову волатильність. Які суми менеджер повинен
інвестувати в кожну з облігацій?
3. За яких додаткових умов фонд буде імунізований відносно малих
змін відсоткової ставки?
і. і 2.9. У момент часу t = 0 задано спотові відсоткові ставки у і =
= 4,5 %, У2 = 5 %, г/з = 5,5 % річних. Чому дорівнює дворічна форвардна
відсоткова ставка з моменту часу t = 1?
і.12.10. Нехай ft<r — форвардна ставка, що застосовується за період
від t до t + r, yt є спотовою ставкою за період від 0 до t. Дохід брутто
від однорічної облігації з 6 %-ним купоном становить 6 % річних; дохід
брутто від дворічної облігації з 6 %-ним щорічним купоном становить
6,3 % річних; і дохід брутто від трирічної облігації з 6 %-ним річним
117
купоном становить 6,6 % річних. Всі облігації погашаються за номіналом
через один рік після наступної виплати за купоном.
1. Припускаючи безарбітражність, підрахуйте:
а) Уі, У2, Уз\
б) /о,ь /і.ь /2,1-
2. Поясніть, чому форвардні ставки збільшуються з часом швидше,
ніж спотові.
1.12.11. 1. Змінний ануїтет, що підлягає виплаті із заборгованістю
протягом п років, є таким, що виплата наприкінці року t становить t2.
Покажіть, що його сучасна вартість дорівнює
2 Уа)щ ~ ~ «У*1
1-У
2. Пенсійний фонд має сплатити за своїми пасивами 100000 грн на¬
прикінці першого року, 105000 грн наприкінці двох років, і так да¬
лі, сума збільшуватиметься на 5000 грн щороку, тобто дорівнюватиме
195000 грн наприкінці 20 років, і це буде остання виплата. Фонд оцінює
ці виплати за ставки 7 % річних. Це є також відсоткова ставка, за якою
підраховано поточну ціну всіх облігацій.
Фонд вкладає суму, що дорівнює сучасній вартості цих пасивів, у
два активи: облігацію А з нульовим купоном, що погашається через
25 років та облігацію Б з фіксованим відсотком, що погашається за
номіналом через 12 років, за якою виплачується щорічно купон 8 %
річних із заборгованістю. Підрахуйте:
а) сучасну вартість і тривалість пасивів;
б) суму готівки, яку потрібно буде інвестувати в кожен актив, щоб
тривалість активів дорівнювала тривалості пасивів.
1.12.12. Пенсійний фонд зробить виплати розміром 100000 грн на¬
прикінці кожного з наступних 5 років. Він хоче імунізувати ці пасиви
інвестуванням у дві безкупонні облігації, які погашаються через 5 років
і через рік, відповідно; ставка становить 5 % річних.
1. Покажіть, що:
а) сучасна вартість пасивів становить 432950 грн;
б) тривалість пасивів становить 2,9 року.
2. Підрахуйте номінальну вартість двох безкупонних облігацій, які
будуть придбані, якщо пенсійний фонд хоче зрівняти сучасну вартість і
тривалість активів і пасивів.
3. Підрахуйте опуклість активів.
4. Відомо, що опуклість пасивів дорівнює сЦ0,05) = 12,08. Чи вико¬
нуються умови імунізації за Редінгтоном?
1.12.13. Задано n-річну спотову ставку відсотка
Уп = 0,04 + j^Q. п= 1,2,3.
118
1. Підрахуйте відповідні однорічні форвардні ставки, які застосовую¬
ться в моменти t = 1 і t = 2.
2. Припускаючи, що купон і капітальні виплати можуть бути дис¬
контовані з використанням однакових дисконтних множників, і що немає
арбітражу, підрахуйте:
а) ціну в момент t = 0 за 100 грн номіналу облігації, за якою випла¬
чуються щорічні купони в 3 % із заборгованістю, і яка погашається за
ставкою 110 % через 3 роки;
б) дворічний номінальний дохід.
1.12.14. 1. Інвестування приносить щорічний дохід у 1 млн грн, який
виплачується наприкінці кожного року протягом наступних 10 років. По¬
гашення капіталу не відбувається. Якщо ставка відсотка становить 7 %
річних, покажіть, що дисконтований середній час інвестиції становить
4,946 року.
2. Інвестиційна компанія має 7 млн грн пасивів, які слід відшкоду¬
вати через 5 років і 8 млн грн пасивів, які потрібно відшкодувати через
8 років. Компанія володіє двома інвестиціями А і Б. Інвестиція А —
інвестиція, яку описано в пункті 1, а інвестиція Б є облігацією з нульо¬
вим купоном, за якою виплачується X грн наприкінці п років (де п не
обов’язково ціле).
Відсоткова ставка становить 7 % річних. Визначити, чи дійсно ве¬
личини X і п можна обрати так, щоб вони гарантували інвестиційній
компанії імунізацію відносно малих змін у відсотковій ставці.
Відомо, що Х)'=і t2yt = 228,451 при і = 7 %.
1.12.15. Річна ефективна форвардна ставка, що застосовується за
період від t до t + г, визначається як ft,r, де t та г вимірюються в роках.
При даних значеннях /о,і = 8 %, /щ = 7 %, /2,1 = 6 % и /з і = 5 %
підрахуйте дохід брутто в момент випуску чотирирічної облігації, що
погашається за номіналом, і за якою виплачується щорічно 5 %-ний
купон із заборгованістю.
1.12.16. 1. Нехай грошові надходження відбуватимуться у дискретні
моменти часу. Визначимо волатильність як пропорційну зміну сучасного
значення потоку платежів на одиницю зміни інтенсивності відсотка при
малих змінах інтенсивності відсотка.
Доведіть, що при такому означенні дисконтований середній час дорів¬
нює волатильності.
2. Якщо волатильність визначається тепер як пропорційна зміна су¬
часного значення потоку платежів на одиницю зміни річної ефективної
ставки відсотка для маленької зміни в річній ефективній ставці відсотка,
визначте взаємозв’язок між дисконтованим середнім часом та волатиль-
ністю.
119
3. Компанія зі страхування життя керує невеликим ануїтетним фон¬
дом. Очікується, що з фонду зроблять виплати в розмірі 1 млн грн
наприкінці кожного з наступних 10 років, і розміром 1,5 млн грн напри¬
кінці кожного з 10 років потому. Активи компанії розміщено у двох
облігаціях. Першою є облігація з нульовим купоном, яку буде погашено
в 10-річний період. Другою є облігація, за якою сплачується кожного
року купон g % річних із заборгованістю, і яку погасять за номіналом
через 19 років. Було придбано 10 млн грн номіналу облігації з нульовим
купоном.
Визначте номінальну вартість облігації з купоном, яку буде придбано,
і ставку купона, яку буде отримано від цієї облігації, якщо страхова
компанія прирівняла сучасну вартість і дисконтований середній час її
активів та пасивів за ефективною ставкою 5 % річних.
4. Якщо сучасна вартість і дисконтований середній час активів та
пасивів прирівнюються, задайте третю умову, яка є достатньою для іму¬
нізації страхової компанії відносно малих змін у відсотковій ставці.
1.12.17. Форвардна ставка з моменту t — 1 до моменту t, ft-\,u має
такі значення: /0>і = 4,0 %, /і>2 = 4,5 %, /2>з = 4,8 %.
Припускаючи відсутність арбітражу, підрахуйте:
а) ціну трирічної облігації номінальною вартістю 100 грн, за якою
виплачується щорічний купон розміром у 5 % із заборгованістю і яку
погашають за номіналом точно через три роки;
б) дохід брутто від облігації.
1.12.18. Є три облігації, за якими сплачуються річні купони в 7 % із
заборгованістю і які погашають по 105 грн на 100 грн номіналу в одно-,
дво- та трирічний період відповідно. Ціна кожної облігації становить
98 грн за 100 грн номіналу.
1. Визначте дохід брутто від трирічної облігації.
2. Підрахуйте всі можливі спотові ставки, враховуючи надану інфор¬
мацію.
1.12.19. Компанія має сплачувати за зобов’язаннями 1000 + A00t грн
наприкінці року t, для t = 5, 10, 15, 20, 25. Вона оцінює ці пасиви,
припускаючи, що в майбутньому постійна ефективна відсоткова ставка
становитиме 7 % річних.
Сума, що дорівнює загальній сучасній вартості пасивів, відразу ж ін¬
вестується в дві облігації: облігацію А, за якою сплачуються кожного
року купони розміром 5 % річних із заборгованістю, і яку гасять через
26 років за номінальною ціною, та облігацію Б, за якою сплачуються ко¬
жного року купони розміром 4 % річних із заборгованістю, і яку гасять
через 32 роки за номінальною ціною. Дохід брутто при виплаті за дво¬
ма облігаціями такий самий, як і той, що використовується при оцінці
пасивів. Підрахуйте:
120
а) сучасну вартість пасивів;
б) дисконтований середній час пасивів;
в) номінальну вартість кожної облігації за умови, що тривалості акти¬
вів і пасивів однакові.
1.12.20. Особа інвестує в ринок, на якому діє велика кількість спо¬
тових і форвардних ставок.
Якщо в момент t = 0 вона вкладає 1 000 грн на два роки, то отримає
1118 грн у момент t = 2. Інакше, якщо в момент t = 0 вона погоджується
інвестувати 1000 грн у момент t = 1 на два роки, то вона отримає
1 140 грн у момент t = 3. Але, якщо в момент t = 0 вона погоджується
інвестувати 1 000 грн у момент t = 1 на один рік, вона отримає 1058 грн
в момент t = 2. Підрахуйте:
а) однорічну, дворічну та трирічну спотові ставки в момент t = 0,
враховуючи задані ставки;
б) трирічний номінальний дохід у момент t = 0 на цьому ринку.
1.12.21. Нова група менеджменту розглядає справи фінансової ком¬
панії. Вона з’ясувала, що компанія має пасиви 15 млн грн, які потріб¬
но виплатити через 13 років, і 10 млн грн, які потрібно виплатити че¬
рез 25 років. Активи складаються з двох облігацій з нульовим купо¬
ном, за одною сплачується 12,425 млн грн через 12 років, за іншою —
12,946 млн грн через 24 роки. Поточна ефективна відсоткова ставка ста¬
новить 8 % річних. Визначте, чи виконуються необхідні умови імунізації
фінансової компанії відносно малих змін у відсотковій ставці.
1.12.22. Інтенсивність відсотка 6(t) є функцією часу і задається фор¬
мулою 6(t) = 0,04 + 0,00П, де t — кількість років.
1. Підрахуйте накопичену вартість одиничної суми грошей:
а) з моменту t = 0 до моменту t = 8;
б) з моменту t = 0 до моменту t = 9;
в) з моменту t = 8 до моменту t = 9.
2. Використовуючи результати з пункту 1, або іншим способом, підра¬
хуйте восьмирічну спотову відсоткову ставку з моменту t = 0 до моменту
t = 8, дев’ятирічну спотову відсоткову ставку з моменту t = 0 до момен¬
ту t = 9 та /в.ь Де /в,і — форвардна відсоткова ставка з моменту t = 8
на 1 рік.
1.12.23. Страхова компанія має портфель ануїтетних контрактів, від¬
повідно до яких очікується виплата 1 млн грн наприкінці кожного з
наступних 20 років і 0,5 млн грн наприкінці кожного року протягом
наступних 20 років, тобто починаючи з 21-го року. За урядовою облі¬
гацією з найбільшою тривалістю, в яку компанія може інвестувати свої
фонди, виплачується купон у 10 % річних із заборгованістю, і облігацію
погашають за номінальною ціною через 15 років. Норма прибутку при
121
погашенні урядової облігації становить 6 % за рік, і купонну виплату
щойно було зроблено.
1. Підрахуйте тривалість пасивів страхової компанії при ефективній
ставці 6 % за рік.
2. Дайте відповідь на завдання пункту 1, якщо усі фонди страхових
компаній інвестуються в урядову облігацію з найбільшою тривалістю.
3. Поясніть, чому страхова компанія не може імунізувати свої пасиви,
купуючи урядову облігацію. Без додаткових обчислень вкажіть, за яких
обставин компанія може мати збитки, якщо зміни відсоткової ставки
будуть рівномірними. Поясніть причину втрат.
1.12.24. 1. Поясніть:
а) що мається на увазі під “теорією очікування”, що пояснює форму
графіка кривої доходу;
б) як “теорію очікування” можна модифікувати, використовуючи тео¬
рії “переваги ліквідності” і “сегментації ринку”.
2. Однорічні відсоткові ставки зараз дорівнюють 10 %, очікується,
що вони будуть 9 % через рік, 8 % через два роки, 7 % через три ро¬
ки і потім залишаться на цьому рівні. Якщо доходи за облігаціями з
будь-яким терміном погашення лише відбивають очікування майбутніх
короткострокових відсоткових ставок, підрахуйте дохід брутто за одно¬
річною, трирічною, п’ятирічною і десятирічною облігаціями з нульовим
купоном.
1.12.25. Дворічна облігація із фіксованим відсотком, з купонами у
8 % річних, які виплачуються із заборгованістю, погашається по 98 %
від номіналу. В момент часу t = 0 ця облігація має ціну 105,4 грн
за 100 грн номіналу, а дворічний номінальний дохід дорівнює 4,15 %.
Обчислити однорічну та дворічні спотові відсоткові ставки.
1.12.26. Страхова компанія має пасиви розміром 10 млн грн, що слід
відшкодувати через 10 років, 20 млн грн пасивів, які потрібно відшкоду¬
вати через 15 років, а також дві облігації з нульовим купоном, за одною
з яких буде виплачено 7,404 млн грн через два роки, а за іншою —
31,834 млн грн через 25 років. Ефективна відсоткова ставка становить
7 % річних.
1. Показати, що для цієї компанії виконуються дві перші умови Ре-
дінгтона для імунізації відносно малих змін відсоткової ставки.
2. Через сучасну вартість визначити прибуток або втрати, які компа¬
нія матиме, якщо відсоткова ставка відразу зросте до 7,5 % річних.
3. Поясніть, як можна було в пункті 2 без обчислень передбачити,
прибуток чи втрати матиме компанія.
1.12.27. Позначимо через /щ однорічну форвардну відсоткову ставку,
застосовану в момент часу t. При fti\ = 4 % обчислити неперервну фор¬
вардну відсоткову ставку Ftiі, яка застосовується в той самий період.
122
1.12.28. Страхова кампанія має неперервний потік платежів за зо¬
бов’язаннями протягом наступних 20 років. Виплати здійснюються по
10 млн грн щороку. Обчислити тривалість (дисконтований середній час)
цього неперервного потоку платежів при ефективній відсотковій ставці
4 % річних.
1.12.29. На ринку цінних паперів діють такі ціни на безкупонні облі¬
гації, що погашаються за номіналом: на однорічні — 97, на дворічні —
93, на трирічні — 88, на чотирирічні — 83.
1. Припускаючи, що арбітраж відсутній, обчислити:
а) yt, t = 1,2,3,4, де yt — ґ-річна спотова відсоткова ставка;
б) норму прибутку чотирирічної облігації, що погашається за номіна¬
лом і за якою виплачуються 4 % купони із заборгованістю.
2. Поясніть чому чотирирічна спотова ставка більша, ніж норма при¬
бутку облігації з пункту 16), що погашається за номіналом і має 4 %-ний
купон, який виплачується із заборгованістю.
3. Використовуючи теорію “переваги ліквідності”, поясніть поведін¬
ку кривої доходу, визначеної спотовими відсотковими ставками, обчис¬
леними в пункті 1а), якщо майбутні короткострокові відсоткові ставки
очікуються сталими.
1.12.30. 1. Доведіть, що
Vа) Ц =
аЦ
-ПУп
і
2. За урядовою облігацією раз у півроку виплачується купон із забор¬
гованістю розміром 10 грн на рік. Облігацію буде погашено за номіналом
через 10 років. Дохід брутто за облігацією становить 6 % річних, і спла¬
чується щопівроку. Обчисліть тривалість облігації в роках.
3. Поясніть, чому тривалість облігації більша, якщо купонна виплата
8 грн на рік замість 10 грн на рік.
1.12.31. При довічному ануїтеті щорічні купони виплачують із за¬
боргованістю. Показати, що волатильність довічного ануїтету дорівнює
1 /і, де і — відсоткова ставка.
1.12.32. 1. Підрахуйте дисконтований середній час наступного пото¬
ку платежів: 100 грн, що сплачуються зараз, 230 грн через п’ять років,
600 грн через десять років, якщо ефективна річна відсоткова ставка ста¬
новить: а) 5 %; б) 15 %.
2. Інвестор придбав ануїтет, за яким надходять щорічні платежі із
заборгованістю протягом 20 років. Перший платіж дорівнює 1 000 грн.
За відсоткової ставки 8 % річних підрахуйте дисконтований середній
час ануїтету, за умови, що: а) виплати незмінні; б) виплати щороку
зростають на 100 грн; в) виплати щороку зростають на 8 %; г) виплати
щороку зростають на 10 %.
123
1.12.33. 1. За даної відсоткової ставки один грошовий потік має су¬
часну вартість V\ і тривалість t\\ інший — V2 і fe- Покажіть, що, якщо
V\ + V2 ф 0, то за такої ж відсоткової ставки тривалість об’єднаного
потоку платежів дорівнює
V\t\ -I- V2І2
У1 + У2 ’
Узагальніть твердження на п потоків платежів.
2. Інвестор отримав ануїтет, за яким протягом 10 років здійснюються
виплати розміром 10000 грн наприкінці кожного року. Інвестор зобов’я¬
заний зробити два платежі розміром 30000 грн, перший через 5 років,
другий через 10 років після першого.
За відсоткової ставки 10 % річних:
а) підрахуйте сучасну вартість і тривалість виплат, отриманих інвес¬
тором, і платежів, зроблених ним;
б) використовуючи результат пункту 1 або іншим шляхом обчисліть
тривалість чистих потоків платежів інвестора.
1.12.34. 1. За особливим ануїтетом наприкінці £-го року виплачу¬
ється сума {п — t + 1 )t = {п + 1 )t — t2. Доведіть, що сучасна вартість
ануїтету
(п+ 1)(/а)^ -
2(Іа)-1-ац-п2у»+1
1 -V
Обчисліть значення даного виразу за річної ставки 9 % і п = 9.
2. Страхова компанія випускає тільки поліси повернення капіталу
із строком дії 10 років. Страхові премії сплачуються авансом щороку.
Витратами компанії можна знехтувати. Визначте за ефективної відсот¬
кової ставки 9 % річних:
а) тривалість майбутніх грошових надходжень за випущеним 1 сі¬
чня 1985 року пакетом полісів з річними преміями у розмірі 20000 грн
відразу після отримання перших премій 1 січня 1985 року;
б) тривалість надходжень за пакетами полісів, що випускалися в
однаковій кількості 1 січня кожного року з 1976 по 1985 включно, з
моменту відразу після надходження премій за 1 січня 1985 року.
1.12.35. {Час, за який волатильність досягає максимуму.)
За акцією з фіксованим відсотком 5 % річних відсотки сплачуються
неперервно. Акція погашається за номіналом через п (не обов’язково
ціле число) років.
1. За умови сталої річної інтенсивності відсотку 0,07, визначте вола¬
тильність акції при ті = 20 та ті — 60.
2. Волатильність v за сталої інтенсивності відсотку 5 є функцією від
п. Якщо 5 = 0,07, при якому значенні п волатильність найбільша і яке її
максимальне значення?
124
1.12.36. Аналітик оцінює дві компанії “Альфа” і “Бета”. “Альфа”
сподівається виплатити свій перший річний дивіденд через шість років.
Припускається, що дивіденди становитимуть 6 грн за акцію. Щорічні ди¬
віденди буде збільшено на 10 % на рік протягом наступних шести років.
Припускається, що дивіденди зростатимуть на 3 % на рік, починаючи з
цього моменту і без обмеження в часі.
“Бета” виплатить річний дивіденд 4 грн за акцію через один рік. Очі¬
кується, що щорічні дивіденди зростатимуть з цього моменту на 0,5 %
річних без обмеження в часі. Аналітик оцінює дивіденди по обох акціях
з відсотковою ставкою 6 % за рік.
1. Підрахуйте сучасну вартість: а) акцій “Альфа”; б) акцій “Бета”.
2. Спостерігаючи загальне підвищення відсоткових ставок, аналітик
вирішив вважати, що ефективна відсоткова ставка дорівнює 7 % на рік.
Покажіть, що у відсотковому відношенні вартість “Альфа” падає силь¬
ніше, ніж вартість “Бета”.
Поясніть вашу відповідь до пункту 2 у термінах тривалості.
1.12.37. Ринкові ціни акцій з фіксованим відсотком визначаються
за сталої інтенсивності відсотка 5 % на рік. Інвестор, що зобов’язаний
повернути 100000 грн через п’ять років, має грошову сумму, що дорів¬
нює сучасній вартості такого зобов’язання. Він бажає вкласти ці гроші
в акції з фіксованим відсотком, за якими відсоткові виплати надходять
неперервно і які погашаються за номіналом. Термін дії акції може бути
вибрано інвестором, і цей термін може не бути цілим числом. Інвестор
хоче, щоб дисконтований середній час зобов’язання дорівнював дискон¬
тованому середньому часу активів, які він придбає, за сталої інтенсив¬
ності відсотка 5 % річних.
1. Покажіть, що у випадку, коли відсотки за акцією сплачуються з
інтенсивністю k відсотків річних, термін дії акції дорівнюватиме тому
значенню п, для якого
0,05п _ 25 + 156 + n(k — 5)
15k ’
і визначте це значення для: a) k = 5; б) k = 10.
2. Припустимо, що акція має інтенсивність купонних виплат 10 %, і
вона має термін дії, обчислений у пункті 1. Доведіть, що інвестор, який
придбає цю акцію, імунізований відносно малих змін в інтенсивності
відсотка. Якою буде сучасна вартість його доходу, якщо інтенсивність
відсотка раптово зміниться до: а) 5,5 %; б) 4,5 % і залишиться сталою
на цьому рівні?
1.12.38. 1. Компанія зобов’язана зробити чотири платежі з п’ятирі¬
чним періодом, перший платіж через п’ять років. Розмір t-го платежу
дорівнює 1000 + 100£ грн. Компанія оцінює ці зобов’язання при ефек-
125
тивній річній відсотковій ставці 5 %. За цих умов визначте сучасну
вартість і дисконтований середній час даних зобов’язань.
2. Суму, що дорівнює сумарній сучасній вартості цих зобов’язань (за
ефективної річної ставки 5 %) негайно інвестуєть у дві щойно випущені
позики, одна з яких погашається через 10 років, інша — через ЗО років.
За кожною позикою наприкінці кожного року сплачується рента 5 %.
Обидві позики випущені і погашаються за номіналом. Виявилося, що
за річної ефективної ставки відсотка 5 % дисконтований середній час
виплат за позиками дорівнює дисконтованому середньому часу платежів
з пункту 1. Визначте суму, інвестовану в кожну позику.
і. 12.39. У певній країні інвестори можуть торгувати облігаціями з
нульовим купоном з будь-яким терміном дії. Облігації не оподатковую¬
ться, погашаються за номіналом, і оцінюються за незмінною неперерв¬
ною інтенсивністю відсотка.
Інвестор зобов’язаний повернути 1000000 грн через 10 років і має
грошову суму, що дорівнює сучасній вартості цього боргу за сталої рі¬
чної інтенсивності відсотка бо- Покажіть, що, придбавши певну комбіна¬
цію п’яти- і п’ятнадцятирічних облігацій з нульовим купоном, інвестор
може бути впевненим у прибутку незалежно від будь-якої зміни у ста¬
лій інтенсивності відсотка, яка використовується ринком для оцінюва¬
ння облігацій. Припускаючи, що бо = 0,05, і інвестор придбав потрібні
кількості облігацій, підрахуйте прибуток інвестора, якщо інтенсивність
відсотка змінюється на: а) 0,07; б) 0,03.
1.12.40. Страхова компанія зобов’язана повернути 100000 грн че¬
рез вісім років. Компанія має суму, що дорівнює сучасної вартості цього
боргу при сталій річній інтенсивності відсотка 5 % (яка також використо¬
вується для визначення ринкових цін цінних паперів), і хоче інвестувати
цю суму в таку комбінацію цінних паперів:
облігацій з нульовим купоном, що погашаються за номіналом через
20 років,
депозитів на дуже короткий термін (які можуть розглядатися як го¬
тівка, на яку сплачується рента).
1. Компанія хоче, щоб тривалість активів дорівнювала тривалості па¬
сивів. Визначте кількість, інвестовану в кожний з цінних паперів.
2. Припустимо, що інвестиції, про які йдеться у пункті 1, зроблено.
Визначте сучасну вартість прибутку організації (тобто різницю між су¬
часними вартостями активів і пасивів), якщо інтенсивність відсотка є
насправді: а) 2 %; б) 3 %.
1.12.41. Страхова компанія щойно випустила 15-річний поліс повер¬
нення капіталу з єдиною премією і страховою сумою 10000. Розмір пре¬
мії підраховано у припущенні, що інтенсивність відсотка стала і стано¬
вить б(t) = In 1,08. Витрати не враховуються.
126
Компанія інвестує частину страхової премії у 20-річну облігацію з
нульовим купоном, яка погашається за номіналом, ціна облігації ви¬
значається із вказаної інтенсивності відсотка; решту страхової премії
компанія вкладає в готівку. При цьому тривалість пасивів виявляється
рівною тривалості активів.
1. Обчисліть розмір премії і номінальну вартість придбаної акції.
2. Негайно після інвестиції страхової компанії ринкові фактори змі¬
нюють відсоткову ставку. Підрахуйте сучасну вартість прибутку або
втрат компанії, якщо майбутні грошові потоки дисконтуються зі сталою
річною інтенсивністю відсотка: а) 6(t) = In 1,05; б) б(t) = In 1,1; в) 6(0 —
лінійна функція, причому 6(0) = 1,05, 6(20) = In 1,1.
1.12.42. (Повна імунізація.)
Нехай б та S — відомі додатні числа, і також відомі два з чотирьох
додатних чисел а, А, Ь, В. Розглянемо систему рівнянь для двох не¬
відомих чисел:
1. Покажіть, що для заданої пари чисел:
а) а, Ь\
б) В, b (причому Ве~ьь < S);
в) А, а {АеЬа < S);
г) А, Ь (А < S)
існує єдина пара невідомих параметрів, що задовольняє дану систему.
2. Нехай б = 0,05 і S = 1. Покажіть, що при а = 15 і В = 0,98 існує
дві різні пари додатних чисел (Ь,А), що задовольняють дану систему.
Відповіді та вказівки
І.І2.1. 1. Характеристики грошового потоку: а) волатильність
де А = YH=\Ctkyt ~ сучасна вартість грошового потоку {С/*}; k =
= і «; Vi = l/l + і;
б) опуклість
АеЬа + Ве~ьь = S,
АаеЬа = ВЬе~ьь.
V = —
If. ELi Ctfrvf*1
Adi ELi C(,-v? ’
ELiCtW+Dv^2
ELi
127
2. У випадку а) нехай N — номінал облігації, тоді її волатильність
о (0,08) =
N[0,08у(Іа)щ + lOv11]
М[0,08аШ| +v10]
у[ї(/а)Ш| + ІОу10]
[іаШ| + V10]
= ^аШ| =6,71,
де і = 0,08; v = (1 + і)
б) волатильність і опуклість дорівнюють
г>(0,08) =
с(0,08) =
100000 • 7,247(1 + 0,08)_8,247 _ 7,247
100000(1 +0,08)"7'247 “ 1,08
100000 • 7,247 • 8,247(1 + 0,08)-9-247 _
100000(1 +0,08)-7'247 “
= 6,71,
51,240;
в) з умови задачі маємо І4(іо) = 14(*о) = 100000 • (1,08)—7,247 =
= 57250, а із пунктів 2а) і 26) од(г’о) = г^(іо) = 6,71, де і’о = 8 %,
VA(io), 14(г'о) — відповідно сучасна вартість облігації позики і зобов’яза¬
ння, а ^(іо), vi{io) — відповідно волатильність облігації позики і зобо¬
в’язання. За умовою задачі та за пунктом 26) має місце співвідношення
сл(го) = 60,53 > 51,24 = сі{іо). Отже, виконуються умови імунізації
Редінгтона. Тому інвестор імунізований відносно малих змін відсоткової
ставки.
3. 14(0,085) = 100000- (1,085)-7'247 = 55366, 14(0,085) = 57250 х
X (0,08аШ| + Y10)t=0>085 = 55371, Ул(0,085) - 1^(0,085) = 5.
1.12.2. Нехай уп — п-річна спотова відсоткова ставка, тоді п-річний
номінальний дохід усп визначається із співвідношення 1 = усп(ууі +
+ + ... + V" ) + lv", де УУІ = (1 + yt)-\ Маємо ух = /0, (1 + у2)2 =
= (1 +/о)(1 +/і). (1 + Уз)3 = (1 +/о)(1 +/і)(1 + k)- Звідси ус3 = 6,478 %.
1.12.3. 1. Характеристики облігації: а) ціна 14(0,1) = 10 • 0,75ощ +
+ 110v2° = 81,761, де Y = (H-t)_1; і = 0,1;
б) волатильність
^-Ю-0,75Е£і Н+1+20-1 ІОу21
1 ’ } 14(0,1)
_ 5 • 7,5v2(Е*=і yk/2)'w + 2 200v21 _ 5-7,5v2(^^)^ + 2200v21 _
8ЇЇ761 8061
_ 37,5v2 + 2200v21 on|
81,761 8’91’
2. Позначимо через C суму, яку потрібно сплатити за кожним із зобо¬
в’язань, тоді: а) сучасна вартість зобов’язань дорівнює 14(0,1) = C(v10 +
+V), де t — термін погашення першого зобов’язання. Із пункту 1а маємо
14(0,1) = 81,761, тому C(v10+vO = 14(0,1) = 81,761. Звідси при t = 9,61
128
одержимо С = 104,063. Волатильність зобов’язань
оі(0,1)
lOCv11 +9,61Cv10-61
81,761
8,91;
б) опуклість зобов’язань
cl (0,1)
104,063
81,761
(9,61 • 10,61V11-61 + 10- llv12) =87,526;
в) інвестор імунізований відносно малих змін відсоткової ставки, бо
виконуються умови Редінгтона.
1.12.4. 1. Див. теоретичну частину.
2. (1+/з,2)2 = (1 + г/з+2)3+2/0 + Уз)3 = 0 + г/5)5/1,063 = 1,2054. Звідси
/3,2 = 9,79%.
3. Нехай ус§ — 6-річний номінальний дохід у момент t = 0. Тоді 1 =
= ус6[1/1,04+ 1/(1,05)2 + 1/(1,Об)3 + 1/(1,07)4 + 1/(1,075)5 + 1/(1,08)6] +
+ 1/(1,08)6. Звідси і/Сб = 7,71 %.
1.12.5. За означенням 1 = ^(v^+v2 +v3 ) + v3 , де уУі = (1 +yk)~\
yk — k-річнг спотова відсоткова ставка. Маємо /о,і = ух, /о,2 = */2> (1 +
+ Уз)3 = (1 + г/і)(1 + /і,2)2 = (1 + 0,06)(1 + 0,066)2 = 1,20454. Отже,
усз = 6,395 % річних.
1.12.6. 1. Сучасна вартість зобов’язань інвестора дорівнює Vl(0,07) =
= Vlj (0,07) + Vl2(0,07) = 20000v15 + 500010|agj = 20000(1 + 0,07)-15 +
+ 5000v10a§ = 7248,92 + 5000(1 + 0,07)-10iog|/rf(2) = 38415,72 грн.
zd\ ZD\
Позначимо через Y і t відповідно суму погашення і термін погашення
облігації Y. Сучасна вартість активів дорівнює 1/д(0,07) = V*(0,07) +
+ VV(0,07) = 25000v10 + Y\K Із умови задачі Vy = Vx = 38415,72 грн.
Тому сума, інвестована в облігацію Y, Yy{ = 38415,72 — 25000(1 +
+ 0,07)-10 = 25706,99 грн.
2. Із умов Редінгтона випливає, що для імунізації фонду інвестора
відносно малих змін відсоткової ставки мають збігатися волатильності
активів і зобов’язань, va = »l- Оскільки Va = V/., то звідси випливає, що
має виконуватись рівність Y^tkLtk'vtk+x = 52SjASjysi+l, де Ltk — грошова
виплата за зобов’язанням в момент часу 4. Лі, — грошова виплата за
129
активом у момент часу Sj. Маемо
*=20
*=20
Далі, для активів маемо
= 25000- lOv11 + YtyM = 250 OOOv11 + ty(Yy{) = 651 695,433.
Звідси t = 22,18 року. Але Tv22,18 = 25706,99, тому Y = 115303,41 гри.
3. Для імунізації фонду інвестора відносно малих змін відсоткової
ставки потрібно, щоб опуклість активів була більшою за опуклість зобо¬
в’язань.
Отже, т = v/y = (1 + i)v.
2. Нехай А і В — суми, за якими погашають облігації А і Б від¬
повідно. Сучасна вартість зобов’язань дорівнює V/.(0,07) = 600000^ +
+ 750OOOv10 = 772 174 грн. Сучасна вартість активів 1/д(0,07) = Av5 +
+ Bv20. Тому Av5 + Bv20 = 772 174, v = 1/1,07. Із рівності волатильно¬
стей випливає (5Av6+20Bv21)/V/i(0,07) = (600000^=1 kyk+] +750000х
х 10vn)/VZ(0,07), звідки 5Av6 + 20Вv21 = 600OOOvt/a)^ + 750OOOv11 =
= 5226130. Позначимо шукані суми інвестицій в облігації х = Av5,
у = Bv20. Маємо систему рівнянь х + у = 772 174, 5х + 20у = 5226 130 х
х 1,07. Розв’язавши цю систему рівнянь, одержимо х = 656768 грн,
у = 115406 грн.
1.12.9. Оскільки (1 + уз)3 = (1 + г/і)(1 -Ь/1,2)2. то /іі2 = 6,004 %.
1.12.10. 1. Результати будуть такі: а) нехай Vn — ціна «-річної облі¬
гації при ефективній відсотковій ставці і, а Nn — номінал «-річної облі¬
гації. Тоді Vn - 0,Q6Nn {уі + v? +... + vf) + Nnyf - 0,06Nn (уУі + v22 +... +
1.12.7. Оскільки (1 + уз)3 = (1 + г/і)(1 +/1.2)2. то /і,2 = 4,76 %.
1.12.8. 1. Дамо означення: а) тривалість
б) волатильність
*=і *=і
130
+ v"n) + M,v" , де v* = 1/(1 + і), уУі = 1/(1 +Уу), yt — f-річна спотова
ставка. З цієї рівності одержимо систему рівнянь
r 0,06vo,o6 + ^о,об = 0,06л^ + уУї ,
< 0,06(v0,o63 + Чоез) + Voi063 = 0,06(v№ +Уу2) + У2У2,
. 0,06(vo,o66 + ‘vo,066 + ^о.обб) + vo,066 = 0,06(v„ + v^ + v^3) + v^.
Звідси, використавши співвідношення yt = 1/v^ — 1, маємо y\ = 0,06,
У2 = 0,06309, Уз = 0,06619;
б) /ол = У\ = 6 %, (1 +У2? = (1 +Уі)(1 +/і,і) =► /і,і = 6,619 %,
(1 + уз)Ь = (1 +У2)Ч 1 +/2,1) =* /2,1 = 7,259 %.
2. ОСКІЛЬКИ (1 +Ут+п)т+П = (1 +Ут)П( 1 +fm,n)n, ТО 1 + Ут+п = (1 +
+ Ут)т^т+П^(^ + fm,n)n^m+n'* І ПРИ ЗрОСТаННІ 1+/т,л по п, величина 1 + ут+п
може зростати по п, але повільніше, бо п/(п + т) < 1.
1.12.11. 1. Сучасна вартість такого ануїтету V = YTk=\ к2Ук- Оскільки
(іа)щ = Е*-і kyk> ац = £*-і ук>то v’(1 ~у) = Е*-і k2yk~ELik2yM =
= ELi [fe2-(fe-l)2]^-nV+1 = 2ELi k^-TLi Ук-п2уп+1 = 2(Ia)-r
— a-| — n2yn+x.
2. Результати будуть такі: а) сучасна вартість пасивів 14(0,07) =
= ££i(95000 + 50006)va = 95000ащ + 5000(/а)щ = 1446940 грн.
Тривалість, або дисконтований середній час, пасивів
Е£і(95000 + 5000Ц*у»
М ’ ’ 14(0,07)
5000
14(0,07)
[і9(/а)щ +J2k2yk] =
k=\
5000
[l9(7a)20|
+
2(1а)щ -ащ- 202v21
] = 9,43 року;
14(0,07) ■ i-v
б) нехай А і В — номінальна вартість активів А і Б відповідно. Три¬
валість активів за ефективної відсоткової ставки 7 %
1 12
%4(0,07) = т, /А А7Ч (25Лу25 + 0,08В kyk + 12Bv12).
14(0,07)
k=\
Із умови задачі випливає, що ^(0,07) = т/,(0,07) = 9,43. Сучасна вар¬
тість активів 14(0,07) = Лу25 + 0,08В у* + Bv12 = 14(0,07) =
= 1446940. Із одержаної системи рівнянь знаходимо Л = 1 249270 грн,
В = 534270 грн. Тому суми, інвестовані в активи, дорівнюють для Л:
Лу25 = 98440 грн, для В: 14(0,07) — Лу25 = 1 348500 грн.
1.12.12. 1. Підрахуємо:
а) сучасну вартість пасивів 14(0,05) = ІОООООа^ = 432950 грн;
б) тривалість т/,(0,05) = 100000(/а)^/14(0,05) = 1256640/432950 =
= 2,9 року;
131
2. Позначимо номінальну вартість п’ятирічної облігації через X, а
однорічної — через Y. Тоді з умов рівності сучасної вартості і трива¬
лості активів і пасивів одержимо систему рівнянь І/д(0,05) = Ху5 +
+ Yv = 432950, тд(0,05) = (5*v5 + Yy) /Уд(0,05) = 2,9. Звідси X =
= 262815,89 грн, Y = 238375,8 грн.
3. сд (0,05) = (5 • 6v7 + 2Yy3) /Кд(0,05) = 13,89.
4. Оскільки Va = Vl, Ті = тд, то vi = од, тому що т = (1 + i)v. Далі
сд > сі, отже, виконуються умови імунізації Редінгтона.
1.12.13. 1. Із системи (1 -l-i/jXl +/і,і) = (1 +у2)2, (1 + У2)2(1 +кі) =
= (1 + уг? визначаємо /ід = 4,3 %, /2,1 = 4,5 %.
2. Підрахуємо: а) ціна за 100 грн номіналу 3-річної облігації Р =
= 3(л^ + у2У2 + у3Уз) + 110^, де уУп = (1 + уп)~'. Тому Р = 105,24 грн;
б) номінальний дохід ус2 визначаємо з умови 1 = ус2{уУі + v2^) + v2^,
ус2 = 4,198 %.
1.12.14. 1. т(0,07) = (7а)-щ/ащ = 4,946 року.
2. Перевіримо виконання умов імунізації за Редінгтоном: 1/д = Vl,
va = vl, Сд > сі. За одиницю капіталу візьмемо мільйон гривень. Тоді
І/д(0,07) = ащ + Хуп, 14(0,07) = 7v5 + 8v8 = 9,6469. Звідси Хуп =
= 2,6234. За умови Va = Vl маємо од = vi -о- (7а)-щ + пХуп = 5 • 7у5 +
+ 8 • 8v8 => пХу11 = 27,4638. Таким чином, п = 10,4689, X = 5,3269.
При виконанні умов Va = Vl і од = vl маємо, що Сд > Сі -о- t2y* +
+п2Хуп > 52-7vs+82-8v8 = 422,761. Підставимо знайдені значення п, X і
одержимо t2y(+n2Xyn = 228,451+(10,4689)2-5,3269(0,9346)10-4689 =
= 515,966 > 422,761. Тому умови імунізації за Редінгтоном виконано.
1.12.15. Нехай і — дохід брутто за облігацією, тоді для сучасної
вартості облігації маємо рівність 5(vj + у2 + yf + yf) + 100v4 = 5("vy +
+ yl + yk + yV + 10Ч> де Уі = 0 + 0_1. Уу, = (1 + yt)~l. Уі ~
f-річна спотова ставка. Із системи рівнянь у, = /од, (1 + у2)2 = (1 +
+ Уі)(1 +/і.і)> (1 + #з)3 = +1/г)2(^ +/2,1)» (1 + У4)4 = (1 + і/з)3(1 +/з,і)
одержимо уУі = 1/1,08 = 0,925926, у\ = 0,925926(1/1,07) = 0,86535,
vj = 0,86535(1/1,06) = 0,81637, = 0,81637(1/1,05) = 0,77749. Таким
чином, маємо рівняння 5(vj + у2 + у3 + yf) + 100v4 = 94,6747. Звідси
^ = 0,93847 і і = (1 /уі) - 1 = 0,06556. Отже, і = 6,556 %.
1.12.16. 1. Нехай {Cf4} — потік платежів у моменти часу f*, k =
= 1 п, a V/6), т(б), v(6) — відповідно сучасна вартість, дисконтова¬
ний середній час і волатильність цього потоку платежів при інтенсивно-
132
сті відсотка 6. Маємо
А=1
г>(6) = lim
Д6->0
V(6) = £с*в"6\ т(6) = ^Ске-Ь(ЧУ{Ь),
k=\
1/(6)- 1/(6 + Д6) 1
51 - 1/Ї6Ї - '
і=і
Д6
У'(6)
1/(6) 1/(6)
= J2tkCtke~^/V(S) = T( 6).
2. Нехай V, т, v — відповідно сучасна вартість, дисконтований серед¬
ній час і волатильність цього потоку платежів при відсотковій ставці і.
Тоді ^ = 1/(1 + і), 1/ = ZLі Ctkyf, х = £Ц=і hCtky\4V,
,. V-V(i + Ai) 1
v= lim — —
д/-> о At V
k=\
3. Позначимо через X номінал облігації з купонами, а через g купонну
ставку цієї облігації. За грошову одиницю візьмемо 1 млн грн. Тоді при
відсотковій ставці 5 % сучасна вартість і дисконтований середній час
пасивів дорівнюють: Vi(0,05) = а-щ(1 + l,5v10) = 14,832448,
Ті(0,05) = ЇЩо5){(/а)їо| + 1.5[(/e)aoj - (/я)їо|]} = 146,739045/14(0,05).
При відсотковій ставці 5 % сучасна вартість і дисконтований середній
час активів дорівнюють, відповідно, 14(0,05) = 10v10 + gAa-щ + Av19,
т:л(0,05) = [102v10 + gX(Ia)-^ + 19Av19]/V4(0,05). Із системи рівнянь
14(0,05) = 14(0,05), ^(0,05) = т^(0,05) визначимо X = 2652008 грн,
g = 0,2385 = 23,85 %.
4. Для імунізації фонду потрібно додатково, щоб опуклість активів
була більшою за опуклість пасивів.
1.12.17. Підрахуємо: а) із співвідношень (1 + yt)* = (1 + ух_хУ~х{\ +
+ft-u)1 уук = 1/0+У*) маємо v* = 1/ПІ-іО+//-!.*)• Тому сучасна вар¬
тість трирічної облігації з 5 %-ними купонами дорівнює V = 5(v^ +v2s +
+'v23)+l(Xhi = 5/1,04+5/(1,04 • 1,045)+(100 + 5)/(1,04 • 1,045 • 1,048) =
= 101,597 грн;
б) нехай і — дохід брутто від облігації, тоді для сучасної вартості
облігації маємо рівність V = 5(v,- + v2 + vf) + 100vf = 101,597, де v,- =
= 1/(1 + і). Звідси Vj = 0,957672, отже, і = І/v* — 1 = 0,0441988.
1.12.18. 1. Нехай і — дохід брутто від трирічної облігації, тоді для
сучасної вартості облігації маємо рівність 98 = 7(vt + v2 + vf) + 105vf,
де vt- = 1/(1 + і). Звідси V; = 0,914786, отже, і = 1/v; — 1 = 0,0931518.
133
2. Спотові відсоткові ставки yk, k = 1, 2, 3 знаходимо із системи
рівнянь
г 7уУх + 105v^ = 98,
< 7(v^+v|) +105=98,
k 7K + + vj) + lOOvJ = 98.
Маємо y\ = 14,286 %, y2 = 10,41 %, г/з = 9,148 %.
1.12.19. Підрахуємо: а) маємо у = 1/1,07 = 0,9346. Сучасна вартість
пасивів при 7 %-ній ефективній річній відсотковій ставці Vi(0,07) =
= 1000£/(1+0,4*)V = 1000(3v5+5v10+7v15+9v2°+lW25) = 11570,34;
б) тривалість пасивів т/,(0,07) = 1 000 (1 + 0,4£) V/V/, (0,07) =
= 14,8097 року;
в) нехай X і У — номінали облігацій А і Б відповідно. Тоді із рівності
сучасної вартості і дисконтованого середнього часу для активів і пасивів
одержимо рівняння Va = Vl =ї 0,05^а2б| + Xy2G + + Tv32 =
= 11 570,34 =+ 0,76349^+0,6206У = 11 570,34 ітл = ті + *[0,05(/а)щ +
+ 26v26] + У[0,05(/а)щ + 32y32] = 14,8097VZ =+ 10,3175* + 9.3061У =
= 171 353. Звідси X = 1 900 грн, У = 16307 грн.
і. 12.20. Результати будуть такі: а) нехай yt — +річна спотова від¬
соткова ставка. Із умови задачі маємо 1000(1 + г/г)2 = 1,118, 1000(1 +
+ /і,2)2 = 1140, 1000(1 +/і,0 = 1,058. Крім того, (1 +у2)2 = (1 +*/і)0 +
+ /і,і), (1 + Уз)3 = (1 + У\)Ь + /і,2>2- Звідси ух = 5,671 %, у2 = 5,7355 %,
уз = 6,4029 %;
б) трирічний номінальний дохід ус3 визначимо із співвідношення 1 =
= УСзІУщ + у2у2 + vw) + ууг Одержимо ус3 = 6,3605 %.
1.12.21. Перевіримо умови імунізації Уа(іо) = VZ(io)> од(іо) = ^(г’о),
са(Ь) > О.(*о)- Маємо у = 1/1,008 = 0,9259, 1/^(0,08) = 12,425v12 +
+ 12,946v24 = 6,9757, VZ(0,08) = 15v13 + 10v25 = 6,9757 =► VA = VL\
(VaYi = -(12,425- 12v13 + 12,946-24v25) = -100,19, (VJJ = -(15- 13v14 +
+ 10 • 25v26) = -100,19 =>vA = vL. (ВД = 12,425 • 12 • 13v14 + 12,946 x
x 24 • 25v26 = 1 710,11, (VL)'i = 15 • 13 • 14v15 + 10 • 25 • 26v27 = 1 674,32,
ЗВІДКИ Ca> Cl.
1.12.22. 1. Позначимо через A(t\,t2) накопичену вартість інвести¬
ції однієї грошової одиниці з моменту часу t\ до моменту часу t2 >
t\. Оскільки A(tx,t2) = ехр{J^26(0dt} і A(t\,t3) = A(t\,t2)A(t2,t3) для
h > t2 > t\, то: а) Л(0,8) = exp{ J08(0,04 + 0,00П)dt} = exp{0,04 • 8 +
+ 0,001 • 64/2} = e0-352 = 1,4219; б) Л(0,9) = exp{0,04-9 + 0,001 • 81/2} =
= e0-4005 = 1,4926; в) Л(8,9) = Л(0,9)/Л(0,8) = 1,0497.
134
2. Нехай yt — ґ-річна спотова відсоткова ставка. Тоді (1 + г/в)8 =
= >1(0,8), (1 +у9)9 = >4(0,9), (1 +у9)9 = (1 +і/8)8(1 +/в,і). Звідси у% =
= 4,498 %, г/д = 4,5505 %, /8і1 = 4,97 %.
І.І2.23. 1. Візьмемо 1 млн грн за грошову одиницю. Тоді трива¬
лість, або дисконтований середній час, пасивів при ефективній відсотко¬
вій ставці 6 %:
TL (0,06) =
(/а)20| + 0,5 [(/a)4q (^а)20|] (^а)40| + (^а)го|
а20| + [а40| а20|]
299,7035
а40| + а20|
26,5162
= 11,30266 року.
2. Тривалість активів при ефективній відсотковій ставці 6 %:
тл(0,06) =
10(72%, + 100- 15v15
Юаі5і + 100v15
= 9,3524 року.
3. Оскільки > хА => vi > va, то не виконуються умови імуні¬
зації фондів компанії відносно малих змін відсоткової ставки. Маємо
співвідношення т = (1 + i)v, де v - це волатильність грошового по¬
току; і — ефективна відсоткова ставка. Нехай V — сучасна вартість
грошового потоку, тоді V(i + є) « V(1 — ev). Якщо є < 0, то Vi.(і +
+ є) « VL(l - evL) > VA(l - evA) « VA(i + є), тому що VL = VA і vL > vA.
Отже, при зменшенні ефективної відсоткової ставки компанія матиме
збитки.
І.І2.24. 1. Пояснимо: а) “теорія очікування” базується на тому, що
доходність облігацій визначається очікуванням (оцінкою, прогнозом) ін¬
вестора майбутніх значень короткострокових відсоткових ставок. Очі¬
кування падіння відсоткових ставок робить короткострокові інвестиції
менш привабливими ніж довгострокові. За цих умов доходність корот¬
кострокових інвестицій зростає, а доходність довгострокових спадає, і
крива доходу спадає за часом до погашення. Очікування зростання від¬
соткової ставки спричинює протилежні результати і крива доходу зростає
у часі до моменту погашення;
б) у рамках теорії “переваги ліквідності” потрібно брати до уваги, що
несхильний до ризику інвестор вимагатиме компенсації (у вигляді ви¬
щої доходності) за більший ризик втрат при довгострокових інвестиціях.
А тому, враховуючи “перевагу ліквідності”, доходність довгострокових
облігацій буде вищою, ніж доходність цих облігацій у рамках “теорії
очікування”. При модифікації кривої доходу, яка враховує “сегментацію
ринку”, потрібно брати до уваги вплив попиту і пропозиції на облігації
з різними термінами до погашення у даному сегменті ринку.
135
2. Маємо очікувані однорічні форвардні ставки /о = 10 %, /і = 9 %,
/2 = 8 %, fk = 7 %, k = 3,4 Нехай yt — дохід брутто від ^-річної
облігації з нульовим купоном. Тоді (1 + yt)‘ = Па=іО + /*-і). Звідси
у\ = 10 %, уз = 8,997 %, і/s = 8,194 %, і/10 = 7,595 %.
1.12.25. Нехай yt — f-річна спотова відсоткова ставка, yet — ^-річний
номінальний дохід, уУі = 1/(1 + yt). Тоді із умов задачі маємо систему
рівнянь
г ус2 = 0,0415,
< 1 =УС2(УУі+У2у2) + У2У2,
. 105,4 = 8(vj/1+v^) + 98v22.
Звідси уУі = 0,959598, уУ2 = 0,960165, отже, у\ = 4,21 %, у2 = 4,149 %.
1.12.26. 1. Працюватимемо у млн грн. Маємо 14(0,07) = 10v10 +
+ 20V15 = 12,332, 14(0,07) = 7,404v2 + 31,834v25 = 12,332, tl(0,07) =
= (10 • 10v10 + 20 • 15v15)/14 = 12,939, тл(0,07) = (7,404 • 2v2 + 31,834 x
x 25v25)/14 = 12,939. Таким чином, 14(0,07) = 14(0,07), ^(0,07) =
= ^(0,07) і дві перші умови імунізації за Редінгтоном виконуються.
2. 14(0,075) = 10(1/1,075)10 + 20(1/1,075)15 = 11,611, 14(0,075) =
= 7,404(1/1,075)2 + 31,834(1/1,075)25 = 11,627. Компанія буде мати при¬
буток 14(0,075) — 14(0,075) = 0,016 млн грн.
3. Відхилення термінів погашення відносно дисконтованого середньо¬
го часу більші для активів компанії, ніж для пасивів. Тому виконувати¬
меться третя умова імунізації за Редінгтоном, отже, компанія одержить
прибуток при малих змінах відсоткової ставки.
1.12.27. 1 +/м = є?* => Ft, 1 = In(1 +/u) = In 1,04 = 0,039.
1.12.28. Для неперервних платежів дисконтований середній час гро¬
шового потоку
т(0,04) =
10ty* dt
10 Jo20 v it
^a2q
аЩ
(«20| - 20v2°) /6
аЩ
8,71,
бо Іащ = (1 - v20)/6, б = - ln(v), v = 1/1,04 = 0,9615.
1.12.29. 1. За відсутності арбітражу: а) з умов задачі одержимо си¬
стему рівнянь 97 = 100/(1 + у\), 93 = 100/(1 + г/2)2. 88 = 100/(1 + г/3)3,
83 = 100/(1 + у4)\ Звідси ух = 3,0928 %, у2 = 3,6952 %, у3 = 4,3532 %,
г/4 = 4,7684 %;
б) нехай і — норма прибутку чотирирічної облігації, що погашається
за номіналом, з 4 %-ними купонами, які виплачуються із заборгованістю.
136
Тоді
= 4
1
(1 + і)
1
+
+
1
(TT7F
і
+
+
і
(TT7F
і
+
і
0+7FJ
і
+
+
юо
(і + 04
.(1 + Уі) ' (І + г/2)2 (1+і/з)3 0+w)4
Використавши рівняння з пункту 1а), дістанемо
+
100
(1+1/4)4'
1
+
1
+
1
+
1
+
100
.(1 + 0 (і + о2 (і + 03 (i + 04J (і + 04
= 4(0,97 + 0,93 + 0,88 + 0,83) + 83.
Звідси і = 4,717 %.
2. Облігацію, за якою сплачується купон, можна уявляти як складену
з чотирьох облігацій з нульовим купоном, що погашаються в моменти
часу 1, 2, 3, 4. Ті облігації, що погашаються раніше, мають норму при¬
бутку меншу за чотирирічну спотову ставку, а норма прибутку облігації
з купоном є опуклою комбінацією чотирьох спотових ставок.
3. Згідно з теорією “переваги ліквідності”, короткострокові облігації
мають забезпечувати меншу норму прибутку, ніж довгострокові, тому
що інвестори цінують ліквідність і нижчий капітальний ризик. Тому
крива доходу спрямована вгору при сталих очікуваних короткострокових
ставках так само, як крива доходу в пункті 1.
і.12.30. 1. Див. розв’язок задачі 1.5.7.
2. Вимірюємо час півріччями. Тоді ціна облігації дорівнює (норма
прибутку становить 3 %)
Р = 50ащ + lOOv20 = 129,755.
Визначимо чисельник у формулі для тривалості:
20 20
^2 tCtV = 5 ^2 ІУ1 + 20 • lOOv20 = 5(Іа)щ + 2 OOOv20;
t= 1
*=1
(/а)20| —
ііщ - 20v20
0,03
1,03 • 14,87747 - 20 • 0,553676
0,03
141,6758,
тобто він дорівнює 1815,731. Тривалість у півріччях 1815,731/129,755 =
= 13,994, тому тривалість в роках дорівнює 6,997 « 7 років.
3. Якщо зменшити купонні виплати, то в облігації моменти до пога¬
шення будуть зважені меншими вагами, тобто вага моменту погашення
зросте, отже, тривалість збільшиться.
137
і.і2.3і. Нехай D — сума, що сплачується за купоном. Волатильність
v і тривалість т зв’язані співвідношенням т = (1 + i)v. Маємо
DTZ i*v* vSgifv*-
" DTZIV*
d / 1
1/г
IV
:(гЬ)
1
4 /=0 7
(і + О2 і + і
1 + і (1 — v)2 1 + і і2
1 + і dy
Отже, v = 1/г.
1. 12.32. 1. Дисконтований середній час становить
100 • 0v° + 230 • 5v5 + 600 • 13v13
100v° + 230v5 + 600v13
що дорівнює: a) 8,42 року, якщо г = 5 %; б) 5,9 року, якщо і = 15 %.
2. Дисконтований середній час: а) для незмінних виплат
1000(v + 2v2 + ... + 20v2°) (Іа)і
ащ
— = 8,04 року;
1000(v + v2 + ... + v20)
б) для виплат, які утворюють арифметичну прогресію,
1000(v + 1,1 • 2v2 + 1,2 • 3v2 + ... + 2,9 • 20v20) 9(/а)щ + Eg і *2У
20|
^ащ + (Іа)т
20|
1000(v + l,lv2 + l,2v2 + ... + 2,9v20)
Згідно із задачею 12.11, t2y‘ = ]2(Іа)щ — ащ — n2v21]/( 1 — v), звід¬
ки, підставляючи і = 8 %, встановимо, що ДСЧ = 9,78 року;
в) для виплат, які утворюють геометричну прогресію із знаменником
1 + і,
1000(v + 1,08 • 2v2 + 1,082 • 3v3 + ... + 1,0819 • 20У°)
v + 1,08 • v2 + 1,082 • v3 + ... + 1,0819
v(l+2 + ... + 20)
„20
20v
= 10,5 року.
г) для виплат, які утворюють геометричну прогресію із знаменником,
що не дорівнює 1 + і,
Е20
t= 1
1000^(1, 1)*-’У
Eg і <е‘-
Egi 0*-
ЕЇ! 1000(1,
(Іа%
20|
де 0 = 1,1/1,08 = 1/(1 + /). Таким чином, ДСЧ = 11,11 року,
і. 12.33. 1. Маємо за означенням
, =Л. # = РА
1 Vi’ І2 V2’
де F\, F2 — чисельники дробів в означенні ДСЧ для першого та другого
потоків відповідно (це може бути Y.XiSiy* для окремих платежів, або
138
Jx(s)sds для неперервного потоку, або комбінація таких виразів). Звідси
при V\ + V2 ф 0
V\ t\ + Vjfe = F\ + F2
V\ t\ + Vjjfc F\ + F2
Vi + V2 Vi + V2 •
Надходження за об’єднаним потоком у кожний момент часу дорівнює
сумі надходжень за кожним з цих потоків, отже, знаменник дробу в
формулі для ДСЧ об’єднаного потоку дорівнює F\ + F2, звідки випливає
потрібне нам твердження.
Для п потоків за допомогою аналогічних міркувань (або за допомогою
індукції) маємо при ^”=1 V/ 0
, = S-і щ
57-1у! ‘
2. Підрахуємо: а) для виплат інвестору Vi = ЮОООощ = 61445,67,
t\ = (7а)-щ/а-щ = 4,725. Для платежів інвестора V2 = —30000(v5+v15) =
= —25809,4, Ї2 = (5v5 + 15л^15)(л^5 +v15) = 7,783 (значення V2 відповідає
витратам інвестора, тому воно від’ємне);
б) з пункту 1 маємо t = (Vj^ + l^fe)(Vi + V2) = 2,511.
1.12.34. 1. Сучасна вартість ануїтету
П
5^[(п + 1)г - t2W = {п + 1)(/а)^| - х,
t=\
де X = t2yt• Використовуючи результат задачі 1.5.7, відразу маємо
потрібну рівність. При п = 9 і і = 0,09 сучасна вартість цього ануїтету
дорівнює 109,162.
2. За ефективної відсоткової ставки 9 % річних: а) сучасна вартість
загальної суми надходжень за полісами, що випущені 1 січня 1985 року,
20000syj| = 331206. Відразу після виплати премії 1 січня 1985 року
тривалість майбутніх потоків
Ell 20000;У-331206.10v10 = 20000(7а)^ — З312060v10
Y?t=i 20000v* — 331 20610v10 ~~ 20000^ - 331206v10 - ’ ’
б) для полісів, випущених у 1976-1985 роки включно, дисконтований
середній час майбутніх потоків платежів після 1 січня 1985 року
20000£?=1(10 - t)tvl - 331 206^1 tyl _
20000 ELi (10 - - 331 206 V
20000 • 109 162 - 331206(7а)ш^10
= 20000(10agj - (7a)gj) - 331 206ащ = 5,5‘
Зауваження. Значення 109 162 пораховано в пункті 1.
139
1.12.35. 1. Розглянемо акцію номіналом 1 грн. Доходом є 5 коп на
рік, що сплачуються неперервно до погашення акції через га років. Во-
латильність дорівнює
0,05v(/a)^ + raV+1
0,05a^j
при інтенсивності відсотка 0,07. Враховуючи, що при інтенсивності від¬
сотка 5 виконується (їа)ц = (ац — пЬп)/Ь, встановлюємо, що волатиль-
ність дорівнює 10,808 при га = 20 і 13,375 при га = 60.
2. Волатильність буде максимальною, коли 0,05(га — а^) + 0,07а—| =
= 0,07/(0,07 - 0,05), тобто коли 0,05га + 0,02(1 - е-°07л)/0,07 = 3,5. На¬
ближено розв’язуючи, отримаємо га = 64,35.
При такому значенні га і інтенсивності відсотка 0,07 волатильність
дорівнює 13,379.
1.12.36. Значення акцій компанії “Альфа”
VA = 6v6 + 6- l,lv7 + 6- l,lV + ... + 6- l,l6v12+
+6 • 1,16 • l,03v13 + 6 • 1,1® • l,032v14 + • • • =
1
= Sv61. V!V? + 6 • 1,16 • l,03v13
1 - l,lv
1 - 1,03V
Підставляючи v = 1/1,06 = 0,943396, маємо VA = 214,543.
Значення акцій компанії “Бета”
VB = 4v + 4(1,005) v2 + 4(1,005)2v3 + ...
4v
1 - 1,005v
72,277.
2. Підставимо тепер у наведені вище формули у = 1/1,07 = 0,93458 і
одержимо VA = 151,981, Vb = 61,538. Відсоткові зміни цін акцій:
151,981 -214,543
214,543
100 % = -29,16 %
для “Альфа” і
61,538-72,727
72,727
100 % = -15,38 %
для “Бета”. Отже, відсоткове падіння вартості акцій “Бета” менше, ніж
“Альфа”. Це пояснюється тим, що виплати дивіденду за акціями “Аль¬
фа” здійснюються в середньому набагато пізніше. Отже, їх тривалість, а
тому і волатильність відносно зміни відсоткової ставки, вища.
1.12.37. 1. Розглянемо інвестицію в акцію номіналом 100 грн з тер¬
міном погашення га років. Дисконтований середній час надходжень за
140
акцією
Ша)ц + ЮОпе 6п ^ &[(1 _ v”)/0,05 — nv"] + lOOnv" _
ka-\і + 100e_6n k(\ — vn)/0,05 + lOOv"
_ 20k + [(5 - k)n - 20k]yn
k + (5 - k)yn
де у = є-0,05. Прирівнюючи це до 5, отримуємо [25+ I5k + n(k — 5)]v" =
= 15&, звідки негайно випливає потрібне рівняння. Для випадку а) при
k = 5 маємо рівняння є0-05" = 4/3, звідки п = 5,75364; для випадку б)
при k = 10 маємо рівняння е°'05л = (35 + га)/30, приблизний розв’язок
якого п = 6,481.
2. Тривалості активів і пасивів інвестора однакові. З того, що роз¬
кид пасивів навколо тривалості нульовий, а розкид активів додатний,
випливає, що інвестор імунізований відносно малих змін інтенсивності
відсотка. Ціна акції з 10 %-ним купоном і з терміном погашення 6,481,
дорівнює (у відсотках від номіналу)
1(%Ї8Ї1 + 100V5'481 = 127,68.
Інвестована сума є ІОООООе-0,25 = 77880. Тоді за будь-якої інтенсивно¬
сті відсотка сучасна вартість доходу інвестора
Ул-К. = + 100v6'481) - lOOOOOv5.
Це значення дорівнює: а) 2,26 грн при 6 = 0,055; б) 2,35 грн при 6 =
= 0,045.
1.12.38. 1. Сучасна вартість
4
V = £3(1000 + 1000v5i = 2 751,54 грн;
*=1
тривалість
£?=і 5Д1000 + lOOOv5* _ 31609
V ~ 2751,54
11,4877 року.
2. Припустимо, що суми, інвестовані в 10-річну і 30-річну акцію,
дорівнюють А і В відповідно. Тоді з пункту 1 А + В = 2751,54. Грошовий
потік за 10-річною акцією має сучасну вартість V\ = Д(0,05ащ + v10) і
тривалість
0,05 (Іа)щ + 10v10
0,05ащ + V10
За відсоткової ставки 5 % на рік ці значення дорівнюють V\ = А і t\ =
= 8,10782 року. Аналогічно, для 30-річної акції сучасна вартість V<i = В
і тривалість 16,14107 року.
141
Використовуючи результат задачі 1.12.34, підрахуємо тривалість над¬
ходжень за обома акціями:
Л-8,10782+ 5- 16,14107
А + В
16,14107-0.00291955А
Прирівнюючи цей вираз до 11,4877, визначимо А = 1593,87 грн, В =
= 1157,67 грн.
і. 12.39. Припустимо, що інвестор купує п’ятирічні акції номінальної
вартості А і і5-річні номіналом В. Для повної імунізації необхідно, щоб
(обчислюємо значення в момент t = 10)
АеЬЬа+Ве~ЬЬа = 1 000000 і 5АеЬЬа = 5Ве~ьь\
звідки А = 500000е~56°, В = 500000е5б°.
Тепер припустимо, що бо = 0,05. Тоді А = 389400, В = 642013, тобто
інвестор має придбати 389400 грн номінальної вартості першої акції і
642013 грн другої (для обох ціна 303265 грн). Загальна інвестована
сума, 606530 грн, дорівнює сучасному значенню позики.
Різниця активів і пасивів за інтенсивності відсотка 5
VA-VL = 389 400е-56 + 642013е-156 - 1 ООООООе"106.
Тоді: а) при 5 = 0,07 сучасна вартість доходу 2 485 грн; б) при б = 0,03 —
3707 грн.
1.12.40. 1. Сума, яку має компанія для інвестування, становить зараз
lOOOOOv8 за інтенсивності відсотка 5 %, тобто 67032. Помітимо, що ціна
20-річної акції номіналом 1 становить v20 = 0,367879.
Припустимо, що компанія купує акції номінальної вартості X (за ці¬
ною 0.367879Х). Це означає, що сума (67032 — 0.367879Х) зберігається
в готівці, що має нульову тривалість. Скориставшись результатом зада¬
чі 1.12.34, підрахуємо дисконтований середній час активів компанії:
0,367879Л: • 20 + (67032 - 0.367879Л:) • 0 _ 7.357580Л-
0,367879л:+ (67 032-0,367879л-) ” 67032 ‘
Прирівнюючи до 8 (тривалості пасивів), маємо X = 72885. Отже, компа¬
нія має придбати 20-річні акції номіналом 72885 грн за ціною 26813 грн
і зберігати 40219 грн готівкою.
2. За інтенсивності відсотка б на рік різниця між активами і пасивами
компанії
VA-VL = 72885e-20s + 40219 - ЮООООе-88.
Сучасна вартість прибутку: а) 1 556 грн при б = 0,03; б) 1 071 грн при
б = 0,07.
1.12.41. 1. Розмір єдиної премії 10000v15 = 3152,42 грн. Нехай при¬
дбано 20-річні акції номінальної вартості X за ціною Ху20 = 0,214548ЛС
142
Щоб дисконтовані середні часи активів і пасивів були однакові, потрібно
(див. задачу 1.12.34), щоб
0,214548л: • 20 + (3152,42 - 0.214548ЛГ) • 0
3152,42 “ 5‘
Звідси X = 11 020. Отже, компанія має придбати 20-річні акції номіна¬
лом 11020 грн за ціною 2364,32 грн, і зберігати 788,10 грн готівкою.
2. Для випадку а)
VA-VL = 788,10 + 11 020v2° - lOOOOv15,
тобто за відсоткової ставки 5 % дохід дорівнює 131,25 грн;
для випадку б), аналогічно, за відсоткової ставки 10 % дохід дорівнює
32,24 грн;
для випадку в) при 0 < t < 20
5(0 = in 1,05 + ^(ln 1,1 - in 1,05).
Звідси, якщо дисконтний множник
y(t) = ехр{- J0*6(s)ds},
то v(15) = 0,370268 і v(20) = 0,23669. Отже,
VA-VL = 788,10 + 11020v(20) - 10000v(15) = -306,26,
тобто втрати дорівнюють 306,26 грн.
І.І2.42. 1. Для випадку а) Аае6а = Bbe~6b = b(S — Ае6а) =*> А =
= bS/[(a + Ь)еЬа], ВЬе~ьь = АаеЬа = a(S - Ве~ьь) => В = aSe6b/(a + Ь);
для випадку б) Bbe~6b = Аае6а = a(S — Ве~5Ь), звідки дістанемо
а = Bbe~6b/(S — Ве~ьь). Знаючи а, визначимо А = (S — Ве~ьь)е~Ьа\
для випадку в) АаеЬа = Bbe~bb = b{S — АеЬа), b = АаеЬа/{S — АеЬа).
Знаючи Ь, визначимо В = (S — АеЬа)еьь\
для випадку г) S—Aeba = Ве~ьь = АаеЬа/Ь => (а+Ь)еЬа = bS/A, тобто
/(а) = bS/A, де /(х) = (х + Ь)еЬх. Помітимо, що функція /(х) зростає
при х > 0 і прямує до оо, коли х —» оо. З іншого боку, /(0) = b <
Таким чином, існує єдине додатне значення х, таке, що /(х) = bS/A.
Знайшовши а, обчислимо В = Ааеь^а+ьУЬ.
2. S — Ве~ьь = АеЬа = ВЬе~ьь/а => (а + Ь)е~ьь = aS/B, тобто g(b) =
= aS/B, де g(x) = (а + х)е~6х. Якщо 6а < 1, то максимальне значення
g(x) досягається в точці х = 1/6 — а і дорівнює (6e1-Sa)-1. Якщо дода¬
тково а < aS/B < (6e1-6a)-1, тобто якщо аЬех~Ьа < В/S < 1, то є два
додатних значення х, для яких g(x) = aS/B.
При 6 = 0,05, 5 = 1, а = 15, В = 0,98 зазначені вище умови виконано.
Розв’язками (М) є (1,489885, 0,042679), (8,976051, 0,176843).
143
1.13. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ ВІДСОТКОВОЇ СТАВКИ
Теоретичні відомості
Нехай it — прибуток, одержаний у момент t від інвестування однієї
грошової одиниці в момент t — 1, t = 1,2 п. Припустимо, що гроші
інвестуються лише на початку кожного періоду. Позначимо через Ft су¬
му, накопичену на момент t всіма коштами, інвестованими до моменту
t, і через Pt позначимо капітал, інвестований у момент часу t. Тоді Ft =
= (1 + it)(Ft-1 + Pt-i), t = 1,2, Якщо S„ — сума, накопичена на
момент t = п інвестицією однієї грошової одиниці в момент t = 0, то
Sn = nJUO + it)- Аналогічно, ряд інвестицій однієї грошової одиниці в
моменти / = 0,1 п— 1 накопичить у момент t = п суму
А = + к)-
k=\ t=k
Вважаючи i\,...,in незалежними випадковими величинами, одержимо
вираз для k-то моменту E[S*] = П/=і Е[(1 + U)k], k Є N. Для А„ маємо
рекурентне співвідношення Ап = (1 -И‘„)(1 +А„_і). Звідси Е[А*] = Е[(1 +
+ г„)*]Е[(1 + А„_і)*]. Позначимо Е[^] = /, тоді E[S„] = (1 + })п і
Е[Ап] = 8Ц = (1 +/Т + (1 +/)"-1 + ... + (1 +/).
Якщо випадкова величина 1п£, має нормальний розподіл М(ц, о2),
то говорять, що випадкова величина £, має логнормальний розподіл з
параметрами ц. і а2. Якщо 1 + it, t = 1 п, — незалежні однаково роз¬
поділені випадкові величини з логнормальним розподілом з параметрами
ц. і а2, то випадкова величина Sn = П"=іО + it) матиме логнормальний
розподіл з параметрами пц. і па2. Аналогічно, сучасна вартість Vn =
= П"=іО + it)~l капіталу в одну грошову одиницю наприкінці n-го року
має логнормальний розподіл з параметрами — п\і і па2.
Задачі
1.13.1. Інвестиційний банк моделює очікувані характеристики своїх
активів на п’ятиденний період. За цей період дохід банківського порт¬
феля цінних паперів і має середнє значення 0,15 % і стандартне відхи¬
лення 0,3 %, 1 +г має логнормальний розподіл. Визначити таке значення
/, що Р{і > /} = 0,9.
1.13.2. Кожного року t дохід it інвестиційного фонду має середнє
значення jt і стандартне відхилення з/. Доходи за різні роки незалежні.
144
Значення, накопичене одиничною інвестицією у момент 0 за п років,
дорівнює Sn.
1. Визначте формулу для середнього значення і стандартного відхи¬
лення S„, ЯКЩО jt = j І St = S для всіх років t.
2. Підрахуйте:
а) середнє значення суми Ss, якщо у = 0,06;
б) стандартне відхилення Ss, якщо у = 0,06 і s = 0,08.
1.13.3. Тисячу гривень інвестують на 10 років. Дохід за будь-який
рік становитиме 4 % з імовірністю 0,4; 6 % з імовірністю 0,2 і 8 % з
імовірністю 0,4 і буде незалежним від доходу в кожному іншому році.
1. Підрахуйте:
а) середнє накопичення наприкінці 10 років;
б) стандартне відхилення накопичень наприкінці 10 років.
2. Не проводячи будь-яких подальших обчислень, поясніть, як Ваші
відповіді у пунктах 1а) і 16) зміняться, якщо:
а) відсотковий дохід набуває значень 5, 6 та 7 % замість 4, 6 та 8 %
річних з відповідними ймовірностями;
б) інвестиції здійснюватимуться протягом 12 років замість 10 років.
1.13.4. Десять тисяч гривень інвестовано на банківський рахунок, за
яким сплачуються відсотки наприкінці кожного року. Ставка відсотка
фіксується випадковим чином на початку кожного року і залишається
без змін до початку наступного року. Відсоткова ставка, що застосову¬
ється в якомусь одному році, є незалежною від ставки, що застосову¬
ється в якомусь іншому році.
Впродовж першого року ефективна річна ставка відсотка була 3, 4
або 6 % з однаковою ймовірністю.
Впродовж другого року ефективна річна ставка відсотка буде або 5 %
з імовірністю 0,7, або 4 % з імовірністю 0,3.
1. Припускаючи, що відсотковий дохід завжди реінвестується в ра¬
хунок, підрахуйте середнє значення накопиченої суми на банківському
рахунку наприкінці двох років.
2. Підрахуйте дисперсію накопиченої суми на банківському рахунку
наприкінці двох років.
1.13.5. Величина 1 + і/ має логнормальний розподіл, де і/ — від¬
соткова ставка за один період, що починається в момент t. Параметри
розподілу мають такі значення: ц = 0,06 та а2 = 0,0009.
Підрахуйте довжину інтерквартиля для величини, накопиченої на
100 одиниць за вказаний період, що почався в момент t.
1.13.6. Компанія прийняла таку інвестиційну стратегію, що очікува¬
на щорічна ефективна норма прибутку від інвестицій становить 7 % і
стандартне відхилення надходжень становить 9 %.
145
Щорічні надходження є незалежними і 1 + і/ є логнормально роз¬
поділеними, де it є доходом за t-Yi рік. Компанія отримала премію в
1 000 грн і виплатить власникові страхового поліса 1 400 грн через де¬
сять років.
1. Підрахуйте математичне сподівання і стандартне відхилення нако¬
пичення інвестиції розміром у 1 000 грн через 10 років.
2. Підрахуйте ймовірність, з якою накопичення інвестицій буде через
10 років менше 50 % їхньої очікуваної вартості.
3. Компанія інвестує 1 200 грн з метою покрити свої пасиви через
10 років.
Підрахуйте ймовірність того, що 1 200 грн будуть недостатні для по¬
криття пасивів.
1.13.7. Річні доходи від приватного фонду є незалежними й однаково
розподіленими. Щороку розподіл 1 + it є логнормальним з параметрами
[L = 0,07 і а3 = 0,006, де it — річний дохід фонду у період від t — 1 до t.
1. Визначте середнє накопичення за 10 років інвестицій у фонд роз¬
міром у 20000 грн наприкінці кожного з наступних 10 років, разом з
150000 грн, інвестованими відразу ж.
2. Визначте розмір одноразового внеску, який буде інвестовано в фонд
негайно і який дасть накопичення принаймні 600000 грн у десятирічній
період з імовірністю 0,99.
1.13.8. Страхова компанія підраховує одноразову премію за контрак¬
том, за яким буде виплачено 10000 грн через 10 років, як сучасну вар¬
тість сплаченого доходу з очікуваною відсотковою ставкою, що заробля¬
ється її фондами. Річна ефективна відсоткова ставка в наступні 10 років
становитиме 7, 8 або 10 % з імовірністю 0,3, 0,5 та 0,2 відповідно. Під¬
рахуйте:
а) одноразову премію;
б) очікуваний прибуток наприкінці дії контракту.
1.13.9. Інвестиційний банк моделює очікуване середнє значення сво¬
їх активів через 5 днів. За цей період дохід від банківського портфеля
і має середнє значення 0,1 % та стандартне відхилення 0,2 %, 1 + і має
логнормальний розподіл.
Підрахуйте значення j таке, що ймовірність того, що і менше або
дорівнює /, дорівнює 0,05.
1.13.10. У кожному році ставка відсотка за капіталом страхової ком¬
панії не залежить від відсоткової ставки за всі попередні роки.
У кожному році величина 1 + і/, де it є ставкою відсотка, яку отри¬
мано в £-му році, має логнормальний розподіл.
Середнє значення і стандартне відхилення it становить 0,07 і 0,20
відповідно.
1. Визначте параметри ц і ст2 логнормального розподілу (1 + it).
146
2. Визначте:
а) розподіл накопичення S15 одиничної суми грошей через 15 років;
б) Імовірність ТОГО, ЩО S]5 > 2,5.
1.13.11. 1 січня 2003 року за номінальну ціну в 100000 грн приватна
особа придбала облігацію, яку буде викуплено через чотири роки за
105 % номіналу, і при цьому виплачують купони в розмірі 4 % на рік
наприкінці кожного року.
Менеджер по інвестиціях планує вкладати купонні виплати в банків¬
ський рахунок, поки облігацію не буде викуплено. Припускається, що
відсоток, за яким вкладатимуться купонні виплати, є випадковою ве¬
личиною, і ці випадкові величини для будь-яких двох різних років є
незалежними.
Вивівши потрібні формули, обчисліть середнє значення всієї накопи¬
ченої на 31 грудня 2006 року суми, якщо річна ефективна ставка має
середнє значення (математичне сподівання) 5,5 % у 2004 році, 6 % у
2005 році та 4,5 % у 2006 році.
1.13.12. Річні відсоткові ставки it доходу страхової компанії незале¬
жні, однаково розподілені для різних років t = 1,2 п, причому 1 + it
має логнормальний розподіл з параметрами ц = 0,075, а2 = 0,00064.
Визначте ймовірність того, що разова інвестиція в 2 000 грн накопичить
через 10 років більше ніж 4500 грн.
1.13.13. Річні відсоткові ставки за внески в інвестиційний фонд є
такими незалежними однаково розподіленими випадковими величинами,
що їхні річні множники накопичення мають логнормальний розподіл з
середнім 1,04 та дисперсією 0,02.
1. Інвестор повинен через п’ять років виплатити 5000 грн. Обчи¬
сліть суму, яку треба інвестувати у фонд зараз, щоб з імовірністю 0,99
через п’ять років отримати від фонду суму, достатню для вказаного пла¬
тежу.
2. Прокоментуйте одержаний у пункті 1 результат.
1.13.14. Одну грошову одиницю буде інвестовано на три роки під
ефективну річну відсоткову ставку 6 % з імовірністю 0,4, або під 5 % з
імовірністю 0,6. Відсоткову ставку, яку вибрано на початку, залишають
без змін протягом усіх трьох років. Визначити математичне сподівання і
стандартне відхилення накопиченої суми.
1.13.15. Нехай it — річна відсоткова ставка в період з t — 1 до t.
Кожного року it може набувати значень 8, 4 і 2 % з імовірностями 0,625,
0,25 і 0,125 відповідно. Значення відсоткової ставки кожного року не
залежать від значень у попередні роки. Нехай S3 — сума, яку накопичено
інвестицією в 1 грн за 3 роки. Визначити математичне сподівання і
стандартне відхилення S3.
147
і.і3.16. Нехай it позначає річну ефективну відсоткову ставку за пе¬
ріод з t до t + 1, і для t = 0,1, ...
Визначити ймовірність того, що інвестиція в 1 гри у момент t = 0 при¬
несе накопичений капітал, більший за 1,2 грн, у момент часу t = 3.
1.13.17. Очікувана ефективна норма прибутку інвестицій у страхову
компанію дорівнює 6 % на рік, а стандартне відхилення річних прибу¬
тків становить 8 %. Випадкові величини 1 + і/ незалежні і логнормально
розподілені, де it — прибуток у t-му році.
1. Обчисліть очікуване значення суми, накопиченої інвестицією у
1 млн грн за 10 років.
2. Визначте ймовірність того, що накопичене значення виявиться мен¬
шим за 90 % очікуваного.
1.13.18. Нехай it — річна відсоткова ставка в період з t — 1 до t.
Припустимо, що 1 + it має логнормальний розподіл. Математичне спо¬
дівання і стандартне відхилення it дорівнюють, відповідно, 5 % і 11 %.
Визначити параметри розподілу 1 + it і обчислити ймовірність того, що
4 % < it <7 %.
1.13.19. За полісом повернення капіталу на 20000 грн премії спла¬
чуються авансом щорічно протягом 20 років. Премії буде інвестовано у
фонд, який виплачуватиме постійний відсоток протягом усього періоду
дії поліса. Відсоткова ставка буде 3, 6 або 9 % з рівними ймовірностями.
Витратами можна знехтувати.
1. Визначте очікуване значення відсоткової ставки. Яким має бути
розмір щорічної премії, якщо його порахувати на основі цього середнього
значення?
2. Нехай Р — розмір премії. Обчисліть:
а) (виразіть через Р) очікуване значення прибутку від поліса в момент
закінчення його дії. За якого Р це значення дорівнює нулю? Підрахуйте
це значення для Р з пункту 1;
б) очікуване чисте сучасне значення поліса відразу після його прода¬
жу. Для якого Р це значення дорівнює нулю? Підрахуйте це значення
для Р з пункту 1.
1.13.20. Доходи від активів компанії в різні роки є незалежними і
однаково розподіленими випадковими величинами. Нехай є поліс повер¬
нення капіталу на 1 000 грн з єдиною премією розміром Р і терміном
10 років. Нехай також і позначає дохід на одиницю капіталу в будь-
який з цих років. Витратами можна знехтувати.
it + 0,02
г'о = 0,06; г'г+і = < it
it — 0,02
з імовірністю 0,25,
з імовірністю 0,5,
з імовірністю 0,25.
148
1. Доведіть, що:
а) очікуване значення накопиченого доходу наприкінці терміну дії
поліса дорівнює
Я(1 +Е[г])10- 1000
і визначте (виразіть через Р) стандартне відхилення накопиченого дохо¬
ду;
б) очікуване чисте сучасне значення поліса відразу після продажу
дорівнює
я-.сюо^])10,
а стандартне відхилення для цього значення
2. Для кожної з трьох наведених нижче моделей розподілу і визначте
Р, за якого очікуване значення накопиченого доходу в кінцевий момент
дорівнює нулю, та підрахуйте для цього значення Р стандартне відхиле¬
ння накопиченого доходу. Для кожної з моделей знайдіть також Р, для
якого математичне сподівання чистого сучасного значення поліса відра¬
зу після випуску нульове і підрахуйте стандартне відхилення чистого
сучасного значення:
а) і набуває значень 0,02, 0,04 або 0,06 з рівними ймовірностями;
б) і рівномірно розподілена на відрізку [0,02, 0,06];
в) і має трикутний розподіл на відрізку [0,02, 0,06] (тобто щільність
її розподілу f(x) = 2500(0,03 - \х - 0,03|), х є [0,02, 0,06], f(x) = 0,
х і [0,02, 0,06]).
1.13.21. Дохід і компанії щороку з однаковими ймовірностями може
дорівнювати 3, 6 або 9 %. Доходи в різні роки є незалежними.
1. Доведіть, що Е [і] = 0,06, D [і] = 0,0006.
2. З пункту 1 або іншим шляхом виведіть формули для E[Sn] і D[S„],
математичного сподівання та дисперсії суми, накопиченої за п років по¬
чатковою інвестицією розміром 1 грн. Обчисліть ці значення при п = 5,
10, 15, 20 років.
3. Нехай Ап — випадкова величина, що дорівнює сумі, накопиченій
за п років щорічними інвестиціями розміром 1 грн. Визначте вираз для
Е[Ап]. Обчисліть стандартне відхилення Ап для п= 1,2, ..., 15.
4. Для п = 5, 10, 15 визначте відношення стандартного відхилення
Ап до його математичного сподівання. Прокоментуйте відповіді.
1.13.22. Щороку дохід компанії може бути 2, 4 або 7 % з імовірно¬
стями 0,3, 0,5 та 0,2 відповідно і доходи в різні роки незалежні.
1. Обчисліть середнє значення і стандартне відхилення значення, на¬
копиченого початковою інвестицією в 1000 грн за 15 років.
149
2. Обчисліть середнє значення і стандартне відхилення значення, на¬
копиченого щорічними інвестиціями розміром 100 грн за 15 років.
1.13.23. Річний дохід страхової компанії щороку за першим припу¬
щенням має рівномірний розподіл на [0,03, 0,09], за другим припущен¬
ням — трикутний розподіл на [0,03, 0,09].
1. За кожного припущення обчисліть середнє значення і стандартне
відхилення річного доходу компанії та ймовірність того, що цей дохід
між 5 % та 7 %.
2. Для полісів повернення капіталу з єдиною виплатою в 1 грн та
щорічними преміями в 1 грн строком 5, 10 і 15 років підрахуйте середнє
значення та стандартне відхилення накопиченої суми наприкінці терміну
дії за кожного припущення. Доходи в різні роки є незалежними.
Порівняйте результати для даних припущень.
1.13.24. Доходи на активи компанії в різні роки є незалежними і
щороку розподіл 1 + і є логнормальним з середнім 0,06 та дисперсією
0,0003.
1. Визначте параметри р. та а2 цього логнормального розподілу.
2. Нехай S15 — сума, накопичена початковою інвестицією розміром
1 грн за 15 років. Доведіть, що S15 має логнормальний розподіл з па¬
раметрами 0,872025 та 0.063282. З цього, використовуючи стандартні
властивості логнормального розподілу, виведіть, що E[Sis] = 2,3965 та
E[S25] = 5,7665. Перевірте, що D[Sis] = 0,023.
3. Визначте E[Si5] та D[5is] безпосередньо з умови і порівняйте зі
значеннями, обчисленими в пункті 2.
4. Визначте ймовірність того, що сума, накопичена початковою інве¬
стицією у 1 000 грн за 15 років: а) більша за 2 100 грн; б) менша від
2700 грн.
1.13.25. Портфель інвестора складається із звичайних акцій на суму
100000 грн, причому процес
X{t) = 1п(Я(0) - 100000,
де P(t) — ринкова вартість портфеля в момент t, є броунівським рухом
з (і = 0,05 та а = 0,15. Підрахуйте ймовірність того, що в певний
момент t протягом наступних десяти років Р (і) < 90000. Визначте також
імовірність того, що Р(і) > 90000 для всіх і.
1.13.26. Доходи на активи компанії в різні роки незалежні і однаково
розподілені. Щороку 1 + і має логнормальний розподіл з параметрами р.
та ст2. Нехай Vn — сучасне значення одиничної виплати через п років.
1. Доведіть, що Vn має логнормальний розподіл і визначте параметри
цього розподілу.
2. У припущенні, що дохід щороку має середнє 0,08 і стандартне
відхилення 0,05, визначте для п = 5, 10, 15 та 20 математичне споді-
150
вання та стандартне відхилення сучасного значення виплати розміром
1 000 грн через п років.
1.13.27. (Залежні доходи.)
Щойно завершеного року дохід від активів компанії становив 6 %.
Для кожного t дохід it t-го року з рівними ймовірностями може дорів¬
нювати
0,02 + k(it — 0,06), 0,06 + k(it — 0,06) або 0,1 + k(it — 0,06),
де k — відома стала.
1. Визначте математичні сподівання г'і та г'г.
2. Нехай 1 грн інвестовано зараз, і S — накопичена за два роки сума.
Покажіть, що:
а) Е[S] = 1,062 + 0,00326/3,
б) D[S] = 10-8(2158336 + 21573126 + 107916862)/9.
Відповіді та вказівки
1.13.1. Обчислимо Е[1 + г] = ехр{ц+ ст2/2} = 1,0015, D[1 + г] =
= ехр{2ц + ст2}(ест2 — 1) = (0,003)2. Звідси а2 = 8,973 • 10_6, \і =
= 0,0014944. Отже, 1п(1+г) має нормальний розподіл N(0,0014944,8,973-
10_6). Таким чином, умова Р{г > /} = 0,9 рівносильна
( 1п(1 + і) - 0,0014944 І Л1 1п(1 +/) — 0,0014944
І х/8,973 • 10-6 J л/8,973 • 10-6
З таблиць стандартного нормального розподілу х = —1,28155. Звідси
/ = -0,0023445.
1.13.2. 1. Із незалежності доходів it для різних років маємо E[S„] =
= (1+ІГ, Е[52] = П"=1 Е[(1+г,)2] = Ш=і(1+2/+Е[і2]) = (1+2/+/2+S2)".
Отже, D[Sn] = E[S2] - (Е[Sn])2 = (1 + 2/ + /2 + s2)" - (1 + /)2».
2. Маємо: а) Е[58] = (1 + 0,06)8 = 1,59; б) а = = 0,34.
1.13.3. 1. За умовою: а) обчислимо / = Е[гД = 0,04 • 0,4 + 0,06 • 0,2 +
+ 0,08 • 0,4 = 0,06. Середнє накопичення за 10 років суми в 1 000 грн
дорівнює (див. задачу 1.13.2): Е[1 0005ю] = 1 OOOE[Sio] = 1 000(1 +/)10 =
= 1 790,85;
б) s2 = D[it] = Е[і2] — (Е[і/])2 = 0,00032. Дисперсія накопичення за
10 років із суми 1000 грн дорівнює (див. задачу 1.13.2) D[1000Sio] =
= 1 0002D[Sio] = 1 0002{[(1 + /)2 + s2]10 — (1 + У)20} = 9145,6, стандартне
відхилення а = ^/D[l 0005ю] = 95,63.
2. Відповіді зміняться так: а) оскільки / не змінилось за рахунок
того, що 0,4(0,04 + 0,08) = 0,4(0,05 + 0,07), то середнє накопичення
не зміниться. Відхилення доходу від середнього значення зменшилось
151
відносно пункту la), тому стандартне відхилення накопиченої суми буде
меншим ніж у пункті 16);
б) із формули E[Sn] = (1 + j)n випливає, що із збільшенням терміну
накопичення п збільшується математичне сподівання накопиченої суми.
Тому 1 000Е[5іг] > 1 000Е[5ю]. При більшому часі накопичення можливі
більші відхилення накопиченої суми від середнього значення. Дійсно,
розглянемо функцію
/(0 = [(1 +/)2 + S2]* - (1 +j)2t > 0, t > 0.
Маємо
ПО = [(
1 + /)2 + S2
п
ІП
[«
1 + /)2 + S2
— (1 + /)2< 1п(1 + І)2 > 0.
Тому функція f(t) зростає і D[Si2] = /(12) > /(10) = D[Sio].
1.13.4. 1. Нехай г'і і г2 — відсоткові ставки в перший і другий рік,
відповідно. Із незалежності г'і і г'г випливає, що Е[100005г] = 1 000Е[(1 +
+ іі)(1 + іг)] = 10000(1+/і)(1+/2), де/, =Е[І,] = (0,03+0,04+0,06)/3 =
= 0,043333, /2 = Е[г2] = 0,7• 0,05 + 0,3 • 0,04 = 0,047. Тому E[10000S2] =
= 10 000(1,043333) (1,047) = 10923,7.
2. D[1000052] = 108D[52] = 108(E[Sf] - (E[52])2). Із незалежності ц
і г2 випливає, що E[Sf] = (1 + /і + E[t'f])(l + /2 + Е[г|]); E[if] = (0,032 +
+ 0,042 + 0,062)/3 = 0,002033; Е[і2] = 0,7-(0,05)2 + 0,3-(0,04)2 = 0,00223.
Звідси E[S|] = 1,193465 і D[10000S2] = 108(1,193465 - (1.09237)2) =
= 19278.
1.13.5. Нехай F(x) — функція розподілу, тоді нижнім квартилем *1/4
називається розв’язок рівняння F(x) = 1/4, верхнім квартилем Х3/4 —
розв’язок рівняння F(x) = 3/4, а довжина інтерквартиля визначається
як IQR = хщ — *і/4. Для нормального розподілу N(0, 1) *1/4 = —хуц =
= —0,674. Випадкова величина [ln(l + it) — 0,06]/\/0,0009 має розподіл
N(0, 1). Тому для накопиченої суми 100(1 + it) одержимо
Р{100(1 + і/) <х}
= р{
1п(1+0-0,06 In(х/100) - 0,06
0,03
0,03
}■
звідки In (xi/4/ІОО) = —0,674 • 0,03 + 0,06 = 0,03978, In (Х3/4/ІОО) =
= 0,674 • 0,03 + 0,06 = 0,08022. Отже, *1/4 = 104,058, Х3/4 = 108,353 і
IQR = 4,295.
1.13.6. 1. Е[і/] = 0,07, D[*Z] = 0,092, Е[г2] = 0,072 + 0,092. Із неза¬
лежності it для різних років випливає, що Е[5ю] = П*=і0 + Е[г/]) =
= (1 + 0,07)10 = 1,96715; Е[520] = П!!і(1 + Е[г/])2 = (Н[1 + 2it + г2])10 =
= (1 + 2 • 0,07 + 0,092 + 0,072)10 = 1,153ю; D[Sl0] = Е[520] - (Е[5Ш])2 =
= 1,153ю — 1,07ю = 0,282657. Для накопичень на 1000 грн обчислимо
E[1 OOOSio] = 1 967,15 грн, D[10005ю] = 282657, а = 531,65 грн.
152
2. Потрібно обчислити ймовірність Р{10005ю < 0,5Е[1 OOOSio]} =
= P{Sjo < 0,983575}. Оскільки 1п(1 + ц) має нормальний розподіл з
параметрами р. і а2, то ln(Sio) має розподіл Л^(10ц, 10а2). Визначимо
параметри р і а2 з умов Е[1 +it\ = ехр{р+ а2/2} = 1,07, D[1 + г}] =
= ехр{2р.+ а2} — lj = 0,092. Одержимо р. = 0,064134, а2 = 0,00705.
Тоді
P{S,o< 0.983575} = Р{ІП^°Ц<
In 0,983575- 0,64134
VW05
= Р{Z < -2,4778} = 0,00661,
neZ~N( 0, 1).
3. Потрібна ймовірність
Р{12005ш < 1400} = P{Sio < 1,1667} =
0,64134 In 1,1667
< —
pJlnSio
І л/адж ' ч/одаб
1.13.7. 1. Обчислимо ln(l + it) «
0,64134 j
P{Z <-1,8349} =0,0333.
JV(p, a2), p = 0,07, a2 = 0,006.
Позначимо / = E[if], тоді із співвідношення Е[1 + г}] = 1 + / = ехр{р +
+ а2/2} одержимо / = ехр{0,07+0,003} —1 = 0,0757305. Позначимо через
Хп накопичення на кінець n-ro року щорічних інвестицій в одну грошову
одиницю, що робляться із заборгованістю. ТодіЛС„ = 1+Х)*=2 П"=*0+**)-
Середнє накопичення за 10 років з потоку платежів, заданого в задачі,
дорівнює 150000E[Sio] + 20000E[*io] = 150000(1+/)ш+20000[(1+/)9+
+ (1 +/)8 + ... + 1] = 150000(1 + /)10 + 2000(j+j)‘°_~1 = 595183,99.
2. Позначимо шукану суму через С. Тоді Р{С5ю > 6 • 105} = 0,99 =>
P{CSjo < 6 • 105} = 0,01. Випадкова величина (InSio— Юр)/л/10а2
має стандартний нормальний розподіл Л^(0, 1), тому із співвідношення
pflnSio-lOp < 1п(6-105/С)-10р} 001
1 л/Юа2 л/Юа2 /
і таблиць одержимо [1п(6 • 105/С) — 0,7]/\/0,06 = —2,326. Таким чином,
С = 526 726,25 гри.
1.13.8. За результатами обчислень: а) середня відсоткова ставка до¬
рівнює Е[і] = 0,07 • 0,3 + 0,08 • 0,5 + 0,1 • 0,2 = 0,081. Сучасна вартість
10000 грн дорівнює X = 10000(1 + 0,081)—10 = 4589,26 грн;
б) очікуваний прибуток дорівнює 4 589,26[0,3 •( 1,07)10+ 0,5-(1,08)10 +
+ 0,2 • (1,1)10] - 10000 = 42,94 грн.
1.13.9. Обчислимо Е[і] = 0,001, D[i] = (0,002)2, 1п(1 + і) ~ iV(p, a2).
Параметри р., а2 знаходимо з умов Е[1 + і] = ехр{ц+ а2/2} = 1,001,
D[1 + і] = ехр{2ц+ a2}(eff2 — 1) = (0,002)2. Отже, ц. = 0,0009975, а2 =
= 3,992 • 10-6. Тому
153
ln(l + і) - p < ln(l +
У) — M-1
ln(l +/)- 9,975 • 10-4
} = 0,05,
</3,992 • 10-6
де Z має стандартний нормальний розподіл. Із таблиць нормального
розподілу [1п(1 + /) — 9,975 • 10_4]/\/3,992 • 10_6 = —1,645. Звідси у =
= -2,287 • 10-3.
і.ІЗ. 10. 1. З умов задачі Е[і/] = 0,07, D[i/] = 0,22 = 0,04, 1п(1 + ц) ~
~ ЛУ(р, а2). Параметри р.,ст2 знаходимо з умов Е[1 + і] = ехр{р.+а2/2} =
= 1,07, D[1 + і] = ехр{2р + tT2}(eff2 - 1) = 0,04. Звідси р. = 0,05049,
а2 = 0,0343411.
2. a) S15 = ПЇі(1 + к) => 1п5і5 = Х)/=і 1п(1 + к)- Оскільки ln(l + it)
незалежні для різних років і мають нормальний розподіл N(\i, а2), то
InSis ЛУ(15р, 15а2) і таким чином S15 має логнормальний розподіл з
параметрами 15р. = 0,75735, 15сг2 = 0,5151165.
б) P{Sis > 2,5} = 1 - P{Sis < 2,5} = 1 - P{[lnSis - 15ц]//Ї5о* <
< [In 2,5 - 0,75735]/V0,5151165} = 1 - P{Z < 0,221454} = 0,412, де
Z~N( 0, 1).
1.13.11. Нехай A — накопичена сума. Купонні виплати С = ІОООООх
х 0,04 = 4000 грн. З умов задачі середні ефективні річні відсоткові
ставки дорівнюють Е[і'і] = 0,055, Е[гг] = 0,06, Е[г‘з] = 0,045. Враховуючи
незалежність відсоткових ставок ц, І2, г'з одержимо середнє значення
накопиченої суми Е[Л] = 105000н-4000Ч-4000Е[(1 +г‘і)(1 + г"г)(1 + гз) +
+ (1 + г2)(1 + і3) + (1 + із)] = Ю9000 + 4000[(1 + 0,055)(1 + 0,06)(1 +
+ 0,045) + (1 + 0,06)(1 + 0,045) + (1 + 0,045)] = 122290 грн.
1.13.12. Накопичення за 10 років на інвестицію в 2000 грн дорівню¬
ють 20005ю- Оскільки InSio = Х2/=і 1п0 + к) ~ А7( 10(х, Юст2), то
Р {2 0005ш > 4 500} = Р {5Ш > 2,25} =
де Z ~ А7(0,1).
1.13.13. 1. Позначимо через it річну відсоткову ставку, що діє в
період з t — 1 до і. Тоді річний множник накопичення дорівнює 1 +1/. З
умов задачі ln(l + it) ~ N(\l, а2), Е[1 -1-і/] = 1,04, D[1 + it] = D[i/] = 0,02.
Параметри р., ст2 знаходимо з умов Е[1 + і] = ехр{р.+ а2/2} = 1,04,
D[1 + і] = ехр{2р. + а2}(ест2 — 1) = 0,02. Одержимо, що р. = 0,03006,
а2 = 0,018. Нехай X — інвестована сума, тоді накопичена за 5 років
сума дорівнює ZS5 = ^П/=і(1 + к)- незалежності it для різних років
f InSio -0,75 ^
1 0,08
{
In 2,25-0,75
0,08
I =P{Z> 0,7616} = 0,22315,
154
і умови ln(l + it) ~ N(\x, а2) випливає, що InSs має розподіл Х)/=і 1П0 +
+ it) ~ М(5ц., 5ст2). Маємо
Р{«5 > 5000} = р{ІП^ > И50ад^5ц
= і-р{г<І"(5^-°’1503}Г0,99,
де Z має стандартний нормальний розподіл. Із таблиць нормального роз¬
поділу [In (5000/Л} — 0,1503]/0,3 = —2,3263 і X = 8644,59 грн.
2. Значна сума інвестування пояснюється великим значенням диспер¬
сії річної відсоткової ставки, і, як наслідок, великим ризиком зменшення
інвестиції за 5 років.
1.13.14. Нехай С - це накопичена сума. Тоді Е[С] = 0,4(1 +0,06)3 +
+ 0,6(1 + 0,05)3 = 1,17098, Е[С2] = 0,4(1 + 0,06)6 + 0,6(1 + 0,05)6 =
= 1,371465, D[C] = Е[С2] - (Е[С])2 = 0,01646.
1.13.15. Е[г'/] = 0,08-0,625+ 0,04-0,25+ 0,02-0,125 = 0,0625, Е[г2] =
= 0,00445, Е[S3] = Е[П?=і(1 + і/)] = (1 + Е[г'/])3 = (1.0625)3 = 1,1995 грн,
E[Sf] = Е[П^=і(1+г02] = (1+2Е[г'/]+Е[і2])3 = (1+2 -0,0625+0,00445)3 =
= 1,440792. Тому D[S3] = Е[5|] -(Е[53])2 = 0,002 і а = у/ОЩ = 0,045.
1.13.16. Маємо накопичений капітал S3 = П?=оО +h)- Накопичений
капітал буде більшим за 1,2 грн, якщо хоча б одна річна ефективна
відсоткова ставка дорівнюватиме 0,08. Тому P{S3 > 1,2} = Р{53 = 1,06 х
х 1,06 • 1,08} + P{S3 = 1,06 • 1,08 • 1,06} + P{S3 = 1,06 • 1,08 • 1,08} + P{S3 =
= 1,06- 1,08-1,1} = 0,375.
1.13.17. 1. За умовою (1-Й/) ~ LN(\i, а2), причому Е[1-И/] = ехр{ц+
+ ст2/2}, D[1 + і/] = ехр{2ц+ о^}(ехр(а2) — 1) = 0,06. Звідси маємо о5 =
= (0,08/1,Об)2 = 0,0056798, ц = In 1,06 - 0,0056798/2 = 0,055429. Далі
ln(l + it) ~ Лї(ц, а2), тому
In5ю — 1п(1 + і])... (1 + і'ю) — 1п(1 + і]) + ... + 1п(1 + ііо) ~ А^(10|х, 1 Ост2),
де Sio — значення суми, накопиченої за 10 років одиничною інвести¬
цією. Тому 5щ ~ LN(0,55429, 0,056798) і Е[5ю] = ехр{0,056798 +
+ 0,55429/2} = 1,790848, тобто відповідь — 1 790 848 грн.
2. Потрібно визначити ймовірність P{Sio < 1,61172} = P{lnSio <
< In 1,61172}, де ln(Sio) ~ N(0,55429, 0,056798), тобто ймовірність
p{z < ‘^о ^здзгз55429} = p(z < -0.32304},
де Z = (1п5ю — 0,55429)/0,238323 ~ N(0, 1). Цю ймовірність можна
знайти в таблиці значень стандартної нормальної функції розподілу:
P{Z < -0,32304} = 1 - Ф(0,32304) = 0,373.
155
1.13.18. З умов задачі обчислимо ln(l + it) ~ N([i, ст2), Е[г}] = 0,05,
D[if] = 0,112 = 0,0121. В свою чергу, параметри ц, а2 визначимо з умов
Е[1 + і<] = ехр{ц+ст2/2} = 1,05, D[l + i/] = exp{2p.+ a2}(etr2-1) =0,0121.
Одержимо ц. = 0,043, ст2 = 0,0109,
In 1,04 — ц 1п(1 + it) - р. In 1,07 - ц.
ст — ст — ст
= Р{—0,039 < Z < 0,233} = 0,10766,
де Z ~ N(0, 1).
1.13.19. 1. Е[г] = (0,03 + 0,06 + 0,09)/3 = 0,06. Якщо річну премію
підраховувати за цієї відсоткової ставки, вона становитиме 10000/s™ =
= 256,46 грн. '
2. За результатами обчислень: а) очікуване значення накопичення
3^26j0,03 + gP‘s20j0,06 + 2^^2010,09 — 10000 = 40,81125Я — 10000.
Воно дорівнює нулю при Р = 245,04, а при Р = 256,46 очікуваним
доходом буде 466,45 грн;
б) математичне сподівання чистого сучасного значення поліса перед
сплатою першої премії
З^^що.оз — lOOOOvojoa) + -(Яащо.об — ЮООО^одб)+
+^ЙЩ0,09 - 10000vo°09) = 12.47734Я - 3479,7.
Воно дорівнює нулю при Р = 278,88 і —276,76 грн при Р = 256,46.
1.13.20. 1. За результатами обчислень: а) накопичений до кінця тер¬
міну дії поліса дохід 0 = PSiq— 1 000 = 7>П/=і0+^)—1 000. тому за раху¬
нок незалежності і однакової розподіленості Е[0] = Я(1 + Е[і])10 — 1000.
Далі, позначивши / := Е[і], s2 := D[г], маємо, використовуючи те, що
D[X] = Е[Х2] — (Е[Х])2 і D[X + const] = D[X] (ст — стандартне відхиле¬
ння):
СТ[0] = PCT[S10] = Я{[(1 +/)2 + S2]10 - (1 +у)20}1/2;
б) чисте сучасне значення поліса відразу після продажу ср = Р —
— Ю00П’!і(1 + тому за рахунок незалежності і однакової розпо¬
діленості Е[ср] =Р — 1000{Е[(1 + г)-1]}10- Далі
20
ст[(р] = 1000ст[(Я - ср)/1000] = 1000ст[Ц(1 + г})-1 •
/= і
Знову, використовуючи формулу D[Jf] = Epf2] — (Epf])2, а також одна¬
кову розподіленість і незалежність, маємо потрібну формулу.
Р{0,04 < it < 0,07}
156
2. Потрібно перевірити такі рівності для кожної з даних моделей:
а) модель I: j = Е[г] = 0,04. s2 = D[i] = [(—0,02)2 + (0)2 + (0,02)2]/3 =
= 8-10-уЗ, Е[(1Ч-г)_1] = [(l^J-’ + Cl.O^-1 + (1,06)-’]/3 = 0,96177561.
Таким чином, {Е[(1 + г)—1 ]}10 = 0,67723223, Е[(1 + і)-2] = [(1,02)—2 +
+ (1,04)-2 + (1,06)-2]/3 = 0,92524048 і {Е[(1 + г)-2]}10 = 0,45977594;
б) модель 2: j = Е[г] = 0,04. s2 = D[i] = 4 • 10-4/3,
Е[(1 + і)-1] = Г°’06 т^—2Ьйх = 0,96165701
Jo,02 1+х
і, таким чином, {Е[(1 + г)_1]}Ш = 0,67639761,
Е[(1 + і)-2] = Г /, 1 ч,25Лх = 0,92489826,
14 ’ ‘ Jo,02 (1+х)2
отже, {Е[(1 + г)“2]}10 = 0,45807831.
в) модель 3: j = Е[г] = 0,04. s2 = D[i] = 2 • 10-4/3. Зауважимо, що
щільність розподілу величини і
J 2500(х — 0,02), якщо 0,02 < х < 0,04;
12500(0,06 - х), якщо 0,04 < х < 0,06.
Тоді
Е[(1 + і)-1] = Г°’°6 -r^—f(x)dx = 0,96159748,
отже, {Е[(1 + г)-1]})10 = 0,6759789,
О г°.°6 1
Е[(1 + і)~21 = J0 02 = 0,92472815,
{Е[(1 + г)-2]}'0 = 0,45723639.
Порівнюючи з результатами пункту 1, складемо таку таблицю:
Модель
Значення Р,
ДЛЯ ЯКОГО
Е[0] = 0
Відповідне
значення
сг[01
Значення Р, для
якого Е[<р] = 0
Відповідне
значення
ст[«РІ
1
675,56
49,68
677,23
33,65
2
675,56
35,12
676,4
23,76
3
675,56
24,83
675,98
17
1.13.21. 1. / = Е[г] = [0,03 + 0,06 + 0,09]/3 = 0,06, s2 = D[i] =
= [(—0,03)2 + (О)2 + (0,03)2]/3 = 0,0006.
157
2. З попереднього маємо, що E[S„] = 1,06”, D[S„] = 1,1242" - 1,062".
Це дає такі значення:
п
5
10
15
20
Е [Sn]
1,33823
1,79085
2,39656
3,20714
o-[S„]
0,06919
0,13102
0,21489
0,33228
3. Маємо, що Е[Л„] = s^0,06- Оскільки Л2 = (1 + 2іп + г'2)(1 + 2Л„_і +
то, обчисливши математичне сподівання, отримаємо при п > 2
Е[Л2] = (1 + 2/ +/2 + s2)(l + 2s^jj + Е[Л2_,]). Складемо таку таблицю:
п
*И»1
п
о\А„ 1
п
°\Ап\
1
0,02449
6
0,28093
11
0,80284
2
0,05675
7
0,36194
12
0,94624
3
0,09850
8
0,45392
13
1,10476
4
0,14963
9
0,55755
14
1,27948
5
0,21032
10
0,67358
15
1,47155
л п 5 10 15
ст[Ля]/Е[Л„] 0,0352 0,0482 0,0596
Зауважимо, що оскільки п зростає, то значення стандартного відхи¬
лення зростає відповідно до значення математичного сподівання.
1.13.22. 1. / = Е[і] = 0,3 0,02+0,5 0,04+0,2 0,07 = 0,04, s2 = D[і] =
= 0,3(—0,02)2+0,5-02+0,2(0,03)2 = 0,0003. Тоді математичне сподівання
доходу, накопиченого початковою інвестицією розміром 1000 грн, дорів¬
нює 1000Е[5і5] = 1000(1,04)15 = 1800,94, а його стандартне відхилен¬
ня - 1000ct[Si5] = 1000(1,081915 - 1,0430)1/2 = 116,28.
2. Математичне сподівання — 100 Е[Л 15] = 100^4% = 2082,45,
стандартне відхилення — 100ст[Лі5] = 86,87 (див. пункт 3 задачі 1.13.21).
1.13.23. 1. Для рівномірного розподілу у = Е[г] = 0,06, s2 = D[i] =
= 0,0003, s = 0,017321, Р [0,05 < і < 0,07] = (0,07 - 0,05)/(0,09 - 0,03) =
= 1/3.
Для трикутного розподілу у = Е[г] = 0,06, s2 = D[i] = 0,00015,
s = 0,01225. Щоб порахувати потрібну ймовірність, зауважимо, що
Р[г < 0,05] = Р[і > 0,07] = [(0,05 - 0,03)/(0,06 - 0,03)] 2/2 = 2/9, звідки
Р[0,05 < і < 0,07] = 5/9.
2. Використовуючи результати попереднього пункту, підрахуємо по¬
трібні величини і запишемо їх у таблицю.
п
E[S„]
Щ«]
<г[4і]
Обидві моделі
Рівномірний
Трикутний
Обидві моделі
Рівномірний
Трикутний
5
1,33823
0,04891
0,03458
5,97532
0,14870
0,10514
10
1,79085
0,09259
0,06545
13,97164
0,47615
0,33663
15
2,39656
0,15181
0,10729
24,67253
1,04000
0,73520
158
Відзначимо, що для трикутного розподілу стандартні відхилення прибли¬
зно на третину менші, ніж для рівномірного розподілу. Це відображує
меншу мінливість ставки для трикутного розподілу.
1.13.24. 1. Маємо в наших позначеннях / = 0,06 і s2 = 0,0003. Тоді
з того, що 1 +/ = ехр(ц + ^ст2), s2 = ехр(2р + ст2)[ехр(а2) - 1], маємо
tr2 - In f 1 + (—= 0,000267. ц = In 1+; = 0,058135.
1 Vl+';J а/‘ + Ш
2. З того, що 1 + it ~ LN(0,058135, 0,000267), маемо S15 ~ o'),
де ц' = 15 • 0,058135 = 0,872025, (ст')2 = 15 • 0,000267 = 0.063282. Далі,
E[5is] = ехр(ц'+У2) = 2,396544, E[(Si5)2] = ехр(2цЧ2а'2) = 5,766469.
Звідси D[Si5] = 5,766469 - (2.396544)2 = 0,023.
4. Маємо: a) S15 <2,1-0- InSis < In 2,1 = 0,741937. Оскільки InSis
має нормальний N(0,872025, 0.063282), потрібна ймовірність
Ф
'0,741937 — 0,872025^
, 0,06328
J = Ф(—2,0557) = 0,0199
(Ф — стандартна нормальна функція розподілу, її значення можна від¬
шукати у таблицях);
б) S15 > 2,7 -о In S15 > In 2,7 = 0,993252. Тому потрібна ймовірність
1 - ®(0’"32p^32g72025) = 1 ~ Ф(1,9157) = 0,0277.
1.13.25. Нехай M(t) — ринкова вартість портфеля в момент t, тобто
маємо X(t) = 1п(М(0/Ю0000). Відомо, що ймовірність того, що бро-
унівський рух зі зсувом ц. і дисперсією а2 на проміжку [0,«] набуде
значення, меншого за дане —£, > 0, наближено дорівнює
У нашому випадку М(І) < 90000 о X(t) < —0,10536, тобто £, = 0,10536.
Підставляючи це разом з р. та а у написану вище формулу, маємо P\q =
= 0,6. Імовірність того, що ринкова вартість ніколи не буде нижче, ніж
90000, дорівнює
, п , -..-Г-2 0,05.0,10536ї no<7on
1 Pqo — 1 exp о 152 j 0,3739.
1.13.26. 1. Vn = П"=і(1 + t’t)-1- Звідси
П
\x\Vn = — ^ 1п(1 + it),
t=1
тобто In Vn є сумою незалежних нормально розподілених випадкових
величин з параметрами —ц. та о2. Тоді \nVn є нормально розподіле-
159
ною випадковою величиною з параметрами —«ц та па2, отже, Vn ~
~ LN(—n\i, па2).
2. Маемо E[i] = 0,08, D [г] = 0,0025. Звідси (див. задачу 1.13.24)
ц = 0,07589052, а2 = 0,0214105. Нехай \\! = —n\i, o'2 = па2. Тоді
E[Vn] =ехр{ц' +^ст72} = [ехр{ - М-+^ст2}] ;
Е[(У„)2] = ехр{2ц' + 2 0у2} = [ехр{—Ц.+ о5}]2".
Використовуючи два останніх рівняння, запишемо шукані значення в
таблицю:
п
1000 Е[У„1
1000 «т[У„]
5
687,91
71,37
10
473,22
69,92
15
325,53
58,81
20
223,93
46,84
1.13.27. 1. Маємо іо = 0,06. Тому і\ з однаковими ймовірностями
може дорівнювати 0,02, 0,06 або 0,1. Легко бачити, що Е[і*2 | і\ = ос] =
= 0,06 + k(oc - 0,06). Тоді
Е[і2] = ^(0,06 - 0,046) + ^0,06 + ^(0,06 + 0,046) = 0,06.
(Значення Е[і2] можна було порахувати і безпосередньо, виписавши всі
дев’ять можливих значень і2.)
2. У випадку а) маємо E[S | г'і = а] = Е[(1 + г‘і)(1 + г2) | і\ = а] = (1 +
+ а) [1,06 + 6(а — 0,06)]. Тому
1 О 32
Е[5] = -{[1,02(1,06-0,046)] + [1,062] + [1,1(1,06+0,046)]} = 1,062+^6;
у випадку б), як і в попередньому, можемо записати
Е[S2 І її = а] = (1 + а)2Е[(1 + і2) | ц = а] = (1 + а)2 х
х {[ 1,02 + 6(а — 0,06)]2 + [1,06 + 6(а — 0,06)]2 + [1,1 + 6(а — 0,06) ]2 } =
= (1 + а2)
Звідси
Е[52]
І
З L
3,374
, 3,374
+ 2,126(а - 0,06) + б2(а - 0,06)2
,3,374
1,022(—^ 0,04 - 2,126 + 0,04262) + 1,062(^—)+
+ 1,062(^^+ 0,04- 2,126 + 0,04262)] =
= ^(11,383876 + 0,043146246 + 0.0108019262).
Підраховуючи D[S] як Е[52] — (Е[5])2, відразу одержимо потрібну рів¬
ність.
160
Розділ II
Фінансова математика
2.1. АРБІТРАЖ ТА ІНШІ ЕКОНОМІЧНІ МОЖЛИВОСТІ
В ОДНОПЕРІОДНІЙ МОДЕЛІ
Теоретичні відомості
При побудові одноперіодної моделі фінансового ринку використовую¬
ться такі поняття:
Початковий момент часу t = 0 і кінцевий момент часу t = 1, з
можливістю торгувати і витрачати у ці два моменти часу.
Скінченний простір можливих станів фінансового ринку
П = {ші шм), Лі Є N.
Імовірнісна міра Р на Д, із Р(ш) > 0, Vu> є Д.
Банківський рахунок (безризиковий актив) 5 = {B(t) \ t = 0,1},
5(0) = 1, 5(1) = 1 + г, де г = 5(1) — 5(0) > 0 — відсоткова ставка, яка
може бути випадковою величиною.
Ціновий процес S = {S(0| t = 0,1}, S(t) = (Si(t) Sw(t)), N є N,
де Sn(t) > 0 — ціна n-го ризикового активу (акції) у момент часу t.
Вважаємо, що S(0) = (яі,... ,7t^) — відомий невипадковий вектор, а
5(1) — випадковий вектор, значення якого стає відомим лише в момент
часу t = 1.
Стратегію, або портфель, інвестора позначають Е, = (£д, £,і,..., £,#),
де £д — кількість грошей, покладених на банківський рахунок у почат¬
ковий момент часу, а 1 < п < N, — кількість n-го ризикового активу
(наприклад, пакет акцій), яку інвестор придбав у початковий момент
часу t = 0. Величини І,п, 0 < п < N можуть набувати як невід’ємних,
так і від’ємних значень. При цьому від’ємні значення означають позику,
взяття (купівлю) активів у борг, а для 1 < п < N — продаж активів, без
фактичного володіння ними (так званий короткий продаж).
Капітал інвестора V = {V(£)| t = 0,1} дорівнює V(t) = £д5(£) +
+ En=itnSn(t),t = 0, 1.
Прибуток дорівнює G = l$r + Y,„=i ^n&Sn, де ASn = 5„(1) - 5„(0) =
= •SnO) — 7tn.
Дисконтований ціновий процес визначається як S* = {S*(0| t =
= 0, 1}, де S*(t) = S(t)/B(t).
161
Дисконтований капітал дорівнює У*(0 = + Y!L\ tnSZ(t), а дис¬
контований прибуток визначається ЯК G* = Yln=\^^n> Де =
= S*(l) — 5*(0).
Модель акції називається біномною, якщо Q. = {сої, со2}, S(l) =
= S(0)d на ші, S(l) = S(0)u на со2, причому, як правило, 0 < d < 1
(акція падає), и > 1 (акція підвищується). При цьому відсоткова ставка
стала й дорівнює г > 0, Р({ші}) = р > 0, Р({со2}) = q := 1 — р > 0.
Задачі
2.1.1. Показати, що 1/(1) = 1/(0) + G, V*(t) = V(t)/B(t), t = 0,1,
У*(1) = y*(0) + G*.
2.1.2. Нехай М = 2, N = 1, г = 1/9, S(0) = 5, S(l,u>i) = 20/3,
S(l,co2) = 40/9.
1. Обчислити 5(1), S*(l, Ші), S*(l, co2).
2. Виразити 1/(1), G, 1/*(1) та G* через £д і £,і для со = u>i, со2.
2.1.3. Виконати попереднє завдання за тих самих умов, але при М =
= 3 та 5(1,соз) = 10/3. Підрахувати 5*(1,соз) та виразити 1/(1), G, 1/*(1)
і G* через £д і £,і для со = соз.
2.1.4. Нехай М = 3, г = 1/9,
п
S»(0)
s»(D
0)1
0)2
0)3
1
5
20/3
20/3
40/9
2
10
4073
§079
8О79
Визначити 5*(0), 5*(1, со) при со = сої, со2, соз і виразити V(l), G, 1/*(1)
і G* через £д, £,і, £,2 для со = соь со2, со3.
2.1.5. Нехай в умовах попередньої задачі М = 4, Si(l, СО4) = 20/9,
52(1, СО4) = 40/3. Обчислити 5*(1, СО4) та виразити V(l), G, 1/*(1) і G*
через £д, £,і, £,2 для со = со4.
2.1.6. Стратегія £, називається домінантою, або домінантною страте¬
гією, якщо існує стратегія £, така, що 1/(0) = 1/(0) і 1/(1, со) > 1/(1, со),
Vco є П. Довести: домінанта існує тоді й лише тоді, коли існує така
стратегія £,, що 1/(0) = 0 і 1/(1, со) > 0, Vco є П.
2.1.7. Довести: домінанта існує тоді й лише тоді, коли існує така
стратегія £,, що 1/(0) < 0 і 1/(1, со) > 0, Vco є О.
2.1.8. Лінійною ціновою мірою називається невід’ємний вектор р =
= (р(соі) р(сом)} такий, що для кожної стратегії £,
v*(0)= £р(о>)У(і,и>).
соєП
162
Довести, що вектор р є лінійною ціновою мірою тоді й тільки тоді,
коли він є ймовірнісною мірою на СІ, яка задовольняє умову S*(0) =
= ЕшєпРМЗлО. “>), п = Tjv.
2.1.9. Довести: лінійна цінова міра існує тоді й тільки тоді, коли
немає домінантної стратегії.
2.1.10. Говорять, що має місце закон однієї ціни, якщо не існує двох
стратегій, скажімо £, та £, таких, що 1/(1, ш) = 1/(1, ш), Vcju є П, але
1/(0) > 1/(0). Довести: якщо домінантної стратегії не існує, то має місце
закон однієї ціни. Навести приклад, коли має місце закон однієї ціни,
але існує домінантна стратегія.
2.1.11. Нехай М = 2, N = 1, г = 1, 5і(0) = 10, 5і(1, о>і) =
= 5і(1, С02) = 12. Показати, що закон однієї ціни порушено.
2.1.12. Нехай М = 2, N = 1, г = 1, 5і(0) = 10, 5і(1, о>і) = 8,
Si(l, С02) = 12. Показати, що закон однієї ціни має місце, але існує
домінантна стратегія.
2.1.13. Нехай М = 3, г = 0,
п
Sn(0)
$.(1)
0)1
0)2
0>з
1
4
8
6
3
2
7
10
8
4
Показати, що закон однієї ціни виконано, але існує домінантна стратегія.
2.1.14. Арбітражна можливість — така стратегія £,, для якої:
а) V(0) = 0;
б) 1/(1,ш) > 0, Vcju є П;
в) Е[К(1)]=Й“,Р(а»<ті.а>і)>0.
Довести: якщо існує домінантна стратегія, то існує й арбітражна мо¬
жливість, але не обов’язково навпаки.
2.1.15. Нехай М = 2, JV = 1, г = 0, Sj(0) = 10, Si(l, u>i) = 12,
Si(l, Шг) = 10. Показати, що домінанти не існує, але існує арбітражна
можливість.
2.1.16. Довести, що арбітражна можливість еквівалентна будь-якій
з таких сукупностей умов:
а) У*(0)=0, У*(1,си) >0, Vtu Є О, E[V*(1)] > 0;
б) G*(u>) > 0, Vu> Є Cl, E[G*] > 0.
2.1.17. Імовірнісна міра Р* на СІ називається нейтральною до ризику,
якщо: Р*(о>) > 0, Vto Є С1-, Ер. [Д5*] = Y^Li Р*(ьиі)Д5л(и,і) = 0, п = l,N.
1. Визначити Р* (якщо вона існує) у задачі 2.1.2.
2. Показати, що для моделі в задачі 2.1.3 нейтральні до ризику ймо¬
вірнісні міри мають вигляд Р* = (Л, 2 — ЗЛ, 2Л — 1), 1/2 < Л < 2/3.
3. Чи існує Р* у задачі 2.1.4?
163
2.1.18. За означенням показати, що в умовах задачі 2.1.2 не існує
арбітражної можливості.
2.1.19. Показати, що в задачі 2.1.4 домінантних стратегій нема, але
арбітражна можливість існує.
2.1.20. Позначимо W = {х Є R^ : х = G* для деякої стратегії £,},
W± = {у Є RM : у ■ х = О, VJ? Є W}, А = {х є RM : х > 0, х /= 0}.
Зауважимо, що умова відсутності арбітражу має вигляд W П А = 0, а
нейтральна до ризику ймовірнісна міра Р* належить
1. Визначити W П А у задачі 2.1.4.
2. Визначити W, W1- у задачах 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5.
3. Довести, що W та W1- — лінійні підпростори RM.
2.1.21. Визначити або всі міри, нейтральні до ризику, або всі арбі¬
тражні можливості в задачі 2.1.5.
2.1.22. Нехай М = 2, JV = 1, г > 0, S(0) = 1, S(l,u>i) = a, S(l,u>2) =
= b, де а > b > 0 (частковий випадок біномної моделі). Для яких значень
а, b та г існує міра, нейтральна до ризику? Визначити цю міру. Для
інших значень параметрів описати множину всіх арбітражних можливо¬
стей.
2.1.23. Нехай А — (М + 1) х (М + 2ЛЇ)-матриця
0
0
0
0 11..
1
ASi*(w,)
—AS*(tt>i) .
.. AS*(Wl)
-ASj^(wi) -1 0
0
ASi*(o)2)
-AS* (w2) •
2)
-AS£(cjo2) 0 -1
0
. ASf(wJn)
-AS^ojai) .
.. AS^(wjh)
-Д^шл,) 0 0
. -1
і нехай В = (1,0 0)т Є Довести, що система А? = В, 1 > 0,
х Є RM+2iV має розв’язок тоді й тільки тоді, коли існує арбітражна мож¬
ливість.
2.1.24. Лема Фаркаша стверджує, що для даної т х n-матриці А і т-
вимірного вектора В справедливо одне з двох: або система А% = В, 2 > 0,
х Є R” має розв’язок, або система нерівностей уА < 0, у • В > 0, у Є Rm
має розв’язок. Використати це твердження і результат попередньої задачі
для доведення такого твердження: якщо арбітражної можливості нема,
то існує нейтральна до ризику ймовірнісна міра.
Відповіді та вказівки
2.1.2. 1. В(\)=В(0)+г = 1 + і = у; S*( 1, ш,) =
6; S*( 1, ш2)
S(l, со2) _ 40/9
В(1) 10/9
4.
5(1, ш0
5(1)
20/3
10/9
164
2. V(l, ал) = toW + £,iS(l, ал) = yto + у tf, G(cux) = tor +
IS і n 40
+ £,iAS(a>i) — gto+gtil 1/(1, Ш2) — £дВ(1) + £,iS(l, Ш2) = у£д + y£,i;
G(u>2) = tor+£,іД5(о)2) = g£o— gth 1/*(1, ил) = to + ti*S*(l, a>i) = to +
+6£,i, G*(ci»i) = £,іД5*(ш,) = ti! V*(l, co2) = to + tiS*(l, co2) = to+4ti!
G*(a)2) = £,iAS*(a)2) = —£,i.
2.1.3. 5*(1, ш3) = 3; 1/(1, ш3) = уto + у tf, G(u>3) = ^ - |tf
У(1, ш3) = to + 3£,і; G*(u>3) = -2£,,.
2.1.4. Sf(0) = 5; S2*(0) = 10; Sf( 1, ал) = 6; Sf(l, ш2) = 6; Sf (1, ш3) =
= 4; S2*(l, ал) = 12; S2*(l, ш2) = 8; S2*(l, ш3) = 8; V(l, ал) = уto +
20 r 40 . lr 5 . 10 r .... . 10, 20 r 80 r
+ T£’l+y£’2; ^(^l) _ gto+gtl+yt2J ^(1> ^2) — yto+ytl+yt2!
. lr 5. 10 r . 10 p 40 r 80. .
G(Ш2) = gto + g£,i —g-£,2! 1/(1, ш3) = yto + у ti + у 12; G(OJ3) =
= 1*л- §ti - у t2; У(1, ал) = to + 6ti + 12t2; G*(coi) = ti + 2t2;
У*(1, u>2) = to + 6ti +8£,2; G*(u>2) = ti -2&; У*(1, u>3) = to + 4ti +8t2;
G*(u>3) = -ti -2*2.
2.1.5. Sf( 1, a>4) = 2; S2*(l, a)4) = 12; V(\, ш4) = у to + у ti +
40
+ у £,2; G(ш4)
1 p 25 r 10 r
g to g- tl + у t2; У (1. U)4)
to + 2£,i + 12£,2;
G*(o)4) = —3£,i + 2£,2.
2.1.6. Необхідність. Нехай t — домінанта, і нехай стратегія £, така,
що 1/(0) = 1/(0) і 1/(1, ш) > 1/(1, ш), Vtu Є П. Розглянемо стратегію
t = t- *. Тоді 1/(0) = 1/(0) -1/(0) = 0 і 1/(1, ш) = 1/(1, со) -1/(1, со) > 0.
Достатність. Якщо £, така стратегія, що 1/(0) = 0 і 1/(1, ш) > 0,
Уш є О, то вона буде домінантою, бо домінує нульову стратегію t = 0.
2.1.7. Необхідність. Якщо існує домінанта, то з попередньої задачі
випливає, що існує така стратегія що 1/(0) = 0 і 1/(1, со) > 0, Уш є П.
Отже, 1/*(0) — 0; 1/*(1, ш) > 0, Уш є СІ, тобто G*(tu) > 0, Уш є П.
Побудуємо нову стратегію Е,: \п =J,n, п = l,N і to = ~Т%=\ t«5*(0) - 5,
де б = шіПьиєп G*(u>2 > 0. Тоді 1/*(0) = to + Yln= і tnS*(0) = -б < 0 і
1/*(1, ш) = 1/*(0) + G*(w) = -б + Yln=і t„AS*(cu) = -б + G*(u>) > 0,
Уш Є СІ. Оскільки B(t) > 0, то побудована стратегія задовольняє умову
задачі.
165
Достатність. Нехай існує домінанта, тобто стратегія £,, для якої
1/(0) < 0 і 1/(1, со) > 0, Vco є П. Тоді 1/*(0) < 0 і 1/*(1, со) > 0,
= G*(co) > 0, Vco є О. Оскільки B(t) > 0, то побудована стратегія
задовольняє умову попередньої задачі, тобто існує домінантна стратегія.
2.1.9. Розглянути первинну
задачі лінійного програмування і використати дуальну теорему лінійного
програмування: якщо одна з цих двох задач лінійного програмування
має розв’язок, то й друга задача має розв’язок, при цьому екстремальні
значення цільових функцій (тобто тих функцій, які максимізуються та
мінімізуються) у них однакові.
2.1.10. Доведення вказаного твердження провести від супротивного.
Для побудови прикладу перевірити, що в моделі зМ = 2, А/ = 1, г = 1,
5і(0) = 10, 5і(1, ші) = 12, 5і(1, шг) = 8 виконується закон однієї ціни
та існує домінантна стратегія.
2.1.13. Домінантна стратегія £, = (3, 1, — 1).
2.1.15. Показати, що існує лінійна цінова міра, але стратегія £, =
= (—10,1) є арбітражною можливістю.
2.1.17. 1. Р* = (1/2, 1/2).
2. Для визначення Р* = (Р*(соі), Р*(ш2). Р*(и>з)} маємо систему
стратегію £,: п= l,N і £д = - £n=ij>n5«(°)- Тоді У*(0) = £ю +
+ Еї-і W(0) = 0 і V*(\, ш) = К*(0) + G*(w) = і £,„AS*M =
(0 0) • {p(wi),...,p(wM)) -> max,
м
'£p(u>i)S*„(hcoi)=S*n(0),n=l,N,
* -• і
1=1
M
= 1, p(wi) > 0, і = 1 ,М,
та дуальну
N
£o + ^£,„S^( 0)->min,
Л=1
N
6Р*(соі) + 4P*(u>2) + ЗР*(о>з) = 5,
< Р*(ші) + Р*(о>2) + Р*М = 1,
Р*(шг) > 0, і = 1, 2, 3.
Звідси одержуємо Р* = (А, 2 — ЗА, 2А — 1), 1/2 < А < 2/3.
166
2.1.19. Арбітражна можливість £, = (0, 2, — 1).
2.1.20. 1. Маємо S*(l, ші) = 6; 5*(1, ш2) = 6; 5*(1, шз) = 4;
5|(1, соО = 12; S£(l, ш2) = 8; Sf(l, си3) = 8; AS*(u>i) = 1; AS*(u>2) = 1;
AS*(tu3) = — 1; ASg (ші) = 2; ДІ>|(а>2) = —2; ASg (шз) = —2. Тому W =
= {X Є R3 : х, = £,, + 2£,2, х2 = £,і - 2£.2, *з = - 2la, V£,,, Іа Є М1}.
Звідси випливає, що W = {х Є К3 : х\ + х3 = 0}, і тому W П А =
= {х Є Ш3 : Х\ = *з = О, Х2 > 0} 4і &. Таким чином, існує арбітражна
можливість.
2. У задачі 2.1.2: W = {х Є R2 : Х\ = — х2}, HP1- = {у є R2 : у\ = г/2}.
У задачі 2.1.3: № = {х Є R3 : *і + *2 = 0, 2хі + х3 = 0}, W1- =
= {у Є К3 : УІ-У2- 2г/з = 0}.
У задачі 2.1.5: W = {х Є К4 : Хі + х3 = 0, Хі + 2х2 + х4 = 0},
= {У Є М4 : 2г/і - у2 - 2г/3 = 0, у2 - 2г/4 = 0}.
2.і.21. Оскільки ИРпА = 0, то арбітражної можливості не існує.
р, = (нТ’Л--Чг^)- 0<л<1/2.
2.1.22. Для b < г < а існує нейтральна до ризику міра
р»
(г — Ь а — г\
a — b'a — b)'
Покладаючи G* = (а/( 1 + г) — £,ь 6/(1 + г) — £,і), маємо арбітражну мо¬
жливість при а < г для всіх £,і < 0, а при Ь > г для всіх £,і > 0.
2.1.23. Необхідність. Нехай (хі,х2, ...,X2n+m) — розв’язок системи
Ах = о, х > 0. Поклавши — х2л_і — х2л, п — 1, ... ,N, одержимо із
системи, що G* > 0, E[G*] > 0. Звідси випливає існування арбітражної
можливості.
Достатність. Якщо £,= (£,і Е,м) — арбітражна можливість, то
N
G*(Wi) = Y,tnAS*n(wi) > 0, і = 1 Af, E[G*] > 0.
П=\
Позначимо і G*(wi) = 6 > 0 і покладемо х2л_і = х2л = 0, якщо
£,>п = 0; х2п—\ = IJb, х2п = 0, якщо £,„ > 0; х2л_і = 0, х2л = -£,„/5, якщо
In < 0, п = 1,... ,N\ x2N+i = Yln= 1 AS*(cot)(>f2n-i ~х2п), і = 1,... ,М. Тоді
(Хі,Х2, . . . ,X2N+m) задовольняє систему Ах = О, X >0.
2.1.24. Якщо відсутня арбітражна можливість, то за попередньою
задачею не має розв’язку система Ах = Ь, х > 0. З леми Фаркаша
випливає існування розв’язку у = {уа,у\ ум) системи у А < 0, у - о >
0. Звідси маємо нерівності Ylf=\ Уі^п(ші) — 0> — Sili Уі^п(ші) — 0>
п = 1 N, уо~Уі < 0, г = 1 М,у0>0. Поклавши Pf = yJY!k=\ Ук>
і = 1 М, одержимо нейтральну до ризику ймовірнісну міру.
167
2.2. СПРАВЕДЛИВА ЦІНА ПЛАТІЖНИХ ЗОБОВ'ЯЗАНЬ,
ПОВНОТА РИНКУ, ДОХОДНІСТЬ АКЦІЙ, ПРЕМІЯ ЗА РИЗИК
Теоретичні відомості
Платіжне зобов’язання ^(ш), ш є П, — випадкова величина, яка
задана на просторі станів ринку СІ. Вважаємо, що О = {сиі сим}-
Платіжне зобов’язання .Y(co) називається досяжним або ринковим, якщо
існує така стратегія £,, що У(1, со) = £дВ(1) + Yln=i ^nSn( 1, со) = ^(со),
Vco є СІ. Ця стратегія £, називається породжувальною (реплікантною)
стратегією для платіжного зобов’язання JC(co). Якщо всі платіжні зо¬
бов’язання на ринку досяжні, то ринок називається повним. Ринок бу¬
де повним тоді й тільки тоді, коли існує єдина нейтральна до ризи¬
ку міра Р*(со),со є О. За умови відсутності арбітражу справедлива
ціна 7t(X) досяжного платіжного зобов’язання Х(со) дорівнює ті(Х) =
= У(0) = £о^(0) + Yln=i ^nSn(0), де £, — породжувальний портфель
для X(to). За відсутності арбітражу існує нейтральна до ризику міра
Р* і справедлива ціна досяжного платіжного зобов’язання .Y(co) дорів¬
нює ті(Х) = Ер. [ЛУВ(1)]. Якщо відсутній арбітраж, то необхідною й
достатньою умовою досяжності платіжного зобов’язання X(co) є неза¬
лежність від Р* величини Ер.[ЛУВ(1)]. Якщо платіжне зобов’язання
Jf(co) недосяжне, то для його справедливої ціни п(Х) має місце оцін¬
ка 7Г_(*) < п(Х) < п+(Х), де тг_(ЛГ) = infP.eM Ер. [Х/В(1)}, п+(Х) =
= 5ирр.єЛ/( Ер. [ЛУВ(1)], М. — множина всіх нейтральних до ризику ймо¬
вірнісних мір.
Задачі
2.2.1. Нехай М = 2, N = 1, Р(ші) = р, Р(шг) = 1 — р, S(l, cui) =
= dSo, 5(1, Ш2) = uSq, 0 < d < 1 < и. Опціоном купівлі називається
платіжне зобов’язання С(со) = [S(l, со) — К]+ = max{0, S(l, со) — К}, яке
надає право власнику цього опціону придбати в момент t = 1 акцію за
ціною виконання (страйковою ціною) К. Опціоном продажу називається
платіжне зобов’язання Р{ш) = [К — 5(1, to)]+ = тах{0, К — 5(1, to)},
яке надає право власнику цього опціону продати в момент t = 1 акцію
за ціною виконання (страйковою ціною) К. Припустимо, що для опціону
купівлі dSo < К < uSq, 1 + г > d, г — відсоткова ставка безризикового
активу.
1. Визначити, за яких співвідношень між и, d, г та р модель є безар-
бітражною (порівняти із задачею 14.22).
168
2. За умов безарбітражності визначити єдину міру, нейтральну до
ризику.
3. Довести, що
^-ТГгіЧ^г)^-к)-
2.2.2. Волатильністю акції називається величина а = y/D[5(1)/5(0)].
1. Довести, що в біномній моделі а2 = (и—d)2p(l — р), тобто а зростає
разом з и — d.
2. Пересвідчитись на наступному прикладі, що справедлива ціна опціо
ну купівлі не обов’язково зростає з волатильністю. А саме, покласти г =
= 0, 5о = А = 1, визначити п(С) як функцію и та d і покласти и = 1.05,
d = 0,95 та и = 1,01, d = 0,81. Показати, що волатильність більша в
другому випадку, а я(С) — менша.
2.2.3. Нехай М = 2, N = 1, г = 1/9, 5(0) = 5, 5(1, = 20/3,
5(1, С02) = 40/9. Визначити породжувальну стратегію для платіжного
зобов’язання А'(ші) = 7, Х(о)2) = 2 і справедливу ціну п(Х)\
а) з використанням породжувальної стратегії;
б) з використанням нейтральної до ризику міри.
2.2.4. Нехай М = З, N = 2, г = 1/3,
п
S„(0)
•$я(1)
0)1
0)2
0)3
1
4,25
8
6
3
2
5,5
10
8
4
Визначити породжувальну стратегію для такого платіжного зобов’я¬
зання: А'(ші) = 5, Х{іх)2) = 12, А'(шз) = 2. Підрахувати справедливу
ціну 7t(X):
а) з використанням породжувальної стратегії;
б) з використанням нейтральної до ризику міри.
2.2.5. В умовах задачі 2.2.3 визначити справедливу ціну опціонів
купівлі й продажу з ціною виконання К = 5. Визначити породжувальні
стратегії.
2.2.6. Побудувати графіки виплат, як функції ціни акції 5, за такими
цінними паперами:
а) одну акцію продано, два опціони купівлі куплено, у всіх страйкова
ціна К (ця комбінація називається стреддлом, або стелажем);
б) куплено один опціон купівлі й один опціон продажу зі страйковими
цінами К (перевірити, чи це також стреддл);
в) куплено один опціон продажу та два опціони купівлі зі страйкови¬
ми цінами К (ця комбінація називається стрепом)\
г) куплено один опціон купівлі та два опціони продажу зі страйкови¬
ми цінами К (це стріп);
169
д) куплено один опціон купівлі зі страйком К\ і один опціон продажу
зі страйком Кч. Розглянути випадки К\ > Кч (це стренгл), К\ = Кч та
Кі < К2\
е) куплено те саме, що і в пункті д), але ще продано один опціон
продажу й один опціон купівлі, обидва зі страйком К (якщо К\ < К < Кч,
то це спред "метелик")',
є) куплено один опціон купівлі зі страйковою ціною К\ і продано один
опціон купівлі зі страйковою ціною Кч, К\ < Кч (це спред бика, бик
є символом гри на підвищення; інвестор застосовує спред бика, якщо
сподівається на підвищення цін акцій);
ж) куплено й продано те ж саме, що і в пункті є), але К\ > Кч (це
спред ведмедя, ведмідь є символом гри на пониження; інвестор застосо¬
вує спред ведмедя, якщо сподівається на зниження курсу акцій).
2.2.7. Нехай М = З, N = 1, г = 1/2, S(0) = 14/3, 5(1, сщ) = З,
5(1, ш2) — 9. 5(1, шз) = 6. Визначити нейтральну до ризику ймовірнісну
міру. Чи будуть досяжними опціони купівлі із ціною виконання К = 5;
К = 3? Для досяжного платіжного зобов’язання визначити його ціну, а
для недосяжного — оцінити його ціну.
2.2.8. Нехай М = З, N = 1, г = 1/9, 5(0) = 5, 5(1, ш,) = 20/3,
5(1, со2) = 40/9, 5(1, си3) = 10/3.
1. Описати множину всіх досяжних платіжних зобов’язань Л^(ш).
2. За яких значень ціни виконання К буде досяжним опціон купівлі
С(ш) — [5(1, ш) — К]+ = тах{0, 5(1, ш) — К}}
3. За яких значень ціни виконання К буде досяжним опціон продажу
Я(ш) = [К - 5(1, о>)] + = тах{0, К - 5(1, ш)}?
2.2.9. (Паритет купівлі-продажу.)
Нехай невипадкова відсоткова ставка дорівнює г > 0, а 7т(С) і 7t(Я) —
ціни опціонів купівлі й продажу зі страйковою ціною К. Показати, що
опціони купівлі і продажу досяжні або недосяжні одночасно і при дося¬
жності має місце співвідношення 7t(C) — п(Р) = 5(0) — К/[\ + г).
2.2.10. Нехай М = 2, N = 1, невипадкова відсоткова ставка г Є [0,1),
5(0) = 100, 5(1, о>і) = 200, 5(1, ш2) = 50. Показати, що коли ціна 7t(C)
опціону купівлі із страйковою ціною К = 150 задовольняє умову 7т(С) <
(50+ 100г)/[3(1 + г)], то покупець опціону може одержати гарантований
додатний прибуток.
2.2.11. Нехай у моделі М станів ринку, N= І, 5(0) = so, 5(1, со/) =
= і = 1, ... ,М, відсоткова ставка г > 0 невипадкова. Яка справедлива
ціна опціону купівлі із страйковою ціною К < minjSj?
2.2.12. Нехай 7t(C) — справедлива ціна опціону купівлі, а 7г(Я) - це
справедлива ціна опціону продажу зі страйковою ціною К. Показати, що
тт(С) < 5(0) і п(Р) < К, де 5(0) — ціна ризикового активу в початковий
момент часу.
170
2.2.ІЗ. Визначимо М х (N + 1)-матрицю А:
5(1, сої) Si(l,coi) ... 5^(1, сої)
5(1, си2) Si(1,cjo2) ... 5^(1, ш2)
_ 5(1, шм) Si(l,ajfc) ••• 5jv(1, о>м)
Нехай І= (£ю,£.і £,лг)г, Я = (X, Хм)т.
1. Довести, що ринок буде повним тоді й тільки тоді, коли систе¬
ма At = X має розв’язок для будь-якого X. Показати, що для цього
необхідно й достатньо, щоб гапкЛ = М.
2. Показати, що ринок з М = 2, N = І, г = 1/9, S(0) = 5, 5(1, tui) =
= 20/3, 5(1, ш2) = 40/9 повний.
2.2.14. Нехай М = 2, N = 2, г = 1/9, 5і(0) = 5, 5^1, Ші) = 20/3,
5|(1, со2) = 40/9, 52(0) = 54, 52(1, со,) = 70, 52(1, о>2) = 50.
1. Показати, що Р* = (1/2,1/2) є нейтральною до ризику мірою.
2. Виписати матрицю А і показати, що модель є повного, хоча активи
лінійно залежні. Визначити цю лінійну залежність.
2.2.15. Нехай М = З, N = І, г = 1/9, 5(0) = 5, 5(1, сщ) = 20/3,
5(1, ш2) = 40/9, 5(1, о>з) = 10/3. Нагадаємо, що в цій моделі міри,
нейтральні до ризику, мають вигляд
Р* = (Л, 2 — ЗА, 2Л — 1),
де параметр Л є (1/2,2/3).
1. Обчислити Ер.[ЛУВ(1)] для платіжного зобов’язання Х(ш) — (Хі,
Х2,Х3).
2. Описати множину всіх досяжних платіжних зобов’язань Jf(co) =
= (Хі,Х2,Хз). Порівняти із задачею 2.2.8.
3. Показати, що платіжне зобов’язання X = (30,20,10) недосяжне.
2.2.16. Нехай М = 4,г = 1/9, а також маємо такі дані:
п
Sn{0)
Sn
(О
Ші
0)2
0)3
0)4
1
5
20/3
20/3
4079
20/9
2
10
4073
80/9
8079
40/3
1. Показати, що нейтральні до ризику міри мають вигляд
р* = ((1 - Л)/2, Л, (1 - 2Л)/2, Л/2), 0 < Л < 1/2.
2. Описати множину всіх досяжних платіжних зобов’язань.
3. Визначити для X = (40, 30, 20, 10) значення 7і-(Х) і п+(Х).
2.2.17. Нехай М = 4, г = 1/3, N = 2, а також маємо такі дані:
п
Sn(0)
s„
0)
0)1
0)2
0)3
0)4
1
63/16
8
6
3
4
2
81/16
10
8
4
5
171
1. Показати, що нейтральні до ризику міри мають вигляд
Р* = ((3 - 4Л)/8, (1 + 4Л)/8, (1 - 2Л)/2, Л), 0 < Л < 1/2.
2. Описати множину всіх досяжних платіжних зобов’язань.
3. Визначити для X = (16, 8, 2, 6) справедливу ціну.
2.2.18. Нехай М = 4, г = 1/5, N = 1, 5(0) = 55/4, 5( 1, сщ) = 6,
5(1, о>2) = 12, 5(1, ш3) = ЗО, 5(1, со4) = 18.
1. Описати множину всіх нейтральних до ризику мір.
2. Описати множину всіх досяжних платіжних зобов’язань.
3. Для X = (12, 16, 28, 20) визначити п(Х), а для У = (12, 8, 32, 22)
визначити 7Г_(У), 7Г+(У).
2.2.19. Випадкова величина
_ 5„(1, со) — 5„(0)
5„(0)
для п = 1 N називається доходністю n-ї акції, а
ЯоМ =
Д(1,и>)-В(0)
В( 0)
= г( со)
називається доходністю облігації (банківського рахунку).
1. Показати, що прибуток G(u>) портфеля £, дорівнює
N
G(cv) = £юВ(0)Я0 + bnSn(0)Rn(w).
п= 1
2. Показати, що Д5*(со) = 5„(0)[Д„(ш) -Ло(со)]/[В(0)(1 +/?o(tu))].
3. Вивести з попереднього, що міра Р* буде нейтральною до ризику
тоді й тільки тоді, коли Ер. [{/?„(ш) - Яо(ш)}/{1 +/?о(и>)}] = 0, Vn.
4. Довести, що при невипадковому Rq = г попереднє співвідношення
еквівалентне Ер. = г, Vn.
2.2.20. Число Rn = Е[/?„] називається середньою доходністю и-го
активу. Нехай відсоткова ставка г невипадкова, тоді число Rn — г є
премією за ризик n-го ризикового активу. Випадкова величина L(со) =
= Р*(ш)/Р(ш) — цінова щільність станів фінансового ринку.
1. Довести, що Rn — г = —соv(Rn,L), п= 1, ... ,N.
2. Доходність капіталу визначається як
Довести, що
Я(си) =
1/(1, со) -ПО)
1/(0)
R =
£о v-' £,nS„(0)
^(0)
172
3. Число R = Е[/?] називається середньою доходністю портфеля, а
число R — г — премією за ризик портфеля £,. Показати, що R — г =
= —cov(R,L).
2.2.21. Дисконтованою доходністю ризикового активу називається
випадкова величина
ДЛа>) =
5*(1,а>)-5*(0)
5*(0)
п= 1 N.
Довести, що :
N
a) G* = J2^nS*n№*n,
П= 1
б) R*n =
Rn-Ro.
l+Ro ’
в) строго додатна ймовірнісна міра Р*(о>), ш Є О буде нейтральною
до ризику тоді й тільки тоді, коли Ер. [/?*] =0, п = 1 N.
2.2.22. Нехай N = 1, М = 3, г = 0, S(0) = 10, 5(1) = 20, 15 та 7,5.
1. Визначити систему рівнянь для мір, нейтральних до ризику. Дове¬
сти, що всі розв’язки цієї системи мають вигляд Р* = (Л, (І -5Л)/3, (2 +
+ 2Л)/3), 0 < Л < 1/5.
2. Довести, що платіжне зобов’язання X = (*і, Х<і, Х%) буде досяж¬
ним тоді й тільки тоді, коли ЗЛ) — 5*2 + 2*з = 0.
Відповіді та вказівки
2.2.2. 2. У першому випадку 7т(С) = 0,025, а2 = 0,1р(1 — р)\ у друго¬
му — 7ї(С) = 0,0095, ст2 — 0,2р(1 — р).
2.2.3. Породжувальний портфель £, = (—7,2; 2,25) визначається із
системи
(10 20
ІШі) + £iS(і, on) = *(u>i), I -9^ + = 7’
\Ь)В( 1) + £,iS(l, u>2) = X(w2), 110^ + 40^ = 2
Нейтральна до ризику міра Р* = (0,5; 0,5).
Справедлива ціна: а) я(С) = У(0) = 1 • (-7,2) + 5 • 2,25 = 4,05;
б) тг(*) = ЕР. [*/Д(1)] = 9(0,5 • 7 + 0,5 • 2)/10 = 4,05.
2.2.4. Породжувальний портфель £, = (-6;—24; 20,5). Нейтральна до
ризику міра Р* = (1/3; 1/3; 1/3). Справедлива ціна я(*) — 4,75.
2.2.5. тг(С) = 0,75, £, = (—3; 0,75), тг(Я) = 0,25, £,' = (1, 5; -0,25).
2.2.7. Нейтральна до ризику міра Р* = (р; 1/3 + р\ 2/3 - 2р), р є
(0,1/3), C(u>) = [S(l, ш) -5]+ = (0;4; 1); ЕР.[С/В(1)] = 4(1 +р)/3, тому
при ціні виконання К = 5 опціон купівлі недосяжний, 4/3 < 7t(C) <
173
< 16/9; С,(со) = [5( 1, со) — 3]+ = (0; 6; 3); ЕР. [СХ/,Є(1)] = 8/3, тому
ОПЦІОН купівлі при ціні виконання К = 3 досяжний, 7t(Cj) = 8/3.
2.2.8. 1. Множина досяжних платіжних зобов’язань має вигляд X =
= (Зх - 2у, х, у).
2. Опціон купівлі буде досяжним при К є [0; 10/3] U [20/3;+оо).
3. Опціон продажу буде досяжним при К є [0; 10/3] U [20/3;+оо).
2.2.9. Нехай опціон купівлі С(со) = [S(l, со) — К\+ досяжний. Тоді
існує така стратегія £, = (£д,£,і), що
£fl(l+r) + ^1S(l,co) = |^(1>U,) К'
5(1, со) > К,
5(1, со) < К,
& £ю(1 + г) + £,i5(l, со) + К - 5(1, со) =
\к — 5(1, со),
5(1, со) > К,
5(1, со) < К,
(^о + т^7)(1 + г) + (£, - 1)5(1, со) = [К - 5(1, со)]+ = Я(со).
Тому опціон продажу Я(со) теж досяжний. Нехай обидва опціони дося¬
жні, тоді 7t(C) = + £,і5(0), п(Р) = £д + К/(\ + г) + (£,і - 1)5(0). Звідси
я(С) - п(Р) = 5(0) -К/( 1 + г).
2.2.10. У даній моделі існує єдина нейтральна до ризику міра Р* =
= ((1 + 2г)/3,(2 — 2г)/3), тому опціон буде досяжним і справедлива ціна
опціону купівлі дорівнюватиме
тг(С) = ЕР. {[5(1) - К]+/В(1)} = 5з|] + у.
Якщо ціна опціону я < я(С), то застосувавши стратегію —де £, —
породжувальна стратегія для даного опціону, і купивши опціон за ціною
я, покупець одержить гарантований прибуток я(С) — я > 0.
2.2.11. В умовах задачі для того, щоб опціон був досяжним, необхі¬
дно й достатньо, щоб існував розв’язок £, = (£о,£,і) системи рівнянь
£о(1 +г) + £,іsi = si-K, і = 1,... №•
Звідси одержуємо породжу вальну стратегію = — К/(І + г), £,і = 1.
Таким чином, справедлива ціна даного опціону купівлі дорівнює я(С) =
= -tf/(l + r) + S(0).
2.2.12. Якщо я(С) > 5(0), то продавець опціону купівлі в момент
t = 0 продає опціон і за ціною 5(0) купує акцію. Тому в момент часу
t = 1 продавець може виконати свої зобов’язання щодо опціону купівлі
при будь-якому стані ринку і будь-якій страйковій ціні. При цьому він
одержить гарантований прибуток я(С) — 5(0) > 0. Якщо я(Я) > К, то
продавець продає опціон продажу за ціною п(Р) і в момент часу t = 1
має можливість купити акцію за страйковою ціною К < я(Я) у випадку
пред’явлення опціону. При цьому він одержить гарантований прибуток
я(Я) - К > 0.
174
А =
А =
2.2. ІЗ. 1. Нехай * Є RM — платіжне зобов’язання. Тоді X можна
подати у вигляді лінійної комбінації стовпчиків матриці А тоді й тільки
тоді, коли серед них є М лінійно незалежних. Таким чином, гапкЛ = М.
2. Матриця
10/9 20/3
10/9 40/9
має ранг гапкЛ = 2, отже, ринок повний.
2.2.14. 1. Перевіримо умову 5*(0) = Ер. [5*(1, ш)], п = 1, 2. Маємо
5 = (6 + 4)/2, 54 = (63 + 45)/2. Отже, Р* = (1/2,1/2) — нейтральна до
ризику міра.
2. Матриця
10/9 20/3 40/9
_ 10/9 70 50
має ранг гапкЛ = 2, тому модель повна за попередньою задачею.
2.2.15. 1. ЕР. [X І В(1)] = 0,9[Л(*і - ЗХ2 + 2Х3) + 2Х2 - Х3].
2. Усі досяжні платіжні зобов’язання задовольняють умову Х\ = ЗХ2 —
— 2Х3.
2.2.16. 1. Треба перевірити умову 5*(0) = Ер. [5*(1, ш)], п = 1,2.
2. Досяжні платіжні зобов’язання задовольняють умову Хі — Х4 =
= 2(Х2-Х3).
3. n-(X) = 24,75, тг+РО = 27.
2.2.17. 1. Треба перевірити умову S^(0) = Ер. [S£(l, ш)], п = 1, 2.
2. Досяжні платіжні зобов’язання задовольняють умову Х\ — Х2 =
= 2(Х4-Х3).
3. п(Х) = 7,2.
2.2.18. 1. Нейтральні до ризику міри мають вигляд
г 12Л + 4М--3 7 — 16Л — 8ц.
І 4 ’ 4
де 12Л + 4ц > З, 16Л + 8ц < 7, Л > 0, ц > 0.
2. Досяжні платіжні зобов’язання мають вигляд
Х = (Хи Х2,4Х2 - 3*і ,2*2-*!).
3. тг(*) = 95/6, 7t_ (У) = 35/3, тг+(У) = 415/24.
2.2.20. 1. соv(Rn,L) = E[RnL] - Е[Д„]Е[І] = ЕР. [Я„] -Rn = r-Rn.
3. Потрібне співвідношення випливає із рівності, одержаної в пун¬
кті 2, і того, що Ер. [/?„] = г.
1 л \
А, ц|,
175
2.3. НАЙПРОСТІШІ ПРИКЛАДИ ОБЧИСЛЕННЯ
ВАРТОСТІ ЦІННИХ ПАПЕРІВ ЗА ВІДСУТНОСТІ АРБІТРАЖУ
Теоретичні відомості
Розглянемо такий приклад: нехай у момент t = 0 акція коштує
100 грн, і в момент t = 1 вона може коштувати 50 грн або 200 грн.
Нехай покупець купив за ціною п{С)у право придбати в момент t = 1
у акцій за ціною 150 грн (тобто придбав опціон купівлі). Він також
придбав х акцій у момент 0. Таким чином, у момент 0 він витратив
п(С)у + 100х грн, х, у є М. Ця сума еквівалентна величині [п(С)у +
+ 100л:] (1 + г) на момент t = 1, де г позначає відсоткову ставку для
даного інтервалу часу.
Якщо в момент t = 1 акція коштуватиме 50 грн, то покупцю не буде
сенсу використовувати свій опціон, і його капітал становитиме 50х грн.
Якщо в момент t = 1 акція коштуватиме 200 грн, то на купівлі й мит¬
тєвому перепродажу кожної з у акцій покупець заробить 50 грн, і його
загальний капітал дорівнюватиме 200х + 50г/ грн. Якщо ми хочемо, щоб
прибуток покупця не залежав від випадковостей, то покладемо 50х =
= 200х + 50у & у = — Зх. Тоді загальний прибуток покупця від описаних
дій становитиме
50х - [п(С)у + 100л:] (1 + г) = 50х - [-Зх7і(С) + 100л:](1 + г) =
= (1 + г)х [Зтг(С) - 100 + 50(1 + г)"1] .
Якщо 7г(С) > [100 — 50(1 + г)_1] /3, то при х > 0 і у = — Зх покупець
матиме гарантований прибуток. Якщо 7т(С) < [100 — 50(1 +г)_1]/3, то
покупець матиме прибуток при х < 0 і у = —Зх. Тому єдина ціна опціону,
що виключає можливість арбітражу,
тт(С) = [іОО — 50(1 + г)_1] /3.
У задачах цього розділу використовуються такі позначення:
S — ціна цінного паперу (акції) у момент t = 0;
К — ціна на цінний папір (акцію), закладена в опціон купівлі або
продажу (страйкова ціна);
Т — момент часу, в який цінний папір подається до виконання;
7г(С) — ціна опціону купівлі на право придбати в момент Т за ціною
К цінний папір (акцію), чия ціна в момент t = 0 дорівнює S;
я (Я) — ціна опціону продажу на право продати в момент Т за ціною
К цінний папір (акцію), чия ціна в момент t = 0 дорівнює S.
В усіх задачах припускатимемо, що арбітраж відсутній.
176
Задачі
2.3.1. Нехай у момент t = 0 акція коштує 20 грн, а в момент 7 =
= 1 вона може коштувати 10 грн або ЗО грн. Покупець може купити за
ціною п(С)у право придбати в момент 7 = 1 у акцій за ціною 20 грн.
Він також може придбати х акцій у момент 0.
1. Виразити ціну вказаної трансакції в момент t = 0 як функцію х, у
та 7г(С).
2. Виразити через х та у вартість утвореного портфеля в момент
7 = 1 (з урахуванням миттєвого перепродажу акцій, якщо ціна акції
дорівнюватиме ЗО грн).
3. Виразити у через х за умови, що вартість утвореного портфеля в
момент Т = 1 не залежить від випадку.
4. Визначити ціну зробленої трансакції в момент 7=1, якщо відсот¬
кова ставка за даний період часу дорівнює г.
5. Визначити одержаний прибуток, якщо ціна утвореного портфеля
не залежить від випадку.
6. Визначити ціну опціону за умови відсутності арбітражу, тобто у
випадку нульового прибутку.
2.3.2. Нехай відомо, що ціна деякого цінного паперу в момент 7=1
може набути значення 5(cot), і = 1, М, відсоткова ставка за даний
період часу дорівнює г. Якою має бути ціна опціону на право купити
цей папір, якщо страйкова ціна дорівнює К, причому
К < min S(u>j)?
і <І<М
2.3.3. Нехай 7г(С) — ціна опціону купівлі на право купівлі активу,
чия ціна в даний момент часу дорівнює S. Показати, що п(С) < S.
2.3.4. Яка з наведених нерівностей є вірною:
а) ті (Р) < S;
б) п(Р) < К?
2.3.5. Нехай відсотки нараховуються неперервно з відсотковою став¬
кою г, 7 — час виконання.
1. Довести, що 7х(Р) > Ке~гТ — S.
2. Довести, що 7ї(С) > S — Ке~гТ.
2.3.6. Нехай відсотки нараховуються неперервно з відсотковою став¬
кою г, 7 — час виконання, К — страйкова ціна у всіх вказаних в умові
опціонах.
1. Показати, що продаж акції, продаж опціону продажу й купівля
одного опціону купівлі дає безризиковий прибуток (арбітраж), якщо S +
+ 7Г(Я) — 7Т(С) > Ке~гТ.
2. Показати, що купівля акції, купівля опціону продажу та продаж
опціону купівлі дає арбітраж, якщо S + 7г(Я) — 7t(C) < Ке~гТ.
177
2.3.7. Нехай відсотки нараховуються неперервно з відсотковою став¬
кою г, Т — час виконання, К — страйкова ціна в опціонах. Довести, що
за відсутності арбітражу
S + п(Р) - п(С) = Ке~гТ.
2.3.8. Якщо акція коштує S безпосередньо перед тим, як за нею
виплачується дивіденд d (тобто кожному власнику виплачується d на
одну акцію), якою має бути її ціна безпосередньо після того, як дивіденд
виплачено?
2.3.9. Нехай вартість певного цінного паперу (наприклад, акції) у
момент часу t дорівнює S(t). Усі опціони, які розглядаються в задачі,
мають час виконання Т і страйкову ціну К (якщо не вказано інше).
Відсоткова ставка у період між придбанням опціонів та їх виконанням
дорівнює г і нараховується неперервно. Визначити капітал у момент Т
інвестора, який у момент t:
а) має один опціон купівлі й один — продажу;
б) має один опціон купівлі зі страйковою ціною К\ і продає один
опціон продажу зі страйковою ціною К<і\
в) має два опціони купівлі й продає одну акцію;
г) має одну акцію й продає один опціон купівлі.
2.3.10. 1. Нехай у момент t = 0 акція коштує 100 грн, а в момент
t = 1 вона може коштувати 50, 100 або 200 грн з імовірностями pso,
Pm та ргоо відповідно. Нехай страйкова ціна опціону купівлі дорівнює
150 грн, ціна самого опціону 7t(C), банківський відсоток г = 0.
Визначити:
а) середнє значення E[GS] прибутку від купівлі однієї акції;
б) середнє значення E[G0] прибутку від купівлі одного опціону;
в) співвідношення МІЖ 7t(C), Р50, Р200. якщо достатньою умовою від¬
сутності арбітражу є виконання рівності E[GS] = E[G0] = 0.
2. Перевірити, чи /?200 < 1/3 і вивести звідси, що при виконанні ви¬
щевказаної достатньої умови відсутності арбітражу я(С) < 50/3.
2.3.11. Нехай у момент t = 0 акція коштує 20 грн, а в момент t = 1
вона може коштувати 10, 20 або ЗО грн з імовірностями рю, Р20 та Рзо
відповідно. Нехай страйкова ціна опціону купівлі дорівнює 15 грн, ціна
самого опціону 7t(C), банківський відсоток г = 0.
Визначити:
а) середнє значення E[GS] прибутку від купівлі однієї акції;
б) середнє значення E[G0] прибутку від купівлі одного опціону;
в) співвідношення МІЖ 7Г(С), Рю, рзо. якщо достатньою умовою відсу¬
тності арбітражу є виконання рівності E[GS] = E[G0] = 0.
2. Перевірити, чи рзо < 1/2 і вивести звідси, що при виконанні вище¬
вказаної достатньої умови відсутності арбітражу 5 < тт(С) < 7,5.
178
Відповіді та вказівки
2.3.1. 1. п(С)у + 20х. 2. \0х, якщо ціна акції становитиме 10 грн, і
ЗО* + 10у, якщо ціна акції становитиме ЗО грн. 3. у = —2х. 4. (п(С)у +
+ 20х)(1+г). 5. (1 + г)х [2тг(С)-20+10(1 +Г)-1]. 6. тг(С) = 10-
- 5(1 + г)_1.
2.3.2. Нехай покупець у момент t = 0 придбав х акцій та у опціонів.
Тоді його прибуток у момент Т = 1 становитиме
[S(tu) — К] у + S(w)x — \п(С)у + 5х](1 + г) =
= [5(u>) -К- 7t(C)(l + r))y+ [S(o>) - 5(1 + r)] x.
Якщо у = —x, прибуток становитиме [К + 7t(C)(l +r) — 5(1 +r)]x, то¬
му при 7t(C) ф 5 — K/( 1 + r) ми маємо можливість арбітражу. Отже,
справедлива ціна опціону 7т(С) = 5 — К/{\ + г). При цьому прибуток
покупця дорівнює (х + у) [5(ш) — 5(1 + г)\, і для відсутності арбітражу
ще потрібне виконання нерівності
min 5(o>j) < 5(1 + г) < max 5(u>,).
\<І<М \<і<М
2.3.3. Нехай 7t(C) > 5. Тоді в час t = 0 можна взяти позику 5,
придбати акцію, продати опціон на купівлю цієї акції, тут же повернути
позику і залишити собі п(С) — 5 > 0 і акцію. Якщо в час t = 1 опціон
буде пред’явлено до виконання, ми продаємо акцію, отримуючи деяку
страйкову ціну. У будь-якому випадку ми маємо арбітраж.
2.3.4. Нерівність а) є невірною. Нехай акція коштує 1 грн і в момент
часу t = 0 (тобто 5 = 1 грн), і в момент часу t = 1. Тоді право продати
її за ціною К = 3 грн має коштувати Р = 2 грн. Нерівність п(Р) < 5 не
виконується.
Нерівність б) є вірною. Нехай п(Р) > К. Тоді в час t = 0 за суму
я(Р) ми можемо продати право продажу акції. Якщо цей опціон буде
пред’явлено до виконання, ми в час t = 1 будемо мати суму 7г(Я)(1 +
+ г) — К та акцію, інакше — 7г(Я)(1 +г). У будь-якому випадку ми маємо
арбітраж.
2.3.5.1. Припустимо, що п(Р) < Ке~гТ — 5 [я(Я) + S]erT < К.
У момент t = 0 можна взяти грошову позику п(Р) +5, за 5 придба¬
ти акцію й за п(Р) — опціон зі страйковою ціною К. У момент Т ми
продаємо акцію за ціною К (або навіть вище, якщо ціна на ринку буде
більшою за К) і повертаємо [n(P) + S\ert як погашення грошової позики.
Так ми будемо мати гарантований прибуток, розмір якого не менший за
К- [n(P) + S]erT >0.
2. Припустимо, що 7Г(С) < 5 — Ке~гТ -о- [5 — n(C)\erT > К. У момент
t = 0 можна коротко продати акцію за 5 і за п(С) придбати опціон зі
страйковою ціною К. У момент Т ми матимемо суму [5 — п(С)]егТ, мо-
179
жемо придбати акцію за ціною К (або навіть нижче, якщо ціна на ринку
буде меншою за К) і повернути позику. Ми матимемо гарантований при¬
буток не менший за [5 — п(С)]егТ — К > 0.
2.3.6. Позначимо через S(t) ринкову вартість акції в момент t.
1. У момент t = 0 проведемо вказані в умові дії і матимемо суму
5 + п(Р) — 7г(С), яку покладемо в банк, одержуючи в момент t = 7 су¬
му [S + 7Г(Я) — 7Г(С)]егТ. Якщо S(7) > К, використаємо опціон купівлі,
купимо акцію за К і повернемо позику. Можливе пред’явлення до ви¬
конання опціону продажу не завдасть нам збитків. Якщо 5(7) < К, то
за пред’явленим опціоном продажу ми будемо вимушені купити акцію
за К, і цією акцією повернемо позику. Опціон купівлі використовувати
не будемо. В обох випадках маємо додатний прибуток, не менший за
[5 + п(Р) - п(С)]егТ - К > 0.
2. У момент t = 0 позичимо суму 5 + п(Р) — п(С) і проведемо вказані
в умові дії. Якщо 5(7) < К, то використаємо опціон продажу, продамо
акцію за К і повернемо позику розміром [5 + 7г(Я) — п{С)\егТ. Можли¬
ве пред’явлення до виконання опціону купівлі не завдасть нам збитків.
Якщо 5(7) > К, то за пред’явленим опціоном купівлі ми будемо виму¬
шені продати акцію за К, опціон купівлі використовувати не будемо і
також повернемо позику розміром [5 + 7г(Я) — п(С)]егТ. В обох випадках
маємо прибуток принаймні К — [5 + 7t(Р) — п(С)]егТ > 0.
2.3.7. Твердження є наслідком задачі 2.3.6.
2.3.8. Позначимо ціну акції після виплати дивідендів через 5<*. Ціни
5 і Si — фактично ціни на дві різні акції, що існують одночасно. Якщо
5 < Sd + d, то ми можемо взяти позику 5, купити акцію до виплати диві¬
дендів за ціною S, потім отримати дивіденди, після цього продати акцію
за ціною Sd і отримати прибуток 5^ + d — S > 0. Якщо 5 > 5^ + d, то
ми можемо коротко продати акцію (тобто продати без фактичного воло¬
діння) за ціною S, сплатити дивіденди d, після цього викупити акцію за
ціною Sd. Отриманий прибуток 5—Sd—d > 0. Отже, за умови відсутності
арбітражу, S = Sd + d.
2.3.9. a) [(S(7) - К]+ + [К- S(7)]+ = |S(7) - К\;
б) [S(T) -К,]+ + 7г(Я)Є^-0 - [К2 - S(7)]+;
в) 2[S(7)-tf]+ + S(0er(7'-/);
г) 5(7)/{5(7) <К} + KI{S(T) >К} + п(С)ег<т~».
2.3.10. 1. Маємо: a) E[GS] = 100р2оо-50р5о; б) E[G0] = 50p2oo-7t(C);
в) Pm = 75о/2, 7ї(С) = 50/9200-
2. pm < 1/3, оскільки /?2оо +Рьо = Зрт < 1.
2.3.11. 1. Маємо: a) E[GS] = Юрзо - Юрю; б) E[G„] = 15рзо + 5р20 -
7г(С); в) ріо = Рзо, п(С) = 5 + 5р3о-
2. рзо < 1/2, оскільки рю +Рзо = 2рзо < 1.
180
2.4. БАГАТОПЕРІОДНІ МОДЕЛІ В МЕЖАХ ІГОР І ЗАКЛАДІВ.
АРБІТРАЖНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ІГОР ТА ЇЇ НАСЛІДКИ
Теоретичні відомості
Нехай п, т Є N, с,-, bj та ау, 1 < і < п, 1 < j < т — фіксовані ста¬
лі. Первинною лінійною програмою називається задача вибору значень
Х\, хп, для яких
П П
-¥ max за обмежень ^ ауХі < bj, 1 < / < т.
і=1 І=1
Дуальною до первинної лінійної програми є задача вибору значень
У\ Ум, Для яких
т т
У] bjjjj —>• min за обмежень Е ацУі = Сі, Уі > 0,
/=і /=і
де 1 < і < п, 1 < у < т. Лінійна програма називається допустимою,
якщо існують набори чисел (х\, ..., хп для первинної лінійної програми
або у\, ..., ут для дуальної), що задовольняють обмеження.
Дуальна теорема лінійного програмування. Якщо первинна й ду¬
альна лінійні програми є допустимими, то вони обидві мають оптимальні
розв’язки, і максимальне значення первинної програми дорівнює міні¬
мальному значенню дуальної. Якщо одна з програм є недопустимою, то
інша не має оптимального розв’язку.
Задачі
2.4.1. (Арбітражна теорема.)
Розглянемо експеримент із т можливими результатами {1,2, ...,т}
і припустимо, що можна побитися об п закладів відносно результатів
експерименту. Нехай г,(/) — прибуток на одиничну ставку закладу з
номером і за умови, що результат експерименту дорівнює / (тобто на
ставку х прибуток дорівнює хг,(/)). Нехай стратегія ставок має вигляд
х = (х\, ..., хп). Прибуток від стратегії х за умови, що результатом
експерименту Є /, дорівнює xiri(J). Позначимо через хп+\ суму, яку
гравець може виграти напевно. Поставимо задачу:
П
хп+\ -у max за обмежень ^ХіПІІ) ^ хп+ ь 1 < / < т.
і= 1
1. Покласти а,у := —ri(j), 1 < і < п, а(л+і)/ = 1 і переписати первинну
задачу у вигляді: вибрати Х\ хп так, щоб
л+і
хп+\ -¥ max за обмежень <0, 1 < j < т.
і= 1
181
2. Перевірити, чи можна дуальну лінійну програму записати у ви¬
гляді: вибрати ух,..., ут так, щоб 0 —> min за обмежень ацУі
о, 1 < і < п, Y!?=\ <Чп+\)іУі = 1. У/ > 0, 1 <І<т.
3. Переписати дуальну лінійну програму у вигляді: вибрати ух,..., ут
так, щоб 0 —>• min за обмежень Y^=\ гіІІ)Уі = 0> 1 < 1 < я, Y^!j=\ Уі =
У\ >0, 1 < у < т.
4. Показати, що дуальна програма є допустимою (і мінімальне її зна¬
чення дорівнює нулю) тоді й тільки тоді, коли існує ймовірнісний вектор
(г/,, ..., ут), при якому всі заклади мають нульовий середній прибуток.
5. Перевірити, чи є допустимою первинна лінійна програма.
6. Вивести з дуальної теореми лінійного програмування твердження:
якщо дуальна лінійна програма також є допустимою, то максимальне
значення первинної дорівнює нулю, тобто напевного виграшу немає.
7. Вивести з дуальної теореми лінійного програмування тверджен¬
ня: якщо дуальна лінійна програма є недопустимою, то первинна не має
розв’язку. Вивести звідси існування набору ставок, чий мінімальний при¬
буток буде додатним. Показати, що при цьому значення хп+\ у первинній
програмі є необмеженим.
8. За пунктами 1-7 довести, що завжди має місце рівно одна з двох
таких можливостей:
а) існує такий імовірнісний вектор р = (р\ рт), що Ylf=\Pjri(i) =
= 0, 1 < і < п\
б) існує стратегія ставок х = (х\ хп), для якої Y?i=\ хігі(І) > 0
для всіх / = 1 т.
Тобто: або існує ймовірнісний вектор, при якому всі заклади мають
нульовий середній прибуток, або існує стратегія ставок, яка завжди дає
додатний виграш (арбітражна теорема).
2.4.2. (Багатоперіодна біномна модель.)
Розглянемо сценарій зміни ціни акції, який містить п періодів, по¬
значимо через S(i) ціну даної акції в г-му періоді. Відсоткова ставка
дорівнює г у будь-якому періоді. Нехай d < 1 + г < ц, і в і-му пері¬
оді значення S(i) дорівнює або uS(i — 1) (збільшується), або dS(i — 1)
(зменшується).
Нехай Хі = 1, якщо 5(і) = uS(i— 1), і Хі = 0, якщо 5(г) = dS(i—1). То¬
ді кожний сценарій ототожнюється з деяким вектором х = (хі, ..., хп),
Хі є {0, 1}, складеним із значень випадкових величин Хі.
1. За припущення відсутності арбітражу (тобто рівності нулю мак¬
симального гарантованого прибутку) використати арбітражну теорему
(п. 8 задачі 2.4.1) і одержати існування такого набору ймовірностей
Р{Л^і=хі Хп = хп}, Хі є {0, 1}, що робить всі можливі ігри з
акціями справедливими.
182
2. Розглянути таку гру: спочатку вибираємо номер і (і = 1, п)
і вектор х = (х\ хп) з нулів та одиниць. Тепер спостерігаємо за
першими і — 1 періодами. Якщо Xj = Xj для всіх / = 1 і — 1, то
купуємо одну акцію й продаємо її в наступний період. Показати, що
очікуваний прибуток від такої гри
а [р(1 + r)~luS(i - 1) + (1 - р)(1 + r)~ldS(i - 1) - S(i - 1)] ,
де а= Р{ЛГі =хі Хі_і =Хі-і}; р = Р{*, = 1 | Хі = х\ Х^\ =
= Хі_і}. Визначити р з умови відсутності арбітражу.
3. Використовуючи одержане значення р, довести, що єдиний розпо¬
діл імовірностей, який робить всі ігри справедливими, відповідає неза¬
лежним однаково розподіленим випадковим величинам Хи і = 1,... ,/г, з
розподілом
Р{*, = 1}=р= 1+Г~/ = 1-Р{*,=0}, і= 1 п.
и — а
4. Показати, що S(n) = uYdn~YS(0), де Y = YTi=\^i-
5. Розглянути опціон купівлі акції в момент t = п зі страйковою ціною
К і показати, що майбутнє значення виграшу від володіння опціоном,
підраховане в момент t = 0, дорівнює (1 + г)~п [5(п) — К\+. Визначити
справедливу ціну опціону (біномна формула Блека - Шоулса).
2.4.3. Нехай експеримент має т результатів {1,2 т}, а заклад
полягає в тому, що результат експерименту дорівнює і. Прибуток від та¬
кого закладу часто виражають у термінах шансів, тобто заклад вартістю
1 або дає суму (шанс) оі, якщо експеримент закінчився результатом і,
або —1 у протилежному випадку.
1. Нехай шанси дорівнюють о\ от. Показати, що за умови відсу¬
тності арбітражу існує такий імовірнісний розподіл р = (р\ рт), що
для кожного і = 1, ..., т має місце рівність 0 = [г,(^)] = о;р,- — (1— рі),
де Гі(Х) — величина виграшу в г-му закладі, X — результат експеримен¬
ту. Визначити звідси до.
2. Використовуючи пункт 1, вивести необхідну умову арбітражу в
термінах Оі, і = 1, ..., т.
3. Довести, що система шансів
Результат Шанс
експерименту
1 1
2 2
З З
є арбітражною. Визначити явно вигляд арбітражу, тобто один з можли¬
вих платежів за кожний заклад, який дає позитивний виграш при ко¬
жному результаті експерименту.
183
2.4.4. Нехай експеримент має чотири результати й таблиця перших
трьох шансів має вигляд
Результат
експерименту
1
2
З
Шанс
2
3
4
Визначити 04 за умови відсутності арбітражу.
2.4.5. 1. Нехай експеримент має таку таблицю шансів:
Результат
експерименту
1
2
З
Шанс
1
2
5
Чи можливий арбітраж у цій моделі?
2. Нехай в умовах того самого експерименту можна побитися об за¬
клад про те, що результат буде і або / для будь-якої пари і /=/. Якими
мають бути три відповідних шанси, щоб уникнути арбітражу?
3. Відповісти на питання 1, якщо оі = ог = 03 = 2.
2.4.6. Показати, що в умовах задачі 2.4.3, якщо ^"^(l + 0j)_1 ф 1,
то схема закладу
Xj =
(1 + °/)~'
і -£Г=,0+<*)-’’
/ = і.
т,
обов’язково дає виграш, що дорівнює 1.
2.4.7. Нехай число періодів п = 2, и = 2, d = 1/2. Початкова ціна
акції S(0) = 100, К = 150. Визначити справедливу ціну відповідного
опціону купівлі.
2.4.8. 1. Довести, що справедлива ціна опціону продажу лежить у
межах шах [0, (1 + r)~nK — S(0)] < п(Р) < (1 + г)~пК, де г — відсоткова
ставка; п — кількість періодів; К — страйкова ціна; 5(0) — початкова
ціна акції.
2. Довести, що ціна відповідного опціону купівлі лежить у межах
max[0,S(0) - (1 + г)~яК] < п(С) < S(0).
2.4.9. Облігація та акція мають початкові ціни 5(0) = S(0) = 1.
У момент f=lS(l) = 2 або S(l) = 0,5. Визначити справедливу ціну
гри, при якій одинична сума сплачується, якщо акція підвищується.
184
Відповіді та вказівки
2.4.1. План розв’язання подано в умові.
2.4.2. План розв’язання подано в умові. Справедлива ціна опціону
7t(C) = (1 +r)-,,E{[S(0)u>,^f,->, — А]+}, де математичне сподівання взято
для ймовірностей Р{Хі = 1}=р = (1+г — d)/(u — d).
2.4.3. 1. Використати арбітражну теорему, пункт 8 задачі 2.4.1. Зараз
Рі = (1 +Оі)_1.
2. Для відсутності арбітражу потрібно, щоб +°і)_1 = 1.
3. При ставці (—1) на результат експерименту 1, (—0,7) — на резуль¬
тат експерименту 2 і (—0,5) — на результат експерименту 3 при всіх
результатах виграш гравця дорівнюватиме 0,1 або 0,2.
2.4.4. Використовуючи результат пункту 2 задачі 2.4.3, отримуємо,
що 04 = 47/13.
2.4.5. 1. Ні, оскільки + о,)_1 = 1.
2. Позначимо через о,у шанс для результату експерименту і або j.
Аналогічно до пункту 1 задачі 2.4.3 з арбітражної теореми отримуємо,
що за відсутності арбітражу Pi + Pj = (1 +Оц)-1. Необхідною умовою
відсутності арбітражу буде рівність Хл<і,/<тО + = 2. Наприклад,
можна взяти о\2 = 023 = озі = 1/2.
3. Арбітраж неможливий.
2.4.6. Якщо результатом експерименту є k, то виграш становитиме
(1 + Ofe)"1 (1 + Oj)~l
‘і-ЕГ-іО+о*)"1 ^Ji-ЕГ-іО +».)-' ’
2.4.7. Нехай р — імовірність підвищення ціни в одному періоді. Тоді
5(2) дорівнює 400, 100, або 25 з імовірностями р2, 2р(1 — р) та (1 — р)2
відповідно, [S(2) — К\+ дорівнює 250 або 0 з імовірностями р2 та 1 — р2
відповідно. Тому справедлива ціна опціону дорівнює
С = (1 + r)-2E {[S(2) - К]+} = (1 + г)-2250р2,
де р = (1 + r — d)/(u — d) = 1/3 + 2r/3.
2.4.8. Скористатись умовою безарбітражності ринку.
2.4.9. Якщо купити портфель, що складається з 2/3 акції, і взяти
в борг 1/3 облігації, то ціна цього портфеля в момент t = 0 дорівнює
2/3 • 1 — 1/3 • 1 = 1/3. Якщо акція підвищується, то вартість портфеля
2/3 • 2 — 1/3 -1 = 1. Якщо акція падає, то вартість портфеля 2/3 • 0,5 —
— 1/3 • 1 = 0. Цей портфель відтворює виплату гри, отже, ціна гри має
дорівнювати ціні портфеля, тобто 1/3.
185
2.5. МАРТИНГАЛИ ТА МАРТИНГАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ. МОМЕНТИ ЗУПИНКИ
Теоретичні відомості
Нехай (O.J-,Р) — імовірнісний простір, t Є Т = {0,1, {Tt,
t є Т} — потік ст-алгебр, тобто То С Т\ С ... С Тт С Т (потік ст-алгебр
ще називають фільтрацією).
Випадковий процес (А(1), Ти ^ Є Т} називається мартингалом (від¬
повідно субмартингалом, супермартингалом), якщо Е[|А(1)|] < оо, t Є Т,
та E[A(1)|.FS] = A(s) (відповідно E[A(1)|.FS] > A(s), E[A(f)|.Fs] < A(s)),
0 < s < t < Т, s, t Є Т.
Мартингальна властивість легко поширюється на процеси вигляду
(А(п), Тп, п> 1}, а також на процеси з неперервним часом: процес
(А(1), Ти t > 0} називається мартингалом (субмартингалом, супермар¬
тингалом), якщо Е[|А(1)|] < оо, t Є Т, та Vs < t E[A(0|Jj] = A(s), (від¬
повідно > A(s), < A(s)).
Міра P* ~ P називається мартингальною, якщо відносно неї дис¬
контований процес цін є мартингалом (детальніше див. розділи 19, 20).
Випадковий процес (А(1), Ти t Є Т \ {0}} називається передбачува¬
ним, якщо A(t) є Tt-і-вимірним it Є Т \ {0}.
Задачі
2.5.1. Довести: якщо {X(t), Ти t Є Т} — мартингал, то Е[А(1)] =
= Е[А(0)].
2.5.2. Довести: сума двох мартингалів є мартингалом.
2.5.3. Нехай {X(t),Tt,t Є Т} — мартингал, {£,(0. Ти t Є Т \ {0}} —
обмежений передбачуваний процес. Довести, що мартингальне перетво¬
рення М(0) = 0, ... ,M(t) = Y?k=\ 4(Л)АА(й), t є Т \ {0}, є мартингалом
відносно потоку {Tt, t Є Т} (тут AX{k) = X{k) — X{k — 1)).
2.5.4. Довести твердження: інтегровний випадковий процес (А(1), Ти
t є Т} є мартингалом тоді й тільки тоді, коли для будь-якого обмеже¬
ного передбачуваного процесу {£,(0. F, t Є Т \ {0}} має місце рівність
Е [ELi W)AX(k)] = 0.
2.5.5. Довести еквівалентність тверджень:
а) {X(t),Tt,t Є Т} — мартингал;
б) X(t) = E[X{T)\Tt],t€T,
в) Е[Д*(*+1)|7І] =0, 1 = 0,1, 1.
2.5.6. Нехай р = (р/, t Є Т = {0,1, ..., Т}) — послідовність незале¬
жних однаково розподілених випадкових величин, що набувають двох
186
значення b і а з імовірностями р і q, відповідно, Е[ро] = г, причому
— 1 < а < г < Ь.
1. Перевірити, що р = (г — а)/(Ь — а).
2. Встановити, що випадковий процес m(t) = Хд>=о(Р* — г) є мартинга¬
лом відносно потоку o’-алгебр Т = о{ро р/} (так званий “базисний”
мартингал).
3. Довести, що кожний мартингал {X{t),T,t Є Т} з Е[А(ґ)] = 0 допу¬
скає такий розклад за “базисним” мартингалом: X(t) = Y?k=o 0ik^mk,
де осо = 0, oik — -вимірні, k > 1, (Jo = {0,0}), Am^ = p* — r.
2.5.7. Нехай {Z(t), Tt, t Є T} — додатний інтегровний випадковий
процес. Побудуємо випадковий процес {U(t), Т, t Є Т} за допомогою
“оберненої індукції”:
U(T)=Z(T),
U(T - 1) = max {z(T - l^y-j-^Ep. [І/(Г)|^V_,]},
U(t) = max {Z(t),~l—EP. [U(t + 1)|J}]}, 0 <t<T,
r > 0 — відсоткова ставка; P* — еквівалентна міра. Довести: процес
{U(t), Т, t є T} є Р*-супермартингалом, де U(t) = (1 + r)~‘U{t). До¬
вести також, що це найменший Р*-супермартингал, який домінує процес
Z(t) = (1 + r)~*Z(t). Процес U(t) називається обвідною Снелла процесу
Z{t)\ U(t) — дисконтована ціна Американського опціону купівлі, якщо
Z(T) = [S(T)-K]+.
2.5.8. Функція х : СІ —>• Т U {+оо} називається моментом зупинки,
якщо подія {т = t} є Tt для t є Т.
1. Перевірити, що стала функція т = t є моментом зупинки для
фіксованого t Є Т.
2. Нехай т і а — два моменти зупинки. Довести, що т А ст, т V ст,
т+ а — моменти зупинки.
3. Нехай {У(0> J)> t € Т} — випадковий процес, т(ц>) = inf{£ > 0 :
Y(t,cо) > с}, с є М — фіксований рівень. Довести, що т — момент
зупинки.
2.5.9. Нехай а, т : СІ —>• Т — моменти зупинки; ст-алгеброю подій до
моменту т називається Тх := {А є Т : А П {т = t} є Tt, Vf Є Т}.
1. Нехай подія А є Та. Довести, що Лп{ст < т} і Лп{ст = т} належать
до Тх.
2. Нехай а < т. Довести, що Та С Тх.
3. Довести, що події {ст < т}, {ст = т} і {ст > т} належать як до Та,
так і до Тх.
4. Довести, що Тд-Дт ^ Та ^ ТjVt •
187
2.5.10. Для випадкового процесу {У(£), Ft, t Є Т} та моменту зупин¬
ки т визначимо зупинений процес Ут: Yx(t,w) = Y(t Л т(ш), со), со Є Д,
t є Т. Нехай тепер {ЛХО, Ft, t Є Т} — інтегровний процес. Довести, що
наступні умови є еквівалентними:
а) X є мартингалом;
б) для будь-якого моменту зупинки т процес Xх є мартингалом;
в) Е[ХТ(Г)] = Е[Х(0)] для будь-якого моменту зупинки т.
2.5.11. Нехай Mt, t є Т — мартингал, а т — момент зупинки відносно
фільтрації {Ft, t є Т}.
1. Довести, що
Е[Мт1 {т > s} I ,FS] = МД {т > s}.
2. Довести, що для s < t, s, t є T
Е[МтЛД {т > s} I Fs] = Ms 1 {т > s} .
2.5.12. Нехай {Y(t),Ft,t Є Т} — інтегровний випадковий процес.
Тоді існує єдиний розклад Y = М — А, де М — мартингал, Л(0) = 0, А —
передбачуваний процес (розклад Дуба - Мейєра процесу У).
2.5.13. Нехай імовірність того, що випаде герб, р Є (0,1) . Нехай
Y(t) — кількість гербів, що випали в результаті t незалежних підки¬
дань, X(t) = Y(t) —pt, Ft — ff-алгебра, породжена спостереженнями за t
підкиданнями монети. Довести, що {^(0. Ft, t є Т} — мартингал.
2.5.14. Використовуючи розклад Дуба - Мейєра, довести таке тверд¬
ження. Нехай {U(t), Ft, t Є Т} — інтегровний процес, тоді наступні
твердження є еквівалентними:
а) U е Р-супермартингалом;
б) для будь-якого моменту зупинки т зупинений процес Ux є Р-су-
пермартингалом;
в) процес А в розкладі Дуба-Мейєра не спадає за t.
2.5.15. Нехай ящик містить а чорних і b білих куль. Послідовно нав¬
мання виймають одну кулю, потім повертають її назад з додаванням
d куль того ж кольору. Позначимо через {Х(п), п > 1} відношення
кількості білих куль до загальної кількості куль у ящику після п-го
виймання кулі й повернення її в ящик разом із d кулями відповідного
кольору, Х(0) = Ь/(а + Ь). Показати, що {Х(п), п > 1} — мартингал.
2.5.16. Нехай {У„}„>і — послідовність дійсних випадкових величин,
заданих на {П.^.Р}, що мають спільну строго додатну щільність роз¬
поділу рп(хі хп), і нехай qn(x\ хп) — інша щільність імовірностей
відносно міри Лебега в (M”,iB(R,1)),n > 1. Розглянемо відношення віро¬
гідності
Х(п,ш) :=
q„(У,(ш),...Л(ш))
п > 1.
р„(У1(и>),...,У„(и>))’
Довести, що {Х(гі), F,„ п > 1} — мартингал, де F„ = сг{Уї,... ,У„}.
188
2.5.17. Нехай {£,„,« > 1} — незалежні інтегровні випадкові величини,
Е[£,„] = 0, п > 1. Показати, що для кожного k > 1 послідовність
*w(n) = hx...Uk,n>k,
\<i\<...<ik<n
утворює мартингал.
2.5.18. Нехай {Е,п,п > 1} — інтегровні випадкові величини, і
Е[£,я+і|£,і Ы = 4і + 'я, + ^ =:Х(п).
Довести, що {Х(п),п > 1} — мартингал.
2.5.19. Нехай п > 1} — незалежні бернуллійові величини з
Р{£,„ = 1 }=р, Р{£,„ = -1} = q, p + q = 1, р > 0, q > 0, Sn = £,і +
Г
Довести, що Х(п) := (q/p) п — мартингал відносно Тп = сг{£,і,...,
2.5.20. 1. Нехай {£,„, п > 1} — незалежні інтегровні випадкові ве¬
личини, Е[£,„] = 1, ^(0) := 1, Х(гі) \= £,!•••£,„,« > 1. Покажіть, що
{X(n),Fn,n > 1} — мартингал, де Тп = ст{£,і
2. Нехай п > 1} — такі незалежні однаково розподілені випадкові
величини, що Ф(Л) := Е[ехр{Л£,„}] < оо, Л Є М. Покажіть, що
П
Х(п) := exp {A^£,t}o(A)-n
і=і
є мартингалом.
3. Нехай у пункті 2 існує таке Ао ф 0, що Ф(Ао) = 1. Покажіть, що
тоді Х(п) := ехр{Ао^”=1 £,і} — мартингал.
2.5.21. Нехай у — момент зупинки відносно фільтрації {Тп, 0 < п <
< N}. Позначимо = {А є Fn : А П {"V = «}} Є Тп, 0 < п < N.
1. Показати, що — а-алгебра.
2. Показати, що випадкова величина у є ^-вимірною.
3. Нехай X — інтегрована випадкова величина. Довести рівність
N
і=0
2.5.22. Нехай v і т — моменти зупинки відносно фільтрації {Тп,
0 < п < N}, х > у.
1. Показати, що Fy С Тх-
2. За тих же припущень показати, що Му = E[Mx\Fy], де {Мп, 0 <
< п < N} — мартингал.
2.5.23. Розглянемо таку гру: гравець програє 1 гривню з імовірністю
а, виграє 1 гривню з імовірністю |3 і виграє 2 гривні з імовірністю у.
Нехай гравець ставить 1 гривню в кожному раунді, і нехай £,* — виграш
(або програш) у k-му раунді. Визначити таке х Ф і, що Х(п) = xSn —
мартингал, де Sn = £"=1 £і-
189
Відповіді та вказівки
2.5.1-2.5.5. Розв’язуються безпосередньо з використанням означен¬
ня мартингалу.
2.5.6. 1, 2. Розв’язуються безпосередньо за допомогою означення мар¬
тингалу.
3. Використати такий факт: оскільки X(k) є .7>-вимірною випадковою
величиною, то існує функція [k(xі,... ,Xk), Хі = а або b така, що X(k,w) =
= /*(ро(“0 Р*М), шей
2.5.7-2.5.15. Розв’язання спирається безпосередньо на відповідні оз¬
начення.
2.5.16. Використати той факт, що щільність Yn при відомих Y\
Yn-1 дорівнює рп/рп—\.
2.5.23. Звести задачу до кубічного рівняння, яке, очевидно, має ко¬
рінь х = 1.
2.6. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ БАГАТОПЕРІОДНИХ МОДЕЛЕЙ
Теоретичні відомості
При побудові багатоперіодної моделі фінансового ринку використову¬
ються такі поняття:
• моменти часу t = 0,... ,Т з можливістю торгувати та витрачати у
ці моменти часу;
• скінченний простір можливих станів фінансового ринку
п = {ші u>Af}, Af є N;
• імовірнісна міра Р на О, з Р(ш) > 0,Уш є П;
• потік o’-алгебр (фільтрація) F = {Tt, t = 0 Т}, де Tt — о-
алгебра підмножин П, Tt С Tt+\, Vf. Можна вважати, що То =
= {0,0}, Тт = 2а. Алгебра Т містить усю інформацію про стан
фінансового ринку до моменту t включно;
• процес банківського рахунку (облігація) В = {В(0. t = 0, ..., Т},
5(0) = 1, 5(0 = [1 +r(0]5(f - 1) > 0, де г(0 — відсоткова став¬
ка на проміжку часу [і — 1,0, яка може бути випадковою вели¬
чиною. Процес банківського рахунку {Bt, Т, t = 0 Т} є Тг
узгодженим;
• процес зміни цін акцій (ризикових активів) S(t) = (Si (0, • • • >*Sw(0),
N є N, де S„(0 > 0 — ціна n-го ризикового активу (акції) у момент
часу і. Процес S„(0, « = 1, ..., N є .^-узгодженим;
190
• дисконтований ціновий процес
• стратегія, або портфель, інвестора — векторний випадковий процес
E,(t) =
кожна компонента якого є F-передбачуваним процесом, тобто £,„(і)
є Tt-\-вимірною випадковою величиною. При цьому £,„(і), п > 1 —
кількість відповідних цінних паперів, якими інвестор володіє від
моменту t — 1 до моменту t, a l$(t)B(t — 1) — сума грошей, покла¬
дених на банківський рахунок у момент часу t — 1.
Величини E,n(t), п > 0 можуть набувати як невід’ємних, так і від’єм¬
них значень. Від’ємне значення £д(і) трактується як взяття грошей у
банку в борг, а від’ємне значення £,„(і) означає кількість акцій п-го
типу, яку було продано без фактичного володіння — швидкий продаж
(short selling).
Задачі
2.6.1. Сукупність множин А\ Ап називають розбиттям О, якщо:
а) Аі П Aj = 0, Vi фу б) U"=i At = ft-
Непорожня множина ЛсП називається атомом алгебри Т, якщо:
а) А є б) із того, що В є Т, В Ф 0 і В а А, випливає, що В = А.
1. Довести, що для скінченної алгебри Т множина всіх атомів Т
утворює розбиття П і що найменша алгебра, яка містить усі атоми Т,
збігається з Т.
2. Довести, що .F-вимірна випадкова величина набуває сталих зна¬
чень на атомах алгебри Т.
2.6.2. Нехай М = 8,7 = 3 і нехай {{0)1,002,0)3,0)4},{a>5,u>6,u>7,u>8}} —
сукупність усіх атомів алгебри Т\.
1. Описати алгебру Ті.
2. Показати, що множиною всіх атомів алгебри Тч можуть бути мно¬
жини {{u>i,w2}, {u>3,w4}, {u>5,u>6}, {u>7,u>8}} або {{u>i}, {102,0)3,0)4},
{0)5,0)6,0)7,0)8}}, але не може бути {{0)і,0)2,0)з,0)4,0)5}, {0)6,0)7,0)8}}.
3. Нехай
Ло>) = I 6’ W = Ші'а)2,0)з,0)4, у/ч = Г 2, О) = 0)1,0)3,0)5,0)7,
^ ' \ 8, О) = 0>5,0>б,0>7,0)8, ^ ' \ З, О) = 0)2,0)4,0)6,0)8.
Показати, що А^(о)) є Ті -вимірною, а У(о)) — невимірною.
2.6.3. Нехай М — 8,7 = 3, То = {0,0}, Ті — {0,0, {о)і,о)2,о)з,о)4},
{0)5,0)6,0)7,0)8} }.
191
1. Описати стратегію £,(1).
2. Показати, що для кожного п = 0,... ,N у момент t = 2 інвестор по¬
винен вибрати одне стале значення для £,„(2,to) при со Є {шь102,0)3,004}
і друге стале значення при to є {0)5,0)6,007,0)8}.
2.6.4. Нехай М = А, Т = 2, N = \, зміни ціни акції задано таблицею
О
II
t=\
cs
II
4^1
Ші
S( 0) = 5
5(1) = 8
S(2) = 9
си2
S(0) = 5
5(1) = 8
S(2) = 6
а>3
S( 0) = 5
5(1) = 4
S(2) = 6
СЩ
5(0) = 5
5(1) = 4
5(2) = 3
1. Позначимо через У(£) вартість портфеля інвестора в момент t
= І шв(0) + Еп=і Mi)s„(0), t = о,
1*0 + Еп=1 Ut)Sn(t), t> 1.
Припустимо, що відсоткова ставка г > 0 — стала, B(t) = (1 + r)f. Вира¬
зити V(t), t = 0,1,2 через L{t), t = 1,2 при кожному to*, k = 1,... ,4.
2. Позначимо через G(t) процес прибутку портфеля
t N t
G(t) = Е Ыи)ДВ(и) + E E Wu)AS„(«), t> 1,
u= 1 n= 1 u= 1
де AB(t) = B(t) — B{t — 1), ASn(t) = Sn(t) — Sn(t — 1). Виразити G(t),
t = 1,2 через L(t), t = 1,2 при кожному to*, k = 1, ... ,4.
2.6.5. Стратегія L(t) називається самофінансованою, якщо
N
V(t) = Lo(t + 1 )B(t) + E ut + 1)5„(0, t = 1, ..., T - 1.
n= 1
1. Показати, що стратегія самофінансована тоді й тільки тоді, коли
V(t) = V(0) + G(t),t=l Т.
2. В умовах задачі 2.6.4 показати, що для самофінансованої стратегії
V(1 оо) = Я1 +г)£л(1) + 8£,і(І), ооі,оо2, = Г(1 +г)£о(2) + 8£,і(2), ооі,оо2,
\(1+г)£ю(1) + 4£,1(1), 003,004, \(1+г)£о(2) + 4£,, (2), а)з,а)4.
2.6.6. Дисконтовані ціни акцій визначаються як S*(t) = Sn(t)/B(t),
t = 0,1,... ,Т\ п = 1 N. Дисконтований капітал визначається як
y*(t) = ( Mi) + Еп=і M1)S„*(0), t = о,
\Ш + eLi Ut)s*n(t), t= 1 t.
Дисконтований процес прибутків визначається як
N t
G*(t) = ЕЕ Wu)AS», t = 1 Т, де ЛЗД = S*n(u) - S*(u - 1).
п= 1 и= 1
192
1. Перевірити співвідношення V*(t) = V(t)/B(t), t = 0,1,..., 7.
2. Довести, що стратегія E,(t) самофінансована тоді й тільки тоді, коли
!/*(*) = l/*(0) + G*(t), t= 1,2,..., Г.
2.6.7. Процес доходності Rn(t), t = 0,1 7, для n-го ризикового
активу визначається формулою
Rn( 0) = 0,
ARn(t) =
(ASn(t)/Sn(t - 1),
\о.
Sn(t - 1) > 0,
S„(t - 1) = 0,
t= 1 T.
Процес доходності R0(t), t = 0,1, ...,Т банківського рахунку визна¬
чається аналогічно /?о(0) = 0, Д/?о(0 = r(t), t = 1, ..., 7, де r(t) = [В(£) —
— B(t — 1 )]/B(t — 1) — відсоткова ставка на проміжку часу [і — 1, t).
1. Показати, що ARn(t) > —1, і що ARn(t) > —1, t = 1 Т тоді й
тільки тоді, коли Sn(t) > 0, t = 0,1 Т.
2. Перевірити рівність Sn(t) = Sn(0) + X)L=i $п(и — 1 )AR„(u), t =
- і тш
3. Перевірити рівність Sn(t) = 5„(0) ПІ=і + АЛ„(м)], t = 1 Т.
2.6.8. Визначимо процес доходності для дисконтованих цін ризикових
активів
д„*(0) = 0, AR*n(t) =
[as*
І0’
(t)/sw-i), s*(t — і) > о,
t= 1 T.
1. Перевірити співвідношення
дs;(t) = s;(t -1)
s*n(t- i) = o,
^=1 T, n= 1 N.
1 + ARo(t) J’
Звідси одержимо рівність AR*(t) = {[Д/?„(ґ) — Д/?о(0]/[1 + АЛо(0]}-
2. Перевірити рівність
s;(t) = s*(0) П [і + дд»], t = і т.
и= 1
2.6.9. Показати, що в умовах задачі 2.6.4 /?і(1, о>і) = /?| (1, сог) =
= 0,6, /?і(1, ш3) = /?і(1, о>4) = -0,2, Ri(2, ші) = 0,725, Ді(2, со2) =
= 0,35, /?і (2, шз) = 0,3, /?і (2, со4) = —0,45. Який процес доходності /?f(f)
відповідає процесу дисконтованої ціни S*(t) у випадку, коли відсоткова
ставка стала й дорівнює г > 0?
2.6.10. Арбітражна можливість для багатоперіодної моделі ринку ви¬
значається як така самофінансована стратегія £,(£), для якої
1/(0) = 0; 1/(7,со) > 0 Р-м.н. (майже напевно); Е[1/(7)] > 0.
Довести, що самофінансована стратегія E,(t) визначає арбітражну мо¬
жливість, якщо виконується одна із сукупностей умов:
а) 1/*(0) = 0; 1/*(7,со) > 0, Р-м.н.; Е[1/*(7)] > 0;
б) G*(T,ш) > 0, Р-м.н.; E[G*(7)] > 0.
193
2.6.11. 1. Нехай у задачі 2.6.4 5(1) = 1, 1 = 0,1.2. Довести, що
арбітражу не існує.
2. Нехай у задачі 2.6.4 5(1) = (l+r)f, 1 = 0,1,2, г > 0,125. Розглянемо
таку стратегію: маючи нульовий початковий капітал, нічого не робимо
в момент 1 = 0 і в момент 1=1, якщо 5(1) = 4. Однак, якщо 5(1) =
= 8, то в момент 1=1 застосовуємо швидкий продаж однієї акції, тобто
£,і (2) = — 1 і інвестуємо 8 грошових одиниць в облігацію, тобто £о(2) =
= 8/(1 + г). Довести, що дана стратегія є арбітражною.
2.6.12. Імовірнісна міра Р*(со) > 0, со Є П називається мартингаль-
ною, якщо дисконтовані процеси цін {5Л(1), 1 = 0,1 7}, п= 1,... ,1V
є мартингалами відносно цієї міри, тобто Ер. [5*(1 + 1)|J)] = 5*(1), п =
= 1 N, 1 = 0 7—1. Показати, що ймовірнісна міра Р*(оо) > 0
буде мартингальною тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє співвід¬
ношення
ЕР.
5(1)
5ц(1 + s)
B{t + s)
Tt
= Sn(t), 1,з>0, n= 1,
2.6.13. Нехай у задачі 2.6.4 5(1) = (1 + r)‘, t = 0,1,2, де г > 0 —
стала.
1. Використовуючи співвідношення Ер. [5(1)5Л(1 + s)/B(t + s)|.7)] =
= 5Л(1), t,s > 0, п = 1, де Р* — мартингальна міра, довести
рівності:
l = 0,s = 1: 5(1+ г) = 8[Р*(о>і) + Р*(со2)] + 4[Р*(со3) + Р*(си4)];
1 = 0,з = 2: 5(1+г)2 = 9Р*(ші) + 6[Р*(ш2) + Р*(со3)] + ЗР*(ш4);
1= 1,з = 1: 8(1+ г) = [9P*(u>i) + 6Р*(ш2)]/[Р*(и>і) + Р*(со2)];
1= 1,з = 1: 4(1+ г) = [6Р*(ои3) + ЗР*(ш4)]/[Р*(и>з) + Р*(со4)].
2. Визначити ймовірнісну міру Р*, що задовольняє рівняння пункту 1.
3. Довести, що при 0 < г < 1/8 маємо P*(u>) > 0,Vto Є Q, тобто міра
Р* — мартингальна.
4. При г > 1/8 побудувати арбітражну стратегію.
2.6.14. Довести, що відносно мартингальної міри Р* дисконтований
капітал V-* (1), 1 = 0 7 буде мартингалом для будь-якої самофінансо-
ваної стратегії.
2.6.15. Довести, що строго додатна ймовірнісна міра Р*(ш),ш Є Q
буде мартингальною тоді й тільки тоді, коли при кожному п = 1 N
процес 5*(1), 1 = 0,1 7 буде мартингалом відносно міри Р*.
2.6.16. Розглянемо двоперіодну модель з М = 5, г = 0 і однією акці¬
єю 5(0) = 6, 5(1, ш) = (5,5,5,7,7), 5(2,со) = (3,4,8,6,8). Припустимо, що
фільтрація породжується процесом 5(1,со). Довести, що сім’я мартин-
гальних мір має вигляд
Р’ег : р* = q, р* =
З - 10<7
Рз =
1 + 2q
р; = р5* =
4’
0 < q <
-У
ю/
194
8
8
2.6.17. Нехай П = {u>i,u>2,u>3,u>4}, г = О, Т = 2, ціна акцій така:
S(O) = 5, 5(1, со,) = 8, і = 1,2, S(l, со,) = 4, і = 3,4; S(2,со,) = 9,
5(2,со,) = 6, і = 2,3, 5(2,С04) = 3. Визначити мартингальну міру Р*.
2.6.18. Нехай Р* ~ Р, Р* > 0— імовірнісна міра, Х(Т) = Р*(со)/Р(со).
Покладемо X(t) = E^rJlJ7,], t = 0,1,... ,T — 1.
1. Показати, що X(t) > 0 і Х(0) = 1.
2. Нехай (У(0. t = 0,1 Т} — випадковий процес. Показати,
що Y — мартингал відносно міри Р* тоді й тільки тоді, коли процес
{X(t)Y(t), t = 0,1 Т} — мартингал відносно міри Р.
2.6.19. 1. Довести: якщо існує мартингальна міра, то існує стро¬
го додатний ^-адаптований дійсний процес Z = {Z(t), t = 0,1 Т}
такий, що Z(0) = 1 і всі процеси B(t)Z(t), S\(t)Z(t) SM(t)Z(t) є
мартингалами відносно міри Р.
2. Довести, що з існування такого процесу Z випливає існування
мартингальної міри Р*. Визначити Р* через Z (процес Z називається
ціновим дефлятором).
Відповіді та вказівки
2.6.1. 1. Показати, що сукупність усіх можливих об’єднань атомів
алгебри Т утворює найменшу алгебру, яка містить усі ці атоми.
2. Нехай А — атом алгебри Т. Якщо В = {о>| £,(ш) = с,ш Є А}, то
В = А.
2.6.2. 1. = (0,П,{0)1,0)2,003,ц>4},{ц>5,о)6,со7,сов}}-
2. Оскільки Т\ С?2, то кожен атом алгебри Т\ є об’єднанням атомів
алгебри J~2.
3. Використати означення ^-вимірності та результат пункту 1.
2.6.3. Оскільки £,„(0 є Tt-\-вимірною випадковою величиною, то з
пункту 2 задачі 2.6.1 випливає, що для кожного п = 0,... ,N £,л(1, со)
має однакове значення для всіх to Є П, а £,„(2,ш) набуває сталих значень
на атомах {со,,002.^3,104}, {со5,со6,со7,со8} алгебри JF\.
2.6.4. 1. 1/(0,со*) = *о(1) + 5£,і(1), М= 1,... ,4,
V(l col = і^1 + r)f-o(1) + 8£-1(1)> со = соі,со2,
’ Ш |(1 + г)£о(1) + 4£,і(1), со = (03,(04;
V(2,co)
(1 + г)2£о(1) + 9£,і(1),
< (1+г)2£о(1) + 6£,,(1),
(1 + г)2£о(1) + 3£,, (1),
СО = СО],
со = со2,со3,
СО = СО4.
195
2. G(l, со) =
rE,o(l) + 3£,(l),
r£o(l) - £,,(1),
w = Ші,си2,
w = ш3,си4;
G(2,w)
VMl) + r( 1 + r)£a( 2) + 3£,i(l) + £,,(2),
< r£o(l) + r(l + r)£fl(2) + 3£,i(l) - 2£,,(2),
' rMi) + r(i + r)£o(2)-£,,(i) + 2£,i(2),
krMi) + r(i + r)$o(2)-Mi)-M2),
CU = 0)1,
О) = 0)2,
О) = 0)3,
О) = 0)4.
2.6.5. 1. Необхідність. Нехай L,{t) — самофінансована стратегія. Тоді
N
[£о(г +1) - Ш№) + £[£,„(; +1) - U0]s„(0 = о. t=\ т -1.
п= 1
Звідси У(0 - V(t - 1) = G(t) - G(t - 1), t = 1,... ,7 і
t t
V{t) = У(0)+£П/(ц)-1/(Ы-1)] = l/(0)+£[G(u)-G(«—1)] = y(0)+G(0.
u= 1 u= 1
Достатність. Нехай 1/(0 = 1/(0) + G(t), тоді 1/(0 — V(t — 1) = G(t) —
-G{t-\),t=\ Ті
N
V(t) - V(t - 1) = £o(OA5(0 + X Ut)ASn(t)+
N "=1
+ [*o(0 - £o- 1)]Д« - 1) + - bit - 1 )]Sn(t - 1) =
-1
= G(0 -G{t- 1) + Д£юit)Bit - 1) + X Д WOSntt - 1).
П=\
Таким чином,
N
[bit +1) - So(0]fi(0 + Х^ + 0 - МОШО = o, t = і г -1
n=l
і стратегія E,(t) є самофінансованою.
2. Рівність двох вартостей портфеля випливає з того, що стратегія є
самофінансованою.
2.6.6. 1. Рівність випливає безпосередньо з означень V{t) і 1/*(0-
2. 1/*(0 = l/*(0)+G*(0. t > 1 о V*(t+l)-V*(t) = G*(t+\)-G*(t), t >
> l&V*(t) = V*(t+l)-G*(t+l) + G*(t),t>l&V(t)/B(t) = b(t+l) +
+TZ-ibit+\)Siit+\)-Y%_lut+№iit+\) = bit+i)+YiLlUt+
+ i)s*(t), t> 101/(0 = bit + 1)B(0 + TLi ut + 1)S»(0, t> l.
196
2.6.8. 1. Оскільки Sn(t) = Sn(t — 1)[1 + і B(t) = B{t - 1)[1 +
+ Д/?о(0]. то
AS*n{t) = - S*n{t - 1) = ~ J1 + - Sn(t - 1) =
B(t)
B{t- 1)(1+ДДо(0)
ARnit) - AR0(t)
- s»(‘ - «НзШ - - •> - s»'<‘ - » 1+mm
2.6.9. Маємо Rn{0) = 0, Rn(t) = A/?„(u), t > 1. Тому
5,(1, со)-Si(0)
Д,(1,со)=ДД,(1,со)
ДДі(2,со) =
•Si (0)
Si(2,со) -S](l, со)
5,(1, со)
Год
[—0,2,
R\ (2,со) = R{ (1, со) + ARi (2,со) = *
f 0,125,
-0,25,
0,5,
1-0,25,
Г 0,725,
0,35,
0,3,
1-0,45,
со = coi,co2,
со = со3,со4;
со = со і,
со = со2,
со = со3,
со = со4;
со = со,,
со = со2,
со = со3,
со = со4.
Використаємо співвідношення Я*(0) — 0, R%(t) = А/?*(гг), t > 1,
Г 0,6 - r
AR*(t) — Одержимо
1+г
ДГ(1,со) = ДДГ(1,со) =
A/?i (1, со) - г
1+Г
= <
-оУ- г
АД,* (2,со) = (АД] (2,со) - г)/(1 + г) = <
R* (2,со) = Л* (1, со) + AR* (2,со) = <
1+г ’
((0,125 — г)/(1 + г),
(-0,25 — г)/(1 + г),
(0,5 — г)/(1 + г),
[(-0,25 — г)/(1 + г),
(0,725 — 2г)/(1 + г),
(0,35 — 2г)/(1 + г),
(0,3 — 2г)/(1 + г),
[(—0,45 — 2г)/(1 + г),
со = соьсо2,
со = со3,со4;
СО = СО),
со = со2,
со = со3,
со = со4;
со = со і,
со = со2,
со = со3,
со = со4.
2.6.І0. Використати співвідношення V*{t, со) = V{t, uS)/B{t, со), t =
= 1, Vco є Cl, V*(t, со) = ^*(0) + G*U,co), t = 1 T, Vco є Cl,
B(t, cu) >0, f = 1, ...,7\ Vco є О.
197
2.6.1 і. 2. Показати, що в момент t = 2 вартість портфеля дорівнює
(1 + г)2£л(2) + 9£,і(2) = 8(1 + г) - 9 > 0, со = соь
(1 + г)2Ы2) + 6£,,(2) = 8(1 + г) - 6 > 0, со = W2,
(1 + г)Чо(2) + 6^,(2) =0, ш = о)3,
.0 +rflo{2) + 3£,і(2) =0, ш = о)4.
1/(2,со) = <
2.6.12. Використати означення мартингалу і властивість умовного
математичного сподівання E[E[X|Jr/]|Jr] = Е[А|.Т], якщо Т С Т'.
2.6.13. 2. P*(wi) = [(1+5г)(2+8г)]/12, Р*(со2) = [(1+5г)(1-8г)]/12,
Р*(ш3) = [(3 - 5г)(1 + 4г)]/12, Р*(со4) = [(3 - 5г)(2 - 4г)]/12.
4. Арбітражна можливість задана у пункті 2 задачі 2.6.11.
2.6.14. З означення мартингальної міри Р* випливає, щ Ер. [AS*(H-
+ 1)1^1 = 0, t > 0, п = 1 N. Для самофінансованої стратегії £,(/)
N /+1
V*{t + 1) = У*(0) + G*(t + 1) = 1/*(0) + ЕЕ Uu)AS*n(u).
п= 1 и= 1
Т°му N ^
ЕР.[Г(І + 1)|ТІ] = Г(0) + ^^£,„(«)А5„*(«) +
П= 1 U= 1
N
+ £ ut + 1)5р* [AS*n(t + і)/Т}] = v*(t).
п= 1
2.6.15. Доведення випливає з того факту, що строго додатна ймовір¬
нісна міра Р* мартингальна тоді й тільки тоді, коли Ер. [Д5*(£+ 1)|Т}] =
= 0, п = 1 N, t = 0 Т, та зі співвідношення AS£(t + 1) = х
х AR*(t+ 1).
2.6.16. Міра Р* = (Р*, Pg, Р3, Р|, Р5), Р* > 0, і = 1 5 є розв’язком
системи рівнянь
rp*+ P2 + P3 + P4 + P5 = 1,
5(Р* + Р| + Рр + 7(Р| + Рр = 6,
' ЗР{ + Щ + 8Р| = 5(Р* + Р| + Р|),
.6Р4 + 8Р5 = 7(Р| + Р|).
2.6.17. Єдина мартингальна міра Р* = (1/6,1/12,1/4,1/2).
2.6.18. 1. Оскільки Р* ~ Р і Р*(со) > 0, Vco є СІ то Р(со) > 0, Vco є СІ
і тому Х(Т,ш) > 0, Vco є П. З означення умовного математичного споді¬
вання й теореми Радона-Нікодима випливає, що X(t) = Е[А(7)|7/] > 0,
Vco є СІ. Крім того, То = {0,0}, тому будь-яка випадкова величина буде
незалежна від То, і за властивістю умовного математичного сподівання
*(0) = Е[А(Г)|ТЬ] = ЕЩГ)] = £?=, [Р*(о>і)/Р(а>і)]Р(а>і) = 1.
198
2. Оскільки Z(£) //-узгоджений, то X(t)Y(t) буде /"/-узгодженим тоді
й тільки тоді, коли Y(t) буде //-узгодженим. Позначимо Ef[-] = Е[-|//].
Процес XY — мартингал відносно міри Р, якщо Vf = 0,... ,Т
X(t)Y(t) = Е{[Х(Т^(Т)] <=> УУ)Е‘[Х(Т)] = Е 1[Х(Т)У(Т)] &
** ЕЩГ)У(0іл] = E[X(T)Y(T)tA] \/А є Ті &
о Е[(Р*/Р)У(*)1Л] = Е[(Р*/Р)У(7)1Л] \/А є Tt
о ЕР. [У(*)1Л] = ЕР. [У(7)1Л] УЛ є Tt
о ЕР. [У(0|7І] = ЕР. [У(Г)|7І] о У(0 = ЕР. [У(Г)!/■/],
а це означає, що У — мартингал відносно міри Р*.
2.6.І9. 1. Нехай Р* — мартингальна міра. Визначимо процес X(t) так:
Х{Т, со) = Р*(со)/Р(со), X(t) = E[Z(T)|/"/]. Оскільки S*(t) = Sn(t)/B(t) -
мартингал відносно міри Р*, то із задачі 2.6.18 випливає, що X(t)S%(t) —
мартингал відносно міри Р. Покладемо Z(t) = X(t)/B(t). Тоді процеси
S„(t)Z(t), п = 1, ... ,N і Z(t)B(t) = X(t) будуть мартингалами відносно
міри Р. Крім того, Z(0) = Z(0)/B(0) = Х(0) = Е[Р*/Р] = 1.
2. Нехай процес Z(t) задовольняє умови задачі. Покладемо X(t) =
= B(t)Z{t), P*(to) = Z(T)P(co). Із властивостей Z{t) випливає, що X{t) є
мартингалом відносно міри Р. Маємо P*(u>) > 0,Vco є СІ, Х)і=і Р*(и*/) =
= Е[B(T)ZiT)\ = fi(0)Z(0) = 1. Таким чином, Р* — строго додатна
ймовірнісна міра. Х(Т) = Р*(со)/Р(со) і Z(£) = B(t)Z(t) — мартингал
відносно міри Р, тому X(t) = E[Z(T)|//]. Із властивостей процесу Z(t)
випливає, що S*(t)X(t) = S„(t)Z(t) — мартингал відносно міри Р, а тому
із задачі 2.6.18 маємо, що S%(t) — мартингал відносно Р*.
2.7. ЄВРОПЕЙСЬКІ ПЛАТІЖНІ ЗОБОВ'ЯЗАННЯ
В БАГАТОПЕРІОДНІЙ МОДЕЛІ
Теоретичні відомості
Платіжне зобов’язання Європейського типу Z(co), со є СІ — невід’єм¬
на випадкова величина, яка задана на просторі станів ринку П і визна¬
чає платежі в момент часу Т. Платіжне зобов’язання Z(co) називається
досяжним або ринковим, якщо існує самофінансована стратегія £,, для
якої
N
V{T,U>) = ЫТ)В(Т) + Y,UT)SH(T,u>) =Х(оо) Vco є СІ.
п= 1
Ця стратегія £, називається породжувальною (реплікантною) стратегією
для платіжного зобов’язання Z(co). Якщо всі платіжні зобов’язання на
199
ринку досяжні, то ринок називається повним. Ринок буде повним тоді
й тільки тоді, коли існує єдина мартингальна міра Р*(ш), со Є СІ. За
умови відсутності арбітражу справедлива вартість досяжного платіжного
зобов’язання А'(си) у момент часу t дорівнює
N
v{t) = h(t)B{t) + 'E,ut)Sn{t),
п= 1
де Е, — породжувальний портфель для -XXсо). За відсутності арбітражу
існує нейтральна до ризику міра Р* і має місце співвідношення V*(t) =
= V(t)/B(t) = Ер. [Х/В(Т)\Ft]. Якщо відсутній арбітраж, то необхідною
й достатньою умовою досяжності платіжного зобов’язання А-(со) є неза¬
лежність від Р* величини Ер.[Х/В(Т)\.
Задачі
2.7.1. Нехай на ринку є одна акція, ціна якої при t = 0,1,2 і різних
станах ринку задана в таблиці:
<»k
S(0)
5(1)
5(2)
CJDl
5
8
9
CU 2
5
8
6
сиз
5
4
6
CU 4
5
4
3
1. Визначити, якого значення набувають опціони купівлі й продажу із
страйковою ціною К = 5 у момент часу t = 2 для всіх можливих станів
ринку.
2. Визначити, якого значення набуває Азійський опціон купівлі
Са
із страйковою ціною К = 5 у момент часу t = 2 для всіх можливих
станів ринку.
2.7.2. Нехай в умовах задачі 2.7.1 г = 0, мартингальна міра Р* =
= (1/6,1/12,1/4,1/2). Припустимо, що опціон купівлі є досяжним, С —
його значення в момент t = 2.
1. Підрахувати У(0) = Ер. [С].
2. Підрахувати 1/(1) = Ер. [C|S(1) = 8] для сценаріїв о>і і о>2-
3. Підрахувати 1/(1) = Ер. [C|S(1) = 4] для сценаріїв о>з і С04.
4. Зробити відповідні підрахунки для опціону продажу.
2.7.3. В умовах задачі 2.7.1 при г = 0 визначити двома способами са-
мофінансовану стратегію, що породжує опціон купівлі, і пересвідчитись,
що він справді є досяжним.
200
І спосіб. Якщо вже відомий капітал V, то треба розв’язати систему
лінійних рівнянь
N
V(t) = ШВ(і) + 52Ut)Sn(t), t = і,... ,т, О) є п,
п= 1
ураховуючи те, що стратегія Е, передбачувана.
II спосіб. Якщо відоме тільки значення Х(ш) платіжного зобов’язан¬
ня, то враховуючи, що Л^си) = V(T,uS), і рухаючись у “зворотному часі”
від t = Т до t = 0, одночасно визначаємо V і £,. Таким чином, спочатку
розв’язуємо систему
N
Х(ш) = £a(7»fi(T) + 52tn(T,u>)Sn(T,w), шей
п= 1
При цьому враховуємо, що Щ) — передбачуваний процес, тобто E,(t)
є Tt-\-вимірним, отже, набуває сталих значень на атомах алгебри Tt-\
(див. п. 2 задачі 2.6.1 ). Визначимо £,(Г,ш), використаємо самофінансо-
ваність стратегії й обчислимо
N
V(T -1) = ыт,ш)В(т -1) + 52 UT,w)sn(T - 1,0)), О) Є а.
п= 1
Потім визначимо £,(7 — 1) із системи
N
V(T - 1) = £л(Г - 1 ,ш)В(Т -І)+ 52 - 1,о))S„(T - 1,ш), шей
п= 1
а далі повторюємо наведені дії до повного визначення стратегії.
2.7.4. У біномній моделі ринку ціна акції Si(£), 5і(0) = s у кожен
момент часу випадково змінюється в и або d разів, причому 0 < d <
< 1 + г < и. Розглянемо зобов’язання X = 0(Si(T)). Нехай kt — кіль¬
кість моментів часу, в які акція зростала в ціні (тобто Si (0 = su^d1-^).
Значення портфеля У(£,о)) = V(t,kt(u))) підрахуємо рекурентно:
v(T,k) = Ф (sukdT~k),
v{t,k) = [puv(t+ 1,6+1) +pdv(t+ 1,6)], 0<k<t,
де мартингальні ймовірності pd = (и— 1 — r)/(u — d)\ pu = (1 +r—d)/(u—d)
(див. задачу 2.1.22). Визначимо також
xo(t, 6) =
Xi(t,k)
1 uvt(k) — dv(t,k + 1)
1 + r u — d
1 v(t, 6 + 1) — v(t, 6)
і E,i(t,w) = Xi(t,kt(iv)), i = 0,1.
u — d
Q<k<t-\,
0 < 6 < t- 1,
201
1. Доведіть, що стратегія £, = (£о,£,і) самофінансована і породжує
зобов’язання X.
2. Доведіть, що безарбітражна ціна зобов’язання X у момент t дорів¬
нює V{t,uj). Зокрема, безарбітражна ціна зобов’язання в момент t = 0
визначається рівністю
1/(0) = 4,(0) = j^f'£c^-kO(sukdT~k).
k=0
2.7.5. Ураховуючи, що дисконтований капітал !/*(£) є мартингалом
відносно мартингальної міри Р*, розв’язати таку задачу. Нехай задано
опціон вибору, коли покупець купує в момент t = 0 право вибирати
у фіксований момент 0 < t < Т між опціоном купівлі з ціною С(0 і
опціоном продажу з ціною P(t) залежно від того, яка ціна більша, а
якщо ціни однакові, вибирає опціон купівлі. Страйкова ціна К і дата
виконання 7 однакова для обох опціонів.
1. Довести, що відповідне платіжне зобов’язання дорівнює
[S(T) - K]+l{C(t) > P(t)} + [К- S(T)]+l{C(t) < P(t)} =
= [5(7) - K]+ + [K- S(T)]l{C(t) < P(t)}.
2. Нехай відсоткова ставка г > 0 стала. Використовуючи співвідноше¬
ння паритету купівлі й продажу P(t) = С(£) + Я(1 +r)(~T — S(t), довести,
що події (С(0 < P(t)} і {S(0 < К{\ + гУ~т} збігаються.
3. Довести, що
ЕР.
(/Г-5(7))1{С(0<Я(0>
В(Т)
= Ер.
l{S(t) < К(1 + гу-т}щ +^Tr)t 5(0
де права частина — ціна в момент t = 0 звичайного опціону продажу зі
страйковою ціною К( 1 + г)*~т та датою виконання t.
2.7.6. В задачі 2.7.1 з г = 0 визначити ціну і породжувальну стра¬
тегію для опціону з післядією С(о>) = тах{0, 5(0) — 7, 5(1, ш) — 7,
5(2, ш) - 7}.
2.7.7. В умовах задачі 2.7.1 з г = 0, К = 5 і t = І визначити ціну
опціону вибору Со-
2.7.8. Обчислити значення 1/(0) та породжувальні стратегії в умовах
задачі 2.7.1 із г = 0 для:
а) опціону купівлі зі страйковою ціною К = 7;
б) опціону продажу зі страйковою ціною К = 7;
в) Азійського опціону продажу зі страйковою ціною К = 7;
г) опціону вибору зі страйковою ціною К = 7 і моментом вибору t = 1.
202
2.7.9. Нехай М = 9, N = 2, Т = 2, г = 0, еволюції цін акцій задано
в таблиці:
u>k
t = 0
/=1
t = 2
Ші
Si(0) = 7, S2(0) = 6
S1(1) = 8,S2(1) = 5
Si(2) = 7, S2(2) = 7
С1>2
•Si(0) = 7, S2(0) = 6
S1(l) = 8,Si,(l) = 5
Si (2) = 9, S2(2) = 5
о>з
•Si(O) = 7, S2(0) = 6
•Si(1) = 8, S2(l) = 5
Si (2) = 8, S2(2) = 3
сщ
Si(0) = 7, S2(0) = 6
Si(l) = 7,S2(l) = 8
Si (2) = 6, S2(2) = 8
•Si(O) = 7, S2(0) = 6
Si(l) = 7, S2(l) = 8
Si (2) = 6, S2(2) = 9
0>6
Si(0) = 7, S2(0) = 6
S1(1) = 7,S2(1) = 8
Si (2) = 10, S2(2) = 7
Ш7
Si(0) = 7, S2(0) = 6
S1(1) = 6,S2(1) = 5
S, (2) = 3, S2(2) = 8
0)8
•Si(O) = 7, S2(0) = 6
*Si(l) = 6, *S2(1) = 5
Si (2) = 6, S2(2) = 3
CUg
Si(0) = 7, S2(0) = 6
S1(1) = 6,S2(1) = 5
Si (2) = 9, S2(2) = 6
1. Визначити, яких значень набуває опціон X = [Si(2) + S2(2) — 13] +
при всіх можливих станах ринку.
2. Визначити мартингальну міру Р* і перевірити, чи є досяжним за¬
даний опціон. Визначити його справедливу ціну при t = 0.
2.7.10. В умовах задачі 2.7.9 обчислити справедливу ціну в момент
часу t = 0 і визначити породжувальну стратегію для таких опціонів:
а) опціон купівлі (Si + S2 — К)+ з К = 13, Т = 2;
б) опціон продажу [К — (Si +S2)]+ з К = 13, Т = 2;
в) опціон max{£,Si,S2} з К = 6, Т = 2;
г) опціон купівлі (max{Si,S2) — К)+ з К = 6, Т = 2;
д) Азійський опціон купівлі на Si(2) +5г(2) з К = 13.
2.7.11. Нехай 7т(С) і п(Р) — справедлива ціна в момент t = 0 Єв¬
ропейського опціону купівлі С і Європейського опціону продажу Р з
однією страйковою ціною К та однаковою датою погашення Т на одну й
ту саму акцію S. Припустимо, що існує мартингальна міра Р*.
1. Довести, що має місце співвідношення паритету цін опціонів ку¬
півлі та продажу
п(Р) = п (С) + Ер.
' К
ЖП
-5(0)
тоді, коли обидва опціони є досяжними.
2. Довести, що якщо облігація В невипадкова, то С досяжний тоді й
тільки тоді, коли Р досяжний.
3. Нехай облігація В випадкова та передбачувана. Перевірити, що в
наступній моделі Р і стала К є недосяжними, а С досяжний. У моделі
Т = 2, М = 6, N = 1, S(0) = 40, атоми алгебри Т\\ {{ші.сог}, {003,0)4},
{0)5,Шб}}, К = 43-щ. Ціни акції наведено в таблиці.
203
t = і
t = 2
Ші
5(1) = 11/10, 5(1) = 45
5(2) = 154/125, 5(2) = 55
0)2
5(1) = 11/10, 5(1) = 45
5(2) = 154/125, 5(2) = 40
0)3
5(1) = 11/10, 5(1) = 40
5(2)= 121/100, 5(2) = 50
0)4
5(1) = 11/10, 5(1) = 40
5(2)= 121/100, 5(2) = 35
0)5
5(1) = 11/10, 5(1) = 35
5(2) = 297/250, 5(2) = 40
0)6
5(1) = 11/10, 5(1) = 35
5(2) = 297/250, 5(2) = 30
2.7.12. Визначити справедливу ціну Європейського опціону продажу,
розрахованого на 6 місяців, якщо ціна акції змінюється за законом S(k +
+ 1) = S(k)u або S(k + 1) = S(k)d, и = exp{(T\/k/n}, d = 1 /и, модель
вважається безарбітражною, а = 0,3 (волатильність акції), г = 0,1, К =
= 100, S(0) = 105.
2.7.13. Якою буде справедлива ціна Європейського опціону купівлі,
якщо страйкова ціна дорівнює нулю?
2.7.14. Як поводитиме себе справедлива ціна Європейського опціону
купівлі у загальній біномній моделі, якщо кількість періодів прямувати¬
ме до нескінченності, а сам період не зменшуватиметься?
Відповіді та вказівки
2.7.1. 1. С = [S(T)-K]+ = (4,1,1,0), Р = [K-S(T)]+ = (0,0,0,2).
2. Са = (7/3,4/3,0,0).
2.7.2. 1. V(0) = 1.
2' V(l> =41/6+ 1/12 + 11/6+ 1/12 =3, Ш=Ш1,Ш2'
3- 1'(1) = 1Т74^ + 0І74Ті72 = 5-ш = а’3'а,<-
4. V(0) = 1, V(l) = 0 при ш = Ші,а>2, V( 1) = 4/3, при ш = Шз,ш4.
2.7.3.1 спосіб. Використавши задачу 2.7.1 і ^-вимірність £,(2), одер¬
жимо систему рівнянь
>(2,соі) = 4 = *о(2,о>і) + 9£,і (2,о)і),
V(2, ш2) = 1 = £о(2,о)2) + 6£,і (2,со2),
і V(2,ws) = 1 = £о(2,со3) + 6£,і(2,со3),
^ V(2,w4) = 0 = £о(2,со4) + 3£,і(2,ш4),
£о(2,о)і) = £о(2,о)2), £о(2,о)3) = £о(2,и>4),
,£і(2,и>і) = £,і(2,со2), £,і(2,ш3) = £,і(2,о>4).
Звідси маємо £д(2, Ші) = £о(2, о>2) = -5, £д(2, о>3) = £о(2, о>4) = -1,
£.1 (2, о>і) = £,і(2, ш2) = 1, £,і(2, си3) = £,х(2, си4) = 1/3. Використавши
204
задачу 2.7.2 і Т^-вимірність £,(1), одержимо систему рівнянь
rV(l, со) = 3 = £^(1, о») + 8£,і(1, со), со = соьсо2,
^ V(l, со) = 1/3 = £^(1, со) + 4£,і(1, со), со = со3,со4,
£о(1> сої) = £д(1, со2) = £ю(1, со3) = £д(1, со4),
Ді(1, oji) = £,і(1, со2) = £.і(1, со3) = £,і(1, со4).
Звідси маємо £д(1, со) = —7/3, £,і (1, со) = 2/3, Vco є Д.
II спосіб. Із системи (1) одержимо рівності £д(2, сої) = £д(2, со2) =
= -5, £д(2, со3) = £ю(2, со4) = -1, £,і(2, сої) = £,і(2, со2) = 1, £,і(2, со3) =
= £,і(2, со4) = 1/3. Використавши самофінансованість стратегії, обчис¬
лимо 1/(1, со) = £д(2, со) + 8£,(2, со) = -5 + 8 • 1 = 3, со = сої = со2,
1/(1, со) = £д(2, со) + 4£,(2, со) = -1 + 4 • (1/3) = 1/3, со = со3 = со4. Із
системи (2) одержимо £д(1, со) = —7/3, £,і(1, со) = 2/3, Vco є Д.
2.7.4. Твердження легко довести за допомогою індукції (крок інду¬
кції — задача 2.1.22).
2.7.5. 3. Перетворимо ліву частину:
ЕР.
1 {C(t)<P(t)}
К - 5(7)
В{Т)
= ЕР.
= ЕР.
ЕР.
t{C{t)<P{t)}K \Tt
= Ер.
= ЕР
1{С(0 <
1{С(0 < я(0}Ер.
к
Pit)} {
0 + 0
ВІТ)
К - 5(7)
ВІТ) 1
т — ЕР. [5*(7)|7ГЇ]
}]-
1(5(0 <КІІ+гУ-'}
_ТлКІІ + г)
t-T
say■
(i + O*
2.7.6. С(со) = (2,1,0,0); £д(1,со) = -5/3, £,і(1,со) = 5/12, Vco є Д;
£ю(2,со) = -1, £,і(2,со) = 1/3, со = соьсо2; £д(2,со) = 0, £,і(2,со) = 0,
со = соз, со4; 1/(0) = 5/12.
2.7.7. Ціна опціону дорівнює Со = 4- + 1 — + 0- + 2- = -.
2.7.8. а) X = (2,0,0,0); £д(1,со) = -4/3, £,і(1,со) = 1/3, Vco Є Д;
£д(2,со) = -4, £,і (2, со) = 2/3, со = соьсо2; £д(2,со) = 0, £,і(2,со) = 0,
со = со3, со4; 1/(0) = 1/3;
б) X = (0,1,1,4); £л(1, со) = 17/3, £,,(1, со) = -2/3,Vco є Д; £ю(2, со) =
= 3, £,і(2,со) = -1/3, со = СО],со2; £ю(2,со) = 7, £,і(2,со) = -1, со =
= со3, со4; 1/(0) = 7/3;
205
в) X = (0,273,2,3); Ц(1,ш) = 46/9, Ц(1,ш) = -11/18, Vco Є П;
Ы2,ш) = 2, £,і(2, ш) = —2/9, ш = шьш2; £д(2,ш) = 4, Ц(2,ш) = -1/3,
ш = шз, Ш4; У(0) = 37/18;
г) X = (2, 0,1,4); Ц(1,ш) = 14/3, £.і(1,ш) = -5/12, Vu> Є П;
£л(2,ш) = -4, £,і(2,си) = 2/3, ш = шьш2; £о(2,ш) = 7, Ц(2,ш) = -1,
ш = шз, Ш4; 1/(0) = 31/12.
2.7.9. 1. * = (1,1,0,1,2,4,0,0,2).
2. Мартингальну міру визначають із системи рівнянь
>1 + Р2+РЗ+Р4+Р5+Р6+Р7+Р8+Р9 = 1.
7рі + 9р2 + 8рз + 6р4 + 6р5 + Юрб + Зр7 + 6р8 + 9р9 = 7,
7рі + 5Р2 + Зрз + 8р4 + 9р5 + 7рб + 8р7 + Зр8 + брэ = 6,
8(рі + Р2 + Рз) + 7(р4 + Р5 + Рб) + 6(Р7 + Р8 + Рэ) = 7,
< 5(рі + Р2 + Рз) + 8(Р4 + Рб + Рб) + 5(Р7 + Р8 + Рэ) = 6,
7рі + 9р2 + 8р3 = 8(рі +Р2 + рз),
7рі + 5р2 + Зрз = 5(рі + р2 + рз),
6р4 + 6р5 + Юрб = 7(р4 + р5 + Рб),
„ 8р4 + 9р5 + 7рб = 8(р4 + Рб + Рб)-
Розв’язок Р* = (1/9,1/9,1/9,1/6,1/12,1/12,1/12,1/6,1/12) єдиний, то¬
му ринок повний і заданий опціон є досяжним, 1/(0) = 19/18.
2.7.10. а) Х = (1,1,0,1,2,4,0,0,2); У(0) = 19/18;
ЦІ, ш) = (-85/36,1/12,17/36) УшєО,
(—11/3,1/3,1/3), ш = шьш2,шз,
Ц2,ш) = < (-13,1,1), ш = Ш4,ш5,ш6,
(-13/4,5/12,1/4), ш = ш7,Ш8,ш9;
б) X = (0,0,2,0,0,0,2,4,0); 1/(0) = 19/18;
ЦІ, ш) = (383/36, - 11/12, - 19/36) Vtu є П,
г (28/3, - 2/3, - 2/3), ш = шьеи2, ш3,
Ц2, ш) = < (0,0,0), ш = ш4, еи5, ш6,
(39/4, - 7/12, - 3/4), ш = ш7, ш8, ш9;
в) X = (7,9,8,8,9,10,8,6,9); 1/(0) = 8;
ЦІ, ш) = (25/8,3/8,3/8) Уш є СІ,
'(0,1,0),
Ц2,ш) = ] (-9/2,3/4,1),
k(15/8,3/8,5/8),
Ш = ШЬШ2,Шз,
Ш = Ш4,Ш5,Ш6,
ш = ш7,ш8,ш9;
206
г) * = (1,3,2,2,3,4,2,0,3); V(0) = 2;
4(1,(«) = (-23/8,3/8,3/8)
'(-6,1,0),
4(2,cu) = ] (-21/2,3/4,1),
k (-33/8,3/8,5/8),
Д) * = (1/3,1/3,0,1,4/3,2,0,0,0); 1/(0) =
4(1,о)) = (-73/27,1/9,11/27)
(—11/9,1/9,1/9),
4(2, о)) = < (—11/3,1/3,1/3),
к(0,0,0),
О) = СО], 0)2, 0)3,
CU = OJ4, CJL>5, CJL>6,
CU = CU7,U)8,U)9.
О) = СОьd)2,0)3,
О) = 0)4, 0)5, 0)6,
О) = 0)7, 0)8, 0)9;
14/27;
Vo) Є О,
Vco Є Cl,
2.7.11. 1. Нехай 4 — породжувальна стратегія для С, г\ — поро-
джувальна стратегія для Р, а £ — породжувальна стратегія для 5(7).
Розглянемо стратегію 4 = V~ 4+С їй відповідає капітал у момент t = Т,
що дорівнює [* — 5(7)] + — [5(7) — К\+ + 5(7) = К, а в момент часу t = О
дістанемо п(Р) — 7т(С) + S(0) = Ер. [К/В{Т)\.
2. Нехай процес В невипадковий і С має породжувальну стратегію 4-
Позначимо через Е,к стратегію, що породжує в момент часу t = Т капітал
К, С — стратегія, що породжує капітал S(7). Тоді стратегія г) = 4+4* — С
породжує Р. І навпаки, якщо г) породжує Р, то стратегія 4 = V — 4* + С
породжує С.
3. Розглянемо платіжне зобов’язання X = (х\,Х2,хз,Х4,х$,х^) та одер¬
жимо умову досяжності
Бачимо, що опціон купівлі задовольняє умову досяжності, а опціон про¬
дажу — ні.
2.7.12-2.7.13. Скористатися пунктом 3 задачі 2.4.2.
2.7.14. Це може бути 0, 5 або 5/2 залежно від значень коефіцієнтів.
52х] + 23^2 06хз + 4x4 39xs + 1 ІХб _ п
84 2 П + 54 “U
В умовах задачі маємо
207
2.8. АМЕРИКАНСЬКІ ОПЦІОНИ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ
Теоретичні відомості
Нехай Т > 0, час t належить множині Т = [0,7] Гі Z+ (дискретний
час) або Т = [0,7] (неперервний час). Позначимо через F = (.7), і е Т)
деяку фільтрацію (потік ст-алгебр), що задовольняє умови Ts с Tt С Т,
s < t, s, t є Т, і Ті = Пієт-їХ-^ (для неперервного часу). Моментом зу¬
пинки називається будь-яка випадкова величина т, яка набуває значень
з множини Т, причому подія {т < £} належить для всіх t є Т.
Американським опціоном купівлі називається цінний папір, який
можна виконати в будь-який момент зупинки т є Т, при цьому виплата
дорівнюватиме [5(т) — К]+, де S(t) — ціна в момент і акції, на яку укла¬
дено опціон. Аналогічно визначається Американський опціон продажу.
Стратегії покупця та продавця Американського опціону різні: покупець
хоче подати опціон до виконання в той момент т, коли середнє значен¬
ня виплати є найбільшим, тобто визначити тахЕ[(5(т) — А)+], де шах
береться по множині моментів зупинки т є Т; продавець бажає так по¬
будувати свою стратегію, щоб мати можливість виконати опціон, у який
би момент часу покупець не подав його до виконання. Далі в задачах
розглядаємо лише Американські опціони з дискретним часом.
2.8.1. Позначимо через V(t) і Z(t), t Є Т, ціну, яку має сплатити
покупець Європейського та Американського опціону, відповідно, якщо
він купує його в момент t, на одну і ту ж акцію. Довести, що Z(t) > V(t).
2.8.2. Розглянемо Американський опціон, який має виплати {У(0>
t Є Т}. Нехай Європейський опціон у момент Т має таку ж виплату
Y(T). Довести: якщо V(t) > Y(t) для всіх t Є Т і всіх со є Д, то
K(f) = Z(t) і оптимальним для покупця є чекання до моменту Т, щоб
виконати опціон.
2.8.3. Розглянемо умову задачі 2.7.1, і нехай Y(t) = [S(£) — 5]+. Для
даної задачі г = 0, Т = 2, Т = (0,1,2}.
1. Використовуючи розв’язок задачі 2.7.2, довести, що V(t) > Y(t) для
t = 0,1,2 і всіх со є П.
2. Використовуючи результат задачі 2.8.1, довести, що V(t) =Z(t).
2.8.4. Нехай ціна акції змінюється так: 5(0) — деяке задане число,
Задачі
з імовірністю р,
з імовірністю 1 — р,
де ud = 1, и > 1, d. < 1 (біномна модель).
208
1. Визначити ціну акції в момент k, якщо і разів вона підвищувалася,
k — і разів падала.
2. Позначимо через 14(0 виплату Американського опціону продажу
на акцію 5 зі страйковою ціною К у момент k за умови, що ціна акції
підвищувалася і разів. Показати, що
VT(i)= [tf-u/d7'-/S(0)]+.
3. Показати, що коли опціон виконано в момент k “у грошах”, і при
цьому акція зростала і разів, то виплата дорівнює К — u‘d*-IS(0).
4. Якщо опціон не виконано в момент k, то в момент k + 1 ціна акції
становитиме або ul+l dk~lS(0) (з імовірністю р), або u‘d*-,+1S(0) (з імо¬
вірністю 1— р). Якщо це ul+xdk~‘S(0), то показати, що очікувана виплата
в момент k від опціону, виконаного в момент k + 1 — 14+і(г + 1)/(1 + г);
довести, ЩО В протилежному випадку це 14+1 (0/(1 + г)- Вивести звідси,
що очікувана виплата в момент k за опціоном, виконаним у момент k+\,
дорівнюватиме
jL-Vk+di+vp+j^Vk+mi-p)-
5. Вивести з пункту 4, що
14(0 = тах{А—иг^-£5(0), Л-[руш(і + 1)+(1-р)14+,(0]}, 0 < і < k.
6. Нехай S(0) = 9, Т = 5, К = 10, г = 6 %, и = 1,0694, d. = 0,9351.
Обчислити ціну (14(0,0 < k < 5,0 < і < k) Американського опціону
продажу.
2.8.5. Нехай г = 0, {H(t) = Y(t)/B(t), t Є Т} — послідовність дискон¬
тованих виплат Американського опціону. Визначимо випадковий процес
Z(0 за допомогою рівностей
2(0-/я(г)' - І = т’
\max{//(0, E[Z((+1)|Л1), 0<t<T-l.
1. Довести, що Z(0 — супермартингал.
2. Довести, що Z(0 > Я(0, t Є Т.
3. Нехай U(t) — інший супермартингал, що мажорує Y(t): U(t) >
> Y(t), t Є T. Довести, що U(t) > Z{t), t Є T.
Випадковий процес Z(t) називається обвідною Снелла для процесу
H(t) (порівняйте із задачею 18.7).
2.8.6. 1. Довести, що обвідна Снелла Z(t) процесу H(t) задовольняє
Z(t) = max Ер. [Н(х)\Рі\,
де Р* — мартингальна міра (“м.з.” означає “момент зупинки”).
209
2. Довести, що момент зупинки
т(t) = min{s > t: Z(s) = Y(s)/B(s)}
максимізує праву частину рівності з пункту 1.
3. Довести, що момент зупинки
т(0) = min{s > 0 : Z(s) = Y(s)/B(s)}
є оптимальним для покупця Американського опціону в тому розумінні,
що ЕР. [Я(т(0))] = тахо<т<7- ЕР. [Я (т)].
2.8.7. Обчислити обвідну Снелла для задачі 2.8.3 і визначити опти¬
мальний момент зупинки.
2.8.8. Для моделі із задачі 2.8.3 обчислити ціну в момент t = 0
Американського опціону продажу зі страйковою ціною К = 6. Визначити
оптимальний момент зупинки.
2.8.9. Американський опціон називається досяжним, якщо для будь-
якого моменту зупинки 0 < т < Т існує така самофінансована стратегія,
що відповідний портфель V задовольняє У(т) = У(т). Нехай Американ¬
ський опціон є досяжним, і випадковий процес Н = Y/B є субмартин-
галом відносно деякої мартингальної міри Р*. Довести, що оптимальний
момент зупинки — т = Т, а ціна цього Американського опціону дорівнює
ціні Європейського опціону X = Y(T).
2.8.10. Розглянемо біномну модель акції з Т = 4, So = 20, и =
= 1,2214, d. = 1 /и = 0,8187, г = 3,82%. Обчислити ціну в момент t = 0
Американського опціону продажу зі страйковою ціною К = 18. Який
момент зупинки є оптимальним?
2.8.11. Розглянемо Американський опціон купівлі, який можна ви¬
конати в будь-який момент < е Т, але якщо він виконується в момент
у Є Т, то страйкова ціна дорівнює Keky, k — фіксоване число, тобто
виплата в момент у дорівнює \S(y) — ekyK]+. Довести, що при k < г,
де г — відсоткова ставка, опціон не буде поданий до виконання раніше
моменту t = Т.
2.8. і2. Розглянемо біномну модель акції, що задається формулами
S„+i = Snd з імовірністю 1 — р або S„+i = Snu з імовірністю р,0 < d < 1 +
+ г < и, г — відсоткова ставка, 0 < п < N — 1. Позначимо через пп(Р,х)
ціну в момент п Американського опціону продажу з датою виконання N,
страйковою ціною К і початковою ціною акції So = х.
1. Довести, що
пм(Р,х) = (К — х)+, пп(Р,х) = шах
(К_хГп^±іл
, 0 < п < N — 1,
де
f(n+ \ ,х) = (1 -p)nn+i(P,xd) +рпп+\(р,хи), Р=р*
1 + r — d
210
и — d
2. Довести, що 7to(P,x) можна подати у вигляді
71о(Р,х) = sup Ер. [(1 + r)~r(K - xVx)+],
х <N
т — м.з.
де {Vn, 0 < п < N} — послідовність випадкових величин, що задається
формулами Vo = 1, Vn = ПГ=і ы/> Де иі ~ деякі випадкові величини.
Задати спільний розподіл щ відносно міри Р*.
3. Одержати з пункту 2, що функція щ(Р,х) опукла вниз і спадна.
4. Нехай d < 1. Довести, що існує дійсне число х* Є [0, /Г] таке, що
для х < х* щ(Р,х) = (К — х)+, а для х є (x*,K/dN) щ(Р,х) > (К — х)+.
Відповіді та вказівки
2.8.1. Завжди можна відкласти виконання Американського опціону
до моменту Т.
2.8.2. Якщо покупець придбав Американський опціон і 1/(£) > у(0,
то нерозумно виконувати його у момент t <Т і одержати Y(t), оскільки
можна в цей момент гарантувати собі натомість виплату V{t). Напри¬
клад, можна продати Європейський опціон або зайняти коротку позицію
відносно портфеля, що хеджує такий опціон. Отже, треба чекати до
моменту Т, а це означає, що ціни обох опціонів однакові.
2.8.5. Пункти 1 і 2 очевидні. Пункт 3 доводиться за індукцією.
2.8.6. Доводиться з використанням теореми Дуба.
2.8.8. Мартингальні ймовірності Р* = (1/6,1/12,1/4,1/2). Запишемо
значення Y(t) = [6 — S(0]+:
0>k
У(0)
У(1)
У(2)
CJDl
1
0
0
cu2
і
0
0
о>з
1
2
0
CJL>4
1
2
3
Використовуючи задачу 2.8.5, одержимо
Z(2) = У(2) = (0,0,0,3),
Z(l) = У(1) VEP.[Z{2)\TX) = (0,0,2,2),
Z(0) = Y(0) V Ер. [Z(l)|Jb] = (3/2,3/2,3/2,3/2).
Отже, справедлива ціна платіжного зобов’язання — 3/2, а оптимальний
момент зупинки — т(0) = min {s > 0|Z(s) = K(s)} = 1.
2.8.9. Якщо Y/B — субмартингал, то за теоремою Дуба про випад¬
кову зупинку Ер. [Yx/Bx\ < Ер. [Yt/Bt], отже, maxo<T<7- Ер. [Yx/Bx\ =
= Ер. [Yj/Вт], а це ціна відповідного Європейського опціону, що подає-
211
ться до виконання в момент т = Т. Оскільки опціон досяжний, то існує
стратегія, яка хеджує цей опціон, тобто стратегія, капітал якої в момент
Т дорівнює значенню опціону.
2.8.10. Розв’язок повторює міркування задачі 2.8.8. Спочатку рахує¬
мо значення Y(t) і H(t) для всіх (шістнадцяти) сценаріїв ринку. Мартин-
гальну міру обчислюють із задачі 2.1.22. Після цього визначимо обвідну
Снелла. Ціна опціону дорівнює значенню обвідної в момент t = 0 —
1,18, а оптимальний момент зупинки — перший момент, коли обвідна
Снелла дорівнює дисконтованому значенню опціону продажу, т(0) = 2,
якщо ціна при t = 1,2 зросла або якщо ціна при t = 1,2 впала, т(0) =
= 3, якщо в один з моментів t = 1,2 ціна зросла, в інший — впала, а в
момент t = 3 ціна зросла, і т(0) = 4 в інших випадках.
2.9. БРОУНІВСЬКИЙ РУХ,
ГЕОМЕТРИЧНИЙ БРОУНІВСЬКИЙ РУХ,
МАРТИНГАЛИ З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ
Теоретичні відомості
Вінерівським процесом, або броунівським рухом, називається ви¬
падковий процес W = {№(0. t > 0}, що задовольняє умови: а) ПР(0) =
= 0 м.н.; б) процес W має незалежні прирости; в) випадкові величини
W(t) — HP(s) мають гауссів (нормальний) розподіл з середнім 0 і диспер¬
сією t — s . Це визначення еквівалентне такому: 1') W = (№(0> t > 0} —
гауссів процес; 2') Е[ИР(*)] = 0, t > 0; 3') E[UP(*)HP(s)] = t A s, t,s > 0.
Вінерівським процесом зі зсувом називається процес
W*(t) := W(t) + \it.
Цікавою властивістю вінерівського процесу є те, що його траєкторії
з імовірністю 1 неперервні та ніде не диференційовані.
Випадковий процес {№(0 = {W40 №m(0}. t > 0} називається
m-вимірним вінерівським процесом, якщо його компоненти — незалежні
між собою вінерівські процеси. При цьому коваріаційна матриця процесу
HP дорівнює
е[(що - wmmt) - w(S)y] = (t- s)i,
де I — одинична матриця розмірністю mxm, 0<s<t, * — знак
транспонування.
Геометричним броунівським рухом називається випадковий процес
5(0 = 5(0) exp{aW(0 + [it}, а, р.,5о Є К, t > 0.
212
Параметр ц. називається зсувом, а — волатильністю. Геометричний бро-
унівський рух моделює зміну ціни акції, і параметр ст тоді називається
волатильністю акції.
Задачі
2.9.1. Нехай {№(0. t > 0} — вінерівський процес. Довести, що такі
процеси теж є вінерівськими:
а) wOty) := -W{t)-,
б) W^{t) := tW(l/t), t > 0, їИ2)(0) = 0;
в) W®{t) := W(t + a) — W(t), де a > 0 — фіксоване;
г) Г<4>(0 := W(T) - W(T - t), 0 < t < T, T > 0;
д) := а_1Ща20> де a > 0 — фіксоване (властивість автомо-
дельності).
2.9.2. Нехай {ЦРц(0. t > 0} — вінерівський процес зі зсувом.
1. Визначити розподіл випадкової величини ИРц(£і) + НРЦ(/2), h < к.
2. Визначити E^fo^te)], E[HP^i)W^(*2)HP^3)].
2.9.3. Процесом Орнштейна-Уленбека з параметрами а, (3 (а > 0,
Р Є М) називається випадковий процес V(t) = ехр{—^t}W{oce2^t), t Є R,
де {UP(£), t > 0} — вінерівський процес. Довести, що V(t) — гауссів
процес і визначити його коваріаційну функцію.
2.9.4. Нехай 5(f) = 5(0) exp{ffUP(f) + ці} — геометричний броунів-
ський рух.
1. Визначити розподіл S(t).
2. Довести, що E5(f) = 5(0) ехр{(ц.+ cr2/2)t}.
3. Визначити D5(f).
4. При якому співвідношенні між ц і а процес 5* буде мартингалом?
5. Нехай ц. = 0,01, ст = 0,2, 5(0) = 100. Визначити величини Е[5(10)],
Р{5(10) > 100}, Р{5( 10) < 110}.
2.9.5. Геометричний броунівський рух
S(t) = 5(0)exp{аЩО + (ц.- ^)f}
називають ціною акції за Блеком-Шоулсом.
1. Довести, що для всіх t,s >0 : Е [5(f + s)/5(f)|.Ff] = е^, де Ft =
= a{W(u), и < t}.
2. Довести, що ціна акції за Блеком-Шоулсом є мартингалом тоді і
тільки тоді, коли ц. = 0.
2.9.6. Нехай HP — m-вимірний випадковий процес, узгоджений з
фільтрацією {Ft, t > 0}. Довести, що W буде m-вимірним вінерівським
процесом тоді й тільки тоді, коли він задовольняє такі умови:
а) ИР(0) = 0;
213
б) W — неперервний квадратично інтегрований мартингал відносно
фільтрації {Ft, t > 0};
в) для 0 < s < t
Е[(Г(0 - Г(*)) (W40 - ^(s))Vs] = (і- s)I,
де І — одинична матриця розмірністю тх т.
2.9.7. Нехай W — двовимірний вінерівський процес, Z{t) = A W(t),
де матриця
А =
де р — стала, —1 < р < 1. Процес Z(t) називається двовимірним коре-
льованим вінерівським процесом.
1. Визначити координати у векторному зображенні Z(t) =
~Z\t)
[z\t)\ ■
2. Визначити вектор математичних сподівань Z(t) і коваріаційну ма¬
трицю приростів Е(Z(t) — Z(s))(Z(t) —Z(s))*.
3. Визначити матрицю Л_1 і подати W у вигляді W = A~lZ.
4. Нехай сті, 02 > 0. Знайти таку сталу с, щоб одновимірний процес
W{t) = c[-axZ\t) + a2Z2{t)]
був стандартним вінерівським процесом.
2.9.8. Довести посилений закон великих чисел для вінерівського про¬
цесу: W(t)/t -»• 0, t -»• оо, з імовірністю 1.
2.9.9. Нехай т — момент зупинки відносно фільтрації {Ft, t > 0},
{№(£), Ft, t > 0} — вінерівський процес. Довести, що {№(£Лт), Ft,
t > 0} — мартингал.
2.9.10. Нехай Z — випадкова величина, що має стандартний нор¬
мальний розподіл. Довести, що процес X(t) = \JtZ має ті ж одновимірні
розподіли, що й вінерівський процес, але не є вінерівським.
2.9.11. Нехай W{t) і №(£) — два незалежних вінерівських процеси,
а2 + /З2 = 1. Довести, що процес X(t) := aW{t) + f3W{t) — вінерівський.
2.9.12. Довести, що випадковий процес X{t) = W(t) +уt буде мар¬
тингалом тоді й тільки тоді, коли у = 0.
2.9.13. Нехай X — випадкова величина, що задовольняє E[|Z|] < оо.
Довести, що процес М(і), визначений рівністю M(t) = E[Z | Ft\, t є T, є
мартингалом.
2.9.14. Нехай {Mt, t > 0} — мартингал, причому Е[М2] < оо для всіх
t > 0 (такі мартингали називають квадратично інтегрованими). Довести,
що для всіх s <t
E[(Af, -Ms)2 I Fs] = E[M2-M! I Fs\.
214
2.9.15. Нехай {Xt, t > 0} — процес Леві (процес з незалежними
стаціонарними приростами), який є квадратично інтегрованим і має ну¬
льове початкове значення. Припустимо також, що функція ip(t) := Epf2]
є неперервною на R+. Довести, що EpG] = ct і D[^] = c't, де с і с' —
дві сталі.
2.9.16. Нехай {Т, t Є R+} — деяка фільтрація на ймовірнісному
просторі (Cl, Т, Р), г — момент зупинки відносно цієї фільтрації,
Довести, що:
а) Тг — ст-алгебра;
б) момент зупинки т є ^х-вимірним;
в) якщо т і у — два моменти зупинки, т < у, то Тт С
2.9.17. Нехай т — момент зупинки, {Xt, Tt, t є К} — випадковий
процес, узгоджений з фільтрацією {Tt, t Є М+}. Довести, що:
а) якщо процес X є неперервним, то
б) процес XJ = Xrl{x</} є ^-узгодженим, а величина Хт є Тт-ви¬
мірною.
Відповіді та вказівки
2.9.1. Показати, що вказані процеси задовольняють означення віне-
рівського процесу.
2.9.2. Скористатися тим, що значення вінерівського процесу в різні
моменти часу мають гауссів розподіл.
2.9.4. 4. При ц. + ст2/2 = 0.
2.9.5. Скористатись задачею 21.4.
2.9.8. Використати посилений закон великих чисел для незалежних
випадкових величин з нульовим середнім.
2.9.9. Скористатися результатом задачі 2.5.10.
2.9.11. Визначити одновимірні розподіли процесу й довести незалеж¬
ність приростів.
Тт = {А Є Т I VI Є R+ А П {т < і) є Т).
ОО
215
2.10. СТОХАСТИЧНИЙ ІНТЕГРАЛ, ФОРМУЛА ІТО,
СТОХАСТИЧНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Теоретичні відомості
Нехай (Щ£), Tf, t > 0} — вінерівський процес, {g{t),T^,t > 0} —
інший випадковий процес. Процес g належить до класу £2 [а, 6], якщо
іа Е [g2(s)] ds < оо; g належить до класу £2, якщо він належить до
£2(0, і] для всіх t > 0. Нехай g Є £2 [а, Ь\ і є простою, тобто g(s) = g(4),
s є [4.4+і). а = to < t\ < ... < 4 = b. Тоді
b n-1
£ g(s)dW(s) := ^>(4)[Щ4+і) - W{tk)\.
“ k=Q
Для g € £2 [a. b] існує така послідовність простих процесів gn є £2 [a, b],
що Е J*[g(s) -g„(s)]2rfs ->• 0, п ->• оо. Тоді
f6g(s)rfr(S) := l.i.m.
Ja Ja
де l.i.m. — границя в середньому квадратичному.
Нехай процес X можна подати у вигляді
т = J0V(s)^+jj ф )dw(S).
Кажуть, що процес X(t) має стохастичний диференціал
dX(t) := \i{t)dt + a(t)dW(t).
Нехай для випадкових функцій {f(t,со), Ти t > 0} і (g(4w), Ти t > 0}
виконується
Jo Е [f2(s)]ds <00 і Р I Jo |g(s)|ds < ooj = 1, t > 0,
процес {X(t),Tt,t > 0} має стохастичний диференціал вигляду dX(t) =
= f{t)dW(t) + g(t)dt, де {W(t),Tt,t > 0} — вінерівський процес. Не¬
хай також невипадкова функція F : [0, оо) х R —> R належить до класу
С!([0,оо)) х С2(М). Тоді процес Y(t) = {F(t,X(t)),Tt,t > 0} має стоха¬
стичний диференціал
де [dX(t)]2 визначається за правилом “оперування з диференціалами”:
dt-dt = dt- dW(t) = dW(t) ■ dt = 0, dW(t) ■ dW(t) = dt.
216
Формула для стохастичного диференціалу Y(t) називається формулою
Іто, вона є стохастичним аналогом формули диференціювання складної
функції. В інтегральній формі: для всіх t > 0 Р-м.н. (майже напевно,
тобто з імовірністю 1)
F(t,X(t)) = F(0,Xm + fQf(s)dF{s£{s))dW(s)+
+
Г
Jo
9F(sja,0) , JT(»)) , 1,2,.,^(sjr(s))
at +g(s> ax +(s> ax2
ds.
Багатовимірний варіант формули Іто виглядає так: нехай кожна ком¬
понента векторного випадкового процесу X(t) = (Xj(t) Xm(t)) має
стохастичний диференціал dXi(t) = \ii(t)dt + cfi(t)dWi(t), причому віне-
рівські процеси Wi(t) корельовані таким чином: (Wi,Wj) = J0* pt/(s)ds;
невипадкова функція F(t,x) : [0,оо) х Rm ->• R, F є (^([О.оо)) х C2(Rm).
Тоді
F(t,X(t)) = F(0,X(0)) + Jj [a/7(s^(s)) + J2 Ms)
І= 1
9F(s,X(s)y
dxi
ds+
+
, ^dF(s,X(s)) J1B7/ . 1 HA /4 , ^F(s,X(s)) J
J„ E g<w dXi dWM + 2 Jo E g<wg/Wp»w gxidx
І= 1 i,j= 1 1
Формулу Іто неважко узагальнити і на випадок, коли функція F век¬
торна.
Стохастичним диференціальним рівнянням називається рівняння ви¬
гляду
dX(t) = b{t,X(t))dt + u(tX(t))dW(t), 0<t<T,
X(0) = £,,
де — .^"Вимірна випадкова величина. Стохастичне диференціальне
рівняння формально можна записати у вигляді стохастичного інтеграль¬
ного рівняння
X(t) = £, + J* b(s,X(s))ds + J*‘ ff(sj(s))^r(s), 0 < t < T.
При цьому вважаємо, що інтеграли в правій частині визначені. Якщо
виконуються умови Ліпшиця й лінійного зростання:
Ib(t,x) - b(t,y)I + |ст(г,х) - a(t,y)I < L\x - y\, t є [0,7], x,у є R;
\b(t,x)\2 + |a(£,x)|2 < L(1 + x2), t Є [0,7], xeR,
де L > 0 — деяка стала, то стохастичне диференціальне рівняння має
єдиний сильний розв’язок, тобто існує єдиний ^/-вимірний випадковий
процес Х{ї), який перетворює це рівняння на тотожність.
217
Задачі
2.10.1. Обчислити Jq [W(s)]*rfW(s), k Є N.
2.10.2. Визначити E[W(t)]2k методом математичної індукції.
2.10.3. Визначити E[eatt^6]
2.10.4. Нехай невипадкова функція ст є >Сг [ОЛ] - Довести, що стоха-
стичний інтеграл X(t) = £ст(з)^Щ«) має нормальний розподіл, визна¬
чити середнє та дисперсію. Довести, що
Е[ешХ(0] _ ехр І _ ц2 j.
2.10.5. Визначити стохастичний диференціал dZ(t), якщо:
яї 7(t\ = e>nt-
б) Z{t) = £ g(s)dW(s);
в) Z(t) =
г) Z(t) = exp{<xY(0}, якщо процес X має стохастичний диференціал
dX(t) = \idt + adW(t), ц Є R, ст > 0;
д) Z(t) = X2(t), якщо dX(t) = ocX(t)dt + aX(t)dW(t)\
е) Z(t) = Х_1(0, якщо dX(t) = (xX{t)dt + aX(t)dW(ty,
e) Z(t) = Xn{t),n є N, якщо X(t) — той самий, що і в пунктах д), е).
2.10.6. Нехай X(t) — додатний процес, що допускає стохастичний
диференціал dX(t) = X(t)[<xdt + $dW(t)\. Довести, що d\nX(t) = (а —
- (32/2)dt + (3 dW(t), t > 0.
2.10.7. Довести для h є (^([О.оо)) формулу інтегрування частинами:
J* /i(s)d№(s) = h(t)W(t) - J* A'(s)lF(s) ds.
2.10.8. Нехай випадкові процеси X(t) та Y(t) мають стохастичні ди¬
ференціали dX(t) = adt + bdW(t), dY(t) = a.dt + $dW(t). Довести, що
d(X-Y)(t) = X(t) dY(t) + Y(t) dX(t)+dX(t)dY(t) = [«X(t)+aY{t)+b$]dt+
+ + bY(t)]dW(t).
2.10.9. Нехай випадкові процеси X(t) та У (0 мають стохастичні ди¬
ференціали dX(t) = adt+bdW(t), dY(t) = Y{t)[aidt + $dW(t)\. Довести,
m.od[\/Y(t)] = Y(t)-x[{-OL+$2)dt-$dW{t)],d[X{t)/Y{t)] = Y{t)-x{[a-
- <хад - (ь - эад)0]«и+ [ь - рад]<дад>.
2.10.10. Нехай 5(0 і B(t) — ціни акції і облігації відповідно, dS{t) =
= S(t)(]idt + adW(t)), dB(t) = rB(t)dt. Довести, що ціна акцій, дискон¬
тована одиницею грошового ринку — ціною облігації, має стохастичний
диференціал d [S(0/B(0] = [5(0/Д(0] [(\L—r)dt + adW(t)\.
2.10.11. Довести, Що £(f — s)rfW(s) = £ №(s) ds Р-м.н., t > 0.
2.10.12. Нехай випадковий процес X має стохастичний диференціал
dX(t) = aX(t)dt + a(t)dW(t), де а Є R, а Є Визначити середнє
m(t) :=Е[ад].
218
2.10.13. Нехай {f(t,w),Tt,t > 0} така, що E[/2(s,tu)]ds < оо, t > О,
X(t) = exp I Jq f(s,w)dW(s) - Jq /2(s,a))rfs/2|, t > 0.
Довести, що dX(t) = X(t)f(t,w)dW(t).
2.10.14. Нехай Z(t) = exp {<xl+|3 №(!)}. Визначити стохастичне дифе¬
ренціальне рівняння, єдиним розв’язком якого eZ(t). Чому цей розв’язок
справді єдиний?
2.10.15. Нехай випадковий процесі має стохастичний диференціал
dX(t) = \x(t)dt + a(t)dW(t), причому ц. є £і([0,оо)), а Є £2. Ц-(І) > 0 для
всіх t > 0. Довести, що X — субмартингал.
2.10.16. Мета даного прикладу — обґрунтувати формальну рівність
dW\(t)dW2(t) = 0 для незалежних вінерівських процесів W\ і Щ. Нехай
для п > 1 {ti = it/n, 0 < і < п} — рівномірне розбиття відрізку [0,1],
AWi(tk) = Wi(tk) - Wi(tk-1), і = 1,2. Визначимо
П
Q„ = £AWi(f*)Ar2(fc).
k=\
Доведіть, що £[Q„] = 0, D[Qn] 0 і виведіть звідси, що границя в
середньому квадратичному l.i.m^ooQ,, = 0.
2.10.17. Функція h(x\ хт) : —>• М називається гармонійною,
якщо вона задовольняє умову YlT=i (Ph/dxf = 0, і субгармонійною, якщо
2Х і d2h/dx? > 0 на Мт. Нехай W — m-вимірний вінерівський процес,
X(t) := h(Wi(t),... ,Wm(t)). Довести, що X — мартингал (субмартингал),
якщо функція h — гармонійна (субгармонійна).
2.10.18. Нехай W — т-вимірний вінерівський процес, || • || — евклі-
дова норма в Кт. Довести, що {||№(1)||, Ти 1 > 0} — субмартингал.
2.10.19. Нехай X(t) = aW(t) + \it, Ra = inf{l : X{t) = a}. Довести,
що при у > 0, а ф 0 і а < 0 Р{У?а < оо} < е2ча/^
2.10.20. Довести, що процес X(t) = Xq exp {(г — cr2/2)t + crW(t)J є
розв’язком стохастичного диференціального рівняння dX(t) = rX(t)dt +
+ aX(t)dW(t), t > 0.
2.10.21. Довести, що процес
X(t) = a(l - 1/7) + |31/7 + (7 - 1) Jj 0 < 1 < 7,
є розв’язком стохастичного диференціального рівняння
dX(t) = + dW(t), t € [0,7], *(0) = a.
Довести, що X{t) —>• (3 M.H. при t -¥ T~. Тобто процес X(t) — броу-
нівський міст над відрізком [0, 7] із закріпленими кінцями Х(0) = ос і
Х(Т) = |3. Стандартний броунівський міст одержимо при таких значен¬
нях параметрів: 7=1,а=(3 = 0.
219
2.10.22. Нехай процеси X і Y для %і/о Є К є розв’язками такої
системи стохастичних диференціальних рівнянь:
dX = ocXdt - YdW, Х(0) = xq,
dY = ocYdt + XdW, У(0) = y0.
1. Довести, що процес R(t) = X2{t) + Y2{t) є невипадковим.
2. Визначити E[А'(ґ)], Е[У(ОЬ
2.10.23. (Процес Орнштейна - Уленбека.)
Доведіть, що розв’язком одновимірного стохастичного диференціаль¬
ного рівняння dX(t) = aX(t)dt + udW(t) є
X(t) = eatXo + а Ґ ea(t-s)dW(s).
JO
2.10.24. (Формула Фейнмана-Каца.)
Доведіть, що розв’язок наступної граничної задачі
яр 8F 1 rP'F
+ ^v^h2 + r{t’x)F = °’ F{T’X) = ф{х)
допускає стохастичне подання вигляду
F(t,x) = Е
Ф(*(Г)) exp { JT r(s^(s))ds}|jf(0 = а:
де X — розв’язок стохастичного диференціального рівняння
dX(t) = [i(t,X(t))dt + o(t,X(t))dW(t).
2.10.25. (Теорема Гірсанова для сталого коефіцієнта зсуву).
Нехай {Wt, Т, t Є Т} — стандартний вінерівський процес, коефіцієнт
цєМ\ {0}. Покладемо Lt = exp {—\iWt — y?t/ 2}.
1. Показати, що {Lt,Tt,t є Т} — мартингал з E[L<] = 1.
2. Нехай — міра, породжена процесом Lt. Довести, що звуження
Рт на Tt збігається з Р/.
3. Нехай Z — .^-вимірна обмежена випадкова величина. Показати,
uxo E[Z\Tt\ = E[ZLT\Tt\/Lt.
4. Покладемо Wt = цt+Wt, t є Т. Показати, що Vu Є М і Vs, t є Т, s < t
Ерг = eu2(t-s)/2 Вивести звідси, що {Wt, Т, Ft, t Є T} —
стандартний вінерівський процес.
2.10.26. Нехай X задовольняє стохастичне диференціальне рівняння
dX(t) = [цЛГ(0 + \Y]dt + [сгЛГ(0 + сY]dW{t),
де {ц, р', ст, 0у} с R\{0}. Нехай також S(t) = ехр{(ц— a2/2)t + ст№(0} .
1. Вивести стохастичне диференціальне рівняння для S_1(0-
2. Довести, що
СДОЯ"1 (0] = S"1 (0 [(ц - сктОdt + &dW(t)].
3. Визначити явний вигляд процесу X(t).
220
Відповіді та вказівки
2.10.1. Застосувати формулу Іто до X(t) = W(t) та F(x) = xk+l.
2.10.2. Застосувати формулу Іто до X(t) = W(t) та F(x) = x2k.
2.10.3. Застосувати формулу Іто до X(t) = W(t) та F{x) = є**.
2.10.4. Розглянути цей стохастичний інтеграл як границю інтеграль¬
них сум.
2.10.5-2.10.6. Безпосереднє застосування формули Іто.
2.10.7. Подати стохастичний інтеграл у лівій частині як границю
інтегральних сум.
2.10.8. Застосувати багатовимірний варіант формули Іто до F(x) =
= Х1Х2, т = 2, *і(0 = X(t), X2(t) = У(1).
2.10.9. Використати результат задачі 2.10.8.
2.10.10. Використати результат задачі 2.10.9.
2.10.11. Використати результат задачі 2.10.7.
2.10.12. Довести, що Е[£ a(s)rfU7(s)] = 0.
2.10.13. Застосувати формулу Іто до X(t) = jQf(s,w)dW(s).
2.10.14. Застосувати формулу Іто до X(t) = ой + (3W(t) і F(x) = ех,
потім перевірити умови існування та єдиності розв’язку.
2.10.15. Розв’язання випливає безпосередньо з означення субмартин-
гала.
2.10.16. З незалежності легко маємо E[Qn] = 0. Далі,
D[Q„]=E[Q2]=E
Е Е (ti)AW2(tk)AW2(ti)
lk=\ І= 1
= Ее [Aw?(tk)Awi(tk)\ = £ EiAwfmmwim = E -4 = - -► °-
k=\ k=\ k=\n n
Звідси очевидно, що l.i.m^ooQn ->• 0.
2.10.17. За формулою Іто
fit г\і і fit ел2 і
mi) = E *;«!«> + 2 £
1=1 t,/=l 1
Оскільки вінерівські процеси Wi та Wj незалежні при і ^ у, то за попе¬
редньою задачею dWi(t)dWj(t) = dt • 1{г = /}. Отже,
dxidxj
du + h(0,... ,0).
Далі треба проаналізувати умовні математичні сподівання Е [^(1)1^]
для 0 < s < t.
2.10.18. Використати попередню задачу.
221
2.10.20. Застосувати формулу Іто до X(t) = (г — а*/2)t + і
F(x) = ех.
2.10.21. Визначити стохастичний диференціал dX(t), використовую¬
чи формулу Іто.
2.10.22. Застосувати формулу Іто до процесів ^(0 = X(t), Х2Ц) =
= Y(t) та F(x) = х2 + xf •
2.10.24. Припустіть, що F — розв’язок вказаної граничної задачі,
запишіть формулу Іто для /''(зД(з)) exp { — r(s,^(s))rfs} від точки t
до точки Т, помножте на exp {r(s,X(s))ds} і візьміть математичне
сподівання за умови = х.
2.10.25. Схему доведення наведено в умові.
2.10.26. 1. Застосувати формулу Іто для F(x) = \/х.
2. Застосувати формулу Іто для добутку.
3. Зінтегрувати рівняння для AX£)S_1(0 і помножити на S(t). (Порів¬
няйте з розв’язанням за методом варіації сталих.)
2.11. ФОРМУЛА ТА РІВНЯННЯ БЛЕКА - ШОУЛСА
Теоретичні відомості
Нехай фінансовий ринок складається з двох активів, ціни яких змі¬
нюються в неперервному часі за формулами: B(t) = exp {rt} (ціна обліга¬
ції), S(t) = So exp {(ц.— о-2/2) t + ctW(0} (ціна акції), t > 0. Розглянемо
Європейський опціон купівлі зі страйковою ціною К і датою виконання
Т, виплата якого дорівнює h(Sj) = (St — К)+. Позначимо через C(S,t)
безарбітражну (справедливу) ціну цього опціону в момент t за умо¬
ви, що ціна акції дорівнює 5. (C(S,£) називають ціновою функцією, а
П(£) = C(S(0»0) — ціновим процесом.) Тоді функція C(S,t) задовольняє
рівняння Блека - Шоулса
ЭС 1 2о2д2С
аГ + 5 л V
+ rs|-rC = o
з граничними умовами C(0,t) = 0, C(S,T) = (S — К)+. Розв’язок цього
рівняння має вигляд
C(S,t) = SC>(di) — /Єе-Г^-^Ф(^2) (формула Блека - Шоулса),
2
де Ф(х) = $*ooe~!?du/\/2Tt — функція стандартного нормального розпо¬
ділу;
d\ =
Inf+ (r+lg2) (T-t) t Inf + (г-^а2) (T - t)
ay/T^i ’ 2 ay/T^t
222
Зокрема, при t = 0 одержуємо формулу Блека - Шоулса для безарбіт-
ражної (справедливої) ціни опціону купівлі в початковій момент часу
Якщо портфель інвестора складається з одного опціону купівлі й
акцій у кількості (—Д), то його вартість дорівнює П = C-A-S, зміна цієї
вартості за один крок — d\\ = dC-A-dS, а з міркувань безарбітражності
вона дорівнює dW = гїї dt. Звідси
Величини Д = dU/dS, Г = d2U/dS2, 0 = —дП/dt, р = дТ\/дг та V =
= дТ\/да називаються відповідно дельтою, гаммою, тетою, ро та вегою
опціону, а в цілому — грецькими символами (Greeks).
Для цін опціонів купівлі та продажу, C(S,t) та P(S,t) відповідно, має
місце співвідношення пут-колл паритету: C(S,t) — P(S,t) = S — Ee~r^T~{\
Розглянемо акцію, за якою виплачуються дивіденди. Припустимо, що
дивіденди виплачуються з постійною швидкістю, пропорціональною ціні
акції, так що власник at одиниць акцій, t є [а, 0], одержить дивіденди
кількістю
При цьому коефіцієнт го називається доходом за дивідендами (dividend
yield). Якщо C(S,t) — ціна опціону купівлі на акцію з виплатою диві¬
дендів, то C{S,t) задовольняє модифіковане рівняння Блека - Шоулса
2. і 1.1. Нехай ринок безарбітражний, дивіденди за акціями не спла¬
чуються, С = C(S,t) — ціна Європейського опціону купівлі в момент t
за умови, що ціна акції дорівнює S. Довести такі нерівності:
а) C(S, t) < 5;
б) C(S,t) > S - Ke-r^;
в) якщо два опціони купівлі у всьому однакові, але мають страйкові
ціни К\ і К2, то 0 < C(S, t\K\) — C(S, t\ K2) < K2 — K\;
г) якщо два опціони купівлі у всьому однакові, але мають дати вико¬
нання Т\ < 7г, то C(S, t; Ті) < C(S, t; Т2).
2.11.2. Показати, що функції C(S,t) = AS, C(S,t) = Aert, де A -
довільна стала, є розв’язками рівняння Блека - Шоулса.
n(h(ST)) := C(S,0) = S<D(d?) - Ке~гТФ(4).
Задачі
223
2. і 1.3. Визначити самостійно розв’язок рівняння Блека - Шоулса за
допомогою таких кроків.
1. Зробити заміну S = Кех, t = Т — 2т/ст2, С = Kv(x,x) і звести
рівняння Блека - Шоулса до вигляду
dv cPv . .dv
fr = W + ik-')Tx-kv'
де k = 2r/a2. Нова гранична умова o(x,0) = (ex — 1)+.
2. Покласти v(x,x) = еах+^ти(х,х) з невизначеними коефіцієнтами a
і 0. Одержати рівняння для v, покласти в ньому 0 = a2 + (k — 1)а — k,
2а + (k — 1) = 0 і звести рівняння для и до вигляду ди/дт = сРи/дх2,
х є R, т > 0 (дифузійне рівняння), причому
и(х,0) = иоОе) = max{e(ft+1)j:/2-e(*-1)j:/2I0},
v(x,x) = exp {—(k — \)x/2 — (k + 1)2/4t} u(x,x).
Показати, що функція
“(*'т) " 2^Lm(s)e~“^ds
є єдиним розв’язком дифузійного рівняння (задачі Коші) з початковою
умовою и(х, 0) = ЫоМ-
3. Оберненою заміною одержати формулу Блека - Шоулса.
2.11.4. Портфель інвестора, який складається з одного опціону ку¬
півлі й (—Д) акцій, має вартість П = C-A-S, де С - виплата за опціоном.
Нехай ціна акції сьогодні 100 грн, а завтра вона дорівнюватиме 101 грн
з імовірністю р або 99 грн з імовірністю 1 — р. Страйкова ціна дорівнює
100 грн.
1. За допомогою наведеної вище формули для портфеля визначити С.
Вважати, що г = 0.
2. Зробити те саме для опціону все-або-нічого, що має виплату %(S —
— К), де %{х) = 1{х > 0} - функція Хевісайда.
2.11.5. Визначити розв’язок крайової задачі du/dt = д2и/дх2, х Є R,
і > 0, з початковою умовою u(x,0) = W(x), де %(х) = 1{х > 0} —
функція Хевісайда.
2.11.6. Нехай и(х,х) задовольняє рівняння ди/дх = сРи/дх2, х > 0,
т > 0, з крайовими умовами и(х,0) = щ(х), х > 0, м(0,т) = 0, х > 0.
Визначити нову функцію о(х,т) віддзеркаленням вздовж осі х = 0 так,
щоб v(x,x) = и(х,х), х > 0, v(x,x) = —и(—х,х), х < 0, v(x,x) = 0, х = 0.
Використовуючи формулу із пункту 2 задачі 2.11.3, показати, що
и(х,х) =
1
Jo” “»<*>(*
(x-sr
_(£±£Г
rfs.
2\/7ГГ '
Функція в дужках — функція Гріна для початкової крайової задачі.
Розв’язок и(х,х) використовується в теорії бар’єрних опціонів.
224
2.11.7. 1. Використовуючи задачу 2.11.3, підібрати заміну змінних і
звести рівняння
ди дРи ди
fr = W+aa; + bu' а'ЬеЛ
до дифузійного.
2. Зробити заміну часу і звести рівняння
, . ди дРи . . „ _
с(т)л = а?' с(т)>0- т>0
до дифузійного.
3. Припустимо, що cr2(t) і r(t) у рівнянні Блека - Шоулса є функціями
від t, але r(t)/a2(t) не залежить від t. Записати формулу Блека - Шоулса
для цього випадку.
2.11.8. Припустимо, що в рівнянні Блека - Шоулса r(t) і a2{t) —
відомі невипадкові функції від t. Показати, що наступні дії зводять рів¬
няння Блека - Шоулса до дифузійного.
1. Покласти S = Кех, С = Ки, t = T — t'\ одержати рівняння
2. Зробити заміну часу x(t') = JJj ga2(s)rfs і одержати рівняння
ди дРи ди _
де а(т) = 2Г/СГ2 - 1, 6(т) = 2г/а2.
3. Показати, що загальний розв’язок диференціального рівняння з
частинними похідними першого порядку, яке має вигляд
ди ди _
_ = о№__б<т)„,
дорівнює v(x,t) = F(x + А(г))е~в^, де cLA/dx = a(т), cLB/dx = b(т),
F(-) — довільна функція.
4. Довести, що розв’язок одержаного в пункті 2 рівняння з частинни¬
ми похідними другого порядку має вигляд
v(x,t) = e~B^V(x,r),
де х = х + Л(т), А(т) — з пункту 3; £(т)- деяка функція від т, а V —
розв’язок дифузійного рівняння dV/dx = d2V/dx2.
5. Перетворити початкові дані відповідно до замін змінних.
2.11.9. Нехай С(5, t) і P(S, t) — ціни в момент t Європейських опціо-
нів купівлі та продажу з тією самою страйковою ціною й датою вико¬
нання.
1. Довести, що Р і С — Р задовольняють рівняння Блека - Шоулса,
причому для С — Р особливо проста гранична умова: С(5, Т) — P(S, Т) =
= S-K.
225
2. Вивести із співвідношення пут-колл паритету, що 5 — Ке~г^т~^
також є розв’язком рівняння Блека - Шоулса з тією самою граничною
умовою.
2. і 1.10. Використайте точний розв’язок дифузійного рівняння, щоб
визначити ціну Блека - Шоулса P(S, t) опціону продажу з P(S, Т) =
= (К — 5)+, без використання пут-колл паритету.
2.11.11. 1. Показати, що у випадку, коли початкове значення крайо¬
вої задачі для рівняння теплопровідності додатне, то і и(х,т) > 0,т > 0.
2. Вивести звідси, що для будь-якого опціону, виплата якого додатна,
ціна теж додатна, якщо вона задовольняє рівняння Блека - Шоулса.
2.11.12. Визначити ціну опціону з виплатою ЩК — S), *4 - функція
Хевісайда (опціон нічого-або-все).
2.11.13. Європейський опціон купівлі типу акція-або-нічого має ви¬
плату S, якщо в момент Т маємо S > К, і нульову виплату, якщо S < К.
Визначити його ціну.
2.11.14. Яка ймовірність того, що Європейський опціон купівлі буде
виконаний (виконаний у грошах)?
2.11.15. Визначити ціну Європейського опціону купівлі на акцію з
дивідендами, якщо дохід за дивідендами дорівнює гд на інтервалі [0,7].
2.11.16. Яким буде співвідношення пут-колл паритету для опціонів
на акцію з дивідендами?
2.11.17. Визначити дельту опціону на акцію з доходом за дивіденда¬
ми Гр.
2.11.18. Визначити справедливу ціну опціону з виплатою /(5(7)),
функція / Є C'(R).
2.11.19. Визначити Д, Г, 0, р і V опціонів купівлі та продажу.
2.11.20. Нехай в моделі Блека - Шоулса платіжне зобов’язання має
вигляд X = Ф(5(Т)). П(0 — відповідний ціновий процес.
1. Доведіть, що відносно мартингальної міри Q процес П(£) має мит¬
тєву норму прибутку г, тобто стохастичний диференціал ТТ(0 має вигляд
d\\{t) = rU{t)dt + g(t)dW(t).
2. Покажіть, що Z(t) = Л(і)/В(і) — локальний мартингал відносно
міри Q. Також доведіть, що стохастичний диференціал Z відносно Q має
вигляд
dZ(t) = Z(t)az(t)dW(t).
2.11.21. На ринку Блека - Шоулса компанія “F&H” випустила цін¬
ний папір “Золотий логарифм” (скорочено ЗЛО). Власник ЗЛО(Т) з тер¬
міном дії 7 в момент часу 7 одержує In 5(7) (якщо S(7) < 1, то вла¬
сник сплачує відповідну суму компанії “F&H”). Визначте ціновий процес
для ЗЛО(7).
226
Відповіді та вказівки
2.1 і.і. І спосіб. Довести, що при виконанні протилежних нерівностей
можливий арбітраж.
II спосіб. Безпосередньо скористатися виглядом розв’язку рівняння
Блека - Шоулса.
2.11.2. Підставити вказані функції в рівняння Блека-Шоулса.
2.11.4. Значення портфеля дорівнює її = С — А ■ S. Якщо акція під¬
вищується, то dS = +1 і С = (101 — 100)+ = 1, а якщо акція падає, то
dS = — 1 і С = (101 — 100)+ = 0. Тому зміна вартості портфеля становить
dW = dC -А-dS = 1 —С — А, якщо акція підвищується, і dW = 0 — С + А
якщо акція падає. Оскільки г = 0, то dW = rdt = 0. Тому А = С = 1/2.
2.11.5. Скористатися формулою пункту 2 задачі 2.11.1.
2.11.7. 3. Підібрати заміну часу таким чином, щоб звести рівняння
до дифузійного, а потім скористатися звичайною формулою Блека - Шо¬
улса, або скористатися задачею 2.11.8.
2.11.12, 2.11.13. Скористатися формулою пункту 2 задачі 2.11.1.
2.11.14. Це ймовірність того, що S > К і розподіл InS є гауссовим.
2.11.16. Розв’язати рівняння Блека - Шоулса для С — Р (з дивіден¬
дами), використовуючи крайову умову C(S,7) — P(S,T) = S — К.
2.11.20. Скористайтеся рівнянням у частинних похідних на відповід¬
ну цінову функцію і тим, що відносно міри Q акція S(t) має миттєву
норму прибутку г.
2.11.21. П(1) = lnS(l) + (г - о2/2)(Т - і).
2.12. ФІНАНСОВІ РИНКИ З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ
Теоретичні відомості
Нехай час t Є Т, де Т = R+ або Т = [0,7] і задано фільтрацію
F = {7/,ієТ}. Розглядається фінансовий ринок з облігацією B(t) та
акцією S(t), узгодженими з фільтрацією.
Портфелем називається пара випадкових процесів ф(£) та ф(0. Де
ср(£) — кількість акцій; ф(£) — кількість облігацій. Процес ф(£) вважає¬
мо F-узгодженим, процес cp(f) — F-передбачуваним, тобто ср(£) узгодже¬
ний з інформацією, що надійшла строго до моменту t (точне означення
передбачуваного процесу міститься, наприклад, у [11], усі неперервні
або неперервні зліва процеси є передбачуваними).
Капітал інвестора, що відповідає такому портфелю, дорівнює V(t) =
= (p(f)S(f)+Ф(0Я(0- Портфель (ф(0,ф(0) називається самофінансова-
227
ним, якщо d.V(t) = ф(0 d.S(t) + ф(ґ) dB(t) (тобто зміна портфеля відбу¬
вається лише за рахунок зміни ціни акції та облігації, без зовнішнього
надходження або відрахування капіталу).
Нехай Т = [0,7], X — ^т-вимірна випадкова величина (платіжне
зобов’язання). Самофінансований портфель називається породжуваль-
ним для X, якщо 1/(7) = ф(7)S(7) + ф(Т)В(Т) = X. Імовірнісна міра
Р* ~ Р називається мартингальною, якщо дисконтований ціновий про¬
цес fi-1(f)S(f) є Р*-мартингалом. Існування міри Р* еквівалентне безар-
бітражності ринку, її єдиність еквівалентна його повноті. Повнота ринку
означає, що кожне TV-вимірне інтегровне платіжне зобов’язання X є
досяжним, тобто для нього існує породжувальний портфель.
Задачі
2. і2.1. Згідно з моделлю Башельє, ціна акції змінюється за законом
S(t) — aW(t) + \й, а ф 0, ц Є К — сталі, W(t) — вінерівський процес.
Довести, що для всіх 7>0, ст^О, цєК імовірність того, що ціна акції
S(7) від’ємна, є додатною (це є незручністю у використанні вказаної
моделі).
2.12.2. Ціна акції задовольняє стохастичне диференціальне рівняння
dS(t) = S(t) [a(t)dW(t) + n(t)dt], 5(0) = 1,
де ст(і), ц(і) - обмежені неперервні невипадкові функції. Визначити
розв’язок цього лінійного рівняння й довести, що така ціна акції є не¬
від’ємною.
2.12.3. Нехай S(t) - ціна акції із задачі 2.12.1, B(t) = ехр{гЦ (ціна
акції, процес з нульовою волатильністю). Довести, що
d (B(t)S(t)) = B(t)dS(t) + S(t)dB(t).
2.12.4. Нехай S(t) = W(t) (вінерівський процес), B(t) = 1 для всіх t.
1. Описати самофінансовані портфелі.
2. Чи є портфелі: а) ф(£) = ф(£) = 1; б) ф(£) = 2W(t), ф(0 = — t —
W2(t) самофінансованими?
2.12.5. Розглянемо дисконтований капітал E(t) = <p(t)Z(t) +ф(і), де
Z(t) = B~l(t)S(t). Довести, що портфель (ф,ф) самофінансований тоді й
лише тоді, коли dE(t) = ф (t)dZ(t).
2.12.6. Нехай випадковий процес X(t) — номінальний прибуток,
dX(t) = X{t) [ocdt + adW(t)],
випадковий процес Y(t) описує інфляцію, dY(t) = Y(t)\y dt + bdV(t)],
де V(t) — незалежний від W(t) вінерівський процес. Вивести стохастич¬
не диференціальне рівняння для реального прибутку Z(t) = X(t)/Y(t).
2.12.7. Нехай на ринку фігурує акція S(t) = 5(0) ехр{ст№(£) + [it} та
облігація B(t) = ехр{гЦ. Довести: ринок безарбітражний, і для кожного
228
невід’ємного інтегровного ТУ-вимірного зобов’язання X існує породжу-
вальний портфель (ср(0/ф(0)> а справедлива ціна X дорівнює
n(X)(t) = B{t) ЕР. [В~1{Т)Х I Ті] = e-r^Ep. [X\Ft],
де Р* - еквівалентна мартингальна міра, відносно якої дисконтований
процес B~l(t)S(t) є мартингалом. Ця модель ринку називається моделлю
Блека - Шоулса.
2.12.8. Застосуйте задачу 2.12.7 для доведення формули Блека -
Шоулса (див. розділ 24).
2.12.9. В умовах задачі 2.12.6 вивести стохастичне диференціальне
рівняння для процесу U(t) = X(t)Y(t). Якщо X(t) описує динаміку ціни
акції в гривнях, a Y(t) — курс долара до гривні, то U(t) описує ціну
акції в доларах.
2.12.10. У межах моделі Блека - Шоулса розглянемо Європейське
платіжне зобов’язання вигляду
Я =
X
< K + A-S(T),
К,
якщо 5(7) < А,
якщо А < 5(7) < К + А,
якщо 5(7) > К + А.
Дата виконання Я дорівнює 7. Визначити портфель, що складається
з облігацій, акцій та Європейського опціону купівлі, постійний у часі,
який породжує Я. Визначити справедливу ціну Я.
2.12.11. В умовах задачі 2.12.10 розглянемо спред бика (див. зада¬
чу 2.2.6)
В, якщо 5(7) < В,
Я = і 5(7), якщо А < 5(7) < В,
А, якщо 5(7) < А,
причому А < В. Визначити постійний у часі породжувальний портфель і
справедливу ціну Я.
Відповіді та вказівки
2.12.1. Використати те, що випадкова величина 5(7) — гауссова при
кожному 7 > 0.
2.12.2. Розглянути процес
5(0 = 1 + [ц(з) - ісAs)] ds
і за формулою Іто довести, що він є шуканим.
2.12.3. Скористатися формулою Іто для добутку двох процесів.
229
2. і2.4, 2. і2.5. Безпосередньо перевірити означення самофінансова-
ності.
2.12.6. dZ(t) = Z(t) [(а - у + 62)dt + adW(t) -5dV(t)] .
2.12.7. За допомогою формули Іто побудувати мартингальну міру
Р*. Покласти E(t) = Ер. [В_1(Г)Х|^], довести, що існує передбачу¬
ваний процес ср(t) такий, що dE(t) = (p(t)dS(t), і покласти ф(£) =
= E(t) — (р(t)S(t). Для доведення існування ф використати теорему про
зображення мартингалів (див., наприклад, [5]).
2.12.9. dU(t) = U(t) [(a + y)dt + (rdW(t) + SdV(t)].
2.12.10. Запишемо Я у вигляді Я = КЛ — [S(7) — i4]++[S(7)— А—К\+.
Тому портфель складається з К облігацій вартістю 1, короткої позиції за
опціоном [5(7) — А]+ (тобто цей опціон треба продати) і довгої позиції
за опціоном [S(T) — А — К]+ (тобто цей опціон треба купити). Звідси
справедлива ціна Я у момент t дорівнює
тг(Я) = Ке-Г(т~1) - п ([S(7) - А]+) + 7t ([S(7) - А- Я]+),
де справедливі ціни вказаних опціонів визначаються формулою Блека -
Шоулса.
2.13. ФУНКЦІЯ КОРИСНОСТІ У ФІНАНСОВИХ ЗАДАЧАХ
Теоретичні відомості
Функція корисності и(х) : R+ -»• R вибирається так, щоб и'(х) >
0, и"(х) < 0. Часто використовують логарифмічну функцію корисно¬
сті и(х) = In лс, х > 0, або показникову и(х) = 1 — e~bx, b > 0. Якщо
одна інвестиція дасть випадковий прибуток X, а інша — Y, і при цьому
E[u(Jf)] > Е[ы(Т)], то інвестор має вибрати першу інвестицію.
Проблема вибору портфеля полягає в такому: нехай додатну суму w
треба інвестувати в п цінних паперів. Якщо в і-й цінний папір інвесту¬
ється в момент t = 0 сума а, то в момент t = 1 відповідний капітал
дорівнює аХі, де Хі — невід’ємна випадкова величина (тобто вважаємо,
що вартість г-го цінного паперу в час t = 0 дорівнює одиниці, у час t = 1
становить Хі). Для оцінки прибутковості інвестиції в цей цінний папір
використовують розмір ВІДНОСНОГО прибутку Ri таку, що
a=rh " R‘=x‘~h
Нехай інвестиція в і-й цінний папір дорівнює Ш/, тоді капітал у мо¬
мент t = 1 дорівнює W = Y?i=\wiXi- Вектор (ш»і, ..., wn) називають
портфелем. Проблема вибору оптимального портфеля формулюється так:
230
вибрати w\, ..., wn так, щоб
П
»і>0,і=1 п, W = ^WiXi, Е[ u(W) ] -> max,
І= 1
де и(х) — функція корисності інвестора (нерівності Wi > 0 інколи замі¬
нюють на умову Wi Є М, 1 < і < п).
У задачах цього параграфа використовуються такі позначення:
w — розмір капіталу інвестора в момент t = 0 (стартовий капітал);
W — розмір капіталу інвестора в момент t = 1.
Коли вартість цінного паперу не обов’язково є одиницею в нульовий
момент часу, застосовуватимуться такі позначення:
Si(t) — вартість і-го цінного паперу (активу) в момент t, 1 < і < п;
B(t) — вартість банківської облігації в час t, В(0) = 1, г = 5(1) — 1;
£,,• Є К — кількість і-го цінного паперу в портфелі інвестора, 1 < і < п;
Є К — кількість банківських облігацій у портфелі інвестора;
S*(t) = Si(t)/B(t) — дисконтована ціна г'-го цінного паперу;
AS*(1) =St*(l) — S*(0) — приріст дисконтованої ціни і-го активу;
М — кількість можливих значень вартості цінних паперів у час t = 1.
Задачі
2.13.1. Нехай функція корисності дорівнює и(х) = Іпх, х > 0. Ін¬
вестор з капіталом х може інвестувати будь-яку суму у є [0, х). Якщо
інвестовано суму у, то ця сума виграється або програється з імовірно¬
стями р і 1 — р відповідно.
1. Яка сума інвестиції максимізує очікувану корисність при р > 1/2?
2. Показати, що при р < 1/2 оптимальна інвестиція є нульовою.
2.13.2. Нехай в умовах задачі 2.13.1 інвестор може покласти в банк
з відсотковою ставкою г є [0, 2) те, що не інвестовано. З того, що інвес¬
товане, повертається 3у або 0 з імовірностями р та 1 — р відповідно.
Визначити оптимальну інвестицію.
2.13.3. Нехай и(х) = 1 — e~bx, b > 0, — інвестиція в і-й цінний
папір, Хі — невід’ємні випадкові величини, W = — нормально
розподілена величина.
1. Виразити Е[и(№)] через Е[W] та D[r],
2. Розглянемо відносний прибуток Ri = Хі — 1. Виразити Е[ЦР] та
D[UP] через Wi, г( = Е[/?,•], vf = D[5j] та с(і, у) = соv(/?t-, Rj).
2.13.4. Нехай в умовах задачі 2.13.3 інвестор має суму в 100 грн,
п = 2, гі = 0,15, г2 = 0,18, v\ = 0,2, v2 = 0,25, с(1, 2) = рщо2, и(х) =
_ j _ q—0,005*
1. Нехай р = —0,4. Визначити оптимальний портфель.
2. Нехай р = 0. Визначити оптимальний портфель.
231
2.13.5. Нехай в умовах задачі 2.13.3 п = 2, г\ = гг-
1. Використовуючи пункт 1 задачі 2.13.3, показати, що оптимальний
портфель мінімізує D[HP].
2. Нехай w — початковий капітал, його частина інвестується в пер¬
ший цінний папір. Виразити D[HP] через ос, w, v\, V2, с = с(1, 2).
3. Обчислити значення ос, яке дає оптимальний портфель.
4. Визначити а, якщо R\ і R2 незалежні.
5. Нехай vi = 0,2, г>2 = 0,4, р = 0,3. Обчислити ос.
6. Довести, що у випадку довільного п > 1, г\ = Ъ ... = гп, незалеж¬
них у сукупності Ri, 1 < і < п, буде
де Vi = OCiW.
2.13.6. Розглянемо припущення: и Є C2(D(u)), и(х) і и"(х) не спада¬
ють по х на D(u), и(х) опукла вгору (D(u) позначає область визначення
функції и).
1. Перевірити виконання цього припущення для и(х) = Xа, а Є (0,1);
и(х) = 1 — e~bx, Ь > 0; и(х) = \пх, х > 0.
2. За формулою Тейлора визначити наближений вираз для u(W)\
u(W) * и(ц) + u'(vl)(W ~[l) + - ц)2, де ц = Е[W].
3. Довести наближену рівність
Е[и(Г)] и и(ц) + и"(ц)у, Де v2 = D[W].
4. Перевірити, що при виконанні припущення задачі наближений ви¬
раз, який треба максимізувати, успадковує звичайні властивості очіку¬
ваної корисності E[u(UP)], а саме, зростає за Е[ИР] і спадає за D[HP],
2.13.7. Нехай и(х) = Xа, 0 < а < 1, або и(х) = \пх, х > 0. До¬
вести, що існує вектор (а*, ..., а*) , ос* > 0, ^”=1 а* = 1, такий, що
оптимальний портфель для будь-якого w > 0 має вигляд woe* woe*
(тобто ос* не залежать від w).
2.13.8. Нехай и(х) = ха, 0 < а < 1, х > 0. Довести попереднє тверд¬
ження для наближеного виразу и(ц) + u"([l)v2/2, де р. = Е[ЙР].
2.13.9. Нехай функція корисності и(х) двічі неперервно диференці-
йовна на області визначення. Абсолютним коефіцієнтом несхильності до
ризику Арроу-Пратта називається функція а(х) = —и"(х)/и'(х). Підра¬
хувати а(х) для и(х) = хс, 0 < с < 1; и(х) = 1 — e~bx, b > 0; и(х) =
= \пх, х > 0.
2.13.10. Нехай розв’язується задача оптимізації портфеля в такій по¬
становці: w > 0 — капітал у момент t = 0, £ = (£д, £,і £,„) Є R"+1 —
портфель, HP = ^"=1 £,iSj(l) + £д5(1). Треба максимізувати Е[и(ПР)] за
232
умови, що стартовий капітал дорівнює w. Функцію и припускаємо ди-
ференційовною, строго опуклою вгору й строго зростаючою на області
визначення.
1. Показати, що задача оптимізації еквівалентна такій: максимізувати
Е[и(ад{ш + £^Д5*(1)})].
і= 1
2. Використовуючи попередній пункт, довести таке твердження: якщо
розв’язок проблеми оптимізації існує, то відсутній арбітраж, отже, існує
міра, нейтральна до ризику.
3. Довести, що коли (£,, w) — розв’язок задачі оптимізації, то має
місце така система з п рівнянь:
Е [fi(l)tt'(r)AS;(l)] =0, і = 1, ..., п.
4. Імовірнісна міра Р*, нейтральна до ризику, має задовольняти спів¬
відношення
і= 1, . п.
шєП.
0 = ЕР. [AS* (1)] = Р*(ш)Д5*(1)(ш),
ШЄО
Перевірити, чи можна покласти
= P(cv)B(l)(cv)u>(W(cv))
1 } Е[Я(1)ц'(Ю]
5. Нехай В(1)(о>) = 1 + г — невипадкове число. Довести, що при
цьому цінова щільність
. р*м и'тш))
1 }' Р(ш) Е[ц'(Ю1‘
2.13.11. Нехай п = 1, М = 2, Si(0) = 5, Si(l,o>i) = 20/3, Si(l,u>2) =
= 40/9. Розв’язати задачу оптимізації портфеля у випадку г = 1/9 і
довільних значень w > 0 та Р(о>і) = р, якщо функція корисності до¬
рівнює:
а) и(х) = In х\
б) и(х) = —е~х;
в) и(х) = а~хха, —оо<а<1,а/0.
2.13.12. Нехай п = 2, М = 3, г = 1/9, дисконтовані ціни акцій
дорівнюють
І
Sf(0)
Sf(l)
0)1
0)2
0)3
1
6
6
8
4
2
10
13
9
8
1. Довести, що існує єдина ймовірнісна міра, нейтральна до ризику.
Визначити її.
233
2. Записати систему рівнянь з пункту 3 задачі 2.13.10 для и(х) =
= —е~х. Чи легко розв’язати цю систему, тобто визначити £,і та £,2:
а) для міри Р*; б) для довільної міри Р?
2.13. ІЗ. Нехай модель ринку є безарбітражною та повного.
1. Значення капіталу W, які є розв’язками задачі оптимізації портфе¬
ля, є елементами множини
W{w) = {W Є R : ЕР. [W/B( 1)] = до} .
Перевірити це.
2. Перевірити, що задача 2.13.10 оптимізації портфеля еквівалентна
такій задачі: максимізувати Е[ц(ЦР)] — ЛЕр. [№/Б(1)], де множник Ла¬
гранжа А вибирається так, щоб розв’язок задачі максимізації задоволь¬
няв рівність Ер. [ЦР/В(1)] = до.
3. Показати, що в термінах цінової щільності L(tu) := Р*(ш)/Р(ш)
цільову функцію Е[и(НР)] — ЛЕр. [W7fi(l)] можна подати у вигляді
Е [и (№) - \LW/B{\)] = ^2 Р(ш) [и (Г(ш)) - \L(w)W(w)/B(l, ш)].
GU
2.13.14. 1. Якщо W максимізує останній вираз із задачі 2.13.13, то
для кожного и) € СІ и' (№(ц>)) = AL(u>)/fi(l)(u>). Довести це.
2. Подати розв’язок одержаного рівняння у вигляді
Г(ш)=/(ЛЦо>)/В(1,ш)),
де І — обернена функція до и'(х). Довести, що значення Л в попередній
рівності визначається з рівняння Ер. [/ (AL/5(1))/5(1)] = w. Зауважимо,
що и'(х) спадає; у припущенні D(u) D (0, + 00) довести існування та
єдиність розв’язку останнього рівняння.
2.13.15. Нехай и(х) = —е~х.
1. Визначити І(х).
2. Знайти розв’язок рівняння максимізації (пункт 2 задачі 2.13.14).
3. Виразити Л через Д(1), Р*, w та L.
4. Визначити оптимальне значення цільової функції E[u(UP)] (див.
задачу 2.13.10).
2.13.16. Нехай М = 3, Р(ші) = 1/2, Р(и>г) = Р(сі>з) = 1/4, інші дані
взято із задачі 2.13.12, и(х) = —е~х.
1. Визначити цінову щільність L(wi).
2. Обчислити Ер. [In (L/5(l))], оптимальні значення Л, W і цільової
функції Е[ц(№)] (тобто виразити їх через w).
3. Визначити оптимальну стратегію L, = (£,і, £,2) шляхом розв’язу¬
вання системи рівнянь W/B{\) = w + G*. Визначити £д. Перевірити, чи
стратегія задовольняє систему рівнянь з пункту 3 задачі 2.13.10.
2.13.17. Нехай и(х) = Іпх, х > 0. Показати, що І(х) = \/х, множник
Лагранжа А = \/w, оптимальний капітал W = wB(l)/L, оптимальне
значення цільової функції дорівнює In до — Е [In (L/5(l))]. Обчислити ці
234
вирази (записати їх через до) і визначити оптимальну стратегію для ви¬
падку п = 1, М = 2, г = 1/9, 5(0) = 5, S(l)(u>i) = 20/3, 5(1)(ш2) = 40/9,
Р(со,) = 3/5.
2.І3.18. Нехай и(х) = а Іха, — оо < а < 1, а / 0 (ізоеластична
функція корисності).
1. Показати, що І(х) = х~х^~а\ множник Лагранжа
Л = ш-(1-“){е [(1/5(1))"*] }1_“,
оптимальне значення капіталу
r_ w(L/B(І))"*
Е [(1/5(1))-*' ’
2. Перевірити, що оптимальне значення цільової функції дорівнює
E[u(W)]=\w/a.
3. Обчислити всі попередні значення (через до) та визначити опти¬
мальну стратегію для моделі із задачі 2.13.17.
Відповіді та вказівки
2.13.1. 1. Нехай інвестиція дорівнює ах, 0 < а < 1, тоді Е [u(Jf)] =
= Inх + pln(l + а) + (1 — р) 1п(1 — а). Ця функція від а досягає свого
максимуму на [0, 1) при а = 2р — 1.
2. Для р < 1/2 функція 1пх+р1п(1 + а) + (1 — р)1п(1 — а) спадає при
а є [0, 1).
2.13.2. Нехай інвестиція дорівнює ах, 0 < а < 1, тоді
Е [u(jQ] = ріп [(1 + г)(1 - а)х + Зал] + (1 -р) In [(1 + г)(1 - а)х] =
= lnx + pln(l + г + 2а- аг) + (1 -р)1п(1 + г) + (1 — р) 1п(1 — а).
Ця функція від а досягає свого максимуму на [0, 1) при а = (Зр - 1 -
— г)/(2 — г) (якщо р > (1 + г)/3) або при а = 0 (якщо р < (1 + г)/3).
2.13.3. 1. Прямим підрахунком, використовуючи формулу для мате¬
матичного сподівання функції від випадкової величини та щільність нор¬
мального розподілу, визначимо, що
Е[и(Г)] = 1 - exp |-6 E[W] + Ь2 D[U7]/2} .
2. Е[W] = до + £“=1 win, D[W] = 5Хі wfvf + £і<і,/<п, іфі WiWjdi, /),
де до = £"=1 дог.
2.13.4. Нехай доі = у, до2 = 100 — у. Використовуючи результати
задачі 2.13.3, одержуємо наступні результати.
1. 118 - 0,03г/ - 0,005(0,1425г/2 - 16,5у + 625)/2 ^ max о у =
= 0,01125/0,0007125 « 15,789.
235
2. 118 - 0,03у - 0,005(0,1025г/2 - 12,5г/ + 625)/2 ->• max -о- у =
= 0,00125/0,0005125 « 2,439.
О
2.13.5. 1. Значення Е[Ц7] = до + £)і=і ЩЪ = + гі) не залежить від
доі, W2. Щоб отримати найбільше значення
Е[гг(Г)] = -ехр{ -bE[W] + b2D[W\/2} + 1,
треба мінімізувати D[W],
2. D[W] = oc2w2vf + (1 — ol)2w2v2 + 2a(l — а)до2с.
3. a = (of — c)/(v2 + v2 — 2c).
4. При c = 0 отримуємо a = v\l(y\ + of) = v\2/(v\2 + °^2)-
5. cx = 17/19 «0,895.
6. Як у пункті 1, з рівності г\ = ... = гп отримуємо, що треба мінімі¬
зувати D[U7] = w2YTi=\ °tfvf 33 умови осі = 1. Розглянемо функцію
Лагранжа
F(ot\ otn, А) = до2 ^ Л1УЇ ~ А Л 011 ■
і=1 і=1
З умови dF/doci = 0 визначимо, що at- = Л/(2w2vf), потім використовує¬
мо рІВНІСТЬ J^"=1 (X/ = 1.
2.13.6. 2. Випливає безпосередньо з формули Тейлора.
3. Використовуємо, що E[W - ц] = 0, Е[(№ — ц)2] = DH7.
4. Випливає з того, що и(х) зростає, а и"(х) < 0.
2.13.7. Маємо
Е [Wa] = waE
(Ё^)"
1=1
, E[ln W] =\nw + E
[n
Іп(^аЛ) ,
t=i
тому значення до не впливає на рівняння для визначення а*, що макси-
мізують Е[гг(Ц7)].
2.13.8. Е [W] = доД D[«7] = w2B, де
А= 1 + а‘Гь В = 1 + 5Z °$°ї + 5Z /)•
і=1 і=1 1 <г,/</г, і^/
Оскільки и"(х) = а(а — 1)ха 2, то маємо
и (Е[Г]) + и" (Е[Г]) ^ [ла + а(а - 1)Л“-2В/2] ,
і ми максимізуємо значення, що не залежить від до.
2.13.9. Для вказаних функцій корисності відповідно маємо а(х) =
= (с — \)/х, а(х) = —Ь, а(х) = — \/х.
2.13.10. 1. Доведення випливає з рівності Д(1)[до + ^"=1 £,;ASt*(l)] =
= B(l)[£flB(0) + ELi^{S1(0) + ASf(l)}] =В(1)[£Л + П=і^5*(1)] =W.
236
2. Нехай для заданого w портфель — розв’язок задачі оптимізації,
£0) — портфель, що дає арбітраж, £ = £® + £('£ Тоді
ш + ^£,іД5*(1) = ^+^^0)AS*(l) + ^£,f)AS*(l) > Ш + ^£,РД5Г(1),
І=1 І=1 І=1 і= 1
причому з додатною ймовірністю виконуватиметься строга нерівність.
Оскільки функція ц неспадна, а — розв’язок задачі оптимізації, ма¬
ємо суперечність.
3. Функція, отримана в пункті 1, повинна мати нульові частинні по¬
хідні за кожним £,і, 1 < і < п. Урахувати, що капітал портфеля W =
= 5(1)[ш + Е"=і^А5Г(1)].
4. З рівності, отриманої в пункті 3, випливає, що для такої Р* вико¬
нується рівність Х^сиєо Р*(со)Д5,*(1)(со) = 0. Також Р*(о>) > 0,
Е р*м = і.
ш€0
5. Випливає з пункту 4.
2.13.11. У кожному пункті розв’язуємо задачу ри [10(до + £,і)/9] +
+ (1 — р)и [10(до — £.0/9] -> max:
а) £,і = (2р- 1 )ш;
б) = 9[1пр - 1п(1 — р)]/20;
в) lx = (k- 1 )w/(k+ 1), де k= [р/( 1 -р)\и(х~а).
2.13.12. 1. P*(u>j) = 1/3, і = 1, 2, 3.
2. Система рівнянь має вигляд
0 = 2Р(со2) ехр {- 10(ш + 2£,і - £,2)/9} -
-2Р(си3) ехр {- 10(ау - 2£,і - 2£,2)/9},
0 = ЗР(ш2) ехр {-10(ш> + 3£,2)/9} - Р(си2) ехр {—10(ш + 2£,і - £,2)/9} -
—2Р(со3) ехр {-10(ю - 2£,і - 2£,2)/9} .
її розв’язання не є простою задачею.
2.13.13. 1. Існує хоча б одна нейтральна до ризику ймовірнісна міра.
Використовуючи умову нейтральності з пункту 4 задачі 2.13.10, маємо
Ер.[Г/В(1)]= Е Р*М
сиєп
W
+ E^ASf (!)(“>)
і= 1
= ® + ЕЬ Е Р*(о>)А5Г(1)(а)) = ш + Е№* [А5*(1)] =ш.
і= 1 сиєО. і=1
З іншого боку, з повноти ринку випливає, що для будь-якої W Є W(w)
існує відповідний портфель.
2. Твердження випливає з теорії умовних екстремумів.
237
3. При знаходженні математичного сподівання відносно нової ймовір¬
нісної міри ми можемо випадкову величину помножити на щільність і
інтегрувати відносно початкової міри. Тому маємо
Е[и(Г)] - ЛЕР. [W/B( 1)] = Е[ы(Г)] - АЕ[5И7/5(1)] =
= Е [u(W) - XIW/B( 1)] = Y рМ [«(Щш)) - А5(со)Г(со)/5(1)(со)].
cuGfl
2.13.14. 1. В останній сумі пункту 3 задачі 2.13.13 визначаємо най¬
більше значення кожного доданка. Для цього при кожному фіксованому
со беремо похідну по W, вона має дорівнювати нулю, і так отримує¬
мо рівняння задачі. З повноти ринку випливає, що будь-яка випадкова
величина Щш) може бути значенням капіталу.
2. Використовуємо, що Ер. [Н7(со)] = w. Оскільки и'(х) спадає, то
І(х) спадає і неперервна. Множина значень І включає всі додатні числа.
Звідси отримуємо існування та єдиність розв’язку.
2.13.15. 1. /(*) = -\пх.
2. W = -1пА-1п{5/5(1)}.
3. З пункту 2 задачі 2.13.14 визначаємо, що
-ш-Ер. [ln{L/5(l)}/5(l)] І
= ехр|
Ер- [1/5(1)]
4. З пункту 2 задачі 2.13.14 визначаємо, що
w + Ep. [1п{5/5(1)}/5(1)]
W =
-ln{L/5(l)}.
EP. [1/5(1)]
Тому u(W) = —AL/5(1), Е[и(Г)] = -ЛЕ [5/5(1)] = -ЛЕР. [1/5(1)].
2.13.16. 1. Оскільки Р*(о>і) = 1/3, і = 1,2,3 (див. пункт 1 зада¬
чі 2.13.12), 5(со) = Р*(ш)/Р(со), то 5(о>і) = 2/3, 5(u>2) = 5(о>з) = 4/3.
2. Оскільки 5(1) = 10/9, то ми маємо
ЕР. [In (5/5(1))] = і [in (І • + 21п (І • » -0,04873,
Щсо) = w( 1 + г) + ЕР. [In{5/5(1)}] - ln{5(cu)/5(l)} =
_ I (10/9)w + 0,46209, cu = cui,
^(10/9)до — 0,23105, to = C02, соз,
A = exp {(10/9)^ + 0,04873},
Е[ц(Ц7)] = -ЛЕр. [1/5(1)] = —(9/10)A.
3. Маємо систему з трьох рівнянь
0,41590 = 35ь - 0,20795 = 2£,і - £,2, - 0,20795 = -2£,і - 2£,2,
звідки £,і = —0,03466, £,2 = 0,13863. Далі знаходимо £д = до—6£,і —10£,2 =
= до — 1,17834. У системі рівнянь з пункту 3 задачі 2.13.10 для г = 1 та
238
і = 2 відповідно маємо правильні рівності:
2 • і ехр{—(10/9)аи + 0,23105} - 2 • ^ ехр{-(10/9)ау + 0,23105} = 0,
З • І ехр{—(10/9)ш - 0,46209} - \ ехр{-(10/9)аи + 0,23105}-
-2 • і ехр{—(10/9)ау + 0,23105} = 0.
2.13.17. У вказаному випадку маємо
Цш,) = 5/6, і(ш2) = 5/4,
ш = ш"
|8ау/9, си = си2;
Е[и(1Г)] = In ay + 3/5 In 4/3 + 2/5 In 8/9 «In ш + 0,1255,
£л = 0, £,! = (1/5)ш.
(Порівняйте з відповіддю пункту 1 задачі 2.13.11.)
2.13.18. 3. І(ші) = 5/6, і(со2) = 5/4,
Л = w-(x~a) (10/9)“ |з(5/6)_“/1_“/5 + 2(5/4)-а/1-“/5}~(1_а),
10ш{з(5/6)-т^/5 + 2(5/4)-т^/5}_1(5/6)-т^/9, си = соь
W{cv) = ^ J _j
1 10ш{з(5/6)-т^/5 + 2(5/4)-т^/5} (5/4)-^=/9, со = со2,
Е[ы(Г)] = Лш/а,
£,1 =ш{[3(5/6)-*/5 + 2(5/4)-т^/5]_1(5/6)-т^ - і} =
= a/{2[l + (2/3)T^]-1-l}, Eq = w — 5£,і.
(Порівняйте з відповіддю пункту 3 задачі 2.13.11.)
239
КОРОТКИЙ АНГЛО-УКРАЇНСЬКИЙ словник
ФІНАНСОВИХ ТА ЕКОНОМІЧНИХ ТЕРМІНІВ
Account — рахунок.
Accumulated amount — накопичена сума.
Accumulated value = accumulation — накопичене (акумульоване) зна
чення, накопичення.
Adverse market movement — несприятливі ринкові зміни (несприятли
вий рух ринку).
Annual effective interest rate — річна ефективна відсоткова ставка.
Annual effective rate of return — річна ефективна норма прибутку.
Annually — щорічно.
Annuity — ануїтет, рента.
Annuity due — ануїтет пренумерандо.
Annuity contract — контракт на ануїтет.
Arbitrage — арбітраж.
Asset — актив.
At issue — в момент випуску.
At par — за номіналом.
At premium — вище номіналу.
At the discretion — на розсуд.
Bank account — банківський рахунок.
Bank interest — банківський відсоток.
Below par — нижче від номіналу.
Benchmark — відмітка рівня; зразок; величина, що характеризує рі
вень.
Bond — облігація.
Borrower — боржник; той, хто взяв гроші в борг.
Bulk — основна маса; більша частина.
Buy — купувати.
240
Call option — опціон купівлі.
Capital — капітал.
Capital component — капітальна складова.
Capital gain — прибуток капіталу; капітальний прибуток; приріст капі¬
талу.
Capital gains tax = tax on capital gain — податок на приріст капіталу,
капітальний податок.
Capital outstanding — борг за капіталом.
Capital payment — виплата капіталу.
Cash flow — потік готівки; грошовий потік.
Cash on deposit — депозитний вклад.
Cease — припинити виплати; збанкрутувати.
Certificate of deposit — депозитний сертифікат.
Clearing house — рахункова плата.
Commence — починати; починатися.
Continuous payment streams — неперервні потоки виплат.
Continuously; to be paid continuously — неперервно; виплачуватися не¬
перервно.
Conventional — домовлений; обумовлений; за домовленням.
Convertible — конвертований; сплачуваний.
Convertibles = convertible assets — конвертовані активи.
Convertible half yearly — сплачуваний щопівроку.
Convertible monthly — сплачуваний щомісяця.
Convexity — опуклість.
Convexity of assets — опуклість активів.
Convexity of liabilities — опуклість пасивів.
Corporate bond — корпоративна облігація.
Counterparty — сторона (договору).
Coupon — купон.
Coupon payment — виплата за купонами.
Credit risk — кредитний ризик.
Credit-worthiness — кредитоздатність.
Currency — валюта.
Currency swap — валютний своп.
Customer — покупець; замовник; користувач.
Date of redemption — дата погашення (викупу).
Debenture — довгострокова облігація акціонерного товариства.
241
Debenture stock — боргова облігація.
Debt repayment — виплата боргу.
Default — дефолт; невиконання платіжних зобов’язань.
Default risk — ризик дефолту / невиплати.
Deferred annuity — ануїтет постнумерандо.
Deferred income tax — відстрочений прибутковий податок.
Delay in payments — затримка виплат.
Delivery price — ціна поставки, ціна при доставці.
Deposit account — депозит; депозитний рахунок.
Depreciation / Appreciation in the value — зниження / зростання вар¬
тості.
Derivative — дериватив (похідний цінний папір).
Discounted mean term (DMT) — дисконтований середній час.
Discounted payback period (DPP) — дисконтований період повернення
платежів.
Discount rate — дисконтна ставка.
Discounting function — дисконтна функція.
Discretion — розсуд; погляд.
Disinvest — зменшувати капіталовкладення.
Dividend — дивіденд.
Dividend growth rate — рівень зростання дивідендів.
Dividend payment date — дата виплати дивідендів.
Dividend yield — дохід за дивідендами.
Domestic currency — валюта даної країни; місцева (внутрішня) валюта.
Due, to be due — бути зобов’язаним виплатити задану суму в заданий
час.
Duration — тривалість.
Duration of assets — тривалість активів.
Duration of liabilities — тривалість пасивів.
Effective — ефективний, фактичний.
Effective duration — ефективна тривалість.
Effective net rate of return — ефективна чиста норма прибутку.
Effective rate of interest — ефективна відсоткова ставка.
Effective rate of return — ефективна норма прибутку.
Effective real rate of return — ефективна реальна норма прибутку.
Endowment assurance — страхування із забезпеченням.
Equity = Equity share— акція; акціонерний капітал; звичайна акція.
242
Eurobond — єврооблігація.
Excessive demand — великий попит.
Ex-dividend — без виплати наступного дивіденду.
Expectation = mean value = mean — середнє значення;
математичне сподівання.
Expectations theory — теорія середніх.
Expected performance — очікуване середнє значення (величина).
Expected profit — очікуваний прибуток.
Finance company — фінансова компанія.
Fixed-interest bond — облігація з фіксованим відсотком.
Fixed-interest security — цінний папір з фіксованим відсотком.
Fixed rate of interest — фіксована ставка відсотка.
Flat rate of interest — незмінна відсоткова ставка.
Float a loan on a stock exchange — розміщувати позику на фондовій
біржі.
Floating rate note — облігація з плаваючою ставкою відсотка.
Force of interest — інтенсивність відсотка.
Forward contract — форвардний контракт.
Forward price — форвардна ціна.
Forward rate of interest — форвардна відсоткова ставка.
Further outlay — подальші витрати.
Future short-term interest rate — майбутня короткострокова відсоткова
ставка.
Futures contact — ф’ючерсна угода.
Gap — прогалина; пробіл.
Geometric average — геометричне середнє.
Government bill — урядовий вексель.
Government bond — урядова облігація.
Government-issued — виданий урядом (цінний папір).
Gross income/yield — валовий дохід.
Gross redemption yields — дохід брутто (до сплати податків).
Guaranteed return — гарантований дохід.
Hedge market risk — застрахуватись від ринкового ризику.
High/low inflation — висока/ низька інфляція.
High volatility of return — висока мінливість (волатильність) доходу.
Highest bidder — особа, яка пропонує найвищу ціну.
Highly marketable — високоринкові / ліквідні.
243
Identification and assessment of risk — визначення і оцінка ризику.
Immediate annuity — ануїтет, що сплачується зараз.
Immunisation — імунізація.
Immunise — імунізувати.
In advance — як аванс, у вигляді авансу.
In arrear — як заборгованість, із заборгованістю.
In perpetuity — довічно, пожиттєво, безстроково.
Income — прибуток.
Income less running costs — прибуток без поточних витрат.
Income tax — прибутковий податок, податок на прибуток.
Increasing annuity — зростаючий ануїтет.
Indexation — індексація.
Indexation lag — затримка в процесі індексації (в порівнянні зі швид¬
кістю інфляції).
Index-linked bond — індексована облігація.
Index-linked security — індексований цінний папір.
Inferior — гірший, поганий.
Inflation — інфляція.
Inflation index — індекс інфляції.
Inflation protection — захист від інфляції.
Inflation risk — ризик, пов’язаний з інфляцією.
Inflationary pressure — інфляційний тиск.
Inflow — надходження (грошей, капіталу тощо).
Initial deposit — початковий внесок (депозит).
Initial outlay — початкові витрати.
Instalment — внесок (разова виплата).
Insurance company — страхова компанія.
Interest — відсоток.
Interest component — відсоткова складова.
Interest-only loan — позика за відсотки.
Interest payments — виплата відсотків.
Interest rate — відсоткова ставка.
Interest rate swap — відсотковий своп.
Internal rate of return (IRR) — внутрішня норма прибутку.
Inter-quartile range — область значень внутрішнього квартиля, тобто
симетричний інтервал, куди ЛГ(0,1)-величина потрапляє з імовірніс¬
тю 1/2.
244
Investment — інвестиція.
Investment bank — інвестиційний банк.
Investment fund — інвестиційний фонд.
Investment grant — інвестиційна субсидія.
Investor — інвестор.
Issue price — випускна ціна, тобто ціна, за якою видається папір.
Lag — запізнення.
Law of one price — закон однієї ціни.
Lender — той, хто позичає комусь гроші (кредитор).
Level annuity — сталий ануїтет.
Level monthly instalments in arrears — однакові щомісячні внески (ви¬
плати) із заборгованістю.
Liability — пасив; заборгованість; зобов’язання.
Linked internal rate of return (LIRR) — зв’язана внутрішня норма при¬
бутку.
Liquidity — ліквідність (показник того, як швидко можна продати акти¬
ви і одержати гроші).
Liquidity performance — значення перетворення ліквідності.
Liquidity preference — переваги ліквідності (теорія, що пояснює деякі
форми кривої доходів).
Loan — борг; кредит; позика.
Lognormal distribution — логнормальний розподіл.
Long forward position — позиція покупця форвардного контракту.
Long party — позиція покупця (акції).
Low volatility of return — низька мінливість (волатильність) доходу.
Lump sum — загальна сума.
Management team — група (команда) менеджерів.
Margin — гарантійний внесок, маржа (у ф’ючерсній угоді).
Market risk — ринковий ризик.
Market segmentation — сегментація (розподіл на певні частини) ринку.
Marketability — здатність цінних паперів швидко і без проблем прода¬
ватися і покупатися, ліквідність.
Marketable — здатний швидко продаватися і покупатися, ліквідний.
Maturity — дата подання цінного паперу до виконання.
Mean — середнє. Mean accumulation — середнє накопичення.
Mean value — середнє значення.
Money rate of return — норма грошового доходу.
245
Money weighted rate of return — норма прибутку, зважена грошима.
Mortgage — позика під заставу, іпотека.
Net amount — чиста кількість (величина).
Net cash flow — чистий грошовий потік.
Net income — чистий прибуток.
Net present value — чисте сучасне (теперішнє) значення (величина).
Net return — чистий дохід.
Net revenue — чисте надходження.
Net yield — чистий дохід; дохід нетто (після урахування виплачених
податків).
No arbitrage — відсутність арбітражу.
Nominal amount = Nominal value — номінальна кількість (величина).
Nominate the price — визначити ціну.
Nominal coupon rate — номінальна ставка виплати за купоном.
Nominal rate of interest — номінальна відсоткова ставка.
Nominal rate of interest per unit time — номінальна відсоткова ставка
за одиницю часу.
Normal distribution — нормальний розподіл.
Note — облігація.
Obligation — обов’язок, зобов’язання.
Offsetting agreement — компенсаційна угода.
Option — опціон; вибір (боржника, коли сплатити борг).
Ordinary share — звичайна акція.
Original amount — початкова величина.
Outflow — відтік (грошей, капіталу тощо).
Outgo — витрати.
Outset/from the outset — початок/ спочатку.
Outstanding — несплачений, заборгований?
Over the ... year period — через ... років.
Overnight — на один день (встановлений на одну добу).
Owner of a company — власник компанії.
Ownership (rights) — власність; право власності.
Pattern of income and outgo — структура доходу і витрат.
Pay in advance — платити вперед, авансом.
Payback period — період повернення платежів.
Payment — виплата.
Payment stream — потік платежів (виплат).
246
Pension fund — пенсійний фонд.
Per annum — на рік.
Percentage — відсоткова частина.
Perpetual annuity — довічний ануїтет.
Perpetuity — довічна (пожиттєва) безстрокова виплата.
Policyholder — власник поліса.
Portfolio — портфель.
Preference share = preference stock — привілейована акція (з фінансо¬
вим дивідендом).
Present value — сучасна вартість.
Price — ціна, вартість.
Prior charge — переважна виплата (за привілейованою акцією).
Prior ranking — переважна категорія.
Probability — ймовірність.
Project income — прибуток від проекту.
Project outgoing — витрати за проектом.
Project revenue — надходження від проекту.
Purchase price — ціна купівлі.
Purchaser — покупець.
Purchasing power — купівельна спроможність.
Put option — опціон продажу.
Quarterly — щоквартально.
Raise money — зароблять гроші.
Rate of discount — дисконтна (облікова) ставка.
Rate of payment of interest income — ставка виплати відсоткового до¬
ходу.
Rate of payment of the cash flow — ставка виплат грошового потоку.
Real rate of return — реальна норма прибутку (з урахуванням інфляції).
Real terms — реальні строки.
Redeem — викупати; виплачувати борг; відшкодовувати.
Redemption (pay off) date — дата виплати (остаточної).
Redemption payment — остаточна виплата; викуп.
Reduce — зводити, зменшувати.
Reinvest — реінвестувати (повторно інвестувати).
Rent — рента, оренда.
Residual profit — залишок від доходу; залишковий дохід.
Return — дохід.
247
Revenue — надходження.
Risk characteristic — ризикова характеристика (характеристика цінного
паперу з точки зору його ризиковості).
Risk-free — безризиковий.
Risk-free rate of interest — безризикова ставка відсотка.
Risky — ризиковий.
Rough plot — приблизний графік (без використання спеціального папе¬
ру)-
Running costs — поточні витрати.
Schedule of repayment — розклад боргу на відсоткову і капітальну ви¬
плати.
Secure — захищений, надійний, безпечний (з точки зору фінансового
ризику).
Sell — продавати.
Settlement price — розрахункова ціна.
Shape — форма, вигляд (кривої, графіка).
Share — акція (у розумінні одна акція, а не цінний папір взагалі).
Shareholder/stockholder — власник акції.
Short forward position — позиція продавця форвардного контракту.
Short party — позиція продавця (акції).
Short-dated securities — короткострокові цінні папери.
Short-term — короткостроковий.
Short-term spending — короткострокові витрати.
Simple/compound interest — простий/ складний відсоток.
Simple rate of discount — проста дисконтна (облікова) ставка.
Single premium — єдина виплата (як правило, у вигляді страхової пре¬
мії).
Small changes in the rate of interest — невеликі зміни відсоткової
ставки.
Split — розщеплення; розподіл (боргу на певні частини).
Spot rate — спот-ставка; спотова ставка.
Spot rate of interest — спотова відсоткова ставка.
Spot risk-free interest rate — спотова безризикова відсоткова ставка.
Spread — розкид; розсіяння.
Standard deviation — стандартне відхилення (корінь із дисперсії).
Stock exchange — біржа.
Swap = swap contract — своп-контракт; контракт типу своп.
248
Tax — податок.
Taxation grant — податкова пільга.
Tax on interest income = income tax — прибутковий податок.
Tax-exempt = tax-free — вільний від сплати податків.
Term assurance — тимчасове страхування.
Term to maturity — строк до виконання.
Term to redemption — строк до виплат.
Time lag — затримка в часі.
Time weighted rate of return — норма прибутку, зважена часом.
Total amount if interest — сумарна величина відсотка.
Trade — торгівля, торгувати.
Trading profit — прибуток від торгівлі, продажу.
Treasury bill — казначейський вексель.
Unit sum of money — одинична сума грошей, грошова одиниця.
Unsecured loan stock — незабезпечена облігація.
Value of fund — значення (величина) доходу.
Variance — дисперсія.
Venture — ризиковане починання; спекуляція.
Viable project — життєздатний (прибутковий) проект.
Volatility — волатильність (мінливість).
Voting right — право голосу.
Weighted average — зважене середнє.
Winding up — ліквідація (компанії) при банкрутстві.
Withdraw the capital — вилучити капітал.
Yield curve — крива доходу.
Yield on the transaction — дохід від операції.
Yield to maturity — дохід при виконанні; норма прибутку при погашенні
облігації; іноді внутрішня норма прибутку.
Zero-coupon bond — безкупонна облігація (з нульовим купоном).
249
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Бойков А. В. Страхование и актуарные расчеты. — М.: РОХОС, 2004.
2. Буренин А. Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.: Три-
вола, 1995.
3. Галиц Л. Финансовая инженерия. Инструменты и способы управления фи¬
нансовым рынком. — М.: ТВП, Научное издательство, 1998.
4. Голубин А. Ю. Математические модели в теории страхования: Построение
и оптимизация. — М.: АНКИЛ, 2003.
5. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов.
Часть I. Дискретное время, Часть II. Непрерывное время/ А. Н. Ширяев,
Ю. М. Кабанов, Д. О. Крамков, А. В. Мельников// Теория вероятностей
и её применения.— 1994. — Т. 39. — № 1. — С. 21-79, 80-129.
6. Мельников А. В. Финансовые рынки, Стохастический анализ и расчет
производных ценных бумаг. — М.: ТВП, Научное издательство, 1997.
7. Мельников А. В., Волков С. ННечаев М. Л. Математика финансовых
обязательств. — М.: ГУ ВШЭ, 2001.
8. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінан¬
совій математиці/ М. М. Леоненко, Ю. С. Мішура, В. М. Пархоменко,
М. Й. Ядренко — К.: Інформтехніка, 1995.
9. Фалин Г. И., Фалин А. И. Теория риска для актуариев в задачах. — М.:
Мир, 2004.
10. Черваньов Д. М., Комашко О. В. Економетрика. Курс лекцій. — К.: РВЦ
КІЕМБСС, 1998.
И. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фа¬
зис, 1998. - Т. 1, 2.
12. Anthony М., Biggs N. Mathematics for economics and finance. Methods and
modelling. — Cambridge: Press Syndicate of the University of Cambridge,
1996.
13. Baxter M., Rennie A. Financial calculus: An introduction to derivative pri¬
cing. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
14. Campbell J. Y. Lo, A. W., MacKinlay A. C. The econometrics of financial
markets. — Princeton: Princetion University Press, 1993.
250
15. Chen L. Interest Rate Dynamics (Lecture Notes in Economics and Mathemati¬
cal Systems, 435). — New York: Springer, 1996.
16. Day kin C. D. Practical Risk Theory for Actuaries. — London: Chapman &
Hall, 1996.
17. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. — Princeton: Princeton University
Press, 1996.
18. Elliott R., Kopp P. E. Mathematics of financial markets. — New York: Spri¬
nger Finance, 1998.
19. Follmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. —
Berlin: de Gruyter, 2002.
20. Gerber H. U. Life Insurance Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 1997.
21. Karatzas I., Shreve S. E. Methods of mathematical finance. — Berlin:
Springer-Verlag, 1998.
22. Kwok Y. K. Mathematical Models of Financial Derivatives. — New York:
Springer-Verlag, 1998.
23. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to fi¬
nance. — London: Chapman & Hall, 1995.
24. McCutcheon J., Scott W. F. Introduction to the Mathematics of Finance.
2 ed. — Oxford: Butterworth-Heinemann, 1989.
25. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in financial modelling.
Berlin: Springer-Verlag, 1997.
26. Neftci Salih N. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivati¬
ves. — San Diego, CA: Academic Press, 1996.
27. Nielsen L. T. Pricing and hedging of derivative securities. — Oxford: Oxford
University Press, 1999.
28. Ottaviani G. Financial Risk in Insurance. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.
29. Pliska S. Introduction to mathematical finance: discrete time models. —
Oxford, Basel: Blackwell, 1997.
30. Ross S. M. An introduction to mathematical finance: Options and other topi¬
cs. — Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
31. Shreve S. Stochastic calculus and finance. — New York: Springer, 2004. —
V. I, II.
32. Stochastic processes for insurance and finance./ T. Rolski, H. Schmidli,
V. Schmidt, I. Tendels — Chichester: Wiley, 1998.
33. Varian H. R. (ed.) Computational Economics and Finance. Modeling and
Analysis with Mathematica. — New York: Springer, 1996.
34. Wilmott P., Howison S., Dewynne I. The mathematics of financial derivatives,
a student introduction. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
251
Ануїтеті таблиці
Таблиця значень уп для п = 4,5,... ,12
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0,9610
0,9515
0,9420
0,9327
0,9235
0,9143
0,9053
0,8963
0,8874
1,5
0,9422
0,9283
0,9145
0,9010
0,8877
0,8746
0,8617
0,8489
0,8364
2
0,9238
0,9057
0,8880
0,8706
0,8535
0,8368
0,8203
0,8043
0,7885
2,5
0,9060
0,8839
0,8623
0,8413
0,8207
0,8007
0,7812
0,7621
0,7436
3
0,8885
0,8626
0,8375
0,8131
0,7894
0,7664
0,7441
0,7224
0,7014
3,5
0,8714
0,8420
0,8135
0,7860
0,7594
0,7337
0,7089
0,6849
0,6618
4
0,8548
0,8219
0,7903
0,7599
0,7307
0,7026
0,6756
0,6496
0,6246
4,25
0,8466
0,8121
0,7790
0,7473
0,7168
0,6876
0,6595
0,6326
0,6069
4,5
0,8386
0,8025
0,7679
0,7348
0,7032
0,6729
0,6439
0,6162
0,5897
4,75
0,8306
0,7929
0,7570
0,7226
0,6899
0,6586
0,6287
0,6002
0,5730
5
0,8227
0,7835
0,7462
0,7107
0,6768
0,6446
0,6139
0,5847
0,5568
5,25
0,8149
0,7743
0,7356
0,6989
0,6641
0,6310
0,5995
0,5696
0,5412
5,5
0,8072
0,7651
0,7252
0,6874
0,6516
0,6176
0,5854
0,5549
0,5260
5,75
0,7996
0,7561
0,7150
0,6761
0,6394
0,6046
0,5717
0,5406
0,5113
6
0,7921
0,7473
0,7050
0,6651
0,6274
0,5919
0,5584
0,5268
0,4970
6,25
0,7847
0,7385
0,6951
0,6542
0,6157
0,5795
0,5454
0,5133
0,4831
6,5
0,7773
0,7299
0,6853
0,6435
0,6042
0,5674
0,5327
0,5002
0,4697
6,75
0,7701
0,7214
0,6758
0,6330
0,5930
0,5555
0,5204
0,4875
0,4567
7
0,7629
0,7130
0,6663
0,6227
0,5820
0,5439
0,5083
0,4751
0,4440
7,25
0,7558
0,7047
0,6571
0,6127
0,5712
0,5326
0,4966
0,4631
0,4318
7,5
0,7488
0,6966
0,6480
0,6028
0,5607
0,5216
0,4852
0,4513
0,4199
7,75
0,7419
0,6885
0,6390
0,5930
0,5504
0,5108
0,4741
0,4400
0,4083
8
0,7350
0,6806
0,6302
0,5835
0,5403
0,5002
0,4632
0,4289
0,3971
8,25
0,7283
0,6728
0,6215
0,5741
0,5304
0,4899
0,4526
0,4181
0,3862
8,5
0,7216
0,6650
0,6129
0,5649
0,5207
0,4799
0,4423
0,4076
0,3757
8,75
0,7150
0,6574
0,6045
0,5559
0,5112
0,4700
0,4322
0,3974
0,3655
9
0,7084
0,6499
0,5963
0,5470
0,5019
0,4604
0,4224
0,3875
0,3555
9,5
0,6956
0,6352
0,5801
0,5298
0,4838
0,4418
0,4035
0,3685
0,3365
10
0,6830
0,6209
0,5645
0,5132
0,4665
0,4241
0,3855
0,3505
0,3186
10,5
0,6707
0,6070
0,5493
0,4971
0,4499
0,4071
0,3684
0,3334
0,3018
11
0,6587
0,5935
0,5346
0,4817
0,4339
0,3909
0,3522
0,3173
0,2858
11,5
0,6470
0,5803
0,5204
0,4667
0,4186
0,3754
0,3367
0,3020
0,2708
12
0,6355
0,5674
0,5066
0,4523
0,4039
0,3606
0,3220
0,2875
0,2567
12,5
0,6243
0,5549
0,4933
0,4385
0,3897
0,3464
0,3079
0,2737
0,2433
13
0,6133
0,5428
0,4803
0,4251
0,3762
0,3329
0,2946
0,2607
0,2307
14
0,5921
0,5194
0,4556
0,3996
0,3506
0,3075
0,2697
0,2366
0,2076
15
0,5718
0,4972
0,4323
0,3759
0,3269
0,2843
0,2472
0,2149
0,1869
16
0,5523
0,4761
0,4104
0,3538
0,3050
0,2630
0,2267
0,1954
0,1685
18
0,5158
0,4371
0,3704
0,3139
0,2660
0,2255
0,1911
0,1619
0,1372
20
0,4823
0,4019
0,3349
0,2791
0,2326
0,1938
0,1615
0,1346
0,1122
252
Таблиця значень V для п = 13,14,... ,40
13
14
15
17
20
25
ЗО
35
40
1
0,8787
0,8700
0,8613
0,8444
0,8195
0,7798
0,7419
0,7059
0,6717
1,5
0,8240
0,8118
0,7999
0,7764
0,7425
0,6892
0,6398
0,5939
0,5513
2
0,7730
0,7579
0,7430
0,7142
0,6730
0,6095
0,5521
0,5000
0,4529
2,5
0,7254
0,7077
0,6905
0,6572
0,6103
0,5394
0,4767
0,4214
0,3724
3
0,6810
0,6611
0,6419
0,6050
0,5537
0,4776
0,4120
0,3554
0,3066
3,5
0,6394
0,6178
0,5969
0,5572
0,5026
0,4231
0,3563
0,3000
0,2526
4
0,6006
0,5775
0,5553
0,5134
0,4564
0,3751
0,3083
0,2534
0,2083
4,25
0,5821
0,5584
0,5356
0,4928
0,4350
0,3533
0,2869
0,2330
0,1892
4,5
0,5643
0,5400
0,5167
0,4732
0,4146
0,3327
0,2670
0,2143
0,1719
4,75
0,5470
0,5222
0,4985
0,4543
0,3953
0,3134
0,2485
0,1971
0,1563
5
0,5303
0,5051
0,4810
0,4363
0,3769
0,2953
0,2314
0,1813
0,1420
5,25
0,5142
0,4885
0,4642
0,4190
0,3594
0,2783
0,2154
0,1668
0,1292
5,5
0,4986
0,4726
0,4479
0,4024
0,3427
0,2622
0,2006
0,1535
0,1175
5,75
0,4835
0,4572
0,4323
0,3866
0,3269
0,2472
0,1869
0,1413
0,1069
6
0,4688
0,4423
0,4173
0,3714
0,3118
0,2330
0,1741
0,1301
0,0972
6,25
0,4547
0,4280
0,4028
0,3568
0,2975
0,2197
0,1622
0,1198
0,0885
6,5
0,4410
0,4141
0,3888
0,3428
0,2838
0,2071
0,1512
0,1103
0,0805
6,75
0,4278
0,4007
0,3754
0,3294
0,2708
0,1953
0,1409
0,1017
0,0733
7
0,4150
0,3878
0,3624
0,3166
0,2584
0,1842
0,1314
0,0937
0,0668
7,25
0,4026
0,3754
0,3500
0,3043
0,2466
0,1738
0,1225
0,0863
0,0608
7,5
0,3906
0,3633
0,3380
0,2925
0,2354
0,1640
0,1142
0,0796
0,0554
7,75
0,3789
0,3517
0,3264
0,2811
0,2247
0,1547
0,1065
0,0733
0,0505
8
0,3677
0,3405
0,3152
0,2703
0,2145
0,1460
0,0994
0,0676
0,0460
8,25
0,3568
0,3296
0,3045
0,2599
0,2049
0,1378
0,0927
0,0624
0,0420
8,5
0,3463
0,3191
0,2941
0,2499
0,1956
0,1301
0,0865
0,0575
0,0383
8,75
0,3361
0,3090
0,2842
0,2403
0,1868
0,1228
0,0807
0,0531
0,0349
9
0,3262
0,2992
0,2745
0,2311
0,1784
0,1160
0,0754
0,0490
0,0318
9,5
0,3073
0,2807
0,2563
0,2138
0,1628
0,1034
0,0657
0,0417
0,0265
10
0,2897
0,2633
0,2394
0,1978
0,1486
0,0923
0,0573
0,0356
0,0221
10,5
0,2731
0,2471
0,2236
0,1832
0,1358
0,0824
0,0500
0,0304
0,0184
11
0,2575
0,2320
0,2090
0,1696
0,1240
0,0736
0,0437
0,0259
0,0154
11,5
0,2429
0,2178
0,1954
0,1572
0,1134
0,0658
0,0382
0,0222
0,0129
12
0,2292
0,2046
0,1827
0,1456
0,1037
0,0588
0,0334
0,0189
0,0107
12,5
0,2163
0,1922
0,1709
0,1350
0,0948
0,0526
0,0292
0,0162
0,0090
13
0,2042
0,1807
0,1599
0,1252
0,0868
0,0471
0,0256
0,0139
0,0075
14
0,1821
0,1597
0,1401
0,1078
0,0728
0,0378
0,0196
0,0102
0,0053
15
0,1625
0,1413
0,1229
0,0929
0,0611
0,0304
0,0151
0,0075
0,0037
16
0,1452
0,1252
0,1079
0,0802
0,0514
0,0245
0,0116
0,0055
0,0026
18
0,1163
0,0985
0,0835
0,0600
0,0365
0,0160
0,0070
0,0030
0,0013
20
0,0935
0,0779
0,0649
0,0451
0,0261
0,0105
0,0042
0,0017
0,0007
Примітка: верхній рядок — кількість років п, лівий рядок — річна ефективна відсоткова
ставка. Для знаходження значень, що не наведені у таблиці, можна використати означення
уп = 1/(1 + і)п або властивість степеневої функції: уп+т = упут.
253
Таблиця значень а-] для п = 4,5 12
13
14
15
17
20
25
ЗО
35
40
1
3,9020
4,8534
5,7955
6,7282
7,6517
8,5660
9,4713
10,368
11,255
1,5
3,8544
4,7826
5,6972
6,5982
7,4859
8,3605
9,2222
10,071
10,908
2
3,8077
4,7135
5,6014
6,4720
7,3255
8,1622
8,9826
9,7868
10,575
2,5
3,7620
4,6458
5,5081
6,3494
7,1701
7,9709
8,7521
9,5142
10,258
3
3,7171
4,5797
5,4172
6,2303
7,0197
7,7861
8,5302
9,2526
9,9540
3,5
3,6731
4,5151
5,3286
6,1145
6,8740
7,6077
8,3166
9,0016
9,6633
4
3,6299
4,4518
5,2421
6,0021
6,7327
7,4353
8,1109
8,7605
9,3851
4,25
3,6086
4,4207
5,1997
5,9470
6,6638
7,3513
8,0109
8,6435
9,2504
4,5
3,5875
4,3900
5,1579
5,8927
6,5959
7,2688
7,9127
8,5289
9,1186
4,75
3,5666
4,3596
5,1165
5,8392
6,5290
7,1876
7,8163
8,4166
8,9896
5
3,5460
4,3295
5,0757
5,7864
6,4632
7,1078
7,7217
8,3064
8,8633
5,25
3,5255
4,2997
5,0354
5,7343
6,3984
7,0294
7,6288
8,1984
8,7396
5,5
3,5052
4,2703
4,9955
5,6830
6,3346
6,9522
7,5376
8,0925
8,6185
5,75
3,4850
4,2412
4,9562
5,6323
6,2717
6,8763
7,4481
7,9887
8,5000
6
3,4651
4,2124
4,9173
5,5824
6,2098
6,8017
7,3601
7,8869
8,3838
6,25
3,4454
4,1839
4,8789
5,5331
6,1488
6,7283
7,2737
7,7870
8,2701
6,5
3,4258
4,1557
4,8410
5,4845
6,0888
6,6561
7,1888
7,6890
8,1587
6,75
3,4064
4,1278
4,8036
5,4366
6,0296
6,5851
7,1055
7,5929
8,0496
7
3,3872
4,1002
4,7665
5,3893
5,9713
6,5152
7,0236
7,4987
7,9427
7,25
3,3682
4,0729
4,7300
5,3426
5,9139
6,4465
6,9431
7,4062
7,8379
7,5
3,3493
4,0459
4,6938
5,2966
5,8573
6,3789
6,8641
7,3154
7,7353
7,75
3,3306
4,0192
4,6582
5,2512
5,8016
6,3124
6,7864
7,2264
7,6347
8
3,3121
3,9927
4,6229
5,2064
5,7466
6,2469
6,7101
7,1390
7,5361
8,25
3,2938
3,9665
4,5880
5,1621
5,6925
6,1825
6,6351
7,0532
7,4394
8,5
3,2756
3,9406
4,5536
5,1185
5,6392
6,1191
6,5613
6,9690
7,3447
8,75
3,2576
3,9150
4,5196
5,0755
5,5866
6,0567
6,4889
6,8863
7,2518
9
3,2397
3,8897
4,4859
5,0330
5,5348
5,9952
6,4177
6,8052
7,1607
9,5
3,2045
3,8397
4,4198
4,9496
5,4334
5,8753
6,2788
6,6473
6,9838
10
3,1699
3,7908
4,3553
4,8684
5,3349
5,7590
6,1446
6,4951
6,8137
10,5
3,1359
3,7429
4,2922
4,7893
5,2392
5,6463
6,0148
6,3482
6,6500
11
3,1024
3,6959
4,2305
4,7122
5,1461
5,5370
5,8892
6,2065
6,4924
11,5
3,0696
3,6499
4,1703
4,6370
5,0556
5,4311
5,7678
6,0697
6,3406
12
3,0373
3,6048
4,1114
4,5638
4,9676
5,3282
5,6502
5,9377
6,1944
12,5
3,0056
3,5606
4,0538
4,4923
4,8820
5,2285
5,5364
5,8102
6,0535
13
2,9745
3,5172
3,9975
4,4226
4,7988
5,1317
5,4262
5,6869
5,9176
14
2,9137
3,4331
3,8887
4,2883
4,6389
4,9464
5,2161
5,4527
5,6603
15
2,8550
3,3522
3,7845
4,1604
4,4873
4,7716
5,0188
5,2337
5,4206
16
2,7982
3,2743
3,6847
4,0386
4,3436
4,6065
4,8332
5,0286
5,1971
18
2,6901
3,1272
3,4976
3,8115
4,0776
4,3030
4,4941
4,6560
4,7932
20
2,5887
2,9906
3,3255
3,6046
3,8372
4,0310
4,1925
4,3271
4,4392
254
Таблиця значень а-] для п = 13,14 40
13
14
15
17
20
25
ЗО
35
40
1
12,134
13,004
13,865
15,562
18,046
22,023
25,808
29,409
32,835
1.5
11,732
12,543
13,343
14,908
17,169
20,720
24,016
27,076
29,916
2
11,348
12,106
12,849
14,292
16,351
19,524
22,397
24,999
27,356
2,5
10,983
11,691
12,381
13,712
15,589
18,424
20,930
23,145
25,103
3
10,635
11,296
11,938
13,166
14,878
17,413
19,600
21,487
23,115
3,5
10,303
10,921
11,517
12,651
14,212
16,482
18,392
20,001
21,355
4
9,9856
10,563
11,118
12,166
13,590
15,622
17,292
18,665
19,793
4,25
9,8325
10,391
10,927
11,933
13,294
15,217
16,779
18,047
19,077
4,5
9,6829
10,223
10,740
11,707
13,008
14,828
16,289
17,461
18,402
4,75
9,5366
10,059
10,557
11,488
12,731
14,454
15,820
16,904
17,763
5
9,3936
9,8986
10,380
11,274
12,462
14,094
15,373
16,374
17,159
5,25
9,2538
9,7423
10,207
11,067
12,202
13,748
14,944
15,870
16,588
5,5
9,1171
9,5896
10,038
10,865
11,950
13,414
14,534
15,391
16,046
5,75
8,9834
9,4406
9,8729
10,668
11,706
13,093
14,141
14,934
15,533
6
8,8527
9,2950
9,7122
10,477
11,470
12,783
13,765
14,498
15,046
6,25
8,7248
9,1528
9,5555
10,291
11,241
12,485
13,404
14,083
14,584
6,5
8,5997
9,0138
9,4027
10,111
11,019
12,198
13,059
13,687
14,146
6,75
8,4774
8,8781
9,2535
9,9346
10,803
11,921
12,727
13,309
13,728
7
8,3577
8,7455
9,1079
9,7632
10,594
11,654
12,409
12,948
13,332
7,25
8,2405
8,6158
8,9658
9,5964
10,391
11,396
12,104
12,603
12,954
7,5
8,1258
8,4892
8,8271
9,4340
10,195
11,147
11,810
12,273
12,594
7,75
8,0136
8,3653
8,6917
9,2757
10,004
10,907
11,529
11,957
12,252
8
7,9038
8,2442
8,5595
9,1216
9,8181
10,675
11,258
11,655
11,925
8,25
7,7962
8,1259
8,4304
8,9715
9,6381
10,451
10,997
11,365
11,613
8,5
7,6910
8,0101
8,3042
8,8252
9,4633
10,234
10,747
11,088
11,315
8,75
7,5879
7,8969
8,1810
8,6826
9,2935
10,025
10,506
10,822
11,030
9
7,4869
7,7862
8,0607
8,5436
9,1285
9,8226
10,274
10,567
10,757
9,5
7,2912
7,5719
7,8282
8,2760
8,8124
9,4376
9,8347
10,087
10,247
10
7,1034
7,3667
7,6061
8,0216
8,5136
9,0770
9,4269
9,6442
9,7791
10,5
6,9230
7,1702
7,3938
7,7794
8,2309
8,7390
9,0474
9,2347
9,3483
11
6,7499
6,9819
7,1909
7,5488
7,9633
8,4217
8,6938
8,8552
8,9511
11,5
6,5835
6,8013
6,9967
7,3291
7,7098
8,1236
8,3637
8,5030
8,5839
12
6,4235
6,6282
6,8109
7,1196
7,4694
7,8431
8,0552
8,1755
8,2438
12,5
6,2698
6,4620
6,6329
6,9198
7,2414
7,5790
7,7664
7,8704
7,9281
13
6,1218
6,3025
6,4624
6,7291
7,0248
7,3300
7,4957
7,5856
7,6344
14
5,8424
6,0021
6,1422
6,3729
6,6231
6,8729
7,0027
7,0700
7,1050
15
5,5831
5,7245
5,8474
6,0472
6,2593
6,4641
6,5660
6,6166
6,6418
16
5,3423
5,4675
5,5755
5,7487
5,9288
6,0971
6,1772
6,2153
6,2335
18
4,9095
5,0081
5,0916
5,2223
5,3527
5,4669
5,5168
5,5386
5,5482
20
4,5327
4,6106
4,6755
4,7746
4,8696
4,9476
4,9789
4,9915
4,9966
Примітка: верхній рядок — кількість років п, лівий рядок — річна ефективна відсоткова
ставка. Для знаходження значень, що не наведені у таблиці, можна використати означення
а-1 = v + v2 + Ь Vа або ануїтетні рівняння: a^j = v(l + a-|) та а—^ = а-| + |.
255