ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
7
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Часть 1
?gesess^.g?ijg:.
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МГСУ
Н.М. Атаров, Г.С. Варданян,
А.А. Горшков, А.Н. Леонтьев
м;

liil (ililll
!и~виэвяя6~;'

FPSg85Sj|-
к пиит
с
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
. Н.М.Атаров, Г.С.Варданян,
А.А.Горшков, А.Н.Леонтьев
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Ч а ст ь 1
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по
образованию в области строительства в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по направлению 270100
«Строительство»
Москва 2009
УДК 539.3
ББК 30.121
С64
Сопротивление махериадав. Учебное пособие, Ч. 1 /Н.М. Атаров,
Г.С. Варданян, А.А. Горшков, А.Н. Леонтьев. - М., МГСУ, 2009. - 64 с.
ISBN 5-7264-0484-Х
Настоящая первая часть учебного пособия по курсу "Сопротивление
материалов с основами строительной механики и теории упругости,
пластичности и ползучести" посвящена разделам: "Геометрические
характеристики поперечных сечений стержней", "Определение усилий,
напряжений и деформаций в стержнях, работающих на растяжение и
сжатие", "Внутренние усилия при изгибе стержней", "Определение
напряжений в балках при изгибе и расчёты на прочность". Приведены
основные формулы этих разделов, подробно рассмотрены примеры решения
задач.
Учебное пособие предназначёно для Оказания помощи студентам
строительных специальностей вузов при выполнении расчетно-графических
работ и при подготовке к различным видам контроля знаний (защита
расчетно-графических работ, компьютерное тестирование, зачеты и
экзамены).
Р е ц е н з еун ты:
кафедра “Прочность материалов и конструкций” Российского университета
дружбы народов (зав. кафедрой профессор, д.т.н. С.Н. Кривошапко); чл.-
корр. РААСН, профессор, д.т.н. Н.Н. Шапошников (Московский
государственный университет путей сообщения).
ISBN 5-7264-0484-Х
© Кол. авт., 2009
© МГСУ, 2009
ПРЕДИСЛОВИЕ	-Гг
Учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам строи-
тельных специальностей вузов при выполнении расчётно-графических работ по
сопротивлению материалов/основам строительной механики (для специально-
стей ВйЙ, ТТВ й СТ) й теории упругости и пластичности.
Пособие состоит из 3-х частей и 13 глав по темам расчеТно-графйчёских
работ. Каждая глава содержит краткое изложение теории, где приведены ос-
новные формулы и уравнения, и примеры решения задач, аналогичных задачам
в расчетно-графических работах.
В конце каждой части пособия приведен сортамент стальных прокатных
стержней - уголков, двутавров и швеллеров.
В первой части пособия приведены главы, соответствующие учебному ма-
териалу 1-го семестра изучения сопротивления материалов - геометрические
характерисчики поперечных сечений стержней, центральное растяжение и сжа-
тие прямых стержней, внутренние усилия в балках и плоских стержневых сис-
темах при изгибе, напряжений в балках при изгибе и расчеты на прочность.
Пособие написано Авторским коллективом кафедры сопротивления мате-
риалов МГСУ. Большую помощь при написании и подготовке к изданию учеб-
ного пособия оказали авторам коллеги по кафедре - профессор О.В.Мкртычев,
доценты А.Я.Астахова, А.Й. Ильяшенко и А.Г.Паушкин.
В, пособии использована система единиц СИ, а также традиционные для
курса сопротивления материалов .Обозначения: сида - Р, площадь поперечного
сечения стержня -К Соотношения между основньши механическими величи-
нами в единицах СИ и в технической системе, приведены в следующей таблице:
Наименование величины	Единица		СоотнбЕлёние единиц
	Наименование	Обозначенйе	
Сила, нагрузка, вес	ньютон	Н	1Н«0,1 кгс 1кН « 0,1тс
г Линейная нагрузка л	ньютон на метр	Н/м	1Н/м « 0,1кгс/м 1кН/м~ 0,1тс/м
Момент силы, момент , пары сил	х йьюТбгнметр :	Hm-v <	1Нм « 0- 1кгс-м 1кНм~0,1тс-м
Напряжение, давление J - 1 - 1 ’	паскаль	Па	Ша» 0,1кгс/м2 1МПа ~ 10кгс/см2
’ При определении напряжений- в качестве вспомогательной единицы из-
мерения используетсятакжекН/см2 (1кН/см2 = 10 МПа).
ГЛАВА 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
СТЕРЖНЕЙ
1.1. Основные определения и формулы
Основными геометрическими характеристиками поперечных сечений
стержней (рис.1.1), используемыми при расчете стержней на прочность и жест-
Площадь сечения F.
Статические, моменты, площади се-
чения относительно осей Ох и Оу
Sx = fjydF , Sy-=jfxdF. (1.1)
кость, являются следующие.
F hl
Осевые моменты инерции
Jx= ]\y2dF , Jv-\\x2dF. (1.2)
F .	f... ’
Центробежный момент инерции
J^xydF.	;	(1.3)
F	F V"',  /
Полярный момент инерций	Jp = $r2dF=Jx+Jy.	(1.4)
Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени (см3), а
моменты инерции - единицы длины в четвертой степени (см4). Статические
моменты и центробежный момент инерции могут быть положительными, отри-
цательными и равными нулю. Осевые моменты инерции всегда являются поло-
жительными величинами.
координаты центра тяжести сечения определяются по формулам
Ус=-^-	А1.	к.,	Д.5)
Оси, проходящие через центр тяжести
сечения, называются центральными (осями.
Статический момент сечения относитель-
но любой центральной оси равен нулю.
Частным случаем центральных осей явля-
ются оси симметрии сечения..
При определении моментов инерции
сечений используются зависимости между
моментами; инерции при параллельном пе-
реносе осей координат (рис.1.2): ; :
Л, =Л+&2/г> Jyx=Jy+a2F, Jxw=J^+abF,	(1.6)
где а и b - координаты центра тяжести О в системе координат
4
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые
моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения
Jmax = Jmin = Л • Они называются главными моментами инерции.
Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называют-
ся главными центральными осями сечения^
Величины главных моментов инерции J\ и J2 й углы наклона главных
осей (Xi и сс2 к оси Ох определяются по формулам
Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют па-
ру главных осей. Для сечений, имеющих более двух осей симметрии, а также
при равенстве главных моментов инерции J\ = J2 все центральные оси являют-
ся главными.	\'
Ниже приведены справочные данные о геометрических характеристиках
простых сечений.
Равнобедренный треугольник (рис. 1.4)
(1.8)
(1.9)
/<>/' _htf_
36 ’ у~ 48
5
Рис.1.5
Рис.1.6
Круг (рис. 1.5)
р~ 2 ~ 32 ’ л ~	~ 4 “ 64
(1-10)
Полукруг (рис. 1.6)	П М О НГ * = J
' • R ’	1, 1 ' I  . '	? ’•$.' I	• МГ ..wr :	.	j’? .О ’’’• -?i;X
/4=Jy=^-, Л-0,112?4,	0,4242?.	(1.11)
Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавра,
швеллера, уголка) приведены в сортаменте.	7 ' 1
1.2. Примеры решения задач
Задача 1,1.
Определим моменты инерции относительно главных центральных осей се-
чения в виде прямоугольника с круговыми вырезами (рис. 1.7).
Размеры сечений на рис. 1,7 ч-1.12 даны в сантиметрах.
Оси симметрии Ох, Оу являются
главными центральными осями всего
сечения.
Моменты инерции и площади пря-
моугольника и круговых вырезов отно-
сительно их собственных осей опреде-
ляются по формулам (1.8) и (1.10)
7(i) = 60-20 = 4Й000 см4
х' w 12-	. .....к.
= 360000 см'4 ,	= 60 • 20 = 1200 см2 ;
^2) = 42)=^- = 1017см4, F2 =л-62 =113см2 .
х у 4	’2
6
Моменты инерции сечения относительно главных дентальных осей опре-
деляются по формулам (1.6).
J = 4° -3-/Р1 = 40000- 3 -1017 = 36949 см4;
' Jy =4',-3j|2)-2F2^2 =360000-3-1017-2-113-182 =283725см4 .
Задача 1.2.
ОпределимМоменты инерции относительно
поперечного сечения, показанного на рис. 1.8.
Разобьем сечение на три простые фигуры:
прямоугольник с размерами 12x8 см и два рав-
нобедренных треугольника с размерами 12x6 см.
Моменты инерции и площади прямоугольника и
треугольников относительно их собственных
центральных осей определяются по формулам
(1.8) рг (1.9).	\
r(i) 12-83	4	r(i). 8.-123	4
Jy =-----= 512см ,	— = 1152см ,
х 12	*	12
Ft =12-8 = 96 см2;
г(2)	12-6	-	4	(2)	6-12	4
У}'-	=72см , jp=-=-=^ = 216cM4 ,
р 126	2
Е=-----= 36 см .
Площадь всего сечения равна ,
F = 96 + 2-36 = 168 см2.
главных центральных осей
Рис.1.8
Моменты инерции сечения относительнб главных центральных осей Ох,
Оу определяются по формулам (1.6).
, Jx.= jP + 2(jP + F2fe2)=512 + 2(72+-36-6l)=3i48cM4;	-
J3, =jP+2jP=1152 + 2-216 = 1584cM4. f
Задача 1.3.
Определим моменты инерции относительно главных центральных осей
поперечного сечения стального стержня, составленного из четырех равнобоких
уголков LlOOxlOOxlO и листа сечением 300x10 мм (рис.1.9).
Выпишем из сортамента площадь и моменты инерции сечения уголка от-
носительно собственных центральных осей О\Х\ и фур
j(i) = j(i) = 179 см4 у? = 19 2 см2.
7
Моменты инерции относительно осей Ох и Оу и площадь сечения листа
равны	г • у .
j(2) = 1221 = 2250 см4 , Л2) = 22-11 = 2 5 см4 , F2 = 30 см2.
12	Г-. 12
Площадь всего сечения равна
F = 4-19,2 + 30 = 106,8 смТ у<Ы.
Моменты инерции сечения относительно
главных центральных осей Ох и Оу опреде-
ляются по формулам (1,61
J = 4р(1) + Е b?)+ Л2) = 4(179 +19,2 • 12,17 2)+
’ Л ' Х| ; ,Д; 1 / Д’ \	7	7	/
+2250 = 14341 см4; "	 «мг-М
j = 4(jW + F^)+	= 4(179 +19,2  3,332)+
+2,5 = 1570cm4, •
Задача 1.4.
Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно
главных центральных осей поперечного сечения с одной осью симметрии
(рис. 1.10).
Данное сечение можно рассматри-
вать как прямоугольник с размерами
24x18 см и прямоугольный вырез с
размерами 12x12 см.
Площадь сечения равна
F=24-18 - 12-12 - 288 см2.
Для определения положения центра
тяжести сечения, который находится на
оси симметрии Оу, примем в качестве
вспомогательной оси ось OiXi, прохо-
дящую по основанию фигур.
Статический момент сечения относительно этой оси определим как раз-
ность статических моментов прямоугольника й квадрата
S, = ^у,-Г2у2=24-18-9-12-12-6 = 3024см3.
Определим по формуле (1.5) координату центра тяжести
Л; 3024 ...
*>=T-W10-5“-
8
Оси Ох и Оу являются главными центральными осями сечения.
По третьей из формул (1.8) определим момент инерции сечения относи-
тельно оси О\Х\:.. ; (
j . 24-18	39744см4 .
'	3	3
Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей опре-
деляются по формулам (1.6).
• 	•^xZ^^=39744-288^10552=79S!2£m4;
’ 5	18-24’ ' 12 123 1Q.ft0 4
----= 19008 см .
12
12
Задача1.5.
400x12мм
Рйс.1.11
Определим положение центра Тяжести и моменты инерции относительно
главных центральных осей поперечного сечения стальной балки, составленной
из двух двутавров 127 и стального листа сечением 400x12 мм (рис. 1.11).
Моменты инерции и площади сече-
ний двутавра и листа относительно соб-
ственных центральных осей соответ-
ственно равны:
= 5010 см4, Jv = 260 см4,
Fi = .4-0,2 см2’'
.	40-1,2’	4
j -----------= 5,76 см ,
*2	12
'	_U40 = 640()cm4
.12
Л2 = 40-1,2 = 48 см2 .
У2
Площадь всего сечения равна
:	F= 2-40,2 + 48 = 128,4 см2.
Для определения положения центра тяжести всего сечения определим ста-
тический момент сечения относительно оси О|ХЬ проходящей через центры
тяжести двутавров:
- F2y2 =48Г13,5+ -~1
По второй из формул (1.5) получим
SXt 676,8
= —L =----= 5,27см.
0 F 128,4 /
= 676-8 см3.
9
Оси Ох и Оу являются главными центральными юсями, Моменты инер-
ции сечения относительно этих осей равны	-
Jx = 2(5010 + 40,2 • 5,272)+ (5,76 + 48 • 8,832) - 16000 см ’;
Jy = 2(260 + 40,2 • 102).+ 6400 = 14960 см4.
Задачакб.
Для стержня несимметричного сечения, составленного из двутавра 150 и
неравнобокого уголка L200xl25xl6 (рис. 1.12/z), определим положение центра
тяжести сечения, моменты инерции относительно главных центральных осей и
положение этих осей.
Рис.1.12
Моменты инерции и площади сечений двутавра и уголка относительно их
собственных центральных осей соответственно равны:
Jx =39727см4, Jv =1043см4, 7 = 0, Fi = 100cm2; ....
J =617см4, 7 = 2026 см4., . 7 v = —644 см4, F2 = 49,8cm2.
Л2	’ у2	..	’.	• Х2Уо	-5-‘ .	’ Z ’
Площадь всего сечения равна
/•“ 100 149,8“ 149,8 см2.
Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомога-
тельных осей оси двутавра и Oiyi. По формулам (1.5) получим
syi F2x2 49,8-21,79 „„„
х,, =-2- = ^-Т. = —’-’—7,24см;	...	.
0 F	F 149,8	'	-....?
F2y2 49,8-22,01.
' у о = —L =	=-----------= 7,32 см.
° F F 149,8
10
Эти величины и координаты центров тяжести двутавра и уголка в системе
координатОху показаны на рис.1.12,ц и соответственно равны::
^=-7,24 см, 2^=-7,32 см, Л4,5Д^мл, 7>2 ^14>69см,
Определим по формулам (1.5) моменты инерции сечения относительно
центральных осей Ох и Оу.
J = J \ Fb; +J + F..b!,=-
5= 39727 + ТОО  7,322 + 617 + 49,8  14,69* = 56449 см'4; ..
= JЛ	+«7j2 + ^2а2 :Т.
= 1043+ 100-7,242 + 2026 4 49;8 • 14,552 = 18854 см4;
У = ^х,у, + ++| + J Х2у2 + ^2а2^2 =
= 100 У 7,24) •(- 7,32) - 644 + 49,8  14,55 • 14,69 = 15300 см4..
По формулам (1.7) определим величины главных моментов инерции и уг-
лы наклона главных осей 1 и 2 коси Ох.
1,2
2.
2
I +^У
2
56449 + 18854
56449-Г8854
2;
Л 61889 см4,
: .......У
tga, =—^ ---
+	2 J
J2= 13415 см4;
15300	04S6
” — и,эхо ,
+153002 ;
18854-61889
t ,-хху	15300
tea? =	— =-------------- “2,813,
е 2 Jy~J2 18854-13415
0ц = -19,6°;
а2 = 70,4°.
На рис. 1.12 fi приведено графическое определение величин главных мо-
ментов инерции й положения главных осей.
11
ГЛАВА 2
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ '
2.1. Основные определения и формулы
Центральное растяжение и сжатие прямого стержня вызывается действием
осевых нагрузок, в состав которых входят сосредоточенные силы и распреде-
ленные нагрузки, характеризующиеся интенсивностью q. При q = const на-
грузка называется равномерно распределенной, равнодействующая которой
равна произведению qa, где а - длина участка распределения.
В поперечных сечениях стержня действуют Только нормальные напряже-
ния и одно внутреннее усилие - продольная сила 7V, определяемая с помощью
метода сечений. При этом продольная сила равна сумме проекций на ось Ох
нагрузок, приложенных к одной из частей стержня (рис.2.1).
Результаты вычисления продольных
сил N для верхней и нижней частей
стержня должны совпадать. Растяги-
вающая продольная ’ёйла считается
положительной, а сжимающая -
отрицательной. Продольная сила имеет
размерность сосредоточенной силы
(например, кН).
После определения продольных сил
в характерных сечениях стержня
можно построить график изменения
этих сил по длине стержня (эпюру N),
При её построении используется
дифференциальное соотношение
dN
Рис.2.1
(2.1)
Нормальные напряжения при цен-
тральном растяжении и сжатии
одинаковы во всех точках поперечного
сечения и определяются по формуле
(2-2)
где F- площадь поперечного сечения.
В системе СИ напряжения имеют размерность Па = Н/м2, МПа =
= 10“’ кН/см2 и др.
Относительная продольная деформация стержня длиной I равна
А/
I '
где А/ - удлинение или укорочение стержня.
12
(23)
В пределах упругих деформаций справедливо линейное соотношение меж-
ду напряжениями и деформациями, называемое законом Гука
<у = Е& ,	(2.4)
где Е - модуль упругости материала стержня.
Удлинение или укорочение стержня, закрепленного в начальном сечении
х = 0, определяется по формуле
(2.5)
Для частного случая EF=const и N = const имеем
Для стержня с постоянной жесткостью EF при произвольном законе из-
менения продольной силы N величину Д/ можно определить по формуле
•Г	,ТКг|-4|Г
.<	М=	(2.7)
V	-иг EF urfi .
где F1n и - площади эпюрыN или эпюры ст на рассматриваемом уча-
стке стёржйя.	IМ01
Поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к
оси, получают осевые перемещения и = и(х). Эпюра осевых перемещений
строится после определения удлинений или укорочений Д/ участков стержня.
Если при определении продольных сил и опорных реакций уравнений рав-
новесия недостаточно, то стержень или стержневая система называются стати-
чески неопределимыми. Для их расчета необходимо использовать условия де-
формации.
Расчет на прочность элементов строительных конструкций производится
по методу предельных состояний. В поперечных сечениях стержня при цен-
тральном растяжении или сжатии должно выполняться условие прочности
u	1 :	- d^^<ycR ,	(2.8)
/ Л ' I Г-1	; 1F	и-Г I .-о i ! .
где R - расчетное сопротивление материала, характеризующее его прочность, и
ус - коэффициент условий работы. Величина продольной силы N вычисляется
от действия расчетных нагрузок, определяемых с учетом коэффициента надеж-
ности по нагрузкам у/ . Значения R,yt. и yz приведены в соответствующих раз-
делах СНиП.
Подбор сечения стержвд производится по формуле
N
F>-~—.	(2.9)
шающая сила)
£
Рис.2.2
Расчет элементов машиностроительных конструкций производится по ме-
тоду допускаемых напряжений. Условие прочности ® этомхлучае записывается
в виде
o =	n-i .	(2Д0)
-	л
где [о] - допускаемое напряжение.
При расчете стержней и стержневых систем из пластичных материалов
может быть использована упрощённая диаграмма зависимости о напри-
мер, диаграмма Прандтля (рис.2.2). Согласно этой диаграмме при достижении
напряжениями предела текучести. от деформации неограниченно возрастают.
При этом продольная сила в стержне принимает предельное значение (разру-
=	(2.И)
За начало разрушения стержневой системы
можно принять такое состояние, при котором на-
пряжения во всех стержнях достигнут предела
текучести. При этой величина предельной нагрузки
Аред определяется из уравнений равновесия.
Допускаемая нагрузка определяется по формуле
.	;V,-?	12)
где п - коэффициент запаса прочности;	?.
1. •£;? -К*J j .		!	। _• . -J •	 Щ1	 ; l i!lVJ
2.2. Примеры решениязадач	я
Задача2.1.	н .» ?	;
Для стержня ступенчато постоянного сечения, находящегося под действи-
ем осевых нагрузок (рис.2.3,я), построим эпюры 7V и о. Определим удлинения
(укорочения) участков стержня и всего стержня в целом и построим эпюру осе-
вых перемещений. В расчетах примем Е = МО5 МПа = 1-Ю4 кН/см2.
Определим опорную реакцию в точке закрепления стержня.
2Х=0, -Я + 9 + 301,2-24 = 0, Я = 21 кН.
Направление опорной реакции в начале расчета принято правильно.
Определим с помощью метода сечений продольные силы и нормальные
напряжения в пределах ipek характерных участков стержня.	f 1
14
Участок!	рис.2,4)ч.
ЕУ=0, -21 +У=Д;_
N =21 кН (растяжение) ;
N 21	1 ПС тт/ 2
су =— =-— = 1,75 кН/см2 ;=
F 12
= 17,5 МПа.
Участок 2 (0,8 < х < 1,6 м, рис.2.5).
LX=0, -21W+TVM;
TV = 12 кН (растяжение),
12	9
су = —= 1 кН/см2 = 10 МПа.
12
УчаСтбк 3 (1,6< х< 2,8 м, рис.2.6).
Рис.2.4
ZX=0, -N+ 30(2,8 — х) — 24 = 0, TV = 30(2,8-х) - 24 ;
х = 1,6 м , TV =30-1,2 - 24 = 12 кН (растяжение),
12	9
Ст = Ж=0,6 кН/см2 = 6ДПа.
20	.........‘
х = 2,8 м , N= - 24 кН (сжатие),
= -.1.2-кН/смг'=^Д2;МПа.
20
Рис.2.5
Рис.2^6
Строим эпюры TV и су (рис.2.3,б,в). В пределах первого и второго участ-
ков продольные силы и нормальные напряжения имеют постоянные значения, а
в пределах третьего участка они изменяются по линейному закону. В; сечении
х = 0,8 м продольная сила имеет скачок на величину 9 кН-
15
(-24 + 12)
Г2±2.12О =
2 I ;
Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня.
д. Ш 21-80 ЛЛ1Д
А/, ?—Ь-= -; .— -0,014 см (удлинение),
EFt 1-104-12	; Г
12*80
А/2 =----- 0,008 см (удлинение),	1 ;
1-10-12
Л7 _ 1 ГЛ	1
3 —	^2 X  ~~-л	'
EF2 л 11О4-2О
= -0,0036 см (укорочение). А
Общее удлинение Стержня равно	к
А/= А/1 + А/2 + А/3 = 0,014 + 0.008 л- 0,0036 = 0,0184 см.
Определим осевые перемещения характерных сечений стержня.
х = 0, и = = 0 ;	?
х = 0,8 м , щ = uq + А/у = 0,014 см ;
х = 1,6 м , и2 = щ + А/2 == 0,014 + 0,008 = 0,022 см ;
х 2,8 м , щ = и2 + А/3 = А/ = 0,0184 см .
Эпюра и приведена на рис.2.3,г. В пределах первого й второго участков
осевые перемещения изменяются по линейному закону, а в пределах третьего
участка - по закону квадратной параболы. В сечении, где N = с = 0, имеется
экстремум итах, который равен:
Umax =и2+ AZ3* = 0,022 +------- • 12 • 40 = 0,0232 см,
1-104-20 2	, г,	f..,
где А/3 - удлинение верхней части третьего участка стержня длиной п, кото-
рая определяется из пропорции:
24	12
-----= —,	<7 = 0,4 м,	—
1,2 - а а
Все поперечные сечения перемещаются в положительном направлении оси
Ох, то есть вниз.
Задача.2.2.
Для стержня ступенчато постоянного сечения, испытывающего централь-
ное растяжение и сжатие (рис.2.7,а), построим эпюры N и су. Определим уд-
линения (укорочения) участков стержня и всего стержня в целом и построим
эпюру осевых перемещений. В расчетах примем Е - 2-1О5 МПа = 2-104 кН/см2.
Определим с помощью метода сечений значения продольных сил и нор-
мальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная с сечения
вблизи свободного торца.
Участок3 (2<х<3м).	?	ж	$
х = 3м,	7V-G,	6 = 0;		л,--
16
х = 2 м ,	N = - 30-1 = -30 кН (сжатие);
30	о
о = --~ = -2кН/см2 =-20МПа.
15
Участок2 (1,2<х<2м).
х = 2 мг W= - ЗО кН
30	о
а = _ ГХ - - 3 кН/см2 = - 30 МПа.
10
Рис.2.7
Участок 1 (0<х<1,2м).
х4= 1,2м, N = -30 + 60 = 30ЙЗ(растяжение);
г	зо >	G
о =--= 2,5 кН/см2 = 25 МПа;
12
5 х-0, У= 30-20-1,2 = 6 кН;
t	.6	о
а == -Н_ = 0,5 кН/см2 = 5 МПа.
12 р I
Эпюры N и су приведены на рис.2.7,б,в. В пределах первого и третьего
участков продольные силы и нормальные напряжения изменяются по линейно-
му закону, а в пределах второго участка они имеют постоянное значение. В се-
чении х = 1,2 м продольная сила имеет скачок на величину 60 кН.
Опорная реакция в закрепленном сечении равна R = 6 кН. Её направление
показано на рис.2.7,а.
Определим величины удлинений (укорочений) участков стержня.
17
м =-----1-----(30 + 6) 120 = о 009 см;
.	2-10'-12	2	'
А/2 =—-°-'80 = -0.012 см;
2-1О4-1О
А/3 =-----т— • - ’ 30-100 = - 0,005 см;
?-104-15 2
А7 = А?! + Д/2 + Л73 = 0,009-0,012 - 0,005 = - 0,008 см.
Стержень в целом укорачивается.
Определяем осевые перемещения характерных сечений стержня.
х = 0 , uQ0 ;
х = 1,2 м, щ = uq + АЛ = 0,009 см;
. х = 2 м , и2 = щ + AZ2 = 0,009 - 0,012 = - 0,003 см ; ;
х = 3 м , из = и,2 + А/3 = А/ = - 0,008 см .
Эпюра и приведена на рис.2.7;г. В пределах второго участка осевые пере-
мещения изменяются по линейному закону, а в пределах первого й третьего
участков - по квадратичному закону. В сечении х = 3 м касательная ж эпюре и
параллельна оси Ох. В пределах второго участка имеется сечение, осевое пере-
мещение которого равно нулю.
Задача 2.3.	I
Чугунный стержень ступенчато постоянного сечения закреплен на обоих
торцах и находится под действием двух сосредоточенных сил (рис.2.8,а). По-
строим в общем виде эпюры X су и и и определим величину силы Р из усло-
вий прочности по методу допускаемых напряжений. В расчетах примем F =
= 10 см2 и допускаемые напряжения при растяжении и сжатии [сур] 80 МПа =
= 8 кН/см2, [ос] = 150 МПа = 15 кН/см2,
18
В точках закрепления стержня возникают две опорные реакции R\ и Я2.
Составим уравнение равновесия:
Получили одно уравнение с двумя неизвестными. Данный стержень явля-
ется статически неопределимым, и для его расчета необходимо использовать
условие деформации стержня А/ = 0. Раскроем это условие с помощью прин-
ципа независимости действия сил.
Отбросим мысленно одно из закреплений, например, верхнее, и введем в
этом сечении неизвестную силу X = R\ (рис.2.8,6). Произведем расчет полу-
ченного таким образом статически определимого стержня раздельно на дейст-
вие заданных нагрузок и силы X. Соответствующие эпюры продольных сил
приведены на рис.2.8,в,г. При этом величины удлинений и укорочений стержня
равны:
..	Р-30	4Р-30 1hn Р
А1Р=~т.------------= -100----;
P-1.5F E1,5F EF
А, Б-40 >-60 (>,ч'.X-
My =-=------+ —=--= 8O^SM- .
< £F ЕЛ,5Е SB
Используем условие деформации с тержня и находим опорные реакции.
А/'= МР + Ых = -100—— + 80 А = 0;
Р х EF  EF
X = R}=\,25P, Р2 =4Р = Д =2,75Р. j
Определяем значения N, о й А/ в пределах участков стержня.
Участок 1.	с
А - F = I.25F.	о^1,25—;
1	< F
Л, 1,25Р-40 .. Р
А/, =-------= 50----.
EF EF
Участок 2.
N = 1,25Р - Р = 0,25Р. 0 = 0,25-^ = 0,167—
1.5F F
..... ^ГО,25Р-З.О: _ Р.
2	Е • 1,5F EF
Участок 3.
N = -R2=~2,75P, о = -2,75-^- = -1,83—;
2	1,5F F
' ' 2,75Р-30	Р
XL _-----------= _ 55--.
3	E1,5F	ЕЕ
Проверим выполнение условия деформации стержня.
19
М = А/, + Д/2 + А/3 = —(50 + 5 - 55) = 0.	;
EF	.-J
Задача решена правильно. Эпюры N и с приведены на рис.2.9,б,в.
Определяем осевые перемещения характерных сечений.
r=0, u-uq = Q;
Р
х = 40см, щ = wo + A/i = 50— ;
EF
Р	Р
х-- 70 ем ,	и2 = щ + А/2 =—^-(|0 + 5)=55тг— ;
EF	EF
х - 100 см , w3 = А/ = 0 .
Эпюра и приведена на рис.2.9,г. Осевые перемещения изменяются по ли-
нейному закону. Все поперечные сечения перемещаются в положительном на-
правлении оси Ох, то есть вниз.
Используем условия прочности по наибольшим растягивающим и сжи-
мающим напряжениям (первый и третий участки) и определим допускаемые
значения силы Р.
о =1,25— = 1,25— <[о„] = 8 кН/см2 , Р<64кН;
р р ’ ю L PJ
|ос| = 1,83^ = 1,83^<[ос] = 15кН/см2 , Р<81,8кН.
Из двух допускаемых значений силы надо принять меньшее: Р~ 64 кН.
20
Задача 2.4.
Латунный стержень ступенчато постоянного сечения находится под дейст-
вием силы Р = 30 кН? Нижний участок испытывает равномерный нагрев на ве-
личину Т = 20°С по отношению к начальной температуре. Между нижним
торцом стержня и жестким основанием имеется малый зазор 5 = 0,012 см
(рис.2.10,6?). Построим эпюры N, о и и.
В расчетах примем Я =1105 МПа = 1-104 кН/см2 и коэффициент линейно-
го температурного расширения а = 1,654 О”5 1/град.
Рис.2.16
Определим величину возможного удлинения стержня от действия силы Р
и от нагрева нижнего участка.
.. Р1Х 30-40 _АП,
Д/р = —L =	= 0,006 см;
' EF} 1-Ю'-20
А/г а/,7’ = 1,65• Ю 5 • 40-20 = 0,0132см;
А/Р + Мт = 0,006 + 0,0132 = 0,0192 см.
Поскольку сумма А/Р и А/г больше зазора 5 = 0,012 см, при нагружении
стержня этот зазор замкнется, и стержень будет работать как статически неоп-
ределимый с двумя опорными реакциями R\ й (рис.2.10,а).
Составим уравнение равновесия.
- + 30 - Я2 = 0 , Я] + Я2 - 30 кН .
21
Для решения задачи используем условие деформации стержня А/ = В. От-
бросим мысленно нижнее закрепление ц введем неизвестную сиду <Х = Л2.
Возможное укорочение стержня от действия этой сиды равно:
Л/ 2	Х/2_	Х-40	Х-40	4	:
EFX EF2 1-Ю4-20 1104 ГО *
Используя условие деформации стержня, на основании принципа незави-
симости действия сил получим ,	. г .... v
А/ = А/Р + А/г + А/х = 0,0192 - 6 • lO^X = 8 = 0,012 см;
Х = Д2=12кН, Е} = 30-Я2 =30-12 = 18кН.
Определим продольные Силы и нормальные напряжения в пределах участ-
ков стержня и величины удлинений участков.
Участок!.
’• 18	9	'	'
X = Л = 18 кН, о ==	= 0,9 кН/см2 = 9 МПа;
1		 20	- • J { I
&!.-= 18-40 = 0,0036 см.	' ,-М
1-10!-20 ....	j.i
Участок 2.	' ;
N = -R2 = -12 кН, ст = -— £41,2 кН/см2 4-12 МПа;
2	10	|	|
12-40	- 5
Д/2 .= -.---^—+А1Т. = - 0,0048 -кВ,0132 =0,0084 см.
1-104-10
Проверим выполнение условия деформации стержня.
А/ = AZX + А/2 = Q,0036jb 0,0084 = 0.012 см - 8.
Задача решена правильно. Эпюры N и с приведены на рис.2.10,б,в. Оп-
ределяем осевые перемещения характерных сечений стержня.
х = 0 , и = ио = 0 ;
х = 40 см , щ = u.q + А/1;= 0,0036 см ;	,/
х = 80см, и2 = 3 = 0,012 см .
Эпюра и приведена на рис.2.10,ё. Осевые перемещения изменяются по
линейному закону. Все поперечные сечения перемещаются вниз.
Задача 2,5.	'
Стержневая система состоит из жесткой балки AF, шарнирно опёртой в
точке А и поддерживаемой стержнем СВ круглого сечения диаметром = 22
мм (рис.2.11,а). Определим допустимую величину силы Р из условия прочно-
сти стержня СВ по методу предельных Состояний, величину удлинения стерж-
ня и угол поворота балки АВ. В расчетах примем R = 210 МПа = 21 кН/см2,
У/=1,4,	= 0,9, Е = 2,1105 МПа = 2,1-Ю4 кН/см2.
22
При нагружении системы возникают опорные реакции RA и НА на опоре
А и продольная растягивающая сила ТУв стержне СВ. Эти величины можно
определить из уравнений равновесия ЕХ=0, ЕУ=0, ЕЛ/=О.
Для определения N используем уравнение равновесия для моментов
2Р 2
ЕМ^О, Nr-2P = 0, N = - = -±-P = l49P,
г 1,34
п- и	15	' I
где г = 3sma = 3-0,447 = 1,34 м -плечо силы TV, tga=’=0,5, sin а 0,447.
Используем условие прочности стержня
N 1А9Р
с =	= у R = 21-0,9
F 3,8
„ з,14-гд2 _с 2
где F = —~ = 3,8 см ” площадь сечения стержня.
Расчетное и нормативное значения силы Р равны:
< 21-0,9-3,8
J п —	_
= 48,2 кН;
Рр 48,2
у, 7 1Д
= 34,4 кН.
Принимаем с округлением Рк:= 34 кН и определяем величину удлинения
стержня от действия этой силы. Схема деформации системы приведена на
рис.2.11,6.
А/ ж
А/ =----
EF
1,49-34-335,4
2,1-104-3,8
0,213 см,
где / = 71.52 + З2 = 3.354 м - длина стержня.
Определим угол поворота жесткой балки АВ.
Д7 :
вв^ = —---
sma
0,213 А
---— = 0,477 см
0,447	’ -
23
tgP = ЙВ| ...°’477 - o40O159, p = 0,09°.
AB 300	 	'
Угол поворота балки очень мал.
Задача 2.6.
Стержневая система (рис.2.12,а) состоит из жесткой балки АВ, имеющей
шарнирно неподвижную опору А, и двух стержней CD и ED, по^держиваю-
щих балку. К балке приложена сила Р, нормативное значение которой равно
400 кН. Определим усилия в стержнях и подберем их сечения в виде двух
стальных равнобоких уголков. Определим величину разрушающей сцлы. В
расчетах примем коэффициент надежности по нагрузке у/ = 1<2 , расчётное со-
противление материала R = 210 МПа = 21 кН/см2, коэффициент условий рабо-
ты ус = 0,9, предел текучести ст = 240 МПа = 24 кН/бм2 и соотношение между
площадями поперечных сечений стержней F2/Fi = 1,2.
Под действием нагрузки на опоре А возникают опорные реакции RA и
На, а в стержнях - растягивающие усилия М и У2. Поскольку для их опреде-
ления можно использовать только три независимых уравнения равновесия
Е¥= 0, ЕУ = 0, ЕМ= 0, задача является статически неопределимой.
Составим уравнение равновесия относительно усилий TVj и У2.
Wj = 6;	+ N2r2-PrP=Q,
где Fj = 2 sin 45° = 2-0,707 = 1,414 м, г2=2ми гР = Зм - плечи сил N\, N2 и
Р относительно точки А.
Расчетное значение силы Р равно
Рр = РнУ/ = 400 • 1,2 = 480 кН.
Получили одно уравнение относительна двух неизвестных М и N2:
1,44М + 2N2 = 480-3 = 1440 кНм.. г
24
Для получения второго уравнения рассмотрим схему деформации системы.
Под действием силы Р жесткая балка АВ повернется относительно точки А
на малый угол р. Стержни при этом получат удлинения A/i и Д/2 (рис.2.12,6).
Из схемы деформации находим:
Мх = DDX sin 45° ,	AZ2 = DDX
^- = sin 45° =0,707.
Д/2
Полученное соотношение является условием деформации системы. Выра-
зим A/i и А/2 через усилия в стержнях.
4/,=^.	4/2’=Ж
Е/-\	2 EF2
где 1Л = д/22 + 22 = 2,828 м, /2 = 2 м - длины стержней,
л Используем условие деформации системы. ?
EF2_NX lx F2~NX 2,828 1?__0707
M2 EFX N2l2 N2 l2 Fx N2 2,0
JVj =0,4177V2.
Подставляем полученное соотношение в уравнение/равновесия и опреде-
ляем расчетные значения усилий в стержнях.
1 ?414-0,4172У2 + 2N2 = 1440 ,	556 кН, Nx = 0,417-556 = 232 кН .
Определяем требуемые площади сечений стержней из условий прочности.
232	2 г7 ^2	556 оол 2
Е>—1_ =--------= 12,3 см ,	F7>-±-a- =-----= 29,4 см .
1 ycR 21-0,9	2 ycR 21-0,9
Проверяем выполнение принятого соотношения между Т7! и F2.
=	= 2,39 >1,2'.
12,3
При подборе сечения первого стержня его площадь надо увеличить и при-
нять равной
7? =Z1 = 22d = 24,5см2. .
1 1,2	1,21*
Поскольку каждый стержень состоит из двух оди-
наковых равнобоких уголков (рис.2.13), разделим тре-
буемые площади сечений пополам и по сортаменту при-
мем сечения стержней.
Проверим прочность стержней и определим
чины их удлинений.
Первый стержень JL 90x90x7
F' =2 -12,3 = 24,6см2;
Рис.2.13
вели-
25
о = М_ =	= 9 43 кН/см2 < у 7? = 18,9 кН/см2;
/у 24,6	6'
A/j =
МА
Y/^i
232 • 282,8
1,2-2,1-104-24,6
= 0,106 см .
Второй стержень JL 110x110x7
=:2-15,2 = 30,4 см2;
а = — =	= 18,3 кН/см2 < у Л = 18,9 кН/см2
F2 30,4
л. N2l2 556-200 П1ЛС
АЛ = —=-----------------------= 0,145 см .
yfEF2 1,2-2,1-104-30,4
Прочность стержней обеспечена. Согласно СНиП определение удлинений
произведено от действия нормативной нагрузки,лВ силу этого расчетные значе-
ния усилий разделены на коэффициент надежности по нагрузке уу. Модуль уп-
ругости стали принят равным Е = 2,1 • 105 = 2,1 • 104 кН/ем2.
Проверим выполнение условия деформаций системы.
А4 0,106
А/2 “ 0,145
= 0,73^0,707.
Расхождение составляет:
А%=’
0,73-0,707
0,707
•100% = 3,3%.
Определим величину разрушающей (предельной) силы. Согласно диа-
грамме Прандтля принимается, что при этом напряжения в стержнях равны
пределу текучести ст, а усилия в стержнях равны W1T =-gtFi и N2t = crTF2 .
Составим уравнение предельного равновесия системы.
ZAG = 0 ,	+ g,F2i2 = Рпрелгр . .•
Отсюда находим
Pn	= ^fe+^r2) = 24(24,6-1,414+ 30,4-2) =
Ур	3
Коэффициент запаса по отношению к нормативному значению силы равен
и = Лр№=165=1;91.
Рн 400
26
ГЛАВА 3
ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ БАЛОК И ПЛОСКИХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
3>1. Основные определения и формулы
При плоскОМ пряйЬм изгибе в плоскости Оху в прперечных сечениях бал-
ки Возникают два внутренних усилия - поперечная сила Qy и изгибающий мо-
мент Mz (рис.3.1).
Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть
рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки (рис.3.2). Изгибающий
момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних воло-
кон балки (рис.3.3).
Поперечная сила в любом сечении
балки определяется как сумма проекций
всех нагрузок, приложенных к одной из
частей балки, на нормаль к её оси.
Изгибающий момент в любом сече-
нии балки определяется как сумма момен-
тов всех нагрузок, приложенных к одной
из частей балки, относительно центра тя-
жести данного сечения.
Рассматривая, например, равновесие
левой части балки ;(рис.3.4), получим
£г=о. -р1+р2+е^=о,
Qy=P\-Pi-	...	Рис-3.4
£мс=0, уРхх+Р2(х-а)-М + MZ =0, Mz=Plx-P2(x-a)+M .
Между изгибающим моментом Mz, поперечной силой Qy и распределён-
ной нагрузкой q имеют место следующие дифференциальные зависимости:
dQy	dMt	d2Mz
-y = -q, ~r = Qy	4
ax	dx	ax
(3-1)
Эти зависимости используются при построении эпюр поперечных сил и из-
гибающих моментов.
27
3.2. Примеры решения задач
Задача 3.1.
Для консольной балки, изображённой
на рис.3.5, построим эпюры Qy и Mz.
При построении эпюр поперечных
сил Qy и изгибающих моментов Mz в
консольных балках определение опор-
ных реакции не обязательно, однако, ес-
ли эти реакции известны, то они могут
использоваться для проверки правильно-
сти эпюр Qy^Mz.
+30-2-20 = 0,
Ra =40 кН;
YMa =6,Ма -30-2-1 + 20-2-10 = 0,
МА=30кНм.
Вычислим значения Qy n Mz в харак-
терных сечениях балки, начиная со сво-
родного конца.
Сечение х = 4 м , Qy = 0 , Mz = - 10 кНм (растянуты верхние волокна).
Сечение х = 2 м (справа), Qy = б, Mz = ~ 10 кНм .
Сечение х -2 м (слева) , Qy = -20 кН,М==НбкНм. /гиен .
Сечение х^О, gv = -20 + 30-2 = 40 кН ,	^^2.=
==--30 кНм (растянуты верхние волокна).
На участке ВС поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент со-
гласно второй из формул (3.1) имеет постоянное значение. На участке АВ с
равномерно распределённой нагрузкой (q ~ const) согласно первой и третьей из
формул (3.1) поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий
момент - по закону квадратной параболы с выпуклостью, обращённой в сторо-
ну действия нагрузки.	и- . (
Эпюра Mz имеет экстремум в сечении х0, где Qy = 0. Величину х0 можно
определить из подобия треугольников на эпюре Qy.
х 40
—-— = — ,	х0= 1,33м, 2-х0 = 0,67 м.
2-х0 20	°	°
При этом ;
О 672
Л7гаах = Mz (1,33)- -10 - 30 	+ 20 • 0,67 = - 3,33 кНм.
Эпюры Qy и Mz приведены на рис.3.5.
,	1 :f	4 : ' ’	>	г»-,.- .л I	•*, г г'
28
Задача 3,2,
Для консольной балки, изображенной на
рис.3.6, построим эпюры Qy и Mz.
Вычислим значения Qy и titz в характер-
ных сечениях балки, начиная со свободного
конца.
Сечение х = 0, 'Qy- О, Mz = 0.
Сечение х - 3' м (слева), Qy— = -36 кН,
Mz=- 12-3-1,5 = -54 кНм
(растянуты верхние волокна).
Сечениех = Зм (справа), О..= -36кН,
Я=-54 + 24 = -30 кНм.
Сечение х = 4м, Qy = - 36 кН,
М= - 12-3-2,5 + 24 = - 66 кНм
(растянуты верхние волокна).
На участке АВ с равндмерно распреде-
ленной нагрузкой согласно формулам (3.1) по-
перечная сила Qy изменяемся по линейному
закону, а изгибающий момент Mz - по закону
квадратной параболы с выпуклостью, обращенной в сторону действия нагруз-
ки; при этом во всех сечениях он вызывает растяжение верхних волокон. На
участке ВС распределенная: нагрузка отсутствует. Следовательно, на этом уча-
стке поперечная сила имеет постоянное значение, а изгибающий момент изме-
няется по линейному закону, причем в сечений В имеется скачок, равный по
величине приложенному моменту 24 кНм.
Эпюры Qy и Mz приведены на рис.3.6. Из этих эпюр следует, что Rc=
= 36 кН, ‘ ‘Мс = 66 кНм.
Задача 3,3,
Для шарнирно опертой балки, изображен-
ной на рис.3.7, построим эпюры Qy и Mz.
Расчет шарнирно опёртой балки необхо-
димо начинать с определения опорных реак-
ций.
ЪМА = 0,	- 1В-4-2 - 12-4 + 6RB = 0,
7^=32 кН.
YMB = 0,	: 18-4-4 +12-2 - 6Ra = 0,
/<4=52 кН.
ЕУ = 0 (проверка),
/ 18-4 + 12-32 - 52-84-84 = 0.
Вычислим значения Qy и Mz в характер-
ных сечениях балки.
Рис.3.7
29
Сечение х = 0,	Qy = RA = 52 кН, Mz = О.
Сечение х = 6 м,	Qy = - Rb = - 32 кН, Mz = Q,
Сечение х = 4 м (справа), Qy = - 32 кН, Mz^32-2 = 64,кНм
(растянуты нижние волокна).
Сёчение х = 4м (слева),	Qy = -,32 + 12 = - 20кН,; Mz = 64 кНм.
На участке АС с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила
изменяется по линейному закону со сменой знака с плюса на минус. Изгибаю-
щий момент изменяется по закону квадратной параболы и имеет экстремальное
значение в сечении, где поперечная сила равна нулю.
На участке СВ распределенная нагрузка отсутствует, поэтому поперечная
сила имеет постоянное значение, а изгибающий Момент изменяется по линей-
ному закону. В сечении С, где действует сосредоточенная сила 12 кН, на эпюре
Qy имеется скачок, равный по величине приложенной силе, а на эпюре Mz
имеет место излом.
Из подобия треугольников на эпюре Qy определяем координату сечения
xq , где поперечная сила обращается в нуль, й для этого сечения определяем
экстремальное значение изгибающего момента.
2 89
Мтах= М(2,89) = 52-2,89 - 18-2,89-^ = 75,37 кНм
(растянуты нижние волокна).
Эпюры Qy и Mz приведены на рис. 3.7.
Задача 3,4,
12кНм 18кНм
Для шарнирно опёртой балки, изо-
браженной на рис‘3.8, построим эпю-
ры Qy и Mz.
Определяем опорные реакций.
Ш=0, - 12-18-i-6/^=0,
/?s = 5kH.
±Мв= 0,	- 12 - 18 + 6Ra = 0,
Ял=5кН.
ЕУ = 0 (проверка), 5-5 = 0.
Вычислим значения Qy и Mz в
характерных сечениях балки.
Сечение х = 0, Qy = - RA = - 5 кН,
Рис.3.8	М = 12кНм
(растянуты нижние волокна).
Сечение х~=3 м (слева), Qy^T-.5кН, Mz = 12 - 5-3 - 3 Шм
(растянуты верхние волокна).
30
Сечение х-3 м (справа), Qy'= - Rs = - 5 кН, Mz = 5-3 = 15 кНм
(растянуты нижние волокна).
Поперечная сила по всей длине балки постоянна, а изгибающий момент на
участках ЛС и СВ изменяется ио линейному закону и в сечении С имеет ска-
чок, равный по величине действующему в этом сечении моменту.
Эпюры QyuMz приведены на рис.3.8.
а(х} Я
Задача 3.5.
Для шарнирно опертой балки, изображен-
ной на рис.3,9, построим эпюры Qy и Mz.
Равнодействующая нагрузки, распреде-
ленной по линейному закону, равна
К = 1-18-6=54кН.
2
Определим опорные реакции
1Ж = 0, 12 - 54-4 + 6RB = О,
7^ = 34 кН;
ЪМВ = 0, 12 + 54-2 - 6Ra =Д
А^ = 20кН;
ЕУ = 0 (проверка),
54 -20-34 -54-34-0.
Вычислим значения Qy и Mz в характер-
ных сечениях балки.
Сечение х = 0v Qy = RA = 20 кН, Mz = - 12 кНм (растянуты верхние во-
локна).
Сечение х = 6 м, Qy = - RB = - 34 кН, Mz = 0.
Из подобия треугольников находим закон изменения распределенной на-
грузки:
/ ч 18 о
q\x)^—x = 3x.
6
Согласно зависимостям (3i 1) поперечная сила изменяется по закону квад-
ратной параболы
1	-	3 О
. Qy (х) = Ra - - с/(х)х = 20 - 2 х2,
а изгибающий момент - по закону кубической параболы
Mz (х) — -12ч- 20х - q(х)х • j х = -12 + 20х - х^.
Определим положение сечения, где поперечная сила обращается в нуль
3 9
20—х=0, х = х0 = 3,65 м.
31
В сечении х0 изгибающий момент имеет экстремальное значение
Мтах = Х<3,65) = -12 + 20  3,65 -|-3 • 3,65 • 3,65 • |з,65 = 13,4 ,кНм
(растянуты нижние волокна).
Эпюры Qy и Mz приведены на рис.3.9.
Задача 3.6.
Рис.3.10
Для шарнирно опертой балкис> консо-
лью, изображенной на рис.3.10, построим
эпюры Qy и М- Найдем опорные реакций.
1МА = 0, -12-2 - 364 -6-2-7 + 6RB = О,
RB = 42 кН;
ЪМВ = 0,	124 + 36-2-6-2-1 - 6Ra = О,
Ra = 18 кН;
ЕУ= 0 (проверка),
12 + 36 + 6-2 -18 - 42= 60 - 60 = (X
Вычислим значения Qy и Mz в харак-
терных сечениях балки.
Сечение х = 0, Qy = RA = 18 кН, Mz = 0.
Сечение х = 2 м (слева), Qy = 18 кН,
Mz = 18-2 = 36 кНм
(растянуты нижние волокна).
Сечение х = 2 м (справа),
Сечение х = 4 м (слева),
Сечение х = 6 м (справа),
Сечение х = 6 м (слева),
Сечение х = 8 м,
еу=18- 12 = 6 кН, Я = 36кНм.
е^ = 6кН, м = 184-12-2 = 48 кНм
(растянуты нижние волокна).
Qy = 6-2 = 12 кН, Mz^- 6-2-1 = -12 кНм
(растянуты верхние волокна),
Qy= 12 = 42 = -30 кН, М = -12кНм.
а=о, м=о.
На консольной части балки, где имеется распределенная нагрузка, попе-
речная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент - по
закону квадратной параболы с выпуклостью, обращенной в сторону действия
нагрузки. На остальных участках поперечная Нагрузка отсутствует, поэтому
поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному
закону. В сечениях, где действуют сосредоточенные силы или опорные
реакции, на эпюре Qy имеются скачки, равные по величине действующим
силам, а на эпюре Mz имеются точки излома.
Эпюры Qy и Mz приведены на рис.3.10.
32
Задача 3,7.
Для шарнирно опертой балки с консо-
лями (рис. 3.11) построим эпюры Qy и Mz.
Находим опорные реакции.
ЪМА ='0, - 6 - 12-М,5 - 15-6 +
+ 5^ = 0, RB = 30 кН;1
ЪМВ = 0,	- 6 + 12-3-3;5 - 15-1 -
-5Лл = 0,	7?л = 21кН;
ЕУ= 0 (проверка),
12-3 + 15 -21 - 30 = 51 - 51 = 0.
Вычислим значения Qy и Mz в харак-
терных сечениях балки.
Сечение х = 0, Qy = 0, Mz = 6 кНм
(растянуты нижние волокна).
Сечение х = 1 м (слева), Qy = 0, Mz = 6 кНм.
Сечение х = 1 м (справа), Qy = RA = 21 кН, Mz^ 6 кНм.
Сечение х=4м, £^ = 21 - 12-3 = - 15 кН, Mz¥ 6 + 21-3 - 12-3-1,5 =
= 15 кНм (растянуты -нижние волокна).
Сечение х = 6 м (справа), Qy = 15 кН,	Mz = -15-1 = -15 кНм
(растянуты верхние волокна).
Сечение х = 6 м (слева), d Qy = 15 - 30 = -15 кН, Н = - 15 кНм.
решение х = 7 м,..	^=15 кН, Mz = 0.
На участке с распределенной нагрузкой поперечная сила изменяется по
линейному закону со сменой знака с плюса на минус. Изгибающий момент на
этом участке изменяется по закону квадратной параболы и имеет экстремаль-
ное значение в сечении, где поперечная сила равна нулю. Из подобия треуголь-
ников на эпюре Qy определяем координату сечения х0 , где поперечная сила
обращается в нуль, и для этого сечения вычисляем экстремальное значение из-
гибающего момента.
х0 -1 _ 21
4 - х0 15 ’
х0= 2,75-м;
1.752
Мтах = Ч<2>75) = 61 21 • V5 -12 •
24,4 кНм
(растянуты нижние волокна).
На участке ЁА поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент имеет
постоянное значение. На участках DB и ВС поперечная сила постоянна, а из-
гибающий момент изменяется по линейному закону. В сечениях А и В на
эпюре Qy имеются скачки.
Эпюры Qy и Mz приведены на рис;.3.11.
33
Задача 3.8.
Для балки с промежуточным шарниром, изображённой на рйс.3:12, по-
строим эпюры Qy и М%.
Балка является статически определимой, поскольку для определения трех
опорных реакций Ra, Rb и Rd можно составить два уравнения равновесия и
дополнительное уравнение ЪМС = 0 для левой или правой части балки.
Расчет проведем с помощью так называемой поэтажной схемы. Разрежем
мысленно балку по промежуточному шарниру С. Балка CD не может работать
самостоятельно и опирается на несущую балку АС.
Вначале произведём расчёт не-
сомой балки СО, имеющей услов-
ную шарнирную опору в сечении
С.
Определяем опорные реакции.
ЕМС=О, - 18-1+3^ = О,
Rd = 6 кН;
18-2-37?с = 0,
Rc= 12 кН;
ЕУ= О (проверка),
18 г-12-6 = 18-18 = 0.
Выполним расчет несущей бал-
ки. Влиянью несомой балки СО на
йесущую балку АС характеризу-
ется действием силы 12 кН,
имеющей направление, противо-
положное направлению условной
опорной реакции
Ш< = 0,	- 12-3’1,5-12-4? +
+ ЗАв = 0, 7?# = 34 кН;
YMB = 0,	12’3*1,5-12-1 -
- 3^ = 0, ^ = 14 кН;
УУ= 0 (проверка),
12*3 + 12 - 34 - 14 = 48 - 48 = 0.
Вычислим значения Qy и Mz
в характерных сечениях балки.
Сечение х = 0, Qy = RA —
= 14 кН, Mz = 0.
Сечение х - 3 м (справа),
Сечение х = 3 м (слева),
Сечение х = 4 м,
Qy =12 кН, Mz = -12’1 - 12 кНм
(растянуты верхние волокна).
Qy = 12 - 34 - 22 КН, Mz = - 12 кНм.
Qy= 12 кН, М = 0.
34
Сечение = х = 5 м (справа), Qy = - 6 кН, Mz = 6-2 = 12 кНм
(растянуты нижние волокна).
Сечение х = 5 м (слева),	Qy = 12 кН,	Mz = 12-1 = 12 кНм.
Сечение х = 7 м,	Qy = -6 кН, Mz = 0.
Из подобия треугольников на эпюре Qy определяем координату сечения
х0, и для этого сечения вычисляем экстремальное значение изгибающего мо-
мента.
*о И
3-Ло 22’
х0 = 1,17 м ;
Мтах
= Mz(l,17 ) = 14 • 1,17 -12 • —— = 8,17 кНм (растянуты нижние волокна).
На участках BE и ED поперечная сила постоянна, а изгибающий момент
изменяется по линейному закону. В сечениях В и Е на эпюре поперечных сил
имеются скачки, а на эпюре изгибающих моментов имеются точки излома.
Эпюры Qy и Mz приведены нарйс.3.12.
Задача 3.9.
Для балки с наклонным участком, изо-
браженной на рис.3.13, построим эпюры N,
Qn М.
Определим опорные реакции.
XX= 0, Нс = 0;
YMB = 0, - 18-4-2 +: 12-2 + 4RC=:0,
Лс = 30кН;
YMC = 0,	12-6 ± 18-4-2 - 4RB = 0,
RB = 54 кН;
ХУ= 0 (проверка),
12+ 18-4-54-30 = 84-84 = 0.
При определении продольных и попе-
речных сил N и Q в пределах наклонного
участка надо.: составить проекции нагрузок и
реакций на ось стержня и на нормаль к оси.
Вычислим: значения N, Q и М в ха-
рактерных ееченияк балки. I
Сечений х =0, N = 0, Q = - 12^ кН, МН).
Сечение х = 2 м (слева), N = б,
Q = - 12 кН, М= - 12-2 = - 24 кНм
(растянуты верхние волокна).
Сечение х = 2 м (справа),
N = -(54 - 12)sin 30° = - 21 кН (сжатие),
М= - 24 кНм.
Рис.3.13
6 = (54-12)cos30° =36,4 кН,
35
Сечение х = 6 м,	N = 30 sih 30° 15 кН, (растяжение).
*	2 = -30cos30° = -26 кН, М=0.
Из подобия треугольников на эпюре Q определяем координату xq, где
поперечная сила обращается в нуль, и для этого сечения вычисляем экстре-
мальное значение изгибающего момента.
——- =	х0 = 4,33 м , 6 - х0 = 1,67 м ;
6 ~ х0 26
1672
= 7И(4,33)= 30 4,67 -18 •...= 25 кНм (растянуты нижние волокна).
Эпюры JV, Q й М' приведены на рис. 3.13.
Задача 3.10.
Для консольного ломаного стержня, изображенного на, рис.3.14^^ постро-
им эпюры N, Q и М Предварительное определение опорных реакций в задел-
ке не обязательно.
Рис.3.14
Определяем внутренние усилия N, Q и М в характерных сечениях стерж-
ней, начиная со свободного конца.
36
Стержень АВ NA^NB = Q, QA = & = -18кН. MA = Q,
Мв = 18-2 = 36 кНм (растянуты правые волокна).
Стержень ВС NB = Nc = - 18 кН (сжатие), Qb~Q, Qc =24-2 = 48 кН,
W= 36 кНм (растянуты нижние волокна),
t Me = - 24-2-1+ 36 = 7-12 кНм (растянуты верхние волокна).
Стержень CD Nc = ND= 2-24 = 48 кН (растяжение), Qc = Qd = 18 кН,
Мс = - 12 кНм (растянуты правые волокна),
MD = *- 24-2-1 - 18-1 = - 66 кНм (растянуты правые волокна).
Эпюры Q и М приведены на рис.3.14Дв,г. Опорные реакции в заделке
равны: HD = 18 кН, RD = 48 кН, MD = 66 кНм.
Вырезаем жесткий узел С и проверяем его равновесие под действием
усилий в стержнях, сходящихся в узле (рис.3.14,Э). Условия равновесия ЕХ = О,
ЕУ=0, ZMC = 0 выполняются.
Задача 3.11.
Для стержня с криволинейным участком в виде полуокружности
(рис.3.15,я) построим эпюры внутренних усилий N, Q и М.
Рис.3.15
Установим законы изменения внутренних усилий на криволинейном уча-
стке в зависимости от угла ср. Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил
на нормаль п и на касательную t к сечению, а также сумму моментов относи-
тельно центра тяжести сечения К (рйс.З.:Г5,б), получим
Ей = О,	N - 6cos<p = О, N = 6cos<p ;
Е/ = О,	Q - 6sin(p О, Q = 6sincp ;
ЕМа<= О, “ М+67?coscp = 0, Л/=18cos(p .	; >
37
Последовательно вычисляем
Ф = 0,	jV=6kH,	2 = 0,	М=18кНм;	
Ф = 30°,	N= 5,2 кН,	бнЗкН,	М^= 15,6 кНм;
Ф = 60°,	3 кН,	^5,2кН.	Ai= 9 кНм;
Ф =??90°,	JV=O,	Q-6 кН,	М=0;
Ф=120°,	 7V = -3kH,	Q = 5,2 кН,	М = -- 9 кНм; 
ф = 150°,	TV = -5,2 кН,	2 = 3 кН,	М= - 15,6 кНм;
Ф = 180°,	 TV=-6kH,	0 = 0, м =	--18 кНм.
Вычислим значения N, Q и М в характерных сечениях горизонтального
стержня ВС.
Сечение С: ?/=(), Q = ~ 6 кН,	М = 0.
Сечение#: tV=O, 2 = -6кН,	М= - 6-3 = ~ 18 кНм
(растянуты верхние волокна).
Откладывая вычисленные значения в рассмотренных сечениях перпенди-
кулярно к оси стержня и соединяя полученные точки, построим эпюры внут-
ренних усилий N, Q и М. Эти эпюры приведены на рис.3.15,в,г,д.
Опорные реакции в заделке равны: RA = 6 кН, ЙА = 0, МА =18 кНм.
Задача 3*12.
Для рамы с шарнирными опорами (рис.3.16(h) построим эпюры N, Q
и М. а)	б)
Проверка равновесия
жёсткого узла С
12кН
бкНм
|29кН
12кНм
(М)(кНм)
1.8кНм
29кН
Рвдс.3.16
Определим величины опорных реакций.
38
EX = О, HA - 12 = О, H212 кН;
ЕМ = О, - 18-3-1,5 + 12 - 12-1,5 + 3RB = О, RB = 29 кН;
ЕМ =Д 1^3-1,5 + 12 + 12-1,5 - 12-3 —3RA = О, RA = 25 кН;
ЕЕ = О (проверка),	18-3 - 25 - 29 = 54 - 54 = О.
Вычисляем внутренние усилия в характерных сечейиях каждого участка
рамы. -	;
Стержень AD
Сечение A:	-N^ -12 кН, 25 кН,
Сечение С (слева): N= - 12 кН,	Q = 25 - 18-3 = - 29 кН,
М= 25-3 - 18-3-1,5 = - 6 кНм (растянуты верхние волокна).
Сечение С (справа): N= О,	Q = О, М= 12 кНм
(растянуты нижние волокна).
Сечение D:	N= О,	g = 0,	М = 12 кНм.
Стержень ВС
Сечение В:	N=- 29 кН,	Q = О,	М = 0.
Сечение Е (снизу):	N = - 29 кН,	Q = О,	М = 0.
Сечение. Е (сверху):	N= -^9 кН,	Q = 12	кН,	М = 0.
Сечение Д	N = - f 29 кН,	Q = 12	кН,	М = - 12-1,5 = - 18 кНм
(растянуты правые волокна).
Из подобия треугольников на эпюре Q (рис.3.16,б) определяем координа-
ту х0, где поперечная сила обращается в нуль, й для этого сечения вычисляем
экстремальное значение изгибающего момента.
х0. __ 25
3-х0. ” 29’
1,39 м ;
АС,
?т 3Q2
= М(1,39)= 25 -1,39 -18 •
= 17,36 кНм (растянуты нижние волокна).
Эпюры N, Q и М приведены на рис.3.16,6,в,д.
Вырежем мысленно узел С и проверим его равновесие под действием
внутренних усилий в стержнях, сходящихся в узле (рис.3.16,г). Нетрудно ви-
деть, чхеуравнения равновесия ЕХн= 0, ЕЕ - 0,,	0 выполняются.
Задача 3.13.
Для консольной балки (рис.3.17,а)
изображена эпюра изгибающих моментов
(рис.3.17,б). Определим нагрузку, дейст-
вующую на балку,; опорные реакции и по-
строим эпюру поперечных сил.
На участке ВС эпюра Mz имеет вид
наклонной прямой. Растянуты верхние
волокна балки. Следовательно, к концу
балки приложена сосредоточенная сила,
направленная вниз и равная
Рис.3.17
39
в \
. Р1=^- = —= 10кН.
1 а 2	:
На участке АВ эпюра Mz имеет вид квадратной параболы. Следователь-
но, на этом участке на балку действует равномерно распределенная нагрузка q,
направленная вниз. Величину т/ определим по абсолютным значениям изги-
бающих моментов МА, Мв и MD и по величине “стрелки” f = qalS квадрат-
ной параболы в середине участка АВ.
Согласно свойству средней линии трапеции, имеем
МА±МВ
f + MD= А— 
Отсюда получим
_ 4(мл +МД-8Л/О 4(60+ 20)-8-20
Ч'	аг '	~	4	’
1И/=60кНм я = 40кН/м Р| 10кН
 RA 60кН \Рг= ЗОкН
Рис.3.18
В сечении В на эпюре Mz имеет-
ся излом. Следовательно, в этом сече-
нии приложена сдёреддтййенйая сила
?2, направленная вверх. Величину си-
лы найдем по значению изгибающего
момента в заделке
бОкНм:
2
40-22
= -10 • 2  2 + 2Р, —_ 60 кНм.
2	2.
Отсюда получим Р2 = 3Q кН.
На рис.3.18,6? показаны нагрузки, действующие на балку, и опорные реак-
ции. Эпюра поперечных сил приведена нарис.3.18,б.
Задача 3.14.	......
Для шарнирно опертой балки с консолью (рис.3.19,6?) изображена эпюра из-
гибающих моментов (рис.3.19,б). Определим нагрузку, действующую на балку,
опорные реакции и построим эпюру поперечных сил.
 A BCD	На консольной части CD балки
действует равномерно распределенная
нагрузка, направленная вниз, которую
определим по величине изгибающего
момента в сечении С:
Мс =	, q =	=' 10 кН/м .
2_?.	22
В сечении А к балке приложен
момент ЭИ = 12 кНм (рис.3.19,6/), вы-
Рис.3.19
40
зывающий растяжение верхних волокон, а в сечении В - сосредоточенная сила
Р, направленная вниз. Величины силы Р и опорных реакций RA и RB проще
всего определить, предварительно построив эпюру поперечных сил, используя
дифференциальную зависимость
'Л	г •	j	J '
n	г
Qv = tga, где а -угол наклона линии эпюры Mz к оси балки.
На участке АВ (Mz возрастает,
е,>о).
е>.	^-(-12) = 18кН
а	2
На участке ВС (Mz убывает,
На участке CD (Mz возрастает,
Qy 0).	' 
Qd = О, Qc = qa = 10-2 = 20 кН.
Схема нагрузки и эпюра поперечных сил
приведены на рис.3.20,а,б.
По величинам скачков на эпюре поперечных, сил находим
Р = 22+ 18 = 40кН; Rc = 20 + 22 = 42 кН, ^ = бл=18кН.
41
Г.1ЛВЛ 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ
И РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
4.1. Основные определения и формулы
При прямом изгибе балки в плоскости <Охув её поперечных сечениях дей-
ствуют нормальные и касательные напряжения
Рис.4.1
(4-1)
> '	. ,	.Оу^у)
-ух' ^ху г \
В этих формулах Mz и Qy - изгибающий мо-
мент и поперечная сила; 50ТС(у) - статический мо-
мент отсечённой площади сечения F0TC относи-
тельно нейтральной оси Or, b(y) - ширина сечения
(рис.4.1).	л:	:.П	и
Из формулы (4.1) следует, что нормальные напряжения стх принимают
наибольшее и наименьшее значения в нижних (у = /?н) и в верхних (у = - /?в) во-
локнах, наиболее удалённых от нейтральной оси (рис.4.2,а,б).
0 "	М<б
(42)
Рис.4.2
Рис.4.1
При этом
ИС ’
w.
(4.3)
где
W =-^,
" К
(4-4)
и WB называются моментами сопротивления сечения для

Величины
нижних и верхних волокон.
Наибольшие по абсолютной величине напряжения определяются по фор-
муле
42
(4.5)
нм...
где WHM - меньший из моментов сопротивления и JFB.
Для сечений, симметричных относительно нейтральной оси.: (рис.4.3).
Лн =	и И\, =	W^J/(),5h . При этом наибольшие напряжения опре-
деляются: по формуле	икг
_Mz
нб W
(4.6)
?  В балках прямоугольного сечения касательные напряжения тух изменяют-
ся по высоте сечения по закону квадратной параболы. Наибольшие значения
они имеют в точках на уровне нейтральной оси (рис.4.4,а).
Значения тнб - 'хтах и т) на уровне сопряйёййя полки и стенки двутавра
(рис.4.4,б) вычисляются по формулам
;	_ Qy^l/2 _Qy$w
тах ~ J7d ’ v1 - j a
(4.7)
где .^1/2“ статический момент половины сечения двутавра; Sn - статический
момент полки. При этом
Sn=4i“tj‘	(4,8)
43
При изгибе балки величины главных напряжений СУ] и су2 и углы наклона
нормалей к главным площадкам а| иа2 определяются по формулам
tgaf =	, tga2 =	.	(4.10)
При расчёте изгибаемых элементов строительных конструкций на проч-
ность применяется метод расчёта по предельным состояниям. В этом случае
условие прочности по нормальным напряжениям записывается в виде
анб<усЛ,	(4.11)
где R - расчётное сопротивление материала балки, а ус - коэффициент усло-
вий работы.
Для хрупких материалов расчётное сопротивлений при растяжении
существенно меньше, чем при сжатии Rc. В этом случае должны выполняться
условия прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим
найряжениям
..^7^-..	(4.12)
В случае расчёта на прочность по методу допускаемых напряжений в фор-
мулах (4.11) и (4.12) величины в правых частях необходимо заменить соответ-
ственно на [су], [сур] и [сус].
Для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и
сжатию, с поперечным сечением, симметричным относительно нейтральной
оси, условие прочности (4.1 Г) записывается в виде
М
oh6=^<^R-		(4.13)
IP
Для сечений, несимметричных относительно нейтральной оси (типа тавра
и др.)
Снб- „F	(4Л4)
нм
В формулах (4.13) и (4.14) 2Ирасч = у/Л/нб - наибольший изгибающий мо-
мент в опасном сечении балки от действия расчётных нагрузок, у/-- коэффици-
ент надёжности по нагрузке.-
С использованием условий прочности (4.11) - (4.14) решаются следующие
задачи: проверка прочности балкщ подбор сечения’, определение несущей спо-
собности (грузоподъёмности).	.
Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочно-
сти при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала.
Решение второй задачи сводится к определению размеров сечений задан-
ной формы при известных нагрузках и свойствах материала. В этом случае ис-
44
Пользуются расчётные формулы, получаемые из условий прочности (4.13) или
(4.14)
.  ......... Л/	.	Моаеч
или Ж,	(4.15)
'	чв. ycR	нм усЛ
При решении задачи по определению грузоподъёмности балки вначале из
условия прочности (4.13) или (4.14) находится величина расчётного значения
изгибающего момента
•^расч —	ИЛИ ^расч — Ус^^нм ’	(4.16)
затем по известному значению ЭДасч определяются соответствующие величи-
ны нагрузок.
В некоторых случаях возникает необходимость использования условий
прочности по наибольшим касательным напряжениям
*i	<4.17)
где Rs - расчётное сопротивление материала при сдвиге.
Работа балки за пределом упругости материала зависит от вида диаграммы
а = Де). Примем, что для материала балки можно использовать диаграмму
Прандтля (рис.4.5,а). Согласно этой диаграмме при. напряжениях, меньших
предела текучести (ах < от), справедлив закон Гука, д при с>х = от деформации
неограниченно возрастают.
.а)	6)	в) !
1 ю
Рис.4.5
В случае изгиба балки при постепенном увеличении нагрузки напряжения
в крайних волокнах опасного сечения достигают предела текучести ат и воз-
никают пластические деформации. При дальнейшем увеличении нагрузки пла-
стические деформации распространяются вглубь сечения балки (рис.4.5,б).
Предельное состояние (ЭД- ЭДред) наступает, когда напряжения во всех во-
локнах внижнейи верхней пастях балки достигают значения о* = <jT. В опас-
ном сечении балки возникает так называемый пластический шарнир (рис.4.5,в).
Предельный момент в пластическом шарнире определяется по формуле
М,ред=От^т-	(4.18)
Величина W[ -называется пластическим моментом сОпрьтиёленйя. Для
симметричных сечений она равна •	1	,
45
WT=2Sl/2=2^ydF	(4.19)
F/2
Определив предельный момент, можно найти величину коэффициента за-
паса как отношение предельного момента к наибольшему изгибающему момен-
ту от действия нормативных нагрузок;
' п = М^.	(4.20)
^нб
4.2. Примеры решения задач
Задача 4.1.
Для балки, показанной на рис.4.6, построим эпюры и Mz , подберём
сечение балки в виде стального прокатного двутавра. В расчётах примем коэф-
фициент надёжности по нагрузке у/= 1,2, коэффициент условий работы ус = 1,0,
расчётное сопротивление R = 210 ]\1Па = 21 кН/см2, расчётное сопротивление
при сдвиге As 130,МПа = 13 кН/см2, предел текучести <эт = 230 МПа = 23
кН/см2.
Расчёт начнём с определения опорных
реакций и построения эпюр 0 и Mz.
£мА = 0, RB 5 - 40*1*5,5 - 20*2,5 + 10 = 0,
RB = 52 кН ;
ZMB = 0, - Ал-5 + 10 + 20*2,5 - 40* 1*0,5 = 0,
Ал = 8 кН;
.£Уя= О (проверка),
20 + 40*1 - 8 - 52 = 60 - 60 = 0.
Эпюры 0 и Mz приведены на
рис.4.6. Опасным сечением является сече-
ние над опорой А, где Q = Qh6 = 40 кН и
М= Мкъ = 20 кНм.
Вычислим расчётные значения наи-
большего изгибающего момента и наи-
большей поперечной силы:
(Ирася =	20-1,2 = 24 кНм’
Срасч =	40-1,2 = 48 кН
и требуемый момент сопротивления
7Ипасч 24-1О2 ч
ycR 1,0-21	1
По сортаменту принимаем двутавр 118 и выписываем необходимые гео-
метрические характеристики сечения (рис.4.7)....	....	,
46
h + 18 см ,	6 = 9 см > d= 0,51 см, / = 0,81 см;
И?=143см3‘, Sl/2 = 81,4см3.
ВыййСляей статический момент площади сечения полки относительно
йёйгральной оси Oz
5п=М-т-Л1 = 9-0,81
<2 2J
<,?г	‘ '
Для опасного сечения, где Qy
и Mz имеют наибольшие значе-
ния, ПОСТРОИМ ЭПЮрЫ <3Х и С
этой целью найдём характерные
значения напряжений и проверим
прочность балки по нормальным
и касательным напряжениям:
Ча- 24-102
онб = —г— =------=
у£Т? 143
Рис.4.7
= 16,8кН/см2 = 168МПа<усЯ=210МПа;
48 ’814	о
Ттах =	" '	= , ?оп п ., = 5’93 КН/СМ = 59’3 МПа <	=130 МПа ’
£?расч*$п 48-62,7	2 /кпллп
т - _----	- —	— и_ 4 57 кН/см = 45,7 МПа.
J-d 1290-0,51
Эпюры нормальных напряжений ох и касательных напряжений тух в
стенке двутавра приведены на риС:4.7.
Вычислим значения главных напряжений и углы наклона нормалей к глав-
ным площадкам в опасном сечении балки в стенке двутавра на уровне её со-
пряжения с полкой (у = 9 - 0,81 = 8,19 см) в зоне растяжения.
А/расч .	14 -102
Jz У~ 1290
•8,19 = 15,2кН/см2 = 152 МПа, тух = т, = 45,7 МПа;
о ±	+ 45,72 = 76 ± 88,7,
’	2 .Vi 2 )
<?! =164,7 МПа, о2 = -12,7 МПа;
Tvr 45 7 tgftl=^ = ^ = 0,277, СУ! 164,7	И] =15,5° ;
г	45,7 э tga2= -=	= 3,60 , О2 —12,7	а2=-74,5°
47
На рйс.4.8 показаны
нормальные, касательные и
главные напряжения, дейст-
вующие на гранях бесконеч-
но малых элементов, выде-
ленных из стенки двутавра
на уровне сопряжения с пол-
кой. к = элиЖ"--'
Вычисляем значение предельного момента в пластической стадии дефор-
мирования. С учётом формул (4.18) и (4.19), имеем
Мфсд = 2qt51/2.= 2*23-81# = 3744,4 кНсм = 37,4 кНм .
Пластический шарнир образуется в сечении над опорой 7?, где действует
наибольший изгибающий момент. 5	.	ид чэ’щзд
Вычислим величину коэффициента запаса
^пред _ 37.4
Задача 4.2.
Для балки, показанной на рис.4.9, построим эпюры Qy и Mz , подберём
сечение балки в виде стального прокатного двутавра.
В расчётах примем у/= 1,2, у€ = 0,9,
R = 210 МПа = 21 кН/см2, Rs = 130 МПа = 13
кН/см2, а, = 230 МПа - 23 кН/см2.
Определим опорные, реакции и построим
эпюры Qy и	,
Рис.4.9
Щу~0, /^-4 + 20-1,5-30-2-1 -
-45-2-20 =*0, % = 35 кН г -и
ZM = 0, -RA-4 + 20-5,5 + 30-2-3 +	-
+ 45-2-20 = 0, Ял = 90 кН;
= О (проверка), 20 + 30-2 +45 - 90.^
-35 = 125-125 = 0.
Эпюры Qy и Mz приведены на рис.4.9.
Поперечная сила Qy имеет наибольшее зна-
чение в сечении над опорой А (х = 1,5 м), а
изгибающий момент Mz - в сечении х = 3,5 м.
Вычислим расчётные значения наиболь-
шего изгибающего момента и поперечной си-
лы для опасного сечения (х = 3,5 м)
48
	's- !(л<< г=МбУ/= 50-1,2 w бОкНм ;
- брасч ~ бнб7/= 35-1,2 = 42 кН .	;
Требуемый момент сопротивления равен
По сортаменту принимаем двутавр 127 и выписываем необходимые гео-
метрические характеристики сечения (рис.4.10,а).
Л = 27 см, 6= 12,5 см,	d =0,6 см, t = 0,98 см;
Л=5010Ш44	371 cm3, Sl/2 = 210 см3.
Вычисляем статический момент площади сечения полки относительно
нейтральной оси Oz
: ' S' = b/--4 = 12,5-oW—	1'59,4 сМ3.
”	<2 2 J	<2	2. ;
Для опасного сечения построим эпюры сгЛ .и тух. Определим наибольшее
значение нормальных напряжений и проверим выполнение условия прочности:
Л6асч 60 102	9
' бнб .ь-л^а-^^^ЗкН/см2 = 162МПа<усА=0,9-210=189МПа;
W -5/1
Найдём характерные значения касательных напряжений:
. W =Wfe’s, ^п2^0 =2,93кН/см2 = 29,3МПа;
Jzd 5010-0,6
брасч^п 42-159,4	2 on о клгт
.	-22,3 МПа.
Jzd 5010-0,6
Эпюры напряжений оЛ и тух для опасного сечения (х = 3,5 м) приведены
На рИС.4.10,6,6.	. Г . , ,	>
49
Для построения эпюры тух в сечении % = 1,5 м, где Qy имеет наибольшее
значение, и проверки условия прочности по касательным напряжениям найдём
тнб ИТ]. Учитывая, что для этого сечения
еРасЧ = 2нбУ/= 70-1,2 = 84 кН,
получим
6расч*-*1/2	84-210	. 2
тнб = --	' = —= 5,86 кН/см =
Jzcf 5010-0,6.
= 58,6 МПа < ycRs = 0,9-130 = 117 МПа;
брасч^п 84-159,4	,	2 Л Л д К/ГГГ
Ti = 1=	= 4 46 кН/см = 44,6МПаи -
1 Jzd 5010-0,6
Эпюра тух для сечения х=1,5м показана на рис.4.10,г.
Вычислим значения главных напряжений и углы наклона нормалей к глав-
ным площадкам в опасном сечении балки, в стенке, на уровне её сопряжения с
полкой (у = 13,5 - 0,98 = 12,52 см) в зоне растяжения.
Учитывая, что в этом случае
с =	,= 60110^,.<12,52 = 15,0кН/ем2,- 150 МПа,	s. ¥i	22,3 МПа,
х Jz 5010
получим
• О,.2 = Ч’ ±	1j + (_ 22,3)2 = 75 ± 78,2;
Cj =153,2 МПа ,	<т2 = - 3,2 МПа;
cq = - 8,3° ;
Я2=81?7°
На рис.4.11 показаны нор-
мальные, касательные и главные
напряжения, действующие на
гранях бесконечно малых эле-
ментов, выделенных из стенки
двутавра на уровне сопряжения с
полкой.
Вычисляем значение пре-
дельного момента в пластической стадии деформирования.
Пред = 2ст51Л= 2-23:210 = 9660 кНсм = 96,6 кНм,
Пластический шарнир образуется в опасном сечении (х = 3,5см), где дей-
ствует наибольший изгибающий момент.
50
Величина коэффициента запаса равна
^пред 96,6
П — —_ = j
Мнб 50
Задача 4.3.
Для стальной 'балки указанного на рйС4.12,б сечения определим из усло-
вия прочности по методу предельных состояний наибольшую допустимую на-
грузку q. Построим эпюру дх для опасного сечения. В расчетах примем R =
= 210 МПа = 21 кН/см2, ус = 0,9.
Определяем опорные реакции.
ЪМА = 0 , - ^5-2,5 - 2q-1 -5,5 + 5RB = Оч RB = 4.7q ;
ЪМВ = 0:,	д-5-2,5 - 2д-1-0,5 -т 5Ra = 0 , RA = 2,3q ;
ХУ= 0 (проверка), q-5 + 2q-1 - 2,3q - 4,7q = 7q -7q = 0 .
Рис.4.12
Строим эпюры Qy и Mz (
изгибающего момента в пролете. Из пропорции находим
. •	..	. — по.
. -------г- -, Xq — 2,3 М
* *I I	Э ~ Xq
(рис.4.12,а}. Определяем экстремальное значение
Wmax = Afz(2,3) = RAx0 = 2,645^..
Определяем положение центра тяжести сечения и моменты сопротивления
для верхних и нижних волокон балки (рис.4.12,6): Данные для сечения прокат-
ного швеллера ЕЗО берем из сортамента.
SZ2 =ЗО-1-(-15,5) = -465см3;
^2	465
>’(, = -г- =-------------= - 4,19 см ;
F 2-40,5 + 30-1
51
Jz =2(5810 + 40,5 -4,192)
ВХ+зЬ-11,зГ2
12
= 16882 см4
16882 1/1ОП з _	16882 оол з
FT =------= 1429см , W =--------= 880см .
в 11,81	19,19
Поскольку материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжа-
тию (Лр = Rc = R), то достаточно обеспечить выполнение одного условия проч-
ности (4.14) в сечении с наибольшим изгибающим йомёнтом (сечение С).
7ИПЯРЧ	о	 о ‘	.
пнб=	'	...
Из этого условия находйм
Часч = ^ах = 2,645  10 V <	=880 -21- 0,9
Отсюда находим наибольшую допустимую нагрузку
q = 0,629 кН/см = 62,9 кН/м.
Числовой коэффициент 2,645 в выражении для Мрасч имеет размерность
м2. Поэтому для выражения Л7расч в кНсм надо ввести множитель 104.
Определяем значения нормальных напряжений в крайних волокнах балки
в сечении С.
Л7 с, 2,645*10 '0,629 1О>Л тт/ 2	1 оА к Чгт-Т r> i Агч w
<jh = —£-== —------~— = 189 кН/см2 = 189 МПа = ycR = 189 МПа;
880 d
Мс	2,645 • 104 • 0,629	11 Д тг/ 2 ц-клтт
с =----с =	— = _ j j 6 кн/см =-116 МПа.
в WB	1429
Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.
Эпюра для сечения С приведена на рис.4.12,в.
Задача 4.4.	, - _
Для балки указанного сечения (рис.4.13) определим наибольшую допусти-
мую нагрузку q из условия прочности по нормальным напряжениям и постро-
им эпюру о в опасном сечении. В расчетах примем R = 210 МПа = 21 кН/см2,
Yc=hO.
Определяем опорные реакции.
. _ .	1Л/4 = 0.	су'1'0,5-^2'3+4^-0, ^= 1,375^;
Ш>’ = 0,	</• 1-4,5 + с/-2-1 -4Лл = 0, /?л=1,625^;	z
YY= 0 (проверка) , qA -г q-2 1,625</ - 1,375# = 3q -?3q = 0 .
52
Рис.4,13
Строим эпюры Qy й Mz (рис.4.13,4/). Определяем экстремальное значение
изгибающего момента в пролёте. Из пропорции находим:
1,375# 0,625g
-----~, Хо = 1,375 м ;
х0 2 — л 0
Мтах = Mz(l,375)= Ядх0 -^ = 0,9453g .
Числовые коэффициенты у изгибающих моментов имеют размерность м2.
Определяем положение центра тяжести: сечения и моменты сопротивления
для верхних и нижних волокон сечения (рис.4.13,б).
1 Sz? =30  1 • (-18,5) + 15 • Г-18,5 = -277,5 см3;
^2	277,5
у0 = —г- =----------------— = _ з 43 см 
° F 30-1 + 36-1 + 15-1
Jz =	+ -30 • (18,5 - 3,43)2 +	+ 36. з 432 +
12	12
15 I3
+	+15  (18,5 + 3;43)2 • 15 = 18364 см4 ;
и. Jz 18364	з № J, 18364 О1О„ з
У ^.'7^=-;	=1179см3 ,.	= г .=818,7 см3.
.. Лв .15,57	h„ 22,43
Поскольку материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжа-
тию, достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности (4.14) в се-
чении с наибольшим изгибающим моментом
...	...л.	-^расч.^. г,
°иб — — ^7,	— Y’
....... ' ................................. ’  -
53
Мрлт=Мтт = 0,9453 1049<ИнУсА = 818,7-21-1,0 .
Отсюда находим: q = 1,82 кН/см = 182 кН/м. Размерность числового-коэф-
фициента у изгибающего момента переведена в сантиметры.
Определяем напряжения в крайних волокнах балки в сечении С.
с =	= О»453 И) -1,82 = 21 кН/см2 = 210 МПа =ycR = 210 МПа ;
. W„ 818,7	..... с
Мс,	0,9453-104 -1,82	.2
а =-----Р- =----------------= __ | 4 5 кн/см = -146 МПа .
К 1179
Прочность балки обеспечена. Эпюра сух приведена на рис.4.13,в.
Задача 4,5,
Для чугунной балки указанного йбйёречного сечения (рис.4.14) определим
грузоподъемность и построим эпюру нормальных напряжений в опасном сече-
нии. Допускаемые напряжения чугуна при растяжении и сжатии равны
[<Ур] = 80 МПа = 8 кН/см2, [ос] = 150 ЙЙа = 15 кН/см2.
а)	б)	в)
0,5Р
Рис,4.14
Используя уравнения статики, определяем опорные реакции
и строим эпюру изгибающих моментов Mz (рис.4.14,а).
Используя в качестве вспомогательной ось O\Z\, проходящую через центр
тяжести нижнего прямоугольника (рис.4.14,6), определим положение центра
тяжести сечения
Sz 24-6-15
Ло F 2-24-6
Вычислим осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси
Oz и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон:
54
< z.
j = 6-2-1 + 24-6 + 2 6><24 .7 2 = 23544	4
12 I2	- -	’
= Л =23544=1207cm3	W;=^L=225f4 = 2242 cm3.
hK 19,5	° йв 10,5
Для определения величины наибольшей допустимой силы Р используем
условия прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим
напряжениям для двух сечений балки - сечения С, где действует наибольший
изгибающий момент Мс = 0,5Р, растягивающий нижние волокна, и сечения В,
где действует наибольший изгибающий момент Мв = Р, растягивающий верх-
ние волокна,
В сечении С наибольшие растягивающие напряжения в нижних волокнах
равны (рисД. 14,в)
Мс 0,5Р-100 50Р
О’ б —--—--------—---- •
Д,	wn
Из условия прочности
Мс _ ,
а“6=^1Т^]
находим	50Р < [ст ]№„ , Р< 84207 = 193,1 кН .
р н '	50
Проверка прочности по наибольшим сжимающим напряжениям не требу-
ете^ так как в сечении С |ав| < сгн!, a [пс] > [ар].
. В сечений В наибольшие растягивающие напряжения возникают в верх-
них волокнах
__МВ Р-100
^в WB
Из условия прочности	•
Л7 R г т
а„б = - - <[оп]
но ттл Т Р-Г
находим	1 OOP < [см 1Д,,, Р < 8Д2242 = 179 36 КН .
₽>;В	 100
Наибольшие сжимающие напряжения в нижних волокнах равны
Мь Р-ЮО
сн = - т - =---1 .
Из условия прочности
	гг н
15 • 1207
находим	100Р < [ос ] 1ГН , Р <-— = 181,05 кН .
с н	100
•. ; Таким образом, более онасВДМ'Является сечение, Д и допустимая величин
на силы равна Р= 179,36 кН.	.	<•.........к.
55
Определим напряжения в нижних и верхних волокнах опасного сечения
а =	= - 1Z^6'100 = __ и 86кН/см2 148 6 МПа
II',,	1207
Мв 179,36-100 о тт, 2 ООЪ1ТТ
с --------------------- - g кн/см = 80 МПа.
WB 2242	и
Эпюра нормальных напряжений в сечении Д, приведена на рис.4.14,e. f
Задача 4,6,
Для балки указанного поперечного сечения (рис.4.15) определим грузов
подъемность и построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.
Материал балки - чугун. Допускаемое напряжение при растяжений [ор] ~ 80
МПа, при сжатии [ос] = 150 МПа.
Рис.4.15
Строим эпюру изгибающих моментов Mz (рис.4Д 5^). Числовой коэффи-
циент на эпюре Mz имеет размерность м2.
Используя вспомогательную ось OjZi , определим положение центра тяже-
сти сечения (рис.2.10,6)
Определим осевой момент инерций сечения относительно нейтральной оси
Oz и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон.
Jz =Jzi-Fyl= + 2 •	— (12-4 + 4- 24 • 2J- Ю2‘= 13120 см4;
Jz 13120 з и. Jz 13120	з
W =----------= 1312см , WK =-^ =--------= 937,1 см .
ю	’ йв 14
Для определения несушёй способности балки определим из условий проч-
ности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжени-
ям параметр нагрузки Р.	’	;	. л л
56
На участке ВС балки растянуты верхние волокна
: г Я; Sj £ : . М. 2Р-100 200Р
^в	^в
Из условия прочности
\ b	fa >^'<:[<?]
I В|	L pJ
находим	200Р<[стр]Жв, Р = 8'7,1 = 37,48 кН.
Проверка прочности по наибольшим сжимающим напряжениям на участке
ВС балки не требуется, так как |<ти| <сув, а [ес-] >[о,р].	;
В сечении А растянуты нижние волокна
МА 4Р-100 400Р
Q = ___А = __---, = --.
•;Н W*	Ww	:• J
Из условия прочности
!	Л/А •_
GH =--“^[Go]
н	L pJ
находим	i 400Р<[оп]И'	Р = 8'1312 =26,24кН
' р "	400
Наибольшие сжимающие напряжения в верхних волокнах равны
। I МА 4Р-100 400Р
... ... ...	.. h к = —=...-	-t—.
I ' Л *	Fb	й
Из условия прочности

получим	400/’<(ос|и; ,	Рхх15^37’1^35,14кН. ;
. Таким образом, более опасным является сечение А. Допустимая величина
параметра нагрузки равна Р - 26,24 кН.
Определим нормальные напряжения в нижних и верхних волокнах опасно-
го сечения
МА 4-26,24-100 о	2
о - —А - ----------—— = 8 кН/см - 80 МПа;
WH 1312
МА 4-26,24-100	l1A	tT/ 2	,
<5В =---А- = _  ---’------= -11,2 кН/см2 = -112 МПа.
937,1
. Эпюра нормальных напряжений приведена на рис.4.15,в.
57
ПРИЛОЖЕНИЕ. Сокращенный сортамент прокатной стали
Уголки стальные горячекатаные равнополочные (по ГОСТ 8509 - 86)
	IZ	Z0 '!	У /v45°	?	..... Обозначения: b - ширина полки;	' Jyz - центробежный момент инерции; t - толщина полки;	i - радиус инерции; F - площадь поперечного сечения;	zq = Го - расстояния от центра тяжести до наружной J - осевой момент инерции;	грани полки.								
			\ * U *									
			b 1	,	2										
Обозначение уголка b х b xt, мм			F, cm2	Л, см4..	4, см	Л макс, см4	ivмакс, см	Ju мин, см4	iu мин, см	см4	Zo, CM	Масса 1м, Kir
50 х 50 х 4 50 х 50 х 5			3,89 1 4,80	k 9,21 11,2		 1,54 ’	1,53	14.6 17,8	* 1,9’4 1,92	3,80 4,63	0,99 о,98	>5,4 6,59	1,38 1,42	3,05 3,77
56 х 56 х 4 56 х 56,х 5			4,38	’ 5,41	13,1 16,0	1,73 1,72	20,8 25,4	2,18  2,16	5,41 6,59	1,11 : 1,10	;	7,7 9,41	1,52 1,57	3,$4 4,25
63 х 63 х 4 63 х 63 х 5 63 х 63 х 6			'' 4Й : 6,13 j 7,28	18,9 23,1 27,1	1,95: 1,94 1,93	29,9 36,8 42,9	2,45 2,44 , 2,43	7,81 9,52 11,2	.	1,25 1,25 1,24 (	’ 11,0 13,6 ’	15,8.	1,69 1;74 1,78	3,90 4,81 5,72 г.
70x70x5 70x70x6			6,86	; 8,15	1	31,9 37,6	2,16 2,15	. 5б;7  5 59,&	2,72 ... 2,71	13,2 15,5	1,3 9 : •• 138 :	; 18,7^ " *22,1	1,90 5 1,94 ...	5,38 6,39
75 x 75 x5 75 x 75x6 75 x75x7			7,39 j 8,78 10,1	:	39,5 46,6 533	2,31 2,30 2,29	с 62,ф о 73,9 ‘ 84,6	г 2,91 2,90 , 2,89	16,4 193 22,1	1,49 1,48  1,48	23,1 27,3 ; 31,3	2,02 * 2,06 2,10 -	5;80 6,89 ; 7,96
80 х 80л 5,5 80 х 80 х 6 80 х 8gx 7			8,63 9,38	‘ io,8 .	52,7 57,0 65,3	2,47 2,47 2,45	• 83,6 90,4 104	3,11 з,и 3,09	21,8 23,5 27,0	1,59. 1,5g 1,58’	30,9 . 33,5 38,5	2,17 ? 2,19 2,23	6,78 7,36 8,51
90 х 90 х 6 90 х 90 х 7 90 х 90 х 8			10,6 12,3 13,9	82,1 94,3 106	S 2,78 1 2,77 " 2,76	130 150 168	3,1) 3,49 3,48	з4;о 38,9 43,8	1,79 1,78 1,77	* >48,0. 5 *55,6’ 62, L	2,43 - 2,47  2,51	8,33 9,64 : 10,9
Ui
.....чо
Продолжение
Обозначение уголка bxЪ х /, мм	F, см2	т	4 Л, см	4, см	Jv макс, см4	iv макс, см	Ju МИН, см4	iu мин, .. СМ	Vyz 1 > 4 СМ-	z0, см	Масса 1м, кг
ТООх’Жх?	7:1з,8	131	з,08;г	i 207	1	338	54,2	, Й,98	76,4	: 2,71	10,8
100 х 100 х 8	44м :	147	3,07	~	233 t	3,87	60,9		1,98	86,1		ii,2 
100x100x 10	19,2	179	3,05	284	3,84	74,1	1,96	105.0	Хзз	13,1
100x 100x 12	, 22,8 :	209	3,03	331	:	3,81	п 86,9	1,95	122,0	! 2,91	17,9
 110^110^	’ 15,2	176	3,40	279		4,29	72,7	,	2,19 ~	103	; 2,96	11,9 "
	11Йх.НО.Х'8		j£17,2’ ..		198 2	3,39	315	4,28	81,8	- 2,18	t П7	 3,00 •	. ..
125 х 125 х 8	19,7	294	3,87 ’	467 j	' *4,87	122	’	’ 2,49	173	’ 2,36	15,5
125 х 125 х9	22,0	327 ;	3,86	1	520 j	4,86	135	Г 2,48	1927	’ 3,40	173
125 х 125 х 10	24,3	360	3,85	571	4,84	149	•2,41	211	г 3,45	19,1
125 х 125 х 12	28,9	:	.	422.. /	3,82	670	,	4,82	174 .	? 2,46	248	3,53 ..	 22,7
140 х 140х 9	24,7	:	" 466	? 4,34	739	1	5,47	’	192	* 2,79	- 274	: 3,78 j	19,4 ~
140x 140x 10	27,3	512. .	4,33	814	5,46	211	2,78	302*	L 3,82	-213
140x 140x 12	.. 32,5:	602	4,3.1	957	5,43	24|;‘;.	7 2,76'	354	i 3,90	25,5
160x160x 10	31,4	774 '	4,96	’	1229 i	6,25	319	/ 3,19	455	4,30	24,7
160 х160 х 11	34,4	844	4,95	1341	6,24	348	3,18 '	496	4,35	27,0
160 х 160 х 12	37,4	913	4,94	1450	6,23	376	3,17	537	4,39	29,4
160 х 160 х 14	.43,3	1046	4,92	1662	6,20	431	3,16	615	4,47	34,0
160х160х-16^ж	49,1	1175	4,89		6,17	485	3,14	690	4,55	38,5
180х180х1|	' 38,8	1216’	5,60	Ж*	7,06	500	3,59	716	4,85	30,5
180x 180x 12$ :	42,2	1317	5^59	2093	7,04	540	и 3,58 ’	776	4,89	33,1
200x200x12 .	47,1	1823	" 6,22	2896'"”	7,84	' 749	'	3,99 ,	1074	5,37	37,0
200x200x 14 ;	54,6	2097	6,20	3333	7,81	861	3,97	1236	5,46	42,8
220x220x 147	60,4	2814	633	4470:	8,60	1159	4,38	1656	5,93	47,4
220x220 x 16	68,6	3175	6,81	5045	8,58	1306	4,36	1870	6,02	53,8
250x250x 16	78,4	4717	; ^7,76^	;	7492 L	У 9,78	;	49421 ।	4,98	2775 :	6,75	61,5
250x250x20	97,0	5765	7,71	9160	9,72	2370	4,94	3395	6,91	76,1
Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (по ГОСТ 8510 - 86)
О б о з н а ч е н и я :	.••	> '
В - ширина большей полки;	Jyz - центробежный момент инерции;
b - ширина меньшей полки;	г - радиус инерции;
t - толщина полки;	z9, yQ - расстояния от центра тяжести до наружной
F - площадь поперечного сечения;	грани полок.
j - осевой момент инерции;
Обозначение уголка ВхЪх t, мм	F,cm2.-	Л, см-	4,-см- 	Л, см4	zv, см	; МИН, см4	iu мин, см ;	Угол наклона оси w, tga	!.Мг 1. ’ см4 ,	ZQvCM	- Уо, CM	Масса 1м, кг-
50 х 32 х 4	’ 3,17	7,98 3 :	• 1,59	Г 2,56	0,90	1,52	039	0,401	2,59	9,76	1,65	2,40 1
75x50x5	„	. 6,11 :		34,8	1 2,39 ...	' 12,5		. 1,43	i. 7,24	1,09	 0,436	12,0	1,17 i	2.39	' <79	|
90 х 56 х 6	8,54 '	70,6 '	2,88	5 21,2	1,58	; 12,7	1,22	0,384	.: '22,2.	1,28	2,95	6,70	.
100x63x6	9,59	98,3 ; ’	“ 3,20	J 30,6	1,79	; 18,2	1,38	0,393	. 31,5	1,42 •	5,23	1 7,53	1
100x63x7	11,1	ИЗ	3,19	35,0	1,78	! 20,8	1,37	0,392	, ’ 36,1	1,46	3,28	8,70
100x63x8	12,6	127	’г 3,18 .	39,2	1,77	L. 23,4	136	0,391	- 40,5 U	1.50- -i	 з,й -	9,87- |
119x700	13,9 ••	172 г	3,51	54,6	1,98	’ 32,3	132 ’	0,400	55,91	.1,64	3,61	10,9
125 х 80 х 7	14,1 л	•227	-4,01	-73,7, -	2,29	Г 43,4	1,76 •:	0,407	74,7-	1,80	4,01-	11,0
125 х 80x8	1б,о :	256	” 4,00	83,0	2,28	? 48,8	135	0,4(¥	"84,1	1,84	4,03	12,5	!
125 х 80 х 10	19,7 :	312 '	3,98	100	2,26	| 59,3	1;74 .	0,404	102	1,92	4,14	15.,5
140 х 90 х 8	18,0. й	564;	; 4,49	120	2,58	’ 70,3	1J98	0,411	121	2,03	<4^	; 14,1 i
140x90x 10	22,2	444	’ 4,47	146	2,56	J 853	1,96 ;	0,409	147 ,	2,12 1	4,58 '	1?,5
Продолжение
Обозначение  . уголка Bxbxt, мм,	F, см2	Jz, см4 '	: iz, См	т	4 Jy, см	’  iy, см	Ju мин, см4	/„.мин, см	"Угол наклона оси w, tga	1 ’ см4	0о»’СМ	см	Масса 1м, кг
160x 100x9	-22,9	^606	• 5,15	186	2,85	по	2,20	0,391	194	2,23	5,19	18,0
Г60 х 100 х 10	25,3	667	5,13 ;	204	2,84	121	2,19	0,390	213	2,28	5,23	19,8
160 х 100x12	30,0	784	5,11	239	2,82 :	142	2,18	0,388	; 249	2,36	5,32	23,6
180x110^1.0 :	28,3	952	5,80	276	3,12 '	165	1 2,42	0,375	295	2,44	Ь88	22,2
180x110x12 ;	33,7	1123	5,77	324	3,10 ,	> Ж	2,40	0,374	348	2,52	5,97	2^,4
200 х 125x41 !	34,9	1449	6,45	446	3,58 :	264	' 2,75	0,392	465	2,79	6,50	27,4
200 х 125 х 12 :	37,9	1568	6,43	482 ’	1 3,57 :	285	: 2,74.	0,392	503	2,83	6,54	29,7
200x 125x 14 ;	43,9	1801	6,41	551	3,54 :	327	; 2,73	0,390	.575	2,91	6,62	34,4
200x 125 x 16	49,8	2026	6,38	617	3,52	367	2,72	0,388	644	2,99	6,71	39,1
250x 160x 12	48,3	3147	8,07	1032	4,62	604	3,54	0,410	1043	3,53	7,97	37,9
250 х 160 х 16	63, ё	4091	8,02	1333	4,58	781	3,50	0,408	1351	3,69	8,14	49,9
250x 160x 18	71,1	4545	7,99	1475	4,56	866	3,49	0,407	1497	3,77	8,23	55,8
250 х 160 х 20	78,5	4987	7,97	1613	4,53	949	3,48	0,405	1636	3,85	8,31	61,7
«		о				Двутавры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239 - 89)									
						Обозначения: h - высота двутавра; Ъ - ширина полки; d - толщина стенки; t - средняя толщина полки; F - площадь поперечного сечения;				J - осевой момент инерции; W - момент сопротивления; i - радиус инерции; S - статический момент полусечения.					
				Z *>”	1											
		11	J													
Номер			Размеры, мм				1 г,	Л,	JK, -	к ,		Jy\	Wf,	iy,!	Масса 1м,
двутавра							см2 ' ••	см4	см3 '	СМ> '	см3‘	см4 "	см	; СМ’-	кг
	h”		- b ; ‘		, d \	t		...	...						
10	100		; 55		4,5	7,2	12,0 .	198	39,7	4,06 :	23,0	17,9	6,49	1,22	9,46
	: 120:		 64		4,8	7,3	Н 14,7	350	5:8,4	4,88	1 33,1	27Э‘	8,72	' 1,38 J	11,5
14	140		; 73 Э		4,9	7,5 '	i 17,4 .	572	81,7 '	5,73	46,8	41,9^	11,5	1,55	13,7 .
16	160		‘ 81		5,0 4 -	7,8	20,2	873	109,0 ;	6,57	62,3	58,6 ‘	14,5	1,70	15,9 .
18	; do		9С	1	5,1	8,1	, 23,4 <	1290	143	7,42 . -	81,4	82,6	18,4	1,88	18,4
20	200		• 100		5,2-	8,4	26,8	1840	184	8,28	104	: 115 -	' 23,1	2,07	21,0
22	i 220		! ио		5,4	8,7	30,6 ;	6 2550	232 \	9,13 -	131	157$	28,6	2,27	24,0
24:	240		; 115 f		5,6	9,5	J 34,8 :	' 3460	289 :	9,97-5	163;	198:	34,5.	2,37 .	27,3
27-	270		: 12:	5<	6,0	9,8	• 40,2	5010	371	11,2.'	210	260 .	» 41,5. j	2,54	31,5
3.0	300		13:	5	6,5	10,2	46,5	7080	472	12,3 /	268	337'	49,9	2,69	7 36,5
33	330		140		7,0 ’	11,2	v 53,8	9840	597	13,5	339	1 419	59,9	| 2,79	42,2^
зб: _ ’	*360 _		145 .		. 7,5	12,3 .	61,9	13380	743	14,7	423 ?	. 516.	71,1	' 2,89	48,6
40	400		155		8,3	13,0	72,6	19062	953	16,2	545	667	86,1	3,03	.• 57,0
45	450		160		9,0	14,2	84,7	27696	1231	18,1	708	808	101,0	3,09	66,5
50	500		171	0	10,0	15,2	100,0	39727	1589	19,9	919	1043	123,0	3,23	78,5
55	550		180		11,0	16,5	118,0	55962	2035	21,8	1181	1356	151,0	3,39	92,6
60	600		190		12,0	17,8	138,0	76806	2560	23,6	1491	1725	182,0	3,54	108
Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8240 - 89)
Обозначения:
h - высота швеллера;
b - ширина полки;
d - толщина стенки;
t - средняя толщина полки;
F - площадь поперечного сечения;
J- осевой момент инерции;
W - момент сопротивления;
i - радиус инерции;
S - статический момент полусечения;
z0 - расстояние от оси у до наружной грани стенки.
Номер швеллера J	Размеры, мм :				г, см2	Л, 1 -см4	wz, см3	4, см	см3	Л..: СМ 	wy, 1 CKJ?	4, см	Z0 , см 5	Масса 1м, кг
	h	b	d	. t я										
n i 5	50	*32	4,4	7,0 7	6,16	* 22,8	9,1	1,92	5,59	5,61	2,75	0,95	1,16:	4,84
6,5	165	36	4,4	7,2 л	7,51 ;	48,6	15,0	2,54	9,0	8,7^	3,68	1,08	1,24	5,9
8	180	40	4,5	7,4 1;	8,98	. 89,4	22,4	3,16	13^3	12,8	4,75 ’	; 1,19	1,31	7,05
10	100	46	4,5	7,6 2	10,9	: 474	34,8	3,99	20,4	20,4	6,46	1,37	1,44:	8,59
12 е	120	52	4,8	7,8	11з	304	50,6	4,78	29,6		8,52 \	1,53:	1,54	10,4
14	140	58	4,9	8,1	15,6	491	70,2	5,6	40,8	45,4	11,0 ?	: 1,7	1,67	12,3
16	160	64	5,0	8,4	18,1	 747	93,4	6,42	54,1	<3,3	13,8 ;	1,87	1-80	14,2
18	180	70	5,1	8,7	20,7	1090	121	7,24	69,8	86,0	17,0 ;	2,04	1,94	16,3
20	200	76	5,2	9,0	23,4	1520	152	8,07	87,8	11$	20,5 I	: 2,2* •	2>7<	48,4
22	220	82	5,4	9,5	26,7	2110	192	8,89	110	15Г	2Й *	' 2,37	2;11 ’	21,0
24	240	90	5,6	10,0	30,6	2900	242	9,73	139	208	31,6	2,60	2,42*	24,0
27	270	95	6,0	10,5	35,2	4160	308	10,9	178	262	37,3	2,73	2,47(	27,7
30	300	100	6,5	11,0	40,5	5810	387	12,0	224	327	43,6 ;	2,84	2,52'	34,8
33	330	105	7,0	11,7	46,5	7980	484	13,1	281	410	51,8	2,97	2,59	36,5
36	360	НО	7,5	12,6	53,4	10820	601	14,2	350	513	61,7	3,10	2,68	41,9
40	400	115	8,0	13,5	61,5	15220	761	15,7	444	642	73,4	3,23	2,75	48,3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................	3
Глава 1. Геометрические характеристики поперечных
сечений стержней...............................   4
Глава 2. Центральное растяжение и сжатие стержней...	12
Глава 3. Внутренние усилия при прямом изгибе балок и
плоских стержневых систем............. X ..	27
Глава 4. Определение напряжений в балках при изгибе
и расчеты на прочность- .........................	42
Приложение. Сортамент прокатной стали ..... г с....	58
Николай Михайлович АТ АРОВ
Гумедин Суренович ВАРДАНЯН
Алексей Алексеевич ГОРШКОВ
Андрей Николаевич ЛЕОНТЬЕВ Л '
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
- Часть 1
Г:
т	-
Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.97 г.
Подписано в печать 16.12.2009 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная.
И-369 Объем 4 п.л. Тираж 1500 Заказ 674
ГОУ В110 Московский государственный строительный университет
Типография МГСУ. 129337. Москва, Ярославское ш., 26