/
Теги: математика
Текст
1
I
. ПРЕДЕЛЫ
Теоретические вопросы
1.
Понятия
числовой последовательности и её
предела. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности.
2.
Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности
точки. Теорема об ограниченности функци
и, имеющей предел.
3.
Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4.
Теорема о пределе промежуточной функции.
5.
Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции
cos
x
.
6.
Первый замечательный предел
0
sin
lim1
x
x
x
.
7.
Пон
ятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, е
ё
пределом и бесконечно малой.
8.
Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9.
Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
10.
Теорема об отношении бесконечно малой функции
к функции, имеющей предел,
отличный от нуля.
11.
Теорема о пределе суммы.
12.
Теорема о пределе произведения.
13.
Теорема о пределе частного.
14.
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
15.
Непрерывность суммы, произведения и частного.
16.
Непрерывность сложн
ой функции.
17.
Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших
функций с бесконечно малыми.
18.
Сравнение бесконечно малых функций.
19.
Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых
функций эквивалентными.
20.
Условие эк
вивалентности бесконечно малых функций.
Теоретические упражнения
1.
Доказать, что если
lim
n
n
aa
, то
lim
n
n
aa
. Вытекает ли из существования
lim
n
n
a
существование
lim
n
n
a
?
У к а з а н
и е. Доказать и использовать неравенство
2
baba
.
2.
Доказать, что последовательность
2
n
расходится.
3.
Сформулировать на языке «
» утверждение: «Число
A
не являетс
я
пределом в точке
0
x
функции
fx
, определенной в окрестности точки
0
x
».
4.
Доказать, что если
fx
непрерывная функция, то
Fxfx
есть также
непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?
5.
Сформулировать на языке «
» утверждение: «Функция
fx
,
определенная в окрестности точки
0
x
, не является непрерывной в этой точке
».
6.
Пусть
0
lim0
xx
fx
, а
0
lim
xx
x
не существует. Доказать, что
0
lim
xx
fxx
не существует.
У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.
7.
Пусть функция
fx
имеет предел в точке
0
x
, а функция
x
не имеет
предела. Будут ли существовать пределы:
1)
0
lim
xx
fxx
;
2)
0
lim
xx
fxx
?
Рассмотреть пример:
0
1
limsin
x
x
x
.
8.
Пусть
0
lim0
xx
fx
, а функция
x
бесконечно большая при
0
xx
.
Доказать, что произведение
fxx
является бесконечно большой функцией при
0
xx
.
9.
Являет
ся ли бесконечно большой при
0
x
функция
11
cos
xx
?
10.
Пусть
)
(
)
(
'
x
x
a
a
ﾮ
и
)
(
)
(
'
x
x
b
b
ﾮ
при
0
xx
. Доказать, что если
0
lim
xx
x
x
не существует, то
0
lim
xx
x
x
тоже не существует.
3
Расч
ё
тные задания
Задача 1.
Доказать, что
lim
n
n
aa
(указать
N
).
1.1.
323
, .
212
n
n
aa
n
1.2.
41
, 2.
21
n
n
aa
n
1.3.
747
, .
212
n
n
aa
n
1.4.
.
3
2
,
1
3
5
2
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.5.
71
, 7.
1
n
n
aa
n
1.6.
.
3
4
,
2
3
1
4
2
2
=
+
+
=
a
n
n
a
n
1.7.
.
2
1
,
2
1
9
3
3
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.8.
43
, 2.
21
n
n
aa
n
1.9.
.
2
1
,
4
2
2
1
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.10.
5
, 5.
1
n
n
aa
n
1.11.
11
, .
122
n
n
aa
n
1.12.
212
, .
353
n
n
aa
n
1.13.
.
2
,
3
2
1
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.14.
.
3
,
2
3
2
2
-
=
-
=
a
n
n
a
n
1.15.
1
, .
313
n
n
aa
n
1.16.
3
,
1
3
3
3
=
-
=
a
n
n
a
n
1.17.
422
, .
133
n
n
aa
n
1.18.
515
, 5.
6
n
n
aa
n
1.19.
.
2
1
,
2
4
3
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1
.20.
212
, .
233
n
n
aa
n
1.21.
313
, .
515
n
n
aa
n
1.22.
43
, 2.
21
n
n
aa
n
1.23.
2
2
121
, .
242
n
n
aa
n
1.24.
511
, .
1032
n
n
aa
n
1.25.
221
, .
342
n
n
aa
n
1.26.
234
, 4.
2
n
n
aa
n
1.27.
13
, 3.
6
n
n
aa
n
1.28.
23
, 2.
5
n
n
aa
n
1.29.
2
2
323
, .
414
n
n
aa
n
1.30.
2
2
233
, .
455
n
n
aa
n
1.31.
3
3
2
, 2.
2
n
n
aa
n
4
Задача 2.
Вычислить пределы числовых последовательностей.
2
.1.
22
22
33
lim.
33
n
nn
nn
2.2.
44
44
32
lim.
11
n
nn
nn
2.3.
44
33
32
lim.
11
n
nn
nn
2.4.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.5.
22
22
66
lim.
61
n
nn
nn
2.6.
32
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.7.
3
3
2
2
128
lim.
124
n
nn
nn
2.8.
2
33
34
lim.
33
n
n
nn
2.9.
3
23
3
lim.
11
n
n
nn
2.10.
223
3
112
lim.
4
n
nnn
n
2.11.
33
2
212
lim.
23
n
nn
nn
2.12.
33
33
12
lim.
45
n
nn
nn
2.13.
33
44
34
lim.
34
n
nn
nn
2.14.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.15.
3
44
82
lim.
11
n
nn
nn
2.16.
33
22
61
lim.
234
n
nn
nn
2.17.
33
33
235
lim.
3123
n
nn
nn
2.18.
22
33
1031
lim.
61
n
nn
nn
2.19.
33
33
2132
lim.
237
n
nn
nn
2.20.
33
22
72
lim.
3241
n
nn
nn
2.21.
33
22
2123
lim.
2123
n
nn
nn
2.22.
4
4
3
3
)
1
(
)
1
(
lim
n
n
n
n
n
-
+
-
-
ﾥ
ﾮ
2.23.
44
22
22
lim.
55
n
nn
nn
2
.24.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.25.
33
22
11
lim.
11
n
nn
nn
2.26.
33
22
11
lim.
11
n
nn
nn
2.27.
33
42
22
lim.
21
n
nn
nn
2.28.
33
3
11
lim.
3
n
nn
nn
5
2.29.
33
3
11
lim.
1
n
nn
n
2.30.
22
3
22
lim.
3
n
nn
n
2.31.
22
2
211
lim.
1
n
nn
nn
Задача 3.
Вычислить пределы числовых последовательностей.
3.1.
3
4
28
2
591
lim.
7
n
nnn
nnnn
3.2.
2
3
4
35
11
lim.
331
n
nn
nn
3.3.
3
3
3
11
lim.
11
n
nn
nn
3.4.
3
23
4
12
17
lim.
1
n
nn
nnn
3.5.
3
3
5
31125
lim.
n
nnn
nn
3.6.
3
62
5
2
4
27
lim.
9
n
nnnn
nnn
3.7.
2
3
4
44
22
lim.
411
n
nn
nn
3.8.
4
4
4
22
lim.
22
n
nn
nn
3.9.
35
6
61
lim.
43
n
nn
nn
3.10.
3
3
4
5285
lim.
7
n
nn
nn
3.11.
42
4
2
3
31811
lim.
5
n
nnnn
nnnn
3.12.
2
3
4
54
33
lim.
41
n
nn
nn
3.13.
5
5
5
33
lim.
33
n
nn
nn
3.14.
2
3
4
8
9
lim.
391
n
nn
nn
3.15.
3
3
3
5
4
41274
lim.
n
nn
nnn
3.16
.
4
8
3
2
7811
lim.
45
n
nnn
nnn
3.17.
33
32
4
5
74
lim.
5
n
nn
nn
3.18.
6
5
6
44
lim.
66
n
nn
nn
3.19.
4
23
3
63
4
lim.
15
n
nn
nnn
3.20.
3
3
5
5
4
383
lim.
45
n
nn
nn
6
3.21.
4
4
2
112581
lim.
71
n
nnn
nnnn
3.22.
3
22
5
7
5
lim.
1
n
nn
nn
3.23.
7
7
7
55
lim.
55
n
nn
nn
3.24.
3
22
4
25
lim.
1
n
nn
nnn
3.25.
3
3
5
5
7
22
lim.
22
n
nn
nn
3.26.
3
6
2
3
71649
lim.
11
n
nnn
nnn
3.27.
2
3
4
33
65
lim.
31
n
nn
nn
3.28.
8
8
8
66
lim.
66
n
nn
nn
3.29.
23
3
6
1
lim.
2
n
nn
nn
3.30.
3
3
5
5
4
11
lim.
11
n
nn
nn
3.31.
3
3
4
5
10
6
1
)
(
1
32
lim
-
+
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
n
n
n
Задача 4.
Вычислит
ь пределы числовых последовательностей.
4
.1.
)
1
1
n
n(
lim
2
2
-
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
4.2.
2
lim23.
n
nnnn
4.3.
3
3
lim5.
n
nnnn
4.4.
224
lim149
n
nnn
4.5.
52
85
lim.
n
nnnn
n
4.6.
2
lim32.
n
nnn
4.7.
3
3
lim4.
n
nn
4.8
.
2
lim223.
n
nnnn
4.9.
lim2113.
n
nnnn
4.10.
245
lim18.
n
nnnn
4.11.
3
3
lim582.
n
nnn
4.12.
33
233
lim53.
n
nnn
4.13.
22
33
lim23.
n
nn
4.14.
3
113
lim.
n
nnnn
n
7
4.15.
22
lim323.
n
nnn
4.16.
lim23.
n
nnn
4.17.
542
915
lim.
n
nnnn
n
4.18.
lim5.
n
nnn
4.19.
333
lim821.
n
nnn
4.20.
324
132
lim.
2
n
nnnn
n
4.21.
[
]
)
2
)(
1
(
)
2
)(
1
(
lim
2
2
2
2
-
-
-
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
n
4.22.
524
111
lim.
n
nnnnn
n
4.23.
426
111
lim.
n
nnn
n
4.24.
lim1.
n
nnn
4.25.
3268
33
lim41.
n
nnnn
4.26.
lim12.
n
nnnnn
4.27.
3
2
3
3
lim1.
n
nnnn
4.28.
lim234.
n
nnn
4.29.
44
lim32.
n
nnn
4.30.
33
lim1232.
n
nnnnn
4.31.
2462
5235
lim.
n
nnnn
n
8
Задача 5.
Вычислить пределы числовых по
следовательностей.
5
.1.
2222
1231
lim....
n
n
nnnn
5.2.
21!22!
lim.
23!
n
nn
n
5.3.
1357...21
21
lim.
12
n
n
n
n
5.4.
11
23
lim.
23
nn
nn
n
5.5.
4
123...
lim.
91
n
n
n
5.6.
135...21
lim.
123..
n
n
n
5.7.
1357...21
lim.
3
n
n
n
n
5.8.
4
147...32
lim.
51
n
n
nn
5.9.
4!2!
lim.
3!
n
nn
n
5.10.
31!31!
lim.
3!1
n
nn
nn
5.11.
2
1
1
5
2
5
2
lim
+
+
+
ﾥ
ﾮ
+
-
n
n
n
n
n
5.12.
2
2
111
1...
333
lim.
111
1...
555
n
n
n
5.13.
22
1357911...4341
lim.
11
n
nn
nnn
5.14.
n
n
n
n
2
)
1
2
(
...
4
3
2
1
-
-
+
+
-
+
-
ﾥ
ﾮ
lim
5.15.
3
34
532
lim.
135...21
n
nn
n
5.16.
1
32
lim.
32
nn
nn
n
5.17
.
22
lim.
123...3
n
n
n
5.18.
51332
lim....
6366
nn
n
n
5.19.
2547...223
lim.
3
n
nn
n
5.20.
21!22!
lim.
23!22!
n
nn
nn
5.21.
2
12...
lim.
3
n
n
nn
5.22.
.
)
3
5
(
...
12
7
2
1
2
-
+
+
+
+
-
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
lim
5.23.
35912
lim....
416644
n
n
n
5.24.
246...2
lim.
135..21
n
n
n
9
5.25.
15913...43
41
lim.
12
n
n
n
n
5.26.
3
3
1234...2
lim.
22
n
n
nn
5.27.
1
27
lim.
27
nn
nn
n
5.28.
!2!
lim.
1!2!
n
nn
nn
5.29.
2
369...3
lim.
4
n
n
n
5.30.
72925
lim....
1010010
nn
n
n
5.31.
24...2
lim.
3
n
n
n
n
Задача 6.
Вычислить пределы числовых последовательно
стей.
6.1.
1
lim.
1
n
n
n
n
6.2.
1
23
lim.
21
n
n
n
n
6.3.
4
2
2
1
lim.
n
n
n
n
6.4.
2
1
lim.
3
n
n
n
n
6.5.
2
2
2
22
lim.
21
n
n
n
n
6.6.
1
2
2
367
lim.
3201
n
n
nn
nn
6.7.
/2
2
2
36
lim.
51
n
n
nn
nn
6.8.
31
10
lim.
1
n
n
n
n
6.9
.
32
67
lim.
64
n
n
n
n
6.10.
25
2
2
341
lim.
327
n
n
nn
nn
6.11.
2
2
2
1
lim.
1
n
n
nn
nn
6.12.
2
2
257
lim.
253
n
n
nn
nn
6.13.
2
1
lim.
1
n
n
n
n
6.14.
2
2
2
531
lim.
533
n
n
nn
nn
6.15.
23
31
lim.
31
n
n
n
n
6.16.
2
2
2
271
lim.
231
n
n
nn
nn
10
6.17.
4
3
lim.
5
n
n
n
n
6.18.
3
2
3
3
1
lim.
1
nn
n
n
n
6.19.
21
2
2
2217
lim.
2189
n
n
nn
nn
6.20.
5
103
lim.
101
n
n
n
n
6.21.
1
2
2
7
5
3
5
3
+
ﾥ
ﾮ
￨
￦
+
-
-
n
n
n
n
n
n
lim
6.22.
2
3
lim.
1
n
n
n
n
6.23.
32
2
2
65
lim.
55
n
n
nn
nn
6.24.
4
lim.
2
n
n
n
n
6.25.
2
2
2
71815
lim.
71115
n
n
nn
nn
6.26.
1
21
lim.
21
n
n
n
n
6.27.
2
2
3
3
1
lim.
2
n
n
nn
n
6.28.
3
133
lim.
1310
n
n
n
n
6.29.
2
37
2
2
223
lim.
221
n
n
nn
nn
6.30.
/61
5
lim.
7
n
n
n
n
6.31.
12
2
2
441
lim.
423
n
n
nn
nn
Задача 7.
Доказать (найти
(
)
e
d
), что:
7.1.
2
-3
253
lim7.
3
x
xx
x
7.2.
2
1
541
lim6.
1
x
xx
x
7.3.
2
-2
352
lim7.
2
x
xx
x
7.4.
2
3
4146
lim10.
3
x
xx
x
7.5.
2
-12
61
lim5.
12
x
xx
x
7.6.
2
12
61
lim5.
12
x
xx
x
7.7.
2
-13
91
lim6.
13
x
x
x
7.8.
2
2
352
lim7.
2
x
xx
x
11
7.9.
2
-13
321
lim4.
13
x
xx
x
7.10.
2
-1
781
lim6.
1
x
xx
x
7.11.
2
3
43
lim2.
3
x
xx
x
7.12.
2
12
232
lim5.
12
x
xx
x
7.13.
2
13
651
lim1.
13
x
xx
x
7.14.
2
-75
1097
lim19.
75
x
xx
x
7.15.
2
-72
213211
lim.
272
x
xx
x
7.16.
2
52
29101
lim.
252
x
xx
x
7.17.
2
13
61
lim5.
13
x
xx
x
7.18.
2
-12
67539
lim81.
12
x
xx
x
7.19.
2
11
22111
lim23.
11
x
xx
x
7.20.
2
5
5245
lim26.
5
x
xx
x
7.21.
2
-7
2157
lim13.
7
x
xx
x
7.22.
2
-4
268
lim10.
4
x
xx
x
7.23.
2
-13
615
lim.
313
x
xx
x
7.24.
2
-5
215
lim8.
5
x
xx
x
7.25.
2
8
340128
lim8.
8
x
xx
x
7.26.
2
10
55110
lim49.
10
x
xx
x
7.27.
2
12
252
lim3.
12
x
xx
x
7.28.
2
-6
3176
lim19.
6
x
xx
x
7.29.
2
13
3176
lim19.
13
x
xx
x
7.30.
2
-15
1521
lim8.
15
x
xx
x
7.31.
2
13
1521
lim8.
13
x
xx
x
12
Задача 8.
Доказать, что функция
fx
непрерывна в точке
0
x
(найти
).
8
.1.
2
0
51, 6.
fxxx
8.2.
2
0
42, 5.
fxxx
8.3.
2
0
33, 4.
fxxx
8.4.
2
0
24, 3.
fxxx
8.5
2
0
25, 2.
fxxx
8.6
2
0
36, 1.
fxxx
8.7
2
0
47, 1.
fxxx
8.8
2
0
58, 2.
fxxx
8.9
2
0
59, 3.
fxxx
8.10
2
0
49, 4.
fxxx
8.11
2
0
38, 5.
fxxx
8.12
2
0
27, 6.
fxxx
8.13
2
0
26, 7.
fxxx
8.14
2
0
35, 8.
fxxx
8.15
2
0
44, 9.
fxxx
8.16
2
0
53, 8.
fxxx
8.17
2
0
51, 7.
fxxx
8.18
2
0
41, 6.
fxxx
8.19
2
0
32, 5.
fxxx
8.20
2
0
23, 4.
fxxx
8.21
2
0
24, 3.
fxxx
8.22
2
0
35, 2.
fxxx
8.23
2
0
46, 1.
fxxx
8.
24
2
0
57, 1.
fxxx
8.25
2
0
48, 2.
fxxx
8.26
2
0
39, 3.
fxxx
8.27
2
0
29, 4.
fxxx
8.28
2
0
28, 5.
fxxx
8.29
2
0
37, 6.
fxxx
8.30
2
0
46, 7.
fxxx
8.31
2
0
55, 8.
fxxx
Задача 9.
Вычислит
ь пределы функций.
9
.1.
3
42
1
211
lim.
45
x
xxx
xx
9.2.
3
2
1
32
lim.
x
xx
xx
9.3.
2
2
32
1
32
lim.
22
x
xx
xxx
9.4.
2
2
32
1
21
lim.
22
x
xx
xxx
9.5.
2
2
32
3
23
lim.
43
x
xx
xxx
9.6.
2
3
4
1
21
lim.
21
x
xx
xx
13
9.7.
3
5
0
1(13)
lim.
x
xx
xx
9.8.
1
2
1
2
2
2
1
-
-
+
-
ﾮ
x
x
x
x
n
lim
9.9.
3
2
1
32
lim.
2
x
xx
xx
9.10.
32
32
1
573
lim.
452
x
xxx
xxx
9.11.
3
32
1
32
lim.
1
x
xx
xxx
9.12.
32
32
1
53
lim.
1
x
xxx
xxx
9.13.
.
2
3
2
5
4
3
2
3
1
-
-
+
+
+
-
ﾮ
x
x
x
x
x
n
lim
9.14.
4
42
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.15.
32
32
-2
584
lim.
34
x
xxx
xx
9.16.
32
32
2
584
lim.
34
x
xxx
xx
9.17.
32
32
2
6128
lim.
34
x
xxx
xx
9.18.
32
32
-2
584
lim.
71612
x
xxx
xxx
9.19.
3
22
1
32
lim.
(2)
x
xx
xx
9.20.
.
2
2
3
3
2
-
-
-
ﾮ
x
x
x
n
lim
9.21.
3
2
1
32
lim.
21
x
xx
xx
9.22.
2
32
1
21
lim.
1
x
xx
xxx
9.23.
4
42
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.24.
2
32
1
32
lim.
22
x
xx
xxx
9
.25.
2
32
1
21
lim.
22
x
xx
xxx
9.26.
2
32
-3
23
lim.
43
x
xx
xxx
9.27.
3
4
1
21
lim.
21
x
xx
xx
9.28.
3
25
0
(1)(13)
lim.
x
xx
xx
9.29.
2
2
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.30.
32
32
-3
7159
lim.
82118
x
xxx
xxx
9
.31.
32
32
3
4318
lim.
539
x
xxx
xxx
14
Задача 10.
Вычислить пределы фу
нкций.
10.1
4
123
lim.
2
x
x
x
10.2.
3
8
13
lim.
2
x
x
x
10.3
3
2
1
1
lim.
1
x
x
x
10.4
2
3
1321
lim.
9
x
xx
x
10.5
3
3
2
62
lim.
8
x
x
x
10.6
4
16
2
lim.
4
x
x
x
10.7
3
8
925
lim.
2
x
x
x
10.8
2
0
12(1)
lim.
x
xxx
x
10.9
3
2
2
0
832
lim.
x
xx
xx
10.10
33
3
4
0
2727
lim.
2
x
xx
xx
10.11
3
1
1
lim.
12
x
x
xx
10.12
33
0
11
lim.
11
x
xx
xx
10.13
3
2
42
lim.
22
x
x
xx
10.14
2
1
1
lim.
1
x
x
x
10.15
3
3
93
lim.
32
x
x
xx
10.16
3
-2
62
lim.
2
x
x
x
10.17
3
4
164
lim.
42
x
x
xx
10.18
3
2
8
925
lim.
4
x
x
x
10.19
3
12
412
lim.
122
x
x
xx
10.20
3
13
913
lim.
132
x
x
xx
10.21
3
14
1614
lim.
142
x
x
xx
10.22
3
7
0
11
lim.
x
xx
x
10.23
33
3
2
05
2727
lim.
x
xx
xx
10.24
3
2
3
23
0
832
lim.
x
xx
xx
10.25
2
3
0
123(1)
lim.
x
xxx
x
10.26
3
8
925
lim.
2
x
x
x
15
10.27
4
16
2
3
2
lim.
(4)
x
x
x
10.28
3
3
3
-2
62
lim.
8
x
x
x
10.29
3
2
4
2
lim.
16
x
x
x
10.30
3
8
1061
lim.
2
x
xx
x
10.31
3
2
3
1321
lim.
9
x
xx
x
Задача 11.
Вычислить пределы функций.
11.1.
.
)
(
4
sin
)
sin
1
ln(
lim
0
p
-
+
ﾮ
x
x
x
11.2.
.
1
)
(
10
cos
1
lim
2
0
-
+
-
ﾮ
x
x
e
x
p
11.3
2
0
35
lim.
sin3
x
xx
x
11.4
0
1cos2
lim.
cos7cos3
x
x
xx
11.5
0
4
lim.
tg((2))
x
x
x
11.6
0
2
lim.
tg[2(12)]
x
x
x
11.7
3
2
0
1cos
lim.
4
x
x
x
11.8
0
arcsin3
lim.
22
x
x
x
11.9
.
)
4
1
ln(
2
2
lim
1
0
x
x
x
+
-
+
ﾮ
11.10
0
2
lim.
sin(2(10))
x
arctgx
x
11.11
0
ln(17)
lim.
sin((7))
x
x
x
11.12
2
0
cos(52)
lim.
arcsin2
x
xtgx
x
11.13
.
2
4
8
)
3
1
ln(
lim
0
-
+
-
ﾮ
x
x
x
11.14
0
131
lim.
cos[(1)2]
x
x
x
11.15
2
0
sin7
lim.
x
x
xx
11.16
0
42
lim.
3
x
x
arctgx
11.17
0
2sin[(1)]
lim.
ln(12)
x
x
x
11.18
0
cos2cos
lim.
1cos
x
xx
x
11.19
0
11
lim.
sin[(2)]
x
x
x
11.20
[
]
.
)
(
5
sin
lim
1
3
0
-
ﾮ
+
x
x
e
x
p
16
11.21
0
1cos
lim.
sin
x
x
xx
11.22
.
)
(
3
sin
2
arcsin
lim
0
p
+
ﾮ
x
x
x
11.23
4
0
1
lim.
sin((21))
x
x
e
x
11.24
.
)
1
(
)
cos(
1
lim
2
3
0
-
-
+
ﾮ
x
x
e
x
p
11.25
22
4
0
sin
lim.
x
xtgx
x
11.26
0
arcsin2
lim.
ln()1
x
x
ex
11.27
0
sin
lim.
(1cos2)
x
tgxx
xx
11.28
.
4
2
2
)
1
ln(
lim
2
2
0
+
-
+
ﾮ
x
x
x
11.29
0
((12))
lim.
ln(1)
x
tgx
x
11.30
2
24
8
1
lim
3
4
0
-
+
-
ﾮ
x
e
x
x
p
11.31
.
)
3
cos(
1
2
sin
lim
0
p
-
+
ﾮ
x
x
x
x
Задача 12.
Вычислить пределы функций.
12.1.
2
1
1
lim.
ln
x
x
x
12.2.
2
1
11
lim.
ln
x
xx
x
12.3
2
1cos3
lim.
sin7
x
x
x
12.4
.
)
4
(
2
sin
1
lim
2
4
x
x
x
-
-
ﾮ
p
p
12.5
2
1
1cos
lim.
tg
x
x
x
12.6
2
tg3
lim.
tg
x
x
x
12.7
22
4
sintg
lim.
()
x
xx
x
12.8
2
1
11
lim.
tg
x
xx
x
12.9
2
cos5cos3
lim.
sin
x
xx
x
12.10
22
4
2
sin7sin3
lim.
x
x
xx
ee
12.11
2
sin7
lim.
sin8
x
x
x
12.12
2
ln(52)
lim.
1032
x
x
x
12.13
2
1
331
lim.
sin
x
xx
x
12.14
22
lim.
sin
x
x
x
12.15
2
532
1
33
lim.
tg
xx
x
x
1
2.16
4
216
lim.
sin
x
x
x
17
12.17
2
ln2ln
lim.
sin(52)cos
x
x
xx
12.18
4
lntg
lim.
cos2
x
x
x
12.19
lim.
sin5sin3
x
x
ee
xx
12.20
2
2
ln(92)
lim.
sin2
x
x
x
12.21
2
4
2
2
12
lim.
2(2352)
x
x
xxx
12.22
3
4
1
1
lim.
1
x
x
x
12.23
-2
tg
lim.
2
x
x
x
12.24
1sin(2)
lim.
x
x
x
12.25
3
12cos
lim.
3
x
x
x
12.26
2
2
arctg(2)
lim.
sin3
x
xx
x
12.27
2
1
1
lim.
sin
x
x
x
12.28
1
cos(2)
lim.
1
x
x
x
12.29
1
310
lim.
sin3
x
x
x
12.30
sin5
lim.
tg3
x
x
x
12.31
2
cos3cos
lim.
tg2
x
xx
x
Задача 13.
Вычислить пределы функций.
13
.1.
2
cos
2
21
lim.
lnsin
x
x
x
13.2.
2
sinsin3
12
21
lim.
xx
x
x
ee
13.3
3
2
ln23
lim.
sin2sin1
x
xx
xx
13.4.
2
tgtg2
lim.
sinln1
x
x
x
13.5.
.
1
sin
lim
2
sin
2
2
/
-
-
-
ﾮ
x
e
e
x
x
tg
x
p
13.6.
2
6
lnsin3
lim.
6
x
x
x
13.7.
2
3
sin2351
lim.
ln1ln1ln2
x
xxx
xx
13.8.
2
2
2
lim.
tgcos1
x
x
x
13.9.
12
ln(41)
lim.
1cos1
x
x
x
13.10
2
-2
2
arcsin(2)2
lim.
39
x
xx
x
18
13.11
sin
3
3
21
lim.
ln(68)
x
x
xx
13.12
2
lncos2
lim.
(1)
x
x
x
13.13
2
31
2
tgln(35)
lim.
xx
x
x
ee
13.14
sin2
2
lncos
lim.
31
x
x
x
13.15
.
cos
1
1
ln
1
lim
3
2
1
x
x
x
p
+
-
+
ﾮ
1
3.16
sinsin4
cos(2)
lim.
xx
x
x
ee
13.17
sin
3
ln(25)
lim.
1
x
x
x
e
13.18
22
sin6sin3
3
3
lim.
logcos6
xx
x
ee
x
13.19
sin22
2
lim.
ln(2)
xtgx
x
ee
x
13.20
2
24
-2
tg()
lim.
tgtg2
xx
x
ee
x
13.21
1
3
1
2725
lim.
1
xx
x
x
13.22
sin2
ln(2cos)
lim.
(31)
x
x
x
13.23
2
33
sin
()sin5
lim.
1
x
x
xx
e
13.24
3
32
-1
46
(1)
lim.
x
xx
tgx
ee
13.25
lncos2
lim.
lncos4
x
x
x
13.26
2
2
lnsin
lim.
(2)
x
x
x
13.27
22
a
1
lim.
ln()
xa
x
a
tgxa
13.28
.
)
3
(
)
sin(
lim
3
3
2
2
2
/
1
3
+
-
+
-
-
ﾮ
x
arctg
e
e
x
x
x
13.29
.
)
2
)
/
ln(cos(
lim
1
/
/
/
2
2
2
-
-
ﾮ
-
+
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a
a
x
p
p
p
p
13.30
cos(32)
tg(33)
lim.
31
x
x
x
13.31
.
2
2
)
/
sin(
lim
1
sin
2
-
+
ﾮ
x
x
x
p
p
Задача 14
.
Вычислить пределы функций.
14.1.
23
0
75
lim.
2arctg3
xx
x
xx
14.2.
32
0
lim.
2arcsinsin
xx
x
ee
xx
14.3.
22
0
67
lim.
sin32
xx
x
xx
14.4.
53
0
lim.
sin2sin
xx
x
ee
xx
19
14.5.
23
3
0
35
lim.
arctg
xx
x
xx
14.6.
23
2
0
lim.
arctg
xx
x
ee
xx
14.7.
5
0
32
lim.
sin9
xx
x
xx
14
.8.
42
0
lim.
2arctgsin
xx
x
ee
xx
14.9.
3
0
125
lim.
2arcsin
xx
x
xx
14.10.
72
0
lim.
sin2
xx
x
ee
xx
14.11.
57
0
32
lim.
arcsin2
xx
x
xx
14.12.
5
3
0
lim.
arcsin
xx
x
ee
xx
14.13.
7
0
42
lim.
tg3
xx
x
xx
14.14.
0
lim.
tg2sin
xx
x
ee
xx
14.15.
2
0
107
lim.
2tgarctg
xx
x
xx
14.16.
2
0
lim.
sin3sin5
xx
x
ee
xx
14.17.
32
3
0
73
lim.
tg
xx
x
xx
14.18.
42
0
lim.
2tgsin
xx
x
ee
xx
14
.19.
2
0
37
lim.
arcsin35
xx
x
xx
14.20.
25
0
lim.
2sintg
xx
x
ee
xx
14.21.
52
3
0
49
lim.
sintg
xx
x
xx
14.22.
32
0
lim.
sin3tg2
xx
x
ee
xx
14.23.
23
2
0
52
lim.
sinsin
xx
x
xx
14.24.
3
0
lim.
sin3tg2
xx
x
ee
xx
14.25.
3
0
92
lim.
arctg27
xx
x
xx
14.26.
2
2
0
lim.
sin
xx
x
ee
xx
14.27.
57
0
32
lim.
2tg
xx
x
xx
14.28.
2
0
lim.
sin2sin
xx
x
ee
xx
14.29.
2
2
0
lim.
tg
xx
x
ee
xx
14.30.
32
3
0
23
lim.
arcsin
xx
x
xx
14.31.
35
0
23
lim.
sin72
xx
x
xx
20
Задача 15.
Вычислить пределы функций.
15.1.
2
0
2
lim.
sin
xx
x
ee
x
15.2.
2
0
1sincos2
lim.
sin
x
xxx
x
15.3.
3
-1
1
lim.
sin(1)
x
x
x
15.4.
a
tgtg
lim.
lnln
x
xa
xa
15.5.
3
0
1tg1sin
lim.
x
xx
x
15.6.
0
lim.
sinsin
xx
x
ee
xx
15.7.
2
0
1sin1
lim.
1
x
x
xx
e
15.8.
3
2
1
0
lim.
xx
x
x
xee
ee
15.9.
3
12cos
lim.
sin(3)
x
x
x
15.10.
2
1
1
lim.
sin
x
x
x
15.11.
4
sincos
lim.
lntg
x
xx
x
15.12.
lim.
xb
xb
aa
xb
15.13.
2
0
1cos2tg
lim.
sin3
x
xx
xx
15.14.
0
sin22sin
lim.
lncos5
x
xx
xx
15.15.
2
0
lnln2ln
lim, 0.
h
xhxhx
x
h
15.16.
1
2
1
lim.
log
x
x
x
15.17.
sin2sin
0
lim.
tg
xx
x
ee
x
15.18.
1
22
lim.
ln
x
x
x
15.19.
0
sinsin
lim.
h
xhxh
h
15.20.
0
22
lim.
sin3
x
x
x
15.21.
2
0
2
lim.
xhxhx
h
aaa
h
15.22.
0
1cos
lim.
1cos
x
x
x
15.23.
3
3
52
lim.
sin
x
x
x
15.24.
2
2
6
2sinsin1
lim.
2sin3sin1
x
xx
xx
15.25.
10
lg1
lim.
91
x
x
x
15.26.
1
0
33
lim.
ln11
x
x
x
xxe
21
15.27.
2
0
cos1
lim.
sin2
x
x
x
15.28.
0
sinsin
lim.
lntg4
x
bxax
ax
15.29.
3
2
2
1sin
lim.
cos
x
x
x
15.30.
3
3
log1
lim.
tg
x
x
x
15.31.
2
1
lim.
sinx1
x
x
ee
Задача 16.
Вычислить пределы функций.
16
.1.
2
3arcsin
3
0
lim1ln1.
xx
x
x
16.2.
1
0
limcos.
x
x
x
16.3.
2
1
0
12
lim.
13
x
x
x
x
x
x
16.4.
2
2sin
arctg
0
lim23.
x
x
x
16.5.
3
ctg
0
1sincos
lim.
1sincos
x
x
xx
xx
16.6.
2
1sin3
0
4
lim5.
cos
x
x
x
16.7.
4
3
sin
3
0
lim1ln1.
xx
x
x
16.8.
2
3
arcsin
0
lim2.
x
x
x
e
16.9.
1sin
0
limcos.
xx
x
x
16.10.
1lncos
2
0
lim1sin3.
x
x
x
16.11.
ctg
0
limtg.
4
x
x
x
16.12.
3
1ln1
2
0
lim1sin.
x
x
xx
16.13.
2
3
cosec
arcsin
0
lim25.
xx
x
x
16.14.
2
1ln1
0
lim2cos3.
x
x
x
16.15.
ctg
sin
0
lim2.
x
x
x
e
16.16.
2
1ln1sin
0
limcos.
x
x
x
16.17.
2
2
1ln1tg
3
0
lim2.
x
x
x
e
16.18.
2
cosec
0
lim32cos.
x
x
x
16.19.
2
1lncos
sin
0
lim23.
x
x
x
16.20.
2
0
lim2cos.
x
x
x
16.21.
2
ctg
0
5
lim6.
cos
x
x
x
16.22.
2
cosec
0
2
lim3.
cos
x
x
x
22
16.23.
3
1sin
0
1sincos2
lim.
1sincos3
x
x
xx
xx
16.24.
2
11cos
0
lim2.
x
x
x
e
16.25.
3
1
6
0
1
lim1lnarctg.
3
x
x
x
16.26.
3
1
0
1tgcos2
lim.
1tgcos5
x
x
xx
xx
16.27.
2
1tg
0
13
lim.
17
x
x
x
x
x
x
16.28.
2
1ln13
2
0
lim1tg.
x
x
x
16.29.
2
1tg
0
lim1lncos.
x
x
x
16.30.
2
1ln1tg3
2
0
lim1sin.
2
x
x
x
16.31.
3
1sin
2
2
0
12
lim.
15
x
x
x
x
x
x
Задача 17.
Вычислить пределы функций.
17.1.
1
0
sin2
lim.
x
x
x
x
17.2.
0
2
lim.
3
x
x
x
x
17.3.
22
0
sin4
lim.
x
x
x
x
17.4.
2
cos
3
4
0
1
lim.
x
x
x
e
x
17.5.
3
0
limcos.
x
x
x
17.6.
2
3
2
0
4
lim.
2
x
x
x
x
1
7.7.
2
0
ln1
lim.
6
xx
x
x
x
17.8.
2
0
tg4
lim.
x
x
x
x
17.9.
3
831
2
0
1
lim.
xx
x
x
e
x
17.10.
cos
0
2
lim.
4
x
x
x
x
17.11.
2
0
sin6
lim.
2
x
x
x
x
17.12.
2
61
2
0
1
lim.
x
x
x
e
x
17.13.
2
0
sin2
lim.
sin3
x
x
x
x
17.14.
.
3
lim
2
0
+
ﾮ
￨
￦
￨
￦
+
x
x
x
tg
p
23
17.15.
.
10
3
8
lim
2
2
3
0
+
ﾮ
￨
￦
+
+
x
x
x
x
17.16.
33
0
limsin2.
x
x
x
17.17.
1
2
0
21
lim.
x
x
x
x
17.18.
42
4
0
5
lim.
10
x
x
x
x
17.19.
2
cos
0
118
lim.
121
x
x
x
x
17.20.
21
3
3
0
1
lim.
8
x
x
x
x
17.21.
38
2
2
0
ln1
lim.
x
x
x
x
17.22.
1
0
limcos.
x
x
x
17.23.
.
arcsin
lim
)
5
(
2
0
+
ﾮ
￨
￦
x
x
x
x
17.24.
2
0
arctg3
lim.
x
x
x
x
17.25.
4
cos
0
lim.
x
x
x
ex
17.26.
16
2
0
sin5
lim.
sin
x
x
x
x
17.27.
1
0
limtg.
4
x
ex
x
x
17.28.
2
tg
0
5
lim6.
cos
x
x
x
17.29.
2
11
0
18
lim.
211
x
x
x
x
17.30.
21
2
2
0
arcsin
lim.
arcsin4
x
x
x
x
17.31.
12
3
3
0
4
lim.
9
x
x
x
x
Задача 18.
Вычислить пределы функций.
18
.1.
3
11
1
31
lim.
1
x
x
x
x
18.2.
1
sin
lim.
sin
xa
xa
x
a
18.3.
3
11
1
21
lim.
x
x
x
x
18.4.
12
2
cos
lim.
cos2
x
x
x
18.5.
3
12
8
27
lim.
1
x
x
x
x
18.6.
1cos34
4
limtg.
x
x
x
24
18.7.
5
11
1
21
lim.
x
x
x
x
18.8.
tg
2
lim2.
x
a
xa
x
a
18.9.
ctg2sin3
2
limcos.
xx
x
x
18.10.
2
1sin2
2
limcos.
x
x
x
18.11.
tg
6
3
6
lim.
3
x
x
x
18.12.
ctgsin4
4
limcos.
xx
x
x
18.13.
tg
2
1
lim32.
x
x
x
18.14.
5
tg5sin2
4
limcos.
xx
x
x
18.15.
tg
6
3
92
lim.
3
x
x
x
18.16.
6tgtg3
2
limsin.
xx
x
x
18.17.
1
1
1
lim21.
xx
x
x
e
18.18.
12
2
limtg.
2
x
x
x
18.19.
311
1
1
lim21.
xx
x
x
e
18.20.
sec
2
lim1cos3.
x
x
x
18.21.
322
2
2
lim21.
xx
x
x
e
18.22.
sin1
1sin1
1
sin1
lim.
1
x
xx
x
x
x
18.23.
1ln2
1
2
lim.
x
x
x
x
18.24.
1cos
2
limctg.
2
x
x
x
18.25.
sin2
ln2
1
lim2.
x
x
x
x
18.26.
13
3
sin
lim.
sin3
x
x
x
18.27.
ln2
ln2
1
1
lim.
2
x
x
x
x
x
18.28.
(
)
.
sin
lim
sin
18
2
ctgx
x
x
x
p
ﾮ
18.29.
ln1
ln2
1
1
lim.
x
x
x
x
18.30.
1cos2
limctg.
4
x
x
x
18.31.
ln32
ln2
1
21
lim.
x
x
x
x
x
25
Задача 19.
Вычислить пределы функций.
19.1.
sin
2
ln1
lim.
x
e
xe
x
xe
19.2.
ctg
4
limtg.
x
x
x
19.3.
14
4
lntg
lim.
1ctg
x
x
x
x
19.4.
31
2
limsin.
x
x
x
19.5.
2
sin2
2
sin3
lim.
sin
x
x
x
x
19.6.
6
6
limsin.
x
x
x
19.7.
sin
3
lim2.
3
x
x
x
19.8.
2
11
1
1
lim.
2
xx
x
x
x
19.9.
sin
1
1
lim1.
x
x
x
x
e
19.10.
1
1
tg9
lim.
sin4
xx
x
x
x
19.11.
2
8
3
arcsin3
lim.
sin3
x
x
x
x
19.12.
22
16
4
4
limsin2.
x
x
x
x
19.13.
1
2
1
34
limarctg.
1
x
x
x
x
19.14.
sin
limctg.
4
x
x
x
19.15.
22
sinsin
lim.
xa
xa
xa
xa
19.16.
1
2
2
22
lim.
4
x
x
x
x
19.17.
1tg
4
limsincos.
x
x
xx
19.18.
sin8
8
limtg2.
x
x
x
19.19.
(
)
.
arcsin
lim
1
x
tg
x
x
p
ﾮ
19.20.
sin
limsin.
xx
x
xx
19.21.
2
11
2
1
limln.
x
x
ex
19.22.
arctg
1
lim1.
x
x
x
19.23.
2
1
3
1
1
lim.
1
x
x
x
x
19.24.
2
1
sin
1
1
lim.
1
x
x
x
e
x
19.25.
tg2
2
limcos.
x
x
x
19.26.
1
12
limarcsinarccos.
x
x
xx
26
19.27.
sin
2
limcos1.
x
x
x
19.28.
sin4
3
1
lim1.
x
x
xx
19.29.
12
2
2
1
23
lim.
45
x
x
xx
xx
19.30.
2
2
1
1cos
lim.
tg
x
x
x
x
19.31.
1
22
1
lim.
1
x
x
x
ee
x
Задача 20.
Вычислить предел функции или числовой последовательности.
20.1.
0
lim4cos3arctg1.
x
xxx
20.2.
2
lim3sin2sin.
2
x
x
xx
x
20.3.
3
3
2sin
lim.
7
n
nn
nn
20.4.
0
tgcos1lg2
lim.
lg4
x
xxx
x
20.5.
1
2
sincos
1
lim.
1cos1
n
n
n
en
n
n
20.6.
4
53
223
lim.
sin7
n
nn
nnn
20.7.
3
4
tg4cos
4
lim.
lg2tg
x
x
xx
x
x
20.8.
2
2
limsin1arctg.
1
n
n
n
n
20.9.
25
2
37
lim.
cos1
n
nn
nnnn
20.10.
3sin1
lim.
1
n
nn
nn
20.11.
3
1cos
lim.
211
n
nn
n
20.12.
0
1
limln2arctgsin.
x
x
x
20.13.
-2
1cos
lim.
42sin
2
x
x
x
x
x
20.14.
3
4
lim.
3sin
n
n
nn
20.15.
3
22
5
6
cos32
lim.
1
n
nnn
n
20.16.
3
0
1
tgarctg3
lim.
2lg1sin
x
x
x
x
27
20.17.
2
0
1
limarctgsin5cos.
x
xx
x
20.18.
0
1
lim4cossinln1.
x
xx
x
20.19.
2
0
1
lim2cos1sin.
x
x
xe
x
20.20.
0
1
2lnsin
lim.
cossin
x
ex
x
xx
2
0.21.
2
0
1
limlncoscostg.
3
x
x
exx
x
20.22.
0
1
cosln12cos
lim.
2
x
x
xx
x
e
20.23.
1
1
cos2
lim.
2
21arctg
1
x
x
x
x
e
x
20.24.
sin
0
1
lim1cos4cos.
x
x
ex
x
20.25.
0
cos1
lim.
1
2sinln12
x
x
x
x
20.26.
2
3
2
2
limlg2sin4cos.
2
x
x
xx
x
20.27.
2
2
2cossin
2
lim.
32sin
x
x
x
xx
20.28.
1
11
limtgcossincos.
11
x
xx
x
xx
20.29
.
0
1
lim2sin4cos.
x
xx
x
20.30.
1
1
sinsinarctg
1
lim.
1cos
x
x
xx
x
x
20.31.
3
22
3121
lim.
2sin
n
nnn
nn
II.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Теоретические вопросы
1.
Понятие производной. Производная функции
n
x
.
2.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику
функции.
3.
Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Услов
ие
дифференцируемости. Связь дифференциала с производной.
4.
Геометрический смысл дифференциала.
5.
Непрерывность дифференцируемой функции.
6.
Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
7.
Производная сложной функции.
8.
Инвариантность формы дифференц
иала.
9.
Производная обратной функции.
10.
Производные обратных тригонометрических функций.
11.
Гиперболические функции, их производные.
12.
Производные высших порядков, формула Лейбница.
13.
Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциалов порядка
выше первого
.
14.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Теоретические упражнения
1.
Исходя из определения производной, доказать, что
а)
производная периодической дифференцируемой функции есть функция
периодическая;
б) производная четной диффе
ренцируемой функции есть функция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
2.
Доказать, что если функция
fx
дифференцируема в точке
0
x
и
00
f
,
то
0
0lim
x
fx
f
x
.
3.
Доказать, что производная
0
f
не существует, если
sin1, 0,
0, 0.
xxx
fx
x
4.
Доказать, что производная от функции
2
sin1, 0,
0, 0.
xxx
fx
x
разрывна в точке
0
x
.
5.
Доказат
ь приближенную формулу
2
2, 0, .
azazaaza
a
z
ﾮ
6.
Что можно сказать о дифференцируемости суммы
fxgx
в точке
0
xx
если, в этой точке:
а) функция
fx
диффере
нцируема, а функция
gx
не дифференцируема;
б) обе функции
fx
и
gx
не дифференцируемы.
7.
Пусть функция
fx
дифференцируема в точке
0
x
и
0
0
fx
, а функция
gx
не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение
fxgx
является недифференцируемым в точке
0
x
.
8.
Что можно сказать о дифференцир
уемости произведения
fxgx
в
предположениях задачи?
Рассмотреть примеры:
а)
0
, , 0;
fxxgxxx
0
sin1, 0,
, 0;
0, 0,
xx
fxxgxx
x
б)
0
, , 0;
fxxgxxx
0
, 1, 0.
fxxgxxx
9.
Найти
0
f
,
если
1...1234567.
fxxxx
10.
Выразить дифференциал
3
dy
от сложной функции
yux
через производные
от функции
yu
и дифференциалы от функции
ux
.
11.
Пусть
yx
и
xy
дважды дифференцируемые взаимно обратные функции.
Выразить
x
через
y
и
y
.
Расч
ё
тные задания
Задача 1
. Исходя из определения п
роизводной, найти
0
f
.
1.1.
32
2
tgsin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.2.
2
12
arcsincos, 0;
93
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.3.
1
arctgcos, 0;
5
0, 0.
xx
fx
x
x
1.4.
3
1
ln1sinsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.5.
3
sinsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.6.
2
1
1+ln1sin1, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.7.
2
5
sin
sin1, 0;
0, 0.
x
x
exx
fx
x
1.8.
2
2
4
cos, 0;
32
0, 0.
x
xx
fx
x
x
1.9.
3
3
2
1
arctgsin, 0;
3
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.10.
5
sincos, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.11.
2
6
arcsinsin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.12.
2
cos18
tg21, 0;
0, 0.
xx
xx
fx
x
1.13.
7
arctgsin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.14.
22
1
2cos, 0;
9
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.15.
22
11
cos, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.16.
22
1
2cos, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.17.
lncos
, 0;
0, 0.
x
x
fx
x
x
1.18.
1
6sin, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.19.
2
cos
, 0;
0, 0.
x
ex
x
fx
x
x
1.20.
sin5
1,0;
0,0.
xx
ex
fx
x
1.21.
2
2
sin
312, 0;
0, 0.
x
x
xx
fx
x
1.22.
2
2
1+ln13cos1, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
1.23.
3
sin
5
1, 0;
0, 0.
x
x
ex
fx
x
1.24.
tgsin
2
22
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.25.
2
31
arctgsin, 0;
2
0, 0.
x
xx
fx
x
x
1.26.
3
2
2
sinsin
2
1, 0;
0, 0.
x
x
fx
exx
x
1.27.
3
3
5
12sin1, 0;
0, 0.
xxx
fx
x
x
1.28.
2
2
1
sin, 0;
0, 0.
x
xex
fx
x
x
1.29.
23
ln12
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.30.
coscos3
, 0;
0, 0.
xx
x
fx
x
x
1.31.
1
1cossin, 0;
0, 0.
xx
fx
x
x
Задача 2
. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1
–
2.12) или уравнение
касательной (в вариантах 2.13
–
2.31) к данной кривой в точке с абсциссой
0
x
.
2.1.
2
0
44, 2.
yxxx
2
.2.
2
0
231, 2.
yxxx
2.3.
3
0
, 1.
yxxx
2.4.
2
0
832, 4.
yxxx
2.5.
3
0
, 1.
yxxx
2.6.
3
2
0
20, 8.
yxx
2.7.
0
1
, 4.
1
x
yx
x
2.8.
4
0
870, 16.
yxx
2.9.
2
0
231, 1.
yxxx
2.10.
22
0
36, 3.
yxxxx
2.11.
3
0
3, 64.
yxxx
2.12.
33
0
22, 2.
yxxx
2.13.
2
0
23, 1.
yxx
2.14.
29
0
4
6
, 1.
1
x
yx
x
2.15.
0
1
2, 1.
yxx
x
2.16.
84
0
2231, 1.
yxxx
2.17.
5
0
4
1
, 1.
1
x
yx
x
2.18.
16
0
2
9
, 1.
15
x
yx
x
2.19.
3
0
32, 1.
yxxx
2.20.
0
132, 2.
yxx
2.21.
2
0
1, 2.
yxxx
2.22.
2
0
333, 3.
yxxx
2.23.
2
0
21, 1.
yxxx
2.24.
3
0
23, 1.
yxxx
2.
25.
2
0
2
13
, 1.
3
x
yx
x
2.26.
3
0
14152, 1.
yxxx
2.27.
4
0
3, 1.
yxxx
2.28.
3
0
323, 1.
yxxx
2.29.
2
0
103, 2.
yxx
2.30.
2
0
234, 4.
yxxx
2.31.
3
4
0
6163, 1.
yxxx
Задача 3
. Найти дифференциал
dy
.
3.1.
2
arcsin1ln1, 0.
yxxxxx
3.2.
2
tg2arccos12, 0.
yxx
3.3.
12ln12.
yxxx
3.4.
222
arctg11.
yxxx
3.5.
2
arccos112, 0.
yxx
3.6.
22
ln33.
yxxxx
3.7.
arctgshshlnch.
yxxx
3.8.
22
arccos12.
yxx
3.9.
24
lncos1cos.
yxx
3.10.
22
ln11arctg.
yxxxx
3.11.
2
22
ln
1
ln
121
x
x
y
xx
3.
12.
2
ln(1arcsin).
xxx
yeee
3.13.
2
44arcsin(/2).
yxxx
3.14.
lntg2sin.
yxxx
3.15.
2lnsin2cos.
yxxx
3.16.
3
ctgtg3.
yxx
3.17.
2
1
ln.
2
xx
y
x
3.18.
3
2
.
2
x
y
x
3.19.
2
1
arctg.
x
y
x
3.20.
2
2
1
ln1.
1
yx
x
3.21.
arctgtg1.
2
x
y
3.22.
2
ln221.
yxxx
3.23.
lncostg.
yxxx
3.24.
ecos22sin2.
x
yxx
3.25.
sinlncosln.
yxxx
3.26.
21
1
1e.
2
x
yx
3.27.
coslntglntg.
2
x
yxx
3.28.
22
3ln3.
yxxxx
3.29.
1arctg.
yxxx
3.30.
2
arctgln1.
yxxx
3.31.
22
1ln1.
yxxxx
Задача 4
. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
4.1.
3
, 7,76.
yxx
4.2.
3
3
7, 1,012.
yxxx
4.3.
2
52, 0,98.
yxxx
4.4.
3
, 27,54.
yxx
4.5.
arcsin, 0,08.
yxx
4.6.
3
2
25, 0,97.
yxxx
4.7.
3
, 26,46.
yxx
4.8.
2
3, 1,97.
yxxx
4.9.
11
, 1,021.
yxx
4.10.
3
, 1,21.
yxx
4.11.
21
, 0,998.
yxx
4.12.
3
2
, 1,03.
yxx
4.13.
6
, 2,01.
yxx
4.1
4.
3
, 8,24.
yxx
4.15.
7
, 1,996.
yxx
4.16.
3
, 7,64.
yxx
4.17.
41, 2,56.
yxx
4.18.
2
121, 1,016.
yxxx
4.19.
3
, 8,36.
yxx
4.20.
1, 4,16.
yxx
4.21.
7
, 2,002.
yxx
4.22.
43, 1,78.
yxx
4.23.
3
, 0,98.
yxx
4.24.
5
, 2,997.
yxx
4.25.
5
2
, 1,03.
yxx
4.26.
4
, 3,998.
yxx
4.27.
1sin, 0,01.
yxxx
4.28.
3
3cos, 0,01.
yxxx
4.29.
4
2sin2, 1,02.
yxxx
4.30.
2
5, 1,97.
yxx
4.31.
121, 1,58.
yxx
Задача 5
. Найти производную.
5.1.
32
2342
.
151
xxx
y
x
5.2.
22
3
211
.
3
xx
y
x
5.3.
42
2
8
.
24
xx
y
x
5.4.
2
21
.
324
xx
y
x
5.5.
88
12
11
.
12
xx
y
x
5.6.
2
4
.
213
x
y
x
5.7.
3
22
5
64
.
120
xx
y
x
5.8.
22
3
88
.
6
xx
y
x
5.9.
3
2
3
3
43
.
2
x
y
xx
5.10.
2
34
3
32
1
.
x
y
x
5.11.
63
3
2
.
1
xx
y
x
5.12.
22
3
24
.
24
xx
y
x
5.13.
2
2
1
.
212
x
y
x
5.14.
2
132
.
4
xx
y
x
5.15.
3
2
3
1
.
3
x
y
x
5.16.
3
6
3
8
8
128
x
x
x
y
-
-
-
=
5.17.
2
232
.
xx
y
x
5.18.
23
5
1
1.
yxx
x
5.19.
22
3
233
.
9
xx
y
x
5.20.
22
1
.
55
x
y
xx
5.21.
2
2
21
.
xxx
y
x
5.2
2.
1
2.
1
x
y
x
5.23.
2
1
.
245
y
xxx
5.24.
3
2
1
3.
1
xx
y
x
5.25.
3
2
1
3.
1
x
y
x
5.26.
2
7
.
627
x
y
xx
5.27.
2
1
.
1
xx
y
xx
5.28.
2
4
2
.
21
x
y
x
5.29.
321
.
27
xx
y
x
5.30.
2
3
.
2
xx
y
x
5.31.
642
2
342
.
151
xxx
y
x
Задача 6
. Найти производную.
6.1.
2
ln2e2ee1.
xxx
yx
6.2.
2
e2sin2cos28.
x
yxx
6.3.
1e3
arctg.
22
x
y
6.4.
112
ln.
ln412
x
x
y
6.5.
e11
2e1ln.
e11
x
x
x
y
6.6.
3
2
arctg.
3
x
ye
6.7.
2
1
ln12arctg.
2
xx
yee
6.8.
2
3
182711
ln1.
61
xx
x
x
ee
ye
e
6.9.
221arctg21
.
ln2
xx
y
6.10.
11
2212ln.
11
x
x
x
e
yxe
e
6.11.
22
sincos
.
x
exx
y
6.12.
(
)
.
cos
sin
2
2
b
a
b
a
b
b
a
+
+
=
x
x
e
y
x
6.13.
22
1cos22sin2
.
2
24
ax
abxbbx
ye
a
ab
6.14.
1
ln1.
1
x
x
yxe
e
6.15.
636
3ln113arctg.
xxx
yxeee
6.16.
4
8
.
1
x
yx
e
6.17.
2
ln1arcsin.
xxx
yeee
6.18.
2
arcsinln11.
xxx
yxeee
6.19.
2
222
ln12arctgarctg.
xxxx
yxeeee
6.20.
3
3
.
1
x
e
y
x
6.21.
1
arctg.
mx
a
ye
b
mab
6.2
2.
3
3
2
3
322.
x
yexx
6.23.
2
2
11
ln.
11
xxx
xxx
eee
y
eee
6.24.
sin
1
.
cos
x
yex
x
6.25.
2
2
1cos1sin.
2
x
e
yxxxx
6.26.
arctg.
xx
yee
6.27.
3
333
542
3
352060120120.
x
yexxxxx
6.28.
3
3
.
3sh
x
e
y
x
6.2
9.
2
arcsin1.
xx
yee
6.30.
2
42
1
22.
2
x
yexx
6.31.
2
2
.
1
x
e
y
x
Задача 7
. Найти производную.
7.1.
ln.
yxxxaxa
7.2.
22
ln.
yxax
7.3.
24ln2.
yxx
7.4.
2
4
ln.
1
x
y
ax
7.5.
ln1.
yxx
7.6.
22
22
ln.
ax
y
ax
7.7.
2
lncos.
yxx
7.8.
3
ln1cos.
yx
7.9.
2
2
ln.
1
x
y
x
7.10.
lntg.
42
x
y
7.11.
4
12
ln.
12
x
y
x
7.12.
2
12
ln.
22
x
yxa
x
7.13.
24
lnsin.
1
x
y
x
7.14.
165
loglogtg.
yx
7.15.
42
loglogtg.
yx
7.16.
coslnsinln2.
yxxx
7.17.
.
1
2
3
2
cos
ln
+
+
=
x
x
y
7.18.
lglnctg.
yx
7.19.
4
1
log.
1
a
y
x
7.20.
2
1
ln2tg12tg.
2
yxx
7.21.
2
lnarcsin1.
x
ye
7.22.
4
lnarccos1.
x
ye
7.23.
222
ln.
ybxabx
7.24.
2
2
12
ln.
12
xx
y
xx
7.25.
1
lnarccos.
y
x
7.26.
2
ln1.
xx
yee
7.27.
5tg2
ln.
5tg2
x
y
x
7.28.
ln
ln.
sin1
x
y
x
7.29.
lnlnsin11.
yx
7.30.
32
lnlnln.
yx
7.31.
23
lnlnln.
yx
Задача 8
. Найти производную.
8.1.
2
1sin3
sin3.
3cos6
x
y
x
8.2.
2
1cos3
cosln2.
3sin6
x
y
x
8.3.
2
11sin4
tglg.
34cos8
x
y
x
8.4.
2
3
1cos4
ctg5.
8sin8
x
y
x
8.5.
2
cossin5sin2
.
2cos4
x
y
x
8.6.
2
sincos3cos2
.
4sin4
x
y
x
8.7.
2
cosln7sin7
.
7cos14
x
y
x
8.8.
2
1cos8
cosctg2.
16sin16
x
y
x
8.9.
2
1sin6
ctgcos2.
6cos12
x
y
x
8.10.
2
3
1cos10
ctg2.
20sin20
x
y
x
8.11.
2
111sin10
costg.
3210cos20
x
y
x
8.12.
2
11cos12
lnsin.
224sin24
x
y
x
8.13.
2
1sin5
8sinctg3.
5cos10
x
y
x
8.14.
2
cosctg3cos14
.
28sin28
x
y
x
8.15.
2
1
costgsin15
3
.
15cos30
x
y
x
8.16.
2
1
sintgcos16
7
.
32sin32
x
y
x
8.17.
2
1
ctgsinsin17
3
.
17cos34
x
y
x
8.18.
2
5
ctg2cos18
.
36sin36
x
y
x
8.19.
2
tgln2sin19
.
19cos38
x
y
x
8.20.
2
1cos20
ctgcos5.
40sin40
x
y
x
8.21.
2
sin21
tg4.
21cos42
x
y
x
8.22.
2
1cos22
cosln13.
44sin44
x
y
x
8.23.
2
1sin23
lncos.
323cos46
x
y
x
8.24.
2
11cos24
ctgsin.
1348sin48
x
y
x
8.25.
.
50
cos
25
25
sin
2
1
ln
sin
2
x
x
y
+
=
8.26.
2
3
1cos26
cos2.
52sin52
x
y
x
8.27.
2
7
sin27
tgcos2.
27cos54
x
y
x
8.28.
2
3
cos28
sintg2.
56sin56
x
y
x
8.29.
2
2
sin29
cossin3.
29cos58
x
y
x
8.30.
2
3
cos30
sincos2.
60sin60
x
y
x
8.31.
2
sin31
tgcos13.
31cos62
x
y
x
Задача 9
. Найти производную.
9.1.
tgctg
arctg.
2
xx
y
9.2.
2
arcsin.
5
x
y
x
9.3.
2
21921
2arcsin.
483
xx
yxx
9.4.
2
11
arctg.
x
y
x
9.5.
2
4
4
arccos.
16
x
y
x
9.6.
231
arctg.
3
6
x
y
x
9.7.
111
lnarctg.
412
x
yx
x
9.8.
(
)
(
)
.
6
/
1
arccos
9
2
/
7
8
4
2
-
-
-
-
-
=
x
x
x
x
y
9.9.
2
1arctg
1
.
3
xx
y
x
xx
9.10.
32
2
2
arccos1.
39
xx
yxx
9.11.
11
arctg.
2
2
x
yx
x
x
9.12.
3
23arccos.
22
xx
yxx
9.13.
42
3
44
arctg.
2
xx
y
xx
9.14.
arcsinarctg.
1
x
yx
x
9.15.
22
11arccos
1.
22
x
y
xx
9.16.
6
6arcsin4.
22
xx
yxx
9.17.
2
3
68arcsin1.
22
xx
yxx
9.18.
1arctg
.
xxx
y
x
9.19.
21arcsin2
.
xx
y
x
x
9.20.
2
2591
54arcsin.
443
xx
yxx
9
.21.
2
2
51
arctgln.
64
x
yx
x
9.22.
2
arcsin.
12
x
y
x
9.23.
22
1arcsin1.
yxxx
9.24.
.
2
3
8
3
1
x
arctg
x
arctg
x
y
-
+
=
9.25.
1
arctg.
1
x
y
x
9.26.
2
1
265arctg.
2
x
yxxx
x
9.27.
2
2
1
arcsin2ln14.
8
214
x
yxx
x
9.28.
23
2
113
2arctg.
22
323
xx
yxxx
x
9.29.
22arctg.
2
x
yxxx
x
9.30.
2
2
12arcsin2ln1.
1
x
yxxx
x
9.31.
tg21
arctg.
2
x
y
Задача 10
. Найти производную.
10.1.
125th
ln.
4525th
x
y
x
10.2.
42
sh3sh3
arctgsh.
4ch8ch8
xx
yx
xx
10.3.
11th
lnarctgth.
2
1th
x
yx
x
10.4.
2
32thth
ln.
42th
822th
xx
y
x
x
10.5.
1112th
thln.
2
4212th
x
yx
x
10.6.
2
1ch
lnth.
222sh
xx
y
x
10.7.
2
22
11th
ln.
211th
aax
y
aaaax
10.8.
112cth
ln.
18212cth
x
y
x
10.9.
sh2
arctg.
chsh
x
y
xx
10.10.
11sh2
ln.
62sh2
x
y
x
10.11.
4
1th
.
1th
x
y
x
10.12.
sh
.
1ch
x
y
x
10.13.
ch
.
sh2
x
y
x
10.14.
sh3
.
ch6
x
y
x
10.15.
2
2
18chlnch
.
2ch
xx
y
x
10.16.
2
2
12sh1
.
3sh
x
y
x
10.17.
2
sh3
arcsinth.
2ch2
x
yx
x
10.18.
13ch
arcsin.
13ch
8
x
y
x
10.19.
48th
1
2
ln.
8
48th
2
x
y
x
10.20.
113ch
lnthln.
424sh
xx
y
x
10.21.
153ch
arcsin.
435ch
x
y
x
10.22.
2
4
18ch
.
4ch
x
y
x
10.23.
32
21sh5
arctgsh.
sh3sh2ch2
x
yx
xxx
10.24.
3
81
cth2.
33chsh
yx
xx
10.25.
2
1sh
arctgsh.
22ch
x
yx
x
10.26.
2
3ch
lnthch.
222sh
xx
yx
x
10.27.
2
sh13
arctgsh.
2chsh2
x
yx
xx
10.28.
2
sh1
arctgsh.
2ch2
x
yx
x
10.29.
2
1sh
arctgsh.
2ch
x
yx
x
10.30.
2
ch1
lnth.
2sh22
xx
y
x
10.31.
3
2ch
cth.
33sh
x
yx
x
Задача 11
. Найти производную.
11.1.
12lnarctg
arctg.
x
yx
11.2.
lnsin
sin.
x
yx
11.3.
5e
sin.
x
yx
11.4.
e
arcsin.
x
yx
11.5.
3
ln.
x
yx
11.6.
arcsin
.
x
yx
11.7.
2e
ctg3.
x
yx
11.8.
tg
e
.
x
yx
11.9.
4e
tg.
x
yx
11.10.
e
cos5.
x
yx
11.11.
8lnsin
sin.
xx
yxx
11.12.
ch
5.
x
yx
11.13.
tg
3
4.
x
yx
11.14.
3
sin
.
x
yx
11.15.
sh
2
1.
x
yx
11.16.
ctg
4
5.
x
yx
11.17.
52
sin.
x
yx
11.18.
cos
2
1.
x
yx
11.19.
19
19
19.
x
yx
11.20.
3
2.
x
x
yx
11.21.
1
e
sin.
x
yx
11.22.
ctg
e
.
x
yx
11.23.
cos
e
.
x
yx
11.24.
2
5.
x
x
yx
11.25.
sin
e
.
x
yx
11.26.
lntg4
tg.
x
yx
11.27.
arctg
e
.
x
yx
11.
28.
th
8
1.
x
yx
11.29.
29
29.
x
x
yx
11.30.
lncos24
cos2.
x
yx
11.31.
e9
.
x
yxx
Задача 12
. Найти производную.
12.1.
2
22
12
84arcsin, 0.
2416
x
yxxx
x
12.2.
2
41141
arctg.
1683
22
xx
y
xx
12.3.
422
2ln11eearcsine.
xxx
yx
12.4.
22
9125arctg32ln329125.
yxxxxxx
12.5.
2
2
212
2ln.
11
xx
yxx
xx
12.6.
2
22
31
arcsin189, 0.
8181
x
yxxx
x
12.7.
2
131131
arctg.
3321
22
xx
y
xx
12.8.
633
3ln11eearcsine.
xxx
yx
12.9.
22
ln4116821682arctg41.
yxxxxxx
12.10.
2
2
124
ln.
2121
xx
yxx
xx
12.11.
4
22
12
23arcsin4121132, 230.
233
yxxxxxx
x
12.12.
2
212
arctg.
46
22
xx
y
xx
12.13.
1055
5ln11eearcsine.
xxx
yx
12.14.
22
817arctg4ln4817.
yxxxxxx
1
2.15.
2
2
1342
ln34.
22
xx
yxx
xx
12.16.
4
22
1
342912332arcsin, 320.
32
yxxxxxx
x
12.17.
2
111
arctg.
23
22
xx
y
xx
12.18.
5105
lnee1arcsine.
xxx
y
12.19.
22
ln234121041210arctg23.
yxxxxxx
12.20.
2
2
1342
ln34.
22
xx
yxx
xx
12.21.
4
22
21
44321arcsin, 210.
321
yxxxxxx
x
12.22.
2
21121
arctg.
443
22
xx
y
xx
12.23.
448
arcsinelnee1.
xxx
y
12.24.
22
ln5251251arctg5.
yxxxx
12.25.
2
2
213129
3129ln.
3232
xx
yxx
xx
12.26.
4
22
1
31arcsin32196, 310.
31
yxxxxxx
x
12.27.
2
12121
arctg.
443
22
xx
y
xx
12.28.
363
lnee1arcsine.
xxx
y
12.29.
22
491arctg7ln7491.
yxxxx
12.30.
2
2
1114
14ln.
2
x
yx
xx
12.31.
224
arcsinelnee1.
xxx
y
Задача 13
. Найти производную.
13.1.
2
2
arcsin
ln1.
1
xx
yx
x
13.2.
2
2
2
14
4ln.
114
xx
y
x
x
13.3.
222
2513ln1.
yxxxxx
13.4.
2
32
2
arcsin1.
3
x
yxxx
13.5.
2
3
3arcsin2422, 410.
41
yxxx
x
13.6.
22
1arctgln1.
yxxxx
13.7.
2
2
2arcsin92412, 340.
34
yxxx
x
13.8.
222
211ln1.
yxxxxx
13.9.
2
2
1
ln1.
x
yxx
x
13.10.
2
343
132arcsin.
2217
x
yxx
13.11.
413ln41.
yxxxx
13.12.
2
121
ln3arctg.
3
xxx
y
x
13.13.
42
2
2
2
1113
lnarctg.
1221
23
1
xx
y
x
x
13.14.
2
4
4arcsin4127, 230.
23
yxxx
x
13.15.
2
2
2arcsin963, 310.
31
yxxx
x
13.16.
3
231arctg1.
2
yxxx
13.17.
1
21ln11.
3
yxxx
13.18.
2
2
2
11
1ln.
2
11
xx
yx
x
13.19.
3
2
1111
lnarctg.
1221
x
yx
xx
13.20.
1
ln11arcsin.
2
yxxxxx
13.21.
2
2
ln
arctg1.
1
x
yx
x
13.22.
2
3
3arcsin45.
2
yxx
x
13.23.
2
325arcsin.
5
x
yxx
13.24.
2
2
arcsin21arcsin2.
yxxxxx
13.25.
2
1
arcsin.
x
yx
x
13.26.
2
22
2
arccos1.
3
x
yxxx
13.27.
22
2
2122
ln.
2
xx
y
xx
13.28.
22
1046arcsin.
42
xx
yxx
13.29.
2
1
arcsin232, 230.
23
yxxx
x
13.30.
arcsinarctg.
1
x
yxxx
x
13.31.
2
arcsin11
ln.
21
1
xx
y
x
x
Задача 14
. Найти производную.
14
.1.
1
lntgctg.
sin
yx
14.2.
cossinlnsin.
yxx
14.3.
21
1
sinln21cosln.
22
yxxx
14.4.
4
cos
arctg.
cos2
x
y
x
14.5.
24
sinsin
32.
coscos
xx
y
xx
14.6.
(
)
.
0
,
sin
arcsin
2
2
2
/
1
2
2
>
￨
￦
+
ￗ
+
=
-
b
b
x
b
a
b
a
y
14.7.
2
73sin3cos3ln7
.
9ln7
x
xx
y
14.8.
sin
ln.
coscos2
x
y
xx
14.9.
2
1
arctgcoslntg.
2
1
x
yaxa
aa
14.10.
3
1111sin
ln.
3sinsin21sin
x
y
xxx
14.11.
2arctg
1e.
x
yx
14.12.
ctg
.
1ctg
xx
y
xx
14.13.
2
2sin
1
2
arctg.
1
2sin
2
x
y
x
14.14.
42
1
arctg, 0.
xx
yx
x
14.15.
2
6sin4ln64cos4
.
16ln6
x
xx
y
14.16.
2tg
arctg.
1tg
x
y
x
14.17.
2
2sin
arctg.
9cos4
x
y
x
14.18.
2
52sin2cos2ln5
.
4ln5
x
xx
y
14.19.
2th
ln.
2th
x
y
x
14.20.
2
34sin4ln3cos4
.
16ln3
x
xx
y
14.21.
2
4ln4sin44cos4
.
16ln4
x
xx
y
14.22.
2
cos
2cos3lntg.
sin2
xx
yx
x
14.23.
2
5sin3ln53cos3
.
9ln5
x
xx
y
14.24.
22
ln1e2earctge.
xx
x
yx
14.25.
2
2sincosln2
.
1ln2
x
xx
y
14.26.
lnctgctg
.
sin
x
y
14.27.
42
coscos
23.
sinsin
xx
y
xx
14.28.
2tg21
cos4
arctg.
32sin
333
x
x
y
x
14.29.
2
3ln3sin22cos2
.
ln34
x
xx
y
14.30.
3
11cos11
ln.
21coscos3cos
x
y
xxx
14.31.
tg2tg1
.
tg2tg1
xx
y
xx
Задача 15
. Найти производную
x
y
.
15.1.
2
3
3
31
,
3
sin.
3
t
x
t
t
yt
15.2.
2
1,
tg1.
xt
yt
15.3.
2
2
3
2,
1
.
1
xtt
y
t
15.4.
arcsinsin,
arccoscos.
xt
yt
15.5.
2
2
ln1,
1.
xtt
ytt
15.6.
2
2,
arcsin1.
xtt
yt
15.7.
ctg2e,
lntge.
t
t
x
y
15.8.
2
lnctg,
1
.
cos
xt
y
t
15.9.
2
arctge,
e1.
t
t
x
y
15.10.
2
1
ln,
1
1.
t
x
t
yt
15.11.
4
2
2
1
ln,
1
1
arcsin.
1
x
t
t
y
t
15.12.
2
2
1,
.
1
xt
t
y
t
15.13.
2
2
arcsin1,
arccos.
xt
yt
15.14.
2
2
,
1
11
ln.
t
x
t
t
y
t
15.15.
2
2
2
1cos,
cos
.
sin
xt
t
y
t
15.16.
2
1
ln,
1
1.
t
x
t
yt
15.17.
2
1
arccos,
1
1arcsin.
x
t
yt
t
15.18.
2
1
,
ln
11
ln.
x
t
t
y
t
15.19.
arcsin,
1.
xt
yt
15.20.
2
2
arcsin,
.
1
xt
t
y
t
15.21.
2
2
1,
11
ln.
xtt
t
y
t
15.22.
2
arctg,
1
ln.
1
xt
t
y
t
15.23.
2
2
ln1,
arcsin1.
xt
yt
15.24.
2
1
arctg,
1
arcsin1.
t
x
t
yt
15.25.
2
1sin
ln,
1sin
1
tglncos.
2
t
x
t
ytt
15.26.
2
1
arctg,
1arcsin.
t
xtt
t
yttt
15.27.
2
lntg,
1
.
sin
xt
y
t
15.58.
2
2
2
2
2
ln
ln1,
1
arcsinln1.
1
tt
xt
t
t
ytt
t
15.29.
2
sec
e,
tglncostg.
t
x
ytttt
15.30.
2
2
2
arcsinln1,
1
.
1
t
xtt
t
t
y
t
15.31.
2
2
2
ln1,
11
1ln.
xtt
t
yt
t
Задача 16
. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке,
соответствующей значению параметра
0
tt
.
16.1.
3
3
0
sin,
cos, 3.
xat
yatt
16.2.
0
3cos,
sin, 3.
xt
ytt
16.3.
0
sin,
1cos, 3.
xatt
yatt
16.4.
2
3
0
2,
3, 1.
xtt
yttt
16.5.
2
3
2
0
3
2
,
1
2
, 1.
1
tt
x
t
tt
yt
t
16.6.
2
0
2
arcsin,
1
1
arccos, 1.
1
t
x
t
yt
t
16.7.
0
cos2sin,
sin2cos, 4.
xtttt
yttttt
16.8.
2
2
0
2
3
,
1
3
, 2.
1
at
x
t
at
yt
t
16.9.
0
2lnctgctg,
tgctg, 4.
xtt
yttt
16.10.
24
23
0
11
,
24
11
, 0.
23
xtt
yttt
16.11.
0
cos,
sin, 2.
xatt
yattt
16.12.
0
sin,
cos, 6.
xt
ytt
16.13.
2
0
2
arcsin,
1
1
arccos, 1.
1
t
x
t
yt
t
16.14.
2
0
1ln
,
32ln
, 1.
t
x
t
t
yt
t
16.15.
2
0
2
1
,
32
, 2.
2
t
x
t
yt
tt
16.16.
3
3
0
sin,
cos, 6.
xat
yatt
16.17.
0
sincos,
sincos, 4.
xattt
yatttt
16.18.
0
1
,
1
, 1.
t
x
t
t
yt
t
16.19.
2
3
0
1,
, 2.
xt
yttt
16.20.
2
0
ln1,
arctg, 1.
xt
yttt
16.21.
0
1sin,
cos, 0.
xtt
yttt
16.22.
3
2
0
2
1
,
1
, 2.
1
t
x
t
t
yt
t
16.23.
0
3cos,
4sin, 4.
xt
ytt
16.24.
4
23
0
,
, 1.
xtt
yttt
16.25.
3
2
0
1,
1, 1.
xt
yttt
16.26.
0
2cos,
sin, 3.
xt
ytt
16.27.
2
0
2tg,
2sinsin2, 4.
xt
yttt
16.28.
3
2
0
1,
, 2.
xt
ytt
16.29.
0
sin,
, 0.
t
xt
yat
16.30.
0
sin,
cos2, 6.
xt
ytt
16.31.
0
2e,
e, 0.
t
t
x
yt
Задача 17
. Найти производную
n
-
го порядка.
17.1.
e.
ax
yx
17.2.
sin2cos1.
yxx
17.3.
5
71
e.
x
y
17.4.
47
.
23
x
y
x
17.5.
lg52.
yx
17.
6.
3
.
x
ya
17.7.
.
232
x
y
x
17.8.
lg4.
yx
17.9.
.
yx
17.10.
25
.
1331
x
y
x
17.11.
35
2.
x
y
17.12.
sin1cos2.
yxx
17.1
3.
3
21
e.
x
y
17.14.
415
.
51
x
y
x
17.15.
lg31.
yx
17.16.
5
7.
x
y
17.17.
.
949
x
y
x
17.18.
lg1.
yx
17.19.
4
.
y
x
17.20.
51
.
1323
x
y
x
17.21.
23
.
x
ya
17.22.
sin31cos5.
yxx
17.23.
31
e.
x
y
17.24.
1112
.
65
x
y
x
17.25.
lg27.
yx
17.26.
2.
kx
y
17.27.
.
1
x
y
x
17.28.
3
log5.
yx
17.29.
1
.
1
x
y
x
17.30.
71
.
1743
x
y
x
17.31.
25
3.
x
y
Задача 18
. Найти производную указанного порядка.
18.1.
2
27ln1, ?
V
yxxy
18.2.
22
3ln, ?
III
yxxy
18.3.
2
cos, ?
III
yxxy
18.4.
ln1
, ?
1
III
x
yy
x
18.5.
2
3
log
, ?
III
x
yy
x
18.6.
321
45e, ?
xV
yxy
18.7.
2
sin53, ?
III
yxxy
18.8.
2
ln
, ?
IV
x
yy
x
18.9.
2
23ln, ?
III
yxxy
18.10.
2
1arctg, ?
III
yxxy
18.11.
3
ln
, ?
IV
x
yy
x
18.12.
432, ?
xV
yxy
18.13.
12
esin23, ?
xIV
yxy
18
.14.
ln3
, ?
3
III
x
yy
x
18.15.
3
21cos, ?
V
yxxy
18.16.
2
3ln3, ?
IV
yxxy
18.17.
12
2
1e, ?
x
IV
yxxy
18.18.
1
sin2, ?
III
yxy
x
18.19.
7ln4, ?
V
yxxy
18.20.
373, ?
xIV
yxy
18.21.
ln25
, ?
25
III
x
yy
x
18.22.
2
esin2, ?
xIV
yxy
18.23.
5
ln
, ?
III
x
yy
x
18.24.
ln13, ?
IV
yxxy
18.25.
232
31e, ?
xV
yxxy
18.26.
582, ?
xIV
yxy
18.27.
ln2
, ?
2
V
x
yy
x
18.28.
ecos23sin2, ?
xIV
yxxy
18.29.
2
51ln, ?
III
yxxy
18.30.
3
2
log
, ?
IV
x
yy
x
18.31.
343
3e, ?
xIV
yxy
Задача 19
. Найти производную второго порядка
xx
y
от функции, заданной
параметрически.
19.1.
2
cos2,
2sec.
xt
yt
19.2.
2
1,
1.
xt
yt
19.3.
ecos,
esin.
t
t
xt
yt
19.4.
2
2
sh,
1ch.
xt
yt
19
.5.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.6.
2
1,
11.
xt
yt
19.7.
,
11.
xt
yt
19.8.
sin,
sec.
xt
yt
19.9.
tg,
1sin2.
xt
yt
19.10.
1,
1.
xt
ytt
19.11.
3
,
1.
xt
yt
19
.12.
cos12cos,
sin12cos.
xtt
ytt
19.13.
3
1,
ln.
xt
yt
19.14.
2
sh,
th.
xt
yt
19.15.
1,
1.
xt
yt
19.16.
2
2
cos,
tg.
xt
yt
19.17.
3,
ln2.
xt
yt
19.18.
sin,
lncos.
xt
yt
1
9.19.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.20.
sin,
2cos.
xtt
yt
19.21.
cos,
lnsin.
xt
yt
19.22.
cossin,
sincos.
xttt
yttt
19.23.
e,
arcsin.
t
x
yt
19.24.
4
cos,
sin2.
xt
yt
19.25.
3
2
ch,
sh.
xt
yt
19.26.
2
arctg,
2.
xt
yt
19.27.
2sin,
42cos.
xtt
yt
19.28.
sincos,
cossin.
xttt
yttt
19.29.
2
2
1,
11.
xt
yt
19.30.
cossin,
sin2.
xtt
yt
19.31.
ln,
arctg.
xt
yt
Задача 20
. Показать, что функция
y
удовлетворяет уравнению (1).
20.1.
2
2
2
e,
1. (1)
x
yx
xyxy
20.2.
sin
,
cos. (1)
x
y
x
xyyx
20.3.
2
5ee3,
2e. (1)
xx
x
y
yy
20.4.
2
2
21,
12. (1)
ycx
xyxyx
20.5.
2
3
1,
2. (1)
yxx
yyxx
20.6.
,
cos
tg0. (1)
c
y
x
yxy
20.7.
2
1
,
3
3. (1)
y
xc
yy
20.8.
lne,
e. (1)
x
xy
yc
y
20.9.
2
22
,
20. (1)
yxcx
xydxxydy
20.10.
ln,
0. (1)
yxcx
xydxxdy
20.11.
tg2
e,
sinln. (1)
x
y
yxyy
20.12.
2
2
1
,
1
1
. (1)
1
x
y
x
y
y
x
20.13.
2
,
1
1. (1)
bx
y
bx
yxybxy
20.14.
3
2
233,
12
. (1)
yxx
x
yy
y
20.15.
2
1e
ln1,
2
1ee. (1)
x
xx
y
yy
20.16.
2
tgln3,
1. (1)
yx
ydxxdy
20.17.
2
2
2
1,
10. (1)
y
x
yxyy
20.18.
3
32
ln1,
ln30. (1)
yxx
xyxyy
20.19.
2
7
,
1
1. (1)
x
ya
ax
yxyaxy
20.20.
222
tg1,
20. (1)
a
ya
x
ayxaxxy
20.21.
4
3
1,
1
8. (1)
1
yxx
xyy
yx
20.22.
(
)
(
)
1
.
2
2
,
1
2
2
2
x
x
xe
xy
y
e
x
y
=
-
ﾢ
+
=
20.23.
3
3
33
21
,
1
2
121. (1)
x
y
xx
x
xxyxy
x
20.24.
2
2
e2e,
2e. (1)
xxx
xx
y
yyx
20.25.
2
cos3,
sin. (1)
yxxx
xyyxx
20.26.
3
1sin,
2sincos
cossin. (1)
yxx
xyyx
yxxx
20.27.
2
2
,
1
121. (1)
x
yx
x
xxyyxx
20.28.
,
cos
tgsec. (1)
x
y
x
yyxx
20.29.
1e1,
e1. (1)
1
n
x
n
x
yx
ny
yx
x
20.30.
sin
2cos,
sinsincos
sincos. (1)
x
yx
x
xxyxxxy
xxx
20.31.
42
24
,
. (1)
yxx
xyyyx
Задача 4.
Варианты 1
–
10.
Рыбаку нужно переправиться с острова
A
на остров
B
(рис. 1). Чтобы пополнить свои запасы, он должен
попасть на участок берега
MN
. Найти кратчайший пут
ь
рыбака
12
sss
.
4.1.
200, 300, 400, 300, 700.
abHhL
4.2.
400, 600, 800, 600, 1400.
abHhL
4.3.
600, 900, 1200, 900, 2100.
abHhL
4.4.
800, 1200, 1600, 1200, 2800.
abHhL
4.5.
1000, 1500, 2000, 1500, 3500.
abHhL
4.6.
400, 500, 300, 400, 700.
abHhL
4.7.
800, 1000, 600, 800, 1400.
abHhL
4.8.
1200, 1500, 900, 1200, 2100.
abHhL
4.9.
1600, 2000, 1200, 1600, 2800.
abHhL
4.10.
2000, 2500, 1500, 2000, 3500.
abHhL
Варианты 11
–
20.
При подготовке к экзамену студент за
t
дней изучает
t
tk
-
ю часть курса, а
забывает
t
-
ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена
максимальная часть курса?
4.11.
12
, .
249
k
4.12.
12
, .
281
k
4.13.
12
, .
2121
k
4.14.
12
, .
2169
k
4.15.
1
1, .
25
k
4.16.
1
1, .
16
k
4.17.
1
1, .
36
k
4.18.
1
1, .
49
k
4.19.
1
2, .
18
k
4.20.
2
2, .
49
k
Задача 22
Варианты 1
–
10
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину,
сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (ри
с. 2).
Плотность воды
1000
кг/м
3
, ускорение свободного
падения
g
положить равным
10
м/с
2
.
У к а з а н и е. Давление на глубине
x
равно
gx
.
22.1.
4,5
м, 6,6 м, 3,0 м.
abh
22.2.
4,8
м, 7,2 м, 3,0 м.
abh
22.3.
5,1
м, 7,8 м, 3,0 м.
abh
22.4.
5,4
м, 8,4 м, 3,0 м.
abh
22.5.
5,7
м, 9,0 м, 4,0 м.
abh
22.6.
6,0
м, 9,6 м, 4,0 м.
abh
22.7.
6,3
м, 10,2 м, 4,0 м.
abh
22.8.
6,6
м, 10,8 м, 4,0 м.
abh
22.9.
6,9
м, 11,4 м, 5,0 м.
abh
22.10.
7,2
м, 12,0 м, 5,0 м.
abh
Варианты 11
–
20
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с
поверхности Земли на высоту
H
км. Масса спутника равна
m
т, радиус Земли
з
6380
R
км. Ускорение свободного падения
g
у поверхности Земли положить равным
10 м/с
2
.
22.11.
7,0
т, 200 км.
mH
22.12.
7,0
т, 250 км.
mH
22.13.
6,0
т, 300 км.
mH
22.14.
6,0
т, 350 км.
mH
22.15.
5,0
т, 400 км.
mH
22.16.
5,0
т, 450 км.
mH
22.17.
4,0
т, 500 км.
mH
22.18.
4,0
т, 550 км.
mH
22.19.
3,0
т, 600 км.
mH
22.20.
3,0
т, 650 км.
mH
Варианты 21
–
31
Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением
(103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в
джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем,
переместившимся внутрь цилиндра на
h
м (рис. 3).
У
к а з а н и е. Уравнение состояния газа
const
pV
, где
p
–
давление,
V
–
объем.
22.21.
0,4
м, 0,35 м, 0,1 м.
HhR
22.22.
0,4
м, 0,3 м, 0,1 м.
HhR
22.23.
0,4
м, 0,2 м, 0,1 м.
HhR
22.24.
0,8
м, 0,7 м, 0,2 м.
HhR
22.25.
0,8
м, 0,6 м, 0,2 м.
HhR
22.26.
0,8
м, 0,4 м, 0,2 м.
HhR
22.27.
1,6
м, 1,4 м, 0,3 м.
HhR
22.28.
1,6
м, 1,2 м, 0,3 м.
HhR
22.29.
1,6
м, 0,8 м, 0,3 м.
HhR
22.30.
2,0
м, 1,5 м, 0,4 м.
HhR
22.31.
2,0
м, 1,0 м, 0,4 м.
HhR
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теоретические вопросы
1.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для
дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования
и единственности решения задачи Коши.
2.
Дифференциальные у
равнения первого порядка: с разделяющимися
переменными, однородные и приводящиеся к однородным.
3.
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
4.
Уравнения в полных дифференциалах.
5.
Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядк
а
методом изоклин.
6.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка
теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное
решения. Общий и частный интегралы.
7.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение поряд
ка.
8.
Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное
дифференциальное уравнение, свойства его решений.
9.
Линейно
-
зависимые и линейно
-
независимые системы функций. Необходимое
условие линейной зависимости системы функций.
10.
Условие линейной
независимости решений линейного однородного
дифференциального уравнения.
11.
Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система
решений. Структура общего решения.
12.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего
решения.
13.
Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
15.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
(случай кратных корней характеристического уравнения).
16.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Метод подбора.
Теоретические упражнения
1.
Пусть
1
y
—
решение дифференциального уравнения
0
Ly
. Показать, что
введение новой искомой функции
1
uyy
приводит к дифференциальному уравнению,
допускающему понижение порядка.
2.
Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба
графиков решений уравне
ния
,
yfxy
.
3.
Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков
решений уравнения
,
yfxy
, соответствующие максимумам и минимумам. Как
отличить максимум от минимума?
4.
Линейное дифференциальное уравне
ние останется линейным при замене
независимой переменной
xt
, где функция
t
произвольная, но
диффере
нцируемая достаточное число раз
.
Доказать это утверждение для линейного
дифференциального уравнения второг
о порядка.
5.
Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейный при
преобразовании искомой функции
yxzx
.
Здесь
z
—
новая искомая функция,
x
и
x
—
произвольные, но достаточное
число раз дифференцируемые функции.
6.
Составить общее .решение уравнения
0
ypxy
, если известно ненулевое
частное решение
1
y
этого уравнения.
7.
Показать, что произвольные дважды ди
фференцируемые функции
1
yx
и
2
yx
являются решениями линейного дифференциального уравнения.
12
12
12
0.
yyy
yyy
yyy
8.
Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка,
имеющее решения
1
yx
,
2
2
yx
.
Показать, что функции
x
и
2
x
линейно
-
независимы в интервале
,
.
Убедиться в том, что определитель Вронского для этих фун
кций равен нулю в
точке
0
x
. Почему это не противоречит необходимому условию линейной
независимости системы решений линейного однородного дифференциального
уравнения?
9.
Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального ура
внения
второго порядка, если известны три линейно
-
независимые частные его решения
1
y
,
2
y
и
3
y
.
10.
Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного
дифференциального ура
внения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию
lim0
x
yx
, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отрицательные действительные части.
Расч
ё
тные задания
Задача 1
. Найти общий интеграл диффер
енциального уравнения. (Ответ
представить в виде
,
xyC
.)
1.1.
22
4332.
xdxydyxydyxydx
1.2.
22
110.
xyyyx
1.3.
22
4.
ydxydyxydy
1.4.
22
3.
ydxydyxydy
1.5.
22
6623.
xdxydyxydyxydx
1.6.
22
320.
xydxyxdy
1.7.
22
e5e0.
xx
dyydx
1.8.
2
2
1
10.
1
x
yy
y
1.9.
22
6632.
xdxydyxydyxydx
1.10.
22
540.
xydxyxdy
1.11.
4ee0.
xx
ydydx
1.12.
22
40.
xyxyx
1.13.
22
222.
xdxydyxydyxydx
1.14.
22
410.
xydxyxdy
1.15.
e8e0.
xx
dyydx
1.16.
22
510.
yyyx
1.17.
22
63.
xdxydyyxdyxydx
1.18.
ln0.
yyxy
1.19.
1ee.
xx
yy
1.20.
22
10.
xyxyx
1.
21.
22
6223.
xdxydyyxdyxydx
1.22.
1ln0.
yyxy
1.23.
3ee.
xx
yy
1.24.
22
310.
yxyy
1.25.
22
.
xdxydyyxdyxydx
1.26.
22
540.
ydxxyydy
1.27.
1ee.
xx
yy
1.28.
22
320.
xyydyydx
1.29.
22
2.
xdxydyyxdyxydx
1.30.
22
2220.
xxyxy
1.31.
22
20335.
xdxydyxydyxydx
Задача 2
. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
2.1.
2
2
42.
yy
y
xx
2.2.
32
22
32
.
2
yyx
xy
yx
2.3.
.
xy
y
xy
2.4.
22
.
xyxyy
2.5.
2
2
263.
yy
y
xx
2.6.
32
22
34
.
22
yyx
xy
yx
2.7.
2
.
2
xy
y
xy
2.8.
22
2.
xyxyy
2.9.
2
2
384.
yy
y
xx
2.10.
32
22
36
.
23
yyx
xy
yx
2.11.
22
2
.
2
xxyy
y
xxy
2.12.
22
2.
xyxyy
2.13.
2
2
66.
yy
y
xx
2.14.
32
22
38
.
24
yyx
xy
yx
2.15.
22
2
2
.
22
xxyy
y
xxy
2.16.
22
3.
xyxyy
2.17.
2
2
288.
yy
y
xx
2.18.
32
22
310
.
25
yyx
xy
yx
2.19.
22
2
3
.
32
xxyy
y
xxy
2.20.
22
32.
xyxyy
2.21.
2
2
812.
yy
y
xx
2.22.
32
22
312
.
26
yyx
xy
yx
2.23.
22
2
3
.
4
xxyy
y
xxy
2.24.
22
23.
xyxyy
2.25.
2
2
4105.
yy
y
xx
2.26.
32
22
314
.
27
yyx
xy
yx
2.27.
22
2
5
.
6
xxyy
y
xxy
2.28.
22
4.
xyxyy
2.29.
2
2
31010.
yy
y
xx
2.30.
22
42.
xyxyy
2.31.
22
2
25
.
26
xxyy
y
xxy
Задача 3
. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
3.1.
23
.
22
xy
y
x
3.2.
2
.
22
xy
y
x
3
.3.
34
.
33
yx
y
x
3.4.
22
.
2
y
y
xy
3.5.
2
.
32
xy
y
xy
3.6.
23
.
1
xy
y
x
3.7.
.
8
9
8
7
'
-
-
-
+
=
y
x
y
x
y
3.8.
34
.
36
xy
y
x
3.9.
33
.
21
y
y
xy
3.10.
23
.
43
xy
y
xy
3.11.
23
.
22
xy
y
x
3.12.
89
.
109
xy
y
xy
3.13.
235
.
55
xy
y
x
3.14.
48
.
327
y
y
xy
3.15.
34
.
54
xy
y
xy
3.16.
23
.
1
yx
y
x
3.17.
23
.
1
xy
y
x
3.18.
321
.
1
xy
y
x
3.19.
55
.
431
y
y
xy
3.20.
45
.
65
xy
y
xy
3.21.
2
.
1
xy
y
x
3.22.
23
.
44
xy
y
x
3.23.
23
.
22
xy
y
x
3.24.
.
222
y
y
xy
3.25.
56
.
76
xy
y
xy
3.26.
4
.
2
xy
y
x
3.27.
21
.
22
xy
y
x
3.28.
321
.
33
yx
y
x
3.29.
66
.
549
y
y
xy
3.30.
67
.
87
xy
y
xy
3.31.
2
.
24
y
y
xy
Задача 4
. Найти решение задачи Коши.
4.1.
2
, (1)0.
yyxxy
4
.2.
ctg2sin, 20.
yyxxxy
4.3.
1
cossin2, 00.
2
yyxxy
4.4.
2
tgcos, 412.
yyxxy
4.5.
2
2, 132.
2
y
yxxy
x
4.6.
1
e1, 01.
1
x
yyxy
x
4.7.
sin, 1.
2
y
yxxy
x
4.8.
1
sin, .
y
yxy
x
4.9.
2
, 11.
2
y
yxy
x
4.10.
2
22
222
, 0.
113
xx
yyy
xx
4.11.
2
25
5, 24.
x
yyy
x
4.12.
1
e, 1e.
x
yx
yy
xx
4.13.
ln
2, 11.
yx
yy
xx
4.14.
3
12
, 14.
y
yy
xx
4
.15.
3
2
, 156.
yyxy
x
4.16.
3, 11.
y
yxy
x
4.17.
2
2
2
1, 13.
1
xy
yxy
x
4.18.
2
12
1, 11.
x
yyy
x
4.19.
3
32
, 11.
y
yy
xx
4.20.
31
22, 1e.
yxyxy
4.21.
2
2
, 0.
23
21
xyx
yy
x
4.22.
3
, (0)3.
yxyxy
4.23.
2
2
e1, 01.
1
x
yyxy
x
4.24.
2
2esin, 01.
x
yxyxxy
4.25.
3
211, 012.
yyxxy
4.26.
cossin2, 03.
yyxxy
4.27.
3
44, 012.
yxyxy
4.28.
ln
, (1)1.
yx
yy
xx
4.29.
223
313, 00.
yxyxxy
4.30.
cossin2, 01.
yyxxy
4.31.
2
2, 11.
yyxxy
Задача 5
. Решить задачу Коши.
5.1.
22
e
e0, 2.
y
x
ydxxdyy
5.2.
4
0
e2, 1.
y
x
yxyyy
5.3.
2
1
10, e.
x
ydxxydyy
5.4.
2
0
2441, 0.
x
yyxyy
5.5.
2
14
cos2cossincos, 3.
x
yyxyyyy
5.6.
222
coscos, 4.
x
xyyyyyy
5.7.
2
0
e2, 0.
y
x
dxxydyydyy
5.8.
3
8
(104)4, 1.
x
yxyyy
5.9.
3
1
0, 0.
x
dxxyydyy
5.10.
2
16
3cos22sin22, 4.
x
yyyyxyyy
5.11.
3
0
841, 0.
x
yxyyyy
5.12.
22
4
2lnln, e.
x
yydyydxxdyy
5.13.
4
2
2, 1.
x
xyyyy
5.14.
32
14
1312, 2.
x
yydxxyydyydyy
5.15.
21
e
2e0, 1.
y
x
ydxxdyy
5.16.
2
12
0, 4.
x
xyydyydxy
5.17.
22
12
sin2sin22sin2, 4.
x
ydxyyxdyy
5.18.
2
2
21, 0.
x
yyxyy
5.19.
4
2670, 1.
x
yydxxydyy
5.20.
2
e
sin3cos3, 2.
x
dxyyxdyy
5.21.
2
32
2coscos2sin2, 54.
x
yyxyyy
5.22.
1
ch1sh, ln2.
x
ydxxxdyy
5.23.
3
5
134, 1.
x
yxyyy
5.24.
222
8
4242, 2.
x
yydxxyydydyy
5.25.
2
2
lnln2, 1.
x
xyyyyy
5.26.
2
12
220, 1.
x
xyydyydxy
5.27.
2
32
22sinsin20, 4.
x
ydxxyyydyy
5.28.
3
2
2, 0.
x
yyxydydxy
5.29.
2
0
2tgtg, .
x
yxyyydydxy
5.30.
12
2
e
4e0, 12.
y
x
ydxxdyy
5.31.
2
1
2sin22cos0, 0.
x
dxxyydyy
Задача 6
. Найти решение задачи Коши.
6
.1.
2
1e, 01.
x
yxyxyy
6.2.
2
2ln, 112.
xyyyxy
6.3.
2
2, 12.
xyyxyy
6.4.
3342
441e, 01.
x
yxyxyy
6.5.
2
ln2ln, 11.
xyyyxxy
6.6.
2
21e, 02.
x
yxyxyy
6.7.
2
3ln, 13.
xyyyxy
6.8.
1
2coscos1sin, 01.
yyxyxxy
6.9.
3243
44e1, 01.
x
yxyyxy
6.10.
2
22
322e, (0)1.
x
yxyxyy
6.11.
23
2353, 112.
xyyxyy
6.12.
4
3545, 11.
xyyxyy
6.13.
21
23cose23cos, 01.
x
yyxxyy
6.14.
2
3, 13.
xyyxyy
6.15.
2
2, 012.
yyxyy
6.16.
23
232012, 1122.
xyyxyy
6.17.
33
22, 02.
yxyxyy
6.18.
2
ln, 11.
xyyyxy
6.19.
21
23cos812cose, 02.
x
yyxxyy
6.20.
3322
48e, 01.
x
yxyxyy
6.21.
23
81253, 12.
xyyxyy
6.22.
2
2, 02.
yyxyy
6.23.
2
1e, 01.
x
yxyxyy
6.24.
.
1
)
0
(
,
)
cos
3
2
(
cos
3
'
2
1
2
=
+
-
=
-
-
-
y
y
x
e
x
y
y
x
6.25.
2
, 01.
yyxyy
6.26.
2
2ln, 12.
xyyyxy
6.27.
2
, 01.
yyxyy
6.28.
2
2cthch, 11sh1.
yyxyxy
6.29.
2
21e, 02.
x
yxyxyy
6.30.
4
tg23sin, 01.
yyxyxy
6.31.
2
, 11.
xyyxyy
Задача 7
. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7.1.
23
3ee10.
yy
xdxxdy
7.2.
2
2
2222
3coscos0.
xxx
xdxdy
yyyy
7.3.
22
348e0.
y
xydxxydy
7.4.
2
1
2120.
y
xdxydy
xx
7.5.
22
sec2tg0.
yyxdxxyxdy
7.6.
232
323230.
xyydxxxydy
7.7.
.
0
1
1
1
2
2
2
2
2
=
￨
￦
-
+
+
+
￨
￦
+
+
+
dy
y
x
y
y
x
y
dx
y
x
y
x
x
7.8.
sin22cos2cos0.
xxydxxydy
7.9.
22223
0.
xyxydxxyxydy
7.10.
2
243
132
0.
yy
dxdy
xxx
7.11.
2
1
coscos20.
yyy
dxydy
xxxx
7.12.
2222
0.
xy
ydxxdy
xyxy
7.13.
22
11
0.
xyxy
dxdy
xyxy
7.14.
2
2
0.
dxxy
dy
yy
7.15.
2
1
0.
yxy
dxdy
xx
7.16.
2
1
e0.
x
y
xdxdy
xx
7.17.
223
2
1cos
105sin0.
sinsin
xy
xydxxyydy
yy
7.18.
2222
e0.
x
yxdy
dx
xyxy
7.19.
ecose0.
yy
dxyxdy
7.20.
32
cos3e0.
y
yxdxxydy
7.21.
22
22
eetg0.
yy
xdxxyydy
7.22.
232
550.
xyxdxxyydy
7.23.
22
cossin2cos0.
xyxdxyxydy
7.24.
2222
42420.
xxyydxyxyxdy
7.25.
11
sinsincoscos0.
yyydxxyxdy
xy
7.26.
2
1
1e1e0.
xyxy
x
dxdy
yy
7.27.
22
0.
xydxxydy
xy
7.28.
2322
232320.
xyxdxxyydy
7.29.
32232
363230.
xxyxydxxxydy
7.30.
222
0.
xydxyxydy
7.31.
22
0.
xdxydyxdyydxxy
Задача 8.
Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить
интегральную кривую, проходящую через точку
M
.
8
.1.
2
, 1, 2.
yyxM
8.2.
2, 0, 5.
yyxM
8.3.
2
2, 1, 2.
yyM
8.4.
2
, 1, 1.
3
x
yM
y
8.5.
1, 1, 32.
yyxM
8.6.
0, 2, 3.
yyxM
8.7.
2
3, 1, 2.
yyM
8.8.
2, 2, 3.
xyyM
8.9.
2
2, 2, 2.
yxyM
8.10.
22
20, 2, 1.
xyxyyM
8.11.
, 92, 1.
yyxM
8.12.
2
, 1, 12.
yxyM
8.13.
, 0, 1.
yxyM
8.14.
, 0, 1.
yxyM
8.15.
, 4, 2.
2
x
yyM
8.16.
23, 1, 12.
yyxM
8.17.
2, 3, 0.
yxyM
8.18.
2, 1, 3.
xyyM
8.19.
3, 3, 2.
yyxM
8.20.
2
, 3, 4.
yyxM
8.21.
22
20, 2, 1.
xyxyyM
8.22.
2
, 2, 32.
yxyM
8.23.
, 2, 1.
yyxM
8.24.
, 2, 3.
yyxM
8.25.
, 4, 2.
yyxM
8.26.
3, 1, 1.
yyxM
8.27.
2
, 0, 1.
yxyM
8.28.
23
3, 1, 3.
yyM
8.29.
22
20, 2, 1.
xyxyyM
8.30.
1, 1, 12.
yxyM
8.31.
2, 1, 2.
yxyM
Задача 9.
Найти линию, проходящую через точку
0
M
и обладающую тем
свойством, что в любой ее точке
M
нормальный вектор
MN
с концом на оси
Oy
имеет
длину, ра
вную
a
, и образует острый угол с положительным направлением оси
Oy
.
9.1.
0
15, 1, 25.
Ma
9.2.
0
12, 2, 20.
Ma
9.3.
0
9, 3, 15.
Ma
9.4.
0
6, 4, 10.
Ma
9.5.
0
3, 5, 5.
Ma
Найти линию, проходящую через точку
0
M
, е
сли отрезок любой ее нормали,
заключенный
между
осями координат, делится
то
чкой
отношении
:
ab
(считая от оси
Oy
).
9.6.
0
1, 1, :1:2.
Mab
9.7.
0
2, 3, :1:3.
Mab
9.8.
0
0, 1, :2:3.
Mab
9.9.
0
1, 0, :3:2.
Mab
9.10.
0
2, 1, :3:1.
Mab
Найти линию, проходящую через точку
0
M
, если отрезок
любой ее касательной
между точкой касания и осью
Oy
делится в точке пересечения с осью абсцисс в
отношении
:
ab
(считая от оси
Oy
).
9.11.
0
2, 1, :1:1.
Mab
9.12.
0
1, 2, :2:1.
Mab
9.13.
0
1, 1, :3:1.
Mab
9.14.
0
2, 1, :1:2.
Mab
9.15.
0
1, 1, :1:3.
Mab
Найти линию, проходящую через точку
0
M
, если отрезок любой ее касательной,
заключенный между осями координ
ат, делится в точке касания в отношении
:
ab
(считая от оси
Oy
).
9.16.
0
1, 2, :1:1.
Mab
9.17.
0
2, 1, :1:2.
Mab
9.18.
0
1, 3, :2:1.
Mab
9.19.
0
2, 3, :3:1.
Mab
9.2
0.
0
3, 1, :3:2.
Mab
Найти линию, проходящую через точку
0
M
и обладающую тем свойством, что в
любой ее точке
M
касательный вектор
MN
с концом на оси
Ox
имеет проекцию на ось
Ox
, обратно пропорциональную абсциссе точки
M
. Коэффициент пропорциональности
равен
a
.
9.21.
0
1, e, 12.
Ma
9.22.
0
2, e, 2.
Ma
9.23.
0
1, e, 1.
Ma
9.24.
0
2, 1e, 2.
Ma
9.25.
2
0
1, 1e, 14.
Ma
Найти линию, проходящую через точку
0
M
и обладающую тем свойством, что в
любой ее точке
M
касательный вектор
MN
с концом на оси
Oy
имеет проекцию на ось
Oy
, равную
a
.
9.26.
0
1, 2, 1.
Ma
9.27.
0
1, 4, 2.
Ma
9.28.
0
1, 5, 2.
Ma
9.29.
0
1, 3, 4.
Ma
9.30.
0
1, 6, 3.
Ma
9.31.
0
1, 1, 1.
Ma
Задача 10
. Найти общее решение дифференциального уравнения.
10.1.
ln.
yxxy
10.2.
1.
xyy
10.3.
2.
xyy
10.4.
1.
xyyx
10.5.
1
tg0.
sin
xyy
x
10.6.
2
1.
xyxy
10.7.
ctg220.
yxy
10.8.
32
1.
xyxy
10.9.
tg2.
xyy
10.10.
cth22.
yxy
10.11.
43
1.
xyxy
10.12.
20.
xyy
10.13.
23
12.
xyxyx
10.14.
54
1.
xyxy
10.15.
1
0.
xyy
x
10.16.
0.
xyyx
10.17.
th.
IV
xyy
10.18.
.
xyyx
10.19.
tg1.
yxy
10.20.
tg55.
yxy
10.21.
th77.
yxy
10.22.
32
.
xyxyx
10.23.
1
cth0.
ch
xyy
x
10.24.
11.
xyyx
10.25.
1sincos.
xyxy
10.26.
1
.
xyy
x
10.27.
2
2
2.
xyy
x
10.28.
cthch.
xyyx
10.29.
43
4.
xyxy
10.30.
2
2
2.
1
x
yyx
x
10.31.
23
1212.
xyxyx
Задача 11.
Найти решение задачи Коши.
11
.1.
34
41, 02, 0122.
yyyyy
11
.2.
3
128, 01, 08.
yyyy
11.3.
3
640, 04, 02.
yyyy
11.4.
3
2sincos0, 00, 01.
yyyyy
11.5.
3
32sincos, 12, 14.
yyyyy
11.6.
3
98, 11, 17.
yyyy
11.7.
3
490, 37, 31.
yyyy
11.8.
34
4161, 022, 012.
yyyyy
11.9.
3
8sincos0, 00, 02.
yyyyy
11.10.
3
72, 21, 26.
yyyy
11.11.
3
360, 03, 02.
yyyy
11.12.
3
18sincos, 12, 13.
yyyyy
11.13.
34
416, 022, 012.
yyyyy
11.14.
3
50, 31, 35.
yyyy
11.15.
3
250, 25, 21.
yyyy
11.16.
3
18sincos0, 00, 03.
yyyyy
11.17.
3
8sincos, 12, 12.
yyyyy
11.18.
3
32, 41, 44.
yyyy
11.19.
3
160, 12, 12.
yyyy
11.20.
3
32sincos0, 00, 04.
yyyyy
1
1.21.
3
50sincos, 12, 15.
yyyyy
11.22.
3
18, 11, 13.
yyyy
11.23.
3
90, 11, 13.
yyyy
11.24.
34
41, 02, 02.
yyyyy
11.25.
3
50sincos0, 00, 05.
yyyyy
11.26.
3
3, 01, 02.
yyyy
11.27.
3
40, 01, 02.
yyyy
11.28.
3
2sincos, 12, 11.
yyyyy
11.29.
34
16, 022, 02.
yyyyy
11.30.
3
2, 11, 11.
yyyy
11.31.
3
10, 11, 11.
yyyy
Задача 12
. Найти общее решение дифференциального уравнения.
12
.1.
2
321.
yyyx
12.2.
2
63.
yyxx
12.3.
2
.
yyxx
12.4.
332.
IV
yyyyx
12.5.
2
52.
IV
yyx
1
2.6.
221.
IV
yyyxx
12.7.
2
21.
IV
yyyxx
12.8.
23.
VIV
yyx
12.9.
361.
IV
yyx
12.10.
2
24.
IV
yyyx
12.11.
2
51.
yyx
12.12.
2
44.
IV
yyyxx
12.13.
712.
yyx
12.14.
2
3232.
yyyxx
12.15.
2
321.
yyxx
12.16.
2
432.
yyxx
12.17.
333.
IV
yyyyx
12.18.
2
2126.
IV
yyyxx
12.19.
2
432384.
yyx
1
2.20.
2
223.
IV
yyyx
12.21.
2
4924.
yyx
12.22.
2
234.
yyxx
12.23.
13121.
yyyx
12.24.
.
IV
yyx
12.25.
65.
yyx
12.26.
2
3223.
yyyxx
12.27.
2
561.
yyyx
12.28.
6931.
IV
yyyx
12.29.
2
13121839.
yyyx
12.30.
126.
IV
yyx
12.31.
2
56625.
yyyxx
Задача 13.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
13
.1.
4521612e.
x
yyyyx
13.2.
3212e.
x
yyyx
13.3.
2
37e.
x
yyyyx
13.4.
2
225e.
x
yyyx
13.5.
341821e.
x
yyyx
13.6.
58425e.
x
yyyyx
13.7.
441e.
x
yyyx
13.8.
2
21821e.
x
yyyx
13.9.
84e.
x
yyyyx
13.10.
324e.
x
yyyx
13.11.
2
3249e.
x
yyyx
13.12.
4521216e.
x
yyyyx
13.13.
2611e.
x
yyyx
13.14.
265e.
x
yyyx
13.15.
44915e.
x
yyyx
13.16.
3348e.
x
yyyyx
13.17.
4476e.
x
yyyyx
13.18.
3212e.
x
yyyx
13.19.
5732016e.
x
yyyyx
13.20.
434e.
x
yyyx
13.21.
).
32
32
(
9
'
3
'
'
5
'
'
'
-
=
+
+
-
-
x
e
y
y
y
y
x
13.22.
694e.
x
yyyx
13.23.
7159812e.
x
yyyyx
13.24.
5384e.
x
yyyyx
13.25.
5731620e.
x
yyyyx
13.26.
23814e.
x
yyyx
13.27.
2386e.
x
yyyx
13.28.
691624e.
x
yyyx
13.29.
991216e.
x
yyyyx
13.30.
4341e.
x
yyyx
13.31.
2
62014e.
x
yyyx
Задача 14
. Найти общее решение дифференциального уравнения.
14.1.
24esincos.
x
yyxx
14.2.
2
44esin6.
x
yyyx
14.3.
22esincos.
x
yyxx
14
.4.
2cos73sin7.
yyxx
14.5.
25sin2.
yyyx
14.6.
48e5sin3cos.
x
yyyxx
14.7.
2esincos.
x
yyxx
14.8.
2
44esin3.
x
yyyx
14.9.
3
613ecos4.
x
yyyx
14.1
0.
2cos33sin3.
yyxx
14.11.
252sin.
yyyx
14.12.
48e3sin4cos.
x
yyyxx
14.13.
210esincos.
x
yyxx
14.14.
2
44esin5.
x
yyyx
14.15.
2cos53sin5.
yyxx
14.16.
2517sin2.
yyyx
14.17.
3
613ecos.
x
yyyx
14.18.
48e3sin5cos.
x
yyyxx
14.19.
26esincos.
x
yyxx
14.20.
2
44esin4.
x
yyyx
14.21.
.
5
cos
13
'
6
'
'
3
x
e
y
y
y
x
-
=
+
+
14.22.
2cos73sin7.
yyxx
14.23.
25cos.
yyyx
14.24.
48e2sincos.
x
yyyxx
14.25.
23esincos.
x
yyxx
14.26.
2
44esin4.
x
yyyx
14.27.
3
613ecos8.
x
yyyx
14.28.
2510cos.
yyyx
14.29.
2cos43sin4.
yyxx
14.30.
48esin2cos.
x
yyyxx
14.31.
2
44esin6.
x
yyyx
Задача 15
. Найти общее решение дифференциального уравнения.
15.1.
22ch2.
yyx
15.2.
2sin6cos2e.
x
yyxx
15.3.
2ecos.
x
yyx
15.4.
32ch3.
yyx
15.5.
2
48sin232cos24e.
x
yyxx
15.6.
10sin6cos4e.
x
yyxx
15.7.
416ch4.
yyy
15.8.
3
918sin318e.
x
yyx
15.9.
2
424e4cos28sin2.
x
yyxx
15.10.
550ch5.
yyx
15.11.
4
1616cos416e.
x
yyx
15.12.
3
99e18sin39cos3.
x
yyxx
15.13.
2ch.
yyx
15.14.
5
2520cos510sin550e.
x
yyxx
15.15.
4
1648e64cos464sin4.
x
yyxx
15.16.
22sh2.
yyx
15.17.
6
3624sin612cos636e.
x
yyxx
15.18.
5
2525sin5cos550e.
x
yyxx
15.19.
32sh3.
yyx
15.20.
7
4914sin77cos798e.
x
yyxx
15.
21.
6
3636e72cos6sin6.
x
yyxx
15.22.
416sh4.
yyx
15.23.
8
6416sin816cos864e.
x
yyxx
15.24.
7
4914e49cos7sin7.
x
yyxx
15.25.
550sh5.
yyx
15.26.
9
819sin93cos9162e.
x
yyxx
15.27.
8
64128cos864e.
x
yyx
15.28.
2sh.
yyx
15.29.
10
10020sin1030cos10200e.
x
yyxx
15.30.
9
81162e81sin9.
x
yyx
15.31.
10
10020e100cos10.
x
yyx
Задача 16
. Найти решение задачи Коши.
16.1.
22
cos, 03, 00.
yyxyy
16.2.
33
39e1e, 0ln4, 031ln2.
xx
yyyy
16.3.
48ctg2, 45, 44.
yyxyy
16.4.
2
6841e, 012ln2, 06ln2.
x
yyyyy
16.5.
33
9189e1e, 00, 00.
xx
yyyyy
16.6.
.
2
/
)
2
/
1
(
'
,
1
)
2
/
1
(
,
sin
/
'
'
2
2
2
p
p
p
p
=
=
=
+
y
y
x
y
y
16.7.
22
11
, 02, 00.
cos
yyyy
x
16.8.
3
3
9e
3, 04ln4, 033ln41.
3e
x
x
yyyy
16.9.
4ctg, 24, 24.
yyxyy
16.10.
2
6842e, 013ln3, 010ln3.
x
yyyyy
16.11.
22
684e2e, 00, 00.
xx
yyyyy
16.12.
99sin3, 64, 632.
yyxyy
16.13.
99cos3, 01, 00.
yyxyy
16.14.
e2e, 0ln27, 0ln91.
xx
yyyy
16.15.
442, 43, 42.
yyctgxyy
16.16.
1
32, 018ln2, 014ln2.
3e
x
yyyyy
16.17.
22
684e1e, 00, 00.
xx
yyyyy
16.18.
1616sin4, 83, 82.
yyxyy
16.19.
.
0
)
0
(
'
,
3
)
0
(
,
4
cos
/
16
16
'
'
=
=
=
+
y
y
x
y
y
16.20.
22
24e1e, 0ln4, 0ln42.
xx
yyyy
16.21.
ctg2, 2, 12.
4
y
yxyy
16.22.
3212e, 013ln3, 05ln3.
x
yyyyy
16.23.
32e2e, 00, 00.
xx
yyyyy
16.24.
44sin2, 42, 4.
yyxyy
16.25.
44cos2, 02, 00.
yyxyy
16
.26.
e2e, 0ln27, 01ln9.
xx
yyyy
16.27.
2ctg, 21, 22.
yyxyy
16.28.
3211e, 012ln2, 03ln2.
x
yyyyy
16.29.
32e1e, 00, 00.
xx
yyyyy
16.30.
1sin, 21, 22.
yyxyy
16.31.
1cos, 01, 00.
yyxyy
VI.
РЯДЫ
Теоретические вопросы
1.
Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2.
Теоремы сравнения.
3.
Признаки Даламбера и Коши.
4.
Интегральный признак сходимости ряда.
5.
Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6.
Теорема о сходимости
абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно
сходящегося ряда.
7.
Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
8.
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9.
Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании
функционального ряд
а.
10.
Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
11.
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность
суммы ряда.
12.
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13.
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14.
Разложение по степеням
x
бинома
1
m
x
.
15.
Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
16.
Разложение по степеням
x
функций
e
x
,
cos
x
,
sin
x
,
ln1
x
.
Теоретические упражнения.
1.
Ряды
1
n
n
a
и
1
n
n
b
сходятся. Доказать, что ряд
1
n
n
c
сходится, если
nnn
acb
.
У к а з а н и
е. Рассмотреть неравенства
0
nnnn
caba
.
2.
Ряд
1
n
n
a
0
n
a
сходится. Доказать, что ряд
2
1
n
n
a
тоже сходится.
Показать, что обратное утверждение неверно.
3.
Ряды
2
1
n
n
a
и
2
1
n
n
b
сходятся. Доказать, что ряд
1
nn
n
ab
тоже сходится.
У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство
22
abab
.
4.
Ряды
2
1
n
n
a
и
2
1
n
n
b
с
ходятся. Доказать, что ряд
2
1
nn
n
ab
тоже
сходится.
5.
Пусть ряд
1
n
n
a
сходится и
lim1
n
n
n
a
b
.
Можно ли утверждать, что сходит
ся
ряд
1
n
n
b
?
Рассмотреть пример
1
1
n
n
n
и
1
1
1
n
n
n
n
.
6.
Пусть ряд
1
n
n
fx
сходит
ся равномерно на отрезке
,
ab
. Доказать, что
ряд
1
n
n
fx
так же сходится равномерно на этом отрезке.
7.
Может ли функциональный ряд на
отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,
б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?
Рассмотреть примеры:
a
)
2
1
1
n
n
nx
,
отрезок
,
ab
произвольный;
б)
,
)
1
(
1
￥
ﾥ
=
-
n
n
x
x
отрезок
0, 1
.
8.
Показать, что функция
1
sin
10
n
n
nx
fx
всюду непрерывна.
9.
Доказать, что ряд
2
2
1
sin
n
nx
n
сходится равномерно в интервале
,
.
Можно ли его дифференцировать в этом интервале?
10.
Доказать, что
если ряд
1
e
nx
n
n
c
сходится в точке
0
x
, то он сходит
ся
абсолютно
0
xx
.
Расчё
тные задания.
Задача 1.
Найти сумму ряда.
1.1.
￥
ﾥ
=
+
-
9
2
48
14
2
n
n
n
.
1.2
.
￥
ﾥ
=
+
-
9
2
40
13
18
n
n
n
.
1.3.
￥
ﾥ
=
+
-
8
2
35
12
4
n
n
n
.
1.4.
￥
ﾥ
=
+
-
8
2
28
11
36
n
n
n
.
1.5.
￥
ﾥ
=
+
-
7
2
24
10
6
n
n
n
.
1.6.
￥
ﾥ
=
+
-
7
2
18
9
54
n
n
n
.
1.7.
￥
ﾥ
=
+
-
6
2
15
8
8
n
n
n
.
1.8.
￥
ﾥ
=
+
-
6
2
10
7
72
n
n
n
.
1.9.
￥
ﾥ
=
+
-
5
2
8
6
10
n
n
n
.
1.10.
￥
ﾥ
=
+
-
5
2
4
5
90
n
n
n
.
1.11.
￥
ﾥ
=
+
-
4
2
3
4
12
n
n
n
.
1.12
￥
ﾥ
=
-
-
4
2
2
18
n
n
n
.
1.13
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
3
4
16
n
n
n
.
1.14
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
10
7
36
n
n
n
.
1.15.
￥
ﾥ
=
+
-
10
2
48
14
30
n
n
n
.
1.16
￥
ﾥ
=
+
-
9
2
28
11
54
n
n
n
.
1.
17.
￥
ﾥ
=
+
-
9
2
35
12
36
n
n
n
.
1.18.
￥
ﾥ
=
+
-
8
2
18
9
72
n
n
n
.
1.19.
￥
ﾥ
=
+
-
8
2
24
10
12
n
n
n
.
1.20.
￥
ﾥ
=
+
-
7
2
10
7
18
n
n
n
.
1.21.
￥
ﾥ
=
+
-
7
2
15
8
60
n
n
n
.
1.22.
￥
ﾥ
=
+
-
6
2
4
5
36
n
n
n
.
1.23.
￥
ﾥ
=
+
-
6
2
8
6
48
n
n
n
.
1.24.
￥
ﾥ
=
-
+
3
2
2
54
n
n
n
.
1.25
￥
ﾥ
=
+
-
5
2
3
4
6
n
n
n
.
1.26.
￥
ﾥ
=
-
-
3
2
2
18
n
n
n
.
1.27.
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
3
4
24
n
n
n
.
1.28.
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
2
36
n
n
n
.
1.29.
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
8
6
72
n
n
n
.
1.30.
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
4
5
54
n
n
n
.
1.31.
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
4
5
72
n
n
n
.
Задача 2.
Исследовать на сходимость ряд.
2.1.
2
1
sin
n
nn
nn
.
2
.2.
.
1
3
2
￥
ﾥ
=
n
n
n
arctg
.
2
.3.
.
)
2
)(
1
(
1
2
￥
ﾥ
=
+
+
n
n
n
n
n
arctg
2
.4.
3
7
1
ln
n
n
n
.
2
.5.
.
ln
sin
3
1
￥
ﾥ
=
-
-
n
n
n
n
.
2
.6.
.
2
cos
1
1
3
￥
ﾥ
=
+
-
n
n
n
2
.7.
2
1
2cos
21
n
nn
n
.
2
.8.
￥
ﾥ
=
-
+
2
3
3
sin
3
n
n
n
n
.
2
.9.
2
2
1
sin
1
n
n
n
.
2
.10.
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
2
3
ln
n
n
n
n
n
2
.11.
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
2
cos
1
n
n
n
.
2
.12.
2
3
1
cos
5
n
nn
n
.
2
.13.
2
2
ln
3
n
nn
n
.
2
.14.
￥
ﾥ
=
+
+
1
3
2
)
cos
2
(
3
n
n
n
n
p
.
2
.15.
￥
ﾥ
=
-
1
4
3
cos
3
n
n
n
.
2
.16.
3
1
ln
1
n
n
nn
.
2
.17.
￥
ﾥ
=
1
2
2
sin
n
n
n
.
2
.18.
￥
ﾥ
=
+
1
4
3
3
n
n
n
arctg
.
2
.19.
4
7
1
(2cos)
2
5
n
n
n
n
.
2
.20.
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
)
2
)(
1
(
sin
1
n
n
n
n
.
2
.21.
2
2
1
sin2
n
n
n
.
2
.22.
5
1
ln
n
n
nn
.
2
.23.
3
22
1
1
lnln
n
nnn
.
2
.24.
￥
ﾥ
=
-
-
2
2
cos
2
n
n
n
n
.
2
.25.
￥
ﾥ
=
+
1
2
)
1
(
n
n
n
n
arcctg
.
2
.26.
￥
ﾥ
=
-
+
2
4
4
1
cos
2
n
n
n
.
2
.27.
￥
ﾥ
=
+
+
1
)
2
(
sin
1
n
n
n
n
.
2
.28.
￥
ﾥ
=
-
-
2
3
3
1
sin
2
n
n
n
.
2
.29.
￥
ﾥ
=
+
1
2
)
2
(
n
n
n
n
arctg
.
2
.30.
￥
ﾥ
=
+
1
3
2
cos
n
n
n
n
.
2
.31.
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
3
)
sin
2
(
2
n
n
n
n
.
Задача 3.
Исследовать на сходимость ряд.
3.1.
￥
ﾥ
=
￨
￦
+
-
1
1
1
cos
1
n
n
n
.
3
.2.
n
tg
n
n
1
4
1
1
￥
ﾥ
=
+
.
3
.3.
2
2
1
5
ln
4
n
n
n
.
3.4.
1
1
sin
4
1
1
+
+
￥
ﾥ
=
n
n
n
.
3
.5.
3
2
11
1
1
n
arctg
n
n
.
3
.6.
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
2
3
ln
n
n
n
n
.
3
.7.
￥
ﾥ
=
-
￨
￦
-
1
1
1
3
n
n
n
e
.
3
.8.
2
1
arcsin
3
2
-
+
￥
ﾥ
=
n
n
n
n
.
3
.9.
￥
ﾥ
=
￨
￦
-
1
1
1
2
n
n
e
n
.
3
.10.
5
1
11
sin
1
n
nn
.
3
.11.
3
1
1
4
n
arctg
nn
.
3
.12.
n
n
n
tg
n
n
-
-
￥
ﾥ
=
3
2
3
1
.
3
.13.
2
11
sin
1
5
n
n
n
.
3
.14
2
3
1
13
5
2
n
n
arctg
n
n
.
3
.15.
1
1
1
1
3
n
n
e
n
.
3
.16.
￥
ﾥ
=
+
-
+
1
2
2
2
1
n
n
n
n
.
3
.17.
3
3
1
1
n
narctg
n
.
3
.18.
￥
ﾥ
=
+
+
1
3
3
1
2
ln
n
n
n
.
3
.19.
35
3
n
ntg
n
.
3
.20.
4
3
3
2
1
11
n
n
nnn
.
3
.21.
1
1cos
n
n
.
3
.22.
3
5
1
sin
2
n
n
n
.
3
.23.
3
1
2
1
nn
n
e
.
3
.24.
2
2
1
21
sin
1
n
n
nn
.
3
.25.
1
2
sin
21
n
n
n
.
3
.26.
1
37
5
n
n
n
n
.
3
.2
7
.
3
4
1
1
sin
n
n
n
.
3.28.
2
1
1
1
n
n
ne
.
3
.29.
￥
ﾥ
=
+
-
2
5
2
1
)
1
(
1
n
n
n
arctg
.
3
.30.
2
3
1
sin
5
n
n
nn
.
3
.31.
52
2
1
arcsin
3
n
n
n
.
Задача
4
.
Исследовать на сходимость ряд.
4
.1.
2
1
21!
n
n
n
n
.
4.2.
(
)
￥
ﾥ
=
1
2
!
4
n
n
n
.
4.3.
13
1
21
1!
n
n
n
n
.
4.4.
(
)
￥
ﾥ
=
1
3
!
2
!
10
n
n
n
.
4.5.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
5
3
2
!
2
2
n
n
n
n
.
4.6.
1
52
sin
!3
n
n
n
n
.
4.7
.
1
5
!
n
arctg
n
n
.
4.8.
1
3!
n
n
n
n
n
.
4.9.
1
1
2!5
n
n
n
tg
n
.
4.10.
2
1
61
!
n
n
n
n
.
4.11.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
2
!
2
4
n
n
n
n
.
4.12.
2
1
!
n
n
n
n
.
4.13.
2
1
7
21!
n
n
n
.
4.14.
(
)
￥
ﾥ
=
1
!
3
!
4
n
n
n
n
.
4.15.
1
135...(21)
31!
n
n
n
n
.
4.16.
1
1
!
n
n
n
n
.
4.17.
2
1
!
312!
n
n
n
n
.
4.18.
￥
ﾥ
=
1
2
sin
!
n
n
n
p
.
4.19.
1
1!
n
n
n
n
.
4.20.
3
2
1
5
1!
n
n
n
n
.
4.21.
￥
ﾥ
=
1
!
2
n
n
n
n
n
.
4.22.
1
51!
2!
n
n
n
n
.
4.23.
1
3
2!4
n
n
n
n
.
4.24.
1
357...21
258...31
n
n
n
.
4.25.
1
147...32
7911...25
n
n
n
.
4.26.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
3
2
!
2
n
n
n
.
4.27.
2
1
32!
10
n
n
n
n
.
4.28.
12
2
45
1!
n
n
n
n
.
4.29.
3
1
!
32
n
n
nn
.
4.30.
1
!21!
3!
n
nn
n
.
4.31.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
ￗ
ￗ
ￗ
ￗ
1
1
!
2
2
3
...
7
4
1
n
n
n
n
.
Задача
5
.
Исследовать на сходимость ряд.
5
.1.
2
1
1
3
1
n
n
n
n
n
-
ﾥ
=
￥
￨
￦
+
.
5.2.
n
n
n
n
n
￨
￦
+
￥
ﾥ
=
5
3
2
1
4
.
5.3.
2
2
2
1
21
1
n
n
n
n
.
5.4.
n
n
n
n
4
1
1
1
2
1
ￗ
￨
￦
+
￥
ﾥ
=
.
5.5.
2
1
21
32
n
n
n
n
.
5.6.
3
1
1
3
2
2
n
n
n
n
n
￥
ﾥ
=
￨
￦
+
+
.
5.7.
3
1
43
51
n
n
n
n
.
5.8.
2
1
105
n
n
n
n
.
5.9.
1
arcsin
4
n
n
n
n
.
5.10.
2
1
2
31
n
n
n
n
.
5.11.
1
1
5
n
n
n
nn
n
.
5.12.
2
1
23
1
n
n
n
n
.
5.13.
n
n
n
n
n
￥
ﾥ
=
￨
￦
-
+
1
2
1
4
2
3
.
5.
14.
2
2
1
23
n
n
n
n
.
5.15.
21
1
31
n
n
n
n
.
5.16.
2
1
21
31
n
n
n
n
.
5.17.
1
1
2
n
n
n
n
.
5.18.
2
1
sin
2
n
n
n
n
.
5.19.
3
2
ln
n
n
n
n
.
5.20.
3
1
31
n
n
n
n
.
5.21.
3
1
3
n
n
narctg
n
.
5.22.
5
1
3
21
n
n
n
n
n
.
5.23.
1
1
2
nn
n
e
.
5.24.
2
1
31
42
n
n
n
n
n
.
5.25.
2
1
2
43
n
n
n
n
.
5.26.
2
2
2
1
21
n
n
n
n
n
.
5.27.
2
1
31
n
n
n
n
n
.
5.28.
2
1
11
2
n
n
n
n
n
.
5.29.
2
1
3
5
n
n
n
n
.
5.30.
3
3
2
2
21
n
n
n
n
n
.
5.31.
42
1
4
n
n
narctg
n
.
Задача
6
.
Исследовать на сходимость ряд.
6
.1.
2
2
1
ln31
n
nn
.
6.2.
2
1
1
ln21
n
nn
.
6.3.
2
1
1
23ln21
n
nn
.
6.4.
2
3
1
35ln47
n
nn
.
6.5.
2
1
1
34ln52
n
nn
.
6.6.
2
1
1
21ln52
n
nn
.
6.7.
2
1
1
21ln31
n
nn
.
6.8.
5
1
2ln3
n
nn
.
6.9.
1
1
21ln2
n
nn
.
6.10.
1
1
1ln2
n
nn
.
6.11.
2
1
31ln
n
nn
.
6.12.
2
1
21ln1
n
nn
.
6.13.
2
1
23ln31
n
nn
.
6.14.
2
2
1
2ln
n
nn
.
6.15.
2
2
1
3ln2
n
nn
.
6.16.
2
2
1
23ln1
n
nn
.
6.17.
3
1
ln1
n
nn
.
6.18.
2
1
2ln31
n
nn
.
6.19.
5
1
2ln3
n
nn
.
6.20.
4
1
31ln2
n
nn
.
6.21.
2
2
1
5ln1
n
nn
.
6.22.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
2
2
7
ln
3
1
n
n
n
.
6.23.
2
3
2
1ln
n
n
nn
.
6.24.
22
3
3ln
n
n
nn
.
6.25.
2
4
1
31ln2
n
nn
.
6.26.
2
2
5ln
n
n
nn
.
6.27.
2
2
3
23ln
n
n
nn
.
6.28.
2
4
1
59ln2
n
n
nn
.
6.29.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
3
2
2
/
ln
2
3
1
2
n
n
n
n
.
6.30.
2
2
1ln
n
n
nn
.
6.31.
2
2
3
2ln2
n
n
nn
.
Задача
7
.
Исследовать на сходимость ряд.
7
.1.
(
)
(
)
1
1
2
1
1
1
+
+
-
￥
ﾥ
=
+
n
n
n
n
n
.
7.2.
1
1
1
21
n
n
n
n
n
.
7.3.
1
2
1
ln1
n
n
n
.
7.4.
3
1
lnlnln
n
n
nnn
.
7.5.
2
42
1
12
1
n
n
n
nn
.
7.6.
3
1
1ln
n
n
nn
.
7.7.
3
1
ln1
n
n
nn
.
7.8.
1
4
1
1
23
n
n
nn
.
7.9.
1
1sin
2
31
n
n
n
n
.
7.10.
(
)
n
n
n
n
n
￨
￦
-
-
￥
ﾥ
=
1
3
1
1
.
7.11.
1
sin
!
n
n
n
.
7.12.
3
1
ln2
n
n
nn
.
7.13.
1
1
1
n
n
tg
n
.
7.14.
2
1
cos
n
n
n
.
7.15.
1
2
1
1
12
n
n
n
n
.
7.16.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
1
3
3
/
cos
3
1
n
n
n
n
p
.
7.17.
1
1
1
132
n
n
n
n
.
7.18.
1
21
1
3
n
n
n
n
.
7.19.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
!
3
1
n
n
n
n
.
7.20.
3
1
1
1
n
n
n
n
.
7.21.
1
1
4
51
n
n
tg
n
n
.
7.22.
22
0
1
212
n
n
n
n
.
7.23.
1
sin
1
n
n
nn
nn
.
7.24.
1
1
cos24
n
n
nn
.
7.25.
1
1sin
2
n
n
n
.
7.26.
(
)
￥
ﾥ
=
-
1
2
sin
1
n
n
n
n
p
.
7.27.
1
sin3
1
3
n
n
n
n
.
7.28.
2
1
1
1ln1
n
n
n
.
7.29.
1
11
1sin
n
n
tg
nn
.
7.30.
1
1
11cos
n
n
n
.
7.31.
3
1
1
1!
n
n
n
n
.
Задача
8
.
Вычислить сумму ряда с точностью
.
8
.1.
(
)
01
,
0
,
3
1
1
2
1
=
-
￥
ﾥ
=
+
a
n
n
n
.
8.2.
1
1
1
, 0,01
!
n
n
n
.
8.3.
1
3
1
1
1, 0,001
2
n
n
n
.
8
.4.
0
1
1, 0,001
!21
n
n
nn
.
8.5.
3
1
21
1, 0,01
1
n
n
n
nn
.
8.6.
1
1
, 0,0001
21!
n
n
n
.
8.7.
1
1
, 0,1
2
n
n
n
n
.
8.8.
2
1
1
, 0,1
3
n
n
n
n
.
8.9.
22
1
1
, 0,001
2121
n
n
n
nn
8.10.
1
1
, 0,0001
21!!
n
n
n
.
8.11.
1
1
, 0,001
2!!
n
n
n
.
8.12.
0
2
, 0,01
5
n
n
.
8.13.
1
1
, 0,0001
7
n
n
n
n
.
8.14.
0
2
, 0,1
3
n
n
.
8.15.
1
1
, 0,001
2!
n
n
n
.
8.16.
0
1
, 0,01
3!
n
n
n
.
8.17.
1
1
, 0,00001
2!2
n
n
nn
.
8.18.
1
121
, 0,001
2!!
n
n
n
nn
.
8.19.
1
1
, 0,001
2!
n
n
n
n
.
8.20.
(
)
0001
,
0
,
!
3
1
1
=
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
n
.
8.21.
1
1
, 0,00001
2!!
n
n
nn
.
8.22.
(
)
(
)
001
,
0
,
1
3
1
0
=
+
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
n
.
8.23.
0
1
, 0,001
421
n
n
n
n
.
8.24.
(
)
01
,
0
,
1
1
3
=
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
.
8.25.
0
12
, 0,001
1
n
n
n
n
n
.
8.26.
0
1
, 0,001
1
n
n
n
n
.
8.27.
(
)
01
,
0
,
1
1
1
3
=
+
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
.
8.28.
(
)
(
)
01
,
0
,
3
2
1
1
2
=
+
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
n
.
8.29.
(
)
(
)
001
,
0
,
1
1
0
2
3
=
+
-
￥
ﾥ
=
a
n
n
n
.
8.30.
(
)
￥
ﾥ
=
=
+
-
0
3
01
,
0
,
2
1
n
n
n
a
.
8.31.
2
3
0
1
, 0,001
1
n
n
n
n
.
Задача 9.
Найти область сходимости ряда.
9.1.
￥
ﾥ
=
+
1
1
n
n
n
x
x
. 9.2.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
)
1
ln(
1
1
n
x
n
n
.
9.3
.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
1
2
3
1
n
x
n
n
n
.
9.4.
￥
ﾥ
=
+
-
￨
￦
+
1
)
4
(
2
4
1
n
n
x
x
n
n
e
n
.
9.5.
￥
ﾥ
=
+
1
2
2
3
n
n
x
n
.
9.6.
￥
ﾥ
=
+
1
1
sin
2
2
n
n
x
n
e
.
9.7.
￥
ﾥ
=
-
+
1
3
2
5
n
x
x
n
n
. 9.8.
￥
ﾥ
=
-
1
3
arcsin
n
nx
n
.
9.9.
￥
ﾥ
=
+
1
2
1
n
n
n
x
x
. 9.10.
￥
ﾥ
=
1
2
2
n
nx
arctg
n
.
9.11.
￥
ﾥ
=
+
+
1
1
4
2
n
x
n
n
. 9.12.
￥
ﾥ
=
￨
￦
+
1
2
4
1
2
n
x
n
n
n
.
9.13.
￥
ﾥ
=
+
1
1
1
n
nx
e
. 9.14.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
3
4
2
n
n
x
x
x
n
ne
.
9.15.
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
1
n
nx
e
. 9.16.
￥
ﾥ
=
+
-
1
1
sin
2
2
n
n
x
n
e
.
9.17.
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
1
n
n
n
x
x
. 9.18.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
1
ln
1
2
1
n
x
n
n
.
9.19.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
1
3
2
n
x
n
n
n
. 9.20.
￥
ﾥ
=
1
3
arcsin
n
nx
n
.
9.21.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
n
x
e
n
n
x
. 9.22.
￥
ﾥ
=
-
1
2
2
n
nx
arctg
n
.
9.23.
￥
ﾥ
=
-
+
+
1
3
2
2
1
n
x
x
n
n
. 9.24.
￥
ﾥ
=
+
+
-
￨
￦
+
1
1
2
2
1
n
n
x
x
n
n
e
n
.
9.25.
￥
ﾥ
=
-
+
1
2
|
|
|
|
n
n
n
x
x
.
9.26.
￥
ﾥ
=
-
￨
￦
+
1
2
4
1
3
n
x
n
n
n
.
9.27.
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
5
3
2
n
x
n
n
. 9.28.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
|
|
ln
1
1
n
x
n
n
.
9.29.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
1
n
x
n
e
n
n
. 9.30.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
2
n
n
x
e
.
9.31.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
.
Задача 1
0
.
Найти обл
асть сходимости
ряда.
1
0
.1.
32
1
23
23
n
n
nx
n
.
1
0
.2.
1
13
15
nn
n
n
x
n
.
10
.3.
2
1
1
9
n
n
n
x
n
.
10
.4.
(
)
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
+
+
-
1
1
2
7
2
3
1
1
n
n
n
n
x
n
n
.
10
.5.
2
1
2
1
2
n
n
n
x
n
.
10
.6.
21
1
5
38
n
n
x
n
.
10
.7.
(
)
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
-
1
6
3
ln
3
1
n
n
n
x
n
n
.
10
.8.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
3
2
6
n
n
n
n
x
.
10
.9.
21
1
5
421
n
n
n
x
n
.
10
.10.
21
2
1
7
254
n
n
n
x
nn
.
10
.11.
1
2
312
n
n
n
x
n
.
10
.12.
3
3
2
32
58
n
n
nx
n
.
10
.13.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
3
5
n
n
n
x
.
10
.14.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
2
2
1
n
n
x
n
n
.
10
.15.
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
6
3
1
3
1
n
n
n
n
x
n
.
10
.16.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
+
1
2
3
4
1
3
1
n
n
x
n
n
.
10
.17.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
3
6
n
n
n
n
x
.
10
.18.
5
21
1
5
1!
n
n
n
x
n
.
10
.19.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
-
1
2
3
2
1
2
3
n
n
n
x
n
n
.
10
.20.
1
5
4ln4
n
n
x
nn
.
10
.21.
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
4
3
1
4
1
n
n
n
n
x
n
.
10
.22.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
+
1
1
2
2
1
!
2
n
n
x
n
n
.
10
.23.
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
-
1
3
2
1
3
1
n
n
n
n
x
n
.
1
0
.24.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
3
3
1
1
3
2
n
n
x
n
n
.
10
.25.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
1
1
2
3
4
!
3
n
n
x
n
n
.
10
.26.
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
-
1
2
2
1
4
1
n
n
n
n
x
n
.
10
.27.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
3
3
4
1
4
n
n
x
n
n
.
10
.28.
(
)
(
)
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
-
1
1
2
ln
2
1
n
n
n
x
n
n
.
10
.29.
1
2
213
n
n
n
x
n
.
10
.30.
2
2
4
1
3
1
n
n
nx
n
.
10
.31.
5
2
1
1
21
n
n
nx
n
.
Задача 11.
Найти область сходимости ряда.
11.1.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
13
6
5
n
n
n
x
x
n
11.2.
￥
ﾥ
=
1
3
2
sin
8
n
n
n
x
n
11.3.
￥
ﾥ
=
-
￨
￦
+
1
1
3
1
1
n
x
n
n
n
11.4.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
+
1
2
6
4
3
1
n
n
n
x
x
n
11.5.
￥
ﾥ
=
1
3
2
sin
8
n
n
n
x
n
11.6.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
2
2
1
1
n
x
n
n
n
11.7.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
10
5
4
n
n
n
x
x
n
11.8.
(
)
￥
ﾥ
=
1
2
2
sin
2
n
n
n
x
n
11.9.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
ln
n
n
e
n
e
x
11.10.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
2
2
1
4
12
6
n
n
n
n
x
x
.
11.11.
￥
ﾥ
=
1
2
3
n
n
n
x
tg
n
11.12.
￥
ﾥ
=
-
1
cos
n
x
n
ne
11.13.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
2
2
2
3
n
n
n
x
n
11.14.
(
)
￥
ﾥ
=
1
4
4
3
sin
2
n
n
x
n
11.15.
￥
ﾥ
=
-
1
2
4
1
n
x
n
n
11.16.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
2
2
5
5
11
5
n
n
n
n
x
x
11.17.
￥
ﾥ
=
1
2
2
sin
4
n
n
n
x
n
11.18.
￥
ﾥ
=
1
2
2
ln
n
n
n
n
x
11.19.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
3
2
3
n
n
n
x
x
n
11.20.
(
)
￥
ﾥ
=
1
2
2
1
n
n
x
tg
n
11.21.
￥
ﾥ
=
-
1
sin
n
x
n
ne
11.22.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
2
1
2
1
n
n
n
n
x
11.23.
￥
ﾥ
=
1
2
1
n
n
x
tg
n
11.24.
￥
ﾥ
=
-
1
3
5
n
x
n
n
11.25.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
2
5
4
2
n
n
n
x
x
n
11.26.
￥
ﾥ
=
1
2
3
1
n
n
n
x
tg
n
11.27.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
ln
n
n
e
n
e
x
11.28.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
-
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
x
x
11.29.
(
)
￥
ﾥ
=
1
2
2
3
n
n
n
x
tg
n
11.30.
￥
ﾥ
=
1
sin
1
n
x
n
e
n
11.31.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
1
2
3
7
4
4
n
n
n
x
x
n
Задача
12.
Найти сумму ряда.
12.1.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
1
n
n
n
n
x
12.2.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
1
5
n
n
n
x
n
12.3.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
0
2
1
1
n
n
n
x
12.4.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
1
n
n
n
n
x
12.5.
￥
ﾥ
=
-
-
1
4
4
1
2
n
n
n
nx
12.6.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
5
1
n
n
n
x
12.7.
(
)
￥
ﾥ
=
+
1
1
n
n
n
n
x
12.8.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
3
1
3
n
n
n
x
n
12.9.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
0
4
1
1
n
n
n
x
12.10.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
0
1
2
1
n
n
n
n
x
12.11.
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
1
5
n
n
n
nx
12.12.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
2
1
n
n
n
x
12.13.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
1
1
n
n
n
n
x
12.14.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
5
1
1
n
n
x
n
12.15.
￥
ﾥ
=
+
0
1
sin
n
n
n
x
12.16.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
0
3
2
1
n
n
n
n
x
12.
17.
￥
ﾥ
=
-
-
1
3
3
1
3
n
n
n
nx
12.18.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
4
1
n
n
n
x
12.19
.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
3
1
n
n
n
n
x
12.20.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
2
1
4
n
n
n
x
n
12.21.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
0
3
1
1
n
n
n
x
12.22.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
0
4
2
1
n
n
n
n
x
12.23.
￥
ﾥ
=
-
1
5
5
1
n
n
nx
12.24.
￥
ﾥ
=
+
0
1
cos
n
n
n
x
12.25.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
1
5
1
n
n
n
n
x
12.26.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
4
1
2
n
n
n
x
n
12.27.
(
)
￥
ﾥ
=
+
-
0
5
1
1
n
n
n
x
12.28.
(
)
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
+
0
6
2
1
n
n
n
n
x
12.29.
￥
ﾥ
=
-
-
1
2
2
1
4
n
n
n
nx
12.30.
(
)
￥
ﾥ
=
-
-
1
1
3
1
n
n
n
x
12.31.
￥
ﾥ
=
-
1
1
sin
n
n
n
x
Задача 13.
Найти сумму ряда.
13.1.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
5
n
n
x
n
13.2.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
2
5
n
n
x
n
13.3.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
4
n
n
x
n
13.4.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
3
4
n
n
x
n
13.5.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
3
n
n
x
n
13.6.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
4
3
n
n
x
n
13.7.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
2
n
n
x
n
13.8.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
5
2
n
n
x
n
13.9.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
1
1
1
n
n
x
n
13.10.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
6
1
n
n
x
n
13.11.
￥
ﾥ
=
-
2
2
n
n
nx
13.12.
￥
ﾥ
=
1
6
n
n
nx
13.13.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
4
n
n
x
n
13.14.
￥
ﾥ
=
1
5
n
n
nx
13.15.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
3
n
n
x
n
13.16.
￥
ﾥ
=
1
4
n
n
nx
13.17.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
2
n
n
x
n
13.18.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
0
3
3
1
n
n
x
n
13.19.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
2
2
1
n
n
x
n
13.20.
(
)
￥
ﾥ
=
+
+
0
2
2
1
n
n
x
n
13.21.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
2
1
n
n
x
n
13.22.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
3
3
1
n
n
x
n
13.23.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
3
2
n
n
x
n
13.24.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
3
3
2
n
n
x
n
13.25.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
4
3
n
n
x
n
13.26.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
3
3
3
n
n
x
n
13.27.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
5
4
n
n
x
n
13.28.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
3
3
4
n
n
x
n
13.29.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
6
5
n
n
x
n
13.30.
(
)
￥
ﾥ
=
-
+
3
3
5
n
n
x
n
13.31.
(
)
￥
ﾥ
=
+
0
7
6
n
n
x
n
Задача 14.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням
x
.
1
4
.1.
2
9
20
xx
.
1
4
.2.
2
45
x
x
.
1
4
.3.
2
ln16
xx
.
1
4
.4.
2
2cos2
xxx
.
1
4
.5.
sh2
2
x
x
.
1
4
.6.
2
7
12
xx
.
1
4
.7.
3
272
x
x
.
1
4
.8.
2
ln16
xx
.
1
4
.9.
1sin5
xx
.
1
4
.10.
2
ch31
x
x
.
1
4
.11.
2
6
82
xx
.
1
4
.12.
4
1
163
x
.
1
4
.13.
2
ln112
xx
.
1
4
.14.
2
3
x
e
.
1
4
.15.
arcsin
1
x
x
.
1
4
.16.
2
7
12
xx
.
1
4
.17.
2
43
xx
.
1
4
.18.
2
ln128
xx
.
1
4
.19.
2
2sin2
xxx
.
1
4
.20.
1sh
xx
.
1
4
.21.
2
5
6
xx
.
1
4
.22.
3
272
xx
.
1
4
.23.
2
ln112
xx
.
1
4
.2
4.
sin3
cos3
x
x
x
.
1
4
.25.
arctg
x
x
.
1
4
.26.
2
5
6
xx
.
1
4
.27.
4
165
x
.
1
4
.28.
2
ln120
xx
.
1
4
.29.
2
2
x
e
.
1
4
.30.
1ch
xx
.
1
4
.31.
2
3
2
xx
.
Задача 15
. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
15
.1.
2
0,1
6
0
x
edx
.
15
.2.
0,1
2
0
sin100
xdx
.
15
.3.
1
2
0
cos
xdx
.
15
.4.
0,5
4
4
0
1
dx
x
.
15
.5.
0,1
2
0
1
x
e
dx
x
.
15
.6.
1
0
ln15
x
dx
x
.
15
.7.
1,5
3
3
0
27
dx
x
.
15
.8.
2
0,2
3
0
x
edx
.
15
.9.
0,2
2
0
sin25
xdx
.
15
.10.
0,5
2
0
cos4
xdx
.
15
.11.
1
4
4
0
16
dx
x
.
15
.12.
0,2
0
1
x
e
dx
x
.
15
.13.
0,4
0
ln12
x
dx
x
.
15
.14.
2
3
3
0
64
dx
x
.
15
.15.
2
0,3
2
0
x
edx
.
15
.16.
0,4
2
0
sin52
xdx
.
15
.17.
0,2
2
0
cos25
xdx
.
15
.18.
1,5
4
4
0
81
dx
x
.
15
.19.
0,4
2
0
1
x
e
dx
x
.
15
.20.
0,1
0
ln12
x
dx
x
.
15.
21.
2,5
3
3
0
125
dx
x
.
15
.22.
2
0,4
34
0
x
edx
.
15
.23.
0,5
2
0
sin4
xdx
.
15
.24.
0,4
2
0
cos52
xdx
.
15
.25.
2
4
4
0
256
dx
x
.
15
.26.
0,5
3
3
0
1
dx
x
.
15
.27.
2,5
4
4
0
625
dx
x
.
15
.28.
1
3
3
0
8
dx
x
.
15
.29.
2
0,5
325
0
x
edx
.
15
.30.
1
2
0
sin
xdx
.
15
.31.
0,1
2
0
cos100
xdx
.
1
VII
. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теоретические вопросы
1.
Определение
двойного и тройного интегралов.
Их геометрический и физический
смысл.
2.
Основные свойства двойных и тройных интегралов.
3.
Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.
4.
Вычисление двойных интеграл
ов двумя последовательными интегрированиями
(случай прямоугольной области).
5.
Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями
(общий случай).
6.
Замена переменных в двойном интеграле.
7.
Якобиан, его геометрический смысл.
8.
Двойной интеграл в
полярных координатах.
9.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
10.
Тройной интеграл в сферических координатах.
Теоретические упражнения
1.
Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что
222
0
mn
xyR
xydxdy
,
если
m
и
n
-
натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно.
2.
С помощью теоремы о среднем найти
222
2
0
1
lim,
R
xyR
fxydxdy
R
,
2
где
,
fxy
-
непрерывная функция.
3.
Оценить интеграл
2222
2222
000
222
000
,
xyzR
dxdydz
xyzR
xxyyzz
,
т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.
4.
Вычислить двойной интеграл
,
D
fxydxdy
,
если область
D
-
прямоугольник {
,
axbcyd
}, а
,,
xy
fxyFxy
.
5.
Доказать равенство
bd
Dac
fxgydxdyfxdxgydy
,
если область
D
-
прямоугольник {
,
axbcyd
}.
6.
Доказать формулу Дирихле
000
,,
axaa
y
dxfxydydyfxydx
,
0
a
.
7.
Пользуясь форму
лой Дирихле, доказать равенство
000
y
aa
dyfxdxaxfxdx
.
8.
Какой из интегралов больше
111
000
,,
dxdyfxyzdz
или
1
11
000
,,
xy
x
dxdyfxyzdz
,
если
,,0
fxyz
?
3
Расчё
тные задания
Задача 1.
Изменить порядок интегрирования.
1.1.
1000
21
2
yy
dyfdxdyfdx
.
1.2.
2
1020
01
2
y
y
dyfdxdyfdx
.
1.3.
2
2
12
0010
y
y
dyfdxdyfdx
.
1.4.
2
12
0010
yy
dyfdxdyfdx
.
1.5.
2
1000
1
2
2
x
x
dxfdydxfdy
.
1.6.
12
arcsinarccos
1
000
12
yy
dyfdxdyfdx
.
1.7.
2
10
2010
yy
dyfdxdyfdx
.
1.8.
ln
10
011
y
e
y
dyfdxdyfdx
.
1.9.
22
120
010
2
xx
dxfdydxfdy
.
1.10.
22
3000
2
3
442
xx
dxfdydxfdy
.
1.11.
2
111
01ln
1
e
x
x
dxfdydxfdy
.
1.12.
3
2
12
0010
y
y
dyfdxdyfdx
.
1.13.
42
sincos
0040
.
yy
dyfdxdyfdx
.
1.14.
3
1000
221
x
x
dxfdydxfdy
.
1.15.
11
001ln
y
e
y
dyfdxdyfdx
.
1.16.
1020
01
2
yy
dyfdxdyfdx
.
1.17.
2
1020
01
2
y
y
dyfdxdyfdx
.
1.18.
3
2
12
0010
yy
dyfdxdyfdx
.
1.19.
22
3020
0
3
424
xx
dxfdydxfdy
.
1.20.
3
1000
221
y
y
dyfdxdyfdx
.
4
1.21.
11
001ln
y
e
y
dyfdxdyfdx
.
1.22.
22
122
0010
xx
dxfdydxfdy
.
1.23.
42
sincos
0040
xx
dxfdydxfdy
.
1.24.
2
1000
1
2
2
y
y
dyfdxdyfdx
.
1.25.
3
122
0010
xx
dxfdydxfdy
.
1.26.
22
32424
000
3
xx
dxfdydxfdy
.
1.27.
1020
01
2
xx
dxfdydxfdy
.
1.28.
2
122
0010
xx
dxfdydxfdy
.
1.29.
2
2
12
0010
yy
dyfdxdyfdx
.
1.30.
122
0010
xx
dxfdydxfdy
.
1.31.
22
34024
200
3
xx
dxfdydxfdy
.
Задача 2.
Вычислить.
2.1.
2233
2
1216;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.2.
2233
2
948;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.3.
2233
3
3
3696;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.4.
2233
3
3
1832;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.5.
2233
2
3
2748;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.6.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
32
18
2
3
3
3
2
2
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
y
x
D
5
2.7.
2233
3
1832;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.8.
2233
3
2748;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.9.
22
2
43;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.10.
22
2
129;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.11.
22
3
3
89;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.12.
22
3
3
2418;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.13.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
27
12
3
2
2
2
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
xy
D
2.14.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
18
8
2
3
2
2
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
xy
D
2.15.
22
3
49
;
511
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.16.
22
3
4
9;
5
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.17.
33
2
2448;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.18.
33
2
624;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.19.
33
3
3
416;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.20.
33
3
3
416;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.21.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
16
44
3
2
3
3
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
xy
D
2.22.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
176
4
3
3
3
3
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
xy
D
2.23.
33
3
4;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.24.
33
3
4176;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
6
2.25.
2244
2
25
6;
3
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.26.
2244
2
925;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.27.
2244
3
3
50
3;
3
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.28.
2244
3
3
925;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
2.29.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
150
54
3
2
4
4
2
2
ﾳ
-
=
=
=
+
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
y
x
D
2.30.
(
)
(
)
.
0
,
,
1
:
;
9
2
3
5
5
ﾳ
-
=
=
=
-
x
x
y
x
y
x
D
dxdy
y
x
xy
D
2.31.
2244
3
54150;
: 1, , .
D
xyxydxdy
Dxyxyx
Задача 3
. Вычислить.
3.1.
/2
;
: ln2, ln3, 2, 4.
xy
D
yedxdy
Dyyxx
3.2
.
2
sin ;
2
: 0, , .
2
D
xy
ydxdy
x
Dxyy
3.3.
cos ;
: /2, , 1, 2.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.4.
2/4
;
: 0, 2, .
xy
D
yedxdy
Dxyyx
3.5.
sin ;
: /2, , 1, 2.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.6.
2
cos ;
2
: 0, 2, y2.
D
xy
ydxdy
Dxyx
3.7.
2
4;
1
: ln3, ln4, , 1.
2
xy
D
yedxdy
Dyyxx
3.8.
2
4sin ;
: 0, , .
2
D
yxydxdy
Dxyyx
7
3.9.
cos2 ;
1
: , , , 1.
22
D
yxydxdy
Dyyxx
3.10.
2/8
;
: 0, 2, .
2
xy
D
yedxdy
x
Dxyy
3.11.
12sin2 ;
: , , 2, 3.
42
D
yxydxdy
Dyyxx
3.12.
2
cos ;
: 0, , .
D
yxydxdy
Dxyyx
3.13.
/4
;
: ln2, ln3, 4, 8.
xy
D
yedxdy
Dyyxx
3.14.
2
4sin2 ;
: 0, 2, 2.
D
yxydxdy
Dxyyx
3.15.
2cos2 ;
: , , 1, 2.
42
D
yxydxdy
Dyyxx
3.16.
2/2
;
: 0, 2, .
xy
D
yedxdy
Dxyyx
3.17.
sin ;
1
: , 2, , 1.
2
D
yxydxdy
Dyyxx
3.18.
2
cos2 ;
: 0, , .
22
D
yxydxdy
x
Dxyy
3.19.
4
8;
11
: ln3, ln4, , .
42
xy
D
yedxdy
Dyyxx
3.20.
2
3sin ;
2
42
: 0, , .
33
D
xy
ydxdy
Dxyyx
3.21.
cos ;
: , 3, 12, 1.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.22.
2/2
;
: 0, 1, .
2
xy
D
yedxdy
x
Dxyy
3.23.
sin2 ;
: 2, 32, 12, 2.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.24.
2
cos ;
: 0, , 2.
D
yxydxdy
Dxyyx
8
3.25.
/3
6;
: ln2, ln3, 3, 6.
xy
D
yedxdy
Dyyxx
3.26.
2
sin ;
2
: 0, , .
D
xy
ydxdy
Dxyyx
3.27.
cos2 ;
: 2, 32, 12, 2.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.28.
2/8
;
: 0, 4, 2.
xy
D
yedxdy
Dxyyx
3.29.
3sin ;
: 2, 3, 1, 3.
D
yxydxdy
Dyyxx
3.30.
2
cos ;
2
: 0, 2, 2.
D
xy
ydxdy
Dxyyx
3.31.
6
12;
: ln3, ln4, 16, 13.
xy
D
yedxdy
Dyyxx
Задача 4.
Вычислить.
4
.1.
2
2 ;
0, 1, ,
0, 1.
xy
V
yedxdydz
xyyx
V
zz
4.2.
2
sin ;
2, , z1,
0, 0, 0.
V
xzxyzdxdydz
xy
V
xyz
4.3.
2
ch2 ;
0, 2, y4,
0, 2.
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.4.
22
8 ;
1, 2, z1,
0, y0, 0.
xyz
V
yzedxdydz
xy
V
xz
4.5.
2
sh3 ;
1, 2, y0,
0, 36.
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
4.6.
2
cos ;
1, , z2,
0, 0, 0.
V
yzxyzdxdydz
xy
V
xyz
9
4.7.
2
2
cos ;
4
0, 1, y2,
0, .
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.8.
2
sin ;
4
1, 2, z4,
0, 0, 0.
V
xyz
xzdxdydz
xy
V
xyz
4.9.
2
;
0, 2, y4,
0, 1.
xy
V
yedxdydz
xyx
V
zz
4.10.
2
2 ;
1, 1, z1,
0, y0, 0.
xyz
V
yzedxdydz
xy
V
xz
4.11.
2
ch2 ;
0, 1, y,
0, 8.
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.12.
2
shxyz ;
2, 1, z1,
0, 0, 0.
V
xzdxdydz
xy
V
xyz
4.13.
22
;
0, 2, y2,
0, 1.
xy
V
yedxdydz
xyx
V
zz
4.14.
2
cos ;
3
3, 1, z2,
0, 0, 0.
V
xyz
yzdxdydz
xy
V
xyz
4.15.
2
2
cos ;
2
0, 1, y,
0, 2.
V
xy
ydxdydz
xyx
V
zz
4.16.
2
2 shxyz ;
1, 1, z1,
0, 0, 0.
V
xzdxdydz
xy
V
xyz
4.1
7.
2
2
cos ;
0, 1, y2,
0, .
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.18.
2
2 sh2xyz ;
2, 12, z12,
0, 0, 0.
V
xzdxdydz
xy
V
xyz
4.19.
2
sh2 ;
1, , y0,
0, 8.
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
4.20.
2
xyz
sin ;
2
1, 4, z,
0, 0, 0.
V
xzdxdydz
xy
V
xyz
1
0
4.21.
2
ch ;
0, 1, y,
0, 2.
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.22.
2
chxyz ;
1, 1, z1,
0, 0, 0.
V
yzdxdydz
xy
V
xyz
4.23.
2
sin ;
2
2, , y0,
0, .
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
4.24.
2
cos ;
9
9, 1, z2,
0, 0, 0.
V
xyz
yzdxdydz
xy
V
xyz
4.25.
2
sin ;
1, 2, y0,
0, 4.
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
4.26.
2
xyz
ch ;
2
2, 1, z2,
0, 0, 0.
V
yzdxdydz
xy
V
xyz
4.27.
2
ch3 ;
0, 2, y6,
0, 3.
V
yxydxdydz
xyx
V
zz
4.28.
2
2 ch2 ;
1
, 2, z1,
2
0, 0, 0.
V
yzxyzdxdydz
xy
V
xyz
4.29.
2
sin4 ;
1, 2, y0,
0, 8.
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
4.30.
2
8 ;
2, 1, z2,
0, y0, 0.
xyz
V
yzedxdydz
xy
V
xz
4.31.
2
sh ;
2, 2, y0,
0, 1.
V
xxydxdydz
xyx
V
zz
11
Задача 5.
Вычислить.
5.1.
;
: 10, 0, 1,
, 0.
V
xdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.2.
4
;
x
1
348
: 1,
348
0, 0, 0.
V
dxdydz
yz
xyz
V
xyz
5.3.
22
15 ;
: , 1,
0, 0, 0.
V
yzdxdydz
Vzxyxy
xyz
5.4.
22
34 ;
: , 0, 1,
5, 0.
V
xydxdydz
Vyxyx
zxyz
5.5.
3
12 ;
: 9, 0, 1,
, 0.
V
xdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.6.
3
2754 ;
: , 0, 1,
, 0.
V
ydxdydz
Vyxyx
zxyz
5.7.
;
: 15, 0, 1,
, 0.
V
ydxdydz
Vyxyx
zxyz
5.8.
5
;
x
1
1683
: 1,
1683
0, 0, 0.
V
dxdydz
yz
xyz
V
xyz
5.9.
22
3 ;
: 10, 1,
0, 0, 0.
V
xydxdydz
Vzyxy
xyz
5.10.
22
1530 ;
: z3, z0,
, 0, x=1.
V
xzdxdydz
Vxy
yxy
5.11.
3
48 ;
: , 0, 1,
, 0.
V
zdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.12.
3
12 ;
: 36, 0, 1,
, 0.
V
xdxdydz
Vyxyx
zxyz
12
5.13.
21 ;
: , 0, 2,
, 0.
V
xzdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.14.
6
;
x
1
1083
: 1,
1083
0, 0, 0.
V
dxdydz
yz
xyz
V
xyz
5.15.
22
3 ;
: 10, 1,
0, 0, 0.
V
xydxdydz
Vzxxy
xyz
5.16.
22
6090 ;
: , 0, 1,
, 0.
V
yzdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.17.
105
;
33
: 9, 0, 1,
, 0.
V
xdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.18.
918 ;
: 4, 0, 1,
, 0.
V
zdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.19.
2
3 ;
: 2, 0, 2,
, 0.
V
ydxdydz
Vyxyx
zxyz
5.20.
4
;
1
246
: 1,
246
0, 0, 0.
V
dxdydz
xyz
xyz
V
xyz
5.21.
2
;
: 103, x1,
0, 0, 0.
V
xdxdydz
Vzxyy
xyz
5.22.
22
812 ;
: , 0, 1,
32, 0.
V
yzdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.23.
6312 ;
: , 0, 1,
, 0.
V
ydxdydz
Vyxyx
zxyz
5.24.
22
;
: , 0, 1,
3060, 0.
V
xydxdydz
Vyxyx
zxyz
13
5.25.
5
;
1
6416
: 1,
6416
0, 0, 0.
V
dxdydz
xyz
xyz
V
xyz
5.26.
;
: , 0, 2,
, 0.
V
xyzdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.27.
2
;
: 103, x1,
0, 0, 0.
V
ydxdydz
Vzxyy
xyz
5.28.
22
3
5 ;
2
: , 0, 1,
15, 0.
V
z
xdxdydz
Vyxyx
zxyz
5.29.
22
4 ;
: 202, x1,
0, 0, 0.
V
xydxdydz
Vzxyy
xyz
5.30.
6
;
1
835
: 1,
835
0, 0, 0.
V
dxdydz
xyz
xyz
V
xyz
5.31.
2
;
: 3, 0, 2,
, 0.
V
xzdxdydz
Vyxyx
zxyz
14
Задача 6.
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
6.1.
3, 4, 3, 4.
x
yxyeyy
6.2.
22
36, 636.
xyxy
6.3.
222
72, 6 0.
xyyxy
6.4.
2
8, 2.
xyxy
6.5.
3
, 8, 3, 8.
x
yyeyy
x
6.6.
1
, , x16.
22
x
yy
x
6.7.
2
5, 4.
xyxy
6.8.
222
12, -6 0.
xyyxy
6.9.
22
12, 2312, 0 0.
yxyxxx
6.10.
33
, , x9.
22
yxy
x
6.11.
22
24, 23, 0 0.
yxyxxx
6.12.
sin, cos, x0, 0.
yxyxx
6.13.
2
20, 8.
yxyx
6.14.
22
18, 3218.
yxyx
6.15.
2
32, 4.
yxyx
6.16.
2, 5, 2, 5.
x
yxyeyy
6.17.
222
36, 32 0.
xyyxy
15
6.18.
3, 3, 4.
yxyxx
6.19.
22
636, 36, 0 0.
yxyxxx
6.20.
2
254, 52.
yxyx
6.21.
, 1, 16.
yxyxx
6.22.
2, 7, 2, 7.
x
yxyeyy
6.23.
2
27, 6.
xyxy
6.24.
22
72, 6, 0 0.
xyxyyy
6.25.
22
6, 66.
yxyx
6.26.
33
, , x4.
22
yxy
x
6.27.
sin, cos, x0, 0.
yxyxx
6.28.
1
, 6, 1, 6.
x
yyeyy
x
6.29.
3, 3, 9.
yxyxx
6.30.
2
11, 10.
yxyx
6.31.
222
12, 6 0.
xyxyx
16
Задача 7.
Найти площадь фигуры, огран
иченной данными линиями.
7
.1.
22
22
20,
40,
3, 3.
yyx
yyx
yxyx
7.2.
22
22
40,
80,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
7.3.
22
22
60,
80,
3, 3.
yyx
yyx
yxyx
7.4.
22
22
20,
40,
0, .
xxy
xxy
yyx
7.5.
22
22
80,
100,
3, 3.
yyx
yyx
yxyx
7.6.
22
22
40,
80,
0, .
xxy
xxy
yyx
7.7.
22
22
40,
60,
, 0.
yyx
yyx
yxx
7.8.
22
22
20,
100,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
7.9.
22
22
60,
100,
, 0.
yyx
yyx
yxx
7.10.
22
22
20,
40,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.11.
22
22
20,
40,
3, 0.
yyx
yyx
yxx
7.12.
22
22
20,
60,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.13.
22
22
40,
60,
3, 0.
yyx
yyx
yxx
7.14.
22
22
20,
80,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.15.
22
22
20,
60,
3, x0.
yyx
yyx
yx
7.16.
22
22
20,
40,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
17
7.17.
22
22
20,
100,
3, 3.
yyx
yyx
yxyx
7.18.
22
22
20,
60,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
7.19.
22
22
40,
100,
3, 3.
yyx
yyx
yxyx
7.20.
22
22
20,
60,
0, .
xxy
xxy
yyx
7.21.
22
22
20,
40,
, 0.
yyx
yyx
yxx
7.22.
22
22
20,
40,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
7.23.
22
22
60,
80,
, 0.
yyx
yyx
yxx
7.24.
22
22
40,
80,
0, 3.
xxy
xxy
yyx
7.25.
22
22
40,
80,
, 0.
yyx
yyx
yxx
7.26.
22
22
40,
80,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.27.
22
22
40,
80,
3, 0.
yyx
yyx
yxx
7.28.
22
22
40,
60,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.29.
22
22
20,
100,
3, 0.
yyx
yyx
yxx
7.30.
22
22
60,
100,
3, 3.
xxy
xxy
yxyx
7.31.
22
22
40,
80,
3, 0.
yyx
yyx
yxx
18
Задача
8.
Пластинка
D
задана ограничивающими ее кривыми,
-
поверхностная
плотность. Найти массу пластинки.
8
.1.
2
2
: 1, 0, 4 0;
7.
Dxyyxy
xy
8.2.
2222
22
: 1, 4,
0, 0 0, 0;
.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.3.
2
2
: 1, 0, 4 0;
725.
Dxyyxy
xy
8.4.
2222
22
: 9, 16,
0, 0 0, 0;
25.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.5.
2
2
: 2, 0, 2 0;
782.
Dxyyxy
xy
8.6.
2222
22
: 1, 16,
0, 0 0, 0;
.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.7.
2
2
: 2, 0, 2 0;
726.
Dxyyxy
xy
8.8.
2222
22
: 4, 25,
0, 0 0, 0;
23.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.9.
2
2
: 1, 0, 4 0;
3.
Dxyyxy
xy
8.10.
2222
22
: 1, 9,
0, 0 0, 0;
.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.11.
2
2
: 1, 0, 0;
36.
Dxyyxy
xy
8.12.
2222
22
: 9, 25,
0, 0 0, 0;
2.
Dxyxy
xyxy
yxxy
8.
13.
2
2
: 2, 0, 2 0;
23.
Dxyyxy
xy
8.14.
2222
22
: 4, 16,
0, 0 0, 0;
23.
Dxyxy
xyxy
yxxy
8.15.
2
2
1
: , 0, 8 0;
2
73.
Dxyyxy
xy
8.16.
2222
22
: 9, 16,
0, 0 0, 0;
25.
Dxyxy
xyxy
yxxy
19
8.17.
2
2
: 1, 0, 4 0;
72.
Dxyyxy
xy
8.18.
2222
22
: 1, 16,
0, 0 0, 0;
3.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.19.
2
2
: 2, 2, 0 0;
742.
Dxyxyy
xy
8.20.
2222
22
: 1, 4,
0, 0 0, 0;
2.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.21.
2
2
: 2, 0, 2 0;
74.
Dxyyxy
xy
8.22.
2222
22
: 1, 9,
0, 0 0, 0;
2.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.23.
2
2
: 2, 0, 2 0;
728.
Dxyyxy
xy
8.24.
2222
22
: 1, 25,
0, 0 0, 0;
4.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.25.
2
2
: 1, 0, 4 0;
63.
Dxyyxy
xy
8.26.
2222
22
: 4, 16,
0, 0 0, 0;
3.
Dxyxy
xyxy
xyxy
8.27.
2
2
: 2, 0, 2 0;
46.
Dxyyxy
xy
8.28.
2222
22
: 4, 9,
0, 0 0, 0;
4.
Dxyxy
xyxy
yxxy
8.29.
2
2
1
: , 0, 2 0;
2
49.
Dxyyxy
xy
8.30
.
2222
22
: 4, 9,
0, 0 0, 0;
2.
Dxyxy
xyxy
yxxy
8.31.
2
2
1
: , 0, 16 0;
4
1692.
Dxyyxy
xy
20
Задача 9.
Пластинка
D
задана неравенствами,
-
поверхностная плотность. Найти
массу пластинки.
9
.1.
22
2
: 41;
.
Dxy
y
9.2.
22
: 1942;
2
0, ;
3
.
Dxy
yyx
yx
9.3.
22
2
: 9251;
0;
.
Dxy
y
xy
9.4.
22
2
: 9251;
0;
718.
Dxy
y
xy
9.5.
22
3
: 144;
0, 2;
8.
Dxy
yyx
yx
9.6.
22
6
: 91;
0;
7.
Dxy
x
xy
9.7.
22
4
: 41;
4.
Dxy
y
9.8.
22
: 1494;
x0, 32;
.
Dxy
yx
xy
9.9.
22
: 11644;
0, 2;
.
Dxy
xyx
xy
9.10.
22
3
: 491;
0, 0;
.
Dxy
xy
xy
9.11.
22
33
: 41;
0, 0;
6.
Dxy
xy
xy
9.12.
22
3
: 1425;
x0, 2;
.
Dxy
yx
xy
9.13.
22
22
: 941;
.
Dxy
xy
9.14.
22
7
: 161;
0, 0;
5.
Dxy
xy
xy
9.15.
22
37
: 41;
0, 0;
30.
Dxy
xy
xy
9.16.
22
: 1943;
2
0, ;
3
.
Dxy
yyx
yx
21
9.17.
22
4
: 251;
0;
7.
Dxy
y
xy
9.18.
22
43
: 91;
0;
35.
Dxy
y
xy
9.19.
22
2
: 491;
.
Dxy
x
9.20.
22
3
: 1169;
0, 4;
.
Dxy
yyx
yx
9.21.
22
8
: 91;
0;
11.
Dxy
x
xy
9.22
22
:14165;
0,2;
.
Dxy
xyx
xy
.
9.23.
22
: 1945;
x0, 23;
.
Dxy
yx
xy
9.24.
22
5
: 491;
0, 0;
.
Dxy
xy
xy
9.25.
22
4
: 4251;
.
Dxy
x
9.26.
22
53
: 41;
0, 0;
15.
Dxy
xy
xy
9.27.
22
3
: 14936;
3
x0, ;
2
9.
Dxy
yx
xy
9.28.
22
9
: 1001;
0, 0;
6.
Dxy
xy
xy
9.29.
22
39
: 161;
0, 0;
105.
Dxy
xy
xy
9.30.
22
5
: 19162;
4
0, ;
3
27.
Dxy
yyx
yx
9.31.
22
5
: 1163;
x0, 4;
.
Dxy
yx
xy
22
Задача 10.
Найти объ
ё
м тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
10
.1.
162, 2,
0, 2.
yxyx
zxz
10.2.
5, 53,
0, 553.
yxyx
zzx
10.3.
22
2, , 0,
0, 15.
xyyxy
zzx
10.4.
2, ,
12, 0.
xyyx
zyz
10.5.
202, 52,
0, 12.
xyxy
zzy
10.6.
52, 56,
5
0, 3.
6
xyxy
zzy
10.7.
22
2, , 0,
0, 30.
xyxyx
zzy
10.8.
2, ,
125, 0.
xyxy
zxz
10.9.
172, 22,
0, 12.
yxyx
zxz
10.10.
53, 59,
0, 539.
yxyx
zzx
10.11.
22
8, 2, 0,
0, 1511.
xyyxy
zzx
10.12.
4, 2,
3, 0.
xyyx
zyz
10.13.
55
, ,
618
5
0, 3.
18
xyxy
zzy
10.14.
192, 42,
0, 2.
xyxy
zzy
10.15.
22
8, 2, 0,
3011, 0.
xyxyx
zyz
10.16.
4, 2,
35, 0.
xyxy
zxz
10.17.
63, 3,
0, 3.
yxyx
zxz
10.18.
55
, ,
618
5
0, 3.
18
yxyx
zzx
23
10.19.
22
18, 3, 0,
0, 511.
xyyxy
zzx
10.20.
6, 3,
4, 0.
xyyx
zyz
10.21.
73, 23,
0, 3.
xyxy
zzy
10.22.
53, 59,
0, 539.
xyxy
zzy
10.23.
22
18, 3, 0,
0, 1011.
xyxyx
zzy
10.24.
6, 3,
45, 0.
xyxy
zxz
10.25.
15, 15,
0, 151.
yxyx
zzx
10.26.
22
50, 5,
0, 0, 311.
xyyx
yzzx
10.27.
8, 4,
3, 0.
xyyx
zyz
10.28.
162, 2,
2, 0.
xyxy
zyz
10.29.
15, 15,
0, 151.
xyxy
zzy
10.30.
22
50, 5,
0, 0, 611.
xyxy
xzzy
10.31.
172, 22,
0, 12.
xyxy
zzy
24
Задача 11.
Найти
объём
тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
11.1.
22
2
2,
54, 0.
xyy
zxz
11.2.
2222
22
, 4,
, 0.
xyyxyy
zxyz
11.3.
22
22
82,
64,
0 0.
xyx
zxy
zz
11.4.
22
2
40,
8, 0.
xyx
zyz
11.5.
2222
22
6, 9,
, 0,
0 0
xyxxyx
zxyz
yy
11.6.
22
22
62,
36,
0 0.
xyy
zxy
zz
11.7.
22
2
2,
94, 0.
xyy
zxz
11.8.
2222
22
2, 5,
, 0.
xyyxyy
zxyz
11.9.
22
22
220,
4,
0 0.
xyy
zxy
zz
11.10.
22
2
4,
10, 0.
xyx
zyz
11.11.
2222
22
7, 10,
, 0,
0 0
xyxxyx
zxyz
yy
11.12.
22
22
82,
64,
0 0.
xyy
zxy
zz
11.13.
22
2
2,
134, 0.
xyy
zxz
11.14.
2222
22
3, 6,
, 0.
xyyxyy
zxyz
11.15.
22
22
62,
36,
0 0.
xyx
zxy
zz
11.16.
22
22
22,
4,
0 0.
xyy
zxy
zz
25
11.17.
22
2
4,
12, 0.
xyx
zyz
11.18.
2222
22
8, 11,
, 0,
0 0
xyxxyx
zxyz
yy
11.19.
22
22
42,
16,
0 0.
xyx
zxy
zz
11.20.
22
2
4,
4, 0.
xyy
zxz
11.21.
2222
22
4, 7,
, 0.
xyyxyy
zxyz
11.22.
22
22
42,
16,
0 0.
xyy
zxy
zz
11.23.
22
2
20,
174, 0.
xyx
zyz
11.24.
2222
22
9, 12,
, 0,
0 0
xyxxyx
zxyz
yy
11.25.
22
22
220,
4,
0 0.
xyx
zxy
zz
11.26.
22
2
4,
6, 0.
xyy
zxz
11.27.
2222
22
10, 13,
, 0,
0 0
xyxxyx
zxyz
yy
11.28.
22
22
22,
4,
0 0.
xyx
zxy
zz
11.29.
22
2
2,
214, 0.
xyx
zyz
11.30.
2222
22
5, 8,
, 0.
xyyxyy
zxyz
11.31.
22
2
20,
254, 0.
xyx
zyz
26
Задача 12.
Найти
объём
тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
12.1.
2
22
22
52, 7,
372,
375.
yxy
zyx
zyx
12.2.
22
22
22
52, 47,
495,
195.
yxyx
zxy
zxy
12.3.
2
22
22
52, 3,
31,
35.
xyx
zxy
zxy
12.4.
22
22
22
23, 76,
116,
316.
xyxy
zxy
zxy
12.5.
2
22
22
68, 2,
1,
5.
yxy
zxxy
zxxy
12.6.
22
22
22
51, 31,
23,
53.
yxyx
zxy
zxy
12.7.
2
22
22
59, 4,
44,
42.
xyx
zxxy
zxxy
12.8.
2
22
22
61, 5,
2,
24.
yxy
zxxy
zxxy
12.9.
22
22
22
51, 31,
26,
16.
xyxy
zxy
zxy
12.10.
2
22
22
37, 4,
26,
36.
xyx
zxy
zxy
12.11.
2
22
22
53, 2,
2361,
2362.
yxy
zxyy
zxyy
12.12.
22
22
22
5, 3,
458,
158.
yxyx
zxy
zxy
12.13.
2
22
22
35, 2,
216,
816.
xyx
zxy
zxy
12.14.
22
22
22
2, 43,
162,
161.
xyxy
zxy
zxy
27
12.15.
2
22
22
21, 1,
53,
56.
yxy
zxy
zxy
12.16.
22
22
22
2, 43,
2,
1.
yxyx
zxy
zxy
12.17.
2
22
22
41, 3,
71,
72.
xyx
zxy
zxy
12.18.
22
22
22
76, 23,
385,
285.
xyxy
zyx
zyx
12.19.
2
22
22
12, 1,
22,
21.
yxy
zxyy
zxyy
12.20.
22
22
22
7, 82,
3125,
2125.
yxyx
zyx
zyx
12.21.
2
22
22
23, 5,
194,
494.
xyx
zxy
zxy
12.22.
2
22
22
34, 7,
523,
123.
yxy
zxy
zxy
12.23.
22
22
22
52, 47,
423,
123.
xyxy
zxy
zxy
12.24.
2
22
22
25, 3,
525,
225.
xyx
zxy
zxy
12.25.
2
22
22
35, 2,
35,
15.
yxy
zxy
zxy
12.26.
22
22
22
35, 64,
210,
210.
yxyx
zxy
zxy
12.27.
2
22
22
42, 6,
41,
44.
xyx
zxyy
zxyy
12.28.
22
22
22
32, 45,
479,
179.
xyxy
zxy
zxy
12.29.
2
22
22
25, 3,
24,
14.
yxy
zxy
zxy
12.30.
22
22
22
23, 76,
156,
356.
yxyx
zxy
zxy
28
12.31.
2
22
22
27, 5,
123,
423.
yxy
zxy
zxy
Задача 13.
Найти
объём
тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
13.1.
22
22
9,
92.
zxy
zxy
13.2.
22
22
152,
172.
zxy
zxy
13.3.
22
22
4,
255.
zxy
zxy
13.4.
22
22
64, 1,
60
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.5.
22
22
16
,
9
2.
zxy
zxy
13.6.
22
22
3,
10.
zxy
zxy
13.7.
22
22
25,
99.
zxy
zxy
13.8.
22
22
100, 6,
51
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.9.
22
22
212,
232.
zxy
zxy
13.10.
22
22
16,
6.
zxy
zxy
13.11.
22
22
9,
80.
zxy
zxy
13.12.
22
22
81, 5,
45
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.13.
22
22
1,
32.
zxy
zxy
13.14.
22
22
6,
16.
zxy
zxy
29
13.15.
22
22
36,
63.
zxy
zxy
13.16.
22
22
64, 4,
39
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.17.
22
22
144,
18.
zxy
zxy
13.18.
22
22
32,
52.
zxy
zxy
13.19.
22
22
9,
35.
zxy
zxy
13.20.
22
22
49, 3,
33
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.21.
22
22
36,
9.
zxy
zxy
13.22.
22
22
9,
22.
zxy
zxy
13.23.
22
22
16,
15.
zxy
zxy
13.24.
22
22
36, 2,
27
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.25.
22
22
49,
.
zxy
zxy
13.26.
22
22
12,
28.
zxy
zxy
13.27.
22
22
9,
8.
zxy
zxy
13.28.
22
22
25, 1,
21
внутри цилиндра.
zxyz
xy
13.29.
22
22
64,
12.
zxy
zxy
13.30.
22
22
92,
112.
zxy
zxy
13.31.
22
22
36,
3.
zxy
zxy
30
Задача 14.
Найти
объём
тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
14
.1.
22
212,
242.
zxy
zx
14.2.
2
2
1011,
2120.
zxy
zx
14.3.
22
83,
163.
zxy
zx
14.4.
2
2
2201,
4038.
zxy
zx
14.5.
22
414,
428.
zxy
zx
14.6.
2
2
2813,
5659.
zxy
zx
14.7.
22
323,
364.
zxy
zx
14.8.
2
2
461,
128.
zxy
zx
14.9.
22
24,
82.
zxy
zx
14.10.
2
2
2213,
4744.
zxy
zx
14.11.
22
241,
481.
zxy
zx
14.12.
2
2
2181,
3634.
zxy
zx
14.13.
22
161,
321.
zxy
zx
14.14.
2
2
3011,
6061.
zxy
zx
14.15.
22
262,
522.
zxy
zx
14.16.
2
2
211,
45.
zxy
zx
14.17.
22
21,
41.
zxy
zy
14.18.
2
2
2612,
5052.
zxy
zx
14.19.
22
301,
601.
zxy
zy
14.20.
2
2
1611,
3233.
zxy
zx
31
14.21.
22
218,
236.
zxy
zy
14.22.
2
2
2411,
4849.
zxy
zx
14.23.
22
223,
344.
zxy
zy
14.24.
2
2
241,
86.
zxy
zx
14.25.
22
46,
124.
zxy
zy
14.26.
2
2
3213,
6764.
zxy
zx
14.27.
22
283,
563.
zxy
zy
14.28.
2
2
4141,
2824.
zxy
zx
14.29.
22
220,
240.
zxy
zy
14.30.
2
2
813,
1619.
zxy
zx
14.31.
22
101,
120.
zxy
zy
Задача 15.
Найти
объём
тела, заданного неравенствами.
15
.1.
222
2222
149,
,
353
0.
xyz
xyxy
z
xy
15.2.
222
2222
464,
,
153
30.
xyz
xyxy
z
xy
15.3.
222
22
464,
, 0.
3
3
xyz
xyx
zy
15.4.
222
22
436,
, 0.
63
3
xyz
xyx
zy
15.5.
222
22
136,
, 33.
99
xyz
xy
zxyx
15.6.
222
22
25100,
, 33.
99
xyz
xy
zxyx
32
15.7.
222
22
149,
0,
24
, 3.
3
xyz
xy
z
x
yyx
15.8.
222
22
25121,
0,
24
, 3.
3
xyz
xy
z
x
yyx
15.9.
222
2222
464,
,
353
0.
xyz
xyxy
z
xy
15.10.
222
2222
16100,
,
153
30.
xyz
xyxy
z
xy
15.11.
222
22
16100,
, 3.
3
3
xyz
xyx
zxy
15.12.
222
22
1664,
,
63
3.
3
xyz
xy
z
x
yx
15.13.
222
22
449,
, 0, 3.
99
xyz
xy
zyyx
15.14.
222
22
36121,
, 0, 3.
99
xyz
xy
zyyx
15.15.
222
22
464,
0,
24
3, .
3
xyz
xy
z
x
yxy
15.16.
222
22
36144,
0,
24
3, .
3
xyz
xy
z
x
yxy
15.17.
222
2222
981,
,
335
0.
xyz
xyxy
z
yx
15.18.
222
2222
36144,
,
315
03.
xyz
xyxy
z
yx
33
15.19.
222
22
36144,
, 3.
3
3
xyz
xyx
zxy
15.20.
222
22
36100,
,
63
3.
3
xyz
xy
z
x
yx
15.21.
222
22
964,
,
99
, .
33
xyz
xy
z
xx
yy
15.22.
222
22
49144,
,
99
, .
33
xyz
xy
z
xx
yy
15.23.
222
22
981,
0,
24
0, .
3
xyz
xy
z
x
yy
15.24.
222
22
49169,
0,
24
0, .
3
xyz
xy
z
x
yy
15.25.
222
2222
16100,
,
335
0.
xyz
xyxy
z
yx
15.26.
222
2222
64196,
,
315
03.
xyz
xyxy
z
yx
15.27.
222
22
64196,
, 0.
3
3
xyz
xyx
zy
15.28.
222
22
64144,
, 0.
63
3
xyz
xyx
zy
15.29.
222
22
1681,
,
99
0, 3.
xyz
xy
z
yyx
15.30.
222
22
64169,
,
99
0, 3.
xyz
xy
z
yyx
34
15.31.
222
22
16100,
0,
24
0, .
3
xyz
xy
z
x
yy
Задача 16.
Тело
V
задано ограничивающими его поверхностями,
-
плотность.
Найти массу тела.
16
.1.
22222
22
64, 4,
0, 0 0, 0,
54.
xyzxy
yzyz
xy
16.2.
22222
22
4, 1,
1, 0 0;
4.
xyzxy
xyxx
z
16.3.
2222
1, 2,
0, 0, 0 0, 0;
10.
xyxyz
xyzxy
x
16.4.
22222
164
, ,
497
0, 0, 0, 0;
80.
xyzxyz
xyxy
yz
16.5.
222222
1, 4,
0, 0, 0, 0, 0;
20.
xyzxyz
xyxyz
z
35
16.6.
22222
22
36, 1,
0, 0 0, 0,
5
.
6
xyzxy
xzxz
xy
16.7.
22222
22
16, 4,
4;
2.
xyzxy
xy
z
16.8.
2222
4, 8,
0, 0, 0 0, 0;
5.
xyxyz
xyzxy
x
16.9.
22222
42
, ,
255
0, 0, 0, 0;
28.
xyzxyz
xyxy
xz
16.10.
222222
4, ,
0, 0, 0, 0, 0;
6.
xyzxyz
xyxyz
z
16.11.
22222
22
25, 4,
0, 0, 0
0, 0, 0,
2.
xyzxy
xyz
xyz
xy
16.12.
22222
22
9, 4,
4, 0 0;
.
xyzxy
xyyy
z
36
16.13.
2222
1, 6,
0, 0, 0 0, 0;
90.
xyxyz
xyzxy
y
16.14.
22222
11
, ,
255
0, 0, 0, 0;
14.
xyzxyz
xyxy
yz
16.15.
222222
4, 9,
0, 0, 0, 0, 0;
10.
xyzxyz
xyxyz
z
16.16.
22222
22
9, 4,
0, 0, 0
0, 0, 0,
53.
xyzxy
xyz
xyz
xy
16.17.
222
2222
4,
1, 1;
6.
xyz
xyxy
z
16.18.
2222
1, ,
0, 0, 0,
0, 0;
10.
xyxyz
xyz
xy
y
16.19.
22222
11
, ,
497
0, 0, 0, 0;
10.
xyzxyz
xyxy
xz
37
16.20.
222222
4, 4,
0, 0, 0, 0, 0;
10.
xyzxyz
xyxyz
z
16.21.
22222
22
16, 1,
0, 0, 0 0, 0, 0,
5.
xyzxy
xyzxyz
xy
16.22.
222
2222
16,
4 4;
.
xyz
xyxy
z
16.23.
2222
4, 4,
0, 0, 0 0, 0;
5.
xyxyz
xyzxy
y
16.24.
22222
, ,
0, 0, 0, 0;
35.
xyzxyz
xyxy
yz
16.25.
222222
1, ,
0, 0, 0, 0, 0;
32.
xyzxyz
xyxyz
z
16.26.
22222
22
, 4,
0, 0, 0
0, 0, 0,
52.
xyzxy
xyz
xyz
xy
16.27.
22222
22
9, 4,
4, 0 0;
2.
xyzxy
xyzz
z
38
16.28.
2222
1, 3,
0, 0, 0
0, 0;
15.
xyxyz
xyz
xy
x
16.29.
22222
42
, ,
497
0, 0, 0, 0;
20.
xyzxyz
xyxy
xz
16.30.
222222
16, 9,
0, 0, 0, 0, 0;
5.
xyzxyz
xyxyz
z
16.31.
22222
22
4, 1,
0, 0 0, 0,
10.
xyzxy
yzyz
xy
1
VIII. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Теоретические вопросы
1. Скалярное поле. Производная по направлению.
2. Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.
3. Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл.
4. Формула Острогра
дского.
5. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение
дивергенции. Свойства дивергенции.
6. Соленоидальное поле, его основные свойства.
7. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и физический смысл.
8. Циркуляция ве
кторного поля, ее гидродинамический смысл.
9. Формула Стокса.
10. Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное определение ротора.
11. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.
12. Потенциальное поле. Условия потенциально
сти.
Теоретические упражнения
1. Найти производную скалярного поля
, ,
uuxyz
по направлению градиента
скалярного поля
, ,
xyz
.
2. Найти градиент скалярного поля
u
Cr
, где
C
—
постоянный вектор, а
r
—
радиус
-
вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по
отношению к вектору
C
?
3. Доказать, что если
S
—
замкнутая кусочно
-
гла
дкая поверхность и
C
—
ненулевой
постоянный вектор, то
cos,0,
S
dS
nC
где
n
—
вектор, нормальный к поверхности
S
.
4.
Доказать
формулу
0
divgrad,
SV
dSdV
anaa
где
, ,
xyz
;
S
—
поверхность, ограничивающая объем
V
;
0
n
—
орт внешней
2
нормали к поверхности
S
. Установить условия применимости формулы.
5.
Доказать, что если функция
, ,
uxyz
удовлетворяет уравнению Лапласа
222
222
0,
uuu
xyz
то
0,
S
u
dS
n
где
u
n
—
производная по направлению нормали к кусочно
-
гладкой замкнутой
поверхност
и
S
.
6.
Доказать, что если функция
, ,
uxyz
является многочленом второй степени и
S
—
кусочно
-
гладкая замкнутая поверхность, то интеграл
S
u
dS
n
пропорционален объ
ему, ограниченному поверхностью
S
.
7.
Пусть
PQR
aijk
, где
, ,
PQR
—
линейные функции от
, ,
xyz
и пусть
—
замкнутая кусочно
-
гладкая кривая, расп
оложенная в некоторой плоскости Доказать, что
если циркуляция
d
ar
отлична от нуля, то она пропорциональна площади
фигуры, ограниченной контуром
.
8.
Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью во
круг неподвижной оси,
проходящей через начало координат. Вектор угловой скорости
xyz
ωijk
.
Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей
v
ωr
точек тела (здесь
r
—
радиус
-
вектор).
3
Расч
ё
тные задания
Задача 1
. Найти производную скалярного поля
,,
uxyz
в точке
M
по
направлению нормали к поверхности
S
, образующей острый угол с положительным
направлением оси
Oz
.
1.1.
2222
4ln38, : 221, 1, 1, 1.
uxxyzSxyzM
1.2.
(
)
.
4
,
4
,
2
,
8
2
4
:
;
2
2
M
y
x
z
S
z
y
y
x
u
=
-
+
+
=
1.3.
2222
2ln54, : 221, 1, 1, 1.
uxxyzSxyzM
1.4.
222222
11
5, : 44, 2, , 1.
42
uxyxzSzxyM
1.5.
2322
, : 3120, 2, 2, 4.
uxzxySxyzM
1.6.
(
)
.
1
,
1
,
2
,
9
4
:
,
2
2
2
-
+
=
+
-
=
M
z
y
x
S
yz
y
x
u
1.7.
2222
7ln1134, : 7447, 1, 1, 1.
uxxyzSxyzM
1.8.
(
)
(
)
.
1
,
2
,
2
,
10
2
:
,
/
2
2
-
=
-
+
+
=
M
z
y
x
S
xz
x
y
arctg
u
1.9.
2222
ln1, : 416, 1, -2, 4.
uxxyzSxyzM
1.10.
(
)
.
1
,
4
,
3
,
1
24
:
,
2
2
2
2
M
z
y
x
S
z
y
x
u
+
=
+
-
+
=
1.11.
222
, : 4, 1, 1, -2.
uxyzyxSxyzM
1.12.
222
4, : , 1, 1, 0.
uxyzSzxyM
1.13.
(
)
(
)
.
4
,
3
,
0
,
0
7
2
:
,
2
2
2
2
3
2
2
2
-
=
-
+
-
+
+
=
M
z
y
x
S
z
y
x
u
1.14.
(
)
(
)
.
4
,
0
,
3
,
23
4
9
6
:
,
1
ln
2
2
2
2
2
2
2
-
+
=
+
+
-
+
-
+
+
=
M
z
z
y
x
x
S
z
x
y
x
u
Найти производную скалярного поля
,,
uxyz
в точке
M
по направлению вектора
l
.
1.15.
32
222
,
,
1, 1, 1.
uxyz
M
lijk
1.16.
22
ln,
2,
2, 1, 1.
uxzy
M
lijk
4
1.17.
22
,
22,
1, 5, -2.
uxyxyz
M
ljk
1.18.
2
ln1arctg,
232,
0, 1, 1.
uyxz
M
lijk
1.19.
lnarctg,
848,
2, 1, -1.
uxyz
M
lijk
1.20.
22
ln3,
22,
1, 3, 2.
uxxyz
M
lijk
1.21.
sin2,
43,
2, 32, 3.
uxyxyz
M
lij
1.22.
22
ln1,
5625,
1, 1, 2.
uxyzz
M
lijk
1.23.
322
,
,
1, -3, 4.
uxyz
M
ljk
1.24.
,
2,
4, 1, -2.
xyz
u
y
xy
M
lik
1.25.
2
9,
22,
1, 1, 0.
uxyz
M
lijk
1.26.
(
)
.
1
,
2
,
3
,
3
4
,
2
-
-
=
ￗ
+
+
=
M
k
i
arctgz
y
y
x
u
I
1.27.
2
2arctg,
22,
1, 2, -1.
uzxy
M
lijk
1.28.
22
ln,
5,
1, -1, 2.
uxyxyz
M
lijk
1.29.
,
5,
4, 3, -1.
x
uxy
z
M
lijk
1.30.
22
ln,
2,
1, -3, 4.
uxyz
M
lijk
1.31.
2
arctg,
34,
2, 1, 1.
uxyz
M
ljk
5
Задача 2
. Найти угол между градиентами скалярных полей
, ,
uxyz
и
, ,
xyz
в
точке
М
.
2.1.
32
33
2
11
636, , 2, , .
2
23
xyz
yzuM
x
2.2.
23
466313
, , 2, , .
932
uxyzM
xyz
2.3.
333
3
2
413
92, , , 2, .
32
223
yzz
xuM
xy
2.4.
32
3411
, , 1, 2, .
66
z
uM
xyxy
z
2.5.
32
33
2
11
636, , 2, , .
2
23
xx
yzuM
yz
2.6.
22
23
2
12
3232, , , 2, .
33
2
yz
xzuM
xy
2.7.
2
333
11
66662, , , , 1.
66
xz
xyzuM
y
2.8.
2
662111
, , , , .
223
223
yz
uM
xyzx
2.9.
22
22
2
12
3232, , , 2, .
33
2
yxy
xzuM
z
2.10.
32
3411
, , 1, 2, .
66
xy
uM
xyz
z
2.11.
2
4221111
, , 2, , .
93
36
uM
xyxyz
z
2.12.
2
23
62333
, , 2, 2, .
2
22
x
uM
xyyz
z
6
2.13.
222
11
96, , 1, , .
3
6
xyzuxyzM
2.14.
3
2
236231
, , , , .
24322
y
uM
xyzxz
2.15.
2
222
321
262, , 1, , .
3
26
y
xzuxyzM
2.16.
2
662111
, , , , .
223
223
x
uM
xyzyz
2.17.
23
2
62333
, , 2, 2, .
2
22
yz
uM
xyx
z
2.18.
23
1223313
, , , 2, .
22
22
yz
uM
yzx
x
2.19.
￨
￦
=
+
-
=
1
,
6
1
,
6
1
,
,
2
6
6
6
6
2
3
3
3
M
xz
y
u
z
y
x
v
.
2.20.
2
222
111
3, , , , .
223
yz
xyzuM
x
2.21.
222
2
22
322
2, , , 2, .
33
22
xyz
zuM
xy
2.22.
3332
23
83
, , 2, 2, .
2
223
xyzx
uM
yz
2.23.
22223
313
32, , 2, , .
232
xyzuxyzM
2.24.
332
3
3
413
92, , , 2, .
32
223
yzxy
xuM
z
2.25.
2
22
2
3121
262, , 1, , .
3
26
y
xzuM
xyz
7
2.26.
222
111
96, , 1, , .
3
6
xyzuM
xyz
2.27
.
23
1223313
, , , 2, .
22
22
x
uM
yzyz
x
2.28.
2
422111
, , 2, , .
93
36
uxyzM
xy
z
2.29.
33323
2
83
, , 2, 2, .
2
223
xyzyz
uM
x
2.30.
332
3
2
322231
83, , , , .
3322
2
xyxz
zuM
x
2.31.
222
2
111
3, , , , .
223
x
xyzuM
yz
Задача 3
. Найти векторные линии в векторном поле
a
.
3.1.
49.
yx
aij
3.2.
23.
yx
aij
3.3.
24.
xy
aij
3.4.
3.
xy
aij
3.5.
4.
xy
aij
3
.6.
36.
xz
aik
3.7.
49.
zx
aik
3.8.
23.
zx
aik
3.9.
48.
yz
ajk
3.10.
3.
yz
ajk
3.11.
28.
xz
aik
3.12.
3.
xz
aik
3.13.
49.
zy
ajk
3.14.
23.
zy
ajk
3.15.
510.
xy
aij
3.16.
26.
xy
aij
3.17.
4.
yz
ajk
3.18.
.
xy
aij
3.19.
94.
yx
aij
3.20.
57.
yx
aij
3.21.
612.
xz
aik
3.22.
26.
yz
ajk
3.23.
4.
xy
aij
3.24.
94.
zx
aik
3.25.
.
xz
aik
3.26.
57.
zx
aik
3.27.
714.
yz
ajk
3.28.
26.
xz
aik
3.29.
4.
xz
aik
3.30.
57.
zy
ajk
3.31.
94.
zy
ajk
8
Задача 4.
Найти поток векторного поля
a
через часть поверхности
S
, вырезаемую
плоскостями
12
,
PP
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными
поверхностями).
4.1.
22
12
.
: 1,
: 0, : 2.
xyz
Sxy
PzPz
aijk
4.2.
22
12
.
: 1,
: 0, : 4.
xyz
Sxy
PzPz
aijk
4.3.
22
12
2.
: 1,
: 0, : 3.
xyz
Sxy
PzPz
aijk
4.4.
3
22
12
.
: 1,
: 0, : 1.
xyz
Sxy
PzPz
aijk
4.5.
22
12
.
: 1,
: 0, : 5.
xyxyz
Sxy
PzPz
aijk
4.6.
2
22
12
.
: 1,
: 0, : 2.
xyxyz
Sxy
PzPz
aijk
4.7.
22
12
.
: 1,
: 0, : 4.
xyxyxyz
Sxy
PzPz
aijk
4.8.
32322
22
12
.
: 1,
: 0, : 3.
xxyyxyz
Sxy
PzPz
aijk
4.9.
22
12
sin.
: 1,
: 0, : 5.
xyz
Sxy
PzPz
aijk
4.10.
22
12
.
: 1,
: 0, : 2.
xy
Sxy
PzPz
aijk
Найти поток векторного поля
a
через часть поверхности
S
, вырезаемую плоскостью
P
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
4.11.
22222
3, : 0, : 1.
xxyyyxzSxyzzPz
aijk
4.12.
222
, : 0, : 4.
yxSxyzzPz
aijk
4.13.
2222
3, : 0, : 1.
xyxSxyzzPz
aijk
4.14.
2222
1, : 0, : 4.
xzyzzSxyzzPz
aijk
4.15.
22222
, : 0, : 5.
yxyxSxyzzPz
aijk
9
4.16.
2222
2, : 0, : 3.
xzyyzxzSxyzzPz
aijk
4.17.
2222
3, : 0, : 2.
xyzxzSxyzzPz
aijk
4.18.
2222
1, : 0, : 3.
xxyyxzSxyzzPz
aijk
4.19
.
222
2, : 0, : 2.
xyyxzSxyzzPz
aijk
4.20.
222
2, : 0, : 1.
xyzSxyzzPz
aijk
4.21.
2222
, : =4 0, : 0.
xxzyzxSxyzzPz
aijk
4.22.
22222
, : =4, : 0 0.
xyyzzzySxyzPzz
aijk
4.23.
222
, : =4, : 0 0.
xzyzzxySxyzPzz
aijk
4.24.
2222
, : =1, : 0 0.
xxyyxzSxyzPzz
aijk
4.25.
222
, : =1, : 0 0.
xzyzxSxyzPzz
aijk
4.26.
2222
, : =1, : 0 0.
xyyzzySxyzPzz
aijk
4.27.
222
, : =1, : 0 0.
xyxyzSxyzPzz
aijk
4.28.
22222
, : =9, : 0 0.
xxzyzzxSxyzPzz
aijk
4.29.
222
, : =4, : 0 0.
xyyxzSxyzPzz
aijk
4.30.
22222
, : =9, : 0 0.
xxyyyxzSxyzPzz
aijk
4.31.
222
, : =9, : 0 0.
xyzzySxyzPzz
aijk
10
Задача 5.
Найти поток векторного поля
a
через
часть плоскости
P
, расположенную
в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz
).
5
.1.
: 1.
xyz
Pxyz
aijk
5.2.
: 1.
yz
Pxyz
ajk
5.3.
2
: 1.
xyz
Pxyz
aijk
5.4.
32
: 1.
xyz
Pxyz
aijk
5.5.
23
: 1.
xy
Pxyz
aij
5.6.
: 21.
xyz
Pxyz
aijk
5.7.
2
: 21.
xyz
Pxyz
aijk
5.8.
3
: 21.
yz
Pxyz
ajk
5.9.
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.10.
2
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.11.
32
: 221.
xz
Pxyz
aik
5.12.
23
: 321.
xyz
Pxyz
aijk
5.13.
3
: 321.
xyz
Pxyz
aijk
5.14.
24
: 321.
xyz
Pxyz
aijk
5.15.
6
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.16.
255
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.17.
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.18.
22
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.19.
2
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.20.
12
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.21.
38
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.22.
6
: 221.
xyz
Pxyz
aijk
5.23.
25
: 21.
2
xyz
z
Pxy
aijk
5.24.
45
: 21.
2
xyz
z
Pxy
aijk
5.25.
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.2
6.
2
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
11
5.27.
23
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.28.
234
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.29.
98
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.30.
81117
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
5.31.
2
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
Задача 6
. Найти поток векторного поля
a
через часть плоскости
P
, расположенную
в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью
Oz
).
6.1.
7524,
: 241.
xyz
Pxyz
aijk
6.2.
2727,
: 231.
xyz
Pxyz
aijk
6.3.
93,
: 31.
xz
Pxyz
aijk
6.4.
213,
: 321.
xyz
Pxyz
aijk
6.5.
79,
: 31.
xy
Pxyz
aijk
6.6.
511,
: 31.
yz
Pxyz
aijk
6.7.
1,
: 2231.
xz
Pxyz
aik
6.8.
5914,
: 2321.
xyz
Pxyz
aijk
6.9.
3
2,
2
: 341.
yz
Pxyz
aijk
6.10.
9512,
: 391.
xyz
Pxyz
aijk
6.11.
7272,
: 21.
xyz
Pxyz
aijk
6.12.
42,
: 2341.
yz
Pxyz
aik
6.13.
31916,
: 1.
239
xyz
xyz
P
aijk
6.14.
42,
2
: 1.
34
xyz
yz
Px
aijk
12
6.15.
5311,
: 341.
yz
Pxyz
ajk
6.16.
971,
: 1.
yz
Pxyz
ajk
6.17.
12,
: 421.
yz
Pxyz
ajk
6.18.
27134320,
: 31.
9
xyz
y
Pxz
aijk
6.19.
22,
: 231.
xz
Pxyz
aijk
6.20.
4721,
: 2321.
xyz
Pxyz
aijk
6.21.
3610,
: 231.
xy
Pxyz
aijk
6.22.
2,
: 261.
xy
Pxyz
aijk
6.23.
2116212,
: 8231.
xyz
Pxyz
aijk
6.24.
22,
: 2431.
xy
Pxyz
aijk
6.25.
928,
: 2831.
xy
Pxyz
aijk
6.26.
7412,
: 321.
xyz
Pxyz
aijk
6.27.
6310,
: 2231.
xy
Pxyz
aijk
6.28.
121,
: 1.
423
xyz
xyz
P
aijk
6.29.
42,
2
: 1.
34
xyz
yz
Px
aijk
6.30.
7421,
: 341.
xyz
Pxyz
aijk
6.31.
5124,
: 2431.
xyz
Pxyz
aijk
13
Задача 7
. Найти поток векторного поля
a
через замкнутую поверхность
S
(нормаль
внешняя).
7.1.
e2ee, : 1, 0, 0, 0.
zxy
xSxyzxyz
aijk
7.2.
2222
3e22, : , z1, 4.
x
zxyzxySxyzz
aijk
7.3.
222
ln7sin2e2, : 2222.
y
yxzyzSxyzxyz
aijk
7.4.
2222
cos323, : 36, 6.
zxxyzySzxyz
aijk
7.5.
2
e3, : 22, 0, 0, 0.
z
xxzyzxSxyzxyz
aijk
7.6.
222
6cose23, : , 1, 2.
x
xyzyzSxyzzz
aijk
7
.7.
2222
42ln434, : 23.
xyzyxzSxyzx
aijk
7.8.
222
14, : 4, 3.
zyxxySzxyz
aijk
7.9.
2
, : 326, 0, 0, 0.
zxxyyzSxyzxyz
aijk
7.10.
22222
, : 2.
yzxxyxyzSxyzz
aijk
7
.11.
22
e23, : 1, 0, 0, 0.
y
xxyyzSxyzxyz
aijk
7.12.
222
2e3, : , 2, 5.
x
zxyyxSxyzzz
aijk
7.13.
222
e4ln4, : 2222.
4
z
z
xxySxyzxyz
aijk
7.14.
222
32212, : 4, 2.
xzzyzSzxyz
aijk
7.15.
e221, : 22, 0, 0, 0.
y
xxyzSxyzxyz
aijk
7.16.
22222
1, : , 2, 3.
xyxzyxzSxyzzz
aijk
7.17.
222
e214e, : 23.
yxy
xxzyzSxyzy
aijk
7.18.
222
335, : 8, 2.
zyxzxSzxyz
aijk
7.19.
2
812, : 236, 0, 0, 0.
yzxxxyzSxyzxyz
aijk
14
7.20.
22222
3, : 2.
yzxyxySxyzx
aijk
7.21.
2
22, : 1, 0, 0, 0.
yzxxzyxzSyxzxyz
aijk
7.22.
222
sin2sin3sin2, : , 3, 6.
zxxyyzSxyzzz
aijk
7.23.
222
cos4e41, : 23.
4
x
z
zxySxyzz
aijk
7.24.
222
,
12sin, :
1.
zxy
zxxyxzS
z
aijk
7.25.
22
22,
561124, :
0, 0, 0.
xyz
xyxyxzS
xyz
aijk
7.26.
222
22
,
6e2, :
1, 3.
z
xyz
yzxyxxyzS
zz
aijk
7
.27.
(
)
(
)
(
)
.
8
4
2
4
:
,
2
4
1
2
1
2
2
2
-
+
-
=
+
+
-
+
-
ￗ
+
+
=
z
y
x
z
y
x
S
xy
y
z
x
z
x
k
j
i
a
7.28.
222
2
9,
361, :
3.
zxy
yzxxyzS
z
aijk
7.29.
236,
2sin2, :
0, 0, 0.
xyz
yzxxyxzS
xyz
aijk
7.30.
222
814e, : 2.
x
xzxyzSxyzy
aijk
7.31.
224,
25122, :
0, 0, 0.
xyz
yxxxyzS
xyz
aijk
15
Задача 8
. Найти поток векторного поля
a
через замкнутую поверхность
S
(нормаль
внешняя).
8.1.
22
,
9,
:
, 0 0.
xzzy
xy
S
zxzz
aik
8.2.
22
22
2,
321,
:
4, 0.
xz
zxy
S
xyz
aik
8.3.
22
22,
, 4, 1 0
:
, 0.
xyz
yxyxyx
S
zyz
aijk
8.4.
22
222
3,
6,
:
0.
xz
zxy
S
zxyz
aij
8.5.
22
,
2,
:
2.
zyyx
xyy
S
y
aijk
8.6.
22
2,
1, 0,
:
236.
xxyy
xyz
S
xyz
aijk
8.7.
22
22
2,
31, 0,
:
1.
zyxz
zxyz
S
xy
ajk
8.8.
22
22
,
42,
:
2.
xzy
zxy
S
zxy
aijk
8.9.
22
42,
,
:
1.
zyx
zxy
S
z
aijk
8.10.
42,
3212, 36, 0,
:
6, 0.
xyz
xyxyy
S
xyzz
aijk
8.11.
￮
￭
￬
=
+
=
=
=
=
+
+
-
=
.
0
,
,
0
,
0
,
1
:
,
2
8
2
2
z
y
x
z
y
x
y
x
S
x
y
x
k
j
i
a
8.1
2.
22
,
4,
:
4.
zxz
zxy
S
z
aijk
8.13.
22
22
62,
32,
:
0.
xyz
zxy
S
zxyz
aijk
8.14.
22
,
44,
:
3412, 1.
zyxzz
xy
S
xyzz
aijk
8.15.
22
222
23,
3272,
:
, 0.
yzyx
zxy
S
zxyz
aijk
8.16.
22
654,
, 2, 2,
:
, 0.
yxxzy
yxyxy
S
zxyz
aijk
16
8.17.
22
5,
1,
:
, 0 0.
yyz
xy
S
zxzz
aijk
8.18.
22
22
3,
1,
:
2, 0.
zyxz
xy
S
zxyz
aijk
8.19.
22
22
2,
2,
: ,
0.
yxyx
xyx
Szxy
z
aijk
8.20.
22
23,
, 2, 1,
: ,
0.
xyzyxzy
yxyxx
Szxy
z
aijk
8.21.
22
22
75,
,
: 2,
, 2, 1.
xzxyz
zxy
Szxy
yxyxx
aijk
8.22.
22
22
2
17711,
,
: 2,
, .
xyz
zxy
Szxy
yxyx
aijk
8.23.
22
23,
,
:
2.
xyz
xyz
S
zx
aijk
8.24.
22
22
22,
24,
:
4.
xyyz
zxy
S
zxy
aik
8.25.
22
2332,
1,
:
4, 0.
yzxzxyz
xy
S
zxyz
aijk
8.26.
22
22
2,
2,
:
, 0.
xzxy
xyy
S
zxyz
aijk
17
8.27.
22
22
2153,
31, 0,
:
1
.
4
yxzyxy
zxyz
S
xy
aijk
8.28.
22
22
2,
1,
:
, 0.
yzxyzx
xy
S
zxyz
aijk
8.29.
22
332,
: , 2.
xyzyz
Szxyzy
aijk
8.30.
2
,
2, 4, 1,
:
, 0.
xyyzzx
yxyxx
S
zyz
aijk
8.31.
22
22
,
8,
:
.
xzy
zxy
S
zxy
aik
Задача 9
. Найти поток векторного поля
a
через замкнутую по
верхность
S
(нормаль
внешняя).
9.1.
2
22
,
, 1,
:
0, 0 1
октант.
xxxz
zxyz
S
xy
aijk
9.2.
(
)
(
)
(
)
￮
￭
￬
=
=
=
+
+
+
+
+
+
=
.
1
,
0
,
1
:
,
2
2
2
2
2
2
2
2
z
z
y
x
S
z
y
x
y
y
x
k
j
i
a
9.3.
222
222
222
,
4,
:
+ 0.
xyz
xyz
S
xyzz
aijk
9.4.
2
222
,
1,
:
0 0.
xyz
xyz
S
zz
aijk
18
9.5.
22
,
1,
:
0.
xzzy
xyz
S
z
aijk
9.6.
32,
2, 1,
:
0, 0, 0.
xzxy
xyzx
S
xyz
aijk
9.7.
222
222
,
2,
:
0 0.
xyz
xyz
S
zz
aijk
9.8.
333
222
,
: 1.
xyz
Sxyz
aijk
9.9.
22
222
,
1,
:
0 0.
zxyzyxxy
xyz
S
zz
aijk
9.10.
222
222
,
: 1.
yxzyxz
Sxyz
aijk
9.11.
222
222
,
1,
: 0, 0, 0
1
октант.
xyz
xyz
Sxyz
aijk
9.12.
2
222
3,
,
:
4.
xxyz
xyz
S
z
aijk
9.13.
2
22
,
2,
:
0, 1.
zxyxyzxyz
xy
S
zz
aijk
9.14.
22
22
,
1, 0, 1,
: 0, 0
1
октант.
xyxyz
xyzz
Sxy
aijk
9.15.
222
222
,
16,
:
+ 0.
xyyzzx
xyz
S
xyzz
aijk
9.16.
22
22
3221,
1,
:
0, 1.
xxyxz
xy
S
zz
aijk
9.17.
22
22
2,
1
,
:
4
0, 2.
xyz
xy
S
zz
aijk
9.18.
22
,
4,
:
0, 1.
xyyzxz
xy
S
zz
aijk
19
9.19.
222
,
1,
: 0, 0, 0
1
октант.
xyyzzx
xyz
Sxyz
aijk
9.20.
22
,
4,
:
0, 1.
zyzxy
xy
S
zz
aijk
9.21.
22
222
2,
1,
:
0 0.
zxyyxxy
xyz
S
zz
aijk
9.22.
222
222
222
,
1,
:
0.
xxyyyzzxz
xyz
S
xyzz
aijk
9.23.
22
22
3212,
1,
:
0, 1.
xxyx
xy
S
zz
aijk
9.24.
2
,
1,
:
0, 0, 0.
x
zxy
S
xyz
ai
9.25.
2
22
,
1,
:
0, 2.
yxzyxzyzx
xy
S
zz
aijk
9.26.
2
22
,
, 1,
: 0, 0
1
октант.
yyyz
zxyz
Sxy
aijk
9.27.
2
22
22,
1,
:
0.
yzyz
xyz
S
z
aijk
9.28.
2
222
22,
2,
:
0 0.
xyxyz
xyz
S
zz
aijk
9.29.
223
222
3,
1,
:
0, 0.
yxxyz
xyz
S
zz
aijk
9.30.
222
2,
,
:
4.
xyyz
xyz
S
z
aijk
9.31.
222
22
,
1,
:
0, 1.
yzxyyxzz
xy
S
zz
aijk
20
Задача 10
. Найти работу силы
F
при перемещении вдоль линии
L
от точки
M
к
точке
N
.
10.1.
22
22,
:
отрезок ,
4,0, 0,2.
xyyx
LMN
MN
Fij
10.2.
22
22,
:
отрезок ,
4,0, 0,2.
xyyx
LMN
MN
Fij
10.3.
22
2
22,
: 2,
8
4,0, 0,2.
xyyx
x
Ly
MN
Fij
10.4.
22
2,
: 4 0,
2,0, 2,0.
xyx
Lxyy
MN
Fij
10.5.
33
22
,
: 4 0, 0,
2,0, 0,2.
xy
Lxyxy
MN
Fij
10.6.
2
,
: ,
1,1, 1,1.
xyxy
Lyx
MN
Fij
10.7.
2
,
:
отрезок ,
1,0, 0,1.
xyy
LMN
MN
Fij
10.8.
2
22
2,
: 9 0,
3,0, 3,0.
xyyxx
Lxyy
MN
Fij
10.9.
2
2
,
: 1 0, 0,
9
1,0, 0,3.
xyxy
y
Lxxy
MN
Fij
10.10.
22
,
: 1 0,
1,0, 1,0.
yx
Lxyy
MN
Fij
10.11.
2222
,
, 01;
:
2, 12;
2,0, 0,0.
xyxy
xx
L
xx
MN
Fij
10.12.
22
,
: 2 0,
2,0, 2,0.
yx
Lxyy
MN
Fij
21
10.13.
22
2,
: 1 0, 0,
1,0, 0,1.
xyy
Lxyxy
MN
Fij
10.14.
22
,
: 21 0,
11
,0, ,0.
22
yx
Lxyy
MN
Fij
10.15.
22
222
2,
: 0,
,0, ,0.
xy
LxyRy
MRNR
Fij
10.16.
2222
22
,
: 1 0,
1,0, 1,0.
xyxyyxxy
Lxyy
MN
Fij
10.17.
22
22
,
: 4 0, 0,
2,0, 0,2.
xyxy
Lxyxy
MN
Fij
10.18.
2222
22
,
: 16 0, 0,
4,0, 0,4.
xyxyyxy
Lxyxy
MN
Fij
10.19.
22
22
,
: 9 0, 0,
3,0, 0,3.
yx
Lxyxy
MN
Fij
10.20.
2
22
,
:
отрезок ,
1,0, 0,1.
xyxy
LMN
MN
Fij
10.21.
222
,
:
отрезок ,
2,0, 0,2.
xyy
LMN
MN
Fij
10.22.
2
22
,
: 9 0, 0,
3,0, 0,3.
x
Lxyxy
MN
Fj
22
10.23.
2
22
2,
: 9 0,
3,0, 3,0.
yyxyx
Lxyy
MN
Fij
10.2
4.
,
: sin,
,0, 0,0.
xy
Lyx
MN
Fi
10.25.
2
2
,
: y2,
0,0, 1,2.
xyyx
Lx
MN
Fij
10.26.
,
:
отрезок ,
1,0, 0,3.
xy
LMN
MN
Fij
10.27.
2
,
2
: 2,
0,0, 1,2.
x
xyx
Lyx
MN
Fij
10.28.
2
2
,
: 1 0, 0,
9
1,0, 0,3.
xy
y
Lxxy
MN
Fij
10.29.
3
,
: ,
0,0, 2,8.
yx
Lyx
MN
Fij
10.30.
2222
22
,
: 1 0,
94
3,0, 3,0.
xyxy
xy
Ly
MN
Fij
10.31.
22
,
: 4 0,
2,0, 2,0.
xy
Lxyy
MN
Fij
23
Задача 11
. Найти циркуляцию векторного поля
a
вдоль контура
Г
(в направлении,
соответствующем возрастанию параметра
t
).
11.1.
2
,
22
cos, cos,
:
22
sin.
yxz
xtyt
zt
aijk
Г
11.2.
23
33
,
4cos, 4sin,
:
3.
xyz
xtyt
z
aijk
Г
11.3.
,
cos, sin,
:
21cos.
yzzxxy
xtyt
zt
aijk
Г
11.4.
2
,
cos, 2sin2,
:
2cos2.
xyz
xtyt
zt
aijk
Г
11.5.
,
4cos, 4sin,
:
1cos.
yzzxxy
xtyt
zt
aijk
Г
11.6.
23,
2cos, 2sin,
:
22cos2sin.
yxx
xtyt
ztt
aijk
Г
11.7.
2,
2cos, 2sin,
:
1.
zxy
xtyt
z
aijk
Г
11.8.
,
cos, sin,
:
3.
yxz
xtyt
z
aijk
Г
11.9.
2
,
cos, 2sin,
:
2cos2sin1.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
11.10.
33,
3cos, 3sin,
:
33cos3sin.
yxx
xtyt
ztt
aijk
Г
11.11.
23
2,
2cos, 2sin,
:
1.
xyxz
xtyt
z
aijk
Г
11.12.
6,
3cos, 3sin,
:
3.
zxxy
xtyt
z
aijk
Г
11.13.
2
,
2cos, 2sin,
:
2cos.
zyx
xtyt
zt
aijk
Г
11.14.
2
2,
cos, 3sin,
:
2cos3sin2.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
24
11.15.
2
1
,
3
cos2, sin3,
:
cossin314.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
11.16.
43,
4cos, 4sin,
:
44cos4sin.
yxx
xtyt
ztt
aijk
Г
11.17.
,
5cos, 5sin,
:
4.
zxxz
xtyt
z
aijk
Г
11.18.
,
2cos, 2sin,
:
0.
zxy
xtyt
z
aijk
Г
11.19.
,
3cos, 3sin,
:
21cos.
yzzxxy
xtyt
zt
aijk
Г
11.20.
2,
cos, sin,
:
4cossin.
yzx
xtyt
ztt
aijk
Г
11.21.
2
,
cos, sin,
:
sin.
xzxz
xtyt
zt
aijk
Г
11.22.
23
3,
cos, sin,
:
5.
xyy
xtyt
z
aijk
Г
11.23.
7,
6cos, 6sin,
:
13.
zxyz
xtyt
z
aijk
Г
11.24.
2
,
cos, sin,
:
sin.
xyxy
xtyt
zt
aijk
Г
11.25.
2
,
2cos, 3sin,
:
4cos3sin3.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
11.26.
,
2cos, 2sin,
:
31cos.
yzzxxy
xtyt
zt
aijk
Г
11.27.
2
2,
cos3, sin3,
:
8.
zxx
xtyt
z
aijk
Г
11.28.
2
3,
cos, 4sin,
:
2cos4sin3.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
11.29.
2
2,
3cos, 4sin,
:
6cos4sin1.
xzy
xtyt
ztt
aijk
Г
11.30.
23
4,
2cos, 2sin,
:
4.
xyx
xtyt
z
aijk
Г
11.31.
33,
2cos, 2sin,
:
12cos2sin.
yxx
xtyt
ztt
aijk
Г
25
Задача 12
. Найти модуль циркуляции векторного поля
a
вдоль контура
Г
.
12.1.
2
22
,
1,
:
1.
xyx
xy
z
aijk
Г
12.2.
22
,
51,
:
4.
xzy
zxy
z
aijk
Г
12.3.
222
22
2,
25,
:
9 0.
yzxzxy
xyz
xyz
aijk
Г
12.4.
22
,
1,
:
1.
xyzx
xy
xyz
aijk
Г
12.5.
22
,
1,
:
1.
xyxz
xy
z
aijk
Г
12.6.
2
22
,
31,
:
4.
yxz
zxy
z
aijk
Г
12.7.
2
222
22
2,
25,
:
16 0.
yzxzy
xyz
xyz
aijk
Г
12.8.
22
,
9,
:
1.
xyyzxz
xy
xyz
aijk
Г
12.9.
222
22
1,
4,
:
1 0.
yxz
xyz
xyz
aijk
Г
12.10.
2
22
,
1,
:
4.
yxz
xy
z
aijk
Г
12.11.
22
42,
21,
:
7.
xxy
zxy
z
aijk
Г
12.12.
2
22
23,
,
:
1.
yxz
xyz
z
aijk
Г
12.13.
2
22
32,
4,
:
321.
zyy
xy
xyz
aijk
Г
12.14.
22
253,
221,
:
3.
yzx
xy
xyz
aijk
Г
12.15.
222
22,
0,
:
2.
yyz
xyz
z
aijk
Г
12.16.
2
222
,
40,
:
1
.
2
xyxz
xyz
z
aijk
Г
26
12.17.
222
,
4,
:
1.
xzy
xyz
z
aijk
Г
12.18.
2
222
22
2,
25,
:
9 0.
yzxzx
xyz
xyz
aijk
Г
12.19.
22
4,
1,
:
1.
xyzx
xy
xyz
aijk
Г
12.20.
222
2,
0,
:
1.
y
xyz
z
aijk
Г
12.21.
2
22
3,
1,
:
3.
yxz
zxy
z
aijk
Г
12.22.
2
222
22
2,
25,
:
16 0.
yzxzy
xyz
xyz
aijk
Г
12.23.
22
2,
4,
:
1.
xyyzxz
xy
xyz
aijk
Г
12.24.
2
222
22
3,
9,
:
1 0.
yxz
xyz
xyz
aijk
Г
12.25.
2
22
2,
0,
:
4
2.
yxz
z
xy
z
aijk
Г
12.26.
2
222
2,
25,
:
4.
xyzz
xyz
z
aijk
Г
12.27.
2
22
2,
42,
:
6.
yxz
zxy
z
aijk
Г
12.28.
22
322,
4,
:
2321.
zyy
xy
xyz
aijk
Г
12.29.
22
6,
1,
:
2.
xyx
xy
z
aijk
Г
12.30.
222
433,
0,
:
3.
xxz
xyz
z
aijk
Г
12.31.
222
22
,
9,
:
9.
yzxzxy
xyz
xy
aijk
Г
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Теоретические вопросы
1. Векторы. Линейные, операции над векторами.
2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя
векторами.
3. Определители, их свойства.
4. Векторное произведение. Свойства. Геометрич
еский смысл.
5. Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и
достат
очное условие компланарности трё
х векторов.
6. Плоскость: Уравнение плоскости.
7. Расстояние от точки до плоскости.
8. Уравнения прямой в пространстве. Нахожден
ие точки пересечения прямой и
плоскости.
Теоретические упражнения
1. Пусть векторы
a
и
b
не коллинеарны и
2
AB
a
,
4
BC
ab
,
4
CD
b
,
DA
ab
. Найти
и
и доказать коллинеарность векторов
BC
и
DA
.
2. Разложить вектор
sabc
по трем некомпланарным векторам
2
mabc
,
nab
,
23
pbc
.
3.
Найти угол между единичными векторами
1
e
и
2
e
, если известно, что векторы
12
2
aee
и
12
54
bee
взаимно перпендикулярны.
4.
Доказать компланарность векторов
a
,
b
и
c
зная, что
0.
abbcca
5.
Доказать, что уравнение плоскости; проходящей через
точки
111
,,
xyz
и
222
,,
xyz
перпендикулярно плоскости
0
AxByCzD
, можно записать в
виде
111
212121
0.
xxyyzz
xxyyzz
ABC
6.
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые
111
111
xxyyzz
lmn
и
222
222
xxyyzz
lmn
можно записать в виде
111
111
222
0.
xxyyzz
lmn
lmn
7.
Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку
111
,,
xyz
параллельно плоскостям
1111
0
AxByCzD
и
2222
0
AxByCzD
можно
записать в виде
111
111111
222222
.
xxyyzz
BCACAB
BCACAB
8.
Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух
прямых
111
111
xxyyzz
lmn
и
222
222
xxyyzz
lmn
одной плоскости является выполнение равенства
.
0
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
=
-
-
-
n
m
l
n
m
l
z
z
y
y
x
x
9.
Доказать, что расстояние от точки
A
до прямой, проходящей через точку
B
и
имеющей направляющий вектор
S
, определяется формулой
,.
dAB
SS
.
10.
Даны
две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки
111
,,
Axyz
и
222
,,
Bxyz
. Их направляющие векторы
1
S
и
2
S
известны.
Доказать, что расстояние между ними опр
еделяется формулой
1212
.
dAB
SSSS
Расчё
тные задания
Задача 1
. Написать разложение вектора
x
по векторам
, ,
pqr
.
1
.1.
2,4,7, 0,1,2, 1,0,1, 1,2,4.
xpqr
1.2.
6,12,1, 1,3,0, 2,1,1, 0,1,2.
xpqr
1.3.
1,4,4, 2,1,1, 0,3,2, 1,1,1.
xpqr
1.4.
9,5,5, 4,1,1, 2,0,3, 1,2,1.
xpqr
1.5.
5,5,5, 2,0,1, 1,3,1, 0,4,1.
xpqr
1.6.
13,2,7, 5,1,0, 2,1,3, 1,0,1.
xpqr
1.7.
19,1,7, 0,1,1, 2,0,1, 3,1,0.
xpqr
1.8.
3,3,4, 1,0,2, 0,1,1, 2,1,4.
xpqr
1.9.
3,3,1, 3,1,0, 1,2,1, 1,0,2.
xpqr
1.10.
1,7,4, 1,2,1, 2,0,3, 1,1,1.
xpqr
1.11.
6,5,14, 1,1,4, 0,3,2, 2,1,1.
xpqr
1.12.
6,1,7, 1,2,0, 1,1,3, 1,0,4.
xpqr
1.13.
5,15,0, 1,0,5, 1,3,2, 0,1,1.
xpqr
1.14.
2,1,11, 1,1,0, 0,1,2, 1,0,3.
xpqr
1.15.
11,5,3, 1,0,2, 1,0,1, 2,5,3.
xpqr
1.16.
8,0,5, 2,0,1, 1,1,0, 4,1,2.
xpqr
1.17.
3,1,8, 0,1,3, 1,2,1, 2,0,1.
xpqr
1.18.
{
}
{
}
{
}
{
}
.
1
,
1
,
1
,
2
,
0
,
3
,
1
,
2
,
1
,
12
,
1
,
8
-
=
=
-
=
=
r
q
p
x
1.19.
9,8,3, 1,4,1, 3,2,0, 1,1,2.
xpqr
1.20.
5,9,13, 0,1,2, 3,1,1, 4,1,0.
xpqr
1.21.
15,5,6, 0,5,1, 3,2,1, 1,1,0.
xpqr
1.22.
8,9,4, 1,0,1, 0,2,1, 1,3,0.
xpqr
1.23.
23,14,30, 2,1,0, 1,1,0, 3,2,5.
xpqr
1.24.
3,1,3, 2,1,0, 1,0,1, 4,2,1.
xpqr
1.25.
1,7,0, 0,3,1, 1,1,2, 2,1,0.
xpqr
1.26.
11,1,4, 1,1,2, 3,2,0, 1,1,1.
xpqr
1.27.
13,2,18, 1,1,4, 3,0,2, 1,2,1.
xpqr
1.28.
0,8,9, 0,2,1, 3,1,1, 4,0,1.
xpqr
1.29.
8,7,13, 0,1,5, 3,1,2, 1,0,1.
xpqr
1.30.
2,7,5, 1,0,1, 1,2,0, 0,3,1.
xpqr
1.31.
15,20,1, 0,2,1, 0,1,1, 5,3,2.
xpqr
Задача 2
. Коллинеарны ли векторы
1
c
и
2
c
, построенные по векторам
a
и
b
?
2.1.
12
1,2,3, 3,0,1, 24, 3.
abcabcba
2.2.
12
1,0,1, 2,3,5, 2, 3.
abcabcab
2.3.
12
2,4,1, 1,2,7, 53, 2.
abcabcab
2.4.
12
1,2,3, 2,1,1, 43, 8.
abcabcab
2.5.
12
3,5,4, 5,9,7, 2, 32.
abcabcab
2.6.
12
1,4,2, 1,1,1, , 42.
abcabcab
2.7.
12
1,2,5, 3,1,0, 42, 2.
abcabcba
2.8.
12
3,4,1, 2,1,1, 63, 2.
abcabcba
2.9.
12
2,3,2, 1,0,5, 39, 3.
abcabcab
2.10.
12
1,4,2, 3,2,6, 2, 36.
abcabcba
2.11.
12
5,0,1, 7,2,3, 2, 36.
abcabcba
2.12.
12
0,3,2, 1,2,1, 52, 35.
abcabcab
2.13.
12
2,7,1, 3,5,2, 23, 32.
abcabcab
2.14.
12
3,7,0, 1,3,4, 42, 2.
abcabcba
2.15.
12
1,2,1, 2,7,1, 62, 3.
abcabcba
2.16.
12
7,9,2, 5,4,3, 4, 4.
abcabcba
2.17.
12
5,0,2, 6,4,3, 53, 610.
abcabcba
2.18.
12
8,3,1, 4,1,3, 2, 24.
abcabcba
2.19.
12
3,1,6, 5,7,10, 42, 2.
abcabcba
2.20.
12
1,2,4, 7,3,5, 63, 2.
abcabcba
2.21.
12
3,7,0, 4,6,1, 32, 57.
abcabcab
2.22.
12
2,1,4, 3,7,6, 23, 32.
abcabcab
2.23.
12
5,1,2, 6,0,7, 32, 46.
abcabcba
2.24.
12
9,5,3, 7,1,2, 2, 35.
abcabcab
2.25.
12
4,2,9, 0,1,3, 43, 43.
abcbacab
2.26.
12
2,1,6, 1,3,8, 52, 25.
abcabcab
2.27.
12
5,0,8, 3,1,7, 34, 129.
abcabcba
2.28.
12
1,3,4, 2,1,0, 62, 3.
abcabcba
2.29.
12
4,2,7, 5,0,3, 3, 62.
abcabcba
2.30.
12
2,0,5, 1,3,4, 25, 52.
abcabcab
2.31.
12
1,2,8, 3,7,1, 43, 912.
abcabcba
Задача 3
. Найти косинус угла между векторами
AB
и
AC
.
3.1.
1,2,3, 0,1,2, 3,4,5.
ABC
3.2.
0,3,6, 12,3,3, 9,3,6.
ABC
3.3.
3,3,1, 5,5,2, 4,1,1.
ABC
3.4.
1,2,3, 3,4,6, 1,1,1.
ABC
3.5.
4,2,0, 1,2,4, 3,2,1.
ABC
3.6.
5,3,1, 5,2,0, 6,4,1.
ABC
3.7.
3,7,5, 0,1,2, 2,3,0.
ABC
3.8.
2,4,6, 0,2,4, 6,8,10.
ABC
3.9.
0,1,2, 3,1,2, 4,1,1.
ABC
3.10.
3,3,1, 1,5,2, 4,1,1.
ABC
3.11.
2,1,1, 6,1,4, 4,2,1.
ABC
3.12.
1,2,1, 4,2,5, 8,2,2.
ABC
3.13.
6,2,3, 6,3,2, 7,3,3.
ABC
3.14.
0,0,4, 3,6,1, 5,10,1.
ABC
3.15.
2,8,1, 4,6,0, 2,5,1.
ABC
3.16.
3,6,9, 0,3,6, 9,12,15.
ABC
3.17.
0,2,4, 8,2,2, 6,2,4.
ABC
3.18.
3,3,1, 5,1,2, 4,1,1.
ABC
3.19.
4,3,0, 0,1,3, 2,4,2.
ABC
3.20.
1,1,0, 2,1,4, 8,1,1.
ABC
3.21.
7,0,2, 7,1,3, 8,1,2.
ABC
3.22.
2,3,2, 1,3,1, 3,7,3.
ABC
3.23.
2,2,7, 0,0,6, 2,5,7.
ABC
3.24.
1,2,3, 0,1,2, 3,4,5.
ABC
3.25.
0,3,6, 9,3,6, 12,3,3.
ABC
3.26.
3,3,1, 5,1,2, 4,1,3.
ABC
3.27.
2,1,1, 2,3,2, 0,0,3.
ABC
3.28.
1,4,1, 2,4,5, 8,4,0.
ABC
3.29.
0,1,0, 0,2,1, 1,2,0.
ABC
3.30.
4,0,4, 1,6,7, 1,10,9.
ABC
3.31.
(
)
(
)
(
)
.
10
,
8
,
6
,
4
,
2
,
0
,
6
,
4
,
2
-
-
-
-
-
C
B
A
Задача 4
. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
.
4.1.
(
)
.
6
/
2
1
3
2
p
=
=
=
-
=
+
=
q
p^
,
q
,
p
q;
p
b
q,
p
a
4.2.
3, 2; 4, 1, 4.
apqbpqpqpq
4.3.
3, 2; 15, 1, 2.
apqbpqpqpq
4.4.
32, 5; 4, 12, 56.
apqbpqpqpq
4.5.
2, 2; 2, 3, 34.
apqbpqpqpq
4.6.
3, 2; 2, 3, 3.
apqbpqpqpq
4.7.
2, 3; 3, 2, 2.
apqbpqpqpq
4.8.
4, ; 7, 2, 4.
apqbpqpqpq
4.9.
4, 3; 1, 2, 6.
apqbpqpqpq
4.10.
4, 2; 7, 2, 3.
apqbpqpqpq
4.11.
32, ; 10, 1, 2.
apqbpqpqpq
4.12.
4, 2; 5, 4, 4.
apqbpqpqpq
4.13.
23, 2; 6, 7, 3.
apqbpqpqpq
4.14.
3, 2; 3, 4, 3.
apqbpqpqpq
4.15.
23, 2; 2, 3, 4.
apqbpqpqpq
4.16.
23, 3; 4, 1, 6.
apqbpqpqpq
4.17.
5, 3; 1, 2, 3.
apqbpqpqpq
4.18.
72, 3; 12, 2, 2.
apqbpqpqpq
4.19.
6, ; 3, 4, 4.
apqbpqpqpq
4.20.
10, 32; 4, 1, 6.
apqbpqpqpq
4.21.
6, 2; 8, 12, 3.
apqbpqpqpq
4.22.
34, ; 2,5, 2, 2.
apqbqppqpq
4.23.
7, 3; 3, 1, 34.
apqbpqpqpq
4.24.
3, 3; 3, 5, 23.
apqbpqpqpq
4.25.
3, 3; 7, 2, 4.
apqbpqpqpq
4.26.
5, ; 5, 3, 56.
apqbpqpqpq
4.27.
34, 3; 2, 3, 4.
apqbpqpqpq
4.28.
6, 5; 12, 4, 56.
apqbqppqpq
4.29.
23, 2; 2, 1, 3.
apqbpqpqpq
4.30.
23, 5; 2, 3, 2.
apqbpqpqpq
4.31.
32, 2; 4, 3, 34.
apqbpqpqpq
Задача 5. Компланарны ли векторы
a
,
b
и
c
?
5.1.
2,3,1, 1,0,1, 2,2,2.
abc
5.2.
{
}
{
}
{
}
.
1
,
1
,
3
4
,
3
,
2
1
,
2
,
3
-
=
=
=
c
,
b
,
a
5.3.
1,5,2, 1,1,1, 1,1,1.
abc
5.4.
1,1,3, 3,2,1, 2,3,4.
abc
5.5.
3,3,1, 1,2,1, 1,1,1.
abc
5.6.
3,1,1, 2,1,0, 5,2,1.
abc
5.7.
4,3,1, 1,2,1, 2,2,2.
abc
5.8.
4,3,1, 6,7,4, 2,0,1.
abc
5.9.
3,2,1, 1,3,7, 1,2,3.
abc
5.10.
3,7,2, 2,0,1, 2,2,1.
abc
5.11.
1,2,6, 1,0,1, 2,6,17.
abc
5.12.
6,3,4, 1,2,1, 2,1,2.
abc
5.13.
7,3,4, 1,2,1, 4,2,4.
abc
5.14.
2,3,2, 4,7,5, 2,0,1.
abc
5.15.
5,3,4, 1,0,1, 4,2,4.
abc
5.16.
3,10,5, 2,2,3, 2,4,3.
abc
5.17.
2,4,3, 4,3,1, 6,7,4.
abc
5.18.
3,1,1, 1,0,1, 8,3,2.
abc
5.19.
4,2,2, 3,3,3, 2,1,2.
abc
5.20.
4,1,2, 9,2,5, 1,1,1.
abc
5.21.
5,3,4, 4,3,3, 9,5,8.
abc
5.22.
3,4,2, 1,1,0, 8,11,6.
abc
5.23.
4,1,6, 1,3,7, 2,1,4.
abc
5.24.
3,1,0, 5,4,5, 4,2,4.
abc
5.25.
3,0,3, 8,1,6, 1,1,1.
abc
5.26.
1,1,4, 1,0,3, 1,3,8.
abc
5.27.
6,3,4, 1,2,1, 2,1,2.
abc
5.28.
4,1,1, 9,4,9, 6,2,6.
abc
5.29.
3,3,3, 4,7,6, 3,0,1.
abc
5.30.
7,10,5, 0,2,1, 2,4,1.
abc
5.31.
7,4,6, 2,1,1, 19,11,17.
abc
Задача 6
. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
1234
, , ,
AAAA
и его
высоту, опущенную из вершины
4
A
на грань
123
AAA
.
6.1.
1234
1,3,6, 2,2,1, 1,0,1, 4,6,3.
AAAA
6.2.
1234
4,2,6, 2,3,0, 10,5,8, 5,2,4.
AAAA
6.3.
1234
7,2,4, 7,1,2, 3,3,1, 4,2,1.
AAAA
6.4.
1234
2,1,4, 1,5,2, 7,3,2, 6,3,6.
AAAA
6.5.
1234
1,5,2, 6,0,3, 3,6,3, 10,6,7.
AAAA
6.6.
1234
0,1,1, 2,3,5, 1,5,9, 1,6,3.
AAAA
6.7.
1234
5,2,0, 2,5,0, 1,2,4, 1,1,1.
AAAA
6.8.
1234
2,1,2, 1,2,1, 5,0,6, 10,9,7.
AAAA
6.9.
1234
2,0,4, 1,7,1, 4,8,4, 1,4,6.
AAAA
6.10.
1234
14,4,5, 5,3,2, 2,6,3, 2,2,1.
AAAA
6.11.
1234
1,2,0, 3,0,3, 5,2,6, 8,4,9.
AAAA
6.12.
1234
2,1,2, 1,2,1, 3,2,1, 4,2,5.
AAAA
6.13.
1234
1,1,2, 1,1,3, 2,2,4, 1,0,2.
AAAA
6.14.
1234
2,3,1, 4,1,2, 6,3,7, 7,5,3.
AAAA
6.15.
1234
1,1,1, 2,3,1, 3,2,1, 5,9,8.
AAAA
6.16.
1234
1,5,7, 3,6,3, 2,7,3, 4,8,12.
AAAA
6.17.
1234
3,4,7, 1,5,4, 5,2,0, 2,5,4.
AAAA
6.18.
1234
1,2,3, 4,1,0, 2,1,2, 3,4,5.
AAAA
6.19.
1234
4,1,3, 2,1,0, 0,5,1, 3,2,6.
AAAA
6.20.
1234
1,1,1, 2,0,3, 2,1,1, 2,2,4.
AAAA
6.21.
1234
1,2,0, 1,1,2, 0,1,1, 3,0,1.
AAAA
6.22.
1234
1,0,2, 1,2,1, 2,2,1, 2,1,0.
AAAA
6.23.
1234
1,2,3, 1,0,1, 2,1,6, 0,5,4.
AAAA
6.24.
1234
3,10,1, 2,3,5, 6,0,3, 1,1,2.
AAAA
6.25.
1234
1,2,4, 1,2,4, 3,0,1, 7,3,1.
AAAA
6.26.
1234
0,3,1, 4,1,2, 2,1,5, 3,1,4.
AAAA
6.27.
1234
1,3,0, 4,1,2, 3,0,1, 4,3,5.
AAAA
6.28.
1234
2,1,1, 0,3,2, 3,1,4, 4,7,3.
AAAA
6.29.
1234
3,5,6, 2,1,4, 0,3,1, 5,2,8.
AAAA
6.30.
1234
2,4,3, 5,6,0, 1,3,3, 10,8,7.
AAAA
6.31.
1234
1,1,2, 2,1,2, 1,1,4, 6,3,8.
AAAA
Задача 7
. Найти расстояние от точки
0
M
до плоскости, проходящей через точки
123
, ,
MMM
.
7.1.
1230
3,4,7, 1,5,4, 5,2,0, 12,7,1.
MMMM
7.2.
1230
1,2,3, 4,1,0, 2,1,2, 1,6,5.
MMMM
7.3.
1230
3,1,1, 9,1,2, 3,5,4, 7,0,1.
MMMM
7.4.
1230
1,1,1, 2,0,3, 2,1,1, 2,4,2.
MMMM
7.5.
1230
1,2,0, 1,1,2, 0,1,1, 2,1,4.
MMMM
7.6.
1230
1,0,2, 1,2,1, 2,2,1, 5,9,1.
MMMM
7.7.
1230
1,2,3, 1,0,1, 2,1,6, 3,2,9.
MMMM
7.8.
1230
3,10,1, 2,3,5, 6,0,3, 6,7,10.
MMMM
7.9.
1230
1,2,4, 1,2,4, 3,0,1, 2,3,5.
MMMM
7.10.
1230
0,3,1, 4,1,2, 2,1,5, 3,4,5.
MMMM
7.11.
1230
1,3,0, 4,1,2, 3,0,1, 4,3,0.
MMMM
7.12.
1230
2,1,1, 0,3,2, 3,1,4, 21,20,16.
MMMM
7.13.
1230
3,5,6, 2,1,4, 0,3,1, 3,6,68.
MMMM
7.14.
1230
2,4,3, 5,6,0, 1,3,3, 2,10,8.
MMMM
7.15.
1230
1,1,2, 2,1,2, 1,1,4, 3,2,7.
MMMM
7.16.
1230
1,3,6, 2,2,1, 1,0,1, 5,4,5.
MMMM
7.17.
1230
4,2,6, 2,3,0, 10,5,8, 12,1,8.
MMMM
7.18.
1230
7,2,4, 7,1,2, 5,2,1, 10,1,8.
MMMM
7.19.
1230
2,1,4, 3,5,2, 7,3,2, 3,1,8.
MMMM
7
.20.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
7
8
,
10
,
3
,
6
,
3
,
3
,
0
,
6
,
2
,
5
,
1
0
3
2
1
-
-
-
-
-
-
-
M
M
M
M
7.21.
1230
0,1,1, 2,3,5, 1,5,9, 4,13,6.
MMMM
7.22.
1230
5,2,0, 2,5,0, 1,2,4, 3,6,8.
MMMM
7.23.
1230
2,1,2, 1,2,1, 5,0,6, 14,3,7.
MMMM
7.24.
1230
2,0,4, 1,7,1, 4,8,4, 6,5,5.
MMMM
7.25.
1230
14,4,5, 5,3,2, 2,6,3, 1,8,7.
MMMM
7.26.
1230
1,2,0, 3,0,3, 5,2,6, 13,8,16.
MMMM
7.27.
1230
2,1,2, 1,2,1, 3,2,1, 5,3,7.
MMMM
7.28.
1230
1,1,2, 1,1,3, 2,2,4, 2,3,8.
MMMM
7.29.
1230
2,3,1, 4,1,2, 6,3,7, 5,4,8.
MMMM
7.30.
1230
1,1,1, 2,3,1, 3,2,1, 3,7,6.
MMMM
7.31.
1230
1,5,7, 3,6,3, 2,7,3, 1,1,2.
MMMM
Задача 8
. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A
перпендикулярно вектору
BC
.
8.1.
1,0,2, 2,1,3, 0,3,2.
ABC
8.2.
1,3,4, 1,5,0, 2,6,1.
ABC
8.3.
4,2,0, 1,1,5, 2,1,3.
ABC
8.4.
8,0,7, 3,2,4, 1,4,5.
ABC
8.5.
7,5,1, 5,1,3, 3,0,4.
ABC
8.6.
3,5,2, 4,0,3, 3,2,5.
ABC
8.7.
1,1,8, 4,3,10, 1,1,7.
ABC
8.8.
2,0,5, 2,7,3, 1,10,1.
ABC
8.9.
1,9,4, 5,7,1, 3,5,0.
ABC
8.10.
7,0,3, 1,5,4, 2,3,0.
ABC
8.11.
0,3,5, 7,2,6, 3,2,4.
ABC
8.1
2.
5,1,2, 2,4,3, 4,1,3.
ABC
8.13.
3,7,2, 3,5,1, 4,5,3.
ABC
8.14.
0,2,8, 4,3,2, 1,4,3.
ABC
8.15.
1,1,5, 0,7,8, 1,3,8.
ABC
8.16.
10,0,9, 12,4,11, 8,5,15.
ABC
8.17.
3,3,6, 1,9,5, 6,6,4.
ABC
8.18.
2,1,7, 9,0,2, 9,2,3.
ABC
8.19.
7,1,4, 8,11,3, 9,9,1.
ABC
8.20.
1,0,6, 7,2,1, 9,6,1.
ABC
8.21.
3,1,0, 6,3,3, 9,4,2.
ABC
8.22.
4,2,5, 3,3,7, 9,3,7.
ABC
8.23.
0,8,10, 5,5,7, 8,0,4.
ABC
8.24.
1,5,2, 6,2,1, 2,2,2.
ABC
8.25.
0,7,9, 1,8,11, 4,3,12.
ABC
8.26.
3,1,7, 0,2,6, 2,3,5.
ABC
8.27.
5,3,1, 0,0,3, 5,1,0.
ABC
8.28.
1,2,2, 13,14,1, 14,15,2.
ABC
8.29.
7,5,0, 8,3,1, 8,5,1.
ABC
8.30.
(
)
(
)
(
)
.
7
,
3
,
0
,
5
,
3
,
8
,
4
,
6
,
3
-
-
-
C
B
A
8.31.
2,5,3, 7,8,1, 9,7,4.
ABC
Задача 9
. Найти угол между плоскостями.
9.1.
350, 25160.
xyxyz
9.2.
310, 10.
xyzxz
9.3.
45310, 490.
xyzxyz
9.4.
32150, 59310.
xyzxyz
9.5.
624170, 93640.
xyzxyz
9.6.
210, 230.
xyzxyz
9.7.
30, 20.
yzyz
9.8.
6320, 26120.
xyzxyz
9.9.
2230, 16121510.
xyzxyz
9.10.
25160, 2380.
xyzxyz
9.11.
2210, 10.
xyzxz
9.12.
340, 50.
xyzyz
9.13.
322160, 370.
xyzxyz
9.14.
2290, 310.
xyzxyz
9.15.
2230, 2250.
xyzxyz
9.16.
32310, 70.
xyzxyz
9.17.
3280, 30.
xyzxyz
9.18.
323230, 50.
xyzyz
9.19.
370, 10.
xyzyz
9.20.
22170, 210.
xyzxy
9.21.
210, 60.
xyxy
9.22.
250, 2370.
xzxy
9.23.
53180, 290.
xyzyz
9.24.
4320, 2250.
xzxyz
9.25.
410, 2430.
xyzxyz
9.26.
290, 210.
yzxyz
9.27.
261410, 5153530.
xyzxyz
9.28.
710, 2250.
xyzxy
9.29.
350, 230.
xyxy
9.30.
230, 210.
xyzxyz
9.31.
2270, 350.
xyzxy
Задача 10
. Найти координаты точки
A
, равноудаленной от точек
B
и
C
.
10.1.
0,0,, 5,1,0, 0,2,3.
AzBC
10.2.
0,0,, 3,3,1, 4,1,2.
AzBC
10.3.
0,0,, 3,1,3, 1,4,2.
AzBC
10.4.
0,0,, 1,1,6, 2,3,5.
AzBC
10.5.
0,0,, 13,4,6, 10,9,5.
AzBC
10.6.
0,0,, 5,5,6, 7,6,2.
AzBC
10.7.
0,0,, 18,1,0, 15,10,2.
AzBC
10.8.
0,0,, 10,0,2, 9,2,1.
AzBC
10.9.
0,0,, 6,7,5, 8,4,3.
AzBC
10.10.
0,0,, 6,7,1, 1,2,5.
AzBC
10.11.
0,0,, 7,0,15, 2,10,12.
AzBC
10.12.
0,,0, 3,0,3, 0,2,4.
AyBC
10.13.
0,,0, 1,6,4, 5,7,1.
AyBC
10.14.
0,,0, 2,8,10, 6,11,2.
AyBC
10.15.
0,,0, 2,4,6, 7,2,5.
AyBC
10.16.
0,,0, 2,2,4, 0,4,2.
AyBC
10.17.
0,,0, 0,4,1, 1,3,5.
AyBC
10.18.
0,,0, 0,5,9, 1,0,5.
AyBC
1
0.19.
0,,0, 2,4,6, 8,5,1.
AyBC
10.20.
0,,0, 7,3,4, 1,5,7.
AyBC
10.21.
0,,0, 0,2,4, 4,0,4.
AyBC
10.22.
,0,0, 0,1,3, 2,0,4.
AxBC
10.23.
,0,0, 4,0,5, 5,4,2.
AxBC
10.24.
,0,0, 8,1,7, 10,2,1.
AxBC
10.25.
,0,0, 3,5,6, 1,2,3.
AxBC
10.26.
,0,0, 4,5,2, 2,3,4.
AxBC
10.27.
,0,0, 2,0,6, 0,2,4.
AxBC
10.28.
,0,0, 1,5,9, 3,7,11.
AxBC
10.29.
,0,0, 4,6,8, 2,4,6.
AxBC
10.30.
,0,0, 1,2,3, 2,6,10.
AxBC
10.31.
,0,0, 2,4,6, 1,2,3.
AxBC
Задача 11
. Пусть
k
–
коэффициент преобразования подобия с центром в начале
координат. Верно ли, что точка
A
принадлежит образу плоскости
?
11.1.
1,2,1, : 2310, 2.
Axyzk
11.2
.
2,1,2, : 210, 2.
Axyzk
11.3.
1,1,1, : 3240, 12.
Axyzk
11.4.
2,4,1, : 3220, 3.
Axyzk
11.5.
1,13,2, : 360, 13.
Axyzk
11.6.
12,13,1, : 23320, 1,5.
Axyzk
11.7.
2,0,1, : 3510, 1.
Axyzk
11.8.
1,2,1, : 560, 23.
Axyzk
11.9.
2,5,4, : 5230, 43.
Axyzk
11.10.
2,3,1, : 220, 52.
Axyzk
11.11.
2,3,3, : 3220, 32.
Axyzk
11.12.
14,13,1, : 435100, 12.
Axyzk
11.13.
0,1,1, : 65340, 34.
Axyzk
11.14.
2,3,2, : 32460, 43.
Axyzk
11.15.
2,1,1, : 26100, 35.
Axyzk
11.16.
5,0,1, : 2310, 3.
Axyzk
11.17.
1,1,1, : 7650, 2.
Axyzk
11.18.
13,1,1, : 3560, 56.
Axyzk
11.19.
2,5,1, : 5230, 13.
Axyzk
11.20.
1,2,3, : 320, 2,5.
Axyzk
11.21.
4,3,1, : 34560, 56.
Axyzk
11.22.
3,5,2, : 5340, 12.
Axyzk
11.23.
4,0,3, : 7310, 3.
Axyzk
11.24.
1,1,2, : 4360, 53.
Axyzk
11.25.
2,5,1, : 52390, 13.
Axyzk
11.26.
3,2,4, : 2350, 45.
Axyzk
11.27.
5,0,6, : 670, 27.
Axyzk
11.28.
1,2,2, : 350, 15.
Axzk
11.29.
3,2,4, : 2360, 23.
Axyzk
11.30.
7,0,1, : 10, 4.
Axyzk
11.31.
0,3,1, : 2310, 2.
Axyzk
Задача 12
. Написать канонические уравнения прямой.
12.1.
220, 2360.
xyzxyz
12.2.
3220, 3140.
xyzxyz
12.3.
240, 2280.
xyzxyz
12.4.
20, 220.
xyzxyz
12.5.
2360, 3230.
xyzxyz
12.6.
360, 320.
xyzxyz
12.7.
52110, 10.
xyzxyz
12.8.
34210, 24340.
xyzxyz
12.9.
5340, 220.
xyzxyz
12.10.
20, 240.
xyzxyz
12.11.
4320, 280.
xyzxyz
12.12.
33210, 2360.
xyzxyz
12.13.
67420, 750.
xyzxyz
12.14.
8310, 100.
xyzxyz
12.15.
65480, 65340.
xyzxyz
12.16.
550, 25250.
xyzxyz
12.17.
2360, 3230.
xyzxyz
12.18.
5240, 320.
xyzxyz
12.19.
420, 2380.
xyzxyz
12.
20.
2320, 260.
xyzxyz
12.21.
220, 20.
xyzxyz
12.22.
5110, 210.
xyzxyz
12.23.
20, 240.
xyzxyz
12.24.
6720, 7450.
xyzxyz
12.25.
5250, 2550.
xyzxyz
12.26.
320, 32140.
xyzxyz
12.27.
23260, 330.
xyzxyz
12.28.
34310, 24240.
xyzxyz
12.29.
3310, 23260.
xyzxyz
12.30.
65380, 65440.
xyzxyz
12.31.
23260, 330.
xyzxyz
Задача 13
. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
13.1.
231
, 23140.
114
xyz
xyz
13.2.
131
, 25200.
345
xyz
xyz
13.3.
151
, 37240.
142
xyz
xyz
13.4.
13
, 240.
102
xyz
xyz
13.5.
532
, 35120.
110
xyz
xyz
13.6.
123
, 3590.
322
xyz
xyz
13.7.
121
, 25170.
211
xyz
xyz
13.8.
124
, 24190.
201
xyz
xyz
13.9.
214
, 23230.
111
xyz
xyz
13.10.
223
, 23570.
100
xyz
xyz
13.11.
112
, 42110.
213
xyz
xyz
13.12.
111
, 32480.
101
xyz
xyz
13.13.
213
, 220.
112
xyz
xyz
13.14.
322
, 5430.
153
xyz
xyz
13.15.
224
, 35420.
213
xyz
xyz
13.16.
344
, 74470.
152
xyz
xyz
13.17.
311
, 237520.
235
xyz
xyz
13.18.
313
, 347160.
232
xyz
xyz
13.19.
524
, 254240.
201
xyz
xyz
13.20.
185
, 23180.
8512
xyz
xyz
13.21.
315
, 73110.
110
xyz
xyz
13.22.
531
, 375110.
152
xyz
xyz
13.23.
126
, 4650.
711
xyz
xyz
13.24.
328
, 594250.
110
xyz
xyz
13.25.
11
, 413230.
203
xyz
xyz
13.26.
135
, 32530.
613
xyz
xyz
13.27.
213
, 340.
432
xyz
xyz
13.28.
123
, 25160.
252
xyz
xyz
13.29.
132
, 37270.
102
xyz
xyz
13.30.
325
, 579320.
0311
xyz
xyz
13.31.
731
, 2730.
312
xyz
xyz
Задача 14
. Найти точку
M
, симметричную точке
M
относительно прямой (для
вариантов 1
–
15) или плоскости (для вариантов 16
–
31).
14.1.
11,5
0,3,2, .
111
xyz
M
14.2.
4,532
2,1,1, .
10,51
xyz
M
14.3.
21,51
1,1,1, .
121
xyz
M
14.4.
0,51,51,5
1,2,3, .
011
xyz
M
14.5.
3,51,5
1,0,1, .
220
xyz
M
14.6.
21,50,5
2,1,0, .
011
xyz
M
14.7.
(
)
.
1
5
,
0
0
5
,
1
1
5
,
0
,
0
,
3
,
2
-
=
+
=
+
-
-
z
y
x
M
14.8.
1,52
1,0,1, .
101
xyz
M
14.9.
1,52
0,2,1, .
211
xyz
M
14.10.
63,50,5
3,3,1, .
540
xyz
M
14.11.
11,53
3,3,3, .
101
xyz
M
14.12.
0,50,72
1,2,0, .
10,22
xyz
M
14.13.
10,51,5
2,2,3, .
100
xyz
M
14.14.
0,514
1,0,1, .
002
xyz
M
14.15.
0,51,51,5
0,3,2, .
011
xyz
M
14.16.
1,0,1, 464250.
Mxyz
14.17.
1,0,1, 262110.
Mxyz
14.18
.
0,2,1, 2430.
Mxy
14.19.
2,1,0, 20.
Myz
14.20.
1,2,0, 4570.
Mxyz
14.21.
2,1,1, 220.
Mxyz
14.22.
1,1,1, 4350.
Mxyz
14.23.
1,2,3, 2101010.
Mxyz
14.24.
0,3,2, 2101010.
Mxyz
14.25.
1,0,1, 2410.
Myz
14.26.
3,3,1, 244130.
Mxyz
14.27.
2,3,0, 540.
Mxy
14.28.
2,2,3, 20.
Myz
14.29.
1,0,1, 2430.
Mxy
14.30.
3,3,3, 868250.
Mxyz
14.31.
2,0,3, 221010.
Mxyz
X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теоретические вопросы
1.
Линейное пространство. Базис. Координаты.
2.
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
3.
Линейный оператор. Матрица оператора.
4.
Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
5.
Действия
над линейными операторами.
6.
Собственные векторы и собственные значения.
7.
Евклидово пространство. Неравенство Коши
-
Буняковского.
8.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
9.
Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
10.
Квадратичные формы. Приведе
ние квадратичной формы к
каноническому виду с
помощью ортогонального преобразования.
Теоретические упражнения
1.
Найти какой
-
нибудь базис и размерность подпространства
L
пространства
3
R
,
если
L
задано уравнением
123
20
xxx
.
2.
Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное
подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность
этого подпространства.
3.
Найти координат
ы многочлена
23
30123
Pxaaxaxax
в базисе
23
1, 1, 1, 1.
xxx
4.
Линейный оператор
A
в базисе
123
e,e,e
имеет матрицу
101
212
112
Найти матрицу этого же оператора в базисе
112123
e,ee,eee.
5.
Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве
многочленов, степени которых меньше или равны трем.
6.
Пусть
x
и
y
—
собственные векторы
линейного
оператора
A
, относя
щиеся к
различным собственным значениям. Доказать, что вектор
, 0, 0
zxy
не
является собственным вектором оператора
A
.
7.
Пусть
123
,,
xxxx
,
112233
,,
Axxxx
. Будет ли оператор
A
самосопряженным?
8.
Доказать, что если матрица оператора
A
—
симметрическая в некотором базисе,
то она является симметрической в любом базисе (базисы
—
ортонормированные).
Расч
ё
тные задания
Задача 1
. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором
определены сумма любых двух элементов
a
и
b
и произведение любого элемента
a
на
любое дей
ствительное число
?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых
–
целые
числа;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.2. Множество всех векторов, лежащих на од
ной оси;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.4. Мно
жество всех векторов трехмерного пространства;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма
[
]
b
a
ￗ
, произведение
a
.
1.6. Мн
ожество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов
x
,
y
,
z
;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.7. Множество всех функци
й
aft
,
bgt
, принимающих положительные
значения;
сумма
ftgt
, произведение
ft
.
1.8. Множество всех непрерывных функций
aft
,
bgt
, заданных на
0,1
;
сумма
ftgt
, произведение
ft
.
1.9. Множество всех четных функций
aft
,
bgt
, заданных на
1,1
;
сумма
ftgt
, произведение
(
)
t
f
ￗ
a
.
1.10. Множество всех нечетных функций
aft
,
bgt
, заданных на
1,1
;
сумма
ftgt
,
произведение
ft
.
1.11. Множество всех линейных функций
12
,
afxx
,
12
,
bgxx
;
сумма
1212
, ,
fxxgxx
, произведение
12
,
fxx
.
1.12. Множество всех многочленов третьей
степени от переменной
x
;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных
x
,
y
;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из
n
чисел
12
,,...,
n
axxx
,
12
,,...,
n
byyy
;
сумма
1122
,,...,
nn
xyxyxy
, произведение
12
,,...,
n
xxx
.
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из
n
чисел
12
,,...,
n
axxx
,
12
,,...,
n
byyy
;
сумма
1122
,,...,
nn
xyxyxy
, произведение
12
,,...,
n
xxx
.
1.16. Множество всех сходящихся последовательностей
n
au
,
n
b
;
сумма
nn
u
, произведение
n
u
.
1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени ме
ньшей или равной
n
;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени
n
;
сумма
ab
, произв
едение
a
.
1.19. Множество всех диагональных матриц
, , , 1, 2, ...,
ikik
aabbikn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.20. Множество всех невырожденных матриц
, , , 1, 2, ...,
ikik
aabbikn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.21. Множество всех квадратных матриц
, , , 1, 2, ...,
ikik
aabbikn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.22. Множество всех диагональных
матриц
,
ikik
aabb
размера
nn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.23. Множество всех прямоугольных
матриц
, , 1, 2, ..., ; 1, 2, ...,
ikik
aabbimkn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.24. Множество всех симметричных матриц
, , , 1, 2, ...,
ikikkiikikki
aaaabbbbikn
;
сумма
ikik
ab
, произведение
ik
a
.
1.25. Множество всех целых чисел;
сумма
ab
, произведение
a
a
.
1.26. Множество всех действительных чисел;сумма
ab
, произведение
a
.
1.27. Множество всех положительных чисел;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.28. Множество всех отрицательных чисел;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.29. Множество всех действительных чисел;
сумма
ab
, произведение
a
.
1.30. Множество всех дифференцируемых функций
aft
,
bgt
;
сумма
ftgt
, произведение
ft
.
1.31. Множество всех дифференцируемых функций
aft
,
bgt
;
сумма
ftgt
, произведение
ft
.
Задача 2
. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
2.1.
1,4,6, 1,1,1, 1,1,3.
abc
2.2.
sin, cos, tg
xxx
на
2, 2
.
2.3.
2,3,1, 3,1,5, 1,4,3.
abc
2.4.
22
2, sin, sin, cos
xxx
на
, +
.
2.5.
5,4,3, 3,3,2, 8,1,3.
abc
2.6.
1, , sin
xx
на
, +
.
2.7.
1,1,1, 0,1,1, 0,0,1.
abc
2.8
.
23
e, e, e
xxx
на
, +
.
2.9.
1,1,2, 1,1,1, 2,1,1.
abc
2.10.
2
2
, , 1
xxx
на
, +
.
2.11.
1,2,3, 4,5,6, 7,8,9.
abc
2.12.
2
2
1, , , 1
xxx
на
, +
.
2.13.
1,1,1, 1,2,3, 1,3,6.
abc
2.14.
cos, sin, sin2
xxx
на
2, 2
.
2.15.
3,4,5, 8,7,2, 2,1,8.
abc
2.16.
2
e, e, e
xxx
на
, +
.
2.17.
3,2,4, 4,1,2, 5,2,3.
abc
2.18.
222
1, 1+2, 1+3
xxxxxx
на
, +
.
2.19.
0,1,1, 1,0,1, 1,1,0.
abc
2.20.
x
e
x
sh
,
,
1
на
, +
.
2.21.
5,6,1, 3,5,2, 2,1,3.
abc
2.22.
1, , 1
x
x
на
0, 1
.
2.23.
7,1,3, 2,2,4, 3,3,5.
abc
2.24.
1, tg, ctg
xx
на
0, 2
.
2.25.
1,2,3, 6,5,9, 7,8,9.
abc
2.26.
2
, 1+, 1
xxx
на
, +
.
2.27.
2,1,0, 5,0,3, 3,4,3.
abc
2.28.
2
e, e, e
xxx
xx
на
, +
.
2.29.
2,0,2, 1,1,0, 0,1,2.
abc
2.30.
e, sh, ch
x
xx
на
, +
.
2.31.
2,1,5, 4,3,0, 0,1,10.
abc
Задача 3
. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать
его струк
туру (указать базис пространства решений однородной системы, установить
размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
3.1.
￮
￭
￬
=
-
+
-
+
=
+
-
-
-
=
+
+
-
+
.
0
5
34
12
11
,
0
2
7
3
2
2
,
0
2
4
3
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
5
3
,
9
4
5
2
,
4
3
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.2.
￮
￭
￬
=
+
+
+
+
=
-
-
+
-
=
+
-
-
+
.
0
2
3
2
,
0
3
,
0
2
2
2
7
5
4
5
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
4
3
2
3
,
9
4
7
2
,
5
3
2
4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.3.
12345
12345
12345
100,
58220,
3312440.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
3
3
5
2
,
4
2
7
3
,
1
4
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.4.
12345
12345
12345
69213120,
4614280,
23740.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
3
4
4
,
7
2
9
2
,
4
4
3
5
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.5.
12345
12345
12345
220,
10320,
419450.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
-
-
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
2
3
4
,
3
3
4
7
2
,
1
2
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.6.
￮
￭
￬
=
-
-
+
+
=
-
+
+
+
=
-
-
+
-
.
0
6
2
11
2
6
,
0
5
2
2
4
,
0
4
9
2
5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
-
+
=
+
+
+
=
+
+
+
.
1
2
3
3
3
2
,
1
3
4
3
,
0
2
4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.7.
￮
￭
￬
=
+
-
+
+
=
-
+
+
-
=
-
+
+
-
.
0
2
,
0
2
22
14
2
24
,
0
11
7
12
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
7
3
5
3
,
1
4
3
2
,
0
3
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.8.
￮
￭
￬
=
-
+
-
+
=
-
+
+
+
=
+
+
+
+
.
0
6
3
,
0
5
3
2
,
0
4
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
2
3
3
2
,
1
2
2
3
,
0
3
4
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.9.
￮
￭
￬
=
+
+
-
+
=
+
+
-
+
=
-
-
+
+
.
0
7
6
6
16
,
0
2
6
,
0
3
3
3
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
-
-
=
+
+
-
=
-
+
-
.
1
3
2
,
1
?
5
3
,
0
3
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.10.
￮
￭
￬
=
+
+
=
+
-
+
+
=
-
+
-
+
.
0
3
2
,
0
2
,
0
2
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
-
-
-
=
+
+
-
=
-
+
-
.
3
3
2
3
5
2
,
5
2
8
3
,
2
3
4
3
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.11.
12345
12345
12345
820,
33230,
543250.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
-
+
-
=
-
+
-
=
+
+
-
.
3
3
2
,
7
3
4
5
2
,
4
2
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.12.
12345
12345
124
3120,
22100,
3 2 0.
xxxxx
xxxxx
xxx
￮
￭
￬
=
+
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
2
4
2
2
3
,
1
2
3
4
,
0
4
3
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.13.
12345
12345
12345
71430,
2370,
5105130.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
-
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
3
5
,
5
?
9
2
,
2
3
2
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.14.
￮
￭
￬
=
-
+
+
-
=
+
-
-
-
=
-
+
+
+
.
0
3
3
2
3
,
0
4
6
2
2
,
0
3
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
2
4
5
3
,
3
2
7
4
,
1
4
3
2
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.15.
12345
12345
12345
0,
2220,
2520.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
9
8
3
4
,
1
2
2
,
0
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.16.
￮
￭
￬
=
+
-
+
-
=
+
-
+
-
=
-
+
-
+
.
0
5
2
4
3
,
0
2
2
3
,
0
3
2
2
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
2
4
4
3
,
3
2
5
4
,
1
4
3
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.17.
￮
￭
￬
=
-
+
-
+
=
+
+
+
-
-
=
-
+
-
+
.
0
3
30
9
6
,
0
10
3
2
,
0
10
3
2
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
4
2
2
3
,
9
4
7
2
,
5
3
2
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.18.
12345
12345
12345
2750,
23570,
32220.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
-
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
5
3
4
3
,
9
4
5
2
,
4
3
2
2
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.19.
￮
￭
￬
=
+
-
-
-
=
-
+
+
=
+
-
-
-
.
0
3
16
2
5
,
0
5
34
11
,
0
2
7
3
2
2
5
4
3
2
1
5
4
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
3
3
4
,
7
2
9
2
,
4
4
3
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.20.
￮
￭
￬
=
+
+
+
-
=
-
-
+
=
+
+
-
+
.
0
3
2
5
,
0
5
12
11
,
0
2
8
3
5
4
3
2
1
5
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
+
+
+
=
+
-
+
=
-
-
+
.
3
4
5
2
,
4
2
7
3
,
1
4
3
2
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.21.
￮
￭
￬
=
+
-
+
+
=
+
-
-
+
=
-
+
-
+
.
0
3
16
2
4
,
0
2
7
3
7
2
,
0
9
5
3
5
4
5
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
-
+
=
+
+
+
=
+
+
+
.
1
3
3
2
,
1
3
4
3
,
0
2
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.22.
￮
￭
￬
=
+
+
-
+
=
+
+
-
+
=
+
+
-
+
.
0
5
4
2
3
6
,
0
5
3
3
3
,
0
4
3
2
5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
+
-
-
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
2
2
3
3
4
,
3
3
4
7
2
,
1
2
3
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.23.
12345
12345
1235
32240,
75320,
70.
xxxxx
xxxxx
xxxx
￮
￭
￬
=
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
3
2
,
1
2
2
3
,
0
3
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.24.
12345
12345
12345
632470,
743240,
230.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
+
+
-
=
+
+
-
=
-
+
-
.
1
4
3
3
5
3
,
1
4
3
2
,
0
3
2
2
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.25.
￮
￭
￬
=
-
-
+
=
+
+
-
=
+
+
-
.
0
9
4
7
5
,
0
3
4
7
,
0
5
2
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
3
3
5
2
,
5
2
8
3
,
2
3
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.26.
￮
￭
￬
=
+
-
+
+
=
+
-
+
+
=
+
-
+
+
.
0
6
5
4
,
0
3
5
2
2
,
0
3
2
3
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
￮
￭
￬
=
-
+
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
3
4
3
2
,
1
4
5
3
,
0
3
2
2
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.27.
12345
12345
12345
2320,
2740,
21160.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
1
2
2
2
3
,
1
2
3
4
,
0
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.28.
12345
12345
12345
632340,
42230,
20.
xxxxx
xxxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
+
-
+
-
=
-
+
-
=
+
+
-
.
3
3
2
3
2
,
7
3
4
5
2
,
4
2
3
5
4
3
2
1
5
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.29.
12345
1234
12345
32420,
322 0,
321660.
xxxxx
xxxx
xxxxx
￮
￭
￬
=
-
-
-
=
+
+
-
=
+
+
-
.
2
5
5
3
,
3
2
7
4
,
1
4
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.30.
12345
12345
1234
20,
230,
223 0.
xxxxx
xxxxx
xxxx
￮
￭
￬
=
+
-
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
3
3
?
5
,
5
?
9
2
,
2
3
2
4
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.31.
12345
12345
1234
20,
220,
343 0.
xxxxx
xxxxx
xxxx
￮
￭
￬
=
+
+
+
=
-
-
+
=
-
-
+
.
2
3
4
3
,
3
2
5
4
,
1
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Задача 4
. Найти координаты вектора
x
в базисе
23
,,
1
eee
, если он задан в
базисе
23
,,
1
eee
.
4.1.
23
22
323
2,
2,
,
6,1,3.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.2.
23
22
323
3,
32,
,
1,2,4.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.3.
23
22
323
4,
43,
,
1,3,6.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.4.
23
22
323
32,
3,
,
2,4,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.5.
23
22
323
43,
4,
,
6,3,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.6.
23
22
323
5,
54,
,
1,4,8.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.7.
23
22
323
54,
5,
,
8,4,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.8.
23
22
323
6,
65,
,
2,5,10.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.9.
23
22
323
65,
6,
,
10,5,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.10.
23
22
323
7,
76,
,
1,6,12.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.11.
23
22
323
76,
7,
,
12,6,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.12.
23
22
323
8,
87,
,
1,7,14.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.13.
23
22
323
,
12,
,
3,2,4.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.14.
23
22
323
12,
,
,
2,4,3.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.15.
23
22
323
2,
23,
,
2,6,3.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.16.
23
22
323
23,
2,
,
12,3,1.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.17.
23
22
323
3,
34,
,
1,4,8.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.18.
23
22
323
3,
34,
,
1,4,8.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.19.
23
22
323
4,
45,
,
7,5,10.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.20.
(
)
{
}
.
4
,
5
,
5
.
,
,
-
=
￮
￭
￬
+
-
-
=
-
=
+
+
=
x
e
e
e
e
e
-4e
e
e
4/5
e
e
e
3
2
1
'
3
2
1
'
2
3
2
1
'
1
4.21.
23
22
323
5,
56,
,
1,6,6.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.22.
23
22
323
56,
5,
,
6,6,2.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.23.
23
22
323
6,
67,
,
1,7,7.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.24.
23
22
323
67,
6,
,
7,7,2.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.25.
23
22
323
7,
78,
,
3,8,8.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.26.
23
22
323
8,
89,
,
1,9,9.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.27.
23
22
323
89,
8,
,
9,9,2.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.28.
23
22
323
9,
910,
,
3,10,10.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.29.
23
22
323
910,
9,
,
10,10,7.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.30.
23
22
323
10,
109,
,
1,9,18.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
4.31.
23
22
323
11,
1110,
,
1,10,10.
11
1
1
eeee
eee
eeee
x
Задача 5
. Пусть
123
,,
xxxx
. Являются ли линейными следующие
преобразования:
5.1.
12312323
231232
4
312323
654,32,2,
654,32,2,
,32,2.
Axxxxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.2.
123122
4
12323
1231223
543,2,2,
543,0,2,
543,2,2.
Axxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.3.
4
1231123
1231123
123112
432,,23,
432,,23,
432,,23.
Axxxxxxxx
Bxxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.4.
1233123
12312
4
1233123
32,,234,
32,1,234,
32,,234.
Axxxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.5.
11212
4
1123123
1123123
,23,456,
,23,456,
,23,456.
Axxxxxx
Bxxxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.6.
2
1223123
1223123
122312
2,2,345,
2,2,345,
2,2,345.
Axxxxxxxx
Bxxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.7.
1123123
11212
4
1123123
,23,456,
,23,456,
,23,456.
Axxxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.8.
12312
3
123123
1233123
32,1,23,
32,0,23,
32,,23.
Axxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.9.
4
123123
123123
1212
2,,23,
2,,23,
2,1,23.
Axxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxx
5.10.
3123123
31212
4
3123
,234,567,
,234,567,
,0,567.
Axxxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxx
5.11.
123123
12123
2
123123
654,32,0,
654,32,0,
654,32,0.
Axxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxx
5.12.
(
)
(
)
(
)
.
,
2
,
3
4
5
,
1
,
2
,
3
4
5
,
,
2
,
3
4
5
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Cx
x
x
x
x
x
Bx
x
x
x
x
x
Ax
-
-
-
=
-
-
-
=
-
-
-
=
5.13.
2
123123
123123
1212
432,,2,
432,,2,
432,,2.
Axxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxx
5.14.
123123
1212
2
123123
32,0,23,
321,0,23,
32,0,23.
Axxxxxxx
Bxxxxx
Cxxxxxxx
5.15.
(
)
(
)
(
)
.
5
4
3
,
2
,
,
5
4
3
,
2
,
,
5
4
3
,
2
,
3
2
1
3
2
1
2
1
3
2
2
1
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
Cx
x
x
x
x
x
Bx
x
x
x
x
x
Ax
-
-
-
=
-
-
-
=
-
-
-
=
5.16.
(
)
(
)
(
)
.
4
3
2
,
,
2
,
4
3
2
,
,
2
,
4
3
2
,
,
2
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
-
-
+
=
-
-
+
=
-
-
+
=
x
x
x
x
x
Cx
x
x
x
x
x
x
Bx
x
x
x
x
x
x
Ax
5.17.
123123
12312
2
123123
,2,345,
,2,345,
,2,345.
Axxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxx
5.18.
12123
2
123
123123
321,0,23,
32,0,0,
32,0,23.
Axxxxxx
Bxxxx
Cxxxxxxx
5.19.
2
12323
12323
1232
2,,23,
2,,23,
2,,23.
Axxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxx
5.20.
123123
12312
2
123123
0,23,456,
0,23,456,
0,23,456.
Axxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxx
5.21.
1231232
121232
3
123123
654,32,,
654,32,,
654,32,0.
Axxxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.22.
1212123
3
12312123
12312123
543,2,23,
543,2,23,
543,2,23.
Axxxxxxxx
Bxxxxxxxxx
Cxxxxxxxxx
5.23.
3
12313
12313123
1213123
432,,0,
432,,234,
432,,234.
Axxxxxx
Bxxxxxxxxx
Cxxxxxxxx
5.24.
12312313
121213
3
123123
345,678,9,
345,678,9,
345,678,0.
Axxxxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.25.
121213
3
123123
12312313
234,567,8,
234,567,0,
234,567,8.
Axxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxxxx
5.26.
3
13123
13123123
112123
,234,0,
,234,567,
1,234,567.
Axxxxxx
Bxxxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.27.
12323123
122123
3
12323
32,2,345,
321,2,345,
32,2,0.
Axxxxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxx
5.28.
1212123
3
12123
12123123
2,23,456,
2,23,0,
2,23,456.
Axxxxxxxx
Bxxxxxx
Cxxxxxxxxx
5.29.
3
12312312
12312312
121212
23,456,78,
23,456,78,
23,456,78.
Axxxxxxxxx
Bxxxxxxxxx
Cxxxxxxx
5.30.
23123123
212123
3
23123123
2,345,678,
2,345,678,
2,345,678.
Axxxxxxxxx
Bxxxxxxx
Cxxxxxxxxx
5.31.
2
11323
1323
11323
,,,
1,,,
,,.
Axxxxxx
Bxxxxx
Cxxxxxx
Задача 6
. Пусть
123
,,,
xxxx
23113
,,,
Axxxxxx
231
,2,
Bxxxx
. Найти:
6.1.
.
ABx
6.2.
2
.
Ax
6.3.
2
.
ABx
6.4.
4
.
Bx
6.5.
2
.
Bx
6.6.
2
23.
ABx
6.7.
22
.
ABx
6.8.
2
.
BAx
6.9.
.
BAx
6.10.
2.
BABx
6.11.
2.
ABAx
6.12.
22.
ABAx
6.13.
2
.
ABx
6.14.
2
2.
BAx
6.15.
2
.
BAx
6.16.
2
3.
ABx
6.17.
2
.
ABx
6.18.
22
.
ABx
6.19.
2
2.
BAx
6.20.
3
.
Bx
6.21.
(
)
.
2
2
x
A
B
-
6.22.
.
ABAx
6.23.
2
.
ABx
6.24.
.
ABAx
6.25.
22
22.
BABx
6.26.
.
BABx
6.27.
2
.
BABx
6.28.
.
BABx
6.29.
.
ABABx
6.30.
2
32.
BAx
6.31.
2.
BABx
Задача 7
. Найти матрицу
линейного оператора
в базисе
123
,,
eee
, где
112321233123
, 2, 2
eeeeeeeeeeee
,
если она задана в базисе
123
, ,
eee
.
7.1.
102
310.
112
7.2.
210
304.
112
7.3.
023
410.
212
7.4.
120
301.
211
7.5.
201
302.
112
7.6.
032
211.
012
7.7.
130
211.
021
7.8.
212
302.
101
7.9.
012
401.
121
7.10.
110
011.
231
7.11.
211
002.
131
7.12.
301
110.
211
7.13.
121
020.
111
7.14.
112
021.
110
7.15.
111
201.
011
7
.16.
113
101.
201
7.17.
101
012.
311
7.18.
102
301.
121
7.19.
200
111.
121
7.20.
110
111.
021
7.21.
011
110.
211
7.22.
001
211.
111
7.23.
011
021.
121
7.24.
021
032.
111
7.25.
201
011.
111
7.26.
201
111.
021
7.27.
211
131.
010
7.28.
210
101.
111
7.29.
210
011.
111
7.30.
.
1
1
1
1
0
1
0
1
2
￨
￦
-
-
-
7.31.
011
101.
111
Задача 8
. Доказать линейность, найти матрицу
(в базисе (i, j, k))
, область значений
и ядро оператора:
8.1. проектирования на ось
Оx
;
8.2. проектирования на плоскость
0
z
;
8.3. проектирования на ось
Oz
;
8.4. зеркального отражения относительно плоскости
Oyz
;
8.5. проектирования на ось
Oy
;
8.6. проектирования на плоскость
0
y
;
8.7. зеркального отражения относительно плоскости
0
xy
;
8.8. зеркального отражения относительно плоскости
0
yz
;
8.9. проектирования на плоскость
0
yz
;
8.10. проектирования на плоскос
ть
3
yx
;
8.11. проектирования на плоскость
Oyz
;
8.12. зеркального отражения относительно плоскости
0
xz
;
8.13. зеркального отражения относительно плоскости
Oxy
;
8
.14. поворота относительно оси
Ox
на угол
2
в положительном направлении;
8.15. проектирования на плоскость
0
xy
;
8.16. проектирования на плоскость
0
yz
;
8.17.
зеркального отражения относительно плоскости
0
xy
;
8.18. зеркального отражения относительно плоскости
0
yz
;
8.19. проектирования на плоскость
0
xy
;
8.20. проектирования на плоскость
0
xz
;
8.21. зеркального отражения относительно плоскости
0
xz
;
8.22. поворота относительно оси
Oz
в положительном направлении на угол
2
;
8.23. проектирования на пло
скость
30
yz
;
8.24. зеркального отражения относительно плоскости
Oxz
;
8.25. поворота в положительном направлении относительно оси
Oy
на угол
2
;
8.26. проектиро
вания на плоскость
0
xz
;
8.27. проектирования на плоскость
30
yz
;
8.28. проектирования на плоскость
30
xz
;
8.29. проектирования на плоскость
30
xy
;
8.30. поворота отно
сительно оси
Oz
в положительном направлении на угол
4
;
8.31. проектирования на плоскость
30
xz
;
Задача 9
. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
9.1.
421
131.
122
9.2.
210
120.
111
9.3.
311
021.
012
9.4.
511
041.
014
9.5.
621
151.
124
9.6.
311
221.
214
9.7.
201
111.
102
9.8.
210
120.
113
9
.9.
410
140.
115
9.10.
511
241.
216
9.11.
544
212.
203
9.12.
322
212.
223
9.13.
322
030.
021
9.14.
522
050.
023
9.15.
744
232.
205
9.16.
766
414.
425
9.17.
766
232.
223
9.18.
1322
696.
225
9.19.
.
3
0
0
2
5
4
2
2
7
￨
￦
-
-
9.20.
.
5
2
2
4
7
2
0
0
9
￨
￦
-
-
9.21.
￨
￦
-
-
11
2
2
4
13
2
0
0
15
9.22.
￨
￦
-
-
-
11
2
2
6
15
6
2
2
19
.
9.23
.
2
1
1
2
3
2
1
1
4
￨
￦
-
-
-
9.24.
211
121.
001
9.25.
300
121.
112
9.26.
500
141.
114
9.27.
611
252.
114
9.28.
.
13
2
2
2
5
2
6
6
9
￨
￦
-
-
-
-
-
-
9.29.
.
7
2
2
0
3
0
4
2
5
￨
￦
-
-
-
9.30.
742
252.
009
9.31.
433
121.
112
Задача 10
. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом
Лагранжа.
10.1.
22
11213233
4444.
xxxxxxxx
10.2.
2
22
1121323
44834.
xxxxxxx
10.3.
22
112133
484.
xxxxxx
10.4.
222
1121323
48432.
xxxxxxx
10.5.
222
112132233
4434.
xxxxxxxxx
10.6.
22
112233
44.
xxxxxx
10.7.
222
112132233
22362.
xxxxxxxxx
10.8.
222
112132233
4232.
xxxxxxxxx
10.9.
222
1132233
424.
xxxxxxx
10.10.
22
112133
22.
xxxxxx
10.11.
222
112132233
448124.
xxxxxxxxx
10.12.
222
112132233
448584.
xxxxxxxxx
10.13.
222
112132233
48488.
xxxxxxxxx
10.14.
222
112132233
484584.
xxxxxxxxx
10.15.
222
112132233
445127.
xxxxxxxxx
10.16.
222
112132233
448167.
xxxxxxxxx
10.17.
222
112132233
225104.
xxxxxxxxx
10.18.
222
112132233
4256.
xxxxxxxxx
10.19.
222
1132233
424.
xxxxxxx
10.20.
222
112132233
2224.
xxxxxxxxx
10.21.
22
11213233
4442.
xxxxxxxx
10.22.
222
1121323
44432.
xxxxxxx
10.23.
22
112133
484.
xxxxxx
10.24.
222
1121323
48434.
xxxxxxx
10.25.
222
112132233
4434.
xxxxxxxxx
10.26.
22
112133
44.
xxxxxx
10.27.
222
112132233
22364.
xxxxxxxxx
10.28.
222
112132233
4232.
xxxxxxxxx
10.29.
222
1122233
422.
xxxxxxx
10.30.
22
112133
22.
xxxxxx
10.31.
222
112132233
22243.
xxxxxxxxx
Задача 11
. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным
преобразованием.
11.1.
22
23121323
43448.
xxxxxxxx
11.2.
222
1231223
44223.
xxxxxxx
11.3.
.
8
8
8
2
2
2
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
+
+
11.4.
222
1231223
29244.
xxxxxxx
11.5.
222
123121323
442488.
xxxxxxxxx
11.6.
222
1231223
4223.
xxxxxxx
11.7.
222
123121323
44244.
xxxxxxxxx
11.8.
222
123121323
3
3233.
2
xxxxxxxxx
11.9.
222
123121323
3266.
xxxxxxxxx
11.10.
222
123121323
7424.
xxxxxxxxx
11.11.
222
123121323
5252322
.
4422
xxxxxxxxx
11.12.
222
123121323
373888.
xxxxxxxxx
11.13.
222
123121323
54522.
xxxxxxxxx
11.14.
222
1231223
482
.
33
xxxxxxx
11.15.
222
123121323
2224522.
xxxxxxxxx
11.16
.
222
123121323
12512434.
xxxxxxxxx
11.17.
222
1231323
44.
xxxxxxx
11.18.
222
123121323
222464.
xxxxxxxxx
11.19.
222
123121323
23284222.
xxxxxxxxx
11.20.
222
123121323
44444.
xxxxxxxxx
11.21.
222
123121323
1014710252.
xxxxxxxxx
11.22.
222
123121323
3253244.
xxxxxxxxx
11.23.
222
123121323
242222.
xxxxxxxxx
11.24.
22
23121323
2323443.
xxxxxxxx
11.25.
222
1231223
482
.
33
xxxxxxx
11.26.
22
13121323
84222.
xxxxxxxx
11.27.
222
1231223
513548.
xxxxxxx
11.28.
222
1231223
242
222.
33
xxxxxxx
11.29.
222
123121323
54242242.
xxxxxxxxx
11.30.
222
1231223
25244.
xxxxxxx
11.31.
222
123121323
393284.
xxxxxxxxx
Задача 12
. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
12.1.
22
42410.
xyxyxy
12.2.
22
2222210.
xyxyxy
12.3.
4440.
xyxy
12.4.
22
2226630.
xyxyxy
12.5.
22
3346420.
xyxyxy
12.6.
22210.
xyxy
12.7.
22
44220.
xyxyxy
12.8.
22
442101010.
xyxyxy
12.9.
44420.
xyxy
12.10.
22
28810.
xyxyxy
12.11.
22
48410.
xyxyxy
12.12.
22
22270.
xyxyxy
12.13.
22230.
xyxy
12.14.
22
442121210.
xyxyxy
12.15.
22
33481210.
xyxyxy
12.16.
22
8202010.
xyxyxy
12.17.
22
3326210.
xyxyxy
12.18.
44410.
xyxy
12.19.
22
3346470.
xyxyxy
12.20.
44460.
xyxy
12.21.
22
55210210.
xyxyxy
12.22.
22
2248810.
xyxyxy
12.23.
22
22210.
xyxyxy
12.24.
22
2248810.
xyxyxy
12.25.
22
33212410.
xyxyxy
12.26.
48810.
xyxy
12.27.
22
2226660.
xyxyxy
12.28.
22
44250.
xyxyxy
12.29.
44440.
xyxy
12.30.
22
3344410.
xyxyxy
12.31.
22
44210.
xyxyxy