Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход - Ногин В.Д.

Автор: Ногин В.Д.

Теги: исследование операций математика развитие

ISBN: 5-9221-0517-5

Год: 2004

Похожие

Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования

Модели принятия решений в экономике

Вербальный анализ решений

Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах

Текст

УДК 519.8
ББК 22.18
Н72
Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде:
количественный подход. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 176 с. - ISBN 5-9221-0517-5.
Рассматриваются вопросы, связанные с выбором решений при наличии
нескольких критериев. Впервые в мировой научной литературе строго фор-
формулируется известный принцип Эджворта-Парето и устанавливается, при
выполнении каких требований применение этого принципа оправдано.
Развивается оригинальный общий подход к решению многокритери-
многокритериальных задч при наличии количественной информации об относительной
важности критериев. Показывается, что с помощью предлагаемого подхо-
подхода, используя лишь конечный набор информации об относительной важ-
важности критериев, можно достаточно хорошо аппроксимировать множество
потенциально-оптимальных решений многокритериальной задачи.
Предназначена тем, кто по роду своей деятельности сталкивался с необ-
необходимостью решения многокритериальных задач — исследователям, ин-
инженерам-разработчикам, конструкторам, проектировщикам, экономистам-
аналитикам и т.п. Может быть использована студентами старших курсов
и аспирантами не только математических, но и экономических, а также
технических специальностей.
Ил. 20. Библиогр. 55 назв.
Научное издание
НОГИН Владимир Дмитриевич
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ
СРЕДЕ: КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД
Редактор И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: О.А. Пелипенко
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 24.06.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 11. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0517-5 © В. Д. Ногин, 2004

СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения 5
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1. Начальные понятия многокритериального выбора 15
1.1. Задача многокритериального выбора 15
1. Множество возможных и множество выбираемых решений. 2. Лицо, при-
принимающее решение. 3. Векторный критерий. 4. Многокритериальная зада-
задача. 5. Отношение предпочтения. 6. Задача многокритериального выбора.
1.2. Бинарные отношения 22
1. Определение бинарного отношения. 2. Типы бинарных отношений. 3. От-
Отношение порядка.
1.3. Множество недоминируемых решений 25
1. Требования, предъявляемые к отношению предпочтения. 2. Множество
недоминируемых решений. 3. Алгоритм построения множества недомини-
недоминируемых решений.
1.4. Множество Парето 33
1. Дальнейшие требования, предъявляемые к отношению предпочтения.
2. Согласование отношения предпочтения с критериями. 3. Аксиома Парето.
4. Множество Парето. 5. Множество парето-оптимальных оценок. 6. Алгоритм
нахождения множества Парето. 7. Геометрия множества Парето в случае
двух критериев.
Глава 2. Относительная важность для двух критериев 43
2.1. Определение и свойства относительной важности 43
1.Исходная задача многокритериального выбора. 2. Мотивация основного
определения. 3. Определение относительной важности. 4. Свойства относи-
относительной важности. 5. Связь с лексикографическим отношением.
2.2. Требование инвариантности отношения предпочтения 51
1. Отношения, инвариантные относительно линейного положительного пре-
преобразования. 2. Конусные отношения.
2.3. Использование информации об относительной важности критериев
для сужения множества Парето 58
1. Упрощение основного определения. 2. Сужение множества Парето на ос-
основе информации о том, что один критерий важнее другого. 3. Геометри-
Геометрические аспекты.
2.4. Шкалы критериев и инвариантность измерений 69
1. Количественные и качественные шкалы. 2. Инвариантность множества
Парето относительно строго возрастающего преобразования критериев. 3. Ин-
Инвариантность результатов теоремы 2.5 относительно линейного положитель-
положительного преобразования.
Глава 3. Относительная важность для двух групп критериев 77
3.1. Определение и важнейшие свойства относительной важности 77
1. Основные определения. 2. Свойства относительной важности.

4
3.2. Использование информации об относительной важности критериев
для двух групп критериев 82
1. Эквивалентное более простое определение относительной важности для
двух групп критериев. 2. Сужение множества Парето на основе информации
о том, что одна группа критериев важнее другой группы.
3.3. Геометрические иллюстрации к задаче с тремя критериями 91
1. Трехкритериальная задача общего вида. 2. Случай линейных критериев.
Глава 4. Сужение множества Парето на основе набора информации
об относительной важности критериев 94
4.1. Учет двух сообщений об относительной важности 94
1. Случай двух независимых сообщений. 2. Случай, когда каждый из двух
критериев важнее другого. 3. Случай, когда один критерий важнее двух других.
4. Случай, когда два критерия по отдельности важнее третьего.
4.2. Непротиворечивость набора информации об относительной
важности критериев 111
1. Предварительное рассмотрение. 2. Определение непротиворечивого на-
набора векторов. 3. Критерии непротиворечивости. 4. Существенность инфор-
информации об относительной важности критериев.
4.3. Использование набора информации об относительной важности
критериев 119
1. Случай, когда несколько критериев по отдельности важнее другого кри-
критерия. 2. Использование набора взаимно независимой информации об от-
относительной важности критериев. 3. Задача выпуклого анализа.
4.4. Алгоритмический подход к использованию произвольного набора
информации об относительной важности критериев 124
1. Идея алгоритмического подхода. 2. Мажорантное отношение 3. Пример.
4. Алгоритм построения оценки сверху в случае конечного множества Y.
Глава 5. Полнота информации об относительной важности критериев .. 131
5.1. Предварительное рассмотрение 131
1. Постановка задачи. 2. Геометрические аспекты. 3. Расстояние между ко-
конусами.
5.2. Первая теорема о полноте 137
1. Постановка математической задачи. 2. Первая теорема о полноте.
5.3. Вторая теорема о полноте 140
1. Пример. 2. Вторая теорема о полноте. 3. Случай конечного множества
возможных оценок.
Глава 6. Методология принятия решений на основе количественной
информации об относительной важности критериев 145
6.1. Как принимает решение человек? 145
1. Психические составляющие процесса принятия решений. 2. Стратегии
принятия решений человеком в многокритериальной среде.
6.2. Метод последовательного сужения множества Парето 151
1. Формирование математической модели. 2. Выявление информации об
относительной важности критериев. 3. Метод последовательного сужения
множества Парето. 4. Использование набора информации об относительной
важности критериев.
6.3. Комбинированные методы 162
1. Модифицированный метод целевого программирования. 2. Метод достижи-
достижимых целей при наличии информации об относительной важности критериев.
Ф. Эджворт и В. Парето (краткая справка) 170
Предметный указатель 172
Список литературы 174

ОБОЗНАЧЕНИЯ
А \ В — теоретико-множественная разность множеств А и В
А х В — декартово произведение множеств Аи В
Rm — евклидово пространство m-мерных векторов с вещественны-
вещественными компонентами
0т = @, 0,..., 0) е Rm — начало координат (нуль) пространства Rm
R™ — неотрицательный ортант пространства Rm (т. е. множе-
множество всех векторов с неотрицательными компонентами без
начала координат)
R+ — множество положительных вещественных чисел
Nm — множество всех векторов пространства Rm, у которых име-
имеется по крайней мере одна положительная и хотя бы одна
отрицательная компоненты
| А | — число элементов конечного множества А
sup Z — точная верхняя грань числового множества Z
infZ— точная нижняя грань числового множества Z
[z] — целая часть числа z
т
(a, b) = Y2ai^i ~ скалярное произведение векторов а=(аъ а2,..., ат)
и b = (bh Ъъ ..., Ьт)
а) = <\а\ + а\ +... + а^
аг > Ъь i = 1, 2, ..., т
аг ^ Ъь i = 1, 2, ..., т
а ^ Ъ и а ^ Ъ
cone {а1, а2,..., ак} — выпуклый конус, порожденный векторами
а1, а2, ..., ак (т. е. множество всех линейных неотрицатель-
неотрицательных комбинаций данных векторов)
т — число критериев

ОБОЗНАЧЕНИЯ
/ = {1, 2, ..., т} — множество номеров критериев
X — множество возможных решений
/= (fufi* ~',fm) — векторный критерий
Y = f(X) — множество возможных векторов (оценок)
>х — отношение предпочтения ЛПР, заданное на множестве X
>Y — отношение предпочтения ЛПР, индуцированное отноше-
отношением >х и заданное на множестве Y
> продолжение отношения >Y на все пространство Rm
Sel X — множество выбираемых решений
Sel Y — множество выбираемых векторов (выбираемых оценок)
Ndom X — множество недоминируемых решений
Ndom Y — множество недоминируемых векторов (недоминируе-
(недоминируемых оценок)
Р/(Х) — множество парето-оптимальных решений
P(Y) — множество парето-оптимальных векторов (парето-опти-
(парето-оптимальных оценок)

Моей жене Наталии Валковой
посвящается
И высочайший гений не прибавит
Единой мысли к тем, что мрамор сам
Таит в избытке, — и лишь это нам
Рука, послушная рассудку, явит...
Микеланджело Буонарроти
(пер. А. Эфроса)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Практически любой вид человеческой деятельности связан с си-
ситуациями, когда имеется несколько возможностей и человек волен
из этих возможностей выбрать любую, наиболее подходящую ему.
Задачи наилучшего выбора изучает теория принятия решений.
С ее помощью можно научиться осуществлять выбор более обосно-
обоснованно, эффективно используя имеющуюся в наличии информацию
о предпочтениях. Эта теория помогает избежать принятия заведомо
негодных решений и учесть возможные отрицательные последствия
непродуманного выбора.
Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки
зрения класс задач выбора составляют многокритериальные задачи,
в которых качество принимаемого решения оценивается по несколь-
нескольким критериям одновременно. Успешное решение многокритериаль-
многокритериальных задач невозможно без использования различного рода сведений
о предпочтениях лица, принимающего решение. При этом одним из
самых главных источников таких сведений является информация об
относительной важности критериев. Но прежде чем учиться выявлять
и использовать эту информацию, необходимо выяснить, что она собой
представляет.
Какой смысл содержит высказывание о том, что один критерий
(или одна группа критериев) важнее другого критерия (другой группы
критериев)? Как имеющуюся в распоряжении информацию об от-
относительной важности критериев можно использовать в процессе
принятия решений? Существуют ли и если существуют, то каковы
принципиальные границы использования произвольного набора
подобного рода информации при решении вопросов выбора решений?
Обсуждению и решению этих и близких к ним вопросов посвяще-
посвящена эта книга. По существу, она представляет собой систематическое
введение в теорию относительной важности критериев, развиваемую
автором на протяжении двух десятков лет. В книге используется

ПРЕДИСЛОВИЕ
аксиоматический метод изложения, когда заранее формулируется ряд
требований (аксиом), предъявляемых к классу рассматриваемых задач,
строго определяются все ключевые понятия и результаты формулиру-
формулируются в виде теорем, доказываемых с применением соответствующих
математических средств.
Избрав строгую форму изложения, автор стремился не потерять
связи теории с практикой и использовал все доступные ему средства
для неформального обсуждения и наглядной иллюстрации вводи-
вводимых понятий и полученных результатов.
Предлагаемая книга, для чтения которой вполне достаточно вла-
владения курсом математики обычного технического вуза, рассчитана,
прежде всего, на специалистов в области принятия решений, по-
поскольку в ней впервые в мировой монографической литературе из-
изложен известный принцип Эджворта-Парето, а также абсолютно
новый подход к решению задач многокритериального выбора, осно-
основанный на точном введении и строгом учете количественной ин-
информации об относительной важности критериев. Несомненно, она
будет полезна всем тем, кто по роду своей деятельности сталкивается
с необходимостью решения многокритериальных задач — инжене-
инженерам-разработчикам, конструкторам, проектировщикам, экономистам-
аналитикам и т. п. Кроме того, данная книга может быть успешно
использована студентами старших курсов и аспирантами математи-
математических, экономических, а также технических специальностей вузов.
Предусмотрено несколько вариантов прочтения книги. Первый
вариант — полный, с изучением доказательств и деталей. Второй —
когда можно пропускать все встречающиеся в тексте математические
доказательства. Наконец, согласно третьему варианту, читатель, не жела-
желающий вникать в математические тонкости, и которому нужно лишь
получить общее представление о предлагаемом подходе, достаточное
для его применения, может после поверхностного просмотра первой
главы сразу переходить к последней главе, где в доступной форме
представлены основные идеи и результаты предлагаемого подхода.
Для формул, рисунков и утверждений принята двойная нумера-
нумерация, причем первый номер означает номер главы.
Символом А отмечается начало доказательства утверждения,
тогда как знак V означает его конец.
Автор выражает благодарность Ирине Толстых, которая, прочтя
рукопись, своими многочисленными замечаниями способствовала
заметному улучшению качества изложения. Кроме того, она внесла
определенный вклад и в содержательную часть книги (в частности,
ею, например, была получена теорема 4.10).
Особая признательность — Российскому фонду фундаментальных
исследований, который, начиная с 1998 года, осуществляет финан-
финансовую поддержку исследований автора в данном направлении.

ВВЕДЕНИЕ
Важнейшим инструментом решения многокритериальных задач
является принцип Эджворта—Парето (принцип Парето), который
стали успешно применять еще в XIX веке. Однако до самого
недавнего времени этот принцип не был четко сформулирован,
и многие из тех специалистов и исследователей, которые его при-
применяли и применяют, были (и до сих пор остаются) абсолютно
уверены в том, что этот принцип можно использовать при решении
любых многокритериальных задач. Оказывается, что это не так!
Принцип Эджворта—Парето имеет вполне определенные границы
применимости и его использование при решении некоторых задач
рискованно или же вообще не допустимо.
В данной книге впервые принцип Эджворта—Парето полу-
получает определенную математическую формулировку, и что самое
главное — четко очерчивается класс задач многокритериального
выбора, в которых применение этого принципа является обосно-
обоснованным. За пределами указанного класса на его основе можно
получить далеко не лучшие результаты.
Для того чтобы сформулировать принцип Эджворта-Парето,
постановку обычной многокритериальной задачи, включающей
множество возможных решений и набор критериев (векторный
критерий), необходимо дополнить бинарным отношением пред-
предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Расширенная
подобным образом многокритериальная задача названа задачей
многокритериального выбора. Ее решение заключается в отыскании
так называемого множества выбираемых решений, которое может
состоять из одного элемента, но, в общем случае, оно является
подмножеством множества возможных решений.
Итак, постановка всякой задачи многокритериального выбора
включает три объекта — множество возможных решений, век-
векторный критерий и отношение предпочтения ЛПР. Решить эту
задачу — означает, на основе векторного критерия и имеющихся
сведений об отношении предпочтения ЛПР, найти множество
выбираемых решений.

10 ВВЕДЕНИЕ
В рамках рассматриваемой модели многокритериального
выбора принцип Эджворта—Парето может быть сформулирован
в виде утверждения о том, что множество выбираемых решений
содержится в множестве Парето. Иначе говоря, каждое выбираемое
решение является парето-оптимальным. Математический эквива-
эквивалент этому высказыванию — включение одного множества в дру-
другое. Для того чтобы доказать это включение, следует определенным
образом ограничить весь класс задач многокритериального вы-
выбора, наложив специальные требования на указанные выше три
объекта. Эти требования (аксиомы) относятся главным образом
к отношению предпочтения ЛПР и могут быть интерпретированы
как «рациональное» (или «разумное», «последовательное») пове-
поведение в процессе выбора. Кроме того, среди этих требований
имеется условие согласованности отношения предпочтения ЛПР
и векторного критерия, поскольку каждый из этих двух объектов
выражает определенные устремления (цели) одного и того же
ЛПР, и потому они обязаны быть каким-то образом связаны друг
с другом.
Формулировка и доказательство принципа Эджворта-Парето
вместе со всеми необходимыми начальными понятиями и сведе-
сведениями из теории принятия решений даны в первой главе книги.
Материал этой главы служит фундаментом для всего последую-
последующего изложения.
Применение принципа Эджворта—Парето позволяет из мно-
множества всех возможных исключить заведомо неприемлемые реше-
решения, т. е. те, которые никогда не могут оказаться выбранными,
если выбор осуществляется достаточно «разумно». После такого
исключения остается множество, которое называют множеством
Парето или областью компромиссов. Оно, как правило, является
достаточно широким, и в процессе принятия решений неизбежно
встает вопрос о том, какое именно возможное решение выбрать
среди парето-оптимальных? Выражаясь иначе, какие из парето-
оптимальных решений следует удалить для того, чтобы произ-
произвести дальнейшее сужение области компромиссов и, тем самым,
получить более точное представление об искомом множестве
выбираемых решений? Этот вопрос при решении практических
многокритериальных задач является наиболее трудным и наименее
проработанным к настоящему времени.
В общем случае, располагая лишь множеством возможных
решений и набором критериев (т. е. оставаясь в рамках модели
многокритериальной задачи), обоснованного ответа на постав-
поставленный вопрос не сможет дать ни один специалист по принятию
решений, поскольку осуществление компромисса (выбора того

ВВЕДЕНИЕ 11
или иного парето-оптимального решения) возможно лишь при рас-
расширении модели выбора за счет привлечения дополнительной
информации об отношении предпочтения ЛПР. В зависимости от
типа, характера и объема имеющейся в наличии дополнительной
информации используют тот или иной метод принятия решений
(или же их комбинацию). К настоящему времени таких методов,
схем и подходов поиска компромисса насчитывается не один
десяток. Следует, однако, отметить, что они, как правило, имеют
слабое теоретическое обоснование и носят, в основном, эвристи-
эвристический характер. А самое главное — авторы предложенных мето-
методов не могут четко описать класс тех задач выбора, для решения
которых применение данного метода гарантированно приводит
к действительно наилучшему решению.
Основной тип дополнительной информации, с которым
чаще всего приходится иметь дело при решении прикладных
многокритериальных задач, — это информация об относительной
важности критериев. Поэтому многие из существующих под-
подходов к решению многокритериальных задач используют именно
эту информацию, чаще всего в виде так называемых коэффици-
коэффициентов относительной важности критериев. Формальные опреде-
определения этих коэффициентов у авторов таких подходов отсутствуют.
Обычно считается, что эти коэффициенты должны назначаться
экспертами. Но разве эксперт может оценить все возможные по-
последствия своего назначения, проследить и просчитать влияние
каждого из оцениваемых коэффициентов на механизм выбора,
соответствующий тому или иному методу? Как правило, экс-
эксперты вообще не имеют никакого представления о том методе,
в котором будут использоваться назначенные ими коэффициенты.
Таким образом, одни специалисты назначают коэффициенты от-
относительной важности, затем другие специалисты применяют тот
или иной метод, а ЛПР, несущее ответственность за принятое
решение, является некоей третьей стороной, не разбирающейся
ни в коэффициентах, ни в методах принятия решений. В итоге —
низкое качество принимаемых решений со всеми вытекающими
из этого последствиями.
Отсюда следует, что прежде чем строить и предлагать какой-
либо метод принятия решений, использующий понятие относи-
относительной важности критериев, необходимо договориться о том, ка-
какой именно смысл вкладывать в это понятие. Другими словами,
сначала нужно дать соответствующее определение, а затем строить
метод. Причем это определение должно быть доступно для по-
понимания не только специалистам, но и самому ЛПР, потому
что, не разобравшись в определении относительной важности

12 ВВЕДЕНИЕ
критериев, ЛПР не сможет назначить те коэффициенты отно-
относительной важности, которые наиболее точно выражают его
предпочтения.
В этой книге принято последовательное изложение и основы-
основывается оно на формальном определении понятия количественной
информации об относительной важности критериев. В его осно-
основе — математическое определение высказывания «один критерий
важнее другого с определенным коэффициентом относительной
важности». Примечательно, что предлагаемое определение имеет
настолько простую логику, что вполне доступно для понимания
не только специалистам, но и лицам, ответственным за принятие
решений и не располагающим особыми знаниями в области мате-
математики. Последнее обстоятельство немаловажно, если учесть, что
сведения об относительной важности критериев поступают чаще
всего именно от этих лиц и чем лучше они понимают смысл отно-
относительной важности, тем более точную информацию о важности
критериев они представят специалистам.
Располагая определением относительной важности критериев
и изучив простейшие его свойства, можно приступить к реше-
решению главного вопроса, ради которого это понятие вводилось:
каким образом учитывать информацию об относительной важ-
важности критериев в форме сообщения о том, что один критерий
важнее другого? Оказывается (это демонстрируется во второй
главе книги), если несколько ограничить класс задач многокри-
многокритериального выбора, для которых справедлив принцип Эджвор-
та-Парето, добавлением еще одного достаточно разумного тре-
требования (аксиомы) к отношению предпочтения ЛПР, то учет
этой информации можно производить очень просто — нужно
лишь в соответствии с выведенной несложной формулой пере-
пересчитать менее важный критерий, оставив все остальные критерии
и множество возможных решений прежними. В результате полу-
получится новая многокритериальная задача, множество Парето кото-
которой будет уже множества Парето исходной задачи, причем ни одно
выбираемое решение исходной задачи не окажется за предела-
пределами нового множества Парето. Иначе говоря, при переходе от ста-
старого множества Парето к новому произойдет сужение области
компромиссов и при этом не будет потеряно ни одно выбираемое
(потенциально-оптимальное) решение. Область поиска выбира-
выбираемых решений после указанного учета информации об относи-
относительной важности критериев станет более узкой и, тем самым,
задача выбора упростится.
В третьей главе вводится общее определение относительной
важности для двух групп критериев. Основной результат главы —

ВВЕДЕНИЕ 13
теорема, показывающая, каким образом для сужения области
компромиссов можно использовать информацию о том, что одна
группа критериев важнее другой группы. Здесь принцип учета
информации точно такой же, как и в случае, когда информация
о важности касается двух критериев, — т. е. строится новый век-
векторный критерий, множество Парето относительно которого яв-
является более узким, чем множество Парето исходной задачи, при-
причем все выбираемые решения заведомо содержатся в новом мно-
множестве Парето. В новом векторном критерии по определенным
несложным формулам пересчитаны все критерии менее важной
группы. Любопытно, что этот новый векторный критерий кроме
замененных критериев менее важной группы может содержать
и некоторые дополнительные критерии. В таких случаях число
критериев в новой многокритериальной задаче оказывается боль-
больше, чем в исходной задаче.
В четвертой главе выясняется, каким образом производить
учет не одного сообщения об относительной важности критериев,
а целого набора такого рода сообщений. Сначала подробно раз-
разбирается случай двух сообщений. В частности, выясняется, что
при определенных значениях числовых коэффициентов относи-
относительной важности вполне возможен случай, когда один критерий
важнее другого, а тот, в свою очередь, важнее первого. В этой же
главе изучается вопрос непротиворечивости произвольного на-
набора информации об относительной важности критериев. При-
Приведены три утверждения, с помощью которых всегда можно про-
проверить является ли определенный набор информации противо-
противоречивым или нет. Далее исследуется вопрос учета произвольного
набора количественной информации об относительной важности
критериев и предлагается отличный от упомянутого ранее так
называемый алгоритмический подход. Для случая конечного
множества возможных решений формулируется алгоритм этого
подхода, использующий симплекс-метод решения канонической
задачи линейного программирования.
Пятая глава содержит исследование вопроса полноты набора
количественной информации об относительной важности крите-
критериев. Здесь выясняется, что, используя лишь конечный набор
информации об относительной важности критериев, можно по-
получить в определенном смысле сколь угодно точное приближе-
приближение к неизвестному множеству недоминируемых решений в виде
множества Парето некоторой новой многокритериальной задачи.
Полученные результаты свидетельствуют о важной роли, кото-
которую играет информация об относительной важности критериев

14 ВВЕДЕНИЕ
в вопросах принятия решений в многокритериальной среде. Эта
информация полна в том смысле, что для достаточно широкого
класса задач многокритериального выбора с конечным множе-
множеством возможных решений одной такой информации достаточно
для того, чтобы получить точное представление о неизвестном
множестве недоминируемых решений.
Результаты, полученные в предыдущих главах, аккумулиру-
аккумулируются в последней, шестой главе, где в доступной форме описы-
описывается общий метод последовательного сужения множества Па-
рето на основе количественной информации об относительной
важности критериев. Изложение начинается с рассмотрения пси-
психологических аспектов принятия решений человеком. Далее фор-
формулируется и обсуждается сам метод. Принцип его работы на-
наглядно можно пояснить при помощи сравнения с творческим
приемом Микеланджело. Как известно, когда великого скульп-
скульптора спросили, как ему удается из бесформенной каменной глыбы
создавать шедевры, он ответил: «Нужно отсечь от камня все лиш-
лишнее». Та же самая идея лежит в основе метода последовательного
сужения области компромиссов — из исходного множества воз-
возможных решений на основе информации об относительной важ-
важности критериев последовательно удаляются все парето-оптималь-
ные решения, которые не могут быть выбранными согласно име-
имеющейся информации об отношении предпочтения. Удаление
осуществляется до тех пор, пока не будет получено множество
решений, удовлетворяющее ЛПР.
Одно их главных достоинств метода последовательного су-
сужения области компромиссов заключается в том, что удается ак-
аксиоматически очертить класс задач многокритериального выбора,
для которых в результате применение данного метода на каждом
шаге сужения заведомо не будет удалено ни одно потенциально-
оптимальное решение. Тем самым, набор аксиом четко указывает
возможные границы его применимости.
Кроме того, следует отметить, что данный метод можно ис-
использовать в комбинации с некоторыми другими известными при-
приемами решения многокритериальных задач. Так например, в конце
шестой главы обсуждается возможность комбинирования метода
последовательного сужения области компромиссов вместе с ме-
методом целевого программирования и методом достижимых целей.
В заключение дается краткая справка о двух выдающихся
экономистах — Френсисе Эджворте и Вильфредо Парето, без
блестящих идей которых эта книга никогда бы не появилась.

Глава 1
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
В этой главе вводятся и обсуждаются базисные понятия, свя-
связанные с принятием решений в многокритериальной среде: мно-
множество возможных решений, векторный критерий и отношение
предпочтения лица, принимающего решение. Дается постановка
задачи многокритериального выбора. Кроме того, здесь определя-
определяются такие принципиально важные для дальнейшего изложения
понятия, как множество недоминируемых решений и множество
Парето, без которых невозможна формулировка и строгое обо-
обоснование принципа Эджворта—Парето.
Именно формулировка и обоснование этого принципа состав-
составляет центральный результат первой главы. Устанавливается, что
принцип Эджворта—Парето следует применять лишь для решения
задач многокритериального выбора из некоторого, хотя и доста-
достаточно широкого класса. Этот класс составляют такие задачи, ко-
которые удовлетворяют определенным трем требованиям (аксиомам),
выражающим «рациональность» поведения лица, принимающего
решение. За пределами указанного класса использование принци-
принципа Парето сопряжено с риском и может привести к далеко не луч-
лучшим результатам.
1.1. Задача многокритериального выбора
1. Множество возможных и множество выбираемых решений.
Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с ситуаци-
ситуациями, в которых ему приходится осуществлять выбор. Например,
зайдя в магазин, мы выбираем тот или иной товар; чтобы добрать-
добраться до нужного места в городе или стране, мы выбираем маршрут
и соответствующий вид транспорта. Выпускник школы выбирает
вуз, в котором он собирается учиться, или же место работы, если
он намерен работать. Как правило, каждый мужчина и каждая
женщина в определенные моменты своей жизни выбирают пред-
представителя противоположного пола для образования семьи. Ру-
Руководители различных уровней и рангов постоянно вынуждены

16 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
заниматься формированием персонала возглавляемых ими под-
подразделений, выбирать ту или иную стратегическую линию пове-
поведения, принимать конкретные хозяйственные и экономические
решения. Специалисты в самых различных областях науки и тех-
техники, занимающиеся разработкой всевозможных устройств и при-
приспособлений, проектированием тех или иных сооружений, кон-
конструированием новых моделей и типов автомобилей, самолетов
и т. п., так же всякий раз стремятся выбрать наилучшее инженер-
инженерное, конструкторское или проектное решение. Работники банков
выбирают объекты для инвестирования, экономисты предприя-
предприятий и фирм планируют оптимальную экономическую программу
и т. д. и т. п.
Приведенный список практических задач выбора можно было
бы продолжать и дальше. Ограничимся сказанным и выявим общие
элементы, присущие всякой задаче выбора.
Прежде всего, должен быть задан набор решений (вариантов),
из которого следует осуществлять выбор. Обозначим его Хж будем
называть множеством возможных решений. Минимальное число
элементов этого множества — два (для того, чтобы действительно
был выбор). Ограничений сверху на количество возможных ре-
решений нет, оно может быть как конечным, так и бесконечным.
При этом природа самих решений не играет никакой роли; это
могут быть проектные решения, варианты поведения, полити-
политические или экономические стратегии, сценарии поведения, крат-
краткосрочные или долгосрочные планы и т. п.
Собственно выбор решения состоит в указании среди всех
возможных такого решения, которое объявляется выбранным.
Следует заметить, что нередко происходит выбор не одного, а це-
целого набора решений, являющегося определенным подмножеством
множества возможных решений X. Простейший тому пример:
требуется выбрать несколько человек, претендующих на замещение
определенного числа вакантных должностей.
Обозначим множество выбираемых решений Sel X. Оно и пред-
представляет собой решение задачи выбора. Таким образом, решить
задачу выбора, значит, найти множество Sel X, Sel X с X. Когда
множество выбираемых решений не содержит ни одного элемен-
элемента (т. е. пусто), собственно выбора не происходит, так как ни
одно решение не оказывается выбранным. Подобная ситуация
не представляет практического интереса, поэтому множество Sel X
должно содержать, по крайней мере, один элемент. В некоторых
задачах оно может быть бесконечным.

1.1. ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 17
2. Лицо, принимающее решение. Процесс выбора невозможен
без наличия того, кто осуществляет этот выбор, преследуя свои
цели. Человека (или целый коллектив, подчиненный достиже-
достижению определенной цели), который производит выбор и несет
полную ответственность за его последствия, называют лицом,
принимающим решение (сокращенно: ЛПР).
Сама природа ЛПР при решении задачи выбора, как правило,
не имеет особого значения. Например, если в качестве ЛПР
выступает некоторый человек, то, как всякий человек, он пред-
представляет собой сложное биологическое и социальное существо.
Это существо имеет тело определенного строения, и в этом теле
протекают различные, возможно, до конца не изученные, биохи-
биохимические, психофизические, физиологические и психические про-
процессы. Однако для принятия, например, решения о выборе той
или иной экономической стратегии фирмы совсем не обязательно
учитывать строение черепа или состояние позвоночника этого
человека. В процессе выбора важно, насколько богатым опытом
в области экономики обладает этот человек, каким он представля-
представляет будущее своей фирмы, какие интересы, связанные с фирмой,
он старается удовлетворить и т. п. Таким образом, говоря о ЛПР
в контексте задачи выбора, мы будем иметь в виду не его целиком,
а лишь ту его «часть», те его характеристики, которые так или
иначе связаны с процессом выбора.
Если различные индивиды в одних и тех же ситуациях выбора
ведут себя одинаковым образом, то с точки зрения теории при-
принятия решений они ничем не отличаются друг от друга, т. е. пред-
представляют собой одно и то же ЛПР.
3. Векторный критерий. Обычно считается, что выбранным
(наилучшим) является такое возможное решение, которое наи-
наиболее полно удовлетворяет желаниям, интересам или целям дан-
данного ЛПР. Стремление ЛПР достичь определенной цели нередко
в математических терминах удается выразить в виде максимиза-
максимизации (или минимизации) некоторой числовой функции, заданной
на множестве X Однако в более сложных ситуациях приходится
иметь дело не с одной, а сразу с несколькими функциями. Так
будет, например, когда исследуемое явление, объект или процесс
рассматриваются с различных точек зрения и для формализации
каждой точки зрения используется соответствующая функция. Если
явление изучается в динамике, поэтапно и для оценки каждого
этапа приходится вводить отдельную функцию, — в этом случае
также приходится учитывать несколько функциональных пока-
показателей.

18 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Данная книга посвящена рассмотрению ситуации, когда име-
имеется сразу несколько числовых функций fuf2, ...,fm, т ^ 2, опре-
определенных на множестве возможных решений X. В зависимости
от содержания задачи выбора эти функции называют критериями
оптимальности, критериями эффективности, целевыми функция-
функциями, показателями или критериями качества.
Проиллюстрируем введенные термины, рассмотрев задачу
выбора наилучшего проектного решения. В этой задаче множество
X состоит из нескольких конкурсных проектов (например, стро-
строительства нового предприятия), а критериями оптимальности
могут служить стоимость реализации проекта /х и величина при-
прибыли f2, которую обеспечит данное проектное решение (т. е. по-
построенное предприятие). Если ограничить рассмотрение данной
задачи лишь одним критерием оптимальности, практическая зна-
значимость решения такой задачи будет незначительной. В самом деле,
при использовании только первого критерия будет выбран самый
дешевый проект, но его реализация может привести к недопусти-
недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого
прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия
оптимальности, может просто не хватить имеющихся средств. По-
Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных кри-
критерия одновременно. Если же дополнительно стараться миними-
минимизировать нежелательные экологические последствия строительства
и функционирования предприятия, то к двум указанным следует
добавить еще один — третий критерий, учитывающий экологи-
экологический ущерб от строительства предприятия, и т. д. Что касается
ЛПР, то в данной задаче таковым является глава администрации
района, на территории которого будет построено предприятие,
при условии, что это предприятие является государственным. Если
же предприятие — частное, то в качестве ЛПР выступает глава
соответствующей фирмы.
Указанные выше числовые функции fbf2, ...,fm образуют век-
векторный критерий
/= (fl,f2,-,fn)> (LI)
который принимает значения в пространстве m-мерных векто-
векторов Rm. Это пространство называют критериальным простран-
пространством или пространством оценок, а всякое значение/(х) = (/j(x),
f2{x), ...,fm (х)) e Rm векторного критерия /при определенном х е X
именуют векторной оценкой возможного решения х. Все возмож-
возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок
(возможных векторов)

1.1. ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 19
Y = f(X) = {у е Rm | у = f(x) при некотором х е X}.
Наряду с множеством выбираемых решений удобно ввести
в рассмотрение множество выбираемых векторов (выбираемых
оценок)
Sel Y = /(Sel X) = {yG Y \ у = f(x) при некотором х е SelX},
представляющее собой некоторое подмножество критериального
пространства Rm.
4. Многокритериальная задача. Задачу выбора, содержащую мно-
множество возможных решений X и векторный критерий / обычно на-
называют многокритериальной задачей. Изучению свойств таких задач
посвящена многочисленная литература (см., например, [3, 5, 17, 26]).
Как было указано выше, в рамках рассматриваемой модели
выбора решений множество возможных решений X может иметь
произвольную природу. В частности, если решениями являются
^-мерные векторы, то X с Rn. Например, в задачах математи-
математического программирования X представляет собой множество реше-
решений определенной системы неравенств:
Х= {х е Rn \gs(x) ^ О, s = 1,2,...Д},
где gb g2,..., gk — некоторые числовые функции, определенные
на пространстве Rn.
Необходимо отметить, что формирование математической
модели принятия решений (т. е. построение множества X и век-
векторного критерия /) нередко представляет собой сложный про-
процесс, в котором тесно взаимодействуют специалисты двух сторон.
А именно, представители конкретной области знаний, к которой
относится исследуемая проблема, и специалисты по принятию
решений (математики). С одной стороны, следует учесть все важ-
важнейшие черты и детали реальной задачи, а с другой — построен-
построенная модель не должна оказаться чрезмерно сложной для того,
чтобы для ее исследования и решения можно было успешно при-
применить разработанный к настоящему времени математический
аппарат. Именно поэтому этап построения математической модели
в значительной степени зависит от опыта, интуиции и искусства
исследователей обеих сторон. Его невозможно отождествить с про-
простым формальным применением уже известных, хорошо описан-
описанных алгоритмов.
Здесь следует еще добавить, что любая задача выбора (в том чис-
числе и многокритериальная) тесно связана с конкретным ЛПР. Уже на
стадии формирования математической модели при построении

20 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
множества возможных решений и векторного критерия дело не об-
обходится без советов, рекомендаций и указаний ЛПР, тем более что
векторный критерий как раз и служит для выражения целей ЛПР.
При этом ясно, что построить модель в точности соответствующую
всем реальным обстоятельствам невозможно. Модель всегда яв-
является упрощением действительности. Важно добиться, чтобы она
содержала те черты и детали, которые в наибольшей степени вли-
влияют на окончательный выбор наилучшего решения.
Предположим, что указанные две компоненты задачи выбора
сформированы, четко описаны и зафиксированы. Опыт показы-
показывает, что в терминах критерия / чаще всего не удается выразить
всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений данного ЛПР.
С помощью векторного критерия лишь намечаются определенные
локальные цели, которые нередко оказываются взаимно проти-
противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты
быть не могут, и поэтому требуется определенная дополнительная
информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если
ограничиться лишь указанными выше двумя компонентами —
множеством возможных решений и векторным критерием — то
задача выбора оказывается в некотором смысле «недоопределен-
ной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой ло-
логической обоснованности выбора наилучшего решения на основе
векторного критерия. Многочисленные процедуры выбора (методы
построения множества Sel X), предлагаемые в литературе по при-
принятию решений (см., например, [5, 10, 29, 35, 42, 43]) и основанные
лишь на знании векторного критерия обычно содержат элементы
эвристики и не имеют четкого логического обоснования.
Для того чтобы осуществить более обоснованный выбор,
следует помимо векторного критерия располагать какими-то до-
дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой целью
необходимо включить в многокритериальную задачу еще один эле-
элемент, который позволил бы выразить и описать эти предпочтения.
5. Отношение предпочтения. Рассмотрим два возможных ре-
решения х' и х". Предположим, что после предъявления ЛПР
этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) пер-
первому из них. В этом случае пишут
У1 S-
X >х
Знак >х служит для обозначений предпочтений данного ЛПР
и называется отношением строгого предпочтения или, короче, от-
отношением предпочтения.

1.1. ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА 21
Следует отметить, что не всякие два возможных решения х'
и х" связаны соотношением х' >х х"-> либо соотношением х" >х х'-
Иначе говоря, не из любой пары решений ЛПР может сделать
окончательный выбор. Вполне могут существовать такие пары,
что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение какому-то одному
решению этой пары, даже если это пара различных решений.
Описанная ситуация вполне соответствует реальному положению
вещей. Более того, если бы от ЛПР требовалась способность в про-
произвольной паре возможных решений уметь определять решение,
более предпочтительное по сравнению с другим, то в таком случае
теория, построенная на указанном «жестком» требовании к ЛПР,
не представляла бы практического интереса. Подобные «всемо-
«всемогущие» ЛПР в жизни встречаются крайне редко!
Отношение предпочтения >х, заданное на множестве возмож-
возможных решений, естественным образом
/(*')^r/(*") <* xf>xx" для х', х;/ е I
индуцирует (порождает) отношение предпочтения >Y на множе-
множестве возможных векторов Y. Тем самым, вектор у' = f(x') явля-
является предпочтительнее вектора у" = f(x") (т. е. у' >Y У") тогда и
только тогда, когда решение х' предпочтительнее решения х" (т. е.
X' >ХХ").
6. Задача многокритериального выбора. Теперь можно сфор-
сформулировать все основные элементы задачи многокритериального
выбора. Итак, постановка всякой задачи многокритериального
выбора включает
— множество возможных решений X,
— векторный критерий / вида A.1),
— отношение предпочтения >х, заданное на множестве воз-
возможных решений.
Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора
не включено. В этом нет необходимости. Подразумевается, что
все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказы-
оказывающие влияние на процесс выбора, «материализованы» в тер-
терминах векторного критерия и отношения предпочтения.
Следует, однако, заметить, что приведенный список основных
компонентов задачи многокритериального выбора в дальнейшем
при необходимости может быть расширен за счет добавления
каких-то новых объектов, с помощью которых дополнительно
удастся учесть интересы, мотивацию и пристрастия ЛПР.
Приведенная выше задача многокритериального выбора
сформулирована в терминах решений. Нередко данную задачу

22 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
формулируют в терминах векторов. В таком случае она содержит
два объекта:
- множество возможных векторов 7, 7 с Rm,
— отношение предпочтения >Y-> заданное на множестве воз-
возможных векторов.
1.2. Бинарные отношения
1. Определение бинарного отношения. Для описания и изучения
введенного выше отношения предпочтения существует специ-
специальное математическое понятие — бинарное отношение. Настоя-
Настоящий раздел содержит вспомогательный математический аппарат,
связанный с бинарными отношениями. Читатель, знакомый с би-
бинарными отношениями, может бегло просмотреть его и пере-
переходить к следующему разделу.
Прежде всего, напомним понятие декартова произведения двух
множеств. Пусть имеются два произвольных множества А ж В.
Декартовым произведением этих множеств называется множество,
обозначаемое А х В и определяемое равенством
А х В = {(а, Ь) |при некоторых а е А, Ъ е В}.
Иными словами, декартово произведение образуется из всех воз-
возможных пар элементов данных двух множеств, причем первым
элементом пары является элемент первого множества, а вторым —
элемент второго множества.
Например, декартово произведение двух конечных число-
числовых множеств А = {1,2} и В = {2, 3, 4} содержит шесть эле-
элементов и имеет вид
А х В= {A,2), A,3), A,4), B,2), B,3), B,4)}.
Перейдем к определению бинарного отношения. Бинарным
отношением Ж, заданным на множестве А, называется подмноже-
подмножество декартова произведения А х А, т. е. Ж с А х А. Другими
словами, всякое множество пар, составленных из элементов мно-
множества А, образует некоторое бинарное отношение. В частности,
самым «широким» бинарным отношением является множество
Ж = А х А, совпадающее с данным декартовым произведением.
Если имеет место включение (a, b) e Ж, то обычно пишут
«3?йи говорят, что элемент а находится в отношении Ж с элемен-
элементом Ь.
Заметим, что в общем случае из а Ж Ъ не следует выполнение
соотношения b$la.

1.2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 23
Приведем примеры некоторых бинарных отношений. Из кур-
курса арифметики известен целый ряд бинарных отношений, оп-
определенных на множестве вещественных чисел: =, ^, ^, > и <.
В теории множеств рассматривается бинарное отношение вклю-
включения с, заданное на множестве всех подмножеств некоторого
фиксированного множества.
Введем следующие активно используемые в дальнейшем из-
изложении бинарные отношения для произвольных векторов а =
= (аь а2, ..., ат) и Ъ = (Ьь Ъъ ..., Ьт) пространства Rm\
а > Ъ <^> at > Ъь i = 1, 2, ..., т;
а ^ Ъ <^> at ^ Ъь i = 1, 2, ..., т;
а > Ъ <^> а ^ Ъ и а ^ Ь.
Выполнение последнего соотношения а > Ъ означает, что каждая
компонента вектора а больше либо равна соответствующей компо-
компоненты вектора Ь, причем хотя бы одна компонента первого вектора
строго больше соответствующей компоненты второго вектора.
2. Типы бинарных отношений. В зависимости от свойств, ко-
которыми обладают бинарные отношения, производят их типиза-
типизацию. Приведем определения некоторых распространенных ти-
типов бинарных отношений.
Бинарное отношение Ж, заданное на множестве А, называют
— рефлексивным, если соотношение а Ж а имеет место для всех
а е А;
— иррефлексивным, если соотношение а Ж а не выполняется
ни для одного а е А;
— симметричным, если всякий раз из выполнения соотно-
соотношения а Ж Ъ для элементов а, Ъ е А следует выполнение соот-
соотношения Ъ Ж а;
— асимметричным, если из выполнения соотношения а Ж Ъ
для элементов а, Ъ е А всегда следует, что соотношение Ъ Ж а места
не имеет;
— антисимметричным, если всякий раз из выполнения соот-
соотношений а Ж Ъ, b$l а для элементов а, Ъ е А вытекает равенство
а = Ъ;
— транзитивным, если для любой тройки элементов а, Ъ, с е А
из выполнения соотношений а Ж Ъ, Ь^Яс всегда следует справед-
справедливость соотношения а Ж с;
— инвариантным относительно линейного положительного пре-
преобразования, если для любых трех элементов а, Ъ, с е А и произ-
произвольного положительного числа а из выполнения соотношения

24 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
а Ж Ъ всегда вытекает соотношение (а • а + с) Ж (а • Ъ + с) (здесь
считается, что А = Rm);
— полным, если для любой пары элементов а, Ъ е А выпол-
выполняется соотношение а Ж Ъ, или соотношение Ъ Ж а, или оба эти
соотношения одновременно;
— частичным, если это отношение не является полным.
Отношения равенства = и нестрогого неравенства ^ дают
примеры рефлексивных, а отношение строгого неравенства >
и отношение > — иррефлексивных отношений на Rm. Отношение
равенства является симметричным, отношение нестрогого нера-
неравенства — антисимметричным, а отношения > и > — асиммет-
асимметричны. Все отношения =, >, >, ^ транзитивны и инвариантны
относительно линейного положительного преобразования. Отно-
Отношения равенства и отношение строгого неравенства, очевидно,
являются частичными. Отношение нестрогого неравенства ^, рас-
рассматриваемое на множестве чисел, является полным, потому, что
для любых двух чисел а и Ъ выполнено а ^ Ъ, либо Ъ ^ а, либо
оба эти неравенства одновременно. Если же отношение нестрогого
неравенства рассмотреть на множестве векторов Rm при т > 1, то
оно окажется лишь частичным.
Нетрудно проверить, что всякое асимметричное отношение
иррефлексивно.
А Действительно, если, напротив, некоторое асимметричное
отношение Ж не является иррефлексивным, то для некоторого
а е А выполнено соотношение а Ж а. Но благодаря асимметрич-
асимметричности данного отношения последнее соотношение не должно
иметь места. Полученное противоречие устанавливает иррефлек-
иррефлексивность 5R.Y
3. Отношения порядка. Комбинации некоторых типов бинар-
бинарных отношений играют важную роль в последующем изложении.
Введем соответствующие определения.
Бинарное отношение Ж, заданное на множестве А, называют
— порядком (отношением порядка), если оно рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно;
— строгим порядком (отношением строгого порядка), если оно
является иррефлексивным и транзитивным;
— линейным порядком, если оно является полным порядком.
Отношение строгого порядка нередко называют отношением
предпорядка.
Отношение нестрогого неравенства ^ на множестве веще-
вещественных чисел представляет собой линейный порядок, тогда как
на множестве векторов это отношение будет лишь частичным.

1.3. МНОЖЕСТВО НЕДОМИНИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ 25
Отношение >, рассматриваемое на множестве векторов, является
строгим частичным порядком.
Лемма 1.1. Всякое отношение строгого порядка является асим-
асимметричным.
А Предположим противное: некоторое отношение Ж ирреф-
лексивно и транзитивно, но не является асимметричным. Это
означает, что найдется пара элементов a, b e А, для которой вы-
выполнены соотношения a^Rb n b^Ra одновременно. На основании
транзитивности отсюда следует а Ж а, что несовместимо с усло-
условием иррефлексивности отношения 5R.Y
Еще один пример строгого порядка, заданного на простран-
пространстве Rm, дает лексикографическое отношение порядка, задавае-
задаваемое следующим образом. Вектор у1= {у[,Уъ —>Ут) лексикогра-
лексикографически больше вектора у" = (у"9 у}{,..., у1^) тогда и только тогда,
когда выполнено какое-либо одно из следующих условий
2) у[ = уЬ у'2 > y'i\
3) у[ = У'!, У'2 = уЪ У', > у?;
Нетрудно понять, что любые два вектора пространства Rm
либо равны друг другу, либо один из них лексикографически
больше другого вектора.
1.3. Множество недоминируемых решений
1. Требование, предъявляемое к отношению предпочтения. Рас-
Рассмотрим задачу многокритериального выбора, включающую мно-
множество возможных решений X, векторный критерий/и отноше-
отношение предпочтения >х- Поскольку отношение предпочтения зада-
задается на парах возможных решений, то, как нетрудно понять, оно
представляет собой некоторое бинарное отношение.
Предположим, что ЛПР в процессе выбора ведет себя доста-
достаточно «разумно» и обсудим требования, которым в таком случае
должно удовлетворять его бинарное отношение предпочтения.
Прежде всего, следует напомнить, что отношение предпочте-
предпочтения >х по своей сути является отношением строгого предпочтения
в том смысле, что выполнение соотношения х >х х невозможно ни
для какого решения х е X, поскольку ни одно решение не может

26 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
быть строго предпочтительнее самого себя. В терминах бинарных
отношений, рассмотренных в предыдущем разделе, это означает,
что отношение предпочтения должно быть иррефлексивным. Тем
самым, далее при изучении задач выбора будут рассматриваться
только такие отношения предпочтения, на которые наложено
требование иррефлексивности.
Рассмотрим ситуацию, когда одно решение предпочтитель-
предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого
третьего решения. В таком положении здравомыслящий человек
при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое.
Здесь происходит примерно то же самое, что и при сравнении
чисел с помощью отношения строгого неравенства. Например, если
5 > 3 и 3 > 1, то непременно выполнено 5 > 1. В терминах воз-
возможных решений это свойство может быть сформулировано следу-
следующим образом: для любой тройки возможных решений х\ х", х'"
из выполнения соотношений х' >х х" и х" ^х х"' обязательно
следует справедливость соотношения х' >х х"'- На языке бинар-
бинарных отношений это означает, что отношение предпочтения, ис-
используемое в задачах многокритериального выбора, должно быть
подчинено требованию транзитивности.
В соответствии с приведенными рассуждениями сформулиру-
сформулируем условие (требование), которому должны удовлетворять все рас-
рассматриваемые в данной книге бинарные отношения предпочтения.
Отношение предпочтения >х, которым ЛПР руководствуется
в процессе выбора, представляет собой строгий порядок, т. е. явля-
является иррефлексивным и транзитивным.
На основании леммы 1.1 отношение предпочтения, удовлетво-
удовлетворяющее данному требованию, обязательно будет асимметричным.
Забегая вперед, отметим, что последующее принятие аксио-
аксиомы 2 (см. разд. 1.4) автоматически влечет выполнение сформули-
сформулированного выше требования.
2. Множество недоминируемых решений. Как указано в разд. 1.1,
решение задачи многокритериального выбора заключается в отыс-
отыскании множества выбираемых решений SelX Выясним, каким
образом сведения об отношении предпочтения могут быть исполь-
использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.
Рассмотрим два произвольных возможных решения х'их". Для
них имеет место один и только один случай из следующих трех:
— справедливо соотношение х' >х х"-> а соотношение х" >х х'
не выполняется;
— справедливо соотношение х" >х х\ а соотношение х' >х х"
не выполняется;

1.3. МНОЖЕСТВО НЕДОМИНИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ 27
— не выполняется ни соотношение х' >х х"> ни соотношение
X >х X.
Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь
соотношения х' ^х^их" >х х' выполняются, невозможен бла-
благодаря асимметричности отношения предпочтения >х-
В первом указанном выше случае, т. е. при выполнении со-
соотношения х' >х х'\ говорят, что решение х' доминирует реше-
решение х" (по отношению >х)- Во втором случае х" доминирует х'.
Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения х'
и х" не сравнимы по отношению предпочтения.
Вернемся к задаче выбора. Пусть для некоторого возможного
решения х" найдется такое возможное решение х\ что выполнено
соотношение х' >х х"- По определению отношения предпочтения
это означает, что из данной пары решений ЛПР выберет первое
решение. Тогда второе решение х" не может быть выбранным из
данной пары х/;их' так как это означало бы выполнение соотно-
соотношения х" >х х\ противоречащее вместе с х' >х х" условию асим-
асимметричности отношения >х- Сказанное в терминах множества
выбираемых решений можно выразить в виде следующей экви-
эквивалентности
х1 у х" <* Sell*',*"} = {xf}
для х\ х" е X.
Если второе решение х" не выбирается из пары в силу того,
что для него в этой паре есть лучшее решение, то, рассматривая
х" в пределах всего множества возможных решений X, разумно
предположить, что решение х" в таком случае не может быть
выбранным и из всего множества возможных решений, так как
для него в X существует, по крайней мере, одно заведомо более
предпочтительное решение х'.
Приведенные рассуждения показывают, что при выборе перво-
первого решения из пары х', х" естественно считать, что второе решение
не может оказаться выбранным и из всего множества возмож-
возможных решений X. Тем самым, всюду далее будет предполагаться
выполненным требование, которое выразим в виде следующей
аксиомы.
Аксиома 1 (исключение доминируемых решений). Если для
некоторой пары решений х',х" е X имеет место соотношение
х1 >хх", то х" 0 SelX1).
1) Можно показать (см. [22]), что обратное условие Кондорсе [1] влечет вы-
выполнение аксиомы 1, но не наоборот.

28 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
В аксиоме 1 участвует не только отношение предпочтения
>х-> которым руководствуется ЛПР в процессе принятия реше-
решений, но и множество Sel X. Это означает, что данное требование
следует рассматривать как определенное ограничение на множе-
множество выбираемых решений. А именно, любое множество выбира-
выбираемых решений не должно содержать ни одного такого решения,
для которого может найтись более предпочтительное решение.
Более точно и полно этот факт будет выражен далее в лемме 1.2.
Нетрудно привести простой содержательный пример, в ко-
котором аксиома исключения не выполняется. Рассмотрим задачу
выбора из трех возможных претендентов на два вакантных места.
При этом считается, что оба вакантных места обязательно должны
быть заполнены. Предположим, что при сравнении претендентов
выяснилось, что первый является предпочтительнее второго и тре-
третьего, а второй предпочтительнее третьего. Поскольку согласно
условию из трех кандидатов обязательно следует выбрать двоих,
то, очевидно, ими окажутся первый и второй. Таким образом,
второй претендент из пары первых двух не выбирается, тем не ме-
менее из всего множества трех возможных претендентов он оказы-
оказывается выбранным. Следовательно, аксиома исключения доми-
доминируемых решений в этом примере нарушается.
В соответствии с аксиомой 1 любое доминируемое решение
следует исключать из списка решений, претендующих на роль
выбираемых. Исключение всех доминируемых решений приво-
приводит к множеству, которое играет важную роль в дальнейшем из-
изложении.
Множество недоминируемых решений 1) обозначается Ndom X
и определяется равенством
Ndom X = {х* g X | не существует такого х е X, что х >х х*}.
Таким образом, Ndom X представляет собой определенное
подмножество множества возможных решений X. В зависимости
от вида множества X и конкретного типа отношения предпочте-
предпочтения >х множество недоминируемых решений может
— быть пустым, т. е. не содержать ни одного решения;
— состоять в точности из одного решения;
— содержать некоторое конечное число решений;
— состоять из бесконечного числа решений.
1) Напоминаем, что здесь отношение предпочтения >х предполагается ир-
рефлексивным и транзитивным. При этом заметим, что на самом деле для вве-
введения множества недоминируемых решений достаточно требовать от отношения
предпочтения лишь свойства асимметричности.

1.3. МНОЖЕСТВО НЕДОМИНИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ 29
Лемма 1.2. Для любого непустого множества выбираемых ре-
решений SelJf, удовлетворяющего аксиоме 1, справедливо включение
SelXc NdomX A.2)
А Если предположить, что включение A.2) для некоторого
непустого множества Sel X не имеет места, то среди элементов
этого множества найдется решение х" е Sel X, для которого вы-
выполнено соотношение х" 0 NdomX. Тогда, по определению мно-
множества недоминируемых решений, существует такое решение
xf e X, что х' >хх"- Отсюда, используя аксиому 1, получаем
х" 0 Sel X Это противоречит начальному предположению о том,
что х" — выбранное решение.Y
Замечание. В формулировке леммы 1.2 утверждается, что
включение 1.2 выполняется для произвольного непустого мно-
множества выбираемых решений. Если Sel X = 0, то включение A.2)
также имеет место, поскольку, как принято в теории множеств,
пустое множество содержится в качестве подмножества в любом
множестве. Поэтому условие непустоты множества выбираемых
решений в формулировке леммы 1.2 можно было бы опустить;
при этом справедливость рассматриваемой леммы не нарушает-
нарушается. Но тогда при доказательстве следовало бы специально огова-
оговаривать этот «вырожденный» случай, который с практической точки
зрения интереса не представляет (если нет выбора, то и нет смысла
изучать законы такого выбора). По этой причине здесь и всюду
далее в подобных ситуациях, когда речь пойдет о включениях,
содержащих множество выбираемых решений (или множество
выбираемых векторов), мы будем подчеркивать непустоту этих
множеств, чтобы сразу исключить из рассмотрения бессодержа-
бессодержательные с практической точки зрения случаи.
Включение A.2) устанавливает, что для достаточно широко-
широкого класса задач (а именно, для тех задач, для которых выполнена
аксиома 1): выбор решений следует производить только среди не-
недоминируемых решений. Кроме того, поскольку все последующие
требования (аксиомы), предъявляемые к рассматриваемому здесь
классу задач многокритериального выбора, как мы увидим далее,
не содержат множества выбираемых решений (и выбираемых век-
векторов), включение A.2) показывает, что выбранным может ока-
оказаться любое подмножество множества недоминируемых решений.
Когда Sel X ^ 0 и множество недоминируемых решений со-
состоит из единственного элемента, задача выбора в принципе ре-
решена, поскольку это единственное недоминируемое решение в силу
включения A.2) является выбираемым решением и остается только

30 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
найти его. Следует, однако, заметить, что подобного рода ситуа-
ситуации в практике встречаются крайне редко. Чаще всего, тех све-
сведений, которые имеются об отношении предпочтения, оказыва-
оказывается недостаточно не только для нахождения множества выбира-
выбираемых решений, но и для построения множества недоминируемых
решений.
Тем не менее, даже неполные, фрагментарные сведения об
отношении предпочтения ЛПР позволяют из всего множества
возможных решений исключить доминируемые решения (как
заведомо непригодные для выбора) и, тем самым, упростить по-
последующий выбор.
Наряду с множеством недоминируемых решений удобно вве-
ввести в рассмотрение множество недоминируемых векторов (недо-
(недоминируемых оценок)
= /(NdomX) =
= \f(x*) ? Y | не существует такого х е Х9 что х >х х*} =
= {у* е Y | не существует такого у е Y, что у >Y 37*}-
Для введенного множества недоминируемых векторов аксио-
аксиому 1 и лемму 1.2 можно переформулировать следующим образом.
Аксиома 1 (исключение доминируемых векторов). Если для
некоторой пары векторов у fy у" е Yвыполнено соотношение у' >Y У",
то у" 0 Sel Y
Лемма 1.2. (в терминах оценок). Для любого непустого множе-
множества выбираемых векторов Sel Y, удовлетворяющего аксиоме 1, спра-
справедливо включение
Sel Y с Ndom Y.
3. Алгоритм построения множества недоминируемых решений.
В предыдущем пункте была отмечена важная роль множества
недоминируемых решений (и векторов) в теории принятия ре-
решений. Последующее изложение книги позволит еще не раз убе-
убедиться в справедливости этого высказывания. По этой причине
следует иметь в распоряжении какой-нибудь метод или алгоритм
построения множества недоминируемых решений (и векторов).
В общем случае вопрос построения множества недоминируе-
недоминируемых решений и/или векторов представляется чрезвычайно слож-
сложным, однако для конечного множества возможных решений X(мно-
X(множества возможных векторов Y) он решается достаточно просто.
Итак, пусть множество возможных решений X состоит из
конечного числа элементов, а отношение предпочтения является

1.3. МНОЖЕСТВО НЕДОМИНИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ 31
иррефлексивным и транзитивным. Для построения множества
недоминируемых решений Ndom X прежде всего следует перену-
перенумеровать все возможные решения. Пусть, например,
X = Xi = {х1? х2, ..., хп\.
Первый шаг алгоритма нахождения множества недоминируе-
недоминируемых решений заключается в последовательном сравнении перво-
первого решения х{ со всеми остальными хъ ..., хп. Это сравнение зак-
заключается в проверке справедливости соотношения %i >~x */ и со-
соотношения xt >х х\ ПРИ каждом / = 2, ..., п.
В случае истинности для некоторого / первого соотношения
х\ ^х xi-> доминируемое решение xt следует удалить из множества Хх
и продолжить указанную проверку для следующего за xt решения.
При выполнении второго соотношения xt >x х\ удалению
подлежит первое решение хь после чего сразу же следует пе-
перейти ко второму шагу. Если же ни одно из двух приведенных
соотношений хх >х xt и xt ^x х\ не является истинным, ничего
удалять не нужно. В том случае, когда сравнения решения х{
были проведены со всеми остальными решениями хъ ..., хп, и ни
для какого / = 2, ..., п не оказалось выполненным соотношение
xt >х хь первое решение следует запомнить как недоминируе-
недоминируемое и удалить его из (оставшегося) множества возможных реше-
решений. Указанные действия описывают первый шаг алгоритма.
Если после выполнения первого шага во множестве возмож-
возможных решений не осталось ни одного решения (т. е. все оказались
удаленными), то алгоритм заканчивает работу. При этом в памя-
памяти будет храниться одно недоминируемое решение х{. Оно и пред-
представляет собой множество недоминируемых решений. В против-
противном случае (т. е. когда не все решения оказались удаленными),
необходимо перейти ко второму шагу.
Обозначим множество, оставшееся после выполнения пер-
первого шага Хъ
Второй шаг полностью аналогичен первому. А именно, сна-
сначала нужно перенумеровать элементы множества Х2. После этого
следует провести последовательное сравнение первого решения
этого множества со всеми остальными его элементами. При этом
сравнение осуществляется совершенно аналогично тому, как это
было описано на первом шаге. Выполнение сравнений на вто-
втором шаге либо закончится удалением первого решения множе-
множества Хъ как доминируемого, либо такого удаления не произой-
произойдет. Во втором случае это решение следует запомнить как недо-
недоминируемое, а затем удалить его из множества Х2. Если после

32 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
этого во множестве возможных решений не останется ни одного
решения, то вычисления заканчиваются; в памяти будет храниться
множество недоминируемых решений. В противном случае к ос-
оставшемуся непустому множеству возможных решений нужно
применить аналогичный третий шаг алгоритма и т. д. В результате,
после окончания работы алгоритма в памяти будет храниться
множество всех недоминируемых решений l) Ndom X.
На каждом шаге алгоритма происходит удаление, по крайней
мере, одного возможного решения. Следовательно, после выпол-
выполнения некоторого конечного числа шагов будут удалены все воз-
возможные решения кроме некоторого одного и алгоритм закончит
свою работу, так как оставшееся решение не с чем будет сравнивать
и потому оно также будет недоминируемым. Это рассуждение
доказывает конечность приведенного алгоритма.
Применение описанного алгоритма к произвольному конеч-
конечному множеству возможных решений за конечное число шагов
приведет к отысканию, по крайней мере, одного недоминируе-
недоминируемого решения. Действительно, недоминируемым запоминается
лишь первое решение из множества, которое участвует в выпол-
выполнении очередного шага алгоритма. Если на всех предыдущих шагах
(кроме последнего) не было выявлено ни одного недоминируе-
недоминируемого решения, то таковым должно быть последнее решение, по-
поскольку его не может доминировать ни одно из всех остальных
возможных решений. Тем самым, получен следующий результат.
Теорема 1.1. Пусть множество возможных решений X (множе-
(множество возможных векторов Y) состоит из конечного числа элементов.
Если отношение предпочтения >хявляется иррефлексивным и тран-
транзитивным, то множество возможных решений {векторов) содер-
содержит хотя бы одно недоминируемое решение (один недоминируемый
вектор), т. е. Ndom X ^ 0 (Ndom Y ^ 0).
Чаще всего в практических задачах выбора отношение пред-
предпочтения задано лишь частично, либо вообще не задано и его сле-
следует построить прежде, чем приступать к решению задачи. В таких
случаях схему приведенного выше алгоритма можно использовать
для опроса ЛПР с целью выявления его отношения предпочте-
предпочтения и одновременного построения множества недоминируемых
решений. Для этого ЛПР сначала предлагают выбрать предпоч-
предпочтительное решение из каждой пары, содержащей первое решение.
При этом доминируемые решения, по мере их выявления, сразу
1) Следует отметить, что это высказывание имеет место не только благода-
благодаря конечности множества возможных решений, но и вследствие транзитивности
отношения предпочтения.

1.4. МНОЖЕСТВО ПАРЕТО 33
же удаляются. Далее, для сравнения предлагаются все пары, со-
содержащие первое решение из множества, оставшегося после
первого шага, и т. д.
Кроме того, необходимо отметить, что схема приведенного
выше алгоритма может быть использована для построения мно-
множества Парето (см. следующий разд.).
1.4. Множество Парето
1. Дальнейшие требования, предъявляемые к отношению пред-
предпочтения. В постановке задачи многокритериального выбора име-
имеется векторный критерий/ = (/ь/г, ...,/»*)• Каждая компонента ft
векторного критерия, как правило, характеризует определенную
цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических тер-
терминах нередко выражается в условии максимизации (или мини-
минимизации) функции ft на множестве X.
Необходимо отметить, что в некоторых задачах могут встре-
встретиться критерии, которые не обязательно следует максимизиро-
максимизировать или минимизировать. Например, иногда требуется получить
некоторое среднее значение критерия или «удержать» его значе-
значения в определенных заданных пределах и т. п. В таких случаях
более гибким инструментом являются не критерии fb а («част-
(«частные») отношения предпочтения yt (см. [32, 33]). Однако, как ус-
установлено, например, в [32], во многих важных с практической
точки зрения случаях (т. е. при некоторых «разумных» требова-
требованиях к >-г и X) существует функция полезности иь адекватно опи-
описывающая данное «частное» отношение предпочтения: для всех
х\х" е X верна эквивалентность х' >t x" <^> ut{x') > ut{x").
Эти результаты показывают, что многие задачи, в которых изна-
изначально не требуется максимизация (или минимизация) критериев,
могут быть, по крайней мере теоретически, сведены к подобного
рода экстремальным задачам 1).
В соответствии со сказанным будем считать, что ЛПР заин-
заинтересовано в получении по возможности больших значений каждой
компоненты ft векторного критерия / В рамках многокритериаль-
многокритериальной задачи приходится ограничиваться уровнем строгости сфор-
сформулированного допущения в том виде, в котором оно приведено
выше. Однако внимательный анализ показывает его некоторую
неопределенность, расплывчатость. Придадим обсуждаемому до-
допущению строгую форму.
1) Следует заметить, что последующее изложение можно обобщить на слу-
случай «частных» отношений предпочтения.

34 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Для этого перейдем к оценкам и напомним, каким образом
определяется бинарное отношение >Y-> заданное на множестве
возможных векторов Y = f(X), Y с Rm\
f(x')>Yf(x") & х'>хх" №ях',х"еХ.
Всюду далее будем считать выполненным следующее допу-
допущение, формулируемое в терминах векторов критериального про-
пространства.
Аксиома 2 (продолжение отношения предпочтения 1)). Су-
Существует продолжение > на все критериальное пространство Rm
отношения yY, причем это продолжение у является иррефлексив-
ным и транзитивным отношением.
Суть этого требования (не считая обязательную иррефлек-
иррефлексивность и транзитивность) заключается в постулировании «рас-
«расширенных» возможностей ЛПР сравнивать оценки по предпоч-
предпочтительности. В соответствии с ним для любых двух векторов
у\у" Е Rm выполняется одно и только одно из следующих трех
соотношений
- У у у»;
- У" > У*\
- не имеет места ни у' > у", ни у" > у'.
При этом отношение предпочтения >- на множестве возмож-
возможных векторов Y совпадает с отношением yY, которое самым
непосредственным образом связано с отношением >х-
Поскольку иррефлексивность и транзитивность отношения >-
означает наличие аналогичных свойств у отношения yY, что, в свою
очередь, влечет иррефлексивность и транзитивность отношения ух,
необходимость требования иррефлексивности и транзитивности
отношения >-х(см. п. 1 разд. 1.3) с данного момента отпадает. Это
требование автоматически выполняется в условиях справедливости
аксиомы 2.
2. Согласование отношения предпочтения с критериями. Со-
Совершенно очевидно, что в задаче многокритериального выбора
отношение предпочтения, равно как и критерии оптимальности,
выражают интересы одного и того же ЛПР. Поэтому они должны
быть каким-то образом взаимосвязаны (сопряжены) друг с другом.
Настало время обсудить эту взаимосвязь.
1) В этом требовании для обеспечения справедливости формулируемого ниже
принципа Эджворта-Парето можно предполагать существование продолжения
отношения >- не на все пространство Rm, а лишь на декартово произведение
множеств, являющихся значениями имеющихся критериев (см. [22]).

1.4. МНОЖЕСТВО ПАРЕТО 35
Будем говорить, что /-й критерий ft согласован с отношением
предпочтения >, если для любых двух векторов у',у" Е Rm, та-
таких, что
у" = (у[ у! 1 / у' у1 ) у'Уу"
У \УЪ •••' Уг-Ъ У 1ч Уг+Ъ •••? Ут)ч Уг ^ Уг '
следует у' >- у".
Содержательно согласованность данного критерия с отно-
отношением предпочтения как раз и означает, что ЛПР при прочих
равных условиях заинтересовано в получении по возможности
больших значений этого критерия.
Взаимосвязь отношения предпочтения данного ЛПР с кри-
критериями оптимальности выразим в виде следующего требования.
Аксиома 3 (согласование критериев с отношением предпоч-
предпочтения). Каждый из критериев/ь/*2, ...,/w согласован с отношением
предпочтения >.
3. Аксиома Парето. Заинтересованность ЛПР в получении по
возможности больших значений всех компонент векторного кри-
критерия / можно также выразить в терминах так называемой акси-
аксиомы Парето [17, 26].
Аксиома Парето (в терминах решений). Для всех пар решений
х',х" е X, для которых имеет место неравенство fix1) > f(x"),
выполняется соотношение х' >х х"-
Напомним (см. разд. 1.3), что запись f{x') > f{x") означает
выполнение покомпонентных неравенств/ (х') ^ ft(x") для всех
/ = 1, 2, ..., т, причем f{x') ^ f{x").
Лемма 1.3. Принятие аксиом 2 и 3 гарантирует выполнение
аксиомы Парето.
А Пусть неравенство f{x') > f{x") справедливо для двух про-
произвольных возможных решений х\ х" е X. Не уменьшая общно-
общности рассуждений, можно считать, что здесь строгие неравенства
fk(x') > fk(x") имеют место для всех индексов к = 1,..., / при
некотором I e {1,2,..., т}. Для всех последующих индексов к,
к > I (при условии, что такие найдутся, т. е. при I < т), будем
предполагать выполненными соответствующие равенства.
Используя согласованность первых / критериев и указанные
выше строгие неравенства, получаем

36 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
(Мх'')9/2(х')9...,Мх')9...9Мх')) у
у (f1(x'f)9f2(x'')9...9fl(x')9...9fm(x'))9
(fi(x''TMx;'^
>" (/i (*"),/2 (*"), ...,fl(xff),fM (*'), ...,fm(x')).
Отсюда на основании транзитивности отношения >- следует
(fxix'^Mx'), ...Jjix'), ...,fm(x')) у
*(fi(xff)J2(xff), ...,fi(x''),fM(xf), ...,fm(x')) A.3)
Благодаря сделанному в начале доказательства предположению
имеют место равенства fk{x') = fk{x"), к = / + 1, ..., т. Поэто-
Поэтому соотношение A.3) влечет
/(*') = (fi(xf),f2(xf), ...,Мх'), ...,/т(х')) у
>- ifi{x")J2{x")9...Jl(x")9...Jm(x")) = /(*"),
откуда, в свою очередь, по определению отношения >- вытекает
требуемое соотношение х' >х х"- ^
4. Множество Парето. Если для некоторой пары возможных
решений имеет место неравенство f(x') > f(x"), то благодаря
аксиоме Парето первое решение будет предпочтительнее второ-
второго, т. е. х' >х х"- Тогда в соответствии с аксиомой 1 второе реше-
решение ни при каких обстоятельствах не может оказаться выбран-
выбранным и его можно исключить из последующего учета в процессе
принятия решений. Исключение всех подобного рода решений
приводит к множеству Парето.
Множество парето-оптимальных решений обозначается Р/(Х)
и определяется равенством
Р/{Х) = {х* g Х\ не существует такого х е X, что f(x) > /(х*)}.
Лемма 1.4. При выполнении аксиом 2 и 3 множество недомини-
недоминируемых решений Ndom X удовлетворяет включению
NdomXc Pf(X). A.4)
А Пусть, напротив, для некоторого недоминируемого реше-
решения х е Ndom X выполнено соотношение х 0 Р/(Х). Тогда, по
определению множества парето-оптимальных решений, существу-
существует такое возможное решение х' е X, что f(x') > f(x). На осно-
основании леммы 1.3 в условиях доказываемого утверждения спра-
справедлива аксиома Парето. Поэтому полученное неравенство, в силу
аксиомы Парето, влечет соотношение х' >х х-> которое не совме-
совместимо с начальным предположением х е NdomJf.V

1.4. МНОЖЕСТВО ПАРЕТО 37
Непосредственно из лемм 1.2 и 1.4 вытекает следующий прин-
принципиально важный для теории принятия решений результат.
Теорема 1.2. В условиях выполнения аксиом 1-3 для любого непу-
непустого множества выбираемых решений Sel X справедливо включение
SelXc Pf(X). A.5)
Включение A.5) выражает собой так называемый принцип
Эджворта—Парето {принцип Парето), согласно которому
если ЛПР ведет себя достаточно «разумно» (т. е. в со-
соответствии с аксиомами 1—3), то выбираемые им реше-
решения обязательно являются парето-оптимальными.
Этот принцип демонстрирует особую, исключительно важ-
важную роль множества парето-оптимальных решений в теории при-
принятия решений.
Внимательный анализ доказательств приведенных утвержде-
утверждений, в совокупности приводящих к теореме 1.2, показывает, что
если хотя бы одна из аксиом 1, 2 или 3 нарушается, то выбирае-
выбираемое решение не обязано быть парето-оптимальным 1). Отсюда
следует, что принцип Эджворта—Парето не является универсаль-
универсальным, т. е. применимым во всех без исключения задачах много-
многокритериального выбора. Более того, на основе аксиом 1, 2 и 3
(точнее говоря, на основе отрицаний этих аксиом) при желании
можно сделать определенный вывод и о том, в каких именно
задачах этот принцип может «не работать».
Итак, применение этого принципа рискованно или же вооб-
вообще недопустимо, если:
— отношение предпочтения, которым ЛПР руководствуется
в процессе выбора, не является транзитивным;
— отношение предпочтения ЛПР не согласовано хотя бы с од-
одним из критериев;
— не выбираемое из некоторой пары решение оказывается
выбранным из всего множества возможных решений.
5. Множество парето-оптимальных векторов. Вектор /(х*) при
парето-оптимальном решении х* называют парето-оптимальным
вектором (парето-оптималъной оценкой) решения х* или просто
парето-оптимальным вектором, а множество всех таких векто-
векторов — множеством парето-оптимальных векторов (парето-опти-
(парето-оптимальных оценок). Для этого множества используют обозначение
P(Y). Таким образом,
P(Y) =f(Pf(X)) = {f(x") e Y\ при некотором х* е Pf(X)},
1) Примеры подобного рода можно найти в [22].

38 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
где 7так же, как и раньше, означает множество возможных век-
векторов, т. е. 7 = f(X).
Равенство P(Y) = f(Pf(X)) естественным образом связыва-
связывает множество парето-оптимальных решений и парето-оптималь-
ных векторов. В соответствии с ним, зная множество парето-оп-
парето-оптимальных решений, можно найти соответствующее множество
парето-оптимальных векторов. Справедливо и, в определенном
смысле обратное, утверждение. А именно, располагая множеством
парето-оптимальных векторов Р (Y) по формуле Р/(Х) = f~l(P G)),
где в правой части равенства записан прообраз множества P(Y),
можно пытаться строить соответствующее множество парето-оп-
парето-оптимальных решений. Таким образом, в идейном отношении эти
два множества полностью определяют друг друга, хотя попытка
построение одного из них на основе второго может натолкнуться
на определенные вычислительные трудности (в большей степени
это относится к построению множества парето-оптимальных ре-
решений).
Нетрудно понять, что множество парето-оптимальных век-
векторов можно определить следующим эквивалентным образом:
P(Y) = {/ е 7 | не существует такого у е 7, что у > /}. A.6)
Сравнивая равенство A.6) с аналогичным равенством из оп-
определения множества недоминируемых векторов, приведенным
в разд. 1.3, нетрудно обнаружить их полное совпадение (не считая
отношений >х и >)• На основании этого совпадения множество
парето-оптимальных векторов можно рассматривать как множе-
множество недоминируемых по отношению > элементов множества 7
Теорема 1.2 была сформулирована для решений. Ее можно
переформулировать в терминах оценок. Тогда она примет следу-
следующий вид.
Теорема 1.2 (в терминах векторов). Пусть выполняются акси-
аксиомы 1—3. Тогда для любого непустого множества выбираемых век-
векторов Sel 7 имеет место включение
Sel7c P(Y). A.7)
Ранее уже говорилось о том, что результаты, связанные с недо-
недоминируемыми решениями и векторами и рассмотренные в пре-
предыдущем разделе, могут быть переформулированы применитель-
применительно к множествам Парето. В частности, теорема 1.1 после такой
переформулировки принимает следующий вид.

1.4. МНОЖЕСТВО ПАРЕТО 39
Теорема 1.3. В случае конечного множества возможных векто-
векторов Y(e частности, если конечно множество возможных решений X)
существует хотя бы одно парето-оптималъное решение и, соот-
соответственно, хотя бы один парето-оптимальный вектор, т. е.
Pf(X) * 0, P(Y) * 0.
Взаимосвязь между введенными выше различными подмно-
подмножествами множества возможных решений при выполнении ак-
аксиом 1-3 в условиях справедливости лемм 1.2 и 1.4 имеет вид
следующих включений
SelX с NdomX с Pf(X) с X A.8)
Из четырех участвующих в соотношении A.8) множеств самым
широким является множество возможных решений, а самым уз-
узким — множество выбираемых решений. Наглядно эта взаимо-
взаимосвязь изображена на рис. 1.1.
Рис. 1.1.
В терминах векторов включения A.8) принимают вид
SelFc NdomFc P(Y) с 7. A.9)
6. Алгоритм нахождения множества Парето. Благодаря нали-
наличию указанной выше прямой связи между множествами недоми-
недоминируемых и парето-оптимальных векторов все результаты, полу-
полученные ранее для первого множества, нетрудно переформулиро-
переформулировать в терминах второго множества. В частности, для построения
множества Р/(Х) (и P(Y)) в случае конечного множества воз-
возможных векторов Yможно применять сформулированный в пре-
предыдущем разделе алгоритм нахождения множества недоминиру-
недоминируемых решений, заменив в нем сравнение по отношению пред-
предпочтения >х сравнением по отношению >, которое является
иррефлексивным и транзитивным.

40
ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Таблица 1.1
Не станем заниматься изложением указанного алгоритма.
Вместо этого приведем простой иллюстративный пример пост-
построения множества парето-опти-
мальных векторов в задаче с тремя
критериями.
Пример 1.1. Пусть т = 4 и Y =
= {у1, у2,... ,у5}, где возможные
векторы, записанные в виде строк,
представлены в табл. 1.1.
Сначала для отыскания мно-
множества парето-оптимальных век-
У1
У2
У3
У4
У5
4
5
2
5
3
0
0
1
0
1
3
2
1
1
2
2
2
3
2
3
торов полагаем Yx = Y и сравниваем первую оценку с остальны-
остальными. При этом, как легко видеть, все пары
у1,у2;
у\уь
оказываются несравнимыми по отношению >. Поэтому вектор у1
запоминаем как парето-оптимальный и после этого удаляем его
из множества Yx.
Получаем множество Y2 = {у2, у3, у4, у5}. На втором шаге
сравниваем вектор у2 с остальными элементами множества F2.
Пара у2, у3 не сравнима по отношению >. Поскольку у2 > у4,
вектор у4 удаляем из множества Y2. Оставшаяся пара векторов
у2, у5 не сравнима по отношению >. Так как вектор у2 оказался
недоминируемым, то его следует запомнить как парето-оптималь-
парето-оптимальный, а затем удалить из множества Y2.
Приходим к множеству 73 = {у3, у5}-Поскольку у5 > у3,уда-
ляется вектор у3 ив результате остается один вектор у5, который
также является парето-оптимальным.
В итоге получено следующее множество парето-оптималь-
парето-оптимальных векторов P(Y) = {у1, у2, у5}.
Несколько иначе в удобном для программной реализации виде
указанный алгоритм можно сформулировать следующим обра-
образом. Пусть множество возможных векторов Y состоит из конеч-
конечного числа N элементов и имеет вид
Y={y\y\...,yN}.
Алгоритм построения множества парето-оптимальных векто-
векторов P(Y) состоит из следующих семи шагов.
Шаг 1. Положить P(Y) = F, / = 1, j = 2. Тем самым обра-
образуется так называемое текущее множество парето-оптимальных
векторов, которое в начале работы алгоритма совпадает с множе-
множеством F, а в конце — составит искомое множество парето-опти-

1.4. МНОЖЕСТВО ПАРЕТО
41
мальных векторов. Алгоритм устроен таким образом, что иско-
искомое множество парето-оптимальных векторов получается из Y
последовательным удалением заведомо неоптимальных векторов.
Шаг 2. Проверить выполнение неравенства у1 > yJ. Если оно
оказалось истинным, то перейти к Шагу 3. В противном случае
перейти к Шагу 5.
Шаг 3. Удалить из текущего множества векторов P(Y) век-
вектор у\ так как он не является парето-оптимальным. Затем пе-
перейти к Шагу 4.
Шаг 4. Проверить выполнение неравенства j < N. Если оно
имеет место, то положить у = j + 1 и вернуться к Шагу 2. В про-
противном случае — перейти к Шагу 7.
Шаг 5. Проверить справедливость неравенства у] > у1. В том
случае, когда оно является истинным, перейти к Шагу 6. В про-
противном случае — вернуться к Шагу 4.
Шаг 6. Удалить из текущего множества векторов P(Y) век-
вектор у1 и перейти к Шагу 7.
Шаг 7. Проверить выполнение неравенства / < N — 1. В слу-
случае истинности этого неравенства следует последовательно по-
положить / = / + 1, а затем j = / + 1. После этого необходимо
вернуться к Шагу 2. В противном случае (т. е. когда / ^ N — \)
вычисления закончить. Множество парето-оптимальных векто-
векторов построено полностью.
7. Геометрия множества Парето в случае двух критериев. Рас-
Рассмотрим простейший случай, когда число критериев равно двум,
т. е. т = 2. В этом случае множество Y представляет собой неко-
некоторое множество точек на плоскости.
Все точки у, для которых выполняется неравенство у > у\
составляют угол с вершиной в точке у* и сторонами, параллель-
параллельными координатным осям. При этом сама вершина у* этому углу
не принадлежит, так как у ^ у* (см. рис. 1.2).
Рассмотрим пример, в котором множество возможных то-
точек Y имеет вид замкнутой ограниченной фигуры, изображен-
изображенной на рис. 1.3.
У2
Рис. 1.2.
У\
Рис. 1.3.
У\

42 ГЛАВА 1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА
Для того чтобы построить множество парето-оптимальных
точек P(Y), можно воспользоваться геометрическим соображе-
соображением, заимствованным из рис. 1.2. А именно, по определению
парето-оптимального вектора у* для него не должно существовать
такой точки у, что выполняется неравенство у > у*. Геометричес-
Геометрически все такие точки у представляют собой угол с вершиной в у*.
Следовательно, точка у* е Y парето-оптимальна тогда и только
тогда, когда соответствующий угол, имеющий вершину в точке /
и стороны, параллельные координатным осям, не содержит ни
одной точки множества возможных векторов Y. Отсюда ясно, что
ни одна внутренняя точка множества 7не может быть парето-
оптимальной. А из граничных точек множества возможных точек Y
на роль парето-оптимальных могут претендовать лишь те, кото-
которые располагаются в ее «северо-восточной» части (т. е. линия
ABCD). При этом та часть границы, которая находится в «прова-
«провале» (имеется в виду дуга ВС) также не может принадлежать мно-
множеству Парето. Наконец, из частей северо-восточной границы,
которые параллельны координатным осям, парето-оптимальны-
ми могут быть лишь крайние точки — среди точек отрезка CD
таковой будет точка D. В итоге приходим к следующему мно-
множеству парето-оптимальных точек — это дуга АВ (без точки В)
и отдельная точка D.
В случае, когда число критериев три и более, указанным гео-
геометрическим путем множество парето-оптимальных точек постро-
построить не удастся. Тем не менее, к настоящему времени разработаны
современные методы визуализации (графического представления
данных на экране компьютера), позволяющие для относительно
небольших т получить наглядное представление о множестве воз-
возможных и множестве парето-оптимальных векторов [12].

Глава 2
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ
ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
В этой главе закладываются основы теории относительной
важности критериев. Прежде всего, дается определение понятия
относительной важности для двух критериев и изучаются его про-
простейшие свойства. Центральный результат главы — теорема 2.5,
которая показывает, каким образом информацию о том, что один
критерий важнее другого критерия с заданным коэффициентом
относительной важности, можно использовать для сужения мно-
множества Парето.
Здесь также обсуждаются различные типы шкал и обосновы-
обосновывается применимость упомянутой теоремы 2.5 к любым задачам
многокритериального выбора с критериями, значения которых
измеряются в произвольных количественных шкалах.
2.1. Определение и свойства относительной важности
1. Исходная задача многокритериального выбора. Последую-
Последующее рассмотрение будет посвящено задаче многокритериального
выбора, включающей
- множество возможных решений X;
- векторный критерий / = (/1э /2, ...,fm);
- отношение предпочтения >х-
Следует отметить, что многие вопросы приобретают более
простой вид, если их формулировать и решать в терминах векто-
векторов. Как было отмечено в предыдущей главе, практически все
результаты, полученные в терминах решений, можно легко пере-
переформулировать в терминах векторов и обратно. Поэтому в даль-
дальнейшем изложении часто будет рассматриваться задача много-
многокритериального выбора в терминах векторов, содержащая
- множество возможных векторов 7, 7 с Rm,
- отношение предпочтения у, заданное на пространстве Rm.
Напомним, что множество возможных векторов определяет-
определяется равенством
Y = f(X) = {у е Rm | у = f(x) при некотором х е X},

44 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
а отношение предпочтения >- представляет собой продолжение
на все пространство Rm отношения предпочтения >Y-> естественным
образом
A*') >rf(x") <* xf >xx" для х', х" е X
связанного с отношением предпочтения ух, заданном на множе-
множестве возможных решений X.
Всюду далее будем предполагать выполненными аксиомы 1—3,
сформулированные в предыдущей главе. В этих условиях
— отношение >, заданное на всем критериальном простран-
пространстве Rm, иррефлексивно и транзитивно (а значит, асимметрично);
— выполняется аксиома Парето (в терминах векторов), со-
согласно которой для любой пары векторов у', у" е Rm, таких что 1)
у' > у", имеет место соотношение у' > у", т. е.
у1 > у" => у1 у у". B.1)
ЛПР имеет возможность сравнивать любые два вектора у\ у"
критериального пространства Rm с помощью иррефлексивного
и транзитивного отношения >. При этом может реализоваться
один и только один из следующих трех случаев
— у' > у", т. е. у' предпочтительнее у"\
— У" > У\ т. е. у11 предпочтительнее у'\
— не выполняется ни соотношение у' > у", ни соотношение
у" > у'.
Иначе говоря, ЛПР из произвольной пары векторов может
выбрать первый вектор, либо второй. Реализация третьего случая
(несравнимость по отношению >-) означает либо отказ от выбора
(когда из двух данных векторов ни один не выбирается), либо пол-
полный выбор (в этом случае оба вектора оказываются выбранными).
2. Мотивация основного определения. Введем множество но-
номеров критериев
/= {1,2,...,/я}
и рассмотрим наиболее простую задачу выбора из двух векторов
у', у" е Rm с минимальным числом различных компонент.
Если векторы у' ж у" имеют лишь одну различную компо-
компоненту, например, у[ ^ у1/ и y's = у" для всех s e 1\ {/}, то спра-
справедливо соотношение у' > у", либо у" > у'. Отсюда, на осно-
основании аксиомы 3, соответственно следует у' > у" либо у" > у'.
1) Напомним, что справедливость неравенства у' > у" означает одновре-
одновременное выполнение неравенств у' ^ у", у1 ^ у".

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 45
Таким образом, в данном простейшем случае выбор из двух
векторов однозначно определяется аксиомой 3.
Теперь предположим, что векторы у' и у" имеют не одну, а две
различные компоненты:
у! * УЬ у) ^ Ур Уз = У" Для всех s e I\ {ij},
причем одновременное выполнение равенств у! = Ур у" = у"
невозможно. Тогда реализуется один и только один из следую-
следующих четырех случаев:
1) у1>у?> y'j>y'j\ 2) ?/'>?/, y'j>y'j-
3) у[>у1\ у'}>у'у, 4) yi'>yi9 у)>у].
Предположим, что ЛПР из двух данных векторов сделало свой
выбор, т. е. имеет место одно и только одно их следующих двух
соотношений: у' > у" или у" > у'. Без ограничения общности
в силу симметричности можно считать, что верно первое соотно-
соотношение у' у у". Спрашивается, каким образом можно объяснить
сделанный ЛПР выбор?
Если реализовался первый из указанных выше четырех слу-
случаев, то истинность соотношения у' > у" вытекает из аксиомы
Парето. Второй вариант невозможен, так как в этом случае бла-
благодаря аксиоме Парето выполнено соотношение у" > у\ несов-
несовместимое в силу асимметричности >- с соотношением у' > у".
Рассмотрим оставшиеся две возможности. В силу симмет-
симметричности двух последних вариантов ограничимся рассмотрением
третьего. Выполнение неравенства у\ > у" означает, что с точки
зрения /-го критерия вектор у' для ЛПР более предпочтителен,
чем у". С другой стороны, с точки зрения у-го критерия в силу
у" > y'j вектор у" предпочтительнее вектора у'. В итоге имеется
два взаимопротиворечивых условия и возникает вопрос: почему
в указанной ситуации наличия противоречащих друг другу выска-
высказываний все-таки был сделан выбор в пользу вектора у' против у" ?
Что послужило причиной такого выбора?
По-видимому, одним из наиболее разумных объяснений это-
этому факту может служить следующее: в рассматриваемом проти-
противоречивом случае /-й критерий для ЛПР был важнее у-го крите-
критерия и поэтому, несмотря на «проигрыш» по менее важному j-му
критерию при выборе у', этот вектор был признан более пред-
предпочтительным, чем у", так как он приводит к «выигрышу» по

46 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
более важному /-му критерию при условии равенства всех ос-
остальных компонент.
Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу,
что при выборе первого из данной пары векторов (т. е. при вы-
выполнении у' > у") в случае реализации четвертой из указанных
выше ситуаций у" > yj, y'j > у" для ЛПР у-й критерий оказался
важнее /-го критерия.
3. Определение относительной важности. Приведенные выше
рассуждения, относящиеся к простейшей задаче выбора из про-
произвольной пары векторов, логически обосновывают введение
следующего определения, которое будет играть основополагаю-
основополагающую роль в дальнейшем изложении.
Определение 2.1. Пусть /,у е I, / ^ у. Будем говорить, что 1-й
критерий важнее j-го критерия с заданными положительными па-
параметрами w*, w*j, если для всех векторов у1, у" Е Rm, для кото-
которых выполняется
У\ > У", У" > Ур Уз = У" Для всех sel\{/,у};
y--y-'=w*, y'j-y'j =w*j,
имеет место соотношение у' > у".
Иначе говоря, для ЛПР /-й критерий важнее у-го, если вся-
всякий раз при выборе из пары векторов ЛПР готово пожертвовать
определенным количеством w* по менее важному у-му критерию
ради получения дополнительного количества w* по более важно-
важному /-му критерию при условии сохранения всех остальных значе-
значений критериев.
При этом соотношение между числами w* и w* позволяет
количественно оценить указанную степень важности. Введем со-
соответствующее определение.
Определение 2.2. Пусть /,у е /, / ^ у, и /-й критерий важнее
у-го критерия с положительными параметрами w* и w*. В этом
случае положительное число
w*
3 W* + Wj
будем называть коэффициентом относительной важности для ука-
указанной пары критериев.
Очевидно, 0 < 9/у < 1. Этот коэффициент показывает долю
потери по менее важному критерию, на которую согласно пойти
ЛПР, в сравнении с суммой потери и прибавки по более важному

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 47
критерию. Если коэффициент 9/у близок к единице, то это озна-
означает, что ЛПР за относительно небольшую прибавку по более
важному /-му критерию готово платить довольно большой поте-
потерей по менее важному у-му критерию. Такое положение соответ-
соответствует ситуации, когда /-й критерий имеет сравнительно высо-
высокую степень важности по сравнению с у-м критерием. В случае,
когда этот коэффициент вблизи нуля, ЛПР согласно пойти на
потери по менее важному критерию лишь при условии получе-
получения существенной прибавки по более важному критерию. Это
означает, что степень важности /-го критерия сравнительно невы-
невысока; данное положение и находит свое выражение в малом зна-
значении коэффициента относительной важности. Если 9/у =1/2,
то ЛПР готово согласиться на определенную прибавку по более
важному критерию за счет потери по менее важному критерию
при условии, что величина потери в точности совпадает с вели-
величиной прибавки.
Необходимо добавить, что отмеченная выше степень относи-
относительной важности критериев, а значит и величина коэффициента
относительной важности 9/у, находится в прямой зависимости
от типа шкалы, в которой измеряется тот или иной критерий.
Подробнее об этом пойдет речь в разд. 2.4.
4. Свойства относительной важности. Изучим свойства вве-
введенного выше определения относительной важности критериев.
Теорема 2. 1. Пусть отношение предпочтения > удовлетворяет
аксиомам 2 и 3. Если i-й критерий важнее j-го критерия с положи-
положительными параметрами w*, w*, то i-й критерий будет важнее j-eo
критерия с любой парой положительных параметров w/, wj, удов-
удовлетворяющих неравенствам wj > w*, wj- < w*. Иначе говоря, если i-й
критерий важнее j-го критерия с коэффициентом относительной
важности 9/у, то i-й критерий будет важнее j-го критерия с любым
меньшим, чем 9/у, коэффициентом относительной важности.
А Выберем произвольно два положительных числа wj, Wj
и два вектора у', у" е Rm, для которых выполнены соотношения
yj-y»=Wj>W*, у"-у'. =W'j <W*,
y's = у" для всех sel\{/, j}
и докажем, что у' > у".
Введем положительные числа zt и Zj следующим образом:

48 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
В силу w- > iv*5 wj < iv*- имеем у\ > zt и yfj > Zj. Кроме того, оче-
очевидно, у] > Zj.
Рассмотрим вектор z' e Rm вида
z( = zi9 z'j =zj9 z's =y's для всех s e I\{i,j}.
Для этого вектора выполнено
у[ >z/, y'j >z'j, y's =z's для всех s e I\{i,j}.
Отсюда согласно аксиоме Парето получаем у' > zf.
Далее, из соотношений
z\ - yl' = w*, y'j - z'j = iv*., z's = y'J для всех s e I\ {ij}
на основании того, что критерий /-й критерий важнее у-го крите-
критерия с параметрами w*9 w*-9 приходим к соотношению z' > у". Это
соотношение вместе с полученным ранее у' > z' благодаря тран-
транзитивности отношения >- ведет к требуемому результату у' > у".
Вторая часть теоремы, выраженная в терминах коэффициен-
коэффициентов относительной важности, непосредственно вытекает из до-
доказанного выше.У
Содержание теоремы 2.1 вполне согласуется с интуитивными
представлениями об относительной важности критериев. А имен-
именно, если ЛПР готово пойти на потерю в размере w* по менее
важному у-му критерию ради получения выигрыша в размере w*
по более важному /-му критерию, то это ЛПР, очевидно, должно
согласиться как на меньшие потери wj (wj < w*), так и на боль-
больший выигрыш w- (w/ > w*).
Опираясь на определение относительной важности критери-
критериев и теорему 2.1, проанализируем возникающие возможности
соотношений важности для произвольной пары различных кри-
критериев/,^.
Может иметь место один и только один из следующих трех
случаев:
1) хотя бы одно положительное число из интервала @, 1)
является коэффициентом относительной важности /-го критерия
по сравнению с у-м критерием и хотя бы одно — не является
таковым;
2) ни одно положительное число из интервала @, 1) не яв-
является коэффициентом относительной важности /-го критерия

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 49
по сравнению с у-м критерием. В этом случае будем говорить,
что i-й критерий ни в коей мере не является более важным, чем j-u
критерий',
3) любое положительное число из интервала @, 1) является
коэффициентом относительной важности /-го критерия по сравне-
сравнению с у-м критерием. В этом случае будем говорить, что i-й кри-
критерий несравнимо важнее (несравнимо более важен) j-го критерия.
Разберем первый случай более подробно. Если хотя бы одно
число Qjj e @, 1) является коэффициентом относительной важ-
важности /-го критерия по сравнению с у-м критерием, то в соответ-
соответствии с теоремой 2.1 любое меньшее число в пределах указанно-
указанного интервала также является коэффициентом относительной важ-
важности для рассматриваемой пары критериев. Образуем два
непересекающихся множества А и В. К первому множеству при-
причислим все числа интервала @, 1), которые являются коэффици-
коэффициентами относительной важности для данной пары критериев. Оче-
Очевидно, А ^ 0. Второе множество В составим из всех тех чисел
указанного интервала, которые не являются коэффициентами от-
относительной важности. При этом по условию В ^ 0. Ясно, что
A U В = @, 1), причем неравенство а < Ъ выполняется для всех
а е А, Ъ е В. Это означает, что множества Аи В образуют сече-
сечение интервала @, 1). В таком случае в соответствии с принципом
Дедекинда существует единственное число 9/у Е @,1), произво-
производящее указанное сечение. Это число можно назвать предельным
коэффициентом относительной важности /-го критерия по срав-
сравнению с у-м критерием.
Следует отметить, что само число 6/у может как оказаться
коэффициентом относительной важности, так и не быть тако-
таковым. Иначе говоря, может реализоваться любой из двух возмож-
возможных случаев 0/у е А или 0/у ^ А.
5. Связь с лексикографическим отношением. Между отноше-
отношением >- и лексикографическим 1) отношением имеется опреде-
определенная связь, которая в терминах упорядоченного набора несрав-
несравнимо более важных критериев раскрывается в следующем утвер-
утверждении.
Теорема 2.2. Заданное на пространстве Rm бинарное отношение у,
удовлетворяющее аксиомам 2иЗ, является лексикографическим тогда
и только тогда, когда первый критерий несравнимо важнее второго,
1) Напомним, что определение лексикографического отношения можно
найти в разд. 1.2.

50 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
второй — несравнимо важнее третьего, ..., (т — 1)-й критерий
несравнимо важнее т-го критерия.
А Необходимость. Пусть отношение >- является лексиког-
лексикографическим. В этом случае для произвольных векторов у', у" е Rm
истинны высказывания
1)
2)
3)
m)
У[>
Ух =
У( =
у! =
у"
Уи
у1
--у'-',
Уг
i =
у'>
>У2
= у1
= 1, 2,.
-у";
yi >
..,т
У
У'{
-1;
>- у";
У'т >
У>
к
-у";
у1 у у".
Из первого высказывания следует, что для двух произвольных
векторов у',у" е Rm, для которых выполнено у[ > у('9 у'2 <у%9
у^ = у^ ...,у'т = Ум, имеет место соотношение у' > у". Это озна-
означает, что первый критерий несравнимо важнее второго критерия.
Аналогично из второго высказывания можно прийти к выво-
выводу, что второй критерий несравнимо важнее третьего критерия, ...,
из предпоследнего высказывания вытекает несравнимо большая
важность (т — 1)-го критерия по сравнению с т-м критерием.
Достаточность. Чтобы избегнуть громоздких рассмотрений,
эту часть доказательства проведем лишь для случая трех крите-
критериев, т. е. при т = 3.
Выберем два произвольных вектора у', у" Е R3, для которых
верно неравенство у[ > у". Для доказательства справедливости
высказывания 1) следует убедиться в том, что у' > у".
Если дополнительно с неравенством у[ > у[ выполнено
У2 = У2 и Уъ = Уз 9 то благодаря аксиоме Парето имеем у' > у".
Пусть вместе с неравенством у[ > у" имеют место неравен-
неравенства у2 <У2, Уз ^ у"• Рассмотрим вектор у1 = (у{, У2, Уз)- Для
него в силу несравнимо большей важности первого критерия по
сравнению со вторым получаем соотношение у1 у у".Ноу' ^ у1,
а значит либо у' = у1 и тогда верно у' > у", либо у' > у1. Во
втором случае благодаря аксиоме Парето имеем у' > у1, что вме-
вместе с полученным ранее соотношением у' > у" на основании
транзитивности отношения >- влечет соотношение у1 > у".
Перейдем к рассмотрению случая у[ > у", у!2 = у!{, Уз < Уз-
Введем вектор у2 =(у/, у!{ — \ Уз\ В силу несравнимо большей
важности первого критерия по сравнению со вторым для него
выполняется у1 > у". Но для вектора у' благодаря несравнимо

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 51
большей важности второго критерия по сравнению с третьим
имеет место соотношение у' > у2, которое вместе с соотноше-
соотношением у2 у у" приводит к требуемому соотношению у' > у".
Если же у[ > y{f, yf2 >y", Уз <Уз, то для вектора у3 =
= (у\9У29Уз) благодаря несравнимо большей важности второго
критерия по сравнению с третьим выполнено соотношение у3 >- у".
С другой стороны, верно неравенство у' > у3, а значит согласно
аксиоме Парето и соотношение у' > у3, что вместе су3 х- у" влечет
соотношение у' > у".
Рассмотрим последний возможный случай у[ > у'^ yf2 < у^
у!ъ < у%. Для вектора у4 = (у{, у{ -1, у%) из-за несравнимо боль-
большей важности первого критерия по сравнению со вторым верно
соотношение у4 у у". Используя несравнимо большую важность
второго критерия по сравнению с третьим, получим соотноше-
соотношение у' > у4, которое вместе с у4 > у" вновь повлечет за собой
выполнение соотношения у' > у".
Тем самым, истинность высказывания 1) установлена. При
помощи аналогичных рассуждений устанавливается справедли-
справедливость высказывания 2). И т.д. Последнее высказывание т) имеет
место в силу аксиомы 3.Y
2.2. Требование инвариантности отношения предпочтения
1. Отношения, инвариантные относительно линейного положитель-
положительного преобразования. Напомним определение инвариантного отно-
отношения, данное в разд. 1.2. Бинарное отношение % заданное на
пространстве Rm называют инвариантным относительно линейного
положительного преобразования, если для произвольных векторов
у\ у" е Rm из выполнения соотношения у'^Яу" следует соотно-
соотношение (ayf + с) Ж {ау" + с) для любого вектора с е Rm n всякого
положительного числа а. Иначе говоря, отношение Ж является ин-
инвариантным относительно положительного линейного преобразо-
преобразования, если оно обладает следующими двумя свойствами:
1) аддитивность: y'IRy", с е Rm => (yf + c)lfc(y" + с);
2) однородность: yrsRy!\ a > 0 => (ауг) Ж (ау" ).
Отношения неравенств >, ^, >, заданные на пространстве Rm, дают
простейшие примеры инвариантных бинарных отношений. Нетруд-
Нетрудно понять, что лексикографическое отношение (см. разд. 1.2) так-
также относится к классу инвариантных бинарных отношений.
Во многих практически важных задачах многокритериального
выбора отношение предпочтения >- можно считать инвариантным

52 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
относительно линейного положительного преобразования. В со-
соответствии с этим в дополнение к сформулированным выше ак-
аксиомам 1-3 добавим еще одну, которая далее понадобится для
построения содержательной теории относительной важности
критериев.
Аксиома 4 (инвариантность отношения предпочтения). От-
Отношение предпочтения > является инвариантным относительно ли-
линейного положительного преобразования.
Признаком инвариантности отношения >- является наличие
у него свойств аддитивности и однородности. Иными словами,
для любой пары векторов у', у" Rm, связанных соотношением
у' > у", должно выполняться как соотношение (у' + с) > (у" + с)
для любого вектора с е Rm, так и соотношение ay' > ay" для
любого положительного числа а.
2. Конусные отношения. Важный с точки зрения последую-
последующего изложения пример инвариантных бинарных отношений дает
класс конусных отношений. Однако прежде чем формулировать
определение конусного отношения необходимо ввести некото-
некоторые вспомогательные понятия из выпуклого анализа.
Множество А, А с Rm, называют выпуклым, если оно вместе
с каждой парой своих точек содержит и весь отрезок, соединяю-
соединяющий эти точки. Иными словами, подмножество А пространства Rm
выпукло, если для всех пар точек у',у" е А и любого числа
X е [О, 1] выполнено соотношение Ху1 + A — Х)у" е А. Мно-
Множество К, К с Rm, называется конусом, если для каждой точки
у е К и любого положительного числа а выполняется включе-
включение ay e К. Конус, являющийся выпуклым, именуют выпуклым
конусом. Иначе говоря, выпуклое множество является выпуклым
конусом, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и весь
луч, исходящий их начала координат (в общем случае без самого
начала) и проходящий через данную точку. При этом начало ко-
координат (вершина конуса) может как принадлежать, так и не при-
принадлежать данному конусу. Можно проверить, что сумма любых
двух (и более) элементов выпуклого конуса всегда принадлежит
данному конусу. Конус К называют острым, если не существует
такого ненулевого вектора у е К, для которого выполняется вклю-
включение —у е К. Не являющийся острым конус обязательно содер-
содержит, по крайней мере, одну прямую, проходящую через начало
координат (вместе с самим началом или же без него).
Множество L всех решений (векторов х е Rm) однородного
линейного неравенства (с, х) = С\Х\ + с2х2 + ... + ст хт ^ 0, где
с — фиксированный ненулевой вектор пространства Rm, пред-

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 53
ставляет собой некоторый выпуклый конус (его называют замк-
замкнутым полупространством).
А Действительно, из (с, х) ^ 0 следует справедливость нера-
неравенства (ас, х) = (с, ах) ^ 0 для любого положительного мно-
множителя а. Значит, L — конус. Убедимся, что это выпуклый конус.
С этой целью возьмем две произвольные точки х' и х" конуса L.
Для них выполнены неравенства (c,xf) ^ 0 и (с, х") ^ 0. Умно-
Умножим первое неравенство на произвольное число X е [0, 1], а вто-
второе — на 1 — X. Складывая почленно полученные неравенства, при-
придем к неравенству X(c,xf) + A — Х){с,х") = (c,Xxf + A —
— Х)х") ^ 0, устанавливающему выпуклость конуса Z.Y
Следует отметить, что замкнутое полупространство не явля-
является острым конусом, поскольку вместе с ненулевым вектором х,
удовлетворяющим равенству (с, х) = 0, содержит и вектор —х, так
как умножение указанного равенства на — 1 не нарушает его вы-
выполнение.
Если же вместо одного неравенства рассматривать некото-
некоторую систему, содержащую определенное конечное число подоб-
подобного рода неравенств, то множеством решений этой системы
однородных линейных неравенств также будет выпуклый конус,
представляющий собой пересечение конечного числа замкнутых
полупространств. Его называют многогранным (полиэдральным)
конусом. В общем случае этот конус не является острым.
Пусть задан некоторый набор векторов а1, а2, ..., ар е Rm.
Нетрудно проверить, что совокупность всех неотрицательных
линейных комбинаций данных векторов (т. е. все векторы вида
Х{а1 + Х2а2 + ... + Храр, где коэффициенты ХЬХ2, ...,Хр неотри-
неотрицательны), образует некоторый выпуклый (конечнопорожденный)
конус К в пространстве Rm. В этом случае говорят, что набор
векторов а1, а2, ..., ар порождает выпуклый конус К и пишут
К = cone {а1, а2,..., ар). На основании теории двойственности
выпуклого анализа (см. [28], [31]) любой конечнопорожденный
конус представляет собой пересечение конечного числа замкну-
замкнутых полупространств, т. е. является многогранным конусом. Пос-
Последний результат принципиально важен для доказательств фор-
формулируемых далее теорем, посвященных учету информации об
относительной важности критериев.
Одномерные грани (т. е. лучи, а также векторы, порождаю-
порождающие эти лучи) называют ребрами выпуклого конуса. Известно [28],
что любой острый выпуклый замкнутый конус, не совпадающий
с началом координат, порождается своими ребрами.

54
ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Если выпуклый конус задан в виде множества решений неко-
некоторой однородной системы линейных неравенств, то все его ребра
в принципе можно найти, например, методом перебора, рассмат-
рассматривая все возможные подсистемы определенного числа линейных
уравнений, получающиеся из исходной системы неравенств заме-
заменой всех знаков неравенств равенствами (по этому поводу см. [4]).
Неотрицательный ортант R™ пространства Rm, определяе-
определяемый равенствами
У2
представляет собой выпуклый острый конус (без вершины),
который порождается единичными ортами этого пространства.
На плоскости (т. е. при т = 2) этот ортант имеет вид прямого
угла, совпадающего с первой
четвертью (рис. 2.1). Он по-
порождается единичными орта-
ортами е1 = A,0), е2 = @, 1) и
является результатом пересе-
пересечения правой и верхней зам-
замкнутых полуплоскостей (без
начала координат).
Еще некоторые два острых
плоских конуса К± и К2 изоб-
изображены на рис 2.2.
Верхняя полуплоскость представляет собой замкнутое полу-
полупространство, т. е. выпуклый конус, не являющийся острым. Более
подробно с выпуклыми множествами и конусами можно ознако-
ознакомиться в [4, 28, 31].
о
У\
Рис. 2.1.
Рис. 2.2.

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 55
Определение 2.3. Бинарное отношение Ж, заданное на про-
пространстве Rm (т. е. Ж с Rm х Rm), называют конусным отноше-
отношением, если существует такой ко-
конус К, К с Rm, что для произ-
произвольных векторов у', у" е Rm
справедлива эквивалентность
у'Шу" <* у1 - у11 е К.
Нередко правую часть эквива-
эквивалентности записывают в виде
у1 е у" + К (см. рис. 2.3).
Отношения неравенств >
Рис. 2.3.
и >, рассматриваемые на пространстве Rm, представляют собой не-
некоторые конусные отношения с конусами R™ = {у ? Rm \ у > 0т}
и 7?+ соответственно.
Оказывается, всякое бинарное отношение, удовлетворяющее
аксиомам 2 и 4, будет конусным отношением. Этот факт уста-
устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.3. Любое иррефлексивное, транзитивное и инвариант-
инвариантное относительно линейного положительного преобразования бинарное
отношение Ж, заданное на пространстве Rm, является конусным
отношением с острым выпуклым конусом, не содержащим начало
координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом указанно-
указанного типа является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным
относительно линейного положительного преобразования отноше-
отношением, заданным на Rm.
А Пусть Ж является иррефлексивным, транзитивным и ин-
инвариантным относительно линейного положительного преобра-
преобразования бинарным отношением, заданным на Rm. Докажем, что
Ж — конусное отношение. Для этого введем множество
К= {у е Rm\yto0m}.
Благодаря свойству однородности отношения Ж множество К
является конусом. Кроме того, для произвольной пары векторов
у', у" е Rm на основании свойства аддитивности имеем
у'Шу" <* {у1 - у")Я1От <* (у1 - у") е К.
Таким образом, отношение Ж действительно является конусным
с конусом К. Необходимо проверить, что конус К — выпуклый,
острый и не содержит начало координат.
Если 0т е К, то по определению конуса ^выполнено 0т Ж 0т,
что не совместимо с требованием иррефлексивности отношения Ж.
Значит, конус К не содержит начало координат.

56 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Для доказательства выпуклости конуса К выберем произвольно
два вектора у',у" Е К ж число а е (О, 1) (заметим, что значения
а = 1 и а = 0 можно исключить из последующей проверки).
Благодаря свойству однородности отношения Ж из соотношений
у' Ж 0т и у" Ж 0т получаем а у' Ж 0т и A — а) у" Ж 0т соответствен-
соответственно. Из первого соотношения в силу аддитивности имеем
(ау' + A - а) у") $1A - а) у". Теперь на основании транзитив-
транзитивности Ж из второго и последнего соотношений получаем
(ауг + A - а)у")$10т, или (ауг + A - а)у") е К, что уста-
устанавливает выпуклость конуса К
Для того чтобы убедиться, что конус К является острым,
предположим противное: существует ненулевой вектор у е К,
для которого выполняется соотношение -у е К. Для этого векто-
вектора имеем у Ж 0т и — у Ж 0т. Отсюда в силу аддитивности Ж следует
(у — у) Ж (—у) Ж 0т, что благодаря транзитивности отношения Ж
приводит к соотношению 0т Ж 0т9 несовместимому с иррефлек-
иррефлексивностью Ж.
Докажем обратное утверждение. Пусть Ж — произвольное
конусное отношение с острым выпуклым конусом К, не содер-
содержащим начало координат. Убедимся в том, что оно является ир-
рефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно
линейного положительного преобразования.
Это отношение действительно иррефлексивно, так как в про-
противном случае конус К содержал бы начало координат.
Проверим транзитивность отношения предпочтения. Для этой
цели выберем произвольную тройку векторов у', у", у'" е Rт, удов-
удовлетворяющих соотношениям у1 $1у" и y"$ty'". Последние два
соотношения можно переписать в виде у' — у" е К и у" —
— у'" е К, откуда следует, что имеются два определенных эле-
элемента конуса К. Поскольку сумма любых двух элементов выпук-
выпуклого конуса принадлежит данному конусу, из двух последних со-
соотношений получаем у1 - у"' е К, или, что то же самое, y'lfly1".
Полученное доказывает транзитивность отношения Ж.
Инвариантность отношения Ж вытекает из справедливости
соотношений
<& у1 - у" е К <& (у1 + с) - (у" + с) е К <&
<* (у1 + с) яку» + с),
у'Шу" <* у1 - у" е К <* a(yf - у") е К <*
<^> ay' - ay" e К <^> ау'^кау"
для всех векторов с е Rm и любых положительных чисел a.Y

2.2. ТРЕБОВАНИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ 57
Следствие 2.1. Любое бинарное отношение >, удовлетворяющее
аксиомам 2, 3 и 4, является конусным с острым выпуклым конусом,
содержащим неотрицательный ортант R™ и не содержащим нача-
начало координат. Обратно, всякое конусное отношение с конусом ука-
указанного типа удовлетворяет аксиомам 2, 3 и 4.
А Бинарное отношение >-, удовлетворяющее аксиомам 2—4,
является иррефлексивным, транзитивным и инвариантным от-
относительно линейного положительного преобразования.
Необходимость. На основании теоремы 2.3 остается убедить-
убедиться, что конус К данного бинарного отношения >- включает нео-
неотрицательный ортант. В силу леммы 1.3 предыдущей главы вы-
выполняется аксиома Парето (в терминах векторов)
у1 > у" => у1 >- у\
которая может быть переписана в виде
y'-yneR™ => y'-y"eK.
Поскольку разность у' — у" может быть любым вектором нео-
неотрицательного ортанта R™, то последняя импликация означает
выполнение включения R™ С К.
Достаточность. Если конусное отношение порождается ос-
острым выпуклым конусом (без нуля), то в силу теоремы 2.3 соот-
соответствующее ему конусное отношение является иррефлексив-
иррефлексивным, транзитивным и инвариантным относительно линейного
положительного преобразования (т. е. аксиомы 2 и 4 выполнены).
А так как этот конус содержит неотрицательный ортант R™, то
соответствующее конусное отношение, кроме того, удовлетво-
удовлетворяет аксиоме Парето. Нетрудно понять, что из справедливости
аксиомы Парето вытекает выполнение аксиомы 3. Следователь-
Следовательно, рассматриваемое конусное отношение удовлетворяет всем
аксиомам 2—4.Y
В соответствии со следствием 2.1, бинарные отношения, удов-
удовлетворяющие аксиомам 2—4 (напоминаем, что эти аксиомы пред-
предполагаются выполненными), допускают простую геометрическую
интерпретацию — они являются конусными отношениями с ос-
острыми, выпуклыми конусами без начала координат, причем эти
конусы разве что шире неотрицательного ортанта R+.

58 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
2.3. Использование информации об относительной важности
критериев для сужения множества Парето
1. Упрощение основного определения. Определение 2.1, дан-
данное в разд. 2.1, придает точный смысл выражению «/-й критерий
важнее у-го критерия». В этом определении присутствуют два
числовых параметра, с помощью которых вводится коэффици-
коэффициент относительной важности критериев, измеряющий степень
относительной важности.
Для того чтобы проверить, действительно ли /-й критерий
важнее у-го, в соответствии с определением 2.1 необходимо пред-
предложить ЛПР для сравнения бесконечное число пар векторов
у', у" Е Rm, удовлетворяющих соотношениям
У1 > У", У1} > Ур y's = Уз Для всех sel\{/, у};
у1-у!=*1 y'j-y'j = w*j B-2)
при некоторых положительных параметрах w*, w*. Если для лю-
любой пары указанных векторов первый вектор у' всякий раз ока-
оказывается предпочтительнее второго у", то по определению 2.1 это
будет означать, что /-й критерий важнее у-го с числовым коэф-
коэффициентом относительной важности
B.3)
принадлежащим интервалу @, 1).
Совершенно очевидно, что на практике подобную проверку
осуществить невозможно из-за бесконечного числа сравниваемых
пар векторов. На самом деле такая проверка в условиях инвариан-
инвариантности отношения предпочтения и не требуется. Все может быть
сведено к сравнению лишь одной пары векторов у1, у", для которой
выполнено B.2). Об этом свидетельствует следующий результат.
Теорема 2.4. Благодаря инвариантности отношения предпоч-
предпочтения у можно считать, что в определении 2.1 векторы у', у"
фиксированы. В частности, в этом определении можно положить
У! = wh У) = -w) и У'з = ° для всех s e I\{i,j}9 у" = 0т9
или
у\ = A - е/у), y'j = -9/у и y's=0 для всех s e I\ {ij}, у" = 0т,
где Qtj — коэффициент относительной важности критериев.

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 59
А Рассмотрим два произвольных вектора у' и у", для кото-
которых выполнены соотношения B.2). Очевидно,
у[>у" <* у!-у?>о,
y'jyy'j & y"-yj>o.
Обозначим yt = у! — у'/ = w*, y~j = y'j - y" = -w*. В силу аддитив-
аддитивности отношения предпочтения >, справедливо
у'у у" & (у'-у»)у0т & уУОт,
где вектор у имеет только две отличные от нуля компоненты —
/-ю и у-ю, которые равны yt и yj соответственно. Полученное
означает, что общее определение 2.1 эквивалентно «частному»
определению 2.1, в котором у' = у и/' = 0т.
Из полученного сразу следует, что в определении 2.1 векто-
векторы у', у" можно считать не произвольными, а фиксированными.
Докажем оставшуюся часть теоремы. Соотношение у у 0т для
указанного выше вектора у благодаря свойству однородности
отношения предпочтения >- эквивалентно соотношению а у У 0т
для любого положительного числа а. В частности, если взять
О
а = — -^- и обозначить у = а у, то получим
У =
ys =ays = aO = 0 для всех s e I\ {ij}.
Поэтому соотношение у у 0т эквивалентно соотношению у у 0т
где
yt = 1 - 6/у, yj = - 0/у; ys=0 для всех s e I\ {ij}.V B.4)
Как указано выше, отношение предпочтения >- предполага-
предполагается инвариантным относительно линейного положительного пре-
преобразования. Опираясь на теорему 2.4, сформулируем новое,

60 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
более простое определение относительной важности, которое эк-
эквивалентно определению 2.1.
Определение 2.4. Пусть /,у е /, / ^ у. Говорят, что /-й критерий
важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности
9/у е @, 1), если для вектора у е 7?w вида B.4) выполнено соотно-
соотношение у у 0т.
В соответствии с определением 2.4 для того чтобы проверить,
действительно ли /-й критерий является важнее у-го критерия
с коэффициентом относительной важности 9/у е @, 1), достаточно
убедиться, что вектор у вида B.4) предпочтительнее нулевого
вектора, т. е. достаточно проверить справедливость одного соотно-
соотношения у у 0т. Например, если вектор @.7, -0.3, 0) оказывается для
ЛПР более предпочтительным, чем @, 0, 0), то первый критерий
для этого ЛПР важнее второго с коэффициентом относительной
важности 012 = 0.3.
2. Сужение множества Парето на основе информации о том,
что один критерий важнее другого. Следующая теорема показывает,
каким образом информация об относительной важности одного
критерия в сравнении с другим позволяет сузить область поиска
выбираемых векторов.
Теорема 2.5 (в терминах векторов). Предположим, что отно-
отношение предпочтения х- удовлетворяет аксиомам 1—4 и i-й критерий
важнее j-го с коэффициентом относительной важности 9/у е @, 1).
Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок Sel Y
имеют место включения
SelYcP{?)cP(Y), B.5)
где P{y) — множество парето-оптимальных оценок в многокрите-
многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и «но-
«новым» векторным критерием f = \f i>f 2> ~->fm ) (т. е. Y =f(X)),
компоненты которого вычисляются по формулам
fj=Qijfi+(l-Qij)fj, fs=fs для всех s e I\{j}. B.6)
А Обозначим через К острый выпуклый конус (без нуля)
конусного отношения предпочтения >-. По условию доказываемой
теоремы и в соответствии с определением 2.4 для вектора у, опре-
определяемого равенствами B.4), выполнено соотношение у у 0т. Это
соотношение равносильно включению у е К. Таком образом,
вектор у принадлежит конусу К, определяющему конусное от-
отношение предпочтения >-.

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 61
Введем в рассмотрение набор единичных ортов е1, е2,..., ет
пространства Rm; s-я компонента вектора es равна единице, а все
остальные — нулю, s = 1, 2, ..., т. Обозначим через Мвыпуклый
конус (без нуля), порожденный набором линейно независимых 1)
векторов
е\...9е1-\у,ем9...,ет. B.7)
Конус М совпадает с множеством всех векторов, пред ставимых
в виде линейных комбинаций
Хх е1 + ... + А,^1" + Xty + Хмем + ... + Хтет
векторов набора B.7) с неотрицательными, одновременно не рав-
равными нулю числовыми коэффициентами ХЬХ2,..., Хт.
Проверим, что конус М — острый. Если это не так, то
должен найтись ненулевой вектор у е М, для которого —у е М.
В соответствии со сказанным выше имеем
у = ц е1 + ... + Ц_хе1-1 + Цу + Ц+1ем + ... + Х'тет9
-у = Це1 + ... + W1 + М9 + M+i^/+1 + - + К*т>
причем все коэффициенты линейных комбинаций неотрицательны
и каждый из наборов чисел x[,Xf2,..., Х'т и ^7, Х,..., ^'т одновре-
одновременно в нуль не обращается. Поскольку сумма двух элементов
конуса принадлежит данному конусу, то, складывая два последних
равенства, получим
0т=(Х[ +Х
+ (Дч1 +kM)e +... + [km + km)e ,
где среди коэффициентов линейной комбинации, записанных
в скобках, по крайней мере один обязательно отличен от нуля.
Однако, благодаря линейной независимости векторов B.7) из
последнего равенства следует, что все коэффициенты указанной
линейной комбинации равны нулю. Полученное противоречие
свидетельствует о том, что конус М — действительно острый.
Теперь докажем, что конус М совпадает с множеством нену-
ненулевых решений следующей системы линейных неравенств
1) Набор векторов B.7) действительно образует линейно независимую сис-
систему, так как ранг матрицы, составленной из этих векторов, равен т.

62 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
ys ^ 0 для всех s e I\{j},
е/уз>, + A - %)yj^ о. B.8)
С этой целью найдем фундаментальную совокупность решений 1)
системы неравенств B.8) и убедимся, что она совпадает с набо-
набором векторов B.7).
Для отыскания фундаментальной совокупности решений
системы неравенств B.8) рассмотрим соответствующую систему
линейных уравнений
ys = 0 для всех s e I\{j},
%Уг + A - %)yj = 0, B.9)
которая может быть переписана в виде 2)
(е\у) = 0 для всех s e I\{j},
(У,У) = 0, B.10)
где у = {у19у2,'», Ут), причем
% =Qij9 yj =l-6l7, ys =0 для всех 5 е /\Ry}-
Число уравнений системы B.10) равно т. Вследствие линейной
независимости произвольного набора из т — 1 векторов, полу-
полученного из е1,..., eJ~l, y,eJ+1,..., ет удалением какого-то одного
вектора, для отыскания фундаментальной совокупности решений
системы неравенств B.8) достаточно просмотреть ненулевые ре-
решения каждой подсистемы из т — 1 уравнений системы B.10).
При этом среди них следует отобрать векторы, удовлетворяющие
системе линейных неравенств B.8).
Станем удалять из системы B.10) по одному уравнению и ис-
искать ненулевые решения получающейся в результате такого уда-
удаления «укороченной» системы. Если из B.10) удалить последнее
уравнение, то, например, вектор eJ будет ненулевым решением
полученной «укороченной» системы. Удаляя уравнение (е\ у) = 0
(при s ^ /), в качестве ненулевого решения «укороченной» сис-
системы можно взять вектор es. Если же удалить уравнение (е\ у) = 0,
!) Общее (т. е. произвольное) решение системы линейных неравенств имеет
вид линейной комбинации определенной конечной совокупности решений этой
системы с неотрицательными коэффициентами (см. [4], с. 243). При этом фун-
фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств — это мини-
минимальная (по количеству) подобная совокупность решений.
) Напомним, что символ {а, Ъ) для m-мерных векторов а и Ъ означает их
скалярное произведение, т. е. (а,Ь) = ?

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 63
то, как нетрудно проверить, получающаяся «укороченная» сис-
система имеет ненулевое решение у. В итоге приходим к фундамен-
тальнои совокупности решении е , ..., е , у, е , ...,е системы
линейных неравенств B.8). Эта фундаментальная совокупность
совпадает с набором векторов B.7), порождающих конус М ко-
конусного отношения предпочтения >-. Следовательно, конус М
совпадает с множеством ненулевых решений системы линейных
неравенств B.8).
Как было указано в начале доказательства теоремы, имеет
место включение у е К. В силу следствия 2.1 справедливо соот-
соотношение R™ С К. Конус R™ порождается набором единичных
векторов е1, е2, ..., ет. Так как К — выпуклый конус, то он вме-
вместе с векторами B.7) заведомо содержит и все ненулевые нео-
неотрицательные линейные комбинации векторов B.7), т. е. М с К.
В итоге приходим к включениям
ГСМС1,
из которых следует
где
B.11)
р(у) = {/ е Y | не существует такого у е Y, что у - у* е М)
— множество недоминируемых элементов множества 7 относи-
относительно конусного отношения с конусом М.
Пусть х,лГеХ,у= Дх), / = Дх*) и Дх) ^ Дх*). На осно-
основании доказанного выше совпадения конуса М с множеством не-
ненулевых решений системы линейных неравенств B.8) включение
Дх) — Дх*) е М имеет место тогда и только тогда, когда вектор
у = Дх) — Дх*) является ненулевым решением системы B.8), т. е.
Мх)-Л(х")
е,7 (/,(*)-/,(*•)
- е,7
х) - fj (х*)
>0

64 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Последнее неравенство можно переписать в виде f(x)—f(x*) e R™
или / (х) >/(**). Следовательно, соотношение у - у* е Л/для век-
векторов у = /(х), У = /(х*) равносильно неравенству f(x) >/(**).
Отсюда следует, что множество P(y), участвующее в B.11), совпа-
совпадает с множеством парето-оптимальных векторов многокритери-
многокритериальной задачи, в которой множество возможных решений есть X,
а векторный критерий — J вида B.6).
Для завершения доказательства остается заметить, что в ус-
условиях доказываемой теоремы на основании леммы 1.2 верно
включение Sel Y с Ndom Y. С учетом этого из включений B.11)
вытекают включения B.5), которые требовалось установить.Y
В соответствии с принципом Эджворта-Парето (см. раздел 1.4)
все выбираемые векторы должны содержаться во множестве
Парето или, что то же самое, любой парето-оптимальный вектор
может оказаться выбранным. Если в задаче многокритериального
выбора имеется дополнительная информация о том, что какой-то
один из критериев важнее другого, то, в соответствии с теоре-
теоремой 2.5, на основе этой информации множество Парето может
быть сужено без потери выбираемых векторов. Иначе говоря,
некоторые векторы из множества Парето можно удалить, так
как они заведомо не должны быть выбранными. Осуществленное
таким образом сужение множества Парето на основе информа-
информации об относительной важности критериев в некоторых задачах
может существенно облегчить последующий поиск выбираемых
векторов.
Справедливости ради следует отметить, что в определенных
случаях (в особенности, когда коэффициент относительной важ-
важности близок к нулю, а значит, критерии fj и /у почти равны друг
другу) указанного выше сужения может и не произойти из-за со-
совпадения множеств Парето относительно «старого» и «нового»
векторных критериев, т. е. P(y) = P(Y). Можно сказать, что в та-
таких случаях имеющаяся информация об относительной важности
критериев не является содержательной.
В терминах решений доказанная теорема принимает следую-
следующий вид.
Теорема 2.5 (в терминах решений). Предположим, что отно-
отношение предпочтения у удовлетворяет аксиомам 1—4 и i-й критерий
важнее j-го с коэффициентом относительной важности 9/у е (О, 1).
Тогда для любого непустого множества выбираемых решений Sel X
имеют место включения

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 65
SelX с РГ(Х) с Pf(X), B.12)
где Р?(Х) — множество парето-оптималъных решений в много-
многокритериальной задаче с множеством возможных решений X и «но-
«новым» векторным критерием f =[f \,f 2> —>f т)> компоненты ко-
которого вычисляются по формулам B.6).
Рис. 2.4 иллюстрирует доказанную теорему.
Комментируя последнюю теорему, прежде всего, следует об-
обратить внимание на ее универсальность, проявляющуюся в том,
Рис. 2.4.
что в ней отсутствуют какие бы то ни было требования к множе-
множеству возможных решений X и векторному критерию/ Это говорит
о том, что она применима к любой задаче многокритериального
выбора, в которой выполнены аксиомы 1—4. При этом множество
возможных решений (и векторов) может состоять как из конечно-
конечного, так и бесконечного числа элементов, а функции /, /,...,/„
могут быть какими угодно — нелинейными, невыпуклыми,
невогнутыми и даже не обладать свойством непрерывности. Ог-
Ограничения в условиях теоремы 2.5 накладываются лишь на пове-
поведение ЛПР — оно должно в процессе выбора вести себя «доста-
«достаточно разумно» в том смысле, что его отношение предпочтения
обязано удовлетворять аксиомам 1—4.
Далее, формула B.6) для пересчета «нового» критерия /
на основе «старого»/чрезвычайно проста. В соответствии с ней
«новый» векторный критерий из «старого» получается заменой
менее важного критерия f} на выпуклую комбинацию критериев
/ и fj с коэффициентом относительной важности 9/у. Все осталь-
остальные «старые» критерии сохраняются. Нетрудно видеть, что при
подобном «пересчете» у-го критерия многие полезные с точки
зрения оптимизации свойства критериев / и fj сохраняются. На-
Например, если указанные критерии являются непрерывными, вог-

66 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
нутыми, выпуклыми или линейными, то новый критерий у) так
же будет обладать соответствующими свойствами.
Наиболее простой вид формула B.6) принимает в случае ли-
линейных критериев. Сформулируем соответствующий результат.
Следствие 2.2. Если дополнительно к предположениям теоремы
2.5 добавить условие X с Rn и требование линейности критериев ft
ufj, т.е.
1=1
где ск =(cf,C2,..., cj), то новый j-й критерий будет иметь вид
f . (х) = (с, х), где
c = Qijci + (l-Qij)cj. B.13)
Этот результат немедленно вытекает из формулы B.6) с учетом
линейности скалярного произведения векторов пространства Rm.
Равенство B.13) имеет наглядную интерпретацию в случае, когда
множеством возможных решений является подмножество дву-
двумерного векторного пространства, т. е. когда X с R2 (рис. 2.5).
Чем ближе коэффициент относительной важности 9/у к нулю,
тем ближе конец вектора с к кон-
xi\ rt цу вектора cj. При увеличении
9/у в пределах интервала @, 1)
вектор с\ соответствующий бо-
более важному критерию, как бы
«притягивает» к себе вектор с,
соответствующий новому у-му
о" 7г критерию. В случае 9/у = 0.5 ко-
Рис 2 з неЦ вектора с будет располагать-
располагаться в центре отрезка соединяю-
соединяющего концы двух векторов с1 и cj. Если же коэффициент относи-
относительной важности близок к единице, то вектор с будет мало
отличаться от с\ а значит векторный критерий J будет содер-
содержать два почти одинаковых критерия /•. Тем самым, влияние ме-
менее важного критерия Jj, которому соответствует вектор <У, на
решение задачи многокритериального выбора практически ис-
исчезнет.
3. Геометрические аспекты. В задачах многокритериального выбо-
выбора отношение предпочтения >-, которым ЛПР руководствуется в
процессе выбора, как правило, полностью не известно. В настоящей

2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 67
книге считается, что оно лишь подчиняется аксиомам 1—4. В этих
условиях согласно теореме 2.3 отношение предпочтения >- является
конусным с (неизвестным) острым выпуклым конусом К, не содер-
содержащим начало координат. Более того, в силу следствия 2.1 конус К
содержит неотрицательный ортант, т. е. R™ с К. Отсюда выте-
вытекает включение Ndom Fc P(Y), что вместе с Sel Fc Ndom F дает
SelFc P(Y). B.14)
Последнее включение выражает собой принцип Эджворта-Па-
рето, согласно которому выбор следует производить в пределах
множества Парето. Как было указано в первой главе, этот прин-
принцип применим в любой задаче многокритериального выбора, удов-
удовлетворяющей аксиомам 1-3. Иначе его можно сформулировать
так: множество Парето представляет собой определенную оценку
сверху для множества выбираемых векторов.
Теперь предположим, что помимо аксиом 1—4, которым удов-
удовлетворяет рассматриваемая задача многокритериального выбора,
имеется дополнительная информация о том, что /-й критерий
важнее у-го критерия с коэффициентом относительной важности
9/у g @, 1). Наличие такой информации на геометрическом языке
означает, что указан вектор у е Rm вида B.4), для которого вы-
выполняется включение у е К. Таким образом, теперь известно,
что конус К кроме неотрицательного ортанта содержит еще и век-
вектор у, расположенный за пределами неотрицательного ортанта.
Рассмотрим конус М, совпадающий с множеством всех не-
ненулевых неотрицательных линейных комбинаций векторов е1,...,
е?~1, У, el+1, —, ет, который был введен при доказательстве тео-
теоремы 2.5. В ходе доказательства были установлены включения
R™ с М с К, причем М ^ R™. Из этих включений следует
Sel Y с Ndom Y с NdomM7 с P(Y),
где
Ndom Y = {у е Y \ не существует такого у е Y, что у — У е К\,
NdomM Y = {у* е Y \ не существует такого у е Y, что у —у* е М\,
P(Y) = {у* е Y | не существует такого у е Y, что у —у* е R™}.
Отсюда получаем новую, более точную, чем B.14), оценку сверху
для неизвестного множества выбираемых векторов:

68
ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
Sel Y с ^
При этом чем более широким по сравнению с неотрицательным
ортантом R™ является конус М, тем более узким можно ожидать
множество NdomMFno сравне-
сравнению с P(Y).
Итак, наличие указанной
дополнительной информации
об относительной важности
критериев дает возможность
выделить в неизвестном кону-
У2
О
Рис. 2.6.
У\
се К более широкую часть, чем
R™ (рис. 2.6), и на основании
этого построить более точную оценку сверху для множества вы-
выбираемых векторов по сравнению с той, которая гарантируется
принципом Эджворта-Парето.
Пример 2.1. Пусть т = 2, Y = {у1, у2, у3}, причем
у1 = D,1); у2 = C,2); у3 = A,3).
Здесь все три возможных вектора являются парето-оптимальны-
ми, т. е. принцип Эджворта-Парето не позволяет сузить область
поиска выбираемых векторов.
Предположим, что имеется дополнительная информация о том,
что первый критерий важнее второго с коэффициентом относи-
относительной важности 0.5. На геометрическом языке это означает,
что у = @.5; -0.5) е К.
На рис. 2.7 изображены дан-
данные три возможных вектора и
конус М, транслированный в
точки, соответствующие второ-
второму и третьему возможным век-
векторам. Видно, что ни первый, ни
второй вектор не могут оказать-
оказаться выбранными, так как для них
существуют доминирующие их
векторы:
У2
3
2
1
0

i
у2
1
1 2 3 4 У\
у2 е у3 + М,
у1 е у2 + М.
Рис. 2.7.
Следовательно, единственным
выбранным может оказаться первый вектор у1. Иными словами,
если множество выбираемых векторов в данной задаче не пусто,
то оно состоит из единственного первого вектора.

2.4. ШКАЛЫ КРИТЕРИЕВ И ИНВАРИАНТНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ 69
К тому же самому выводу можно прийти, если воспользо-
воспользоваться результатом теоремы 2.5. В самом деле, согласно форму-
формуле B.6) новый второй критерий принимает вид 0.5 л + 0.5^2
и, как легко найти,
Y = {D, 2.5), C,2.5), A,2)}.
Парето-оптимальным в этом множестве является только один
первый вектор. Значит, он (и только он) может оказаться выб-
выбранным при условии, что выбираемые векторы существуют.
2.4. Шкалы критериев и инвариантность измерений
1. Количественные и качественные шкалы. Как было указано
ранее, все критерии fuf2, ...,fm, участвующие в постановке задачи
многокритериального выбора, принимают числовые значения. Тем
самым, включение yt = ft(x) e R выполняется для любого х е X
и каждого / = 1, 2,..., т. Для строгой постановки математической
задачи многокритериального выбора этих сведений о критериях
вполне достаточно.
Однако когда речь идет о той или иной прикладной задаче,
числовые значения критериев представляют собой результаты
измерения в некоторой шкале. Например, если рассматриваемый
критерий выражает стоимость проекта, прибыль или затраты,
то все эти величины могут быть выражены в рублях, миллионах
рублей, долларах, евро или каких-то других денежных единицах.
При измерении длин предметов результаты, как известно, по-
получают в метрах, дюймах, футах, ярдах и т. п. Для указания
временного промежутка используют часы, секунды, годы, мил-
миллионы лет и т. д. Таким образом, при решении конкретных при-
прикладных задачи значения критериев измеряются в пределах той
или иной шкалы и выражаются в определенных единицах изме-
измерения.
Существуют различные типы шкал измерения. Когда требуется
подсчитать число предметов, людей, вещей и т. п., используется
так называемая абсолютная шкала. В этой шкале жестко зафикси-
зафиксировано начало отсчета (нуль) и масштаб измерения (единица). Два
разных (измеряющих) человека, независимо друг от друга выполнив
измерения (подсчет) в этой шкале одних и тех же количеств, должны
получить абсолютно идентичные результаты. Можно также сказать,
что в этой шкале существует единственная для всех измеряющих
единица измерения.

70 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
При измерении такой физической характеристики, как мас-
масса предмета, используют различные единицы измерения. Как
известно, масса предмета может быть выражена в килограммах,
фунтах, тоннах, пудах и т. д. Здесь фиксированным для всех из-
измеряющих оказывается лишь начало отсчета — нуль, который
соответствует отсутствию какой-либо массы, тогда как масштаб
измерения может оказаться различным для разных измеряющих.
Тем самым, результаты измерений у- и yf одного и того же пред-
предмета для двух различных измеряющих, пользующихся разными
единица измерений, могут отличаться на некоторый фиксирован-
фиксированный положительный множитель аь т. е. у- = ос, у". В этом случае
говорят, что результаты измерений определяются с точностью до
преобразования вида фг(уг) = atyb at > 0. Шкала подобного типа
называется шкалой отношений. Название этой шкалы связано с тем,
что при измерении в этой шкале независимо от единицы измерения
отношения измерений будут одинаковыми для различных измеря-
измеряющих. Действительно, пусть один измеряющий для двух объектов
получил два числа у- и у['9 а другой для тех же объектов — у[ и у1}
соответственно. Поскольку у- = af у- и у'^щу'/ при некотором
аг > 0, то выполняются равенства
У'г = агУ'г = У'г
уЧ щуЧ уГ
которые и означают сохранение отношений измерений для раз-
различных измеряющих в шкале отношений. Таким образом, если ка-
какой-то измеряющий пришел к выводу, что, например, масса одно-
одного предмета в два раза больше массы другого, то и другой измеряю-
измеряющий (использующий другие единицы измерения) должен прийти
к тому же самому выводу. Это свидетельствует о том, что, при срав-
сравнении результатов измерения в шкале отношений, высказывание
«во столько-то раз больше (меньше)» является осмысленным.
Нетрудно понять, что измерение таких величин, как при-
прибыль, затраты и т. п., выраженных в единицах какой-либо валю-
валюты, также следует производить в шкале отношений.
Еще одна шкала измерений характеризуется заданием масш-
масштаба измерений и нефиксированным (для различных измеряю-
измеряющих) началом отсчета. Примером такой шкалы может служить
шкала летоисчисления — переход от одного летоисчисления к дру-
другому осуществляется изменением начала отсчета. Говоря более
точно, шкалой разностей называется такая шкала, в которой ре-
результаты измерений определяются с точностью до преобразова-

2.4. ШКАЛЫ КРИТЕРИЕВ И ИНВАРИАНТНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ 71
ния фг(у/) = З7/ + ci9 где сг — фиксированное число. Измерения
в этой шкале характеризуются сохранением разностей между двумя
разными измерениями, выполненными различными измеряющи-
измеряющими. Другими словами, для измерений, выполненных в шкале раз-
разностей, осмысленным является высказывание «на столько-то
больше (меньше)». Например, продолжительность правления
Николая II, вычисленная как в Григорианском, так и юлианском
(или каком-то другом) календаре будет одна и та же.
Шкалой интервалов называется шкала, в которой результаты
измерений определяются с точностью до (инвариантны относитель-
относительно) линейного положительного преобразования фДу/) = осгу/ + сь
где ос, > 0 и Q — фиксированные числа. Типичным примером
такой шкалы может служить шкала температур. Как известно,
для измерения температуры имеются, например, шкалы Цель-
Цельсия, Фаренгейта и Кельвина. Переход от результатов измерений
в одной шкале к результатам в другой происходит по формулам
вида yt = a, yt + ct.
Шкала интервалов характеризуется тем, что у каждого изме-
измеряющего может быть свое начало отсчета и свой масштаб изме-
измерения. При этом для измерений, выполненных в шкале интерва-
интервалов различными измеряющими, будут сохраняться отношения
разностей:
У--У-' а^+с^а^+с,.) yi-yf
Все перечисленные выше шкалы — абсолютную, отноше-
отношений, разностей и интервалов относят к количественным шкалам.
Понятно, что результаты измерения, инвариантные относительно
линейного положительного преобразования j;/=a/j/ + c/, бу-
будут инвариантны и относительно преобразований вида yt = а(у(
и yt = yt + С;. По этой причине среди количественных шкал наи-
наиболее «общей» оказывается шкала интервалов. Поэтому все ут-
утверждения, полученные для измерений, выполненных в шкале
интервалов, будут иметь место и для измерений в шкалах отно-
отношений и разностей (тем более, для абсолютной шкалы).
Кроме количественных существуют качественные шкалы.
Типичным представителем качественной шкалы является по-
порядковая шкала, в которой результаты измерений определяются
с точность до преобразований вида фг(у/), где фг — произвольная
строго возрастающая функция. Примерами такой шкалы могут

72 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
служить шкала твердости минералов Мосса, шкала упорядочения
по важности выполнения работ, различные балльные шкалы.
В порядковых шкалах не фиксируется начало отсчета, может быть
различным масштаб измерений, причем, образно говоря, даже
величина деления при переходе от одной отметки к другой у раз-
различных измеряющих может оказаться разной. Для результатов
измерений в порядковой шкале лишены смысла высказывания
«во столько-то раз больше (меньше)», «на столько-то единиц
больше (меньше)». Здесь имеет смысл только отношение «боль-
«больше—меньше». Следует отметить, что существуют и другие каче-
качественные шкалы (см., например, [10, 27]).
Все утверждения, полученные для результатов измерений,
выполненных в качественной шкале, имеют место и для количе-
количественных шкал, тогда как обратное не верно. Поэтому количе-
количественные шкалы по сравнению с качественными оказываются
«богаче» в том смысле, что для них могут быть получены более
богатые по содержанию утверждения, хотя и для менее широко-
широкого класса задач.
2. Инвариантность множества Парето относительно строго воз-
возрастающего преобразования критериев. Напомним определение
множества Парето (в терминах векторов):
P(Y) = {у* Е Y | не существует такого у е Y, что у > у*}.
Выполнение неравенства у > у*, участвующего в определе-
определении множества Парето, означает справедливость покомпонент-
покомпонентных неравенств yt ^ у* для всех / = 1, 2,..., т, причем по край-
крайней мере для одного номера / последнее неравенство является
строгим.
Пусть фг — строго возрастающая числовая функция одной
переменной, заданная на всей числовой оси, т. е.
Уг>У'г & *ц{Уг)>Ь{у1)
для yi9 y[ e R. Очевидно, выполнение равенства yt = у[ для стро-
строго возрастающей функции фг равносильно выполнению равенства
ф.(у.) =ф.(у^). Далее, для такой функции в соответствии с ее оп-
определением неравенство yt > у- имеет место тогда и только тог-
тогда, когда верно неравенство Ф/(У/) > Ф/(у/).
Полученное означает, что определение множества Парето по
существу не изменится, если к значениям критериев применить
строго возрастающее преобразование. Иными словами, множе-
множество Парето оказывается инвариантным относительно указанно-

2.4. ШКАЛЫ КРИТЕРИЕВ И ИНВАРИАНТНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ 73
го преобразования, а значит, понятие множества Парето можно
использовать во всех тех случаях, когда измерения критериев про-
производятся, по крайней мере, в порядковой (тем более, в любой ко-
количественной) шкале.
3. Инвариантность результатов теоремы 2.5 относительно ли-
линейного положительного преобразования критериев. Центральный
результат второй главы — это теорема 2.5, которая показывает
каким образом информацию об относительной важности крите-
критериев можно использовать для сужения множества Парето. Как
было указано в предыдущем разделе, основой этого сужения яв-
являются включения
Sel7 с Р(?) с P(Y), B.15)
где P(y) — множество парето-оптимальных векторов в многокри-
многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений
X и «новым» векторным критерием / = (/1?/2? ...?/^ ] (т.е.
Y = f(X)), компоненты которого вычисляются по формулам
h =Qijfi+{l~Qij)fj> fs =fs Для всех s ? ЛШ- B.16)
Поскольку рассматриваемый в книге количественный подход
предполагает измерение значений критериев в количественных
шкалах, то несомненный практический интерес представляет ус-
установление инвариантности включений B.15) относительно ли-
линейного положительного преобразования критериев. Заметим,
что если бы такой инвариантности на самом деле не было, то это
означало бы невозможность применение предлагаемого подхода
при решении практических многокритериальных задач с количе-
количественными критериями.
Теорема 2.6. Включения B.15) (а также B.12)) инвариантны
относительно линейного положительного преобразования критериев.
А Прежде всего заметим, что множество выбираемых векто-
векторов Sel Y определено таким образом, что оно подчиняется лишь
аксиоме 1, не содержащей никаких упоминаний о критериях.
Значит, оно не зависит от выбора шкал критериев и является
инвариантным относительно любого преобразования критериев.
В предыдущем пункте была установлена инвариантность
множества Парето относительно строго возрастающего преобра-
преобразования. Линейное положительное преобразование является ча-
частным случаем строго возрастающего преобразования. Поэтому
множество Парето P(Y) из B.15) инвариантно относительно

74 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
линейного положительного преобразования критериев. Для
доказательства инвариантности множества Парето р(9) доста-
достаточно убедиться в инвариантности строгого неравенства fj =
= 6/уУ/ +(l-Qij)yj >Qij-yt +{l-Qij)yj = fp содержащего новыйу-й
критерий, поскольку проверка инвариантности соответствующих
неравенств для произвольного критерия fb i ^ у, производится
так же элементарно, как в предыдущем пункте.
Сначала напомним определение коэффициента относитель-
относительной важности критериев:
в -
13 *>;
Здесь у'к = fk(xf), y'l =fk{x") (к = i,j), причем w*9 w* — фик-
фиксированные числа.
Теперь заменим ук на ук = акук + ск(ак > 0), к = /, у,
в формуле У . = 9/уЗ7/ + A — ®ij)yp задающей новый у-й крите-
критерий. В результате этой замены получим преобразованный но-
новый критерий вида
- a^l' - ct + ajy'J + Cj - ayjj - с
После упрощения приходим к следующему выражению
* *
//=а/а/ ^ - У/+<*,•(*• г^ гУ/+С, B.17)
/"V 1/4? | /Л/ 1/4? /Л/ ЛА) | /Л/ 1/4?
где константа
W,
не зависит от уь yj.
Теперь предположим, что неравенство

2.4. ШКАЛЫ КРИТЕРИЕВ И ИНВАРИАНТНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ 75
f j = %Vi + A - % )У] = ^^ У! + ^^ У]
J J J J W +W W +W J
B.18)
выполняется для произвольных чисел уь yj9 yh у •. Принимая
во внимание B.17), после умножения на положительное число
и прибавления константы С к обеим частям B.18), получим
неравенство
/ >/ =a.a. ^1 rVi+a^j ^ tVj+C. B.19)
7 J J aw +aW J aw +aw y
Следовательно, из выполнения неравенства B.18) вытекает нера-
неравенство B.19). Нетрудно понять, что из выполнения неравен-
неравенства B.19) аналогичным образом можно прийти к неравенству
B.18). Это означает, что рассматриваемые два неравенства эк-
эквивалентны. Y
Из доказательства последней теоремы видно, что коэффици-
коэффициент относительной важности 9/у не является инвариантным отно-
относительно линейного положительного преобразования критериев.
Более того, можно легко проверить, что он не является инвариан-
инвариантным и относительно преобразований вида ук = акуки ук = ук +
+ сь к = /,/ Это свидетельствует о том, что для различных изме-
измеряющих {различных ЛПР) коэффициенты относительной важности
критериев могут быть различными, даже если они решают одну и
ту дн:е задачу выбора, имеют одинаковые предпочтения и выполняют
измерения в шкале одного и того же типа. И в этом нет никакого
противоречия, поскольку указанные ЛПР могут использовать раз-
различные единицы измерения для одних и тех же критериев.
В самом деле, пусть, например, два лица, принимающие
решения, производят измерения значений первого критерия
в единицах валюты и с точки зрения предпочтений ведут себя
совершенно одинаковым образом, но одно из них производит
расчет в долларах, а другое — в рублях. Предположим далее,

76 ГЛАВА 2. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ КРИТЕРИЕВ
что измерение значений второго критерия осуществляется обо-
обоими ЛПР в абсолютной шкале (например, число штук выпус-
выпускаемых заводом изделий). Для ЛПР, работающего с долларами
и готового за добавку в $ 1000 пожертвовать 10 изделиями,
коэффициент относительной важности первого критерия в срав-
сравнении со вторым составит
0{2 = «0.01.
1000 + 10
Второе ЛПР, оперирующее с рублями (если оно ведет себя так
же как первое ЛПР), должно быть готово за 30000 руб. добавки
по первому критерию пожертвовать тем же самым количеством
изделий A0 штук) по второму критерию, поскольку один доллар
(на момент принятия решения) приблизительно равен тридцати
рублям. Поэтому для второго ЛПР коэффициент относительной
важности будет равен
0f2 = « 0.00033,
30000 + 10
что значительно меньше, чем у первого. Но именно так и должно
быть, поскольку для первого ЛПР единица валюты является су-
существенно более «дорогой», чем для второго.

Глава 3
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ
ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
Предложенное в предыдущей главе понятие относительной
важности критериев здесь распространяется на общий случай двух
групп критериев. Изучаются его простейшие свойства и показы-
показывается, каким образом производить учет информации о том, что
одна группа критериев важнее другой группы с определенным
набором коэффициентов относительной важности. Этот учет, как
и в случае двух критериев, сводится к построению множества
Парето относительно нового векторного критерия. Но при этом
размерность последнего может быть существенно выше размер-
размерности исходного критерия.
Приведены геометрические иллюстрации для задачи выбора
с тремя критериями.
3.1. Определение и важнейшие свойства
относительной важности критериев
1. Основные определения. Введем общее определение относи-
относительной важности для двух групп критериев.
Определение 3.1. Пусть А, В с /, А ^ 0, В ^ 0, А П В = 0.
Будем говорить, что группа критериев А важнее группы критериев
В с двумя заданными наборами положительных параметров w* для
всех i e А и w*- для всех j e В, если для любой пары векторов
у1, у" е Rm, для которых верно
у\ — у" = w* > 0 для всех / е А,
у" - у) = w* > 0 для всех j e В,
y's =y"s для всех s e I\(A U В), C.1)
имеет место соотношение у' > у".
Другими словами, для ЛПР группа критериев А важнее дру-
другой группы Д если всякий раз при выборе из пары векторных

78 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
оценок ЛПР готово пожертвовать определенным количеством w*
по каждому менее важномуу-му критерию fj (j e В) ради полу-
получения дополнительного количества w* по каждому более важно-
важному /-му критерию ft (/ e А) при условии сохранения значений
всех остальных критериев.
Нетрудно видеть, что в частном случае А = {/} и В = {j}
определение 3.1 совпадает с определением 2.1 относительной
важности для двух критериев. Иначе говоря, определение от-
относительной важности для двух групп критериев является пря-
прямым обобщением определения относительной важности для
двух критериев.
Соотношение между числами w* и w*, как и в случае двух
критериев, позволяет количественно оценить степень важности
одной группы критериев по сравнению с другой группой.
Определение 3.2. Пусть группа критериев А важнее группы
критериев В с двумя заданными наборами положительных па-
параметров w* для всех i e Аи w* для всех j e В. Положительные
числа
А и j€B C.2)
будем называть коэффициентами относительной важности для
указанной пары групп критериев.
Если через | А \ и | В \ обозначить число элементов множества
Аи В соответственно, то число всех коэффициентов относитель-
относительной важности, вводимых определением 3.2, равно произведению
\А\ • \В\. Например, если А = {/}, т. е. \А\ = 1, то указанное
число коэффициентов относительной важности будет равно | В \ —
количеству элементов менее важных критериев.
2. Свойства относительной важности. Имеет место следующий
результат, в соответствии с которым, в случае, когда одна группа
критериев важнее другой, данное соотношение важности будет
сохраняться, если более важную группу расширять, добавляя к ней
другие критерии, а менее важную сужать, удаляя из нее какие-то
критерии.
Теорема 3.1. Пусть отношение предпочтения у удовлетворя-
удовлетворяет аксиомам 2, 3 и группа критериев А важнее группы критериев
В с двумя заданными наборами положительных параметров w* для
всех i e А и w* для ecexj e В. Тогда

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ... 79
— группа критериев A U {к} при к е I\(A U В) будет важ-
важнее группы В с положительными параметрами w* для всех i e А,
w*j для всех j e В и произвольным положительным параметром w?;
— группа критериев A U {к} при к е В будет важнее группы
критериев В\{к) с положительными параметрами w* для всех
i e A, w*j для всех j e В\{к} и произвольным положительным па-
параметром w*k;
— группа критериев А будет важнее группы критериев В\ {к}
с положительными параметрами w* для всех i e А и w* для всех
je B\{k}.
А Пусть в соответствии с определением 3.1 для векторов у', у",
удовлетворяющих C.1), выполнено соотношение у' > у".
Рассмотрим при к е I\(A\J В) произвольный вектор у е Rm,
для которого выполнено
Ук > Ук\ Уз = Уз Для всех s e 1\ {к}.
Поскольку
уг - у" = w* > 0 для всех / е А,
Ук>Ук= Ук> У" - У] = w) > ° Для всех J ? в>
ys = yfj для всех s e I\ (A U В U {к})
и разность w*k = ук — ук может быть любым положительным чис-
числом, то доказательство первого утверждения завершено.
Для проверки истинности второго утверждения при к е В
введем вектор у с компонентами
Ук > Ук\ Уз = Уз Для всех s e 1\ {к}.
Для этого вектора аналогично рассмотренному выше получим
соотношение у у у", которое устанавливает справедливость тре-
требуемого второго утверждения.
Доказательство третьего утверждения проводится по той же
самой схеме и не составляет труда. Y
Из общих соображений ясно, что в случае, когда ЛПР готово
за определенный прирост по первой группе критериев пожертво-
пожертвовать некоторым количеством по критериям менее важной группы,
то это ЛПР должно согласиться как на больший прирост по тем же
самым критериям, так и на меньшую потерю по менее важным
критериям. Действительно, справедлива следующая

80 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
Теорема 3.2. Пусть отношение предпочтения > удовлетворяет
аксиомам 2 и 3. Предположим, что группа критериев А важнее
группы критериев В с двумя заданными наборами положительных
параметров w* для всех i е А и w* для всех j е В. Тогда группа
критериев А будет важнее группы критериев В с любой парой набо-
наборов положительных параметров w/ для всех i e А и wj для всех
j e В, удовлетворяющих неравенствам
wf > w* для всех i e A, w- < w* для всех j e В.
Иначе говоря, если первая группа критериев А важнее второй
группы критериев В с коэффициентами относительной важности
вц для всех i e А и всех j e В, то первая группа будет важнее
второй и с любыми коэффициентами относительной важности 9fijy
меньшими, чем 9/у, т. е. 9-у- <9/у для всех i e А и ecexj e В.
Доказательство теоремы 3.1 проводится аналогично доказа-
доказательству теоремы 2.1; поэтому воспроизводить его здесь не будем.
По аналогии с рассмотрениями предыдущей главы можно
ввести предельные коэффициенты относительной важности для двух
групп критериев.
Кроме того, можно определить и отношение несравнимой
важности одной группы критериев по сравнению с другой груп-
группой. А именно, если любое положительной число 9/у е @, 1) (при
всех / е Anj e В) является коэффициентом относительной важ-
важности для группы критериев А по сравнению с группой критери-
критериев В, то в таком случае будем говорить, что первая группа крите-
критериев несравнимо важнее второй группы.
Во второй главе уже была получена характеризация лекси-
лексикографического 1) отношения в терминах последовательного на-
набора несравнимо боле важных критериев (см. теорему 2.2). Ниже
формулируется аналогичное утверждение в терминах групп кри-
критериев, которое эквивалентно теореме 2.2.
Теорема 3.3. Заданное на пространстве Rm бинарное отноше-
отношение >, удовлетворяющее аксиомам 2 и 3, является лексикографичес-
лексикографическим тогда и только тогда, когда первый критерий несравнимо важнее
группы {2, 3,..., т) всех остальных критериев, второй критерий не-
несравнимо важнее группы {3,..., т) всех последующих критериев и т. д.
(т— \)-й критерий несравнимо важнее т-го критерия.
А Необходимость. Пусть отношение >- является лексикогра-
лексикографическим. По определению лексикографического отношения для
1) Определение лексикографического отношения можно найти в разд. 1.2.

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ... 81
произвольных двух векторов у', у" е Rm выполнены следующие
т высказываний
1) у{ > Ух =* У1 >- Уп\
2) л' = й"> У2>У2 => У>У"\
3) у[ = yl у{ = уЪ yi > yif => у1 у у";
т) у! = у!', / = 1,2,...,т-1; у'т > у^ => у'>уп.
Из высказывания 1) следует, что первый критерий несравнимо
важнее группы всех остальных критериев. Действительно, согласно
высказыванию 1), для произвольных векторов у', у" е Rm, у ко-
которых разности уЧ — Уъ —ч Ут ~ Ут положительны, все числа
е12=
е
13
V -
а У т
У{У{ +
являются коэффициентами относительной важности, причем по-
поскольку указанные выше разности вместе с разностью у( - у'{ мо-
могут принимать все возможные значения в пределах от 0 до +оо,
выписанные коэффициенты относительной важности являются
произвольными числами, сплошь заполняющими интервал @, 1).
Это означает, что первый критерий несравнимо важнее группы
всех остальных критериев.
Аналогично, из высказывания 2) можно прийти к выводу,
что второй критерий несравнимо важнее группы всех последую-
последующих критериев {3, ..., т}, ..., из (т — 1)-го высказывания следует
несравнимая важность (т — 1)-го критерия по сравнению с т-м
критерием.
Достаточность. Пусть первый критерий несравнимо важнее
группы {2, 3, ..., т} всех остальных критериев, второй — несрав-
несравнимо важнее группы {3, ..., т} всех последующих критериев и т. д.
Выберем два произвольных вектора у', у" Е Rm, для которых верно

82 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
неравенство у[ > у". Для доказательства высказывания 1) следует
убедиться в том, что имеет место соотношение у' > у".
Если дополнительно к неравенству у[ > у" выполнено у[ ^ у}',
i = 2, ..., m, то благодаря аксиоме Парето получаем соотноше-
соотношение у' > у".
Рассмотрим случай, когда в дополнение к неравенству у[ > у'{
имеет место обратное неравенство у[ < у" для некоторого (или
некоторых) s e {2,..., т). Введем в рассмотрение вектор у, у кото-
которого ух = у{, для всех указанных номеров s выполнено равенство
ys = y's -1, а все остальные компоненты имеют вид ук = уЦ. — 1.
Очевидно, справедливо неравенство у' > у. Следовательно, со-
согласно аксиоме Парето верно соотношение у' > у. У вектора у
только первая компонента больше первой компоненты вектора у",
а все остальные — меньше соответствующих компонент у". По-
Поэтому благодаря тому, что первый критерий несравнимо важнее
набора всех остальных критериев, получаем у > у ". В силу тран-
транзитивности отношения > из соотношений у' > у i& у > у"
приходим к требуемому результату у' > у".
Точно так же, используя аксиому Парето и тот факт, что вто-
второй критерий несравнимо важнее группы {3,..., т] всех последую-
последующих критериев, проверяется истинность высказывания 2) и т. д.
Действуя подобным образом, в конце концов, получим спра-
справедливость высказывания m — 1). Высказывание т) вытекает из
аксиомы 3.Y
3.2. Использование информации об относительной важности
критериев для двух групп критериев
1. Эквивалентное более простое определение относительной
важности для двух групп критериев. Для того чтобы в соответ-
соответствии с определением 3.1 проверить, действительно ли одна группа
критериев важнее другой группы, необходимо предложить ЛПР
для сравнения бесконечное число пар векторов у', у" Е Rm, удов-
удовлетворяющих соотношениям C.1) при некоторых положитель-
положительных параметрах w*, w*. Очевидно, что на практике подобную про-
проверку осуществить невозможно из-за бесконечного числа срав-
сравниваемых пар векторов. На самом деле, как и в случае двух
критериев (см. теорему 2.4), такая проверка в условиях инвари-
инвариантности отношения предпочтения и не требуется. Достаточно
убедиться в выполнении соотношений C.1) лишь для некоторой
одной фиксированной пары векторов у', у". Об этом свидетель-

3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 83
ствует следующий результат, который доказывается по той же
схеме, что и теорема 2.4.
Теорема 3.4. В силу инвариантности отношения предпочтения >
можно считать, что в определении 3. 1 векторы у', у" фиксированы.
В частности, в нем можно положить
у'. = w* для всех i e А,
yj = -w*j для всех j e В,
yfs = 0 для всех s e I\{A U В} C.3)
и у" = 0т.
Поскольку отношение предпочтения >- предполагается инва-
инвариантным относительно линейного положительного преобразо-
преобразования, на основании сформулированной теоремы 3.4 приведем
более простое определение относительной важности, которое
эквивалентно определению 3.1.
Определение 3.3. Пусть А, В с /, А ^ 0, В ^ 0, А П В = 0.
Группа критериев А важнее группы критериев В с двумя заданными
наборами положительных параметров w* для всех i e А и w* для
ecexj е В, если для вектора у' вида C.3) верно соотношение у' > 0т.
В соответствии с данным определением, если, например, век-
вектор @.7, —0.3, 1) оказывается для ЛПР предпочтительнее нулево-
нулевого вектора @, 0, 0), то группа из первого и третьего критериев
будет важнее группы, состоящей из одного второго критерия,
причем соответствующие коэффициенты относительной важно-
важности равны
е12 = °'3 = о.з, е32 = -^- « 0.23-
0.7 + 0.3 1 + 0.3
2. Сужение множества Парето на основе информации о том,
что одна группа критериев важнее другой группы. На основе следу-
следующей теоремы в процессе принятия решений из множества всех
парето-оптимальных векторов можно удалять те, которые заве-
заведомо не могут оказаться выбранными.
Теорема 3.5 (в терминах векторов). Предположим, что A, Bel,
А ^ 0, В ^ 0, A f] В = 0 и группа критериев А важнее группы
критериев В с двумя заданными наборами положительных парамет-
параметров w* для всех i e Аи w* для ecexj e В. Тогда для любого непустого
множества выбираемых векторов имеют место включения

84 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
PG), C.4)
где P(Y) есть множество парето-оптималъных векторов в много-
многокритериальной задаче с множеством возможных решений X и век-
векторным критерием/, a P(y) — множество парето-оптималъных век-
векторов в задаче с исходным множеством решений X и новым р-мерным
(р =т —15| + |^4|-|5|) векторным критерием g, составленном из тех
компонент/ векторного критерия/ для которых i e 1\В, а также
компонент вида
Su = Qijfi + A ~ Qij)fj для есех 1 е А и ecexJ G в- C-5)
А Вновь через К обозначим острый выпуклый конус конус-
конусного отношения >-. По условию для вектора у' вида C.3) выпол-
выполняется соотношение у' > 0т а значит у' е К. В соответствии со
следствием 2.1 справедливо включение R™ с К.
Введем в рассмотрение множество М — совокупность всех
ненулевых неотрицательных линейных комбинаций конечного
набора векторов е1, е2,..., ет, у', где е1, е2,..., ет — единичные орты
пространства Rm. Множество М является выпуклым конусом, не
содержащим начало координат (так как коэффициенты линейных
комбинаций одновременно в нуль не обращаются). В силу вклю-
включений е1, е2,..., ет G R™ С К и у' е К введенное множество М
представляет собой подмножество конуса К. Более того, М —
острый конус, так как он — подмножество острого выпуклого
конуса К.
Введем так называемый двойственный 1) конус (без нуля) по
отношению к конусу М, т. е.
С = {у е Rm | (z,y) ^ 0 для всех z e М}\{0т}.
На основании теории двойственности выпуклого анализа ([28],
с. 175) образующими конуса С являются внутренние нормали
к (т — 1)-мерным граням конуса М, и обратно: образующими
конуса М служат внутренние нормали к (т — 1)-мерным граням
конуса С.
Возможны два случая: |^4|>1и|^4| = 1.В первом случае обра-
образующими конуса Л/являются все векторы el,e2, ...,ет,у', поскольку
ни один из этих векторов нельзя представить в виде неотрицатель-
неотрицательной линейной комбинации остальных векторов этого набора. Во
втором случае (т. е. тогда, когда А= {/}) вектор е1 можно предста-
представить в виде положительной линейной комбинации вектора у' и всех
1) О двойственном конусе см. также п. 4.3.

3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 85
векторов es при s е В. Значит, во втором случае образующими
конуса Мявляются векторы е1, е2, ..., ет, у' без вектора е\ Далее
сначала рассматривается первый случай, а затем — второй.
Так как образующими конуса М являются векторы е1, е2,...,
ет, у', то множество ненулевых решений системы линейных нера-
неравенств
(е\у) ^ 0 для всех / е I,
(у',у) г о C.6)
совпадает с двойственным конусом С.
Найдем фундаментальную совокупность решений системы
линейных неравенств C.6). Это должна быть такая система век-
векторов, множество неотрицательных линейных комбинаций кото-
которой в точности совпадает с множеством решений системы C.6).
При этом ни один вектор фундаментальной совокупности невоз-
невозможно представить в виде неотрицательной линейной комбина-
комбинации остальных векторов этой совокупности.
Сначала укажем некоторый набор решений системы линейных
неравенств C.6). Прежде всего, заметим, что каждый единичный
орт е1 пространства Rm при / е 1\В является решением C.6).
Далее, введем векторы
для всех i e Аи всех у е В. Компоненты этих векторов неотрица-
неотрицательны, и потому все они удовлетворяют неравенствам (е\ у) ^ 0
для каждого / е I. Более того, они удовлетворяют и последнему
неравенству {у1, у) ^ 0 системы C.6), так как
для всех i e A njeB.
Таким образом, набор, состоящий из векторов е1 для всех
/ е 1\Ви векторов elJ для всех / е А и у е В, принадлежит двой-
двойственному конусу С. При этом, как нетрудно убедиться, ни один
из векторов этой совокупности невозможно представить в виде
неотрицательной линейной комбинации остальных векторов.
Общее число р всех векторов указанного набора равно
р = т - \В\ + \A\-\B\.

86 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
Для того чтобы проверить, что указанный набор векторов
образует фундаментальную совокупность решений системы C.6),
остается убедиться в том, что система линейных неравенств C.6)
не имеет никаких других (с точностью до положительного множи-
множителя) решений, кроме всевозможных неотрицательных линейных
комбинаций векторов указанного выше набора. С этой целью
наряду с системой C.6) рассмотрим соответствующую ей систему
из т + 1 линейных уравнений:
(е\ у) = О для всех / е /,
(У, У) = 0. C.7)
Любая подсистема из т — 1 векторов системы е1, е2,..., ет, у' яв-
является линейно независимой. Следовательно, искомая фундамен-
фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств C.6)
содержится среди (одномерных) ненулевых решений подсистем
из т — 1 уравнений системы линейных уравнений C.7).
Начнем удалять из системы C.7) по два уравнения и выпи-
выписывать решения получающихся в результате такого удаления под-
подсистем, удовлетворяющие, кроме того, системе неравенств C.6).
Найденные таким образом векторы и составят требуемую фунда-
фундаментальную совокупность решений системы неравенств C.6).
Если в число удаляемых входит последнее уравнение систе-
системы C.7), то ненулевыми решениями получающихся подсистем
будут служить (с точностью до положительного множителя), на-
например, единичные орты е1, е2,..., ет. Однако, как легко видеть,
из этого набора лишь те векторы, для которых / е 1\ В, удовлет-
удовлетворяют системе неравенств C.6).
Если последнее уравнение системы линейных уравнений C.7)
не удаляется, то ненулевыми решениями получающихся подсис-
подсистем будут являться (с точностью до положительного множителя)
векторы elj для всех / е А и всех j e В. Все эти векторы, как
было установлено ранее, удовлетворяют системе неравенств C.6).
Поскольку все возможные варианты удаления пар уравне-
уравнений из системы линейных уравнений C.7) рассмотрены, то ни-
никаких других (с точностью до положительного множителя) реше-
решений подсистем из т — 1 уравнений системы C.7), удовлетворяю-
удовлетворяющих C.6), не существует. Это означает, что система векторов,
составленная из е1 для всех / е 1\В и elJ для всех / е А и всех
j e В, образует фундаментальную совокупность решений систе-
системы линейных неравенств C.6). Следовательно, любое решение
системы неравенств C.6) может быть представлено в виде неот-

3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 87
рицательной линейной комбинации этой совокупности векто-
векторов. Будем далее для удобства обозначать эту совокупность
а1, а2, ..., ар. Рассмотрение первого случая завершено.
Несколько слов о втором случае. Когда А = {/}, рассужде-
рассуждения аналогичны, но несколько проще приведенных выше. В этом
случае следует рассмотреть систему из т уравнений, которая от-
отличается от C.7) отсутствием уравнения (е\ у) = О, соответству-
соответствующего единичному орту е\ Здесь удалять следует лишь одно урав-
уравнение, чтобы получить ту же самую фундаментальную совокуп-
совокупность решений системы линейных неравенств C.6).
Итак, в силу доказанного выше, множество решений систе-
системы линейных неравенств C.6), т. е. конус С (вместе с нулем),
совпадает с множеством всех неотрицательных линейных комби-
комбинаций векторов я1, а2,..., ар. Поэтому включение z e С для век-
вектора z имеет место тогда и только тогда, когда этот вектор можно
представить в виде некоторой ненулевой неотрицательной ли-
линейной комбинации векторов указанного набора.
Благодаря последнему обстоятельству неравенство
(г, у) ^ 0 для всех z e С C.8)
для произвольного фиксированного вектора у ^ 0т оказывается
эквивалентным неравенству
(а\у) > 0, / = 1,2,...,;?, C.9)
где знак > указывает, что хотя бы для одного / е {1, 2,...,;?} нера-
неравенство строгое. В самом деле, если вектор у удовлетворяет нера-
неравенствам C.9), то поскольку всякий вектор z e С можно предста-
представить в виде некоторой ненулевой неотрицательной линейной ком-
комбинации векторов а1, а2,..., ар, например, z = X{al + Х2а2 + ... +
+ Храр, то, умножая неравенства C.9) на соответствующие од-
одновременно не равные нулю неотрицательные числа ХиХ2, ...Д^
и почленно складывая полученные таким образом неравенства,
придем к неравенству
Z О
из C.8). Обратно, из C.8) вытекает C.9), так как а1 е С для всех
/ = 1,2,...,;?. При этом одновременно все неравенства C.9) как
равенства выполняться не могут. В самом деле, если для ненуле-
ненулевого вектора у неравенства C.9) выполняются как равенства, то

88 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
эти же неравенства будут иметь место и для противоположного
вектора —у. Отсюда следует, что конус, двойственный по отноше-
отношению к С, не является острым. Но этот двойственный конус есть
М= {у е Rm | {г,у) ^ 0 для всех г e C}\{0m},
так как С является двойственным по отношению к конусу М1).
Тем самым, приходим к противоречию — конус М не является
острым. Полученное противоречие означает, что для ненулевого
вектора у одновременно все неравенства C.9) выполняться как
равенства не могут.
На основании установленной эквивалентности неравенств
C.6) и C.9) заключаем, что включение у е М выполняется тогда
и только тогда, когда справедливы неравенства C.9), и поэтому
у е М & (а\у) > 0, / = 1,2, ...,;?. C.10)
Переходим к завершающему этапу доказательства теоремы.
Из включений
;
следует
NdomF с Р(?) cP(Y), C.11)
где
P(Y) = {у* е Y | не существует такого у е Y, что у - у* е Л/}
представляет собой множество недоминируемых элементов мно-
множества Y, упорядоченного конусным отношением с острым вы-
выпуклым конусом М.
Пусть у =/(х), у* =/(х*),/(х) ^ /(х*) при некоторых х, х* е X.
Благодаря эквивалентности C.10) включение fix) — fix*) e M
имеет место тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
(й;',/(х*)-/(**)>> 0, i=\,2,...,P,
или, что то же самое,
{а\/(х))>(а',/(хЧ /=1,2 р.
Если вспомнить конкретный вид векторов а1, а2,..., ар, то пос-
последние неравенства можно переписать в виде
gix) > g(x*),
1) В случае многогранного конуса М двойственным по отношению к двой-
двойственному конусу С является исходный конус М [28].

3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 89
где g — ^-мерная векторная функция, участвующая в формули-
формулировке доказываемой теоремы. Следовательно, р(у) — это мно-
множество парето-оптимальных векторов в многокритериальной за-
задаче с исходным множеством возможных решений X и вектор-
векторным критерием g.
Для завершения доказательства теоремы остается в C.11)
воспользоваться включением Sel Y с Ndom 7, которое имеет ме-
место в силу леммы 1.2.Y
Полученный результат можно легко переформулировать в тер-
терминах решений. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.5 (в терминах решений). Предположим, что выпол-
выполнены аксиомы 1—4,А,Вс /, А ^ 0, В ^ 0, А П В = 0 и группа
критериев А важнее группы критериев В с двумя заданными набо-
наборами положительных параметров w* для всех i e А и w* для всех
j e В. Тогда для любого непустого множества выбираемых решений
имеют место включения
SelXc Pg(X) с Pf(X), C.12)
где Р/(Х) есть множество парето-оптимальных решений в много-
многокритериальной задаче с множеством возможных решений X и век-
векторным критерием /, a Pg (X) — множество парето-оптимальных
решений в задаче с исходным множеством решений X и новым р-мер-
ным векторным критерием g, который определяется в формулиров-
формулировке предыдущей теоремы.
Согласно полученному результату новый векторный крите-
критерий g состоит шр = т — \В\ + \А\-\В\^т компонент. Зна-
Значит, число новых критериев может совпадать с числом «старых»
критериев, но может и превосходить его.
Следствие 3. 1. В условиях теоремы 3.5 равенство р = т вы-
выполняется тогда и только тогда, когда \А\ = 1.
А Пусть р = т - \В\ + \A\-\B\ = т. Тогда | А | • | В | = \В\,
а значит \А\ = 1.
Обратно, если |^4| = 1, то/? = /и-|2?| + 1-|2?| = m.Y
Пример 3.1. Пусть в многокритериальной задаче имеется де-
десять критериев, т. е. т = 10 и некоторая половина критериев
важнее оставшейся половины, т. е. \А\ = \В\ = 5. В этом случае
согласно теореме 3.5 имеем р = 10 - 5 + 5 • 5 = 30. Следова-
Следовательно, новый векторный критерий g в данном случае будет со-
содержать пять старых критериев и двадцать пять новых, которые
можно вычислить на основе старых, используя формулу C.5).

90 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
Следующий результат показывает, при каких условиях число
компонент нового векторного критерия оказывается наибольшим
возможным.
Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.5 максимальное значениер
достигается в случае
А =
\В\=т-\А\,
где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
А Обозначим х=|^4|, у=|^|и рассмотрим задачу макси-
максимизации
р = т - у + ху ^ max
при условии х + у ^ т. Нетрудно понять, что максимум в сфор-
сформулированной задаче может достигаться лишь при выполнении
равенства х + у = т. Выразив из этого равенства у через х и под-
подставив его в выражение для р, получим р = т - (т - х) +
+ х(т — х) = х(т + 1 — х). Эта квадратичная функция одной
переменной х принимает наибольшее значение в точке х = \А\ =
т + 1 _
= . Если т является нечетным числом, полученный резуль-
результат представляет целое число. Когда число критериев т — четное,
максимум в целочисленной точке будет достигаться на ближай-
т
равно как и при х =
т + 2
шем целом х = | А | =
Следствие 3.2 показывает, что в приведенном выше приме-
примере 3.1 (где т = 10) максимальное возможное число компонент
нового векторного критерия равно 30 и может достигаться в случае,
когда одна половина критериев важнее другой половины (либо
когда некоторая группа из шести критериев важнее оставшейся
группы из четырех критериев).
В теореме 2.7 была установлена инвариантность включений
B.12) и B.15) относительно линейного положительного преоб-
преобразования критериев в случае относительной важности для двух
критериев. Поскольку формулы для определения коэффициентов
относительной важности и пересчета новых критериев абсолютно
идентичны как в случае двух критериев, так и в случае двух групп
критериев, то рассуждения, приведенные в доказательстве теоре-
теоремы 2.7, можно применить в данном случае двух групп критериев.
В итоге придем к следующему результату, имеющему несомненное
практическое значение.

3.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ К ЗАДАЧЕ С ТРЕМЯ КРИТЕРИЯМИ 91
Следствие 3.3. Включения C.4) и C.12) инвариантны относи-
относительно линейного положительного преобразования критериев /ь
f2, ...,/и, а значит, результаты теоремы 3.5 могут быть использо-
использованы для задач многокритериального выбора, в которых значения
указанных критериев вычисляются в количественных шкалах (ин-
(интервалов, отношений и разностей).
3.3. Геометрические иллюстрации к задаче
с тремя критериями
1. Трехкритериальная задача общего вида. В двухкритериаль-
ной задаче информация об относительной важности может иметь
только такую форму, когда группа из одного критерия важнее
группы из другого критерия. В этом случае число новых крите-
критериев (число р) будет совпадать с числом «старых» критериев, т. е.
р = 2. Таким образом, в двухкритериальной задаче учет инфор-
информации об относительной важности критериев не приводит к уве-
увеличению критериев (собственно говоря, этот же вывод можно
получить и из результатов предыдущей главы).
Рассмотрим многокритериальную задачу с тремя критерия-
критериями, т. е. будем считать т = 3. Предположим, что имеется ин-
информация о том, что группа из
первых двух критериев fbf2 важ-
важнее третьего критерия /3. Соглас-
Согласно определению 3.3 это означает,
что включение j^/ >- 03 имеет мес-
место для некоторого вектора у' =
= (wj*, м>2, - щ) = OD при опреде-
определенных положительных парамет-
параметрах w{, w2, щ (рис. 3.1). Конкрет-
Конкретные значения данных параметров
в дальнейшем изложении суще-
существенной роли не играют. Неотри-
Неотрицательный ортант (октант) R+ —
это острый выпуклый конус (без
нуля) ОАВ С, порожденный единичными ортами е1 = О А, е1 = ОВ
и е3 = ОС. Этот конус имеет три двумерные грани, представляю-
представляющие собой соответствующие части координатных плоскостей: ОВС,
ОАСи ОАВ. Выпуклый конус М, порожденный единичными ор-
ортами пространства R3 и вектором у' — это острый выпуклый ко-
конус (без нуля), имеющий уже четыре двумерные грани: ОВС, ОАС,
Рис. 3.1.

92 ГЛАВА 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ДЛЯ ДВУХ ГРУПП КРИТЕРИЕВ
OAD и OBD. Нормальные векторы этих граней (направленные
внутрь конуса М), а именно векторы а1, а2, а3, а4, являются
образующими двойственного (по отношению к М) конуса С. Здесь
а1 = е1 JL ОВС, а2 = е2 JL ОАС, а3 JL OAD, a4 JL OBD.
Поскольку трехмерный конус М имеет четыре двумерные грани,
то двойственный конус С порождается четырьмя векторами е1,
е2, а3, а4, а значит, новый векторный критерий gB данном случае
будет содержать четыре компоненты. Действительно, как утвер-
утверждает теорема 3.5, выполняется равенство/? = 3 — 1+21=4.
В рассмотренном примере число критериев т = 3 при учете
информации об относительной важности критериев увеличилось
на одну единицу.
Рассмотрим теперь другой случай. Пусть один из критериев
будет важнее группы из двух оставшихся. Как легко вычислить,
р = 3 — 2 + 1-2 = 3, т. е. число новых критериев будет со-
совпадать с числом «старых» критериев. То же самое произойдет
и в случае, когда один из критериев важнее другого.
Никаких других возможностей группировки критериев по важ-
важности не существует, поэтому можно сделать следующий вывод:
в трехкритериальной задаче учет информации об относительной
важности критериев для двух произвольных групп критериев мо-
может привести к увеличению критериев лишь одну единицу и только
в том случае, когда два критерия важнее оставшегося третьего
критерия.
2. Случай линейных критериев. Здесь снова рассмотрим трех-
критериальную задачу, в которой, кроме того, множеством возмож-
возможных решений служит подмножество векторного пространства R3,
т. е. X с R3, а все критерии яв-
являются линейными:
-\c •> ХЛ J2\x) —\c •> XA
/3(x)=(c3,x),
где с1, с2, с3, х е R3. Конус, по-
Рис- 32- рожденный векторами с1, с2, с3
(градиентами линейных целевых функций/ь f2, /3), называют ко-
конусом целей. Пусть эти векторы не компланарны и имеют вид,
изображенный на рис. 3.2. Они порождают определенный трех-
трехмерный трехгранный конус.

3.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ К ЗАДАЧЕ С ТРЕМЯ КРИТЕРИЯМИ 93
Допустим, что первый критерий важнее группы, состоящей
из второго и третьего критерия с коэффициентами относительной
важности 912 = 913 = 0.5. В этом случае, согласно теореме 3.5
при учете подобного рода информации об относительной важности
критериев следует рассмотреть новую многокритериальную задачу,
в которой первый критерий остается прежним, а вместо двух менее
важных второго и третьего критериев будут участвовать два новых
критерия вида gn(x) = (с2, х) и gi3(x) =(cl, х) (см. рис. 3.3). Тем
самым, конус целей, который образуется градиентами целевых
функций в новой многокритериальной задаче, так же как и в ис-
исходной, имеет три ребра и три грани, но он существенно уже
исходного конуса, образованного векторами с1, с2 и с3.
А теперь предположим, что группа, состоящая из второго
и третьего критерия, важнее первого критерия, причем 92i = 93i =
= 0.5. Тогда в соответствии с теоремой 3.5 при учете этой ин-
информации об относительной важности критериев следует рассмат-
рассматривать новую многокритериальную задачу, в которой остаются
прежними второй и третий критерий, а вместо первого образу-
образуются два новых: g21 = (сп,х) и g31 = (с12, х) (см. рис. 3.4).
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
При этом, как нетрудно видеть, конус целей, образуемый гради-
градиентами с11, с12, с3, с4 компонент нового векторного критерия,
имеет четыре образующие и является четырехгранным.

Глава 4
СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
НА ОСНОВЕ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ
ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
Вопросам учета набора различного рода сообщений об отно-
относительной важности критериев посвящена эта глава. Подробно
рассматриваются наиболее простые варианты набора такой инфор-
информации, когда каждый из двух данных критериев важнее другого,
когда один критерий важнее двух других в отдельности, когда
каждый из двух критериев по отдельности важнее третьего. Для
всех этих вариантов получены формулы пересчета векторного крите-
критерия, на основе которого производится сужение множества Парето.
Здесь также решается практически важный вопрос непротиво-
непротиворечивости набора информации об относительной важности крите-
критериев. Получены критерии непротиворечивости в различных формах.
Кроме того, в данной главе предлагается принципиально
отличный от использовавшегося ранее алгоритмический подход
к учету произвольного конечного набора информации об отно-
относительной важности критериев.
4.1. Учет двух сообщений об относительной важности
1. Случай двух независимых сообщений. Пусть даны четыре
непустых набора номеров критериев Аъ Ви Аъ Въ таких что
Ах П В\ = 0, А2 П В2 = 0. Предположим, что группа критериев
А{ важнее группы В{ с набором коэффициентов относительной
важности 0-у и одновременно группа критериев А2 важнее груп-
группы В2 с набором коэффициентов относительной важности 0^.
Тем самым, имеются два сообщения об относительной важности
критериев. Будем говорить, что эти два сообщения взаимно неза-
независимы, если
АХПА2 = 0, ВХП В2 = 0, Ах П В2 = 0, А2П Вх = 0.
Для того чтобы использовать информацию об относительной
важности критериев для сужения множества Парето, состоящую
из двух независимых сообщений, следует просто дважды восполь-
воспользоваться теоремой 3.5, в которой приводятся формулы для пере-

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 95
счета векторного критерия. Сначала эту теорему можно приме-
применить, например, для учета первого сообщения, т. е. к группам
критериев А{ и В{. В результате вместо критериев менее важной
группы В^ в соответствии с формулой C.5) необходимо вычислить
новые критерии. Затем эта же теорема применяется ко второй
группе критериев А2 и Въ что ведет к пересчету критериев груп-
группы В2 по той же самой формуле C.5). В итоге будет получен
новый векторный критерий, множество парето-оптимальных ре-
решений (парето-оптимальных векторов) относительно которого
будет оценкой сверху для неизвестного множества выбираемых
решений Sel X (выбираемых векторов Sel Y).
Теперь рассмотрим ситуацию, когда /-й критерий важнее у-го,
а он, в свою очередь, важнее некоторого к-то критерия, / ^ у,
j ^ k, i ^ к. Здесь также имеются два сообщения об относитель-
относительной важности критериев, но они не являются взаимно независи-
независимыми. Тем не менее, для учета этого набора информации и фор-
формирования нового векторного критерия также можно дважды
применить теорему 2.5, в которой идет речь об учете информации
об относительной важности одного критерия в сравнении с дру-
другим. Сначала следует пересчитать к-й критерий для того, чтобы
воспользоваться информацией о том, что у-й критерий важнее
к-то. Затем необходимо пересчитать у-й критерий для учета ин-
информации о том, что /-й критерий важнее у-го. В результате
будет образован новый векторный критерий, у которого все компо-
компоненты за исключением у-й и к-й остались прежними. Множество
парето-оптимальных решений (парето-оптимальных векторов) от-
относительно нового векторного критерия будет представлять собой
оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений
(выбираемых векторов).
2. Случай, когда каждый из двух критериев важнее другого. Сна-
Сначала сформулируем и докажем один вспомогательный результат.
Лемма 4.1. Благодаря транзитивности и инвариантности от-
отношения предпочтения х- соотношения у > у' и z >z' для произ-
произвольных векторов y,y',z9z' e Rm можно почленно складывать, т. е.
у у у', z у г1 =>> у + z у у' + z'.
А Прибавим к обеим частям соотношения у > у' вектор z.
Благодаря аддитивности отношения >- получим у + z > у' + z.
Аналогично, из соотношения z > z' следует z + у' > z' + у'.
Теперь, используя транзитивность отношения у, из полученных
соотношений у + zyyf + znz + yfyzf + у' приходим к тре-
требуемому результату у + z > у' + z'. Y

96
ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Рассмотрим два сообщения об относительной важности крите-
критериев, состоящие в том, что /-й критерий важнее у-го, а он, в свою
очередь, важнее /-го. На первый взгляд эти два сообщения кажутся
взаимно противоречивыми — каждый из двух критериев важнее
другого. Однако, как будет показано ниже, эта ситуация противо-
противоречива не всегда. А именно, имеет место следующий результат.
Теорема 4.1. Для того чтобы i-й критерий был важнее j-го
критерия с коэффициентом относительной важности 9/у и одно-
одновременно j-й критерий был важнее i-го критерия с коэффициентом
относительной важности dJh необходимо выполнение неравенства
еи + еу/ < 1.
А На основании упрощенного определения 2.4 относительной
важности для вектора у е Rm с компонентами
yt = 1 - 90, yj = -Qu, ys = О для всех s e I\{i,j},
по условию, имеет место соотношение у у 0т и одновременно
для вектора yf e Rm с компонентами
у\; = 1 - 9у/, у\ = -Qji9 y's = 0 для всех s e I\ {ij}
выполняется соотношение у' > 0т.
Складывая почленно у у 0т и у' > 0т получим соотношение
У = У + У' >- От? гДе вектор у имеет компоненты
=yj=l-
ys = 0 для всех s e I\ {ij}.
Как видим, этот вектор имеет одинаковые /-ю и у-ю компонен-
компоненты. Они не могут быть отрицательными, поскольку в этом случае
будет выполнено неравенство
У < 0w, из которого в силу ак-
аксиомы Парето следует соотно-
соотношение 0т у у, не совместимое
с полученным ранее у у 0т.
Кроме того, эти компоненты
не могут быть нулевыми, так
как тогда соотношение у у 0т
примет вид 0т у 0т. Следовательно, указанные компоненты дол-
должны быть положительными, т. е. 1 — 9/у — 9у/ > 0.Y
Геометрический смысл теоремы 4.1 лучше всего раскрывает-
раскрывается в случае, когда критерии линейные. Пусть т = 2, п = 2,
/i(jc) = (с1, х), /2(х) = (с2, х), где с\ с\ х е R2 (рис. 4.1).
Рис. 4.1.

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 97
Поскольку первый критерий важнее второго (допустим, что
012 « 0.4), то вместо второго критерия в новой многокритери-
многокритериальной задаче, множество Парето которой является оценкой сверху
для искомого множества выбираемых решений (векторов), будет
участвовать новый второй критерий, градиент которого обозна-
обозначен с2. Конец этого вектора представляет собой результат пере-
перемещения конца вектора с2 по прямой, соединяющей концы век-
векторов с1 и с2, в направлении конца вектора с1 на 40 % длины
отрезка, соединяющего концы двух данных векторов. С другой
стороны, поскольку второй критерий важнее первого (пусть
92i « 0.25), то новый первый критерий будет иметь градиент с1н,
конец которого будет располагаться на расстоянии 25% длины
указанного выше отрезка от конца вектора с1 в направлении конца
вектора с2. Новый векторный критерий будет иметь вид
((с1н, х), <с2, х)). Таким образом, при учете набора указанной ин-
информации происходит взаимное изменение направлений гра-
градиентов обоих критериев, которое можно трактовать как «сбли-
«сближение целей».
Если аналогичным образом интерпретировать равенство
012 + 02i = 1, то в этом случае концы градиентов новых векто-
векторов с\ и с2 должны совместиться и двухкритериальная задача
превратится в однокритериальную. Как утверждает теорема 4.1,
этого быть не должно. Тем более, концы векторов с\ и с2 не
могут перемещаться в указанных направлениях еще дальше (что
соответствует случаю 012 + 02i > 1).
Невозможность равенства 012 + 021 = 1 в общем случае легко
установить непосредственно.
А В самом деле, если указанное равенство имеет место, то для
векторов у и у' вида
yt > 0, yj < 0, ys = 0 для всех s e I\{i,j}; у' = -у
выполняются соотношения у х- 0т и у' > 0т. Сложив почленно
последние два соотношения (это допускается леммой 4.1), полу-
получим у + у' = 0т у 0т9 что противоречит иррефлексивности от-
отношения KV
Теперь перейдем к вопросу учета информации об относитель-
относительной важности в случае, когда /-й критерий важнее у-го с коэффи-
коэффициентом относительной важности 0/у и одновременно у-й крите-
критерий важнее /-го критерия с коэффициентом относительной важ-
важности Qjt. Напоминаем, что в контексте данной книги учесть
информацию об относительной важности критериев — означает
построить новую многокритериальную задачу, множество Парето

98 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
которой является оценкой сверху для множества выбираемых
решений (векторов) в исходной задаче.
Для учета указанной информации можно дважды восполь-
воспользоваться теоремой 2.5. В соответствии с этой теоремой в новой
многокритериальной задаче критерий / следует заменить на
A - Qjdfi + Qjifj, a fi — на критерий 9/у/ + A - %)?. Все ос-
остальные критерии (если они имеются) остаются прежними.
3. Случай, когда один критерий важнее двух других. Если для
сужения множества Парето используется сразу несколько сооб-
сообщений об относительной важности критериев, то следует учи-
учитывать следующее обстоятельство. Пусть /-й критерий важнее
у-го с коэффициентом относительной важности 9/у и, кроме того,
/-й критерий важнее к-то (к ^ j) с коэффициентом относительной
важности Qik. Тем самым, имеется набор из двух указанных сообще-
сообщений об относительной важности критериев, причем эта ситуация
внешне напоминает ту, в которой /-й критерий важнее группы кри-
критериев {у, к} с коэффициентами относительной важности 9/у и Qik.
Оказывается, если i-й критерий важнее группы критериев {/, к)
с коэффициентами относительной важности 9/у и 9/ь то i-й крите-
критерий будет важнее каждого из критериев] и к в отдельности с теми
дн:е самыми коэффициентами относительной важности.
А Действительно, когда соотношение у' > 0т выполняется
для всех векторов yf e Rm вида
У1 = wh У'] = ~w% Ук = ~WL y's = 0 дам всех s e I\ {i,j, k},
то аналогичное соотношение у" > 0m будет иметь место и для
всех векторов у" е Rm вида
У"= w*> У1] = ~wp y's = О ДЛЯ всех s e I\ {ij},
так как неравенство у" > у' благодаря аксиоме Парето влечет
соотношение у" > у\ что вместе с соотношением у' > 0т приво-
приводит к соотношению у" > 0т. Это означает, что /-й критерий важ-
важнее у-го критерия с коэффициентом относительной важности 9/у.
Точно так же можно проверить, что большая важность /-го
критерия по сравнению с группой критериев {/, к} с коэффици-
коэффициентами относительной важности 9/у и dik влечет большую важ-
важность /-го критерия по сравнению с к-м критерием с коэффици-
коэффициентом относительной важности 9/yt.Y
Теперь пусть /-й критерий важнее у-го и к-то в отдельности
с коэффициентами относительной важности 9/у и dik. В этом слу-

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 99
чае ЛПР за прирост по /-му критерию в размере w* единиц гото-
готово пожертвовать отдельно w* единиц по у-му критерию, либо w*k
единиц по к-му критерию. Нетрудно понять, что отсюда, вообще
говоря, не следует, что ЛПР согласится в качестве компенсации
за прирост w* единиц по /-му критерию потерять одновременно
и по у-му и по к-му критерию w* единиц и w*k единиц соответ-
соответственно. Это свидетельствует о том, что если i-й критерий важнее
j-го и k-го в отдельности с коэффициентами относительной важ-
важности 9/у и 9/ь то отсюда в общем случае не следует большая важ-
важность i-го критерия по сравнению с группой критериев \j, k) с теми
дн:е самыми коэффициентами относительной важности.
Следует, однако, обратить внимание на то, что из большей важ-
важности i-го критерия по сравнению cj-м и k-м критериями в отдель-
отдельности с коэффициентами относительной важности 9/у и Qik соот-
соответственно, вытекает большая важность i-го критерия по сравне-
сравнению с группой критериев {/, к), но с меньшими коэффициентами
относительной важности.
А В самом деле, складывая почленно соотношения у' > 0т
и У" >- 0/и? гДе векторы у' и у" имеют вид
у! = WU У) = ~w% Уз = 0 Ддя всех s e I\ {i,j},
У"= Щ, Ук = ~™к> У" = ° Для всех s e 1\ {/, к}
получим соотношение у = у' + у" > 0т, где вектор у имеет ком-
компоненты
yt = w* + wi9 yj = -w*; yk = -wk, y's = 0 для всех s e I\ {ij}.
Полученное означает, что /-й критерий важнее группы кри-
критериев {/, к} с коэффициентами относительной важности
ч ;+ +* lJ lk ;+ + lk
Следующий результат показывает, каким образом следует
производить пересчет векторного критерия для того, чтобы учесть
набор информации, состоящей из двух сообщений о том, что /-й
критерий важнее каку-го, так и к-то критериев в отдельности.
Теорема 4.2 (в терминах векторов). Пусть выполнены аксиомы
1—4 и имеются два сообщения о том, что i-й критерий важнее j-го
критерия с коэффициентом относительной важности 9/у, а также

100 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
что i-й критерий важнее k-го критерия с коэффициентом относи-
относительной важности dik. Тогда для любого непустого множества вы-
выбираемых векторов справедливы включения
? D.1)
где p(y) — множество парето-оптималъных векторов в многокри-
многокритериальной задаче с множеством возможных решений X и новым
(т + 1) -мерным векторным критерием g с компонентами
gs = fs для всех s е 1\ {/, к}. D.2)
А Вновь символом ^обозначим острый выпуклый конус (без
нуля) конусного отношения >-.
Согласно определению 2.4 наличие информации об относи-
относительной важности критериев в данном случае означает справед-
справедливость соотношений у' > 0т и у" > 0т, что равносильно выпол-
выполнению включений у' е К и у" е ^Гдля векторов у' ж у" с ком-
компонентами
у\ = 1 -9/у, у) = -Qij9 y's = 0 для всех s e I\ {ij},
y;f=l-Qik, yH = -Qik, yfsf=0 для всех s e I\{i,k}.
Обозначим через М выпуклый конус (без нуля), порожден-
порожденный векторами е1,..., ет, у', у". Этот конус порождается тем же
самым набором, но без вектора е\ так как последний можно
представить, например, в виде линейной комбинации векторов
е\ у' с положительными коэффициентами. Таким образом, ко-
конус М совпадает с множеством всех ненулевых неотрицательных
линейных комбинаций вида
Цу> + ХУ + Хмем + ... + Х
те
Поскольку все указанные выше векторы, порождающие конус Л/,
принадлежат острому конусу К, то и конус М — острый.
Установим совпадение конуса М с множеством ненулевых
решений системы линейных неравенств
ys ^ 0 для всех s е 1\ {/, к},

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 101
-eyXy; г о,
-%)л ^ о,
у,- +A -%)ЧУ} +%A -*1к)Ук ^ 0. D.3)
С этой целью найдем общее решение этой системы неравенств,
введя в рассмотрение соответствующую ей систему линейных
уравнений
(е\ у) = 0 для всех s e 1\ {/, к},
(У, у) = 0, D.4)
где компоненты векторов у', у", у определяются равенствами
у1 = %г, у]; = 1 - е/у, yi = ° ддя всех ^
У"= ®ik> Ук = 1- в*, К' = 0 для всех 5 g /\ {/, к},
j/=0/A? jy=(i-e/y)e/b 5^=во-A-ел),
у5 = 0 для всех s e I\ {i,j, к}.
Система D.4) содержит т + 1 линейное уравнение, причем
любая подсистема из m — 1 векторов набора в5, 5 g I\\j\k},
У^ у"> У •> участвующих в образовании этой системы, является
линейно независимой. Поэтому для отыскания общего решения
системы линейных неравенств D.3) достаточно просмотреть (од-
(одномерные) ненулевые решения всех возможных подсистем сис-
системы D.4), получающихся из D.4) удалением каких либо двух ее
уравнений. При этом найденные таким способом решения должны
удовлетворять системе неравенств D.3).
Начнем удалять из системы D.4) по два уравнения. Сначала
рассмотрим случай, когда в каждую такую удаляемую пару урав-
уравнений входит последнее уравнение. При удалении двух последних
уравнений получаем систему с ненулевым решением ек. Если вме-
вместе с последним удалить (т— 1)-е уравнение, то придем к системе
с решением eJ. Исключение из D.4) последнего уравнения вместе
с одним из уравнений вида (е\у) = 0 для всех s ^ / приводит

102 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
к системе, обладающей решением es. Если же к последнему уда-
удаляемому уравнению добавить (е\ у) = 0, то полученная таким
образом система уравнений не будет иметь ни одного ненулевого
решения, удовлетворяющего системе неравенств D.3).
Перейдем к разбору случая, когда из системы линейных урав-
уравнений D.4) удаляется пара уравнений, одним из которых являет-
является предпоследнее уравнение. Если вместе с предпоследним уда-
удалить предшествующее ему уравнение, то получим систему, среди
ненулевых решений которых нет ни одного, удовлетворяющего
системе неравенств D.3). Исключая предпоследнее уравнение
вместе с одним из уравнений вида (е\ у) = 0 при s ^ /, получим
систему с решением е\ Если же вместе с предпоследним удалить
уравнение (е\ у) = 0, то придем к системе с решением у'.
Аналогично разбирается случай удаления (т - 1)-го уравне-
уравнения вместе с одним из уравнений вида (es,y) = 0. При этом будет
найдено еще одно ненулевое решение у" при s = /, удовлетворя-
удовлетворяющее системе линейных неравенств D.3).
Исключение из системы уравнений D.4) пары уравнений вида
(е\ у) = 0 не приведет к новым решениям.
В итоге получаем совокупность векторов е1, ..., el~l, y\ у",
el+l,..., ет, порождающих конус решений системы линейных не-
неравенств D.3). Полученная совокупность совпадает с системой
векторов, порождающих конус М. Тем самым, установлено, что
множество ненулевых решений системы линейных неравенств D.3)
совпадает с конусом М.
Из включений R™ с М с К вытекают включения
Ndom7 с Р(?) с Р(У), D.5)
где
P(y) = {/ е Y | не существует такого у е Y, что у - у* е М}
представляет собой множество недоминируемых элементов мно-
множества F, упорядоченного конусным отношением с конусом М.
Пусть у = /(х), у* = /(х*),/(х) ^ /(х*) при х, х* g X. Благода-
Благодаря доказанному выше совпадению множества решений системы
линейных неравенств D.3) и конуса М, включение /(х) -
— f{oC) e M имеет место тогда и только тогда, когда выполняются
неравенства
/, (х) - fs (х*) г 0 для всех s е 1\ {/, к},

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
103
^ 0,
^ о,
причем здесь хотя бы одно неравенство — строгое. Нетрудно
понять, что эти неравенства в терминах векторной функции g,
определяемой в условиях теоремы формулами D.2), можно пере-
переписать в виде g(x) > g(x*). Отсюда следует, что P\Y) — это мно-
множество парето-оптимальных векторов в многокритериальной за-
задаче с исходным множеством возможных решений X и новым
векторным критерием g.
Для завершения доказательства и получения включений
D.1) остается к соотношениям D.5) применить включение
SelFc NdomF.Y
Теорему 4.2 легко переформулировать в терминах решений.
В результате она примет следующий вид.
Теорема 4.2 (в терминах решений). Пусть выполнены аксиомы
1—4 и имеются два сообщения о том, что i-й критерий важнее j-го
критерия с коэффициентом относительной важности 9/у, а также
что i-й критерий важнее к-го
критерия с коэффициентом от-
относительной важности dik. Тогда
для любого непустого множества
выбираемых решений справедливы
включения
SelXc Pg(X) с Pf(X), D.6)
где Pg(X) — множество парето- Рис' ' '
оптимальных решений в многокритериальной задаче с множеством
возможных решений X и (т+ I)-мерным векторным критерием g,
определяемым равенствами D.2).
Приведем геометрическую иллюстрацию теоремы 4.2 для
случая линейных критериев. Пусть т = п = 3, ft{x) = (с\х),
i = 1, 2, 3, где с1, с2, с3, х е R3 (см. рис. 4.2).
Предположим, что первый критерий важнее второго с коэф-
коэффициентом относительной важности 912 « 0.25, а также важнее

104 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
третьего критерия с коэффициентом относительной важности
913 « 0.4. Учет большей важности первого критерия в сравнении
со вторым приводит к трехкритериальной задаче с векторами
с1, с2н,съ', являющимися градиентами трех линейных критериев.
Аналогично, учет большей важности первого критерия в сравне-
сравнении с третьим ведет к трехкритериальной задаче с тремя вектора-
векторами с\с2,с3н. Тем самым, получаем два конуса целей, соответ-
соответствующих двум имеющимся сообщениям об относительной важ-
важности критериев. Для одновременного учета обоих сообщений
об относительной важности необходимо рассмотреть пересече-
пересечение указанных конусов. В итоге приходим к конусу, порожден-
порожденному четырьмя векторами с , сн, сн, с . Это и есть конус целей
новой задачи, множество Парето которой дает оценку сверху для
множества выбираемых решений.
Следующий результат показывает, что теорему 4.2 можно
применять к любым критериям, значения которых вычисляются
в количественных шкалах.
Теорема 4.3. Включения D.1) и D.6) инвариантны относитель-
относительно линейного положительного преобразования компонент векторно-
векторного критерия g, определяемого равенствами D.2).
А Учитывая доказательство теоремы 2.7, достаточно прове-
проверить инвариантность множеств Р(у) и Pg{X) из D.1) и D.6) от-
относительно линейного положительного преобразования только
последнего критерия gm + \.
Поскольку множество Парето не изменяется, если критерии
умножать на положительные числа, то доказательство можно
проводить для критерия
gm+l
-L-i
у' - у" у' - у"
где фиксированные векторы у', у", у', у" задают информацию
об относительной важности критериев, т. е. имеют место соотно-
соотношения у1 у у", у1 у у", причем
fl _ yyj ft _ у1%
iJ у\уЧ+у]у': ik ?$+%%

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
105
Заменим ys на ys = asys + cs (as > 0), s = /, j, к, в формуле, за-
задающей критерий gm+y
= а,
а
ly"-y\
а
у'-у"
/ з^—=г
УУ
где константа С не зависит от уь ур ук.
Нетрудно видеть, что преобразованный критерий gm+\ мож-
можно получить из gm+\ умножением его на положительное число аг
и прибавлением константы С. Обратно, вычитая из gm+i кон-
константу Си деля полученный результат на число аь получим gm+\.
Отсюда вытекает, что строгие неравенства
-L-ilv, + [-L-]
в/у
— "I fj + \— "I
Ук =
для критерия g m+i и преобразованного критерия gm+\ являют-
являются эквивалентными друг другу. Следовательно, включения D.1)
и D.6) инвариантны относительно линейного положительного
преобразования критерия gm + \, а значит и всех компонент век-
векторной функции g.Y
4. Учет информации о том, что два критерия по отдельности
важнее третьего. Здесь будет рассмотрен случай, когда имеются
два сообщения об относительной важности, состоящие в том,
что /-й критерий важнее к-то с коэффициентом относительной

106 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
важности Qik, а также чтоу-й критерий важнее к-то с коэффици-
коэффициентом относительной важности 9д.
Предварительно сравним этот случай с ситуацией, когда
имеется одно сообщение о том, что группа критериев {/,у} важ-
важнее к-то критерия; при этом коэффициенты относительной важ-
важности в обоих случаях считаются одинаковыми. Используя теоре-
теорему 3.1, легко убедиться в том, что если каждый из критериев i uj
в отдельности важнее к-го критерия, то группа {/,у} важнее кри-
критерия к с теми же самыми коэффициентами относительной важ-
важности, но не наоборот. Следовательно, набор из двух указанных
сообщений является более содержательным, чем одно сообщение
о том, что группа из двух критериев важнее третьего критерия.
Учет указанных двух сообщений об относительной важности
критериев следует осуществлять при помощи следующей теоремы.
Теорема 4.4 (в терминах векторов). Предположим, что выпол-
выполнены аксиомы 1—4 и имеется набор из двух сообщений о том, что
i-й критерий важнее к-го с коэффициентом относительной важно-
важности Qik, а также что j-й критерий важнее к-го с коэффициентом
относительной важности QJk. Тогда для любого непустого множе-
множества выбираемых векторов Sel Y справедливы включения D.1), где
P{y) — множество парето-оптималъных векторов в задаче с мно-
множеством возможных решений X и векторным критерием g вида
gs = fs для всех s e 1\ {к},
gk = ел A - ед)/, + A - ел )ejkfj + A - eft )(i - ед )fk. D.7)
А Пусть К — выпуклый острый конус (без нуля) конусного
отношения предпочтения >-.
В силу определения 2.4 наличие информации о том, что /-й
критерий важнее к-то с коэффициентом относительной важнос-
важности dik и у-й критерий важнее к-то с коэффициентом относитель-
относительной важности 9д означает выполнение соотношений у' > 0т и
у" у 0т для векторов у1 ж у" вида
yj =l-Qik, yfk = -Qik, yfs = 0 для всех s e I\{/, к},
yj = l- вд, yl = -ед, у'1 = 0 для всех s e 1\ {/, к}.
Пусть М — выпуклый конус (без нуля), порожденный векто-
векторами е1, е2, ..., ёп, у1, у". Вектор е1 можно представить в виде ли-
линейной положительной комбинации векторов ек ж у', а вектор

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ 107
ej — в виде подобной комбинации векторов ек и у". Следова-
Следовательно, конус М порождается набором векторов
е\ ..., е*~\ у\ ем,..., ej~\ y\ eJ+\ ..., ет , D.8)
а значит, этот конус совпадает с множеством всех ненулевых
линейных неотрицательных комбинаций вида
%хе1 + ... + \_хе1-1 + Xtyf + Хмем + ... + Хме'~1 + Х]У" +
Конус М — острый, так как является подмножеством острого ко-
конуса К
Докажем совпадение конуса М с множеством ненулевых ре-
решений системы линейных неравенств
ys ^ 0 для всех s e 1\{к),
^ о. D.9)
Для этого найдем общее решение системы D.9), рассматривая
соответствующую ей систему линейных уравнений
(е\ у) = 0 для всех s e 1\{к}9
(У,У) = 0, D.10)
где yt = 8*A - Од), yj = A - вл)вд, ук=A- Qik)(l - вд), ys = 0 дая
всех s e I\{i,j,k}.
В системе D.10) т уравнений. Любая подсистема из т - 1
вектора системы векторов е1,..., ^^-1, j, ^^+1,..., ^w является ли-
линейно независимой. Поэтому для отыскания фундаментальной
совокупности решений системы линейных неравенств D.9) дос-
достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из под-
подсистем системы D.10), получающейся из D.10) удалением како-
какого-то одного из ее уравнений (при этом найденное решение дол-
должно удовлетворять системе неравенств D.9)).
Если из системы уравнений D.10) удалить последнее уравне-
уравнение, то полученная система будет иметь решение ек. Если из
системы D.10) удалить уравнение (е\ у) = Оприд = /(или s = у),
то соответствующая система уравнений будет обладать решением
у' (или у"). Удаление уравнения (е\у) = 0 при s e I\{i,j,k\
приводит к подсистеме, имеющей решение es.

108 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Таким образом, одна из фундаментальных совокупностей
решений системы линейных неравенств D.9) имеет вид D.8).
Следовательно, конус М совпадает с множеством ненулевых нео-
неотрицательных решений системы линейных неравенств D.9).
Из включений
R™ с М с К
вытекают включения
Ndom7 с Р(?) с P(Y), D.11)
где
p(y) = {у* е Y \ не существует такого у е Y, что у — у* е М}
представляет собой множество недоминируемых элементов мно-
множества Y относительно конусного отношения с конусом М.
Пусть х, х* е X, у = Дх), / = /(**), /(*) * /(**)• На осно-
основании установленного выше совпадения конуса М с множеством
ненулевых решений системы линейных неравенств D.9) включе-
включение /(х) — /(х*) g M имеет место тогда и только тогда, когда
вектор /(х) — /(х*) удовлетворяет системе неравенств
fs(x) - fs(x*) ^ 0 для всех s e 1\{к},
^ о,
причем хотя бы одно из неравенств этой системы должно быть
строгим (чтобы исключить случай/(х) = /(х*)). Эту систему не-
неравенств можно переписать в виде g (x) > g (x*) с векторной фун-
функцией g, определяемой равенствами D.7). Для завершения дока-
доказательства включений D.1) остается в D.11) воспользоваться вклю-
включением Sel Y с Ndom Zv
В терминах решений установленный результат принимает
следующий вид.
Теорема 4.4 (в терминах решений). Пусть выполнены аксиомы
1—4 и имеется набор из двух сообщений о том, что i-й критерий
важнее k-го с коэффициентом относительной важности 9/ь а также
что j-й критерий важнее k-го с коэффициентом относительной
важности 0д. Тогда для любого непустого множества выбираемых
решений выполняются включения D.6), где Р*{Х) — множество паре-

4.1. УЧЕТ ДВУХ СООБЩЕНИЙ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
109
Рис. 4.3.
то-оптималъных решений в задаче с множеством возможных реше-
решений X и векторным критерием g вида D.7).
Для геометрической иллюстрации теоремы 4.4 обратимся
к многокритериальной задаче выбора с линейными критериями,
в которой т = п = 3, fs(x) =
= (cs,x), s = 1,2,3, причем пер-
первый и второй критерии важнее тре-
третьего критерия по отдельности с ко-
коэффициентами относительной важ-
ности 913 « 0.2, 92з ~ 0.6 (см.
рис. 4.3).
Конус целей, соответствующий
новой многокритериальной задаче,
является трехгранным и порождается векторами сх,с2,сън. Этот
конус представляет собой пересечение двух трехгранных конусов,
один из которых соответствует многокритериальной задаче, в кото-
которой учитывается информация о том, что первый критерий важнее
третьего, а второй — многокритериальной задаче, где учтена
информация о большей важности второго критерия по сравнению
с третьим.
Теорема 4.5 применима к любой многокритериальной зада-
задаче, значения критериев в которой измеряются в количественной
шкале. Об этом свидетельствует следующий результат.
Теорема 4.5. Включения D.1) и D.6) инвариантны относительно
линейного положительного преобразования всех компонент вектор-
векторного критерия g вида D.7).
А Здесь так же, как и при доказательстве теоремы 4.4, доста-
достаточно проверить инвариантность множеств P(y) и Pg(X) из D.1)
и D.6) относительно линейного положительного преобразования
только критерия gk.
Поскольку множество Парето не изменяется, если критерии
умножать на положительные числа, то для доказательства введем
— 1 -—1 ук =
sk
ел"
у'- -
ук-
1
'Tj'у 1
¦Ук '
У,
У'1
Г 1
\®ik
-у'к}
у>*
у\-
уЧ-
в
у"
Ук
[ ll
* J
1
Ук - Ук
где фиксированные векторы yf, yh', yf, у11 задают информацию
об относительной важности критериев, т. е. имеют место соотно-
соотношения у1 у у", у1 у у", причем

по
ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
унк-у'к
у:-у!'+у'к'-ук
'' Jk у'у'!+Я?'
Заменим ys на ys = asys + cs (as > 0), s = /,y, &, в форму-
формуле, определяющей критерий ?&:
~ а ¦ у] + с- - a.yf.
о-, ——?_^ 1JL
~ ск
С- ) 4-
—п —г
У>У> у
yi-y'i
- у к ак У к ~ У к
у\-уЧ %-у]
а.
УУ
тт// тт/ Ук
Ук-Ук Ук-Ук
, =
где константа С не зависит от уь yj9 yk.
Из последнего представления видно, что преобразованный
критерий gk можно получить из gk умножением его на положи-
и прибавлением константы С. Обратно, вы-
тельное число
ос.
читая из gk константу С и деля полученный результат на число
, придем к gk. Отсюда вытекает, что строгие неравенства
ос.
е^
-L-iil-L-i
-1
К
-l
1* ^v*
\Ук =gk
и
—-1
Ук>

4.2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 111
для критерия gk и преобразованного критерия gk являются эк-
эквивалентными друг другу. Следовательно, включения D.1) и D.6)
инвариантны относительно линейного положительного преобра-
преобразования критерия g^.V
4.2. Непротиворечивость набора информации
об относительной важности критериев
1. Предварительное рассмотрение. Пусть А, В с /, А ^ 0,
В^0, Ар\В=0.В соответствии с определением 3.3 задание
вектора yf e Rm с компонентами
у[ = w* для всех / е А,
yfj = —w*j для всех у е В,
yfs = О для всех s e I\(A\J В),
для которого верно соотношение у' > 0т, означает, что группа кри-
критериев А важнее группы критериев В с двумя наборами положи-
положительных параметров w* для всех ieAaw*j для всех у е В. Посколь-
Поскольку^^ 0 и В ^ 0, указанный вектор у' имеет по крайней мере
одну положительную и по крайней мере одну отрицательную ком-
компоненты. Введем множество всех подобного рода векторов:
Nm=Rm\[R? U (-R?) U {()„}}
Предположим, что в результате прямого опроса ЛПР или же
на основе анализа действий, ранее предпринимавшихся данным
ЛПР, была выявлена такая пара различных векторов и, v e Rm,
что вектор и предпочтительнее вектора v, т. е. и >Y v- Согласно
аксиоме 2 последнее соотношение эквивалентно и > v. Пусть
и - v e Nm. Обозначим множество номеров положительных
компонент вектора и - v через А, а множество номеров отри-
отрицательных компонент — через В. Очевидно, А ^ 0, В ^ 0,
А П В = 0. Поэтому задание произвольной пары векторов
и, v e Rm, для которых выполнены соотношения и > v ж и —
- v e Nm, можно рассматривать как наличие информации о том,
что группа критериев А важнее группы критериев В (с соответ-
соответствующими двумя наборами положительных параметров). Тем

112 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
самым, любая пара векторов u,v e Rm, для которой справедливо
соотношение и — v e Nm, может при определенном условии (т. е.
при выполнении соотношения и > v) задавать информацию об
относительной важности критериев.
Теперь допустим, что имеется набор пар векторов
и\ vl e Rm, и1 - vl e Nm, i = 1, 2,..., к. D.12)
Возникает вопрос: могут ли все эти пары векторов участвовать
в задании определенного набора информации об относительной
важности критериев? Простые примеры показывают, что в об-
общем случае ответ на этот вопрос является отрицательным.
Пример 4.1. Пусть т = 2, к = 2 и
и1 = A,-3), и2 = (-2,1), vl = v2 = 02.
Допустим, что данный набор из двух пар векторов задает инфор-
информацию об относительной важности критериев, так что имеют
место соотношения и1 х- vl и и2 у v2. Складывая эти соотноше-
соотношения почленно, на основе леммы 4.1 получим и1 + и2 > vl + v2
или, что то же самое, (—1, —2) >- 02. С другой стороны, справед-
справедливо соотношение 02 > (-1, -2), так как 02 > (-1, -2). Полу-
Полученные два соотношения (—1, —2) >- 02 и 02 > (—1, —2) противо-
противоречат асимметричности отношения >. Следовательно, одновре-
одновременное выполнение обоих соотношений и1 у vl и и2 у v2 для
указанных выше пар векторов невозможно ни для какого бинар-
бинарного отношения, удовлетворяющего аксиомам 2-4.
2. Определение непротиворечивого набора векторов.
Определение 4.1. Пусть имеется набор пар векторов D.12).
Будем называть этот набор непротиворечивым (совместным), если
существует хотя бы одно бинарное отношение >\ подчиненное
аксиомам 2—4 и такое, что выполняются соотношения us >' Vs,
s = 1,2,..., к1).
Непротиворечивость набора векторов является необходимым
условием того, чтобы он задавал набор информации об относи-
относительной важности критериев хотя бы в какой-то одной много-
многокритериальной задаче выбора. Таким образом, непротиворечи-
1) На основе аддитивности отношения >-' в этом определении и во всем
последующем рассмотрении, связанном с непротиворечивостью информации об
относительной важности критериев, можно было бы положить Vs = 0т,
s = 1, 2, ..., к. Однако, здесь, по мнению автора, удобнее использовать приня-
принятую начиная с данного определения несколько более громоздкую форму с нену-
ненулевыми в общем случае векторами Vs, поскольку именно эта форма больше соот-
соответствует практике получения дополнительной информации об относительной
важности критериев.

4.2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 113
вый набор векторов D.12) является своеобразной «заготовкой»
для набора информации об относительной важности критериев,
которым может располагать некоторое ЛПР.
При решении реальных задач принятия решений, когда в на-
наличии имеется целое семейство различного рода сообщений
об относительной важности критериев, может оказаться так,
что векторы, участвующие в задании набора информации, обра-
образуют противоречивый набор. Это связано с тем, что информация
об относительной важности, как правило, не точна и чаще всего
отражает лишь желательную, а не действительную картину пред-
предпочтений ЛПР. Кроме того, ЛПР, само того не желая, иногда
может несколько отклоняться от класса задач многокритериаль-
многокритериального выбора, ограниченных аксиомами 2-4, и в таком случае его
поведение следует подкорректировать, объявив о противоречи-
противоречивости его предпочтений, выраженных в форме набора информа-
информации об относительной важности критериев.
Так или иначе, если в процессе принятия решений на осно-
основе количественной информации об относительной важности кри-
критериев присутствует набор такого рода информации, то его обя-
обязательно следует проверять на непротиворечивость (совмест-
(совместность). А для осуществления такой проверки необходимо
располагать соответствующим инструментарием, поскольку ис-
использовать для этой цели лишь определение 4.1 не представля-
представляется возможным.
3. Критерии непротиворечивости. Здесь будут даны три кри-
критерия непротиворечивости конечного набора векторов. Один
из них имеет геометрическую форму, второй представляет собой
алгебраический вариант, а третий — алгоритмический, удобный
для реализации в среде программирования.
Теорема 4.6 (геометрический критерий непротиворечивости).
Для того чтобы набор пар векторов D.12) был непротиворечивым,
необходимо и достаточно, чтобы конус, порожденный векторами
е\ е\ ..., ет, и1 - v\ и2 - v\ ..., uk - vk, D.13)
являлся острым.
А На основе определения 4.1 и следствия 2.1 можно заключить,
что набор векторов D.12) будет непротиворечивым тогда и только
тогда, когда существует конусное отношение с острым выпуклым
конусом М (без нуля), для которого выполняются соотношения
2Г сМ, us -vs eM, s = 1, 2,..., к. D.14)

114 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Необходимость. Пусть набор векторов D.12) является непро-
непротиворечивым. Тогда в силу сказанного в начале доказательства
существует острый выпуклый конус М (без нуля), для которого
верно D.14). Векторы D.13) принадлежат конусу М и порождают
в общем случае некоторый выпуклый подконус конуса М. По-
Поскольку подконус острого конуса сам является острым, то набор
векторов D.13) порождает острый выпуклый конус.
Достаточность. Рассмотрим выпуклый конус (без нуля), порож-
порожденный векторами D.13). Обозначим его М. По условию он — ост-
острый. Поскольку все единичные векторы е1, е2,..., ет входят в набор
векторов, порождающих М9 то R™ С М. Следовательно, для это-
этого конуса справедливы соотношения D.14).Y
Теорема 4.7 (алгебраический критерий непротиворечивости). Для
того чтобы набор пар векторов D.12) был непротиворечивым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы однородная система линейных уравнений
/=1 5=1
не имела ни одного ненулевого неотрицательного решения относи-
относительно 1) Хь Х2, ..., Хт9 \ib \i2, ..., М*-
А Теорема является следствием предыдущей теоремы и одно-
одного утверждения из теории систем линейных неравенств (см. [34],
c.269).Y
Рассмотрим самую простую ситуацию, когда информация
об относительной важности критериев состоит из одного сооб-
сообщения (т. е. к = 1). Соответствующая этому случаю система ли-
линейных уравнений D.15) принимает вид
т
?V'=-!-ii (и1-А DЛ6)
/=1
Допустим, что эта система имеет ненулевое неотрицательное ре-
решение Хь Х2,..., A,w, щ. Если \х{ = 0, то D.16) превращается в ра-
т
венство ^2Xfel = 0ш, где хотя бы один из коэффициентов Хъ
/=i
12)...Дт строго положителен. Но тогда это равенство является
ложным.
1) Отсутствие ненулевых неотрицательных решений означает, что данная
система если и имеет некоторое решение Хъ Х2, ...Дт, ц1? ц2> •••> №ь Т0 либо все
эти числа равны нулю, либо по крайней мере одно из них — отрицательное.

4.2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 115
Пусть щ ^ 0. Вектор и1 - vl имеет хотя бы одну положи-
положительную компоненту и поэтому вектор — \i\(ul — vl), записан-
записанный в правой части равенства D.16) и имеющий по крайней мере
одну отрицательную компоненту, невозможно представить в виде
неотрицательной линейной комбинации единичных векторов
е1, е2, ..., ет. Следовательно, равенство D.16) вновь невозможно,
а значит система D.15) не имеет ни одного ненулевого неотрица-
неотрицательного решения.
В итоге приходим к следующему результату.
Следствие 4.1. Если имеется в точности одно сообщение об от-
относительной важности критериев, то вектор, порождающий эту
информацию, образует непротиворечивый набор. Набор пар векто-
векторов D.12) может оказаться противоречивым лишь в том случае,
когда число пар векторов данного набора более одной.
Тот факт, что уже при к = 2 противоречивая ситуация воз-
возможна, демонстрирует рассмотренный ранее пример 4.1, для ко-
которого система уравнений D.15) принимает вид
Хх + м-1 + М-2)= 0,
^2+ м-з)+ ^2 =0
и, как нетрудно в том убедиться, имеет, например, следующее не-
ненулевое неотрицательное решение Х{ = 3, Х2 = h Ш = 1> 1^2 = 2.
Следствие 4.2. Пусть имеются две группы номеров критериев
is e IJS е /, s = 1, 2,..., к, {/ь ..., ik) П {уь -Jk) = 0> причем среди
номеров первой группы (так же, как среди номеров второй группы)
могут быть (и даже все) одинаковые. Непротиворечивым является
набор пар таких векторов D.12), что у каждого вектора us — Vs
компонента с номером is — положительна, с номером js — отрица-
отрицательна, а все остальные компоненты — равны нулю, s = 1, 2, ..., к.
А Предположим противное: система линейных уравнений D.15)
обладает ненулевым неотрицательным решением Хь Х2,... Д/и, Щ,
|а2,..., №к- Сначала рассмотрим случай, когда среди чисел щ, ja2,..., \^к
имеется, по крайней мере, одно положительное. В этом случае
к
у вектора ^|H5(V —Vs) существует хотя бы одна положительная
s=\
компонента среди тех, которые принадлежат номерам первой груп-
группы. Отсюда получаем противоречие начальному предположению
т к
о том, что сумма ^Xtel +^|U5(V -Vs) равна нулевому вектору.
/=1 s=l

116 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Если же все коэффициенты \хь \х2,..., \ik равны нулю, то систе-
т
ма D.15) превращается в ^ А^-е' = 0т, где хотя бы один из коэффи-
/=i
циентов Xt отличен от нуля. Но такая система ненулевых решений
не имеет, что вновь противоречит начальному предположению. V
При помощи рассуждений, аналогичных тем, которые были
использованы при доказательстве последнего следствия, можно
получить следующий более общий результат.
Следствие 4.3. Набор пар векторов D.12) является непротиво-
непротиворечивым, если он удовлетворяет следующим условиям: у каждого
вектора us — Vs все компоненты, номера которых принадлежат
множеству A s, As с /, положительны, все компоненты, номера ко-
которых принадлежат множеству Bs, Bs с /, отрицательны, а все
остальные компоненты равны нулю, s = 1, 2, ...,k, причем для лю-
любой пары различных номеров i,j e {1, 2, ..., к} выполняется равен-
равенство А{ П Bj = 0.
Теперь сформулируем еще один критерий для проверки непро-
непротиворечивости (точнее говоря, противоречивости) набора векторов.
Теорема 4.8 (алгоритмический критерий противоречивости).
Для того чтобы набор векторов D.12) был противоречивым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы в задаче линейного программирования
Si + ^2 +•••+ ^m + i -
s=\
s=l
ХьХъ-Лт ^0, ^,$2, .... U + 1 ^0, D.17)
оптимальное значение целевой функции было равно нулю.
А Нетрудно видеть, что система ограничений в форме ра-
равенств в задаче линейного программирования D.17) без учета
искусственных переменных ^ь^2?---?^ + 1 и равенства Х{ + ... +
+ Хт + щ + ... + Hfc + SiH + i = 1 полностью совпадает с систе-
системой линейных уравнений D.15). В силу теоремы 4.7 набор пар
векторов D.12) является противоречивым тогда и только тогда,
когда однородная система линейных уравнений D.15) имеет по

4.2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 117
крайней мере одно ненулевое неотрицательное решение. Это, в
свою очередь, справедливо тогда и только тогда, когда в задаче
линейного программирования D.17) существует допустимое ре-
решение, в котором все искусственные переменные равны нулю:
t)l: = 0 для / = 1, 2, ..., т+ 1. Последнее равносильно тому, что
оптимальное значение целевой функции в задаче линейного про-
программирования D.17) равно нулю.У
Замечание. Следует отметить, что задача линейного програм-
программирования D.17) всегда имеет оптимальное решение, так как
значения ее целевой функции ограничены снизу нулем. Поэтому
оптимальное значение целевой функции в этой задаче всегда су-
существует и либо равно нулю, либо строго больше нуля.
4. Существенность информации об относительной важности
критериев. Выше уже отмечалось, что на практике процесс полу-
получения информации об относительной важности критериев часто
носит последовательный характер, т. е. сначала получают одно
сообщение, затем — второе и т. д. В этом случае важно уметь
распознавать сообщения о важности, противоречащие получен-
полученным ранее. Кроме того, крайне полезно уметь отличать суще-
существенную информацию от несущественной. Например, если уже
было известно, что /-й критерий важнее у-го с коэффициентом
относительной важности 0.5, то аналогичное сообщение с мень-
меньшим коэффициентом не вносит ничего нового, существенного
по сравнению с первым сообщением и поэтому его можно про-
просто проигнорировать.
Пусть имеется непротиворечивый набор пар векторов D.12).
Добавим к нему еще одну такую пару векторов uk+l, vk+l, что
uk+l — vk+l G Nm. В результате получим «расширенный» набор пар
векторов
и\&еЯт, ^-^eN™, /=1,2,...Д + 1. D.18)
Определение 4.2. Для непротиворечивого набора пар векторов
D.12) пару uk+l, vk+l будем называть существенной, если выпук-
выпуклый конус, порожденный единичными векторами е1, е2,..., ет вме-
вместе с векторами и1 — v\ i = 1, 2,..., к+ 1, не совпадает с выпуклым
конусом, порожденным теми же самыми единичными векторами
и векторами и1 — v\ i = 1, 2, ..., к.
Смысл введенного определения состоит в том, что существен-
существенная дополнительная информация об относительной важности
критериев должна изменять имеющееся конусное отношение

118 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
предпочтения. Нетрудно понять, что несовпадение конусов, в ко-
которых участвуют наборы D.12) и D.18), может произойти лишь за
счет того, что конус, порожденный расширенным набором векто-
векторов, будет шире конуса, образованного исходным набором к век-
векторов.
Теорема 4.9 (критерий непротиворечивости и существеннос-
существенности). Пусть набор пар векторов D.12) является непротиворечивым.
Для того чтобы расширенный набор D.18) одновременно был непро-
тиворечивым, а пара векторов и , v являлась существенной,
необходимо и достаточно, чтобы обе системы неоднородных линей-
линейных уравнений
т к
Х>У +ЁМи5 -vs) = ±(uk+1 -vk+l) D.19)
/=1 5=1
не имели ни одного неотрицательного решения Хь Х2, ..., Хт, щ,
А Сначала решим вопрос с непротиворечивостью. Согласно
алгебраическому критерию непротиворечивости расширенный
набор векторов D.18) будет совместным тогда и только тогда,
когда однородная система линейных уравнений
XV J2 +(uk+l ~vk+l) = 0m D.20)
/=1 S=l
не имеет ни одного ненулевого неотрицательного решения.
Проверим, что это равносильно тому, что система уравнений
D.19-), т. е. система D.19), в правой части которой взят знак
минус, не имеет неотрицательного решения. Действительно, если
система уравнений D.20) не имеет ненулевых неотрицательных
решений, то система D.19—) не может иметь неотрицательного
решения. Обратно, если вторая из указанных систем (т. е. D.19—))
не имеет неотрицательного решения, а первая обладает ненуле-
ненулевым неотрицательным решением Хь Хъ ..., Хт, щ, ja2? •••? Ць то
нетрудно прийти к противоречию. В самом деле, случай \ik+ х = 0
невозможен из-за того, что набор векторов D.12) является непро-
непротиворечивым. Значит, ц,?+1 > 0. В таком случае, разделив обе
части равенства D.20) на ц^+ь придем к тому, что система ли-
линейных уравнений D.19—) имеет неотрицательное решение. Это
противоречит начальному предположению. Тем самым, первая
часть теоремы, связанная с непротиворечивостью доказана.

4.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 119
Перейдем к доказательству второй части, посвященной суще-
существенности пары векторов uk+l, vk+l. Согласно определению 4.2
эта пара векторов является существенной тогда и только тогда,
когда вектор uk+l — vk+l не принадлежит выпуклому конусу, по-
порожденному векторами е1, е2,..., ет, и1 — V1, и2 —V2,..., ик —vk.
Последнее имеет место тогда и только тогда, когда неоднородная
система линейных уравнений D.19+) не имеет ни одного неот-
неотрицательного решения. Y
Замечание. В доказанной теореме есть две части — одна по-
посвящена непротиворечивости, а вторая — существенности пары
векторов uk+l, vk+l. Из доказательства видно, что первая часть
теоремы связана с существованием неотрицательного решения
системы уравнений D.19—), тогда как вопрос существенности
решается в терминах решения системы уравнений D.19+).
4.3. Использование набора информации
об относительной важности критериев
1. Случай, когда несколько критериев по отдельности важнее
одного критерия. В п. 4 разд. 4.2 была рассмотрена ситуация, когда
два критерия по отдельности важнее третьего. Ниже изучается
общий случай, где число критериев, которые являются более
важными, чем некоторый один данный критерий, может быть
больше двух.
Теорема 4.10. Пусть к, /ь /2, ..., // е /, / ^ т - 1. Предполо-
Предположим, что выполнены аксиомы 1—4 и имеется набор информации
об относительной важности, состоящей из I сообщений о том, что
iy-й критерий важнее k-го с коэффициентом относительной важно-
важности 0/ib /2-й критерий важнее k-го с коэффициентом относитель-
относительной важности Q. k,..., 1Гй критерий важнее k-го с коэффициентом
относительной важности Qiik. Тогда для любых непустых множеств
выбираемых векторов и решений выполняются включения
Sel7 с Р{?) с P(Y) D.1)
SelXc Pg(X) с Pf(X), D.6)
где p(y) (Pg(X)) — множество парето-оптимальных векторов (па-
рето-оптимальных решений) в многокритериальной задаче с мно-
множеством возможных решений X и векторным критерием g, имею-
имеющим компоненты

120 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
gs = fs, для всех s e 1\ {?},
А Как обычно, пусть К означает острый выпуклый конус
(без нуля) конусного отношения предпочтения >-. Наличие име-
имеющейся в условиях теоремы информации об относительной важ-
важности критериев означает выполнение включения ylp e К для
каждого р = 1,2,...,/, где у m-мерного вектора у1р все компо-
компоненты равны нулю, кроме ip-u и к-й, которые определяются ра-
равенствами yl.p =l~Qipk и ylkp = -Qipk.
Через М обозначим выпуклый конус (без нуля), порожден-
порожденный векторами е1, е2, ..., ет, yh,yl2,...,yl1. Вектор е1р можно пред-
представить в виде линейной комбинации векторов ек и у1р с поло-
положительными коэффициентами. Следовательно, конус М порож-
порождается набором векторов вида
е\ i = 1, 2, ..., т (/ ^ ip для всех р = 1,2, ..., /);
Л У2,-, У', D.22)
а значит, этот конус совпадает с множеством всех ненулевых неот-
неотрицательных линейных комбинаций векторов D.22).
Установим совпадение конуса М с множеством ненулевых
решений системы линейных неравенств
ys ^ 0 для всех s e 1\ {к},
D-23)
С этой целью найдем общее решение системы линейных нера-
неравенств D.23), рассмотрев соответствующую ей систему линей-
линейных уравнений
(е\у) = 0 для всех s e 1\{к},
(У, У) = 0, D.24)
где
0,. к
Ук = I У1Р = Л Р1 , Р = 1,2, -, I,
а все остальные компоненты вектора у равны нулю.

4.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 121
В системе D.24) имеется т уравнений. Любая подсистема
из т — 1 векторов системы е1,..., ек~1, у, ek+l,..., ет линейно неза-
независима. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупнос-
совокупности решений системы неравенств D.23) достаточно найти по од-
одному ненулевому решению каждой из подсистем системы урав-
уравнений D.24), получающейся из D.24) удалением какого-то одного
уравнения (при этом все найденные решения должны удовлет-
удовлетворять системе неравенств D.23)).
При удалении последнего уравнения из D.24) получим под-
подсистему с решением ек. Если из D.24) удалить уравнение (es, у) = О
при s = ip (p e {1,2,...,/}), то соответствующая подсистема будет
обладать решением у1р. Удаление уравнения (es,y) = 0 при
s e 1\ {к, /ь /2,..., //} приводит к подсистеме, имеющей решение е\
Итак, фундаментальная совокупность решений системы ли-
линейных неравенств D.23) имеет вид D.22). Поэтому конус Мдей-
Мдействительно совпадает с множеством ненулевых решений систе-
системы линейных неравенств D.23).
Остальная часть доказательства почти дословно повторяет соот-
соответствующую часть доказательства теоремы 4.4 с очевидными
изменениями в формулах, и поэтому здесь не приводится. V
2. Использование набора взаимно независимой информации об
относительной важности критериев. Как было указано в п. 1 пре-
предыдущего раздела, учет набора взаимно независимой информа-
информации, состоящей из двух сообщений, происходит последователь-
последовательно. Идея последовательного учета набора взаимно независимой
информации может быть применена и в случае более двух сооб-
сообщений. Например, имеет место следующий результат.
Теорема 4.11. Пусть выполнены аксиомы 1—4 и имеется набор
взаимно независимой информации об относительной важности кри-
критериев, состоящий из к сообщений о том, что группа критериев As
важнее группы критериев Bs с коэффициентами относительной
( \
1 < к й — .
Обозначим
к к
A=]JAS, B=]JBS.
s=l s=l
Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов и непу-
непустого множества выбираемых решений выполняются включения
Sel7 с Р(?) с P(Y), SelX с Pg(X) с Pf(X),

122 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
где Y — множество значений векторной функции g (т. е. Y = g (X)),
к
ag — р-мерная векторная функция, р = т-\В\ + 5^|Л|'|Д?|, с ком-
s=l
понентами, составленными из тех компонент ft векторного крите-
критерия /, для которых i е 1\В, а также компонент
gis=%fi+(l-%)fj для всех i eAS9j e Bs, s = 1,2, ...Д.
3. Задача выпуклого анализа. Легко понять, что рассмотрен-
рассмотренные выше случаи использования набора информации об относи-
относительной важности критериев далеко не исчерпывают всех воз-
возможных вариантов. Разумеется, это относится к наборам инфор-
информации, которые не являются взаимно независимыми. Например,
выше не приводились формулы для пересчета нового критерия
для случая, когда одна группа критериев важнее другой группы
критериев, а вторая, в свою очередь, является более важной, чем
первая. Ждет своего разрешения ситуация, в которой один кри-
критерий важнее каждого из некоторого набора более чем двух кри-
критериев в отдельности. И этот список можно легко продолжить.
Из приведенных доказательств теорем, посвященных учету
различного рода информации об относительной важности кри-
критериев, можно усмотреть вполне определенную схему, на основе
которой получаются соответствующие формулы для пересчета
нового критерия. Кратко эту схему можно описать следующим
образом. С самого начала, когда еще нет никакой информации
об относительной важности критериев, справедливо лишь вклю-
включение R™ с К, где символом К обозначен острый выпуклый ко-
конус (неизвестного) конусного отношения >-. Указанное включе-
включение выполняется благодаря аксиоме Парето. Наличие в общем
случае некоторого набора информации, состоящего из к сообще-
сообщений об относительной важности критериев, на геометрическом
языке означает задание к векторов у1 е Rm, для которых выпол-
выполнено у1 у 0т, или, что то же самое, у1 е К, i = 1, 2,..., к. Далее
вводится острый выпуклый конус М, порожденный векторами
е1, е2,..., ет, у1, у2, ...,ук. Этот конус определяет конусное отно-
отношение того же самого класса, что и неизвестное отношение пред-
предпочтения >-, но более широкое, так как М с К. Конус М являет-
является конечнопорожденным, а значит многогранным. Число ком-
компонент нового векторного критерия в точности совпадает с числом
(т — 1)-мерных граней конуса М, а нормальные (направленные

4.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАБОРА ИНФОРМАЦИИ 123
внутрь конуса) векторы этих граней дают возможность получить
формулы для пересчета нового векторного критерия.
Например, в самом простом случае, когда /-й критерий важ-
важнее у-го с коэффициентом относительной важности 9/у, конус М
(см. теорему 2.5) имел следующие нормальные векторы, направ-
направленные внутрь конуса — е1,..., eJ'~l, д^е1 + (l - 6/у- )eJ\ ey+1,..., ет.
Поэтому в данном случае формула для пересчета нового у-го кри-
критерия принимает вид gj = в/у-/- + (l - 9/у )/у.
В соответствии со сказанным, сформулируем общую задачу
(она формулируется в терминах выпуклого анализа), решение
которой позволило бы получать формулы для пересчета новых
критериев в любых ситуациях с произвольными наборами ин-
информации об относительной важности критериев.
Сначала, однако, напомним определение двойственного ко-
конуса. Пусть а1, а2,..., ак — конечный набор векторов т-мерного
евклидова пространства. Выпуклый конус, порожденный указан-
указанными векторами, обозначим
М = cone {а1, а2, ..., ат}.
Он представляет собой множество всех неотрицательных линей-
линейных комбинаций указанных векторов. Будем считать, что этот
конус острый и его размерность 1) равна т.
Двойственный конус [4] по отношению к конусу М обозначим
символом С. Он определяется равенством
С = {х е Rm | (х,у) ^ 0 для всех у е М}.
Например, двойственным конусом для неотрицательного
ортанта будет сам неотрицательный ортант.
Двойственный конус для многогранного (или конечнопорож-
денного) конуса так же является многогранным конусом, а зна-
значит, порождается некоторым конечным набором векторов. Изве-
Известно также [28], что двойственный для острого m-мерного кону-
конуса сам является острым и т-мерным.
Задача. Найти алгоритм, который для произвольного заданного
конечного набора векторов а1, а2, ..., ак, порождающих выпуклый
острый т-мерный конус М, дает возможность за обозримое время
построить минимальный набор векторов b1, b2, ..., Ьп, порождаю-
порождающих двойственный конус С, т. е. таких, что
С = cone{b\b2,...,bn}.
1) Размерность конуса совпадает с размерностью минимального подпрост-
подпространства, содержащего данный конус.

124 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
На геометрическом языке сформулированная задача заклю-
заключается в построении на основе ребер конуса М, набора нормаль-
нормальных векторов всех гиперплоскостей, являющихся (т - ^-мер-
^-мерными гранями М.
В частном случае, когда конусом М является неотрицатель-
неотрицательный ортант пространства Rm, сформулированная задача триви-
тривиальна и ее решением будет, например, набор единичных ортов
этого пространства (тех самых, которые порождают данный нео-
неотрицательный ортант).
Имея в распоряжении алгоритм, о котором идет речь в сфор-
сформулированной выше задаче, можно для любого конечного непроти-
непротиворечивого набора информации об относительной важности кри-
критериев за обозримое время получать формулы для пересчета ста-
старого векторного критерия и образования нового, на основе
которого строится оценка сверху для множества выбираемых ре-
решений (векторов).
4.4. Алгоритмический подход
к использованию произвольного набора информации
об относительной важности критериев
1. Идея алгоритмического подхода. Рассмотрим ситуацию, когда
информация об относительной важности критериев содержит
произвольный конечный набор к сообщений, каждое из которых
состоит в том, что некоторая группа критериев важнее какой-то
другой группы критериев с определенными коэффициентами
относительной важности. При этом предполагается, что участву-
участвующие в данном наборе пары сообщений в общем случае не явля-
являются взаимно независимыми.
Как указывалось выше, задание подобной информации рав-
равносильно указанию набора из к пар векторов
для которых выполнены соотношения и1 > v\ / = 1, 2, ...,&.
Напомним, что множество Nm составляют все m-мерные векто-
векторы, имеющие по крайней мере одну положительную и хотя бы
одну отрицательные компоненты.
Введем выпуклый конус М (без нуля), порожденный векторами
е\ е1,..., ет, и1 -v\ ..., ик -vk. D.25)

4.4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД 125
Все указанные векторы принадлежит острому выпуклому
конусу К, который задает конусное отношение предпочтения >-.
Поэтому справедливо включение М с К, а значит конус М —
острый. Кроме того, благодаря аксиоме Парето он содержит нео-
неотрицательный ортант R™, т. е. R™ с М.
Обозначим через >м конусное отношение с конусом М. В силу
следствия 2.1 это конусное отношение удовлетворяет аксиомам
2—4, т. е. относится к отношениям того же класса, что и исход-
исходное отношение >. Следует, правда, заметить, что отношение >
удовлетворяет еще и аксиоме 1, а для отношения >м она может
оказаться не выполненной. Но ее выполнение для дальнейшего
и не понадобится.
Таким образом, имеются два конусных отношения > и ум,
которые в силу включения М с К связаны друг с другом импли-
импликацией
У1 >м У11 => У1 > У11
для у\ у11 е Rm.
Наличие этой связи приводит к тому, что множество недо-
недоминируемых векторов Ndom 7, построенное на основе отноше-
отношения у, является подмножеством множества недоминируемых век-
векторов, определяемого с помощью отношения >м, т. е.
Ndom 7 с N domM 7, D.26)
где
NdomM7 = {/ е 7 | не существует такого у е 7, что у >м /}.
Включение D.26) означает, что множество NdomM 7 являет-
является некоторой оценкой сверху для множества недоминируемых
векторов Ndom 7, а значит и для множества выбираемых векто-
векторов Sel 7 Построив множество NdomM 7, получим в общем слу-
случае более узкое множество, чем множество Парето, и, тем са-
самым, за счет удаления некоторых парето-оптимальных векторов
произойдет сужение множества Парето. В этом и заключается
существо подхода, предлагаемого ниже.
2. Мажорантное отношение. Конусное отношение >м с ост-
острым выпуклым конусом М (без нуля), порожденным векторами
D.25), будем называть мажорантным отношением. Это наимено-
наименование обуславливается тем, что на его основе далее будет постро-
построена оценка сверху (т. е. мажоранта) для множества выбираемых
векторов (решений).

126 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Предлагаемый алгоритмический подход основан на приме-
применении следующего утверждения.
Теорема 4.12. Пусть у', у" е Rm,y' ^ у". Соотношение у' >м у"
имеет место тогда и только тогда, когда равно нулю оптимальное
значение целевой функции в следующей канонической задаче линей-
линейного программирования
Si + \l +•••+ \т ~> min
= \у'3-у"\, s = l,2,...,m,
Xh А,2, ..., A,w, Щ, \i2,..., Vb Si> ^ •••> ^m ^ 0. D.27)
Здесь символ sign (а) определяется равенством
[ 1, если а > 0 или а = 0,
sign (я) =
[-1, если а < 0.
А Прежде всего, заметим, что соотношение уг >м У" выпол-
выполняется тогда и только тогда, когда верно включение у' — у" е М,
что равносильно выполнению равенства
^(и'" ~v*) = у'-у"
при некоторых одновременно не равных нулю неотрицатель-
неотрицательных коэффициентах Хь А,2, ... Д»,, Щ, |х2, ..., М-^. В свою очередь,
равенство D.28) при указанных коэффициентах имеет место тогда
и только тогда, когда выполнено
-yHs ) + ?>/(«i -ui)sign(^' -yHs ) =
D.29)
Далее, для того чтобы выполнялись равенства D.29) при неко-
некоторых одновременно не равных нулю неотрицательных числах
Хь Х2,..., Хт, \iu Ц2? —j Рк необходимо и достаточно, чтобы кано-
каноническая задача линейного программирования D.27) имела оп-
оптимальное решение, в котором ?х = ^2 = ••• = %т = 0. После-

4.4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД 127
днее эквивалентно равенству нулю оптимального значения целе-
целевой функции в задаче линейного программирования D.27).Y
В соответствии с теоремой 4.12 проверка справедливости со-
соотношения у' >м у" сводится к решению канонической задачи
линейного программирования D.27). Это решение может быть
осуществлено с помощью известного алгоритма симплекс-мето-
симплекс-метода. Такой способ проверки соотношения у' >м у" удобен при
создании общего алгоритма построения оценки сверху в случае
конечного множества возможных векторов Y. Если же требуется
решить задачу невысокой размерности «вручную», то более удоб-
удобным оказывается использование следующего результата, кото-
который представляет собой частный случай теоремы 4.12, установ-
установленный в ходе доказательства этой теоремы.
Следствие 4.4. Пусть у', у" е Rm, yf ^ у". Соотношение
У1 >м У" имеет место тогда и только тогда, когда неоднородная
система линейных уравнений D.28) имеет ненулевое неотрицатель-
неотрицательное решение относительно Хь Х2,..., Хт, щ, ja2? • ••> V^k-
3. Пример. Пусть т = 3, к = 2, Y = {у1, у2, у3, у4}, где
у1 = A, 4.5, 2), у2 = B, 3, 1), у3 = C, 2, 1.5), у4 = E, 1.5, 2),
и1 = @,5,1), vl = B,2,0), и2 = E,0,2), v2 = A,1,1).
Поскольку
и1 - vl = (-2,3,1), и2 - v2 = D,-1,1),
то данные две пары векторов и1, vl, и2, v2 могут задавать (если
они непротиворечивы) информацию об относительной важности
критериев, состоящую их двух сообщений. Первое из этих сооб-
сообщений о том, что группа из второго и третьего критериев, важнее
первого критерия. Второе сообщение — о большей важности груп-
группы, состоящей из первого и третьего критериев по сравнению со
вторым критерием. Обращаем внимание на то, что имеющаяся
информация не является взаимно независимой и для учета этой
информации ни одна из полученных ранее формул непригодна.
Сначала убедимся в совместности имеющихся пар векторов
и1, vl, и2, v2. Для этого воспользуемся теоремой 4.7 и запишем
для данного случая однородную систему линейных уравнений D.15):
Хх - 2щ + 4ц2 = 0,
А,2 + Зщ - ц2 = 0,
Х3 + щ + ц2 = °-

128 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Из последнего уравнения благодаря неотрицательности чисел
А,3, Ць 1^2 следует их равенство нулю: Х3 = \il = (i2 = 0. В таком
случае из первого и второго уравнений получаем Х{ = Х2 = 0.
Следовательно, рассматриваемая система линейных уравнений
не имеет ненулевых неотрицательных решений. Согласно теоре-
теореме 4.7 это означает совместность двух пар векторов и1, vl, и2, v2.
Теперь построим оценку сверху для множества недоминиру-
недоминируемых векторов Ndom Y (а значит и для множества выбираемых
векторов Sel Y). С этой целью сначала запишем систему линей-
линейных уравнений D.28) для векторов у' = у1 и у" = у2:
Хг - 2щ + 4ji2 = -1,
А,2 + Зщ - ц,2 = 1.5,
Она имеет ненулевое неотрицатательное решение A,i = А2 =
= ц2 = 0, А3 = щ = 0.5. Следовательно, выполняется соотно-
соотношение у1 >м у2, а значит, вектор у2 не может входить в множе-
множество недоминируемых векторов NdomM Y.
Для векторов у' = у4 и у" = у3 система линейных уравне-
уравнений D.28) принимает вид
Хх - 2щ + 4 ц2 = 2,
А2 + Зщ - ц2 = -0.5,
Х3 + цх + ц2 = 0.5.
У этой системы имеются ненулевые неотрицательные реше-
решения, например, Х{ = А2 = А3 = щ = 0, \х2 = 0.5. Поэтому век-
вектор у3 так же не входит в множество недоминируемых векторов
NdomM Y.
Выпишем пару систем линейных уравнений D.28) для векто-
векторов у' = у1, у" = у4 и у' = у4, у" = у1:
Хх - 2щ + 4ц2 = -4, Хх - 2щ + 4ц2 = 4,
А2 + 3A! - Ц2 = 3, А2 + 3A! - A2 = -3,
А3 + щ + (i2 = 0; А3 + щ + (i2 = 0.5.
Нетрудно проверить, что ни одна из этих двух систем не имеет
ненулевых неотрицательных решений, а, значит, ни одно из со-
соотношений у1 >м у4, у4 >м У1 не выполняется.
В итоге получено следующее двухэлементное множество не-
доминируемых векторов

4.4. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД 129
NdomMF= {y\y4}.
Это множество представляет собой оценку сверху для множества
выбираемых векторов Sel Y, т. е. Sel 7 с {у1, у4}- Как видим, ни один
из возможных векторов у2, у3 не вошел в это множество, а, значит,
ни один из них заведомо не должен быть выбранным.
4. Алгоритм построения оценки сверху в случае конечного мно-
множества Y. Здесь будем считать, что множество возможных векто-
векторов Y состоит из конечного числа элементов:
Y={y\y\...,yN}.
Алгоритм построения множества недоминируемых векторов
NdomM Y состоит из следующих восьми шагов.
Шаг 1. Прежде всего, рекомендуется проверить совместность
(непротиворечивость) набора пар векторов u\vl e Rm, для кото-
которых выполняется и1 — vl e Nm, i = 1, 2, ...,&. Такая проверка сво-
сводится к решению канонической задачи линейного программиро-
программирования D.27). Если в результате решения этой задачи оптимальное
значение целевой функции оказалось равным нулю, то вычисле-
вычисления следует закончить, так как данный набор пар векторов про-
противоречив. Если же это значение положительно, то необходимо
перейти к следующему шагу.
Шаг 2. Положить NdomM7 = 7, / = 1, j = 2. Тем самым
образуется так называемое текущее множество недоминируемых
векторов, которое в начале работы алгоритма совпадает с множе-
множеством F, а в конце — составит искомую оценку сверху. Алгоритм
устроен таким образом, что эта оценка получается из 7 последо-
последовательным удалением заведомо доминируемых векторов.
Шаг 3. Проверить выполнение соотношения у1 >м у К Для
этого нужно решить каноническую задачу линейного програм-
программирования D.27) при у' = у\ у" = у К Если оптимальное значе-
значение целевой функции в этой задаче оказалось равным нулю, то
перейти к Шагу 4. В противном случае (т. е. когда это значение
положительно) перейти к Шагу 6.
Шаг 4. Удалить из текущего множества недоминируемых век-
векторов NdomM 7 вектор у\ так как он не может входить в это
множество.
Шаг 5. Проверить выполнение неравенства / < N. Если оно
имеет место, то положить j = j + 1 и вернуться к Шагу 3. В
противном случае — перейти к Шагу 8.

130 ГЛАВА 4. СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Шаг 6. Проверить справедливость соотношения yj >M у1. Для
этого необходимо решить каноническую задачу линейного про-
программирования D.27) при у' = у\ у" = у\ В том случае, когда
оптимальное значение целевой функции этой задачи окажется
равным нулю, перейти к Шагу 7. В противном случае (т. е. когда
это оптимальное значение положительно) — вернуться к Шагу 5.
Шаг 7. Удалить из текущего множества недоминируемых век-
векторов NdomM Y вектор у1.
Шаг 8. Проверить выполнение неравенства i < N — 1. В слу-
случае истинности этого неравенства следует последовательно по-
положить / = / + 1, а затем j = / + 1. После этого необходимо
вернуться к Шагу 3. В противном случае (т. е. когда / ^ N — 1)
вычисления закончить. Множество недоминируемых векторов по-
построено полностью.

Глава 5
ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ
ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
Здесь дается теоретическое обоснование предлагаемого да-
далее метода последовательного сужения множества компромиссов
на основе конечного набора информации об относительной важ-
важности критериев. Изложение данной главы является наиболее
сложным в математическом отношении, поэтому она без ущерба
для понимания дальнейшего материала может быть пропущена
читателями, не имеющими соответствующей подготовки.
Существо полученных здесь результатов можно выразить сле-
следующим образом: информация об относительной важности кри-
критериев полна в том смысле, что только на ее основе для любой
задачи определенного достаточно широкого класса можно с любой
степенью точности определить неизвестное множество недоми-
недоминируемых векторов (недоминируемых решений). Если же число
возможных векторов конечно, то множество недоминируемых
векторов может быть построено точно и полностью. Таким об-
образом, научившись выявлять информацию об относительной
важности, можно успешно находить множество недоминируе-
недоминируемых решений и векторов, не привлекая информации никакого
другого типа.
При изложении результатов этой главы были использованы
некоторые идеи из книги [3].
5.1. Предварительное рассмотрение
1. Постановка задачи. Наличие информации об относительной
важности критериев, состоящей в том, что некоторая группа кри-
критериев важнее другой группы, позволяет удалить определенные
парето-оптимальные векторы как заведомо неприемлемые и, тем
самым, получить более точную оценку сверху (аппроксимацию)
для множества выбираемых векторов, чем множество Парето. Если
же такой информации имеется некоторый конечный набор, то
можно надеяться, что с его помощью удастся построить еще
более точную (более узкую) оценку сверху. Из общих соображений

132 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
ясно, что, располагая все большим набором подобного рода ин-
информации, можно строить все более точную оценку сверху. В
связи с этим, возникает следующий вопрос: каковы границы ис-
использования конечного набора различной информации об отно-
относительной важности критериев?
Прежде чем продолжить рассмотрение, отметим следующее.
Благодаря лемме 1.2 множество выбираемых векторов должно
содержаться в множестве недоминируемых векторов. Более того,
имея дело с классом задач многокритериального выбора, ограни-
ограниченных рамками аксиом 1—4, ясно, что выбранным может ока-
оказаться любое подмножество множества недоминируемых векторов.
Иными словами, информация об отношении предпочтения ЛПР
и наличие набора критериев, удовлетворяющих аксиомам 1-4,
не позволяют исключить как заведомо неприемлемый ни один
из недоминируемых векторов. Поэтому самой узкой оценкой
сверху для множества выбираемых векторов в рассматриваемой
модели будет множество недоминируемых векторов. По этой
причине мы будем далее говорить об аппроксимации (приближе-
(приближении) не множества выбираемых, а множества недоминируемых
векторов.
Более точно поставленный выше вопрос можно сформулиро-
сформулировать следующим образом: возможно ли, используя лишь конечный
набор информации об относительной важности критериев, получить
сколь угодно точное представление о неизвестном множестве недо-
недоминируемых векторов*} Оказывается, на этот вопрос в принципе
можно ответить положительно. В принципе — так как придется
несколько сузить класс рассматриваемых задач многокритери-
многокритериального выбора, уже ограниченных рамками аксиом 1—4.
Ниже будет показано, что для определенного класса задач
многокритериального выбора нужно лишь научиться успешно
извлекать и грамотно использовать информацию об относитель-
относительной важности критериев. Этого вполне достаточно для того, что-
чтобы, по крайней мере, теоретически получить сколь угодно точное
представление о неизвестном множестве недоминируемых векто-
векторов (и недоминируемых решений). Такое положение свидетель-
свидетельствует о важной роли информации об относительной важности
критериев в процессе принятия решений.
2. Геометрические аспекты. Сформулируем поставленный
выше вопрос в геометрических терминах.
В соответствии с определением 3.3 наличие информации об
относительной важности одной группы критериев по сравнению
с другой группой означает, что указан вектор и е Nm, имеющий

5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 133
по крайней мере одну положительную и хотя бы одну отрица-
отрицательную компоненты, для которого выполняется соотношение
и у 0т. В том случае, когда имеется конечный набор подобного
типа информации, соответственно получаем набор таких векто-
векторов и1 е Nm, что верно и1 > 0т, i = 1, 2,..., к. Если набор векто-
векторов непротиворечив (точнее говоря, непротиворечивым является
набор пар векторов и\ 0т i = 1, 2, ...,?), то выпуклый конус М,
порожденный векторами е1, е2, ..., ет, и1, и2, ...,ик, представляет
собой совокупность всех ненулевых неотрицательных линейных
комбинаций этих векторов и является острым выпуклым кону-
конусом (без нуля). Он задает конусное отношение, обозначаемое да-
далее >м.
Поставленный в предыдущем пункте вопрос о полноте инфор-
информации об относительной важности критериев теперь в геометри-
геометрических терминах примет следующую форму: насколько близким
к неизвестному отношению предпочтения >- можно получить от-
отношение ум, используя лишь различного рода конечные непро-
непротиворечивые наборы векторов и1, и2, ..., ик. Другими словами,
имеется ли принципиальная возможность за счет выбора указанного
набора векторов сколь угодно точно приблизить отношение >м
к неизвестному отношению предпочтения >¦?
Для упрощения последующего решения поставленный воп-
вопрос переведем в плоскость конусов отношений и сформулируем
его так: возможно ли за счет выбора набора векторов и1, и2, ...,ик
получить конус М сколь угодно близким к неизвестному конусу К1I
При этом число векторов к не фиксировано и может быть любым
конечным числом.
Конус К является произвольным острым выпуклым конусом
и не содержит нуля. Что касается конуса М, то он принадлежит
тому же классу, что и К, т. е. так же является острым, выпуклым
и не содержит нуля. Однако в отличие от К конус М порожден
конечным числом векторов, а, значит, он — конечнопорожден-
ный, т. е. многогранный (см. [4, 28]). В такой постановке вопрос
о полноте информации об относительной важности критериев
имеет много общего с известной в выпуклом анализе задачей
аппроксимации произвольного выпуклого компактного множе-
множества многогранником. Как известно, эта задача имеет положи-
положительное решение — произвольное выпуклое замкнутое ограни-
ограниченное множество можно сколь угодно точно аппроксимиро-
аппроксимировать (приблизить) многогранником. Поэтому есть все основания
1) Напоминаем, что К — острый выпуклый конус отношения

134 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
надеяться, что аналогичный вопрос, сформулированный для ко-
конусов (когда произвольный выпуклый конус нужно аппрокси-
аппроксимировать многогранным конусом) найдет свое положительное ре-
решение. Но для того чтобы получить это решение, прежде всего
необходимо договориться об измерении расстояния между вы-
выпуклыми конусами.
3. Расстояние между конусами. Пусть А и В — произвольные
непустые выпуклые подмножества пространства Rm. Как извест-
известно, хаусдорфово расстояние (см. [11]) между данными множествами
обозначается dist {А, В) и определяется формулой
dist(A,B) = infjre R+ \ А с (В)г, В с (А)г}9
где R+ означает множество положительных вещественных чисел и
(A)r = \JUr(y), (B)r = \JUr(y),
уел уев
a Ur(y) (г > 0) — замкнутый шар в пространстве Rm с центром в у
и радиусом к
Ur(y) = {г е Rm | \\г - у\\ й г},
Символом || а || здесь обозначена евклидова норма (длина) векто-
вектора а е Rm, т. е.
\\а \ =
В частном случае, когда Аи В — одноэлементные множества
{а} и {Ь} соответственно, хаусдорфово расстояние между ними
совпадает с евклидовым и равно норме разности этих векторов,
т. е. || а - Ь\\.
Следующий результат показывает, что непосредственное при-
применение хаусдорфова расстояния для измерения расстояния между
выпуклыми конусами наталкивается на определенные трудно-
трудности, которые, впрочем, далее будут преодолены.
Лемма 5.1. Пусть Кх и К2 — произвольные два выпуклые конуса
в пространстве Rm, не содержащие начало координат, причем
Кх ^ Х2, где черта сверху означает замыкание множества 1). Тог-
Тогда имеет место равенство
dist (Къ К2) = +оо.
1) Операция замыкания множества состоит в присоединении к нему всех
его граничных точек.

5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 135
А Из неравенства Кх ^ К2 следует, что найдется точка
у е Rm, такая что yeKi9 у ? К2, либо найдется такая точка
у е Rm, для которой у^Къ у^К\. Для определенности про-
продолжим рассмотрение первого случая, так как второй разбирает-
разбирается аналогично.
Из соотношений у е Къ у ^ К2 вытекает существование та-
такой точки у1', что у' ^ 0т и у ^Къ у ^ К2. Рассмотрим луч (ча-
(частный случай конуса), исходящий из начала координат и прохо-
проходящий через у'. Обозначим этот луч /. Для него выполнены соот-
соотношения I cKl9 I <? К2.
Норма || у' — у ||, как функция переменных ууу2, ...,ут, не-
непрерывна и ограничена снизу на конусе К2. Поэтому найдется
предельная для множества К2 точка у е Rm, для которой выпол-
выполняется равенство
inf || у1 — у || = || у1 — j)||,
уеК2
причем у ^ у1. Выберем на луче / последовательность точек
вида
Г к 1
[у }
/ = ку>, к= 1,2,...
Для точек этой последовательности имеем
M\\yk-y\\=M\\ky'-y\\=kM\\y'-
уеК2 уеК2 уеК2 \\
= k inf ||/-у || = к ||/- у\\ —> +оо,
куеК2 к^оо
откуда немедленно следует требуемое равенство dist (Къ К2) =
= +oo.Y
В соответствии с доказанной леммой хаусдорфово расстоя-
расстояние между двумя «существенно несовпадающими» конусами (за-
(замыкания которых не совпадают) всегда равно +оо. Поэтому из-
измерять близость конусов бинарных отношений с помощью хаус-
дорфова расстояния не представляется возможным.
Пусть ^означает выпуклый конус в пространстве Rm, a Y —
подмножество того же пространства. Введем множество
Y2 = {у е\у - г е К)

136 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
для каждого z e Y Если существует такая положительная кон-
константа г, что для любого z e Y выполняется неравенство
sup IIу -z\\ йг,
то множество Y называют К-ограниченным. Нетрудно проверить,
что всякое ограниченное множество является ^-ограниченным,
тогда как обратное утверждение в общем случае места не имеет.
Теперь пусть Y есть множество возможных векторов, а К —
выпуклый конус конусного отношения предпочтения >. Предпо-
Предположим, что имеет место соотношение у' > у" для векторов
у', у" Е Rт. Это равносильно выполнению включения у' — у" е К.
Если допустить, что множество 7 является ^-ограниченным, то
справедливо неравенство \\yf — у" || ^ г или, что то же самое,
верно включение
у' - у" е К П Ur@m).
Таким образом, для ^Г-ограниченного множества возможных век-
векторов Y истинна эквивалентность
у1 - у" е К & у' - у" е К П Ur@m).
Это означает, что для ^Г-ограниченного множества Y вопрос бли-
близости конусов равнозначен вопросу близости лишь тех частей
конусов, которые расположены в шаре Ur@m).
Приведенные рассуждения обосновывают введение следую-
следующего определения. Расстояние между конусами К{ и К2 будем обо-
обозначать dr(Ku K2); оно определяется формулой
dr(Kl9K2) = dist(^ П Ur@J,K2 fl Ur(OJ), E.1)
где г — некоторое (достаточно большое) положительное число.
Введенное расстояние обладает стандартными свойствами мет-
метрики (см. [11]):
1) йг{Къ К2) ^ О,
2) dr(KuK2) =0 & КХ=К2,
3) dr(Kb К2) = dr(K2, К,),
4) dr(Kb Къ) й dr(Kb K2) + dr(K2, K3)
для любых выпуклых конусов Кь К2, Къ.

5.2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ 137
5.2. Первая теорема о полноте
1. Постановка математической задачи. Бинарное отношение
предпочтения >, которым ЛПР руководствуется в процессе приня-
принятия решений, благодаря аксиомам 2—4 является конусным с ост-
острым выпуклым конусом К без начала координат. Поэтому пусть
имеется произвольный острый выпуклый конус К, К с Rm, кото-
который не содержит начало координат и в силу аксиомы Парето вклю-
включает неотрицательный ортант R™. Следует заметить, что в общем
случае конус К не является многогранным.
Как указано в предыдущем разделе, наличие конечного набо-
набора информации об относительной важности критериев равносиль-
равносильно заданию некоторого непротиворечивого конечного набора век-
векторов и1, и2,..., ик е Nm, которые вместе с единичными ортами
е , е , ..., е порождают многогранный конус М, содержащийся
в конусе К
Математическая постановка рассматриваемого вопроса выг-
выглядит следующим образом: возможно ли за счет выбора набора
указанных выше векторов и1, и2, ...,ик (при этом число к векторов
конечно, но не фиксировано) добиться того, чтобы расстояние
dr(K, М) между конусами К и М было сколь угодно малым!
Ответ на поставленный вопрос дается в следующей теореме.
2. Первая теорема о полноте.
Теорема 5.1 (в терминах аппроксимации конусов). Пусть К —
произвольный острый выпуклый конус, не содержащий начала коор-
координат, и такой, что К с Rm, К э R+, К ^ R™. Выберем и за-
зафиксируем произвольное положительное г. Тогда для любого поло-
положительного числа ? найдется такой конечный набор векторов
1сГ, uleNm П К П Ur@m), 1 = 1,2,...,*
что
dr{K, cone {е\ е\ ..., ет, и\ и\ ..., ик}) < е, E.2)
где cone {el, е2, ..., ет, и1, и2, ..., ик} — выпуклый конус, порожден-
порожденный конечным набором векторов е1, е2,..., ет, и1, и2,..., ик.
Более того, при этом можно считать, что компоненты всех
векторов и1 являются рациональными числами.
А Примем обозначения
К = К П Ur@m), ЫК = ЫК П intf/r@J.

138 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
Зафиксируем произвольное положительное е. Введем —=¦ — сеть
2
пространства Rm. Через U(y) будем обозначать замкнутый т-мер-
ный куб этой сети с центром в точке у е Rm.
Выделим все кубы данной сети, пересекающиеся с множе-
множеством mtK. Благодаря ограниченности этого множества, число
выделенных кубов конечно. Обозначим их через П(у1), П(у2), ...,
П(У) и пусть
7=1
По построению mtK с П. На самом деле имеет место вклю-
включение 1сП. Действительно, если это не так, то в силу замкну-
замкнутости множества П найдется такая точка у е К, что она не при-
принадлежит П вместе с некоторой своей окрестностью intU( у). Если
соединить отрезком точку у с какой-нибудь точкой из mtK, то
на основании теоремы 6.1 из [28] получим, что все внутренние
точки указанного отрезка принадлежат mtK. Из этих внутрен-
внутренних точек множества К выберем какую-нибудь в пределах окре-
окрестности intU(y) и обозначим ее через у'. Для нее получаем
у1 G mtK, у1 ^ П, что противоречит включению mtK с П. Таким
образом, П — покрытие множества К.
В каждом пересечении U(yJ) П intK можно выбрать точку
uJ с рациональными компонентами, у = 1, 2,..., /. Введем выпук-
выпуклую оболочку 1) всех таких точек uJ n обозначим ее Р. Это мно-
множество представляет собой некоторый многогранник.
Так как К — выпуклое множество и и3 е К, j = 1, 2,..., /, то
Pel, а значит и
Р с (К)г. E.3)
С другой стороны, найдутся точки, одновременно принад-
принадлежащие К и не принадлежащие П. Поскольку П — покрытие К,
то каждая из этих точек удалена от Р не более чем на длину
диагонали куба введенной сети, т. е. на —. Поэтому заведомо
1) Выпуклой оболочкой данного множества называют наименьшее выпуклое
множество, содержащее это множество.

5.2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ 139
выполняется включение К с (Р)е, которое вместе с E.3) влечет
неравенство
[, P)<e. E.4)
Нетрудно понять, что
Рс{сож{Р}) П Ur{Om)cK.
Поэтому из E.4) следует
{a\a2,...y } П ^r@w))<?. E.5)
В свою очередь, из E.5) в силу R™ с К получаем неравенство
и\и2,...,и1} П Ur(Om))
<e.
Оно совпадет с доказываемым неравенством E.2), если из векто-
векторов и1, и2, ..., и1 удалить все «лишние», т. е. те, которые принад-
принадлежат неотрицательному ортанту R™, и оставшийся набор векто-
векторов обозначить и1, и2,..., uk.^f
Как известно, компьютер может оперировать только с раци-
рациональными числами, поскольку для задания иррационального
числа в десятичной форме требуется бесконечное число разрядов.
Поэтому информацию об относительной важности критериев
будем называть машинно реализуемой, если все компоненты набора
векторов, задающих эту информацию, являются рациональными
числами. Поскольку всякий вектор из множества Nm задает оп-
определенную количественную информацию об относительной важ-
важности критериев, то полученный результат в терминах теории
относительной важности критериев может быть переформулирован
следующим образом.
Теорема 5.1 (в терминах информации об относительной важ-
важности критериев). С помощью конечного набора машинно реализуемой
информации об относительной важности критериев можно полу-
получить сколь угодно точное представление (точность оценивается
формулой (I)) о конусе любого бинарного отношения предпочтения,
удовлетворяющего аксиомам 2—4.

140 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
5.3. Вторая теорема о полноте
1. Пример. В предыдущем разделе было установлено, что при
определенных условиях конус неизвестного отношения предпоч-
предпочтения можно сколь угодно точно аппроксимировать «изнутри» мно-
многогранным конусом, соответствующим некоторому конечному на-
набору информации об относительной важности критериев. Следует
отметить, что близость конусов двух данных отношений (измеря-
(измеряемая расстоянием по формуле E.1)) в общем случае не влечет бли-
близость самих бинарных отношений, а, значит, и множеств недоми-
недоминируемых векторов, построенных на основе этих отношений. Под-
Подтверждение тому — следующий простой пример.
Пример 5.1. Пусть т = 2, плоское множество возможных
векторов (точек) имеет вид отрезка
У=
УъУ2 ^ 0, ух+у2=
а острый выпуклый конус К задается равенством
К= cone {A,0), (-1,1)}.
Здесь точка @, 1) е 7 доминирует (имеется в виду доминирова-
доминирование относительно конусного отношения с конусом К) над всеми
остальными точками выделенного на рис. 5.1 отрезка, соединяю-
соединяющего эту точку с точкой @, 1). В частности, выполнено соотно-
соотношение @, 1) >- A,0), так как
@,1) - A,0) = (-1,1) е К.
Теперь немного изменим К.
Вместо него рассмотрим конус
К, = cone {A,0), (-1,1+8)},
где 8 е @, 1) (см. рис. 5.1). Вы-
Выбирая положительное число 8 до-
достаточно малым, конус Кг мож-
можно сделать сколь угодно близким к конусу К (измеряя близость
при помощи расстояния по формуле E.1)). С другой стороны,
каким бы малым положительное 8 не выбрать, конусное отноше-
отношение с конусом Кг не будет близким к отношению с конусом К,
поскольку для последнего множество недоминируемых точек бу-
будет состоять из одной точки @, 1) отрезка, соединяющего @, 1) и
A, 0), а для отношения с конусом Кг (при любом 8 е @, 1)) мно-
множество недоминируемых точек будет составлять весь указанный
отрезок.
У\
-1 0
Рис. 5.1.

5.3. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ 141
2. Вторая теорема о полноте. Анализ примера 5.1 показыва-
показывают, что если конус К не является открытым множеством, то при
«небольшом» изменении этого конуса соответствующее ему мно-
множество недоминируемых точек может изменяться значительно.
Однако если ограничиться отношениями предпочтения с откры-
открытыми конусами, то множество недоминируемых точек относи-
относительно произвольного отношения, удовлетворяющего всем ука-
указанным в теореме 5.1 свойствам, может быть получено как пре-
предел последовательности множеств недоминируемых точек
относительно некоторых конусных отношений, построенных на
основе набора машинно реализуемой информации об относи-
относительной важности критериев. Точнее говоря, имеет место следу-
следующий результат.
Теорема 5.2. Пусть К — открытый острый выпуклый конус,
не содержащий начала координат и К э R™, К ^ R™. Допустим,
что множество Y является К-ограниченным. Тогда существует
такая последовательность векторов
\us}°° , us eNm П К, 5 = 1,2,...
с рациональными компонентами, что имеет место сходимость
Ndom^ Y —> Ndom7 при s —> оо, E.6)
где ys — конусное отношение, порожденное острым выпуклым кону-
конусом cone {е1, е2,..., ет, и1, и2,..., us} без начала координат, s = 1, 2,...
Замечание. Сходимость в формуле E.6) последовательности
множеств недоминируемых векторов означает так называемую
«поточечную» сходимость множеств, определяемую следующим
образом: точка (вектор) у* е Y принадлежит предельному мно-
множеству (т. е. у е Ndom Y) тогда и только тогда, когда существу-
существует такое натуральное % что включение у* е Ndom^ Y имеет ме-
место для всех натуральных s > %
А Положим 8 = —. Применяя доказательство теоремы 5.1,
п \ 1 к
при п = 1 получим существование набора векторов и , и ,..., и ,
для которых
dr(K, cone {е\ е2, ..., ет, и\ и2, ..., ик}) < 1.
При п = 2 аналогично найдется, вообще говоря, другой набор
векторов uk+l,..., ик+р, для которых

142 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
dr(K, coneje1, е\ ..., ет, ик+\ ик+\ ..., ик+р}) < -.
Поскольку при «расширении» конуса сопе{ик+1,...,ик+р} за счет
добавления полученных ранее образующих и1, и2,..., ик е ^рас-
^расстояние между К и указанным способом «расширенным» конусом
conejw1,..., ик, ик+1,..., ик+р} становится разве что меньше, то
dr(K, cone{e\ е\ ..., ет, и1, и2,..., и*, w*+1, и*+2,..., и*+*}) < -.
Рассуждая подобным образом, придем к существованию та-
такой последовательности векторов \us \ , что для каждого нату-
l J s=\
рального п найдется номер sn9 при котором верно неравенство
dr(K, cone{el,e2,...,em,ul,u2,...,us})< -, s = sn,sn +1,... E.7)
Введем конусы
Cs = cone {e\ e\ ..., em, u\ u\ ..., us}, s = 1, 2, ...
Очевидно, Cs с Cs+i с ^Г, s = 1, 2, ... Кроме того, в соответствии
с неравенством E.7) для любого п существует номер sn9 при кото-
котором справедливы неравенства
dr{K,Cs)<-, s = sn,sn+\,...
Отсюда сразу следует, что для любой точки zeintK , где
К = К П Ur(Qm), найдется такой номер % что включение z e Cs
будет выполнено для всех s = % s0 + 1, ...
Перейдем к доказательству сходимости E.6) недоминируе-
недоминируемых множеств. Если у* е Y и у* 0 Ndom F, то по определению
множества недоминируемых точек найдется точка у е Y, для ко-
которой у - у е К. Отсюда, используя условие^теоремы о ^-огра-
^-ограниченности множества 7, получаем у - у* е К. Так как К — от-
открытый конус, то можно считать, что z = у - у* eintK (в про-
противном случае, в качестве такой внутренней точки z можно взять,
например, 0.5(у - у*) е int^). Тогда, как указано выше, существует

5.3. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ 143
такой номер % что включение г = у - у е Cs будет выполнено
для всех номеров s = % s0 + 1,... Это влечет у* 0 Ndom^ Y для
всех указанных 5. Поэтому всякая точка множества F, не принад-
принадлежащая множеству Ndom F, не может являться предельной точ-
точкой последовательности множеств Ndom^ Y, s = 1, 2, ...
С другой стороны, любая точка из N dom Y заведомо при-
принадлежит указанному пределу последовательности множеств, так
как включения Q с Сн1 с Увлекут Ndom У с Ndom ^ Y при
всех s = 1, 2, ...
Тем самым, соотношение E.6), а вместе с ним и теорема 5.2
доказаны. Y
3. Случай конечного множества возможных оценок. Когда мно-
множество возможных векторов состоит из конечного числа эле-
элементов, для точного определения множества недоминируемых
векторов (с конусным отношением, у которого конус К — от-
открытый) достаточно располагать лишь определенным конечным
набором информации об относительной важности критериев. Об
этом свидетельствует следующая ниже теорема. Она имеет важ-
важное значение в рамках подхода, развиваемого в данной книге,
поскольку теоретически обосновывает исключительную значи-
значимость теории относительной важности критериев в вопросах
построения множества недоминируемых векторов (недомини-
(недоминируемых решений). В соответствии с этой теоремой, для задач
многокритериального выбора определенного класса, используя
лишь информацию об относительной важности критериев, можно
точно найти множество недоминируемых векторов (и недомини-
недоминируемых решений).
Теорема 5.3. Если дополнительно к предположениям теоремы 5.2
добавить, что множество возможных векторов Y — конечное1), то
существует такой конечный набор р векторов \ и1 \ с Nm П К с
рациональными компонентами, что
Г,
где >р конусное отношение с выпуклым конусом cone {e1, е2, ..., ет,
и1, и2,..., и"}.
!) При этом К-ограниченность множества возможных векторов можно не
предполагать, так как конечное множество ограничено, а значит и Z-ограничено.

144 ГЛАВА 5. ПОЛНОТА ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
А Пусть множество допустимых векторов Y— конечно и имеет
вид Y = {у1, у2,..., yN}. Для каждого уl e Fвведем конечное мно-
множество
Ziг = {z e Y\ существует такой у е Y, что z = у - у1 е К},
/= 1,2,..., N.
Благодаря тому, что К— открытое множество, найдется номер si9
для которого Zj с Cs при всех s = sh 5г-+ 1, ..., где Cs — конусы,
введенные в ходе доказательства теоремы 5.2. Положим р =
= max {su s2, ..., %}. Для этого номера в силу вложенности кону-
конусов Q с Q+1, s = 1,2,..., имеем
Z; с С^ для всех / = 1, 2,..., N.
Выберем два произвольных вектора y\yj e Y. Если имеет
место включение уJ - у1 е К, то выполняется уJ - у1 е Zt с Ср,
а значит и yJ - у1 е Ср. Обратно, если верно включение yJ -
— у1 е Ср, то в силу вложенности Ср с К выполнено включе-
включение yJ — у1 е К. Таким образом, истинна эквивалентность
yJ _/е к <* yj - у' е Ср,
которая устанавливает равенство конусных отношений с конуса-
конусами К и Cp.V

Глава 6
МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИИ
ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
В этой главе после краткого предварительного рассмотрения
вопросов, связанных с процессом принятия решения человеком,
излагается метод последовательного сужения множества Парето
(области компромиссов) на основе количественной информации
об относительной важности критериев. Теоретические предпосылки
применения этого метода были разработаны в предыдущих главах,
а здесь дается его описание без математических подробностей
и приводятся некоторые рекомендации по применению. Кроме
того, изучается возможность комбинирования этого метода с ме-
методом целевого программирования и методом достижимых целей.
6.1. Как принимает решение человек?
1. Психические составляющие процесса принятия решений.
В процессе решения выделяют стадии поиска, принятия и реали-
реализации решения.
Принятие решений — волевой акт формирования последова-
последовательности действий, ведущих к достижению цели на основе преоб-
преобразования исходной информации в ситуации неопределенности.
Основные этапы процесса принятия решений включают инфор-
информационную подготовку решений и собственно процедуру принятия
решений — формирование и сопоставление вариантов, выбор,
построение программы действий.
Принятие решений с одной стороны может выступать как
особая форма мыслительной деятельности (например, управлен-
управленческое решение), с другой — как один из этапов мыслительного
действия при решении любых задач. Область применения этого
понятия чрезвычайно широка. В этой книге под принятием реше-
решений обычно понимается особый процесс человеческой деятель-
деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта действий.
Процесс принятия решений обеспечивается деятельностью
интеллекта, который складывается в основном из совместной
работы памяти, внимания и мышления.

146 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Память связывает прошлое субъекта с его настоящим и бу-
будущим и представляет собой особого рода процессы организа-
организации и сохранения прошлого опыта, позволяющие повторно ис-
использовать этот опыт в деятельности человека или же дающие
возможность возврата в сферу сознания. Память лежит в основе
любого психического явления. Собственно благодаря памяти
существует как таковая личность, ее отношения, навыки, привыч-
привычки, надежды, желания и притязания.
В зависимости от времени сохранения различают несколько
видов памяти — мгновенную или сенсорную (обеспечивает удержа-
удержание информации в течение срока менее одной секунды), крат-
кратковременную (время сохранения — до 30 сек.), оперативную (вре-
(время сохранения информации до нескольких минут) и долговре-
долговременную, которая способна удерживать информацию от нескольких
часов до десятилетий. По мнению психологов, именно с опера-
оперативной памятью человека прежде всего связаны процессы при-
принятия решений, поскольку наиболее типичным для оперативной
памяти является удержание материала для использования его
именно в процессе принятия решений. Оперативная память тесно
связана с долговременной и опирается на способы запоминания
и различные приемы, выработанные в других видах деятельности.
В свою очередь, долговременная память использует приемы и спо-
способы запоминания, сложившиеся внутри оперативной памяти.
Между этими видами памяти существует самая тесная связь и в от-
отношении циркуляции информации — оперативная память исполь-
использует часть информации, хранящейся в долговременной памяти
и, с другой стороны, она сама постоянно передает в долговре-
долговременную память какую-то часть новой информации.
Любопытно, что в оперативной памяти может храниться лишь
очень ограниченное количество информации — не более 7 ± 2
единиц материала, которых называют чанками (от английского
слова chunk). Этот факт составляет содержание так называемого
закона Дж. Миллера по имени психолога, который в 1956 году на
основе экспериментальных данных опубликовал свою знамени-
знаменитую статью «о магическом числе 7 ± 2» (см. [15]).
Заметное влияние на постановку проблемы памяти оказала
аналогия между этапами переработки информации человеком
и структурными блоками компьютера. Следует, однако, заметить,
что при таком сравнении функциональная структура памяти
человека обнаруживает значительно большую гибкость по срав-
сравнению с компьютером.
Следующий компонент интеллекта — внимание, которое по-
понимают как сосредоточенность деятельности субъекта в данный

6.1. КАК ПРИНИМАЕТ РЕШЕНИЕ ЧЕЛОВЕК? 147
момент времени на каком-то идеальном или реальном объекте,
т. е. предмете, событии, образе, рассуждении и т. п. Внимание —
это динамическая сторона сознания, характеризующая степень его
направленности на объект и сосредоточения на нем с целью обес-
обеспечения адекватного отражения в течение времени, необходимого
для выполнения определенного акта деятельности (например, при-
принятия решения). Внимание обеспечивает индивиду возможность
сосредоточенности и направленности сознания на объекты, кото-
которые он воспринимает в ходе той или иной деятельности. Концен-
Концентрация внимания позволяет человеку быстрее и качественнее вы-
выполнять ту или иную работу. С другой стороны, отсутствие долж-
должного внимания затрудняет восприятие нового, усложняет процесс
обучения человека. Как известно, отсутствие внимания пагубным
образом сказывается, например, на выполнении различного рода
вычислительных операций: достаточно лишь одной ошибки для
того, чтобы в итоге получить неверный результат.
Мышление в понимании психологов — это процесс познава-
познавательной деятельности человека, обеспечивающий организацию
и переработку информации; это — анализ, синтез, а также обоб-
обобщение условий и требований решаемой задачи и способов ее ре-
решения. Только с помощью развитого мышления человек получа-
получает возможность преодолевать пространственную ограниченность
восприятия и может устремляться мыслью в необозримые дали
макро- и микромира. При этом снимается и временная ограни-
ограниченность восприятия — возникает свободное мысленное переме-
перемещение вдоль временной оси от седой древности к неопределен-
неопределенному будущему.
Мышление активизируется при решении любой задачи, воз-
возникающей перед человеком, коль скоро она актуальна, не имеет
готового решения, и мощный мотив побуждает человека искать
выход из создавшегося положения. Непосредственным толчком
к развертыванию мыслительного процесса служит возникновение,
осознание задачи. Следующий этап обычно связан с задержкой
импульсивно возникающих реакций. Такая задержка создает па-
паузу, необходимую для ориентировки в ее условиях, анализа ком-
компонентов, выделения наиболее существенных и соотнесения их
друг с другом. Ключевой этап мышления связан с выбором одного
из вариантов и формирования общей схемы решения.
Мышление включает произвольные и непроизвольные состав-
составляющие. В качестве непроизвольных могут выступать ассоциации,
приводящие к образованию неуправляемых связей, которые с од-
одной стороны определяют некоторую стереотипность, с другой —

148 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
могут способствовать появлению оригинальных и плодотворных
в свете решаемой задачи идей и гипотез. Мышление характерно
единством осознанного и неосознанного. Следует отметить, что
большую роль в мыслительной деятельности играют эмоции, обес-
обеспечивающие управление поиском решения задачи.
Различают следующие виды мышления: наглядно-образное,
словесно-образное, словесно-логическое, и др. Считается уста-
установленным, что мышление словесно-логическое является наи-
наиболее поздним продуктом развития мышления индивида и что
переход от наглядного к абстрактному мышлению составляет одну
из линий этого развития. Кроме того, психологи выделяют сле-
следующие в определенном плане противоположные пары типов
мышления — теоретическое и практическое (эмпирическое), ло-
логическое (аналитическое) и интуитивное, реалистическое и аутис-
тическое, связанной с уходом от действительности во внутренние
переживания и др.
2. Стратегии принятия решений человеком в многокритериальной
среде. Во многих ситуациях, связанных с выбором, результат выбо-
выбора невозможно оценить только в одной шкале, например, в деньгах
или времени. Правда, по этому поводу, как известно, существует
расхожая поговорка «время — деньги», которая подразумевает, по
крайней мере, теоретическую возможность выражения единиц
времени в денежных единицах и, тем самым, принципиальную
сводимость одной шкалы к другой. Но в противовес указанной
имеется и такая поговорка — «не хлебом единым». Последняя, на
взгляд автора, утверждает факт многокритериальное™ той среды,
в которой живет человек, принципиальную несводимость духовно-
духовного к материальному, а значит невозможность выражения в единой
шкале многого из того, что связано с человеком.
Процитированные поговорки можно рассматривать как кон-
концентрированное выражение двух принципиально различных по-
позиций, отражающих в определенном плане противоположные точ-
точки зрения на данный предмет. В соответствии с первой точкой
зрения существует некий единый показатель или критерий, в тер-
терминах которого могут быть измерены все другие качества. Соглас-
Согласно второй — подобного показателя не существует в принципе.
При этом чисто логическим путем, умозрительно ни одна из этих
позиций, по-видимому, не может быть доказана или опровергну-
опровергнута, поэтому они обе имеют право на существование. Но вторая
(«не хлебом единым») более реалистична и жизнеспособна, по-
поскольку знание лишь того отвлеченного факта, что все можно
выразить в единой шкале, в практике принятия решений мало что

6.1. КАК ПРИНИМАЕТ РЕШЕНИЕ ЧЕЛОВЕК? 149
дает — ведь нужно уметь реализовать эту точку зрения. Другими
словами, необходимо научиться выполнять указанное сведение
к единой шкале (на языке многокритериальной оптимизации это
означает — уметь производить скаляризацию многокритериальной
задачи), а его выполнение есть не что иное, как определенный
этап решения исходной по существу многокритериальной задачи.
Многокритериальные задачи принятия решений представля-
представляют собой исключительно сложный класс задач интеллектуальной
деятельности человека. Наличие нескольких критериев усиливает
нагрузку на ограниченную естественными пределами оператив-
оперативную память человека, делает задачу, стоящую перед человеком,
более неопределенной, требует высокой концентрации внимания
и нередко — нестандартного мышления.
К настоящему времени еще нет полной картины того, каким
образом и при помощи каких механизмов человек осуществляет
выбор в многокритериальной среде. Существуют лишь опреде-
определенные подходы и варианты предложений решения этих слож-
сложных вопросов. При этом они нередко в чем-то противоречат друг
другу и в совокупности явно не исчерпывают все возможные спо-
способы выбора. Считается, что одной из наиболее типичных черт
поведения индивида в ходе решения задачи выбора является рас-
расчленение (декомпозиция) исходной проблемы на множество более
простых промежуточных задач.
Когда имеются всего два возможных варианта (решения),
стратегии поведения человека в условиях многокритериальной
среды в этом простейшем случае, можно разделить на два класса:
- стратегия компенсации,
— стратегия исключения.
Стратегия компенсации соответствует такой линии поведе-
поведения человека, при которой низкие показатели по одному крите-
критерию (или сразу по нескольким критериям) искупаются (компен-
(компенсируются) высоким показателем по другому критерию (или од-
одновременно по некоторым другим критериям). Типичный пример
выбора при использовании стратегии компенсации — покупка
автомобиля, когда невысокая экономичность (т. е. большой рас-
расход горючего) может окупаться стильным видом или престижной
маркой автомобиля. Другой пример подобного рода — приобре-
приобретение дома с не совсем удачной планировкой комнат и несколь-
несколько завышенной ценой, но в замечательном районе парковой зоны,
расположенном не слишком далеко от места работы.
Стратегия исключения (или некомпенсирующая стратегия) со-
состоит в удалении (исключении) из списка имеющихся возможных

150 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
вариантов тех, которые заведомо не удовлетворяют по какому-то
одному или же сразу по нескольким критериям одновременно.
Например, при покупке автомобиля или дома покупатель, пользу-
пользуясь некомпенсирующей стратегией, сразу исключает такие вари-
варианты, которые выходят за пределы его финансовых возможностей.
Еще один характерный пример некомпенсирующей стратегии,
связанный с покупкой автомобиля, — это такая ситуация, когда
внимание покупателя сосредотачивается только на моделях с ав-
автоматической коробкой передач, а все машины с ручной переда-
передачей сразу исключаются из дальнейшего рассмотрения.
Результаты экспериментальных исследований показывают, что
при решении многокритериальных задач с более чем двумя воз-
возможными решениями, человек обычно не придерживается лишь
одной линии поведения. Он, как правило, определенным обра-
образом комбинирует указанные стратегии. Такого рода фактический
материал позволил некоторым авторам выдвинуть теории чело-
человеческого поведения в процессе принятия решений [9]. Напри-
Например, в соответствии с теорией поиска доминантной структуры
человек при выборе лучшего варианта из нескольких сначала
как бы окидывает взглядом все имеющиеся возможные решения
и старается найти лучшее, основываясь лишь на первом впечат-
впечатлении. После этого он попарно сравнивает выделенное решение
со всеми остальными. Если в результате такого сравнения выб-
выбранное решение оказалось предпочтительнее остальных, то про-
процесс выбора закончен. В противном случае то решение, которое
при сравнении оказалось лучше выбранного первоначально, ста-
становится претендентом на наилучшее решение и именно оно далее
сравнивается со всеми остальными возможными решениям, и т. д.
С точки зрения наличия или отсутствия гарантии получен-
полученного результата механизмы принятия решений можно разделить
на два класса — точные (или аналитические, логические) и эврис-
эвристические (или приближенные, интуитивные) механизмы. Меха-
Механизмы первого класса характеризуются четким описанием того
типа или класса задач принятия решений, в которых их приме-
применение гарантированно приводит к положительным результатам
(или, по крайней мере, дает возможность избежать принятия за-
заведомо неприемлемых решений). Что касается эвристических ме-
механизмов, то они в задачах разного типа могут давать различные
с точки зрения удовлетворительности результаты. При этом точное
разделение всех возможных задач на две группы, в одной из ко-
которых данный эвристический механизм работает хорошо, а в дру-
другой — его применять не стоит, осуществить не удается.

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 151
Нередко к точным механизмам и методам принятия реше-
решений причисляют все те, которые предполагают использование
математического аппарата. С этим нельзя согласиться, поскольку
применение языка математики для записи некоторого высказы-
высказывания еще не означает точности самого высказывания! Более того,
у людей, не разбирающихся в математических тонкостях, при
знакомстве с такими методами или механизмами может возникнуть
иллюзия их высокой точности и надежности.
Психологи продолжают заниматься изучением поведения
человека при выборе различного рода решений (см. [23]). К на-
настоящему времени сформулирован и изучен целый ряд психоло-
психологических эффектов, которые человек должен учитывать для осу-
осуществления действительно наилучшего выбора. На основе этого
материала специалистами предложены (см. [23]) определенные
рекомендации, например:
— не позволяйте детализированным сценариям вводить вас
в заблуждение,
— по возможности обращайте внимание на так называемую
базовую частоту (т. е. на относительную частоту, с которой про-
происходит то или иное событие),
— помните, что шанс не саморегулируется (т. е. после длинной
череды неудач совсем необязательно наступит ряд удачных со-
событий, или наоборот),
— не забывайте о регрессе к среднему (когда после сильных
отклонений в ту или иную сторону обычно следуют более обычные,
средние события).
6.2. Метод последовательного сужения множества Парето
1. Формирование математической модели. В упрощенной форме
процесс принятия решений можно представить в виде схемы,
изображенной на рис. 6.1.
Исследователи
Эксперты
Лицо, принимающее рею
(XJ, УХ)
Решение
(SelX)
цение
Рис. 6.1.

152 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Собственно выбор решения (решений) осуществляет лицо,
принимающее решение (ЛПР). Оно же несет всю ответственность за
принятое решение. Результат решения задачи многокритериаль-
многокритериального выбора именуют множеством выбираемых решений и обозна-
обозначают SelX Нередко в реальных задачах это множество содержит
лишь одно решение. Однако можно указать немало ситуаций, когда
оно должно включать несколько (а иногда и бесконечное число)
элементов. Например, при выборе кандидатов на вакантные ме-
места, число выбранных претендентов должно в точности совпадать
с числом вакантных мест, которых может быть несколько.
Основными компонентами задачи многокритериального вы-
выбора являются; множество возможных решений X, векторный кри-
критерий f = (/1? /2, ...,/w) и отношение предпочтения >х-> которым
ЛПР руководствуется в процессе выбора.
Для того чтобы решить конкретную задачу выбора, прежде
всего, необходимо сформировать математическую модель этой
задачи. Другими словами, следует образовать множество возмож-
возможных решений, векторный критерий и отношение предпочтения,
которые наиболее полно и точно отражали бы имеющуюся в на-
наличии реальную ситуацию. Чем более адекватной реальной зада-
задаче будет построена математическая модель, тем больше будет
шансов получить действительно наилучшее решение.
В построении математической модели вместе с ЛПР активно
участвуют как исследователи (специалисты в области принятия ре-
решений), так и эксперты (специалисты в той области, которой
принадлежит решаемая задача). Как правило, именно благодаря
совместным напряженным усилиям указанных лиц удается пост-
построить приемлемую математическую модель, которая, с одной сто-
стороны, адекватно отражает конкретную ситуацию и с другой —
допускает наилучшее решение за обозримое время. Этот первый
этап, на котором происходит формирование математической мо-
модели (этап формализации), невозможно запрограммировать зара-
заранее. Здесь многое зависит от опыта и интуиции всех участвующих
сторон (не зря существует такое словосочетание как искусство фор-
формализации, отражающее исключительную сложность этого этапа).
Множество возможных решений может состоять из конечного
числа элементов, но оно может оказаться и бесконечным. Конеч-
Конечное множество обычно задается перечислением всех его элементов.
Что касается бесконечного множества возможных решений, то его
можно задавать различными способами (например, в виде множе-
множества решений некоторой системы уравнений или неравенств). Даль-

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 153
нейшее решение задачи выбора в сильной степени зависит от спо-
способа задания множества возможных решений. Некоторые из спо-
способов задания могут оказаться не слишком удобными для после-
последующего оперирования с множествами. В этом вопросе свое сло-
слово должен сказать специалист по принятию решений.
Перейдем к критериям. Все участвующие в задаче функции
1ъ!ъ ~">fm-> во-первых, должны быть числовыми и, во-вторых, ЛПР
должно быть заинтересовано в максимизации каждой из них (см.
аксиому 3 в разд. 1.4). Когда значения одного или сразу несколь-
нескольких критериев измеряются не в количественной, а лишь в качес-
качественной шкале, опыт показывает, что в таких случаях все-таки
удается тем или иным способом перейти к числовым значениям,
вводя, например, балльную шкалу. Так, например, всем хорошо
известна четырех балльная шкала B, 3, 4, 5) для оценки знаний
учащихся в России. Подобного рода шкалы существуют для оцен-
оценки выступления спортсменов — гимнастов и фигуристов. Нема-
Немало примеров введения и дальнейшего использования количе-
количественных шкал для измерения качественных характеристик мож-
можно встретить в психологии. С вопросами введения специальной
девяти балльной шкалы и ее обоснованием можно ознакомить-
ознакомиться в работах Т. Саати [29, 42].
Если какой-то из критериев для ЛПР желательно не макси-
максимизировать, а минимизировать, то его в математическую модель
следует включить со знаком минус; такой распространенный
прием сводит операцию минимизации к операции максимиза-
максимизации. Следует заметить, что критерии, как функции, также мож-
можно задавать различными способами. В некоторых случаях важно
иметь критерии, которые обладали бы определенными полезны-
полезными с математической точки зрения свойствами (например, непре-
непрерывностью, дифференцируемостью, вогнутостью или выпуклос-
выпуклостью). Здесь вновь требуется консультация со специалистом по
принятию решений.
Третья компонента задачи многокритериального выбора —
отношение предпочтения — наиболее трудно формализуемая. Как
правило, полностью построить отношение предпочтения, кото-
которым ЛПР пользуется в процессе выбора, невозможно. Об этом
отношении удается получить лишь некоторые фрагментарные
сведения. Среди этих сведений обязательно должна быть инфор-
информация о том, что оно принадлежит определенному классу, кото-
который ограничен специальными требованиями. Напомним, что пред-
предлагаемый в данной книге подход к решению задач многокритери-
многокритериального выбора предполагает, что используемое ЛПР отношение

154 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
предпочтения должно удовлетворять четырем аксиомам 1—4 (см.
главы 1—2), которые описывают в определенном смысле после-
последовательное (рациональное) поведение субъекта в процессе при-
принятия решений.
Согласно аксиоме 1, если какое-то решение не выбирается
из пары, то оно не может быть выбрано и из всего множества
возможных решений. Это требование выглядит вполне разум-
разумным и не слишком обременительным, однако, в некоторых прак-
практически значимых случаях оно не может быть выполнено. Под-
Подтверждение тому — следующий простой пример. Предположим,
что на два вакантных места претендуют три кандидата, причем
при попарном сравнении оказалось, что первый кандидат лучше
второго и третьего, а второй лучше третьего. Поскольку необхо-
необходимо заполнить оба вакантных места, то ЛПР вынуждено будет
остановить свой выбор на первом и втором кандидатах. Тем са-
самым, второй кандидат войдет в множество выбираемых реше-
решений, не смотря на то, что для него существует лучшее решение —
первый кандидат.
Следующая аксиома 2 устанавливает принципиальную воз-
возможность сравнения лицом, принимающим решение, любых век-
векторов критериального пространства: для произвольных двух век-
векторов у\у" е Rm может реализоваться одна (и только одна) из
следующих трех возможностей:
— у' предпочтительнее у"\ при этом пишут у' > у" (в этом
случае из двух данных векторов ЛПР выбирает первый и не вы-
выбирает второй),
— у" предпочтительнее у'; в таком случае пишут у" > у' (ЛПР
из двух данных выбирает второй вектор),
— не выполняется ни соотношение у' > у", ни соотношение
у" > у' (т. е. из данных двух векторов ЛПР не в состоянии отдать
предпочтение ни одному из этих векторов).
При этом согласно аксиоме 2 результаты попарного сравне-
сравнения должны подчиняться так называемому свойству транзитив-
транзитивности, согласно которому для любой тройки векторов у, у\ у",
удовлетворяющих соотношениям у > у' и у' > у", всегда имеет
место соотношение у > у". Это свойство выражает «последователь-
«последовательность» (логичность или рациональность) поведения ЛПР в процес-
процессе выбора. Несмотря на естественность этого требования, как
утверждают психологи, человек в своем поведении не всегда сле-
следует свойству транзитивности и при сравнении трех решений,
когда первое решение лучше второго, а второе — лучше третьего,
из первого и третьего вполне может выбрать третье.

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 155
Смысл следующей аксиомы 3 заключается в том, что ЛПР за-
заинтересовано в максимизации значений каждого из критериев^,
/ = 1, 2,..., т, при условии сохранения значений всех остальных
критериев. Здесь, видимо, нет особой нужды подробно объяснять,
что и это требование в каких-то ситуациях может не выполняться
(если, например, ЛПР заинтересовано в удержании значения ка-
какого-то критерия в определенных промежуточных пределах).
Последняя аксиома 4 состоит в инвариантности (сохранении)
для любых двух векторов у', у" критериального пространства Rm
соотношения у' > у" при одновременном увеличении (или умень-
уменьшении) всех компонент данных двух векторов в одно и то же чис-
число раз (свойство однородности), а также при добавлении к этим
векторам одного и того же произвольного вектора критериально-
критериального пространства (свойство аддитивности). Например, пусть спра-
справедливо соотношение у1' = {у{, Уъ —>Ут)^{Уь Уъ •••> Ут) = У"'•
Тогда в соответствии с аксиомой 4 для произвольного положи-
положительного числа а должно выполняться соотношение ау' =
= (ау{, ау{,..., ау'т) у (ay[f, ay%, ...,ay%l)= ау\ a для любого век-
вектора с = (съ съ ..., ст) — соотношение yf + с = (у( + сь у'2 +с2,...,
у'т+ст)> (у/Чq, y![ + съ ..., уЦг+ст) = у" + с. В тех случаях, ког-
когда отношение предпочтения, которым ЛПР руководствуется в про-
процессе выбора, не удовлетворяет хотя бы одной из упомянутых
четырех аксиом, применение излагаемого ниже подхода не га-
гарантирует получение наилучшего результата.
Если же проверить выполнение всех указанных аксиом в ка-
какой-то конкретной ситуации не удается, то остается лишь наде-
надеяться, что применение данного подхода не приведет к заведомо
неудовлетворительному решению.
2. Выявление информации об относительной важности крите-
критериев. Основная идея предлагаемого подхода состоит в использо-
использовании информации об относительной важности критериев для
исключения неприемлемых парето-оптимальных решений. Су-
Существуют по меньшей мере два способа получения такого рода
информации:
— на основе анализа решений, ранее принимавшихся дан-
данным ЛПР,
— в результате прямого пороса ЛПР.
Для того чтобы воспользоваться первым способом, нужно рас-
располагать сведениями о поведении данного ЛПР в прошлом при
решении аналогичных задач выбора с имеющимся набором кри-
критериев /ь^, ...,fm. Если же до этого момента ЛПР не сталкивалось

156 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
с необходимостью решения таких задач, то остается только вто-
второй способ — непосредственный опрос ЛПР.
Перед осуществлением опроса следует ознакомить ЛПР с оп-
определением 2.1, в котором идет речь о самой простой ситуации,
когда /-й критерий (т. е. ft) важнее у-го критерия (т. е. fj) с поло-
положительными параметрами w* и w*. В основе этого определения
лежит идея компенсации, упоминавшаяся в предыдущем пункте,
а его смысл заключается в том, что всякий раз ради увеличения
значения более важного /-го критерия на w* единиц ЛПР готово
пожертвовать w* единицами по менее важному у-му критерию
(иначе говоря, потеря в w* единиц по у-му критерию всегда мо-
может быть компенсирована увеличением на w* единиц значения
/-го критерия) при условии сохранения значений по всем осталь-
остальным критериям. При этом положительное число
rf^ @<ev<i), F.1)
выражающее долю потери относительно суммы потери и при-
прибавки, носит названия коэффициента относительной важности
/-го критерия по сравнению с у-м критерием.
Значение этого коэффициента, близкое к единице, свиде-
свидетельствует о большой степени важности /-го критерия по сравне-
сравнению с у-м, поскольку за относительно небольшую добавку по бо-
более важному критерию ЛПР готово платить довольно существен-
существенной потерей по менее важному критерию. В случае, когда данный
коэффициент близок к нулю, указанная степень относительной
важности мала, так как здесь ЛПР согласно пойти на потери
по менее важному критерию лишь при условии относительно
большой прибавки по более важному критерию.
Следует, однако, заметить, что сказанное не носит абсолют-
абсолютного характера, так как величина коэффициента относительной
важности в сильной степени зависит от единиц, в которых изме-
измеряются значения сравниваемых по важности критериев (см.
разд. 2.4). Вполне возможна ситуация, когда два абсолютно оди-
одинаковых (с точки зрения принятия решений) ЛПР при решении
одной и той же задачи пользуются разными коэффициентами
относительной важности по той простой причине, что они при-
применяют различные единицы при измерении значений сравнива-
сравниваемых по важности критериев.

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 157
Сказанное выше свидетельствует о том, что конкретная ве-
величина коэффициента относительной важности зависит от еди-
единиц, в которых измеряются значения критериев. При переходе
к другим единицам (в пределах той же самой шкалы!) — коэффи-
коэффициенты относительной важности, как правило, меняются. На-
Например, если речь идет о прибыли, и она выражается в денежных
единицах, то коэффициенты относительной важности, соответ-
соответствующие двум идентичным ЛПР, но пользующихся при расчете
различной валютой (рублями и долларами), будут различными.
Если в результате опроса ЛПР выясняется, что оно готово
за некоторую добавку по /-у критерию пожертвовать определен-
определенным количеством по у-у критерию, то такое положение на осно-
основании определения 2.4 свидетельствует о большей важности /-го
критерия по сравнению с у-м. Остается определить степень этой
важности, т. е. найти конкретное значение коэффициента отно-
относительной важности. При определении этого коэффициента сле-
следует иметь в виду, что чем больше он окажется, тем более содер-
содержательной будет информация об относительной важности кри-
критериев и, тем самым, на большую степень сужения множества
Парето (области компромиссов) можно рассчитывать. Поэтому
у ЛПР необходимо стремиться выяснить, каким максимальным
возможным количеством w* по у-му критерию оно готово пожер-
пожертвовать ради получения некоторой фиксированной прибавки (на-
(например, в одну единицу: w* = 1). На основе полученных чисел
w* и w* по формуле F.1) вычисляется коэффициент относитель-
относительной важности 9/у. Этот коэффициент будет далее использоваться
для пересчета менее важного критерия.
3. Метод последовательного сужения множества Парето. Опи-
Опишем общую схему метода последовательно сужения множества
Парето на основе количественной информации об относитель-
относительной важности критериев. В его основу положена стратегия ис-
исключения, которая упоминалась в разд. 6.1.
Первый этап этого метода состоит в выявлении информа-
информации об относительной важности критериев. Наиболее распрос-
распространенный путь выявления этой информации — прямой опрос
ЛПР. В результате выявления должен быть получен коэффици-
коэффициент относительной важности критериев 9/у.
Второй этап осуществляется без привлечения ЛПР. В соот-
соответствии с теоремой 2.5 необходимо менее важный у-й критерий
в общем списке критериев fyf2, ...,fm заменить новым, вычис-
вычисленным по простой формуле 9/у/ + A — в/у)^. Затем следует най-
найти множество Парето относительно нового векторного критерия.

158
ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
На этом этапе могут возникнуть определенные вычислительные
трудности, если множество возможных решений не является ко-
конечным. Если же число возможных решений конечно, то для
нахождения множества Парето можно использовать алгоритм,
о котором упоминается в п. 6 разд. 1.4.
Построенное с использованием нового векторного критерия
множество Парето представляет собой оценку сверху для искомо-
искомого множества выбираемых решений. Проще говоря, это означает,
что дальнейший выбор следует производить в пределах найденно-
найденного множества Парето. Поэтому после его отыскания на третьем
этапе оно предъявляется для анализа ЛПР. В случае если ЛПР
сочтет его приемлемым (по размерам) для окончательного выбора,
то процесс принятия решений закан-
заканчивается. В противном случае (т. е.
когда указанное множество «слишком
широкое») необходимо попытаться
получить дополнительную информацию
об относительной важности критериев
и затем аналогичным образом исполь-
использовать ее для дальнейшего сужения об-
области поиска множества выбираемых
решений. В этом случае при форми-
формировании нового векторного критерия
придется использовать набор инфор-
информации об относительной важности
критериев, состоящий из двух сооб-
сообщений и прежде чем сделать это, не-
необходимо убедиться в непротиворечи-
непротиворечивости данного набора из двух сооб-
сообщений (по этому поводу см. разд. 4.2).
Заметим, что в общем случае такая
проверка сводится к решению опре-
определенной задачи линейного програм-
программирования.
В результате последовательного
выполнения указанных действий об-
образуется циклический процесс, схема
которого изображена на рис. 6.2. Цик-
Циклы в нем повторяются до тех пор, пока не будет получен результат,
приемлемый для ЛПР. Этим результатом является очередное
множество Парето, размеры которого, по мнению ЛПР, соответ-
соответствуют размерам множества выбираемых решений Sel X
Выявление
информации
о важности
и проверка ее
непротиворечивости
г
Формирование
нового векторного
критерия
г
Построение нового
множества Парето
Анализ
результата
г
Решение
Рис. 6.2.

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 159
Теоретическое обоснование описанного метода последова-
последовательного сужения множества Парето на основе количественной
информации об относительной важности критериев приведено
в пятой главе. Доказанная в ней теорема 5.3 утверждает, что во
многих случаях, когда множество возможных векторов состоит
из конечного числа элементов (это условие заведомо выполняется,
если конечным является множество возможных решений), на
основе конечного набора информации об относительной важности
критериев, можно точно построить неизвестное множество недо-
недоминируемых векторов (а значит, и множество недоминируемых
решений). К сожалению, этот результат не является конструк-
конструктивным в том смысле, что в нем не указывается, какой именно
набор информации следует при этом использовать. Неизвестно
также, какое количество сообщений об относительной важности
при этом нужно иметь. Решение этих вопросов в сильной степени
зависит от конкретного вида множества возможных решений и уча-
участвующих в задаче выбора критериев. Тем не менее, эта теорема
имеет важное теоретическое значение, поскольку она обосно-
обосновывает описанный метод последовательного сужения множества
Парето. По сути дела она утверждает, что при решении задач
многокритериального выбора следует лишь научиться выявлять
информацию об относительной важности критериев и умело ее
использовать] на основе только такой информации можно полнос-
полностью и точно построить множество недоминируемых решений для
произвольной задачи многокритериального выбора из достаточно
широкого класса, в которой множество возможных решений ко-
конечно. Если же указанное множество не является конечным, то
с помощью одной информации об относительной важности мож-
можно получить сколь угодно точное приближение к искомому мно-
множеству недоминируемых решений (см. теорему 5.2). Аналогич-
Аналогичное утверждение справедливо не только для решений, но и для
векторов.
Иногда за прибавку по какому-то одному очень важному
критерию ЛПР согласно пойти на потери сразу по нескольким
критериям. В других случаях потеря по некоторому менее важ-
важному критерию не может быть компенсирована прибавкой лишь
по одному более важному критерию, а только одновременно по
нескольким критериям. В общем случае могут существовать две
группы критериев, номера которых принадлежат непересекающим-
непересекающимся множествам А и Д и такие, что за прибавки в размере w* еди-
единиц по всем более важным критериям^ (для которых / е А), ЛПР
согласно потерять w* единиц по всем менее важным критериям fj

160 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
(для которых у g В). В соответствии с определением 3.3 это оз-
означает, что группа критериев А важнее группы критериев В с дву-
двумя наборами положительных параметров w* и w* для всех / е А
и всех у g В. При этом степень важности одной группы по срав-
сравнению с другой оценивается набором коэффициентов относи-
относительной важности Qtj для всех указанных / и у, определяемых той
же формулой F.1), что и в случае двух критериев.
При выявлении информации об относительной важности для
двух групп критериев следует учитывать следующее обстоятельство.
В теореме 3.1 утверждается, что из большей важности группы
критериев А по сравнению с группой В вытекает большая важ-
важность более широкой, чем А, группы по сравнению с более узкой
группой, чем В. Грубо говоря, более важную группу всегда можно
расширить, а менее важную — сузить. В силу сказанного, при
выявлении информации об относительной важности одной группы
по сравнению с другой всегда следует стремиться к тому, чтобы
более важная группа была как можно уже, а менее важная — как
можно шире. Тогда информация об относительной важности
одной группы критериев по сравнению с другой будет наиболее
содержательной, и последующее использование этой информа-
информации может привести к существенному сужению области компро-
компромиссов. В этом смысле самым лучшим является вариант, когда
какой-то один критерий оказывается важнее группы всех осталь-
остальных критериев.
Пересчет векторного критерия на основе информации об
относительной важности для двух групп критериев производится
с помощью теоремы 3.6. Согласно этой теореме из исходного
набора критериев fi,f2, ...,fm прежде всего удаляются все менее
важные критерии, т. е. те, номера которых принадлежат множе-
множеству В. Затем к оставшимся необходимо добавить новые крите-
критерии вида Qjjfj + A — Qij)fj, число которых совпадает с числом
коэффициентов относительной важности (оно равно произведению
чисел элементов множества А и множества В).
Нетрудно понять, что общее число новых критериев при этом
может оказаться значительно больше числа первоначального на-
набора критериев. Например, если множество А состоит из двух
элементов, а В — из трех, то число коэффициентов относительной
важности равно 6. Три менее важных критерия должны быть уда-
удалены, но при этом шесть новых следует добавить. В итоге общее
число критериев увеличится на 3.
В случае, когда множество более важных критериев состоит
в точности из одного элемента, увеличения количества критериев

6.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СУЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО 161
при учете информации об относительной важности не произойдет
(см. следствие 3.1), т. е. число новых критериев будет равно числу
старых критериев.
4. Использование набора информации об относительной важности
критериев. Описанный выше метод последовательного сужения
на основе информации об относительной важности критериев
предполагает одновременный учет сразу нескольких сообщений
об относительной важности. В тех случаях, когда приходится учи-
учитывать сравнительно простой набор информации, используют
процедуру пересчета менее важных критериев и формирование
нового критерия с помощью заранее выведенных формул. К по-
подобным «простым» случаям относятся следующие:
— когда имеются два критерия, причем каждый из них ока-
оказывается важнее другого (как указано в п. 2 разд. 4.1 для учета
этой информации следует дважды воспользоваться результатом
теоремы 2.5),
— когда один критерий важнее каждого из двух других в от-
отдельности (в соответствии с теоремой 4.2 в этом случае новый
критерий, размерность которого будет на единицу больше исход-
исходного, следует формировать по формуле D.2)),
— когда два критерия по отдельности важнее третьего (тогда
для формирования нового векторного критерия следует исполь-
использовать формулу D.7)),
— когда один критерий важнее второго, а он, в свою очередь,
важнее третьего (здесь можно дважды применить теорему 2.5 —
сначала пересчитывается третий критерий, а затем второй; см.
п. 1 разд. 4.1),
— когда имеются два произвольных взаимно независимых
сообщения (в этом случае дважды применяется теорема 3.6).
К тому же классу «простых» ситуаций относятся следующие:
— когда имеется более двух сообщений, состоящих в том,
что каждый из определенного набора критериев важнее одного
и того же критерия, не входящего в указанный набор (здесь реко-
рекомендуется применить теорему 4.10 с формулами пересчета D.21)),
— когда имеется произвольное конечное число попарно вза-
взаимно независимых сообщений об относительной важности кри-
критериев (в таком случае применяется теорема 4.11).
Напомним (см. п. 1 разд. 4.1), что два сообщения об относи-
относительной важности критериев, состоящие в том, что группа крите-
критериев А{ важнее группы В{ и группа критериев А2 важнее группы Въ
являются взаимно независимыми, если ни одна пара из указанных
четырех множеств номеров не имеет ни одного общего элемента.

162 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Вышеперечисленными ограничиваются все возможные вари-
варианты, для которых в главах 2 и 3 были выведены простые формулы
пересчета векторного критерия.
Если при реализации метода последовательного сужения
множества Парето необходимо учесть набор информации, который
не относится ни к одному из перечисленных выше «простых»
случаев, то можно воспользоваться так называемым алгоритми-
алгоритмическим подходом, изложенным в разд. 4.4. Его реализация в случае
бесконечного множества возможных векторов Y может натолк-
натолкнуться на определенные вычислительные трудности, тогда как
для конечного Y проблем подобного рода не возникает. В п. 4
указанного раздела описана соответствующая вычислительная про-
процедура, которая при желании может быть легко запрограммирована
и использована в той или иной компьютерной среде.
6.3. Комбинированные методы
1. Модифицированный метод целевого программирования. В ос-
основе круга методов, получивших название целевого программиро-
программирования лежит довольно простое эвристическое соображение — ста-
стараться в качестве наилучшего выбрать такой возможный вектор,
который в критериальном пространстве расположен ближе всех
остальных допустимых векторов к некоторому идеальному или
же к целому множеству идеальных векторов. При этом в качестве
идеального нередко берется вектор, составленный из максималь-
максимальных значений компонент векторного критерия, а варьирование
метрики для измерения расстояния в критериальном пространстве
приводит к целому семейству однотипных методов, которые, од-
однако, могут приводить к различным конечным результатам. Для
обоснованного выбора той или иной метрики никаких четких
рекомендаций не выработано; здесь чаще всего исходят из сооб-
соображений простоты, а именно, — применяют такую метрику, что-
чтобы получающаяся в итоге экстремальная задача приближения была
наиболее простой в вычислительном отношении.
Принято считать, что родоначальниками целевого програм-
программирования являются А. Чарнс и В. Купер, которые в 1953 году [36]
использовали указанное выше эвристическое соображение для
решения многокритериальной задачи линейного программирова-
программирования. В 1961 году свой метод они изложили в книге [37]. Позже на
эту тему были написаны десятки (если не сотни) статей и выпу-
выпущено несколько книг. Несмотря на отсутствие логического фун-
фундамента (его заменяет указанное эвристическое соображение)

6.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 163
методы целевого программирования широко используются при
решении различных прикладных задач, в которых присутствует
несколько критериев.
Опишем в общем виде метод целевого программирования.
Пусть имеется набор критериев /ь^, ...,/„, каждый из которых
желательно максимизировать на множестве возможных решений
X. В соответствии с методологией целевого программирования
будем считать, что в критериальном пространстве Rm задано непу-
непустое множество С/, которое обычно называют множеством иде-
идеальных (наилучших или утопических) векторов. При этом обычно
считается, что это множество не достижимо, т. е. имеет место
равенство U П Y = 0, где Y означает множество возможных век-
векторов. Кроме того, на критериальном пространстве должна быть
задана метрика, т. е. такая числовая функция р = р (у, г), которая
каждой паре векторов у, z критериального пространства Rm со-
сопоставляет неотрицательное число, называемое расстоянием между
векторами у и z. Метрика для всех векторов w, у, z должна удов-
удовлетворять следующим аксиомам:
- р (у, z) ^ 0; р (у, z) = 0 & у = z,
- p(y,z) = p(z,y),
- p(w,z) й p(w,y) + p(y9z).
Оптимальным (наилучшим или наиболее удовлетворитель-
удовлетворительным) объявляется такое решение х* е X, для которого выполне-
выполнено равенство
inf>(/(**), у) = mininf р(/(х), у)
yell \ / хеХ yell v '
означающее, что оценка /(х*), соответствующая наилучшему ре-
решению х*, должна быть расположена как можно ближе к множе-
множеству идеальных оценок.
Множество идеальных оценок U может состоять и из одного
элемента. Нередко таким единственным элементом является век-
вектор, составленный из максимальных значений критериев:
U = {u}9 u = \maxfl{x)9...,maxfm{x)
\ хеХ хеХ
Один из наиболее простых способов образования идеального
множества восходит к Чарнсу и Куперу и состоит в задании его
при помощи линейных неравенств и уравнений:
Уг = ft(x) ^ а/ для всех / е 1Ъ

164 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
У\ = ft(x) = Р/ для всех / е 12,
где множества /х и /2 образуют разбиение множества номеров
критериев /, а числа at и рг определяют некоторые «пороговые»
(предельно низкие) значения критериев.
Необходимо сказать, что в общем случае формирование це-
целевого множества многокритериальной задачи, если оно есте-
естественным образом не диктуется условиями конкретной задачи,
может составить непростую задачу.
Кроме того, есть еще одна проблема целевого программиро-
программирования — выбор метрики. Чаще всего при решении прикладных
задач используют какую-либо метрику из следующего парамет-
параметрического семейства
Ра
где s ^ 1 и
as e \as = (а[,..., asm) ^а- = 1, а- > 0 для всех / = 1, 2,..., т .
Здесь может быть и s = +oo; в этом случае получаем так называ-
называемую чебышевскую {равномерную) метрику
у, г) =
,
Чарнс и Купер использовали указанную метрику в частном
случае s = 1; а в работе [30] эта метрика применяется при s = 2.
Варьируя вектор параметров as, стремятся учесть «неравно-
«неравноценность» критериев, придавая большее значение той компоненте
вектора параметров, которая соответствует критерию большей
ценности. Разумеется, никаких строгих определений и рассужде-
рассуждений на этот счет не приводится, поэтому все сказанное можно
смело относить к типичным эвристическим приемам.
Необходимо отметить, что использование метрики указанно-
указанного выше параметрического семейства не всегда приводит к паре-
то-оптимальным векторам. На этот счет в литературе имеется
достаточное количество примеров. Поэтому в рамках целевого
программирования значительное место уделяется нахождению
условий, при которых использование той или иной метрики за-
заведомо приводит к парето-оптимальным решениям.

6.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 165
Например (см. [26]), если и1 ^supj^ для / = 1, 2, ..., т, то
yeY
точка максимума числовой функции
при s е 1, + ос
на множестве возможных векторов Y всегда является парето-оп-
тимальной.
Перейдем к обсуждению возможности комбинирования целе-
целевого программирования с описанным ранее методом последова-
последовательного сужения области компромиссов. Эта комбинация автором
данной монографии использовалась еще в начале 1990-х годов
для решения прикладных экономических задач и была названа
модифицированным целевым программированием. В соответствии
с последним вначале следует выявить всю возможную информа-
информацию об относительной важности критериев. В общем случае это
может быть целый набор сведений. Далее на основе этого набора
необходимо удалить все те возможные векторы, которые не со-
совместимы с имеющейся информацией (т. е. необходимо приме-
применить метод последовательного сужения области компромиссов).
В результате такого удаления будет получено некоторое подмно-
подмножество исходного множества Парето, являющееся определенной
оценкой сверху для искомого множества выбираемых векторов.
Если последнее множество (оценка сверху) оказывается сравни-
сравнительно широким и больше никакой дополнительной информации
об относительной важности критериев для дальнейшего его су-
сужения получить не удается, то в таком случае для завершения
процесса поиска наилучшего решения можно применить метод
целевого программирования. Разумеется, когда исходное мно-
множество возможных решений бесконечно, отыскание указанного
подмножества может составить непростую вычислительную задачу.
Однако для конечного множества возможных решений описан-
описанная процедура легко программируется и может быть реализована
с помощью компьютера.
Модифицированный метод целевого программирования в 1991 году
был применен автором для решения задачи оптимизации годовой
производственной программы энергетического объединения [2].
Множество возможных решений в ней конечно и определялось
параметрами имитационной модели, в рамках которой она ис-
использовалась. В этой задаче было выделено восемь критериев

166 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
— величина издержек,
— величины выбросов первого, второго, третьего и четвертого
ингредиентов,
— величина расхода газа,
— величина расхода кислорода,
— величина расхода мазута.
Все они принимают строго положительные значения, и каж-
каждый из них необходимо минимизировать. В соответствии с этим
начало координат естественно рассматривать как идеальный
недостижимый вектор. Из параметрического семейства метрик
была выбрана квадратичная, причем минимизировался квадрат
расстояния, т. е. функция
/=1
Как видим, все коэффициенты а\ были выбраны равными еди-
единице, так как информация об относительной важности критери-
критериев учитывалась на этапе применения метода последовательного
сужения области компромиссов. Информация об относительной
важности состояла в том, что первый критерий являлся более
важным, чем каждый из всех остальных с одним и тем же коэф-
коэффициентом относительной важности.
Решение задачи состояло из следующих четырех этапов:
- удаление из множества возможных векторов всех тех, ко-
которые не являются парето-оптимальными,
— учет информации об относительной важности критериев
(пересчет менее важных критериев и построение с его помощью
нового множества парето-оптимальных векторов),
- нормализация оставшихся векторов (т. е. деление всех ком-
компонент векторов на максимальные возможные компоненты),
— нахождение наилучшего вектора (того, который следует
выбрать) в результате минимизации функции р (у, 08) на остав-
оставшемся множестве нормализованных векторов.
2. Метод достижимых целей при наличии информации об отно-
относительной важности критериев. Метод достижимых целей (МДЦ)
был разработан группой сотрудников вычислительного центра
РАН [12]. Основой метода является визуализация множества воз-
возможных (достижимых — по терминологии авторов метода) век-
векторов при сравнительно небольшом числе критериев, т. е. на-
наглядное представление его на дисплее компьютера посредством

6.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 167
двумерных сечений. При этом использование метода предназна-
предназначено в основном для сложных в вычислительном отношении слу-
случаев бесконечного числа возможных решений и векторов.
Один из недостатков метода целевого программирования,
изложенного выше, состоит в том, что идеальный вектор (или
идеальное множество) задается «вслепую», без учета реальных
возможностей. Поэтому достижимые значения показателей, даже
наиболее близкие к заданному идеалу, зачастую оказываются да-
далекими от него. Метод достижимых целей направлен на преодо-
преодоление отмеченного недостатка. В соответствии с этим методом
исследователям, экспертам и ЛПР, — всем участвующим в реше-
решении задачи принятия решений, — в наглядной, доступной для
восприятия форме представляется множество возможных (дос-
(достижимых) векторов. Среди них они могут выбрать ту или иную
компромиссную цель. После этого компьютер находит решение,
приводящее к поставленной цели.
Таким образом, применение МДЦ содержит следующие этапы:
— построение множества возможных (достижимых) векторов,
— визуальный анализ полученного множества,
— выбор компромиссного вектора,
— определение решения, соответствующего выбранному век-
вектору.
Остановимся подробнее на втором этапе. Как уже было ска-
сказано, множество возможных векторов визуально представляется
своими двумерными сечениями (авторы метода называют их ди-
диалоговыми картами решений). Для того чтобы задать некоторое
двумерное сечение многомерного множества, необходимо выб-
выбрать те два критерия, значения которых будут демонстрировать-
демонстрироваться на дисплей компьютера (так называемые координатные кри-
критерии). Затем следует зафиксировать некоторый набор значений
остальных (некоординатных) критериев. Фиксируя различные
наборы некоординатных критериев, будем получать соответству-
соответствующие им двумерные сечения. Аналогичную процедуру можно
осуществить для другой пары координатных критериев и т. д. По
построенным таким способом двумерным сечениям в случае не-
небольшого числа критериев (в основном, до пяти) можно полу-
получить наглядное представление обо всем многомерном множестве
возможных оценок для того, чтобы осуществить в нем наилуч-
наилучший выбор.
Рассмотрим подробно случай трех критериев. Здесь имеется
один некоординатный критерий. Задавая набор фиксированных
значений этого критерия (обычно эти значения распределяют

168 ГЛАВА 6. МЕТОДОЛОГИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
равномерно), получим соответствующую совокупность двумерных
сечений, которую данный метод позволяет представить двумя
способами — рядом и наложением друг на друга. Наложение се-
сечений дает возможность легко сравнивать их между собой. Распо-
Расположение этих сечений в ряд оказывается удобным при изучении
структуры множества возможных оценок, когда границы двумер-
двумерных сечений пересекаются.
Если имеется четыре критерия, то к некоординатным сле-
следует отнести два из них. В этом случае получится двумерная
совокупность значений некоординатных критериев (двумерная
сетка, число узлов которой совпадает с произведением числа
выбранных значений каждого из некоординатных критериев).
Как и в случае трех критериев, двумерные сечения при желании
можно наложить друг на друга или представить их в виде двумер-
двумерной матрицы, соответствующей узлам сетки значений некоорди-
некоординатных критериев. Для более подробного знакомства с представ-
представлением многомерных множеств на основе двумерных сечений
рекомендуем обратиться к [12].
Теперь обсудим, каким образом МДЦ можно использовать
при наличии дополнительной информации об относительной
важности критериев в случае, когда множество возможных ре-
решений состоит из бесконечного числа элементов (например, за-
задано в виде множества решений некоторой системы линейных
неравенств). Для иллюстрации сначала рассмотрим самую про-
простую ситуацию, — когда имеется всего три критерия и первый
критерий важнее второго с некоторым коэффициентом относи-
относительной важности. Будем считать, что другой информации нет,
причем получающееся в результате учета этой информации мно-
множество парето-оптимальных векторов бесконечно. Спрашивается,
каким образом произвести дальнейшее сужение области поиска
или же более того — остановить выбор на каком-то одном из
возможных векторов? С этой целью можно по известной форму-
формуле 912/i + A — 912)^ пересчитать менее важный второй крите-
критерий и, тем самым, образовать новый векторный критерий, в ко-
котором первый и третий остались прежними. Именно второй,
измененный критерий следует взять в качестве некоординатного
и задать определенный ряд его значений для получения соответ-
соответствующих двумерных сечений. Сравнивая представленные на дис-
дисплее сечения, можно получить наглядное представление о струк-
структуре множества Парето, соответствующем новому векторному
критерию, и попытаться выбрать из этого множества какой-то
один определенный (компромиссный) вектор [у{, У2-, Уз)- Этот

6.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 169
вектор будет соответствовать значению второго (некоординатно-
(некоординатного) критерия, равному у\. Для того чтобы оценить полученный
результат с точки зрения исходного второго критерия f2, можно
рассмотреть два двумерных сечения, одно их которых отвечает
первому некоординатному вектору, когда его значение фиксиро-
фиксировано и равно у{, а второе — соответствует случаю, когда некоор-
некоординатным является третий вектор и его значение равно у\. Ана-
Анализируя два последних двумерных сечения, в случае необходи-
необходимости можно произвести коррекцию выбранного ранее вектора
Ы, Уъ У\\
Подобным образом можно пытаться использовать МДЦ при
наличии сведений об относительной важности критериев в слу-
случае четырех и пяти критериев. При этом ясно, что некоторые
трудности применения МДЦ могут состоять в том, что после учета
имеющейся информации об относительной важности критериев
и пересчета менее важных критериев образуются новые крите-
критерии, с которыми работа ЛПР может быть затруднена. Эти изме-
измененные критерии уже не имеют прежнего «физического» смысла
и с ними следует обращаться особо. Однако, как показывает при-
приведенное выше рассмотрение для случая трех критериев, с такими
затруднениями иногда можно успешно справиться.

Ф. ЭДЖВОРТ И В. ПАРЕТО
(краткая справка)
Английский экономист Френсис Эджворт, F. Edgeworth,
(8.02.1845-13.02.1926) родился в Ирландии и получил образование
в области античных и современных языков. В возрасте 17 лет он
поступил в Тринити Колледж в Дублине, где изучал французский,
немецкий, испанский и итальянский языки. Математику, скорее
всего, освоил самостоятельно и всегда считал, что современные
методы математики может постичь каждый. Его работы были насы-
насыщены математическими понятиями и формулами, уровень кото-
которых был выше понимания тех, кто занимался в то время этичес-
этическими проблемами. Первая публикация — «Новые и старые мето-
методы этики» относится к 1877 г., а в 1881 г. он опубликовал работу
«Математическая физика: приложения математики в этике». Эта
работа, экономическая по своей сути, изобиловала математичес-
математическими формулами и выглядела как «исчисление экономики». В ней,
например, формулировались такие понятия, как «способность
к счастью» и «способность к работе». В этой же работе были пред-
представлены его оригинальные идеи, основанные на понятии обоб-
обобщенной функции полезности. К 1885 г. относится его работа «Ме-
«Методы статистики», где были представлены приложения и интер-
интерпретация тестов для сравнения средних величин. В 1888 г.
Ф. Эджворт получил место профессора политической экономии
в Королевском Колледже в Лондоне, а в 1891 г. он переехал в Окс-
Оксфорд и работал там до ухода на пенсию в 1922 г. С 1891 по 1926 г.
являлся первым редактором «Экономического журнала».
Ф. Эджворту принадлежат такие понятия как «кривая без-
безразличия», «контрактная кривая» и «ядро экономики». Специа-
Специалистам в области математической экономики хорошо известен
так называемый «ящик Эджворта», с помощью которого можно
моделировать процесс «чистого» обмена товарами между двумя
участниками. По сути дела, этот анализ опирается на понятие
парето-оптимального решения, которое Ф. Эджвортом в случае
двух критериев использовалось до того, как его в общем виде
ввел В. Парето.

Ф. ЭДЖВОРТ И В. ПАРЕТО (КРАТКАЯ СПРАВКА) 171
Итальянский экономист и социолог Вильфредо Парето,
V. Pareto, A5.7.1848-20.8.1923) родился в Париже. В 1855 г. его
семья вместе с ним вернулась в Италию, где он, окончив Турин-
Туринский политехнический институт в 1869 г., получил специальность
гражданского инженера. Первые два года его обучения были по-
посвящены, в основном, математике и физике, а его выпускная
работа называлась «Фундаментальные принципы равновесия твер-
твердых тел». Впоследствии интерес к математике не ослабнет, что
сыграет важную роль в становлении В. Парето как крупнейшего
специалиста в области математической экономики. Кроме того,
он интересовался биологией, экономикой, знакомился с трудами
социальных мыслителей. После окончания института он двадцать
лет проработал в индустриальной сфере — сначала в Римской же-
железнодорожной компании, став ее первым директором, а с 1874 г. —
управляющим директором акционерного общества, которому
принадлежали металлургические заводы во Флоренции.
В начале 90-х годов В. Парето резко изменил свою жизнь, пе-
переехал в Швейцарию и с 1893 г. начал работать в Лозаннском уни-
университете (Швейцария), замещая Л. Вальраса. С 1894 г. — он про-
профессор кафедры политической экономии этого университета.
Первая крупная работа В. Парето — это двухтомный «Курс
политической экономии» A896-1897 гг.), основанный на читае-
читаемых им университетских лекциях.
В своей наиболее влиятельной книге «Руководство по поли-
политической экономии» он продолжил развитие теории чистой эко-
экономики, заложил основы современной экономики благосостоя-
благосостояния и ввел понятие «оптимума Парето», как состояния, которое
не может быть улучшено ни одним из участников экономики без
ухудшения положения по крайней мере какого-то одного из ос-
остальных участников. В настоящее время оптимум Парето играет
важную роль в экономических исследованиях, принятии реше-
решений и теории игр.
С середины 90-х годов В. Парето стала привлекать социоло-
социология. После длительных исследований в этой области он выпустил
в свет в 1916 г. четырехтомный «Трактат по общей социологии».
Умер он в 1923 г. близ Женевы.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивность отношения предпочте-
предпочтения 51, 155
Аксиома Парето 35
Алгоритм построения множества не-
доминируемых решений (оценок) 30,
129
Парето 39
- учета информации об относитель-
относительной важности критериев 124
Группа критериев 77
несравнимо более важная, чем
другая группа 80
Задача математического программи-
программирования 19
- многокритериальная 19
- многокритериального выбора 9, 21,
43, 152
- трехкритериальная 91
Инвариантность отношения предпоч-
предпочтения 52
- множества Парето 72
Информация об относительной важ-
важности критериев 12, 155
взаимно независимая 94, 161
существенная 117
Конус выпуклый 52
- двойственный 84, 123
- конечнопорожденный 53
- многогранный (полиэдральный) 53
- острый 52
- порожденный векторами 53
- целей 92
Критериальное пространство 18
Критерий векторный 18, 152
- качества 18
- линейный 66, 92, 103, 109
- несравнимо более важный, чем дру-
другой критерий 49
- непротиворечивости набора векто-
векторов 113
алгебраический 114
алгоритмический 116
геометрический 113
- не являющийся ни в коей мере более
важным, чем другой критерий 49
- оптимальности 18
- эффективности 18
Коэффициент относительной важности
для двух критериев 12, 46, 156
групп критериев 12, 78, 80, 156
Лицо, принимающее решение 9, 17, 152
Множество возможных оценок (векто-
(векторов) 18
решений 16, 152
- выбираемых оценок (векторов) 18, 19
- выбираемых решений 16, 152
- выпуклое 52
- не доминируемых решений 28
- недоминируемых оценок (векторов) 30,
125, 129
- Парето 10, 36
- парето-оптимальных оценок (векто-
(векторов) 37
- парето-оптимальных решений 36
Набор информации об относительной
важности критериев 94, 119
Непротиворечивый набор векторов 112
Область компромиссов 10
Однородность отношения 51, 155
Ортант неотрицательный 54
Относительная важность для двух кри-
критериев 46
групп критериев 77
Отношение бинарное 22
асимметричное 23
антисимметричное 23
иррефлексивное 23
полное 24
рефлексивное 23
симметричное 23
транзитивное 23
частичное 24

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
173
- инвариантное относительно лине-
линейного положительного преобразова-
преобразования 23, 51, 52, 104
- конусное 55
- линейного порядка (линейный по-
порядок) 24
- мажорантное 125
- порядка (порядок) 24
лексикографическое 25, 49—50
- предпочтения 20, 152
- строгого порядка (строгий поря-
порядок) 24, 26
предпочтения 20
Оценка векторная 18
- выбираемая 19
- недоминируемая 30
- парето-оптимальная 37
- сверху 67, 125
Принцип Эджворта-Парето (прин-
(принцип Парето) 37
Произведение декартово 22
Расстояние между конусами 136
Решение выбранное 16
- недоминируемое 28
- парето-оптимальное 36
Согласованность отношения предпочте-
предпочтения с критериями 35
Сужение множества Парето 14, 60, 64,
157
Теорема о полноте первая 137
вторая 141
Фундаментальная совокупность реше-
решений однородной системы линейных не-
неравенств 62, 108, 121
Хаусдорфово расстояние между множе-
множествами 134
Целевые функции 18
Шкала 69
- абсолютная 69
- интервалов 71
- качественная 71
- количественная 71
- отношений 70
- порядковая 71
- разностей 70

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов. Основы теории. — М.:
Наука, 1990. - 236 с.
2. Барыкин Е.Е., Воропаева Ю.А., Косматое Э.М., Ногин В.Д., Харитонова НЕ.
Оптимизация годовой производственной программы энергетического объедине-
объединения// Электрические станции. — 1991. — 4. — С. 9—13.
3. Березовский Б.А., Барышников Ю.М., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Много-
Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты. — М.: Наука, 1989. — 128 с.
4. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: Наука,
1983. - 336 с.
5. Дубов Ю.А., Травкин СИ., Якимец В.Н. Многокритериальные модели фор-
формирования и выбора вариантов систем. — М.: Наука, 1986. — 296 с.
6. Карманов В.Г., Федоров В.В. Моделирование в исследовании операций. —
М.: Твема, 1996. - 102 с.
7. Кини Р.Л., РайфаХ. Принятие решений при многих критериях: предпоч-
предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981.
8. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979.
9. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. — М.: На-
Наука, 1987.
10. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. — М.: Логос, 2000. —
296 с.
11. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. — М.: Наука, 1985. — 336 с.
12. Лотов А.В., Бушенков В.А., Каменев Т.К., Черных О.Л. Компьютер и по-
поиск компромисса. Метод достижимых целей. — М.: Наука, 1997. — 240 с.
13. Меньшикова О.Р., Подиновский В.В. Построение отношения предпочте-
предпочтения и ядра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности нео-
неоднородными критериями// ЖВМиМФ. — 1988. — 28 E). — С. 647-659.
14. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании/
Под ред. Е.Г. Голъштейна. — М.: Наука, 1991. — 446 с.
15. Миллер Дж. Магическое число семь плюс минус два. О некоторых пре-
пределах нашей способности перерабатывать информацию // Инженерная психо-
психология. — М.: Прогресс, 1964.
16. Ногин В.Д. Новый способ сужения области компромиссов // Известия
АН СССР. Техническая кибернетика. — 1976. — 5.
17. Ногин В.Д. и др. Основы теории оптимизации. — М.: Высшая школа,
1986. - 384 с.
18. Ногин В.Д. Определение и общие свойства относительной важности кри-
критериев// Процессы управления и устойчивость. — СПб.: Изд-во СпбГУ, 1998. —
С. 373-381.
19. Ногин В.Д. Использование количественной информации об относитель-
относительной важности критериев в принятии решений// Научно-технические ведомости
СПбГТУ. - 2000. - 1. - С. 89-94.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 175
20. Ногин В. Д. Теоремы о полноте в теории относительной важности крите-
критериев// Вестник СпбГУ, сер.: мат., мех., астр. — 2000. — 40 B5). — С. 13-18.
21. Ногин В.Д., Толстых И.В. Использование набора количественной инфор-
информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений//
ЖВМиМФ. - 2000. - 40A1). - С. 1593-1601.
22. Ногин В Д. Логическое обоснование принципа Эджворта-Парето//
ЖВМиМФ. - 2002. - 7. - С. 951-957.
23. Плаус С. Психология оценки и принятия решений. — М.: Филинъ,
1998. - 368 с.
24. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с однородными и равно-
равноценными критериями// ЖВМиМФ. — 1975. — 15 B). — С. 330-334.
25. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важ-
важности критериями// Автоматика и телемеханика. — 1976. — 2. — С. 118—127.
26. Подиновский В.В., Ногин ВД. Парето-оптимальные решения многокри-
многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. — 256 с.
27. Психологические измерения: Пер. с англ. яз. — М.: Мир, 1967. — 196 с.
28. РокафелларР. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 368с.
29. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем. —
М.: Радио и связь, 1991.
30. Салуквадзе М.Е. О задаче линейного программирования с векторным
критерием качества// Автоматика и телемеханика. — 1972. — 5. — С. 99-105.
31. Схрейвер Ф. Теория линейного и целочисленного программирования.
Т. 1. - М.: Мир, 1991. - 368 с.
32. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука,
1978. - 352 с.
33. Фишберн П. Теория полезности// Исследование операций. Методологи-
Методологические основы и математические методы. Т. 1. — М.: Мир, 1981. — С. 448—480.
34. Черников С.Н. Линейные неравенства. — М.: Наука, 1968. — 352 с.
35. Штоейер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления
и приложения. — М.: Радио и связь, 1992.
36. CharnsA., Cooper W.W., FergusonR.O. Optimal estimation of execute com-
compensation by linear programming// Management Science. — 1955. — 1 B).
37. CharnsA., Cooper W.W. Management models and industrial applications of
linear programming (Appendix B) / N.Y.: John Wiley and Sons, 1961. — 1.
38. Noghin V.D. Estimation of the set of nondominated solutions // Numerical
Functional Analysis and Optimization. — 1991. — 12 E, 6). — P. 507-515.
39. Noghin V.D. Upper estimate for a fuzzy set of nondominated solutions // Fuzzy
Sets and Systems. — 1994. — 67. — P. 303-315.
40. Noghin V.D. Relative importance of criteria: a quantitative approach // J. Multi-
Criteria Decision Analysis. — 1997. — 6. — P. 355-363.
41. Noghin V.D. What is the relative importance of criteria and how to use it in
MCDM// «Multiple Criteria Decision Making in the New Millenium», Proceedings
of the XV International Conference on MCDM (ed. by M Koksalan, S. Zionts) in
Ankara, Turkey (July, 2000). — Springer, 2001. — P. 59—68.
42. Saaty T.L. Multicriteria decision making. The analytic hierarchy process. —
Pittsburgh: RWS Publications, 1990. — 287 p.
43. Yu P.L. Multiple-criteria decision making: concepts, techniques, and exten-
extensions. — N.Y.—L.: Plenum Press, 1985. — 388 p.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ДОБАВЛЕННОЙ ПРИ ВТОРОМ ИЗДАНИИ
1. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях. — М.: Знание, 1979.
2. ТафтМ.Т., Подиновский В.В. О построении решающих правил в задачах
принятия решений// Автоматика и телемеханика. — 1981. — 6. — С. 128—138.

176 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Берман В.П., Наумов Г.Е. Отношение предпочтения с интервальным коэф-
коэффициентом замещения// Автоматика и телемеханика. — 1989. — 3. — С. 139—153.
4. Озерной В.М., Гафт М.Г. Методология решения дискретных многокрите-
многокритериальных задач// Многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Ма-
Машиностроение, 1978. — С. 14-47.
5. Подиновский В.В. Об относительной важности критериев в многокрите-
многокритериальных задачах принятия решений// Многокритериальные задачи принятия
решений. — М.: Машиностроение, 1978. — С. 48—82.
6. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи оптимизации с упорядо-
упорядоченными по важности критериями// Методы оптимизации в экономико-мате-
экономико-математическом моделировании. — М.: Наука, 1991. — С. 308-324.
7. Berman V.P., Naumov G. Ye., Podinovski V.V. Interval Value Tradeoffs
Methodology and Techniques of Multi-Criteria Decision Analysis. — In: User-Oriented
Methodology and Techniques of Decision Analysis and Support. Springer-Verlag,
Berlin. - 1993. - P. 144-149
8. Berman V.P., Naumov G. Ye., Podinovski V.V. Interval Value Tradeoffs: Theory,
Methods, Software, and Applications. In: Multiple Criteria Decision Making. Springer-
Verlag, Berlin. - 1992. - P. 81-92.
9. Podinovski V.V. Criteria Importance Theory // Multiobjective Problems of
Mathematical Programming / Lewandowski A., VolkovichV. (eds.). — Lecture Notes
in Economics and Mathematical Systems. Berlin: Springer-Verlag. — 1991. — V. 351. —
P. 64-70.
10. Podinovski V. V. Multicriteria optimization problems involving importance-
ordered criteria // Elster K.H. (ed.) Modern Mathematical Methods of Optimization. —
Berlin: Akademie Verlag. - 1993. - P. 254-267.
11. Podinovski V. V. Criteria Importance Theory // Mathematical Social Sciences. —
1994. - 27C). - P. 237-252.
12. Podinovski Vic. V. A DSS for multiple criteria analysis with imprecisely specified
trade-offs// European journal of operational research. — 1999. — 113. — P. 261-270.