Акад. В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
том пятый
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для механико-математических
и физико-математических факультетов
университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1959

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
1. Множества и их мощность A1). 2. Интеграл Стилтьеса и его
основные свойства A4). 3. Суммы Дарбу A8). 4. Интеграл Стилтьеса от
непрерывной функции B3). 5. Несобственный интеграл Стилтьеса B6).
6. Функция скачков B9). 7. Физическая интерпретация C3).
8. Функции ограниченной вариации C4). 9. Интегрирующая функ-
функция ограниченной вариации D1). 10. Существование интеграла
Стилтьеса D3). П. Предельный переход в интеграле Стилтьеса D4).
12. Теорема Хелли D6). 13. Принцип выбора E0). 14. Пространство
непрерывных функций E2). 15. Общая форма функционалов в С E4).
16. Линейные операторы в С 'E9). 17. Функции промежутков F0).
18. Общий интеграл Стилтьеса F2). 19. Свойства (общего) интеграла
Стилтьеса F4). 20. Существование общего интеграла Стилтьеса F8).
21. Функции промежутков на плоскости G0). 22. Переход к функции
точки G3). 23. Интеграл Стилтьеса на плоскости G6). 24. Функция
ограниченной вариации на плоскости G8). 25. Пространство непре-
непрерывных функций многих переменных (81). 26. Интеграл Фурье —
Стилтьеса (82). 27. Формула обращения (85). 28. Теорема сверты-
свертывания (87). 29. Интеграл Коши — Стилтьеса (89).
Глава II
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Функции множеств и теория измерения	 93
30. Операции над .множествами (93). 31. Точечные множества (97). .
32. Свойства замкнутых и открытых множеств (98). 33. Элементар-
Элементарная фигура A02). 34. Внешняя мера и ее свойства A05). 35. Изме-
Измеримые множества A08). 36. Измеримые множества (продолжение) A17).
37. Критерии измеримости A18). 38. Тело множеств A20). 39. Неза-
Независимость от выбора осей A23). 40. Тело 5A23). 41. Случай одного
переменного A25).
§ 2. Измеримые функции	126
42. Определение измеримых функций A26). 43. Свойства измеримых
функций A30). 44. Предел измеряемых функций A31). 45. Свой-
Свойство С A36). 46. Кусочно-постоянные функции A36). 47. Класс ?A39)

4	ОГЛАВЛЕНИЙ
§ 3. Интеграл Лебега	140
48. Интеграл от ограниченной функции A40). 49. Свойства инте-
интеграла A43). 50. Интеграл от неограниченной неотрицательной функ-
функции A48). 51. Свойства интеграла A52). 52. Функция любого
знака A55). 53. Комплексные суммируемые функции A61). 54. Пре-
Предельный переход под знаком интеграла A62). 55. Класс L2 A66).
56. Сходимость в среднем A68). 57. Функциональное пространство
Гильберта A72). 58. Ортогональные системы функций A74). 59. Про-
Пространство /2 A80). 60. Линеалы в Z? A83). 61. Примеры замкнутых
систем A87). 62. Неравенства Гсльдера и Минковского A88).
63. Интеграл по множеству бесконечной меры A93). 64. Класс L2
на множестве бесконечной меры A98). 65. Интегрирующая функция
ограниченной вариации B01). 66. Приведение кратных интегра-
интегралов B03). 67. Случай характеристической функции B07). 68. Теорема
Фубини B09). 69. Перестановка порядка интегрирования B14).
70. Непрерывность в среднем B16). 71. Средние функции B17).
Глава Ш
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
72. Аддитивные функции множеств B25). 73. Сингулярная функ-
функция B29). 74. Случай одного переменного B32). 75. Абсолютно
непрерывные функции множеств B37). 76. Пример B43). 77. Абсо-
Абсолютно непрерывные функции многих переменных B46). 78. Вспо-
Вспомогательные предложения B48). 79. Вспомогательные предложения
(продолжение) B53). 80. Основная теорема B58). 81. Интеграл
Хеллингера B61). 82. Случай одного переменного B65). 83. Свой-
Свойства интеграла Хеллингера B69).
Глава IV
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
84. Метрическое пространство B74). 85. Пополнение метрического
пространства B76). 86. Операторы и функционалы. Принцип сжа-
сжатых отображений B82). 87. Примеры B83). 88. Примеры примене-
применения принципа сжатых отображений B86). 89. Компактность B88).
90. Компактность в С B90)..91. Компактность в Lp B91). 92. Компакт-
Компактность в /^ B95). 93. Функционалы на компактных в себе множествах
B96). 94. Сепарабельность B98). 95. Линейные нормированные про-
пространства B99). 96. Примеры нормированных пространств C02).
97. Операторы в нормированных пространствах C03). 98. Линейные
функционалы C07). 99. Сопряженные пространства C10). 100. Слабая
сходимость функционалов C13). 101. Слабая сходимость элементов
C15). 102. Линейные функционалы вС,Ьри 1р C19). 103. Слабая сходи-
сходимость вС,^и 1р C27). 104. Пространство линейных операторов и
сходимость последовательности операторов C28). 105. Сопряженные
операторы C31). 106. Вполне непрерывные операторы C31).
107. Операторные уравнения C33). 108. Вполне непрерывные опе-
операторы в С, Lp и 1Р C35). 109. Обобщенные производные C38).
ПО. Обобщенные производные (продолжение) C43). 111. Случай
звездной области C46). 112. Пространства W[l) и W{1) C47).

ОГЛАВЛЕНИЕ
ИЗ. Свойства функций класса Wfi (D) C50). 114. Теоремы вложе-
вложения C58). 115. Интегральные операторы с полярным ядром C62).
116. Интегральные представления С. Л. Соболева C68). 117. Тео-
Теоремы вложения C71). 118. Области более общего типа C74).
119. Пространство Сф (D) C76),
Глава V
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
§ 1. Теория ограниченных операторов	386
120. Аксиомы пространства C86). 121. Ортогональность и ортого-
ортогональные системы элементов C88). 122. Проекция C93). 123. Линей-
Линейные функционалы C95). 124. Линейные операторы C97). 125. Били-
Билинейные и квадратичные функционалы D01). 126. Границы самосопря-
самосопряженного оператора D03). 127. Обратный оператор D04). 128. Спектр
оператора D08). 129. Спектр самосопряженного оператора D11).
130. Резольвента D15). 131. Последовательности операторов D16).
132», Слабая сходимость D17). 133. Вполне непрерывные опера-
операторы D19). 134. Пространства Яи/2 D21). 135. Линейные уравне-
уравнения со вполне непрерывными операторами D25). 136. Вполне "непре-
"непрерывные самосопряженные операторы D30). 137. Унитарные опера-
операторы D35). 138. Абсолютная норма оператора D38). 139. Операции
над подпространствами D40). 140. Операторы проектирования D42).
141. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса D47). 142. Спектраль-
Спектральная функция самосопряженного оператора D53). 143. Непрерывные
функции самосопряженного оператора D56). 144. Формула для ре-
резольвенты и характеристика регулярных значений X D58). 145. Соб-
Собственные значения и собственные элементы D61). 146. Чисто точеч-
точечный спектр D63). 147. Непрерывный простой спектр D64).
148. Инвариантные подпространства D70). 149. Общий случай не-
непрерывного спектра D73). 150. Случай смешанного спектра D75).
151. Дифференциальные решения D76). 152. Операция умножения
на независимую переменную D80). 153. Унитарная эквивалентность
самосопряженных операторов D83). 154. Спектральное разложение
унитарных операторов D84). 155. Функции самосопряженного опера-
оператора D85). 156. Коммутирующие операторы D89). 157. Возмущение
спектра самосопряженного оператора D91). 158. Нормальные опе-
операторы D93). 159. Вспомогательные предложения D95). 160. Степен-
Степенной ряд от оператора D98). 161. Спектральная функция E00).
§ 2. Пространства /2 и L2 .	503
162. Линейные операторы в /2 E03).. 163. Ограниченные операторы E05).
164. Унитарные матрицы и матрицы проектирования E09). 165. Само-
Самосопряженные матрицы E11). 166. Случай непрерывного спектра E14).
167. Матрицы Якоби E18). 168. Дифференциальные решения E21).
169. Примеры E24). 170. Слабая сходимость в /2 E27). 171. Вполне
непрерывные операторы в /2 E28). 172. Интегральные операторы в L* E29).
173. Сопряженный оператор E30). 174. Вполне непрерывные опе-
операторы E32). 175. Спектральная функция E34). 176. Спектраль-
Спектральная функция (продолжение) E35). 177. Унитарные преобразования
в 12 E37). 178. Преобразования Фурье E40). 179. Преобразование
Фурье и функции Эрмита E44). 180. Операция умножения E46).
181. Ядра, зависящие от разности E47). 182. Слабая сходимость E52),
183. Другие осуществления пространства Н E53^,

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Неограниченные операторы	554
184. Замкнутые операторы E54). 185. Сопряженный оператор E56).
186. График оператора E59). 187. Симметричные и самосопряженные
операторы E61). 188. Примеры неограниченных операторов E64).
189. Спектр самосопряженного оператора E75). 190. Случай точеч-
точечного спектра E78). 191. Инвариантные подпространства и при-
приводимость оператора E80). 192. Разложение единицы. Интеграл
Стилтьеса E83). 193. Непрерывные функции самосопряженного опе-
оператора E89). 194. Резольвента E90). 195. Собственные значения E92).
196. Случай смешанного спектра E93). 197. Функции самосопряжен-
самосопряженного оператора E95). 198. Малые возмущения спектра E98).
199. Оператор умножения E99). 200. Интегральные операторы F04).
201.	Расширение замкнутого симметричного оператора F07).
202.	Индексы дефекта F11). 203. Сопряженный оператор F14).
204. Максимальные операторы F16). 205. Расширение симметричных
иолуограниченных операторов F17). 206. Сравнение симметричных
иолуограниченных операторов F23). 207. Примеры на теорию «расши-
«расширений F24). 208. Спектр симметричного оператора F27). 209. Неко-
Некоторые теоремы о расширениях и их спектрах F29). 210. Независи-
Независимость индексов дефекта от X F32). 211. Об инвариантности непре-
непрерывной части ядра спектра при симметричных расширениях F34).
212. О спектрах самосопряженных расширений F35). 213. При-
Примеры F36). 214. Бесконечные матрицы F37). 215. Матрицы Якоби F39).
216. Матрицы и операторы F44). 217. Унитарная эквивалентность
С-матриц F46). 218. Существование спектральной функции F49).
Предметный указатель	653

ПРЕДИСЛОВИЕ
В современных теоретических схемах математической физики боль-
большое значение имеют теория функций вещественного переменного, раз-
различные функциональные пространства и общая теория операторов.
Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая
написана на основе пятого тома моего „ Курса высшей математикий,
вышедшего в 1947 году.
Содержанием теории функций вещественного переменного в насто-
настоящей книге является теория классического интеграла, Стилтьеса, инте-
интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций мно-
множеств.
В первой главе изложена теория классического интеграла Стил-
Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла
Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении
соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбие-
разбиении основного промежутка на промежутки любого типа. В качестве
примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются инте-
интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши—Стилтьеса. Для них устанавливаются
формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая
плоскости.
Далее в первой главе изучается пространство С непрерывных
функций и устанавливается общая форма линейных функционалов
в этом пространстве.
Во второй главе излагаются основы метрической теории функций
вещественного переменного и интеграла Лебега—Стилтьеса. Вся теория
излагается для случая плоскости и выясняется возможность очевидного
обобщения ее на случай я-мерного эвклидова пространства. Теория меры
строится на основе любой неотрицательной, аддитивной, нормальной,
функции, определенной на полуоткрытых двумерных промежутках.
Интеграл Лебега—Стилтьеса от ограниченной функции определяется
на основе совпадения верхнего и нижнего интегралов Дарбу при
разбиении основного измеримого множества на измеримые множества.
В конце второй главы подробно излагается процесс усреднения функций

8	ПРЕДИСЛОВИЕ
и свойства средних функций при некоторых условиях на усредняющее
ядро. Процесс усреднения широко используется в дальнейшем.
В третьей главе излагается теория вполне аддитивных функций
множеств. После доказательства первоначальных теорем этой теории
приводится без доказательства теорема о разбиении вполне адди-
аддитивной функции множеств на сингулярное и абсолютно непрерывное
слагаемое и выясняются основные факты, связанные с этим разбие-
разбиением. Подробно рассматривается случай одного независимого пере-
переменного. Далее в общем случае исследуется абсолютно непрерывная
функция множеств и устанавливается формула замены переменных
в многомерном интеграле Лебега — Стилтьеса.
В конце третьей главы приводится доказательство упомянутой
выше теоремы о разбиении вполне аддитивной функции множеств
на два слагаемые. Далее вводится в многомерном случае понятие
интеграла Хеллингера и исследуются его свойства. В частности,
указывается связь интеграла Хиллингера с интегралом Лебега — Стил-
Стилтьеса. Подробно разбирается случай одномерного интеграла Хеллин-
Хеллингера. Все доказательства конца третьей главы основаны на предва-
предварительном подробном изучении свойств вполне аддитивных функций
множеств [78, 79].
Четвертая глава содержит изложение основ общей теории метри-
метрических и нормированных пространств. В конце ее приведено подробное
изложение обобщенных производных, теорем вложения для различных
функциональных пространств и теории функционалов в пространстве
непрерывно дифференцируемых функций. Все эти вопросы связаны
с известными исследованиями С. Л. Соболева. Они изложены и в его.
монографии „Некоторые применения функционального анализа в мате-
математической физике" A950 г.).
Обобщенные производные определяются двояко — при помощи
формулы интегрирования по частям и путем замыкания функций
с непрерывными производными, при чем доказывается равносильность
этих определений. Особо рассматривается случай областей звездного
типа. Далее вводятся полные нормированные функциональные про-
пространства W{1p\D) и Wp(D), первое из которых состоит из функ-
функций ср (х), определенных в области D и имеющих все обобщенные
производные порядка /, причем ср (х) и упомянутые производные
принадлежат Lp (D), а при определении второго пространства берутся
функции ср (х), имеющие все обобщенные производные до порядка /

ПРЕДИСЛОВИЕ	9
включительно. В дальнейшем доказывается, что для широкого класса
областей D W{lJ (D) и W{lp](D) состоит из одного и того же мно-
множества функций и что введенные в них нормы эквивалентны. Далее
для пространства Wp (D) сравнительно просто доказываются теоремы,
являющиеся частным случаем теорем вложения для Wpl) (D).
Далее, сначала эти теоремы формулируются, а затем в мелком
шрифте приводится полное их доказательство на основе интегрального
представления С. Л. Соболева. Весь этот материал тесно связан
с его упомянутой выше монографией.
В последней пятой главе излагается общая теория пространства
Гильберта, причем сначала все изложение проводится для случая огра-
ограниченных операторов. Доказываются теоремы Фредгольма для линейных
уравнений с вполне непрерывными операторами. Для нормированных
пространств они приводились без доказательства.
Для самосопряженных операторов на непрерывном спектре даются
соответствующие интегральные представления через дифференциаль-
дифференциальные решения при помощи интегралов Хеллингера. Приводятся примеры
применения общей теории ограниченных операторов в /2 L2.
Последний параграф пятой главы посвящен теории неограниченных
операторов в Гильбертовом пространстве. После доказательства общих
теорем теории приводится большое число примеров дифференциальных
операторов с одной и несколькими независимыми переменными. После
общей теории расширения замкнутых симметричных операторов
рассматривается специально случай полуограниченных операторов
и, в частности, их расширение по Фридрихсу.
Предполагается выпуск шестого тома с изложением некоторых
вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной
и несколькими независимыми переменными.
При составлении настоящей книги я пользовался, кроме специальных
статей, многими книгами. Приведу основные из них: В. И. Гливенко
„Интеграл Стилтьеса"; И. П. Натансон „Основы теории функций
вещественного переменного"; Сакс „Теория интеграла"; Vallee-Pous-
sin „Integrates de Lebesgue. Fonctions d'ensembles. Classes de Baire";
Stone „Linear Transformation in Hilbert Space and their applications to
Analysis"; H. И. Ахиезер и И. М. Глазман „Теория линейных операторов";
А. И. Плеснер „Спектральная теория линейных операторов, 1а {Успехи
математических наук, т. IX, 1941); Н. И. Ахиезер „Бесконечные матрицы
Якоби и проблема моментов" (там же); С. Л. Соболев „Некоторые

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
применения функционального анализа в математической физике.
Приношу мою благодарность С. М. Лозинскому, прочитавшему перво-
первоначальную рукопись книги и сделавшему ряд ценных указаний.
Изложение многих вопросов второй части этой книги принадлежит
профессору О. А. Ладыженской, она является моим соавтором в этой
части книги. С ней я подробно обсуждал план построения этой книги.
Большую помощь при составлении второй части книги оказал
М. С. Бирман. Ему принадлежит изложение параграфов, посвященных
теоремам вложения [114—118] и теории малых возмущений спек-
спектра [198]. Ценные советы были им даны по вопросу спектров симмет-
симметричных операторов и их расширений, а также при изложении главы IV.
Приношу мою глубокую благодарность О. А. Ладыженской
и М. С. Бирману. Без их помощи я не смог бы проделать всей работы.
Первые три главы книги были прочтены Г. П. Акиловым, от которого
я получил ряд ценных советов, касающихся изложения отдельных
вопросов. Приношу ему мою большую благодарность.
20 июля 1959 г.
В. Смирнов

ГЛАВА 1
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
1. Множества и их мощность. При применении математического
анализа в современном естествознании большую роль играют различ-
различные понятия интеграла, и в первых двух главах мы изложим теорию
интегрирования в более общем виде, чем это мы делали раньше.
Предварительно в настоящем параграфе приведем некоторые перво-
первоначальные сведения из теории множеств. Они являются некоторым
дополнением к тому, что мы излагали в [IV; 15].
Пусть имеются два множества Ах и А2, состоящие из каких-либо
объектов (элементов). Говорят, что два множества имеют одина-
одинаковую мощность, если между элементами, входящими в А\, и эле-
элементами, входящими в А%, можно установить биоднозначное соответ-
соответствие, т. е. такое соответствие, при котором каждому элементу из Аг
сопоставляется определенный элемент из Л2, причем в этом соот-
соответствии, наоборот, каждый элемент Л2 сопоставлен одному, и только
одному, элементу Лх. Бесконечное множество (т. е. множество, со-
содержащее бесконечное число элементов) называется исчислимым,
или счетным, если оно имеет ту же мощность, что и множество
всех целых положительных чисел, т. е. если элементы этого мно-
множества можно пронумеровать целыми положительными числами:
#i> я*2> #з>-.. Два счетных множества имеют одинаковую мощность.
Выясним некоторые свойства счетных множеств. Рассмотрим часть
счетного множества, содержащую бесконечное множество элементов
apv aP2i ..., где ръ /?2... — возрастающая последовательность целых
положительных чисел. Элементы этого нового множества также про-
пронумерованы. Номером каждого элемента является значок у р. Иначе
говоря, они пронумерованы в порядке возрастания значков рь р<ь>...
Таким образом, бесконечная часть счетного множества
есть счетное множество. Рассмотрим теперь два счетных
множества: А (аъ а2, а3».. .)> состоящее из элементов аь аъ а3;..., и
В(ЬЪ Ь%у Ьг>...), состоящее из элементов Ьь Ьъ ?3,...; составим их
сумму, т. е. объединим в одно множество С элементы, входящие в
оба указанных выше множества. Полученное таким образом новое
множество С называется обычно суммой множеств А и В, Это новое
множество также счетно. Действительно, достаточно, например, по-
поставить элементы множества С в следующем порядке: ay, bx> аь Ьь%,.?

12	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСЛ	[1
чтобы убедиться в счетности его. Если имеются одинаковые эле-
элементы ak, bb то надо удержать один из них, а остальные вычерк-
вычеркнуть. Аналогичное рассуждение применимо и для суммы конечного
числа счетных множеств, т. е. сумма конечного числа счет-
счетных множеств есть счетное множество.
Положим, что имеется счетное множество счетных множеств.
Элементы всех этих множеств можно обозначить буквой с двумя
целочисленными индексами а^\ Верхний индекс указывает номер того
множества, к которому принадлежит элемент, а нижний — тот номер,
который указанный элемент имеет в том счетном множестве, к кото-
которому он принадлежит. Нетрудно пронумеровать все элементы а^\
В качестве первого элемента возьмем тот элемент, у которого оба
индекса равны единице: a'l1*. Возьмем затем те элементы, у которых
сумма индексов есть три, и расположим в порядке возрастания
верхнего индекса. Таким образом, мы получим второй и третий эле-
элементы суммы множеств: аB1), а[2). Возьмем теперь те элементы, у ко-
которых сумма индексов равна четырем, и расположим их в порядке
возрастания верхнего индекса: а{^\ а22)> а-Т* Это даст нам четвертый,
пятый и шестой элементы суммы множеств. Продолжая это построе-
построение, мы убеждаемся в том, что сумма счетного числа счет-
счетных множеств есть счетное множество. Это утверждение,
очевидно, осталось бы в силе, если некоторые из слагаемых множеств
были бы не счетными, а конечными множествами.
Пусть имеется некоторое бесконечное множество А. Выберем из
него какой-нибудь элемент и припишем ему номер один. Оставшееся
множество по-прежнему будет бесконечным. Выберем из него какой-
нибудь элемент и припишем ему номер два. Продолжая так и дальше,
мы видим, что из всякого бесконечного множества
можно выделить счетное множество. Оставшееся после
такого выделения множество может быть или пустым, т. е. не со-
содержащим ни одного элемента, или конечным, или бесконечным.
Покажем, что если это оставшееся множество бесконечно, то оно
имеет ту же мощность, что первоначальное множество, т. е. спра-
справедливо следующее утверждение: если после выделения из
бесконечного множества А счетного множества Р
остается бесконечное множество В, то множества А
и В имеют одинаковую мощность. Выделим из бесконеч-
бесконечного множества В вновь некоторое счетное множество Q, и пусть С —
оставшееся множество. При этом первоначальное множество А разо-
разобьется на три множества A = P-\-Q -\- С, из которых множество С
может быть и пустым, а может быть и бесконечным, а множества Р
и Q суть счетные множества. До второго выделения мы имели
А = Р -\- В, Нетрудно установить биоднозначное соответствие
между элементами А и В. Действительно, мы имеем A = P-\~Q -\-С
и B = Q -\-С. Сумма счетных множеств P-j-Q есть счетное множе-
множество, и, следовательно, между элементами Р-j-Q и Q можно уста-

n
МНОЖЕСТВА И ИХ МОЩНОСТЬ	1 3
новить биоднозначное соответствие. Каждый элемент множества С
приведем в соответствие самому себе. Таким образом, и будет уста-
установлено биоднозначное соответствие между элементами Л и В. Из
доказанного утверждения непосредственно вытекает, что если к
бесконечному множеству добавить счетное множе-
множество, то вновь полученное множество будет иметь
ту же мощность, что и первоначальное множество.
Оба утверждения о вычитании и добавлении счетного множества
остаются в силе, если счетное множество заменить конечным. Дока-
Доказательство приводится совершенно так же, как и выше.
Мы показали раньше [IV; 16], что множество рациональных чисел,
принадлежащих некоторому промежутку [а, Ь], или множество всех
рациональных чисел есть счетное множество. Это доказывается совер-
совершенно так же, как и утверждение о счетности суммы счетного числа
счетных множеств. Роль верхнего индекса играет числитель дроби,
а роль нижнего индекса—ее знаменатель, причем сначала надо рас-
рассмотреть положительные дроби. Приведем теперь пример несчетного
множества. Рассмотрим все вещественные числа, принадлежащие про-
промежутку [0,1]. Каждое из них, кроме нуля, мы можем представить
бесконечной десятичной дробью с целой частью, равной нулю, и на-
наоборот каждой такой десятичной дроби будет соответствовать неко-
некоторое вещественное число из указанного промежутка. Конечными
дробями мы не пользуемся, так как- конечная дробь дает то же число,
что и бесконечная, имеющая в периоде 9, например 0,37 = 0,36999...
Покажем, что множество упомянутых вещественных чисел несчетно.
Ведем доказательство от обратного. Положим, что все указанные
десятичные дроби совместно с дробью 0,00..., дающей левый конец
промежутка, можно пронумеровать. Составим новую десятичную дробь
с целой частью, равной нулю, следующим образом. В качестве пер-
первого десятичного знака возьмём какую-нибудь цифру, отличную от
первого десятичного знака первой из пронумерованных десятичных
дробей, в качестве второго десятичного знака возьмем какую-нибудь
цифру, отличную от второго десятичного знака второй из пронуме-
пронумерованных дробей, и т. д. Получится бесконечная десятичная дробь
(цифрой 0 при составлении десятичных знаков новой десятичной дроби
мы пользоваться не будем), которая отлична от всех пронумерован-
пронумерованных десятичных. дробей. Таким образом, соответствующее ей веще-
вещественное число не пронумеровано, а это противоречит тому, что все
вещественные числа из промежутка [0,1] пронумерованы. Таким об-
образом, мы показали, что множество всех вещественных
чисел, принадлежащих промежутку [0,1], несчетно.
Говорят, что это множество имеет мощность континуума.
Нетрудно видеть, что множество вещественных чисел, принадлежа-
принадлежащих любому конечному промежутку [а, Ь]9 имеет ту же мощность, что
и множество вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1].
Биоднозначное соответствие между элементами этих множеств уста-

14	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬКСА	[2
навливается формулой у = *~ а. Когда х пробегает промежуток [а, Ь],
переменное у пробегает промежуток [0, 1]. Если использовать формулу
y=tg(nx—5-), то при изменении х внутри промежутка [0,1]
переменная у пробегает множество всех вещественных чисел, т. е.
множество всех вещественных чисел также имеет
мощность континуума. Если концы промежутка мы не будем
причислять к множеству, то это не изменит его мощности, так как
добавление или вычитание из бесконечного множества конечного
множества не меняет его мощности.
В дальнейшем замкнутый промежуток мы будем обозначать сим-
символом [а, Ь], а открытый промежуток, т. е. промежуток, к которому
не присоединяются концы, символом (а> Ь). Если левый конец не
присоединяется, а правый присоединяется, то будем пользоваться
символом (а, Ь], аналогичное значение имеет [а, Ь). Числа а и b
могут принимать и бесконечные значения: а = — оо и Ь = -\-.оо,
т. е. рассматриваемые промежутки могут быть бесконечными налево
и направо. Например, замкнутый промежуток [— со, -\- со] содержит
оба бесконечно далеких элемента. В соответствии с этим и функция f(x)
может быть определена при х = — сю, и дг = -[-оо, и мы можем,
например, писать /(—со). Непрерывность при х = — со равносильна
условию lim f(x)=f{—со). Аналогично и для х->-\-со.
л:-» —оо
Кроме того, можно пользоваться и обычными обозначениями
lim /(*)=/(—оо+ 0) и lim f(x)=f(-\- со — 0).
Х-*- —со	х-+-\-со
Нетрудно показать [I; 43], что функция /(х), конечная и не-
непрерывная в замкнутом промежутке [— со, 4~ °°]> равномерно не-
непрерывна в этом промежутке.
2. Интеграл Стилтьеса и его основные свойства. Напомним
определение интеграла Римана, которым мы обычно пользовались в
предыдущих томах. Пусть [а, Ь] — конечный промежуток и f(x)~
ограниченная функция, заданная в этом промежутке. Подразделяем
промежуток на части a = xo<^xl<^t..<^xn_1<^xn = b> на каждом
из частичных промежутков [xk_u xk] берем некоторую точку lk и
составляем сумму произведений:
Если при беспредельном измельчании подразделений и любом выборе
точек Ьк написанная сумма имеет определенный предел Л, то этот
предел и называют интегралом от/(лг) по промежутку [ai b]. Пусть Ь —
наибольшая из разностей xk — xk_x. Беспредельное измельчание
промежутка [а, Ь] на части равносильно тому, что 5->0, и существо-

21
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
15
вание определенного предела Л у суммы A) равносильно следующему:
при
тельное t], что
k=\
при Ь -
Совершенно аналогично можно построить более общее понятие инте-
интеграла. Оно было впервые введено голландским математиком Стилтьесом
в 1894 г. в его исследованиях о непрерывных дробях и получило
затем широкое развитие и применение как в чисто математических
вопросах, так и в вопросах естествознания. Пусть на конечном
промежутке [а, Ь] заданы две функции f(x) и g(x), принимающие
в каждой точке этого промежутка конечные значения. Вместо суммы A)
составим сумму
== 2
B)
Эту сумму назовем суммой Римана — Стилтьеса. Если при бес-
беспредельном измельчании подразделений и любом выборе точек \k на-
написанная сумма стремится к определенному конечному пределу, то
говорят, что функция f(x) интегрируема по функции g(x) на про-
промежутке [а, Ь]9 и пишут
В интеграле Римана роль g(x) играет х. Введенный интеграл обла-
обладает, очевидно, многими свойствами, аналогичными свойствам инте-
интеграла Римана, и доказательства этих свойств проводятся совершенно
так же, как и для интеграла Римана. Приведем эти свойства, считая,
что все интегралы, входящие в нижеприведенные формулы, существуют:
р ь
(ak — постоянные). C)
kfk (*) dg (х) =УаЛ/к (х) dg (x);
Ь	р	р	b
\ f{x)d 2 **?*(¦*)= 2 а* )f(x)dgk(x)\

16	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬНСА	[2
Кроме того, имеем очевидную формулу
ь
D)
В первой и второй формулах C) из существования интегралов,
входящих в правую часть, следует существование интеграла, стоя-
стоящего слева.
Остановимся на выводе формулы интегрирования по частям. Поло-
Положим, что существует интеграл от функции g(x) по функции f(x),
и покажем, что при этом существует и интеграл от f(x) no g(x).
Преобразуем сумму B), собирая члены, содержащие значение функ-
функции g(x) в совпадающих точках,
п-\
Прибавляя и вычитая разность
t-f{a) g(a),
можем написать
E)
В фигурных скобках стоит сумма Римана — Стилтьеса B) для
интеграла от g (х) по f(x). По условию существует интеграл от g(x) по
f(x)y т. е. при беспредельном измельчании деления фигурная скобка
стремится к этому интегралу. Таким образом, в силу E), сумма а
имеет предел, т. е. существует интеграл от f(x) no g(x), и мы мо-
можем написать формулу интегрирования по частям:
ь	ъ
) dg (х) = [/ (х) g {x)t -\g{x) df{x)	F)
a	a
ИЛИ
b	b
\^b	G)
причем из существования одного из написанных интегралов следует
существование другого интеграла.

21
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	17
Отметим два частных случая интеграла Стилтьеса. Положим, что
промежуток [а, Ь] разбивается на конечное число частей
a = co<Cci<C ••• <tcp-i<Ccp==b и внутри каждого из промежут-
промежутков (Ck-i>ck) Функция g(x) сохраняет постоянное значение^. Таким
образом, в каждой точке ck, лежащей внутри промежутка [а, Ь],
функция g(x) испытывает скачок sk = gk+1— gk- Возможны также
скачки и на концах промежутка: скачок so = gl— g(a) на левом
конце и sp — g(b)— gp на правом конце. Положим далее, что функ-
функция f(x) непрерывна во всех точках разрыва ck и на концах проме-
промежутка. Пусть точки cq не являются точками деления промежутка
на части, кроме с0 и ср. В сумме B) все слагаемые, у кото-
которых xk_\ и xk лежат внутри одного и того же промежутка (сд_ь cq),
будут равны нулю, так как в этом случае g(xk_l) = g(xk). Если про-
промежуток [xk_l} xk\ содержит точку разрыва cq, то при беспредельном
измельчании f($k) будет стремиться к f(cq) и g(xk) — ^(^-i) к sqt
и непосредственно ясно, что в пределе сумма B) даст следующую
конечную сумму:
2/	2/, V	(8)
Если точка cq является точкой деления [а, Ь] на части, то надо
рассмотреть оба промежутка, имеющие cq концами, и результат будет
таким же. Рассмотрим теперь второй частный случай. Положим, что
f(x) и g(x) непрерывны в [а, Ь] и g(x) имеет внутри [а, Ь] про-
производную g* (х), интегрируемую по Риману и, следовательно, ограни-
ограниченную. Применяя к разности g(xk) — .g'Cx^-i) формулу Лагранжа,
можем записать сумму B) в виде
^	2
k=\	k-l
где Vk — значение, лежащее внутри [xk_v xk]. Мы можем положить
/(?*)=/(?'лL~еА> причем, в силу равномерной непрерывности /(лс)
в [а, Ь], наибольшее из | ek \ стремится к нулю при беспредельном
измельчании подразделений, т. е. при любом заданном положитель-
положительном е существует такое положительное ?], что |ел|<^е, если 8
Сумму (9) мы можем переписать так:
~ хь i).

18	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСЛ	[3
Произведение двух функций, интегрируемых по Риману, также инте-
интегрируемо [I; 117], и первое слагаемое правой части написанной фор-
формулы при беспредельном измельчании подразделений стремится к ин-
интегралу Римана от произведения f(x)g(x). Нетрудно показать, что
второе слагаемое стремится к нулю. Действительно, функция g* (х),
как упомянуто выше, ограничена, т. е. | gr (х) | <^ М, где М — опре-
определенное положительное число. Как мы упоминали, если задано по-
положительное s, то существует такое положительное т], что ||С
при Ь <^ т], и мы имеем оценку:
гМ (xk — Xk t) =
k— l
из которой, в силу произвольности е, й следует, что второе слага-
слагаемое правой части формулы (9t) стремится к нулю. Таким оброзом,
в пределе получаем
ь
х,	A0)
т. е. при сделанных предположениях интеграл Стилтьеса сводится
к обычному интегралу Римана. В предыдущем случае он вырождался
в конечную сумму. Нетрудно показать, что формула A0) остается
справедливой, если вместо непрерывности f(x) потребовать, чтобы
она была интегрируемой по Риману. В дальнейшем мы рассмотрим
вопрос о существовании интеграла Стилтьеса, определенного нами
выше, и некоторых более общих интегралов, определение которых
будет дано потом. Существенным при этом будет тот факт, что функ-
функция g(x) будет считаться неубывающей в [а, Ь].
Неубывающую функцию мы будем часто называть в дальнейшем
возрастающей. У такой функции g(b) является ее наибольшим зна-
значением и g(a) наименьшим значением. Следующий параграф носит
подготовительный характер. Он будет иметь основное значение не
только при исследовании вопроса о существовании интеграла Стилтьеса,
определенного нами выше, но и при исследовании того же вопроса
для интегралов более общего типа, которые мы введем в дальнейшем.
3. Суммы Дарбу. При рассмотрении интеграла Римана мы вво-
вводили так называемые суммы Дарбу. Аналогичные суммы будут играть
основную роль при всех обобщениях понятия интеграла, которые введем
в дальнейшем. В настоящем параграфе мы построим эти суммы и иссле-
исследуем их свойства для случая интеграла Стилтьеса, определенного выше.
Все понятия, которые введем в настоящем параграфе, и факты, кото-
которые мы при этом докажем, будут с некоторыми несущественными
изменениями повторяться и при дальнейших обобщениях понятия инте-
интеграла, и мы часто будем ссылаться на результаты настоящего параграфа.

31
СУММЫ ДАРБУ	19
Напомним прежде всего определение точных границ множества
вещественных чисел [I; 39]. Пусть имеется некоторое множество g
вещественных чисел, и положим, что оно ограничено сверху, т. е.
существует такое число Z,, что все числа множества меньше L. При
этом существует одно определенное число М, обладающее следую-
следующим свойством: все числа множества g не больше Ж, но при лю-
любом положительном е имеются числа множества g, которые больше
М — ?. Это число М называется точной верхней границей
множества g. Совершенно аналогично, если множество ограничено
снизу, т. е. если все числа множества больше некоторого определен-
определенного числа, то это множество имеет точнуюнижнюю границу
т, которая обладает следующим свойством: все числа множества g
не меньше ту но при любом положительном е имеются числа множе-
множества g, которые меньше т-\-г. Если множество неограничено сверху,
то говорят, что его точная верхняя граница равна (-)- оо), и, точно
так же, если множество неограничено снизу, то говорят, что его
точная нижняя граница равна (— оо). Пользуются следующей записью
для обозначения точных границ:
Att = infg и Af = supg.
Пусть f(x) ug(x)—'ограниченные функции на промежутке [a, b\s
который может быть как конечным, так и бесконечным, причем
g(x) — неубывающая функция, й пусть имеется некоторое разбиение
промежутка [а, Ь] на части:
которое мы символически обозначим одной буквой Ь. В случае про-
промежутка бесконечного налево а = — оо, а в случае промежутка
бесконечного направо Ь = -\-оо. Пусть далее mk и Мк — точная
нижняя и точная верхняя границы значений f(x) на промежутке
\xk_Xy xk]. Составим следующие суммы Дарбу — Стилтьеса,
соответствующие указанному разбиению о промежутка [а, Ь]:
k=\
Для ограниченной функции f(x) мы имеем \f(x)\^L, где L —
некоторое положительное число. Принимая во внимание, что g(x) —
—g(,xk-i)^Q> получаем для сумм A1) при любом законе подраз-
подразделения 8 следующую оценку:
г
\st\^^L\g (хк) -*(*»_,)] = L[g ф) -

20	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[3
Наряду с суммами (И) составим следующую сумму Римана —
Стилтьеса:
п
xi\>	О2)
где ik — некоторая точка из промежутка [xk_v xk]. Принимая во вни-
внимание, что mk^f$^)^Mk и g(xk)— g(xk_i)^0, мы имеем для
любого подразделения 8 неравенство
s5<o5<S8.	A3)
Введем теперь некоторые новые термины. Подразделение 8'
называется продолжением подразделения 8, если все
точки деления подразделения 8 являются и точками
деления подразделения 8'. Пусть 8Х и 82 — два каких-нибудь
подразделения. Образуем новое подразделение, взяв за точки деления
точки деления 8t и точки деления 82. Это новое подразделение на-
назовем произведением подразделений 8j и 82 и обозначим
символом 8j82. Подразделение 8j82 является, очевидно,
продолжением как подразделения 8,, так и подраз-
подразделения 82. Понятие произведения подразделений мы можем, оче-
очевидно, ввести и для любого конечного числа подразделений 8282... 8Л.
Отметим еще, что суммы s6 и 5а зависят только от выбора подраз-
подразделения 8, что же касается суммы а8, то она зависит еще от выбора
точек \k. Докажем теперь несколько совершенно простых теорем.
Теорема /. Если подразделение 8' есть продолжение подразде-
подразделения 8, то ss'7^sb и Sb>^Sb.
Докажем, например, неравенство Sv^sb. При переходе от 8 к 8'
каждый частичный промежуток, входящий в подразделение 8, может
разбиться на конечное число частей:
и вместо слагаемого mu[g(xk) — ^"(^-i)] суммы s5 мы получим сле-
следующую сумму:
Pk
2
5=1
где т^ есть точная нижняя граница значений f(x) на промежутке
[•*i-\, х{1?]' ^ы имеем> очевидно, m{kj^mk, и, следовательно, при-
принимая во внимание неотрицательность разностей g(xW)
будем иметь
2
5=1
и теорема доказана [ср. I; 112].

oi	СУММЫ ДАРБУ	21
Теорема 2. Если Ьх и 82 — любые два подразделения, то
Неравенство sg^S5 для одного и того же подразделения непо-
непосредственно следует из того, что mk^Mk и g{xk)— g(xk^)^0.
Таким образом, для подразделения 8^ имеем я^^^д. С другой
стороны, в силу теоремы 1, s5l ^^ и S*9 ^\v откуда и следует,
что s^^S^.
Обозначим через i точную верхнюю границу сумм sb при всевоз-
всевозможных законах подразделения В и через / точную нижнюю границу
сумм Sb:
* = sup sb\ / = inf Sb.	A4)
Из определения точных границ и теоремы 2 непосредственно сле-
следует, что для любых подразделений Ь1 и 82 имеет место неравенство
581<г^/<5в8, и, в частности,
54</</<58.	A5)
Укажем необходимое и достаточное условие равенства точных гра-
границ i и /. При этом существенную роль будет играть разность
п
С**) -в1 (**-!)]•	A6)
Теорема 3. Для равенства iul необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая последовательность подразделений
8Я(Л=1,2,...), что Sbn — sbn-+0.
Доказываем достаточность. Если последовательность подразделе-
подразделений 8л, для которой Sin — Sbn —> 0, существует, то, применяя к этой
последовательности неравенство A5), получаем i = L
Доказываем необходимость. Пусть i = I = A. В силу определе-
определения точных границ существует такая последовательность подразде-
подразделений-8Л, что Sb'n—'А, и такая последовательность подразделений 8Л,
что Sbn—* А. Возьмем последовательность подразделений 8Л = 8Л 8Л.
В силу теоремы 1, Sbn^Sbn и Лл^5бл, причем Sbn и Sbn^Af
a Sb^ и Sbn^zA. Таким образом, тем более s?>n—+А и 5«л — Л,
а потому 5бл — Sbn —* 0, и теорема доказана. Отметим, что в под-
подразделениях 8Л частичные промежутки не должны обязательно бес-
беспредельно измельчаться. Может, например, случиться что все под-
подразделения Ьп являются одним и тем же подразделением 8. Из A5)
вытекает непосредственно следующее следствие:
Следствие. Если Szn — ssn —* 0, то i — I, stn ~+i и Sbn —»L
Указанное выше необходимое и достаточное условие равенства / = /
может быть формулировано при помощи сумм а6.
Теорема 4. Для того чтобы разность 5§л — 5бл стремилась
к нулю, необходимо и достаточно, чтобы оьп имели определенный

22	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[3
предел при любом выборе точек ttf, и если это условие выполнено,
то предел а^п равен i (или 1 = i).
Доказываем необходимость. Если Sbn — Sbn—>Oy то, как мы ви-
видели, 55Л—>/ и Sbn—+i, а следовательно, и для овя, которая удо-
удовлетворяет неравенству *бл^°8л^5бл, имеем <зьп—i- Доказываем
достаточность. Пусть
Рп
где х^ суть точки деления подразделения Ьп и $<*> — некоторые
точки из промежутка [л^,, x{f\ Обозначим еще через mf] и М{?>
точную нижнюю и точную верхнюю границы значений f(x) на про-
промежутке {x^_v х№]. Пусть е — любое заданное положительное число.
В силу условия оьп — А существует такое N\ что
\А — ssj^e при /z>iV	A7)
и любом выборе точек ?М. По определению точной нижней границы
мы можем выбрать точки ?М так, чтобы выполнялись неравенства
0^/(^л)) — /юМ^е. При этом будем иметь
о < о5д - 55п =
Рп
^ J6^^]—«r(-vHl2i)l=el«r(ft) —^(а)],	A8)
fc=i
и, следовательно, представляя разность Л — Sbn в виде Л — Sbn =
= (А — аб„) + (збл — Sbn)y мы получим, в силу A7) и A8):
| А — Sbn\ ^ | А — аЬп\ -f | а6/г— 5вл | < е [1 +^(ft) — g(a)] при /г>Л^,
откуда, ввиду произвольности е, следует, что Stn —+ А. Совершенно
так же можно доказать, что Sbn —> А, а следовательно, Sbn — Sbn —* О,
и теорема доказана. Предел А совпадает очевидно с числами / и /,
которые в данном случае равны между собой. Из доказанной тео-
теоремы и предыдущей теоремы вытекает непосредственно следующее
следствие.
Следствие. Для равенства i = I необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая последовательность подразделений Ъп,
что оьп имеет определенный предел при любом выборе точек ^я).
Если это условие выполнено, то упомянутый предел равен i
(или I = i),

ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ	23
Теорема 5. Если для последовательности подразделений Ьп
з. имеет определенный предел и гп есть продолжение 8Л, то
а " имеет тот же предел.
Ьп Из условия теоремы и теоремы 4 следует, что Sbn — s&n — 0. В силу
теоремы 1, St,n ^ San и S^n ^ Sdfi. Следовательно, и подавно Sb'n— 5^—0,
т. е. <V —* ? и теорема доказана.
В случае интеграла Римана, т. е. g(x) = x, мы показали раньше
[1; И2], что для любой ограниченной функции/(лс), при беспредель-
беспредельном измельчании частичных промежутков, 5§л —> i и 5зл —> /. Таким
образом, в случае интеграла Римана равенство i = I равносильно
тому, что сумма а§ имеет определенный предел при беспредельном
измельчании промежутков, причем этот предел равен /. В общем
случае это не будет так. Если as имеет определенный предел при
беспредельном измельчании частичных промежутков, то i = I в силу
следствия из теоремы 4. Но обратного утверждать нельзя. Из того,
что /==/, следует только, что существует такая последовательность
подразделений 8Л, что аьп имеет определенный предел. Но нельзя
утверждать, что а5 будет иметь определенный предел для всякой
последовательности подразделений при беспредельном измельчании
частичных промежутков. В данном выше определении интеграла Стил-
тьеса мы потребовали, чтобы а8 имела определенный предел при
беспредельном измельчании частичных промежутков. При дальней-
дальнейших обобщениях понятия интеграла мы заменим это требование более
слабым требованием существования равенства i = I. Кроме того, мы
расширим наши возможности при разбиении основного промежутка
интегрирования на части, что будет выяснено в дальнейшем при
новых определениях интеграла. В следующем параграфе мы вернемся
к интегралу Стилтьеса, определенному нами в [2], и дадим одно
важное достаточное условие его существования.
4. Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции.
Теорема 1. Если f(x) непрерывна на конечном промежутке
[а, Ь] и g(x) — неубывающая ограниченная функция, то интеграл
Стилтьеса от f(x) no g(x) на промежутке [а, Ь] существует.
Принимая во внимание неравенства A3) и A5), можем написать
п
\i - од| ^55 -,s, = ^ Wk -mk) [g(xk)- g{xk_x)]. A9)
Пусть е — заданное положительное число. В силу равномерной
непрерывности /(х), на промежутке [a, b] существует такое поло-
положительное число т], что 0^Mk — mk^e(k=\, 2, ... , /г), если
наибольшая из разностей xk — xk_t не превышает tj. При этом
неравенство A9) дает нам | i — os | ^ е [g (b) — g (a)], и, следовательно,
за ~> i при беспредельном измельчании промежутков. Совершенно

24	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[4
так же можно показать, что а5—>/, и, следовательно, / = /. Это
равенство непосредственно вытекает также и из следствия теоремы 4
предыдущего параграфа в силу того, что с5 имеет определенный
предел при беспредельном измельчании промежутков.
Бесконечность промежутка интегрирования не играет существен-
существенной роли в случае интеграла Стилтьеса. Надо только выяснить,
что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных про-
промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рас-
Рассмотрим, например, промежуток [— со, -\- со]. Мы будем говорить,
что для последовательности разбиений этого промежутка на конеч-
конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно из-
измельчаются, если при любом заданном положительном А наибольшая из
разностей (xk — xk_\) для тех промежутков [xk_lf xk], которые имеют
общие точки с [— Л, -f- А], стремится к нулю. Если <р (х) непре-
непрерывна в промежутке [— со, -|- со] и строго возрастает, т. е.
ср(р)^>ср(а) при р^>а, то замена переменной t = y(x) преобразует
промежуток —со^д:^-(-оо в конечный промежуток [а, Ь], при-
причем а = ср(—со) и Ъ = ср (-[- со). Разбиения с беспредельным из-
измельчанием частичных промежутков для [— со, -\- со] сводятся
к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных
промежутков для конечного промежутка [а, Ь].
Если, например, f(x) непрерывна в замкнутом промежутке
[—со, -f~°°]> a g(x) ограничена и не убывает, то интеграл по-
прежнему существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно,
например, ввести вместо х новую переменную t = arc tg x. Полагая
/(tg')=/i(Q и g(tgf)=gi(t),
мы выразим интеграл по бесконечному промежутку [— со, -f- со]
через интеграл по конечному промежутку — Т»~Ь Т г
те
+00	"*"
J f(x)dh(x)= j fiV)dgl(t),
— оо	__ те
причем /i @ непрерывна и gi(t) ограничена и не убывает в про-
промежутке f— у, +y]-
Укажем один практически важный случай видоизменения основ-
основной теоремы существования интеграла Стилтьеса:
Теорема 2. Если f(x) непрерывна внутри промежутка ин-
интегрирования и ограничена, а неубывающая функция g (x) непре-
непрерывна на концах промежутка, то f(x) интегрируема по g(x).
Положим, что промежутком интегрирования является бесконечный
промежуток [—оо, 40]*

4]
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ	25
Оценим слагаемые, стоящие в правой части формулы A9). В силу
ограниченности f(x), мы имеем \f(x)\^L, где L — определенное
положительное число, и, следовательно, 0^Mk — mk^2L. Те сла-
слагаемые суммы A9), которые соответствуют промежуткам [xk_lt xk],
не имеющим общих точек [—Л, Л], дадут сумму, не большую, чем
2L[g{-A) — g(—oo)] + 2L[g(+oo)-g{A)]. B0)
В силу предположенной непрерывности g(x), в точках zboo мо-
можно выбрать А настолько большим, чтобы выражение B0) было
меньше любого заданного положительного е. Фиксируем таким обра-
образом А и рассмотрим остальные слагаемые суммы A9). Соответствую-
Соответствующие им промежутки [xk_if xk] или целиком укладываются в [— А, ~\- А],
или крайние два из них могут выходить из [—Л, -f-Л], причем
длина выходящих частей не больше т), где т\ — наибольшая из раз-
разностей xk — xk_\ для промежутков, имеющих общие точки с
[—Л, -\-А]. При беспредельном измельчании частичных* промежут-
промежутков это число т] стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа
подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким
образом, все промежутки [xk_lf xk]y которые мы сейчас рассматриваем,
начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать про-
промежутку [—Л — 1, А-f-l], на котором функция /(лг) равномерно
непрерывна. В силу этого для всех' достаточно малых значений т]
будем иметь 0 ^ Mk — тк^г, и при этом для тех слагаемых
суммы A9), которые соответствуют промежуткам [xk_it xk\, имею-
имеющим общие точки с [— Л, -\-А], мы будем иметь оценку
0 < (Мк — mk) [g (xk) — g (xk_t)] ^e[g(xk) — g (
и сумма этих слагаемых будет не больше, чем
Окончательно неравенство A9) даст нам
откуда, ввиду произвольности е, и следует, что а5->/, и теорема
доказана.
Отметим некоторые дополнительные свойства интеграла Стилтьеса
для случая непрерывной функции f(x) и возрастающей функции g(x).
Если 1/0*01^ L, то имеем оценку
ь
\f(x)dg(x)
а
¦ L[g(b)-g(a)},	B1)

26	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[5
которая получается из очевидной оценки суммы as при переходе
к пределу. Имеет, очевидно, место теорема о среднем [ср. I; 92]:
из la, *]). B10
Положим теперь, что последовательность непрерывных в [a, Ь]
функций fn(x) стремится равномерно в этом промежутке к предель-
предельной функции f(x). Последняя функция будет также непрерывной
в [a, Ь] и, следовательно, интегрируемой по g(x). Для любого за-
заданного положительного s существует, в силу равномерной сходи-
сходимости последовательности fn (х), такое N, что | f(x) —fn (х) \ ^ е для х
принадлежащих [a, b], если n^>N. Пользуясь оценкой B1), получаем
о
\[f(x)-fn{x)\dg(x)
•*[g(b)-g(a)]>
откуда, в силу произвольности г, следует
ь	ь
Um \fn(x)dg{x)=\f(x)dg(x).	B2)
Пользуясь такими же оценками, что и при доказательстве теоремы 2,
можно легко доказать, что формула B2) остается справед-
справедливой при следующих предположениях: функции
fn(x) непрерывны внутри [a, Ь] и ограничены одним
и тем же числом, т. е. \fn(x)\^L> где положительное
число L одно и то же для всех п\ fn(x)-±f(x) равно-
равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежа их ем
внутри [a, b], и ?•(.*;) непрерывна на концах проме-
жутка [а, Ь].
5. Несобственный интеграл Стилтьеса. Если f(x) непрерывна
внутри промежутка [—оо, 4~°°] и ограничена, а g(x) не убывает
и непрерывна на концах указанного промежутка, то, как мы видели,
интеграл от f(x) по g(x) на промежутке [—оо, -|-оо] может быть
определен обычным образом, как предел конечных сумм о8. Положим
теперь, что непрерывная внутри [—оо, -|-оо] функция f(x) не-
ограничена, а g(x) по-прежнему не убывает и ограничена. Мы мо-
можем для любых конечных а и b составить интеграл от f(x) no g(x)
на промежутке [а, Ь]. Если при стремлении а к (— оо) и b к (-|- оо)
этот интеграл имеет конечный определенный предел, то этот предел

5]	НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	27
мы и примем за величину интеграла по промежутку (— со, -J- со):
+оо	ь
\ /С*) dg(x) = lim С f(x)dg(x).	B3)
v	a—>—oo v
°°	a
a
6^+oo a
Если выполнены условия, указанные в начале настоящего парагра-
параграфа, и тем самым интеграл по промежутку [— оо, -f- оо] существует
как предел сумм а8, то нетрудно показать, что имеет место фор-
формула B3).
ь
Положим, что интегралы \ \f(x)\dg(x) остаются ограниченными
а
при любом выборе а и Ь. При этом существует интеграл
-foo	Ь
\ |/(*)|<te(*) = lim \\f{x)\dg(x\
v	a-*—оо v	r
-°°	&->-hoo а
и, очевидно, существует и интеграл B3) [ср. II; 82], который назы-
называется в этом случае абсолютно сходящимся.
Рассмотрим какое-либо разбиение бесконечного промежутка на
части точками xk(k =..., —3, —2, —1, О, 1, 2, 3, .. .):
*<...	B4)
(\\mxk = — оо и \\mxk = -\- оо).
fe->—ОО	fe-t-j-00
Пусть т{ и Mt наименьшее и наибольшее значения f(x) в про-
промежутке [xt_h xt] и u)i = Mi — mi. Пользуясь формулой B1Х) из [4],
получаем
nx)dg(x)-f(t,)[g{xt)-
J
Положим, что множество чисел ш/(г = О, zbl, zh2, ...) имеет
конечную точную верхнюю границу o) = supa)^. В силу непрерыв-
непрерывности f(x) мы можем построить в частности такое разбиение B4)
бесконечного промежутка, при котором о) будет меньше любого

28
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
наперед заданного положительного числа. Введем следующие обо-
обозначения:
A = Umg(x); B = llmg(x)\
х-*—со
Я
М-р
Я
i=\-p
Далее пусть со/ — значение a>i для
со' = sup щ.
Мы имеем, очевидно, ш^-^ю^ и w'^io. Из B5) следует
f{x)dg{x)-Sp>
p>q
*-Р
^ о) (Б — Л)
и совершенно аналогично
откуда следует
< со' (В — Л),
B6,)
B6,)
B7)
J
B8)
Докажем теперь теорему, которая даст. необходимое и доста-
достаточное условие абсолютной сходимости интеграла B3).
Теорема. Для абсолютной сходимости интеграла B3) не-
необходимо и достаточно, чтобы существовало разбиение с конеч-
конечным (в и для него такие числа \it удовлетворяющие неравенству
% «5 xit чтобы ряд
+00
B9)
$=¦—00

6]	ФУНКЦИЯ СКАЧКОВ	29
абсолютно сходился. Если это условие выполнено, то ряд B9)
сходится при любом разбиении B4) с конечным со и любом вы-
выборе %i из промежутка [хь_ъ л;,], и
+ 00	-f 00
\f(x)dg(x) = lim У /F,)te(.*,)-«r(*,_i)]. C0)
— ОО	С sa- ОО
Положим, что интеграл B3) абсолютно сходится. При этом не-
неравенство B7) дает для любого разбиения с конечным со:
т. е. сумма SPt 'q, возрастающая при возрастании р и q, остается
ограниченной, и, следовательно, ряд B9) абсолютно сходится при
любом разбиении B4) с конечными со. Далее из B6j) непосредст-
непосредственно следует C0). Положим теперь наоборот, ч*то ряд B9) абсо-
абсолютно сходится при некотором разбиении B4) с конечными со и при
некотором выборе 5/. Из B8) непосредственно следует
+ 00
откуда видно, что интеграл, стоящий слева, остается ограниченным
при возрастании р и q, т. е. интеграл B3) абсолютно сходится. Но
при этом, как мы только что видели, ряд B9) абсолютно схо-
сходится при любом разбиении с конечным со и любом выборе iif и
имеет место формула C0).
Замечание. Если f(x) равномерно непрерывна внутри
[— оо, -j- oo], и 8 — наибольшая из разностей (xt — ^_i), то усло-
условие 8-^0 влечет за собой со -> 0, и в формуле C0) вместо со -> О
мы можем написать 8 —+ 0. Это обстоятельство будет иметь, напри-
например, место, если f(x) = x.
6. Функция скачков. Проведем элементарный анализ свойств
неубывающей функции g(x). В силу того, что монотонная ограни-
ограниченная переменная имеет предел, функция g(x) будет в каждой
внутренней точке промежутка [а, Ь) иметь предел слева и справа:
g(x — 0) и g (x -)- 0). На левом конце будет иметься предел справа
g(a-\-0) и на правом конце предел слева g(b — 0). Если g(x — 0) =
= g (л;-(-0), то точка х есть точка непрерывности g(x).
Аналогичным образом непрерывность на концах обуславли-
обуславливается ревенствами g(a-{-0) = g(a) и g{b — O) = g(b). В точках раз-
разрыва мы имеем g(x-\-0)^>g(x—0), и положительная разность

30	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[6
Sx = g (х -f- 0) — g(x — 0) называется скачком g(x) в точке х.
Аналогично определяются скачки на концах.
Функция g(x) может иметь бесконечное множество точек раз-
разрыва. Покажем, что в этом случае это множество точек раз-
разрыва g(x) обязательно счетно. Полное возрастание функ-
функции g(x) на промежутке [а, Ь] выражается положительным числом
g(b) — g(a). Таким образом, число точек разрыва, в которых ска-
скачок больше единицы, не больше, чем целая часть числа g(b) — g{a),
т. е. таких точек разрыва конечное число. Точно так же число то-
точек разрыва, в которых скачок больше у, не больше, чем целая
часть числа 2[g(b)—g(a)] и т. д. Нетрудно теперь показать, что
точки разрыва g(x) можно пронумеровать. Сначала нумеруем в ка-
каком-нибудь порядке конечное число точек разрыва, в которых ска-
скачок больше единицы. Дальше продолжаем нумерацию для тех точек,
в которых скачок больше у, и т. д.
При интегрировании непрерывной функции мы можем не пользо-
пользоваться при разбиении промежутка интегрирования точками прерыв-
прерывности g(x)} лежащими внутри промежутка [а, Ь]> и значения g(x)
в этих точках, таким образом, не играют роли при образовании ин-
интеграла. Иначе обстоит дело в концах промежутка, которые обяза-
обязательно входят в состав точек деления. Можно, например, считать,
что в точках разрыва g(x) непрерывна справа, т. е. g (х) = g (x -\- 0).
Пусть h (х) есть измененная таким образом функция g(x), т. е.
h\x) = g(x) в точках непрерывности g(x) и на правом конце и
h (х) = g(x -\- 0) в точках разрыва. Может повлиять на величину
интеграла лишь изменение g(x) на левом конце промежутка, и мы
будем иметь очевидную формулу.
Произведем теперь разбиение g(x) в случае ее прерывности на
два слагаемых, из которых одно gc (x) есть непрерывная неубываю-
неубывающая функция, а второе gd(x) дает сумму скачков g(x) на проме-
промежутке [а, х]. Это последнее слагаемое называется обычно функ-
функцией скачков для g(x). Приведем точное построение этой
функции.
Пусть в промежутке [а, Ь] имеется конечное или счетное мно-
множество точек ck(k = \> 2, 3, ...). Определим возрастающие функ-
функции срл(дг) и tyk\x) следующими формулами:
0 при x<^ck,	Г0 при
ak при x^cki	\% при

g]	ФУНКЦИЯ СКАЧКОВ	31
где afr и $k — неотрицательные постоянные такие, что ряды
оо	оо
2«.и 2р.	Cd
сходятся. Если некоторая постоянная ak равна нулю, то соответст-
соответствующая функция yk(x) равна тождественно нулю, и то же для
<bk(x), если $k — 6. Мы удерживаем эти функции в дальнейших
формулах для симметрии записи этих формул. Если ck = а, то бу-
будем считать, что соответствующее ak равно нулю, и если ck = b,
то мы будем считать, что соответствующее % равно нулю. Из схо-
димостей рядов C1) непосредственно следует, что ряды
ср (*) =
члены которых суть неотрицательные возрастающие функции, равно-
равномерно сходятся для всех х и, в частности, на [a, b]. Если х отлично от
cki то все члены этих рядов непрерывны в точке х, а следовательно,
в силу равномерной сходимости, функции у(х) и ф(лс) непрерывны
во всех точках лг, отличных от сЛ. В точке х = <^ слагаемое у(х)
имеет скачок слева, равный ak, слагаемое фЛ (jc) имеет скачок справа,
равный рЛ, а остальные слагаемые непрерывны. В силу равномерной
сходимости и сумма остальных слагаемых непрерывна при x = ck.
Таким образом, в точке x=ck функция у(х) имеет скачок слева,
равный аЛ, и непрерывна справа, а функция ф(лс) имеет скачок справа,
равный рл, и непрерывна слева. Все проведенное построение, очевидно,
сохранит свою силу и в том случае, когда множество точек ck конечно.
Положим теперь, что g(x) есть некоторая возрастающая функция
и x = ck — ее точки разрыва непрерывности, а ak и §k — ее скачки
слева и справа в этих точках, т. е. ak = g(ck) — g(ck — 0) и pfc =
= g(ck-j-O) — g(ck). Разность g(b) — g(a) дает общее возрастание
функции g(x) в промежутке [а, Ь], и сумма ее полных скачков
lk = ak~\-$k в первых п точках сь с2,..., сп ее разрыва непрерыв-
непрерывности будет не больше, чем упомянутая разность при любом п. Та-
Таким образом, бесконечный ряд, составленный из полных скачков *\k
функции g(x), обязательно сходится. Тем более сходятся ряды, со-
составленные из скачков слева ak и из скачков справа рл. Построим
функции cp(jc) и ф(х) и положим gd (х) = ср (х) -\- ф (х). Величина
gd (x) равна, очевидно, сумме скачков g (x) во всех точках прерыв-
прерывности, которые лежат левее х9 и скачка слева в самой точке х,
если он существует, а разность gd($) — gdi7) равна сумме скачков
в точках прерывности, лежащих между а и р, скачка справа в точке
a и скачка слева в точке р. Разность g(fy) — g(a) дает общее воз-
возрастание функции g(x) при изменении х от а до р, а разность

32 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	|6
gd($)— gd(a) Дает возрастание g(x), которое получается	лишь за
счет скачков в ее точках прерывности. Мы имеем, таким	образом,
следующее очевидное неравенство:
Положим gc (х) = g (х) — g (х). Если х — точка непрерывности
g(x), то она является и точкой непрерывности gd(x), а тем самым
и точкой непрерывности gc(x). Положим теперь, что х равно од-
одному ck. В этой точке функция gd(x) имеет слева и справа те же
скачки, что и g(x), а потому gc(x) непрерывна и при x = ck. Та-
Таким образом, мы можем утверждать, что gc(x) непрерывна и воз-
возрастает. Мы имеем, таким образом, искомое разложение
e(x).	C3)
Это разложение можно провести для любого промежутка, замк-
замкнутого или нет, конечного или бесконечного. Для любой непрерыв-
непрерывной функции можем написать
ь	ь	ь
\ fix) dg (x) = J f(x) dgd (x) + J /(*) dgc (x). C4)
a	a	a
Покажем, что первый из написанных интегралов может быть пред-
представлен в виде суммы
ь
\ /С*) dgd (х) = %f(ck) Т„	C5)
a	k
где ck — точки разрыва g{x) и f* — полные скачки g{x) в этих точ-
точках. Будем считать, что число точек разрыва бесконечно. Полагая
о)д (х) = срл (х) -\- фА (х)у можем написать
где
т
^k{x); rm(x)=
Имеем неравенство 0 ^ rm (x) ^ fm+i + Tm+2 + . -., и, в силу
сходимости ряда, составленного из тл, можем при любом заданном
положительном е фиксировать такое N, что для любого х
(х)^г при
Далее, в силу непрерывности f(x)y имеем [2]
ъ

7]	ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ	33
и, следовательно,
Ь	т
г»	——»
C7)
Функция /(х) ограничена, т. е. \f(x)\^Ly и для слагаемых
последней суммы имеем оценку \f(ck)^k | ^ L^ky откуда видно, что
ряд, составленный из чисел f{ck)^k, абсолютно сходится.
Для интеграла по неубывающей функции гт(х) имеем, в силу
C6), оценку
о
г*
Le
откуда, в силу произвольности е, следует, что разность
ь	ь	ь
J fix) dga (x) - J fix) dsm (x) = J fix) drm ix)
a	a	a
стремится к нулю при возрастании т, т. е.
ь	ь
\ f(x)dgd(x)=*= lim \
а	т-*оо а
откуда, в силу C7), и следует формула
Ъ	со
= 2
2
7. Физическая интерпретация. Дадим физическую интерпретацию
функции g(x) и интеграла Стилтьеса. Положим, что на промежутке
[а, Ь] распределена материя, и пусть g(x) — масса, находящаяся
на промежутке [а, х]> и g(a) — масса, находящаяся в точке х = а,
если такая сосредоточенная масса существует. В противном случае
полагаем g-(a) = 0. Разность g(d)—g(c) дает массу, содержащуюся
на промежутке (с, d]. При стремлении положительного числа h
к нулю промежуток (х, x-\-h] сжимается, и любая точка выйдет
из промежутка (ху x-\-h] при достаточно малом /г, так как левый
конец не принадлежит этому промежутку. Функция g(x) является
возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного
выше, естественно подчинить функцию g(x), характеризующую рас-
распределение масс, условию g (x -j- h) — g (x) -> 0 или g (x) = g (x -f- 0),
т. е. функция g(x) должна быть непрерывна справа во всех точках раз-
разрыва непрерывности, кроме х = Ь. Не имеет смысла говорить о
непрерывности на правом конце промежутка, ибо при х^>Ь функция

34	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[8
не определена. Внутри промежутка сосредоточенные массы имеются
в точках разрыва непрерывности g(x), и величина сосредоточенной
массы определяется разностью g(x)— g(x — 0). То же и для пра-
правого конца промежутка. Общее количество материи на промежутке
\а, Ь] равно g(b). Все сказанное годится как для конечного, так и
для бесконечного промежутка. Характерным в предыдущих рассужде-
рассуждениях был тот факт, что мы не пользовались понятием плотности рас-
распределения. Центр тяжести распределенной материи будет опреде-
определяться формулой
Эта формула годится для конечного промежутка. В случае бесконеч-
бесконечного промежутка интегрируемая функция f(x) = x перестает быть огра-
ограниченной, и надо использовать определение несобственного интеграла.
В теории вероятностей функция g(x) выражает обычно вероят-
вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно g(x)
равно вероятности того, что случайная величина принадлежит про-
промежутку (—оо, х]. При этом, как и выше, g(x) непрерывна справа.
Понятие интеграла Стилтьеса от непрерывной функции непосред-
непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда g(x)
есть разность двух неубывающих функций: g(x) = g\(x) — g%(x\
Легко дать физическую интерпретацию g(x) в этом случае. Положим,
что на промежутке (— оо, -f- oo) распределены положительные и
отрицательные заряды. При этом gx (x) определяет общий положи-
положительный заряд на промежутке (— оо, х], a g,2 (x) — общий отри-
отрицательный заряд на этом промежутке.
8. Функции ограниченной вариации. До сих пор мы предпо-
предполагали, что интегрирующая функция g(x) возрастает. Для того,
чтобы перейти к интегралам с более общими функциями g(x), мы
введем некоторый класс функций, который и будет служить для
нас основным классом функций, к которому должны будут принад-
принадлежать все интегрирующие функции g(x). Пусть на замкнутом
конечном или бесконечном промежутке [а, Ь] имеется функция g(x),
принимающая в каждой точке этого промежутка конечное значение.
Пусть 8 — некоторое разбиение [а, Ь\ на части а — ^^^
<Сxn-i<Cxn = b- Составляем сумму:
C9)
k=\
Определение. Если при всевозможных разбиениях Ь множество
значений этой суммы есть ограниченное множество, то функция

g]	ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ	35
g(x) называется функцией с ограниченным изменением или функ-
функцией ограниченной вариации на промежутке [а> Ь], а точная
верхняя граница сумм C9) называется полной вариацией или
просто вариацией функции g(x) на промежутке [а, Ь].
Мы ее будем обозначать символом Vab (g). Отметим некоторые простые
свойства сумм t§ и полной вариации. Если между точками xk и xk_x
ввести новую точку деления с, то из формулы
непосредственно следует
т. е. при добавлении новых точек деления сумма tb
не убывает. Далее, если суммы tb, состоящие из неотрицательных
слагаемых, остаются ограниченными для промежутка [а, Ь\ то они
тем более остаются ограниченными и для любого промежутка [а, C],
составляющего часть [а, Ь], т. е. если g(x) — ограниченной
вариации на [а, Ь], то она будет ограниченной
вариации и на любой части [а, [3] промежутка [а, Ь]
и Vl(g)^V^{g).
Если взять промежуток [tf, Ь\ целиком, то это есть одно из воз-
возможных разбиений 8, и так как мы имеем, очевидно, для любого
разбиения неравенство tb ^ Vba (g), то, в частности, мы будем иметь
\g(b)-g{a)\<:V>a<jr).	D0)
Если g(x) — монотонная функция на промежутке [а, Ь], то все
разности g(xk) — ^(.x^-i) имеют один и тот же знак, и сумма ^
при любом 8 равна g(b) — g(a) для возрастающей функции и g(a)—g(b)
для убывающей функции, т. е. любая монотонная функция
есть функция ограниченной вариации.
Формулируем теперь в виде отдельных теорем ряд свойств функ-
функций ограниченной вариации.
Теорема 1. Если g(x) — ограниченной вариации на [а} Ь], то
она ограничена на этом промежутке.
Для любого ху принадлежащего [ау Ь], можем написать g(x) =
= gО) + [g(x) — g(а)] и, следовательно, \g(x)\*^\g(a)\-\-\g(x) —
— g(a)\, или, в силу D0), \g{x)\^g{a)-\-V*(g)^g{a)-{-V>a(g)9
что и доказывает ограниченность g(x).
Теорема 2. Если g (х) и h (x) — функции ограниченной вариации
на [а, Ь], то cg(x) (с — постоянная) и g(x) -[- h(x) — также
ограниченной вариации.

36	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[8
Проведем доказательство для суммы. Составим tb для g (x) -f- h (х):
п
\h{xk)-h{xk_x)\-
шшт
Последние две суммы ограничены, так как, по предположению,
g(x) и h(x) — ограниченной вариации. Следовательно, tb и подавно
ограничена, т. е. g(x)-\-h(x) — ограниченной вариации.
Следствие. Всякая конечная линейная комбинация функций
ограниченной вариации, т. е. выражение вида cxfx (x) -\- c^fa (x) -f-
-f-... -|- cpfp (x) есть также функция ограниченной вариации.
Теорема 3. Если g(x) и h (x) — ограниченной вариации, то и их
произведение g(x) h (x) — также ограниченной вариации. Если, кроме
того, | h (х) | ^ т ^> 0, то и частное g (х): h (x) — ограниченной
вариации.
Рассмотрим произведение и построим для него tb:
п
= 2
D0
Принимая во внимание ограниченность g(x) и h(x), можем на-
написать |g"(.*O|^Z, и \h(x)\^L, где L — некоторое положительное
число.
Имеем очевидную формулу
g (xk) h (xk) — g (xk _1)h(xk_l) = g (xk) [h (xk) — h (xk _
+ h {xk _ i) [g (xk) — g(xk_
которая совместно с D1) дает нам
или
Но написанные суммы ограничены, так как, по предположению,
g(x) и h(x) — ограниченной вариации, а потому и суммы tb ограни-
ограничены, что и доказывает теорему.
Теорема 4. Если а<^с<^Ь и g(x) — ограниченной вариации на
[а, Ь], то она — ограниченной вариации на [а, с] и [с} Ь] и на-

8]	ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ	37
оборот, если она ограниченной вариации на [а, с] и \су Ъ\ то
она ограниченной вариации и на [а, Ь]. При этом имеет место
формула
D2)
Выше мы видели, что если g(x)— ограниченной вариации на [ау Ь],
то она ограниченной варлации на [а, с] и [cf Ь]. Остается доказать
обратное утверждение и формулу D2). Обозначим через ^5 сумму
C9) для [а, Ь] и через fb\} и $*' аналогичные суммы для [а, с] и
[с, Ь]. Если точка с является точкой деления 8, то это подразделе-
подразделение 8 разбивается на подразделение 8' промежутка [а, с] и подраз-
подразделение 8^ промежутка [с} Ь], и мы имеем tb = tb\} -\-t^. Если g(x)
ограниченной вариации на [а, с] и [с, Ь], то предыдущая формула
дает td ^ Vca (g) -[- Vbc (/). Таким образом, суммы tb остаются ограни-
ограниченными, если с является точкой деления. Тем более они остаются
ограниченлыми и для других подразделений, так как добавление
точки деления может только увеличить сумму tb. Мз этого рассу-
рассуждения следует, что g(x)— ограниченной вариации на [а, Ь\ и что
Уьа (?") ^ ^а (#") Н~ ^'с (?")• Докажем противоположное неравенство,
откуда и будет следовать формула D2). Пусть е — заданное поло-
положительное число, В силу определения точной верхней границы мы
можем в формуле tb = f^ -J- Щ выбрать подразделения 8j и 82 так,
чтобы иметь t$ ^>Vca(g) — г и ^ ^> Vbc (g) — ?- При этом получим
t*>VCa(g)+v*M) — 2*> 0ТКУда ^te»V^(g-)+l/*(g-)-2e или,
в виду произвольности е, Vba (g) ^ Vca (g) -\- Vbc (g), что и доказывает
окончательно теорему.
Следствие. Мы доказали теорему для случая разбиения про-
промежутка [а, Ъ\ на две части. Применяя ее несколько раз, получим
аналогичный результат для случая разбиения [а, Ь\ на конечное
число частичных промежутков, т. е. если промежуток [а, Ь\
разбит на конечное число частичных промежутков
и g(x) ограниченной вариации на всем промежутке,
то она ограниченной вариации на каждом частич-
частичном промежутке и наоборот; далее, полная вариа-
вариация по всему промежутку равна сумме полных
вариаций на каждом из частичных промежутков.
Это свойство называют обычно свойством аддитивности полной
вариации. Оно может быть записано в виде
К (?)=val (в) + VZ te) + • • • vcn_, te)- D3)
Теорема 5. Для того, чтобы g(x) была ограниченной вариа-
вариации, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было предста-
представить в виде разности двух возрастающих функций.

38
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[8
Достаточность очевидна. Возрастающие функции суть функции
ограниченной вариации, и разность таких функций, по следствию
теоремы 2 есть также функция ограниченной вариации. Докажем
теперь необходимость, т. е. покажем, что если g(x) есть функция
ограниченной вариации, то ее можно представить в виде разности
двух возрастающих функций. Если положить
gx (х) = 11 V* (g) + g(x)\; ft (x) = i | V* (g) -g{x)\, D4)
то будем иметь
g{x) = gl(x)-g%{x),	D5)
и достаточно показать, что функции gt (х) и g% (х) возрастают. Дока-
Докажем это для g\(x). Пусть аир принадлежат [а, Ь] и а<^р. Имеем
или, в силу аддитивности полной вариации:
gi (Р) - gi («) = \
Но, в силу D0), Vjj (g) Ss | g-ф) — g"(a)|, откуда и следует, что
ЫР) —й(«)^0.
Возрастающие функции ^ (х) и ^2 (jc) могут иметь только
конечное или счетное множество точек разрыва, и в каждой
точке разрыва они имеют предел слева и справа. Следовательно, то
же самое можно утверждать и относительно функции g(x).
Теорема 6. Если в некоторой точке х = с функция g(x)
непрерывна, то в этой точке функция Vxa (g) = v (x) также
непрерывна и наоборот. Если g(x) непрерывна справа (слева), то
и v(x) непрерывна справа (слева) и наоборот.
Положим, что с<^Ь, и рассмотрим, например, непрерывность
справа. Пусть е — заданное положительное число. Делим [с> Ь] на части
^^.<^xn_i <^хп = Ьтгку чтобы имело место неравенство
I*С**) -
Если добавить новые точки деления, то написанное неравенство и
подавно будет иметь место. Мы можем поэтому считать, что точка хх
взята настолько близко к ct что \g(xt) — ?"(?)! <С?- ^Ри этом ис"
пользуется непрерывность g(x) справа. Неравенство D6) можем пере-
переписать так:
\g{xi)-g(c)\+

8]	ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ	39
откуда получаем, в силу \g(Xi)—g(
Сумма, стоящая слева, есть некоторая сумма tb для промежутка
[хь b]t и из последнего неравенства следует:
или, в силу аддитивности полной вариации, мы получим V*i (g) <^ 2г,
т. е. v (Xi) — v(c)<^2e. Функция v (x) возрастает, и из последнего
неравенства следует v(c-\-0) — г>(с)<^2е,- откуда, ввиду произволь-
произвольности е, получаем v(c-\-0) = v (с), т. e. v (x) = V* (g) в точке
х = с непрерывна справа. Наоборот, если дано, что v (x) непрерывна
справа, то в силу D0) имеем \g(c-\-h) — g (с) | ^ v (с -\- h) — v (с),
и при стремлении положительного числа h к нулю правая часть стре-
стремится к нулю, а, следовательно, левая и подавно стремится к нулю,
что и доказывает непрерывность g(x) справа в точке х = с.
Если g(x) непрерывна в точке с, то, в силу доказанного, функ-
функции g\{x) и g<i(x), определяемые формулами D4), также непрерывны
в точке х = с. Утверждение это справедливо, очевидно, для не-
непрерывности справа или слева.
Теорема 7. Если g(x) — ограниченной вариации, и
gW=gU*) — g${x)	D7)
есть какое-либо представление g(x) в виде разности возрастаю-
возрастающих функций, то для любых а<^р, принадлежащих [а, Ь], имеют
место неравенства
й (Р) - ft («) < gt (P) - ft* (*);
Ограничимся доказательством первого из этих неравенств, которое
можно записать в виде
lvl(g) + g(Р) g(аI < fff (Р) - gf (а)-
Доказываем это неравенство от обратного. Положим, что имеет
место противоположное неравенство
^{Vi(g) + g($)-g(*)]>gf®)-gt{*).	E0)
Берем такое подразделение 8 промежутка [a, pj, чтобы сумма tb
была настолько близкой к полной вариации V| (g), чтобы при замене
этой полной вариации "упомянутой суммой в неравенстве E0) это

40	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[8
неравенство по-прежнему имело бы место. Таким образом, для не-
некоторого подразделения а = х0 <^ хх <^... хп_ х <^ хп = р будем иметь
2
С другой стороны, можем, очевидно, написать
*(Р)-*(*) =
и, следовательно, неравенство E1) может быть записано в виде
к=\
л=1
По крайней мере одно из слагаемых левой части должно быть
больше соответствующего слагаемого правой части. Пусть это бу-
будет при k=p. Это приводит нас к следующему неравенству:
E2)
Если g(xp) — g4-tfp_i)^0, то это неравенство нелепо, так как
его левая часть равна нулю, а правая неотрицательна, ибо по условию
g*(x) возрастает. Остается считать, что g(xp) — g(xp-i)^>0* При
этом неравенство E2) может быть записано в виде
*Р) — g* {xp _
или, в силу D7), оно приводит к неравенству
что нелепо, так как, по условию, g$(x) возрастает. Таким образом,
мы пришли к нелепости, и неравенство D9), а тем самым и вся тео-
теорема доказаны.
Представление D5) в виде разности двух возрастающих функций
gi(x) и gi(x)9 которые определяются по формулам D4), называется
обычно каноническим представлением функции огра-
ограниченной вариации в виде разности двух возрастаю-

9]	ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ	41
щих функций. В силу доказанной теоремы функции gt (х) и g2 (х),
входящие в каноническое представление, возрастают не интенсивнее,
чем функции, входящие в какое-нибудь другое представление. Если
добавить к gt (x) и g% (х) одну и ту же постоянную с, то это не
изменит, очевидно, ни их разности, ни их приращения на любой
части [а, C] промежутка [а, Ь\ и полученное представление g{x) в
виде разности gi(x)-\-c и g*(.x)~\~c также можно назвать канони-
каноническим.
Замечание. Каждую из возрастающих функций gt (x) и g% (x)
можно разбить на функцию скачков и непрерывную часть:
gi (*) = g\a С*) + gu С*); & 0*0 = &* (*) f g*c (•*)•
Это приведет нас к вполне определенному разбиению первона-
первоначальной функции g(x) на функцию скачков и непрерывную часть
g (х) = [gid С*) - g*d Wl + [gic (-0 - ac W]- E3)
9. Интегрирующая функция ограниченной вариации. Если
f(x) — непрерывная функция на [а, Ь\ и g(x) — ограниченной вариа-
вариации, то, пользуясь представлением g(x) в виде разности двух воз-
возрастающих функций, можем написать
п
n
-2
Суммы, стоящие справа, имеют определенный предел при беспре-
беспредельном измельчании промежутков, и, следовательно, то же можно
утверждать и относительно суммы, стоящей слева, т. е. непрерыв-
непрерывная функция интегрируема по функции ограниченной
вариации. Предельный переход в формуле E4) дает:
ь	ъ	ъ
\ f(x) dg (x) = f f(x) dgl (x) — \ f{x) dg* ix). E5)
t)	t)	щ)
a	a	a
Укажем на те изменения, которые надо внести в формулировку
йств интеграла Стилтьеса, если gix) есть функция ограниченной
ИЯ1ТТЛГЛ
свойств интеграла
вариации
Мы имеем
п
\
L
У | g(xk) - g(xh_d | < LV> (g),

42
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕС
если \f(x)\^L. Предельный переход дает
ь
E6)
Эта формула заменяет формулу B1) из [4]. Напомним еще
формулу [2]
b	p	n	b
\ f(x)dV akgk (х)=УаА/(х)dgk (x).	E7)
a	k=I	fe=l a
Если fk(x) — ограниченной вариации, то и их линейная комбина-
комбинация Q>\g\(x)-\-.. .-\- apgp(x) есть также функция ограниченной вари-
вариации.
Рассмотрим интеграл Стилтьеса с переменным верхним пределом
для того случая, когда f(x) непрерывна и g(x) — ограниченной
вариации:
X
E8)
Покажем, что функция F (х) есть функция ограниченной вариации.
Составим для [а, х] сумму tb:
h =
f(t)dg{t)
k—\
Применяя формулу E6), получим
k=\
k—\
откуда и следует наше утверждение. В тех точках, где g(x) непре-
непрерывна, и функция V^(g) непрерывна, и из неравенства
x + h
J f(x)dg(x)
с
непосредственно вытекает, что в этих точках и F(x) непрерывна.
Докажем еще следующее утверждение: если f(x) и у(х) непре-
непрерывны на [а, Ь] и g(x) — ограниченной вариации, то
имеет место формула
E9)

10]	СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА	43
Достаточно доказать эту формулу для случая возрастающей g(x).
Составим для интеграла, стоящего в левой части формулы E9),
сумму а6:
°ь= У?(У J
kTl xk-
или, согласно теореме о среднем [4]:
Точки \k и Efe принадлежат одному и тому же промежутку, и,
рассуждая совершенно так же, как это мы делали для формулы (9)
из [2], убедимся, что сумма, стоящая в правой части, формулы F0),
в пределе дает интеграл, стоящий в правой части E9), и этим самым
эта последняя формула доказана.
10.	Существование интеграла Стилтьеса. До сих пор мы рассматри-
рассматривали интеграл Стилтьеса от непрерывной функции f(x) по функции ограни-
ограниченной вариации g(x). Из формулы интегрирования по частям следует [2], что
функция ограниченной вариации g(x) интегрируема по непрерывной функ-
функции f(x). Ниже мы укажем некоторые простые условия, касающиеся существо-
существования интеграла Стилтьеса в других случаях. Будем предполагать, что f (х)
и g(x) ограничены на конечном промежутке [а> Ь] и ^(л:)— неубывающая
функция. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться интегралом Стил-
Стилтьеса лишь в случае непрерывности f(x), приведем указанные ниже результаты
без доказательства.
I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы f(x)
была непрерывна во всех точках разрыва g (x), и, если это условие выпол-
выполнено, то f (х) интегрируема по^ функции скачков gd (x) и интеграл от f(x)
по gd(x) выражается формулой C5).
Если выгюлнено указанное необходимое условие интегрируемости, то вопрос
об интегрируемости f(x) no g(x) сводится к вопросу об интегрируемости f (х)
по непрерывной неубывающей функции gc(x). Если, например, f(x) — функция
ограниченной вариации, то, как указано выше, интегрируемость имеет место.
Приведем необходимое и достаточное условие интегрируемости f(x) no gc (x).
11.	Для интегрируемости f(x) no gc(x) необходимо и достаточно
выполнение следующего условия: при любом заданном положительном е
можно покрыть точки разрыва непрерывности f(x) конечным или счетным
множеством промежутков [ak, b^] (которые могут и перекрываться) так,
что имеет место неравенство
*-	F1)
Положим теперь, что g(x) — функция ограниченной вариации. Пусть
имеется каноническое разбиение этой функции D5) и какое-либо другое

44	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[11
разбиение D7). Составим разность Ss — s5 для gt (x) и g*(x):
п
S* — s5 = 2 (Mk — mk) \gt (xk) — gl (xk-i)\,
Мы видели выше, что
gi (xk) — gi (xk-i) ^ g? (xk) — g* (**-.i),
и, следовательно, если при беспредельном измельчании промежутков 5* — s* —* О,
то и подавно 53 — s§^0, т. е. если f(x) интегрируема по gf(x), то она ин-
интегрируема и по gi(x). Совершенно аналогично, если f(x) интегрируема по
gf(x), то она интегрируема и по g2 (л:). Но из интегрируемости по gk(x) не
следует интегрируемость поg%(x) (k =1,2). Таким образом, для испытания ин-
интегрируемости f(x) по g(x) надо испытать интегрируемость f (x) no gi(x) и
g» (х). Если f(x) интегрируема по gi (x) и g2 (л:), то будет существовать инте-
интеграл от f(x) no g{x)> и он будет выражаться формулой E5).
III. Интегрируемость f(x) no gi(x) и g${x) равносильна интегрируе-
интегрируемости f(x) по полной вариации Vxa (g)=gi (x) + ^2 (х).
Это утверждение, как и утверждение I, доказывается просто. Значи-
Значительно более сложным является доказательство утверждения II.
11. Предельный переход в интеграле Стилтьеса. Мы укажем в этом
и следующих параграфах некоторые теоремы, касающиеся предельного пере-
перехода под знаком интеграла Стилтьеса. Одну из таких теорем мы имели и
раньше. Она касалась того случая, когда интегрируемые функции равномерно
стремились к предельной функции f(x). Пусть fn(x) непрерывны на проме-
промежутке [a, b], fn(x)~^ f(x) равномерно на [а, Ь] и g(x) — функция ограничен-
ограниченной вариации на [а, Ь[. На основании [4] и формулы E5) имеем
ь	ь
lim ( fn (x) dg (x) = С / (х) dg (x).
F3)
Укажем на некоторые простые обобщения этого утверждения, причем ог-
ограничимся рассмотрением бесконечного промежутка.
Теорема /. Пусть fn(x) непрерывны внутри [—со, +°°] и ограни-
ограничены одним и тем же числом \fn(x)\^L, не зависящим от п, fn{x)—+
—+f (х) равномерно в любом конечном промежутке и g(x) — функция
ограниченной вариации на промежутке [—со, +оо], непрерывная на концах
этого промежутка. При этом для промежутка [— ос, -|- оо] имеет место
формула F3).
Функция f(x) непрерывна внутри [—со, +оо] и ограничена, а потому
интегрируема по g(x). Принимая во внимание, что g(x), а потому и ее полная
вариация непрерывны на концах промежутка, и что \f{x)—fn(x)\^2L, мы
можем утверждать, принимая во внимание E6), что для любого заданного
положительного е существует такое положительное число Л, что при любом п,
оо
I]
-А
[f<x)-fn(x)}dg(x)
\f{x)-fn{x)]dg{x)
— 00

Ill
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ИНТЕГРАЛЕ СТИЛТЬЕСА
45
В промежутке [—Л, + Л] предельный переход fn (х) —* f (х) имеет место
равномерно, а потому, в силу упомянутой выше теоремы, мы имеем для всех
достаточно больших п:
[f(x)-fn(x)}dg(x)\<t
и, следовательно,
[f(x)-fn(x)]dg(x)
откуда, в виду произвольности е, следует утверждение теоремы. Докажем
теперь аналогичную теорему для того случая, когда функции fn (x) неограни-
чены в промежутке [—оо, +оо], и интеграл по этому промежутку приходится
понимать как несобственный интеграл.
Теорема 2. Пусть fn (х) непрерывны внутри [— оо, + оо], несобствен-
несобственные интегралы
+ оо	Р
f fn (x) dg (x) = lim \ fn (x) dg (x)
F4)
существуют равномерно относительно п, fn(x)—*f(x) равномерно во
всяком конечном промежутке uxg(x) есть функция ограниченной вариа-
вариации в любом конечном промежутке. При этом интеграл от f(x) no
g(x) (несобственный) на промежутке [—оо, +оо] существует, и имеет
место формула F3).
Функция f (х) непрерывна в любом конечном промежутке и интегрируема
на таком промежутке по g (x). Докажем, что она интегрируема по бесконеч-
бесконечному промежутку. Пусть е — заданное положительное число. В силу того, что
интегралы F4) сходятся равномерно относительно я, существует такое поло-
положительное Л, что для любого промежутка [В\ В"], лежащего вне [—Л, +Л]
и любого значка л, имеем
fn(x)dg(x)
F5)
Фиксируем каким-нибудь образом В' и В'1 так, чтобы промежуток [В\ В"]
лежал вне [—Л, +Л]. При этом, в силу равномерной сходимости fn (x)—+ f(x)
на промежутке [В\ В"], мы будем иметь для всех достаточно больших зна-
значений п:
В"
II1
\f(x)-fa(x)]dg(x)
Принимая во внимание очевидное равенство
В"	Б"	В11
J /(*)<*?(*)= J fn(*)dg{x)+ J \f(x)-fn{x)]dg(x)9
F6)

46	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[12
получим на основании F5) и F6):
В"
f{x)dg(x)
i2ef
откуда и следует, что интеграл от f(x) по g(x) на промежутке [—оо, + оо]
существует. Для доказательства формулы F3) достаточно заметить, что интег-
интеграл от разности/(х)—/п(х) будет достаточно малым по абсолютной величине
на достаточно далеких промежутках, а на конечных промежутках он будет
малым при всех достаточно больших значениях п в силу равномерной сходи-
сходимости fn(x) к f(x).
Заметим, что в случае конечного промежутка для справедливости фор-
формулы F3) нет необходимости в равномерном стремлении fn(x) к f(x). Доста-
Достаточно потребовать, чтобы непрерывные функции fn (x) стремились к непрерывной
функции / (х), оставаясь ограниченными, независимо от значка /г, т. е. должно
существовать такое положительное число Z,, что при всяком п и всех х из
[ау Ь] имеется неравенство \fn(x)\^L. Это утверждение будет нами дока-
доказано позже [50].
12. Теорема Хелли. Мы рассмотрим теперь теорему о предельном пере-
переходе для того случая, когда изменяется интегрирующая функция g(x). Предва-
Предварительно исследуем вопрос о стремлении функции ограниченной вариации к
предельной функции. Пусть gn (x) последовательность функций ограниченной
вариации на промежутке [а, Ь]у причем вариации всех этих функций ограничены
одним и тем же числом L, не зависящим от п,
Vba(gn)^L.	F7)
Положим, что gn(x) в каждой точке промежутка [а> Ь\ стремятся к пре-
предельной функции g(x), имеющей конечные значения. Нетрудно видеть, что
и функция g(x) будет функцией ограниченной вариации. Действительно,
суммы 4^ Для Функций gn (x) имеют оценку:
откуда, переходя к пределу, получаем такую же оценку для сумм t% функции
т
откуда и следует, что вариация g(x) также не больше L. Если функции gn (x)
сходятся к функции g(x) не во всех точках промежутка [а> Ь\у но лишь
на плотном в [я, Ь] множестве % точек х^(к=\у 2, 3, ...), то уже нельзя
утверждать, что функция ?(л:)есть функция ограниченной вариации. В даль-
дальнейшем в указанном случае мы будем предполагать, что функция g(x) есть
функция ограниченной вариации. Отметим, что множество % точек х^ назы-
называется плотным в [а, Ь], если любая часть промежутка [а> Ь] содержит
бесчисленное множество точек из g. Положим, что gn (x) есть последователь-
последовательность возрастающих функций и что эта последовательность в каждой точке [а, Ь]
стремится к предельной функции g(x), имеющей конечные значения. При этом
предельная функция будет также возрастающей, а следовательно, будет и функ-
функцией ограниченной вариации. Докажем следующую теорему;

12]	ТЕОРЕМА ХНЛЛМ	47
Теорема /. Если функции gn(x), возрастающие на промежутке [a, b\f
стремятся к функции g(x) на плотном в [а, Ь\ множестве % точек,
то сходимость имеет место в каждой точке непрерывности g(x), лежа-
лежащей внутри [а, Ь].
Пусть л'о — точка непрерывности g(x), а х' и х" — точки из множества g,
лежащие слева и справа от xQ, т. е. х' < х0 < х". Мы имеем gn(x')^
()(x") и» следовательно,
g (хо) — gn (х") ^ g (хо) — gn (хо) ^ g (Хо) — gn (*').
Это неравенство мы можем переписать следующим образом:
\g (.го) - g (х")} + \g (x") - gn (x")] <c: g (х0) - gn (х0) <
^ [g (x0) - g (x')\ + [g (x') - gn (x')]. F8)
Пусть е — заданное положительное число. Точки х' и х" из множества g,
повсюду плотного в [а, Ь]> мы можем взять настолько близкими к х0, что
\g(x0) — ^(-^")|<? и \g(x0) — g(x')<:z> ибо Хо есть точка непрерыв-
непрерывности g(x). Фиксируя таким образом х' и х"} будем для всех достаточно
больших значений п иметь неравенства \g(x') — gn (х') \ < е и \g(x") —
— gn ix") I < ву так как в точках х' и х" функции gn(x) стремятся к g(x).
Приведенные неравенства, а также неравенство F8) дарт нам непосредственно
следующее неравенство:
— 2е ^ g (Хо) — gn (хо) ^ + 2е,
откуда, ввиду произвольности е, и следует, что gn (х0) —* g (x0). Формулируем
теперь основную теорему о предельном переходе.
Теорема 2 (Хелли). Пусть f(x) непрерывна на [a, b\, gn(x) — огра-
ограниченной вариации, причем вариации Vba (gn) не больше некоторого числа L,
не зависящего от п, и gn(x)-^g(x) во всех точках [а, Ь]. При этом спра-
справедлива формула
ь	ь
l«n f / (x) dgn (*) = f / (x) dg (x).	F9)
a	a
Как мы указали выше, функция g(x) есть функция ограниченной вари-
вариации, а следовательно, f (х) интегрируема по g(x). Разобьем промежуток
на частичные промежутки а = х0 < Xi < ... < xm_i < хт = b и напишем оче-
очевидную формулу
b	ш xk
f f(x)dg(x) =
k - 1 xk_t
m xk	m	xk
2 Г	V^	С
\ If (x) — / (xk)] dg (x) + > / (лг^) \ dg (x),
т.е.	k==Xxk-i	k™x xk-i
b	m xfc
m
)]• G0)

48
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[12
Пусть е — заданное положительное число. Можно фиксировать настолько
мелкое разбиение [я, Ь\ на части, чтобы для разности /(х)—/(*&) при
любом k имела место оценка \f(x)—/(•*#) |^е- Это следует непосредственно
из равномерной непрерывности f{x) в [а, Ь]. При этом получим
откуда
\f(x)-f (Xk)] dg (X)
*^ (g),
m *k
t/ (X) -f(Xk)] dg (X)
Li ^
т. е.
2 J \f(x)-f(xk)]dg(x)
Формулу G0) можем для фиксированного выше разбиения записать
в виде
Ъ	т
где | 0
где
a	k = 1
1. Путем совершенно таких же рассуждений получим формулу
ь	т
j fix) dgn (х) = Ьпа + ^ f(xk) [gn (xk)-gn(Xk-i)h
a	fc= 1
1. Вычитая почленно, будем иметь
ъ
= (в-6я)е1+
k=\
Точки х^ фиксированы, и, в силу сходимости gn(x) к ^(л:) в этих точках
для всех достаточно больших значений п сумма, входящая в последнюю фор-
формулу, будет по абсолютной величине меньше е. Таким образом, из последней
формулы для таких значений п вытекает оценка
и отсюда, в силу произвольности е, следует F9).
Замечание. Положим, что gn(х) стремятся к ^(л:) не везде на [а, Ь],
но лишь на плотном в [а, Ь] множестве точек и в том числе на обоих концах
промежутка, причем предполагается, что предельная функция g(x) есть функ-

121
ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ
49
ция ограниченной вариации. При этом, если за точки деления xk будем брать
точки, принадлежащие к множеству точек, на которых gn (x) — g (x)> то пре-
предыдущее доказательство сохранит свою силу, и мы по-прежнему придем
к формуле F9). Укажем теперь обобщения доказанной теоремы, аналогичные
тем обобщениям, которые мы приводили в [11].
Теорема 3. Положим, что f(x) непрерывна внутри промежутка
[— оо, -j- оо] и ограничена, gn (х) и g(x) — возрастающие функции на
[—оо, + °°]> непрерывные на концах этого промежутка, и gn(x)-+g(x)
на плотном множестве точек промежутка [— оо, + °°] и> в част-
частности, на обоих концах этого промежутка. При этом имеет место
формула
-j- оо	-{- оо
G1)
lim
#—>00
= [/(x)dg(x).
Отметим, что в данном случае полная вариация gn(x) выражается раз-
разностью gn (-f- оо) — gn (—оо), и из условий теоремы непосредственно вытекает,
что все эти полные вариации не больше некоторого I, не зависящего от п.
Интегралы от f (x) no gn(x) и по ^(л:) существуют. Оценим разность этих
интегралов, разбивая промежуток интегрирования на три части: [—оо, а],
[а, Ь\у [bt +oo], где точки а и Ь принадлежат тому множеству, на котором
4~ оо	4~ °°
f(x)dg(x)- J /(*)</?„<•*) | «?
— ОО	— СО
а а	Ь Ь
— оо — оо а а	Ь Ь
Функция f(x) ограничена, т. е. | /(л:) | ^ Z,. Для первой из разностей мы
имеем оценку
а	а
f(x)dg(x)- J /<*)</*„(*) | *?
— оо	— оо
^L{[g(a)-g(-co)}+[(gn(a)-gn(-oo)]}t
которую можем записать в виде
а	а
— ОО — ОО
В силу непрерывности g(x) при лг = — оо мы можем фиксировать а
настолько близким к (—оо), чтобы положительная разность g(a) — g(—оо)
была меньше любого наперед заданного положительного числа. Зафиксировав
таким образом af заметим далее, что разности gn(a) — g(a) и g(—оо) —
— gn (— °°) также будут сколь угодно малыми по абсолютной величине при
всех достаточно больших значениях п. Совершенно аналогичным образом
можно разобрать и третье слагаемое правой части формулы G2). Таким обра-
образом, для любого заданного положительного е можно фиксировать такие зна-
значения а и Ъ из упомянутого выше множества, повсюду плотного в [—оо, +°°1»

50
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[13
что первое и третье слагаемые правой части формулы G2) будут меньше е
при всех достаточно больших значениях п. К конечному промежутку [а, Ь]
применима доказанная выше теорема, т. е. и второе слагаемое правой части G2)
будет меньше ? при всех достаточно больших значениях п. Таким образом,
левая часть неравенства G2) будет меньше Зе при всех достаточно больших
значениях п\ откуда, ввиду произвольности е, и следует формула G1).
Перейдем теперь ко второму обобщению теоремы 2, которое касается
несобственных интегралов Стилтьеса.
Теорема 4, Положим, что f(x) непрерывна внутри промежутка
[—оо, +оо], gn (х) и g(x) — ограниченной вариации на этом промежутке,
причем вариации gn (х) не превышают некоторого числа, не зависящего
от п. Пусть далее gn (х) —*- g (х) на множестве, плотном в [—оо, -}-оо],
и несобственные интегралы
+ оо	Ь
\ f(x)dgn(x)= lira [f(x)dgn(x)
щ)	а -> — оо J
b _> -j- oo«
сходятся равномерно относительно п. При этом f(x) интегрируема по
g(x) на [—со, +оо], и имеет место формула [71].
Пусть ? — заданное положительное число. Существует такое положитель-
положительное Л, что для любого промежутка [В\ Б"], лежащего вне [—Л, +Л], имеет
место оценка
Б"
i
f(x)dgn(x)
G3)
Фиксируем любой такой промежуток \В\ В"] и пишем очевидное нера-
неравенство
f(x)dgn(x)
в?
-\-
f(x)dg(x)- f f(x)dgn(x)
в1
В силу замечания к теореме 2 можно взять настолько большое я, чтобы
второе слагаемое правой части было меньше е. При этом из G3) будет непо-
непосредственно следовать, что
В"
в<
Это неравенство, ввиду произвольности е, и доказывает существование
интеграла от f(x) по g(x) на [—оо, + оо]. Формула G1) доказывается совер-
совершенно аналогично тому, что мы делали выше при помощи подразделения про-
промежутка [— оо, -f- оо] на три части.
13. Принцип выбора. Мы исследовали раньше принцип выбора для мно-
множества непрерывных функций [IV; 15 и 16]. Сейчас докажем теорему, кото-
которая даст нам принцип выбора для функций ограниченной вариации.
Теорема (Хелли). Пусть % — множество функций ограниченной ва-
вариации на промежутке [а, Ь] (конечном или бесконечном), причем суще-
существует такое положительное число L, что для всех функций g(x), при-
принадлежащих g, имеют место неравенства
G4)

13]	ПРИНЦИП ВЫБОРА	51
т. е. все функции g(x) no абсолютной величине ограничены и их вариа-
вариации на [а, Ь] также ограничены некоторым числом. При этом из любой бесконеч-
бесконечной последовательности gn (x) функций, принадлежащих множеству g,
можно выделить подпоследовательность gn (x)y которая во всех точках
[а, Ь] стремится к некоторой функции g(x) ограниченной вариации.
Достаточно доказать лишь возможность выделения подпоследователь-
подпоследовательности gn (x), которая во всех точках [а, Ь\ стремится к пределу. После этого из
условий теоремы, в силу сказанного в [12], будет непосредственно следовать,
что и предельная функция g(x) есть функция ограниченной вариации. Предва-
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если имеется некоторая последовательность функций hn (л*),
возрастающих на промежутке [а, Ь\ и ограниченных одним и тем же
числом L, то из нее можно выделить подпоследовательность функций,
имеющих во всех точках [а, Ь\ предел.
Построим счетное множество точек xk (k = 1, 2, ...), содержащихся в
[а, Ь\, и состоящее из левого конца х=-а и всех точек х, имеющих рацио-
рациональную абсциссу. Это множество точек плотно, в [а, Ь]у и мы можем
выделить подпоследовательность hn (x), которая сходится во всех точках .%.
Таким образом, мы получаем предельную функцию, h (x), определенную пока
только в точках а и xk. Распространим ее на остальные точки [а, Ь] следую-
следующим образом. Если х есть точка [а, Щу не принадлежащая упомянутому мно-
множеству точек xky то будем считать h (x) равным точной верхней границе зна-
значений h (x) для всех xk, лежащих левее х, т. е. положим
h(x)= sup h(xk).
xk<x
Построенная таким образом функция h (x) будет, очевидно, возрастающей
и ограниченной на промежутке [а, Ь]. Она может иметь только конечное или
счетное множество точек разрыва: ?ь ^2»- • • Во всех точках xk множества,
повсюду плотного на [а, Ъ], последовательность hn (x) сходится к h (л:). Со-
Согласно теореме 1 из [12], сходимость будет иметь место и во всех точках
непрерывности h (х)у лежащих внутри [а, Ь]. Таким образом, сходимость hn (x)
к h (x) может отсутствовать лишь в точках разрыва ки функции h (x) и на
правом конце промежутка. Применяя к последовательности hn (x) еще раз
принцип выбора, можем добиться того, чтобы сходимость имела место и в этих
точках [IV; 15], и таким образом лемма доказана.
Теперь уже нетрудно доказать и основную теорему 1. Каждую функцию
ограниченной вариации g(x)y принадлежащую множеству g, мы можем пред-
представить в виде разности возрастающих функций
^fe)-^(x)|,	G5)
причем, в силу G4), обе эти возрастающие функции по абсолютной величине
не превосходят числа L. Применяя лемму, можно утверждать, что из последо-
последовательности gn (x) можно выделить такую последовательность, для которой
уменьшаемое в правой части G5) во всех точках [ау Ь] стремится к предель-
предельной функции. Применяя еще раз лемму, можем утверждать, что из полученной
последовательности можно выделить подпоследовательность, для которой и вы-
вычитаемое правой части G5) во всех точках [а, Ь\ стремится к предельной функ-
функции. Таким образом, получим такую подпоследовательность gn (x), которая во
всех точках [а> Ь] стремится к предельной функции, и тем самым теорема до-
доказана.

52	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[14
14. Пространство непрерывных функций. Рассмотрим множество всех
функций, принимающих вещественные значения и непрерывных на заданном
конечном промежутке [а, Ь], и назовем это множество пространством С. Эле-
Элементом этого пространства (или его вектором) является любая непрерывная
на [а, Ь] функция. Различные непрерывные функции представляют собой раз-
различные элементы С. Функцию, тождественно равную нулю на [я, Ъ\, назовем
нулевым элементом С. Если мы составим любую конечную линейную комбина-
комбинацию вещественных функций, непрерывных на [я, Ь], с вещественными коэф-
коэффициентами Cxfi (х) + c2f2 (х) + ... + cmfm (x)i T0 получим вещественную не-
непрерывную на С функцию, т. е. элементы С можно умножать на
вещественные числа и складывать, после чего опять по-
получается некоторый элемент С. Эта операция подчиняется обыч-
обычным законам элементарной алгебры, например:
/i (х) + Л (х) = Л (х) + Л (х); с [Л (х) + /2 (х)] = сА (х) + cf2 (x);
(ci + c2) f (х) = cj (x) + cj (x);	Cl (c2f (x)) = (Cic2) f (x).
Введем в пространстве С понятие нормы элемента, т. е., иначе
говоря, введем понятие о длине вектора в пространстве С. Нормой эле-
элемента f(x) мы назовем наибольшее значение, которое
п р и н и м а е т |/(*) | на [а, Ь]. У нулевого элемента норма равна нулю, а у
всякого другого она положительна. Будем обозначать норму элемента f(x)
символом ||/||. Введем, наконец, в пространстве С понятие сходимости.
Мы будем говорить, что последовательность элементов fn(x)
из С сходится к элементу f(x) из С, если \\f\x)—/Л(х)|| —0.
Это последнее равносильно тому, что наибольшее значение \f(x)—fn(x)\ на
промежутке [а, Ь\ стремится к нулю, а это, очевидно, равносильно тому, что
fn(x)—+f(x) равномерно на [а, Ь].
Введем теперь понятие функционала и оператора в пространстве С.
Функционалом в С назовем всякий определенный закон,
согласно которому любому элементу /(х) из С сопостав-
сопоставляется определенное вещественное число. Для функционалов
вводят обычно следующие обозначения: Ф [/(*)], ^ [/(*)] и т. д. Понятие
функционала является видоизменением обычного понятия функции. Роль аргу-
аргумента в случае функционала играют элементы С, а значением функционала
является вещественное число. Функционал называется дистрибу-
дистрибутивным, если для любой конечной линейной комбина-
комбинации элементов cj± (x) -\- c2f2 (x) -\- ... + cmfm (x) он удовлетво-
удовлетворяет равенству
Ф [Ci/i (X) + C2f2 (X) + . . . + Cmfm (Х)\ =
(X)] + С2Ф [/2 (X)] + . . . СтФ [fm (X)].	К }
Функционал Ф[/(х)] называется ограниченным, если су-
существует такое положительное число N, что для лю-
любого элемента f(x) из С выполняется неравенство
|Ф [/(*)] 1<ЛП!/(х)||.	G7)
В левой части неравенства стоит абсолютное значение вещественного
числа Ф[/(х)], которым выражается значение функционала в С для эле-
элемента f(x), а справа стоит произведение положительного числа N на норму
элемента/(л:), т. е. произведение TV на наибольшее значение, которое имеет
|/(х) | на промежутке [а, Ь]. Дистрибутивные и ограниченные
функционалы будем называть линейными функциона-
функционалами. Можно еще ввести понятие непрерывности функционала,
а именно функционал Ф[/ (х)] называется непрерывным
при выполнении следующего условия; если fn(x)-+f(x)

14]	ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	53
равномерно на [я, Ь]у то Ф [fn (х)] —- Ф [f(x)]. Нетрудно видеть, что
линейный функционал непрерывен. Действительно, пользуясь G6) и G7),
можем написать
В силу равномерной сходимости fn (х) к f(x), имеем \\f(x)—/п (х) \\ —* О,
и, следовательно, Ф[/(х)] — Ф [/л (^)] -^ 0, т. е. действительно Ф [/л (*)]—¦
-* Ф [/ (х)]. Мы могли бы при определении линейного функционала потребо-
потребовать дистрибутивности и непрерывности и затем доказать его ограниченность,
т. е. при наличии дистрибутивности ограниченность
функционала и его непрерывность равносильны. Мы не
будем останавливаться на доказательстве этого факта, которое не представляет
никакого труда.
Приведем пример функционала. Пусть х0 какая-либо фиксированная
точка из промежутка [а, Ь]. Значения непрерывных функций в этой точке
f(x0) представляют собой линейный функционал в С. Определенный интеграл
ь
f(x)dx
также представляет собой пример линейного функционала. Пусть g(x)—функ-
g(x)—функция ограниченной вариации на [а, Ь]. Для всякого элемента f(x) из С мо-
можем составить интеграл Стилтьеса
ъ
G8)
Он представляет собой линейный функционал Ф[/(х)]. Его дистрибутив-
дистрибутивность вытекает из дистрибутивности интеграла по отношению к функции
f(x), а его ограниченность непосредственно следует из оценки
' f(x)dg(x)
где L есть наибольшее значение |/(л:)| в промежутке [я, Ь]. Таким образом,
для функционала (80) роль числа N, входящего в формулу G7), может играть
полная вариация Vba (g).
Вернемся к неравенству G7). Если оно имеет место при некотором вы-
выборе положительного числа Nf то оно тем более имеет место при больших
значениях N. Покажем, что существует наименьшее значение N, при котором
G7) имеет место.
Отметим прежде всего, что если ||/||=0, то f(x) тождественно равно
нулю на [я, Ь], т. е. f(x) есть нулевой элемент С, если ||/|| = 0. Для вся-
всякого другого элемента ||/||>0. Но нулевой элемент С можно представить в
виде произведения /0(х) = 0. f(x), где f(x) — какая-либо непрерывная функ-
функция. Из G6) следует, что Ф (/0) = 0. Ф (/) = 0, т. е. любой дистрибутивный
функционал равен нулю на нулевом элементе С. Таким образом, для нулевого
элемента неравенство G7) имеет вид 0 ^ N - 0, и оно соблюдено при любом
выборе N, так что мы можем рассматривать G7) лишь при ||/||>0. Прини-
Принимая во внимание G6), мы можем переписать G7) в виде
|ф|^Ц|<".	G9)
fix)
Но <р (х) ~ -гг~^ есть элемент С с нормой единица.

54	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	A6
Обозначим через пф — точную верхнюю границу неотрицательных чисел
| Ф ('f) f, где у (х)— любой элемент С с нормой единица:
пф = sup | Ф (?) |.	(80)
llvll = 1
Из G8) непосредственно следует, что пф и есть наименьшее возможное
значение N в неравенстве G7). Это число пф называется нормой функ-
функционала Ф (/). Его часто обозначают также через || Ф ||.
Имеем
|Ф(/)|<пф||/Ц,	(81)
но G7) уже не может иметь место для всех f(x) из С, если взять
Отметим еще, что пф ^ 0, и если яф=:0, то из (81) следует Ф(/) = 0 для лю-
любого элемента f{x) из С, т. е. функционал Ф(/) любому элементу /(х) сопо-
сопоставляет число нуль. Из сказанного выше следует, что норма функционала,
представимого формулой G8), не превышает Vba (g). Напомним, что в четвертом
томе мы рассматривали пространство F непрерывных функций, но с другим
определением нормы элемента [IV, 35].
15. Общая форма функционалов в С. Мы докажем сейчас важную тео-
теорему -Ф.-Рисса о том,-что всякий линейный функционал Ф(/) в С может быть
представлен формулой G8), где g(x) — функция ограниченной вариации, опре-
определяющая этот функционал. Но, как мы видели выше, всякий интеграл G8),
где g(x) — фиксированная функция ограниченной вариации, — представляет
собой линейный функционал в С. Таким образом, после доказательства тео-
теоремы Рисса можно утверждать, что интеграл G8), где g(x) — функция огра-
ограниченной вариации, — представляет собой общую форму линейного функцио-
функционала в С.
Теорема (Ф. Рисса) Всякий линейный функционал в пространстве С
может быть представлен формулой (89), где g(x) есть некоторая функ-
функция ограниченной вариации.
При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться полиномами
специального вида, которые были впервые построены академиком С. Н. Берн-
штейном и о которых уже говорили раньше. Напомним построение и основное
свойство этих полиномов. Пусть f (х) — непрерывная функция на проме-
промежутке [0, 1], Полином Бернштейна, соответствующий этой функции, имеет вид
. (82)
Как мы показали раньше [II; 154], при беспредельном возрастании п по
следовательность полиномов Рп (х) стремится равномерна на промежутке [0, 1
к функции f(x). Для доказательства теоремы преобразуем промежуток [а, Ь
в промежуток [0, 1] при помощи линейной замены независимой переменной
У = (х — а): (b — а). При этом пространство функций, непрерывных на [а, Ь\,
перейдет в пространство функций, непрерывных на [0, 1], и при доказатель-
доказательстве мы будем считать, что основной промежуток [а, Ь\ есть уже промежуток
[0, 1]. Пусть Ф[/(л:)]— некоторый функционал в пространстве С. Мы должны
доказать, что его можно представить по формуле G8) — где g (x) — некоторая
функция ограниченной вариации на промежутке [0, 1|. Мы имеем очевидное
равенство
П
У С™хт(\—

ОБЩАЯ ФОРМА ФУНКЦИОНАЛОВ В С
55
и все слагаемые написанной суммы неотрицательны, если х принадлежит [0,1].
Отсюда следует, что если гт — числа, равные +1 или —1, то имеет место
неравенство
1 @<л;<1).
(83)
Применяя функционал ф[/(А')] к полиному, стоящему в левой части не-
неравенства (83), получим, в силу G7) и (83),
т=0
(84)
Выберем теперь знаки гт так, чтобы произведение гтФ[С™хт(\ — х)п~т]
было неотрицательным при всяком т. При таком выборе гт неравенство (84)
может быть записано в виде
(85)
т=0
Разобьем промежуток [0,1] на п равных частей и определим функцию gn(x)
так, чтобы она сохраняла постоянное значение на каждом из частичных про-
промежутков, а именно определим эту функцию следующим образом:
при 0 < х < — ,
gn (х) = Ф {С%х» A -
gn (•*") =
m=O
п - I
ф [Cinx A -
при 1
при 	^ х <
(86)
Полная вариация функции gn(x) равна, очевидно, сумме абсолютных зна-
значений скачков gn (x) в точках деления и на концах промежутка. В силу (85)
мы будем иметь Vba (gn) ^пф. Точно так же из (85) и определения функции
gn(x) непосредственно следуют неравенства | gn (х) \ ^ пф. Таким образом, к
последовательности функций gn(x) применима теорема 1 из [13], и мы можем
утверждать, что существует такая последовательность возрастающих целых
положительных чисел /гЛ, что во всех точках [0, \\gnk (Л) стремятся к некоторой

56	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[15
функции ограниченной вариации g(x). Мы докажем сейчас, что эта функ-
функция g(x) и будет входить в правую часть формулы G8). Составим интеграл
Стилтьеса от f(x) no gn{x). Он равен сумме произведений значений функции
/ (х) в точках разрыва gn(x) на величину скачка в этих точках, т. е. [6]:
\ fix) dgn (x) = J /(?)ф ^СпхШ О ~ х)п~тЬ
О	т=0
В силу формул G6) и (82) правая часть представляет собой значение функ-
функционала Ф [/(*)] для f(x) = Pn(x), т. е.
8
Применим эту формулу при п = nk\
(87)
При беспредельном возрастании nk Pnk(x)—+f(x) равномерно на [0, 1],
и, в силу непрерывности функционала Ф [/(*)], формула (87) дает
1
]= lim \f(x)dgnk(x).
К правой части применима теорема 1 из [12], и мы приходим, таким обра-
образом, к формуле
1
Ф [/(*)]= [f(x)dg(x).	(88)
8
Покажем, что пф = V\ (g). Из формулы (88) непосредственно следует, как
мы видели в [14], что tiq,^.Vl0(g). С другой стороны из указанного выше не-
неравенства V\ (gnu) ^== nф вытекает, что и У1^)^пф- Указанные два нера-
неравенства и приводят к равенству пф = V\ (g). Рассмотрим вопрос об единствен-
единственности представления функционала Ф (/) формулой (88). Пусть h (x) — функция
ограниченной вариации, значения которой отличны от значений g(х) на неко-
некотором множестве % точек промежутка [at b] причем % есть конечное или счет-
счетное множество. Нетрудно видеть, что интеграл
f(x)dh(x)	(89)
при любом выборе непрерывной функции f(x) равен интегралу (88). Действи-
Действительно, поскольку множество точек любого промежутка содержащегося в [0,1],
имеет мощность континуума, точки, не принадлежащие g, образуют множество

15]	ОБЩАЯ ФОРМА ФУНКЦИОНАЛОВ В С	57
плотное на [0, 1]. Таким образом, при составлении сумм Римана — Стилтьеса
для интеграла (88)
и при беспредельном измельчании частичных промежутков мы можем брать
точки деления, не входящие в %у откуда и следует совпадение интегралов (88)
и (89).
Итак, изменяя функцию g (х) в конечном или счетном множестве точек, но
так, чтобы и новая функция h \x) была функцией ограниченной вариации, по-
получим интеграл (89), дающий тот же функционал в С, что и интеграл (88).
В силу сказанного в [14], мы можем утверждать, что пф ^Vl(h), причем мо-
может иметь место и знак <. При построении g (x) указанным при доказатель-
доказательстве теоремы образом мы имели пф = Vba (g).
Поставим теперь следующий общий вопрос: для каких функций ограничен-
ограниченной вариации h (x) интеграл (89) определяет тот же линейный функционал в С,
что и интеграл (88)?
Вводя новую функцию ограниченной вариации a(xy=h(x)—g(x), прихо-
приходим к следующему вопросу: для каких функций ограниченной вариации со (л:)
мы имеем
(90)
для любой непрерывной на [0,1] функции /(*)? Ответом на этот вопрос яв-
является следующая теорема:
Теорема. Для того, чтобы при любом выборе непрерывной функции
f(x) имела место формула (90), необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция ограниченной вариации со (х) удовлетворяла следующим условиям:
1) во всякой точке непрерывности х = х0 функции со (х), лежащей внутри
[0, 1], имеет место равенство со (х0) = со @); 2) со A) = со @).
Необходимость. Выберем настолько большое /г, чтобы х0 ;> — и точка
п
хо-\	находилась внутри [0, 1], и определим непрерывную функцию/(л:) сле-
следующим образом:
1 при 0 ^ х ^ лг0,
1
-пх-\- A + пх0) при х0 < х < л*о -]	,
1
0	при х0 -\	^х^\.
На среднем промежутке лт0, х0 -|	f(x) есть линейная функция, убы-
убывающая от единицы до нуля. Равенство (90) при таком выборе f(x) дает
х0
#0

58	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСЛ	[15
или
J	0.	(91)
Но мы имеем [9]
[- пх + A + nxQ)} d« (дг)| ^ 1 • Vl+ п (со).
Поскольку <х> (х) по предположению непрерывна в точке х = лг0, можно
утверждать, что Vx (о>)—+0 при беспредельном возрастании п, и формула
(91) в пределе дает со (х0) = со @). Второе условие соA) = со@) получается из
(90), если положить f(x)= 1.
Достаточность. Поскольку точки непрерывности функции ограни-
ограниченной вариации расположены плотно на промежутке [0, 1], мы можем
при построении суммы Римана — Стилтьеса пользоваться только этими точками.
Но при этом, в силу условий о) (л:0) = со @) = со (I), все разности со (xk) — «(at^i)
будут равны нулю и, следовательно, будет иметь место (90) при любом выборе
непрерывной функции f(x). Теорема доказана.
Тем самым мы доказали, что для того, чтобы интеграл (89) давал тот же
линейный функционал в С, что и интеграл (88), необходимо и достаточно, чтобы
разность h (х) — g(x) равнялась h @)—g @) во всех точках, где она непре-
непрерывна, а также при л*=1.
Вернемся к формуле (88). Как известно, при любом представлении Ф(/)
интегралом (88) должно быть /гф^1/{(Л). Мы имеем в формуле (88) n(b=Vl(g).
Далее к g(x) можем, конечно, добавить любое постоянное слагаемое. Чтобы
исключить эту многозначность, будем считать в формуле (88) g @) = 0. У функ-
функции g(x) может быть лишь конечное или счетное число точек разрыва. Рас-
Рассмотрим такую точку разрыва $, что g(l — 0) = g(i + 0)> но gOT^gC* — 0)
(устранимый разрыв). Если мы изменим g (х) в одной точке х = Е, положив
g(z)=g(z — 0), то устраним этот разрыв, не изменив интеграла (88), но умень-
уменьшив Vo(g). Но этого быть не может, так как мы имели раньше V^(g) ==пф, а
после указанного изменения получили бы невозможное равенство Vl0(g) <пф.
Таким образом, из 1/J (g) = пф следует, что g (x) не имеет устранимых разры-
разрывов. Остаются те разрывы, в которых g(: — 0) ^t g (~ -|- 0). Если выбрать зна-
значение g (;) сначала принадлежащим замкнутому промежутку / с концами
g(l — 0), g"(t+0), а затем лежащим вне этого промежутка, то во втором слу-
случае VI (g) будет очевидно больше, чем в первом. Таким образом, в неустрани-
неустранимых точках разрыва из условия VI (g) = пф следует, что g(-) принадлежит
замкнутому промежутку /. Положение числа g(~) в промежутке / не влияет на
полную вариацию Vba (g). Итак, при условии VJ (g) = пф единственным произво-
произволом является определение g(l) в точках разрыва, но так, что g (;) принадле-
принадлежит /. Обычно полагают
или g @ = g (; + 0) — непрерывность справа, или g (;) = g (; — 0) — непрерыв-
непрерывность слева.

16)	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В С	59
Можно аналогично предыдущему рассматривать пространство С комплекс-
комплексных функций ср (х) -\- /ф (х), непрерывных на промежутке [0, 1]. Элементы та-
такого пространства можно умножать на комплексные числа и складывать. Опре-
Определение нормы и линейного функционала сохраняются, но значения функцио-
функционала могут быть и комплексными. Имеет место и теорема об общем виде
линейного функционала, причем комплексные функции ограниченной вариации
имеют вид X (х) + *> (*), где X (х) и fx (x) — вещественные функции ограничен-
ограниченной вариации.
16. Линейные операторы в С. Перейдем к определению оператора в про-
пространстве С. Оператором в С назовем всякий определенный
закон, согласно которому любому элементу f(x) из С со-
сопоставляется определенный элемент ср(лг) тоже из С.
Введем для оператора обозначение F[f(x)]. Для любой функции f(x)
из С символ F[f(x)] определяет некоторую функцию ср (х) также из С.
Дистрибутивность оператора определяется так же, как и дистрибутивность
функционала, т. е. формулой, аналогичной формуле (87). Ограниченность опре-
определяется формулой, аналогичной формуле (88), но только вместо абсолютного
значения в левой части надо писать норму, поскольку F[f(x)] есть не число,
а элемент из С:
II Л/Willow II/МП.	(880
Дистрибутивный и ограниченный оператор н дзывается
линейным оператором. Такой оператор будет обязательно непре-
непрерывным, т. е. если fn (x)-+f(x), то и f [fn (x)] —> F [/ML причем в обоих
случаях сходимость есть равномерная сходимость соответствующей последо-
последовательности функций в [я, Ь].
Приведем без доказательства tосновной результат, касающийся общей
формы линейного оператора в С. Пусть g(x, у)— функция, определенная
на замкнутом двумерном промежутке O^je^l, 0^^^1> ограниченной
вариации по х на промежутке [0, 1], при любом значении у из промежутка
[О, 1]. Подставляя эту функцию g{xy у) в правую часть формулы (96), мы
получим в результате интегрирования уже не число, а некоторую функцию
параметра у, определенную на промежутке [0, 1]:
1
Для того чтобы написанная формула давала линейный оператор, необходимо
и достаточно, чтобы функция g(x, у) кроме вышеупомянутых свойств, обла-
обладала еще и таким свойством, что функция ср (v), определяемая указанной фор-
формулой, являлась бы непрерывной функцией на промежутке [0, 1] при любом
выборе функции f(x), непрерывной на [0, 1]. Если у0 есть какое-либо значение
из промежутка [0, 1], и уп(п=\, 2, 3, ...) — последовательность чисел из
промежутка [0, 1], имеющая у0 своим пределом, то определение непрерыв-
непрерывности ср (у) в точке у0 приводит нас непосредственно к следующему необхо-
необходимому условию, которому должна удовлетворять функция g(x, у): для
любого у0 из промежутка [0, 1] и для любой непрерывной
функции / (х) на этом промежутке должна быть с праве д-
ливаформула
1	1
xg (х9 уп)=[/ (х) dxg (x} y0),	(92)
г ле уп — любая последовательность чисел из промежутка
[0, 1], имеющая у0 своим пределом. Функции g(x, у), обладающие

60	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[17
таким свойством, называются обычно слабо непрерывными по пара-
параметру у. Если g(x, у)— ограниченной вариации по х и слабо непрерывна
по у, то формула (92) дает, очевидно, линейный оператор в С. Можно
доказать и обратное предложение, т. е. всякий линейный оператор
в С представим по формуле (92), г ле g(x, у) — ограниченной
вариации по х и слабо непрерывна по у. Доказательство этой
теоремы и выяснение понятия слабой непрерывности можно найти в книге
В. И. Гливенко «Интеграл Стилтьеса».
Если К(ху у) есть функция, непрерывная на двумерном промежутке
0 ^ х ^ 1, О^у ^\)f то формула
1
<р(>0 = f К (У, x)f(x)dx
Ь
дает, очевидно, линейный оператор в С. С такими операторами мы имели
дело в теории интегральных уравнений. Но не всякий оператор в С может
быть представлен такой формулой.
17. Функции промежутков. При дальнейших обобщениях поня-
понятия интеграла нам будет удобнее пользоваться вместо функций точки
функциями промежутков. Пусть на бесконечной оси (— оо, -f- сю)
дана неубывающая ограниченная функция g (x). Сопоставим любому
полуоткрытому слева промежутку А = (а, р] неотрицательное число:
g ф -f- 0) — g (a -)- 0) (масса, содержащаяся на этом промежутке).
Таким образом, мы получим функцию полуоткрытых промежутков,
которую обозначим через О (А):
)-^(а + 0).	(93)
Для формулировки свойств этой функции введем одно новое поня-
понятие. Будем говорить, что последовательность АA), АB), ... , полуот-
полуоткрытых промежутков есть исчезающая последовательность,
если каждый промежуток A(fe+1) принадлежит предыдущему k'k), и ни
одна точка не является общей точкой всех промежутков. Выясним
структуру исчезающей последовательности промежутков. Пусть A(fe)
есть (ak, bk]. По условию, ak ^ ak+h bk ;>= bk+l и bk — ak -+¦ 0 при бес-
беспредельном возрастании k. Монотонные последовательности ak и bk
имеют общий предел с, причем для любого k мы имеем ak ^ с <: bk.
Поскольку ни одна точка, и в частности точка с, не является общей
точкой всех промежутков А(/г), то для всех достаточно больших зна-
значений k точка с должна попасть на левый открытый конец проме-
промежутка, т. е. А(/г) есть (с> bk] для всех достаточно больших k и
bk -> с. При этом
ибо g (bk -\- 0) -^ g (с -\- 0). Из определения (93) и только что приве-
приведенных рассуждений непосредственно вытекают следующие три основ-
основные свойства О (А):
1) G(A) неотрицательна; 2) она аддитивна, т. е. если полу-
полуоткрытый промежуток А разбить на конечное число полуоткрытых

171	функции промежутков	61
промежутков Дь Д2, ..., Д^, попарно без общих точек, что выра-
выражают обычно равенством
Д = Д1 + Д2 + ... + д^,	(94)
то
я
2 ;	(95)
3) функция G(A) стремится к нулю на исчезающей
последовательности промежутков.
Это последнее свойство мы будем называть нормальностью
функции О(Д). Оно имеет очевидный физический смысл. Будем рас-
рассматривать не только полуоткрытые слева, но любые промежутки:
(а, C], [а, Р), [а, [3] (а, C), и отдельную точку а будем рассматривать
так же, как промежуток [а, а]. Исходя из неубывающей ограничен-
ограниченной функции точки g(x), мы можем построить функцию О(Д) любых
промежутков, причем эта функция будет обладать указанными выше
тремя свойствами. Для этого достаточно, кроме определения (93),
ввести еще следующие определения:
¦О(К Р)) = *(Р-О)-*(а-О);
= *(&+О)-*(а-О);	(96)
= fip(P —0) —^(а + 0),
или, если [а] — промежуток, состоящий из одной точки, то
О ([а]) = g (а + 0) - g (а - 0).	(97)
Если неубывающая функция g(x) определена только на конечном
промежутке, например на промежутке (а, Ь], то можно распростра-
распространить ее на всю ось, полагая g (х) = g (a -f- 0) при х ^ а и g (x) = g (b)
при x^>b.
Мы пришли к понятию функции промежутка О (А), исходя из
неубывающей функции точки g(x). Можно, наоборот, имея функцию
промежутка О(Д) с упомянутыми выше тремя свойствами, построить
функцию точки g(x)} которая приведет по указанной выше схеме
к G(A). Достаточно для этого положить
= Q{{—oo, х]).	(98)
Построенная таким образом функция g(x) будет, очевидно, непре-
непрерывной справа. Если G (А) определена только для промежутков,
принадлежащих некоторому промежутку Ао, то ее можно определить
и для всех промежутков, полагая О (А) = G (Д • До), где произведе-
произведением промежутков А • Ао мы называем промежуток, составленный из
точек, одновременно принадлежащих Д и Ао. Если таких точек нет,
т. е. А • Ао есть пустое множество, то естественно полагаем

62	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[18
Сг(Д-До) = О. Отметим, что если добавить к g(x) любую постоян-
постоянную, то это не повлияет на значения G (А). Если g (х) есть функция
ограниченной вариации, то воспользуемся её каноническим пред-
представлением в виде разности неубывающих функций: g(x) = g1(x)—
— ?2 0*0• Функции gt (х) и g-2 (х) приведут нас к функциям проме-
промежутков Gj (А) и G2 (А) с указанными тремя свойствами, а функция
g(x) даст нам функцию промежутков G(A) = Gj(A) — G2(A). Эта
функция G(A) может быть непосредственно построена по функции
g(x) согласно формулам (93), (96) и (97). Она обладает свойством
аддитивности и нормальностью, но может быть отрицательной.
Если бы мы имели замкнутый промежуток [— оо, + °°], то вместо (98)
должны были бы положить
g(x) = G ((- со)) + G ((- сю, х]).	(99)
18. Общий интеграл Стилтьеса. Мы переходим теперь к обобщению
понятия интеграла Стилтьеса. Как уже упоминали в [3], мы получим такое
обобщение, если потребуем лишь того, чтобы числа / и /, определенные в [3],
совпадали. Кроме того, будем рассматривать интегрирование по промежутку Д
любого типа и будем разбивать А тоже на частичные промежутки Ak любого
типа, не имеющие общих точек ни внутри, на на концах. Мы допускаем,
естественно, и отдельную точку как частичный промежуток.
Итак, пусть задан конечный или бесконечный промежуток А и на нем
определены ограниченные функции/(а:) и ^(лг), причем g(x)— неубывающая
функция. Делим А на частичные промежутки Ak (k =-l, 2, ... , р) любого типа
без общих точек. Пусть mk и М^ — точная нижняя и точная верхняя границы
f (х) на Ak и ?fe — какая-либо точка из Ak. Наряду с g(x) вводим функцию
промежутков G (Ak)t определенную в [17], и составляем суммы:
5* = 2 MkG (Л*); Cs = 2 f {h) G {Ak)- A00)
k= 1	k== 1	ft= 1
Отметим некоторые обстоятельства, связанные с использованием любых
промежутков. Если точка Р с абсциссой х входит как самостоятельный эле-
элемент подразделения А, то в суммах A00) соответствующее слагаемое одина-
одинаково и имеет вид / (х) [g (х + 0) — g(x — 0)]. Точки непрерывности g(x) не
имеет смысла вводить как самостоятельные элементы подразделения, и можно
в дальнейшем считать, что точки как самостоятельный элемент подразделе-
подразделения— суть точки разрыва #(*).
Если А' и А" — два промежутка, то их произведением А'А" называем мно-
множество точек, которые принадлежат одновременно А' и А". Это есть тоже
промежуток или пустое множество. Пусть о' и о' — два подразделения Д. Про-
Произведением подразделений Ь' и о" называется подразделение Ь'Ъ", состоящее из
всевозможных промежутков А'Д", где А' принадлежит о' и А" принадлежит о".
Промежутки А'Д", очевидно, попарно без общих точек и их сумма дает основ-
основной промежуток Д. Подразделение о' называется продолжением подразделения б,
если каждый элемент о' целиком находится в одном из элементов подразделе-
подразделения 5. Произведение о'о" есть продолжение как о', так и Ъ". Если промежуток А
замкнут справа и х = Ь есть правый конец А, то при определении G (А) надо
считать g {b -\- 0) = g (b). Аналогично на левом конце g(a — 0) = g(a). Это
относится и к тому случаю, когда b = -|- оо или а = — оо. Как и в [3],
через / обозначим точную верхнюю границу сумм S6 и через/—точную ниж-

18)	ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	63
нюю границу б6 при всевозможных законах подразделения. Для sg, Sg, а5,
/ и /—справедливо все сказанное в [3].
Определение, Мы будем говорить, что f(x) интегрируема по g(x)
(или G (А)), если i = /, и величину i примем за величину интеграла
A01)
Определенный таким образом интеграл назовем общим интегралом
Стилтьеса.
В отличие от общего интеграла мы будем называть интеграл, определен-
определенный в [2], просто интегралом Стилтьеса или первоначальным интегралом
Стилтьеса. Дальше мы выясним условия существования и свойства общего
интеграла.
Теорема 1. Для существования интеграла A01) необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений
Ьп (п = 1, 2, ...), что разность 5g — sg стремится к нулю, или, что равно-
п п
сильно, arg имеет определенный предел при любом выборе точек $g\ Этот
предел А и дает величину интеграла. При этом sg -? А и Sg —> А.
Эта теорема непосредственно следует из [3], причем в рассматриваемом
случае частичные промежутки Afe не имеют общих точек. Отметим, что после-
последовательность подразделений ол, о которой говорится в теореме, не должна
быть обязательно последовательностью с беспредельно измельчающимися про-
промежутками. Если, например, существует такое подразделение 5, что ag не за-
зависит от выбора точек ?fe, то можем взять все оп совпадающими с о.
Введем теперь новое понятие*.
Определение. Последовательность подразделений Ьп называется регу-
регулярной для функции g (х) (или G (А)), если выполнены следующие два
условия: 1) каждая точка разрыва g (x) входит самостоятельным элемен-
элементом подразделения во все оп, начиная с некоторого значения п; 2) частич-
частичные промежутки подразделений Ьп беспредельно измельчаются при воз-
возрастании п, причем в случае бесконечного промежутка А бесконечное из-
измельчание надо понимать так, как это указано в [4].
Теорема 2. Если оп—регулярная последовательность подразделений,
то sg —+i и Sb —+1 при любом выборе ограниченной функции f(x).
Пусть о — любое заданное подразделение А и Ъ'п = ооя. Будем брать п на-
настолько большим, что, во-первых, все точки разрыва g(x), которые являются
точками деления о, уже входили бы как самостоятельные элементы подразде-
подразделения в Ъп, и, во-вторых, так, чтобы всякий частичный промежуток оп содер-
содержал не больше одной точки деления о. В дальнейшем надо иметь в виду, что
число таких точек фиксированно. Рассмотрим разность sgf—sg . Слагаемые,
соответствующие тем точкам деления о, которые являются точками разрыва g(x)
в суммах Sg' и s* , одинаковы, ибо, в силу сказанного выше, они самостоятель-
п п
ные элементы подразделения в о„ и тем самым в о'п. Будем дальше говорить
лишь о тех точках деления &, в которых g(x) непрерывна. Пусть их число
равно q. Если частичный промежуток подразделения ол не содержит такой точки
деления внутри себя, то соответствующие ему слагаемые в sg и sg' одина-
одинаковы. Остается не больше q частичных промежутков, входящих в ол, ко-
которые содержат упомянутые точки деления о внутри себя. Пусть х = х' точка
деления Ь, находящаяся внутри частичного промежутка Д(л^ подразделения оп.
При переходе от Ьп к Ьп одно слагаемое вида X(/l)G (А*л)) заменится двумя сла-
слагаемыми вида ^n)G (&{п)) + ^n)G (АBЛ)), причем А^л) содержит х = х' внутри

64	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[19
себя, а Д^ и ABrt) — на концах (куда именно причислять л:' неважно, ибо g (х)
непрерывна в точке х = х'). Через Х(Л), ц(п\ \(п) обозначены числа, которые не
превышают по абсолютной величине точной верхней границы |/(л:)| в А.
Поскольку в регулярной последовательности частичные промежутки бес-
беспредельно измельчаются при возрастании я, то это имеет место для А(/г), &[п\
А^ и поскольку эти промежутки содержат внутри себя или на границе фикси-
фиксированную точку непрерывности х = х' функции g (x), мы можем утверждать,
что
Х<л>G (Д(л)) - О и ^n)G (Д<л>) + v^G (Д<л)) - 0 при л-* со.
Принимая еще во внимание, что число точек х' не превышает q, мы можем
утверждать, что s8' —s* —0 при п—*оо.
п п
С другой стороны, мы имеем неравенства ss ^ s5' ^ / и s8 < sb'n ^ /. Под-
Подразделение 5 можем выбирать так, чтобы s§ было сколь угодно близким к /, т. е.
при любом заданном положительном е мы можем выбрать такое S, что / — s5 <С г.
Из неравенства s§ ^ s8'n ^ / будет при этом непосредственно следовать, что
i — Szn <С s, и, наконец, полученный выше результат s^n — sa ~*0 покажет нам,
что при всех достаточно больших п мы имеем / — s$ < 2е, т. е., в виду про-
произвольности е, sg —+ /, что и требовалось доказать. Совершенно аналогично
доказывается, что5§ —/. Отметим, что если g(x) непрерывна, то для регу-
регулярной последовательности характерным является лишь тот факт, что ее ча-
частичные промежутки беспредельно измельчаются. Это имеет место, например,
для интеграла Римана, когда g(x) = x. Ввиду неограниченности х на беско-
бесконечном промежутке при построении собственного интеграла Римана мы должны
были рассматривать лишь ограниченные промежутки.
Теорема 3. Если интеграл A11) существует и равен А, то для любой
регулярной последовательности подразделений о6п — Л. Из условия теоремы
непосредственно следует / = / = Л. При этом sS/l—+A и S^n—* Л, в силу тео-
теоремы, а потому а5л, удовлетворяющая неравенству s5n ^ абл ^ S8n и подавно
стремится к А при любом выборе точек ф\
Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующее следст-
следствие. Если для некоторой регулярной последовательности Ьп суще-
существует предел <зЬп — А, то он существует и для любой другой регулярной
последовательности и равен тому же числу А. При этом интеграл су-
существует и равен А. Если для некоторой регулярной последовательности
Ьп, а8/1 не имеет определенного предела, то интеграл A11) не существует.
Таким образом, использование сумм а6 с регулярными последовательностями
подразделений сразу решает вопрос о существовании основного интеграла
Стилтьеса.
Отметим еще, что если Ьп есть регулярная последовательность для g (x) и Ъ'п
есть продолжение од, то и о^ есть регулярная последовательность. Это вытекает
непосредственно из определения регулярной последовательности.
19. Свойства (общего) интеграла Стилтьеса. Общий интеграл Стилть-
Стилтьеса может быть получен, как мы видели, как предел сумм аь при некотором вы-
выборе последовательности подразделений. При этом, если абл имеют определен-
определенный предел, и Ъ'п есть продолжение Ьт то и ah'n имеют тот же предел. Мы
можем таким образом, пользуясь суммами as, доказывать свойства общего
интеграла Стилтьеса так же, как это мы делали для интеграла Римана и пер-
первоначального интеграла Стилтьеса. Мы приведем эти свойства с некоторыми

19]	СВОЙСТВА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА	65
дополнениями. Во всем дальнейшем функции f (х) и g (х) считаются ограни-
ограниченными в промежутке интегрирования и, кроме того, функция g(x) считается
неубывающей.
I. Если сь — постоянные, то
Д k=\
yk(x)dg{x\	A02)
Д
причем из существования интегралов, стоящих в правой
части, следует существование интеграла, стоящего в
левой части.
Для доказательства достаточно взять какую-нибудь регулярную последо-
последовательность Ьп для функции g(x).
II. Если gk(x)(k = \y 2, ...»/>) — неубывающие ограниченные
функции и ck — положительные постоянные, то
р
Ck Jf {x) dgk {x)' (l03)
=\ До
причем из существования интегралов, стоящих.-,, справа
следует существование интеграла, стоящего слева, и
наоборот.
Пусть hW регулярная последовательность подразделений для gk (x).
Последовательность Ьп = Ь^\ Ь^\ ..., Ь^ будет регулярной последователь-
последовательностью для всех функций ^(лг)(Л=1, 2, ... , р). Мы имеем очевидное ра-
равенство
р
c*(S^)~8j»*)) - A04)
где sg/l и S6n относятся к интегралу, стоящему в левой части A03), a sffi и
S^ — к интегралам, стоящим справа. Если интегралы, стоящие в правой ча-
части формулы A03), существуют, то S^ — s^fe) — 0 (k = 1, 2, ... , р) и, сле-
следовательно, S6n — sg/z —> 0, т. е. существует интеграл, стоящий слева. Положим
теперь, что существует этот последний интеграл. При этом должна существо-
существовать такая последовательность подразделений ЬП1 что S^n — Sgn — 0. Слагаемые,
стоящие в правой части формулы A04), неотрицательны и, следовательно,
Ss^ — ss^-^O при k = \, 2, ... , р, т. е. существуют интегралы, стоящие
в правой части формулы A03). Сама формула A03) вытекает непосредственно
из аналогичного свойства для конечных сумм ag/l и перехода к пределу.
III. Е с л и пром е ж у т о к До Р а зб и в а е т с я наконечное число
промежутков Дь Д2* ..., Дт без общих точек, го
т
/ (х) dg (х) = ^ J / (х) dg (x),	A05)
причем из существования интегралов в правой части сле-
следует существование интеграла в левой части и наоборот.
Положим, что существует интеграл, стоящий слева. В силу теоремы 1 имеется
такая последовательность Ьп подразделений Л, что Sg^ — s$n —+ 0. Обозначим

66	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[19
через В подразделение А на части Afe (k = 1, 2, ... , т) и положим Ь'п = ЬпЬ.
Имеем, очевидно, 5Й'Л — 58'л —0, ибо s^n^ s8n и Sbfn^.S^n. Сумма вида A6),
которая представляет 58'л — Sg^, может быть разбита на т неотрицательных
слагаемых, каждое из которых представляет собой аналогичную сумму для
некоторого Afe, и, поскольку вся сумма стремится к нулю, мы можем утверж-
утверждать это же для отдельных слагаемых., т. е. существуют интегралы, стоящие
в правой части формулы A05). Наоборот, положим, что существуют интегралы,
стоящие справа. Для каждого из них имеется такая последовательность под-
подразделений Ь^\ при которой разность S^ — s^ стремится к нулю. Произве-
Произведение этих последовательностей подразделений непосредственно приводит к та-
такой последовательности подразделений всего промежутка А, при которых ана-
аналогичная разность для интеграла, стоящего слева, также стремится к нулю.
Отметим, что для первоначального интеграла Стильтьеса в третьей из формул
C) существование интегралов, стоящих справа, не влечет за собой существо-
существования интеграла, стоящего слева.
IV.	Если на промежутке А мы имеем |/ (х) | ^ Z,, то
'/(*) dg(x)
где (/(А) — полное приращение функции g(x) на промежутке
А, причем предполагается, что интеграл существует.
V.	Если на промежутке Д функции /р(х) равномерно
стремятся к /(х) при р—> оо и интегралы от/р(лг) по g(x) суще-
существуют, то существует и интеграл от f(x) no g(x)t и имеет
местоформула
lim f fp(x)dg(x)= [f(x)dg(x).	A07)
Пусть Д^(/г=1, 2, ... , tn) — интервалы подразделения некоторой регу-
регулярной последовательности подразделений Ьп для функции g(x). Рассмотрим
суммы ог^ и а8л для функций fp (х) и для функции / (л:), которая, очевидно,
ограничена в силу равномерной сходимости fp (x):
(^n)) G (A(fe/l))- (l08)
Точки ?jj^ мы берем во всех суммах одними и теми же. Составим разность
При любом заданном положительном е существует, в силу равномерной
сходимости fp (х)у такое N, что |/(л:)—/« (х) \ < е при р > jV и для любого х
из До. Мы получим для разности аб/г — а6^ при р > N и при любом выборе
5(fen) следующую оценку: | а8п — а^\ <е G(A). Отсюда видно, что о8^ при
р —+ оо стремятся к а8/| и притом равномерно относительно п и выбора точек
?^\ По условию функции fp(x) интегрируемы по ^"(лг), и, следовательно,
каждая из сумм а8^ при беспредельном возрастании п имеет предел, который

19]	СВОЙСТВА ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА	67
мы обозначим через Лр. Этот предел и является интегралом от fp (х) по g (л:).
Покажем теперь, что последовательность чисел Ар имеет предел.
В силу A06) имеем
\Ap-Aq\^G(\) max\fp(x)-fq(x)\.
По условию правая часть стремится к нулю при ру q — со, и тем самым
Ар имеет предел при р —> оо, который обозначим через А. Нам остается дока-
доказать, что с5п —+ А при п —* оо. Оценим разность А — а5/1, которую запишем в
виде
А-аЬп = (А- Ар) + (Ар - cajf >) + (а^ - авя).	A09)
Пусть задано е > 0. Сначала выберем р настолько большим, чтобы иметь
\А — Ар | ^ е И | а^ — сдп | ^ е при любых П И \k.
Далее при всех достаточно больших п мы имеем для фиксированного выше
р, что | Ар — ог^ | < ?. Таким образом, \А — ойд | < Зе, откуда, ввиду произ-
произвольности е, и следует, что с^п—*А.
VI. Если существует интеграл от f(x) по ^D то суще-
существует и интеграл от|/ (л:) | п о g (x) и имеет место неравенство
f(x)dg(x)
§\f(x)\dg(x).	A10)
Введем обычное обозначение т^ и М^ для функции f(x). Если оба числа
положительны, то. для \f(x) | мы будем иметь те же точные границы. Если оба
числа отрицательны, то для \f(x)\ точной нижней и верхней границей будут
служить числа \Mk\ и | mk |, и разность между точной верхней и точной ниж-
нижней границей останется прежней. Наконец, если mk отрицательно, a Mk поло-
положительно, то для |/(х)| точной верхней границей будет служить наибольшее
из чисел | ть \ и М^ а точной нижней границей — число ^0. Таким обра-
образом, во всех случаях разность между точной верхней и точной нижней
границей для |/(лг)| будет не больше чем для f(x). Поэтому, если для
некоторой последовательности подразделений разность S^n — s^n для f (x) стре-
стремится к нулю, то тем более она стремится к нулю при той же последователь-
последовательности подразделений и для |/(х)|, т. е. из существования интеграла от f(x)
следует существование интеграла и для |/(л:)|. Неравенство (ПО) непосред-
непосредственно получается из аналогичного неравенства для сумм предельным переходом.
VII. Если функции fi(x) и/2(х) интегрируемы по ?(*), т о
и их произведение fi(x)f2(x) интегрируемо по g (x). Докажем
сначала, что если/(лг) интегрируемо по g(x), то/2(х) интегрируемо по #(.*:).
Предположим пока, что/(л:) положительна, и составим суммы аа для/(л:) и
Р(х):
п
°8' =
щ) {Mk -
Если первая из них стремится к нулю для некоторой последовательности
подразделений, то, в силу ограниченности множителя Mk + Щ, и вторая стре-
стремится к нулю для той же последовательности подразделений. Таким образом, для
положительной функции f(x) из интегрируемости f (х) следует интегрируемость

68	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	f2Э
/2 (х). Если f (х) неположительна, то ввиду ее ограниченности суще-
существует такая положительная постоянная, что функция f(x)-\-a положительна.
Эта последняя функция, в силу свойства 1, очевидно, интегрируема, а, следо-
следовательно, по доказанному, интегрируема и функция [f {х) + я]2 =/2 (*) +
-\-2af(x)-\-a2, откуда непосредственно вытекает и интегрируемость функции/2 (х)}
которую можно представить как сумму интегрируемых функций: /2 (х) =
= [f(x) + а]2 — 2af(x) — а2. Наконец, чтобы доказать интегрируемость/! (x)f2 (x)}
достаточно представить ее в следующем виде:
/i (х) /2 (х), = 1 [Л (х) + /2 (х)]* -\f\ (х) - у fl (х).
Правая часть написанной формулы представляет собой сумму интегриру-
интегрируемых функций.
20. Существование общего интеграла Стилтьеса. Мы укажем ниже
некоторые достаточные условия существования общего интеграла Стилтьеса.
Теорема. Любая ограниченная функция f(x) интегрируема по функ-
функции скачков gd (x) в смысле общего интеграла Стилтьеса.
Положим сначала, что множество сь с2, ..., ср точек разрыва непрерыв-
непрерывности g(x) конечно, и пусть 5 — подразделение основного промежутка, опре-
определяемое следующим образом: концы промежутка, если они принадлежат об-
области интегрирования, и точки Ci, c2, ..., ср являются самостоятельными
элементами 5, а остальными элементами 5 являются те открытые промежутки,
которые получились после выделения указанных точек. На каждом из этих
промежутков gd (x) сохраняет постоянное значение, и суммы соответствующие
интегралу от f(x) no gd (x)} очевидно, одинаковы и выражаются формулой
.	(Ill)
Таким образом, интеграл от f (х) но gd (x) существует и выражается сум-
суммой A11). Положим теперь, что множество точек разрыва ck функции gd (x)
бесконечно. Пусть Ьп — подразделение основного промежутка на части, про-
произведенное так же, как и выше, причем в качестве самостоятельных эле-
элементов подразделений выделяются концы промежутков и первые п точек
разрыва: си с2, ..., сп. Для построенной последовательности подразделений Ьп
образуем суммы а^. Сумма тех слагаемых, входящих в а6^, которые происходят
от выделенных точек, как самостоятельных элементов подразделения, равна
и не зависит от переменных точек ?#. Рассмотрим один из открытых интер-
интервалов (а,р), входящих в подразделение Ьп. Соответствующее ему слагаемое
суммы сьп будет иметь вид
Если |/(л:) |=^Z,, то мы имеем
—0) —g
причем разность g($ — 0) — g(a + C>) представляет собой сумму скачков g(x)
внутри промежутка (а, р). Таким образом, сумма слагаемых, входящих в а8 и
соответствующих открытым промежуткам подразделения Ьт будет по абсолют-

20]	СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕГО ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА	69
ной величине не больше, чем произведение L на сумму всех скачков функции
g(x)} кроме скачков в выделенных точках си с2, ..., сп. Эта сумма при бес-
беспредельном возрастании п стремится к нулю, а сумма, соответствующая выде-
выделенным точкам подразделения, при возрастании п дает в пределе сумму схо-
сходящегося ряда
оо
y.fic,)^,	A12)
и, следовательно, интеграл ot/(jc) no gd (х) существует и выражается рядом
A12), что и требовалось доказать.
Таким образом, вопрос о существовании общего интеграла Стилтьеса
свелся к вопросу о существовании интеграла от / (х) по непрерывной не-
неубывающей функции gc (x). Для этой последней функции регулярной после-
последовательностью будет любая последовательность с бесконечно измельчающи-
измельчающимися частичными промежутками. Если/(х) — монотонная функция на проме-
промежутке Д, то, в силу формулы интегрирования по частям [2], она интегрируема
на А по gc (л:). Таким образом, всякая монотонная функция интегрируема
по любой возрастающей ограниченной функции.
Укажем еще класс функций, интегрируемых по любой-возрастающей огра-
ограниченной функции g(x). Назовем функцию / (х) кусочно-постоянной на А,
если этот промежуток можно разбить на конечное число промежутков АA),
АB), ..., Аш) попарно без общих точек так, что/(х) на каждом промежутке
A(fe)(&=l, 2, ..., т) сохраняет постоянное значение. Обозначим его буквой
Ьъ. Нетрудно видеть, что кусочно-постоянная функция интегрируема по
любой возрастающей функции g(x). Действительно, если 5 есть подразделе-
подразделение А на части А(/г) (Л= 1, 2, .. ., т), то суммы sg и 5g одинаковы:
).	(ИЗ)
/г=1
Повторяя это подразделение В, мы и убедимся в том, что интеграл от ку-
кусочно-постоянной функции f (x) no g(x) существует и выражается суммой A13).
Применяя свойство V из [19], видим, что если функция f (х) на промежутке
А есть предел равномерно сходящейся последовательности кусочно-постоянных
функций, то / (х) интегрируема по любой возрастающей ограниченной функ-
функции g(x).
Отметим еще, что необходимое и достаточное условие интегрируемости
f (x) no gc(x) то же, что было указано в [10]. На доказательстве этого мы
не останавливаемся.
Замечание 1. Мы определили выше [8] функцию ограниченной вариа-
вариации g(x) на замкнутом промежутке [а, Ь]. Совершенно аналогично можно
ввести это понятие и на промежутках другого типа. Возьмем, например, от-
открытый промежуток (а, Ь). Назовем функцию g(x) — функцией ограниченной
вариации на (а, Ь), если она ограниченной вариации на любом замкнутом про-
промежутке [с, л'], лежащем внутри (а, Ь)у и Vxc (g) для любых таких промежут-
промежутков не больше некоторого числа. При уменьшении с величина V* (g) не убы-
убывает и, следовательно, при стремлении ска имеет конечный предел, который
мы обозначим К*_|_о(?). При стремлении х к Ь эта величина будет также иметь
конечный предел, который называется полной вариацией g(x) на (а, Ь). Фор-
Формулы D4) определят функции g^ (x) и g2 (x), которые входят i каноническое
представление ?(лг) в виде разности неубывающих ограниченных функций
g(x)=gi(x) — g2 (x). Общий интеграл Стилтьеса определится затем в виде

70	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	121
разности интегралов по неубывающим функциям gt (х) и g2 (х):
f(x) dg (x) = J f{x) dgl ix) - J fix) dgs ix),
и существование интеграла от f(x) no g(x) обусловливается существованием
интегралов от f(x) no gx (x) и g2 (x).
Принимая во внимание сказанное выше, мы можем утверждать, что в смы-
смысле общего интеграла Стилтьеса функция ограниченной вариации и функ-
функция, которая является пределом равномерно сходящейся последователь-
последовательности кусочно-постоянных функций, интегрируемы по любой функции
ограниченной вариации.
Замечание 2. При интегрировании по полуоткрытым промежуткам (а, Ь]
иногда вводят еще одно понятие интеграла, которое отличается от общего
интеграла Стилтьеса только тем, что основной промежуток (а, Ь] разбивается
не на промежутки любого типа, но лишь на полуоткрытые промежутки типа
(с, d] без общих точек. Поскольку при этом множества чисел s§ и Sg могут
оказаться лишь частью множеств этих же чисел для общего интеграла, то
число / может уменьшиться, а число / — увеличиться. Зто поведет к тому,
что если для общего интеграла мы имели / = /, то при новом построении инте-
интеграла можем получить i < /, т. е. функция, интегрируемая в смысле общего
интеграла, может оказаться неинтегрируемой при новом определении интеграла.
21. Функции промежутков на плоскости. Понятие аддитив-
аддитивной функции промежутков и построение интеграла Стилтьеса стано-
становятся более сложными на плоскости, в трехмерном пространстве и
вообще в многомерном пространстве. Мы рассмотрим случай пло-
плоскости. Из приведенных рассуждений будет легко видно, как их
надо видоизменить для пространств с большим числом измерений.
Пусть имеется плоскость с осями X и У, и положим, что на оси X
задан некоторый промежуток А^, а на оси У некоторый промежуток
Ду, причем понятие промежутка мы понимаем здесь в общем смысле,
о котором говорили в [20]. Эти промежутки Дд. и Ду определяют
некоторый промежуток Д на плоскости, а именно мы считаем, что
точка (х, у) принадлежит Д, если х принадлежит Д^. и у принад-
принадлежит Ду. Эти промежутки на плоскости могут быть самого разно-
разнообразного типа. Это может быть, например, замкнутый промежуток,
определяемый неравенствами а^х^ Ь, с^у ^d, или полуоткры-
полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами a<^x^b, c<^y^dy
или полуоткрытый промежуток, определяемый неравенствами
a^x<^b, c^y<^dy или полуоткрытый промежуток, определяемый
неравенствами а^х<^Ь, с<^у^d, или отрезок прямой параллель-
параллельной оси X: а<^х^Ь, у = с, или точка х = а, у = с и т. д. Числа
а, Ь, с и d, входящие в указанные выше неравенства, могут быть
как конечными, так и бесконечными. В дальнейшем большое значе-
значение будут иметь для нас полуоткрытые промежутки, определяемые
неравенствами вида a<^x^b\ c<^y^d, и для краткости речи
только такие промежутки мы и будем называть в дальней-
дальнейшем полуоткрытыми.

21]	ФУНКЦИИ ПРОМЕЖУТКОВ НЛ ПЛОСКОСТИ	71
Положим, что для любого промежутка А, принадлежащего к не-
некоторому основному промежутку Ао на плоскости, определена не-
неотрицательная функция G(A), которая обладает свойством аддитив-
аддитивности и нормальности. Иначе говоря, если А представляет собой
сумму промежутков Аи)-|-АB)-)-... -j-A(m) без общих точек, то
и если Ah А,,... есть исчезающая последовательность промежутков,
то О(Дя)->6.
Выясним некоторые свойства таких функций. Из неотрицатель-
неотрицательности и аддитивности функции G(A) непосредственно следует, что
О (Ао) будет наибольшим значением О (А) для А, принадлежащих Ао.
Значение G (А) в тех случаях, когда промежуток А есть отдельная
точка Р, мы будем обозначать просто символом Q(P)t причем
в силу неотрицательности G (А) функция G (Р) ^ 0. Может случиться,
что во всех точках Р, принадлежащих Ао, мы #меем G(P) = 0.
В таком случае функция G(A) называется непрерывной
в Ао. Если же G(P)^>0, то точка Р называется точкой раз-
разрыва G(А). Нетрудно показать, что множество точек раз-
разрыва конечно или счетно [ср. 6]. Возьмем те точки разрыва,
в которых G(P)^>1. В силу аддитивности и неотрицательности
G (А) число таких точек не больше, чем целая часть числа G (Ао).
Точно так же число точек Р, в которых G(P)^>^f не больше, чем
целая часть 2G(A0) и т. д. Отсюда совершенно так же, как в [6],
мы и заключаем, что множество точек разрыва конечно или счетно.
Если оно счетно, и Ри Р2,...— последовательность точек разрыва,
то ряд, составленный из положительных чисел G(Pk), сходится и
имеет место неравенство
со
2(/>*)< О(До).	A14)
Совершенно так же, если / есть входящая в состав Ао часть пря-
прямой, параллельной одной из осей координат, то она называется
линией разрыва, если G(/)^>0. Всякая прямая, параллельная
оси и проходящая через точку разрыва, дает линию разрыва. Но
могут быть и такие линии разрыва, которые не содержат ни одной
точки разрыва. Совершенно так же, как и выше, можно показать,
что если линии разрыва существуют, то их множество
или конечно, или счетно. При этом мы берем полный отрезок
прямой, параллельной оси и входящей в Ао, не разбивая его на
части. Пусть имеется последовательность промежутков АЛ (п = 1, 2,...)
таких, что А^ содержит АЛ+1, и точка Р или все точки линии /

72	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[21
являются единственными точками, общими всем промежуткам Ал.
В этом случае говорят, что Ап есть система вложенных
промежутков, стремящихся к Р или /(/ — отрезок прямой,
параллельной одной из осей). Пользуясь нормальностью функции
G(А), можно показать, что если Ал есть система вложен-
вложенных промежутков, стремящихся к Р или /, то G(An)->G(P)
или G (/). Проведем доказательство для случая точки Р и будем
считать, что эта точка находится внутри всех промежутков Дл, ко-
которые открыты. Проведем через Р прямые, параллельные осям, и
разобьем каждое из Ал на следующие части: точку Р, четыре от-
отрезка проведенных прямых, которые заключаются в Дл, и оставшиеся
четыре промежутка. При беспредельном сжимании Ал к точке Р все
построенные элементы подразделения, кроме точки Р, будут пред-
представлять собою исчезающую последовательность промежутков, и для
каждой из этих последовательностей G (А) будет стремиться к нулю
в силу нормальности G(A). Принимая во внимание аддитивность
функции G (А), мы легко видим, что G (Дл) -v G (Р). Совершенно
аналогично можно разобрать другие случаи для точки Р, а также
случай линии /*).
Данные выше определения становятся совершенно ясными, если
толковать G (Д) как массу, которая находится на промежутке А при
распределении материи на основном промежутке Ао. Если, например,
G(P)^>0, то в точке Р мы имеем сконцентрированную массу G(P).
Аналогичным образом, если G(/)^>0, то масса G(/) распределена
каким-то образом вдоль линии /. Положим, например, что имеется
полуоткрытый промежуток До @<^д:^2; 0<^.у^2), и в нем на
прямой /0 (х=\, 0<^у^\) распределена масса с линейной плот-
плотностью, равной единице. В данном случае G (А) равно длине той
части отрезка /0, который содержится в А. В любой точке Р, при-
принадлежащей Ао, функция G(P) = 0. Если Дл есть система вложенных
промежутков, стремящихся к /0, то их площади стремятся к нулю,
а б(Дл)=1 при всех я.
Отметим, что функцию G (А), определенную для всех промежутков,
принадлежащих Ао, легко распространить вообще на все промежутки
плоскости, причем функция останется неотрицательной, аддитивной
и нормальной. Действительно, если А есть любой промежуток, и АА0
есть произведение промежутков А и До, т. е. множество точек, при-
принадлежащих одновременно А и Ао, то это произведение есть проме-
промежуток, принадлежащий До, и мы получим упомянутое выше расши-
расширение функции G (А), если положим G (А) = G (АА0). Легко физически
истолковать это расширение функции G (А), если понимать G (А)
как массу, которая заключается на промежутке А, причем вся масса
распределена по промежутку Ао.
*) В дальнейшем мы докажем указанное свойство G (А) не только для про-
промежутков, но и для гораздо более общих точечных множеств.

22]	ПЕРЕХОД К ФУНКЦИИ ТОЧКИ	73
В дальнейшем мы увидим, что если только на полуоткрытых
промежутках задана неотрицательная, аддитивная и нормальная функ-
функция, то она единственным образом может быть распространена не
только на все промежутки, но и на гораздо более широкий класс
точечных множеств на плоскости при сохранении ее указанных
свойств. При этом ее значения на точках и линиях / могут быть
получены, как это было выше указано, предельным переходом при
помощи системы вложенных промежутков, причем предел не зависит
от того, какую именно систему вложенных промежутков мы берем.
Нетрудно произвести разбиение функции G(A) на функцию
скачков и непрерывную часть. Пусть G(A) неотрицательна, адди-
аддитивна, нормальна и определена для всех А, принадлежащих Ао.
Обозначим через Pk (k=\, 2, ...) ее точки разрыва непрерывности.
Определим функцию скачков Gd (А) следующим образом: Gd (А) равна
сумме значений Q{Pk) в тех точках Pkt которые принадлежат А.
Отметим, что если таких точек счетное множество, то ряд, соста-
составленный из G (Pk), сходится. Разность G(A) — Grf{A) обозначим через
GC(A). Эта последняя функция уже не имеет точек разрыва непре-
непрерывности. Нетрудно видеть, что обе функции Gd (А) и GC(A) не-
неотрицательны, аддитивны и нормальны. Нормальность непосредственно
следует из неравенств: 0<Grf(A)<G(A) и 0 ^ GC (A) ^ G (А). На-
Напишем полученное разложение функции G (А):
22. Переход к функции точки. Можно построить функцию про-
промежутка G(A), пользуясь функцией точки g(x, у). Положим, что
имеется функция точки g(x, у), которая определена, если х при-
принадлежит к промежутку Д*' оси Х> и у — промежутку Д(у0) оси К,
причем А^0) и Ау1 определяют основной промежуток Ао на плоскости.
Предположим далее, что функция g(xy у) не убывает пэ каждой
переменной при любом фиксированном значении другой переменной
и, кроме того,
g(x + hy y + ^ — gix + h, y) — g(xf y + k) + g(x, y)^0 A15)
при любых х и у и любых положительных h и k. Из сказанного
следует, что существуют пределы g(x, у±0) и g(x±0, у), причем
1)	g(^f y + 0)^g(xb у + 0)] g(x,, у — 0)^g(xu у — 0)
при x%^>Xi и
2)	?(* + 0, y^g(x + 0, уг)\ g(x — 0, y*)^g(x — 0, yt)
при у* >ух.
В силу монотонности, выражаемой этими формулами, мы можем
переходить к пределу последовательно по одной и другой перемен-
переменной. Составим пределы
А= lim lim g(x-\- h, у 4-k) и B= lim lim g(x-\-ht у -\- k)
fc|0 h\Q	h\0k\Q

74	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[22
и докажем, что они равны. Мы имеем g(x-\-h, y-\-k)^
^ g(x-{- h, у -\-0) и, переходя к пределу сначала по /г, а потом по k,
получим А^В. Совершенно так же можно доказать, что В^А, и,
следовательно, А = В. Величину А = В естественно обозначить
символом g(x-\-0> у -\- 0). Совершенно так же можно показать, что
lim lim g(x — /г, у— k)= lim lim g(x — h, у — k),
k-+ + 0 h-+ + 0	Л-н-4-О /г -*-1-0
и этот предел естественно обозначить символом g(x — 0, у — 0).
До сих пор мы пользовались лишь тем, что функция g(x, у) не
убывает по каждой переменной. Сейчас нам придется использовать
и условие A15). Составим пределы
Ах= lim lim g(x-\-h, у — k) и Вх= lim lim g{x-\-h,y—k)
*4ол+о	k+o п+о
и докажем, что Ai = Bi. Полагая $<^hx<^h и 0<^&i<^&, можем
написать, в силу A15),
g{x-\-K y — kx) — g{x-{-h, y — k) — g(x-{-hb у — *,) +
+ g{* + bl9 y~k)^0.
Устремляя к нулю сначала Нл и затем k\, получим
Устремляя теперь к нулю сначала h и затем k, будем иметь
В\ — Ах^О, т. е. В\^А\. Совершенно так же можно доказать,
что At^Bu и, следовательно, АХ = ВХ. Величину Аг = Вх естест-
естественно обозначить через g(x-\-0t у — 0). Совершенно так же
lim lim g(x — h, y-\-k)= lim lim g(x — hty-\-k)t
и этот повторный предел обозначим g(x — 0, j/ —|— 0). Нетрудно по-
показать, что во всех рассмотренных четырех случаях тот же предел
получится и при любом одновременном стремлении h и k к (-[- 0).
Например, можно утверждать следующее: при любом заданном по-
положительном е существует такое положительное ?], что
\g(X+h, y-k)-g(X + 0, J/-0)|<8
при
Таким образом, при выполнении условия A15) имеют определен-
определенный смысл символы g(x±:0, j/±0). При помощи g(x, у) неотри-
неотрицательная, аддитивная и нормальная функция G (А) строится сле-
следующим образом. Положим, что А^ и А^ суть промежутки на осях,
определяющие промежуток А на плоскости, и пусть а и b — гра-
граничные точки промежутка А^, a cud — граничные точки проме-

22]	ПЕРЕХОД К ФУНКЦИИ ТОЧКИ	75
жутка Ду. При этом О (А) равно следующему выражению:
±0, d±0) — g(b±0)czt0) — g(a±0i d±0)-\-
где знак -j- берется в том случае, когда промежуток закрыт на
соответствующем правом конце или открыт на соответствующем
левом конце, и знак —, когда промежуток открыт на соответствую-
соответствующем правом конце, или закрыт на соответствующем левом конце.
Таким образом, например, в случае замкнутого промежутка аЬ
мы имеем
+ g(-0, c —
В случае полуоткрытого промежутка
и в случае точки х = а> у = с:
, с — 0) — g(a — 0,
—0, с —0).
Наоборот, если имеется функция G (А), то легко построить функ-
функцию точки g(x, у), при помощи которой G(A) может быть получена
указанным выше образом. Положим, например, что G (А) определена
на всей открытой плоскости. При этом g(x, у) можно считать равной
значению О (А) для промежутка А^, который определяется следую-
следующими промежутками на осях: —со<^х'^х\ —оо<^у' ^.у. По-
Построенная таким образом g(x, у) будет непрерывной по х п у справа.
Отметим, что левая часть A15) не изменится, если к g(xy у) добавить
произвольный полином первой степени относительно х и у. Отме-
Отметим, что если g(x, у) — непрерывная функция, то соответствующая
ей G (А) не имеет ни точек, ни линий разрыва и наоборот. Если в
точке (х, у) функция g(x} у) имеет разрыв непрерывности, но
?(* + 0, y + 0)-g(x-0, y + 0)-g(x + 0, y-0) +
+ g(x — 0, у — 0) = 0,
то эта точка не есть точка разрыва для G (А).
Рассмотрим в качестве примера то распределение массы, о котором
мы упоминали выше, а именно положим, что масса распределена с ли-
линейной плотностью, равной единице, на отрезке: х= 1, O^y^l.
При этом g (х, у) = 0, если лг<^1 или_у<0; g(xy y)=y, если
х ^ 1 и 0 ^у ^ 1; g (jc, у) = 1, если х ^ 1 и у 5> 1.
Совершенно аналогично можно рассмотреть промежутки в трех-
трехмерном пространстве с осями X, У и Z. Такой промежуток опре-

76
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСЛ
{23
деляется тремя промежутками на осях. Кроме точек и прямых, па-
параллельных осям, надо будет рассматривать также и плоскости,
параллельные координатным плоскостям. В остальном все рассу-
рассуждения и результаты будут такими же, что и выше.
23. Интеграл Стилтьеса на плоскости. Нетрудно обобщить
понятие интеграла Стилтьеса на случай плоскости. При этом мы
встретимся, очевидно, с подразделениями двумерного промежутка на
части. Если А — некоторый промежуток плоскости, определяемый
промежутками Д^. и ку на осях, то мы назог^м подразделением А
такое разбиение А на частичные промежутки, которое получается
при помощи разбиений А^ и ку на частичные промежутки. Каждый
частичный промежуток А определяется частичным промежутком из А^.
и частичным промежутком из А^. На черт. 1 указано разбиение полуот-
полуоткрытого промежутка на шесть частичных промежутков, произведен-
произведенное указанным образом.
Черт. 1
Черт. 2
На черт. 2 указано разбиение совершенно иного типа. В нем
линии деления заканчиваются в середине промежутка А, и оно не
может быть получено вышеуказанным путем подразделения проме-
промежутков А^ и Ду. Но легко перейти от подразделения второго типа
к подразделению первого типа, продолжив все линии деления, и мы
в дальнейшем будем пользоваться только подразделениями первого
типа, что не играет существенной роли. Подразделение 8' называется
продолжением подразделения 8, если подразделения А^ и Ау, соот-
соответствующие 8', являются продолжениями подразделений А^ и Д^,
соответствующих 8. Если Ь{ и 8.2 — два подразделения А, а 8^, 8^'
и 8^', 8у2) — соответствующие подразделения А^. и Д^, то произведе-
произведением bfii называется такое подразделение, которое определяется
подразделениями Ъ{?Ъ'? и ЬуиЬу2> промежутков А^. и Дг Подразделение
8j82 является, очевидно, продолжением Ьх и 8.2. Отметим также, что если
А' есть промежуток, принадлежащий А, то существуют такие подраз-
подразделения А, в которых Д' является одним из частичных промежутков.
Нетрудно построить понятие, аналогичное понятию интеграла
Стилтьеса, на случай плоскости, трехмерного пространства или

23J	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА НА ПЛОСКОСТИ	77
вообще ^-мерного пространства. Ограничимся случаем плоскости.
В остальных случаях построения будут совершенно аналогичными.
Пусть на плоскости дан какой-то конечный промежуток Ао и
в нем определена равномерно непрерывная и тем самым ограничен-
ограниченная функция точки f(P) и неотрицательная, аддитивная и нормаль-
нормальная функция промежутков G(A). Пусть 8 — некоторое разбиение Ао
на промежутки Аь А2, ..., Дя попарно без общих точек. Берем
в каждом kk некоторую точку Рк и составляем сумму
A16)
Как и в [4], можно показать, что эта сумма имеет определенный
предел, когда наибольший из диаметров областей Aft стремится к
нулю. Этот предел и называется интегралом от /(Р) по G(A):
2O (A,).	A17)
д0	fc= 1
Если f(x, у) непрерывна в замкнутом промежутке кц^^х^
Ь и g(x, у) обладает указанным выше свойством,
то интеграл Стилтьеса можно определить как предел сумм
р я
°s = 2 2 f^k) ^ [g (Х*' Уь) ~ g (ДГ*-1' у*
где
<*i = *о Oi < • • • < хр~\ <.хр = bu <h =
<Уя-\ Я
xk_x < \к < xk\ yt_x < ^ <Л	A19)
при беспредельном измельчании промежутков.
Как и в [4], можно показать, что интеграл Стилтьеса сущест-
существует при предположении, что f(P) непрерывна внутри До и ограни-
ограничена, если G (А) удовлетворяет дополнительному условию, которое
мы сейчас укажем.
Пусть А (/2) — замкнутые промежутки, лежащие внутри Ао, кото-
которые расширяются и стремятся к Ао так, что любая внутренняя
точка Ао попадет в А(/г) при достаточно больших п. Мы требуем,
чтобы Q(A(/I))—>О(А0). Это аналогично непрерывности g(x) на кон-
концах промежутка, которую мы оговаривали в [4].
Интеграл Стилтьеса может быть определен и для всей плоскости
— оо <^ х <^ -\- со, —со <^у <^ -J- со, которую обозначим через Q.
Пусть G(A)—неотрицательная, аддитивная и нормальная функция,
определенная для всех промежутков как конечных, так и бесконечных,
принадлежащих Q. Пусть Д(п) — последовательность промежутков,

78	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[24
беспредельно расширяющихся по всем направлениям, например,
пусть А(п) есть—п^х^п; —п^у^п. Из нормальности G(A)
следует, что G(A(/l))— G(Q)—+ О при п—*оо. Если f(P) непре-
непрерывна и ограничена в Q, то существует интеграл Стилтьеса A17).
При этом последовательность подразделений должна быть такой,
чтобы при любом фиксированном п наибольший диаметр промежут-
промежутков, имеющих общие точки с А^, стремился к нулю.
Областью интегрирования может быть и не промежуток До,
а некоторая область S, которая представляет собой сумму конеч-
конечного числа промежутков. Мы можем совершать сколь угодно тонкие
разбиения на частичные промежутки, составлять суммы A16) и пере-
переходить к пределу. Интеграл по 5 сводится к конечной сумме инте-
интегралов по промежуткам, на которые можно разбить Sy и он, оче-
очевидно, не зависит от способа разбиения S на промежутки.
Свойства двукратного интеграла Стилтьеса совершенно анало-
аналогичны указанным нами раньше свойствам простого интеграла.
24. Функция ограниченной вариации на плоскости. Рассмо-
Рассмотрение функций ограниченной вариации на плоскости во многом
аналогично предыдущему. Формулировки будут несколько иными, так
как мы будем вести изложение не в терминах функции точки, а в
терминах функции промежутков. Пусть G (А) — аддитивная и нор-
нормальная функция промежутков, определенная для всех промежутков
(в общем смысле этого слова), принадлежащих некоторому основ-
основному промежутку До. Эту функцию G(A) мы не предполагаем неот-
неотрицательной. Пусть Аь ..., А„ — некоторое разбиение 8 промежутка Ао
на частичные промежутки. Составляем суммы
Определение. Если при всевозможных разбиениях 8 мно-
множество значений tb ограничено, то функция О (А) называется
функцией ограниченной вариации на промежутке Ао, а точная
верхняя граница этих сумм tb называется полной вариацией или
просто вариацией функции О (А) на промежутке Ао. Мы ее будем
обозначать символом V^o(G). Свойства сумм tb и полной вариации
совершенно аналогичны тем свойствам, о которых говорили в [8],
и большинство из этих свойств приведем без доказательства.
Если 8' есть продолжение подразделения 8, то ts^zfa.. Если
О (А) — ограниченной вариации на Ао, то она ограниченной вариации
и на любом промежутке А', принадлежащем Ао, причем V^ (О) ^
^ l\(G). Любая неотрицательная или неположительная функция G(A)
есть функция ограниченной вариации. Если промежуток А' принад-
принадлежит До, то имеет место неравенство
^V\(G),	A2.1)

24]	ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ НА ПЛОСКОСТИ	79
и функция G(A), ограниченной вариации в Ао, будет ограниченной
(по абсолютной величине) для всех А, принадлежащих Ао. Всякая
линейная комбинация функций ограниченной вариации есть функция
ограниченной вариации. Справедлива теорема 3 из [8] о произведе-
произведении и частном. Полная вариация V^ (G) есть некоторая неотрицатель-
неотрицательная функция, определенная в Ао. Повторяя доказательство теоремы 4
из [8], мы покажем, что V(A)=VA(G) аддитивна. Докажем, что
функция V(A) есть нормальная функция на Ао. Пусть
Дт (/«= 1, 2, 3, ...) есть исчезающая последовательность проме-
промежутков. Нам надо доказать, что V(Am)—* 0. Пусть е — заданное
положительное число. Берем такое подразделение 8: A^ ДB^
А(р) промежутка Ао, для которого
A22)
Для любого k из ряда чисел k=\, 2, 3, ..., р произведение
Am A(fe) (т= 1, 2, ...) есть исчезающая последовательность. В силу
нормальности G(A) можно фиксировать такое значение т = т0, что
(*=!,*, ...,/>).	<123>
Фиксируем любое т^>т0. Каждый промежуток Д(Л) подвергаем
дальнейшему раздроблению так, чтобы AmA(fe) было частичным про-
промежутком. Пусть Д^E=1, 2, ..., nk) остальные частичные проме-
промежутки при этом раздроблении A(fe). Таким образом, получится неко-
некоторое разбиение Ао, которое является продолжением разбиения
8, а, следовательно, для него и подавно справедливо неравенство
A22), т. е.
21 о (A.A(fe)) I + 2 2] °(А?))! ^v (Ao) -?-
В силу аддитивности V (А) и неравенства | G (Д?*) | ^ V (Д?Л)) по-
последнее неравенство дает нам
+ 2 2
ИЛИ
V (AJ < 2 I ° <Д»А№)) I + ? ПРИ w > «о-

80	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	124
Принимая во внимание A23), получим
р
V (Дт) ^ ^ J + ? = 2в при /я > /я0,
откуда, ввиду произвольности е, и следует, что V(Am)->0. Таким
образом, V(A) есть неотрицательная, аддитивная и нор-
нормальная функция промежутков на Ао. Определяем, далее
неотрицательные, аддитивные и нормальные функции по формулам
[К(Д) + О(Д)]; G(A) l[l/(A)O(A)] A24)
и получаем таким образом каноническое представление функции огра-
ограниченной вариации G (А) в виде разности двух неотрицательных,
аддитивных и нормальных функций:
G(A) = O1(A) —О2(А).	A25)
Если имеется какое-либо другое аналогичное представление:
g (А)=а1*(Ь) — а%* (А),	A26)
то для любого А, принадлежащего Ао, имеем
Наоборот, если G (А) есть разность двух неотрицательных, адди-
аддитивных и нормальных функций, то G(A) — функция ограниченной
вариации.
Если промежуток А есть точка Я, то V (Р) совпадает с G(P).
Если G (Р) = 0, то и V (Р) = 0, т. е. непрерывность G (А) в некото-
некоторой точке влечет за собой и непрерывность V(A) в той же точке.
Для отрезков, параллельных осям, дело обстоит несколько сложнее.
Истолкуем G (А) как количество зарядов, расположенных на проме-
промежутке А. Если на некотором отрезке / прямой, параллельной одной
из осей, расположены, например, с определенной линейной плотностью
электрические заряды, общая сумма которых равна нулю, то G(/) = 0.
С другой стороны, мы будем иметь V(I)^>0, так как V (/) дает
общую сумму зарядов, причем все заряды берутся со знаком плюс.
Можно было бы определить аддитивную и нормальную функцию
G (А) только на полуоткрытых промежутках и пользоваться раз-
разбиениями только на полуоткрытые промежутки. При этом мы смогли
бы провести все приведенные выше рассуждения и пришли бы к фор-
формуле A25). Неотрицательные, аддитивные и нормальные функции
Gx (А) и G2 (А) полуоткрытых промежутков можно было бы рас-
распространить на всевозможные промежутки, и тем самым формула A26)
дала бы нам распространение и заданной функции G (А) на всевоз-
всевозможные промежутки, и эта функция оказалась бы аддитивной, нор-
нормальной и ограниченной вариации для всевозможных промежутков.

25] ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	81
Пользуясь каноническим представлением A45), можем определить
интеграл по О (А) обычным образом:
J /(/>) G (rfA) = J /(/>) Qx (dA) - J /(/>) O2 (</Д). A27)
@)	@)	)
Если имеется замкнутый промежуток Д(о) (aL ^.x ^ bY\ a2 ^iy^ b2), то
пользуясь выражением A15), можем определить функцию ограниченной вариа-
вариации ?(*, .у) и полную вариацию так же, как и в [8], исходя из сумм
р я
? \g(xfr yi)—g(xk-u yi)—g(xk, yi-i)+g(xk i, ^/-i)|.A28)
25. Пространство непрерывных функций многих переменных. Поло-
Положим, что на некотором конечном замкнутом промежутке До (яi ^ x ^ bt; a2 ^
^У^Ь2) задана непрерывная функция f(xy у). При помощи линейного пре-
преобразования х' = ах + Ьу у' = су -f- d (а и с -ф 0) мы можем свести До к проме-
промежутку О^лг'^1; 0<Сд;'^1, и непрерывная функция останется непрерывной
и после преобразования. Будем считать, что уже первоначальный промежуток До
был промежутком 0^лг^1, O^v^l. Построим для fix. у) полиномы
С. Н. Бернштейна [II; 154]:
Рт, п (х} у) =
Пользуясь равномерной непрерывностью f(x, у) в До, можно, как и в
[II; 154], показать, что Рт^ п (ху у) -* f (x, у) при беспредельном возрастании
тип равномерно на До. Положим теперь, что имеется функция f(x, у) — не-
непрерывная на ограниченном замкнутом множестве F [IV; 157]. Используя, как
и выше, линейное преобразование, можем считать, что F принадлежит указан-
указанному выше промежутку До. Далее мы можем распространить f(x, у) на весь
промежуток До с сохранением непрерывности и наибольшего значения \f(x, y)\
[IV; 157]. Для таким образом распространенной f(x, у) мы можем построить
последовательность полиномов Рт,п(ху у) так, что Рт> п (ху у) —> / (л:, у) равно-
равномерно на До и тем более равномерно на F.
Рассмотрим теперь аналогично тому, как это мы делали в [14], простран-
пространство С функций непрерывных в До со следующим определением нормы: ||/|| =
= max|/(x, у) \ на До. Как и в [15], можно показать, что общая форма линей-
линейных функционалов в С есть интеграл Стилтьеса:
§	A30)
До
где G (Д) — функция ограниченной вариации на До, характеризующая функцио-
функционал Ф(/).
При определении функции ограниченной вариации можем пользоваться сум-
суммами A28), а интеграл A30) определять как предел сумм A18) при беспредель-
беспредельном измельчании промежутков. Сведения о пространстве непрерывных функций
на ограниченных замкнутых множествах можно найти в статье Радона „О ли-
линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях"
(„Успехи математических наук", вып. 1, 1936 г.) и в книге Ф. РиСса и Б. Секе-
фольви-Надя „Лекции по функциональному анализу*.

82
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[26
26. Интеграл Фурье—Стилтьеса. Рассмотрим функцию, представимую
интегралом Фурье—Стилтьеса,
= j eitxdg(x) (_
A31)
где g(x) — неубывающая ограниченная функция, непрерывная при * = it оо,
т. е.
g (— оо) = lim g (x); g (+ со) = lim g (x).
*-»• —ОО	ЛГ-*-|~°°
Интеграл A31), очевидно, существует, поскольку функция eitx непрерывна
и ограничена [4]. Выясним простейшие свойства функции ф (t). Мы имеем
-{-оо	-f-oo
? J \e"*\dg(x) = j
— oo	—oo
или | ф (f) | ^ ф @), т. е. ф(^) — ограниченная функция. Из формулы
A31) непосредственно следует также тождество
Ч(-*)=Ш-	О32)
Покажем еще, что функция ф(?) равномерно непрерывна в про-
промежутке (— сю, -f- оо). Оценим абсолютное значение разности ф (t -j- h) —
@
eM\\{e>*»-\\dg(x) =
Сперва фиксируем п настолько большим, чтобы иметь
. hx
sin-рг-
dg(x).
A33)
Далее фиксируем такое tj, не зависящее от ^, чтобы на промежутке — п •.
х^.п имело место неравенство
sin
hx
При этом, в силу A33), получим
откуда, ввиду произвольности е и независимости tj от t} и следует равномер-
равномерная непрерывность ф (t). Выясним еще одно свойство функции ф (t). Возьмем
какие-нибудь т вещественных чисел tu U,..., tm и составим форму Эрмита:
т
р, q=\
переменных %s. Принимая во внимание A31), можем написать

26]
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ-
•СТИЛТЬЕСА
83
и для формы Эрмита A34) имеем следующее выражение:
т	4-оо т	2
откуда непосредственно следует, что при любом т и любом выборе
ts значений t форма Эрмита A34) неотрицательная, т.е.
A35)
р, ?=1
Введём новое понятие. Функция ср (?) называется положительно опре-
определенной, если она непрерывна и ограничена в промежутке (— оо, + оо),
удовлетворяет тождеству A32) и если, кроме того, форма Эрмита A34) при
любом т и любом выборе точек ts неотрицательна. Из предыдущих рассу-
рассуждений следует, что если функция у (t) представима интегралом Фурье—Стил-
тьеса A31) с функцией g(x) указанного типа, то она положительно опреде-
определенна. Можно показать, что и наоборот: всякая положи те льно
определенная функция y(t) представима интегралом A31)
с функцией g (х) указанного типа. (Bochner, Vorlesungen.^iiber Fouriersche
Integrale, стр. 74, или Math. Annal. Bd. 108). Вернемся к интегралу A31) и
представим функцию g(x) в виде суммы g(x) = gj x) -\-gc (х)> где
gd (х) — функция скачков и gc (х) — непрерывная часть функции g (x). Функ-
Функция <р (t) при этом представится в виде суммы ср (t) = cpj (t) -\- cp2 (t), где
@
= [ e"*dgd{xyK ?,(*) = [
г)	*)
e"*dge(x).
A36)
Пусть xk (k = 1, 2, ...) — абсциссы точек разрыва g (x) и ak —g(Xk + 0) —
g(xki—0), причем, очевидно, a^ ^> 0, и ряд, составленный из а^ сходится.
Мы имеем разложение <pi (t) в равномерно сходящийся ряд:
A37)
Если число точек xk конечно, то и написанная сумма будет конечной.
Введем так называемое среднее значение какой-либо непрерывной функ-
функции F (t), определенной на промежутке (— оо, -f- оо),
м
{F(t)}= lim ~ f ^@^.
A38)
если предел, стоящий справа, существует. Нетрудно показать, что для ср2 (t)t
определенной формулой A36) с непрерывной фУн*щией gc (x), мы имеем
МЬ@} = 0.	A39)
Действительно, производя интегрирование под знаком интеграла, получим
1
-f- О)
-f ОО
sin сод:
dgc(x).

84	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[26
Разобьем промежуток интегрирования [— со, + °о] на три части: [— со, —• а],
[—a, -f- а], [а, + со]. Производя элементарную оценку интегралов, получим
i \gc (- «) - gc (~ «5I + -^ tec (со) - go (a)] + [gc (a) - gc (- a)\.
Пусть e — заданное положительное число. Мы можем, в силу непрерывно-
непрерывности gc (л:), при х = О, выбрать а настолько малым, чтобы иметь: gc (a) —
— gc (— а) ^ -н-. При фиксированном а первые два слагаемых правой части
стремятся к нулю при <о —* со, и, следовательно, при всех достаточно больших со
мы будем иметь
+
со
— со
откуда, ввиду произвольности е, и следует A39). Возможность интегрирования
по t под знаком интеграла Стилтьеса может быть легко оправдана. Рассмотрим
теперь функцию ср2 (t) е~ш, которую мы можем записать в виде
или, пользуясь заменой переменной интегрирования,
+ ОО
и, в силу непрерывности функций gc(x), при любом вещественном X будем
иметь
М{Ъ (t)e-**} = 0.
Далее, пользуясь равномерной сходимостью ряда A37) в промежутке
(— со, -)- со), а также тем, что
М{еш} = 0 при Х^О,
получим
M{^{t)e-^)=ak (\k = xk),
и
М {с?! (О е~ш} = О,
если X не совпадает ни с одним из х^. Предыдущие рассуждения приводят
нас к следующему общему результату: если ср(?) представима инте-
интегралом A31) с неубывающей ограниченной функцией g(x)}
т о М {ср (t) e~tXt) =g(K -\-0) — g (X — 0), и правая часть равна нулю,
если X не есть точка разрыва g(x). Среднее значение произведения
уУ)е~ш представляет собой обобщение понятия коэффициента Фурье для
периодической функции. Мы вернемся еще к обобщенным коэффициентам
Фурье в связи с обобщением формулы замкнутости [29]. В следующем пара-
параграфе мы выведем формулу обращения интеграла A31), т. е. формулу, выражаю-
выражающую g (х) через ср (t).

27]	ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ	85
27. Формула обращения. Во втором томе мы доказали вторую теорему
о. среднем, разложимость функции в ряд Фурье и интегральную формулу
Фурье в предположении, что исследуемая функция удовлетворяет условиям
Дирихле. Просматривая все доказательства, нетрудно убедиться в том, что
они сохраняют свою силу, если условие Дирихле заменить требованием,
чтобы функция была ограниченной вариации. Для интеграла Фурье мы
имеем таким образом следующий результат: если f(x) есть функция огра-
ограниченной вариации на любом конечном промежутке и абсолютно интегри-
интегрируема в смысле Римана по бесконечному промежутку, то из формулы
*@ = -т= f f{*)eitxdx	A40)
У 2тс J
Г	—00
вытекает следующая формула обращения:
1 Vя
J «-«* Л,	A41)
причем последний интеграл надо понимать в смысле главного значения
и в левой части f(x) в точке разрыва надо заменить на^ — [f(x — 0)+
+ /(•* +0I • Этот результат записывают иногда в несколько иной форме,
а именно из формулы
<р(/)= \ f(x)eitxdx	A42)
следует [III; 130]:	°°
f(x) =-J- V . p С <p (*) *-«* Л = -J- lim С <p (г) e-itx dt. A43)
— oo	— N
Нашей задачей является построение формулы обращения для интеграла
A31). Нетрудно предвидеть, какой вид должна иметь эта формула. Применим
следующий эвристический прием, не имеющий, конечно, доказательной силы.
Заменим в интеграле A31) dg(x) на g1 (x) dxy причём будем считать, что#'(л:)
есть производная от g(x). Таким образом, получим
-foo
)= f g'(x)eiixdx,
— 00
и формула обращения для обычного интеграла Фурье даст нам
1	С
) = тг— lim \
Интегрируя обе части последней формулы по х, например от х = 0 до
некоторого значения ху и производя в правой части интегрирование под знаком
интеграла, получим, окончательно, следующую формулу обращения:
ер (t) Х~ви \Х dt.	A44)

86	ИНТЕГРАЛ СТЙЛТЬЕСЛ	[27
В левую часть ее вошло значение g (х) в фиксированной точке х = 0, так
как функция g(x) определяется, очевидно, лишь с точностью до постоянного
слагаемого. Мы должны теперь провести строгое доказательство формулы A44).
Фиксируя каким-нибудь образом значение переменной х, рассмотрим сле-
следующую функцию переменной у:
h(y)=g(y + x)-g(y).	A45)
Как разность двух возрастающих функций она будет функцией ограничен-
ограниченной вариации на любом конечном промежутке. Докажем еще, что она абсо-
абсолютно интегрируема по бесконечному промежутку. Для определенности будем
считать х ^> 0. При х <Z 0 доказательство проводится совершенно так же. При-
Принимая во внимание, что функция g(y) возрастает, можем написать
^	A46)
р	р
Р)
или, совершая в первом интеграле замену переменного интегрирования: .у -f-
+ x = z,
q f x	p-\-x
j	^= j g(z)dz- j g(z)dz,
p-\-x	p	q	p
Принимая во внимание, что в промежутке [р, р + х] имеем
а в промежутке [q, q -f- х] имеем g(q -\- x) ^g (z), получим
р
Отсюда видно, что для достаточно больших значений р и любых q >» р
интеграл A46) сколь угодно мал, что и доказывает абсолютную интегрируе-
интегрируемость функции h (у) по бесконечному промежутку. Таким образом, к функ-
функции A45) применима формула Фурье
+ N	+оо
J
— N
e-*ty\ f [g(z + x) - g(z)] e»* dz I dt
— N
или, при у = 0,
+ ЛГ +оо
-N "-bo
Рассмотрим внутренний интеграл / и применим к нему формулу интегрирования
по частям:
+ ОО	+ОО
— 00
откуда, пользуясь формулой A31), получим
"и
"'*=—}; J e*

28J	ТЕОРЕМА СВЕРТЫВАНИЯ	87
Совершая в последнем интеграле замену переменных интегрирования z +
+ х = и, придем, окончательно, к следующей формуле:
+ 00
[	l ' *
— g (z)] eitz dz = l ~l ' * cp {t\	A48)
Подставляя это в формулу A47), получим формулу обращения A44).
Напомним, что в формуле A43), которая дает обращение обычного преобра-
преобразования Фурье, левую часть f(x) в точках разрыва этой функции надо считать,
как мы знаем [II: 143], равной среднему арифметическому пределов слева и
справа. Следовательно, то же замечание относится и к левой части формулы
A43) и левой части формулы обращения A44). Формула обращения A44) для
интеграла A31) справедлива и в том случае, когда g(x) есть функция ограни-
ограниченной вариации. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно представить
g(x) в виде разности двух возрастающих функций, разбить интеграл A31) на
два интеграла и к каждому из них применить доказанную выше формулу
обращения.
28. Теорема свертывания. Формула обращения для обычного инте!рала
Фурье непосредственно связана, как мы знаем, с формулой* обращения для
интеграла Лапласа [IV; 44, 45], и для последнего интеграла мы имели теорему
о свертывании. Аналогичная теорема имеет место и для интеграл^ Фурье —
Стилтьеса. Пусть gt (х) и g2 (х) — две функции с указанными выше для g (х).
свойствами. Будет существовать следующий общий интеграл Стилтьеса:
*.(')
+ «э
= J ght-x)dgx(x).	A49)
Нетрудно показать, что g3 (x) обладает упомянутыми выше свойствами и
что если gi (x) и g2 (х) непрерывны, то и gz (x) непрерывна.
Составим для функции gt (x) преобразование Фурье — Стилтьеса
"*dgk{x)	A50)
Теорема свертывания заключается в утверждении того, что эта преобра-
преобразованные функции удовлетворяют следующему простому равенству:
Применим к функции ф8 (t) формулу A48)
+ ОО
1 	Р-Ш	(*
+
Р-Ш	(*
н Фа @ = J [gi(z + u)-gi(z)]e»*dz.
Заменяя g8 (t) его выражением A49), получим
— oo I —oo

88	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[28
Переменим порядок интегрирования. На доказательстве возможности этого
не останавливаемся. Это будет следовать из одной общей теоремы о перемене
порядка интегрирования, которая будет доказана в дальнейшем. Таким образом,
мы получим
\
— С» { — ОО
Во внутреннем интеграле введем вместо z новую переменную интегриро-
интегрирования у по формуле z — х=у. При этом предыдущая формула может быть
написана в виде
1~Г"<
— оо [ — оо
Внутренний интеграл может быть выражен через фа (t) по формуле A65), и
мы приходим к формуле
4-оэ
1	e-iut	i 	e-iat
it	it
которая и совпадает с формулой A51) в силу A50).
Из теоремы свертывания непосредственно следует, что если <l>i (t) и ф2 @
представимы интегралом типа A31), т. е. принадлежат классу Р положительно
определенных функций, тогда то же можно утверждать и об их произведении.
Непосредственно очевидно, что и линейная комбинация с^ (t) -\- с2ф2 (t) с поло-
положительными коэффициентами принадлежит тому же классу. Далее, если ф (t)
принадлежит Р, то и <р (t) принадлежит Р, а именно, если g0 (л:) определяет ф (t)9
то для ф (t) будем иметь
-f-oo	-|-оо
— ОО
где ^i (л:) = — ^0 (— х). Таким образом, | ф (t) \2 будет принадлежать Р и
будет определяться функцией
4-оо
Если gu(x) непрерывна, то и h (x) будет непрерывной, и, в силу доказан-
доказанного в [26], будем иметь
Вернемся к функции ср (t), определяемой формулой A31), и пусть, как и
выше, яд — обобщенные коэффициенты Фурье, соответствующие X = Xk. Прини-
Принимая во внимание, что положительные числа аг образуют сходящийся ряд и
формулу A37), получим

29]	ИНТЕГРАЛ КОШИ — СТИЛТЬЕСА	89
С другой стороны, в силу доказанного выше,
A4l*.@lf}=0.
Далее имеем
I Cp (t) |2 = I <pi @ + Cp2 (t) |2 = I Cpi @ I2 + I Cp2 @ |2 + ?1 (Q Cp2 (t) + Cp! (Q Cp2 (t).
По неравенству Буняковского — Шварца
-I— Cl)	2	—I— ш	—L qj
— со
4 J
и, принимая во внимание A52) и A53), можно утверждать, что правая часть
стремится к нулю при беспредельном возрастании <о. Таким образом,
М { <pi @ ?2 @ } = 0, и, совершенно так же, М { cpt (f) <р2 (t) } = 0. Из формул
A52) и A53) получаем, таким образом, для любой функции из класса Р следую-
следующую теорему замкнутости:
29. Интеграл Коши — Стилтьеса. Рассмотрим интеграл Коши,
взятый по всей вещественной оси,
При некоторых предположениях относительно ф (дг) этот интеграл
существует, и функция аз(г) комплексного переменного г будет
регулярной функцией как в верхней, так и в нижней полуплоскости.
В этих полуплоскостях упомянутые регулярные функции суть различ-
различные аналитические функции, и мы знаем, что ф(лг) можно выразить
через скачок со (г) на вещественной оси, а именно имеет место фор-
формула [IV; 85]:
ф(*)= lim -к-j [а> (х + *0 — <о (^ — «)].
Положим, что g"(jc) есть функция ограниченной вариации на беско-
бесконечном промежутке [—оо, -j-°°]> и составим для комплексных зна-
значений z интеграл Коши — Стилтьеса:
+ ОО
«>(*)= \ зг=~***<•*>•	A56)
— оо
Интегрируемая функция 1 :(х — z) непрерывна на всей веществен-
вещественной оси и стремится к нулю при х -> zh оо. Таким образом, интеграл

90	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[29
A56) можем понимать как интеграл Стилтьеса [4]. Мы докажем
для интеграла A56) следующую формулу обращения:
A57)
причем для точек разрыва функции g{x) в левой части надо брать
полусумму предельных значений слева и справа. Мы могли бы преду-
предугадать эту формулу обращения совершенно так же, как это делали
выше при обращении интегралов Фурье — Стилтьеса.
Прежде чем доказывать формулу A67) рассмотрим интеграл
Пуассона для случая полуплоскости. Положим z = a-\-zi и отде-
отделим в ядре Коши вещественную и мнимую часть:
I"! (у _ а\2
X — Z (X — аJ
Отделяя в интеграле A55) мнимую часть и добавляя множитель
:те, мы и придам к интегралу Пуассона для полуплоскости:
+ оо
Он представляет собой, очевидно, гармоническую функцию как
в верхней, так и нижней полуплоскости. Докажем по поводу этого
интеграла следующее: если ф {х) — ограниченная функция, инте-
интегрируемая по Риману в любом конечном промежутке {например,
функция ограниченной вариации g{x))} то интеграл A58) {он,
очевидно, существует) при стремлении х к О со стороны положи-
положительных значений стремится к ф (о) в точках непрерывности
ф(лг) и к полусумме предельных значений слева и справа в точ-
точках разрыва первого рода, причем в любом замкнутом проме-
промежутке изменения т, лежащем внутри промежутка непрерывности
ф {х), это стремление к пределу равномерно относительно о. Для
доказательства отметим, прежде всего, очевидное равенство
-*h*-d*=l.	A59)
В интеграле A58) введем вместо х новую переменную интегри-
интегрирования у = х — а:
4-оо
— ОО
Разобьем промежуток интегрирования на два: [— со, 0], [0, -}- со],
и в первом из полученных интегралов введем новую переменную

29]	ИНТЕГРАЛ КОШИ — СТИЛТЬЕСА	91
интегрирования У\ = —у. Таким образом, придем к следующей
формуле:
Положим, что а — точка непрерывности ф (х) или точка разрыва
первого рода. Умножим обе части формулы A59) на [ф (о -j- 0) -\-
-|— ф (о — 0)]: 2 и вычтем почленно из формулы A60). Мы получим,
таким образом, следующую формулу:
;W{x)dX, A61)
где
Пусть е — заданное положительное число. При этом существует
такое положительное ij, что \w(x)\<^z при 0<^х^ч\. Если а нахо-
находится в замкнутом промежутке, лежащем внутри промежутка непре-
непрерывности ф (дг), то, в силу равномерной непрерывности ф (х), число ч\
определяется только числом i и не зависит от о. В интеграле A61)
разобьем промежуток интегрирования на два [0, г\] и [т], оо]. Для
первого промежутка интегрирования имеем
— \ -г-т—9 w W dx ^ е • — \ -г-^—* dx <Г s • — \ —5-1—z dx = ?.
Для оценки интеграла по второму промежутку заметим, что функ-
функция w(x) ограничена, что вытекает из ограниченности функции ф (х),
т. е. мы имеем | w (x) \ ^ L, где L — некоторое положительное число.
Таким образом, получим
и для разности, стоящей в левой части формулы A62), получаем
следующую оценку:
(о, т) —
—0)

2Z.
2Z./7C	, yj\
Т (т "" arc tg lj'
Разность, стоящая во втором слагаемом, очевидно, стремится к нулю,
когда положительное число т стремится к нулю, и при всех т, до-
достаточно близких к нулю, это второе слагаемое будет меньше ?.

92	ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	[29
Таким образом, при всех т, достаточно близких к нулю, мы полу-
получаем оценку
из которой вытекает, ввиду произвольности е, справедливость вы-
высказанного выше утверждения. Близость т к нулю обусловлена зна-
значением т], а это последнее не зависит от о для упомянутых выше
интервалов непрерывности ty(x). Отсюда следует равномерность
стремления к пределу в упомянутых интервалах непрерывности.
Переходим теперь к доказательству формулы обращения A57).
Составим функцию
Применяя интегрирование по частям, можем написать
тс
— оо
Ввиду ограниченности g(x) написанный несобственный интеграл
сходится равномерно относительно а, принадлежащего любому ко-
конечному промежутку, и, интегрируя обе части последней формулы
по а на промежутке [0, xQ]y причем справа интегрирование произво-
производится под знаком интеграла, получим
х0
_ ? [а> (о -f и) — а) (о — и)] da =
-[-оо	-j-oo
Интегралы, стоящие справа, суть интегралы Пуассона, и, применяя
доказанную выше теорему, мы и придем к формуле обращения A57).
Эта формула впервые дана Стилтьесом и называется обычно фор-
формулой Стилтьеса. Отметим, что для интеграла A56) значения функ-
функции g(x) на концах промежутка [—оо, -j-oo] не существенны, так
как интегрируемая функция стремится к нулю при стремлении
х к -ь-оо.

ГЛАВА II
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Функции множеств и теория измерения
30. Операции над множествами. При построении более общего
понятия интеграла мы будем разбивать основной промежуток инте-
интегрирования не на промежутки, а на точечные множества более общего
типа. Кроме того, и основной областью интегрирования будет часто
служить нам не промежуток, а некоторое точечное множество более
общего типа. Первый параграф настоящей главы и будет посвящен
изучению таких множеств <и функций, определенных на таких мно-
множествах более общего типа. Мы начнем с изложения основных поня-
понятий и основных фактов, касающихся не только точечных множеств,
но и множеств, состоящих из любых элементов. Для таких общих
множеств введем сначала некоторые основные понятия и обозначения,
которыми мы в дальнейшем будем широко пользоваться. Главным
образом будем пользоваться точечными множествами, т. е. множе-
множествами, элементы которых суть точки или прямой, или плоскости, или
вообще многомерного пространства.
Если элемент х принадлежит множеству Л, то это записывают
в виде лг? Л. Если же х не принадлежит Л, то пишут так: х? Л.
Если все элементы, входящие в множество Л, входят и в множество В,
то говорят, что Л есть часть В, и пишут Л си В или В гэ Л.
Если множества Л и В содержат одни и те же элементы, то пишут
Л = В. Если все элементы, входящие в Л, входят и в В, но среди эле-
элементов В есть и такие, которые не входят в Л, то, чтобы подчеркнуть
последнее обстоятельство, иногда говорят, что Л есть правильная
часть В. Если Л с: С и В с: С, то отсюда следует, что Л cz С. Пусть
Alt Л2, Л3,...	A)
множества, число которых конечно или счетно. Суммой мно-
множеств A) называется множество glf элементами ко-
которого являются элементы, принадлежащие по край-
крайней мере одному из множеств Лл. Для обозначения суммы

94	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[30
множеств пользуются обычными символами
§1 = Л1 + А + ... или ©1 =
Произведением множеств A) называется множе-
множество g2> элементами которого являются элементы, вхо-
входящие во все множества Ап. Произведение множеств обозна-
обозначается обычным образом
g2 = АхАг... или g2 = JJ Ап.
п
Произведение множеств может не содержать ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется п у стым
множеством, и мы будем обозначать его символом А. Так, на-
например, если А и В множества, не имеющие общих элементов, то мы
имеем формулу АВ = А. Сумма и произведение множеств подчиняются,
очевидно, переместительному и сочетательному закону. Имеем на-
например:
+	+ + { (A + B) + D;	™
АВ = В А)	А • (BD) = (АВ) • D.	К '
Справедлив и распределительный закон, т. е. имеет место формула
Для того чтобы доказать эту формулу, мы должны показать, что
всякий элемент ху входящий в множество, стоящее в левой части
формулы, входит и в множество, стоящее в правой части формулы,
и наоборот. Если х есть элемент множества, стоящего в левой
части формулы C), то он принадлежит одновременно В и сумме
множеств Ат т. е. по крайней мере одному из множеств Ап. Пусть
х? Ak. Таким образом, х? В и х? Ak, т. е. х? BAk, а следователь-
следовательно, х принадлежит множеству, стоящему в правой части формулы C).
Наоборот, если х принадлежит этому множеству, то он принадле-
принадлежит по крайней мере одному из произведений ВАп. Положим, что
х? BAk, т. е. х? В и х? Ak. Отсюда следует, что х? В и что х
принадлежит сумме множеств Ап, т. е. х принадлежит множеству,
стоящему в левой части формулы C), и эта формула доказана. Если
В cz Л, то очевидно A -j- В = А. Отсюда и из B) и C) непосред-
непосредственно следует
D)
Определим теперь разность. Под разностью множеств
А — В мы разумеем множество, элементами которого

30]	ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ	95
являются элементы Л, не входящие в В. Если Л си В> то
Л — В есть пустое множество. Отметим, что при определении раз-
разности А — В мы не предполагаем, что В az А. Если В cz Л, то имеет
место очевидная формула
А = В -f (Л — В).
В общем случае имеем
Л-f В = В-\-(А — В).	E)
Отметим некоторые формулы, которые будут нам полезны в даль-
дальнейшем. Их доказательства не представляют никакого труда. Если
А — ? = g2 и В — Л = §ь то А-\-$1 = В-\-&2. Если AnczBn, то
п и 2вя-%Ая<=%{Вя-Ап).	F)
Укажем еще на формулы, связанные с понятием разности:
А — (В — D)czz(A — B)-\-D G); АВ = А — (А — В); G,)
(А, + Л2) - (В, - В,) с= (А, - В,) + (В, - Л2);	(8)
Л + В = (Л — В) -f (В — А) 4- ЛВ.	(80
Перейдем-теперь к установлению понятия монотонной последова-
последовательности множеств и предела.* Если для бесконечной последователь-
последовательности множеств g1? g2, ... мы имеем
то будем говорить, что эта последовательность множеств
есть возрастающая последовательность. Убывающая
последовательность множеств определяется условием
g1=D8aZDg3=D...	A0)
В случае (9) назовем пределом множеств &л такое
множество g, .элементами которого являются эле-
элементы, принадлежащие по крайней мере одному
из &л. При этом будем писать g = lim &„. Отметим, что если в слу-
л-юо
чае (9) элемент х принадлежит множеству g^, то он принадлежит и
всем множествам grt при n^>k. В случае (9) мы имеем очевидную
формулу
«,	(И)
-1
которую можем также написать в виде
оо
8= lim &„ = &!+ У (8»+1-8й).	A2)

96	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[30
В последней формуле множества, входящие в качестве слагаемых
в правую часть, не имеют попарно общих точек. В случае A0)
назовем пределом множеств grt множество g, эле-
элементами которого являются элементы, принадлежа-
принадлежащие всем $п. В данном случае мы имеем
с»
$= lim $n=ll$n,	A3)
и, кроме того, в случае A0) можем написать формулу
§1=$+
В этой формуле слагаемые справа не имеют попарно общих эле-
элементов. Мы определили понятие предела последовательности мно-
множеств лишь для монотонных последовательностей. Можно было бы
сделать это и в общем случае. Не будем на этом останавливаться,
так как это нам не понадобится в дальнейшем.
Введем еще одно понятие специально для точечных множеств.
Пусть g— множество точек на плоскости. Назовем множеством,
дополнительным для g, множество всех точек плоскости, не принад-
принадлежащих к g. Это дополнительное множество обозначают обычно
символом Cg. Отметим некоторые формулы, относящиеся к понятию
дополнительного множества. Если дважды применить понятие допол-
дополнительного множества, то получим первоначальное множество, т. е.
C(Cg) = g. Если g1dg2, то CgtZDCga. Отметим также следующие
формулы:
^ —&„	A9)
6i-Cg»	B0)
которые доказываются без всякого труда. Понятие дополнительного
множества можно ввести, очевидно, и по отношению к прямой, если
основное множество расположено на прямой, и по отношению к лю-
любому многомерному пространству. Иногда вводят понятие дополни-
дополнительного множества по отношению к некоторому множеству Л. Если
все точки множества g принадлежат А, то множеством дополнитель-
дополнительным для g по отношению к А называют разность А — g. Мы будем
пользоваться понятием дополнительного множества только по отно-
отношению ко всему пространству, т. е. по отношению или к прямой,
или к плоскости и т. д.

31]	ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА	97
31. Точечные множества. Приведем теперь некоторые понятия
и результаты, касающиеся специально точечных множеств. Во II томе,,
при изложении теории кратного интеграла Римана, мы привели неко-
некоторые сведения, касающиеся точечных множеств на плоскости или
в любом я-мерном пространстве. Сейчас мы повторим сказанное во
II томе с некоторыми существенными дополнениями. Для определен-
определенности будем говорить о точечных множествах на плоскости XY. Все
сказанное легко можно распространить на случай прямой или любого
/z-мерного пространства.
Рассмотрим плоскость, отнесенную к прямолинейным осям XY>
и точечные множества на такой плоскости. Множество называется
ограниченным, если расстояние входящих в него точек от начала
меньше некоторого определенного положительного числа N, т. е.
для всех точек множества л;2-\-у*<^ЛЛ Назовем е-окрестностью
точки Р(а, Ь) замкнутый круг с центром Р и радиусом е, т. е. мно-
множества точек (х, у), удовлетворяющих условию (х — яJ -\-(у — #J ^ е2.
Точка Р называется предельной точкой или точкой сгу-
сгущения множества g, если любой е-окрестности.точки Р принад-
принадлежит бесчисленное множество точек из g. Сама точка Р может или
принадлежать или не принадлежать g. Если все предельные
точки принадлежат g, то множество g называется
замкну т-ы м. Точка Р, принадлежащая множеству g, называется
внутренней точкой g, если g принадлежат все точки некоторой
е-окрестности точки А Множество g называется открытым
множеством, если все его точки суть внутренние
точки. Замкнутые множества обычно обозначают буквой F с раз-
различными значками (французское слово ferme — замкнутый), а откры-
открытые множества — буквой О (ouvert — открытый).
Пустым множеством будем называть „множество", не содержащее
ни одной точки. В дальнейших теоремах можем подразумевать и
пустое множество, причем его надо считать и открытым и замкнутым.
Границей открытого множества О называется множество / точек Р,
обладающих следующим свойством: сама точка Р не принадлежит О,
но в любой е-окрестности Р лежат точки, принадлежащие О. По-
Поскольку О состоит из внутренних точек, можно утверждать, что
в любой s-окрестности Р лежит бесчисленное множество точек О, и
можно определить границу / открытого множества О как множество
предельных точек О, не принадлежащих О. Нетрудно показать, что
граница открытого множества есть замкнутое множество [II; 89].
Пусть g — некоторое множество. Присоединим к нему все его
предельные точки и полученное множество обозначим через g. Эта
операция называется замыканием множества g. Если g замкнутое мно-
множество, то g=g. Покажем, что g—замкнутое множество. Пусть Р—
предельная точка для g, т. е. имеется бесконечная последовательность
различных точек Рп (л = 1, 2, ...), принадлежащих g, причем

98	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[32
Рп —> А Если среди Рп имеется бесчисленное множество точек,
принадлежащих g, то Р является предельной точкой для g, а потому,
в силу процесса замыкания, входит в g. Положим теперь, что все
точки Рп, начиная с некоторого номера пу не принадлежат g. По
условию, они входят в g и, следовательно, являются предельными
точками для g. В любой -^--окрестности точки Р находится бесчис-
бесчисленное множество точек Рп, и в любой -^--окрестности каждой точ-
точки Рп находится бесчисленное множество точек g. Отсюда непосред-
непосредственно следует, что в любой е-окрестности точки Р находится бес-
бесчисленное множество точек g, т. е. Р является предельной точкой
для g, а потому, в силу процесса замыкания, должно входить в g.
Таким образом, мы показали, что множество g, полученное
в результате замыкания любого заданного множе-
множества g, есть обязательно замкнутое множество. Отме-
Отметим, что вся плоскость является одновременно и замк-
замкнутым и открытым множеством. Бесконечно далекую точку
мы не причисляем к плоскости. Всякое конечное множество
точек есть замкнутое множество. Оно вовсе не имеет пре-
предельных точек.
Введем теперь понятие расстояния между множествами. Назовем
расстоянием между множествами gt и g2 точную нижнюю границу
расстояний от всевозможных точек, принадлежащих gx, до точек, при-
принадлежащих g2. Если множества имеют хотя бы одну общую точку,
то расстояние между ними равно нулю. Но расстояние между мно-
множествами может равняться нулю и в том случае, когда множества
не имеют общих точек. Точки двух множеств, не имеющих общих
точек, могут все же беспредельно сближаться. Этого не может быть,
если данные два множества ограничены и замкнуты, и во II томе мы
доказали следующую теорему: если gj и g2 — ограниченные и
замкнутые множества без общих точек, то расстояние^
меж ду ними положите л ьно, и найдется по крайней мере
одна такая па ра точекР из gi и Q и з g2, что PQ = d. Из
доказательства этой теоремы непосредственно следует, что она
справедлива и в том случае, когда только одно из
данных замкнутых множеств ограничено. В частности,
расстояние любой заданной точки открытого мно-
множества до границы этого множества положительно.
32. Свойства замкнутых и открытых множеств. Докажем
теперь некоторые специальные свойства замкнутых и открытых мно-
множеств.
Теорема L Сумма конечного или счетного числа открытых
множеств есть открытое множество. Произведение конечного
числа открытых множеств есть открытое множество,

32]	СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ	99
Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых множеств:
Если Р ? g, то Р принадлежит по крайней мере одному из Оп,
Пусть Р ? Ok. Так как Ok — открытое множество, то некоторая
s-окрестность Р также принадлежит Ok. Эта же е-окрестность Р при-
принадлежит и сумме g, откуда и следует, что g есть открытое мно-
множество. Рассмотрим теперь конечное произведение
и пусть Р принадлежит g. Докажем, как и выше, что и некоторая
е-окрестность Р принадлежит g. Раз Р принадлежит g, то Р при-
принадлежит всем Ok (k=l, 2, ..., т). Так как Ofk — открытые мно-
множества, то для любого Ok существует некоторая ^-окрестность
точки Р, принадлежащая Ok. Если число е взять равным наимень-
наименьшему из ek (k=\, 2, ..., т)у число которых конечно, то е-окрест-
е-окрестность точки Р будет принадлежать всем ОЛ, а следовательно, и g.
Отметим, что нельзя утверждать, что произведение
счетного числа открытых множеств есть открытое
множество.
Теорема 2. Множество CF — открытое и множество СО —
замкнутое.
Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит CF. Надо
доказать, что некоторая е-окрестность Р принадлежит CF. Это сле-
следует из того, что, если бы в любой е-окрестности Р находились
точки F, точка Р, не принадлежащая по условию F, была бы пре-
предельной для F точкой и, в силу замкнутости F, должна была бы при-
принадлежать F, что приводит к противоречию.
Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замк-
замкнутых множеств есть замкнутое множество. Сумма конечного
числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Докажем, например, что множество
п
замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать [30]
По теореме 2 CFn — открытые множества, и, согласно теореме Г,
множество Cg — тоже открытое, и тем самым дополнительное мно-
множество g замкнуто. Отметим, что сумма счетного числа замкну-
замкнутых множеств может оказаться и незамкнутым множеством.

100	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[32
Теорема 4. Множество О — F есть открытое множество
и множество F — О — замкнутое.
Легко проверить следующие равенства:
O — F=O-CF\ F—O = F-CO.
Из них, в силу предыдущих теорем, следует теорема 4.
Мы будем говорить, что множество g покрыто системой М неко-
некоторых множеств, если всякая точка g входит по крайней мере в одно
из множеств системы Ж.
Теорема 5 (Бореля). Если замкнутое ограниченное множество
F покрыто бесконечной системой а открытых множеств О, то
из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число от-
открытых множеств, которые также покрывают F.
Доказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое ко-
конечное число открытых множеств из системы а не покрывает Fy и
приведем это к противоречию. Раз F—ограниченное множество, то
все точки F принадлежат некоторому конечному двумерному проме-
промежутку Д0(а^лг^:?; c^y^d). Разобьем этот замкнутый проме-
промежуток Ао на четыре равные части, деля промежутки [а, Ь] и [с, d]
пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать
замкнутым. Те точки Fy которые попадут на один из этих четырех
замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять
собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замк-
замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых
множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замк-
замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот про-
промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же,
как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежут-
промежутков Ао, Аь Д2, ..., из которых каждый следующий представляет
собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее
обстоятельство: множество точек F, принадлежащих Ал, при любом k
не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из
системы а. При беспредельном возрастании k промежутки Ал будут
беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит
всем промежуткам Ал. Поскольку Ал при любом k содержат бес-
бесчисленное множество точек /% точка Р является предельной точкой
для Fy а потому и принадлежит F, ибо F—замкнутое множество.
Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством G,
принадлежащим к системе а. Некоторая е-окрестность точки Р будет
также принадлежать открытому множеству О'. При достаточно боль-
больших значениях k промежутки Lk попадут внутрь указанной выше
е-окрестности точки Р. Тем самым эти Ал будут целиком покрыты
только одним открытым множеством (У системы а, а это противо-
противоречит тому, что точки Fy принадлежащие Aft, при любом k не могут
быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежа-
принадлежащих а. Тем самым теорема доказана.

32]	СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ	101
Теорема 6. Открытое множество может бить представлено
как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно
без общих точек.
Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы на-
называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида
^	^d
^y
Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллель-
параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих
квадратов есть счетное множество. Выберем из этих квадратов те
квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому
множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или
счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из
оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квад-
квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки
которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять
делим на четыре равные части и отбираем те квадраты, все точки
которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р мно-
множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки кото-
которого принадлежат О. Действительно, пусть d — положительное рас-
расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ
которых меньше df то можно, очевидно, утверждать, что точка Р
уже попала в квадрат, все томки которого принадлежат О. Если
выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно
иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадра-
квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткры-
полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая
через АЛ те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в резуль-
результате указанного выше построения, можем написать
0=
В случае одного измерения, т. е. прямой линии, легко доказать
следующее утверждение: всякое открытое множество на прямой есть
сумма конечного или счетного числа открытых промежутков попарно
без общих точек.
Все сказанное в двух последних параграфах применимо и для
точечных множеств на прямой, в трехмерном пространстве и вообще
в я-мерном пространстве. Разница будет только в определении
е-окрестности и промежутка. В трехмерном пространстве е-окрест-
ность точки Р есть сфера с центром Р и радиусом е, и промежуток
есть прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям.
Полуоткрытый промежуток определяется неравенствами: at^x^bi,
а<ь<^у^Ьъ; аг<^г^Ь%. В случае прямой е-окрестность точки л:0
определяется неравенством лг0 — е ^ х ^ jc0 -\- е.

102	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[33
33. Элементарная фигура. В дальнейшем основную роль для
нас будут играть конечные полуоткрытые промежутки
и для краткости речи мы их будем называть просто промежут-
промежутками. Пусть задана неотрицательная, аддитивная и нормальная
функция промежутков G(A). Наша задача распространить ее на не-
некоторый широкий класс точечных множеств при сохранении всех ее
указанных выше свойств. Назовем элементарной фигурой
сумму конечного числа промежутков Ak (k=\, 2, ..., т) попарно
без общих точек. Обозначая через R такую элементарную фигуру,
можем написать
т
R = 2 А*'	B2)
Эту же элементарную фигуру мы можем конечно разбить и каким-
либо иным образом на промежутки, не имеющие попарно общих
точек,
т'
/?=Уд;.	B3)
Нетрудно видеть, что для любых двух таких разбиений мы будем
иметь
т	т1
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести новое
разбиение R> которое является произведением разбиений B2) и B3),
и принять во внимание аддитивность G(A). При этом окажется, что
как левая, так и правая части формулы B4) представляют собой
сумму значений G(A) для промежутков указанного только что нового
разбиения R. Для получения левой части формулы B4) достаточно
сгруппировать слагаемые этой последней суммы, соответствующие
тем частичным промежуткам, которые принадлежат одному и тому
же Ал, а для получения правой части B4) эту группировку надо
сделать для слагаемых, соответствующих частичным промежуткам,
принадлежащим одному и тому же А^. Таким образом, если элемен-
элементарная фигура R разбита каким-либо способом на частичные проме-
промежутки, не имеющие попарно общих точек, то сумма значений функ-
функции G(A) для полученных частичных промежутков имеет вполне
определенное значение, т. е. не зависит от способа разбиения R.
Эту сумму мы и принимаем за значение функции G(R) для элемен-
элементарной фигуры /?, т. е.
т
= 2
B5)

33]	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФИГУРА	103
при любом разбиении R на конечное число проме-
промежутков попарно без общих точек. Таким образом, мы
совершенно просто распространили функцию G(A) на элементарные
фигуры. Мы могли бы, пользуясь формулой B1), совершенно анало-
аналогичным образом распространить G (А) и на все открытые множества.
Но мы пойдем несколько иным путем. При этом все же открытые
множества будут играть в нашем изложении основную роль. В настоя-
настоящем параграфе рассмотрим еще некоторые простые свойства проме-
промежутков и элементарных фигур.
Отметим, что если Rt cz /?2, то G (Rx) ^ G (/?2). Это следует
непосредственно из неотрицательности О (А), если использовать такое
разбиение R% на промежутки, при котором частичные промежутки,
имеющие общие точки с Rb целиком входят в Rt. Пусть bk (k =
= 1, ... , р) — промежутки, которые могут иметь и общие точки.
Проводя прямые, на которых лежат стороны Ък, мы разобьем сумму
промежутков bk на частичные промежутки, причем эти частичные про-
промежутки обладают следующим свойством: если два из них имеют
общую точку, то они целиком совпадают. Считая налегающие друг
на друга промежутки за один промежуток, получим некоторую эле-
элементарную фигуру /?0, которая представляет, очевидно, сумму про-
р
межутков Ro = \ Ък, причем *мы имеем
°(8*)'	B6)
и знак <^ имеет место, если хотя бы для одного из налегающих про-
промежутков значение функции G(A) положительно.
Введем теперь новое понятие, которое будет использовано в даль-
дальнейших построениях. Пусть h(a<^x^b, c<^y^d)— некоторый
промежуток и а — положительное число. Назовем а-сжатием про-
межутка А промежуток, определяемый неравенствами a-f-а<^х^Ь,
с-\-а<^у ^dt и обозначим этот промежуток символом (а) А. Назо-
Назовем а-расширением промежутка А промежуток, определяе-
определяемый неравенствами а<^х ^b -f-а, с<^у ^d-\-а, и обозначим его
символом А<а). Разности А — (°0 А = а R и А(а) — А = RW суть эле-
элементарные фигуры. В силу неотрицательности G(A) имеем
=G(ДМ) —
а из нормальности функции G (А) непосредственно следует.
lim G(HA)= lim G(A<*))= G(A).	B60
a->-f-0	a->-]-0
Докажем теперь лемму, которая будет нам нужна в дальнейшем.

104	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[33
Лемма. Если элементарная фигура R покрыта конечным или
счетным числом промежутков b'k (которые могут иметь и общие
точки), то
2 О (»i)^ О («)*)•	B7)
k
Утверждение этой леммы наглядно очевидно. Мы приведем его
строгое доказательство, пользуясь теоремой 4. Пусть е — заданное
положительное число. Разбиваем R на конечное число промежутков
Дл(&=1, 2, ... , т) попарно без общих точек и подвергаем каждый
из частичных промежутков Ал а-сжатию, причем положительное число а
фиксируем настолько малым, чтобы сумма значений G (А) для сжатых
промежутков оказалась ^ G (R) — г. Обозначая через Ra элементар-
элементарную фигуру, равную сумме сжатых промежутков, можем написать
О (Я.) S*O (Я) —е.	B8)
Каждый из промежутков Ьгь входящих в покрытие R, подвергаем
ад-расширению, причем положительные числа ak выбираем настолько
малыми, чтобы иметь
0(W<0(»;) + -Jr.	B9)
Сжатые промежутки, сумма которых давала Ra, делаем замкнутыми
промежутками, т. е. замыкаем каждый из этих промежутков. Сумма
полученных замкнутых промежутков (их конечное число) есть неко-
некоторое замкнутое множество F, причем очевидно FczR. Если исклю-
исключить из 8^ал> границу, т. е. две стороны и одну вершину, то останется
открытый промежуток b'k(«k). Принимая во внимание расширение про-
промежутков b'kf можем утверждать, что открытые промежутки 8^"*) покры-
покрывают упомянутые выше замкнутые промежутки, т. е. покрывают огра-
ограниченное замкнутое множество F. Пусть, например, число промежут-
промежутков 8^ бесконечно. В силу теоремы 4 достаточно взять конечное
число промежутков b'k("k>(k= 1, 2, ... , q) для того, чтобы покрыть F,
а тем самым покрыть и Яа.
Сумма промежутков b'k^(k=\, 2, ... , q) есть некоторая эле-
элементарная фигура Rr, причем Rac^R'y и, следовательно,
< О (Я'). В силу B6) и B9) имеем также
О(Я')= J О(»;<«*>)< 2
k = \	k \
откуда непосредственно следует
*) Е обозначает Sm, где т = оо или конечно и
к	Л=1

34]	ВНЕШНЯЯ МЕРА И ЕЕ СВОЙСТВА	105
а потому и подавно
Сравнивая с B8), получим
2—2е-
Сумма, стоящая слева, не зависит от е, и, ввиду произвольности е,
мы и получаем неравенство B7). Отметим, что слагаемые суммы, стоя-
стоящей в левой части B7), неотрицательны и конечны, а сама сумма
может равняться и (-{- оо).
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с суммами беско-
бесконечного числа неотрицательных слагаемых. Если хотя бы одно из
слагаемых такой суммы равно D- сю), то и всю, сумму надо считать
равной (-(-сю). Но, как мы только что указали, может случиться и
так, что все слагаемые конечны, а сумма равна {-(- оо), т. е. ряд
расходится.
34. Внешняя мера и ее свойства. Пользуясь функцией G(A)
мы поставим сейчас любому точечному множеству g.плоскости неко-
некоторое неотрицательное число, которое назовем внешней мерой этого
множества.
Определение. Пусть промежутки ДЛ (п = 1, 2, ...), число
которых конечно или счетно, совершают покрытие множества g.
Внешней мерой g назовем точную нижнюю грань значений сумм:
C0)
при всевозможных покрытиях множества g промежутками.
Будем обозначать внешнюю меру символом |g|o, причем значок
внизу указывает на ту функцию О (А), которая послужила осно-
основой при определении внешней меры. Таким образом, для любого
покрытия можем написать
2(*»).	C-1)
Если для любого покрытия суммы C0) равны (-{- оо), то и внеш-
внешнюю меру надо считать равной (-{- оо). У ограниченного множества
внешняя мера всегда конечная, ибо такое множество может быть
покрыто одним промежутком Ао, и по условию G (Ап) конечно. Отметим,
что неограниченное множество g нельзя покрыть конечным числом

106	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[34
промежутков, ибо каждый промежуток мы согласились брать конечным.
Но все же внешняя мера неограниченного множества может оказаться
и конечным числом. Докажем теперь ряд теорем относительно внеш-
внешней меры.
Теорема 1. Если g'czg", то |§'|о^|ё"|о-
Всякое пэкрытие grf есть тем самым и покрытие gr, а потому
нижняя грань сумм C0) для gr может оказаться меньше чем для
%'\ но во всяком случае не может быть больше, чем для g", что
и требовалось доказать.
Теорема 2. Для всякой элементарной фигуры R внешняя
мера равна G(R), m, e. \R\Q = G (R).
Если R разбить каким-нибудь образом на частичные промежутки АА>
то эти последние покрывают R и тем самым, в силу B5) и опре-
определения внешней меры, как нижней границы сумм C0), при всевоз-
всевозможных покрытиях /?, мы имеем \R\g^G(R)- Докажем теперь про-
противоположное неравенство. Если промежутки Д„ совершают покры-
покрытие R, то, в силу леммы предыдущего параграфа, мы имеем
\ О (Д„) ^ G (R), откуда и следует непосредственно, что | R \Q ^ G (R).
п
Доказанные два неравенства и приводят нас к равенству \R\G= G(R).
Теорема 3. Для конечного или счетного числа слагаемых
внешняя мера суммы множеств ^ суммы внешних мер слагае-
слагаемых множеств, т. е.
~ 2gw|°-	C2)
В дальнейшем мы будем часто обозначать покрытие некоторого
множества одной буквой 5. При этом сумму C0) для такого покры-
покрытия будем обозначать символом а E). Пусть задано положительное е.
В силу определения точной нижней границы существует такое покры-
покрытие Sn множества &л, что ^ EЛ) ^ | ©« | о + ^ф БеРем промежутки,
входящие во все Sn(n=\f 2, ...). Они совершают некоторое покры-
покрытие 5 для /.&„, и для этого покрытия имеем очевидно
В силу определения точной нижней границы
и, ввиду произвольности е, мы и получаем неравенство C2). Отме-
Отметим, что сумма, стоящая в правой части C2), или даже отдельные

34]	ВНЕШНЯЯ МЕРА И ЕЕ СВОЙСТВА	107
слагаемые этой суммы могут быть равны (-(-оо). Ввиду неотрица-
неотрицательности слагаемых порядок слагаемых не играет роли. Определив
внешнюю меру, мы распространили функцию G (А) на всевозможные
точечные множества плоскости, но при этом потеряли, вообще говоря,
свойство аддитивности этой функции. Действительно, можно показать,
что если множества $п — попарно без общих точек, то все же в фор-
формуле C2) мы можем в некоторых случаях иметь знак <^. В даль-
дальнейшем выделим некоторый класс множеств, для которых внешняя
мера сохранит свойство аддитивности. Предварительно докажем еще
одну теорему, касающуюся внешней меры.
Теорема 4. Всякое множество g можно покрыть таким
открытым множеством О, внешняя мера которого сколь угодно
мало отличается от внешней меры g, т. е. если g — любое мно-
множество me — любое заданное положительное число, то суще-
существует такое открытое множество О, что gcziO и | О|о^|g|о-|-е.
Если |g|0 = -f-oo, то неравенство | О |q^| g |q-j-e выполняется
при любом покрытии множества g открытым множеством. Будем
в дальнейшем считать, что |g|o конечно. Пусть е — заданное поло-
положительное число. Выбираем покрытие g промежутками ДЛ так, чтобы
имело место неравенство
<|8|0 + у.	C3)
Каждый из промежутков Дя подвергаем ая-расширению, и поло-
положительные числа сип выбираем так, чтобы
О(Д(>))^О(Д„) + 2Н!й.	C4)
Если исключим из Д^л* границу, т. е. две стороны и одну вер-
вершину, то сумма полученных открытых промежутков Д^« даст неко-
некоторое открытое множество О, которое, очевидно, покрывается про-
промежутками А(а^. В силу определения точной нижней границы имеем
П
Пользуясь C4), можем далее написать
и, наконец, принимая во внимание C3), получаем окончательно

108	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[35
35. Измеримые множества. Мы выделим сейчас класс множеств,
которые назовем измеримыми множествами и для которых в даль-
дальнейшем докажем аддитивность внешней меры. Для этих измеримых
множеств внешнюю меру назовем просто мерой.
Определение. Множество g называется измеримым, если его
можно покрыть открытым множеством О так, что внешняя
мера разности О —g сколь угодно мала, т. е. множество g
называется измеримым, если для любого заданного положитель-
положительного е существует такое открытое множество О, что g cz О и
\О — g|o^e. Внешнюю меру измеримого множества будем назы-
называть просто мерой этого множества.
То требование, которое входит в определение измеримого мно-
множества, сильнее, чем то свойство, которое формулировано в теореме 4.
Это последнее свойство справедливо для всех множеств, а суще-
существуют, при некотором выборе функции О (А), такие множества,
которые неизмеримы, т. е. которые не подчиняются данному выше
определению. Для обозначения меры измеримого множе-
множества мы можем пользоваться символом |g|o, так как для
измеримого множества мера по определению совпадает с внешней
мерой. Мы покажем сейчас, что любой промежуток А измерим. Его
внешняя мера, в силу теоремы 1, равна G(A). В дальнейшем увидим,
что и всякая элементарная фигура измерима. Мы имеем поэтому право
меру любого измеримого множества g обозначать
просто символом G(g). Согласимся еще внешнюю меру и просто
меру пустого множества считать равной нулю. Это находится в согла-
согласии с данными выше определениями. Введем еще одно определение:
множество g называется множеством меры нуль по
отношению к G(А) или просто множеством меры нуль
(поскольку G (А) считается фиксированным), если
|g|o = 0. Из этого определения непосредственно следует, что всякая
часть множества меры нуль есть также множество меры нуль. Дока-
Докажем теперь ряд свойств измеримых множеств. Эти свойства будут
служить основой во всем дальнейшем изложении.
Теорема 5. Открытое множество измеримо.
Если g — открытое множество, то для проверки его измеримости
достаточно взять О, совпадающим с g. При этом \О — g|G = 0.
Теорема 6. Любой промежуток А есть измеримое множе-
множество, и его мера равна G(A).
Пусть А — некоторый промежуток. Подвергая его а-расширению,
получим промежуток ДМ. Разность ДМ—А есть элементарная фи-
фигура, и, в силу нормальности функции G(A), мы имеем G(AM —А) =
= G(AM)—* G (Д)—>о при a —* -\- 0, т. е. для любого заданного поло-
положительного е существует такое а, что О (ДМ — А) <: е. Пусть О — от-
открытый промежуток ДМ, т. е. промежуток, который получается из
ДМ путем удаления границы ДМ. в силу процесса расширения AczO.
Для доказательства измеримости Д остается показать, что \О — А |<з^е.

35]	измеримые множества	109
Мы имеем О а А(а) и, в силу теоремы 1, имеем \О — Д|0^|Д(а) — А |а.
Но Д(а) — Л есть элементарная фигура, и, в силу теоремы 2, имеем
| Д(«) — A|G = G(Aa — А)^е, т. е. |О —A|0^g, что и требовалось
доказать. Мера А, равная внешней мере А, совпадает с О (А), ибо
А — частный случай элементарной фигуры.
Теорема 7. Понятие множества меры нуль, т. е. множества
с внешней мерой, равной нулю, совпадает с понятием измеримого
множества, мера которого равна нулю.
Если | g \q = 0, то, согласно теореме 4, существует такое открытое
множество О, что для любого заданного положительного е: g си О и
|0|о^е, а потому, в силу теоремы 1, тем более | О — §|g^?>t. е.
g измеримо. Мера g равна ее внешней мере, т. е. равна нулю. На-
Наоборот, если g — измеримое множество и его мера равна нулю, то,
в силу определения меры, и внешняя мера g равна нулю, и тем
самым теорема доказана.
Теорема 8. Сумма конечного или счетного числа измеримых
множеств есть измеримое множество.
Пусть gn — измеримые множества, g — их сумма, g=ygn, и
п
е — заданное положительное число. Согласно определению измери-
измеримого множества существуют такие открытые множества Оп, что
%ncz0n и \Оп — &я|<С^1' Сумма открытых множеств Оп есть неко-
некоторое открытое множество О, гфичем очевидно g cz О и, в силу F)
из [30], имеем
Пользуясь теоремами 1 и 3, получаем
или, в силу \Оп — gj^^:
|O-g|G<e,
что и доказывает измеримость g. Мы переходим сейчас к доказа-
доказательству измеримости замкнутых множеств. Предварительно дока-
докажем одну лемму.
Лемма. Если расстояние между двумя множествами gx и g2
выражается положительным числом, то |gi4-ge|o=|&i|o + |S9|o-
Пусть d — положительное расстояние между множеством gx и g2.
Для любого заданного положительного е существует такое покры-
покрытие 5 множества gi -\- g2, что
+ e.	C5)

НО	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[36
Каждый из промежутков, входящий в 5, разбиваем на конечное
число промежутков так, чтобы диагонали всех полученных проме-
промежутков оказались <^d. При этом все промежутки, входящие в 6\
разобьются на три класса: к первому классу отойдут те промежутки,
которые покрывают только точки gb ко второму те, которые покры-
покрывают только точки g2, и, наконец, к третьему те, которые не покры-
покрывают ни точек gi, ни точек g2. Промежутков, которые бы покрывали
и точки gj, и точки g2, не будет вовсе. Промежутки третьего класса
мы можем просто выбросить из разбиения S. При этом сумма о (S)
может только уменьшиться, и неравенство C5) сохранит свою силу.
Таким образом, можем считать, что покрытие 5 распадается на по-
покрытия 5t и 52, причем промежутки S\ покрывают gj и не имеют
общих точек с g2, а промежутки 52 покрывают g2 и не имеют общих
точек с gj. Мы имеем a (S) = а (Si) -\- о E2) и, в силу C5),
oOSO + oOSaXI'gi + galo + e.	C6)
Из определения точной нижней границы вытекает |&i|g^°(Si)
и | ©а Iо ^ ° №), и неравенство C6) приводит к неравенству |gi|c?-[~
-f-1 ©21 g ^ | &i 4" &21o -f- 6» откуда, ввиду произвольности е, следует
Si |о~Н ©2 \g^ \$i~\-$i |g- С другой стороны, теорема 3 дает
lei + §2 |о^| ©1 \q~\~ I ©2 |о- Таким образом, получаем | gi-|-g2 |g ==
= 1 Si |o-f" I §2 \q> что и доказывает лемму.
Следствие. Если Fx и F2 — два замкнутых множества без
общих точек, из которых по крайней мере одно ограничено, то
| Fx -\- F<21 g = I F\ | g + IF* | о- Если Fk (k = 1, 2, ... , /я) — замк-
замкнутые ограниченные множества попарно без общих точек, то
= У \Fk\o* Для доказательства этого следствия достаточно
Q Ь =1
воспользоваться тем, что было сказано в [32] относительно расстоя-
расстояния между замкнутыми множествами без общих точек.
Теорема 9. Замкнутые множества измеримы.
Предположим сначала, что У7 — некоторое ограниченное замкну-
замкнутое множество, и пусть е — заданное положительное число. Согласно
теореме 4 существует такое открытое множество О, что Fez О и
\O\G^\F\o-\-e. Докажем, что это открытое множество О и будет
удовлетворять неравенству
|О —F|g^s,	C7)
которое входит в определение измеримого множества. В силу тео-
теоремы 3 из [33] разность О — F есть открытое множество, и, следо-
следовательно, на основании теоремы 5, ее можно представить в виде
суммы счетного числа промежутков An, не имеющих попарно общих
точек,
C8)

35]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
111
Фиксируя целое положительное т, рассмотрим сумму первых т
слагаемых суммы C8), причем над каждым промежутком, входя-
входящим в эту сумму, произведем а-сокращение, выбрав положительное
число а каким-нибудь образом. Таким образом, получим некоторую
элементарную фигуру R:
т
р	 V! (в0.
Если мы замкнем каждый промежуток (°0 Д^ (п=\, 2,..., т), то
написанная сумма даст нам замкнутое множество, которое совпадает
очевидно с замыканием R элементарной фигуры R. Каждый замкну-
замкнутый промежуток (°0 ДЛ покрывается соответствующим промежут-
промежутком ДЛ, входящим в состав суммы C8). Тем самым замкнутое мно-
множество R не имеет общих точек с F> а потому расстояние между
ними положительно. Тем более будет положительным расстояние
между R и F, и согласно лемме будем иметь
Но, согласно C8), \. И АЛ-|~ F cz О и, следовательно,
^|OU
Принимая во внимание неравенство | О \q ^ \F\g -f-?» получим
отсюда
т
(а) А*
п=\
По условию, F — ограниченное множество, и, следовательно, \F]q
есть конечное число. Последнее неравенство приводит нас к нера-
неравенству
п=\
Но
т	!
<«)Д„
=Q{R)=
Jit
«))= 2

112	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[35
и предыдущее неравенство переписывается в виде
п=\
Устремляя сначала а к нулю, а затем т к бесконечности, полу-
получим неравенство
n = l
Наконец из формулы C8) и теоремы 3 следует
т. е. неравенство C7). Положим теперь, что замкнутое множество F
неограничено. Пусть тЛ— замкнутый круг с центром в начале и ра-
радиусом п. Строя замкнутые ограниченные множества Fn = F*in>
можем написать
и измеримость F будет непосредственно следовать из теоремы 8.
Таким образом теорема 9 доказана.
Теорема 10. Если g — измеримое множество, то и дополни-
дополнительное множество Cg измеримо.
В силу измеримости g существуют такие открытые множества
Ол, что $czOn и \Оп — g |о <^ —. Построим замкнутые множества
Fn = COn. В силу §сиОя имеем Fnc^C$ и, кроме того, в силу
A5) из [30], можем написать равенство: Cg — Fn = On — g. Заменяя
в левой части Fn суммой всех Fn, получим
-Fn9 т. е. . с& —
и, в силу \Оп — g|G<C-^> будем иметь
Cg- У Fn

35]	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА	113
Левая часть написанного неравенства не зависит от я, и, устрем-
устремляя п к бесконечности, придем к равенству
оо
л=1 G
из которого следует, что разность, стоящая слева, представляет
собой множество g0 меры нуль. Таким образом, можем написать Cg
в виде суммы измеримых множеств:
п = 1
откуда и следует, в силу теоремы 8, измеримость g. Согласно
определению мы устанавливаем измеримость множества при помощи
открытых множеств. В следующей теореме мы покажем, что анало-
аналогичным образом можно устанавливать измеримость множества при
помощи замкнутых множеств.
Теорема 11. Для того чтобы g было измеримым,, необходимо
и достаточно, чтобы для любого заданного положительного е
существовало такое замкнутое множество F, что Fcig и
Измеримость g равносильна ^измеримости Cg, и для этого необ-
необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного
s существовало такое открытое множество О, что Cg си О и
\О — Cg|o^?. Если положить F=CO и принять во внимание, что,
в силу A9) из [31], О — Cg = g — СО = $ — F и Feng, то мы и
получим утверждение теоремы.
Теорема 12. Произведение конечного или счетного числа изме-
измеримых множеств есть измеримое множество. Разность двух
измеримых множеств есть измеримое множество.
Если множества grt измеримы, то измеримость их произведения
вытекает непосредственно из формулы [31]
и теорем 10 и 8. Если А и В измеримы, то измеримость их раз-
разности непосредственно следует из формулы [31]: А — В = А • СВ и
доказанной только что измеримости произведения.
Теорема 13. Мера суммы конечного или счетного числа изме-
измеримых множеств попарно без общих точек равна сумме мер
слагаемых множеств.
Пусть gn — измеримые множества попарно без общих точек. Из-
Измеримость их суммы следует из теоремы 8. Положим сначала, что
каждое из множеств $п ограничено. Согласно теореме 11 для любого

114
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
[35
заданного положительного е существуют такие замкнутые множества
Fn, что Fn cz &„ и | gn — /^ |0 ^ ^, причем множества Fn, оче-
очевидно, — ограниченные множества, не имеющие попарно общих точек.
Из формулы &я = Fn -\- ($п— Fn) непосредственно следует
С другой стороны, рассматривая первые т из множеств Fn, будем
иметь
я, следовательно,
п=\
К конечной сумме замкнутых множеств Fn попарно без общих
точек мы можем применить доказанную выше лемму и, таким обра-
образом, получим, пользуясь еще неравенством \F
п=\
/1=1
Рассмотрим наиболее сложный случай, когда число множеств %п
бесконечно. Увеличивая в последнем неравенстве беспредельно
число т, будем иметь
п=\
7, ©л
или, в силу производности е,
оо
2* ^2
/г=1
G л==1
Сравнивая это неравенство с неравенством C2), мы и приходим
к равенству
оо	оо
которое и доказывает теорему. Принимая во внимание измеримость §л
и их суммы, можем записать последнюю формулу в виде
. D0)
/г=1
Рассмотрим теперь тот случай, когда среди множеств %п имеются
неограниченные множества. Пусть *[п — замкнутый круг с центром
в начале и радиусом п. Рассмотрим множества
Ъп'=s«ti; 8л11 = вя (т* - тО; 85."=$п (ь — т«);. • •

35J	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА	115
Каждое из них ограничено, и все они измеримы, поскольку замк-
замкнутое множество -]ft и разность замкнутых множеств ^k — Тл-i СУТЬ
измеримые множества, а произведение измеримых множеств тоже из-
измеримо. Мы можем представить каждое из множеств gn в виде
суммы ограниченных измеримых множеств, не имеющих попарно об-
общих точек:
и, в силу доказанного выше, будем иметь
со
Сумму g множеств &Л можем представить в виде двойной суммы
ограниченных множеств gW, не имеющих попарно общих точек, при-
причем некоторые из множеств gW могут быть и пустыми:
>= 2 2 е
В силу доказанного выше им^ем
со со
		V I a(k) I
Порядок суммирования ввиду неотрицательности слагаемых несу-
несущественен [I; 134]. Будем суммировать сначала по ky а потом по п.
Принимая во внимание D1), придем таким образом опять к фор-
формуле C9), и теорема доказана полностью.
Замечание. Если мы откинем предположение о том, что из-
измеримые множества $п — попарно без общих точек, то для их суммы,
которая измерима в силу теоремы 8, будем иметь вместо D0) нера-
неравенство
со
О(8Х 2 0(8я)'	D0l)
п=\
Оно непосредственно следует из теоремы 3 и того, что для
измеримых множеств внешняя мера совпадает просто с мерой. Если
для всех "множеств %п мера равна нулю, то D0) дает O(g)^0. Но
мера не может быть отрицательной, и потому G (g) = 0, т. е. сумма
конечного и счетного числа множеств м ер ы нуль
есть множество меры нуль.

116	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[35
Все доказанные выше теоремы были справедливы и для измери-
измеримых множеств бесконечной меры. В последних теоремах нам при-
придется делать оговорку по этому поводу.
Теорема 14. Если А и В измеримы, В cz А, и В конечной
меры, то
G(A — B) = G(A) — G (В).	D2)
Разность А — B = D измерима в силу теоремы 12. Мы имеем
А = В -\- D, причем В и D — без общих точек. По теореме 13
G (А) = G (В) -\~ G (D), и, вычитая из обеих частей конечное число
G(B), получим D2).
Теорема 15. Если gn (#=1, 2,...) — неубывающая последо-
последовательность измеримых множеств, то предельное множество g
измеримо и
0(8)= Нш 0(8„).	D3)
П-+СО
Измеримость g непосредственно следует из формулы
.	D4)
Слагаемые, стоящие справа, — попарно без общих точек, и если
все %п имеют конечную меру, то
О (g) = О Ш + [О (&) - О (§!)] + [О (ga) - О
Сумма первых п слагаемых справа равна 0(gn), т. е. из послед-
последней формулы следует D3). Если некоторое gw имеет бесконечную
меру, то предельное множество и подавно имеет бесконечную меру,
и формула D3) очевидна. Отметим, что в этой формуле допустимо
значение (-|- оо) как для О (gn), так и для G (g).
Теорема 16. Если gn(n=l, 2, ...) — невозрастающая после-
последовательность множеств конечной меры, то предельное множе-
множество g измеримо, и имеет место формула D3).
Представим gt в виде суммы множеств попарно без общих точек
Измеримость g вытекает из теоремы 8 и 14. Применяя к D5)
теоремы 13 и 14, получим
О (Si) = О (8) + [G (Si) — О Ш] + [0(80 — О Шз)] +
+ [О(8,)_О(84)] + ...,
т. е.
G (80 = G (8) + О (80 - Нш О (8Я),
п —*¦ оо
откуда и следует D3).
Замечание. Измеримость предельного множества g вытекает
из D5) и без предположения конечности меры у §л.

36]	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	117
36. Измеримые множества (продолжение). Отметим ряд следст-
следствий из доказанных теорем об измеримых множествах. Элементарная
фигура R> как сумма конечного числа промежутков, есть измеримое
множество, и мера R, совпадающая с внешней мерой /?, выражается
формулой B5), где Afe(&=l, 2, ..., т) — какое-либо разбиение R
на промежутке без общих точек. Обозначим через Lq семейство из-
измеримых множеств, причем значок G указывает на ту функцию
G(A), которая послужила основой при построении упомянутого
семейства. Мы распространили функцию G(A) на все множества g,
принадлежащие Lq, причем полученная функция G(g) неот-
неотрицательная и, в силу теоремы 13, аддитивна не только
для конечного, но и для счетного числа слагаемых
множеств, не имеющих попарно общих точек. Пусть
%п — исчезающая последовательность множеств, принадлежащих Lq и
имеющих конечную меру, т. е. gj =d g2 zd g3 zd ..., и предельное мно-
множество g для grt есть пустое множество. Из теоремы 16 непосред-
непосредственно следует, что G (gn) -> 0, т. е. ф у н к ц и я 6 (g) б у д е т н е
только неотрицательной и аддитивной, но и нор-
нормальной для семейства множеств Lq. Желая 'подчеркнуть
ее аддитивность не только для конечного, но и для счетного числа
множеств, входящих в Lq, мы будем называть эту функцию вполне
аддитивной. Семейство Lq содержит и неограниченные множества.
Некоторые из них могут иметь * конечную меру, а для других мера
может быть равной {-\- оо). Но, конечно, не всякое неограниченное
множество обязано быть измеримым множеством. Часто при построе-
построении семейства измеримых множеств рассматривают лишь ограниченные
множества или даже множества, принадлежащие определенному конеч-
конечному промежутку. В предыдущем изложении мы не связывали себя
таким ограничением. Отметим еще, что исходную функцию О (А) мы
считали определенной для всех конечных промежутков. Если G(A)
определена лишь для промежутков А, принадлежащих некоторому
промежутку Ао, то ее можно естественно распространить на все про-
промежутки А, пользуясь формулой G(A) = G(A • Ао), причем надо по-
помнить, что произведение промежутков есть также промежуток.
Семейство множеств Lq зависит от выбора исходной функции
G (А). Но при любом выборе этой функции оно содержит во всяком
случае все промежутки, элементарные фигуры, открытые множества
и замкнутые множества. В дальнейшем мы дадим более полную харак-
характеристику тех множеств, которые входят в Lq при любом выборе G (А).
Будем толковать функцию множеств как массу. Задание первоначальной
функции G (А) сводится к заданию массы на любом промежутке А при
выполнении, конечно, обычных условий неотрицательности, аддитив-
аддитивности и нормальности. Точечное множество g измеримо, если имеет
смысл говорить о массе, находящейся на g, и G(g) есть эта масса.
Можно дать простой пример, когда множество Lq содержит все
точечные множества плоскости. Пусть имеется масса 1, сосредото-

118	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[37
ченная в точке Р. При этом G(A)=1, если промежуток А содержит
Я, и G (А) = 0, если промежуток А не содержит Р. Нетрудно проверить,
что семейство Lq для такой функции G (А) содержит все множества, при-
причем G(g)= 1, если g содержит Р, и G(g) = 0, если § не содержит А
Рассмотрим тот важный частный случай, когда G (А) равна пло-
площади промежутка А. Семейство Lq для этого случая будем просто
обозначать символом L. Здесь мы имеем расширение понятия пло-
площади для широкого семейства множеств L. Именно этот частный
случай и был впервые рассмотрен французским математиком Лебегом.
Функцию G (§) будем в этом случае обозначать символом т (g).
Семейство множеств L называется обычно семейством множеств,
измеримых по Лебегу. Для таких множеств имеет смысл гово-
говорить об их площади. Если g есть конечное или счетное множество
точек, то /tt(g) = 0. Точно так же, если g есть отрезок прямой или
вся прямая, то т($) = 0. Если один и тот же промежуток А мы
возьмем полуоткрытым, открытым или замкнутым, то во всех случаях
т (А) имеет одно и то же значение. Если измеримое множество g
имеет внутренние точки, то, очевидно, т (g) ^> 0. Можно показать, что
существуют такие ограниченные открытые множества, что для границы
/ такого множества (/ — замкнуто, а потому измеримо) мы имеем тA) ^> 0.
Для открытого множества т (О) есть сумма площадей тех промежутков,
которые входят в формулу B1), причем эта сумма не зависит от спо-
способа представления О в виде суммы промежутков. Если F—ограни-
F—ограниченное замкнутое множество, то, покрывая его открытым промежутком
До, мы можем определить m(JF) как разность значений для двух от-
открытых множеств, а именно, т (F) = т (Ао) — пг (Ао — F).
Все построение семейства Lq можно провести совершенно так же,
как и выше, в любом конечномерном пространстве. В частном случае
семейство L в трехмерном пространстве есть семейство множеств,
имеющих определенный «объем», а в случае одного измерения — се-
семейство множеств, имеющих определенную «длину». Вместо этого
для пространства с любым конечным числом измерений часто говорят
просто о мере множества, если оно входит в L.
37. Критерии измеримости. Можно давать различные определе-
определения измеримых множеств, которые будут равносильны данному выше
определению. Укажем некоторые из этих определений, причем сна-
сначала мы будем рассматривать лишь ограниченные множества.
Теорема 1. Для того чтобы ограниченное множество § вхо-
входило в семейство Lq, необходимо и достаточно следующее: для
любого заданного положительного г существует такая элемен-
элементарная фигура R, что
8 + *1 = Я + *«»	D6)
причем для множеств ех и е.г имеют место неравенства
D7)

37]	КРИТЕРИИ ИЗМЕРИМОСТИ	119
Доказываем необходимость. Пусть g входит в LG. При этом су-
существует такое открытое множество О, что gcO и \О — g |о =^ е.
Обозначая О — $ = еь будем иметь О — $-\-еь и для ех справед-
справедливо неравенство D7). С другой стороны, в силу теоремы 6 из [32],
О есть предел возрастающей последовательности элементарных фи-
фигур Rn, причем Rn есть сумма первых п слагаемых правой части
формулы B1). В силу теоремы 15 мы имеем G (О) = Vim G (Rn) и,
П-+СО
следовательно, можем взять настолько большое значение п = т, что,
полагая R = Rmy будем иметь O = ?J-f~^> где \еъ\о^е' Сравнивая
оба полученных для О выражения, мы и приходим к формуле D6),
причем для ех и е>2 выполнены неравенства D7). Доказываем доста-
достаточность. Пусть для любого заданного е имеют место формула D6)
и неравенства D7). В силу измеримости R существует такое откры-
открытое множество Оь что Rcz.Ox и \ОХ — /?!о^е. С другой стороны,
в силу теоремы 4 [34], существует такое открытое множество 0.2, что
?2ci02 и | О.2|о<П ^а |о —[~е» или' в СИЛУ (^7), мы будем иметь
| 0.2 \q ^ 2е. Открытое множество О = Ох-\- O2 покрывает g -}- еи и
мы имеем
O-gc=[O
или, в силу F) из [30]:
Принимая во внимание, что \ОХ — R\g^?> |О2 — ^2|o^|!
и D7), получаем отсюда \О — g \q ^ 4e, что дает, в силу произволь-
произвольности е, измеримость g.
Теорема 2. Для того чтобы ограниченное множество g при-
принадлежало Lq, необходимо и достаточно следующее: для любого
заданного положительного в существует такая элементарная
фигура R, что
IS — Я|о<в и |R_g|G<e	D8)
Доказываем необходимость. Пусть g принадлежит Lq. Существует
такая элементарная фигура R} что мы имеем D6) и D7). Неравенства
D8) вытекают из очевидных соотношений g—bR(zze% и R — gcn^.
Доказываем достаточность. Пусть для любого заданного е сущест-
существует R} для которой выполняются неравенства D8). Если положить
g — R = e% и R — % = еъ то получим g -|- ех = R -\- еъ причем ех и
е% удовлетворяют неравенствам D7), и измеримость g вытекает непо-
непосредственно из теоремы 1.
Теорема 3. Для того чтобы множество g (которое может
быть и неограниченным) принадлежало Lq, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для любого заданного положительного s существо-
существовало такое открытое множество О и такое замкну/пое множе-
множество F, что
dO и |О —F|G<e.	D9)

120	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[38
Если g измеримо, то, в силу определения и теоремы 11 [35] суще-
существуют такие F и О, что FczgciO, |g— F\q^4t и \О — gla^y.
Далее имеем О — F = (О — g) -j- (g — F), откуда и следует D9).
Наоборот, пусть имеем D9). При этом и подавно \О — g \g ^ e и,
следовательно, g измеримо согласно определению.
Приведем без доказательства еще один критерий измеримости.
Для измеримости g необходимо и достаточно, чтобы при любом вы-
выборе множества А имела место формула
| A G = | А • g |a + | А — g |G.	E0)
38. Тело множеств. Введем новое понятие, касающееся семейств
точечных множеств, причем под семейством множеств мы понимаем
некоторую совокупность множеств (множество множеств). Назовем
телом множеств семейство множеств, обладающее следующими
двумя свойствами: 1) если множества gj и g2 входят в семейство,
то и их разность gt — g2 входит в семейство; 2) если gj и g2 — без
общих элементов и входят в семейство, то и их сумма gx -j- g2 вхо-
входит в семейство.
Отметим некоторые непосредственные следствия данного опре-
определения. Пустое множество как разность двух одинаковых
множеств, принадлежащих телу множеств, обязательно входит
в любое тело множеств. Далее из формул [31]
&1&2 === §1 	(&\ 	&%)'•> ё>1 ~Г ©2 == §>1 "Т~ (§2	&l)
непосредственно следует, что произведение двух множеств, принад-
принадлежащих телу, также принадлежит телу, и сумма двух множеств,
принадлежащих телу, принадлежит телу и в том случае, когда мно-
множества имеют общие точки. Это утверждение, очевидно, обобщается
и на любое конечное число сомножителей и слагаемых, т. е. сумма
и произведение конечного числа множеств, принад-
принадлежащих телу, также принадлежит телу.
Усилим требование, входящее во второй пункт определения тела
множеств, а именно, Потребуем принадлежности к телу суммы счет-
счетного числа множеств попарно без общих точек, принадлежащих
к телу. Такое тело множеств называется замкнутым телом множеств.
Итак, назовем замкнутым телом множеств семейство мно-
множеств, обладающее следующими двумя свойствами: 1) если множе-
множества gj и g2 входят в семейство, то и их разность gt — g2 входит
в семейство; 2) если семейство содержит конечное или счетное
число множеств $п попарно без общих точек, то оно содержит и
их сумму. Совершенно так же, как и выше, мы убеждаемся в том,
что замкнутое тело множеств содержит любые ко-
конечные суммы и произведения входящих в него мно-
ж е с т в. Покажем, что замкнутое тело множеств содержит

38]	ТЕЛО МНОЖЕСТВ	121
суммы и произведения счетного числа входящих
в него множеств. Для того чтобы убедиться в этом, напишем
следующие две формулы:
2 &. = Si + (& - Si) + [8з — (S
+ [§4 —(8i + & + 8»)] + ...	E1)
Доказательство этих формул не представляет никакого труда.
Достаточно проверить, что всякий элемент (точка), входящий в мно-
множество, стоящее в левой части, входит в множество, стоящее в пра-
правой части, и наоборот. Пусть gn входит в замкнутее тело множеств
7\ При этом слагаемые правой части формулы E1) попарно не имеют
общих точек и входят в 7". Следовательно, согласно -определению
замкнутого тела 7, и сумма множеств %п входит в 7. Слагаемые,
стоящие в квадратной скобке правой части формулы E2), входят
в Г, а потому и их сумма входит в 7. Следовательно, и вся правая
часть, т. е. произведение множеств %п> входит в 7, что и требова-
требовалось доказать.
Из теорем, доказанных в [36], непосредственно следует, что Lq
есть замкнутое тело множеств. Рассмотрим функцию про-
промежутков G(A), которые мы распространили на замкнутое тело Lq.
Семейство промежутков не представляет собой тела, ибо уже раз-
разность двух промежутков может не быть промежутком. Семейство
элементарных фигур R уже является телом, но не замкнутым телом.
Наш процесс распространения функций G(A) состоял в том, что
мы сначала распространили G(A) на тело элементарных фигур, а за-
затем и на замкнутое тело LQ. При этом функция G (g) оказалась
неотрицательной, вполне аддитивной и нормальной в Lq в том смысле,
который был указан в [37]. Выясним связь понятий нормальности и
аддитивности функции множеств.
Пусть имеется некоторое тело 7, которое может быть и незамк-
незамкнутым. Функция G(g), определенная для всех множеств, входящих
в 7, называется вполне аддитивной в Т при выполнении сле-
следующего условия: если множество g, принадлежащее Г, есть сумма
конечного или счетного числа множеств g,,, также принадлежащих Т
и не имеющих попарно общих точек, то
Q(8i+ & + ...) = Q(8i) + O(8,) + ...
Мы уже и раньше упоминали о понятии вполне аддитивной функ-
функции. Между понятиями вполне аддитивной и нормальной функции

122	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[38
имеется непосредственная связь, которая выражается следующей
теоремой:
Теорема. Для того чтобы функция G(g), определенная на
некотором теле Т и принимающая лишь конечные значения, была
аддитивной и нормальной, необходимо и достаточно, чтобы она
была вполне аддитивной.
Из аддитивности непосредственно следует, что если A d В, то
G (В — A) = G (В) — О (А). Пусть функция G (g) аддитивна и нор-
нормальна, и докажем, что она вполне аддитивна. Положим, что g есть
сумма счетного числа множеств $л(я=1, 2, ...) попарно без общих
точек. Можем написать
[8 —(S
и, в силу аддитивности функции,
Но g — (gx -f-... -f- gn) есть исчезающая последовательность. В ра-
равенстве E3) переходим к пределу, учитывая нормальность,
оо
G (§) = lim [О (§,) +... + О (§„)] = У G (§„).
/г —»со	^—,
1
п = 1
Этим и доказано, что G (g) вполне аддитивна. Положим теперь
наоборот, что Q (g) вполне аддитивна и докажем, что она нормальна.
Пусть gj zd gcj 13... — какая-либо исчезающая последовательность.
Надо доказать, что G (8Л) -> 0. Можем написать
причем слагаемые не имеют попарно общих точек, и отсюда, в силу
аддитивности Q(g), получим
о (&;>=о (si) - [о (&; - si)+
+ G(8i —8i) + ... + G(S;-i —8).)]. E4)
С другой стороны, из формулы
8i=
следует, в силу того, что G(g) вполне аддитивна,
оо	п
0(80= У G(g; — 8i + i)= Hm У O(8i —8i-i),
и, сравнивая с E4), получаем G(g«)-^O, что и требовалось дока-
доказать. Выше мы построили распространение неотрицательной, адди-
аддитивной и нормальной функции промежутков G (А) на замкнутое тело

40]	тело В	123
Lq, причем полученная таким образом-функция G(g) оказалась вполне
аддитивной. Можно доказать, что никакое другое распространение
G (А) на Lq при условии полной аддитивности невозможно.
39. Независимость от выбора осей. Сделаем еще некоторые заме-
замечания по поводу независимости меры от выбора осей. Первоначаль-
Первоначальная функция G(A) была определена на полуоткрытых прямоугольни-
прямоугольниках, стороны которых параллельны осям X и Y.
Тело Lq содержит полуоткрытые прямоугольники плоскости с лю-
любым направлением сторон, ибо всякий такой прямоугольник есть раз-
разность замкнутого прямоугольника и замкнутого множества точек,
состоящее из двух сторон и трех вершин прямоугольника. Таким
образом, функция G (g) определена, в частности, на всех полуоткры-
полуоткрытых прямоугольниках А', стороны которых параллельны некоторой
другой декартовой системе осей X' и У\ причем функция G (А') на
этих прямоугольниках аддитивна и нормальна. Если мы, выбирая но-
новые оси X' и У\ будем исходить из функции G*(A') и распростра-
распространять ее так, как это указано выше, то придем к некоторому телу
IGr. Нетрудно показать, что это тело совпадает с телом LQy и что
при новом распространении, которое мы производим, исходя из G (А'),
получим на всех промежутках те же значения G(g), которые имели
и при прежнем распространении, которое производили, исходя из
G(A). В основе этого утверждения лежит тот факт, что всякое от-
открытое множество О можно представить или как сумму промежут-
промежутков Ал, попарно без общих точек, или как сумму А^, попарно без
общих точек, причем
Отсюда, в силу теоремы 4 из [36], непосредственно следует, что
внешние меры любого множества в обеих системах координат будут
одни и те же. Из определения измеримости непосредственно следует
далее, что измеримость множества будет иметь место одновременно
в обеих координатных осях, т. е. тело Lq< совпадает с телом Lq.
Совпадение мер в обеих осях непосредственно вытекает из того,
что, в силу указанной выше теоремы, G (g) есть точная нижняя гра-
граница мер открытых множеств, покрывающих g. Отметим еще, что
если G (А) есть обычная площадь прямоугольника А, т. е. мера Ле-
Лебега яг (А), то и G(A') есть обычная площадь А' [ср. II; 92].
40. Тело В. Как мы указывали, замкнутое тело LG зависит от
выбора функции G (А). Мы укажем сейчас такое замкнутое тело, что
множества, в него входящие, принадлежат любому замкнутому телу
Lq и, в частности, принадлежат L. Рассмотрим всевозможные замкну-
замкнутые тела Т такие, что всякое Т содержит все замкнутые промежутки,

124	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[40
и составим семейство множеств В, состоящее из мно-
множеств, принадлежащих всем вышеуказанным замкну-
замкнутым телам Г. Нетрудно видеть, что семейство множеств В
есть также замкнутое тело. Действительно, если gj и g3
принадлежат В, то они принадлежат всем указанным замкнутым
телам Ту а потому и разность gj — g2 входит во все Т, а тем самым
и в семейство В, Аналогичным образом проверяется и второй пункт
определения замкнутого тела. Таким образом, замкнутое тело/?
есть общая часть всех замкнутых тел, содержащих
всевозможные замкнутые промежутки. Это замкнутое
тело В входит, очевидно, и в состав каждого Lq, ибо это послед-
последнее содержит также все замкнутые промежутки. Всякое открытое
множество можно, как мы видели [33], представить в виде суммы
счетного числа замкнутых промежутков, и, таким образом, замкну-
замкнутое тело В содержит все открытые множества. Любое
замкнутое множество F является дополнением к некоторому откры-
открытому множеству О, т. е. может быть представлено в виде разности
всей плоскости (открытое множество) и множества О, а потому
тело В содержит и все замкнутые множества. Тело
множеств В было впервые рассмотрено еще до Лебега французским
математиком Борелем. Множества, принадлежащие телу Ву называют
иногда множествами измеримыми В или множествами,
измеримыми по Борелю.
Тело В может быть определено иначе, чем это мы сделали выше,
а именно следующим образом: мы считаем множество g принадле-
принадлежащим телу Ву если оно может быть получено из замкнутых про-
промежутков при помощи следующих двух операций, примененных
конечное или счетное число раз: 1) построение суммы конечного
или счетного числа множеств,, построенных уже раньше; 2) построе-
построение произведения конечного или счетного числа множеств, построен-
построенных уже раньше. Это определение требует некоторых разъяснений,
на которых мы не останавливаемся. Мы не будем также приводить
доказательство того, что новое определение тела В равносильно
прежнему. Докажем в заключение настоящего параграфа две простые
теоремы.
Теорема 1. Если g— любое множество из Lq, то существуют
таких два множества gt и g2, принадлежащих телу В (и тем
самым телу LG), что
%х d g cz g2 и О (gx) = О (g2) = О (g).	E5)
Мы знаем, что для множества g, принадлежащего LGy существуют
такие замкнутые множества Fn и открытые множества Оп, что
JL	-S)^JL. E6)

41] СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	125
Множества Fn и Оп принадлежат телу В. Следовательно,	в силу
определения замкнутого тела, можно утверждать, что телу	В при-
принадлежат сумма множеств Fn и произведение множеств Оп:
2	П	E7)
п=I
Принимая во внимание, что Fn си g cz Ою мы можем утверждать,
что gjczgczga. Кроме того, g — gtczg — Frt и ga — g cz О„ — g
и, следовательно, G (g — gi) ^ — и G (g2 — g) ^ — при любом я.
Левая часть не зависит от п, а потому последнее неравенство при-
приводит к равенству E5), и теорема доказана. Ее можно формулиро-
формулировать следующим образом: всякое множество g из LG может
быть заключено между множествами из В, имеющими ту же
меру, что и заданное множество g.
Выделим из тела В некоторое семейство множеств, которыми
мы будем пользоваться в дальнейшем.
Определение. Множество g называется множеством Gt,
если оно есть открытое множество или произведение счетного
числа открытых множеств.
Отметим прежде всего, что* как мы упоминали уже выше [32],
произведение счетного числа открытых множеств может и не быть
открытым множеством. Из определения множеств Оь непосредственно
следует, что произведение конечного или счетного числа множеств G§
есть также множество G§. Покажем, что всякий конечный замкну-
замкнутый промежуток А [а ^ х ^ Ь\ с ^у ^ d] есть множество G8. Дей-
Действительно, мы можем представить его как произведение открытых
промежутков Д„(а — г„О<? + ?/Г> с~гп<У<d + ?я)> ™e ?n
есть последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю.
Нетрудно показать, что всякое замкнутое множество есть множество G5.
В дальнейшем это нам не понадобится. Из доказательства приведенной
выше теоремы непосредственно вытекает следующее утверждение:
Теорема 2. Всякое измеримое множество g может быть
покрыто множеством Н типа Gb, таким, что G (g) = G (//).
Отметим еще, что если g принадлежит замкнутому проме-
промежутку А, то покрывающее множество И можно выбрать так,
чтобы и оно принадлежало А. Действительно, если Н есть множе-
множество G6, покрывающее g и удовлетворяющее условию G (g) = G (//),
то множество Я' = ЯА будет также множеством G^, покрывающим g
и удовлетворяющим условию Q($) = G (Я'), причём //, очевидно, при-
принадлежит А.
41. Случай одного переменного. Теория измерения имеет более
простую форму в случае одного переменного. Неотрицательная,
аддитивная и нормальная функция полуоткрытых промежутков

126	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[42
сводится, как мы знаем, к неубывающей функции точки g(x):
Д	+	\
Исходя от этой функции G (А), как это указано выше, строим
функцию множеств О (g), определенную для всех множеств, принад-
принадлежащих Lq. Значение G(g) для множества g, принадлежащего Lq,
называют иногда изменением g(x) на множестве g. Если
g(x) = x, то мы получаем множества, измеримые по Лебегу, и G(g)—
обобщение понятия длины для таких множеств. Если g(x) определена
только в некотором промежутке, то ее можно распространить, как
это указывали раньше, на всю ось.
Введем вместо х новую переменную t по формуле
t = g(x),	E8)
причем эту замену переменных надо понимать так. Если в некоторой
точке х функция g(x) непрерывна, то соответствующее значение t
определяется формулой E8). Если же х есть точка разрыва непре-
непрерывности, то такому значению х приводится в соответствие замкнутый
промежуток [g(x — 0), g(x-\-0)] переменной t. При таком соответ-
соответствии полуоткрытый промежуток (а, Ь] переменной х переходит в полу-
полуоткрытый промежуток (g(a-\-Q), g(b-\-0)] переменной t, причем
в случае g(b-\-0)9 = g(a-\- 0) последний полуоткрытый промежуток
вырождается в точку. Если ех — некоторые множества оси х и et —
соответствующие множества оси t, то можно показать, что внешняя
мера ех относительно g(x) равна внешней мере еь понимаемой в смысле
Лебега, т. е. вычисляемой при условии, что в основу принята длина
полуоткрытого промежутка. Элементарной фигурой в случае одного
переменного будет сумма конечного числа полуоткрытых промежутков
попарно без общих точек и, можно без труда показать, что если
ех — измеримое относительно g(x) множество, то и et измеримо, по
Лебегу, причем мера ех относительно g(x) равна лебеговой мере
множества et.
§ 2. Измеримые функции
42. Определение измеримых функций. Задачей настоящего
и следующих параграфов будет построение некоторого класса функ-
функций и исследование свойств этих функций. В дальнейшем на основе
этого класса функций будет дано общее определение интеграла. При
изложении мы будем считать, что функция G(A), лежащая в основе
теории измерения, каким-нибудь образом фиксирована, т. е. будем
рассматривать некоторое определенное тело Lq, Это может быть,
например, тело множеств L, измеримых по Лебегу. Пусть на измери-
измеримом множестве § задана функция точки /(Я), принимающая вещест-
вещественные значения. Эти значения могут быть как конечными, так и
бесконечными, т. е. функция /(Р) может, кроме конечных значений,
принимать значение (-[- со) или (— со). Введем следующее обозна-

42J	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ	127
чение. Обозначим символом g f/^> #] множества тех точек g, в кото-
которых f(P)^>a. Аналогичным образом символ g[/^c#] обозначает
множество тех точек g, в которых f(P) ^а. Если f(P) и g(P)—
две функции, то символ $[f=g] обозначает множество точек g, в ко-
которых f(P) = g(P) и т. д.
Определение. Функция f(P), заданная на измеримом множе-
множестве g, называется измеримой, если для любого вещественного
а множества
& [/^ a]; g [/< a}; g [/> a]; g [/< а]	A)
измеримы. Докажем прежде всего следующую теорему:
Теорема 1. Для измеримости множеств A) при любом а
достаточно, чтобы одно из этих множеств было измеримо при
любом а.
Множества g[/^a] и g[/<^#] суть дополнительные множества,
и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости
другого. Точно так же измеримость третьего из множеств A) равно-
равносильна измеримости четвертого множества A). Докажем, например,
что из измеримости третьего множества при любом а следует и изме-
измеримость остальных множеств. Действительно, из измеримости третьего
множества следует измеримость четвертого множества и множества
а], которое можно представить в виде
п=\
а тем самым и второго множества.
Отметим еще, что множества g[/=-j-oo] и g[/= — со] могут
быть представлены в виде
Заметим, что достаточно доказать измеримость A) только для
рациональных значений а. Действительно, всякое иррациональное
число а можно представить как предел убывающей последователь-
последовательности ап рациональных чисел, и измеримость g[/^>a] непосред-
непосредственно вытекает из формулы
Выясним ряд простых свойств измеримых функций, непосред-
непосредственно вытекающих из данного выше определения.
Теорема 2. Если f(P) измерима на g, то она измерима и на
любой измеримой части g' множества g. Если f(P) измерима

128	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[42
на конечном или счетном числе множеств $п попарно без общих
точек, то она измерима и на множестве g, которое является
суммой gw.
Утверждения теоремы непосредственно вытекают из следующих
формул:
8' [/> «] = 8 [/> «] • 8'; 8 [/> а] = ^ &„ [/> в].
Теорема 3. Если g есть множество меры нуль, то любая
функция f(P) измерима на этом множестве.
Действительно, при любом а множество g [f^> а] есть часть
множества g, имеющего меру нуль, а следовательно, и множество
g [/]> а] имеет меру нуль, т. е. измеримо.
Определение. Две функции f(P) и g(P), определенные на мно-
множестве g, называются эквивалентными на этом множестве
или просто эквивалентными, если множество g [/ ф g] имеет
меру нуль. Докажем относительно эквивалентных функций следующую
теорему.
Теорема 4. Если f(P) и g(P) — эквивалентные функции на
измеримом множестве g, и одна из них измерима, то и другая
измерима.
По условию теоремы, множество $[fj?zg] = A есть множество
меры нуль. На измеримом множестве g' = g — А мы имеем f(P) =
= g(P). Из измеримости/(Р) на g следует и измеримость f(P)
на g', а потому и измеримость g(P) на g\ На множестве А функ-
функция g(P) измерима в силу теоремы 3. Таким образом, в силу тео-
теоремы 2, g(P) измерима на множестве g = g'-|-,4, и теорема дока-
доказана.
Легко доказать, что если /i эквивалентна gt и /2 эквивалентна
gs, To/i-f/s эквивалентна gi-f-g* /i/e эквивалентна gxg^ и/j:/,
эквивалентна gi'.g%, если соответствующие действия имеют почти
везде смысл.
Если две непрерывные функции эквивалентны в смысле лебеговой
меры на некотором промежутке или всей плоскости, то нетрудно
видеть, что их значения совпадают во всех точках. Действительно,
если, например, в некоторой точке мы имели бы /(Pq) — ^ЧЛО^О»
то это неравенство, в силу непрерывности функций, сохранилось
бы в некоторой достаточно малой е-окрестности Ь точки Ро, причем
т (S) ^> 0, а это противоречит определению эквивалентности функций.
Укажем простые примеры измеримых функций. Положим, что/(Р)
непрерывна на конечном замкнутом промежутке Ао. Рассмотрим при
любом а множество А0[/(Р)^а] и покажем, что оно замкнуто. От-
Отсюда будет непосредственно следовать, что оно измеримо, а потому
f(P) — измеримая функция. Если Рп(п=\, 2,...) — последователь-
последовательность точек, имеющих предельную точку Р, и f(Pn)^a} то, в силу

42)	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ	129
непрерывности функций, и /(Р)^=а, что показывает замкнутость
множества Д0[/(Р)^а]. Точно так же, если /(Р) непрерывна на всей
плоскости, то она измерима. Действительно, если Ао — любой замкну-
замкнутый промежуток, то, как мы только что показали, множество
Д0[/(Р);^>я] измеримо. При расширении Ао предельное множество
будет также измеримым. Это предельное множество есть множество
всех тех точек плоскости, где f(P)^a.
Положим теперь, что f(P) имеет одну точку разрыва Ро. Накроем
ее последовательностью открытых промежутков Д„ (я=1, 2,...),
которые беспредельно сжимаются к Ро. Вне Дд функция /(Р) не-
непрерывна и множество еп тех точек Р, в которых /(Р)^#, замкнуто.
При возрастании п множества еп не убывают и стремятся к измери-
измеримому множеству е. К этому множеству надо еще добавить Ро, если
/(Р0)^а, и получится таким образом множество всех точек, в кото-
которых /(Р)^я, причем это множество, в силу предыдущего, измеримо.
То же рассуждение применимо и в случае конечного числа точек
разрыва, т. е. функция с конечным числом точек раз-
разрыва непрерывности измерима.
Отметим без доказательства следующее предложение: если /(Р)
принимает конечные значения на замкнутом промежутке До и мно-
множество ее точек разрыва непрерывности имеет меру нуль, то /(Р)
измерима на Д^. Но это условие измеримости является только доста-
достаточным. Легко дать пример, когда всякая точка множества g есть
точка разрыва, и все же функция измерима. Рассмотрим функцию f(x),
определенную на промежутке [0,1] следующим образом: f(x) = 0f
если х есть рациональное число, и f(x)=l, если х иррационально.
Возьмем лебегово измерение, т. е. тот случай, когда G(A) — длина
промежутка. При этом мера любой точки равна нулю. Рациональные
точки промежутка [0,1] образуют счетное множество и в силу того,
что мера вполне аддитивна, множество рациональных точек также
имеет меру нуль. Построенная функция f(x) отличается от функции,
тождественно равной единице на всем промежутке, лишь на множе-
множестве рациональных точек, имеющих меру нуль, т. е. f(x) эквива-
эквивалентна функции, тождественно равной единице, и, в силу теоремы 4,
f(x) измерима. Но нетрудно видеть, что всякая точка jc0 промежутка
[0,1] есть точка разрыва f(x). Действительно, в любой е-окрестности
х0 находятся как рациональные, так и иррациональные значения х,
т. е. в любой е-окрестности x = xQ функция f(x) принимает и зна-
значение 0 и значение 1, а потому х0 есть точка разрыва. В [45] мы
укажем глубокую связь понятия измеримости с понятием непрерыв-
непрерывности.
Рассмотрим еще так называемую кусочно-постоянную на
измеримом множестве g функцию, т. е. такую функцию /(Р), которая
принимает на g конечное или счетное число значений ck(k•= 1, 2,...).
Если те множества g^, на которых f(P) = ck1 суть измеримые множе-
множества, то из определения измеримости непосредственно следует, что

130	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[43
кусочно-постоянная функция f(P) измерима на g.
Приведем еще один пример. Пусть f(P) измерима на измеримом
множестве g. Положим ее равной нулю на дополнительном мно-
множестве Cg. Построенная таким образом функция измерима на g и
на Cg, т. е., в силу теоремы 2, измерима на всей плоскости.
Рассмотрим еще случай одного переменного. Пусть g(x)— неубы-
неубывающая функция, положенная в основу измерения [42], и f(x)— из-
измеримая функция. В этом случае говорят иногда, что f(x) изме-
измерима относительно g(x), а если g(x) = x, то говорят просто,
что f(x) измерима.
43. Свойства измеримых функций. Выясним некоторые даль-
дальнейшие свойства измеримых функций.
Теорема 1. Если f(P) — измеримая функция, то и
измеримая функция.
Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы
Теорема 2, Если f(P) — измеримая функция и с—конечная
постоянная, отличная от нуля, то c-\-f(P) и cf(P)— измеримые
функции.
Первое утверждение непосредственно вытекает из формулы
а второе из формул
[f| при су0,
~\ при
Теорема 3. Если f(P) и g(P)— измеримые функции, то мно-
множество g [/>?"] измеримо.
Пронумеруем все рациональные числа: гъ г2, ... Измеримость
упомянутого в теореме множества непосредственно вытекает из фор-
формулы
Теорема 4. Если f(P) и g(P) — измеримые функции, прини-
принимающие конечные значения, то функции f—g, f-\-g, fg и
— (при g т^ 0) измеримы.
о
Измеримость разности /—g непосредственно следует из формулы
-g> <*] = &[/> «+ g]

44]	ПРЕДЕЛ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ	131
и теорем 2 и 3. Измеримость суммы следует из формулы f-\~g =
=/—(—g) и теоргмы 2 при с = —1. Измеримость квадрата/2
измеримой функции / непосредственно следует из формулы
а измеримость произведения fg из формулы
Докажем измеримость функции — при условии, что g не прини-
принимает значения 0. Это непосредственно следует из следующих формул:
а>0;
;^-| при а<0;
при а =2 0.
Наконец, из формулы — =/— следует измеримость частного.
о	о
В приведенной теореме необходимо было сделать оговорку о том, что
функции f{P) и g(P) принимают во всех точках g конечные значе-
значения. В противном случае действия над этими функциями могли бы
потерять смысл. Если, например, в некоторой точке /=-|~°° и
g = — оо, то в этой точке мы ничего не можем сказать о сумме
f-{-g. Если указанной неопределенности при производстве действия
над / и g нет, то можно допустить и бесконечные значения для/(Р)
и g(P). Докажем в качестве примера следующую теорему:
Теорема 5. Если f(P) и g(P) — измеримые функции, принимаю-
щие конечные значения и значение (-}-со), то функция f -\- g изме-
измерима.
Пусть А — множество, на котором по крайней мере одна из
функций равна (-[- со). Это множество измеримо в силу измеримости /
и g, и на множестве Л сумма f-\-g имеет постоянное значение (-[-оо)
и, следовательно, измерима. На множестве g' = g — Л и функции /
и g имеют конечные значения, и, в силу теоремы 4, сумма f-\-g
измерима и на g'. Поэтому она измерима и на g = g' -f- Л, что и тре-
требовалось доказать.
44. Предел измеримых функций. В этом параграфе мы иссле-
исследуем предельный переход для измеримых функций. Основным резуль-
результатом будет тот факт, что предельный переход для измеримых функ-
функций приводит вновь к измеримым функциям. Предварительно выясним
некоторые обстоятельства, связанные с понятием предела. Пусть
имеется последовательность вещественных чисел
аь аа, а3, ... ,	B)

132	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	D4
причем среди этих чисел могут быть и числа (-f-°°) или (—сю).
Обозначим через sn точную нижнюю границу множества чисел
[ап, ап+и ...] и через tn точную верхнюю границу упомянутого мно-
множества, т. е.
sn = inf [ап9 ап+1, ...]; tn = sup [ал, ап+и ...].	C)
При возрастании п упомянутое множество чисел становится беднее,
и, следовательно, sn не убывает и tn не возрастает. Таким образом,
при беспредельном возрастании п монотонные последовательности sn
и tn имеют конечные или бесконечные пределы:
lim sn = S; lim tn = T,	D)
причем, в силу монотонности, имеем
T=inttn,	E)
и, кроме того, из sn ^ tn следует S^T. Отметим при этом, что
у последовательности (-f- oo), (-f- сю), ... мы считаем предел равным
(_|_ оо) и аналогично для (— со). Число S называется обычно ниж-
нижним пределом последовательности B), а число Т — верхним пределом
этой последовательности.
Пользуются часто следующей записью:
S^^lima^ или S= lim • inf #„;
П-+СО
T = \iman или 74im«supart.
/l-ЮО
Докажем следующую лемму.
Лемма. Для существования предела (конечного или бесконеч-
бесконечного) у последовательности B) необходимо и достаточно, чтобы
S=T, и если это условие выполнено, то упомянутый предел
равен S.
Докажем сначала достаточность. Мы имеем sn^ak^tn при k^n,
и если пределы sn и tn совпадают, т. е. S=T, то очевидно an-+S.
Докажем теперь необходимость. Пусть последовательность B) имеет
конечный предел о. При этом все числа ап заключаются в проме-
промежутке (а-—е, о-\-е) при достаточно больших значениях я, причем
е — произвольно заданное малое положительное число. Поэтому
в указанном же промежутке заключаются и все sn и tn при доста-
достаточно больших значениях п. Отсюда, ввиду произвольности е, сле-
следует, что sn-+a и tn->a, т. е. S= Т = а. Совершенно аналогично
рассматривается случай бесконечного предела у последовательности B).
Докажем теперь некоторые свойства последовательности измеримых
функций.
Теорема /. Если fn (P) — последовательность измеримых функ-
функций, то точная нижняя и точная верхняя границы значений fn (P)

44]	ПРЕДЕЛ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ	133
в любой точке Р множества g суть также измеримые функции,
т. е. функции
cp(P) = inf/„(/>) и ф(Р) = 8ир/я(Р)	F)
п	п
измеримы.
Докажем, например, измеримость функции ср (Р). Если в точке Р
мы имеем ср (Р) <^ а, то по крайней мере одно из значений fn (P)
также <Са, и наоборот, если по крайней мере одно из значений
fn(P)<^a> то ср(Р)<^а. Таким образом, имеем
откуда, в силу измеримости функций /Я(Р), и следует измеримость
ср(Р).
Теорема 2. Если имеется последовательность измеримых
функций /а(Р), монотонно возрастающая (или монотонно убы-
убывающая) в каждой точке Р множества g, то предельная функция
/(Р) также измерима.
Теорема непосредственно следует из предыдущей, так как для
монотонно возрастающей последовательности функций предельная
функция совпадает с точной верхней границей ф (Р), а для монотонно
убывающей последовательности — с точной нижней границей ср (Р).
Теорема 3. Если fn (P) — последовательность измеримых
функций, то нижний предел S(P) и верхний предел Т(Р) этой
последовательности суть также измеримые функции.
Введем функции
sn (Р) = inf [/„ (Р), /л+1 (Р), ...]; tn (Р) = sup [/„ (Р), /я+1 (Р), ...].
Они измеримы при любом п в силу теоремы 1. Функции 5(Р)
и Т(Р) суть пределы монотонных последовательностей sn(P) и tn(P),
а потому, в силу теоремы 2, они также суть измеримые функции.
Теорема 4. Если fn (P) — последовательность измеримых функ-
функций, сходящаяся в каждой точке Р множества g, то и предель-
предельная функция /(Р) измерима.
Измеримость /(Р) непосредственно следует из теоремы 3, по-
поскольку при наличии в каждой точке предела /(Р) он совпадает
с S{P) и Г(Р). Последняя теорема является основной для дальней-
дальнейшего, и мы ее сейчас несколько обобщим.
Говорят, что некоторое свойство имеет место почти
везде на g, если оно имеет место во всех точках g,
кроме множества точек, имеющих меру нуль.
Теорема 5. Если fn (P) — последовательность измеримых на g
функций, сходящихся почти везде на g, то и предельная функ-
функция /(Р) измерима.
Отметим, что предельная функция /(Р) может быть не опреде-
определена на некоторой части А множества g, причем А имеет меру нуль.

134	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБКГА	[44
Мы определим /(Р) на Л любым образом. Последовательность /Л(Р)
сходится во всех точках измеримого множества g' = g— Л, и, по
теореме 4, /(Р) измерима на g'. Кроме того, она измерима и на Л
в силу теоремы 3 из [42]. Следовательно, /(Р) измерима на мно-
множестве g^g'-J-Л, и теорема доказана.
Введем новое понятие сходимости последовательности функций.
Определение. Пусть fn(P) и /(Р)— измеримые на g функции,
принимающие конечные значения. Говорят, что последователь-
последовательность fn{P) сходится по мере к /(Р) на g, если при любом за-
заданном положительном г мера Q (gn) множества %п точек, в ко-
которых выполняется неравенство j /(P) —fn (Р) \ ^ е, стремится
к нулю при беспредельном возрастании п.
В следующих двух теоремах будет установлена связь между схо-
сходимостью почти везде и сходимостью по мере.
Теорема 6. Пусть g — измеримое множество конечной меры
и fn (Р) — последовательность измеримых на g функций, которые
принимают почти везде на g конечные значения и сходятся почти
везде на % к функции /(Р), также принимающей почти везде на
g конечные значения. При этом fn (Р) сходится по мере к f{P) на g.
Пусть е — заданное положительное число. Введем множество то-
точек gn:
Нам надо доказать, что G ($п) —> 0. Введем множество точек,
в которых /(Р) и /Я(Р) принимают бесконечное значение, и мно-
множество, в котором /Л(Р) не стремится к f(P):
1 = +оо]; Ля = 8[|Л(Р)| = + оо];
По условию теоремы, все эти множества имеют меру нуль. То же
можно утверждать и об их сумме [36]:
т. е. G(C) = 0. Если Р0 не принадлежит С, то/л(Р0) и /(Л>) имеют
конечные значения, и /Л(РО)—*/(Ро)« Введем множества
k = п	л = 1
Последовательность Rn(n=lf 2,...) есть невозрастающая после-
последовательность множеств конечной меры, поскольку g имеет конечную
меру, и 5 — предельное множество для Rn> так что
G(/b)-*G(S).	(8)

44J	ПРЕДЕЛ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ	135
Покажем, что 5 cz С, т. е. покажем, что если Ро не принадлежит С,
то Ро не принадлежит 5. Действительно, если Ро не принадлежит С,
то /Я(Л>) и /(Л>) конечны и/„ (Ро)—*/(Р0), т- е. существует такое N,
что |/(Р0)—/ЛЛОК8 ПРИ n^>N. Отсюда следует, что Ро не при-
принадлежит grt при n^>N, т. е. Ро не принадлежит Rn при n^>N,
а поэтому Ро не принадлежит 5. Итак, 5 cz С. Но G (С) = 0, а поэтому
G(S) = 0, и, в силу (8), G (Rn)—+ 0. Но, в силу первой из формул G),
gw cz /?„, а потому и подавно G ($п) —> 0, что и требовалось доказать.
Замечание. Отметим, что множество С мы можем присоединить
ко всем gn. В силу G(C) = 0 и после такого присоединения будем
иметь G (gn) —* 0, а во всех точках множества (g — grt) будет выпол-
выполнено неравенство |/(Р)—А(^)|<С?- Из сходимости по мере не вы-
вытекает сходимость почти везде, но имеет место следующая:
Теорема 7. Пусть g— измеримое мнооюество конечной меры,
fn(P) и /(Р)— измеримые на g функции, причем /Л(Р) no мере
стремится к f(P) на §. При этом существует такая подпосле-
подпоследовательность fn (Р), которая стремится почти везде к f(P) на g.
Выберем последовательность положительных чисел bk{k= 1, 2, ...)
такую, что bk —+ 0 при k —> оо, и последовательность таких положи-
положительных чисел ek, что ряд et —|— е2 —|—... сходится. В силу сходимости
по мере, существует такая беспредельно возрастающая последова-
последовательность значков nk, что для множеств gfe = g[|/(P)—fn (P) \^ bk]
выполнено неравенство G ($k) ^ ek. Введем множества
k=n	n = 1
Нетрудно показать, что Q(S) = 0. Действительно,
k=n	k=n
и последняя сумма —* 0 при n-^оо, в силу сходимости ряда ©± —{—
-|-?2-|-... Покажем теперь, что Д (Р)—>/(Р) на множестве g — S.
Поскольку G(S) = 0, то этим и будет доказана теорема.
Пусть точка Ро ? g — 5 и тем самым Ро ?" 5. Отсюда следует,
что Ро не принадлежит /?fe при всех достаточно больших k, а сле-
следовательно, Ро не принадлежит gfe при всех достаточно больших k,
т. е. существует такое N, что Ро (f gA при k^N. Вспоминая опре-
определение $k, мы получаем |/(Р0)—/Л (Ро)|<С^/г ПРИ k^N, откуда
и следует /Л (Ро)—*/(Ро), ибо Bft-^0 при ^—* оо.
Замечание. Можно было бы, очевидно, .предположить, как и
в теореме б, что /Л(Р) и /(Р) лишь почти везде конечны на g, и
при исключении на g множеств А и Ап на оставшемся множестве /Л (Р)
по мере сходятся к /(Р).

136	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[46
Существует теорема, которая связывает сходимость почти везде
с равномерной сходимостью. Эта теорема была доказана в 1911 г.
Д. Ф. Егоровым. В дальнейшем мы не будем ею пользоваться и
ограничимся лишь ее формулировкой.
Теорема. Пусть g— измеримое множество конечной меры и
fn(P) — последовательность измеримых на g функций, которые
принимают почти везде на g конечные значения и сходятся почти
везде на g к функции /(Я), также принимающей почти везде
на g конечные значения. При этом для всякого заданного поло-
положительного s существует такое замкнутое множество F, при-
принадлежащее g, что 0(g — F)<^s и сходимость fn(P)—+f(P) на F
равномерна.
45.	Свойство С. Можно показать, что измеримость функции равносильна
некоторому другому свойству — свойству С, которое определяется при помощи
понятия непрерывности.
Предварительно введем некоторые новые понятия.
Функция/(Р), определенная на замкнутом множестве F, называется не-
непрерывной в точке Ро этого множества, если для любого заданного
положительного е существует такое положительное r\f что |/(Р0)—/(Р)|<Се,
если Р? F и принадлежит тгокрестности точки Ро. Функция /(Р) назы-
называется непрерывной на замкнутом множестве/7, если она
непрерывна в каждой точке этого м н о же с т в а. Отметим, что,
в силу данного выше определения непрерывности, любая функция непрерывна
в изолированной точке Ро множества, т. е. в такой точке, у которой некоторая
ее е-окрестность не содержит никаких точек F, кроме Ро. Указанным выше об-
образом можно ввести определение непрерывности функции и на любом, не обя-
обязательно замкнутом, множестве. Введем еще новое понятие.
Определение. Говорят, что функция /(Р), определенная на измери-
измеримом множестве %, обладает на этом множестве свойством С, если для
любого заданного положительного е существует такое замкнутое мно-
множество F, принадлежащее %, что, во-первых, G (% —F) ^ е и, во-вторых,
f (P) непрерывна на F.
Равносильность свойства С и измеримости устанавливается следующей
теоремой, которая была доказана в 1913 г. акад. Н. Н. Лузиным.
Теорема. Если функция /(Р) определена на измеримом множестве
% конечной меры и имеет почти везде на % конечные значения, то для
измеримости этой функции необходимо и достаточно, чтобы она на %
имела свойство С.
Мы не будем пользоваться этой теоремой и на доказательстве ее не
останавливаемся.
46.	Кусочно-постоянные функции. Мы определим сейчас неко-
некоторый класс функций, которым часто пользуются в теоретических
исследованиях.
Определение. Функция f(P), определенная на измеримом мно-
множестве g, называется кусочно-постоянной на этом множестве,
если она принимает на g лишь конечное или счетное множество
значений.
Пусть ck (k = \y 2, ...) — различные значения, принимаемые
функцией f(P) на g, причем среди этих значений могут быть зна-

46]	КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫЕ ФУНКЦИИ	137
чения (— схэ) и (-)- оо). Для измеримости /(Р), очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы множества точек
§?, на которых /(Р) равно ck, были при всех k изме-
измеримыми [42]. В дальнейшем мы будем рассматривать только изме-
измеримые кусочно-постоянные функции.
Введем новое понятие. Если g'— некоторое множество точек, то
характеристической функцией этого множества назовем такую
функцию u)g'(P), определенную на всей плоскости, что wg>(P)=l,
если Р принадлежит g' и ш^г(Р) = 0, если Р не принадлежит g'.
Кусочно-постоянная функция /(Р) есть линейная комбинация характе-
характеристических функций:
причем Р принадлежит g. Поскольку g^ не имеют общих точек
(ck — различные числа) в написанной сумме только одно слагаемое
отлично от нуля, кроме случая, когда ck, соответствующее выбранной
точке Р, равно нулю. В последнем случае все слагаемые равны нулю.
Характеристическая функция wg'(P) измерима, очевидно, в том и
только в том случае, если g' — измеримое множество.
Мы покажем сейчас возможность получения измеримых функций
как пределов кусочно-постоянных функций. Мы ограничимся при этом
случаем неотрицательных функций.
Теорема 1. Для всякой неотрицательной ограниченной и изме-
измеримой на измеримом множестве g функции существует возра-
возрастающая последовательность fn{P) неотрицательных измеримых
кусочно-постоянных на g функций с конечным числом значений,
которая равномерно на g стремится к /(Р) в каждой точке g.
В силу ограниченности /(Р) имеется такое положительное число L,
что О ^/(Р) <^ L. Промежуток [О, L] делим на 2п равных частей точками
•** = *^ (А=1, 2	, 2»—1).
Введем в рассмотрение измеримые множества
и построим последовательность функций fn(P) следующим образом:
fniP) = k^ если PG 8(йл).	A0)
Нетрудно проверить, что последовательность fn (P) удовлетворяет
всем требованиям теоремы. Каждая из функций fn (P) принимает
на g конечное число значений. Далее при переходе от п к п -{- 1
каждый промежуток

138	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[46
разобьется на два:
и тем самым каждое из множеств g^} разобьется на два множества:
g/г = &2k -f" &2k -f- 1 •
На множестве g2&+1) функция fn+i(P) равна тому же числу
т
k -ту, что и функция fn (P) на всем множестве g/f, а на множестве
$2Пк\Х\ функция fn+l(P) равна
и, следовательно, последовательность функций /л (Р) есть возрастаю-
возрастающая последовательность. Далее, на любом множестве g^ имеем
Тем самым
во всех точках Р, принадлежащих g, откуда и следует, что после-
последовательность /П(Р) стремится к /(Р) равномерно на g. В следую-
следующей теореме мы рассмотрим тот случай, когда /(Р) может быть
неограниченной.
Теорема 2. Для всякой неотрицательной, принимающей ко-
нечные значения и измеримой на множестве g, функции /(Р)
существует возрастающая последовательность fn (P) неотрица-
неотрицательных кусочно-постоянных на g функций, которая равномерно
на g стремится к /(Р).
В данном случае делим на части бесконечный промежуток [0, -\- оо)
при помощи точек
D=1, 2, 3,...).
Определяем опять множества &*"' = g L^ ^f(P)<С—грг- и Функции
/»(P) = |i, если Р? С	A1)

47]	класс В	139
Совершенно так же, как и в предыдущей теореме, можно показать,
что последовательность fn (Р) удовлетворяет всем требованиям тео-
теоремы. В случае неограниченности функции /(Р) функции fn(P)
будут принимать счетное число значений. Если отказаться от равно-
равномерности приближения, то можно ограничиться кусочно-постоянными
функциями с конечным числом значений. Кроме того, в следующей
теореме мы будем считать и (-[- сю) возможным значением функции/(Р).
Теорема 3. Для всякой неотрицательной измеримой на изме-
измеримом множестве g функции существует возрастающая после-
последовательность уп (Р) неотрицательных кусочно-постоянных на g
функций с конечным числом конечных значений, которая стре-
стремится к /(Р) в каждой точке g.
Кроме множеств gjf* предыдущей теоремы, построим еще мно-
множество g0 = g[/(P) = -|-oo] и введем последовательность функций
ср„(Р) следующим образом:
<?п(Р)=/п(Р)> если/я(Р)</1
и срд (Р) = п, если fn (Р) ^> п или Р ? g0. Нетрудно видеть, что
функции cprt (P) удовлетворяют всем требованиям теоремы. В даль-
дальнейшем нам придется пользоваться упомянутыми теоремами.
47. Класс В. В [41] мы указали некоторое замкнутое тело то-
точечных множеств, такое, что всякое множество, принадлежащее этому
телу, входит в любое тело множеств LQ. Совершенно аналогично
мы укажем сейчас некоторое семейство функций, такое, что любая
функция этого семейства является измеримой функцией при всяком
выборе измеряющей функции Q (А).
Определение. Функция f(P), определенная на множестве g,
измеримом В, называется В-функцией, если множества
для любого вещественного а суть множества, измеримые В.
Из этого определения непосредственно следует, что всякая
В-функция измерима при любом выборе О (А). Можно указать дру-
другое определение /3-функций, вполне аналогичное тому определению
множеств, измеримых В, которое мы приняли в [41]. Рассмотрим
всевозможные семейства функций, обладающие следующими двумя
свойствами: во-первых, семейство содержит все функции, непрерывные
на g, и, во-вторых, если семейство срдержит последовательность функ-
функций fn (P), сходящуюся в каждой точке g, то это семейство содержит
и предельную функцию. Семейством /^-функций назовем семейство функ-
функций, принадлежащих всем семействам функций с указанными выше двумя
свойствами. Мы не останавливаемся на доказательстве эквивалентно-
эквивалентности последнего определения и того, которое было указано выше.
Войдем в некоторые подробности, связанные с последним опре-
определением. Всякая непрерывная функция есть ^-функция, и обычно

140	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[43
говорят, что такая функция принадлежит нулевому классу. Если
функция /(Р) является предельной функцией для последовательности
непрерывных функций, сходящейся в каждой точке g, причем сама
функция /(Р) не является непрерывной, то говорят, что такая функ-
функция /(Р) принадлежит первому классу. Все функции первого класса
также суть ^-функции. Если функция /(Р) является предельной
функцией для последовательности функций первого класса, сходя-
сходящейся в каждой точке g, причем сама функция /(Р) не является
функцией первого класса, то говорят, что /(Р) принадлежит второму
классу. Все функции второго класса также суть ^-функции. Анало-
Аналогичным образом определяются следующие классы функций, и все
функции этих классов суть 5-функции. В этом построении можно
идти и дальше. Пусть f(P) есть предельная функция для последо-
последовательности функций fn (Р), причем каждая функция fn (Р) принад-
принадлежит некоторому классу с конечным номером, и сама функция /(Р)
не принадлежит ни одному классу с конечным номером. При этом
говорят, что функция /(Р) принадлежит классу функций с трансфи-
трансфинитным номером со. Все функции этого класса суть ^-функции.
Дальше определяется класс функций с трансфинитным номером (со -\- 1)
и т. д. Указанным выше методом можно получить все /^-функции.
Это утверждение требует дополнительных разъяснений, касающихся
трансфинитных чисел, на чем мы не можем .останавливаться.
Можно показать, что всякая функция /(Р), измеримая
на множестве g, измеримом В, эквивалентна на этом
множестве некоторой В -функции ср(Р).
§ 3. Интеграл Лебега
48. Интеграл от ограниченной функции. Мы дадим сейчас
обычное определение интеграла от ограниченной функции, пользуясь
разбиениями на всевозможные измеримые множества, и докажем, что
всякая измеримая ограниченная функция интегрируема. Пусть на изме-
измеримом множестве g конечной меры задана ограниченная функция
точки /(Р), т.е. на g имеем |/(P)|^L, где L — некоторое положи-
положительное число. Разбиваем g на конечное число измеримых подмно-
подмножеств gfe, не имеющих попарно общих точек:
8=
Пусть mk и Mk — точная нижняя и точная верхняя границы зна-
значений /(Р) на &?. Составляем обычные суммы:
к=

48]	ИНТЕГРАЛ ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ	141
где 8 обозначает подразделение A) множества g. Суммы s8 и ?8
ограничены для любых подразделений, а именно | s81 и | Sb | <: L • G (g).
Пусть далее / — точная верхняя граница сумм s8 и / — точная ниж-
нижняя граница сумм S8 для всевозможных подразделений g на конеч-
конечное число измеримых множеств.
Определение. Если i = I, то мы говорим, что /(Р) интегрируема
по О (g) на множестве g, и величину интеграла считаем равной I:
Определенный так интеграл назовем интегралом Лебега — Стилть-
еса% Если 8 есть подразделение A) и 8' — какое-либо другое подраз-
подразделение
8 =
то произведением подразделений 88' называется подраз-
подразделение, состоящее из всевозможных частичных множеств g^. Эти
множества не имеют, очевидно, попарно общих точек. Некоторые
из них могут быть и пустыми. Подразделение C) называется про-
продолжением подразделения A), если каждое множество g/ является
частью одного из gft. Если 82 есть продолжение 8Ь то пишут 82^81#
Кроме сумм B) мы составим, как и для интеграла Стилтьеса, сумму
О(Ы	D)
где Pk — некоторая точка из g^. Для величин s8, Sb, a8, / и /
справедливо все сказанное в [3].
Мы укажем сейчас такую последовательность подразделений для
любой ограниченной измеримой на g функции /(Р), что 58 — s8->0,
и тем самым а8 имеет определенный предел. Из этого следует, что
существует интеграл / от /(Р) по G(g), и что s8, 58 и о8 стремятся
к I для упомянутой последовательности подразделений [3].
Итак, пусть имеется ограниченная функция /(Р), определенная
и измеримая на g, и пусть т и М — точная нижняя и точная верх-
верхняя границы значений /(Р) на g. Разбиваем промежуток [т, М]
изменения функции на части промежуточными точками yk:
и пусть т] — наибольшая из разностей ук—Уъ~\- Определяем сле-
следующее разбиение 8 множества g на частичные измеримые мно-
множества %ъ\
= 2, 3,..., п).

142	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[48
Из этого определения множеств $k непосредственно вытекает,
что yk_j^mk uyk^Mk и, таким образом,
и тем более
Рассмотрим разность между крайними суммами:
п	п	п
Принимая во внимание, что yk—^-i^7] и аддитивность
получим
и, таким образом, при tj -> 0 написанная разность стремится к нулю.
Отсюда, в силу G) и (8), непосредственно следует, что 1 = 1 и
^s — 58 ~^ 0. Подразделение F) основного множества g на частич-
частичные множества %k назовем подразделением Лебега. Оно
определяется подразделением E) промежутка \tn, M] изменения
функции /(Р). Соответствующие подразделению F) суммы, входя-
входящие в неравенства G) и (8), назовем суммами Лебега. Из
сказанного выше вытекает следующая основная теорема.
Основная теорема. Ограниченная измеримая функция /(Р),
заданная на измеримом множестве g конечной меры, интегри-
интегрируема на g, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега
или сумм сь при любом выборе точек Pk для подразделений
Лебега при беспредельном измельчании подразделений промежутка
[т, М\ изменения функции /(Р) на части.
Отметим, что, как известно, суммы а6 будут иметь тот же предел
и для любых продолжений тех подразделений, о которых говорится
в основной теореме. Поскольку интеграл определяется обычным
образом, как предел сумм а§, он сохраняет и обычные свойства
интеграла Римана и классического интеграла Стилтьеса. К доказа-
доказательству этих свойств мы и перейдем в следующем параграфе.
Построенный интеграл мы назвали интегралом Лебега — Стилть-
Стилтьеса. Просто интегралом Лебега назовем построенный выше
интеграл в том частном случае, когда G (А) есть площадь проме-
промежутка Д.

49]	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА	143
Мы видели, что всякая ограниченная функция с конечным числом
точек разрыва непрерывности измерима. Пусть имеется такая функ-
функция f(P) на конечном замкнутом промежутке А. Мы знаем, что
такая функция интегрируема в смысле Римана по промежутку А.
Она, как ограниченная измеримая функция, интегрируема и по
Лебегу. Покажем, что интеграл Лебега совпадает с интегралом
Римана. Действительно, чтобы получить интеграл Лебега, достаточно
взять какую-либо последовательность подразделений промежутка А
на измеримые множества, для которой сумма D) имеет определен-
определенный предел, который и дает величину интеграла Лебега. Но раз
функция интегрируема по Риману, то уже подразделения А на про-
промежутки при беспредельном измельчании частичных промежутков при-
приводит к определенному пределу для сумм D), и этот предел есть
интеграл Римана. Из этих рассуждений и следует совпадение инте-
интегралов Лебега и Римана.
Как показал Лебег, для существования интеграла Римана по про-
промежутку А необходимо и достаточно следующее: f(P) ограничена и
множество ее точек разрыва имеет лебегову меру, равную нулю
[ср. 10]. Такая функция, как мы указывали выше, измерима и по
Лебегу. Совпадение интегралов Лебега и Римана может быть дока-
доказано совершенно так же, как и выше. Таким образом, всякая функ-
функция, интегрируемая на конечном замкнутом промежутке по Риману
(в собственном смысле), интегрируема и но Лебегу, причем инте-
интегралы Лебега и Римана совпадают.
49. Свойства интеграла. Приведем основные свойства интеграла
Лебега — Стилтьеса. Во всех следующих теоремах считается, что
g есть измеримое множество конечной меры.
1. Если с — постоянная, то
С	cQ(%).	(И)
Для любого подразделения 8 суммы sb и 5а имеют значение
откуда и следует A1) [3].
2. Если/!(Р) и /2(Р) ограничены и измеримы на
& то
[/i (P) +/«(p)] ° (<*&) = \ /1 (p)G (<*) + \ /2 (p) ° №)• (!2)
Пусть Ьп и Ь'п— подразделения, при которых аЬп для функции /i(P)
и оь'п для /2(Я) имеют пределом соответствующие интегралы. Для
подразделения 8д' = ЬпЬ'п суммы с^ как для fx (Р), так и для /2 (Р)
имеют пределом соответствующие интегралы, и A2) получается не-
непосредственно на основании теоремы о пределе суммы. В дальнейшем

144	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[49
мы не будем оговаривать измеримости и ограниченности функций.
р	р
3.	\У ckfk (P) Q (</§) = У сД /* (?) О (<*§)•	A3)
% /? = 1	fe=l g
Вынесение постоянного множителя за знак интеграла непосред-
непосредственно следует из возможности вынесения этого множителя за
скобку в суммах сЬп. Кроме того, надо несколько раз применить
свойство 2.
4. Если /(Р)^0 на g, то
(О.	A4)
i
Все суммы аь неотрицательны.
5. Если ./i(/>)Ss/,(/>), то
С /i (P) О (dg) ^ f /, (Р) О (rfg).	A5)
о	о
ю	©
Достаточно применить 4 к разности f\{P)—/2(Р) и воспользо-
воспользоваться 3.
6.
1	 i
Для доказательства достаточно взять произведение разбиений (8)
для / и |/| и написать аналогичное неравенство для сумм о8.
7. Если a^f(P)^b на g, то
^	A7)
непосредственно вытекает из 5 и 1.
8. Если |/(P)|<L, то
A8)
Из условия следует, что —L^/(P)^-]-L и неравенство A8)
является следствием свойства 7.
9. Если g = g'-f"g"> гДе g' и g" измеримы и без общих
точек, то
С /(/>) G (dg) = f f(P) О (rfg) + С f(P) О Щ).	A9)
•/	•'	t/
©	С)	©
Для доказательства достаточно взять подразделения (8) мно-
множеств g' и g", составить о6 для этих подразделений и взять их

49]	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА	145
сумму. Эта последняя сумма будет иметь определенный предел, чем
и будет доказана формула A9).
10. Если g разбита на конечное или счетное число
измеримых множеств g^, то
[f(P)G (dg) = У[/(Р)О (dg).	B0)
%	k %k
Для конечного числа слагаемых формула непосредственно сле-
следует из многократного применения свойства 9. Рассмотрим случаи
бесконечного числа множеств g^. Пусть \f(P) | ^ L. Мы можем написать
8 = 81 + & + ... + 8я + /?я, где Rn = $ — (& + 81+ ... + »«)
есть очевидно исчезающая последовательность множеств, и, следова-
следовательно, G(Rn)->0 [37]. Применяя свойство для конечного числа сла-
слагаемых, получим
/(/>) О (dg) = 2 J /(^) О (*) + ( /(^) О (dg). B1)
Для последнего интеграла имеем оценку
i
и формула B1), в силу О (Rn) ->- 0, в пределе даст B0). Доказанное
свойство называют обычно полной аддитивностью инте-
интеграла.
11. При любом заданном s^>0 существует такое т\^>0, что
B2)
если е d g и О (
Это свойство непосредственно следует из оценки
Оно называется обычно абсолютной непрерывностью интеграла.
12. ?ош g — множество меры нуль, т. е. G(g) = 0, wo для
любой ограниченной на ^-функции
Функция /(Я) измерима на g [42], и для любого подразделения
суммы sb и Sb равны нулю.

146	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[49
13. Если /(Р) и g(P) эквивалентны на g, то
= \ g(P)QD&).	B3)
I
Пусть Л та часть g, где fT^g. Это множество Л, по условию,
есть множество меры нуль. На множестве gf = g — Л функции /(Р)
и g(P) совпадают. Таким образом, получаем два равенства:
[ /(Р) О (rfg) = f g (P) Q №)=0;
сложение которых и дает B3).
14. Если /(Р)^0 на g
B4)
то /(Р) эквивалентна нулю. Нам надо доказать, что мера
множества g[/^>0] равна нулю. Это множество можно представить
в виде суммы множеств
и если его мера положительна, то положительной будет и мера по
крайней мере одного из слагаемых множеств. Пусть, например, мера
множества В = %\f^>—\ положительна. Разбиваем интеграл на два
слагаемых:
^f(P)Q(rfg) =^f{P)QЩ) + f /(P)О(rfg). B5)
%	в	%-в
В силу /^ 0 второе слагаемое неотрицательно. На множестве В
мы имеем /^> —, и, следовательно, первое слагаемое ^ — О (Б).
Таким образом, в силу Q E) ^> 0, левая часть формулы положительна,
что противоречит B4).
15. Если /Л(Р) — после до вательность функций, изме-
измеримых Hag и равномерно ограниченных, т. е. \fn (P) | ^ L,
где L — определенное положительное число (не зав и-

491	свойства интеграла	147
сящее от п) и эта последовательность почти везде на
g стремится к предельной функции /(Р), то
(*>) О (rfg) = f /(P) О (Й8).	B6)
i
Предельная функция /(Р) почти везде на g удовлетворяет не-
неравенству |/(P)|<:L. Переходя, если надо, к эквивалентной функ-
функции, можем считать, что указанное неравенство удовлетворяется везде
на g. Интеграл от измеримой и ограниченной функции /(Р) на g
имеет смысл.
Составим интеграл от разности /(Р)—/Л(Р) и применим к нему
свойство 6:
J [f(P) —fn(P)] 0 (<*&) < J \f(P) —fn(P) I 0(^8). B7)
Пусть e — заданное положительное число и gw -^-множество тех
точек g, в которых |/(Р)—fn(P)\^e- ^ силу теоремы 6 из [44],
G(gn)-^O. В точках множества (g — gn) выполняется неравенство
|/(Р)—Л(Р)|<С8- ^роме того, в любой точке Р из § имеем
\f(P) \ + \fn
Интеграл, стоящий в правой части B7), разобьем на два:
Отсюда в силу сказанного выше, следует
f I fiP) ~fn (P) I G (rf8) < 2LO (gB) + e О (8 - gn),
или, тем более,
-Л (Р) I G (dg) < 2LO (gB) + е О (g).
Из О (gn) -> 0 следует далее, что существует такое /V, что
Sn)^s при n~^>N, и таким образом
J I/(Р) -Л (Р) I О 0*8) < 12L + G (8)] s при п > Л/.

148	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[50
Сравнивая с B7), получаем
*[2L-f G(g)]e при п\
откуда, в силу произвольности е, и следует B6). Отметим, что для
доказательства B6) достаточно предположить, что \fn(P)\^L лишь
почти везде на g. Переходя к эквивалентным функциям, если это
необходимо, можем считать, что указанное неравенство соблюдается
везде на g. Доказанное свойство устанавливает возможность предель-
предельного перехода под знаком интеграла при единственном предположе-
предположении ограниченности /Л(Р) по абсолютной величине, независимо от
значка п. Аналогичное свойство для интеграла Стилтьеса было нами
указано в [11]. Оно является непосредственным следствием дока-
доказанной теоремы, поскольку при непрерывности /П(Р) и f(P) инте-
интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса. Отметим,
что при формулировке свойства 15 можно заменить сходимость /rt(P)
к f(P) почти везде сходимостью по мере. Доказательство в суще-
существенном остается тем же.
16. Если на множестве /(Р) имеем tn<^f(P)^M, то
функция
Q[
есть возрастающая функция^, и интеграл Лебега —
Стилтьеса сводится к интегралу Стилтьеса со-
согласно следующей формуле:
м
B8)
Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
суммы Лебега (8) суть обычные суммы s6 и 56 для интеграла
Стилтьеса, стоящего в правой части B8).
Для случая интеграла Лебега, т. е. для того случая, когда О (А)
есть площадь промежутка, интеграл часто обозначают следующим
образом:
Ц/С*, y)dxdy.
V
Для случая прямой линии и трехмерного пространства пользуются
аналогичным образом следующими обозначениями для интеграла Лебега:
и \ /С*> У * z)dxdydz.
&	?
50. Интеграл от неограниченной неотрицательной функции.
Определим теперь интеграл для того случая, когда /(Р) есть не-
неограниченная и неотрицательная измеримая функция

50] ИНТЕГРАЛ ОТ НЕОГРАНИЧЕННОЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 149
на измеримом множестве g конечной меры. В данном
случае будем разбивать g не только на конечное, но и на счетное
число измеримых подмножеств g^. В остальном построение интеграла
будет совершенно таким же, что и для случая ограниченной функ-
функции. Пусть имеется некоторое разбиение $k:
Строим соответствующие ему суммы sb и 55:
В данном случае будем иметь бесконечные ряды с неотрицатель-
неотрицательными слагаемыми, и некоторые из чисел mk и Mk могут равняться
(-)- со). Если для какого-либо слагаемого G (gfe) = 0, то соответствую-
соответствующее слагаемое мы считаем равным нулю и в том случае, когда пер-
первый множитель mk или Mk равен (-f-oo). Суммы рядов C0) не зави-
зависят от порядка слагаемых [I; 134]. Отметим еще, что если взять
конечное разбиение 8, то в сумме ?б по крайней мере,, одно из чисел
Mk будет равно -j-°° в силу неограниченности f(P). Суммы s5 и
S§ могут принимать и бесконечные значения. Они имеют те же свой-
свойства, что и конечные суммы sb и 58, которыми мы пользовались
раньше. Пусть, как и раньше, i — точная верхняя граница sb и / —
точная нижняя граница *SS. зти числа могут равняться и (-[- со).
Мы покажем, как и для случая ограниченной функции, что / = /.
Разбиваем множество g на части следующим образом: выделяем из
него сперва то множество g0, на котором /(Р) = -|-оо, если такое
множество есть, а оставшееся множество разбиваем на множества gft
следующим образом: подразделяем промежуток [0, -[- со) на части
0=yQ<^yl<^y2<^... и строим множества
Si = 8 Lvo </<jM; &k = & [yk-i </<л]. C 0
Мы имеем очевидно mk ^yk_iy Mk
(+ со) О (g0) + 2Л-i ° (8л) < sb < S6 < (+ оо) О (g0) +
00
2^*0(8*) C2)
и, тем более,	l==k
(+оэH(§0)+
fc=i

150	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[50
Если G(go)]>O> то, очевидно, г = / = -[-оо. Положим теперь,
что G(go) = O. При этом неравенства C2) и C3) перепишутся в виде
СЮ	00
-^ *G (gft) ^s* ^5* ^ 2yk °(§*); C4)
л G (g*}- C4°
Будем предполагать, что разбиение промежутка [0, оо) таково,
что разности (ук—yk-\) (?=Ъ 2, ...) ограничены. Пусть т]— их
точная верхняя граница. Принимая во внимание, что yk ^yk_i -\- ч\,
можем написать
Отсюда непосредственно следует, что если при некотором раз-
разбиении с конечным т] сумма, стоящая в правой, части C4), равна
(-)- оо), тогда то же можно утверждать и относительно суммы, стоя-
стоящей в левой части C4). При этом, в силу C4^, 1 = 1=-\-оо. На-
Наоборот, если /=-|-оо, то, в силу C4^, сумма, стоящая в левой
части C5), равна (-)-оо) при любом разбиении с конечным т], а по-
потому и сумма, стоящая в правой части C5), также равна (-f-oo), и,
в силу C4^, i = -j-°°- Отсюда, в силу C4), следует, что если при
некотором разбиении с конечным у\ сумма S§ равна (-J- оо), то и ss
равна (-{-оо), и при этом sb и 55 равны (-{-оо) для любого разбие-
разбиения с конечным т]. В этих случаях / = / = -{-оо. В случае конеч-
конечности сумм мы имеем, как и в [49]:
2 к-х Q
и при т] -> 0 написанная разность стремится к нулю, откуда и сле-
следует i = /. При этом обе суммы Лебега C4), а также суммы sb и Sb
при т] -> 0 стремятся к величине интеграла. То же можно утверждать
и относительно суммы
со
2fc)	C6)
при любом выборе Pk из gfe. В случае i = I = -\- оо и сумма C6)
равна, очевидно, (-j-oo). Если sbfi> Sbn и аЬп стремятся к величине
интеграла (случай конечного интеграла) и Ь'п^ Ьп) тогда то же можно
утверждать и относительно сумм sb'n, Sb'n и os^.

бО| ИНТЕГРАЛ ОТ НЕОГРАНИЧЕННОЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 151
Основная теорема из [49] без изменения переносится на случай
неограниченных неотрицательных и измеримых функций. Особо важ-
важным является тот случай, когда величина интеграла конечна. В этом
случае функция f(P) называется суммируемой на множестве g.
Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для сумми-
суммируемости функции необходимо, чтобы множество
g0 = g[/=-|-oo] было множеством меры нуль.
Укажем другое определение интеграла от неограниченной неотри-
неотрицательной и измеримой функции, которое равносильно данному выше
определению. Обозначим через [/(P)]n ограниченную неотрицатель-
неотрицательную функцию, определенную следующим образом:
(/(Р), если /(/)<:#,
\/(P)]n = f\	, DL"	C7)
( N, если f(P)^>N
Измеримость этой функции непосредственно следует из формулы
8[[/]лг>а] = 8[/>в] при a<iV и 8[[/]лг>а] = А при a^N
где А — пустое множество. Составим интегралы
C8)
При возрастании N они возрастают и предел этой монотон-
монотонной переменной (конечный или бесконечный) при
TV -> -|- оо мы и назовем интегралом от /(Р). Покажем, что
это новое определение интеграла равносильно преж-
прежнему. Положим сначала, что множество g0, на котором f(P) =
= -|-со, имеет меру нуль. Величина интеграла C8) равна верхней, гра-
границе /дг сумм s(N) для функции [/]дг. Эти суммы не превосходят соответ-
соответствующих сумм s6 для/, и потому /дг ^ /. Нам надо доказать, что монотон-
монотонная переменная iN при 7V-> -J-oo имеет предел /. Доказываем от обрат-
обратного. Пусть /дг->гг<^г (тем самым/' конечно). Мы можем взять
такую сумму sb для /(Я), что 58^>/'. Удержим в этой сумме конеч-
конечное число слагаемых таким образом, чтобы и для полученной конеч-
конечной суммы s[ мы имели бы s't^>lr:
(*)
к
где сумма конечна, и суммирование распространяется на остав-
оставленные слагаемые, что указано штрихом у знака суммы. Если mk=-
= -}-оо, то /(P) = -f-oo во всех точках gfe, т. е. gfcC~;g0, а потому
G (gfe) = 0, ибо по условию G (g0) = 0. Соответствующее слагаемое
написанной суммы считается, как мы указывали выше, равным нулю,
и мы можем его не писать. Таким образом, можно считать, что во

152	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[51
всех слагаемых суммы (*) все числа mk конечны. Составим аналогич-
аналогичную сумму для \f\N\
G (8a) «° =inf [/In на g,).
Если число N больше всех чисел mk, входящих в сумму (*)
(этих чисел — конечное число), то m^ = mk и s^N) = s'^^>l'. Тем
более полная сумма s[N) для [/]# будет ^>1\ а следовательно, и
iN = sup s[N)^> /', а это противоречит тому, что /^, возрастая,
стремится к i, Таким образом, 1^ -> /, и при втором определении
интеграла величина интеграла оказывается той же, что и при
первом определении.
Если G(?0)]>0, то при первом определении величина интеграла
равна (-{- со). Покажем, что то же будет и при втором определении.
Принимая во внимание неотрицательность функции [/]дг, имеем
lN = [ [f]N G (tfg) ^ ( [f]N G (dg) = NG (g0),
ибо согласно определению [f\N=N во всех точках g0. Из неравен-
неравенства iN ^ NG (g0) непосредственно следует iN-*-\-oo при N-+ -\- схэ,
что и требовалось доказать.
51. Свойства интеграла. Пользуясь суммами о8, мы можем дока-
доказывать некоторые свойства интеграла от неограниченной неотрица-
неотрицательной функции совершенно так же, как это делали в [49]. Кроме
того, при доказательстве свойств можем пользоваться и вторым
определением интеграла. Отметим еще, что если /(Р) — ограниченная
неотрицательная функция, то [/(P)]n совпадает с /(Р) при доста-
достаточно больших А/, и новое определение интеграла совпадает с преж-
прежним из [48].
Переходим к доказательству свойств интеграла. Как и в [49],
мы считаем, что g — измеримое множество конечной меры.
1.	Е с л и fk (Р) (& = 1, 2,. .., /я) — суммируемые функции,
то и их линейная комбинация с постоянными положи-
положительными коэффициентами есть суммируемая функ-
функция, и имеет место формула A3).
Доказательство то же, что и в [49].
2.	Если /(Р) суммируема Hag, то она суммируема
и на любой измеримой части g' множества g.
Для [/(P)]n> в силу неотрицательности и свойства 9 из [49],
имеем
( U(P)]n О (<Ф) < \ [f(P)h

51]	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА	153
Переходя к пределу, получим
О (<%) < J /(Я) О (rfg),	C9)
и если правая часть конечна, то левая и подавно конечна.
3. Если /(Я) суммируема на g и множество g раз-
разбито на конечное или счетное число измеримых
множеств, то имеет место формула B0).
Рассмотрим случай бесконечного числа множеств &л. Для огра-
ограниченной функции [/]дг имеем
G (dg)= 7 \ [Ллг О (dg),	D0)
откуда следует
/k G (rfg) < 7 \ /(^) G (^8).	D1)
Беспредельно увеличивая TV, получаем
Докажем противоположное неравенство. Ввиду неотрицательности
f(P) можем написать, в силу D0), для любого конечного значения т
Беспредельно увеличивая N, в пределе получим
Увеличивая теперь беспредельно т, мы и приходим к неравенству
противоположному неравенству D2).

154	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[51
4. Если | разбито на конечное или счетное число
измеримых множеств g^, функция f(P) суммируема
на каждом g^ и ряд
оо
D3)
с неотрицательными слагаемыми имеет конечную
сумму (сходится), то f(P) суммируема Hag, и имеет
место формула B0).
Для функции [f]N мы имеем, как и выше, формулу D0) и
неравенство D1), правая часть которого представляет собой конеч-
конечное число. Из этого неравенства непосредственно следует, что инте-
интегралы C8) имеют конечный предел, т. е. f(P) суммируема на g.
После этого формула B0) непосредственно следует из предыдущего
свойства.
5. Если f(P) суммируема Hag, то при любом задан-
заданном s]>0 существует такое т)^>0, что
е	D4)
при eczg и G(e)^Tj.
Мы можем фиксировать такое N, что
\ [/- \f\if ] О Щ) < \ (/> [/|,v ).
При этом, в силу C9), для любого eczg будет
и при Q{e)<i~ мы получим требуемое неравенство.
Последние два свойства показывают, что интеграл от неограни-
неограниченной неотрицательной функции обладает, как и интеграл от огра-
ограниченной функции, свойствами полной аддитивности и абсолютной
непрерывности.
6.	Если g есть множество меры нуль, то интеграл
от f(P) равен нулю.
Доказательство то же, что и в [49].
7.	Интегралы эквивалентных на g функций равны.
8.	Если интеграл от/(Я) равен нулю, то эта функ-
функция эквивалентна нулю,

52J	ФУНКЦИИ ЛЮБОГО ЗНАКА	155
9. Если /2(P)^/i(P) на g и fx (Р) суммируема, то и
Л(^) суммируема и имеет место неравенство
(P) О (dg).	D5)
10. Если сол(Р) — последовательность неотрицатель-
неотрицательных суммируемых на g-ф у н к ц и й и
о)я (Р) G (dg) -* 0 при п->оо,
то (!>„(Р)-> 0 по мере на g.
Доказательство свойств 7, 8 и 9 то же, что и в [49]. Неравен-
Неравенство D5) имеем право писать для [/2]лг и \/i]n и, переходя к пре-
пределу при N->oo, получаем D5). Свойство 10 доказываем от обрат-
обратного. Если соЛ (Р) не -> 0 по мере, то существует такое 8 ^> 0, что
G(gJ не ->0, где gn = g [^Л(Р)^8]. Отсюда следует, что суще-
существует такая подпоследовательность gnfe, что O(g^)^rf, где d —
положительное число. Имеем
ял (Р) Q (dg) s* J о)Лл (Р) G (dg) ^ 8G (8ЯЛ) ^ W,
откуда следует, что интеграл, стоящий слева, не -> 0, а это про-
противоречит условию.
Переходим теперь к определению интеграла Лебега — Стилтьеса
для неограниченной функции, которая может менять знак. Для от-
отрицательных (неположительных) функций мы можем определить инте-
интеграл, как и выше.
52. Функция любого знака. Пусть на измеримом множестве g
конечной меры задана измеримая вещественная функция /(Р), которая
может принимать значения обоих знаков. Введем так называемые
положительную и отрицательную части функции /(Р):
f ЛП если ДР) 2-0;
f ( } \ 0, если/(Р)<0;
-f(P), если /(Р) ^ 0;
f
0, если /(Р)>0.
Иначе это определение можем написать в виде
-/(Я)]. D60

156	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[62
Для функции /(Р) имеем представление в виде разности двух
неотрицательных функций:
Определение. Функция /(Р) называется суммируемой на g,
если /+(Р) и /~(Р) суммируемы на g. При этом величина инте-
интеграла от функции /(Р) определяется формулой
[f(P)O (d$) = [ f+ (P) G (dg) - ( /" (Р) О (dg). D7)
Отметим, что если только одна из функций /+(Р) или /"(Р)
суммируема, то последняя формула дает для интеграла от /(Р)
определенное, но бесконечное значение. Например, если /+(Р) сум-
суммируема, а /"(Р) нет, то интеграл от /(Р) равен (—со).
Теорема. Для того чтобы /(Р) была суммируема на g, необ-
необходимо и достаточно, чтобы неотрицательная функция |/(Р)|
была суммируема на g.
Если /(Р) суммируема, то суммируемы /+(Р) и /~(Р), а следова-
следовательно, суммируема и их сумма |/(Р) |=/+(Р)-[-/~(Р). Наоборот,
если суммируема сумма /+(Р)-|-/~(Р), то, в силу свойства 9 из [51],
суммируемо каждое слагаемое, а потому и функция /(Р) также
суммируема. Отметим, что и для ограниченной функции мы можем
произвести разбиение на положительную и отрицательную части и
для интегралз будет также иметь место формула D7). В дальнейшем
термином „суммируемая функция" мы будем часто пользоваться и для
ограниченной измеримой функции. Перейдем теперь к указанию
основных свойств интеграла от суммируемой функции любого знака.
Эти свойства вытекают почти непосредственно из аналогичных свойств
интеграла от неотрицательных функций /+(Р) и /~(Р).
1. Е с л и fk (Р) (А = 1, 2, ...,/?) — суммируемые функции,
то и их линейная комбинация с постоянными коэф-
коэффициентами есть суммируемая функция, и имеет
место формула A3).
Суммируемость линейной комбинации непосредственно следует из
неравенства
р
k=\
доказанной выше теоремы и свойства 1 из [51]. Для доказательства
формулы A3) рассмотрим отдельно случай умножения функции на
постоянную и случай сложения двух функций. Пусть /(Р) сумми-
суммируема и с — постоянная. Надо доказать формулу
cf(P) G Щ) = с jf /(P) G (dg).

52]	ФУНКЦИИ ЛЮБОГО ЗНАКА	157
Для определенности будем считать с отрицательной. При этом мы
имеем (cf)+= — cf~ и (cf)~ =— с/+. Определение D7) дает нам
(
&
©
и формула доказана. Положим теперь, что f\ (Р) и /2 (Р) — сум*
мируемые функции. Нам надо доказать формулу
(Л +Л) G (<«) = J /i Q (d&) + j Л О (*)-	D8)
Разложим функции /i, /2 и f=f{-\-f,2 на положительную и отри-
отрицательную части
/!=/Г-/Г; Л=Л+-/2-; /=/+-г-
Мы имеем
Все написанные функции неотрицательны и суммируемы. Применяя
свойство 1 из [51], получим
/Г О D) + f /2+ G (rfg) -р f Г
«	8
/2 0№)+|/+0D),
откуда
4G(d%) —
что и доказывает формулу D8).
2.	Если /t(P) и /а (Р) суммируемы на g и /i (Р) ^ /*2 (Р),
то имеет место формула A5).
По свойству 1, неотрицательная функция /i(P)—Л(Р) сумми-
суммируема и интеграл от нее (он неотрицателен) равен разности интегра-
интегралов от /i(P) и /2(Р), что и приводит к A5).
3.	Если /(Р) суммируема, то имеет место фор-
формула A6).
Неравенство A6) равносильно следующему очевидному неравен-
неравенству:
Л\/ЧР)-ПР)]О№

158	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[62
4.	Если/(Р) суммируема на g, то она суммируема и
на любой измеримой части g' множества g.
5.	Если /(Р) суммируема Hag, и множество g раз-
разбито на конечное или счетное число измеримых
множеств g^, то имеет место формула B0).
Последние два свойства следуют из того, что эти свойства имеют
место для /+ (Р) и /" (Р).
6.	Если g разбито на конечное или счетное число
измеримых множеств g^, функция/(Р) суммируема на
каждом $k и ряд
а
У f	D9)
сходится, то /(Р) суммируема на g и имеет место фор-
формула B0).
Неотрицательная функция |/(Р)| суммируема на всех &л, и из
сходимости ряда D9) следует, в силу свойства 4 из [51], что |/(Р)|
суммируема на g, а следовательно, и f(P) суммируема на g. После
этого формула B0) следует из предыдущего свойства. Отметим, что
сходимости ряда D3) недостаточно для утверждения о суммируе-
суммируемости /(Р).
7. Если /(Р) суммируема на g, то при любом задан-
заданном ?^>0 существует такое т] ]> 0, что
при е с~ g и G (е) ^ т(.
Это свойство непосредственно следует из того, что оно имеет
место для /+ (Р) и /~ (Р).
Таким образом, мы доказали полную аддитивность и абсо-
абсолютную непрерывность для интеграла от любой сум-
суммируемой функции.
8.	Если g есть множество меры нуль, то интеграл
от любой функции /(Р) по g равен нулю.
9.	Интегралы эквивалентных на g функций равны.
Оба свойства приводятся к аналогичным свойствам для /+(Р) и
/~(Р), при этом надо отметить, что если две функции эквивалентны,
то их положительные и отрицательные части также эквивалентны.
10.	Если /(Р) измерима на g, F(Р) — измерима, не-
неотрицательна и суммируема на g и |/(Р) | ^F(P), то /(Р)
суммируема, и имеет место формула
| J f(P) О (rig) | < J F (P) G Щ).	E0)

52]	ФУНКЦИИ ЛЮБОГО ЗНАКА	159
В силу свойства 9 из [51] можно утверждать, что |/(Р)| сумми-
суммируема, а, следовательно, и /(Р) суммируема. Неравенство E0) непо-
непосредственно вытекает из свойства 3 и свойства 9 из [51]. Из до-
доказанного непосредственно следует, что произведение сум-
суммируемой функции на ограниченную измеримую
функцию есть также суммируемая функция.
Отметим еще два свойства интеграла, которые нам понадобятся
в дальнейшем.
11. Если /(Р) суммируема на конечном промежутке
Ао, и интеграл от нее по любому промежутку А, при-
принадлежащему Ао, равен нулю, то /(Р) эквивалентна
нулю на Ао.
Доказываем от обратного. Если /(Р) не эквивалентна нулю, то
существует такое положительное число а, что одно из множеств
AoL/X^)^^] или AoL/Ч^)^ —а\ имеет меру больше нуля. Пусть
это будет первое множество, и обозначим его через g. Мы имеем
Но существуют такие множества ех и е,2 со сколь угодно малой
мерой, что grj- ех = /?-}- е2, где R — элементарная фигура, т. е.
конечная сумма промежутков попарно без общих точек. По условию
интеграл от /(Р) no R должен равняться нулю, и можем написать
J f(P) О (</g) = J /(Р) G (rfg) - J /(/>) G (rfg)-
В силу абсолютной непрерывности интеграла, правая часть может
быть сделана сколь угодно малой по абсолютной величине, а слева
стоит определенное положительное число. Мы пришли к нелепости,
и высказанное выше утверждение доказано.
12. Если f(P) суммируема на g и удовлетворяет
условию
Jcp (/>)/(/>) G(tf§) = 0	E1)
при любом выборе ср(Р), измеримой и ограниченной
на |, то f(P) эквивалентна нулю. Если условие E1)
выполняется при любом выборе ср(Р), измеримой и
ограниченной на g и такой, что
= O,	E2)
то /(Р) эквивалентна постоянной,

160	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[52
Пусть g'— та часть g, где /(Р)^0. Выбираем за <р(Р) функ-
функцию, равную единице на g' и нулю на g— g\ Условие E1) пока-
покажет нам, что интеграл от /+(Р) по g равен нулю, и отсюда, в силу
свойства 8 из [52], следует, что /+(Р) эквивалентна нулю. Ана-
Аналогично доказывается, что /~(Р) эквивалентна нулю, а потому и
/(Р) эквивалентна нулю.
Перейдем к доказательству второй части утверждения. Обозна-
Обозначим через kG{%) величину интеграла от /(Р) по g. В силу E2)
функция /(Р) — k также удовлетворяет условию E1), т. е.
Кроме того, в силу определения &, при любом выборе постоян-
постоянной с имеем
^c[f(P)-k]O(d%) = 0.	E3)
Пусть ф (Р) — любая измеримая ограниченная на g функция,
и cQ (g) — величина интеграла от нее. Функция ср (Р) = ф (Р) — с
удовлетворяет условию E2), и мы имеем
или, в силу E3):
откуда следует, в силу доказанного выше, что /(Р) — k эквивалентна
нулю, т. е. /(Р) эквивалентна k.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим интегралы
Лебега — Стилтьеса от одного переменного. Пусть g (х) — неубы-
неубывающая функция, которая лежит в основе измерения, и f(x) изме-
измерима относительно g(x) и суммируема на измеримом множестве g
оси X или на промежутке [а, Ь]у или на промежутке (а, Ь] и т. д.
Соответствующие интегралы пишут в виде
\ f(x)dg{x) или \ f(x)dg(x), или \ f(x)dg(x) и т. д.
I	[a, b]	(a, b]
Если g(x) = x, то получаем интеграл Лебега. В этом случае мера
любой точки равна нулю, и неважно, причисляются или нет к про-
промежутку его концы, и интеграл по промежутку обычно обозначается
з виде
ь

53]	КОМПЛЕКСНЫЕ СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ	161
При этом мы считаем а<^Ь. Кроме того, принимают следующее
соглашение:
а	Ь
b
53. Комплексные суммируемые функции. Нетрудно ввести
понятие суммируемых функций и определить интеграл и для функ-
функции /(Р), принимающей комплексные значения. Разделим у такой
функции вещественную и мнимую части
Функция /(Р) называется суммируемой, если сум-
суммируемы fx(Р) и /2(Р), и интеграл от /(Р) определяется
в этом случае формулой
/(Р) G (d%) = \ Л (Р) G (d$) +
В данном случае имеет место доказанная выше теорема: для того
чтобы /(Р) была суммируемой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы модуль |/(Р)| был суммируемой функ-
функцией.
Заметим прежде всего, что в силу измеримости fx (Р) и /2 (Р)
будет измеримой и сумма квадратов этих функций, а потому и ариф-
арифметическое значение квадратного корня из этой суммы, т. е.
\/\ = УД-\-Ду что непосредственно следует из формулы
Далее из неравенств
и свойств 9 и 1 из [51] непосредственно следует, что суммируемость
l/i I и |/а| равносильна суммируемости |/|, откуда и следует непо-
непосредственно приведенное выше утверждение.
Далее имеют место указанные выше свойства 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 и 10, а при составлении линейной комбинации функций /^(Р) можем
применять комплексные постоянные коэффициенты ek. Остановимся
лишь на доказательстве свойства 3:
(	E5)
Функции fu /a и }ff\-\-f\ суммируемы, а потому дЛя этих трех
функций суммы os^), о§^2), о5^), соответствующие их последовательности

162	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[54
подразделений Лебега, стремятся к интегралам от этих функций.
Если мы возьмем последовательность подразделений Ьп = Ь'г})Ь^)Ь^>г
то суммы оьп для функций /ь /2 и //1+/2 и подавно будут стре-
стремиться к соответствующим интегралам. Если Ьп есть подразделение §
на части $$ и Р^ — какие-либо точки из ${?\ то мы имеем
k
и в пределе получается E5).
54. Предельный переход под знаком интеграла. Мы докажем
некоторые теоремы, касающиеся предельного перехода под знаком
интеграла для суммируемых функций.
Теорема 1. Если fn (P) — последовательность функций, сумми-
суммируемых на множестве g конечной меры, причем для всех этих
функций имеет место оценка
|/л(Р)|</7(Р),	E6)
где F(P) суммируема на g, и /я(Р)->-/(Р) почти везде на g, то
/(Р) суммируема на g, и
nZo $ h {Р) ° Ш = \ /(Р) 0 Ш'	E?)
Из условий теоремы следует, что предельная функция почти везде
на g удовлетворяет неравенству
|/(P)|<F(P).	E6,)
Переходя к эквивалентной функции, можем считать, что это нера-
неравенство выполнено везде на g. В силу свойства 10 из [52], /П(Р)
и /(Р) суммируемы на g и потому почти везде на g имеют конеч-
конечные значения. Рассмотрим интеграл от разности /(Р)—fn(P) и при-
применим к нему свойство 10 из [51]:
| J \ДР) -fn (Р)\ О (dS) | < J I f(P) -fn (P) I О (dg). E8)
Пусть е — заданное положительное число, и %п — те множества,
принадлежащие g, о которых говорилось в теореме 6 из [44]. Мы
имеем, в силу этой теоремы,
O(gn)->0 и |/(/>)— fn(P)\^z> если Р? g — 8Я. E9)
Кроме того, в любой точке Р из g имеем
\f(P)-fn(P)\^\f(P)\ + \fn<

54]	ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА	163
Интеграл, стоящий в правой части E8), разобьем на два:
= J \f(P)~fn(P) IО (dg) + J \f(P)-fn(P)О (d&.
Отсюда, в силу E9) и F0), следует
Jf |/(Я)—A
&
или тем более:
Из G(8n)->0 и абсолютной непрерывности интеграла от F(P) сле-
следует, что существует такое N, что
при
и, в силу F1),
jf \f(P) -fn (P) I О Ш < [2 + О (8)] в при /I > М
Сравнивая с E8), получаем
jf f(P) О №) - J Л (Р) G (<*8) | < [2 + О (8I е,
to	g
откуда, в силу произвольности е, и следует E7). Как и при дока-
доказательстве свойства 15 из [49], достаточно предположить, что нера-
неравенство E6) удовлетворяется лишь почти везде на g.
Замечание. Нетрудно видеть, что при доказательстве теоремы
мы использовали лишь сходимость fn(P)->f(P) по мере, и тем самым
при формулировке теоремы сходимость fn(P)->f(P) почти везде
можно заменить сходимостью по мере.
Теорема 2. Если fn (P) — неубывающая последовательность
функций, суммируемых на множестве g конечной меры, то
у предельной функции /(Р) интеграл по g равен конечной вели-
величине или (~\- со) и имеет место формула E7).
Суммируемые функции fn(P) почти везде на g конечны, и неубы-
неубывающая последовательность fn (P) в каждой точке имеет предел, ко-
который может равняться и (--J-- со). Рассмотрим неубывающую последо-

164	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[54
вательность неотрицательных функций /П(Р)—/i (Р)- Мы имеем,
очевидно,
о </„ (Р) —А (Р) </(/>) —/, (Р).
Если неотрицательная функция /(Р) —А (Р) суммируема по g, то
и f(P) суммируема. Разность /(Р)—/i (P) может играть роль функ-
функции F(P) теоремы 1 и, применяя эту теорему получим
[fn(P)~A (Р)} О (dg) = \ [/(Р) -/, (P)l G (rfg).
Добавляя к обеим частям интеграл от /i (P), получаем E7). Поло-
Положим теперь, что интеграл от /(Р)—/i (P) равен (-[-со). При этом
[поскольку /i(P) суммируема] интеграл от /(Р) также равен (-J- со).
Отметим далее, что если некоторая последовательность срл (Р) почти
везде стремится к ?(Р), то для любого N: [^(Р)]лг-> [<р (Р)]лг
почти везде.
Чтобы доказать это, достаточно отметить, что если в некоторой
точке срл (Р) -> <р (Р), то в этой точке [срп (Р)]м -> [? (Р)]л^- В этом
легко убедиться, разбирая отдельно случаи ср(Р)^А/ и y(P)^>N.
Таким образом, неубывающая последовательность неотрицательных
функций [fn(P)—A(P)]n почти везде стремится к [/(Р)—A(P)]n-
Предельная функция ограничена и тем более суммируема. В силу
доказанного выше
Hm [ [fn (Р) —Л (P)UO (dg) = f [f(P) —/, (Р)]лг О (rfg). F2)
Пусть /С—любое заданное положительное число. Ввиду того, что
интеграл от [/(Р)—/i (P)] равен (-}- со), можно фиксировать такое Л/,
чтобы интеграл, стоящий в правой части F2), был больше К- Таким
образом, имеем, в силу F2), для всех достаточно больших п:
и тем более
Ввиду произвольности К, отсюда следует, что
ш\\/п{Р)ОЩ) — {/t(/>)G(d8)| = + oo,
т.е.

54J	предельный переход под знаком интеграла	165
и формула E7) доказана и в том случае, когда интеграл от /(Р)
равен (-|- оо).
Замечание. Аналогичная теорема справедлива и для убываю-
убывающей последовательности суммируемых функций. Только предельная
функция может иметь интеграл, равный (— оо), а не (-)- оо). Если
fn(P) — убывающая последовательность, то, полагая сря = —fn полу-
получаем возрастающую последовательность, и знак минус выносится за
знак интеграла.
Выясним одно важное для дальнейшего следствие из доказанной
теоремы.
Теорема 3. Если функции uk(P) (k = \, 2, 3, ...) неотрица-
неотрицательны и суммируемы на g, и ряд с неотрицательными членами
F3)
сходится, то почти везде на g сходится ряд
оо
У, и» (Р),	F4)
fe = l
и ttk(P)->0 почти везде на §.
Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных
и суммируемых на g функций
и применим к этой последовательности доказанную выше теорему.
В силу сходимости ряда F3), интегралы от fn (P) при беспредельном
возрастании п имеют конечный предел. Следовательно, предельная
функция, в данном случае выражаемая рядом F4)
суммируема по g, а потому почти везде на g имеет конечные зна-
значения, т. е. ряд F4) действительно сходится почти везде на g. Но
члены сходящегося ряда стремятся к нулю при удалении от начала,
т. е. uk(P)-+0 почти везде на g, и теорема полностью доказана.
Теорема 4. Если fn(P) есть последовательность неотрица-
неотрицательных и суммируемых на g функций, стремящаяся почти везде
на $ к предельной функции f(P), и интегралы от fn(P) при любом п
не превышают некоторого числа Л, т. е.

166	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[55
то f(P) суммируема на g, и имеет место неравенство
[A.	F5)
s
Мы имеем неравенство
" fn0(d$)^A	F6)
и, в силу свойства 15 из [49], причем роль L играет число N, можем
написать
[fn]N О №) = С [/]* О (rfg).
i
Переходя в неравенстве F6) к пределу при п -> со, получим
i
откуда следует, что f(P) суммируема, а при /V->oo получаем F5).
55. Класс L2. Мы рассмотрим в настоящем параграфе некоторый
класс измеримых функций. Этот класс играет большую роль в при-
приложениях построенной теории к различным вопросам математики и
математической физики.
Определение. Вещественная функция f(P), измеримая на из-
измеримом множестве g конечной меры, называется функцией
с суммируемым квадратом на g, если ее квадрат /2 (Р) суммируем
на g, т. е. если
$/*
Класс функций с суммируемым квадратом на g обозначим сим-
символом If. Для случая интеграла Лебега, т. е. для того случая,
когда G(A) есть площадь промежутка А, пользуются символом L2.
В дальнейшем для простоты письма будем вместо L® писать просто L2.
Но надо помнить, что все сказанное дальше будет справедливо и при
любом выборе Q (А). Докажем ряд свойств класса L2.
Теорема 1. Если f(P) и g(P)€ Lb то f(P) и произведение
/(Я) g(P) суммируемо на g.
Утверждения теоремы непосредственно вытекают из неравенств

55]	класс Lq	167
и свойств 1 и 10 из [52]. Отметим, что здесь и во всем дальней-
дальнейшем мы подразумеваем вещественные функции.
Теорема 2. Если f(P) и g(P)? L2, то cf(P) и f(P)-\-g(P)
также принадлежат L2.
Утверждение относительно cf(P) очевидно, а для f(P)-\-g(P)
оно вытекает из формулы
теоремы 1 и свойства 1 из [52].
Теорема 3. Если f и g? Lb то имеет место неравенство
(Буняковского—Шварца):
\ fg G (dg) ]*< Г Г G (dg) C g*Q (dg).	F7)
Доказательство точно такое же, что и для интеграла Римана.
Повторим его. Заметим прежде всего, что если в квадратном трех-
трехчлене ail1 -j- 2bu 4- с коэффициенты вещественны и' а^>0, то из
тождества
aii1 -|- 2bu -f- с = — [(аи -(- bf -\- (ас — tf1)]
непосредственно следует, что если указанный трехчлен при всех
вещественных значениях и имеет неотрицательные значения, то b* ^ ас.
Мы считаем, что функции / и g не эквивалентны нулю, ибо в про-
противном случае неравенство F7) тривиально, ибо его левая часть при
этом равна нулю. Напишем очевидную формулу
[ (/и 4- #У2 О (dg) = м2 [ /2 О (dg) 4- 2к [ fgO (dg) 4- [ g*Q (dg),
где и — некоторый параметр. Стоящий слева интеграл имеет для
любого вещественного и неотрицательное значение. Следовательно,
и трехчлен, стоящий справа, также обладает этим свойством. Для
этого трехчлена мы должны иметь й2 ^ ас, что и приводит нас к не-
неравенству F7). Отметим, что коэффициент а в указанном трехчлене
наверное положителен, так как функция / не эквивалентна нулю.
Следствие. Если/^ Ьъ то очевидно и |/| ? L2 и, представляя
|/| в виде произведения |/| = |/| • 1, мы получим следующее нера-
неравенство:
F8)
Теорема 4. Если f и g ? Lit то имеет место неравенство
fG (dg) +Y\ g*O (d&. F9)

168	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[56
Из неравенства F7) получаем
J fg О (dg) ^y{fO (dg) У J g*G (dg).
р	гаю
СО	©	©
Умножаем обе части этого неравенства на 2 и прибавляем к обеим
частям полученного неравенства интеграл от /2 и интеграл от g*.
Полученное неравенство
fa (dg) + 2 J /^g (dg) + J **a (dg) <
p	p
©	©
/2G (dg) -f 2 ]/ J /2G (dg) ]/J ^2G (dg) + J ^2G (dg)
©
может быть записано в виде
f	О(dg)
что и приводит нас непосредственно к неравенству F9).
Отметим еще, что если f(P) ^ L2, то, в силу суммируемости
/2(Р), функция /(Р) почти везде на g принимает конеч-
конечные значения.
56. Сходимость в среднем. Мы введем сейчас новое понятие
сходимости в классе Z,2.
Определение. Говорят, что последовательность функций/п(Р)
из L2 сходится в среднем к функции /(Я) из L2 или просто схо-
сходится в L2 к функции /(Р), если
Hm f [/(Я)—/„(P)]iQ(dg) = 0.	G0)
Отметим, прежде всего, что если мы заменим /(Я) эквивалентной
ей функцией g(P), то интеграл, входящий в формулу G0), не изме-
изменится, и функция g(P) будет также пределом в среднем для /Я(Р).
В дальнейшем мы будет отождествлять эквивалентные
функции, т. е. будем считать эквивалентные функции,
принадлежащие 12, за одну и ту же функцию. Дока-
Докажем теперь единственность предела, т. е. докажем следующую тео-
теорему:
Теорема 5. Если последовательность /Я(Р) из L% сходится
в L% к двум функциям f {P) и g(P)} то эти функции эквивалентны.
Напишем очевидную формулу

66]	сходимость в среднем	169
и применим к правой части неравенство F9)
При /z -> oo правая часть стремится к нулю, а левая не зависит
от п, и, следовательно, имеем
В силу свойства 8 из [52], отсюда следует, что разность /—g
эквивалентна нулю, и тем самым функции / и g эквивалентны. Дока-
Доказанная теорема устанавливает единственность предела /Л(Р) в L2,
но, конечно, не всякая последовательность функций имеет предел
в среднем. Отметим, что из сходимости почти везде не следует
сходимость в среднем и из сходимости в среднем ,«е следует сходи-
сходимость почти везде. Докажем в связи с этим теорему.
Теорема 6. Если последовательность fn(P) из Ц стремится
к /(Р) в среднем на g, то из нее можно выделить подпоследова-
подпоследовательность fnk(P), которая сходится почти везде к /(Р) на g.
Из G0) следует, в силу свойства 10 из [51], что fn(P)~+f(P)
по мере на g, и теорема 6 есть следствие теоремы 7 из [44].
Следствие. Если fn(P) стремится в среднем к /(Р) и стре-
стремится почти везде на % к <р(Р)> то ср(Р) и f(P) эквивалентны
на g. Если fn (Р) -^ ср (Я) почти везде, то тем более fn (Я) -> <р (Р)
почти везде. Но, как мы видели, fn (P)->/(P) почти везде, откуда
и следует, что ср (Р) и /(Р) эквивалентны.
Для сходимости в среднем можно установить необходимое и
достаточное условие, аналогичное условию Коши существования пре-
предела для числовых последовательностей [I; 36]. Предварительно
введем новое определение.
Определение. Говорят, что последовательность fn(P) функ-
функций из L2 сходится в среднем в себе, если для любого заданного
положительного г существует такое N, что
<? при n*tn>N.	G1)
Теорема 7. Для того чтобы последовательность fn(P) схо-
сходилась в среднем к некоторой функции из Lb необходимо, чтобы
она сходилась в среднем в себе.
Дано, что последовательность сходится в среднем к некоторой
функции /(Р). Представим разность /П(Р)—/ш(^) в-виде

170	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГЛ	[56
и применим неравенство F9).
V1
to
Пусть e — заданное положительное число. В силу сходимости
в среднем к /(Р) существует такое N, что при п и m^>N интегралы,
стоящие под радикалами в правой части последнего неравенства,
е2
^ --J-. При этом последнее неравенство приводит непосредственно
к неравенству G1), и теорема доказана. Докажем теперь обратную
теорему.
Теорема 8. Для того чтобы последовательность /л(Р) схо-
сходилась в среднем к некоторой функции, достаточно, чтобы она
сходилась в среднем в себе.
Дано, что fn{P) сходится в себе, и надо доказать, что она сходится
в среднем к некоторой функции. В силу сходимости в себе, суще-
существует такая возрастающая последовательность значков п1<^щ<^
< пъ < ... , что
\fnk+l (p) -hk (P)? о т ^ ^ ¦
Применяя неравенство F7) в случае /=|/ 1—/ ] и g = 1,
получим
[fnk+l (P)-fnk (Р)? О (rfg) У J О (rfg),
го
или, в силу предыдущего неравенства
^)-Л*(^)I
Отсюда следует сходимость ряда
й, в силу теоремы 3 из [54], ряд

56]	СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ	171
сходится почти везде на g. Тем более, почти везде сходится ряд
k = 1
сумма первых р членов которого равна /л (Р), т. е. почти везде на
$ последовательность
f ГР) f (P} f (P\
стремится к некоторой функции /(Р) с конечными значениями. Мы
покажем, что /(Р) ? ?2 и что /л (Р) сходятся в среднем к /(Р).
В силу того, что последовательность /Л(Р) сходится в себе, для
любого заданного положительного е существует такое N, что
Се при nk и n^>N.
Устремляя в этом неравенстве nk к бесконечности и пользуясь
теоремой 4 из [54], получим
[f(P) ~fn (P)f О №) < s при /1 > М	G2)
Отсюда следует, между прочим, что разность /(Р)—fn(P)? ^a«
Но/Л(Р) также принадлежит *L2. Складывая /(Р)—/Л(Р) и /я (Р),
получим, в силу теоремы 2, что и /(Р) ^ Z,2. Неравенство G2) пока-
показывает, наконец, что /Л(Р) в среднем стремится к/(Р). Последние
две теоремы приводят к следующему утверждению: сходимость
последовательности fn (P) в среднем в себе является
необходимым и достаточным условием того, что эта
последовательность сходится в среднем к неко-
некоторой функции.
Теорема 9. Если fn(P) it gn{P) e L, и fn{P)^f{P), gn{P)-^g(.P)
в среднем, то
/«(Р) gn (Р) О №) -> J /(Я) 5- (^ О (<%).
s
Вводя для любых функций <р (Р) и ф (Р) из Z-2 обозначение [IV; 35]
(?, <I»)=U(P) <!»(/>) О (rfg),
8
можем записать неравенство Буняковского в виде
(Т. ФJ<(<Р. ?) (ф, ф).
Положим теперь

172	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[57
По условию (сря, срд) и (фп, ф„) -> 0. Составим разность
откуда
1(/> Л-(Л, й,I<|(/,
< /G7) /оьЛ7) + УТъТъГ) /(ТУ)
Правая часть стремится к нулю при п -> оо, откуда | (/", ^) —
— (/я» ^л)!-*0* т- е- (Л» gn)~+(f> g)> что и требовалось доказать.
57. Функциональное пространство Гильберта. Семейство функ-
функций L2 представляет собой, как и семейство С [14] некоторое функ-
функциональное пространство. Элементом этого пространства является
вещественная функция с суммируемым квадратом на g. Эквивалентные
функции при этом отождествляются, т. е. им соответствует один и
тот же элемент 12.
Определено сложение элементов и их умножение на вещественное
число, причем эти операции подчиняются обычным законам алгебры.
Нормой элемента х (длина вектора) назовем неотрицательное число,
определяемое следующей формулой:
G3)
Говорят, что последовательность элементов fn (P) из Z,2 сходится
к элементу f(P) из /,2, если ||/(Р)—^Л (Р) || —> 0 при /г->оо. Эта схо-
сходимость по норме, в силу G3), равносильна сходимости в среднем.
Введем еще понятие о скалярном произведении двух
элементов f(P) и g(P). Оно определяется равенством
$,	G4)
и, очевидно, имеет место формула
mn	G5)
Расстояние между двумя элементами / и g опре-
определяется формулой
> = V(f—g> f~g)- G6)
Пусть имеются три элемента/, g и h. Напишем формулу/—h =
= (/—g)Jr(g—h) и применим неравенство F9). Мы получим, таким

57] ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	173
образом, в силу определения G4), так называемое правило	тре-
правило	треугольника:
(g, A).	G7)
Нулем пространства или нулевым элементом назо-
назовем функцию, тождественно равную нулю Hag, или,
что то же, функцию, эквивалентную нулю. Норма нуле-
нулевого элемента равна нулю, а норма любого другого элемента, в силу
свойства 8 из [61], положительна. Расстояние р (/, g)^0, и знак
„равно* имеет место только тогда, когда элементы совпадают, т. е.
функции fug эквивалентны. Расстояние и скалярное произведение
симметричны, т. е. p(g\ /) = p(/, g) и (gy /) = (/, g). Для того, чтобы
последовательность элементов имела предел в нашем функциональном
пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе,
т. е. для любого заданного е существовало такое N, что \\/т—/Л||<С8
при п и т^>N. Последнее свойство называют обычно полнотой
пространства L2.
Неравенство G7) справедливо, очевидно, и для любого конечного
числа слагаемых:
р(/.> /«)<Р(Л Л)+Р(Л, /.)+••• +Р(/т-1. Л.)
ИЛИ
S/i-/«||<|iA-/.|| + l/«-/.li+ ... +l/»-i-/«||. G7.)
Совершенно аналогично предыдущему можно построить функцио-
функциональное пространство Z,2 и для комплексных функций E4). Функция
/(P)=/1(P)-j-//2(P) называется функцией из L2, если f\(P) и /2(Р)
принадлежат L2. При этом квадрат модуля |/(Р)|2 есть суммируемая
функция. Теоремы 1 и 2 сохраняются. Неравенства F7) и F9) пере-
переписываются в виде
fgom
%
G8)
В определении сходимости в среднем и сходимости в себе квад-
квадраты разности (f—fnJ и (fn—/mJ надо заменить квадратами модулей
разностей |/—fnf и \fn—fm \*. Теоремы 7 и 8 сохраняются. При
построении функционального пространства допускается умножение не
только на вещественные, но и на комплексные числа. Норма элемента
определяется формулой
!/(=]/"]
= 1/ \ 1/ГО»),	G9)

174	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[58
а скалярное произведение формулой
(/> g)= \fgQ(d%),	(80)
где символом а мы обозначаем, как всегда, комплексное число, сопря-
сопряженное с а. По-прежнему имеет место формула G7). Расстояние между
элементами определяется формулой G6) с заменой (/—gf на |/—g\2,
и оно имеет те же свойства, что и для вещественного пространства.
Для скалярного произведения имеем формулу (g, /) = (/", g). Все ска-
сказанное о пространстве комплексных функций непосредственно выте-
вытекает из того, что функции /i (Р) и /2 (Р) принадлежат вещественному
пространству 12. Функциональное пространство 12 называется часто
функциональным пространством Гильберта.
Отметим один частный случай. Положим, что функция G (g) соот-
соответствует сосредоточенным массам, помещенным в точках Рь Р2, ... , Рт
и равным единице. При этом интеграл Лебега — Стилтьеса для любой
функции /(Р), принимающей конечные значения в указанных точках,
по любому множеству g, содержащему вышеуказанные точки, превра-
превращается в конечную сумму
Если рассматривать значение всякой функции /(Р) в точках
Pk(k=\, ... , rri) как составляющие некоторого /w-мерного ком-
комплексного вектора, то получим /«-мерное пространство /?т, теорию
которого мы излагали в третьем томе [III, 251- Данные выше опре-
определения сложения, умножения на число, нормы, скалярного произве-
произведения и т. д. совпадают с тем, о чем говорили раньше.
58. Ортогональные системы функций. В непосредственной связи
с функциональным пространством L2 находится теория ортогональных
систем функций. Мы уже излагали эту теорию раньше [IV; 38, 80].
Сейчас дополним это изложение, вводя в него понятие интеграла
Лебега — Стилтьеса или Лебега. Мы будем сначала говорить о веще-
вещественных функциях.
Определение. Говорят, что функции
заданные на измеримом множестве g конечной меры и принад-
принадлежащие Lz, образуют ортогональную и нормированную систему,
если выполнены условия
*1; (82)
при k = l.

58|	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФЗ'НКЦИЙ	175
Для любой функции f(P) из Z,2 мы можем составить ее коэф-
коэффициенты Фурье относительно системы (81):
an=\f(P)<?n(P)G(d$),	(83)
и ее ряд Фурье
оо
Уадп(^).	(84)
Относительно сходимости этого ряда мы ничего утверждать не
можем, но мы можем образовать отрезки этого ряда:
п
Sn(J)= 2<*к?ЛР)-	(85)
k = \
Выражение
п
$[	2|2	(86)
имеет наименьшее значение, если коэффициенты bk взять равными
коэффициентам Фурье ak. При этом для выражения (86) получаем
следующую простую формулу:
п
\ [ЯР) - Sn (Л? О (dg) = J f (P) G (d$) - 2 *Ъ (87)
из которой вытекает неравенство Бесселя:
(88)
и сходимость ряда, стоящего в левой части этого неравенства. Если
в формуле (88) имеет место знак =, то полученная формула
называется уравнением замкнутости. В силу (87), уравне-
уравнение замкнутости равносильно тому факту, что от-
отрезки ряда Фурье Sn (/) стремятся в среднем' к функ-
функции /(Я). Докажем теперь следующую основную теорему.

176	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[58
Теорема 1 (Рисса — Фишера), Если сп — любая заданная после-
последовательность вещественных чисел, квадраты которых образуют
сходящийся ряд
со
УсЛ< + оо,	(90)
/1=1
то существует единственная функция из Ьъ для которой числа сп
суть ее коэффициенты Фурье относительно системы (81) и для
которой имеет место формула замкнутости (89).
Образуем функции
В силу ортогональности и нормированности системы (81) имеем
5, (Р) - sp (Р)]2 о (dg)=4+. + <?+, + • • • + 4. (я>р)
и из сходимости ряда (90) вытекает, что правая часть написанной
формулы стремится к нулю при беспредельном возрастании /?, т. е.
последовательность функций (91) из L2 сходится в себе. Следова-
Следовательно, существует такая функция /(Р) из 12, к которой Sn(P)
сходятся в среднем:
= 0.	(92)
Покажем, что ck суть коэффициенты Фурье ak этой функции.
Принимая во внимание (83), а также ортогональность и нормирован-
ность системы (81), можем написать
- 2 ('*-**)'•	(93)
fe = i
В правой части разность, стоящая в квадратных скобках, неотри-
неотрицательна в силу неравенства Бесселя. Остальные слагаемые правой
части также неотрицательны. При п->оо левая часть стремится
к нулю и, следовательно, то же можно утверждать и о правой части.
Отсюда непосредственно следует, что каждое из неотрицательных
слагаемых (ck — ак)* равно нулю, т. е. ck = ak> что мы и хотели
доказать. Таким образом, функции (91) суть отрезки ряда Фурье

68)	ортогональные системы функций	177
функции /(Р), и из (92) непосредственно следует, что для f(P)
имеет место формула замкнутости. Остается доказать, что функция/(Р)
с указанными выше свойствами единственна. Если кроме f(P) суще-
существует еще функция g(P) с указанными свойствами, то (91) суть отрезки
ряда Фурье как для/(Р), так и для g(P)> По условию, уравнение замкну-
замкнутости имеет место как для/(Р), так и для g(P), т. е. последовательность
Sn(P) стремится в среднем какк/(Р), так и к g(P). В силу един-
единственности предела в L2 отсюда следует, что f(P) и g(P) эквивален-
эквивалентны, т. е. представляют собой один и тот же элемент L2, и теорема
полностью доказана. Введем теперь определение замкнутости систем.
Определение. Ортогональная и нормированная система (81)
называется замкнутой, если для любой функции f(P) из L2 имеет
место уравнение замкнутости (89).
При доказательстве теоремы 1 мы не предполагали, что система
(81) замкнута. Если это имеет место, то не надо оговаривать, что для
функции имеет место уравнение замкнутости, так как по определе-
определению замкнутых систем это имеет место для любой функции из 1а.
Поэтому для замкнутых систем теорема 1 формулируется так:
Теорема Г. Если система (81) замкнута и сп — любая задан-
заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд (90)
сходится, то существует единственная функция из 12, для кото-
которой числа сп суть ее коэффициенты Фурье.
Кроме понятия замкнутости системы, вводят еще понятие полноты
системы.
Определение. Система (81) называется полной, если в 12 не
существует функции, отличной от нуля (т. е. не эквивалентной
нулю) и ортогональной ко всем ф^(Р).
Мы покажем сейчас, что понятия полноты и замкнутости
эквивалентны.
Теорема 2. Для того чтобы система (81) была полной, не-
необходимо и достаточно, чтобы она была замкнутой.
Доказываем необходимость от обратного. Дано, что система (81)
полная и положим, что она не замкнута, т. е. существует такая
функция h(P) из L2 с коэффициентами Фурье ak) что
о
*!.	(94)
l
С другой стороны, согласно теореме 1, существует функция /(Я)
из L2 с теми же коэффициентами Фурье ak, для которой имеет место
формула замкнутости (89). Сравнивая эту формулу с (94), получаем
С h\P) Q (dg) > С f (P) О (dg).	(95)
Но разность f(P) — h(P) имеет все коэффициенты Фурье равные
нулю, т. е. она ортогональна ко всем срл(Р) и, в силу полноты,

178	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[58
упомянутая разность эквивалентна нулю, т. е. h (Р) и /(Р) эквива-
эквивалентны, а это противоречит (95), и таким образом необходимость
доказана. Доказываем достаточность. Дано, что система замкнута,
и надо доказать ее полноту, т. е. надо доказать, что если все коэф-
коэффициенты Фурье некоторой функции f(P) равны нулю, то эта функ-
функция эквивалентна нулю. Поскольку предполагается замкнутость системы,
мы можем для функции /(Р) написать уравнение замкнутости (89),
которое, в силу равенства нулю всех коэффициентов Фурье функ-
функции f(P), даст нам
откуда и следует, в силу свойства 8 из [51], что f(P) эквивалентна
нулю. Отметим, что для любой системы функций tyn (Р) из L2 при-
применим процесс ортогонализации, который мы описали раньше [IV; 38].
Все сказанное выше непосредственно обобщается и на случай
комплексных функций из L2. Свойства ортогональности и нормиро-
нормированное™ системы (81) выражаются при этом равенствами:
^/'	(96)
при &=/,
а коэффициенты Фурье определяются формулами:
(97)
В дальнейших формулах мы везде вместо квадратов функций и
чисел должны писать квадраты модулей. Так, например, уравнение
замкнутости будет иметь вид
со
" в* Iе-	Р8)
Указанные выше теоремы сохраняются, но только вместо ряда (90)
мы должны рассматривать ряд из чисел | сп |2.
Приведем еще так называемое обобщенное уравнение замкнутости.
Пусть ап и Ьп—коэффициенты Фурье функций /(Р) и g(P), и си-
система (81) замкнута. Функция f(P)-\-g(P) имеет коэффициенты Фурье
ап -f bn, и функция /(Р) -f- ig(P) — коэффициенты ап -\- ibn. Уравнения
замкнутости для них имеют вид
оо
г*

681	ортогональные системы функций	179
или
8
/t= 1
Принимая во внимание уравнения замкнутости для fug, умножая
второе равенство почленно на i и складывая с первым, мы и полу-
получим обобщенное уравнение замкнутости
В случае вещественных функций обобщенное уравнение замкну-
замкнутости имеет вид
* °°
^nbn.	A00)
Из обобщенного уравнения замкнутости непосредственно следует
возможность почленного интегрирования ряда Фурье любой функции
/(Р) из 12 по множеству g или любой его измеримой части g' [II; 156],
а именно, если ak (k=l, 2, ...) — коэффициенты Фурье /(Р), то
/(Р) G (rfg) =
Укажем еще одно свойство пространства Z,2, из которого следует
существование в Z,2 замкнутой ортогональной нормированной системы.
Это свойство называется обычно сепарабельностью и оно со-
состоит в следующем: существует счетное множество
элементов фл(Р) (k= 1, 2, ...) и з Z,2, плотное в Z,2,
т. е. такое, что для любого /(Р) из Z,2 и любого задан-
заданного положительного е существует такой элемент
<|>m(P) из указанного счетного множества, что ||/(Р) —
"—Фт(^)[|^е' В одном из следующих параграфов мы докажем сепа-
сепарабельность L2. Сейчас мы докажем, что из сепарабельности вытекает
существование замкнутой ортогональной нормированной.системы. При-
Применяя к фл (Р) процесс ортогонализации, [IV; 3], получим некоторую
ортогональную нормированную систему <рл(Р) (& = 1, 2, ...). Докажем,

180	ФУНКЦИИ MHOHCFXTB И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[59
что она замкнута. В силу сказанного выше для любого /(Р) из ?2
и любого заданного положительного е существует такое фт (Р), что
||/—фт||^е. Но фт(Р) есть, согласно процессу ортогонализации,
некоторая конечная линейная комбинация функций срл (Р), т. е.
+	{	)> и» таким образом,
ь
I/- ф« I3 = J [/(^> -
Если мы заменим ск коэффициентами Фурье /(Р) относительно
системы <Рй(Я), то неравенство тем более сохранится [II; 148]:
где St(f) — отрезок ряда Фурье функции /(Я). Из этого неравенства,
в силу произвольности е, и следует замкнутость системы срл (Р).
Отметим еще, что в том случае, когда G ($) соответствуют сосре-
сосредоточенные массы, помещенные в точках Рь Р2, ... , Рт, то замкнутая
система содержит лишь т элементов, и этот случай не представляет
интереса. Он приводит, как мы уже отмечали, к конечно-мерному
пространству Rm.
69. Пространство /2. Наряду с пространством ?2 рассмотрим
пространство бесконечных последовательностей /2, тесно связанное
с 12, причем мы сразу будем рассматривать комплексный случай.
Элементом /2 назовем бесконечную последователь-
последовательность комплексных чисел х (хь хъ лг3, ...) такую, что
ряд, составленный из \хп\*у сходится. Непосредственно оп-
определяется умножение элемента на комплексное число и сложение
элементов. Элемент сх по определению имеет координаты (схь схъ ...)
и сумма элементов х и у с координатами хп и уп имеет координаты
хп-\-уп, при этом сходимость ряда, составленного из чисел -\хп-\-уп |2,
непосредственно следует из сходимости рядов, составленных из чисел
\хп\* и \уп\*У в силу очевидного неравенства | хп-\-уп |2^ 2(|дгл |2-j-
-J- \уп |2). Норма элемента х определяется формулой
A02)
и скалярное произведение элементов х и у формулой
A03)

69]	ПРОСТРАНСТВО/9	181
причем абсолютная сходимость ряда, стоящего справа, непосредственно
вытекает из неравенства \хпуп | ^yfl.*^ |2-j- \уп |2).
Мы имеем
||*|а = С*, х).	A04)
Расстояние между элементами х и у определяется формулой
> y) = V(*-y> х—У)=\х—у\ = Л/
хя—уп\\ (Ю5)
/г=1
Совершенно аналогично неравенствам F7) и F9) имеют место
следующие неравенства:
/
Ы2; A06)
/1 = 1	П = 1
2. A07)
Они доказываются так же, как и неравенства F7) и F9). Отметим,
что неравенство A06) может быть записано в виде
К*, .у)|2<ИМ№	(Ю8)
Для расстояния, в силу A07), имеет место правило треугольника.
Нулевым элементом пространства называется элемент, все координаты
которого равны нулю. Мы говорим, что последовательность элемен-
элементов х^п) сходится к элементу х, если \\х — лг(/7)||—*0. Пусть х^] —
координаты х{п) и хк — координаты х. Сходимость jc(/i) к х равно-
равносильна следующему:
ОО
'?xk — x{t)\%->0 при л — оо. A09)
Укажем теперь на связь пространств 12 и /2. Возьмем какую-либо
замкнутую ортогональную и нормированную систему (81). Каждой
функции f{P) из L2 будет соответствовать последовательность ком-
комплексных чисел ак — ее коэффициентов Фурье, причем ряд, соста-
составленный из | ak |2, сходится. Наоборот, каждой такой последователь-
последовательности комплексных чисел, в силу теоремы 1 из [59], отвечает опре-
определенная функция из L.2. Таким образом, взяв какую-либо замкнутую
систему (81), мы устанавливаем биоднозначное соответствие между
элементами L2 и /2. Каждому элементу 12 соответствует один опре-
определенный элемент из /а, и наоборот. В силу того, что коэффициенты

182	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[69
т
Фурье конечной линейной комбинации функций / ckfk (P) равны
соответствующей линейной комбинации коэффициентов Фурье слагае-
слагаемых функций fk(Р), мы можем утверждать, что указанное выше
биоднозначное соответствие дистрибутивно, т. е.
если элементам fk(P) (k = 1, 2, ... , т) из Z,2 соответствуют эле-
т
менты х(к) из /2, то элементу \ ckfk(P) соответствует элемент
ckx^k\ В силу обобщенного уравнения замкнутости (99) скаляр-
ные произведения соответствующих элементов в L2 и /2 при указан-
указанном соответствии одинаковы. Нормы элементов, в силу уравнения
замкнутости (98), также одинаковы. Пространства Z,2 и /2 являются
различными осуществлениями одного и того же абстрактного про-
пространства. В дальнейшем мы изучим свойства этого абстрактного про-
пространства и операторы в нем, описывая это пространство при помощи
некоторой системы аксиом. Отметим еще понятие сходимости в себе
в пространстве /2. Мы говорим, что последовательность элементов х{п)
сходится в себе в /2, если для любого заданного положительного е
существует такое /V, что \\х{п)—х{т)\\^е при т и n^>N. Принимая
во внимание указанное выше соответствие между L.2 и /2 и теоремы 7
и 8 из [56], мы можем утверждать, что для того, чтобы последова-
последовательность х{п) имела предел в /2, необходимо и достаточно, чтобы
она сходилась в себе. Предел может быть только один.
Рассмотрим множество К элементов /2, имеющих лишь конечное
число координат, отличных от нуля, причем все эти координаты
суть рациональные комплексные числа, т. е. числа вида а-\-Ы, где
а и b — рациональные вещественные числа. Принимая во внимание
счетность множества рациональных чисел, видим, что упомянутое
множество элементов К есть счетное множество.
Покажем, что оно плотно в /2. Пусть х(хи х2, лг3, ...) —
некоторый элемент из /2 и z (сь с2, ... , спУ 0, 0...) — элемент
из указанного выше множества К- Мы имеем
Пусть s — заданное положительное число. В силу сходимости
ряда, составленного из l-xr^f2, мы можем фиксировать такое значение
П = П{)) ЧТО	оо
2 1**р<^л

60]	ЛИНЕАЛЫ В [2	183
В конечной сумме
«о
V I У	Г I2
\xk — ck\
мы можем выбрать рациональные числа ck настолько близкими к xk,
чтобы эта сумма была также <^&2- При этом будем иметь, в силу
A10), ||дг — ,г||2^е2, т. е. ||jc — -г||^е. Этим и доказано, что упомя-
упомянутое выше счетное множество К элементов из /2 плотно в /2.
Таким образом, пространство /2 сепарабельно. Элементы
этого пространства
*i(i, о, о,...); *а(о, 1, о, о,...); *3@, о, 1, о,...); ...
образуют замкнутую ортогональную и нормированную систему.
60. Линеалы в L2. Мы введем теперь некоторые новые понятия,
связанные с L2.
Определение. Множество U элементов Z,2 (функций из L2
называется линеалом при соблюдении следующего условия: если
<р(Р) и ф(Р) ? U, то сср(Р) при любом выборе вещественного
числа с и y(P)-{-ty(P) также принадлежат U.
Из этого определения непосредственно следует, что если
MP)?U (*=1, 2, ..., т), то и cjx(Р) + с2/2(Р) + ... +
-f- cmfm(P) ?U при любом выборе чисел ck. Отметим некоторые
примеры линеалов. Пусть М — множество ограниченных на g-функций,
т. е. таких функций, что для любой /(Р) ? М- существует такое
число df, что \f(P)\^df на g. Множество М — линеал в Z,2.
Назовем функцию /(Р) непрерывной на множестве g при со-
соблюдении следующего условия: если точки Р и Рп(п= 1, 2, ...) при-
принадлежат g и Рп—+Р, to/(PJ — /(P) [IV; 157]. Множество функций
из 12, непрерывных на g, есть, очевидно, также линеал.
Теорема 1. Линеал непрерывных на ограниченном множестве g
функций из L2 всюду плотен в Z,2. Нам надо доказать, что для
любого элемента /(Р) из L2 и любого заданного 8^>0 существует
такая непрерывная на g функция ср(Р) g L2, что
U- 9 Р = J [/(^ - ? (^)Г2 о («) < s> (Hi)
s
причем для определенности рассматривается, как и выше, двумерный
случай. Мы имеем /(Р) = /+(Р)— /~(Р), где /+(Р) и / (Р) — поло-
положительная и отрицательная части /(Р). Можно считать, что эти функ-
функции, принадлежащие L2 и тем самым суммируемые на g, принимают
лишь конечные значения и являются предельными функциями возра-
возрастающей последовательности кусочно-постоянных функций (^(Р) и

184	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[60
оуп(Р) с конечным числом значений, причем wi(P)^f* (Р) и
P) [46]. Мы имеем [54]:
0.	A12)
Далее из неравенства (х{ -\- дг2J ^ 2 (х\ -f- дг|) следует
[/- « - со-)]2 ^ 2 (/+ — со»2 + 2 (/" - ^J>
и, вводя кусочно-постоянную функцию шл (Р) = о>? (Р)— о)л(Р) с ко-
конечным числом значений, мы можем, на основании A12), фиксировать
такое п, что ||/—о)л!|^е0, где е0 — любое заданное положительное
число. Принимая во внимание, что ||/—ср||^||/—а)л || -\-1| шп — ср||,
нам достаточно доказать существование такой непрерывной функции
ср (Р), что | со — <р || sg е, где е — любое заданное положительное число
и со (Р) — заданная функция с конечным числом значений. Такая функ-
функция может быть представлена в виде
ш(Р)=
k= I
где w^(P) — характеристические функции фиксированных множеств
$k, принадлежащих g. Если ср^(Р) (&=1, 2, ..., т) некоторые не-
непрерывные на g функции и ср (Р) = Схсрх (Р) -(- с2ср2 (Р) -|- ... -f-
и доказательство теоремы свелось к доказательству следующего
утверждения: для характеристической функции cog0 (P) любого изме-
измеримого множества g0, принадлежащего g, и любого заданного ^
существует такая непрерывная на g функция <?(Р), что [jсо — ср
е-
е[j
известно, что для любого заданного ?о^>О существует такое замк-
замкнутое множество F, принадлежащее go> чт0 ^(ёо — ^)^?о [35].
При этом
и, в силу неравенства |]o)g0 — ср || ^ |[ со^0 — <*>/? ||-[-1| <о/г-—ср Ц достаточно
доказать высказанное утверждение для характеристической функции
ограниченного замкнутого множества F, принадлежащего §. Обозначим

60]	линеалы в ?2	185
через г(Р) расстояние от точки Р до множества F. Мы имеем
— расстоя-
расстоя+ || и r(Q)^ + || К!
ние между Q и Qlt откуда следует непрерывность функции г(Р).
Далее r(Q) = 0, тогда и только тогда, когда Q ?F [II; 89]. Нетрудно
видеть, что u>f(P) есть предел невозрастающей последовательности
непрерывных на g функций:
так что '] со/г-—<рп!|-*0 [54] при я — оо, и, следовательно, для любого
заданного е^>0 существует такое п, что Ца>/г—срл||^е, причем
срл (Р) — непрерывна на g, и тем самым теорема доказана.
Следствие 1. Ограничиваясь для определенности случаем пло-
плоскости, положим, что g есть замкнутый промежуток А {ах^х^Ь{\
а2 ^У ^ ^)- Для любой непрерывной на нем функции ср (х, j/) можно
построить такой полином р(х, у), что |ср(лг, у)—р(,ху у)\^е0 на Д,
где е0 — любое заданное положительное число. При этом
Ь-Pf =§[?(*, У)-Р(х,
А
Принимая еще во внимание, лто ||/—p\\^\\f—?|Ц~1!?—Р\\> где
f(x, у) (z L<i на Д и доказанную теорему, можно утверждать, что
линеал полиномов повсюду плотен в L2 на Д.
Вместо промежутка Д мы могли бы взять и любое ограниченное
замкнутое множество F, поскольку непрерывную на F функцию можно
распространить с сохранением непрерывности на замкнутый промежу-
промежуток А, содержащий F [IV; 157]. При этом надо учесть, что
1 ср - р f = J [ср (дг, у)-р (х, у)]Ю {dF) <
А
Следствие 2. Если р(х, у) — любой полином, то, поскольку
рациональные числа лежат повсюду плотно на оси вещественных
чисел, существует такой полином с рациональными коэффициентами
Я (х> У)у что ПРИ любом заданном ?0 ^> 0 имеем \р(х,у) — q (ху у) \ ^ г0
на Д или F.
Отсюда непосредственно следует, что полиномы с рациональными
коэффициентами образуют множество повсюду плотное в L2 на
Д или F.
Покажем, что множество таких полиномов счетно. Сопоставим
каждому такому полиному q (х, у) положительное число: а = п -J-
4~ т -f- s, где п — степень q (ху у), г — общий наименьший знамена-

186	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[60
тель его коэффициентов (г — берется положительным) и 5 — сумма
абсолютных значений числителей в его коэффициентах, приведенных
к знаменателю г (исключение: если q (х, у) = 0, то сопоставляем ему
с = 0). Нетрудно видеть, что число полиномов, которым соответ-
соответствует одинаковое а, — конечно. Мы можем пронумеровать все поли-
полиномы с рациональными коэффициентами в порядке возрастания соот-
соответствующих им чисел а, причем порядок полиномов с одинаковым а
безразличен. Мы видим, что существует счетное множество элемен-
элементов L2, повсюду плотное в Ьъ т. е. L2 на А или F — сепарабельно.
Положим теперь, что g— любое ограниченное измеримое мно-
множество. Возьмем его замыкание g. Это — ограниченное замкнутое
множество, и, как доказано, в L2 на § существует счетное повсюду
плотное множество ср^ (jc, у) (k=l, 2, ...). Это будут функции из
L2 на g и, тем самым, и на g. Покажем, что yk (x, у) повсюду
плотны и на g. Возьмем некоторую функцию f(x, у) из L2 на g и
продолжим ее нулем на g. Она будет из L2 и на g, и тем самым
при любом заданном е^>0 найдется такая функция срл (х, у) из ука-
указанного счетного множества, что
[fix, у) - Ъ (х, у)]Ю (rfg) = [ [/(*, у) - ъ (х, у)]Ю (rfg)
J
8-8
и, тем более,
и т. д. Сепарабельность L2 на любом измеримом множестве будет
доказана ниже.
Докажем еще теорему, которая будет нам нужна в дальнейшем.
Теорема 2. Если уравнение замкнутости имеет место для
всех функций, принадлежащих некоторому множеству К, плот-
плотному в L2, то оно имеет место и для любой функции L2.
Пусть f(P) — какой-либо элемент L2 и е — заданное положитель-
положительное число. В силу того, что К плотно в L2, существует в К такой
элемент <?(Р), что ||/—<pil^~r- По условию для ср (Р) имеет место
уравнение захмкнутости, и, следовательно, можно взять такой отрезок
sn (?) РяДа Фурье функции ср (Р), относительно ортонормированной
системы функций срл (Р), что || ср — sn(cp)|j^4-.
Принимая во внимание равенство /—sn(f) = (f—<р)~|-Ор —
— sn(?)) -\~(sn (?) — sn(f)) и правило треугольника, получим jj/ —
(Л | II/—Т11 + 1? —5я(тI| + Ня((р) —5Я (/)|;:, откуда ||/-

gjj	ПРИМЕРЫ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ	187
— sn (/) !|<-з-е + !!5я(?) —5я (/)!!• Но разность sn (9) — sn (f) отрез-
отрезков ряда Фурье для ср и / есть отрезок ряда Фурье для разности
ср—/, т. е. 5л(ср) — s,i (/)= 5/1 (?—/)> и> в СИЛУ неравенства Бесселя,
M?)-U/)il<||?-/ll<i. Окончательно ||/_5/1 (/)[[< |е +
-\- ~ = е, откуда, в виду произвольности е, следует, что замкнутость
имеет место для функции f(P) и теорема доказана.
Все сказанное выше непосредственно обобщается и на случай
комплексных функций из L2 [58].
61. Примеры замкнутых систем. Приведем некоторые простые
примеры ортогональных нормированных систем, замкнутых на конеч-
конечном промежутке [а, Ь]. Если мы применим процесс ортогонализации
к целым неотрицательным степеням х. 1, х, х2,... [IV; 38], то
получим систему ортогональных полиномов pk(x) (& = 0, 1, 2,...)
на промежутке [а, Ь], причем pk{x) имеет степень k. Всякий поли-
полином р (х) степени п может быть представлен в виде линейной ком-
комбинации	п
.	A14)
k=0
Чтобы убедиться в этом, достаточно определить сп так, чтобы в
правой части коэффициент при хп был таким же, что и у р (х).
Затем надо определить сп_х так, чтобы коэффициент при хпл у члена
сп_\рп_\ (х) был таким же, что и у р (х) — спрп (х) и т. д. Коэф-
Коэффициенты ck в формуле A14) равны, очевидно, коэффициентам Фурье
р(х) относительно pk(x). Из точного равенства A14) следует, что
в случае ортогональной системы pk (x) уравнение замкнутости спра-
справедливо для любого полинома р (дг), а отсюда следует, в силу тео-
теоремы 2 предыдущего параграфа, что система ортогональных
полиномов замкнута. Выше мы видели, что на промежутке
[—/, -\-i] для ортогональной системы
sin-p; cos-у- (я = 0, 1, 2,...)	A15)
уравнение замкнутости выполнено для любой непрерывной функции
[Н; 148], откуда следует, что система A15) замкнута в L2. Точно
так же на промежутке [0, /] замкнутыми будут ортогональные системы
функций
sin — (n = 1, 2, ...) и cos — (n = 0, 1, 2, .. .)•
Раньше мы видели [IV; 99], что в случае собственных функций
9k (х) (&=1, 2, ...) предельной задачи всякая функция с непре-
непрерывными производными до второго порядка и удовлетворяющая пре-
предельным условиям разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье

188
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
[62
по функциям yk (х). Тем более для таких функций будет иметь место
уравнение замкнутости. Изменяя значения функции на узеньких про-
промежутках вблизи концов интервала, мы убедимся без труда в том,
что уравнения замкнутости соблюдаются для всех функций с непре-
непрерывными производными до второго порядка, без требования удовлетво-
удовлетворения предельных условий на концах. Тем более уравнение замкну-
замкнутости удовлетворяется для всех по
линомов, а потому система соб-
собственных функций срл (jc) замк-
замкнута.
62. Неравенства Гёльдера и Мин-
ковского. Наряду с классом L2 рас-
рассматривают часто класс Lp изме-
измеримых функций f(P), у кото-
которых /7-ая степень абсолютного
значения (или модуля для комп-
лексных функций), т. е. \f(P)\p
суммируема на g [ср. 55]. Выведем
сначала для сумм и интегралов неравенства, аналогичные неравенствам
F7) и F9), для любого показателя /?, большего единицы.
Пусть а — некоторое положительное число. На плоскости
рассмотрим кривую у = ха- и проведем прямые х = а и у = Ь,
параллельные осям (черт. 3). Эти прямые, координатные оси и упо-
упомянутая кривая ограничивают две плоские области, имеющие следую-
следующие площади:
х	1 + 1
Черт. 3
XY
\
Сумма этих площадей, как это непосредственно видно из чертежа,
не меньше площади ab прямоугольника со сторонами а и Ьу т. е.
1±а
1 + а
—	\ ——.
1 + а 1 + а
Обозначая /?=1-(-а и /?'= 1-|	, можем переписать неравен-
неравенство в виде
— р ~ р"	v >
причем числа pup' связаны, очевидно, соотношением
A17)

62J	НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО	189
Ввиду произвольности положительного числа а, неравенство A16)
справедливо для любых положительных р и //, связанных соотноше-
соотношением A17). Оба эти числа должны быть, очевидно, больше единицы.
Если /? = 2, то // = 2, и неравенство A16) приводит к очевидному
неравенству: 2ab <: а* -\- №. Из черт. 3 следует, что знак = в фор-
формуле A16) имеет место в том и только в том случае, когда точка
пересечения прямых х—а и у = Ь лежит на кривой y = xaf т. е.
при Ь = а*. Положим далее, что положительные числа a'k и Ь'и
(&=1, 2, ... п) удовлетворяют соотношениям
2 2
k=\	k=\
Подставим в A16) a = ak и b — b'k. Суммируя по k и принимая
во внимание A17) и A18), получим
п
У«й<1.	A19)
k=\
Рассмотрим теперь любые положительные числа ak и bk и обо-
обозначим
Ч!^ {Stf-	<120>
Числа ak = ak:A и b'u = bk:B удовлетворяют, очевидно, соотно-
соотношениям A18), и мы имеем, следовательно, для них неравенство A19),
которое в данном случае может быть записано в виде
2±
т. е.
S «А <( S а^Р (|] ыАУ	A21)
k=\	\k=\ I \fe = l /
Переходя к пределу, получим аналогичное неравенство и для
бесконечных сумм
1 / оо \L
2 2Л 5]
k=\ \k=\ I \k=\
причем считаем, что ряды, стоящие справа, сходятся. При этом
и ряд, стоящий слева, в силу написанного неравенства, будет схо-
сходящимся. Некоторые из чисел ak и bk могут равняться и нулю. Для
комплексных чисел мы, пользуясь очевидным неравенством

190	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[62
можем написать предыдущие неравенства в виде
Выведенные неравенства называются обычно неравенствами
Гёльдера для сумм. При р = р' = 2 они превращаются в обыч-
обычное неравенство A06) из [59]. Совершенно аналогичные неравенства
имеют место и для интегралов. Положим, что /(Я) ? Lpug(P)? Lp,
В силу A16) имеем
Правая часть суммируема по условию, а потому и произведение
f(P)g(P) есть суммируемая функция, т. е. если /(Р) ? Lp и
g- (Р) ? Zy, то произведение / (Р) g- (P) есть суммируемая
функция (ср. теорему 1 из [55]). Для интеграла от этого произве-
произведения имеет место неравенство Гёльдера, аналогичное неравенству
F7) из [55]
[ fgdxdy < / [ \f\p dxdy)p (Ugf dxdyX?, A24)
\g	/ \g	/
которые мы пишем лишь для интегралов Лебега (оно верно и для
интегралов Лебега—Стилтьеса). Оно получается обычным образом из
неравенства A22) при помощи предельного перехода. Пусть Ъ'п и
Ъ'п — беспредельно измельчающиеся последовательности подразделе-
подразделений Лебега для |/| и \g\ и 8Л = 8Я8Я — произведение этих подраз-
подразделений. Пусть g ^ — составные части множества g в подразделе-
подразделении 8Я, a tn'k,n и Мъл — точные верхние границы значений |/| и \g\
на gft. Принимая во внимание A17), можем написать
j_	1
1	1
Применим теперь к числам ak = m'k,ntnp($f) и Ьк = гп1,пм>р'($%))
неравенство Гёльдера
)т&т(&{1]))у. A25)
Обозначим через mfr>n точную верхнюю границу значений произ-
произведения |/||^| на (f^fcO- ^ы имеем, очевидно, неравенство тк>п^
'ktn, и из A25) следует
v (S **5

62]	НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО	191
Переходя к пределу для последовательности подразделений Ле-
Лебега, получим
\f\'dxdy\i (\\gFdxdy\7> A26)
откуда и вытекает непосредственно A24).
Докажем еще неравенство, аналогичное неравенству F9) из [55].
Сначала рассмотрим случай сумм. Пусть, как и выше, ak и bk —•
последовательность положительных чисел. Суммируя очевидное равен-
равенство
(в* + ЬкУ = (в* + bky^ak + (ak -f bky-%,
получим
2 (a* + bky = 2 (a* + ft*)p-'aA -f 2 (a* + W1**.
k	k	k
Применяя к суммам, стоящим справа, неравенство Гёльдера, при-
придем к неравенству
1	j_
к	)
Но, в силу A17), pf==p:(p—1), и последнее неравенство пере-
переписывается в виде
1-
						_j0fe]
k	\ k
Деля обе части на множитель, стоящий перед квадратной скобкой,
приходим к неравенству Минковского для сумм
111
2japky-\ [2лЬрку	A21>
Из этого неравенства совершенно так же, как и выше, следует
интегральное неравенство Минковского при/(Р) и g(P)(z Lp
111
если принять во внимание, что \f-\- g\ ^ |/| -\- | g\- Неравенства
A27) и A28) выведены нами в предположении /?^>1. Они очевидны
при /7=1, но уже перестают быть справедливыми при /?<^1.
Пользуясь выведенными неравенствами, легко доказать для семей-
семейства функций Lp(p^>\) те свойства, которые мы раньше имели для

192	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[62
Z,2, причем считаем функции комплексными. Перечислим эти свойства,
следуя [55]. Если /(Р) ? Lp и g(P)? Lp. (p> 1), то /(Я) и произ-
произведение f(P)g(P) суммируемы на §. Это следует из A24). Если
/(Р) и #(РК ^р и с —постоянная, то с /(Р) и /(Р) + ?*(Р) 6 ?р
(/7^= 1). Это следует из A28). Говорят, что последовательность функ-
функций /Я(Р) из Lp сходится в среднем в Lp (р'^1) или сходится в
среднем с показателем р к функции /(Р) из Lp, если
Предел в среднем в Lp единственен с точностью до эквивалент-
эквивалентных функций. Если /n(P)—>f(P) в среднем, то из последователь-
последовательности fn (Р) можно выделить подпоследовательность /я (Р), которая
сходится почти везде на g к /(Р). Сходимость в себе определяется
условием, аналогичным G2),
при /i и /й^Л/, и сходимость последовательности fn(P) в себе в Lp
является необходимым и достаточным условием того, что эта после-
последовательность сходится в среднем к некоторой функции из Lp (p^l).
Если fn{P)-f(P) в Lp и gn{P)-+g(P) в V (/?>1)> т0
Л
Далее в Lp может быть введена норма
и расстояние между двумя элементами &(/, ^) = (|/—^|[, причем
имеет место равенство [|с/(Р)||= | с \ ||/(Р)'|| и правило треугольника.
Докажем еще, что если q^>p и /(Р) 6 Lq) то /(Р) 6 L^.
По условию
Рассмотрим интеграл:
J 0 (dg) 4- jf |/(P) Г О (dg) = G (§) + A,

63]	ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ	193
откуда и следует, что f(P)^Lp. При доказательстве мы использо-
использовали тот факт, что мера О (g) множества, g конечна.
Но в Zp (при р ф 2) мы не имеем скалярного произведения, ко-
которое имели в L2.
Совершенно так же, аналогично /2, мы можем ввести простран-
пространство /р, элементы которого суть бесконечные последовательности
комплексных чисел {хъ х%,...), таких, что ряд, составленный из | хк \р,
сходится. Он обладает при р^\ свойствами, аналогичными свойст-
свойствам /2, совершенно так же, как это выше имело место для Lp по
отношению к 12. В 1р(р -ф 2) нет скалярного произведения и нет
той связи с Lpy которая была нами установлена между /2 и Z,2.
Неравенства A06) и A07) заменяются неравенствами A22) и A27),
в которых ak = \xk\ и bk = \yk\.
63. Интеграл по множеству бесконечной меры. До сих пор
мы рассматривали интеграл на измеримом множестве g конечной меры.
Распространение на случай множеств бесконечной меры производится
по существу так же, как это мы делали при определении интеграла
Римана по бесконечному промежутку. Пусть на измеримом множест-
множестве g бесконечной меры задана измеримая и неотрицательная функ-
функция /(Р). Рассмотрим какую-либо возрастающую бесконечную после-
последовательность множеств конечной меры
j^dgadgaCi...,	A29)
для которой g является предельным множеством. Мы можем постро-
построить множества gw, например, как произведение множества g на про-
промежуток Ап (— п ^с х ^ -f~ щ — п ^у ^ -[" п)- Для ограниченных мно-
множеств существуют интегралы
A30)
которые в силу неотрицательности /(Р) не убывают при возраста-
возрастании п. Предел монотонной последовательности A30)
мы и назовем интегралом от /(Р) по g:
= lim f/(P)Q(rfg).	A31)
Отметим, что интегралы A30) могут равняться и (-j-co). При
этом и интеграл от /(Р) по g также очевидно равен (-[- оо). Может
случиться, что все интегралы A30) конечны, а интеграл по g равен
(-{- схз). Для того, чтобы оправдать данное выше определение инте-
интеграла, мы должны показать, что предел числовой последовательности
A30) не зависит от выбора монотонно возрастающей последователь-
последовательности множеств &„.

194	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[63
Теорема. При любом выборе возрастающей последователь-
последовательности измеримых множеств %п конечной меры, стремящейся к g,
интегралы A30) имеют один и тот же предел.
Доказываем от обратного. Пусть кроме последовательности мно-
множеств A29) имеется другая возрастающая последовательность мно-
множеств конечной меры g/ cz g/ cz g3' en ..., имеющая g предельным
множеством, и такая, что мы имеем различные пределы последова-
последовательности интегралов A30) для множеств g^ и g,/.
lim \ f(P)Q(d$) = a и lim \ f(P)G(dg) = ?> a. A32)
Л— OO J	77— OOt'
со/г	© /г
Число а во всяком случае конечно, и мы имеем
:а	A33)
(л=1, 2,...)
Положим сначала, что и число # конечно.
Выбрав положительное число с <^Ь — а, можем фиксировать такое
значение целого положительного числа т, что
)>а + с.	A34)
В силу неотрицательности /(Я),
/(P)O(dg)<a.	A35)
Рассмотрим множества $'т%п- При возрастании п они возрастают,
и, поскольку для grt предельным множеством является g, для мно-
множеств gj^g,, предельным множеством будет %'т, откуда следует, что
lim 0{%'т — 8ш8л) = 0.	A36)
Л —> ОО
Так как b конечно, то f(P) суммируемо на g^, и, в силу фор-
формулы A36) и абсолютной непрерывности интеграла от /(Я), мы
имеем
lim j f{P)O{d%)=

63]	ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ	195
а это противоречит неравенствам A34) и A35). Если # = 4-со, то
вместо f(P) возьмем [/(Я)]дг, выбрав N и т настолько большими,
чтобы имело место неравенство
В силу A33), будем иметь также
Прежнее рассуждение приведет нас к противоречию, и, таким
образом, теорема доказана.
Если величина интеграла неотрицательной функции f{P) no g
конечна, то говорят, что f(P) суммируема на g. Из этого и
данного выше определения непосредственно следует, что если f(P)
суммируема, и неотрицательная функция <р(Р) удо-
удовлетворяет на g неравенству ср(Р)^/(Р), т о и ср (Р) сум-
суммируема. Рассмотрим теперь измеримую на g функцию, которая
может менять знак, и разложим ее на положительную и отрицатель-
отрицательную части:
/ = /+(Р)_/-(Р).	A37)
Функция f(P) называется суммируемой на g, если суммируемы
/+(Р) и /~(Я). При этом величина интеграла определяется фор-
формулой.
J f(P) = J /+ (Р) О (rfg) - J Г (Р) G (d$).	A38)
Если только одна из функций /+(Р) и f~(P) суммируема, то>
как и в [52], интеграл от f(P) будет иметь смысл, но его величина
будет (-{- оо) или (— со). Большей частью множеством g, на кото-
котором производится интегрирование, является вся плоскость или вся
прямая или вообще все /z-мерное пространство.
Для интегралов на измеримом множестве бесконечной меры спра-
справедлива теорема из [52] и свойства 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 и 10.
Мы докажем только полную аддитивность и абсолютную непрерыв-
непрерывность. Доказательство теоремы и остальных свойств совершенно
просто. Предварительно докажем следующую простую лемму.
Лемма. Если неотрицательные числа а{?} не убывают при
возрастании s и lim a$ = ak, то, обозначая

196	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[63
мы имеем
оо
limaE)=2aft.	A39)
5->ОО	k=\
Доказываем от обратного. Отметим, что написанная сумма может
иметь значение (-|-эо). Обозначая через а предел a{s\ положим
сначала, что
Для достаточно больших значений 5 будем иметь a(s) ^> с> где
с — сумма ряда A39) и, фиксируя такое s, мы можем указать столь
большое т, что
2
/5=1
а потому и подавно
что противоречит a^ ^ 0. Положим теперь, что
Тем самым будем иметь для некоторого фиксированного т:
т
2 я* > в.
Аг = 1
Мы можем теперь выбрать настолько большое 5, чтобы иметь
Написанная конечная сумма очевидно ^а^\ и потому aE^^>a,
что нелепо, так как последовательность a{s) стремится к а, не убы-
убывая. Лемма доказана.
Переходим к доказательству полной аддитивности интеграла.
Пусть f(P) суммируема на g и это множество разбито на конечное
или счетное число измеримых множеств %k конечной или бесконеч-
бесконечной меры. При этом f{P) будет суммируемой на каждом %k. Поло-
Положим далее, что gA) <^S2<C- •• — возрастающая последовательность
множеств конечной меры, стремящаяся к g. Вводим в рассмотрение
множества g/f = $k&s) конечной меры. Они возрастают при возра-
возрастании s, lim g^ =gft и S(J) = &(/)-f &а5) + &»5) + "" пРичем мн°-

63)	ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ	197
жества, стоящие справа, попарно без общих точек. Для множества
gE) конечной меры мы имеем
00
*! (
Считая цока функцию f(P) положительной, переходя в этой фор-
формуле к пределу при 5 -> оо и пользуясь доказанной леммой, мы и
получим формулу B0) из [49]. В общем случае утверждение спра-
справедливо на основании формулы A37) и того факта, что оно спра-
справедливо в отдельности для /+ (Р) и /~ (Р).
Совершенно так же доказывается свойство 6 из [49]. Докажем
абсолютную непрерывность интеграла. Считаем, что/(Р)^0 и сум-
суммируема на §. Задано положительное е. Берем т настолько боль-
большим, чтобы имело место неравенство
y.	(НО)
Для любого множества е, содержащегося в g, можем написать
В силу абсолютной непрерывности интеграла на множестве g(m)
конечной меры существует такое ^^>0, что абсолютное значение
интеграла по &т)е не больше -^ при е^% и 0{е)^ч\. Принимая во
внимание A40), можем утверждать то же самое и для интеграла по
(§ — &(т))?, откуда следует, что абсолютное значение интеграла по
е не больше е, если е cz g и G (е) ^ т], что и доказывает абсолют-
абсолютную непрерывность интеграла.
Теоремы 1, 2, 3, 4 из [54] также без труда переносятся на слу-
случай множества g бесконечной меры. Для примера докажем теорему 1.
Пусть е — заданное положительное число. Выбираем настолько боль-
большое т, чтобы иметь неравенство
A41)
Оцениваем затем интеграл от разности f(P)—fn(P)'
(f-fn)O(de)
(f-fn)G(db)
+
042)

198
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
[64
На множестве g— g(m) пользуемся оценкой |/ — fn\^2F и, в
силу A41), получим
l/-/»|G(d&)< J
Для множества g(m) конечной меры теорема 1 уже доказана, и,
следовательно, существует такое N, ч-то при п^>N первое слагае-
слагаемое правой части A42) ^ е. Таким образом, получаем
; Зе при n
что, ввиду произвольности е, и доказывает теорему. Совершенно
аналогично доказываются и остальные теоремы из [54].
64. Класс L2 на множестве бесконечной меры. Построение
класса L2 и теория ортогональных функций без труда переносится
на случай множества g бесконечной меры. Мы говорим, что функция
/(Р) на множестве g бесконечной меры принадлежит L2, если она
измерима на g и ее квадрат/2(Р) или квадрат ее модуля |/(Р)|2
есть суммируемая на g функция. Все теоремы из [55], кроме тео-
теоремы 1, остаются в силе. В теореме 1 мы существенным образом
использовали конечность меры g. Можно легко дать пример функ-
функции, принадлежащей L2 и не суммируемой. Например, функция
— принадлежит Z,2 на промежутке [1, оо], ибо —s суммируема, но
сама функция — не суммируема. Кроме того, мы использовали конеч-
х
ность меры g при доказательстве теоремы 8. Покажем, что эта
теорема остается справедливой и в том случае, когда мера g беско-
бесконечна. Положим для определенности, что g есть полная плоскость
goo. Пусть последовательность fn(P) (n = l, 2,...) функций, при-
принадлежащих L2 на goo сходится в себе. Пусть Ат— промежуток,
определяемый неравенствами: — т^х^т, — т^у^т. Функции
fn(P) принадлежат 12 и сходятся в себе на каждом Дт, ибо интег-
интеграл от неотрицательной функции по Ат не больше интеграла от
той же функции по всей плоскости. Из теоремы 8 [56] следует, что
можно выбрать из последовательности fn (P) подпоследовательность
fn (P), fn\P),..., которая сходится почти везде на А^ Из ука-
укаможем выделить новую подпосле-
подпослесходится почти везде на
n (), fn\
занной подпоследовательности мы
довательность /п (Р), fn (Р),.. • > которая
А2 и т. д. Нетрудно видеть, что подпоследовательность fn\P\
B)	^
/ло(Р),..., сходится почти везде на g [ф. IV; 15] Пусть /(Р) —
предельная функция для этой подпоследовательности. В силу того,
что последовательность /Я(Р) сходится в себе на goo для любого

64]	КЛАСС L2 НА МНОЖЕСТВЕ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ	199
заданного положительного в существует такое TV, что
(<*)<*. при яТ и
Устремляя & к бесконечности, получаем, как и в [56],
J | /(/>) —Л (^)J О (rfg) < ? при п > /V,
©СО
что и доказывает теорему 8.
Если /(P)(^L2 на goo и задано ео>О, то существует такое
N, что
Определим функцию ф(Р) следующим образом: ф(Р)=/(Р) в
и ф (Р) = 0 вне Адг. Очевидно ф (Р) ^ Ia (goo)
и отсюда видно, что линеал функций ф (Р), отличных от нуля лишь
на некотором конечном промежутке, повсюду плотен в L2(goo)> т. е.
в 12 на goo.
Докажем сепарабельность L2(goo)- На Ит(т=1, 2,...), как дока-
доказано выше, существует повсюду плотное в L2 множество функций
yktfn(P)(k,m= 1, 2,...). Продолжаем эти функции нулем на все goo.
Мы получим таким образом счетное множество функций <рЛ?т (Р)
из Z,2(goo). Нетрудно видеть, что они повсюду плотны в L2'(goo).
Действительно, пусть /(P)(^?2(goo) и задано е^>0. При этом суще-
существует такое т0, что
и можно, согласно сказанному выше, выбрать такую функцию
Vk,mo(P) из указанного выше счетного множества, что
и отсюда, в силу того, что срЛ/1A (Р) = 0 вне Ато:
что и доказывает сепарабельность L2g00.

200	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[64
Покажем теперь, что линеал непрерывных функций у(Р), равных
нулю вне некоторого конечного промежутка (различного для раз-
различных <р (Я)), всюду плотен в L2 (goo)-
Этот линеал называется обычно линеалом финитных непрерывных
функций.
Пусть /(P)^L2(goo) и задано в^>0. Покажем, что существует
такая финитная непрерывная функция ср(Р), что ||/—Tllgoo3^8 ^
мы видели выше, существует такое т, что Ц/Ц^^.д
сируя это Ат, мы можем утверждать, что существует такая непре-
непрерывная в Ат функция у(Р), что ||/—ср||Д/я^-^~. Обозначим М =
= тах|ср(Р)|. Берем какое-нибудь /г^>0, полагаем ср(Р) = О на
границе Ат+Д и продолжаем ср (Р) на весь промежуток km+h с сох-
сохранением непрерывности и без повышения max | ср (Р) \ [IV:157]. Вне Дт+Л
полагаем ср(Р) = 0, так что ср(Р) = О, так что ср(Р) — финитная не-
непрерывная функция. Принимая во внимание сказанное выше, получаем
Ho||<p||2goo_4m равна интегралу от |ср(/>)|2 но Дт+Л —Дт. Для
интеграла Лебега:
и выбираем h таким, что М2(к2-\~ 2 mh)^ ~, после чего получаем
||/—?||2оо^?2, что и требовалось доказать. Аналогичное утвержде-
утверждение справедливо и для интеграла Лебела-Стилтьеса.
Как и выше, доказывается теорема 2 из [60]. Отметим, что
для интеграла Лебега полиномы не принадлежат L2 (§oo)- Если g —
любое измеримое множество, то, продолжая функции из L2 (g) на
goo нулем, получим функции из L.2(ioo)- Исходя из этого, мы можем
распространить все сказанное выше и на случай любого неограни-
неограниченного измеримого множества.
В качестве примера замкнутой ортогональной системы на про-
промежутке (—оо, 4~°°) приведем функции Эрмита [Ш2, 156]

65)	ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ	201
и на промежутке @, оо) — функции Лагерра [1Н2; 160]
Х
Оба примера относятся к интегралу Лебега.
Простое доказательство замкнутости этих систем имеется в книге
Гильберта — Куранта „Методы математической физики", т. I, стр. 88.
Сказанное выше о Z,2 (goo) непосредственно переносится и на
Lp (goo) (p ^ 1)> как это имело место и для случая ограниченного мно-
множества, а также на случай комплексных функций.
65. Интегрирующая функция ограниченной вариации. До сих
пор при изучении интеграла Лебега — Стилтьеса* мы предполагали,
что функция G (g) неотрицательна. Мы переходим сейчас к тому слу-
случаю, когда интегрирующая функция G (g) получается из функции
промежутков G (А), которая является функцией ограниченной вариа-
вариации. Для такой функции мы имеем каноническое представление в виде
разности двух неотрицательных функций
G(A) = G1(A) — G2(A),
где
G1(A) = 4 [V(A) + G(A)]; G2(A) == -L[V(A)- G (A)],
и V(A) есть полная вариация G(A) на промежутке А. Каждая из
функций G^A) и G2(A) приводит к неотрицательной, аддитивной и
нормальной функции Gj (g) и G2 (g) на замкнутом теле множеств
Lqv и Lq2 . Обозначим через Lq замкнутое тело множеств, являю-
являющееся общей частью LQl и Lq2 . На этом теле определяется вполне
аддитивная и нормальная функция
Возьмем неотрицательную, аддитивную и нормальную функцию про-
промежутков
Ее распространение приводит к функции V(§), определённой на
замкнутом теле Ly. Пользуясь последней формулой и неотрицатель-
неотрицательностью функции G/(A), легко показать, что Ly есть общая часть
LQl и Lq2 , т. е. Ly совпадает с Lq. Сначала надо показать, что
для любого множества g внешняя мера относительно функций V (А),
т. е. | g | Vy равна сумме внешних мер относительно Ох (А) и G2 (A),
т. е. | g | у = | g \Ql -j- | g \q2 . Затем, пользуясь определением измери-
измеримости, легко показать, что если g измеримо относительно У (А), то
g измеримо относительно G, (А и G.2 А) а также, наоборот, если оно
измеримо относительно GL (А) и G2 (А), то оно измеримо и относительно

202	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[65
). При интегрировании надо рассматривать класс функций /(Р),
измеримых относительно V(A), т. е. класс функций, измеримых одно-
одновременно относительно Gx (А) и О2 (А). Интеграл определяется естест-
естественно формулой
= J /(P)O,(dg)- J
(О	Го
и его существование обусловлено существованием интегралов, стоя-
стоящих справа, причем мы считаем, что оба эти интеграла имеют конеч-
конечные значения. В противном случае правая часть написанной фор-
формулы может привести к неопределенному выражению. Две функции
называются эквивалентными, если они эквивалентны относительно V(g).
Свойства интеграла 1, 4, 5, 7, 8, 9 из [52] сохраняются без изме-
изменения. В свойстве 3 вместо неравенства A6) имеем неравенство
В свойстве 6 вместо сходимости ряда D9) мы должны потребовать
сходимость ряда
fj J \AP)\V№,
и, наконец, в свойстве 10 вместо неравенства E0) будем иметь
неравенство
Согласно определению интеграла, суммируемыми функциями будут
функции, суммируемые относительно V (g). Теоремы 1 и 2 из [54]
о предельном переходе остаются без изменения.
Нетрудно распространить понятие интеграла и на тот случай,
когда функция G (А) является комплексной функцией:
G(A) = Gr(A) + G"(A)*,
где Gf(A) и G"(A) суть функции ограниченной вариации. Пользуясь
каноническим разбиением зтих функций
О' (А) = G/ (А) - О; (A); G" (А) = G/' (А) - О%» (А),
приходим к формуле
G (А) = (G/ (А) - G/ (А)) + (О? (А) - Q\ (A)) L
Функция G (А) приводит к функции G (g), определенной на зам-
замкнутом теле Lq, которое является общей частью замкнутых тел
LQ\ и Lq[' (i=l, 2). Определение измеримых функций относи-
относительно G (g) и интеграла строится совершенно так же, как и выше,

66]	ПРИВЕДЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	203
причем и интегрируемая функция может быть комплексной функ-
функцией.
В случае одного переменного для функции ограниченной вариации
мы имеем каноническое представление: g (х) = gt (х)— g%(x) в виде
разности двух неубывающих функций, и интеграл запишется в виде
С fix) dgl (x) = J f{x) dgl ix) - f f{x) dg9 ix).
rp	<p	ra
Если введем полную вариацию v (x) = gl(x)-\-g2(x), то будем
иметь неравенство
f(x)dg(x)
\f{x)\dv{x),
и суммируемость f(x) относительно gx (x) и g%(x) равносильна сум-
суммируемости f{x) относительно v(x).
66. Приведение кратных интегралов. Мы переходим к изло-
изложению основного результата из теории кратных интегралов Лебега,
касающегося приведения кратного интеграла к последовательным
простым, квадратурам. Напомним соответствующие результаты из преж-
прежней теории кратных интегралов [II; 97]. Если, например, функция
/(лг, у) непрерывна на конечном замкнутом промежутке А[а^х^Ь;
c^y^d]f то имеет место следующая формула приведения двойного
интеграла к двум квадратурам:
Ь d	d Ь
J f(x,y)dxdy= j [ J f(x, y)dy} dx= J f J f(xt y)dx \dy.
А	а с	с а
Мы формулируем сейчас аналогичную теорему для интеграла Ле-
Лебега. Она была впервые доказана итальянским математиком Фубини
в 1907 году.
Теорема Фубини. Пусть f(x> у) — суммируемая функция на
конечном промежутке h[a^x^b\ c^y^d]. При этом функ-
функция f(x, у) суммируема по у на промежутке [с, d\ для почти
всех значений х из промежутка [а, Ь], функция
d
h(x)=^f(x, y)dyt	A43)
определенная почти везде в промежутке fa, b], суммируема по
этому промежутку, и имеет место равенство
b d
J J fix, у) dx dy = J [ j fix, y) dy J dx.	A44)

204	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[66
Совершенно аналогичные утверждения имеют место и при
перемене порядка интегрирования. При этом получается формула
d Ъ
\ \ f(x> y)dxdy=\ \ f(x, у) dx \dx.	A45)
Д	с а
Отметим, что в указанной теореме интегралы понимаются в смыс-
смысле Лебега и в этом же смысле, конечно, надо понимать и сумми-
суммируемость функции. Утверждение о суммируемости включает, очевидно,
и утверждение об измеримости функции. Обратим внимание на то,
что функция A43) может быть определена не во всех точках про-
промежутка [а, Ь], но во всяком случае определена почти везде на этом
промежутке. Аналогичное замечание относится и к функции
ъ
Hy)=\f(xty)dx.	A46)
а
Для того чтобы сделать доказательство, которое довольно слож-
сложно, более отчетливым, мы формулировали теорему Фубини для част-
частного случая. В дальнейшем укажем различные более общие форму-
формулировки этой теоремы. Доказательству этой теоремы предпошлём
несколько лемм.
Лемма 1. Если для функций fx (х, у), /2 (х, у), ..., fm (x, у),
суммируемых на промежутке Д, справедлива теорема Фубини,
то она справедлива и для любой линейной комбинации этих
функций.
т
Каждая из указанных функций fk(xt у), по условию леммы, сум-
суммируема по у на промежутке [с, d]> если исключить из промежутка
[а, Ь\ изменения х некоторое множество Ak меры нуль. Если мы
исключим из [а, Ь] множество А = А{ -\- А.2 -}-... -\- Ат имеющее
также меру нуль, то для оставшихся значений х функция A47) бу-
будет суммируемой по у на промежутке [с, d]. Все функции
будут определены на [а, Ь\ за исключением точек множества Л.
Далее, по условию леммы, для функций fk(x, у) справедлива фор-
формула A44). Принимая во внимание правила интегрирования суммы
и вынесения постоянного множителя за знак интеграла, мы видим,
что формула A44) справедлива и для функции A47), и тем самым
лемма доказана.

66]	ПРИВЕДЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	205
Замечание. Если относительно функций fk(x, у) дано лишь
то, что они измеримы по у на промежутке [с, d] для почти всех
значений х из [а, Ь], то то же самое, очевидно, можно утверждать
и относительно функции A47), ибо сумма измеримых функций есть
также измеримая функция. При этом считается, конечно, что сумма
имеет смысл [43].
Лемма 2. Пусть на промежутке А имеется монотонная после-
последовательность суммируемых функций /п (х, у), которая сходится
к функции f(x, у), суммируемой на А. Если при этом для каждой
функции fn(x, у) справедлива теорема Фубини, то она справед-
справедлива и для предельной функции f(x, у).
При доказательстве будем считать, что fn (x, у) есть неубываю-
неубывающая последовательность. Случай невозрастающей последовательности
приводится к указанному случаю, если заменить fn(ху у) на—fn(x, у).
По условию леммы каждая из функций fn (лс, у) измерима и сумми-
суммируема по у на промежутке [с, d]y если исключить из промежутка
[а, Ь] изменения х некоторое множество Ап меры нуль. Если мы
исключим из [а, Ь\ множество А = Ai -f- A2 -\- • • •, также имеющее
меру нуль, то для оставшегося множества значений х и предельная
функция j(x, у) будет измеримой по у на [с, d]. По условию леммы
каждая из функций
d
\	A48)
определена на [а, Ь], если исключить множество Ап значений х меры
нуль. Если мы исключим из [а, Ь] множество Л, также имеющее
меру нуль, то все функции A48) будут определены для оставшихся
значений х, т. е. будут определены на множество [а, Ь] — А и, по
условию, суммируемы на [а, Ь]. Последовательность hn(x) есть воз-
возрастающая последовательность, и мы можем определить почти везде
на [а, Ь] измеримую предельную функцию h (х) = lim hn (x). Прини-
п —*¦ со
мая во внимание, что для функций /п (х> у), по условию, применима
теорема Фубини и что предельная функция f(x, у), по условию,
суммируема на А, мы можем написать
hn (х) dx=^ J/n (x, у) dxdy^^ f{x, у) dx dy
Отсюда, в силу теоремы 2 из [54], мы можем утверждать, что h (x)
суммируема на [а, Ь], и имеет место формула
ь	ь
\ h(x)dx — \\m \ hn(x)dx = \\m \ \ fn(x,y)dxdy.
t)	П —> ОО v	П —* OOV ч)

206	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[66
С другой стороны, в силу теоремы 2 из [54], мы имеем
lim \ \ fn{xyy)dxydy = \ \f(xyy)dxdyy
А	Д
и, таким образом, можем написать
ъ
С h (x) dx = С Г f{x, y) dx dy.	A 49)
a	A
Мы определили функцию h{x) следующим образом:
d
h (x) = lim hn (x) = 1 im Г fn (x, y) dy.
a -* со	п -* oo*J
с
Для полного доказательства леммы нам остается доказать, что
функция f(x, у) суммируема по у на [cf d] для почти всех значе-
значений х из [а, Ь] и что функция h{x) почти везде на [а, Ь] может
быть выражена формулой
d
A50)
После того как мы это докажем, получим, в силу A49), для
функции f(xy у) полностью теорему Фубини. Пусть В — множество
тех точек из [а, Ь]> в которых функция h{x) определена и равна
(-[- со). В силу суммируемости h (x) множество В имеет меру нуль.
Если исключить из [а, Ь] множество А -\- В меры нуль, то на остав-
оставшемся множестве, т. е. почти везде на [а, Ь], возрастающая после-
последовательность hn(x) стремится к функции h(x), принимающей конеч-
конечные значения, т. е. для всякой точки ху принадлежащей множеству
(а, Ь) — (Л -)— /^), интегралы по [су d] от неубывающей последова-
последовательности функций fn(x, у) от у ограничены числом h(x). Согласно
теореме 2 из [54], для указанных значений ху f{xy у) суммируема
по у на [су d\y и имеет место формула
d	d
> y)dy = \\m \ fn(x,y)dyy
й, в силу A48), функция h (x) почти везде на [а, Ь] выражается
формулой A50). Таким образом лемма доказана.
Замечание. Из самого начала приведенного доказательства
непосредственно следует, что если относительно функций fn(x, у)
дано лишь то, что они измеримы по у на [с, d] для почти всех
значений х из \а, Ь], то и предельная функция f(x, у) измерима
по у для почти всех значений х из [а, Ь\.

67]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	207
67. Случай характеристической функции. Целью настоящего
параграфа является доказательство теоремы Фубини для того случая,
когда подынтегральная функция есть характеристическая функция
некоторого измеримого множества g, принадлежащего промежутку А,
о котором говорится в теореме. Интеграл от u>g (Я) = со^ (х, у)
дает, очевидно, меру т (g) множества g, как множества на плоско-
плоскости. Пусть g*0 — множество тех точек g, которые имеют заданную
абсциссу лг0, т. е. g.Vo есть пересечение g с прямой х = хо„ Харак-
Характеристическая функция этого множества равна u>g (дг0, у). Измери-
Измеримость g^ по отношению к у равносильна измеримости функции
cog (хо,у) на промежутке [с, d] и если это так, то линейная мера
g^. которую мы обозначим через т' ($Хо), равна интегралу от a>g (лг0, у)
по указанному промежутку. Суммируемость cog (лг0, у) обеспечена
ввиду ее ограниченности. Теорема Фубини для характеристической
функции cog (х, у) приводится таким образом к следующему утвер-
утверждению: функция ^g(x,j/) измерима по j/ на промежутке
[cf d] для почти всех значений д; из [а, й], ограничен-
ограниченная функция
d
h (х) = т'(%х)= ^ со (х, у)dy,
измерима в [а, Ь], и имеет место формула
Ь d
j.	A51)
Короче говоря, g^ измерима по j/ при почти всех зна-
значениях ху и имеет место формула
ь
/и (8)= J nt($>x)dx.	A52)
а
Мы будем доказывать теорему Фубини для характеристической
функции постепенно.
Лемма 3. Теорема Фубини справедлива для характеристиче-
характеристической функции любого полуоткрытого промежутка, открытого
множества и множества Gs, принадлежащих А.
Если имеется полуоткрытый промежуток Ar[a<^x^P; Т^
принадлежащий А, то соА' (х, у) измерима по у при любом х}
d
h(x)= { сод, (х, y)dy = b — f,
с
если а<^х^р и /г(х) = 0, если х вне А'

208	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[67
и лемма очевидна, ибо мера Аг равна произведению (р — а) (Ь — -f)-
Открытое множество g0 есть сумма счетного числа полуоткрытых
промежутков Lk без общих точек и
&о (> У) Ъ дл (х> УУ
В силу леммы 1, теорема Фубини справедлива для конечной
суммы
т
k=\
, у).
При возрастании т эти суммы образуют неубывающую последо-
последовательность, которая стремится к ограниченной и тем самым сумми-
суммируемой функции a)go(jc, у), и, в силу леммы 2, теорема Фубини спра-
справедлива и для wgo(jc, у). Положим, наконец, что $'о есть некоторое
множество G$, принадлежащее открытому промежутку А. Мы можем
представить его в виде
где О/г — открытые множества, принадлежащие открытому проме-
промежутку А. Отметим, что если бы некоторые Ok не принадлежали
открытому промежутку А, то мы могли бы заменить 0& произведе-
произведением Ok на открытый промежуток А. В силу A53) о>?» (х, у) есть
предел невозрастающей последовательности, характеристических функ-
функций и>%т(х, у) открытых множеств
и, поскольку для (о%т(х, у) теорема Фубини уже доказана, она,
в силу леммы 2, справедлива и для o>g0' (jc, у). Если некоторые из
точек множества $'о типа Gs лежат на контуре А, то мы несколько
расширим А так, чтобы g^ лежало внутри расширенного промежут-
промежутка Ао. Теорема фубини будет справедлива для cog0 (x, у) на Ао. От-
Отсюда, принимая во внимание, что <*>&'0(лг, у) = 0 вне А, получим не-
непосредственно теорему Фубини для <j>g»0 (x, у) и в промежутке А.
Отметим, что во всех рассмотренных в этой лемме случаях cog(jc, у)
измеримо по у при всех значениях х.
Лемма 4. Если g есть множество, принадлежащее А и имею-
имеющее плоскую меру нуль, то почти при всех х из [а, Ь] линейная
мера $х равна нулю, и для о>^ (х, у) имеет место теорема Фубини.
Построим множество g^ типа G& принадлежащее А, покрываю-
покрывающее g и такое, что //i(g'o — g) = 0 [40J. Мы имеем g^ = g + (g^ — g),

68J	ТЕОРЕМА ФУБИНИ	209
и, поскольку т($) = 0 и т(&0 — g) = 0, то и w(jQ = 0. Для g^
теорема Фубини справедлива, и можем написать
Величина, стоящая в квадратных скобках, неотрицательна, и, в
силу свойства 14 из [49], мы имеем почти везде на промежутке
а ^ х ^ Ь\
d
%'о (х> У) dy = °-
Отсюда видно, что линейная мера множества точек g^, лежащих
на почти всех прямых, параллельных оси К, равна нулю.
Так как g cz g^ т° это и подавно будет иметь место для мно-
множества g, т. е. при почти всех х из [а, Ь],
С y)dy=0,
а потому для a)g (x, у) справедлива теорема Фубини
b d
cog (x, у) dy dx.
j
а с
Лемма 5. Теорема Фубини справедлива для ^%(х, у) любого
измеримого множества g, принадлежащего А.
Построим множество gj, типа G$, принадлежащее А, покрываю-
покрывающее g и такое, что т (g^ — g) = 0. Согласно леммам 3 и 4, теорема
Фубини справедлива для характеристических функций множеств g'
и (g'o — g). Но a)fo(Ar, у) = ^о(Ху у)-\-и&0-%(х, у), и по лемме 1
теорема Фубини справедлива и для о)§(лс, у).
Отметим, что если измеримое неограниченное множество g имеет
конечную меру, то g^ измеримы почти при всех х, и имеет место
формула A52). Это получается непосредственно предельным пере-
переходом от ограниченных множеств. Таким же образом легко показать,
что если g просто измеримо, то g^ измеримо почти при всех х.
Если, кроме того, т(%х) суммируемо, то g имеет конечную меру,
и имеет место формула A52). Лемма 4, очевидно, имеет место и для
неограниченных множеств.
68. Теорема Фубини. Для полного доказательства теоремы Фу-
Фубини нам понадобится еще одна простая лемма.
Лемма 6. Теорема Фубини справедлива для измеримой функ-
функции f(x, у), принимающей в А конечное число конечных значений.

210	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[68
Пусть f(x, y) — ck (k—\, 2,..., т), если точка (х, у) принад-
принадлежит множеству &л> причем А = g, -j- g.2 -f- • • • ~\~ %>m- Мы можем
представить f(x, у) в виде линейной комбинации характеристических
функций множества g^:
и справедливость теоремы Фубини для f(x, у) непосредственно вы-
вытекает из лемм 1 и 5.
На основе последней леммы теорема Фубини доказывается весьма
просто. Пусть /{х, у) суммируема на А. Разобьем ее на положи-
положительную и отрицательную части f(x, y)=f+(x, у)—/"(¦#> У)-
В силу леммы 1, достаточно доказать теорему для /+ и /", т. е. при
доказательстве мы можем считать, что суммируемая функция f(x> у)
неотрицательна. Как мы знаем [46], такую функцию можно предста-
представить как предельную функцию для неубывающей последовательности
измеримых, неотрицательных функций /п(х, у) с конечным числом
значений. Согласно лемме 6, теорема Фубини справедлива для функ-
функций fn(x, у), а тогда, в силу леммы 2, она справедлива и для функ-
функции f(x, у), и тем самым теорема Фубини доказана.
Отметим, что в теореме Фубини функция f(x, у) предполагается
симмируемой на промежутке А. При этом условии, согласно теореме
Фубини, квадратуры, стоящие в правых частях формул A44) и A45),
имеют смысл и дают двойной интеграл от /(дг, у) по А, Обратное
заключение о существовании двойного интеграла, если имеют смысл
квадратуры, стоящие в правой части, может оказаться неправильным.
Существуют примеры, когда повторные интегралы, стоящие в правых
частях формул A44) и A45), имеют смысл, и результаты равны между
собой, а функция f(x, у) неизмерима на А или измерима, но не
суммируема. Но если f(x, у) неотрицательна на промежутке А, то
обратное заключение справедливо, и имеет место следующая теорема.
Теорема. Если f(x, у) измерима и неотрицательна на проме-
промежутке А, то из существования повторного интеграла, стоящего
в правой части A44), следует, что функция f(x, у) суммируема
на А, и тем самым для нее справедлива теорема Фубини.
Положим, что имеет смысл повторный интеграл, стоящий в пра-
правой части A44), т. е. почти везде по отношению к х на проме-
промежутке [а, Ь] существует функция A43), суммируемая на промежутке
[af b]. Введем функции
м _ J^*' Я* если f(x> У^п
t У) \п— <
( л, если /(дг, y)j> п.
Они ограничены, измеримы и образуют неубывающую последова-
последовательность, коюрая стремится к j\x9 у). Они, очевидно, суммируемы

681	ТЕОРЕМА ФУБИНИ	21 1
на А, и для них справедлива теорема Ф.убипи. Мы можем написать
b d
j J I/O*. У) \ndxdy = J [ J [/(x, у) \edyjdx,
Д	а с
no [/(лс, y)]n^f(x, y\ и, следовательно,
? f [/(¦*. J>) In dx dy < f /z (x) е/лг,
Д	а
откуда следует [50], что f(x, у) суммируема на А.
Следствие 1. Если /(х, _у) меняет знак, но для \f(x,y)\ мы
имеем существование правой части A44), то по теореме ]/(лг, _у)|
суммируема, а поэтому и /(х, у) суммируема на А, и к ней приме-
применима теорема Фубини.
Следствие 2. Если f(x, у) измерима на А и суммируема по у
для почти всех значений х, то h (x), определяемая формулой A43),
есть измеримая функция. Мы, как всегда, можем считать f(x, у) не-
неотрицательной. Для урезанной функции \f(xf у) ]п (она ограничена)
мы имеем теорему Фубини, и
Л»(*)=
измерима. Устремляя п к бесконечности, видим, что и предельная
функция h (x) измерима.
Отметим некоторые простые обобщения формулировки теоремы
Фубини. Если f(x, у) суммируема на измеримом ограниченном мно-
множестве g, то имеет место формула
J ?/(*, y)dxdy=
где g^ — множество точек g, имеющих заданную абсциссу х, и g^ —
аналогичное множество для уу а Вх и Sv — проекции g на оси X
и К. Интегралы по g^ и %у могут не иметь смысла для значений х и
У, образующих множество меры нуль. Для доказательства фор-
формулы A54) достаточно покрыть g конечным промежутком А и по-
построить функцию /0(лг, у), равную f(x, у) в точках g и нулю во всех
точках А, не принадлежащих g. Покажем теперь, как распространить
теорему Фубини на случай неограниченных множеств. В качестве при-
примера рассмотрим всю плоскость. Достаточно рассмотреть неотрица-
неотрицательные функции. Итак, положим, что функция /(лг, у) измерима,

212	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[68
неотрицательна и суммируема на плоскости, т. е. существует двой-
двойной интеграл:
А= J J/(*, y)dxdy.	A55)
Функция f(x, у) будет суммируемой и на любом конечном про-
промежутке Аотл [—пг^х^т;—п^у^п]. На таком промежутке
мы будем иметь теорему Фубини, т. е.
/C*, y,)dxdy= J [ j/(*, y)dy] dx.
С другой стороны, в силу неотрицательности функции f(xt у),
имеем:
и, следовательно,
-f m + л
Беспредельно увеличивая п и применяя теорему 4 из [54], по-
получим
• ТП -
+ т 4-а
J [j
Увеличивая затем m и пользуясь определением интеграла по беско-
бесконечной прямой, мы приходим к неравенству
4- оо 4- оо
\ \ f(x> y)dy\ dx^A.	A56)
— оо — оо
Покажем, наконец, что знак <^ в этом неравенстве не может
иметь места. Если он имеет место, то существует такое положитель-
положительное а, что
• оо 4- ос
Г
— а
— оо — оо
и тем более

68]	ТЕОРЕМА ФУБИНИ	213
что нелепо, так как интеграл по промежутку Апп должен стремиться
к интегралу A55) при беспредельном возрастании п. Таким образом,
в формуле A56) должны иметь знак= и, сравнивая с A55), мы и
получаем для всей плоскости ту формулу, которая входит в теорему
Фубини. Из проведенного доказательства следует, очевидно, и су-
существование повторного интеграла, входящего в эту формулу.
Теорема Фубини может быть формулирована и для интегралов
любой кратности. Формулируем соответствующий результат. Пусть
кт+п есть промежуток в пространстве Rm+n, имеющем (т -f- n) изме-
измерений, определяемый неравенствами:
al^xl^bl\ а* < Хь < Ь<& ат+п < xmvn ^ Ьт+п,
а Ат и ДЛ промежутки в пространствах Rm и Rn, определяемые не-
неравенствами:
Ат : а{ < Хх < Ьх\ я2 < х2 < 62; .,. \ат
Пусть далее /(Я) — функция, суммируемая на промежутке кт+п.
Если мы фиксируем некоторую точку Ро (ххоу х^,..., хт°) из Дт,
то функция /(Я) будет суммируемой функцией в Дл при любом вы-
выборе Ро, кроме, может быть, множества точек Ро, имеющего меру
нуль в Rm. Полученный интеграл от /(Я) по Дл:
/г (лгь дт2,..., хт) = j /(Я) djcm+1... i*m+/|
даст суммируемую функцию в Дт, и имеет место формула
J /(P) d*, dx.2... dxm+n = J[j AP) dxm,x dxm+i... dxm+n ] X
дт + n	'Am An
Xdxldx.,...dxm. A57)
Теорема Фубини допускает еще простое обобщение на случай
интегралов Лебега-Стилтьеса. Положим, что мы имеем две возрастаю-
возрастающие и ограниченные функции g(x) и k(y). Пользуясь этими функ-
функциями, мы можем определить меру G(A) и /С(Д) полуоткрытых про-
промежутков и затем распространить указанные функции на замкнутые
тела Lq и L#. Таким образом, мы получим аддитивные неотрицатель-
неотрицательные и нормальные функции G(g) и К($) на LG и LK. Совершенно
так же, исходя от функции g(x)k(y), определенной на плоскости,
мы можем построить аддитивную, неотрицательную и нормальную
функцию М($) на некотором замкнутом теле 1м множеств на пло-
плоскости. Если f(P)=f(x> у) измерима относительно М($) и сумми-
суммируема на некотором промежутке А плоскости, то эта функция сум-

214	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[69
мируема по у на промежутке ку оси К, соответствующем проме-
промежутку А плоскости, по отношению к функции
h (х) = J /(*, у) К (dg) = J / (х9 у) dk (у),
если исключить из промежутка kx оси X, соответствующего проме-
промежутку А плоскости, некоторое множество значений, имеющее меру
нуль по отношению к G(g). Функция h(x) суммируема на А^ по от-
отношению к Q (g), и имеет место формула
= J
Переставляя порядок интегрирования, получим аналогичную вто-
вторую формулу. Доказательство этого обобщения теоремы Фубини про-
проводится буквально так же, как и доказательство основной теоремы
Фубини, но только везде интеграл Лебега надо заменить интегралами
Лебега-Стилтьеса и измеримость в смысле Лебега надо заменить
измеримостью по отношению к функциям G (g), /C(&) и М($).
Замечание. Отметим, что если относительно функции f(xy у)
дано лишь то, что она измерима на промежутке А плоскости, то
отсюда следует, что для почти всех значений х из [а Ь\ она изме-
измерима по у на [с, d], и для почти всех значений у из [с, d] она из-
измерима по х на [а, Ь]. Это замечание непосредственно следует из
замечания, которое мы приводили после доказательств лемм 1 и 2, и
всего дальнейшего доказательства теоремы Фубини.
69. Перестановка порядка интегрирования. Укажем еще одну теорему,
касающуюся перестановки порядка интегрирования.
Теорема. Пусть функция g(x,t) суммируема по t на промежутке
[с, d] для всех значений х из промежутка [а, Ъ] и ограниченной вариации
по х на этом промежутке для всех значений t из [с, d], кроме, моэюет
быть, множества значений t, имеющего лебегову меру, равную нулю.
Пусть далее полная вариация g(x, t) no отношению к х на промежутке
[а, Ъ] при всех указанных значениях t не превышает некоторой неотрица-
неотрицательной и измеримой на /с, dj функции F (t), для которой существует
интеграл
а
1 F(t)dt.	A58)
с
При этом функция
d
\ g(x,t)dt	A59)

69]
ПЕРЕСТАНОВКА ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
215
есть функция ограниченной вариации от х на [а, Ь], и для любой непре-
непрерывной на [а, Ь] функции f (х) имеет место формула
d b
b	d
\ I \ f(x) dxgfx, t)\dt=\ f(x) dx I \ g(x, t) dt
A60)
причем интегралы по t суть интегралы Лебега.
Для доказательства того, что функция A59) есть функция ограниченной
вариации, разобьем промежуток [я, Ь] на части: а = х0 <Z Xi <Z x2 <C ... <С
<Zxn _ 1 <Z xn = b и составим сумму ?6 [8] для этого разбиения. Мы получим
k=l
откуда
f— \ g(xk-i,t)dt
с
d n
h
с /г«= 1
Но, по условию теоремы,
а
г)
)-g(xk-i,t)\dt
k =i
и, следовательно,
d
h -< \ F(t)dt,
с
откуда и вытекает, что функция A59) есть функция ограниченной вариации
Напишем очевидную формулу:
d п
с k
2 /&
= 7. f(zk)
A61)
где 3/е— некоторая точка промежутка \xk_u xk\. При беспредельном измель-
измельчании частичных промежутков правая часть этой формулы стремится к инте-
интегралу, стоящему в правой части формулы A60). Для непрерывной в промежутке
[а} Ь\ функции/(х) имеет неравенство |/(х)|<С/,, где L — некоторое поло-
положительное число. Для подынтегральной функции интеграла, стоящего в левой
части формулы A61), имеем оценку
Л = 1

216	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[70
Применяя теорему 1 из [54], мы видим, что в интеграле, стоящем в левой
части формулы A61), можем при беспредельном измельчании промежутков
переходить к пределу под знаком интеграла, причем упомянутая подынтеграль-
подынтегральная функция в пределе дает интеграл Стилтьеса:
ь
Окончательно предельный переход в формуле A61) и приводит нас к фор-
формуле A60). Доказанная теорема допускает некоторые элементарные обобщения.
Можно, например, считать промежуток [af b] бесконечным и функцию f (х)
непрерывной внутри этого промежутка и ограниченной. Интеграл Лебега по t
можно заменить интегралом Лебега-Стилтьеса. Первоначальный интеграл
Стилтьеса по g(x, t) можно заменить общим интегралом Стилтьеса и счи-
считать функцию f(x) лишь ограниченной на промежутке [а, Ь). При этом из
существования интеграла, стоящего в правой части формулы A60), будут сле-
следовать существование интеграла, стоящего в левой части, и равенство этих
интегралов.
70. Непрерывность в среднем. Возвращаемся к Lp(p^\) и
докажем, что всякая функция из Lp непрерывна, если оценивать ее
приращение в норме Lp. Рассмотрим случай ограниченного измери-
измеримого множества g. Интегралы мы берем в смысле Лебега и для
определенности рассматриваем случай плоскости.
Теорема. Если f(x,y)^Lp на ограниченном измеримом множе-
множестве g, то при любом заданном е^>0 существует такое ^
что
*^гр, если \h\ и |А|^т|.	A62)
Точка (х -\- h, у -\- k) может уже не принадлежать g, и мы про-
продолжаем f{x, у) во вне g нулем. Значок у нормы показывает, по
какому множеству берется норма. Мы можем заключить g в конеч-
конечный замкнутый промежуток Ао ia{ ^ х ^ Ьх\ а% ^у ^ Ь%). По теореме
1 из [60], существует такая непрерывная в Ао функция yix,y), что
|/—тШо^Т- ^ы можем продолжить у(х,у) с сохранением непре-
непрерывности на более широкий промежуток, например, на промежуток
Ai(fli—1 ^-xr^^j-j-1; а2—1 ^_у ^^2-|-1). Представим разность
f{x\-h,y-\-k)— f{x, у) в виде:
-f- cp ix -f- h, у + k) — cp (x, у) + cp ix, y) —fix, y).
Будем иметь
fix + h, у -\- k)-fix, j/)||Ao ^ \fix + h, у -\- k)-

70]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ В СРЕДНЕМ
217
Мы имели |] ср (х, у)—f(x, _у)||д0 ^"т# ^ СИЛУ равномерной непре-
непрерывности ср (х, у) в Аь существует такое iQi}>0 (мы считаем тп<^\),
что i!?(x-f h,y-\-k) — <?(x,y)U0<:-j при \h\ и I^I^yj!, так что
\\f(x + A, _у + ft) —f(x, у) || д0 < у + \\f{x + A, j/ + ft) — ср С* +
-	A63)
Мы имеем
При | А |, \k
— ср (х -\- А,
или
h, у + А) -
А, у + ft) !|д°о =
\4xdy>
Ао (Л,/г)
где А0(А, k) — промежуток, который получается из Ао параллельным
переносом на вектор (A, k). Полагая, например, А и ?^>0, получаем
\\f{x + h,y + А) - ср (х + й, .у + -%) 1Д = ||/(Jf, j/) - ср {х, у) ||», +
a2
где А' часть Ао, так что
c,у) —
b2
,у)\\а2
интеграла очевидно стремятся к нулю при А и k
тельно, существует такое 7]2 ^> 0, что
Последние два
> 0, и, следова-
следоваi при
где Tirzrmin^.Tia). Из A63) получаем [|/(* + Ку-\-k)—
^е при |А| и |ft|^7], и тем более \\f(x-\-h,y-\-k)—l
при |А| и \k\^y\, что и требовалось доказать.
Теорема может быть доказана и для случая неограниченного
измеримого множества.
71. Средние функции. Мы введем некоторый процесс усредне-
усреднения для любой суммируемой функции f(P). Он приведет нас к после-
последовательности функций, которые будут иметь производные всех
порядков и будут в известном смысле стремиться к /(Р). Для опре-
определенности мы будем рассматривать случай плоскости и вместо точек

218	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[71
будем вводить их координаты. Пусть со, (Р; Q) = т1 (х, у\ Е, г\) — функ-
функция, зависящая только от расстояния
г =* | PQ | = У(Х-1
равная нулю при г^1, непрерывная и имеющая непрерывные про-
производные всех порядков по всем четырем координатам. Отметим при
этом, что дифференцирование coj (Р; Q) по х и у можно заменять
дифференцированием по \ и т\ с переменой знака у результата. Пред-
Предположим, кроме того, что
(х, у\ I у\) dxdy = 1.	A64)
Мы не пишем области интегрирования, предполагая, что интеграл
берегся по всей плоскости. В силу сказанного выше, фактически
интегрирование совершается по кругу (х — %)*-{-(у — т]J^1. Если
в формуле A64) интегрирование по (х, у) заменить интегрированием
по (?, т]), то результат будет тот же.
Введем теперь следующее обозначение:
)	A65)
Функция о)р обладает теми же дифференциальными свойствами,
что и о)!, но сор = 0 при г^р, и
У\ S> y\)dxdy = 9\	A66)
Дальше мы укажем одну из возможностей выбора функции
^i(P\ Q) [ср. IV; 157]. Символом С (?, tj) мы в дальнейшем будем
обозначать круг с центром (?, т\) и радиусом р. Введем еще следую-
следующее обозначение:
у; I, т]) | dxdy = С,	A67)
откуда
ор (jc, _v; $, 7]) dxdy = Cp .	A68)
Пусть в ограниченной открытой или замкнутой области DQ имеет-
имеется суммируемая функция f(x, у) (вместо области мы могли бы
взять любое ограниченное измеримое множество). Продолжим ее ну-
нулем на всю плоскость и составим от нее среднюю функцию:
1 С
/р({, y]) = -1 \ f(x, у)ыр(х, у; ?, т]) dxdy.	A69)
Положительное число р называется обычно радиусом усреднения.
Подынтегральная функция равна нулю вне круга Ср(Е, ?]), и, если
расстояние d от точки (?, -ц) до Д> больше нуля, то / (?, т,) = 0
при р ^с/.

71]
СРЕДНИЕ ФУНКЦИИ
219
Теорема 1. Функция /р (I, ц) непрерывна и имеет непрерыв-
непрерывные частные производные любого порядка на всей плоскости.
Принимая во внимание, что сор зависит только от разностей х — ?
и у — Y), имеем
Г с'
Из равномерной непрерывности со как функции лг, _у, Е,
дует, что при любом заданном s^>0 существует такое тг]^>
тг] сле-
сле, что
у;
при \h
и, следовательно,
1 /г | и
откуда, в силу произвольности г, и следует непрерывность / E, t
Докажем тепгрь существование и непрерывность произзодной по
По теореме о среднем
При любых h правая часть по абсолютной величине не превосхо-
превосходит некоторого числа AT, и в интеграле A71) подынтегральная функ-
функция по абсолютной величине не превосходит суммируемой функ-
функции K\f(x, y)\, так что возможен предельный переход под знаком
интеграла, и мы получаем
, у)
Непрерывность этой частной производной может быть доказана
совершенно так же, как и непрерывность /р E, т\). Приведен.юе дока-
доказательство применимо и к дальнейшим производным, и они получа-
получаются дифференцированием под знаком интеграла:
x> y)
у, h
d d

Но о)р ^ С2 (С2 — постоянная, не зависящая от р), и, следовательно,
лравая часть не превосходит
Во внутреннем интеграле вводим вместо (х,у) новые переменные
интегрирования (//, v) по формулам х = \ -\- м; у = tj -f- ту, и принимая
во внимание, что сор ($ -(- и, tj -j- v\ S, т|) = 0 при м2 -j- г^2 ^ р2, получим,
применяя неравенство Буняковского:
A76)
откуда, в силу A68), получаем A73) (d = C2), причем справа ин-
интегрирование производится по Do, так как f(x,y) = 0 вне DO.
Переходим к доказательству формулы A74). Принимая во внима-
внимание A66) и A69), можем написать
Пользуясь A68), интегрируя по ($, т]) и переставляя порядок ин-
интегрирования [69], получим
A75)
[71
A73)
A74)
220	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Теорема 2. Если f(x, _y)^L2(D0), т. е. L2 на Д}, то

711	средние функции	221
В результате формула A76) дает
]i. A77)
Переставляем порядок интегрирования
-/Р!Г^^ J [ У 1/E,Ч) — /F + и, tj -Нг»)|*rfSrf^i]rfadi». A78)
В силу непрерывности в среднем при любом заданном г ^> 0 су-
цествует такое т]^>0, что
J 1/F,!)) — /(& + к, т] + v) Г <#<fy ^ *> если я« + v1 ^ т]2-
При этом неравенство A78) дает
= C^h приО<Р<7,,
что, в силу произвольности е, и приводит к A74).
Докажем еще одну теорему, которая нам будет нужна в даль-
дальнейшем.
Теорема 3. Пусть U — множество функций /(х, у) из L2(D0),
ограниченных по норме одним и тем же числом. При этом соот-
соответствующие функции fp(x,y) при фиксированном р ограничены
по модулю одним и тем же числом и равностепенно непрерывны.
По условию существует такое положительное число т> что для
всех функций f(x,y) из U:
m.	A79)
Do
Применяя к правой части A69) неравенство Буняковского, полу-
получим
|/(S)|9<
Остается доказать равностепенную непрерывность. Применяем к
правой части A70) неравенство Буняковского и пользуемся A79):
«>p(*-fc, у — k; I 1]) —шр(*. jr, 5, ri)\4xdy,
а из равномерной непрерывности функции сор следует равностепенная
непрерывность функций / (^, tj) при любом выборе f{x, у) из U.

т. е. производная средней функции равна средней функции от
производной при (S, т]) ? D' » достаточно малом р.
A83)
Если, кроме того, функция /(дг, у) имеет в D{) непрерывные
производные до некоторого порядка, то, заменяя в формуле A72)
дифференцирование по ? и т] дифференцированием по х и у, произ-
производя интегрирование по частям и пользуясь свойствами функции а) ,
получим для (S, т]) ? Z7 и достаточно малых р:
A82)
Имеет место и теорема 3 с заменой Z,2 на Lp. Доказательство
остается в силе и в том случае, когда Do есть неограниченное изме-
измеримое множество, например, вся плоскость goo. Пользуясь теоремой 3,
легко показать, что линеал непрерывных финитных функций с непре-
непрерывными производными всех порядков повсюду плотен в /^(goo).
Отметим еще, что все сказанное выше имеет место как для веще-
вещественного, так и для комплексного пространства Lp. Выше мы рас-
рассматривали средние функции в предположении, что /(х, у) ? Lp
(/?^1). Положим теперь, что f(x, у) — непрерывная в открытой
области D() и пусть П любая фиксированная замкнутая область,
лежащая внутри Do. В силу равномерной непрерывности f(x, у) в
любой замкнутой области, лежащей внутри Do, при заданном е^>0,
существует такое т]>0, что |/(х, у)— /(?, т))|^в, если
(х, у) ? Ср(?, Г;) при р^т] и (?, т]) — любая, точка D. Из неравенства
A80)
A81)
При р = 1 все доказывается, как и выше, без применения нера-
неравенств Буняковского и Гёльдера. Таким образом, имеет место сле-
следующая теорема.
Теорема 2\ Если f(x, у)? L (Do) (p^\\ то
222 ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТНГРЛЛ ЛЕБЕГА	[71
Указанные выше доказательства применимы и для Lp	при р^\.
Если/7^>1, то вместо неравенства Буняковского надо	воспользо-
надо	воспользоваться неравенством Гёльдера и формулой

71]	средние функции	223
Отметим, что при указанных условиях top(x, у; ?, rj) равна нулю
вблизи границы D, и за счет этого при интегрировании по частям
обращаются в нуль криволинейные интегралы. Пути интегрирования
в этих интегралах можно брать достаточно гладкими линиями, лежа-
лежащими в достаточной близости к границе D.
Из сказанного выше следует:
Теорема 4. Если f (х, у) непрерывна вместе со своими произ-
производными до некоторого порядка I внутри Dn, то в любой замк-
замкнутой области D', лежащей внутри Do, средняя функция и ее
производные до порядка I стремятся равномерно к f {x, у) и ее
соответствующим производным при р —> 0.
Отметим еще, что если f(x, у) ограничена: \f(x,y)\^m, то
:CM. A84)
Теорема 5. Если F(x,y) суммируема по любой замкнутой
области D', лежащей внутри Do, и обладает тем свойством, что
A85)
при любом выборе ср (х, у) — непрерывной с непрерывными произ-
производными до некоторого порядка I внутри Do и равной нулю вне
некоторой замкнутой области, лежащей внутри Do, то F экви-
эквивалентна нулю.
Достаточно доказать, что из условий теоремы следует, что A85)
имеет место для любой ограниченной измеримой финитной ср(лг, у)>
т. е. равной нулю вне некоторой замкнутой области, лежащей внутри
Do (эта область, как и в условиях теоремы, может быть различной
для различных cp(jc, у). После этого доказательство того, что F(x, у)
эквивалентна нулю, проводится совершенно так же, как доказатель-
доказательство теоремы 12 из [52]. Пусть ср (jc, у) — такая функция, причем
I 9 (х> У) I ^ т и ?р (х> У) — средние функции, так что | ср (х, у) \ ^ Ст.
Функция срр (х, у) финитна при достаточно малых р и имеет непре-
непрерывные производные всех порядков, так что по условию теоремы
\ )<t?(x,y)dxdy = 0.	A86)
Функции <Рр(х>У) сходятся при р -> 0 в Lx к у(х,у) на Do, и
существует такая последовательность <?9п(х, у), которая стремится
к у(х,у) почти везде. Кроме того, \F(x,_у)?р (*> У) I ^Cm \ F(x, у) |,
причем F (лг, у) срр (х> у) финитны и, справа стоит суммируемая функ-
функция. Переходя к пределу в равенстве A86) при р^^р^, мы получаем
A85), и теорема доказана.

224	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	[71
Укажем теперь на одну из возможностей выбора функции а>1(х,у\
6, т)), а именно положим [ср. IV; 157]:
где постоянная Со выбрана так, что выполняется условие A64). На-
Наличие непрерывных производных всех порядков при г<^1 и г^>1
г2_
очевидно. При г —>¦ 1 от меньших значений е r2 — 1 —>О. По индукции лег-
легко проверяется, что производная любого порядка при г<^\ имеет
вид
где Pi)m(u, v)— полином. При приближении точки (?, г\) к окруж-
окружности V=l это выражение стремится к нулю. Пользуясь формулой
конечных приращений, получим, что и производная в любой точке
этой окружности существует и равна нулю. В указанном примере
A87) t*>i^>0 при г<^0 постоянная С формулы A67) равна единице.
A87)

ГЛАВА III
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
72. Аддитивные функции множеств. Пусть функция точки f(P)
измерима относительно неотрицательной, аддитивной и нормальной
функ ции О (g). Составим неопределённый интеграл
№)-	A)
Он определён для всех тех множеств g, принадлежащих замкну-
замкнутому телу Z.Q, на которых f{P) суммируема. При этом, если f(P)
суммируема на g> то она суммируема и на любой измеримой части g'
множества g, и если g разбито на конечное или счётное число мно-
множеств %k попарно без общих точек, то ср (g) равно сумме ср (gfe)
(полная аддитивность). Мы изучим сейчас свойства вполне аддитив-
аддитивных функций, заданных не в форме неопределённого интеграла,
а любым образом. Итак, пусть ср (g) принимает конечные веществен-
вещественные значения для множеств, принадлежащих некоторому семейству
С множеств из некоторого замкнутого тела множеств Г, содержа-
содержащего все замкнутые и открытые множества. При этом мы считаем,
что если g принадлежите, то и всякая часть g, при-
принадлежащая Ту также принадлежит С. Кроме того, счи-
считаем ср (g) вполне аддитивной, т. е. если g, принадлежащее С,
разбито на множества g& попарно без общих точек, число которых
конечно или счетно, причём все g/j из Т и тем самым из С
8 = 28*,	B)
k
то
При бесконечном числе слагаемых написанный ряд должен схо-
сходиться абсолютно. В случае формулы A) замкнутым телом Т слу-
служит тело LG, и семейство С состоит из тех множеств g из LG, на
которых f(P) суммируема. Наиболее важным в дальнейшем будет
тот случай, когда С состоит из некоторого g0, принадлежащего LG>

226	Ф5ГНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[72
и тех множеств g из Lq, которые принадлежат g0. При этом само С
есть, очевидно, замкнутое тело.
Отметим, что если ср (g) определена для множеств из Т, принад-
принадлежащих, например, некоторому замкнутому промежутку А, то она
может быть определена для всех множеств g из Т по формуле
9(8) = 9(§А).	D)
При этом она будет принимать конечные значения и будет вполне
аддитивной на всем теле Т. В дальнейшем, когда мы будем говорить
о <p(g), то будем, конечно, считать, что g^C. В силу аддитивности
мы должны иметь ср (g) = 0, если g — пустое множество. Из аддитив-
аддитивности непосредственно следует, что если g' и g" принадлежат С и
g'czg", то
E)
Далее из полной аддитивности следует, что если %п(п= 1,2,...) —
монотонная последовательность множеств из С и если предельное
множество g также принадлежит С, то ср (gj —¦ ср (g). В случае не-
неубывающей последовательности множеств мы имеем g = g,-(-(g2 —
— 8i) + (8з — $д + • •. и> в силу полной аддитивности, ср (§) = ср ($,) -)--
+ [? (84) - ? (Si) ] + [? Шз) - ? (&,) ]+..., т. е. ср (gj ™ cp (g). В слу-
случае невозрастающей последовательности gn доказательство анало-
аналогично, причем g обязательно принадлежит С. Отметим еще, что ко-
конечная линейная комбинация с^х (g) + c*$i (S) Ч~- • • 4~ СР9Р (&) вполне
аддитивных функций есть, очевидно, также вполне аддитивная функ-
функция. Переходим к доказательству основных теорем теории:
Теорема /. Значения cpfg) для яс^х множеств g, принадле-
принадлежащих любому множеству gj ?гз С, ограничены по абсолютной
величине одним и тем же числом.
Доказываем от обратного. Если это не так, то существует такое
g2dgi, что |<p(g2)|^2 и |<p(gi — &2)|^2. При этом надо принять
во внимание, что
и что неограниченность одного из слагаемых влечет неограниченность
второго слагаемого, ибо ^(gj) есть заданное число. Для g2 или
$1 — 8а теорема невыполнена. Можем считать, что она не выполнена
для g2, и существует такое g3 си g.2, что | ср (g3) | ^ 3 и | ср (g2 — g;0|>- 3
и т. д. Мы имеем: gj ZDg.2 zDg3 ... и, обозначая g = gig2..., в силу
сказанного выше, ср (gn) —* ср (g), что нелепо, ибо cp(g,,) беспредельно
растут по абсолютной величине, и теорема доказана.
Пусть 8 — некоторое разбиение g на конечное число %к. Соста-
Составим сумму
2
и покажем, что множество значений ^8 для любых 8 ограничено.
Пусть g5'—сумма тех g/c, для которых cp(g*;):^O, и gs"—сумма тех

72]	АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	227
g,,-, для которых ср(&к)<^0. Принимая во внимание аддитивность ср (g),
можем написать
'. = ?(&') —?№«")•	G)
Принимая еще во внимание, что gs'-|-g8" = g, и следовательно,
? (g) = ср (g8') + <Р (8«")> можем переписать G) в виде
'* = 2ср (gV) - ср (g) = ср (g) - 2cp (?,").	(8)
Обозначим через ср (g) и ср (g) точную верхн;о;о и точную нижнюю
границу значений ср (е), если е czg, причем пустое множество также
считается принадлежащим g:
?(&) = SUPcp(e); cp(g) = infcp(e); (*?g).	(9)
В силу теоремы 1, можем утверждать, что ср (g) и ср (g) конечны.
Из первой из формул (8) следует, что t, при любом выборе S огра-
ограничена: ^=^2cp(g) — cp(g). Точная верхняя граница сумм tb при все-
всевозможных разбиениях В называется полной вариацией ср (g)
на множестве g. Мы её обозначим через Ф (g). Если Ьп есть
такая последовательность подразделений, что th стремится к Ф (g),
то из первой из формул (8) следует, что при этом и ср (g'6 ) стре-
стремится к ср (g), а вторая из формул (8), которую можно переписать
в виде
показывает, что ср (g ) —* ср (g), так что в пределе формула (8) при
замене Ь на Ьп даёт
Ф (g) = 2 9 (g) - ср (8) = ср (8) - 2ср (g),
откуда
?(&) = |[Ф (8) + ? (8)]; т(8) = --^[Ф(8)-т(8)Ь
Ф(8) = ?(8) —?(8),	(Ю)
9 (8) = ? (8) + ? (8)=? (8) —[ — ?(8I-	(И)
Из определения ср (g) и ср (g) следует, что ср (g) ^ 0 и ср (g) ^ 0.
Функции ср (g) и — cp(g) называются обычно положительной
и отрицательной вариациями ср(g) на g.
Теорема 2. Положительная, отрицательная и полная вариа-
вариации суть вполне аддитивные на С функции.
Пусть имеется любое разбиение g на части gfe. Составим ряд
с неотрицательными членами

228	функции множеств, абсолютная непрерывность	[72
и докажем, что S = cp(g). Прежде всего покажем, что S
Действительно, если бы оказалось, что S=-j-oo, то при соответ-
соответствующем выборе ?/г<^Ё/г сумма
могла бы принимать сколь угодно большие значения.
По эта сумма равна ср (е), где
мы пришли к противоречию с утверждением теоремы 1. Пусть за-
задано г ^> 0. При подходящем выборе ек получим y(e)^S — е
и, следовательно, и подавно cp(g,)^S — в, откуда, в виду произ-
произвольности г, имеем <p(g)^S. Докажем противоположное неравенство.
Выбираем ecz$ так что <p(<?)^<p(g)— е, пусть eiC = e%K. Мы имеем
<Р 00 = 2 <Р Ы, т. е. ? (g) — е ^ 2 ? (**)>
k	k
откуда и подавно
и, ввиду произвольности е, имеем ср (g) ^ 2 ? (g)> и окончательно
Аналогично полную аддитивность имеет и отрицательная вариа-
вариация, а следовательно, в силу A0), и полная вариация. Формула A1)
показывает, что всякая вполне аддитивная функция
есть разность вполне аддитивных неотрицательных
функций. Отметим еще, если бы мы при составлении сумм F) поль-
пользовались разбиениями g> на бесконечное число множеств, то полу-
получили бы, прежнюю точную верхнюю границу.
Любая точка (замкнутое множество) принадлежит Т. Если g^C,
то любая точка Р из g принадлежит С, и мы можем говорить о зна-
значении ср (Р) функции ср (g) в точке Р. Если ср (Р) ф 0, точка Р на-
называется точкой разрыва непрерывности cp(g). В против-
противном случае точкой непрерывности ср (g). Если ср (Я) ^> 0, то из дан-
данных выше определений следует, что <p(P) = Z(P) и ср (Р) = 0, а если
ср (Я) <^ 0, то ср (Р) = 0 и ср (Р) = ср (Р). Точки непрерывности ср (g)
суть также точки непрерывности cp(g) и <g(g). В силу конечности
ср (g) и ср (g) число точек разрыва, принадлежащих g, и таких, что
а или ср(Р)^ — а, где a—заданное положительное число,

73]	сингулярная функция	229
конечно, и число всех точек разрыва конечно или счетно. Пусть Pk
эти точки. Если множество точек Pk счетно, то ряд, составленный
из ср (Pk), абсолютно сходится. Введем новую функцию множеств,
определенную на семействе С:
где суммирование распространяется на точки Рк из g. Эта функция
также вполне аддитивна. Она называется функцией скачков. Разность
?с(8) = ?(&)-<рЛ&)	О3)
есть вполне аддитивная функция без точек разрыва непрерывности.
73. Сингулярная функция. В дальнейшем телом Т будет слу-
служить тело Lq. Оказывается, что не всякая вполне аддитивная на
семействе С из LQ функция ср (g) может быть представлена в виде
интеграла A).
Мы докажем позже следующую основную теорему, которой мы
уже сейчас будем пользоваться.
Теорема. Всякая вполне аддитивная на С функция ср(Ж) мо-
может быть представлена для всех множеств g, принадлежащих
любому фиксированному множеству ge из С, формулой
J f(P) G №
9
A4)
где Н — определенное множество из g0, такое, что G (Н) = О
и f(P) измерима и суммируема на g0. Слагаемое ср (%Н) называется
сингулярной частью ср (g). Сингулярная часть определяется
значениями ср (g>) на множествах меры нуль. Второе слагаемое, ко-
которое мы назовем абсолютно непрерывной частью, равно нулю на
любом множестве меры нуль. Докажем теперь единственность разбиения
на сингулярную и, абсолютно непрерывную часть. Пусть наряду с A4)
мы имеем для g из С, принадлежащих g, формулу
где G (Hi) = 0. Из этой формулы и A4) получаем
? (gtf) - ср (gtfO = J /, (Р) G (rfg) -§f(P)G (rfg).
9	9
©	0
Заменим g множеством g#-{-g//,, принадлежащим g0. Принимая
во внимание, что G (©Я -\- %НХ) = 0 и, следовательно, интеграл по

230	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[73
gtf-fgtf, равен нулю и что (&H + $Hi)H=$H и {%Н+%НХ)НХ =
= g//j, мы получим <p(g//) = cp(g#1), и отсюда следует, что абсо-
абсолютно непрерывные части должны быть одинаковы, т. е.
.	A5)
При доказательстве теоремы мы будем исходить из любого, но
фиксированного множества g0, принадлежащего С, и будем считать,
что все g с= g0, как это формулировано в теореме. При разбиении
ср (g) на сингулярную и абсолютно непрерывную часть мы исходили
от некоторого множества g0 и считали, что все g принадлежат g0.
При этом мы получили единственность указанного разбиения. Если
бы мы исходили из другого множества go, отличного от g0 и ПРИ"
надлежащего С, то нетрудно видеть, что для всех множеств, одно-
одновременно принадлежащих g0 и go> мы получим то же разбиение, ко-
которое мы имели раньше с основным множеством g0. Действительно,
в противном, случае мы имели бы для множеств, принадлежащих про-
произведению g'o = gogo> которое также входит в семейство С, два
различных разбиения ср (g), чего быть не может, как мы видели выше.
В указанном смысле мы можем говорить, что разбиение <р (g)
на сингулярную и абсолютно непрерывную часть
на всем семействе С единственно.
Покажем, что и функция /(Я), входящая под знак интеграла
в формуле A4), вполне определена, причем мы, как всегда, отож-
отождествляем функции, эквивалентные относительно О (%). Нам надо
показать, что если имеет место A5) для всех g, принадлежащих g0,
то разность ty(P)=ft(P)—/(Р) эквивалентна нулю на g0.
Пусть g+ — та часть g0, где ф(Р)^=0, и g>; = g0 — gj. Мно-
Множества g+ и g~ принадлежат С, и мы имеем, заменяя в A5) g на
J G (dg) =
откуда и следует, что ф(Р) эквивалентна нулю на g? и g0, а пе-
петому и на g0. Если мы составим функцию /(Р) для двух множеств
g0 и gjj из С, то, как и выше, на g^' = gog^ эти две функции экви-
эквивалентны. В этом смысле мы можем говорить и об единствен-
единственности функции /(Р). Если, например, все конечные проме-
промежутки принадлежат С, то применяя предыдущие рассуждения к
расширяющимся промежуткам — п^х^-\- п\ — п ^у ^-\-п(п =
= 1,2,...), мы определим единственным образом /(Р) на всей пло-
плоскости. Функция /(Р) называется обычно производной от ср (g)
по G(g). Пусть k^p—круг (или сфера) с центром Р и радиусом е.
Можно показать, что для всех Р, кроме, может быть, множества

731	сингулярная функция	231
меры нуль относительно О(g), отношение <р(k(p) : О (k(p), при стрем-
стремлении е к нулю, стремится к функции, эквивалентной /(Р) относи-
относительно G (g>). При этом, конечно, считается, что cp(g) определена
на круге $> при достаточно малых е. В дальнейшем мы не будем
пользоваться указанным утверждением и не приводим его доказа-
доказательства.
Определение. Функция <p(g) называется абсолютно непре-
непрерывной относительно G (%), если для любого фиксированного g0
из С и любого заданного положительного е существует такое
положительное у\, что \у(е)\^г, если е(^-$0 и ] G (е) | ^ т,. Если
ср(?) абсолютно непрерывна относительно G(?>), то, очевидно,
cp(g) = O, если g(^C и G(g) = 0. Второе слагаемое формулы A4)
является, как мы знаем, абсолютно непрерывной функцией на С. На-
Наоборот, если известно, что cp(g) абсолютно непрерывна, то ср(§Я) = О,
ибо G(g//) = 0 и cp(g) представимо формулой
A6)
т. е. сингулярная часть отсутствует. Из этого рассуждения выте-
вытекает следующее следствие основной теоремы:
Следствие. Если cp(g) = O при G($) = 0, то <р($) представимо
формулой A6) и является абсолютно непрерывной относительно
G (%) функцией на всяком множестве g0 из С.
Отметим, что если G(g>) не непрерывна, то и <р (g), определяемая
формулой A6), не будет, вообще говоря, непрерывной. Если, на-
например, G(P0) = a7^0> то ср(Р0) = а/(Р0). Но cp(g) абсолютно не-
непрерывна по отношению к G (g>) в указанном выше смысле.
Если G(g) :— непрерывна, то и cp(g), определяемая формулой A6),
очевидно, непрерывна. Если G(A) есть площадь промежутка Д и,
следовательно, Lq есть тело L множеств, измеримых по Лебегу, фор-
формула A4) принимает вид
? (8) = Т (gtf) + j J /(^ J') dx dy,
* t
где Н имеет лебегову меру, равную нулю. Формула A6) принимает
вид
= J
и в этом случае <p(g), очевидно, непрерывна в ка-ждой точке.
Точная верхняя граница значений у(е) для множеств еу принад-
принадлежащих g, в случае формулы A6), получится, очевидно, если мы
проинтегрируем /(Р) по множеству, на котором /(Р)^=0, и точная

232	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[74
нижняя граница получится, если мы проинтегрируем по множеству,
на котором f(P) ^ 0. Мы имеем, таким образом, следующие фор-
формулы для положительной, отрицательной и полной вариации функции
ср(|), определенной формулой A6):
? (g) = J /+ (P) G (dg); ? (8) = j Г (Р) О (dg);
да	®
ФF)= J|/(P)|O(rfg).	A7)
Если мы выделим из функции ср (g) функцию скачков cpd (§) и к
оставшейся непрерывной функции применим разложение по формуле
A4), то получим разложение ср (g) на три слагаемые
? (8) = ?d (S) + Тс (&Я) + J /с (Р) G (dg).	A8)
74. Случай одного переменного. Пусть g есть, например, ко-
конечный промежуток [а, Ь]. Вместо G (g) естественно ввести соот-
соответствующую неубывающую функцию точки g(x). Вместо функции
множеств вводим функцию точ.ш о> (х) = ср ([а, х]), и формула A4)
для нее будет иметь вмд
«> (х) = ср ([а, х] Я) + J /(*) d^H,	A9)
[а,х]
и для лебеговых интегралов
x.	B0)
В случае абсолютной непрерывности ср (g) получаем формулы
х
(в (х) = J /(х) ^ (х) и со (jc) = J /(х) djc.	B1)
Рассмотрим более подробно случай интеграла Лебега. При пере-
переходе от функции промежутка к функции точки мы можем добавлять
к последней постоянные слагаемые и можем написать
'(*) dx -f- со (а).	B2)
где /0*0 — измеримая функция, суммируемая по [а, &]. Принимая во
внимание абсолютную непрерывность интеграла от f(x), мы имеем
для функции B2) следующее свойство: любому заданному
положительному е отвечает такое положительное %

74]
СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
233
что если (ak> bk) (& = 1, 2, ..., п) — непересекающиеся про-
промежутки, для которых
2(
то
. ?.
B3)
B4)
Будем исходить от функции точки и назовем функцию точки со (х),
определенную на промежутке [а, Ь], абсолютно непрерывной
на этом промежутке, если она имеет указанное только что
свойство. Абсолютно непрерывная функция, очевидно, и просто непре-
непрерывна, так как, в частности, можно взять п=\. Как мы увидим
в дальнейшем, существуют монотонные, непрерывные функции точки,
которые не являются абсолютно непрерывными. Из указанного свой-
свойства вытекает и следующее свойство: любому заданному положитель-
положительному е отвечает такое положительное т], что если выполнено B3), то
— ш (ak) I
B5)
Действительно, если со(лг) имеет указанное выше свойство B4),
т. е. абсолютно непрерывна, то заданному в отвечает такое ц, что
при выполнении B3) мы имеем
[со (bk)- со (ak)}
B6)
Любую систему интервалов (ak> bk), удовлетворяющих B3), мы
разобьем на два класса, отнеся к классу I те интервалы, для кото-
которых со (bk) — со (ak) Эг 0, и к классу II — те, для которых со (bk) —
^ В силу B6) имеем
откуда и следует B5). Принимая во внимание неотрицательность
слагаемых суммы B5) и произвольность п, мы получаем и следую-
следующее свойство абсолютно непрерывных функций: любому заданному
положительному е отвечает такое положительное г\> что если (ак, bk) —
конечное или счетное множество попарно непересекающихся интерва-
интервалов, удовлетворяющих условию
,-«*)<>).	B7)

234	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[74
то
2] | <¦>(**)-со (*л)|<е.	B8)
k
Наоборот, если выполнено это условие, то тем более выполнено
и первоначальное условие B4), и со (х) абсолютно непрерывна.
Теорема 1. Сумма, разность и произведение двух абсолютно
непрерывных функций суть абсолютно непрерывные функции. Част-
ное °)l '*¦. двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно
непрерывная функция, если о\2 (х) не обращается в нуль.
Докажем 'только абсолютную непрерывность произведения
щ(х)и>ъ(х). Функции coj(jc) и щ(х) ограничены в [а, Ь], т. е.
Л и I ^i (х) I ^ 4- Мы имеем
(bk) щ {bk) — щ (ak) а).2 (ak) ^ | со.2 (bk) \ \a)l (bk) — и{ (ak) \ +
+ I ^i (ak) I I ^2 (Pk) — °>ъ Ю 1^41 «^i (Pk) — ^i (<*k) I +
+ h I ">-2 (bk) — co.2 (ak).
Суммируя по k и принимая во внимание абсолютную непрерыв-
непрерывность coj (х) и ш2 (лг), докажем свойство B5) и для произведения
(
Теорема 2. Абсолютно непрерывная функция ы(х) есть функ-
функция ограниченной вариации, и ее полная вариация v (x) есть также
абсолютно непрерывная функция»
Пусть т]0 — такое положительное число, что при соблюдении усло-
условия B3) для 7] = т]0 мы имеем
2|ш(^)-<о(аЛ)|^1.	B9)
k
Разложим [а, Ь] на части фиксированными точками а = ^^
<<.<?лг-1<^ — b так, что ck — ^_!^7]0 (&= 1, 2, ..., Л0-
При любом разбиении промежутка для \ck_u ck] имеем неравен-
неравенство B9), и суммы tiy а тем самым и полная вариация oj (x) на каж-
каждом из промежутков [ckb ck] не больше единицы, а на всем про-
промежутке fa, b] не больше N. Пусть г\ соответствует е так, что при
соблюдении B3) выполняется B5). Будем подразделять каждый из
промежутков [ak, bk], входящих в условие B3), на частичные проме-
промежутки. Сумма длин полученных промежутков будет попрежнему
удовлетворять условию B3), и соответствующая полученным частич-
частичным промежуткам сумма B5) будет попрежнему ^ е. Точная верх-
верхняя граница суммы слагаемых, отвечающих частичным промежуткам
из \ak, bk], даст, очевидно, v(bk) — v (ak) и, таким образом, при вы-
выполнении условия B3) будем иметь

74]	СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	235
откуда и следует, что v (х) абсолютно непрерывна, и теорема до-
доказана.
Строя функции
со! (х) = 1 [v (х) + со (х)]; щ (х) = ±[v(x) — u (х)], C0)
которые не убывают [8] и абсолютно непрерывны, в силу теоремы 1,
мы представляем со (jc) в виде разности двух неубываю-
неубывающих абсолютно непрерывных функций
со (х) = cot (х) — со.2 (х).	C1)
Как мы указали, неопределенный интеграл B2) от суммируемой
функции f(x) дает абсолютно непрерывную функцию точки co(jc)
в смысле указанного выше определения B3), B4) или B3), B5).
Докажем теперь обратное предложение.
Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывная функция ы(х)
представима неопределенным интегралом
X
со (jc) = С f(x) dx-\-m (a).	C2)
а
Пользуясь функцией coj (х) и полагая coj (х) = coj (а) при х<^а
и iol(x) = o)l(b) при х^>Ь, мы можем сопоставить промежутку А [а, [3]
неотрицательное число <pi (^)= ^i (Р) — ^i (а)> причем ввиду непре-
непрерывности coj (x) неважно, является ли промежуток А замкнутым или
открытым. Если некоторое линейное множество g измеримо по Ле-
Лебегу, то существует такое открытое множество О, содержащее §,
что множество (О — g) можно покрыть конечным или счетным числом
промежутков [ak, bk\y сумма длин которых сколь угодно мала [35].
В силу абсолютной непрерывности со(х) в [а, Ь] и ее продолжения
постоянной вне [а, Ь], мы можем совершить это покрытие и таким
образом, чтобы сумма неотрицательных слагаемых ^i(bk) — cot (ak)
для покрывающих промежутков [ak, bk] была сколь угодно малой,
т. е. если g измеримо по Лебегу, то g измеримо и относительно
со! (х). Таким образом, мы можем распространить cpt (А) на все мно-
множества из L, принадлежащие [а, Ь], со свойством полной аддитив-
аддитивности. Из предыдущих рассуждений следует также, что если
лебегова мера w(g) = 0, то и cp1(g) = O, а потому имеем
i (¦*)<**¦	C3)
Совершенно аналогично, строя <р.2 (А) = их2 ф) — со.2 (а), получим
*(*)**.	C4)

236	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[74
где /2(х) суммируема на [ау Ь]> и
§. C5)
Если sa g возьмем промежуток [а, х], то и придем к фор-
формуле B2).
Можно утверждать, что функция f(x), входящая в формулу B2),
определяется единстгенным образом с точностью до слагаемого,
почти везде равного нулю. Действительно, если бы наряду с B2)
мы имели для о)(дг) вторую такую же формулу с подынтегральной
функцией g (х), то интеграл от разности /(дг) — g(x) по любому
промежутку, принадлежащему [а, Ь\> был бы равен нулю, и, в силу
свойства 11 из |52], мы могли бы утверждать, что упомянутая раз-
разность эквивалентна нулю. Функция /(лг), входящая в формулу B2),
называется производной от (о(х) и обозначается обычным символом:
f(x) = u)' (х). Можно показать, чего мы делать не будем, что для
всех х из [а, Ь], кроме, может быть, множества значений лебеговой
меры нуль, имеется предел:
llm "(
л-о	п
причем F(x) эквивалентна f(x). Если f(x) — непрерывная функция
в [а, Ь], то при всех х из [а, Ь] существует обычная производная
чо'(лг)=/(х) от интеграла по верхнему пределу. Если f'(x) не только
непрерывна, но и абсолютно непрерывна в [а, Ь]9 то имеем очевидно
X
„'(*)=/(*)=? h(x)dx
где h(x) суммируема. Мы имеем f'(x) = h(x), и h (x) называется
производной второго порядка от co(jc) и обозначается обычным сим-
символом h (х) = о)" (х). Совершенно аналогично а>(лг) может иметь
абсолютно непрерывные производные до порядка k и тем самым
суммируемую производную порядка (&-J-1). При этом она предста-
вима в виде
хх
= [ dx i
dx...
Вся изложенная теория легко распространяется на тот случай,
когда со (х) абсолютно непрерывна относительно неубывающей функ-
функции g(x), которую мы будем считать непрерывной, т. е, любому

75]	АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	237
заданному положительному г отвечает такое положительное.т), что
если (ak, bk) — непересекающиеся промежутки, для которых
Ii\g(bk)-g{*k)\^%	C6)
то
=i
<е.	C7)
Совершенно так же, как и выше, мы можем вместо C7)
писать B8) и функция со (х) непрерывна на [а, Ь\. Вместо C2) мы
получаем формулу
л:
«>(*)= J Пх) dg (х) + «о (а).	C8)
а
75. Абсолютно непрерывные функции множеств. Вернемся
к общему случаю множеств на плоскости и исследуем подробнее
преобразование, совершаемое формулой A6), причем будем считать,
что f(P) неотрицательна и суммируема на всей плоскости. Если f(P)
определена и суммируема на некотором измеримом множестве ?0,
то, продолжая ее нулем во вне g0, мы получим функцию, суммируемую
на всей плоскости. Формула A6) определяет вполне аддитивную
функцию cp(g) на теле Lq. Тем самым эта функция определена для
всех полуоткрытых промежутков, и мы можем продолжать эту функ-
функцию промежутков ср (А) на теле Lf, как это мы делали раньше отно-
относительно О (А).
Теорема 1. Всякое множество g из LQ принадлежит L^, и
формула A6) дает меру ср (g) этого множества, получаемую при
указанном продолжении ср (А).
Всякое открытое множество О есть сумма счетного числа полу-
полуоткрытых промежутков А/г (&=1, 2, ...) попарно без общих точек.
Суммируя по k обе части формулы
ср(А/г) =
мы слева получаем меру у (О) в силу аддитивности меры и справа
интеграл по О в силу аддитивности интеграла, т. е. формула A6)
дает меру ср (О) любого открытого множества. Принимая во внима-
внимание, что всякое замкнутое множество F есть разность всей плоско-
плоскости g,' (открытое множество) и некоторого открытого множества О
(разности O = g>' — F) и вычитая почленно формулы
&')= J /(P)O(dg); <Р(О)= J

238	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[75
получаем, как и выше, что формула A6) дает меру <р (F) любого
замкнутого множества F. Формула A6) дает меру любого открытого
множества. Если при помощи формулы: gj = О — F, где F а О.
Пусть g — некоторое множество из Lq и гп — последовательность
положительных чисел, стремящихся к нулю. Мы знаем, что суще-
существует последовательность Fn и Оп замкнутых и открытых множеств
таких, что Fncz$cz0n и О(Оп - Fn) = 0 (ОЯ) — Q(Fn)^*n. В силу
абсолютной непрерывности интеграла A6) <р(Оя—Fn)—0 и, следо-
следовательно, g принадлежит L^ [38]. При этом мера g в L9 является,
очевидно, пределом ср (Fj или ср(Ол), т. е. пределом интегралов
причем Fncz$ и О (g - FJ —- 0 и, в силу абсолютной непрерыв-
непрерывности интеграла, этот предел есть интеграл по g, т. е. мера g в L9
выражается интегралом A6), и теорема доказана. Теорема остается
справедливой и при предположении, что неотрицательная функция
/(Р) суммируема лишь по любому ограниченному множеству, и дока-
доказательство остается по существу прежним. В следующей теореме мы
уточним состав LT
Теорема 2. Для принадлежности множества g к L^ необхо-
необходимо достатачно, чтобы g можно было представить в виде
суммы
8 = gA>+S<*>f	C9)
где %{x)(^Lq и в точках Р из gB) мы имеем /(Р) = 0.
Доказываем необходимость. Пусть g принадлежит L9. Вводим
множества
[^J-j.] D0)
(/i = 2, 3,...)
и обозначим еще через g' множество точек, в которых /(Р) не опре-
определена или равна (-{- со). Множество g' измеримо относительно G(g>)
и G (§') = 0. То же можно сказать и о любой части g'. Функ-
Функция /(Р), измеримая относительно О (g), тем самым измерима и отно-
относительно ср (g), и все множества D0), как и g', принадлежат L^.
Определим далее множества
При этом справедлива формула C9). В точках gB) f(P) обра-
обращается в нуль, и нам надо доказать, что gA)(^Z.G. Множество gg'
имеет по отношению к О (g,) меру нуль, и достаточно доказать, что
множества gfrt измеримы относительно O(g). В силу того, что ggn

Множество Dn входит в $п в силу D3), и на последнем мно-
множестве /{Р)^> -. Таким образом, получаем опенку
г. е. G(Dn)<^?. На основании D4) получаем |ggn — Fn\o<Z& и»
ввиду произвольности е, видим отсюда, что ggrt^Z.o; необходимость
условия C9) доказана.
Доказываем достаточность. Дана формула C9), причем gA)^Lo
и /(Р) = 0 в точках gB). Надо доказать, что g^/-f. Множество
g>A*^jZ.;p в силу теоремы 1. Остается доказать то же для g(*\ Мно-
Множество И всех точек, в которых /(Р) = 0, измеримо относительно
G(g), а потому H^Ltr,, и, в силу формулы A6), ср(//) = О. Но
g^-си//, а потому g, * измеримо относительно ср(&) и имеет меру
нуль. Таким образом, теорема доказана. Принимая во внимание, что
g('2)ci/i и, следовательно, cp(gu)) = O, можем утверждать, что
и неравенство D5) приводится к неравенству
D5)
75]	АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	239
измеримо относительно ср (g), существуют замкнутые множества Fn
и открытые О„ такие, что
D2)
D3)

240	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[75
<р (g) = ср (g(n), т. е. для вычисления ср (g) надо применить формулу A6),
заменяя в ней g на gA). Отметим еще, что в формуле C9) все точки
множества gA), в которых /(Р) = 0, можно отнести к g(>2). Множе-
Множество этих точек gA)g0 измеримо относительно G(g).
Докажем теперь теорему, которая даст нам возможность сводить
интеграл Лебега-Стилтьеса по ср (g) к интегралу по G (g).
Теорема 3. Если F (Р) определена, измерима относительно
ср (g) и суммируема на некотором множестве g, измеримом и
конечной меры относительно ср (g), то произведение F(P)f(P)
измеримо относительно G(g) в gA), и имеет место формула
,	D6)
что может быть написано в виде
J Р (Р) Г 5 /(Я) О (dg)~l = j" F (Р)/(Р) О (dg). D6,)
g Lg	J |A)
Продолжая F(P) во вне g нулем, можно считать, что F (Р), как
и f(P), определена везде. Кроме того, можем считать, что F (Р) и
f(P) во всех точках имеют конечные значения. Функция F (Р) изме-
измерима относительно cp(g) и f(P) измерима относительно G(g), а сле-
следовательно, и относительно cp(g). Введем новую функцию F0(P),
полагая Ff>(P) = F(P), если f(P) =? 0, и F0(P) = 0, если /(Р) = 0.
Иначе говоря, F0(P) = F (Р)и>ц(Р), где со//(Р) есть характеристиче-
характеристическая функция множества // тех точек, в которых /(Р) = 0. Как мы
упоминали, H^Lq и, следовательно, H^L^, т. е. как F(P), так и
^н(Р) измеримы относительно <p(g), а потому и ^(Я) измерима
относительно ср (g). Покажем, что F^ (P) измерима и относительно
G (g). Поскольку Fq(P) измерима относительно cp(g), при любом а,
множество ga тех точек, в которых /70(Р)^>0, может быть предста-
представлено в виде ga = gaA) -|- ga('2), где gaA)G^tf и /(^) = 0 в точках
gaB*. Если а ^ 0, то, в силу определения F0(P), множество gaB)
отсутствует, и, следовательно, ga(^Z,0. Если же а<^0, то множество
ga содержит все множество И, и, как мы упоминали выше, можно
считать в этом случае, что gaB) совпадает с Н, т. е. что
во всех точках gau). Но H^Lq, а потому и ga = g,aA) - ^
Таким образом, $q(^Lq при всех a, F0(P) измерима относительно
G(g), а потому и произведение F{)(P)f(P) также измеримо относи-
относительно G(g). Обратимся к множеству gA), указанному в теореме.
В точках этого множества произведение F^(P)f(P) совпадает с
F{P)f(P\ т. е. F(P)f(P) измеримо относительно О (g) в gA). При
доказательстве формулы D6) ограничимся тем случаем, когда F (Р)
ограничена. Для неограниченных функций до;чазагельсгво совершенно

751	абсолютно непрерывный функции множеств	241
аналогично. Пусть \F(P)\<^L и $п k — множество тех точек Р из g,
в которых выполняется неравенство
Последовательность Fn (P) при возрастании п возрастает и огра-
ограничена по абсолютной величине числом L. Мы имеем
где gj,1,'* получается из $лЛ по формуле C9). Суммируя по всем
указанным значениям ky получаем множество gA) и, внося в послед-
k
ней формуле -^ L под знак интеграла, приходим к формуле
j Fft (P) <p (rfg) = J ^ (Р)/(Р) G (dg).
Подынтегральная функция правой части по абсолютной величине
не больше суммируемой функции Lf(P), и в обеих частях возможен
предельный переход под знаком интеграла, что и приводит к фор-
формуле D6). Если множество g измеримо и относительно G (g), то
в формуле D6) можно заменить g(l) на g, ибо g('2)=g — gA) и
/(Р) = 0 на gB), так что интеграл по §('2) равен нулю.
Доказательство последних трех теорем взято из книги Stone'a
„Linear transformations in Hilbert Space and their applications
to Analysis".
Если G (A) — функция ограниченной вариации, то пользуясь кано-
каноническим представлением в виде разности двух неотрицательных
функций, получаем
O(g) = O,(g) —Oe(g)
и применяем теорему к G, (g) и G.> (g). Вместо Lq имеем в данном
случае LVy где V (g) = Gx (g) -\- O4 (g). Для функции cp(g) получаем
представление также в виде разности двух неотрицательных функций
ср (Д) = ср, (А) — ср.2 (А) и вместо Z,? имеем L ^, где Vx (A) = cpj (А) \- ср,2 (А).
Совершенно аналогично рассматривается тот случай, когда /(Р) ме-
меняет знак. При этом надо представить /(Р) в виде разности поло-
положительной и отрицательной части
9 li. И. Гмгриов
Строим кусочно-постоянные функции

242	функции множеств, абсолютная непрерывность	G5
и доказывать теорему и формулу для каждого отдельного слага-
слагаемого. При этом <р (А) представится в виде разности двух неотри-
неотрицательных функций, и тело множеств Z,f заменится телом множеств,
измеримых относительно функции:
О
Совершенно аналогично теорема распространяется и на случай
комплексных функций ДР) и G(g).
Рассмотрим еще ту форму, которую имеет доказанная теорема
в случае одного переменного. Пусть g(x)— неубывающая и огра-
ничегная функция на конечном промежутке [а, Ь] и f(x) — неотрица-
неотрицательна и суммируема по g(x) на [я, Ь]. Рассматриваем функцию
«>(¦*) = { f(x)dg(x).
Всякое множество, измеримое относительно g(x), будет измери-
измеримым и относительно со (л:), и для измеримости множества g относи-
относительно о)(х) необходимо и достаточно, чтобы его можно было пред-
представить в виде C9), где gA) измеримо относительно g(x) и f(x) = Q
во всех точках gB). Если F (х) суммируема по о)(лг) на множестве g,
измеримом относительно со(х), то имеет место формула
f(x)dg(x)]= §F(x)f{x)dg(x), D7)
где gA) — часть множества g, входящая в формулу C9). Если F (х)
на g измерима относительно g(x), то gA) можно заменить на g.
В случае g(x) = x, получаем формулу
F (x) d f С Дх) dx =\F (x) Дх) dx.	D8)
Таким образом, если а)(х) не имеет сингулярного слагаемого, то
интеграл Лебега—Стилтьеса от F(x) по со(х) выражается через
интеграл Лебега. Если g есть промежуток [ау Ь]7 то формулы D7) и
D8) можно написать в виде
F(x)d[ J f(x)dg{x)\= j F(x)f(x)dg(x)9 D9)
\	l[a,x\	J [a.b]
b	j x	I ?
F(x) d\ j Дх) dx = j' F (x)/(x) dx,	D9,)
»- a	-* a

761	пример	243
причем, например, в последней формуле F(х) считается суммируе-
суммируемой по неопределенному интегралу от /(х). Положим, что Ф (х) и
*Г(х) абсолютно непрерывные функции, т. е.
Ф (*) = j) Ф' (х) dx -f С,; V (х) = J V (х) dx -f Q, E0)
где Ф'(х) и W (х) суммируемы на [а, Ь\. Пользуясь формулой D9j),
можем написать
ь	ь
\ Ф (х) Ц'' (х) dx -f- \ Ч7 (х) Ф' (х) dx =
= [ Ф (x) dW (x) 4- ^ ^Г (х) ЙФ (x),
причем интегралы, стоящие справа, суть обычные интегралы Стил-
тьеса, поскольку Ф (х) и W (х) — непрерывны и ограниченной вариа-
вариации. Для правой части мы имеем формулу [2]
ь	ь
Ф (х) dW (x) 4- j[ ЧГ {хLФ {х) = [Ф (х) W (х) }* " *
и, подставляя в предыдущую формулу, получаем формулу ин-
интегрирования по частям.
ь	ь
Ф (x)W' (x)dx + § W {х)Ф' (х)Aх = [Ф (х)Ф (x)]xxZba. E1)
а
Из E0) непосредственно следует, что для суммы Ф (х) -j- W (х)
подынтегральная функция равна Ф' (х) j - ЧГ (х), т. е. [Ф (х) -\-
^-\р(х)]' = Ф'(хL-хР'(х)- Полагая в E1) Ь = ху получаем
.V
Ф (х) У (х) = С
dx + Ф (а) ч7 (а),
т. е.
[Ф (х) W (х)]' = Ф' (х) W (х) -f Ф (х) W (х).
Нетрудно рассмотреть совершенно аналогично и случай беско-
бесконечного промежутка.
76. Пример. Мы укажем пример неубывающей непрерывной функ-
функции, которая не является абсолютно непрерывной и для которой
. в формуле B0) отсутствует второе, т. е. абсолютно непрерывное,
слагаемое. Предварительно построим на промежутке [0,1] некоторое

244
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
[76
замкнутое множество F{). Разделив промежуток [0,-11 точками ., и
2
-7г на три равные части, удалим из него средний открытый промежу-
/ 1 2 \	I I	?
ток -7г,-о" . Каждый из оставшихся промежутков 0,-~- и -S-, 1
\ 6 6 )	| О	О
1 2
разделим на три равные части: первый — точками -^ и ^-, а второй —
7 8	У У
точками -Q- и -Q-. Удалим затем из каждого из указанных промежут-
/ 1 2 \ / 7 8 \
ков их средние части, т. е. промежутки (-тг,-тг и	) Каждый
\ У У
из оставшихся четырех промежутков
7 8 \
-q-,-q-). Каждый
У У /
о !
' 9
11. L6. I
' 9]' I 9 ' 9
1
9 '
опять делим на три равные части и удаляем из каждого из четырех
указанных промежутков открытый средний промежуток и т. д. Таким
образом, окончательно мы удалим из промежутка [0,1] счетное число
открытых промежутков, не имеющих попарно общих точек и даже
общих концов:
A 1
\ 3 ' 3
9 !' 1/9 ' 9
1 _
\ 27"' 27
[1 8 ^
[ 21 ' 7 J
19 20
'27 ' 7
т. е. удалим некоторое открытое множество Яо и оставшееся мно-
множество, которое обозначим через Fo, будет замкнутым. На первом
шаге удаляем один открытый промежуток длины -^, на втором
шаге — два промежутка длины -^-, на третьем шаге — 2* проме-
промежутка длины ^а--и вообще на п-ом шаге 2п ] промежутков длины . .
Таким образом, лебегова мера открытого множества Ио равна
2п '
3
= 1
и оставшееся на промежутке [0,1] множество F{) имеет, следовательно,
меру нуль. Определим теперь на промежутке [0,1] функцию f(x)
следующим образом. Положим
I
= . если д:
нообще положим/(дг) равной
если
1 2 \ ., ч 3	. /7
-, 9); /(л:)=--, если дг ? (
^
на после-

761	пример	245
донательпых слепа направо интервалах, которые мы удаляем на п-ом
шаге. Таким образом, функция f(x) определена пока в точках мно-
множества И{) и сохраняет постоянное значение на каждом из открытых
промежутков E1), из которых состоит это множество. Определим
ещё f(x) на концах 10,1] полагая /@) = 0 и /A)=1. Принцип, по
которому мы определили функцию f(x) на каждом из промежут-
промежутков E2), состоит в следующем: мы полагаем f(x) на некотором
промежутке множества Н{), полученном на /z-ом шаге, равной среднему
арифметическому её значений на соседних промежутках, полученных
ранее, или па концах промежутка [0,1], если с одной стороны взятого
нового промежутка из Яо нет ранее полученных промежутков мно-
множества И{). Отсюда непосредственно следует, что f(x) — неубывающая
функция на множестве //0. Продолжим определение f(x) на Fo.
Пусть x{)?F0. Так как F{) имеет меру нуль, то в любой s-окрест-
ности х0 есть точки Яо, и если точка х по множеству Ио стремится
к jc0 еле на, то f{x) не убывает и имеет предел, который мы и при-
примем за значение f(x) при х = х(У Иначе говоря, предыдущее опре-
определение сводится к тому, что мы считаем f(x0) равным точной верх-
верхней границе значений f(x) при х меньших jc0 и принадлежащих Н{).
В точке х=\ это определение приводит, очевидно, к прежнему
значению /A)=1. Таким образом, определенная на всем проме-
промежутке [0,1] функция, очевидно, не убывает. Нетрудно показать,
что она непрерывна. Действительно, если она имеет точку раз-
разрыва х = х\ то по крайней мере один из интервалов [f(xr—0), f(x')]
или [f(xr), f(x'-\-Q)\ не сводится к точке и не содержит внутри
себя значений f(x) в силу монотонности этой функции. Но опреде-
определённые выше, только на множестве //0, значения f(x) заполняют
промежуток [0,1] повсюду плотно, и мы пришли к нелепости, допу-
допуская разрывность f(x). Напомним, что на каждом из промежутков E2)
f(x) сохраняет постоянное значение. На основе неубывающей непре-
непрерывной функции f(x) можем построить вполне аддитивную неотрица-
неотрицательную функцию множеств ср (g), определённую во всяком случае
на ^-множествах. В силу сказанного выше, ср (Яо) = 0, и тем более
ср(&) равно нулю на всяком ^-множестве, составляющем часть Яо.
Если возьмём промежуток [0, х], то можем написать:
[0, лг] = 10, х]Я0 + [0, x]Fo,
и, следовательно,
, x\Fo).
Первое слагаемое равно нулю в силу сказанного выше, а мера Fo
равна нулю, и, следовательно, f(x) сводится к одной сингулярной
части [74]:
причём Fo играет роль И формулы B0) и /(х) — роль

246	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[77
Исследуем еще множество F{). Непрерывная неубывающая функ-
функция f(x) принимает все вещественные значения от нуля до единицы.
На каждом из исключённых промежутков, включая и его концы,
f(x) сохраняет постоянное значение, причём множество исключённых
промежутков счётно. Множество всех значений f(x) не счётно (имеет
мощность континуума). Таким образом, очевидно, что Fo содержит
точки, отличные от концов исключенных промежутков. Можно по-
показать, что Fo имеет мощность континуума.
77. Абсолютно непрерывные функции многих переменных. Анало-
Аналогично тому, как мы строили абсолютно непрерывные функции точки от одной
переменной [74], введем понятие абсолютно непрерывной функции многих
переменных. Ограничимся случаем функций двух переменных. Пусть на дву-
двумерном промежутке До [а =<С х ^ Ь\ с ^у ^ d] задана непрерывная функ-
функция F (х, у). Мы можем с ее помощью построить функцию промежутков <р (а)>
содержащихся в До, а именно, если промежуток Ь определяется неравен-
неравенствами х{ ^С х^ х2, yi^y ^У»> то положим, как и раньше,
ср E) = F (х2} у,) - F (хи у«) — F (х2, у,) + F (лгь у,),	E3)
причём замкнутость или незамкнутость о не играет роли, ибо F (х, у) по
условию непрерывна. Если мы добавим к F (х, у) сумму f{ (х) -\-f2 (у)»
в которой первое слагаемое зависит только от х и второе только от у, то
это не повлияет на <р E). Функция промежутков ср E) называется абсолютно непре-
непрерывной, если она удовлетворяет условию, аналогичному условию B4) из [74],
т. е. если любому заданному положительному ? отвечает такое положитель-
положительное т], что если 6/г (k = 1, 2, . .., п) — попарно не налегающие друг на друга
промежутки, сумма площадей которых ^у\у то
/г=> 1
Определение. Функция F(x, у) называется абсолютно непрерывной
функцией двух переменных (х, у), если <р (Ь), определяемая формулой E3),
есть абсолютно непрерывная функция промежутков, и, если, кроме того,
F (а, у) и F (х, с) — абсолютно непрерывные функции у и х.
Последняя оговорка об абсолютной непрерывности F (х} у) на нижней и
левой сторонах промежутка Ао необходима ввиду возможности добавления
к F(x, у) упомянутой выше суммы fx (x) +Л (у). Напишем очевидную формулу
F (х, у) = [F (х, у) - F (а, у) ~ F (х, с) + F (а, с)\ + [F (х, с) - F (а, с)] +
+ [F(a, y)-F(ay c)] + F(a, с).
Первое слагаемое справа есть <р (ЬХу у)} где Ьх, у есть промежуток
а ^ х1 ^ х, с ^Zy' z^.yy и эта функция, как и в [75], представима неопре-
неопределённым двойным интегралом от суммируемой функции. Второе и третье
слагаемые справа суть абсолютно непрерывные функции х и у и, следова-
следовательно, представимы простыми неопределёнными интегралами. Таким образом,
всякая абсолютно непрерывная функция F (х} у) может быть представлена
формулой
х у
§^^	(atc). E4)

77)	АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	247
Наоборот, нетрудно видеть, что всякая представимаи последней формулой,
функции абсолютно непрерывна. Мы можем переписать, пользуясь теоремой
Фубини, последнюю формулу в виде
х у	У
F(х, v) == С II /(л\ v) dy + g(л) | dx + \ h (y) dy + F(a, c\ (Щ
а с	с
ИЛИ
V -v	л-
F (л\ v) = \ \ f (x, y) dx + h (y) dy f i g (x) dx + F («, c). E6)
с а	а
Отсюда видно, что если F(x, у) — абсолютно непрерывная функция двух
неременных, то она есть абсолютно непрерывная фУнкц>ия х ПРИ любом
фиксированном значении у и абсолютно непрерывная функция у при любом
фиксированном значении х. Обратное утверждение неправильно, т. е. функ-
функция может быть абсолютно непрерывной по каждой переменной и не быть
в то же время абсолютно непрерывной функцией двух переменных.
Подынтегральная функция первых слагаемых формул E5) и E6) даёт
в силу определения [74] частные производные от абсолютно непрерывной
функции F (л*, у):
^	*1^У11	). E7)
дх
Подынтегральная функция в этих формулах определяет смешанную про-
производную второго порядка:
dF(x,y) \_ д VdF(x, у) | у
дх I ду I '{'>->•
Если частные производные Fx и /^ сами суть абсолютно непрерывные
функции двух переменных, то мы можем определить все частные производные
второго порядка. Если все они суть также абсолютно непрерывные функции
двух переменных, то мы можем определить все производные третьего по-
порядка и т. д.
Можно показать, что частные производные суть почти везде в Ао пределы
соответствующих отношений. Так, например, Fx есть предел отношения [F (х +
-\-h,y) — F(x,y)]\h. Абсолютно непрерывную функцию F(x,y) можно толко-
толковать как функцию точки F (М) на плоскости. Если мы введем на этой плоско-
плоскости вместо прежних декартовых координат (хуу) новые (х',у'), то получим
новую функцию F(x',y')f и она может оказаться уже не абсолютно непрерывной
по новым переменным. В качестве примера рассмотрим абсолютно непрерывную
функцию
л*
Г(х,У)= [f(t)dt,
где f(t) — непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция, построенная
нами в [76] для промежутка [0,1]. Мы ее продолжаем, считая f(x) = 0 при
х < 0 и f(x)= 1 при л'> 1. Предыдущая формула определяет абсолютно не-
непрерывную функцию F (х, у) на всей плоскости (она фактически зависит только

248	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	|78
от х). Поворачивая координатные оси вокруг начала на 45°, получим в новых
координатах
f(t)dt,
Частная производная этой функции х\ выражаемая формулой
)'
не является абсолютной непрерывной функцией у' при заданном х\ что,
в силу E7), должно было бы иметь место, если бы F(x\y') была абсолютно
непрерывной функцией двух переменных. Отметим, что построенная функция
при любом выборе декартовых координат абсолютно непрерывна по каждой
переменной при всех значениях другой переменной. Аналогично предыдущему
строится теория абсолютно непрерывных функций любого числа переменных.
В следующей главе мы дадим более общее определение частных производ-
производных, которое будет применимо не только к абсолютно непрерывным функциям
многих переменных.
78. Вспомогательные предложения. В ближайших двух пара-
параграфах мы введем новые понятия и докажем вспомогательные пред-
предложения, которые нам необходимы для доказательства основной тео-
теоремы из [73] и для дальнейшего обобщения понятия интеграла.
Будем рассматривать функции ср ($) вполне аддитивные на семей-
семействе С, состоящем из некоторого множества g0 из Lq и всех множеств
g из LQ, составляющих часть g0, причем считаем G (g>0) конечным и
отличным от нуля. Обозначим через V{ множество всех таких функ-
функций. Если <pi(&) и <?i($)€Vl9 то C^iC^-f C.2cp,(g>) также ?= Vx. Как
мы знаем, для всякой cp(g) из Vx суммы
<*(?)=231 ?(&*)!	E8)
k
остаются ограниченными при любом разбиении g0 на конечное число
множеств %k [72]. Точную верхнюю границу сумм t^ т. е. полную
вариацию ср (g) на g0, обозначим через !| ср Ц^. Имеем, очевидно, П сер |]г ==
= | с | -|| ср Ij, где с — постоянная. Если подразделение 8' есть про-
продолжение подразделения 8, то пишем 8':^ 8. Принимая во внимание,
что для любого разбиения е = ег -\- е" мы имеем | ср (е) | ^ | ср (er) \ -|-
-f-| у(е")\у можем утверждать, что tv (ср) ^ th (ср), если 8'^8. Если
8Л — такая последовательность подразделений, что tbn(v)->\y\Aj и
8^^8Л, то тем более *«;,(?)-Hj <p |)i. Если К (?)-">!; ?|li» ^; (Ф)-> i, Ф i'li
и t*n($-\~ty)~-*\4-\~ty\\> T0> поларзя Ъ'п =ЬпЪ'пЪп, получим
fc;4?)-*il?l!i; ^ЧФ)^!Ф!1ь ^-- Ст -Ь ф) -^ И т -+- Ф l!i-
Если $'ь,п — частичные множества в Ъ'„, то из неравенства
I ? (&н.п) -f Ф Ю КI ? Wk.n) I +! ф (gQ I

78]	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	249
путем суммировании и предельного перехода получаем
Наряду с суммой E8) рассмотрим для функций <p(g>), удовлетво-
удовлетворяющих условию
cp(g) = O при О (8) = 0,	F0)
сумму
2Ш
k
Если G($k) = 0y то соответствующее слагаемое имеет вид —,имы
его считаем равным нулю. Мы могли бы не делать такой оговорки,
если бы согласились рассматривать только такие 8, для которых все
G (gfc) ф 0, что сводится к присоединению тех 8Л, для которых G(g^)=0,
к другим частичным множествам. Множество значений Sg (cp) не обя-
обязательно ограничено. Обозначим через V2 множество тех функций cp (g),
которые удовлетворяют условию F0) и для которых множество S8 (cp)
ограничено. Множество V% составляет часть Vt. Нетрудно видеть, что
если <p(g)?Va и ф (?)?!/,, то сТ(8)^^ и ?(g) + ^(g)G^. Точ-
ную верхнюю границу сумм S5 (ср) обозначим через ||ср[12. Покажем,
что если Ъ'^Ъ, то S,,» (?) S>= S§ (cp). Для этого достаточно показать,
что если g = g'-j-g" есть некоторое разбиение g, то
и \& ) и \& )
Это неравенство равносильно следующему:
G (8) G (Г) f (8') + О (8) G (S') т2 Ю — О (8f) О (8') <Р2 (8) ^ О,
которое может быть переписано, в силу G (8) = G (8') -f- G (8") и
, в виде
Как и выше, если S8/| (?)-Н; <р!]« и 8л^8я» то и s^n (?) "^ I! Ф !!«•
Установим теперь для функций из V2 неравенство, связывающее
ЦсрЦ! и ;jcpj;2. Применяя неравенство Коши получаем
т. e. t6 (cp) ^)/S7(?y ]/G (8o)# Совершенно так же, как и при вы-
выводе E9), можно построить такую последовательность подразделе-
подразделений ЬПУ что *8л(<р)-М|<р[|1 и 5вл(ср)-^1?|а, и неравенство ^л(?)<

250	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[78
Если отношение ф ($Л): G ($k) обозначим через ak (считаем ak = О,
если Q (%k) = 0), то указанная кусочно-постоянная функция ф (g)
может быть, очевидно, представлена интегралом
F6)
где u>g (P) — характеристическая функция множества $Л. Под знаком
интеграла стоит кусочно-постоянная функция точки, равная ak на
множестве $k. Наоборот, всякий интеграл указанного вида дает
кусочно-постоянную функцию множеств ф (g).
При любом заданном подразделении 5 множества g0 на конечное
число множеств fk сопоставим любой вполне аддитивной на g0 функ-
функции множеств ср(?), удовлетворяющей условию F0), и любой функции
точки f(P)t измеримой и суммируемой на g0, кусочно-постоянные функ-
функции cpg (g) и /б (Р). Именно определим <pg (g) для g, принадлежащего gfe,
формулой
т. е. для любого g из g0 формулой
F7)
F8)
F5)
и множество всех существенно ограниченных функций (при разных
значениях С) обозначим через VQ. Из F1) непосредственно следует,
что, если cp(g)? Ко, то Se (ср) ^ C2Q (g0) при любом 8, т. е. Vo соста-
составляет часть V}.
Раньше мы рассматривали кусочно-постоянные функции точки [46].
Введем теперь кусочно-постоянные функции множеств. Функция <]>(g),
удовлетворяющая условию F0), называется кусочно-постоян-
кусочно-постоянной в g0, если существует такое разбиение g0 на конечное число
множеств &?, что
F4)
Отметим еще одно семейство функций ср (g). Функцию ср (g) назо-
назовем существе н но ограниченной, если существует такая
постоянная С, что для любого g из Lq, принадлежащего g0, имеем
в пределе дает
F3)

78|	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЬНИЯ	251
Функцию /5 (Р) положим раиной постоянной
F9)
если Р? $k. Если G(fak) = 0, то и выражение F9) считаем равным
нулю. Если ср (g) представлено интегралом:
G2)
G3)
Из определения ^ ($) и /5(Р) непосредственно следует:
Если с — наибольшее из ak, то, в силу F5), | ф (§) | ^ сО (§), т. е.
всякая кусочно-постоянная функция множеств суще-
ственно.ограничена. Отметим, что мы рассматричаем кусочно-
постоянные функции лишь при разбиении g0 на конечное число мно-
множеств.
Пусть 8'^5 и $'kts — указанные 1зыше частичные множества. Из
определения срб (g) следует, что
G0)
G1)
При 8' имеем подразделения каждого §/г на некоторые множе-
множества $'ks причем, в силу F7),

Если ср (g) ^ \/2, то существует такая последовательность подраз-
подразделений 8(/1), что S6(n) (9)->i!?ii2» и> следовательно, существует такая
последовательность подразделений, что
Величину G5) нетрудно выразить интегралом. Пусть gb (P) —
подынтегральная функция в интеграле F6) для кусочно-постоянной
функции cp6(g)
и, следовательно,
и, применяя обычное обозначение нормы в Ц,
G8)
Выведем еще две формулы, необходимые нам в дальнейшем. В
силу G3) имеем 1<р (S) — «ре (&)!«• = «pe- (S) — <р« (?) при S'^8. Раз-
Разность gtf{P) — gi(P)> сохраняющая постоянные значения в точках
G7)
G6)
G5)
G4)
252	функции множеств, абсолютная непрерывность	[78
а потому

t. e.
79. Вспомогательные предложения (продолжение). Введем
новое понятие, важное для дальнейших построений. Пусть ср (g) и
(HS) 6 ^1 и & = ©' + &" — некоторое разбиение g на два подмноже-
подмножества без общих точек. Обозначим через inf [ср,«{/] точную нижнюю
границу сумм ср (g') -|- ^ (g>") для всевозможных разбиений g:
inf[cp,^]= inf [?(gf)+*(&")]= «>(&),	(81)
T. e.	b=* та
?(l') + t«")^<«(fn),	(82)
и для любого заданного положительного г существует такое раз-
разбиение g = g'-}-&"> что
? (Ю + Ф (&")<«> (8)+ е.	(83)
Функция o)(g) при любом g из Z.Q имеет конечное значение, ибо
cp(g/) и ф(©") ограничены. Если взять за g' само § и за g" пустое
множество или наоборот, то получим
Докажем, что o>(g) вполне аддитивна. Пусть имеется разбиение g
на конечное и бесконечное число множеств gfe (попарно без общих
точек). Мы имеем
причем написанные ряды сходятся абсолютно. В силу (84), поло-
положительные w(g/j) образуют сходящийся ряд, ибо ряды с членами (§)
79J	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	253
частичных множеств $'fikS подразделения о', есть подинтегральная
функция в формуле F6) для <рй' (g>)— ?П$)> т- е-
и, в силу G8), можем написать
G9)
(80)
Последняя формула будет касаться функции g^ (P). Она сохраняет
постоянное значение а^ s = ср (g^f s): G (^^} s) в точках $'kiS и, согласно
определению /6 (Р), функция (t^v (Р) K принимает в точках $k постоян-
постоянное значение

254	функции множеств, абсолютная непрерывность	[79
и ф (g>fe) абсолютно сходятся, а потому и весь ряд, составленный
из ^О?*)» имеет определенную сумму, не зависящую от порядка
слагаемых [I; 1341- Пусть е ^> 0 задано. Существует такое разбиение
и второе из неравенств (85) дает
Докажем теперь противоположное неравенство. Берем такое раз-
биелие $,, = ^kt i ~Ь&*,«> чтобы выполнялось неравенство
и, ввиду произвольности г, получаем неравенство, противоположное
(86), откуда и следует полная аддитивность co(g):
Из сказанного выше следует, что w(g), определяемая фор-
формулой (81), принадлежит V{.
(85)
Пользуясь определением to(g), можем написать ? ф'к) -]- ф ($k) ^
^co(g,^) и, суммируя по А', в силу полной аддитивности го (?) и ф (g>),
получим
откуда, в силу произвольности з, следует
(86)
(87)
(8Н)
Суммируя по ky обозначая сумму %кч х через §, и сумму
через g.j, получим
причем g,g4 = 0 и g, -| g4 = g. Но ср (g,) -f- ф (g,2) ^ со (g), в силу
определения со (g), и неравенство (88) дает

причем правая часть ^тг] при всех достаточно больших я, откуда»
в силу абсолютной непрерывности ср (g), имеем | ср (g^') | ^c e при
достаточно больших п. Первое из неравенств (90) дает <р(?л)^
<cpn(g) + e. Но ср (g^) = ср (g) — ср (|Q и, следовательно, cp(g)^
< срл (g) + е + ср (Q и, в силу | ср (8J)! ^ е, имеем ср (g) — срл (g) < 2e,
откуда, ввиду произвольности е, и следует ?«(&)—*?(&)•
Лемма 2. Для неотрицательной вполне аддитивной функции
cp(g) предел <р„ (g) есть вполне аддитивная функция, абсолютно
непрерывная на g0.
Обозначим lim срл (g) = cp(ac) (g). Принимая во внимание, что cpn(g)
п —»оо
вполне аддитивны и неотрицательны и лемму из [63], можем утвер-
утверждать, что ср(ас) (g) вполне аддитивна. Из (84) следует, что 0^
^ Уп (&) ^ п@ (©)> а потому каждая из cpn (g) абсолютно непрерывна.
Далее из неравенства ср(ас) (g0 — g)^ cpn(g0 — g), где gc=g0,
следует ?(ec) (&o) —<P(ac) (8)^?я(&о) —?я(8). т. е.
Отсюда видно, что <pn(g) стремится к cp(ac)(g) равномерно по
отношению ко всем g из g0. Принимая во внимание абсолютную
непрерывность <рл(&), можем утверждать и абсолютную непрерык-
ность ср(ас)(ё>) ||а io- Действительно, пусть г — заданное положитель-
положительное число. Мы можем фиксировать такое л = //0, что <р(ас) (g0)—
(92)
(91)
Но по теореме из [72] 1 <р (%'п) ^ /, где / — определенное число,
и из (90) следует
(90)
Принимая во внимание, что G (g) ^ 0, можем утверждать, что
4W(e)^= ?*(&)> и> кР°ме того> в СИЛУ (84)> <Р« (&) ^ <Р (&)• Таким
образом, при всяком g, принадлежащем g0, последовательность срл (g)
имеет конечный предел при п—+ сю. Напомним еще определение
абсолютной непрерывности:
ср (g) называется абсолютно непрерывной на g0, если для любого
заданного положительного е существует такое положительное irj, что
I <р (ё) | ^ ?> если g cz g0, g — принадлежит LQ и О (g) ^ tj.
Лемма 1. Если ср (g) абсолютно непрерывна на g0, mo cpn (g) ->
—* <P (ё) ^я всякого g.
Пусть в^>0 задано. При некотором разбиении g = g«-[-g«, в
силу (83), имеем
(89)
Введем еще следующее обозначение для любой функции
из К,:
79)	вспомогательные предложения (продолжение)	255

256	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[79
—	?«„(&о)^у. ПРИ этом, в силу (92), имеем <?{ас) (g) < <рЯо (g) -f -J.
В силу абсолютной непрерывности ср„п (g) существует такое положи-
положительное 7], что <?/г0 (S) ^ у, если gc=g0 и G(g)^7], и из написан-
написанного выше неравенства следует, что ср(ас) (g)<ie, если gczg0 и
О (g) ^ 7j, и лемма доказана.
Лемма 3. Если ср (g) ? Vb неотрицательна и абсолютно не-
непрерывна на g0, то для любого заданного s^>0 имеется такая
существенно ограниченная функция ф (g), что
II? —<Hli<*.	(93)
Из (84) следует, как мы уже указывали, что O^cpn(g)^nG(g),
т. е. каждая из срл(&) — существенно ограничена. Кроме того, <р (g) —
—	<рл(&)^0 и, следовательно, полная вариация этой разницы на g0
равна ее значению при g0, т. е. || cp(g) — cpn(g) \\х = cp(g0) — срл (g0).
Но, в силу абсолютной непрерывности ср (g), мы имеем, согласно
лемме 1 : ср„ (g0) _ ср (g0), т. е. || ср (g) — <ря (g) [^ — 0, и чтобы удо-
удовлетворить неравенству (93), достаточно взять за <[>(g) функцию
cpn(g) при некотором достаточно большом п. Оказывается, можно
удовлетворить неравенству (93), выбирая за ф (g) некоторую ку-
кусочно-постоянную на g0 функцию. Предварительно докажем это для
функций cp(g) из V2.
Теорема 1. Если ср (g) g Vif то для любого заданного е ^> О
существует такая кусочно-постоянная функция w (g), что
I] ср — со ||, < г.	(94)
Пусть f(P) — измеримая функция из L2 на g0 и
причем считаем это выражение равным нулю, если G (g) = 0. Мы
имеем очевидное равенство
f [/(Р) - а? О (dg) = Г р (Р) О (dg) — a*G (g).
8	8
Полагая в нем g = $ft и а = f /(P) G (dg): G (&Л), где &к — ча-
стичные множества из некоторого разбиения о множества g0, и
суммируя по k} получим
II/ (Р) - /о (Р) Но=I! / (Р) II. - l/j (Я) |||„ •	(95)
Если примем f(P) = gi.(P), где S'^>8 и g'j(P) функция, входящая
в формулу G7), то, в силу (80), ft(P)=gt(P) и (95) даёт:
(96)

791	вспомогательные предложения (продолжение)	257
Принимая во внимание G8) и G9), может написать
!(?-^2=Ы!2-:кЛ	(97)
В силу G6) существуют такие последовательности подразделений
Ьп и Ъ'п, что || (ср — срг)бд |j2 -> |: ср — ср512 и ;|ср8,л |2-Ч| ср ||2. Для последо-
последовательности 8л==8я&я мы имеем и подавно ;|(ср — «PsV^fc-*!?— <Pe!l*
ср |!2# Полагая в (97) 8' = &;j и переходя к пределу, по-
получим
(98)
Принимая во внимание опять G6), можем утверждать, что сущест-
существует такое разбиение Ъ, что правая часть (98) ^е, и, полагая co(g) =
= ср8 (g), мы и получим (94).
Теорема 2. Если ср (g) ? V, w абсолютно непрерывна в g0, wo
для любого заданного е ^> 0 существует такая кусочно-постоян-
кусочно-постоянная на g0 функция w(g), «{/no
1? —<4<е.	(99)
Мы можем представить ср в виде разности двух неотрицательных
функций из Vx: ср (g) = cpx (g) — cp^(g), и если существуют кусочно-
постоянные функции ojj (g) и о).2 (g) такие, что || ух — о){ ||, ^ -i-
и | ср,2 — ш21| =^ ~2 , то, вводя кусочно-постоянную функцию о) (g) =
= Ш1 (©) -[- ^2 (&)> получим, в силу E9),
[ср — (О ||, ^ (I Ср, — О)! ||, -f || <р« — ОJ ||| < S,
и, таким образом, достаточно доказать теорему для случая неотрица-
неотрицательных функций ср (g).
Согласно лемме 3 существует такая существенно ограниченная
функция <[>(g), что ||<р_ф [1,^-i. Функция ф (g) ^ К.2 [78] и, следо-
следовательно, существует такая кусочно-постоянная функция со (g), что
| ф _ о, ||2 ^ 4 * . В силу F3), имеем || ф — <0 ^ ^ ™, и, пользуясь
E9), можем написать
ц <р—w Ik < t т — ф ii+1 ф—ш ] 1 < \+\=s»
и теорема доказана. Утверждение теоремы 1 сводится к тому, что
в V2 при норме || ср |-2 кусочно-постоянные функции повсюду плотны,
а теорема 2 сводится к тому, что кусочно-постоянные функции по-
повсюду плотны в пространстве абсолютно непрерывных функций из V\
при норме Ijcpljj.

258	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[80
80. Основная теорема. Переходим к доказательству основной
теоремы, формулированной нами в [73]. Как и выше, достаточно до-
доказать теорему для случая неотрицательной функции ср (g) из Vx.
Обозначим, как всегда, через ср(ас) (g) предел <ря(&), определенных
формулой (89). Равенство ср(ас) (g) = cp (g), в силу лемм 1 и 2, имеет
место в том и только в том случае, когда ср (g) абсолютно непре-
непрерывна в g0. Пусть ср (g) не абсолютно непрерывна. Построим неот-
неотрицательную вполне аддитивную в g0 функцию
<рE)(8) = <р(8) —<Р(вс'(8).	A00)
Мы покажем, что срE) (g) есть сингулярное слагаемое в формуле
A4) из [73]. Образуем
cp^(S)=inf[<PU), nO)= inf [?(80 —?(вс)(Ю + л0(Щ. (Ю1)
8 = 8' + *"
Вспомним разбиение g = g,/-f~ §>л"> удовлетворяющее условию (90),
и неравенство (91), в силу которого G(gn")—»0 при п—*• схэ. При-
Принимая во внимание определение A01), можем написать
?„D) (8) < 9 (&»0 + «О (&»') - ?(ас) (S-0 =
= 9 (8„0 + пО (8„') - [9(ас) (8) - ?(ас) (8„'I,
т. е., в силу (90),
<?{? (&) < ?я (8) +? - [?(ас) (8) - ?(ас) (8ЯГ)].
Но, ввиду абсолютной непрерывности cp(ac)(g), имеем ()
для всех достаточно больших п и, следовательно,
Принимая во внимание, что срл (g) -> cp(ac^ (g), получим lim 9^
п -¦ оо
или, ввиду произвольности е, можем написать lim cp^) (g) = 0 при
п — оо
всяком g. Но ср^ (g) неотрицательны и не убывают при возрастании п,
и потому при всяком п имеем
Применяя это к g0 при п=\, можем утверждать, что для любого
заданного s^>0 существуют такие множества gn, принадлежащие g0
и Lq, что
откуда, в силу неотрицательности срE) (g) и G(g),
?Ы(8«)<^ и О(8о-8я)^».	(Ю2)

80J	ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА	259
Образуем множество $'e—$i -f-ga -(-..., принадлежащее j?0 и LQ.
Принимая во внимание, что gn ci gs при любом п, можем написать
^(?о — &i)^4i и, устремляя л к бесконечности, получим
^(go— 8s) = 0. С другой стороны, принимая во внимание, что
& = Si + (?¦ -- 81) Н- (8з ~ 8i - &) + ...,
первое из неравенств A02) и неотрицательность ?u) (g), получим
'f(s)(?i)<e. Итак,
?(A)(8i)^e и Q(g0 —gi) = 0.
Обозначая g0—g'e = ge, можем утверждать, что для любого г
существует такое множество gg из g0, что
Пусть гп положительны и гп —. 0. Можем написать
Введем множество Н = $9 ~b§v -г ... В силу второго из послед-
последних неравенств G (Н) = 0, и принимая во внимание, что gS/z ci Я при
любом /i, имеем, в силу первого неравенства: <?E)(&о — Н)^гп> и
устремляя п к бесконечности, получим ср E) (g0— Я) = 0. Итак, суще-
существует такое Я, что
Всякое g = g//+(g —g#), но g —йЯс!§0 —Я, и первая из
формул A03), в силу положительности cpU) (g), дает cpu) (g — g^) = 0,
и, следовательно, cp(tS) (g) = cpE) (g^). Итак, существует такое Я, что
Таким образом, cpu) (g) есть сингулярное слагаемое в формуле A4)
из [73] и, принимая во внимание A00) и абсолютную непрерывность
'f{ac) (g), нам для доказательства теоремы из [73] остается доказать
следующую теорему:
Теорема 3. Всякая абсолютно непрерывная функция <p(g) из
V{ может бить представлена интегралом
T(8)=J/C)O(d8),	A04)
%
где f(P) измерима и суммируема на jg0.
Согласно теореме 2, существуют такие кусочно-постоянные функ-
функции шп(§), что
A03)
A05)

260	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[80
откуда следует, в силу E9),
Но всякая а)л (g) есть интеграл от кусочно-постоянной функции
gn(P) с конечным числом конечных значений на g0 [78]:
и ряд, составленный из этих интегралов, сходится. При этом почти
везде в g0 сходится ряд [54]:
и тем более почти везде сходится ряд
т. е. почти везде в g0: gn(P)~f(P)- Сумма ряда A07) есть, в силу
оценки A06), суммируемая на g>0 функция. Но |/(Р)|^этой суммы,
а потому f{P) также суммируема. Мы можем написать
откуда непосредственно следует, что
и, принимая во внимание оценку A06), получим для любого
A07)
A06)
Полная вариация этой функции множеств, представимой интегра-
интегралом, выражается формулой [73]:

81J	ИНТЕГРАЛ ХЕЛЛИНГЕРЛ	261
при всяком ?. С другой стороны, из определения полной вариации
по g0 и A05) следует
откуда сол (g) — ср (g) при всяком g, т. е.
и теорема доказана. До сих пор мы предполагали, что G(g0) конеч-
конечное число. Если G (g0) =-{-оо , то результат получается предель-
предельным переходом от множеств grt с конечным значением G (gj, для которых
теорема доказана, причем /(Р) не зависит от п.
81. Интеграл Хеллингера. Исследуем более подробно семейство
Vlt Отметим прежде всего, что из условия F0) следует, что если
ср (g) ? V2, то она абсолютно непрерывна. При этом мы имели фор-
формулу (98)
и, кроме того [78]:
?б (8) = J' gb (Я) G Ы%) и || ср6 •], = J ^ (Р) G (rfg). A09)
В силу G6), можем выбрать последовательность подразделений
g0 так, чтобы иметь неравенство
При этом, в силу F2), будем иметь ||ср — Чы\\^ ^гг* и из
доказательства теоремы предыдущего параграфа следует, что gbn (P) ~^
—/(Р) почти везде на g0 и
(Ill)
Из A00) и A10) следует, что при этом
Пользуясь теоремой 4 из [54], можем написать
||?!*,	(П2)

262	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[81
откуда следует, что f(P) ? ^г на g0. Докажем теперь неравенство
противоположное A12).
Применяя к A11) неравенство Буняковского, напишем
а потому и для точной верхней границы написанных сумм будем
иметь
Сравнивая с A12), получаем
A14)
Мы доказали, что для всякой cp(g) из К2 функция /(Я), входя-
входящая в представление A11), принадлежит 12, и что имеет место фор-
формула A14). Наоборот, если нам известно, что ср (g) представимо фор-
формулой A11), где f(P) ? Ад на g0, то из оценки A13), выведенной
лишь на основе A11), следует, что cp(gN V2. Принимая во внима-
внимание единственность представления в виде A11), можем утверждать
и справедливость формулы A14). Мы приходим, таким образом,
к следующей важной теореме: *
Теорема /. Для того, чтобы ср (g) принадлежала V% на g0
необходимо и достаточно, чтобы <p(g) имело представление A11),
где f(P) 6 ^а на ?о« Если это условие выполнено, то имеет место
формула A14).
Укажем другое необходимое и достаточное условие принадлеж-
принадлежности cp(g) к V%.
Теорема 2. Для того чтобы cp(g) принадлежала V2 на g0,
необходимо и достаточно существование такой вполне аддитив-
аддитивной на g неотрицательной функции //(g), что выполняется не-
неравенство
Действительно, если это условие выполнено, то суммы Ss(<p)
ограничены:
A13)
Деля на Q ($k) и суммируя по к, получим

811	ИНТЕГРАЛ ХЕЛЛИНГЕРА	263
Наоборот, если cp(g)? V'.,, то имеет место формула A11)
и f(P) ? L.2 па g0, а следовательно, и на любом измеримом относи-
относительно G (g) подмножестве g>0. Положим
)= f f*(P)Q№).	(И6)
8
Применяя к A11) неравенство Буняковского, мы получим A15),
и, таким образом, теорема доказана.
Если <р (g>) ? V^ на g0, то точная верхняя граница сумм S'g (ср)
называется интегралом Хеллингера и обозначается следующим сим-
символом:
$^	A17)
Формула A14) дает при этом преобразование интеграла Хеллин-
Хеллингера в интеграл Лебега:
Если подразделение 8' есть продолжение 8, и / есть интеграл
A17), т. е. точная верхняя граница сумм S5 (cp)> то, как мы знаем,
So (<р) ^ S<5» (f) ^ /'. Принимая это во внимание, можем утверждать,
что интеграл A17) обладает следующим свойством: при любом
заданном s^>0 существует такое подразделение 8в,
что для любого его продолжения имеет место не-
неравенство
\1 — Sa'(<р) | ^ е (8' — продолжение 8е).	A19)
Покажем, что число / с указанным свойством может
быть только одно. Пусть имеется еще число С с указанным
свойством. Кроме A19) мы будем еще иметь \i' — Sjj,(<p)| ^e, где К
играет роль 8? в A19). Взяв произведение 8" =8^, можем напи-
написать оба неравенства
\1 — So(cp)|^s и \i'—Sd(cp)|^?; (8 — продолжение 8s').
Для указанных 8, получим в силу I — I = (/' — S6 (ср)) -\- (S5 (f) — I):
откуда, в силу произвольности s, и следует, что l' = i. Пусть ср (g)
и 'fi (S) € V* рассмотрим сумму
S. (ЬЪ)= I^(?

264	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[81
которая может быть, очевидно, представлена в виде
т. е.
Ss (<Р> ?\) = у S6 (? + <?i) — 2 S» (?) — у S« (^i)"
Для каждой из сумм, стоящих справа, мы имеем свойство A19),
причём 8 мы можем считать одним и тем же, так как различные 8
можем заменить их произведением. Таким образом, и для сумм
S6(<p,cpi) мы имеем свойство A19); соответствующее число / для
сумм A20) обозначается так:
Принимая во внимание A21), можем написать
где и(Р) ограничена и измерима относительно G(g), и Pk — любая
точка из &Л, изучаются так же. Можно показать, что и для этих сумм
существует единственное число /, обладающее свойством A19),
в котором S5 надо заменить на а5, причем указанное в A19) нера-
неравенство выполняется при любом выборе Pk. Это число i может быть
выражено интегралом Лебега — Стилтьеса:
A22)
или, принимая во внимание A18),
где f\ (Р) — функция точки из Lb соответствующая
A26)
A23)
A24)
A25)
Более общие суммы вида

82J	СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	265
Свойство A19) лежит в основе общего определения интеграла.
В следующих параграфах мы более подробно рассмотрим случай
одного переменного.
82. Случай одного переменного. При исследовании случая одного
переменного мы будем исходить от функции точки и рассматривать
простейший случай непрерывных функций. Для краткости письма
будем пользоваться следующим обозначением: если А — некоторый
промежуток [а, р], то символом А т (х) будем обозначать разность
т (Р) — т (а). Пусть g (х) — неубывающая непрерывная на конечном
промежутке [а, Ь] функция и F (х)— вещественная непрерывная на
этом промежутке функция, обладающая тем свойством, что &F(x) = 0,
если к g(x) = 0. Пусть 8 — некоторое разбиение промежутка [а, Ь\
на конечное число частичных промежутков Ал и
/107*
A27)
Слагаемые, имеющие вид 0:0, считаются равными нулю. Эта сумма
не убывает при добавлении новых точек деления [78]. Мы поль-
пользуемся разбиением только на промежутки и должны будем приво-
приводить доказательства теорем, аналогичных тем, которые имели при
разбиении на множества, измеримые относительно G(g>).
Теорема /. Для ограниченности множества значений сумм Sb
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубываю-
неубывающая ограниченная на [а, Ь] функция h(x), что для любого
промежутка из [а, Ь] выполняется неравенство,
(ДРJ^А^.А/г.	A28)
Если это условие выполнено, то' слагаемые суммы S8 не превы-
превышают А^/г и для любого разбиения имеем Sd^h(b) — h (a).
Докажем теперь необходимость A28). Если суммы S8 ограничены
для всего промежутка [а, Ь], то тем более они ограничены и для
любого частичного промежутка. Обозначим через h (x) точную верх-
верхнюю границу . Sfi для промежутка [а, х].
h (х) = sup S§ для промежутка [а, х].
д
Совершенно так же, как мы доказывали аддитивность полной
вариации [8], можно доказать, что точная верхняя граница S5 для
любого частичного промежутка [а, р] равна /г(Р) — /г(а) = Д/г, и, сле-
следовательно, h (x) есть неубывающая и ограниченная функция. Если
мы не будем делить А на частичные промежутки, то сумма S6 для
промежутка А приведётся к одному слагаемому (A F)'2: А^, и оно
ме::ьше точной верхней границы А/г сумм Sa для А, и, следовательно,
2 Ag-^Д/г, что и приводит к A28).

'266	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[82
Пусть G(g) — функция множеств на [а, Ь\, порождённая функ-
функцией точки g(x)> и предположим, что F (х) имеет вид
т. е. выполнено условие A28), и
A30)
причем, в силу непрерывности g(x), указание на замкнутость или
незамкнутость промежутка [а,х] несущественно.
Формула A29) приводит к вполне аддитивной функции множеств
имеют точную верхнюю границу /, выражаемую формулой A18):
ь
1= [f(x)G(d$).	A32)
а
Покажем, что ту же верхнюю границу имеют и суммы A27),
соответствующие разбиению [ау Ь\ лить на промежутки. Она не мо-
может быть, во всяком случае, больше /. Пользуясь а'бсолютной непре-
непрерывностью cp(g), мы покажем, что интеграл A32) является и точной
верхней границей сумм A27), которые получаются при разбиении
[а$ Ь\ на промежутки. В силу сказанного выше, для любого задан-
A31)
определенной для множеств $, измеримых относительно G (%) и при-
принадлежащих [а, Ь]> причем AF = <p(A). Суммы
и, применяя неравенство Буняковского, получаем
A29,

82]	СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО	267
ного положительного е существует такое разбиение 8 промежутка
\а, Ь] на измеримые множества $k(k=\, 2, ..., я), что
где буквою / мы обозначили интеграл A32). Принимая во внимание
необходимость условия в теореме 1 из [ЗУ], можем утверждать, что
для любого $k существует элементарная фигура Rk, т. е. конечная
сумма полуоткрытых промежутков без общих точек, такая, что
Rk \ e'k=&k+ei	A34)
(*=1, 2, ..., п\
где меры е]г и е"к — сколь угодно малы. Множества §л попарно без
общих точек, но Rk могут иметь общие точки за счет el, т. е.
RkRi cz ele}\ и меры этих общих частей также сколь угодно малы.
В каждом из равенств A34) мы можем общую часть Rk с осталь-
остальными Rh которая представляет собой сумму конечного числа полу-
полуоткрытых промежутков, отнести к e'fi. Если т; — наибольшая из мер
е'к и el, то при таком переносе для новых ek будем иметь
О (e'k) ^ (п -f- 1) т|, ибо G (RkRi) < G (el e'{) < tj. Таким образом, мо-
можем считать, что в равенствах A34) Rk не имеют попарно общих
точек, и меры е'к и el сколь угодно малы.
Принимая во внимание A33), а также абсолютную непрерывность
ср (g) и взяв меры d4 и ^2 достаточно малыми, можем написать
V
«.
fr ¦--- 1
Пусть Дл E=1, 2, ..., /я) — промежутки, входящие в состав
всех Rk. Принимая во внимание F2), получим
У %?*,-».	A35,
В силу непрерывности g(x) и F(g), можем А5 считать замкну-
замкнутыми или открытыми промежутками. Эти промежутки могут не по-
покрывать [а, Ь\. Добавляя неотрицательные слагаемые, соответству-
соответствующие оставшимся промежуткам, мы для полной суммы тем более
будем иметь A35) и, в силу произвольности s, следует, что инте-
интеграл A32) есть точная верхняя граница сумм A27) при условии A29),
где f(x) ? L.2. Отметим еще, что, в силу предположенной непрерыв-
непрерывности g(x)y функция h (x), определяемая формулой A30), непрерывна.
Покажем теперь, что если выполнено условие A28), т. е. суммы
A27) ограничены, то F (х) представима формулой A29), где/(л;)? Lv

Для точной верхней границы сумм, стоящих слева, при любых
разбиениях справедливо то же неравенство и, следовательно, F (х)
есть функция ограниченной вариации и для ее полной вариации v (х)
мы имеем неравенство
(A v (х) У2 ^ До- А/г.	A37)
Если Ajf — какие угодно неперекрывающиеся промежутки из [а} Ь],
то из A36) следует
и, в силу произвольности г, отсюда следует, что F (х) абсолютно
непрерывна по отношению g(x), и, следовательно,
л:
F(x)=\ f(x)dg(x)-{-C.	A38)
а
Остается показать, что f(x) ? L2. Построим ограниченную функцию:
(я, если f(x)^>n,
-я, если /(*)<-«.
и положим
X
а
Функция fn (x) ^ L2 и, следовательно, в силу доказанного выше,
ь
sup У д ¦= \ /я(-л;)^(Л:)'	A40)
° /г А>	а
Если интеграл A38) мы будем брать по различным множествам g
из [«,?], измеримым относительно g(x), то получим функцию мно-
A36)
268	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[82
Пусть А — некоторый промежуток из [а, Ь\ и Д^ —частичные про-
промежутки его некоторого разбиения. Из (\'28) следует, в силу нера-
неравенства Буняковского:
Если сумма, стоящая справа, ^е, то имеем

83]	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ХЕЛЛИНГЕРА	269
жестп, полная вариация которой на [а, х\ выражается интегралом [73]:
v{x)=<jj\f(x)\dg(x).	A41)
а
Если будем разбивать [а, х] только на промежутки, то получим
для функции A38) ту же полную вариацию [74].
Принимая во внимание A37), имеем
зирУ^=Ж,	A42)
k
где М — конечное число. С другой стороны, в силу A39) и A41),
имеем I &kFn \ ^ kkv и, принимая во внимание A40) и A42), полу-
получаем при любом п:
откуда и следует, что f(x) ? Z2. Предыдущие рассуждения дают
следующую теорему.
Теорема 2. Условие A28) равносильно тому, что F (х) предста-
вима в виде A38), где f(x)? Ц, к если условие A28) выполнено,
то точная верхняя граница сумм A27) выражается интегра-
интегралом A32).
Во всем предыдущем мы можем не считать g(x) и F(x) непре-
непрерывными. При этом основной промежуток берем полуоткрытым и
делим его на полуоткрытые промежутки, для которых Ag-= g-ф-|-0)—•
— ^"(a-f-О). Все результаты, кроме непрерывности h (jc), сохранятся.
Отметим, что из условия A28) и непрерывности g(x) следует, что
можно написать условие A28) с непрерывной h(x).
83. Свойства интеграла Хеллингера. Точная верхняя граница
сумм A27) есть интеграл Хеллингера, который обозначается анало-
аналогично A17):
причем имеем для него формулу
ь
Докажем, что этот интеграл является просто пределом сумм A27)
при беспредельном измельчании промежутков А^.

270	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[83
Теорема 3. Если F(x) удовлетворяет условию A28) и F\(x) —
аналогичному условию
,,	A45)
(g (х) — непрерывна), то сумма A27) и сумма,
имеют определенный предел при беспредельном измельчании Дл,
причем предел суммы A27) равен точной верхней границе таких
сумм, т. е. интегралу A43).
Пусть, как и выше, / — точная верхняя граница сумм A27). Для
заданного s^>0 существует такое фиксированное разбиение Ьо на
промежутки, что 5§0^/ — е. Пусть 8 настолько тонкое разбиение,
что каждый частичный промежуток Ь содержит не более одной точки
деления из 80, и что приращение непрерывной функции h(x) на каж-
каждом частичном промежутке Ь не больше е. Для разбиения ЬЬ0 мы
имеем
Sno7&S^i-*.	A47)
Если р есть число точек деления в разбиении 80, то не больше р
частичных промежутков 8 при переходе к ЬЬ0 разобьются на два
промежутка, и при этом соответствующее неотрицательное слагаемое
суммы 5fi заменяется двумя неотрицательными слагаемыми суммы &80.
Каждое из этих трех слагаемых, в силу сказанного выше о прираще-
приращении h (x) и свойства A28), не больше е, и, следовательно,
Сравнивая с A47), получаем S6^l — B/?-f-l)e, откуда, в силу
произвольности е, и следует, что сумма A27) при беспредельном
измельчании АЛ стремится к /. Для исследования сумм A46) отме-
отметим, что F(x)-\-Fi(x) представима формулой вида A38), где f(x) -f-
b/C*0 6 ?>2> и суммы
так же, как и аналогичные суммы для Fx (лг), имеют предел при бес-
беспредельном измельчании А^. Отсюда следует, что и сумма
LkFHkFx _ 1 \i [ДП^+Л)]2 1 V
h	2 ^ Д	2 L
I
hg	2 ^ Д^	2 jL Afcg 2 ^ Akg
k	k	k	k

83]	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ХЕЛЛИНГЕРЛ	27 1
также имеет предел. Он совпадает с интегралом A22). Таким обра-
образом, получаем следующие интегралы Хеллингера:
f (^Z=limy(^)i; (^L^iim\V-^, A48)
J dg	Ad bkg ' J dg	jL bkg v J
a	k	a	k
В силу сказанного в [811,
ь	ь
где
X
р /дЛ ___ I t (x) d& (х).	A49)
а
Можно рассматривать более общие суммы
где и(х) непрерывна в [а, Ь\у существуют интегралы A48) и lk —
любое значение из Ал. Эти суммы также имеют определенный пре-
предел при беспредельном измельчении Ал. Достаточно доказать это для
сумм A50). Рассмотрим суммы
где mk — наименьшее значение непрерывной функции и (х) на замкну-
замкнутом промежутке АА. Совершенно так же, как и выше, можно пока-
показать, что суммы не убывают при добавлении новых точек деления,
что они ограничены и имеют определенный предел при беспредель-
беспредельном измельчении АЛ. В силу равномерной непрерывности и (х) и усло-
условия A28), разность сумм A50) и A52) стремится к нулю при беспре-
дельнОхМ измельчении Aft, и, следовательно, суммы A50) также имеют
определенный предел. Мы получаем, таким образом, следующие
интегралы Хеллингера:
ь
Г
\
J
и (х) 1 , ; = im ; м
J v ' dg	^
a	k
ь
A53)

272	ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ	[83
Изложенную теорию можно распространить и на тот случай,
когда g(x) разрывна. Указанные суммы имеют определенный предел
для регулярной в смысле общего интеграла Стилтьеса последова-
последовательности подразделений Ьп.
Вся изложенная теория остается, очевидно, справедливой и для
того случая, когда F(х), Fx(x) и и(х) — комплексные функции, при-
причем F (х) и Fx (х) должны удовлетворять условию
\&F\^kg ДА; | Д/7, | < Д^ Д/г,.
Везде надо заменить квадраты на квадраты модуля, т. е. (Д*/7J
||4
на ||
Отметим еще некоторые простые свойства интеграла Хеллингера.
Пусть Ф (х) удовлетворяет условию A28) и не убывает. Построим
функцию
х
F(x)= С и(х)AФ(х)}	A54)
где и (х) непрерывна, и рассмотрим суммы
k
Применяем теорему о среднем:
где lk ^ Дй. Сумма A55) перепишется в виде
и в пределе получим
> ~ и	Arf '
Совершенно аналогично, если наряду с A79) имеем

83)	СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ХЕЛЛИНГЕРА	273
где <I>iO:) удовлетворяет условию A28) и не убывает, а и{(х)—
непрерывна, то получим
j**	(,56,
Если Ф (х) и Ф1 (х) удовлетворяют условию A28), но не моно-
монотонны, то получим также формулу A56), пользуясь каноническим
представлением Ф (х) и Ф! (х) в виде разности неубывающих функ-
функций. Отметим, что F (х) и Ft (x) также, очевидно, удовлетворяют
условию A28).

ГЛАВА IV
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
84. Метрическое пространство. Начало настоящей главы мы посвя-
посвятим изложению теории некоторых абстрактных пространств, а затем
укажем приложения этой теории к различным конкретным простран-
пространствам — главным образом к функциональным пространствам, т. е. к
множествам функций определенного класса. Одно и то же абстракт-
абстрактное пространство может иметь несколько различных конкретных осу-
осуществлений, и изложение теории абстрактных пространств является
поэтому целесообразным.
Всякое абстрактное пространство есть непустое множество эле-
элементов, которое подчиняется некоторым аксиомам. Природа элемен-
элементов не определяется, и теория какого-либо абстрактного пространства
есть следствие тех аксиом, которые определяют это пространство.
Мы будем, для связности изложения, сначала полностью проводить
теорию абстрактного пространства, а в конце — применения этой тео-
теории при различных конкретных осуществлениях этого пространства.
Начнем с теории так называемых метрических пространств.
Множество X элементов, которые мы будем обозначать послед-
последними буквами латинского алфавита (х, у, гит. д.), называется м е-
трическим пространством, если в нем, каждой паре эле-
элементов х, у сопоставляется неотрицательное число р (х,у) (расстоя-
(расстояние между х и у), причем имеют место следующие условия:
1.	р(х, у)^0у причем знак = тогда и только тогда, когда х=уу
т. е. х и у — один и тот же элемент;
2.	р(у, х) = р(х, у) — аксиома симметрии;	A)
3.	р (дг, z) ^ р (х, у)-{- р (у, z) — аксиома треугольника.	B)
Эти условия должны иметь место для любых элементов х> у, z ? А'.
Если уь уъ ..., ут — какие-либо элементы Ху то применяя несколько
раз B), получаем
Р (У\> Ут) < Р (Уь Уд + Р (Уъ Уъ) Н	V Р (Ут-U Ут)'	Bl)
Пусть хп {п = 1, 2, ...) — некоторая бесконечная последователь-
последовательность элементов и пусть существует такой элемент х0, что р (jc0, xn) -> О
при п -> со. При этом говорят, что х{) есть предел последова-
последовательности хПУ и пишут хп=>х0 или \[mxn = XQ. Нетрудно видеть,

84]	МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО	275
что последовательность не может иметь более одного
предела. Действительно, пусть хп =?>лг0 и хп =>j/0. Надо доказать,
что х0 =у0. По B) имеем р (xQ, у0) ^ р (х0, хп) -\- р (хп, у0). При бес-
беспредельном возрастании п правая часть стремится к нулю, и в пределе
получаем р(х0, у0)^ 0. Но р (х0, yQ)^0, и из этих двух неравенств
следует, что p(jc0, уо) = о и, следовательно, х$=у0. Если хп =>лг0,
то очевидно, что и всякая бесконечная подпоследовательность
Покажем, что р (лг, у) есть непрерывная функция х и у}
т. е. если хп=>х0, и уп =>yQ, то р (хп, уп) -> р (х0, j/0).
В силу Bt) можем написать
Р С*я> .Уя) < Р С*я. *о) + Р (*о> Л) + Р (Уо> Уп) 5
Р (*0> Л) < Р (^0» ^) + Р C*/i> -V/г) + Р CVn> ^o)>
откуда
р (^я* Уп) — р К' л) < р (^Я' ^о) 4~ р (Vo» л);
Р (*<>> У о) — Р (-^я» Уп) < Р (^ ^я) + Р (^ Л) >
т. е.
I P С*о' У о) — Р (хп> Уп) I < Р (^о' ^я) + Р СУо> ^я)-
При «-> оо правая часть стремится к нулю, откуда и следует
рО^зО-^рСко'Л)-
Если последовательность хп имеет предел (лгя =>л:0), то при
любом заданном е^>0 существует такое N> что
р (хтУ хп) ^ е при т и п ^> N.	C)
Это непосредственно следует из неравенства р (хт, хп) ^ р (Jcm,Ar0) -f-
-f- p (jc0, xn), правая часть которого стремится к нулю при ти п-> сю.
Но из C) не следует, на основе принятых аксиом, что последова-
последовательность хп имеет предел (достаточность признака Коши существо-
существования предела не имеет места). Если ввести дополнительное требова-
требование, что из C) следует существование предела у последователь-
последовательности хп, то такое метрическое пространство называется полным
метрическим пространством.
Пусть U есть некоторое множество элементов метрического
пространства. Оно называется ограниченным, если существует
такой элемент лг0 и такое положительное число Л, что р(х0, х)^Л
для всех х из U. Пусть хх — какой-либо фиксированный элемент,
отличный от х0. Мы имеем: р (хь х) ^ р (хи х0) -\- р (лс0, х) и для элемен-
элементов U получим: р (хи х)^р(хг, хо)-\-Ау причем в правой части этого
неравенства стоит некоторое положительное число. Таким образом,
при определении ограниченности множества U безразличен выбор
элемента дг0. Нетрудно показать, что если последовательность ха
имеет предел, то множество элементов

276	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[85
Элемент х$ называется предельным элементом множе-
множества U элементов X, если существует такая последовательность хп
элементов из Uy что хп =>.г0. Множество ?/, содержащее все свои
предельные элементы, называется замкнутым. Если U незамкнуто,
и мы присоединим к нему все его предельные элементы, то новое
множество, которое мы обозначим ?/,— замкнутое множество [31].
Переход от U к V называется замыканием U. Если U замк-
замкнуто, то U=U. Если U—пустое множество (не содержит ни одного
элемента), то и[/ надо считать пустым. Множество элементов,
удовлетворяющих условию р (дг0, х) <^ R, где х0 — фиксированный эле-
элемент и R — положительное число, называется открытой сферой с
центром х0 и радиусом R, а в случае неравенства р (je0, х) ^ R —
замкнутой сферой.
Нетрудно показать, пользуясь непрерывностью р (хг х) как функ-
функции х, что замкнутая сфера есть замкнутое множество в смысле ука-
указанного выше определения.
Отметим, что всякое непустое множество U из X есть также
метрическое пространство, если для элементов сохранить то же
определение р{х,у), что и во всем X. Пространство X может состо-
состоять и из конечного числа элементов.
Пусть имеются два метрических пространства X и Хг) и пусть
между их элементами можно установить биоднозначное соответствие
так, что р (л:, у) = р (х\ У), где х и х\у и у' — любые соответствующие
элементы X и Х\ В этом случае X и X' называются изометричными.
С точки зрения абстрактной теории, изометричные пространства не
имеет смысла различать.
85. Пополнение метрического пространства. Назовем после-
последовательность хп элементов X фундаментальной (или сходя-
сходящейся в себе), если для нее выполнено условие C). Если X — не
полное пространство, то не всякая фундаментальная последователь-
последовательность имеет предел. Покажем, что в этом случае к пространству
можно присоединить новые элементы (иногда их называют „идеаль-
„идеальными элементами") при соответствующем расширении понятия рас-
расстояния так, что полученное таким образом метрическое пространство
будет уже полным.
Начнем с доказательства леммы:
Лемма. Если хп и уп — две фундаментальные последователь-
последовательности, то существует предел числовой последовательности
Р (*п> Уп)- в силу B0, р (хп9 уп) < р (xni xm) -f p (хтУ ут) -f р{ут, уп1
откуда р(лгя, уп) — р(хтУ j/J<pfe хт)-\-?(Ут> Уп)- Переставляя
значки т и п и пользуясь A), получим р(хт, ут) — р(хп, уп) ^
^р(хл, хт) -f- P (ут> Уп)- Из последних двух неравенств следует:
IР [хп> Уп) — Р {хт, ут) | < р (хп) хт) + р (ут, Уп).

85J	ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА	277
При беспредельном возрастании тип правая часть стремится
к нулю, и, следовательно, для числовой последовательности р (хп> уп)
выполнен признак Коши существования предела, что и требовалось
доказать.
Распределим все фундаментальные последовательности на классы,
а именно, отнесем к одному классу такие фундаментальные после-
последовательности хп и х'п, для которых р (хп, х'п) -> 0. Если хп и хП)
а также хп и х'п входят в один класс, то хп и х"п входят в один
класс, ибо из р(хп, х'п)->0 и р(хп, х'п')-+0 следует, в силу Bt),
что р {х'п> Хп) —* 0. Для последовательностей хп и уп, входящих в
разные классы, предел р (хп, уп) будет отличным от нуля (положи-
(положительным). Из B) следует также, что если последовательность хп
имеет в X предел лг0, то любая другая последовательность х'п того
же класса также сходится и имеет тот же предел х0. В силу
непрерывности расстояния, последовательности, входящие в различ-
различные классы, не могут иметь одного и того же предела. Указанные
классы фундаментальных последовательностей разобьются, таким
образом, на два типа. Опишем сначала классы первого типа. Пусть
х0 — какой-либо элемент X. Мы будем иметь класс последователь-
последовательностей, имеющих предел, равный лг0. К этому классу принадлежит,
например, последовательность хп) у которой все элементы равны х0.
Для всякого х0 будет свой класс последовательностей. Классы вто-
второго типа состоят из последовательностей хп, не имеющих предела
в X. Если X—полное, то классов второго типа нет. Пусть X —
не полное пространство. Построим теперь новое метрическое про-
пространство Ху за элементы которого примем указанные выше классы
фундаментальных последовательностей X. В X надо ввести еще
понятие расстояния и проверить справедливость его трех основных
свойств. Пусть х и у — два элемента X. Возьмем из соответству-
соответствующих им классов последовательностей две какие-либо последова-
последовательности zn и уп и определим р (х, у) формулой
Покажем, что неотрицательное число р (л:, у) не зависит от
выбора хп и уп из классов, соответствующих х и у. Пусть х'п и
у'п — какие-нибудь последовательности из этих классов и pf (x, у) =
= \1тр(х'пу у'п). Нам надо доказать что р' (х, у) = р(ху у). В силу
(: р (хп, уп) < р (хп9 х'п) -f р {хпу у'п) + р (у'п, Уп\
Принимая во внимание, что р (хп, х'п) ->¦ 0, р (у'п, уп) -> 0 и пере-
переходя в написанном неравенстве к пределу, получим p(Je, y)^
^р'(х, у). Совершенно аналогично можно получить рг (х, у)^
^р(х, у) и тем самым pf(x, y) = p(x, у). Таким образом, фор-
формула D) определяет однозначно р (х} у). Проверим теперь три
основных свойства. Очевидно р(х, у)^0*

278	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[85
1)	Пусть р(х, у) = 0у т. е. р (хп, уп)->0. Отсюда следует, что
последовательности хп и уп из одного класса, т. е. х=у.
2)	Свойство р (х,у) = р(у, х) непосредственно следует из
Р(*я. Уп) = Р(Уп* Хп)'
3)	Выбираем из классов последовательностей соответствующих х> у
и z последовательности хп> уп и zn. Имеем
, г) = lim p (xn, zn) < lim [p (хПУ уп) -{-
п —> оо	/I -¦ оо
Уп> Zn)\ < Р (*, j>) + Р ( j> > *)•
Пусть элементу ? соответствует класс первого типа и лг0 есть
предел последовательностей этого класса. Мы можем отождествить
такой элемент х из X с указанным элементом х0 из X. Элементы
х, которым соответствуют классы второго типа, являются теми
элементами Ху которые не входили в X. Если х и у — элементы
соответствующие классам первого типа, a xQ и у0 — отождествленные
с ними по предыдущему элементы из X, то в формуле D) можем
тюложить хп = х0 и уп =у0 при всяком п и получим
Р С*» У) = Нт р (х0, у о) = р (аг0, ^0)>
п -* оо
т. е. для элементов, входящих в А", новое расстояние совпадает с
прежним. Если х соответствует классу первого типа (х0 — соответ-
соответствующий элемент X), а у — второго типа, то формула D) дает
р(лг, у)= lim p(*0, уп).
п ~* со
Покажем еще, что если последовательность хп вхо-
входит в класс, определяющий элемент х, то р(ху хп)-> О
при л-> оо.
Мы имеем по определению р (х, хп) = lim p (хт, хп). Но, в силу
т -* оо
того, что хп — фундаментальная последовательность имеет место C)
и р (ху хп) ^ s при п ^ N9 т. е. р (ху хп) -> 0 при п-> со.
Покажем теперь, что X плотно в X, т. е. если х — любой эле-
элемент X и е — любое заданное положительное число, то существует
такой элемент х из X, что р (х} х) ^ е. Если элементу х соответ-
соответствует класс первого типа и х отождествлен с элементом х0 из А\
то при любом е ^> 0 мы можем положить х = л:0, ибо р (ху х0) =
= р (лг0, хо) = О. Пусть х не входит в Х> и ему соответствует фун-
фундаментальная последовательность хп. Фиксируем такое т, что
р(хпУ хт)^г при п^Шу и покажем, что можем положить х = хт.
Действительно, р (дг, хт) = lim p (xni хт) и, в силу р {хп, хт) < s
п -* оо
при п^Шу получаем р (л:, хт) ^ е.

85)	ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА	279
Докажем теперь, что X есть полное пространство.
Пусть хп есть фундаментальная последовательность в Х> т. е.
р (Зсгл, хт)^г при п и m^N. Надо доказать, что в X существует
такой элемент х, что р (х, хп)-+0 при л-^оо. В силу доказанного
выше, при любом п существует такой элемент хп из X, что
p(xni хп)^—. Нетрудно видеть, что последовательность хп эле-
элементов X суть фундаментальная:
^ Г + ~т~ + р (*"' ^
Последовательность хп входит в некоторый класс, определяющий
некоторый элемент х из X. Покажем, что р (х, хп) —> 0. Это сле-
следует из неравенства
Р(*, хп)^р(х, хп)-\-р(хп, хп)^р(х, *,*) + —
и того, что р (ху хп) -> 0, как это мы видели выше. Полнота
X доказана.
Докажем еще теорему об единственности пополнения метричес-
метрического пространства X.
Теорема. Пополнение пространства X, при котором X плот-
плотно в новом пространстве, единственно с точностью до изомет-
рии.
Пусть У — полное метрическое пространство, содержащее Х> и
в котором X плотно. Нам надо доказать, что У изометрично X, При
этом предполагается, конечно, что расстояние между двумя элемен-
элементами из У у принадлежащими Ху такое же, что и в X. Пусть у —
некоторый элемент К. Поскольку X плотно в К, существует такая
последовательность элементов хп из X, что р(_у, хп)^>0 в К, и
тем самым хп — фундаментальная последовательность в К и в А\
Этой последовательности соответствует определенный элемент х из
А\ Нетрудно видеть, что х не зависит от выбора хп, важно лишь,
что р(_у, хп)-+0. Приведем х в соответствие указанному элементу
у из У. Пусть теперь у нас имеется определенный элемент 5? из X.
Берем какую-нибудь определяющую его последовательность элемен-
элементов хп из X. Она является фундаментальной в полном простран-
пространстве У и тем самым определяет элемент у' из У. Нетрудно
видеть, что у не зависит от выбора последовательности х'П1 важно
лишь, что она определяет х*. Приводим у' в соответствие с .V.
Таким путем, как легко видеть, мы устанавливаем биоднозначное
соответствие между элементами У и X. Остается доказать, что

280	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[85
Это следует из определения р (х, хг) в X и непрерывности рас-
расстояния в У:
р(лг, х') = lim р(лг„, х? = р(у, У).
Мы подробно остановились на пополнении метрического простран-
пространства, поскольку в приложении теории метрических пространств этот
процесс играет существенную роль, и он позволяет ограничиваться
рассмотрением полных пространств. Приведем три простых примера.
Ь Пусть А'—пространство всех вещественных рациональных чисел
х, у, -г,..., причем расстояние определяется формулой р(дт, у) =
= | х—у\. Очевидно, что р(х, у) удовлетворяет всем трем усло-
условиям, входящим в определение метрического пространства. Возьмем
некоторую фундаментальную последовательность вещественных рацио-
рациональных чисел хп. По признаку Коши она обязательно имеет пре-
"дел, но если этот предел есть иррациональное число, то последо-
последовательность хп в X не имеет предела, и, следовательно, X есть
неполное пространство. Его пополнение вводит еще и все иррацио-
иррациональные числа, и пространство X всех вещественных чисел есть уже
полное пространство.
2. Рассмотрим пространство С всех вещественных функций
x(t), y(t), z(t),...t непрерывных на конечном промежутке [а, Ь]} и
определим расстояние р(лг, у) формулой [14]:
)= m^x \x(t)— y(t)\.
а< t ^ b
Нетрудно проверить допустимость такого определения р (х, у).
Сходимость р(хгхп)-> 0 есть в данном случае равномерная сходи-
сходимость xn(t)->x(t) на промежутке a^t^b, и если \xn(t) — xm(t)\->0
при п и т -> сю, то существует такая непрерывная функция x(t),
что xn(t)->x(t) равномерно [I; 144], т. е. С—пространство полное.
3. Рассмотрим теперь пространство F тех же непрерывных
функций на промежутке (я, Ь), но с другим определением рас-
расстояния:
Р (х, У) = | | \х @ -у (О]2 Л]т.	E)
а
Оно также является допустимым. Возьмем фундаментальную по-
последовательность {хп (t)) из F:
ъ
\ хп @ — хт (t) \ dt -> 0 при п и т -> со.
о
Она имеет предел в смысле метрики E) [56], но предельная
функция может быть любой функцией из L2, поскольку непрерыв-

85]	пополнение метрического пространства	281
ные функции повсюду плотны L2 [60]. Если предельная функция
не эквивалентна непрерывной функции, то такая фундаментальная в F
последовательность не имеет предела в F, т. е. пространство F
неполное. Его пополнение дает функции из 12> не эквивалентные
непрерывным функциям, и превращает F в L2.
Вместо функции одной переменной мы могли бы рассмотреть мно-
множество функций я-переменных x(tb ?2,..., tn), — непрерывных на огра-
ограниченном замкнутом множестве я-мерного пространства.
Отметим еще раз, что при пополнении конкретного метрического
пространства важно уметь истолковать конкретный смысл новых
элементов, получающихся при пополнении. В последнем примере
это функции из L2, не эквивалентные непрерывным функциям. От-
Отметим еще, что, как мы видели выше, пространство А2 можно рас-
рассмотреть на любом измеримом множестве. Мы рассмотрели случай
ограниченного замкнутого множества, поскольку исходили из про-
пространства F непрерывных функций.
Укажем одну теорему, которая имеет место в полных метриче-
метрических пространствах. В дальнейшем открытую сферу в X с центром
х \\ радиусом г будем обозначать S(xyr) и замкнутую сферу S(x,r).
Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве X имеется
такая последовательность замкнутых сфер S(xn,rn)(n = 1, 2,...),
что каждая последующая сфера принадлежит предыдущей и
радиусы гп-*0 при п-+оз. При этом существует точка, при-
принадлежащая всем S(xn, rn), и такая точка единственна.
По условию S(xn+p,rn + p)cz~S(xn9rn)(py>0), и, следовательно,
Р (хп +р> хп)^ 2гп при всяком р^>0, т. е. последовательность хп
фундаментальна, и, в силу полноты X, хп имеет предел, который
обозначим х0. Возьмем какую-либо фиксированную сферу S(xn, rn) и
покажем, что xQ ? S (хп, гп).
Действительно, все элементы последовательности xnixn + i,...,
имеющей х0 пределом, принадлежат S(xn, rn) по условию теоремы,
и, поскольку ~S{xn, rn) есть замкнутое множество, и х0 ? S(xn, rn).
Предположим теперь, что существует элемент х'о, принадлежащий
всем S(xn, rn). Докажем, что х'0 = х0. Так как х0 и х'о принадлежат
всем S(xn,rn), то р (лг0, х'о) < р (х0, хп) + р (хт х'о) < 2гп. В пределе это
неравенство дает р (дг0, х'0)^0, т. е. р(хо> х'0) = 0, откуда следует,
что х'о совпадает с х0. Теорема доказана.
Отметим еще, что всякое замкнутое множество U полного
метрического пространства X есть также полное метрическое
пространство (при этом предполагается, очевидно, что расстояние
р (х> у) в U равно расстоянию между х и у в А"). Сказанное выше
непосредственно следует из того, что всякая фундаментальная в U
последовательность хп имеет предел в X, и этот предел должен
принадлежать U, поскольку U—замкнутое множество.

282	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[86
86. Операторы и функционалы. Принцип сжатых отображе-
отображений. Пусть даны два метрических пространства X и X'. Соответствие
х' = Аху относящее элементам х из X определенные элементы х'
из Х\ называется оператором, действующим из X в Х\
Оператор может быть определен не во всем X. Множество элемен-
элементов х из Ху на которых определен оператор Л, называется обла-
областью определения А и будет обозначаться нами через D(A).
Множество значений Ах будем обозначать через R(A). Это — некс-
торое множество элементов Х\ Если R(A) есть все А", то урав-
уравнение
х' = Ах	F)
имеет при всяком х' из Хг по крайней мере одно решение. Поле-
Полежим, что А устанавливает биоднозначное соответствие между D и R,
т. е. что при различных х из D(A) получаются согласно F) раз-
различные х' из R(A). В этом случае уравнение F) имеет при всяком
х' из R(A) единственное решение из D(A).
Частным, но весьма важным случаем операторов являются ф у н к-
ц и о н а л ы. Так называются операторы в том случае, когда X' есть
пространство вещественных чисел при указанном в [85] определе-
определении расстояния р (х\ У) = | х'—у'\. Иногда берут и пространство
всех комплексных чисел при том же определении расстояния.
Приведем один признак однозначной разрешимости уравнения
х — Ах = 0 для того случая, когда X' совпадает с X.
Теорема (принцип сжатых отображений). Если оператор
А отображает полное метрическое пространство X в себя,
D (А) = X и для любых х и у из X:
р(Ах,Ау)^ар(х,у),	G)
где а — число, удовлетворяющее условию 0<^а.<^1, то уравне-
уравнение х = Ах имеет одно и только одно решение. Это решение
может быть получено как предел последовательности
х2 = Ахь лг3 = Ах* *ь = Ах%, ...,	(8)
построенной при любом выборе исходного элемента Х\.
В рассматриваемом случае D(A) = X и R(A)czX. Мы имеем
р (дгя, хп + 0 = р (Ахп _ ь Ахп) ^ ар (хп _ ь хп).
Применяя эту же оценку к р (лгл_j, хп) и т. д., получим р(хп,
^ап~ *р (jci, x.2)(n= 1, 2,3, ...), откуда следует при т^>п:
*п + l) + Р С*я + 1» *л + «) + - + Р (хт - 1> *
Принимая во внимание, что р(хп, х„) = 0 и р(х„у хт) = р(хт, хп)>
видим, что р (хп, хт) —* 0 при п и т — оо. В силу полноты X пос-

87]	примеры	283
ледовательность хп имеет предел, который мы обозначим х^(хп ==>дг0).
Покажем, что Ах„=>Ах0:
ибо р (х„_х, хо)—+ 0. Переходя в равенстве хп = Ахп_х к пределу,
получим Хц = Ах0. Остается показать, что решение уравнения х = Ах
единственно. Пусть х? есть решение указанного уравнения: х' = Ах'.
Надо доказать, что х' = х0. Имеем р (лг0, х') = р (Ах0> Ах') ^ ар (лг0 лг'),
т. е. A—а)р(лг0, х') = 0, откуда р (х0, лг') = 0, и, следовательно,
хг совпадает с х0. Теорема доказана.
Замечание. Пусть U—некоторое замкнутое множество из X.
Если D(A) есть ?/, R(A)czU и выполнено условие G)@<^а<^ 1),
то теорема имеет место, причем лг0 ? ?/, и всякое х\ удовлетво-
удовлетворяющее уравнению х' = Ах'у совпадает с лг0. При этом считается,
что х' ^ U, ибо А определено в U.
87. Примеры. Прежде чем переходить к примерам применения принципа
сжатых отображений, приведем примеры полных метрических пространств.
1.	Пространство Rn всевозможных последовательностей п вещественных
чисел. Расстояние между элементами х (аи а2, ..., ап) и у (bu b2j..., bn) из Rn
определяется следующим образом:
.	О)
Можно определить и комплексное пространство Rn последовательностей п
комплексных чисел. В формуле для расстояния (9) надо заменить (ak — bk)*
на \ak — bk |2. Это замечание относится и к дальнейшим примерам пространств
последовательностей или функций.
2.	Пространство т бесконечных последовательностей чисел х (аи a2i...),
ограниченных в совокупности, т. е. для каждого элемента х из т существует
такое положительное число тх, что | at \ ^ тх при всяком /.
Формула для р (х} у):
k
Сходимость в т равносильна покоординатной сходимости, равномерной
относительно номера составляющей.
3.	Пространство s всех бесконечных последовательностей чисел, причем
2
Допустимость такого определения р (х, у) может быть проверена так же,
как это мы сделаем ниже для аналогичного функционального пространства S.
В пространстве s, как и в Rm сходимость равносильна покоординатной
сходимости.
4. Пространство 1р (р ^ 1) бесконечных последовательностей комплексных
чисел я^ таких, что

284	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[87
причем
[	L
У\Ч-Ьк\АР .	A3)
J
Правило треугольника получается из неравенства Минковского для сумм
при р> 1 [62] и очевидно при р= 1.
5.	Пространство С функций ср (х), где х— точка л-мерного пространства Rm
непрерывных на некотором ограниченном замкнутом множестве %у причем
Р (?, ф) = max | у (х) - if (х) |.	A4)
6.	Пространство М функций ср (дг), определенных на некотором измеримом
(по Лебегу) множестве % из Цп. Эквивалентные функции отождествляются, и
всякая функция из М ограничена (или эквивалентна ограниченной).
Определение расстояния:
Р(ср, ф)= in! sup |<р(лг)-<К*)|.	A5)
т(%0) = 0% — So
Смысл этого определения следующий: исключаем из | какое-либо мно-
множество %0 меры нуль, определяем точную верхнюю границу | ср (х) — ф (л:) |
на оставшемся множестве % — g0, выбираем указанное множество %0 всеми
возможными способами и определяем точную нижнюю границу полученного
множества неотрицательных точных верхних границ sup \у(х) — ф (•*) I* Иногда
©	®
© — ©о
вместо A5) пишут
A6)
Если % — ограниченное замкнутое множество, то С — часть М и р (ср, ^)
для D то же, что и для М, т. е. С изометрично части М.
7.	Пространство «S всех функций ср (х)у измеримых на измеримом точечном
множестве % конечной меры из Rm причем
Здесь и в дальнейшем будем подразумевать меру и интеграл Лебега в со-
соответствующем Rn.
8.	Пространство Lp(%)(p^\) функций <р (л:), измеримых на измеримом
множестве % и таких, что
причем
Р (Ь W = I \ I 9 (*) — Ф (*) lp^ IT .	A8)
Имеют место указанные в аксиомах свойства р (ср, ф) [62].
9. Пространство V [а, Ь\ функций ср (л:) ограниченной вариации на замкну-
замкнутом промежутке а ^ х ^ Ь} непрерывных справа во внутренних точках этого
промежутка и равных нулю при х = а, причем

87]	примеры	285
Если отбросить требование <р (а) = О, то р (<р, 6) определяется следующим
образом:
р(?, Ф) = |<р(в)-ф(в)| + 1?|у(дс)-<К*)|.	B0)
а
При этом пространство расширяется, и первоначальное пространство изо-
метрично части расширенного.
Все указанные выше пространства полные.
Для Lp и 1р полнота была доказана. В других случаях доказательство
полноты не представляет труда, и мы его не будем приводить.
Остановимся подробнее' на пространстве S. Принимая во внимание, что
со (t) = . = 1—1—7—: возрастает при t^O, мы можем написать
и отсюда следует аксиома треугольника для S. Покажем теперь, что сходи-
сходимость в «S равносильна сходимости по мере.
Пусть срЛ (х) -> ср (х) по мере на g. Докажем, что р (ср, срп) —* 0. Введем
множества %п (Ь) = g [ | ср (х) — срл (*) | ^ 5]. По условию т [%п (Ь) ] — 0 при
л—* оо и любом фиксированном 5 ^> 0. Мы имеем
откуда, принимая ио внимание возрастание функции <о (t) и тот факт, что
I Ч (А') — <P/iWI<' на множестве g — gn E), получим
Р (?, <Р») ^ '" 18» E) ] + -уцгь т (»)•
Пусть задано положительное число е. Можно фиксировать 5 >. 0 так,
чтобы иметь ш (g) ^ тг. Далее существует такое Л^, что т [%п (Ь)] ^ -~-
при п^ N, и, следовательно, р (ср, срл) ^ е при п ^ iV, т. е. р (ср, срп) —* 0. По-
Положим теперь, что р (ср, срЛ) —* 0, и докажем, что срп (х) —> ср (х) по мере на %,
Мы имеем, в силу сказанного выше относительно оо (t), что \у(х) — <РяМ1:
••[l+l?W-?nWM^5:(l +4. если х{ %п(Ъ).
Таким образом,
где 5>0 считаем фиксированным. По условию р (ср, срл) —* 0, и из последнего
неравенства следует, что т [%п (Ь) \ — 0, что и требовалось доказать.
Пользуясь теоремой из [44] и доказанным выше, можем утверждать,
что если р (ср, <рп) — 0 в 5, то существует такая подпоследовательность срл^ (л*),
что 9nk (х) —* Т М почти везде на %. Полнота S может быть доказана совер-
совершенно так же, как и для L*.
При построении функциональных пространств Lpi M и 5 мы могли бы
применять меру и интеграл Лебега-Стилтьеса.

286	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[88
88. Примеры применения принципа сжатых отображений.
1. Рассмотрим систему «-уравнений с п неизвестными:
п
(/=*7,2,...,я)
где X — численный параметр. Будем рассматривать правые части, как опера-
оператор Ах из Rn в Rn> примененный к элементу Л"(:ь та, .. ., ^п) и действующий
во всем Rn. Из неравенства Коши получим
!
"
Таким образом, принцип сжатых отображений будет применим в Rm если
1
~ 2
,k=\ J
2. Рассмотрим бесконечную систему уравнений
(/=1,2,3....),
причем мы считаем, что последовательность (Ьи Ь2. ...) есть элемент т. Если
оо
SUP S I а*Ь I = C
есть конечное положительное число, то правые части B2) дают оператор А
из m в ш, определенный во всем w, и принцип сжатых отображений приме-
применим, если | X | с < 1. Если (Ьи Ь2, ...,) есть элемент /2 и
то правые части B2) дают оператор из /2 в /2, определенный во всем /2, и
принцип сжатых отображений применим, если |Х|*/<1. Отметим, что един-
единственность решения имеет место в указанных пространствах, но могут су-
существовать решения, не принадлежащие этим пространствам.
3. Рассмотрим интегральное уравнение (одномерный случай)
о
= А l\fK(x,t)f(t)dt+f(x),
B3)
где [а, Ь\ — конечный промежуток и АГ(лг, t) непрерывна в квадрате Q(a ^ ^;
a^it^b). Если f(x) непрерывна на [в, ft], то правая часть B3) есть опера-

38)	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ	287
тор из С [а, Ь] в С [я, Ь\, определенный во всем С, и принцип сжатых отобра-
отображений применим к уравнению B3), если
ь
|Х| max С \K(x,t)\dt<\.
Если К(х, ()Щ на Q и f(x)(; L2 на [а, Ь] (в данном случае промежуток
может быть и бесконечным), то правая часть есть оператор из L2 [a, b\ в
Z.2 [a, b], определенный на всем L2 [a, b], и принцип сжатых отображений при-
применим к уравнению B3), если
l
ь ь
\К(х, t)\2dxdt
Сказанное выше справедливо и для многомерных интегральных уравнений,
4. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение:
Ч(х) = \ \ K[x,t,<i(t)\dt,	B4)
где [а, Ь\ — конечный промежуток, K(x,t,z) — непрерывная функция своих
аргументов при а ^ х ^ b, a =<С ? ^ b и | z | <с С, где С — данное положи-
положительное число. При любом выборе функции ср (t), непрерывной при a ^.t ^.b
и удовлетворяющей условию | ср (t) \ ^ С, К[х, t, ср (t) ] — непрерывная функ-
функция (х, t) в указанном выше квадрате Q. Пусть | К (х, t, z) \ ^ d при {х, t)^Q
и \г\^С. Если \\\d(b — а)^С, то правая часть B4) есть оператор Лср
в С [а, Ь], у которого D (Л) есть сфера р @, ср) ^ С, где 0 есть непрерывная
функция, равная нулю на [а, Ь], и R (Л) принадлежит этой же сфере. Отметим,
что неравенство р @, ср) ^С С можно записать в виде | ср (х) \ ^ С. Положим,
кроме того, что ядро К(х, ty z) по третьему аргументу удовлетворяет усло-
условию Липшица, т. е.
| К (х, t, zt) — К (х, t, z2) | ^ N | Zi — z21,
если (x, t) ? Q, a \z\\ и | z2 \ ^ С. При этом
и, следовательно, при соблюдении условий
\\\d(b-a)^C и \\\N(b — a)<\
к уравнению B4) применим принцип сжатых отображений в указанной выше
сфере. Это уравнение имеет единственное решение в указанной сфере, кото-
которое может быть построено по методу последовательных приближений при
любом выборе начального приближения cpt (x) из этой сферы. Рассмотренный
метод дает равномерную сходимость приближений к решению на промежут-
промежутке [at b].
5. FlycTbD — область трехмерного пространства, ограниченная поверхностью
Ляпунова S. Рассмотрим краевую задачу для эллиптического уравнения:
Аи —If (x, yt z, и) = 0 внутри (D),	B5)
и|,=0,	B6)
где А — оператор Лапласа. Мы считаем, что f(x,y, z, и) непрерывна в четырех-
четырехмерной замкнутой области пространства (х, у, z, и), соответствующей

288	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[89
изменению (х,у, г) в замкнутой области D при \и\^С, и имеет непрерывные
производные по своим аргументам внутри этой области, причем эти производ-
производные непрерывны вплоть до ее границы. Положим далее, что \f(x,у, z, u)\^d
при (x,y,z)?D и | и | ^ С и
\/(*,У, z> tli)—f{X,y} Z, U2)\ ssgN| Wi —Иа|
при указанных условиях (| «i | и | и21 ^ С). Пусть G (х, у, z\ 5, т\, С) — функ-
функция Грина оператора Лапласа для области D при предельном условии B6)
[IV; 220]. Введем точки Р (х, у, z) и Q C, tj, С) пз Z). Решение задачи B5) и
B6) равносильно решению интегрального уравнения
u(Q)\d-Q	B7)
в пространстве С (D) функций и (Q), непрерывных в D [IV, 224]. Известно,
что G (Р; 0)^0 в D [IV, 221], и существует конечный
max
p? D
D
Если | X | Go d ^ с, то правая часть B7) есть оператор в С (D), у которого
D (А) есть сфера р @, и) <; с в С (б), (т. е. | и (F) | <; с в D) и R (А) принад-
принадлежит этой сфере. Принцип сжатых отображений применим к уравнению B7),
если | X | NG0 <Z 1. Таким образом, при выполнении условий
| X | God < с и | X | М?о < 1
задачи B5) и B6) имеет в сфере | и (Р) | ^ с одно единственное решение. Оно
может быть получено по методу последовательных приближений, применен-
примененному к B7) при любом выборе начального приближения из указанной сферы, и
приближения сходятся равномерно к решению в D-
89. Компактность. Мы вводили раньше понятие компактности
для одного частного случая [IV; 36]. Сейчас мы рассмотрим это
понятие для общего метрического пространства X. Множество U
элементов X называется компактным в пространстве X или
просто компактным, если любая последовательность элементов
хп из U содержит сходящуюся подпоследовательность. Если, кроме
того, U замкнуто, то оно называется компактным в себе.
Нетрудно видеть, что ограниченность множества U есть необходи-
необходимое условие его компактности. Действительно, если U неограничено,
то существует такая последовательность хп из U, что р (а, хг) —>•
-> -f- со, где а — какой-либо фиксированный элемент. Из этой последо-
последовательности хп нельзя выделить сходящейся подпоследовательности,
ибо всякая сходящаяся последовательность ограничена. Ограничен-
Ограниченность ?/является и достаточным условием компактности в Rn [IV; 15].
В общем случае метрического пространства это не имеет места, и
мы установим сейчас необходимое и достаточное условие компактности.
Введем сначала одно новое понятие. Будем говорить, что м н о-
жество U имеет конечную е сеть, где е — заданное положи-

89]	компактность	289
тельное число, если существует конечное множество xk(k = 1, 2,..., /)
элементов X таких, что для любого х из U найдется такой элемент
xs из указанных элементов, что р(х, х3)^г. Отметим, что элементы
xk могут и не принадлежать U.
Теорема. Для того чтобы множество U элементов полного
метрического пространства было компактным, необходимо и
достаточно, чтобы оно имело при любом г^>0 конечную г-сеть.
Необходимость. Предположим, что при некотором ео^>О
для U не г конечной ео-сети, и покажем, что U не компактно. Возь-
Возьмем некоторый элемент х{ ? U. Можно утверждать, что найдется
такой элемент х.г 6 U, что р {хь х.2) ^> s0. Действительно, в против-
противном случае мы имели бы р(х{у х)^е0 для всякого х ? ?/, и один
элемент х{ давал бы ео-сеть для U. Далее найдется такой элемент
дг3, что р(х(, дг3)^>е0 (/=1, 2), ибо в противном случае элементы
Х\ и х% давали бы ео-сеть для U и т. д.
Таким образом, получим бесконечную последовательность элемен-
элементов хп из U такую, что р(хр, xq)^>s0 при всех р ф q. Для любой
подпоследовательности xnk(k=\, 2,...) будем также иметь р {xnk>
Xnt )^>?o при пиФпь и> следовательно, никакая подпоследователь-
подпоследовательность для хп не может быть сходящейся, т. е. U не компактно.
Достаточность. Предположим, что U имеет конечную е-сеть
при любом s^>0, и пусть хп—-какая-либо последовательность эле-
элементов U.
Нам надо доказать, что из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Если при бесконечном числе значений п эле-
элементы хп совпадают с одним и тем же элементом у, то подпоследо-
подпоследовательность у, у, у,... есть сходящаяся подпоследовательность. Поло-
Положим, что указанное обстоятельство не имеет места. Тогда, оставляя
в последовательности хп из группы равных элементов только один
(например, элемент с наименьшим номером), мы получим последова-
последовательность различных элементов. Можно считать, что уже основная по-
последовательность обладает этим свойством. Фиксируем какое-нибудь
положительное число е. В силу существования для U конечной ~ се-
сети существует конечное число замкнутых сфер радиуса -х- таких, что
все элементы U, тем самым и все хп, принадлежат этим сферам.
По крайней мере одной из них принадлежит бесчисленное множество хп.
1 е \
Обозначим одну из таких сфер 5t f -H • Далее существует конеч-
конечное число сфер радиуса у2, которым принадлежат все хп из St D-).
Возьмем из них ту сферу S2 f-|2), которая содержит бесчисленное
множество упомянутых элементов. Точно так же существует сфера
^з (уз) радиуса -<&> содержащая бесчисленное множество элементов

290	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[90
лгл, принадлежащих одновременно Si (у) и &2(у2). Продолжая так и
дальше, получим бесконечную последовательность замкнутых сфер
Sk (щ) таких, что радиус Sk fi) есть ~ki и Sk (щ) содержит бесчис-
ленное множество элементов хп, принадлежащих одновременно всем
сферам Sm(^i) при m<^k. Из каждой из указанных сфер Sk\^)
мы берем по одному элементу хПк , причем можем считать п{ ^> nk
при l^>k. Таким путем у нас получается бесконечная подпоследо-
подпоследовательность хп.к последовательности хп. Принимая во внимание, что
для любых двух элементов х и у, принадлежащих одной и той же
сфере радиуса г, мы имеем, в силу аксиомы треугольника, р (х, у) ^ 2/%
можем утверждать, что
р (хП[ , Xnk)<: n?=i при nt > nk.
Отсюда, в силу полноты пространства, следует, что хпк есть схо-
сходящаяся последовательность. Теорема доказана.
Замечание 1. Для компактности достаточно наличие не конеч-
конечной, но лишь компактной е-сети при любом е ^> 0. Это зна-
значит, что при любом s ^> 0 существуют такие сферы радиуса е, содер-
содержащие все элементы U, центры которых образуют компактное
множество. Обозначим это множество центров через U^ Для Ux по до-
доказанной теореме (необходимость) существует конечная е-сеть, и из
аксиомы треугольника непосредственно следует, что эта сеть будет
конечной 2е сетью для U, откуда, в силу произвольности е и дока-
доказанной теоремы (достаточность), и следует, что U—компактное
множество.
Замечание 2. Отметим, что U может совпадать с X, так что
можно говорить и о компактности всего пространства X. Пользуясь
непрерывностью расстояния, легко доказать, что всякое компактное
пространство есть полное пространство. Тем самым всякое компакт-
компактное в себе множество U элементов X есть полное метрическое про-
пространство.
90. Компактность в С. Пусть С — пространство функций, непре-
непрерывных на конечном промежутке [а, Ь]9 и U—некоторое множество
элементов С. Мы видели, что ограниченность и равностепенная непре-
непрерывность функций, входящих в U, есть достаточные условия ком-
компактности ?/[IV; 16]. Докажем, что эти условия и необходимы. Пусть U
компактно. По доказанной теореме, при любом заданном в ^> 0 суще-
существует конечное число функций cpt (t), <р2@>---> ?р@ из С таких, что
для любой функции ср (t) из U имеем | ср (t) — cps (t) \ <:— при a^t ^b,

91]	компактность в Lp	291
где ср5 (t) — одна из указанных выше функций. Для всех этих функций,
поскольку их конечное число, существует такое положительное т], что
| при \h\^yl(k = \,2,...,p),
(t и t-\-h? [a, b])
причем у] зависит только от s.
Отсюда получаем
-?, (О Ж ?,@
При \h\^y\ все слагаемые правой части ^4-, и, следовательно,
| ср (^ —]— /г) — ср (t) | ^ е при | h | ^ т], и равностепенная непрерывность
функций, входящих в U, доказана. Их ограниченность непосредст-
непосредственно следует из того, что ограниченность U есть необходимое усло-
условие компактности [89]. Указанный критерий компактности совер-
совершенно так же доказывается для функций многих переменных, опре-
определенных на конечной замкнутой области из Rn. Если функции опре-
определены на ограниченном замкнутом множестве, то доказательство в
существенном то же.
91. Компактность в Lp. Рассмотрим пространство Lp функций
9 (х> У) на некотором измеримом ограниченном множестве S плоско-
плоскости (jc, у). В дальнейшем мы будем считать, что все эти функции
продолжены нулем во вне g и что интегрирование производится по
всей плоскости. Фактически интегралы будут сводиться к интегра-
интегралам по ограниченным измеримым множествам.
Теорема. Для компактности множества U элементов L»
необходимо и достаточно, чтобы все функции ср (х, у) из и
удовлетворяли следующим двум условиям:
1. Существует такое С^>0, что
= \ |cp(x, y)\pdxdy P =s^C (ограниченность), B8)
peplj
где I] ср i| — обозначение левой части неравенства B8). Эта величина
называется нормой ср (х, у) в Lp на g [62].
2. При любом заданном ?^>0 существует т}^> 0, одно и то же
для всех ср(х, у) из U> такое, что
1
!; bhky!! = V I ср (х 4- /г, у -4- ^) — ф (лг, v) |p(/jcrfy ^ ?
при Yti1 4- k* < т].	B9)

292
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[91
Мы знаем, что для всякой фиксированной функции из Lp при
заданном е^>0 существует т\ ^> 0 такое, что имеет место B9) (непре-
(непрерывность в среднем) [70]. Это же очевидно имеет место и для
конечного числа функций ср^ (х, у) (k=\, 2,..., п) из Lp. Доста-
Достаточно взять наименьшее из т], соответствующих каждой <?k(x* У)-
Свойство B9), которое должно иметь место для всех ср (х, у) из ?/,
можно назвать равностепенной непрерывностью в сред-
н е м всех функций из U. Отметим еще, что ср (х -f- h, у -f- k) — изме-
измеримая функция и ср (л* -)-/?, у -\- k) — ср (х, у) = 0 вне некоторого
ограниченного измеримого множества.
Необходимость указанных условий доказывается совершенно так
же, как и для С. Только везде абсолютное значение разности ср — ф
надо заменить на ||<р — ф|! = р(ср. ф) в Lp. Действительно, ограничен-
ограниченность B8), которую можно записать в виде р @, ср) ^ С, как мы
знаем, необходима для компактности. Далее из компактности следует
существование конечной — сети,
ций tyk(x, у) (k=\> 2,..., п) из
найдется такая
ствует 7]^0
т. е.
(дг, у), что || ср —
конечного числа таких функ-
что для любой у(х,у)? U
4"- ДЛЯ всех Фа (х> У) сУЩе"
такое, что выполняется условие
J при
(зо)
Далее пишем
k Ь I
+ I Т8(* + А. У + А) — <р, (at, JO I + I Т5 (х* У) — ? U, У) I
и, применяя при р^> 1 неравенство Минковского, получаем B9), в
силу C0) и || ср — <Ы!^4-. При /7=1B9) получается непосредст-
непосредственно.
Будем теперь доказывать достаточность условий B8) и B9).
Обозначим через срр (лг, у) среднюю функцию для ср(х, у) [71].
Мы имели формулу A78) из [71]. При любом
где Ci — постоянная. В силу условия B9) при любом заданном е^>0
существует тг]^>0, одно и то же для всех функций ®(х,у)? /У,
такое, что
она имеет вид
при
и неравенство C1) дает нам для любой ср(х, у) ?
C2)

91]	компактность в Lp	293
Норма слева берется по всей плоскости g^ (фактически по
ограниченному множеству). Тем более || ср — ?p!|g^e ПРИ Р^7!-
Фиксируя p^iq, мы можем утверждать, что функции срр (х, у) об-
образуют ?-сеть для множества U функций ср (х, у). Пусть Д (а ^ х <: Ь;
c^y^d) — промежуток, содержащий g. В силу условия B8) и тео-
теоремы 3 из [71] можно утверждать, что множество срр (х, у) ком-
компактно в С на А и, тем более, компактно в Lp на g>. Таким образом,
функции срр (х, у) образуют компактную е сеть для U и, в силу
произвольности е, можно утверждать, что множество U компактно.
Достаточность B8) и B9) доказана.
Рассмотрим теперь тот случай, когда g> есть полная плоскость j&oo.
Предыдущее доказательство уже теряет силу, ибо множество функ-
функций срр (х, у) может оказаться некомпактным. Необходимость усло-
условий B8) и B9) для компактности доказывается, как и выше. Но эти
условия недостаточны. К ним надо добавить еще одно условие,
а именно: для любого заданного ?^>0 существует такое положи-
положительное УУ, одно и то же для всех функций ср(х, у) из U, что
J \<?(x, y)\P dxdy^ep,	C3)
где Ат есть промежуток (—т^х^т\ —т^у^т). Отметим,
что если условие C3) выполнено для некоторого N} то оно сохра-
сохраняется и при увеличении N.
Докажем необходимость условия C3). Если множество U ком-
компактно, то для него существует конечная ~ сеть функций ср^(х, у)
(k = \y 2,..., п). Для каждой из этих функций выполняется усло-
условие C3) и ввиду того, что их конечное число, при любом задан-
заданном ?^>0 существует такое N} что
!?*(*> y)\pdxdy^^(k=\, 2,..., п).
9	Л
&оо а ft
Возьмем какую-либо ср (jc, j/) G U> Найдется такая функция ср5(дг, у),
что ||ср — cpjjg ^y. Из неравенства
неравенства C4) и |<р — <pJ8oo_д^<||<р — ъН^Ъ следует
1
l!?!lgoo_AA.=[ J ivix.yWdxdyy^-l + ^t,
что и доказывает C3) для любой ср(х, у) g U.

294	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[91
Докажем теперь достаточность условий B8), B9) и C3). Пусть
для функций ср (х, у) ? U эти условия выполнены и cpt (л:, у),
?* (х, У)> • • • — любая последовательность функций из U. Надо дока-
доказать, что из нее можно выбрать подпоследовательность, которая схо-
сходится в Lp на goo. Из B8) и B9) следует, что можно выбрать
подпоследовательность <р„A)(-*> jO> ?лA) (¦*» jO> • • •» которая сходится
в Lp на А,. Из этой последней можно выбрать новую подпоследова-
подпоследовательность ynl2)(x, y)f cfV2)(.xr, у),..., которая сходится в Lp на А.2,
и т. д. Составим подпоследовательность
<p*;liC*> jO» «р^'С*. Л «р^С*. j>). • • • .	C5)
которая является подпоследовательностью для основной последователь-
последовательности <рЛ (х, j/). Если /# — любое целое положительное число, то все
члены последовательности C5), начиная с у ш(х, у) принадлежат
той последовательности срлсл)(х, у), уп(т)(х, у),..., которая сходится
в Lp на Дш, т. е. последовательность C5) сходится в Lp на любом
конечном промежутке Am(/n=l, 2, ...). Докажем, что она сходится
в Lp и на goo. Рассмотрим интеграл:
I <tnf (х> У) — ?„<;>(-*, .у) Г ^ dy.
fooo— Am
Принимая во внимание очевидное неравенство | х -\-у |7 ^ 2? \ х \р-\-
~{-2р\у\ру получим
В силу условия C3), при любом заданном е^>0 существует
такое т, что сумма слагаемых правой части, кроме первого,
меньше ~- • Фиксируя такое т> получим
I!P J	, У) — ?яи(^	%
Но из сходимости последовательности C5) в Lp на Ат следует,
что стоящий в правой части интеграл не больше -у при всех доста-

92|	компактность в 1р	295
точно больших q и г, и, следовательно, существует такое М, что
\\уп(я) — 9n{^lSo^^p ПРИ ^ и г^Ж,
т. е. последовательность C5) сходится в себе в Lp (g^), и, в силу
полноты Lp(goo), эта последовательность имеет предел в Lp($oo).
Достаточность условий B8), B9) и C3) доказана. Легко убедиться
в том, что последнее условие не есть следствие двух первых.
Мы для определенности рассмотрели случай плоскости. Все ска-
сказанное, очевидно, справедливо и в любом пространстве Rn. Обозна-
Обозначая через х(хь х.ь ..., хп) точку этого пространства и вводя обоз-
обозначение dx = dxidxif..., dxb запишем условия B8) и B9) в виде
\<f(x)\'dx
р
C6)
— y(x)pdx\ <s при |_y|^r,,	C7)
где у имеет составляющие (уи уь ..., уп) и \у \ = Yy\-{-yi-\- ... -\-у%.
92. Компактность в 1Р. Докажем следующую теорему:
Теорема. Для компактности множества U элементов
1р (р ^ 1) необходимо и достаточно, чтобы все элементы х (%ь ?2, •••)
из U удовлетворяли следующим двум условиям:
1. Существует такое число С^>0, что
оо	J_
|| х\=\У | L | Ру <С (ограниченность).	C8)
2. При любом заданном е^>0 существует целое поло-
положительное пеу одно и то же для всех х ? ?/, такое, что
<«•	C9)
Необходимость. Ограниченность C8), как мы знаем, необхо-
необходима для компактности. Далее из компактности U следует существо-
существование конечного числа элементов xk(k = 1, 2,..., т) из 1р таких,
что для любого х ? U имеем: р(лг, xs)= \\х — ^5||^у> где xs
один из элементов xk. Для элементов xk(^, 5*,...)» поскольку их
конечное число, существует такое целое положительное л?, что

296	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[93
1
\P\~P-
что и доказывает необходимость условия C9). При /? ===== 1 доказа-
доказательство не использует неравенство Минковского.
Достаточность. Предполагаем, что элементы U удовлетво-
удовлетворяют условиям C8) и C9) и доказываем компактность U. Пусть
задано е^>0. Каждому элементу (?ь $2,...) из U сопоставляем уре-
урезанный элемент (?ь ?2,..., ^s_t, 0, 0,...), и пусть Ue — множество
этих урезанных элементов. Из C9) следует, что для любого х ? U
существует такой элемент у ? С/е, что \\х—_yj|^e, т. е. множество
Us есть е-сеть для U. Остается доказать, что Ue — компактное
множество [89]. Доказательство этого аналогично доказательству того,
что всякое ограниченное в Rn множество — компактно.
В силу C8) имеем | ?51 ^ С для любой составляющей элементов U
из U?. Мы можем из любой последовательности элементов Ut выбрать
подпоследовательность, у которой первые (пг — 1) составляющих
имеют конечный предел. Остальные составляющие этих элементов
равны нулю, и отсюда следует, что упомянутая подпоследователь-
подпоследовательность сходится в 1р к элементу, у которого все составляющие \s
при s^z пе равны нулю. Тем самым компактность U& доказана. Из
доказанной теоремы следует, что сфера |]je(j<:r в 1р не ком-
компактна.
93. Функционалы на компактных в себе множествах. Положим,
что функционал f(x), принимающий вещественные значения, опреде-
определен на компактном в себе множестве U метрического пространства X.
Он называется непрерывным, если из хп =i>jc0 следует 1(хп)—+>
Для таких функционалов имеет место теорема, аналогичная теоре-
теореме о непрерывных функциях на ограниченных замкнутых множест-
множествах пространства Rn.
и, применяя неравенство Минковского для сумм (р^> 1), получим
D0)

а-\	следует, что /(jcnfe)->a, откуда l(xQ) = a, что и требо-
требо93)	ФУНКЦИОНАЛЫ НА КОМПАКТНЫХ В СЕБЕ МНОЖЕСТВАХ	297
Теорема /. Если U—компактное в себе множество про-
пространства X и 1(х) — вещественный непрерывный функционал
на U, то он ограничен и достигает на U своей точной нижней
и верхней границ.
Будем доказывать только ограниченность снизу и достижимость
точной нижней границы. Ограниченность доказывается от об-
обратного. Если бы множество значений 1{х) было неограниченным
снизу, то существовала бы последовательность элементов хп из U,
такая, что /(хп)-> — сю. В силу компактности U, можно выделить
из хп сходящуюся подпоследовательность xnk ==>jc0 и, в силу
компактности в себе, х0 ? U. При этом, в силу непрерывности 1(х),
имеем 1(хпк)->1(х^, что противоречит l(xnk)-+ — оо, ибо 1(х0) —
конечное число.
Пусть а — точная нижняя граница множества значений / (х) на U.
При этом существует такая последовательность элементов хп ? U,
что а^1 (хп)^а-\—. Как и выше, можем считать, что xnk =>x0,
где х0 ? U, и, следовательно, l(xnk)->-l(xQ). Но из a^l(xnk) ^
валось доказать.
Выше мы ввели понятие нижнего и. верхнего пределов последователь-
последовательности вещественных чисел ап (п = 1, 2,...). Введем для них обозначения
S = l\man; Т = птап-
Эти пределы могут быть равны -\- сю или — сю.
Если последовательность ап имеет предел, то 5 и Т совпадают
с этим пределом. Кроме того, из определения S и Т следует, что
никакая подпоследовательность ank последовательности ап не может
иметь предела, который меньше 5 или больше Г, но есть хоть одна
подпоследовательность, которая имеет предел S, и такая, которая
имеет предел Т. Функционал 1{х) называется полунепрерывным
снизу на Uу если из хп ==>х0 следует, что \im/(xn)^l(x0), и
полунепрерывным сверху, если из хп ==> х0 следует
\Tml(xn)^l(x0).
Докажем важное в приложениях обобщение теоремы 1.
Теорема 2. Функционал 1(х), определенный на компактном
в себе множестве U метрического пространства и полунепре-
полунепрерывный снизу (сверху), ограничен снизу (сверху) и достигает на U
своей точной нижней (верхней) границы. Берем функционал, полу-
полунепрерывный снизу, и доказываем, как и в теореме 1, ограниченность
снизу. Предположение 1{хп)-^ — со приводит к подпоследователь-
подпоследовательности xnk i==>x0, где х0 ? U и l(xn]i)—+ — со. Но, в силу полу-
полунепрерывности снизу, \\т /(xnk)^ /(х0), где /(х0) — конечное число,
что противоречит l(xnk)—> — сю.

298	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[94
Пусть а — точная нижняя граница множества значений 1(х) на U.
Как и в доказательстве теоремы 1, получим подпоследовательность
xnk=>xQ и a^Z(Xnk)^aJr~• Из первого следует: U
k
^l(xQ)> а из второго lim l(xnk) = a, откуда 1(хо)^а. Но а—-
точная нижняя граница значений 1(х) и, следовательно, /(лго) = а,
что и требовалось доказать.
94. Сепарабельность. Метрическое пространство X, содержа-
содержащее бесчисленное множество элементов, называется сепарабель-
ным, если существует счетное множество элементов X: хь х%,...,
плотное в X, т. е. для любого х ? X и любого е ^> 0 имеется такой
элемент xs из упомянутого множества, что р (х, xs) ^ г.
Выше мы доказали сепарабельность 1р и Lp (p^\) [59, 60]. В
пространстве С упомянутое счетное множество есть, например, мно-
множество всех полиномов с рациональными коэффициентами. В про-
пространстве Rn таким множеством является множество элементов
(#!, а^у..., ап)у у которого все числа ak рациональны или (в случае
комплексного пространства) имеют вид ak = ak-\-^ki1 где ак и §k—
вещественные рациональные числа.
В пространстве 5 это множество есть множество элементов вида
(ах #2,..., ап> 0, 0,...), причем все ak — рациональные числа.
Покажем, что пространство т не сепарабгльно. Рассмотрим мно-
множество LJ различных элементов х (аь а.2,...) из т таких, что чис-
числа ak равны или нулю или единице. Считая, что ak есть &-ый знак
после запятой у числа, написанного по системе счисления с основа-
основанием два, мы видим, что множество U несчетно. Принимая во вни-
внимание сказанное в [1], легко видеть, что оно имеет мощность конти-
континуума. Для любых двух различных элементов х и у из U имеем
р (jc, у)=\. Пусть пространство т сепарабельно, т. е. имеется счет-
счетное множество xk(k=\, 2,...) элементов т> плотное в т9 и Sk —
сферы с центром xk и радиусом ^-. Множество этих сфер счетно,
и, по крайней мере, в одной из них принадлежит более одного
элемента U. Пусть у и z — различные элементы U, находящиеся в
одной из указанных сфер. Мы имеем: р(_у, z) ^2^-, что противоре-
о
чит р(х, у)=\, и несепарабельность т доказана.
Теорема. Всякое множество U элементов сепарабельного
пространства X сепарабельно.
Нам надо доказать существование конечного или счетного мно-
множества элементов ?/, плотного в U. В силу сепарабельности Ху име-
имеется счетное множество хп(п=\, 2,...) элементов X, плотное в X.
Через S(xn, г) обозначим сферу с центром х и радиусом г. Рас-
Рассмотрим сферы S(xn, -pi (?=1, 2,...), и, если какая-либо из этих

96]	ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	299
сфер содержит элементы U, выберем один из этих элементов. Таким
образом, получим конечное или счетное множество ит(т=\, 2,...)
элементов U. Пусть и — любой элемент U и е ^> 0 — заданное поло-
положительное число. Докажем, что, по крайней мере, для одного из
элементов ит выполняется неравенство [|м — ит||г^е. Мы можем
при этом считать е<^1, так что существует такое целое положитель-
положительное число /, что
В силу того, что множество хп плотно в Х} существует такое
п = п0, что || и — хп (!^4-<С~2"/> откуда следует, что сфера
S (хп , -л/1 содержит элементы U. Пусть ип — тот элемент U, кото-
который мы выбрали из этой сферы (он может и не совпадать с и). По-
Поскольку и и ип ? S\xn , -у/К имеем \и — ^rh^'W'i ^ ?> чт0 и тРе"
бовалось доказать.
95. Линейные нормированные пространства. Мы введем теперь
абстрактные пространства, которые являются метрическими, но обла-
обладают и другими свойствами. Элементы пространства будем, как и
выше, обозначать последними буквами алфавита х, у, z,..., а числа
первыми а, Ь, с,... . Эти числа можно считать или вещественными,
или комплексными. В первом случае мы имеем вещественное прост-
пространство, во втором — комплексное. Дальше, если не будет огово-
оговорено особо, мы будем рассматривать комплексные пространства.
Множество X элементов ху у, z... называется линейным
пространством, если его элементы удовлетворяют указанным
ниже аксиомам.
Аксиома А. Элементы X можно умножать на числа и скла-
складывать, т. е. если х и у элементы X и а — число, то ах и
х-\-у суть также определенные элементы X.
Указанные операции подчиняются следующим законам:
]	2)
3) а(х-\-у) = ах -f- ay\ 4) (a-f- b)x = ax-\-bx\
5) a (bx) = (ab) x\	6) \х = х\
7) если x-\-y = x-\-zy то y = z.
Введём понятие нулевого элемента. Пусть х и у — любые два
элемента из Н. Мы покажем сейчас, что 0х = 0у. Обозначим 0* = 9
и Oj/ = 0!. Пользуясь законами 4 и 6, можем написать

300	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[95
и совершенно аналогично j/ —[— GA =y. Далее, в силу законов 1 и 2,
имеем
и совершенно аналогично (x-{-y)-\-Ql = x-\-y, откуда следует,
что (x-\-y)-\-b = (x-\-y)-\-Qlf и, в силу 7, мы и имеем d=zbv
Таким образом, при умножении любого элемента на число 0 мы
получаем один и тот же элемент, который и назовём нулевым
элементом. Обозначим нулевой элемент символом б. Нетрудно
проверить следующие простые следствия указанных выше законов.
Произведение ад при любом комплексном а равно 6. Если ах = б и
а ф 0, то х = 6. Если ах = Ьх и х ф 6, то а = Ь. Если ах = ау
и а ф 0, то х=у. Символом (—х) обозначим произведение (—\)х.
Разность х —у определим формулой:
Нетрудно проверить, что и для разности справедливы обычные
правила алгебры. В дальнейшем нулевой элемент мы будем обозначать
просто символом 0. Это не вызовет путаницы с числом 0, если
внимательно относиться к тем равенствам, которые в дальнейшем
будем писать. Если одна часть равенства есть элемент <Y, а в дру-
другой части стоит 0, то его надо понимать как нулевой элемент X.
Определение. Элементы хи х%,..., хт называются линейно
независимыми, если равенство
С\Х\ -\~ cix2 -f" • • • "Ь Стхт = 0
возможно лишь в том случае, когда все числа ck(k = \, 2, ...,m)
равны нулю.
Для я-мерного комплексного пространства, рассмотренного нами
в третьем томе, максимальное число линейно независимых элементов
равно п. Иногда вводят аксиому, которая исключит возможность
конечномерного пространства.
Аксиома В. Для любого целого положительного п сущест-
существует п линейно независимых элементов. В дальнейшем она не
играет существенной роли. Введем еще одну аксиому.
Аксиома С. Каждому элементу х сопоставляется опре-
определенное вещественное неотрицательное число \х\ — норма
этого элемента, и эта норма должна удовлетворять следующим
трем условиям:
1) [|в|| = 0 и A*[|>0, при хфд
2) (!

951	ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	301
где а — любое число и \а\ — модуль а. Из второго и третьего
свойств нормы следует, что ||—л; Ц = ;| л; || и
!¦*-.у энными-	D0
Расстояние между элементами определяется формулой р (х, у) =
= 1\х—у\у и нетрудно видеть, что р (лг, у) удовлетворяет всем
трем условиям, указанным при определении метрического простран-
пространства, т. е. всякое линейное нормированное пространство есть в то
же время и метрическое пространство, так что для линейных нор-
нормированных пространств справедливо все то, что мы говорили о мет-
метрических пространствах. Норма может быть выражена через рассто-
расстояние очевидной формулой ||х|| = р(лг — 0).
Если присоединить требование полноты, то линейное нормирован-
нормированное пространство будем называть пространством типа В или
пространством #. Все дальнейшее относится к пространствам В.
Неполное линейное нормированное пространство можем пополне-
пополнением довести до полного [85]. Норма добавляемых элементов опре-
определяется формулой || jc !] = р (jc — 0). При пополнении сохраняются
все аксиомы и, в частности, аксиома А. Последнее следует
из непрерывности суммы х-\-у и произведения ах, о чем мы будем
говорить ниже. В дальнейшем будем иметь сходящиеся последова-
последовательности чисел и элементов. Для сходящейся последовательности
чисел будем, как и выше, писать ап—> а0, а для элементов хп = ^>х0.
Сходимость xn — ^>xQ равносильна \\х9—хп\\->0. Мы можем
рассматривать в В бесконечные ряды щ -\- щ -f- щ ~Ь • • • > где
uk? B(k=\t 2,...). Обозначим хп = их -\- щ -\- ... -f- un.
Если последовательность хп элементов В имеет предел х0, то
говорят, что указанный ряд сходится и имеет сумму х0.
Покажем, что выражения х-\-у и ах непрерывны, т. е.
если хп=>х0> yn=>yQ и а„->я0, то xn-\-yn=>xQ-{-y0 и
апхп =^> аохо. Мы имеем
Правая часть стремится к нулю, а следовательно, и левая, т. е.
хп-\-Уп = ^>хо~\-Уо- Разность аохо — апхп пишем в виде а^х0 —
— апхо + апхо — апхп> имеем
I!	I	+1	||
и, принимая во внимание, что из ап -> а0 следует ограниченность | ап |,
видим, что правая часть стремится к нулю. Отметим еще, что если
xn = ^>xQy то || хп || -> || х01. Это следует из формулы ; хп || = р (хп, 0)
и непрерывности расстояния. Определим линеал в й: множество

302	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[96
элементов U называется линеалом при соблюдении условия: если
xk 6 U(k=\, 2,..., т), то и их любая линейная комбинация схх{ -f-
-f- с2дг2 -(-... -[- стхт 6 U* Достаточно убедиться в том, что если х
и у ? U, то jc -f-j/ ? U и ах ?¦ U при любом выборе числа а. Полагая
а = 0, видим, что нулевой элемент принадлежит всякому непустому
линеалу. Замкнутый линеал будем называть подпространством.
Нетрудно видеть, что если U — незамкнутый линеал, то замкнутое
множество U есть подпространство, т. е. замыкание линеала
приводит к подпространству. Это вытекает из доказанной
выше непрерывности выражений х-\-у и ах. Если множество U не
линеал, то, образуя всевозможные конечные линейные комбинации
сххх -\- с^Хъ -{-... -f~ cmxm элементов xk (j U, получим новое множество
элементов V, которое будет уже линеалом. Оно называется обычно
линейной оболочкой /У. Это— наименьший линеал, содержащий ?/.
Если хх х2,... хк — линейно независимые элементы, то множе-
множество U элементов В, представимых формулой х = cxXi -f- с^х^ -|- ... ~\-
-j- ckxk при всевозможном выборе чисел cs, является, очевидно, ли-
линеалом. Легко показать, что этот линеал — замкнутое множество
(подпространство). В силу линейной независимости xs представление
х указанной выше формулой единственно. Такой линеал называется
обычно конечномерным. Можно выразить все элементы U по фор-
формуле: * = fij/i + c*j/4+•••-}- ckyki где ys(s=\, 2,..., k) — любые
линейно независимые элементы О и cs — произвольные числа, и во
всякой формуле, представляющие все элементы U в виде такой фор-
формулы, число слагаемых всегда равно k. Это число называется раз-
размерностью U.
Отметим, что всякое подпространство В является также про-
пространством В.
Мы определили выше понятие изометричности для метрических
пространств. Приведем определение изометричности, для про-
пространств В. Два таких пространства X и X' называются изометрич-
ными, если между их элементами можно установить биоднозначное
соответствие так, что соблюдаются следующие два условия: 1) если
х и х\ у и у — две любые пары соответствующих элементов из X
и Х\ то ах ~\-Ьу и axr -\- by' при любом выборе чисел а и Ь также
соответствующие элементы; 2) нормы соответствующих элементов
одинаковы.
Из сказанного следует, что нулевые элементы X и X* обязатель-
обязательно должны быть соответствующими элементами и что расстояния
между соответствующими элементами в X и X' одинаковы.
С точки зрения абстрактной теории изометричные пространства
не имеет смысла различать, и мы будем писать Х = Х'.
96. Примеры нормированных пространств. 1. Все указанные в [87J про-
пространства кроме s и S суть пространства Ву если положить для них || лг[| =
= р@, л:). При этом для пространств последовательностей умножение элемента
на число а сердится по определению к умножению каждого числа последова-

97]	ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ	303
тельписти на а и сложение элементов к сложению чисел этих последователь-
последовательностей, имеющих одинаковый номер:
Для функциональных пространств умножение элемента на число а сво-
сводится по определению к умножению функции на а и сложение элементов к сло-
сложению соответствующих функций. Нулевой элемент в пространстве после-
последовательностей есть последовательность, состоящая из нулей, а в пространст-
пространстве функций — функция, тождественно равная нулю (в С и V) или эквивалент-
эквивалентная нулю (в М, S и Lp).
2. Рассмотрим в Rn ограниченную область D и множество С {1) функций у (х)}
имеющих внутри D непрерывные частные производные до порядка /, причем
эти производные имеют предельные значения на границе D и представляют
собой функции, непрерывные в замкнутой области D. В этом случае мы будем
короче говорить, что функция имеет производные непрерывные в D. Указанное
множество функций есть линейное пространство. Введем в нем следующую
норму:
«D<*>f|,	D2)
где D*<p означает любую производную порядка k. Максимум берется по всем х%
принадлежащим Д для функции <р (х) и всех ее производных до порядка /.
Легко видеть, что норма удовлетворяет трем основным условиям [95].
Сходимость в С^1) есть равномерная сходимость в D функции и всех ее
производных до порядка /. Согласно признаку сходимости Коши и известной
теореме о почленном дифференцировании последовательностей функций можно
утверждать, что если последовательность элементов срй (х) ? С(/) сходится
в себе, то она сходится к некоторому элементу <? (л:) ? С®, т. е. пространство
СA) есть пространство В.
97. Операторы в нормированных пространствах. Выше мы
определили операторы в метрических пространствах А'. В линей-
линейных нормированных пространствах появляются новые моменты. Мы
будем считать, что оператор Л определен на некотором линеале D (А)
пространства X типа В, а множество его значений R (А) принадлежит
некоторому пространству X' тоже типа В. Оператор называется дист-
дистрибутивным, если для xk ? D(A) и любых чисел ck соблюдено условие
- с*х%... + стхт) = с{Ахх -f СцАхъ + ... + стАхт D3)
Достаточно проверить, что А (с^х^) = с Ах и А (х -\- у) = Ах -\- Ау.
Из D3) непосредственно следует, что R(A) есть линеал в X' и что
если 0 есть нулевой элемент в X и 6' — в А", то Л9 = б\ Действи-
Действительно, А F) = А (Ох), где х? D (Л), но А@х) = 0Ах = 6'.
Дальше будем говорить лишь о дистрибутивных операторах, опре-
определенных на линеалах. Напомним определение непрерывности. Опера-
Оператор А называется непрерывным на элементе х0 при соблю-
соблюдении следующего условия: если хп (п = 1, 2,...) и х? D(A) и хп=>х^
в А', то Ахп zz=>i4jco в А'. Легко показать, что если

304	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[97
дистрибутивный оператор Л непрерывен на некото-
некотором элементе у{)? D(A), то он непрерывен и на любом
элементе го? D (Л). Пусть zn и z^ D (Л) и zn=>z0, надо до-
доказать, что Azn=>AzQ. Строим элементы уп = (гп — z0) -\~Уо из D (Л),
причем уп =>_у0. Имеем Azn = Az0 -[- Лул — Л^о и, в силу Ду„ =>
=>Лу0, имеем Агл==>Лг0.
Таким образом, не имеет смысла говорить о непрерывности на эле-
элементе D (Л), но о непрерывности на всем D (Л). Дистри-
бутивный оператор А называется ограниченным, если существует
такое положительное число С, что для любого х? D(A):
lAxnl^C\\xl.	D4)
Отметим, что справа норма берется в X, а слева в X'. Покажем,
что для дистрибутивного оператора ограниченность и непре-
непрерывность на D (Л) равносильны.
В силу сказанного выше, достаточно рассматривать непрерывность
на нулевом элементе 6. Пусть имеет место D4). Докажем, что если
xn(i D(A) и хп=>Ь, то Ахп=^>0'. Из хп=>д следует, что при
любом заданном г^>0 существует такое N, что ||л:п|!^е при n^N и,
в силу D4), | AarJj^Cs при n^zN, откуда, ввиду произвольности г, и
следует, что Ахп=>(?. Положим теперь, что Ахп =^>6', если хп =>
z=>6, и докажем D4). Если х = 6, то D4) приводится к неравенству
|, 6' ;| ^ С || 6 [|, т.е. 0 ^; СО, которое выполнено (со знаком =) при
любом выборе С, и достаточно доказать D4) при х Ф 0. Доказываем
от обратного. Если D4) не имеет места, то существует такая после-
последовательность хп^ D(A) (|!*яИ]>0), что |; Ахп|| = С„!|хп||, где Сп-+
->-|-со. Вводя элементы zTJ = 7^-l	*хп? D(A), у которых ||гл|!->0,
^>П\ ХП\\
получаем || Azn |] = 1, что противоречит непрерывности оператора Ах
на нулевом элементе.
Если Л есть оператор амулирования, т.е. Ах = & для любого
х? D (Л), то в D4) можно положить С=0. Для всякого другого
оператора обязательно С^>0, и существует наименьшее положитель-
положительное С, при котором имеет место неравенство D4). Оно называется
нормой оператора Л и получается по формуле:
Па = sup \Ax\	D5)
iui;~i
х ( D (А)
Норму оператора Яд обозначают также символом ||ЛЦ, так что мы
можем написать
|! Ах || ^ пА || х || или |; Ах \\ < || Л ;| Ц jc |j.	D6)
Сказанное выше сонершенно аналогично тому, что мы имели, на-
например, в [IV; 36J для частного случая.

97]	ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ	305
Теорема 1. Если для дистрибутивного ограниченного опера-
оператора А линеал D (А) плотен в X, то А можно распространить
на все X с сохранением дистрибутивности и нормы. Поскольку
О(А=Х, можем любой элемент х^ X представить как предел
хп==>х0, где хп? D (Л). Покажем, что в X существует предел Ахп,
который не зависит от того, какую именно последовательность хп мы
взяли. Действительно,
и, в силу хп ==>х0, правая часть -> 0, при п w т -> -\- сю, но тогда и
\Ахп— Ахт\\->0, и, в силу полноты Х\ существует предел Ахп.
Остается доказать независимость предела Ахп от выбора последо-
последовательности хп. Пусть хп и х'п^ D(А), причем хп ==>д;0 и х'п ==>х0.
Надо доказать, что пределы Ахп и Ах'п совпадают. Самое существо-
существование пределов вытекает из предыдущего.
Нетрудно видеть, что последовательность хь х\, дг2, х'2, х^
х[....,также имеет предел х0. Следовательно, и последовательность
Ахь Ах[, Ах%, Ах[2, Ах[Ь Axv..., имеет некоторый предел j/? X'.
Но тогда и подпоследовательности Ахп и Ах'п имеют тот же пределу,
т. е. одинаковый предел.
Если Jto? X, но хо? D(A), to берем какую-нибудь последователь-
последовательность хп? D(A) и хп =>х0 и. полагаем Ахь=1\т Ахп. Докажем, что
П—>.00
определенный таким образом в X оператор дистрибутивен и его норма
при переходе от D(A) к X не увеличилась. Пусть х'о и л^'? X х'п и
х'п — две последовательности из D (А), имеющие пределы х'о и х'^ (если,
например, х'0? D(A), то можно положить все х'п = х[). Принимая
во внимание, что в D (А) оператор А дистрибутивен, а также непре-
непрерывность сложения и умножения на число, получим
А (схх'о -f c^xl) = lim А (с^х'п -f- с^х'п) = сп lim Ахп -]- с2 lim Ах'п =
Сохранение нормы вытекает из неравенства || Л^||^|| А 1\\х'„\\у в ко-
котором справа \\Afi есть норма А в D (Л), после перехода к пределу.
Норма не может, очевидно, понизиться. Теорема доказана.
Указанный выше способ распространения А называют обычно
распространением по непрерывности.
Покажем еще, что распространение А из D(A) на X в извест-
известном смысле единственно: если В — дистрибутивный ограни-
ограниченный в X оператор, совпадающий с А на D(А), то В
везде совпадает с расширением Л.по непрерывности.
Пусть х0 ? D(A), xn^ D(A) и xn=>x{V В силу непрерывности В
и совпадения В и Л на D (Л), имеем
Вх0 = lim Вхп = lim Ахп = Лх0,

306	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[97
что и требовалось доказать. Если оператор А определен во всем
пространстве X, дистрибутивен и ограниченен, то будем называть
его линейным оператором (иногда в этом случае говорят —
ограниченный линейный оператор). Если различным х из линеала D (А)
соответствуют различные Ах из R(А), то существует обратный
оператор, определенный на R(А) и сопоставляющий каждому хг
из R (А) один единственный элемент х из D (А), связанный с хг
соотношением х'= Ах. Из дистрибутивности А непосредственно
следует дистрибутивность и А. Но из ограниченности А не сле-
следует ограниченность А~1.
В качестве примера рассмотрим в пространстве С на отрезке [0,1]
оператор ср = А/:
X
|	D7)
причем мы считаем, что X' есть то же самое пространство С. Это
возможно, ибо ср (х) ? С на [0,1]. Оператор D7) переводит все С в
линеал, состоящий из функций cp(jc), имеющих непрерывную произ-
производную и равных нулю при х = 0. На этом линеале функций ср(-хг)
существует обратный дистрибутивный оператор f(x) = cpr (jc), но он
неограничен. Действительно, функции срп (х) = sin nizx, принадлежащие
этому линеалу, имеют норму 1 при любом выборе числа я, a cp^(jc) =
= mz cos rnzx имеет норму птг, которая беспредельно растет при п—> оо.
Теорема 2. Если В — линейный оператор в X, R(B)azX и
|| В || = а <^ 1, то оператор (Е — В), где Е — оператор тождествен-
тождественного преобразования (т. е. Ех = х), имеет обратный (Е — В)~\
определенный во всем X, дистрибутивный и ограниченный.
Рассмотрим уравнение
у = х — Вх D8), или х=уА-Вх\	D9)
где у — заданный их — искомый элемент А". Нетрудно проверить,
что оператор Ах=у -}- Вх (А — обозначение из [36]) удовлетворяет
условию применимости принципа сжатых отображений. Действительно,
Таким образом, уравнение D8) или D9) имеет единственное реше-
решение при любом у ? X, т. е. существует обратный оператор х =
= (Е — В)~ху> определенный во всем X. Его дистрибутивность оче-
очевидна. Докажем ограниченность. Имеем
и тем более
откуда следует, что норма (Е — В) л не больше узг^#

98]	линейные функционалы	307
Теорема 3. Линейный оператор преобразует компактное
множество в компактное. Пусть U—компактное множество эле-
элементов X, хп(п= 1, 2,...) — какая-либо последовательность элемен-
элементов U к А — линейный оператор. Нам надо доказать, что из после-
последовательности Ахп (п = 1, 2,...) можно выбрать сходящуюся в X'
подпоследовательность. Из компактности U следует существование под
последовательности хПк, имеющей предел: хПк =>х0 в X. При этом,
в силу непрерывности А, имеем АхПк =г>Лх0 в Х\ что и требова-
требовалось доказать.
Приведем без доказательства еще следующую теорему:
Теорема 4. Если в пространстве X (типа В) определен ли-
линейный оператор А, преобразующий X биоднозначно во все про-
пространство X' (типа В), то обратный оператор А~1 (определен-
ный во всем X') есть также линейный оператор.
98. Линейные функционалы. Рассмотрим вещественное прост-
пространство X типа В (элементы X умножаются лишь на вещественные
числа). Функционалом в X называется оператор, область значений
которого находится в пространстве вещественных чисел. Последнее
есть вещественное пространство типа В при обычном определении
сложения вещественных чисел и их умножения на вещественное число.
Норма — абсолютное значение вещественного числа [87].
Все сказанное в [97] об операторах справедливо и для функцио-
функционалов. Ограниченность функционала определяется неравенством
где \1{х)\ — абсолютное значение вещественного числа 1(х) и [|/(—
норма 1(х). Линейный функционал — частный случай линейного опе-
оператора. При этом ?)(/) совпадает со всем X.
Теорема /. Если на некотором линеале U задан дистрибу-
дистрибутивный ограниченный функционал 1(х), то его можно распрост-
распространить на все X так, что 1(х) будет в X линейным функциона-
функционалом с той же нормой, что и в U.
По условию, кроме дистрибутивности /(х), имеем
|/(*)|<Ие/И1	С* 6 ?/),	E1)
где Щи—норма 1{х) в U. При доказательстве будем считать, что
пространство X сепарабельно, что упростит рассуждения. Но теорема
верна и для несепарабельных пространств.
В силу сепарабельности, существует счетное множество элементов,
плотное в X. Оставим в этом счетном множестве лишь элементы, не
принадлежащие U. Если таких элементов не будет, то U повсюду
плотно в А', и мы можем продолжить 1{х) по непрерывности на всем
X [97]. В противном случае оставшиеся элементы счетного множе-
множества можно также пронумеровать: хь х%у xv..,

308	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[98
Рассмотрим множество L\ элементов z вида: z=y -\-txlt где
у — любой элемент U и t — любое вещественное число. Нетрудно
видеть, что U1 есть, как и U, линеал. Покажем, что представление z
в указанном виде единственно. Если z имеет два различных пред-
представления:
z=y + tXl=y + rxx,	E2)
то в этих представлениях Ьф1\ ибо если t = ff то и у=уг. Пока-
Покажем, что неравенство t ^ f приведет нас к нелепости. Из E2) имеем
х1=——у (У—у), откуда следует, что хх ? U, а это противоречит
сказанному выше. Возьмем теперь два любых элемента хг и х" из U
и установим одно неравенство. Имеем
1(х')-/(х'') = 1(х'-х'')^1Ци1х'-х''\\.	E3)
Отметим, что если слева стоит отрицательное число, то неравен-
неравенство тривиально. Принимая во внимание, что || х' — х" i| = || (х' + х^) —
— (хп + х{) || < I! х' + Х\ |1 + || х1' -\- Xi ||, получим, в силу 'E3): 1(х') —
-1| /\\и || У + ^11! < / (^) +1!11и II ^ + *i I!-
Взяв точную нижнюю границу множества чисел, стоящих справа,
и точную верхнюю границу для левой части, когда xf и х" неза-
независимо пробегают все U, получим
sup [/И-l/llt/ll^ + ^llKinf [/И+ 11/^1^ + ^1],
х? U	x(i U
причем правая часть, очевидно, конечна, а, следовательно, и левая.
Таким образом, существует вещественное число а, удовлетворяю-
удовлетворяющее неравенству
snp[l(x)-l/\\u\\x + xl\\]^a^\ni[l(x) + ll\\u\\x + xll]. E4)
х ? U	.	x^.U
Распространим теперь 1{х) с U на (Д. Пусть z=y -\-tx{ —
любой элемент Ux, Положим
i(z) = /(y) — ta,	E5)
где а — фиксированное вещественное число, удовлетворяющее нера-
неравенству E4). Если z^Uy то t = 0, и l(z) совпадает с /(у), т. е.
формула E5) определяет на Ux функционал, совпадающий с преж-
прежним на U. Поэтому мы сохранили для расширенного функционала
прежнее обозначение. Дистрибутивность l(z) непосредственно сле-
следует из E5), дистрибутивности 1(у) на U и формул
z =у + txx; cz = cy-\- dx{\

98J	ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ	309
Покажем наконец, что норма l(z) в Ux не больше, чем \\1\\ц
(понизиться она не может). Будем считать t^>0. Принимая во вни-
внимание, что l(y) = tl( — y)> причем --у ? U> получим
\()\	E6)
Но из E4) следует
и заменяя в E6) а меньшим числом, стоящим в правой части этого
неравенства, получим ^
Переходим к случаю ^<^0. Из E4) следует
и, заменяя в E6) в разности 1[-тУ) — я число а большим, получим
Умножая обе части этого неравенства на отрицательное t и при-
принимая во внимание E6), получим /(^)^||/||с/||^||. Если ^ = 0, то
z ? U, и написанное неравенство очевидно. Таким образом, при
всяком z ? Ux имеем /(«г) ^||/||(/[|г||. Меняя в этом неравенстве z
на (—z) и принимая во внимание, что /(—z) = — l(z) и || — ^|| =
= |!-г||, получим —^(^)^||^||f/!]^[|- Эти два неравенства приводят нас
окончательно к неравенству
Щи\х\	E7)
из которого и следует, что при указанном распространении 1{х) из
U на U\ норма остается прежней.
Переходим теперь к дальнейшему распространению. Если элемент
лг2 из указанной выше последовательности принадлежит Uu то отбра-
отбрасываем его. Если же нет, то распространяем 1{х), как и выше, с
линеала Ux на линеал ?/2, состоящий из элементов z=y -\-txit где
у — любой элемент U\ и t — любое вещественное число. Продолжая
так и дальше, удержим прежнее обозначение х{, х,ъ ... для элемен-
элементов, которые не отбрасывались при указанном выше построении
(их может быть и конечное число). Таким путем мы продолжим 1(х)
на линеал V элементов, имеющих вид
+ \ + ... + спхп)

310	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[99
где у — любой элемент U, п — любое целое положительное (не боль-
большее числа элементов xk, если это число конечно) и ck — любые
вещественные числа. Этот линеал V плотен в В, и на нем функци-
функционал / (х) дистрибутивен, ограничен и с нормой \\l\v Теперь ос-
остается продолжить /(х) на все X по непрерывности. Теорема доказана.
Для случая комплексного пространства типа В доказательство
теоремы 1 имеется, например, в работе Г. А. Сухомлинова (Матем.
сб., 3, 1938 г.) и в книге Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя „Лекции
по функциональному анализу".
Доказанная теорема не распространяется на операторы.
Теорема 2. Если х0 какой-либо фиксированный элемент X,
отличный от нулевого, то существует линейный функционал 1(х)
с нормой единица (\Г\ = 1) такой, что I(х0) = j|x01|.
Рассмотрим линеал U элементов вида x = tx0, где t — любое
вещественное число, и определим на U дистрибутивный функционал
/ О) формулой / (txQ) = 11| х01|. При t = 1 имеем / (л:0) = || *0'| и || / Ц?/= 1.
По теореме 1 мы можем распространить 1{х) на все X с сохране-
сохранением нормы, и теорема доказана. Из нее вытекает, между прочим,
что во всяком пространстве типа В существуют функционалы с
положительной нормой.
Отметим, что теорема справедлива и в том случае, когда xQ = B
есть нулевой элемент. Достаточно взять какой-либо элемент хи
отличный от 0, и образовать по теореме линейный функционал 1{х)
такой, что |!/|[=1 и /(х1) = ||л-1[|. Для него / (х0) = / @) = 0 = || х01|.
99. Сопряженные пространства. Рассмотрим пространство X*,
элементы которого суть всевозможные линейные функционалы в про-
пространстве X типа В. Функционалы в X, т. е. вещественные числа,
соответствующие элементам х, обозначаются через 1{х), т(х), п (х)...
Как элементы X* мы будем их обозначать одной буквой: /, т, п,.. .
Пространство X' есть линейное пространство.
Сложение и умножение функционалов на число вводятся следующим
естественным образом:
(/ + т) (х) = 1{х) + т (х); (a/) x = at (x),
причем выполнены все свойства из аксиомы Л. Нулевой элемент А'*
ecTi> функционал аннулирования, т. е. такой, что 1{х) = 0 для любого
х ? X. Норма / элемента А' * принимается равной
норме соответствующего функционала. Эта норма ^0,
причем знак= имеет место только для функционала аннулирования.
Имеют место и два других свойства аксиомы С.
Второе вытекает из неравенств \1\{х) -\- L2{x) \ ^ | lx(x) \ -f- | 4(X) I ^
^IIA|!lJ^lH-||4l||U|| = (|!AI! + i|4!l)||^|l> а третье очевидно. Докажем,
что X* — полное пространство. Пусть имеется сходящаяся
в себе последовательность элементов X*:
||/л — /т||->0 при п и т-+оо,	E8)

99|	СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	311
Надо доказать, что существует такой элемент / ? X*, что
1'^ — AJI—* О ПРИ ^-> оо. Обозначим /л— ^т==^пт 6 'Л *• Мы имеем
l = '«, + '»« " [IU<!Km|| + KJI- B силу E8) существует такое
/V, что [|/nm[|^l при л и m^N. Фиксируя fn = mQ^Ny получаем
iiAJ^IKm IJ —I— 1 при n^N, а среди конечного числа неотрицатель-
неотрицательных чисел ||/л|| (п= 1, 2,..., N— 1) имеется наибольшее. Таким обра-
образом, из E8) следует, что существует такое С^>0, что \1п\^С при
всех значках п. Мы имеем далее 11п (х) — 1т (лг) | ^ || 1п — lm )| | x j|, и
из E8) следует, что \1п(х) — Iт(х)\->0 при п и #г->ози любом
выборе х ? А\ В силу признака Коши (для чисел) существует пре-
предел последовательности чисел 1п{х). Этот предел, который мы обо-
обозначим 1{х) {1п (х) -> /(х)) есть некоторый функционал, определен-
определенный во всем X. Покажем, что он есть линейный функционал. Его
дистрибутивность вытекает из равенств: tn(x-\-y) = ln(x)-\-/n(y) и
1п {ах) = aln (х), а ограниченность — из неравенства || /п \] ^ С, т. е.
I К (х) I ^ С || х || путем предельного перехода при п — оо. Таким
образом, I (х) есть линейный функционал в X, т. е. / ? X*. Остается
доказать, что [/ — /„jj—vO. При любом е^>0, в силу E8), существует
такое Лг, что \1п{х) — 1т(х) \ ^е |!х\\ при п и m^N. Переходя к
пределу при т-^оо, получим 11п (х) — / (х) | ^ г || х \\ при п ^ /V, т. е.
|| / — 1п ||^ е, при п^ N, что и дает ||/ — 1п |)-> 0. Полнота X* доказана.
Таким образом, пространство <Y* есть пространство
типа В. Оно называется сопряженным с X.
Введем второе сопряженное пространство Х**=(Х*)*,
элементы которого суть всевозможные линейные функционалы в X*.
Пространство Л"** получается из Аг* совершенно так же, как А'*
из Аг, и AT** есть пространство типа Б.
Если мы фиксируем х ? Аг, то любому элементу / ? АГ* будет
соответствовать определенное вещественное число /(х), т. е. /(х)
при фиксированном х и изменении / в X* есть функционал в X*.
Обозначим его символом Lx(l). Из (/t -f~4)(•*)z== h (x) ~\~4(x) и
(a/,)U) = a/I(jf) следует /.,(/, + /,) = Lx(/,) + Ix(/,) и Lx{al)--=
= aL^. (/), т. e. Lx (/) дистрибутивный функционал в AT*.
Из неравенства
где \х\ — норма х ъ X w Щ норма / в А"*. Из F0) следует, что норма
функционала Lx(l) в Аг* не больше ||лг||, т. е. он ограничен в А'5*.
Итак, Lx(l) есть линейный функционал в АГ*. Если х=^=$
есть нулевой элемент Ху то Z.o (/) = / F) = 0 для любого / ? X*,
т. е. Zo (/) есть нулевой элемент А'**. Из F0) следует, что норма
LX{1) не больше ||х|. Но в силу теоремы 2 из [9§] при
любом х ф 6 существует такой функционал / (х), что / (х) ^^ ||х|| и
E9)
F0)

312	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[99
|]/||=1. Для такого / обе части F0) равны ||лг|| и имеет место знак = ,
откуда следует, что норма Lx\l) равна \\x\\. Далее из 1(х{-\-х2) =
= 1(х1)-\-1(х2) и l(cixl) = cil(xl) следует, что Lxi+Xi(l) =
= LXi{l) + LX9{l), LCiXi[f) = cLXi{[) и вообще ^Л+СЛ(/) =
= cLXi(t) + c\LXi{t). В частности, LXi _^(/) = Ц (/)- LxД7), от-
куда, в силу сказанного выше о норме, следует: \\LX —Lx\=\х —хп\[
а отсюда следует, что различным х соответствуют различные эле-
элементы Lx пространства X**.
Из предыдущего вытекает следующее важное утверждение:
Теорема.Всякому элементу х ? X можно сопоставить элемент
Lx? X**. При этом соответствии:различным х соответствуют раз-
личные Lx, сложению и умножению на число в X соответству-
соответствуют те же операции для соответствующих элементов в X**,
и нормы соответствующих элементов в X и ЛТ** одинаковы.
Это утверждение дает возможность отождествить Lx с х, т. е. по-
погрузить X в Л"**, что записываем в виде X(Z,X**. Иными словами,
X изометрично части X**.
Мы увидим дальше, что в некоторых случаях X изометрично
всему X**, т. е. Х** = Х. Такое пространство X называется
регулярным. Часто вместо l(x) = Lx(l) пользуются обозначе-
обозначением (/, х) или (х, /):
(*, /) = (/, х) = 1(х\	F1)
и (х, Г) называют внутренним произведением элемента
I ? X* на элемент х ? X. Элементы /их называют ортого-
ортогональными, если (х, I) = 0.
Неравенство E9) записывается в виде;
1С*, /)!^ИИ,	F2)
из сказанного выше следует:
(ах, bl) = ab(x, /); (x1 + x%,l) = (x
где а и Ъ — любые вещественные числа.
До сих пор мы рассматривали вещественные пространства типа В.
Все сказанное выше сохраняется и для комплексных пространств типа
В (умножение элементов х на любые комплексные числа). В этом случае
и функционалы могут принимать любые комплексные значения. В даль-
дальнейшем через а мы, как и раньше, будем обозначать число комплекс-
комплексное, сопряженное с а. (т. = а-\-Ы\ си = а — Ы). Отметим, что если
1(х) есть линейный функционал в В, то 1(х) есть также ограничен-
ограниченный в X, но не линейный функционал, ибо 1(х) умножается на с при
умножении х на комплексное число с. Сопряженное пространство X*
определяется не как множество всех 1(х), а как множество всех 1(х).
Сложение элементов X* и умножение на комплексное число есть

100]	СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛОВ	313
обычное сложение и умножение комплексных чисел. Норма ||7[| берется
равной |)/||, при этом |/(лг)| ^ (|/1|. \\х\{ и число ||/j| нельзя заменить меньшим.
Пространство — А'* типа В. Внутренние произведения определяются
формулами
(/, х) = /"п); (х, 0 = (га = i(х).	F3)
При этом для любых комплексных а и b
ab(lfx),	F4)
Пространство Х** = (Х*)* имеет ту же связь с X, что и в слу-
случае вещественного пространства.
100. Слабая сходимость функционалов. Мы рассматривали в
[99] следующую сходимость последовательности линейных функциона-
функционалов 1п(х) к функционалу 1{х): \\1—/л|]—> 0 и тем более 1п(х)-+1(х)
при любом х ? X. Такую сходимость называют обычно сходимостью
по норме. При этом из [99] следует, что нормы 1п(х) ограничены, т. е.
не превышают при любом п некоторого положительного числа. Введем
теперь новое понятие сходимости. Говорят, что последовательность
линейных функционалов 1п{х) слабо сходится, если для любого
х ? X числовая последовательность /п (х) имеет предел (конечный).
Обозначим этот предел через 1{х). Это есть функционал, определен-
определенный во всем X. Его дистрибутивность вытекает из дистрибутивности
ln (jc), и мы смогли бы утверждать и его ограниченности (и тем
самым линейность), если бы знали, что последовательность ||/л|| ограни-
ограничена. Оказывается, что это действительно имеет место.
Теорема /. Пусть L есть некоторое множество линейных
функционалов 1(х), причем для любого элемента х существует
такое положительное число тх, что \l(x)\^mXf если l^L,
т. е. при фиксированном х множество чисел \1{х)\ ограничено.
При этом нормы функционалов l(x)(l^ L) ограничены.
Покажем сначала, что для доказательства теоремы достаточно
установить ограниченность |/(дг)| в какой-либо сфере. Действительно,
пусть существует такое положительное число Ь} что
kwk» vei*),	F5)
если х принадлежит некоторой замкнутой сфере S (xQi a) Qx — ^0!1^
=^ а) и пусть у — любой элемент X, отличный от нулевого. Эле-
Элемент х~ Т~\\У~\~хь принадлежит S(xo,a) и, в силу F5), имеем
щ'ОО
и тем более

314	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[100
откуда
Н|;щ|^	F6)
для любого у ? X, т. е. [!Л^-—, что и составляет утверждение
теоремы. Тем самым, если множество чисел |/(лг)| ограничено в какой-
либо сфере, то теорема доказана. Теперь доказываем теорему от
обратного. Предполагаем, что указанное множество неограничено
в любой замкнутой сфере и приводим это к противоречию.
Фиксируем какую-ни,будь замкнутую сферу 5t. По доказанному
имеется такой элемент хх ? §х и такой функционал 1Х ? L, что
IЛ (^i) I ^> 1 • В силу непрерывности 1Х (х) можно считать, что х{
лежит внутри 5j и что неравенство ^ (х) ^> 1 выполняется во всей
сфере 5 (хъ г{), где тх — достаточно мало положительное число.
Как и выше, найдется такой элемент х.ъ лежащий внутри §>{хъ г^,
такой функционал 46 S и такое малое положительное г2, что
сфера S(xb r.2) принадлежит S(xu rx) и во всей этой сфере выпол-
выполняется неравенство | /2, (х2) | ^> 2. Продолжая так и дальше, получим
последовательность вложенных сфер
5 (*, гО =э 5 (>\2, г2) => S (х%, г3) => ...
и функционалов /д. ? L таких, что во всей сфере 5(х^, гЛ) выполняется
неравенство | lk (x) \^>k. При этом можно считать, конечно, что
rk -> 0 при & —* оо. В точке лг0, принадлежащей всем этим сферам
[85], выполняется тем самым неравенство |^С*0)|^>&> что противо-
противоречит тому, что множество чисел | lk (x0) \ должно быть ограничено.
Теорема доказана.
Если некоторая последовательность функционалов 1п (х) при лю-
любом х имеет конечный предел, то тем самым последовательность
чисел 11п (х) | при любом х ограничена, и, в силу теоремы, последо-
последовательность [11п |] ограничена. Как мы выше отметили, отсюда следует, что
предел 1{х) слабо сходящейся последовательности линейных функцио-
функционалов есть также линейный функционал.
Если последовательность ||/Л|| ограничена, то оказывается, что
для слабой сходимости функционалов достаточно потребовать сущест-
существование предела 1п (х) не на всем X, а лишь на плотном в X линеале.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность функциона-
функционалов 1п (х) слабо сходилась, необходимо и достаточно, чтобы по-
следовательностъ \1п\ была ограниченной и чтобы существовал
предел 1п(х) на линеале, плотном в X. Необходимость первого
условия вытекает из теоремы 1, а второго — очевидна. Переходим
к доказательству достаточности. Обозначим через U линеал, о ко-
котором говорится во втором условии теоремы. В силу первого условия
||/„||^С, где С — положительное число. Обозначая через 1{х) пре-
предел 1п(х) при х ? U, мы можем утверждать, что 1{х) — дистрибутик-
ный ограниченный на U функционал (его норма не превышает С)

101]	СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ	315
Мы можем распространить его по непрерывности на псе X. Будем
по-прежнему через 1(х) обозначать полученный таким образом линей-
линейный функционал и докажем, что 1п (х)—>/(х) при любом х ? X.
Если x^U, то это имеет место. Пусть х0 ? U. При любом задан-
заданном ?^>0 существует такой элемент х'о ? U, что ||д:0 — х'о\^-~~ .
Принимая во внимание, что нормы 1п{х) и 1{х) не превышают С,
можем написать
Но 1п(х'о)—+1(хо), и, следовательно, существует такой значок TV,
что |/(хо) — {п(х'о) \^-^npnn^Nf и из предыдущего неравенства:
V(xo) — 1п(хо)\*^е ПРИ n^zN, откуда и следует, что Zn(x0)—*l(xQ).
Замечание. Второе условие теоремы можно заменить следующим:
существует предел 1п (х) на множестве элементов V, линейная обо-
оболочка которого ?/(линеал) плотна в X. Действительно, из сходимости 1п(х)
на V, в силу дистрибутивности 1п (х), следует сходимость 1п (х) на U.
Понятие слабой сходимости функционалов приводит естественно к
понятию слабой компактности. Множество W элементов А*
называется слабо компактным, если из любой последовательности функ-
функционалов ln ? W можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность.
Теорема 3. Если X сепарабельно, то, любое ограниченное
множество функционалов (||/||^г (г^>0)) слабо компактно.
Нам надо показать, что если у последовательности линейных
функционалов 1п(х) нормы ограничены Ц/^Ц^г, то можно выбрать
подпоследовательность lnk (х), сходящуюся для всякого х ? X. Пусть
хь х.2 ... — счетное множество V элементов X, плотное в X. При
любом т имеем 11п (хт) \^г\\хт||, т. е. последовательность чисел
in(xm) (/г=1, 2, 3,...) ограничена. Применяя обычный диагональный
процесс [IV; 15], мы образуем подпоследовательность lHk (x), сходя-
сходящуюся на всех элементах V. Из замечания к предыдущей теореме
следует, что последовательность сходится на всем X, и теорема доказана.
Замечание. Слабо компактным является, очевидно, и всякое
ограниченное множество элементов Х*у поскольку его можно заклю-
заключить в некоторую сферу [U||^r.
101. Слабая сходимость элементов. Введем теперь понятие
слабой сходимости элементов пространства X типа В. Говорят, что по-
последовательность хп элементов X слабо сходится к элементу jc0,
и пишут хп^х^ если 1(хп)—+1(х) для любого линейного фуыкцио-

316	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[101
нала /(х). Элемент х0 называется слабым пределом хп. По-
Покажем, что последовательность {хп} не может слабо
сходиться к разным пределам. Действительно, если хп -^х0
и Хп^-Уо> то> п0 определению, 1(хп)—+/(х0) и /(*„) —/Су0) для
любого /? X*, откуда / (у0) = I (лг0) или 1(у0— хо) = О для любого
/? А"*. Но если yQz^x{), т. е. _у0— х0 не есть нулевой элемент, то
существует такой элемент I ? Х*9 что / (у0 — х0) = [у0 — х01| ^> 0,
что противоречит сказанному выше, и тем самым сформулированное
выше утверждение доказано. Если хп -^ дг0, то, очевидно, что и всякая
подпоследовательность xnk^xQ. Если xn^+xQ, уп^У0 и ая*—а0,
то аялгЛ -^ аол:о, хп -|-j/n — х0 -f-J^0- ^T0 непосредственно следует из
дистрибутивности функционалов.
Сходимость по норме ||лг0 — Л'я|| —0, которую мы записы-
записывали выше в виде хп=>х0, называют иногда сильной сходи-
сходимостью. Мы ее называли просто сходимостью. В силу непрерывности
линейного функционала из хп=>хх) следует, что 1(х„)—*1{х^ для
любого / ? X*, т. е. из сильной сходимости следует
слабая сходимость.
Из слабой сходимости, вообще говоря, не следует сильной. При-
Приведем пример. Рассмотрим пространство L2 на отрезке [0, 1]. В
качестве последовательности хп возьмем функции sin n iz t (n =
= 1, 2,...).
Как будет показано ниже [102], общий вид функционалов
в L2 [0, 1] дается формулой
1
'(¦*)= \f(t)x{t)dU
oJ
где f(t) — фиксированная функция из L2[0, 1] и x(t) — любой эле-
элемент этого пространства. В частности, для элементов хп (t) = sin nnt
имеем:
l(xn)= [ f (t) sin nnt dt,
n)= [
откуда видно, что, с точностью до множителя |/ , 1(хп) суть коэф-
коэффициенты Фурье f(t) относительно системы sin птЛ на промежутке
[0,1]. Мы знаем," что 1(хп)—»0 при любом выборе f(t) из 12[0, 1],
т. е. Z(xn)—+l(P), где 0 — нулевой элемент L2[0, 1] (функция, экви-
эквивалентная нулю). Таким образом, sin nut — б при п—-со в L.2[0, 1].
В то же время сильной сходимости нет, так как
i
Г	1
— х^= \ sin2nr,tdi= у.

101]	СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ	317
Теорема 1. Если хп -^ х{Ь то последовательность \\xj: ограничена.
Мы можем рассматривать хп и х{) ка;с элементы А'**. При
этом из хп -^ х0 следует, что соответствующие хп функционалы
в А'* сходятся слабо к функционалу, соответствующему х0. Но
при этом, по теореме 1 из [100], нормы упомянутых функционалов,
равные ||лгя[|, образуют ограниченное множество, и теорема доказана.
Слабая компактность множества элементов X
определяется так же, как и слабая компактность множества функ-
функционалов. Всякое ограниченное множество элементов х (||лг!|^С)
является ограниченным множеством в А'**, но это последнее мно-
множество, при сепарабельности Х*у слабо компактно, как множество
функционалов в Аг*. Если X — регулярное пространство, т. е. X** =
— Х> то из сказанного следует:
Теорема 2. Если X — регулярно, а X и X* с еп арабе льны, то
всякое ограниченное множество элементов X слабо компактно.
Отметим, что если X не регулярное пространство, т. е. АГ**
шире X, то предел последовательности элементов X** может быть
таким элементом А"**, которому не соответствует элемент X. Можно
доказать, что если X сепарабельно и регулярно, то и X* сепарабельно.
Из указанного выше соответствия элементам х ? X элементов
А'** и теоремы 2 из [100] непосредственно следует:
Теорема 3. Для того чтобы последовательность хп элемен-
элементов регулярного пространства X слабо сходилась, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность || хп || была ограниченной
и чтобы существовал предел 1(хп) на некотором линеале U эле-
элементов I ? X*, плотном в А'*.
Как и в [100], линеал U можно заменить таким множеством V
элементов X*, линейная оболочка которого плотна в А"*.
Теорема 4. Пусть А — линейный оператор в пространстве X
типа В и R(A) принадлежит пространству X' также типа В.
Если хп -^ х0 в X, то Лхп —- Лх0 в Х\
Пусть т (у) — любой линейный функционал в X'. Нетрудно ви-
видеть, что т (Ах) есть линейный функционал в Ху и из хп -^ х0 в X
следует, что т(Ахп)—*т(Ах0). Это имеет место для любого функ-
функционала в X', и, следовательно, Ахп -^ Лх0 в X', и теорема дока-
доказана. Мы знаем? что линейный оператор непрерывен в смысле силь-
сильной сходимости. Теорема 4 утверждает, что он непрерывен и в смы-
смысле слабой сходимости.
Мы видели, что если хп =^>лг0, то || хп || -> { jc0 ]1 [95]. Для слабой
сходимости этого свойства может и не быть. Обратимся к указан-
указанному выше примеру последовательности функций sin nr.x из L.2 на
[0, 1]. Мы видели, что ьтпъх-^О, а || sm пкх\\ = ——-.
Теорема 5. Если хп-^х0, то [|хо!|^с Нт|1лгл||. Отметим прежде
всего, что lim|jxnij — конечен в силу теоремы 1. Доказываем теорему

318	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[101
от обратного. Пусть ||jcal|^> Нт||лгл||. Возьмем какое-нибудь число т,
удовлетворяющее неравенству
||*,||>да>1ЕГ|!.*п|!.	F7)
Отсюда следует, что существует такое N, что || хп || <^ пг при
n~^N. Далее имеется такой линейный функционал 1(х)> что/(х0) =
= ||*о|( и |j/[|=l [981, и мы имеем 11(хп)\ ^\1\.\\хп1 т- е-
|/(*„)К1|*я||О при nT&N, а, в силу F7), /(*<>) = КII>**¦
Таким образом, /(дгЛ) не стремится к ?(х0), что противоречит
условию теоремы, и теорема доказана.
Положим, что пространство X удовлетворяет следующему усло-
условию: при любом заданном 8 ^> 0 существует число т\ <^ 1 такое, что
если ||je|] = [|j/[|= 1 и \\х—у\\ = Ь, то Т"^ <С7]- При этом гово-
говорят, что X — равномерно выпуклое пространство. Для
таких пространств справедливо следующее утверждение: если хп^+ х0
и \\хп1—*!!-*"о!!> т0 xnz=^>x$' ^ дальнейшем мы докажем это для
частного случая пространства — гильбертова пространства. Свойство
равномерной выпуклости имеет место для пространства Lp при р^> I
(см., например, С. Л. Соболев „Некоторые применения функциональ-
функционального анализа в математической физике").
Теорема 6. Если хп -^ х0, то х0 принадлежит замыканию
(по норме) линейной оболочки множества элементов хп(п=\, 2...).
Доказываем это от обратного. Пусть U—линейная оболочка эле-
элементов хп, предположим, что х0 не принадлежит U, т. е.
infl|x0— ;/|| = d>0.	F8)
у ib
Для всякого числа t, отличного от нуля, имеем
\\txo+y\\^\t\d.	F9)
Действительно,
Но если у g U, то и —-:у ? ?/, и F9) непосредственно следует
из F8). Рассмотрим теперь множество элементов вида
G0)
где у ? U и t — любое число. Как и в [98], легко видеть, что пред-
представление х в виде G0) единственно, и что указанное множество
элементов х — линеал. Обозначим его буквой V и определим на нем
дистрибутивный функционал формулой l(x) = t, так что /(у) = 0,
если у ? U. Докажем, что этот функционал ограничен на V, Пусть
t -ф 0. В силу F9) можем написать | l(txQ -\~у) | = 11 \ ^-7|К*
При t = 0 это неравенство очевидно.

102]	линейные функционалы в С, Lp и 1р	319
Таким образом, Ц^Ц^-т на V. Мы можем продолжить / на все
X с той же оценкой нормы и получим некоторый линейный функ-
функционал 1(х). По определению 1(хо)=\ и 1(хп) = 0, ибо все
хп ? U. Мы видим, что t(xn) не стремится к /(х0), что
противоречит условию теоремы: хп-^х0. Теорема доказана.
Доказанную теорему можно сформулировать еще следующим
образом: если хп-^х0, то существует последователь-
последовательность линейных комбинаций элементов хп: с\хх -[-
-{- с\хъ -\-... А- сгп xnk (& = 1, 2,...), которая сильно стремится к х0:
• • • + c%xnk =>^о при k~co.
Можно доказать более сильное утверждение: если хп -^> х0, то
существует такая подпоследовательность хп (& = 1,2,...), что
у(Х/г1 + */г2+ — + *^)=>*о при *-*оо.
Теорема 7. Если пространство X регулярно и последователь-
последовательность хп $ X слабо сходится в себе, т. е. 1(хп) — /(хт)= 1(хп —
— хт) -> 0 при п и т -> оо для всякого элемента /? X*, //го <9//га
последовательностб хп — сла^о сходящаяся.
Из условия теоремы и признака Коши для числовых последова-
последовательностей следует, что 1(хп) имеет предел для любого /? А'*, т. е.
линейные функционалы LXn(t) = f(xn) в X* имеют предел для лю-
любого /? А'*. Этот предел есть также некоторый линейный функцио-
функционал в X*. Но из регулярности X следует, что этот предельный
функционал имеет вид Lx (/) = /(х0), т. е. для любого /? X* имеем
/ (дгл)-> / (jc0), т. е. хп-^хо> что и требовалось доказать.
Иначе теорему 7 можно формулировать так: регулярное про-
пространство X обладает слабой полнотой,
102. Линейные функционалы в С, Lp и 1р. 1. Мы знаем, что в
С на конечном промежутке [а, Ь] общий вид линейного функционала
есть [15]:
ъ
G1)
где g(x) — функция ограниченной вариации, непрерывная справа и
удовлетворяющая условию g(a) = 0f причем различные функции g(x)
с указанными свойствами порождают различные функционалы /(/).
ь
Мы знаем также, что \l\=Vg(x). Можем, таким образом, сопоста-
а
вить каждому /(/) в С функцию g{x) с указанными свойствами и

320	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[102
Ь
с нормой I1 g!! = Vg (х) и отождествить пространство С* с простран-
пространен
ством V указанных функций. Пространство V есть пространство
типа В [96].
Рассмотрим теперь функционалы в С*, т. е. в V. Формула G1)
при любой фиксированной непрерывной на [а, Ь] функции /(х) дает
такой функционал.
Этим самым пространство С погружается в С**. Покажем, что
не все функционалы в V представимы формулой G1). Возьмем в ка-
качестве функционала /0(/) в V сумму скачков g(x) и покажем, что
он не представим формулой G1) ни при каком выборе непрерывной
функции f(x). Построим следующий элемент V:
{ 0 при а^х<Сс,
*ov ; { 1 при с^х^Ь. к ^
Если бы мы имели формулу G1), то получили бы /0(gQ)=f(c).
Но сумма скачков gQ(x) есть единица и, следовательно, /(с) = 1,
т. е. непрерывная функция f(x)=\. Но тогда формула G1) дает
lo(g) = g(b) — g(a)y а эта разность не для всякой функции g(x) ? V
есть сумма скачков. Таким образом, С** шире, чем С, т. е. С—не
регулярное пространство. Все сказанное выше относится к веществен-
вещественным функциям, но может быть распространено и на комплексные
функции:
2. Установим теперь общую форму линейного функционала в про-
пространстве Lp(p^>\) вещественных функций на ограниченном измери-
измеримом множестве g0 из Rn. Пусть /(/) — такой функционал и u>g (x) —
характеристическая функция какого-либо измеримого множества g,
входящего в g0. Очевидно со^ (х) ? Lp (g0), и мы обозначим
/Ю=/7(&)«	G2)
Покажем, что эта функция множеств, определенная для всех из-
измеримых g из g0, вполне аддитивна. Пусть g = gt -(- g2 -f-..., где
измеримые множества $k не имеют попарно общих точек. Ряд
оо
сходится в Lp(g0). Действительно,
я
L
я 1Р Г д
1 )dx\ =\ 2
и последняя сумма стремится к нулю при р и q -> со, в силу полной
аддитивности меры. В каждой точке л: из g ряд G3) сходится к со^ (х).

102]	ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В С, Lp И 1р	321
Следовательно, и в Z,p(g0) он сходится к о>^ (х) [62] (или к экви-
эквивалентной ей функции), т. е.
оо
«og(*)= ?<%(¦*).	G4)
причем сходимость можно понимать, как сходимость в Lp (g>0). В силу
непрерывности функционала /(/) в Lp (g0) из G4) получаем /7(g) =
= F(gi)-f-F(g>2) -j-- •• у т- е- полную аддитивность функции F {%).
Если g>' есть множество меры нуль, то
т. е. /[u)gr(A:)] = O, если /я(§') = 0, и теорема из [73] дает для
представление:
где относительно ф (х) мы можем утверждать пока, что она сумми-
суммируема на g0. Таким образом доказано, что
/ [d)g (Х)\ = ^ ф (X) 0)g
ф
©о
В силу дистрибутивности /(/), имеем
G5)
для любой ограниченной функции ср (х) с конечным числом значений.
Покажем теперь, что формула верна и для любой ограниченной из-
измеримой на g0 функции ср(х) (такая функция принадлежит Lp(g>0)).
Положим сначала, что ср(х)^О. По теореме 1 из [46] существует
последовательность функций уп(х) с конечным числом конечных зна-
значений такая, что фп (х) ->¦ ср (х) равномерно на g>0. Тем самым, уп (х)
ограничены на g0 одним и тем же числом. Для срл(х) мы имеем
формулу
1	*) dx-	G6)
Очевидно, что срл (х) ==>ср (х) в Lp(&0), и можно переходить к пре-
пределу под знаком интеграла [54] в последней формуле. Непрерыв-
Непрерывность функционала /(ср) приводит к формуле G5), которая таким
образом установлена для любой неотрицательной ограниченной изме-
измеримой на g0 функции ср (х). Случай ограниченной функции любого

322	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[102
знака непосредственно сводится к рассмотренному путем представления:
ср(х) = ср+(х) — ср~ (х)> где ?+(х) и ?"(•*) — положительная и отри-
отрицательная части ср(лг). Докажем теперь, что ф(.*06:^/>'(&о)» где
	1	г=1« Подставляя в G5) ограниченную измеримую функ-
функцию ср(лг), определяемую следующим образом;
G7)
G8)
G9)
где
получим
и, в силу G8), имеем
(80)

102]	ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В С, Lp И I p	323
Пусть теперь ср (х) — любая функция из Lp (g0). Существует
последовательность измеримых ограниченных функций уп(х), которая
в Lo (g0) стремится к ср(х). В сллу непрерывности функционала:
/Ы '() в СИЛУ [82]:
ф С*) ?„ (х) dx~^ (х) ср (*) dx.
Для срп(х) мы имеем формулу G5), и из сказанного выше сле-
следует, что она имеет место и для любой функции ср (х) ? Lp (g0).
В силу неравенства Гёльдера:
что, совместно с (80), дает
Таким образом, всякий линейный функционал в Lp (g>0) представим
формулой G5), где ф(*) ? Zy(g0), и имеет место формула (82).
Пусть ф (дг) — любая фиксированная функция из Lp»(g0). В силу
неравенства Гёльдера формула G5) дает линейный функционал в Lp (g0),
норма которого удовлетворяет неравенству (81), т. е. G5) есть об-
общая форма линейного функционала в Lp (g0). Принимая во внимание,
что из р (// — 1) =р' следует, что функция ср (х) = | ф(х) \pr~1 sgn ф (х)
принадлежит Lp (g0), можем подставить это ср (х) в формулу G5):
(ДГ) | Р' ~ J S?7Z ф (JC)] = f | ф (X) |P' rfx.
foo
Норма ср(^) = |'НхIр~15^Ф(^) в Lp(&o) равна:
to
и из (83) получаем
откуда

324	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[102
что совместно с (81) опять дает (82). Таким образом, формула G5),
где ф (х) — любая функция из Lp< (g0), дает общую форму
линейного функционала в Lp (g), причем имеет место
формула (82).
Эквивалентные функции ф(лг) дают, очевидно, одинаковые функ-
функционалы (совпадающие на всех ср (х) ? Lp (g0). Покажем, что неэкви-
неэквивалентные ф (х) дают различные функционалы. Это сводится, очевидно,
к доказательству следующего утверждения: если ф0 (х) ? Lpi (g0) и
для любого f (x) ? Lp (g0):
0*0 <Р (*) dx = 0,
то фо(^) эквивалентна нулю. Полагая ср (jc) == | ф0 (х) \pl
получим
откуда непосредственно следует, что фо(-*0 эквивалентна нулю [61].
Рассмотрим теперь пространство Lp (goo), где g^ — все про-
пространство Rn. Как и выше, доказывается, что если ф (х) Lp» g (goo),
то формула G5) определяет линейный функционал в Lp (g^) и имеет
место равенство (82). Докажем, что всякий функционал в Lp(goo)
представим в виде G5), где ф (х) G Lp» (goo)- Рассмотрим те функ-
функции ср (х) из Lp (goo), которые равны нулю вне промежутка Ат (—т ^
^xk^-\- m\ k = \,2,	, п). Они образуют пространство Lp(Am).
Функционал /(ср) на Lp (g^) для таких функций является функциона-
функционалом и на Lp (Am), и его общий вид есть
где фт(^N Lp<(km), причем |j^OT С*)!'?,,,(д )^|К1- Из сказанного выше
непосредственно следует, что фт + ^(^г) и фт (х) эквивалентны на Ат
при ^ ^> 0. Таким путем мы получаем функцию ф (х) G Lpi (goo), экви-
эквивалентную фт (х) на Дт, и имеем
= J
Поскольку финитные функции повсюду плотны в Lp (goo), мы прихо-
приходим к тому, что все сказанное выше для Lp (g0) имеет место и
для Lp(goo). Легко распространить полученные результаты и на ком-
комплексное пространство Lp (g0), причем и функционалы могут прини-
принимать комплексные значения. Из сказанного выше непосредственно
следует, что пространство Lp (g0) можно отождествить с Lp> (g0) и

102]	линейные функционалы в С, Lp и 1р	325
тем самым Lp (g0), т. е. ?р'(&0) совпадает с Lp (g0). Иначе говоря,
правая часть формулы G5) при фиксированном ср (х) ? L^ (g0) дает
общий вид линейного функционала в Zy (g0) с нормой, равной |'ср||^ /® \.
Таким образом, пространство Lp (g0) регулярно. В силу того,
что Lp (g0) = Lp* (g0) и Zy(g0) сепарабельно, можно утверждать, что
всякая сфера в Lp(g0) (или всякое ограниченное множество) слабо
компактна. При /? = 2 имеем р' = 2: т. е. Z-2 (©0) есть ^-Пёо)- Мы
рассмотрим подробно этот случай в следующей главе. Все сказан-
сказанное выше справедливо и для Lp (goo)- Пользуясь установленной выше
формулой линейного функционала в Lp ($0)(p^> 1), докажем следу-
следующую теорему:
Теорема. Если ф(х)— измеримая на ограниченном измеримом
множестве g0 функция и произведение ф (х) ср (х) суммируемо
на g0 при любой ср(х)? ^р(ёо) (/7>1)^ то Ф 0*0 € LP'(§0)-
Из условия теоремы непосредственно следует, что ф (х) может
принимать бесконечное значение лишь на множестве меры нуль,
и мы можем считать, что ф (х) принимает лишь конечные значения.
Определим последовательность функций:
если |ф (*)|<«,
л если |ф(лг)|>я,	1
которая стремится к ф (х) во всякой точке х. Если ср (х) любая
функция из Lp($Q), то | ф„ (л:) ср (х) | ^ | ф (х) ср (х) |, причем произве-
произведение ф(х)ср(х), по условию, суммируемо на g0. Отсюда следует:
lim [ фп (х) ср (х) dx = [ ф (х) ср (х) dx.
Но tyn(x), как ограниченные функции, принадлежат Lp»(g0), и ин-
интегралы, стоящие в левой части, суть линейные функционалы от ср (х)
в Lo (g0). Из того, что они на любом элементе ср (х) ? Lp (g0) имеют
предел, следует, что их нормы ограничены некоторым числом А [100]
откуда в пределе получаем [54]
что и требовалось доказать.
Случай /?=1 представляет особенность. Можно показать, что
пространство L\ изометрично М (пространству измеримых ограничен-
ограниченных функций) и Lx — нерегулярное пространство.

326	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[102
3. Рассмотрим теперь линейные функционалы в 1р(р^>\)- Пусть
1(х)— такой функционал. Всякому элементу пространства 1р\ х(?ь ?2,...)
соответствует урезанный элемент хп(?ь ?.2> ..., \п, 0, 0, ...), и из
того факта, что ряд с общим членом | \k \p сходится, непосредственно
следует, что хп=>х. Введем элементы yk(i[kK Qk), ...)(^=1, 2, ...)
такие, что $] = 0 при / ф k и ^|)=1. Обозначим l(yk) = ak. В силу
дистрибутивности 1{х) имеем/ (хп) = а?х -\-а.?.2 -{-...-{- ап^пУ и, поль-
пользуясь непрерывностью I (х), получим
/(*) = а1&1 + а&+...	(85)
Займемся числами ak. Введем элементы z^ (v\[M), v\{2N), ...) из lp
следующим образом:
Мы имеем
и
N
откуда
и в пределе при \т —
 о
Г V
-оо:
gn-
N
\zN
п ~
2Л При А
при Л
N
1
т. е. г>(аь а2 ...) € /р- и
Н1у<||/||.	(86)
Далее, неравенство Гёльдера, примененное к сумме (85), показы-
показывает, что !|^jj ^ j;t>| / „ и, в силу (86), получаем
ИНК,-	(87)
Совершенно так же, как и для Lp, можно показать, что формула
(85), где v(ab а.г, ...) — любой элемент /p<f дает общую форму
линейного функционала в 1р, причем элемент v определяется функ-
функционалом 1{х) единственным образом и имеет место формула (87).
Отсюда следует, что 1*р есть /р» и что 1р — регулярное пространство.

103]	слабая сходимость в С, Lo и Л,	327
Имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме, доказанной
выше: е с л и р я д
где bk фиксированы, сходятся при любом выборе
)/ >)> то (Ьь йа, ...) 6 V
103. Слабая сходимость в С, Lp и 1р. 1. Слабая сходимость
элементов /п (х) ? С к элементу f (х) ? С (на конечном промежутке
[а, &]) определяется равенством
ь	ь
( Л (*) <^С*) = f /(*) dg (x)	(88)
для всякой функции ограниченной вариации g(x). Укажем необходи-
необходимые и достаточные условия этой сходимости: а) существует такое
число С>0, что \/п(х)\^С (л=1, 2, ...); в) /„(*) — /(-*) при
любом х ? [а, й].
Условие: а) непосредственно следует из [101]. Далее, если
х = х0 — любое фиксированное значение из [а, Ь\ и f(x) — любой
элемент С, то /0(/)=/(х0) является, очевидно, линейным функци-
функционалом в С, и, поскольку fn(x)-^f(x), мы должны иметь /0(/n)—>/0 (/),
т. е. fn(xQ)—+f(x{)). Теперь надо показать, что из «а» и «в» сле-
следует (88) при любом выборе функции ограниченной вариации g(x).
В силу |/л(лг)|^С и fn(x)—+f(x) предельный переход в (88) до-
допустим, если рассматривать интегралы, как интегралы Лебега — Стил-
тьеса [54]. Но, в силу непрерывности f (х) и fn(x), эти интегралы
можно рассматривать и как обычные интегралы Стилтьеса.
Отметим еще, что в силу теоремы из [101], при соблюдении
условий «а» и «в» существует такая последовательность линейных
комбинаций fn(x), которая стремится к f(x) равномерно на [а, Ь].
Функции /п(х) и f(x) предполагаются, как это указано выше, непре-
непрерывными.
Отметим, что нерегулярное пространство С не является слабо
полным. Этот факт соответствует тому, что предел последователь-
последовательности fn(x) непрерывных функций, сходящихся в каждой точке
из {а, Ь] и ограниченных в совокупности (| fn (x) | ^ т), может и
не быть непрерывной функцией.
2. Слабая сходимость элементов срл (х) 6 Lp (g0) (р ^> 1) к эле-
элементу <р(х)? ?р(&о) определяется равенством
lim \ ф (х) оп (х) dx= U (х) ср {х) dx	(89)
Л—00 *)	*->

328	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[104
для всякой функции ty(x)? Lp»(g0). В силу теоремы 3 из [101) не-
необходимые и достаточные условия слабой сходимости в Lp (g0) можно
сформулировать так: а) нормы срЛ (х)— ограничены, т. е.
(90)
и в) формула (89) имеет место на множестве элементов ф (х) из
Lp, (g0), линейная оболочка которого повсюду плотна в Lp> (g0). При
выполнении условия (90) достаточно, например, чтобы формула (89)
имела место для всех характеристических функций со^(лг) измеримых
множеств g, входящих в g0 (g0 — ограниченное множество). Для того
случая, когда g0 есть одномерный конечный или бесконечный про-
промежуток, достаточно выполнения условия (90) и равенств
x,	(91)
где с — любое фиксированное число из указанного промежутка и 5 —
произвольное число из этого промежутка.
3. Слабая сходимость элементов (Ь[п), ?1Л)...) 1р(р^>\) к эле-
элементу (Еь Е.2,...) 6 ^ определяется равенством
lim (ft^w + Ъ№ +...) = ^i + * А +...	(92)
л—оо
для любого элемента (#b ft2,...) $ /р». Сформулируем необходимые и
достаточные условия слабой сходимости:
2 l^'l"^^	(93)
5Л(л)~6Л (A=l,2f...).	(94)
Условие (93) обычно, а необходимость (94) вытекает из (92),
если взять Ь{ = 0 при i ^ k и ?А = 1. Положим, что выполнены усло-
условия (93) и (94). Из (94) следует, что (92) выполняется на элементах
вида @,0,..., О, 1,0, 0,...) (ортах пространства lpi). Но линейная
оболочка ортов плотна в /р», ибо урезанные элементы, все составля-
составляющие которых, начиная с некоторого номера (своего для каждого
элемента), равны нулю, плотны в 1р* [59]. Таким образом, достаточ-
достаточность (93) и (94) вытекает из сказанного в [101].
104. Пространство линейных операторов и сходимость после-
последовательности операторов. Выше мы рассматривали пространство
линейных функционалов и вопросы сходимости последовательности
функционалов (по норме и слабой). Обратимся к тем же вопросам

|04]	ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ	329
для линейных операторов в пространстве X типа В. Пусть У—
пространство всевозможных линейных операторов в А' с областью зна-
значений в некотором пространстве X' типа В. Сложение и умножение
на число определяются, как и для функционалов
(А + В) х = Ах -f Вх\ (сА) х = с (Ах).	(95)
Норма элемента А ? У вводится, как норма |]Л|| соответствую-
соответствующего оператора. Как и в [99], доказывается, что У есть пространство
типа В.
Рассмотрим теперь последовательность линейных операторов
Ап(п= 1, 2,...) из X в Х\ В силу сказанного выше, если \Ап —
— Ат\\—*0 при п и т—+ со, то существует такой линейный опера-
оператор Л, что || А — Лл||—-0, и тем самым для любого х ? X мы имеем
Апх^=^>Ах в X9. Сходимость \А — Ап\\—>О называется сходимостью
операторов по норме. При этом [| Ап || (/2=1,2,...) ограни-
ограничены, что следует из неравенства: |)ЛЛ|]<;[| А || -НМЛ— Л[|.
Отметим, что для сходимости по норме |'Л — Ап\]—*0 необхо-
необходима и достаточна сходимость по норме в себе, т. е. ||ЛЛ— Ат\\—>0
при пит—> со (полнота пространства операторов).
Напишем очевидное неравенство
\Ах — Апх\^\А- АпЦх\	(96)
Если х принадлежит некоторому ограниченному множеству U
пространства X, то существует такое d, что [|je||<;d, если х ? ?/, и
(96) дает || Ах — Апх^ ^ || А — Ап ||d. Отсюда следует, что для любого
г^>0 существует такой значок N (зависящий от s и не зависящий
от х), что \\Ах — Апх\\^е при п ^N и х G U, т. е. сходимость
Апх к Ах на любом ограниченном множестве U равномерная. Поэтому
вместо сходимости операторов по норме иногда говорят равномер-
равномерная сходимость операторов. Рассмотрим другой вид сходи-
сходимости операторов. Говорят, что последовательность линейных опера-
операторов Ап сильно сходится к линейному оператору Л, если
Апх =>Ах в X9 для любого х ? X.
Как и в [99], доказывается, что если Апх есть сходящаяся
в X последовательность при любом х ? Ху то после-
последовательность норм || Лл 1 ограничена, а также сле-
следующее утверждение: для сильной сходимости последо-
последовательности Ап достаточно ограниченности \Ап\
(|Лл]<1 С) и сходимости Апх на плотном в ^ линеале.
Положим, что Апх сходится в X' при любом х ? X. Обозначим
через Ах предел Апх (Апх =Г> Ах в А"). Оператор А дистрибутивен
в X, в силу дистрибутивности Ап, и ограничен, в силу ограничен-
ограниченности последовательности ||ЛЛ[|, т. е. А — линейный оператор. Таким
образом, если Апх — сходящаяся в X' последовательность при любом
х G Ху то последовательность Ап сильно сходится к линейному

330	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[104
оператору А. В силу полноты X вместо сходимости последователь-
последовательности Апх достаточно потребовать сходимости ее в себе. 7'аким
образом, пространство линейных операторов оказывается полным не
только относительно сходимости по норме, но и относительно силь-
сильной сходимости. Как мы уже отметили выше, из сходимости по норме
следует сильная сходимость.
Рассмотрим еще третью сходимость операторов. Говорят, что
последовательность линейных операторов Ап слабо сходится к линей-
линейному оператору А, если Апх S±+ Ах в X' для любого х ? X. Из силь-
сильной сходимости операторов вытекает, очевидно, слабая сходимость.
Для функционалов сильная и слабая сходимости совпадают.
Выше мы определили сложение линейных операторов и их умно-
умножение на число. Можно, естественно, определить и умножение опе-
операторов. Если А есть линейный оператор из X в X и В — линейный
оператор из X' в Х'\ то оператор ВА, определяемый формулой
есть линейный оператор из А" в X". Его дистрибутивность следует
из дистрибутивности А и В, а ограниченность — из очевидного нера-
неравенства
Отсюда следует, что \\ВА ||^|j?||-[j A J. Можно образовать и
произведение нескольких сомножителей. Если А — линейный оператор
из X в X, то можно брать его целые положительные степени: Л2 —
= Л(Аг) и т. д.
Отметим, что произведение сомножителей может зависеть от их
порядка. Если, например, А и В — линейные операторы из X в X, то
имеет смысл говорить о следующих линейных операторах из ^ в X:
(ВА)х = В (Ах) и (АВ)х = А (Вх). Эти операторы могут быть раз-
различными. Аналогичное замечание относится и к случаю нескольких
сомножителей.
Сильную сходимость операторов иногда называют просто сходи-
сходимостью. Мы будем пользоваться для нее обозначением Ап —> А.
Пусть Ап и Вп — последовательности линейных операторов из X в X'
и а — числовая последовательность. Нетрудно показать, что если
ап— >а, Ап-»А и Вп-+В, то апАп — а А и Ап + Вп — А-\-В.
Аналогичное утверждение имеет место и для сходимости по норме.
Если Ап — линейные операторы из X в X1 и Вп из Xf в X", то из
Ап —* А и Вп — В следует ВпАп —> В А (то же для сходимости по норме).
Докажем последнее утверждение.
Мы имеем
В Ах - ВпАпх = (В - Вп) {Ах) + Вп {А - Ая) х
И
\\BAx- ВпАпх1х; <\\(В - Вп)(Ах)\\Хп

|06]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	331
Первое слагаемое стремится к нулю, ибо Вп—*В> и второе —
в силу того, что ||5Я[| ограничены и Ап—* Л.
105. Сопряженные операторы. Пусть А — линейный оператор
из X в X' (X и X' — типа В) и /' (х) — какой-либо функционал
в Х'У'еХ'*).
Легко видеть, что I'{Ах) будет при этом линейным функци-
функционалом в X:
При данном А это равенство приводит в соответствие всякому
элементу /' ? X'* элемент / ? X*. Можно написать это в виде /= Л*/',
где оператор А*, определенный во всем А"* с областью значений
в X*, называется сопряженным с А. Из дистрибутивности линейных
функционалов и оператора А следует дистрибутивность А*. Покажем
теперь ограниченность Л|с, а также тот факт, что |! Л* [| = || А ||,
причем левая часть есть норма оператора в А7* и правая в X. Мы имеем
откуда |)/||<||/'Н|Л!|. Но 1=АН\ и, следовательно, ||А* ||<|| |
Пусть далее х0 — любой фиксированный элемент X и /' — такой эле-
элемент Л''*, .что [|/'||=1 и /' (Axq) = || Ахц II. Получаем
Ах, || = V (Лдг0) = / (*0) < || /1| • || х0 [I =
т. е. || Ах{I\ ^ ;| Л::< || • || х0 [|, откуда (| А | ^ || А * [|, что, совместно
с ||Л*||^[|А|| и дает || А:: || = || А ||. Это приводит нас к следующей
теореме.
Теорема. Оператор Л*, сопряженный с линейным оператором
Л из А' в Х\ есть линейный оператор из А"-: в ,Yi: и || Л* [ = | Л ||.
Замечание. Отметим, что если X' совпадает с X, то Л:;; есть
линейный оператор в X* с областью значений также в X*.
Если А и В — линейные операторы из X в X' , то из определения
сопряженного оператора следует (Л -|~ 5)* = Л* -{-В*. Если Л и Б —
линейные операторы из X в X, то (ВА)* = А*В*, как это следует
из равенств l(BAx) = (B*l)(Ax) = A*(B*l)(x) = (A*B*l)(x). В слу-
случае вещественного пространства (сА)* = сЛ* и для комплексного
106. Вполне непрерывные операторы. Линейный оператор Л из
X в X' называется вполне непрерывным, если всякое ограни-
ограниченное в X множество он преобразует в компактное в Х\ Нетрудно
видеть, что дистрибутивный оператор Л, определенный во всем X и
преобразующий всякое ограниченное множество в компактное, есть
ограниченный оператор, т. е. линейный оператор. Действительно, по
условию Л преобразует сферу ||at|j^ 1 в компактнее множество Ах.

332	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[106
Но всякое компактное множество ограничено, т. е. существует такое
положительное число С, что ЦЛхЦ^С при || л: || ^ 1, откуда и сле-
следует, что А — ограниченный оператор. Таким образом определение
вполне непрерывного оператора можно сформулировать и следующим
образом: дистрибутивный оператор А, определенный во всем Ху назы-
называется вполне непрерывным, если он преобразует всякое ограничен-
ограниченное множество в компактное. Из указанного выше следует, что опре-
определенный таким образом вполне непрерывный оператор будет и ли-
линейным оператором.
Теорема 1. Если А вполне непрерывный оператор и хп-^х0,
то Ахп ==>Лх0. Мы знаем, что Ахп^* Ахо> если А — линейный опе-
оператор. По условию теоремы хп ^ х0, и потому последовательность
чисел \\хп\\ ограничена. Из последовательности Ахп, в силу полной
непрерывности А, можно выбрать подпоследовательность, которая
сильно сходится к некоторому элементу _у0 ? X'. С другой стороны,
из сказанного выше следует, что эта подпоследовательность слабо
сходится к Ах0, и потому yQ=Ax0. Следовательно, всякая сильно
сходящаяся подпоследовательность из последовательности Ахп сильно
сходится к Ах0. Нам надо доказать, что вся эта последовательность
сильно сходится к Ах0.
Доказываем от обратного. Предполагаем, что существует такое
число 8^>0 и такая бесконечная подпоследовательность Axnk, что
\\Axnfi-Ax;\\^b. ^
Из последовательности Ахпк можно выбрать сильно сходящуюся
подпоследовательность, и эта подпоследовательность, как указано
выше, должна сильно стремиться к Ах$, что противоречит неравен-
неравенству \\Axnk — AxQ\\^b^>0. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть Ат(т=\, 2, .. .) — последовательность
вполне непрерывных операторов, которые по норме стремятся
к линейному оператору А{\\А — Ат\\ —>О). При этом и оператор А
вполне непрерывен. Надо доказать, что А преобразует всякую огра-
ограниченную последовательность элементов хп Q X (п= \, 2, ...) в ком-
компактную. Последовательность Атхп при любом фиксированном т ком-
компактна. С другой стороны, из сходимости по норме следует равно-
равномерная сходимость на всяком ограниченном множестве. Таким образом,
для любого заданного е ^> 0 существует такое т, что \\Ахп — Атхп ||<:е
(п = 1, 2, ...), т. е. Ахп имеет компактную е-сеть Атхю откуда и
следует компактность Ахп.
Можно показать, что е ели А — вполне непрерывный опе-
оператор, то и А*, определенный в X'* и имеющий область значений
в X*, также вполне непрерывен.
Мы докажем это в дальнейшем для операторов в гильбертовом
пространстве. Для этого пространства мы изложим теорию вполне
непрерывных операторов более подробно.

Ю7|	ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ	333
107. Операторные уравнения. Мы будем теперь предполагать,
что линейные операторы Л, определенные в пространстве X, имеют
область значений, также принадлежащую X (X' совпадает с X). При
этом Л*, определенный в Х*> имеет область значений также в X*.
Буквой Е мы будем, как и выше, обозначать оператор тождественного
преобразования в любом пространстве типа В, т. е. Ех = х для
любого х ? X. Напомним еще, что оператором аннулирования мы на-
называем линейный оператор, преобразующий любой элемент х в нуле-
нулевой элемент. Его норма равна нулю, а у всякого другого линейного
оператора она положительна.
Рассмотрим уравнение
(А — Е)х=у,	(9 7)
где у— данный и х— искомый элемент X. Переписываем уравнение
(97) в виде
х = Ах— у.	(98)
Правая часть этого равенства есть оператор из X в X. Обозна-
Обозначим Вх = Ах—у (В не есть линейный оператор). Мы имеем Вхх —
— BiX% = Ахх — Axi, откуда || Вхх — Вх± || ^ || А || • | х{ — х21|. Если
||Л||<^1, то к уравнению (98) применим принцип сжатых отображе-
отображений. Мы получаем следующий результат.
Теорема. Если \\ А \\<^\, то уравнение (97) при любом задан-
заданном у ? X имеет единственное решение, и это решение может
быть получено методом последовательных приближений из урав-
уравнения (98) при любом исходном приближении. В дальнейшем мы
часто будем иметь дело с уравнением, содержащим параметр
(Л — \Е)х=у.	(99)
Если X—вещественное пространство типа В, то X — веществен-
вещественное число. Для комплексных пространств оно может быть и комплек-
комплексным. Считая X ф 0, перепишем (99) в виде (у А—g) х = -^У- Из
доказанной теоремы следует, что если |Х|^>||Л||, то уравнение (99)
при любом у имеет единственное решение, и это решение может быть
получено по методу последовательных приближений из уравнения
Иногда уравнение (97) пишут в виде
(кА — Е) х=у или (Е — \А)х=у.
При этом условие |Х|^>||Л|| заменяется условием ^К^ЦЛЦ.
Положим теперь, что Л — вполне непрерывный оператор,
и напишем два уравнения: одно в пространстве X и другое в АГ*:
(Л — Е)х=у	A00)
(А*—Е)х*=у*>	A01)

334	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[107
где у и _у* — данные элементы, а х и х* — искомые.
Напишем еще соответствующие однородные уравнения
(A — E)x = Q	A02)
(А* — Е)х* = В*,	A03)
где б и б*— нулевые элементы соответственно в X и X*. Множе-
Множества решений этих уравнений являются линеалами. Мы сформулируем
сейчас результаты, касающиеся написанных уравнений. Доказательство
их будет нами дано в следующей главе для случая гильбертова про-
пространства.
Если одно из уравнений A00) или A01) имеет решение при любой
правой части, то и другое уравнение обладает этим же свойством.
При этом каждое из указанных уравнений имеет единственное реше-
решение при любой правой части, и, тем самым, уравнения A02) и A03)
имеют только тривиальные решения х = Ь и jt* = 6*.
Если одно из уравнений A02) или A03) имеет решения, отлич-
отличные от нулевого, то и другое уравнение обладает этим же свой-
свойством, и число линейно независимых решений уравнений A02) и A03)
конечно и одинаково. Линеалы решений суть конечномерные подпро-
подпространства. При этом для разрешимости уравнения A00) необходимо
и достаточно, чтобы у был ортогонален ко всем решениям уравнения
A03), а для разрешимости уравнения A01) необходимо и достаточно,
чтобы у* был ортогонален ко всем решениям уравнения A02) [IV; 9].
Эти результаты сохраняются, естественно, и для уравнений с па-
параметром. В случае комплексного пространства типа В эти уравне-
уравнения запишем в виде:
(А — Щх=у A04);	(А*—Те)х*=у*\ A05)
(А — Щх = Ь A06);	(A* — Щх* = Ъ*. A07)
Сформулируем еще один результат. Имеется лишь конечное число
значений X, удовлетворяющих условию | X | ^ R, где R — любое за-
заданное положительное число, при которых уравнение A06) и, следо-
следовательно, A07) имеют решения, отличные от тривиального х = 0 (или
** = 6*).
Указанные результаты вполне аналогичны теоремам, которые мы
имели в теории интегральных уравнений.
Если X—вещественное пространство типа В, то л надо брать
вещественным и X = X.
Число X, при котором уравнение A06) имеет решения, отличные
от тривиального, называется собственным значением опера-
оператора Л, а число линейно независимых решений этого уравнения —
рангом соответствующего собственного значения. Решения хь х*, ...,
хт образуют полный набор линейно независимых реше-
решений уравнения A06), если общий вид всех решений этого уравне-

108]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В С, Lp И 1р	335
ния: х = схх{ -j- CoX.2 -(-... -f- ^mxm> г^е <^ — произвольные числа.
Представление всякого решения х в указанном виде единственно
в виду линейной независимости xk. Линейно независимые решения
можно выбирать различным образом, но в полном наборе линейно не-
независимых решений число их всегда одно и то же. Если уравнение
A06) имеет решения, отличные от тривиального, и элементу/, входя-
входящий в уравнение A04), удовлетворяет указанному выше условию
разрешимости, то все решения уравнения A04) представимы формулой
х = х0 -f cixx + ъхъ -f ... + стхтУ	A08)
где х0 — какое-либо решение уравнения A04), х{, х2, ... , хт —
полный набор линейно независимых решений уравнения A06) и ck —
произвольные числа. Все это непосредственно следует из линейности
уравнений A04) и A06) [IV; 9, 10].
108. Вполне непрерывные операторы в С, Lp и 1р. Л. Рассмо-
Рассмотрим в С интегральный оператор
A09)
где [ау Ь] — конечный промежуток. Если ядро К(х, t) непре-
непрерывно в квадрате Q[a^x^b\ a^y^b], то формула A09) дает,
очевидно, дистрибутивный оператор из С в С. Его ограниченность
непосредственно следует из неравенства
ь
max |^@| max [\K(x, t)\dt. (ПО)
a^.t^b	a<x<b *J
max
Если U—ограниченное множество функций ф (t) в С, т. е.
max \ty(t)\^A, то нетрудно видеть, что множество соответствующих
a<t<b
ср (х) компактно.Ограниченность непосредственно следует из A10), в силу
max |'}(^)|^Л, а равностепенная непрерывность — из неравенства
a^t^b
ь
| ср (Xi) - ср (Xl) К A j | К{хг, i) - K(xh t) | dt. A11)
a
Таким образом, при непрерывности ядра в Q оператор A09)
вполне непрерывен в С.
Можно показать, что норма оператора A091 в точности равна:
max \ \K(x, t)\dt.
a^x^.t

336	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	|108
Оператор A09) будет вполне непрерывным в С и при меньших
предположениях об ядре. Положим, например, что К(х, t) — ограни-
ограниченная измеримая в квадрате Q функция и что
lim K(x', t)=K(x, t)	A12)
при любом х из [at b] для почти всех t. При этом [54]:
ь
lim f \K(x\ t) — K(x, t)\dt = O
а
и при любом заданном s ^> 0 существует такое г\ ^> 0, что
при | *а — *! | < 71.
Это последнее доказывается аналогично тому, как доказывается
равномерная непрерывность функции, непрерывной на конечном зам-
замкнутом промежутке [Г 43].
Ограниченность и равностепенная непрерывность cp(jc) доказы-
доказываются совершенно так же, как и выше. В дальнейшем мы подробно
исследуем интегральные операторы с полярным ядром.
2. Рассмотрим теперь оператор A09) в Lp(p^>\) в предположе-
предположении, что ядро К(х, t)?Lp>(Q), т. е.
ь ?
о.	A13)
Если ф(х) — любая функция из Lp\a> b\, то интеграл A09) имеет
смысл. Нетрудно показать, что он определяет измеримую функцию
[ср. 68]. Согласно формуле Гёльдера имеем
-ь	1 ь	1
I ? С*) I < [ J I К(х, t) \p' dt \У \ J | ф (х) \° dx]T.
а	а
Возводя обе части в степень // и интегрируя по х, получим
Фк. С114)
т. е. A14) есть линейный оператор из Lp в Lpt. Можно показать,
что А есть норма этого оператора. Докажем, что это вполне непре-
непрерывный оператор. Пусть U—ограниченное в Lp множество функ-
функций ф (х), V — множество соответствующих функций <р (х) G Lpr.
Надо доказать компактность V. По условию [ ф ||^ р ^ С, если ф (х) G U,
и из A14) следует j<p]^- ^AC. Остается доказать, что ср(дг) равно-

108|	В ПОЛИ!: Ш1ПРКРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В С, 1р И //;	337
степенно непрерывны в среднем. Продолжая <? (х) нулем вне [а, Ь \
и К(х, t) нулем вне Q, имеем
откуда, как и выше,
В силу того, что К(х, t) непрерывна в среднем b'Lp< на Q, при
любом заданном е ^> 0 существует такое т] ^> 0, что
и из A15) следует, что
причем т] одно и то же для всех о (х) ? V, что и требовалось до-
доказать. Аналогично проводится доказательство для случая бесконеч-
бесконечного промежутка и многих независимых переменных.
3. Рассмотрим теперь оператор из/^ в 1Р<(/Л>1),задаваемый формулами:
•Ъ = вл6Н-айЕ* + ...	(П6)
при условии
У |а/ЛГ = Лр'<-!-°°	A17)
;, Т^\
Вводя обозначения для элементов jc Ei, ?.2, ...) и у{т\\, тц, • •.) и
применяя неравенство Гёльдера для сумм, получим совершенно так
же, как и выше
Ы,Р^Л\х\1р,	A18)
так что оператор A16) есть линейный оператор из 1р в 1Р>. Дока-
Докажем, что он вполне непрерывен. Пусть U—ограниченное множество
элементов х? lp (\xl\^C) и V — соответствующее множество эле-
элементов у $ Ipf. Надо доказать его компактность. Его ограниченность

338
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[109
следует из A18) и остается доказать, что при любом заданном
существует такое целое положительное число #?, что
\Р' :
A19)
Из A16) и неравенства Гёльдера следует
У
ОО ОО
У.
; ai* \р'\хЧ
s2 2
i = n k = I
'20)
В силу A17), двойной ряд с общим членом \aik\P' сходится, и,
следовательно, существует такое ns, что
2 2 ie«
отсюда, в силу A20), и следует A19).
A21)
109. Обобщенные производные. Мы введем сейчас новое поня-
понятие производной, которое часто применяется в современной матема-
математической физике. Пусть D — ограниченная область я-мерного эвкли-
эвклидова пространства Rni точки которого х определяются декартовыми
координатами (хь дг.>, ..., хп). Под областью будем всегда подра-
подразумевать открытое связное множество и будем считать, что границы
областей, о которых мы будем говорить, имеют объемную меру нуль.
Через Ь, как всегда, будем обозначать область D вместе с ее гра-
границей (замкнутая область). Будем говорить, что область ГУ лежит
строго внутри D, если U cz D и расстояние от В до границы D
положительно. Это равносильно тому, что П cz D. Как и раньше,
будем называть функцию финитной в D, если она равна нулю вне
некоторой области D', лежащей строго внутри D (Df может быть
разной для разных функций). Положим, что функции ср(дг) и $(х)
имеют непрерывные производные до порядка / внутри D и функция
ф (л*) финитна. Рассмотрим какую-либо производную порядка /
дх[1 dxir ... дх1пп
A22)
Применяя формулу интегрирования по частям, получим, принимая
во внимание финитность
С D'? {х) <Ь (х) dx = (— 1У ([ ср (х) D1 6 (х) dx. A23)
D	Ь

109]	ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	339
Формула A23) может быть положена в основу более общего по-
понятия производной.
Определение 1. Пусть функции у(х) и у(х) суммируемы по
любой строго внутренней подобласти D' области D и для любой
финитной I раз непрерывно дифференцируемой функции ф (х)
удовлетворяют соотношению
\ X (х) ф {х) dx = {—\ У j cp (х) D'<|> (х) dx.	A24)
Г)	D
Тогда функция у• (х) называется обобщенной производной вида
A22) функции cp(jc) в D.
Убедимся, что у заданной функции ср (х) может существо-
вать только одна обобщенная производная данного вида. Пусть
уЛх) и Ул(х)— Две обобщенные производные. Для у(х) и ух (х)
также справедливо равенство A24), Вычитая почленно, получим
f U С*) —Xi С*)] Ф (*)<** —0, '	A25)
'р
откуда, ввиду произвольности финитной функции ф (х), следует, что
Х(х) и 7л (х) ~— эквивалентные в D функции [71].
Если ср(дг) имеет внутри D непрерывные производные до по-
порядка /, то имеет место A23) м % (х) — D'cp (x). В дальнейшем мы
сохраним обозначение A22) и для обобщенных производных. Отме-
Отметим некоторые свойства обобщенной производной, непосредственно
вытекающие из ее определения. Обобщенная производная Dly(x) не
зависит от того, в каком порядке записано дифференцирование, ибо
в формуле A24) можно произвольно переставлять порядок диффе-
дифференцирования у функции ф(дг), имеющей непрерывные производные.
Если <?i(x) и ср2 (jc) имеют обобщенные производные вида A22):
ул(х) и ул(х), то cl^i(x)Jrc^;i(x) имеет обобщенную производную
6'iZi (х) + съХ'2 (х) того же вида (сх и с2 — постоянные). Если ^ (х)
есть обобщенная производная ср(х) в D, то она будет обобщенной
производной того же вида и в любой области /У, принадлежащей D.
Если ср(лг) имеет обобщенную производную ^ w = у (х) и х(х)
имеет обобщенную производную '^х' , то ср (х) имеет обобщенную
д*<? (х) д'/. (х) Л
производную ¦ ; \ ;- = я . Аналогично и для производных дру-
иХх ОХ» ОХ$
гих видов. Далее, если <$(х) имеет обобщенные производные ^ ¦•
ох^
и л 7 \ 9 то а а есть обобщенная производная от t по дг^
Ниже мы покажем также, что при некоторых дополнительных огра-
ограничениях справедлива обычная формула дифференцирования произве-
произведения:

340	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[109
d in W ъ (л)| *у&	ы$	A26)
= у& ^ {х) + ?| (х) $ ^
Установим теперь связь между обобщенным дифференцированием
и операцией усреднения. Пусть a>j (| jc—у\) — какое-либо усредняю-
усредняющее ядро, зависящее от расстояния между точками х и у, и срЛ (х) —
средние функции, построенные для <р(х):
О27)
Предполагая, что <р(лг) имеет в D обобщенную производную
% (х) = Dzcp (x) вида A22), вычислим соответствующую (очевидно,
обычную) производную от средних функций [71]:
D* ?л (Л") = ~ J cp (_y) D'vo), (! х — у |) dy =
^	A28)
Будем считать точку x(^D отстоящей от границы D на рас-
расстояние, большее чем к. Так как функция (*>А(|лг—_у |) обращается
в нуль вне шара радиуса h с центром в точке х, то ее можно взять
в качестве финитной функции в формуле A24). Вместе с A28) это
приводит к соотношению
Dj ffh(x) = ~ j ^(\x~-y\)Dlv^(y)dy>	A29)
которое можно сформулировать так: средние функции от обобщен -
них производных совпадают с производными того же вида от
средних функций во всех точках области D, расстояние кото-
которых до границы D больше радиуса усреднения.
На основании свойств средних функций [71] можем теперь
утверждать, что при h -> 0 срЛ (х) -> <р (х) и Dl<Dh (x) -> D'cp (x) в
L (/У), где П — любая строго внутренняя подобласть области D.
Более того, если дополнительно предположить, что ф (х) сумми-
суммируема по любой строго внутренней подобласти Dr с какой-либо
степенью р^\у а обобщенная производная Dzcp(jc) — с какой-либо
степенью q^\, то сходимость <рЛ(х) и Dlyh(x) имеет место в
Lp(D') и LQ(D') соответственно. Сделаем одно предостережение.
Пусть функция ср (л:) доопределена каким-либо образом на все Rn:
например, положена равной нулю вне D. Тогда функции yh(x) также
определены во всем пространстве и при h -> 0 сходятся к ср (х) в
Lp(D)i Однако функции Dlyh(x\ вообще говоря, не будут схо-
сходиться к D'cp (x) p пространстве Lq(D). Это связано с тем, что так
продолженная функция ф(лг) может не иметь соответствующей обоб-
обобщенной производной во всем Ип.

109J	ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	341
Вернемся теперь к доказательству формулы A26) диффе-
дифференцированию произведения. Докажем сначала одно простое ут-
утверждение. Пусть <?,(*)??,(?') (/;>1) и ср-2 С*) ? lp% (d')
(— -\—,- = 1 j в любой строго внутренней для D области В и ф (х) —
ограниченная финитная в D функция. Тогда
\ ?1А (Л") ?*Л (Х) Ф (*) rf* ^ ^ ?1 С*) ?2 (•*) Ф (¦*) <*¦* •
Л	й
Действительно, используя неравенство Гельдера, найдем
Здесь С = sup | ф (лг) j и /Х--подобласть D, вне которой ф(х)
равна нулю. Правая часть последнего неравенства стремится к нулю
при h -> 0, так как ср.2Л (х) -> ср.2 (х) в Lp> (D')} ср1Л (х) -> <р, (х), в
Lp (?)') и сходящаяся в Lp (Z)') последовательность ср1Л (х) ограни-
ограничена в Lp(D') по норме.
Установим теперь формулу A26) в предложении, что ср, (х) и
%^€ ^(С), а ?,(^) и %^6 Lp'W) для любой строго внут-
ренней подобласти [У. Используя предыдущее утверждение, имеем для
любой непрерывно дифференцируемой финитной функции ф(х),
равной нулю вне D' F2):
и, следовательно,
При достаточно малом h можно применить в Р* формулу A29)
и заменить в A30) Щ^ „а 1^Щ d^W. (*§l*>) .
A30)

342	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[109
Применяя еще раз паше вспомогательное утверждение к правой части
A30), получим:
Последнее равенство означает, что произведение ?i (х) ?,2 (х)
имеет в D обобщенную производную по ЛГ|, которая может быть
вычислена по формуле A26).
Заметим, что формула A26) справедлива и при />=1. В этом
случае нужно только принять р =:оо, т. е, считать у$(Х) и —к—
ограниченными в любой подобласти D\
Покажем теперь, что можно дать другое определение обобщен*
ной производной и на основе формулы A29) установить его эквиват
лентность первоначальному определению,
Определение 2. Функция х(лО называется обобщенной про-,
извод ной вида A22) функции <?{х) в D, если существуем последов
еательность I раз непрерывно дифференцируемых внутри I)
функций &т(х), таких, что <?т(х) и Dlym(x) сходятся соответ-
соответственно к у (х) и % (х) в I, (О')г где 1У — любац строго внутрен-
внутренняя подобласть D<
Теорема /. Определения 1 и 2 равносильны, Положим, что
%(х) — обобщенная производная от у(х) но второму определению,
Имеет место формула A23), при замене ер(лг) на <?т(х), и, но*
скольку срт(х)~*<?(х) и D*<pm0*0"^zW в ?(^')» мы можем при
любом выборе финитной функции ф(дг) с указанными свойствами не-
рейти к пределу под знаком интеграла [ср, 62], откуда и следует
формула A24).
Положим теперь, что %(х) — обобщенная производная от <р(л*) в
смысле первого определения. Тогда, в силу A29) и теоремы 4 из [71],
требуемую вторым определением последовательность функций срт(х)
дадут средние функции 9hm(x) ПРИ какой-либо последовательности
hmf стремящейся к нулю (при этом у(х) считаем продолженной
нулем вне D). Теорема 1 доказана. Из этой теоремы следует, что и
в смысле второго определения обобщенная производная единственна,
если она существует.
Докажем теперь теорему, которая показывает, что обобщенные
производные выдерживают слабый предельный переход в Lp(Df).
Теорема 2. Пусть функции vk(x) (k^=\, 2, ...), определенные
внутри D, слабо сходятся к некоторой функции ср(х) в Lp{D')
(Р^>\)> ?де D* — любая область, лежащая строго внутри А имеют
в Р обобщенные производные Dl<?k(x) вида A22) и нормы Dlyk(x)
6 Lp(D') ограничены некоторым числом M(D')t которое зави-
зависит от выбора D\ Тогда ср(#) имеет в D обобщенную про-,
изводную Dlf(x) вида A22), равнун? слабому пределу ^'

ПО)	ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЙ (ПРОДОЛЖЕНИИ)	343
Доказательство. В силу слабой компактности ограниченных
множеств в Lp при /?^>1, из неравенства
¦\^?klpiD')^M(iy)	A31)
вытекает существование подпоследовательности <?„ (х) такой, что
Dlyn (х) слабо сходятся в Lp(Dr). Беря последовательность строго
внутренних расширяющихся областей D'm, сходящихся к D, мы с по-
помощью диагонального процесса построим подпоследовательность
D'cpm (x), для которой производные D'cp (x) слабо сходятся в Lp (/У)
к некоторой функции х(х) в любой строго внутренней подобласти D\
Ясно, что у(х) определена всюду в D и принадлежит Dp(D') для
любой строго внутренней области ГУ.
Равенство A23) справедливо при замене ср(д-) на срш (дг). Переходя в
нем к пределу при фиксированной функции ф (х), приходим ввиду финит-
ности ф(лг), к равенству A24), (слабая сходимость), откуда следует, что
/(х) есть обобщенная производная ср(лг) в D. Из сказанного выше
вытекает, что любая слабо сходящаяся подпоследовательность Dlym (x)
имеет один и тот же предел %(х) (единственность обобщенной про-
производной), и отсюда легко заключить, что и вся последовательность
D!yk(x) слабо сходится к у(х).
Замечания. 1. Из доказанной теоремы следует, что если
?(.*;)? Lp(D') и производные средних функций срл (лг) имеют оценку
A31), то в D существует обобщенная производная [Уср(л;)? Lp(D).
Мы уже видели, что в этом случае D/rfh (x) -> D'cp (x) в Lp(Dr) и,
следовательно, норма Dly(x) удовлетворяет оценке A31).
2.	В условиях теоремы 2 функции <р(х) и Dl®(x) могут принадле-
принадлежать Lp(Dr) и Lq(D') соответственно и при р ф q.
3.	Теорема 2 сохраняет силу при р=\, если вместо A31) пред-
предположить слабую компактность функций Dl?k (х) в L (D') для всякой
строго внутренней подобласти /7 области D.
ПО. Обобщенные производные (продолжение). Установим те-
теперь связь между существованием обобщенных производных и абсо-
абсолютной непрерывностью функций. Мы рассмотрим случай одного не-
независимого переменного и основной областью D будем считать про-
промежуток 0<^лг<^1. Пусть функция ср (лг) абсолютно непрерывна на
промежутке [0,1]. Как известно [74], <р (х) имеет на промежутке
[0, 1] производную ср'(-хг), которая является суммируемой на [0, 1]
функцией. Формула интегрирования по частям [74) дает при любой
непрерывно дифференцируемой финитной функции ф (х) соотношение
'У (х) dx = - j ср' (х) ф (х) dx,	A32)

344	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	|110
которое показывает, что ср' (х) является обобщенной производной
функции ср (х).
Пусть теперь cp(jc)(^L ([0, 1]) и имеет обобщенную производную
^ . в Д принадлежащую L ([О, 1]). Покажем, что при этом ср (х)
эквивалентна некоторой абсолютно непрерывной в [0, 1] функции.
Обозначим
и заметим, что 9i(x) абсолютно непрерывна и ее производная <р[ (х)
эквивалентна - [74]. Разность ср* (.x;) = cp(jt)— cpt (jc) имеет, оче-
очевидно, производную, эквивалентную нулю. Фиксируем г ^> 0 и рас-
рассмотрим промежуток [е, 1 — г]. При достаточно малом h производная
от средней функции у*г(х) равна нулю в [е, 1—s] и, следовательно,
ср*. (х) есть постоянная в [г, 1 — е]. Так как пределом постоянных
может быть лишь постоянная, и cpj;(х)-+ ср* (х) в L ([г, 1 —г]), то
ср* (х) эквивалентна постоянной в промежутке^, 1 — г]. Отсюда непо-
непосредственно вытекает, что всюду в D
A33)
с точностью до эквивалентности. Таким образом, мы установили, что
существование обобщенной производной равносильно абсолютной не-
непрерывности ср (х). Для случая многих независимых переменных
аналогично доказывается, что если ср (xh х.г, ..., хп) имеет обобщенную
производную % , например, в кубе |0<^JCfe<^l; k=\, 2> ..., п\
и у(х) и ^^х' ^Lp (p^\) в этом кубе, то для почти всех зна-
значений (х2, х3, ..., хп) из куба |0<^л"*<О; k = 2, 3, ..., п)
ср (х) абсолютно непрерывна при 0 ^ х{ <с 1 и имеет место равенство
,, хь ..., Jf») =
для всех Xj из !
Это равенство, так же как и равенство A33), нуждается в по-
пояснениях. Именно функция ср(лг) и ее обобщенная производная Dcp(jc)
определены с точностью до множества меры нуль. Поэтому равен-
равенства A33) и A34) надо понимать в том смысле, что существуют
функции из класса эквивалентных cp(.v) функций, для которых они
справедливы.

ПО)	ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	345
Приведем теперь пример функции ®(х{, х>2), имеющей обобщен-
обобщенную смешанную производную —1^-~-- и не имеющей обобщенных
первых производных. Этим свойством обладает функция у(хъ Х2) =
=f(xx)-\-f(x^ @^xk^\: k=\, 2), где f(x) есть непрерывная
функция из [76]. Функция cp(xi> x-i) ue имеет обобщенных первых
производных, ибо f(x) не есть абсолютно непрерывная функция.
Обобщенная же производная —~—s—— существует и равна тож-
ОХ\ ОХ»
дественно нулю. Действительно, для любой гладкой финитной функции
ф(хь х2) мы имеем
и аналогично для f(x>2), т. е.
откуда и следует (определение 1), что обобщенная производная
Полезно заметить, что если функция у(хь х.1у ..., хп) непре-
непрерывна в D и если область D может быть разбита при помощи ко-
конечного числа гладких поверхностей на конечное число областей
О,-(/ = 1, 2, ..., /), в каждой из которых ср(лг) непрерывно диффе-
дифференцируема по некоторому xk вплоть до границы, то ср (х) имеет
в D обобщенную производную, равную -4^—^, в каждой из D{, Эта
производная может иметь разрывы первого рода на упомянутых выше
поверхностях. Сформулированное утверждение непосредственно полу-
получается из формулы интегрирования по частям:
J?W^^ = ~ ^^^(x)dx-{- §<?(x)<((x)cos(n,xk)dS9 A35)
где S{ — граница Dt и п — направление нормали к Sit внешней по
отношению к D,-. Нужно лишь заметить что интегралы по поверх-
поверхностям Si при суммировании по I сокращаются.
Если ср (х) имеет различные предельные значения на каком-нибудь
(п—1)-мерном куске V] поверхности, находящейся в Д и направ-
направление xk не лежит в касательной плоскости к этой поверхности, то в D
не существует обобщенной производной — --—. Это следует из
c)xk
установленной выше связи между абсолютной непрерывностью 'f(-v)
и существованием обобщенной производной,

346	метрический и нормированный прострлнстил	[111
Замечание. Можно вводить понятие не отдельной обобщенной
производной суммируемой функции ср (х), а обобщенного линейного
дифференциального оператора любе го порядка, например:
I, k = I	k = \
где коэффициенты достаточно гладкие функции от (хх, х.ь ..., хп).
Такой обобщенный оператор определяется равенством, аналогич-
аналогичным A24):
[?{х)М(ф)dx=[ L (ср)I(х) dx%	(Ш)
5	б
где Ж(ф)—сопряженный дифференциальный оператор и <\>(х) — лю-
любая гладкая финитная в D функция [IV; 1б8|. Существование от-
отдельных производных, входящих в оператор L (ср), при этом не пред-
предполагается.
111. Случай звездной области. Выше мы показали [109] при
помощи средних функций, что для всякой ср (х) из Lp(D) (/7^1),
имеющей обобщенную производную у(х) = D'cp(x) также из Lp(D),
существует последовательность / раз непрерывно дифференцируемых
в D функций ук(х) таких, что срk (х)-> ср(х) и D'yk(x)-+у(х)
и Lp(Dr). (Здесь, как и раньше, D' — любая строго внутренняя под-
подобласть D). Мы покажем теперь, что для одного важного класса
областей аналогичная аппроксимация функций cp(jc) и Dlz>(x) возможна
и в пространстве Lp (D).
Назовем область D областью звездного типа, если существует
такая внутренняя точка х0 области, что всякий радиус-вектор, вы-
выходящий из х{ь пересекает границу только в одной точке. Говорят
также, что такая область звездна относительно точки х{).
Теорема. Пусть область D — звездного типа и пусть ср (х)
имеет в D обобщенную производную D'cp (х)у причем ср (х) и D'cp (л:)
принадлежат Lp(D) (p^\). Тогда существует последователь-
последовательность q>k(x) I Раз непрерывно дифференцируемых в D функций
таких, что yk (x) и Dzcpfe (x) сходятся к ср (х) и D'cp (x) в Lp (D).
Мы говорим о / раз непрерывно дифференцируемых в D функ-
функциях ср/г (х)} если ср/г (х) непрерывны в D, непрерывно дифференци-
дифференцируемы внутри D до порядка /, и их производные могут быть до-
доопределены на границе D так, что получаются функции, непрерыв*
ные в D.
Примем упомянутую выше точку х0 за начало координат и по-
|
строим последовательность функций ср (—-- х) (k = 2, 3, 4,

112]	пространства W{1) и Wh	347
определенных внутри областей Dk, содержащих D строго внутри себя,
причем Dk получается из D преобразованием подобия с коэффици-
k
ентом подобия z—г.
к— 1
Обозначим ср (— ~ х) = у{к) (х) и покажем, что функции &{к) (х)
сходятся в Lp(D) к ср (х), а обобщенные производные Dl^^k)(x)
сходятся в Lp (D) к у (x)=Dly (x). Установим, например, второе утверж-
утверждение. Мы имеем
' X I
Расстояние между точками —-— x и х не превосходит --, где
d — диаметр D, и, следовательно, стремится к нулю равномерно в D.
Повторяя рассуждение теоремы о непрерывности в среднем [70], мы
убеждаемся в том, что второе слагаемое правой части последнего
неравенства стремится к нулю при k —> со.
!k—\\l
В первом слагаемом множитель 1— —-г—) стремится к нулю,
а второй множитель, в силу сказанного выше, сходится к ||x(-^)lk (D)
(непрерывность нормы). Еще проще устанавливается сходимость <?(/г) (•*;)
к ?(х) в Lp(D). Заметим теперь, что при фиксированном k область D
является строго внутренней по отношению к D]v и потому средние
функции ср^/о (лг) сходятся к <р(/г) (х), а их производные D'cp^(jc) схо-
сходятся к D/cp(/?) (x) в Lp(D) при h -•— 0. Отсюда следует, что функ-
функции ср (jc) 'и х(-*г) можно аппроксимировать в метрике Lp(D) беско-
бесконечно дифференцируемыми в D функциями ср^ (х) и Dl(^^(x) при
подходящем выборе последовательности hk —¦ 0. Функции ср^ (х) можно
принять за функции срл (JC)> указанные в формулировке теоремы.
Теорема доказана.
112. Пространства W[l) и Wyl). Пусть, как и выше, D — огра-
ограниченная область я-мерного пространства. Рассмотрим множество
всех функций ср(лг), имеющих все обобщенные производные порядка /,
причем ср (х) и все D'cp (х) принадлежат Lp (D) (р ^ 1). Этот класс
функций будем обозначать через W{1) (D); мы превратим его в норми-
нормированное пространство, если введем норму по формуле:

348	МРТРИЧЕСКИК И НОРМИРОВАННЫЙ ПРОСТРАНСТВА	[112
Здесь и в дальнейшем \	означает суммирование по
всевозможным наборам натуральных чисел AЬ /.>, ..., /п), в сумме даю-
дающих /. Нетрудно проверить наличие основных свойств нормы, ука-
указанных в [95J. Покажем, что пространство $aJ> — полное. Пусть vk (х) —
сходящаяся в себе последовательность в w^(D)y т. е.
Vk (Х) — 'f m (Х)
! 4-
(%(*)	dhm(X) f
dx— 0
при k и ///—> со. Отсюда следует, что последовательности ?ь(х) и
D'cp^ (л*) сходятся в себе в Lp(D). В силу полноты Lp(D) и теоремы 2
из [109], получаем, что yk(x) сходятся и Lp(D) к некоторой функ-
функции ср(лг), причем эта функция имеет всевозможные обобщенные
производные порядка / из LP(D) и D'yk(x) — D'cp(jc) в Lp(D). Ска-
Сказанное равносильно сходимости <р/t, (.v) к v(x) в ^^(D). Простран-
Пространство ^^(D) является, таким образом, пространством типа В (полным
линейным нормированным пространством). Остановимся теперь на до-
доказательстве сепарабельности пространства w{l)(D)- С этой целью
представим область D в виде счетного множества непересекающихся
полуоткрытых промежутков [32]. Соответствующие им открытые
промежутки пронумеруем, обозначим Dk (k=\, 2, ...) и введем
множество V^(D) функций ®(х), принадлежащих ^l){Dk) в каждом
промежутке Dk и таких, что сходится ряд
Задание нормы по формуле A39) превращает V^(D) в ли-
линейное нормированное пространство. Легко видеть, что функции из
VJ7(/)(D) входят в V^HD) и j| ср ||-/л = || ср | V{1){D). Таким образом,
W[l)(D) есть подпространство пространства V(/)(D), и нам достаточно
р	р
установить сепарабельность последнего [94].
Множество функций из V^(D), отличных от нуля лишь в конеч-
конечном числе промежутков, плотно в V[l}] (D). Действительно, пусть
ср(х) ? V{l)(D) и г^>0—произвольное число. Положим -о (х) = ср (х)
р	'
т
при л* ? / 1)/г и ср(дт) = О в остальной части D. Очевидно,
), и при достаточно большом т:
п

112]	пространства \V^ и Wf	349
в силу сходимости ряда A39). Функции срт (л:) в каждом из проме-
промежутков Dk (k^tn) можно приблизить в метрике W^i^k) ? Раз не"
прерывно дифференцируемыми функциями [111] последние в свою
очередь можно вместе с производными равномерно приблизить в Dk
многочленами с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает,
что в V{1) (D) плотно множество функций, каждая из которых от*
лична от нуля лишь в конечном числе промежутков Dk и в каж-
каждом из этих промежутков совпадают с многочленом с раци-
рациональными коэффициентами. Легко видеть, что множество таких
функций счетно и, следовательно, V& (D) сепарабельно. Этим дока-
доказана и сепарабельность пространства w^(D).
Остановимся теперь на одном специальном вопросе. Пусть в не-
некотором линейном нормированном пространстве X наряду с основ-
основной нормой || х || введена еще норма \\х\\и причем для всех х ? X
с% || х || ^ || х |ц ^ Ci || х \\у
где ^i ^> 0 и с.2 ^> 0 — постоянные. Нормы, удовлетворяющие усло-
условию A40), называются эквивалентными. Очевидно, что последова-
последовательность хпУ сходящаяся в одной норме, сходится в другой. При ре-
решении вопросов полноты, сепарабельности, компактности и т. п. без-
безразлично, какую из эквивалентных норм рассматривать. Точно так
же дистрибутивный оператор, ограниченный в одной норме, ока-
окажется ограниченным и относительно другой (эквивалентной) нормы.
При этом норма ограниченного оператора, вообще говоря, меняется
при переходе к эквивалентной нормировке пространства, но остается
конечной.
Рассмотрим подробнее вопрос об эквивалентных нормировках в
я-мерном вещественном эвклидовом пространстве Rn. Мы ввели в
Rn норму формулой
||х|! = 1/*Н-х§-1- ... +**.	A41)
Пусть теперь функция f(x)=f(x{, х%, ..., хп) обладает свой-
свойствами нормы [95] и, кроме того, непрерывна на поверхности еди-
единичной сферы x\-\-xl-\~ ... -(- jc;z = I. Покажем, что \\x\\i=f(x)
представляет собой норму, эквивалентную норме A41). Непрерывная
функция f(x) достигает на поверхности единичной сферы своего
наибольшего и наименьшего значения. Обозначим cl = snpf(x) и
г., = mif(x) при || х ||=1. В силу положительности и непрерывно-
непрерывности /(jc), имеем 0<^е\> ^с, <^ -\- со. В силу свойств f(x) всюду в
Rn>
т. е. нормы A41) и f(x) эквивалентны.

350	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	(ИЗ
В качестве f(x) можно взять, например, выражения:
1
заданные в пространстве деМ (D) формулами:
(р^>\) или
Основываясь на этих соображениях, легко проверить, что нормы,
= У IID'cpH/: {D)-\-\\?\\lp(D)	A42)
= max || Dly\\Ln{D)-{-\\y\\Ln{D)	A43)
A44)
эквивалентны основной норме A38). Этим замечанием мы будем поль-
пользоваться в дальнейшем.
Введем теперь еще одно функциональное пространство. На мно-
множестве функций, имеющих всевозможные обобщенные производные в D
до порядка / включительно и принадлежащих вместе с этими произ-
производными Lp (D), определим норму формулой
,= 2 2 \\°*Кфу
&=о ki-\-..7+kn -= *
Полученное линейное нормированное пространство будем обозна-
обозначать Wf (D). Так же, как это было сделано для пространства Wp\D),
можно доказать, что пространство Wf (D) — полное и сепарабельное.
Сделанное выше замечание о эквивалентных нормах в Wp](D) в рав-
равной мере относится и к пространству Wp}(D). Ниже [116] мы покажем,
что для довольно широкого класса областей пространства Wf (D) и
W{p (D) состоят из одного и того же множества функций, и нормы
A38) и A45) эквивалентны. При / = 0 и /= 1 пространства Wf (D)
и \Vp (D) совпадают по определению, причем, очевидно, Wxp (D) есть
113. Свойства функций класса W'ft (D). Систематическое изу-
изучение свойств функций пространств Wf (D) и Wp} (D) будет нами
предпринято в ряде следующих параграфов, посвященных так назы-
называемым теоремам вложения. Результаты настоящего параграфа являются

113]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА Vfln (D)
351
частными случаями этих общих теорем. Однако, ввиду важности
упомянутых результатов, мы даем им здесь независимые, значительно
более простые доказательства.
Отметим прежде всего одно свойство пространства \Х^Р (D), не-
непосредственно вытекающее из его определения. Пусть имеется замена
переменных х(х{, лг2, ... , хп) на у{уь Уъ ••• > Уп) такая, что D
биоднозначно преобразуется в некоторую область Оь причем пре-
преобразование в обе стороны выражается функциями, имеющими непре-
непрерывные производные до порядка / в соответствующей замкнутой
области. Если у функций совершить указанную замену независимых
неременных, то при этом пространство ]^р (D) переходит в Wpl)(Dx).
Из определения пространства W^p \D) непосредственно следует,
что если ср(лг) ? V^lp\D)y то <р(дг) ? W{qm\D) при q^p и m^L Дока-
Докажем в связи с этим следующую теорему.
Теорема /. Если U есть множество элементов ср (х) ? W[p (D),
ограниченное в Wf (D) (/ ^ 1), то оно компактно в Wpl~~X) (D'\
где 1У — любая область, лежащая строго внутри D. Докажем
сначала теорему при /= 1. По условию существует такая постоян-
постоянная С, что, если ср (х) ? U, то
п
Р	Ь	s=\
Надо доказать, что множество U компактно в Lp (D')y где Dr —
фиксированная область, лежащая строго внутри D. Ограниченность U
в Ьр(ГУ) непосредственно следует из A46). Остается доказать равно-
равностепенную непрерывность в среднем функций ср (х) ? U в Lp (D') [70]. Мы
докажем, что для достаточно малых | &х\=У(кхх)*-\-(кхъ)*-\-...
имеет место неравенство:
[\<f(x + Адг) — ср (х) \pdx < С,
A47)
где С\ — постоянная, одна и та же для всех ср (х)? U, откуда и сле-
следует упомянутая равностепенная непрерывность.
Поворачивая, если нужно, оси координат, мы можем считать, что
Ад: есть (Длгь 0, 0, ... , 0) и Aj^i ^> 0. Пусть D" есть область того
же типа, что и D', причем D' находится строго внутри D". Величину Ахх
будем считать настолько малой, что лг —|— Ал: не выходит из области D",
когда х ? U. Предположим сперва, что функция ср (л:) непрерывно
дифференцируема в D. Очевидно,
!" dx = f

352
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЙ ПРОСТРАНСТВА
[113
При р^> 1 внутренний интеграл оцениваем по неравенству Гёль-
дера:
Откуда
A48)
При р=\ эта оценка непосредственно получается перестановкой
порядка интегрирования. Неравенство A48) справедливо не только
для непрерывно дифференцируемых функций, но и для любой функ-
функции ср(х) из W{p\D). В этом легко убедиться, выбирая последова-
последовательность сходящихся к ср(лг) в Wp](D) непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций и переходя к пределу в A48). Вместе с A46) оценка A48)
приводит к неравенству A47). Теорема тем самым доказана при /= 1.
Положим теперь, что /=2. Принимая во внимание, что, например,
—-^-ч— есть обобщенная производная по хХ1 от I , мы, применяя
ОХ\	ОХ{
теорему при /=1, докажем ее и для /=2. Аналогично рассматри-
рассматривается и случай любого /.
Отметим еще одну теорему, которая непосредственно следует из
теоремы, доказанной в [IV; 156].
Теорема 2. Если последовательность функций ®k(x), непре-
непрерывных и имеющих непрерывные производные до порядка / =
= -<у -\- 1 сходится в WM (Z/), где П — любая область, лежащая
I
строго внутри D, то yk(x) сходится равномерно в любой об-
области D'.
Из сказанного непосредственно следует, что предельная функция ср(х)
непрерывна внутри D. Положим теперь, что мы имеем некоторую функ-
функцию ср (х) ? №f} (D), причем /^ -?Н -f- 1, и <рЛ (х) — средние для ср (л:),
причем радиус усреднения стремится к нулю при ?->со. Принимая
во внимание свойство средних функций от обобщенных производ-
производных [109] и теорему 2, мы приходим к следующему утверждению:
если ср (х) ? Wf (D) и / ^ ~ -|- 1, то ср(х) эквивалентна не-
непрерывной в D функции.

Отсюда следует, что tyk(x) сходятся в норме Lp($vn) равномерно
относительно хп к некоторой функции ф(лг). Тем самым, в силу
^ (хп) = 1 ПРИ хп 6 у > а » мы получаем для срЛ (л-) предельную функ-
функцию ср(дг) в Lp($Xn), определенную на каждом сечении g.V/, если
и неравенством Гёльдера, получим
A49)
1131	свойства функций класса W® (D)	353
Положим теперь, что последовательность функций ук (х) сходится
в Wp\ Исследуем эти функции на каком-либо сечении области D.
Пусть D — цилиндр, определяемый условиями: 0<хл<Сй (а — ко-
конечное число) и (хь х.1у ..., хпЛ) принадлежит замыканию g неко-
некоторой конечной области g плоскости (х{, х.г,... , хп_\). Сечения D
плоскостями хп = const будем обозначать gr/i.
Теорема 3. Пусть vk(x) (k=\, 2, ...) непрерывны и имеют
л дуй (х) ГЛ	, ч	дуь М
непрерывную производную —Ч-— вин как yk(x)y так и vf
сходятся в Lp (D) (р^> 1). Тогда срл (х) сходятся в Lp (g.^) равно-
равномерно относительно хп из [0, а], предельная функция у(х) из
Lp(D) определяется этим на всех сечениях gv-n и как элемент
Lp(%xn) непрерывно зависит от хп. Сначала докажем утверждение
теоремы для хп ? -< , а . Возьмем непрерывно дифференцируемую
на промежутке |0, а] функцию С(хл), равную нулю при х„ = 0 и
единице при хп 6 -у f a . Непосредственно проверяется, что функ-
функции tyk(x) = r.(xn)yk(x) и -^^ сходятся в LP(D).
и.\п
Пользуясь формулой

354
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[113
-„¦, а . Это утверждение доказывается совершенно аналогично
и для хп ? 0 , -гг
, и очевидно, что эта предельная функция ср (дг),
определенная на всех сечениях % -п, будет предельной для срЛ (х)
и в Lp (D). Остается доказать непрерывную зависимость у (х), как
элемента Lp (Ъ.Хг)> от хп, т. е. доказать, что
lim \ | ср (хь ..., хп_х хп -\- 8) —<р (л:,, ..., л-я._ь хп) \р <
= 0.
Мы имеем, в силу неравенства Гёльдера:
ь ... , хп_15 хл -\- Ь) — ^ (хь ..., хп_ь хп) \р dx{... dxnA =
у,, лг;|)
„..., </*„,<
Л„ -h'i
dxJU^z»
и в пределе
ся ,, хл 4-8) — -
,..., л-л..„
" dxn
откуда и следует требуемое соотношение при хп
-~ , а\. То же
имеет место и для хп t
Замечание. В теореме условие непрерывности производных
—Щ—— можно ослабить, потребовав лишь наличия обобщенных про-
охп
изводных из Lp(D). В этом случае равенство A49) будет иметь
место [110] для всех хп ? [0, а] и почти всех (хь х>2>..., xn-i)
из g, и все дальнейшие рассуждения сохраняют свою силу. Предел
? — в Lp (D) будет, очевидно, обобщенной производной ^ ^ в D*
охп **	охп
Из доказанной теоремы и свойств обобщенных производных следует,
что если функция ср (jc) задана, например, в кубе Q [0 ^ Х; ^ 1;
/= 1, 2, ..., п] и принадлежит Lp(Q) (/?^>1) вместе с обобщенной

131	свойства функций класса W& (Ц)	355
р
производной -Х-^-, то она эквивалентна функции, определенной на
каждом сечении куба Q плоскостью хл = Ь @^&^1), принадле-
принадлежащей на этих сечениях Lp ($xn) и непрерывно зависящей от хп
в норме Lp (g). Это следует из того, что такую функцию ср (х) можно
аппроксимировать [111] непрерывно дифференцируемыми в Q функ-
функциями срл (jc) так, как это указано в условиях теоремы. В частности,
будут существовать в указанном смысле и предельные значения ср (х)
на гранях куба хп = 0 и jcn= 1.
Положим теперь, что функция ср (х) задана в некоторой ограни-
ограниченной области D и принадлежит Wp] (D). Пусть далее граница D
содержит гладкий кусок 5 размерности (я—1). Отобразим часть Д
примыкающую к 5, с помощью непрерывно дифференцируемого вплоть
до границы преобразования у=у(х) в параллелепипед (считается,
что S таково, что указанное преобразование возможно). Если
xn = F(xlt..., хп_х) (a^xk^fc k=l, 2, ..., ах—1)
есть уравнение S, и точки (xi, хъ ... , хп), удовлетворяющие усло-
условиям а < хк ^ [3 (k = 1, 2,..., п 	1); 0 ^ хп — F (х},... >хп_х) ^ 7»
принадлежат D, то в качестве новых переменных yk можно взять
У\ = *\\ Уъ = х* ...\ yn = xn — F(xl,...y xn_x).
Параллелепипед определится неравенствами: a^yk^:$(k= \, 2,...
..., п — 1); 0 ^уп ^i* В новых переменных <р (у) будет принадлежать
Wp(Q), где Q — упомянутый параллелепипед, и для нее будет
справедливо сказанное выше.
В частности, при приближении к грани Т куба Q, являющейся образом
куска 5, значение функции <р(_у) будет приближаться в норме Lp(T)
к значениям ср (у) на самой грани. В старых координатах это озна-
означает, что значения ср (jc) на 5 и значения ср (х) на „соответствующим
образом сдвинутых поверхностях" близки друг к другу в смысле
нормы Lp(S). В этом смысле для функций ср (х) из Wpl) (D) можно
говорить о их значениях на гладких'поверхностях размерности п— 1
(в частности, о их значениях на гладких кусках границы размер-
размерности п—1) и о непрерывном принятии этих значений.
Покажем сейчас, что для функций пространства \VPV (D) при ука-
указанных ниже условиях справедлива обычная формула интегрирования
по частям
+ \ Т С*) Ф С*) cos ("> •**)rf5'	(х Г)(')
где я — внешняя нормаль к границе 5 области D. Предположим, 4i о
область D можно разбить на конечное число областей Dki каждая

356	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[113
из которых звездна по отношению к какой-нибудь своей точке и
имеет кусочно-гладкую границу. Если мы докажем справедливость
формулы A50) для каждой из Dk, то, складывая эти равенства по
всем Dk, убедимся в справедливости A50) и для всей области D.
Итак, пусть D звездна и ср(х) ? Wpl) (D), ф(х) ? Wfi(D) (- + --,- = Г).
В силу теоремы из [111] существуют последовательности непрерывно
дифференцируемых в D функций yk(x) и ф/Дх), сходящиеся к ср(jc)
в Wp (D) и IFpV (D) соответственно. В силу теоремы 3 ер/* (*) -> 9 (х)
в Lp E), а фА (х) -> ф (х) в Lpr E). Для функций срЛ (х) и фЛ (х) фор-
формула A50) справедлива. Переходя в ней к пределу по k, мы и убе-
убедимся в справедливости A50) для ср (jc) и ф(-хг).
При решении предельных задач математической физики рассматри-
рассматривают некоторые подпространства пространств wf (D), состоящие из эле-
элементов, удовлетворяющих каким-либо однородным предельным усло-
условиям. Впервые они были введены К. Фридрихсом (см. Гильберт —
Курант, «Методы математической физики», т. II, гл. VII). Пусть Д
как и выше, — ограниченная область пространства х(хх, х^...,хп).
Обозначим &l)(D) — множество всех финитных непрерывных и непре-
непрерывно дифференцируемых до порядка / в D функций. В этом линеале
введем норму wf(D), и результат замыкания C(/)(D) по этой норме
обозначим через Wf (D). Если ср (х) g 6« (D) и ф (х) ? W§ (D)
(—!	— = 1), то мы имеем но определению обобщенных производ-
\Р Р i
ных:
f Dfe ср (лг) ф (л:) rfjc = (— 1 )fe f ср (х) Dk ф (х) dx.	A51)
Ь	d
Принимая во внимание, что элементы W{p (D) суть пределы
элементов из C{l)(D) в норме W{p] (D), мы можем утверждать, что
формула A51) имеет место для любых ср(х)? Wf (D) и ф(дг)? V^fiiD).
Очевидно, что Wp (D) входит в Wpl) (D). Нетрудно видеть, что
Wpl) (D) есть правильная часть W^ (D) (/^1). Действительно, рас-
рассмотрим, например, случай /== 1. Напишем формулу интегрирования
по частям
J ^т?г *{х) Aх=~ J v{х) Ч^г'dx -'¦ \ ?(х) *(АГ) cos ("> Xi) d5«
b l	b	'	^
где ср(л') и ф(л:) — непрерывно дифференцируемые в D функции.
В Wpl) {D) имеются функции у(х) указанного типа, не равные нулю
на 5, и для них, при соответствующем выборе ф(лг), интеграл по S
будет отличным от нуля. Для любой же функции ср (л~) из W{p (D)

П31	свойства функций класса W^ (D)	357
имеет место формула A51) при k=\, в которой интеграл по по-
поверхности отсутствует.
Формула A51), ввиду произвольности ф (х) ? W$ (D), дает нам
право говорить, что функции ср(х) из WP(D) „обращаются в нуль
на границе вместе со своими производными до порядка /—1".
Если граница S области обладает достаточной гладкостью, то ср (х)
и ее производные до порядка (/—I) стремятся к нулю в норме
Lp (S) при приближении к 5, как это указано выше.
В общем случае указанное предельное условие имеет место лишь
в том смысле, что для любых ср (х) ? Wf (D) и ф (х) ? Wpr! (D) имее г
место формула A51). При рассмотрении пространства Wf(D) глад-
гладкость границы не играет существенной роли, ибо, поместив D внутрь
некоторого шара D{ и доопределив cp(jc) в D{ нулем (вне D)y полу-
получим 'f Мб Wp^Di). Такое распространение функций из 1^гр)(Д)дает
возможность делать более полные заключения без введения областей
/У, находящихся строго внутри D. В частности: 1) функции ср (х) из
Wf (D) можно аппроксимировать в норме Wf (D) бесконечно диффе-
дифференцируемыми финитными в D функциями; 2) если ср (х) (^ Wf (D) с
/^ Y -{- 1, то ср (х) эквивалентна непрерывной в б функции, равной
нулю на границе D.
В заключение покажем, что замыкание функций из С(о°) (D) в Wp0> (D)
(р^-А), т. е. в Lp(D), дает все пространство Lp(D). Иначе говоря,
в пространстве Lp (D) гладкие финитные функции
образуют плотное множество.
Действительно, пусть D& есть множество точек, расстояние кото-
которых до границы D не меньше 8 и для любой ср (дг) ^ Lp (D):
{ ср (х), если х f Do,
{ 0, если л- ? /Л.
Очевидно, функции ср(й> (х) плотны в Lp(D), так как при 8->0
Построим средние для cp'f'> (x) функции $] (х) при h^-^. Это
гладкие финитные в D функции, сходящиеся в Lp(D) при //->()
к ср<г> (jc). Эти функции ср^(д:) образуют плотное в Lp(D) мно-
множество. Таким образом, мы показали, что при/ = 0 пространства
Wf(D) и W{^(D) совпадают.

,'}5$	мртричнскнг: и нормированные прос.трлнстил	|||4
114. Теоремы вложения. Мы переходим теперь к подробному
изучению свойств функций пространства W[lp (D) и установим зави-
зависимость между поведением функций и их производных в самой области
и на ее сечениях различных размерностей. В связи с этим мы получим
ряд важных неравенств и на их основе рассмотрим вопрос об экви-
эквивалентных нормировках пространства W{p (D). Совокупность этих
результатов обычно называют „теоремами вложения" С. Л. Соболева.
В настоящем параграфе мы приведем формулировки упомянутых
теорем.
Будем считать, что D — звездна относительно всех точек некото-
некоторого шара К, лежащего внутри D, или что D можно разбить глад-
гладкими поверхностями на конечное число областей такого типа.
Для областей указанного типа доказывается, что если гэ (х) имеет
в D все обобщенные производные порядка 1;^\, причем z> (х) и
эти производные принадлежат Lp (D) (р ^> 1), то .ср (х) имеет все
обобщенные производные до порядка /, причем они также при-
принадлежат Lp{D). Другими словами, класс функций Wpl) (D) вкла-
вкладывается в класс Wpm)(D) при m<^L а также в класс Wpm)(D).
Отсюда, между прочим, вытекает, что для областей упомянутого
выше вида классы WyP (D) и Wp (D) состоят из одних и тех же
функций. Условимся для краткости обозначать
Доказывается, что имеет место неравенство
/ - 1
v
где Л — положительная постоянная, не зависящая от выбора
ср(х)? W{P(D). Неравенство A52) показывает, что нормы пространств
W[P(D) и V^p (D) эквивалентны. В дальнейшем мы можем не различать
пространства Wpl)(D) и W{pl) (D). Высказанные утверждения содержатся
как частные случаи в более общих теоремах, к формулировке которых
мы переходим.
Указанные выше утверждения и теоремы, которые мы формулируем
ниже, будут доказаны в [115—118].
Предварительно введем пространство С(/) (D) функций непрерыв-
непрерывных в D и имеющих все производные до порядка / включительно
также непрерывные в D, причем норма в этом пространстве опреде-
определяется следующим образом:

114J	теоремы вложения	359
где D''cp (лс)—любая производная порядка k и максимум берется
по х г D и по всевозможным производным до порядка /. Напомним,
что непрерывность какой-либо производной D^cp (х) в О понимается
следующим образом: ® (х) имеет внутри D непрерывную производную
/)fecp (jc), и эту последнюю можно доопределить на границе D так,
что получится функция, непрерывная в D. Вместо указанной выше
нормы в Cll) (D) можно ввести эквивалентную норму по формуле
|ср'|= V Л тах
k = o *,+ ..- k =fe *fc^ ^/l ---^
д\ (х)
Пространство C[l) (D) есть, очевидно, полное пространство типа В.
Пространство С{0) D мы, как и раньше, будем обозначать C(D).
Теорема 1. Если /?^>1 и р/^>п, то всякая функция
ср(лг);? V^p (D) эквивалентна функции из С (D) и
где М — постоянная, зависящая только от области D. Всякое
множество U, ограниченное в W[p (D), компактно в C(D).
Теорема 2. Вели р^> I и pl^n, то всякая функция
ср (х) ? Wp] (D) эквивалентна такой функции ср (х), которая опре-
определена почти везде на сечении Ds области D любой плоскостью
размерности s^> п — pi, причем ср (х) суммируема на Ds с любой
степенью q, которая удовлетворяет неравенству
п — /
A54)
где М\ — постоянная, зависящая только от области D и сече-
сечения Ds. Кроме того, при любом заданном е ^> 0 существует tj^>0,
одно и то же для всех ср (jc), нормы которых в W{p (D) не превы-
превышают любого фиксированного числа, такое, что
\ \ ср (х f Ах) - ср (х) q ds ^ с,	A56)
если |Дл*|^т| и точки х и х -\- тАх (O^x-^t) принадлежат D.
Из сказанного вытекает, что множество, ограниченное в W{p (D),
компактно в Lq (Ds).
Отметим, что за Ds мы можем брать как полное, так и неполное
плоское .9-мерное сечение Д а также «-мерную область, входящую
в D. Если pi — n, то в последней теореме q можно брать любое,

360	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	|114
большее единицы. При р/<^п правая часть A54) больше единицы.
Теорема остается справедливой, если плоскость заменить гладкой
поверхностью.
3 а м е ч а и и е. Согласно теореме 1 всякая функция <р (х) ? W%] (D)
при pl^>n оказывается и функцией из C(D), т. е. из V^p (D) она
вкладывается в C(D). Согласно A53) оператор вложения, сопоста-
сопоставляющий каждой функции из V^p (D) ее же, но как элемент C(D),
оказывается ограниченным оператором, а последнее утверждение
теоремы сводится к тому, что этот оператор является и вполне
непрерывным оператором. Аналогичное замечание можно при-
привести и для теоремы 2. Укажем еще на некоторые следствия теорем
вложения. Если pl^> п и целое число т удовлетворяет неравенству
- , то любая ?(.*:)? W{lp] {D) непрерывно дифференци-
дифференцируема в D до порядка /я, причем функции D^cp (x) при k^rn экви-
эквивалентны соответствующим непрерывным в D производным от <р (х),
и существует такое положительное число Л, зависящее только от D,
что
*<Д!;«рЦ,(О1.	A57)
Отсюда следует, что Wf (D) при р/^>п есть часть пространства
функций, непрерывно дифференцируемых в D до порядка: /— — — 1
<-Н-|	Р
(часть пространства С п ). Если
т^Оу tn^l	и s^> п — (/ — т)р, '
то на всяком достаточно гладком 5-мерном многообразии Fs в D:
Dmf{x)eLq(Fs) при q<n_JP_m)p,	A58)
и существует такое положительное число Ль зависящее только от D
и Fs, что
Во всех перечисленных случаях соответствующие операторы вло-
вложения вполне непрерывны.
Теоремы 1 и 2 позволяют построить различные нормы в W(p (D),
эквивалентные основной норме (N5) или A38). Более общий результат
в этом направлении дает следующая теорема 3.
Теорема 3. Пусть линейные ограниченные в W{p (D) функцио-
функционалы /ft{u) (k = 1, 2, ... , N) таковы, что они не обращаются одно-

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
361
временно в нуль ни на одном отличном от тождественного нуля
полиноме степени не выше I — 1. Тогда формула
N
!?"= У |dV!?/?(d)+ У ;М?);р A6О)
определяет норму, эквивалентную основной норме A44) или A38).
Отметим предварительно, что, в силу сказанного в 1112|, норма A60)
эквивалентна, например, норме
Л'
и другим аналогичным выражениям.
Приведем некоторые примеры эквивалентных норм в простран-
пространстве Wp (D). Из теоремы 3 следует, что в У^Р\О) можно задать
норму формулой
п
4- \ <?(x)dx .	A62)
Действительно, функционал \ y(x)dx линеен в WP\D) в силу
неравенства
1
ср (х) dx
) (/и D)p'
cdx Ф 0 ни при какой постоянной 6^0 (здесь mD обозначает
меру области D).
Из теоремы 2 вытекает, что норма
IT:
= у
дхк
A63)
эквивалентна норме A38) при всяком q, удовлетворяющем условию
1 ^ q <d Р^_ (р <С п)- При р = п можно брать любое q ^ 1. Если же
р^> п, то также можно брать любое q^ 1 или даже заменять второе
слагаемое формулы A63) на ЦуЦсф)- Такое же замечание относится
и к последующей формуле A64). Читатель легко проверит, что вы-
выражение
/г — 1
дхи i
.+11? lit
A64)

362	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[115
где 5 — какое-либо гладкое многообразие (п— 1) измерения, лежащее
в Д и показатель q удовлетворяет условию 1^<7<С	(Р<Сп)>
также определяет норму, эквивалентную норме A38). Аналогичные
соображения приводят к разнообразным эквивалентным нормировкам
пространства Wf (D) при /^> 1.
115. Интегральные операторы с полярным ядром. Мы переходим теперь
!К наложению доказательств теорем вложения, о которых мы говорили в пре-
предыдущем параграфе. Предварительно нам надо рассмотреть некоторый класс
интегральных операторов с полярным ядром. Как обычно, через D обозначим
ограниченную область я-мерного пространства Rn. Пусть ал — сфера радиуса
единица в Rn (размерности п— 1) и | ал | — площадь этой сферы. Для элемента
объема в Rn имеем формулу [II, 173] dx = dxidx* •. . dxn = rn~ldrdan, где
dvn = sin4 6, sin" 3 02 ... sin 6Л..о^/в1лГв2 .. . dbn2d'^.
Теорема /. Пусть В (х, у) — ограниченное при х и у ¦- D и непрерывное
при х-фу ядро. Интегральный оператор
%	A65)
вполне непрерывен (и тем самым ограничен) как оператор из Lp (D) в С (D)
. , л / 1 . 1 Л*)
при I < —	f- — = 1 | /
Р \Р l P !
По условию | В (л', _у)! ^ В, где В — постоянная. По неравенству Гёльдера:
и(х)
Г i
f(y)
\р
dy
1
Р ! 1*
1
Ч
где Kr—шар радиуса R с центром в	начале координат, содержащий Д и
г = \х~у\. Переходя к сферическим	координатам с началом в точке х}
получим
1 ш	У
г
\р'
KR
и, следовательно,
\-
- 1 - A/Jf
dzn
Р'
( \ а I \ о' -I - а
, (О)'
A66)
A67)
Эта оценка показывает, что если Ц/j^ ф)^С, где С — некоторая по-
постоянная, то соответствующие функции и (х) равномерно ограничены в D. Для
доказательства теоремы достаточно показать, что они равностепенно непрерывны.
Пусть 5>0 достаточно малое число и DE>—множество тех точек y^Df
*) Здесь и в дальнейшем считаем р> 1.

Окончательно;
Предполагая, что В (х, у) определено в области Dif содержащей D
внутри себя, и обладает в Di указанными выше свойствами, получаем%
кроме того:
i II (X + аА-()) - U (X) \L {Ds)^z(*)\nL {D)t	A68)
где а*° — фиксированный вектор, а г (а) непрерывна при 0 ^ а ^ Ь, где Ъ-н?-.
которое положительное число, равна нулю при а = 0 и определяется
постоянной В, а также размерами D и Ds. При s~n за Ds можно брать
любую подобласть D.
Замечание. Можно не предполагать, что В (а:, у) определено в более
широкой области Du но при этом в формуле A68) надо считать сдвиги ах°
допустимыми, т, е. такими, что точки tv + «л'° находятся в О, Отметим также.,
Что при п — (л -.— л)р 5=5 0 показатель q •¦ любой.
Доказательство разобьем на две масти.
откуда, ввиду произвольности выбора Ь и е, и следует равностепенная непре-
непрерывность и(х) при Ij/ljjr @)^C. Тем сам>м теорема доказана,
Теорема2, Пусть «>^т. целое число $ >п — (п — ь)р (или, что
то же , —> X	гJ и s ^.п. Интегральный оператор A65) вполне непрерывен
как оператор из Lp (D) в Lq (D5), где Ds — какое-либо s-мерное плоское
сечение и q — любое число, удовлетворяющее неравенству
которая принадлежит D, и оценка этого интеграла также получается из (\' 1)
причем мы считаем | Дл; |-с: —. При любом заданном ? > 0 существует такое
y]>0, что абсолютное значение разности, входящей в первый интеграл, ^ е,
если | Ах ] ^ 7j, Применяя неравенство Гёльдера, получим для первого инте-
интеграла оценку z\D\p Су где \Р\ — мера D, Второй интеграл можно оценить по
неравенству A67) при 2R = b} а третий интеграл не превосходит интеграл от
соответствующей подынтегральной функции но тоц части шара.
|15]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ	363
для которых \у —• л* i ^ Ь. Для х и л* + Ал* ? D получим

откуда
A69)
где дифференциал dxlS) относится к Ds, Меняем порядок интегрирования и
оцениваем внутренний интеград or r~s+q$ no Д91 который берется при посто-
постоянном у. Заметим сперва, что
Второй множитель справа есть j/jj J. Третий оценивается известным об-
образом:
причем/(у) продолжена нулем на часть тара, лежащую вне D, получим
Применяя его к интегралу, стоящему в правой части следующей очевидной
оценки:
Пользуясь дважды неравенством Гёльдера, придем к следующему неравенству
с тремя множителями;
Положим
364	метрический и нормированный пространства	[115
Лемма 1. При указанных условиях оператор A65) ограничен как опера-
оператор из Lp (D) в Lq (Ds).
Из условий теоремы следует, что q* > pf и будем пока считать, что q">p.
Мы имеем

115]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ	365
Вводя в Ds — сферические координаты, центр которых есть проекция у
на DSi получим dx{S) = ps~l dpdcsi и r~s+(*P ^ р~5+^, ибо р^г и —S +
+ qrp<0. Отсюда
не зависит от размеров D.
Мы считали q > р. Если взять q^p, то достаточно использовать нера-
неравенство
! и ;i^ ф^ «S ! н ft? (O?) I /Л i ?1 (P < 4i < ?*> A72)
(\ Ds\ — мера D9), которое непосредственно следует из неравенства Гёльдера,
и в выражение С войдет еще множитель \DS\ gi
Лемма 2. Оператор A65) непрерывен по сдвигу в указанном в тео-
теореме 2 смысле.
Как и в теореме 1
При q^p в выражении С2 добавляется еще один множитель.
Для доказательства теоремы 2 остается показать, что, при \\flL ^^A,
где А — постоянная, получается компактное в Lq (Ds) множество функций,
и(х). Ограниченность и (х) в Lq{Ds) следует из A7и), а равностепенная не?
прерывность н Lq(Ds) из A74), если считать, что Дх лежит э Р9 И принять
A70)
A71)
и, в силу A69):
где
A73)
причем, как и выше, |Дл'|^-у. При заданном г >. 0 существует такое '']>0,
что при | Ах | ^ rt мы имеем
I 1
и многоточие — сумма норм второго и третьего слагаемых правой части фор-
мулы A73). Для этих норм мы имеем оценку A70) при 2/? = 5 и 2/? = ^=-, так
A74)

366	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[115
во внимание, что упомянутое выше число ^ ^> 0, которое определялось по е,
зависит от ядра В (х} у), но зависит от f (у). Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть Вх(х, у) и В2(х, у) — ограниченные ядра при х и
у ( D и непрерывные при х ¦--? у. Тогда интеграл
f^fi!',?» <'•<* -<»>	(.7»
D
при х и z ? D представим в виде
1{ху z) = B(x, z)<?(\x-z\)f	A76)
где В (xf z) обладает теми же свойствами, что В;(х, у) (/= 1, 2) и
t-^+Ji-Я) при X + fX > Л,
+ |lg5| при Х + р. = л,	A77)
1 при X -[- н- < п.
Пусть х "ф z, Разобьем D на две части; D^ D\ + D2t так, чтобы Dly m
двух точек х и г содержала только точку X и D2 только z. Выбирая р' >> 1
так, что X < -Г и принимая в операторе A65) /(у) = В2 (у, z)\y — z j^, мы на
основании теоремы 1 можем утверждать, что интеграл A75), взятый no Di,есть
непрерывная функция (xf z). Аналогично и для интеграла по Д>. Таким обра^
эом, непрерывность I(xf z) при хфг доказана.
Для доказательства A76) достаточно доказать неравенство
т—
л: —-.
Aл: —
где С — положительная постоянная,
I. Пусть Х+{а>л. Обозначим |лг — г\х=Ь и введем новые координаты
, X , У , Z
* ~~ Ъ ' у ~~ Ъ '	о »
так что \х' — z' |=1. Обозначая, как обычно, через Rn все «-мерное про-
пространство, получим
(*	dy	С	dy	__ оп (*	dy'
При ьычислении интеграла по Rn поместим начало в точку л*' и ось у\
направим из х' в z\ При этом получим
где z'o имеет координаты A, 0, 0, ,,, , 0). Последний интеграл сходится, ибо
X < п, (л < п и X + !.х > л, и, очевидно, не зависит от л:, 2, откуда и следует;
V	"У 	 -" ^ j r ___ « j-tA-t-ut-/»*

В последнем интеграле мы увеличили радиус вдвое, но зато можем интегриро-
интегрировать по-прежнему по шару с центром в начале координат. Положительное Ь
QD
можем считать достаточно малым. Пусть — > 2. Интеграл по K^r разбиваем
на два: по К2 и по K2r— Кг- Интегрирование по Д дает некоторую положи-
0
тельную постоянную 6\. Остается оценить интеграл:
Окончательно
откуда и следует оценка A78) при X-fiA = w.
3. Исследования случая X -|- ^ <с /г в основном то же, что и предыдущего.
Отметим, что при этом интеграл сходится A78) и при х = z. Совершенно так же,
как и в предыдущем случае, имеем оценку:
или, в силу
В силу I у' — г'о \ ^ | у' j — 1 получим, обозначая \у' | = г:
Ц5]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ	367
2. Случай X -f-11 = п. Вводя шар К% с центром в начале и радиусим Af,
содержащий D, и вводя те же координаты, что и выше, получим

368
МНТРИЧКСКИ4* И НОРМИРОВАННЫЙ ПРОСТРАНСТВА
[116
т. е. мы имеем оценку
и теорема 3 доказана.
116. Интегральные представления С. Л. Соболева. Будем предполагать
ерь, что область D звездна по отношению ко всем точкам некоторого
утри D. Центр этого шара примем за начале
и через R обозначим его радиус. Введем следующую
егральн р
теперь, что область D звездна по отношению ко всем точкам некоторого
шара /С, лежащего внутри D. Центр этого шара примем за начало координат
и через R обозначим его радиус. Введем следующую бесконечно дифферен-
дифференцируемую функцию [71]:
при
A79)
где постоянная С выбрана так, что интеграл от р(у) по К равен единице.
Пусть и (у) — какая-либо непрерывная и непрерывно дифференцируемая
в D функция. Вводя сферические координаты с началом в некоторой точке х,
мы можем рассматривать и (у) как функцию л:, г и ыю где через ton обозна-
обозначаем совокупность угловых сферических координат [IV; 156], т. е. и(у) —
= и (Ху г, w,j), причем и (х, 0, сол) = и (х). Рассмотрим интеграл от произведе-
произведения и(у)р(у) по D. Фактически интегрирование ограничивается шаром К. Пред-
Представляя р (у) в виде р (х, г, шп) и интегрируя по частям по переменной г,
получим
\ " (У)Р(У) dy=\\\u(x,r, <*п)р(х9 г, »л) rn~l dr </«„ =-.
Ъ	X ' о	]
И J
о) 0
п
^" И Ju (X} r> °n) dr\\p {x*p> ^рЛ1
0	г
//(.V, Г, «л) \ р(Х} р, ^)pw flfp 'в^шя
и окончательно
\ и
J{ ^V
] *..
(у)р (у) dy = W (л-) -
jrr fi (л', у) dy, A80)
где
, У) = - J p(.r, р, «,
dp,
A81)

П6]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С. Л. СОБОЛЕВА	369
и точка у строится по сферическим координатам (г, сол) с началом в х. Функ-
Функция В (ху у) ограничена, если х и у ? D, и непрерывна при х^Ьу. Если у -+ х
по прямолинейному лучу, то В (х> у) имеет предел
зависящий от угловых координат луча. Из определения В (х, у) непосредственно
следует, что если х принадлежит шару К, то В (л:, у) = 0 для у} принадлежа-
принадлежащих D и лежащих вне /С, а если х находится вне /С, то В (х, у) = 0 Для V»
принадлежащих D и лежащих вне области, образуемой шаром К и той частью
конуса с вершиной х, касательного к шару, которая лежит между х и ша-
шаром /С Принимая во внимание формулу
п	п
да (у) / ч V да (у)
О COS (Г, V;) — > 	^~
получим, в силу A80),
где
У
J dyi \х— у
D
t(x у)
— у \n~l y'	v ;
= J и ООр Су) rfy; ^ (х, ^) = 5 (*, ^) g=^j . A83)
Ядра В{ (х, у) обладают, очевидно, теми же свойствами, что и ядро В (лг, у):
ограничены при х и у ? D, непрерывны при лг^.у и обращаются в нуль в ука-
указанной выше части области D.
Предположим теперь, что и (у) непрерывна и имеет непрерывные производ-
производные до порядка / в D и выведем формулу, выражающую и (х) через ее произ-
производные порядка /. Пользуясь формулой A82), можем написать
L \ dzidzk
k=\ D
dyi l ^ Lkt I dztdzk | у — z \n~
где
(* All I ll\
У.	A85)
Подставляя A84) в A82) и пользуясь теоремой 3 из [115], получим
/=1	/, fe = i
где
Bi(x,y)Bk(y,z)
х-уГЧу-^ dy> U87)

370
МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРЛНСТПА
[116
причем ядра B^k(x, z) обладают теми же свойствами, что ядро В (х, у), и
bi(x), в силу теоремы 1 из [115] (при f(y)=\), непрерывны в D. Аналогично
получается представление и (х) через производные порядка /:
'I'-". ll
i,= \ D
kr~l — I I,	jfe=l
dla{y\
дУн
\x-y\
dy,
где biv ... , /fe (*) непрерывны в D и ядра /?tl	^ (x, .у) обладают теми же
свойствами, что и ядро В (х, у),
"*	'^
и суммирование по iiy ... , f/ есть суммирование по всем видам производных
порядка /. Отметим, что в случае п<1 ядра в представлении A88) ограничены
[115].
Отметим также, что величины Uilt...,ik являются линейными функциона-
функционалами в Lp (D). В этом можно убедиться, представляя их в виде
Перейдем теперь к рассмотрению пространства W^ (D). Напомним, что
норма в нем задается формулой
д!и (у)
dy
A91)
(одна из эквивалентных норм [112]). Покажем, что интегральное представление
A88) справедливо для любой функции и (х) ? W^] (D). Пусть ит(х) — после-
последовательность функций из Сф (D), сходящаяся к и (х) в W^ (D) [111]. Запи-
Записывая A88) для функций ит(х) и придавая величинам Uix	^ форму A90),
перейдем к пределу при т —¦ со. В силу теорем 1 и 2 из [115] интегральные
операторы с ядрами Bih ... ti[ (х, у) \х—у\~~^п~1) непрерывны в Lp(D)} что
позволяет перейти к пределу под знаком интеграла. Таким образом, инте-
интегральное представление A88) справедливо для любых функций из W® (D).
Покажем теперь, что функции из W^ имеют всевозможные обобщенные
производные любого порядка k < / из Lp(D). Применяя формулу A82) к
производной от ит (х) порядка (/—1), получим
охп
С V
3 JL
D k= 1

dyh..
(У)
B^lA dv П921
[х-у Г'1 У> {

U7]	теоремы вложения	371
где	U\m)
t =
На основании теоремы 1 или 2 из [115] в зависимости от того, будет ли
п	. п
п.— 1 <: —у или п — 1 ^ — , мы можем утверждать, что интегральный опера-
оператор, стоящий в правой части A92), непрерывен как оператор из Lp(D) в С (D)
или Lp (D), т. е. во всяком случае в Lp (D). По условию ит (х) сходятся в норме
W{1) (D) к и(х)\ отсюда следует, что при т—*со правая часть формулы A92)
имеет предел в Lp (?)), и, следовательно, функция и (х) имеет в D обобщенные
производные порядка (/—1), из Lp(D), для которых справедлива формула A92)
с заменой ит (х) на а (х) и и\т^ ^ t на
Используя интегральные представления производных любого порядка k < /
через производные порядка /, аналогичные A88) и A92), мы совершенно также
установим существование всевозможных обобщенных производных низших по-
порядков из Lp (D). Упомянутые интегральные представления при этом автомати-
автоматически распространяются на все W{lp] (D). Отметим, что соответствующие инте-
интегральные операторы имеют ядра с полярностью порядка п — (/ — /г). Ограни-
Ограниченность этих интегральных операторов в Lp (D) непосредственно приводит
к оценке
dxiv ... , dxik
(?=1,2, ... , /-1).
откуда следует неравенство A52).
Величинам A90) можно теперь вернуть форму A89). Мы доказали, таким
образом, что для звездных относительно некоторого шара областей
.пространства W{:J a Wpl)cocmoHm из одного и того же множества функ-
функций и, в силу A93), нормировки этих пространств эквиваленты*)
Интегральное представление A88) функций из W® (D) в несколько иной
форме было получено С. Л. Соболевым (См. С. Л. Соболев „Некоторые приме-
применения функционального анализа в математической физике", ЛГУ, 1950).
Мы докажем теперь для звездных относительно шара областей общие тео-
теоремы вложения, сформулированные в [114], а затем покажем, каким образом
перенести эти теоремы на более широкий класс областей. Наше утверждение
относительно эквивалентности Wp^ (D) и W^ (D) также будет, тем самым,
перенесено на упомянутый класс областей.
117. Теоремы вложения. Вернемся к рассмотрению интегрального пред-
представления A88). Внеинтегральные члены правой части A88) являются вполне
непрерывными операторами из W^ (D) в С (D). Действительно, любая функция
и (х) ~ W^ (D) переводится таким оператором в одну и ту же непрерывную
*) В дальнейшем мы можем не различать W(^(D) и W{0\D).

372	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[117
в D функцию biv ..., ik (х), умноженную на число U^	,-Л, представляющее
собой непрерывный в W^ (D) функционал. Если множество функций и (х) огра-
ограничено в W^ (D), то из чисел Uix	ik можно выбрать сходящуюся последо-
последовательность. Соответствующая последовательность функций U^,.... ikfr. . (х)
сходится в Ъ равномерно. К интегральным членам A88) применимы теоремы 1
или 2 из [115]. Таким образом, мы непосредственно получаем следующие две
теоремы вложения [115].
Теорема 1. Если pi > п, то всякая функция и (х) ? W® (D) непрерывна
в D (W^ (D) cz С (D)) и оператор вложения ограничен
max | и (д:) | = || и || *?К\\и\\ {1)	(/С> 0 — постоянная)
D	р '^)
и вполне непрерывен, т. е. преобразует всякое множество функций, огра-
ограниченное в W® (D), в компактное множество в С (D).
Теорема 2. Пусть pl^nu s >>n—pL Тогда функции и(х) из W® (D)
на всяком плоском s-мерном сечении Ds области D принадлежат Lq (Ds)
при любом
= ^	094)
Оператор вложения W® (D) в Lq (Ds) ограничен и вполне непрерывен. Как
элемент Lq (Ds) функция и (х) непрерывна в метрике Lq (Ds) no отноше-
отношению к параллельному сдвигу сечения Ds, если последний допустим.
Замечания 1. Функции и (х) из W® (D) определяются с точностью
до эквивалентности, и утверждение теоремы о поведении и (х) на сечениях от-
относится к некоторому выбору из класса эквивалентных [ср. 113]. Отметим, что
формула A88) определяет, как это следует из предыдущего, такую именно
функцию.
2.	Если в теореме 2 заменить Lq (Ds) на Lq* (Ds), то, как можно доказать,
утверждения теоремы останутся справедливыми до слова „ограничен" включи-
включительно.
3.	Если в D взять s-мерное многообразие Ts (оно может лежать и на гра-
границе D), которое может быть преобразовано (хотя бы по кускам) в плоское
при помощи /-раз непрерывно дифференцируемой и однозначно обратимой
замены переменных yt =yt (xlt... , хп) (i = 1, ... , п), то теорема 2 остается
справедливой при замене Ds на Ts. При этом требуется, чтобы указанная за-
замена переменных была определена в некоторой я-мерной окрестности Ts.
Мы уже отмечали, что для функций и (х) ? W^ (D) обобщенные производ-
производные порядка т/2 <с / выражаются формулами, аналогичными A88), через произ-
производные порядка / с помощью интегральных операторов с полярностью порядка
п — (/ — т). Применяя теоремы из [115], получаем, как и выше, следующие
теоремы:
Теорема 3. Если pl~>n и 0 < т <:/ — —, то у функций и (х)? Wf(D)
обобщенные производные порядка т непрерывны в D, и оператор вложения
из W^ (D) в Сш) (D) ограничен и вполне непрерывен.
Теорема 4. Если т^1	и s>>n~(/—т)pf то у функций
и (х) ? W® (D) обобщенные производные порядка т принадлежат Lq (Ds) на

|17]	ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ	373
5 — мерных плоских сечениях Ds области D при любых
причем
в) для ограниченного в W® (D) множества функций и (х) множество
Dmu (x) компактно в Lq (Ds);
с) функции Dmu (x) в метрике Lq (Ds) непрерывны относительно допу-
допустимого параллельного переноса Ds.
К теореме 4 можно сделать замечания, аналогичные замечаниям к теоре-
теореме 2.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 3 из [114] относительно экви-
эквивалентных норм в W^ (D). Напомним соответствующую формулировку.
Пусть линейные ограниченные в W® (D) функционалы lk (и) (k = 1,2,..., N)
таковы, что они не обращаются одновременно в нуль ни на одном отлич-
отличном от тождественного нуля полинома степени не выше I—1. Тогда
норма в W® (D), определяемая формулой
эквивалентна норме A91)
Доказательство. Очевидно, норма A97) оценивается через норму
A91), ввиду ограниченности в последней норме функционалов lk (и) (k = 1,
2,...,7V).
Перейдем к доказательству обратного неравенства. Будем временно обо-
обозначать норму A97) просто || и || и норму A91), эквивалентную норме A45),
через || и || /Л
Нам нужно показать, что для всех функций из W® (D) справедлива
оценка
||u|| m <i4||«||.	A98)
Предположим обратное, т. е., что существует такая бесконечная последо-
последовательность положительных чисел Лт(т = \, 2,...) и элементов ит(х) из
W® (D), что Ат —* -\- оо при т —* оо и
р
Вводя в ит (х) постоянные множители, можем считать
l|Hmll^(/)(D) = l.	B00)
Из A99) и B00) вытекает, что ||мт||—-0 при т —> 0, и, следовательно,
все обобщенные производные порядка /функций ит (х) сходятся в Lp (D) к нулю.
В силу B00) и теоремы 2 последовательность ит (х) компактна в L^ (D). Вы-
Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность, которую обозначим снова
через ит (х), и пусть ит (х) —* и0 (х) в Lp (D) при т —* оо. Из теоремы 2 [109]

374	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[118
теперь вытекает, что все обобщенные производные порядка / от и() (х) суще-
существуют и равны нулю. Заметим также, что ит (х) сходится к и0 (х) в смысле
нормы A91). Покажем теперь, что и0 (х) = 0. Рассмотрим какую-либо строго
внутреннюю подобласть 1У области D. В D' производные от средних функций
«оЛ (х) при достаточно малом h совпадают [109] со средними функциями от
производных D^ (л'). Отсюда непосредственно следует, что все производные
порядка / от средних функций w0/2 (х) равны нулю в D' и, тем самым, мол (х)
суть полиномы от Л"ь ... , хп степени не выше /— 1 в соответствующей под-
подобласти. Поскольку множество таких полиномов образует подпространство
в Lp(D'), и uoh(x)—*uo(x) в LP{D)} то мы видим, что и0 (х) есть некоторый
полином степени не выше /— Г в любой внутренней подобласти, а значит и
всюду в D. Заметим теперь, что в силу непрерывности функционалов lk (и) в
Wf (Ь), lk (um) — lk (и0) при m -> со (k = 1, 2, ... , N). В то же время.из A99)
и B00) следует, что lk (ит) —* 0 при т—* со (k = 1, 2, ... , N). Мы получаем,
таким образом, что Ib(uQ) = 0 (/г = 1, 2, ... , 7V), и, по условию доказываемой
теоремы, и0 (л:) = 0. Последнее, однако, противоречит B00) и сходимости ит (х)
к и0 (х) в Wpl) (D). Теорема доказана. Приведем теперь несколько простых
примеров использования доказанных теорем.
1. Пусть и(х)? Wi2) (D), т. е. функция и (х) вместе со своими обобщен-
обобщенными производными до второго порядка включительно суммируема по Dc ква-
квадратом. При п <С 3 из теоремы 1 следует, что и (х) непрерывна в D. При я^>4
это утверждение может оказаться неверным.
2) Норма A62) в Wlpl) (D), полученная нами с помощью теоремы 3 в [114],
приводит при р = 2 к известному неравенству Пуанкаре:
B01)
3) Аналогичным образом норма A64) при р = 2 и q = 2 дает:
B02)
Здесь S — достаточно гладкое (п—1)-мерное многообразие в D. В ча-
частности, если граница области D — кусочно-гладкая, то она может быть взята
в B02) в качестве многообразия S. В этом последнем случае неравенство B02)
известно, как неравенство Фридрихса.
118. Области более общего типа. Мы займемся теперь перенесением
теорем вложения на более широкий класс областей. Пусть ограниченная об-
область D может быть разбита кусочно-гладкими (п — 1) — мерными мно-
многообразиями на конечное число областей, в каждой из которых справед-
справедливо все доказанное в [117]. Тогда это справедливо и в области D.
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда D разбита некоторой поверх-
поверхностью So на две непересекающиеся части Di и D2. Пусть функция и (х) ? W^ (D).
Покажем прежде всего, что и(х) имеет в D все обобщенные производные
низших порядков из L^(D). Очевидно, а (х) ? Wpl) (К), где К—любой шар,
лежащий в D. Применяя к этому шару сказанное в [116], убеждаемся, что и (х)
имеет в К всевозможные обобщенные производные вида^, (х) —Dku(x) @^ k <z /),
принадлежащие Lp (/<).Функция / (х) определена всюду в D и принадлежит Lp (D).
Действительно, в D{ и О2 и(х) имеет производную Dku(x) из L0{Di) и L0{D«)
соответственно. Единственность обобщенной производной позволяет утверждать,
что •/ (х) совпадает с Dk и(х) в Di и U*>, и, следовательно,*/ (.v) ? Lp(D). Пока-

I 18]	ОБЛАСТИ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ТИПА	375
жем теперь, что у (х) есть обобщенная производная Dku(x) в D. Пусть D' —
произвольная строго внутренняя подобласть D и 5 > 0—расстояние D' до
границы D. Пусть х — произвольная точка D1 и 0 < /к 5. В шаре радиуса 5
с центром в точке х и (у) имеет обобщенную производную Dkn(y) — у (у). Обра-
Образуя средние с радиусом усреднения /г, мы можем утверждать [109], что в цен-
центре шара Dkuh(x) = yh{x). Так как uh (х) ~> и (х) при /г-> 0 и Dkuh(x)-»y{x)
в Lp (D1), то но второму определению обобщенной производной [109] / (х) есть,
обобщенная производная Dku (x) функции и (х) в D. Остается напомнить, что
у (Л-) ? Lp (D).
Замечание. Наше рассуждение показывает, что в любой области D
функции из W^ (D) имеют обобщенные производные всех низших порядкоз
из U (D').
Рассмотрим теперь вопрос о перенесении на нашу область D теоремы 1 из
[117]. Предположим, что п <с pi и, следовательно, и (х) непрерывна в DL и D2.
Покажем, что и (х) непрерывна в D, для чего достаточно установить непре-
непрерывность и (х) в точках поверхности So. В любой внутренней точке D непре-
непрерывность и (х) вытекает из теоремы вложения W^ в С, примененной к доста-
достаточно малому шару. Для точек So, лежащих на границе Д предельное значе-
значение и (х), получаемое по любому пути, лежащему в Di} в силу непрерывности
и (х) в D1} совпадают с предельным значением, полученным по пути, лежащему
в So. To же самое можно сказать и о предельных значениях при приближении
из ZJ. Отсюда следует, что предельные значения функции и (х) по любым пу-
путям совпадают, и и (х) непрерывна в D. Полная непрерывность (и, следова-
следовательно, ограниченность) оператора вложения вытекает из того, что для ограни-
ограниченного в W^} (D) множества можно сначала выделить последовательность, схо-
сходящуюся в С (Di)y а затем из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся
в С (D2). Эта подпоследовательность, очевидно, сходится в D равномерно.
Совершенно также доказывается возможность перенесения в рассматрива-
рассматриваемом случае теоремы 3 из [117]. Не возникает трудностей и при распростра-
распространении теоремы 2 [117]. Нужно лишь заметить, что s-мерное сечение Ds, во-
вообще говоря, также разбивается на две части: Ds = D's + D'^ где D's = Ds • Diy
D's=Ds- D2. Применяя теорему 2 [117] в^и D2, получим
\ <*;>+1" \ №;> ^ c
B03)
Таким образом, устанавливается ограниченность оператора вложения из
Wpl) (D) в Lq (Ds). Этим же путем переносится и утверждение о сильной не-
непрерывности в Lq(Ds) функций из W^ (D) относительно параллельного пере-
переноса сечения Ds. Полная непрерывность оператора вложения из W^ (D) в Lq (Ds)
непосредственно вытекает из B03) и сильной непрерывности относительно
сдвига.
Распространение теоремы 4 из [117] не требует никаких новых соображе-
соображений.
Остается справедливой и теорема 3 из [114] об эквивалентных нормах
в Wp] (D), так как ее доказательство, данное в [117], опиралось лишь на тео-
теоремы вложения.
Мы можем утверждать теперь, что, если каждая из составляющих D ча-
частичных областей звездна относительно некоторого шара, то для области D
справедливы все теоремы вложения, рассмотренные в [114] и [117].

376	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[119
119. Пространство C(/)(Z>). Пусть D — конечная или бесконеч-
бесконечная область пространства Rn и С{1) (D) — множество всех финитных
непрерывных в D функций ср (х), имеющих в D непрерывные производ-
производные до порядка /. Очевидно, что C[l) (D) есть линейное простран-
пространство. Введем в нем аналогично случаю Cil)(D) [114], следующую
норму:
||<р|| :(!),= max |D<*>4>C*)|,	B04)
Замыкание C(/) (D) по этой норме приведет нас к пространству
типа Ву которое мы обозначим через С(/) (D). Элементы этого про-
пространства суть ограниченные функции, непрерывно дифференцируемые
в D до порядка /, причем на границе D сама функция и ее упомя-
упомянутые производные обращаются в нуль.
При различных значениях /=0, 1, ... пространства С(/) (D) есте-
естественно вкладываются одно в другое: C(/l) (D) си С(/а) (D), если 1Х ^> 1Ъ
причем множество элементов C(/l) (D) плотно в C(/s) (D). Это легко
показать, применяя процесс усреднения.
Рассмотрим сопряженное с С(/) (D) пространство и обозначим его
через ?/(/) (D) (пространство линейных функционалов для С^ (D)).
Легко видеть, что U^(D)czU^{D) для /i>/a.
Примерами элементов U^l) (D) могут служить функционалы, опре-
определяемые с помощью суммируемого по D ядра ф (х) равенством
(т, <p)=[y(x)<f(x)dx.	B05)
Ъ
Их норма удовлетворяет неравенству
\
D
Такие функционалы нередко называют функционалами типа
функции и отождествляют с ядрами, определяющими эти функцио-
функционалы. Остальные функционалы называют обобщенными функциями.
Функционалы типа функции не исчерпывают всего U^ (D). Так, на-
например, функционал Ь(х — х0), определяемый равенством
B06)
где х0 — фиксированная точка D, не допускает представления B05)
с суммируемым по D ядром. Говорят, что соответствующее этому
функционалу ядро есть дельта-функция Ь (х — дг0), сосредоточенная
в точке х0, и пишут
\Ь(х~ х,) ? (х) dx = ср (л-0).	B07)

119]	пространство C(l)(D)	377
Но функция 8 (х— х0) не является функцией в обычном смысле.
Однако, как мы покажем, элементы ?/(/) (D), представимые в форме
B05), с кусочно-непрерывным ядром плотны в ?/(/)(D). Точнее,
имеет место:
Теорема. Функционалы типа функции с кусочно-непрерывным
ядром плотны в С(/) (D) в смысле слабой сходимости функцио-
функционалов. Предварительно докажем следующую лемму:
Лемма. Для любого фиксированного элемента cp(jc) ? С{1) (D)
при заданном е ^> 0 существует такая область Dl} лежащая
строго внутри D, что
max |D(fe)cp|<e.	B08)
В силу определения С{1) (D) существует последовательность
срт(лг) элементов С(Л (D), которая стремится к ср(дг) в норме B04),
и потому существует такой значок т&, что при любом ^
|| Tme — 9m, +р
Функция ?mt(x) отлична от нуля лишь в некоторой области De
указанного выше типа, так что для х ? D — De из последнего не-
неравенства следует:
max
и в пределе при /?->оо мы и получаем B08).
Переходим к доказательству формулированной выше теоремы.
Пусть т ? U{1) (D). Возьмем усредняющее ядро <op(|jc—у\). Оче-
Очевидно, что для х, принадлежащего какой-либо ограниченной области
D , лежащей внутри D и отстоящей от границы D на расстояние,
не меньшее 2р, сор(\х—у\), как функция у, принадлежит С(/) (D),
так что функция
т9(х) = (т, % (| * —J> |))	B09)>
определена для х ? Z)p. В силу бесконечной дифференцируемости
сор (| х —у |) и непрерывности, функционала т, она также будет
иметь непрерывные производные всех порядков по х. Определим
теперь для всех х ? D кусочно-непрерывную функцию
/Юр (х) при х ? Dp,
0
и возьмем последовательность р = рь р2, ..., стремящуюся к нулю,
причем будем считать D9 выбранными так, что D9 czD9 и D9

378	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[119
в пределе стремится к D. Докажем, что функционалы т9 , опре-
определяемые равенством
стремятся к взятому функционалу т. Для этого возьмем произволь-
произвольную функцию ср (х) ? Cu) (D) и докажем, что разность
стремится к нулю при &-> оо, откуда и будет следовать теорем!.
Согласно лемме при заданном е ^> 0 можно указать такую ограни-
ограниченную область Ds, лежащую строго внутри D, что для ср (х) будет
справедливо неравенство B08). Будем считать k настолько большим,
что DsczDp . Обозначим
Суммы Римана для этого интеграла
где ksx — мера частичных областей, а Е5 принадлежат этим
областям, и их производные до порядка I по у сходятся рав-
равномерно по у к функции ср/г (у) и ее соответствующим производным
при беспредельном измельчании А9 х частичных областей ввиду не-
непрерывности ср (х) и бесконечной дифференцируемости сор (\х — у\)
по у. Но, в силу дистрибутивности функционала и его непрерыв-
непрерывности в норме B04), мы имеем
и в пределе
так что выражение B10) для rk можно записать в виде
B11)

119]	пространство C(/)(D)	379
Функция срл (х) не есть обычное усреднение ? (х) с ядром
сор (\х—у\), ибо область интегрирования Dp может не содержать
всего шара \х—y\*^pk> если у G D. Однако если у принадлежит ка-
какой-либо строго внутренней ограниченной подобласти области D, то шар
\х—y\^?k будет принадлежать Dp при всех достаточно больших
k, и yk{y) для таких у есть усреднение ср(л-) с ядром о)р (|jc—j/|).
Ясно, что cpfc(_У) G C(/) (D). Покажем, что yk(y) сходятся к ср (у) в
норме B04). Для этого возьмем 8 ^> 0 меньше расстояния Ds до
границы D и обозначим через D6 область, полученную присоединением
к De всех шаров радиуса 8 с центром в Д. Для у ? D3 и всех до-
достаточно больших k: Dg cz Dp и
Поэтому cpfc (^) сходятся к ср (у) при k -> схэ равномерно по
j/ G ^й вместе со всеми своими производными по у до порядка /
[71]. Если же y?D—Db, то обе функции cp(-V) и Тл (у) Равно-
мерно малы вместе со своими производными до порядка /, ибо для
ср(_у) справедливо неравенство B08) при у G D — Z)s. Итак, срЛ (_у)
сходятся к ср(_у) в норме B04), и из B11) следует, что rk->0 при
&->оо. Теорема доказана.
Можно было бы показать, что функционалы типа функций с
гладкими ядрами также плотны в ?/(/) (D).
Определим теперь операцию умножения на функцию а (х) и опе-
операцию дифференцирования -^— для элементов U{1) (D).
Пусть а (х) G C{r) (D). Если D — бесконечная область, то считаем,
что а (х) и ее производные ограничены. Введем линейный оператор:
Лср = а (х) ср (х),
который переводит ср(дг) G C{1) (D) ва(х)у(х)? Cis) (О),где s=min(/,r).
Операцию умножения элемента т из U^ (D) на а(х) определим
как оператор Л*, сопряженный с А, т. е. определим его равенством
(/я, Лср) = (Л*/га, ср),	B12)
которое должно выполняться для всех ср (х) G C[l) (D).
При этом оператор Л* применим к элементам из ?Л5) (D) и
А*м G ?/(/) (D). Если функционал /« имеет вид B05) с суммируемым
по D ядром, то
(/и, Лср) = С ф (х) [а (х) ср (х)] </*=С[ф И а (х)] ср (х) rfx,

380	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[119
т. е. функционал А*т также есть функционал типа функции с ядром
а(лг)ф(х). Рассмотрим теперь оператор дифференцирования
Он является ограниченным оператором из С^1^ (D) (/^1) в
C^~l) (D). Сопряженный ему оператор Б* формально также опре-
определяется равенством вида B12)
(/и, В?) = (В*т, ср)	B13)
и переводит элементы т из U{l~l) (D) в ?/(/) (D). Для функционалов
т, представимых в виде B05) с непрерывно дифференцируемым
ядром ф (Jt), это равенство показывает, что функционалу В*т со-
дф (.г)
ответствует ядро -4-^—, иоо
(да, B<t) = -[^(x)^-dx = ^ c^-<f(x)dx = (B*m, ср).
Посмотрим, как вычисляются операторы Л* и В* от функционала,
задаваемого 8—функцией, т. е. от функционала B06).
Пусть (p(jc)GC(/)(D) (/S^l). Тогда
^х	B14)
(8 {х - х0), 5ср) = (Б* 8 (х - дг0), ср) = - ^Э
Можно ввести и последующие дифференцирования, причем,
как легко доказать, результат не зависит от порядка диффе-
дифференцирования. Таким образом, для элементов из U{1) (D) можно
определить производные до порядка / и различные диффе-
дифференциальные операторы. Для этих операторов можно ставить те же
задачи, что и для обычных функций; именно задачу Коши и различ-
различные краевые задачи. Впервые обобщенные функции были введены
С. Л. Соболевым при решении задачи Коши для линейных гипербо-
гиперболических уравнений A936 г.). Такое расширение класса объектов,
оказывается полезным с двух точек зрения: во-первых, может
оказаться, что в классе обычных функций задача не имеет реше-
решения, а в классе обобщенных функций (функционалов) решение есть.
Во-вторых, иногда легче доказать существование „плохого" реше-
решения, являющегося обобщенной функцией, а затем уже исследо-
исследовать вопрос о том, когда эта обобщенная функция будет обыч-
обычной.

119]	пространство C{l)(D)	381
Оба эти обстоятельства отчетливо видны на примере задачи Коши
для различных систем дифференциальных уравнений в частных про-
производных с постоянными коэффициентами
N п	N
д t)
vhr±Jj
j=\	B15)
Ui(x, 0) = yi(x).
(i=l, 2, ..., Л0
Применяя преобразование Фурье по х, эту задачу сводят к за-
задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, зависящими от числовых параметров
ak. Применение обратного преобразования Фурье позволяет перейти
от решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений к ре-
решениям исходной задачи. Если оставаться в рамках классических
преобразований Фурье, то придется ограничиться рассмотрением
только убывающих в определенном смысле начальных функций и
свободных членов /?. При этом предположении вопрос исследован
И. Г. Петровским. Однако в его же работах из дополнительных со-
соображений было показано, что существует класс так называемых
гиперболических систем, для которых решение в произвольной точке
пространства (jc0, tQ) определяется значениями начальных функций
ср,- (х) лишь в некоторой ограниченной части пространства х, завися-
зависящей от точки (лг0, ^о)- Тем самым было установлено, что задача
B15) для гиперболических систем однозначно разрешима при любом
поведении срг (х) при безграничном возрастании | х |.
Далее в работах А. Н. Тихонова, О. А. Ладыженской и С. Д. Эйдель-
мана было показано, что для так называемых параболических систем
начальные функции также можно брать не только неубывающими при
|лг|->оо, но даже неограниченно (экспоненционально) растущими. Од-
Однако для сохранения теоремы единственности на этот раз надо наклады-
накладывать определенные ограничения на порядок роста. Наконец, для об-
обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности (т. е. задачи
Коши для уравнения -^— = Aw, решаемой вниз по t) было известно,
что она имеет обычное решение лишь при специальных начальных
данных.
Все эти факты требовали более внимательного изучения задачи
B15) и в связи с этими преобразования Фурье от функций, произ-
произвольным образом ведущих себя на бесконечности. Это изучение
было начато в работах Л. Шварца и подробно проведено в работах
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова. Преобразование Фурье от функ-
функций, растущих на бесконечности, есть, вообще говоря, уже не функ-
функция, а функционал в некотором С{1) (Rn). В классе этих функциона-
функционалов и приходится в дальнейшем рассматривать задачу Коши для

382	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[119
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем от них
переходить к решениям задачи B15), которые в одних случаях ока-
оказываются обычными, а в других — обобщенными функциями. Мы не
будем приводить здесь результатов всех этих исследований, прове-
проведенных И. М. Гельфандом, Г. Е. Шиловым и их учениками, а ото-
отошлем читателя к работам И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова по обоб-
обобщенным функциям и их приложениям. *)
Здесь же мы отметим некоторые факты, касающиеся решений в функцио-
функционалах для линейных уравнений второго порядка эллиптического, параболиче-
параболического и гиперболического типов с переменными, но гладкими коэффициентами.
Рассмотрим одно из таких уравнений
?(«)=/(*),	B16)
в котором f(x) есть функция, имеющая особенность в точке х = х0. Оказы-
Оказывается, что для уравнений эллиптического и параболического типов все решения
уравнения B16) будут обычными функциями, гладкими всюду, за исключением
может быть точки х0, где они могут иметь особенность. Ниже мы покажем на
примере оператора Лапласа, что даже если / (х) есть дельта-функция, сосре-
сосредоточенная в точке х0, то и тогда решения уравнения B16) будут обычными
функциями, имеющими лишь полярность в точке х0. Если же уравнения B16)
возьмем однородными, то все их решения будут обычными функциями.
Не то имеет место в случае гиперболических уравнений. Для них особен-
особенность f(x) распространяется на целые области, и решение может оказаться не
обычной, а обобщенной функцией. Приведем пример этому. Возьмем волновое
уравнение utt = uXiX + uXstXs -f- и. Одно из его решений определяется
формулой Пуассона [II; 71]	2тс и
и (л:, t) = -1— \ \ <р (х + tn) sin MUy.	B17)
Известно, что при трижды непрерывно дифференцируемой функции <р (х)
эта формула дает дважды непрерывно дифференцируемое решение волнового
уравнения, удовлетворяющее начальным условиям и (х, 0) = 0; ut (xy 0) = у(х).
Пусть <рш (х) суть трижды непрерывно дифференцируемые неотрицательные
функции, стремящиеся при т —> со к функции ср (х) =—^—г-—-. Из формулы
Х\ ~\- Хг2
B17) видно, что соответствующие им решения ит (х} t) будут стремиться к
-f- со для (х, t)y лежащих в области Ух\ + xl ^ t полупространства t ^ 0.
Это говорит за то, что решения волнового уравнения, соответствующего началь-
начальным условиям и(х} 0) = 0, Ui = (x, 0) = —-—.—- в виде обычной функции не
Х\ -\- Х:2
существует. Тем не менее в классе функционалов оно есть и единственно. Ана-
Аналогично, используя формулу Кирхгофа, можно убедиться, что неоднородное
волновое уравнение с правой частью/(л:), равной Ь(х — х0), также не имеет
решений в классе обычных функций, но имеет их в классе функционалов.
В следующем томе мы предполагаем рассмотреть все эти вопросы более под-
подробно. Как мы упоминали, первыми математическими работами, в которых
ставились и решались задачи в классе обобщенных функций, были работы
С. Л. Соболева по задаче Коши для уравнений гиперболического типа.
В заключение приведем доказательство утверждений, высказанных выше
относительно решений уравнения Лапласа.
*) Только что вышли три выпуска большой работы И. М. Гельфанда и
Г. Е. Шилова, посвященной обобщенным функциям и их приложениям.

1191
ПРОСТРАНСТВО
383
Пусть D — ограниченная трехмерная область и \х — лг0 | = г — расстояние
от переменной точки х до точки x0. Считая границу D достаточно гладкой и
применяя формулу Грина, получим для ср (х) ? Ci2)(D):
или
^-. JL) д? (х) dx = Ь(х- х0) ср (х),
откуда на основании определения производной от функционала видно, что функ-
удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа:
ционал ///„ с ядром —
4тгг
дх\
д2т0 , д2т0
B18)
Тем самым мы показали, что одним из решений уравнения B18) является
функционал типа функции. Для нахождения всех решений уравнения B18) до-
достаточно найти все решения в функционалах однородного уравнения Лапласа:
Am =
д2т , д2т
д2т
~дхТ
= 0.
B19)
Мы покажем, что все функционалы /я, удовлетворяющие этому уравнению,
представимы через ядра, и эти ядра суть гармонические в D функции. Уравне-
Уравнение B19) эквивалентно следующему:
(ш, A.v<p) =
B20)
для любой функции <?(.*:)? СB) (D). Возьмем в качестве ? (л*) следующую функ-
функцию:
<?(*)=-7.
1
4т. \ х — у\
Pi
\х-у\
Р2
B21)
где 6 (;) есть неотрицательная бесконечно дифференцируемая функция,
равная 1 при ;
и нулю при ;^1. Если точка у лежит внутри D,
то ср (х) g CB) (D) при достаточно малых рх и р2. Функцию
0 при х —у
i) = j
1
| л:—
•—у\\
Р
при |дг—
равную нулю при | л: — _у
усредняющего ядра, ибо
— р и при | л: — ^ | ^ р, можно взять в качестве
х—у\
\у\р
' ,Mr)Ls_ f ^

384	МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	[119
И
где
Подставив в B20) вместо <р (х) функцию B21), получим
0 = (m, copi (| х_дг |)- о>р2 (\х-у |)).	B22)
Согласно обозначению B09) это равенство можно переписать в виде
т91 (У) = т?2 (у)
для ^у» расстояние которых до границы D больше max (pi, p2). Рассмотрим
совокупность Vb всех ср (х) из С°( 2) ф), равных нулю вне некоторой обла-
области Dg, отстоящей от границы D на расстояние б, большее 2тах(рь р2). Для
таких ср (х) имеем
\ <Р 00 ж Ы dy = (ш ср) = \ ? C^) /я М dy = (w , ср).
С другой стороны, было доказано, что (ш , y)-^(tny <p) при pi—>О. Сле-
Следовательно, для всех р? <с -у и взятых нами ср (х):
(т, ср) = (mp^, ср) = \ ср (з;) тр^ (у) dy (k = 1, 2),
т. е. функционал т задается ядром
f 0 при xeD-D?k,
mh{X)= | mpft(x) при *(EZ}pfc.
Покажем, что шр (х) есть гармоническая в Z)g функция. Действительно,
для <f(x)? l/s из B20) следует
О = (т, Ад; ср) = \ mpi (х) Ах ср (х) dx == ^ ср (х) Д*тр1 (x) tfx,
и, так как 1/6 плотно в L2 (Db), то для х ? ?)§:
Ад-w (х) = 0.
Так как число о>0 было взято произвольно и так как mg,(x) = m5(x)
при 6' <с Ь для х? D5, то мы можем утверждать, что семейство гармонических
функций ть (х) определяет гармоническую в D функцию т (х), совпадающую
с w8 (x) для х? D§. Эта гармоническая функция и порождает исследуемый
нами функционал т, ибо если мы возьмем произвольную ср (х) из С{1} (D), то
она равна нулю вне некоторой области Z)§ и потому для нее, в силу изложен-
изложенного, будем иметь
о
(ш, ср) = \ ть (х) <р (х) dx = \ т (х) -f (x) dx.	B23)

119]	пространство Cil)(D)	385
Поведение т (х) при приближении х к границе D определяется тем, что
интеграл B23) должен сходиться для любой функции ср (х) из C(l) (D).
Укажем на одно следствие полученного результата. Положим, что fh (x) —
суммируемая в D функция (D — конечная область) и
J"
для любой ср (х) из СB) (D).
Функционал
(/я, <р)= ^ 6 (л:) ср (л:) dx
удовлетворяет уравнению B19) и, в силу сказанного выше, мы можем утвер-
утверждать, что <Ь (л:) эквивалентна гармонической в D функции.
Аналогично предыдущему можно рассматривать линейные функ-
функционалы на различных семействах функций. Приведем один пример.
Пусть К—семейство вещественных функций cp(jc), определенных во
всем пространстве Rn, финитных и имеющих непрерывные производ-
производные всех порядков. Семейство К есть линейное пространство. Оно
не нормируемо в обычном смысле этого слова, и мы введем для
этого пространства лишь одно следующее определение:
Определение. Будем говорить, что последовательность
9k(х) (я=1, 2, ...) функций из К стремится к нулю, если суще-
существует такая ограниченная область, вне которой все срЛ (х)
равны нулю, и если cpfe (x) и всякая производная этих функций
равномерно стремятся к нулю при & -> оо.
Функционал (т, ср) на К определяется тем, что каждому ср(лг) ? К
сопоставляется некоторое вещественное число (т, ср). Такой функционал
называется линейным (или линейным и непрерывным), если он дистрибу-
дистрибутивен, т. е. (т, qcpj -j- c2cp2) = С\ (/fti<pi) -\- c% (/#i<p.2), и обладает тем свой-
свойством, что при стремлении последовательности срЛ (х) к нулю и (т, <p*)->0.
Функционалы типа функции определяются формулой B05), где D
есть Rn и ф(лг) какая-либо суммируемая в любой ограниченной обла-
области функция. Умножение функционала на функцию со (лг), имеющую
непрерывные производные всех порядков, определяется равенством
(ш/я, ср) = (#г, охр) и дифференцирование функционала равенством
(DV <р) = (— \)k{my Dfecp).
Функционал имеет производные всех порядков. Теория функцио-
функционалов на пространстве К изложена в указанной выше работе
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова.

ГЛАВА V
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
§ 1. Теория ограниченных операторов
120. Аксиомы пространства. При изучении функционального
пространства L2 и пространства последовательностей /2 мы выяснили
тождественность их структуры. Они являются осуществлением одного
и того же абстрактного пространства, изучению которого и будет
посвящена настоящая глава. Оно было впервые введено в виде /.2
Гильбертом и называется обычно пространством И, или простран-
пространством Гильберта. Как мы увидим ниже, пространство Н является
частным случаем пространства типа В, и все, что мы говорили об
этих последних пространствах, будет приложимо и к пространству //.
Но пространство Н обладает сверх того и своими специфическими
свойствами.
Переходим к перечислению аксиом, определяющих //. Простран-
Пространство Н есть линейное пространство, элементы которого удовлетво-
удовлетворяют аксиоме А из [95]. Мы при этом считаем, что элементы //можно умно-
умножать на комплексные числа (комплексное линейное пространство).
Далее мы будем считать, что если не оговорено противное, что
для любого целого положительного п существует п линейно неза-
независимых элементов (аксиома В из [95]). Введем теперь новую аксиому,
относящуюся к понятию скалярного произведения:
Аксиома С. Каждой паре элементов х и у из Н сопоста-
сопоставляется определенное комплексное число, которое называется
скалярным произведением х на у. Оно обозначается симво-
символом (х, у). Это скалярное произведение обладает следующими
свойствами:
(у, х) = {х, у);	(х' + х», у) = (У, у) + (*", _у);
(х, х) ^> 0, если х Ф 0; (ах, у) = а (х, у).	J
Напомним: х Ф 0 означает, что х не есть нулевой элемент. Из
указанных свойств непосредственно вытекают следующие следствия:
(х, У +У) = (*. У) Л- (•*> У); (х, ау) = а (х, у); ]
(х, х) = 0, если х = 0; (х, у) = 0, если х или у = 0. J

|20]	АКСИОМЫ ПРОСТРАНСТВА	387
Выражение у (х, х), в котором значение корня считается ^ О,
назовем нормой элемента х и обозначим, как и в [95], через \х\.
Проверим теперь, что таким образом определенная норма удовлет-
удовлетворяет трем условиям, входящим в аксиому С из [95]. Из ее опре-
определения непосредственно вытекает, что '|лг[^О, причем знак =
имеет место только для нулевого элемента. Далее имеем
|] ах j,- = (ах, ах) = \ a \q (х, х) = \а |2 • j| x |j2, т. е.
||а*Ц = |а|.||*||.	C)
Отсюда следует 1| — д:'|=||лг|| [95].
Остается проверить неравенство
кИ + Ы!-	D)
Предварительно докажем неравенство
\{х)У)\^1хЦу1	E)
которое в дальнейшем будем называть неравенством Буня-
ковского [ср. IV; 35].
Пусть х и у — любые элементы Н и а и b — любые комплексные
числа. Мы имеем
(| ах -\- by f = (ax -f- by, ax -j- by) = ad (x, x) -f- ab (x, y) -f-
+ db(y, x) + bb(y,y)^0.
У написанной положительной формы Эрмита (относительно пере-
переменных а и Ь) дискриминант должен быть неотрицательным, т. е.
или [.кР-Ы' —|(x,j0|eSs0,
откуда и следует E). Переходим к доказательству D). Принимая во
внимание очевидное равенство
),	F)
где R есть обозначение вещественной части, получаем
ii х +у f = (х +у, х +у) = !| х f + \у f + 2R (х, у),
откуда, в силу | R (х, у) \ ^ | (х, у) \ и неравенства E), следует
I! х + у р *=? || х f+[^ f + 2 ju ;| • Ib || = A х || + у г,
и мы приходим к неравенству D).
Из D), как и в [95], следует неравенство
G)

388	пространство гильверта	[121
Из понятия нормы следует, как и в [95], понятие расстояния
между элементами х и у : р (х, у) = |] х—у\\ и понятие предела после-
последовательности хп (сильная сходимость):
хп=>х0, если || х0 — хп \ -> 0.	(8)
Справедливо все то, что мы говорили раньше о пределе. Мы
видели [95], что если ап -> а0, хп =>xQ и уп =>у0, то апхп =>aQxQ
и дгя+^я==>^о+Л- Докажем теперь теорему.
Теорема. Если хп =>х0 и у0 =>Уо, то (хп, уп) -> (х0, у0).
Положим ип = хп — х0 и vn=yn—у0. По условию ||ия|| и ||г>я||->0.
Мы имеем
(*о> У о) — {*п> Уп) = С*о> У о) — С*о + нп> Уо + vn) =
= — (дт0, ия) — (ия, ^о) — (ия, ^п)
и, применяя E), можем написать
I с*о, у») - (^ л.) I < I! ^о II • II vn 1 +1 г/, (| • у, 1 + II ия II • 1 vn ||,
откуда, в силу ||ня|| и \vn\\->0, и следует (хПУ уп) -> (х0, у).
При уп = хп отсюда получается: если .*;„=>л;0, то || лгп || -> [| л:01|
[ср. 95].
Если последовательность хп имеет предельный элемент, то она
сходится в себе, т. е. ||л:я — jcm||->0 при п и т->оо [95]. Будем
считать пространство Н полным.
Аксиома D. Если последовательность хп сходится в себе, то
существует такой элемент х0 из Н, что xn=>xQ. Кроме того,
мы примем следующую аксиому:
Аксиома Е. Пространство И сепарабельно. Иначе говоря,
существует счетное множество элементов из //, плотное в Н.
Из сказанного выше непосредственно следует, что Н есть про-
пространство типа В,
121. Ортогональность и ортогональные системы элементов.
Если (х, у) = 0, то, в силу A), и (у, х) = 0, ив этом случае эле-
элементы х и у называются взаимно ортогональными, или
просто ортогональными, и пишут х_[_у- В силу B), нуле-
нулевой элемент ортогонален любому элементу.
Пусть хь хъ ..., хт — попарно ортогональные элементы, т. е.
(хр, xq) = 0 при р ф q. Составляем квадрат нормы суммы этих эле-
элементов:
Раскрывая скалярное произведение согласно A) и B) и пользуясь
указанной ортогональностью, получаем для попарно ортогональных
элементов следующую теорему Пифагора:

121] ортогональность и ортогональные системы элементов 389
Пользуясь понятием предела, мы можем, как и [95], ввести поня-
понятие о сходимости бесконечных рядов, составленных из элементов Н:
Hi + Hi + «3 + ...	A0)
Такой ряд называется сходящимся, если сумма первых его п чле-
нов: sn = Mi + Щ -\- • • • + ип стремится к пределу sn =>н при п -> со.
Элемент и называется в этом случае суммой ряда A0). Из аксиомы
полноты и сказанного выше о сходимости в себе непосредственно
следует необходимое и достаточное условие сходимости ряда A0):
для любого заданного е^>0 существует такое N, что
II «я+1+ ««+« + •••+«Л+-Р II <е ПРИ n^N И Р^1'
Особенно простую форму имеет это условие сходимости в том
случае, когда члены ряда A0) попарно ортогональны, т. е. (ир, uq) = 0
при рт^Я-
Теорема. Если члены ряда A0) попарно ортогональны, то
для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился
следующий ряд, составленный из неотрицательных чисел:
чТ-	(и)
Действительно, условие A0t) в этом случае, в силу теоремы
Пифагора, может быть записано в виде
||мл+1||2 + ||«л+2|]2 + ... + ||Мл+;,||2<е при n^N и /7^1,.
а это последнее условие необходимо и достаточно для сходимости
ряда (И).
При любой перестановке членов ряда A0) в ряде A1) произойдет
такая же перестановка членов. Но это не влияет на его сходимость.
Следовательно, и перестановка членов ряда A0) не влияет на его
сходимость — если он был сходящимся, то он и после перестановки
останется сходящимся; если он не был сходящимся, то не будет схо-
сходящимся и после перестановки. Нетрудно показать, пользуясь теоре-
теоремой Пифагора и сходимостью ряда A1), что в рассматриваемом слу-
случае сумма ряда не завлсит от порядка слагаемых.
Мы говорим, что последовательность элементов
образует ортогональную нормированную (ортонорми-
рованную) систему, если
0 при р ф q,\
И	A3)
\ при p — q. J

390	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[121
Принимая во внимание доказанную теорему, мы можем утвер-
утверждать, что для сходимости ряда
со
У Ч*:и	04)
k=\
необходимо и достаточно, чтобы сходился следующий ряд из неотри-
неотрицательных чисел:
со
ak\\	A5)
Положим, что это условие выполнено, и обозначим через х сумму
ряда A5). Составим скалярное произведение
При п^р оно, в силу A3), равно ар) и, следовательно, переходя
к пределу при п —> оо, мы получим
ар = (х, хр\	A6)
Числа ар, определенные по этой формуле, называются коэффи-
коэффициентами Фурье элемента х относительно системы
A2), а ряд A4) — рядом Фурье элемента х. Мы имеем оче-
очевидно
п	п
|| х - У akxk " = ;| х f - У | ak \\	A7)
и при беспрэдельном возрастании п получаем уравнение замкнутости
Из предыдущих рассуждений следует, что если ряд A4) схо-
сходится, то он есть ряд Фурье для своей суммы лг,
и имеет место уравнение замкнутости A8). Положим
теперь наоборот, что задан некоторый элемент х из И. Составляем
его коэффициенты Фурье A6) и пишем формулу A7). Из нее выте-
вытекает неравенство Бесселя
со
в»1'<№	A9)

121] ортогональность и ортогональные системы элементов 391
Ряд, стоящий слева, обязательно сходится, т. е. ряд Фурье
любого элемента х обязательно сходится. Если в фор-
формуле A9) имеет место знак =, то это значит, в силу A7), что
сумма ряда Фурье элемента х равна именью этому элементу х.
Система A2) называется замкнутой, если в формуле A9) для любого
элемента х из И имеет место знак =. Система A2) называется
полной, если не существует никакого элемента из //, кроме нулевого,
который был бы ортогонален ко всем xk. Совершенно так же, как
и раньше [58], можно показать, что замкнутость и полнота экви-
эквивалентны. Если система A2) замкнута, то всякий элемент х из И
представим единственным образом в виде сходящегося ряда A4),
а именно своего ряда Фурье. Пусть ak — коэффициенты Фурье эле-
элемента х и bk — элемента у. Если система A2) замкнута, то, как и
в [58], мы получим обобщенное уравнение замкнутости
оо
(х,у)=21аЛ-	A8,)
Отметим еще, что если ck — любые комплексные числа и ak —
коэффициенты Фурье элемента х, то имеет место формула [ср. 58]
п	п	п
«*- у ckxkt=\xf- 2 ki2
Сравнивая с A7), мы видим, что левая часть последней формулы
принимает наименьшее значение, если ck суть коэффициенты Фурье
элемента х.
Отметим, что если принять осуществление пространства И в виде
функционального пространства Ьъ то сходимости в И будет соот-
соответствовать сходимость в среднем в L2, о которой мы говорили
в [56]. Сходимость ряда Фурье сводится при этом к уравнению
замкнутости из |58].
Напомним теперь процесс ортогонализации, который мы уже
применяли в случае я-мерного комплексного пространства [III; 29].
Пусть имеется бесконечная последовательность элементов из Я, от-
отличных от нулевого элемента:
гъ ** z.i9 ...	B0)
Строим нормированный элемент х{ = z{ :l\z\ ¦]. Пусть zs — первый
из элементов B0) после zXy который не может быть представлен
в виде а\Х\. Строим элемент y.1^=zs — (zs> Х\)хь который, навер-
наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е. строим х.2 =
—JVjb'J- Пусть далее zt — первый из элементов B0) после zs>
который не может быть представлен в виде а{х{ -J- а.)Х.2. Строим
элемент

392	пространство гильберта	[121
который, наверное, отличен от нулевого, и нормируем его, т. е.
строим jc;l =_Уз /1|З'а '!• Продолжая так и дальше, мы получим орто-
ортогональную и нормированную систему A2), которая обладает сле-
следующим свойством: всякий элемент xk есть конечная линейная
комбинация элементов B0) и наоборот, причем элемент xk выра-
выражается лишь через первые k из элементов ys. Отметим, что попарно
ортогональные и отличные от нулевого элементы ys(s= 1, 2, ... , т)
линейно независимы. Действительно, пусть имеет место равенство
Умножая его обе части на yk и принимая во внимание упомяну-
упомянутую ортогональность, получим ck\y^=§, т. е. ck = 0 (k= 1, 2,..., т),
откуда и следует линейная независимость ys.
В силу сепарабельности Я, существует счетное множество М
элементов
и„ щ, иг, ... ,	B1)
плотное в И. Если мы ортогонализуем последовательность uk, то
получим полную (замкнутую) ортонэрмированную систему xk (k = 1,
2, ...), состоящую из счетного множества элементов. Замкнутость
непосредственно следует из того, что множество B1) повсюду плотно
в Н. Если бы после ортогонализации осталось лишь конечное число
элементов, то И было бы конечномерным.
Наоборот, если в И существует полная ортонормированная си-
система xk(k = \, 2, ...), состоящая из счетного множества элементов,
то нетрудно показать, что конечные суммы СуХх -\- с%х% 4~ ... 4~ ckxk
с комплексными рациональными коэффициентами cs (cs = as -\- bsi>
где as и bs — вещественные рациональные числа) — образуют счетное
множество, плотное в //, т. е. свойство сепарабельности
равносильно тому, что в Н существует полная орто-
ортонормированная система, представляющая собой счет-
счетное множество элементов.
Покажем еще, что из сепарабельности И следует, что всякая
ортонормированная система g (v) состоит из конечного
или счетного множества элементов.
Пусть х и у — два взаимно ортогональных и нормированных эле-
элемента, т. е. (дг, у) = 0 и ||jej| = ||.yi|=l. Мы имеем Ц*—yf =
= {х—у у х—у) =2 или || х—jv^ [| == ~|/~2~, т. е. расстояние между
двумя ортогональными и нормированными элементами равно j/2.
Положим теперь, что имеется некоторое множество g(u) ортонор-
мированных элементов. Фиксируем е так, что 0 <^ s <^ у j/2 . Для
любого v из $(у) существует такой элемент uk из множества B1),
плотного в Ну что || uk —- v IJ ^ е. С другой стороны, при фиксиро-
фиксированном k только один элемент $(v) может удовлетворять неравенству
I! llk —v II ^?» и^° если ^ы два различных элемента vx и х;.2 удовле-

I22J	проекция	393
творяли этому неравенству, то, в силу правила треугольника, мы
получили бы || v.2 — Vi || <: 2е <^ У 2 , а должно быть || t>.2 — vx |! = У 2 -
Из сказанного непосредственно следует, что множество $(v) конечно
или счетно.
122. Проекция. В дальнейшем существенную роль будут играть
понятия линеала и подпространства [95].
Множество элементов, принадлежащих любому фиксированному
подпространству L, удовлетворяет всем перечисленным выше аксиомам,
кроме, может быть, аксиомы В, ибо подпространство L может быть
и конечномерным. Таким образом, всякое бесконечномерное
подпространство L можно рассматривать как само-
самостоятельное комплексное гильбертово простран-
пространство. Сказанное выше совершенно очевидно по отношению ко всем
аксиомам, кроме аксиомы сепарабельности. По отношению к этой
аксиоме надо доказать следующее утверждение: если И сепарабельно,
то и всякое его подпространство L представляет собой сепарабель-
ное гильбертово пространство. Доказательство этого утверждения
не представляет никакого труда [94].
Два подпространства L и М называются взаимно ортогональ-
ортогональными, если любой элемент из L ортогонален любому элементу из М.
Пишут при этом L _1_ М. Элемент х называется ортогональным под-
подпространству I, если х ортогонален любому элементу из L. Пишут
х J_ L. Докажем теперь теорему, имеющую основное значение для
всего дальнейшего.
Теорема. Если L — подпространство, то любой элемент х
из И может быть представлен в виде
B2)
где у ? L и z _\_ L. Указанное представление B2) единственно.
Если х ? L, то мы получим представление B2), положив х=-
*=х-\-0. Положим теперь, что х не принадлежит L. Пусть d —
точная нижняя граница множества положительных чисел \\х—yf,
когда у пробегает подпространство L:
d = mi\\x-y\f.	B3)
$1
Существует такая последовательность элементов уп, принадлежа-
принадлежащих L, что
{х-Уп> x-yn) = \\x-ynf = dn-^d.	B4)
Пусть и — любой элемент из L. В силу того, что L есть подпро-
подпространство, элементы уп-\-еи для любого вещественного е (и даже
комплексного е) принадлежат Ц и, принимая во внимание B3), мы

394	пространство гильберта	[122
можем написать (х—уп— еи> х— уп— eu)^d. Раскрывая написан-
написанное скалярное произведение, получим неравенство
(и, u)z* — 2R(x—yn, п)е + (dn — d)^0.
Трехчлен, стоящий слева, для любых вещественных е неотрицате-
неотрицателен, и потому мы должны иметь
\R(u, x-yn)\^/dn-d[iil	B5)
Усилим это неравенство. Пусть ср — аргумент комплексного числа
(и, х—уп), т. е. (к, х—уп) = \(и, х—yn)\elf?. Заменим в B5) эле-
элемент и элементом ue~i?, также принадлежащим L. Принимая во вни-
внимание, что
ие
-'<Р Г
III И
{ие **, x —yn) = e /cp (и, x —yn) = \ (н, x — yn) |,
мы из неравенства B5) получим более точное неравенство
=d]u\.	B6)
Напомним, что в этом неравенстве, х — заданный элемент из /У,
уп — последовательность элементов из L, удовлетворяющая условию
B4), и и — любой элемент из L. Оценим теперь модуль скалярного
произведения (и, уп—ут). Представляя разность уп—ут в виде
Уп—Ут = (Уп — х)-\-(х—ут) и пользуясь неравенством B6), по-
получим
\(Ц,уп—ут)\*?\(и9 х— у
Полагая в этом неравенстве и=уп—ут и сокращая обе части
на \уп—ут\ мы придем к неравенству
\\Уп — Ут1^ Vdn — d^- /dm — d.
Отметим, что если \\уп — j/mi = 0, то это неравенство очевидно.
При беспредельном возрастании тип правая его часть, в силу B3),
стремится к нулю, и, следовательно, последовательность элементов уп
сходится в себе. В силу аксиомы полноты, существует такой элементу/,
что уп =>уУ и, так как L есть подпространство, то у ? L. С другой
стороны, переходя к пределу в неравенстве B6), мы получаем для
любого элемента и, принадлежащего L: (и, х—_у) = 0, т. е. раз-
разность х—у ортогональна к L. Обозначая эту разность через г, мы
и получаем формулу B2), в которой у ? L и z _[_ L. Остается дока-
доказать единственность полученного представления B2). Пусть имеются
два представления
где у и ух ? L, a z и zx _L L. Мы имеем, очевидно, у —ух =zx — z.
Левая часть этого равенства представляет собой элемент, принадле-

123)	линейные функционалы	395
жаший L, а правая — элемент, ортогональный L. Отсюда следует,
что (у—Уь y — yi) = 0, т. е. У— j/i|! = O, а потому ух—у и,
следовательно, zx=z. Теорема доказана полностью.
Элемент у, входящий в формулу B2) и принадлежащий L, назы-
называется проекцией элемента х в подпространство L.
Множество элементов, ортогональных к подпространству L, образует,
очевидно, некоторое подпространство. Обозначим его буквой М.
В силу доказанной теоремы каждый элемент х из L может быть
единственным образом представлен в виде суммы двух элементов,
из которых один принадлежит L, а другой М. Множество элементов,
ортогональшлх к Ж, образует подпространство L. В этом отношении
связь между подпространствами L и М взаимна, и такие два под-
подпространства называются взаимно дополнительными под-
подпространствами. В случае вещественного трехмерного простран-
пространства взаимно дополнительными пространствами будут, например,
множества векторов, образующих плоскость XY и ось Z.
Обычно пишут в указанном выше случае
H=L@M	B7)
или
L = HQM: M = HQL,	B8)
так что И 0 М есть подпространство элементов Я, ортогональных
к подпространству Л1
123. Линейные функционалы. Мы имели выше определение ли-
линейного функционала 1(х) в пространстве типа В и тем самым в //.
Мы считаем, что он определен во всем Н. Напомним, что его норма,
которую мы будем обозначать пь определяется формулой
(jf)|	B9)
|/(*)|<Л/1И-	C0)
Укажем пример линейного функционала. Пусть у — фиксированный
элемент Н. Положим
/(*) = (¦*, J>).	C1)
Его дистрибутивность следует из A), а ограниченность из E):
KLvHi*].	C2)
Отметим, что в этом неравенстве при х=у имеет место знак = ,
т. е. множитель [у] нельзя заменить меньшим, и \у] есть норма
функционала C1). Если у есть нулевой элемент, то (х, у) = 0
при любом х (функционал аннулирования).
Оказывается, что формула C1) дает всевозможные функционалы
в И, т. е. имеет место следующая важная теорема;

396	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[123
Теорема. Всякий линейный функционал 1(х) представим
единственным образом формулой B9), где у — некоторый фикси-
фиксированный элемент из Н.
Из дистрибутивности функционала следует, что /F) = 0, где
б — нулевой элемент И. Пусть L — множество всех элементов дг, для
которых 1(х) = 0. В силу дистрибутивности и непрерывности 1(х),
L есть подпространство. Может случиться, что L есть полное про-
пространство Ну т. е. что 1(х) = 0 для любого элемента х. Такой функ-
функционал мы можем, очевидно, представить в виде 1(х) = (х, 6). Рас-
Рассмотрим теперь общий случай, когда подпространство L есть часть Н.
Пусть z—некоторый фиксированный элемент //, не принадлежащий L.
Мы можем представить его в виде z = u-\-v, где иA и d_LL,
причем z/^O. 1122]. Так как v не принадлежит L, мы имеем: 1{у)фО.
Пусть х — любой элемент из И. Строим элемент w = х — ^-у v и
рассмотрим l(w):
/ (х)
Таким образом, видим, что элемент w = x — tt^v принадлежит
и выше мы видели, что v X L. Таким образом, можем написать
или, раскрывая скалярное произведение,
откуда и следует представление 1{х) в виде скалярного произведения
—-— х/1 — уху у), i де у — -jT-Tjg- <^.
Остается доказать единственность представления 1(х) в виде
скалярного произведения. Пусть 1{х) = {х> у) = (х, ух). Отсюда для
любого х из И следует (х, у—j/,) = 0. Полагая х=у—уи полу-
получим \у—_у!|| = 0, т. е. yi=y, и теорема доказана полностью.
Иногда определенный выше функционал называют линейным
функционалом первого рода. При этом линейным функ-
функционалом второго рода называют ограниченный функционал,
для которого мы имеем следующее свойство:
h (A*i + СъХъ+ ... + cmxm) =
... -]- cmlx (xm),

|24]	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	397
т. е. постоянные множители при вынесении за знак функционала
переходят в комплексные сопряженные числа. Примером линейного
функционала второго рода является скалярное произведение, в ко-
котором переменный элемент х стоит на втором месте, а фиксирован-
фиксированный элемент у — на первом месте:
*Л*) = (У,х).	C1,)
Если 1\{х) есть линейный функционал второго рода, то 1(х) = 1х(х)
есть линейный функционал первого рода. Из этого замечания и
теоремы непосредственно следует, что формула C1t) дает общий
вид линейных функционалов второго рода.
Из теоремы следует также, что всякий линейный функционал
1{х) вполне определяется элементом у из //, т. е. пространство //*,
сопряженное с //, есть //. Напомним еще, что если на линеале Lu
повсюду плотном в //, имеется дистрибутивный ограниченный функ-
функционал / (х), то его единственным образом можно распространить
на все Н так, что он будет линейным (ограниченным) на Н с той же
нормой, какую он имел на Lx [97].
124. Линейные операторы. Рассмотрим теперь линейные (ограни-
(ограниченные) операторы, определенные во всем //, и значения которых
также принадлежат //. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы
будем пользоваться терминами «линейный функционал» и «линейный
оператор» для дистрибутивных ограниченных функционалов и опера-
операторов, заданных на всем Н [97, 98]. Норму оператора А мы будем
обозначать через ||Л|| или Па- Напомним формулу
\\A\\ = nA = suplAx\\.	C3)
Через Е будем обозначать оператор тождественного преобразо-
преобразования, т. е. Ех = х для любого х ? Н(\Е\=\). Если ||Л|| = 0, то
А есть оператор аннулирования, т. е. Ах = 0 для любого х ? //.
Пусть L — некоторое подпространство. Согласно теореме из [122] мы
имеем для любого х ? //единственное представление в виде х=у-\-zt
где у ? L и z J_ L. Оператор, переводящий х в у, называется опе-
оператором проектирования, или проектором в L, и обозначается сле-
следующим образом:
y = PLx.	C4)
Если L есть все //, то PL = E. Если L состоит из одного нуле-
нулевого элемента, то PL есть оператор аннулирования. В общем случае
II PlX || ^ || х ||, причем знак = тогда и только тогда, когда х ? L.
Если PL не есть оператор аннулирования, то \PL\\=\. Дистри-
Дистрибутивность PL следует из того, что если мы имеем два разложения:
Xi=yi-\-zx и x%=yi-\-z%i где ух и y^L, a zx и г^А^Ь, то

398	пространство гильбертл	[124
+ О+ + Сг'1 + <г2)> где ^+^€1, a z, + ^lL, т.е.
A. С* i + хъ) = Pl^\jt Plxi- Аналогично PL (ах) = aPL(x).
Введем теперь некоторые новые понятия и отметим элементарные
свойства линейных операторов [ср. 97]. Слово «линейный» мы будем
часто опускать.
Если А и В— два таких оператора, что для любого элемента х
мы имеем Ах = Вх, то говорим, что операторы А и В совпадают,
и пишем А = В. Если дистрибутивный и ограниченный оператор А
задан на некотором линеале Lb повсюду плотном в Н, то так же,
как и в случае функционала, его можно единственным образом про-
продолжить на все И с сохранением дистрибутивности и ограниченности,
и при этом продолжении его норма, которую он имел в Lb не повы-
повысится.
Если А и В — два оператора, а а и b — два комплексных числа,
то аА-\-ЬВ есть линейный оператор, определяемый равенством
(аА -\-ЬВ)х = а Ах -f- ЬВх.	C5)
Принимая во внимание, что
видим, что у оператора а А -\- ЬВ норма ^ | а \ п& -\-b \ Пв- Таким
образом, операторы можно умножать на комплексные числа и
складывать. Эта операция подчиняется обычным законам алгебры.
Последовательное применение операторов А и В представляет собой
также линейный оператор, который мы обозначим символом ВА. При-
Применение тех же операторов, но в другом порядке, приводит к линей-
линейному оператору АВ, отличному, вообще говоря, от В А. Мы назовем
операторы ВА и АВ произведением операторов А и В. Это опреде-
определение непосредственно распространяется и на случай любого конеч-
конечного числа сомножителей. Если АВ = ВА, то говорят, что опера-
операторы коммутируют. Мы имеем
|| В Ах || < пв |! Ах || < пвпА ]х\у
и, следовательно, норма произведений В А и АВ^пвПд. Отметим
еще, что если а — комплексное число и А — оператор, то норма а А
в точности равна | а \ Па- Произведение операторов подчиняется, оче-
очевидно, сочетательному закону, т. е.
и распределительному закону
(А + В)С=АС + ВС и С (А -)- В) = С А + С В.
Переходим теперь к введению понятия сопряженного опе-
оператора. Пусть А — некоторый линейный оператор; рассмотрим ска-
скалярное произведение (Ах. у). Для любого фиксированного элемента у

|24]	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	399
оно представляет собой функционал от х. Дистрибутивность его
вытекает из дистрибутивности скалярного произведения, а ограни-
ограниченность — из очевидной формулы
(Ах,у)\ ^пА"у][х].
Но всякий функционал мы можем представить единственным обра-
образом в виде скалярного произведения. Таким образом, для любого
фиксированного элемента у существует такой определенный эле-
элемент у*, что
C6)
для любого х из И. Таким образом, написанная формула дает опре-
определенный закон, согласно которому каждому элементу у соответ-
соответствует определенный элемент у*. Запишем этот закон в виде
у* = А*у, где Л*— символ некоторого оператора. Его дистрибу-
дистрибутивность непосредственно следует из дистрибутивности скалярных
произведений (Ах, у) и (х, у*) по отношению ко второму аргументу.
Дальше мы докажем и ограниченность оператора Л*. Этот оператор Л*
и называется сопряженным с А. Формулу C6) мы можем теперь
записать в виде
) = {х,А*у).	C7)
Из данного выше определения сопряженного оператора непосред-
непосредственно вытекают следующие формулы составления сопряженного
оператора для суммы и произведения операторов:
(аА)* = аА*\ (A -f В)* = Л* + ?*; (АВ)* = В*А*\ (А*)* = А. C8)
Докажем, например, третью из написанных формул. Применяя
дважды определение C7), получим
(АВх, у) = (Вх, Л* у) = (х9 В* А*у),
откуда и следует, что (Л?)* = ?*Л*. Докажем еще последнюю из
формул C8). Мы имеем, пользуясь определением C7) и свойством
(и, v)=±(v, u):
(Л* х, у) = (у, Л* х) = (АуГх) = (х, Ау),
откуда и следует, что (А*)* —А. Докажем, наконец, ограниченность
оператора Л*.
Теорема 1. Норма сопряженного оператора равна норме пер-
первоначального оператора, т. е. Пд* = пА.
Полагая в формуле C7) х = А*у и пользуясь неравенствами E)
и C3), мы получим
откуда следует, что jj А*у \ ^ пА !|^||, а потому пА*^пА. В силу
(Л*)*=1=Л мы, в силу доказанного, имеем: пА^пА*, откуда и сле-
следует, что пА* = пА.

400	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[124
Оператор А называется самосопряженным, если Л* = Л.
Таким образом, для самосопряженного оператора характерным является
равенство
(Ах,у) = (х,Ау).	C9)
Если положить в этом равенстве у = х и принять во внимание
(Ах, х) = (х, Ах), то мы увидим, что в случае самосопряженного
оператора (Ах, х) вещественно для любого элемента х. Справедливо
и обратное утверждение.
Теорема 2. Для самосопряженности А необходимо и доста-
достаточно, чтобы (Ах, х) был вещественным для любого элемента х.
Необходимость мы показали выше. Положим теперь, что (Ах, х)
вещественно при любом выборе х} и докажем, что А — самосопря-
самосопряженный оператор. По условию мы имеем
(А(х+у), х+у) = (х+у, А(х+у)) и (А(х + 1у),
Раскрывая скалярные произведения и принимая во внимание, что
(Ах, х) = (х, Ах) и (Ауу у) = (у, Ау), получим
(Ау, х) + (Ах, у) = (у, Ах) + (х, Ау);
(Ау, х) — (Ах, у) = (у, Ах) — (х, Ау).
Вычитая почленно, приходим к равенству C9), откуда и следует,
что А — самосопряженный оператор. Принимая во внимание фор-
формулы C8), видим, что любая линейная комбинация а^Ах -\-
-f- а%Аъ -f-... -f- amAm самосопряженных операторов Ak
с вещественными коэффициентами есть самосопря-
самосопряженный оператор, а произведение АВ самосопряжен-
самосопряженных операторов будет самосопряженным оператором
тогда и только тогда, когда А и В коммутируют.
Пусть L — некоторое подпространство и Ж — дополнительное
к нему. В силу теоремы из [ 122], имеем
E = Pl + Pm.	D0)
Нетрудно видеть, что всякий проектор PL есть само-
самосопряженный оператор. Действительно, принимая во внимание
ортогональность L и М и формулу D0), получим
, у) = (PLx, PLy + Рму) = (Plx, PLy) = (PLx + Рму, PLy)=
Пусть А — любой линейный оператор. Построим следующие два
оператора:
А, = 2 (Л + Л*); At = y (Л - Л*).	D1)

125]
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЫ	401
Принимая во внимание формулы C8), видим, что А{ и А} — само-
самосопряженные операторы. Таким образом, получаем следующее выра-
выражение любого линейного оператора через самосопряженные операторы:
А = + 1А
125. Билинейные и квадратичные функционалы. Мы укажем
сейчас возможность определения любого линейного оператора при
помощи особого рода функционала. Назовем билинейным функ-
функционалом определенный закон, согласно которому любой паре
элементов х и у из Н сопоставляется определенное комплексное
число 1{х, у)У причем 1(ху у) дистрибутивен по отношению к первому
аргументу как функционал первого рода и по отношению ко второму
аргументу как функционал второго рода:
/ {ахх -f Ьхь у) = al (хь у) -\- Ы (хъ у)\ I (х, аух -\- йу2) =
= а1(х}У1)-{-Ь1(х, у,).	D2)
Кроме того, считаем билинейный функционал и ограниченным, т. е.
считаем, что существует такое положительное число N, что для
любых элементов х и у из Н имеет место неравенство
\l{x,y)\^N\x\*\y\.	(A3)
Наименьшее значение N в этом неравенстве — норма билинейного
функционала пг — определяется формулой:
пх= sup \l(x, у)\.	D4)
11-^1 = 1
УII = 1
Если А — любой линейный оператор, то формула
1(х,у) = (Ах, у)	D5)
дает, как нетрудно проверить, билинейный функционал. При этом
так что для билинейного функционала D5): п1^Па .
Докажем теперь, что формула D5) дает всевозможные билиней-
билинейные функционалы.
Теорема. Всякий билинейный функционал представим един-
единственным образом формулой D5), где А — некоторый линейный
оператор, и норма билинейного функционала пг равна норме опе-
оператора пА.
Если фиксировать х, то 1{х, у) есть функционал второго рода
от у, и мы можем написать [123]: / (х> y) = (z, у), где z опреде-
определяется единственным образом, если фиксировано х, т. е. z = Axf
где А — некоторый оператор, определенный во всем Н. Его дистри-
дистрибутивность следует непосредственно из D2) и дистрибутивности

402	пространство гильберта	[125
(z, у) по отношению z. Докажем ограниченность А. Принимая во
внимание D3) при N=nt, можем написать
\(Ах, y)\^nl!xl.yi.
Полагая у = Ах и сокращая обе части полученного неравенства
на |,Ллг|!, будем иметь || Ах\\^ п1 :|х|| (если ,|А#;| = 0, то последнее
неравенство очевидно). Отсюда и следует ограниченность оператора
А и неравенство Па^п^ Но мы имели выше nt^nA, и, следова-
следовательно, п{ = па.
Остается доказать единственность представления D5). Пусть
/ (х, у) = (Ах, у) = (Ахх, у).
Отсюда следует, что для любых х и у имеет место равенство
(Ах — А\Х, у) = 0. Полагая в нем у = Ах — Ахх, получим
\Ах — ^42jc|] = 0, т. е. для любого х мы имеем Ахх = Ах, операторы
А и Ах совпадают, и теорема полностью доказана. Из доказанной
теоремы следует, что задание линейного оператора рав-
равносильно заданию билинейного функционала. Совер-
Совершенно аналогично в алгебре задание элементов aik матрицы равно-
равносильно заданию билинейной формы
Всякий билинейный функционал 1(ху у) порождает соответствую-
соответствующий ему квадратичный функционал (квадратичная форма), если поло-
положить в нем у = х:
/(х, х) = (Ах9 х).
Нетрудно выразить билинейный функционал через квадратичную
форму, которая им порождена, а именно легко проверить следующее
равенство:
(Ах, у) = [(Ахь хг) — (Ах2> х*)] + / [(АхЪ1 хъ) — (Axit лг4)], D6)
где
*i = у (х + У)\ х* = т (х — ^
1 / . • л	', -л	D7)
•^з =  (х + v); xi = у (х — 1у)-
В правой части D6) стоят четыре квадратичных функционала.
Вещественность квадратичного функционала (Ах, х) для любого эле-
элемента х является, как мы видели, характерной особенностью само-
самосопряженного оператора.
Положим, что оператор А обладает тем свойством, что (Ах, х) =
= 0 для любого элемента х. Из D6) при этом следует, что (Ах, у) =0
для любых х и у. Но таким свойством, очевидно, обладает билиией-

126]
ГРАНИНЫ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	403
ный функционал (Ах, у), если А есть оператор аннулирования, и,
принимая во внимание единственность, указанную в теореме, мы
можем утверждать, что если для любого х имеем (Ах, х) = 0,
то А есть оператор аннулирования. Отсюда непосред-
непосредственно следует, что если операторы А и В таковы, что
при любом х имеем (Ах, х) = (Вх, х)у то А = В.
126. Границы самосопряженного оператора. Пусть А — само-
самосопряженный оператор. Принимая во внимание E) и C3), мы можем
написать | (Ах, х) | ^ пА || х f, или, если принять, что ||л:|;=1, то
получим | (Ах, х) | ^ пА. Таким образом, если взять всевозможные
нормированные элементы х, т. е. такие элементы, что j|_xrji=l, то
множество вещественных чисел (Ах, х) ограничено снизу и сверху.
Обозначим через т точную нижнюю границу и через М точную
верхнюю границу этого множества:
т = inf (Ах, х)\ М = sup (Ax, х).	D8)
||*||=1	11*11=1
Числа т и М называются обычно границами самосопря-
самосопряженного оператора А. Согласно определению точных границ,
мы можем написать неравенства
т<:(Ах, х)^М при ||х|]=1.	D9)
Принимая во внимание возможность вынесения постоянных мно-
множителей из скалярного произведения, можем написать для элемента
х с любой нормой следующие неравенства:
m\\xf^(Ax, x) ^ М\х||2.	E0)
Оказывается, что норма оператора пд чрезвычайно просто выра-
выражается через его границы т и М, а именно имеет место следующая
теорема:
Теорема 1. Норма пА равна наибольшему из двух чисел \ т \
и \М\.
Доказательство этого утверждения является буквальным повто-
повторением доказательства теоремы 3 из [IV; 36 и 39], в которой дока-
доказывается, что nA=snp\(Ax, x)\, а это и совпадает с утверждением
U.]=i
формулированной теоремы. Отметим еще, что теорема 2 из [IV; 36]
совпадает с утверждением nl = nA, которое было доказано в преды-
предыдущем параграфе.
Введем некоторые новые понятия.
Определение. Самосопряженный оператор А называется поло-
положительным (неотрицательным), если соответствующий ему квад-
квадратичный функционал (Ах, jc)^O. Для положительного оператора
характерным является неравенство пг^О, т. е. тот факт, что его
нижняя граница неотрицательна. Далее мы говорим, что самосопря-

404	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[127
женный оператор Л больше самосопряженного оператора В, и пишем
А^>В, если Л и В не совпадают и разность А — В есть положи-
положительный оператор. Совершенно аналогично определяется отрицатель-
отрицательный оператор. Напомним, что в случае /z-мерного пространства
самосопряженная матрица называется положительной, если соответ-
соответствующая ей форма Эрмита
принимает лишь неотрицательные значения. Положительность матрицы
равносильна тому, что среди ее собственных значений нет отрица-
отрицательных. Если (Ах, х) меняет знак при различном выборе х, то
самосопряженный оператор А нельзя, конечно, назвать ни положи-
положительным, ни отрицательным. В случае конечномерного пространства
это будут те самосопряженные матрицы, у которых имеются собст-
собственные значения разных знаков.
Теорема 2. Если А — самосопряженный оператор, то Л2 —
положительный оператор. Если А — любой линейный оператор,
то операторы А А* и Л*А — самосопряженные и положительные.
Первое утверждение непосредственно следует из формулы
(Л2х, х) = (Ах, Ax) = \Axf^0y
и второе утверждение из формул
(АА*х, х) = (А*х, Л**)=|И*-*Т^°>	E1)
^0.	E2)
127. Обратный оператор. Важным в теории операторов является
понятие обратного оператора (ср. понятие обратной матрицы в IIIj).
Это понятие может быть определено различным образом. Цель на-
настоящего параграфа — дать различные определения обратного опе-
оператора.
В этом параграфе, как и выше, линейным оператором мы будем на-
называть дистрибутивный, ограниченный оператор, заданный на всем Н.
Определение. Говорят, что линейный оператор А имеет
ограниченный обратный оператор В, если В — ограниченный опе-
оператор, определенный во всем Н, и
АВ = ВА = Е,	E3)
где Е — оператор тождественного преобразования. Ограниченность
оператора В определяется обычным неравенством |] Вх |] ^ N \\ х |.
Нетрудно видеть, что ограниченный обратный оператор может быть
только один. Действительно, если мы имеем АС = Е, то, умножая
слева на В, пользуясь E3) и принимая во внимание, что ВЕ = В и

ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР	405
?С=С, получим В = С. Определенный выше оператор Б обозна-
обозначается обычно символом Л, и мы имеем
АА-1 = А~1А = Е.	E4)
Напишем формулу
у = Ах (х?Н).	E5)
Поскольку А~1 определен во всем Н, мы можем применить к
обеим частям оператора Л и получим
х = А~ху.	E6)
Отсюда видно, что если А имеет ограниченный обратный опера-
оператор А'1, то А производит биоднозначное преобразование простран-
пространства Н в себя, т. е. любому элементу х ? И соответствует, согласно
E5), определенный элемент у, и, наоборот, любому элементу у ? Н
соответствует определенный элемент х, который определяется фор-
формулой E6). Точно так же и А'1 преобразует Н биоднозначно в себя.
Из дистрибутивности А вытекает, что и А~1 — дистрибутивный опе-
оператор, т. е. А~1 линейный оператор. Из E4) непосредственно сле-
следует, что
(A~lrl = A.	E7)
Можно дать более общее определение обратного оператора.
Отметим прежде всего, что, в силу дистрибутивности линейного
оператора, множество элементов у, определяемых формулой E5),
есть некоторый линеал, который мы обозначали R(A). Укажем теперь
то свойство, которым должен обладать оператор А для того, чтобы
соответствие между элементами х из Н и элементами _у из R{A)
было биоднозначным. В силу формулы E5), любому х из Н соот-
соответствует определенный элемент у из R(A). Нам надо, чтобы и,
наоборот, любому элементу у из R (А) соответствовал определенный
элемент х из И. Пусть х{ и х% — два различные элемента из Н} а
У\ и Уъ — соответствующие элементы из R (А):
у{ = Ахх; у*2 = Ах*
Вычитая, получим
У% ~У\ = Л (дга — х{).
Если бы оказалось, что у^=уи т. е. что различным элементам
Х\ и х<2 из Н соответствует один и тот же элемент из R (Л), то мы
получим Л(х2 — хх) = 0, т. е. уравнение
Ах = 0	E8)
должно иметь решения, отличные от нулевого элемента. Наоборот,
если уравнение E8) имеет решение х{), отличное от нулевого, то
различным элементам х — х$ и л"==0 соответствует один и тот же

406	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[127
элемент у = 0. Таким образом, для того чтобы, согласно
ф о р м у л е E5), имелось биоднозначное соответствие
между элементами х из И и элементами j/ из R (Л), н е-
обходимо и достаточно, чтобы уравнение E8) имело
только нулевое решение. При этом в линеале R(Л) опреде-
определен оператор В, обратный А. Он переводит элемент у из R (А) в
элементы х из И так, что у выражается через х формулой E5).
Этот оператор мы будем называть просто обратным оператору А
в отличие от ограниченного обратного, который мы определим выше.
Оператор В определен только на линеале R(A), который может и
не совпадать с И, и мы ничего не можем утверждать относительно
ограниченности В. Но, в силу дистрибутивности Л, можем утвер-
утверждать, что В есть дистрибутивный оператор на линеа-
линеале/? (Л). Обозначая В прежним символом Л, можем написать
А~] (Ах) = х, если х ? И и A(A~ix) = x, если x?R(A).
Мы докажем дальше, что если уравнение E6) имеет только ну-
нулевое решение и R (Л) есть все //, то вышеуказанный оператор
В = А'Х ограничен, т. е. Л имеет ограниченный обратный [ср. 97].
Положим, что оператор Л имеет ограниченный обратный опера-
оператор, и в равенствах E3) перейдем к сопряженным операторам
(Л1)* .А* = А* (Л)* = ?* = Е.
Отсюда следует формула
(Л1)*=(Л*)~1.	E9)
Формула E3) требует, чтобы ограниченный оператор В был об-
обратным для Л как слева, так и справа, и в этом случае мы его на-
называли просто ограниченным обратным оператором.
Рассмотрим теперь вопрос об ограниченных обратных операторах
только слева или только справа.
Мы говорим, что оператор Л имеет ограниченный обрат-
обратный слева, или просто обратный слева, если существует такой,
линейный оператор В, что ВА = Е. Точно так же, если АС = Е, то
С называется ограниченным обратным справа.
Теорема 1. Если А имеет по крайней мере один обратный В
слева и по крайней мере один обратный С справа, то имеется
только один обратный слева, только один обратный справа и
они совпадают, т. е. существует ограниченный обратный one-
ратор Л.
По условию ВА = Е и АС = Е, откуда следует, что (ВА)С = С
и В(АС) = В. Левые части написанных равенств совпадают, а потому
В = С, т. е. всякий левый обратный совпадает со всяким правым
обратным, а потому может иметься только один левый обратный и
только один правый обратный.
Теорема 2. Если существует единственный левый обратный,
то существует и правый обратный. Если существует единствен-

127]
ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР	407
ный правый обратный, то существует и левый обратный. В
обоих случаях оба обратных единственны и совпадают {по
щеореме 1).
Докажем первое утверждение теоремы. Пусть имеется единствен-
единственный обратный оператор В слева, т, е. ВА = Е. Умножая слева на А,
получим ABA —А или (АВ — Е)А = 0, причем нуль в правой части
обозначает оператор аннулирования. Добавляя к обеим частям ВА = ЕУ
можем написать (АВ — Е -\- В) А = Е. Но по условию В является
единственным обратным слева, а потому АВ — Е -\- В = В, откуда
АВ = Е, т. е. В является обратным и справа.
Отметим еще, что если А имеет два различных обратных опера-
оператора В и С слева (или справа), то имеется бесчисленное множество
обратных операторов слева. Действительно если ВА=Е и СА = Е,
то нетрудно проверить, что оператор В -\- а (С — В) при любом вы-
выборе числа а будет обратным слева:
(В-\-аС — аВ) А = ВА-\- аСА — аВА = Е -f aE~-aE = E.
Из предыдущих результатов следует, что мыслимы следующие
четыре случая:
I) существует единственный обратный слева и справа;
II) не существует обратных ни слева, ни справа;
III)	существует бесконечное множество обратных слева и ни
одного справа;
IV)	существует бесконечное множество обратных справа и ни
одного слева.
В дальнейшем мы увидим, что могут осуществляться все указан-
указанные случаи. Сейчас мы дадим простой теоретический критерий, при
помощи которого можно различить эти случаи. Рассмотрим само-
самосопряженные положительные (неотрицательные) операторы А*А и
АА*. Нижние границы этих операторов, которые мы обозначим че-
через т(А*А) и т(АА*), больше нуля или равны нулю [126]. Поло-
Положим, что существует по крайней мере один обратный слева: ВА = ЕУ
и пусть k^>0 есть норма В. Мы имеем || В Ах \\ = ] х \\ и, с другой сто-
стороны, [| В Ах |] ^ k |) Ах |j, откуда следует k || Ах \^\х\ и !| Ах \ ^ -Лх\
При этом (А*Ах, х) ^-р ||х||3, и, следовательно, т(А*А) S= ^, т.е.
#г(А*Л)^>0. Покажем теперь, что и наоборот, если т(А*А)^>0,
то А имеет ограниченный обратный слева. В дальнейшем покажем,
что если нижняя граница самосопряженного оператора F положи-
положительна, то F имеет ограниченный обратный оператор [129]. Применяя
это к F = A*A, видим, что существует такой ограниченный опера-
оператор Д что DA*A = E, т. е. (DA*)A = E, откуда и следует, что
DA* есть ограниченный обратный слева для А. Точно так же, для
того, чтобы существовал по крайней мере один ограниченный обрат-
обратный справа, необходимо и достаточно, чтобы	^

408	пространство гильберта	[128
Из этих рассуждений непосредственно следует, что для осущест-
осуществления указанных выше четырех случаев необходимы и достаточны
условия:
I. /я(Л*Л)>0 и /я(ЛЛ*)>0; II. т(А*А) = 0 и /я(ЛЛ*) = 0;
III. //г(Л*Л)>0 и /я(ЛЛ*) = 0; IV. т(А*А) = 0-н /тг(ЛЛ*)>0.
Отметим, что если А коммутирует с А* (например, Л = Л*, т. е.
А — самосопряженный оператор), то случаи III и IV не могут иметь
места. Принимая во внимание формулы E1) и E2), можем сформу-
сформулировать результат в первом случае следующим образом: для того
чтобы существовал обратный оператор слева и
справа, необходимо и достаточно существование
такого положительного числа /, что для любого эле-
элемента имеют место неравенства: ||Ах\[^1\\х\\ и ||Л*лг||^г
^/|!лг||. Во всем сказанном выше мы нигде не использовали дистри-
дистрибутивности операторов В и С. Важно лишь, что они определены во
всем И и ограничены. В случае I единственный обратный слева и
справа оператор есть, как мы видели выше, обязательно линейный
оператор. В случае III имеется линейный оператор B = DA*, обрат-
обратный слева и аналогично в случае IV. В дальнейшем мы будем иметь
дело с обратным дистрибутивным оператором Л, определенным
на R (А). Отметим еще, что если ВА = Е, то А*В*=Е и, следо-
следовательно, если для А имеет место случай III, то для Л* имеет место
случай IV.
Обратные операторы играют основную роль при решении уравне-
уравнения Ах=у, где у— заданный и х — искомый элементы. Если суще-
существует обратный оператор В слева, то, умножая обе части уравнения
на Ву получим обязательное равенство х = Вуу т. е. при наличии
обратного оператора слева решение, если оно есть, представимо
в виде х = Ву и потому единственно. Если же существует обратный
оператор С справа, то, подставляя х = Су в уравнение Ах=у,
очевидно, удовлетворим ему, т. е. существование обратного опера-
оператора справа гарантирует существование решения х = Су.
128. Спектр оператора. Основной задачей в приложениях теории
операторов к математическому анализу является решение однород-
однородного уравнения
Ах = \х F0), т. е. (Л — Щх = 0,	F00
и неоднородного уравнения
F1), т. е. (А — Щх=у,	F10
где х — искомый элемент, у — заданный элемент, X — численный пара-
параметр. Число X называется собственным значением опера-
оператора Л, если однородное уравнение F0) имеет решения, отличные
от нулевого элемента; эти решения называются собственными

128]
СПЕКТР ОПЕРАТОРА	409
элементами оператора Л, соответствующими указан-
указанному собственному знамени ю.
Если X есть собственное значение Л, и мы присоединим к соот-
соответствующим собственным элементам нулевой элемент, который удо-
удовлетворяет однородному уравнению F0) при любом X, то, в силу
линейности и однородности уравнения F1) и непрерывности опера<>
тора Л, можем утверждать, что упомянутое множество
собственных элементов с присоединенным к нему
нулевым элементом образует подпространство. Мы
будем называть его подпространством собственных эле-
элементов, соответствующих указанному собственному значению.
Если это подпространство собственных элементов имеет конечную
размерность г, т. е. если максимальное число линейно независимых
элементов, принадлежащих указанному подпространству, равно конеч-
конечному числу г, то говорят, что соответствующее собственное значение X
имеет ранг или кратность г. Если упомянутое подпростран-
подпространство собственных элементов бесконечномерно, то говорят, что ранг
соответствующего собственного значения равен
бесконечности. В случае самосопряженного оператора Л имеет
место следующая теорема:
Теорема 1. Собственные значения самосопряженного опера-
оператора вещественны и собственные элементы, соответствующие
различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Пусть X — собственное значение самосопряженного оператора Л
и х — соответствующий собственный элемент (отличный от нулевого).
Умножая обе части F0^ справа на х, получим
(Ах, х) = Цх\?.
В силу самосопряженности Л, левая часть написанного равенства
вещественна, а следовательно, и число X вещественно. Пусть X' и
X" — два различных собственных значения, а л/ и х" — соответствую-
соответствующие собственные элементы:
Умножаем скалярно первое из равенств справа на х", второе —
слева на У и почленно вычитаем полученные равенства:
(Ах*, х9) — (х\ Ах") = (к' — \"){х\ х").
Левая часть равна нулю, в силу самосопряженности Л, и X' —¦
— X" ^ 0. Таким образом, (л/, х") = 0, и теорема доказана.
Решение неоднородного уравнения F1t) сводится к нахождению
оператора (Л — ^Е)~1У обратного оператору Л — Х?. Если X есть
собственное значение оператора Л, то однородное уравнение F0t)
имеет решения, отличные от нулевого элемента, и, в силу сказанного
в [127], обратный оператор (Л — Xf), наверное, не существует.
Если X не есть собственное значение оператора Л, то обратный

410	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[128
оператор (Л — Xf) существует, но он может быть ограниченным
обратным оператором или просто обратным оператором. Отметим,
что параметр X при этом может быть любым комплексным числом.
Введем следующее определение.
Определение. Значение X или точка X (плоскости комплексного
переменного) называется регулярной точкой оператора А, если
оператор А — \Е имеет ограниченный обратный оператор
Rx = {A — \E)-\	F2)
и этот линейный оператор Rx, определенный для всех регулярных
точек X, называется резольвентой оператора А. Спектром опе-
оператора А называется множество точек X, которые не являются
регулярными точками оператора А.
В силу сказанного выше, всякое собственное значение опера-
оператора А принадлежит его спектру. В дальнейшем мы увидим, что
спектру могут принадлежать и такие значения X, которые не являются
собственными значениями.
Если X есть точка регулярности, то при любом зада/шом эле-
элементе у неоднородное уравнение F1^ имеет единственное решение,
определяемое формулой
х = (А — Щ-1у.	F3)
Если X не есть точка регулярности и не совпадает с собственным
значением оператора Л, то уравнение F1^ имеет также единственное
решение, если у принадлежит линеалу R(A—Х?). Этот линеал со-
состоит из элементов у, определяемых формулой
у = (А — Щх (х?Н),	F4)
когда х пробегает все Н.
Таким образом, на линеале R (А — Х?), если X — не собственное
значение, определен обратный оператор (А — \Е)~1. Если при этом X
не есть точка регулярности Л, то и в этом случае оператор
(А — Xf) называют резольвентой А.
Теорема 2. Элементы R (А — кЕ) ортогональны ко всем ре-
решениям уравнения (Л*—~XE)z=0.
Утверждение теоремы непосредственно вытекает из очевидного
равенства
((Л — Щх, г) = (х9 (А* — Щг).
Отметим, что если Л — самосопряженный оператор и X — его соб-
собственное значение (оно вещественно), то из теоремы 2 следует, что
элементы R(A — Х?) ортогональны собственным элементам Л, соот-
соответствующим собственному значению X. В следующем параграфе мы
докажем некоторые теоремы, которые характеризуют спектр самосо-
самосопряженного оператора.
Сделаем еще одно замечание по поводу собственных элементов
самосопряженного оператора Л. Как мы видели, собственные зиаче-

129]
СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	411
ния, соответствующие некоторому собственному значению Х = Х',
образуют подпространство. В этом подпространстве мы можем ввести
полную ортонормированную систему. Если собственное значение Х = Х'
имеет конечный ранг г, то эта ортонормированная система будет
содержать r-элементов. Мы знаем, что собственные элементы, соот-
соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Таким образом, вводя, как было указано выше, ортонормированную
систему в каждом из подпространств, соответствующих фиксирован-
фиксированному собственному значению, мы получим ортогональную систему К
в //. Будем говорить, что самосопряженный оператор порождает
ортонормированную систему К- Эта система определяется с точностью
до выбора полной ортонормированной системы в каждом из упомяну-
упомянутых подпространств. Может случиться, что А вовсе не имеет соб-
собственных значений. В этом случае системы К не будет. Мы знаем,
что если ортонормированная система может содержать лишь конечное
или счетное множество элементов. Отсюда непосредственно следует,
что если К имеет бесчисленное множество различных собственных
значений, то это множество счетно.
Ортонормированная система К может быть как полной, так и не-
неполной в Н. Ее свойство быть полной или неполной не зависит, как
нетрудно видеть, от выбора полной нормированной системы в под-
подпространствах собственных элементов, соответствующих фиксирован-
фиксированному собственному значению. Если К—полная система, то говорят,
что оператор А имеет чисто точечный спектр.
129. Спектр самосопряженного оператора. В этом параграфе
мы будем рассматривать самосопряженные операторы.
Теорема 1. Если X не есть собственное значение самосопря-
самосопряженного оператора А, то формула F4) определяет линеал
R(A — ХЕ), плотный в И.
Доказываем от обратного. Положим, что R {А — \Е) не плотен
в Я, т. е. что замыкание R(A— Х?) приводит к подпространству,
отличному от Н. При этом, в силу теоремы из [122], существует
элемент х0, отличный от нулевого и ортогональный к упомянутому
подпространству и тем самым к R(A— Х?), т. е. ((А— \Е)ху jco) = O
для любого х из Н, или, пользуясь самосопряженностью А:
(х, (А — IE) х0) = 0. Полагая х = (А — IE) х0, получим ||(А — ХЕ) дг(| =0,
т. е. Axo = Xjco. Если л — вещественно, т. е. Х = Х, то оказывается,
что X — собственное значение А, что противоречит предположению.
Если X не вещественно, то равенство А.го = Хлго показывает, что
невещественное число X есть собственное значение самосопряженного
оператора А, чего не может быть, и теорема доказана.
Если X — регулярная точка, то R (А — Х?) совпадает с Н. Это
следует из определения регулярной точки. Если X есть собственное
значение, то все элементы R(A — Х?) ортогональны к соответствую-

412	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[129
щим собственным элементам А, и линеал R(A—Х?) не может быть
плотным в И. Дальше мы увидим, что если X не есть регулярная
точка и не есть собственное значение, то линеал R(A— Х?) не есть Иу
(он плотен в Н).
Установим теперь необходимое и достаточное условие регуляр-
регулярности X.
Теорема 2. Для того чтобы X было регулярной точкой само-
самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое положительное число р, что для любого х
из Н выполнялось бы неравенство
\\{А-Щх\^р\\х\\.	F5)
Всякое невещественное значение X и вещественные значения,
лежащие вне промежутка [т, М], где т и М — границы А, регу-
регулярны.
Доказываем необходимость условия F5). Пусть X — точка регу-
регулярности. При этом существует ограниченный обратный оператор F2).
Обозначая через q его норму, имеем
или, полагая в этом неравенстве у = (А — ^Е)х, приходим к нера-
неравенству F5) при /? = — . Доказываем достаточность условия F5).
Из этого условия вытекает прежде всего, что X не есть собствен-
собственное значение, и, таким образом, линеал R(A — Х?), определенный
в теореме 1, плотен в Н. Мы покажем сейчас, что он замкнут,
а потому совпадает с И. Положим, что элементы уп = (А — ^Е)хп
принадлежат R(A— ХЕ) и уп=>у. Нам надо доказать, что и
у ?R(A — Х?). В силу F5), мы имеем \\уп—ут\^Р\хп— хт\.
Последовательность уп сходится в себе, и, в силу последнего нера-
неравенства, можно утверждать, что и последовательность хп сходится
в себе, т. е. существует такой элемент х9 что хп ==>лг. Из фор-
формулы уп = (А — ^Е)хп вытекает, что ynzzz>y = (A — X?)je, и таким
образом у ? R(A—Х?). Итак, линеал R(A — \Е) совпадает с Я и
оператор (А — ^Е)~\ обратный А — Х?, определен во всем Н. Для
доказательства регулярности точки X нам остается доказать, что
оператор (Л — ХЯ)*1 ограничен. Полагая в условии (Q5) х — (А—\Е)~хуу
получим
откуда и следует ограниченность (А — XZ:), и первая часть теоремы
доказана. Положим, что X == а —(— т/, где т^О. Полагая (А — \Е) х=у,
можем написать
((А — Щ х, х) = Су, х) и ((А — Щ х, х) = {х, (А — IE) x) = (х, у).

129]	спектр самосопряженного оператора	413
Вычитая из первого равенства второе, получим
(X — \)(х, х) = (у, х) — (х,у)
или
2|
и, пользуясь неравенством F), приходим к неравенству
Мы пришли к неравенству F5) при /? = |т|, и, таким образом,
всякое невещественное значение X регулярно. Положим теперь, что
X вещественно, но лежит вне промежутка [т, М]. Положим, напри-
например, что Х^>Ж, и докажем, что при этом выполняется условие F5).
Мы можем написать
((А — Щх, х) = (Ах, х) — \\xf,
или
ЩА — Щх, х) = [(Ах, х) — M\xf}~(X — M)\xf.
Из определения верхней границы М оператора А следует, что
разность, стоящая в квадратных скобках, неположительна. Кроме
того, по предположению, Х^>М, и последняя формула дает
\((А — Щх9 x)\^(k-M)\\xf.
С другой стороны, имеем неравенство
\(ЦА-Щх, х)\^\\{А-Щх\\.\\х\\.
Последние два неравенства приводят к следующему неравенству:
\\(А —Щ х\\^(к — M)\\xl
откуда, при Х^>Ж, следует F5), что и требовалось доказать.
Из теоремы вытекают следующие следствия.
Следствие /. Для того, чтобы X принадлежало спектру, необ-
необходимо и достаточно выполнение следующего условия: суще-
существует такая последовательность нормированных элементов хп,
что
Действительно, если такая последовательность есть, то условие
F5) не может быть выполнено при р^>0, и, тем самым, X принадле-
принадлежит спектру. Наоборот, если X принадлежит спектру, то условие F5)
не выполнено ни при каком р^>0, т. е. существует такая последо-
последовательность нормированных элементов хп> что ||(Л—\E)xnl~-+ 0.
Отметим, что если X — собственное значение, то за хп мы можем

414	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[129
при любом п взять один и тот же элемент, а именно какой-либо
нормированный собственный элемент х0. При этом (Л — \Е) хп = 0
при любом п.
Следствие 2. Если нижняя граница т (Л) ^> 0, то X = 0 лежит
вне [т> М], и А имеет ограниченный обратный оператор. Мы
пользовались этим в [127].
Следствие 3. Совокупность регулярных точек вещественной
оси А есть открытое множество.
Пусть X — точка регулярности. Нам надо доказать, что и все
точки X ± ? при всех достаточно малых положительных в суть также
точки регулярности. По условию существует такое положительное р,
что имеет место F5), откуда
откуда и следует, что при е<^/? все точки Хч^е суть точки регу-
регулярности.
Следствие 4. Точки спектра самосопряженного оператора
образуют замкнутое множество. Непосредственно следует из
следствия 3 [32].
Теорема 3. Значения \ = т и ь = М принадлежат спектру.
Предполагая М^>т, докажем утверждение теоремы для \ = М.
Введем самосопряженный оператор В = А — тЕ, имеющий границы О
и М{ = М — т^>0. Его норма равна М{ [123]. Из определения
верхней границы следует, что существует такая последовательность
хп нормированных элементов, что (Вхп, хп) = Мг— 8Л, где ^0 и
Ьп —* 0. Мы имеем
|| Вхп - М,хп f = [I Bxn f - 2МХ (ВхпУ хп) + М1^
< М\ — 2Ж! (М{ — 8Л) + Ml = 2М1Ьп,
откуда следует, что \\(В — Mi)xn\\—*0t и, в силу следствия 1 тео-
теоремы 2, В — А1\Е = А — ME не имеет ограниченного обратного.
Покажем теперь, что и \ = т принадлежит спектру. Для само-
самосопряженного оператора (— А) границами будут (— М) и (— //г),
причем —М<^ — т, так что, по доказанному выше, —А-\-тЕ не
имеет ограниченного обратного, т. е. не удовлетворяет условию F5),
но тогда и Л — тЕ не удовлетворяет этому условию.
Мы видели выше, что если X принадлежит спектру, но не есть
собственное значение, то линеал R (А — ХЕ) повсюду плотен в Н.
Мы покажем, что в этом случае/? (Л — ХЕ) не есть все И.
Это непосредственно вытекает из следующей теоремы [ср. 97]:
Теорема 4. Если R (Л) есть все Н, то обратный оператор
А'1 ограничен.
Отметим прежде всего, что если R (Л) есть И, то из сказанного
в начале этого параграфа следует, что Х = 0 не есть собственное

130]	резольвента	415
значение Л, и, следовательно, существует обратный оператор А,
определенный во всем И.
Пусть х — некоторый элемент Н. Элемент Ах будем обозначать
той же буквой со штрихом, т. е. х'= Аху у' = Ау и т. д. Нетрудно
видеть, что оператор А'1 обладает следующим свойством симметрии:
(Л-V, /) = (х', А~У),	F6)
где х' и У — любые элементы И. Действительно, написанное равен-
равенство равносильно равенству (х, Ау) = (Ах, у), которое имеет место
в силу самосопряженности А. Выражение F6) при любом выборе
нормированного элемента j/ представляет собой линейный функционал
/уС*О от х'. Для этого семейства функционалов числа |/у(лг')| для
любого фиксированного элемента х' ограничены. Действительно,
| /у, (V) | = | (А~1х\ У) | =^|| А.*;'!!- Отсюда следует, что нормы функ-
функционалов F6) при ||у 1=1 ограничены [100]. Но эти нормы равны
ЦА'УЦ [123], и тем самым существует такое число q, что ЦЛ'УЦ^у
при ||у||=1, что и требовалось доказать.
Теорема имеет, очевидно, место и для оператора А — Х? при
вещественном X. Случай же невещественного X был рассмотрен выше.
В следующем разделе, посвященном неограниченным операторам, мы
подробнее изучим спектр самосопряженных операторов.
130. Резольвента. Если X не есть собственное значение Л, то
существует резольвента А:
Она определена на R (А — Х?) и преобразует биоднозпачно этот
линеал на Н. Из определения обратного оператора следует, что
если х принадлежит R(A — Х?) и Rxx = 0, то х = 0.
Дальше будем рассматривать тот случай, когда X — регулярная
точка А. При этом R (А — Х?) есть Н, и Rx есть ограниченный
оператор, определенный во всем Н.
Докажем следующие две формулы (для регулярных X и ц):
J
F7)
Если X не вещественно, то X также	не вещественно и, следова-
следовательно, также регулярная точка. Таким	образом, для вещественных
и невещественных X можно утверждать,	что любые элементы xf и у'
из Н можно представить в виде
Отсюда следует

416	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[131
и из полученного равенства непосредственно следует первая из фор-
формул F7). Докажем вторую. Из определения резольвенты следуют
формулы
R)X = R^(A — [xE) R}x; R^x = R[l(A— Щ Rxx.
Вычитая их почленно, приходим ко второй из формул F7).
131. Последовательности операторов. Все, что мы говорили
о последовательностях линейных операторов в пространствах типа В
[104], имеет место и для Н. Напомним основные факты и сделаем
некоторые добавления. Сходимость по норме последователь-
последовательности линейных операторов Ап к линейному оператору А определяется
условием || Л — Ап]-^ 0 при п—> со. Для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы \\Ап — Ат\\—*0 при п и /я—-со.
Сильная сходимость (или просто сходимость) определяется
тем, что Апх =^>Ах при любом х ? Н. При этом нормы ||ЛЯ|| огра-
ограничены. Необходимое и достаточное условие сильной сходимости
|| Апх — Атх || —- 0 при п и т —- со и любом х ? //. Из сходи-
сходимости по норме следует сильная сходимость. Если
Ап—+ А, Вп—В (в смысле сильной сходимости или сходимости по
норме) и числа ап— а, то апАп—* аА> Ап-\- Вп—+ А-\-В и ВпАп —> В А.
Покажем, что если Ап — самосопряженные операторы
и Ап—+ А> то и А — самосопряженный оператор. Действи-
Действительно, (Апх, х) — вещественно при любом п и любом х ? Н. Отсюда
следует, что и (Ах, х)= lim (Anx, х) — вещественно при любом
п -* оо
х G Ну и, следовательно, А — самосопряженный оператор.
Имея понятие предела, мы можем рассматривать бесконечные ряды,
составленные из линейных операторов в Н,
zv-f-s2 + s3 + ...
и говорить об их сходимости в том или ином смысле. Рассмотрим
один важный для дальнейшего пример. Пусть А — линейный оператор
и \A\ = q<^\. Составим ряд:
Л + аМ*-|--.->	F8)
где а — комплексное число. Обозначая через Sn оператор, равный
сумме первых w-членов этого ряда, получим
|Sn+p — Sn[ = ||ая+1 Ля+! + а"+Мл+2 + ... + а^
откуда, считая |а|^1,
и, следовательно, fSn+p — Snj|—0 при л—* оо и любом /?^>0, т. е.
ряд F8) сходится по норме при |а|^1. Поскольку оценка для

132]	слабая сходимость	417
jc —S I! не содержит а, говорят, что ряд F8) сходится равно-
ч fl*P	'	11-4	ТТ	I Л II	^^ ¦*
мерно по а при |а|г=с1. Принимая во внимание, что |Л|| = 9Г<^1,
мЫ можем утверждать, что ряд F8) сходится по норме равномерно
относительно а, если | а | <с 1 -|- г, где е ^> 0 выбрано настолько малым,
что A +?)?<!•
Умножая ряд F8) на (Е—а А) и принимая во внимание сказанное
выше о предельном переходе для последовательности операторов,
получим (E — olA)S = S(E— olA) = E, т. е. сумма ряда F8) при
|а|^1-|-? есть ограниченный обратный оператор для (Е — аЛ),
т. е. S = (E — olA)-1.
Совершенно так же, как и выше, можно доказать следующее
утверждение: если нормы операторов Ak не превышают положитель-
положительных чисел bkf которые образуют сходящийся ряд, то ряд
сходится по норме, и норма оператора А не больше суммы ряда,
составленного из чисел Ьк. Последнее утверждение следует из того,
что если бы норма А оказалась больше этой суммы, то при доста-
достаточно большом п и норма оператора
оказалась бы больше этой суммы, что противоречит очевидному
неравенству
Утверждение, аналогичное вышеуказанному, имеет, очевидно, место
и для нормированных пространств.
132. Слабая сходимость. Поскольку мы имеем общую форму
линейного функционала в Н [123], слабая сходимость хп^> х0
равносильна тому, что (хп, у) —* (лг0, у) при любом^^^
Напомним, что из хп ^ хп следует существование такого числа т ^> О,
что ||.*л||^#г при всех значениях п. Далее, поскольку сопряженное
пространство Я* совпадает с И, всякое ограниченное в Н
множество слабо компактно, и И обладает слабой
полнотой, т. е. если (хп—хт, у)—* 0 при п и т —* оо и любом
У(~Н, то последовательность хп — слабо сходящаяся. Мы знаем также,
что если хп~х0 и А — линейный оператор, то Ахп^ Ах0. Покажем
теперь, что если zk (/e=l, 2,...) — ортонормированная система,
полная в Ну и \хп\^т, то для того чтобы показать, что
хп -^ Xq> достаточно показать, что (хпУ zk) — (лг0, zk) (k = 1, 2,...).
Действительно, пусть (хп, -гА)-*(дг0, zk) (A = l, 2,...). Любой эле-

418	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[132
мент у^Н можно представить в виде
у — 2L
причем
оо
У \bb\2 = \\vf.
/г=1
Напишем
N
(хп — х0, у) = [хп — х0, У bkz^ -f [хп — х0, У
и пусть нам задано е^>0. В силу \хп\^т имеем [121]:
/I
и можем фиксировать такое N, что правая часть написанного нера-
неравенства ^ у . При этом
N
(хп — xQy bkzk)
В силу (хл, г^) — (х0, г^) при всех достаточно больших п первое
слагаемое правой части ^-у и IK-** — х*> УI^г> откУДа и следует,
что (хп> у) — (дг0, у).
Докажем следующую теорему:
Теорема I. Если хп ^ х0 и уп =>j/0, то (хп) уп) -> (х0, j;0)
и (Уп> хп) —* (Уо> хо)- Достаточно доказать, что (хп, уп) —* (лг0, j;0).
Второе утверждение получится перестановкой элементов. Мы можем
написать
*/р Уо)—(*п> Уп)
или
o» J'o) — (агя, J/n) | < | (лг0, _Уо) — (^я, J/o) I + I (^я. Уо —Уп) I-

|33]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	419
Принимая во внимание, что из хп^*х0 следует существование
такого числа т^>0, что IJ-xrJj^w и используя неравенство Буняков-
ского, получим
Первое слагаемое справа — 0, ибо уп =>_уо> а второе —> 0, ибо
-- х0. Таким образом, (хп, уп) —* (х0, _у0), и теорема доказана.
Теорема 2. Если хп ~ х0 ?/ || хп || —> || х0 [|, /по *л =>x0. Мы имеем
Это вытекает непосредственно из теоремы 1 [132] и того факта,
что если хп~ xQ, то Ахп~ Ах0 и если хп =>х0, то Ахп ~-i=>Ax0.
Дадим теперь два новых определения вполне непрерывного оператора.
Определение 1. Говорят, что линейный оператор А вполне
непрерывен, если формула F9) имеет место для любых после-
последовательностей хп и yw слабо сходящихся к х0 и у{).
Определение 2. Говорят, что линейный оператор А вполне
непрерывен, если из хп -^ х0 следует Ахп=>Ах0,
Из условий теоремы следует, что (хп, лг0) —1| х0 |f2, (лг0, хп)— [xQf
и II ^л !Г —> II хо IP» и> следовательно, ||лг0 — лг^Ц^-^О, что и требовалось
доказать.
Эта теорема, как указано в [101], имеет место и для некоторых
пространств типа В.
133. Вполне непрерывные операторы. Мы имели определение
вполне непрерывного оператора для пространства типа Б и тем самым
для Н. Вполне непрерывный оператор в Н есть такой линейный оператор,
который преобразует всякое ограниченное в //множество в компактное.
Мы знаем, что всякий линейный оператор преобразует компактное
множество в компактное. Отметим, что оператор тождественного
преобразования не вполне непрерывен. Он преобразует сферу ||лг||<: 1
(ограниченное множество) биоднозначно в себя, а такая сфера неком-
некомпактна. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-нибудь
бесконечную ортонормированную последовательность элементов zk
(?=1, 2,...). Она ограничена, ибо ||гЛ||=1, но некомпактна, так
Мы дадим ниже два новых определения вполне непрерывного
оператора и докажем их равносильность указанному выше основному
определению. Предварительно сделаем одно простое замечание.
Если из двух последовательностей хп и уп одна сходится слабо,
а другая сильно соответственно к jc0 и у0, a A — ограниченный ли-
линейный оператор, то
F9)

420	пространство гильбертл	[133
Покажем, что эти определения равносильны. Пусть А удовле-
удовлетворяет условию F9) для слабо сходящихся последовательностей
хп и Уп- Мы можем написать
|| Ахп — Ах0 f = (Ахп, Ахп — Ах0) — (Ах0, Ахп — Ах0).
Если хп -fj.' хОу то Ахп — Ах0 -f? 0, и оба члена второй части,
в силу F9), стремятся к нулю, т. е.!] Ахп — Ах^ || -у 0 или Ахп => Ах{).
Таким образом, из первого определения вытекает второе. Положим
теперь, что из хп-+х^ следует ЛхЛ =>Ллс0. При этом формула F9)
непосредственно следует из теоремы 1. Имея равносильность ука-
указанных двух определений, для доказательства равносильности их
основному определению достаточно доказать, что основное опреде-
определение равносильно определению 2. Положим, что А удовлетворяет
определению 2 и хп — ограниченная последовательность элементов.
Мы можем выбрать подпоследовательность хП]1 так, что хПк^х, и
тем самым, в силу определения 2, АхПк=>Ах, т. е. множество Ахп
компактно, и из определения 2 следует основное определение. Поло-
Положим наоборот, что А удовлетворяет основному определению, и пусть
хп^х0. Надо доказать, что Axn=>AxQ. Доказываем от обратного.
Пусть Ахп не=>Аг0, т. е. существует такая подпоследовательность
значков, что \\АхПк—Ах:0!!^а^>0. В силу основного определения
множество Axnk компактно, и можно считать, что Ахп сильно схо-
сходится к некоторому элементу х\ который, в силу || Ахп —Axrjj^
^а^>0} должен быть отличен от Ах0. Но хп Z-X x0 и, следова-
следовательно, Ахп ^Ах0, а по предыдущему Лхп =>х' -ф- Ах0 и тем
более АхПк ii x? ф AxQ. Мы получили противоречие.
Таким образом, доказано, что новые определения вполне непре-
непрерывного оператора равносильны основному определению. В дальней-
дальнейшем мы выясним понятие слабой сходимости в /.> и L2.
Теорема. Если А -> линейный оператор и Л*Л вполне непре-
непрерывен, то и А вполне непрерывен. Пусть хп(п=\, 2, ...) — огра-
ограниченная последовательность элементов (|| хп \ ^с а). По условию тео-
теоремы А* Ахп компактна, т. е. имеется сходящаяся подпоследова-
подпоследовательность А*Ахп . Покажем, что и Ахп —сходящаяся подпоследо-
подпоследовательность, откуда и будет следовать теорема. Мы имеем
(| Axnk - Axni f = {A*A {xnk - хП1), хПк -хП1)^
^ [| А*АхЯк - А*АхП1 !|. || хПк - хП11| < 2а || А*АхЯк - А*АхП[ !|.
Ввиду сходимости последовательности А*АхПк правая часть -^ 0
при nk и nl-^ooy а, следовательно, и ||АхгЛ —АхпJ -> 0, т. е. АхПк —
сходящаяся последовательность.

134]
пространства И и L	421
Следствие. Если А вполне непрерывен, то и Л* вполне не-
непрерывен.
Если Л вполне непрерывен, то вполне непрерывен оператор
^4^4* = (Л*)* Л*, но, тогда, согласно теореме 2, примененной к Л*,
и д* — вполне непрерывный оператор.
Напомним следующее свойство последовательностей операторов:
еСли последовательность Ап вполне непрерывных
операторов сходится по норме к линейному опера-
оператору Л, то Л — также вполне непрерывный оператор
[106]. Отметим специальный класс вполне непрерывных операторов.
Определение. Линейный оператор D называется конечномер-
конечномерным, если он может быть представлен в виде
Dx = 2 (х, **)«*,	G0)
где uk и vk(k = \, 2,..., т) — фиксированные элементы И.
Нетрудно видеть, что конечномерный оператор вполне
непрерывен. Действительно, из хп~ х0 следует (хп> vk) —>
->(х0, vk) и, в силу G0), Dxn=>Dx0.
Из сказанного выше непосредственно следует, что если Ап —
последовательность конечномерных операторов, стремящаяся по норме
к линейному оператору Л, то Л — вполне непрерывный оператор.
Мы покажем в следующем параграфе, что всякий вполне непре-
непрерывный оператор может быть представлен как предел по норме
последовательности конечномерных операторов.
134. Пространства Н и /2. Пусть
*i> *«, *з> •••	G1)
какая-либо полная ортонормированная система в /7. Пользуясь ею,
мы можем отобразить Н биоднозначно в пространство /2, элементами
которого являются бесконечные последовательности комплексных чисел
(?ь ^2> • • •) при условии, что ряд
GO
сходится [121]. Любой элемент х^Н характеризуется своими коэф-
коэффициентами Фурье: ?/г = (х, zk), и имеет место представление
оо
¦*= 2 ^*-	G3)
Наоборот, если дан элемент (?ъ ?,2, ...) из /2, то ряд G3) схо-
сходится в Я и дает соответствующий элемент из Н. Соответствие это

422	пространство гильбертл	[134
биоднозначно, причем скалярное произведение в И равно скалярному
произведению соответствующих элементов /.2 [60, 121]:
оо
(х, у) = У
где х соответствует (?ь S.2, ...) и у— (y\lt ?],, ...). Тем самым |
равна норме соответствующего элемента в /,2 и сходимости в // и />2
равносильны. Мы имеем, таким образом, изоморфное отображение /У
в /2. Элементам ,гЛ ортонормированной системы G1) соответствуют
следующие элементы /2:
О, о, о, о, ...); (о, 1, о, о, ...); (О, о, 1, о, ...);...
Пусть ? ($ь t2,...) — некоторый элемент /2 и ?(я) (Sb S2»..., 5л, 0,...) —
урезанный элемент, у которого первые /^-составляющих равны соот-
соответствующим составляющим ?, а остальные равны нулю. Мы имеем
оо
PC 112 	 V
— «л ц — 2d
и, в силу сходимости ряда G2), ^п) =>? в /2.
Пусть Л — некоторый линейный оператор в И. Принимая во вни-
внимание его непрерывность и формулу G3), можем написать
kA2li,	G4)
k=\
Составляющие (т]ь rj2, ...) элемента /2, соответствующего эле-
элементу у, определятся формулой
ft = l
Мы использовали при этом непрерывность скалярного произведе-
произведения. Вводя числа
alk = (Azk, zt),	G6)
видим, что линейному оператору А в Н соответствует в /.2 оператор
('=1, 2,...)

134]
пространства И и L	423
который определяется бесконечной матрицей с элементами alk =
^z(AZk, ?i)- Сопряженному оператору Л* будет соответствовать мат-
матрица с элементами
afk = (A*zk, zl) = (zki Az() = {Azl9 zk\
т. е.
afk = akl.	G8)
Самосопряженный оператор характеризуется равенством
akl = alk.	G9)
Введем множество L элементов //, представимых в виде
где ?fc — любые комплексные числа и т — фиксированное целое поло-
положительное число. Мы имеем yck = (x, zk), и нетрудно показать, что
L — подпространство. Ортогональное к нему подпространство М есть,
очевидно, множество элементов х, представимых в виде
X -
где lk — такие комплексные числа, что ряд
оо
k=m-\-\
сходится. Пространство И предегавимо в виде [122]:
tf=L0M.	(81)
Обозначая через PL и Рм проекторы в L и Ж, имеем
E=PL + PM.	(82)
Пусть Л — некоторый линейный оператор. Введем следующие два
оператора:
(83)
В силу (82): А = Ах-\-Л2. Поскольку PLAx^L при любом
Н:
PLAx=
где
= (Ax, zk) = (x, A*zk),

424	пространство гильберта	[134
т. е.
т
pLAx = Alx = У (х, A*zk)zk)	(84)
откуда следует, что PLA = AX есть конечномерный оператор.
Совершенно аналогично имеем
Таким образом, элементу А2лг будет соответствовать элемент
5а> • • •)> составляющие которого определяются формулами
^ = 0 при k^m и bk = (Ax, zk) = (x, A*zk) при k^> m. (86)
Положим теперь, что Л — вполне непрерывный оператор, и U есть
множество нормированных элементов (!|х||= 1). При этом, если x(^U,
то Ах — компактное множество, и тем самым будет компактным и
соответствующее множество в /2. Составляющие элементов этого
множества определяются формулой %k = (Ax, zk), и, в силу компакт-
компактности, мы можем утверждать, что при любом нормированном х суще-
существует такое положительное число С, что
и что при любом заданном е^>0 существует такое целое положи-
положительное число ms, что [92]
\(Ах,
l
Но из (85) следует, что
\\AiXf=
и потому при любом заданном е ^> 0 существует такое т = mZi что
||i42jc||^e при ||д;||=1, т. е. ||Л2||^?. Мы' пришли к следующей
теореме.
Теорема 1. Если А — вполне непрерывный оператор и е^> 0 —
любое заданное число, то существует такое целое положитель-
положительное число т, что для определенного выше оператора А2 мы имеем
|

135] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 425
Взяв последовательность положительных чисел sn, стремящуюся
нулю, получим последовательность конечномерных операторов А{*п)
такую, что || А — Л\гп] || стремится к нулю, т. е. всякий вполне
непрерывный оператор есть предел по норме конеч-
конечномерных операторов.
Принимая во внимание сказанное в [133], мы можем утверждать,
что следующее определение вполне непрерывного оператора равно-
равносильно исходному (линейный оператор, преобразующий всякое огра-
ограниченное множество в компактное).
Определение. Линейный оператор называется вполне непре-
непрерывным, если он является пределом по норме последовательности
конечномерных операторов.
135. Линейные уравнения со вполне непрерывными операто-
операторами. Рассмотрим в пространстве Н вопрос о разрешимости уравне-
уравнений вида
х — Ах=у,	(87)
х — А*х=у,	(88)
где А — вполне непрерывный оператор, Л* — сопряженный с ним,
у— заданный элемент И и х — искомый. Как показал Ф. Рисе, основ-
основные теоремы теории интегральных уравнений (теоремы Фредгольма)
остаются справедливыми для уравнений (87) и (88) не только в про-
пространстве Ну но, как мы указали в [107], и в пространствах типа В.
Исследуем эти уравнения в Н.
Фиксируем число т, входящее в построение операторов At и А2
предыдущего параграфа так", чтобы иметь [|Л2||<^1. Тем самым и
К*||<1. Итак,
ИИИИПК1,	(89)
и уравнения (87) и (88) можно переписать в виде
(Е — А%)х — Ахх=уу	(90)
(Е — А\)х — А*х=у.	(91)
В силу (89) операторы (Е— Л2) и (Е — А*) имеют ограниченные
обратные. [131]
Введем следующие обозначения:
х = (Е — Л,) х; у=(Е — А*)'гу.	(92)
Уравнение (90) переписываем, вводя х вместо	лг, и к обеим
частям (91) применяем оператор (Е — Л*). Таким	образом, полу-
получаем уравнения
х — Вх=у,	(93)
х — В*х = у,	(94)

426	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[135
где j/, — заданный элемент и
причем Б*— оператор, сопряженный с Б. Уравнение (94) равносильно
(91), и решение уравнения (90) сводится к решению уравнения (93)
и формуле х = {Е— А.2)~1 х. Таким образом, решение уравнений (90)
и (91) сводится к решению уравнений (93) и (94). Напишем еще со-
соответствующие однородные уравнения:
х — Вх = 0
Оператор Б = PLA(E— А%)~1 — конечномерный, и Бх выражается
формулой (84), в которой А надо заменить на А (Е— А,). Матрица,
соответствующая оператору В в 1Ъ будет иметь элементы:
Ai)-lzl9 PLzk). (96)
Но PLzk = 0 при k^>m, и, следовательно, akl = 0 при k^>m.
Пусть lt и 7jz — составляющие элементов /2, соответствующих эле-
элементам х и у из Н. Уравнение (93) в /.2 принимает вид
оо
i*-2a«~s'=Ti*'	(97)
/ = 1
(fe=lf 2, .... т)
(k = m-\-\, m + 2, ...),
где гк — искомые и i\k — заданные числа. Таким образом, все \k при
k ^> m известны, и решение уравнения (93) сводится в /2 к решению
системы т уравнений с т неизвестными SA(? = 1, 2,,.., т):
т	оо
2 а«71'- (99)
Оператору ^* соответствует матрица afk = alk [134], так что
уравнение (94) в /2 имеет вид
где 5/ и т]; — составляющие элементов/2, соответствующих элементам
хну из //.

1361 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 427
Каждому решению (ЕГ , Е2°\ • • ¦ > ^т) первых т уравнений напи-
написанной системы
т
(fc=l, 2, ... , т)
соответствует одно определенное решение (Ei0), ty\ ... , Vm\ Vm\-\> •••)
всей системы A00), каковы бы ни были остальные yk (k = т -|~ 1,
пг-\-2, • • О» В котором остальные неизвестные bk(k = m-\- 1, /гг -j- 2,...)
определяются по формулам
m
2»*'	A02)
Отметим, что \k, получаемые из (98) и (99) и ik из A01) и A02),
таковы, что ряды с общим членом \lk\* и \\k |a сходятся. Для ?* это
непосредственно следует из (98), а для ^ — из A02), если принять
во внимание сходимость рядов по k с общим членом \i\k\ и | alk |2.
Последнее следует из того, что, в силу (96),
*	zk).
В однородном случае надо положить yk =Уь = 0. Однородная
система (99) переписывается в виде
A03)
zi
(fe=l, 2	т)
и \k = 0 при k^>m\ система A01) — в виде
i
, 2	т)
5Л= У й/л5/ при k^>m.	A05)
z=i
Отметим, что линейно независимые решения конечной однородной
системы A04) порождают, в силу A05), линейно независимые реше-
решения всей однородной системы бесконечного числа уравнений, соот-
соответствующей однородному уравнению (94) в Н. Линейно зависимые
решения системы A04) порождают линейно зависимые решения всей
системы. Принимая во внимание основные результаты, касающиеся ре-
решения систем уравнений, и тот факт, что таблицы коэффициентов

428	пространство гильберта	[135
систем A03) и A04) имеют одинаковый ранг, мы получаем следую.
щую теорему:
Теорема /. Неоднородные уравнения (87) и (88) разрешимы
при любых правых частях у тогда и только тогда, когда соот-
соответствующие, однородные уравнения (у = 0) имеют только нуле-
нулевое решение. В этом случае решение уравнений (87) и (88) при
любом у единственно. Однородные уравнения х — Ах = 0 и jc^
— А*х = 0 имеют одинаковое конечное число линейно независи-
независимых решений.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (87) в том случае,
когда однородное уравнение имеет решения, отличные от нулевого,
и докажем для этого случая теорему.
Теорема 2. Для того чтобы в рассматриваемом случае не-
неоднородное уравнение (87) имело решения, необходимо и доста-
достаточно следующее: свободный член у должен быть ортогонален ко
всем решениям однородного уравнения
х — А*х = 0.	A06)
Необходимость. Проводим доказательство, не прибегая к/2.
Пусть уравнение (87) имеет решение х0, т. е. xQ — Ахп =у и пусть
z — какое-либо решение уравнения A06), т. е. z— Л*<г = 0. Надо
доказать, что (уу г) = 0. Имеем
(У> z) = (xQ — AxQ, z) = (x0, z — A*z) = (x^ 0) = 0.
Достаточность. Дано, что у ортогонально ко всем решениям
A06), и надо доказать, что уравнение (87) имеет решения. Переходя
в /2, мы имеем по условию
оо
У HkTk = 0,	A07)
~\
где (Ei, Е2, ... , ?т) — любое решение системы A04) и \k при k^>m
определяются формулами A05). Подставляя эти выражения \к при
^, переписываем A07) в виде
Принимая во внимание, что суммы, стоящие в круглых скобках, суть
правые части уравнений (99), а (Еь ?.2, . .. , ?т) — любое решение си-
системы A04), мы можем утверждать, что система (99) имеет решения
[HIi; 15], тем самым и уравнение (87) имеет решения, и теорема до-
доказана.
Рассмотрим теперь уравнение
х — [хАх=у,	A08)

1351 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 429
д— вполне непрерывный оператор и \х — комплексный параметр.
Оператор \*А также вполне непрерывен, и к уравнению A08) приме-
применимы доказанные выше теоремы. В частности, уравнение A08) раз-
разрешимо при любом у (и притом однозначно), если однородное ура в-
нение
х — [хАх = 0 или Ax = Xxik = ~)	A09)
имеет только нулевое решение (при (л = 0 это очевидно). Если урав-
уравнение A09) имеет решения, отличные от нулевого, то соответствую-
соответствующее значение X есть собственное значение оператора А. Докажем
теперь теорему.
Теорема 3. Может существовать лишь конечное число соб-
собственных значений, удовлетворяющих условию |Х| :>=/*, где г —
любое заданное положительное число. Иначе говоря, нам надо до-
доказать, что может существовать лишь конечное число значений \х,
удовлетворяющих условию |(а|^с —, при которых уравнение A09)
имеет ненулевые значения. Доказательство этого утверждения непо-
непосредственно связано с той конструкцией, которую мы использовали
при доказательстве теоремы 1.
Положим, как и там,
причем фиксируем т настолько большим, чтобы иметь неравенство
—1| А21| = <7<^ 1. При этом оператор (Е — |аЛ2) имеет ограниченный
обратный при |[j,|^ —, и он представим рядом
l + ...,	(НО)
сходящимся по норме равномерно относительно \х при | \х | ^	[~ е
[131], где е — достаточно малое положительное число. Значения (л,
при которых уравнение имеет ненулевые решения, мы получим, если
приравняем нулю определитель системы A03), т. е. определитель А
с элементами bkl — akl, где bkl = 0 при k ^t I и &*/=1 при k = l, и
lf zk).
Принимая во внимание сходимость ряда A10), сказанное выше
о предельном переходе для последовательности операторов и непре-
непрерывность скалярного произведения, можем утверждать, что akl —
регулярные функции в круге |(л|^ —. Тем же свойством обладает,
очевидно, и определитель А, а потому уравнение А = 0 может иметь
лишь конечное число корней, удовлетворяющих условию |ц|^ —,
что и требовалось доказать.

430	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[136
Доказанную теорему иначе можно формулировать так: с о б с т-
венные значения X вполне непрерывного оператора
могут иметь предельной точкой только точку X = 0.
Из сказанного выше следует, что ранг всякого собственного зна-
значения X, удовлетворяющего условию | X | ^ —, не превышает числа /я,
входящего в систему A03) при условии —1| А21| = q<^ 1. Если А—~
несамосопряженный оператор, то он может и не иметь собственных
значений [IV; 13].
136. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Мы
исследовали свойства спектра и разложение по собственным функ-
функциям вполне непрерывного самосопряженного оператора в [IV; 38, 39].
Все доказательства переносятся без всяких изменений и для про-
пространства Н. Но в Н мы постулировали полноту пространства,
которой не пользовались в доказательствах IV тома. Тем самым
для Н мы получим новые результаты. Сначала сформулируем тео-
теорему, которая получается из результатов IV тома: напомним, что
все собственные значения самосопряженного оператора веще-
вещественны.
Теорема 1. Всякий самосопряженный вполне непрерывный
оператор А, отличный от оператора аннулирования, имеет по
крайней мере одно собственное значение, отличное от нуля. Все
собственные значения А имеют конечный ранг и вне любого про-
промежутка [—е, -\-z]} где е^>0, может находиться лишь конечное
число собственных значений. Всякий элемент вида Ах (х(^Н)
разлагается в ряд Фурье по ортогональной нормированной системе
собственных элементов xk, соответствующих собственным зна-
значениям, отличным от нуля:
хк)х = УУ(х) xk)\kxk.	(Ill)
Сумма A11) может содержать как конечное, так и бесконечное
число слагаемых. Напомним еще, что собственные значения Xk и соб-
собственные элементы xk> образующие ортогональную нормированную
систему, получаются в результате решения последовательных экстре-
экстремальных задач для квадратичной формы (Ах, х). На этом и основано
доказательство основной теоремы в IV томе.
Положим, что сумма A11) содержит бесконечное число слагаемых.
Пусть х — любой элемент Н. Составим разность:
со
z = x — V (х, xk)xk.	A12)

ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ	431
Написанный ряд сходится [121]. В силу A11)
оо
А[х — 2 С*, *k) xk\ = 0.
Отсюда видим, что z удовлетворяет уравнению
Az = 0, или Az=Oz,	A13)
т. е. z или есть нулевой элемент или собственный элемент А, соот-
соответствующий собственному значению Х = 0. Пусть zu z2,... — пол-
полная ортонормированная система собственных элементов, соответствую-
соответствующих собственному значению X = 0. Если \ = 0 не есть собственное
значение, то таких элементов не будет. Если X = 0 собственное
значение, то оно может быть как конечного, так и бесконечного
ранга. Принимая во внимание, что z есть решение уравнения A13),
можем утверждать, что
оо
— У
-*r*)** = T^/,	A14)
~\	I
где
или, принимая во внимание, что (xk, zt) = 0 [128], получим ck =
= (ху zj), и из A14) следует, что любой элемент х разлагается
в ряд Фурье по собственным элементам Л, если принять во внима-
внимание собственные элементы, соответствующие собственному значению
Х = 0. Мы доказали таким образом теорему.
Теорема 2. Ортогональная нормированная система собствен-
собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора
есть полная система.
Иначе говоря, пользуясь терминологией из [128], можем сказать,
что вполне непрерывный самосопряженный оператор имеет чисто
точечный спектр.
Все приведенные выше рассуждения применимы и для того слу-
случая, когда сумма A11) состоит из конечного числа слагаемых. Если
^ = 0 не есть собственное значение, то сумма A11) содержит бес-
бесконечное число слагаемых (аксиома 3), и для любого элемента Н
имеем
оо
х=^(х, xk)xk.	A15)
Замечание. Как и в случае интегральных уравнений [IV; 29],
имеем дли самосопряженного вполне непрерывного оператора А

432 ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[136
следующий результат. Если X отлично от собственного значения и
нуля, то неоднородное уравнение
Ах = \х+у	A16)
при любом заданном у имеет единственное решение,	определяемое
формулой
1 h (у, xk)	П1
X	A17)
Если X совпадает с собственным значением и выполнено условие
разрешимости уравнения, т. е. у ортогонально ко всем соответствую-
соответствующим собственным элементам, то общее решение уравнения A16)
дается формулой A17), в которой все множители при xk, у которых
знаменатель равен нулю, надо заменить произвольными постоянными.
Положим, что имеются как положительные, так и отрицательные
собственные значения. Пронумеруем как те, так и другие в порядке
невозрастающего абсолютного значения, и первые обозначим через
Х?, а вторые — через Х^, а соответствующие собственные функции
через x% и *?. Принимая во внимание разложение A11), получим
{Ах, х) = ^Ч\ [х, х%) Iя + ^х* I С*. **) Is.	(!х8)
k	к
отсюда непосредственно следует новая формулировка экстремальных
свойств Хд, и xky о которых мы говорили выше [ср. IV; 26].
Теорема 3. Собственное значение XJ" есть наибольшее значе-
значение (Ах, х) при || х ||=1, и оно достигается при х — х^, а соб-
собственное значение Х^(я^>1) есть наибольшее значение (Ах, х)
при условиях
||л;|| = 1 и (х, х\) = (х, х%) = ... = (х, *я_0 = 0э
и оно достигается при х = х^.
Аналогично X]" есть наименьшее значение (Ах, х) при ||лс|]=1
и оно достигается при х-=х\, a X~(/z^> 1) есть наименьшее зна-
значение (Ах, х) при условиях
||*||=1 и (*, х'1) = (х, Хъ) = ... = (х, *я-0 = 0,
и оно достигается при х = Хп.
Докажем теперь теорему Куранта [IV; 1871 Для пространства Н.
Теорема 4. Пусть zb гъ ...}гп_^ — любые фиксированные эле-
элементы Н и m(zx, гъ ...,zn_}) — точная верхняя граница значений
(Ах, х) при условиях
||*[|=1 и (*, zl) = (x, *,) = ... = (*, zn_i) = 0. A19)
При этом [Хп есть наименьшее из чисел т (zb <г2, ..., zn_x)
при всех возможных выборах элементов zh zb ..., zn_x. Доказа-
Доказательство аналогично доказательству из [IV; 187J. Мы имеем

j?6]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЬШНЫК САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ	433
т(х\> *1> • ••> Xn-i) = lxn, и нам остается доказать, что при любом
выборе zk(k = 1, 2, ..., п — 1)
m(zb zb ..., zn_x)^^n.	A20)
Будем искать элемент х> подчиняющийся условиям A19), в виде
A21)
Условия A19) запишутся в виде следующих уравнений для ck\
п
%, zs) = 0,	A22)
*|'=l.	A23)
Однородная система A22) (п—1)-уравнений с //-неизвестными ck
имеет решения, отличные от нулевого. Добавляя к такому решению
постоянный множитель, можем удовлетворить и условию A23). Таким
образом, мы нашли элемент вида A21), удовлетворяющий условиям
A19). Для этого элемента имеем
(Ах, х) =
Принимая во внимание, что \±1 ^ [^ 7^... ^ |АJ и равенство A23)
получаем (Лд:, х)^\х^у причем х удовлетворяет условиям A19). Тем
более т(хъ гъ ..., zn_{), равное точной верхней границе (Ах, х)
при условиях A19), не меньше jj.JJ. Тем самым неравенство A20) и
теорема доказаны. Совершенно аналогично формулируется теорема
и для Х„.
Замечание. Нетрудно показать, что точная верхняя граница
т(*\> z.2, ..., zn_i) значений (Ах, х) достигается на некотором
элементе х0, удовлетворяющем условиям A19).
Действительно, по условию имеется такая последовательность
элементов уп, удовлетворяющих условиям A19), что (Ауп, уп)-+-
~-*т(гъ гъ ..., zn_{). Принимая во внимание, что |!_ул]=1, можем
считать, что уп слабо сходятся к некоторому элементу jc0, причем
из слабой сходимости следует [132]:
В силу полной непрерывности А мы имеем (Ах^, х0) =
^('2'i, zb ..., zn_x). Остается доказать, что |]лго]=1. Из
(*и ?ь ..., ^-0^14 следует, что m(zb zb ..., -гя_0>0 и

434	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[136
Если Цхо[|<М, то, вводя нормированный элемент _уо =
	тг-х0, удовлетворяющий условиям A19), мы получили бы
Х0 ||
1! *о l
1! о ;l	li хо II
Но из определения т (zb гъ ..., гпЛ) следует, что (Луо> З^о) ^
^ т (zb хъ ..., zn_i). Полученное противоречие показывает, что
||xo|j=l, и утверждение о том, что (Ах, х) достигает своей точ-
точной верхней границы т (zx, zb ..., zn_{]y — доказано. Принимая во
внимание теорему 2 из [132], можем утверждать, что уп =>х0.
Теорема применяется при сравнении собственных значений раз-
различных операторов [ср. IV; 188].
Отметим еще одно непосредственное следствие формулы A18)
[ср. IV; 26]. Для того чтобы вполне непрерывный самосопряженный
оператор А был положительным: ((Ах, х) ^ 0 при х (^ И), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он не имел отрицательных собственных
значений.
Докажем теперь, что вполне непрерывный самосопряженный опе-
оператор вполне определяется тем характером спектра, который описан
в теоремах 1 и 2.
Теорема 5. Пусть линейный самосопряженный оператор обла-
обладает следующими свойствами: ортогональная нормированная си-
система его собственных элементов xk(k=\, 2, ...) — полная, все
собственные значения Хл, отличные от нуля, имеют конечный
ранг и вне любого промежутка [— е, -Ц в], где е ^> 0, может на-
находиться лишь конечное число собственных значений. При этом
оператор А — вполне непрерывный.
По условию теоремы мы можем расположить lk в порядке не-
возрастающего абсолютного значения
l*i|5s|*»|sH4^...	О24)
и Х^-^0 при п^со. Напомним, что если собственные значения
имеют ранг г, то оно фигурирует в последовательности A24) г раз
(собственное значение X = 0 может иметь бесконечный ранг).
Для любого элемента х^Н мы имеем, в силу полноты системы
xk, разложение в ряд Фурье
GO
х=У ahxk	A25)
klkxk.	A26)
/г=1

УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	435
Пусть U—ограниченное множество элементов х, т. е. сущест-
существует такое положительное число /, что
2.
A27)
= 1
если x^U. Нам надо доказать, что множество Ах компактно. Огра-
Ограниченность множества следует из неравенства j| Ад;||^ nAL Остается
доказать [92], что если выполнено A27), то при любом заданном
существует такое целое положительное тг, что
k=m
В силу Хл -> 0 при п -> со существует такое n?i что | \п |<^ -1-
при п ^ пе. При этом
k—n	k=m
г	&
и теорема доказана.
137. Унитарные операторы. Наряду с самосопряженными опера-
операторами рассмотрим еще один класс линейных операторов.
Определение. Линейный оператор
y=.Ux	A28)
называется унитарным, если он не меняет нормы элементов,
т. е. || Ux [| = || х |i, и преобразует И на все И, т. е. для любого
У^И существует прообраз х, т. е. такой элемент х, что имеет
место формула A28).
Отметим, что из этого определения следует, что норма унитар-
унитарного оператора равна единице. В следующей теореме указаны основ-
основные свойства унитарных операторов.
Теорема /. Унитарный оператор преобразует И биодно-
значно в Я, имеет ограниченный обратный оператор, определяе-
определяемый формулой
U~l = U*y	A29)
т. е.
UU*=U*U = E,	A30)
причем U~l — также унитарный оператор, и U не меняет ска-
скалярного произведения. Условие A30) достаточно для того, чтобы
U было унитарным оператором,

436	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[137
Если Х\ и дг2 — два элемента Н, то, по определению унитарного
оператора, || Uxx— Ux,i{ = \U(xx— х^\^=\хх — х>2\, а потому, если
Ux\ = Ьхъ то и х{ = jc.2, т. е. для различных элементов х формула
A28) дает и различные у, т. е. U определяет биоднозначное преоб-
преобразование Н в себя. Таким образом, существует ограниченный обрат-
обратный оператор 6м, определенный во всем Я, причем в силу того,
что U не меняет нормы, имеем || и~лу\ = \у .], т. е. оператор U~v
также унитарен. Принимая во внимание неизменность нормы, можем
написать (Ux, Ux) = (x, х), откуда непосредственно следует ра-
равенство
(U*Ux, x) = (x, х).
Но равенство квадратичных функционалов равносильно равенству
входящих в них операторов, т. е. U*U=E, откуда следует, что U*
обратен U слева, и, поскольку для U существует ограниченный
обратный оператор, мы имеем также UU*=E> и A29) доказано.
Утверждение о том, что U не меняет скалярного произведения, не-
непосредственно следует из равенств
(Ux, Uy) = (U*Ux, y) = (x, у).	A31)
Наконец, покажем, что из A30) вытекает, что U—унитарный опе-
оператор. В силу A30) U имеет ограниченный обратный оператор,
определяемый формулой A29). Остается доказать, что U не меняет
нормы. Это следует, в силу A30), из A31) при_у = х.
Отметим еще, что если Ux и ?/2 — два унитарных опе-
оператора, то и их произведение [/^.2 есть также унитар-
унитарный оператор. Это непосредственно следует из того, что если
U{ и U<i преобразуют биоднозначно Я в Я и не меняют нормы, то
такие же свойства имеет, очевидно, и их произведение. Таким обра-
образом оператор, обратный унитарному, унитарен, и произведение уни-
унитарных операторов есть унитарный оператор, т. е. унитарные
операторы образуют группу.
Пусть
*\> х* х2, ...	A32)
— замкнутая ортогональная и нормированная система. Применяя к ней
унитарное преобразование U, получим, в силу доказанных свойств ?/,
ортогональную нормированную систему
yl = UXl; уъ = их& уъ=ихъ\ ...	A33)
Для любого вектора х имеем разложение по элементам системы
х = а1х1-\- а,2х.2 ~ а3лг3 + ...	A34)
и тем самым для преобразованного элемента Ux имеем разложение
по элементам системы A33) с теми же коэффициентами:
Ux = aYyi -\- а2у>2 -}- a^yz -|~ ...	A35)

УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	437
Элемент Ux может быть любым элементом из И, и, следовательно,
система A33) также замкнута. Наоборот, если имеются две замкну-
замкнутые ортогональные, нормированные системы дг^ и j/ft(^=l, 2, ...),
и мы определим оператор U для любого элемента х, имеющего пред-
представление A34), формулой A35), то такой оператор преобразует
биоднозначно Я в Я и не меняет нормы
\Uxf =
\XF =
k=\
т. е. такой оператор U унитарен. Таким образом, всякий унитар-
унитарный оператор может быть определен при помощи
преобразования элементов одной замкнутой ортого-
ортогональной нормированной системы в элементы другой
такой же системы.
Пусть А — некоторый линейный оператор и у —: Ах. Возьмем
какой-либо унитарный оператор U и положим у' = Uy и xf = Ux.
В силу у = Ах мы можем выразить У через хг по формуле
/ = (UAU-l)x',	A36)
и говорят, что оператор В= UAU~l унитарно эквивалентен А. Из
написанной формулы следует А = U~lBU, откуда видно, что если В
унитарно эквивалентен Л, то и А унитарно эквивалентен В. Если
Р — проектор в подпространство LP, то UPU'1 есть, очевидно,
проектор в подпространство, получаемое применением U к подпро-
подпространству LP. Если х0 — собственный элемент А, соответствующий
собственному значению Хо, т. е. Лх0 = Хол;о, то, обозначая х'0 = Ux^
имеем, очевидно, (UAU~X) х'^ = \х'^ т.е. унитарно эквивалент-
эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные зна-
значения, а собственные элементы этих операторов
связаны соответствующим унитарным преобразова-
преобразованием. Пользуясь A29), легко проверить, что если Л самосо-
самосопряженный оператор, то и В самосопряженный опе-
оператор.
Теорема 2. Собственные значения унитарного оператора по
модулю равны единице, а собственные элементы, 'соответствующие
различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Путь U—унитарный оператор и х0 — его собственный элемент,
соответствующий собственному значению Хо, т. е. С/л*0 = Холго. При-
Принимая во внимание, что U не меняет нормы, можем написать
(*0, xo) = ((Jxo, Uxo) = (koxo, loxo) = | Xo ] (л'о, x0),
T» e. |! x01; = | Xo | |i x01, откуда и следует, в силу ;| х0 ] Ф 0, что | Хо | = 1.
Пусть лг0 и X]—собственные элементы, соответствующие различным
собственным значениям л0 и \ь т. е. ?/л~о = Хохо и [/л:1

438	пространство гильберта	[138
Принимая во внимание* что U не меняет скалярного произведения,
можем написать
(х0, xl) = (Ux0, их{) = (кьХ0
Если бы оказалось, что (х0, х{) ф 0, то из написанного равенства
следовало бы, что Х0Х1=1. Но, в силу доказанного выше, |Х0|=1
и, следовательно, Xt == 1: Х0 = Х0, т. е. \1 = \0, что нелепо, ибо Хо и
Хь по условию, различны. Введем еще один класс операторов.
Определение. Линейный оператор V называется изометриче-
изометрическим, если он не меняет нормы элементов, т. е. || Vx || = || х ||
при х ? И.
Как всякий линейный оператор V определен во всем Я, но не
требуется, чтобы V преобразовало И во все Н> и изометрический
оператор может и не быть унитарным. Дадим этому пример. Пусть,
как и выше, xk (k=\, 2, ...) — замкнутая ортонормированная в И
система, так что всякий элемент х представим своим рядом Фурье A34).
Определим V формулой
оо
Vx= 2 akxkn.	A37)
k = l
Очевидно, что V—линейный оператор и
Из A37) следует, что V преобразует Н биоднозначно в подпро-
подпространство элементов, ортогональных х{.
138. Абсолютная норма оператора. Введем теперь новое понятие о норме
линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, а х^ н у/г (k = 1, 2, ...) —
две какие-либо замкнутые ортонормированные в И системы. Составим следую-
следующую сумму неотрицательных слагаемых:
?) i2
p, я = i	p, q
Положительное значение корня квадратного из этой суммы обозначим
N (Л; Хру у(}). Эта величина может равняться и (+ ос). Покажем, что она не
зависит от выбора ортонормированных систем хр и yq. Принимая во внимание,
что (АхР, yq) суть коэффициенты Фурье элемента Ахр относительно системы^,
можем написать вместо A38), в силу уравнения замкнутости,
A39)

АБСОЛЮТНАЯ НОРМА ОПЕРАТОРА	439
С другой стороны, принимая во внимание, что (Ахр} yq) = (x^> A*yq),
получим
со
W2 (Л; хр, yq) = N* (Л*; yqi xp)= У\\ A*yq f.	A40)
д~\
Из уравнения A39) следует, что N2 (Л; хру yq) не зависит от выбора си-
системы уду а из A40) следует, что эта величина не зависит от выбора си-
системы xfi, и, таким образом, вместо N2 (Л; хру yq) естественно писать просто
УУ2(Л). Положительное число N (А) назовем абсолютной нормой опе-
оператора Л. Эта норма может равняться (-(-ос). Принимая во внимание A39)
и A40) и независимость N (А) от выбора системы хр и yqi получим
N(A) = N(A*).	A41)
Далее формула
со
N*(A + B) = У, \\Axfi + Bxp\?
и неравенство A07) из [59] дают непосредственно
N(A + Б) ^ N(A) + N(B).	A42)
Пусть U—унитарный оператор. При этом U~lxp образуют замкнутую
ортогональную нормированную систему и \\UAz \\ = [J Az[. Отсюда следует,
в силу A39),
N(UAUl) N(A)	A43)
т. е. унитарно эквивалентные операторы имеют одну и
ту же абсолютную норму. Положим, что N (А) конечно и пусть х —
какой-либо нормированный элемент. Мы можем принять его за первый элемент
в ортогональной нормированной системе и при этом из формулы A39) получим
N2(A)^\\Ax\\f т. е.
\\Ax^N(A) при ||л:!|=1,
откуда следует, что обычная норма оператора<Сего абсолют-
абсолютной нормы.
Теорема. Если абсолютная норма оператора А конечна, то А — вполне
непрерывный оператор, и если, кроме того, А — самосопряженный опера-
оператор, то имеет место формула
со
ЫЦА)= 2 Ч,	A44)
k = 1
где Х/г — собственные значения А (кратные входят несколько раз).
Пусть U — какое-либо ограниченное множество. Нам надо доказать, что
если N(A) < + оо, то множество Ах, где х ( U, компактно. По условию суще-
существует такое положительное число /, что || х || =<: /, если х ? U. Ограниченность
множества Л непосредственно следует из того, что |; Ах || ^ пА1. Вводя какую-
либо замкнутую ортонормированную систему yk (k=\y 2, ...), преобразуем И
в h, и нам остается доказать, что при любом заданном г > 0 существует такое
Целое положительное число я6, что
И*. Лг) I1 =??**¦	A45)

440	пространство гильверта	[138
Мы имеем
2 км .у*).8 =2 \(х>а*уь)\*^'* 2
k = п	k = п
Но, в силу N (А) < + сю, ряд A40) сходится и существует такое ns (не за-
зависящее от гыбора x?U)> что
откуда следует A45), и доказано, что А — вполне непрерывный оператор. Если
А — самосопряженный оператор, то выберем за у^ замкнутую ортонормирован-
ную систему его собственных элементов, так что Ayk = lkyk и || Ayk \? =
= lA*yk^ = ^k- ^Ри этом> в СИЛУ A40), мы получаем формулу A44), и конеч-
конечность величины N(A) равносильна сходимости ряда, стоящего в правой
части A44).
Мы покажем в дальнейшем, что если А — самосопряженный положительный
оператор, т. е. (Ах, х)^0 при х^Н, то существует линейный положительный
оператор В такой, что В2 = А. Обычно обозначают В = УА. Пользуясь этим
оператором, мы введем понятие следа линейного положительного вполне непре-
непрерывного самосопряженного оператора.
= 2{Вх^ Вхр)= 2(Z*2^'Xp)== 2
Отсюда мы видим, что для самосопряженного положительного оператора
сумма
оо
2 (Axpt xp)
р=\
не зависит от выбора системы хр. Эту сумму называют следом оператора Л
и обозначают символом Sp (Л). Из предыдущих вычислений следует, что
Если А имеет чисто точечный спектр и мы возьмем за хр замкнутую орто-
ортогональную нормированную систему собственных элементов Л, то получим,
в силу Ахр = \хрхру
оо
Sp(A)= 2 «V
139. Операции над подпространствами. Этот и следующий
параграфы посвящены изложению операций над подпространствами и
свойств операции проектирования. Это будет нам необходимо в даль-
дальнейшем при изложении теории самосопряженных операторов.

139]	операции нлд подпространствами	441
Пусть Lk (k=\, 2, ... , т) — попарно ортогональные подпро-
подпространства. Введем понятие об их сумме [ср. 122]:
L = Z.,0I,0 ...0Im.	A46)
Через L мы обозначаем множество элементов х вида
* = *! + ¦**+ ... +хт,	A47)
где xk ? Lk. Из ортогональности Lk следует, что xk = PL x (k=\,
2, .. • у м)> и имеет место равенство
I! v 2	I! v- 2 I II v ''2 |	I II v 112
I!х \ — \\xi \ -г I! •** j + • • • i- II хт I! •
Нетрудно показать, что L — подпространство. Оно называется
ортогональной суммой подпространства Lk. Рассмотрим теперь бес-
бесконечную сумму попарно ортогональных подпространств:
1 = 1,01,01,0...	A48)
Через L обозначаем множество элементов х, представимых в виде
суммы сходящегося ряда
где xk ? Lk. Написанное равенство равносильно следующему [122]:
и при его выполнении xk = Pi х. Если х — любой элемент И, xk
= PLkX И 5w(x) = .++ +
Равенство A50) равносильно \\х — sm(jc)!|—»0 при т —со. Не-
Нетрудно видеть, что L — линеал. Покажем, что L — подпространство.
Пусть х{п) ? L и х(л) =i>jc при п—> со. Надо доказать, что и
х ? L. Имеем очевидное неравенство
Но sm(x{n)—х) есть проекция х{п) — х в подпространство
^i©^2© ••• © Lmy так что |jsm(jt(/I^—х) ||^||^(/г)—^||, и можем
написать
| х — sm (х) || < 21| х — х{п) I +1! xin) — sm (x{n)) ||. A52)
Пусть задано s^>0. Фиксируем такое п, что \х — ^(/г)||^4-.
Но \\х{п)—sm(x{n))l^^ при всех достаточно больших /гг, ибо

442
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[139
лг(/г) ? L, и из A52) следует || х — 5т(лг)||^е, т. е. х G L, и доказа-
доказано, что z-подпространство. Элемент /\у при любом у ? Н пред-
представим в виде
/\y = ^ + z.2 + ...,	A53)
где zk = PL (Pty)- Но, поскольку Lk входит в L, мы имеем
Pl(Pl у) =
ь У у
т. е.
операторам PL PL = PL , откуда
писывается в виде
l =Pl > и> переходя к сопряженным
т. е.
, = PLby} и формула A53) пере-
A54)
^1 = ^1 + ^2+^3+ •••»	A55)
причем сходимость ряда надо понимать в смысле сильной сходимости
последовательности операторов.
Отметим, что если хь хъ ... — попарно ортогональные и норми-
нормированные элементы, то, считая, что каждый из них xk порождает
одномерное подпространство Lk элементов axk, где а — любое ком-
комплексное число, мы имеем ортогональную сумму этих подпространств,
образованную элементами вида
У, ckxk9
где ряд, составляемый из чисел | ck |2, сходится, и проектор в под-
подпространство L имеет вид
где akxk = PLky и ак = (у, хк).
Говорят, что подпространство М есть часть подпро-
подпространства L(Afc_~L), если все элементы М входят в L. При этом
разностью подпространств L Q М называют множество элементов L, орто-
ортогональных М [122]. Если обозначить L QМ = Мь то L = MQ)Мь и под-
подпространства М и М\ взаимно дополнительны по отношению к L [122].
Произведением подпространств L{L2 называется множество эле-
элементов, общих
L2. Нетрудно показать, что это множество есть
подпространство. Это определение произведения применимо и к лю-
любому конечному или бесконечному числу подпространств.
140. Операторы проектирования. Мы видели, что оператор
проектирования Pi в подпространство L есть самосопряженный опе-
оператор с нормой единица (исключая случай, когда Pi — оператор анну-
аннулирования [124]). Из его определения непосредственно следует
Р1 = Р	A56)

ОПЕРАТОРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ	443
и потому
(PLx, x) = (Pix, x) = (PLx, Plx) = "
т. e. Pl — положительный оператор. Докажем некоторые
теоремы о проекторах.
Теорема 1. Если А есть самосопряженный оператор, удовле-
удовлетворяющий соотношению
А2 = А,	A57)
то А есть проектор PL в подпространство L, образованное эле-
элементами у = Ах, когда х пробегает все И.
Множество L элементов у = Ах, когда х пробегает Н, в силу
дистрибутивности оператора А, есть линеал. Докажем, что L есть
подпространство. Пусть уп—последовательность элементов из L и
j/nz=z>j/. Надо доказать, что у ? L. Принимая во внимание, что
уп ? L, можем утверждать, что существуют такие элементы хп, что
уп = Ахп, или, в силу A57), уп = А (Ахп), т. е. уп = Ауп, откуда,
переходя к пределу и пользуясь непрерывностью оператора А, полу-
получим у = Ау и, следовательно, у ? L. Для доказательства теоремы
нам остается показать, что элемент (х — Ах) ортогонален любому
элементу из L, т. е. ортогонален элементу Az, где z — любой эле'
мент из Н. Мы имеем
(х — Ах, Az) = (x, Az) — (Ах, Az).
В силу самосопряженности А мы можем перекинуть А с первого
элемента х на второй элемент z. Таким образом, получим
(х — Ах, Az) = (х, Az) — (х, A2z)
и из A57) следует, что правая часть равна нулю, т. е. (х — Ах,
Az) = 0, и теорема доказана.
Назовем два проектора PL и Рм взаимно ортогональными, если
выполнено условие
0,	A58)
причем символ 0, стоящий справа, обозначает оператор аннулирова-
аннулирования. Переходя в формуле A58) к сопряженным операторам и прини-
принимая во внимание самосопряженность проектора, получим, наряду
с A58), формулу
0.	A59)
Теорема 2. Для того чтобы проекторы Pl и Рм были вза-
взаимно ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы подпростран-
подпространства L и М были взаимно ортогональны.
Доказываем необходимость. Если бы L и М не были взаимно орто-
ортогональными, то существовал бы элемент дг0, принадлежащий М и не-
неортогональный L. Для такого элемента мы получили бы Рмх = х и,

444	пространство гильберта	[140
следовательно, PL(PMx) = Р^х ^ 0, что противоречит A58). Дока-
Доказываем достаточность. Если L _|_ М} то Р^х ортогонально к L для
любого элемента х, и, следовательно, PL {Рмх) = 0, т. е. формула
A58) справедлива.
Теорема 3. Для того чтобы сумма Pl-\-Pm была проекто-
проектором, необходимо и достаточно, чтобы подпространства L и М
были взаимно ортогональны. Если это условие выполнено, то
PL -f- Рм есть проектор в L ф М.
Доказываем необходимость. Пусть PL -\- Рм есть проектор. При
этом мы должны иметь, в силу A56),
(Pl + Рм) (Pl + Рм) = Pl + Pm,	A60)
и, раскрывая скобки и принимая во внимание, что P[ = PL и
Рм = Рль получим
PlPm + PmPl = 0.	A61)
Умножаем слева на Pl-
Р1Рм + РьРмРь = 0.	A62)
Умножая это равенство справа на Я/,, получаем формулу PlPmPl = 0>
которая, в силу A62), приводит нас к формуле PL Рм = 0, из
которой, в силу теоремы 1, и следует, что L и М взаимно ортого-
ортогональны. Доказываем достаточность. Если L и М взаимно ортогональны,
то, в силу A58) и A59), выполняется равенство A61), а тем самым и
равенство (PL -f- РмJ = Pl + Рм* "> в силу теоремы 1, PL-\~PM
есть проектор. Подпространство, соответствующее этому проек-
проектору, определяется формулой
y = (PL + Рм) x = PLx + Рмх,	A63)
где х пробегает И. Слагаемое Pix^L и слагаемое Рм х(^М. Таким
образом, любой элемент у, определяемый формулой A63), принадле-
принадлежит LQjM. Наоборот, если мы возьмем любой элемент n-\-v, при-
принадлежащий 10Ж, причем u^-L и v^M, то, подставляя в фор-
формулу A63) x = u-\-v, получим у = 11-1-1). Таким образом, фор-
формула A63) определяет действительно подпространство 1фЖ, и
теорема таким образом доказана.
Говорят, что оператор Рм есть часть оператора Pi, если выпол-
выполнено условие
Pm.	A64)
Переходя в этой формуле к сопряженным операторам, получим
следующую формулу:
PM.	A65)
Теорема 4. Для того чтобы Рм было частью PL, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы подпространство М было частью под-

140]	операторы проектирования	445
пространства L. Это условие равносильно тому, что при всяком х
lPMxl^lPLxl	A66)
или тому, что
Pm^Pl-	A67)
Если выполнено условие A64) и мы возьмем элемент х0, принад-
принадлежащий М, то Рмх0 = х0, и из A64) следует, что PLxQ = x0> т. е.
Xq^L и М есть часть L. Наоборот, если М есть часть L, то при
любом выборе х элемент Рмх принадлежит Ж, а следовательно, и I,
а потому Pi (Рмх) = Рмх, т.е. условие A64) выполнено. При этом,
согласно формуле A65), мы можем написать для любого элемента х:
|| рм х || = || Рм (Pl х) || ^ |] PL х ||, откуда вытекает неравенство (93).
Покажем теперь, наоборот, что из неравенства (93) следует, что М
есть часть L. Если бы это было не так, то существовал бы элемент х0,
принадлежащий М и не принадлежащий L. Для этого элемента мы
имели бы || Рм х01| = || х01| и [j Pi aV| <С 1-*<> (> что противоречит A66). Нако-
Наконец, неравенство A66), в силу A57), мы можем записать в виде
(PL х} х) ^ (Рм х, х) или ((PL — Рм) х, х) ^ 0, откуда и следует,
что A67) равносильно A66); теорема полностью доказана.
Теорема 5. Для того чтобы разность PL — Рм была проек-
проектором, необходимо и достаточно, чтобы М было частью L. Если
это условие выполнено, то PL — Рм есть проектор в L Q М.
Если Pi — Рм есть проектор, то мы должны иметь
Pl — Pm,	A68)
или, раскрывая скобки, получим
PlPmjtPmPl = <2Pm.	A69)
Умножая сначала слева, а затем справа на PL, приходим к двум
равенствам
и PlPmPl
из которых следует, что PLPM = РмРь и, в силу A69), уы имеем
PLPM = PMPi = Рм, т. е. соблюдено условие A64), и М есть часть L.
Наоборот, если М есть часть I, т. е. соблюдены условия A64) и
A65), то из них следует формула A69), и тем самым формула A68),
а потому, согласно теореме 1, Pi — Рм есть проектор. Соответ-
Соответствующее ему подпространство определяется формулой
y = (PL — PM)x = PLx — PMx,	A70)
причем х пробегает все И. Элементы Р/х и Рмх принадлежат L,
ибо по условию М есть часть L. Таким образом, формула A70) Дает
элементы, принадлежащие L. Покажем, что элементы у, кроме того,
ортогональны М. Пусть z — любой элемент из М. Мы имеем
и можем написать
= (Plx — Pmx, Pmz).

446	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[140
Переводя Рм справа налево и пользуясь условием A65), получим
(PLx—PMx, z) =
т. е. действительно PLx—Рмх_1_М. Таким образом, формула A70)
дает элементы у, принадлежащие L Q М. Если и есть любой элемент,
принадлежащий L © М, т. е. u^L и и_\_М, то y = PLu— Рми =
= PLu = ц} и, таким образом, окончательно можно утверждать, что
формула A70) определяет подпространство L Q М, и теорема
доказана.
Теорема 6. Для того чтобы произведение PlPm было про-
проектором, необходимо и достаточно, чтобы Pi и Рм коммути-
коммутировали, т. е.
A71)
Если это условие выполнено, то PlPm есть проектор в под-
подпространство LM.
Необходимость условия A71) вытекает из того, что для самосопря-
самосопряженности PlPm необходимо и достаточно A71). Проверим теперь, что
при наличии условия A71) оператор PlPm удовлетворяет условию A57):
(PlPm)
Таким образом, первая часть теоремы доказана. Если х — любой
элемент из Я, то элемент
y = (PLPM)x = PL(PMx)=*PM(PLX),	A72)
очевидно, принадлежит как L, так и М, т. е. принадлежит LM.
Наоборот, если мы возьмем любой элемент х0, принадлежащий LM,
то формула A72) при х = х0 даст нам у = х0. Таким образом,
формула A72) определяет подпространство LM, и теорема полностью
доказана.
Теорема 7. Предел сходящейся последовательности проекто-
проекторов есть проектор.
Мы имеем Рп —>• Р, причем Рп суть проекторы и Р есть самосопря-
самосопряженный оператор [131]. Переходя в равенстве Р'п = Рп к пределу,
получаем равенство Р® = Р, из которого, в силу теоремы 1, следует,
что Р есть проектор.
Теорема 8. Всякая монотонная последовательность проекто-
проекторов имеет предел.
Рассмотрим сначала неубывающую последовательность проекторов:
P!<Pe<P3<...	A73)
Для доказательства существования предела у последовательно-
последовательности A73) нам надо показать, что Рпх имеет предел при любом
выборе х, т. е. для любого заданного положительного s должно
существовать такое N, что
[РцХ — Рт*!^* ПРИ n>m>N.	A74)

РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	447
В силу A73) и теоремы 4
причем для. любого п мы имеем [| Рпх || ^с |] х ||. Таким образом, неубы-
неубывающая последовательность неотрицательных чисел || Рпх \ имеет пре-
предел, и для любого заданного положительного г существует такое Л/, что
II Яяаг IIs-1Ят* Г <е» при я>/и>М
Согласно A57) мы можем записать это неравенство в виде
Так как Рт есть часть РПУ то Рл — Рт есть проектор, и послед-
последнее неравенство, в силу A57), приводит к неравенству A74); теорема
доказана. Отметим, что, в силу теоремы 7, предельный оператор Р
для последовательности A73). есть проектор и, переходя в неравен-
неравенстве ((Ря— Рт) х> х)^0 к пределу при п -> сю, мы получаем
((Р—Рт) х, jc)S=sO, т. е. Р^Рт. Совершенно аналогично доказы-
доказывается, что и убывающая последовательность проекторов имеет пре-
предел, и этот предел есть также проектор.
Теорема 9. Если Lk(k = \, 2, ...) — счетное число попарно
ортогональных подпространств, то сумма
Pik	A75)
k
есть проектор в подпространство
Это утверждение непосредственно следует из сказанного в [139|.
141. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса. Дальнейшее
развитие теории самосопряженных операторов основано на общей
формуле, дающей представление любого самосопряженного опера-
оператора. Для построения этой формулы надо предварительно ввести
одно новое важное понятие.
Определение. Назовем разложением единицы семейство проек-
проекторов gx, зависящее от вещественного параметра X и удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям: 1) проектор gx не убывает при
возрастании X, т. е. если \х ^> X, то g^ ^ gx; 2) существуют такие
конечные значения \ = а и л = &, что ga = 0 и $Ь = Е\ 3) проек-
проектор gx непрерывен справа по отношению к параметру X, т. е.
хНт+овх = вх..	(,77)
Отметим, что, в силу теоремы 7 [140], при любом значении X'
существует предел gx при стремлении X к X' как слева, так и справа,

448	пространство гильбертл	[141
Эти пределы суть проекторы, которые естественно обозначить сим-
символами gx'-o и gx'-f-o. В силу A77) мы должны иметь gXr+0 = gx,.
Будем говорить, что gx непрерывен в точке X, если gx = gx_0. Усло-
Условие A77) требует для проектора gx в каждой точке непрерывности
справа. Это условие добавлено лишь для того, чтобы фиксировать
значение gx в каждой его точке разрыва по отношению к X.
Отметим некоторые свойства разложения единицы gx. Пусть т —
точная верхняя граница тех значений X, для которых gx = 0, т. е.
gx = 0 при \<^т и gx>0 при \^>т.	A78)
В самой точке 1 = т проектор gx будет отличным от нулевого
оператора, если в этой точке gx имеет скачок. Через М обозначим
точную нижнюю границу тех значений X, для которых gx = Е.
В силу непрерывности gx справа мы должны иметь $М = Е> и, таким
образом, значение М определяется следующими условиями:
gx<? при Х<Ж и gx = ? при Х^Ж. A79)
Если е0 — любое фиксированное положительное число, то мы
можем сказать, что при изменении X в промежутке [т — е0, М] про-
проектор gx меняется от 0 до Е. Далее, в силу теоремы 5, можно
утверждать, что при (J-^>X разность g^ — gx есть проектор, и имеет
место формула
gx&, = ^gx = Sx-	A80)
Устремляя в разности g^— gx число X к [х слева, увидим, что
g^ — g^o есть проектор. Точно так же можно показать, что
gv — g^_0 при v^>(jl есть проектор. Введем новое обозначение, кото-
которым в дальнейшем будем часто пользоваться. Пусть А — некоторый
промежуток [а, р]. Обозначим
Agx = gp-ga.	A81)
Если А' и А" — два промежутка, не имеющие общих внутренних
точек, то, в силу A80), мы имеем
A'gx.A"gx = 0	A82)
(А' и А" без общих внутренних точек).
Пользуясь теоремой 2 [140], мы можем утверждать, что послед-
последнее равенство равносильно следующему: при любом выборе элемен-
элементов х и у мы имеем
Ы%}х _]_ A"gx_y {x и у любые)	A83)
(А' и А" без общих внутренних точек).
Если Ао — общая часть промежутков А' и А", то, в силу A80),
мы имеем

141)
РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	449
Мы умеем складывать операторы и совершать переход к пределу
для последовательности операторов. Это даст нам сейчас возмож-
возможность построить, пользуясь разложением единицы gx, «интеграл
Стилтьеса» для любой непрерывной функции. Пусть на промежутке
тт __ е0, Ж], где е0 — фиксированное положительное число, задана
непрерывная функция /(^), которая может быть и комплексной.
Делим указанный промежуток на части:
/я-ео = Хо<Х1<Х,<...<Хя.1<Хя = Л1,	A85)
и для этого подразделения 8-промежутка \т — е0, М\ составляем
соответствующую ему «сумму Римана — Стилтьеса»:
где vft — какое-либо значение из промежутка |^_i, ^k\. Сумма as
есть некоторый линейный оператор. Обозначим через т]3 наибольшую
из разностей \k — ХЛ_!. Имеет место следующая основная теорема:
Теорема. Для любой последовательности подразделений Ьп
при условии i\b -> 0 последовательность операторов сг , в смыс-
смысле сильной сходимости операторов, имеет определенный предел.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма /. Если а и ak (&=1, 2, ..., п) — комплексные числа
и x = Xi -\- дт2 -\-... -f- xn, причем элементы xk попарно ортого-
ортогональны, то имеет место неравенство
? 8 — наибольшее из чисел | а — ал |.
Можем написать
— у (а	а л х
/г=1	/г=1
откуда, в силу теоремы Пифагора, следует
Теорема Пифагора дает также
п
j Г!*_ V I! *. ¦*

450	пространство гильбертл	A41
неравенство A88) непосредственно приводит к A87), и лемма дока-
доказана.
Лемма 2. Если 8 —разбиение A85) промежутка [т — е0, М\ ц
8' — какое-либо другое разбиение
т — го =
того же промежутка, то для любого элемента х имеет место
неравенство
\оьх — а8,дг]<2A)|!^||, ,	A89)
где со — наибольшее колебание функции f (k) в промежутках
[^k-ь ^к] ll We-ь Kb m- e- ш есть такое число, что
I А*)—/(?)!<<•>.	A90)
если а и р принадлежат одному и тому же промежутку [^&_i, kk\
или одному и тому же промежутку [К-\> К]-
Составим произведение подразделений 88'. При переходе от под-
подразделения 8 к подразделению 88' каждый частичный промежуток АЛ
подразделения 8 разобьется на конечное число промежутков А^}
E=1, 2, ..., тк). При этом каждое слагаемое /(^Л)АЛ^хд: суммы
заменится суммой
где V/f—некоторое значение из промежутка A/f. Тем самым значе-
под-
подA92)
ния vfe и v/f принадлежат одному и тому же промежутку АЛ под-
подразделения 8, и мы имеем, в силу A90),
(s= 1, 2, ..., mk).
Составим разность
оьх-о^х= У [f(vk)
k^\	5=1
В силу A83) элементы А/г§хх, А^§хх для различных значений k
взаимно ортогональны, и, пользуясь теоремой Пифагора, мы можем
написать

РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	451
k
Кроме того, имеем Дл§хдг= > Д/f gxx,
5=1
й элементы A(fe5)gxjc (s=l, 2, ..., /#л) также попарно ортогональны.
Пользуясь леммой 1 и принимая во внимание неравенство A92),
получаем оценку
т
\\f(yk)
и, следовательно, в силу A93),
Принимая во внимание, что gm._So = O и $М = Е, можем написать
п
У,	A95)
fe=l
причем элементы, стоящие справа, попарно ортогональны. Теорема
Пифагора дает
п
fe=l
и неравенство A94) можно переписать в виде
1°ьх — aSo'XJ!^a)l|x'j.
Совершенно так же можно показать, что
[]о6гЛ7 — aeo'X || ^ О) !J ДГ ;|,
и утверждение леммы непосредственно вытекает из неравенства
I оьх — аг«х \ ^с || аьх — о^.х |] -f- !J os»x — а^.х !|.
Переходим теперь к доказательству теоремы. Нам надо показать,
что при любом выборе элемента х последовательность элементов а5^х
имеет предел, т. е. о. х ==>_у. Если мы это докажем, то нетрудно
видеть, что предельный элемент у не зависит от выбора последова-
последовательности Ьп. Действительно, если Ьп и Ьп> — две последовательности
подразделений, удовлетворяющие указанному в теореме усло-
Вию, причем если аь =>_у и оь'пх =>У, то последовательность под-
Разделений Ьь 8j, Ъй, Ь'2> ... также удовлетворяет условию теоремы,
а потому последовательность элементов а^х, о'Й1х, Со2х, о'^х^ ...

452	пространство гильвертл	[14]
должна иметь предел. Отсюда и вытекает непосредственно, что
у'=у.
Предварительно установим одно неравенство.
Элементы A/fgxx, входящие в сумму о6, попарно ортогональны, и
и по теореме Пифагора
п
|! a jc Р2 = / I f(Vb) I21' А ? х I'2	A97)
Далее, непрерывная функция /(X) ограничена по модулю, т. е.
|/(Х)|^/7, где р — некоторое положительное число. Формула A97)
приводит нас к неравенству
п
/г=1
из которого, в силу A96), следует, что	jj atx [| ^ р |] х |1, т. е. при
любом разбиении норма оператора cs не	превышает /7. Докажем
теперь, что последовательность элементов	с8 х имеет предел при
любом выборе х. В силу условия теоремы	о равномерной непрерыв-
непрерывности /(X) на промежутке [т — е0, М) для любого заданного поло-
положительного е существует такое N, что
если X' и X" принадлежат одному и тому же частичному промежутку
подразделения Ьп при n^>N. Применяя лемму 2, мы можем утвер-
утверждать, что имеет место неравенство
[|о6 х — сь х||^ 2s !|х|| при я и
т. е. последовательность as jc сходится в себе, а потому стремится
к некоторому предельному элементу, и теорема доказана полностью.
Для обозначения предела последовательности операторов при беспре-
беспредельном измельчании частичных промежутков (в смысле сильной схо-
сходимости операторов) естественно воспользоваться обычным обозначе-
обозначением интеграла Стилтьеса:
М
lim y
= f /(X)dgx.	A98)
Для обозначения предельного элемента последовательности эле-
элементов A91) при беспредельном измельчании частичных промежут-
промежутков используем следующее обозначение:
п	.	М
А^= J /Q.)d$xx.	A99)
k=)

142]
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
453
т — s0
Совершенно аналогично можно доказать существование соответ-
соответствующих интегралов
Р	Р
J	JXx	B00)
по любой части [а, р] промежутка [т — е0, М]. Отметим, что вне
промежутка [пг—е0, М] оператор gx и элемент gxje сохраняют по-
постоянные значения, и, в связи с этим, часто интеграл по конечному
промежутку [пг— е0, М\ записывают в виде интеграла по бесконеч-
бесконечному промежутку
М	+оо	М	-f °°
J /Mrf8x= J/M^x; J fQ)dfax= J/Mdgxjf. B01)
m — ^o	— oo	m — s0	— oo
Выделяя скачок gm оператора gx в точке \ = т, если этот скачок
существует, можем привести написанные интегралы к интегралам по
промежутку [т, М]:
м	м
B02)
аналогичную A97j),
то
B03)
В дальнейшем мы будем вместо нижнего предела (пг — е0) писать
просто т. Написанный таким образом интеграл по промежутку [пг, М]
будет равносилен интегралу по указанному промежутку, сложенному
с выражением f(ni)%m или f(m)$mx.
142. Спектральная функция самосопряженного оператора.
Если значения f(k) вещественны, то оператор а8 как линейная комби-
комбинация проекторов с вещественными коэффициентами есть самосопря-
самосопряженный оператор, и предел as при беспредельном измельчании ча-
частичных промежутков есть также самосопряженный оператор. Полагая
"") = Х, получаем некоторый самосопряженный оператор А:
м
Отметим элементарную оценку
а именно, если на промежутке [а, р
интеграла,
мы имеем
А =
B04)

454	пространство гильвертл	[142
или
м
Лх= ^ Ы$хх.	B05)
т
Формула B04) и является основной формулой всей теории само-
самосопряженных операторов. Мы пришли к ней, исходя из некоторого
разложения единицы g,x. Всякому разложению единицы gx соответ-
соответствует определенный самосопряженный оператор А согласно фор.
муле B04). Можно доказать и обратную теорему.
Теорема. Для любого заданного самосопряженного оператора Л
существует разложение единицы gx такое, что А выражается
формулой B04).
Доказательство этой теоремы довольно сложно, и, чтобы не пре-
прерывать изложения, мы приведем его в конце настоящего параграфа.
В дальнейшем мы докажем формулу, согласно которой можно опре-
определить gx по заданному самосопряженному оператору А. Из этой
формулы будет следовать, что различным разложениям единицы
соответствуют и различные операторы А. В силу теоремы формула B04)
представляет собой общую форму ограниченных самосопряженных
операторов. Если мы умножим сумму A91) при /(Х) = Х на какой-
либо элемент у и перейдем к пределу, то получим выражение ска-
скалярного произведения (Ах, у) в виде интеграла Стилтьеса
м
,у).	B06)
Напомним, что если gm отлично от нуля, то правую часть надо
понимать как следующую сумму:
где последний интеграл есть обычный интеграл Стилтьеса. Мы
могли бы принять формулу B06) за основную вместо формулы B04),
так как оператор А вполне определяется заданием билинейного функ-
функционала. Напомним, что скалярное произведение (§хх, у) выражается ли-
линейно через четыре скалярных произведения вида ($xz, z) = \$xz\? [125].
В силу &[JL^Sx ПРИ lx^>^> il&x^li'2 не убывает при возрастании X,
и, таким образом, функция ($хх, у), стоящая под знаком дифферен-
дифференциала (вообще говоря, комплексная), представляет собой функцию
ограниченной вариации от X. Если положим у = х, то получим выра-
выражение квадратичного функционала в виде интеграла Стилтьеса
л\
(Лдг, х)= \М(%}х, х).	B08)

jOT СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	455
В данном случае под знаком дифференциала стоит возрастающая
функция ($)Х, х) =;; &хх у .
Семейство проекторов g>x называют обычно спектральной
пункцией самосопряженного оператора А, определяе-
определяемого формулой B04). Покажем, что числа т и М, определенные
выше, совпадают с границами оператора А, которые мы определили
[126]. Напишем квадратичный функционал (Ах, х) в виде
м
\ЛХ, X)	tYl | \дтХ \ —j~
Под знаком дифференциала стоит неубывающая функция X. За-
Заменяя X сначала на т и затем на /И, приходим к неравенствам
т
(Ах, х) ^ т || gmx;,2 -{- М [| §Л1х|,4 -
или, в силу g^jc == лг, к неравенствам
Остается показать, что т и М суть точные границы для (Ах, х)
при ||jkt|J=1. Покажем, например, что М есть точная верхняя гра-
граница. Разность &Л1 — ^м-е1^^1 — ём-е, где s — любое заданное
положительное число, есть проектор, отличный от нулевого опера-
оператора. Положим, что нормированный элемент х принадлежит под-
подпространству, соответствующему эгому проектору. При этом
(Е — $м — е)х = х, т. е. %>м-еХ = 0, и тем более gxx = 0 при
Х^Ж — е. Мы можем, таким образом, написать, заменяя в B08)
множитель X на (Ж — е) и считая ||х;|=1:
(Ах, х)>(М — e)|j(? — gAi-.).*|j* = (iW — e).
откуда, ввиду произвольности е, и следует, что М есть точная
верхняя граница (Ах, х) при fxj=l.
Выведем еще одну формулу. Умножим обе части равенства
B09)
k=\
Ha &x> считая, что X есть одна из точек деления \k. При этом,
силу A80), будем иметь gx . ДЛ§Х = ДЛ§Х . gx = 0 при Х<Х/г и
Д$ = А/* §х'&х = ^л§х ПРИ ^^^k> и' таким образом, получим

456	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[143
и , переходя к пределу, будем иметь формулу
&ХЛ = Л§х = J U§x (X > т)	B10)
т
и аналогичную формулу для билинейного функционала
X
. .У) = J W (8х*. JO-	B И)
143. Непрерывные функции самосопряженного оператора.
Если Л — самосопряженный оператор, определенный формулой B04),
то любой функции f(k)y непрерывной в промежутке [пг} М], мы
сопоставим оператор /(Л), определяемый формулой
м
B12)
Это соответствие между непрерывными функциями f(k) и опера-
операторами /(Л) дистрибутивно, т. е. непрерывной функции clfl (к) -J-
~Т" саЛ 00 соответствует оператор cxfx (Л) -\- с2/2 (Л). Это непосред-
непосредственно вытекает из дистрибутивности интеграла B12) по отношению
к функции f(k). Кроме того, указанное соответствие и мультиплика-
мультипликативно, а именно функции fx (X)/2 (к) соответствует оператор fx (Л)/2 (Л)
или равный ему оператор f%(A)fi(A). Для того чтобы показать это,
составим произведение сумм о6 для функций /\ (к) и /2 (X):
п	п
к = 1	к = 1
Принимая во внимание A82) и A84), мы можем представить напи-
написанное произведение в виде
x' ^2 {3)
fe = 1	/г = 1	/г = I
и, переходя к пределу, получим формулу
мм	м
/i W ^х • J Л W ^Sx = J /i МЛ M rfgx.	B14)

|431	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	457
которую мы и хотели доказать. Наряду с формулой B12) мы можем
написать соответствующие формулы для билинейного и квадратичного
функционала:
м	м
(/(Л) х, у) = J /(X) d (&хх, у); (/(Л) х, х) = К /(X) й || gx* p. B15)
m	m
Далее, аналогично формуле B11), имеем формулу
Принимая во внимание формулу B14), получаем следующую
формулу для целых положительных степеней Л:
м
A"=\\"d&x	B17)
т
(я=1, 2, 3,...)
и для полиномов:
апАп + вИ" + • • • + «„-И + ап =
ж
= J («0Х« + а.Х"-1 + ... + ая.,Х + «„) rfSx- B18)
т
Как мы выше упоминали, если /(X) — вещественная функция, го
оператор оь есть самосопряженный оператор, и предел для а6, т. е.
/(Л), есть также самосопряженный оператор. Если /(Х)^О на про-
промежутке [т, М], то, в силу формулы B15), оператор /(Л) поло-
положителен. Положим теперь, что /(X) есть комплексная функция
/(Х) = ср(Х)-)-ф(Х)/. При этом мы имеем / (Л) = ср (Л) -|- гф (Л), где
<?(А)у и ф (Л) — самосопряженные операторы. Составляя оператор
F (Л) = ср (Л) — /ф (Л), мы можем, пользуясь свойством самосопря-
самосопряженности операторов ср (Л) и ф (Л), написать
<J{A)x,y) = (x, F(A)y),
т. е. оператор F (Л) будет сопряженным с /(Л).
Отметим еще некоторые свойства коммутирования. Из формулы
B10) следует, что оператор §х при любом значении X коммутирует
с Л. Поэтому и оператор Agx = g —ga при любых значениях а и р
коммутирует с Л. Тем самым сумма ag также коммутирует с Л, и,
переходя к пределу, мы получим, что оператор /(Л) комму-
коммутирует с Л. Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 1. Оператор /(Л) коммутирует с любым опера-
оператором В, коммутирующим с Л.

458	пространство гильбпрта	[144
Пусть гп—последовательность положительных чисел, стремящихся
к нулю. В силу теоремы Вейерштрасса [II; 154], существует такая
последовательность полиномов Рп(Ь), что
№^М1<ея	B19)
(т ^ а ^ М).
Составим разность
м
/(Л) - Рп (Л) = С [/(а) - Рп (X)] d$x.
*.'
т
Принимая во внимание формулы B03) и B19), мы можем написать
\\[f(A) — Pn(A)]xl^en\\xl	B20)
откуда Рп (Л) — /(Л). Оператор В, коммутирующий с Л, коммутирует и
с любым полиномом Рп (Л), т. е. ВРп (Л) = Рп (Л) В. Переходя к пре-
пределу, мы получаем Bf(A)=f(A)B, и теорема таким образом дока-
доказана. В дальнейшем мы покажем [161], что и спектральная функция gx
при любом а коммутирует с любым оператором В, коммутирующим
с Л. Наоборот, если В коммутирует с gx, то В коммутирует с любым
оператором Agx и тем самым он коммутирует с суммой B09) и в пределе
с оператором Л. Таким образом, имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы оператор коммутировал с А, не-
необходимо и достаточно, чтобы он при любом X коммутировал с gx.
Приведем один пример функции от оператора, которым мы поль-
пользовались выше [138]. Пусть Л — положительный оператор, т. е. m^0t
и положим /(Х) = ]/Х (а^О), где берется арифметическое значение
радикала. Мы можем определить положительный оператор У А:
м
ИЛИ
М
(У Ах, у)=\ Vld($xx, у).
В силу B14) мы имеем У А У А = А.
144. Формула для резольвенты и характеристика регулярных
значений ),.
Пользуясь спектральной функцией, мы можем дать формулу для
резольвенты [130] и указать новую характеристику регулярных зна-
значений л. В дальнейшем будем говорить о резольвенте Rl лишь при
регулярных значениях /.

*t^\	ФОРМУЛА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ	459
Теорема I. Если I—невещественное число или вещественное,
нэ лежащее вне промежутка [т, М\, то резольвента Rt опера-
оператора Л определяется формулой:
При условиях теоремы функция . 	 непрерывна в промежутке
г^ — ео> М] при достаточно малом е0. Пользуясь формулой B14),
мы можем написать
B22)
и B22) непосредственно приводит к B21).
Теорема 2. Если I принадлежит промежутку [т, М], но
находится внутри некоторого промежутка [а, р], в котором gx
постоянна, т. е. § = ga, то резольвента Rt существует и выра-
выражается формулой B21).
Разобьем [т — е0, М] на три части: [т — е0, а], [а, [3] и [C, Ж]. На
промежутках [т — е0, а] и [^, М\ функция 1 : (X — /) непрерывна, а
на промежутке [а, C] $х постоянна, и для этого промежутка все
операторы А^х суть операторы аннулирования. Продолжим функцию
1: (X — /) из крайних промежутков в средний [а, р] так, чтобы она
оказалась непрерывной во всем промежутке [т — е0, М\. Обозначим
построенную таким образом функцию через ср (X). Значение интеграла
B23)
не зависит, очевидно, от значений ср (X) на промежутке [а, р]. Поль-
Пользуясь формулой B14), мы можем написать
B21)

460	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[1<4
и, принимая во внимание, что ср(Х)=1:(Х— /) при Х^а и Хг^ъ
и что gx постоянна на промежутке [а, р], получим
М	а	М
откуда и следует, что B23) дает резольвенту. Вместо интеграла
B23) мы можем, очевидно, взять интеграл B21), производя инте-
интегрирование от т — е0 до а и от р до М. Из доказанной теоремы
следует, что значение Х = /, принадлежащее [т, М], регулярно, если
его можно покрыть промежутком постоянства gx. В следующей
теореме мы покажем, что это условие не только достаточно для
регулярности, но и необходимо.
Теорема 3. Если при вещественном значении X = / существует
резольвента Rlf то I находится внутри некоторого промежутка
[а, р], в котором gx постоянно.
Пусть [а, р] — любой промежуток, содержащий / внутри себя,
и Ag^mrg —ga. Согласно определению резольвенты, A§^x =
= Rl(A—1Е)Ь$рХ. Но, в силу B16), можем написать
(A-lE)^x= \ (X-/)
и, таким образом,
Обозначим через N норму оператора RL:
B24)
На промежутке [а, р] мы имеем |Х — /|<СР —а» и> в силу B03),
неравенство B24) приводит к неравенству
||Ag^|i^yV(P-a):|A§^!|.	B25)
Выберем промежуток [а, р], содержащий / внутри себя, настолько
малым, чтобы имело место неравенство N($ — a)<^l. При этом из
неравенства B25) будет непосредственно следовать, что ;| Ag^ I; = 0,
т. е. g =ga, и промежуток [a, P] оказывается промежутком по-
постоянства gx. Сопоставляя теоремы 2 и 3, приходим к следующему
следствию:
Следствие. Для регулярности вещественного значения X не-
обходимо и достаточно, чтобы X заключалось внутри некоторого
промежутка постоянства gx.

146]
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ	461
\\з этого следствия непосредственно вытекает, что если неко-
некоторое вещественное значение X регулярно, то все вещественные
значения X, к нему достаточно близкие, также регулярны, т. е. регу-
регулярные значения X образуют открытое множество на вещественной
оси, и, следовательно, приходим еще к следствию: точки спектра
образуют замкнутое множество.
Напишем формулу билинейного функционала для оператора Rt:
м
{Rtx, y)=^Y±-Id(gx*, у).	B26)
т
В этом интеграле мы можем за промежуток интегрирования взять
промежуток (—со, -f-со) [108], и {$укх,у) есть функция ограничен-
ограниченной вариации от X. Полагая Х = а-)-гт и применяя формулу обра-
обращения интеграла Коши — Стилтьеса [30], мы получим следующее
выражение спектральной функции через резольвенту:
lim =L \ ((Ra + Ti — Ra-r,)x,y)da. B27)
— oo
Если X — точка непрерывности gx, то левая часть написанной фор-
формулы равна ($хх, у). В точках разрыва значение (fe^x, у) определяется
по непрерывности справа. Отметим, что резольвента Rt определяется
через сам оператор Л, тем самым из формулы B27) следует, что
у заданного самосопряженного оператора А имеется только одна
спектральная функция, через которую он выражается формулой B04).
Отметим еще, что в силу теоремы 1, из [143] операторы Rl при
различных / коммутируют.
145. Собственные значения и собственные элементы. Поль-
Пользуясь спектральной функцией, можно очень просто определить соб-
собственные значения и собственные элементы самосопряженного опе-
оператора.
Теорема. Для того чтобы Х = Х0 было собственным значением
самосопряженного оператора А со спектральной функцией gx,
необходимо и достаточно, чтобы g>x имело точку Хо точкой раз-
разрыва непрерывности, т. е. g,.o — g>xo_o> 0. При этом g>.0 —§хо_0
есть проектор в подпространство Жо собственных элементов,
соответствующих собственному значению Хо.
Пусть Л40 есть подпространство, соответствующее проектору
^>о — §>0-о- Если Хо есть точка непрерывности g>.0, то Мо состоит
только из нулевого элемента. Доказательство теоремы сводится
к доказательству следующих двух утверждений: если хо(^Мо, то
(Л — Х0?)л-О = 0, и обратно, если (А — Х0?)л~0 = 0, то xo^MQ. Итак,

462
пространство гильберта
[I45
положим сначала, что лго(^Л4о, т. е. (g>0— g>.0_0)хо = хо. При этом
тем более &iox0 = x0 и, следовательно, gXo_oxo = O. Принимая н0
внимание, что g>x не убывает при возрастании X, мы можем утверждап.,
что gxx0 = x0 ПРИ ^^^о и SxJt:o = O ПРИ ^<С^о- Применим к эле-
элементу х0 формулу B05):
B28)
и при составлении сумм а3 будем считать, что Хо есть точка деле-
деления. В силу предыдущего все разности A^gx.r0 обратятся в нуль,
кроме одной, соответствующей частичному промежутку с правым
концом
Xo _.
но по условию хо?Мцу и, следовательно, правая часть последней
формулы равна Хохо, т. е. х0 удовлетворяет уравнению (А — Хо?) хо = 0.
Положим теперь наоборот, что х0 удовлетворяет этому уравнению,
и покажем, что хо?Мо. Из (Л — Х0?)л;0 = 0 следует:
или, выражая билинейный функционал через интеграл Стилтьеса:
B30)
Интегрируемая функция (к — Х0J неотрицательна, и функция, стоя-
стоящая под знаком дифференциала, есть неубывающая функция X. От-
Отсюда следует, что все элементы интеграла B30) неотрицательны, и
величина этого интеграла по любой части промежутка интегрирования
также должна равняться нулю. Взяв некоторое положительное число е,
мы можем написать
B31)
Интегрируемая функция (X—-Х0J на промежутке интегрирования
с2, и из формулы B31) тем более следует, что
т. е.
Переходя к пределу, мы получим
B29)

1461
ЧИСТО ТОЧЕЧНЫЙ СПЕКТР	463
Ввиду произвольности г отсюда вытекает, что ?>хл*0 = х0 при
0. Совершенно аналогично можно показать, что gxx0 = 0 при
Отсюда непосредственно вытекает, что хо = iim (gx0+8 —
—- &i0-?)xo — ($h — $}o-o)xo> и теорема таким образом доказана.
Если оператор А имеет собственные значения, то, вводя в каждом
подпространстве собственных элементов, соответствующих фиксиро-
фиксированному собственному значению, замкнутую ортонормированную
систему, мы придем к ортонормированной системе собственных эле-
элементов оператора А [128]:
Х\, x.j, х^у ,.. ,	B32)
и к последовательности соответствующих собственных значений
p.,, (j.2 (j-з, ...	B33)
Если г — ранг некоторого собственного значения, то оно фигу-
фигурирует г раз в последовательности B33). Число г может равняться
и бесконечности.
Обозначая через lk (k=\, 2, ...) точки разрыва gx и через Lk
соответствующие подпространства собственных элементов, мы можем
написать
-	B34)
Составим ортогональную сумму подпространств Lk:
Я'=1,ф1801,ф...	B35)
Оператор проектирования в подпространство Н' выражается, как
мы знаем, формулой
Я/г = Ял,-|-/Ъ+ />*,+ ...	B36)
Подпространство Н' есть подпространство, состоящее из элемен-
элементов х, которые могут быть выражены через элементы ортогональной
и нормированной системы B32) при помощи сходящегося ряда
х = а{х{ -\- а.2дг.2 -\- а.лхл + • • •	B37)
146. Чисто точечный спектр. Говорят, что самосопряженный
оператор А имеет чисто точечный спектр, если ортогональ-
ортогональная нормированная система B32) замкнута в пространстве И (сепа-
рабельном) [ср. 128]. Это равносильно тому, что подпространство Н\
определяемое формулой B35), совпадает с /У, или тому, что проектор
Рн', определяемый формулой B36), есть тождественное преобразо-
преобразование, т. е.
Е=У,Ре.ь.	B38)

464	пространство гильберта	|147
Умножая обе части этой формулы на gx и принимая во внимание
что (&хл —&хл-о)&х = О ПРИ Х<Х* и Равно ©хд,— ©хл-о ПРИ Х5^А*!
мы получим выражение для g»x через скачки этого проектора:
При у = х получаем формулу для квадратичного функционала
B42)
которая вполне аналогична формуле представления квадратичной
формы (формы Эрмита) в виде суммы квадратов. Таким образом,
в случае чисто точечного спектра имеем очень простое представление
для самого оператора А, билинейного и квадратичного функционалов
при помощи ортогональной нормированной системы B32). Переходим
к рассмотрению так называемого чисто непрерывного спектра.
147. Непрерывный простой спектр. Говорят, что самосопряжен-
самосопряженный оператор А имеет чисто непрерывный спектр, если
спектральная функция g\ непрерывна при всех значениях X. Нашей
задачей является построение для случая чисто непрерывного спектра
формул, аналогичных формулам предыдущего параграфа. Предвари-
Предварительно нам надо будет ввести одно новое понятие.
Пусть е — некоторое множество элементов из Н и хь х.2 ... , хп —
какие-либо элементы //, принадлежащие е. Образуем их линейные
комбинации с{Х[ -\- с.2х,2 -]-...-)- спхп с произвольными коэффициен-
коэффициентами ck. Множество элементов И, которое можно, таким образом,
представить в виде конечных линейных комбинаций элементов, при-
В рассматриваемом случае любой элемент х представляется рядом
B37), причем ak суть коэффициенты Фурье х относительно системы
B32). Применяя к обеим частям формулы B37) оператор А и при-
принимая во внимание, что Axk = \^ихь мы получим
Умножая скалярно на у и обозначая через bs коэффициенты Фурье
элемента у, т. е.
получаем выражение для билинейного функционала:
B41)
B40)

1471
НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОСТОЙ СПЕКТР	465
дЛежаших е, представляет собой, очевидно, некоторый линеал L.
Введем новое понятие.
Определение. Замкнутой линейной оболочкой множества Е
элементов Н называется замыкание указанного линеала L.
Замкнутая линейная оболочка есть подпространство, и характер-
характерное свойство принадлежащих ему элементов х состоит в следующем:
для любого заданного положительного е существует такое конечное
множество элементов хь х% ... , хПУ принадлежащих е} и такие
числа ck, что
В частности, упомянутому подпространству принадлежат, очевидно,
все конечные линейные комбинации элементов из е.
Пусть gx — спектральная функция оператора с чисто непрерыв-
непрерывным спектром. Отметим, что в этом случае gm = 0. Берем некото-
некоторый элемент х, отличный от нулевого, и образуем множество эле-
элементов
fax,	B43)
где X пробегает все значения от т до М. Обозначим через Сх
замкнутую линейную оболочку элементов B43). Для любого эле-
элемента у из Н мы можем составить соответствующую ему непрерыв-
непрерывную функцию от а
Ъ$) = (у, 8х*).	B44)
Эта функция, очевидно, дистрибутивна по отношению к значку у,
т. е.
?ау + Ъг (Х) = аЪ (Х) + b<?z (X).
Составим, кроме того, следующие две непрерывные функции от X:
Р (X) = (gx*, х) = || fax |;2; hy (X) = (gj,, у) = || g3Ly || *. B45)
Они, как мы знаем, не убывают при возрастании X. Если А есть
любой промежуток [а, C], то введем для лео6ой функции /(X) обыч-
обычное обозначение
=/(?)-/(<*)•	B46)
Мы имеем, например:
Ар W = (Д§х*. х) = ((g - ge) x, x),
т. е.
gxJf|l«,	B47)
и аналогично
AAy(X) = [AgxJ;]*.	B48)
Для функции еру (X) имеем

466	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[147
и, следовательно:
|Д
Отсюда видно, что существует интеграл [81]
м		 м
С d9y(k)d4y(\)= Г | йъ (к) |2
J dp (к)	J dp (X)
m	m
Мы покажем дальше, что если у(~Сх> то этот интеграл равен
]2. Разобьем промежуток [т, М] на частичные промежутки
(k=\, 2 ... , п) и составим следующие элементы пространства Я:
Если на интервале Ал функция р (X) постоянна, то и
и соответствующее выражение B50) не имеет смысла. Мы условимся
такие не имеющие смысла члены выбрасывать из дальнейших фор-
формул. В силу A83) и B47) остальные элементы B50) попарно ортого-
ортогональны и нормированы. Коэффициенты Фурье элемента у относительно
системы B50) имеют вид
(У, AfrSx*)
/д,Р (к)
Квадрат нормы разности элемента у и его ряда Фурье выражается,
как известно [121], формулой
"~^" ~^- д*р№ J ( }
что приводит к неравенству Бесселя
и в пределе:
Теорема /. ?с./ш j'^C^, mo имеет место формула

I47J
НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОСТОЙ СПЕКТР	467
Если у^СХУ то, в силу того, что Сх есть замкнутая линейная
оболочка %хху Для любого заданного положительного е существует
такое конечное множество элементов gx^ x(s= I, 2 ...,/?) из g>xjc
и такие числа с5, что
р
y=^cs&isx + z и И^?-	B55)
5=1
Примем точки X5(s=l, 2, ... , р) за точки деления промежутка
[т> М], добавив еще точки X0 = #z и Хр + 1 = Ж, если их не было
среди прежних Х5, и введем полученные таким образом частичные
промежутки [Х5-1, Х5] E=1, 2, ..., р -f-1), обозначая их через А^.
Мы имеем g^0 = 0 и gx 1 = ? и можем написать, вводя обычное
обозначение А^х = §х5 —©x5-i:
gXi = Algx; gX2 = д;$х -f a;§x; gx3 = Algx + Algx + лз&х; • • •
Таким образом, линейная комбинация gx лс, входящая в B55),
может быть представлена в виде линейной комбинации А^х, и фор-
формула B55) может быть переписана в виде
5= 1
где bs — новые коэффициенты. Иначе говоря, мы имеем
B550
Это неравенство тем более сохранится, если вместо написанной
суммы взять ряд Фурье элемента у относительно ортогональной
нормированной системы [121]:
E=1, 2, ... , р+\).
При этом неравенство B55j), в силу B51^, запишется в виде
l
5=1
т. е.

468
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[147
Сравнивая это неравенство с B53) и учитывая произвольность s}
видим, что точная верхняя граница сумм, входящих в неравенство
B52), равна ||_у[Г2, т. е. имеет место формула B54). Пользуясь этой
формулой и формулой
мы получим для у и z, принадлежащих Сх, более общую формулу
м
т
где
с?г(Х) = B', $хх).	B57)
Для вывода аналогичных формул для билинейного функционала
докажем теорему.
Теорома 2. Если у?Сх> mo gxy и Ау также принадлежат Сх.
Раз у?Сх, то или у есть конечная линейная комбинация эле-
элементов gx x:
р
с&хх,	B58)
или у есть предел таких линейных комбинаций. В первом случае
р
= 1
Но, в силу A80), gxgx^ = gx при Х^ Х5 и $}^ = ^ при Х^Х5,
т. е. $ху есть также конечная линейная комбинация элементов из
С* и $\У€:.Сх- Если у есть предел конечных линейных комбинаций
элементов из Сх:
то
5=1
т. е. $>ху есть также предел конечных линейных комбинаций из Сх,
а потому и в этом случае $\У(^СХ. Элемент Ау, в силу B05), есть
предел конечных линейных комбинаций $ху. Любое $\у(~Сх по дока-
доказанному, а потому всякая конечная линейная комбинация $ху и предел
таких линейных комбинаций также принадлежат Сх> т. е,
и теорема доказана,

147]	непрерывный простой спектр	469
Таким образом, мы можем написать формулу B56), заменив у
на Ау.
При этом fy (л) заменится функцией
м	м
Улу (Х)= (ЛУ> &**) = J Ра№»У> &х*) = ? \xdv. О»
и, принимая во внимание A80), получим
и формула B56) даст нам
м х
Г* ! Г
1 d \ у.в^<ру (^)
I ^ ^
(Ay,z)= 	jrny
или, принимая во внимание свойство интегралов Хеллингера [83],
получим формулу
B59)
Далее, в силу B54), при беспредельном измельчании частичных
промежутков Lk выражение, стоящее в правой части формулы B51),
стремится к нулю, и, следовательно,
Слагаемые написанной суммы суть элементы Н, и предел этой
суммы естественно записать в виде интеграла Хеллингера, как это
мы делали для обычных сумм:
м
. (угСх)	B60)
Если применить эту формулу к элементу Ау вместо у, то, рас-
суждая аналогично, получим формулу
B61)

470	пространство гильберта	[148
или, как предел суммы,
/ А у 	™
^ы R Аьр (X)
k= 1
Отметим, что, пользуясь аналогичными суммами и предельным пере-
переходом в //, мы можем вообще определить интеграл Хеллингера для
элементов Н. Применим теперь формулы B56) и B60) не к эле-
элементу Ауу а к элементу j^j/, который также принадлежит Сх> где
(j- — фиксированное число из промежутка [т} М]. Мы имеем
(уу 8х*) ПРИ ^^1Л>
(уу 8 х) ПРИ X ^ w.,
т. е.
При А ^ (А,
при Х;^5|а,
и упомянутые выше формулы дают нам непосредственно
— 3
B64)
Отметим, что формула B56) равносильна обобщенному уравнению
замкнутости, а формулы B59) и B61) — формулам B41) и B40) пре-
предыдущего параграфа. Упомянутые формулы настоящего параграфа
выведены в предположении, что у и z^Cx. Говорят, что самосопря-
самосопряженный оператор А имеет простой непрерывный спектр,
если существует такой элемент х из //, что Сх совпадает с Н.
Если это имеет место, и мы возьмем за х только что указанный
элемент, то упомянутые формулы справедливы для любых элементов
у и z из И.
148. Инвариантные подпространства. Для исследования не-
непростого непрерывного спектра и смешанного спектра, т. е. того
случая, когда собственные элементы существуют, но не образуют
аамкнутой системы элементов, нам надо предварительно ввести новое
понятие и доказать некоторые факты.
Определение. Подпространство L называется инвариантным
подпространством для оператора Л при соблюдении следующего
условия: если x(^L, то и Ax^L. Иначе в этом случае говорят,
что L приводит А.

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА	471
Смысл этого определения состоит в следующем. Если L приво-
приводит Л, то оператор Л можно рассматривать отдельно как оператор,
определенный в L, причем L или конечномерно, или его можно
считать гильбертовым пространством. Иначе говоря, оператор Л,
определенный во всем Я, индуцирует оператор, определенный в L,
который для элементов из L совпадает с Л. Рассмотрение Л на
отдельных инвариантных подпространствах облегчает изучение Л.
Отметим, что если Л — самосопряженный оператор в //, то он будет,
очевидно, самосопряженным оператором и в любом инвариантном
для него подпространстве. В дальнейшем мы будем изучать инвари-
инвариантные подпространства лишь для самосопряженных операторов.
Теорема 1. Если подпространство L приводит самосопря-
самосопряженный оператор Л, то и дополнительное подпространство И © L
приводит Л. Для того чтобы L приводило самосопряженный опе-
оператор А, необходимо и достаточно, чтобы проектор Pi ком-
коммутировал с А, т. е.
= APL.	B65)
Если L приводит Л, то при z?L и Az(^L. Нам надо доказать,
что если х _L L, то и Ах _L ?• Пусть z — любой элеменг из L. При
этом Az?L, и мы имеем
(Ах, z) = (x, Az) = 0,
и высказанное выше утверждение доказано. Переходим к доказа-
доказательству условия B65). Пишем очевидное равенство
Ах — APLx + Л (Е — PL) х.
Если L приводит Л, то A(Plx)^L и, в силу только что дока-
доказанного, А[(Е — Pl)x] $z.HQ L> и, следовательно, первое слагаемое
правой части есть проекция Ах в L, т. е. PlAx = APlX при лю-
любом х, и необходимость B65) доказана. Пусть, наоборот, выполнено
B65) и x?L. При этом Ax = A(PLx) = PL(Ax)f т. е. Ax?Lf и
теорема полностью доказана. Пользуясь теоремой 2 из [143], полу-
получаем следующее непосредственное следствие доказанной теоремы:
Следствие. Для того чтобы подпространство L приводило А,
необходимо и достаточно, чтобы оно приводило gx при любом К
Теорема 2. Если попарно ортогональные подпространства
(& = 1> 2,...) приводят А, то и их ортогональная сумма
приводит А.
По условию теоремы Л коммутирует со всеми Р^ , и тем самым
оно коммутирует с их суммой

472	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[14$
что и доказывает теорему. Теорема 2 справедлива и в том случае
когда Л несамосопряженный оператор.
Отметим некоторые простые факты, связанные с понятием инва-
инвариантного подпространства самосопряженного оператора. Если проек-
проектор Рм коммутирует с проектором PLy то L приводит Рм, и опера-
оператор Рм индуцирует в L проектор Plm в подпространство LA\.
Пусть далее L приводит Л и тем самым приводит его спектральную
функцию gx. Обозначим через Лп> и gx1' те операторы, которые
индуцируются в L операторами А и gx. Нетрудно проверить, что
gx1' есть разложение единицы для ЛA). Если в формуле B05) х ? I,
то мы можем заменить А на Ап) и gx на gx1', и gx1' есть спектраль-
спектральная функция оператора ЛA), определенного в L. В силу B23), L
приводит и резольвенту R, оператора А, причем Rt индуцирует в L
резольвенту оператора ЛA\ Пусть ЛA), ЛB), gx1' и gx2' — операторы,
индуцированные самосопряженным оператором А и gx в инвариантном
подпространстве L и дополнительном подпространстве Н © L, а х =
= Х\-\-х% и у=У\-\~Уъ — разложение xnyuLuHOL. Имеем
очевидные равенства:
{Ах, у) = (A^xh у) + (Л<« * jf) / BЬЬ)
Аналогичные формулы имеют место при разложении Н на конеч-
конечное или счетное число попарно ортогональных подпространств, приво-
приводящих Л. Все пространство Н и нулевое подпространство, т. е. под-
подпространство, содержащее один нулевой элемент, являются триви-
тривиальными инвариантными подпространствами для любого оператора.
Если оператор не имеет других инвариантных подпространств, то
он называется неприводимым оператором. Всякое подпро-
подпространство собственных элементов, соответствующих некоторому
собственному значению Хо оператора Л, есть инвариантное подпро-
подпространство для Л, и в этом подпространстве оператор Л сводится
к умножению элемента на число Хо. Если х0 — какой-либо собствен-
собственный элемент, соответствующий собственному значению Хо, то сово-
совокупность элементов вида ах0, где а — любое комплексное число, есть
также подпространство, приводящее Л. Если Lk(k = \, 2,...) суть
все подпространства собственных элементов самосопряженного опера-
оператора Л, то их ортогональная сумма Н' приводит Л. Пусть Л' и
gx — операторы, индуцированные в Н' операторами Л и gx. Мы имеем,
согласно B34) и B36),
B67)

I49J	общий случай непрерывного спектра	473
т. е. Sx сводится к сумме скачков функции gx в точках \k, удо-
удовлетворяющих условию ХЛ^Х. Оператор gx, индуцированный gx в
подпространстве Н", дополнительном для Н\ представляет собой
проектор в подпространство Н"МХ, где Мх— подпространство,
соответствующее проектору gx. Любой элемент Н" ортогонален во
всем Lk, т. е. (ёхл — $\k-o)x = O> если лг?Я", и для любого ху
принадлежащего Н", мы можем представить gx в виде разности
gx = ©х —
и, следовательно, g" непрерывно при всех X. Таким образом, если
спектр А не чисто точечный, то подпространство Н" содержит
элементы, отличные от нулевого,, спектральная функция непрерывна
в нем, и оператор не имеет вовсе собственных значений в //". В Н
собственные элементы образуют замкнутую систему, и оператор А
имеет чисто точечный спектр в Н\
149. Общий случай непрерывного спектра. Мы видели, что если
элемент у принадлежит подпространству СХУ построенному в [147],
то и Ау?Сх, т. е. Сх, приводит Л. Если оператор А не имеет
точечного спектра, т. е. его спектральная функция gx непрерывна
при всех значениях X, и его непрерывный спектр не является простым,
то, как мы покажем, пространство Н можно представить в виде
ортогональной суммы подпространств типа Сх. В каждом из этих под-
подпространств индуцированный оператором А оператор будет иметь
простой непрерывный спектр, и для элементов, принадлежащих такому
подпространству, мы будем иметь формулы, выведенные в [147].
Соответственные формулы для любых элементов из Н будут полу-
получаться при помощи разложения элемента по упомянутым выше под-
подпространствам, и, в силу B66), эти формулы будут получаться путем
сложения соответствующих формул для отдельных подпространств.
Приведем упомянутое представление //, в виде ортогональной суммы
подпространств типа Сх, считая пространство Н сепарабельным. Возь-
Возьмем какую-нибудь замкнутую ортогональную нормированную систему
Щ, Щ> «з,...
Положив у1 = иь построим Cyv Элемент щ мы можем предста-
представить в виде и^ = г^-\-уъ где v^^Cyi и уъ_\__СУ1. Если j/2 ф 0, то
строим Су». Покажем, что СУ2 J_ СУ1. По условию, при любом X мы
имеем (уъ$1уг) = 0, ибо 8xj/i ?Суг Получим далее: (g^,, $Ау0 =
= 0>2> g|i8x.yi) = 0' Отсюда следует, что любая линейная комбинация
элементов g^ ортогональна любой линейной комбинации gjj^, и
в пределе любой элемент из СУ2 ортогонален любому элементу из
Суг Далее берем элемент щ и представляем его в виде м3 = vz -\-y&

474	пространство гильберта	[149
где vz ? СУ1 0 СУ2 и уз -L СУ1 0 СУ2, и строим СУг Как и выше, дока-
зываем, что СУь _]_ СУ1 и Су8 J_ СУа и т. д. Таким образом, мы полу-
получим конечное или счетное число попарно ортогональных подпро-
подпространств Су у и поскольку каждый элемент х из Я разлагается по
элементам uk, которые образуют замкнутую систему, то тем самым
ортогональная сумма подпространств Су дает все Н:
В каждом из подпространств СУк мы будем иметь формулы, указан-
указанные в [147], и таким образом для любых элементов у и z из И
можем написать
м
к v Z) ~~~ / \ 	 	————•	(^C9^
k m
у, г) =
k m
М
B71)
Л1	M
-23
fe
B73)
/г т
где p/j (X) = || g^fe ||2, и написанные суммы могут быть как конечными,
так и бесконечными. В последнем случае для формул B72) и B73),
содержащих элементы Ну сходимость ряда надо понимать как схо-
сходимость элементов Н.
Указанный выше прием построения подпространств Су можно
записать в виде формул, которые мы сейчас укажем. Если v — любой
элемент //, то его проекция в Суку определяется соответствующим
слагаемым первой из формул B72), т. е.
м
d9k(k)
m
и для ^vk получаем, принимая, как всегда, во внимание A80),
х

|50]	СЛУЧАЙ СМЕШАННОГО СПЕКТРА	475
Из этого замечания непосредственно вытекают следующие формулы,
которые соответствуют указанному выше процессу построения под-
подпространств Cyk:
k—\ X
&хyi = §х «и & Ук = &«* - 2 I ^^Г аКУ*- B75>
.9=1 т
При различном выборе исходной системы uk подпространства Сук
получаются, вообще говоря, различными. Может случиться, что и
число этих подпространств окажется различным. Целесообразно с са-
самого начала по возможности расширять эти подпространства.
Можно показать, что возможно такое построение Cyk, при кото-
котором выполнено следующее условие: всякое множество меры нуль
по отношению рр(к) будет множеством меры нуль и по отношению
крр-f-iW» Рр+зМ>... Это условие, в силу результатов из [74],
равносильно следующему: всякое рр(Ь) выражается через предыду-
предыдущие Pkft) формулой
X
= j
(*=1, 2,..., /7-1),
где интеграл надо понимать в смысле Лебега—Стилтьеса, и cp(fe) М —
неотрицательные функции, измеримые по отношению рл(А) и сумми-
суммируемые. При соблюдении этого условия будем говорить, что разбие-
разбиение спектральной функции нормально. Можно доказать, что в раз-
различных нормальных разбиениях число подпространств одно и то жз.
Мы еще вернемся к этому вопросу.
150. Случай смешанного спектра. Как мы уже упоминали,
говорят, что самосопряженный оператор имеет смешанный спектр,
если имеются собственные элементы оператора, но ортогональная
нормированная система собственных элементов
*ь х%, **,..-	B76)
не замкнута в Н. Пусть, как и выше, Lk — подпространства собствен-
собственных элементов, соответствующих собственному значению Хл. Как
мы видели в [148], оператор имеет в инвариантном подпространстве
чисто точечный спектр с собственными значениями \k и подпростран-
подпространствами собственных элементов Lk. Элементы B76) образуют при этом
замкнутую систему в Н', состоящую из собственных элементов А.

476	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[150
В дополнительном подпространстве Н" оператор А имеет лишь
чисто непрерывный спектр. Принимая во внимание формулы из [149]
и из [146], получаем следующие общие формулы, в которых суммы
происходят от точечного спектра в //', и интегралы от непрерывного
спектра в Я":
(у. г) -1 akbh + I J 'С* bff^» '>. B77)
k	km
(Ay, г) = 2^А + 21
/г	/г m
??^л cm
km
Ay = 2 «*»***+ 2 f X ^Г ^'	B80)
k	k
2 f
k	km
где afe и bk — коэффициенты Фурье элементов у и z относительно
системы B76) и \ък — собственные значения Л, соответствующие
собственным элементам xk.
Пользуясь указанным выше разбиением оператора на оператор
с чисто точечным спектром в Н' и оператор с непрерывным спек-
спектром в //", мы можем произвести классификацию точек спектра.
Определение. Говорят, что Хо принадлежит точечному спектру,
если Хо есть собственное значение А. Говорят, что точка л0
принадлежит предельному спектру, если Хо есть предельная точка
для точечного спектра, т. е. в любой ее е-окрестности нахо-
находятся собственные значения, отличные от Хо. Наконец, говорят,
что Хо принадлежит непрерывному спектру, если Хо входит в спектр
оператора А", индуцированного оператором А в Н", т. е. если
в любом интервале, содержащем Хо внутри себя, спектральная
функция gx onepamova А непостоянна.
Всякая точка спектра оператора А принадлежит по крайней мере
одной из указанных трех категорий, но может случиться, напри-
например, что точка Хо принадлежит одновременно всем трем кате-
категориям. Иногда вводят еще понятие точки сгущения спектра,
а именно точка Хо называется точкой сгущения спектра, если она
есть или собственное значение бесконечного ранга, или элемент пре-
предельного спектра, или элемент непрерывного спектра.
151. Дифференциальные решения. Рассматриваем оператор
с чисто непрерывным спектром. Элементы &хлг при любом выборе х
удовлетворяют некоторому уравнению, аналогичному уравнению Ах =
= \х в случае точечного спектра. Пусть А [\и Х.2] — любой промежу-

151J	дифференциальные решения	477
ток. Пользуясь свойством A80), можем написать следующее уравне-
уравнение, аналогичное уравнению B13):
м	х2
Введем элемент х(к) = $хху непрерывно зависящий от параметра \
на промежутке [т, Ж) в том смысле, что ||х(Х0)— лг(Х)||-*О при Х->Х0
для любого Хо из [т, M\. Из предыдущего равенства мы видим, что
xi}) удовлетворяет уравнению
Л[Дх(Х)] = f Xtfx(X).	B81)
д
При этом говорят, что х(К) есть дифференциальное решение урав-
уравнения Ах = Хлг. Векторы yk (X) = $хУкУ построенные в [149], являются,
таким образом, дифференциальными решениями. При разных значе-
значениях k они находятся в ортогональных подпространствах Cyk, и по-
потому для любых интервалов At и Д2 мы имеем
(AU/p(X), Д,Л(Х)) = О	B82)
(Р Ф q\
Если А! и А2 не имеют общих внутренних точек, то, в силу A80),
(А1Л(Х), А2Л(Х)) = 0	B83)
(Ai и Д2 — без общих внутренних точек). Если At и А.2 имеют общую
часть Ai>2, то, в силу A80),
(AuVp (X), ДзЛ (X)) = || Д!, 2Ур (X) \\\	B84)
Введем понятие полной системы дифференциальных ре-
решений. Какая-либо система ур (X) дифференциальных решений,
ортогональная в смысле B82), называется полной, если элемент х,
ортогональный ко всем ур (X), т. е. удовлетворяющий при любом р
и любом X условию
(УрО), *) = 0,	B85)
есть нулевой элемент. Нетрудно показать, что построенные выше ре-
решения ур (X) = gjj/p обладают полнотой. Действительно, из B85) за-
заключаем, что элемент х ортогонален к тому подпространству Су ,
которое является замкнутой линейной оболочкой .у/7(Х) = &Х-Ур> и это
имеет место при любом р. Но ортогональная сумма Су есть все //,
и, таким образом, элемент х> ортогональный ко всему Н, есть, дей-
действительно, нулевой элемент.
При построении решений уравнения B81) мы исходили от спек-
спектральной функции gx. Будем теперь исходить из самого уравнения.
Пусть каким-нибудь образом нам удалось построить решение лг(Х)

478	пространство гильверта	[151
уравнения B81). В этом уравнении х(Х) входит только под знаками
разности и дифференциала, и, вычитая из х(к) какой-либо элемент,
не зависящий от X, мы получаем также решение уравнения. В частности,
решением будет разность х(к) — х(т), и можем, таким образом,
всегда считать, что х(т) = 0. В дальнейшем покажем, что любое
решение уравнения B81), непрерывно зависящее от X в промежутке
[т, М\ и удовлетворяющее условию х (/#) = 0, обязательно имеет
вид х(к) = $хх. Положим, что нам удалось каким-нибудь образом
построить конечное или бесконечное число решений ур (X) уравнения
B81), попарно ортогональных в смысле B82). Каждое из них, со-
согласно сказанному выше, имеет вид ур(^) = %\УРу где ур — некото-
некоторый элемент Н. Замкнутая линейная оболочка каждого ур (X) есть
некоторое подпространство Су , причем, в силу B82), эти подпро-
подпространства Су попарно ортогональны. Полнота решений ур (X) сводится
к тому, что ортогональная сумма Су есть все Н. Если эта полнота
имеется, то мы можем написать формулы из [149], заменяя в них
&х.У* на Уи 00- Таким образом, при построении этих формул мы можем
исходить из какой угодко ортогональной полной системы непрерыв-
непрерывных дифференциальных решений. Полнота построенной каким-либо
образом системы попарно ортогональных решений может быть прове-
проверена формулой B71) для билинейного функционала или формулой
B73), если известна спектральная функция %г
Отметим еще, что для х(к) = $хх можно построить уравнения,
отличные от B81). Полагая, что промежуток А не содержит Х = 0,
напишем, в силу A80), уравнение
м
д
и отсюда для дг(Х) получаем уравнение
или
$|	B81
Переходим теперь к доказательству утверждения, которое мы сделали выше.
Теорема. Всякое решение уравнения B81), непрерывное в промежутке
[т, М] и равное нулевому элементу при X = т, имеет вид х (X) = %^х (М).
При условии л:(ш) = 0 уравнение B81) дает

1б1|	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	479
причем здесь и в дальнейшем {х является переменной интегрирования. Фиксируя
каким-либо образом два числа jxx < jx2, получим
х
(х d {х (fi), х Ы — х (цО) = (Лл: (X), х (*х2) - л: Ы).
Пользуясь самосопряженностью Л и уравнением B81), можем написать
(Ах (X), х Ы - х Ы) = (л: (X), Ах (fx2) - Лд: Ы) = J ^ (^ (X), х (ta)),
и, следовательно, приходим к равенству
Интеграл, стоящий справа, интегрируем по частям и к полученному инте-
интегралу применяем теорему о среднем
= ^2 (х (X), л' Ы) - ^ (х (X), л: (^0) - 0*2 -1*0 (л: (X),
({х3 принадлежит [vab
или
х
= (м«2 — M«i) (х (X), л: Са2)) + ^ (л: (X), л: (fx2) — х Ы) — (^2 —
и эту формулу мы можем переписать в виде
m
Вводя непрерывные функции
fX2 — {XX
перепишем это уравнение
л
^ (f* —f-i)<Mf*)=/(X)»
причем мы считаем Х<(а!<с;х2 и, очевидно, <о (т) = 0. Последнее уравнение
легко решить относительно со ((х). Для этого достаточно к левой части применить

480	пространство гильбкртл	[152
интегрирование по частям и положить <•> (Х)=/(Х): ().—у.х) -\- и (X), Г;ц.
и (X)— новая искомая функция, равная нулю при X = т:
или, вспоминая обозначения B86),
(л: (А), л:Ы — x(fxQ) = (л: (X), * frs) - * Ы) , Г (х (fx), л: (;л2) - л: Qx3
Если fxt —* (л2, то jjl3 — fxo, и первое слагаемое справа стремится к нулю. То
же можно утверждать и об интеграле, ибо | (л: ((х), х (fx2) — x(f*8)|^
^ С i| л- (fx2) — х (fx3) j , где С —наибольшее значение ||л:(р.)|| в промежутке
[ту М]. Мы рассмотрели тот случай, когда fxj —»fx2 от меньших значений.
Совершенно так же мы могли бы рассмотреть и случай X < jx2 <: ^ и [лх —* jjl2.
Из последней формулы таким образом следует
---(х(Х), *(fx)) = O при (л>Х,
и, следовательно,
(.г (X), х Ох)) = (х (X), х (X)) = |! х (X) |« при fx > X.
Применяя эту формулу при \х = М к решению у(к) = х(к) — %^х (М)
уравнен'ш B81), которое' обращается в нуль при X = т и Х = М, получим
1у (Х)|2 =0, т. е. х (к) = %хх (М), и теорема доказана.
152. Операция умножения на независимую переменную.
Вернемся к результатам из [147] и рассмотрим функциональное про-
пространство Ц2Х) функции /(А) с интегрируемым квадратом по отноше-
отношению к функции р (А), определенной формулой B45). Класс L{*) есть
класс функций /(X), определенных на промежутке [т, М\, измери-
измеримых по отношению к р (к) и таких, что
м
o.	B87)
Пространство Цх) является осуществлением пространства Н. В
этом пространстве оператор умножения на независимую переменную
Л. [/(*)] = W)	B88)
является, очевидно, ограниченным самосопряженным оператором, ибо
где п — наибольшее из чисел \т\ и | М |, и, в силу вещественности X,
м

162J	ОПЕРАЦИЯ УМНОЖЕНИЯ НА НЕЗАВИСИМУЮ ПЕРЕМЕННУЮ	481
Установим теперь связь между пространством Сх и функциональ-
функциональным пространством Ц-Ч В силу существования интеграла Хеллингера
B49) любому элементу у из Сх соответствует такая функция у (к)
из ДЛ), что [82]
\	B89)
При этом различным элементам у и г из С* соответствуют и раз-
различные элементы у (к) и z(X) из ЦЧ Действительно, если бы эле-
элементам у и -г соответствовали эквивалентные функции у (X) и -г(Х),
то, в силу B89), мы имели бы (у — z, gxx) = 0 при любом X. Тем
самым разность у — z была бы ортогональной ко всем линейным
комбинациям gxx, и, переходя к пределу, мы видим, что разность у — z
должна была бы быть ортогональной ко всему подпространству Сх.
Но у — z (^ СХУ и мы получили бы (у — z, у — z) = \\у — z f = О,
т. е. y = z. Наоборот, для двух неэквивалентных функций из L\,x)
интеграл, входящий в формулу B89), не может при всех значениях X
иметь одно и то же значение [52]. Таким образом, формула B89)
устанавливает биоднозначное соответствие между элементами у из
Сх и элементами некоторого линеала М из Ц*К Докажем, что М
совпадает с Цх). Сначала покажем, что М — замкнутый линеал. Фор-
Формулу B56) мы можем переписать, пользуясь интегралами Лебега —
Стилтьеса в виде [82]
м
J	B90)
где z (X) — элемент IS*\ соответствующий элементу z из Сх) т. е.
х
(z, 8xjr)=Jz(li)dp(ti).	B91)
т
Пусть у№ (к) — последовательность элементов из М и у<п) — соот-
соответствующие элементы из Сх. Полагая в формуле B90) y = z =
=у(п) —у(т)} пОЛуЧИМ
м
|jj,(i) —yim) |,2 _ Г |у„) qj _у(т) (X) |« rfp (X).	B92)
т
Если Ул) (X) стремятся в среднем к некоторому элементу у0 (к) из
LBV), то при п и т -> 4""" °° правая часть B92) стремится к нулю,
а потому последовательность элементов у(п) сходится в себе, и суще-
существует такой элемент м, что _у!/г)=>м, причем и(^Сх> так как Сх
есть подпространство. Пусть и (к) — элемент Ж, соответствующий
элементу и согласно формуле B89). Покажем, что элемент и (к) экви-

482	пространство гильвертл	[152
™
валентен уо(к). Отсюда будет следовать, что _уо(^)(ЕуМ> т- е- ЧТ(>
М — замкнутый линеал. Из формулы B90) при y = z — u—у
следует формула
м
1| и —у<*) |,* = [ | и (X) — у«) (X) |» tfp (X),
из которой видно, что у(п) (к) стремятся в среднем к и (к), а потому
функция и (X) эквивалентна _у0 (X), ибо предел в среднем единстве-
единственен. Покажем теперь, что замкнутый линеал М совпадает с LS*K
Если бы это было не так, то существовал бы элемент /0 (X) из L[*\
не эквивалентный нулевому элементу и ортогональный ко всем эле-
элементам из Ж. Для элемента у = $^х формула B89), в силу gvgx = gv
при v<l и gvgx = gx при v ^ X, принимает вид
при X ^ v,
т. е. функция /(X) из М, соответствующая g>vjc, эквивалентна функ-
функции, определяемой формулой
=1 при X<v и /(Х) = 0 при X>v.
Значение/(X) при X = v не существенно ввиду непрерывности
р(Х). Ортогональность /0(Х) к только что определенной функции
дает нам при любом v:
а отсюда, как известно [52], следует, что /0 (X) эквивалентна нулю
относительно р (X), и, таким образом, подпространство М должно
совпадать с И*\ Предыдущие рассуждения приводят нас к следую-
следующей теореме:
Теорема 1. Формула B89) устанавливает биоднозначное
соответствие между элементами у из Сх и элементами у (к)
из L[*\
В силу формулы B90) при этом соответствии сохраняется вели-
величина скалярного произведения, а следовательно, и нормы соответ-
соответствующих элементов одинаковы. Кроме того, соответствие, очевидно,
дистрибутивно в силу дистрибутивности скалярного произведения
(у> ёх*) относительно у и дистрибутивности интеграла, входящего
в формулу B89). Таким образом, при указанном соответ-
соответствии функциональное пространство ДЛ") является

153. Унитарная эквивалентность самосопряженных операто-
операторов. Пусть gx — разложение единицы для самосопряженного опера-
оператора Ay U—некоторый унитарный оператор и В = U AU'1. Опера-
Оператор gx = U$\ U~x, как нетрудно видеть, также является разложе-
разложением единицы. Пусть В'—соответствующий самосопряженный опе-
оператор, так что В'х определяется как предел суммы:
откуда видно, что В совпадает с В, т. е. g{ = Щх U~x есть спек-
спектральная функция оператора В. Отсюда следует, что унитарно
эквивалентные самосопряженные операторы должны иметь одинако-
одинаковый спектр.
В случае чисто точечного спектра совпадение собственных зна-
значений вместе с их рангом является не только необходимым, но и
1631 УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 483
осуществлением гильбертова пространства Сх, В этом
пространстве определен оператор Л, для которого gx является спек-
спектральной функцией. Докажем следующую теорему:
Теорема 2. Замене у на Ау в Сх соответствует умноже-
умножение у([х) на \х в L{*}, т. е. оператору А в Сх соответствует опе-
оператор умножения на независимую переменную B88) в L{2X).
Пользуясь формулами B06) и B89) и свойством интеграла Ле-
Лебега— Стилтьеса из [75], можем написать, считая, что^у^С^:
откуда и следует, путем сравнения с формулой B89), что замене у
на Ау соответствует умножение у (ц) на \х. Отметим еще, что общая
формула B59) для билинейного функционала (Ay, z), где у и z?Cx,
может быть написана, в силу B90) и доказанной теоремы, при по-
помощи интеграла Лебега — Стилтьеса так:
B93)

484	пространство гильвнртл	[154
достаточным условием унитарной эквивалентности. Соответствующий
унитарный оператор U легко строится как оператор, преобразующий
подпространство собственных элементов В в подпространство соб-
собственных элементов Л, соответствующих тому же собственному зна-
значению. Вопрос об условиях унитарной эквивалентности становится
гораздо более сложным при наличии непрерывного спектра. Приве-
Приведем без доказательства основной относящийся к этому случаю ре-
результат (пространство считается сепарабельным).
Для унитарной эквивалентности двух самосопряженных операто-
операторов Л11) и Л(><2) необходимо и достаточно выполнение следующих
условий: 1) спектры этих операторов принадлежат одному и тому
же типу (чисто точечный спектр, чисто непрерывный спектр или
смешанный спектр); 2) при наличии точечного спектра он состоит
для обоих операторов из одних и тех же значений с одинаковым
для обоих операторов рангом; 3) при наличии непрерывного спектра
число инвариантных подпространств в нормальном разбиении непре-
непрерывной части спектральной функции для операторов одно и то же,
и если ввести для нормальных представлений непрерывного спектра
ЛA) и А{±) функции
которые мы строили в [149], то множество меры нуль по отноше-
отношению pk1} (X) должно быть множеством меры нуль по отношению рь2) (X)
и, наоборот, т. е. при всяком k
х	х
P*l) М = \ ?S?' Q) d?T (X) и р?' (X) = J ^ (X) dpi11 (X),
т
где «рлЧ*) измерима по отношению р*81(Ь)> не отрицательна и сумми-
суммируема, и аналогично для ср^) (X).
154. Спектральное разложение унитарных операторов. Пусть
А — некоторый самосопряженный оператор и gx — его спектральная
функция, причем
gx = 0 при Х = 0 и gx = ? при Х=1.	B94)
Построим оператор U по формуле
1
U= ( e**iX dgx = еЫА .	B95)
Для построения сопряженного оператора достаточно функцию
заменить сопряженной е~**1Х [143], т. е.
1

1551	функции самосопряженного оператора	485
й) в силу формулы B14), приходим к равенствам U(J* = U*U=$t
т] е. оператор U, определенный формулой B95) при условии B94),
есть унитарный оператор. Приведем без доказательства обратное
утверждение.
Теорема. Если брать всевозможные разложения единицы,
удовлетворяющие условиям B94), то формула B95) представляет
собой общую форму унитарных операторов, причем различным
разложениям единицы gx соответствуют различные унитарные
операторы U.
В [143] мы определили функции f(A) самосопряженного опера-
оператора Л, соответствующие непрерывным функциям f{t). В следующем
параграфе мы обобщим это определение на широкий класс функций
fit).
155. Функции самосопряженного оператора. Пусть А — неко-
некоторый самосопряженный оператор и gx — его спектральная функция.
Если /(X) непрерывна в промежутке [//г, Ж], то оператор f(A) мы
определили формулой
м
т
или эквивалентной формулой для билинейного функционала
м
(/(А) х, у) = f /(X) d (Sx*, у),	B96)
причем ($хХ, у) есть комплексная функция ограниченной вариации
от X. Она, как известно [125], является линейной комбинацией четы-
четырёх неубывающих функций вида ||&хг112> г^е z — некоторый элемент
из Н. Таким образом, если /(X) — любая ограниченная функция,
измеримая по отношению к неубывающим функциям
ИМ*	B97)
при любом выборе г, то интеграл B96) существует для любых х
и у, и тем самым определен билинейный функционал (f(A)x, у).
Дистрибутивность этого функционала очевидна из дистрибутивности
($хх, у). Докажем ограниченность этого функционала, причем будем
считать функцию /(X) вещественной, что, впрочем, несущественно.
В силу ограниченности, |/(Х)|=^С, где С — некоторое положитель-
положительное число. Полагая у = х, приходим к выражению для квадратич-
квадратичного функционала
м
(/(Л) х, х) = J /(X) d || gx* ||4.	B98)

486
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[155
Напомним, что если gm отлично от нуля, то последний интеграл
равносилен сумме
где последний интеграл понимается как обычный предел сумм. Из
неравенства |/(Х) | <: С и || $мх || = || х \\ получаем для интеграла B98)
оценку
|(/(Л)х, х)\^С\\х\\\	B98,)
Далее имеем, обозначая через R вещественную часть:
или
B99)
Если х и у имеют любую положительную норму, то можем написать
Рассуждая, как и в [122], можем из этого тождества непосред-
непосредственно получить такое же без знака вещественной части:
При .|jc;| = |jj/]= 1 получаем оценку

|55J	ФУНКЦИИ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	487
X	V
причем элементы -,—г, и j^-j имеют норму, равную единице, и, в силу
оценки B99),
\(f(A)x, y)\^Clx].[yl
откуда и следует ограниченность билинейного функционала (f(A) x, у).
Таким образом, мы приходим к следующему основному резуль-
результату: ее л у /(X) — ограниченная функция, измеримая
относительно неубывающих функций B97) при любом
выборе z> то формула B96) определяет линейный опе-
оператор /(Л). Отметим некоторые свойства операторов /(А). Если
У (X) вещественна, то из B96) при у = х непосредственно
следует, что f(A) — самосопряженный оператор. Если
/(X) комплексна, то сопряженный оператор /(Л)* получаем по фор-
формуле B96) при замене /(X) сопряженной функцией. Если/(Х)^ 0, то
из B98) следует, что /(Л)— положительный оператор. Рассмотрим
функцию /ДХ), определенную следующим образом:
/(х(Х)=1 при Х<|х и /(Х(Х) = 0 при Х>(л.	C00)
Эта функция есть, очевидно, ^-функция, и мы можем составить
интеграл B96). Разбивая область интегрирования на [т — е0, ц] и
[\iy M], получим
C01)
(Л (Л) х, у)=\ d($xxy y) = (^x, у),
откгда следует
Мы получим эту формулу, допуская, что всякий самосопряженный
оператор А имеет спектральную функцию gx, через которую он
выражается по формуле B04), т. е. при выводе формулы C01), мы
основывались на теореме из [142], которую мы оставили без дока-
доказательства. Это доказательство по существу будет сводиться к тому,
что мы определим для любого самосопряженного оператора А функцию
Д(Л), не пользуясь спектральной функцией gx, и, полагая %>^=/^(А),
докажем затем основную формулу B04).
Пользуясь известными свойствами интеграла Лебега — Стилтьеса,
мы легко установим свойства функций самосопряженного оператора Л.
При этом будем, конечно, считать, что все функции /(X), о которых
мы будем говорить, принадлежат определенному выше классу, т. е.
ограничены и измеримы относительно функций B10) при любом
выборе z.
Теорема /. Линейной комбинации функций a^fx (X) -j- a.2/2 (S) ~Ь
~f~ • • • ~Ь ар/р (^) соответствует оператор а{/\ (А) -|- а2/2 (А) -(-...-]-
+ "pfP(A).
2. /(Л) коммутирует с ^ и Л,

488	пространство гильбкрта	[155
3. Имеет место формула
C05)
и такая же формула для произведения /*(А)А(А). Совершенно так
же, как и в [143], мы можем показать, что f(A) коммутирует
с любым оператором В, коммутирующим с А. Верно
и обратное предложение, т. е. если ограниченный линей-
линейный оператор С коммутирует с любым оператором 5,
коммутирующим с Л, то существует такая функция
/(X), что C=f(A). Доказательство этого важного предложения
Наконец,
Формула C02) вытекает из следующей цепи равенств:
C04)
откуда и следует, что /(Л)§{Х = ${Х/(Л). Отметим еще, что из напи-
написанных формул, в силу A80), следует формула
C02)
C03)
Докажем, например, что f(A) коммутирует с g(x:
4. Функции /i(^)/a(^) соответствует оператор

J56J	КОММУТИРУЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ	489
можно найти в статье Ф. Рисса «О функциях эрмитовых операторов
в гильбертовом пространстве» («Успехи математических наук», IX).
Если в формуле C05) положим f.2(k)^fx(X) цу = х, то получим
м
fll«.	C06)
Отметим еще некоторые простые факты, касающиеся функций
самосопряженного оператора. Если |/(Х)|=1, то/(Л) — унитарный
оператор. Если /(X) принимает только значения 0 и 1, то /(А) —
проектор. Докажем, что если Х = Х0 есть собственное значение А
и х0— соответствующий собственный элемент, то /(Хо) есть соб-
собственное значение /(Л) с тем же собственным элементом лг0. Мы
знаем, что gx.xro = O при Х<^Х0 и gxx0 = .r0 при Х^Х0, и формула
B96) дает нам при любому: (/(Л) лго,_у)=/(Хо) (х0, j/) = (/(X0) лг0, у),
откуда, ввиду произвольности у, и следует, что/(Л)лго=/(ХО) х0.
Отметим, что если /(X) имеет конечное число разрывов, то она
измерима относительно всех функций B97), и тем самым f(A) имеет
определенный смысл. То же самое будет и в том случае, когда /(X)
есть 5-функция [47], чем мы уже пользовались выше.
156. Коммутирующие операторы. Рассмотрим вопрос о коммутирующих
самосопряженный операторах.
Теорема /. Для того чтобы два самосопряженных оператора А и В
коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы их спектральные функ-
функции %х и F^ коммутировали при любых X и р..
Мы знаем, что спектральная функция любого самосопряженного опера-
оператора С коммутирует с С и любым оператором, коммутирующим с С [143].
Отсюда следует, что если АВ = ВА> то F^ коммутирует с А, а потому gx
коммутирует с /у Наоборот, если gx коммутируется F^y то суммы Римана —
Стилтьеса в интегральном представлении операторов А и В коммутируют,
а потому и сами эти операторы коммутируют.
Теорема 2. Если самосопряженные операторы А, В и С, имеющие
чисто точечный спектр, попарно коммутируют, то имеется замкнутая
ортогональная нормированная система элементов, являющихся собствен-
собственными элементами каждого из указанных операторов.
Пусть gx, Fp и GV — спектральные функции указанных операторов. В силу
теоремы 1, они попарно коммутируют. Пусть X, ц и v — какие-либо собствен-
собственные значения операторов Л, В и С, a Z.x, М^ и Nv — подпространства соот-
соответствующих собственных элементов и Д'х = gx — gA _ 0; Д? = F^ — F^ _ 0;
А^" = GV — Gv _ 0 — проекторы в эти подпространства. Эти проекторы попарно
коммутируют, а потому их произведение
есть проектор в подпространство ^X(JLV, которое состоит из элементов, общих ?х,
М^ и Nv [140). Если возьмем два различных таких подпространства #X(XV и
#\»n'v" то по кРайней меРе одна из паР чисел (*» *')> (Р> Ю и (v» v') состоит
из различных чисел. Пусть, например А. ^ X'. При этом, если х ( /?X(AV и
. х' ? /?x'jjv» то х и х> с>'ть собственные элементы А, соответствующие раз-
различным собственным значениям, а поюму они взаимно орююнальны. Таким

490	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[156
образом, подпространства R/[k>) попарно ортогональны. Покажем, что их
ортогональная сумма есть все И. Для этого достаточно показать, что не
существует элемента, отличного от нулевого, который был бы ортогонален
ко всем подпространствам /<*^(XV, т. е. достаточно доказать, что если элемент
л'о отличен от нулевого, то он не ортогонален по крайней мере одному из
>?}(ху. Для подпространств Lh М^ и 7VV это очевидно, ибо по условию Л, В и С
имеют чисто точечные спектры, а потому ортогональная сумма, например,
Ly есть все И. Возьмем элемент д*оу^0. Согласно только что сказанному,
существует такое собственное значение X оператора Л, что А[хо^:0. Далее,
опять по тем же соображениям, существует такое собственное значение jj. опе-
оператора Я, что Д? (^х0) ф 0, и такое собственное значение v оператора С, что
Д^" (Д?Д^дг0) т^О, откуда и следует, что х0 не ортогонален /?X[JLV. Таким образом,
ортогональная сумма /?X[JLV есть все //. Если в каждом /?X{AV возьмем замкнутую
ортогональную нормированную систему, то получим ортогональную нормиро-
нормированную систему, замкнутую в /У, и каждый элемент ее, принадлежащий неко-
некоторому #xpiv» является собственным элементом каждого из операторов А> В и С.
Теорема совершенно так же доказывается и для любого конечного числа попарно
коммутирующих самосопряженных операторов. Выше мы видели, что различные
функции одного и того же самосопряженного оператора суть коммутирующие
операторы [155]. Мы докажем теперь обратное утверждение для того случая,
когда заданные операторы имеют чисто точечный спектр.
Теорема 3. Если самосопряженные операторы Л, В и С, имеющие
чисто точенный спектр, попарно коммутируют, то они являются функ-
функциями одного и того же самосопряженного оператора D.
Пространство // предполагается сепарабельным. Согласно теореме 2 имеется
замкнутая ортогональная нормированная система элементов
являющихся собственными элементами Л, В и С, т. е.
(л= 1, 2, ...).
Положим рт = - , и пусть х — любой элемент. Он разлагается по эле-
элементам xk:
со
X =
j
и мы определим самосопряженный оператор Д полагая
оо
п \
их = 7 afePfeXfo.
Ряд, стоящий справа, очевидно, сходится, ибо раз числа | а^ |2 образуют
сходящийся ряд, то числа j а^ц |2 и подавно образуют сходящийся ряд. Из
этого определения непосредственно следует, что xk суть собственные эле-
элементы Д соответствующие собственным значениям р$, т. е. D имеет чисто
точечный спектр. Мы можем построить ограниченную функцию fx (X), которая
в точках X = р? равна \h и непрерывна везде, кроме, может быть, точки
X = 0. Точно так же можем построить Л (X) с аналогичными свойствами так,
что /r2(p^) = [xfr, и /а (X) так, что /8(p^) = vfe. Для функций Д (>.) мы можем,
согласно результатам предыдущего пара1рафа, построить соответствующие
оисраюры /i (D), /,j (D) и /, (D). Оператор U Ф) имеет собственные элементы

157J возмущение спектра самосопряженного оператора 491
Хк и собственные зна>:ения fx (pv) = )ь примем xk образуют замкнутую систему.
Такие же собственные знамения и собственные элементы имеет оператор А. Но
если два оператора с чисто точечными спектрами имеют одинаковые собствен-
собственные знамения и соответствующие им собственные элементы, то из их интеграль-
интегральных представлений через спектральную функцию следует, что они совпадают,
т е. A=fi(D). Совершенно аналогично B=/2(D) и C=fA(D); теорема
доказана. Отметим, что она совершенно так же доказывается для случая любого
конечного числа самосопряженных операторов. Теорему можно доказать и для
того случая, когда спектры операторов и не чисто точечные, но мы на этом не
останавливаемся (J. Neumann, Annals of Math., т. 32, 1931 г.).
157. Возмущение спектра самосопряженного оператора. Напомним, что
точками сгущения спектра самосопряженного оператора называются те знаме-
знамения X, которые являются или предельными точками точечного спектра, или соб-
собственными знамениями бесконечного ранга, или точками непрерывного спектра.
Мы докажем ниже следующую теорему:
Теорема 1. Если к самосопряженному оператору А добавить вполне
непрерывный самосопряженный оператор С, то при этом множество точек
сгущения спектра останется прежним.
Но оказывается, что добавление вполне непрерывного оператора может
существенно изменить характер спектра, а именно имеет место следующая
теорема:
Теорема 2. К любому заданному самосопряженному оператору А
можно прибавить такой самосопряженный вполне непрерывный оператор С
с абсолютной нормой, не превышающей любого заданного положительного
числа е, что А + С будет иметь чисто точечный спектр.
Пользуясь этой теоремой, можно доказать следующее предложение:
Теорема 3. Если у самосопряженных операторов А\ и А2 одно и
то же множество точек сгущения спектра, то существует такой унитар-
унитарный оператор U и такой самосопряженный вполне непрерывный оператор
С, что A2 = UAlV~l+C.
Мы докажем лишь теорему 1. Предварительно докажем две леммы.
Лемма /. Если Х=|л есть точка сгущения спектра самосопряженного
оператора Л, то существует такая последовательность нормированных
элементов xnt слабо сходящихся к нулю, что
|М*л-№!1-0.	C07)
Если [I — предельная точка точечного спектра или собственное значение
бесконечного ранга, то существует бесконечная последовательность попарно
ортогональных нормированных элементов хт для которых соответствующие
собственные значения Хл стремятся к |х. Если z — любой элемент, то его
коэффициенты Фурье сп = (z, хп) стремятся к нулю и, следовательно, хп ^ 0,
и утверждение леммы для рассматриваемого случая вытекает из формулы
Положим теперь, что \х есть точка непрерывного спектра и &,' — непре-
непрерывная часть спектральной функции. Разность g'^a— &'i_s при любом малом
положительном Ь есть проектор в некоторое подпространство Ц. Возьмем после-
последовательность положительных чисел Ьп такую, что Ьп —* 0, и последовательность
нормированных элементов хп из Z.^. Покажем, что при этом также выполняется
утверждение леммы. По определению Ъ„ имеем (g' , ? —g' * ) хп = хп и для
любого элемента г
f>l -f Ьп
-U- 7'п) Z> Хп)

492	пространство гильвертл	[157
Но мы имеем %,. , * — %., * — 0, и слабая сходимость хп ?i 0 доказана.
Для доказательства C07) надо воспользоваться следующей очевидной формулой
м
т — г
М
Лемма 2. Если X = ji. яг *ш& точка сгущения спектра, то для лю-
любой последовательности нормированных элементов хп, слабо сходящейся
к нулю, существует такое положительное число а, что для всех доста-
достаточно больших п имеем
|! Ахп — [ххп !] ^= а > 0.	C08)
По условию леммы существует такое положительное число d} что в про-
промежутке fx — d^X^fx-f-d спектральная функция %^ или постоянна, или ее
изменение сводится к скачку в точке X =fx, причем подпространство соб-
собственных элементов 7,^, соответствующих этому скачку, имеет конечную раз-
размерность. Мы имеем
М
+
или
Если 8|х+.'/ — ^tx-гУ = 0, то получим C08), положив а = d. Положим теперь,
что Sx имеет скачок при X=fi.t и пусть zu z$} ... , <гт — полная ортонорми-
рованная система в L^. При эгом
в силу хп Щ 0, имеем (8^ — ft^-it) *n => °» и из формулы C09) следует,
что C08) выполнено для достаточно больших я, если, например, положить
a = -yd. Из доказанных лемм непосредственно следует, что, для того,
чтобы Х=(л было точкой сгущения спектра, необходимой

НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	493
достаточно, чтобы существовала такая последователь-
последовательность нормированных элементов хт что xncJ^Q и имеет
место C07).
Теперь уже нетрудно доказать теорему 1. Прибавим к оператору А вполне
непрерывный самосопряженный оператор С, и пусть At = Л + С. При этом
д = А\ + (— С), где (— С) — также вполне непрерывный самосопряженный
оператор. Пусть Х=[л— точка сгущения спектра А и хп— последовательность,
удовлетворяющая условию C07). При этом, в силу хп ?i 0, Схп => 0, и из
неравенства || Л ^ — рхп || <С || Ахп — \ххп|| + [CxJ\ следует, что 1Аххп — fxxj—0,
т е. X=fx есть точка сгущения спектра и для At. Точно так же из фор-
формулы /4=/4i + (— С) следует и наоборот, что всякая точка сгущения спектра
Ах есть и точка сгущения спектра А; теорема таким образом доказана.
158. Нормальные операторы. Укажем еще на один частный тип линейных
операторов. Это так называемые нормальные операторы. Линейный
оператор А называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряжен-
сопряженным оператором [ср. IV, 41J, т. е.
АА* = А*А.	C10)
Частным случаем нормальных операторов являются самосопряженный и
унитарный операторы. Если положить
Al = ±(A+A*), А2 = ^(А-А*),	C11)
то мы можем выразить Л и Л* через самосопряженные операторы Ai и Л3
А* = А1 — 1АШ.	C12)
Из последних формул непосредственно следует, что для того чтобы
оператор был нормальным, необходимо и достаточно,
чтобы самосопряженные операторы At и Л2 коммутировали.
Если это так, то спектральные функции %[и и |j*} этих операторов коммути-
коммутируют для любых X и fx. Определим семейство проекторов ga, зависящее от
комплексною переменного о = X + И, полагая
le = 8i'V (а = х+^).	C13)
Этот проектор g, будет переменным лишь на некотором промежутке До
плоскости комплексного переменного а, и мы будем иметь для оператора Л
формулы, совершенно аналогичные формулам для самосопряженного оператора:
Л = J J add%a; {Ах, у) = J J add Aлх, у).	C14)
До	'До
Докажем, например, вторую из этих формул. Положим, что промежуток До
определяется неравенствами a^zl^b; c^p^d. Мы имеем
J add (Еах, у) = J J \dxd^ (gxl %'fx, у) + / J J ixdxd^ (^ 4'*>xt y).
Д0	Д()	До
В первом из написанных интегралов можно после образования суммы Ри-
мана — Стилтьеса просуммировать по (л, так как подынтегральная функция

т. е. A2Xft есть или нулевой элемент, или собственный элемент Ai} соответствующий
тому же собственному значению. Положим, что \ik есть собственное значение
ранга h и \xk = {ал+1 = .,. = цд+л-ь При этом, в силу сказанного выше, мы
должны иметь
т. е. с;я образуют конечную эрмитову матрицу. Совершая над xs унитарное
преобразование, что несущественно, мы можем привести эту матрицу к диа-
диагональному виду и таким образом, сохраняя прежнее обозначение элементов,
можем написать
и, таким образом, х^ будут собственными элементами Л, соответствующими
собственным значениям м-^Ч- Мт?'*«
Рассмотрим еще тот случай, когда нормальный оператор Л вполне непре-
непрерывен. Мы знаем, что при этом и оператор Л* вполне непрерывен и, в силу
C11), операторы Ai и Л2 также вполне непрерывны. Нетрудно распространить
на нормальные вполне непрерывные операторы и теорему из [136]. Пусть
(А? — собственные значения Лх, отличные от нуля, и^ — соответствующие соб-
собственные элементы, т. е.
Принимая во внимание, что Л2 коммутирует с Ль получим, применяя к
обеим частям Л2:
При этом очевидно
С другой стороны,
(Ах, y) = (Alx, y) + i(A2x,y),
и, сравнивая, получаем вторую формулу C14). Дальнейшая общая теория нор-
нормальных операторов может быть развита по аналогии с теорией самосопряжен-
самосопряженных операторов.
Пусть в случае нормального оператора Л самосопряженные операторы А{
и Лз имеют чисто точечный спектр. Мы можем взять замкнутую ортогональную
нормированную систему элементов х^ (k= 1, 2, 3, ...), являющихся собствен-
собственными элементами А\ и Л2 [156], т. е.
494	пространство гильберта	[15$
не зависит от ^, и при этом надо принять во внимание, что ^2) = 0и 8^2' = /;\
Точно так же во втором интеграле можно просуммировать по X, причем g^' —о
и %*Ь1> = Е. Таким образом, получим

|59|	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	495
где некоторые из чисел v;, или даже все эти числа, могут быть равны нулю.
Доы можем проделать эту операцию для всех собственных значений Ль отлич-
отличных от нуля. Мосле этого мы можем и не получить всех собственных значе-
значений Аъ, отличных от нуля. Если мы возьмем эти неполученные собственные
значения А2у отличные от нуля, и совершим операцию, аналогичную предыду-
предыдущей, отправляясь от Л2 и переходя к Ль то окончательно получим конечное
или счетное множество элементов ук (&=1, 2, ...), попарно ортогональных,
нормированных и таких, что
причем из двух вещественных чисел ^' и ^-' по крайней мере одно отлично
от нуля, а всякий собственный элемент Ль соответствующий собственному
значению, отличному от нуля, выражается линейно через конечное число ук
и аналогично для Л2. Далее имеем, очевидно,
АУк = W' + J*if "О У» л *>'* = W' - v-k '0.V
Положим, что
x = Ay = Aiy + iA2y.
Мы имеем [136]:
А1У=*^<1кУк и A2y =
k	k
и, таким образом, любой элемент ху который выражается в виде Ау, может
быть разложен по элементам yk:
х = Ay = ^ (ak + bki) yk.
к
Отметим, что если, например, (х^ = 0, то в разложении А^у будет отсут-
отсутствовать член, содержащий yk. Выше мы видели [155|, что если оператор А
есть функция самосопряженного оператора В, то и А* есть функция от В,
а потому А и Л* коммутируют, т. е. А есть нормальный оператор. Таким
образом, любая функция самосопряженного оператора есть нормальный опера-
оператор. Верно и обратное утверждение: всякий нормальный оператор есть функция
некоторого самосопряженного оператора. Действительно, пусть имеется нор-
нормальный оператор А — Ах -\- iA2. Самосопряженные операторы Ах и А2 комму-
коммутируют, а потому, как мы упоминали в [156|, они суть функции одного и того же
самосопряженного оператора В: A1=Fl(B) и А2 = F2(B). Строя функцию
F(K)=z F\ (к) -f iF2 (X), получим A = F(B), что мы и хотели показать.
159. Вспомогательные предложения. Задачей этого и следующих пара-
параграфов является доказательство основной теоремы из |142] и того факта, что
если некоторый оператор коммутирует с самосопряженным оператором Л, то
он коммутирует и с его спектральной функцией /:х при любом X. При изло-
изложении этого доказательства мы можем пользоваться теми результатами, которые
были получены до |142|. Предварительно нам надо изложить некоторые вспо-
вспомогательные леммы.
Лемма /. Если А и В — коммутирующие самосопряженные опера-
операторы, удовлетворяющие соотношению
Л2 = В*,	C15)
и Р—оператор проектирования в подпространство L, образованное эле-
элементами х, которые удовлетворяют уравнению
(Л + В) х = 0э т. е. Ах = — Bxt	C16)

496	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[159
то имеют место следующие свойства:
1)	если некоторый оператор D коммутирует с (Л + В), то он ком-
мутирует и с Р;
2)	если Ах = 0, то х ? I, т. е. Рх = х;
3)	оператор А может бить выражен формулой
А = (Е — 2Р)В.	C17)
1. По условию имеем
C18)
Если х ? Z-, то, в силу C16), D (А + В) х = 0, а потому и (Л + В) Dx = О,
т. е. и Dx ? L. Если 2 — любой элемент из //, то Pz ? L и но только что
доказанному DPz ? Z., а потому можем написать для любого элемента z из //:
PDPz^DPz, т. е.
PDP=DP.	C19)
Переходя в C18) к сопряженным операторам и принимая во внимание, что
А и В — самосопряженные, получим [124]:
(A + B)D* = D* (А + В),
т. е. и D* коммутирует с А + В, и мы можем и для него написать фор-
формулу C19), т. е.
PD*P=D*P.
Переходя в этом равенстве к сопряженным операторам и принимая во вни-
внимание, что Р — самосопряженный оператор, получим PDP = PD. Сравнивая
это равенство с C19), будем иметь DP=PD, т. е. D действительно комму-
коммутирует с Р, что мы и хотели доказать. В частности, операторы А и В по
условию коммутируют с (А + В), а потому А и В коммутируют с Р.
2.	Из равенств
(| Az р = (Az, Az) = (А% г); || Вг у2 = (Вг, Вг) = (В*г, г)
и условия C15) следует, что (| Az |; = j| Bz || для любого элемента z. Если Ах = 0,
то и fix = 0 и, следовательно, х удовлетворяет уравнению C16), т. е. х ? L и
Рх = л:, что мы и хотели доказать.
3.	Из того, что А и В коммутируют, и из условия C15) следует, что
(А + В)(А — В) = 0, т. е. если г — любой элемент Я, то (А — В) г ? L, и
следовательно, Р (Л — В) z = (Л — 5) 2, т. е.
Р(Л — ?) = Л — В.
Далее для любого элемента z элемент Pz ? Z,, и, следовательно, (А + 5) Pz=Ot
т. е.
(Л + Я)Р=0.
Вычитая из этого равенства предыдущее и принимая во внимание, что Л
и 5 коммутируют с Р, получим 2РВ = — Л -f- #> откуда и следует C17); лемма
доказана.
Лемма 2. Если самосопряженный оператор С ^0 и самосопряжен-
самосопряженный оператор F коммутируют с С, то F*C = CF2 ^> 0.
Принимая во внимание условие леммы, можем написать, обозначая Fx = y:
(CF2x, x) = (FCFx, x) = (С/7*, А\к) = (Су, у) ^ 0,
что и доказывает лемму. Отметим один частный случай леммы. Если проек-
проектор Р коммутирует с С, то, в силу Р2 = Ру можем утверждать, что РС^О.
Если Р (t) = 0О + <ht + ... + <Vn — некоторый полипом и Л — оператор,
то, как мы видели, мы можем сопоставить полиному P{t) оператор РА)

159]	нспомоглтнльиыв предложения	497
ssaol:I-\- axA + ... + anA'K Если А — самосопряженный оператор и коэффи-
коэффициенты аи вещественны, то и Р(А) — самосопряженный оператор. Для выяс-
выяснении свойств полиномов от операторов нам понадобятся еще две леммы.
Лемма 3. Пели полином P(t) положителен в промежутке [О, 1], то
для всех достаточно больших значений р мы можем представить его
в виде
в силу flf^ — fi2 >* 0, положителен при всех достаточно больших />. Таким обра-
образом, формула C21) и приводит к формуле C20) с положительными cs для всех
достаточно больших значений р. Возьмем теперь любой положительный полином
в промежутке |0, 1). Его можно представить в виде произведения положитель-
положительных полиномов первой степени и положительных полиномов второй степени
с мнимыми корнями. Для каждого множителя имеем разложение C20). Тем самым
C20)
где все коэффициенты cs положительны.
Для полиномов первой степени это вытекает из формулы
Рассмотрим, положительный полином второй степени, который не разла-
разлагается на вещественные множители первой степени:
Принимая во внимание формулу
можем написать предыдущий полином в виде
или, приводя подобные члены,
Выражение, стоящее в квадратных скобках, положительно при всех ве-
вещественных s и при всех достаточно больших значениях р. Действительно,
дискриминант этого трехчлена относительно s

498	пространство гильверга	fI GO
получим такое же разложение и для их произведения, причем степень р будгг
равна сумме степеней отдельных сомножителей.
Замечание. При помощи замены переменных U=t	 мы можем
свести любой конечный промежуток a^t^b к промежутку O^^s^ri, и
для полиномов, положительных в промежутке \а, Ь\} получаем, вместо фор-
формулы C20), следующую:
г
Лемма 4. Пели т и М —границы самосопряженного оператора Л,
т. е. квадратичного функционала (Ах, х) при jrvj=l, и Р (t)— неотри-
неотрицательный в промежутке \т, М\ полином, то Р(А)—положительный
оператор, т. е.
(Р(А)х, х)^0.	C23)
Достаточно доказать лемму в том случае, когда Р(^)>0 в промежутке
[m, M]. Действительно, положим, что в этом случае лемма доказана и что
Q(t)^O в промежутке [///, М\. Полагая Р(t) = Q (t) -\- г, где г > 0, будем
иметь Р(/)>0 в промежутке [ш, М\ и, следовательно, по предыдущему:
(«? (A) f 6) .v, х) = (Q (А) х, х) + ? (.г, х) ^ 0.
Переходя к пределу при г — 0, получим неравенство C23) и для Q (A)t
Переходим к доказательству леммы для положительного Р (t). В силу C22) при
а-=т и Ь = М достаточно доказать положительность оператора
(А — тПK (ME — A)*>-s,	C24)
причем число р мы возьмем нечетным (сумма положительных операторов поло-
положительна). Положим, например, что s = 2J—четно, и представим оператор
C24) в виде
AiA
где	Ai = (ME - А); Л* = (А — mEV(ME — /1) <l
причем А2 коммутирует с Л,, и Ai есть положительный оператор, ибо
(А{х, х) = М — (Ах} х)^0 при |д'|= 1. В силу леммы 2 мы можем утвер-
утверждать положительность оператора C24). При нечетном s надо взять
А1 = (А — тЕ).
Следствие 1. Если в промежутке [ш, М\ полиномы Pk(t) и P2(t)
удовлетворяют неравенству Р2 (t) ^ Pi (/), т. е. Р2 (t) — Pi (t) ^ 0. то
Р* (Л) ^ Pi (Л). В частности, если | Р (t) | ^С е, т. е. — г ^ Р (t) ^ е, то
— zE ^ Р(А) ^ гЕу т. е. — s ^ (Р(А) х, х) ^ е при •; х ¦' = 1, и,следовательно,
норма Р(А) не больше г [126J.
Следствие 2, Из предыдущего следствия, вытекает, что если последо-
последовательность полиномов Рп (t) стремится равномерно в промежутке [т, М\
к полиному P(t), то Рп(А)—+Р(А), и даже норма разности Р(А) — Рп (А)
стремится к нулю.
160. Степенной ряд от оператора. Напомним еще лемму, доказанную
в [131], результат которой сводится к следующему: если нормы последователь-
последовательности операторов Ап (м = 1, 2, 3, ...) не превышают положительных чисел Ъп,
которые образуют сходящийся ряд, то ряд
А= \ Ап

160]
СТЕПЕННОЙ РЯД ОТ ОПЕРАТОРА
499
сходится, н норма оператора Л не превышает суммы чисел Ъп. В частности
если имеется степенной ряд
оо
У as.
который абсолютно сходится в промежутке \t\^kt и норма оператора А не
превышает к, то сходится ряд
У а.
Лп.
Для дальнейшего нам понадобится следующая формула бинома Ньютона:
\tn, i*|s^l,	C25)
\п I
где
п\
C26)
Формула C25) дает арифметическое значение радикала и остается справед-
справедливой при t = ±\ [I; 138]. Коэффициенты разложения C26) положительны при
нечетном и отрицательны при четном п > 0. Поэтому, полагая в формуле C25)
t=-—1, получим все члены, кроме первого, отрицательными, откуда следует
= i-V
0=1
или
У
-1
C27)
и ряд C25) сходится абсолютно и равномерно при j*|^l [1; 146.]. Заменяя
в формуле B91) t на t2— 1, получим слева абсолютное значение квадратного
корня из t2, т. е. абсолютное значение \t |, и будем иметь для него следующее
разложение в абсолютно сходящийся ряд в промежутке 111 ^ 1:
C28)
Именно это разложение мы и применим к самосопряженному оператору.
Пусть А—самосопряженный оператор с нормой тА. Составим самосопряжен-
самосопряженный оператор С = —2- Л- — Е. Мы имеем
(Cxt х) = -р— (Л-л-, х) — ] .v |;s =
. || Ах |» -1! х р,
откуда видно, что — I < (Сх, д')^0 при [лг| = 1, а норма С не превышает
единицы. Мы имеем возможность составить ряд
В = «л J
-кЛ/ 1
—'2 I){-кл
к
C29)

500
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВКРТА
[161
Если Sfl (t) — отрезок ряда C28), то Sit (t) — V1 равномерно в промежутке
|— !,+ 1], и, следовательно, S-
А2, и в пределе самосопряжен-
] тг
\А I тА
ный оператор В, определяемый формулой C29), удовлетворяет условию В2 — А2.
Далее, если оператор D коммутирует с Л, то он коммутирует с отрезком
ряда C29). и, следовательно, в пределе коммутирует с В. Из этого следует,
в частности, что А коммутирует с В, т. е. АВ = ВА.
Покажем еще, что В — положительный оператор. Принимая во внимание,
что норма С не больше единицы, получим | (Спх, х) ^ ;| х f и, написав выра-
выражение C29) в виде
2 |С|,
придем к неравенству
(Вх, х)
(X, X) -
i-У
*х, х)
!1*1Г.
откуда, в силу C27), и следуег, что Eл:,
Таким образом, окончательно получаем следующие свойства: В есть само-
самосопряженный, положительный оператор, коммутирующий с Л и удовлетво-
удовлетворяющий равенству В2 = Л2; всякий оператор, коммутирующий с Л, коммутирует
и с В. В следующем параграфе мы, пользуясь оператором В и леммой 1, по-
построим спектральную функцию g,\ оператора Л и докажем основную фор-
формулу B04) из [142J.
161. Спектральная функция. Теорема. Всякому самосопряженному
оператору А соответствует проектор g0 со следующими свойствами:
1)	если оператор D коммутирует с Л, то он коммутирует и с g0;
2)	если Az = 0, то goz = z; 3) самосопряженные операторы Л|о и А (Е— g0)
удовлетворяют условиям
4go<0; A(E — go)^O.	C30)
Принимаем за g0 проектор Р, входящий в лемму 1. Если D коммутирует
с Л, то он коммутирует и с б, а потому и с (Л -\-В), и первые два утвержде-
утверждения теоремы вытекают из леммы 1. Далее из формулы Л = (Е — 2g0) В итого,
что g0 коммутирует с Л и В и gj = So, следует, что
АЕ0 = —,
А (Е - %0) = В (П -
Но произведение положительного оператора В на проекторы g0 и (Е—go),
с которыми он коммутирует, суть положительные операторы, и из последних
формул непосредственно следуют неравенства C30), и теорема доказана.
Пусть X — любое вещественное число. Мы можем построить для само-
самосопряженного оператора (Л — Х?) проектор, о котором говорится в доказанной
теореме. Обозначим его через gx. Он обладает следующими свойствами: 1) если
некоторый оператор D коммутируем с (Л— IE) или, что то же, с Л, то он
коммутирует с gx: ^) сслн (^ — ^Е) ^ = 0, то g>vz = z, 3) имеют место неравенства
(Л -
0; (А - Щ (Е - gx) 5= 0.
C31)

|6l)	СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ	501
Отметим еще, что gx при любом X коммутирует с (Л — ХЯ), т. е. с Л.
Покажем, что %х представляет собой разложение единицы. Всякое gx комму-
коммутирует с Л, а потому, в силу сказанного выше, и с любым gx . Пусть X < т.
Покажем при этом, что g> = 0- Если бы это было не так, то мы имели бы
такой элемент х с нормой единица, что &хлг =х* и» следовательно,
((А-1Е)%хх, х) = ((А-Щх} х) = (Ах, лг)-Х>0,
ибо Х<т, а это противоречит первому из неравенств C31). Итак, &х = 0 при
X <ш. Совершенно так же, пользуясь вторым из неравенств C31), мы докажем,
что %х = Е при X > М. Остается доказать, что gx ^ g[A при X<jx, т. е. что
gxg[x = gx при X<fi или, что то же, надо доказать формулу
%х(Е-%[х) = 0.	C32)
Обозначим левую часть написанного равенства через R:
&х (^ ~ 8ц) = (Е - %[Х) %х = Я	C33)
Нам надо доказать, что для любого элемента х мы имеем /?л* = 0.
Обозначим Rx=y. Из формулы C33) непосредственно следует
%xR=z%l(E — g(X) = gx(E — 8^) = /? и аналогично (Е — ga) R == R. C34)
В силу C31) имеем
((А-Щ%}у,у)^0; ((А-рЕНЕ — г^у^^О.	C35)
С другой стороны, в силу C34),
%\У = 8х^д: = Rx=y; (Е — 8^ = (Е — g(j Rx == /?дг =^,
и первое из неравенств C35) переписывается в виде ((А — XE)yty)^0, и,
совершенно аналогично, второе переписывается в виде ((Л—\>-Е)у, уJ^0.
Вычитая последнее неравенство из предыдущего, получим ((fi — Х)^, .у) ^10,
т. е. (fi — X) || др ||2 ^ 0, откуда, в силу X < р., и следует, что у = 0, т. е. Rx =;
s=0, и формула C32) доказана. Непрерывность gx справа докажем позже.
Для доказательства интегрального представления оператора А через gx
выведем одно неравенство. Введем проектор
мы можем написать для любого элемента х:
((А — цЕ) 8^ Ал-, Длг) < 0; ((А — ХЕ) (Е — 8х) д*.
Принимая во внимание очевидные равенства
можем переписать эти неравенства так:
((Л — fJuZT) Длг, лг)<0; ((Л — ХЕ) Дл:, л:)^0
или
X (Д*, х) < (А Ах, x)^[i (Дл:, л:).
Взяв любое число v, удовлетворяющее условию X ^ v ^ fi, получим отсюда
| ((Л — vE) A.v, х) К (fi - X) (Длг, лг)
или, принимая во внимание, что (Дл", х) = '| Дл-jj2 ^Цл*''2, имеем

502	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Отсюда видно [126], что норма оператора (Л —vE) Д не превышает (fx — X)
т. е.
Заменяя в этом неравенстве х на Да* и принимая во внимание, что Д2 =;
= Д, получим основное для дальнейшего неравенство
|| Л Дл: — v Дл: ||< (f* — X) || Дл: j|.	C37,
В этом неравенстве X ^ v ^ \к и Д определяются формулой C36). Пере-
Переходим к доказательству формулы B04). Берем некоторое положительное число •„
и разбиваем промежуток [т — е0, М) на части:
т — в0 = Хо < Xj < Ха < ... < ХЛ_! < \п = М;
затем вводим проекторы ДЛ = gX/f — gXfe _t, причем
п
Е == ^ Д^ и ДЛД; = 0 при /г ^ /.	C38)
Имеем разложение любого элемента х на попарно ортогональные слагаемые
Нетрудно видеть, что
(Axff, Лх/) = 0 и (Axk, лг/) = О при
Например, первое из этих равенств доказывается так:
(Axkt Axi) = (Л Д^л:, Л Д^) = (Л Д/Д^х, Лл:),
а последнее выражение равно нулю в силу C38). Составим теперь выражение
п	п
Ах — 2 ***** = 2 (Ах* - v***).
¦*-i	*-1
где vfe — любое значение из промежутка [Xft_lf ХЛ]. Слагаемые суммы, стоящей
справа, попарно ортогональны, и пользуясь теоремой Пифагора, можем написать
|| Лх - 2 *ЛДЛ* ||« = J] || Лд:Л - vfeATfe ]¦.	C39)
*=!	fe=l
Пусть 5 — наибольшая из разностей lk — \k^x. Пользуясь неравенством
C37), получим из C39):
или, в силу теоремы Пифагора,

.02]	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В /2	503
и отсюда следует, что при б — 0 мы имеем для любого элемента х:
п
Ах = Jim ^ Vb&kx-
Таким образом, получаем основную формулу
м
А = С X d%,.
Остается доказать, что %^ непрерывна справа. При стремлении fx к X про-
проектор Д, определяемый формулой C36), не увеличивается и стремится к не-
некоторому пределу До, и нам надо показать, что Ло есть оператор аннулирова-
аннулирования. Переходя в C37) к пределу, получим (А — Х?)Д0х = 0. Отсюда, в силу
второго свойства %ъ следует, что ?хДо* = Додг, т. е. (/: — gx) Д0х = 0. С дру-
другой "стороны, (Е—|Х)Д=.Д, и, переходя к пределу, получим (Е— %х) До = До.
Принимая во внимание (Е — gx) ДОгг = 0, получим Дог = 0, т. е. До действительно
аннулирует любой элемент х. Отметим еще, что любой оператор D, коммути-
коммутирующий с /4, коммутирует и с gx.
§ 2. Пространства 1} и L2
162. Линейные операторы в /2. Мы переходим к применению
общей теории к пространствам /2 и L2. Выше мы уже видели, что, выби-
выбирая в И некоторую замкнутую ортонормированную систему, мы приво-
приводим в биоднозначное соответствие элементы абстрактного простран-
пространства И и /2. Можно, конечно, рассматривать /2 и самостоятельно как
некоторое осуществление Я, поскольку при обычных определениях
алгебры и скалярного произведения в /2 имеют место все аксиомы И.
Введем понятие урезанного'элемента [ср. 134). Пусть лг(?,, ?2,...) —
некоторый элемент / и x{k) (;,, ?2,..., lk 0, 0,...) имеет первые ^-со-
^-составляющие те же, что у х, а остальные его составляющие равны
нулю. Элемент x^k) и называется урезанным элементом х. Мы имеем
оо
\)х — *(feMP= 2 1**Г— 0 при k — оо,	A)
т. е. лг(/г)=>лг при т — оо. Через ср,,ср.2,,.. обозначим орты 1Ъ т. е.
у срд» составляющая 5Л==1, а остальные равны нулю. Для элемента х
имеем
оо
*=У*тфт.	B)
Если А — линейный оператор в /2 и хТ = Ах, то, вводя состав-
составляющие х' (S'i$2>. ••)> имеем
(л =1.2,...)

504	пространство гильбертл	[162
где
<*пт = (А<?т>?п)'	D)
Таким образом, линейный оператор в Л, представим матрицей с
элементами D). Сопряженному оператору А* соответствует матрица
|со. 1341:
Самосопряженный оператор характеризуется равенством
апт=атп	F)
Для билинейного функционала имеем формулу
СО , СО	\	ОО/ОО	\
(А*,у) = (х, А*у) = ^((У апт\т гы = У km V ann^n , G)
где у имеет составляющие (-цъ у\ъ ...).
Образуя для х и у урезанные элементы x^k) и у{1\ получим
i при k и /— со, и, следовательно,
(8)
Если ард и bpq — элементы матриц, соответствующих операторам
А и Ву то для оператора D = 8A имеем матрицу dpq, определяемую
формулой
dpq=(D<tq, b) = (BAc?qy срр) = (Лср7, В*Тр),
или, в силу формулы скалярного произведения в /2,
Принимая во внимание E), получим окончательно
(9)
Обозначая бесконечные мдтриды теми же буквами А и Ву что
и соответствующие операторы, а элементы этих матриц обозначая

|§31	ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ	505
символами \A}pq и {B\pq} можем записать предыдущую формулу в виде
A0)
Если имеются три линейных ограниченных оператора А, В и С,
то, в силу сочетательного закона (СВ)А = С(ВА), можно написать
следующую формулу перестановки суммирования:
СО / СО	v	ОО
163. Ограниченные операторы. Всякий ограниченный линейный
оператор А порождает, как мы видели, бесконечную матрицу ар .
Поставим обратный вопрос: каковы должны быть элементы а бес-
бесконечной матрицы для того, чтобы формула C) давала ограниченный
линейный оператор в /.2? Мы требуем, таким образом, чтобы ряды C)
сходились для любого элемента (?ь ?2,...) из /.2 и чтобы существовало
такое число TV, что для любого элемента х? /2 имеет место неравенство
A2)
k*=\
Напомним, что для билинейного функционала, в случае ограни-
ограниченного оператора А, мы должны иметь оценку
| (Ах, у) | ^ iV|| х || • ||у ||.
Применяя эту оценку к урезанным элементам, получим следую-
следующее необходимое условие для арду содержащее конечные суммы:
/ k
Это условие оказывается не только необходимым, но и достаточ-
достаточным, т. е. имеет место следующая теорема:
Теорема /. Для того чтобы apq были элементами матрицы
линейного ограниченного преобразования, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для любых целых положительных k и I и для
любых комплексных, чисел \т и ч\п выполнялось условие A3) при
некотором выборе числа N (не зависящего от $р, riq k и I).
Необходимость условия была выяснена выше. Доказываем его
достаточность. Пусть (^,;.>,...)—любой элемент из /.2. В условии
A3) полагаем l = k и	fo
(п= 1,2,3,...*,).

506
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[163
Оно дает при этом
2
I
m=l
ИЛИ
и тем более
т=\
S en
Zj I ?m i Zj
m= 1	/i = l
/ J **nnv*n
2
=1
A4)
Покажем, что из этих неравенств следует сходимость рядов
оо
2 ЛптЬт	A5)
т-=\
(п=1, 2,...)
для любого элемента из Л2. Пусть при некотором выборе элемента
(?Т> ?'§' • • •) и числа л этот ряд расходится. При этом и подавно
расходится ряд
2 KmSml.
I
и конечная сумма этого ряда
будет беспредельно возрастать при увеличении k. Изменим аргументы
комплексных чисел 5^ так, чтобы произведения апт Е'т оказались поло-
положительными числами. Применяя к полученному таким образом эле-
элементу /2 неравенство A4) и отбрасывая слева все слагаемые, кроме
слагаемого соответствующего упомянутому значению п> будем иметь
к
2 вя
\2
)
При беспредельном возрастании /г левая часть этого неравенства
беспредельно растет, и мы пришли к противоречию. Таким образом,
все ряды A5) действительно сходятся для любого элемента х. Пока-
Покажем теперь, что-из A4) следует неравенство
т=.\
1«„Г.
A6)
Действительно, если бы при некотором k и для некоторого эле-
элемента х из /.2 мы имели бы противоположное неравенство, то при

163
ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
507
этом же k и достаточно большом / (причем мы можем, очевидно,
считать l^k) мы имели бы
ft
n — 1
и тем более
,?,
у %
т= 1
/
^¦^ tllTl ТН
2 ОО
^ TV'2 S IE I2
—^ /.Л 1 'm I
m = 1
2 ОО
> iV2 Vie i2
^ iV Zj ! ?m 1 »
а это противоречит A4) при к = 1. Таким образом, неравенство A6)
доказано. Беспредельно увеличивая в нем k, мы придем к A2),
и теорема доказана.
Замечание. Отметим, что при доказательстве достаточности
условия A3), мы пользовались им только в случае l = k. Покажем,
что достаточно проверить это условие только для квадратичной
формы, т. е. для ограниченности оператора достаточно проверить при
любом k неравенство
ft
2 вя
n, m= I
A7)
Принимая во внимание формулу, выражающую билинейный функ-
функционал через соответствующую квадратичную форму, и A7), можем
написать
k
2 Я/*
T
k
т = I
k
4rn
i
m=l
Считая нормы элементов х и у равными единице, мы получаем,
2 [ | а j- -j- | p |2|,
;4/v,
принимая во внимание, что | а -
ft
m, n— 1
а для элементов любой нормы
m, n— 1
т. е. из A7) следует условие A3) при l = k и тем самым ограни-
ограниченность оператора, определяемого матрицей апт. Отметим еще неко-
некоторые обстоятельства, связанные с условием A3). Если ард удовле-
удовлетворяют условию A3), то элементы матрицы сопряженного оператора
\А*}рд = адр также, очевидно, удовлетворяют этому условию, как
это и должно быть, согласно общей теории. Введем еще матрицу

508	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБРРТЛ	[163
транспонированного оператора и матрицу комплексного сопряженного
оператора
Мы имеем, очевидно,
А* = (А)' = А',	A9)
и элементы матриц операторов А' и А, очевидно, удовлетворяют условию
A3), если ему удовлетворяют элементы основной матрицы А. Из A3) не-
непосредственно вытекает, что все ард должны быть ограничены по
модулю числом, не зависящим от р и q, а именно, полагая %p = riQ— \,
а остальные \т и -цп ровными нулю, получим | apq | ^ N. Отметим еще
одно необходимое условие, которому должны удовлетворять элементы
матрицы ограниченного преобразования. Из формулы D) следует,
что ank суть составляющие элемента Avk. Поэтому должен сходиться
ряд, составленный из квадратов модулей элементов любого столбца:
2 |в»*|'< + оо	B0)
/1=1
(?=1,2,...).
Переходя к Д*, видим, что то же должно иметь место и по
отношению к строкам
S3 I **»!'< + «>	B1)
Отметим одно простое достаточное условие ограниченности пре-
преобразования, соответствующего матрице апт.
Теорема 2. Если существует такое положительное число I
(не зависящее от т и п), что выполняются неравенства
B3)
то матрица апт дает ограниченное преобразование.
Достаточно показать, что при [jrj|^.l и |j/jj^l сумма
5=1 SiWiU^I	B4)
п=\т=\
ограничена. При этом условие A3) и подавно будет выполнено.
00
2
m =
\anm
1
(n =
1,
	-" /.
¦ 2, .
B2)
• •)
CO
(/«=1,2, ..
/

1641
унитарный матрицы и матрицы проектирования
509
Принимая во внимание, что | ab | ^ Tj-(| a j'2-f-1 b |*), можем написать
или, в силу B2) и B3),
где ak — последовательность таких вещественных чисел, что ряд
с общим членом | ak \ сходится. На основании теоремы 2 легко про-
проверить, что матрицам А и В соответствуют линейные преобразования.
Далее легко проверить на основании формулы (9), что ВА = Е при
любом выборе ак (соблюдено указанное выше условие). Таким обра-
образом, линейный оператор А имеет бесчисленное множество обратных
ограниченных операторов слева и, тем самым, ни одного ограничен-
ограниченного обратного справа. Если перейдем к сопряженным матрицам, т. е.,
в силу вещественности ак, просто к транспонированным матрицам
А' и В\ то получим А'В' —П. Уравнение Ах=у имеет вид ^ = т42;
?.2 = т].л; ... и при любом v с Л оно имеет единственное решение в /.2.
Уравнение А'х=у имеет вид'^ = тп; ;., = 7|2;..., и оно имеет бес-
бесчисленное множество решений ввиду произвольности \х. Это связано
с тем, что А не имеет ограниченного обратного оператора слева.
164. Унитарные матрицы и матрицы проектирования. Напо-
Напомним основное свойство унитарного преобразования О:
и теорема доказана. В случае самосопряженной матрицы условия B3)
следуют из B2). Отметим, что не для всякой ограниченной матрицы
ряд B4) будет сходящимся.
В качестве примера рассмотрим следующие две бесконечные ма-
матрицы:

510
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[164
Если upq — элементы матрицы, соответствующей унитарному опе-
оператору U, то эти условия запишутся в виде
У= 1
2
s= 1
uspusq =
B5)
где Ьрд = 0 при р Ф q и Zpp=\. Принимая во внимание, что итп =
= 7[пт~ можем написать последние равенства в виде
B6)
B7)
т. е. получается ортогональность матрицы upq no столбцам и стро-
строкам. Отметим, что в случае конечных матриц условия B7) суть
следствия B6) [III; 28]. В случае бесконечных матриц эти условия
независимы.
Теорема 3. Для того чтобы комплексные числа ирд образовы-
образовывали матрицу, соответствующую унитарному преобразованию,
необходимы и достаточны условия B6) и B7).
Необходимость условий B6) и B7) вытекает из приведенных
выше рассуждений. Остается доказать их достаточность, т. е. нам
надо доказать, что при наличии этих условий матрице upq соответ-
соответствует линейное (ограниченное) преобразование. После этого унитар-
унитарность этого преобразования следует из того, что условия B6) и B7)
равносильны B5), а эти последние характерны для унитарного пре-
преобразования [137].
Условие B7) показывает» что
5=1
и, следовательно, для любого элемента х сходятся ряды [59]
Составим выражение
т
2 m n n
п п ' т
2 I] i2
5=1 Г=| \p=\
Беспредельно увеличивая /и, получаем, в силу условия B6);
ОО П	П	2
п
2 "р/4
/г
=2

f 65 ]	САМОСОПРЯЖЕННЫМ МАТРИЦЫ	511
и тем более
где т — какое-либо фиксированное конечное число. Отсюда совер-
совершенно так же, как и в теореме 1 предыдущего параграфа, следует
при помощи рассуждения от обратного, написанное неравенство при
я = оо, и беспредельно увеличивая затем т, приходим к неравен-
неравенству
B9)
и тем самым ограниченность оператора U доказана. Отметим, что,
в силу унитарности [/, мы имеем в формуле B9) обязательно знак
равенства.
Рассмотрим теперь матрицу pik, соответствующую некоторому
проектору Р в подпространство L. Принимая во внимание, что Р —
самосопряженный оператор и Р1 — Р, получаем следующие условия:
имеет в /.2 решение, отличное от нулевого. Если собственные эле-
элементы ф^ образуют замкнутую ортогональную нормированную систему.
Аналогично тому, как это мы делали выше для унитарных пре-
преобразований, можно показать, что эти условия не только необходимы,
но и достаточны для того, чтобы матрице pik соответствовал про-
проектор. Выберем замкнутую ортогональную нормированную систему
так, чтобы часть ортов образовывала замкнутую систему в подпро-
подпространстве L, а другая часть в дополнительном пространстве Н—L.
Первые орты в результате применения проектора Р останутся неиз-
неизменными, а другие аннулируются. Таким образом, при выбранной си-
системе ортов проектору Р соответствует чисто диагональная матрица,
главная диагональ которой состоит лишь из единиц и нулей. Иначе
говоря, матрица проектирования унитарно эквива-
эквивалентна чисто диагональной м а т р и ц е, г л а в н а я д и а-
г о н а л ь которой состоит л и ш ь из единиц и нулей.
165. Самосопряженные матрицы. Самосопряженные матрицы А
характеризуются условиями A3) и F). Собственные значения и соб-
собственные элементы таких матриц определяются из того условия, что
бесконечная система
C1)
C0)

512
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТЛ
1165
т. е. мы получим чисто диагональную матрицу с числами Хр на глав-
главной диагонали. Вообще для того, чтобы самосопряженная матрица
имела чисто точечный спектр, необходимо и достаточно, чтобы она
была унитарно эквивалентна чисто диагональной матрице. В указан-
указанном выше случае выбора ортов tyk мы имеем
C3)
при i =
и имеют место формулы
т. е.
C5)
5=1
и вообще
C6)
C7)
C8)
C2)
и мы примем ф/г за орты, то оператору А будет соответствовать
матрица с элементами
В общем случае для самосопряженной матрицы aik существует
такое разложение единицы g}, т. е. неубывающая матрица проекти-
проектирования //Л(Х), что
C4)
При этом мы, в силу свойств разложения единицы, имеем

1651	слмосопряжипнып матрицы	513
причем в правой части стоит разность значений //А, (л) на концах
промежутка А,А2, являющегося пересечением промежутков к{ и Д>.
Если /(X)— непрерывная функция на промежутке [a,0\t то опера-
оператору }(Л) соответствует матрица с элементами
ь
где lst(ty непрерывны.
Рассмотрим резольвенту матрицы Л, т. е. матрицу с элементами
{/?(Х)}./г, определяемую формулой
D2)
есть функции ограниченной вариации от X, можем утверждать, что
функции /^ (X) суть функции ограниченной вариации от X. При у = х
выражение D1) дает неубывающую функцию от X, и отсюда непо-
непосредственно следует, что функции /55(Х)не убывают. Если понимать
интегралы C9) как интегралы Лебега—Стилтьеса, то формула C9)
применима для широкого класса функций /(X), который был нами
указан в [ 155]. Достаточно предположить, что /(X) ограничена
и есть /^-функция [47]. При этом она будет измеримой и относи-
относительно любой неубывающей функции. В случае чисто непрерывного
спектра все функции /,-л(а) непрерывны. Верно и обратное утвержде-
утверждение. В случае смешанного спектра рассматриваем подпространство L,
в котором оператор Л имеет чисто точечный спектр, и дополнитель-
дополнительное подпространство Н — /., в котором А имеет чисто непрерывный
спектр. Вводим в этих подпространствах замкнутые ортогональные
и нормированные системы. Обозначая через ($\, & •••) элементы в L
и через (?", !&> »•) элементы в Н—L, можем написать билинейную
и квадратичную форму в виде
C9)
D0)
D1)
Принимая во внимание, что билинейная форм;:
Можем написать [43)

Если Х = 0 не принадлежит спектру А. т. е. все tjkiK) постоянны
и некоторой окрестности Х = 0, то существует ограниченная обратная
матрица Л~\ и для ее степеней мы имеем формулы
D5)
166. Случай непрерывного спектра. Как известно, можно про-
произвести дальнейшее расчленение И — L на инвариантные относи-
относительно А подпространства, в каждом из которых А имеет простой
непрерывный спектр. Пусть Н\ — такое подпространство. Введем
в нем замкнутую ортогональную систему и положим, что дальнейшее
относится к Нь которое мы можем рассматривать как некоторое
пространство Гильберта, в котором введены орты <р,, <р,2, ... , так
что всякий элемент х определяется своими составляющими (?ь ?2, ....).
Пусть х — такой элемент Нь что замкнутая линейная оболочка gx.v
есть все Нь причем a^i^b. Обозначим через р^О) составля-
составляющие элемента $хх. Любому элементу у (tj,, tj.>, ... .) из Их сопо-
сопоставляется функция
Принимая во внимание формулу B59) из |147], можем записать
билинейный функционал в виде
D7)
Dtt)
причем считается, что /¦ не принадлежит спектру А. Отметим, что,
и силу формулы C9), целые положительные степени А имеют пред-
представление вида
Иве
D4)
514	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
Мы имеем

1661
СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
515
Hj следовательно, элементы матрицы, определяющей преобразование Л
в //,, ПРИ принятой системе ортов, будут
D8)
Далее, любому элементу у из Н{ соответствует функция у (X)
из L2 по отношению р (X) на промежутке \а, Ь] такая, что
D9)
и, наоборот, любой функции у (X) из L2 соответствует определенный
элемент у из Нх. При этом соответствии сохраняются нормы и ска-
скалярные произведения. Если обозначим через <р^ (X) функцию у (X),
соответствующую орту yk% то получим
E0)
и ср/г00 (&=1,2, ...) образуют замкнутую ортогональную нормиро-
нормированную систему в L.2. Оператору Л в Н\ соответствует умножение
на I в L>2 и для a/fr = (A cpft, cp;) мы можем написать вместо D8)
формулы
E1)
Положим, что вместо <рл (X) мы взяли другую полную ортогональ-
ортогональную нормированную систему фл(Х) в Lb причем этим фл(Х)
(А>=1, 2, ...) соответствует некоторая полная система ортов ф^ в /7,.
Введем унитарное преобразование U в Я,, переводя нее орты cpfe
в орты фл, т. е. (Jyk = tyk. Этому унитарному преобразованию /У
в Ну будет соответствовать некоторая матрица, которая сама зави-
зависит от выбора ортов. Если мы выберем з i орты срл или фл, то полу-
получим одну и ту же матрицу с элементами
или
Поскольку переход от Я, к L2 не меняет скалярного произве-
произведения, можем написать
E2)

516	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[1ftQ
В новых ортах элементы матрицы, соответствующей оператору .}
будут определяться формулами, аналогичными формулам E1):
bik= J Хфл (X) ф. (X) </р (X).	E.T)
Если %k (?=1,2,...)— составляющие некоторого элемент
в ортах cpfe, и z'k — составляющие того же элемента в ортах 6Л, то
sk = (x, <рл) и ^ = (х, tyk) = (x, (Jyk) = (U 1х, ср/г), откуда видно, чт
(?\> ?'*> • • •) выражается через (Eh <L2> • ••) ПРИ помощи матрицы, обратной
унитарной матрице cik. Таким образом, если обозначить через Л, И
и С матрицы с элементами aik, bik и cUi, то будем иметь матричное
равенство
В = СЛАС.	E4)
Пользуясь формулой B63) из [147], D9) и E0), можем написать
{ К hk = hi, (!A) = J «Р* МЮТ^Р (Х)-	E5)
а
Принимая во внимание C9), можем написать выражение для эле-
элементов матрицы /(Л) (в ортах cpfe), где /(X) — любая ограниченная
^-функция, определенная на промежутке [а,Ь]:
{ /(Л) )ik = J /(Х)ср, (Х)^дХ) rfp (X).	E0)
При/(Х)=1;(Х — (л) получаем резольвенту указанного оператора
ъ
d?llp.dP(K).	E7)
Если /(X) — вещественная функция, то f(A) — самосопряженный
оператор, и, совершенно аналогично E5), можно написать элементы
для спектральной функции g^ оператора /(Л):
E8)
где C^—множество значений Х, определяемое неравенством/(X)<C;jl.
На доказательстве этой формулы не останавливаемся. Спектр /(Л)
может иметь различный характер в зависимости от свойств /(X).
Выше мы исходили от заданного самосопряженного в Их опера-
оператора Л и определенного элемента х такого, что замкнутая линей-
линейная оболочка %^х есть //х. Вводя орты <рл, мы приходили к /2 и бес-

166]	случай шшркрыкного спектра	517
конечным матрицам, причем имели место указанные выше формулы.
Можно, наоборот, выбрать произвольную непрерывную, неубыва-
неубывающую на промежутке [а,Ь], функцию р(Х), равную нулю при Х = я,
и замкнутую ортогональную нормированную систему <?Л(Х). После
этого формулы E1) определят элементы aik, удовлетворяющие,
очевидно, условию aik = aki. Нетрудно показать, что матрице с эле-
элементами aik соответствует ограниченный оператор в /.2. Действитель-
Действительно, обозначая через N наибольшую величину абсолютного значения
|Х| на промежутке \ау Ь\> мы имеем, в силу E1),
или, принимая во внимание ортогональность и нормированное™ ok (X);
т	гп
У я- г
откуда и следует ограниченность соответствующего оператора. Его
самосопряженность вытекает из aik = aki. Формулы E5) определяют
элементы оператора проектирования, зависящего от параметра \х и
являющегося разложением единицы, причем, очевидно,
ь
т. е. gx есть спектральная функция оператора А. Если в формулах
E0) перейти к сопряженным величинам, то получим составляющие
pk (X) элемента gxjc и при X = b — составляющие самого элемента х.
Из E0), в силу уравнения замкнутости, следует, что р (к) выража-
выражается формулой D7). В общем случае самосопряженного оператора А
с непрерывным спектром мы образуем попарно ортогональные инва-
инвариантные подпространства Нь Я.,,..., в каждом из которых А имеет
простой спектр. Вводя в каждом из Ак свои орты, получаем для
каждого Hk формулы указанного выше вида. Затем окончательное
выражение, например для билинейной формулы (Ах} у)у может
быть получено путем сложения билинейных форм в каждом из Hk.
Можно легко обобщить понятие простого спектра, отказавшись
от требования непрерывности спектральной функции gx. Но по-преж-
по-прежнему должен существовать такой элемент х, что %}х образует все Я.
При этом неубывающая функция р (а), определяемая формулой D7),
не обязательно непрерывна. Мы можем, очевидно, считать х норми-
нормированным элементом и при этом будем иметь, кроме р(я) = 0, еще
р(#)=1. Если, например, А имеет чисто точечный спектр и все
собственные значения имеют ранг, равный единице, то, взяв за х

51Я	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[167
любой элемент, у которого все коэффициенты Фурье относительно
замкнутой системы собственных элементов отличны от нуля, мы мо-
можем утверждать, что gxx образует все Я, и указанный спектр будет
простым. При наличии кратных собственных значений спектр, как
нетрудно видеть, не может быть простым. Мы получим общий слу-
случай простого спектра, если при разбиении всего И па подпро-
подпространство собственных элементов и подпространство непрерывного
спектра будем иметь в обоих подпространствах простые спектры.
В первом подпространстве спектр будет простым тогда и только
тогда, когда все собственные значения — простые. Если простой
спектр не непрерывен, то ga имеет скачки, и р (X), определенная
формулой D7), также должна иметь разрыв непрерывности в точках
разрыва g;.. Действительно, если бы в точке разрыва Х = Х' спект-
спектральной функции gx функция р (X) оказалась бы непрерывной, то мы
имели бы (gxf—gx' Q)x=0, и все элементы пространства, образо-
образованного gxx, оказались бы ортогональными к собственным элемен-
элементам, соответствующим собственному значению Х = Х', и отсюда сле-
следовало бы, что %,х не может образовать всего И.
167. Матрицы Якоби. Пусть в бесконечномерном пространстве
И самосопряженный оператор А имеет простой непрерывный спектр.
Ортогоиализуя степени X по отношению к р(Х) на промежутке [а, Ь\У
получим в качестве замкнутой системы ср^(Х) предыдущего пара-
параграфа систему вещественных полиномов Pk(^) (& = 0, 1, 2,...)
степени к:
{О при I Ф к,
' . ,	(б9>
I при 1 = к.
Старший коэффициент в каждом полиноме Я*(Х) можно считать
положительным. В прежних обозначениях мы нумеровали функции
ср^(Х), начиная с k=\. Теперь нумеруем /^(Х), начиная с /г = 0,
поскольку k обозначает степень /\(Х). Таким образом, Р/,(Х) заме-
заменяют cpfri., (X). При указанном выборе ортов элементы матрицы, соот-
соответствующей оператору Д, определяются, согласно E1), формулами
(/, k = Q, 1, 2, ...).
Положим, что k — i^>\. При этом произведение Хр.(X) есть
полином степени ниже k\ это произведение выражается линейно
через PS(X) при s<^k и, в силу E9), интеграл F0) при этом равен
нулю. Совершенно так же он равен нулю и при I — ?^>1, ибо

167I	матрицы якови	519
aki = aifr т. е. nik = 0 при I — k\^>0. Введем следующие обозна-
обозначения:
о	ь
а„ = [ XPJ (X) dp (X); Ьк = С ХРЛ (X) 1\+{ (X) rfp (X) F1)
Число ^fr входит ii линейное представление произведения XPfe(X)
через PS(X) E = 0, 1, 2,..., ^+1):
F2)
и из положительности старших коэффициентов у полиномов Рт (X)
следует, что Ьк^>(). Из F0) и сказанного выше следует:
F4)
причем bk^>0. Вещественная, самосопряженная, удовлетворяющая
условиям F3) матрица называется матрицей Якоби. Таким образом,
при подходящем выборе ортов матрица самосоп-
самосопряженного оператора с простым непрерывным спек-
спектром есть матрица Якоби,
Пользуясь формулой E9) и обозначениями F1), нетрудно вычис-
вычислить коэффициенты в разложении F2), умножая обе части на
Pm(b)dp(k) и интегрируя по X. При tn<^k—1 интеграл от
ХрЛ(Х) Яш(Х)ф(Х), как мы видели выше, равен нулю, и, отсюда
следует, что ^ = 0 при m<^k—1. При вычислениях остальных
коэффициентов пользуемся обозначениями F1) и приходим к следу-
следующим соотношениям между полиномами Рт(к):
F5)
(tHi)
причем
Последнее равенство вытекает из того, что, как мы указывали
выше, можно считать р (/>)=!, а первое принимается за определение
и, таким образом, при выбранной системе ортов матрица преобразо-
преобразования имеет вид
F3)

520	пространство гильберта	1167
Можно, как и в предыдущем параграфе, исходить от непрерыв-
непрерывной, неубывающей функции р(Х), строить систему полиномов, ор-
ортогональных относительно р(Х), и элементы матрицы Якоби по фор-
формулам F0). В силу сказанного в [163), элементы матрицы F4) должны
быть ограничены по абсолютной величине. Это легко получить и
из F1). Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему ре-
результату:
Теорема 4. Всякая самосопряженная матрица, соответствую-
соответствующая ограниченному оператору с простым непрерывным спектром,
унитарно эквивалентна некоторой матрице Якоби вида F4)
с ограниченными элементами и bk^>0. Мы можем получить все
такие матрицы по формуле F0), где [а,Ь]—любой конечный про-
промежуток, р (X) — неубывающая, непрерывная на нем функция, под-
подчиненная условию р(я) = О и p(Z?)z=l (последнее несущественно),
и Pt (X) — ортогональная нормированная относительно р (X) система
полиномов.
Будем исходить из заданной матрицы Якоби, причем мы считаем,
что в этой матрице элементы aik= aki при |/ — &|=1 отличны от
нуля. Если мы от исходной системы ортов перейдем к новой, умно-
умножая каждый из ортов на выражение вида eli°kf то при подходящем
выборе сол получим, как нетрудно проверить, матрицу Якоби,
унитарно эквивалентную заданной, такую, что элементы aik при
|/—k | = 1 положительны. Мы можем, таким образом, считать, что
заданная матрица Якоби имеет вид F4), причем ak> очевидно, веще-
вещественны и bk^>{). Принимая во внимание теорему 2 из [163] и одно
из следствий теоремы 1, можем утверждать, что для того, чтобы
матрица F4) осуществляла линейное ограниченное преобразование,
необходимо и достаточно потребовать ограниченность чисел ak и bk
одним и тем же числом N, не зависящим от k:
I**I<W; \bk\^N.	F7)
Мы это будем предполагать в дальнейшем. Пусть
Фо. Ь. Ф*---	F8)
— основная система ортов. Обозначая через А самосопряженный
оператор, соответствующий матрице F4), можем написать
^ = **-1**-1 + ^Ф*-Ь^Ф*+1 (* = о> и-..; Ь = о). F9)
Если мы введем полиномы Pk (X), определяемые соотношениями
F5) и F6), то, пользуясь последней формулой, можем выразить
любой орт фл непосредственно через первый орт фи по формуле

1681	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	521
Пусть $х — спектральная функция оператора Л, т. е. матрицы F4).
Из формулы G0) непосредственно следует, что элементы gx ф0 обра-
образуют все Н. Действительно, в силу G0),
где а и b — границы оператора F4), т. е. фл является пределом
линейных комбинаций элементов g>4 &(i, и всякий элемент разлагается
по ортам ф^. Таким образом, матрице Я к о б и соответ-
соответствует простой спектр (не обязательно непрерыв-
непрерывный), и роль основного элемента х может играть
первый орт ф0. На основании G0) мы можем написать
и, вводя функцию
р(Х) = (8хф., 'W = |igx'Wr,	G1)
на основании этих равенств получим
[ 0 при i Ф k,
1 при i = k,
С	[
= Л- (>-) ^* (>0 dp (X) =
откуда непосредственно следует, что полиномы Р{ (X) образуют
ортогональную нормированную систему относительно р (X), и что эле-
элементы матрицы F4) выражаются через них по формулам F0). Если
функция %\ имеет разрывы, то всякому такому разрыву, как мы
видели в предыдущем параграфе, соответствует собственное зна-
значение с рангом, равным единице. Отсюда видно, что функция gx не
может сводиться к конечному числу скачков, и то же можно утвер-
утверждать относительно р (X). Наоборот, можно строить любые матрицы
Якоби по формулам F0), выбирая за р (X) не обязательно непрерыв-
непрерывную, но любую неубывающую функцию, которая только не сводится
к конечному числу скачков.
168. Дифференциальные решения. Рассмотрим самосопряженный
оператор (матрицу) с чисто непрерывным спектром. Как мы видели,
можно построить последовательность попарно ортогональных норми-
нормированных элементов yis) (v= I, 2,...), таких, что &Ay{s) образуют
попарно ортогональные подпространства Hs> ортогональная сумма
которых есть все /У. Число элементов У5) может быть как конечным,

522	пространство гильберта	[168
так и бесконечным. Пусть р№ (к) (k = 1, 2,...) — составляющие
элемента gxj>(<s). Функции р{^(к) суть функции ограниченной вариации,
и при всяком л в любом промежутке, содержащемся в проме-
промежутке [а, ?], они удовлетворяют уравнениям
со
У в,*Д #'(*) = f >.rf^(X)	G2)
ft	i
(/=1, 2,...).
Мы можем утверждать следующие свойства ортогональности ре-
решений pig) (к) |1б1]:
(Д, и Д^ — без общих внутренних точек).
Основные формулы из [149] дают следующие формулы, содержа-
содержащие построенные дифференциальные решения:
где /|Л (к) — элементы спектральной матрицы. Если мы каким-либо
образом построили решения системы G2), удовлетворяющие условиям
ортогональности G3) и G30, и проверили справедливость формулы
G6) при любом X, то можем быть уверены, что полученная система
решений — полная, и что имеют место остальные формулы. Пусть
у и г — элементы из 1Ъ и
G4)
G5)
G6)
G3)
G3.)
(s т^ '; промежутки А, и А2 — любые),

168]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ	523
Формула B72) из [149] записывается в виде
ь
Она является непосредственным следствием G5). Аналогично запи-
записываются и остальные формулы из [149]. Нетрудно доказать, что
если некоторое дифференциальное решение vk(X) (&=1, 2, ...)
ортогонально ко всем указанным выше дифференциальным решениям,
образующим полную систему дифференциальных решений, то все
vk (L) СУТЬ постоянные. Случай постоянных vk (X) дает тривиальное
решение системы G2), ибо при этом lvk(X) = 0 и dvk(X) = 0. Диф-
Дифференциальные решения /?/f (X), получаемые после выделения точечного
спектра, ортогональны, очевидна, и ко всем собственным элементам
оператора А. Вернемся к системе G2), и пусть pk(X) (k=\, 2, 3, ...)
— некоторое дифференциальное решение этой системы:
= \
(/=1, 2, ...)•
Положим, что все функции рк(Х) имеют непрерывную производ-
производную p'k{X). При этом написанные интегралы Стилтьеса превратятся
в обычные интегралы от непрерывных функций, и, применяя к ним
теорему о среднем и обозначая через X' и X" концы интервала А,
получим
2 <*,* \рк (П - pk (>¦') I=h p'i (h) Q" - n G7>
где X'<^Xi<^X". Применяя к левой части формулу Лагранжа, деля
обе части на (X" — X') и устремляя X' и X" к общему пределу X,
получим
W)	G8)
(/=1,2,...).
При этом предполагается, что мы можем переходить почленно
к пределу в бесконечной сумме, стоящей в левой части G7). Это
будет, наверное, так, если эта сумма конечна, т. е. если матрица
aik имеет в каждой сьоей строке, а тем самым и в каждом столбце,
лишь конечное число элементов, отличных от нуля. Из формул G8)
мы видим, что при указанных условиях, в случае непрерывного
спектра, ^(Х) (?=1,2,...) удовлетворяют при любом X тем же
уравнениям, которые имели для собственных элементов, но рЮ
принадлежат 1Ъ т. е. сумма, составленная из \Рк(Х)\*, равна

524	пространство гильбертл	[169
ибо в случае чисто непрерывного спектра не существует собствен-
собственных элементов. При наличии смешанного спектра дифференциальные
решения могут накладываться на обычные решения из 1Ь которые
дают собственные элементы.
169. Примеры. 1. В промежутке [—1, -\-\\ положим
х
= -^ \ /1-
Условие E9) для полиномов Рг (X) запишется в виде
^;^ G9)
Нетрудно проверить, что этим условиям удовлетворяют полиномы
Р.(Х)Д ""<; + '>', где сое^Х.
Пользуясь формулой Моавра, легко показать, что написанная дробь есть
действительно полином степени п от cosO. Условия G9) проверяются непо-
непосредственной подстановкой, если ввести вместо X новую переменную, полагая
X = cos6. Числа ак и Ьк, входящие в матрицу F4), определятся по формулам
=T> PI (X) Л; bk =
Введя переменную 0 и вычисляя полученные интегралы, будем иметь,
при любом kt ak = О и bk = у, т. е. элементы соответствующей матрицы
определяются формулами akyk+i =afe+1,/j = у, и остальные а^ = 0. Эта ма-
матрица имеет простой чисто непрерывный спектр. Единственное дифференци-
дифференциальное решение системы, согласно E0), определяется формулами
рп (к) = 1 i /1 — X2 РЛ_, (X) fifX = — 2 f sin 0 sin/г 0 rf6,
— 1	тс
2 .	—	2	2
откуда р^ (X) = - у \ — ^2Pn-i (^) = Г" s^n п й- Отбрасывая множитель — ,
видим, что система C4)
1.1.1.	1,1
—- х% = лл"ь ~2 Jfi ¦+¦ tj ^з = л»*у»...; -Tj- хя_1+ 4)- л*Л+1 = ал:п; ...
имеет решение хп = sin (n arc cos X), где — 1 ^ X *с: -} I.
2. Рассмотрим на промежутке | — тг^ -f- те) замкнутую ортогональную и
нормированную систему 	einx (/e=(),± 1,±2,...). Формулы E1) при

159]	примеры	525
(X) = A дадут нам следующие элементы для соответствующей матрицы:
й q идут от (—ее) до (+оо). Согласно E0):
и формулы G8) приводят к равенствам
причем штрих у знака суммы показывает, что надо исключить значение k = s.
Предыдущая формула может быть переписана в виде
или в виде
причем исключается значение / = 0. Последняя формула представляет собой
обычное разложение X в ряд Фурье, причем написанный ряд расходится на
концах промежутка, т. е. при Х*= ± п. Последнее происходит в силу того,
что разложение написано в комплексной форме. Применим теперь формулу
E6), полагая /(Х) =— п — X при Х<0 и/(Х) = я— X при X > 0. Мы полу-
получим матрицу
(80)
Принимая во внимание, что [/(X))«^ti в промежутке!—я,-|-я], мы имеем
следующую оценку для квадратичной формы [155]:
(81)
В этой оценке множитель i слева может быть, очевидно, отброшен. Если
положим ;,,= 0 при р^Оп остальные ~р вещественными, получаем следующую
оценку, данную Гильбертом:
(82)

526	пространство гильвкртл	[169
Нетрудно показать, что матрице с элементами apq = 1 : \р — q] при р^щ
и арр = 0 уже не соответствует ограниченный оператор. Действительно,
если мы положим ;/г = 1 : ]/"« при 1^/г^/ги ?# = О при Л > л, то норма
элемента (;,, ?2, ?», • • •) будет равна единице, а соответствующая квадратич-
квадратичная форма будет
и последнее выражение беспредельно возрастает при возрастании п, так как
сумма 1 —j—^—(— ... -|	р беспредельно растет, а дробь (п—\):п стре-
стремится к единице. Мы не имеем в случае (80) абсолютной сходимости бес-
бесконечного двойного ряда, но можем утверждать, что для любых двух элемен-
элементов из /2 имеется предел
причем во внутреннем суммировании но р исключается значение р = q,
а слева те слагаемые, у которых р = q.
3. Рассмотрим теперь вместо системы eikl вещественную замкнутую
ортогональную нормированную систему
Применяя формулу E6), придем к матрице
или
Полагая, как и раньше, /(Х) = — п — X при X < 0 и/(X) = тс — X при
X > 0, мы получим следующую матрицу:
Аналогично неравенству (81), мы приходим к неравенству
(83)

170]
слабая сходимость и /.,
527
где штрих показывает, что надо исключить слагаемые, для которых /; ]-д=.О.
Неравенству (81) будет соответствовать неравенство
(8-0
Все числа мы можем считать положительными, и написанный двойном ряд
будет абсолютно сходящимся для любого элемента Л, так что можем написать:
170. Слабая сходимость в /,>. Пусть имеется последовательность
элементов хп(^К l(ff ...) (п = \, 2, .,.), которая сильно сходится к
элементу л*(Е,, ?.2, ...)» т- е- х{п)=^х. Это можно записать так:
Отсюда следует
x(/l)j| ограничены числом / (не зависящим от п).
Из (86) непосредственно следует
но из (88) не следует (86).
Покажем, что условие (88) совместно с ограниченностью норм
элементов х(п),
равносильно слабой сходимости х(п) -> х.
Если имеет место слабая сходимость, то !|лг(/Л|] должны быть
ограничены, т. е. должно иметь место (89) при некотором выборе /
и, кроме того, должно быть (х{П), <pft) -* (дг, <рЛ), где срЛ — упомянутые
выше орты, а это приводит к (88).
Наоборот, если выполнены условия (88) и (89), то слабая сходи-
сходимость х{п) к х непосредственно следует из сказанного в [132].
Мы можем, таким образом, формулировать следующую теорему.
Теорема. Условия (88) и (89) необходимы и достаточны для
существования слабого предела последовательности элементов
х(т(%\1), ?1?', ...), и> если они выполнены, то предельный элемент
имеет составляющие (;1? \ь ...).
(8«)
(88)
(89)

528	пространство гильбертл	|171
171. Вполне непрерывные операторы в />>. Мы получили выш^
[ 108] достаточное условие того, что бесконечная матрица опре-
определяет вполне непрерывный оператор в Л2, а именно, если д в о й-
н о й ряд
2 \«пт\*	(90)
п, т—\
сходится, то матрица апт определяет вполне непре-
р ы в н ы й оператор в /2.
Сходимость ряда (90) является только достаточным условием того,
чтобы оператор, определяемый матрицей аптУ был вполне непрерывным.
Можно показать, что необходимое и достаточное условие состоит
в том, что предельный переход, указанный в формуле (8), имел
место равномерно для всех х и у, нормы которых не превышают
единицы. Уравнение (Е— \хА)х=у в /2 имеет вид
где (тц, Tfj2, ...) — данный и (;,, t2, .,.) — искомый элементы /2. Если
А — вполне непрерывный оператор, то для системы (91) имеет место
все, что было сказано в [135]. Пусть А — самосопряженный вполне
непрерывный оператор и tyk(k = 1, 2. ...)—полная ортонормирован-
иая система его элементов. Пусть (/—унитарный оператор в /.2,
определяемый условиями i|>fe = ?ЛрЛ, где срЛ — прежние орты /.г. Если
принять <{>? за новые орты в 1Ъ го оператор А в новых будет:
В = UAU~X. Его составляющие определятся формулами { В }пт =
Следовательно,
lm при т — п,
;
т. е. в ортах фл оператору В отвечает диагональная матрица, на
диагонали которой стоят собственные значения оператора. Это остает-
остается справедливым и для любого линейного самосопряженного или
унитарного оператора с чисто точечным спектром |146].
Оператор А унитарно эквивалентен В, а именно A = U~XBU.
Принимая во внимание сказанное выше, можно утверждать, что мат-
матрицы, соответствующие вполне непрерывным самосопряженным опе-
операторам в 1Ь суть матрицы, унитарно эквивалентные диагональным
матрицам, у которых диагональные элементы аш удовлетворяют усло-
условиям, указанным в [136|.

172]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В L2	529
172. Интегральные операторы в ?>2. Мы уже рассматривали инте-
интегральные операторы в Lp. Рассмотрим теперь их более подробно
в L2:
ь
^dy,	(93)
где К (х> у) — измеримая функция в промежутке Ао (а < л* < Ь\
a^y^b), a потому почти для всех х из [а, Ь\ измерима по у и
наоборот. Положим далее, что почти для всех х она принадлежит
L.2 как функция от у и наоборот, т. е.
ь
К*{х)=[\К (х,у) |2 dy < + оо,	(94)
I)
\ (у)= J \К(х,у)\Чх<:-\-сю,	(95)
где К(х) и A^i(^) — измеримые неотрицательные функции [67, 68].
Из (94) следует, что при любой f(y) ? L2 существует интеграл (93)
для почти всех ху и функция <р(х) есть измеримая функция [67, 68].
Для того, чтобы при наличии (94) преобразование (93) было линей-
линейным ограниченным преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы
было выполнено следующее условие: при любом выборе f(x) из L.2
существует такое положительное число N, что
19(х)|4dx = J | j К(х,y)f(y)dy\4x^N-^\f{y)|4dy, (96)
Укажем простое достаточное условие ограниченности оператора,
соответствующего ядру К(х, у)> совершенно аналогичное условиям
ограниченности матрицы: существует такое положительное число /,
что
(97)
Достаточно показать ограниченность соответствующего билиней-
билинейного функционала. Заменяя в повторном интеграле, выражающем
этот функционал, все функции их модулями, мы можем заменить

ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВЕРГА	[173
повторный интеграл двойным:
ъ ъ
а а
b Ъ
\\К (х, у) If, (у) ЦЛ (х) | dxdy <
I J I *<*• -V) I П/« О) I4 + \А С*) ? ] dxdy =
Т
а а
Ь Ъ
a a
b b
1Л
Но последнее выражение равно /, если Ц/^^'у/^Цгзг 1. При по-
помощи совершенно такого же метода доказательства можно дать более
общее достаточное условие ограниченности оператора (93), а именно
следующее: существует такое положительное число / и такая поло-
положительная непрерывная в [a, b] функция <о (х), что
ь	ь
J \К(х,у)\ш(у)dy^/a>(jc); §\K(x,y)\<»(x)dx</a>(jf). (98)
173. Сопряженный оператор. В случае ограниченного оператора
интеграл
ъ
^	(99)
где неотрицательная функция К(х) определяется формулой (94),
может не иметь смысла для некоторых т (х) из L2. Множество тех
т (х) из L<l> для которых он имеет смысл, есть, очевидно, некоторый
линеал / в L2.
Теорема /. Линеал I повсюду плотен в 12.
Нам надо доказать, что замыкание / дает все L.2. Если бы это
было не так, то существовал бы ненулевой элемент к(х) из Lb
ортогональный к подпространству, полученному замыканием /, и тем
самым ко всем т (х) из /. Таким образом, нам достаточно доказать,

173]	сопряженный опнрлтор	531
что если tz (х) = ъ{ (х) -f- 1щ (х) ортогонально ко всем т (х) из /,
т. е.
ь
z(x)V(x)dx==Qy	A00)
а
то тс (х) эквивалентно нулю. Выберем х (х) из / специальным обра-
образом. Пусть т — какое-либо конечное положительное число, ет — мно-
множество тех х, для которых К(х)^т и ет—любая часть ет
меры ^ т. Определим х (х) так, что x(je)=l, если х ? е'т, и
т(х) = 0 для других х. Такое х (х) принадлежит /, и, применяя A00),
получим
[ ~тфс)Aх= [['Kl(x) — l^(x)]dx = 0.	A01)
V
ет	ет
Это равенство справедливо и для любой части ет, а потому,
например,
(	A02)
где ^(х) есть положительная часть тг, (лг), т. е. тс,4* (л:) эквивалентна
нулю на ет . Беспредельно увеличивая т и принимая во внимание
(94), получим, что к^ (х) эквивалентна нулю на [а> Ь]. Аналогично
можем утверждать то же и для тс]* (х) Тс2(лг) и тс2"(х), и лемма
доказана. Отметим, что при доказательстве леммы мы пользовались
лишь тем, что К(х) — любая заданная неотрицательная, почти везде
конечная и измеримая на [а, Ь] функция. В дальнейшем через 1Х бу-
будем обозначать аналогичный линеал для произведения К\ (х) х (х).
Он также повсюду плотен в L2.
Теорема 2. Если формула (93) определяет ограниченный one-
ратор, то сопряженный оператор есть интегральный оператор
с ядром*
X).	(ЮЗ)
Обозначая через А оператор (93) и принимая во внимание опре-
определение сопряженного оператора (Ах, у) = (х, Л* у), можем написать
ь ь	ъ
l \*Wdy, A04)
где g*(x) = A*g(x), и мы считаем, что x(j/)^ lx.
Принимая во внимание неравенство
ь	ь	i/2

532	пространство гильбертл	[174
и гот факт, что t (x) ? /,, можем утверждать, что существует один
из повторных интегралов для \К(х9 y)g(x)t(y)\9 и, следовательно, к
интеграле, стоящем в левой части A04), мы можем менять порядок
интегрирования, а потому можем переписать формулу A04) в виде
ь	ь
Повторяя доказательство теоремы 1, убедимся в том, что разность,
стоящая в квадратных скобках, эквивалентна нулю, и, переходя к
сопряженным величинам, можно написать
ь
g* (у) = §K{x,y)g(x) dx,	A05)
а
откуда и следует утверждение теоремы. Равенство (Ах, у) = (х, А*у)
запишется для интегральных операторов, в силу доказанной теоремы,
в виде
ь ь	ь ь
§[§K(x,y)f(y)dy]g(x)dx=§[§ K(x,y)jMdx\f(y)dyXW6)
a a	a a
что сводится к возможности изменения порядка интегрирования.
Соответствующий двойной интеграл может и не существовать. Если
ядро удовлетворяет, кроме указанных условий, еще условию
К (х, у) = К 0;> х)9	A07)
то оператор A05) совпадает с оператором (93), т. е. оператор (93) —
самосопряженный.
174. Вполне непрерывные операторы. Выше мы видели, что
если измеримая в квадрате Ао функция К(х, у) удовлетворяет ус-
условию
с С
J J \K(xyy)\*dxdy<^4-cof	A08)
До
то оператор (93) вполне непрерывен в L2. Для интегрального урав-
уравнения
ь
J К (х, y)f(y) dy = Щх) + «!> (х),	A09)
а
где ф (лг) — заданная и f(x) — искомая функция из L2 на [а, Ь],
имеет место сказанное в [135].
Если оператор (93) — самосопряженный, т. е. К(х,у) эквива-
эквивалентна К (У, х)} то к уравнению A09) применимо сказанное в [136|.

174]
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
533
Покажем, что интеграл A08) равен абсолютной норме оператора
(93). Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если срп(х)(л=1, 2,...) есть замкнутая ортонорми-
рованная система на промежутке [я, ?], то cpm, n (jc, v) ='?т (х) уп (у)
есть замкнутая ортонормированная в квадрате До система.
По условию
f 0 при / ф k,
I 1 при / = k.
Функции <?тп(х9у) принадлежат, очевидно, I
теоремы Фубини,
и, в
силу
*У) йхс[У —
откуда следует ортонормированность cpm, п (лг, у) в Ао. Для доказа-
доказательства замкнутости этой системы достаточно показать, что если /
ортогональна ко всем фт, т то она эквивалентна нулю в Ди [58J.
Итак, пусть
И
/(*>У)9п
= 0,
т. е.
9m(x)dx = 0,
и, в силу замкнутости системы от{х\ переходя к сопряженным ве-
величинам, получим
ь
/¦»
\ f(x>y)<?n(y)dy = Q почти везде по х в [а, Ь],
а
и, в силу тех же соображений, можем утверждать, что /(лг, у) = 0
почти везде в Ао, и лемма доказана. Пусть Ьтп — коэффи-
коэффициент Фурье ядра К(х,у), принадлежащего L2 в Ао, в силу A08):
?n
(y)dXi
Определим квадрат абсолютной нормы оператора Л, соответству-
соответствующего этому ядру [138],
ЛГ2 (А) =
m,«
m,
К(х,у) ?я
?m

534	пространство гильбертл	[175
но последняя сумма, в силу уравнения замкнутости, и равна интегралу
A08). Если выполнено условие A08) и А — самосопряженный оператор,
то
^J	^}	(ПО)
где ХЛ — собственные значения.
Все сказанное в [135] и [136] сохраняется в случае бесконеч-
бесконечного промежутка и для многомерного оператора
?(*)= \K{x,y)f(y)dyy	A11)
Б
где х(хь хъ ..., хп) и у(У\,уо ,..., уп) — точки я-мерного простран-
пространства Rn; dy = dyxdyi..dyn и D — некоторая область Rn,
175. Спектральная функция. Обозначим буквой К оператор (93), считая
его вполне непрерывным и самосопряженным. Укажем для него построение
спектральной функции gx и резольвенты Rt = (А — IE).
Вместо gx мы введем другую функцию для того, чтобы иметь возможность
представить ее в виде интегрального оператора, а именно мы положим
бх = gx при X < 0; 0Х =s gx — Е при X > 0 и б0 = 0.	A12)
Принимая во внимание, что спектр чисто точечный, мы можем утверж-
утверждать, что gx есть оператор проектирования в подпространство тех собствен-
собственных функций <pfe (x), для которых Xft ^ X. Проекция функции f(x) на одномер-
одномерное подпространство собственной функции <pfe (x) представляет собой произве-
произведение ад&(*)> гДе а* — коэффициент Фурье f(x):
о
Таким образом, оператор проектирования на указанное одномерное
подпространство есть интегральный оператор с ядром <р* (х) ук (у), и можем
написать
ь
при X
где суммирование распространяется на те значения /г, для которых \k ^ X,
и написанная сумма содержит конечное число слагаемых в силу свойства
спектра вполне непрерывного оператора. Таким образом, оператор 0Х, при
Х<0 есть интегральный оператор с ядром
О (*, У, ).) = 2 ** <*) SOO при X < 0.	A13)
Принимая во внимание формулу A12) и сказанное выше относительно gx»
можем утверждать, что 0х при X > Q есть интегральный оператор ? ядром
О (л, у; X) = ^ 2 ?* (*) ЫЛ при X > 0,	014)

176]
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
535
где сумма также содержит конечное число слагаемых. Когда X проходит через
собственное значение, то ядро меняется скачком. Из формулы A12) непосред-
непосредственно следует, что 0Х2 = 0Х при X < 0 и 0Х2 = — 0Х при X > 0, что может
быть записано в виде
у, X) </6 = ± 0 (х,у,>.)
+ при Х < J
—при Х>0.
A15)
Функция Rif(x) является, очевидно, решением уравнения A09) при Х = /,
причем предполагается, что /^0 и не совпадает ни с одним из Хл. Можно
дать другую формулу для резольвенты, исходя из формулы
где интегрирование фактически происходит но конечному промежутку, содер-
содержащему спектр оператора.
. Пусть X = 0 не есть собственное значение. Заменяя gx на 0Х согласно
A12) и учитывая дополнительный скачок 0Х, равный (—Е) при переходе
X = 0, можем написать предыдущую формулу в виде
ь
I
Г
L
оо Г Ь
4x,y;\)f(y)dy
A17)
176. Спектральная функция (продолжение). Спектральная функция
была введена для весьма общих интегральных операторов Карлеманом в его
работе „Sur les equations integrates singulieres a noyau reel et symetrique*
A921). Изложение этой теории с современной точки зрения имеется в книге
Stone'a „Linear transformations in Hilbert Space...". A932) и в статье Н. И. Ахие-
зера „Интегральные операторы с ядрами Карлемана" („Успехи математических
наук", 1947). В этих работах исследуются интегральные операторы более обще-
общего типа, чем самосопряженные ограниченные операторы, о которых сейчас мы
говорим. Случай ограниченных самосопряженных операторов исследовался Гиль-
Гильбертом, Хеллингером и другими.
Мы приведем в общих чертах результаты для последнего случая. Ядро
К(х,у) ограниченного самосопряженного оператора К можно аппроксими-
аппроксимировать ядрами К(п) (х, У) (л=1, 2, ...), которым соответствуют вполне не-
непрерывные самосопряженные операторы. Это дает возможность показать, что
оператор 0х, определяемый формулами A12), где gx —спектральная функция
оператора К есть при Х^О интегральный оператор и имеют место формулы

а также формула A15). В формуле A19) интеграл, стоящий справа, надо по-
понимать как несобственный.
Будем считать, что оператор (97) не имеет точечного спектра, и приведем
для него формулы общей теории из A17). Пусть юк (х) суть элементы L2}
соответствующие yk из [149], причем можно считать, что «>k (x) образуют
ортонормированную систему. Пользуясь 0(л\ у; X), можно получить полный
набор дифференциальных решений:
В точке Х=0 оператор вх имеет скачок, равный (—?).
Мы имеем
A20)
A22)
530	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[ 1 7б
A19,
и, если ср (л:) и ^ (х) — какие-либо два элемента из 12, то полагая
A21)
A23)
A24)
A25)
можем написать формулы из [149] в виде

|77]	УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В L%	537
где т и М — границы оператора, а интеграл, стоящий в левой части формулы
A24), надо понимать как повторный в каком-либо порядке. Если <р (х) принад-
принадлежит линеалу /, на котором интеграл (99) имеет смысл, то указанный инте-
интеграл существует как двойной интеграл. Остальные формулы из [149] имеют
вид
Л!
J|$f *<•*•х* <12б)
k m
ь	М
АГ(аг, у) 9 (у) <*У=\.\ Х d' ~lA) (Ыи (х* Х)'	A27)
k m
\
k m
В случае бесконечного числа слагаемых ряды должны сходиться в сред-
среднем к величинам, стоящим слева.
Дифференциальные решения п (л:, X) удовлетворяют уравнению
О	Л
\ К(х, у) г. (у} \)dy=\ iidn (л:, ?x)f
A29)
причем мы, как всегда, считаем тс (л:, т) = 0. Свойства ортогональности таких
реи1ений выражаются формулой
ь
\ Л! пр (х, \)-XTnqlxrb)dx =0.
При построении указанных выше формул можно исходить из любой пол-
полной ортогональной системы дифференциальных решений nk (л:, X). В следую-
следующих параграфах мы рассмотрим примеры интегральных операторов в Z.2.
177. Унитарные преобразования в L*. Не всякое унитарное
преобразование y(x) = Uf(x) в Ц может быть представлено в инте-
интегральной форме.
В качестве примера укажем тождественное преобразование ср (лг) =
=/(х). Но его можно записать в интегральной форме, если перейти
к первообразной функции:
? (У) dy = J К(х, у) f(y) dy,
причем в качестве основного промежутка мы взяли промежуток
(—оо, +оо), а К{ху у)= 1 при О^у^х и К{х> j;) = 0 при у<^0
и у^>х, если х^>0, и аналогично при лг<^0. Подобный резуль-
результат имеет место и для любого ограниченного оператора А. Пусть

538
ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
[177
основным промежутком является промежуток (— сю, -\- оо). Фикси-
Фиксируем какое-либо значение х и рассмотрим первообразную для Af(x):
X
«f)=\[Af(t)]dt.
S
Мы имеем дистрибутивность /(/) и, в силу неравенства Буня-
ковского, оценку
; ii л i yx i!/l!. (x>o).
Отсюда следует, что мы можем рассматривать /(/) как линейный
ограниченный функционал, зависящий от параметра х, и, в силу тео-
теоремы из [123], имеем
4-оо
X
1
i
2
1 mt) fat
.V
I
1
*
—оо
причем К(х, у) ? L2(—оо, -f0) по У (ПРИ любом х ? (—оо,
-f оо)) и
4-оо
Мы докажем сейчас теорему, которая, при помощи перехода к пер-
первообразной функции, дает общий аналитический вид унитарных пре-
преобразований. Эта теорема была впервые доказана Бохнером (Annals
of Mathem, Vol. 35, № 1, 1934), причем он рассматривал промежуток
О^лг^-f-00- Доказательство не зависит от выбора промежутка.
Для определенности мы возьмем промежуток (—оо, -f-oo) и через
L2 будем обозначать класс функций 12 на (—оо, -j-оо) (см.
Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь „Лекции по функциональному анализу",
стр. 316).
Теорема. Пусть К(х, у) и L(x, у) при любом фиксирован-
ном х из (— оо, -f- оо) принадлежат L2 no у, причем имеют
место при всех а и b из (—оо, -j~°°) формулы
—оо
4оо
—00
a, _v)
L(b,
У)
У)
dy
dy
min(|al, \b\) при a
О	при
A30)

177]	УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В Ц	539
и
j, у) dy = \ L (b, y) dy.	A31)
При этом формулы
2	v
\9(y)dy= \ L (a, y)f(y) dy,	A32)
+ОО
О	—оо
a	-foo
J = J /г (в, _»)<р Су) rfy
О	—с»
определяют унитарное преобразование v(x) = Uf(x) и обратное
ему.
Наоборот, если имеется унитарное преобразование ср (х) =
= [Jf(x), то существуют функции К(х у), L{x, у) с указан-
указанными выше свойствами, с помощью которых U и U'1 выражаются
формулами A32) и A33).
Начнем с доказательства первой половины теоремы.
Введем функцию fa(x):
при 0<Гх^а
{1 при а
и /0 (х) ^ 0, и определим операторы UQ и Vo следующим образом:
К (а, х) = UJa (х)\ L (а, х) = К0/а W-
Составляя всевозможные конечные линейные комбинации функ-
функций fa(x) при различных а, мы получим линеал / кусочно-постоян-
кусочно-постоянных функций, т. е. функций, принимающих постоянные значения на
конечном числе конечных промежутков и равных нулю вне этих
промежутков. При этом значения функций на концах промежутков
не играют роли, поскольку мы отождествляем эквивалентные функ-
функции. Распространим операторы Uo и Vo на линеал /, приняв за ос-
основу дистрибутивность ?/0 и Vq. Нетрудно видеть, что это распро-
распространение единственно. Мы обозначим через Uf и V/, полученные
на / дистрибутивные операторы.
Формулы A30), A31) и A34) дают нам
W>/a> U*fb) = (fa> Л); МЛ. Vofb) = (fa> fb)>
(«/•/.. Л) = (/аэ У»Л).

540	пространство гильберта	[178
Пользуясь дистрибутивностью, можем написать такие же формулы
для U и V на /:
= (f> g)\ (Vf, Vg) = (f, g),	A37)
, g) = (f, Vg),	A38)
где / и g ? /. Из A37) следует, что операторы U и V на / не ме-
меняют нормы элементов, и, поскольку линеал / плотен в L2 [60], мы
получаем единственное распространение операторов U и V (по не-
непрерывности) на все L2. В силу непрерывности скалярного произве-
произведения, на Li сохраняются формулы A37) и A38), и операторы U и
V не меняют нормы и скалярного произведения на 1.2. Из A38) сле-
следует, что V=U*. Заменяя в A38) /на Vf и пользуясь A37), по-
получим UU* = E9 и, аналогично, заменяя g на Ug, получим U*U=E.
Отсюда следует, что U—унитарное преобразование и V ему об-
обратное [137]. Остается получить формулы A32) и A33). Первая по-
получается из A38), если положить g(x)=fa(x), а вторая — если
положить f(x)=fa (х) и перейти к сопряженным величинам.
Переходим к доказательству второй части теоремы. Дан унитар-
унитарный оператор U и V = U~l = U*. Строим функции:
K(a,x) = Ufa(x); L(а, х) = Vlfa(x).	A39)
Вводя, как и выше, обозначения ср(дг) = Uf(x) и пользуясь уни-
унитарностью U, получим
что и приводит, в силу A39), к A32) и A33). Формулы A37) и
A38) имеют место для указанных выше U и V. Полагая в них
f(x)=fQ(x) и g(x)=fb(x), получаем A30) и A31). Теорема пол-
полностью доказана.
178. Преобразования Фурье. Для промежутка
Ватсон рассматривал ядра вида
X '
причем предполагается, что у@) = 0 и ^~- ? Ь%@, + 00).
Условия A30) принимают вид
оо
1
= mm(a, b) (a>0;
а условие A31) выполняется автоматически.

178|	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬК	541
Мы переходим к рассмотрению преобразования Фурье, для кото-
которого основным промежутком является (—оо, -j-со) и
1 p—iax 	 1	1 niax i
^^k1^1' Lia' x)==7*±-if±-
Модуль числителя не превышает двух, и обе функции принадле-
принадлежат 12- Легко проверяется условие A31). Проверим условия A30).
Они сводятся, как и выше, к одному:
/ = _^_ f ('-"*-'> (e'bx-l)dx== |min(la\> 1*1) при ai^ .
л'2	10 при ab ^ 0.
Легко получить формулу
+00
+
\ sin *х dx — ъ |а| (а — вещественно),	(И2)
—оо
применяя дифференцирование по параметру а. Интеграл / легко пре-
преобразуется к виду:
=-J
sina-jr- лг-f- sin2 ~^х—sin2—^—х
Z	^	^
и применяя формулу A42), получим
откуда и следует формула A41). Таким образом, мы получаем уни-
унитарное преобразование Фурье, для которого применим символ Т:
F(x)=Tf(x), в следующем виде:
a
О
-foo
О	r -oo
f/(*)** = -!= j ^-FWte	(ИЗ)
Преобразованию Фурье можно придать другую форму, которую
мы применяли раньше [II; 160].
Положим сначала, что f(x) равна нулю вне некоторого конеч-
конечного промежутка [—п, -{-п]. По условию fix) ? L,2 на [—п, -\- п\

542 пространство гильбёрта	[178
и, тем самым, Lx на [— я, -f- n], так что при любом	вещественном
у существует интеграл
± J x.	A44)
Ft(y) = =
*" —«
Нетрудно доказать, что Fx(y) непрерывна и имеет производные.
Мы имеем \e~i>txf{x)\ = \f(x)\ и можем интегрировать по у по ко-
конечному промежутку под знаком интеграла:
Сравнивая эту формулу с A43) и принимая во внимание произ-
произвольность а и тот факт, что по условию f(x) равна нулю вне про-
промежутка [— п, -\- п], можем утверждать, что Fx (у) эквивалентна, F(y)
т. е. в рассматриваемом случае преобразование Фурье может быть
записано в виде
-м
\*	A45)
/2*
В общем случае интеграл
1
\ e-ivxf(x)dx	A46)
может не иметь смысла, так как из того, что f(x) принадлежит L2
на промежутке (—оо, -f-oo), не следует, что она принадлежит L,.
Рассмотрим функцию fnm (лг), которая равна f(x) при — п^х^т
и нулю при х^> тих<^ — п. Как мы видели, преобразование Фурье
этой функции выражается формулой
т
Fnm О) = _L J е-<У*/пт (x)dx.	A47)
*	—П
Но fnm (x) =г>/(дг) в L2 при я->оои т~оо и, следовательно,
Tfnm(x)=> Tf(x). Обозначая предел в среднем (в Z,2) символом lm,
мы можем записать преобразование Фурье для любой функции из 12
в виде
4= [е/(х)йх.	A48)
т — оо —п
Если функция f(x) принадлежит не только L2, но и	Lx на про-
промежутке (— оо, -J- оо), то при любом вещественном у	существует

178]	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	543
интеграл A46), который является пределом интеграла A47) при
п-+оо. Но если существует предел в среднем и предел везде, то
они совпадают, и следовательно, в рассматриваемом случае прео-
преобразование Фурье может быть записано в виде
-foo
F (у) = Tf= -L= V е-*У*/(х) dx (f(x) 6 Ц и Lx). A49)
у 1т: J
—оо
Все сказанное выше имеет место и для сопряженного (обратного)
преобразования. Вместо A48), полагая пг = п, мы будем иметь
f(y) = T*F = lm -~ f е*Ух F (x) dx	A50)
и вместо A49):
f(y)=T*F=-+= \ e*y*F(x)dx (F{x)? L2 и Ц). A51)
Для преобразования Фурье имеет место формула свертывания,
которую мы сейчас выведем [ср. IV; 45]. Пусть g(f) и /@ 6 ^з-
Функция g(x — f) при любом вещественном х как функция t при-
принадлежит очевидно, L2. Определим
+
Г^(х-0] = 1т-^ f g(x-f)e-4'dt =
а-»оо У 2я _«^
= 1т -)= \ g (и) е-4**-** da = е-4** lm -)= \
т. е. T[g(x — f)] = e~iyx T*[g(f)]9 и, принимая во внимание, что
унитарное преобразование не меняет скалярного произведения, мо-
можем написать
-f оо	4 о°
l= J e-<y*T*[g{t)}T[f(ty\dy,
—ОО
где
7[/@]=lm -^ \f(f)^dt=T^/9
¦"¦?!

544	пространство гильвертл	[179
и окончательно
-г со	-4-со
¦ (х - 0/@ dt = j О, (у) F, (.V) е-** dy,	A52)
—СЮ	—СО
где Q{{y)=T*g и Fl(y)=T*f.
Основная теорема совершенно так же может быть доказана и
для случая функций многих переменных. При этом унитарное пре-
преобразование Т определяется формулой
77 =
= lm —Цр
mk-+со ^
(9-с) ^ "^'"»	"'П
и обратное преобразование — формулой
T*(F) =
ть-*оо
! ""
Возвращаясь к случаю одного переменного, отметим еще некото-
некоторые свойства преобразования Фурье. Если в A48) заменить х на
(—х), сопоставить с A50) и принять во внимание, что Т* = Т~1, то
получим Г2/(•*)=/(—х) и аналогично T**F(y) = F(—у). Если
f(x) — четная функция, то и преобразование Г, даст функцию, эк-
эквивалентную четной функции, и мы будем иметь
	 п		п
F(y) = \m у ~ \ f (х) cos xydx\ f(x) = \m l/ - \ F (y) cos xy dy.
n-»oo- r TC J	n-+co ' " V
Эти формулы дают унитарное преобразование для функций из L^
на промежутке @, со). Меняя знак и умножая на I (эти операции
суть, очевидно, унитарные преобразования), получаем, в случае не-
нечетных функций, следующие взаимно обратные унитарные преобра-
преобразования на промежутке @, со);
F(y) = \m 1/| f f(x) sin xy dx\ f(x) = lm y\ f F (y) sin xy dy
179. Преобразование Фурье и функции Эрмита. Мы покажем сейчас,
что преобразование Фурье имеет четыре собственных значения ±. 1, нн /, кото-
которым соответствует замкнутая ортонормированная на промежутке (— оо, -|- со)
система собственных функций, а именно это суть функции Эрмита [Ш3; 156].

179]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ФУНКЦИИ ЭРМИТЛ	545
Напомним основные формулы, относящиеся к функциям Эрмита. Полиномы Эр-
мита определяются формулой
и функции Эрмига
Они ортогональны на промежутке (—со, -)- со). Нормированные функции
Эрмита будут:
/
2
Интегрируем по частям и принимаем во внимание обращение в нуль вне-
интегральных членов:
Умножаем вне знака интеграла на е и под знаком на е :
Дифференцируя по параметру yf легко показать, что последний интеграл
-у*
равен ^2, и, таким образом, формула A55) доказана. Учитывая замкнутость
системы функций Эрмита, можно показать, что точки X = ±. 1 и X = ± i ис-
исчерпывают весь спектр оператора Т.
Они образуют замкнутую ортонормированную систему. Докажем, что ?„ (а')
есть собственная функция оператора 7\ соответствующая собственному значе-
значению (— /)я, т. е.
A55)
Иначе говоря, нам надо доказать формулу

546	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[180
180. Операция умножения. Рассмотрим операцию умножения на
независимую переменную на конечном промежутке, причем за левый
конец промежутка возьмем х = 0. Итак, рассмотрим L2 на конеч-
конечном промежутке [0, а] и операцию умножения на независимую пе-
переменную:
Af{x) = xf(x).	A56)
Мы имеем
а	а
, g)= \xf(x)'g~(xjdx и {Af,f)=$x\f(x)\*dx,
oJ	(Г
откуда видно, что А есть самосопряженный оператор, и что его норма
не превышает а. Если брать f(x) отличными от нуля лишь в малой
окрестности х = а, то нетрудно убедиться в том, что норма А в точ-
точности равна а. Границы квадратичной формы (Л/,/) при условии
1^11=1 равны: т = 0 и М = а. Уравнение для собственных значе-
значений и собственных элементов имеет вид xf(x) = \f(x) или
(х— Х)/(х) = 0, откуда видно, что f(x) эквивалентна нулю, т. е.
собственных значений нет, и спектр чисто непрерывный. Резольвента
имеет, очевидно, вид R\f(x)=f(x):(x — X). Если X лежит вне про-
промежутка [0, а], то /?х/(лг)(: Z,2. Если же X лежит на промежутке
[0, а], то R\f(x) не при всяком f(x) принадлежит Z,2. При этом
оператор (А — ^Е)/(х) = (х — X)/(jtr) преобразует Z,2 биоднозначно
на линеал Мх таких функций <р (х) = {х — Х)/(лг), что ф (х) : (х—X) ? 12.
Определим спектральную функцию gx, причем X надо считать при-
принадлежащим промежутку [0, а]. Принимая во внимание, что
11ГП \Га	r\* JL~*d<3 = 21
ПРИ ^
:г при X ]
получаем для любых элементов f(x) и
X а	X
ЛхЩх) dx,
Т>^° —оо 0	0
откуда следует
Х
при ^,
.	A57>
Взяв/(дг)^1, получим дифференциальное решение к(х, Х) = 1
при х^Х и 1г(лг, Х) = 0 при л*^>Х. Пользуясь формулой A57)
и свойством 11 из [52], нетрудно убедиться, что ортогональных
к нему решений не имеется.
Рассмотрим более общий самосопряженный оператор
A58)

181]	ядра, зависящие от разности	547
где «>(л:) — вещественная, измеримая и ограниченная в промежутке
[О, а] функция. Уравнение для собственных значений и собственных
элементов имеет вид [о>(х)— Х]/(лг) = О. Пусть Кк есть множество
значений ху удовлетворяющих уравнению (о(лг) = Х. Если мера К\
равна нулю, то X не есть собственное значение. Если мера К\ больше
нуля, то X есть собственное значение, и любая полная ортогональная
на множестве К\ система функций представляет собой полную си-
систему собственных функций, соответствующих указанному собствен-
собственному значению, причем вне К\ эти функции надо считать равными
нулю. Если при любом X мера К\ равна нулю, то оператор A58) имеет
чисто непрерывный спектр. Совершенно аналогично A57) его спек-
спектральная функция определяется формулой
/(х) при со(лг)^:Х,
А	/ чх^ ,	A59)
О при ш (х) > X.	v
Все сказанное легко распространяется на случай функций многих
переменных. Так, например, для функций/(j^, х2, .'.., дгЛ), при-
принадлежащих L% на некотором конечном промежутке as ^ xs ^ bs
(s=l, 2, ..., ri)y мы можем определить самосопряженный оператор
умножения на независимую переменную xk: Af=xkf. Этот оператор
имеет чисто непрерывный спектр на промежутке ак^\^Ьк и его
спектральная функция определяется следующим образом:
х.ъ ... , хп) при х^^
Вернемся к случаю одного переменного. Оператор умножения на
независимое переменное на бесконечном промежутке уже не является
ограниченным оператором. Мы его рассмотрим в дальнейшем. Если
же мы возьмем оператор A58) и будем считать функцию ш(х) огра-
ограниченной на бесконечном промежутке, то получим ограниченный ли-
линейный оператор. Итак, возьмем за основу пространство L% на про-
промежутке (— оо, -j0)» и ПУСТЬ w(jc) — вещественная, измеримая
и ограниченная на этом промежутке функция. При этом формула A58)
определяет самосопряженный ограниченный оператор. Если ш(лг) не-
непрерывная в замкнутом промежутке [—со, -}-оо], то границы опе-
оператора совпадают с наименьшим и наибольшим значениями o>(jc).
181. Ядра, зависящие от разности. Пользуясь оператором A58) на про-
промежутке (—оо, +°°) и переходя с помощью преобразования Т к унитарно-
эквивалентным операторам, легко строить ограниченные самосопряженные
интегральные операторы с ядром, зависящим от разности.
Наметим схему такого построения. Оператор В1 = Т*ВТ% унитарно-экви-
унитарно-эквивалентный A58), выражается, очевидно, формулой
СУ) J fit) е-"У dt\eix» dy

548	пространство гильберта	[18]
Здесь и в дальнейшем вместо lm мы пишем просто интеграл с бесконеч-
Я-мэо
ными пределами. Считая, что и>(у) не только ограничена, но и суммируема
на промежутке (—оо, +оо) и что f{t) из Ц также суммируема, сможем пе-
переставить порядок интегрирования и получим
-}-оо -}-оо
BJ(x)= C|l С <*(y)e'y<*-<'dy\f(t)dt
—CO	—СО
или, вводя функцию
+оо
?(и)= -~= С о)(_у) eh* dy = Г* со,	A61)
—со
можем написать оператор В' в виде
= -i= f g{x—t)f(t)dt	A62)
}' 2~ J
Спектральная функция #' выражается, как мы знаем, формулой %^ = %^,
где &х — спектральная функция 5. Если ядро удовлетворяет, как это будет
в последующих примерах, условию (97) из [172], т. е.
A63)
то формула A62) применима, очевидно, не только к тем f(x), которые сум-
суммируемы на промежутке (—оо, +оо), но и ко всему L». Рассмотрим примеры
применения указанной схемы.
1. Пусть
*f(x) = Tj-Zrf(*)-	О64)
Границами оператора являются: m = 0 и М = 2. При любом X из проме-
промежутка [0, 2| уравнение 2:A +л:2) = Х имеет не более двух корней и оператор
A64) имеет чисто непрерывный спектр.
Ядро оператора В' определяется формулой
B'f(x)= J e-\*-y\f(y)dy,	A65)
J
—ОО
Полученное ядро удовлетворяет условию (94) из [172]:
-{-со	х	оо
J IК (х, у)\ dy= j ty-*dy+ J е*~У dy = 2.

181]	ядра, зависящий от разности	549
В силу A59), спектральная функция оператора A64) определяется так:
%yf(x) =/(jc) при 2 : A + а'2) ^ л и %yf(x) = 0 при 2 : A + х*) > X, т. е.
Написанные несобственные интегралы с бесконечными пределами надо по-
понимать в смысле среднего квадратичного приближения. Меняя в последнем
интеграле порядок интегрирования, возможность чего легко оправдать, и при-
принимая во внимание, что Г*Г = ?, получим
A66)
Оператор В' имеет чисто непрерывный спектр, и %\f(x) должно стремиться
(в среднем) к нулю при X —* 0, т. е.
A67)
Построим дифференциальные решения для оператора A65). Легко видеть
что однородное уравнение В'/ (х) = X/ (х) имеет решения cosjjuc и sinjx*
не принадлежащие L2, т. е.
Умножая обе части на e~v ™ и интегрируя по X от 0 до X, или, что то же,
по {л от [i. = oo до fx, получим следующие два дифференциальных решения:
A68)

650	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	|l8l
Эти функции уже принадлежат L2} и из самого способа их построения сле-
следует, что они удовлетворяют уравнению A29) и обращаются в нуль при Х=:0,
т. е. при {х = оо. Множитель е~^ нами добавлен для того, чтобы иметь воз-
возможность интегрировать от (х = оо и получить таким образом решения, непре-
непрерывные вплоть до X = 0. Решения A68) взаимно ортогональны |176| в основном
промежутке (—оо, +оо), так как одно из них есть четная, а другое нечетная
функция.
Выписываем формулы A20) и A21) из [176]. Простое вычисление дает
и
+ ОО
?"«*¦ cos цу d\i.
—оо со
+оо ,а
g* ^ = \ \\ в~* Si" ^ ^ ' * (У) йУ'
—со со
Полнота системы решений A68) может быть проверена при помощи фор-
формулы A28) из [176J. Если мы применим формулу A23) к вещественной функции ср (х)
из L2 и функции ф (л:), равной единице на промежутке [0, л:] и нулю вне него,
то получим после элементарных преобразований
X
§i(x)dx =
и
оо	+оо	+оо
1 С I sin их f . . . . / 1 cos алг\ С / v • , L
= — \ —f- \ 9 (У) cos w dy + (	*— ) \ -f (у) sin fxy dy ф,
что при некоторых дополнительных предположениях приводит к обычной фор-
формуле Фурье. Отметим, что решения A68) должны получаться применением опе-
оператора gx' к функциям nk(x, 2), т. е. к 1:A + х2) и л::A + ^2)> что легко про-
проверить. Если бы мы при интегрировании не добавляли бы множителя e~v- и
стали интегрировать от н- = 0, то получили бы простые дифференциальные ре-
решения s\n\Lx:x и A—cosfx.v):*, которые теряют смысл при Х = 0, причем кх
нормы беспредельно возрастают при X —* 0.
Рассмотрим общий случай преобразования A62), считая, что g(y) — веще-
вещественная четная функция, удовлетворяющая условию A63). При этом оператор
A62) определен во всем L2 и является ограниченным самосопряженным. Мы
можем составить
+00	+0О
G, @ =-?= [ g(u)eitu du\ /4W==-i= f f(u)eiia du, A69)
—CO	—CO
причем
+00
I О, (t)\ ^-7}= [
2
t. e. G, (t) есть ограниченная функция и Ft (t) g L2, так что d (t) Ft (t)^ U.
Можно доказать, то и в данном случае имеет место формула A22), которую

1811	ядра, зависящие от разности	551
можем написать в виде
+00	+ОО
'f (х) = —— \ g (л- - t)f{t) dt = -JL f G, (t) F, (t) erixi dt =
r —oo	r -co
= 7-10,@^@1,
откуда следует C?i (?) /*\ (?) = T* [<p (.г)], и, принимая во внимание вторую из
формул A69), мы видим, что оператор A62) унитарно эквивалентен оператору
умножения на ограниченную функцию GY (t).
Укажем один тип ядер, приводящихся к ядру, зависящему от разности.
Пусть К(ху у) — вещественное симметричное ядро на промежутке @, оо), яв-
являющееся однородной функцией (— 1)-го измерения. Если мы в интегральном
операторе с таким ядром
оо
У	A70)
введем вместо х и v новые независимые переменные х = es иу = е*у а вместо
i	i
ср (х) и f(y) — новые функции ^ (s) = е1 ср (es) и/4 (t) = e2 f (e1), то получим
интегральный оператор
+ОО
<Pi(s)= \ Ki(s,t)fi(?)dt
—со
с ядром, зависящим от \s —1\. Действительно, в силу однородности К(х, у) =
= х~1 АГA, --), и, полагая АГ A, z) = оз (z), можем написать
\ х)
/fj (s, t) = е e~s& (e*~s) — e ^ o> (e*~s)y
причем, в силу симметрии К(х, у)> последнее выражение есть четная функция
(t — s). Принимая во внимание, что ds = dx:xy мы видим, что при указанной
замене переменных пространство L* функций на промежутке @, оо) переходит
в пространство L2 функций на промежутке (—оо, +оо)« Можно непосредст-
непосредственно определить норму оператора A70) при помощи следующей простой тео-
теоремы.
Теорема. Вели К{хуу) — неотрицательна, однородна степени (—\) и
I	оо	I
К(ху \)х 2 dx=z\ АГA, у)у 2dy=kf	A71)
о	о
то
оо оо
J \к{хуу) f{x) g(y) dxdy
Отметим, что интегралы формулы A71) равны в силу однородности ядра.
	/vr\ '		/v \1
Переписав подинтегральную функцию в виде/(х) у К ( — IT g(y) У К [ )\

552	пространство гильбпртл	[182
и применяя неравенство Буняковского, получим j / | ^ У А }/В, где
оо	оо	I
. i = С |/(.v) |t I С к (.v, у) (ZJ dy ] rf.v = k: / ;*
О	О
и совершенно аналогично B=.k]g*y откуда и следует A72). Из A72) следует,
что норма оператора с ядром АГ(л% у) не превышает Л. В частности, если по-
положить К U, у) = 1:(д- + v), то, в силу
1
оо —-
получим
Совершая указанную выше замену переменных, можно показать, что опе-
оператор с ядром l:(.v+<y) имеет непрерывный спектр на промежутке [0, я].
182. Слабая сходимость. Мы исследовали раньше слабую сходи-
сходимость в Lp. Напомним основные результаты для случая /7 = 2. Если
рассматривать ?a(g), где g —любое фиксированное измеримое мно-
множество, то слабая сходимость ?«(•*) ii cp (jc) определяется равенством
"т \ ф W ?л (х) dx = \ 6 (х) <р (дг) rfjc,	A73)
для любой функции $(х)(. Ьъ($)< Необходимое и достаточное усло-
условие слабой сходимости состоит в следующем: 1) нормы || срп || в Z2 (©)
ограничены; 2) условие A73) выполнено на множестве элементов
ty(x)c Z,2(g), линейная оболочка которого плотна в L2(g). В одно-
одномерном случае, если g есть конечный или бесконечный промежуток,
второе условие можно заменить следующим:
lim
n-»oo
im \ yn(x)dx= \
-»0О t'	J
где Г — любое фиксированное число из указанного промежутка и
$ — произвольное число из этого промежутка.
Можно доказать следующее утверждение: если последова-
последовательность функций уп(х) из /,2(©) слабо сходится к
некоторой функции ср(лг) и почти везде на g схо-
сходится к некоторой функции со(х)(- L (g), то ср(х) и
(о (л:) — эквивалент н ы?

183)	ДРУГИЕ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА Н	553
183. Другие осуществления пространства //. Можно указать,
кроме /2 и Z,2> и ряд других осуществлений пространства Гильберта,
которые находят свое применение. Пусть g — некоторое измеримое
множество /2-мерного пространства и L2 — пространство функций из-
измеримых и с суммируемым квадратом на g, причем за основу изме-
измерения взята лебегова мера или какая-либо другая нормальная функ-
функция множеств. В последнем случае мы будем иметь интеграл Лебега •—
Стилтьеса. Определим пространство Z,.2,m следующим образом. Эле-
Элементом L2ym является последовательность яг-функций из?.2: (/i,/* .. ./m),
где /л ? Li(k=\, 2, ... , т). Элемент является нулевым, если каж-
каждая из функций fk эквивалентна нулю. Умножение элемента на число
и сложение элементов определяются естественно формулами
О> (А> Л,-., fm) = (я/ъ aU • • • > <*fm)>
(/b U • • • > fm) + (g\> gl> • • • > gm) = (fl+gb Л + ft» • • • » fm + gm)
и скалярное произведение формулой
(х, у) =
где rfo) — элемент /?Л в случае интеграла Лебега или дифференциал
нормальной функции множеств в случае интеграла Лебега — Стилтьеса.
Легко проверить, что ЬЪт есть осуществление сепарабельного про-
пространства Гильберта. Линейный оператор у = Лх в Lbm состоит из
т1 линейных операторов Alk(i, &=1, 2, ..., т) в Lb при помощи
которых составляющие у выражаются через составляющие х:
т
gi = У Ai*f*-
Указанное осуществление пространства Гильберта является
осуществлением абстрактного построения пространства Гильберта
Н по заданным пространствам Гильберта Н\, Нь ... , Ит. Элемен-
Элементом х пространства И мы называем последовательность элементов
(jct> хъ ... , хт), где xk ? Hk. Элемент х является нулевым, если
все xk суть нулевые элементы в Hk(k=\, 2, ... , m). Умножение
на число и сложение элементов определяются формулами
a(xlf хь ... , хт) = (ахь ахь ... , ахт\
(хь хь ... , хт)-\-(уь у* ... , ут) =
и скалярное произведение формулой
т
(х, у) = У

554	пространство гильберга	A84
Всякое пространство Wty (D) [112] функций ф (х), принадлежащих
L$(D), где D — некоторая область я-мерного пространства, и имеющих
обобщенные производные до порядка /, также принадлежащие Z,2 (D),
есть полное гильбертово пространство со скалярным произведением
(ср, ф)= С Гср(х)'И^) + У D*c? (x), Z)^(x)W A74)
где суммирование распространяется на все производные до поряд-
порядка / включительно. При этом предполагается, что область звездна
относительно какой-либо своей точки, так что имеет место указанное
в [111] свойство обобщенных производных.
Рассмотрим пространство WnJ (D). Функции ср (х), ему принадлежа-
принадлежащие, имеют предельные значения на поверхности S области D (S счи-
считается достаточно гладкой). Нетрудно проверить, что множество
?С*0 6 W{\'(D)y удовлетворяющих предельному условию
будет полным гильбертовым пространством со скалярным произве-
произведением
Полным гильбертовым пространством будет также множество
функций из IFJ* (D) со скалярным произведением A74) и без всякого
предельного условия, если отождествить функции, разность которых
эквивалентна постоянной, т. е. считать такие функции одним и тем
же элементом пространства.
§ 2. Неограниченные операторы
184. Замкнутые операторы. Мы переходим к рассмотрению
дистрибутивных операторов, которые могут быть заданы не во всем И
и относительно которых не предполагаем ограниченности (конечности
нормы). Введем обозначения, которыми будем пользоваться. Пусть А —
дистрибутивный оператор, D(A) — область его определения, которую
мы всегда будем считать линеалом, и R(A) — область значений Л.
В силу дистрибутивности А она также — линеал. Если А устанавли-
устанавливает биоднозначное соответствие между элементами D(A) и R04),
то на R(A) определен обратный оператор Л.
Необходимое и достаточное условие существования А~1 состоит
в том, что уравнение Ах = 0 имеет (на D(A)) только нулевое
решение [127].
Говорят, что операторы А и В совпадают (равны), и пишут А = В,

184]	замкнутый операторы	555
если совпадают их области определения и на всех элементах этой
области Ах = Вх. Говорят, что оператор В является расширением
оператора Л, и пишут A^Z В, если D (А) входит в D (В) и Ах = Вх
для х ? D (А). Символ А (^ В содержит и возможность равенства
А = В. Если при Ах = Вх для х ? D(A) линеал D(B) строго
больше D(A), то пишут А а В. Отметим еще, что (А~\-В)х =
= Ах 4- Вх имеет смысл, если х ? D (А) и х ? D (В), а (АВ) х =
z=A (Вх)> если х ? D E) и /?.*: 6 D (А). Поскольку мы не предпола-
предполагаем оператор везде заданным и ограниченным по норме, то не можем
утверждать его непрерывность. Однако, анализируя основные
свойства, доказанные нами для ограниченных операторов, можем
убедиться в том, что многие из них являются следствием не непре-
непрерывности этих операторов, а более слабого их свойства — так назы-
называемой замкнутости. К определению и анализу этого весьма важного
свойства линейных операторов мы и перейдем,
Определение. Оператор А называется замкнутым при
соблюдении следующего условия: если хп ? D (А) (п= 1,2,...) и
последовательности хп и Ахп имеют пределы: хп ==>лг0, Ахп ==>.Уо,
то дгое D(A) и Ахо—у{).
Если оператор не замкнут, то возникает вопрос о том, имеет ли
он замкнутые расширения. Если имеются две последовательности
элементов хп и х*п из D (Л), имеющие одинаковый предел и такие,
что Ахп и Ах'п имеют различные пределы, то оператор А не до-
допускает, очевидно, замкнутых расширений. Если же при одинаковых
пределах для хп и х\ мы не имеем ни в каких случаях различных
пределов для Ахп и Ax'tv то оператор А допускает замкнутые
расширения и среди них есть минимальное замкнутое расширение,
которое обозначают обычно через Л. Опишем построение А. Если
хп ? D(A), хп =г>лг0, и Ахп=>у0 то включаем х0 в область
определения оператора А и полагаем Ахо=уо. В силу ука-
указанного выше условия, А определяется единственным образом.
Легко доказать, пользуясь неравенством треугольника, что А — замк-
замкнутый оператор. Указанная операция расширения А называется замы-
замыканием А. Если В любое замкнутое расширение Ау то нетрудно
видеть, что Acz В.
Теорема I. Если А — замкнутый оператор, то А-\-В, где
В — ограниченный на D (А) оператор, также замкнутый оператор;
А~\ если он существует,—замкнутый оператор, и множество
решений уравнения Ах=0 есть подпространство.
Доказательство всех утверждений непосредственно следует из
определения замкнутости оператора.
Теорема 2. Если А допускает замыкание и имеет на R(A)
ограниченный обратный А~1, то А имеет обратный А~\ он
на подпространстве R(A) и является ограниченным*

556	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[185
Если R (А) - подпространство, то Л ' — замкнутый оператор.
В противном случае можно распространить ограниченный оператор
Л с линеала R(A) на подпространство 1?(Л). Обозначим полу-
полученный таким образом ограниченный оператор через В: (R (В) =
= R(A)). Нетрудно видеть, что уравнение Вх = 0 на R(B) имеет
только нулевое решение. В противном случае существовала бы
такая последовательность хп ? D(A), что лгп==>0, а Ахп =>у -?. 0.
Но это противоречит тому, что А допускает замыкание, ибо если
принять х'п = 0(п= 1,2,...), то Ах'п = 0. Оператор Л1 = в~| и
является, очевидно, замыканием А. Теорема доказана.
Замечание. Мы видим, что в рассматриваемом случае замыкание
Л однозначно связано с распространением по непрерывности огра-
ограниченного оператора А~х.
Следствие. Если А — замкнутый оператор и на R (А) суще-
существует ограниченный обратный оператор Л~!, то R(A)—под-
R(A)—подпространство,
185. Сопряженный оператор. Начнем с одного простого за-
замечания, а именно отметим, что если элемент z ортогона-
ортогонален линеалу /, плотному в Н, то г —нулевой эле-
элемент.
Действительно, пусть (х, z) = 0, если х ? /, и пусть у лю-
любой элемент Н. В силу того, что / плотен в Н, существует
последовательность элементов хп из / такая, что хп =>у. По
свойству z имеем (хп, z) = 0 и в пределе (уу z) = 0, т. е. z орто-
ортогонален любому элементу из //, в частности, самому себе, т. е.
(г, г) = | г j|2 = 0, откуда z = Q. Если / не плотен, то существует,
очевидно, элемент z, ортогональный /.
В дальнейшем мы операторы всегда будем считать дистрибутив-
дистрибутивными.
Положим, что оператор Л определен на линеале D(A), плот-
плотном в Я. Составим (Ах, у), где х ? D (Л) и у — любой элемент Н.
Существуют такие элементы у, что (Ллг, у) при любом х из D (Л)
может быть представлен в виде
(Ах, у) = (х9 у*) (х? D(A)\	A)
где у* — некоторый элемент из //. Так, например, если у = 0, то
(Ллг, О) = (дг, 0) для любого х из D(A). Если для некоторого^
представление A) возможно, то в этом представлении у* единственно.
Действительно, если при некотором у мы имели бы (Ах> y) = (x,yi*)
и (Ах, у) = (ху уъ*) для х ? D (Л), то, вычитая, мы получили бы
(х,у\*—у1*) — 0, т. е. у{*—у.г* ортогонален линеалу D(A), откуда
следует, что ух* =yt*. Множество элементов у, для которых воз-
возможно представление (Ллг, у) в виде A), есть, очевидно, некоторый
линеал /*, и на этом линеале определен дистрибутивный оператор,
переводящий у в j/*. Этот оператор называется сопряженным с Л

185J	сопряженный оператор	557
и обозначается символом Л*; так что у* = А*у и /* есть D (А*),
а формула A) переписывается в виде
(Ах,у)=±(х,А*у) (х? #(Л); v( ?>(Л*).	B)
Из предыдущего рассуждения следует, что для существо-
существования Л * необходимо и достаточно, чтобы линеал
D(A) был плотен в Н. Как мы указали выше, Л* есть дистри-
дистрибутивный оператор. Для ограниченного оператора А мы имеем преж-
прежнее определение Л*. Выясним теперь ряд свойств сопряженного опе-
оператора.
Теорема /. Оператор А*—замкнутый.
Пусть хп? D(A*) и хп==>х{), А*хя=>у9. По определению
Ах* имеем (Ах, хп) = (х, А*хп), где х ? ?>(Л), и, переходя к пре-
пределу, получим (Ах, х{)) = (х, у{)), откуда, в силу определения Л*,
следует, что х0 с D(A*) и А*х{)=уг Что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если D(A) и D(B) плотны в Н и AczB, то
в* с л*.
Линеал D(B*) образован такими элементами у, для которых при
любых х ? D(B) выполняется равенство (Вх, у) = (х, у*), причем
у* = В*у. Но, в силу AczB, из (Вх, у) = (х, у*) при х ? D(fi)
следует (Лдг, у) = (х, у*) при х ? D (Л), т. е. если у ? D (В*),
то j/ ? /)(Л*) и В*у = А*у=у*, а это и значит, что В* С2 А*.
Теорема 3. Если D (А) плотно в Н и А допускает замыкание,
то (А)* = А*.
Мы имеем Л (^ А и, следовательно, (Л)* ^ Л*, и остается по-
показать, что всякий элемент у из D(A*) принадлежит и О(Л*). По
условию (Ах, у) = (х, А*у) при х $ Ь(Л), и нам достаточно показать,
что (Ах, у) = (х, Л*_у) при х ? D (А). Если х ? D (Л), то существует
такая последовательность хп из #(Л), что дгл =>лг и Лдгп==>Ллг.
По условию (Ахп, у) = (хп, А*у) и в пределе (Ах, у) = (х, А*у).
Что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если существуют Л* и (Л*)* = Л**, то Л (^ Л**.
Линеал D(A**) элементов z определяется равенством (А*у, z) =
= (у, z**) при v 6 D(A*)t причем г**=Л**г. Но из определения
Л* мы имеем (А*у, z) = (у, Az), где у $ D (Л*) и z ? D (Л), откуда
и следует, что Л (^ Л**.
Поскольку, в силу теоремы 1, Л** есть замкнутый оператор, то
из Л С^ Л** следует, что Л допускает замкнутые расширения, т. е.
существование Л** является достаточным условием
того, чтобы Л допускал замкнутые расширения.
Дальше мы увидим, что это условие и необходимо. Напомним, что
существование Л** равносильно тому, что D(A*) плотно в //.
Теорема 5. Если D(A) и R (А) плотны в И и существует об-
ратный оператор А К то существуют операторы Л*, (Л.)*,^*)" и
(Л*Г1 = (Л-1)*,	C)

558	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[1$-
Существование Л* и (А)* непосредствено следует из того,что/J (Д)
и R (А) плотны в Н. Пусть х? D (А*) и у ? D (Л l) = R (А). Мы имеем
(лг, у) = (х, ЛЛ-^) = (Л*х, Л"'.у),
откуда следует, что Л*л; ? D(^~!)*) и
(А~1)*А*х = х (лг6?(Л*)).	D)
Это показывает, что уравнение А*х = 0 имеет только нулевое
решение (в ?)(Л*)), т. е. существует оператор (Л*)~\ и, кроме того
из D) следует	(л*). СИ)*.	(oj
Пусть теперь х ? /Э(Л) и j/ ? ?((Л~1)*). Мы имеем
(*, j/) = (Л-Мдг, у) = (Ах9 (А 1)*у),
откуда (Л)*^ ? D (Л*) и
А*(А-*)*у=у (у? D((A *)*)).
Но из этого равенства вытекает, что
что совместно с E) и дает C). Теорема доказана.
С понятием сопряженного оператора связан вопрос о разрешимости
уравнения
Ах=у.	F)
Замкнутый оператор А с областью D (Л), плотной в //, называется
нормально разрешимым, если для разрешимости уравнения
F) (не обязательно однозначной) необходимо и достаточно, чтобы у
было ортогонально к подпространству решений уравнения
Л*г = 0-	G)
Теорема 6. Для нормальной разрешимости замкнутого
оператора А с областью D(A), плотной в Н, необходимо и до-
достаточно, чтобы R(A) было подпространством.
Оператор Л* замкнут, и множество решений уравнения G) есть
некоторое подпространство /. Нетрудно видеть, что все элементы /
ортогональны /?(Л). Действительно, если у ? /?(Л), то у = Ах и
(yf z) = (Ax, z) = {xy A*z) = (x, 0) = 0. Тем самым, в силу непре-
непрерывности скалярного произведения, / ортогонально подпространству
/?(Л). Покажем теперь, что если некоторый элемент w ортогонален
/?(Л), то он принадлежит /. Действительно, из (Ах, w) = 0 следует:
(Axt w) = (x, 0) = (дг, Л *!?>), т. е. Л*ш = 0 и^(/. Из сказанного
следует, что все И есть прямая сумма двух ортогональных под*
пространств
//
и для нормальной разрешимости Л необходимо и достаточно, чтобы
/?(Л) совпадало с /?(Л), т. е, чтобы R(A) было подпространством,

jg6j	ГРАФИК ОПЕРАТОРА	55$
186. График оператора. Наряду с пространством Н рассмотрим
пространство //, элементы которого суть пары {х, у} элементов х
и у из Ну причем умножение на число и сложение определяются
в Н равенствами
а {х, у} = {ах, ау}; {х{, у{\ + {х.2, у,г) = {х, -I х.2, у{ 4-уг\, (8)
скалярное произведение равенством
({*!. JM. {**л} ) = (*!. ^) + (^„л).	(9)
Нетрудно проверить справедливость всех аксиом. Если А — опе-
оператор в Я, то множество F (Л) элементов {х, Ах\ пространства И при
х 6 D (Л) называют графиком оператора Л. Все элементы этого
множества однозначно определяются своими абсциссами (первым эле-
элементом пары). Обратно, если все элементы некоторого множества F
элементов И однозначно определяются своими абсциссами, то в И
существует оператор (не обязательно дистрибутивный), графиком
которого и является множество F. Замкнутость оператора А равно-
равносильна, как нетрудно видеть, тому, что множество F(A) замкнуто
в Н. Если А — дистрибутивный оператор, определенный на линеале,
то F(А) -линеал в Н. В дальнейшем, как и выше, мы будем
говорить только о дистрибутивных операторах, определенных на
линеалах.
Определим во всем И оператор U равенством
U{x,y} = {iy,—ix].	A0)
Нетрудно видеть, что U — унитарный оператор и что U"l = U.
Пусть А — некоторый оператор в И. Составим скалярное произведение
некоторого элемента множества UF(A) на какой-либо элемент {лг, у}:
ЩАг,—1г}9 {х9у\) = 1[{Аг,х) — {г,у)] (z?D(A)). A1)
Пусть А -— замкнутый в Н оператор и D (А) — плотно в Н. До-
Докажем формулу разложения Н на два ортогональных подпространства:
H=UF(A)QF(A*).	A2)
Если элемент {х, у\ ортогонален UF (А), то из A1) следует, что
(Аг, х) = (г, у) при z ? D(A)> т. е. х $ D(A*) и у = А*х, или,
иначе говоря, {х, у) d F(/4*)- Обратно из A1) следует также, что
если {х, у) (: F(A*), то элемент {х, у] ортогонален UF (А). Для
доказательства A2) остается только отметить, что из замкнутости
Л и Д* следует, что UF (А) и F (Л*) — подпространства простран-
пространства 77.

560	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[ 1 8f>
Если оператор Л не замкнут, но /)(Л), как и выше, плотно в /-/,
то вместо A2) имеем
A3)
Далее разность НQ UF(А) есть множество Щ элементов {jc,j/},
ортогональных UF(А), или, что то же, UF (Л), т. е. в силу A1),
множество Ш состоит из пар {х> у), удовлетворяющих условию
(Azyx) = (z,y) при z ? D(A), и потому существование оператора Л*
равносильно тому, что элементы этого множества Ш однозначно
определяются абсциссой х.
В силу сказанного справедлива следующая лемма.
Лемма. Для существования оператора Л* необходимо и до-
достаточно, чтобы элементы множества
Не
однозначно определялись своими абсциссами.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 1. Если оператор А определен на плотном множе-
множестве и допускает замыкание, то существуют Л*, Л** и
А**=~А.	A4)
Предположим сначала, что Л — замкнутый оператор. Из формулы
A2) и U~l = U следует
т. е. элементы множества F(A) = HQ UF{A*) однозначно опреде-
определяются своими абсциссами, и, в силу леммы, это множество опреде-
определяет график оператора, сопряженного с Л*, т. е. оператора Л**. Но
это множество есть F(A), откуда А** = А.
Пусть Л — не замкнутый оператор, но допускает замыкание.
По доказанному выше (а)** = А. Но, с другой стороны, [185]:
) = ((Л)*)* = (Л*)* = Л**, откуда и следует A4).
Следствие. Если существуют Л* и Л**, то А допускает за-
замыкание [1851 и из A4) следует
(Л**)* = Л*** = Л*.	A5)
Теорема 2. Если А — замкнутый оператор и D (Л) = Н, то
А — ограниченный оператор.
Из условий настоящей теоремы и теоремы 1 следует, что ?)(Л*)
плотно в Я и А = А**. Докажем сначала, что существует та-
такое положительное число Л/, что [(Л*л:'|^М ||лг|| (х $ D(A*)).
Для этого рассмотрим скалярное произведение:
(Ду, х) = (у, Л*х) (х ? D (A*),y i Я).

187)	симметричные и самосопряженный операторы	561
Оно определяет и И некоторый линейный (ограниченный) функ-
функционал 1х(у) при фиксированном х из О (Л*). Если хп (? />(Л*) и
хд==>0, то последовательность функционалов /х (у) на любом эле-
элементе у из Я стремится к нулю, и, следовательно, существует такое
положительное число Nb что [100]
'lxnty)\ = \(y>A**n)\^Nx№	A6)
Если бы оператор Л* не имел ограниченной нормы, то существо-
существовала бы такая последовательность xn?D(A*), для которой л"л^=>0,
а |;Л*хЛ) —оэ. Но это противоречит A6), ибо, полагая в A6),
у = Л*дгп, получим .;;Л *д:я1* ^ A/,j. Л*лгя|;, т. е. fA*x^ ^ Л\. Итак,
||i4*j|^SN на ?>(Л*). Но тогда Л*"может быть распространен на все
#, и, так как Л* есть замкнутый оператор, то D(A*) = H. Опера-
Оператор Л** = Л — сопряженный с ограниченным оператором А* — сам
ограничен, и теорема доказана.
Отметим еще, что если X — число и существует Л*, то суще-
существует и (Л — Х?)* = Д* — ~\Е. Если В есть ограниченный линейный
оператор, заданный на всем Я, а Л имеет Л*, то (Л -р В)* суще-
существует и равен Л* -f- В*.
187. Симметричные и самосопряженные операторы. В дальней-
дальнейшем мы будем заниматься главным образом так называемыми сим-
симметричными и самосопряженными операторами.
Определение. Оператор А называется симметричным, если
D (А) плотна в Я и
A7)
для любых х и у из D(A).
Из A7) следует, что любое у из D(A) принадлежит и D(A*)>
и А*у = Ау для таких у, т. е.
AczA*.	A8)
Симметричный оператор называется полуограниченным
снизу, если существует конечное
/ftA = inf (Axt х) при x?D(A) и |'jrjj=l,
откуда следует
(Лл% х) ^ тА (х, х) (x?D (Л)),	A9)
и число /Яд .нельзя заменить большим.
Если Ша ^> 0, то оператор А называется положительно опре-
определенным, а еслидед^О, то Л называется положительным
[ср. 126|.
Отметим еще, что если лилепл D (А) плотен вЯи (Ах, х) — веще-
вещественно при всех x(^D(A), то Л — симметричный оператор, т. е.
1Q U И Гмипигп

562	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	11 87
(Ах,у) = (ху Ау) при х ny?D(A). Это доказывается совершенно
так же, как теорема 2 из [124].
Определение. Симметричный оператор Л называется самосо-
самосопряженным, если Л* = А.
Из сказанного выше следует, что для доказательства самосопря-
самосопряженности симметричного оператора А достаточно показать следующее:
если некоторый элемент х?/)(Л*), то x^D(A). В силу A8) сим-
симметричный оператор А допускает замыкание и для него имеют
место соотношения:
:Л*; А***=А* = А*.	B0)
Самосопряженный оператор, очевидно, замкнут.
Отметим еще, что если X — вещественное число, то оператор А — \Е
будет симметричным, если А — симметричен, и самосопряженным,
если А — самосопряженный.
Теорема 1. Если самосопряженный оператор А имеет обрат-
обратный А~1, то область значений R(A) оператора А плотна в И
и А~1 есть самосопряженный оператор на R(A).
Если линеал R(A) не был бы плотен в //, то существовал бы
элемент zy отличный от нулевого, ортогональный к R(A), т. е.
(Ax,z) = 0 (xe D(A)),
или, что то же, (АХу z) = (лг, 0). Но это означает, что z ? /)(Л*) и
A*z = Az = Q для элемента, отличного от нулевого, что противоре-
противоречит существованию обратного оператора А. Итак, мы доказали, что
линеал R(A) плотен в Н.
Из теоремы 5 [185] следует, что (Л"|)* = (Л*)~1, или, в силу
самосопряженности А: (Л)* = Л~1, т. е. действительно А — само-
самосопряженный оператор.
Теорема 2. Если для симметричного оператора А сущест-
существует такое число X, что как элементы вида (А — Х?) х, так и
элементы вида (А — \Е) х (х ? D (А)) заполняют все Н, то А есть
самосопряженный на D (А) оператор.
Нам надо доказать, что если у ? D (А*)> то у ? D (А). Мы имеем
(Ах}у) = (х,у*) при x?D(A), откуда
По условию существует по крайней мере один элемент z?D(A)
такой, что у* — \у = (А — ХЕ)г, и мы можем написать, в силу сим-
симметричности А у
((д _1е) х)у)=(х1(А - IE) z) = ({А - IE) xt z).
Но элементы вида (А — ^Е)х исчерпывают все Я, и из послед-
последнего равенства следует y = z ? D(A). Что и требовалось доказать.
Следствие. Если R(A) = H для симметричного оператора А,
то А — самосопряженный оператор.

187J	СИММЕТРИЧНЫЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ	563
Для доказательства достаточно применить теорему 2 при X = 0.
Мы покажем и [189], что имеет место утверждение, в определен-
определенном смысле обратное утверждению теоремы 2.
Именно, если Л — самосопряженный оператор и X —
невещественное число, то оператор Л — Х? имеет
ограниченный обратный, определенный на всем И.
Теорема 3. Если у симметричного оператора А существует
обратный А~1, ограниченный на R(A), то R(A*) = H.
В силу того, что замыкание симметричного оператора приводит
к симметричному оператору, и в силу равенства Л* = Л*, можно
считать при доказательстве, что А — замкнутый оператор. Пользуясь
теоремой 2 из 1184], можем утверждать, что R(A) — подпространство.
Нам надо доказать, что для любого фиксированного у* ? Н и при
любом x?D(A) скалярное произведение (х,у*) можно представить
в виде (Ах,у). Обозначив Ax = z, получим (х,у*) = (A~iz,y*), и,
поскольку оператор А~1 ограничен на R(A), выражение (A~xz, у*)
можно рассматривать как линейный (ограниченный) функционал /у*(г)
на подпространстве R(A). Его можно представить в виде (zyy) [123],
где у ? R(A), так что мы получаем (х,у*) = (zyу) = (Ах,у).
Это равенство и означает, что любое у* из Н представимо
в виде А*у. Что и требовалось доказать.
Следствие. Если А — самосопряженный, положительно опре-
определенный оператор, то А1 существует, ограничен и определен
на всем Н.
В силу положительной определенности Л, т. е. в силу
(Ах, х) > а (ху х) (а > 0),
имеем а j л: |; ^ |; Ллс !|, откуда и следует, что на R(A) существует Л
и его норма [Л1] не превосходит а. На основании предыдущей
теоремы мы можем утверждать, что R(A*) — H, но R(A*) = R(A),
так что А'х определен на всем И.
Заметим, наконец, что имеют место такие факты: для всякого
симметрического расширения Л симметричного оператора Л спра-
справедливо соотношение Л С^ Л*; самосопряженный оператор не допускает
симметричных расширений.
Оба утверждения непосредственно следуют из определений сим-
симметричного и самосопряженного оператора.
Теорема 4. Если А — замкнутый линейный оператор с плот-
плотной в И областью определения, то произведение А*А есть само-
самосопряженный положительный оператор.
Положительность Л:М следует из равенства
{А*Ах, х) = {Ах, Ах) г* 0 (х ? D (А*А)),

564	пространство гильбнртл	A88
Симметричность А*А на D(A*A) видна из равенства
(А* Ах у у) = (Ах, Ау) = (х, А*Ау).
Покажем, что уравнение
(А*А + Е)х=у	B1)
(однозначно) разрешимо при любом у из И. Рассмотрим простран-
пространство Н, введенное в [186], и его разбиение
Из него следует, что элемент {у, 0} однозначно представим
в виде
Следовательно, у = х --]- iA*z, z== — iAx, и поэтому
у = х -\- А*Ах (x?D (A*A)),
т. е. уравнение B1) имеет решение при любом у ? Н. Докажем,
теперь, что D(A*A) плотно в И. Если предположить обратное, то
должен существовать элемент г, отличный от нулевого, ортогональ-
ортогональный D (А*А). В силу сказанного выше, его можно представить в виде
z = (A*A А-Е)х0) где xo?D(A*A), и при любом х ? D(A*A):
0 = (г, х) = ((А*А + Е) *о,х) = (*о> (А*А + Е) х),
и, полагая х = х0, получим
|! xit I1 + (х0, А*Ахь) = || х01|2 + [! Ах{) f = 0,
т. е. л:0 = (), что противоречит предыдущему. Таким образом, D(A*A)
плотно в И и, следовательно, А*А и Е-\-А*А — симметричные опе-
операторы. В силу того, что R(A*A -\-Е) = Н, оператор А*А-\-Е —
самосопряженный (теорема 2). Значит и А*А также самосопряженный
оператор.
188. Примеры неограниченных операторов. Рассмотрим в этом номере
различные дифференциальные операторы с точки зрения общей теории опера-
операторов. Все они будут неограниченными операторами. Рассмотрение будем вести
в комплексном гильбертовом пространстве L> комилекснозначных функций веще-
вещественного аргумента. Формула интегрирования по частям в нем, играющая
в дальнейшем фундаментальную роль, имеет тот же вид, что и в веществен-
вещественном пространстве, именно, для любых двух функций ? (х) и ty(x) из ty
в случае кусочно-гладкой границы 5 области D имеем [113):
J Ч^~ '^ dx = ~ J * (Х) —д~х~ dx + J ? <*) Н*) cos ^ х*) А С22)
D l	D	l	S
где п — внешняя нормаль к

183]	примнры шюгрлничшшмх операторов	565
Начнем с простейшего дифференциального оператора D = /-?—.
1) Оператор D = * —— в пространстве Н = L* [0,1].
и X
Как мы видели выше, в абстрактной теории оператор А задастся об-
областью определения D(A) и правилом вычисления А на элементах из D (А).
Взятый нами оператор D можно естественным образом определить на всех
функциях из L* [0,1], имеющих обобщенную производную из L2 [0,1]. Однако D,
определенный на таком широком классе функций, не будет обладать рядом
свойств, которыми обладает D, рассмотренный, например, на финит-
финитных гладких функциях. Поэтому мы в этом и в последующих примерах начи-
начинаем с того, что рассматриваем сначала дифференциальный оператор на мно-
множестве гладких функций, подчиненных каким-либо граничным условиям, изу-
изучаем его свойства, как-то: симметричность, положительную определенность,
обратимость и др., а затем ставим вопрос о возможности его расширений
с сохранением тех или иных свойств первоначального онератора.
Выбор области определения первоначального дифференциального опера-
оператора неоднозначен. Чтобы подчеркнуть это, мы в нижеприводимых примерах
делаем это по-разному.
Обозначим через А оператор D, рассмотренный на множестве СA) [0,1]
всех финитных непрерывно дифференцируемых на [0,1] функциях (см. обозна-
обозначения в [113]). Значение Л на ^ из D{A) вычисляется ио формуле
B3,
и D(A) плотно в U [0,1].
Оператор А симметричен, ибо из B3) следует, что для у(х) и ф (х) ?D(A)
I	1
JJ / \ (* Г I / \
I 	—	 у (Л') ClX =	 I ty yX) 	-z	 OX = (<p, Лу).
dx J ax
о о
Из симметричности Л следует, что Л допускает замыкание, имеет
сопряженный и Л CZ Л с_ Л*. Выясним, из каких функций состоят
D(A) и ?>(Л*). Пусть ?„(.*) j_D (Л) и срт (л:) => <?(х), А<?т =
= '^т (х) =>'^ (л"), тогда ср (х) ( D (Л) и '!> (.v) = Л? (лг).
Из теории обобщенных производных следует, что это замыкание Л распив
ряет D{A) до D(A) = W{}/ [0,1] [113].
Каждая ср (д-) из W^ [0,1] есть абсолютно непрерывная функция, равная
нулю на концах и имеющая обобщенную первую производную из L2 [0,11.
Можно было бы показать, что любая такая функция входит в wty [0,1].
Оператор Л на <р (,v) из D (Л) вычисляется ио формуле B3) с то;1 лишь разни-
разницей, что на этот раз —j— означает не классическое, а обобщенное дифферен-
дифференцирование. Исследуем теперь, из каких функций состоит D(Ai:). Функция
<? (л*) i D (Al:), если есть такая функция 6 (.v) ( L2 [0,lJ, что (Лео, <р) = (о>, •!/), т. е.
1	1
= i о)
для всех w (.v) из D (А). По это означает [109], что 'f (л*) имеет обобщен-

566	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[188
ную производную **j?'-, равную —/•*(*), т- е- ч™ «pM^W^ I0»1! и
='}D причем любая ср (х) из UT2 [0,1] удовлетворяетB4) с 'Ъ(х) = 1 *Щ^.
Тем самым мы показали, что D (А*) = W^ [0,1] и Л*<р = / -Л^-. Ясно,
Ыл
что U^ [0,1] шире, чем IF^ [0,1]. Легко убедиться, что А* не симметри-
симметричен на D (А*).
Покажем, что на R (А) существует ограниченный обратный (откуда будет
следовать, что R (А) есть подпространство). Пусть ср (х) ( D (А). Тогда
х
1 С
cf(.v)=— ^ /4'f (x) dxy и, в силу неравенства Буняковского, имеем
Отсюда следует, что А~1 на /? (Л) существует и ЦЛ!!^ 1.
Выясним возможность различных самосопряженных расширений опера-
оператора А. Мы знаем, чт;р для любого симметричного расширения А имеет место
соотношение A cz A CI А 1\ т. е. при таком расширении мы должны добавлять
к D (А) элементы из D (А*), и на этих добавляемых элементах г считать
Az = A*z. При этом надо заботиться о том, чтобы не потерять при расшире-
расширении симметрии оператора.
Представим И в виде:	_
В силу теоремы из [185], U состоит из нулей и(х) сопряженного оператора.
Но А*и = i —-j—t-, так что а (х) = const. Попробуем расширить А так, чтобы
R (А) расширилась до И и чтобы оператор остался при этом симметричным.
Для этого надо взять все решения уравнений А*ср = const и среди них выб-
выбрать те, на которых оператор D симметричен.
Очевидно ср (х) имеет вид ср (х) = 6\ (х -(- С). Подберем постоянные С и Сх
так, чтобы D на ср („г) был симметричен, т. е. чтобы
О = (Dcp,cp) - (ср,Dcp) = /ср (X) f(x)
лг=О
Отсюда имеем Сх — произвольное, а С =	-^ + ?'\ г^е ? — произволь-
произвольное вещественное число. Присоединим к D (А) элементы ср (x) = Ci(x— 9 +^')»
где Э — фиксированное вещественное число, а Сх — произвольное комплексное.
Полученное множество обозначим через D (Д), а оператор D на нем — через Д.
Легко проверить, что А есть симметричное расширение А.
С другой стороны, в силу самого построения А его область значений есть
все//, поэтому А является самосопряженным расширением А [187]. Добавляемые

188]	примеры неограниченных операторов	567
элементы такого расширения удовлетворяют, как легко видеть, граничному
условию
<Р A) = -^	ср @), т. е. -f(l)= е" ср @) @ < 0 < 2ic). B5)
Этому же условию удовлетворяют, очевидно, и элементы D (А). С другой
стороны, для любого элемента ср (х) из D (Л*), удовлетворяющего условию
B5), имеет место тождество
1	1
Ни\ ( Г\
dx
при произвольной о) (л:) из D(A). Поэтому такое y(x)?D(A*) и Л*ср =
= / у . Но Л есть самосопряженное расширение Л, т. е. А* = А и, следо-
следовательно, D (А) состоит из всех элементов из D (Лн), удовлетворяющих усло-
о
вию B5). Из сказанного следует, что W^ } [0, 1] = D(Л) состоит из
всех абсолютно непрерывных функций ср (х), равных нулю на концах и имею-
имею2№
щих ^^ из Ц [0, 1].
Мы построили всевозможные самосопряженные расширения Л, для ко-
которых R (А) = И. Каждое из этих расширений определяется произвольным
вещественным параметром р, или что то же, вещественным числом 0, изменя-
изменяющимся в пределах 0 < 6 <: 2гс.
Выясним еще возможность таких самосопряженных расширений Л' опе-
оператора Л, при которых R(A') = R(A).
Если такое расширение существует, то для него D (Л) дополнится лишь
нулями оператора Л*, т. е. элементами ср (х) = const. Оператор D на мно-
множестве D (Л) + const есть симметрический оператор Л', являющийся расши-
расширением Л. Множество D(A') можно охарактеризовать тем, что оно состоит
из всех тех элементов ср (л:) ??)(Л*), для которых ср @) = ср A).
Проверим, что D (A'*) = D(A'). Пусть ср (лг) ? D (Л1*), т. е. пусть при лю-
любой о (х) ?D (А1) имеем
Но D (A1*) <^ D (А*) и потому
1	1
лг=О
откуда, в силу <*>(х) ( D (А1) и B6), имеем 6 (х) = / у' и ср @) = ср A), т. е.
<р(лг) ( D{A')- Тем самым мы доказали, что А есть самосопряженное расшире-
расширение Л. если сравним граничное условие ср@) = срA)| которому подчиняются
функции из D(A'), с условием B5) для полученных ранее расширений, то
увидим, что оно соответствует значению 0=0 (или, что то же, значению р = оо).
Таким образом, мы перечислили все возможные самосопряженные расши-
расширения оператора Л. На ряду с ними Л имеет и различные несамосонряженные
расширения, но мы ими заниматься не будем.

568	прострлнстпо гильбкртл	[188
Самосопряженные расширения Л, соответствующие О^-О, имеют ограни-
ограниченные обратные Л. Действительно, если Л? = / \ = 0> то <р (х) = С
и, в силу D), должно быть С = е*®С, т. е. С = 0. Отсюда следует, что Л
существует, а так как он определен на всем // и есть самосопряженный опе-
оператор, то он и ограничен [186].
Оператор же Л' не имеет обратного на R (Л') = R (А).
2) Оператор D = / — в пространстве Н = L2(— оо, + оо).
Обозначим через Л дифференциальный оператор D, определенный на не-
непрерывно дифференцируемых финитных функциях <р (х). Легко проверяется,
что он симметричен и что D (Л) плотно в И.
Исследуем сопряженный оператор Л*. Функция 6 (х) ? D (А*), если для
всякой ср (х) ( D (Л) выполняется соотношение
-f- оо	-f- оо
I ^	J	Хх)**,	B7)
причем ф* (х) f L2 (—оо, + оо) и <J>* (х) = Л*'!> (х). Но из первого определения
обобщенной производной непосредственно следует, что D (Л*) есть множество
W^ (—оо, + °°)> т- е- множество функций из L2 (—оо, 4" оо), абсолютно не-
непрерывных на каждом конечном промежутке, имеющих производную из
L» (—со, + оо), и 6*(x) — D<\> (х). Покажем, что ее ли <р (х) (¦ W[)J (—оо, + ос),
то ср (х) —* 0 при х —* ± оо. Из очевидной формулы
I ? (-V) |2 = | ч (а) |2 + j -^3- ? {х) dx + j <f (x) ^L dx
a	a
и того факта, что ср (л:) и *у ' ( L2 (—оо, + оо), следует, что J ср (х) \ имеет
конечный предел при jc-*±oo и что этот предел должен быть равен нулю.
Исследуем теперь Л**. Функция 6 (х) ( Z) (Л**), если для всякой.
ср (л:) (D^*) выполняется соотношение B7), причем 6* (х) ? Z,2 (—оо, + оо)
и ф* (л:) = Л**6 (jc).
Принимая во внимание, что Л d Л* и Л** ci Л*, мы можем утверждать,
что всякая функция Ъ (х) из Z) (Л**) должна принадлежать D (Л*), т. е.
^2!)(—°°> ~т" °°)» и ^**'MJC) — D'I> (.v). С другой стороны, легко проверить
соотношение B7), считая, что ср (х) ( D (Л*), Ъ (х) $ W/Bh (— оо, + оо) и •}* (х) =
= / —т~~ ¦ Действительно, интегрирование по частям на любом конечном про-
промежутке даст:
Принимая во внимание, что у (х) и 6 (х) —> 0 при х—* dt оо, в пределе при
а—¦-f-со и &—* — оо, придем к соотношению B7). Из сказанного следует, что
Л** ="Л*, т. е. Л* есть самосопряженный оператор. Но мы знаем, что Л** = Af
и, следовательно, замыкание оператора Л приводит к самосопряженному опера-
оператору Л*.

1881	ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ	5G9
3) Оператор D = / -— в пространстве // = Z-L» @, -f- oo).
Пусть Л — оператор D на всех непрерывно дифференцируемых функциях,
финитных на бесконечности и в окрестности дг — О. При помощи рассужде-
рассуждений, совершенно аналогичных вышеприведенным, можно показать, что Л* есть
оператор D, D (Л;:) есть множество функций ср (дг) из //, абсолютно непрерывных на
любом конечном промежутке [0, а] с произвотнэл из L2 @, -f- °°) и D(A)=z
== D (А**) есть множество ср (л*) функции из D(Al:), удовлетворяющих условию
ср(О) = О, причем Л ср (л:) = / '* \ . Тем самым D(A*) шире D (Л), и А не
есть самосопряженный оператор, ибо (ЛI: = Л:-:. Покажем, что А не имеет само-
самосопряженных расширений. Пусть А такое расширение. Имеем: Лср = / —^	,ибо
Лс^Л:|:, и D(A) должно быть шире D(A). Но мы селчас докажем, что если
ср (дг) ( D(A), то ср (х) ( D (Л), и это противоречие и докажет, что Л не имеет
самосопряженных расширений.
Пусть cp(.v) ?D(A) и тем самым ср (дг) С D (А"*). Формула (Л?, 'f)=(-f, Ay)
приводит нас к равенству
4-оо	4оо
из которого, в силу ср (х) —+ 0 при х —* + со, следует, что ср @) = 0, т. е.
4(x)iD(A).
4) Оператор	^ 2 ¦ + q (х) ср (.г) в пространстве 12 @,1)-
Пусть q (х) — вещественная непрерывная на промежутке [0,1] функция, и
Л — оператор —-г-^г + Я (х) на множестве D(A) всех функций ср (х), со
следующими свойствами: ср (х) и —^	 абсолютно непрерывны при х ( [0,1],
ср @) = <р A) = 0 и —^ д ( 12 @,1). Нетрудно проверить, что Л — симметрич-
симметричный оператор и О (А) — плотно в /У.
iMbi будем предполагать, что q (х) таково, что уравнение — у11 -\- q (x) у = О
не имеет решения, равного нулю при л: = 0 и х= 1, кроме тривиального у = 0.
Докажем, что при этом R (Л) = //, откуда следует, что Л — самосопряженный
оператор.
Пусть f (x) ( L2 @,1). Надо доказать, что существует функция ср (х) из
D (Л), для которой Л? (л:) = / (л-).
Введем функцию
t -|	1 г ¦ t
К
.которая, очевидно, принадлежит D (Л), причем —-V' (х) =/(jc), и nycjb o> (x)
решение уравнения
- »" (дг) + ^ (.V) «з (х) = -q(x) 4 (дг),
удовлетворяющее условию со @) = со A) = 0. Такое решение (с непрерывными
производными до второго порядка) существует [IV; 173]. Нетрудно непосред-
непосредственно проверить, что функция ср (х) = <l (x) -f- <o (х) принадлежит D (Л) и

570	пространство гильбертл	[188
Лср (л:) = / (л:). Что и требовалось доказать. Таким образом, А — самосопряжен-
самосопряженный оператор. Оператор А имеет ограниченный обратный [IV; 173J
1
Л/(*)=- f G(x, t)f(t)dty
где G(x, t) — функция Грина оператора А при предельном условии <о @) =
= со A) = 0. Указанное выше условие относительно решений уравнения
— У" 4" <7 (х) У == 0> равных нулю, при л; = 0 и ;е=1, выполнено, если, напри-
например, q (х) ^ 0.
5) Оператора = (i)k -?	-— впространстве// = 12 (D),
oxt^.. ., dxik
где D — ограниченная область в Rn.
Пусть А есть оператор Dfe на всех /г-раз непрерывно дифференцируемых
финитных в D функциях ср (х). Известно, что D (А) плотно в //, и легко про-
проверить с помощью A23) из [109], что А симметричен. Область определения со-
сопряженного оператора Л* будет состоять из всех функций ср (х) ( L2 (D), имеющих
внутри D обобщенную производную вида Dfe, принадлежащую L2 (D) (это
следует из определения обобщенной производной). Ясно, что D (А*)
шире D(A). На R(A) существует ограниченный, обратный. Действительно,
пусть ср (л:) ?D(A). Продолжим ее нулем вне D и заключим D в куб: —а^
^Xi^a. Тогда ср (д:) можно представить в виде
х, х,
<Р (х) = \ .. - 1 (—• i)k Л ср (хи . . ., хп)
—а —а
откуда, используя неравенство Буняковского, легко получить
так что Л существует на R(A)} \\А~1\\^С и R(Л) есть подпространство Н.
Как будет доказано дальше в теории расширений операторов, для таких сим-
симметрических операторов существует по крайней мере одно самосопряженное
расширение.
6) Оператор — А = — J ~j^T в пространстве Я = 12 (D),
где D — ограниченная область в Rn.
Пусть Л есть оператор — А, определенный на всех дважды непрерывно
дифференцируемых финитных в D функциях, т. е. пусть D(A) = d B)(D).Мно-
B)(D).Множество С B) (D) плотно в Н. Если у (х) g D (Л), то
-Acp (x)i(x~)dx= J
k--=)
T|V	B8)
oxk 1
т. е. Л — положительный, а, следовательно, и симметричный оператор. Кроме
того, известно [114], что для всех ср(х) iD(A)
k=\

188]	ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ	571
с одной и той же постоянной С, зависящей лишь от размеров D. Из B8)
и B9) следует
li т IW» ^ СЧ л? W	C0)
т. е. Л положительно определен, и на R(A) существует ограниченный обрат-
обратный Л с !| Л1| ^ С2 и R(A) = R(A).
Как будет показано впоследствии, такие операторы Л допускают самосо-
самосопряженные расширения, причем каждому расширению соответствует некото-
некоторая краевая задача для оператора Лапласа. Здесь же мы выясним структуру
D (Л) и D (Л*). Возьмем ср (х) ( D (Л). Интегрированием по частям легко про-
проверить справедливость равенства
п
2» I дхдх *dX*	C1)
из которого, если учесть B8) и B9), следует
где С\ — некоторая постоянная, зависящая лишь от области. Пусть теперь
срт(х)(?>(Л), <рт(*)=>ср(х) и Л<рт(х)=>Л>(х). Из C2) следует, что
тогда срт (х) сходятся к ср (х) в норме W'22) (D), так что ср (х) будет принад-
принадлежать WB2> (D) и Лср == — Дер (*). Такое пополнение D (Л) мы обозначали
через W? (D) [113], так что ?>(Д) = #<2) (D).
Пусть теперь ср (х) ? D(A*). Это значит, что существует функция <Ь(х) ? //
такая, что тождество
— Д<о (а:) ср (л:) ^л- = \ со (х) ф (.с) (/л:	C3)
U
справедливо при всех <о (х) ? D (Л). Построим ньютонов потенциал
\
C4)
где kn — площадь единичной сферы в Rn.
Известно [II; 201], что если 6 (у) — непрерывно дифференцируемая функция,
то и (х) дважды непрерывно дифференцируема в /) и
— Ды (х) = 6 (х).	C5)
Мы покажем сейчас, что если ф (у) ? Ц (D), то и (х) — WB2) (D). Для этого
продолжим ^ (у) нулем вне D, построим усреднения fy (у) и рассмотрим функ-
функции
Они дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнению
— Дмр (х) = фр (х)	C6)

572	пространство гильбнрта	[188
При р —* 0 иР (х) и —4^—^ будут сходиться к и(х) и -у-¦¦'— в норме
OX I,	OXfi
L2(D{) [115], где Dt— любая ограниченная область. Будем считать, что и ле-
лежит строго внутри DL. В силу C6) можно утверждать, что для v (х) = и9 (х) —
— Up1 (x) верно равенство
C7)
где С (х) есть фиксированная неотрицательная, дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция, равная единице в D, нулю вне DL и удовлетворяющая
всюду услозию (легко показать, что такие функции существуют):
C8)
Используя формулу интегрирования по частям, преобразуем C7) к виду
Отсюда, используя неравенство | 2ab \ ^ ? | а р" -|	\Ь |2, справедливое
при любом е > 0, и неравенство C8), найдем
Возьмем е = 1 : 2С3. Тогда из последнего неравенства будет следозать
откуда мы можем заключить, что при р и р' —¦ 0 функция v (х) = ир (х) — и9. (х)
вместе со своими производными первого и второго порядков будет стре-
стремиться к нулю в норме L2 (D).
Следовательно, предельная для нр (х) функция и (х), определяемая интег-
интегралом C4), будет принадлежать W\(D) и будет удовлетворять уравнению C5).
Поэтому для нее Берно тождество

188J	ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ	573
при любой to (х) ( D (Л). Вычитан его из C3), получим для <р (х) тождество
- Д<о (дг) [ср (л-) - и (л-)] </л; = 0.
В [119] нами доказано, что из этого тождества следует гармоничность
функции <р (х) — и (л*), причем для любой гармонической в D функции, со-
соответствующее тождество верно.
Таким образом, для ср (х) ( D (Л*) мы получили следующее представ-
представление:
где •!> (х) ( L2 (D), a v (х) гармоническая в D функция, и так как ср (х) и
интеграл принадлежат L2 (D), то и ^ (х) ( L2 (D). Легко проверить, что
любая функция ср (х) такого вида входит в D (Л*) и
Л*ср = - Дер (х) = >1 (х).
7) Оператор—А = — Л — -9 в пространстве Н = L2 (/?л). Мы
1=1
рассмотрим сначала не сам оператор — Д, а один из операторов —Д + Х?"
с каким-либо вещественным X. Возьмем X положительным, например, равным
единице. Это гарантирует нам, как мы увидим ниже, наличие ограниченного
обратного у —А + ? и облегчит тем самым, решение задачи о самосопряжен-
самосопряженных расширениях оператора.
Итак, пусть Л есть оператор —А + Я, определенный на дважды непре-
непрерывно дифференцируемых финитных функциях ср (,v). Известно, что D (Л)
плотно в //, и легко видеть, что — А + Е симметричен. Из рассмотрений
предыдущего примера следует, что элементы из D (Л) и D (А*) имеют
обобщенные производные до второго порядка включительно, квадратично
суммируемые по любой конечной области I) из Rn. Оператор Л* вычисляется
п
на D(A*) как дифференциальный оператор
п
— \ ° У \
к дх1
/
дх1
У (•*)
к 1
Покажем, что D (Л) = V^ (Rn). Во-первых, D (Л) с= Wi22] (/?„), ибо если
<?m(x)$D(A) и <?п(х)=>ч(х), Лсрт(х)=>Лср(л'), то из B8) и C1)
следует, что
п
И 2
д* (у, (X) -
= J [- A (cpz (.V) - cpm (a-)) ('fTW - i
+ !| A (-ft — 'f
при / и т — oo.
Докажем обратное включение, т. е. что W\*> (?>п) сз D (А). Пусть ср (х) $
W{V (Rn). Строим последовательность функций 6m(*) = 'fi- (x);m(x).

574	пространство гильверта	[188
где cpj_ (дг) есть усреднение ср (,\г) с радиусом—, а функции ?,т (г) — дважды
т	М
непрерывно дифференцируемые финитные функции, определенные при г ^ О
следующими свойствами:
II при 0 ^ г ^ /я,
О при г^ш+1,
(;m_i (г—1) при /л <; г ^Г m + 1,
а См (г) ^ 1 есть гладкая неотрицательная функция, равная нулю при г^1.
Каждая фт (*) ? D (Л). Докажем, что «^ (л*) —> <р (д-) при т—*оо в
норме WT (^л)- Разбивая в выражении нормы W* (Rn) интегрирование по Rn
на два: по части, где |л*| ^ /, и части, где |jc| ^> /, получаем
II? - Ы wl(Rn) = I* - W U7| ( \x\ ^ l) + 'i'f - *mW| ( И ^ /).
Пусть задано е >> 0. Второе слагаемое может быть сделано ^С -»¦ для всех ш,
если взять / достаточно большим. Эго следует из №".v* D , <-f оо из ио-
строения функций Ст (х) и свойств усреднений функции <р (л*) и ее обоб-
обобщенных производных. Зафиксируем / указанным образом. При т > / имеем
6т (х) = cpj^ (х) при \х\ ^ / и cpj (х) — <f (х) в норме W| (|л"| ^ /).
т	т
Отсюда следует, что при всех достаточно больших т имеет место нера-
неравенство
W\ ( \х\
\ И п? —
Из сказанного вытекает включение W§(Rn) cz D JA), и тем самым можно
считать доказанным, что D (A)= Wl(Rn). Покажем, что Л = Лi:,т.е.,что
Л — самосопряженный оператор. Для этого достаточно прозерить, что область
значений оператора Л есть все L2(Rn). Будем для простоты считать я = 3.
Возьмем любую финитную непрерывно дифференцируемую функцию ср(х) ? ?2(#/i)-
Функция
как известно[IV; 231], дважды непрерывно дифференцируема,удовлетворяет урав-
уравнению— Дм -f- и = ср и экспоненциально убывает при |л*| —• оо вместе со своими
производными, так что заведомо и (х) ? W'i (Rn). Следовательно, (и (х) ( /)(Л))>
Лм = ср и область значений R{A) оператора Л плотна в Н.
Покажем, что на R (А) существует ограниченный обратный Л. Из этого
уже будет следовать, что R (Л) есть подпространство и потому R(A) = H.
Итак, пусть v (х) ( D (Л) и —Д г; (л:) -f-1> (л*) = 'l> (x). Умножим это равен-
равенство на v (х) и проинтегрируем по Rm после чего преобразуем его с помощью
интегрирования по частям:
п
ф (х) v (x) dx = 1 7 . + It; (x) \2 \dx.
J I hm dxk ' ! J
Rn	*nk=l
Отсюда, в силу неравенства Коши, имеем
1Ик« (Rn) < №:1, (/?„> = :i-4»;'?, (Ля),
т. е. действительно А~1 существует на R(A) и ЦД,!^!.

189]	СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	575
Этим заканчивается доказательство того, что А =Л1\ или, что то же, того,
что замыкание оператора А приводит к его (единственному) самосопряжен-
самосопряженному расширению, причем D (А) = W$ (Rn). Это же имеет место и для — А =
= Л — В, т. е. оператор—Л самосопряжен на W\ (Rn). Однако, в отличие от
— Л + Е, оператор — Д не имеет ограниченного обратного (нетрудно показать,
что обратный для — А существует, но не ограничен).
189. Спектр самосопряженного оператора. Как и в [128], до-
доказывается, что собственные значения самосопряженного оператора
вещественны, а собственные элементы, соответствующие различным
собственным значениям, ортогональны, и самосопряженный оператор
порождает ортонормированную систему собственных элементов.
Отметим, что, в силу замкнутости самосопряженного оператора,
собственные элементы, соответствующие фиксированному собствен-
собственному значению (включая нулевой элемент), образуют подпространство.
Определения регулярной точки оператора и точки спектра те же,
что и в [129]. Докажем теперь для самосопряженного оператора
теоремы, аналогичные теоремам из [129].
Теорема 1. Если X — не собственное значение самосопряжен-
самосопряженного оператора А, то линеал R(A — \Е) плотен в И.
Если X — вещественное число, то А — Х? — самосопряженный
оператор, и утверждение теоремы есть следствие теоремы I из [187].
Пусть X — невещественное число. Если бы мы имели R(A — \Е)^? Н*
то существовал бы ненулевой элемент z, ортогональный к
\E), т. е.
((А — Щ x,z) = О или {{А — Щ x,z) = (*,0).
Отсюда следует, что z? D(A) и (А — \E)*z = (A— X?)z = 0,
т. е. Лг=-'Х<г, что нелепо, ибо А может иметь только веществен-
вещественные собственные значения.
Теорема 2. Для того чтобы X была регулярной точкой
спектра самосопряженного оператора А необходимо и доста-
достаточно существование такого положительного числа р, что
||(А - Щх\\^р ||Ц (* б D(А)).	C9)
Невещественные значения X суть регулярные точки самосо-
самосопряженного оператора.
Доказательство то же, что и в [129], с той лишь разницей,
что вместо непрерывности А надо воспользоваться его замкнутостью.
Как и в [129], получаем из доказанного следующее следствие:
точки спектра образуют замкнутое множество.
Дальше мы увидим, что всякий самосопряженный оператор имеет
по крайней мере одну точку спектра.
Невещественные значения X суть регулярные точки самосопря-
самосопряженного оператора Л, поэтому дальше будем говорить лишь о вещест-
вещественных X. В этом случае оператор (А — ХЕ) — самосопряженный,

576	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБНРТА	[189
Пусть X — не есть собственное значение. Если R (Л —- \Е) = Н, то
замкнутый оператор (Л — X/:), определенный на всем Я, ограничен,
т. е. X — регулярная точка.
Наоборот, если R (Л— Х?) не есть Я, то из теоремы 3 [187]
следует, что (Л — №)~1 есть неограниченный на R (Л — ХЕ) опера-
оператор. Мы приходим к следующей теореме:
Теорема 3. Пусть вещественное X — не есть собственное значе-
значение. Если R(A—Х?)= М, то X—регулярная точка, и если линеал
R(A — кЕ) не все Н (этот линеал плотен в Н), то X — точка
спектра.
Рассмотрим теперь тот случай, когда X есть собственное значе-
значение, и обозначим Рх — подпространство соответствующих собствен-
собственных элементов (включая нулевой элемент). Имеется единственный
оператор, для которого РА = Н, это — оператор умножения на чис-
число X: Ах = \х при всех х ? Н. В остальных случаях подпростран-
подпространство Рх — правильная часть И.
Покажем теперь, что Р} есть множество элементов х> ортого-
ортогональных линеалу (А — kE) z (z ? D (A)).
Действительно, из ((А — IE) z,x) = 0 следует, в силу самосопря-
самосопряженности (А — \Е), что х ? О(А) и (А — кЕ)х = 0, и, наоборот,
если х? D(A) и (А — кЕ)х=0, то ((Л — \E)z,x) = 0. Отсюда сле-
следует, что подпространство Qx, дополнительное к Ях>
есть замыкание линеала элементов у, определяемых формулой:
•т. е. Q} = R(A — IE). Представим элемент z из D(A) в виде
2 = 2,-|-г*, где z, ? Рх и z.2 ? Qx. Из определения Рх следует,
что 2i ? D (Л) и Лг! = Х2ь а потому и 2.2 = 2 — z{ ? Ь(Л), т. е.
проекция линеала /3(Л) на Qx есть линеал из D (А). Обозначим его
через D}(A). Это есть, очевидно, линеал тех элементов <?х, кото-
которые принадлежат D(A). На этом линеале определен оператор А,
и нетрудно видеть, что если у ? Dx (Л), то Ay ? Qx. Действительно,
по условию (у,х) = 0, если л* ? ^ (Л) и удовлетворяет уравнению
Аг = Хлг и потому (Л_у,х) = (з/,Лх) = (_у,Хлг) = 0. В силу сказанного
выше мы можем рассматривать оператор Л как оператор в подпростран-
подпространстве Q}, которое мы можем считать новым пространством Я. Обозначим
этот оператор через Лх, так что Лх определен на DX(A) и Аху =
= Ау, если у $ DA(A). Вместо DA(A) мы можем писать D (ЛД сле-
следуя обычному обозначению.
Из одной общей теоремы, которую мы докажем в [191], следу-
следует, что D(A}) плотно в Qx и что Лх есть самосопряженный а Рх
оператор. Значение X, по самому построению Qx, не может быть
собственным значением Лх, но может быть как регулярной точкой Лх
так и точкой спектра этого оператора. В первом случае (Лх — Х?J

189]	CIII-KTP САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	577
(z^D(A})) преобразует О (Л}) в пэлное пространство Qx, a no
втором — в линеал плотный в Q}. Вместо (Лх— \E)z мы можем
писать (Л —XE)z. Для всех z из Рк мы имеем (Л — X/;)z = 0.
Сказанное выше приводит к следующей классификации значений X.
I.	Регулярные значения X, для которых характерным является
тот факт, что R (Л— ХЕ) = //, и существует ограниченный обрат-
обратный оператор (А — 1Е)Л.
II.	Значения X, для которых R (А — Х?) есть линеал, отличный
от Ну и R(A — ХЁ) = Н. На R(A— Х?) существует обратный
неограниченный оператор (А — Х?) !. Обычно говорят, что такие
значения X принадлежат непрерывному спектру.
III.	Значения X, которые являются собственными значениями Л,
и для которых Лх имеет X точкой регулярности. Для таких зна-
значений R (А — ХЕ) есть подпространство, не совпадающее с И. Про
такие значения X обычно говорят, что они принадлежат только точеч-
точечному спектру.
IV.	Значения X, которые являются собственными значениями А и
для которых АА имеет X точкой спектра. Для таких значений R (А —
не есть подпространство, а есть линеал, замыкание которого
R(A — Х?) есть подпространство, не совпадающее с Н. Про тчкие
значения X говорят, что они одновременно принадлежат" точечному
и непрерывному спектру.
В спектре самосопряженного оператора А могут и отсутствовать
некоторые типы значений X. Но для ограниченных самосопряженных
операторов мы доказали, что спектр будет содержать по крайней
мере одну точку. Нетрудно видеть, что то же имеет место и для
неограниченного самосопряженного оператора А. Действительно, по-
положим, что при всяком вещественном X оператор (Л — \Е) имеет
ограниченный обратный. Мы имеем очевидное равенство
у(Л — Щ А'] = у — Л (X ф 0),
причем обе части представляют собой самосопряженный ограничен-
ограниченный оператор. Из указанного предположения и написанного равен-
равенства следует, что R(\x — Л) при любом вещественном \х есть
все Ну а это противоречит тому, что ограниченный оператор Л
имеет точки спектра.
Дальше будет показано, что у неограниченного самосопряжен-
самосопряженного оператора имеется бесчисленное множество точек спектра, рас-
расположенных вне любого фиксированного промежутка оси X.
Если X не собственное значение Л, то оператор
/?Х = (Д — ХЯ)-1,	D0)
как мы знаем, называется резольвентой опеоатора Л. Он опре-
определен на R(A — X/f) и преобразует этот линеал биоднозначно в D(A)t

578	пространство гильбертл	[190
Из определения обратного оператора следует, что если х ? D (А) и
/?хл; = 0, то х = 0 (ср. [144]). Как и для ограниченных операторов
имеет место формула
l
Если X — вещественное число, то она следует из самосопряжен-
самосопряженности R\. При комплексном X она вытекает из формул (Л — \Е)* =
= Л — \Е и [(А — \Е)~1]* = [(А — \Е)*]~1. Если X и \х — регуляр-
регулярные значения, то совершенно так же, как и для ограниченных опе-
операторов, доказывается формула [144]:
190. Случай точечного спектра. Говорят, что самосопряженный
оператор А имеет точечный спектр, если ортонормированная система
его собственных элементов полна в И. Пусть xk(k = \, 2,...) — эта
система, каким-либо образом пронумерованная, и Хь — соответству-
соответствующие собственные значения: Axk = \kxk. По условию любой эле-
элемент х ? Н представим своим рядом Фурье
x=%akxk,	D3)
Теорема 1. Для того чтобы х принадлежал D (А), необходимо
и достаточно, чтобы сходился ряд
и если это условие выполнено, то
D5)
Если х ? D (А), то коэффициент Фурье элемента Ах есть (Аху xk) =
= (jc, Ллг^) = (лг, ХЛлгЛ) = ХЛаЛ, откуда вытекает сходимость ряда D4).
Положим, наоборот, что ряд D4) сходится, и докажем, что х ? ?>(Л).
Из сходимости ряда D4) следует, что мы можем построить элемент
и, обозначая через уп отрезок ряда D3), имеем уп ^ D (Л), ^Ул^^-^*
и Ауп=>х*, откуда, в силу замкнутости оператора Л, следует, что
х ? />(Л) и Лх = х'. Теорема доказана.
Мы видели раньше, что вполне непрерывный самосопряженный
оператор имеет чисто точечный спектр, причем при любой нумерации
собственных значений \k — > 0 при k —- оо. Укажем, еще на один важ-
важный случай самосопряженного оператора, имеющего точечный спектр.

190]	СЛУЧАЙ ТОЧЕЧНОГО СПЕКТРА	579
Пусть А — самосопряженный оператор, имеющий пиолпе непрерыв-
непрерывный обратный А']. Из определения обратного оператора следует,
что уравнение А~1х=0 не имеет решений, кроме тривиального х = 0.
Вполне непрерывный самосопряженный оператор А~1 имеет точечный
спектр, и его собственные значения \xk(k=\, 2,...) можно про-
пронумеровать в порядке не возрастающего абсолютного значения:
| jij |;^51 (л.21 ^..., причем, в силу сказанного выше, \xk ^Ь 0 при всех
значениях k. Обозначая через хк соответствующие собственные эле-
элементы, образующие оргонормированную систему (полную в //), можем
написать A~lxk = \xkxk, откуда непосредственно следует, что Axk =
= \kxk, где Xk=—. Принимая во внимание сказанное в [136], мы
приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Если самосопряженный оператор А имеет вполне
непрерывный обратный А~х, то А имеет точечный спектр, все его
собственные значения имеют конечный ранг и во всяком конечном
промежутке имеется лишь конечное число собственных значений А.
Из сказанного следует, что собственные значения Xfe такого опе-
оператора А можно пронумеровать в порядке неубывающего абсолют-
абсолютного значения | X,1 ^ | Х21 ^..., причем | \k | —* \- оо при k —- оо.
У оператора с точечным спектром спектру могут принадлежать
не только собственные значения. Например, если X есть точка сгу-
сгущения 1к, то она обязательно принадлежит спектру, ибо регулярные
точки образуют открытое множество. Докажем, что остальные зна-
значения X не принадлежат спектру.
Теорема 3. Если самосопряженный оператор А имеет то-
точечный спектр, то всякое вещественное значение X, отличное от
собственных значений и не являющееся точкой сгущения этих
значений, есть регулярная точка А.
По условию существует такое положительное число т, что
|ХЛ — \\^т при всех k. Пусть х ? D (Л). Из D3) и D5) следует
откуда и следует регулярность точки X. Иногда говорят, что в рас-
рассматриваемом случае А имеет чисто точечный спектр.
Если самосопряженный оператор А не имеет собственных значе-
значений, то говорят, что он имеет чисто непрерывный спектр. В этом
случае мы имеем представление любого элемента х из И уже не
в виде ряда Фурье D3), но в виде суммы интегралов [ср. 149]. В даль-
дальнейшем покажем, что для всякого самосопряженного оператора можно
отделить точечный спектр от чисто непрерывного спектра, анало-
аналогично тому, как мы в [189] отделили одно собственное значение
от остальной части спектра. Для этого нам надо ввести некоторые
новые понятия. Они представляют и самостоятельный интерес в тео-
теории операторов.

580	пространство гильппртл	[191
191. Инвариантные подпространства и приводимость опера-
оператора. Прежде чем вводить понятие инвариантного подпространства,
выясним понятие коммутирования ограниченного заданного на всем Н
оператора В с оператором А, заданным не во всем Н.
Определение. Говорят, что ограниченный везде заданный опе-
оператор В коммутирует с оператором А при соблюдении следую-
следующих условий: I) если х ? D(A), то и Вх ? Ь(А); 2) если х ? D (А),
то ВАх = АВх.
Если А — везде заданный ограниченный оператор, то первое усло-
условие отпадает, и мы имеем прежнее определение коммутирующих опе-
операторов.
Теорема 1. Для того чтобы В коммутировал с самосопря-
самосопряженным оператором А, необходимо, чтобы он коммутировал
с резольвентой R; при всяком регулярном значении X и достаточно
чтобы он коммутировал с Rx хотя бы при одном регулярном X.
Коммутирование В и Rx (при регулярном X) есть обычное ком-
коммутирование, которое мы определили раньше (BRxx= RxBx при
х? Н). Пусть В коммутирует с Л, X— люооэ регулярное значение
и j/ — любой элемент Н. При этом Rxy и BRxy ? Ь (Л) и, кроме
того, имеем
= BARxy.	D7)
Но (А — \E)R}y=y, откуда ARxy = (kRx -|- В)у, и D7) перепи-
переписывается в виде
ABRxy = \BRxy-\-By, т. е. (А~-Щ BRxy = By. D8)
Применяя к обеим частям последнего равенства Rx, получаем
BRxy = RxBy> и необходимость доказана.
Положим теперь, что существует такое регулярное значение X,
что BRxy = RxBy. Из вида правой части следует, что обе части из
D(A) при любом у~ Н. Если у пробегает все Ну то x = Rxy про-
пробегает все D(A), и из указанного равенства, следует, что если х? D(A),
то и Вх ? О (А). Применяя к обеим частям упомянутого равенства
оператор (А — \Е), получим D8) и D7), а D7) можно переписать
в виде АВх = В Ах при х ? D (Л), и достаточность т'акже доказана.
Следствие. Если В коммутирует с Rx при каком-либо одном
регулярном значении X, то он коммутирует с Rx и при всех регу-
регулярных значениях X.
Переходим теперь к определению инвариантного подпространства.
Определение. Подпространство L называется инвариантным
подпространством для оператора А при соблюдении следующего
условия: если х ? D(A) и х ? L, то и Ах ? L.
Если L инвариантное для А подпространство и Di(A) есть линеал
элементов х> принадлежащих одновременно D (Л) и L, то Л инду-
индуцирует в L оператор Аь который определен на DL (Л) и равен Л.
Подпространство L можно рассматривать как пространство Гильберта

1911 инвариантные подпространства и приводимость оператора 581
(оно может быть и конечномерным). Как мы в дальнейшем увидим,
существенно, чтобы не только L, но и дополнительное подпростран-
подпространство HQL было инвариантным для Л, и чтобы проекция любого
элемента х ? D (А) на L также принадлежала D(A). Это приводит
нас к следующему определению.
Определение. Говорят, что подпространство L приводит
оператор А при соблюдении следующих условий: 1) L и М = HQL
суть инвариантные для А подпространства; 2) если х ? D (А),
то и проекция х в L принадлежит D (А).
В дальнейшем через Рк будем обозначать проектор в подпрост-
подпространство Л\ Мы имеем
D9)
Если х ? О(АI то из определения следует, что PLx ? D(A),
и тем самым Рм-Х ? D (А), т. е. если L приводит А, то и М приво-
приводит А. Пусть Л, и А2 — те операторы, которые оператор А инду-
индуцирует в L и М. При этом для любого х ? D (А) имеем
Ах= A, (PLx) -f A2 (/>M*),	E0)
и мы расчленили, таким образом, оператор А на операторы Л, и А2,
действующие в L и УИ.
Теорема 2. Для того чтобы подпространство L приводило
оператор А, необходимо и достаточно, чтобы Pi и А коммути-
коммутировали.
Начнем с доказательства необходимости. Пусть L приводит Д.
При этом из определения приводимости следует, что если х ? D (А),
то и PLx ? D(A). Остается доказать, что PLAx= APiX при х? D(A).
Мы имеем формулу E0), причем Ау{Р^х)^ L и А.г(Рмх) ? М. При-
Применяя к обеим частям E0) оператор Р/., получим
что и требовалось доказать.
Переходим к доказательству достаточности. Из условия комму-
коммутирования PL и А следует, что если х ? D(A), то и PLx ? ?>(Л).
Остается доказать, что если х? D(A) и х ? L, то Лх ? L и ана-
аналогично для /И. Первое непосредственно следует из формулы PLAx=
z=APlX, левая часть которой очевидно принадлежит L, а правую
можно представить в виде APlx = Ах, ибо л* ? L. То же верно и
для Му ибо если Л коммутирует с PLj то Л коммутирует и с Ям-
Перейдем теперь к тому случаю, когда А — самосопряженный
оператор.
Теорема 3. Для того чтобы инвариантное для самосопряжен-
самосопряженного оператора А подпространство L приводило этот оператор,
достаточно потребовать, что из х (: D(A) следует Pl*(: D(A).
Нам П1до показать, что из условий теоремы следует, что если
V ? D (Л) и у ? М, то и Ау ? М.

582	пространство гильверта	[191
Для такого элемента у и любого х ? D(A) имеем (Pi^Ay, x) =
= (у, APiX). Но по условию APiX ? L, откуда (у, APix) = 0 и
тем самым (PiAy, х) = 0 при всяком х ? /)(Л). Но линеал D(A)
плотен в Н, откуда PiAy = 0, т. е. Ау ? Ж; что и требовалось
доказать.
Обозначим, как и выше, через Dl(A) проекцию D(A) в L, т. е.
линеал тех элементов L, на которых определен оператор А, и через
Ai — оператор, который индуцируется оператором А в L.
Теорема 4. Если подпространство L приводит самосопряжен-
самосопряженный оператор А, то DL(A) плотно в L и Ai есть самосопряжен-
самосопряженный в L оператор.
Пусть у — заданный элемент L и е^>0 — заданное число. Надо
показать, что существует такой элемент х ? А. (Л), что jy — лг[|^е.
Линеал D(A) плотен в //, и потому существует такой элемент
z ? D(A), что \\у — -г|]^е. Тем более \РьУ — /^f^e. Но PLy=y
и PLz ? DL(A), и первое утверждение теоремы доказано. Остается
показать, что если для любого х ? Dl (Л) имеется равенство
(ALx,y) = (x,y*),	E1)
где у и _у* ? L, то j> ? ^i(^) и _у* = Л^_у- Мы можем положить х =
= PLz, где <г — любой элемент D(A), и получим (APiZ, y) =
= (PlZ> У*) или, в силу теоремы 2 (Р/.Аг, _у) = {PlZ, у*), откуда
(Az, PLy) = (z, PLy*) и (Аг, _у) = (г, у*), ибо у и _у* $ L. Из послед-
последнего равенства, в виду самосопряженности Л, следует, что у ? D/, (Л)
иу* = Ау = А1у, и теорема доказана. Этой теоремой мы пользовались
в [189].
Пусть Z,^ (^ = 1, 2, ...) попарно ортогональные подпространства
и L их ортогональная сумма [139]:
Z. = Li © L2 © ...
Теорема 5. ?ош попарно ортогональные подпространства Lk
приводят замкнутый оператор А, то и их ортогональная сумма
приводит Л.
Будем доказывать для случая бесконечного числа слагаемых. Нам
надо доказать, что операторы PL и Л коммутируют. Пусть Qn —
проектор, равный сумме первых п из PLk. Если х ? D (Л), то, по-
поскольку Lk приводят Л, имеем Qnx ? /)(Л) и Л(?л.г = (?лЛлг. Но
Qnx==>PLx и ЛС?пх = EпЛх==>Р1Лх, откуда, в силу замкну-
замкнутости Л, и следует, что PLx ? D (Л) и ЛР/.х = Р^Ллг, что и требо-
требовалось доказать. Пусть Л — самосопряженный оператор, \k — его
различные собственные значения и Lk — соответствующие подпрост-
подпространства собственных элементов (включая и нулевой элемент). Число
этих подпространств может быть и конечным. Каждое Lk очевидно
приводит Л. Составим их ортогональную сумму L. Если L есть все

192| РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	583
Н, то А имеет точечный спектр. Если это не так, то мы	имеем
ортогональное разложение И:
(х?Н),	E2)
причем L и М приводят Л, и этот оператор индуцирует в L и М
операторы Л{ и А2так, что Ах = А\ (Pix)-\- А%(Рмх), причем Ах (PLx)=
= A(Plx) и А2 (Рм*) = А {Рм-х) при х ? D(A). Оператор Ах имеет
в L\ точечный спектр, а оператор А2 — чисто непрерывный спектр
в М.
192. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса. Переходим
теперь к изложению теории спектральной функции (разложение еди-
единицы) для самосопряженных операторов. Оно будет во многом
аналогично случаю ограниченного самосопряженного оператора. Мы
будем подчеркивать те места, в которых нужно учитывать неограни-
неограниченность оператора.
Назовем разложением единицы семейство проекторов gx,
зависящее от вещественного параметра X на промежутке (—оо, -f~°°)
и удовлетворяющее следующим условиям: 1) если р^>К то gy^&x'»
2) Sx стремится к оператору аннулирования при X—*—оо и gx—*E
при X —* -(- оо; 3) gx непрерывен справа, т. е. gx—* gx, при X — Х'-{-0.
При этом §х^ =f= g(xgx = gx при X<ja, и если А есть некоторый
промежуток [а, р], то, обозначая Agx = g —ga, мы имеем, как и
раньше,
A'gxxJ_A"gxx,	E3)
(А' и А" без общих внутренних точек)
(Ао — общая часть А' и А").
Пусть 8 — некоторое разбиение промежутка (—оо,-f-схэ)'.
причем верхняя граница оM разностей \k — Хл_ь (k = 0, ± 1, =t 2,...)
конечна. Составим бесконечную сумму
-f оо	-f оо
2 V Д*8х* = 2 lk (Sxft - gXft_,) х,	E5)
fe = — CO	fe = — CO
где Xfe_t ^Xfc'-<:Xfe и л: — некоторый элемент Я. В силу E3), эта
сумма состоит из попарно ортогональных элементов и для ее сходи-
сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд [121J
Н- со	-{-со
fc =*— ao	fc = — qo

584	пространство гильбертл	[192
Этот ряд представляет собой сумму аг [3] для интеграла
-j- со
J	E7)
и известно [б], что если ряд E6) сходится при некотором разбие-
разбиении о и некотором выборе лЛ', то он сходится при всяком разбиении
и всяком выборе Хл'. При этом предел сумм E3) при а>6 —> О равен
интегралу E7) и существование этого интеграла как несобственного
интеграла равносильно сходимости сумм E6). Таким образом, мы имеем
право рассматривать суммы E5) для таких элементов х, для которых
сходятся ряды E6), или, что то же, для которых интеграл E7) имеет
конечное значение. Обозначим множество таких х через /. Принимая
во внимание, что
I! Д *8х (¦* +у) ||2 < A ДЛ8Х* :| + |: Ь^у || Г < 2 \\1}$хх IJ ¦+ 21) А,§ху f,
можем утверждать, что если х ? I и у ? /, то и х -f- у ? /. Кроме того,
очевидно, что если х ? / и а — комплексное число, то ах ? /, т. е.
/есть линеал. Если х принадлежит тому подпространству, куда
проектирует оператор g> — ?а, то слагаемые суммы E6), для которых
Х/?_1^>р или Х^<^а, равны нулю, т. е. такие х принадлежат /. При-
Принимая во внимание, что g»3 — $а —> Е при а—* — оо и $ —*• -(-оо, можем
утверждать, что л и н е а'л /повсюду плотен в Я. Далее, если
х ? /, то совершенно так же, как и в [141], мы можем показать,
что суммы E5) имеют определенный предел в смысле сходимости в И
при со5 — 0. Этот предел естественно обозначить в виде интеграла
Стилтьеса, и он определяет на линеале / некоторый дистрибутивный
оператор Ах:
-f оо
Ах= f U&xx.	E8)
Линеал / мы обозначим, как всегда, через D(A). Напомним, что
он состоит из тех элементов х, для которых интеграл E7) имеет
конечное значение. Перемножая скалярно сумму E5) на себя, принимая
во внимание E4) и переходя к пределу, получим
+ СО
J	= ;| Ах f (х 6 D (Ах)),	E9)
причем этот интеграл есть предел сумм E6) при со^ —* 0, или его
можно понимать как несобственный интеграл с бесконечными пре-
пределами. Умножая E6) скалярно на любой элемент у и переходя

192]	РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	585
к пределу, будем иметь выражение билинейного функционала:
(Ах9у) = J М(%хх,у)	F0)
— оо
(*6 О(А);уг Н),
и написанный интеграл есть предел соответствующих сумм о5 при
оM—¦ 0. Если заменить у на (g —$а)У> то> и СИЛУ (p-i), получим
т. е. интеграл F0) можно понять как обычный несобственный
интеграл Стилтьеса, причем (&\Х,у) есть функция ограниченной
вариации.
Отметим, что бесконечный промежуток (— оо, -f~ °°) имеет
конечную меру относительно неубывающей функции |]g»xxli2> и инте-
интеграл E7) мы можем толковать и как интеграл Лебега — Стилтьеса
от неограниченной неотрицательной функции X'2 по множеству
конечной меры [50].
Пусть х — любой элемент Н. При этом (g —ga) x принадлежат
тому подпространству, куда проектирует (g —ga) и, как мы видели
выше, отсюда следует, что (g — ga) x ? D(A) при любом выборе
элемента х. Этого нельзя уже утверждать относительно элемента g^x.
Но если х? D(A), т. е. ряд E6) сходится, то, в силу [| Afegx (g^*) || =
= |!gll>AfegxJcil!^j| Д^лс||, ряд E6) сходится при замене х на %^х>
т. е. если х ? D(A)> той fa^x ? О (А) для любого \х. Считая
х принадлежащим D (Л), заменим в сумме E5) х на g;ajc, принимая и.
за одну из точек деления (jj, = Xp). При этом все слагаемые при k^>p
обратятся в нулевой элемент, а слагаемые при k^p останутся
неизменными, и в пределе мы получим
F2)
Написанный интеграл является пределом сумм вида E5) при раз-
разбиении промежутка (—со, jx) на часги. С другой стороны, если мы
применим к сумме E5) оператор g , который ограничен а потому
и, переходя к пределу при а — — со и ji —* -f- со, будем иметь
F1)

586	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[192
непрерывен, то сказанное выше о слагаемых остается в силе, и
в пределе при u>s — 0, учитывая непрерывность g^, получим
F2,)
сравнивая с F2), можем написать
$,v.Ax = A&v.x	F3)
Совершенно так же, при любом х будем иметь
F4)
Если х ? D (А), то из F2) следует, кроме того,
(8, — 8.) А* =
и, устремляя а к (— со) и (J к (-)- оо), получим
J r ==> Ллг,	F5)
т. е. интеграл E8), как и E7) можно толковать как несобственный
интеграл. Из предыдущих формул непосредственно следует
, у) = (]^Ах, у) = J U ($хх, у)
— ОО
Щ —8.) х, у) = J
(* € М у 6 Я).

192|	РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА	587
Если не только ху но и у принадлежит D (Л), то, подставляя в E6),
у вместо х и умножая слева скалярно на х, получим
(х, Лу)=
Сравнивая с F0) и принимая во внимание, что (х, $ху) = ($хху у)у
мы получим (Ах, у) = (х} Ау)> т. е. А есть симметричный оператор.
Покажем теперь, что А — самосопряженный оператор. Для этого
достаточно показать, что если z ? D (Л*), то z ? D(A). Пусть Ь — не-
некоторое разбиение промежутка (— оо, -}- °°) и Р/ ~ подпростран-
подпространство, определяемое проектором gx —§х-у. Если х ? Pjy то в сум-
суммах E5) и E6) все слагаемые при k^j-\-\ и k^—j равны нулю,
элемент х ? D(A) и при/'-f- 1^>&^>—j подпространства, определяе-
определяемые проекторами Aftgx, входят в Pjy так что сумма E5) и ее пре-
предел Ах принадлежат Р;. Отсюда следует, что Ах ? D (А) и что
Агх ? Ру. Положим, что <г ? Z) (Л*), и докажем, что z ? Z) (Л). Пусть
z;-— проекция г в Ру, так что Zj $ ^)(Л), а потому гу- ^ D(Л*). При
этом элемент (z — zj) также принадлежит D(A*) и ортогонален Р;.
По определению Л* мы имеем (Alzjyz — Zj) = (Azjy A* (z—Zj)). Но
A*Zj ? Pj и z — Zj ортогонален Pjy и потому
Принимая во внимание очевидное равенство
(A*z, A*z) = (A*{z — zf\ A*(z —
предыдущую формулу и A*zf = AZj, мы получим
|! А*г f = \А*{г- г,) f + (| Лг, \?,	F7)
откуда
\Az,t<LiA*zf.
Рассмотрим сумму E6) при x = zf. У нее все слагаемые при
k ^j -f- 1 и- k ^ —j равны нулю, а у остальных слагаемых, в силу E4),
Таким образом, в пределе сумма E6) в силу E9) дает
и, в силу F7),

588	пространство гильбкртл	[192
Беспредельно увеличивая у, мы видим, что интеграл E7) имеет
конечное значение при x = z, т. е. z ? D(A), а потому А есть само-
самосопряженный оператор.
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:
Теорема 1. Всякому разложению единицы g.x соответствует
самосопряженный оператор А, определенный для тех элементов х,
для которых интеграл E7) имеет конечные значения. Сам опе-
оператор А определяется как предел сумм E5), или, что то же,
как интеграл E8). Соответствующий ему билинейный функционал
определяется формулой F0).
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Для любого заданного самосопряженного опера-
оператора существует разложение единицы §х такое, что А выра-
выражается формулой E8).
Доказательство этой теоремы будет приведено потом. Ниже
будет доказана формула, определяющая gx по А [ср. 144], и раз-
различным gx соответствуют различные А. Оператор называется спек-
спектральной функцией самосопряженного оператора А. Совершенно так
же, как и в 114-4], доказывается, что регулярные точки спектра Х = ц
характеризуются тем, что существует некоторый промежуток посто-
постоянства gx, содержащий \х внутри себя. При этом надо иметь в виду,
что (g> — 8а) х 6 D 04) при любом х ? Н и любых конечных а и C.
Собственные значения X = v характеризуются тем, что gx имеет ска-
скачок при X = v, причем разность gv — gv_0 есть проектор в подпро-
подпространство соответствующих собственных элементов (включая нуле-
нулевой элемент) [145].
Положим, что самосопряженный оператор А полуограничен, и пусть
гпд — его точная нижняя граница:
тД = inf (Ax>x) при x?D(A) и ||х[|=1.
При любом вещественном X имеем
((Л - Щ х, х) э* (тА - X) (х, х) (х? D (А)),
откуда
Отсюда следует, что все значения X, удовлетворяющие условию
X <^ /яд суть регулярные точки А. Покажем, что Х = //гд есть
точка спектра А. Если бы это было не так, то существовало бы
такое Ш\^>тА, что все значения X ^/я, суть регулярные точки А,
и gx есть оператор аннулирования при Х^/яь так что
4^
(Ах, х)= J Xd(gx*, х) (х 6 #04)),

103]	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	539
откуда следует, что (Ах, х)^т{(ху х) при х Q D(A), а это про-
противоречит определению т\. Значение Х = /;гд называется также ниж-
нижней границей спектра А.
Оператор ?х называется спектральной функцией само-
самосопряженного оператора А. Мы переходим теперь к крат-
краткому повторению свойств общих самосопряженных операторов, кото-
которые будут совершенно аналогичны свойствам ограниченных самосоп-
самосопряженных операторов.
193. Непрерывные функции самосопряженного оператора.
Пусть /(X) — ограниченная и равномерно непрерывная на промежутке
(—со, -f-со) функция (например, f(k) непрерывна в замкнутом про-
промежутке [— со, -]- со]). Составим сумму, аналогичную E5),
,	F8)
/г=—оо
где х—любой элемент Н. Нетрудно видеть, что этот ряд, состоя-
состоящий из попарно ортогональных элементов, сходится при любом х.
Действительно, по условию |/(л)|^&, где k — определенное число и
+ 00
-foo
F9)
и, таким образом, ряд, аналогичный ряду E6), сходится. Совершенно
так же, как в [141], можно показать, что сумма F8), при всяком х
из Я, имеет определенный предел при о^ — 0. Этот предел дает
дистрибутивный оператор f(A), определенный на всем //. Из F9)
непосредственно следует \f(A)x{^k\x\y т. е. оператор f{A) есть
ограниченный оператор. Естественно записать предел суммы F8)
в виде интеграла Стилтьеса
f(A)x= \fQ)d^x	G0)
— ОО
-foo
(/ (А) х, у) = J /(X) d ф-,х, у)	G1)
~ОО
(л- G И; у С Н).
Последний интеграл можно толковать как обычный интеграл Стил-
Стилтьеса, определенный нами в |4|.

590	пространство гильбертл	[194
Совершенно аналогично формулам F2) и F6) имеем
х =/{А) SyX = J /(X) d gx*	G2)
— ОО
х, у) = (/(Л) ^х, _у) = J /(X) d (gx*, jf) G3)
Мы могли бы применить данное выше определение f(A) и к слу-
случаю любой ограниченной и непрерывной на промежутке (— оо, -\- оо)
функции, не требуя ее равномерной непрерывности. В дальнейшем
мы укажем возможность распространения понятия функции самосо-
самосопряженного оператора на широкий класс функций /(X).
Для оператора (А — IE), где /—какое-либо число, мы имеем оче-
очевидные формулы
-foo	-f°°
^; {{A-IE) x,y)=^(\-t)d($,xx,y)
—ОО
G4)
194. Резольвента. Приведем выражение резольвенты через спе-
спектральную функцию.
Если / невещественно, то 1: (к — /) есть функция X, непрерывная
в замкнутом промежутке [— оо, -}- оо], и мы можем образовать
ограниченный оператор
Ч-оо
rf8*	G5)
Докажем, что он обладает всеми свойствами резольвенты при
X = /, чем и будет оправдано его обозначение через Rt. При лю-
любом х элемент (g — gj Rtx ? D (Л), и, в силу F6.2), мы имеем
Р
((А - IE) Щ - 8e) RlX,y) = J (X -
С другой стороны, в силу G3) и G5)

194]	РЕЗОЛЬВЕНТА	591
Подставляя в предыдущую формулу и пользуясь свойством ин-
интеграла Стилтьеса [9], получим
Р
((Л - IE) (gp - ge) RlX, y)=[d (gx*, у) = Щ - ge) х,у)9
откуда, ввиду произвольности у,
(А — IE) (gp - ge) R,x = (g3 - g.) x.	G6)
Построим две последовательности чисел а„ и |3П, причем ая—- — оо
и $п — -}- оо и последовательность элементов ^ 1=.(?)вл — ^«^ ^^х*
Мы имеем уп g D (Л), ^ => /?^, и, в силу G6), {А — Ш)уп =>х.
Отсюда, в силу замкнутости Л, следует, что Rtx ? /)(Л) при любом
л: и (Л — lE)Rtx = x.
Остается доказать, что Rt(A — 1Е)х = х при x?D(A). Это не-
непосредственно следует из формул
X
— оо
которые являются следствием формул G1) и F60.
Остается в силе и формула, определяющая спектральную функ-
функцию через резольвенту
х
4 К8х-о х> У) + Шх *> У)] = Нш Г ((Я3+Т1— /?„_т,) х, jO do. G7)
— оо
Самосопряженному оператору соответствует определенная спект-
спектральная функция gx, и оператор ограничен тогда и только тогда,
когда gx переменна только на конечном промежутке.
Мы доказали [191], что для того, чтобы везде заданный ограни-
ограниченный оператор В коммутировал с самосопряженным оператором Л,
необходимо и достаточно выполнение условия
BRi = RtB	G8)
при любом /, при котором существует резольвента. Докажем теперь
следующую теорему:
Теорема. Для того чтобы В коммутировало с Л, необходимо
и достаточно, чтобы при всяком вещественном X выполнялось
условие
?gx = gx?.	G9)

592
пространство гильбертл
Достаточно доказать, что условия G8) и G9)
силу G5) имеем для любых элементов х и у:
[195
равносильны. В
(80)
Если выполнено условие G9), то правые, а потому и левые части
равенств (80) одинаковы, и, в силу произвольности х и у, выпол-
выполнено условие G8). Наоборот, если выполнено условие G8), то, в
силу единственности обращения интеграла Коши-Стилтьеса [29],
(В$хх, у) и {fe^Bx, у) могут отличаться лишь постоянным слагаемым,
а также в точках разрыва. Но обе указанные функции стремятся к
нулю при \—> — сои непрерывны справа в точках разрыва, а потому
для любых х и у мы имеем (Z?gxx, у) = ($хВх, у), т. е. выполнено
условие G9), и теорема доказана.
Отметим, что, в силу результатов [156], g;JL коммутирует с А
при всяком (л. Это следует и из доказанной теоремы. Из этой же
теоремы и G0) следует, что f(A) коммутирует с А.
195. Собственные значения. Как мы уже упоминали, Х = А'
есть собственное значение А, тогда и только тогда, когда gx имеет
\' точкой разрыва непрерывности, и при этом g^ — Sx'-o есть ПР°~
ектор в подпространство соответствующих собственных элементов
(включая нулевой элемент). Считая, как всегда, И сеиарабельным,
мы можем утверждать, что число собственных значений, если они
есть, конечно или счетно. Ранг собственных значений определяется,
как и раньше, и можно считать, что совокупность всех собственных
элементов образует ортонормированную систему хь хь ... . Пусть
\k — точки разрыва gx, Lk — подпространства соответствующих соб-
собственных элементов и PLji = gXfe — gX/i _ 0 — проекторы в эти под-
подпространства.
Составим ортогональную сумму
я'^^е^е^ш...	(si)
Подпространство И' приводит Л, и оператор А', индуцированный
А в Н\ есть самосопряженный оператор с чисто точечным спектром.

196]	СЛУЧАЙ СМЕШАННОГО СПЕКТРА	593
Если уже в Н оператор имеет чисто точечный спектр, то
&х = 2(ёхл —&х*-о).	(82)
х^-х
Пусть Xi,Xi,... — какая угодно полная ортонормированная в //
система и \xlf »х.2... — некоторая последовательность вещественных
чисел, среди которых могут быть и одинаковые, причем \xk и xk будем
называть соответствующими. Пусть далее ХЬА2,... — различные из
чисел (jl5, Lk — подпространство, образованное теми xs, которым
соответствуют \is, равные Хл, и PLk — проектор в Lk.
Определим проектор
Это есть разложение единицы, которому соответствует самосопряжен-
самосопряженный оператор С с чисто точечным спектром. Его собственные значения
суть lk и хи хь ... — полный набор собственных функций. Если все \k
принадлежат конечному промежутку, то С — ограниченный оператор.
196. Случай смешанного спектра. Сделаем сначала некоторые
добавления к тому, что мы говорили в [191] о разбиении самосопря-
самосопряженного оператора Л на операторы с чисто точечным и чисто непре-
непрерывным спектром. Пусть некоторое подпространство Н' приводит
Л. При этом оно приводит gx, и, обозначая через Л' и gx операторы,
индуцированные Л и gx в Н', мы можем утверждать, что gx есть
разложение единицы в Я' и
А'х= \ XrfgU	(83)
т. е. gx есть спектральная функция Л'. Пусть Л" и gx — операторы,
индуцированные Л и gx в подпространстве H" = HQH'. Если х =
= х'-\-х" и у=у'-\-у" — разложение х и у в И' и Н"', причем
xeD(A), то 1191]:
Ах = А'х? + А" х"\ %)У = gx/ + gxY
(Ах, у) = (ЛУ, У) + (Л*", У).	(84)
Аналогичные формулы имеют место и в случае конечного или
бесконечного числа попарно ортогональных подпространств, приво-
приводящих Л. Вернемся теперь к обозначениям из [191] и положим, что
И' не есть все Н. В И' оператор Л' имеет чисто точечный спектр,
а в И" оператор Л" имеет чисто непрерывный спектр. При этом
&х= Zj (8х.—Sx, о)>
X ^Х R	и
и

594	пространство гильбертл	[196
а спектральная функция gx оператора Л", выражаемая формулой
gx=&x — Sx> не имеет разрывов непрерывности. Если А— неогра-
неограниченный оператор, то один из операторов А' или А" может быть
и ограниченным. Так, например, если все точки разрыва непрерыв-
непрерывности gx находятся на конечном промежутке, то А' — ограниченный
оператор. Положим, что А имеет чисто непрерывный спектр, и обо-
обозначим, как и в [147], через Сх замкнутую линейную оболочку
элементов gxjc. Говорят, что А имеет простой непрерывный спектр,
если существует такой элемент х, что Сх совпадает с И. При этом
будут иметь место формулы B54) и B56) из [147] с интегралами
Хеллингера по бесконечному промежутку. Эти интегралы являются
пределами соответствующих сумм при разбиении бесконечного про-
промежутка на конечное число частичных промежутков. Если y?D(A),
то будут иметь место и B59) и B61) из [147]. Соответствующие
интегралы мы можем рассматривать как несобственные с бесконеч-
бесконечным промежутком интегрирования. Пользуясь неравенством [147]
мы можем показать, как и в [192], по отношению к суммам E5),
что бесконечные суммы попарно ортогональных элементов, соответ-
соответствующие интегралу B61) из [147], дают сходящийся ряд в силу того, что
у ? D (А). В общем случае непрерывного спектра из доказательства
теоремы 2 из [147] следует, что Сх приводит gx при любом X, а
потому оно приводит и А. Оператор, индуцированный в Сх опера-
оператором Л, имеет простой непрерывный спектр, и мы можем так же,
как и в [147], разбить оператор с чисто непрерывным спектром
на операторы с простым непрерывным спектром во взаимно ортого-
ортогональных подпространствах, ортогональная сумма которых дает все И.
Во всех формулах вместо одного интеграла Хеллингера мы будем
иметь сумму таких интегралов. Совершенно так же, как и в [152],
устанавливается связь между Сх и !?*).
Пусть А—самосопряженный оператор и U—унитарный. Опера-
Оператор Ar=UAU~x определен на линеале D (Л'), который получается
применением U к линеалу D (А). Покажем, что А' — самосопряжен-
самосопряженный оператор. Действительно, пусть
{UAU-'x, у) = (х,у*)
для всех х из D (А'). Надо показать, что у ? D (Л') и что у* =
= UAU~xy. Предыдущее равенство можно переписать в виде
(Ах', U~xy) = (Ux\ у*), где x'=U~xx есть любой элемент из D(A)>
или в виде (Ах'у U~xy) = (x\ и~ху*), откуда, ввиду самосопряжен-
самосопряженности Л, следует, что U~ly?D(A) и U~xy* = AU~xy, т. е. у ? D(A')
и у* = UAU~xy> что и требовалось доказать.
Пусть gx — спектральная функция оператора Л. При этом gx =
= U$xU~l обладает всеми свойствами разложения единицы, и j|gxjc|j =

197J	ФУНКЦИИ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	595
= ||§х^/~1лг||. Если x?D(A')> то U~lx?D(A), и, следовательно, схо-
сходится ряд
и сумма
Если /(X) принадлежит L2 по отношению (|&хх||2, то, в силу
МХ и Д(>) — /(X) почти везде по отношению |^xf,
имеет, как и в [192], предел А'х= UAU 1х> откуда видно, что
$[ = U$xU~l есть спектральная функция А. Остается в силе и при-
признак унитарной эквивалентности операторов, указанный [153].
Сохраняется без изменения понятие дифференциального решения
и полной системы дифференциальных решений. Всякое непрерывное
(в смысле пространства Н) дифференциальное решение х(к) имеет
вид §хдг, где x?D(A)', при этом считается, что лг(Х)=?>0 при
X -> — оо.
197. Функции самосопряженного оператора. Если gx—спек-
gx—спектральная функция самосопряженного оператора А и /(X)— ограни-
ограниченная функция в промежутке —осх^Х^-^00* измеримая по
отношению ко всем неубывающим функциям Цёх-гЦ2, то совершенно
так же, как и в [155], формула
(85)
определяет ограниченный, заданный во всем Н оператор /(Л), обла-
обладающей всеми указанными в [155] свойствами. Отметим, что
значения /(X) на множестве меры нуль по отношению ко всем
H&x^f не влияют на интеграл (85) и тем самым на /(Л). Обобщим
теперь понятие функции оператора f{A) на вещественные функции
/(X) с конечными значениями и измеримые по-прежнему по отно-
отношению ко всем Igx^f» но неограниченные. Обозначим через /лг(Х)
урезанную функцию, т. е. функцию, определенную равенствами
Д(Х)=/(Х), если |/(Х)|<ЛГ,/лг(Х) = ЛГ, если fN(X)>N, и/АГ(Х) =
= — N, если /(Х)<^ — N. Для ограниченной функции /#(Х) мы
можем образовать ограниченный оператор /лг(Л). При этом, в силу
формулы C02) из [155], при у — х и fl(A)=fi(A), мы имеем
(86)

596	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[197
правая часть стремится к нулю при N и М—> -\- оо, т. е. последо-
последовательность fx(A)x сходится в себе, и имеется предельный элемент,
который мы обозначим через f(A)x, т. е. /n(A)x =>/(Л)х при
N—> -И00» если
.	(87)
Множество элементов х, удовлетворяющих этому условию, есте-
естественно обозначить через D[f(A)\. Укажем относящиеся сюда резуль-
результаты, не приводя их доказательств.
Линеал D [/(Л)] повсюду плотен в И, f(A) ectb самосопряженный
оператор, и имеет место формула
(f(A)x,y)= J/(X)d(gx*,.y)	(88)
y?H).
Для комплексных функций f(k) =f\ (к) -f-Л (^) I мы принимаем
f(A)=fl(A)-\-f%(A)i, и линеал D[f(A)\ по-прежнему определяется
условием (87) с заменой /2(Х) на |/(^)|2. Так же, как и в [156],
имеет место следующее утверждение: для того чтобы оператор был
функцией самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно,
чтобы он был замкнут и коммутировал с любым ограниченным опе-
оператором, коммутирующим с А.
Перейдем к вопросу о коммутировании общих самосопряженных
операторов. Вспоминая теорему из [156], мы естественно приходим к
следующему определению: говорят, что два самосопряжен-
самосопряженных оператора А и В коммутируют, если их спект-
спектральные функции gx и Fp. (ограниченные операторы)
коммутируют при любых X и (л. В силу упомянутой теоремы
это определение равносильно обычному, если А и В — ограниченные
операторы. Если А — неограниченный и В — ограниченный операторы,
то мы имели определение коммутирования в [191]. Нетрудно видеть,
что и оно совпадает с только что данным, если А и В — самосопря-
самосопряженные операторы. Действительно, в силу теоремы из [191], ком-
коммутирование в прежнем смысле равносильно тому, что В коммутирует
с gx при любом X, а этот факт равносилен тому [143], что Д при
любом [х коммутирует со всеми gx, т. е. мы приходим к новому
определению коммутирования.
Исходя из нового определения коммутирования самосопряженных
операторов, можно показать, что вещественные функции одного и
того же самосопряженного оператора А коммутируют и что если
самосопряженные операторы Аь Аь... попарно коммутируют, то все
они являются функциями одного и того же оператора А (ср. [156]).

197J	ФУНКЦИИ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА	597
Рассмотрим понятие суммы и произведения для неограниченных
операторов. Оператор (Л -j- В) х = Ах -}- Вх определен для элемен-
элементов ху одновременно принадлежащих D(A) и D(B). Оператор (АВ)х==
= А(Вх) определен для таких ху что x?D(B) и Вх ? D(A). Если
а — любое комплексное число, то оператор (аА) х = а (Ах) опреде-
определен на D(A). Пусть Л и В — самосопряженные коммутирующие
операторы, причем В — ограниченный, определенный на всем Н опе-
оператор. При этом оператор АВх определен на линеале /' таких ху
что Вх ? D (Л). Согласно определению коммутирования, если х ? D(A)>
то и Bx?D(A), т. е. D(A) входит в /', но линеал /' может быть и
шире D (Л). Покажем, что АВ — самосопряженный на Г оператор.
Пусть (АВхуу) = (хуу*) при х ? Г и тем более при x?D(A). Нам
надо показать, что у^1г и что у * = АВу. Считая, что х?О(А),
уожем заменить указанное равенство таким: (ВАх,у) = (х,у*) при
x(^D(A)y или, в силу того, что В — ограниченный самосопряженный
оператор: (Аху Ву) = (х,у*) при х? D(A)\ отсюда, в силу самосо-
самосопряженности Л, следует, что By^D(A) и у* = АВу, что и требова-
требовалось доказать. Отметим, что если Л и В — неограниченные коммути-
коммутирующие самосопряженные операторы, то оператор АВ может ока-
оказаться несамосопряженным, но сопряженный с ним оператор (АВ)*
всегда самосопряженный.
Применим определение суммы и произведения к степеням опера-
оператора Л. Линеал D(A^) состоит из таких х, что x^D(A) и Ax?D(A),
т. е. D(A*) входит в D(A) и может быть уже D(A). Точно так же
D(Ал) состоит из таких ху что x^D(A1) и Atx^D(A) и, следова-
следовательно, D (Л3) входит в D (Л2). Полином вида а{А -f- а2Л2 -f-
-f-... -j" апАп определен, очевидно, на линеале D (Ап). Можно пока-
показать, что этот полином совпадает с определенной выше функцией
оператора Л, если принять f(k) = ao-\-a^ -J-... -|- ллХл, и что мно-
множество элементов, на которых определены все полиномы, есть линеал,
плотный в Н.
Если самосопряженный оператор Л —- положителен, т. е. нижняя
граница спектра /юд^О, то можно, как и в [143], образовать поло-
положительный самосопряженный оператор Л2, квадрат которого равен Л
Ат =
Нетрудно видеть, что существует только один положительный
самосопряженный оператор В} квадрат которого равен Л. Действи-
Действительно, пусть $1 — разложение единицы для В. Мы должны иметь
+00
В= 1 jirfg^
и
И
Л
= В* =
+оо

598	пространство гильбертл	[198
или
Семейство операторов g/r, зависящее от параметра X, представ-
представляет собой разложение единицы, и, в силу единственности спектраль-
спектральной функции &|ЛГ=&х>0ТКУДа и следует, что оператор Z?должен совпа-
1
дать с А2 '
198. Малые возмущения спектра. Исследуем изменение спектра самосо-
самосопряженного оператора при добавлении к нему другого самосопряженного опе-
оператора. Отметим прежде всего, что для неограниченных самосопряженных опе-
операторов справедлива теорема 1 из [157]. Докажем еще две теоремы.
Пусть L — некоторое подпространство. Его размерностью г называется
число элементов полной в L ортонормированной системы элементов. Это число
г может быть как конечным, так и бесконечным. Легко показать, что оно не
зависит от выбора полной ортонормированной в L системы.
Лемма 1. Пусть Li и L2 — два подпространства размерности Г\ и
г2. Если ri<zr2, то в L2 существует элемент, отличный от нулевого,
ортогональный ко всем элементам L\.
Отметим, что, в силу сепарабельности //, число Гх — конечно, а г2 может
быть как конечным, так и бесконечным. Доказываем лемму от обратного.
Предположим, что в L2 нет элемента, отличного от нулевого, ортогонального
к L^ Пусть хи х2,..., хГ1 — полная ортонормированная в Li система (базкс
в Li) и Р— проектор в подпространство L2. Для любого элемента v ? L2 имеем
(v, Pxk) = (Pt/, xk) = (v, xk).
Элементы Рх^ из L2 определяют некоторое подпространство Z,3 размер-
размерности Гз ^ a*i (знак <с , если Рх^ линейно зависимы). Покажем, что Lz должно
совпадать с L2. Действительно, если бы это было не та :, то существовал бы
элемент у ? L2} отличный от нулевого, ортогональный /,3, и мы имели бы
(У, Рхх) = 0 и тем самым, в силу последней формулы, \уу xk) = 0 (Л=1,
2,..., п), т. е. у ортогонально ?ь Но, по предположению, такого элемента у
нет. Мы доказали, что Lz совпадает с L2} т. е. г2 = г3. Но, как мы видели,
г* ^ rh а потому r2 ^ /*i, что противоречит условию леммы.
Лемма 2. Пусть А — самосопряженный оператор (неограниченный
или ограниченный), В — ограниченный самосопряженный оператор, |х —
спектральная функция А и %'х — спектральная функция суммы А' = А + В.
Пусть далее А — некоторый конечный промежуток [а, Ь\ и Дя,?—проме-
Дя,?—промежуток [а —1| Я || — в, ? + ll#il + ?]» где е — какое-нибудь положительное
число. При этом размерность подпространства Lt = (&в,е%{) х (х^ Н) не
меньше размерности подпространства L2 = (&%\)х (х ( И).
Отметим прежде всего, что мы пользуемся обозначением из [141] (напри-
(например, Agx = %ь — &а)« Доказываем лемму от обратного. Предположим, что раз-
размерность L{ меньше размерности L2. В силу леммы 1 существует элемент
3'A2, отличный от нулевого и ортогональный L{. Мы можем считать, что
|3» != 1. Принимая во внимание, что у? L2 и полагая для краткости письма
' а + Ь
О. =	гр- , ПОЛУЧИМ
[Ау — оу||»= \ (X — a)*tf (8хдг, у)^

199)	оператор умножения	599
\\л'у - *у II ^ II Ау - oyj| + цад ^^у^ + №	№
С другоП стороны, принимая во внимание, что у _[_ Lu имеем
+ оо	а— \\B\\— е	-f-оо
\\А'у-аУ\*= ^ (b-a)*d(g\y,y)= j -f j
— оо	— oo	ft 4" ii#il + 3
откуда, учитывая опять ортогональность у к Llf получим
+ ОО
т. е.
\\А'у -ау\\^ ^^ + Щ\ + г.	(90)
Противоречивость неравенств (89) и (90) доказывает лемму.
Теорема /. Пусть внутри промежутка А спектр оператора А состо-
состоит из конечного числа собственных значений, сумма кратностей которых
равна k, где k — конечное число, и пусть расстояние остальной части
спектра А до Д больше 2 || В |j.
При этом спектр А в промежутке ^Bf0 = [а — \\В% b -\-\\B\\] состоит
из собственных значений, сумма кратностей которых равна k.
Согласно лемме 2, при любом е > 0 размерность LL ^ k. Если имеет
место знак >, то, пользуясь опять леммой 2 и равенством А=А' — В, мы
можем утверждать, что подпространство А 2в 2г %>\х (х € Н) имеет размерность
> k. Но в силу условий теоремы, это не может иметь место при всех е, доста-
достаточно близких к нулю, т. е. при таких е размерность Lv равна /г, откуда и
следует теорема.
Замечание. Применяя теорему при k=\, мы получаем возможность
при малых возмущениях следить за изменением изолированного простого
собственного значения.
Теорема 2. Если внутри Д имеется хотя бы одна точка сгущения
спектра оператора А, то в промежутке Ав 0 имеется хотя бы одна точ-
точка сгущения спектра оператора А1.
В этом случае k = оо, и теорема следует из леммы 2.
Замечание. Если Хо — точка сгущения спектра А, то в промежутке
[Хо — ||Z?||, Xo + ii^J] имеется по крайней мере одна точка сгущения спектра Л'.
199. Оператор умножения. Рассмотрим пространство 12 на про-
промежутке (—оо, -f-oo) и оператор умножения на независимую пере-
переменную
(91)
Линеал D(A) состоит из функций f(x) из L2 таких, что и
xf(x)Q. L2> и» в частности, к D(A) принадлежат все функции, отлич-
отличные от нуля только на конечных промежутках, откуда следует, что
линеал D(A) повсюду плотен в Н. Покажем, что оператор А

600	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[199
самосопряженный. Нам надо показать, что если дано {Ах, у) — (х, у*
при х ? D(A), то у ? D{A) и у* = Ау. В настоящем случае дано
-}- оо	-f оо
J	e) Л* = | /С*) ?*(•*)<*¦*	(92)
для всех /(х) из D (А) и некоторых ср (х) и ср* (х) из Z,2, и надо
доказать, что ер(х)? /)(Л) и ср* (х) = хер (х). Применим (92) к /(х)
из L2, отличной от нуля лишь на некотором конечном промежутке
(—а, -\-а)} причем заметим, что такая функция принадлежит D(A):
/ (х) [ср*(х) - хер (х)] dx = 0.
Ввиду произвольности /(х), отсюда непосредственно следует [52],
что ср* (х) — хер (х) эквивалента нулю на промежутке (— а> -\- а)>
а ввиду произвольности а и на всем промежутке (— оо, -)- оо),
т. е. можно считать ср* (х) — хер (х) = 0. Но ер* (х) $ Ьъ а потому
и хер (х) ? L2 и ер* (х) = хср (х), что и требовалось доказать. Спек-
Спектральная функция оператора A92) определяется, как и в [152], и
выражается формулой
1
0 при
и оператор имеет чисто непрерывный спектр, расположенный на про-
промежутке — оо<^Х <^-|-оо.
Оператор (91) есть, очевидно, неограниченный оператор. Отме-
Отметим еще, что всякая функция /(х) из D(A) суммируема на проме-
промежутке (—оо, -j-oo). Действительно, полагая х/(х) = о> (х), где
(o(x)^L2, можем написать /(х) = —ш(х); так как — и о>(х) при-
надлежат 12 на любом промежутке (— оо, — а) и (а, оо), где а ^> 0,
то отсюда и следует суммируемость/(х) на промежутке (—оо, -|- оо).
Совершенно так же, как и в [152], можно рассматривать опе-
оператор умножения на функцию, которую мы будем считать вещест-
вещественной и измеримой:
(94)
причем в случае неограниченности ш(х) мы получим неограниченный
оператор. Положим для определенности, что ш (х) ограничена на
всем промежутке (— оо, -j- оо), при исключении сколь угодно
малых окрестностей конечного числа точек. При этом, беря любой
замкнутый промежуток, не содержащий упомянутых точек, и рас-
рассуждая, как и выше, мы убедимдя в том, что (94) есть самосопря-

199]	ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ	601
женный оператор для таких f(x)? ^ъ чг0 и ШМ/(Х)^. L2. Его
спектральная функция, как и в [152|, выражается формулой
0 при со (х
Если, например, w(jt)? L2, то линеал D (А) содержит все огра-
ограниченные функции из L.2 и А есть также самосопряженный оператор.
Отметим, что оператор А можно рассматривать как функцию со (Л)
оператора А умножения на независимую переменную для класса
функций а) (л:), указанных в [197].
Обозначим через В самосопряженный оператор:
^р	(96)
определенный в И= L% (— оо, -\- оо) на множестве D (В) функций Ф (х),
абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке и имеющих
производную из L2(—оо, -(- оо) [188]. Пользуясь преобразованием
Фурье, сопоставим линеалы D (А) и D (В).
Обозначая
где Ф (f) — любая функция из D (В), и, интегрируя по частям, полу-
получим
х WN (х) — флг (х) = -1= [Ф (Л0 eixN — Ф (— N) eix% (98)
у 2тс/
причем правая часть при /V-voo стремится к нулю равномерно по х во
всем бесконечном промежутке [188]. Функции $м(х) и WN(x) стре-
стремятся в среднем в бесконечном промежутке к некоторым функ-
функциям ф (jc) и ЧГ (х) из L2 [178]. Тем более это будет иметь место
во всяком конечном промежутке [— а> -\- а] и, кроме того, в таком
промежутке xWN(x) будет стремиться в среднем к xW(x). Из фор-
формулы (98) следует, что при любом заданном положительном е и до-
достаточно больших iV выполняется неравенство
V
или, принимая во внимание возможность перехода к пределу под
знаком нормы,

602	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[199
откуда, ввиду произвольности г и а, следует
+ 00
+
— 00
т. е. х ч7 (х) = ty (х), или
-f- оо	-{- оо
х-^= С <b(t)e"<dt = -}= \ *?(*)«"* Л,	(99)
r — oo	r — оо
что может быть записано в виде
Т*{Ф) = ±Т*A<р)=/,	A00)
и, поскольку Т* (/ср) ^ L2, мы видим, что не только f(x) ? L2, но и
(е I» т. e./W(/)D
Покажем теперь, что если /(лт) есть любая функция из D(A)y
то Г(/)? /)(Я). Поскольку /(дг) и xf(x) принадлежат L2, мы можем
составить T(f) и T(xf). Принимая во внимание A00) введем обозна-
обозначения
4 оо	\
— oo	J
Мы имеем [178]
N	-f oo
/2*
Принимая во внимание первую из формул A01), из которой, в
силу суммируемости/(?) на промежутке (—оо, -f-°°)> следует
можем переписать предыдущую формулу в виде
откуда следует, что Ф(х)$ Z)(^) и /ср (л:) = БФ (д;). Выше мы видели,
что Т* преобразует любой элемент Ф из D(В) в элемент /из D(Л),
и только что показали, что Т преобразует любое / из D(A) в Ф

199]	ОПЕРАТОР УМНОЖЕНИЯ	603
из D(B). Таким образом, между D(A) и D(B) установлено биодно-
значное соответствие, причем Т преобразует D(A) в D(B) и пере-
переходу от f(x) к xf{x) до преобразования соответствует переход
от ф (дг) к ВФ (х) = /ср (х) после преобразования, т. е.
В=ТАТ*9	A02)
что приводит к следующей теореме:
Теорема. Самосопряженные операторы А и В унитарно экви-
эквивалентны и имеет место формула A02), где Т — преобразование
Фурье.
Для спектральной функции §х оператора В мы имеем форму-
формулу $'x=zT$\Tfi, где gx определяется формулой (93), т. е.
(ЮЗ)
— оо' — оо	•
ИЛИ
8х'/(*) = y=- J Г* (/) е- '^dy.	A04)
— оо
Мы можем записать Ф (лг) в виде
оо
A05)
причем нельзя утверждать абсолютной интегрируемости <p(f) на бес-
бесконечном промежутке, и написанные интегралы надо понимать как
пределы интегралов по конечному промежутку при его расширении.
Самосопряженный оператор В, определяемый, очевидно, формулой
В~х ср = — /Ф, задан не во всем L2, но лишь для таких ср (х), что
Ф (х), определяемая формулой A05), также принадлежит L2. Это происхо-
происходит в результате того, что I! = 0 принадлежит непрерывному спектру В.
Если мы рассмотрим оператор (94), то оператор ТА'Т* будет
представлять собой функцию «)(/?) оператора В, так что
+ оо	Г +оо	1
ш (В)Дх) = i J ш (у) J / @ е'> Л e^dy. A06)
— 00	I- — 00	-'
Если со (л:) — неограниченная функция, то линеал, на котором
определен этот оператор, получается из D (Аг) при помощи опера-
оператора Т. Напомним, что написанные интегралы с бесконечными преде-
пределами надо понимать в смысле сходимости в среднем. Оператор В,
как и А, имеет простой непрерывный спектр. Функция со (л:), вхО"
дятая в формулу A06) должна, конечно, удовлетворять тем усло-
условиям, которые мы формулировали для /(>*) в [1971.

604	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[200
200. Интегральные операторы. Рассмотрим на промежутке [а, Ь]
интегральный оператор с ядром К{ху у), удовлетворяющим условию
у)	A07)
и таким, что
ь
К*(х)=^\К(х, y)\*dy<+oo (КЧ*) 3s 0) A08)
а
для почти всех х из [а, Ъ\ Соответствующий оператор
ь
= КПх)= J K{x, y)f(y)dy	A09)
определен на линеале D(K) таких f(x) из L2 на [а, 6], что ср(х),
определяемая формулой A09) также принадлежит L2. Рассмотрим
еще, как и в [173], линеал / таких функций f(x) из L2, что
o.	A10)
Мы видели, что линеал / повсюду плотен в L2 [173]. Покажем,
что ее л и f{x) ? /, то она и подавно принадлежит D(K),
Отсюда будет следовать, между прочим, что D(K) повсюду
плотен в L2. Пусть f(x) ? /. Мы можем написать
I ? (х) |2 = J *(¦*, J0/O04у • J П^ГТ) 7@ л,
а	а
а потому
Ъ	Ъ b b
. t)\\f(y)\\/(t)\dydtdx, A11)
и достаточно проверить, что интеграл, стоящий справа, имеет
конечное значение при каком-нибудь порядке интегрирования. По
неравенству Буняковского
ь	ь	ь	\
\К(Ху у)\ \К(х, f)\dx<
а
= K(y)K(t\
и правая часть A11) не превосходит произведения
b	b
K{v)\fU)\dy \K(t)\f{t)\dt,

200] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	605
которое имеет конечное значение, ибо f(x) ? /. Обозначим	через
Af(x) оператор, определенный формулой A09) на линеале	/. Не-
Нетрудно показать, что это — симметрический оператор, т. е.
ь ъ	ь ъ
К(х, y)f{y)dy\*(x)dx=^K(x, y)m{x)dx \f(y)dy, A12)
а а	а а
если f(x) и со(х) принадлежит /, причем, в силу A07),
\ К (х, у) со (х) dx=\ К (у, х) со (х) dx
а	а
принадлежит, очевидно, L2 как функция от у. Для доказательства
A12) достаточно убедиться в конечности интеграла
ь ъ
\ \ \К(х,у) МШ \<»(x)\dy dx	A13)
а а
при каком-либо порядке интегрирования. Интегрируя сначала по х
и применяя неравенство Буняковского, убедимся в том, что написанное
выражение не превышает
ъ
II«II- lK{y)\f(y)\dy,
а
а эта величина конечна, ибо f(y) $ /.
Симметричный оператор А, определенный формулой A09) на
линеале /, далеко не всегда является самосопряженным оператором;
но он имеет сопряженный Л*. Докажем, что Л* совпадает с опе-
оператором К, который определяется той же формулой A09) на лине-
линеале D(K) таких f(x) из Ьъ что и ср(х)(Е ?2- Пусть для всех f(x)
из / имеется формула
ъ ь
и
К{х, у) f (у) dy I о) (х) dx = \ f(x) ^*Jx)dx, A14)
а а	а
где со (х) и со* (х) ? L2. Нам надо доказать, что
ь
о>* (х) = jf K(x, у) со (у) dy,	A15)
а
откуда будет следовать также, что со (х) ? D (/Г). При доказатель-
доказательстве конечности интеграла (ИЗ) мы использовали принадлежность
к / только функции f(x). Поэтому в интеграле, стоящем в левой

606	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[200
части A14), можно поменять порядок, и эту формулу можно пере-
переписать в виде
A16)
Доказательство теоремы из [173] непосредственно приводит нас
к тому, что разность, стоящая в квадратных скобках, должна
равняться нулю, и мы получаем A15). Наоборот, если со (х) ? D (К)
и со* (х) выражается формулой A15), то из предыдущих вычислений
следует непосредственно, что имеет место формула A14). Эти рас-
рассуждения приводят нас к следующей теореме:
Теорема. Пусть К (уу х) = К{х, у) и выполнено условие
A08). Пусть I — линеал функций f(x) из L.2 на промежутке
[а, Ь\, удовлетворяющих условию (ПО) и D(K) — линеал функций
f(x) из L2 таких, что у(х), определяемая формулой A09) при-
принадлежит L2. При этом линеал I повсюду плотен в L.2 и входит
в линеал D(K), Если далее А— оператор, определенный фор-
формулой A09) на линеале I, и К—оператор, определенный той же
формулой на D(K), то А есть симметричный оператор и А* —К.
Необходимым условием самосопряженности К является его симмет-
симметричность, что, в силу A07), приводим к равенству:
ъ ь	ь ь
J [ J К (У, x)f(x) dx | ИЗО dy = J [ J К (У, х) ^00 dy\f(x) dx,(\l 7)
а а	а а
которое должно быть выполнено для всех f(x) и о) (х) из D (К)- Покажем,
что это условие и достаточно для самосопряженности А". Действи-
Действительно, пусть для всех f(x) из D (К) мы имеем
) dx = J / {хI*Цх) dx,
где со (х) и со* (х) принадлежат L2. Нам надо доказать, что со (х) ? D (К)
и имеет место формула A15), причем, в силу определения D(K),
достаточно доказать A15). Вычитая почленно равенство A17), из
последнего равенства и принимая во внимание A07), мы получим A16),
откуда, в силу произвольности выбора f(x) из D(K), которое
содержит /, и будет следовать A15). Таким образом, для того,
чтобы оператор К был самосопряженным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любых f(x) и co(jc) из
D(K) выполнялось равенство A17).

201]	РАСШИРЕНИЕ ЗАМКНУТОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА	607
Укажем простые примеры самосопряженных операторов в случае ядра,
зависящего от разности на бесконечном промежутке (—оо, + оо). Пусть
g (t) — вещественная четная функция из L2 на указанном промежутке и f(x)—
любая функция из Ц. Обозначим G(t) = Ti;(g) и F(t) = Т* (/). Функция G (t)
вещественна, так как g(t) — вещественная четная функция. Мы можем на-
написать [149]:
-boo	-fco
= y= J G(t)F(t)e-""dt, A18)
причем, в силу G(t)(L2 и F (t)?L2y произведение G (t) F (t) суммируемо на
промежутке (—оо, + оо). Пусть /' — линеал таких функции F (t) из L2j что
G(t)F(t)?L2. На линеале /' правая часть A18) представляет собой T(GF),
а потому <р (х) должна принадлежать L2. Обращая внимание на среднюю часть
формулы A18), мы можем, таким образом, утверждать, что на линеале //, ко-
который получается из /' при помощи преобразования Г, интегральный оператор К
с ядром g (x — у) унитарно эквивалентен операции умножения на функцию
G (t) из L* и тем самым есть самосопряженный оператор. Напомним, что через
D(K) мы обозначаем линеал таких функций f (х) из L2i что <р (х), определяе-
определяемая формулой A18), также принадлежит L2. Из предыдущих рассуждений сле-
следует только, что li входит в D(K). Можно доказать, что V совпадает с 1{К).
Это утверждение равносильно, очевидно, следующему: если в формуле A18)
cp(jt)(Z,2, то G(t)F(t)^L2. Совпадение с D (К) непосредственно вытекает из
невозможности такого расширения самосопряженного оператора, при котором
опять получается самосопряженный оператор. Невозможность такого расши-
расширения доказана |187]. Таким образом, если g{t) — вещественная четная
функция из L2f то интегральный оператор с ядром ^(л:—у) есть самосопряжен-
самосопряженный оператор в D (/<).
201. Расширение замкнутого симметричного оператора.
В дальнейшем будем считать А замкнутым симметричным операто-
оператором. Докажем две основные для дальнейшего теоремы.
Теорема /. Согласно формулам
у = (А+1Е)х,	A19)
z = (A — iE)x,	A20)
линеал D(A) элементов х преобразуется биоднозначно в некото-
некоторые подпространства Lt(A) и L_t(A), причем, если у и z — элементы
этих подпространств, соответствующие одному и тому же х
из D (А), то дистрибутивный оператор U, преобразующий у в z:
z=Uy,	A21)
преобразует Lt(A) биоднозначно в L_t(A) с сохранением нормы а
скалярного произведения:
иу,) = (уь Уд-	A22)
Мы имеем
= (Ах, Ах) -j- i (х, Ах) — I (Ах, х) -}- (х, х\

608	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[201
откуда, в силу симметричности Л, следует
|!(Л + /Е)х|]*:=|]АкР + И|2	A23)
Покажем, что формула A19) при различных х дает различные у.
Если бы различные хх и х.г из D(A) давали бы одно и то же _у, то
их разность х = х{ — х.2 давала бы у = 0, и нам надо показать, что
из (A-\-iE)x = 0 следует х = 0. Но это непосредственно вытекает
из A23). Таким образом, формула A19) переводит D(A) биодно-
значно в некоторый линеал Lt (А). Докажем, что он замкнут, т. е. что
это есть некоторое подпространство. Принимая во внимание A23),
получаем !| (А -\- IE) х [| ^ \х (', откуда следует, что (A -f- IE) ~г — огра-
ограничен. Но в [184] мы показали, что если некоторый оператор В
замкнут и на R(B) существует ограниченный обратный В'1, то R(B)—
подпространство. Таким образом доказано, что Lt{A) — подпростран-
подпространство. Совершенно так же из формулы
f,	A23.)
аналогичной A23), следует, что формула A20) переводит биодно-
значно D (А) в некоторое подпространство L_t (А). Взяв у и г, соот-
соответствующие одному и тому же х> мы имеем вполне определенное ди-
дистрибутивное преобразование A22), переводящее Lt (А) биоднозначно
в L_t(A), причем формулы A23) и A23t) могут быть записаны в виде
Ij/f = ||i4jc||e + :]^|a и lzr = lAx)*4-lx\\\ т. е. И = !|_у|) или
[f/y [| =-j;]. Отсюда вторая из формул A22) доказывается совершенно
так же, как и для унитарных операторов [137], и теорема таким об-
образом доказана.
Отметим, что если А есть самосопряженный оператор, то, в силу
того, что ±i суть регулярные точки Л, Lt(A) и L_t (Л) совпадают
с И [189] и U есть унитарное преобразование. Если оба указанных
подпространства, или по крайней мере одно из двух, не совпадают с //,
то U называется обычно изометрическим оператором, т. е. дистрибутив-
дистрибутивный оператор U, определенный на некотором подпространстве U и пере-
переводящий его биоднозначно в другое подпространство L" с сохране-
сохранением нормы элементов (и тем самым скалярного произведения), назы-
называется изометрическим оператором. Обратный оператор U~x,
переводящий L" в Z/, есть, очевидно, также изометрический опера-
оператор. Если V и U совпадают с Я, то U—унитарный оператор, опре-
определенный во всем И. Формулы у = Ах -(- 1х и Uy = Ах — 1х пере-
переводят D(A) биоднозначно в Lt (Л) и L_t (Л) и из них следуют фор-
формулы

201J	РАСШИРЕНИИ ЗАМКНУТОГО СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА	609
первая из которых переводит биоднозначно Lt (А) в D(A). Если мы
заменим у на 21уу что приводит к тому же линеалу Lt (А) элемен-
элементов у, то получим более простые формулы
x=y—Uy\	A24)
Ax = l(y-\-Uy),	A25)
первая из которых попрежнему переводит биоднозначно Lt(A) в D(A)y
а вторая дает соответствующий элемент Ах. Отметим, что линеал
D (Л), определенный формулой A24), плотен в И. Изометрический
оператор U называется преобразованием Кэли замкнутого
симметричного оператора А. Докажем теперь теорему, в известном
смысле обратную предыдущей.
Теорема 2. Если U — изометрический оператор, переводящий
подпространство V в подпространство L", и формула A24) для
у, принадлежащих U, определяет линеал I, плотный в Н, то фор-
формула A25) определяет на I замкнутый симметричный опера-
оператор А, причем U есть преобразование Кэли для А, а V и L"
совпадают с Lt (А) и L_{ (A).
Прежде всего нам надо показать, что формула A24) при раз-
различных у из V дает различные х, т. е., как и выше, нам надо по-
показать, что из у0—Uyo = O следует, что у0 = 0. Составим скалярное
произведение (Уо> х). Если мы докажем, что оно равно нулю для
любого х из /, то, поскольку этот линеал плотен в Я, мы можем
утверждать, что у0 = 0. Итак:
О'о, х) = (уо, y — Uy) = (yQy у) — (уОу Uy),
или, в силу изометричности U:
что и требовалось доказать. Имея какое-либо х из /, мы, согласно
формуле A24), имеем определенное у из V и по формуле A25) полу-
получаем определенное Ах. Таким образом, построен дистрибутивный опера-
оператор А. Пусть х! и х" — два элемента /, а У и у" — соответствую-
соответствующие элементы Z/. Пользуясь изометричностью U, получаем:
(ЛУ, х") = (I (V + иу),у9 - Uy") =
Uy") =
Uy*).
Тот же самый результат мы получим, раскрывая (д/, Ах") =
= (/ — Uy, I {у" + Uy")), т. е. (Ах\ х") = (х\ Ах"), а потому А

610	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[201
есть симметричный оператор. Докажем замкнутость А. Пусть хп из
/ таковы, что
хп=>х и Axn=>w.	A2G)
Нам надо показать, что х? I и w = Ax. Обозначим через уп эле-
элементы Z/, соответствующие хп, т. е.
Хп=Уп—УУп> А*п = ИУп+иУп)\	О27)
из этих равенств следует, что уп = -^(Ахп ~{-ixn) ==>-2f (wJr'lx)-
Обозначая для краткости письма этот предел через _у, можем
утверждать, что _у? Z/, ибо U есть подпространство, и что Uyn ==p>Uy,
ибо U есть изометрический оператор и, следовательно, (| ?/(j/—уп) || =
==II-V—Уп\\- Переходя в формулах A27) к пределу, получаем
х=у—Uy и w = i(y-\-Uy), где у? Z/, т.е. х?1 и w= Ах, что
и требовалось доказать. Наконец, из формул A24) и A25) при за-
замене х на 2!х следует
у = (А-\-1Е)х и Uy = (A — iE)x
откуда и вытекает непосредственно, что U есть преобразование Кэли
для Л, и что U и U суть Lt (А) и L_t (А); теорема доказана.
Доказанные теоремы приводят непосредственно к выяснению воз-
возможности расширения замкнутого симметричного оператора А. Пусть
Б — замкнутое симметричное расширение Л (не совпадает с А). При
этом правые части формул
y = (B-\-iE)x\ z=(B — iE)x
определены на линеале D(B), более широком, чем D(A), а для эле-
элементов ху принадлежащих D (А), они дают тот же результат, что
и правые части формул A19) и A20). Таким образом, подпростран-
подпространства Li (В) и L_i(B) строго шире подпространств Lt(A) и L_i(A),
и если обозначить через V преобразование Кэли оператора В, то
можно утверждать что V переводит Lt{B) в L_t{B) и на Lt(A)
совпадает с U, т. е. изометрический оператор V есть
расширение изометрического оператора U. Пользуясь
теоремой 2, мы можем утверждать что и, наоборот, всякое рас-
расширение изометрического оператора ?/, приводящее
к изометрическому же оператору V, дает, согласно
формулам
x=y—Vy\ Bx = l(y-\-Vy)	A28)
(ye D(V)),
замкнутый симметричный оператор В} являющийся
расширением А. Согласно сказанному выше, только таким

202]	ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА	611
путем и можно получать расширения Л, являющиеся
замкнутыми симметричными операторами.
Если Л — самосопряженный оператор, то L{ (Л) и L_t (Л) суть все //,
и расширение невозможно.
202. Индексы дефекта. Обозначим через Ж,-(Л) и M_t(A) под-
подпространства, дополнительные для Lt(A) и 1_ДЛ), и через р и q
размерность Mt(A) и M_t(A). Если, например, ?,(Л) есть все //, то
Mi (А) отсутствует, и мы считаем р = 0.
Если М( (А) конечномерно, то р — число его измерений, и если
Mi (А) бесконечномерно, то р = оо. Пара чисел (/?, q) определяет
так называемые индексы дефекта оператора А. Докажем ряд
простых теорем, относящихся к индексам дефекта.
Теорема 1. Для самосопряженности симметричного замкну-
замкнутого оператора А необходимо и достаточно, чтобы оба его
индекса дефекта были равны нулю.
Если А — самосопряженный оператор, то, как мы знаем из [201],
формулы A19) и A20) преобразуют D{A) в //, и, следовательно,
p = q = 0. Положим наоборот, что p = q==O. При этом Lt(A) и
L_i (А) совпадают с //, и U есть унитарный оператор (определен,
как и U~xy во всем //). Пусть (Ах, v) = (x, хг:<) для всех х из D(A).
Нам надо доказать, что v ? D (А) и v* = Av. В силу A24) и A25),
предыдущее равенство переписывается в виде
откуда, в силу унитарности U,
(Уу v* — U~lv* -f lv + iU~xv) = 0,
и, ввиду произвольности у у имеем: v* -\- lv = U~l (г;* — lv). Обозна-
Обозначая v* -\-iv = 2iy, имеем и* — lv = 2l(Jy', откуда v=y' — Uy' и
v* = l(y'-\~ uy), т. е. v^-D(A) и v*= Av\ теорема доказана. До-
Достаточность является также следствием теоремы 2 из [187].
Перед доказательством следующих теорем выясним структуру
изометрических операторов. Совершенно так же, как и для унитарных
операторов [137], можно показать, что изометрические преобразова-
преобразования U подпространства V в подпространство V сводятся к преобра-
преобразованию полной ортогональной нормированной системы хь хь... в U
в такую же систему уь уь... в L\ так что Uxk=yk (//считается
сепарабельным) и
^Е akxk = 2 akyk.
k	k
При этом, очевидно, или оба подпространства должны быть бес-
бесконечной размерности, или оба должны иметь одно и то же конеч-
конечное число измерений. Если это условие выполнено, то, ввиду произ-
произвольности выбора ортов, мы можем построить бесконечное множество
изометрических преобразований V в L\ Имея изометрический one-

612	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[202
ратор U, переводящий Lt (А) в L_t (Л), мы можем его расширить
только путем добавления одинакового числа новых ортов из М{ (A)
и M_i (А) и установления между ними попарного соответствия. Из этих
соображений непосредственно вытекает следующая общая теорема:
Теорема 2. Для возможности расширения замкнутого сим-
симметричного оператора А с сохранением им симметричности
необходимо и достаточно, чтобы оба индекса дефекта опе-
оператора А были отличными от нуля. Если это условие выпол-
выполнено, то имеется бесчисленное множество расширений. Для воз-
возможности расширения А до самосопряженного оператора необхо-
необходимо и достаточно, чтобы индексы дефекта А были одинаковыми
(отличными от нуля), и если это так, то указанных расшире-
расширений существует бесчисленное множество.
Опишем общую схему расширения оператора А. Выделяя из
Mt(А) и M_i(A) какие либо подпространства Nt и N._t с одним
и тем же числом измерений, построим какой-либо изометрический
оператор V, переводящий 7Vf в N_t. Определяем для расширенного
оператора В подпространство Lt (В) как ортогональную сумму ?,(Л)ф
ф Nt = Lt (Я), так что всякий элемент у из Lt (В) единственным
образом представим в виде у=у -\-у", где у ? L( (А) и у" ? Nt.
Расширенный изометрический оператор V определяется формулой
Vy= Uy'-\- Vy", правая часть которой представляет собой разложе-
разложение Vy, принадлежащего L_t (A) (J) /V_t-, в ортогональные подпро-
подпространства L_t(A) и N_t. Согласно A24), линеал D(B) определяется
формулой х =у -\-у" — Uy— Vy" = (у — иу) ~|- (у" — Vy"), где
(У — UV) — любой элемент D (А) и у" — любой элемент Л^-. Запишем
этот факт в виде
*в = хА -\- xN. — VxNr	A29)
Совершенно аналогично формула A25) дает Bx = i(y-\-Uy')-\-
-\-ly"-\-iVy', т. е.
Вхв = АхА -\- ixN. -\- i Vxyt.	A30)
Бхли Nt и N_i совпадает с М{ (А) и М_г {А), то последние фор-
формулы определяют самосопряженное расширение А. Нетрудно показать,
что представление Хв суммой A29) единственно. Иначе
говоря, нам надо показать, что если сумма A29) равна нулевому
элементу, то и все слагаемые равны нулевому элементу. Действи-
Действительно, если хв=0, то и Вхв = 0, и формулы A29) и A30) дают
Ха -\~ xNt — VxNt = 0 и Ах а ~\- lxKi ~\~ WxN. = 0. Умножая первое
уравнение на / и складывая со вторым, получим (А -{- 1Е)ха -\- <2ix^i = 0;
в написанной сумме первое слагаемое принадлежит Lt (A)f а второе
ортогонально ?,-(Л), откуда следует, что оба они равны нулю, т. е.
Х;\г. = 0, а потому Уху. = 0 и хд=О, что и требовалось доказать.
Если один из индексов дефекта равен нулю, а другой отличен
от нуля, то А не имеет замкнутых симметричных расширений, и такой

202]	ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА	613
оператор называется максимальным. В связи с этим термином
самосопряженный оператор, т. е. оператор, у которого оба индекса
дефекта равны нулю, называется иначе гипермаксимальным.
Положим, что Л имеет индексы дефекта A, 1), т. е. что подпростран-
подпространства М{ (Л) и M_i (Л) одномерны, и пусть v0 и wQ — какие-либо
их элементы, при чем || v0 || = || w0 || т^0> так что все их элементы
представимы в виде v = av^ w = aw^ где а — любое комплексное
число. Формула V (avo) — e~iB awQ, где 6 —любое заданное вещест-
вещественное число из промежутка 0=^6<^2ir, дает изометрическое пре-
преобразование Mt (Л) в M__i (Л), и, добавляя это преобразование к тому
преобразованию /У, которое переводило Lt (А) в L_t (Л), получим
унитарный оператор V\ формула A28) определяет нам самосопряжен-
самосопряженный оператор В, который зависит от выбора указанного выше числа 6.
Если индексы дефекта А суть B, 2), то, выбирая какие-либо взаимно
ортогональные нормированные элементы vu v.} из Mt (А) и wb w2 из
M_i (Л), мы положим
Vvk = wk (A =1,2).
Фиксируя vk и выбирая всевозможными способами wk, получим все
различные V. Дополняя изометрическое преобразование U до уни-
унитарного V, мы получаем опять по формулам A28) самосопряжен-
самосопряженный оператор А.
Докажем еще теорему, которая дает новую характеристику под-
подпространств Mt (А) и M_i (Л).
Теорема 3. М{ (А) есть подпространство собственных элемен-
элементов оператора Л*, соответствующих собственному значению
Х = /, т. е. подпространство решений уравнения A*x = ix, a
M_i(A) есть подпространство решений уравнения А*х = —1х.
Отметим, что, поскольку Л* есть замкнутый оператор, линеал
его собственных элементов, соответствующих какому-либо собствен-
собственному значению, всегда замкнут, т. е. есть подпространство. Эле-
Элементы v подпространства Mt{A) характеризуются тем, что они орто-
ортогональны {А-\-1Е)х при любом х из Ь(Л), т. е. характеризуются
равенством ((Л -j- iE)xy v) = 0, которое может быть переписано в
виде (Ах ,v) = (x, iv), где х — любой элемент из D(A). Последнее
равенство, в силу определения Л*, равносильно тому, что v ? D (Л*)
и A*v = iv, и утверждение теоремы относительно Mt(A) доказано.
Таким же образом доказывается и утверждение относительно M_t(A).
Из доказанной теоремы следует, что наличие индексов дефекта
отличных от нуля, связано с тем, что оператор Л* уже не является
симметричным на D(A*) и имеет собственное значение I или (—/),
или оба эти числа.
Вместо чисел ±i мы могли бы взять любое невещественное
число X из верхней полуплоскости и сопряженное с ним число X.
При этом формулы
(x?D(A))

614	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[203
совершают биоднозначное преобразование D(A) в некоторые под-
подпространства LX(A) и ^>т(^)> и мы имеем изометрическое преобра-
преобразование z—Uy первого из них во второе.
Дополнительные подпространства Мх (А) и М\ (А) суть подпро-
подпространства решений уравнений А*х =— \х и А*х =— Хх. Раз-
Размерности этих подпространств будем обозначать через (рх, qx).
Это — индексы дефекта А. В дальнейшем будет доказано, что они не
зависят от выбора к из верхней полуплоскости. Формулы A29) и
A30) будут иметь вид
*в = хА -\- xNl — VxNlf Вхв = АхА — lxNx -f *
Первая из них дает D (В) и ее, очевидно, можно записать в
следующем виде:
где Л/х — некоторое подпространство из Мх (А) и V — изометриче-
изометрический оператор, переводящий Nx в подпространство N\y находящееся в
Мх(А).
Пусть Lk(k=ly 2, ..., п) — линеалы. Назовем прямой сум-
суммой Lk множествоL элементов, представимых в виде: х = хх-\~х^-\-
-{-. ..-\-хп, где xk? Lk> если указанное представление х единственно
(L — линеал). Формула A29t) дает пример прямой суммы. Прямую сумму
записывают часто в виде L = Lx -f- L2 (точка над знаком -]-)•
203. Сопряженный оператор. В теореме 3 мы установили связь
между введенными нами подпространствами и сопряженным операто-
оператором. Выясним до конца состав линеала D(A*) и связь между Л* и А.
Обозначая через лгд, xt и x_t любые элементы из D (Л), Mt(A) и
M_t{A)y мы имеем следующую теорему:
Теорема. Формула
v = xA-\-xi + x_i	A31)
дает весь линеал D(A*) и
A*v = Ах А + ix t — ix_t.	A32)
Всякий элемент из D(A*) представим формулой A31) един-
единственным образом.
Из того факта, что А* является расширением Ау и теоремы 3
из [202J следует непосредственно, что элементы v, определяемые
формулой A31), принадлежат D(A*)u что имеет место формула A32).
Покажем, что v представимо формулой A31) единственным образом,
т. е. что из
, + *-i = 0	A33)
следует, что все три слагаемые суть нулевые элементы.

203J	СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР	615
Применяя к A33) оператор Л*, получим Ахд-\-1х; — /х ; = 0 и,
умножая A33) на / и складывая с последним равенством, будем
иметь (Л -\- IE) Ха -|- 2 1хг = 0. Слагаемые левой части этого равенства
взаимно ортогональны и потому оба они должны равняться 0, т. е. jet —0.
Точно так же, умножая A33) на (—I), получим х_ь = 0 и, в силу
A33), ха = 0, Остается показать, что всякий элемент v из D (А*)
представим формулой A31). Такой элемент характеризуется тем, что
для всех х из D (А) имеет место равенство (Ах, v) = (xy v*) или,
в силу A24) и A25) (i(y-\- Uy), v) = (y—Uy,v*), откуда следует
{Uy, v* — iv) = (yy v*-\-iv)	A34)
Проектируя во взаимно ортогональные подпространства, можем
написать:
v* — iv — xL_. -f- x_t\ x>* -f- iv = xLi + xi9	A35)
где xL. ? Li (А) и xL_. ? L._( (А). Подставляя в A34) и пользуясь
тем, что x_i±_Uy и хг±_у, получим (Uy, xi_.) = (y, xLi) или,
полагая xL.=y' и xL_. = Uy", где У и у принадлежит L{ (А), мо-
можем написать (Uy, Uy") = (y> у'): далее, в силу изометричности U>
(Уу У—У) = 0 Для любого у из Li(A) и, в частности, при у =
—У—У, что приводит к равенствуУ'==у, т.е. xLi=yf и xL_. = Uy'.
Подставляя в A35) и вычитая почленно эти равенства, получим v =
= ^г(У — Uyf)-\-1yxi—2rX-i> откУда и следует представимость v
формулой вида A31), ибо -^-х{ G Mt (А) и — ^-х_г G M_t (A).
Укажем на одно следствие теоремы. Из нее непосредственно
вытекает, что формула
iE)v	A36)
переводит линеал D (Л*) элементов v в Н. Действительно, в силу
A31) и A32), получаем w = (A — 1Е)ха — 2/х_/, причем первое
слагаемое есть любой элемент из L_t (А), а второе — любой элемент
из дополнительного подпространства Ai_t (А). Таким образом, если
толковать A36) как уравнение относительно v, то оно имеет реше-
решения при любом w из Н. При этом однородное уравнение (Л* — IE) v = 0
имеет в качестве решения подпространство М{ (Л). Если оно не
пусто, т. е. первый индекс дефекта р ^ 0, то уравнение A36) при
любом w имеет бесконечное множество решений v = v0 -|- хь где
v0 — какое-либо частное решение A36), a xt — произвольный элемент
Mt(A). Частное решение v0 имеет вид A31), и, ввиду возможности
добавления к решению любого элемента из Mt (Л), мы можем счи-
считать, что г/0 не содержит хь т. е. решение уравнения A36) может
быть записано в виде: v = (ха -\- x_t) -f- xit где дгд и x_t — опреде-

616	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[204
ленные элементы и xt — произвольный элемент. Если р = 0, то xt
отсутствует, и получается определенное решение. Совершенно ана-
аналогично уравнение
(A*-\-iE)v' = xs/
при произвольном tsf из И имеет общее решение if = (х'а -f- ХЬ ~\~
-\-x'-i, где х'А и х\— определенные элементы, а л/_,- — произвольно.
Если второй индекс дефекта q = 0, то x'-i отсутствует.
Отметим, что имеют место формулы v = х& -\- х\ -\- Х\; A*v =
= ЛхА—?.*•;. — Ух\Aт)^>0), аналогичные формулам A31), A32).
ния
204. Максимальные операторы. Укажем простой прием построе-
построемаксимальных операторов. Выберем какую-либо полную орто-
нормированную в Н систему
хъ х%...	A37)
и определим изометрическое преобразование U формулой Uxk = xk+x
(k=\y 2, ...), т. е. для любого элемента у из Н
мы имеем
Следуя обозначениям из [201], можем сказать, что V есть Я, а
L" образовано всеми ортами A37), кроме хь и формулы A24) и
A25), в которых у — любой элемент Ну приведут нас к замкнутому
симметричному оператору А с индексами дефекта @,1). Надо
только проверить, что линеал D (Л), образованный элементами у — Uy,
плотен в Н. Для этого достаточно, очевидно, показать, что суще-
существуют элементы х из D(A) такие, что для любого заданного орта
xk норма \xk — х\ сколь угодно мала. Образуем элемент
т—\
tn — s
x
5=0
где т —некоторое целое положительное число. Мы имеем
т—\	т—\
S=O	5==0
m
l у
XLX

205] РАСШИРЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 617
откуда, в силу теоремы Пифагора и нормированности xk+sy следует
и —±
II ^R+S
5=1
и, беспредельно увеличивая т, будем иметь сколь угодно малые зна-
значения для \xk — х\у что и требовалось доказать. Максимальный опе-
оператор указанного типа называется элементарным симметрич-
симметричным оператором. Если положить В =— Л, то D (В) совпадет с
D(A), а вместо формул A19) и A20) получим: у = (—В-\-1Е)х,
z = (— В — IE) х, откуда при замене х на (— х) видно, что (В -\- IE) x
преобразует линеал D (В) в подпространство L_t (Л) и (В — IE) x
преобразует D (В) в Lt (Л), т. е. при замене А на (— A) L{ и
L_i меняются местами, и, следовательно, если А есть указанный выше
оператор с индексами дефекта @,1), то(—А) имеет индексы дефекта A,0).
Пусть ?/0— унитарный оператор, переводящий орты A37) в орты
Xk. Применение предыдущего приема к ортам xi дает нам изомет-
изометрический оператор U'Xk = x'k-\-\ и элементарный симметричный опера-
оператор А', причем, очевидно, U'=U0UU~\ A'=U0AU~\ и D(A') полу-
получается из D(A) при помощи оператора ?/0. Можно доказать, что
если А — любой замкнутый симметричный оператор с индексами де-
дефекта @, q), где ^)>0 и конечно, то Н можно представить в виде
ортогональной суммы подпространств: Н= LQ -\- Lx -\- L.2 -)-.. .-\-Lq,
приводящих оператор А и таких, что каждое Lk при k ^ 1 бес-
бесконечномерно, а оператор Ak, индуцированный А в Lk, есть эле-
элементарный симметричный оператор; подпространство Lo, которое может
и отсутствовать, может быть как бесконечномерным, так и конечно-
конечномерным, и индуцированный в нем оператор Ло есть самосопряженный
оператор. Аналогичный результат имеет место и при q = со.
В случае индексов дефекта (/?, 0) при р^>0 операторы Ak
обратны по знаку элементарным симметричным операторам.
205. Расширение симметричных полуограниченных операто-
операторов. Пусть А — симметричный полуограниченный оператор с нижней
границей ша-
(Ах, х)^тА(х, х).	A38)
Будем пока считать, что /#д^>0, т. е. что А — определенно
положительный оператор. Мы постараемся расширить его так, чтобы
он оставался симметричным и чтобы его область значений совпала
со всем Н. Такое расширение приведет, как известно [187], к само-
самосопряженному оператору.
Сопоставим оператору А квадратичный функционал с веществен-
вещественными значениями
Jy (х) = (Ах, х) — (у,х) — (х, у),	A39)

618	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[205
где у— любой фиксированный элемент Н, и рассмотрим задачу о
его минимуме.
Теорема 1. Если уравнение
Ах=у	A40)
имеет решение x?D(A), то Jy(x)^Jy(z), где z— любой эле-
элемент из D (А) и знак = имеет место только при z = x. Обрат-
Обратно, если для некоторого х ? D (А) имеет место неравенство
Jv (x) ^ Jy (z), где z — любой элемент из D (А), то х удовлетво-
удовлетворяет уравнению A40).
Пусть x?D(A) и удовлетворяет уравнению A40). При любом
z?D(A), в силу симметричности А, имеем
Jy(z) = (Azy z) — (y, z) — (z,y) = (Az, z) — (Axy z)—(zy Ax) =
= (A(x — z)y x — z) — (Axy x) = (A(x — z)y x — z)-\-Jy(x)
и из неравенств
(A(x — z)y x — z)
^ следует первая часть теоремы.
Обратно, если x?D(A) и Jy (x)^ Jy (z) для всех z?D(A)y то
квадратичная функция Jy(x-\-tz) вещественного параметра t имеет
при ? = 0 минимум для любого фиксированного z?D(A). Отсюда
следует
(Azy х) + (Аху z) — (уу z) — {zy у) = 0,
или
(Аху z)-\-(zy Ax) — (yy z) — (zyy) = 0y
т. е. Re (Ах—уу z) = 0y где Re — знак вещественной части. Заме-
Заменяя z на izy получим Im (Ах—уу z) = 0y т. е. (Ах—уу z) = 0y и,
поскольку D (А) плотно в Ну получаем Ах —у = 0, что доказывает
вторую часть теоремы.
Из доказанной теоремы не следует, что при любом у ? Н функ-
функционал Jy (х) достигает при каком-то х ? D (А) наименьшего значения.
В связи с этим мы в дальнейшем расширим область определения
нашего функционала. Согласно A39) он определен на D(A).
Введем в D(А) новое скалярное произведение, полагая
[ху у]А =(Аху у) или просто [ху у] = (Аху у\ A41)
и тем самым новую норму
[| Ar|ji = [.*;, х] = (Аху х).	A42)
В силу A38) мы имеем неравенство
||x!|^-L=;jx!U.	A43)
УтА

205] РАСШИРЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛУ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 619
Нетрудно проверить, что элементы линеала О(Л) при прежнем
определении умножения на число и сложения и при скалярном про-
произведении A41) удовлетворяют всем аксиомам пространства Гиль-
Гильберта, кроме, может быть, аксиомы полноты. Если эта аксиома не
выполнена, то мы можем пополнить D (А) новыми идеальными эле-
элементами так, чтобы получилось полное гильбертово пространство,
которое мы обозначим через НА. Исследуем это пополнение [85].
Пусть имеется фундаментальная последовательность из D (А) при
скалярном произведении A41). В силу A43) она будет фундамен-
фундаментальной последовательностью и в Я, и будет иметь в Н некоторый
предел х' в силу полноты И. Фундаментальные последовательности
из D(A) при скалярном произведении A41), принадлежащие одному
и тому же классу, приводят к одному и тому же элементу х' из //,
т. е. если хп и уп? D(A) (/i=l, 2,...) и \\уп — хп\\А-+0 при
/г-^оо, то и \уп — лгяЦ->0. Это следует из A43). Проверим еще
тот факт, что фундаментальным последовательностям хп и уп из
D(A) при скалярном произведении A41), принадлежащим разным
классам, соответствуют различные элементы х? и у' из Н.
Для любого z ? D (А) мы имеем
(Az, хп—Уп) = [г> хп—Уп\-
Переходя к пределу, получим
(Az, x'—/) = [z} v],
где справа v есть элемент HAi отличный от нулевого, поскольку
последовательности хп и уп принадлежат разным классам в ИА. Если бы
оказалось, что хг =у\ то мы имели бы [z, v] = 0, а это невоз-
невозможно, ибо D (А) плотно в НА, и элемент v ? ИА отличен от нуле-
нулевого.
Расширим определение функционала Jy (x) на все НА, полагая
Jy (х) = [х, х] - (у, х) — (х, у)9	A44)
и будем исследовать для него прежнюю задачу на минимум. Вели-
Величина (х, у) при любом фиксированном у ? Н является линейным
ограниченным функционалом над х в НА, ибо
Ы1 II* На,
и по известной теореме [123J существует единственный элемент
xQ $ НА такой, что
(х, у) = [х, х0], {х? Яд; у?Н)	A45)
и тем самым (j/, x) = [xOf x]. Выражение A44) можно записать в
виде
•{у 0*0=1*. *1 — [*о> *] — [•*> ^о1 = 1* — xv х~ хч\ — \-xv xqJ'

620	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[205
откуда следует, что Jy (xQ) ^ Jy (х) для всех х ? //д, причем знак
= имеет место лишь при x = xQ. Кроме того, из A45) и того, что
На плотно в //, следует, что различным у ? Н отвечают различ-
различные лг0.
Из этой же формулы A45) непосредственно следует, что множе-
множество всех решений х0 вариационных задач, отвечающих всевозмож-
всевозможным у из Ну есть линеал /. Сказанное выше дает нам возможность
определить на / дистрибутивный оператор А формулой
Ахо=у,	A46)
причем этот оператор имеет обратный, определенный на всем Н.
В силу теоремы 1 А является расширением Л. Вместо / естественно
писать D (А). Отметим, что D (А) сг #д. Докажем, что А есть сим-
симметричный в Н оператор. Действительно, из A45) следует
(AxQix) = [xQ, х] (хо? D{A)\ x?HA)t	A47)
и, полагая х = х0, будем иметь
(Ах0, дго)^О,
т. е. (Ах0, х0) — вещественно при х0 ? D (А), откуда и следует
симметричность оператора А [187]. Обратный А определен во всем
Н и также симметричен и тем самым есть ограниченный самосопря-
самосопряженный оператор, а потому и А — самосопряженный в Н оператор.
Мы доказали таким образом следующее:
Теорема 2. Симметричный оператор А, удовлетворяющий усло-
условию A38) при /яд^>0, допускает самосопряженное расширение А
такое, что А~1 определен во всем Н и ограничен.
Приведенная выше конструкция расширения полуограниченного
симметричного оператора принадлежит Фридрихсу (Math. Ann., 109,
4/5, 1934). Доказательство взято из книги С. Г. Михлина „Про-
„Проблема минимума квадратичного функционала" A952).
Положим теперь, что симметричный оператор А удовлетворяет
условию A38) при /Пд^О. При этом симметричный оператор В =
= А-\-(е — тА)Е(s^>0), у которого D(B) = D(A), удовлетворяет
условию {Вху х)^е(ху х) при х ? D(B), и доказанная выше тео-
теорема приведет нас к следующему:
Теорема 3. Всякий симметричный полуограниченный опера-
оператор А допускает самосопряженное расширение А, такое что при
любом е ^>0 оператор [А -\- (е — тА) Е]~1 определен на всем Н и огра-
ограничен.
Оператор Л, если он не самосопряженный, допускает бесчислен-
бесчисленное множество самосопряженных расширений. Полученное расширение
А называется обычно расширением по Фридрихсу.

205] РАСШИРЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 621
Если х ? D (Л), то мы имели при тА ^> 0 неравенство A43). Положим,
что х ? На, но не принадлежит D (А). При этом, по определению
НА, имеется последовательность хп ? D(A)(n= 1, 2,.,.) такая, что
л:л=>х в норме НА и тем более в норме Н.
Написав неравенство для хп и пользуясь непрерывностью норм, мы мо-
можем утверждать, что при Ша ^> 0 неравенство A43) верно для
всего На •
Если х ? ?> (Л) и тем самым х ? Яд, то из A45) следует, что
(А*,д;) = [х, х]= || лгЦд, и неравенство A43) дает
(Л*, х)^тА(ху х).	A48)
При доказательстве мы предполагали /Яд ^> 0. Если /Яд <; 0, то
строим оператор В = А-\-(г — /#д) ?, где е ^> 0. В силу сказанного
выше имеем фх9 х) ^ в (лг, х)у где В = А-\-(е — тА)Еу откуда
следует A48). Таким образом, мы имеем следующий результат.
Теорема 4. Для А имеет место неравенство A48).
Рассмотрим теперь случай тд ^> 0 и докажем следующее:
Теорема 5, Для положительно определенного симметричного
оператора А имеем На = D\A2 ) и
1
[Ху х] = \\~АТх\\\	A49)
Докажем сначала, что НА czD(A 2). Пусть х? Нд. Имеется после-
последовательность хп ? D(A)(n=\y 2,...) такая, что || х — хп\\ д-*0,
и для хп имеет место равенство
К> ^я] = (АхЯ9 хп) =\\А2 хп ||2 = J X d (gx хл, хя), A50)
тА-0
где gx — спектральная функция А.
Принимая во внимание, что
|| X - Хп || - 0, || *„ - ^т \\\ = ||ДТ(^ - ^т) 1Г -> 0
и замкнутость А 2 , можем утверждать, что х ? D \А2 у»
Л2хЛ=>Л2лг и
(непрерывность норм), т. е. для дг верно равенство A49). Для пол*
ного доказательства теоремы остается показать, что D 1л2]с1//д.
Пусть х ^ D \А2/, и докажем, что л: g //д.

622	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[205
Рассмотрим последовательность элементов хп = $пх (п = 1, 2,...).
Ясно, что хп ? D(A) и || jc — хл||-^0 при л->оэ.
В силу сходимости интеграла
элементы
= \
тА-0
сходятся к А 2 х в Н при п -> оо и потому
1
II 2~2~ (у 	 у. \ ||« 	(А (у 	 г ^ Г 	 Г ^	 Mr 	 Y I! 2 _у О
при тип—* оо. Это означает, что лгд образует фундаментальную
в На последовательность. Пусть х —соответствующий ей элемент На-
Тем самым хп =>х в Ял. Но, как мы видели выше, хп =>л; в Н,
а потому х = х? На у что и требовалось доказать.
При тА ^> 0 оператор А~1 определен на всем Н и ограничен.
Исследуем теперь те случаи, когда он вполне непрерывен. Введем
оператор W, который сопоставляет каждому элементу х ? На тот
же элемент х, как элемент Н.
Теорема 6. Для того, чтобы А~1 был вполне непрерывным
оператором, необходимо и достаточно, чтобы оператор W вло-
вложения На в Н был вполне непрерывен.
Доказываем необходимость. Пусть А~1 вполне непрерывный опе-
оператор. Его спектр чисто точечный, и он находится на промежутке
О, —I причем собственные значения, кроме, может быть, нуля,
имеют конечный ранг, и только точка Х = 0 является точкой сгу-
сгущения спектра [136]. У самосопряженного положительного опера-
оператора А 2 спектр имеет тот же характер: каждое собственное зна-
значение X заменяется на J/^X и собственные элементы остаются преж-
прежними.
Таким образом, А 2 — также вполне непрерывный положительный
оператор. Возьмем какое-нибудь ограниченное в На множество U
так, что если x(^U> то ЦхЦд^С, где С — определенная- постоян-
постоянная. Мы можем применить к х оператор А2 . Пусть у = А 2 х так,
что х = А 2у. Мы имеем ||у[|2 = (Л2 х, A2 x) = \\xfA^C*, т. е.
множество элементов А2 х ограничено в Н} и вполне непрерывный

206]	СРАВНЕНИЕ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ	623
1
оператор А 2 преобразует их в компактное множество в Я, т. е.
действительно ограниченное в норме НА множество из Яд компакт-
компактно в Я, т. е. оператор W вполне непрерывен.
Доказываем достаточность. Пусть W — вполне непрерывный опе-
оператор и U—ограниченное в Я множество элементов: если х ? ?/,
то |)xi|^C. Надо доказать, что у —А'1 х— компактное в Я мно-
множество. Элементы у принадлежат, очевидно, D(A)y и мы имеем
Lly\\At откуда
У Ш
т. е. множество ограничено в норме На и тем самым, в силу того,
что W—вполне непрерывный оператор, компактно в Я. Теорема
доказана.
206. Сравнение полуограниченных операторов. Пусть А и В—
полуограниченные самосопряженные операторы. Говорят, что А не
меньше В, и пишут А^В, если D(A)c^-D(B) и
(Ах, х)^(Вх, х) при х? D(A).	A51)
Если А и В имеют чисто точечный спектр и собственные значе-
значения А и В можно пронумеровать в порядке их неубывания, учи-
учитывая их кратность, то, перенося минимо-максимальный принцип [136]
на случай неограниченных операторов, можно показать, что
\п (A) S= Xn (В), где ^п(А) и кп(В) /z-ое собственное значение А и
В. Мы докажем несколько более общую теорему.
Теорема. Пусть А^В и спектр В, расположенный на полу-
прямой Х<^р при некотором р, состоит из собственных значе-
значений конечной кратности, которые не имеют точек сгущения,
меньших р. При этом спектр А обладает тем же свойством и
^п (^) ^ ^п (В) на упомянутой полупрямой.
Достаточно показать, что при любом 8 <^ р, причем 8 отлично от
собственных значений А и В, размерность подпространства, соответ-
соответствующего проектору g$, не больше размерности подпространства,
соответствующего проектору Fs, где gx и F\ — спектральные функ-
функции А и В:
dimg^^dim/^tt	A52)
Предположим, что имеет место обратное неравенство. При этом
в ?s Я должен существовать нормированный элемент лг0, ортогональ-
ортогональный ко всему Fb Я. Отметим, что х0 ? D (А) и тем самым х0 ? D (В),
ибо х{) из g^=(g5—gmA_0^. Мы имеем
4-со	5
(Дл-0, х,) = J* U (gx *0, х0) = ^ U (gx xQ9 xQ) ^ 8 [ х0 [i = 8. A53)
тА -0	юА-0

624	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[207
С другой стороны, в силу х0 J_ FbH имеем
-j- оо	-\- оо
(Вх0, х0) = \ Ы (F\ х0, х0) = \ Ы (FA х0, х0).
m.fi — 0	6
Но, поскольку F\ постоянно в некоторой окрестности точки
Х = 8, существует такое е^>0, что
00
(Вх0, х0) = С U (Fx *0> *0) ^ 8 -f- г.
5 + в
Это неравенство противоречит A51) и A53), и тем самым
неравенство A52) доказано.
Замечание. Вернемся к симметричным полуограииченным опе-
операторам. Пусть А — такой оператор (не обязательно определенно
положительный). Определим для него пространство Яд. Пусть а —
любое число, удовлетворяющее неравенству а^> — гпа, так что опера-
оператор Л-\-аЕ—положительно определенный. Будем считать, что На
состоит из всех элементов На + о.е и введем в На билинейный функ-
функционал [х, у]ау который является расширением (Ах, у) на все На'
[х, у\А = [х, у]л+*Е — а(х, у).	A54)
Функционал [х, у]А непрерывен на //д. Нетрудно показать, что
+ 00
[x,y]A = yd(&xx,y),	A55)
гпа-0
где gx—спектральная функция самосопряженного оператора А.
Отметим еще, что На+*е состоит при всех а^> — ша из одних
и тех же элементов. Это следует из того, что D(A-\- а.Е) не зави-
зависит от а, и при всех а^> — Ша нормы Нд+аЕ эквивалентны. Отме-
Отметим, что оператор А может быть и самосопряженным.
Нетрудно показать, что условие A51) равносильно условию
[х, х]А^[х, х]в,
а также тот факт, что спектр самосопряженного оператора А на
полупрямой ^<^р, где роль р указана в теореме, можно найти как
последовательные нижние грани (Ах, х) при х ? D(A) и |jc||=1, при
условии ортогональности х к уже найденным собственным элемен-
элементам [ср. 136]. Можно заменить эту задачу на задачу последователь-
последовательных минимумов [х, х]а при х ? На и ||jc||=1.
207. Примеры на теорию расширений. 1. Мы доказали раньше, что
оператор D = / — в пространстве // = L2 @, +оо) не имеет самосопряженных
расширений [188J. Мы будем придерживаться здесь обозначений из [188] и

2071	примеры на теорию расширений	625
докажем упомянутый результат, пользуясь индексами дефекта. Напомним, что
замкнутый симметричный оператор Л есть оператор D, определенный на мно-
множестве функций <р (х), абсолютно непрерывных на любом конечном промежутке
[0, а] с производной из L2 @, + оо) и удовлетворяющих условию ср @) = 0. Опе-
Оператор Л* есть оператор D на множестве функций ср (л:), удовлетворяющих
указанным выше условиям, кроме условия ср @) = 0.
Построим пространства М/ (А) и М_,- (А) собственных элементов оператора
Л*, соответствующих собственным значениям ±i, т. е. подпространства реше-
решений уравнений Л* ^ (х) = dt vl (х) или rV (х) = it ЬЬ (х). Мы получаем 6 (л:) = Сех
и 6 (х) = Се~*. Но е* не принадлежит L2 @, + оо), и мы видим, что индексы
дефекта оператора А суть @,1). Оператор Л является максимальным операто-
оператором, Ц (Л) есть все L* @, 4- оо) и Z,_t- (Л) состоит из функций, принадлежащих
1*2 @, + °°) и ортогональных е~х на промежутке @, + оо).
Если ввести ортонормированную систему функций Лагерра: <рл (х) =
= e~xpk (x) (к = 0, 1,2,...), где р&(*)— полином степени k, то нетрудно пока-
показать, что U<?k (х) = 4>k+i (х), г^е ^ — изометрический оператор, переводящий
Li(A) в Z._?(/4), т. е. Л есть элементарный симметричный оператор.
2. Рассмотрим оператор L(y) = —у" в пространстве fi = L2(—оо, +оо).
Через Л обозначим этот оператор на линеале D (Л) финитных функций, име-
имеющих непрерывные производные до второго порядка. Это — симметричный
оператор. Сопряженный Л* есть, как нетрудно показать, тот же оператор L (у)
на линеале функций у (х) со следующими свойствами: у (х) и у1 (х) — абсолют-
абсолютно непрерывные на любом конечном промежутке, а у (х) и у" (х) ? L2 (— оо,
+ оо). Можно показать, что при этом и у' (х) ? L2 (— оо, + оо)- Оператор
А** т=~А совпадает с Л:|:, т. е. Л есть самосопряженный оператор [ср. 188].
Уравнения —yn = + iy не имеют решений из L2 (—оо, + оо). Рассмотрим
теперь тот же оператор L (у) на промежутке [0,-[-оо]. Пусть /' — линеал
функций у (х) со следующими свойствами: у (х) и у' (х) абсолютно непрерывны
на любом конечном промежутке [0, а), а у (х) и у" (х) ? L2 @, 4- оо). Опреде-
Определим еще линеал / тех элементов у (х) из /', которые удовлетворяют условиям
3>@)=/@) = 0 и
при всяком z (.v) d /'.
Если Л есть оператор L (у) на /, то Л* есть тот же оператор на /', при-
причем Л — замкнутый симметричный оператор. Уравнения—у" = ±. iy имеют по
одному (с точностью до постоянного множителя) решению из L2 @,4- оо)
Ц (\ + i)x
так что индексы дефекта Л суть A,1). Для получения самосопряженного рас-
расширения надо поставить одно предельное условие на конце х = 0. В случае
условия у @) = 0 оператор не имеет точечного спектра, и непрерывный спектр
заполняет промежуток Х^0. Имеется единственное дифференциальное реше-
решение
у (х) = —[ Y\ cos lx	sin УТГ х
X \	X	j
Строя резольвенту, т. е. решение уравнения — у" 4-(а -\-ti)y =f(x) при
условии у@) = 0 и 1 > 0, и переходя к пределу, получим спектральную функцию

626	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	|207
Все эти результаты получаются при помощи простых вычислений. Нетрудно
показать, что если у (х) ( D (Л*), то у' (х) ( L2 @, + со). Теория линейных диф-
дифференциальных операторов второго порядка будет изложена в шестом томе.
3. В [188] мы рассмотрели оператор Лапласа в пространстве L2(D). Для
указанного там оператора Л выполнены все условия теоремы 3 из [187], и мы
рассмотрим самосопряженное расширение Л но Фридрихсу. Пространство На
получается пополнением ?>(Л)в метрике:
их.\Чх
Но эта норма эквивалентна норме W<21) (D) [114], и, следовательно, НА есть
W2l' (D). Напомним, что W2l> (D) получается пополнением в норме M(ol) (D) мно-
множества всех один раз непрерывно дифференцируемых финитных функций. Но
нетрудно видеть (процесс усреднения), что в качестве исходного множества
можно было бы брать бесконечное число раз непрерывно дифференцируемые фи-
финитные функции. Функционал Jf(u) на u?D(A) имеет вид
= f
Jf(u) = f [-Ли-5"— 2Re(tt /)] dx,	A56)
где f(x)t L2(D), или
В этом виде он имеет смысл для любой функции и ? W2l) (D), и вариаци-
о
онная задача из [205] состоит в нахождении той функции и ( Wl2li (D), которая
дает наименьшее значение функционалу A57). Мы видели, что эта задача
имеет единственное решение при любом f(x)^L2(D). Присоединяя все эти
решения, полученные при различном выборе f(x)^L2(D) к D (А), мы придем
к самосопряженному расширению А оператора Л, причем
Au=f.	A58)
Поскольку А — самосопряженное расширение Л, мы имеем D (Л) C^()
Но функции из D (Л*) имеют внутри D обобщенные производные до второго
порядка включительно, квадратично суммируемые по любой области D\ лежа-
лежащей строго внутри D, и оператор Л* на них вычисляется как оператор Лап-
Лапласа [188]. Поэтому и А есть оператор Лапласа, т. е. уравнение A58) имеет
вид
2 л = /(*).	A59)
Итак, мы показали, что решение указанной выше вариационной задачи
принадлежит не только W[2V (D), но и WB2) (D'), где 1У — любая область, лежа-
лежащая строго внутри Д и что оно удовлетворяет уравнению Пуассона.
С другой стороны, уравнение A59) имеет бесчисленное множество реше-
решений из L2 (D). Достаточно к упомянутому выше решению добавить гармони-
гармоническую функцию из L2(D). Условие принадлежности решения l^;,11 (D) выделяет
из этого класса решений одно, которое мы и получили из вариационной задачи.
Это решение должно обращаться в определенном смысле в нуль на границе

208J	СПЕКТР СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА	627
«S области D [113]. Отсюда ясна связь построенного расширения А с задачей
Дирихле для уравнения Пуассона:
— Ди=/(дг); М|5 = 0.	A60)
Все, что доказано выше для оператора Лапласа, справедливо и для общих
линейных эллиптических самосопряженных операторов второго порядка [IV; 147].
Из теории расширения по Фридрихсу следует для них разрешимость задачи
Дирихле в обобщенном смысле — в смысле принадлежности решения к W{21) (D).
Оказывается, что в действительности это обобщенное решение задачи
Дирихле, соответствующее расширению эллиптического оператора по Фридрихсу,
принадлежит WiP (?)') или даже Wf (D), если только 5 — достаточно гладкая
поверхность. Это установлено в работе О. А. Ладыженской „О замыкании эл-
эллиптического оператора" (Докл. АН СССР, т. 79, №5, 1951). Этому же во-
вопросу посвящена работа О. А. Ладыженской „Простое доказательство разре-
разрешимости краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллипти-
эллиптических операторов" („Вестник Ленинградского университета", № 11, 1955).
208. Спектр симметричного оператора. Мы ввели выше поня-
понятие спектра самосопряженного оператора и установили классификацию
его точек. В ближайших параграфах мы сделаем это для замкнутого
симметричного оператора и исследуем изменение спектра при симмет-
симметричных расширениях оператора.
Пусть Л— замкнутый симметричный оператор.Число X называется
точкой регулярного типа оператора Л, если существует та-
такое k ^> 0, что для всех х ? D (Л):
||04 — \E)x\^k\x\ (x? D(A).	A61)
Из замкнутости А и A61) следует, что R(A— Х?) есть под-
подпространство и (Л — XZ:) есть линейный ограниченный на R (Л — Х?)
оператор. Обратно, если (Л — ХЕ)'1 существует на R (Л — IE) и
есть ограниченный оператор, то отсюда следует A61), т. е. X есть
точка регулярного типа. Как и в [129], легко доказывается, что
множество точек регулярного типа — открытое мно-
множество. Число X называется регулярной точкой Л, если вы-
выполнено A61) и R(A — \E) есть все И. Если /?(Л —Х?)= Я, то X
не собственное значение Л, ибо R(A — ХЕ) должно быть ортого-
гонально к собственным элементам, и (Л — 1Е)~1 — ограниченный в Н
оператор [186], т. е. выполнено A61).
Если X — вещественная регулярная точка Л, то (Л — X/:) есть
ограниченный самосопряженный оператор, и, следовательно, Л —
самосопряженный оператор. Покажем, что множество регулярных
точек — открытое множество. Достаточно показать, что если Хо —
регулярная, то уравнение
(Л— Щх=у	A62)
однозначно разрешимо при любом у ? Н, если X достаточно близко
к Хо. Положим, что

628	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[208
Уравнение A61) перепишем в виде
и оно эквивалентно уравнению
х = (X - Хо) (А - Х0Е)" • х + (Л - X,?)-«jr,
а это последнее однозначно разрешимо при любом у ? Н[88], ибо
Как и в [129], доказывается, что если X == а -|— т/ и чф 0, то
т. е. все невещественные значения X суть точки
регулярного типа.
Положим, что точка Х0 = с-{-т/, где т ф 0, есть регулярная
точка. При этом, в силу A63) и сказанного выше о разрешимости урав-
уравнения A62), все значения X, удовлетворяющие условию |Х — XJ<^k|
будут также регулярными точками. Отправляясь от регулярного зна-
значения Хо и применяя должное число раз проведенное только что рас-
рассуждение, мы убедимся в том, что всякое невещественное число
X = о' -\- т7, у которого знак т' совпадает со знаком т, есть регуляр-
регулярная точка. Это утверждение можно сформулировать в следующем
виде:
Лемма. Если один из индексов дефекта р\ или q\ оператора А
равен нулю при X = Хо (Jtn\ ^> 0), то он равен нулю для всех X из полу-
полуплоскости Jmk^>0.
Для самосопряженного оператора все невещественные значения X
суть регулярные точки. Дадим пример замкнутого симметричного
оператора Л, у которого нет регулярных точек. Пусть И есть L2@,l)
и А есть оператор /^, рассматриваемый на множестве функций ср (х)
таких, что ср(лг) абсолютно непрерывна, на промежутке [0, 1], ср(О) =
= срA) = 0 и ср'(дг) принадлежит L2@, 1). Это замкнутый симмет-
симметричный оператор [188]. При любом выборе числа X функция е~1*х при-
принадлежит Z,2@, 1) и ортогональна ко всем функциям ty(x), предста-
вимым в виде
где (pWC D (А), т. е. е~1^х ортогональна к R (А — Х?), откуда и сле-
следует, что X не есть регулярная точка.
Назовем спектром оператора А множество точек плоскости X,
дополнительное к множеству регулярных точек. Это есть множество
тех точек X, в которых (А — Х?) не имеет ограниченного обратного,
определенного на всем //. Назовем ядром спектра оператора А
множество точек, дополнительное к множеству точек регулярного

209] некоторый теоркмы о расширениях и их спектрах 629
типа. Спектр и ядро спектра — замкнутые множества, и первое мно-
множество (спектр) содержит второе (ядро спектра). Ядро спектра должно
лежать на вещественной оси. Спектр может заполнять всю плоскость,
как это видно из приведенного выше примера.
Если А— самосопряженный оператор, то ядро спектра совпадает
со спектром [189].
Нетрудно видеть, что ядро спектра Л принадлежит ядру спектра
любого замкнутого симметричного расширения оператора А. Это
следует из того, что принадлежность X ядру спектра А равносильна
тому, что существует такая последовательность хп нормированных
элементов из D(A)y что (А — Х?)лгп=1>0 при п—+аэ. Это свойство,
очевидно, сохраняется при указанных выше расширениях А.
Проведем теперь классификацию точек ядра спектра оператора Л.
Предварительно рассмотрим тот случай, когда X есть собственное
значение А (к — вещественное число). Пусть Р\ — подпространство
соответствующих собственных элехментов (включая нулевой элемент).
Мы можем представить линеал D(A) в виде ортогональной суммы
Д),	A64)
где D\ (А) есть линеал, состоящий из элементов, содержащихся одно-
одновременно в Н Q Рх и D(A). Обозначим через Лх оператор Л, опре-
определенный на DX(A) и совпадающий на этом линеале с А. Если X не
собственное значение, то Рх отсутствует и DX(A) совпадает с D(A).
В этом случае будем считать, что Ах есть Л. Мы можем утверждать,
что (Ах — Х?), рассматриваемый как оператор в HQP\, имеет
при всяком X обратный (Лх— Х?)-1, определенный на R(A—Х?).
Значения X, при которых (Лх— \Е)~1 есть неограниченный опе-
оператор, принадлежат ядру спектра. Эту часть ядра спектра на-
назовем непрерывной частью ядра спектра. Собственные
значения также принадлежат ядру спектра, и эту часть будем называть
точечной частью ядра спектра. Всякая точка ядра спектра
принадлежит одной из указанных частей, но может принадлежать и им
обеим. Будем говорить, что собственное значение принадлежит чисто
точечной части ядра спектра, если (Лх—XZJ)—есть ог-
ограниченный на R (А — Х?) оператор. Всякая точка ядра спектра принадле-
принадлежит или непрерывной или чисто точечной части ядра спектра и притом
только одной из них. При замкнутом симметричном расширении А непре-
непрерывная и точечная части ядра спектра могут только расширяться. Не-
Нетрудно видеть, что, в силу замкнутости А и Лх, непрерывная часть
ядра спектра А характеризуется тем, что R (А — Х?) есть незамкну-
незамкнутый линеал.
209. Некоторые теоремы о расширениях и их спектрах.
Начнем с доказательства следующей теоремы:
Теорема I. Если X — вещественная тонка регулярного типа
замкнутого симметричного оператора А, то существует такое

630	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[209
самосопряженное расширение А оператора А, для которого X —
регулярная точка.
Не ограничивая общности, можно считать X = Q. Из условий тео-
теоремы следует, что R (А) — подпространство, и на нем определен огра-
ограниченный обратный оператор А [208]. Надо доказать, что суще-
существует такое самосопряженное расширение А оператора А, для кото-
которого R(A) = H [189]. При указанных условиях мы имеем:
где U—подпространство всех решений уравнения: Л*и = 0 [185].
Известно, что в рассматриваемом случае R(A*) = H [187], и, следо-
следовательно, для любого и ? U существует по крайней мере одно реше-
решение уравнения
A*v = u.	A65)
Обозначим через V линеал всех решений уравнения A65), когда
и пробегает все U. Очевидно, что U^VC^D(A*). Обозначим через
U линеал элементов V, ортогональных ?/, и построим линеал / эле-
элементов Ху представимых в виде
х=у + и,	A66)
где у? D(A) и и ? U. Покажем, что представление х в виде A66)
единственно. Если бы это было не так, то существовал бы эле-
элемент zy отличный от нулевого, принадлежащий одновременно D (А)
и 0. Но тогда Az ? R{A) и Az = A*z? ?/, ибо z ? ?/, и
тем самым z ? V. Но R (A) J_ U и потому Az = 0, т. е.
z ? Uу что совместно с z $ О дает г = 0. Этим доказана единстеен-
ность представления A66), т. е. /—прямая сумма: D(A)-\-U. Опре-
Определим теперь на линеале / оператор Л, полагая Ах = Ay-\- A*ut и
линеал / обозначим через D(A). Очевидно Л cz Л С=Л*. Покажем,
что А удовлетворяет всем требованиям теоремы. На линеале D (А)
оператор А совпадает с А и на U оператор Л* дает все ?/, что
следует из определения U и того факта, что Л*м = 0 при u? U.
Гаким образом, R(A) = H. Остается показать симметричность Л на
D(A) 1187]. Отметим сначала, что
(Л*н,, щ) = A1ь Л*н2) = 0 (щ и щ? О).
Пусть хх и Хъ? D(A). Тогда, согласно A66), хх=ух-\-~их,
лг2 =^2 ~\- иь и мы имеем
х*) = (Аух + А*иь х%) = (уь A*xJ + {A*ul9 у,) =
Теорема доказана.

209]	НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАСШИРЕНИЯХ И ИХ СПЕКТРАХ	631
Можно показать, что если А~х вполне непрерывен, то и Л вполне
непрерывен. Подробному изучению таких расширений операторов, как
абстрактных, так и дифференциальных, посвящены работы М. И. Ви-
шика (Труды Московского математического общества, т. I, 1952 г.) и
L. Hormander'a (Acta Matheraatica, 94, 3—4, 1955).
Следствие 1. Если вещественное число X принадлежит чисто
точечной части ядра спектра, то существует самосопряженное
расширение А оператора А, для которого X также принадлежит
чисто точечному спектру с тем же подпространством Р\ собствен-
собственных элементов, что и у А.
Оператор Л, рассматриваемый в подпространстве Н{ = Н Q Рх
является, как нетрудно видеть, замкнутым симметричным оператором
и удовлетворяет условиям теоремы 1. Тем самым он допускает в Н{
самосопряженное расширение Аи для которого X есть регулярная
точка. Оператор А с областью определения D(A) = D(Al)($P\, сов-
совпадающий с Ах на D(Ai) и с А на Рх, и будет, очевидно, указан-
указанным в следствии расширением.
Следствие 2. Если А — максимальный, но несамосопряжен-
несамосопряженный оператор, то непрерывная часть ядра спектра А заполняет
всю вещественную ось.
Действительно, в противном случае оператор А имел бы само-
самосопряженные расширения.
Следствие 3. Если имеется вещественное X, не принадлежа-
принадлежащее непрерывной части ядра спектра А, то при любом X(ImX^>0)
индексы дефекта рх и qx одинаковы.
Это следует из того, что А при указанном условии имеет само-
самосопряженные расширения.
Теорема 2. Пусть вещественное X — точка регулярного
типа замкнутого симметричного оператора А и U = H Q R(A —
— Х?). При этом существует самосопряженное расширение А
оператора А, для которого X принадлежит чисто точечному спектру
и U является собственным подпространством, отвечающим X.
Без ограничения общности будем считать Х = 0. Отметим, что
R(A) и U суть подпространства, причем U есть множество решений
уравнения A*z = Q. Обозначим через D(A)-\-U множество элемен-
элементов вида х =у -\- z, где у ? D (А) и z ? U.
Представление в указанном виде единственно. Действительно,
в противном случае мы имели бы такой элемент лг0, отличный от
нулевого, что лг0 ? D(A) и лг0 ? U. Отсюда следует, что (jc0, Ах)= 0
(x^D(A)) и (Ахге, лг) = 0. Но, поскольку D(A) плотно в Я, полу-
получаем Ахг0 = 0, а это противоречит тому, что X = 0 точка регулярного типа.
Таким образом, мы можем определить на прямой сумме: D(A) =
= D(A)-\-U оператор Л, полагая Ах — Ау, если х =у -j- z% где
у ? D (А) и z ? U.

632	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[210
Симметричность Л непосредственно проверяется, ибо (Az,y) = 0 и
(г, Ау) = (г, Ау) = (А*г, у) = 0.
Докажем самосопряженность А. Пусть
(Ах, и) = (х, и*) (х е D(A)).	A67)
Поскольку Л* С] Л*, можно утверждать, что u?D(A*) и
и* = Л*м. Представляя, как и выше, х в виде х=у -\- z, получим
(Ах, и) = (Ау, и) = (у, «•) + (*, и*) = СУ, Л*и) + (г, "*),
ИЛИ
(Лу>И) = (Ду, и) + (г, и*),
т. е.
(г, к*) = (г:, Л*и) = 0.
Это равенство имеет место для всех z ? U, а потому и* =
= Л*м? /?(Л), и, следовательно, существует такой элемент у0 ? /)(Л)
что Луо = и*, откуда Л*м— Ауо = А* (и—уо) = О, т. е. и—_Уо =
•= zo 6 ^ и w=J;o~h'2ro € ?) (^)- В силу A67), самосопряжен-
самосопряженность А доказана. Остальные утверждения теоремы относительно
свойств оператора А непосредственно следуют из его конструкции.
Следствие. Если вещественное X принадлежит чисто точечному
спектру А, то можно построить самосопряженное расширение А,
для которого л также будет принадлежать только точечной
части ядра спектра А, причем под пространство собственных эле-
элементов А, отвечающее X совпадает с подпространством собствен-
собственных элементов Л*, отвечающих X.
Доказательство этого следствия аналогично доказательству след-
следствия 1 теоремы 1.
210. Независимость индексов дефекта от X. Выше мы отме-
отмечали, что индексы дефекта рА и q} не зависят от выбора комплекс-
комплексного числа X из верхней полуплоскости. В этом параграфе мы дока-
докажем это утверждение. Прежде всего отметим, что если какой-либо
линейный оператор В (не обязательно ограниченный) преобразует
биоднозначно некоторое подпространство V в подпространство W,
то размерности 1/hIF совпадают: dim V = dim W. Это следует из того,
что линейно независимые элементы { лгь х.2, ... } подпространства V опе-
оператором Б переводятся в линейно независимые элементы {Вхи Вх.2...}
подпространства W и наоборот. Введем еще одно определение. Число т
называется размерностью линеала / по модулю линеа-
л а /', если в / имеется т и не более т линейно независимых элементов,
никакая линейная комбинация которых, кроме случая всех коэффици-
коэффициентов, равных нулю, не принадлежит /'. Обычно обозначают т =
= dim /(mod /'). Число т может быть равно и бесконечности.
Пусть А — замкнутый симметричный оператор и ръ qx — его ин-
индексы дефекта, соответствующие X, взятому из верхней полуило-

210J	НЕЗАВИСИМОСТЬ ИНДЕКСОВ ДЕФЕКТА ОТ /	633
скости. Тогда, как мы видели [202], имеют место формулы
A68)
где Мх (Л) есть совокупность всех нулей оператора Л* — ХЕ9
LK (Л) — совокупность всех элементов вида у = (Л — Х?)лг при
x?D(A), и аналогично для М\ (Л) и Lx (Л).
Далее [203]:
D (Л*) = D (Л) + Мх (А) + Мх (Л),	A69)
и любое симметричное расширение А строится с помощью изометрич-
ного оператора, устанавливающего взаимно однозначное соответствие
между подпространствами Nx (А) и N\ (А) (одинаковой размерности)
пространств МХ(А) и М\(А) [202].
Из формулы A69) следует, что
/7Х f qx = dim D (A*) (mod D (A)),	A70)
и, следовательно, сумма Р\-\~Я\ не зависит от X. Предположим
сначала, что она имеет конечное значение. Построим какое-либо
максимальное расширение Ао оператора А и рассмотрим какое-либо
Х = Х' из верхней полуплоскости. Не ограничивая общности, можем
считать /?х'^<7х'« Отсюда следует, что индексы дефекта Ло при
Х = Х' суть @, гх»)> где гх» = ^х'—/V- По лемме из [208] индексы
дефекта Ло для всех X из верхней полуплоскости суть @, гх), где
r}=qx—рх [202]. Далее из A69) следует
и мы имеем
гх = dim Ж>т (Ло) = dim Z) (Ло*) (mod D (ЛД
откуда видно, что rx = qx—рх не зависит от X. Тем самым рх и </х
не зависит от \. Предположим теперь, что px-\-qx равно бесконеч-
бесконечности. Если при каком-либо Х = Х' мы имеем р}, = оо и qx, = oo}
то возможны самосопряженные расширения Л, и тем самым рх = оо\
qx = oo при любом X.
Остается рассмотреть тот случай, когда при каком-либо Х = Х'
один индекс дефекта конечен, а другой бесконечен.
Пусть рх> конечно и ^х» = оо. Из предыдущего непосредственно
следует, что и при всяком X будет рх конечно и qx = oo. Надо
лишь показать, что рх не зависит от X. Это легко получить из фор-
формулы [202]:
Р (Ло) = D (Л) + (E—Vo) Мх (Л),	A71)

634	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[211
где Ло — фиксированное максимальное расширение, Vo — изометри-
изометрический оператор, зависящий от выбора Ло и X. В силу существова-
существования (Е—Vq)'1* из A71) следует
рх = dim D(A0) (mod D(A)),	A72)
что и доказывает независимость рх от X.
Из теоремы 1 [209] следует, что если существует вещественное
Х = Х0, являющееся точкой регулярного типа замкнутого симметрич-
симметричного оператора Л, то он допускает самосопряженные расширения,
и, следовательно, при наличии вещественной точки регулярного
типа, индексы дефекта (p,q) (не зависящие от X) одинаковы. Они
равны размерности подпространства ?/собственных элементов Л*, отве-
отвечающих собственному значению Х = Х0.
Действительно, считая Х0 = 0 и обозначая через А самосопряжен-
самосопряженное расширение А, для которого Х = 0 — регулярная точка [209],
имеем в рассматриваемом случае: //=/?(ЛH?/; D(A) = D(A)-]-A~lU,
причем в этих формулах представление элемента левой части в виде
указанной суммы однозначно, и, следовательно,
р = dim D (A) (mod D(A)) = dim A~l U = dim U.
211. Об инвариантности непрерывной части ядра спектра
при симметричных расширениях. В этом параграфе мы будем
предполагать, что замкнутый симметричный оператор А имеет конеч-
конечные индексы дефекта (/?, q), и будем рассматривать его замкнутые
симметричные расширения.
Начнем с доказательства простой леммы.
Лемма. Если U и W—два подпространства, из которых
второе конечномерно, то
V=U-\-W,	A73)
т. е. множество элементов x=y-\-z, где у ? U и z? W, есть
также подпространство.
Мы можем, очевидно, считать, что W не имеет общих с U эле-
элементов (кроме нулевого). Пусть (wu m2, ..., wn) — базис W. Пред-
Представим каждый из его элементов wk в виде: wk = wk-{-Wk, где
w'k $ U и w'k _\_ U. Линейную оболочку w'k(k=\, 2,..., п) обозна-
обозначим через W\ Множество V можно представить в виде ортогональ-
ортогональной суммы двух подпространств:
и лемма доказана.

212]	О СПЕКТРАХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ	635
Теорема. Непрерывная часть ядра спектра любого замкну-
замкнутого симметричного расширения А оператора А та же, что
и у А.
Мы видели, что при расширении А непрерывная часть ядра
спектра на может уменьшиться [208]. Предположим, что она расши-
расширилась, т. е. что есть такое вещественное число Хо, которое не
входит в непрерывную часть ядра спектра Л, но содержится в не-
непрерывной части ядра для Л. Для него/? (Л — \Е)— подпространство,
a R (А — \Е) — незамкнутый линеал.
Принимая во внимание формулу для D(A) [203] и конечность
индексов дефекта для Л, можем написать
Я (A — \E) = R(A — \E) + W,
где W—конечномерное подпространство. Но последняя формула и
незамкнутость R(A— \Е) противоречат доказанной выше лемме.
212. О спектрах самосопряженных расширений. Мы видели
выше, что если X — вещественная точка регулярного типа для Л,
го существуют самосопряженные расширения Л двух типов: для
одного X — регулярная точка Л, а для другого — собственное значе-
значение с кратностью, равной индексу дефекта Л (индексы дефекта А
одинаковы).
Дополним эти результаты.
Теорема 1. Если индексы дефекта (р, р) замкнутого симмет-
симметричного оператора А конечны, то при любом самосопряженном
расширении А оператора А кратность любого собственного зна-
значения может повыситься не более, чем на р, и вещественное X,
которое не было собственным значением А, не может быть соб-
собственным значением А кратности выше р.
Пусть X не есть собственное значение Л, но есть собственное
значение Л кратности k^>p. Из формулы A72)
p = dimD(A) (mod/) (Л))
и k^>p следует, что имеется собственный элемент Л, принадлежа-
принадлежащий D (Л), т. е. X есть собственное значение Л, что противоречит
предположению. Таким образвм, доказано, что k^p. Случай, когда
X — собственное значение Л, рассматривается аналогично с исполь-
использованием оператора Лх [208].
Теорема 2. Если А — полуограниченный замкнутый симмет-
симметричный оператор и его индексы дефекта (р, р) конечны, то для
любого самосопр яженного расширения А спектр, находящийся
левее нижней границы А, может состоять лишь из конечного
числа собственных значений, сумма кратностей которых не пре-
превосходит р.

636	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	B13
Без ограничения общности можем считать А положительным опе-
оператором. Пусть gx — спектральная функция самосопряженного рас-
расширения А. Докажем, что при любых 0 ^> р ^> а имеет место неравенство
dim Agx Я=(8р—8.) Ж р.	A74)
Пусть имеет место обратное неравенство
A75)
Мы знаем, что Agxx ? D(A)npux? Ни p = dim D(A)(modD(A)).
Отсюда следует, в силу A75), что в подпространстве Agx// най-
найдется нормированный элемент х ? D(A). Но тогда
(Ах,х) = (Ах,х) = J Ы (&хх,х) = yd ®хх,х) =s= р < О,
—оо	а.
что противоречит положительности А. Тем самым неравенство A74),
а вместе с ним и теорема доказаны.
213. Примеры. 1. В [188] мы рассмотрели в пространстве H = L2(D)
оператор Л, который определен на всех гладких финитных в D функциях
и является на этих функциях оператором дифференцирования
»()A76)

• • • д\
Мы показали, что А — симметричный оператор, имеющий ограниченный
обратный на R (А). Отсюда следует [209], что А допускает такое самосопря-
самосопряженное расширение А, что уравнение
A77)
однозначно разрешимо при любом 6 (х) ( L2 (D). Область определения А
дополняется при этом расширении функциями v (x) из L2 (D), для которых
ЛМ*г/ = 0. Функции эти имеют обобщенные производные Dk и DkDk и опре-
определяются из уравнения
Из них мы берем для D(A) те, которые ортогональны решениям уравне-
уравнения Dku = 0. Оператор А на D (А) имеет вид Dfe, где Dk есть обобщенная
производная A76).
2. Рассмотрим оператор
в пространстве И = L> @,4- со), определенный на всех гладких финитных
вблизи л* = 0 и Ar = + °o функциях. D (Л*) есть множество всех функций <f (л:)
со следующими свойствами: <? (х) и ср' (х) абсолютно непрерывны на любом
конечном промежутке [0, а\, у(х) и ср" (х) ( L2@, + oo). Как мы указали, при

214]	бесконечные матрицы	637
этом и ср' (л*) ? U (О, + со). Для <р (л:) ? D (Л*) имеем Л* ср (х) = — ср" (л:) [188].
состоит из всех тех элементов D (Л*), которые удовлетворяют условиям
'(О) О
Нетрудно проверить, что имеют место следующие утверждения: а) Л —
положительный оператор; Ь) индексы дефекта Л равны A,1); с) непрерывная
часть ядра спектра совпадает с полуосью 0^;Х< + оо, и это же справед-
справедливо для любого самосопряженного расширения Л; d) любое симметричное
расширение Л есть самосопряженное расширение. Оно определяется на тех
элементах D (Л*), которые удовлетворяют одному из двух условий ср' @) —
— Лср^О) = О, где h — фиксированное вещественное число, или ср(О)=О.
Последнему условию соответствует расширение по Фридрихсу, и при этом
оператор остается положительным и имеет чисто непрерывный спектр, состоя-
состоящий из полуоси 0 ^ X <: -J- оо. Если h ^ 0, то самосопряженный оператор,
отвечающий условию ср' @) — Лср @) = 0, имеет чисто непрерывный спектр.
При h > 0 он имеет одно простое собственное значение X = — h2.
214. Бесконечные матрицы. В [200] мы рассмотрели интеграль-
интегральные операторы, ядра которых удовлетворяют условиям A07) и A08).
Совершенно аналогично можно рассмотреть операторы в /2:
оо
(*=1, 2, ...),
осуществляемые такими матрицами, что aki = aik и выполняются
условия
оо	оо
4212= 2ia*<-i2<OT A79)
(ft=l, 2,...; dk^0).
При этом ряды A78) абсолютно сходятся для любого элемента х
из /о, но ряд, составленный из |_У/|2, не обязательно сходится, т. е.
(Уь Уь • • •) может не быть элементом из /2. Обозначим через D (Ло)
линеал таких х из /2, что
оо
2 k I *k i < °°>
и через D (Б) линеал таких х> что (ух, уь ...) 6 4- Можно показать,
как и в [200], что D(AQ) повсюду плотен в /2 и что D (Ло) с= D (В).
Обозначая далее через Ао оператор, определённый в D(A0) форму-
формулами A78), и через В оператор, определённый в D(B) теми же фор-
формулами, можем утверждать, что Ло — симметричный оператор и что
В = А* [ср. 200]. Отметим, что, в силу A79), все орты принадле-
принадлежат D(B) и даже ?>(Л0). Для того чтобы В был самосопряжённым,

638	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[214
необходимо и достаточно, чтобы для любых х и у из D(B) выпол-
выполнялось равенство [ср. 200]
2B ) °80)
=1 1 = 1
причём, в силу а/л = akh мы имеем:
Симметричный оператор Ло может оказаться и незамкнутым, и мы
введём ещё новый оператор Л, который является, как мы покажем,
замыканием Ло. Пусть D(A) — линеал таких х из D(B), что
(Вх, у) = (х, By)
A81)
для любых у из D(B), и Л—оператор, выражаемый формулами A78)
на D(A). С другой стороны, Л?* определено на линеале ?(Л**) таких
элементов х, что (Вуу х) = (у, х*) для любых у из D(Z?), и, в силу
A**cz А*, х* выражается через х по формулам A78), т. е. х* = Вх.
Сравнивая это с определением Л, мы видим, что Л** совпадает с Л.
Но Л** есть замыкание Ло, т. е. Л есть замыкание Ло, и Л* =
= А* = В. Выясним одно свойство линеала D(A) и оператора Л.
Назовём «конечным элементом» всякий элемент (хь хь ...) из /2,
который имеет конечное число составляющих xk, отличных от нуля.
Пусть D(Af) — линеал «конечных элементов» и Л' — оператор A78),
определённый на этом линеале. В силу aki = aik этот оператор сим-
симметричен, и любой элемент D(Ar) входит, очевидно, в /}(Л0), т. е.
Ar <Z- Ло; следовательно, обозначая через Л' замыкание Л', будем иметь
Л'сг:Л, а потому Л*о:(Л')*. Пусть ek—орт с номером k. Любой
элементу из (Л')* должен удовлетворять равенству (BekJ y) = (ek,у*),
причём у* = (А')*у. Обозначая через yt и у* составляющие у и у*,
можем написать упомянутое равенство в виде:
*ikyi =yt, т. е. yt =
откуда видно, что у? D(A*) и _у* = Л*_у. Сравнивая этот резуль-
результат с Л*сг(Л')*, мы видим, что (Л')* = Л*, а потому А** = А'-
Но мы имеем А**=А и, следовательно, А' = А. Этот результат мо-
может быть формулирован следующим образом:
Теорема. Вели х? D (Л), то существует последовательность Ьп
«конечных: элементов» такая, что ?л=>лг, АЬп==>Ах и А=А\

2151	матрицы якови	639
Самосопряженность А сводится к тому, что А* = А. Если это
не так, то индексы дефекта оператора А определятся размерностью
подпространств, образованных решениями уравнений Ах = 1х и
Ах = — ix, и мы можем применять изложенную выше теорию рас-
расширения оператора. Покажем ещё, что если матрица aik веще-
вещественна и комплексный элемент х'-\-x"i принадлежит
D(А), то х' и л*" также принадлежат D(А), а потому и
л^ —лг"/? D(A). Действительно, в силу доказанной теоремы, суще-
существует такая последовательность \n = b'n-\-%lJ- «конечных элемен-
элементов», что || х — ?n|p = |!jc' — ?п |:2-|-I! ¦?" — ^лр2->0, и |'Ах — A;nf =
= 1Ах> — A^f-fM*" — At'n\f-+0, откуда' следует ' \х?— t'n\\-> О,
]Ах' — А1'п\\-+0, \\х"— Щ-* 0, \Ах" — А^||->0. Принимая во вни-
внимание, что А = А\ получим наше утверждение.
215. Матрицы Якоби. Применим предыдущие результаты к слу-
случаю матриц Якоби:
а0 Ьо 0 0 0 ... |!
Ьо ах Ьх 0 0 ... |,
О Ьх а, Ь, 0 ... >	A82)
О 0 b, a* b,..
причём а{ вещественны и bt^>0. Условие A79), очевидно, выпол-
выполняется. Нумерация ортов начинается с & = 0.
Строим вещественные полиномы Pkft) по формулам [ср. 167]
k_iPk.1(\)9	A83)
из которых следует:
ek = Pk(A)e{h	A84)
где через ек мы обозначили орты.
Теорема 1. Если сходится ряд
оо
2lp*@l*	A85)
то оператор А — несамосопряжённый.
В силу сходимости A85) можно образовать элемент х из /2
с составляющими xk = Pk(i), так что (jc, ek) = Pk(i). Принимая во
внимание, что Aek==bk_lek_l-\-akek-\-bkek+b и формулу A83),
получим:
(Аек9 х) = ^.tP^T@ + <*^ J^
откуда, в силу (ek, x) = Pk(i)y можем написать: {Aek, x) = (ek, ix).
В силу дистрибутивности А и скалярного произведения, имеем

640	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[215
(Ay, х) = (у, ix) для любого «конечного элемента» у и, в силу
теоремы из [214], это равенство справедливо для любого у из D(A),
а потому х? D(A*) и A*x = ix, откуда и вытекает, что А — несамо-
несамосопряжённый оператор.
Теорема 2. Если ряд A85) расходится, то оператор А —
самосопряжённый.
Достаточно доказать, что Л* не имеет собственных значений ±1.
Предполагаем обратное. Пусть A*x = ix, где элемент х(х0} хь хъ,...)
отличен от нулевого. В силу определения Л* и того факта, что
ek?D(A), имеем (Aek, х) = (ек, ix) или (х, Aek) = L(x, ek) = ixk,
т. е. (х, bk_lek_l~\-akekJrbkek+l) = lxk. Раскрывая скалярное произ-
произведение, получим: bk_xxk_l-\-akxk-\-bkxk_vX=:ixk. Пользуясь A83) и
методом полной индукции, получаем отсюда: xk = Pk(l)x0 и х0 ф 0.
Но это противоречит расходимости A85). Если заменить в A85) / на
(—/), то, в силу Pk(—l) = Pk(l)y получится, очевидно, также расхо-
расходящийся ряд, и, как и выше, А* не имеет собственного значения
(—0; теорема доказана. Таким образом расходимость ряда A85)
является необходимым и достаточным условием самосопряженности Л.
Повторяя дословно доказательство двух последних теорем, можно
показать, что если ряд
сходится при каком-либо невещественном а, то а и а суть собствен-
собственные значения Л*, и если ряд A86) расходится при некотором неве-
невещественном а, то а и а не являются собственными значениями Л*,
откуда следует, что Л — самосопряжённый оператор, т. е. и ряд A85)
расходится. Наоборот, если A86) сходится при некотором невеще-
невещественном а, то Л* имеет невещественные собственные значения и Л —
несамосопряжённый оператор; ряд A85) также сходится. Эти рас-
рассуждения приводят к следующей теореме:
Теорема 3. Возможны лишь следующие два случая: ряд A86)
расходится при любом невещественном а или сходится при любом
невещественном а. В первом случае А — самосопряжённый опе-
оператор, а во втором — несамосопряжённый.
Далее из доказательства теоремы 2 непосредственно следует, что
если A85) сходится, то составляющие собственного элемента Л*,
соответствующего собственному значению /, удовлетворяют равен-
равенствам xk = Pk(l)x0 (k=\, 2, ...), где Xq произвольно и отлично
от нуля, т. е. подпространство Mt (Л) одномерно. Совершенно так же
и M_i(A) — одномерно. Оно получается, очевидно, из Mt(A) заменой
элементов xk на сопряжённые. Таким образом во втором случае
индексы дефекта Л суть A,1). Элементы xt и x_t подпространств
М{ (А) и M_i (Л) мы можем определить с точностью до производи-

215]	МАТРИЦЫ ЯКОБИ	641
ного комплексного множителя формулами
и элементы подпространства D(AB) самосопряжённого расширения Лв
оператора А определяются единственным образом формулой v =
= ха + а*о> г^е -^а G D (Л), а — любое комплексное число, хн =
_- JL	_
= i(e 2 x_i~\~e^xt) и 0<;9<[2тс. Пусть gx—спектральная функ-
функция А в первом случае или какого-либо Ац во втором случае и
(X) = (gxe0, ^0). Совершенно так же, как и в [167], мы имеем:
при ? =
+ оо	-I- оо
причём во втором случае А надо заменить на Л9. Элементы ма-
матрицы A82) выражаются, очевидно, формулами
-\- о
Теорема 4. Полиномы Р*(Х) образуют замкнутую систему
относительно р (X).
Пусть <р|Х(Х) — функция, равная единице при —оо<^Х^[о.и нулю
при X^>ji. Любая функция т:(Х), принимающая конечное число зна-
значений аь а.2..., ат, причём всякое значение ak она принимает на
конечном промежутке, может быть представлена, очевидно, в виде
конечной линейной комбинации функций ср^ (X) при различных \х.
Если мы при любом \х докажем уравнение замкнутости для срДХ),
то оно, в силу обобщённого уравнения замкнутости, будем иметь
место для любой линейной комбинации функций ср|Х(Х) и, тем самым,
для всех функций тг(Х) указанного типа. Но линеал таких функций
повсюду плотен в L2 относительно р (X) [60], а потому Pk (X) обра-
образуют замкнутую систему [60]. Итак, достаточно доказать уравнение
замкнутости для ^(Х). Вычислим интеграл от <рЩ^) и коэффициенты
Фурье этой функции:
-j-оо	-|- оо
срЩХ)ар(Х)= \ dp (X) = р ([х)\ ak= \ ср (X) Pk (X)dp (a) ==
—оо	(— оо, plI	-- оо

642	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[215
Надо проверить при любом \х равенство:
Мы имеем, в силу уравнения замкнутости,
и достаточно проверить равенство
правая часть которого—вещественна. Но это последнее равенство
непосредственно вытекает из указанного выше интегрального пред-
представления ek [ср. 192], и теорема доказана.
Укажем ещё один простой достаточный критерий самосопряжён-
самосопряжённости матрицы A82). Из A83) непосредственно следует формула
и, суммируя по к от /? = 0 до k = n—1, получим тождество:
и, в частности, при а = /
В силу Р0(Х)=1 левая часть ^1, откуда следует:
и, суммируя от п= \ до п = т-\-\> получим:
откуда непосредственно следует, в силу теоремы 2;

?15)	МАТРИЦЫ ЯКОВИ	643
Теорема 5. Если ряд, составленный из 1 : Ьп, расходится, то
Л — самосопряжённый оператор.
Укажем ещё без доказательства на два факта, непосредственно
связанные с предыдущим изложением. Можно показать, что если Л
имеет индексы дефекта A,1), то ряд A86) сходится при любом зна-
значении а. Если же А— самосопряжённый оператор, то A86) расхо-
расходится и при вещественном а, кроме тех, которые соответствуют то-
точечному спектру Л, если таковой имеется. Кроме того, при индексах
дефекта A,1), всякое самосопряжённое расширение А имеет чисто
точечный спектр (см. Н. И. Ахиезер. Бесконечные матрицы Якоби
и проблема моментов, Успехи матем. наук, т. IX, 1941).
В качестве примера матрицы Якоби рассмотрим полиномы Эрмита. Мы
определяли полиномы Эрмита равенством
Нк(\) = (-1)кек*?*к(е-»)	A87)
и имели соотношение
lHk (к) = 1 Нк+1 (X) + кНк^ (X)	A88)
и интегральное равенство [Ш2; 157]
е~ >>а//| (X) dl = 2kk\ /тт.	A89)
Для того чтобы получить в дальнейшем нормированные полиномы, вместо A87)
введём полиномы
после чего соотношение A38) перепишется в виде
причём Р0(Х)=1. Таким образом, если мы возьмём матрицу Якоби, полагая
ак = 0; bk = Y*^T <ft ~°- '• 2'-)•
то мы и придём к полиномам A90), причём будут иметь место формулы
[ср. III; 220|
Т
Из теоремы 5 следует, что в рассматриваемом случае А есть самосопряжён-
самосопряжённый оператор. Принимая во внимание написанные выше интегральные фор-
формулы, можно показать, что для оператора А:
х
1

644	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[216
Оператор А имеет простой непрерывный спектр, расположенный на всём про-
промежутке (—со, +со),
216. Матрицы и операторы. Мы исследуем связь между матрицами и
симметричными операторами в гильбертовом пространстве Н. Положим сначала,
что в этом пространстве задан ограниченный самосопряженный оператор Л,
и пусть <рь ср2,... — какая-либо полная ортогональная нормированная система
элементов из Н. Определяя формулой
>л> А<9п)	A91)
(?kn = ank)
элементы некоторой матрицы а, мы имеем:
A92)
где х^ — составляющие некоторого элемента х, т. е. х^ = (л:, <р*)> и xk —
составляющие преобразованного элемента, т. е. хь = (Лх, <р^). Таким образом
при определённом выборе ортов оператор Л выражается матрицей согласно
формулам A92). Если мы выберем другую систему ортов Ьи ф2, ••-, и U есть
унитарное преобразование такое, что U^k = ^bk (k=\t 2,...), причём u>pq-=-
= (Uyq, Чр) = (ф<?, ^р), то оператору Л будет соответствовать матрица с эле-
элементами
5=1
00
причём мы использовали обобщённое уравнение замкнутости A8i) из [121].
Принимая во внимание введённые выше обозначения, можем написать:
*и'*#	A94)
Если мы применим эту формулу к bkn = ?^t перейдём к сопряжённым величи-
величинам и в правой части заменим букву s на t и t на s, то получим:
оо	со
Ьпк= 2иш 2 "*"**'¦	A95)
Совершенно аналогично будем иметь:
00	СО	СО	ОО
e*fc= 2Wns — b*t"kt= 2
S=\
Наоборот, если задана матрица а { ank } («ftn = ап^), удовлетворяющая условию
ограниченности [163], и фиксирована система ортов <?k (k = 1, 2, ...) в //, то
формулы A92) определяют ограниченный самосопряженный в Н оператор Л.
При этом &-й столбец матрицы {а^} дает составляющие преобразованного

216]	МАТРИЦЫ И ОПЕРАТОРЫ	645
элемента, полученного из орта <pfe, так что мы можем написать:
оо
A<H,= J.
Более сложной представляется связь между матрицами и неограниченными
операторами. В дальнейшем матрицы, удовлетворяющие условию симметрии
(akn = ank) и условию A79), назовем С-матрицами. Пусть имеется замкнутый
симметричный оператор F с линеалом D (F)y плотным в И. Выбираем полную
ортогональную нормированную систему элементов cpfe так, чтобы все cpfe при-
принадлежали D(F)y и определяем по формулам A91) с заменой Л на F элементы
матрицы {ank}. В силу симметричности оператора F и уравнения замкнутости
можем утверждать, что { ank } есть С-матрица. Применяя к скалярному произ-
произведению (Fx> 'fл) = (х, /^я) обобщенное уравнение замкнутости, причем счи-
считается, что x?D (F), получим:
. П) (N^Vk)= 2 ank*k'	A97)
т. е. оператор F выражается формулами A92) в ортах cpfe. Линеал D (F) содер-
содержит, очевидно, все „конечные элементы", т. е. все конечные линейные комби-
комбинации ортов, и, поскольку оператор Л, определенный в [214] на основе
матрицы { апь }, является замыканием оператора Л', определенного формулами
A92) на линеале „конечных элементов", мы можем утверждать, что Л d F;
следовательно, F*ci:A*, т. е. F* также определяется формулами A92) на
соответствующем линеале D (F*). Если F есть расширение Л, то, в силу тео-
теоремы 1 из [186], D (F*) есть лишь часть D (В), определенного нами в [214].
В данном случае одна и та же матрица дает различные операторы.
Если вместо yk мы примем другую систему ортов 6fe, также принадлежа-
принадлежащую D(F)t то оператор F выразится матрицей { Ьпь }, причем, как и выше,
будут иметь место формулы A92) и A97) с заменой ank на bnk. Положим теперь,
что задан не оператор, а С-матрица { ап^ }. Выбираем произвольную систему
ортов cpfe из И и определяем оператор А' формулами A92) или A97) на ли-
линеале D (А1) „конечных элементов". Замыкание А' приводит нас к некоторому
замкнутому симметричному оператору А. Будем говорить, что оператор А
порожден матрицей {ank} и системой ортов ср^ и будем писать:
Л^ ank {<fa }. Оказывается, что таким образом можно получить любой сим-
симметричный замкнутый в Н оператор.
Теорема. Любой симметричный замкнутый оператор А с D (А), плот-
плотной в И, может быть порождён некоторой С-матрицей и системой
ортов cffe.
Достаточно построить соответствующие орты <pfe из D (Л). Матрица опре-
определится формулой A91). Эти орты cpfe должны обладать следующим свойством:
для всякого х из D (Л) существует такая последовательность ып «конечных
элементов», что юл => х и А<*п ==> Ах. Для получения таких <рл достаточно
построить такую последовательность о>п из D (Л), что для любого х из D (А)
существует такая подпоследовательность о^, Jn^ ... , что w' => * и
Аа'п => Ах. Ортогонализация ы'п и приведёт, очевидно, к <рй, причём из
»
to' => л* и того, что D (А) плотно в //, следует, что последовательность ып
плотна в //, так что система ортов yk — полная. Переходим к построению и>п'
Берём какую-нибудь последовательность элементов 7.it У.Я|..., плотных в Я.

646	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[216
Пусть р, qy r — какая-либо тройка целых положительных чисел. Если суще-
существует хоть один такой элемент х из D (Л), что \\"/.р— лг||^— и || 1д —
— Ах ! ^С —, то указанной тройке мы сопоставляем один из таких элемен-
элементов л* и обозначаем его х^д}Г. Эги элементы можно, очевидно, пронумеро-
пронумеровать [1], и мы покажем, что они обладают требуемыми от ш'п свойствами.
Пусть .г (D(/l) и е — заданное положительное число. Выбираем г, удовле-
удовлетворяющее неравенству — ^ --, и элементы У.р и Хд так, чтобы I) Lp — х | ^ —
и \\'/.д — .4л' ^ ¦--, что возможно, ибо У.п плотны в И. При этом существует
элемент хр,я. г такой, что || Ар — хр, д, г!] ^ -- и ] Ад — Ах^ gi r \\ ^~ , отку-
откуда, принимая во внимание, что
:| X — Хр, q, г | ^ |! Lp — Л' || + ; 1р — Хр, q,rli\
|: АХ — АХр, q,rl\^\ V.q — АХ ) -f- il 'q — ЛХр, q, г \
и что — =^L ¦*-, получаем: || х — Хр, q, г || ^ ? и | Ах —• Ахр, q. г \ ^ ?. Отсюда,
ввиду произвольности г, и следует, что хр, q, r обладают тем свойством, кото-
которым мы выше охарактеризовали последовательность о>л; теорема доказана.
Один и тот же замкнутый симметричный оператор может быть порождён
различными матрицами и ортами. Если А ~ ank {срЛ} и А ^ bnk {^}, то, вводя
унитарный оператор ?/, указанный выше, и полагая ир„ = F^, <р^), получим
формулы A94), A95) и A96). Отметим ещё, что если t—заданный симмет-
симметричный замкнутый оператор, система ортов cpfe принадлежит D {F)} {ank} —
матрица, определяемая формулой A91) при замене А на F, и А^<апк{чк},
то F или совпадает с .4 или является расширением Л, как это мы видели
выше.
217. Унитарная эквивалентность С-матриц. В предыдущем параграфе
мы имели две системы ank {yk} и bnk {'*>k}y порождающие один и тот же опе-
оператор А. При этом числа upq были элементами матрицы, соответствующей
унитарному преобразованию ?/cpfe = 6fe в ортах <pfe. Внутренняя сумма фор-
формулы A94) представляет собой скалярное произведение (A'bk, <рЛ.), и, в силу
уравнения замкнутости, мы можем утверждать, что квадрат модуля этой суммы
образует сходящийся ряд при суммировании по s. Внутренняя сумма в выра-
выражении A95) получается из внутренней суммы выражения A94) переходом
к сопряжённой величине, перестановкой s и t и заменой k на я, а потому и
для неё справедливо сказанное выше при суммировании по t, т. е.
11
<оо;
t=\
= 1
<оо.	A98)
Это приводит нас естественно к следующему определению:
Определение. 1. Говорят, что унитарная матрица {upq} применима
к С-матрице {ank\, если выполнены условия A98) й\ели повторные суммы
A94) и A95) приводят к одному и тому же результату. Полученная
матрица {bnk} называется преобразованной матрицей.
Из того факта, что {апк} — С-матрица и {upq} — унитарная матрица,
следует, в силу неравенства Коши, абсолютная сходимость внутренних рядов

217]
УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ С-МЛТРИЦ
647
формул A94) и A95), а из условий A98) следует сходимость и внешних рядов.
В силу сказанного выше о внутренних суммах, одно из условий A98) влечёт
за собой второе условие. Из A94) и A95) непосредственно следует, что
bfrn = bnki и, из условий A98) и унитарности матрицы {ирд }, следует, что
сумма по к членов* j bnk j* конечна, т. е. {bnk} есть С-матрица. Докажем сле-
следующую теорему:
Теорема 1. Если унитарная матрица U применима к {ank}, то обрат-
обратная матрица U'1 применима к {bnk}} и преобразованной матрицей будет
iank}-
Докажем формулы
оо	оо	оо	оо
\^	"V	V	V ¦ ~"
Достаточно доказать первую. Вторая доказывается аналогично. Мы имеем:
/1=1
2 2-
5=1 \^=!
ust
"рп
В силу A98), сумму, стоящую в круглых скобках, можно рассматривать как
составляющую ?5 некоторого элемента $ из /2. Обозначая через y унитарный
оператор в /2, осуществляемый матрицей {upq}} можем записать правую часть
последней формулы в виде:
2 (Г1;)*"/»* = Vl (Tl*)]p= ip = 2 a"tUtf»
B00)
л = 1
откуда и следует непосредственно первая из формул A99). Из A99) непосред-
непосредственно следует:
ирпс
<оо;
V V
/1 = 1
<оо.
B01)
Действительно, обозначая щ = ар{, имеем элемент tq из 4 с составляю-
составляющими т]/, и правая часть первой из формул A99) может быть записана в виде
(Т~1у1)/г» откуда и следует непосредственно первое из условий B01). Второе
доказывается аналогично. Вводя ещё элемент г/ из /3 с составляющими г{п = bnk,
можем записать первую из формул A99) в виде: (yV)/> ==(T~lyi)/?» откуда (Tly])fe =
= (Тг\')р- Умножая на uqk и суммируя по k, получим:
2
k=\
т. е. одну из формул A96). Вторая доказывается аналогично; теорема доказана.
Дадим теперь определение унитарной эквивалентности двух систем
ank {?/?} и bnk {'h)> каждая из которых содержит некоторую полную систему
ортов.
Определение 2. Лее системы ank{yk} и bnk{6k] называются унитарно
эквивалентными, если унитарная матрица U с элементами upq=F yp)
применима к {ank\ и приводит к преобразованной матрице {Ьп}г\.

648	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[217
Если выполнено сказанное в определении, то из доказанной теоремы сле-
следует, что унитарная матрица, обратная матрице U с элементами {и^д}у т. е.
матрица с элементами u*q = uqp = (yqy ^р), применима к {bnk\ и приводит
к преобразованной матрице {ank\y т. е. унитарная эквивалентность
двух систем есть свойство взаимное. Отметим ещё, что
Г/cpfe¦ = 'Ьг и U~l'i>k == ?л- Основной в отношении эквивалентности систем является
следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы две системы ank {yk} и bnk {bk} были
унитарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы порождаемые
ими замкнутые симметричные операторы А и At имели в качестве своих
продолжений один и тот же симметричный оператор F.
Сначала доказываем необходимость. Пусть системы унитарно эквивалентны.
Мы имеем:
s=\	5=1
00	OO
(?/>, Albq)= У ('Ь,^1'^)(^»'Ь)= ^ bqsUps ,
S^\	5=1
и вторая из формул A99) показывает, что (Aypt <bg) = (ypy Afyq). Это же
равенство имеет, очевидно, место для конечных линейных комбинаций ср^ и <lq.
Принимая во внимание определение D(A) и D (Ai) и переходя к пределу
в скалярном произведении, получим:
(Ах, у) = (х, Аху\ если х ?D(A) и у ^D(At).	B02)
Если х одновременно принадлежит D (А) и D(Ai)y то, кроме B02), (Alxty) =
= (х, А{у) и, в силу B02), (Ах — А1х,у) = 0 для любых у из D(Ai)f и,
поскольку D(Ai) плотен в //, имеем Ах = А\Х.
Пусть D(F) — линеал элементов ху представимых в виде х — х' -\- у'у
где х' ?D(A) и у' (D(i4j), и положим Fx = Ах1 + Аху'. Если имеем
два представления: х = х' -\-у' = х" -{-у", где х' и х" ( D (Л), а у
и у" (D(^i), то из а:' — х"=у"—у' следует, что х' — х" и у"—у
одновременно принадлежат D (А) и D (ЛД и, в силу сказанного выше,
Ах' — Ах" = Аху" — А^у\ т. е. Ах' -{- Аху' — Ах" -{- А^", откуда следует,
что определение Fx однозначно. В силу B02) и симметричности А и Ai}
F есть симметричный оператор. Он является, очевидно, продолжением А и Ль
и необходимость доказана.
Положим теперь, что симметричный оператор F является продолжением
А и Av Мы имеем:
оо
= У,
т. е. мы получили первую из формул A99). Совершенно аналогично может быть,
иолучена и вторая. Повторяя доказательство теоремы 1, мы увидим, что {uPQ)
применимо к {ank}y и имеют место формулы A94), A95) и A96); унитарная
эквивалентность систем доказана..

217]	СУЩЕСТВОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ	649
Из теоремы следует, что унитарная эквивалентность систем вполне опре-
определяется порождёнными ими * замкнутыми симметричными операторами, и
естественно понятие унитарной эквивалентности перевести с систем на
замкнутые симметричные операторы, порождённые этими системами. Отсюда
непосредственно будет следовать, что ограниченный оператор унитарно
эквивалентен только сам себе, а максимальный — только своей части. Унитар-
Унитарная эквивалентность есть свойство взаимное, но не транзитивное, т. е. если
оператор Cj унитарно эквивалентен С3 и С2 унитарно эквивалентен С3, то
отсюда ещё не следует, что Ci унитарно эквивалентен Сг. Это будет, оче-
очевидно, так, если С2 — максимальный оператор, ибо Ct и С3 в этом случае
имеют общее продолжение С2. Общая теория С-матриц существенно отли-
отличается от теории матриц, которым соответствуют ограниченные самосопряжён-
самосопряжённые операторы. Эта теория С-матриц изложена в работе J. Neumann'a, Zur
Theorie her unbeschrankten Matrizen (Crelle, Journal, Bd. 161, 1929) и в книге
Wintner'a, Spektraltheorie der unendlichen Matrizen (Leipzig, 1929).
218. Существование спектральной функции. Мы переходим теперь
к доказательству основной теоремы из [192], согласно которой для всякого
самосопряжённого оператора А существует разложение единицы gb с по-
помощью которого он выражается интегралом Стилтьеса E8) из [192]. Мы
можем пользоваться при этом теми свойствами Л, которые выводились без
помощи формулы E8). В [189] мы без помощи этой формулы показали, что при
любом невещественном X существует ограниченный оператор (А — ХЕ),
определённый во всем /У, так что формула х = (А — ХЕ) и преобразует D (А)
биолнозначно в И. Рассмотрим случай X = нн / и положим:
х = (А — IE) и% у = (А + IE) v(u, v $D (A));
u = (A-iE)~lxy v = (A + iE)'lyt (x,y (Я).
Мы имеем, в силу самосопряжённости А:
Введя ограниченные самосопряжённые операторы
С = ~ [(Л - /ЕГ + (А + ЙО-Ч; В = -L [(Л - /?)-» - (А + /?)-'], B03)
мы получим:
(А — iE)~l = С + Ш, (А + /Я) = С — 1В,	B04)
причём при любом выборе х из Н элементы Сх и Вх принадлежат D(A).
Из B04) следует:
(А — IE) (С + 1В) = (АС + В) + / (АВ — С) = Е,
(А + IE) (С — IB) = (AC + B) — i (АВ — С) = ?,
откуда
АС=Е-В; B05)	АВ = С.	B06)
Если элемент х принадлежит D (А), то мы можем написать также:
(C + iB)(A — iE)x = x и (C —
откуда, раскрывая скобки и сравнивая с написанным выше, получим:
АСх = С Ах, АВх г= В Ах, (х ( D (А)),	B07)

650	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬВКРТА	|218
т. с ограниченные операторы В и С коммутируют с Л в смысле определения
из [191].
Из формул ВС = ВЛВ = ABB = СВ следует, что
С В = ВС,	B08)
т. е. В и С коммутируют между собой. Пользуясь B05) и B06), получим
В = BE = В (В + АС) = Я2 + ВАС = Я2 + ЛЯС = В2 + С2, т- е. В есть по-
положительный оператор. Далее из формул
! х f == !| (Л — /?) и |2 = ((Л — iE) и, (Л — iE) и) = || Ли ||2 + ' и j2,
следует, что H.|^|!x|j и !| г/j ^ I.у Ц, т- е- нормы операторов (Л — iE)'1
и (Л -\- iE)'1 не превышают единицы, а потому, в силу B03), то же можно
утверждать о В и С. Покажем ещё, что из Вх = 0 следует х = 0. Действи-
Действительно, если Вх = 0, то (Ял*, лг) = (Я2лг, х) + (С2х, л-) = 0, т. е. (Ял:, Вх) +
-)- (?Х Слг) = 0 или j! Ял* ij2 +1! Cx f = 0, откуда следует, что Сх = 0. После
этого формула B05) даёт: х = Вх + АСх¦ = 0." Кроме указанных выше свойств
операторов Я и С, нам понадобится ещё одна лемма, доказательство которой
мы приведём ниже.
Лемма. Пусть Мп(п= 1, 2, ...) — попарно ортогональные подпро-
подпространства, ортогональная сумма которых даёт всё И. Пусть далее
в каждом Мп определён самосопряжённый ограниченный оператор Ап.
При этом существует единственный самосопряжённый в И оператор Л,
совпадающий с Ап в Мп. Линеал D (А) состоит из тех элементов х, для
которых ряд, составляемый из ||Лллгп!2, сходится, причём через хп мы
обозначили проекцию х в Мпу и для указанных х мы имеем:
Ах = У Апхп.	B09)
п
Вернёмся к операторам В и С. Спектр Я лежит на отрезке [0, I], и, поскольку
из Ял: = 0 следует х = 0, точка X = 0 не принадлежит точечному спектру,
так что, если мы через %,[ обозначим спектральную функцию оператора Я,
то %'о = 0. Обозначая через Мп то подпространство, в которое проектирует
оператор (?', — g' , ), мы можем утверждать, что Мп попарно ортогональны
~п п+\
и что их ортогональная сумма равна Н. Если ограниченный самосопряжённый
оператор F коммутирует с g{, то, в силу теоремы из [148], Мп приводит F.
Это будет иметь место для С и любой вещественной непрерывной функции
от Я [193]. Мы положим <рп(Х) = 1:Х при —-г—г-^Х^ — и равной постоян-
постоянной вне указанного промежутка, с сохранением непрерывности на концах,
и введём самосопряжённый ограниченный оператор уп(Н)- Если z ?Mnt
то %1 2 = z при Х^>: — и g{2 = 0 при X ^ ——-. Это непосредственно
следует из формулы
х z — ©а!© 1 — & \ )г
и того, что %'^%[ = g^g^ = %'^ при {х ^ X. Если мы выразим <рл (Я) г
и Bz интегралами Стилтьеса через %'к и воспользуемся определением <рл(Х)
и только что сказанным относительно %[ z, то получим, что <рп (Я) Я =
*= Ясрл (Я) = Е в Мп, г. е. Я и уп (Я) обратны в Мп. Если г ? Мт то мы
можем написать z = Byn(B) z, откуда видно, что из г ? Мп следует г ^О(Л)

218]	СУЩЕСТВОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ	651
Пользуясь B06), можно написать: Az = АВуп (В) z = Суп (В) z, откуда видно,
что Л— ограниченный в Мп оператор. Принимая ещё во внимание, что С
и уп(В) коммутируют и что Мп приводит С и уп(В), можем утверждать,
что Л есть ограниченный и самосопряжённый в Мп оператор. Обозначим
через g(xn) разложение единицы, соответствующее этому оператору в Мп.
На основании леммы мы можем составить самосопряжённый в И оператор %-А.
со
%[я)х,	B10)
п=\
и нетрудно проверить, что %^ будет разложением единицы в И. Если мы
составим интеграл Стилтьеса/ который определяет некоторый самосопряжён-
самосопряжённый оператор,
то, принимая во внимание, что gx •*: = &ln)*i если х ? Mn, видим, что он
даёт А, если х?Мп, и тем самым, в силу леммы, он определяет оператор А.
Остаётся доказать формулированную выше лемму.
Пусть х принадлежит линеалу D (А) тех элементов, для которых
определим оператор А формулой Ax = AiXx + А2х2 + ... Покажем, что А —
самосопряжённый оператор. Линеалу D (А) принадлежат, очевидно, конечные
суммы элементов хП} и потому линеал D (А) плотен в И. Симметричность
А вытекает из самосопряжённости Ап и формулы
(Ах, у) = (? Anxw У уп) = У (Лпхп, уп) = У (хП} Апуп) =
п	п	п	я
^Ud л| 2шАпУп1~(х'Ау)*
п	п
где х и у ? D (А) и мы использовали непрерывность и дистрибутивность
скалярного произведения, а также ортогональность подпространств Мп. Таким
образом A* zp Л, и нам надо доказать, что если х ? D(A*), то х? D (Л). При-
Принимая во внимание, что А*хп принадлежит Мп и что х — хп ±_ МП} можем
написать:
(Л* (Л: _ Xn)j АХп) = {х _ Хт Л2Хп) = о,
откуда при п= 1, в силу теоремы Пифагора,
| А*х :|2 = i, Л* (х — Jd) i2 +1! i4jC! !¦*.
Совершенно так же можем написать:
!| Л* (х - Xl) Т =! Л* (.v - х, - х2) \* +:: Ах, I-,
т. е.
| А*х г = [: А* {х - - .v, - - .v2) г + ; Ахх г + \ Ах* '\
и вообще
п
[ Л*х J2 =. .4* (л- - *, - xt - ... - хп) ,,=•¦+ V ¦ Ахк,«,

652	ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА	[218
откуда следует:
а потому х ? D (Л); самосопряжённость Л доказана. Остаётся доказать, что
существует единственный самосопряжённый оператор, совпадающий с Ап
на Мп. Пусть, кроме построенного Л, существует ещё оператор Л'. Из само-
самосопряжённости А' вытекает, что он замкнут. Для конечных сумм
т	mm
k=\
ибо А и А' совпадают на Мп. Принимая во внимание замкнутость Л', можем,
утверждать, что Л' определён на D (Л) и совпадает на этом линеале с Л,
т. е. Л' 13 Л. С другой стороны, заменяя в приведённом выше доказательстве
Л* на Л', придём к заключению, что если лг? ?>(Л'), то д; ( D{A)> и, следова-
следовательно, Л' совпадает с Л: лемма доказана.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Внешняя мера 105
Возмущение спектра 491
График оператора 559
Дифференциальные решения уравне-
уравнения 477, 521, 536, 595
Дифференцирование функционалов над
СA) 379
Дефекта индексы 611
Измеримость множеств 108
	, ее критерии 118
—	функций 126
Интеграл Коши —Стилтьеса 89
	., формула обращения 90
—	Лебега 142
—	Лебега —Стилтьеса 141, 148, 193,
201
—	, предельный переход под
знаком интеграла 162
—	Стилтьеса 14, 76
	несобственный 26
	общий 62
	от непрерывной функции 23
	f существование 43, 68
	, физическая интерпретация 33
—	Фурье — Стилтьеса 82
	, формула обращения 85
	1 теорема свертывания 87
—	Хеллингера 263, 269
Интегральное представление Соболева
функций из Wf 368
Класс В — функций 139
Коммутирование операторов 398, 489,
496, 503, 580, 596
Компактность в метрическом простран-
пространстве 288
—, ее критерии 289
—, примеры 290—295
—	слабая в гильбертовом простран-
пространстве 417
	функционалов 315
Компактность слабая множества эле-
элементов в пространствах типа В 317
Линеал в L2 183
—	в пространствах типа В 301
Линейная независимость элементов в
пространстве типа В 300
Линейная оболочка 302
Матрицы проектирования 511
—	самосопряженные 511, 520
—	унитарные 509, 510
—	Якоби 518, 639
—	С 645
Множества 93
—	замкнутые 97
—	измеримые 108
—	открытые 97
—	В 124
Неравенство Бесселя 175, 386
—	Буняковского 387
—	Гильберта 525
—	Гельдера и Минковского 188
—	Пуанкаре 372
—	Фридрихса 374
Норма абсолютная оператора 439
—	ограниченного оператора 304, 397
—	функционала 307, 395, 401
Норма элементов нормированного про-
пространства 300
—, эквивалентность 349
Обобщенные производные 339
Ортогонализация элементов простран-
пространства Гильберта 391
Ортогональность элементов простран-
пространства Гильберта 388
Операторы в гильбертовом простран-
пространстве 397
—	в метрическом пространстве 282
—	в нормированном пространстве 303
—	вполне непрерывные 331, 335, 336,
337, 419, 430, 528, 532
—	гипермаксимальные 613

654
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Операторы дистрибутивные 303
—	замкнутые 554
—	изометричные 438, 604, 605,
—	интегральные 529, 604
—	— с полярным ядром 362
—	линейные 306, 397
—	неограниченные 554, 564
—	максимальные 612
—	непрерывные 303
—	неприводимые 472
—	нормально-разрешимые 558
—	нормальные 493
—	обратные 306, 404
—	ограниченные 304, 505, 529
—	положительные 403, 561
—	положительно-определенные 561
—	нолуограниченные 561
—	проектирования 397, 442
Операторы самосопряженные 400, 562
—	симметричные 561
—	сопряженные 331, 399, 504, 530,
556, 614
—	умножения на независимую пере-
переменную 480, 546, 599
—	унитарные 435, 537
—	унитарно-эквивалентные 437
Подпространства взаимно-дополнитель-
взаимно-дополнительные 395
—	инвариантные 470, 580
—, операции над ними 440
—	линейного пространства 302
Подразделение 20
Подразделений произведение 20
Подразделения продолжение 20
Полнота пространства 275, 301, 388
—	слабая регулярного пространства
319
Пополнение метрического простран-
пространства 275
Представление функционала в гиль-
гильбертовом пространстве 396
Приводимость оператора 581
Принцип выбора 50
Проекция элемента гильбертова про-
пространства 393
Принцип сжатых отображений 282
Произведение внутреннее 312
Пространства изометричные 276, 302
—	линейные нормированные 299
—	линейных операторов 328
—	метрические 274
—	регулярные 312
—	сопряженные 311
—	U и 1Р 180, 188, 198, 283, 503
—	/., и Lv 183, 188, 198, 284, 529
—	/?я> w, s, M, S, V 283, 284, 285
Пространства °С(/), С(/\ U{1) 376
-- С(/) 358
376
347
350
356
Пространство Гильберта 386
—	С 52, 81, 284
—	К 385
Разложение единицы 447, 583
—	спектральное самосопряженных опе-
операторов 454, 584
—	спектральное унитарных операто-
операторов 484
Расширение операторов по непрерыв-
непрерывности 305
—	иолуограниченных операторов 617
—	симметричных операторов 607
—	функционалов 307
Регулярного типа точка симметричною
оператора 627
Регулярная точка оператора 410, 575,
627
Резольвента 410, 415, 459, 590
—	матрицы 513
Ряд степенной от оператора 416, 498,
499
Сепарабельность 298
Скалярное произведение 386
Собственные значения 408, 592
	самосопряженного оператора 410,
461, 476
Спектр непрерывный 464, 473
-- оператора 408
-	предельный 476
-	простой 517
—	простой непрерывный 470
—	самосопряженного оператора 411,
476, 575
—	симметричного оператора 627
—	смешанный 475, 593
—	точенный 476, 578
—	чисто непрерывный 464, 593
—	чисто точечный 463, 593
Спектра малые возмущения 598
—	точки сгущения 476, 491, 492
—	ядро 628
Спектральная функция 455, 500, 589
589
	 интегрального оператора в ?а
534, 535
Сравнение полуограниченных операто-
операторов 623
Средние функции 217, 340

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
655
Суммы Дарбу — Стилтьеса 19
—	Лебега 142
—	Римана — Стилтьеса 15
Сходимость в метрическом простран-
пространстве 274
—	в линейном нормированном про-
пространстве 301
—	в среднем 168
—	операторов 329
—	слабая в гильбертовом простран-
пространстве 417
—	— в С 327,
	в 1р и Lp 326, 327
	 операторов 330
	функционалов 313
	 элементов 315
Теоремы вложения 376
Тело множеств В 120
Унитарная эквивалентность самосо-
самосопряженных операторов 483
	 матриц 520
Уравнение замкнутости 175, 390
	обобщенное 179, 391
Уравнения операторные 333, 425
Фубини теорема 203
Фундаментальная последовательность
276
Функции абсолютно непрерывные 233,
246
Функции множеств аосолютно непре-
непрерывные 231, 237, 259
	 аддитивные 225
—	— сингулярные 229
—	ограниченной вариации 34
—	на плоскости 78
	 многих переменных 81
—	промежутков 60
—	скачков 29
Функций ортогональные системы 174
	—, замкнутые и полные 177
Функционалы билинейные и квадра-
квадратичные 401
—	линейные в гильбертовом простран-
пространстве 395
	С 54, 319
	 Lp 320
	lpo 326
	С(/) 376
	 типа функции 376
	 в нормированном пространстве
282
—	на компактных множествах 290
Фурье преобразование 540, 544
Эквивалентность функций 128
Эквивалентные нормировки пространств
W{lJ 360
Эрмита функции 544
Ядра, зависящие от разности 547

Смирнов Владимир Иванович
Курс высшей матемлтики. Том V
Редактор Г. П. Акилов
Техн. редактор Р. Г. Польская
Корректор Е. А. Максимова
Подписано к печати с матриц 9/IV 1959 г. Бумага
60X927ie. Физ. печ. л. 41. Усл. печ. л. 41.
Уч. изд. л. 43,32. Тираж 25 000 экз. Цена 14 р. 50 к.
Т-00957. Заказ № 470.
Государственное издательство физико-математиче-
физико-математической литературы. Москва, В-71.
Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства.
Управление полиграфической промышленности.
Типография № 1 «Печатный Двор» имени
А. М. Горького. Ленинград, Гатчинская, 26.

54
93
95
227
238
253
320
359
374
439
445
507
520
554
572
588
617
ОПЕЧАТКИ
замкнутого множества /\
Формула A6) даст меру лю-
любого открытого множества.
Если при помощи формулы:
ё\ = О — Г\ где Fez О.
замкнутого множества
Стр. Строка	На печатано	!	Должно быть
множества
ограничены по абсолютной
величине.
ограничены по абсолютной
величине одним и тем же
числом.
оператор называется