Текст
1С ЛТА1ИСЯН, ВЛЛТАНАСЯН
сборник алдлч
ИО ГЕОМЕТРИИ
t
Л. С, АТАНАСЯН, В. А. АТАНАСЯН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ЧАСТЬ
I
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА • «ПРОСВЕЩЕНИЕ» • 1973
5131SI1 Л
А 92
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник составлен в соответствии с новой программой
курса геометрии для студентов первых курсов физико-математических
факультетов педагогических институтов по специальности «математика»
и охватывает всю программу курса. Задачник может полностью обес-
печить также геометрическую часть курса «Аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры» физических отделений физико-математи-
ческих факультетов. При составлении задачника имелось в виду, что
им будут пользоваться студенты заочных и вечерних отделений педаго-
гических институтов, а также лица, изучающие предмет самостоятель-
но. В связи с этим ответы к большинству задач снабжены указаниями,
а иногда и решениями.
В данный сборник включены задачи, помещенные авторами в «Сбор-
ник задач по аналитической геометрии», изданный в 1968 году изда-
тельством «Просвещение». Однако изменение программы потребовало
значительной переработки ранее изданного задачника и включения в
него новых разделов, таких, как теория преобразований на плоскости,
многоугольники и многогранники, основы многомерной геометрии.
Задачник состоит из двух разделов: раздел I — элементы векторной
алгебры; геометрия на плоскости и раздел II — прямые линии, плос-
кости и квадрики в евклидовых и аффинных пространствах.
В каждом разделе задачи, относящиеся к определенной теме, объ-
единены в параграфы. В задачнике уделено большое внимание подбору
задач элементарной геометрии, решаемых методами аналитической гео-
метрии. Эти задачи, как правило, выделены в отдельные параграфы.
Предлагаемый задачник составлен по тому же принципу, что и учеб-
ное пособие Л. С. Атанасяна «Геометрия, часть I» (М., «Просвещение»,
1973). Эти две книги, дополняя друг друга, представляют единое учеб-,
ное пособие по программе I — II семестров курса «Геометрии».
При составлении задачника использована учебная литература, список
которой помещен на стр. 252.
Атанасян Л. С. и Атанасян В. А.
А 92 Сборник задач по геометрии. Учеб, пособие для
студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I. М.,
«Просвещение», 1973.
256 с.
Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов физико-ма-
тематических факультетов пединститутов. В книге помещены задачи на
векторную алгебру, метод координат на плоскости и в пространстве и тео-
рию преобразований на плоскости. Много задач» относящихся к аффинным
н евклидовым многомерным пространствам, включая квадратичные формы и
квадрики.
0662—405
А------------30—73
МЮЗ(ОЗ)—73 513
© Издательство «Просвещение», 1973 г.
Раздел первый
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Сложение и вычитание векторов
1. Равенство н коллинеарность векторов
1. Для произвольного треугольника АВС точки М, N и Р — со-
ответственно середины сторон АС, АВ и ВС. Среди указанных ниже
пар векторов найти пары равных и пары коллинеарных, но неравных
векторов: a) AN и МР; б) NP и СД; в) ВМ и PC; г) PC и ВС; д) AM и
МС; е) NP и СМ; ж) АВ и NP.
2. Начертите параллелограмм ABCD и обозначьте через О точку
пересечения диагоналей. Укажите, какие из следующих пар векторов
равны, а какие коллинеарны, но не равны:
а) АВ и CD; б) АВ и DC; в) ВС и СВ; г) ДО и ВС; д) ОА и О&.
3. Будут ли выполнены свойства рефлексивности, транзитивно-
сти и симметричности для понятия «равенства векторов», если его вве-
сти одним из следующих способов:
а) векторы а и Ь называются «равными», если | а | == | Ь |;
б) векторы а и Ь называются «равными», если | а | =а | b | и
они образуют угол <р = 120°;
в) векторы а и Ь называются «равны-
ми», если | а | == | Ь | и они либо коллине-
арны, либо перпендикулярны;
г) векторы а и Ь называются «равными»,
если | а | = 2 | b |;
д) векторы а и b называются «равными»,
если | а | => | Ь | и они либо коллинеарны,
либо образуют угол 30°.
4. Пусть ABCDAiByC^Pi — параллелепи-
пед, О — точка пересечения диагоналей, а
М, N, Р, Q — середины сторон ДДЬ ВВи
CCi и DDi (рис. 1). Доказать, что:
а) МО = ОР; б) QP = ON; в) MN = QP.
3
2. Сложение и вычитание векторов .
5. Пусть ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения диа-
гоналей, а £ и F — соответственно середины параллельных сторон
ВС и AD. Построить на чертеже следующие векторы:
а) АВ + DC; б) АЕ +DF; в) АО — АВ-/
г) ОС + CD + ОВ; д) ED 4- FA 4- FO; е) АВ 4- BE — ОЕ 4- CD.'
6. Пусть ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения диа-
гоналей, а точки М, N, Р и Q — соответственно середины сторон АВ,
ВС, CD и DA. Построить на чертеже следующие векторы:
а) МО — ОА; б) ОС —СР; в) OQ — ОВ; г) AC — PD;
д) AN 4- MQ; е) (Й — NP; ж) АВ — ОС.
7. Дан параллелепипед ABCDAiBjfiiPi, изображенный на рисун-
ке 1. Из точек, указанных на этом рисунке (относительно обозначений
см. задачу 4), образовать векторы, равные соответственно следующим
векторам:
a) AD 4- ССъ б) АО 4- МО;
в) AM 4- DiCi 4- г) OCi — Bfi 4- ВА — А4 v
8. Написать векторные равенства, связывающие векторы, изобра-
женные на рисунках 2, а, б, в.
9. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах а
н Ь, проверить на чертеже справедливость тождеств:
а) (а 4-&) 4-(а — &) = 2а;
б) (а 4- &) — (а — b) == 2Ь;
' в) (а4-й)-в = о-|-(&-а) = &;
где 2а и 2Ь суть а 4- а и b 4- Ь.
10. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, О — его центр.
Полагая ОА =а, ОВ =Ь, выразить ОС, OD, ОЕ, OF, АВ, ВС, ЁЬ,
ЕС, С A, DA через векторы а и Ь.
4
Рис. 3 Рис. 4 ,
11. К двум тросам подвешен груз весом 30 кг (рис. 3). Определить
силы, возникающие в тросах, если Z. АСВ = 12(Г.
12. Груз весом 60 кг поддерживается двумя стержнями — АВ и
СВ (рис, 4). Определить силы, возникающие в стержнях, если Z. АСВ=*
= 90°, Z. АВС = 30р.
13. Дан параллелограмм ABCD и произвольная точка О простран-
ства. Доказать, что ОЛ 4- О? ==> ОВ 4- OD. Доказать обратное ут-
верждение: если для некоторого пространственного четырехуголь-
ника ABCD и некоторой точки О имеет место соотношение ОА + ОС
=аОВ + OD, то ABCD — параллелограмм.
3. Модуль вектора
14. Пусть а и Ь — произвольные векторы. Показать, что | а~Ь
+ Ь | < | а | 4- I b |. При каких условиях в этом соотношении име-
ет место знак равенства?
15. Пусть а и b — произвольные векторы. Показать, что | а —
— b | < | а | 4- I b |. При каких условиях в этом соотношении име-
ет место знак равенства?
16. В каждом из случаев а) и б) выяснить, существуют ли векторы,
для которых одновременно имеют место неравенства:
a) |at 4- &il < |Л1| и |at4-&ij < I&1I;
б) |а24-&2|>|«2| и 1«2 + ^г1> |&г1-
17. Если анЬ — данные векторы, то при каких условиях векторы
а 4- Ь и а — b коллинеарны?
18. Изображая векторы а 4- Ь и а — Ь с помощью диагоналей
параллелограмма, найти условия, при которых | а 4- b | = | а —
— Ь |.
§ 2. Умножение вектора на число.
Линейная зависимость
1. Умножение вектора на число.
19. Начертить произвольный вектор а и построить векторы: 2а,
—2а, у 2а, —а,------а, 5а, —J/3 а.
2 5
5
Рис. 5
20. По данным векторам а и Ь построить
каждый из следующих векторов: 4а,
—-|-(й4-а), 2аЗа — -^Ь, а+У^Ь.
21. Пользуясь параллелограммом, пост-
роенным на векторах а и Ь, проверьте на
чертеже справедливость тождеств:
а)
Z Z Z
б) + й = +
в) (а 4- —) — (а ——) — Ь.
\ 2) \ 2 }
22. На рисунке 5 изображен параллелепипед ABCDA^B^CyD^
где Е, F и 6 — середины соответственно сторон AAlt AD и CCt. Из
точек, указанных на этом рисунке, подобрать такие пары, чтобы обра-
зовались векторы, равные соответственно следующим векторам:
a)e1 + e2-f-es; б) е3 4- ег 4- j ех; в) у«х — е2 — е3; г) увх4-
4- ez 4- es- Здесь ех = ЛЛХ. е2 = AD, е3 = АВ.
23. В треугольнике АВС векторы АК, BL и СМ направлены по ме-
дианам. Выразить их через векторы а — АВ и b == АС.
24. Пусть АВС — производный треугольник, а Е и F — середины
сторон АВ и ВС. Выразить векторы АВ, ВС и АС через а — АЕ и
b = AF.
25: На прямой дана последовательность следующих друг за дру-
гом точек Аи А2, .... А10, для которых ЛХЛ2 — Л2Л8 =... = Л8ЛХ0.
Определить отношения-векторов: а) ЛХЛ2 : Л8Л7; б) ЛХЛ5: Л5Л8;
в) Л3ЛХо : Л6Л7; г) Л8Л4 : АвАд; д) Л6Л8 : ЛХОЛХ.
26. Дан произвольный треугольник с медианами AMlt ВМ2 и
СМ3 и точкой О пересечения медиан. Какие из указанных ниже выра-
жений имеют смысл: АМ3 : АВ; АО : ОМ2; MSO : СО; AMt : Л4ХО;
ОА : OMJ
2. Линейная зависимость. Подпространства
27. Пусть а, b и с — некомпланарные векторы. Выясните, кол-
линеарны ли следующие пары векторов:
a) = а — 2 УЗ b и р2 = ]/3 а — 6&;
б) Pi = 2а 4-Ь и р2=^а 4- 2Ь;
6
в) pt = la и p2=* 3J/5 а;
г) pt — а — 2 У 2 й + ]Лб с и р2 — У2 а — АЬ 4- 2 УЗ с.
28. Доказать, что для двух неколлинеарных векторов а и Ь, ис-
ходящих из одной точки, вектор | b | а 4- | а | b коллинеарен бис-
сектрисе угла, определяемого векторами а и Ь, а вектор | &| а —| а | b
коллинеарен биссектрисе смежного с ним угла.
29. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства.
Обозначим через М точку пересечения каких-либо двух медиан треу-
гольника, а через гъ г2 и га соответственно векторы О А, ОВ и ОС.
Доказать, что
0М = |(Г1 + г2 + гг).
О
30. Пусть треугольники и А2В2С2 имеют произвольное рас-
положение в пространстве. Показать, что AtA2 4- BtB2 4- =
= SMjAfa, где и M2 — точки пересечения медиан данных треу-
гольников.
31. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — точка пересечения
его диагоналей. Полагая АО = а и ВО — Ь, выразить через а и Ь
векторы АВ, ВС, CD и DA.
32. В тетраэдре ABCD точка Е лежит на ребре АВ и делит отрезок
АВ в отношении X = — 3. Полагая а = АЕ, b — АС, с = AD,
ЕВ
выразить через а, Ь и с векторы BD, ВС, CD, ED и ЕС.
33. Отрезок АВ разделен точками Съ С2, ..., Сп_х на п равных
частей. Полагая ОА = а и ОВ = Ь, выразить через них векторы ОСЬ
0С2, ..., ОСп^. Здесь О — произвольная точка пространства.
34. Даны треугольник АВС и'произвольная точка О. Пусть Лх,
Въ Ct — середины сторон ВС, СА и АВ. Доказать, что равнодействую-
щая снл ОА, ОВ и ОС равна равнодействующей ОЛХ, ОВХ и ОСЪ
• 35. Пусть li и 12 — две пересекающиеся прямые, а х — АВ —
произвольный вектор. Если через А и В провести прямые, параллель-
ные прямой /2, и обозначить соответственно через Лх и Вх точки пере-
сечения этих прямых с прямой 1Г, то получим вектор х' = AiBi,
который называется составляющей вектора х на прямой /х по направ-
лению прямой 12. Доказать: а) если х = у, то х' = у'; б) если z —
= х 4- У. то z' = х' 4- у'; в) если у = Кх, то у' = кх'.
36. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой прямой,
называется одномерным векторным прост-
ранством. Доказать теорему: для того чтобы система коллфцеар-
ных векторов й, содержащая хотя бы один нулевой вектор, была од-
номерным векторным подпространством, необходимо и достаточно,
чтобы для любого вектора а системы Й и любого действительного чис-
ла а вектор аа принадлежал й.
37. Пусть h — луч, исходящий из точки О, а й — совокупность
всех векторов ОМ, где М — произвольная точка луча h. Является ли
Й одномерным векторным подпространством?
38. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой плоско-
сти, называется двумерным векторным подпрост-
ранством. Доказать теорему: для того чтобы система компланар-
ных векторов Й, содержащая хотя бы два неколлинеарных вектора,
была двумерным векторным подпространством, необходимо и доста- ,
точно, чтобы для любых двух векторов а и b системы Й и любого дей-
ствительного числа а имели место условия:
1) оа й: 2) а 4~ b Й.
39. Пусть АОВ — угол, а Й — совокупность всех векторов ОМ,
где М — произвольная внутренняя точка угла. Является ли множе-
ство векторов й двумерным векторным подпространством?
40. Определить векторы х и у из следующей системы уравнений:
|л:4-2у = 2а,
{ х — у = 2&,
где а и & — данные векторы.
41. Определить векторы л:, у и я из следующей системы уравнений:
1' 2х— у — z = 4а,
Зх 4- 4у — 22 = 11а,
Зх — 2у + 4г — 11&.
3. Радиус-вектор точки
42. Пусть О — полюс пространства, а гъ г2 и г3 — радиус-век-
торы точек А, В и С. Доказать предложение: для того чтобы точки А,
В и С лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
существовали не равные одновременно нулю числа alf а3 иа3, удов-
летворяющие условиям щг! 4- а2г2 4- asf з =0 й «i + «а + «s = 0.
43. Пусть вектор ОС разложен по двум неколлинеарным векторам,
ОА и ОВ, а именно: ОС =а • Т)А 4- РОВ. Доказать, что точ-
ки Л, В, С будут лежать на одной прямой в том и только в том
случае, когда а 4- ₽ =.1.
44. В параллелепипеде ABCDAiBjCiPi найти линейную зависи-
мость, существующую между векторами АСЪ А^С, ABt и (рис. 5).
45. Пусть pi и р3— произвольные векторы. Доказать, что векторы
а — А 4- Р2, & = Pi — 2р2 и с — — Pi — 4рг линейно зависимы. Най-
ти коэффициенты линейной зависимости.
в
46. Пусть О —~ полюс пространства» a rlt rz, г3 и t\-— радиус-
векторы точек А, В, С и D. Доказать предложение: для того чтобы
точки А, В, С и D лежали в одной плоскости, необходимо и достаточ-
но, чтобы существовали не равные одновременно нулю числа аь а2,
«Зиа4, удовлетворяющие условиям
ахГ14- а2г2 4- а8г3 + а4г4 = 0 и + а2 4- а3 + а4 = 0.
47. На сторонах СА и СВ (или на их продолжениях) треугольника
АВС взяты соответственно точки Bt и которые делят эти стороны
в данных отношениях:
= X, f| = g.
В^А ЛЭ
Доказать, что при любом выборе полюса О в пространстве радиус-
вектор R точки пересечения прямых AAt и ВВг имеет следующий вид:
D = Дл + РГг + Гз
X рг 1
Здесь rlt гг, гъ — радиус-векторы точек А, В и С.
48. Дан произвольный треугольник АВС, стороны АВ, ВС и СА
которого соответственно равны с, а и Ь. Доказать, что при любом вы-
боре полюса О в пространстве радиус-вектор R точки пересечения
любых двух биссектрис имеет следующий вид:
аГ1 + br^-f- crg
а 4- b -f- с
Здесь ru r2, rs — радиус-векторы точек А, В и С. Пользуясь этим
утверждением, показать, что биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке.
49. Доказать, что при любом выборе полюса О в пространстве ра-
диус-вектор R точки пересечения любых двух высот не прямоуголь-
ного треугольника АВС имеет следующий вид:
_ r1tga-FratgP4-/-stgT
tga-l-tgp-l-tgT
Здесь гъ г2, г3 — радиус-векторы точек А, В, С и а = А,
Р = В, у ^=. С. Пользуясь этими утверждениями, показать,
что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
50. Доказать, что при любом выборе полюса С в пространстве ра-
диус-вектор R центра окружности, описанной около произвольного
треугольника АВС, имеет следующий вид:
— risin ^а ~ЬГ»sin + гзsin 2?
' sin 2а -J- sin 2р 4- sin 2у
Здесь гг, гг, Гз — радиус-векторы точек А, В, С и а — А,
Р = 4 В, у = С.
9
51. Пусть Н — точка пересечения высот, а Р — центр описанной
окружности треугольника АВС. Доказать, что при любом выборе
полюса О в пространстве имеет место соотношение
ОН —ОА + ОВ + ОС — 2ОР.
Рассмотреть частный случай, когда полюс О совпадает с точкой Р.
4. Центр тяжести системы материальных точек
52. Центром тяжести системы материальных точек Мъ М2, ...
Mk, в которых сосредоточены соответственно массы mx, m2...mk,
называется точка Р, радиус-вектор R которой при произвольном вы-
боре полюса О определяется соотношением
miri + «Уа +... + mkrk
т1 + т2 + ••• + mk
где гх, г2, ..., rk — радиус-векторы точек Л1Х, Л12, ...» Mk, т. е.
rt = OMlt где i =1, 2....k.
Доказать предложения:
а) точка Р не зависит от выбора полюса О;
б) если k =. 2, то Р есть точка, лежащая на прямой, соединяющей
точки Л1Х и Л12 и делящая отрезок в отношении X = —;
тх
в) если Рх — центр тяжести материальных точек Л1Х, М2, ..., 2ИЙ,
а Р2 — центр тяжести материальных точек Л1й+1, ..., Л1П, то Р есть
центр тяжести материальных точек Рх и Р2, в которых сосредоточены
соответственно массы mx + т2 + ... + тй- и тй+х 4- тй+2 + ... 4*
+ тп-
53. Центроидом системы точек Л1Х, М2, ..., Л1Й называется центр
тяжести системы материальных точек М1г М2, .... Mk, в которых со-
средоточены равные друг другу массы т. Вывести формулу для вы-
числения радиус-вектора центроида данной системы точек через ра-
диус-векторы этих точек и, пользуясь полученной формулой, пока-
зать, что:
а) центроид системы точек не зависит от величины массы т\
б) центроид системы двух различных точек Л1Х и Л12 есть середина
отрезка МГМ2,
в) если Рх — центроид системы точек Mlt М2, ..., Ms, а Р2 — цен-
троид другой системы точек #х, 7V2, ..., Nr, то центроид Р всех точек
Mi, М2.....Л14, ЛГХ, N2, .... Nr лежит на отрезке РХР2 и делит этот
отрезок в отношении —.
S >
54. Пусть АВС — произвольный треугольник и ВС = a, СА = Ь,
АВ —с, ^Д=а, В С ~ у, т — произвольное поло-
жительное число. Доказать предложения:
10
а) центроид системы точек А, В, С совпадает с точкой пересечения
медиан треугольника АВС;
б) центр тяжести материальных точек А, В и С, в которых сосредо-
точены соответственно массы ат, Ьт, ст, совпадает с точкой пересе-
чения биссектрис треугольника;
в) центр тяжести материальных точек А, В, С, в которых сосредо-
точены соответственно массы mtga, mtgP и mtg у, совпадает с точкой
пересечения высот треугольника АВС, если этот треугольник не пря-
моугольный; ‘
г) центр тяжести материальных точек А, В, С, в которых сосредо-
точены соответственно массы msin2q, т sin 2|J, т sin 2у, совпадает о
центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
55. Пусть М2, .... Mk — данные точки, а тъ т2, ..., mk,
k — данные числа, причем k 4= 0. Рассмотрим точку Р, радиус-век-
тор R которой при некотором выборе полюса О имеет вид:
о _ miri + т2г2 + ... + mkrk
К k
Здесь гх, га, rk — радиус-векторы точек Л4Х, М2, ..., Mk.
Выяснить, при каком условии, накладываемом на числа тъ т2, ...
...» mk, k, положение точки не зависит от выбора полюса О.
§ 3. Координаты вектора на плоскости
1. Координаты вектора в данном базисе
56. Пусть ABCD — параллелограмм, Е и F — середины проти-
воположных сторон ВС и AD, а О — точка пересечения диагоналей.
Взяв векторы АВ = elt AD = е2 за базисные, определить коорди-
наты следующих векторов:
а) АС; б) OD; в) FC; г) ВС; д) ЁО; е) BD;
ж) *11А.
57. Решить предыдущую задачу в предполо-
жении, что за координатные векторы взяты тх=
=AF, т2 ~ OD.
58. Базисные векторы ех и е2, длины кото-
рых соответственно равны 2 и 3, образуют угол,
равный 120°. Векторы а, b, с, d расположены
относительно базисных векторов так, как ука-
зано на рисунке 6. Определить координаты этих
векторов в базисе ех, е2, если |а| = 1; |&| —4;
1с| = 3; |rf| = 2.
Рис. 6
11
59. В правильном шестиугольнике ABCDEF векторы АВ — ег
и АЕ = еа выбраны в качестве базисных. Найти в данном базисе ко-
ординаты векторов AC, ЛЙ, AF и дК
J60. В ромбе ABCD векторы Л С = e t и BD — е2 взяты за базис-
ные. Найти координаты векторов АВ, ВС и DA в этом базисе.
61. В треугольнике АВС проведены медиана В К и средняя ли-
ния MN, параллельная АС. Прямые ВК и MN пересекаются в точке 0.
Найти:
а) координаты векторов CM, ОВ, КМ, СВ, NC и AN, принимая
векторы ОС и ОМ за координатные векторы et и еа;
б) координаты тех же векторов CM, OB, КМ, С%$, NC и AN, при-
нимая векторы КС и fiN. за координатные векторы и еа.
62. В равнобочной трапеции ABCD угол Л равен —. Полагая
3 _
АВ = и AD — е2, разложить по и е2 векторы ВС, АС и BD.
63. Взяв на плоскости общую декартову систему координат ег и
е2, построить следующие векторы: at{l, 2}; az{2, —1}; а3{0, —1};
в4{/2; 3}; <zs{—1, -2}; а6{2, -1}; а7{-2, -2}; а8{-2, 1};
а» т)» ®ю{2, 0}-
\ о “ )
64. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему коор-
динат I, J, построить векторы предыдущего примера.
2. Координаты линейном комбинации векторов.
Коллинеарность
65. На плоскости даны два вектора «{2, 1}, и{1,0}. Найти коэф-
фициенты разложения вектора а {9, 1} по векторам и и <о.
66. Даны три вектора и {3, —2}, v {—2, 1}, w{7, —4}. Опре-
делить. коэффициенты разложения каждого из этих трех векторов,
принимая в качестве базиса два других.
67. Даны векторы « {3, —1}, ю{1, —2}, w{—1, 7}. Определить
коэффициенты разложения вектора р — и 4-® по векторам и и v.
68. Даны векторы а {2, 3}, &{1, —3}, с{— 1, 3}. При каком зна-
чении коэффициента а векторы р ~а 4- ab и q=a + 2с колли-
неарны?
69. Даны векторы а {2, —3}, b 2}. При каких значениях
коэффициента а будут коллинеарны следующие пары векторов;.
а) р = «4-а& и q = а — а&;
б) р = аа + Ь и q — а 4- а&;
в) р = аа 4- & и q — а?
12
70. Векторы АВ {1, 3} и АС {2, 1} совпадают со сторонами тре-
угольника. Определить координаты векторов AMlt ВМ2, CMS, сов-
падающих с его медианами.
71. Даны векторы а{1, —2}, 1|, с {2, 0). Определить коор-
a + b 1 За —5& с—U
динаты векторов —--------— с, ———, —-—.
Л Z 2* <5
72. Даны векторы а {—1,-—2}, Ь {3, —5}, с {4, —3}. Существу-
ет ли треугольник АВС, стороны АВ, ВС, СА которого соответствен-
но параллельны векторам а,, Ь, с и для которого АВ == | а\, ВС =з
= | Ь |, АС = |с |?
73. Даны векторы а {1, —2}, Ъ {—1, 0}, с f——, з|, d[—
I 2 I I
2
2*
1
Существует ли трапеция ABCD, стороны которой соответственно па-
раллельны данным векторам и для которой АВ = | а |, ВС « | Ъ |,
CD = | с |, AD = | d\?
3. Вычисление модуля вектора и угла между векторами1
74. Даны векторы а{3, —4}, &{0, —3}, с {3, У?}, d{—1, 2}.
Определить их модули.
75^ Первая координата вектора а равна 6, а | а | == 13. Опре-
делить вторую координату вектора а.
76. Определить координаты единичных векторов (ортов), сона-
правленных с векторами:
а) т{—3, -4}; б) я{—1, 7); в) р(~УТ, 3}; г) ?{0, -2}.
77. Определить координаты векторов т, п и р, если:
а) | т | - 3, (<т) = 30°; б) | п | = 5, (Дя) = 135°;
в) |р| = 1, (Ср) = -60°.
78. Вычислить угол между следующими парами векторов:
а) а1{1, 0}_и а2{2, 2}; б) &х{1, 1} и &2{—1, УЗ}-,
в) сх{ — УЗ, 3} и га{0, I}; г) rfx{2, 0} и rfa{l, — УЗ}
79. Определить, какие из следующих пар векторов взаимно перпен-
дикулярны: 1) dt{2, 5} и &х{—10, 4}; 2) а2{1, 2} и Ьг{1, —3};
3) а3{3, 1} и Ь3 {2, -6}.
80. Даны^ векторы ах{1, 3}, а2{—1, —2}, а3{6, 0}, а4{0, 3},
д5(2, —У5). Определить координаты векторов, полученных из дан-
ных векторов поворотом на -f-90°.
1 Во всех задачах данного пункта система координат прямоугольная декартова.
13
81. Чему раин даекшш векторов а (-1, Б} в »{/2, _±} „а
координатные оси i и J?
82. Найти проекцию вектора а {—7, —3} на ось, определяемую
вектором & {3, 5}.
83. Пусть I — биссектриса угла между векторами i, J, приложен-
ными к точке О. Найти проекции вектора а {2, 5} на оси, определяе-
мые прямой I и имеющие противоположные направления.
4. Площадь ориентированного параллелограмма
84. Вычислить площадь ориентированного параллелограмма, по-
строенного на векторах а и Ь, если эти векторы в прямоугольном де-
картовом базисе имеют следующие координаты:
а) а{1, —2}, &{2, 0}; б) а{—3, 4}, &{1, 5};
в) а{0, -2}, & {-1, 7}; г) а{-1, 7}, &{0, -2}.
85. В общем декартовом базисе еъ е2 даны неколлинеарные век-
торы а {аь а2}, b {6Ь Ь2}. Доказать, что площадь 8Л6 ориентиро-
ванного параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, вычисля-
ется по формуле
?2ls0,
62| и
где 80 — площадь параллелограмма, построенного на базисных век-
торах Ci и б2.
86. Пусть So — площадь параллелограмма, построенного на ба-
зисных векторах 6Х, е2. В каждом из следующих случаев вычислить
площадь ориентированного параллелограмма, построенного на век-
торах а и Ь:
а) а{1, —2}, &{3, 5}, 80 = 2;
б) а{3, 2}, Ь{—2, 0}, 80 = 3;
в) а{-1, 5}, &{3, 2}, 80 = 1;
г) а {—6, 1}, &{0, 4}, 80 = ±
87. Базисы а, b и а', &' заданы своими координатами в исходном
базисе 61, б2. Указать, какие пары векторов, приведенные ниже, име-
ют одну и ту же ориентацию:
а) а{—3, 5}, &{1, 5}; а'{—2, —1}, Ь’ {3, 8};
б) а{0, 4}, &{2, 1}; а’ {3, 5}, &'{1, 4};
в) а {2, —1}, &{1, 5}; а’{—3, 2}, &' (1, 3);
г) а{—1, 4}, &{3, 7}; а'{— 1, 1}, &'{—3, 7}.
14
§ 4. Координаты вектора в пространстве
1. Координаты вектора в данном базисе
88. Пусть ABCDA^^iDi — параллелепипед, Е, F и G —со-
ответственно середины сторон AAlt AD, ССг (см. рис. 5). Принимая
векторы AD, АВ за координатные, определить координаты сле-
дующих векторов:
АС, АЕ, ECU В£ъ FG, CD, CBlr A^G.
89. Решить предыдущую задачу в предположении, что за коорди-
натные векторы взяты ADlt АЕ, АВ.
90. В тетраэдре ABCS точки А', В', С' — соответственно середи-
ны ребер 5Д, SB и SC; О и О' — точки пересечения медиан треуголь-
ников АВС и А'В'С. Принимая векторы О’С, О'В' и O'S за коорди-
натные, определить координаты векторов CS, AC, СЛ', О'А, AS,
AC', BE', АЕ', где Е' — середина отрезка А'С.
91. Решить предыдущую задачу, полагая ех = О'А', е2 — О'Е',
е3 — (УО.
92. В треугольной призме АВСЛ^В^ векторы АВ, АС и AAt
выбраны за координатные. Определить координаты вектора AM, где
М — центр тяжести треугольника А^С^
93. Среди векторов at {1, —6, 3}, а2 {О, —4, 5}, as {3, 0, 0},
а4 {0, —1, 0}, as {5, 0, 6}, щ {2, —3, 6}, а7 {0,0, —2), ае {—3, 1, 0},
ав {6, 0, 1}, а10 {0, 5, 0} укажите векторы: а) коллинеарные век-
тору Ci, б) коллинеарные вектору е2, в) коллинеарные вектору е8;
г) компланарные с векторами и е2, д) компланарные с векторами
ех и е8; е) компланарные с векторами еа и е8.
2. Координаты линейной комбинации векторов.
Коллинеарность и компланарность векторов
94. Даны векторы а {2, 3, —1}, Ь {0, 1, 4}, с {1, 0, —3}. Опреде-
лить координаты следующих векторов: 1) рх=2а — b — 2ic; 2) р2=
= а — Ь — Зс; 3) ps = а + 2& + Зс; 4)р4 = а —&— с; 5) р6 —
а + Ь „ а — 26 + с
~ 2 ’ 3
95. Найти линейную зависимость между векторами:
а) а {1, 3, 0}; b {5, 10, 0}, с {4, —2, 6} и d 17, з|;
а {1, 3, 5}, Ь {0, 4, 5}, с {7, —8, 4} и d {2, —1, 3};
в) а {1, 2, 5}, b {—1, 6, 3}, с {0, 0, 2} и d {1, 0, 4}.
15
96. Дан параллелепипед ABCDAtBiCiDt. При обозначениях за-
дачи 88 (см. рис. 5) вычислить координаты векторов ЛСЬ ЛГС, DBlt
DB в базисе AAt =» еъ AD = е2, АВ а е8 и, пользуясь ими, найти
линейную зависимость, существующую между этими векторами.
97. Даны пары векторов:
3, —6 и а2{—6, -12, 8};
<£ II
б) ьА—~, -, —2
I 3 4
„ h fl з 6
*15’ 4 5
и с2[—10, 8—, -
3
Указать среди них пары коллинеарных векторов.
98. Доказать теорему: пусть векторы а, b и с даны своими коор-
динатами в общей декартовой системе координат:
®{а1» 01» Т1}» 6{а2» 02» Тг}» С{а8» 08» Тв}-
Для того чтобы система векторов а, Ь, с была компланарной, необ-
ходимо и достаточно, чтобы
«1 01 Yi
«2 02 У2
аз 03 Уз
99. Даны тройки векторов:
а) {-3, 0, 2}, аг {2, 1, -4}, а8 {11, -2, -2};
б) 6i {1, 0, 7}, 62 {—1, 2, 4}, &8 {3, 2, 1};
в) ci {5, -1, 4}, с2 {3, -5, 2}, с8 {-1, -13, -2}.
Указать среда них тройки компланарных векторов.
100. Дан параллелепипед ABCD АуВ^С^Р Приняв векторы АВ,
AD и AAi за базисные, вычислить в этом базисе координаты векторов
ЛЛ1, Bib, и В^Р! и установить, что эта система компланарна
(относительно обозначений см. рис. 5).
101. Пусть ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, а М, N, Р, Q,
R, S —середины соответственно сторон АВ, ВС, CClt CiDi, DiAr и
AiA (см. рис. 7),. Доказать, что:
a) MN = RQ-, NP = S/?; PQ = Ж;
б) система векторов MN, NP, PQ, QR, RS и SM компланарна.
102. Доказать, что совокупность векторов пространства, коорди-
наты {ръ р2, р8} которых удовлетворяют условию 4-а2р2 4-
4-а8Рз = 0, есть двумерное векторное подпространство. Здесь аь
а2» “з — фиксированные числа, одновременно не равные нулю.
Выяснить геометрическую картину в каждом из следующих слу-
чаев: a) pi + р2 = 0; б) р8 = 0; в) 2рх — ра + Зр8 = 0.
16
103. Доказать, что совокупность векто-
ров пространства, координаты {рх, pg, р8}
которых удовлетворяют условиям
axPi + агрз 4* а8Рв = 0.
Р1Р1 + Р2Р2 + PsPs = 0»
где матрица (а± а2 а8\ имеет ранг два, обра-
\Р1 Ра Ре/
зует одномерное векторное подпространство.
Выяснить геометрическую картину в каж-
дом из следующих случаев: а) рх = 0, р8 —0;
б) Pi — ра = 0. Ps = 0; в) Pi + Ра — Рз = 0.
Pi + 2ра 4- р8 = 0.
Рис. 7
§ 5. Скалярное произведение векторов
1. Вычисление скалярного произведения1
104. На плоскости даны векторы а{—1, 5), &{3, 5}, с {—2, 8},
d {3, 1}. Вычислить: а) аЬ\ б) ас, в) ]/d2; г) (а 4- b + c)rf;
д) (a — b)(c—d).
105. Какой угол составляют между собой ненулевые векторы а
и Ь, если известно, что вектор а 4- ЗЬ перпендикулярен вектору 7а —
— 5&, вектор а — 4Ь перпендикулярен вектору 7а — 2ft?
106. Пусть а и Ь — произвольные ненулевые векторы, лежащие
в ориентированной плоскости, а а' и Ь' — векторы, полученные из.
а и b путем поворота на 4-90°. Доказать, что ab' + Ьа' = О.
107. Дан треугольник АВС. Выразить вектор h — АН через век-
торы АВ = Ь, ВС — с, где Н — основание высоты, опущенной из
вершины А на сторону ВС.
108. Пусть АВС — произвольный треугольник, а Схсередина
отрезка АВ. Доказать, что 4CCf — АВ2 — 4СА • СВ.
109. Доказать, что если векторы а и b удовлетворяют условию
(а 4- ft) (| b ] а — | а | Ь) = 0, то эти векторы либо компланарны, либо
I а | = Ib |.
110. Дан тетраэдр О АВС, у которого грань АВС является прямо-
угольным треугольником с вершиной в точке С. Выразить вектор ОН
через векторы а = О А, b — ОВ, с = ОС, где Н — основание перпен-
дикуляра, опущенного из вершины О на плоскость грани АВС.
111. Дан параллелограмм ОАВС. Пусть ОА — СВ = а, ОС =
АВ = Ь. Дать геометрическое истолкование формул:
1 В этом параграфе всюду предполагается, что'координаты векторов как на плос-
кости, так и в пространстве даны в прямоугольном декартовом базисе.
17
a) (a + &)s + (a -ft)2 « 2 (a2 + ft2);
6) (a + ft)2 — (a — ft)2 = 4aft;
в), (a -}- b) (a — b) — a? — b*.
112. Дан прямоугольник ABCD и произвольная точка Л4 про-
странства. Доказать, что:
- а) МА • МС = МВ • MD, где А и С, В и D — противоположные
вершины прямоугольника;
б) ТИА2 + ТЙС2 = М& + MD2.
113. В пространстве даны векторы а {2, — 1, 0}, 6{1, ]/~2, —5},
с{1, 2, 5}, rf{l, 0, 2}. Вычислить скалярные произведения: 1) ab;
2) ас; 3) ad; 4) be; 5) bd; 6) cd.
114г В пространстве даны векторы а {4, —2, —4}, 6 {2, 4, 3},
с {0, 1, - 1}. Вычислить: а) ab; б) ас; в) j/a2, г (а — Ь)(а + с);
Д (а — &)2.
2. Вычисление модуля вектора и угла между векторами
115. В пространстве даны векторы а {1, 5, 1}, b {1, —5, 2},
(3
2, 1, —d {0, 0, 1}. Вычислить их попарные скалярные произве-
дения и по этим произведениям узнать, образуют ли они острый, пря-
мой или тупой угол.
116. В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны ко-
ординаты векторов Afi {1, 6, —2}, ВС {5, 3, —1} и CD {1, —7, 1}.
Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
117. Определить косинус угла между векторами, заданными в
пространстве координатами:
а) аД2, — 1, 3} и Ml, —4, 3}; б) аг{2, —2, 1} и &2{3, 0, —4};
в) a3 {0, — 1, 5} и &3{7, 5, 1}.
118. Дан треугольник АВС и известны координаты векторов
АВ {—1, —1, —|/2} и ~ВС {]/"3^ ]/% —У6}. Найти углы треуголь-
ника.
119. Найти косинусы углов, образованных вектором а {5, —]/2? 3}
с базисными векторами /, J, к.
120. Вектор а образует с базисными векторами ink соответствен-
но углы 120 и 135°. Определить угол, который образует вектор а с
вектором j.
121. Вектор а пространства, модуль которого равен 4, образует
с осями I и J соответственно углы 60 и 45°. Определить координаты
вектора а.
122. К вершине треножника подвешен груз, равный 20 кгс. Найти
силы, возникающие в ножках треножника, если ножки треножника
взаимно перпендикулярны, а веревка, поддерживающая груз, со-
ставляет с двумя ножками углы, равные 60° (рис. 8).
J8
123. Груз весом ЗОкгс подвешен в точке О опоры, состоящей из трех
стержней ОА, ОВ и ОС (рис. 9). Два горизонтальных стержня О А и
ОВ равны по длине и взаимно перпендикулярны, стержень ОС обра-
зует равные углы со стержнями ОА и ОВ и угол, равный 60°, с горизон-
тальной плоскостью АОВ. Найти силы, возникающие в стержнях.
124. В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны ко-
ординаты векторов АВ {1, 2, —2}, ВС {—2, —1, —2} и CD {—1, —2,2}.
Доказать, что данный четырехугольник является квадратом.
125. В треугольнике АВС, расположенном в пространстве, из-
вестны координаты векторов АВ {4, 2, —1} и АС (2, —2, 0}. Опреде-
лить координаты и длину вектора ВН, где Н — основание перпенди-
куляра, опущенного из вершины В на противоположную сторону.
126. В пространстве даны три некомпланарных вектора
ОА {1, —1, —2}, ОВ {1, О, —1} и б? {2, 2, —1}.
Найти координаты вектора ОН, где Н — основание перпендикуляра,
опущенного из точки О на плоскость АВС.
127. Определить вектор, коллинеарный биссектрисе угла А тре-
угольника АВС, если векторы АВ и АС имеют координаты
ДВ {2, 2, 1}, АС {3, 4, 0}.
128. Доказать, что в общем декартовом базисе 7Ъ l2, 1а скаляр-
ное произведение векторов a {alf щ, a8} и Ь {Pi, ₽а, ₽8} вычисляется
по формуле
з
ab = 2 &А₽л
i. /=i
где gt) = hlj.
19
3. Векторные уравнения
129. Вывести формулу для вычисления-скалярного произведения
двух векторов в общем декартовом базисе elt е2, еа, если I ех | =
I | = 2,| es| = 1, ete2 = exes = 0, (е2е8) =
Пользуясь полученной формулой, вычислить попарные скалярные
произведения следующих векторов: р {1, 2, 0), q {3, 2, —5} и
130. В общем декартовом базисе ег, е2, е3 даны ненулевые век-
торы а {ах, а2. «в} и b {₽1, р2, р8}. Вывести формулу для вычисления
косинуса угла между векторами а и Ь, если известны попарные ска-
лярные произведения базисных векторов: efij — gi}.
131. Пусть а — ненулевой вектор, a k — произвольное число.
Решить и исследовать уравнение Л2 + 2ах + k — 0.
132. Решить и исследовать уравнения: а) х2 — 2ах + 30 = 0;
б) л3 4- 2Ьх +1=0; в) х2 — сх + 15 = 0, где а {1, 2, — 5},
&{0, 2, 0}, с {1, 1, —2}.
133. Пусть Xs = (хх) х. Решить уравнения: а) х3 = а; б) ах3 + =
= 0, где а и Ь — данные ненулевые векторы.
134. Пусть а и Ь — ненулевые коллинеарные векторы. При каком
условии существует вектор х, удовлетворяющий условиям ах — а,
Ьх =Р?
135. Доказать теорему: если векторы а, Ь н с некомпланарны,
то каковы бы ни были числа а, р, -у, существует один и только один
вектор х, удовлетворяющий уравнениям ах —а, Ьх — р,
сх =у.
136. Даны векторы а {2, — 1, 3}, &{1, —3, 2}, с{3, 2, —4}.
Определить координаты вектора х, удовлетворяющего условиям ха =
= 10, xb — 22, хс = — 40.
137. Пусть а 1, —-1,
I 2 2 I
Ь {— 3, — 2, 5}. Существует ли век-
тор х, удовлетворяющий условиям ах — 2, Ьх — 3?
138. Даны векторы а {2, 1, 1}, b {1, 3, 1}, с{1, 1, 5}, е/{2, 3, —3}.
Найти вектор х, удовлетворяющий условиям ах = 2, Ьх = 5,
сх = — 7, dx = 14.
139. Если а и b — числа, то из равенства ab =0 следует, что хо-
тя бы одно из чисел а и Ь равно нулю. Будет ли справедливо-это
свойство для скалярного произведения векторов? Объяснить
результат.
140. Если а и b — числа, то уравнение ах = Ь при а + 0 имеет
единственное решение. Будет ли справедливо это положение, если да-
но уравнение ах — а, где а — ненулевой вектор, а — данное число,
а ах — скалярное произведение данного и искомого векторов? Вы-
яснить геометрический смысл решений.
141. Пусть ас = Ъс при с =+0. Можно ли сократить это соотно-
шение на с? Объяснить результат.
20
142. Если а, р, у — произвольные числа, то а (ру) = (оф) у. Обла-
дает ли аналогичным свойством скалярное произведение векторов,
т. е. справедливо ли соотношение (аЬ) с == a (be) для любых векто-
ров а, Ь и с?
§ 6. Приложение векторной алгебры к решению
задач элементарной геометрии
1. Задачи на треугольники
143. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересе-
каются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вер-
шины-
144. Доказать теорему: если медианы треугольника АВС соот-
ветственно параллельны сторонам треугольника А'В'С, то медианы
треугольника А’В’С соответственно параллельны сторонам треуголь-
ника АВС.
145. Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что суще-
ствует треугольник Д1ВХС1, стороны которого соответственно парал-
лельны и конгруэнтны медианам исходного треугольника.
146. Из медиан треугольника АВС построен новый треугольник
Л1В1СЬ из его медиан — треугольник Л2В2С2. Показать, что треуголь-
ники АВС и Л2В2С2 подобны; найти коэффициент подобия.
147. Дан треугольник АВС. На прямых АВ, ВС и СА взяты со-
ответственно точки Mlt ТИ2 и М3 так, что AMi = с^АВ, ВМ2 —а2ВС
и СМ3=а.аСА. При каких ограничениях, накладываемых на, си,
a2, «з, существует треугольник, стороны которого соответственно кон-
груэнтны и параллельны отрезкам CTVlj, АМй и ВМ£
148. Дан треугольник АВС и произвольная точка М простран-
ства. Точки А1г В1г Сх симметричны с точкой М относительно середин
сторон треугольника АВС. Доказать, что треугольники АВС и АгВ^
конгруэнтны.
149. На сторонах треугольника АВС построены произвольные па-
раллелограммы ABBjAztJBCCiBz и АСС^А). Доказать, что существу-
ет треугольник, стороны которого соответственно параллельны и кон-
груэнтны отрезкам ЛИг, Bi^2 и СХС2.
150. Доказать, что биссектриса внешнего угла неравнобедреино-
го треугольника делит противоположную сторону внешним образом
на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
151. Доказать, что сумма квадратов медиан треугольника равна
трем четвертям суммы квадратов его сторон.
152. Пользуясь скалярным произведением векторов, доказать, j,
что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
153. Пусть ССХ — медиана треугольника АВС. Доказать предло-
жения:
21
а) если 2CCj >. AB, то угол С острый;
б) если 2С(\ = АВ, то угол С прямой;
в) если 2ССГ < АВ, то угол С тупой.
154. Доказать, что в любом треугольнике АВС имеет место соот-
ношение
с2 = а2 + Ь2 — 2ab cos С,
где а = ВС, b = СА, с — АВ. Пользуясь этим соотношением, дока-
зать теорему Пифагора.
155. Доказать предложение: для того чтобы у треугольника АВС
угол А был прямым, необходимо и достаточно, чтобы (ОА + ОВ)Х
X (ОА + ОС) = 0, где О — центр описанной окружности.
156. Доказать предложение: для того чтобы треугольник АВС был
прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы углы этого треуголь-
ника были связаны соотношением
cos 2А 4- cos 2В 4- cos 2С = —1.
157. Вершина А треугольника соединена с точками Л1Л2, делящи-
ми сторону ВС на три равные части. Показать, что разность квадратов
отрезков ААг и АА2 в три раза меньше разности квадратов сторон,
выходящих из вершины А.
158. Показать, что если AM — биссектриса треугольника АВС,
то AM — ? • 4~с', где h — дс, с = АВ. Пользуясь этим соотно-
&4-с
шением:
а) вывести следующую формулу для вычисления длины биссек-
трисы:
А
2Ьс • cos—
AM =----------
b 4-е
б) доказать, что
Рис. 10
вм __ ь
МС ~ с‘
159. Доказать теорему синусов: для лю-
бого треугольника АВС имеет место соотно-
шение
sin Л _ sin В sin С
а Ь с
где а = ВС, b = СА, с = АВ.
160. Найти косинус угла при вершине,
равнобедренного треугольника, если медиа-
ны, проведенные из концов его основания,
взаимно перпендикулярны.
22
161. В плоскости треугольника АВС, на его сторонах АВ и АС
извне построены квадраты ABDE, ACFG (см. рис. 10), а затем парал-
лелограмм AELG.
Доказать: а) диагональ EG параллелограмма перпендикулярна
медиане АК и вдвое больше ее; б) диагональ LA перпендикулярна ВС;
в) прямая LC перпендикулярна BF и г) прямая LB перпендикулярна
DC (прямые LB и DC на рисунке 10 не изображены).
2. Задачи на четырехугольники
Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны,
(ДбЗ^) Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равнасумме квадратов его сторон.
164. Доказать, что сумма квадратов диагоналей любого четырех-
угольника равна сумме квадратов всех его сторон без учетверенного
квадрата отрезка, соединяющего середины диагоналей.
165. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка М, так
что AM = kAD. Прямая ВМ пересекает диагональ АС в точке Р*
Определить отношение АР : АС.
166. В квадрат ABCD вписан прямоугольник MNPQ так, что вер-
шины М, N, Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD и
DA. Показать, что стороны прямоугольника MNPQ параллельны диа-
гоналям данного квадрата ABCD, если MNPQ не является квадратом.
167. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами нового
квадрата.
168. В пространственном четырехугольнике1 проведены три от-
резка, соединяющие соответственно: 1) середины двух противополож-
ных сторон; 2) середины двух других противоположных сторон; 3) се-
редины диагоналей. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в
одной точке Р и каждый из них точкой Р делится пополам.
169. Пусть ABCD — пространственный четырехугольник, а Р,
Q, R, S — точки, делящие соответственно отрезки АВ, ВС, CD и DA
в одном и том же отношении. Доказать, что точка пересечения отрез-
ков, соединяющих середины противоположных сторон четырехуголь-
ника ABCD (см. предыдущую задачу), совпадает с точкой пересече-
ния отрезков, соединяющих середины противоположных сторон че-
тырехугольника PQRS.
170. Доказать, что если в некотором пространственном четырех-
угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов
двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других
сторон. Доказать обратную теорему.
171. Доказать, что если ABCD — пространственный четырехуголь-
ник, то Л В + DC = 2EF, где АВ и DC — противоположные стороны,
1 Здесь и в дальнейшем пространственным многоугольником мы будем называть
такой многоугольник, у которого вершины не обязательно лежат в одной плоскости.
23
a E и F — соответственно середины сторон AD и ВС. Пользуясь этой
задачей, доказать, что средняя линия трапеции параллельна основа-
ниям и равна их полусумме.
172. Пусть М я N — соответственно середины сторон АВ и CD
пространственного четырехугольника ABCD.
Доказать, что середины диагоналей двух четырехугольников
AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма, или лежат
на одной прямой, образуя вырожденный параллелограмм.
173. Дан пространственный четырехугольник ABCD и произволь-
ная точка М пространства. Пусть Мг — точка, симметричная точке М
относительно середины АВ, точка М2, симметричная точке Мг отно-
сительно середины ВС, точка Л13, симметричная точке М2 относитель-
но середины CD. Доказать, что исходная точка М и точка М3 симме-
тричны относительно середины стороны AD.
3. Стереометрические задачи
174. Пусть Д1Д2Д3Д4Д5Дв — произвольный пространственный
шестиугольник, а Л112, Л123, .... Л161 — середины его сторон. До-
казать, что центры тяжести треугольников МиМ^М^ и Л123Л1457Ив1
совпадают.
175. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий верши-
ну тетраэдра с точкой пересечения медиан'противоположной грани.
Доказать, что медианы тетраэдра- пересекаются в одной точке и делят-
ся ею в отношении 3:1, считая от вершины.
176. Найти угол менаду двумя биссектрисами плоских углов пря-
мого трехгранного угла.
177. Пусть ОАВС — прямой трехгранный угол, ОМ — луч, ис-
ходящий из вершины этого угла, а а, 0, у — углы, которые образует
луч ОМ с лучами ОА, ОВ и ОС. Показать, что
cos2 а 4- cos2 0 4- cos2 у — 1.
178. Диагональ АЕ прямоугольного параллелепипеда образует
с каждым из двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол
она образует с третьим ребром, выходящим из той же точки Д?
179. Пусть для треугольной пирамиды ОАВС введены обозначе-
ния Z. CAB = a, Z. АВС = 0, Z. ВСА = у, ОА = а, ОВ = Ь,
ОС = с. Показать, что ctg а : ctg 0 : ctg у — а2 : b2 : с2, если плоские
углы при вершине О прямые.
180. Показать, что угол 0 между двумя противоположными реб-
рами произвольного тетраэдра вычисляется по формуле
Л I г'2_Ь2_h'2
cos 0 = < -l-с -г---Ь—
2аа' ’
где а и а’ — длины рассматриваемых ребер, а b и Ь‘, с и с' — длины
противоположных ребер двух других пар.
181. Показать, что в правильной треугольной пирамиде противо-
положные ребра взаимно перпендикулярны.
24
182. Доказать, что если в тетраэдре две пары противоположных
ребер взаимно перпендикулярны, то третья пара ребер также взаимно
перпендикулярна.
183. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, определить длины
всех отрезков, соединяющих попарно середины противоположных
сторон.
184. Доказать теорему: для того чтобы каждая пара противополож-
ных ребер АВ и СО, АС и BD, ВС и AD тетраэдра ABCD была вза-
имно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы
АВ* + CD* = АС* + ВО2 = ВС* 4- AD*.
Глава II
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
§ 7. Координаты точек плоскости.
Решение простейших задач в координатах
1. Прямоугольные и общие декартовы координаты точек
185. В прямоугольной декартовой системе координат построить
следующие точки: А (2, 1); В М-, —1); С (1, —4); D (]/2, —2) ;
Е (0, 1); F (—3, —2); С (—3, 0); Z (—3, 3).
186. В прямоугольной декартовой системе координат построить
точки,’ абсциссы которых равны соответственно —3, —1, —2, —5,
а ординаты определяются из условия у = 2х* — 10.
187. В общей декартовой системе координат построить следующие
точки: А (—1, 0), В (—2, 1), С (1, 1), р (—3, 2), Е (О, —2), F (—3, 3).
188. Катеты прямоугольного треугольника лежат соответственно
на осях ОХ и 0Y прямоугольной декартовой системы координат. Чему
равны координаты вершин треугольника, если длины его катетов рав-
ны а и b и если треугольник расположен: а) в первой четверти; б) во
второй четверти; в) в третьей четверти; г) в четвертой четверти?
. 189. В общей декартовой системе координат даны координаты век-
тора at и точки Mt. В каждом из следующих случаев определить ко-
ординаты конца вектора ait если он приложен к точке Mt: а) ах {3, 4},
(—2, 3); б) а2 {3, 0}, М2 (0, 0); в) а3 {—5, 4}, Л43 (1, 0); г) а4 {—1,
-5}, М4 (3, -2); д) аъ {3, -1}, Л43 (-1, -2).
> 190. Начало координат помещено в центре квадрата, сторона ко-
торого равна 2а. Найти координаты вершин квадрата, если: а) сторо-
ны квадрата параллельны осям координат; б) диагонали квадрата сов-
падают с осями.
25
191. Дан правильный шестиугольник
ABCD ЕЕ. Найти координаты его вершин
и центра О, принимая за начало координат
точку Л, а за координатные векторы I и J
соответственно векторы Л В и ЛВ, гдеВ—
такая точка отрезка АЕ, что ЛЗ —АВ (рис.
11).
192. В равнобочной трапеции ABCD
большее основание AD — 10, высота рав-
на 2, а угол при основании равен 30°. На
плоскости взята прямоугольная декартова
система координат, начало которой О
совпадает с серединой отрезка AD, а направление осей ОХ и OY — со-
ответственно с .направлениями векторов OD и ОМ, где М — точка пе-
ресечения диагоналей трапеции. Определить координаты всех вершин
трапеции, точки М и точки W пересечения непараллельных сторон.
193. Решить предыдущую задачу в предположении, что начало
координат находится в точке Л, а координатными векторами ех и е2
являются векторы AD и АВ.
194. Найти координаты1 точек, симметричных точкам Л (1, —3),
В (0, 4), С (—3, 5), D (7, 2), Е (—3, —2) относительно оси ОХ.
195. Найти координаты точек, симметричных точкам Л (—5, 2),
В (5, 1), С (—3, 6), D (2, 0), Е (—3, 5) относительно оси OY.
196. Найти координаты точек, симметричных точкам Л (1, 1),
В (3, —2), С (3, 0), D (—4, 3), Е (—2, —1) относительно начала ко-
ординат.
197. Найти координаты точек, симметричных точкам Л (—3, 5),
В (5, —2), С (2, 3), D (2, 7):
а) относительно биссектрисы первого координатного угла;
б) относительно биссектрисы второго координатного угла.
198. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (2, 5),
В (0, 1), С (3, —1). Определить координаты вершин треугольника
А'В'С', симметричного треугольнику АВС: а) относительно оси Ох:
б) относительно оси Оу; в) относительно начала координат.
2. Определение координат вектора по координатам его концов
199. Вершины четырехугольника находятся в точках Л (1, —3),
В (8,0), С (4,8) и D (—3,5). Показать, что ABCD есть параллелограмм.
200. Вершины четырехугольника находятся в точках Л (1, 1),
В (2, 3), С (5, 0), D (7, —5). Показать, что ABCD есть трапеция.
201. Даны три вершины параллелограмма Л (—1, 3), В (2, —5),
С (0, 4). Определить четвертую вершину D, противоположную В.>
1 В задачах 194—198 система координат прямоугольная декартова.
26
202. Даны две смежные вершины квадрата1 А (—2, 1) и В (3, 3).
Найти две другие вершины.
203. Даны две вершины равностороннего треугольника А (—3, 2)
и В (1, 4). Найти третью вершину С.
204. Центр О и вершина А правильного шестиугольника ABCDEF
имеют координаты О (—1, 2), А (1, 4). Найти координаты остальных
вершин.
3. Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка
205. Найти координаты середин отрезков А^, А2В2, AsBa, если
Ах (-1, 5), Bi (-3, 3), А2 (0, 4). В2 (3, 2), As (-2, 6), В3 (1, 4).
206. Даны координаты концов А (—1, 5), В (3, 4) однородного
стержня. Определить координаты его центра тяжести.
207. Даны координаты точек Р (—1, 5), Q (3, 2).
а) Найти координаты точки М, симметричной точке Р относитель-
но точки Q;
б) найти координаты точки N, симметричной точке Q относитель-
но точки Р.
208. Даны две смежные вершины параллелограмма А (—4, 4),
В (2, 8) и точка пересечения М (2, 2) его диагоналей. Определить две
другие вершины С и D.
209. Дан четырехугольник А (—1, 7), В (5, 5), С (7, —5), D (3, —7).
а) Доказать, что отрезки, соединяющие середины сторон AD и
ВС, АВ и CD, пересекаются и делятся точкой пересечения попо-
лам;
б) Показать, что четырехугольник, вершинами которого служат
середины сторон данного четырехугольника, есть параллелограмм.
210. Даны две противоположные вершины > квадрата Л(—1, 4) и
С (7, —2). Найти две другие вершины. Система координат прямо-
угольная декартова.
211. Определить координаты точек, делящих отрезок А (2, 3),
В (—1, 2) в отношении Ах = 1, = —2, Z,3 = -i-, Х4 = 3.
212. Две вершины треугольника АВС имеют координаты А (3, 6),
В (—3, 5). Определить координаты вершины С при условии, что се-
редины сторон АС и ВС лежат на разных осях координат.
213. На прямой I взяты последовательно точки Аи А2, А3, А&,
А5, Ае так, что А}А2 — A2AS — Л3Л4 = Л4Л5 = Л5Л6. Зная коорди-
наты точек Л2 (2, 5) и Л5 (—1, 7) в общей декартовой системе коорди-
нат, определить отношения, в которых точки Лх, Л3, Л4 и Л6 делят
отрезок Л2Л5, а также координаты этих точек.
. 214. В каждом из случаев а), б), в) найти координаты вершин тре-
угольника, если середины его сторон находятся соответственно в точ-
1 В задачах 202—204 система координат прямоугольная декартова.
27
Ках:а)(2,|),(5.1),Д4,-|); б) (5,2), (2,—В), (-2, 1); в) (3,2),
(5,-4), (-1, -2).
215. Доказать, что в общей декартовой системе координат точка
пересечения М (х, у) медиан треугольника с вершинами А (хь yj,
В (х2, у2), С (х8, Уз) имеет координаты
+ .. Ух + Уг + Уз
3 Л 3
Пользуясь этой формулой, определить координаты точки пересе-
чения медиан треугольника, если его вершины имеют координаты:
а) А (3, 1), В (—1, 4), С (1, 1); б) А (—2, 3), В (5, —2), С(—3, —1);
в) А (7, 4), В (3, —6), С (—5, 2).
4. Центр тяжести системы материальных точек
216. Вершины однородной треугольной пластинки находятся в
точках А (—1, 2), В (3, 3) и С (1, —1). Определить координаты центра
тяжести пластинки.
217. В точке А (2, 5) помещен груз в 60 г, а в точке В (—3, 0) —
груз в 40 г. Определить координаты центра тяжести этой системы.
218. В общей декартовой системе координат даны точки Аг (хь Ух),
Л2 (ха» Уе)> •••• ^п(хлУп)» в которых сосредоточены массы mlt trt2t ...
..., тп. Доказать, что координаты центра тяжести материальных точек
Ль Л2, ..., Ап в той же системе координат определяются соотноше-
ниями
X = тЛ + тЛ + - + тпХп у = "Л + •“ + т"У"
-j-т2 + ... + тп ’ ml -j- +... + тп
219. В вершинах треугольника А (1, 8), В (3, 4), С (4, 2) сосредо-
точены соответственно массы 30, 40 и 60 г. а) Определить координаты
центра тяжести системы материальных точек А, В и С; б) найти центр
тяжести системы в предположении, что в точках А, В и С сосредото-
чены одинаковые массы.
220. Однородный стержень изогнут в виде треугольника, вершины
которого находятся в точках А (2, —1), В (5, —1) и С (2, 3). Опреде-
лить координаты центра тяжести этого треугольника.
5. Вычисление расстояния между точками1
221. Определить расстояния между точками Аг (2, —1) и Л2 (1, 2);
Bi (1, 5) и В2 (1, 1); Ci (—3, 1) и С2 (1, —2); (—1, 2) и О2 (3, 0).
222. В каждом из следующих случаев найти координаты точки,
равноудаленной от трех данных точек: а) (2, 2), (5, 1), (7, —3);
б) (5, 4), (3, 8), (-2, -7); в) (2, 3), (4, -1), (5, 2).
1 В задачах п. 5 системы координат прямоугольные декартовы, если не оговорено
противное.
28
223. Определить радиус окружности, которая проходит через точ-
ку (—2, 1) и имеет центр в точке (2, —3).
224. Определить координаты точек, расположенных на окружно-
сти радиуса г = 3 с центром в начале координат и имеющих ординаты
2, —1, 3, /2?
225. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4, 1),
В (7, 5), С (—4, 7). Вычислить длину биссектрисы AD угла А.
226. Определить длину медианы AM треугольника АВС, задан-
ного координатами своих вершин: А (5, —4), В (—1, 2), С (5, 1).
227. Пользуясь теоремой, обратной теореме Пифагора, вычисле-
нием убедиться в том, что треугольник АВС, заданный координатами
своих вершин: А (1, 1), В (2, 5), С (—6, 7), является прямоугольным.
Указать вершину прямого угла.
228. Найти координаты центра и радиуса окружности, проходя-
щей через точку В (—10, 4) и касающейся оси Ох в точке А (—6, 0).
229. Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей
через точку А (—8, 4) и касающейся осей координат.
6. Площадь „треугольника
230. Ориентированный треугольник А(ВД задан координатами
своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. В каж-
дом из следующих случаев доказать, что треугольник AlBtCl равно-
бедренный, и вычислить его площадь:
а) А, (0, 9), Вх (-4, -1), С\ (3, 2);
б) А2 (10, 5), В2 (3, 2), Св (6, -5);
в) А3 (3, -3), В3 (-1, -3), С8 (1, 1).
231. Вычислить площадь ориентированного треугольника АВС,
заданного координатами вершин в каждом из следующих случаев:
а) А (2, 1), В (3, 4), С (1, 6);
б) А (—2, 4), В (0, —3), С (1, 7);
в) Л (5, 4), В (11,0), С (0,3).
232. Вычислить площадь S неориентированного четырехугольни-
ка, вершинами которого служат точки А (1, 3), В (—2, 0), С (4, 3),
D (—3, 5).
233. Две вершины ориентированного треугольника АВС находят-
ся в точках А (1, 2) и В (5, —1), а третья вершина С — на оси Ох.
Найти координаты вершин С, если площадь треугольника S — 2.
234. Найти расстояние d от точки А (6, —8) до прямой, проходя-
щей через точки Mi (—5, 0) и М2 (3, 6).
235. Вершины неориентированного треугольника находятся в
точках А (—2, 1), В (2, —2) и С (8, 6). Найти для данного треуголь-
ника: а) периметр; б) площадь; в) длины высот; г) косинус угла А.
236. Найти центр тяжести однородной четырехугольной пластин-
ки, вершины которой находятся в точках (2, 5), (3, 8), (8, 11), (10, 5).
237. Если на векторах, совпадающих с диагоналями данного па-
29
раллелограмма, построить новый параллелограмм, то площадь полу-
ченного параллелограмма при соответствующей ориентации в два ра-
за больше площади исходного параллелограмма. Доказать.
§ 8. Полярные координаты
238. В полярной системе координат построить точки Mt]2, yj ,
м«(г ~т)’!-)• М4, пт)»
239. Построить точки, заданные обобщенными полярными коорди-
натами: А (—5, —1 А2(— 2, — —1 Л,(— 3, 0), А. (2,
240. Дан правильный треугольник АВС, сторона которого равна 5.
Приняв вершину А за полюс полярной системы координат, а направ-
ленную прямую АВ за полярную ось, определить полярные коорди-
наты вершин и центра Р треугольника. Рассмотреть два возможных
случая расположения треугольника относительно полярной оси.
241. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна 3. Приняв вер-
шину А за полюс полярной системы координат, а направленную пря-
мую АВ за полярную ось, определить координаты его вершин и точ-
ки Р пересечения диагоналей. Рассмотреть два возможных случая
расположения квадрата относительно полярной оси.
242. Дан правильный шестиугольник ABCDEF, сторона которого
равна а. Приняв точку А за полюс, а направленную прямую АВ за
ось полярной системы координат, определить координаты всех его
вершин и точки Р пересечения диагоналей. Рассмотреть два возмож-
ных случая расположения шестиугольника относительно полярной
оси.
243. Найти полярные координаты точек, симметричных с точками
^(2, Л), мй(з, мз(1, А), лЦз, -А);
а) относительно полюса; б) относительно полярной оси.
244. Пусть 01 — данная полярная система координат, Oij —
прямоугольная декартова система, причем вектор j получен из век-
тора I поворотом на 4-90°. Даны полярные координаты точек
А^2, Aj, 'f’j’ —в')' Определить их пря-
моугольные декартовы координаты.
245. Пусть Oij — данная прямоугольная декартова система, а
01 — полярная система, причем положительное направление обхода
выбрано так, что .4 (ZJ) =+90°. Определить полярные координаты
следующих точек: Mi (0, 6), М2 (—-2, 0), М9 (—1, 1), Л14 (J/3, 1),
Л45 (0, —3), Л4е (1, —]/3).
246. Вывести формулу для вычисления площади треугольника
OAiA2, вершина О которого совпадает с полюсом, а две другие даны
своими полярными координатами: At (рь <рг), Л2 (Ра» ЧУ-
ЗО
Пользуясь этой формулой, в каждом из следующих случаев вычис-
лить площадь треугольника, одна из вершин которого помещается в
полюсе, а две другие имеют полярные координаты: а) А1 ^4, ,
А2(1, —У б) /ф, —У д2(з, —У, в) д7б, 4У д(з,
2\ 18 / *\ 3 / \ 6) 3 г \ 12 Г
247. Вывести формулу для вычисления расстояния между двумя
точками Mi (p1T <Pi) и М2 (р2, <р2)> которые заданы полярными коор-
динатами.
и
Пользуясь этой формулой, в каждом из следующих случаев найти
расстояние между точками:
Г. 11л
; б) |4, ------
' ' \ 18
.248. Треугольник АВС задан полярными координатами вершин
(б, — 1 В (&, С (з, ———"У Доказать, что данный треугольник
равнобедренный.
249. Даны полярные координаты вершин треугольника А НО, ~
В (16, -^-У
\ 6 /
вильный.
С(6, ——•]. Доказать, что треугольник АВС пра-
\ 6 /
250. Вершины треугольника находятся в точках А
г— 2 \
4 + J/З, — я). Доказать, что треугольник АВС пря-
0 /
в
моугольный.’
251. Пусть Fx и F2 — фокусы эллипса, оси которого равны соот-
ветственно 2а и 2Ь, где а > Ь. Приняв фокус F2 за полюс полярной
системы координат, а направленную прямую F2Fx за полярную ось,
найти полярные координаты фокусов Fx, F2, центра О и точек Дь
Дг> ^4» ^s> -^в» ^7» Ag, изоб-
раженных на рисунке 12. По-
ложительная ориентация плос-
кости отмечена на рисунке
стрелкой.
252. Пусть F, и Fz — фоку-
сы гиперболы, действительная
ось которой равна 2а, а мнимая
ось 2Ь. Приняв фокус Fa за по-
люс полярной системы коорди-
нат, а направленную прямую
F2Fi за полярную ось, найти
полярные координаты следую-
щих точек, отмеченных на ри-
сунке 13: О, Fit F2, Ая, А8,
31
Л4, Аб, А6. Положительная ориентация плоскости отмечена на рисун-
ке стрелкой.
253. Пусть F —г фокус параболы, d — ее директриса, ар — фо-
кальный параметр. Приняв фокус F за полюс полярной системы ко-
ординат, а направленную ось симметрии параболы за полярную ось
(см. рис. 14), найти полярные координаты точек F, А1г А2, А8, Н.
Положительная ориентация плоскости отмечена на рисунке стрелкой.
§ 9. Уравнение множества точек на плоскости
1. Изучение свойств множества точек по данному уравнению1
254. Какие из точек А (1, 3), В (—-2, 5), С (2, 1), D (2, 3]/2),
Е (1, 0) принадлежат множеству, определенному уравнением 2х2 * —
- / + Зх + 4 = О?
255. Даны уравнения: а) х2 + 2у — х -Ь 1 = 0; б) х2 — у2 = 0;
в) 2х2 — Зу2 + х — у — 0; г) Зх8 — у2 + 5 = 0. Указать, какие мно-
жества точек, определяемые данными уравнениями, содержат начало
координат.
256. Найти точки пересечения множеств точек, определяемых урав-
нениями:
а) х2 4- у2 = 32 и х — у = 0;
б) х2 — 2ху + 4х — 3 — 0 и 5х — 4у — 1=0;
в) х2 + У8 — 4х + 2у + 7 = 0 й х2 + у2 = 4;
г) х2 + у2 = а2 и Зх + у + а = 0.
257. Выяснить, какие пары уравнений определяют одно и то же
множество точек:
1 Во всех задачах этого параграфа, где точки даны координатами, а множе-
ства — уравнениями и где иет специальных оговорок о системе координат, пред-
полагается, что на плоскости дана общая декартова система координат.
32
a) x — | x — p | и 2xy— у8 •= 0;
6) x - у и л1 2 -
в) У (x — а)2 4- у2 = 3 и (х — с)2 т у’ = 9.
2Б8. Исследовать множества точек, заданные в прямоугольной де-
картовой системе координат следующими уравнениями;
а) х — у = 0;
б) х2 4- 2х — 15 = 0;
в) у 4- 3 — 0 ;
г) ху 4- у2 = 0;
д) х2 — у2 = 0;
е) х — 5 = 0;
ж) у2 — 2ху = 0;
з) (х - у 4- 5)2 - (у 4- к — З)2 =0;
и) (х 4- У 4- 5)2 4- (2х 4- З)2 = 0;
к) (х — 5)2 4- (У 4- З)2 = 16;
л) (х — З)2 4- у2 4- 5 = 0.
259. Исследовать множества точек, заданные следующими уравне-
ниями: а) | х-1 = 1; б) | х | = | у |; в) х — | х — у |; г) у = |'х — 1 | .
£ 260. Изобразить на чертеже множества точек, заданные следующи-
ми системами неравенств:
а) (х > 0,.
1у < 1;
в) | X | < 2,
II У 1 < 3;
Д) (х2 4- Уа < 16,
I х >2;
б) 0 < х < 1,
У >0;
г) х2 4- У2 < 9j
х О,
У < 0;
е) /(х — 2)2 4-(У — З)2 > 25,
Г I х | < 2.
261. Найти множество точек, координаты которых в общей декар-
товой системе удовлетворяют уравнению | х | 4- | у | =*= а, где о.
262. Даны параметрические уравнения множеств точек в прямо-
угольной декартовой системе координат:
а) х = 3Z,
б) х = 2(2 — 1,
в) х — a cos t,
г) х — Зсоз/,
Составить уравнения данных множеств в прямоугольных декар-
товых координатах и определить эти множества.
у = t 4- 5;
у = t 6;
у = a sin t-,
у = 5 sin t.
2. Составление уравнения множества точек и изучение его свойств1
263. Написать необходимые и достаточные условия, которым удов-
летворяют координаты точек каждой из заштрихованных фигур, изо-
браженных на рисунке 15. При этом предполагается, что точки,' при-
надлежащие контурам фигур, относятся к самим фигурам (система ко-
ординат для каждой фигуры указана на рисунке 15).
264. Найти множество точек, для каждой из которых сумма рас-
стояний от осей координат равна 8.
1 Во всех задачах этого пункта система координат прямоугольная декартова.
2 Заказ 290 33
е)
Рис. 15
265. В каждом из следующих случаев найти множество точек,
равноудаленных от точек: а) Аг (—3, 5), (1, —1); б) Д2 (—3, 1),
^2 (7, 5).
266. Написать уравнение множества точек, для каждой из которых
сумма квадратов расстояний до осей координат равна 5.
267. Даны две точки А (—а, 0) и В (а, 0). Составить уравнение
множества точек, из которых отрезок АВ виден под прямым углом.
Убедиться в том, что это множество точек есть окружность с диамет-
ром АВ.
268. Даны точки А (—5, 1) и В (3, 5). Составить уравнение множе-
ства точек, из которых отрезок АВ виден под прямым углом.
269. Определить множество точек плоскости, для которых сумма
расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному по-
ложительному числу.
34
270. Дан прямоугольник ABCD. Определить множество всех то-
чек х плоскости, для которых
Ах + Сх — Вх + Dx.
271. Найти множество точек М, удовлетворяющих условию Л7И2 —
— ВМ2 = 5, где А (3, —1), В (1, 2).
272. Найти множество точек М плоскости, для каждой из которых
разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В есть ве-
личина постоянная, т. е. ДЛ42 — ВМ2 =
273. Найти множество точек, для каждой из которых модуль раз-
ности квадратов расстояний от двух данных точек А и В есть величи-
на постоянная.
274. Вершины А и В прямоугольника ОАМВ скользят соответ-
ственно по осям Ох и Оу системы координат Оху, при этом площадь пря-
моугольника сохраняет постоянную величину, равную а2. Найти
множество вершин М.
3. Множества точек в полярных координатах
275. В каждом из следующих случаев определить множество то-
чек, координаты которых в необобщенной полярной системе коорди-
нат удовлетворяют следующим уравнениям: а) р = 3; б) р — 5;
в) <Р = д.; г)'ф = 4-; д) pcos ф = 5; efpsin ф = 3.
3, 4
276. В каждом из следующих случаев определить множество то-
чек, координаты которых в обобщенной полярной системе координат
удовлетворяют уравнению:
а) р — 4; д) psin ф = 1;
т/'о
б) р cos ф = 2; е) sin ф = ~~;
в) р = lOsin ф; ж) sin ф = cos ф;
Л ч ЗГ
г)ф=—; з) ф = — —.
277. В прямоугольной декартовой системе координат даны множе-
ства точек уравнениями: а) х—Зу = 0; б) у -f-5 = 0; в) х2+ у2=16;
г) х2 + у2 — ах — 0; д) ху = 10; е) х2 — у2 = а2; ж) (х2 + у2)2 =
= 2а2ху; з) (х2 + у2)3 = 4х2у2.
Найти уравнения тех же множеств точек в обобщенной полярной
системе координат 0/, если ориентация плоскости совпадает с ориен-
тацией, определяемой базисом i, J.
278. В обобщенной полярной системе координат Oi даны уравне-
ния множеств точек:
а) р = 5;
ч Я
в) Ф = —;
4
б) ф--;
г) pcos ф = 2;
2*
35
д) psin ф = 6; t ч ,e) p >e=3cos «₽; ' '
ж) (p + cos<p)a — 1; з) p = 2 cos'ф' + ЗДп.ф;
и) pa = 9cos 2q>. . f
Найт уравнения тех же множеств -точек в прямоугольной декар-
товой системе координат; 0/7, где вектбр J получен из I поворотом
на +90°.
§ 10. Преобразование координат точек на плоскости
1. Преобразование общей и прямоугольной декартовых систем
’-’I координат
; 279/Записать формулы преобразования общих декартовых систем
координат на плоскости в каждом из следующих случаев, если даны
координаты'нового начала й новых координатных векторов в старой
системе^, q д. ь .
а) е{{4,'3}, е?{0, б}, О'(3, г-1);
*6) еГ{1, 0), е'2{0, 1}, 0'<2, 5); z
в) е{{4, -1), еГ{1,1>. (£(0, 0);
г) И1{1, 0), г2{1, 2), 0' (2, 0);
д) ei'{-l, 0), е'г{0, Я; 0' (0, -5). z
28О.Л1усть ОАВ — произвольный треугольник. Записать форму-
лы преобразовании координат точек при переходе от общей декарто-
вой системы О, ег = ОА, е2 = ОВ к общей декартовой системе, в
каждом из следующих случаев: /
’Х а) О' — A, 6i == ЛВ, 62 — АО;
— б) O'i « 0, e't — ОВ, е'г — ОА;
' в) О' -С, ё\=СА, е2 = СВ.
281У В треугольнике ОАВ проведены медианы AD и BE,
пересекающиеся В точке О'. Написать формулы преобразования
, координат при переходе от общей декартовой системы. коорди-
нат О, 61 = ОА, б2 — ОВ к общей декартовой системе О', в\ =
== О'А, е2'= О'В.,
282УНаписать формулы преобразования при переносе начала ко-
ординат в точку О' в каждом из следующих случаев: а) О' (5, /2);
б) О' (—1, 0); в) О' (—1, —3); г) О' (б,
7 283. ^Написать формулу преобразования координат при аффинном
, повороте1 в каждом из следующих случаев:
a) er {2, 1), е2{—2, 1); б) 6i{\, 0), ^{2, —^2};
в) 61 {0, 1), е2{1, 0); г) 61 {0, —5}, ^{1, I}1.
1 Аффинным поворотом называется переход от системы OeiC2 к системе Oe'i е'2.
36
284. В каждом из следующих случаев начертить на плоскости две
различные системы координат, в которых точка М имеет одни и те же
координаты:
а) М (2, 1)—системы координат прямоугольные декартовы;
б) М (1, 1) — системы координат общие декартовы.
285а/Найти координаты точки, имеющей одни и те же координаты
в системах Oetes и O'eie'2, где О'(2, —3), ei{l, 3), 02{—2,
28в.кСуществуют ли точки на плоскости, отличные от О, коорди- ®
наты которых ие меняются при аффинном повороте?
287/В системе 0ese2 точки А и В имеют координаты (2, I) и
(—|-, 3). Существует ли такая новая система координат с началом
в точке (0, 1), в которой точки А и В имеют соответственно коорди-
наты (1. 0) и (0, 1)?
288/ В системе Ое^ точки А и В имеют координаты (1, 1) и (2, 2).
Существует ли такая новая система координат, начало которой совпа-
дает с началом старой системы и в которой точки Л и В имеют коор-
динаты.(1, 1) и (—1, —2)?
""289у Определить координаты новых координатных векторов и
нового начала в старой системе, если формулы преобразования имеют
вид:
а) (х = х' — Зу',
1У = х' + у' + Г;
г). х' — х + у 4- 1,
|у' — х — 5;
б)
Д)
1х' — х — 3,
1у' — У + 4;
(х — х',
ly = у' 4- 1;
_ в) (х = х' —у'4-1,
у = у';
е) х' — х — 2у,
у' =» X.
-*^29о/иаписать формулы преобразования прямоугольных декарто-
вых систем координат в каждом из следующая случаев:
а) I' = I -|- J> О’ (~ 3, р'2); системы Oij и O'i'j' имеют
одну и ту же ориентацию;
б), (И') — 30°, О' (0, — 2); системы Oij и O'i'j' имеют различ-
ные ориентации;
"тв) (И1) = 45°, О'(0, 0) системы Oij и O'i'j' имеют одну и ту
же ориентацию;
I) /' — —= I-----%= J, О' (2, — 12); системы Oij и O'i'j' имеют
У 5 У 5
различные ориентации.
291,/Дан квадрат ABCD со стороной, равной а. Пусть направлен-
ные прямые АВ и AD являются осями координат старой системы
(АВ — первая ось, AD — вторая).
В каждом из следующих случаев написать формулы преобразова-
ния прямоугольных декартовых координат, если за новые координат-
ные оси приняты направленные прямые:
а) первая ось АС, вторая ось BD;
б) первая ось CD, вторая ось СВ;
в) первая ось AD. вторая ось DC.
37
292. Даны две различные прямоугольные декартовы Системы ко-
ординат, причем вторая система получена из первой переносом начала
в точку О' (5, 1) без йзменения направления осей. Найти расстоя-
ние а между точками А и В, если В имеет те же координаты во второй
системву что и А в первой.
293/Даны формулы преобразования координат прн переходе от
прямоугольной декартовой системы Oij к системе О'е'е2. Выяснить,
в каких из указанных ниже случаев новая система О’е[е2 является
прямоугольной декартовой:
|у = л<;
2. Изменение уравнения множества точек, при преобразовании
I системы координат
294/В системе координат Ое^ даны линии уравнениями:
а) х — 2у 4- 1 — 0; б) х + у = 0; в) у — 3 = 0. Найти уравне-
ния тех же линий в системе 0'е[е'2, если О' (1, 0), е{ {1, —3}, е'{4, 4}.
295. В системе координат Ое^ дано множество точек уравнением
4х2 — у2 — 4ху + 4х + бу — 8 = 0. Найти уравнение того же мно-
жеству в системе координат О'е'е'2, если О' 2^, 1}.’
296/ В системе координат дано множество точек уравнением
9хй — 4ху + бу2 + 6Х — 8у + 2 = 0. Определить уравнение этого
(1 3 \
—т* т)’ е10» 0»
е;{1, 01.
297/В прямоугольной декартовой системе координат Oij дано
множество точек уравнением 5х2 4- 8ху 4- бу2 — 9 = 0. Найти урав-
нение того же множества в прямоугольной декартовой системе, кото-
рая получается из данной поворотом на 4-45°.
298. Прямоугольную декартову систему координат Oij повернем
вокруг начала координат на угол 4-30°. Найти уравнения:
а) новых координатных осей в старой системе;
б) старых координатных осей в новой системе.
299.^Задано преобразование переноса начала прямоугольной де-
картовой системы координат Oij в точку О' (—3, 5). Записать урав-
нения биссектрис координатных углов Oij в новой системе.
38
300'.прямоугольной декартовой системе координат дана равно-
бочная гипербола х® — у® = а®. Определить уравнение этой гипер-
болы, если начало координат оставлено прежнее, а оси повернуты на
45° в отрицательном направлении.
301 л/В общей декартовой системе координат дано множество точек
уравнением 2х® — у2 4- 5ху — Зх + 4у — 5 = 0. Новую общую де-
картову систему координат выбрать так, чтобы в уравнении кривой
исчезли члены первой степени.
302У Показать, что надлежащим подбором нового начала коорди-
нат можно добиться того, чтобы при параллельном переносе системы
координат в уравнении кривой х® + у2 — 4х + 2у — 1 =0 исчезли
члены первой степени.
ЗОЗУПутем переноса начала координат упростить уравнения кри-
вых, приведенных ниже, и показать, что:
а) кривая х2 + у® — 6х 4- 10у + 34 = 0 имеет единственную дей-
ствительную точку;
б) кривая х® 4- у2 — 2х + 12у 4- 55 = 0 не имеет ни одной дей-
ствительной точки.
304.VB прямоугольной декартовой системе координат парабола
дана каноническим уравнением у® = 2рх. Записать уравнение этой
параболы в новой системе координат, которая получена из старой си-
стемы переносом начала координат в фокус о) параболы.
305/ В прямоугольной декартовой системе координат равнобочная
гипербола дана каноническим уравнением х® — у® = а2. Записать
уравнение этой гиперболы в новой системе координат, которая полу-
чена из с/гарой системы переносом начала координат в вершину A i (а, 0).
306 . В прямоугольной декартовой системе координат OiJ парабо-
ла дана каноническим уравнением у® = 2рх. Можно ли выбрать но-
вую систему координат так, чтобы в этой системе уравнение параболы
не содержало членов первой степени?
307 .'Л1оказать, что существует такая прямоугольная система ко-
ординат 0eiC2 (где в! -L ея), в которой уравнение эллипса имеет вид:
х® 4- У2 = 1-
308 .^/Показать, что существует такая прямоугольная система ко-
ординат Ое^ (где Ci _L е2), в которой уравнение гиперболы имеет
вид: х® — у® = 1.
309jJГипербола задана уравнением ~= 1 в каноничес-
кой системе координат OiJ. Записать уравнение этой гиперболы в но-
вой системе координат Оеге2, зная, что вектор параллелен асимп-
6 , ь
тотеу = —х гиперболы, а вектор е2—асимптоте у ------х.
/О й
310>Доказать, что множество точек, координаты которых в не-
которой системе координат 0ехе2 удовлетворяют уравнению ху = 1,
есть гипербола.
39
ЗНУ Путем подбора новой системы координат определить .множе-
ство точек, заданное' в прямоугольной декартовой системе координат
уравнениями: а) 2ху — х ==. 1; б) 'бх2 -4 бу2 4-. 8ху 4-12 — 0; в) х—
— 5ху = 0; г) х8 4* 2у — 5 = 0;, д) х6 — 2х 4 1= 0,
§ И. Окружность
1. Уравнение окружности1
312. Найти уравнение окружности с центром в точке С й радиуса г
в каждом из следующих случаев: <’
а) С (0, 1), г= 3; в) С (5, 1), г = 3;
б) С (—2,0), г = 2; г) С (—3, 5), г == 4.
313. В прямоугольной декартовой системе координат даны уравне-
ния множеств точек:
а) х2 + у2 — 2х 4- 4у — 20 т= 0;
б) х8 4- у2 4 8х — 4у 4- 40 — 0;
в) х2 + ху — 2х = 0; ' .
г) х2 4- 2ху 4 2у2 — Зх 4~ у 4~ 5 — 0; ,
д) х8 4- у2 — 2х == 0;
е) х2 -4 у2 + 2у 4* 8 = 0;
ж) х2 4- у2 — 4х — 2у 4- 1 = 0.
4
Выяснить, какие из приведенных уравнений определяют окруж-
ность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.
314. Выяснить, при каких значениях Л множество точек, опреде-
ляемое уравнением ха 4- У2 — 2х 4- 4у 4 А = 0, имеет хотя бы одну
действительную точку. При этих значениях X определить характер
данного множества.
315. Выяснить, при каких значениях k множество точек, опреде-
ляемое уравнением х2 4~ у2 — 4х 4- 2Лу + 10 = 0, имеет хотя бы
одну действительную точку. При этих значениях k определить харак-
тер данного множества.
316. При. каком необходимом и достаточном условии окружность,
определяемая уравнением zx2 4- у2 4- Ах 4- By 4- С = 0: а) касается
оси Ох; б) касается оси Оу; в) касается обеих осей координат.
317. В каждом из следующих случаев найти уравнение окружно-
сти, для которой концами диаметра служат точки А и Ви причем:
а) А (2, —1), В (4, 3); б) А (—3, 5), В (7, —3).
318. Найти уравнение окружности, центр которой находится в
точке (—3, 2) и которая проходит через точку (0, 6).
319. Написать уравнение окружности, центр которой находится
в точке (2, 1) и которая проходит через начало координат'.
1 В задачах данного параграфа система координат прямоугольная декартова.
40
320. Написать уравнение окружности радиуса 3, центр которой
лежит на оси Оу и которая касается оси Ох. '
321. Написать уравнение окружности, касающейся осей коорди-
нат, если известно, что ее радиус равен 5, а центр находится в четвер-
той четверти.
322. В каждом из следующих случаев найти уравнение окружно-
сти, проходящей через три точки: а) (1, —4), (4, 5), (3, —2); б) (3, —7),
(8, -2), (6, 2); в) (-3, -1), (1, 2), (3, I); г) (0, 0), (-1, -7), (-4, -3).
323. В полярной системе координат написать уравнение окружно-
сти радиуса а,- если: а) центр окружности совпадает с полюсом систе-
мы; б) центр окружности находится в точке С (р0, <р0).
324. Доказать, что множество точек плоскости, координаты ко-
торых в обобщенной полярной системе координат удовлетворяют
уравнению р2 — 2apcos q> = b, где b— a2 > 0, есть окружность
радиуса г =|/fc — а2 с центром в точке с координатами (а, 0).
325. В обобщенной полярной системе координат написать уравнение
окружности, если: а) ее центр имеет координаты (4,0), а радиус равен 4;
б) центр, имеет координаты ^3, а радиус равен 3; в) центр имеет
координаты (б, -yj, а радиус равен 2.
326. Найти центр и радиус окружности, заданной в полярных ко-
ординатах уравнением р2 -Ь 4pcos ф — 4]/3psin <р — 20 = 0.
2. Задачи на множества точек,
определяющие окружность
327. Найти множество точек, отношение расстояний которых ОТ'
двух данных точек Ап В постоянно и равно X.
328. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых
от двух данных точек А и В есть величина постоянная.
329. Найти уравнение множества точек, для каждой из которых
сумма квадратов расстояний от двух точек А (—I, 2) и В (1, 4)<есть
величина постоянная, равная 22.
330. Найти множество точек, для каждой из которых сумма квад-
ратов расстояний от двух перпендикулярных прямых есть постоян-
ная величина Л2.
_ 331. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых
от трех данных точек А, В и С есть величина постоянная.
332. Дана окружность и некоторая точка А, лежащая в плоскости
окружности. Отрезок АВ (где В — любая точка окружности) точкой М
разделен в постоянном отношении X. Найти множество точек М.
333. На окружности радиуса г взята точка О, вокруг которой вра-
щается прямая, пересекающая окружность в переменной точке В.
На этой прямой по обе стороны от точки В откладываются отрезки
BMt = ВМ2 = АВ, где А — другой конец диаметра, проходящего
41
через точку О. Определить лирии, описываемые точками я М2 при
вращении прямой ОВ.
334. Сторона ВА треугольника АВС с неподвижным основанием
ВС вращается вокруг точки В, сохраняя при этом постоянную длину
Ь. Найти множество: а) середин сторон СЛ; б) центроидов точек А,'
В и С. ' ' _
335. Дан квадрат ABCD. Найти множество точек плоскости, для
каждой из которых: а) сумма квадратов расстояний от четырех пря-
мых АВ, ВС, CD, DA есть величина постоянная; б) сумма квадратов
расстояний от прямых АС и BD есть величина постоянная.
<
3. Радикальная ось.
Угол между двумя окружностями
336. Степенью точки М относительно окружности с центре»! в
точке С и радиуса R называется число а = МС2 — R2.
Найти множество точек плоскости, имеющих одну и ту же степень
относительно данной окружности.
337. Доказать, что множество точек, имеющих равные степени от-
носительно двух данных неконцентрических окружностей, есть пря-
мая, перпендикулярная к линии центров. Эта прямая называется
радикальной осью данных окружностей.
338. Даны две окружности:
/ (х - I)2 + (у + 2)2 = 10, (QJ
(х-1)а + (у-3)2 = 5> (Q2),
Доказать, что: .
4 , а) окружности Qi и й2 пересекаются;
б) уравнение
[(х— 1)* + (у + 2)2 — 10]+М(х — 1)* + (у-З)3 — 5] = 0 (1)
при любом X Ф —1 определяет окружность, проходящую через точки
пересечения и й2, причем при Х2 соответствующие окружно-
сти различны;
в) при X = —1 уравнение (1) определяет радикальную ось окруж-
ностей и Qt;
г) радикальная ось любых двух различных окружностей, задава-
емых уравнением (1), совпадает с радикальной осью окружностей
и Q2.
339. Даны две окружности:
(х 4- 2)3 + (у - 7)9 = 20,
(х - I)3 + (у - I)3 = 5. (Й2)
Доказать, что:
а) окружности и Я2 касаются;
б) уравнение
[(X + 2)2 + (у - 7)2 - 20] + К Цх - I)2 + (у - I)2 = 0 (2)
42
при любом к —1 определяет окружность, касающуюся данных ок-
ружностей (2j и йг в их точке касания, причем при #= А2 соответ-
ствующие окружности различны;
в) при А — —1 уравнение (2) определяет радикальную ось окруж-
ностей Q/ и т. е. общую касательную в точке касания.
340. Даны две окружности:
(х - I)1 2 + (У + 2)а = 1, ' (Qi)
(х + 4)2 +(у-2>2 = 4. (й2)
Доказать, что:
а) окружности Qx и й2 не пересекаются;
б) уравнение
[(х — + (у + 2)2 — 1] ~Ь А [(х + У)2 + (У — 2}® — 4] = 0 (3)
при любом А #= —1 определяет окружность, не пересекающую ни
ни Я2, причем при Ах #= Аа соответствующие окружности различны;
в) при А = —1 уравнение (3) определяет радикальную ось окруж-
ностей;
, г) радикальная ось любых двух различных окружностей, задава-
емых уравнением (3), совпадает с радикальной осью окружностей С2Я
и Па.
341. В прямоугольной декартовой системе координат даны уравне-
ния двух пересекающихся окружностей:
х2 + у® + Aj,x + В^у + Ci = 0,
х2 + У2 + Аях + В2у + Са = 0.
Доказать, что косинус угла между этими окружностями вычисля-
ется по формуле?
COS® = 4~ B1Bi — 2Ci — 2Са
УЛ? + В?-4С1/Л®+В2-4С2'
§ 12. Некоторые замечательные кривые
342. Циклоидой называется траектория, описываемая точ-
кой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по данйой
прямой I (рис. 16).
Приняв прямую I за ось абсцисс, точку О этой прямой, которая сов-
падает с начальным положением движущейся точки, за начало прямо-
угольной декартовой системы координат и направив оси, как указано
на рисунке 16, написать уравнение циклоиды.
343. Эпициклоидой называется траектория, описываемая
точкой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по внеш-
1 Углом между двумя окружностями называется угол между касательными н
окружностям в точке их пересечения. Заметим, что угол между двумя окружностями
на неориентированной плоскости определяется неоднозначно.
43
ней стороне другой окружности
с центром в точке О и радиу-
сом R (рис. 17)1.
Написать параметрическое
задание эпициклоиды в прямоу-
гольной декартовой системе Оху,
изображенной на рисунке 17,
приняв за параметр угол <р =
—Z-AOC. Здесь С—центр катя-
щейся окружности, а А — точ-
ка неподвижной окружности,
совпадающая с начальным поло-
жением движущейся точки Л4..
344. Кардиоидой на-
зывается частный случай эпи-
циклоиды (см. задачу 343), когда
радиус г катящейся окружности
равен радиусу R неподвижной окружности (на рисунке 18 точка
О — центр неподвижной окружности).
Точку А неподвижной окружности, с которой совпадает точка М
катящейся окружности, описывающей траекторию, назовем полюсом,
направленную прямую ОА — осью, а длину диаметров окружностей —•
параметром кардиоиды.
Дана кардиоида с полюсом в точке А, осью I и параметром 2г, На-
писать уравнение данной кардиоиды в полярной системе координат;
если: а) полюсом системы координат является точка А, а осью — на-
правленная прямая I; б) полюсом системы координат является точка А,
а ось полярной системы имеет направление, противоположное оси I.
345. Гипоциклоидой называется траектория, описыва-•
емая точкой М окружности радиуса г, катящейся без скольжения по
внутренней стороне окружности с центром в точке О радиуса R (рис. 19).
Написать параметрическое задание гипоциклоиды в прямоуголь-
1 На рисунке 17 изображена эпициклоида, когда — = 3. В общем случае, когда
R г ,
— не является рациональным числом, число ветвей эпициклоиды бесконечно.
44
ной декартовой системе Оху, изображенной на рисунке 19, приняв
ф = АОС за параметр. Здесь С — центр катящейся окружности,
а А—точка неподвижной окружности, совпадающая с начальным,
положением движущейся точки М.
п
В частности, рассмотреть случай, когда г — —. Такая гипоцикло-
4
ида называется астроидой. Рисунок 19 является изображением
астроиды.
346. На плоскости даны кривая L и точка S. Через точку S прово-
дятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки Пересе?
чения с кривой L (если такая существует) откладывается в обе стороны
отрезок, равный Ь. Множество концов этих отрезков называется к о н-
хондой данной кривой. Конхоидой Ни к ом еда на-
зывается конхоида прямой линии I, если точка S не лежит на этой
прямой (рис. 20).
Приняв точку S за полюс полярной системы и направив полярную
ось от точки S перпендикулярно к прямой I, написать уравнение кон-
хоиды Никомеда, если точка S отстоит от прямой I на расстоянии
а #= 0. Конхоида Никомеда для случая а> b изображена на рисун-
ке 20, а, для случая а = b — на рисунке 20, б и для случая а < b —
на рисунке 20, в.
347. Улиткой Паскаля называется конхоида окружности
с центром в точке С радиуса г, если за точку S выбрана точка на этой
окружности (см. задачу 346). Точку S назовем полюс ом, направ-
ленную прямую CS — о с ь ю, а числа 2г и b — соответственно пер-
вым и вторым параметрами улитки Паскаля.
Дана улитка Паскаля с полюсом в точке S, осью I и параметрами 2г
и Ь. Написать уравнение этой кривой в полярной системе координат,
если: а) полюсом системы является точка S, а осью — направленная
45
прямая I; б) полюсом системы является точка S, а ось полярной систе-
мы имеет направление, противоположное оси1 I,
348. Доказать предложение: если параметры улитки Паскаля
равны друг другу, то кривая является кардиоидой, при этом центр и
ось улитки Паскаля будут соответственно центром и осью кардиоиды,
а параметры улитки Паскаля — параметром кардиоиды.
349. Даиы две взаимно перпендикулярные прямые I и т, пересе-
кающиеся в точке О, и точка А, отличная от О, лежащая на прямой I
н отстоящая от О на расстоянии Ь #= 0. Через точку А проводятся
всевозможные прямые, на каждой из которых от точки Р пересечения
с прямой т Откладываются в разных направлениях два отрезка РМг
й РМ2, удовлетворяющие условию PMi = РМ2 = РО. Строфо-
идой называется множество всех точек и М2 (рис. 21). Точка О
называется полюсом строфоиды, направленная прямая АО —
осью, ab— параметром.
Написать уравнение строфоиды в прямоугольной декартовой си-
стеме координат, осями которой являются прямые I и т, а направле-
ние оси Ох определяется направлением оси строфоиды.
350. Пусть ОА = 2а — диаметр некоторой окружности, а АВ —
касательная к окружности, проведенная в конце диаметра (рис. 22).
Через точку О проведены всевозможные лучи и на каждом из них от-
кладывается отрезок ОМ = PQ, где Р—точка пересечения соот-
1 Изображение улитки Паскаля дано на рисунках 36, 37 и 38, где, кроме улитки,
изображены также эллипс, гипербола и парабола.
40
ветствующего луча с окружностью, а
Q — с касательной АВ (рис. 22). Мно-
жество точек М называется циссои-
дой Диоклеса. Точка Оказыва-
ется полюсом, направленная прямая
О А — осью, а диаметр окружности
2а — параметром циссоиды.
Дана циссоида Диоклеса с полюсом
в точке О, осью I и параметром 2а. При-
няв точку О за полюс, а ось кривой за ось
ти уравнение кривой в полярных координатах. Записать урав-
нение кривой в прямоугольной декартовой системе координат, изо-
браженной на рисунке 22.
351. Пусть и F2 —две различные фиксированные точки, b—
постоянное число и F^ = 2с. Овалом Кассини называется
множество точек М, для которых
FiM • F2M =
Рис. 22
системы, вывес-
Лемнискатой Бернулли называется овал Кассини при с = Ь,
Середина отрезка FtFz называется центром, число с — пара-
метром, а прямая FtF2 — осью лемнискаты (рис. 23)1.
Приняв направленную прямую за ось абсцисс, а середину
отрезка FjF2 за начало прямоугольной декартовой системы координат,
написать уравнения овала Кассини и лемнискаты Бернулли.
352. Отрезок PQ постоянной длины 2а перемещается своими кон-
цами по сторонам прямого угла. Из вершины этого угла опущен пер-
пендикуляр на данный отрезок. Множество оснований этих перпенди-
куляров есть кривая, называемая четырехлепестковой
розой (рис. 24).
1 На рисунке 23 изображены овалы Кассини (все кривые, не проходящие через
начала координат) и лемниската Бернулли (кривая, проходящая через начало коор-
динат). При bye овал Кассини является замкнутой линией; при b < с — состоит
из пары обособленных овалов и при b = с овал Кассиии является лемнискатой
Бернулли.
47
м
Рис. 23
24
Рис.
положение в
Взяв за полюс полярной система ко-
ординат вершину прямого угла и на-
правив полярную ось по одной из сторон
прямого угла, вывести уравнение этой
кривой.
,353. Луч I, исходящий из неподвиж-
ной точки О, вращается с постоян-
ной угловой скоростью и. Точка М, имея начальное
точке О, движется по лучу I равномерно со скоростью v. Траектория
точки М называется спиралью А р х и м е.д а (рис. 25). Приняв
точку О за полюс, а прямую, направление которой определяется ис-
ходным лучом /, за полярную ось, написать уравнение спирали Архи-
меда в выбранной полярной системе координат.
354. Даны диаметрально противоположные точки О и С окружно-
сти диаметра а и касательная I к окружности в точке С. Пусть S —
произвольная точка окружности, Е — точка пересечения прямых OS
и I, а М — точка пересечения прямых, проведенных через S и Ё и
перпендикулярных соответственно прямым ОС и I (рис. 26). При дви-
жении точки S по окружности точка М описывает кривую, называ-
емую верзиерой. Вывести уравнение верзиеры в прямоуголь-
ной декартовой системе, изображенной на рисунке 26.
48
§ 13. Приложение метода координат к решению задач
элементарной геометрии
355. Доказать, что в прямоугольном треугольнике каждый из ка-
тетов есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проек-
цией иа гипотенузу.
356. Доказать, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр,
опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее про-
порциональное между двумя отрезками, на которые он рассекает ги-
потенузу.
357. Даны треугольник и в его плоскости произвольная точка М,
которая дважды последовательно отражается относительно всех вер-
шин треугольника. Доказать, что после последнего шага отраженная
точка совпадает с точкой М.
358. Пусть АВС — произвольный треугольник, а I — некоторая
прямая, лежащая в его плоскости и проходящая через точку Мо пе-
ресечения медиан. Если А', В' и С —проекции точек А, В, С на
прямую I, то АА' + ВВ' + СС = 0. Доказать.
359. Доказать теорему Менелая: для того чтобы три точки Ль
Въ С ъ лежащие соответственно на сторонах ВС, С А, АВ треуголь-
ника АВС (или на их продолжениях), принадлежали одной и той же
прямой, необходимо и достаточно, чтобы
ЛС, вХ СВ~! _ j
BCt €Ai ABl
360. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответствен-
но точки и Ви которые делят эти стороны в данных отношениях:
__ц лвх ti
с,в в,с г
; В каком отношении делят друг друга отрезки ВВ] и ССХ? В частности
рассмотреть случай, когда точки С, и Bt являются серединами сторон
АВ и АС.
361. Доказать теорему: пусть точки Alt Вг и лежат иа прямых
ВС,. СА, АВ, образующих треугольник АВС. Если прямые AAlt BBt
и ССХ пересекаются в одной точке, то
лс, . ВАг CBj _ ।
С^В ДС В^А
362. Доказать теорему Стюарта: для треугольника АВС и точки D,
лежащей между В н С, имеет место равенство
ЛВ2 • DC + АС2 - BD — AD2 • ВС = ВС • DC • ВО.
49
363. В треугольник АВС вписан треугольник Л1В1С1'так, что вер-
шины последнего делят стороны треугольника АВС в одном и том же
отношении:
ACj _ ВАг _ CBt
CtB Afi BtA
Показать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и
Л1В1С1 совпадают.
~ 364. Внутри треугольника АВС взята точка О. Доказать, что тре-
угольники ОАВ, ОВС и ОСВ равновелики тогда и только тогда, когда \
О является точкой пересечения медиан.
365. Стороны АВ и CD простого четырехугольника ABCD, будучи
продолженными, пересекаются в точке О. Обозначая через S и Р со-
ответственно середины диагоналей BD и АС, показать, что площадь
треугольника OSP равна четвертой части площади четырехугольника
ABCD.
366. Доказать, что если диагонали трапеции равны, то трапеция
равнобочная.
367. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. '
368. Показать, что прямая, соединяющая точку пересечения диаго-
налей трапеции с точкой пересечения боковых сторон, делит основа-
ния трапеции пополам.
. Глава III
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 14. Прямая в общей декартовой системе координат1
369. Дана прямая2 2х — у + 5 — 0. Выяснить, какие из следую-
щих точек принадлежат данной прямой: (5, 15); (1, 1); (—2, 1); (3, 0);
(7, -5); (1, 7); (1, б); (0, 3).
(м57й) Определить координаты точек, которые принадлежат прямой
Зх — 2у + 1 = 0 и имеют ординаты 1; —; 2; —1; 3; 5; —4.
371. Определить координаты точек, которые принадлежат прямой
1х + 2у — 8 — 0 и имеют абсциссы 2; —4; 3; —1; 1; 0; 5.
1 Во всех задачах этого параграфа предполагается, что на плоскости предвари-
тельно выбрана некоторая общая декартова система координат.
2 Здесь и в дальнейшем выражения: «Дана прямая Ах + By + С = 0» или
«Дана точка Л(х, у)»— следует понимать так: «Дана прямая, уравнение которой в
выбранной системе координат имеет вид: Ах + By 4- С = 0» или «Дана точка А,
которая в выбранной системе координат имеет координаты х, у».
50
372; Даны прямые:
’ а) Зх — у — 5 = 0;
б) х + 2у + 4 = 0;
в) 2х — Зу + 6 = 0;
г) 6х + 5 = 0;
д) Зу8 = О;
е) 2х — у = 0;
ж) 5х + Зу = 0;
з) х — 3 = 0;
и) у + 7 = 0.
Для каждой прямой найти координаты точек пересечения с коор-
динатными осями. Начертив на плоскости общую декартову систему
координат, построить эти прямые при помощи циркуля и линейки.
373. Написать уравнение прямрй:
' а) проходящей через точки А (—1, 1) и В (2, 5); *
б) проходящей через начало координат и точку А (2, 5);
\ в) проходящей через точку А (2, —6) и параллельной вектору
р {1, -О;
г) отсекающей на осях координат отрезки а = 3, b = —2;
'д) проходящей через точку А (3, 5) и параллельной оси Ох;
е) проходящей через точку В (—1, 2) и параллельной оси Оу;
'ж) проходящей через точку А (1, —5) и параллельной прямой
х — Зу + 1 = 0;
з) проходящей через точку А (2, 2) и параллельной прямой х 4-
+ у = 0.
374. Написать уравнения сторон треугольника, вершины которо-
го находятся в точках (—3, 2), (3, —2) и (0, —1).
< 375. Дан треугольник АВС координатами своих вершин А (—1, 3),
В (0, 4), С (—2, —2). Написать уравнение медианы этого треуголь-
ника, проведенной из вершины А.
1/376. Написать уравнения средних линий треугольника, вершины
которого находятся в точках А (2, 6), В (—4, 0), С (4, 2).
377. Установить, какие из следующих троек точек лежат на одной
прямой: а) (2, 1), (—1, 4), (—7,10); б) (0, 5), (7, 1), (—2, 3); в) (1, 0),
(0, 1), (—2, 3); г) (2, 1), (10, 3), (5, 2).
378. Найти длины направленных отрезков, отсекаемых на осях
координат прямыми: а) Зх — 2у -f- 6 = 0; б) х + у + 6 = 0; в) 2х —
— у + 3 = 0. Составить уравнения этих прямых в отрезках.
V «179. Написать параметрические уравнения прямой:
* а) проходящей через точку Р (—2, 3) параллельно вектору
р{5,-1};
•;б) проходящей через две точки Mi (0, —2), Л4? (3, —4);
е в) проходящей через начало координат и параллельной вектору
р{1. 1};
г) проходящей через точку Мо (1, —3) и параллельной оси Ох;
«и д) проходящей через две точки Мг (1, 2) и М& (1, —5).Х
4 380. Прямая задана параметрическими уравнениями
х = —1 + 4£, у = 2 — t.
а) Найти направляющий вектор данной прямой;
51
б) определить координаты точек, имеющих параметры
tx = 3, /а = О, t3 - —2, = —1;
в) определить параметры точек пересечения данной прямой с ося-
ми координат; = '•
г), среди точек Mt (—3, 1), Л12 (3, 1), Мй (15, —2), Л14(о, —А,
\ 4/
М6 (2, 2) найти точки, принадлежащие данной прямой.
38Т Найти координаты направляющих векторов следующих пря-
мых: а) Зх + 7у 4- 8 = 0; б) х 4- 5 = 0 в 2х т- Зу — 1 = 0; г) —х 4-
4- 2у — 8 = 0; д) 2у + 5 = 0. * Л * ( х
382. Даны прямые: а) Зх — у 4- 5 = 0; б) х 4- у — 3 == 0; в) 2х 4-
4-5 = 0; г) 4х 4- 5у 4- 6 = 0; д) х 4- Зу = 0. Написать уравнение
каждой из них в параметрическом виде.
383. Доказать предложение: для того чтобы вектор р {а, 0}
принадлежал прямой Ах 4- By + С — 0, необходимо и достаточно,
чтобы Аа 4* ВР — 0.
384. Доказать, что если в общей декартовой системе координат
дана прямая уравнением Ах + By 4- С = 0, то вектор р {Я, В) не
параллелей прямой, и если его приложить к некоторой точке прямой,
то координаты хь ух его конца удовлетворяют условию Axt 4- Вуг 4-
-F р v 0. (
1 385 Записать общие уравнения следующих прямых, заданных па-
раметрически: а) х = —2 4-3/, у = 4 — t; б) х = i, у = 2; в) х =
= 5 4-1, у = 3t.
386. Взяв на плоскости общую декартову систему координат, по-
строить следующие прямые, заданные параметрически:
а) х = 1 —2/, у = 5 — 4/; б) х = 3, у = t; в) х = 5/, у = —1 4- ]/3/.
387. Даны три вершины треугольника И (1, -2), В (0, 3), С (1,‘ 1).
Написать уравнения прямых, проходящих через каждую из них
параллельно противоположной стороне.
388. Показать, что четырехугольник ABCD, где А (—2, —2),
В (—3, 1), С /у, —j и D (3, 1), является трапецией. Составить урав-
нения средней линии и диагоналей этой трапеции.
389. Даны смежные вершины А (1, —2) и В (3, 2) параллелограм-
ма ABCD и точка Р (1, 1) пересечения его диагоналей. Составить урав-
нения сторон параллелограмма.
390. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма
х — у \ = о и х — 2у — 0 и точка пересечения его диагоналей
F (3, —1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.
391. Даны середины сторон треугольника М (2, —1), N (—3, —3)
и Р (—1, 0). “Составить уравнения его сторон.
§ 15. Прямая в прямоугольной декартовой системе
координат
392. Написать уравнение прямой:
а проходящей через точку А (2, 5) и имеющей угловой коэффици-
ент, ft — 3;
б) проходящей через точку (0, 0) и имеющей угловой коэффициент
ft = —2;
Bj) являющейся биссектрисой координатного угла Oij;
г) проходящей через начало координат и образующей с осью Ох
угол +30°;
д) проходящей через начало координат и образующей с. осью Ох
угол 4-120°; .
е) отсекающей от оси Оу отрезок Ь — 2 и имеющей угловой коэф-
фициент ft = —3;
ж) отсекающей от оси Оу отрезок b = —3 и имеющей угловой коэф-
фициент ft =1.
393. Найти угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые на оси
Оу каждой из следующих прямых:
а) 2х 4- У 4-5 = 0;
б) х — Зу 4- 6 = 0;
в) х 4- У ”= 0;
г) 2у 4- 5 = О;
д) Зх 4- 1 = 0.
394. Найти углы наклона к оси Ох прямых; а) х 4т У — 7 = 0;
б) — у 4- 2 = 0; в) х 4- V3 у — .4 = 0.
39# Написать уравнение прямой:
aj проходящей через точку А (—1, 3) и перпендикулярной к век*
тору» {2,1};
б) проходящей через точку В (5, 10) и перпендикулярной к прямой
х — у 4- 1 = 0;
в) проходящей через начало координат и перпендикулярной к
прямой 2х — Зу 4- 1 = 0.
Д39^. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (1, 2)
и отсекающей равные отрезки на осях координат.
397. Начертить на плоскости прямоугольную декартову ’систему
координат и, пользуясь циркулем и линейкой, построить следующие
прямые: а) Зх — 5у 4- Ю = 0; б) у = 2х — 3; в) у — 3 = 0;
г) у = 6х; д) — 4- — = 1; е) Зх — 1 — 0.
Найти координаты нормальных векторов каждой из этих прямых.
398. Дана прямая 2х — 5у 4~ 3 = 0. Определить координаты на-
правляющего вектора р, нормального вектора п, угловой коэффици-
ент ft и отрезки а и Ь, отсекаемые на осях координат данной прямой.
Пользуясь циркулем и линейкой, построить прямую и векторы р
и п.
53
399. Даны пары прямых: а) х — у = 0их = 3;б)у = 0и2х —
— 5 = 0; в) 2х 4- Зу -— 6 — 0 и х 4~ —у 4~ 1 — 0; г) х 4- у — 1=0
их — у = 0; д) 2х 4- 2у — 1 = 0 и х — у = 0.
Выяснить, какие из данных пар прямых взаимно перпендикулярны.
400. Даны уравнения движения точки М:
х = 3 4- 4t, у = —1 — 3/.
Определить:
а) скорость точки Л4;
б) точку, с которой совпадает точка М в момент времени t — 3;
в) в какой момент времени точка М достигнет прямой х 4- 2у 4-
4-7 = 0.
401. Составить уравнения движения точки М, которая из началь-
ного положения Мо (2, —3) движется прямолинейно и равномерно
в направлении вектора р {—4, 4-3} со скоростью v = 15 см/сек.
Предполагается, что система координат прямоугольная декартова и
что 11 | = | j | = 1 см.
Определить, за какой промежуток времени t0 точка пройдет отре-
зок своей траектории, заключенной между осью Ох и прямой 2х 4-
4- у 4- 25 = 0:
402. Точка Н (—2, 5) является основанием перпендикуляра, опу-
щенного из начала координат на прямую I. Написать уравнение пря-
мой I.
403. Точка М (3, 2) является основанием перпендикуляра, опу-
щенного из точки М (1, —1) на прямую I. Написать уравнение пря-
мой I.
404. Даны точки А (2, —3) и В (3, —5). Через середину отрезка
ЛВ провести прямую, перпендикулярную к АВ.
405. На прямой х 4- 2у — 1 =0 найти точку, равноудаленную от
точек (—2, 5) и (0, 1).
- 406. На осях координат Ох и Оу найти точки, равноудаленные от
точек (7, 1) и (—3, 3).
407. Даны вершины треугольника А (1, 5), В (—1, 2), С (3, 2).
Составить уравнения: а) высот треугольника; б) прямых, проходящих
через вершины треугольника параллельно противоположным сторо-
наж_ ' . .j 1
(40& Даны две вершийы Треугольника А (—1, 5), В (3, 2) и точ-
ка 77(5, —3) пересечения4 его высот. Составить уравнения его сторон.
409. Написать уравнения сторон квадрата, если длина стороны
равна а, а за оси прямоугольной декартовой системы координат при-
няты его диагонали.
410. Найти проекцию точки М, заданной своими координатами, на '
прямую I, заданную своим уравнением, в каждом из следующих слу-
чаев: а) М(5, —2), (0 2х —Зу —3 = 0; б) М (3, 3), (/) х 4-у —6 =
= 0; в) М (0, 8), (0 Зх — у — 2 = 0.
411. Определить координаты точки, симметричной началу коор-
динат относительно прямой х — 4у 4- 17 = 0.
Б4
412. Определить координаты точки, симметричной точке М (2, —5)
относительно прямой 2х + 8у — 15 — 0.
413. На прямой 2х — у — 10 = 0 найти точку Q, сумма расстоя-
ний которой до точек М (—5, 0) и Л' (—3, 4) была бы наименьшей.
414. Написать уравнения всех Сторон правильного шестиугольни-
ка ABCDEF, если сторона шестиугольника равна а, а система прямо-
угольных декартовых координат выбрана так, что начало совпадает с
точкой А, точка В лежит на положительном луче оси Ох, а точка Е —
на положительном луче оси Оу.
415. Вершины треугольника находятся в точках А (—4, —5),
В (4, 1) и С Написать уравнения: а) биссектрисы внутренне-
го угла А; б) медианы, проходящей через вершину А; в) высоты, опу-
щенной из вершины С.
416. Даны вершины треугольника А (1, 2), В (—1, 6) и С (5, 10).
Составить уравнения сторон ромба AM.NP, вписанного в треугольник
так, что вершина М принадлежит стороне АВ, вершина N—стороне ВС
и вершина Р — стороне АС.
417. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравне-
ния двух его сторон: х + Зу + 12 = 0их + Зу — 8 = 0и уравнение
одной из его диагоналей 2х + у + 4 = 0.
§ 16. Взаимное расположение прямых. Пучок прямых
1. Взаимное расположение прямых17
418. Исследовать, как расположены относительно осей координат
следующие прямые:
а) 2х — Зу = 0; г) Зу 1 = 0;
б) Зх — у + 1 = 0; д) х + 2у = 0;
в) 5х — 1 = 0; е) 6х — 0.
♦ —
419. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых
и в случае пересечения определить координаты общей точки:
♦а) х 4- у — 3 = 0и2х — 2у — 6 = 0;
б) х + 2у + 1 = 0 nf х + 2у + 3 = 0;
* в) -^-х — Зу + V3 = 0 и х — 2]/Зу + 2 = 0;
г)у = Зих + у = 0;
<д)х + у + 1= 0их + у — 1=0;
е)х = 0их + 3 = 0;
ж) ]/~5х— Зу + 1 = 0 и ух— ]Л5у + = 0-
1 Во всех задачах этого параграфа предполагается, что на плоскости предвари-
тельно выбрана общая декартова система координат.
55
420. При каком значении периметра f прямые, заданные уравне-
ниями 3tx —8у 4-1 =» 0 и (14- I) х — 2/у = 0, параллельны?
421. Можно ли подобрать коэффициенты ?. и ц так, чтобы прямые
Зх — 2у 4 1 = 0 и ?.х 4 ру — 3 = О совпадали?
, 422. Выяснить взаимное расположение следующих троек прямых:
я) У = 3, х — у .4- 5 — 0, 2у — 5 = 0;
б) 2х — у4*5 = 0^х4-у — 3 = 0, х — у = 0;
в) х — у 4-6 = 0, 2х-Ь у 4- 9 = 0, Зх — 2у + 17 = 0. , -
423. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты Л
и р, для того чтобы три прямые Ах 4- ру 4- 1 = 0, 2х — Зу 4- 5 = О
их — 1=0 имели общую точку?
2. Пучок прямых
424. Охарактеризовать семейство прямых у = kx 4- b в каждом
из следующих случаев: a) k — фиксированное число, а Ь — любой
действительный параметр; б) b — фиксированное число, а /г — любой
действительный параметр. , >
425. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1, 6)
так, чтобы середина ее отрезка, заключенного между двумя параллель- ,
ными прямыми х — 5у 4- 23 = 0, х — бу 4- 11 =0, лежала на пря-
мой 2х — у — 2 = 0.
426. На плоскости проведена прямая так, что точка А (1, 2) яв-
ляется серединой ее отрезка, заключенного между осями координат.
Написать уравнение этой прямой.
427. В пучке х 4~ 2у — 3 4- А (х — у-4 1) *= 0 найти прямую,
проходящую через точку М (4, 1).
' 428. В пучке 2х — у 4- 1 4- А (Зх — 2у 4- 5) = 0 найти прямую,
параллельную прямой 5х — Зу 4- 1 = 0.
429. В пучке А (Зх — 4у 4- 1) 4- х — у = 0 найти прямую, про-
ходящую через начало координат.
430. В пучке А (х — 2у 4 1) 4- Р (х—Зу) = 0 найти прямую, па-
раллельную оси Ox. v
431. Через точку пересечения прямых Зх — у = 0, х 4- 4у — 2 =
= 0 проведена прямая, перпендикулярная к прямой х + у = 0.
Написать уравнение этой прямой.
432. Даны уравнения сторон треугольника х 4~ 2у — 1=0,
бх 4- 4у — 17 = 0, х — 4у 4- 11 = 0. Составить:
а) уравнения высот треугольника;
б) уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника
параллельно противоположным сторонам.
433. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пере-
сечения прямых 6х — 2у 4- 5 = 0, 2х — у — 4 = 0 и: а) параллель-
ной оси Ох; б) параллельной оси Оу; в) проходящей через начало ко-
ординат.
56
434. Показать; что при любых действительных параметрах Л и. Ъ,
удовлетворяющих условию k — b, прямые у = kx 4- b проходят через:
одну .и ту же точку плоскости. Найти координатыэтой точки.
435. Показать, что при любых действительных параметрах а и Ь,
удовлетворяющих условиям а =#= О, t #= 0 н — 4- — = 1, прямые —4-
а Ь а
+1=1
проходят через одну и ту же точку плоскости. Определить
/координаты этой точки. _,
436. Показать, что при любых действительных параметрах А, В
и С, удовлетворяющих условиям: а) А и В одновременно не рав'ны ну-
лю; б) А 4- В 4- С — 0, прямые Ах 4- Вх 4- С — 0 проходят через
одну и ту же точку плоскости. Определить координаты этой точки.
437. В каждом из следующих случаев охарактеризовать семейство
прямых Ах 4- By 4 С = 0, для которых:
а) Л и В — фиксированные числа, ие равные одновременно нулю,
а С -г- произвольный действительный параметр;
б) Л и С — фиксированные числа и Л 4 0, а в — произвольный
действительный параметр;
в) В и С — фиксированные числа и В =А= 0, тогда как Л — произ-
вольный действительный параметр.
438. Даны уравнение стороны АВ треугольника 2х — Зу 4- 6 ==
= 0 и уравнения двух его высот (АН) 2х 4- у — 2 = 0 и (В К) х 4-
4- Зу — 12 = 0. Составить уравнение двух других сторон.
439. Определить общую прямую следующих двух пучков:
(2 4- ЗХ) х — (4 — 7А) у 4- 1 == 0;
(3 — 2р) х 4- (4 — 7р) у 4- 5 = О.
440. Даны стороны четырехугольника х — 4у 4- 3 = 0 (АВ),
2х 4- У — 12 = 0 (ВС), х — у 4- 6 = 0 (CD), х 4-2у — 3 = 0 (AD).
Написать уравнения его диагоналей.
441. На плоскости даны три попарно непараллельные прямые
Агх 4- Вху 4" Сг — 0, Л2х 4- В2у 4~ С2 = 0, Л8х 4~ В8у 4* Св = 0.
Доказать, что эти прямые образуют, треугольник тогда и -только тог-
да, когда
Аг Bi Ci
Ла В2 С2 =/= 0.
Ад В8 С8
Пользуясь этим условием, выяснить,, какие из следующих троек
прямых образуют треугольник:
а) Зх — у = 0, х 4- 2у— 1 = 0, 2х 4- 2у — 3 = 0;
б) 2х — у 4* 1 '= 0, Зх 4- Зу 4- 1 == 0, х 4- 4у = 0;
в) х 4" 2 = 0, у 4т 3 = 0, х 4- У = 0.
442. Три данные прямые Агх 4- В±у 4- Ct = 0, Л2х 4- Въу 4-
4~С2=0, Л3х4-В8у 4- Cs = 0, пересекаясь, образуют треугольник.
67
Доказать, что уравнение любой прямой плоскости можно, предста*'
вить в виде
а (Агх + В±у 4- CJ + ₽ (А2х 4- В2у 4- С2) 4*? (Л8х4~ВзУ+£8)~0>
где а, ₽, <у — параметры, одновременно не равные нулю.
§ 17. Геометрический смысл линейных неравенств
с двумя неизвестными
1. Расположение точек относительно прямой
443. В каждом из нижеследующих случаев найти отношение, в ко-
тором прямая х — 2у 4" 4 = 0 делит отрезок АВ:
а) А (—1,5), В (3,0); б) А (7,1), В (5,2);
в) А (0,2), В (1,4); г) А (—3,7), В (-6,0).
444. Даны точки Mi (—1, 2), М2 (3, 1), Ма (1, 0), Mt (7, 2),
М5 (—3, 6), М6 (1, 1) и прямые;! а) 2х — у 4- 5 = 0; б) 4х 4* у — 8 —
= 0; в) Зх — 2у + 1 — 0; г) 2х — 5 — 0; д) х — Зу — 2 = 0. Для
каждой из данных прямых среди указанных точек выбрать те точ-
ки, которые лежат по ту сторону от этих прямых, что и начало коор-
динат.
’ 445. Дана прямая- Зх — 2у 4~ 12 = 0. Указать, какие из пар то-
чек, приведенных ниже, лежат по разные стороны от данной прямой:
а) Аг (1, 0) и А2 (—5, 6); б) Вг (0, 11) и В2 (—5, 0); в) 0(0, 0) и
Р (1, 1); г) Сг (1, 4) и С2 (-4, 2); (2, 6) иР2 (0, 8); е) Ег (-1, 0) и
Е, (1, 0).
446. Даны вершины треугольника А (—6, 3), В (8, 10), С (2, —6)
и прямые: а) 2х — Зу 4- 6 = 0; б) х 4- У — 0; в) Зх — у — 3 = 0.
Определить, какие стороны треугольника пересекаются каждой из
данных прямых. Сделать чертеж и на чертеже проверить полученные
выводы.
447. Выяснить, какие стороны треугольника с вершинами в точ-
ках А (—6, 3), В (8, 10) и С (2, —6) пересекаются каждой из осей
координат. Найти отношения, в которых оси координат делят стороны
треугольника.
448. Доказать теорему: для того чтобы точки Mi (хъ у0 и
Л12 (х2, у2) не лежали по разные стороны от прямой Ах 4- By 4- С =
= 0, необходимо и достаточно, чтобы (Ах± 4- Byt 4- С) (Лх2 4- Ву2 4-
4- С) > 0.
449. Дан АСВ, где А (4, 6), С (—2, 2), В (0, —5). Выяснить,
Какие из указанных ниже точек лежат внутри данного угла: Мг (2, 0),
М2 (—2, 5), М8 (6, 4), М4(7, 0), М5(—6, 5).
68
2. Неравенства, характеризующие
полуплоскости, углы
и многоугольники
450. Прямая Зх — у — 2 = 0
разбивает плоскость на две полу-
плоскости.
а) Составить неравенство, ха-
рактеризующее все точки полу-
плоскости, в которой находится на-
чало координат;
б) составить неравенство, ха-
рактеризующее все точки полу-
плоскости, в которой лежит точка
(1, -з).
451. На рисунке 27 выделена
заштрихованная область, ограничен-
ная отрезком АВ и лучами I и т, исходящими соответственно из точек
А и В. Составить систему линейных неравенств, определяющих эту
область, если точки Л, В, М и £х, изображенные на этом рисунке,
имеют координаты А (0; 4), В (0; —2), М (6; 0), Lx (—3; 0).
452. Две пересекающиеся прямые х — у4-5 = 0и2х4-у — 3 =
= 0 делят множество всех точек плоскости, не лежащих на них, на
четыре угла (области). Составить систему неравенств, определяющих
внутреннюю область угла, которому принадлежит точка М (—4; 15).
453. Пусть прямые /х и /2, заданные в прямоугольной декартовой
системе координат уравнениями Лхх + Вху + Сх = 0, А2х + В2у 4-
4- С2 = 0, пересекаются, но не перпендикулярны друг другу. Дока-
зать, что внутренние области двух вертикальных острых углов, обра-
зованных этими прямыми, характеризуются неравенством
(Лхх В^у 4- Сх) (Azx 4- В2у 4~ С2) (А1А2 + В tB2) <0,
а внутренние области двух верти-
кальных тупых углов — неравенст-
вом
(Лхх 4- В1У 4- Cj) (Лах4- В2у 4“
4-С2) (ЛХЛ2 4* В}В2) > 0.
454. Даны две пересекающиеся
прямые в прямоугольной декарто-
вой системе Зх 4~ 5у — 15 — 0 и
—-х 4- 2у — 4 = 0.
Выяснить, какие из точек, ука-
занных ниже, принадлежат внут-
ренним областям острых углов,
образованных данными прямыми:
59
Mt(3; 2), Мв(0; 0), Ms (8; 0), (10; 6), Ms(0; —5), Me(—4; 3).
t
455. Треугольник задан уравнениями своих сторон: (АВ) Зх 4-
+ 8у _ 9 == 0, (ДС) Зх — у —9 = 0, (ВС) Зх — 10у4- 45 = 0. Соста-
вить систему неравенств, определяющую: а) внутреннюю область
треугольника; б) область в) область 2а (рис. 28).
456. Две параллельные прямые 2х — у 4- Г== 0 и 2х — у 4- 5 ==
= 0 делят все точки плоскости, не принадлежащие им, на три области:
полосу й0, заключенную между ними, полуплоскости и Qa вне этой
полосы, определяемые первой и второй прямыми. Установить, каким
областям принадлежат точки Mi (—2; 1), Мв (4; 5), М8 (—4; —4),
Л14 (—3; 7), М5 (—6; 2), Me (1; 5), М7 (3; 0).
Выбрав на плоскости прямоугольную декартову систему коорди-
нат, изобразить область, определяемую следующей системой неравенств:
457.
х — у 4- 5 > 0,
х —г 5у 4- 33 > 0,
х —7<0,
х — 2у — 1 <0,
х 4- У — 1 >0.
2х 4~ У 4“ 6 0,
Зх — у 4- 14 > 0,
х — у 4- 8 > 0,
У 4- 2 > 0,
х — 4у — 10 < 0.
х — у 4- 1 > 0,
х — Зу — 6 < 0,
2х 4- у — 6 > 0,
х 4- у 4- 4 < 0.
§ 18. Простые многоугольники
1. Условие принадлежности точки многоугольнику
460. Даны многоугольники Д1В1С1О1, ДвВаСа£)а£2 и A3B3C3D3E3
координатами своих вершин:
а) Лх (1, 1), Bt (2, 8), Ci (7, 2), D, (4, 3);
б) Л2 (3, 3), В2 (3, 1), С2 (4, —7), В2 (0, 4), £а (—5, —3);
н в) А3 (-2, —7), В3 (-3, -3), С8 (2, 1), D3 (1, -4), Е3 (7, -5)..
Выделить среди них простые многоугольники1.
461. Доказать следующую теорему! Пусть вершинами треуголь-
ника являются точки Д1 (хъ yi), Да (ха, у2), Аа (х8, у8). Для того
чтобы точка М (х, у) принадлежала треугольнику, необходимо и до-
статочно, чтобы
612 (Х, у) ^12 (х3г Уз) 0,
613 у) • 613 (х2, у2) > 0,
623 (х, у) • ^28 (Хъ У1) > о.
1 Многоугольник называется простым, если все вершины различны, ни одна из
вершин не является внутренней точкой стороны и никакая пара сторон не имеет об-
щей внутренней точки.
60
Здесь
8„(х, у) = ]х-^ У-^1
у' уг \Х,— Х1 у,— у(|
462. В каждом из следующих ниже случаев записать необходимые
и достаточные условия того, что точка М (х, у) принадлежит' 'тре-
угольнику АгАяАа:
а) Л4 (-4, —2), Л2 (О, 0), Аа (0, -2);
б) ЛН1, 1), Л8 (2, 2), Л8 (3, 0);
г в) Лх (5, 1), Л2 (0, 3), Л3 (2, 5).
463. Даны вершины треугольника At (—5, О), Л2 (2, 8), Л8 (7, —3)
и точки (0, 2), Мя (15, -3), Ма (2, 5), Л44(—2, -5), Мв(1, 1),
Л1б(0, 0), М7(—5, 4). Выяснить, какие из данных точек принадлежат
внутренней области треугольника1.
464. Треугольник ЛхЛ2Л8 задан уравнениями своих сторон:
(ЛхЛ^ — 5х + бу — 30 - 0; (Л2 Л3) 5х + у — 20 = 0; (АаА1)у +
+ 2 = 0. Выяснить, какие из точек (0, 4), Ма (15, 3), Л13 (—7, 2),
Л14(2, 4), Л4В(1, —1), Л1в(—6, 3) принадлежат треугольнику.
2. Выпуклые многоугольники
465. Доказать теорему: для того чтобы четырехугольник с верши-
нами в точках Лх (хв, ух), Лв (х2, у2), Л3 (х3, у3) и Л4(х4, у4) был вы-
пуклым, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
612 (х8, у8) • 618 (х4, Ух) > 0,
е28 (х4, у*) • Ла (xi. У1) > 0»
®84 (*Х» У1) ’ бвх (Х2, у2) О,
641 (х3» Уа) " ®41 (Хз» Уз) > О»
где
Мх, у)«И“Х/
11 - У |Х, —х, Уу — УИ
466. Доказать, что четырехугольник ЛхЛ2Л8Л4, вершины которого
имеют координаты Л4 (—4, 0), Л2 (—2, 8), Л8 (15, 13) и Л4(0, —3),
является выпуклым.
467. Доказать, что четырехугольник Л4Л2Л8Л4, вершины кото-
рого имеют координаты Лх (0, 0), Л2(7, —6), Л3(5,0), Л4(8, 7), не
является выпуклым.
468, Вершины четырехугольника находятся в точках
Лх (Хх, ух), Л2 (х2, у2), Л8 (х8, у8) и Л4 (х4, у4).
Доказать следующее предложение: для того чтобы этот четырехуголь-
1 Точка М принадлежит внутренней области треугольника АВС, если М^АВС
и М ие лежит на контуре треугольника.
61
ник был выпуклым и чтобы точка М (х, у) была внутренней, необходи-
мо и достаточно, чтббы выполнялись условия
Здесь
612 (х, у) б12 (х8, у8) > О,
698 (х, у) • 628 (х4, у4) > О,
«84 (х, у) - 634 (хь ух) > О,
641 (х, у) • б41 (хъ у2) > О,
612 (х, у) • 612 (х4, у4) > О,
®28 (X, у) • 628 (хъ у,) > О,
684 (*. у) • 684 (х2, у2) > О,
64i (х2, у) • 641 (х8, у8) > 0.
60 =
X — xt
Xj Xt
У —Уг|; i, j =1,2, 3,4.
У/-У/Г '
469. Дан четырехугольник с вершинами в точках А (—4, 0),
В (—2, 8), С (12, О) и D (3, -б). Доказать, что:
а) четырехугольник ABCD выпуклый;
б) точки (1, 3) и М2 (0, 0) принадлежат данному четырехуголь-
нику;
в) точки Л4В (15, 1) и Mt ( —6,1^2) лежат вне его.
470. Записать аналитическую характеристику внутренней области
четырехугольника, заданного координатами своих вершин: (—3, 1),
Д2 (5, -5), Аа (4, 5), Л4 (-3, 3).
471. Точки At (хь у4), ..., Ап(хп, уп) являются вершинами «-уголь-
ника. Сформулировать необходимые и достаточные условия для того,
> чтобы многоугольник А1А2...Ап был выпуклым.
472. Доказать, что в каждом из следующих случаев многоуголь-
ники, заданные координатами своих вершин, являются выпуклыми:
a) At (-4, -6), А2 (4, -5), Аа (7, 2), Д4(2, 8), Д5(-5, 4);
б) At (2, —4), А2 (—3, —12), Аа (3, —16), Д4 (10, —13), Д5 (10, —7),
Де ($> —з). ,
473. В каждом из следующих случаев записать аналитическую
характеристику внутренней области многоугольника, заданного коор-
динатами своих вершин:
a) Ai (4, —8), А2 (9, —2), А (2, 9), Л4(—5, 4), А5 (—4, —6);
б) Лг(—3, —5), Ая(7, 2), Д3(10, —6), Д4(5, —14), Д5(—3, —12).
474. Дан правильный шестиугольник А^А^^Ад, вершины
Аг и А2 которого в данной прямоугольной декартовой системе коор-
динат имеют координаты At (0, 0), А2 (1, 0), а ординаты остальных
вершин положительны. Записать линейные неравенства, характери-
зующие внутреннюю область шестиугольника.
475. Если Mi и М2—две точки выпуклого многоугольника, то
любая внутренняя точка отрезка М2М2 является точкой многоуголь-
ника. Доказать.
476. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки1
(—5, —2), А2 (—2, 5), Д8 (2, 7), Л4(5, 1) и Л5(2, —4). Доказать,
что пятиугольник A1A2AaAiA5 выпуклый, имеет ориентацию, проти-
воположную ориентации, которая определяется системой координат,
и найти его площадь.
62
§ 19. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми1 ч
1. Расстояние от точки до прямой *’
477. Привести к нормальному ваду уравнения следующих пря-
мых: а) 4х 4- Зу 4- 6 = 0; б) х — у — 3 = 0; в) 2х 4- 3 = 0; г) у 4-
+ 1, = 0; д) ±х —|-у —3 = 0; е) * + » у+ 2 = 0. ’
о о у о у 5
478. Найти расстояние от точки до прямой в каждом из следую-
(3 \
—, 3J, 5х—
— 12у — 6 = 0; в) М8 (—3, 4), х 4- 2у 4- 3 = 0; г) Л44 (3, 7),
2х 4- 5 = 0. ц
479. Найти расстояния от точек А (1,Ф), В(—1,‘3) и С (1,6)
до прямой Зх — 4у 4- 1 = 0.
480. Найти длины высот треугольника, стороны которого заданы
уравнениями у — 2 = 0, 2х — у — 12 — 0, 4х — Пу 4- 30 — 0.
481. Написать уравнение окружности с центром в точке Р (6, —3)
и касающейся прямой Зх — 4у — 15 = 0. X; ’ • 4v
482. Найти уравнение окружности, концентрической 'е окруж-
ностью х2 4- у2 — 4х 4- бу — 17 = 0 и касающейся прямой Зх — 4у 4-
4" 7 = 0.
483. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (2, 3)
и (3, 6) и касающейся прямой 2х 4- У — 2 = 0.
484. Найти расстояние между параллельными прямыми в каждом
из следующих случаев:
а) х 4- 3 = 0, б) Зх — у 4- 6 = 0,
х — 5 = 0; 6х — 2у — 1=0;
. в) —Зх 4- 4у 4- 2 = 0, г) х 4- у — 5 = 0,
Зх — 4у 4- 7 = 0; 2х 4- 2у 4- 9 = 0.
485. Вывести формулу для вычисления расстояния между парал-
лельными прямыми Ах 4- By 4- = 0 и Ах 4- By 4- С2 = 0.
Пользуясь полученной формулой, определить расстояние между
прямыми:
а)г3х 4- 4у — 18 = 0 и Зх 4- 4у — 43 = 0;
б) х V у — 6 = 0 и 2х4-2у — 3 = 0;
в) 2х — у 4- 7 = 0 и 2х — у — 1=0.
486. Через точку М (—1, 4) проведена прямая, расстояние кото-
рой до точки Q (—2, —1) равно 5. Составить ее уравнение.
487. Через точку Р (1, 1) провести касательные к окружности,
имеющей центр в точке С (1, —3) и радиус, равный 2]/~2.
1 Во всех задачах этого параграфа предполагается, что иа плоскости дана прямо-
угольная декартова система координат.
63
Z 488. , К окружности, имеющей центр в точке (1,-2) и радиус,
равный 5, провести касательные, параллельные прямой Зх + 4у +
+ 1 -0.
489. В точке А (2, 6), лежащей на окружности (х 4- 2)24- (у — 3)2=
= 25, йровести касательную к данной окружности.
490. Составить уравнения касательных к окружности (х — I)2 -И
+ (У + З)2 = 40, перпендикулярных прямой Зх 4- у — 4 = 0.
491. Составить уравнения окружностей, касающихся прямой
2х — у — 5 = 0, проходящих через точку М (2, 3) й имеющих ра-
диус г = 2]/57
492. Составить уравнения прямых, отстоящих от прямой 4х — Зу —
— 7 = 0 на расстоянии, равном 3.
493. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от
двух параллельных прямых:
а) 2х — 5у + 6 = 0, 2х — 5у — 8 = 0;
б) Зх 4- 5у 4- 8 = 0, Зх 4~ Зу 4~ 2 = 0.
494. На прямой х 4- 2у — 12 = 0 найти точки, равноудаленные
от прямых х + у — 5 = 0 и 7х — у 4- 11 = 0.
495. В каждом из следующих случаев найти уравнения биссектрис
углов, образованных прямыми:
а) х — Зу 4- 2’ = 0 и Зх 4- у — 1 =₽= 0;
б) х 4- 2у 4- 5 = 0 и 4х — 2у — 3 = 0;
в) 1^3 у — х = 12 и Зх 4- 4у — 15 = 0.
496. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми
х 4- 2у — 5 = 0 и Зх — бу 4-2 = 0, в котором лежит начало коор-
динат.
497. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми
2х — у4-7 = 0иЗх — бу — 8 = 0, в котором лежит точка М (1, 2).
498. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образован-
ного прямыми Зх + 4у — 3 = 0 и 5х<4~ 12у 4-6 = 0. 1
499. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образован-
ного прямыми х 4- 2у — 7 = 0 и 4х 4- 2у 4- 3 = 0.
500. Составить уравнения окружностей, касающихся двух дан-
ных прямых Зх 4- 4у — 10 = 0 и 5х — 12у 4- 26 = 0 и имеющих
радиус, равный 5.
501. Составить уравнения окружностей, касающихся двух пере-
секающихся прямых х — 2у 4- 4 = 0, х 4- 2у = 0 и проходящих
через точку М. (1, 0).
502. Составить уравнение окружности, проходящей через точку
(4, —1) и касающейся прямых х — 2у4~4 = 0и2х — у — 8 = 0.
503. Составить уравнения окружностей, касающихся параллель-
ных прямых х — 2у4- 13 = 0их—-2у4-3 = 0и проходящих через
точку (—1, 2).
504. Треугольник АВС задан уравнениями своих сторон:
4х — Зу — 65 = 0, 7х — 24у 4~ 55 = 0 и Зх 4~ 4у — 5 = 0.
64
Составить уравнения биссектрис данного треугольника и найти коор-
динаты точки их пересечения.
505. Найти уравнения биссектрис внутренних углов треугольника,
образованного прямыми у = 0, Зх — 4у = 0, 4х + Зу — 50 — 0.
506. Даны уравнения сторон треугольника х — 2 = 0, у 4~ 3 = 0,
4х -К Зу — 11 =0. Составить уравнения вписанной и вневписанной
окружностей.
2. Угол между прямыми
507. В каждом из следующих случаев найти угол, образованный
Дйумя прямыми, заданными в определенном порядке своими уравне-
ниями (предполагается, что плоскость ориентирована при помощи си-
стемы координат):
а) Зх 4- у — 6 = 0, 2х — у 4- 5 = 0;
б) УЗх— Зу 4- 6 = 0, ]/3 х — у — 5 = 0;
в) х — 2у 4- 1 = 0, 6х + Зу — 2 = 0.
508. Через точку (т-1, 5) провести прямые, наклоненные к прямой
3 3
х — у 4* 3 = 0 под углом, тангенс которого равен: а) — и б)----.
i j 5 5
509. Составить уравнения катетов равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника, зная уравнение гипотенузы Зх — у 4~ 5 = 0 и
вершину прямого угла С (4, —1).
510. Даны уравнение одной из сторон квадрата х 4- Зу — 3 = 0
и точка пересечения диагоналей (—2, 0). Составить уравнения его
диагоналей и остальных сторон. Определить координаты вершин
квадрата.
511. В каждом из следующих случаев показать, что треугольник,
заданный уравнениями своих сторон, является равнобедренным:
а) х 4- 5у 4- 8 = 0, 8х 4- У — 14 = 0, 7х — 4у 4- 17 = 0;
б) х — 2у 4- 6 = 0, х 4* У = 0, 2х — у — 6 = 0;
в) х 4* у — 6 = 0, х — 4у 4- 14 =г= 0, 4х — у — 19 = 0;
г) х 4* У 4* 9 = 0, 4х — 7у 4- 25 = 0, 7х — 4у — 14 = 0.
512. Из точки М (1, —2) к прямой I, заданной уравнением х 4- У —
—1=0, направлен луч света, который достигает ее в точке N, а за-
тем отражается. Написать уравнения прямых, на которых лежат па-
дающий и отраженный лучи, если известно, что tga = 3, где a — угол
между прямыми I и MN (предполагается, что плоскость ориентиро-
вана при помощи системы координат).
513. Луч света направлен по прямой х 4- у 4- 3 = 0. Дойдя до
прямой Зх — у 4- 5 = 0, он отразился. Составить уравнение прямой,
на которой лежит отраженный луч.
514. Даны две вершины треугольника А (1, 3) и В (1, 5) и косинусы
* 1 3
внутренних углов cos А = — и cos В — р==.
3 Заказ 290
,65
Составить уравнения сторон треугольника.
515. Даны уравнения основания равнобедренного треугольника
Зх — у 4- 5 = О и его боковой стороны х 4* 2у — 1—0. Составить
уравнение второй боковой стороны, если она проходит через точку
М (1, —3).
516. Даны уравнения сторон треугольника (АВ) 4х — у 4- 5 = 0,
(ВС) 2х 4- Зу — 1 = 0, (Л С) х 4- у — 3 = 0. Определить тангенсы
его внутренних углов.
517. Даны уравнения сторон треугольника (АВ) 7х — 5у 4- П =
= 0, (ВС) Зх 4~ 2у — 16 = 0, (СЛ) 4х — 7у — 2 = 0. Определить тан-
генсы его внутренних углов и доказать, что ориентация треугольника
АВС противоположна ориентации, определяемой системой координат
Оху.
§ 20. Смешанные задачи на прямую’
518. Вычислить площадь ромба, если известна его вершина
Л( —1, 3), точка Л4 (0, 2), лежащая на стороне АВ, и точка Q (2, 1)
пересечения его диагоналей1 2.
51J9. Даны четыре точки Л (4, —1), В (0, —3), С (—2, 0) и D (8, 1).
На прямой 5х — 2у — 102= 0 найти точку М такую, чтобы треуголь-
ники МАВ и MCD были равновелики (без учета ориентации треуголь-
ника).
520. Даны вершины Л (—1, 4) и В (0.J5) ориентированного тре-
угольника АВС, площадь которого S = —4, и прямая 2х 4~ У — 3 =
= 0, на которой лежит третья вершина С. Составить уравнения сторон
Фреугольйика.
521. Даны две прямые х — 3 = 0 и Зх — у — 3 = 0 и точка
Р (5, 12). Через точку Р провести прямую, отсекающую от данных
прямых треугольник, площадь которого равна 4 (без учета ориентации
треугольника). ,
522. Даны три прямые х — 1 = 0, 2х — Зу 4* 7 = 0 и 2х 4- Зу —
—10 = 0. Составить уравнение прямой, параллельной третьей и от-
секающей от первых двух треугольник, площадь которого равна 6
(без учета ориентации треугольника).
523. Прямая Ах 4- By 4- С = 0, заданная в прямоугольной де-
картовой системе, не проходит через начало координат О и пересекает
оси Ох и Оу соответственно в точках Мг и Л42. Вычислить площадь
ориентированного треугольника A1jM2O.
524. Вычислить площадь ориентированного треугольника, сторо-
ны которого имеют уравнения (ЛВ) 4х — Зу 4- 1 = 0, (ВС) Зх — 8у 4-
4-41 = 0, (СЛ) х 4- 5у — 17 = 0.
1 Во всех задачах этого параграфа, где нет указания о системе координат, пред-
полагается, что она является общей декартовой.
2 В данной задаче предлагается вычислить площадь без учета ориентации
ромба.
66
4
525? Через точку пересечения прямых х — у — О и
5х— у — — — 0 проведена. прямая, касающаяся окружности 10х24-
5
+ Юу2 + 140х + 321 = 0. Составить ее уравнение.
526. Через точку М (2, —5) проведена прямая так, что ее отрезок,
заключенный между прямыми х — у — 1=0 и 2х — у — 18 = 0,
делится в точке М пополам. Составить ее уравнение!
527. Через точку М (7, 5) проведена прямая так, что ее отрезок,
заключенный между прямыми (/0 х 4* 2у — И =0 и (Z8) х — 7у +
4- 34 = 0, делится точкой М в отношении 2:1, считая от прямой /х.
.х Составить ее уравнение.
(528?)Даны уравнения х 4- 2у — 3 = 0, х + у — 2 = 0 двух сто-
ронтреугольника и уравнение 5х 4- бу — 15 = 0 одной из его меди-
ан. .Составить уравнение третьей стороны.
(529?) Даны уравнения двух сторон треугольника 9х 4~ 2у 4* 37 =
' — ОДДВ), 9х 4* Юу 4-6 = 0 (АС) и точка М (—1, —2) пересечения
его медиан. Составить уравнение третьей стороны и найти координаты
вердщн треугольника.
(530?) Даны уравнения х 4- у — 5 = 0, Зх 4~ У — 7 = 0 двух ме-
диан”треугольника и уравнение одной из его сторон 2х 4~ У — 5 = 0.
Составить уравнение двух других сторон треугольника и найти коор-
динаты его вершин.
531. Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну
из его вершин А (3, 0) и уравнения двух медиан 7х— 5у 4- 15 = 0,
4х 4" У 4" б = 0.
532. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если извест-
ны уравнения двух его биссектрис х 4~ 2у — 13 = 0, х — у — 5 = 0
и координаты вершины М (7, 8).
533. Составить уравнения двух прямых, одна из которых проходит
через точку М (—1, 5), а вторая — через точку N (4, 1), зная, что
прямая 2х — 2у 4~ 5 = 0 является биссектрисой одного из углов меж-
ду искомыми прямыми. х
534. Даны уравнения двух сторон треугольника Зх 4- У — 8 = 0,
|х 4~ 2у — 1 =0 и-уравнение одной из его биссектрис х— у 4-2 = 0,
Найти уравнение третьей стороны.
\ 535. Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные сто-
роны которого проходят соответственно через точки (—1, 2) и (0, 6), .
а две другие — через точки (—3, 2) и (—6, 0).
536. Найти множество точек, координаты которых в общей декар-
товой системе координат удовлетворяют уравнению
I 71 4- ДхУ — Ci | 4“ | A2x 4- Z32y 4* Сг | = a,
где a =^0 и =# 0.
537. Найти множество точек,, координаты которых в прямоуголь-
ной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
3*
67
| x • cos ф + у * sir^ ф + Cj | + | — x sin ф +’ у cos ф + C2 | == a,
где ф — некоторый угол и a #= 0. i j;
538. Вывести уравнения высот треугольника, стороны /ъ /2 и73
которого в прямоугольной декартовой системе координат заданы со-
ответственно уравнениями Лхх + В^у + Сг *== 0, А2х 4- В2у + С2 =
= 0, Л8х 4- В.зУ + С8 =0,
539. Вывести уравнения медиан треугольника, стороны llt tt и Z8
которого в общей декартовой системе координат заданы соответствёй-
но уравнениями А^х 4- Вуу 4- Ct = 0, Лах,4- В2у 4- С2 = 0, Аах 4-
4" &ъУ 4- Съ 0.
§ 21. Приложение теории прямой к решению задач
элементарной геометрии
540. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке. '
541. Доказать, что центр S описанной окружности, ортоцентр Н и
центр тяжести G произвольного треугольника лежат на одной прямой
(прямая Эйлера)1.
542. Пусть а и Ь — две произвольные прямые на плоскости,
А, В, С — точки на прямой а и D, Е, F — точки на прямой Ъ. Дока-
зать, что точки пересечения прямых AD и СЕ; BD и CF-, BE и AF ле-
жат на одной прямой (теорема Паппа)2.
543. В плоскости треугольника АВС даиа произвольная точка М.
Построены точки Аъ Ви Clt симметричные с точкой М относительно
середин сторон ВС, С А, АВ треугольника. Доказать, что прямые
ЛЛЪ BBi и CQ пересекаются в одной точке. ,
544. (Теорема Чевы.) Пусть Си AL и Bt — три точки соответствен-
но на прямых АВ, ВС и СА, образующих треугольник АВС. Для того
чтобы прямые ЛЛЪ BBt и ССХ принадлежали одному пучку (т. е.
-пересекались в одной точке или были параллельны друг другу}, необ-
ходимо и достаточно, чтобы
дсх влi ££1^1
АуС в^Л
545. Вычислить расстояние между противоположными сторонами^
ромба, если длины его диагоналей равны 2а и 25.
546. Стороны остроугольного треугольника АВС равны: АВ — 5,
АС = 7 и высота BBL »» 4. Найти длину перпендикуляра, опущенного х
из вершины В на медиану, проведенную из вершины А.
1 Ортоцентром треугольника называется точка пересечения высот; центром тя-
жести является точка пересечения медиан.
2 Здесь предполагается, что все три пары прямых AD и СЕ; BD и CF; BE и AF
соответственно пересекаются в трех различных точках. Предлагаем самостоятельно
сформулировать и доказать теорему Паппа для того случая, когда одна или две из дан-
ных пар прямых не пересекаются.
68
/ 547. Найти множество центров тяжести треугольников, две вер-
шины которых зафиксированы, а третьи вершины лежат на данной
прямой I.
548. Дан треугольник АВС. Найти множество всех точек, принад-
лежащих треугольнику, для каждой из которых сумма расстояний до
сторон АВ и АС равна расстоянию до стороны ВС.
I 549. Даны две перпендикулярные прямые а и Ь, пересекающиеся
е в точке С, и две точки А и В на прямой а. На прямой b берутся пере-
менные точки Р и Q так, что СР — kCQ, где k — некоторое постоян-
ное число. Доказать, что множество точек пересечений прямых АР и
BQ есть прямая.
550. Даны две пересекающиеся прямые lt и 12 и вектор а, не кол-
линеарный прямым и Za. Найти множество точек плоскости, деля-
щих все хорды направления а, заключенные между прямыми ZL и Za,
в отношении X.
551. Даны две прямые а и Ь, пересекающиеся в точке О. Найти
множество четвертых вершин квадратов, первые две вершины кото-
рых лежат на прямой а, а третья — на прямой Ь.
552. Даны две параллельные прямые lt и 12. Найти множество
точек, делящих в одном и том же отношении 1 все отрезки MjM2,
концы которых соответственно лежат на прямых ZL и 12.
553. Даны две пересекающиеся прямые Zj и /а. Найти множество
точек, для каждой из которых отношение расстояния до прямой lt
к расстоянию до прямой 12 равно данному числу X.
554. Две пересекающиеся в точке О прямые /г и 12 пересечены пуч-
ком параллельных прямых. Через концы и М2 отрезка, отсекае-
мого каждой прямой пучка на прямых Zr и Za (Мх € Zj, М2 £ Za),
проведены прямые т1 и т2, перпендикулярные соответственно Zx и
Z3. Найти множество точек М (х, у) пересечения прямых и т2.
555. Две пересекающиеся в точке О прямые Zx и Za пересечены пуч-
ком параллельных прямых {т}. Пусть т1 и tnk — две произвольные
прямые пучка, которые пересекают Z£ в точках At и Ak, a.Z2 — в точ-
ках Bt и Вк. Определить множество всех точек пересечения прямых
_ AiBk и BtAk. ,
\ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ ПЛОСКОСТИ
§ 22. Линейные преобразования.
Собственные векторы и характеристические числа
1. Линейные преобразования векторов
556. Среди указанных ниже функций векторного аргумента вы-
делите те, которые являются преобразованиями векторов1:
1 Преобразованием векторов называется всякая векторная функция от вектор-
ного аргумента.
69
а) Л(х) = (ал)(йх);
б) f2 (x) = 2(ax)+(bx);
в) /8 (х) = | х | а;
г) К (х) = За 4- х\
Д) fs(x) = 3(a + x)x;
е) /в(*) = 1*1;
ж) /, (х) = (ab) х.
Здесь а и b — данные векторы.
557. Какие из преобразований,
записанных ниже, являются ли-
нейными:
a) h (х) = а;
б) /а (х) — X;
в) fa(x)=x + a;
г) /4 (*) = (“ + £) •*; i
з) fs (х) = [(х + а) Ь] (х +а);
и) Д (х) == 2 (Xj — х2) + 3 (хх х2)е2;
Ю /ю (х) — -f- 3x^2?
Д) fs (х) = (ах) b + (ex) d;
e) fe(x) — x + |л|а;
ж) A (x) = (ax) x\
Здесь a, p — данные числа, a, b, c, d — данные векторы, еъ e2 —
базис, a xlt x2 — координаты вектора x в этом базисе.
558. Пусть /j и — пересекающиеся прямые, X — произвольный
вектор, а х'—составляющая этого вектора на прямой по направ-
лению прямой 12 (см. задачу 35). Доказать, что функция xf —F(x)
есть линейное преобразование. Найти ранг р этого преобразования.
559. Прямые lL и /2 расположены на ориентированной плоскости и
взаимно перпендикулярны. Пусть X — произвольный вектор, хг —
его составляющая на прямой /г по направлению 12 (см. задачу 35), а
х’ получен из хх поворотом на 90°. Доказать, что векторная функция
х’ (х) есть линейное преобразование. Найти матрицу этого пре-
образования в прямоугольном декартовом базисе i, J, если векторы
I, j принадлежат /г и l2, J = + 90°.
560. Пусть Oij — прямоугольная декартова система координат
плоскости. Построим несколько векторных функций следующим обра-
зом. Произвольному вектору х (см. рис. 29) поставим в соответствие
вектор х' так, что если х = ОА, то:
а) х' = ОАЪ- где At есть проекция А на ось 01;
б) х' = ОА2, где 0А2 = OAt и вектор ОА% направлен по биссектри-
се угла (i, ОА);
в) х' = ОАд, где ОАа получен из ОА путем отражения от оси 01
с последующим поворотом на угол <р в положительном направлении1;
г) х' — OAt, где ОЛ4 получен из ОА поворотом на угол (I, ОА)
в положительном направлении;
1 Предполагается, что плоскость ориентирована при помощи системы координат.
70
д) х' = 0А&, где 0Аб получен из ОА путем поворота этого век-
тора в положительном направлении до совпадения с направлением
оси Oi.
.Выяснить, какие из этих функций являются линейными преобра-
зованиями. Написать матрицы этих преобразований в базисе i, J.
561. Дана векторная функция А (х) — <р (х) р—х, где р—
постоянный вектор, а <р (X) — скалярная линейная функция от век-
торного аргумента, причем если/Г#=0, то ф(р)=/=1. Доказать, что
Л (х) — невырожденное линейное преобразование.
562. Доказать следующие предложения:
а) при всяком линейном преобразовании векторов их линейная за-
висимость сохраняется;
б) при всяком невырожденном линейном преобразовании линейно
независимые векторы переходят в линейно независимые векторы.
2. Координатное задание линейного преобразования
563. Линейное преобразование в базисе elt е2 задано формулами
х'- •= 2х —• у, у' = х 4- Зу. Найти:
• а) образы базисных векторов е2;
б) прообразы базисных векторов еи е2;
в) образы векторов а{3, 1}, &{4, —2}, с{2, 1};
г) прообразы векторов а'{1, 4}, &'{2, 1}, с'{3,—2}.
564. Линейное преобразование в данном базисе задано матрицей
jj. Найти образы векторов «,{1,1}, а.2 {3, 5}, ав {—4,0},
а4 {3, —6}, а5{1, 3} при этом преобразовании.
565. Векторы а, b и а', Ь' заданы своими координатами в базисе
elt е2. В каждом из следующих случаев записать координатное зада-
ние линейного преобразования, которое векторы а, b переводит соот-
ветственно в векторы а', Ь':
а)‘л {1, 1}, Ь {О, 1}, а' {—3, 4}, Ь' {—5, 3};
б) а {—2, 3}, b {1, 4}, а' {—8, —11}, Ь' {—7, II};
в) а {2, —1}, b {1, 3} b а' {—4, 1}, Ь' {—2, 4};
г) а {5, 3}, b {—1, —2} b а' {12, —10}, Ь' {—1, 2};
д) а {1, 2}, Ь {0, 1} b а' {0, 1}, b' {1, 1}.
Записать матрицы этих преобразований.
566. Записать координатное задание линейного преобразования,
которое векторы а {2, 1}, Ь {5, 3} переводит в один и тот же вектор
с {1, 3}.
567. Записать матрицу линейного преобразования, которое векто-
ры а {2, 1} и b {1, 1} переводит в один и тот же вектор с {3, 3}.
71
568. Выяснить» какие из следующих линейных преобразований,
заданных в прямоугольном декартовом базисе, являются симметриче-,
скими1: >«
а) х' = 2х + Зу, у' = — 7х + у; б) х'= —Зх + 5у, у' = 5х—у;
в) х' <= у, у’ — х; г) х' = у, у' = — х;
д) х" = Зх, у' = 5у.
569. Базисные векторы е1г ez общего декартового базиса удовлет-
воряют условиям = 1, erea = — 2, eaea = 4. Выяснить, какие -
из преобразований, заданных в базисе elt еа следующими матрицами:
°>Q-1И U ?); (f r> (‘
являются симметрическими.
570. Линейное преобразование в данном базисе имеет матрицу
. Доказать, что при этом преобразовании множество образов всех'
векторов плоскости образует одномерное векторное подпространство.
571. В базисе elt ez задано вырожденное линейное преобразова-
з
ние х' = — х — 4у, у' = —Зх + 8у. Найти множество В всех векто-
ров плоскости, которые переходят в один и тот же вектор а{—1, 2)7
572. Пусть А — линейное преобразование ранга один. Доказать,
что множество всех векторов, удовлетворяющих условию А (х) = 0,
образует одномерное векторное подпространство.
573. Пусть А (х) — линейное преобразование ранга один, а а —
данный ненулевой вектор. Найти множество В всех векторов х пло-
скости, удовлетворяющих условию A (jt) — а.
3. Собственные векторы н характеристические числа
574. Найти собственные векторы и характеристические числа ли-
нейных преобразований, заданных матрицами в данном базисе:
ai ( 9 ~3Y 6i (2 Ц- в1 /3 -3Y rl /4 Ц
а> (—3 1J’ б> —1)’ В) U —б)’ Г) (О 4/
575. Найти собственные векторы линейного преобразования в
каждом из следующих случаев:
а) х' = 2х —Зу, у' = Зх + 2у; б) х' = 2х, у' == 2у; в) х' = х —
— Зу, у' — 5х — 2у.
576. Найти собственные векторы и характеристические числа
линейного преобразования
х' — <р (х) р — х,
1 Линейное преобразование А называется симметрическим, если для любых век-
торов х и у хА (у) = у А (х), где хА (у) и у А (х) — скалярные произведения.
72
где р— постоянный вектор, а ф (х) скалярная линейная функция
от векторного аргумента, причем если р =/= О, то ф (р) =/= 1 (см. за-
дачу 561). v
577. Доказать, что линейное преобразование имеет бесчисленное
множество собственных направлений тогда и только тогда, когда его
матрица в любом базисе имеет вид:
/X 0\
\0 X/.
578. Показать, что если линейное преобразование имеет единствен-
ное собственное направление с характеристическим числом X, то
надлежащим выбором базиса его матрицу можно привести к виду:
/X 1\
\0 X/.
579. Доказать, что если линейное преобразование не имеет ни од-
ного собственного направления, то надлежащим выбором системы
координат матрицу можно привести к виду:
/ а ₽\
\—р а/,
где Р #= 0.
580. Показать, что если и е2 — собственные векторы линейного
преобразования, соответствующие" характеристическим числам Хх и
Х2, то в базисе elt е2 преобразование имеет матрицу
о\
W К)-
4. Изменение матрицы линейного преобразования
при изменении базиса
581. Как изменяется матрица линейного преобразования, еслц
поменять местами базисные векторы, т. е. за новые базисные векторы
принять et — е2, е'й — ег.
582. Пусть невырожденное линейное преобразование в базисе
elt е2 имеет координатное задание:
х' = altx 4- <г12у, у' — а21х 4- о22у; д =
аН а12 =/=0.
«21 «22
Доказать, что если S— площадь ориентированного параллело-
грамма, построенного на векторах a, b, aS' — площадь ориентиро-
ванного параллелограмма, построенного на образах а' и Ь' этих век-
торов, то S' = А • S.
583. Пусть невырожденное линейное преобразование в базисе
е2 имеет координатное задание:
х’ = апх 4- «12у, у' = а21х 4- а22у; А = И11 #=0.
| «21 «221
73
Доказать, что если А > 0, то любой базис а, Ь переходит в базис а',
имеющий ту же ориентацию, что и а, Ь, а если А < 0 — противо?
положную ориентацию.
584. Пусть линейное преобразование А в базисах еъ еа и вь 02
имеет соответственно матрицы '
1аи й12\ й / ап 012\
\О21 О22/ \О21 0,22]
Показать, что если
f Ci = CjiCj +с21е2, и | et = dite^ 4- d2102,,
I 02 = ^12^1 + ^22^2 I ^2 = ^12^1 4" ^22^2»
TO
/ Oil 012^ —. /^11 (а11 й12^ (^11 ^12^
\O21 022/ \d2i ^22/ \°21 a22/ \C21 C22/
Пользуясь этой формулой, проверить результат задачи 581.
585. Векторы нового базиса е'1г е'2 выражаются через векторы
старого базиса 0Ь е2 при помощи соотношений е' = ех — 02, е2 =
= — 2ех + Зе2. В каждом из следующих случаев найти матрицу
линейного преобразования в базисе 0,, 0', если матрица того же
преобразования в базисе elt е2 имеет вид:
586. Показать, что линейные преобразования Л и В, заданные
соответственно в базисах 0Х, е2 и е', 0' матрицами
/17 — 6\ и /14 —60\
\45 — 16/ 1, 3 —13/’
совпадают, если е\ = — е2, е2 = 2ег + Юе2.
587. В базисе ех, 02 линейные преобразования заданы матрицами:
Найти матрицы тех же преобразований в базисе е2, ег.
§ 23. Сумма и произведение линейных преобразований.
Обратное преобразование
588. Пусть Л и В — линейные преобразования, а X — некоторое
число. Показать, что векторные функции (р (х) = Л (х) + В (х) и
ф (х) = ХЛ (х) являются линейными преобразованиями. Зная мат-
рицы линейных преобразований Л и В в некотором базисе, определить
матрицы преобразований <р (х) и ф (х) в том же базисе.
74
589. Пусть линейные преобразования Л и В в некотором базисе
имеют матрицы
/2 В /3 — П
V|/2 ЗГ V2 О/*
Найти в том же базисе матрицы следующих линейных преобразований:
а) А + В; б) ЗА; в) 2Л — ЗВ.
590. Пусть преобразования А, В и С имеют соответственно матри-
цы
/2 0\ /О П II —1\
U 3)’ \2 5/ V) 3J-
Вычислить матрицы преобразований: а) АВ; б) ВА; в) ВС; г) АВС.
591. Пусть в некотором базисе преобразования А и В имеют соот-
ветственно матрицы
Вычислить в том же базисе матрицы преобразований АВ и ВА.
592. Доказать, что линейное преобразование Н, рассмотренное
в задаче 559, удовлетворяет условию Н2 ~ 0. Здесь 0 — нулевое
преобразование.
593. Пусть линейные преобразования Л и В в базисе еи имеют
соответственно матрицы
/au а12\ lbu fe12\
\°21 а22/ W21 ^22/
Показать,, что преобразование АВ имеет матрицу <
/+ О12Ь21 011^12 4" й12^2з\
4" а22^21 а21^12 4" а22^22/
594. Пусть линейные преобразования в данном базисе имеют мат-
рицы
Выяснить, существуют ли преобразования, обратные данным.
В тех случаях, когда они существуют, найти их матрицы.
595. Пусть А и В — линейные преобразования. В предположении,
что АВ — В А, доказать следующие соотношения:
а) (Л + В)2 = Л2 + 2ЛВ 4- В2;
б) (Л + В)3 = Л3 4- ЗЛ2 В 4- ЗАВ2 + В3.
Записать аналогичные формулы в предположении, что ЛВ #= ВЛ.
596. Показать, что на плоскости не существует линейных пре-
образований Л и В, удовлетворяющих условию АВ — ВА = Е.
76
597. Пусть линейные преобразования Л й В в некотором базисе
имеют соответственно матрицы ।
/1 и /созф —sin ф\ *•
[О 1J \sin ф созф/‘
Найти в том же базисе матрицы преобразований Л" = Л Л ... Л,-
В" = ВВ ... В. Здесь произведения имеют п сомножителей.
598. Пусть рА, рв, рл+в, ркл —соответственно ранги линейн£&
преобразований А, В, А + В, ХЛ, где А Ф 0. Доказать, что .
Рл+в < Рл + Рв и Рлд = Рл-
599. Пусть et, е2; аъ а2 и blt b2 — три произвольных базиса.
Рассмотрим преобразование А, при котором е1г е2 переходят соот-
ветственно в alt аг\ преобразование В, при котором elt е2 переходят
в Ьи Ь2, и преобразование С, при котором а1г а2 переходят в &х, &2.
Доказать, что С = ВЛ-1.
600. Пусть Л, В и С — линейные преобразования. Показать, что:
а) если В-1 = Л-1, то В = Л;
б) если С-1= Л, Л-1 = В, то В = С.
601. Пусть Л — линейное преобразование. Доказать, что Л2 — 0
тогда и только тогда, когда его матрица в данном базисе "Имеет вид:
Здесь а, Ь и с — числа, удовлетворяющие условию о2 + Ьс =
= 0.
602. Пусть линейное преобразование Л в некотором базисе имеет
матрицу Найти преобразование X, удовлетворяющее условию
ХА = 0, где 0 — нулевое преобразование. Исследовать это уравне-
ние.
§ 24. Ортогональные преобразования
и преобразования подобия
В настоящем параграфе приняты следующие терминология и обо-
значения1. Линейное преобразование х' — D (х) называется ортого-
нальным, если для любого вектора х имеем: | х| = | D (х) |.
Имеются следующие четыре вида ортогональных преобразований:
Г. Тождественное преобразование х' = Е (х) = х.
2°. Преобразование отражения х' = Г_г (х) — — х.
3°. Преобразование вращения х’ = V9 (х), где И означает
поворот вектора х вокруг любой точки ориентированной плоскости
на угол ф(ф^0иф#=л).
1 В этом параграфе всюду предполагается, что данный базис является прямо-
угольным декартовым,
76
А°. Преобразование симметрии относительно ненулевого вектора
е1( именно х' = 5е (х). Это преобразование определяется так. Пусть
х — произвольный вектор. Возьмем произвольную точку Мо плос-
кости и обозначим через Е и М точки, удовлетворяющие условиям
М0Е == е, М0М — х. Тогда X’ = М0М', где М' —точка, симмет-
ричная М относительно прямой М0Е. Важно отметить, что преобразо-
ваниями Г, 2°, 3° и 4° исчерпываются все виды ортогональных преобра-
зований плоскости.
При решении задач на преобразования часто используется следую-
щая теорема.
Теорема 1. Нетождественное ортогональное преобразование
является:
а) преобразованием вращения V9) если оно не имеет действитель-
ных характеристических чисел;
б) преобразованием отражения Г_х, если оно имеет единственное
характеристическое число Хо = —1;
в) преобразованием симметрии Se, если оно имеет характеристи-
ческие числа = 1 и Х2 — —1.
Линейное преобразование П (х) называется п р е о б р а з.о в а-
нием подобия, если оно может быть представлено в виде:
П(х) = k D(x), где D(x) — ортогональное преобразование, a k —
положительное число. Число k называется коэффициентом подобия,
a D(x) — ортогональным преобразованием данного преобразования
подобия. При k = 1 преобразование подобия будет ортогональным.
В дополнение к ортогональным преобразованиям рассмотрим сле-
дующие преобразования подобия:
5°. Преобразование гомотетии х' = Гй (х) — kx, где А =/= О и
k=£ 1. При k = —1 получаем преобразование отражения Г„г.
6°. Преобразование центрально-подобного вращения х' — kV^x),
гДе Л>0. При k — 1 получаем преобразование вращения Уф.
7°. Преобразование центрально-подобной симметрии х' — kSe (х),
где k > 0 и k ф 1.
Важно отметить, что преобразованиями Г, 4°, 5°, 6° и 7° исчерпы-
ваются все виды преобразования подобия.
Имеет место теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Нетождественное преобразование подобия являет-
ся:
а) преобразованием центрально-подобного вращения, если оно не
имеет действительных характеристических чисел;
б) преобразованием гомотетии Гй, если оно имеет единственное
характеристическое число k 0;
в) преобразованием симметрии, если оно имеет характеристические
числа = 1 и — —1;
г) преобразованием центрально-подобной симметрии, если оно
имеет характеристические числа = k и Аа = — k, причем k > 0
и k =£ 1.
77
1. Координатное задание преобразования подобия
603. Выяснить, какие из преобразований, заданных следующими
матрицами, являются: 1) ортогональными; 2) преобразованиями по-
добия:
604. Записать координатное задание следующих преобразований
векторов: а) вращение на угол —; б) вращение на угол ——; в) враще-
ние на угол г) отражение Г_г.
605. В каждом из следующих случаев записать координатное зада-
ние преобразования симметрии Se относительно вектора е, если этот
вектор в данном базисе имеет координаты: а) ^{1, 0}; б) еа{0, 1};
в) е8{1, 1}; г) ей{1, -1}; д) е5{]/3, 1). „
606. В базисе I, J да» вектор а (а, р}. Составить координатное
задание преобразования симметрии Sa. Пользуясь полученными фор-
мулами, проверить результаты задачи 605.
607. Доказать, что преобразование, заданное в данном базисе
формулами
,4 3 , 3 4
л<= — х-----у, у —------х-----у,
5 5 У * 5 5 Л
является преобразованием симметрии Se. Определить направление
вектора е.
608. Записать координатное задание центрально-подобной симмет-
рии kSe в каждом из следующих случаев: a) Ai = 3, еД!, 0}; б) k2—
•= 4, е2 {1, 1}; в) ks = 25, е3 {7, 1}.
609. Записать координатное задание центрально-подобного вра-
щения kV9 в каждом из следующих случаев: a) k = у 2, <р = —;
б) k = 4, ф = р в) k = -j-, ф = — р г) k = /8, ф = — -|я.
610. В каждом из следующих случаев выяснить вид преобразова-
ния, заданного координатным способом: а) х' — Зх — 4у, у' =
=» — 4х — Зу; б) х' = —у, у' — — х.
78
611. Показать, что преобразования, заданные следующими мат-
рицами, являются преобразованиями подобия, и найти вид каждого
«о
— —\
5 5 1
3 4/’
5 5'
из этих преобразований: а)
0 — 5/
г)
3—4'
— 4 —3
612. В каждом из следующих случаев записать координатное зада-
ние преобразования подобия, которое базисные векторы переводит
соответственно в векторы: а) «^{О, 5}, —5, 0}; б) а2{3, —]/3},
-3}; в) а3{2, 2}, &3{-2, 2}; г) «Л * -В,
|__12 '£1
&4| 13’ 13J'
Выяснить характер этих преобразований.
613. В каждом из следующих случаев записать координатное зада-
ние и установить вид ортогонального преобразования, которое базис-
ные векторы Z, j переводит соответственно в векторы: a) ax{— 1, 0),
-О; б) а2{^~, -Н М-р в> аз{0, 1},
h f < 0V rt a I bl 1
M—1, 0}, r)a4|—2“, —y-j, 04|-------—’ ~2~J’
614. Найти линейное преобразование векторов, которое базисный
вектор I переводит в вектор а
( 1 3 1
М Vet' Кб")
2 11 ' Л
р=-, —grj,aвектор р{\, 1} — в вектор
615. Доказать, что если нетождественное линейное преобразование
имеет три попарно неколлинеарных собственных вектора, то оно яй-
ляется преобразованием гомотетии.
616. Пользуясь координатным заданием преобразования движе-
ния, вывести тригонометрические соотношения
cos (фх ± <pg) — cos cos <р2 sin sin ф2,
sin (tpj ± ф2) == sin Ф1 cos ф2 ± cos фх sin ф2.
2. Произведение преобразований
617. В каждом из следующих случаев определить вид преобразова-
ния1: a)SeV(J.; б) Здесь Se, Уф, Г_х являются соответственно
преобразованиями симметрии относительно вектора е, вращения на
угол ф и отражения.
1 Запись Se означает, что сначала выполняется преобразование а потом
Se. Во всех последующих задачах для обозначения произведения преобразований
мы пользуемся аналогичной записью.
79
618. Даны преобразования гомотетии Гй и симметрии 5е отно-
сительно вектора е. Найти произведение Гй8е и доказать, что оно не
зависит от порядка сомножителей.
619. Даны два преобразования симметрии Sm и Se относительно
векторов т и е. Найти преобразования SmSe и SeSm и показать,
что они, вообще говоря, не совпадают. При каком условииSOTSe=SeSm?
620. Пусть А == Vю, В — V_. Доказать, что:
VI 4^2
а) АВ — Е, если <рх + фа — 0»
б) АВ = Г_х, если ф1 + ф2 = л или фх + ф2 = — л;
в) АВ = в остальных случаях.
621. Пусть А = кГк, В == IVС — tnSe, где k, I, т — поло- •
жительные числа, отличные от 1. Выяснить, к какому из типов пре-
образований подобия принадлежат произведения АВ, АС, ВС.
622. Пусть й — множество всех невырожденных линейных пре-
образований векторов плоскости. Показать, что:
а) множество й является группой относительно операции произ-
ведения преобразований; . ,
б) подмножество всех ортогональных преобразований векторов
плоскости образует подгруппу группы й;
в) подмножество всех преобразований подобия образует подгруп-
пу группы й и содержит подгруппу ортогональных преобразований.
623. Показать, что:
а) множество, состоящее из всех преобразований гомотетии Гь и ’
тождественного преобразования, образует группу;
б) множество, состоящее из двух элементов — тождественного
преобразования и преобразования Se, при фиксированном векторе е
образует группу.
Глава V
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
§ 25. Отображения точек плоскости. Аффинные
преобразования
Взаимно однозначное отображение точек плоскости называется
аффинным преобразованием, если оно сохраняет кол-
линеарность-точек. Пусть М' = /7(Л1) —данное аффинное преобра-
зование. Векторное преобразование х’ = П(х) называется ассоци-
ированным с ним, если для любых двух точек и М2 и их
образов и М'2 выполняется условие А1^Л4' = П (Мг Л12). Век-
торное преобразование, ассоциированное с данным аффинным
80
преобразованием, является невырожденным линейным преобразованием
„векторов. Аффинное преобразование вместе с ассоциированным век-
торным преобразованием называется аффинным преобра-
зованием плоскости. Собственные векторы и характери-
стические числа ассоциированного преобразования называются соб-
ственными векторами и характеристическими числами аффинного
.'.преобразования.
При решении задач часто используется следующая теорема:
Теорема. Если Л-lj и Л12 — произвольные точки плоскости, а
П — произвольное невырожденное линейное векторное преобразова-
ние, то существует одно и только одно аффинное преобразование,
которое индуцирует П и точку Mt переводит в точку М2.
Из этой теоремы следует, что, каковы бы ни были две общие декар-
товы системы координат Ое^ и О'е^, существует одно и только
одно аффинное преобразование, которое систему Ое^ переводит в
систему О'е'е'2.
1. Координатное задание отображений точек
624. В прямоугольной декартовой системе координат дана прямая
х — 2у = 0. Записать координатное задание отображения, при кото-
ром каждая точка плоскости переходит в свою ортогональную проек-
цию на данную прямую. Является ли это соответствие аффинным
преобразованием?
625. На плоскости дана прямоугольная декартова система коор-
динат Oij. Каждой точке М плоскости ставится в соответствие точка
М' так, что ММ’ = i | ОМ |. Написать координатное задание этого
соответствия и выяснить, является ли данное соответствие аффинным
преобразованием.
626. Дано отображение инверсии с центром в точке С и степенью г2.
Найти область определения и область значений этого отображения и
написать его координатное задание в прямоугольной декартовой си-
стеме координат, относительно .которой точка С имеет координаты
(х0, Уо)- Пользуясь координатным заданием инверсии, показать, что
данное отображение является инверсным1.
627. Пусть 10 — некоторая прямая, a k — данное положительное
число. Каждой точке М, не лежащей на прямой 10, поставим в соот-
ветствие точку М' так, чтобы М и М' лежали по одну сторону от
прямой /0 на одном перпендикуляре к ней и СМ • СМ' — k, где С —
точка пересечения прямых ММ' и /0. Это отображение называется
гиперболической инверсией с осью 10 и степенью k.
Найти области определения и значений гиперболической инверсии.
Написать его координатное задание, если прямоугольная декартова
1 Отображение точек М' = л(М) называется инверсным, если для произвольной
точки ^ удовлетворяется условие М — л(л(7И)). ’
81
система координат Оху выбрана так, что ось Ох совпадает с прямой Zo.
Пользуясь полученными формулами, показать, что данное соответст-
вие является инверсным1.
628. Пусть /0 — прямая, ар — нулевой вектор, не принадлежа-
щий этой прямой. Каждой точке М плоскости, не лежащей на /о, по-
ставим в соответствие точку М' так, чтобы вектор р принадлежал
прямой ММ', а середина отрезка ММ' лежала на прямой 10. Каждой
точке прямой 10 поставим в соответствие ту же точку. Это отображение
называется косой симметрией с осью /0 и направлением р.
Показать, что косая симметрия является аффинным инверсным пре-
образованием1.
629. Пусть Ми ..., Мй — фиксированные точки плоскости, a k,
ти .... mh — данные числа, причем Л #= 0. Каждой точке М ставится
в соответствие точка М' так, что
k ММ’ = т1Ш1 4- ... + mkMMk.
Доказать, что при k тг + ... + тк данное отображение яв-
ляется аффинным преобразованием. Выяснить характер этого отобра-
жения при k = тг + ... + mk. ‘ *
630. Выяснить, какие из нижеприведенных отображений, задан-
ных координауно в системе Ое^а, являются аффинными преобразо-
ваниями:
а) х' — х, у’ = 2у;
3
б) х = — х — у, у == — Зх + 2у;
в) х' = у, у’ = х;
г) х' — х, у' = х + у2;
д) х' = 2х + у, у’ = 2х — у + 2.
2. Координатное задание аффинных преобразований
631. В общей декартовой системе координат дана координатная
запись аффинного преобразования:
х' — 2х — у + 1, у' — х + Зу.
Найти:
а) образы следующих точек и векторов: О (0, 0), Mt (— 1, 2),
М8(3, —7), М8(1, —5), лг{—3, 2}, а2 {2, 2}, as {5, 3}, а4{—1, 0};
б) прообразы следующих точек и векторов: (0, 10), М'2 (2, 4),
м; (-6, 7), м; (2, -3); а\ {2, 1), а2{-1, 3), а‘3 {4, -5}, <{-8, 3}.
632. В общей декартовой системе координат аффинное преобразо-
вание задано формулами
1 См. сноску на стр. 81.
82
х' = х — Зу + 2, у' = 2х + у — 3.
Найти:
а) образы прямых: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) 7х + 7у + 2 = 0;
4) 2х + у — 2 = 0;
б) прообразы прямых: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) 4х + 9у — 14 = 0;
4) Зх — 2у + 1 = 0.
633. В системе координат Ое^ записать координатное задание
параллельного переноса, определяемого вектором а{1, —2}. При этом
преобразовании определить: а) образ начала координат; б) образы
координатных векторов и е2; в) образы осей координат.
634. В системе координат Ое^ записать координатное задание
•гомотетии с центром в точке С (х0, у0) и коэффициентом k. При этом
преобразовании:
а) найти образы начала координат и координатных векторов Cj
и еа;
б) написать уравнения образов координатных осей.
635. В каждом из следующих случаев в системе 0еге2 записать
координатное задание аффинного преобразования, заданного матрицей
ассоциированного линейного преобразования и парой соответственных
точек1 Л40 и М'^.
а) (2 и Мо(1, 0), М'(3, 8);
б) (? А) иМо(О, 0), Л1;(-5, 0);
в) (3 5) и 4(5i м,(19> 9).
636. Написать аналитическое задание аффинного преобразования,
которое три данные точки А (1, 0), В (—2, 1), С ( —1, —1) переводит
соответственно в точки:
а) А' (3, 1), В’ (—4, —5), С (0, 2);
б) А’ (0, 2), В' (1, —4), С (—1, —2).
637. В системе Ое^е* записать координатное задание аффинного
преобразования, при котором:
а) точка Л40(0, 1) переходит в точку М'о (—3, 3), а векторы
{1, 2} и а2 {1,0}—соответственно в векторы в, {—7,—2} и
«2 <1. -2);
б) точка Л1о (1, 1) переходит в точку М'о (7, 2), а векторы
вх {2, 0} и а2 {0, 3} — в векторы а\ {6, 2} и а\ {12, 3}.
638. Пусть Ое^е2 — общая декартова система координат, a и
Е2 — точки, удовлетворяющие условиям ОЕХ = еъ ОЁ2 = е2.
Написать координатное задание аффинного преобразования, кото-
рое точки О, Еъ Е3 переводит соответственно в точки Elt Е2, О.
1 См. теорему на стр. 81,
83
639. Прямая в общей декартовой системе координат задана урав-
нением Ах + By + С — 0. Показать, что ее образ в той же системе
координат при аффинном преобразовании х' — апх + а12у 4- х0,
у' = aslx + а28у + у0 имеет уравнение
«И й12 %0------Х
а21 °аа У о — У
А В - С
я» 0г
Пользуясь этой формулой, проверить результат задачи 632.
3. Неподвижные точки и инвариантные направления
640. Найти собственные направления следующих преобразований/
заданных в общей декартовой системе Ое^:
а) (х' ~ х + у + 3,
\У’ = у— 1;
в) (х — Зх — 1,
1у' = Зу 4- 2;
б) (х' — 2х + Зу — 1,
|у' в —х + 4у + 5;
г) х' — 2х + 2у + 3,
у* == х 4" Зу 4~ 3.
641. Определить неподвижные точки следующих аффинных пре-
образований:
а) (х' = 4х 4- у — 4, б) (х’ — Зх — Зу 4- 1,
|у' = х 4* 2у — 2; (у' = 4х — 5у + 2;
в) (х' — 2х — Зу 4- 1,
\у" — 2х — 5у.
642. Найти неподвижные точки н инвариантные прямые следую-
щих аффинных преобразований1:
а) (х' — 2х + Зу, б) (х' — х + Зу, в) (х' = х 4- 3,
|у' = —Зх 2у, |у' = у; |у' = 2х — у 4- 1.
643. В данной системе координат записать координатное задание
аффинного преобразования, которое начало координат переводит в
точку (3, 2) и все точки прямой Зх 4* 4у 4- 1 = 0 оставляет неподвиж-
ными.
644. Пусть АВС—произвольный треугольник. Определить харак-
тер и найти неподвижные точки и инвариантные прямые аффинного
преобразования, при котором точки А, В, С переходят соответственно
в точки В, А, С.
645. Пусть АВС — произвольный треугольник, а П — аффинное
преобразование, при котором точки А, В и С переходят соответствен-
но в точки В, С, Д. а) Доказать, что П имеет одну неподвижную точ-
ку, и выяснить, как она расположена по отношению к треугольнику
1 Прямая I называется инвариантной, если ее образ Г совпадает с I, но не все ее
точки являются неподвижными.
84
ABC-, б) показать, что преобразование П не имеет инвариантных на-
правлений и инвариантных прямых.
’ 646. Доказать, что любое аффинное преобразование имеет по
крайней мере одну неподвижную точку или одно инвариантное на-
правление.
647. Написать общий вид координатного задания аффинного пре-
образования, для" которого все Прямые направления оси Ох являются
инвариантными или целиком состоят из неподвижных точек.
648. Написать общий вид координатного задания аффинного пре-
образования, для которого оси координат являются инвариантными
прямыми и которое не имеет других инвариантных прямых или пря-
мых, состоящих из неподвижных точек. Найти неподвижные точки
преобразования.
4. Изменение площадей при аффинных преобразованиях
649. Пусть аффинное преобразование в некоторой системе коорди-
нат задано уравнениями
х' = аи х + а12 у 4- х0, д = I
/ = а21 х + «22 у + у0; а21а22 ]•
Доказать, что если S — площадь данного ориентированного тре-
угольника, aS' — площадь его образа, то S' = Д • S.
650. Доказать, что при любом аффинном преобразовании отноше-
ние площадей двух ориентированных треугольников сохраняется.
651. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат сторо-
ны ориентированного треугольника М1МйМъ заданы уравнениями;
1) А1Х + Вху + С, = 0 (М2 М3); 2) Л2х + В2у + С2 = 0 (M3
3) Л8х Bsy -j- С3 = 0 (Мг М2).
Пользуясь теорией аффинных преобразований, доказать, что
площадь треугольника М1М2М3 вычисляется по формуле
А АСХ а
Л2В2Л2
J_______А3В3С3________
2 I А]А2 | Л2Л3 I IА3А11
I ^1^2 IВ2В31 I В3Вг j
§ 26. Преобразования подобия и движения
Наиболее важными частными случаями аффинных преобразований
являются преобразования подобия и движения. Отображение точек
плоскости называется преобразованием подобия, если
для любых различных точек и М2 и их образов Л1' и М'2 выпол-
няется условие /И' М'2 — kMlM2, где k > 0. Число k называется
65
к о эф фициентом/ подобия. Если k = 1, то преобразова-
ние подобия называется движением. Векторное преобразова-
ние, ассоциированное с данным преобразованием подобия, является
преобразованием подобия. Векторное преобразование, ассоциированное
с данным движением, является ортогональным преобразованием. При
решении задач часто используется следующая теорема.
Теорема 1. Если Mt и ТИ2—произвольные точки плоскости, а
77 —• произвольное векторное преобразование подобия (ортогональное
преобразование), то существует одно и только одно точечное преобра-
зование подобия (движение), которое индуцирует 77 и точку пе-
реводит в точку Л12.
Основными видами преобразований подобия являются следующие
преобр азования.
Г. Тождественное преобразование, т. е. пре-
образование, при котором каждая точка переходит сама в себя.
2°. Параллельный перенос, определяемый вектором
а0, где а0 ¥= 0. При этом преобразовании точка М переходит в точку
М', определяемую условием ТИТИ' = ай.
3°. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом А, где
А ф 0 и А ф 1. При этом преобразовании точка ТИ переходит в точку
ТИ', определяемую условием ОТИ' = ЛОТИ. При % = —1 преобразова-
ние называется центральной симметрией.
4°. Центральн о-п одобное вращение с центром О,
углом поворота <р и коэффициентом k, где ф 0, ф л и k > 0. При
этом преобразовании каждая точка ТИ плоскости переходит в точку М'
так, что -4 МОМ' == ф и ОТИ' — kOM. При k — I преобразование
называется вращением.
5°. Осевая симметрия с осью I. При этом преобразова-
нии каждая точка ТИ переходит в точку ТИ', симметричную ТИ отно-
сительно прямой I. Осевая симметрия является движением.
6°. Скользящая симметрия с осью I и. вектором па-
раллельного переноса а0, где а0 принадлежит I. Это преобразование
является произведением осевой симметрии с осью I на параллельный
перенос, определяемый вектором а0. Скользящая симметрия является
движением.
7°. Центральн о-п одобная симметрия с осью I,
центром О и коэффициентом k, где О принадлежит I и k > 0, k ф 1.
При этом преобразовании точка ТИ переходит в точку ТИ' так, чтобы
ОТИ' = ТгОТИ и лучи ОТИ и ОТИ' были симметричны относительно пря-
мой I.
Важно отметить, что этими семью преобразованиями исчерпываются
все преобразования подобия; преобразованиями 1°, 2°, 3° (при А = —1),
4° (при k = 1), 5° и 6° исчерпываются все виды движений плос-
кости.
Следующая теорема часто используется при решении задач.
€6
z Део p ем a 2. Всякое точечное преобразование, ассоциирован-
ное с векторным преобразованием:
а) Е является тождественным преобразованием или параллельным
переносом1;
б) Гх является гомотетией с коэффициентом А; при X = —1 оно
. является центральной симметрией;
в) kV^ является центрально-подобным вращением с углом пово*
рота ф й коэффициентом k; при k — 1 оно является вращением;
г) Se является осевой симметрией или скользящей симметрией с
осью, содержащей вектор е;
д) kSe является центрально-подобной симметрией с коэффициен-
» том k и с осью, содержащей вектор е (k Ф 1).
1. Координатное задание преобразовании подобия и движении
652. В данной прямоугольной декартовой системе координат за-
писать аналитическое задание преобразования параллельного пере-
носа, определяемого векторами: а) ах{—3, 5}; б) аа {1, 7}; в) аа{—1, 4};
г) «4 {0, —6}.
653. В данной прямоугольной декартовой системе координат за-
писать аналитическое задание центральной симметрии с центром в
следующих точках: а) (1, 3); б) Са (—2, 5); в) С8 (—2, 0); г) С4(0, 3).
654. В каждом из следующих случаев записать в прямоугольной
декартовой системе координат координатное задание вращения с цент-
ром в точке С на угол ф: а) Сх (0, 0), фх = —; б) Са (—1, 3), фа =
6
= -f; в) С8 (2, —1), Фз = у.
655. В каждом из следующих случаев записать координатное зада-
ние осевой симметрии, ось которой в прямоугольной декартовой си-
стеме координат имеет уравнение: а) х — у = 0; б) х — у + 4 = 0;
в) Зх + 4у — 10 = 0; г) 5х — 12у — 27 = 0.
656. В прямоугольной декартовой системе координат записать
координатное задание скользящей симметрии с осью I и вектором па-
раллельного переноса р в каждом из следующих случаев:
а) (/х) 2х — у+1=0, рх{2, 4};
б) (/а) х —Зу —6 = 0, ра{3, 1};
в) (/8) 2х 4- 7 = 0, р8 {0, 3}.
657. В данной прямоугольной декартовой системе координат за-
писать координатные задания следующих преобразований:
а) гомотетии с центром в точке С (—2, 1) и коэффициентом k = 3;
б) центрально-подобного вращения с центром в начале координат,
углом поворота ф = — и коэффициентом k = 5;
1 Относительно обозначений см. введение к § 24.
87
в) центрально-подобной симметрии относительно оси к = 2 с
центром в точке (2, 1) и коэффициентом k = 2.
658. В общей декартовой системе координат записать координат- 0^
ное задание центральной симметрии с центром в точке (х0, у0).
659. В прямоугольной декартовой системе координат записать
координатное задание осевой симметрии, ось которой имеет уравнение
Ах -ф By -ф С — 0.
660. В прямоугольной декартовой системе координат записать
координатное задание скользящей симметрии, ось которой имеет
уравнение' Ах ф By ф С = 0, а вектор параллельного переноса задан
своими координатами: {—ВХ, ЛХ}.
2. Задачи на определение вида преобразовании
подобия и движений
661. Выяснить, какие из преобразований являются: 1) движения-
ми; 2) преобразованиями подобия, если они заданы в прямоугольной
декартовой системе координат следующими соотношениями:
а) х' == 2х, у’ = 2у;
б) х‘ = Зх, у' = у,
в) х' = Зх ф 4у, у' = 5х — бу;
г) х = -хф-у — 1, у = — -х-ф-у — 15;
о о о о I
д) х' = 8х — у -ф 1, у' = х -ф 8у; '
е) х' — х, у' = — у.
662. В каждом из следующих случаев выяснить характер пре-
образования, если в прямоугольной декартовой системе координат
оно дано уравнениями:
. , /2 Д и 4- 1 , /2" , V2
a)x=-?j-x---------- У + *• у =-’у-х +-2~у;
б) х — — х — 6, у' = у;
в) х' = — х -ф 1, у' = — у;
г) х' = х -ф 3, у' = — у.
663. В прямоугольной декартовой системе координат даны коор-
динатные задания точечных преобразований плоскости. В каждом из
следующих случаев выяснить характер преобразования:
а) х' — —5у, у' = 5х;
б) х' = Зх, у' = Зу; „
В) X =-уЗх --у, у ==-у + -УЗх;
Z Л £ £
г) х' = 2х, у' = — 2у;
д) х' = 5х — 4, у' = —5у ф 3;
е) х' = —Зу — 7, у' = Зх -ф 1.
664. На плоскости дана прямоугольная декартова система коор-
динат Оху. Точка М плоскости первоначально переводится в точку М1г
88
симметричную точке М относительно оси Ох\ затем вектор ОМХ пово-
ротом вокруг точки О на угол <р преобразуется в вектор ОМ'. Записать
аналитическое задание отображения, при котором точка М переходит
в точку М'. Выяснить, будет ли это отображение преобразованием
подобия.
665. Пусть Мъ Мъ, ...» Mk —фиксированные точки плоскости, а
k, т2, ..., mh — данные числа, причем /г #= 0 и А =^= Wj + тг +
+ .. + tnk. Доказать, что соответствие, при котором точке М ста-
вится в соответствие М’, так что kMM’ — tn^MMi 4* ... 4- tnkMMk,
является:
а) гомотетией при т2 + т2 + ... -|- #= 0;
б) тождественным преобразованием при т1 + т2 4- ... + mk= 0
и mjOMi 4- ... 4- mk OMk = 0;
в) параллельным переносом при тг 4- гп2 4- ... 4- tnk = 0 и
т10М1 4- — 4- гпк ОМк ф 0.
В случаях б) и в) О — произвольная точка плоскости.
666. Пусть Л1о — произвольная точка плоскости треугольника
ЛВС и Лъ Вь Сх— точки, симметричные точке Л10 относительно
середин’сторон ВС, С А и АВ. Доказать, что аффинное преобразова-
ние, при котором точки Л, В, С переходят соответственно в точки Лх,
Въ С1( является центральной симметрией. Найти центр симметрии.
667. Пурть ЛВС — произвольный треугольник, а Л£ Bt и Сг —
середины соответственно сторон ВС, СЛ и ЛВ-. Доказать, что аффин-
ное преобразование, при котором точки Л, В и С переходят соответ-
ственно в точки Ль Bt и С1( является гомотетией с коэффициентом
:—Найти центр гомотетии и показать, что он совпадает с точкой
пересечения медиан1. Эту гомотетию будем называть централь-
ной гомотетией треугольника.
668. На плоскости дан пятиугольник Л1Л2Л8Л4Л6. Выяснить
характер преобразования П, переводящего каждую точку М плоско-
сти в точку М', которая.получается последовательным отражением
точки М относительно вершин Лъ Л2, Л8, Л4 и ЛБ.
669. Доказать, что если аффинное преобразование имеет три по-
парно пересекающиеся инвариантные прямые, то оно является гомо-
тетией.
670. Даны две произвольные точки Е± и Ег и число k (где k =^0
и k ф 1). Найти центр гомотетии с коэффициентом k, при которой точ-
ка Е\ переходит в точку Е2.
671. В ориентированной плоскости дан угол <р, коэффициент k
и две произвольные точки А10 и Предполагается, что ф¥= 0,
Ф =# л и k — положительное число, отличное от единицы. Доказать
следующие предложения:
1 Тем самым дается другое доказательство теоремы о пересечении медиан тре-
угольника (см. задачу 143).
89
\
а) существует одно и только одно вращение на угол <р, при котором
точка Мо переходит в точку Мо; ‘i'1
б) существует одно и только одно центрально-подобное вращение
с углом поворота ф и коэффициентом k, при котором точка Мо перехо-
дит в точку Мо.
Пользуясь циркулем и линейкой, построить центры преобразований.
672. На плоскости дан ненулевой вектор р, дре произвольные тЬ4->
ки Мо и Мо и положительное число k, отличное от единицы. Доказать,
что существует одна и только одна центрально-подобная симметрия
с коэффициентом k, ось которой содержит вектор р. Пользуясь цир-
кулем и линейкой, построить, ось и центр данного преобразования.
3. Произведение преобразовании подобия и движений1
673. Пусть П1 и 77а — две осевые симметрии, оси /х и /а которых
пересекаются в точке О и 4 (/х, /2) = <р. Доказать, что преобразование
П = ПйП! есть вращение с центром в точке О на угол 2<р, если
и центральная симметрия относительно точки О, если Ф =
674. Доказать, что произведение двух симметрий Пг и Па относи-
тельно параллельных осей 1г и /а есть параллельный перенос. Найти
вектор параллельного переноса.
675. На ориентированной
плоскости дан положительно ориен-
тированный треугольник ДхДаД8,
стороны которого произвольны. Точ--
ки Ви Ва, Ва являются центрами
трех равносторонних треугольников,
построенных извне на сторонах Л2^з.
AaAlt ДхЛа треугольника AiAaAa
(рис, 30). Показать, что если Па
й Па — три вращения соответственно
с центрами в точках Ви В2, Ва на
один и тот же угол ф, то ПаПаПг
является:
а) тождественным преобразовани-
ем, если ф = —120°;
б) параллельным переносом, если
Ф = 120°.
67 6. Пусть Пг — гомотетия с цен-
тром в точке О и коэффициентом
1 (1 #= 0, 1 #= 1), а Па —параллель-
ный перенос, определяемый векто-
ром а0. Доказать, что как преобра-
зование TJanlt так и преобразование
1 Во всех задачах, связанных с произведением преобразований, запись /7а/7д
означает, что сначала выполняется преобразование Пи а затем Z7a.
20
ПгПг являются гомотетией с коэффициентом X. Найти центры этих
преобразований. Могут ли эти преобразования совпасть?
677. Пусть — центрально-подобное вращение с центром в точ-
ке 01, углом поворота <р и коэффициентом ku а П2 — гомотетия с цен-
тром в точке О2 и коэффициентом k2. Предполагается, что <р О,
<р Ф n, a ki и k2 — положительные числа, отличные от единицы. Оп-
ределить преобразование П2П1, если; a) kik2 = 1; б) kik2 ф 1.
678. Пусть Hi — центрально-подобная симметрия с осью /, цен-
тром 01 и коэффициентом а П2 — гомотетия с центром в точке 0а
и коэффициентом k2. Предполагается, что ki и k2 — положительные
числа, отличные от единицы. Определить преобразование П2ПЪ если:
a) k,k2 = 1; б) kik2 =И= 1.
6/9. Пусть П1 центрально-подобная симметрия с осью I, центром
01 и коэффициентом ku а П2— центрально-подобное вращение с цент-
ром в точке 02, углом поворота <р и коэффициентом k2. Предполага-
ется, что <р Ф 0, <р #= л, a ki и k2 — положительные числа, отличные
от единицы. Определить преобразование П2Пи если: a) kik2 = 1;
б) kik2 #= 1.
§ 27. Некоторые специальные аффинные преобразования
Нетождественное аффинное преобразование, имеющее прямую / не-
подвижных точек, называется перспективн о-a ф ф и н н ы м
преобразованием с осью I. При этом преобразовании прямые, соеди-
няющие соответственные точки, не лежащие на оси, параллельны
между собой. Если направление этих прямых не совпадает с направле-
нием оси, то преобразование называется перспективно-аффинным пре-
образованием первого рода, в противном случае — перспектив-
но-аффинным преобразованием второго рода. Частным слу-
чаем перспективно-аффинного преобразования первого рода является
косая симметрия (см. задачу 628).
1. Перспективно-аффинное преобразование
680. В каждом из следующих случаев записать координатное за-
дание перспективно-аффинного преобразования, если ось преобразо-
вания I задана уравнением в общей декартовой системе и известно,
что точка Мо переходит в точку Мо:
а) Зх — у -|- 1 = 0; Мо (1, 3), М'о (3, 4);
б) 4х 4- У + 3 = 0; Мо (1, 1), Мо (-7, 33);
в) х + 5 = 0; Мо (1, 0), Мо (7, 12);
г) у — 1 = 0; Мо (—1, 3), Мо (—3, 3).
В каждом из указанных случаев определить род перспективно-
аффинного преобразования.
681. Доказать, что преобразования, заданные в общей декартовой
системе координат следующими соотношениями, являются перспек-
91
тивно-аффинными: а) х' « 5х — 2у -J- 6, у' = 8х — Зу + 12; б) х' =
— 2х — Зу + 2, у' — 2х — 5у 4~ 4; в) х' = 4х 4- у 4- 1, у' = Зх 4-
4- 2у 4- 1; г) х' = 6х — 25у 4- 30, у' = х — 4у 4- 6. --.и-*
В каждом из этих случаев выяснить род перспективно-аффинного
преобразования.
682. Написать общий вид координатного задания перспективно-
аффинного преобразования, ось которого определяется уравнением
Ах 4- By 4- С — 0. Система координат общая декартова. ! .
683. Записать общий вид координатного задания перспективно-
аффинного преобразования, ось которого совпадает с координатной
осью Ох. Выяснить, при каком условии преобразование является:
а) перспективно-аффинным преобразованием первого рода;
\ б) перспективно-аффинным преобразованием второго рода;
в) косой симметрией (см. задачу 628).
684. На прямой /,-не проходящей через точку О, даны четыре точ-
ки А1г В1г А2 и В2, при этом как Alt Bit так и Аа, В2 не совпадают.
Доказать, что аффинное преобразование, при котором точки О, Аь
переходят соответственно в точки О, А2, В2, является перспектив-
но-аффинным. При каком условии ось преобразования параллельна
прямой /?
685. Два треугольника АВС и А'В'С' на плоскости расположены
так, что прямые АА', ВВ’ и СС принадлежат одному пучку парал-
лельных прямых и точки А и А' не совпадают1. Определить тип аффин-
ного преобразования, при котором точки А, В, С переходят соответ-
ственно в точки А', В', С'.
2. Инверсные преобразования. Косая симметрия
686. Показать, что аффинные преобразования, заданные следую-
щими соотношениями в общей декартовой системе, являются инверс-
ными2:
а) х* — Зх 4- 2у 4- 1, у' = —4х — Зу — 2;
б) х = х, у' = 5х — у 4- 4;
в) х' = —х 4- 1, у’ = —у + 15.
687. В общей декартовой системе координат заданы следующие
преобразования:
а) х' = —х 4- а12у 4- х0, у' = у;
б) х* = х 4- а12у, у' = —у.
Показать, что каждое из этих преобразований является косой сим-
метрией, и найти уравнения осей.
688. Доказать, что аффинное преобразование, заданное в общей
декартовой системе координат соотношениями х' =ау—оф, у' —
1 Мы не исключаем из рассмотрения случаи, когда отдельные вершины или
стороны данных треугольников совпадают.
2 См. сноску на стр. 81.
92
= i-x + 0, где a#=0, a P — произвольное число, является косой
"Г «<х
симметрией.
689. На прямой I, не проходящей через-точку О, даны четыре точ-
ки Alt Ви А2, В2, удовлетворяющие условию А^ = В2А2 =/= 0.
Доказать, что аффинное преобразование, при котором точки О, Alt
Переходят соответственно в точки О, Аа, Ва, есть косая симметрия
с осью, проходящей через точку О.
690. Доказать, что всякое инверсное перспективно-аффинное пре-
образование является косой симметрией.
69f. В данной общей декартовой системе координат записать ко-
ординатное задание инверсного аффинного преобразования в общем
виде.
692. Аффинное преобразование в общей декартовой системе ко-
ординат дано соотношениями х' =* ОцХ + а1ау ф х0, у" — а21х -ф
-ф а22у + у0- При каких необходимых и достаточных условиях, на-
кладываемых на коэффициенты этих соотношений, данное преобразо-
вание является косой симметрией?
693. Доказать, что всякое инверсное аффинное преобразование
принадлежит одному из следующих видов:
а) тождественное преобразование;
б) центральная симметрия;
в) .косая симметрия.
694. Доказать, что если инверсное аффинное преобразование меняет
ориентацию плоскости, т. е. любой базис переходит в новый базис,
имеющий противоположную ориентацию, то оно является косой сим-
метрией.
3. Смешанные задачи
695. Доказать, что преобразование, заданное в общей декартовой
сйстеме Oeie2 соотношениями х’ = у' = 1^, где =/= 1 и Ха =/= 1,
можно представить как произведение двух перспективно-аффинных
преобразований, оси которых совпадают с осями координат.
696. Доказать, что если перспективно-аффинное преобразование
является одновременно преобразованием подобия, то оно является
осевой симметрией.
697. Доказать, что всякое аффинное преобразование П можно пред-
ставить в виде П2П1г где Пг — преобразование подобия, а П2 — пер-
спективно-аффинное преобразование.
698. Если взаимно перпендикулярные ненулевые векторы а и ft
при данном аффинном преобразовании переходят во взаимно перпен-
дикулярные векторы а' и ft', то их направления называются главными
направлениями данного аффинного преобразования.
Доказать, что всякое перспективно-аффинное преобразование,
отличное от осевой симметрии, имеет одну и только одну пару главных
направлений.
93
Сколько пар главных направлений имеет осевая симметрия?
699. Доказать, что всякое аффинное преобразование, отличное от
преобразований подобия, имеет одну и только одну пару главных на-
правлений (см. предыдущую задачу).
Сколько главных направлений имеет преобразование подобия?
§ 28. Инверсия на плоскости. Гиперболическая инверсия
1. Инверсия на плоскости
700. Дана прямоугольная декартова система координат Oij.
Записать координатное задание инверсии с центром в точке О и сте-
пенью г2.
При г = 1 найти координаты следующих точек: Л^О, -bj, Л4ар, 0),
М3 (3, 1), М4 (-2, 1), М6(о, 1), Мв(А 1J, Я (-1, 5).
701. Дана прямоугольная декартова система координат. Записать
координатное задание инверсии со степенью k — 4 и с центром в точ-
ке С (—1, 3). Найти координаты следующих точек при данной инвер-
сии: Mi (0, 0), М2 (—1, —1), М, (2, 3), Л44 (—2, 5), М5 (—2, 4),
Мв (-1, 5).
702. Дана инверсия с центром в точке О, степень которой равна г2.
Пользуясь координатным заданием инверсии (см. задачу 700), дока-
зать, что:
а) прямая, проходящая через точку О, преобразуется в себя;
б) окружность с центром в точке О и радиусом г (окружность ин-
версии) целиком состоит из неподвижных точек;
в) окружность с центром в точке О и радиусом R, где 7? #= г, пре-
образуется в концентрическую окружность.
703. Дана инверсия с центром в точке О со степенью г2 и прямая I,
не проходящая через центр инверсии О. Используя координатное за-
дание инверсии (см. задачу 700), доказать, что образом прямой I яв-
ляется окружность £2, проходящая через центр инверсии О и располо-
женная так, что прямая, соединяющая центр инверсии с центром ок-
ружности £2, перпендикулярна прямой I.
Показать, что образом проекции Н центра инверсии на прямую I
является точка И' окружности £2, диаметрально противоположная
точке О. Сделать чертеж.
704. Инверсия задана центром О и окружностью <о. Указать спо-
соб построения с помощью циркуля и линейки:
а) образа точки М, не лежащей на окружности <о;
6) образа прямой I, не проходящей через центр инверсии.
Выбрав на плоскости несколько точек и прямых (пересекающих,
не пересекающих и касающихся окружности <о), построить их образы.
705. Пусть центр инверсии совпадает с началом прямоугольной
декартовой системы координат, а степень г2 инверсии равна 4. Найти
94
образы следующих прямых при данной инверсии: а) 2х — 5у = 0;
б) х + 2у — 6 = 0; в) Зх 4- 2 = 0; г) 2х — Зу — 2 = 0.
г ’ 706. Дана инверсия с центром в точке О и степенью k. Выяснить,
во что преобразуются при данной инверсии следующие геометрические
образы:
а) пара параллельных прямых, ни одна из которых не проходит
через О;
л б) пу<1Ьк параллельных прямых;
в) пучок пересекающихся прямых с центром в точке О',
г) пучок пересекающихся прямых с центром в точке М, отличной от О.
Пользуясь циркулем и линейкой, проиллюстрировать геометриче-
скую картину.
707. Что будет образом угла (h, k) при инверсии, если вершина Р
угла принадлежит окружности инверсии, одна сторона проходит че-
рез центр инверсии, а вторая пересекает окружность инверсии? Осу-
ществить построение образа данного угла циркулем и линейкой.
708. Инверсия задана центром О и окружностью <о. Что будет об-
разом треугольника при инверсии, если его стороны не проходят через
центр инверсии? Рассмотреть четыре случая: а) окружность инверсии
расположена внутри треугольника; б) треугольник расположен внутри
окружности инверсии; в) вершины треугольника лежат на окружности
инверсии; г) стороны треугольника пересекают окружность инверсии.
В каждом из этих случаев осуществить построение образа данного
треугольника циркулем и линейкой.
709. Даны инверсия с центром в точке О и радиусом г и окружность
й, не проходящая через центр инверсии. Используя метод координат,
доказать, что образом окружности й является окружность й', не про-
ходящая через центр инверсии и расположенная так, что центр ин-
версии О и центры Р и Q окружностей й и й' лежат на одной прямой
(рис. 31).
710. Инверсия задана центром О и окружностью ®. Сформулиро-
вать геометрический способ построения циркулем и линейкой: а) об-
раза окружности, проходящей через центр инверсии; б) образа окруж-
ности, не проходящей через центр инверсии. Взяв на плоскости
несколько окружностей (не пересекающих, пересекающих или касаю-
щихся окружности (0), построить их образы с помощью циркуля и линейки. 711. Пусть центр инверсии совпадает с началом прямоугольной декартовой системы ко- ординат, а степень ин- версии равна 4. Записать в той же системе коор- динат уравнения обра- I Я \\ X I - 1 N 1 0 X Р 1 Рис. 31
95
зов следующих окружностей: а) х2+
+ у2 = 12; б) (х — З)2 + уа = 9;
в) (х - 2)а + (у + 6)2 = 8.
712. Пусть центр инверсии со-
впадает с началом прямоугольной
декартовой системы координат, а
степень равна единице. Записать в
той же системе координат урав-
нения образов следующих кривых:
а) у2 — 2рх = 0; б) х2 —у2 — а2=
= 0; в) у2 — 2рх — р2 — 0; г) ха —
— у2 4- 2ах == 0.
713. Доказать, что при инвер-
сии сохраняется угол, под которым
пересекаются две окружности, не
проходящие через центр инверсии.
714. Три окружности йа и й8 проходят через одну точку Р
и попарно пересекаются еще в трех точках Л1а, Ла8 иЛ18 (рис. 32).
Доказать, что сумма трех углов а1а, ссаз, сс31 между соответствующими
окружностями, отмеченных на рисунке 32, равна 2d.
715. Написать аналитическое задание инверсии в полярной си-
стеме координат, если полюс совпадает с центром инверсии, а степень
инверсии равна г2. Пользуясь полученными формулами при r2~ 1,
найти координаты образов следующих точек: (3, -^), /Иа ( —2, —
л 2 ] у 3 у
1, mJ-, — -1
6 г \ 2 3 )
mJi. п
\ о
716. В полярной системе координат даны множества точек уравне-
ниями: а) р cos <р — а\ б) р sin <р = Ь\ в) р2 = kz, где а > 0, b > 0 и
k > 0. Найти полярные уравнения образов данных линий в той же
системе координат при инверсии, центр которой совпадает с полюсом
системы, а степень равна г2.
Пользуясь циркулем и линейкой, построить эти линии и их образы
в предположении, что на чертеже даны отрезки a, b, k и г.
2. Преобразование кривой второго порядка при инверсии
717. В полярной системе координат кривая второго порядка дана
уравнением
1 — е cos ф ’
Написать уравнение образа этой кривой при инверсии с центром
в полюсе системы координат и степенью, равной га.
718. Доказать, что образом параболы при инверсии с центром в
вершине параболы является циссоида Диоклеса (см. задачу 350),
96
полюс которой совпадает с вершиной параболы, а ось — с ее осью сим-
метрии, направленной от вершины к фокусу (см. рис. 33).
Показать, что если степень инверсии равна единице, то парамет-
ром циссоиды является число —, где р — параметр параболы.
2р
719. Доказать, что образом равнобочной гиперболы при инверсии
с центром в центре симметрии гиперболы является лемниската Бер-
нулли (см. задачу 351), центр которой совпадает с центром гиперболы,
а ось — с ее действительной осью (см. рис. 34).
Показать, что если степень инверсии равна единице, то параметром
лемнискаты является число К?., где а — полуось равнобочной гипер-
2а
болы.
720. Доказать, что образом равнобочной гиперболы при инверсии
с центром в одной из ее вершин является строфида (см. задачу 349),
полюс которой совпадает с этой вершиной гиперболы, а ось — с осью
гиперболы, направленной от выбранной вершины к ближайшему фо-
кусу (рис. 35).
Показать, что если степень г2 инверсии равна единице, то параметр
строфоиды равен —, где а — полуось гиперболы.
2а
721. Доказать, что образом эллипса при инверсии с центром в од-
ном из его фокусов является улитка Паскаля (см. задачу 347), полюс
которой совпадает с этим фокусом, а ось — с осью эллипса, направлен-
ной от ближайшей вершины к выбранному фокусу (рис. 36).
Показать, что если степень инверсии равна единице, то первый и
второй параметры улитки Паскаля равны соответственно
—— и —-—,
а2 — <? а2 — с2
где 2а — большая ось эллипса, а 2с — расстояние между его фокусами.
722. Доказать, что образом гиперболы при инверсии с центром
в одном из ее фокусов является улитка Паскаля (см. задачу 347), полюс
4 Заказ 290
97
которой совпадает с фокусом, а ось — с действительной осью гипер-
болы, направленной от ближайшей вершины к выбранному фокусу
(рис. 37).
Показать, что если степень инверсии равна единице, то первый
и второй параметры улитки Паскаля равны соответственно
с а
& — а2 с2 - а2’
где 2а — действительная ось гиперболы, а 2с — расстояние между ее
фокусами.
723. Доказать, что образом параболы при инверсии с центром в
ее фокусе является кардиоида (см. задачи 344 и 348)1, полюс которой
1 Согласно задаче 348 кардиоида является частным случаем улитки Паскаля.
Из задач 721, 722 и 723 следует, что если полюс инверсии совпадает с фокусом кони-
ческого сечения, то образом этого конического сечения является улитка Паскаля.
При этом если 2г и b — соответственно первый и второй параметры улитки Паскаля,
то в случае эллипса 2г < b (рис. 36), для гиперболы 2г > Ь (рис; 37) и для параболы
2г = b (рис. 38).
98
совпадает с фокусом параболы, а ось — с осью параболы, направлен-
ной от вершины к фокусу (рис. 38).
Показать, что если степень инверсии равна единице, то параметром
кардиоиды является число —, где р — параметр параболы.
Р
3. Гиперболическая инверсия1
724. Дана гиперболическая инверсия с осью 10 и степенью 4. Пря-
моугольная декартова система координат выбрана так, что ось Ох
совпадает с прямой /0. Пользуясь формулами, выведенными при реше-
нии задачи 627, найти образы следующих точек: Mt (1, —2), М2 (3, 5),
М8 (—2, 4), Л1& (3, -7), М5 (-1, -6).
725. Дана гиперболическая инверсия с осью 10 и степенью 3 и пря-
моугольная декартова система координат, ось Ох которой совпадает
с осью /0. Написать уравнения образов следующих линий: а) у = 6х;
б) 2у — Зх + 5 = 0; в) хй + у2 = 9; г) у® — 2х = 0.
726. Дана гиперболическая инверсия с осью /0 и степенью k.
Найти:
а) образ прямой, перпендикулярной оси инверсии;
б) образ прямой, параллельной оси инверсии и отстоящей от нее
на расстоянии а.
727. При гиперболической инверсии с осью /0 и степенью k найти
образ прямой, пересекающей ось инверсии под углом, тангенс которо-
го равен а.
§ 29. Приложение теории преобразований к решению
задач элементарной геометрии
1. Применение преобразований подобия и движений
к решению задач
728. Стороны угла с вершиной в точке О пересечены двумя парал-
лельными прямыми, одна из которых пересекает стороны угла в точках
и Blt а вторая — в точках Да» Доказать, что точки пересечения
перпендикуляров, восставленных к сторонам угла в точках At й Ви
и перпендикуляров, восставленных в точках Д2 и В2, лежат на одной
прямой, проходящей через точку О.
729. Даны прямая I и две точки А, В, лежащие по одну и ту же сто-
рону от этой прямой. Доказать, что на прямой существует единствен-
ная точка Мо, такая, что АМе + ВМ0 < AM + ВМ, где М — про-
извольная точка прямой I, отличная от Мо.
730. Даны прямая I и две точки А и В, лежащие по разные стороны
•от прямой I. Существует ли на прямой I такая точка Мо, что | ЛЛ10 —
1 Определение гиперболической инверсии дано в тексте задачи 627.
4*
99
т- ВЛ40| >| AM— ВМ |, где М—любая точка прямой I, отлич-
ная от Л40? <
731. Даны острый угол Ohk и точка М внутри этого угла. Рассмот-
рим всевозможные треугольники НКМ, вершины Н которых принад-
лежат лучу h, а вершина К — лучу k. Доказать, что среди этих тре-
угольников существует единственный треугольник HJ^M, периметр
которого меньше периметра всех остальных треугольников.
732. Даны две пересекающиеся прямые /х и /2 и точка Мо, не лежа-
щая на них. Доказать, что существует одна и только одна прямая,
проходящая через Л40, отрезок которой, отсекаемый прямыми 11г 12,
делится точкой Мо пополам.
733. Даны две окружности йх и й2, пересекающиеся в двух точках
Р и Q. Доказать, что существует единственный отрезок, середина ко-
торого совпадает с точкой Р, а концы лежат соответственно на окруж-
ностях Qi и й2.
734. На плоскости даны окружность Q, прямая I и точка А. Вы-
яснить, при каком условии существуют такие точки Мг и М2, принад-
лежащие соответственно окружности Q и прямой I, что точка А явля-
ется серединой отрезка Л11Л12. Сколько существует таких точек.
735. В плоскости четырехугольника дана точка М, которая соеди-
нена с серединами сторон четырехугольника. Через середину каждой
стороны проведена прямая, параллельная отрезку, соединяющему
точку М с серединой противоположной стороны. Доказать, что:
1) эти прямые пересекаются в одной точке Р;
2) точка Р лежит с точкой М и точкой .пересечения О средних ли-
ний четырехугольника на одной прямой;
3) точка О делит отрезок МР пополам.
736. Доказать, что любая ограниченная фигура1 (в частности,
любой многоугольник) имеет не более чем один центр симметрии.
737. В плоскости пятиугольника дана произвольная точка М,
которая отражается последовательно относительно всех вершин пя-
тиугольника один раз и затем второй раз. Доказать, что после послед-
него отражения отражаемая точка М' совпадает с точкой М.
738. Вершины Лъ Blt Сх и Ох параллелограмма А^С^ распо-
ложены соответственно на сторонах АВ, ВС, CD и DA второго парал-
лелограмма ABCD. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий
центр симметрии.
739. В окружность вписаны два равносторонних треугольника од-
ной ориентации. Доказать, что прямые, соединяющие соответствую-
щие вершины, пересекаясь, образуют также равносторонний треуголь-
ник, если ни одна из них не проходит через центр окружности.
740. На окружности даны три точки А, В, С. Точка С отражена
относительно середины отрезка АВ. Полученная точка Сх соединена
с точкой D, диаметрально противоположной точке С. Доказать, что
прямые АВ и CjD перпендикулярны.
1 Фигуру будем называть ограниченной, если на плоскости существует такая
окружность, что все точки фигуры расположены внутри этой окружности.
100
741. На ориентированной плоскости даны два одинаково ориен-
тированных равных треугольника АВС и А'В'С, которые не совпа-
дают. Доказать, что существует одно и только одно из следующих
трех видов движений — вращение, центральная симметрия или па-
раллельный перенос, которое точки А, В, С переводит соответственно
в точки А', В', С'. Построить неподвижную точку преобразования,
если имеет место первый или второй случай.
742. Пользуясь центральной гомотетией треугольника (см. зада-
чу 667), доказать предложения:
а) высоты треугольника пересекаются в одной точке;
б) точка пересечения медиан лежит между центром описанной
окружности и точкой пересечения высот и делит этот отрезок в отно-
шении (см. задачу 541).
743. В плоскости четырехугольника дана точка М. Доказать, что
точки, симметричные с точкой М относительно середин сторон четы-
рехугольника, являются вершинами параллелограмма.
744. Пусть АВС — произвольный треугольник, высоты которого
пересекаются в точке Н. Доказать, что девять точек — середины трех
сторон, основания трех высот и середины отрезков НА, НВ и НС —
лежат на одной окружности (окружности Эйлера)1.
745. Пусть М — ‘точка пересечения медиан треугольника АВС,
Р — основание высоты, проведенной через вершину A, a Q— точка
пересечения описанной вокруг треугольника окружности £2 с прямой I,
проведенной через А параллельно ВС. Доказать, что точка М лежит
между точками Р и Q и делит отрезок Р Q в отношении
QM _9
МР
746. Точки Blt Вг, В3 являются центроидами трех равносторон-
них треугольников, построенных извне на сторонах данного произ-
вольного треугольника А^А^Аз (рис. 30). Показать, что независимо
от вида треугольника AiA2A8 треугольник B^BJig является равно-
сторонним.
747. На прямой I даны три точки А, В, С так, что точка В лежит
между А и С. По одну сторону от прямой / построены равносторон-
ние треугольники АМВ и BNC. Доказать, что середина Р отрезка
МС, середина Q отрезка NA и точка В являются вершинами равно-
стороннего треугольника.
2. Применение аффинных преобразований к решению задач
748. Пусть Л40 — произвольная точка плоскости треугольника
АВС, а Лъ Blt Ci — точки, симметричные точке Мо относительно се-
1 Эта окружность называется также окружностью девяти точек, так как на ней
лежат девять «замечательных» точек треугольника.
101
Рис. 39
редин сторон ВС, СА и АВ. Доказать, что треугольники АВС и
ЛхВ/?! равны и одинаково ориентированы, а отрезки ААЪ ВВЪ CCt
пересекаются в одной точке и каждый из них делится этой точкой
пополам.
749. Медианы треугольника АВС разделены в равных отношениях’
считая от вершин. Доказать, что точки деления либо совпадают с
центроидом треугольника, либо не лежат на одной прямой.
102
750. Пусть точки Alt В1г делят стороны ВС, СА, АВ треуголь-
ника АВС в отношении А. Доказать, что существует треугольник,
стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам
АА1г ВВЪ CCt.
751. Два треугольника АВС и А'В'С на плоскостц расположены
так, что их соответствующие медианы параллельны. Доказать, что
их соответствующие? стороны также параллельны.
752. Два треугольника АВС и А’В'С' на плоскости расположены
так, что прямые АА', ВВ' и СС' принадлежат одному пучку парал-
лельных прямых. Доказать, что стороны этих треугольников имеют
дезаргово расположение1, т. е. имеет место один из следующих слу-
чаев:
а) в плоскости треугольников существует прямая, которая содер-
жит хотя бы одну общую точку или общий ненулевой вектор каждой
пары соответствующих сторон;
б) каждая пара соответствующих сторон треугольников имеет не-
нулевой вектор.
753. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD средняя ли-
ния проходит через точку пересечения Р диагоналей и делится ею
пополам, то четырехугольник — параллелограмм.
754. Отрезок, соединяющий середины Л4Х и Л42 двух противополож-
ных сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD, пересе-
кает его диагонали BD и АС в точках Р и Q. Доказать, что если М±Р =
== M%Q, то четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
Глава VI
ИЗУЧЕНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПО ИХ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ2
§ 30. Эллипс
»
1. Определение эллипса и его простейшие свойства
755. Найти уравнение множества точек, для каждой из которых
сумма расстояний от двух точек Fx (4, 0) и Г2 (—4, 0) равна 10.
756. Длина большой полуоси эллипса равна 6, эксцентриситет
В = у, а расстояние точки М эллипса до фокуса Fx равно 7. Вычис-
1 Существуют различные случаи дезаргова расположения сторон треугольника.
На рисунке 39 изображены некоторые из этих случаев.
2 Во всех задачах этой главы для кривых, заданных уравнениями, и точек —
координатами, предполагается, что на плоскости выбрана прямоугольная декартова
система координат.
103
лить расстояние точки М до фокуса Га и координаты точки М. Напи-
сать каноническое уравнение эллипса.
757. В каждом из следующих случаев составить каноническое
уравнение эллипса: а) а = 10, b — 6; б) а 4- b = 9, с ~ 3; в) а = 6,
с = 4. Здесь а — большая полуось эллипса, b — малая, а с ==
= у а2 — Ь2.
758. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих,
эллипсов:
а) 4ха -Ь 9уа — 36 = 0; в) ха + 9у2 = 9;
б) 4ха + 144у2 — 576 = 0; г) 9х2 + 25у2 = 1.
759. Найти точки, принадлежащие Эллипсу —- 4- — = 1, абс1
16 4
циссы которых равны: а) 2; б) 3; в) 1.
760. На эллипсе — 4- = 1 дана точка (3, 1). Найти коорди-
12 4
наты точек, симметричных с данной относительно: 1) начала коорди-
нат и 2) координатных осей, и убедиться в том, что эти точки принад-
лежат эллипсу.
761. Через фокус Гг проведена хорда эллипса — 4--т—=1, па-
а2 v*
раллельная канонической оси Оу. Определить длину этой хорды.
, 762. Хорда, проведенная через фокус Ft параллельно оси Оу, пе-
ресекает эллипс 4- — =-1 в точках Л1Х и М2. Определить расстоя-
ние от точек М-! и Л4а до фокуса Fa.
763. а) Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу -4-
4- — e 1 и равноудаленных от фокусов.
б) Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу — 4-
fir
«2
4-— = 1 и удовлетворяющих условию 2A1Fr = MF2.
b2
764, Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) вершина эллипса имеет координаты Аг (6, 0), А2 (—6, 0),
Вг (0, 3), В2 (0, —3);
б) фокальное расстояние 2с = 10, а малая полуось £> = 5;
в) эксцентриситет е = V3.., большая полуось а — 3;
3
г) эксцентриситет е = А, а малая полуось b = 2;
д) расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет в —
765. Составить уравнение эллипса в канонической системе коор-
динат, если:
104
а) эллипс проходит через точки Mt ]2, IJLj и' М2 (—3, 0);
б) эллипс проходит через точки М7 (1, 3), М2 (4, 1);
(7 \
—3, —j и расстояние между
фокусами 2с = 6;
г) элдипс проходит через точку 2, и имеет эксцентр иси-
2
тет е =
/15
|у 2
L 766.. Написать уравнение директрис эллипса — + 7— — 1 и
| 45 36
L иайти расстояние между ними.
К ” 767. Составить уравнение эллипса, еслиздх-
'* а) расстояние между директрисами равно 12, а большая ось равна
2 УЗ- „ л
б) расстояние между директрисами равно р=., а между фокусами
в) расстояние между директрисами равно 4 ]/15, а эксцентриситет
—
8
/2 .
2 ’
8
г) прямые х = ± -у=7 служат директрисами эллипса, а малая полу-
уз
ось равна 2.=*V
768. Доказать, что для координат х, у всех точек плоскости, лежа-
ха . у3
щих внутри эллипса, заданного каноническим уравнением ~+'^_=я
V2 «
= 1, имеет место неравенство — + ~—<1, а для координат всех то-
а2 Ь2
$ V2 1
чек, лежащих вне эллипса, — неравенство — + > 1.
а2 ( ь2
X2 V2
769. Дан эллипс------1- — = 1 в канонической системе координат.
15 9
Определить, какие из точек Afj (3, 5), Мг (—1, 2),_Л48 (0, 3),
Л14 (2, 2), М5 (-3, 1), М6 (1, 3), М7 (УК 4), Л18(1, у М9 (5, 2),
Л11о(1, 1): а) принадлежат эллипсу; б) лежат внутри эллипса; в) ле-
жат вне эллипса.
Mt (2, 2), М5 (-3, 1), Ме (1, 3), М, (Г-5, 4), Л18(1, |/
770. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему коор-
динат, изобразить области, определяемые следующими системами не-
равенств:
а)
9х2 + 25/ — 225 < 0,
Зх + 5у — 15 < 0,
У + 2 > 0;
х2 + 4/ — 16 > 0,
У + 3 > 0,
х + у — 2 < 0.
105
77f. Эксцентриситет эллипса равен —, а расстояние от точки М
до директрисы равно 12. Вычислить расстояние от точки М до соот-
ветствующего фокуса.
* х2 va
772. Дан эллипс — + ~ = 1. Найти фокальные радиусы точек
М] (3, —Y15) и 2, у]/ ioj, принадлежащих данному эллипсу1.
773. Пусть е — эксцентриситет эллипса, а т — расстояние от
фокуса до одноименной директрисы. Выразить а, b и с через е и т.
774. Даны точка F, прямая I, не проходящая через эту точку, и
число е < 1.’ Доказать, что существует один и только один эллипс,
для которого F и I являются односторонними фокусами и директри- .
сой, а е — эксцентриситетом.
775. Дан эллипс ~ + -^- = 1. Вычислить расстояния от концов
большой оси до одной из директрис.
776. Составить уравнение прямой,, касающейся эллипса
в точке (J/K, 2).
777. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
С (10, —8) и касающейся эллипса
>' 21 = i
25 16
778. Найти уравнения тех касательных к эллипсу
*1 . Уа _ ]
20 т 5 ’ |
которые параллельны прямой х 4- у —4 = 0.
779. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Р (1, —1), на которой ЭЛЛИПС '
X2
э + 4 ?
к.
отсекает хорду, делящуюся точкой Р пополам.
780. Вычислить длины полуосей и расстояние между фокусами
эллипса, заданного в полярной системе коордйнат уравнением
_ ЗУ"2
Р 2 — cos <р ’
Предполагается, что за полюс принят один из фокусов эллипса,
а за полярную ось — направленная прямая FiF2, где F2 — другой
фокус эллипса.
1 Фокальными радиусами точки М эллипса называются длины отрезков F±M и
F*M, где Fl и Fs — фокусы.
106
1
2 — У 3 cos <р
и в предыдущей задаче.
781. Написать канонические уравнения эллипсов, которые заданы
полярными уравнениями:
а) р —------^=----; б) р
г 4 — /13СО5Ф г
Полярная система выбрана так, как
782. Даны эллипсы:
V X2 , у2
а) — -]---
20 10
Написать уравнения этих эллипсов в полярной системе координат,
, полюс которой находится в одном из фокусов эллипса, а полярная ось
направлена в сторону второго фокуса.
б)
25 9.
.. >
2. Некоторые геометрические свойства эллипса
783. Найти множество точек, из которых эллипс
+ Z. = 1
а2 й2
виден под прямым углом.
784. Доказать, что произведение, расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малрй полуоси.
785. Доказать, что отрезок касательной .к эллипсу в любой точке,
заключенный между касательными, проведенными в вершинах, лежа-
щих на большой оси, виден из фокусов под прямым углом.
786. Доказать оптическое свойство эллипса: всякая касательная
к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки при-
косновения.
787. Доказать, что окружность, диаметром которой является фо-
кальный радиус любой точки эллипса, касается окружности, по-
строенной на большой оси эллипса,' как на диаметре.
788. Прямоугольный треугольник ОММ' с переменными верши-
нами М и М' расположен так, что две его вершины М и М' принадле-
жат данному эллипсу, а вершина прямого угла О совпадает с его цен-
тром. Доказать следующие предложения:
а) —1—р —L есть величина постоянная, равная — + -i~;
ОМ2 ОМ' ‘ а2 Ь2
б) хорды ММ' касаются окружности радиуса г = с центром
в точке О.
789. Произвольная прямая I пучка с центром в фокусе Fx эллипса
пересекает его в .двух точках М и М'. Доказать, что ——не
ОМ ОМ '
2а
зависит от выбора прямой I и равна —. Для какой прямой пучка отре-
зок ММ' имеет минимальную длину?
107
790. Произвольная прямая т пучка с центром в фокусе эллипса
пересекает его в дву/точках М и М', а перпендикулярная ей прямая
п пучка — в точках N и N'. Доказать, что соотношение —Ц- -И -4—
ММ ' NN _
' а® 4- 6®
не зависит от выбора прямой т и равно .
§ 31. Гипербола
1. Определение гиперболы и ее простейшие свойства
791. Написать уравнение^ множества точек, для каждой из кото-
рых модуль разности расстояний от точек (4, 0) и Fa (—4, 0) ра-
вен 6.
792. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих
гипербол:
а) 9ха — 4уа — 36 = 0; в) ха —- у2 — 5 = 0;
б) 25х2 — 16уа — 1=0; г) 10ха — 2уа — 10 = 0.
793. Найти площадь S прямоугольника; вершины которого лежат
на гиперболе-----— = 1, а две стороны проходят через фокусы па-
а® 6®
раллельно оси Оу. Вычислить S для случая, когда а2 = 20 и 6а = 10.
794. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фо-
кусами равно 10;
_ V6) вещественная полуось равна 3 и гипербола проходит через
точку (6, 2J/3); I 1
в) расстояние между директрисами равно — и эксцентриситет
* 3
795. Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет,
уравнения асимптот и уравнения директрис следующих гипербол:
a) 4xz — 9уа = 36; б) 16х2 — 9у2 = 144.
796. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) гипербола проходит через точки (4, 0) и (4]/17, 4);
б) гипербола проходит через точку (—5, 3) и имеет эксцентри-
ситет 8 = 1/2;.
в) гипербола имеет асимптоты 4у ± Зх = 0 и директрисы 5х ±
±16 = 0; I
г) гипербола является равнобочной и проходит через точку (]/2? 1).
797. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) угол между асимптотами равен 60° и гипербола проходит через
точку Мг (4 ]/3, 2);
б) угол между асимптотами равен 60° и гипербола проходит через
точку Л42 (6, 3).
108
798. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы
с эллипсом — 4- — 1 и проходящей через точку М (4 у 2, 3).
7 п2
V 799. Для равнобочной гиперболы —-----9 написать уравнение
софокусной с ней гиперболы, проходящей через точку М (4, ^2).
800. Дана гипербола — — = 1. Написать уравнение сопряжен-
ной с ней гиперболы; найти эксцентриситеты, директрисы и асимптоты
данной и сопряженной гипербол. '
801. По данному эксцентриситету в каждом из следующих случа-
ев определить угол между асимптотами гиперболы: а) е = ]/2; б) е ==
г 2; В) 8 = -Х_.
8,02. Точка М называется внутренней точкой гиперболы, если лю-
бая секущая, проходящая через эту точку и не параллельная асим-
птотам, пересекает гиперболу в двух различных точках; внешней точ-
кой гиперболы называется точка, не лежащая на гиперболе и не явля-
ющаяся внутренней. Доказать, что точка М (х, у) является внутрен-
_ — j^2
ней точкой гиперболы в том и только в том случае, если--------------
а2 Ь2
— 1 > 0; точка N (х, у) является внешней точкой гиперболы в том
X2 V2 ч /ч
и только в том случае, если —------~----1 < 0.
а® Ьг
803. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему коор-
динат, построить области, определяемые следующими системами не-
равенств:
а) (х2 — 4у2 — 4 > 0, б) 19х2 — 16у2 4- 144 >- 0,
14х + Зу — 12 < 0; { 2х — у — 6 < 0,
(Зх + у + 12 >0.
4 v2 V2
804. Составить уравнение касательной к гиперболе----— = 1
в точке (5, 1). 20 4
805. Найти необходимое и достаточное условие касания данной
j^2 у2
прямой у = кх+ х0 и гиперболы------— = 1, если прямая не парал-
лельна асимптотам гицерболы. °2 62
806. Найти необходимое и достаточное условие касания прямой
: Ах 4- By + С = 0 и гиперболы -----— =1, если данная прямая не
а® 6®
параллельна асимптотам гиперболы.
’ - %2
807.1 Написать уравнения касательных к гиперболе — — у2 =
= 1, составляющих с осью Ох углы, равныеХ±30°. Для каждой из
касательных найти точку касания.
, 808. Доказать, что касательные в вершинах гиперболы, заданной
каноническим уравнением, параллельны оси Оу.
109
д-2 <м2
809. Дана гипербола своим каноническим уравнением--------
у а2 Ь"
= 1. Доказать, что если угловой коэффициент прямой удовлетворяет
неравенствам — — < , то прямая не может касаться гиперболы. _
а а
810. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей
через точку М (4, }Л2, 2) и касающейся прямой |/2 х— 2у — 4 = 0.
2. Некоторые геометрические свойства гиперболы
у2
811. Найти множество точек, из которых гипербола ——
видна под прямым углом.
812. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой
касательной к гиперболе есть величина постоянная, равная &2, где
b —мнимая полуось.
*£ |813Г| Доказать, что отрезок асимптоты, заключенный между цен-
тром гиперболы и директрисой, равен действительной полуоси. Исполь-
зуя это свойство, построить директрисы следующих гипербол:
x X2 У2 1 X2 2 1 X X2 у2 1
а)------— = 1; б)---------Vs = 1 в) --------— = 1.
9 4 16 Л 25 4
Доказать, что директрисы гиперболы проходят через- основа-
’ ния перпендикуляров,.опущенных из соответствующих фокусов на
асимптоты. Выразить расстояние d от фокусов гиперболы до асимптот
через полуоси гиперболы.
815. Пусть N— переменная точка данной гиперболы, О — ее
центр, a F — один из фокусов. Найти множество всех точек, каждая
из которых является пересечением прямой ON с перпендикуляром,
опущенным из фокуса F на касательную к гиперболе в точке N.
816. Доказать, чтоотрезок любой касательной к гиперболе, заклю-
ченный между асимптотами, делится в точке соприкосновения пополам.
817. Доказать оптическое свойство гиперболы: касательная к ги-
перболе в произвольной точке М есть биссектриса угла F1MF2, где
Fj и F2 — фокусы гиперболы.
818. Доказать, что площадь неориентированного треугольника,
образованного асимптотами гиперболы
х2 у2 ____.
о2 t>2
и произвольной касательной к гиперболе, есть величина постоянная,
равная ab.
819. Доказать, что касательные, проведенные из фокусов гипер-
болы к окружности, построенной на действительной оси, как на диа-
метре, пересекают асимптоты в точках касания.
820. Найти множество всех точек, каждая из которых симметрич-
на фокусу Fx гиперболы относительно некоторой касательной.
821. Доказать, что окружность, диаметром которой служит фо-
кальный радиус любой точки гиперболы, касается окружности, по-
строенной на действительной оси гиперболы, как на диаметре.
110
§ 32. Парабола
1. Определение и основные свойства параболы
I 822. Определить координаты фокуса F и составить уравнение дирек-
трисы для каждой из следующих парабол:
а) у2 = 6х; б) х2 = —4у; в) у2 — —2х;
г) х2 == 3$ (д) 2х2 — Зу = 0; е) Зу2 + 16х = 0.
823. Составить каноническое уравнение параболы в каждом из
следующих случаев: а) расстояние от фокуса, лежащего на оси Ох,
до вершины равно 4; б) парабола симметрична относительно оси
абсцисс и проходит через точку М. (1, 2); в) парабола симметрична
относительно оси ординат и проходит через точку М (5, 1).
824. Составить каноническое уравнение параболы в каждом из
следующих случаев:
а) фокус имеет координаты (3, 0);
б) фокус имеет координаты (0, 5);
в) директриса имеет уравнение х + 15 = 0;
г) директриса иадеет уравнение у + 12 = 0.
, 825. Вычислить фокальный радиус1 FM точки М параболы
у2 = 8х, если ее абсцисса равна 8. Здесь F — фокус параболы.
826. На параболе х2 — —12у найти точку, фокальный радиус
которой равен 9 (см. задачу 825).
827. Подострым углом к горизонту брошен камень, который, дви-
гаясь по параболе, упал на расстоянии 24 м от начального положения.
Определить параметр траектории, зная, что наибольшая высота, до-
стигнутая камнем, равна 6 м.
828. Определить площадь неориентированного треугольника, у
которого одна вершина принадлежит директрисе парабол^ у2 = 2рх,
а две другие служат концами хорды, проходящей через фокус и пер-
пендикулярной к оси Ох.
829. Вычислить длину стороны правильного треугольника АВС,
вписанного в параболу с параметром р, в предположении, что точка А
совпадает с вершиной параболы.
830. Найти длины сторон треугольника, вписанного в параболу с
параметром р, если одна вершина совпадает с вершиной параболы, а
ортоцентр — с фокусом.
831. В каждом из следующих случаев составить каноническое
уравнение параболы, заданной в полярной системе координат:
2 — 2 cos <р 1 — cos <р
1 Фокальным радиусом точки М параболы называется длина отрезка FM, где
F — фокус.
Ш
Предполагается, уто за полюс принйт фокус параболы, а за поляр-
ную ось — ось симметрии, направленная от директрисы к фокусу.
832. Написать уравнения парабол: а) у2 = 2х; б) у2 = 10х в по-
лярной системе координат, если полюс совпадает с фокусом пара- -
болы, а полярная ось — с осью Ох.
' 833; Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р (3, 1),
на которой парабола у2,.-= 4х отсекает хорду, серединой которой,
служит точка Р. -у
834. Найти множество середин всех хорд параболы у2 == Ърх,
.имеющих угловой коэффициент k =И= 0. \
835. Доказать предложение: если прямая у — kx + хй не парал-
лельна оси Ох, то, для того чтобы она была касательной к параболе
у2 2рх, необходимо и достаточно, чтобы р — 2kx0 = 0.
836. Доказать предложение: если прямая Ах 4- By 4- С = 0 не
параллельна оси Ох, то, для того чтобы она была касательной к пара-
боле у?"«= 2рх, необходимо и достаточно, чтобы В2р — 2АС = 0.
,88/. Составить уравнение касательной к параболе у2 = 8х в
точке (2, —4).
838i Написать уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент
k 0 и касающейся параболы у2 = 2рх.
, 839.; Написать уравнения прямых, имеющих угловые коэффици-
~ 1 ецтьк a) fei = б) k2 = —3; в) ks — 1 и касающихся параболы
у2 = 5х2.
840. Точка М называется внутренней точкой параболы, если лю-
бая прямая, проходящая через точку М, не параллельная оси пара-
болы, пересекает параболу в двух точках. Доказать, что точка
М (х, у) является внутренней точкой параболы у2 = 2рх тогда и толь-
ко тогда, когда у2 — 2рх < 0.
841. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему ко-
ординат, построить области, определяемые следующими системами
неравенств:
а)
у2 — 10х < О,
5х — Зу — 15 < 0,
у — 2 < 0;
б)
ха + 8у < 0,
2х 4- Зу + 6 < 0,
х Т" 2 0.
842. Найти кратчайшее расстояние от
до прямой х — у 4- 7 — 0.
точек параболы у2 = 12х
2. Некоторые
геометрические свойства параболы
843. Найти множество оснований перпендикуляров, опущенных
из фокуса параболы на все ее касательные.
844. Найти множество всех точек, каждая из которых симметрич-
на фокусу F параболы относительно некоторой касательной.
112
845. Найти множество точек, из которых парабола у2 = 2рх вид-
на под прямым углом.
846. Если из любой точки директрисы проведены к параболе две
касательные, то прямая, соединяющая точки касания, проходит через
фокус параболы. Доказать.
847. Доказать оптическое свойство параболы: всякая касательная
к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом точки и
с лучом, проходящим через точку касания и сонаправленным с осью.
848. Если три прямые: 1Ъ /2 и 18 — попарно пересекающиеся в
точках Alt А2 и Аа, касаются параболы, то ортоцентр треугольника
А^Ац лежит на директрисе данной параболы. Доказать.
849. Если АВ — хорда конического сечения, проходящая через
FA FB
фокус F, то число------- не зависит от выбора хорды. Доказать.
АВ
850. Доказать, что произведение длин перпендикуляров, опущен-
ных из концов любой фокальной хорды (т. е. хорды, проходящей че-
рез фокус) на ось параболы, имеет постоянную величину.
851. Прямой угол вращается около своей вершины’ совпадающей
с вершиной параболы. Доказать, что при этом, движении прямая, со-
единяющая точки пересечения сторон угла с параболой, тоже враща-
ется около некоторой точки, лежащей на оси параболы.
852. Из точки Р, принадлежащей внешней области параболы с
' фокусом в точке F, проведены две прямые, касающиеся ее в точках М
и М'. Доказать, что:
а) луч FP является биссектрисой угла MFM’;
б) биссектрисой угла МРМ’ является также биссектриса угла,
образованного прямой PF и прямой, проведенной через точку Р па-
раллельно оси параболы.
853. Пусть в точке М, не совпадающей с. вершиной параболы,
проведены касательная t и нормаль п, пересекающие ось Ох соответ-
ственно в точках Т- и N. Пусть, далее, И — проекция точки М на
ось Ох. Доказать, что: а) вершина параболы является серединой отрез-
ка НТ\ б) длина отрезка HN не зависит от Положения точки М на
параболе и равна параметру параболы.
§ 33. Некоторые множества точек, определяющие эллипс,
гиперболу и параболу
854. Отрезок постоянной длины г скользит своими концами по
двум взаимно перпендикулярным прямым. На отрезке или на его про-
должении взята точка Af, которая делит отрезок в отношении А. Най-
ти траекторию, которую описывает точка М.
855. Дана окружность Q с центром в точке О и радиусом г и пря-
мая I, проходящая через точку О. Отрезок постоянной длины г, рав-
ный радиусу окружности, скользит своими концами А и В соответ-
ственно по прямой I и окружности Q так, что при любом положении
< . Г
из
отрезка АВ, не перпендикулярного I, направления векторов АВ и
ОВ не совпадают. Найти траекторию, которую описывает точка М,
делящая отрезок АВ в постоянном отношении Л.
856. Через центр О двух концентрических окружностей проведе-
ны две взаимно перпендикулярные прямые I и т. Луч р, исходящий
из точки О, пересекает окружности в точках А и В. Через’ точку А
проведена прямая Г, параллельная прямой I, а через точку В — пря-
мая т', параллельная прямой т. Найти множество точек пересечения
прямых V и /и'. ‘
857. Прямая а перемещается так, что треугольник, образованный
ею с двумя взаимно перпендикулярными прямыми I и tn; сохраняет
постоянную площадь S. Найти множество точек, делящих в данном
отношении Л отрезок, отсекаемый на прямой а прямыми I и т.
858. Найти множество точек, для каждой из которых произведение
расстояний до двух пересекающихся прямых есть величина постоянная.
859. Найти множество центров окружностей, отсекающих от двух
взаимно перпендикулярных прямых отрезки, длины которых
равны 2а и 2Ь.
860. Два луча, исходящие соответственно из неподвижных точек
А и В и пересекающиеся в точке М, вращаются так, что абсолютная
-величина'разности углов при вершинах А и В в треугольнике АМВ
равна 1-. Найти множество точек М.
861. Найти множество центров всех окружностей, проходящих
через данную точку А и касающихся данной прямой I.
862. Найти множество центров всех окружностей, которые касаются
окружности радиуса г и проходят через точку А, лежащую внутри
данной окружности.
863. Определить множество центров всех окружностей, которые
касаются окружности радиуса г и проходят через точку А, лежа-
щую вне данной- окружности.
864. Найти множество точек М, для каждой из которых разность
расстояний до данной точки А и до данной прямой I равна а, где а —
постоянное положительное число.
865. Составить уравнение множества точек, для каждой из кото-
рых разность квадратов расстояний до фиксированной точки А и
фиксированной прямой I есть величина постоянная, равная ft2.
866. Даны прямая I, точка А, не лежащая на ней, и положитель-
ное число а. Найти множество центров всех окружностей, описанных
вокруг треугольников APQ, где Р и Q — две любые точки прямой I,
удовлетворяющие условию PQ — а.
867. Найти множество точек М, для каждой из которых сумма рас-
стояний до данной точки А и до данной прямой I равна а. Здесь а —
постоянное положительное число.-
868. Дана прямая / и окружность Q, которая касается прямой I
в точке А. Найти множество центров окружностей, касающихся пря-
мой I и окружности Q.
114
1
869. Дана прямая I и окружность О, которая не касается прямой I,
Найти множество центров окружностей, касающихся прямой I и
окружности Q.
870. Найти множество центров окружностей, касающихся двух
данных окружностей, из которых одна расположена внутри другой.
871. Составить уравнения множества центров окружностей, касаю-
щихся двух данных окружностей, из которых каждая расположена
вне другой.
872. На прямой I даны три точки А, В и С, где В лежит между А
и С. Найти множество точек пересечения касательных, проведенных
из точек А и С к окружностям, касающимся прямой I в точке В.
873^ Даны, прямая /, на ней точка А и числа а и Ь, причем
а > b > 0. Рассмотрим всевозможные точки Р и Q, для которых
АР = a, AQ = b и прямая / является биссектрисой Z_ PAQ.
Найти множество точек М, удовлетворяющих условию AM = АР +
+ AQ.
\
Глава VII
КЛАССИФИКАЦИЯ И ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ КРИВЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО ИХ ОБЩИМ УРАВНЕНИЯМ
§ 34. Приведение общего уравнения кривой второго
порядка к каноническому виду
1. Упрощение уравнения кривой путем поворота ^системы координат
)
С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой
системы координат привести к каноническому виду следующие урав-
нения .кривых второго порядка. Написать формулы преобразования
и изобразить данные кривые на чертеже.
874. 5х2 + 8ху + 5у2 — 9 = 0. •
875. 9х2 — 6ху‘ + у2 — УТОх — 3 ]Л10у = 0. "
876. 23х2 + 72ху + 2у2 + 25 = 0.
877. 4х2 — 4ху + у2 — 15 = 0. _
878. х2 + 2 ]/Зху + Зу2 — 2 УЗх + 2у = 0.
879. 5х2 — бху + 5у2 +16 = 0.
880. 34х2 + 24ху + 41у2 — 25 = 0.
881. 9х2 + 24ху + 16у2 — 40х + ЗОу = 0.
882. 2х2 + 12ху — 7у2 + 20 = 0.
883., х2 + 2ху + у2_= 0.
884. —17х2 + 2j/35xy + 17у2 = 0.
885. Зх2 — 2 УЗху + у2 + 4 = 0.
115
2. Упрощение уравнения кривой путем переноса начала координат
С помощью переноса начала прямоугольной декартовой системы
координат привести к каноническому виду следующие уравнения
кривых второго порядка. Написать формулы преобразования ко-
ординат и изобразить данные кривые на чертеже.
, 886. 2х2 — 8х + 4у + 9 = 0.
887. х2 + бу2 — 6х 4- 12у 4- 13 == 0.
888. х2 4- 2х^+ 4у 4- 5 = 0.
889. х2 4- у8 — 2х 4* бу 4- 9 = 0. \
V 890. х2 — — у2 — х — -у — 1 = 0.
4 J 2-
891. у2 — 2х — 10 = Q.
Г 892. х2 — 6х — 4у 4- 5V 0.
. 893. х2 + 2у2 — 4х — 12у 4* 23 = 0.
<. 894. х2 — 10х 4- 26 = б.
895. 4х2 4- 9у2 — 8х — 32 = 0.
< , 896. х2 — 4у2 — 4х — 8у — 4 = 0.
' 897. х2 — 2у2 4- 2 У3х + 20у — 47 = 0.
898. х2 — у2 — 20у — 105 = 0.
»
3. Приведение уравнения кривой к каноническому виду
С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой
' системы координат и переноса’ИаЧала привести к каноническому виду
следующие ниже уравнения кривых и написать формулы преобразо-
вания координат.
899. 29х2 4- 144ху4- 71у2 — 40х 4- ЗОу — 50 = 0. ' , ,
900. 40х24т36ху4-25у2 —8х—14у 4-1 =]0. ’Ь
901. ху 4- 2х 4- у + = 0. ' _
902. 9х2 —24ху 4-16у2 —20х 4- П0у — 50 = 0. z
903. 9х2_4- 16у2 — 24ху 4- ЗОх — 40у —25 = 0.
' 904. ]/Зх2 — ]/Зу2 4- 2ху — 2х — 2 )/Зу = 0.
905. 9х2 4- бу2 4- 4ху + 2х — 4у — 4 = 0.
906. 9х2 — бху 4- у2 — 3 У 10х — 9 У 10у — 90 = 0.
907. 25х2 4- 40у2 4- Збху — 34х — 116у 4- 89 = 0.
908. 16Х2 4- 9у2 — 24ху 41 66у — 88х 4- 121 = 0.
909. 9х2 4- 4у2 — 12ху 4- 39 = 0.
ч
§ 35. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
Асимптотические направления и асимптоты
Если кривая в общей декартовой системе координат задана урав-
нением
йцХ2 4- 2а12ху 4- а22у2 4- 2alsx 4- 2028у 4- а83 = 0, (1)
116
то ненулевой вектор {р1г р2}, координаты которого удовлетворяют
уравнению
. fliiPl + ZaisPiPz + a22pl = 0, (2)
называется вектором асимптотического направле-
ния. Если 12 — Оп^га — aia2 < 0, то кривая имеет два асимптоти-
ческих направления; при /2 = 0 — одно асимптотическое направле-
ние, а при /2 > О действительных асимптотических направлений нет.
Прямая, содержащая вектор асимптотического направления, на-
зывается прямой асимптотического направления. Прямая асимптоти-
ческого направления называется асимптотой, если она. либо
вовсе не пересекается с кривой, либо всеми точками принадлежит ей.
' Если вектор р {ръ р2} имеет асимптотическое направление, то точки
асимдтот, параллельных р, определяются уравнением
—' Pi («и* + «12У + «13) + Р2 («21 + «22У + а28) = 0. (3)
1. Пересечение кривой ч: прямой. Касательная
910. Найти точки пересечения кривой1 х2 — 2ху — Зу2 — 4х —
— бу + 3 = 0 с прямыми:
а) х = t, у = 5t — 5; б) х = 3/.+ 6, у = t + 2.
911. Найти точки пересечения кривой второго порядка х2 — 2ху -|-
+ у2 — 4х + 4 = Y) в случаях: а) с прямой х + у — 2 = 0; б) с осью
Ох; в) с осью Оу.
912. Через точку (1, 0) провести касательные к кривой
Зх2 + 7ху + 5у2 — 2х — 2у = 0.
913. Через начало координат провести касательные к кривой
х2 — 4ху + 4у2 + 2х — бу + 16 = 0.
914. К кривой х2 — бху + 9у2 — 12х + 4у + 20 = 0 провести
касательные, параллельные'прямой х.— 2у + 7 = 0.
2. Асимптотические направления. Асимптоты
' 915. Найти векторы асимптотического направления для. следую-
щих кривых второго порядка:
а) 4х2 — 5ху + у2 — Зх + 7 = 0;
б) х2 — бху + 9у2 — 12х + 14у — 7 = 0;
в) х2 + 2ху + 5у2 — Зх + 5 = 0;
г) х2 — 2ху + 5х — у = 0; _
д) у2 + 5х — Зу — 1=0;
1 Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается общей •
декартовой.
117
е) 4х2 — Зху— у® — х — 2у + 1 — 0.
, 916. Написать уравнения асимптот следующих кривых второго
порядка:
а) 2х2 + Зху + у2 — 2х + у — 0;
б) 2Х2 — Зху — х + Зу + 4 = 0;
в) Зха + Юху + 7у2 -j- 4х + 2у + 1 = 0;
г) 2х2 + ху + у2 + 11х — 4у + 5 = 0;
д) х2 + 2ху + у2 — х — у — 0.
917. Пусть кривая в общей декартовой системе координат дана
уравнением (1), стр. 116, коэффициенты которого удовлетворяют усло-
виям /2 = 0, /3 = 0, где
ап а12
#21 #22
а11 a12 alS
#21 #22 #23
#31 #32 #33
Доказать, что если координаты вектора р {ръ р3} удовлетворяют ус-
ловиям fliiPi + а12р2 = 0, а21рг + а22р2 = 0, то прямая, содержа-
щая этот, вектор, является асимптотой кривой.
918. Назвать кривые второго порядка, имеющие:
а) два асимптотических направления и две асимптоты;
б) одно асимптотическое направление и бесчисленное множество
асимптот;
в) одно асимптотическое направление и ни одной асимптоты.
919. Кривая задана общим уравнением (1), стр. 116. При каком
условии: а) ось Ох имеет асимптотическое направление относительно
данной кривой; б) ось Ох является асимптотой данной кривой; в) оси
координат являются асимптотами кривой?
920. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку
(0, —5) и имеющей асимптоты х — 1=0, 2х — у+1 =0.
921. Написать уравнение кривой второго порядка, для которой
оси координат являются асимптотами и которая: а) проходит через
начало координат; б) проходит через точку (1, 2).
§ 36. Диаметр и центр кривой второго порядка
1. Диаметр кривой второго порядка
e,i hi 4. Ц
922. Для кривой х2 — Зху + 2у2 — 4х — 2у + 5 = 0 определить
диаметры, сопряженные Виктором: а) {1, 2}; б) р2 {4, —2};
в) р3 {2, —3}. •
923. Для кривой 4х2 — бху + у2 — 8у + 1 = 0 определить ди-
аметр, проходящий через точку (0, 1).
118
924. Найти диаметр кривой х2 — 2ху + 4у2 — 6х 4- 2у — 7 — 0:
а) сопряженный оси Ох; б) сопряженный оси Оу.
925. Дана кривая второго порядка (ах 4~ ₽У + т)2 4~ 2 (Ах 4-
4- By 4- С) = 0. Доказать, что прямая ах + Ру + у = 0 являет-
ся одним из, диаметров кривой.
926. Ответить на следующие вопросы:
а) Для каких кривых все диаметры параллельны?
б) Для каких кривых все диаметры совпадают?
в) При каком условии ось Ох является одним из диаметров данной
кривой, если кривая задана общим уравнением (1), стр. 116?
2. Центр кривой второго порядка
927. Найти центр для каждой из следующих кривых:
а) Зх2 + бху 4* У® — 8х— Ну — 7=0;
б) 4ха — 4ху + у2 — 6х + 8у 4- 13 = 0;
-в) х2 —2ху 4- У8 — 6х 4- бу — 3 = 0;
г) Зх2 — 12ху + бу2 4- 2х — 2у 4- 5 = 0;
д) Зх2 — 2ху 4~ Зу2 4~ 4х 4- 4у — 4 = 0;
' е) х2 4- 4ху 4- 4у2 — 0.
928. Кривая задана уравнением (1), стр. 116. При каком условии
она имеет хотя бы один центр, совпадающий с началом коорди-
нат?
929. Доказать, что если кривая ^второго порядка имеет две непа-
раллельные асимптоты, то их точка пересечения есть netffp кривой.
930. Найти общий диаметр двух кривых второго порядка 4х2 —
— 2ху 4- У2 — 2х — 4у = 0 и х2 — 2ху 4- бу2 4- Юх — 2у 4- 7 = 0.
931. Найти уравнение диаметра кривой х2 4- бху 4* У2 4~ 6х 4~
4- 2у — 5 = 0, проходящего через точку (2, 1).
932. При каком условии ось Ох является линией центров кривой
второго порядка, заданной уравнением (1), стр. 116?
933. Доказать, что если кривая имеет линию центров, то она рас-
падается на пару параллельных или слившихся прямых.
934. Доказать, что если центр Мо кривой принадлежит этой кри-
вой, то кривая является распадающейся.
935. Доказать, что если вершины параллелограмма лежат на
кривой второго порядка, то центр параллелограмма является центром
этой кривой.
936. Доказать, что не существует параллелограмма, вершины ко-
. торого принадлежат некоторой параболе.
119
§ 37. Сопряженные направления.
Главные направления и главные диаметры
1. Сопряженные направления и сопряженные диаметры
937. Направления двух ненулевых векторов р {ръ р2} и q {qlt q8}
называются сопряженными относительно кривой второго порядка (1),
стр, 116, если координаты векторов удовлетворяют условию
, „ 4" агаРа<7а — 0.
Дана кривая второго порядка х2 4- ху + 2у2 — Зх 4~ 4у — 1 = 0
и векторы «1Д1, 1}, а2 {2, 3}, а8 {—1, 1}, а4 {2, 0}. Определить
векторы Дь аг, Оз и а& сопряженные соответственно векторам
®2> ®3»
938. Найти направление хорд, сопряженных диаметру 2х 4- У —
— 3 = 0 относительно кривой х2 4- ху 4- 2у2 — Зх 4- 4у — 1 = 0.
939. Написать уравнения двух сопряженных диаметров кривой
ху — у2 — 2х 4- Зу 4- 3 = 0, один из которых параллелен оси Оу.
940. Составить уравнения двух сопряженных диаметров кривой
х2 — бху 4- 2у2 — 6х — 7 = 0, один из которых параллелен прямой
х — 4у 4~ 5 = 0.
941. Найти два сопряженных диаметра кривой ха — 8ху — 6х —
— 2у 4~ 5 = 0, один из которых проходит через точку (—1, —2).
942. Определить зависимость между угловыми коэффициентами *
сопряженных направлений (см. задачу 937):
а) эллипса-----h — = 1; б) гиперболы------2— = 1.
а2 & 4 а2 Z?2
943. Найти уравнения и длины двух сопряженных диаметров
Ж2 V2
эллипса------1-— =1, один из которых проходит через точку (3, 1).
9 4
944. Составить уравнения двух сопряженных диаметров гипер-
X2 V2 с
болы —----= 1, угол между которыми равен 45 .
945. Написать уравнение диаметра параболы у2 = 4х, проходя-
щего через середину хорды, отсекаемой параболой на прямой 4х 4~
4- Зу — 12 = 0.
2. Главные направления и главные диаметры
946. Найти главные направления следующих кривых второго по-
рядка, заданных в прямоугольной декартовой системе координат:
а) х2 — 4ху 4- 4уа — 5х 4- Юу 4-6 = 0;
б) 5х2 4- 8ху 4- 5у2 — 18х — 18у 4-9 = 0;
в) 2ху — 4х 4- 2у — 3 = 0;
г) х2 — 4ху 4- 4у2 — 5х 4- 6 = 0;
д) х2 4- ху 4- 2у2 — Зх 4- У = 0.
120
947. Определить оси линйй второго порядка, заданных в пре-
дыдущей задаче.
948. При каком условии все направления являются главными от-
носительно данной кривой второго порядка, заданной уравнением (1),
стр. 116, в прямоугольной декартовой системе?
949. Кривая дана в прямоугольной декартовой системе уравне-
нием (1), стр. 116. Сформулировать условия, при которых: а) ось Ох
является главным диаметром; б) начало координат лежит на главном
диаметре.
950. Найти главные диаметры: а) пары пересекающихся прямых;
б) пары параллельных прямых.
951. Доказать теорему: для того чтобы вектор р {ръ рй} был век-
тором и главного и асимптотического направлений относительно кри-
вой (1), стр. 116, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись со-
отношения: auPi + а12р2 — 0, a21pt + а^2рг — 0.
952. 'Найти все кривые второго порядка, имеющие векторы од-
новременно главного и асимптотического направлений.
953, Найти оси следующих парабол:
а) 4х2 + 8ху 4- 4у2 4- 10х + 2у — 11 =0;
б) 4х2 — 4ху 4- у2 —- 4х — 4у 4- 7 = 0;
в) х2’4- 2ху 4- у2 — 6х — 2у —• 3 = 0;
г) 4х2 — 12ху 4- 9у2 — 8х 4- 2у — 7 = 0.
954. Для каких кривых асимптота одновременно является глав-
ным диаметром?
955. Доказать теорему: для того чтобы кривая (1), стр. 116, бы-
ла параболой с вершиной в начале координат, необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты уравнения удовлетворяли условиям:
а) а!з 4-«1з 0, а83 = 0;
б) ранг матрицы (аи 012 -равен единице.
\«21 «22 «13/
§ 38. Определение вида кривой в общей декартовой
системе координат
956. Используя понятие асимптотических направлений, показать,
что кривая х2 — х 4- У = 0 не эллипс и не гипербола, а кривая ху 4-
4- х 4- 1 = 0 не парабола и не эллипс.
957. Доказать предложение: для того чтобы кривая, заданная
уравнением (1), стр. 116, была распадающейся, необходимо и доста-
точно, чтобы /8-= 0 (см. задачу 917).
958. Доказать предложение: для того чтобы кривая, заданная
уравнением (1), стр. 116, была гиперболой, необходимо и достаточно,
чтобы /2 < 0, /3 #= 0 ,(см. задачу 917).
959. Доказать предложение: для того чтобы кривая, заданная
121
уравйением (1), стр. 116, была параболой, необходимо и достаточно,
чтобы /2 == 0, /8 #= 0 (см. задачу 917).
960. . Доказать предложение: для того чтобы кривая, заданная
уравнением (1), стр. 116, распадалась на две параллельные или
слившиеся прямые, необходимо и достаточно, чтобы /2 — /8 = О
(см. задачу 917).
961. . Кривая, заданная в общей декартовой системе координат
уравнением х2 4* у2 = 1, является эллипсом. Доказать.
962. Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой системе
координат уравнением х2 — у2 = 1, является гиперболой.
963. Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой систе-
ме координат уравнением у3 = 2рх, является параболой.
964. Показать, что каждая из следующих кривых распадается на
пару прямых. Написать уравнения этих прямых:
а) 2х2 4- ху — у2 4- 5х — у 4- 2 = 0;
б) 2х2 4- 2ху 4- Зх — 2у — 5 = 0;
в) х2 — 4ху + 4у2 + 2х — 4у — 3 = 0;
г) х2 + бху + 9у2 — 6х — 18у = 0;
д) 4х2 + 12ху + 9уа — 6х — 9у — 10 = 0.
965. Используя критерии,, сформулированные в задачах 957—960,
определить вид следующих кривых, заданных в общей декартовой
системе координат:
а) Эх2 — 14ху + бу3 + 6х — 8у 4- 2 = 0;
б) у2 — бу 4- 4х + 5 = 0;
в) 12ху 4- 5у2 — 12х — 22у 4- 19 = 0;
г) 4х2 — 4ху 4- Уа — 15 = 0.
§ 39. Аффинные преобразования кривых
второго порядка
966. Доказать, что при любом аффинном преобразовании: а) эл-
липс переходит в эллипс; б) гипербола переходит в гиперболу; в) па-
. рабола переходит в параболу.
967. Убедиться в том, что любые два эллипса аффинно эквивалент-
ны.
968. Доказать, что любые две гиперболы аффинно эквивалентны.
969. Доказать, что не существует аффинного преобразования,
которое: а) эллипс переводит в гиперболу; б) эллйпс переводит в па-
раболу; в) гиперболу переводит в параболу.
970. Пусть кривая второго порядка Г при данном аффинном пре-
образовании переходит в кривую Г'. Доказать, что:
а) если С —, центр кривой Г, то образ С точки С является цен-
тром кривой Г';
б) если d — диаметр кривой Г, то образ d' прямой d является диа-
метром кривой Г'\
в) если Z — асимптота кривой Г, то образ V прямой I является
асимптотой кривой Г'.
122
971. Доказать, что если у двух эллипсов (гипербол) полуоси
пропорциональны, то эти эллипсы (гиперболы) подобны.
972. Доказать следующие предложения: а) если у двух эллипсов
эксцентриситеты равны, то эти эллипсы подобны; б) если у двух
гипербол эксцентриситеты равны, то эти гиперболы подобны.
973. Доказать, что любые две параболы подобны.
974. Эллипс задан каноническим уравнением
у2 «|2
±__|_ у_= 1.
с? 6а
Записать общий вид аффинного преобразования, которое данный
эллипс преобразует в тот же эллипс. Показать, что множестве всех
преобразований, переводящих данный эллипс в себя, образует под-
группу группы аффинных преобразований.
975. Гипербола задана каноническим уравнением
ха у2 _ ।
а2 Ь2 ~
Записать общий вид аффинного преобразования, которое данную
гиперболу переводит в ту же гиперболу. Показать, что множество
Ёсех этих преобразований образует подгруппу группы аффинных
преобразований.
976. Парабола задана каноническим уравнением. Записать общий
вид аффинного преобразования, которое данную параболу переводит
в себя. Показать, что множество всех этих преобразований, образу-
ет подгруппу группы аффинных преобразований.
977. Найти всё преобразования подобия, которые данный эллипс
(гиперболу) с неравными осями переводят в себя. Образуют ли эти
преобразования группу?
978. Парабола задана уравнением у2 = 2рх. Записать общий
вид аффинного преобразования, которое данную параболу переводит
в себя, вершину О оставляет неподвижной, а ось параболы переводит
в ту же прямую. Показать, что множество эуих преобразований об-
разует подгруппу > группы аффинных преобразований.
979. На эллипсе дана точка Мо. Найти множество середин всех
хорд эллипса, один из концов которых совпадает с точкой Мо.
980. Через одну из вершин гиперболы проведены всевозможные
хорды. Найти множество их середин.
981. Пусть d ^прямая, содержащая большую ось эллипса. До-
казать, что при сжатии к прямой d с коэффициентом k < 1 данный
эллипс преобразуется в новый эллипс. Выразить эксцентриситет в'
образа данного эллипса через е исходного эллипса и коэффициент сжа-
тия k\ доказать, что в' > 8.
982. Даны оси ЛХЛ2 и ВуВ2 эллипса (AtA2 > ВуВ^. Циркулем
и линейкой построить касательные, проведенные из данной точки Р к
эллипсу.
983. Даны прямая I и оси эллипса ЛХЛ2 и ВгВ2 с центром в
точке О пересечения отрезков ЛХЛ2 и ВХВ2. Пользуясь циркулем
и линейкой, построить точки пересечения эллипса с прямой Z.
' ' Раздел второй .
ПРЯМЫЕ ЛИЙИИ, ПЛОСКОСТИ И КВАДРИКИ
В ЕВКЛИДОВЫХ И АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Глава VIII
МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВЕКТОРНОЕ
И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 40. Координаты точек. Решение простейших
задач в координатах
1. Метод координат в пространстве1. Простейшие задачи
984. Вершины четырехугольника находятся в точках А (1, —3,
—2), В (8, 0, —4), С (4. 8, —3), D (—3, 5, —1). Показать, что
ABCD — параллелограмм.
985. Даны три вершины параллелограмма А (2, 5, 4),. В (0, 1, 0)
и С (4, 1, 3). Найти координаты четвертой вершины D.
986. В параллелепипеде ABCDAj^CJ^ даны координаты че-
тырех вершин А (2, —1, 1), В (1, 3, 4), (4, 2, 0), D (6, 0, 1).
Найти координаты остальных вершин.
987. Дана точка М (2, —1, 1). Определить координаты точек,
симметричных с тачкой М: а) относительно начала координат; б) от-
носительно координатных плоскостей Оху, Охг, Оуг; в) относитель-
но координатных осей Ох, Оу, Ог.
• 988. Даны координаты вершин треугольника АВС, а именно А (2,
3, —1), В (3, 0, —1), С (1, 1, 1). Определить координаты вершин
треугольника, симметричного треугольнику АВС:
а) относительно начала координат; t
, б) относительно координатных плоскостей Оху, Охг и Оуг;
в) относительно координатных осей Ох, Оу, Ог. ч
989. Даны тройки точек:
а) Аг (3, 2, 1), Вг (5, 3, —2), С\ (1, 1, 4);
б) А2 (1, —3, 5), В2 (3, —1, 7), С2 (0, 4, 3);
в) А3 (-1, 0, 4), В3 (2, 3, 1), С3 (8, 9, -5);
г) А* (3, 0, —8), В4 (1, 3, 4), С4 (0, —2, 1).
1 Во всех задачах данного параграфа, где нет специальных огрвброк, предпола-
гается, что выбрана общая декартова система координат.
124
Указать среди них тройки точек, лежащих на одной прямой.
990. Выяснить, какие из данных четверок точек лежат в одной
плоскости:
а) Л, (0,0, -1), О, Сх(0, 1, 2), Dt(l, 1, 1);
б) Л2 (1, 7, 8), В2 (3, 5, 6), С2 (—1, 4, 4), £>2 (0, 7, 6);
в) А3 (1, 1, 0), В3 (—1, 2, —1), С3 (0, —1, 0), D3 (—3, —3, 2);
г) Л4 <1, 2, 2), В4 (0, 3, 3), С4 (2, —5, —1), О4 (—1, —2, 2).
• 991. Даны четыре точки А (2, 4, 3), В (0, 0, 5), С (4, 1, 6) и
D (—2, 3, 2). Доказать, что прямые АВ и CD пересекаются, и найти
координаты точки пересечения.
992. Найти:
а) расстояние между точками (1, 2, 3) и Л2 (1, —2, 0),
Вх (2, —3, 1) и В2 (1, —3, 8), (—1, —1, 0) и С2 (2, 3, Уб);
б) расстояние от начала координат до точек М (1, —3, У15),
N (0, 2, 3), Р (3, У7, —3), Q (1, —5, 6).
• 993. Доказать, что треугольник с вершинами в точках
А (3, 5, —4), В (-V1, 1, 2), С (—5, —5, —2) является равнобед-
ренным.
994. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находят-
ся в точках А (7, 2, 4), В (4, —4, 2), С (6, —7, 8), D (9, —1, 10),
является квадратом.
«#995. Определить радиус сферы, проходящей через точку
(—2, 0, 2) и имеющей центр в точке (1, 1, 6).
996. Даны вершины треугольника А (2, —1, 4), В (3, 2, —6),
С(—5, 0, 2). Вычислить длину его медианы, проведенной из вер-
шины А.
997. Даны четыре точки своими координатами: (0, 1, —1),
Л12 (1, 0, 1), А43 (—1, 1, 0), М4 (1, — 1, 1). Найти точку, одинако-
ва удаленную от данных точек.
998. Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит
через точки (Q, 0, 0), (0, 2, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 3).
999. На прямой I взяты последовательно точки Аъ Л2, Л8, Д4,
А6, Ае так, что AjAg = А3А3 — А3АЛ — Л4Д5 = А6Ае. Зная ко-
ординаты точек А3 (1, —1, 2) и Л*в (2, 1, —4), определить коорди-
наты остальных точек.
1090. На прямой, проходящей через точки А (1,0,4) и В (3, —1, 2),
найти точку С.такую, чтобы АС — ЗАВ и точка В лежала между
точками Л и С.
'1001. Найти отношение, в котором каждая из координатных пло-
скостей делит отрезок АВ-. А (2, —1,7) и В (4,5, —2).
2. Центр тяжести системы материальных точек
1002. Показать, что в общей декартовой системе координат ко-
ординаты центра тяжести треугольника равны средним арифмети-
ческим соответствующих координат вершин. Найти координаты
125
центра тяжести следующих треугольников: а) (1, —3, 4), Bt (2,
-2, -1)/ ^,(0/ -1* 3); б) Да(7, 1, 4), В2 (3, 0,2), Са (2, 2, 1).
1003. Доказать, что координаты центра тяжести п материальных
точек (хъ уъ ?i), А2 (х2, у2, г2).....Ап (х„, уп, гп), в которых со-
средоточены массы mlt та.............. тп, определяются соотношениями1
х _ tn^i 4- mBxa + ... + тпхп
t»i + т2 + ... + тп
у = т1У1 + тгУ3 + - + тпУп
т1 + «2 + - + тп
г = migi + ”V2 + ... + mnzn
п/j -f~ т2 4-... 4- tnn
Пользуясь полученной формулой, найти координаты центра тя-
жести системы материальных точек в каждом из следующих слу-
чаев:
а) Дх (3, 0, 3), Аа (—1, 2, 1), Аа (2, 1, 4), Л4 (1, —2, —1);
та = 10 г, та = 15 а, т3 — 30 г, = 25 г;
б) At (1, —1, 3), А2 (0, 1, 4), А9 (—3, 5, 2), Ai (1, 0, 6), А6 (0,
0, 0); тх= 1 г, т2= 5 г, т3— 2 г, т^— 2 г, т5 == 3 г.
1004. Даны п точек своими координатами Лг (хь ylt zx),
Ла (ха, у2, z2),..., Ап (хп, уп, гп). Определить координаты центроида
этих точек (см. задачу 53).
1005. Доказать, что центр тяжести стрежневого правильного те-
траэдра совпадает с центроидом вершин тетраэдра.
3. Формулы преобразования координат
1006. Написать формулы преобразования общей декартовой си-
стемы координат в пространстве, если даны координаты нового начала
и новых координатных векторов в старой системе:
а) {1, 0, 0}, е2 {2, 4, 0}, еЦ—3, 1, |}, О' (0, 0, 0);
б) е{ {—1, 1, 0}, е2 {2, —1, 0}, е'3 {0, 0, 5}, О' (5, 0, —2);
в) е{ {—1, 0, 0}, е2 {0, 1, 0}, е'3 {0, 0, —1}, О' (1/1, 2);
г) е[ (1, 0, 0}, е2 (0, 1, 0}, е3 {0, 0, 1}, О' (2, 5, —1);
,д) е\ {1, 3, 0}, е2 {0, —3, 1}, е3 {1, 1, —2}, О' (0, 3, —1).
1007. Пусть ABCDА’В'CD' — некоторый куб, О — точка'пе-
ресечения диагоналей. Написать формулы преобразования координат
точек, если Дехе2е8—Ьтарая система, а Ое\е2е3— новая си-
стема, где ех = АВ, еа = AD, еа = АА', e'i — ОА, е'2 = ОВ,
е'з — ОС (рис. 40).
1008. Дан тетраэдр ОАВС. Написать формулы преобразования ко-
ординат точек при переходе от общей декартовой системы О, =
1 Ср. с задачей 218.
126
= О А, ей — OB, е3 = ОС к общей декар-
товой системе О' — A, Ci — А0,в2 = АВ,
вз = АС.
1009. Определить координаты новых
векторов и нового начала в старой систе-
ме, если формулы преобразования имеют
вид:
а) х = х' — Зу' + г', * б) х' = х 4- 1,
у = х'+у', у'=у — 3,
z = х' + 1; г' = г;
в) X =х'—у' + г'4-1, г) X == у',
у——х'—y'-[-2z'+2, у = х',
z = г' — 3; ..z=x'+y'+z'+l’,
А е, в
Рис. 40
д) х = —х’ + 1,
У = -У' + 1,
z = г' 4- 1.
1010. Дан куб ABCDА'В'CD' со стороной, равной а (рис. 40).
Написать формулы преобразования при переходе от системы Ai jk
к системе Cl' j'k', если векторы I, J, k направлены вдоль лучей
АВ, AD, АА', а векторы Г, J', k' —вдоль лучей СВ', СС, CD'.
1011. Найти формулы преобразования координат при переходе
от прямоугольной декартовой системы Охуг к системе Ox’y’z', если
начало новой системы совпадает с началом О старой системы, ось Ог'
совпадает с осью Ог, лучи Ох' и Оу' являются соответственно биссек-
трисами углов хОг и уОг и новые координатные векторы являются
единичными.
§ 41. Векторное и смешанное произведения векторов
1. Векторное произведение1 .
1012. Преобразовать выражения: а) [(а — &)х(а + &)]; (б);[(®+
4- 2Ь — сУ(а — 2&)]; в) [а*(& 4- с •— а)].
х 1013. Определить координаты и модули векторов: а) (’а&];Чб) [ас];
в) [&d]; г) [da\; д) [ad\; е) [Ьс], если а {0, 1, 0}, & {2, Ч, 3),
с {0, 5, —2} d {1, 2, -3).
1014. Определить координаты векторов: а) [а [&с] ]; б) [ \ab\ с],
если а {1, 1, 0}, & {0, 3, 1}, с {2, 0, 1}.
1015. Пользуясь векторным .произведением, вычислить площадь
треугольника АВС в каждом из следующих случаев: а) А (2, 1, 0),
В (-3, —6, 4), С (—2, 4, 1); <б) А (4, 2, 3), В (5, 7, 0), С (2, 8,
—1); в) А (6, 5, —1), В (12, 1, 0), С (1, 4, —5).
1 Во всех задачах данного параграфа система координат предполагается прямо-
угольной декартовой.
127
1016. Найти расстояние от точки С (3, 2, —2) до прямой, про-
ходящей через точки А (1, 2, —3) и В (5, 2, 0).
1017. Моментом приложенной к точке А силы f относительно
точки В называется вектор р = [BAf]. Определить момент силы /
в каждом из следующих случаев:
а) /2, —4, 3, А (1, 5, 0), В (0, 0, 0);
б) /2, —4, 3, А (1, 5, 0), В (5, —3, 6);
в) /3, 0, 1, А (5, 2, 6), В (4, 5, 2).
1018. Показать, что:
а) момент силы относительно точки не меняется, если точку при-
ложения силы переместить по прямой, вдоль которой сила действует;
б) момент равнодействующей нескольких сил, приложенных к
одной и той же точке, равен сумме моментов составляющих сил от-
носительно той же точки.
о 1019. К каждой грани треугольной призмы восставлен перпенди-
кулярный вектор, направленный во внешнюю сторону призмы й име-
ющий модуль, равный площади соответствующей грани. Доказать,
что сумма всех построенных векторов равна нулю.
1020. К каждой грани произвольного тетраэдра восставлен пер-
пендикулярный вектор, направленный во внешнюю сторону тетраэд-
ра и имеющий модуль, равный площади соответствующей грани. До-
казать, что сумма всех построенных векторов равна нулю.
2. Смешанное и векторное произведения
1021. В параллелепипеде АВСВА^В&^Рх (см. рис. 5, стр. £)
репер ААЪ АВ и AD имеет левую ориентацию. Определить ориен-
тацию реперов: a) DA, DC, DDt; б) С{С, CjDlt С^; в) DjA^ DLD,
DJBr, г) ВА, ВВи ВС; д) FB, FD, ВАЪ где F — середина ребра AD.
1022. Вычислить произведения а — а (Ь 4- с) (а + b + с), Р-=
«= b (с + а) (Ь + 2с), о у = (а + &) (а + 2Ь + с) (с — а), если
abc — 5.
1023. Найти смешанное произведение и определить ориентацию
тройки векторов а, Ь, с в каждом из следующих случаев:
а) а {2, —3, 1}, b {1, 1, 2}, с {3, 1, —
о б) а {—2, 1, 5}, Ь {3, 0, 2}, с {—1, 4, 2};
в) а {1, —1, 1}, Ь {5, 2, —3}, с {1, 4, —2}.
® 1024. Вычислить аЬс и & [ас],'если а {2, —3, 1}, & {1, 1,*2},
с {3, 1, -1}.
1Л25.. Пусть а, Ь, с — произвольные векторы, а а, Р, у — про-
извольные числа. Доказать, что векторы аа — Р&, yb — ас, Рс —
—уа компланарны.
о 1026. Пусть а, Ь, с и d — произвольные векторы. Проверить
тождества:
128
a) [a&]2 + (л&)2 = «262;
б) [(а -&)(« + &)];= 2 [а&];
в) [ [ab] с] — b (ас) — а (Ьс);
г) [а&] [cd] — (ас) (bd) — (ad) (be);
Д) [а [be] ] + [ft [са] 1 4- к [ab] ] == 0.
1027. Доказать, что если I, J и k — взаимно перпендикулярные
единичные векторы, то для любых векторов а и b справедливо со-
отношение ]ab] = (abl) I 4- (abj) j + (abk) k.
1028. Если a1a2a3 — репер, состоящий из единичных векторов,
и ахага8 > 0, то репер pip2ps, где
О 1Д»Д»Г „ [°3О11 D [O1O2I
Л |[®вв8]|' |[«Л1Г 3 П«Л1Г’
Называется полярным по отношению к исходному реперу. Доказать,
что: a) pip2ps > 0; б) репер аха20з является полярным по отношению
к реперу PdM>s.
1029. В обозначениях предыдущей задачи выразить скалярные
произведения pi/>2, р2Рз и р3рх через скалярные произведения аха2,
^2^3 ^'3^'1*
1030. Из вершин Ао и Лх тетраэдра AgAjAzAg проведены прямые,
параллельные вектору р, которые пересекают противоположные
грани соответственно в точках Во и Bv Показать, что:
а)
ра2а3
Qigag3
б) А0В0 =------------------р.
ра2а3+а1ра3 + ага2р -
Здесь at = A0Alt i = 1, 2, 3,
3. Геометрические приложения 1
1031. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся
в точках:
а) А (2, —1, —1), В (5, —1, 2), С (3, 0, —3), D (6, 0, —1);
,б) А (0, 0, 0), В (3„ 4, —1), С (2, 3, 5), D (6, 0, —3).
•1032. Найти длину ^ысоты АН тетраэдра ABCD, вершины кото-
рого находятся в точках А (2, —4» 5), В (—1, —3, 4), С (5, 5, —1),
D (l, -2, 2).
v 1033. Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D', построенный на век-
торах АВ {4, 3, 0}, лВ {2, 1, 2} и АА' {—3, —2, 5}. Найти:
а) объем параллелепипеда; б) площади граней; в) длину высоты, про-
веденной из вершины А' на грань ABCD; г) косинус угла <рх между
ребром АВ и диагональю В'Ь; д) косинус угла ср2 между гранями
ABCD и ADD'А'.
а 1034. В треугольной призме АВСА'В'С' векторы АВ {0, 1, —1}
5 Заказ 290 129
и AC {2, —1, 4} определяют основание, а вектор АА' {—3, 2, 2}
направлен по боковому ребру. Найти: а) объем призмы; б) площади
граней; в) высоту; г) угол <р между ребрами В'С' и АА'.
91035. Дан тетраэдр, построенный на векторах АВ {2, 0, 0},
АС {3, 4, 0} и AD {3, 4, 2}. Найти: а) объем тетраэдра; б) площади
граней; в) длину высоты h, проведенной из вершины D; г) косинус
угла <рх между ребрами АВ и ВС; д) косинус угла <р2 между гранями
АВС и ADC.
f 1036. Дан треугольник координатами своих вершин: А (—1, 1, 2),
В{1, 1, 0), С (2, 6, —2). Найти: а) площадь треугольника: б) ко-
синусы Внутренних углов; в) длину высоты ВН и координаты век-
тора ВН; г) вектор а, коллинеарный биссектрисе угла А; д) коорди-
наты центра тяжести треугольника.
1037. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин:
А (2, —3, 1), В (—1, 1, 1), С (—4, 5, 6), D (2, —3, 6). Доказать,
что ABCD — плоский выпуклый четырехугольник. Найти: а) пло-
щадь четырехугольника; б) косинусы его углов; в) вектор а, колли-
неарный биссектрисе угла А; г) вектор ВН, где Н — основание пер-
пендикуляра, опущенного из точки В на прямую АС; д) координаты
центра тяжести четырехугольника. ,
4. Векторные уравнения
1038. Пусть а и b — произвольные векторы. Всегда ли имеет
решение уравнение [ах] = Ь? В случае, когда уравнение имеет ре-
шение, выяснить его геометрический смысл.
1039. Найти вектор х из системы уравнений: а) ха = а, [ха] =*
= b при b =# 0; б) ха = 0, xb = 0 при а ф 0, b ф 0. Написать
условия разрешимости этой системы.
1040. Найти вектор х, удовлетворяющий условию аЬх = а,
где а и b — данные векторы, а а — данное число. Всегда ли уравне-
ние имеет решение? Выяснить геометрический смысл.
1041. Пусть [ас] — [Ьс] при некотором с 0. а) Можно ли со-
кратить это соотношение на с, т. е. следует ли из предыдущего со-
отношения, что а = й? б) Ответить на тот же вопрос в предположе-
нии, что соотношение [ас] — [йс] имеет место для любого вектора с.
§ 42. Приложение метода координат к решению задач
элементарной геометрии
• 1042. Доказать, что диагонали параллелепипеда пересекаются в
одной точке и делятся в ней пополам.
1043. Если в неплоском шестиугольнике А^^АдА^А^ проти-
воположные стороны попарно параллельны, то диагонали, соединяю-
130
щие противопашжные вершины, пересекаются в одной точке и де-
лятся в ней пополам. Доказать.
1044. В неплоско^ четырехугольнике проведены три отрезка,
соединяющие соответственно: а) середины двух противоположных
сторон; б) середины двух других противоположных сторон; в) сере-
дины диагоналей. Доказать, что эти отрезки пересекаются в одной
точке и каждый из них делится этой точкой пополам.
• 1(045. Доказать, что во всяком неплоском четырехугольнике пря-
мые, соединяющие середины смежных сторон, образуют параллело-
грамм. -тс .
1046. В тетраэдре ABCD ребра АВ, AC, DB и DC разделены со-
ответственно точками М, N, Р и Q в одном и том же отношении X.
Доказать, что четырехугольник MNPQ — параллелограмм.
1047. Доказать, что диагональ ЛСХ параллелепипеда ДВСОЛ1В1С1£)1
проходит через центры тяжестей треугольников AXBD и BXDXC.
1048. Доказать, что две плоскости, проведенные через вершины
AXBD и CBxDlt делят диагональ ЛСГ параллелепипеда ABCDAtBiC^Dt
на три равные части.
1049. Пусть ребра АВ, АС и AD тетраэдра ABCD взаимно пер-
пендикулярны. Доказать, что центр сферы, описанной вокруг дан-
ного тетраэдра, лежит на прямой, соединяющей вершину А с центром
тяжести треугольника BCD.
1050. На сторонах АВ, ВС, CD, DA пространственного четырех-
угольника ABCD выбраны соответственно точки Ait Blf С1г Dx так,
что
AAt _DCt ADt _BBt _
1 АХВ CtC DtD Bfi r
Доказать, что четырехугольник, образованный точками Дъ В1г Си
Dx, плоский.
1051. Дан тетраэДр ABCD и точка S на ребре АВ. Доказать, что
середины отрезков AD, ВС, SD и SC лежат в одной плоскости.
1052. Вершина параллелепипеда и центры трех противополож-
ных для данной вершины граней служат вершинами пирамиды. Ис-
пользуя свойства смешанного произведения векторов, выяснить, ка-
кую часть объема параллелепипеда составляет объем этой пирамиды.
1053. Из вершины произвольного параллелепипеда проведены три
диагонали прилежащих граней. Пользуясь свойствами смешанного
произведения, установить, какую часть объема параллелепипеда со-
ставляет объем пирамиды, боковыми ребрами которой служат эти
диагонали.
1054 Дан тетраэдр ЛГЛ2Л3Л4 с медианами AxBlt А2В2, АЪВЪ,
AtBit где Bt — центроид грани, противоположной вершине At (см.
задачу 175). Доказать, что существует пространственный четырех-
угольник C^jCjjCY, удовлетворяющий условиям
CjCg = Л1В1, С2С3 = А2В2, С3Сь — А$В3, CtjCx = AJ^.
5*
131
Вычислить отношение объема тетраэдра C^C^Ci к объему тетраэдра
Л1А2А3Л4. /
1055. Дан тетраэдр ЛХД2Д3Д4 и вектор р, не параллельный ни
одному из его ребер. Через каждую вершину At параллельно векточ
ру р проводится прямая, которая пересекает плоскость противопо-
ложной грани в точке Bt. Доказать, что отношение объемов тетраэдров
В^ВдВ^ и А1А2А3А4 не зависит от выбора вектора р.
Глава IX
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 43. Составление уравнения плоскости
по различным заданиям
i
1. Задание плоскости в общей декартовой системе координат
1056. Определить координаты нескольких точек, лежащих в
плоскости Зх — 2у + г — 12 = 0.
1057. Определить координаты точки, имеющей абсциссу, равную
единице, и расположенной в плоскостях Охг и 2х — у + г — 6 = 0.
1058. Найти уравнение плоскости:
а) проходящей через точку А (2, 0, 3) и параллельной векторам <
Рг {1, 0, 1} и р2 {2, 1, 3};
б) проходящей через точку А (0, 0, 1) и параллельной векторам
Ру{2, 1, 5} и р2 {1, 0, 1}.
v 1059. Найти уравнение плоскости:
а) проходящей через точки (1, 2, 3), М2 (2, —1, 3) и парал-
лельной вектору р {1, 2Г 2};
« б) проходящей через точки Mt (—1, 0, 0), ТИ2 (0, 0, 1) и парал-
лельной вектору р {2, 1, 2};
в) проходящей через ось Ох и точку А (1, 1, 1).
1060. Найти уравнение плоскости:
а) проходящей через точки (1, 2, 3), М2 (2, ‘1, 3) и Ма (0,
-1. 2);
о б) проходящей через точки Мг (0, 0, 0), /И2 (1, 2, 3) и М3 (0,
3, 6).
1061. Дан тетраэдр ABCD. Приняв точку А за начало координат
и полагая = АВ, е2 = АС и е8 = AD, написать уравнения всех
граней тетраэдра и плоскости ECD, где Е — середина ребра АВ.
1062. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие
четверки точек: а) (3, 1, 0), (0, 1, 2), (—1, 0, —5), (4, 1, 5); б)о(2,
1, —1), (1, —1, 2), (0, 4, —2), (3, 1, —2); в) (0, 0, —1), (1, 3, 4),
(5, 0, —3), (4, 4, 1); г) (0, 0, 2), (0, 0, 5), (1, 1, 0), (4, 1, 2).
1063. Даны вершины тетраэдра А (4, 0, 2), В (О, 5, 1), С (4,
—1, 3) и D (3, —1, 5). Написать:
132
а) уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и параллель-
ной ребру CD-, > it»
о б) уравнение плоскости, проводящей через вершину А и парал-
лельной грани BCD. ' .
V 1064. Найти точки пересечения" каждой из следующих плоскостей
с осями координат:
а) 2х — у + 3z — 6 = 0; 5х + 2у 4- 5г — 10 — 0;
Л в) х — 2у + 4г + 4 = 0; r)x4-y4~z4-2 = 0.
Построив на плоскости изображение некоторой общей декартовой
пространственной системы координат, построить изображения точек
пересечения указанных плоскостей с осями координат, построить
изображения следов каждой из плоскостей.
1065. Указать особенности расположения следующих плоскостей
по отношению к системе координат:
а) х — э + 1 = 0; г) х 4- 2г ь= 0; ^ж) Зу 4- 5 = 0;
б) х 4- 2у 4- Зг = 0; #д) х — 3 = 0; * з) 2у — г — 0;
в) х — у 4- 2 = 0; ve)y4-z4-l = 0; <,и) z = 0.
• t
Построив на плоскости изображение некоторой общей декартовой
пространственной системы координат, построить изображения сле-
дов каждой из указанных выше плоскостей.
^1066.. Написать уравнения плоскостей:
а) проходящих через точку Л40(1, 2, —1) и параллельных каждой
из координатных плоскостей;
б) проходящих через две точки /Ит (1, 2, —4), Л12 (2, 0, —3)
и параллельных каждой из координатных осей;
в) прокодящих через точку Л1 (2, 1, —5) и через каждую из ко-
ординатных осей.
1067. Составить уравнения плоскостей, каждая из которых прохо-
дит через одну из осей координат и параллельна вектору р {1, —2, 3}.
1068. Написать «в отрезках» уравнения следующих плоскостей:
а) 2х — у 4- Зг 4- 2 = Q; б) у х — Зу 4- z 4~ 1 = 0; в) плоскости,
проходящей через точки Л4Г (1, J, 1), Л42 (3, 1, 5) и Л48 (1, 2, 3).
О 1069. Плоскость проходит через точку М (1, —2, 5) и отсекает на
.оси абсцисс направленный отрезок с длиной а — | —3 |, а на оси ап-
nj/икат отрезок с = 1. Составить для этой плоскости уравнение
«в отрезках».
1070. Написать уравнение плоскости:
а) параллельной оси Ог и отсекающей на оси Ох направленный от-
резок длиной а = 3, а на оси Оу направленный отрезок длиной b =»
= 1-41;
б) параллельной оси Ох и отсекающей на осях Оу и Ог равные
отрезки длиной а = Ь = 4.
1071. Составить уравнение плоскости, которая проходит через
точку М (3, 2, 4) и отсекает на осях отличные от нуля отрезки оди-
наковой длины.
133
О 1072. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат
дана плоскость Лх'4~ By 4- Сг + D = 0 и вектор р{а, 0, у}. До-
казать теорему: для того чтобы данная плоскость была параллельна
вектору р, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Аа + В0 + Су = 0.
1073. Пользуясь предыдущей задачей, выяснить, какие из век-
торов рх{1, —3, 4}, р2{0, 6, 4}, р3{—1, 0, 0}, р4{3, 0, 1} па-
раллельны плоскости х + 2у — 3z + 1 = 0. '
1074. В общей декартовой системе координат дана плоскость 2х —
— у + Зг 4- 5 = 0. Определить: J
а) координаты нескольких векторов, параллельных данной плос-
кости;
б) координаты нескольких векторов, параллельных одновременно
данной плоскости и одной из координатных плоскостей.
2. Задание плоскости
в прямоугольной декартовой системе координат
11075. Написать уравнение плоскости:
а) проходящей через точку Мо (2, 3 —1) и перпендикулярной
вектору п {1,- 2, —4}; ч
б) проходящей через начало координат и перпендикулярной век-
тору п {0, —3, 4}.
О 1076. Дан тетраэдр: А (—1, 2, 5), В (0, —4, 5), С (—3, 2, 1)
и D (1, 2,’ 4). Написать уравнения трех плоскостей, проходящих
через вершину D И перпендикулярных соответственно сторонам АВ,
ВС и СА.
1077. Найти множество точек, равноудаленных от точек А (2,
—1, 3) и В (4, 5, —3).
• 1078. Найти координаты нормальных векторов плоскостей:
• а) х + 2у — z + 1 = 0; в) у + 1 = 0;
б) х — Зг + 5 = 0; г) х — Зу + г + 4 = 0.
\
1079. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1, —1, 3), В (1, 2, 4) и перпендикулярной плоскости 2х — Зу 4-
4- z 4- 1 = 0.
1080. Написать уравнение плоскости:
а) проходящей через начало координат и перпендикулярной пло-
скостям 2х — у 4- Зг — 1 = 0, х 4- 2у 4~ z = 0; \
в б) проходящей через точку (1, 1, —2) и перпендикулярной пло-
скостям 2х 4- Зг = 0 и х — у + г — 1 = 0.
1081. Составить 'уравнение касательной плоскости к сфере х24~
4- у2 4- z2 = 49 в точке Л40 (2, —3, 6).
1082. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х —
_ 2)2 4- (у — З)2 4- (z 4- I)2 = 24 в точке Мо (0, 1, 3).
184
!
§ 44. Взаимное расположение плоскостей.
Пучок плоскостей >
1. Взаимное расположение плоскостей
' J
1083. Установить взаимное расположение следующих' пар пло-
скостей:-
' а) х — Зу + z + 1 = 0, 2х 4- у — 4г + 2 = 0;
б) Зх + у — г + 2 = О^бх + 2у — 2z + 3 = 0£
• в) /2х — у + Зг + /2 = 0. 2х — У2у + 3/2г + 2 = 0;
-.г) х + у + г — 1 = 0, х + у + г — 0. ' -
1084. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и параллельной плоскости: «а) 2х — 4у + 5г — 3 = 0;
б) 2у — 1г + 6 = 0; в) Зх + 5 = 0. ( ,
1085. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1, —3,5) и параллельной плоскости: а) Зх — у + г + 4 = 0;
б) х — Зу + 7 = 0; в) Зг — 4 = 0.
1086. Пусть в общей декартовой системе координат даны две
плоскости
fl А^х + В^у + Cxz + Dt — 0,
Л2х + В2у + С2г + £>2 = 0.
Доказать, чтр вектор
СП |СХ ЛИ |Л1
11В2 С21 IC2 ^2i IA z ^2
параллелен данным плоскостям й поэтому направлен вдоль их линии
пересечения.
1087. Даны две пересекающиеся плоскости х — Зу + 2г + 1 =0,
2х — у + г = 0. Определить:
а) координаты некоторой точки, лежащей на линии пересечения
данных плоскостей;
б) координаты вектора р, параллельного этим плоскостям.
1088. Показать, что плоскости 2х — у + г — 4 = 0, х + у — г—
— 2 = 0д 2х — у + Зг — 6 = 0 пересекаются в одной точке; най-
ти ее координаты.
1089. Показать, что плоскости х — у + г+1=0, 2х — у —
— Зг — 2 = 0 и 4х — Зу — г = 0 пересекаются по одной прямой.
1090. Показать, что плоскости х — у — г + 4 = 0, Зх — г +
+ 5 = 0, 5х + у — г+1 = 0 пересекаются по трем параллельным
между собой прямым.
• 1091. Указать особенности в расположении плоскостей в каждом
из следующих случаев:
а) Зх — у + -L г — 1 =0, 6х — 2у + г + 2 = 0, х + у — 5г +
+ 3-0; 2
1
х- , . 135
. б) 'х + у —- z + 1 = 0, х + у — z = О, —х — у + z — 1=0;
в) 2х — у + 3z — 1 = 0, 4х — 2у + 3г+ 1 = 0, —2х + у—
— Зг + 2 = 0.
1092. Показать, что четыре плоскости 5х — z + 3 = 0, Зу +
+ 2г — 1=0, 22х + Пу — 44z + 65 = О, Зх + 4у + 5z — 3 = _0
пересекаются в одной точке. Найти координаты этой точки.
1093. В общей декартовой системе координат даны три плоскости
У11Х + + С}2 -j- = 0,
А2х -j- /В2У + С2г + О2 = 0, ' '
Asx + В3у + C8z + Ds = 0.
При каких условиях, накладываемых на коэффициент^, эти плоско-
сти пересекаются в одной и только в одной точке, лежащей в плос-
кости Оху? I
1094. В общей декартовой системе координат даны две пересекаю-
щиеся плоскости
Лхх + Вгу + Сгг + Oj = 0, 7
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
При каком условии линия пересечения этих плоскостей пересека-
ется с осью Oz?
1095. В общей декартовой системе координат даны две пересекаю-
щиеся плоскости
' Atx + Bty + Сг2 + Dt = 0,
А2х + В2у + C2z + ,D2 = 0.
При каком условии линия пересечения этих плоскостей лежит в
плоскости Оху?
\ *
f
, е 2. Пучок плоскостей. *
1096. Плоскость л в прямоугольной декартовой системе координат
задана уравнением х + у — z + 1 = 0. Написать уравнение плос-
кости, проходящей через линию пересечения данной плоскости и
плоскости Oxz и которая была бы перпендикулярна плоскости
х — Зу -Ь z = 0.
» 1097. В прямоугольной декартовой системе координат даны урав-
нения граней трехгранного угла
4х + Зу — 5z + 16 = 0,
Зх — 2у — 4z + 7 = 0,
х + 4у — 2z + 5 = 0.
Написать уравнения трех плоскостей, каждая из которых про-
ходит через некоторое ребро и перпендикулярна противолежащей
грани.
1098. Через линию пересечения плоскостей 4х — у + 3z — 1 = 0,
х + 5у — z -i 2 = 0 провести плоскость:
136
а) проходящую через начало координат;
б) проходящую через точку (1, 1, 1);
в) параллельную оси Оу.
, 9 1099. Написать уравнение плоскости1, перпендикулярной плос-
кости 2х — Зу + г — 4 = 0 и пересекающей ее по прямой, лежащей в
плоскости дуг.
у 00. В пучке, определяемом плоскостями 2х — у + 5z — 3 = 0
И. х + у + 2г + 1 =0, найти две перпендикулярные плоскости, одна
из которых проходит через точку М (1, 0, 1).
! 1101. На плоскости Оху дана прямая I, имеющая в этой плоскости
уравнение Ах + By + С = 0. Цаписать уравнение плоскости, про-
ходящей через прямую I и точку Мо (0, 0, z0), где z0 0.
, § 45. Геометрический смысл линейных неравенств
с тремя неизвестными
1102. Даны точки 7ИХ (2, 5, 12), М2 (1, 0, 0), М3 (—1, —5, 4),
JW4 (—14, 22, 0), М5 (1,—5, 12), Л46 (0, 0, 5) и плоскости: а) 2х —
— У + z + 1 = 0; б) X — 2z + 12 = 0; в) х — 5у—13z+l=0;
г) х + у + 4z — 1=0; д) х + 5у + z + 25=0. Для каждой из дан-
ных плоскостей среди указанных точек выбрать те, которые ле-
жат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.
9 1103. Дана плоскость Зх — у + 4z + 1 =0. Указать, какие из
пар точек, приведенных ниже, лежат по одну и ту же сторону от дан-
ной плоскости: а) 0 (0, 0, 0) и Л (2, 1, 0); б) Лх (1, 2, 1) и Аа (5, 15,
—1); в) Вх (г-1, 2, —5) и В2 (—15, 1, 0); г) Сх (1, /2, 5) и С2 (1,
15, —15).
1104. Даны вершины треугольника А (2, 5, —1), В (1, —5, —15),
С (—2, 1, 3). Выяснить, какие из сторон треугольника пересекаются
каждой из координатных плоскостей.
1105. Даны точки А (5, —1, 0), В (0, 1,0) и С (2, 1, —2). Соста-
вить линейные неравенства, характеризующие то из полупространств,
определяемых плоскостью АВС, которому принадлежит4: а) начало
координат; б) точка £(1, 1, 1).
• 1106. Даны параллельные плоскости х — у + z + 1 = 0 и
2х — 2у + 2z — 5 = 0. Составить линейные неравенства, характе-
ризующие область, точки которой расположены между ними»
1107. Две пересекающиеся плоскости 5х — у + z + 1 = 0 и
х + у — 5z+l = 0 делят множество всех точек пространства, не ле-
жащих на них, на четыре двугранных угла (области). Составить сис-
тему неравенств, определяющих внутреннюю область двугранного
угла, которому принадлежит точка (3, 1, 2).
1108. Доказать, что если в общей декартовой системе координат
дана плоскость'уравнением Ах + By + Сг + D = 0, то вектор р {Л,
1 В задачах 1099—1100 система координат прямоугольная декартова.
137
В, С} не параллелен плоскости, и если его приложить к некоторой
точке плоскости, то коррдинаты хъ уг, zx его конца удовлетворяют ус-
ловию Ах! -f- Byt + С?х 4- > 0.
1109. Даны две параллельные плоскости Ах 4- By 4- Сг 4- Di =0,
Ах + By + Cz A- D2 — 0, Di =А= D2. Записать линейные неравенства,
характеризующие область Q, расположенную между ними, и внешние
области йх и Q2- '
1110. Пусть плоскости Их и л2,,заданные в прямоугольной декарто-
вой системе уравнениями AiX 4- Bty 4- 4- Dx = 0 и A2x 4-
4- B2y 4- C2z + D2 = 0, пересекаются, но не перпендикулярны друг
другу. Доказать, что внутренние области двух вертикальных двугран-
ных острых углов, образованных этими плоскостями, характеризуют-
ся неравенством
(ЛхХ 4- В1У 4- CiZ 4- £>х) (А2х 4- В2у 4" С2г 4* D2) (ЛхЛ2 4* &1В2 4~
4- СхС2) < 0,
а внутренние области двух вертикальных двугранных углов — нера-
венством
(Лх% 4- Bty 4* CiZ 4- D^ (А2х 4* В2у 4- C2z 4* D2) (AiA2 4* BXB2 4*
4- CiC2) >0. -
1111. В прямоугольной декартовой системе даны две пересекаю-
щиеся плоскости х — 5у 4-4г 4-1=0 и 2х — у 4- г 4- 5 — 0 и
точки А (0, 0, 1), В (0, 0, —10), С (1, 0, —2), D (2, 1, 0), Е (1, 1, 1).
Выяснить, какие из точек принадлежат внутренним областям тупых
двугранных углов, образованных данными плоскостями.
1112. Найти область, определяемую системой неравенств в каждом
из следующих случаев:
а)
в)
2х — у 4- z — 3 > 0,.
2х — у 4- г 4- 5 > 0;
х 4- у — z 4- 5 > 0,
2х — Зу 4- z — 1 < 0,
Зх 4- У — z — 6<0.
б)
х — у 4- Зг 4- 6 > 0,
2х 4- У + z + 4 > 0;
§ 46. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями
1113. Привести к нормальному виду уравнения плоскостей1:
а) х — 2у 4- 2г — 12 — 0; f б) 2х — Зу 4- 5г — 5 = 0;
в) у х 4- у У — уг 4- 3 = 0; г) 12у — 5г 4* 39 = 0;
д) у 4- 2 = 0; е) 2г — 5 = 0.
1 В задачах этого параграфа системы координат предполагаются прямоугольными
декартовыми.
138
1114. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости:
а) 15х -т- Юу + 62 — 190 = 0; б) 2х — Зу 4- 5г — 3 = 0.
1115. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Мг (—1, 0,1)и/И2(1, 1,2) и отстоящей от начала координат на расстоя-
2
НИИ -==.
/3
j 1116. Найти расстояние от точки до плоскости в каждом из следую-
щих случаев:
a) Mi (1, —2, 2), 2х 4- У + 2г — 7 = 0;
б) М2 (3, 0, 4), 2х + Зу + 8 = 0;_
9 в) Ms (—1, 2, К2), 5х — Зу 4~ V2г = 0.
1117. Установить расположение плоскости 2х — 2у — г 4* 9 = О
относительно сферы в каждом из следующих случаев:
•а) (х - 1)в + (у - I)2 + (z - 1)а = 4;
вб) (х + 2)2 + у2 + (г — 3)а = 9;
в) (х - З)2 4- (у + З)2 + (г - З)2 = 4;
г) (х + I)2 + (у + 2)2 + (г - II)2 = 5.
1118. У треугольной пирамиды SABC вершина S совпадает с на-
чалом координат, а боковые грани — координатными плоскостями. На-
писать уравнение плоскости основания АВС, если S4 : SB : SC =
— 1:3:2, высота SH = 6 и вершины А, В и С имеют неотрицатель-
ные координаты.
1119. Через линию пересечения плоскостей х — у + г — 1= Ои
2х + 5у — 2г — 13 = 0 провести плоскость, касающуюся сферы
х2 + у® + z2 = 9.
1120. Вычислить расстояние между следующими параллельными
плоскостями: х — Зу 4~ 2г + 1 =0, 2х — бу + 4г + 3 = О.
• 1121. Вывести формулу для вычисления расстояния между двумя
параллельными плоскостями
Ах 4* By 4~ Сг 4~ Di — О,
Ах 4" By 4* Сг 4" D2 — 0.
1122. Вычислить расстояния между следующими парами парал-
лельных плоскостей:
®а) х - 2у 4- 2г — 6 = 0, в) х — у 4- 5г 4- 27 = 0,
х — 2у -j- 2г 4- 18 = 0; х — у 4- 5г — 54 = 0;
б) 2х — Зу 4- 6г — 14 — 0, г) х — у 4- 5|г 4- 27 = 0,
4х — бу 4- 12г — 21=0; х — у + 5г 4~ 1 = 0.
1123. На оси Ог найти точку, равноудаленную от точки /14 (1, 1, 4)
и от плоскости 2х 2у 4- z — 12 = 0.
• 1124. На оси. Оу найти точку, равноудаленную от двух плоскостей
х 4- 2у — 2г — 1 = 0 и Зх 4* 5 = 0.
1125. Составить уравнение множества точек, отстоящих от плос-
кости 6х — Зу 4- 2г — 14 = 0 на расстоянии, равном 3.
139
1126. Найти уравнение плоскости, касающейся сферы хг +
+ (у + I)2 + (z + 2)4 — 9 и параллельной плоскости 6х + Зу +
+ 2z = 0.
1127. Составить уравнение множества точек, равноудаленных
от двух параллельных плоскостей в каждом из следующих случаев:
а) 2х — у + Зг — 4 = 0 и 2х — у + Зг — 5 = 0,.
б) х + у — 2г — 3 = 0 и х + у — 2г + 7 = 0,
в) Зх — у + г + 5 = 0иЗх — y + z+15 = 0.
1128. Написать уравнение сферы, центр которой лежит на оси Ох
которая касается двух плоскостей 2х — 4у — Зг + 21 =0 и 5х—
и
— 2z = 0. ' ' ~
г 1129. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам дву-
гранные углы между плоскостями: а) Зх — у + 7z — 4 = 0 и 5х +
+ Зу — 5z + 2 = 0; б) х — 7у + 6 = 0 и Зх — 4у + 5z — 6 = 0.
ИЗО. Определить двугранные углы между следующими парами
плоскостей: а) 16х + 8у + 2z + 1 = 0, 2х — 2у + z + 5 = 0;
б) 2х + 5у + 4z + 15 = 0, 6х — Зг + 2 = 0.
§ 47. Прямая в пространстве. Взаимное расположение
прямых и плоскостей
1. Уравнения прямой, заданной различными способами
1131. Определить координаты нескольких точек, лежащих на
прямых:
а) ~ — —-j-; ' б) х = 3 + 21, у = 3t, г = 5;
• в) (х — 3 = 0,
(% + у + г — 5 = 0.
1132. Определить координаты точки, лежащей на прямой — 2- д
5
= = — и имеющей: а) абсциссу, равную 3; б) ординату, рав-
15 •
ную —1. _
1133. Составить уравнения прямой:
а) проходящей через две точки Л4 J2, —3, — 1, Л1213, 5, -£• ь
• б) проходящей через точку Л1о(2, 1, —3) и параллельной вектору
Р {1, -3, 1};
в) образованной пересечением плоскости х + Зу — г + 1 = 0 с
координатной плоскостью Оху;
г) образованной пересечением плоскости х — у + г = 0 с плос-
костью, проходящей через точки А (2, 0, 3), В (1, 1, 1), С (2, 4р —3).
1134. Написать параметрические уравнения следующих прямых:
140
а) | x — 3y + 2 = 0, 6) /x + 2y + z — 1=0,
| у о 0; { x — у + 1 = 0;
в) ,(x •= 0, )
, I у + г = 0. \ '
1135. Через точку М (1, —3, 4) провести прямую, параллельную
прямрй
< , 1 ( 2х — у + z — 3 = JD, ,
I х 4г Зу — г — 1=0.
2. Взаимное расположение прямой и плоскости
1,136. По отношению к системе координат указать особенности в
расположении следующих прямых:
а) / 2х — у + г = 0, ., б) /Зу 4~ 5г = 0,
I х + у + 2z — 0;’ \ 2у — z 4- 6 = Of \
' в)\ / х — 6 = 0, > г) / 2х + Зу +,5г — 4 = 0,
|2у — z = 0; [х = 0.
1137. Доказать, что: <
» а) прямая / 2х — у + z + 1 = 0,
( х — 2у + Зг + 2 = 0 пересекает ось Оу;
б) прямая — у 4- z 4- 1 =0, пересекает координатные
(х — 2у 4- 4z = 0 плоскости.
Определить координаты точек пересечения.
• 1138. Найти Точки пересечения прямых:
#а) / 2х — у 4- z — 4 = 0, б) х = 4 — t,
t х 4- У +/5z — 2 = 0; у = —14-2/,
z = 6 4- 3/
с координатными плоскостями.
1139. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в урав«
нениях прямой ,. -
.Дре 4“ С12 4- Di — 0,
Д2х 4- В2у 4- C2z 4* — 0,
чтобыюна: а) была параллельна оси Ох; б) совпадала с осью Оу; в) ле-
жала в плоскости Оху и проходила через начало координат. •
1140. Установить взаимное расположение следующий пар прямых»
а) X = 1 4- 2/, у = 7 4- t, и г = 3 4-4/' х = 6 4- 3/, у = —1 — 2/, г = —2 4- /;
»б) S + . 35 й I II II II 2х — Зу — Зг — 9 = 0, х — 2у 4" 2 4“ 3 = 0;
S' ' 141
в) f 2х + Зу = 0, ( х + z — 8 = О,
| г _ 4 = О , { 2у + Зг — 7 = О;
г) (х = /, fx + y —2 = 0,
{у = — 8 — 4t [2х — у + 2г = 0.
| г = —3 — 3/
1141. Доказать, что прямые х = 2 + 4/, у = —6/, г = —1—81
и х = 7 — 6/, у = 2 + 9/, г = 12/ лежат в одной плоскости, и напи-
сать уравнение этой плоскости.
1142. Доказать, что прямые
[ х + у — Зг — 1=0, J 2х + у + 2г — 2 = 0,
(2х — у — 9г — 2 = 0 и (2х — 2у — г — 2 = 0
пересекаются. Написать уравнение плоскости, проходящей через
эти прямые.
1143. Доказать, что следующие пары прямых параллельны:
а) х = 1 + 2/, у = —t, г — 1 +1 и /х + Зу + г + 2 = 0,
( х — у — Зг — 2 = 0;
б) £±2 = 1+1 = ^. и (х + у-2 = 0,
3 —2 1 | х — у — 5г — 8 = 0.
Составить уравнения плоскостей, проходящих через каждую пару
прямых.
1144. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
и параллельной прямой
(2х — у + г — 3 = 0,
. - | х + 2у — Зг + 5 = 0.
1145. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1, 1, —3) и параллельной прямым
(2х —;2у + Зг — 4 = 0, (Зх — у — г = 0;
( х + 2у — 4z + 1 = 0; { х + у — Зг + 1 = 0.
» 1146. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1, 3, 7) и прямую — = .
V1147. Составить уравнения прямой, проходящей через начало
координат и пересекающей каждую из прямых: х = t, у = 1 — t,
. г = 3 + t и л? = 2 + 2/, у = 3 — t, г = 4 + 3/.
* 1148. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (0, -
, 0, 1) и пересекающей каждую из прямых:
J х — 2у + г — 1 = 0, х— 1 _ у_ _ г + 1
{ 2х — у + 2г — 3 = 0; 3 2 —1 ’
„ 1149. Доказать, что прямая х = 1 + 2/, у = 3t, г — —2 + t пе-
ресекает плоскость 2х — у + г+1=0. Найти координаты точки
пересечения.
'/1150. Показать, что прямая параллельна плос-
142
кости х— 2у 4- 5 г— 6 = 0, а прямая = у ~ - лежит в этой
плоскости.
Ц51. Через точку пересечения плоскости х — 2у 4- Зг 4-5 = 0
с ос/ью Ох провести прямую так, чтобы она лежала в данной плоскости
и была параллельна плоскости Оуг.
§ 48. Метрические задачи на сочетание прямых
и плоскостей
V1152. Написать1 * уравнение прямой, проходящей через точку
М (2, —3, 3) и перпендикулярной к плоскости х — Зу 4- 4г — 1 =0.
1153. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1, —3, 4) и перпендикулярной к прямой; >
х —1 У _ г + 2 (2х — у4-3г— 1 = 0,
2 —3 5’ 1*4“ у — *4-5 = 0.
Ю 1154. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (2,
3, —1), пересекающей прямую — Л. и перпендикуляр-
3 4 3
(. ной к ней.
0 1155. Через точку М(1, 5, —1) провести прямую, перпендикуляр-
ную к прямым
*4-1 = У. г + 2 X = 2 — 3/,
01156. Через точку М (1, 5, —1)
лярную к прямым .*
(2х — у 4- Зг 4-4 = 0,,
I —х + 2у 4- 2г — 2 = 0;
провести прямую, перпендику-
х — у — г 4- 1 = О,
2х 4- У + 4г--== 0.
1157. Найти точку, симметричную началу координат относительно
плоскости х — 2у 4- 4г — 21 =0.
01158. Найти точку, симметричную точке М (1, 5, 2) относительно
плоскости 2х — у — г 4* Н =0.’
1159. Составить уравнения плоскостей, проецирующих на коорди-
натные плоскости следующие прямые:
а) ^=**±5 Л
2 — 1 1
х — 2 4” 4/,
б)у = -Н/
г ~ 2 — t\
/ 2х — у 4- Зг — 1=0,
' I х 4- у — *4-5 = 0.
1160. Составить уравнения проекций прямых, указанных в пре-
дыдущем примере, на три координатные плоскости.
1 Во всех задачах этого параграфа предполагается,' что система координат пря-
моугольная декартова. 4
143
1161. В каждом рз следующих случаев составить уравнения про-
екции данной прямой на данную плоскость:
а) (2х — у + г — 3 = 0,
{ х + у + 2г + i = 0; Зх — у + г — 4 = 0;
-ч х — 1 у — 3 г — 2_
2 Г~ — Г~’ Зх — у 4 г — 1 = 0.
1162. Составить уравнение плоскости, проходящей через рачало
.« „ х — 1 у г — 2
координат, параллельной прямой ------= — =------ и перпендику-
2 3 "—1
лярной к плоскости х — 2у 4- г — 1 = 0.
1163. Составить уравнение, плоскости, проходящей через точку
М (—1, 1, 3), параллельной прямой х = у = г и перпендикулярной к
плоскости Зх — 2у 0.
1164. Через точку пересечения плоскости 2х— у + Зг — 4 = 0
с осью Оу провести прямую так, чтобы она лежала в данной плоскости
и была перпендикулярна к прямой
J х — у 4- 4г — 1=0,
( 12х 4- у — Зг 4" 2 = 0.
' '* \ Y _ 2
1165. Найти расстояние от точки Р (7, 9, 7) до прямой-—=— =
у—1 г ''4
“ 3 2‘
01166. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
х — 2 у +1 г — 1 х + 4 у — 2 г + 2
---- = ---- — ;— И — -
2-----------------------------—2 —3
4 1 -1
. О 1167. Даны две прямые
х — 2 _ у + 1 _ г
3 ~ —2 “ 2
г — 1
И
6
х+1_ у— 2
3 ~ 2 ~ 0 ’
а) Доказать, что Они скрещиваются; б) написать уравнения плос-
костей, проходящих через каждую из них параллельно второй пря-
мой; в) найти расстояние между скрещивающимися прямыми и между
плоскостями; убедиться в том, что эти расстояния равны.
I 1168. Найти угбл между прямой -у = -у — = и плоскостью
,6х + 15у — Юг = 0.
1169. Найти угол между следующими прямыми:
(У 4-1=0, (.
{ х + 2г — 1=0; |.
1170. Определить угол между прямой
х + З _ у — 2 _ г+ 1
1 “ __2 — 2
и плоскостью 4х + 2у + 2г — 5 = 0.
X = 0,
2=1.
144
§ 49. Приложение теории прямой и плоскости
к доказательству теорем и решению задач стереометрии
1171. Доказать, что если прямая I и плоскостью перпендикулярны
к одной и той же прямой V плоскости Р, то они параллельны1 между
собой. '
1172. Доказать, что если прямая I параллельна двум пересекаю-
щимся плоскостям а и а', то она параллельна их линии пересечения.
’’ 1173. Доказать, что две параллельные плоскости пересекают
третью плоскость по параллельным прямым.
1174. Доказать, что если две перпендикулярные плоскости аир
пересекаются по прямой I и если другая прямая /' проведена в пло-
скости а перпендикулярно к /, то /' перпендикулярная р.
1175. В пространстве даны две прямые 1г и 12. При каком условии -
через можно провести плоскость, перпендикулярную к /2?
1176. Доказать, что через каждую из Двух скрещивающихся пря-
мых можно провести одну и только одну плоскость, параллельную
другой прямой.
1177. Доказать, что внутренние равноделящие плоскости двугран-
ных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой. -
1178. Найти множество точек пространства, равноудаленных от
трех вершин данного треугольника.
117ft. Найти множество точек, разность квадратов расстояний ко-
торых от двух данных точек постоянна.
1180. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из концов диа-
гонали параллелограмма на плоскость, проходящую через другую
диагональ, равны по длине.
1181. В правильной, четырехугольной пирамиде SABCD боковая
грань наклонена к основанию под углом 0. Найти угол <р между плос-
костями АКС и SAB, если К — середина ребра SB.
1182. В правильной треугольной пирамиде SABC высота SH рав-
на h, сторона основания равна а. Найти угол <р между плоскостями
АКС и НВС, где К -г-середина ребра.SB.
1183. Доказать, что для высоты h треугольной пирамиды с взаим-
но перпендикулярными боковыми ребрами, равными а, b и с, справед-
ливо соотношение
fl2 h*
1184. В усеченной (параллельно основанию) треугольной пирами-
де А^АдА'^Аз середина каждого из боковых ребер AjA’t,
А 2А2, А3Аз соединена с точкой пересечения диагоналей противо-
положной боковой грани. Доказать, что полученные три прямые
пересекаются в одной точке.
1 В этом параграфе термин «параллельность» понимается в широком смысле сло-
ва. Например, предложение «Прямая I параллельна плоскости а» следует йонимать
так? либо 11| а в обычном смысле, либо I принадлежит а.
145
1185. Дан куб, ребро которого равно а. Вычислить расстояние
между вершиной А куба и его диагональю, не проходящей через точ-
ку Л и лежащей в том диагональном сечении куба, которое содержит
эту точку.
Глава X
МНОГОГРАННИКИ И ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 50. Многогранники
1. Задание многогранника системами неравенств
1186. Найти область, определяемую системами неравенств в каж-
дом из следующих случаев:
а) х > 0, у > 0, z > 0, х + у + г. — 1 < 0;
б) х < 0, х 4- 2 > 0, у > 0, z > О, у 4- z — 3 < 0;
в) z > 0, z — 10 < 0, х — 5 > 0, х — 7 < 0, у — 3 > О,
у — 5 < 0.
1187. Записать при помощи линейных неравенств аналитическое
задание треугольной призмы ЛВОЛ1В1О1, изображенной на рисун-
ке 41, если Л (0, 2,0), В (0,0, 2), Л г (5,2,0), Ох (5,0, 0), Bt (5,0, 2).
1188. Записать при помощи линейных неравенств аналитическое
задание тетраэдра ОАВС, изображенного на рисунке 42, если
Л (5, 0, 0), В (0, 3, 0), С (0, 0, 6).
1189. В каждом из следующих случаев записать линейные нера-
венства, характеризующие множество точек тетраэдра МгМ2М3М^,
заданного координатами своих вершин: a) (1, 1, 0), М2 (0, 2, 0),
М8(0, 0, 0), Л44(1,5, 7); 6)^(1, 1, 1), 2Иа (2, 1, 1,), М3 /1, 2, 1),
М4(1, 1, 3).
146
1190. Даны .вершины тетраэдра А (—1, 1, 0), В (—2, 2, 0),
С (—2, 0, 0), D {—1, 5, 7). Выяснить, какие из указанных ниже точек
расположен^! во внутренней его области Мг (2, 3, —1), Л12 —-, —,
М3(0, 0, 1), W—-, -V
6) \ 9 9 18/
. 1191. В каждом \ из следующих случаев выяснить, является ли
призма с основаниями ABCDEF и A'B'C'D'E'F' выпукдым много-
гранником: а) А (0, 0, 0),В (0, 2, 0), С (2, 2,0),Р (3, 1, 0), Е (5, 3, 0),
F (5, 0, 0), А' (0, 0, —т5), В' (0, 2, —5), С (2, 2, —5), D' (3,1,-5),
Е' (5, 3, —5), F' (5, 0, —5); б) Л (-3, —1, 0), В (—1, 1, 0), С (3,0, 0),
D (4, -4,0), Е.(—1, —5,0),F (-3,-4, 0), Л' (-3, -1,6), В’ (-1,1,6),
С' (3, 0, 6), D' (4, —4, 6), Е' (—1, —5, 6), F' (-3, —4, 6). \
,1192. Доказать, что если основания призмы — выпуклые много-
угольники, то призма является выпуклым многогранником.
1193. Доказать, что если основание пирамиды—выпуклый много-
угольник, то пирамида является выпуклым многогранником.
1194. В каждом из следующих случаев доказать, что тетраэдр
ABCD является правильным: а) Л (3,3,3), В (3, —3, —3), С(—3, 3, —3),
D (—3, —3, 3); б) Л (4, 2, 6), В (4, —4, 0), С (—2,2,0), D (—2, —4, 6).
Система координат прямоугольная декартова.
1195. В каждом из следующих случаев доказать, что октаэдр
ABCDKK’, гранями которого служат треугольники АВК, ВСК,
CDK, DAK, АВК', ВСК', CDK', DAK', является правильным мно-
гогранником: а) Л (3, 2, 2), В (2, 3, 2), С (1, 2, 2), D (2, 1, 2), К (2,
2, 3), К' (2, 2, 1); б) Л (2, —3, —3), В (—3, 2, —3), С (—8, —3, —3),
D (—3, —8, —3), К (—3, —3, 2), К' (—3, —3, —8). Система коорди-
нат прямоугольная декартова.
'2. Тетраэдры, параллелепипеды и правильные многогранники
1196. Доказать, что отрезки, соединяющие противоположные реб-
ра тетраэдра, пересекаются в одной точке О и делятся в ней пополам.
1197. Доказать, что в тетраэдре все шесть плоскостей, проходя-
щих через каждое ребро и через середину не пересекающегося с ним
ребра, проходят через одну точку.
1198. Доказать, что плоскости, перпендикулярные к ребрам тет-
раэдра и делящие их пополам, пересекаются в одной точке.
1199. Через каждую пару противоположных ребер произвольного
тетраэдра проведены параллельные плоскости. Параллелепипед, об-
разованный этими плоскостями, называется описанным параллелепи-
педом данного тетраэдра (рис. 43).
Доказать, что центр описанного параллелепипеда данного тетра-
эдра совпадает с центроидом вершин тетраэдра.
1200. Доказать,, что, ребра параллелепипеда, описанного вокруг
тетраэдра (см. предыдущую задачу), соответственно конгруэнтны от-
резкам, попарно соединяющим середины противоположных ребер по-
следнего.
147
1201. Доказать, .что центр правильно-
го многогранника является центром сфе-
ры: а) проходящей через все его вершины
(описанная сфера); б) касающейся всех.его
граней (вписанная сфера); в) касающейся
всех его ребер, (полувписанная сфера).
1202. Проведем через середину каждого
ребра правильного многогранника каса-
тельную прямую к полувписанной сфере,
перпендикулярную к этому ребру. Дока-
зать, что касательные, соответствующие:
Рнс- 43 а) сторонам одной грани Многогранника,
б) ребрам, исходящим из одной верши-
ны многогранника, соответственно: 1) пересекаются в одной точке,
2) лежат в одной плоскости.
1203. Доказать, что во всяком правильном многограннике центры
граней одного многогранного угла лежат в одной плоскости. Поль-
зуясь этим, показать, что многогранник, вершинами которого служат
центры граней многогранника, ребрами — отрезки, соединяющие цент-
ры смежных граней, а гранями — плоскости, проходящие через
центры граней, примыкающих к одной вершине, является правильным
многогранником.
3. Трехгранный угол
1204. Трехгранный угол SA'B’C называется полярным по отно-
шению к трехгранному углу SABC, если ребро SA' перпейдикулярно
грани SBC и лежит от плоскости этой грани по ту же сторону, что и
ребро 5Л, и аналогичное имеет место для ребер SB' и SC'.
Доказать, что если SA'B’C' полярен по отношению к SABC, то
SABC полярен по отношению к SA’B'C'.
1205. Пусть SABC и 5Л 'В 'С — полярные трехгранные углы
(см. задачу. 1204). Доказать, что сумма плоского угла одного трех-
гранного угла и соответствующего двугранного угла другого трехгрдн-
ного угла равна л.
1206. Два трехгранных угла называются, конгруэнтными, если
плоские и двугранные углы обоих трехгранных углов соответственно
конгруэнтны. Доказать, что если два трехгранных угла конгруэнтны,
то и полярные по отношению к ним двугранные углы конгруэнтны.
1207. Обозначим через а12, а28, а31 плоские углы, а 0Ь 02, 08—
двугранные углы трехгранного угла OAv42A8 (<х12 = Аг0А2,
а28 = Л2ОЛ3, Pi = Ла • ОЛг • Л8 и т. д.). Аналогичные обо-
значения введем для трехгранного угла O'AJjBiCi.
Доказать, что трехгранный угол ОЛ^Лд конгруэнтен трехгран-
ному углу O'A'iAzAg (см. задачу 1206), если выполняется хотя бы
одно из условий:
14В
а) «12 = «12, «23 = «23, «81 = «31’»
6)z«12 = «12, «23 = «23, Рг ~ ?2j
в) (112 = «12, Pi == ,Р1, Рг ^ Рг!
Г) Pl = pi, Р‘2 = Р2, Т1 = Т1.
Эти условия называются признаками конгруэнтности трехграиных
углов. <
1208. Если один из двугранных углов одного тетраэдра конгру-
энтен одному из двугранных углов другого и грани обоих тетраэдров,
образующих двугранные углы, соответственно конгруэнтны и одина-
ковым образом расположены, то тетраэдры конгруэнтны.
4. Теорема Эйлера
1209. Доказать следующие предложения:
а) не существует многогранника, число ребер которого меньше
шести;
б) не существует многогранника с числом ребер, равным 7.
1210. Доказать, что во всяком многограннике с числом вершин е,
числом граней f и ребер k имеют место соотношения
Зе < 2k, 3f < 2k.
1211. Пусть у многогранника нулевого рода все многогранные
углы содержат не более четырех граней и ни одна грань не имеет бо-
лее четырех вершин. Доказать, что сумма чисел трехгранных углов и
треугольных граней равна 8.
1212. Доказать, что во всяком многограннике нулевого рода
числа вершин е, граней f и ребер k удовлетворяют условиям:
k + 6 < Зе < 2k\
k + 6 < 3f < 2k-
& 4- 4 < 2f < 4e — 8;
f + k < 2e < 4f — 8. x
§ 51. Сферическая поверхность. Поверхность вращения
v 1. Сферическая поверхность
1213. Написать уравнение сферической поверхности:
а) с центром в точке (б, 1, 0) и радиусом R = 5;
б) с центром в начале координат и радиусом R = 6;
в) с центров в точке (5, 1, —3) и проходящей через точку (2,
—3, —3).
.149
1214. В каждом из следующих случаев составить уравнение сфе-
рической поверхности, проходящей через точки А, В, С, D:
а) А (1, 7, 3), В (7, 1, 3), С (1, 1, —3), D (]ЛГ1 + 1, 1,8);
б) А (7, 9, 1), В (—2, —3, 2), С (1, 5, 5), D (—6,, 2,5).
1215. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре
точки, не лежащие в одной плоскости:
Mi (хь уъ Хя), Л4а (х2, у,, z2), Мъ (х8, у8, z3), М4 (х4, у4, z4).
Доказать, что сфера, проходящая через эти точки, имеет уравнение
х® у® г2 х у z 1
Xl /l A Xi У1 zxl
xi у1 «2 х2 у2 г21
Хз 4 4 х8 у8 z8l
Х4 24 Х4 у4 Z41
1216. Написать уравнение сферической поверхности, проходящей
через точку (1, 5, 1) и через окружность х2 + у2 — 2х— 10у +23 = 0,
расположенную на плоскости Оху.
1217. Определить координаты центра и длину радиуса для каждой
из следующих сферических поверхностей:
а) х2 + у2 + г2 + 2х — 10z 4- 22 — О;
б) х2 + у2 + z2 — 6х + 8у + 2z + 10 = 0;
в) х2 + у® + г2 + 12х — бу + 37 = 0.
2. Поверхность вращения
1218. В плоскости Oyz дана окружность с центром в точке (0, 4, 0)
радиуса г = 1. Написать уравнение поверхности, образованной вра-
щением данной окружности вокруг оси Oz.
1219. Окружность радиуса г расположена на плоскости Oyz так,
что касается оси Ог в начале координат. Написать уравнение поверх-
ности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz.
1220. Составить уравнение поверхности, образованной вращением
параболы г2 = 10у, х — 0 вокруг оси Oz.
1221. Парабола с параметром р = 5 расположена на плоскости
Oyz так, что директриса совпадает с осью Oz. Написать уравнение по-
верхности, образованной вращением данной параболы вокруг оси Oz.
1222. Составить уравнение поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу каждой из следующих кривых, расположенных на плос-
кости Оху:
\ х2 , у2 ,
а) эллипса-----F — = 1;
’ а2 Ь2
V2
б) гиперболы------— = 1;
а2 Ь2
150
в) гиперболы — — ~ = — 1;
г) параболы х2 = 2ру.
1223. Написать уравнение поверхности, образованной вращением
синусоиды z = sin у вокруг оси Ог. ,
1224. Доказать, что поверхности, заданные каждым из следующих
уравнений, являются поверхностями вращения:
а) х4 + 2х2у2 4- у4 4- ха + у2 +z = 0;
6) Xs + у2 + z2 = 3± 1А2 4- у8;
. X2 V2 22
Найти образующие кривые и оси вращения.
1225. Доказать, что поверхность, определяемая уравнением (х2 4*
_|_ у2 _|_ г2 21)2 _ юо(х2 у2), является поверхностью вращения.
Определить ее сечение плоскостью Оху.
1226. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат дана
линия L уравнениями х = у == /2(г). Доказать, что поверхность,
образованная вращением L вокруг оси Ог, имеет уравнение
х2 + у2 =/? (?) +
1227. Даны две скрещивающиеся прямые и /2.
Определить поверхность, образованную вращением прямой Z2
вокруг прямой /х.
§ 52. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды1
1228. Исследовать методом сечений следующие поверхности второ*
го порядка, заданные в прямоугольной декартовой системе координат
уравнениями:
б) х2 + 2у2 -h г2 + 4х — 8 = 0;.
в)' 2х2 4- Зу2 + z2 — 8х 4- бу — 4z — 3 = 0;
г) х2 + у2,+ z2 — 4z + 5 = 0.
т т X® V2 22
1229. Найти сечение эллипсоида — 4- 4- — = 1 координат-
ными плоскостями канонической системы координат.
1230. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с
осями координат и который:
а) проходит через точку М (2, 0, 1) и пересекает плоскость Оху
V2
по эллипсу —4- -у- =1;
1 Во всех задачах этого параграфа, где нет специальных оговорок, прбдполагает-
ся, что система координат прямоугольная декартова.
151
б) проходит через точку N (1, ]/3, 1/3) и пересекает плоскость Оуг
V2 22
по эллипсу 4- = 1;
V2 Й>2
в) пересекает плоскость Оуг по эллипсу ~ 4- ~ = 1» а плос-
кость Оху по окружности х2 4- у2 = 25.
1231. Написать уравнение эллипсоида, проходящего через точки
(2, 2, 4), (0, 0, 6), (2, 4, 2), для которого координатные плоскости дан-
ной прямоугольной декартовой системы координат являются плоскос-
тями симметрии.
1232. Дана поверхность второго порядка:
м2
—±-£- + — = 1.
й2 fc2 с2
с2 1 вточке ?! (хьуь zj,
С 4
Доказать, что плоскость + /о/. = j является касательной
a2 fc2 с2
к этой поверхности в точке (х0, у0, z0).
1233. Доказать, что плоскость Ах 4- By 4- Сг 4- D ='0 касается
эллипсоида — 4- — 4- — — 1, если Л2а2 4- В262 4- С2с2 = Dz.
a2 fr2 с2
1234. Доказать, что расстояние р от начала координат до плоскос-
„ X2 I у2 . Z2
ти, касающейся эллипсоида-------h—-
a2 fc2
1 xt । у>
удовлетворяет условию — —----------1-
р2 а* ь4
1235. Исследовать методом сечений следующие поверхности вто-
рого порядка, заданные в прямоугольной декартовой системе коорди-
нат уравнениями:
а) № — ^- + — =1;
4 9
б) 2х2 — Зу2 — 2z2 — 8х 4- бу — 12г — 21 = 0;
в) х2 4~ Зу2 — 4z2 — 8z — 8 = 0.
X2
1236. Определить сечение однополостного гиперболоида----------р
* 25
V2
4-—---z2 = 1 с плоскостью, проведенной через точку (0, 0, 1) парал-
16
лелыю плоскости Оху.
1237. Найти проекцию на плоскость Оху линии пересечения однопо-
лостного гиперболоида ----1- -------= 1 с плоскостью х — 2г.
16 16 4
1238. Написать каноническое уравнение однополостного гипербо-
лоида, если поверхность:
а) проходит через точку (J/5, 3, 2) и пересекает плоскость Охг по ги-
Л2 Z2
верболе —-----— — 1;
152
6) пересекает плоскбсть Оху по окружности х24*У2 = 9, а плос-
кость Охг по гиперболе —--------— 1.
9 10
1239. Написать уравнение двуполостного гиперболоида в канони-
ческой системе координат, если точки Alj (3, 1, 2), ТИ2 (2, ]Л11,3)и
Л43 (6, 2, ]/15) лежат на данной поверхности.
1240? Найти множество точек, для каждой из которых модуль раз-
ности расстояний от двух данных точек (0, 0, 3), (0, 0, —3) есть величи-
на постоянная, равная 4.
1241. Исследовать методом сечений следующие поверхности вто-
рого порядка, заданные в прямоугольной декартовой системе коорди-
нат уравнениями: а) 4х2 + у2 — 16г = 0; б) 2х2 4- 2у2— 4г 4- 5 = 0.
1242. То же задание, что и в задаче 1241 относительно поверх-
ности: х2 — 2у2 — 4х — г 4~ 1 = 0.
1243. Найти уравнение параболоида с центром в начале коорди-
нат, ось которого совпадает с осью Ог и который проходит через точки
(1, —2, 1)\И (—3, —3, 2).
1244. Дана плоскость а и перпендикулярная к ней прямая I. Най-
ти множество точек М пространства, для каждой из которых квадрат
расстояния до прямой I в три раза больше расстояния до плоскости а.
1245. Дана поверхность второго порядка — ± -^- = 2сг. Дока-
зать, что плоскость ,-^-± — с (г 4- г0) является касательной
а2 ь2
к этой поверхности в точке Л40 (х0, у0, г0).
1246. Показать, что плоскость Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0 касается
параболоида — ± = 2сг, если Я2а^с ± В2Ь‘гс = 2CD.
а2 Ь2
1247. Написать уравнения двух систем прямолинейных образующих
однополостного гиперболоида х2 4- 9у2 — г2 = 9 и определить те из
них, которые проходят через точку /з, —, —11
\ 3 /
1248. На гйперболическом параболоиде---— —2г найти прямо-
• 8 2
линейные образующие, параллельные плоскости 6х + 4у — 8z + 1 = 0.
1249.. Доказать, что плоскость, проходящая через центр и одну из
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида, пересе-
кает его по второй прямолинейной образующей, параллельной первой.
1250. Найти уравнение множества точек, лежащих на всех прямых,
параллельных плоскости Оху и пересекающих две прямые
{ X = 0, j Х = q jZ о/’
| v = о и { У = 2 4~ 3/,
л ( г = t.
1251. Найти уравнение множества точек, лежащих на всех прямых,
параллельных плоскости Оху и пересекающих прямые
’ ( х = °’ и
I У = г
х = 2,
У = 0.
.153
§ 53. Цилиндрические и конические поверхности
1252. Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности,
если известны уравнения ее оси х = 7 4- 3£, у = 1 4~ 4/, г = 3 4- 2/
и координаты одной из ее точек (2, —1, 0).
1253. Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности,
если известны уравнения ее оси х — t, у = 1 4- 2t, г — —3 — 2t и ко-
ординаты одной из ее точек Л1о (1, —2, 1).
1254. Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом
из следующих случаев:
а) направляющая лежит в плоскости Оху и имеет уравнение
х2 + 2ху + Зу2 — х = 0, а образующие параллельны вектору {1,0,1};
б) направляющая лежит в плоскости Оуг и имеет уравнение
у8 — уг + 5 — 0, а образующие параллельны оси Ох\
в) направляющая лежит в плоскости Оху й имеет уравнение
------— = if а образующие параллельны вектору {1, 2, —1};
5 ,4
г) направляющая лежит в плоскости Охг и является окружностью
(х-1)2 + г2 = 4, а образующие параллельны оси Оу.
1255. Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения,
если ось вращения совпадает с осью Ог, а радиус г = 5.
1256. Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения,
если ось вращения проходит через начало координат и параллельна
вектору {0, —1, 1}, а г = 3.
1257. Написать уравнение конической поверхности, если:
а) направляющая в плоскости Оху задана уравнением х2 4~ У2 —
— у — 0, а вершина имеет координаты (1, 0, 1);
б) направляющая в плоскости Оху задана уравнением х2 + у2 — 16,
а вершина имеет координаты (0, 0, 1).
1258. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в
точке S (1, 2, 4), образующие которой составляют с плоскостью
2х + 2у + г = 0 угол ср = 45°.
1259. Составить уравнение круговой конической поверхности,
вершина которой находится в точке S (1, 2, 3), ось перпендикулярна
к плоскости 2х + 2у — г' + 1 = 0, а образующие составляют с осью
угол, равный 30°.
1260. Найти уравнение конической поверхности с центром в нача-
ле координат, которая проходит через линию пересечения:
а) гиперболоида — 4- ----г2 = 1 и сферы х2 4- у2 + г2 = 5;
4 3
v2 г2
б) эллипсоида — 4- 4- — = 1 и плоскости 2х — у 4~ 4г —
— 2 = 0.
1261. Найти уравнение конической поверхности, вершина которой
находится в начале координат и которая проходит через линию пере-
сечения параболоида — 4* — = 2cz и сферы х2 4~ у2 4~ z2 — 2гг.
с? &
1262. Доказать, что уравнением
164
х2(-----L\ + y2(J-----L\ +z2/J__—L\ =o
\ a2 r2 ; \ 6a r2 j \ c2 >2 /
определяется коническая поверхность с вершиной в начале координат,
которая проходит через линию пересечения эллипсоида +
+ -j = 1 и сферы х2 + у2 4- z2 = г2.
1263. Доказать, что —+ — + — = (Ах 4* By 4- Сг)2 есть урав-
а2 Ь2 с2
нение конической поверхности с вершиной в начале координат и про-
„ х2 . у2 , г2 .
ходящей через линию пересечения эллипса — + — + “j* = 1 и плос-
кости Ах + By + Сг = 1.
1264. Даны две пересекающиеся под прямым углом прямые 1Г и
/2. Найти множество точек пространства, для каждой из которых рас-
стояние до прямой Zj в три раза больше расстояния до прямой /2.
Глава XI
АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО МНОГОМЕРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
В настоящей и следующей главах представлены задачи, относя-
щиеся по существу к следующим четырем различным типам п-мерных
пространств:
1) линейное векторное пространство /?п;
2) евклидово векторное пространство Еп\
3) аффинное точечно-векторное пространство Rn-,
4) евклидово точечно-векторное пространство Еп.
Определение и основные свойства этих пространств можно найти в
учебном пособии' [4]. В каждой задаче учащийся найдет указание
на то, к какому пространству относится данная задача.
* ।
§ 54. Линейное векторное пространство
и его подпространства. Координаты векторов
1. Векторное пространство
1265. Вектором назовем совокупность п чисел, взятых в определен-
ном порядке: {ctr, ct2, ..., ctn}. Суммой векторов {аг, а2, ..., ап} и
{₽ь ₽2, .... р„) назовем вектор {аг + а2, ₽, + ₽2, .... ап 4- ₽n}, а про-
изведением вектора {аг, а2, ...,ап} на число X — вектор {Xalt ...
..., Хап}. Доказать, что это множество является линейным векторным
пространством. Оно называется арифметическим простран-
ством. _ «
155
Найти размерность г арифметического пространства и определить
какой-либо базис. *
1266. Вектором назовем любую квадратную матрицу третьего по-
рядка, элементами которой являются действительные числа. Суммой
векторов а и b назовем сумму соответствующих матриц, а произведе-
нием вектора а на число X — матрицу, равную произведению матри-
цы а на число X. Доказать, что это множество является линейным
векторным пространством.
Найти размерность г и какой-либо базис этого пространства.
1267. Вектором назовем любую квадратную матрицу n-го порядка,
элементами которой являются действительные числа. Сумма векторов
и произведение вектора на число определяются как сумма матриц и
произведение матрицы на число (см. задачу 1266).
Доказать, что это множество векторов образует линейное векторное
пространство размерности п2. Оно называется пространством
квадратных матриц n-го порядка. Найти какой-либо
базис этого пространства.
1268. Вектором назовем любое положительное число. Суммой
векторов а и b назовем число ab, а произведением вектора а на произ-
вольное число у назовем число ау. Доказать, что это множество об-
разует линейное векторное пространство. Найти размерность г и оп-
ределить какой-либо базис. Что будет нулевым вектором этого прост-
ранства?
1269. Рассмотрим множество Q всех обычных векторов трехмерно-
го пространства, не принадлежащих данной фиксированной плоскости.
Образует ли множество Q линейное векторное пространство?
1270. Вектором назовем любую непрерывную функцию на отрезке
[0, 1J. Сложение векторов и умножение вектора на число введем как
обычные операции сложения функций и умножения функции на число.
Доказать, что множество всех этих векторов образует линейное век-
торное пространство, для. которого не выполняется аксиома размер-
ности.
2. Базис. Координаты вектора
1271. В пространстве /?4 в некотором базисе даны векторы своими
координатами: {—3, 4, 1, 0}, а2{—1, 2, —3, 0}, а8 {1, 1, 2, 3},
«4 {2, —6, 0, 2}.
Определить координаты следующих векторов:
О А = «1 — 2аа + а4; 2) р2 = aY—а2 + 2а8 + 1 а4;
3) р3 = 2а1-\-а2 — а3 + За4; 4) р4 = ±аа —а3—1Й4.
О Л
1272. Доказать, что следующие системы векторов, заданные свои-
ми координатами в пространстве /?5, линейно независимы:
150
a) «j {—2, 5, 0, —1, 3}, aa {0, —3, —1, 2, 3), a8 {1, 0, 3, 7, —2},
ajl, 3, —2, -, 1);
*1 2 J
6) &! {3, 6, 5; 6, 4}, »2{2, 3, 3, 2}, b8 {6, 12, 13, 9, 7);
в) сг | у, —1, 1, 1, yj, с2 {2, 3, 7, 10, 13}, с8 {1, 2, 3, 4, 5},
с4 {1, 4, 5, 3, ,10}.
1273. Доказать, что следующие системы векторов, заданные свои-
ми координатами в пространстве /?4, образуют базисы этого простран-
ства:
а) {2, —3, 5, 4}, {—5, 7, —9, —6}, {1,-1, 2, 1}, {2, 4, 7, 2};
б) {0, 1, 1, 1}, {1, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 1}, {1, 1, 1, 0};
в) {2, 3, 4, —3}, {—5, —4, —9, 2}, {4, 7, 8, —5}, {3, 5, 5, 3};
г) {2, 10, 8, 7}, {2, 5, 5, 4}, {2, —8, —8, 5}, {3, 9, 5, 6}.
1274. В пространстве /?4 даны векторы своими координатами:
ах {3, 6, —3, —6}, аа {6, 9, 0, —3}, а3 {1, 4, —5, 0}, а4 {0, 7, 5, 1}
и х {3, 22, —16, —8}.
Доказать, что векторы аг, az, а8, at образуют базис пространства
/?4, и найти координаты вектора х в этом базисе.
1275. Доказать, что следующие векторы пространства квадрат-
ных матриц второго порядка (см. задачу 1267) образуют базис:
ai~(l 1J’ а2-(1 0/’ "3 — Ц —2/’ "‘“I— 1 —б)'
Найти координаты векторов х — и у — ( $4 10\ в этом
4 \«Э О/ \—1 —
базИсе.
1276. В пространстве 7?s заданы векторы своими координатами.
В каждом из следующих случаев найти размерность г и базис подпрост-
ранства, натянутого на данные векторы:
а) {1, —4, 3, 7, 0}, М—2, —1, 5, 10, 9}, сг {—2, 1, 0, 2, 5},
{—1, 2, 2, 1, 4}, ег {3, —5, 3, 5, —5}, Л {1, —6, 8, 15, 4};
б) az {0, —2, 3, —1, 4}, bz {0, 4, —6, 2, —8}, с2|у, —0, 1,
у}, az {1, —5, 3, 1, 5}, ez {2, —6, 0, 4, 2};
в) а8 {1, 1, 1, 1, 0}, b8 {1, 1, —1, —1, —1}, с8 {2, 2, 0, 0, —1},
d8 {1, 1, 5, 5, 2}, е8 {1, —1, —1, 0, 0};
г) Л4 {0, —2, 3, —1, 4}, &4 {0, 4, —6, 2, —8}, с4 (у, —у, 0, 1,
1], d4 {1, —5, 3, 1, 5}, е4 {2, —6, 0, 4, 2}.
157
3. Подпространства; сумма '
И/ пересечение подпространств
1277. Доказать, что множество всех симметричных матриц n-го по-
рядка с обычными операциями сложения и умножения на число яв-
ляется подпространством пространства квадратных матриц n-го поряд-
ка (см. задачу 1267). Найти размерность г этого подпространства и
какой-либо базис.
1278. Доказать, что множество всех кососимметрических квад- * 1
ратных матриц n-го порядка (т. е. матриц, для элементов которых
Оу = — Од) с обычными операциями сложения и умножения на число
является подпространством пространства квадратных матриц n-го по-
рядка.
Найти размерность г этого подпространства и какой-либо базис.
1279. В базисе е2..еп пространства вектор X имеет коор-
динаты хъ х2,... , хп. В каждом из следующих случаев выяснить, об-
разует ли множество векторов X векторное подпространство пространст-
ва /?п:
а) + х2 -Ь . .. + j + 2хп= 0;
б) хг 4- х2 + . . . + хп = 3;
в) х2 = 0, хп = 0, остальные произвольны;
г) координаты с нечетными номерами равны нулю;
д) координаты с четными номерами равны а, а с нечетными — ₽,
где аир — любые числа;
е) Xi, х2, ... , хп — целые числа.
В случае положительного ответа найти разность г и какой-либо
базис подпространства.
1280. Пусть ф(л) — ненулевая линейная скалярная функция,
заданная в пространстве Rn. Доказать, что множество векторов х,
удовлетворяющих условию <р(х) = 0, образует (м — 1)-мерное под-
пространство пространства Rn.
1281. Доказать, что совокупность Q всех векторов р {р1г ... , рп}
пространства Rn, координаты которых удовлетворяют соотношениям
= 0, ^>a2ipt = 0, ... , = 0,
образуют (п — А)-мерное подпространство1. Предполагается, что
п > k и ранг матрицы, образованной из коэффициентов при plt р2, ...
... » Рп, равен2 k.
1282. В трехмерном пространстве Rs даны две пересекающиеся
плоскости Пц л2 и три попарно непересекающиеся прямые l3, lt, 1&,
причем 13 принадлежит лг, а /4 и Z6 — скрещивающиеся прямые, пе-
ресекающие данные плоскости. Пусть йх, й2, Й8, и Q5 — множест-
ва всех векторов, принадлежащих соответственно л2, l3, /4 и /5.
п
1 Здесь у auPl = у allPt и т. д.
/=1
2 Эта задача является обобщением задач 102 и 103 иа п-мерное пространство.
158
Найти следующие суммы и пересечения пространств:
а) ^1,4~ ^2> ^1^2» * В) ^4 ~Ь ^В> ^4^5»
б) 4- fig, Х2Г£23; г) Qj + й4, £4Г£44.
1283. Доказать следующую теорему: если V( и Vk — два вектор-
ных подпространства пространства Л?п, а V, и Vn—соответственно
сумма и пересечение этих подпространств, то I + k — о + л1.
1284. Доказать предложение: если аъ ... , ат — базис подпрост-
ранства Vm, а Ьг, ... , Ье — базис подпространства Ve, то суммой Ve
этих подпространств будет подпространство, натянутое на векторы®
«1. .... ат, blt------ be.
1285. Пусть Vm и Ve — два векторных подпространства /?п, Уа
и Vn — соответственно сумма и пересечение этих подпространств, а
alt ... , ат и blt .., be — соответственно базисы подпространств Vm
и Уе. Доказать следующие предложения:
а) если система аъ ..., ат, blf ..., bm линейно независима, то эта
система является базисом подпространства Уо. В этом случае Уп
содержит единственный вектор 0;
б) если система alt... , ат, Ь1г ... , bs, где s < /, линейно незави-
сима, а остальные векторы bs+1, . . . , be линейно выражаются через
эту систему, то эта система является базисом подпространства Ув.
Если, далее, Ьп = а™ат + + ... + где' л =
= s + 1, s + 2,... , I, то векторы рп — + ... + а™ат обра-
зуют базис подпространства8 Уя.
1286. Векторы заданы своими координатами в пространстве /?4.
В каждом из следующих случаев найти сумму и пересечение соответ-
ствующих подпространств:
а), подпространства У2, натянутого на векторы {—1, 0, —2, 3},
{1, 2, —5, 3}, и подпространства У2, натянутого на векторы {0, 2, —7,
6}, {3, 1, 0, 1);
б) подпространства У3, натянутого на векторы {—1, 2, 3, 4},
{1, 1, 2, —1}, {0, —1, 5, —3}, и подпространства У2, натянутого
на векторы {2, 6, 24, —1} и {1, 3, 12, 0}.
1287. Пусть в пространстве векторы а1г а2, ... ,ат образуют
базис подпространства Ут, а векторы Ьь Ь2, ... , Ье — базис подпро-
странства Уе. В каждом из следующих случаев определить базис сум-
мы Уа и произведения Уя данных подпространств:
а) /?3; т = 2, I = 2, ar {1, 1, —1}, а2 {1, 2, 1}, bt {2, 3, —1),
b2 {1, 2, 2};
1 При решении задач это предложение часто используется для определения раз-
мерностей суммы и пересечения подпространств.
2 При решении задач утверждение, сформулированное здесь, часто используется
для определения суммы данных подпространств.
8 При решении задач это предложение часто используется для определения пере-
сечения данных подпространств.
159
б) Т?4; т = 3, I = 2, ах {1, 2, 1, —2), аа {2, 3, 1, 6}, а3 {1, 2,
2, -3}, й, {1, О', 1, -1}, й2 {1, 1, 1, 1};
в) /?4; т = 3,1 = 3, аг {О, О, 1, 1}, а3 {О, 1, 1, 0), а8 {1, 1,0, О},
йх {О, 2, 1, 1}, й2 {1, 2, 1, 2}, b3 {1, О, 1, О).
1288.. В пространстве /?5 дано подпространство V, натянутое на
систему векторов alt а2,..., ат, и подпространство IF, натянутое на
систему йа,..., Ье. В каждом из следующих случаев определить
размерности и базисы суммы Va и произведения Wn данных подпро-
странств:
а) аг {1,-1,0, 1,0), аа {0,-2,1,0, 0},а3{—1,0, 0, 1, 1}, а4 {1,
—1, 2, 3, 0}, йг {2, —4, 1,2, 0}, йа {1, —2, 1, —1, —1};
б) аг {5, 2, —7, 14, 0}, а2 {5, —1,8, —13, 3}, Ьг {10, 1, —2,7, —1},
й2 {15,3, 15, 9, 7), Ь3 {2, —1, — 5, —7). *
1289. Доказать, что если размерность суммы двух линейных под-
пространств пространства 7?п на единицу больше размерности их пе-
ресечения, то сумма этих подпространств совпадает с одним из них; а
пересечение — с другим.
1290. Пусть Vm и Vi — не совпадающие подпространства прост-
, ранства Rn. Доказать следующие предложения:
а) если tn + I > п, то пересечение этих подпространств имеет
по крайней мере один ненулевой вектор;
б) если т — I — п — 1, то суммой данных подпространств явля-
ется все пространство 7?п, а пересечение имеет размерность п — 2.
§ 55. Евклидово векторное пространство
и его подпространства; координаты векторов1
1. Евклидово пространство Еп
1291. В арифметическом пространстве «-измерений (см. задачу
1265) скалярным произведением векторов {ап аа,..., ап} и {0Ъ 02, ...
... , 0П} назовем число е = ccjPi + а20а + . . . + ап0п. Показать, что
при этом определении векторы удовлетворяют всем аксиомам прост-
ранства Еп.
1292. Будет ли обычное трехмерное пространство евклидовым, ес-
ли укалярное произведение двух векторов определить как произведе-
ние их длин? Объяснить результат.
1293. В пространстве матриц n-го порядка (см. задачу 1267) ска-
п
лярным произведением двух векторов (ау) назовем число е = JX/Py*
Показать, что при этом определении пространство будет евклидовым.
1 В этом параграфе во всех задачах, где даны векторы координатами, если нет
специальных оговорок, то предполагается, что базис ортонормированный.
[160
1294. “ В пространстве Е4 даны векторы своими координатами: а{1,
4, 3, 5), Ь {4, —2, —4, 0}, с (—2, —4, —3, 0} и d (0, 0, 1, —1}. Вы-
числить: a) ab-, б) be, в) | Ь\; г) (а — Ь)с\ д) (а — Ь)2.
1295. В пространстве Еп даны векторы а {1, 1, 3, 1), Ь {—1, 2,
0, —1}, с {—3, 4, —1, 1} и d {0, —1, —4, 0}. Вычислить их попар-
ные скалярные произведения и по их значениям узнать, образуют ли
векторы острый, прямой или тупой угол.
’ 1296. Доказать предложение: каковы бы ни были векторы х и у
пространства Еп, имеет место соотношение |х+у|<|х| + |у|,
причем равенство возможно в том и только в, том случае, если: а) один
из векторов х, у нулевой или б) векторы х и у сонаправлены (т. е.
х = 2у, причем Л > 0).
1297. Матрицей Грама системы векторов а1г а2, ... , ат называ-
ется следующая матрица:
/«1»! ад ... адт\
I 0202 • • • ®2®т I
। ®т®2 • • •
Здесь aflj — скалярные произведения соответствующих векторов.
Доказать, что система а1г а2,. •, ат линейно зависима и только тог-
да, когда определитель матрицы Грама этой системы равен нулю.
1298. В пространстве Д4 даны попарные скалярные произведения
систем векторов:
а) а, Ь, с\ а2 = 30, а&=4, ас — 64, Ь2 = 50, Ьс = 58, с2 = 186;
б), d, е, f, g-, d2 = 1, de = 0, df = 0, dg = 1, e2 = 13, ef = 0,
eg = 26, f2 = 16, fg = 16, g2 = 69.
Доказать, что каждая из этих систем линейно зависима.
1299. Доказать, что в общем декартовом базисе ег, е2, ... , еп
пространства Еп скалярное произведение векторов а {аь а2,..., ап}
и Ь {6Х, Ь2,..., Ьп} вычисляется по формуле
, ab^^gy^bj,
, ij
где — элементы матрицы Грама для базисных векторов (см. за-
дачу 1297).
2. Ортогональность
1300. Пусть аъ а2,... , ak — базис подпространства Vk, вложен-
ного в пространство Еп. Доказать, что система векторов bt — alt
b2 = а2 c21blt b3 = а3 e31b1 c32b2, • • • > bk = ak
— ... образует ортогональный базис подпространства Vk, где
r _ arbj
l} bjbj-
1301. В пространстве £4 даны векторы координатами: а) {1, 2, —3,
4} и {6, 2, —2, —4}; б) {0, 1, 0, 0} и {1, 0, 3, 5}; показать, что эти '
6 Заказ 290
161
векторы ортогональны, и дополнить их до полного ортогонального
базиса. t
1302. В пространстве £„ ортогональными дополнениями подпрост-
ранства Vk называется совокупность V* всех векторов, каждый из ко-
торых ортогонален Vk. Показать, что V* — подпространство размер-
ности п — ft, не имеющее ни одного общего ненулевого вектора с Vft.
1303. Пусть в ортонормированием базисе пространства Еп подпрост-
ранство Vn~k задано соотношениями
(см. задачу 1281). Показать, что векторы {а1Х, п12, ... , а1п}, [а21,
а22, ... » «ал}.{aki> ak2> аьп} образуют базис ортогонального
дополнения подпространства
1304. В пространстве Еп найти ортогональные дополнения подпрост-
ранства, натянутые на векторы, заданные координатами: а) {1, 1, 1, 1},
{2, 2, 0, 0}; б) {2, 4, 0, 3}, {1, 3, —1, 0}.
1305. Пусть Vk и Vm — подпространства Еп. Доказать, что если
k < т, то в Ут найдется хотя бы один ненулевой вектор, ортогональ-
ный подпространству Vk.
§ 56. Координаты точек в аффинном и евклидовом
пространствах
1. Координаты точек пространства1 Rn
1306. В каждом из следующих случаев доказать, что система то-
чек, заданная в /?5 координатами, линейно независима.
a) Mj (2,-4,— 1, 3, 0), М2 (26, 7, 12, 20, 19), А13 (53, 9, 31,43,46),
М4 (63, 7, 13, 53, 56);
б) Мх (1, 0, 0, 0, 0), М2 (62, 11, 14, 50, 56), М3 (80, 24, 45, 57,
70);
в) (1, 0, 0, 0, 0), М2 (0, 2, 0,0,0), М3 (0, 0, 1, 0, 0), М4(0, 0,0,
—3, 1), М5, (0, 0, 0, 0, 1), 7И6 (0, 0, 0, 0, 0).
1307. Пусть Ое^е^ — система координат пространства £4, а
точки Е1г Е2, Еа и Е4 определяются из соотношений et = OEt (i =
= 1, 2, 3, 4). Определить в данном базисе координаты: а) точек О,
Еи Е2, Е3, Ес, б) середин отрезков OEr, ОЕ2, OES, OEit Е^д, E3Eit
E^Ei, ЕгЕ3.
1308. Даны две точки в пространстве Т?4: М (2, 3, —1, 0) и N (0, 0,
3,— 4). Определить координаты точек, которые делят отрезок MN в
следующих отношениях: 7^ — 2, Х2 = 1, Х3 = —3.
1 См. введение к настоящей главе.
1Б2
1309. Пусть Ов1ва ... еп —- система координат пространства ₽п, а
точки Elt Е2,... , Еп определяются,из соотношений OEl — е{ (t ~l,
2,.... n). Показать, что система точек Еи Е2,.... Еп линейно незави-
сима.
1310. В пространстве Рп центром тяжести системы материальных
точек М1г М2,'..., Мь‘, в которых сосредоточены соответственно массы
/п1( т2, . .. , tnk, называется точка Р, определяемая из соотношения.
QP з- т10м + +... 4- mk0Mk
4- m2 4-... 4- m‘k
где О — некоторая точка пространства.
Показать, что это определение не зависит от выбора точки О. Опре-
делить координаты точки Р, если точки Mlt М2,..., Mk заданы коор-
динатами в системе координат Оег. . еп: (хи, х12....х1п),
Ms (*21» Х22,^. . . , х2п).Mk {xki, X/l2f
1311. Найти координаты центра тяжести материальных точек
All —1» 3, 4), Л1а (1, 0, 4, 0), Л18^1, 3, 4^ пространства /?4, в ко-
торых сосредоточены соответственно массы 3, 5, 4 (см. предыдущую
задачу).
1 ‘1312. В пространстве Rn центроидом точек Afn Л4г,.... Mk назы-
вается центр тяжести материальных точек Aflt М2,..., Mk, в которых
сосредоточены одинаковые массы т (см. задачу 1310). Показать, что
это определение не зависит от величины массы т. Вывести формулу
для определения координат центроида точек, заданных координа-
тами1.
/
1313. Доказать, что в пространстве Rn множество центроидов сис-
темы точек Л4г (X, 0, ... , 0), М2 (0, X..0), Мп (0, 0, ... , 0, 1)
при изменении % есть прямая, проходящая через точки (0, 6,.... 0)
и (1, 1, . . . , 1).
Л
2. Свойства Л-симплексов
и иг-параллелепипедов
1314. В пространстве Rn ^-симплексом называется система k 4-1
линейно независимых точек: Лв, ..., Ак, и обозначается он так:
[Л0Л1 ... Ак]; Точки Ло, Ль ..., Аь называются вершинами. Найти
координаты всех вершин и центроида Мо «координатного» симплекса
[OEiE2 . . . EJ, где О — начало координат, а Е1г Е2,..., Еп опре-
деляются из соотношений OEf~ et(i — 1, . . . , n).
1315. Доказать, что отрезки, соединяющие любую вершину ^-симп-
лекса [ЛОЛХ . . . Ап] с центроидом остальных точек, пересекаются в
.1 Ср. с задачей 53.
6*
163
одной точке и в этой точке делятся в отношении k, считая от верши-
ны (см. задачу 1314).
1316. В пространстве Rn даны точка Ао и т линейно независимых
векторов аь а2,.. ., ат, взятых в определенном порядке. Совокуп-
ность Ло, а1( ..., ат называется ориентированным т-параллелепипе-
дом и обозначается через [АдО^. .. ат]. Вершинами этого т-паралле-
лепипеда называется точка Ло и любая точка Aiti.ik , удовлетворяю-
щая условию A0Atlit... + а<2 + . . . + aZft> где 1 < < i2< '
<• . .< i* < иг, a k—произвольное целое число.
В пространстве Rn дан 4-параллелепипед1 [Д0е1е2езе41- Опреде-
лить число вершин и найти координаты всех вершин в системе
•^о^1®2^зе4-
1317. Диагоналями m-параллелепипеда lAgtii . . . ат] называются
отрезок Л0Л12... т и все отрезки вида А^г... ik^ik+l ••• im, где 1<4< —
... < ik < rn, 1 < ik+1 < ik+2 < . . . < im < tn и, кроме того, iti2 . ..
... ik ... im — некоторая перестановка чисел 1; 2, ... , m (см. зада-
чу 1316).
Доказать, что все диагонали m-параллелепипеда проходят через
одну и ту же точку пространства Rn и эта точка является серединой
каждой диагонали.
1318. Сторонами m-параллелепипеда [Aoat. . . ат] называются от-
резки А0А j, Л0Л2,... , А0А1П и любой отрезок вида Aiti2... ik А^2... /ft+b
где 1 < k < т и, кроме того, все числа it, i2, . . . , ik входят
в последовательность Д, /2, .... jk+l. Любые две вершины, об-
разующие некоторую сторону m-параллелепипеда, называются
смежными. Показать, что: а) для каждой вершины параллелепипеда
существует т вершин, каждая из которых является смежной с данной
вершиной. Другими словами, из каждой вершины выходят т сторон;
б) векторы, соединяющие произвольную фиксированную вершину со
всеми смежными с ней вершинами, соответственно равны: Е^а^
Е2а2,..., Етат, где Elt Е2, ... , Ет для данной вершины фиксирова-
ны и равны 1 или —1.
1319. В пространстве R5 дан 5-параллелепипед .-. . <?5].
Указать все вершины этого параллелепипеда, смежные с вершиной
/1135, и найти векторы, соединяющие эту вершину со всеми смежными
вершинами. Определить координаты вершины Л135 и всех смежных с
ней вершин в системе АдОе^^е^, если Ао (2, —1, 3, 4, 0).
1320. Пусть lAgd^ ... ат] является /n-параллелепипедом прост-
ранства Rn, а Мо — серединой стороны Л04г. Доказать, что вершины
(т — 1)-параллелепипеда lMoat ... ... omJ являются середи-
нами сторон исходного параллелепипеда.
1 Здесь ‘и в дальнейшем в выражении «ориентированный параллелепипед» слово
«ориентированный» будем опускать.
164
3. Координаты точек в пространстве Ёп
1321. В прямоугольной декартовой системе координат пространст-
ва Л4 даны пары точек: а) At (5, —3, —2, 3), Л2 (—4,_—3, 3, 7);
б) Sj (0, —5, 3, 0), В2 (6, —5, 0,2); в) С, (2, 2, 5,3), С2 (К2, —3, 2, 1).
Найти расстояния между каждой парой точек.
1322. В пространстве Ё5 даны точки в прямоугольной декартовой
системе координат: Л1(2, 0, 2, 3, 0), Л2(4,0,—1,3,2), А 3 (5,0, 0,0, 0),
Д4 (0, 3, 0, 0, 4), А5 (3, 4, 1,0, 0). Найти расстояние от каждой из
этих точек до начала координат.
1323. Показать, что треугольник АВС, заданный в Е& координа-
тами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат,
является прямоугольным: А (—11, 5, 8, 1, 4), В (—1, 5, —7, 1, —1),
С (9, ,5, —2, 1, 4).
1324. В прямоугольной декартовой системе пространства дана точ-
ка Л40 (2, 0, —3, 6). Найти косинусы углов, которые составляют ра-
диус-вектор этой точки с координатными векторами.
1325. В прямоугольной декартовой системе пространства £4 дана
точка Л40, отличная от начала координат, радиус-вектор которой с
координатными векторами glt g2, ... , gn образует соответственно
углыat, tz2, . .., а„. Доказать, что cos* 2at 4- cos2 а2 + • • • + cos2 ап = 1.
1326. В пространстве Еп гиперсферой с радиусом р и центром в
точке С называется множество всех точек М, удовлетворяющих усло-
вию СМ — р. Показать, что если Og']g2 ... gn— прямоугольная де-
картова система координат, то через вершины координатного симп-
лекса1 [G(G2.. .GJ проходит одна и только одна гиперсфера. (Здесь
точки G-t определяются из условий OG; = gL, i = 1, 2, ... и.) Найти
координаты центра и радиус этой гиперсферы.
4. Прямоугольный параллелепипед пространства Еп
1327. ^-параллелепипед [АдО^а? . . . ak\ называется прямоуголь-
ным, если система аг, а2, ... ,ah ортогональная. Доказать, что в пря-
моугольном параллелепипеде:
а) любые две стороны, исходящие из одной вершины, ортого-
нальны;
б) квадрат диагонали, исходящей из вершины Ло, равен сумме
квадратов всех сторон, исходящих из той же вершины2.
1328. В пространстве Еп ^-параллелепипед l^4(J«Zi«2 . . . «J назы-
вается fe-кубом, если все векторы а1г а2,..., ak образуют ортогональ-
ную систему и, кроме того, их длины равны друг другу. Показать,
что
’ См. задачу 1314.
2 Относительно терминологии см. задачи 1316 и 1317.
165
а) любые две сторойы ft-куба равны;
б) любые две диагонали ft-куба равны.
Что представляет собой 2-куб и 3-куб в пространстве £3?
1329. Вычислить длину диагонали ft-куба, если его стороны рав-
вы а. Доказать, что диагональ ft-куба образует равные углы со всеми
сторонами, и вычислить косинус этого угла.
1330. Доказать, что в пространстве Еп для любого n-куба сущест-.
вует гиперсфера, проходящая через все его вершины. Определить
центр и радиус р этой гиперсферы, если сторона n-куба равна а.
1331. Написать формулу преобразования
пространства R5, если даны координаты новых
старом базисе:
е'2 {2, 3, 7, 10, 13},
1, 1, 4, 5, 3, ю);
5 Г
б) 61' {3, 6, 5, 6, 4}, 62 {5, 9, 7, 8, ^},
a) e't (1, 2, 3, 4, 5},
е4 {2, —7, 7, 7, 2}, 6б (
§ 57. Преобразование координат векторов и точек
1. Преобразование координат в пространстве П„
координат векторов
базисных векторов в
е3 {3, 5, 11, 16, 21),
е'3 {6, 12, 13, 9; 7),
е4 {4, 6, 6, 5, 4}, е'ъ {2, 5, 4, 5, 3};
в) е\ {1, 0, 0, 0, 0,}, е2{0,0,1,1,1}, вз {0, 1, 0, 1, 1), е4 {0,
1,1,0,!}, е'6 {0, 1, 1, 1, 0}.
1332. Векторы at и bt заданы координатами в некотором базисе
пространства /?4: а4 {1, 1, 1, 1}, а2 {1, 2, 1, 2}, as {4, 1, 2, 1}, а4 {1,
3, 2, 0}, {4, 0, 3, —3}, &2 {—8, —3, —5, 0}, &3 {8, 2, 5, —1},
Ь4 {—5, —3, —4, 0}. Доказать, что каждая из систем alt а2, as, а4
и 6t, &2, Ьъ, &4 образует базис пространства, и записать формулы
преобразования при переходе от базиса at к базису bL.
1333. В пространстве Rn записать формулы преобразования при
переносе начала координат в точку О' в каждом из следующих слу-
чаев; a) Rt- О' (5, 3, 4, 0); б) Р5; О' (—3, 4, 1, 2, —12); в) R- О' (1,
1........
1334. В каждом из следующих случаев в пространстве Rn в общей
декартовой системе координат Oet даны координаты нового начала
О' и новых координатных векторов е\, е2, ... , е'п. Записать фор-
мулы преобразования при переходе от одной системы координат к
другой:
166
a) R3- e\ {2, 3, 5), & {0, 1, 4}, e\ {5, 7, -1}, O' (0, 3, -1);
6) Ri, e‘i {9, —8,5, 10}, 02 {3, 2, 2, 2}, e3 {5, —8, 5. 8},
04 {11,-13/9, 15}, O' (—3, 1, 2, 5);
в) R5- e'i {1, 0, 0, 0,-1}. 02 {0, —3, 2, 0, 0}, e3 {0, 0, 4, 1, 5},
04 {0, 0, 0, —5, 1}, • 0Б {0, 0, 0, 0, 1}, O' (0, 0, 0, 0, 0).
1335. В каждом из следующих случаев в пространстве определить
координаты новых координатных векторов и нового начала в старой
системе, если известны формулы преобразования:
a)' Rs, Xi = yi — Зу2 + уз, х2 = yt + у2; х3 = уг 4- 1;
б) Ry Vi = хх — 1; у2 = х2 4- 1; Уз = *з — 5; У4 = —х4;
в) Rn> xi ~ У1 + Уа +•••+ У,г + В. х2 = у2 + Уз 4*...4- у„ 4- 2;
х3 = Уз •+ уп + 3; ... ; хп = у„ + п.
Здесь (Хх, х2, ... , х„) — координаты точки в старой системе, a (ylt
У2, •Уп) — в новой.
1336. Пусть {ОЕ^ЕзЕД — координатный симплекс пространст-
ва /?4 (см. задачу 1314). Записать формулы преобразования при пере-
ходе к системе £2, 0О, 0ь 0г, 0з, 04, где 0О = Е2О, в\ = E2Elt
0з = ЕЭз. *4 = ад-
1337. Даны соотношения:,
• Xi = Ух + Зу2 — 4у3 4- 1, х2 = ух — Зу3 4- у4 4- 2,
х3 = 5ух 4- 7у2 — 8у3 4- 6у4 — 5, х4 = Зух 4- 4у2 — у3 + 5у4.
%
Могут ли эти соотношения быть формулами преобразования коорди-
нат в пространстве Д4? Объяснить результат.
2. Преобразование координат в пространстве Ёп
1338. Выяснить, какие из приведенных ниже матриц являются
ортогональными: ч
б) /1 0 0 0
[ 0 1 0 0
I 0 0 cos<p sinq>
\0 0 — sin ср costp
в)
1
V2
1
2
2
167
1339. В пространстве Е4 в ортонормированием базисе даны векто-
ры е,'[1, 1 1, — -|), е'2 {3, 2, 2, 4}, ^1—1, 1, A oj, е4 {2, 5,
-6, -о.
Выяснить; а) является ли базис вь е2, «з, ортогональным;
б) является ли этот базис ортонормированным.
Записать формулы преобразования векторов при переходе от ста-
рого базиса к новому.
1340. Даны формулы преобразования координат точек в простран-
стве Еа:
о,2 ,3 ,6
* 1 = 2 ДуУг + уУг + уУз,
1,6 ,2 3
* 2 — 1 + ~ Ух + у Уг — ~ Уз>
„ о , 3 6 ,2
* з = 3+уУ1 —уУа + уУз-
Является ли новая система координат прямоугольной декартовой, если
исходная система прямоугольная декартова?
1341. В пространстве Еъ дана прямоугольная декартова система
координат Ogjgsgsg'i&v Новая система координат выбрана так, что
вершина А 1з5 5-параллелепипеда [Ogigafi'sS'iS'J является началом коор-
динат,а , векторы Д^ТХгзз- Й2 = Д^Д1345, £з = Д13Из5>
§4 = А 1з5Л 15, g5 = Д J35/4 J3 —базисными векторами (см. задачу
1316). Показать, что новая система координат является прямоуголь-
ной декартовой, и записать формулы преобразования при переходе
от одной системы координат к другой.
§ 58. Плоскости в многомерном аффинном пространстве
Пусть А — некоторая точка пространства Rn, a Vk — ^-мерное
векторное подпространство. Множество всех точек М, удовлетворяю-
щих условию AM cz Vk, а также всех векторов подпространства Vk
называется /г-плоскостью и обозначается так: {Д, Vh). Подпростран-
ство Vk называется подпространством ^-плоскости. При k = 1 или
k = п — 1 fe-плоскость называется соответственно прямой или
гиперплоскостью.
. 168
Пусть Пь и Пт — две плоскости, где т> k, a Vs — пересечение
подпространств Vk и Vm этих плоскостей. Vs называется подпростран-
ством параллельности, число s — индексом параллельности, а число
1 = ----степенью параллельности плоскостей IJk и Пт. Пусть плос-
k
кости Пь и Пт не имеют общих точек. Если 7 = 0, то данные плос-
кости называются скрещивающимися, если 0 < 1 < 1 — частично
параллельными, а если 1—1 — полностью параллельными.
Подробное изложение теории 6-плоскостей в многомерном аффин-
ном и евклидовом пространствах читатель найдет в учебном пособии
(4J, гл. XI.
1. Уравнение 6-плоскоети
1342. В пространстве дана 6-плоскость. В каждом из следую-
щих случаев найти координаты нескольких точек и векторов, принад-
лежащих плоскости:
а) /?5; 6 = 4;
б) R5; 6 = 2;
в) /?4; 6 = 2;
— t 4- 5и.
Xi — Зх2 + х3 4- х5 + 1 = 0;
хг — Зх2 4* 4х4 = 0,
х2 + х3 — х4 + х5 = °,
' %! 4- 4х2 4- х4 4- х6 — 15 = 0;
хг —‘2 4-1 4- и, х2 = 2/ — и, х3 = t, х4 = 3 —
1343. В пространстве /?4 даны системы точек:
а) (3, 4, 0, 0), (4, 3, 1, 2), (5, 3, 3, 7);
б) (2, 5, —1, —2), (1, 6, —2, —4), (6, 1, 3, 6);
в) (1, 1, 0, 0), (2, 0, 5, 2), (0, 2, —5, —2), (4, —2, 15, 6).
Выяснить, какие из данных точек в каждой системе лежат на од-
ной прямой.
В каждой из задач 1344—1346 в системе координат 0еге2...еп
пространства Rn даны плоскость П своими уравнениями и несколько
точек и векторов своими координатами. Выяснить, какие из данных
точек и векторов принадлежат плоскости П.
1344. /?4; гт (х1 — х2 4- х3 = 0,
2 — Зх4 4-1=0;
АЦЗ, 0, —3, М2 (0, —1, 1, 0), М3 (1, 1, 0. 4), М4 (8, 7, —1, 3);
pL {0, 1, 0,0,}, р2 {3, 3, 0, 1}.
1345. R3; ГЦ : Xl — 2х3 + 4х4 — 5х5 — 2 = 0; ML (0, 0, 1,0, 0),
М2 (2, 1, 2, 1, 0), Л13 (2, 0, 0, 0, 0); '{2, 0, 0, 0, 0}, р2{1, 0, 1, 0, 0},
р3 {2, 0, 1, 0, 0}.
169
1346. Пп_т ,tXi 0, x2 О, . . .xm -4- xm+x 4~ . • .4" xn 1;
Ei (1, 0,..., 0), Eg(O, 1,..., 0),..., £„(0,0,.;., 1); et, e2,..., e№
el ent • • • > en-l en-
1347. Написать уравнения всех координатных осей и координат-
ных гиперплоскостей системы координат Ое^е^е^е^ в пространстве /?4.
В каждой из задач 1348 —1353 написать уравнения плоскости
наименьшей размерности, содержащей данные точки и векторы.
1348. Е4; Л4о (—1, 0, 2, 2); {2, 1, 4, 4}, р2 {0, 0, 7, 7}.
1349. Е4; Л41 (1, 1, —3, —2), М2 (—2, 0, 0, 0), М3 (1, 2, 0, —1);
А {3, 3, Д, 0}, р2 {4, 4, 4, 0}.
1350. Е5; Мо (1, 3, —1, 4, 5), Л4Х (2, 3', —1, 4, 5); а^О, 3, 0, 0, 0}.
1351. £6; Мг (3, —2, 0, 1, 1), М2 (0, 0, 3, 4, 1).
1352. /?„; Ех (1,0,..., 0), Е2*(0, 1......0), Е„ (0, 0, ... , 0, 1).
1353. /?„; О, elt е2, ... , ek, где k < п.
1354. Доказать предложение: для того чтобы точки AIj, М2,..., Mk,
Afft+1, Mk+2 лежали в одной плоскости TIS, где s < k, необходимо и
достаточно, чтобы при любом выборе полюса О существовали не рав-
ные одновременно нулю числа ах, ... , ай+2, удовлетворяющие услови-
ям «лГл 4- а2г2 4- ай+2г^2 = 0 и ах +а2 +. . . + ай+2 — 0. Здесь
rlt г2, ... , гь+2 — радиус-векторы точек Ми М2, ... , Mk+2, т. е.
г, = OMt.
1355. Будем говорить, что гиперплоскость 77п_( делит отрезок ЛЕ
в отношении К, если точка М пересечения гиперплоскости /7„_j и
прямой АВ делит этот отрезок в отношении X. Показать, что если ги-
перплоскость /7„_j дана уравнением 4- а2х2 4* . . . 4* 4-
4- а0 = 0, а точки А и В — координатами А (а1г а2, ... , а„), В (Рх,
₽8......₽„). то
__ _' aiai 4~ • • • 4~ апап 4- аа
°iPi 4- • • • 4- ««Рп 4- ао
1356. Пусть вершины треугольника АВС не лежат в гиперплос-
кости 77„-1. Доказать, что если гиперплоскость /7„_х пересекает от-
резок АВ, то она пересекает один и не пересекает другой из отрезков
ВС и АС.
2. Взаимное расположение плоскостей
В каждой из задач 1357—1362 даны две плоскости 77й и Пе своими
уравнениями в пространстве Rn. Найти степень 1 параллельности
данных плоскостей. Выяснить, пересекаются ли плоскости. В случае
пересечения найти уравнения плоскости пересечения или координаты
точки пересечения.
170
1357. /?4; т U Зх, — 5х2 — 2х3 + 2jt4 + 7 = О,
' 2) | — 4Х1 + 7х2 + 4хэ + 4х4 — 10 = О,
Ш'Л I ^Х1 — — Зх3 4" 7х4 + 14 = 0,
V ' 12xj. — 6х2 — Зх3 4- 2х4 + 10 = 0.
1358. /?5; (П \ I ЗХ] — L2xa 4" х5 — 1 = 0^
' 3> 14хг + х2 + xs + xt — 2 — О,
(774) 14xj — 22ха + 2х3 4- 2х4 4- 2х5 — 1 = 0.
1359. (/72); х3 — х± = х3 = О,
(Яг); хг = О, х2 = 0, х3 = 1.
1360. Я4; (77 3) xt + х2 4- х3 — х4 4* 1 = О,
(77з) хг — 2х2 + х3 + х4 = 0.
1361. Т?4; (773) ~хг —~х2 4- х3 — -^х4 — 1=0,
(Пз) &Xi — 2х2 4- 4х3 — Зх4 — 2 = 0.
1362. ₽4; (П2)х3 = 0, х4 = 0, .
(П^Х! = 0, хх 4- х4 = 1.
1363. Показать, что если плоскости Пт и Пп~т пространства Rn
имеют единственную общую точку, то базисы ег, е2, ет и ет+1,
ет+2< • • • » еп этих плоскостей вместе образуют базис пространства Rn.
Обратно, если базисы плоскостей Пт и Пп_т вместе образуют базис
пространства Rn, то плоскости пересекаются в единственной точке.
1364. В пространстве Rn дана плоскость Пт и подпространство
V„_m, ненулевые векторы которого не принадлежат данной плоскости.
Проекцией точки М на плоскость Пт по направлению подпространства
Уп-т называется точка пересечения плоскостей Пт и {ТИ, Vn_m) (см.
задачу 1363). Доказать, что центроид проекций точек ТИ^ ТИ2,...,
на плоскость nk по направлению подпространства Vn_m есть проекция
центроида данных точек на ту же. плоскость.
1365. Доказать, что если степень параллельности плоскостей.
Пт и Пп-т в пространстве Rn равна нулю, то любой вектор этого прост-
ранства может быть единственным образом представлен как сумма
двух векторов, соответственно принадлежащих данным плоскостям.
1366. Объединением двух плоскостей в пространстве Rn называ-
ется плоскость наименьшей размерности, содержащая эти плоскости.
Доказать, что две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда
размерность их объединения равна размерности векторного подпрост-
ранства, являющегося суммой подпространств данных плоскостей.
171
§ 59. Плоскости и гиперсферы в многомерном
евклидовом пространстве
1. Расстояние от точки до гиперплоскости1
1367. В пространстве Еп даны гиперплоскость уравнением и точ-
ка Мо координатами. В каждом из следующих случаев найти расстоя-
ние от данной точки до данной гиперплоскости:
а) Е4; ]/7хх — 4х2 + 5х3 — х4 + 12 = 0; Мо (0, 0, 0, 0);
б) Е4; 8xt — 4х3 — х4 — 8 = 0; Мо (—2, 5, 2, 3);
в) Е4; Зхх — 2х2 4~ х3 4~ 5х6 = 0; Л10(5, 1, 2, 4, —3);
г) Е5- 4хх — 2х2 4- Зх3 4- 5х4 4- К10х5 = 0; Мо (0, 1, 2, —3, 0).
1368. В пространстве Еп даны две гиперплоскости уравнениями
п п
2«Л 4- &1 = 0, ^£агхг4~ Ь2 = 0, Ьг^=Ь2. Доказать, что эти гипер-
плоскости полностью параллельны и что расстояние d от любой точ-
ки М одной из гиперплоскостей до другой гиперплоскости не зависит
от выбора точки М на гиперплоскостях. Число d называется расстоя-
нием между двумя гиперплоскостями. Вывести формулу для вы-
числения расстояния между данными плоскостями2.
1369. В пространстве Еп вычислить расстояния между полностью
параллельными гиперплоскостями (см. задачу 1368), которые заданы
уравнениями: '
а) 2х± — Зх2 4- 6х4 — 21 — 0, 4хх — 6х2 4- 12х4 4- 14 = 0;
б) Х1 = 3, хг — 15.
1370. В пространстве Е„ дана прямоугольная декартова система
координат О, OElt-OE2,..., ОЕп. Найти высоту симплекса [ОЕ1Е2... Е„],
опущенную из точки О на противоположную грань.
2. Ортогональные плоскости
Плоскости IJk и Пе называются ортогональными, если
их подпространства ортогональны, т. е. любой вектор одной плоскости
ортогонален любому вектору второй плоскости.
В каждой из задач 1371—1373 показать, что плоскости Пк и Пе,
заданные своими уравнениями в пространстве Е„, ортогональны.
1371. Е4; (П3): Х1 — х2 + Зх3 4~ х4 — 3 = 0, (/7J: хг 4- х2 = 3,
4xt 4- х2 — х3 = 3, 2хл + х2 — х4 = 5.
1 Во всех задачах этого параграфа предполагается, что система координат пря-
моугольная декартова.
2 Настоящая задача является обобщением задачи 1121 на случай пространства
Еп.
172
1372. £4; (Д2): xi ~ 2 4"1, х2 — 1 4- 4/ Ц- Зн, х3 — 3t-\-u,xt—
= 5-4-11/4- 3u; (Hj) : хг = 2t, х2 = 3, х3 = — 14- 37, х4 = 2 — t.
1373. Еп\ (7?й) : xk+i ~ xk+z = • • хп ~ 0> (^n—k) • xi xz
= . . . = xk = 1.
В каждой из задач 1374—1375 в пространстве Е4 даны плоскость Дй
уравнением и точка Мо координатами.
а) . Написать уравнение плоскости максимальной размерности,
проходящей через /Ио, и ортогональной Пь.
б) Найти координаты проекции точки Л1о на плоскость.
в) Найти расстояние от точки Мо до плоскости I7k,
1374. Е4; (Л t) : 4xt — 2х2 = 0, хг 4- х2 4- хз 4- 6х4 = 9, х2 4-
4- Зх3 4- 4х4 = 6; Мо (2, 2, 5, 3).
1375. Е4; (П2) : 2хг — х2 = 0, х3 4- х4 = 1; Мо (2, —1, 2, 3).
1376. Доказать, что в Еп множество точек, равноудаленных: а) от
двух данных точек Л и В, есть гиперплоскость, проходящая через
середину отрезка АВ и ортогональная прямой АВ\ б) от трех дан-
ных точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, есть (п — 2)-мер-
ная плоскость, ортогональная плоскости точек АВС.
1377. В пространстве Еп даны пересекающиеся плоскости Пк и
ГЦ. Доказать, что если хотя бы одна из этих плоскостей ортогональна
некоторой плоскости Пт, то их пересечение ортогонально Пт.
1378. Пусть в Еп даны две полностью параллельные плоскости ГЦ
и Пр причем k < I. Показать, что если nt ортогональна некоторой
плоскости Пт, то ГЦ также ортогональна Пт.
1379. Доказать, что если в пространстве Еп дана гиперплоскость
п
уравнением 4- b = 0, то вектор с координатами {аъ а2, ... , ап}
. «=1
ортогонален данной гиперплоскости.
1380. Показать, что если ГЦ и ГЦ — ортогональные плоскости
пространства Еп и k 4- I — п — 1, то через Пк проходит одна и только
одна (k 4- 1)-плоскость, ортогональная ДР
3. Гиперсферы
1381. Записать уравнение гиперсферы с центром в точке (х01, хоа, ...
..., хОп) и радиусом р:
а) в прямоугольной декартовой системе координат Oqrq2... qn\
б) в общей декартовой системе-координат Оехе2 ... еп, если даны
скалярные произведения = су.
1382. В пространстве Д4. дана гиперсфера радиуса р с центром в
точке М3. Записать уравнение этой поверхности, если: а) р = 5,
Л10(2, 0, 3, —1); б) р = 2, Мо(О, 0, 0, 0); в) р= 1, Мо (1, 0, 0, 3).
173
1383. В пространстве Ёп дана гиперсфера своим уравнением. В
каждом из следующих случаев найти координаты центра и длину ра-
- диуса гиперсферы: -
а) Е4; х? + х2 4* Хз 4* х2 — 14х3 — 0;
б) Е4; X? + х2 + Хз 4- Л — 4хх + 2х2 + 6х4 — 11= 0;
в) Е6; 3xi + Зх2 4" Зхз 4~ Зх2 4" Зхв — 30хх 4* 6х3 — 6х5 4" 78 — 0;
г) Е6; х2 + х2 + х2 4- х2 + х2 — 4хх — 2х3 4- 2х4 — 6х6 4-11 — 0;
д) Е„; 6х? 4- 6x1 4- ... 4* 6х^ — 12хх — 24х2 — ... — 12пх„ 4*
4- п (п 4- 1) (2/i 4" 1)) — 96 = 0.
, 1384. Найти множество точек пространства Еп, для каждой из
которых отношение ^расстояний до двух данных фиксированных то-
чек А к В есть величина постоянная, отличная от единицы и нуля.
1385. Пусть [OGXG2 ... Gn] — координатный симплекс прямо-
угольной декартовой системы Ogrg2... gn пространства Еп (см. зада-
чу 1314)). Написать уравнение гиперсферы, проходящей через верши-
ны этого симплекса. Пользуясь этим уравнением, доказать предло-
жение, сформулированное в задаче 1326.
1386. Доказать, что в пространстве Еп через любые «4-1 линей-
но независимые точки проходит одна и только одна гиперсфера.
Глава XII
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И КВАДРИКИ В МНОГОМЕРНЫХ
АФФИННЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В настоящей главе представлены задачи на теорию квадратичных '
форм в пространствах Rn и Еп и их применение к изучению квадрик
пространств Rn и Еп1.
§ 60. Квадратичные формы
Пусть ф (х, у) — скалярная билинейная симметрическая функция
от двух векторных аргументов х и у. Функция f (х) = <р (X, х) назы-
вается квадратичной функцией; исходная функция ф (ху) на-
зывается полярной по отношению к f(x). Матрица полярной функции
называется матрицей квадратичной функции, а ее ранг—рангом квад-
ратичной функции. Если в базисе ехе2 . . . еп вектор X имеет коорди-
наты Хх, х2, . . . , х„, то
ф (х, х) = ^aijXtXj.
1 Относительно обозначений пространств см. введение к главе XI.
174
Правая часть этого выражения называется квадратичной
формой от переменных xltx2, . . . , хп.
1. Понятие квадратичной формы
1387. В пространстве Rn квадратичные функции заданы квадра-
тичными формами в некотором базисе. Найти матрицы функций в
данном базисе и определить ранги этих функций:
a) R3\ Зх? + Х2 + Хз + 2х4х3 + 4х2х3 + 2x^1
б) /?4; 2х±х2 4- 2х2х3 + 2х3х4 + 2x4xf,
в) /?4; Зх? — Хг + Хз + 5х4;
г) /?4; Xi + хг + х4х2 + ххх3 + ххх4;
д) Rz> -*4+4x2 + 4ххх2.
1388. Найти билинейные формы, полярные по отношению к каж-
дой квадратичной форме предыдущего примера.
1389. Ненулевые векторы р и q называются сопряженными отно-
сительно квадратичной функции <р(х, х), если q(p, q) — Q. Самосо-
пряженный вектор называется вектором асимптоматического направ-
ления. Для каждого из примеров, приведенных в задаче 1387, опре-
делить:
а) векторы, сопряженные координатному вектору
б) несколько векторов асимптоматических направлений.
1390. Найти условия, при которых для квадратичной функции,
заданной формой <р (х, х) —'^ialjxlxj: а) все направления, принадле-
жащие подпространству, натянутому на координатные векторы
Ci, е2, ••• , &п-1> являются асимптоматическими; б) все координатные
векторы имеют асимптоматические направления (см. задачу 1389).
2. Приведение квадратичной формы к нормальному виду; сигнатура
Пусть в базисе е1г е2, . . ., еп квадратичная форма, определяю-
щая данную квадратичную функцию <р (х, х), имеет вид:
<Р (X, X) — £jXi + ^2Х2 +. . .+ & тХг, (1)
где Sx, S2, ... , Sr равны 1 или —1, аг — ранг функции.
В этом случае говорят, что квадратичная форма имеет нормальный
вид.
В каждой из задач 1391—1395 дана квадратичная форма в общем
базисе пространства Rn. При помощи преобразования базиса найти
нормальный вид квадратичной формы и записать формулы преобра-
зования.
1391. R2, 9х| — 6х4х2 + 5x2.
1392. R3, х? + 8x2 + хз — 6х4х2 + 2х4х3 — 6х2х3.
1393. R3\ Xi + 4хг + Хз + 4х4х2 — 2xjX3 — 4хах3.
175
1394. Д4; 4х2 4- х2 + Xi 4- 4X]X2 4- 4xtx3 + 4ХЖ + 2x2x3 4- 2x2x4.
1395. 7?6; 4xi — 3x2 4" 4x3 4~ 6x1 4~ -xi 4~ 4xjX2 4" 4xjX6 4~ 2x2x5 —
— 12x3x4 4- 2x4x5 — 8x2x4.
1396. Показать, что следующие квадратичные формы, заданные
в общем базисе R3, являются положительно определенными:
a) 3xj 4- Л'2 4- 4х3;
б) 5xi 4- х2 4- 5х3 — 2ххх3 4- 4х2х3 — 2х1х2;
в) xi 4- 2х2 4- 2х3 4- 2хгх2 — 2х2х3.
1397. Найти сигнатуры квадратичных форм, заданных в задачах
1391—1396.
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
в пространстве Еп. Собственные направления
В каждой из задач 1398—1402 найти характеристические числа и
соответствующие собственные векторы квадратичных функций, за-
данных в ортонормированием базисе пространства Еп следующими
квадратичными формами.
1398. Е3; Xi —2x1 4- х2 4- 4xjX2 — Юх^з 4- 4х2х3.
1399. Е3\ Xi 4- х2 4- 4х3 4- 2ххх2 4- 4ххх3 4- 4х2х3.
1400. Е4; X!X24- xtx3 — ххх4 — х2х3 4- х2х4 4- х3х4.
1401. Е6; 5xi 4~ х2 4- 4х3 — 4x1 4- х25 — 4х2х3 4- 12x4xs.
1402. Ее', Зх? 4" 4х2 — х3 4" х2.
Пусть в ортонормированием базисе g,g2 .. . gn квадратичная фор-
ма, определяющая данную квадратичную функцию ф (х, х),_имеет вид:
ф (х, х) — lxxi + Х2х2 4*. • .4- \х2,
где Х2, ... , Хг — ненулевые характеристические числа квадратич-
ной функции ф (х, х), аг — ранг функции. В этом случае говорят, что
квадратичная форма имеет канонический вид.
В каждой из задач 1403—1407 дана квадратичная форма в ортонор-
мированном базисе пространства Еп. При помощи ортонормированно-
го преобразования базиса найти канонический вид квадратичной фор-
мы и записать формулы преобразования.
1403. Е2; Xi — 14х1х2 4- 49х2.
1404. Еа; 7xi 4- 6х2 4- 5х3 — 4ххх2 — 4х2х3.
1405. Е3, х2 + х2 + 5х3 — 6х4х2 — 2XiX3 4- 2х2х3.
1406. Е4; 2xi 4- 2x1 4- 2x1 4- 2x1 — 4хгх2 4- 2ххх4 4- 2х2х3 — 4х3х4.
1407. Еа; 4xi — 4x1 4- 2х3 — 5x1 4- 3x1 — 8х2х3 4- 6х4х6.
1408. В ортонормированием базисе пространства Еп дана квад-
п
ратичная форма 2 ацХ&. Доказать предложение: для того чтобы
176
вектор {pt, р2, > Рп} имел одновременно асимптотическое и собст-
венное направления, необходимо и достаточно, чтобы его координаты
удовлетворяли уравнениям (см. задачу 951):
= 2a2iPi = 0, .... 2апА = 0--
t=l <=1 1=1
1409. Для того чтобы вектор собственного направления квадра-
тичной функции имел одновременно и асимптоматическое направле-
ние, необходимо и достаточно, чтобы характеристическое число, соот-
ветствующее этому вектору, равнялось нулю. Доказать.
1410. В пространстве Еп в ортонормированном базисе дана квад-
п
ратичная форма У о-цхрс,. Выяснить, при каких ограничениях, на-
I. /=1
кладываемых на коэффициенты aif:
а) всякое направление пространства Еп является собственным;
б) вектор gx имеет собственное направление;
в) любой вектор подпространства {g,, g2, . . . , gk} имеет собст-
венное направление.
§ 61. Асимптоматические направления.
Классификация квадрик в аффинном пространстве
Квадрикой пространства Rn называется множество всех точек,
координаты которых в некоторой общей декартовой системе коорди-
нат удовлетворяют уравнению
п п
2 а^хЫ + 2 2 bLxt 4- с = 0, (1)
где &ц — (1д.
Квадратичная форма У aijxlxi определяет в данном базисе некоторую
квадратичную функцию <р (х, х), которая заданием квадрики (1)
определяется с точностью до числового множителя.
Асимптоматические направления, сопряженные направления, ранг,
абсолютная величина сигнатуры, главные направления квадратичной
функции <р (х, х) называются соответственно асимптотическими на-
правлениями, сопряженными направлениями, рангом, сигнатурой и
главными направлениями квадрики (1).
Прямая I называется прямой асимптотического направления, если
любой ее ненулевой вектор имеет асимптотическое направление.В этом
случае прямая либо пересекается с квадрикой в одной точке; либо не
имеет с ней ни одной точки, либо целиком принадлежит квадрике.
Во втором случае прямая / называется асимптотой квадрики, а в
третьем случае — прямолинейной образующей. Ненулевой вектор р
называется вектором данной квадрики, если любая
прямая, содержащая этот вектор, является асимптотой или прямо-
линейной образующей. Множество всех векторов квадрики образует
177
подпростр анство, которое называется а с я м пт от йч е с к и м п о д-
пространствюм квадрики. Квадрика называется S-ц и-
линдрической, если она имеет S-мерное асимптотическое
подпространство, где S > 0.
1. Пересечение квадрики с прямой и пловкостью; асимптотические
направления
1411. В Rn даны квадрика и прямая уравнениями. В каждом
из следующих случаев определить координаты их точек пересечений:
a) R3i Xi — 2xjX2 4- 2хз + х^ — хх — х2 — 0; -1 ~ 3 — 3 =
4 4
_ Хд — 3
4 ’
б) /?4; xi + х| — 2x^2 4- Зх4х3 + 4х2х4 4- х3 4- х4 = 0.
Прямая проходит через точки (0, 0, 3, —3)) и (0, 0, 11, —11).
1412. В /?4 дана квадрика, 2xi + х% + хз — х% + 4хрс4 — 5 = 0.
Определить сечение данной квадрики с координатными гиперплоскос-
тями Ох!х2х3, 0хгх2х^ Оххх3Хь и Ох2х3х4.
1413. Квадрика дана в пространстве R3 уравнением Xi4-xi4-
+ хз 4- 2х4х2 — 2х4х3 — х2х3 + 4xt 4- Зх2 — 5х3 4--4 = 0. Найти
те прямолинейные образующие этой квадрики, которые проходят
через точку (—1, —1, 1).
1414. В пространстве Rn даны квадрика G и т— плоскость Пт.
Показать, что если в плоскости Пт существует хотя бы одно неасимпто-
тическое направление квадрики G, то пересечение плоскости Пт и
квадрики G есть некоторая квадрика плоскости1 Пт.
1415. В пространстве Rn дана квадрика уравнением axlxi +
4- a22xl 4-. • . 4- аппХп 4- 2Ь1х1 4- ... 4- 2bnxn+c — О. Найти усло-
вия, при которых эта квадрика: а) имеет только одно асимптотическое
направление, совпадающее с направлением оси Охх; б) не имеет асимп-
тотических направлений.
В каждой из задач 1416—1420 даны квадрики в пространстве Rn.
Определить асимптотические направления и размерность и асимпто-
тического подпространства каждой из квадрик. По полученным ус-
лоцрям выделить цилиндрические квадрики.
1416. R2, xi — х? 4- 2х4х2 = 0.
1417. R2', 9xi 4- 16x2 4- 24ххха — 40хх 4- 30х2 = 0.
1418. R3, X? 4- 2хз — 6хх 4- 4х2 — 8х3 4- 13 = 0.
1419. R3; 2xi 4- х% — 4ххХ2.4~ х2 = 0.
1420. /?4; Xi 4- xi 4- 2х4х2 — 2хз — 2х4 — 4х3х4 4- 6х3 4~5х4 = 0.
1 В данном случае плоскость Пт рассматривается как некоторое Rm.
178
: 2. Цилиндрические и конические квадрики
В каждой из следующих задач дана квадрика уравнением в общей
декартовой системе координат пространства Rn. Доказать, что данные
квадрики. являются цилиндрическими. Определить размерность об-
разующих.
1421. Я3; х! 4- 2xf 4х2 4- 12х3 + 10 = 0.
1422. /?4; 4x1 + 2x1 + 4 + х4 — 4ххх2 -Ь 2х2х3 + 4ххх4 —2х2х4 +
4- 2хх — ха + х4 + 15 = 0.
1423. /?Б; х? + 04 + 4 — ^xtx3 + 2ххх4 — 6х3х4 + х2 + Зх3 +
+ xs + 1 = 0.
Квадрика называется конической, если она имеет хотя бы одйн
центр, принадлежащий квадрике. В этом случае все ее центры при-
надлежат квадрике и называются ее вершинами.
В каждой из задач 1424—1426 дана квадрика в общей декартовой
системе координат пространства Rn. Доказать, что данные квадрики
являются коническими. Определить плоскость вершин.
1424. R3- Xi + 5x1 — Зхз + 2ххха — 2хх — 2х2 + 1 == 0.
1425. Ri, Xi + 4 + 4 + 2ххх4 — 2хх — 6х2 — 2х4 + 10 = 0.
1426. Rs; 4 — 24 — 34 + 4 — 2ххха + 2ххх6 — 2хахБ — 6х2х4 = 0,
3. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду
Нормальным уравнением квадрики, заданной в общей декартовой
системе координат пространства Rn, называется уравнение вида
S ixl 4- S24 Ч- ... 4” Srx ёо или вида ё х4 4* ё Зхг 4*.... 4"
4- ёгх1 4- хг+1 = 0, где г — ранг квадрики, <£х, ё3, . . . , ёг равны 1
или — Г, a ё0 равно 1 или нулю,,
В каждой из задач 1427—1432 дана квадрика в общей декартовой
системе координат пространства Rn. При помощи преобразования
системы координат найти нормальное уравнение квадрики и опреде-
лить его тип.
1427. R3; 4xi 4- 4 4- 2х2х3 — 2х3 — 5 = 0.
1428. Rs-, Xi 4- 4 4- 9хз 4- 2ххх2 4- 6ххх3 4- 6х2х3 — 2 = 0.
1429. /?4; 4 4" 24 4~ Хз 4~ 2х4 4" 2ххха 4” 2х3х4 — 6х2 4~ 8 = 0.
1430. /?4; 4xi 4- 9x1 — х4 4- 6х2х3 — 2х3х4 4- х4 4- 5 = 0.
1431. Rb; Xi 4* 4x1 — Хз — 44 — 4ххх2 — 4х3х4 = 0.
1432. /?5; 4xi 4- Х2 4* Хз — 4ххх3 4” 2х2 — Зх3 — х4 4” 15хБ —1=0.
179
§ 62. Асимптотические и диаметральные гиперплоскости.
' Центры квадрик
1. Асимптотические и диаметральные гиперплоскости
1433. Пусть в пространстве Rn дана квадрика уравнением (1),
стр. 177, и вектор р {plt t рп}, удовлетворяющий условиям:
а) р имеет асимптотическое направление; б) хотя бы одно из чисел
п
при /= 1, ... , п отлично от нуля.
Показать, что множество всех точек пространства Rn, принадле-
жащих всем асимптотам или прямолинейным образующим направле-
ния р, образует гиперплоскость. Она называется асимптотической ги-
перплоскостью квадрики, соответствующей вектору р.
1434. В пространстве Rn даны квадрика своим уравнением и век-
тор р координатами. В каждом из следующих случаев показать, что
вектор р удовлетворяет условиям а) и б) предыдущей задачи, и напи-
сать уравнение асимптотической гиперплоскости, соответствующей
данному вектору:
а) 7?3; Р{1, 0, 1}, 2x1 + 10x1 — 2x1 + 12ххх2+8х2х3+ 12хх +
+ 4х2 + 8х3 — 1 = 0;
б) Ri, р {—2, 1, 1, 0,}, Xi + 5x1 — х1 — Х4 + 4ххх2 — 2 = 0;
в) Р {2, —1. 0, 1; 3}, х? + 5x1 — хз — Х4 + 4ххх2 — 2 = 0.
1435. В пространстве 7?3 дана квадрика уравнением
х? — х! + 2хз — 4ххх2 + 2ххх3 — 6х2х3 — 2хх + 4х2 — 5 = 0.
Найти уравнение той диаметральной плоскости, которая сопряжена
направлению прямой
(2хх — х2 — х3 + 1 =0,
t хх + х2 — 2х3 + 3 = 0.
1436. В пространстве R3 дана квадрика уравнением
4xi + 9х| + хз — 12ххх2 — 4ххх3 — 5 = 0.
Найти уравнение той диаметральной плоскости, которая проходит
через прямую хх = I — 3/, х2 = 2t, х3 = 2 — t.
1437. В пространстве Rs дана квадрика уравнением
2xi + Юх1 — 2хз + 12ххх2 + 8х2х3 + 12хх + 4х2 + 8х3 — 1=0.
Найти уравнение той диаметральной плоскости, которая проходит
через прямую
хх = 1 + t, х2 = —1 — t, х3 = t,
1438. В пространстве R3 дана квадрика уравнением
: Xi + 2x1 — Хз2лхх2 — 2х2х3 + 2ххх3 — 4хх — I = 0.
180
Написать уравнение той диаметральной плоскости, которая проходит
через точки 0 (0, 0, 0)) и М. (1, 1,0).
1439. Найти общую диаметральную, плоскость квадрик, заданных
в пространстве /?3:
4х? 4- 2%2 4“ Зхз 4" 4ххх3 — 4х2х3 4~ 8хх — 4х2 4* 8х3 = О
и
xi 4- Эха 4- 2хз — 4ххх2 — 6ххх3 4- 2х2х3 4- 8хх — 16х2 4- 1 — 0.
1440. В пространстве /?4 дана квадрика уравнением
xi 4- 4хг — х| — 4x4 — 4ххх2 — 4х3х4 4- 4х3 4~ 8х4 4- 15 = 0.
Написать уравнение той диаметральной гиперплоскости, которая
проходит через начало координат.
1441. В Rn дана квадрика и гиперплоскость уравнениями. В
каждом из следующих случаев написать уравнение той диаметраль-
ной гиперплоскости, которая параллельна данной гиперплоскости:
а) /?3; 6х? 4- 9х2 4- *з 4- 6ххх2 — 4ххх3 — 2х2 — 3= 0, хх 4~3х2—х34-
4" 5 = 0; б) /?4; 4х, 4- х| 4~. Хз 4~ х! 4~ 4хх — 6х3 — 2х4 4- 15 = О,
Ч 4- — х2 4- — х3 j- — х4 4~ 15 = 0.
1442. Квадрика задана своим уравнением (1), стр. 177, в простран-
стве 7?3. При каком условии, накладываемом на коэффициенты, плос-
кость Оххх2 является одной из диаметральных плоскостей квадрики.
1443. Ответьте на следующие вопросы: а) Существует ли такая
квадрика в Rn, для которой все диаметральные гиперплоскости сов-
падают? б) Как расположены диаметральные гиперплоскости квад-
рики, которая распадается на пару пересекающихся гиперплос-
костей?
2. Центры квадрик
1444. Найти центры следующих квадрик пространства 7?3:
а) х| 4- Х2 4- хз 4- 2ххх2 4- 6ххх^ — 2х2х3 4- 2хх — 6х2 — 2х3 = 0;
б) Зх? 4- 2x2 — 2ххх3 4- 4х2х3 — 4хх — 8х3 — 8 = 0;
в) 2xi 4- 12х2 4- 4хз 4- 8ххх2 — 4ххх34-12х2х3— 10хх 4- 14х3 4-7=0.
1445. Найти множество центров каждой из следующих квадрик
пространства /?3:
а) 9х| 4- 5x1 4- 9х| — 12ххх2 — 6х2х3 4- 12х3 — З6х3 = 0;
б) 2x1 4- Юх2 — 2x1 4- 12ххх2 4- 8х2х3 4~ 12хх 4~ 4х2 — 8х3 —1=0:
в) xi 4- 4x1 4- 4ххх3 — 2х2х3 = 0;
г) 2x1 + 2х2 4- 2хз 4- 4ххх2 — 4ххх3 — 4х2х3 4- 5хх 4- 5х2 — 5х3 4-
4-2 = 0.
1446. Показать, что следующие квадрики, заданные в пространст-
ве Rn, являются центральными, и определить координаты их центров:
181
a) /?4; Xi 4- xl 4" Хз 4- 4x1 — 2xx — 6x3 + -4x4 4* Ю,== 0;
б) A*4; Xi 4* 2x2 4" Юх3 — 4x^ 4* 2ххл2 4 6xax3 4 8x4 4- 10 = 0;
в) R&‘, Xi 4- 2x1 + 2хз 4- xF 4- xi 4- 2xxxa — 2xax3. — 15 = 0.
,1447. В пространстве Rn даны квадрики. Определить плоскость
центров каждой квадрики:
а) /?4; 4xi 4- 2x1 4- 3x1 4- xl — 4ххх2 4- 2х2х3 4- 4ххх4 — 2х2х4 4-
4- 2хх — х2 4- х4 4- 15 = 0;
б) Rs; xl 4* 4х2 — хз — 4х,—4ххх2 — 4х3х4 4- 4х34-8х4 4* 15 = 0;
в) Т?5; xi 4* х2 4- х| — 2ххха 4- 2xxxs — 2х2х5 — 4 = 0.
1448. Показать, что следующие квадрики, заданные в пространст-
ве Rn не имеют центров:
. а) Т?5; xl 4- 9x14- xl — 6ххх3 4- 2ххх4 — 6х3х4 4- х2 4- Зх34- х6 4-
4- 1 =^0;
б) Rt; Xi 4- xl 4* 2ххха 4* 5х2х4 — х2 4- х3 4- х4 —- 4 = 0;
в) ₽3; 2х? 4- Юх1—2x1 4* 12ххх24~ 8х2х34-12хх 4-4х2—8х3—1 = 0;
г) R5; 2xi — 5x1 4- хз 4~ х< — 2ххх3 — Зх2х4 4- х2 4- х5 — 3 = 0;
д) Rjit xi 4“ ха 4- Хз 4~ ... 4~ хп = 0.
1449. В пространстве Rn квадрика задана уравнением (1), стр. 177.
Найти квадрику, для которой гиперплоскость Охх . . . хп_х является
гиперплоскостью центров данной квадрики.
1450. В Rn квадрика дана уравнением (1), стр. 177. При каком
условии ось Охх является прямой центров для данной квадрики?
3. Главные диаметральные гиперплоскости и оси
1451, В пространстве Е3 дана квадрика уравнением в прямоуголь-
ной декартовой системе координат. В каждом из следующих случаев
найти уравнения главных диаметральных плоскостей и осей квадрики:
a) Xi 4- xl 4- 5x1 — 6ххх2 — 2ххх3 4- 2х2х3 — 4хх .4- 6ха4-2х3— 8=0;
б) 5xi — xl + Хз 4- 4ххх2 4- 6ххх3 4- 2хх 4- 8х2 4- 6х3 — 10 = 0;
. в) 5xi 4- 2x1 4- 5x1 — 4ххха — 2ххх3 — 4хах3 — 6хх 4- 6ха — 7 = 0;
г) Xi 4* xl 4- 3x1 4- 2ххха—6ххх3 4- 6х2х3—4хх4~ 4ха—2х3—12 = 0;
д) 2х| 4- Зх| 4- 2х| 4- 2ххх2 4- 4ххх3 4- 2х2х3 4- 2хх 4- 6х2 4* 2х3 = 0.
§ 63. Приведение общего уравнения квадрики трехмерного
евклидова пространства к каноническому виду
Каноническим уравнением квадрики, заданной в прямоугольной
декартовой системе координат, называется уравнение вида Ахх| 4-
182
+ Х2х|+. . .4-Хгх® =<?й или вида Ip;? + 12х| + • •• ^xr~ 2xr+i> гДе г ~
ранг квадрики, Хх, Х2, . . , Лг — отличные от нуля характеристичес-
кие числа, a <S0 равно единице или нулю.
В задачах 1452—1459 с помощью преобразования вращения прямо-
угольной декартовой системы координат привести к каноническому
виду уравнения квадрик трехмерного евклидова пространства Е3 и на-
писать формулы преобразования.
1452. 5xf + 2х| + 5x1 — ^xix2 — 2ххх3 — 4х2х3 — 24 — 0.
1453. 2%2 4- 2х| — 5х| — 5х| + 2ххх2 — 15 = 0.
1454. 3%2 + 2хг — 4х3 = 0.
1455. х| 4- 5х| + х|+ 2хххг 4- 6ххх3 + 2х2х3— 12 = 0.
1456. 5х2 + 5x1 — ^х§ + Зххх2 — 9 = 0.
1457. 5х| + 4хх + 6х3 = 0.
1458. xf + xf+ •“ + х1хз — ++з — 3.
1459. х, + + х3 — 2ххха + 2ххх3 — 2х2х3 = 4.
В задачах 1460—1468 с помощью переноса начала прямоугольной
декартовой системы координат привести к каноническому виду урав-
нения квадрик трехмерного евклидова пространства Е3.
1460. х| — 6х2 + 2хз ~ 2xi + 12х2 + 4х3 + 9 = 0.
1461. 3xf — 2х3+ 12хх — 2х2 + 4х3 + 6=0.
1462. 2xf + Х2 + 4х| —4хх + 6х2 + 16х3 — 1 = 0.
1463. 2xf + 3xj — 4хх + 12ха — 12х3 + 2 = 0.
1464. х, —2х| + 6хх + 4х2 — 4х3 + 3 = 0.
1465. х2 — xf + х| + 2хх + 4х2 — 3 = 0.
1466. х2 — 3x2 + 10хх + 12ха + 13 = 0.
1467. 5x2 + 10x2 + 2х2 _ 40Хг + 50 = 0.
1468. х2 + 14хх + 44 = 0.
В задачах 1469—1476 с помощью преобразования вращения сис-
темы и переноса начала координат привести к каноническому виду урав-
нения следующих квадрик трехмерного евклидова пространства Е3.
1469. 5х; + Зх| Зх3 — 2ххх2 + 2ххх3 — 2х2х3 + 4хх + 8х2 +
+ 12х3 — 4 = 0.
1470. х2 + х| + 4х| + 2ххх2 + 4ххх3 + 4х2х3 + 8хх + 4ха — 5 = 0.
1471. 2ххх3 + 4хх — 6х2 + 8х3 — 2 = 0.
1472. 5x'f + 5х| + 8ххх2 — 4ххх3 + 4х2х3 — 36хх + 36х2 —18х3 —
— 18 = 0.
1473. 4x2 4. 2х2 + Зх2 + 4ххх3 — 4х2х3 + 8хх — 4х2 + 8х3 = 0. .
1474. 5x2 — 2хх + Юх2 — 4х3 +1=0.
1475. Зх2 + 2х2х3 — 6хх + 4х2 — 4х3 +1=0.
1476; 2x2 _ Зх2 + 2х2 — 8ххх3 + 4хх — 6х2 + 8х3—- = 0.
3
ч
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
В настоящем разделе помещены ответы к задачам, а также указания к решению
большинства задач. В отдельных случаях приведены решения типичных и наиболее
трудных задач.
Следует иметь в виду, что каждая задача, как правило, может быть решена раз*
личными способами. Указания или решения, помещенные в данном разделе, намеча-
ют один из возможных путей решения задачи. При этом избранный метод решения
задачи соответствует тому разделу теории, куда помещена данная задача.
1. a) AN = МР; б) NP || СА, NP .Ц. СИ; г) PC || ВС, PC + ВС; д) AM = МС;
e)NP II CM, NP = — CM. 2. a) AB 11 CD, AB * CD; 6) AB = DC; в) В? ||. CB;
ВС СВ; д) OA — CO. 3. Указанные свойства будут выполнены для случаев а) и в).
7. a) ADf, б) АР; в) АС; г) 01; 11. В тросах возникают растягивающие силы:
10 кГ и 20 КЗ кГ. 12. На стержень АВ действует растягивающая сила 120 кГ,
а иа стержень СВ — сжимающая сила 60 1^3 кГ. 14. а) Если векторы а и b не кол-
линеарны или коллинеарны, но имеют противоположные направления, то | а + 0|<
< | а| + | Ь |; б) если векторы а и b сонаправлены нли хотя бы один из них нулевой,
то | а + b| = | а |+| b |. 16. Да. На'пример, если в треугольнике АВС сторона АВ
меньше сторон АС и ВС, то векторы ВС= а, и СА = удовлетворяют условиям
а), а векторы ВС= а2 и ЛС= б2 — условиям б). 18. Если векторы а и Ь не кол-
линеарны, то данное в условии задачи равенство означает, что диагонали паралле-
лограмма, построенного на данных векторах, имеют равные длины. Этим свойством
характеризуется прямоугольник, поэтому векторы а и Ь взаимно перпендикуляр-
ны. Если хотя бы один из векторов а или Ь равен нулю, то условие задачи всегда
выполнено. Если, наконец, а и b — ненулевые коллинеарные векторы, то j а + б] +
+1 а—&|. 22. a) ACt; б) A Gr; в) ОЛХ; г) FG. 23. А К = —; BL= -Ь — а; СМ =
= ± а — Ь. 24. АВ = 2а; ВС =2 (0— 2а); АС= 2(Ь —а). 25. а) —1; б) —2;
7 2.1
в) —; г) — ; д) —. 28. У к а з а н и е. Доказать, что длины векторов | Ь | а и \а\Ь
равны и воспользоваться теоремой: диагонали ромба делят соответствующие углы
ромба пополам. 30. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 29. 35. У к а з а н и е.
При доказательстве воспользоваться предложением: если е} и е2 — векторы соот-
ветственно прямых I, и /2, а х= ае, +ре2, то х' = aet. 37. Нет. 38. У к а з а н и е.
Пусть а и b — неколлинеарные векторы, принадлежащие И; показать, что П со-
стоит из тех и только тех векторов, которые линейно зависят от а и Ь. 39. Нет. У к а-
2
з а н и е. Использовать теорему, сформулированную в задаче 38. 40. х—-~ (а + 2Ь),
О
у = — (а — 0). У к а з а н и е. Так как свойства суммы, разности и умно-
жения вектора иа число формально совпадают с аналогичными свойствами числовых
184
операций, то для решения векторных уравнений можно пользоваться теми же прие-
мами, что и при решении линейных уравнений в алгебре. 41. Указание. По-
следовательно исключив у и z, сначала найти х. 42. Р е ш е н и е. Пусть точки
Л, В и С лежат на одной прямой и Л и В — различные точки. Тогда АС — К АВ или
г3 — — Х(г2 — rj. Отсюда получаем: (X — 1) — r2X + rs = 0. Полагая
а=Х— 1, р = —X, у=1, получаем искомый результат. Обратно, пусть
axrt + а2г2 + а3г3 = 0 и, например, а3 + 0. Разделив предыдущее соотношение
СС| ССп . “* CCg CCj
на сс3, получаем: — г, Н----г2 + = 0 или г3 — rt = —— г2 — — —
а3 сс3 сед а3
а9 -4-сц а2 , „ л
— ri — — — г2 ~-----------Г1 = — — (г2 — гх). Отсюда получаем: А С =
CCg ССд Ctg
сс„__
=— — ЛВ, т. е. точки Л, В и С коллинеарны. 43. См. решение задачи 42. 44.
ЛС?! — ЛХС — 2DB1 + 2DB = б. 45. 2а— b + с= б. 46. Указание. Задача
решается так же, как и задача 42. 47. У к а з а н и е. Сначала рассмотреть случай,
когда О не лежит в плоскости ЛВС. Если Ri и R 2 — радиус-векторы точек Л1 и
Bt, то согласно задаче 43 имеем: R — aRt + (1 — а) гг и R = Р /?2 + (1 —Р) г2.
Далее, выразив Rx и /?2 через гг, r2, rs, подставить в эти.соотношения и, учитывая,
1 -4- р
что гг, г2, га не компланарны, показать, что a = —-——-. Показать, что получен-
ная формула справедлива также в случае, когда О лежит на плоскости ЛВС. Для
этой цели взять точку О* вне плоскости треугольника ЛВС и воспользоваться уже вы-
веденной формулой. 48. Указание. Воспользоваться задачей 47 и теоремой о
биссектрисе внутреннего угла треугольника. 49. Указание. Воспользоваться
задачей 47 и учесть, что если, например, Вг есть основание высоты, опущенной из
СВ, tg Л .
точки В на сторону Л С, то------=-------. 50. Указание. Воспользоваться
В$ tgC
задачей 47 и учесть, что если, например, В1 есть точка пересечения стороны АС с
CBt
прямой, проведенной через вершину В и центр описанной окружности, то —~ =
sin 2а „ „
= — .51.Указание. Воспользовавшись задачами 49 и 50, проверить спра-
sin2y
ведливость тождества сначала для случая, когда точка О не лежит в плоскости тре-
угольника ЛВС. При этом воспользоваться тем, что векторы ОА, ОВ и ОС линейно
независимы. Далее, использовав полученное тождество, показать, что оно справед-
ливо также и в том случае, когда полюс расположен в плоскости треугольника ЛВС.
Если полюс совпадает с точкой Р, то формула принимает вид: PH — РА + РВ
+ PC. 53. R = — (rt + r2 + ... + rft). Указание. Воспользоваться преды-
k
дущей задачей. 54. Указание. Воспользоваться задачами 29, 48, 49, 50, 52.
55. mt + т2 + ... + tnk — k — 0. Сравнить с задачей 52.
56. а) {1,1}; б) {-j, у); в){1, Д; г) {0, 1}; д) {-р о); е) {-1, 1}; ж){-1, -| .
57. а) {4, —2}; б) {0, 1}; в) {3,-2}; г) {2, 0); д) {—1,1}; е) {0,2}; ж) {-3,2 .
58. аД,Д; j-iKi.-sdv Л-З.-Л4-хз 2_m
[2 3 J 1 3 ’ 9 J 1 2 Г ( 3 9
-> 13 П > ->1 1 11 ->1 1 1} >11 1)
59- ЛС Т’ 7 :ЛС{1’ AF -7’7Г- —? •60-лв 7’_? :
X X J I X X I IX X ) X X
вс[|, Д; CD I— ± Д; DA [- , - Д. 61. а) СМ{-\, 1}; ОВ{-1,-2};
I X } I х J I £ j
185
КМ(—1, —11; СВ{-2, —2};.Л^{1,1}; AN{—1, -5}; б) СМ(-2, 1); . 1J1
КМ{—1, 1}; СВ{—2, 2}; WC{1,—1}; ЛМ1.1}. 62. 6С= - -ех 4- е2; АС =
а
а — b —►
= -----ех + еа; BD =— ех + е2, где а — АВ, Ь — AD. Указание. Пред-
варительно доказать, что если АВ — большее основание трапеции, a CD — меньшее,
—> Ь — а'
то CD ==----ех. 65. а = и 4* 7®. Решение. Пусть я=а«4-Р®. Определим
а
коэффициенты» иР- Для этой цели воспользуемся теоремой о координатах линейной
комбинации векторов: 9=а-2+Р»1, 1 =а.• 1+.р • 0. Отсюда получаем:
а = 1, Р = 7. 66. а = 2® 4- w; ® = — и — — w; w—u— 2®. 67. р — 2« — 3®.
68. а = —2. У к а з а н и е. Выразить координаты векторов р{ хх, ух) и <?{х2, у2)
через координаты векторов а, Ь и с и воспользоваться условием коллинеарности
векторов. 69. а) а = 0; б) ах =?= 1,а2 — —1; в) при любом а векторы р и q не колли-
неарны. 70. AM
пае. Из векторов а, Ь и -с можно составить треугольник, удовлетворяющий усло-
3 1 ’ (
- , 2); ВМ2 (0,
£
2
з_ 1
2 ’ 2
. 72. Существует. Указа-
виям задачи в том и только в том случае, если имеет место одно из следующих соот-
ношений: а +0 +с = О, а+ 0— с = 0, а— 6+ с =0, а— b — с = 0. Исполь-
зуя координаты векторов а, Ь, с, убеждаемся в том, что для них выполнено третье
соотношение. 73. Так как а || с и а + Ь + с — d = 0, то трапеция ABCD сущест-
вует. 74. | а | = 5;
т (
76-то=7~:'’ т«
|т| (.
77 «, Г3^3 • 31.
77. т < —L— ; — };
1 2 2J
г) -60°; 79. axi_b
1*1=3; с |= 4; \d |= /5. 75. ах {6, 4}, а2 (6, —4}.
3 41 ( 1 7 1 Г VT 31
5’ 5j:”e|. 5/Г’ 5/2Г_Ро1 ~4~’ 4 J’
« : Чг}: р {2:78-а) 45°: ® 75°: в) ~30°;
х, а3 ± Ь3. 80. а\ {— 3, 1); а’2{2, —1}; Од {0,6}; а'4 {— 3, 0};
18 7 7
а5{/5, 2). 82. /ЗА 83. -V2- — —У2. 84. а) 4; б) —19; в) —2; г) 2. 85. Р е ше-
н и е. Пусть IJ — прямоугольной декартовый базис, имеющий ту же ориентацию,
что и базис ехе2- Если в базисе IJ заданные векторы а, Ъ, ех, е2 имеют координаты
а {йр a,}, b {fc|, 62}> {ai> аа)> ^{Рт.Рг}, то
я=а17 4-«гУ, b^b'^+b^J, е1 = а1/4-а2/, е2=Рх7 4-Р2/- Из условия
задачи следует, что а = а1е1 4- а2е2. Подставляя в последнее равенство выражения
векторов ех и е2 через i и J, получаем: а =(а1а1 4" а2Р i)i 4- («i«2 + Й;Р г)/, откуда
— nx»i 4- й2Р х, д2 — йх^2 4" й2Р 2. ,
Ь2= 6ха2 4- й2Р2. Так как
$аь ~
Аналогичио будем иметь: Ьх — bxax 4" b$ х,
°i
b\
a2
b2
с ___ Cti СМ
’ ~ Pi Р2 '
то, подставив в первое из этих соотношений полученные выше выражения для ах,а2
bt, Ь2я воспользовавшись теоремой об умножении определителей, получаем искомый ре-
< 17 —> —> f 1 1
зультат. 86. а) 22; б) 12; в) —— ; г) —6. 87. а), г). 88. АС{0, 1, 1}, АЕ , 0, (В,
1. 1}. вД(0. 1. 0). го(4
Ц- {, 1.1
ij, gd[— 7 — i. °).
—2, 1}, A£{0, 1, 0}, ECX{1, -1,1}, ВД1, —2. 0),
1 г-
2 ’ 2
186
Fg|--,0, lj, cb{0, О, —I), CBL(—1, 4, 0>, A^G{1, —3, 1}. 90. CS{—2, 0, 2},
AC(i, 2, 0}, CA'{— 3, —1, 1), (A4{—2, —2, —1), AS {2, 2, 2}, AC {3, 2, 1},
B£'|o, — у , 1|, AE12, — , 1 . 91. CS{2, —4,—2), AC(—4, 4, 0}, СЛ'{3,—4,—1},
CA{2, 0,1},Л5{—2, 0, —2), ЛС'{— 3, 2, — 1}, В£'{0,5, — 1}, АЕ' {—2,1, — 1).
93. a) Ogj б) а4, а43; в) а7; г) а3, а4, а3, а43; д) а3, а3,
3
2
3
’’ 2
1 1 )
92. Л7И - , — , 11.
(3 3 J
tz7, а.,;е) а2, ait а„ а10. 94. р,{2, 5, 0}, р2{—1, 2, 4}, р3{5,5, —2},р4{1, 2, —2},
{31 С 1 1
1, 2, — 1, ре < 1, — , —41. 95. а) 2а + 36 +с — 2d — 0; б) а— 2Ь —с + 3d=
z J о J
= 0; в) За — Ъ + 2 с — id — 0. Решение, а) Четыре вектора а, Ь, с и d
всегда линейно зависимы, поэтому существуют коэффициенты А1( А2, А3, А4, одно-
временно не равные нулю и удовлетворяющие условию А4а Ч~ А26 + Asc + Ktd—
— О. Известно, что та же линейная зависимость имеет место для координат этих
векторов, поэтому
Ах + 5А2 + 4А3 + — А4 — О,
ЗА4 + 10А2 —2А3 + 17X1 == О,
6А3 + ЗА4 = 0.'
Мы получили систему однородных линейных уравнений относительно А1Г А2,
Аз и А4. Очевидно, А4 =£ 0, так как в противном случае, как нетрудно видеть, А4 =
= А2 = А3 = 0. Пусть — — 2, тогда А3 = 1. Подставив эти значения в первое
и второе уравнения, получаем: А4= 2, А2= 3. 96. AСг {1, 1, 1}, AiC {—1, 1, 1},
DBl {1, —1, 1}, DB{0, —1, I); AC; — A^C - 2DBX + 2DB = 0; см. задачу 44.
97. 6) bi и b2; в) Ci и c2. 98. P e ш e н й e. По определению векторы а, 6, с ком-
планарны тогда и только тогда, когда существуют числа |, tj, £, неравные одновре-
менно нулю и удовлетворяющие условию t,a + т)6+ & = 0. Отсюда по теореме
о координатах линейной комбинации векторов имеем:
+ т)а2 + £а3 = 0
& +Г)₽г+^=О,
+ Ws + ?Ys = 0.
Используя условие существования ненулевых решений системы однородных
линейных уравнений, получаем искомый результат. 99. а) а4, а2, а3; в) с4, с2, с3.
100. Указание. Воспользоваться задачей 98. 101. У к а з а н и е. Выбрать ба-
зис и воспользоваться задачей 98. 102. У "К а з а н и е. Использовать теоремы, сфор-
мулированные в задачах 98 и 38. 103. Указание. Воспользоваться задачей 36.
104. а) 22; б) 42; в) /16; г) 18; д) 20. 105. <рг = 60°; ф2 = 120°. Решение. Так
как пары векторов а+ 36, 7а—56 и а—46, 7а—26 взаимно перпендикулярны,
то (а + 36) (7а — 56) = 0 и (а — 46)(7а— 26)= 0. Отсюда 7а2 + 16а6— 1562=0,
7 а2— 30аб+ 862= 0 или 7а2 + 16а6 cos <р — 1562 — 0, 7a2 —30 ab cos <p + 8t>2=
= 0, где а = | а-1, b — 16|. Разделив эти соотношения на а2 и введя обозначение
А = — , получим: 7 + 16А cos <р — 15А2 =0, 7 ‘— ЗОА cos <р + 8А2 = 0. Исклю-
а
чив из этих двух соотношений А, получим одно уравнение для определения cos ф.
Вычитая из первого соотношения второе, получим: 46А cos <р — 23А2 = 0, или
2cos ф — А. Подставив это значение в одно из предыдущих уравнений, будем иметь:
7 + 32соз2ф — 60 cos2 ф = 0 или cos2 ф= — , cos Ф = ± — , ф< = 60°, ф2 = 120°.
4 2
106. Указание. Воспользоваться соотношением cos(a6')== cos (аб+бб')53
187
= cos (90° +a6)=— sin (ab), cos (a'b)— cos (a'a-\~ab) =cos (—90°+aft)= sin(oft).
JU)7?^= b+ ~(c—b). Решение. Вектор BH коллинеарен с вектором ВС,
Поэтому BH = №С = X (с — b), h— АВ + BH — b + X (с — b) (1). Так как
векторы h и ВС ортогональны, то h • ВС = 0 или [Ь + Х(с — й)] • (с— Ь) = 0,
(Ь — с)- Ь
откуда Х=---------—. Подставляя найденное значение X в выражение (1), получа-
(с — by
ем искомый результат. 108. У к а з а и и е. Воспользоваться соотношением С А +.
4- СВ — 2 CCj. 109. Указание. Данное соотношение свести к виду: (| а | —
—> с (Ь—с} с (а —с)
- | д|) (аб—| а\ | М)= 0. ПО. ОН = с + (c-b)+ ~ «)•
У к а з а н и е. Задача решается по аналогии с задачей 107. ИЗ. ab = 2 —/2;
ас= 0; ad=^ Ьс=— 24+ 2/2^ bd =—9; cd=ll^nl) а) —12; б) 2; в) 6(Д49;
(д\)89. 115. afi — тупой; а.С — острый; a, d — острый; Ь,с — прямой; b,d —
15 2 хч 5
острый. 117. а) ~~р== ; б) ; в) 0. 118. 30°, 60°, 90°. 119. cos(Z,a)= ~~ ; cos (Да) =
2 у 91 15 о
=—^~ ; cos (М) = ~ . 120. 60° или 120°. 121. {2, 2/2, 2} или {2, 2/2^ — 2).
122. Юкгс, 10 кгс,10 /2кгс. 123. На стержни 40 и ВО действуют растягивающие силы,
равные 5 /6 кгс, а на стержень СО —сжимающая сила, равная 20 /3 кгс.
125. ВН{—3, —3,1}, ВН —У 19. 126. ОЯ^— , — “ , —У казаки е. Использо-
вать условия ортогональности векторов ОН и АВ, ОН и А С и компланарность векторов
АВ, АС и АН. 129. Если а(аь а2, а3}, a b {Р х» Р 2, Рз}« то аб = За1Р1 + 4aaP2+
+ агРз +азР 2 +азРз! РЯ — 15; рг — 0; qr = 12. У к а з а н и е. Использовать
з
2 sip-ify
«./=1
формулу предыдущей задачи. 130. cos(aO) ==
3 \ / 3
S sifWj [ 2 etj^j
Л. i=i 1 \i. /=1
Указание. Воспользоваться задачей 128. 131. Пусть Ijk — некоторый
прямоугольный декартовый базис, в котором вектор а имеет координаты
{а, р,у}. а) | а |2 —k > 0. Множество концов искомых векторов,
приложенных к некоторому полюсу О, есть сфера с центром в точке с
радиус-вектором {—а, —Р, — у} и радиуса. /? = /1 а |2 — fe; б) | а |2 —
— k = 0. Данное уравнение имеет одно решение х = — а; в) | а |2 — k < 0.
Действительных решений нет. Решение. Пусть в базисе i jk вектор а имеет
координаты {а,р, у}. Обозначим через х, у, г координаты искомого вектора х. В этом
случае данное уравнение принимает вид: (х2 + у2 + г2) + 2 (ах + Ру + yz) + k —
= 0 или (х + а)2 + (у + р )2+ (z + у)2 = а2 + Р 2 + у2— k == \а |2— k. Отсюда вы-
текает искомый результат. 132. а) х = а-, б) множество концов вектора х, прнло-’
женных к некоторому полюсу О, есть сфера с центром в точке с радиус-вектором
{0, —2, 0} и радиуса R — /3; в) нет решений. У Казани е. См. решение пре-
2
дыдущей задачи. 133. а) х — | а| 3 а; б) если а и b не коллинеарны, то задача
ие имеет решений. При а Ц b задача сводится к задаче 131. Р е ш е н и е. а) Если
ая — единичный вектор направления <1, а х0 — единичный вектор искомого вектора,
то данное уравнение сводится к следующему: х0 | х|8= а0| а |. Отсюда х0 = а0,
188
v
_2
|х|3 = | а |, | х\ = |П а |, х — хе\х [ = а0 |Л | а| = а | а | ® . 134/ Если Ь= 1а,
то Р = Ха. 135. Указание. Выбрав базис, записать данные уравнения в коор-
динатах и применить теорему Крамера для решения системы линейных уравнений.
136. х {—4, —6, 4). 137. Нет. 138. х{1,2, —2}. 139. Нет. J40. Нет. Решение.
Возьмем в пространстве- прямоугольный декартовый базис ijk так, чтобы векторы
I и а были «направлены. Если х, у, г — координаты вектора х, то х = xi + yj +
а
+ zk, поэтому данное соотношение приводится к виду: | а | х = а илн х — »
I о I
Это соотношение показывает, что если векторы X приложить к некоторой точке О
пространства, то их концы будут лежать в плоскости, ортогональной а и отстоящей
а Xх—\
от нее на расстоянии —. 141. Нет. 142. Нет.<443.\У к а з а н и е. Воспользоваться
I al —>
задачей 29. 144. Решение. Пусть О — полюс, расположенный вне плоскости
треугольника А'В'С', arlt r2, r3, Rlt R2, R3 — радиус-векторы соответственно точек
А, В, С, А', В’, С'. Если М —точка пересечения медиан треугольника АВС, то
ЗАМ = — 2гх + г2 + г3, ЗВМ = гх — 2г2 + г3,‘ 3 СМ = гх + г2—2г3. Из усло-
вия задачи следует, что
П + Г2 - 2г3 = П (^2 - Л1). (1)
ri — 2г2+ г3 = Х2 (/?, Rs), (2)
—2ri Г2~Ь г3 = Х3(/?3-/?2). $ (3)
Сложив эти соотношения и учитывая, что Rt, R2, Rs не компланарны, приходим
к выводу, что X, = Х2 = Х3= .X. Умножив соотношение (1) на 2 и сложив с соот-
ношением (2), получим: 3 (г\ — г3) = X (— Rt + 2R2 — Rs) или ЗАС — КМ’В’,
где М’ —точка пересечения медиан треугольника А'В'С. Отсюда следует, что
сторона АС параллельна медиане М'В'. Аналогично можно показать, что две дру-
гие медианы М'А' и М'С соответственно параллельны сторонам ВС и АВ'. 146.
3 * __*. __> _>
k — —. 147. = а2 = а3. Указание. Пусть а = AjB, b= ВС и с= СА. Вы-
разить векторы СЛД, АМ2 и ВМ3 через а, b и С и воспользоваться условием а+
+ Ъ + С — 0. Эта задача является обобщением задачи 144. 149. Указание.
На рисунке 44 изображен треугольник АВС с построенными на сторонах паралле-
лограммами. Для решения задачи достаточно показать, что А,А2 + BJi2 + СХС2 ~
= 0. 150. Указание. Если тип — единичные векторы, направленные со-
ответственно вдоль сторон АВ и АС, то вектор т — п направлен вдоль биссектрисы
внешнего угла прн вершине А треугольника АВС. 152. Указание. Пусть О —
точка пересечения двух высот треуголйника АВС, а гх, г2, г3 — соответственно
векторы ОА, ОВ, ОС. Утверждение теоремы легко получить, рассматривая тожде-
ство (г2 — г,)г3 + (г3 — г2) гх + (гх — г3) г2 — 0. 153. У казаки е. Исполь-
зовать соотношение задачи 108.
154. Указание. Воспользоваться
тождеством АВ2 = (СВ — СА) (СВ —
•— СА). 155. У к а з а н и е. Если С1
и Вх — основания перпендикуляров,
опущенных из точки О на сторбны АВ
и АС, то предварительно показать,
что данное соотношение эквивалентно
соотношению ОС\ • ()В1 = 0. 156.
У Казани е. Воспользоваться зада-
чей 155 и учесть, что если О — центр
Рнс. 44
189
описанной окружности
„ , ОВ • ОС
cos 24=-----—;
cos 2B
.2
ОА-ОВ „
158.
Указание.
Положим
и г — ее радиус, то
ОС-ОА
; cos 2С=
Рис. 46
1 4-Х
Так как AM
♦
направлен
вдоль биссектрисы угла В А С, получаем:
К АС
1 4-Х
. Отсюда определяем X.
159. Указание. Воспользоваться формулой для вычисления sin (ab) по координа- .
4
там векторов а и b в примругольном декартовом базисе. 160. cos <р= — . 161. У к а-
> 5
з а и и е. Обозначая через {alt ₽ J и {а2,₽ 2} координаты векторов АВ и Л С в пря-
моугольном декартовом базисе, выразить через них координаты векторов EG, АК,
LA, ВС, LC, BF, LB, DC. Далее, пользуясь соответствующими формулами, прове-
рить утверждения задачи. 162. Решение. Пусть ABCD — данный ромб. Если
ввести обозначения АВ — a, AD = ft, то АС — а 4- ft, DB = а — Ь и АС • DB =
= (a+ft) (а — Ь) — а2 —й2, так как | а | = | ft |. Отсюда вытекает, что AC J. DB.
165. Указание. Полагая АВ — а и AD = й, выразить векторы АР и АС
через а и ft и записать условие их коллинеарности. 166. Решение. Пусть AD —а,
АВ= Ь. Так как векторы AQ и NC коллинеарны а, то AQ — aa и CN= 'ta
(рис. 45). Точно так же в силу коллинеарности векторов АВ и AM, АВ и СР полу-
чаем: АМ —$Ь, СР — рй. Воспользуемся, далее, тем, что MNPQ — прямоуголь-
ник. Это означает, что выполнены следующие условия:
MQ= NP и MQ- MN = 0;
MQ=AQ — AM = аа — ₽6,
NP = СР — CN = рй — Ха,
MN=BN — BM=(bC+CN) — (вХ 4- AM) =
= (14- Х)а 4- (1 -Р)Й.
(2)
Подставив эти значения в соотношения (1), получаем:
190
аа —[Уй = рй — Ха; («а —Рй) [(1 + X) а + (1 — X) Ь} = 0.
Из первого соотношения в силу неколлинеарности а и Ь получаем: а = — X, р =
= — pi. Из второго соотношения имеем: а (1 + Х)а2—р (1 — Х)й2= 0. Отсюда в
силу равенства а2 = й2 получаем: а (1 + X) —Р(1 —Р) — 0, или а (1 —а) —
—Р(1 — Р) = 0, (а — Р) (1 — а —р) = 0. Возможны два случая: а) а —Р=.О, а =р.
Тогда из соотношения (2) имеем: MQ = а (а — b), MN — (1 —а) (а-рй). Эти со-
отношения показывают, что М Q. || (а— Ь) и MN II (а + й), т. е. стороны прямо-
угольника MNPQ параллельны диагоналям квадрата; б) 1 —а —Р == 0, A1Q2 —
= а2а2 -ЬР2*2 = (а2 4-Р2) а2, А1№ = (1 — а)2 а2 + (1 —Р)2 Й2 « [(1 —а)2 +
+ (1 —₽)2] °2 = [2(1 —-и—Р)+а2 +Р2] а2— (а2 +Р2)а2. Таким образом, MQ2=
— MN2, или MQ = MN-, в этом случае прямоугольник является квадратом. 167.
Решение. Пусть AD = а, ЛВ — Ь, а а' и й'— векторы, полученные из а и й
—► 1
поворотом на 90° против часовой стрелки. Легко видеть, что РгР2= — (— й' + Й +
+ а + а'); РА = Т(—V — й + a —a’); i\P3 — 4" (а'+а+й—й') (относи-
тельно обозначений см. рис. 46). Отсюда непосредственно следует, что РХР2 = лл.
Используя результат задачи 106, легко показать, что РХР2 • Р1Р&— 0. Таким обра-
зом, РХР2Р^Р4 — квадрат. 170. Указание. В данном четырехугольнике ABCD,
полагая АС— а, А^ — b, AD — с, воспользоваться векторным тождеством
2а(с — Ь) — с2 — й24- (й—а)2— (с—а)2. 173. Решение. Возьмем произволь-
ный полюс пространства и обозначим через Рх , Р2> Рз> r> rv г2< гз радиус-
векторы соответственно точек А, В, С, D, М, Mlt М3, М3, Из условий задачи имеем:
/?1 + Иг = Г + гл, Р2 4- R3 — t\ -ь г2, Р8 + Р4 = Г2+ Г3. Из первого и
третьего соотношений получаем: Рх + к3 + /?3 4* Р4 = г + гх 4-г2 4- г3, или,
учитывая второе соотношение, будем иметь: Рх 4" Р«= г + г3. Отсюда вытекает
искомый результат. 175. Указание. Воспользовавшись задачей 53, показать,
что медианы тетраэдра пересекаются в центроиде вершин. 176. 60°. 178. 45°. 179.
Указание. При решении задачи использовать векторы ОА = a, ОВ — Ь,
ОС = с и воспользоваться задачей 159. 180. Решение. Пусть О АВС — данный
тетраэдр, а О А и ВС — рассматриваемые ребра. Введем обозначения: а,
ОВ — й, О?= с, ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, ВС = а', АС= Ь', АВ = с'. Ис-
комое соотношение может быть записано следующим образом:
2оа' cos в = с2,+ с'2 — У2 — У2,
2аВС== с2-Ь2 + А^-А^, 2а(с — Ь) = с2— В2 (Ь — а)2-(с - а?.
Пользуясь свойствами скалярного произведения, непосредственно убеждаемся в
справедливости этого соотношения. 181. Указание. Использовать результат
предыдущей задачи. 183. Если М и М' — середины двух. противоположных ребер,
длины которых равны а, а' и Ь, с, Ь', с' — длины остальных четырех ребер, то ММ'2—
— — (fc2 4- с2 -р у2 с'2— а2 — а'\ 184. Указание. Воспользоваться зада-
4
чей 180. 188. а) (0, 0), (а, 0), (0, Ь) илн (0, 0), (й, 0), (0, а); б) (0, 0), (—а, 0), (0, Ь),
или (0, 0), (-У 0), (0, а); в) (0, 0), (—а, О), (0, —Ь) или (0, 0), (— Ь, 0), (0, —и);
г) (0, 0), (а, 0), (0, —Ь) или (0, 0),(5, 0), (0, —а). 189. a) (1, 7); б) (3, 0); в) (—4, 4);
г) (2, —7); д) (2, —3). 190. а) (а, а), (—а, а), (—а, —а), (а, —а); б) (0^2, 0),
(0, а/2), (—а/2, 0), (0, —0^2). 191. А (0, 0), В (1, 0), с(2,/3),
\ "У
191
Е (О, У3), F
(. 192. Л(—5,0). В(—5+2УЗ, 2), С(5—2/3,2),
. 193. Л (0,0), В(0,1), С
0(1,0), М
I.194. Л'(1,3), В'(0, —4),С'(—3, -5),
0(5, 0), М(0, Д
5-2/3 5 ' '
10-2/3”’10-2/3"
О'(7, —2), Е' (—3, 2). 195. А' (5, 2), В' (—5, 1), С (3, 6), D' (—2, 0), Е'(3, 5).
196. А' (—1; —1), В' (—3, 2), С‘ (—3, 0), D' (4, —3), Е' (2, 1). 197. а) Л, (5, —3),
Вг (—2, 5), (3, 2), Di (7, 2); б) Л2 (-5,3), В2 (2, -5), С2 (-3, -2),
О2 (—7, —2). 201. О (—3, 12). 202. Существуют два квадрата ABCD и А'В'С'Ь',
Удовлетворяющие условиям задачи С(1, 8), О(—4, 6), С (5, —2), О'(0, —4).
Указа н и е. Для определения координат точек О и О' предварительно опреде-
лить координаты векторов, полученных поворотом вектора Л В на +90° и —90°.
203. Задача имеет два решения: Ct (—1—/3, 3 J- 2/3); С2 (—1 + /3, 3—2/3).
У Казани е. Предварительно доказать предложение: если вектор а имеет коор-
динаты {х, у), то вектор Ь, полученный из а поворотом на 60°, имеет координаты
{^(я-УЗу), у(у+/м}- 204. В (-/3, 3 +/3), С (-2-/Л 1+/Лг
D (—3, 0), Е (—2 + /3, 1 — /3), F ( /3, 3—/З). Указание. Восполь-
зоваться указанием к предыдущей задаче. 205. Середины отрезков AiBlt Л2В2,
Л3В3 имеют координаты (—2, 4).
Центр тяжести однородного стержня находится в центроиде концов стержня, т. е.
в середине стержня. 207. а) М (7, —1); б) N (—5, 8). 208. С (8, 0), D (2, —4).
{ 1 5\ I 8 \ / 1 9\
210. В (6, 5), 0(0, —3). 211. I— , — 1; (—4,1); 11, — |; (v , т). 212. Имеются
две точки, удовлетворяющие условию задачи:
213. Ai (з, j), Л3 (1, у), Л4(о, j) , Лв(-
Х4 = 2, Х6 = — 4. 214. а)(1, —3), (3, 4), (7, —2); Q (1,6), (9, —2), (—5, —4);
в) (—3, 4), (9, 0), (1, -8). 215. а) (1, 2); б) (0, 0); в)
/ 4 \
пользоваться задачей 29. 216. II, — I. Указание. Центр тяжести однородной
треугольной пластинки находится в центроиде вершин этой пластинки, т. е. в точке
пересечения медиан. 217. (0,3). У казаки е. См. задачу 52. 218. У к а з а н и е.
j 8 14\
Воспользоваться задачей 52. 219. а) (3, 4); б) — , — I — центроид точек Л, В, С.
, 5
Л2В,
I. Указание.
Ci(—3, — 5) и С2 (3, —6).
23\ , 1,1
3 ’ 1 4 3 2
|.‘ У Казани е. Вос-
220.
I. У
к а з а н и е. Учесть, что массы сторон треугольника пропорциональ-
Для определения центра тяжести следует массу каждой стороны по-
ik? ~ 5*
1).
ны их длинам. ,
местить в ее середину. 221. AtA2= У10, DiD2 ==2^5, В1В2= 4, CjC^
222. а) (2, —3); б) (—4, 2); в) (3,1). 223. 4/2. 224. (/5, 2), (—/б, 2), (2/2,
(— 2/Л —1), (0, 3), (/л /2), ( —/л /2). 225. ЛО= — /Z Указание.
3
Предварительно определить координаты точки D. 226. • 228. С (—6,4), г = 4.
229. Задача имеет два решения: Сх (—20, 20), = 20;
230. a) = 29; б) S2 = 29; в) S3 = — 8. 231. a) S = 4; б) S =
С2 (-4, 4), га=4.
27
— ; в) S = — 13.
2 ’ ’
192
15
232. S = — Указание. Пусть АС-*
. диагональ четырехугольника ABCD, а
"S ас в K^ACD — площади ориентирован-
ных треугольников АСВ и ACD. Возмож-
ны два случая: а) вершины В и D лежат
по разные стороны от А С, В этом случае
треугольники АСВ и ACD имеют разные
ориентации, поэтому SACB и SACD име-
' ют разные знаки (рис. 47, а) и S =
=[8 асв — Вдсо|; б) вершины В uD ле-
жат по одну и ту же сторону от АС. В
этом случае треугольники АСВ и ACD
имеют одну и ту же ориентацию, поэтому
8 асв и $acd имеют один и тот же знак
(рис. 47, б) и 5 = |3ЛСВ— SACD |. Итак,
в любом случае мы приходим
б)
а)
Рис. 47.
к одной
2|3ЛЛ1„
а =
S = 25; ha = 5;h.b = 2/5; hc = 10; cos A = l2L
5
233. С (5, 0). 234. d = 13. Указание.
и
mJ
МгМ2
СА
. 236. -
той же
формуле.
. 235. 2р = 15+5/5;
к а з а и н е.
Четырехугольник следует разделить на два треугольника и определить центры
тяжести каждого из них. В эти центры поместить массы соответствующих треугольг
ников, которые будут пропорциональны их площадям. Таким образом, задача све-
дется к определению центра тяжести системы двух материальных точек. 240. Пер-
вый случай: 4(0,0), В (5,0),С
второй случай: А (0, 0),
0(5, 0), С
241. Первый случай; А (0, 0), В (3, 0),
; второй случай: А (0, 0), В (3, 0), С (3/2,
D
; второй случай: А (0, 0), В (а, 0),
С
обозначить через Мр Л12, Л43, М4 точки, симметричные данным по отношению
к полюсу, а через М2 М"3 м"4 — по отношению к полярной оси, то
, / Зп\ , [ 2п\ , / Зп\ , / 2п\ г- / п\
М2 2,-- ;М2 3,—- ; Л43 1, М4 3, — ; Л4, 2, - - ;
\ ** / \ *3 J \ \ о / \ /
^(3,-7); Мз(1. -7); 244. А (1, /3); В (-1,1); С (0,5);
245. Afj/б, —Y Л42(2, п); Д М»(2’ ft
„ / я\ 1 3 „ 15 „
ЛЦ2, — —). 246. S — — ргр2 sin (<р2 — <рг); a) Sj = 1; б) S2=—— ; в) S3= -j/^
247. = V pf + р| — 2p£p2 cos (<p2— <р±); a) /19; 6).5; в) 10. Указание.
Пусть Oi — данная полярная система координат. Построить вспомогательную
7 Заказ 290
193
прямоугольную декартову систему координат Olj так, чтобы вектор / был получен из
вектора I поворотом последнего на угол 4-90°. В построенной системе взятые точки
будут иметь координаты Mt (xlt ylt), М2 (х2, у2), где xt = ft cos q^, уг = pt sin (fj;
x2 = p2 cos <p2, y2 — p2 sin <p2. Далее воспользоваться формулой МгМ2 =
= /U — хг)2 + (У1— Уа)2. 248. ЛВ=ВС=7. 249. ЛВ=ВС=ЛС= 14.
251. В2(0, 0), Ft(2c, 0), О(с, 0), Л^а+с, 0), Л2(а — с, п), А3^~— -----------
/а2 4-е2 2ос
Л4 I
\ а
--- , arc cos-
а--<
с \ .
а,—arc cos — , Л.
, а /
Указание. Предварительно
/4
показать, что FtA3= FtAi = В2Л7= = —• 252. О (с, 0), Ft (2с, 0), F2 (0, 0),
2ас \
, arc cos ——- |,
а2+с2 )
с
'fe2
. я
— arc cos -... I, Лв la, arc cos—) , Ав
a2-j-c2/ \ а)
, — -"Н , где с = j/a2 — b2.
At (с 4- а, 0), Л2 (с
2ас
—. arc cos ——-
a2-j-c5
Л« I
\ а
где с = У а2 4- Ь2. 253. F (0, 0),
А
Н (р, л). 254. Точки А и D. 255. б) и в).
I 9\
256. a) Afj(4, 4), М2(—4, —4); б) Л41(1, 1), Л4212, — I; в) точек пересечения нет;
/ 3 4 \
г) Л11(0, —а), М2 — — а, - а|. 257. а), б) Множества не совпадают; в) множества
\ 5 5 /
совпадают. 258. а) Биссектриса первого и третьего координатных углов; б) две пря-
мые, параллельные оси Оу; в) прямая, параллельная оси Ох; г) две прямые: ось аб-
сцисс и биссектриса второго и четвертого координатных углов; д) биссектрисы коор-
динатных углов; е) прямая, параллельная оси Оу; ж) пара прямых: ось абсцисс и
прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 2); з) пара прямых: прямая, параллель-
ная оси Ох, отсекающая от оси Оу отрезок, равный 4, и прямая, параллельная оси
(3 7 \
— — , — —); к) окружность
с центром в точке (+5, —3) и радиусом г = 4; л) пустое множество. 259. а) Пара
прямых, параллельных оси Оу и проходящих через точки (1, 0) и (—1, 0); б) пара
прямых, одна из которых проходит через точки (0, 0), (1, 1), а другая—через
точки (0,0), (—1, 1); в) пара лучей, исходящих из начала координат и содержащих
соответственно точки (1, 0) и (1, 2); г) пара лучей, исходящих из точки (1, 0) и
содержащих соответственно точки (0, 1) и (2, 1). Указание. При рассмотре-
нии примера в) возвести данное соотношение "в квадрат и учесть, что х > 0. По-
ступить аналогично при рассмотрении примера г). 260. Данными уравнениями со-
ответственно задаются заштрихованные области, изображенные на рисунке 48, а,
б, в, г, д, е. При этом, если граница области изображена жирной линией, то она при-
надлежит области, а если обычной, то не принадлежит. Указание. В примере
а) сначала найти области и Qa, заданные каждым из соотношений х > 0 и у < 1.
Искомая область есть пересечение областей Qi и Q2. Остальные примеры рассмот-
реть аналогично. 261. Искомое множество представляет собой множество всех точек
контура параллелограмма с вершинами в точках (а, 0), (0, а), (—а, 0), (0, —а). Ука-
зание. Исследовать расположение множества точек на осях координат и в каж-
дой четверти в отдельности. Например, для точек второй координатной четверти
данное соотношение эквивалентно следующему: —х + у = а, а для точек третьей
четверти — соотношению — х — у = а. 262. а) Прямая х — Зу J- 15 = 0; б) пара-
х2 у2
бола х — 2у2+ 24у + 71 = 0; в) окружность х24" у2 = а2; г) эллипс —• 4* -о-= = 1.,,
У 40
0 < х < 5, б) у > 0;
0 < у < 3;
х2 j
а2; г) эллипс —• 4* -о-= = 1
У
. / х2 + у2 < 9,
' I у > к
263. а)
194
Рис. 48
г)
( х + у < 1,
х > 0;
I у > 0,
[ х2 + у2 < 8,
д) < | х | > 2,
I I у I > 2;
е) I х2 4- у2 < 9,
I х < у.
Решение, а) На рисунке 15, а изображен прямоугольник ОАВС, измерения
которого соответственно равны 5 и 3. Очевидно, первые координаты всех точек,
лежащих в полосе между параллельными прямыми ОА и СВ вместе с точками этих
прямых, удовлетворяют неравенствам 0 < х < 5, вторые же координаты этих точек
произвольны. Аналогично вторые координаты всех точек, лежащих в полосе между
параллельными прямыми ОС и АВ вместе с точками этих прямых, удовлетворяют
7*
.195
неравенствам 0 < у < 3, а первые координаты этих точек произвольны. Данный
четырехугольник есть пересечение рассматриваемых двух полос, поэтому коорди-
наты точек четырехугольника удовлетворяют системе неравенств 0 < х < 5, 0 <у<3.
Остальные примеры решаются аналогично. 264. Множество всех точек контура
квадрата, вершины которого находятся в точках (8, 0), (0, 8), (—8, 0), (0, —8).
Указание. См. задачу 261. 265. а) 2х — Зу + 8 = 0 — прямая, проходящая
через середину (—1, 2) отрезка А1В1; б) 5х + 2у— 16=0 — прямая, проходя-
щая через середину (2, 3) отрезка Л2В2. 266. х2 4* У2 = 5 — окружность с центром
в начале координат радиуса г = рг5. 268. х2 4* у2+ 2х — бу — 10 = 0. 269. Пусть
h — расстояние между параллельными прямыми, а а — данное число. Возможны
три случая: а) а < h — искомое множество не существует; б) а = h — искомое
множество-представляет собой совокупность всех точек, расположенных на задан-
ных прямых и в полосе между ними; в) а > Л — искомое множество представляет
собой пару прямых Zt и Z2, параллельных данным. Прямые Zt и Z2 расположены сим-
метрично относительно данных прямых; расстояние между ними равно а. 270. Пря-
мые, соединяющие середины противоположных сторон прямоугольника. Указа-
н и е. За оси координат принять прямые, соединяющие середины противополож-
ных сторон. 271. 2х — Зу = 0 — прямая, проходящая через начало координат и
перпендикулярная прямой АВ. 272. Прямая, перпендикулярная к прямой АВ.
У к а з а н и е. Составить уравнение множества, выбрав точку А за начало коор-
динат, а направленную прямую АВ за ось Ох. 273. Дв.е параллельные прямые, пер-
пендикулярные к прямой АВ и симметричные относительно середины отрезка АВ.
274. Две гиперболы ху = а2 и ху = — а2, асимптотами которых являются оси коор-
динат. 275. а) Окружность с центром в полюсе и радиусом г — 3; б) окружность
с центром в полюсе и радиусом г = 5; в) луч, исходящий из полюса и образующий
с полярной осью угол 60°; г) луч, исходящий из полюса и образующий с полярной
осью угол 45°; д) прямая, перпендикулярная к полярной оси и отстоящая от полю-
са на расстоянии h = 5; е) прямая, параллельная полярной оси и отстоящая от
полюса на расстоянии /г = 3. Указание. Для определения искомого мно-
жества точек д) и е) целесообразно перейти к прямоугольной декартовой системе ко-
ординат. 276. а) Окружность с центром в полюсе и радиусом г = 4; б) прямая, пер-
пендикулярная к полярной оси и проходящая через точку с полярными координата-
/ л \
ми (2, 0); в) окружность радиуса 5 с центром в'точке 15, — I; г) прямая, проходящая
л
через полюс и образующая с полярной осью угол — ; д) прямая, параллельная поляр-
/ я\ ч
ной оси и проходящая через точку II, — 1; е) две прямые, проходящие через полюс
л Зл
и образующие с полярной осью углы— и — ; ж) прямая, проходящая через полюс
л
и образующая с полярной осью угол —; з) прямая, проходящая через полюс и
образующая с полярной осью угол——. Указание. В примерах б), в), д),
! О
е), ж) целесообразно перейти к прямоугольной декартовой системе координат.
277. а) <р = arctg 1/3; б) р sin <р + 5 — 0; в) р = 4; г) р=а cos <р; д) р2 sin 2<р=20;
т/з"
е) p2cos 2<р = о2; ж) р2= a2 sin 2ф; з) р2= sin2 2<р. 278. а) х24* у2= 25; б) у =
в) у = х; г) х = 2; д) у = 6; е) х2 + у2 — Зх = 0; ж) (х2 4* у2 4* х)2 = х2 + у2;
з) ,х2 + у2 — 2х — Зу = 0; и) (х2 4- у2)2 = 9 (х2 — у2). а) х = 4х' + 3;
у = Зх' + 5у' — 1; б) х = Xх 4- 2, у = у' 4* 5; в) х = 4хТ- у', у — — х 4- у';
г) х = х' 4- у' 4- 2, у = 2у'; д) х =— х', у = у' — 5. 280. а) х=— х' — у 4- Г,
, . 2 1 , , 1-
у = х'; б) х = у , у = х ; в) х = у,у =-— х — у 4~ 1. 281. х= — х — —у4* ~;
ООО
196
12 1 -
у=—— х'4-у’+ — . 282. а) х = х'+ 5, у = у'+/2; б) х= х’1,
3 3 3
у = У; в) г=х'— 1, у=у'—3; г) x=V + 5, У = / + у.
283. а) х— 2х' — 2у', у = х' + у'; б) х= х' + 2у', у =— /2у'; в) х=у', у = х';
г) х = у', у = — 5х' + У- 285. (1, 1). 286. Решение. Формулы преобразования
координат при аффинном повороте имеют вид: х= atx' + ct2y', у = Ptx' + р2у'.
Отсюда следует, что координаты точек, имеющих одни н те же координаты в двух
системах, определяются из условий (а, — 1) х + <х2у — 0, Ptx 4- (р2 — 1) у — 0.
Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда (а, — 1) ф 2 — 1)—
—Р ta2 = 0. 287. Да; О' (0, 1), е\ {2, 0}, е2 — , 2}. 288. Нет. Решение.
Пусть Ое\е2— искомая система. Если {«1.Pi}. {а2.Рг)> то форму-
лы преобразования имеют вид: х, = а1х' 4- «2у', У1 — Р1х +РаУ’- Так как точка А
в обеих системах имеет координаты (1, 1), то 1 — at + а2, 1 = ₽ i 4* Р 2 (1 ) С другой
стороны, точка В в старой системе имеет координаты (2, 2), а в новой системе — коор-
динаты (—1, —2), поэтому 2 = —— 2а2, 2 = —pt — 2р2. Из первых уравнений
(1) и (2) получаем: а, = .4, а2 — —3. Из вторых уравнений (1) и (2) получаем: Р , =
= 4,р2= —3. Таким образом, векторы е1 и е2 имеют координаты {4, 4),
е’2{—3, —3). Отсюда следует, что е{ и е2 коллинеарны, что невозможно.
289. а) е{ {1, 1), е2 {-3,1}, О' (0, 1); 6)e't {1, 0}, е2 {0, 1}, О'(3, —4); в)^ {1, 0},
е2{-1, 1}, О'(1, 0); г) е\ {0, 1}, е2{1, -1}, О' (5, -6); д) еу {1, 0}, е2{0, 1},
О'(0, 1); е) е\ Го, —— |, е2 11, —О'(0, 0). У к а з а н и е. В примерах б), г) и
I 2 J ( 2 J _ ___________________________
1/" 2 7 1/"2 72 /
е) сначала выразить х, у через х', у'. 290. а) х= Х__ х' —- [р— У'—3, у— -у—-х +
4-J^-y'4-/2;6)x=l^_x'4- 7У'.У= ^х’— ^Ху'-2;в)х= l2Lx'—1Ау',
ru z z z z Z Z
l/*9* l/~9" 1 2 2 1
y= 2 x'+jry': r) x==!yf=x + 2.^ = -у^*-ууУ~12-
291. a)x=l^-.x' —iTy'4--^, y=?^-x'4- J^-y'4--|; 6) x=—х'4-fl.
y=—у'4-а; в) x — x', у = у' 4- a. 292. d = 6. 293. а), в), г).
294. a) 7x' — 4y' + 2=0; 6) —2x' + 8y' + 1 = 0; в) —Зх' + 4y' —
—3 = 0. 295. x'2— 2y'2— 1 = 0. 296. llx'2+ 9y'2+ 14x'y' — 1 = 0. 297. x'2+
+9y'2 —9= 0. 298. a) (Ox') у = JjL x, (Оу') у = —/3 x; 6) (Ox)y'=
О
l/*q r— ti?
= — x', (Oy)y' = /Зх'. 299. x'+ y'+ 2=0, x'— y' — 8= 0. 300. xy\ = — .
3 2
I 14 31\
301. Перенести начало координат в точку I — — , —1. 302. Если начало коорди-
\ оО оо/
2 #2
нат перенести в точку (2, —1), то уравнение кривой примет вид: х + у = 6.
303. а) Перенести начало координат в точку (3, —5); б) перенести начало координат
в точку (1, —6), 304. у'2=2рх'+ р2. 305. х'2—у'2+ 2ах'= 0. 306. Нет. Решение.
Рассмотрим параболу у2 = 2рх в канонической системе координат Oij и поставим
задачу: найти такую систему координат О'е} е2, в которой уравнение рассматри-
ваемой параболы не содержало бы членов первой степени. Пусть О' (х,„ у0),
Р,}, 2}, тогда формулы преобразования имеют вид: x—ajx'-}- <^гУ'~Ьх0,
у =Р tx' 4 Р 2у' + у и- Подставив эти значения в уравнение у2 = 2рх, получаем
197
=0, т. е. векторы ei и е2 коллинеарны, что невозможно.
уравнение параболы в новой системе координат: (Рхх' + Р2у' + у0)3 = 2p(axx' +
+ а2у' + х0) или ₽|х'24-₽2У'2 + 2₽i₽ + 2 (Р1У0 — Р«1)х'+ 2 ф 2ув — ра2)у'+
+ Уд — 2рхв = 0. Так как в этом уравнении коэффициенты при х' и у' должны
Уо
быть равны нулю, то [> 1у0 — pat = 0, р2у0 — ра2 = 0, откуда аг = — р lt аг —
Р
— —Р 2. Но тогда
Р
307. Если O’i J — исходная каноническая система координат, в которой эллипс
имеет уравнение — +^- = 1, то О' = О, et {а, 0}, е2 {0, Ь}. 308. У каза-
нке. См. задачу 307. 309. х'у' = у + 0. Решение. Вектор ег параллелен
b
асимптоте у — — х, поэтому этот вектор в базисе I, j имеет координаты {аа, ab},
где а =/- 0. Аналогично е2 в этом же базисе имеет координаты {$а, —р/>), где Р + 0.
Формулы преобразования имеют вид: х = aax'+(iay', у — abx’—Р by'. Подста-
вив эти значения в каноническое уравнение гиперболы, после элементарных пре-
образований, полагая у — —- , получаем искомый результат. 310. Указание.
4сср <
В качестве осей новой прямоугольной декартовой системы координат взять биссект-
рисы координатных углов системы Ое^ и воспользоваться решением задачи 309.
311. а) Гипербола. Указание. Записать данное уравнение в виде: х (2у — х) =
= 1 и выбрать новую систему так, чтобы х' — х, у’ = 2у — х. Далее восполь-
зоваться задачей 310; б) эллипс. Указание. Записать данное уравнение в виде
5 (х2 4- 2ху 4- у2) 4* (х2— 2ху 4* У2) 4- 12 = 0 и выбрать новую систему так, чтобы
беи были направлены по биссектрисам координатных углов старой системы; в) пара
пересекающихся прямых х — 0, 1 — 5у = 0; г) парабола; д) пара слившихся пря-
мых. 312. а) х2 + у2 — 2у — 8 = 0; б) х2 + у2 + 2х = 0; в) х24~ у2 — Юх — 2у -J-
+ 17=0: г) х2 +у2 +6х—10у + 18= 0. 313. а) (х — I)2 + (у + 2)2= 25,.
С(1, —2), г = 5; д) (х — I)2 + у2 = 1, С(1, 0), г = 1; ж) (х — 2)2 + (у — I)2 = 4,
С(2, 1), г = 2. Остальные уравнения не определяют окружность. 314. При Х = 5—
точка Л40 (1, —2), а при X < 5 — концентрические окружности с центром в точке
Л40. 315. При ftj= ]/4> и при Л2= —р^б— точки с координатами М1{2, —Уб),
М2 (2, Уб), а при Х> Уб или при k <—Уб— окружности, центры которых
лежат на лучах, исходящих из точек и Л12, параллельных оси Оу и не
пересекающих ось Ох. 316. а) А2 = 4с; б) В2 = 4с; в) А2 — В2 = 4с.
317. а) х2 + у2 — 6х — 2у + 5 = 0; б) х2 + у2 — 4х — 2у — 36 = 0. 318. х2 + у2+
+ 6х — 4у — 12 = 0. 319. х2 + у2 — 4х — 2у = 0. 320. Задача имеет два решения:
х2 + у2 — бу = 0 и х2 + у2 + бу = 0. 321. х2 + у2 — Юх + 10у + 25 = 0.
322. а) х2 + у2 + 7х — 5у — 44 = 0; б) х2 + у2 — 6х + 4у — 12 = 0;
в) х2 + у2 — х + Зу — 10 = 0; г) х2 + у2 + х + 7у = 0. 323. а) р = а; б) р2 —
— 2р0 р cos (ф — Фо) + Ро2 = а2. Указана е. Для вывода уравнения б) вос-
пользоваться ответом задачи 247. 325. а) р = 8 cos ф; б) р = 6 sin ф; в) р2 — 5 cos ф—
— / 2 \
— 5У 3 р sin ф + 21= 0. 326. Центр окружности имеет координаты! 4, — п I; радиус
\ О /
равен 6. 327. При X + 1 искомое множество представляет собой окружность", центр
которой лежит на прямой АВ, а при Х = 1 —прямую, перпендикулярную отрезку
АВ й проходящую через его середину. У Казани е. Если начало прямоугольной
декартовой системы координат поместить в точку В, а направление оси Ох опреде-
лить вектором ВА, то уравнение искомого множества будет иметь вид: х2 (1 — X2) +
4" у2 (1 — X2) — 2ах 4- а2 — 0, где а — длина отрезка АВ. 328. Пусть АВ= 2а, а
а2—данная сумма квадратов, а) а2> 2а2. Искомое множество есть окружность с
центром в середине отрезка АВ; б) а2 = 2а2. Искомое множество представляет собой
точку — середину отрезка АВ; в) а2 < 2а2. На плоскости не существует ни одной
точки, удовлетворяющей условию задачи. 329. х2 + (у — З)2 =9. 330. Окружность
с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом | X |. Указание.
198
Записать уравнение искомого множества точек в прямоугольной декартовой систе-
ме координат, оси которой совпадают с данными прямыми. 331. Окружность дейст-
вительного, нулевого или мнимого радиуса, центр которой совпадает с центроидом
точек А, В и С (см. задачу 53). 332. Окружность. Указание. Записать уравне-
ние искомого множества точек в полярной системе координат, приняв точку А за
полюс, а диаметр, проходящий через эту.точку, за полярную ось. 333. Две окруж-
ности. Указание. Задача решается аналогично предыдущей. После получения
полярного уравнения искомого множества точек перейти к прямоугольной декарто-
вой системе координат. 334. а). Окружность с центром в середине основания ВС и
радиусом г = — ; б) окружность с центром в точке, делящей основание ВС в отно-
1 b
шеиии Л = —-, и радиусом г— — . 335. а) Окружность действительного, нулево-
О О
го или мнимого радиуса, центр которой совпадает с центром квадрата; б) окруж-
ность, центр которой совпадает с центром квадрата (см. задачу 330). 336. Окружность,
концентрическая данной, если а Ф — R2, и центр дайной окружности, если
а = — R2. 337. Указание. Записать уравнение искомого множества точек в
прямоугольной декартовой системе координат, приняв за ось Ох линию центров
данных окружностей. 341. Указание. Если OL и О2 — центры данных окруж-
ностей, а М — точка их пересечения, то один из искомых углов равен углу ОГМО2.
Для определения косинуса угла М треугольника ОгМО2 использовать теорему ко-
синусов (см. задачу 154). 342. Параметрическое задание: х = г (ср— sin <р),
у = г (1 — cos ср), в декартовых координатах циклоида имеет уравнение
х + У у (2г — у) = г arc cos --. Решение. Сначала напишем параметриче-
ское задание циклоиды. Пусть М (х, у) — произвольная точка циклоиды, 3 — центр
катящейся окружности, а Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки S
на ось абсцисс (рис. 16). Примем в качестве параметра угол, который образует луч
SM с лучом SH, т. е. q> = ^MSH. Если Л4, — основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки М на ось абсцисс, а М2 — основание перпендикуляра, опущенного
из той же точки иа ось ординат (точки Мг и Л12 на рисунке 16 не изображены), то,
очевидно, х — OMi — г<р — г sin ср = г (ср — sin ср); у = ОМг — г — г cos ср =
= г (1 — coscp). Мы получили параметрическое задание циклоиды. Отсюда, исклю-
чая ф, получаем уравнение циклоиды в прямоугольных декартовых координатах.
Заметим, что циклоида периодическая кривая: период (базис циклоиды) равен 2лг.
, R+r R + r
343. х = (R + г) cos ср — г cos----ср, у — (R -Ь г) sin ср — г sin----- <р.
344. а) р = 2г — 2r cos ср; б) р = 2r + 2r cos ср. У к а з а н и е. Если М — точка
катящейся окружности, описывающей траекторию, то при любом положении ка-
тящейся окружности прямая AM и линия центров ОС катящейся и неподвижной
• . R — г
окружностей параллельны (рис. 18). 345. x=(R—г) cos ф + г cos------ср,
R — г г
у — (R — г) sin ср — г sin--ср. Уравнение астраиды: х = Зг cos ср г cos Зср,
у = Зг sin ср — г sin Зср. 346. Уравнение кривой в обобщенных полярных коорди-
а
натах: р —-----1- Ь. Указание. Если р = f (ср) — уравнение данной кри-
cos ср
вой в полярных координатах, то р = f (ср) £ b — уравнение ее конхоиды, где Ь —
длина отрезков, откладываемых от точек данной кривой. При выводе уравнения
конхоиды Никомеда учесть, что система координат обобщенная полярная.
347. а) р= Ь—2r cos ср; б) р= i+2r cos ср. Указание. Воспользоваться указа-
нием к задаче 346. 348. Указание. Воспользоваться задачами 344 и 347.
b х 2а sin2 ср
349. ср2 = х2--. 350. р=------—уравнение циссоиды Диоклеса в полярной си-
о — х cos п>
х»
стеме координат; у2 — "•...— уравнение циссоиды Диоклеса в прямоугольной
199
декартовой системе координат Oi j (рис. 22). 351. (х2+у2)2—2с2(х2—у2) = fe4—с4—
уравнение овала Кассини; (х2 + у2)2 — 2с2 (х2 — у2) = 0 — уравнение лемнискаты
Бернулли. Решение. Выведем уравнение овала Кассини. Пусть М (х, у) —
произвольная точка рассматриваемого множества. Если F,F2 = 2с, то точки Е, и
F2 будут иметь координаты (—с, 0), F2 (с, 0), поэтому соотношение F^M • F2M —
= 52 в координатах запишется так: V(x + с)2+ у2 )/ (х — с)2-|- у2 — Ь2. Это урав-
нение эквивалентно уравнению [(х + с)2 + у2] [(х — с)2 + у2] = б4. После элемен-
тарных преобразований получаем: [(х2 + у2 + с2) + 2хс] |(х2 + у2 ~Ь с2)— 2хс] =
= Ь4. Отсюда имеем: (х2 + у2 + с2)2 — 4х2с2 = или (х2 + у2)2+ 2(х2+у2) с2+
+ с4 — 4х2с2 = i>4. Отсюда получаем уравнение овала Кассини; а при b = с —
V
уравнение лемнискаты Бернулли. 352. р = a sin 2<р. 353. р = оф, где а = — .
<о
о3
354. у =--------. Указание. Воспользоваться соотношением OB : BS = ОС :ВМ
х1 2+ о2
(рис. 26). 355. Указание. Прямоугольную декартову систему координат
выбрать так, чтобы катеты треугольника лежали на осях координат. 358. Ре ше •
н и е. За начало прямоугольной декартовой системы координат возьмем точку Л!о,
а за ось Ох — прямую /. Пусть в этой системе координат точки А, В, С имеют соот-
ветственно координаты (х1( ух), (х2, у2). (х3, у3); тогда точки А', В' и С будут иметь
координаты (хь 0), (х2, 0), (хд, 0). Отсюда получаем: АА'{0, —У1}> В В'{О, —у2},
СС {0, —у3}. Согласно задаче 215 хх + х2 + Хд — 0 и ух + у3 + у3= 0, поэтому
А А' + В В' + СС — 0. 359. Указание. Взять точку А за начало, а АВ = ег
a£i
и АС = е2 за координатные векторы. Если ввести обозначения Ла =------, Хх =
ВЛ, , СВ, , „ . . .
= —- , Л3 = —то легко выразить координаты точек Alt Blt С, через Ль Л2, Л.,.
А/? В^А
Далее воспользоваться условием коллинеарности этих точек. 360. Решение.
Обозначим через Р точку пересечения отрезков ВВ, и CClt а через vx и v2 отношения
ВР СР —
----= и---------= v2. Выберем точку А за начало координат, а векторы АВ и
РВ±-РСХ
АС — за координатные векторы ег и е2 (рис. 49). В этой системе координат верши-
ны треугольника, очевидно, будут иметь следующие координаты: А (0, 0), В (1, 0),
АСХ АВ,
С (0, 1). Далее, пользуясь соотношениями Л = ——- и р = , определяем
/ Р \ \
координаты точек В, и С±: В, 10, -—— ,Cjl-—0). Определим координаты
\ 1 +р/ \1 -f-Л /
BP I 1 viP \
точки Р(х, у), учитывая, что —— =vx. Получим: Р —— , ———-—- . Опре-
РВ1 \14-Vi (1+p) (l+vi)/
делим координаты той же точки, учитывая, что —— = v2, получим:
„ ( 1 \ „
р--------------, ------1 итак, для определения искомых величин и ve
\(l+X)(l+v2) 14-vJ
1 v2X тур 1
получаем соотношения ------- = —— -------—; -----——;------= —---- . Из этих
14-Vj (bf-X)(l-|-v2) (l+pXl+vj) l+v2
1 р 1
соотношений после элементарных преобразований получаем: —-—, v2= ---------.
Л II
Если Х = р = 1, т. е. если ВВ± и СС± являются медианами треугольника, то х, =
= v2 = 2. Таким образом, мы доказали, что если Р — точка пересёчения любых
двух медиан треугольника АВС, то этой точкой каждая медиана делится в отноше-
200
нии 2:1. Отсюда непосредственно следует известная теорема о том, что медианы
треугольника пересекаются в одной точке н делятся ею в отношении 2 : 1. 361. У ка-
зан и е. Воспользоваться задачей 47. 362. Решение. Систему прямоугольных
декартовых координат возьмем так, как указано на рисунке 50. Введем обозначе-
ния для координат точек А, С и D: А (а, р), С (у, 0), D (б, 0). При данном выборе
системы координат BD = б, ВС = у. Далее вычислим все величины, входящие в
формулу Стюарта: АВ2 = а2+р2, ВС = у, АС2 = (а — у)2 + Р2, BD = б, AD2=
— (а — б)2+р2, DC = у — б. Подставив эти значения в левую часть формулы
Стюарта, получаем: АВ2 - DC + АС2 • BD — AD2 • ВС — (а2 +62) (у — б) +
+ 1(а — у)2 +Р2] б — [ (а — б)2 + р2] у = а2 у — а2б + ру — р2у + а2б +
+ у2б + р 2б — 2ауб — а2 у — б2 у —Р2у + 2абу = у2б — б2у = уб (у — б) =
— ВС • BD • DC. 363. Указание. Точку А взять за начало, а АВ и АС — за
базисные векторы общей декартовой системы координат и воспользоваться задачей
215. 364. Указание. Взять точку О за начало координат и воспользоваться за-
дачей 215. 365. Указание. Пусть А лежит между О и В. Примем точку О за
начало прямоугольной декартовой системы координат, а вектор ОА за единичный
вектор I. В этой системе координат вершины четырехугольника могут быть записа-
ны так: А (1, 0), В (X, 0), D (а, Р), С (ра, рр), причем X >1, р > 1. Вычислить
площади треугольников 0AD, ОВС, OSP и показать, что SOBC —B0AD = ^OSP •
366. Указание. Если систему координат выбрать так,...как указано на рисунке
51, то из условия АС — BD получаем: а + р =0. /373. ) а) 4х — Зу + 7 = 0;
б) 5х — 2у = 0; в) х + у + 4 = 0; г) — у = 1; д) у — 5 — 0; е) х + 1 = 0;
ж) х— Зу — 16=0; з) х+у — 4= 0. 374. 2х + Зу = 0, х + Зу + 3 = 0,
х + у + I = 0. 375. х + 1 = 0. 376. 2х + у — 1 = 0, х — у + 1 = 0, х — 4у +
X V
+ 13= 0. 377. а) и в). 378. а) а = — 2, b = 3, — + ~ = 1; б) а = — 6, b =
. * —2 3
= -6, -^ + + = 1; в) а=-~, Ь=3,— + -| = 1. 379. а) х =—2 +
—о —о 2 —о <э
т
+ 5/, у — 3 — /; б) х = 3/, у = —2 — 2/; в) х = t, у = t; г) к = t, у = —3;
д) х= 1, у=с 380. а) р{4, —1}; б) (11, —1), М2 (—1, 2), М3 (—9, 4),
201
М4 (-5, 3); в) G = -1\ ' /2 = 2; г) Mt, М3 , М4 . 381. а) {—7, 3}; б) {0, 1};
в) {3, 2}; г) {2, 1); д) {1, 0}. 382. а) х = —2 + /, у = —1+ 3/; б) х = 2 — t,
у = 1 + t; в) х = —— , у = /; г) х = 1 — 57, у =—2 + 4/; д). х = —3/, у — t.
385. а) х + Зу — 10 = 0; б) у — 2 = 0; в) Зх — у — 15 = 0. 387. а) 2х + у = 0;
б) х = 0; в) 5х + у — 6 = 0. 388. АВ || CD, Зх + у
= 0. 389. (АВ)2х — у — 4= 0, ’
(ДЛ) х -|- у + 1 = 0. Указание. Сначала определить координаты вершин С и
D. 390. х — у — 7 = 0, х — 2у — 10 = 0. 391. Зх — 2у — 8 = 0, х + Зу + 12 = 0,
2х — 5у + 2 = 0. Указание. Через каждую из данных точек провести пря-
мую, параллельную вектору, образованному двумя другими точками.
392. а) Зх — у — 1 = 0; б) у + 2х = 0; в) х — у = 0; г) Зу — УЗ х = 0;
д) у + УЗ х = 0; е) у = —Зх +2; ж) у = х — 3. 393. a) k = —2, b = — 5:
1 5
б) k = — , b = 2; в) А = — 1, b = 0; г) k — 0, Ь = ——; д) k и Ь не существуют.
394. а) 135°; б) 45°; в) 150°. 395. а) 2х + у — 1 = 0; б) х + у — 15 = 0; в) Зх + 2у =
= 0. 396. х 4- у — 3 = 0, х — у + 1 = 0. 397. а) (3, —5}; б) {2, —1}; в) (0, 1};
г) {6, —1}; д) {3, —2); е) {1, 0}. 398. р{5, 2}, п{2, —5}, k = — ,
О
3
L 5 ....... • - • ".
1 = 0, х — у = 0, у — 1 =
(ВС) х + у — 5 = 0, (CD) 2х — у + 2=0,
а= —
1 '
2 ’
Ъ — —. 399. б), г) и д). 400. а) 5; б) (15, —10); в)1- 4. У к аз а н й е. Если урав-
5
нение движения точки имеет вид: х— х0-\- at, у — у0 + р£, то скорость v точки
вычисляется по формуле v — + 6 2, 401. х — 2 — 12/, у = —3 + 9/, /0' = — .
15
402. 2х — 5у + 29 = 0. 403. 2х-|-Зу—12 = 0. 404. 2х—4у—21 = 0. 405. (—3, 2).
/8 \
. 406. I — , 0) и (0, —8). 407. а) х — 1 = 0, 2х — Зу + 8 = 0, 2х + Зу —
— 12=0; б) у — 5 = О, Зх+2у —1 = 0, Зх — 2у — 5 = 0. 408. Зх + 4у—17 =
= 0, _3х — 4у — 1 = 0, 2х — 5у + 27 = 0. (409. 2х — 2у + /2 a = 0, 2х + 2у —
— рг2а=0, 2х — 2у — = 0, 2х + 2у + }ЛГа = 0. 410. а) (3, 1); б) (3,3);
в) (3, 7). 411. (—2, 8). .412. (5, 7). 413. Q (4, —2). Указание. Найти коорди-
наты точки N', симметричной точке N относительно данной прямой I. Q есть точка
пересечения I и MN'. 414. (АВ) у = О, (ВС) уТх—у —«Кз’— О, (CD) /Зх+ у—
— 2aK3=0, (DE) у — а^З = 0, (EF)]/Jx — у + а^З = О, (AF) у + /3 х =0.
415. а) 13х — 9у 4* 7 = 0; б) 36х — 23у + 29 = 0; в) 4х + Зу — 19 = 0. У к а з а-
„ АВ АС
н и е. а) Вектор р = , является направляющим вектором биссектри-
сы внутреннего угла А. 416. (ДЛ4) 2х + у —4=0, (АР) 2х — у = О, (MN) 6х —
—Зу+16=0, (NP) 6х+3у—28=0. 417. (О, —4), (—4, 4), (2, 2), (—6, —2). 419. а )Пе-
> ресекаются в точке М (3, 0); б) параллельны; в) совпадают; г) пересекаются в точке
М (—3, 3); д) параллельны; е) параллельны; ж) совпадают. 420. /х =— — ; /2 = 2.
421. Да; А = —9, р, = 6. 422. а) Две прямые параллельны, третья их пересекает;
б) прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку; г) прямые прохо-
дят через одну точку (—5, 1). 423. ЗА+ 7р. + 3 = 0. 424. а) Пучок параллельных
прямых, пересекающих ось Оу и имеющих угловой коэффициент Л; б) пучок пере-
секающихся прямых с центром в точке (0, Ь), за исключением оси ординат.
425. х~Ь у — 7=0. Указание. Пусть у.— 6 = k (х — 1) — уравнение ис-
комой прямой. Определить координаты точек пересечения М и N этой прямой с дан-
ными параллельными прямыми и потребовать, чтобы середина отрезка MN лежала
на прямой 2х — у — 2=0. Из полученного условия определить А. 426. 2х + у —
•—4 = 0. 427. .. х 4 Пу — 15= 0. 428. 5х — Зу + 6 = 0. 429. х — у = 0.
202
430. у + 1 = 0. 431. 13х — 13у + 4 = 0. Решение. Уравнение пучка, опре-
деляемого заданными прямыми, имеет вид: Зх — у + X (х + 4у — 2) = 0, или
(3 + Х)х + (4Х — 1) у — 2Х = 0. Записывая далее условие перпендикулярности-
прямой пучка и прямой х + у = О, получим: 1 • (3+Х) + 1 • (4Х — 1) = 0. Откуда
2
получаем: 5Х + 2 = 0, или X = — — . Подставив найденное значение X в уравне-
5
ние пучка, получаем искомое уравнение. 432. а) 4х — 5у + 22 = О, 4х + у — 18 =0,
2х — у + 1 = 0; б) х + 2у — 7 = 0Г*= 5х + 4/+7 = О, х — 4у — 13=0.
433. а) у + 17= 0; б) 2х + 13 = 0; в) 34х — 13у = 0. 434. (—1, 0). 435. (1, 1).
436. (1, 1). 437. а) Пучок параллельных прямых, определяемый вектором {—В, А};
б) все прямые пучка пересекающихся прямых с центром в точке I — — , 01, за исклю-
\ /1 /
чением оси Ох; в) все прямые пучка пересекающихся прямых с центром в точке
/ С \
10, — — I, за исключением оси Оу. 438. Зх — у + 2 = 0, Зх — бу + 14 = 0.
430. X = —5, р = —5, 13х + 39у + 5 = 0. 440. 7х — у — 6 = 0, х+8у — 21 = 0.
441. а) и в). 442. У " ' ’ " ’ ~ "
прямая плоскости. Задача
летворяющнх условиям:
к а з а н и е. Пусть Ах + By + С = 0 — произвольная
сводится к определению коэффициентов а, ₽, у и А, удов-
ОСЛХ + 6Д2+ уЛ3 “ АД,
aBi + В В2 + уб3 = АВ,
, ocCj + рС2 + уС3 — АС.
Пользуясь результатом предыдущей задачи, показать, что при любом А =/= 0 суще-
ствуют действительные числа а, р, у, не равные одновременно нулю и удовлетворяю-
9 13
щие этой системе. 443. а) X = 1; б) X =— — ; в) X = 0; г) X =— — . 444. a) Afx, М.
М3, Mit М3, б) Mj, М3, М5, М6; в) М2, М3, М,, М6; г) Mlt М3, М6, Ме; д) М
М3, М±, Мъ, Ме. 445. Пары Аг и А " ~ ~ -- - --
5
—. Ось Оу пересекает отрезки АВ и АС соответ-
АМ3 3 AN2
= 777-= 3.449.М2,М3,М4.Указа-
iVLqD тг /V gCi
2>
М3, Mit Мв; б) М3, М5, Мв; в) М2, М3, М,, Мв; г) Mlt М3, М6, Мв; д) Мх, М2,
М3, Мь, Ме. 445. Пары Аг и А2, Сх и С2, и D2. 446. а) Л С и ВС; б) АВ и ВС;
в) АС и АВ. 447. Ось Ох пересекает отрезки АС и ВС соответственно в точках Л4Х и
АМ2 1 ВМ,
м* приэтом^Е = 1’^
ЛЛ43
ственно в точках М3 и N.,. при этом—— =
М3В 4 ’ К2С - “ ’
н и е. Точка М лежит внутри угла Л СВ, если одновременно выполнены следующие
два условия: а) М и Л лежат. по одну и ту же сторону от прямой ВС;
б) М и В лежат по одау и ту же сторону от прямой АС. 450. а) Зх —
—-у — 2 < 0; б) Зх — у — 2 > 0. 451. х > 0, 4х — Зу + 12 > 0, х —•
— Зу — 6 < 0. 452. х — у + 5<0.л.2х + у — 3<0. Решение. Четы-
ре угла, определяемые данными пересекающимися прямыми, характеризуются сле-
дующими неравенствами: а) х — у + 5>0 и 2х + у — 3 > 0; б) х — у + 5 > 0
и2х + у — 3<0; в) х — у + 5 < 0 и 2х+у — 3 > 0; г) х — у + 5 < 0 и
2х + у — 3 < 0. Подставив координаты данной точки в ’ЗТи неравенства, убеждаем-
ся в том, что имеет место случай в). 453. Решение. Прямые 1г и 12, пересекаясь
в точке Р, образуют четыре угла, внутренние области которых обозначим через filf
£21( й2, й2 (рис. 52). Пусть Qj и — внутренние области острых углов, а й2, Й2—
внутренние области тупых углов. Приложим векторы пг {Лх, Bj) и п2 {Л2, В2)
К точке Р. Так как п± JL и п2 Л 12, то концы этих векторов будут лежать либо в
П2, -либо в й2. Возможны два случая: а) концы векторов п1 и п2 лежат в одной и той
же области, скажем в П2 (рис. 52,а). В этом случае угол между и п2 равен ост-
рому углу, образованному данными прямыми, поэтому ntn2 = ЛХЛ2 + ВХВ2 > 0.
С другой стороны, в этом случае область Й2 характеризуется неравенствами Лхх +
+ Bjy + Сх > 0 и Л2х + В2у + С2 > 0, а область Й2 — неравенствами Лхх +
+ Вху + Сх < 0 и Л2х + В2у + С2 < 0. Итак, для всех внутренних точек
203
a)
областей й2 и Й2 имеем: (Дгх 4- Bty + CJ (А2х + В2у + С2) (ДхЛ2 + В^В^ > 0.
Область характеризуется неравенствами А^х + Вгу + Сх <0 и А2х + В2у +
+ С2 > 0, а область Qj — неравенствами 4xx-|- Bty + Q > 0 и А2х + В2у +
+ С2 < 0 (см. задачу 384). Таким образом, для всех внутренних точек областей
Йх и Oj имеем! (AjX + BLy + CJ (А2х + В2у + С2) (AtA2 +.В1В2) < 0; б) ко-
нец вектора пг лежит в Q2, а конец п2 — в й2 (рис. 52, б). В этом случае угол меж-
ду tlY и п2 равен тупому углу, образованному данными прямыми, поэтому tiiti2 =
= AtA2 -j- В1В2 < 0. Рассуждая аналогично предыдущему, получаем тот же ре-
зультат. 454. Л1ь Л13, Ж, Мъ. Указание. См. предыдущую задачу.
455. а) Зх + 8у — 9 > 0, Зх — у — 9 < 0, Зх — 10у + 45>0; б) (йх) Зх —10у+
+ 45 < 0, Зх + 8у — 9 < 0; в) (й2) Зх + 8у — 9 < 0, Зх —у—9<0,
Зх — 10у + 45 > 0. Указание. Сначала определить координаты вершин
треугольника и воспользоваться неравенствами, которые характеризуют полу-
плоскости, определяемый сторонами треугольника. 456. Точки Mlt М3 и Мв при-
надлежат й0, М2 и Л47 — Ql Л14, М5 — й2. 457. Внутренняя область пятиуголь-
ника с вершинами А (—2, 3), В (2, 7), С (7, 8), D (7, 3), Е (1, 0). 458. Область,
изображенная на рисунке 53. Точки, указанные на этом рисунке, имеют координаты
А (—3, 5), В (—4, 2), С (—2, —2), D (2, —2). Прямая lt имеет уравнение
х — у+8=0, а 12 — уравнение х — 4у — 10 = 0. 459. Точек, координаты кото-
рых удовлетворяли бы данной системе неравенств, не существует. 460. а) и в).
461. Указание. Воспользоваться задачей 448. 462. а) х —- 2у > 0, х < 0,
у+2 >0; б) х — у > 0, 2х + у — 6< 0, х + 2у — 3 > 0; в) 2х + 5у — 15 > 0,
х — у + 3 > 0, 4х + Зу — 23 < 0. Указание. Воспользоваться, результатом
задачи 461. 463. Mlt М3, М3, Мв. 464. Mt, Mit М6. 465. Указание. Восполь-
зоваться задачей 448. 466. Указание. Воспользоваться результатом задачи 465.
467. Указание. Воспользоваться результатом задачи 465. 469. Указание.
Воспользоваться результатом задачи 468. 470. Зх + 4у + 5 > 0, 10х + у — 45 <0,
2х — 7у + 27 > 0, х + 3> 0. Указа-
< н и е. Воспользоваться задачей 468.
471. При любых фиксированных I и
, J, не равных друг другу, п — 2 числа
ьи(ха> Уа)> гДе “ = 1. 2....i — 1, i+
1...j — 1, /, j + 1, ... , n, имеют один
и тот же знак. (Относительно обозначений
' см. задачу 465). Указание. Задача
решается по аналогии с задачей 465. 473.
X а) 6х — 5у — 64< 11х+ 7у — 85 < 0,
5х — 7у + 53 > 0, 10х + у + 46 > 0,
х+4у+28>0; б) 7х —10у — 29 > 0,
8х + Зу — 62 < 0, 8х — 5у — 110 < 0,
х + 4у + 51 > 0, х+ 3 > 0. 474. у > 0,
Рис. 53
204
Зх — /Зу — 3 < 0, Зх + /Зу — 6 < О, у — /3 .< О, Зх — /Зу + 3 > О,
/Зх + у > 0. 475. Указание. Воспользоваться задачей 471 и учесть, что лю-
Xj “"J- XXg
бая внутренняя точка отрезка Aljxj, yj и М2(х2, у2) имеет координаты х= - ...,
1 - / А
у = yu/fty.?, где х>0. 476. —66. У к а з а н и е. Так как пятиугольник A1A2ASA4AS
1 + X
выпуклый, то его площадь равна сумме площадей ориентированных треугольников
ЛИА ЛМИ4 И ЛМИ^-477. а)- х-| у - =0; б&- lj-у- =0;
ООО 4Ь Z Z
з
в) —х — — = 0; г) —у — 1 = 0; д) уравнение прямой записано в нормальном виде;
2 1 6 . 8 л_ 11 4 14
е)х - у=у -2= 0. 478. а) - ; б) 3; в) - /5; г) - . 479. -^4.
480. —4- Указание. Определить координаты вершин треуголь-
ника и вычислить расстояния от вершин треугольника до противоположных сторон.
481. (х — 6)2+(у + 3)2=9. Указание. Радиус окружности равен расстоянию
от точки Р до прямой. 482. (х — 2)2 + (у + 3)2= 25. 483. х2 + у2— 26х— 2у+ 45 =
13 __ g 19 —
= 0 и х2+ у2— 2х — 10у + 21 = 0. 484. а) 8; б) — /10; в) — ; г) - /2. У к а з а-
__________________________________________20------в——_4
н и е. На одной из прямых' выбраТв^произвольную точку и найти расстояние до
। С______________________СI 9 — 8 —
второй прямой. 485. й = а) й = 5; б) й= '^'/2; в) й= — /5. 486. 5х+
+ 12у — 43 = 0, у — 4=0. Решение. Уравнение пучка прямых, проходящих
через точку М ( —1, 4), имеет вид: у — 4 = А (х + 1) или Ах — у + (А + 4) = 0.
Среди прямых данного пучка необходимо найти такую прямую, которая находится
от точки Q (—2, —1) на расстоянии 5. Используя формулу для вычисления рас-
|А(-2)-(-1)+(А + 4)| .
стояния от точки до прямой, получим: -------------/а2/~1'—~"—~~ ~ 5‘
Возводя полученное уравнение в квадрат, будем иметь: 12А2 + 5А = 0, откуда At =
5
= 0, А2 = — — . Подставляя найденные угловые коэффициенты в уравнение пуч-
12
ка, получим уравнения искомых прямых. 487. х — у=0, х + у — 2=0.
Указание. См. решение предыдущей задачи. 488. Зх + 4у + 30 = 0, Зх + 4у —
— 20 = 0. Указание. Для решения задачи полезно сформулировать ее сле-
дующим образом: провести прямые, параллельные прямой Зх+4у+1=0 и
отстоящие от точки (1, —2) на расстоянии 5. 489. 4х + Зу — 26=0.
490. х — Зу + 10 = 0, х— Зу — 30 = 0. 491. (х + 2)2+ (у — I)2 = 20, (х— —) +
(37\2
у— -) = 20. 492. 4х — Зу — 22 = 0, 4х — Зу + 8 = 0. 493. а) 2х — 5у — 1 =
5 /
/ 13\ ,,
= 0; б) Зх + 5у + 5 = 0. 494. (0, 6), I—1, — 1. Решение. Искомая точка*
(х', у') лежит на прямой х + 2у — 12 = 0, поэтому
х' + 2у' — 12 = 0.
(I)
Точка (х', у') находится на одинаковом расстоянии от прямых х + у — 5=0 и
|х'-|-у'-5| |7х'—у'+И|
7х — у + 11 = 0, поэтому — ----------------77/=—1 • Последнее уравнение
5 Г 2
/2
205
равносильно системе двух уравнений;
*'+у'—5 7х' —у'+11
У 2 $У2 '
/4-у'—5 7х' — у'+ 11
у 2 5 У2
(2)
(3)
Решая системы, состоящие из уравнений (1), (2) и (1), (3), получим две точки
(13\
—* ’ ~2 )’ а) 2* "I- ^у — 3 — 0 и 4х — 2у + 1 = 0; б) 2х — бу — 13 =
= 0 и 6х+ 2у 4- 7= 0; в) 11x4- (8 — 5/3)у + 30 = 0 и х + (8 4- 5/3)у— 90 =
= 0. Решение, а) Биссектриса есть множество точек, равноудаленных от дан-
ных прямых. Если (х, у) — произвольная точка, лежащая на одной из биссектрис,
то
I х — Зу + 21_| Зх 4~ у — 11
/10 - /16
Обратно, если координаты точки (х, у) удовлетворяют этому уравнению, то она рав-
ноудалена от данных прямых и, следовательно, лежит на одной из биссектрис. Та-
ким образом, записанное выше соотношение есть уравнение двух биссектрис углов,
образованных данными прямыми. Оно эквивалентно двум уравнениям:
х — Зу4-2 Зх 4- у—1 х — Зу4-2 Зх 4- у—1
/10 = /10 ’ /1о =— /10
Отсюда получаем искомый результат. Остальные примеры решаются аналогично.
496. 6х — 13 = 0. 497. 9х — 9у 4- 13= 0. 498. 64х + 112у —9 = 0. 499. 2х — 2у+
/ 72\2 / 29\2
+ 17 = 0. 500. Задача имеет четыре решения: 1) х— — I + у— — 1 =25;
\ • / \ ^8/
(68 \2 / 99\2
х + - + У~- =25; 4) (х - 1)2+
/ / \ 4ЬС/
/ 1 \2 „5
4- (у _ 1)2=-.
2)
' 4- (у — 8)2 = 25. 501. (х — З)2 4- (у — I)2 = 5;
502. х2 + У2 — ЗОх 4- бу 4- 109 =0, х2 +'у2 — 70х 4- 46у 4- 309 = 0.
/ 16\2 / 12\2
503. х2 4- (у — 4)2 = 5, (х+ --j + 1у — — j = 5. 504. 9х — 13у — 90 = 0,
2х + 11у — 20 = 0, 7х 4- у — 70—0, точка (10, 0). 505. х — Зу = 0, 2х 4- 4у —
—25 =0, 7х — у — 50 = 0. 506. (х — З)2 4- (у + 2)2 = 1 — уравнение вписан-
ной окружности; (х 4~ I)2 + У2== 9, (х — 8)2 + (у — З)2 = 36, (х — 4)2 +(у + 5)2 =
— 4 — уравнение вневписанных окружностей. 507. а) 135°; б) 30°; в) 90°.
508. 4х—у-Ь9 — 0, х—4у4~21 = 0. Указание. Записать уравнения искомых
прямых с угловыми коэффициентами и воспользоваться формулой tg <р = --- -.
1 /vjAs
509. 2х 4- У — 7=0, х — 2у — 6=0. 510. Уравнения диагоналей: х — 2у + 2 =
= 0, 2х + у 4~ 4 = 0. Уравнения сторон: х + Зу + 7 = 0, Зх — у + 11 = 0,
Зх — У 4“ 1 = 0, координаты вершин: (—3, 2), (0, 1), (—1, —2), ( —4, —1).
512. х — 2у — 5 = 0; 2х — у — 6 = 0. 513. х — 7у — 5
х — у 4- 2 = 0, Зх — у 4- 2 = 0; б) х — ‘
515. 2х 4- Ну + 31 = 0. 516. tg Л = -|-
29 , „ 29 , 29
= — , tg В = — , tg С — — .
63 11 2
520. (ЛВ)х —у4-5=0, (ВС)Зх4-у — 5= 0,
521. х — у-|-7 = 0, 5х — у — 13 = 0. Указание.
-1, -2), ( —4;
0. 514. а) х — 1 = 0,
1 = 0, х + у — 4=0, Зх + у — 8=0.
5 14 1
tgB=--, tgC= —. 517. tg Л =
3 5 о
26
518. S = — . 519. (20, —1), (22, 4).
(СЛ) 5х+3у-7 = 0.
___ .. . ... __ __ Воспользоваться уравне-
нием пучка прямых с центром в точке Р. 522.2х + Зу — 23 = б, 2х + Зу + 1 = 0.
206
Указание. Записать уравнение пучка прямых, параллельных третьей прямой,
С2 23
в виде 2х + Зу + т — 0. 523. S = —. 524. — . 525. Зх + Зу + 8 = О,
2АВ 2
Зх + у + 8 = 0. У. казаки е. Использовать уравнение пучка, определяемого
двумя данными прямыми. 526. х+у+-3=0. 527. х — у — 2 = 0. 528. Задача
имеет два решения: а) Зх + 4у — 11 = 0; б) 9х + 10у — 27 = 0. 529. у + 5 =
= О (ВС); А ( —5, 4), В' ( —3, —5), С (5, —5). Указание. Сначала определить
координаты вершины А, а затем координаты середины стороны ВС, используя тот
факт, что, точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении Л = 2.
530. Задача имеет три решения: 1) (2, 1), (0, 5), (1, 6), х — у + 5 = 0, 5х+у — 11 =
= 0; 2) (2, 1), ( —2, 9), (3, 2), х — у — 1 = 0, 7х + 5у — 31 = 0; 3) (0, 5), (4, —3),
(—1, 10), 5х+у = 0, 13х+5у —37= 0. 531. (ЛС) х + у — 3 = 0, (ЛВ)х —
— 2у — 3=0, (ВС) 5х — у+21 = 0. Указание. Сначала определить коор-
динаты точки пересечения медиан, затем найти координаты середины стороны ВС
(см. указание к решению задачи 529), 532. х — 5у — 3=0, 5х — у — 27 = 0,
23х + 11у — 249 = 0. Указание. Данные биссектрисы не проходят через А-,
точки Ах и А2, симметричные точке А относительно этих биссектрис, лежат на сто-
роне ВС. 533. Зх + у — 2 =0, х + Зу — 7=0. Указание. Если М' — точка,
симметричная М относительно данной биссектрисы, то прямая M’N является од-
ной, из искомых прямых. 534. х+Зу — 12=0. Указание. Заметим, что дан-
ная биссектриса не проходит через точку пересечения М данных прямых, поэтому
точка. М’, симметричная М относительно биссектрисы, лежит на искомой стороне
треугольника. 535. Существуют два квадрата, удовлетворяющие условиям задачи:
а) х — Зу + 7 = 0, х — Зу + 18 = 0, Зх + у + 7 = 0, Зх + у + 18 = 0;
б) 7* + у + 5 = 0, 7х + у — 6 = 0, х — 7у + 17 = 0, х — 7у + 6 = 0. 536. Ис-
комое множество представляет собой множество всех точек контура параллелограм-
ма Mlt Л42, М3, Мл, вершины Mlt М3 которого лежат иа прямой А±х + ВхУ + Сх =
= 0, а две другие вершины М2 и Мл — на прямой А2х + В2у + С2 = 0. Указа-
н и е. Выполнить преобразование общей декартовой системы координат
х' = АхХ + Вху + Сх, у'= А2х + В2у + С2 и воспользоваться указанием к задаче
261 .• 537. Искомое множество представляет собой множество всех точек контура квад-
рата MxM2MsMi, вершины Mlt М3 которого лежат на прямой х cos<f> + у sin<p +
+ Сх = 0, а две другие М2 и M.i — на прямой — х sin ср + у cos <р + С2 = 0.
Указание. Выполнить преобразование прямоугольной декартовой системы
Координат х' = х cos <р + у sin <р + СД у' = — х sin <р + у cos <р + С2 и восполь-
зоваться указанием к задаче 261. 538. Уравнение высоты, опущенной на сторону Za,
имеет вид: (А±х + Bty + Q) (А2А3 + В2В3) = (Д2х + В2у + С2) (Ар43 + ВхВ3).
Аналогичные уравнения имеют высоты, опущенные на стороны 1г и 12. У к а з а н и е.
Для вывода, например, приведенного выше уравнения, следует записать уравнение
пучка, определяемого сторонами Zt и Z2. Затем использовать .условие перпендикуляр-
ности искомой высоты и стороны Z3. 539. Уравнение медианы т, проходящей через
точку пересечения сторон Zt и Z2, имеет вид: (AjX + Bty + СД | (А2х +
+ в2у + с2)|^|.
Указание. Для
вид: (АхХ + ВхУ + СД | д^|= (Агх +
Аналогичные уравнения имеют две другие медианы,
вывода, например, приведенного выше уравнения
медианы т, можно воспользоваться методом, предложенным в указании к решению
задачи 536. Рассмотрим преобразование системы координат х' = X (Atx + Вху +
+ Сх). у'= р (А2х + В2у + С2) (1). При этом, как легко видеть, прямые Zt и Z2 пе-
реходят соответственно в новые координатные оси О'х' и О’у'. Коэффициенты X ир
подберем так, чтобы медиана т в новой системе имела уравнение х' = у’. (2). Для
этого достаточно потребовать, чтобы прямая 13 в новой системе О'х'у содержала
вектор (I. -В- Подставив найденные значения X и р в соотношения (1) и восполь-
зовавшись соотношением (2), получаем искомое уравнение медианы т в исходной
системе. 540. Указание. Если АВС — данный треугольник, то точку А принять
за начало, а вектор АВ — за единичный вектор I прямоугольной декартовой си-
стемы координат. В этой системе записать уравнения высот и воспользоваться ус-
ловием принадлежности трех прямых одному пучку (см. задачу 152, где предлагает-
ся решение той же задачи средствами векторной алгебры). 541. Указание. Если
807
АВС — данный треугольник, то точку А принять
за начало, а вектор АВ—зй единичный вектор Z
прямоугольной декартовой системы координат.
542. Указание. Если прямые о и Ь пересекаются,
то за начало общей декартовой системы координат
взять точку их пересечения О и положить ег —
— ОА, е2 — OD. Если прямые а и b параллельны,
то за начало общей декартовой системы координат
взять точку А и положить eL — АВ, е2 = AD.
543. Указание. За начало общей декартовой
системы координат принять точку А и положить
с, = АВ, е2=АС. 544. Указание. Пусть А ВС—
данный треугольник. Точку А принять за начало
общей декартовой системы координат и положить = еъ АС == е2. Далее выра-
зить координаты точек Alt и С} через координаты точек А, В и С, записать урав-
нения прямых AAlr BBlt СС± и использовать условие их принадлежности одному
пучку. 545,- /— —г . Указание. Диагонали ромба принять за оси прямоугольной
У о2+ Ьг
декартовой системы координат н вычислить расстояние от вершины ромба до про-
14
тивоположной стороны. 546. d — 547. Прямая, параллельная Z. У Казани е.
Систему координат выбрать так, чтобы ось абсцисс совпала с прямой Z. 548. Множе-
ство всех точек отрезка MN вместе с его концами. Здесь точки М и АА— соответст-
венно точки пересечения биссектрис углов В и С с противоположными сторонами
треугольника. Указание. Выбрав начало прямоугольной декартовой системы
координат так, чтобы оно принадлежало внутренней области треугольника
записать нормальные уравнения сторон: ах (х у) = 0, а2 (х, у) = 0, а3 (х,у ) = 0.
Далее, используя условие задачи, вывести уравнение искомого множества. При
этом важно учесть, что в силу указанного выше условия выбора начала координат
для любой внутренней точки (х0, у0) треугольника числа aL (х0, у0), а2 (х0, у0) и
а3(х0, Уо) имеют один и тот же знак. 549. Прямая, параллельная прямой b. Р е-
ш е н и е. Прямоугольную декартову систему координат возьмем так, как указа-
но на рисунке 54. Если а — абсцисса точки В, а X — переменная ордината точки
Q, то, учитывая условие СР = kCQ р, силу выбора системы координат, получаем:
А (1, 0), В (а, 0), Р (0, АХ), Q (0, X). Уравнения прямых АР и BQ имеют вид:
АХх + у — АХ = 0, Хх 4- ay —aX = 0. Решая совместно эти уравнения, определя-
ем координаты точки пересечения прямых:
a (А — 1) АХ (а — 1)
х =---------, у=----------- .
аА — 1 Аа — 1
, a(A—1)
1 ак как x не содержит X, то х == —--является уравнением искомого множества
ak — 1
точек. 550. Прямая, проходящая через точку пересечения данных прямых Zj и 12.
Указание. Данные прямые ZL и Z2 принять за оси общей декартовой системы
координат. 551. Прямая, проходящая через точку О. 552. Прямая, параллельная дан-
ным. 553. Две прямые, проходящие через точку пересечения прямых и Z2. 554. Пря-
мая, проходящая через точку О. 555. Прямая, проходящая через точку О. Указа-
и и е. Точку О принять за начало общей декартовой системы координат и положить
е, = ОА0, е2 = ОВв, где АвВв—одна из прямых пучка {т}. 556. в), г), ж).
557. б), г), д), и). 558. р = 1.Указание. Взяв векторы et и е2 , принадлежащие
соответственно прямым Zj и Z2, за базисные, написать аналитическое задание пре-
образования в этом базисе. 559.
JSJ)' Остальные
208
(31}
преобразования не являются линейными. 563. а) {2, 1}, {—1, 3}; б)!—, —
(1 91
17 • 7); в> <5>6)’ <10> -2)' <3'5):г) О’1*- о- -’}• 564- а <-1>2}.
аЛ—9,8}, а3(—8,—4), a4{2i, —3}, а5{—7,4}. 565. Матрицы данных преобразова-
ний имеют вид: а) б) Q j j; в) ( 1’?)l г) (—2 о)’(— 1’ 1)’ 566’ х'~
= 2х—Зу,у'=6х — 9у. 567. (О 568. б), в) и д). 569. а), в). 570. Указание.
Сначала доказать, что образы любых двух векторов коллинеарны, а затем воспользо-
ваться задачей 36. 571. Пусть О — произвольная точка плоскости. Множество П состо-
ит из тех и только тех векторов плоскости, концы которых лежат на прямой, заданной
в системе 0е±е2 уравнением Зх — 8у |2 = 0. При этом предполагается, что все
векторы приложены к точке О. 572. Указание. Пусть £2 — множество всех век-
торов, удовлетворяющих условию задачи. Показать, что й — система коллинеар-
ных векторов, и воспользоваться задачей 36. 573. Пусть е — вектор, удовлетворяю-
щий условию А (е) ¥= 0. Возможны два случая: а) А (е) и а не коллинеарны. В этом
случае множество Я пустое; б) А (е) и а коллинеарны. В этом случае Q состоит из
тех и только тех векторов плоскости, концы которых лежат на некоторой прямой I,
если векторы приложены к некоторой точке О. При этом точка О не лежит на пря-
мой I. 574. a) Хх =0, Х2 = 10; два собственных направления, определяемых векто-
рами Pi{l, 3} и р2{—3, 1); б) Хх = 3, Х2 = —2; два собственных направления,
определяемых векторами рх{1, 1} и р2 {1, —4}; в) Хх = 1, Х2 = —3; два собствен-
ных направления, определяемых векторами рх{3, 2} и р2{1, 2}; г) Хх = Х2 = 4;
одно собственное направление, определяемое первым координатным вектором /{1, 0}.
575. Преобразования а) и в) не имеют собственных направлений; любой ненулевой
вектор преобразования б) является собственным. 576. При р 0 любой вектор плос-
кости является собственным вектором с характеристическим числом —1; при р^ 0
собственными векторами являются р с характеристическим числом <р (р) — 1 и лю-
бой ненулевой вектор q, удовлетворяющий условию <j> (q) = 0, с характеристическим
числом —1. 578. Указание. Пусть е1г е2 — базис, где е± является собственным
вектором данного линейного преобразования. Если А (<?2) = аег + р е2, то базис
ех= е2 = е2 является искомым. 579. Числа а и Р определяются из соотношений
Хх = а + ф , Х2 = а — ip, где Хх и Х2 — корни характеристического уравнения
данного линейного преобразования. 581. Если) °12| — матрица в базисе е,
\“21 “22/
е2, то в новом базисе матрица того же преобразования имеет вид: ^22^21j •
582. Решение. Введем обозначения для координат векторов а, Ь, а1, Ь'. Имеем:
a{aL, о2}, b{blt Ь2}, о'{ар а'ч }> ь'2}, согласно задаче 85. S
а \ Ь '\
а2 ^2
pax Ci и е.г. Очевидно, oj = + а12а2,
S' =
So, где So — площадь параллелограмма, построенного иа векто-
ЗД + °22°2> ь\~ аиЬ1 +
Ь2 = а,1Ь1 а22Ь2. Подставив эти значения в выражение для S' и воспользовавшись
теоремой об умножении определителей, получим искомый результат. 583. Указа-
н и е. Воспользоваться задачей 582. 584. Указание. Пусть =
_ pii cxs\ Сначала показать, что А (ел = Лхх£х + fe2Xe2, А (е'л —
\“21 “22/\С2| -227 _ '
= fe12ex+ k22e2. 585. a) б) (~f®); в) (g ~J9); г) (14 j®). Указе-
ние. Воспользоваться задачей 584. 586. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 584.
587. а) 4 б) (_________3 (___1 б)’ г) (о —1)* Указание. Восполь-
209
зоваться задачей 581. 588. Пусть Л и В имеют матрицы “12) и ^12j. Тогда <р
и ф имеют соответственно матрицы(°11'Н'11 °12'Н'12) и 11 i^12). 589. а) ( JL ;
\a2i+»2i й22+М кла21Лаа2/ V/2+23J *
^зуТэ)5в) (гуТ-б б)’ 590‘ а)(б 1б): б)(э 1б): в)(г 1з); г>(б 42)-5£П- лв(о о) •
ЯЛ( 17 34) * ®93- ^казание. По аналитическим заданиям преобразо-
задание преобразования А В. 594. Л-1^_% j j >
ванийА и В найти аналитическое
2\
3 I, С-1 не существует, D-1 существует при условии k #= 0 и имеет вид:
О J
в~1\
2
“ 3
1
о\
2 I
kJ
F-1 существует при условии k2 — а2 #= 0 и имеет вид:
< fe
ft2—а2
a
"a2-#
a2—k2
k____
k2—a2'
2
k
О
595. .(A + B)2 == A2 + AB + BA + В2,' (Д + B)3 — A3 + A2B + ABA + AB2 +
+ BA2-f- BAB + B2A + B3. 596. Указание. Выбрав базис, записать матрицы
преобразований А, В, Е и воспользоваться задачей 593. 597. А" и Вп имеют соответ-
ственно матрицы
/1 n\ tcosncp —sinn<p\
\0 l/’\sinn<p cosntfj ‘
599. Указание. Сначала показать, что В = СА. 601. Указание. Восполь-
зоваться задачей 593. 602. Пусть р — ранг преобразования А. а) р = 2, х = 0;
б) р = 0, X — любое преобразование; в) р = 1; в этом случае при с — Ха, d = Kb
преобразование X имеет матрицу др)' гДеа 11Р — произвольные чис-
ла. 603. 1) а), д), и); 2) в), е), ж). 604. а) х'= х— у, у'= I-^Lx-j- -^-У;
б) х' = ^-у, у' =— —<fx+ ~ у; в) х' = ¥^х-±у, у'= ~х+ J^Ly;
г) х = — х, у' = — у. 605. а) х' — х, у' = — у; б) х' = — х, у' — у; в) х' = у,
1 тЛз" 1
У = *; Г) х =—у, у =— х; д) х' = — хЧ-Л__у, у = 1^- х— — у. Указа-
ние. Сначала записать аналитическое задание преобразования Se в общем виде:
х' = аих + а12у, у' = a2ix + аа2у и учесть, что при этом преобразовании е = Se (е)
, „ , , а2—р2 2а6
и —е = Se (е ), где е — вектор, ортогональный е. 606. х = ——— х+ ——— у,
, 2ар р2- а2 И+ “ +
У — . п- У- Указание. Сначала записать аналитическое зада-
а2-|- р2 а2+ Р2
ние преобразования Sa в новом базисе I', J', где I' сонаправлен с а. 607. е{3, —1}.
608. а) х' — Зх, у — — Зу; б) х' — 4у, у' = 4х; в) х^= 24х + 7у, у' == 7х — 24у.
609. а) х' = х — у, у' = х + у; _б) х' = 2х — 2]/3у, у' — 2)Л3* + 2у; в) *' =
= -^-х-Ь -^у, у' — — -~х-Ь у; г) х'= — 2х+2у, у' = —2х —2у.
210
610. а) Преобразование центрально-подобной симметрии kSe , где k = 5, е{2, —Ц;
б) преобразование симметрии Se , где е(1, —1}. 611. а) Преобразование центрально-
подобной симметрии kSe , k — 5, ё{1, 0}; б) преобразование гомотетии Гк, k = 3;
Зя
в) преобразование центрально-подобного вращения kV^, k = у 2, ф = —; г) пре-
образование гомотетии Гк, k= — У2; д) преобразование центрально-подобной сим-
. метрии kSe , k= 5, с(—2, 1}; е) преобразование симметрии 5е , е{1, 3}. Указа-
ние. Для определения вида каждого из преобразований необходимо воспользовать-
ся теоремой 2, стр. 77. 612. а) х' = — 5у, у' — 5х — преобразование центрально-
подобного вращения kV^ , fe = 5, <р = б) х = Зх — у Зу, у — — у 3 х — Зу—
преобразование центрально-подобной симметрии kSe t k = 2)^3^ е{У’зГз — 2уТ};
в) х = 2х — 2у, у' = 2х + 2у — преобразование центрально-подобного вращения
... .— л , 5 12 , 12 , 5
/г=2у2, Ф= —; г) х =— — х — — у, у =—— — у — преобразОва-
ние симметрии Se , е{2, —3}. Указание. См. указание к предыдущей зада-
l+jT
че. 613. а) х' — —х> у == —у — преобразование отражения б) х==Х_х—.
— У* ~х— Xf- У — преобразование симметрии Se , е{^3+2, —1};
л т/"2" 1Л2~
в) х — — у, у = х — преобразование вращения , <р= “; г) х = X— х—^-^-У*
т/’о" 1/"2”
у' — Z—.x-j- г .. у — преобразование вращения Уф, ф = ~ • 614. Преобразование
2 1 1 2
вращения *'= х—у, У'~ у^У- 6*5* Указание. Если p,q и г—
попарно иеколлинеариые собственные векторы данного преобразования с характери-
стическими числами Хх, Х2 и Х3, то сначала показать, что Хх = Х2 = Х3. Далее вос-
пользоваться задачей 577. 616. Решение. Аналитическое задание вращения Уф
в базисе I, J имеет вид:
х' = х cos ф — у sin ф,
у' = х sin ф + у cos ф.
U)
(2)
По определению вращения имеем: <р 0, <р =6 я. Легко видеть, что эти соотношения
выражают формулы преобразования векторов также и в том случае, когда ф = 0
или ф = Я, так как, подставив эти значения в соотношения (1) и (2), получаем: при
Ф = 0, х' = х, у' — у — тождественное преобразование; при ф = я х' = — х, у’ =
= — у — преобразование отражения. Выведем сначала формулы для вычисления
cos (фх + ф2) и sin (фх + ф2). Возьмем единичный вектор р так, чтобы (ip) = фь
и рассмотрим образ р' этого вектора при вращении Уфа: х' — х cos ф2 — у sin ф2,
у' = х sin ф2 + у cos ф2 (3). Так как (lp')=(lp)\-(pp'), то 6= фх + ф2. где 6=
Нор{созфх, sin<px},p'{cosO,sin 6}, поэтому, подставив значения координат
векторов р и р' в соотношения (3), получаем: cos (<рх + ф2) = cos ф2 cos <рх —•
— sin ф2 sin ф1( sin (фх + ф2) = sin <р2 cos <рх cos ф2 sin фх. Так как эти выраже-
ния верны для любых значений фх и ф2, то, положив —ф2 вместо ф2, получаем осталь-
ные формулы. 617. а) Преобразование симметрии Sm, где т получен из е поворотом
Ф
на угол —— ;
б) тождественное преобразование.
618. Если базис выбрать так, что-
бы векторы I и е были сонаправлены, то преобразования Гк5е й Se Гк имеют
одно и то же аналитическое задание: х' — kx, у' — — ky. Это преобразование
2Ц
smse^
606 и
является: а) при k > 0 преобразованием центрально-подобной симметрии kSe ; б) при
fe = —1 преобразованием симметрии Sm относительно вектора т, ортогонального exi
в) при k < 0 и k =f= —1 преобразованием центрально-подобной симметрии | k | Sm,
619. Если базис I, j выбран так, что I и е сонаправлены, то Sm Se и Se Sm имеют ана-
а2— Р2 2ар , 2аВ а2— р2
литические задания: (S„,Se) х = — У = *+ У,
, а2— р2 2ар , 2ар а2— р2
(S«5-)х ^^%+^н2У’у =~^х+^у- Здесь {а--ко-
ординаты вектора т. Эти преобразования совпадают тогда и только тогда, когда
ар = 0. Пусть <р = (е, tri). 1) <р = 0 или <р = л; Sm Se — Se Sm= E\ 2) <p= ~
л ля
или <p =—- ; SmSe = Se Sm =Г_1: 3)<p + 0,<p =л, <p= — , <p+- — ;
= V2(J), SeSm = V_2(p. У казан и e. Воспользоваться ответом задачи
а Р
учесть, что cosq>= р==^-, sin <р = . 620. У к а з а н и е.
моугольном декартовом базисе преобразование АВ имеет матрицу
Icos (<рх + <р2) — sin (<рх + <рг)\
\sin (<pt-j-<р2) cos (<p, + <₽2)J •
Исследовать эту матрицу при различных предположениях задачи. 621. АВ =
преобразование центрально-подобного вращения; АС = kmSe — преобразование
центрально-подобной симметрии, если km + 1, и симметрии, если km = 1; ВС =
=mlSr —преобразование центральио-подобиой симметрии, если Im + 1, или
симметрии, если Im = 1 относительно вектора г, где г получен из е поворотом на
ср 4 2 2 1 ________
угол — . 624. х'= — х + — у, у' — — х + — у; нет. 625. х — х+у х2 + у2,
2 5 5 5 5
у*= у; нет. 626. Области определения и значений совпадают с множеством всех то-
чек плоскости, за исключением точки С:
г2(х — ха)
В пря-
* ~ (X- х0)2+ (у - у0)2 +*0’ У (X- х0)2+ (у - у0)2 + У°-
Указание. Для того чтобы показать, что данное отображение является инверс-
ным, использовать полученные формулы для случая, когда начало координат совпа-
дает с точкой С. 627. Области определения и значений гиперболической инверсии
совпадают со множеством всех точек плоскости, за исключением точек оси 10: х'— х,
k
у =— . 628. Указание. Записать аналитическое задание отображения, взяв
У
общую декартову систему координат Оху так, чтобы ось Ох совпала с прямой /0, а
ось Оу содержала вектор р. 629. Если О — полюс, а гх......г* — радиус-векторы
точек Мх, ..., Mk, то при k = тх + ... + mk все точки плоскости переходят в точ-
т,г. + ... + т^Гь _
ку 7И0 с радиус-вектором R —-------------------. Если тъ .... mk—положитель-
/П1 + ... т^
иые числа, то Ме есть центр тяжести материальных точек Мх, .... в которых со-
средоточены массы тх, ..., mk (см. задачу 52). Указание. Выбрав произволь-,
ную систему координат, записать аналитическое задание отображения. 630. а), в) и
д). 631. а) О'(1,0), М\(—3, 5), М'(14, —18), Л4з(8, —14), а[{—8,3}, а'2{2, 8},
а'{7, 14}, <{—2, —1}; б) Мх(1, 3), М2(1, 1), М3 (-2, 3), Мх (0, -1), аг{ 1, 0},
а2{0, 1}, я3{1,—2}, «.{—3,2}. 632. а) 1) 2х — у — 7 = 0; 2) х + Зу + 7 = 0;
3) х —4у_ 16=0; 4) у + 1 = 0; б) 1) 2х+у — 3= 0; 2) х — Зу + 2 = 0;
3) 22х — Зу — 33=0; 4) х+ Ну— 13= 0. 633. х' = х + 1 • у'= 4 — 2.
а) О'(1, —2); б) е\ {1, 0}, е2 {0, 1}; в) Ось Ох переходит в прямую у = —2, а ось Оу—
212
1. 634. х' = kx + хв (1 — А), у' = Ау + у0 (1 — А). а) О1(х0(1— А),
I — А), а ось
*' =у — 5,
у' = х;
U =х — 4у + 1,
:у' =—2х + 3;
— ’ 640. а) Единственное на-
у --Л
собственных направлений; в) любое направление
в прямую X = 1.
у0(1 — A)), {k, 0}, е2 {0, k}; б) ось Ох переходит в прямую у — у0(1
Оу — в прямую х = ха (1 — А). 635. а)
в) &23х + 4уГ 1,636- а>
<=3х + 4у, 638 ' 1
У = х + у. I
б) иет
х
У
х=2х— у+1, „ (
= Зх + 5у+5; °' j .
‘1’ 6) { /ZL®37- 4
640.
х' — 2х—
у' = х~ Зу;
У =
у' =
а)х'="2
+ 7у +
' \У
б) {
правление {1, б};
является собственным; г) два направления: {1, 1} и {2, —1}. 641. а) (1, 1);
б) прямая неподвижных точек 2х — Зу + 1 = 0; в) нет неподвижных точек.
642. а) Единственная неподвижная точка (б, 0); инвариантных прямых нет; б) ось
Ох состоит из неподвижных точек; всякая прямая, параллельная ей, является ин-
вариантной прямой; других инвариантных прямых нет; в) неподвижных точек нет;
имеется единственная инвариантная прямая х — у — 1 = 0. 643. х' — 10х + 12у 4“
-J- 3, у = 6х + 9у + 2. 644. Косая симметрия (см. задачу 628). Неподвижными точ-
ками будут все Трчки прямой СМ, где М — середина АВ. Инвариантными прямыми
являются все прямые пучка параллельных прямых, определяемого вектором АВ.
645. а) Неподвижной точкой является точка пересечения медиан треугольника АВС.
б) Указание. Записать координатное задание преобразования П в системе Аеге2,
где = АВ, е2 — АС (ср. с задачей 638). 646. Указание. Показать, что если
преобразование ие имеет неподвижных точек, то Л.о = 1 является корнем характери-
стического уравнения. 647. х' = ах1х + а,2у + а13, у' = у, ап + 0. 648. х = ах,
У — by, где а + 1, Ь^=1, аЬ-^0. Начало координат является единственной неподвиж-
ной точкой. 649. Указание. Воспользоваться задачей 582. 650. Указание.
Воспользоваться предыдущей задачей. 651. У Казани е. Аффинное преобразова-
ние х'= Ахх + £?1У -j- С1( у'= А%х + В2У + С2 прямые (AlgMj) и (М2МЛ) пере-
водит соответственно в оси Ох и Оу. Пользуясь задачей 639, найти уравнение образа
прямой МгМ2. Далее воспользоваться задачами 523 и 649. 652. а) х' = х — 3, у' =
= у + 5; б) х' = х + 1, у' = у + 7; в) х' = х— 1, у' = у + 4; г) х' = х,
у — 6. 653. а) х' — — х + 2, у' — — у + 6; б) х' = — х — 4,
- у + 10; в) х' = — х — 4, у' = — у; г) х = — х, у' = — У + 6. 654.
KL * у,/==±х+ V*у.б) 1WT /=_Г1х+
2 2 2 2 2 3 ° } °
— — У + 1. у' = х — 3. 655.
, 7 24 , 12
в) х — — X — — у ,
’ 25 257 5
, 270 , 120 119
+ —. V — — х — — у — —.
169 у 169 169у 169
2 2
а) х' = у, у' != х ; б) х —
, 24 7 16
У =-^Х~25У + Т'
648
У казанн е.
Сначала найти матрицу ассоциированного преобразования, воспользовавшись зада-
чей 606. Далее использовать теорему 1, стр. 86. 656. а) х' — — — х 4-у 4—-,
5 5 5
, 3 4 13
у у-т '•
5_£1
2
в) х‘
2
— У — 4, у' = х + 4;
, 119 , 120
г) Тй'+.й’
,._.ч ___ . , 3.4
>, ----------------—., ~.г. — „„„. „ 5 - , 5
, 4 । 3 . 22 - 4 , 3 , 21 • 3 4
у=— х+—у + —; б) X =— * + --у + —, у , „ _
555 555 55
• ’ g
в) х' = —• х — 7, у'~ у + 3. 657. а) х'— Зх + 4, у'= Зу — 2; б) х'~ — х— У>
ц W 5
у = - - х+ — у; в) х = — 2х + 6, у' — 2у — 1. 658. х' — —х + 2х0,
, , , В2—А2 2АВ 2АС , 2АВ
у =— у + 2уп. 659. х —--------- х —--------у —-------, V =—--------- х —
J > г >0 А24-В2 А2+В2 у АгА-Вг у А24-В2
В2—А2 2ВС
— Д24в2 У— А24д° ’У15333 11 11 6, Первый способ. Если точка Л1(х, у)
X —
213
переходит в точку М'(х’, у'), то отрезок ММ' перпендикулярен данной прямой и
середина этого отрезка дежит иа этой прямой. Эти два условия аналитически запи-
шутся так: —В (х' — х) + А (у' — у) = 0, (г + х') А т (У + у')В + 2С = 0, От-
сюда выразить х, у' через х, у. В т о р о й способ. Воспользоваться реэульта-
Р2 /12 оод 9ДГ.’ 9ДЯ
том задачи 606. 660. х = *— Л2+В2у~~ А2+В2 ~ ВК' У =~А2+В^Х~
В2—А2 2ВС , „
— -------у——----А к. Указание. Сначала записать аналитическое зада-
Л2+В2 Л2+В2
ине осевой симметрии с осью Ах + By + С = 0 (см. задачу 659). 661. 1) г), е);
2) а), д). 662. а) Вращение; б) осевая симметрия относительной прямой х + 3 — 0;
в) центральная симметрия с центром в точке
г) скользящая симметрия.
л
663. а) Центрально-подобное вращение на уголф= — с центром в начале координат и
коэффициентом k = 5; б) гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом
k = 3; в) центрально-подобное вращение с центром в начале координат на угол <р =
л
= — и коэффициентом k = 3; г) центрально-подобная Симметрия относительно оси
6
Ох с центром в начале координат и коэффициентом k = 2; д) центрально-подобная
симметрия относительно осиу= — с центром в точке ^1, — j и коэффициентом k=5;
л
е) центрально-подобное вращение на угол ф — — с центром (—1, —2) и коэффициен-
том k — 3. 664. х '= х cos <р + у sin ф, у'=х sin ф—у cos ф. Да; осевая симметрия
относительно прямой х sin — —у cos ^-= 0. 665. У Казани е. Выбрав систему
координат, записать аналитические задания преобразований. Заметим, что при +
+ т2 + ... + тк = 0 условие тг0Мх + ... + /пк0Мк = 0 (или /«jOAlj + ... +
+ тк0Мк Ф 0) не зависит от выбора точки О. 666. Указание. Предваритель-
но доказать, что преобразование векторов П, ассоциированное с данным точечным
преобразованием, является отражением Г_х. Для этого достаточно показать, что
П(р) = — Р> И (?) = — ?• где р = АВ, a q = АС. Далее воспользоваться теоре-
мой 2, стр. 86. 667. Указание. Если П '—. преобразование, ассоциирован-
ное с данным, то А 1В1= П (АВ), В^С^ = П (ВС), CtAx = П (АС). Отсюда,
учитывая теорему о средней линии треугольника, приходим к выводу, что векторы
АВ, ВС, АС являются собственными векторами преобразования. Далее следует вос-
пользоваться задачей 615 и теоремой 2; стр. 86. 668. Центральная симметрия.
Решение. Пусть Пь Па, -П3, П4 и Пв — центральные симметрии с центрами
соответственн£ в точках_ Alt _Л2, А3, А* и А6^_ Очевидно,_П = njljyiyij.
Так_ как_ Пх = Г_х, _Па == Г.х, П3 = Г_1? П4 = F_lt П6 = Г_х, то П =
= Г-! Г_1Г_1Г_1Г_1 = Г-j. Из теоремы 2, стр. 86, следует, что П — центральная
симметрия. Для определения центра симметрии достаточно найти, например, образ
А'х вершины Ах. Середина отрезка АгАх будет искомым центром. 669. Указание,
Рассмотреть векторное преобразование, ассоциированное с данным точечным преоб-
разованием, и применить к нему результат задачи 615. 670. Пусть О — полюс, а гх,
г2 и 7? — радиус-векторы точек Elt Е3 и С, где С — центр гомотетии. Тогда R =
г2 — kr, „ =:
= --------. 671. Решение, а) Пусть П — искомое вращение, а 11— ассоции-
1 —k _ _
рованное векторное преобразование. Из условий задачи следует, что П — ,
Согласно теореме 1, стр. 86, П определяется однозначно. Если /Ио и Л40 совпадают,
214
то оии определяют центр. Если же Мо и Л40 не совпадают, то для построения центра
необходимо построить множество точек, для каждой из которых отношение расстоя-
ний до точек Л1о и Мо равно единице, и другое множество точек, из которых отрезок
МВМО виден под данным углом (рнс. 55, а). Одна из двух точек пересечения Ло и
Ви является искомой. Ее выбор определяется заданием направления угла <р. На ри-
сунке 55,а точка Ао является искомой, так как в этом случае ориентация угла М0Л0/И0
совпадает с положительным направлением ориентированной плоскости; б) задача
решается аналогично предыдущей. Построение центра показано на рисунке 55, б.
Здесь в соответствии с условиями задачи прямая I заменена окружностью (о
(см. задачу 327). 672. Указание. Воспользоваться теоремой 1, стр. 86. П о с т р о е-
ниеоси и центра. Если7И0 и Л10 совпадают, то они определяют центр преобра-
зования; прямая, проходящая через эту точку и содержащая вектор р, —ось преобра-
зования. Если Мо и /Ио не совпадают, то для построения центра необходимо по-
строить множество точек ю, для каждой из которых отношение расстояний до точек
/Ио и Мв равно k (см. задачу 327). Пусть А — точка пересечения окружности ш
с отрезком Л4ОЛ4О (рис. 56), тогда осью I будет прямая, проходящая через точку А
и содержащая вектор р, а центром О — другая точка пересечения окружности о>
с прямой I. Заметим, что это построение по существу пригодно также и в том случае,
когда векторы М0М0 и /> коллинеарны. Здесь осью I будет прямая М0Л10. 673. Р е-
шен и_е. Если Пг и П2 — векторные преобразования, ассоциированные с ГД и
Па, то ГД = Se , П2 = Sm, где е и tn — векторы прямых и /2. Отсюда следует,
что П = SmSe — У2<р, если <р + и П = Sm Se — r_lt если <р = — (см. ре-
шение задачи 619). Учитывая, что О — неподвижная точка преобразования П, и.
принимая во внимание теорему 2, стр. 86, получаем искомый результат. 674. Вектор
а параллельного переноса ортогонален данным прямым, направлен от прямой lt
к прямой Ди | «I = 2d, где d — расстояние между данными осями. 675. Указа-
ние. Пусть П = П3ПаГД. Легко видеть, что П = Е, где Е — тождественное пре-
образование векторов. Из теоремы 2, стр. 86, следует, что П есть тождественное
преобразование или параллельный перенос. Далее следует рассмотреть каждый
случай в отдельности, а) Легко видеть, что П(Д2)= Д2, поэтому П является тож-
дественным преобразованием; б) так как треугольник BiB2Ba согласно условиям
задачи имеет положительную ориентацию, то П (7Д)=Д Въ поэтому II в данном слу-
чае есть параллельный перенос. Можно показать, что вектор параллельного переноса
—> —> ав
равен 3/Дб3. 676. Центр 6Д гомотетии П21Д определяется условием ОСГ — ——-
* 1 ——• д>
а центр С2 гомотетии ГДГД — условием ОС2 = . Нет. Указание.
1 — л
Задача решается так же, как и задача 673. Для определения центров преобразований
воспользоваться результатом задачи 670. 677. а) Вращение на угол <р; б) центрально-
подобное вращение с углом поворота <р и коэффициентом krk2. У Казани е. Зада-
ча решается так же, как и задача 673. Воспользоваться результатом задачи 621. Для
определения центров преобразований сначала найти образ точки Ot, а затем восполь-
зоваться задачей 671. 678. а) Возможны три случая: 1) Ох и О2 совпадают — симмет-
рия относительно прямой I; 2) Ог и Оа различны и лежат на перпендикуляре к I —•
симметрия относительно прямой I', параллельной I и проходящей через середину
отрезка (ДО,, где (Д — образ точки О±; 3) прямая Ох О2 не перпендикулярна / —
скользящая симметрия, ось V которой параллельна I и проходит через середину от-
резка О1О|, где О( — образ точки Ог. Вектором параллельного перенесения являет-
ся составляющая вектора О1О1 по оси /; б) центрально-подобная симметрия. Для
определения оси и центра необходимо найти образ О1 точки Ох и воспользоваться
215
Рис. 55
задачей 672. Указание. Задача ре-
шается так же, как и задача 673. Вос-
пользоваться результатом задачи 621. 679.
а) Если Oj и О2 совпадают, то искомое пре-
образование есть симметрия, ось которой
получена из I поворотом вокруг точки О
на угол —. Если Ot и О2 не совпадают,
то П2 П1 есть симметрия или скользящая
симметрия, ось Которой проходит через се-
редину отрезка ОХО) и составляет с I угол
Ф <
—; здесь О, образ точки Ot. б) Цент-
рально-подобная симметрия, ось которой
Ф
составляет с I угол—. Для определения оси и центра необходимо найти образ точки
О, и воспользоваться задачей 672. У Казани е. Задача решается так же, как и за-
дача 673, при этом необходимо воспользоваться результатом задачи 621. 680.
а) х' = 7х — 2у+ 2, у' — Зх + 1; первого рода; б) х' = — Зх — у — 3, у'= 16х +
+ 5у + 12; второго рода; в) х' = 2х + 5, у' = 2х + у + 10; первого рода; г) х'=
= х — у + 1, у' = У; второго рода: 681. б) и в) — первого рода; а) и г) — второго
рода. 682. х' = (ЛХ + 1)х+ ВХу + сХ, у' = A\ix + (Вр + 1) у + Ср. Здесь X и
р— произвольные параметры, удовлетворяющие условию ЛХ+Вр+1^=0.
683. х' = х + а12у, у' = а22у, где а22 ± 0 и при а22 = 1, а12 =7= 0. а) а22 =7= 1;
------------------------------------- —►
б) с22 = 1, о12 0; в) а22 = —1. 684. А^ = Л2В2. Указание. Записать ко-
ординатное задание преобразования в общем декартовом базисе Ое1е2,где е1=Л1В,.
685. Параллельный перенос или перспективно-аффинное преобразование. Указа-
ние. Не нарушая общности, можно считать, что Л, Л', В не коллинеарны. Если
систему координат выбрать так, чтобы начало совпало с точкой А, е1= ЛЛ', е2 =
= АВ, то отсюда и из условия задачи следует; Л (0, 0), В (0, 1), С (Ьг с), А'(1, 6),
В'(а, 1), С'(Ь2 , с), где a, bY, Ь2, с —- произвольные параметры и Ь} 0. В выбран-
ной системе координат данное преобразование имеет следующее координатное зада-
, ^ + (1 —с)с —1
ние: х = -------;--------х-Ца—1)у + 1, у = у. Определяя неподвижные точки,
216
установить тип преобразования. 687. а) 2х — о12у — хв = 0; б) у = 0. 689. Указа-
ние. Записать координатное задание преобразования и воспользоваться задачей
687. Систему координат удобнее взять так, чтобы в этой системе О (0, 0), Дх (О, 1),
Вх (1, 1). 699. Решение. Пользуясь результатом задачи 683, запишем координат-
ное задание преобразования, приняв координатную ось Ох за ось преобразования:
х' = х + а12у, у' = а22у. Так как оно инверсное, то х — х'+ с12у, у— а22у'.
Отсюда получаем: (а12 + с12о22)у =0, (1 — у = 0. Эти соотношения имеют
место для любого у, поэтому о12 (1 + о22) =01 — = 0. Отсюда следует, что
1 + а22 = 0, так как в противном случае о12 = 0, с22 = 1, что означает, что преобра-
зование является тождественным. Таким образом, с22 = —1, поэтому данное преоб-
разование является косой симметрией (см. задачу 687, б). 691. Решение. Пусть
соотношения х'= аих + о12у + хв, у'= о21х + с22у + Уо (0 являются координат-
ным заданием инверсного аффинного преобразования. Тогда х — а^х' + о12у'+
+ х0, у = + «ггУ'Н- Уо- Подставив сюда значения х', и у' из (1), получим со-
отношения, которые выполняются при любых х и у. Отсюда следует, что имеют ме-
сто следующие условия:
(а,1 + 1)^ + а12у0 = 0,
«21*0 + («22 + 1)Уо = °;
«ц «12«21 =1, 012 («11 ~Ь «22) “ 0,
«22 -|- О12о2, = 1; o2i (оц о22) = 0.
Эти ограничения, накладываемые на коэффициенты преобразования (1), необходимы
и достаточны для того, чтобы оно было инверсным. Возможны два случая:
1) «11 + «22 = 0- Если Оц = а, то о22 =—а, поэтому соотношения (1) принимают
вид: х' = ах + а12у + х0, у' — о21х — ау -Ь у0. Здесь а — произвольное число, a
«12> «21» *о> Уо удовлетворяют условиям я12 o2i = 1—«2, (а + 1)х0 + Oi2y0= О,
«гЛ + (1 — а) ув = 0. 2) оц + о22 0. Из предыдущих условий получаем:
«12 = «21= 0» «н = L «22“ т- е- «ц = ± 1 и о22 = ± 1. Так как + а22=/= 0,
то возможны два подслучая: ап = а22 = 1 и аи = а22 — —1- В первом случае
х0 =Уо == 0 и соотношения (1) принимают вид: к' — х, у' = у. Во втором случае
имеем: х' = — х + хв, у' = — у + у0. 692. аи + о22 = 0, Оц + «i2c21 = 1,
(«11 + 1)-*Ь + «12У0 = 0, с21*0 + («22 + 1)Уо = 0. Указание. См. решение за-
дачи 691 и задачу 690. 693. Указание. Инвррсное аффинное преобразование
имеет по крайней мере одну неподвижную точку, так как, если М' — образ точки М,
то середина отрезка ММ' переходит сама в себя. Взяв эту точку за начало коорди-
нат, записать аналитическое задание преобразования, пользуясь результатом задачи
691; исследовать все возможные случаи, при этом воспользоваться задачей 690.
694. Воспользоваться задачами 693 и 583. 695. Данные преобразования есть произве-
дение перспективно-аффинных преобразований: х' = у' — у и х' = х, у' = Х2у.
696. Воспользоваться результатами задачи 683. 697. У Казани е. Пусть при дан-
ном аффинном преобразовании П вершины треугольника АВС переходят соответст-
венно в вершины треугольника А' В'С'. Рассмотреть преобразование подобия П,,
которое точки А, В, С переводит соответственно в точки Д', В', Си и перспективно-
аффинное преобразование П2 с осью А'В', при котором точка Q переходит в С.
Далее показать, что П — П2 Щ. 698. Пусть I — ось перспективно-аффинного
преобразования, отличного от осевой симметрии, а А и Д' — пара соответственных
точек. Возможны два случая: а) прямые I и АА' перпендикулярны. В этом случае
направления векторов а и b однозначно определяются этими прямыми; б) прямые I и
АА' не перпендикулярны. В этом случае направления векторов а и b однозначно
определяются прямыми АМ1 н ДМ2, где Мг М2 — диаметр окружности с центром
на прямой I, проходящей через точки А н Д'. Для осевой симметрии любая пара вза-
имноперпендикулярных направлений является парой главных направлений.
699. Для преобразования подобия любая пара взаимно перпендикулярных направле-
ний является парой главных направлений. Указание. Использовать задачу 697.
, г2х , г2у , , , / 3 1 \ . / 2 1 \
70°- *= у = хч?: <°-4)’ (й • Ч" 5 - у)*
az
Указание. Если М' (х'у') есть образ
Mg(0,2), ^(2,2),
точки М (х, у), то по определению инверсии имеем: ОМ' — X ОМ, или х' = Хх,
у' = Ху и ОМ ОМ' — г2. Умножая первое из этих соотношений скалярно на ОМ и
используя последнее соотношение, определить X (ср. с задачей 626). 701. х' =
4x4-4 , , 4у—12 , /
У = (';+1)2+{у _3)2 +3 <с₽- с задачей 626). М, I-
' 9_ 23\ ' -
5’ 5/ “........- “
9
2
5’5/’
Г Г
— I, Л15(—3, 5), Ms(—1,5). 703. Решение. Пусть в
(х4-1)24-(у-3)2
Af'(—1, 2),И^,з], М.
\ о / . V V ,
прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с центром ин-
версии, прямая I имеет уравнение4х4-Ву+С=0. Используя координатное задание ин-
(X* \
“7г—) +
\ Af* Вг*
75 ]4-С=0 или х'24-у'24-—- х'+ —-у' = 0. Получили уравнение окруж-
’ / „ С С J Лг2 _В£\
\ 2С ’ 2С /’
4
: Аг2
с " ‘ с
как легко видеть, является нормальным вектором
/ у'г2
+J . , ...
иости, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке Р(----,
•_>( Sr2) k 2С
Вектор ОР
прямой I. Отсюда следует, что прямая I перпендикулярна к прямой ОР и образом
точки Н является точка Н' (см. рис. 57). 704. а) Пусть М лежит вне окружности ин-
версии <о. Провести через М касательную к окружности <о и через точку касания
провести перпендикуляр h к ОМ. Точка М' пересечения прямых h и ОМ есть образ
точки М (см. рис. 58, та). Если М лежит внутри окружности инверсии, то построе-
ние выполняется в обратном порядке (см. рис. 58, б); б) построить проекцию Н точ-
ки О иа прямую I и найти образ Н' точки Н (см. выше, п. а). Окружность Q, построен-
ная на отрезке ОН', как на диаметре, является образом прямой I. На рисунках 59,
а, б, в дано построение образа прямой I при различных случаях взаимного располо-
2 4
жения I и со. 705. а) Прямая 2х— 5у = 0; б) окружность х2-Т у2---------х----у=
3 3
= 0; в) окружность х2 + у2 + 6х = 0; г) окружность х2 + у2 — 4х + бу = 0.
706. а)Две окружности, имеющие общую касательную в точке О, параллельную данным
прямым; б) пучок окружностей, попарно касающихся друг друга в точке О, и пря-
мая I. Все окружности пучка касаются прямой I, которая принадлежит данному пучку
параллельных прямых; в) пучок пересекающихся прямых с центром в точке О; г) пу-
чок окружностей, проходящих через точки О и М', и прямая ОМ'. Здесь М' есть
образ точки М при данной инверсии. 707. Фигура, состоящая из двух лучей и Яа,
исходящих соответственно из точек Р и О, и дуги k — образа луча k (см. рис. 60).
710. Указание. Воспользоваться задачами 709 и 704. 711. а) Окружность х2 4-
4
+ У2 = ~ ; б) прямая Зх — 2=0; в) окружность 2х2 + 2у2 — х + Зу + 1 = 0.
О
712. а) х3 = у2 — х j; б) (х2 + у2)2 = — (х2-— у2); в) — (х2'-|- у2) = (х2 4- у2 4-
\^р / ар
1
— 4-х
1 \2 2а
4----х); г) у2=х2-----------. 713. Указание. Воспользоваться задачей
Р I 1
— —х
•I 2а
341. 714. У к а з а н и е. Использовать преобразование инверсии с центром в точке
. г2 . - /1 л \ ,
Р. 715. Р = — <₽' = ф; Л4, - , - , М2
р \ ~ /
г2
716. а) р=—cosq> — окружность, проходящая через полюс, центр которой ле-
fl
, / 1 л \
2( 2 ’ 3/’
Рис. 57
жит на полярной оси; б) р= — sin <р—
b
окружность, касающаяся полярной
I4
оси в центре инверсии; в) р2 = — —•
окружность; эта окружность, ее про-
образ и окружность инверсии являют-
г2
ся концентрическими. 717. р= — —
er2 Р
— -—cos <р, Указали е. Использовать
Р
ответ задачи 715. 718. Указание.
Записать уравнение параболы в
канонической системе координат и воспользоваться задачами 712, а) и 350,
719. Указание. Записать каноническое уравнение равнобочной гиперболы
и воспользоваться задачами 712, б) и 351. 720. Указание. Пользуясь задачей
305, записать уравнение гиперболы в прямоугольной декартовой системе координат,
Рис. 59
изображенной на рисунке 35. Далее воспользоваться задачами 712, г) и 349.
721. Указание. Воспользоваться задачами 717 и 347, а). 722. Указание. Вос-
пользоваться задачами 717 н 347, а). 723. Указание. Воспользоваться задачами
- - / 4 \ , , / 4 \ , [ 2\
717, 344, а). 724. М, (1, —2), М2 3, — , М3(—2, 1), М4 3, — — , М5 — 1,-.
\ 5/ \ 7 / \ 3/
725. а) ху = —; б) Зху — 5у — 6 = 0; в) х2у*— 9у2+ 9 = 0; г) 2ху2— 9 = 0. 726.
а) Прямая, совпадающая с данной; б) прямая, параллельная оси инверсии и отстоя-
fe
щая от нее на расстоянии — . 727. Равнобочная гипербола, для которой прямые и
а
10 являются асимптотами (рис. 61). Здесь Zo — перпендикуляр к прямой 1$, восста-
новлеиный в точке О пересечения данной прямой и прямой 1и. У к а з а н и е. Пока-
зать, что если за оси координат принять прямые ?0 и 10, то уравнение гиперболы в
k
этой системе имеет вид: ху =—(см. решение задачи 309). 728. Указание.
Рассмотреть гомотетию с центром в точке О. 729. У к а з а н и е. Задача решается
аналогично задаче 413. 730. Пусть рг и р2 — расстояния от точек 4 и В до прямой I.
Если Pt =А р2, то существует единственная точка Л1(!, удовлетворяющая условиям
задачи; если pt — р2, то такой точки не существует. 731. Если и Л12 симметричны
точке М относительно сторон угла, то Но и Ко являются точками пересечений лучей
hake прямой MLM2. 732. Указание. Рассмотреть центральную симметрию
с центром в точке Л40. 733. У казани е. Рассмотреть центральную симметрию с
центром в точке Р. 734. Указание. Рассмотреть образ прямой I при симметрии
с центром в точке А. 735. Указание. Рассмотреть центральную симметрию с
центром в точке О. 736. Указание. Пусть две различные точки А и В являютси
центрами симметрии данной фигуры. Рассмотреть центральные симметрии lit и П2
с центрами в точках Либи, пользуясь теоремой 2, стр. 86, доказать, что П = П2Т11
есть параллельный перенос на вектор 2Л6. Затем, взяв произвольную точку М цап-
кой фигуры, показать, что ЛГ= ПК(Л4) при любом натуральном k также принадле-
жит фигуре. 737. У Казани е. Воспользоваться задачей 668. 738. Указание.
Доказательство провести от противного. Рассмотреть симметрию относительно цент-
ра параллелограмма A1BlClDl и применить утверждение задачи 736 к параллело-
грамму ABCD. 739. У Казани е. Рассмотреть вращение вокруг центра окружно-
сти на. угол 120°. 740. Указание. Рассмотреть гомотетию с центром в точке С и
коэффициентом k = 2. 741. Указание. Рассмотреть движение П, при котором
точки А, В и С переходят соответственно в точки Д', б', С. Далее использовать тео-
рему о классификации движений, учитывая при этом, -что П не меняет ориентацию
плоскости. Для построения неподвижной точки рассмотреть перпендикуляры, вос-
ставленные в серединах отрезков АА' и бб'. 742. Указание, а) При централь-
ной гомотетии высоты треугольника переходят в перпендикуляры, восставленные в
серединах соответствующих сторон. 743. Указание. Рассмотреть гомотетию с
центром в точке М и коэффициентом k = 2. 744. Указание. При центральной
гомотетии Го треугольника АВС (задача 667) окружность й, описанная вокруг тре-
угольника АВС, преобразуется в окружность й', проходящую, очевидно, через сере-
дины сторон треугольника АВС (см. рис. 62). Для того чтобы показать, что окруж-
ности й' принадлежат середины отрезков НА, НВ и НС, следует, пользуясь задачей
742, б), показать, что центром окружности й' является середина отрезка НО, где О—
центр окружности й, и затем рассмотреть гомотетию Г с центром в точке Н и коэф-
фициентом k — —, Наконец, для того чтобы доказать, что основания высот лежат
иа окружности Й', следует показать, что середина высоты, проведенной из некоторой
220
Рис. 62
вершины треугольника АВС, и середина стороны, противоположной этой вершине,
являются диаметрально противоположными точками окружности £2' (например, для
вершины В точки В' и В" на рис. 62). Для этого рассмотреть образы касательных
к окружности Q в вершинах треугольника АВС при преобразованиях Го и Г.
745. Указание. Рассмотреть центральную гомотетию треугольника АВС и,
пользуясь задачей 744, показать, что при этой гомотетии точка Q переходит в точ-
ку Р. 746. Указание. Воспользоваться задачей 675. 747. Указание. Рас-
смотреть вращение на угол 60° с центром в точке В. 748. У казаки е. Восполь-
зоваться задачей 666. 749. Указание. Рассмотреть аффинное преобразование,
при котором точки А, В и С переходят соответственно в точки В, С и А. Доказатель-
ство провести от противного, используя утверждение б) задачи 645. 750. Реше-
ние. Дли решения задачи достаточно показать, что р = AAt + ВВг + ССг — 0.
Пусть П — аффинное преобразование, при котором А, В и С переходят соответст-
венно в точки В, С и А. При этом, очевидно, Alt Вг и Сх переходят соответственно в
точки В1( С± и Лг. Если П — векторное преобразование, ассоциированное с П, то
П(ЛЛ1) = ВВХ, п (ВВ,) = С?ъ П (СС1) = AAt. Поэтому П(/М, 4- ВВГ + С^)=
= ААу + BBj 4- CCt или П(р) = р. Из результата задачи 645 следует, что П
не имеет инвариантных направлений, поэтому предыдущее соотношение может иметь
место только при условии, р = 0. 751. Указание. Рассмотреть аффинное пре-
образование П, при котором точки Л, В и С переходят соответственно в точки А',
В' и С. Показать, что ассоциированное преобразование П имеет по крайней мере
три собственных направления, и воспользоваться задачей 615. 752. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 685. 753. Указание. Пусть средняя линия MtM2,
соединяющая середины сторон АВ и CD, проходит через Р. Первый способ.
Рассмотреть центральную симметрию с центром в точке Р. При этом, очевидно, точ-
ка Mi переходит в точку Л42, а прямые РВ и РА переходят сами в себя. Используя,
далее, задачу 732, показать, что прямая АВ переходит в прямую CD. Второй
способ. Рассмотреть аффинное преобразование, при котором точки Р, А, В пере-
221
ходят соответственно в точфи Р, С, D. Пользуясь задачей 615, показать, что это пре-
образование является центральной симметрией. 754. У Казани е. Если точка
пересечения О диагоналей лежит на Л^Л^, то точки Р, QhO совпадают и задача сво-
дится к задаче 753. Если О не лежит на прямой Л4гЛ42, то рассмотреть аффинное пре-
образование, при котором точки О, Mlt Р переходят соответственно в точки О, М2, Q.
Далее воспользоваться задачей 689 и инверсным свойством.косой симметрии. Исполь-
зуя задачу 732, показать, что при этом преобразовании сторона АВ переходит в сто-
х2 у2
рону CD, так как М2 — середина отрезка CD. 755. — -ф — = 1.
25 9
х2 у2
36 + 27 = b 757‘
756. МГ2 = 5;
х2 у2
— i- — ь
102 62 '
(—2, 2/6), m2 (—2, —2/6),
у2 д-2 у2 _
б> gr = 1; в) з7+ 2о = L 758’ а) «=3- 6==2;°).f2 (/5> °);
б) а = 12, 6 = 2; Fx (—2/35, 0), F2 (2/35, 0); в) а = 3, 6 = 1; Ft (—2^2, 0),
F2 (2/2? 0); г) а =
4
1 1 / 4 . , .
— , 6 = —: F. — —, 0l , ф, — , 0 .
3 ’ 5 \ 15 / 415’ /
7Иг(2<-/3);б)Л41(з,15-), Л42(з, в) Л1Л,М, 2
762.
/а2
\3с ’
х2
10
х2
16
759. а) Мг (2, / 3),
-ЕЩ. 761.—.
2 ) а
b г____\
— /9с2 —а2 ,
.... Зс г /
А ______ \ V2 Г2 V2 У2 V2
-А/Эс2-^) • 764‘ а) + 1;б) + = 1=а) 7Г + Т =
У3 . .
15
F2Mt = Р2М2 =-----------. 763. а) (0,6), (0, —6); б) I—,
а \3с
Зс '
У2 _ .
7 1:
у2
I- У?= 1;
X2 у2
767. а) -+^-=1;б)
X2 у2
-+^- = 1. 769. а)
16 4
г)
в)
д)
г)
' 36 1 9
х2 у2
~ + ~ =1. 765. а)
64
X2
15
' ' 9 ‘ 6
8х2 15у2
б) 143 + 143 ~ ’
х + 15 = 0, d= 30.
х2 у2
г> S + 7’1"
' 50 1 25
X2 у2
у+т = 1;
х — 15 = 0,
X2 у2
30 + 15 “
48
у2
^ТГ1’
х2 у2
з7+Ь=1: в) „ „ .. .
Эллипсу принадлежат точки М3, ЛД; б) внутри эллипса
766.
1;
3
лежат точки М2, Mt, Л18, Л41о; в) вне эллипса лежат точки Afx, Ме, Мъ М9.
771. 4. 772. Ф1Л11 = 4, £Д=8, Т/И2 = ^, F2M2=^. 773. а =
•--— 3 13 1—в2
те те?
6 ~ > с= 7--«• 774. Указание. Воспользовавшись предыдущей зада-
/1—е2 1—е2
чей,найти а и Ь. 775. — , — . 776. /5х-ф 10у—25 = 0. 777. J+XT х+ К7—1 у=
_ — 4 4 -— - -г—* 20 16
“ -й?!—"х+ У=1- Указание. Пусть Л40(х0, у0) — точка касания.
20 16
Касательная
вия задачи
у УоУ
к эллипсу в точке (х0, у0) имеет уравнение ~ + — = L
25 16
2 2
*о Уо , Ю-Гр 8у0
следует, что ^--ф —= 1 и -77-— — = 1. Решив
20 1b 20 16
Из усло-
совместно
эту систему, определить координаты точки касания. 778. х + у — 5=0,
х + у + 5= 0. J79... 4х — 9у — 13 = 0. 780. а = 2/2ГТ= /б, 2с = 2/2?
781. а) +-7 == 1; б) — + у2= 1. 782. а) р = -О. —, б) р= т— .
' 16 3 4 2—/2соз<р 5—4cos<p
783. Окружность х2 + у2= а2+ 62. 784. Решение. Пусть эллипс задан урав-
222
j^2
нением — 4- — = 1. Фокусы Ег и Fa этого эллипса имеют координаты / (с, 0)
а2 Ь2
и F2 (—с, 0), где с — У а2 — Ь2. Возьмем произвольную точку Мв (хв, у,,) данного
ххо , УУо ,
эллипса и запишем уравнение касательной к этой точке: — + ~ = 1, или
~ а2 Ь2
ххв б2 + уу(|а2— а2Ь2= 0 (1). Расстояния этой касательной до фокусов / и / опре-
|хос62— а2^! Ixoc^+o2^! п
деляются соотношениями рх= ; р2— 1 ,—„• • • = . Отсюда
| x0 cb2— a2b2 |
PiPs=
Ixgcb2 — а2^! • |х0cb2 + d№ \x%cb —ab | *о , Уо
----------------------------------------------. Учитывая, что — + 7Г =
а2 Ь2
Хоь"+Уо^ | хо bi+ Уо °* |
= 1, получаем: у^ а2 —а2Ь2—х^б2. Подставив это значение в предыдущее соотноше-
| $ — с’б4] | х20 сЮ— |
| а^Ь2 — х^ tEc2 |
х2
точка эллипса — + — —
а2 Ь2
1. Очевидно, вектор
перпендикулярен касательной. Нам необходимо доказать, что
ние,
786.
= 1.
[*о
[о2
будем иметь: ргр2:
| Xq b“ + М2— х% 62«2|
Решение. Пусть М0(х0, у0) — произвольная
а2 *'
= b2.
у2
Ь2
Касательная в точке Мд имеет уравнение ~ +
Уо"
’ б2
и
вектор п направлен вдоль биссектрисы угла ргМвР2. Другими словами, необходимо
/м
доказать, что p || n.
F2Mg {Хо + С, у0},
/ч
FlMg
„ /Мо
Хд —0
F 2Мд
Уо ]
Имеем: //Ио (х0 — с, у0),
F2Mg
FgMg
. Векторы п и
а+ ех0 ’
Уо I
а+ех0 Г
р коллине-
(а—ех0 а—ех0)
2х|)6а _ 2ау0,
а (а2 — 62Xq) а2 — е2Хц
арны, так как их координаты пропорциональны. 787. У к а з а н и е. Дока-
зать, что для данных окружностей выполнено условие касания: расстояние между
их центрами равно либо сумме их радиусов, либо модулю разности. 788. Указа-
ние. В канонической системе координат выразить координаты точек М и че-
рез угол наклона прямой ОМ к оси Ох, при этом учесть, что если прямая ОМ накло-
л
пена к оси Ох под углом а, то прямая ОМ' составляет с осью Ох угол а ± — •
789. Отрезок ММ' имеет минимальную длину для прямой, перпендикулярной боль-
шой оси эллипса. Указание. Воспользоваться следующим уравнением эллипса в
Р
полярной системе координат: р = ---------. 790. Указание. См. указание к
- у - 1. 792.
4 \ 20 /
Отсюда получаем: р
№
предыдущей задаче. 791. — -
/(-/13,0); б) а=-, 6 =
э
/ (/Тб, 0), / (-/16, 0); г) а = 1, ’ b = /Щ / (/б^ 0), F2 (—/^ 0). 793. 5=
_______________, " л л а а
= 4еЬ2, S = 20/6. 794. а) —
795. а) а = 3, b = 2, с = /13; / (/13, 0), F2 (—/13, 0), е =
а) а = 2, 6=3; /(/13, 0),
в) «=/5: 6=/5j
у2 х2 у2 х2
— = 1; б) — — — = 1; в) —
9 ’ 9 4 £
/13
3
Уа .
-? = I-
2
, У = ± ~Х,
О
223
:=±^‘
5
13
- -у2= 1;
16 }
х2 у2 _
— — — — I:
36 12
X2 у _ .
24 + 12
уравнения директрис,
796. а)
797. а)
800. —
; б) а = 3, 'б = 4; (+5, 0), (—5, 0), в = , у= ± ~ х, х — ± -Я .
о о э
X2 — у2 = 1.
х2 У2__
12 ~ б" = 1‘
б) х2 — у2 = 16; в)
б) “ —1.
9 3
798.
х2
24
3 ..
х2 у2
' 16 ~~ 9 ~ ’
х2 у2
—— ==: I
16 9
у!_. е_Гб
12 8 ~
г)
799.
,х ± 4 = О
Для гиперболы
х ± У2у = 0—уравнения асимптот. Для сопряженной ги-
перболы е = рг3, у ±2=0 — уравнения директрис, х ±У"2у — 0 — уравнения
асимптот. 801. а) 90°; б) 120°; в) 60°. 804. х — у — 4 = 0. 805. а2/?2— Ь2— х§= 0.
Решение. Потребуем, чтобы данная прямая пересеклась с гиперболой в двух
слившихся точках. Абсциссы точек пересечения данной прямой и гиперболы опреде-
ха (kx + х0)2
ляются из уравнении —— -------------= 1, которое легко привести к виду:
а2 б2
(62 — c?k2)^ — 2atkxl)x — а2Хц — d2b2— 0. Так как данная прямая не параллельна ‘
асимптотам гиперболы, то б2 — а2/г2+ 0. Приравняв дискриминант этого квадратно-
го уравнения к нулю, после элементарных преобразований получаем искомый ре-
зультат. 806. а2А2 — &В2 — С2 = 0. Указание. Рассмотреть два случая:
а) В + 0; в этом случае уравнение прямой записать в виде у = kx + х0 и восполь-
зоваться результатом предыдущей задачи; б) В = 0; в этом случае задача решается
по аналогии с предыдущей задачей. 807. Существуют четыре касательные, удовлетво-
ряющие условиям задачи: а) х — 1^3 у — 3 =
; б) х—УЗу + 3=0,
; г) х+/Зу + 3 - О,
(-4,--tAj; в) x+/3“y-3=0,
X2 у2
810. —— — = 1. 811. Окружность, если а>6; точка, если а = Ь; в случае а< b
множества точек не существует. Указание. Показать, что в канонической си-
стеме координат гиперболы уравнение множества точек имеет вид: х2 + у2 = а2 —62.
812. Указание. См. решение задачи 784. 814. d = b. 815. Директриса, соответ-
ствующая фокусу F. 820. Окружность, центр которой совпадает со вторым фокусом
и радиус которой равен 2а. У к а з а н и е. Если F' — точка, симметричная фокусу
Fi относительно касательной в произвольной точке М гиперболы, то пользуясь ре-
зультатом задачи 817, показать, что F2F’ — F2M —F±M. 821. Указание. См-
указание к задаче 787+22. F
3 “ / 1
* + - =0; б) F(О, -1), у—1=0; в) F - -,
z у Z
_ /. 3 \ ,3 „ . „ I 4 \
'» I» У Г _ — с/ * I — » 01
' ’ \8/ 8 \ 3 /
/3 \ , 3
—, 0 , « - —
\2 2 ...........
3 / 3 \ 3
у + т= 0; д) f Р’Т • у + т = °;е) F
4 \ о / о
О), х—
4
х — —= 0. 823. а) у2 = 16х; б) у2 = 4х; в) х2 = 25у. 824. а) у2= 12х; б) х2= 20у;
О
в) у2 = 60х; г) х2= 48у. 825. 10. 826.’^ (б/1, —6), М2 (—6/2", —6). 827. р = 12AL
л _з __ 3 —
828. р2. 829. 4уТр. 830. 2р/5, — рУ 5, — рУ5. 831. а) у2 = 8х; б) у2 = 14х.
1 5
832. а) р=---------; б) р=---------. 833. 2х—у—5=0. 834. Прямая, параллельная
1 — cos ф 1 — cos ф
оси параболы: ky—р—0. 835. Указание. См. решение задачи 805. 836. Указа-
р
н и е. Воспользоваться предыдущей задачей. 837. х + у + 2 = 0. 838. у=/гх+ — .
Указание. Воспользоваться задачей 835. 839. а) х —-2у + 5 = 0; б) Збх +
+ 12у + 5 = 0; в) 4х — 4у + 5 = 0. Указание. Воспользоваться предыдущей
224
+ Р (kp + р).= 0. Отсюда получаем: К----- „ .
У1У2 + Р2
Подставив значения Л, х2 и х3 в соотношение (4),
преобразований получаем уравнение высоты : ху± + ур -
Р
= 0. Эта прямая пересекается с директрисой х =— —
+ . Координаты точек В,
задачей. 842. 2^2. У к а з а и и е. Провести касательную к параболе, параллель-
ную данной прямой. 843. Касательная к параболе в ее вершине. 844. Директриса
параболы. Указание. Воспользоваться задачей 843. 845. Директриса параболы.
847. Указание. См. решение задачи 786. 848. Решение. Пусть у2 = 2рх —
каноническое .уравнение данной параболы, a (xlt у2), В2 (х2, у2) и В8 (х8, у8) —
точки, в которых соответственно прямые Zj, Z2 и касаются параболы. При этих
обозначениях прямые 1и 12 и 13 имеют уравнения
(У УУ1 — р (* + *г). 0)
(W УУа = р (X + х2), (2)
Gs) УУз = Р (* + *з)- (3)
Определим уравнение высоты hlt проведенной через точку А2. Если -Лх есть точка
пересечения прямых Z2 и Z8, то высоту h, можно определить как прямую пучка, опре-
деляемого прямыми Z2 и Z3, перпендикулярную к прямой Zx. Пучок, определяемый
прямыми 12 и 13, имеет уравнение Х[(уу2 — р (х + х2)] + [уу8 — р (х + х8)] = 0. (4)
Прямые (1) и (4) перпендикулярны тогда и только тогда, когда -yt (\у2+ у8) +
Р2 + У1Уз п У2 Уз
-------- Далее, х2 = —- , х3= —.
2р 2р
после элементарных
УхУаУз РУ2 РУ3
2р 2 2 “
BTO4KeQ(_|.^ +
4, В2 и В9 входят в полученное выражение
симметрично, поэтому для других высот треугольника А1А2АЯ получим те же значе-
ния координат точек пересечений с директрисой. Таким образом, все высоты прохо-
, FA - FB р
дят через току Q, лежащую иа директрисе. 849. ——— — — , Указание.
Записать уравнение конического сечения в полирных координатах и учесть, что если
FA • FB
А и В имеют полярные координаты (рп <р,) и (р2, <р2), то 4>2=<Pi+ 180° и ---=
АВ
Р1Рз
= —;----. 851. Решение. Пусть парабола дана каноническим уравнением
„ Рг+Ра
у2= 2рх. В этом случае, как известно, вершина параболы совпадает с началом коор-
динат О. Возьмем две произвольные ортогональные прпмые, проходящие через на-
чало координат: у — kx, у = —— х. Определим точки Р и Q пересечения рас-
сматриваемых прямых с данной параболой. Решая следующие системы:
{у2 = 2рх,
у = kx;
nl2P 2P'
получим: P — , —
\k2 k
= 0.
у2 = 2px,
1
y=--x,
, Q (2pk2, —2pk). Напишем уравнение прямой PQ:
I x — 2pk2 у 4- 2pk
|2p(A4— 1) — 2pk(k*+l)
После элементарных преобразований получаем: xk + у (k2 — 1) — 2pk = 0. Поло-
жение этой прямой на плоскости зависит от k, т. е. от положения прямого угла POQ.
Она пересекает ось параболы (у = 0) в точке R (2р, 0), которая не меняется при из-
менении k. Таким образом, при вращении угла POQ вокруг точки О прямая вращает-
ся вокруг точки R. 852. Указание. Пользуясь задачей 835, найти угловые ко-
8 Заказ 290
225
эффициепты прямых РМ и РМ' и использовать их при решении задачи. 854. Эллипс.
Решение. Данные взаимно перпендикулярные прямые примем за координатные
оси. Пусть в некоторый произвольный момент времени концы скользящего отрезка
АВ имеют координаты А (а, 0), В (0,Р). Если (х, у) — координаты произвольной
точки М искомого множества точек, I — длина отрезка АВ, а X— отношение, в
а ХВ
котором точка М делит отрезок АВ, то х =----- , у — —— , I2 =а2 4-р 2(1). Из
1 4~ X 1 4- X
H-L-X)2 х2
этих соотношений, исключпва нР, получаем: Т2=(1+Х)2х2+ ———у2, или------+
X2 /2
у2 (1W
4----~ 1 (2)' Таким образом, если точка М (х, у) принадлежит искомому мно-
A I
(1W
‘ жеству точек, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное
предложение. Пусть М (х, у) — некоторая точка плоскости, координаты которой
y(l-i-X)
удовлетворяют уравнению (2). Положим: а = х (1 + X), р= -—-— (3), где X—
А
данное отношение, в котором точка, описывающая искомую траекторию, делит отре-
« .. .. „ a-f-X-О О+ХВ
зок АВ, Из соотношений (3) следует: х — ~-- , у = --?. Если обозначить через
1 4- X 1 4- X
Мг и Л1-, точки с координатами (а, 0) и (0,Р), то предыдущие соотношения показыва-
ют, что М делит отрезок МуМ2 в отношении X. Точка Mt лежит на оси абсцисс, а
ТИ2 — иа оси ординат; кроме того, в силу соотношений (3) и (2) имеем: МгМ2 *=
== хз(1 ^-Х)2 4~ = Отсюда следует, что М принадлежит иско-
мой траектории. Уравнением (2) задается эллипс; в частном случае при X = 1 — ок-
ружность. 855. Эллипс с центром в точке О. Указание. Задачу свести к преды-
дущей, предварительно доказав, что точка В лежит на другом отрезке АС постоянной
длины 2г, скользящем своими концами по прямым I и k, где k — перпендикуляр,
восставленный в точке О. 856. Эллипс. Указание. Если прямые I и пг принять
за оси координат, а радиусы окружностей обозначить через R и г, то уравнение иско-
х2 у2
мого множества точек имеет вид: — 4- у = 1. 857; Гипербола. Если прямые I
R т
и m принять за оси координат, то уравнение гиперболы имеет вид: (1 + X)2 ху =
= 2X6. 858. Две сопряженные гиперболы, для которых данные прямые служат асим-
птотами. Указание. Если оси координат направить по биссектрисам углов,
образованных данными прямыми, то уравнение искомого множества имеет вид:
/?2Х2 ~ 1 у2
— 1 = ±а, где k— wojsym, углового коэффициента данных прямых в выбранной
1 4- л*®
системе координат, а а—постоянное произведение расстояний. 859. Равносторонняя
гипербола. Если оси координат направить по двум данным перпендикулярным пря-
мым, то уравнение гиперболы имеет вид: х2 — у2 — а2— fe2. 860. Равносторонняя
гипербола. Если начало координат поместить в середину отрезка АВ = 2а и ось Ох
направить по прямой АВ, то уравнение гиперболы имеет вид: х2 —у2= а2. 861. Па-
рабола, для которой точка А является фокусом, а прямая I — директрисой. Ука-
зание. Центры рассматриваемых окружностей равноудалены от точки А и пря-
мой I. 862. Эллипс. Решение. Пусть О — центр данной окружности, а М — про-
извольная точка искомого множества (рис. 63). Если окружность М (ТИЛ)1 касается
данной окружности О (г) в точке R, то, очевидно, г — OR = ОМ 4~ MR — ОМ 4"
4- МА (1). Докажем обратное предложение, т. е. докажем, что если для некоторой
точки ТИ плоскости имеет место соотношение (1), то ТИ принадлежит искомому мно-
жеству точек. Так как О А < г, то точка ТИ не совпадает с точками О и А. В самом
деле, если бы, например, ТИ и О совпали, то из (1) следовало бы, что г = 00 4* ОА =
1 ТИ(ТИЛ)— окружность с центром в точке ТИ и радиусом ТИА
226
= ОА. Таким образом, МА > 0 и ОМ < г, т. е. М является внутренней точкой
окружности. Рассмотрим луч ОМ и обозначим через R точку пересечения этого луча
с данной окружностью. Так как ОМ + MR = г и ОМ + МА = г, то МА = MR.
Это означает, что окружность М (MR), которая касается окружности О (OR), про-
ходит через точку А. Таким образом, искомое множество совпадает с множеством
точек, удовлетворяющих условию (1). Этим условием задается эллипс, фокусами ко-
торого являются точки Л и О, а большая ось равна г. 863. Гипербола. 864. Пусть h
расстояние от точки А до прямой I. Возможны два случая: a) h > а. Парабола, осью
которой служит перпендикуляр, опущенный из точки А иа прямую I (рис. 64, а);
б) h < а. Части двух парабол, изображенных на рисунке 64, б сплошной линией.
865. Парабола. Если оси прямоугольной декартовой системы координат выбрать
так, чтобы ось Оу совпала с прямой I, а ось Ох проходила через точку А и была на-
правлена от примой I к точке А, то в этой системе уравнение данного множества
. будет иметь вид: у2 = 2ах — а2 + k2, где а — расстояние от точки А до данной пря-
мой, а /г2 — данное число. 866. Парабола, ось которой проходит через точку А пер-
пендикулярно прямой /.Указание. Показать, что дли точек М данного множе-
$2
ства выполнено условие AM2 — НМ2 = —, где Н — основание перпендикуляра,
4
опущенного из точки М на прямую /. Далее, воспользоваться задачей 865. 867. Пусть
Л — расстояние от точки А др прямой I. Возможны три случаи: a) h < а. Части двух
парабол, изображенных на рисунке 65 сплошной линией; б) h = а. Точки отрезка
НА, где Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую /;
в) h > а. Множество точек пустое. 868. Парабола с вершиной в точке Лис осью АС,
где С — центр окружности Q. 869. Пу&ть перпендикуляр h, опущенный из центра
окружности на прямую /, пересекает / в точке Н, a Q — в точках Л, и А %. Искомое
множество точек есть две параболы с общей осью h и вершинами в серединах отрез-
ков НА} и НА2. 870. Если (гх) — внешняя окружность, а С2 (г2) — внутренняя,
то искомое множество точек есть два эллипса с фокусами в точках Сх и С2, причем
большая ось первого эллипса равна + г2, а второго равна гх — г2 (рис. 66 fl), б)).
871. Пус^ь С1(Г]) и С2(г2)—данные окружности. Если Ч+г2, то искомое множество есть
две гиперболы с фокусами в точках Q и С2, причем действительная ось одной ги-
перболы равна i\ + г2, а другой | rt — г2 | (рис. 67). Если i\ = г2, то искомое мно-
жество есть гипербола с фокусами в точках С± и С2 и действительной осью г\ + г2 и
прямая, перпендикулярная CiC2 и проходящая через середину отрезка СХС2. 872.
Возможны два случая: а) АВ 4= ВС; гипербола с фокусами в точках А и С, одна из
вершин которой совпадает с точкой В, а действительная полуось равна ОВ, где О —-
середина отрезка АС; б) АВ = ВС; прямая, проходящая через точку В перпендику-
лярна /. 873. Эллипс с полуосями a + b и а — Ь, фокальная ось которого совпадает
с прямой /, а центр — с точкой Л.,874. Решение. Составим характеристическое
уравнение данной кривой и найдем его корни: s2—10s+9=0, sx = 1, s2 = 9.
Относительно новой системы координат, единичные векторы которой имеют главные
8*
227
а) Рис. 66 б)
направления, данная кривая определяется уравнением х'2 + 9у'2 — 9=0. Отсюда,
х,а у'2
разделив на 9, получаем каноническое уравнение эллипса: — +~= 1. Для
того чтобы написать формулы преобразования системы координат, найдем угловые
।______________________________________5 9__5
коэффициенты главных направлений /г,=--= —1, fe«=-----=1. Таким обра-
( 4 4
зом,- ki — tg«! = —1, 04 = — 45°; k2 = tga2 = 1, a2 = 45°. Формулы преобразо-
, 1/2 , , VT , V2 , , 1/2" , ,, '
вания будут иметь вид: х= f-__ х + !__ у, у =—х + У • На рисунке 68
2 1 3 3
изображен данный эллипс. 875. Парабола: у' =х', х== yjQX’ ’ ^=}/7о *
1 , „ ,2 ,2 , 3 4 ,4,3
+ У • 876> Гипербола: х —2у = 1, х = — х — —у, у = — х + —у.
у W о о о о
jc 2у* 2х у*
877. Пара параллельных прямых: у'2=3, х= —» У=—^аРа‘
бола: у'2=х', 2%'=)^Зх—у, 2у'=х+}^3у. 879. Мнимый эллипс: ~ х'2+ ~у,2=—1,
©2
228
2х =/2х- — /2у', 2у= /2х' + /2у’. 880.Эллипс: х'2 + 2у'2 = 1; 5х'= 4х — Зу,
5у' = Зх + 4у. 881. Парабола: у'2 = 2х', 5х'= 4х — Зу, 5у'~ Зх + 4у. 882. Гипер-
/2 /2 _
бола:^-— 21_ = Ь 5х'= х— 2у, /бу' = 2х + у. 883. Пара слившихся прямых:
х'2 = 0, 2х' = /2*(х + у),_2у' = /2 (х — у). 884. Пара пересекающихся прямых:
х'2— у'2= 0, 6х' = х + /35у, бу' — — У35х+ у. 885. Пара мнимых параллель,
ных прямых: х'8+ 1 = 0, 2х' = /Зх — у, 2у' = х + /Зу. 886. Решение.
Сгруппируем члены левой части данного уравнения относительно хну следующим
образом: 2 (х2 — 4х + 4) + 4 ^у+ = 0, или 2 (х — 2)2 4~ 4 ^у+ —j = 0. Вве-
дём обозначения: х' = х — 2, у’ — у + — . Отсюда получаем формулы переноса
: х = х' + 2, у = у'——Уравнение данной
:'2 =—2у'. На рисун-
У = У 1 -
ла: х'2—— у'2= —1, х=Х'4-—, у = у'
4 >-
начала координат в точку О'
кривой в новой системе О'х'у' имеет вид: 2х 2 + 4у'= 0, или х‘
ке 69 дано изображение этой параболы. 887. Эллипс: х'2 + бу'2— 2 = 0, х = х'+ 3,
у = у' — 1. 888. Пара мнимых пересекающихся примых: "х'2 + у'2= 0, х = х'+ 1,
2. 889. Окружность: х'2 + у'2 = 1, х — х'+ 1, у я= у'— 3. 890. Гипербо-
2 , / — 3.- 891. Парабола: у'2 — 2х', х=
= х'— 5, у = у'. 892. Парабола; х'2^— 4у' = 0, х = х' + 3, у = у'— 1. 893. Мни-
мый эллипс: х'2 + 2у'2 + 1 = 0, х = х' + 2, у = у' + 3. 894. Пара мнимых парал-
/2 ,2
,2 , , * । У _
дельных прямых: 'X 4- 1 = 0, х = х + 5, у = у + а. 895. Эллипс: "д' "Г -------
v'a ,,'2
= 1, х — х' + 1, у = у'. 896. Гипербола: — — - - = 1, х=х' + 2, у = у' — 1.
897. Пара пересекающихся прямых: х'2 — 2у'2= 0, х = х' — У~3, у = у' + 5.
898.Равнобочная гипербола: х'2 — у'2 = 5, х=х', у = у'—10. 899. Гипербола:
5х'2— у'2= 1, 5х'= Зх + 4у, 5у'= 4х — Зу + 5. 900. Эллипс: 52х'2+ 13у'2 = 1,
3 2 1 2 3 42
х= ~т== х' —у'— —, у — —т== х'Ч—-р=- у' + — . 901. Равнобочнаи ги-
/ТЗ /13 26’ у /13 /13 у .13 __
- ,2 ,2 . /2 /, /2 , , /2 ,, /Т , „
пербола: х —у = 1, х =—2—_х + !-_-у — 1, у=±__х + ^—у —2.
902. Парабола: уа = 2х, 5х = —4х -J- Зу + 18, 5у = —Зх + 4у + 1. 903. Пара па-
229
раллельных прямых: х2^- 2=0, 5х = Зх — 4у — 5, 5у = 4х + Зу. 904. Пара
пересекающихся прямых: х у = 0, 2х =/Зх — у — 2, 2у = х + /Зу. 905. Эллипс:
х2 + 2У2 = 1, /5 х=х — 2у + 1, /5 у=2х+ у. 906. Парабола: у2=3х, / 10 х=
= х + Зу _ з/1б, /16 у =—Зх + у. 907. Пара мнимых пересекающихся прямых:
х2+4у2=0, /13 х=3х— 2у + 5, /13 у= 2х + Зу — 4. 908. Пара слившихся
прямых: х2 = 0, 5х = —4х + Зу + 11, 5у = Зх—4у + 5. 909. Пара мнимых парад-
на , „ „ , 3 2 ,2,3
дельных прямых: х +3=0, х' = х — у~у, у'= х+ р^у+о. 910.
,/1 1\ _
2, 6 ам1,м,
1 51 I • • I
—, — —б) прямая касается кривой в точке МI —, — I. 911. а) (1, 1),
а)Ж1 (1;0), Ж2|
(2, 0); б) ось Ох касается кривой в точке (2, 0); в) действительных точек пересечений
нет. 912. Существуют две касательные: 2х + 5у — 2=0 и 2х + у — 2= 0.
913. Существуютдве касательные: 5х — Ну =0, Зх — 5у = 0. 914. 2х — 4у + 5 = 0.
915. Угловые коэффициенты векторов асимптотического направления имеют следую-
щие значения: a) kt = 4, fe2 = 1; б) kt= k^= —; в) нет асимптотических направле- •
О
иий; г) аг = 0, Рх произвольно, k = — ; д) kr = fe2 = 0; е) fej = —4, k2 = 1.
916. а) 2х + у + 4 = 0 и х+у — 3=0; б)2х — Зу+1 = 0их — 1 = 0;
в) 6х + 14у + 11 = 0 и 2х + 2у — 1 == 0; г) асимптот нет; д) все прямые, параллель-
ные вектору {1; —1}. 917. Указание. Используя условия /2 = 0 и /3 — 0,
предварительно доказать, что a3iPi + QgaPa = 0- Далее воспользоваться формулой
(3), стр. 117. 919. a) ^xi — Q — &13 — 0; a) ^xi — п22 — ^13 — п23 — 0.
920. 2л? —ху — х + у + 5=0. 921. а) ху=0; б) ху — 2 = 0. У казвние. Восполь-
зоваться задачей 919, в). 922. ' а) 4х — 5у + 8 = 0; б)7х — 10у — 6=0;
в) 13х — 18у — 2=0. 923. 7х — 4у + 4 = 0. 924. а) х — у — 3 = 0; б) х — 4у —
—1 = 0. 926. а) Парабола; б) пара параллельных или слившихся прямых; в) суще-
ствует вектор {а, 0 } не асимптотического направления, координаты которого удов-
летворяют условиям аа1± + 0с21 = 0; ас13 + 0о23 = 0. 927. а) (3, —2); б) нет цент-
ров; в) линия центров: х — у — 3 = 0; г) | 0, —); д) ( —1, —1); е) линия центров:
\ ° /
х + 2у = 0. 928. = о2а = 0. 929. Указание. Сначала показать, что кривая
является центральной. Далее воспользоваться формулой (3), стр. 117. 930. 4х — 7у +
+ 17=0. 931. х — у — 1 = 0. 932. Для того чтобы кривая имела линию центров,.
совпадающую с осью Ох, необходимо и достаточно, чтобы аг1 = с21 = а13 = с23 =
= 0. 933. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 934. У казаки е.
Систему координат выбрать так, чтобы начало координат совпало с точкой Мо, и
воспользоваться задачей 928. 935. Указание. Общую декартову систему коор-
динат выбрать так, чтобы оси координат совпадали с диагоналями параллелограмма,
и воспользоваться задачей 928. 936. Указание. Воспользоваться предыдущей
задачей. 937. а' {—5, 3}, а'2 {—2, 1}, а3 {3, 1}, а' {—1, 2}. 938. k = 0. 939. х—1 =
= 0, х—2у + 3 = 0. 940. х — 10у — 12 = 0, 7х— 28у — 30 = 0.941. 19х— 12у —
Ь2 Ь2
— 5 = 0, 64х + 48у + 55 = 0. 942. a) kk’ =— — ; б) kk’ = — . 943. х — Зу =
о2 о2
= 0, 4х + Зу = 0; 4/2; 2 944. Две пары сопряженных диаметров: а) х + 2у =
= 0, Зх + у= 0; б) х —2у= 0, Зх—у= 0. 945. 2у + 3 = 0. 946. а) {1, —2},
(2, 1}; б) £1, 1}, (-1, 1); в) {1, 1}, {1, -1); г) (1, -2), (2, 1}; д) (1, 1 +/2}.
{1, 1 — У2). 947. а)2х — 4у — 5=0; б) х+у — 2 = 0 их - у = 0; в) х+у
— 1 = 0 и х — у + 3= 0; г) 2х — 4у — 1_= 0; д) 7(1 +/2)х— 7у — 18 —13 /2=
= 0 и 7(1—/2) х— 7у— 18+13/2=0. Указание. Воспользоваться
теоремой о том, что ось есть диаметр, соответствующий хордам главного, но не асимп -
тотического направления. 948. аи = с22, с12 = 0. Указание. Воспользовать-
230
ся теоремой: для того чтобы ненулевой вектор {plt р2) имел главное направление
относительно кривой второго порядка, заданного уравнением (1), стр. 116, необхо-
димо и достаточно, чтобы (а^ — схх) рхр2 + аХ2 (р| — р|) — 0- 94». а) аХ2 = О,
«23= 0| а22 =£ 0; б) диаметр коллинеарен вектору {ахз, а23). 950. а) Биссектрисы
углов, образованных данными прямыми; б) прямая, проходящая между данными
параллельными прямыми на равном расстоянии от них. 952. Парабола; пара парал-
лельных действительных прямых; пара параллельных комплексных прямых; пара
слившихся прямых. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей
задачи. 953. а) 4х + 4у + 3 = 0; б) 10х — 5у — 2 = 0; в) х + у — 2 = 0; г) 26х —
— 39у — 11 =0. 954. Пары слившихся или параллельных прямых. 955. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 949. 956. Указание. Определить число асимп-
тотических направлений данных кривых. 957. Р е ш е н и е. Запишем уравнение
кривой (1), стр. 116, в следующем виде:
(аих + сХ2у + а13) х + (а^х + а^у + я23)у + (а,лх + а^у + а33) =0. (1)
Возможны два случая: /2 =/= 0 и /2 = 0; а) /2 =/= 0. Из условия /3 = 0, учитывая, что
/2 + 0, следует, что элементы третьей строки определителя /3 (см. задачу 917) яв-
ляются линией комбинаций элементов первых двух строк: азх = Лах1 + рсгт,
с32 = Ха12+ ра22, а33 = Ха13 + ро23. Подставив эти соотношения в уравнение (1),
получаем:
(«и* + аХ2у + а13) (х + X) + (а21х + а^у + а^) (у + р)= 0. (2)
Из условия /2 0 следует, что кривая имеет центр Л40(х0, у0). Из соотношения (2)
следует, что точка Л40 принадлежит кривой. Поэтому согласно задаче 934 кривая яв-
ляется распадающейся; б) /2 = 0. Возьмем точку Мо [ха, у0) (действительную или
комплексную), принадлежащую кривой, и ненулевой вектор р{рх р2), координаты
которого удовлетворяют условиям аххрх + аХ2р2 = 0, а2хрх + а22р2 = 0. Пря-
мая I, проходящая через точку Л40 и содержащая вектор р, согласно задаче 917 яв-
ляется асимптотой. Так как точка Л40 принадлежит кривой, то эта прямая целиком
принадлежит кривой. Отсюда следует, что кривая является распадающейся. В самом
деле, эллипс, гипербола, парабола и мнимый эллипс либо не имеют асимптот, либо
точки'асимптот не принадлежат кривой. 958. Указание. Принимая во внима-
ние, что при /2 < 0 кривая имеет два асимптотических направления (см. стр. 117),
воспользоваться предыдущей задачей и учесть, что всего существует девять типов
кривых второго порядка. 959. Указание. Задача решается по аналогии с пре-
дыдущей. 960. Указание. См. решение задачи 957. 961. Решение. Согласно
задаче 957 кривая не является распадающейся. Так как она не имеет ни одного асимп-
тотического направления, то является либо действительным, либо мнимым эллип-
сом. Учитывая, что кривая содержит действительные точки (например, (1, 0)), при-
ходим к выводу, что она является действительным эллипсом. 962. Указание.
Использовать задачу 958. 963. Указание. Использовать задачу 959.
964. а) 2х — у + 1 = 0 и х+у + 2=0; б) х — 1=0 и2х+2у+5=0;
в) х — 2у + 3 = 0 и х — 2у — 1 = 0; г) х + Зу = 0 и x-j-Зу — 6=0;
д) 2х + Зу -j- 2 = 0 и 2х + Зу —-'5=0. Указание. Воспользоваться задачей
957. 965. а) /2 > 0, /3 Ф 0; эллипс; б) /2 = 0, 13 =И= 0; парабола: в) /2 < 0, /3 0;
гипербола; г) /2 = /3 = 0; пара параллельных прямых. Указание, г) Рассмот-
реть точки пересечения кривой с осью Ох. 966. Решение, а) Определим образ
эллипса Э при данном аффинном преобразовании П. Согласно задаче 307 существует
система координат 0ехе2, в которой эллипс- Э имеет уравнение х2 + у2 = 1. Если
О'ех е2 — образ системы Oete3 при преобразовании П, то, как известно из теории
преобразований, образ 3' эллипса Э в системе O'et е2 имеет то же уравнение. Из
задачи 961 следует, что Э' — эллипс. Задачи б) и в) решаются аналогично. Для их
решения надо использовать задачи 962 и 963. 967. Указание. Если Э и Э’ —
данные эллипсы, то, пользуясь задачей 307, записать их уравнения в вице х2 + у2 =
= 1 и х'а + у'2= 1 и рассмотреть аффинное преобразование, которое первую си-
стему координат переводит во вторую. 968. Указание. Задача решается анало-
231
гично задаче 967. 971. Указание. Пусть О и О' — центры данных эллипсов, а
а, b и a', b' — их полуоси. По условию задачи существует такое число k > 0, что
а' = ka, b' = kb. Если k Ф 1, то сначала рассмотреть гомотетию с центром в точке
О и коэффициентом k. 972. Указание. Предварительно доказать, что полуоси
данных эллипсов (гипербол) пропорциональны, и воспользоваться задачей 971.
973. Указание. Пусть у2 = 2рх, а у2 — 2р’х, канонические уравнения данных
парабол. Если р' = kp и k I, То сначала рассмотреть гомотетию с центром в вер-,
шине первой параболы и коэффициентом k. 974. х' — апх + а12у, у' = o2i* +
где коэффициенты при х и у удовлетворяют условию: матрица
/ Ъ . \
является ортогональной. 975. х' = сих + о12у, у' = а2гх 4- а22у, где коэффициенты
при х и у удовлетворяют условию: матрица
/ . b \
является ортогональной, где i — мнимая единица, т. е. Р = —1. 976. х' = а2 х 4*
4—— Ут^ у = ау 4" у0. где а, х0, у0 — параметры, удовлетворяющие усло-
виям а =^0, у2= 2рх0. 977. Четыре преобразования: тождественное преобразование,,
центральная симметрия с центром в центре эллипса и две осевые симметрии относи-
тельно осей эллипса. Да. 978. х' — а2х, у' = ау, где а — произвольный параметр,
отличный от нуля. Указание. Воспользоваться задачей 976. Эллипс, имеющий
с данным эллипсом общую касательную в точке Мв с центром в середине отрезка
М0О, где О — центр искомого эллипса. У к а з а н. и е. Рассмотреть гомотетию с
а b
центром в точке Мо. 980. Гипербола с полуосями — и — и с центром в середине
отрезка ОА. Здесь О — центр, А — выбранная вершина, а а и 6 — полуоси данной
гиперболы. Указ а и и е. См. указание к предыдущей задаче. 981. е' =
= /1 — № 4- Л2е2. Так как в'2 — е2 = (1 — k2) (1 — е2) > 0, то е'>е.
982. Указание. Построить окружность на отрезке А1А2, как на диаметре, и
рассмотреть сжатие с осью AtA2, которое точку Bt переводит в точку окружности.
983. Указание. Задача решается по аналогии с предыдущей. 985. D (6, 5, 7).
986. Bi (3, 6, 3), Ci (7, 7, 3), Di (8, 3, 0), С (5, 4, 4). 987. а) ( —2, 1, —1);
б) (2,-1,-1), (2,1,1), (-2,-1,1); в) (2, 1,-1), (-2,—1,-1),
(—2, 1, 1). 988. a) Ai (—2, —3, 1), Bt (—3, 0, 1), Сх (—1, —1, —1); б) А± (2, 3, 1),
Bi (3, 0, 1), Ci (1, I,*—1); А2 (2, —3, —1), В2 (3, 0, —1), С2 (1, —1, 1);
А3 (-2, 3, -1), В3 (-3, 0, -1), С3 (-1, 1, 1); в) А (2, -3, 1), Вх (3, 0, 1);
С! (1,-1,-1); Л2 (—2, 3, 1), В2 (-3,0,1), С2 (-1, 1,-1); Д3 (-2,-3,-1),
В3 (—3, 0, —1), С3 (—1, —1, 1). 989. а) А» Вх» Сх; в) А3, В3, С3. 990. a) Дх, В^ Cj,
Dii г) At, Bit С4, 991. (1, 2, 4). 992. а) АЛ = 5, BLB2 = /50, CtC2= /30;
б) ОМ = 5, ON = /13, OP = 5, OQ=/62. 993. АВ = ВС. 995. г =5 /2,6.
996. 7. 997.
£
2
Л2= — , ^8 —
А
2
6
-2,5); Л4|
7
- . 1002. а) (1, —2, 2); б)
1 1'
2 * 6;
), -^1); А,
1
|. 1000. С(7, —3, —2);
7\ /5 1
7,-
999. 41 (0, —3, 8);
1
~ 2’
’ 3
13’
loot. Хх=
2
’ 4
I; б)
232
14 Г- х ••• I х
—, 3). Указание. Воспользоваться задачей 52. 1004. ------------------——-5 ,
13 п
У1 4-Уа+ ••• +>п zi + г2+ — + гл ,,
»— -------, ----------- . 1005. Указание. Массы, пропор-
циональные длинам сторон, поместить в серединах сторон тетраэдра и воспользовать-
ся предыдущей задачей. 1000. а) х' = х ——у 4* 7z, у' = —у-—z, г' = 2z
v Z 2
1 2
б)х' = х + 2у— 5, у = х+у— 5, z = -~z+“~;b)x =— х+1, у'=*
5 5
5 1
у — 1, / = — г + 2; г) х' = х — 2, yf = у — 5, z’ = г + 1, д) х'— х Ч-y-J-
**** о 8
3311 313 1
+ 8*.y'=7x-7y+?z+1. г'=8*--р~7г- Ю07..х=--х'+
, 1 , , 1 , , 1 1 , 1 , , 1 , , 1 1 , 1 ,
+ 7У + 7^+у. у=~^х + уг +7. z=-^x-^y-
— -^-z' +£• 1008. х'=—х—у—z-f-1, у'—у, г'—у. 1009. a)cj{l, 1, 1), Cj{—3,
1,0), е3{1,0,0}, О'(0,0,1); б) е\ {1,0,0), е2 {0,1,0}, е3 {0,0,1), О' (—1,3,0); в) е\ {1,
—1, 0), е2{—1,—1,0), /{1, 2, 1), О'(1,2,-3); r)^{0, 1, 1), е2{1, 0, 1),
₽з(0, 0, 1), О'(0, 0, 1); д) <?!{-!, 0, 0), е2{0, —1, 0), е'3{0, 0, 1), О'(1,
1, 1). 1010. х——г' + о, у ——х'+а, г=—у'4-а. 1011. х' =/2х, у'~ /2х-|-
4-/2у, г' =— х — у + г. 1012, а) 2[ад]; б) 4\ba\ + [ас]+ 2\cbkJ&[ab\ + [ас].
1013. а) {3, 0, —2), У23;*^П^2.°.О), 2; b)J—3, 9, 5), /115; г) {3, 0^),
УТО; д) {—3, 0, —1), V10; е) {-13, 4, 10), /285. 1014. а) {—6,6, -1); б) {—1, 5,2).
1015. а) ; б) 3/16; в) . Указание. Площадь S треугольника'ЛВС
„ |[ЛВХ4С] |
вычисляется по формуле S = ----
О {*з> Уз> 2з)>
. Если А (х2, ух, Zj), В (х2, у2, zj,
то $=— У1 «а —21|2_l.|22-2i х2 — *1|2 I 1*а — *1 Уа — У1 I2
2 Г |у3 — У1 г3 — 21| ^|z3 — zx х3 — хх| ‘1*3— Х1 Уз~У11 *
2 „
1016. —; Указание. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
5 «
АВ иА&, разделить на длину вектора АВ. 1017. а) {15, —3, —14); б) {0, 0, 0);
в) {—3, 11, 9). 1019. Указание. Если АВСА'В'С — данная призма, ао по-
строенные векторы можно выразить при помощи векторного произведения через
АВ, АС и АА'. 1020. См. указание к предыдущей задаче. 1021. а) Левая; б) правая;
в) левая; г) левая; д) левая. 1022. а = 0, 0 =—10, у = —20. 1.Q2X, а) —2,9^ б) 68;
"в) 19. 1024. abc =—29, Ь[ ас] == 29. 1028. Указание. Сначала покаЭЗТё^
что [р2р3] = 1а!, [р3рх] = ра2, [р!р2| = уа3, где 1 > 0, р > 0, у > 0.
Для доказательства, например, первого соотношения прямоугольный декартовый
базис i, j, k выбрать так, чтобы i = аъ и ввести в рассмотрение координаты век-
(а„ач) (ача.) — (а. а2)
торов at, а2 и а3. 1029. р1р2 = , -я'./,----—\2- Аналогично выражают-
- г *—(с2сзГ г (сзс1) „
ся остальные произведения. Указание. Воспользоваться задачей 1026, а), г).
1030. Указание, а) Записать вектор Л „В, в виде Л0В( = ах + 1р и, исполь-
зуя условие Л0В1а2а3 = 0, определить 1, б) записать вектор ЛоВо в виде ЯоВо==
233
= Хр и, используя условие компланарности векторов Л0Й0 — ав а2—а1г а3—аи
определить X. 1031. а) 14 = 0,5; б) V2 = 22,5. 1032. АН = 3. 1033. а) V = 12;
б) $ABCD = 2/26, SABB'A, = У626, = У 338; в) h = ^==; г) cos <px==
4 46 17 /17 „ ,____
13 У13 ‘ 1034‘ а) 2 ’ б^5двс ~ ~2~’ $-Авв'А’~
= /357, = у 561; ? в) h == У 17; г) cos ф = 0. а) V = — •
= 3, Sabd ~ 2У%> $bcd ~ 33; в) h = 2; г) cos <рх =
_____________________ у 3
-. 1036. a) S = /51; б) cos А = —, cos В = —•
/2 8 \
; г) с{8, 5, —9); д)М ,0 .
\ & О /
р=, cos D = 0; в) а{—3,
1038. Если b Л а, то все
д) м
29 L ??к • -
25’ 5’ 25J ’ ' ' '
cosC =
[-1,о,Д
\ 4 2/
“ !Д)С05фг=
$АСв'А
б) $АВв ~ 4> SACD
1 л
“ УГ7;Д)Ч’2 = 7
cos С = Ё^; в) ВН = 122?, ВН (—1|,
5/5 ’ 5 I 25
75
1037. а) 8= — ; б) cos А= 0, cos В —
-> ( 28 10)
4,5}; г) ВН 6,--,—
о О
решения параллельны плоскости, перпендикулярной вектору Ь. Если а и b не
перпендикулярны, то данное уравнение не имеет решений. 1039. Решение,
а) Второе уравнение разрешимо только в том случае, когда а 1 b и а Ф 0
(см. предыдущую задачу). Возьмем вспомогательный единичный вектор с, перпен-
дикулярный к плоскости векторов а и b так, чтобы abc>Q. Разложим искомый
вектор х по реперу: а, b и с, векторы которого взаимно перпендикулярны:
х = х±а + x2b + х3с. (1)
Подставив это значение в данные уравнения, получаем:
хг (аа) = a; Xj [ba] + х3[сс] = b. (2)
Отсюда будем иметь: х1 = -~ . Умножив уравнение (2) скалярно на с, получаем:
а2
х2 (Ьас) + Xg(cac) — Ьс. Отсюда х2 = 0. Для определения х3 умножим соотно-
| ЬI
шение (2) скалярно на b, Xg (cab) = b2, так как (abc) = [а || Ь[, то х3 = —:.
I С1
,, [ab] [оДО
Учитывая, что с — :---= --------, из (1) окончательно получаем:
|с||6|
а [а<&1 aa-[-[ab]
х ~ — а 4-------- =--------.
а2 |а|2 а2
(3)
Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что вектор X, определяемый
соотношением (3), является решением исходной системы. Таким образом, при а ± b
и а Ф 0 система имеет единственное решение (3). Если хотя бы одно из условий
а 1 b или С 4 0 не выполняется, то система не имеет решений; б) если векторы
а и b не коллинеарны, то х = а[ ab], где а — произвольный числовой множитель.
Если а и b коллинеарны, то одно из уравнений есть следствие второго. В этом случае
задача сводится к задаче 140. Если в пространстве выбрана прямоугольная декарто-
ва система координат и если a{at, <%, а3}, b(blt b2, EJ, x(xlt х2, х3}, то данные
уравнения в координатах запишутся так: «xxt + а2х2 4" а3х3 ~ ^ixi 4" b2x2 4*
4-Ь3хз=0- Отсюда следует, что если векторы a(ctlt а2, а3} кЬ{Ьъ Ь2, Ь3} не колли-
неарны, то хх : х2 : Xg — | | : | | : | 1 . 1040. Если положить р =(а&],
то данное уравнение сводится к следующему: рх = а; см. задачу 140. 1041. а) Нет;
б) да. 1045. <5 -( з а н и е. Пусть ABCD — данный четырехугольник, а
Р, Q, R, S — середины сторон АВ, ВС, CD и DA. Доказать, что PQ — S~R. 1047.
Решение. Пусть система координат выбрана так, что А — начало координат,
234
а АВ = et, AD— е2, АА±— е3. Тогда центр тяжести 0х треугольника zl1BD имеет
координаты |— , — , —), а центр тяжести С2 треугольника BJ\C — координаты
(222\\333/ /I'"'
—, —, —). Очевидно, точки Д(0, 0, 0), Gi(~
О О О J \ о
лежат на одной прямой. 1048, Указание. См. решение предыдущей задачи.
1049. Указание. Пусть АВ = а, АС = b, AD = с. Прямоугольную декартову
систему координат выбрать так, чтобы А совпало с началом, а ребра АВ, АС и AD —•
с осями. Показать, что в этой системе центр сферы имеет координаты
1050. Указание. Ввести в рассмотрение радиус-векторы или координаты рас-
1
3’ 3’
£
3
2 \
у) И С£(1, 1, 1)
'а b с \
~2’~2’ 2 Г
сматриваемых точек и, пользуясь ими, доказать, что точка М, делящая отрезок
AtCt в отношении р, совпадает с точкой fii, делящей отрезок DtBt в отношении
1051. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы начало совпадало
с точкой А и А& = elt ДС = е2, AD = е3. Если (к, 0, 0) — координаты точки S
в этой системе, то середины отрезков AD, ВС, SD, SC будут иметь соответственно
координаты
, oj. Далее показать, что эти
1 1 16
точки лежат в одной плоскости. 1052. — . 1053. — . 1054. = . Указание. Если
1Z о
ri — радиус-вектор точки Д;, то, пользуясь задачей 53, предварительно показать,
что ЗД А = — Згх + г2 + г3 + г4, ЗД2В2 = rt — Зг2 + г3 + г4, ЗД3В3 =>
«= Г1 + г2 — 3 г, + г4, ЗД4В4 = гх + г2 + г3 — Зг4. Для облегчения выкладок
при вычислении объемов полюс выбрать в одной из вершин исходного тетраэдра или
в центроиде тетраэдра. 1055. Указание. Приняв вершину Д4 за полюс и пола-
гая Д4Д, = aif пользуясь задачей 1030, выразить радиус-векторы точек Въ Вг, В3, Bt
через аь а2, а3. 1057. (1, 0, 4). 1058. а) х + у — г + 1 =0; б) х + Зу — г + 1=0.
1059. а) 6х + 2у — 5г + 5 = 0; б) х — г + 1 = 0; в) у — z = 0. 1060. а)х+у —
— 4г + 9 = 0; б) х — 2у + г = 0. 1061. ДВС ; г = 0, ABD : у = 0, ACD : х = О,'
BCD : х + у + г = 1, CDE : 2х + у + г = 1. 1062. а) Нет; б)да:х+у+г—
—2= 0; в) нет; г)"нет. 1063. а) 10х + 9у + 5г — 50 = 0; б).6х + 5у + Зг — 30 ==
= 0. 1065. а) Параллельна оси Оу; б) проходит через начало координат; в) параллель-
на оси Ог; г) содержит ось Оу; д) параллельна плоскости Оуг; е) параллельна оси Ох;
ж) параллельна плоскости хОг; з) содержит ось Ох; и) совпадает с плоскостью хОу.
1066. а) х— 1, у = 2, г = — 1; б) у + 2г + 6 = 0, х — г — 5=0, 2х + у — 4 =
= 0; в) 5у + г = О, 5х + 2г = 0, х — 2у = 0. 1067. Зу + 2г = 0, Зх — г = 0,
х V г х V г ху
2х + у=0. 1068. а) —+ 2-+——=1; б)+ —= 1; в) ~ + f+
“"з * Т ~2 Т
L+Г “т- а>|-7=1; ® Т+Т=>-
11
1071. х + у + г = 9, —х + у + г = 3, х — у + г = 5, х + у — г = 1. 1073. Век-
торы р2 и р4 параллельны, a pt и р3не параллельны данной плоскости. 1075. а)х +
+ 2у —4г—12 = 0; б) Зу — 4г= 0. 1076. х —бу+11 = 0, Зх — бу + 4г—
—7=0, х + 2г — 9 = 0. 1077. х + Зу — Зг — 9 = 0. 1078. а) {1,2,—1};
б) {1,0—3}; в) {0,1,0}; г) {1,-3, 1}. 1079. Зх + у — Зг + 7 = 0.
1080. а) —7х + у + 5г = 0; б) Зх+ у — 2г — 8 =0. 1081. 2х — Зу + 6г — 49 = 0.
Указание. Через точку Мо провести плоскость, перпендикулярную к вектору
ОЛ40 {2, —3, 6}, где О — центр сферы, совпадающий с началом координат.
1082. х + у — 2г + 5 = 0. 1084. а) 2х — 4у + 5г = 0; б) 2у — 7г = 0; в) х= 0.
1085. а) Зх — у + г — 11 = 0; б) х — Зу — 10=0; в) г — 5 = 0. 1086. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 1072. 1087. а) На линии пересечения лежит, напри-
235
_4 __5 13'
11’ 11’11;
мер, точка (1, —2, —4); б) р{—1, 3, 5). Указание. Воспользоваться результа-
|. 1093. А2В2С2 +
А3В3С3
0. Указание. .Написать условие, при котором система
том предыдущей задачи. 1088. (2, 1, 1). 1092.
4* S1
+0 и А2 В2 D2
^з D3
уравнений имеет единственное решение, и если х0, у0, г0 — решение, то потребовать,
чтобы гп = 0. 1094. Выполняется одно из условий: 1) С3 = С2 = Dx = Da = 0; ‘
|С D I
cWI=
0. 1096. х — г + 1 = 0. Решение. Напишем
1095.
уравнение пучка, определяемого плоскостями л и Oxi: (х+у — г + 1) + 1у = 0 (1),'
и подберем 1 так, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к плоскости
х — Зу 4-2=0. Условие перпендикулярности плоскостей х+(1 + Х)у— г +
+ 1 = 0, х — Зу + z = 0 запишется так: 1-1 — 3 (1 + X) — 1-1 = 0. Отсюда
будем иметь: 1 = — 1. Подставляя найденное значение X в уравнение (1), получаем
уравнение искомой плоскости. 1097. —66х + 61у + 89г — 134=0, х — Зу — г +
- + 1 = 0, 14х + 95у — 37г — 82 = 0. 1098. а) Эх + Зу + 5г= 0; б) 23х — 32у +
+ 26г — 17= 0; в)21х + 14г — 3 = 0. 1099. 5х + Зу — г + 4= 0. 1100. х — 2у +
4- Зг — 4 = 0, Эх + 24у + 13г + 34 = 0.(1101. Аг0х + Вг0 у — С (г — га) = 0.
Указание. Прямую I принять за ось пучка, определяемого плоскостями г = 0
и Ах 4- Бу + С = 0JJ102. a)TWt, Л42, М3, М6‘ Л4в; б) М2, М3, Л4е; в) Л12; г) нет то-
чек; д) Mi, Л12, Л-13,ТЙ4, /И5, М6. 1103. Пары О и А, В± и В2. 1104. Плоскость хОу пе-
ресекает АС и ВС; плоскость уОг пересекает АС и ВС; плоскость хОг пересекает АВ
и ВС. 1105. 2х + 5у + 2г — 5 < 0, и 2х + 5у + 2г — 5 > 0. 1106. х — у + г +
4* I >Т^2х — 2у + 2г — 5 <0. 1107. 5х — у+г+1 >0, х+у — 5г + 1 <0.
Указа ни е. Задача решается аналогично задаче 452. 1108. Воспользоваться ус-
ловием параллельности вектора и плоскости (см. задачу 1072). 1109. Область Q: '
(Ах 4- By + Сг + DJ (Ах + By + Сг + Da) < 0. Область Qx: Ах + By + Сг +
+ Dt > 0 и Ах + By + Сг + D2> 0. Область fi2: Ах + By + Cz + Dx < 0 и
Ах + By + Сг + D2 < 0. Указание. Воспользоваться результатом предыду-
щей задачи. 1110. Указание. Задача решается аналогично задаче 453. 1111.
А, В и Е. 1112. а) Полупространство, определяемое плоскостью 2х — у + г — 3 = 0
и не содержащее точек плоскости 2х — у+г+5=0; б) множество внутренних
точек того двугранного угла, определяемого плоскостями х — у+Зг+6=0 и
2x4- у 4" г + 4= 0, которому принадлежит точка (1, 1, 1); в) множество внутрен-
них точек того трехгранного угла, определяемого плоскостями х + у — г + 5 = 0,
2х — Зу + г — 1 = 0, Зх + у — г — 6=0, которому принадлежит начало коор-
динат. 1114. а) 10; б) j/gg- 1И5. 5х+7у — 17г+22=0, х—у — г +
+ 2=0. Решение. Так как искомая плоскость не проходит через начало коор-
динат, то ее уравнение можно записать в виде Ах + By + Cz + 1 = 0. Искомые
коэффициенты А, В и С должны удовлетворять следующим уравнениям: А • ( —1) +
+ С • 1 + 1 = 0 (точка Atx принадлежит искомой плоскости), А + В + 2С + 1 =
=0 (точка М2 принадлежит искомой плоскости), -7========- = 77== (искомая
} Л2 + + С2 у 3
2 \
плоскость отстоит от начала координат на расстоянии Решая Данную систему
5.7 17 „ 1
уравнений, получаем два решения: Аг= —, Вх= — , Сг =— —; Ла= — ,
В2 =—~, С2 = — у. 1116. а) 1; б) уг 13; в) у. 1117. а) Плоскость проходит
вне сферы; б) плоскость пересекает сферу; в) плоскость касается сферы; г) плоскость
пересекает сферу и проходит через ее центр. 1118. 6х+ 2у + Зг — 42 = 0. Ука-
зание. Написать уравнение искомой плоскости в отрезках. 1119. 4х + Зу — 15 =
= 0, 58х + ЗЗу + 6г — 201 = 0. Указание. В пучке, определяемом данными
2 \
y~zj. Решая данную систему
236
плоскостями, выбрать -плоскость, отстоящую от Центра сферы на расстоянии, рав-
1 ID2 —О,| „ 1
ном радиусу сферы. 1120. р = ^у==- .1121. р= ^т=====. 1122. а) 8; б) —;
в) 9ц7§; г) .-ffK3 . Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
о, о, 6~3_L3
|. 1124. 70,(0, 3, О), /И2(0, —2, 0). 1125.6x-
1123. M
— 3y + 2z+7=0 и 6x —Зу 4-2z —35= 0. 1126. 6x 4-3y 4-2z — 14 = О и
6x + Зу + 2г + 28 = 0. 1127. a) 4x — 2y 4- 6г — 9 = 0; б) x + у — 2г + 2 = 0;
в) Зх — у+ г+ 10= 0. 1128. (х+3)«+у2+г2= (х — 7)» + у2 + г2 =
1225
=-----. 1129. а) х 4-2у — 6г + 3 = О, 4x4-У 4-г—1 = 0; б) 2х4-3у4*
29
+ 5г — 12 = 0, 4х — 13у + 5г= 0. ИЗО. a) cosa = у; б) a = 90°. .1132. а) (3,
4, 5); б) (—22,—1,—20). 1134. а) х——t, у = 0, z = t- б) х =/, у =/4-1,
х— 1 у + 3 г— 4 ।
2= —3t — 1; в) х=0, у= —t, г — t. 1135. —— ——— =—у— . 1136. а) Пря-
мая проходит через начало координат; б) прямая параллельна оси Ох; й) пря-
мая пересекает ось Ох и параллельна координатной плоскости Оуг; г) прямая лежит >
в координатной плоскости Оуг. 1137. а) (0,1, 0); б) (0, 2, 1),
хОу и хОг в точке (2, 0, 0), а
' 7 7 .. 15\
|,(-2, -1,0).
1138. 'а) Прямая пересекает плоскости
Т плоскость уОг —в точке (0, —3, 1); б) (О, J, 18), I—, 0, “), (6, —5,0). 1139. а) Лх'=,
,\ . \2 2/ ' ' f.
= 0, Ла = 0; б) = О, 1\ =0, В2 = О, D2 — 0, в) AiB2 — = О,
Di = О2 =0. 1140. а) Пересекаются; б) совпадают; в) скрещиваются; г) параллель-<
, ны? 1141. 5х — 22у + 19г + 9 = 0. 1142. у 4- г = 0. 1143. а) х 4- 2у — 1 = 0;'
б) х-Ь 2у + г4- 4= 0: И44. 2х — у + г + 12 = (). 1145. х — 4у + 7г 4- 24 = 0.
1146. 2х — у — г 4- 8 = 0. 1147. 4х 4- Зу — г=? О,' ГЗх 4* 2у — 8г = 0 или в па-
раметрическом виде х = 22/, у = — 19/, г = 31/. Решение. Первый спо-
соб. Искомая 'прямая является линией пересечения двух плоскостей, каждая из
которых проходит через начало координат и через одну из данных прямых. Так как
первая проходит через точку/И(0, 1, 3) и параллельна вектору р{1, —1, 1}, то плос-
х у г
кость, проходящая через эту прямую и начало координат, имеет уравнение 1 —1 1 =•
0 13
= 0, или 4х + Зу — г= 0. Аналогично получаем уравнение плоскости, проходящей
через вторую прямую и начало координат: 13х 4- 2у — 8г=? 0. Следовательно, ис-
комая прямая имеет уравнения 4х 4- Зу — г = 0, 13х + 2у — 8г = 0. Второй
способ. Так как искомая прямая проходит через точку О (0, 0, 0), то для состав-
ления ее уравнения достаточно определить координаты направляющего вектора
₽(а,Р,Т). Записывая условия пересечения искомой прямой с данными прямыми,
получим уравнения, откуда определяются координаты вектора р: р (22, —19, 31).
1148. Y = 4 = . П49. (0, — 7"
у 4~ з
= —3 4
1154.
= г+*
9 ‘
1159. а) х4- 2у 4- 9= 0,
3 5\
----. 1151.
2 -2/
х 4-5 У г х — 2
0 3 2 1
б) 2х — 5у — Зг — 5=0.
+2.П56.^ = Ш=3
8 —1 5
2 3
г — 3
. 1153. а) 2х —Зу 4-5г —31 = 0;
х — 1 у — 5
,155> -5 = 1 =
1158. ( —3, 7, 4).
х — 2г—1=0, у 4- г 4" 3 = °!
f Зх + 4у + Зг — 15 = 0,
\1х — бу -j- г + 5 = 0.
1157. (2, —4, 8).
237
б) х — 4у — 6 =0, х + 4г — 10 = 0, у + г — 1=0;
в) Зх 4-2у + 14 = 0, 'Зх 4-2г + 4 =0, Зу — 5г4-11=0.
1160. а) (х 4- 2у 4- 9 = 0, (х — 2г — 1=0, (у 4- г 4- 5 = О,
{г = 0; 1у = 0; (х = 0;
б) (х — 4у— 6 = 0, /х4*4г— 10 = 0, Гу4*г—1=0,
(г = 0; (у =0; |х = 0;
В) (Зх 4- 2у 4- 14 = 0, /Зх 4-2г 4-4 = 0, /Зу — 5г 4- 11 = О,
(2 = 0; (у = 0; (х = 0.
1161. а) /Зу 4- Зг 4- 5 = 0, б) / 2х + у - 5z 4-5 = 0, ,_ov_7._0
(Зх —y + z —4 = 0. (Зх — у4-г— 1 =0. ПЬД X —Зу —7Z-0.
1163. 2х 4-Зу —5г4-14 = 0. 1184. { 2хХ~п^—3^44 = О П65‘ 1166‘
3
1167. б) 2х — Зу — 6г — 7=0, 2х — Зу — 6г 4- 14 = 0; в) 3. 1168. arcsin —• .
ItJO
1169. 90°. 1170. sin<p= 1171. Доказательство. Пусть в прямо-
угольной декартовой системе координат данные прямые I и I' и плоскость а имеют
, х—хв у—Уо г—г0 х—хг у—у. г—г,
уравнения (/) --=-----=----, (1) —— = —— = —-—, (а) Лх4-Ву4-
Pi Рг Рз pj Р2 р3
+Cz+D=0. Так как IJ. то p±pt 4- РгР2 + РзРз=®- (О С другой стороны, в силу
того чтоа±/', имеем: pj = ХЛ, р2= ХВ, р3=ХС. Подставив эти выражения в. (1),
получаем: Лрх + Вр2 + Ср3 = 0. Это соотношение показывает, что направляющий
вектор прямой I параллелен плоскости а. Таким образом, прямая I либо параллель-
на плоскости а, либо принадлежит этой плоскости. 1172. Доказательство.
Пусть в некоторой системе координат данные плоскости а и а' и прямая I имеют
уравнения
(а) Ах -|- By -t-Cz-j-D = 0, (1)
(а') А'х 4- В'у 4- C'z 4- D' = 0 (2)
х—хв _ у—у0 _ 2—г0
W — — • v5)
Pl Рг Рз
Так как ? |] а и I |[ а', то
ЛР1 4- Вр2 4- Ср3 = 0, Л'рх 4- В'р2 4- Ср3 = 0. (4)
В силу того что плоскости а и а’ пересекаются, коэффициенты в уравнениях (1) и (2)
ие пропорциональны, поэтому хотя бы один из определителей , |с'Л'|’ |л'в|
|Л В I
Л'В' 0" Решив систему (4) относительно рх и
Л С|
Л'С'|
не равен нулю. Пусть, например,
р2, получаем: рх =
Рз. Рг
Л В|
А'В'\
Рз
р.,. Если ввести обозначение ——
' ° I Л
= X, то предыдущие соотношения запишутся так: рх= X , р2— X |
= |л'В'|- Таким образом, векторы {ри р2, р3) и . с'Л'| ’ |л'В'|
неарны. Задача решена (см. задачу 1086). 1174. Указание. Прямоугольную
Рз=
колли-
декартову систему координат выбрать так, чтобы плоскость а совпала с плоскостью
Оху. 1175. Решение. Пусть прямые /х и /2 даны своими уравнениями в прямо-
угольной декартовой системе:
238
x—x^y-yi z—zt x-xa_y—y2 z —z2
«1 0i Ti ’ «2 02 Ta
Сначала предположим, что через прямую lr можно провести плоскость Ах 4- By 4*
+ Cz + D = 0, перпендикулярную прямой 12. Так как эта плоскость проходит че-
рез прямую /1( то Даг + ^01 + Су2 = 0. Кроме того, плоскость перпендикулярна
/2, поэтому векторы {а2,р2, у2} и {Л, В, С) коллинеарны, т. е. А = Ха2, В = Хр2,
С = Ху2. Подставив этн значения в предыдущее соотношение, получаем:
X (а!«2 + 010 2 + ТН’г) = 0. В силу условия X 0 будем иметь:
агаа 010 а "Ь ТгТа = 0.1 (2)
Таким образом, мы пришли к выводу, что если через /х проходит плоскость, перпен-
дикулярная /2, то X /2. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть /х 1 12.
Рассмотрим плоскость
а2(х — Xi)+02(y— У1) + К (г - *1) = 0. (3)
Очевидно, прямая 4 лежит в плоскости (3), так как точка (хх, у1( Zj) принадлежит
этой плоскости и вектор {а(, р ), ух) параллелен ей. Последнее утверждение следует
из условия (2) (см. задачу 1072). Кроме того, направляющий вектор плоскости (3)
совпадает с направляющим вектором прямой /2, поэтому плоскость (3) перпендику-
лярна /2. Итак, для того чтобы через можно было провести плоскость, перпенди-
кулярную /2, необходимо и достаточно, чтобы прямые К и 12 были перпендикулярны.
1177. Указание. Вершину трехграниого угла принять за начало координат, а.
одну из граней—за плоскость Оху. 1178. Прямая, перпендикулярная плоскости тре-
угольника. 1179. Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные
точки. 1180. Указание. Систему координат'выбрать так, чтобы данная плоскость
совпала с плоскостью Оху, а концы диагонали, лежащей в этой плоскости, имели ко-
ординаты (0, 0,0) и (1, 0, 0). Ввести в рассмотрение координаты концов другой диа-
' гонали и вычислить расстояние от этих концов до плоскости Оху. 1181. Решение.
За начало прямоугольной декартовой системы координат возьмем основание Н вы-
соты SH, опущенной из вершины S иа плоскость ABCD (рис?70), а за координатные
оси — диагонали AC, BD и высоту SH. Положительные направления осей выберем
так, как указано на рисунке 70. Если АС = BD = 2а, SH — h, то вершины пира-
миды- и точка К будут иметь координаты: А (а, 0, 0), В (0, а, 0), С (—а, 0, 0),
(a h\ „
0, — Запишем уравнения плоскостей SAB,ABC и
А КС. Плоскость АВС совпадает с координатной плоскостью Оху, поэтому она имеет
уравнение' >
. 2=0. ’ . (1)
Плоскость SAB отсекает на координатных осях отрезки a, a, h, поэтому она имеет
уравнения «в отрезках»:
Уравнение третьей плоскости А КС легко записать как уравнение плоскости, прохо-
дящей через ось Ох и через точку К-
—hy,+ az = 0. (3)
По уравнениям (1), (2) определяем;
1
О h
cos В=---------------=
/ГТГД
' & с? h2
1
h_____ а
i/2 ~ У 2ft2 4-а2’
т а2 + ft2
По уравнениям (2) н (3) определяем;
239
h a
~ a + h
COS<P =
cfl—h2
4+. v^+h* ^2ft2.+а3 аа+fta
Если ввести обозначение k = —то из предыдущих соотношений легко получить»
а
1 — fe2 1 — /г3
COS ₽ = - •. , cos <J> = .....-........-.- = 2____cos₽.
/ 2/ea-Rl /2fe2+ 1 • У1 + А? У1 J- k2
j — cos2 fi
Из первого соотношения получаем: fea= —-———. Подставив это выражение во вто- -
2 cosa р
, „ 3 cos3 Р — 1
рое соотношение, после элементарных преобразовании получаем: cos<p= с =^р)*
Зда_______________________2аа
1182. cos <р = у^^2 П83. Указание. Боковые ребра
принять за координатные оси и написать уравнение основания «в отрезках», далее
вычислить расстояние от начала координат до этой плоскости. 1184. Указание.
Пусть О — точка пересечения ребер ’ AjAj, А2А^ и АзА*. Принять точку О за на-
чало общей декартовой системы координат, а векторы = OAlt е2= ОА2, е3 = ОА3
за координатные векторы, 1185. а. 1186. а) Внутренняя область тетраэдра с вер-
шинами (0, 0, 0), (1; 0, 0), (0, 1,0) и (0, 0, 1); б) внутренняя область треугольной
призмы AOBAjO^i, изображенной на рисунке 71; вершины А, В и Ог имеют коор-
динаты А (0, 3, 0), В (0, 0,3), Ог (—2, 0, 0); в) параллелепипед M.NPQM.' N'P' Q',
изображенный на рисунке 72; вершины М, N, Р, Q, М' имеют координаты
М (5, 5, 0), N (5, 3, 0), Р (7, 3, 0), Q (7, 5, 0), М'(5, 5, 10). 1187. х > 0, х — 5 < 0,
у > 0, 2 > 0, у + z — 2 < 0. 1188. X > 0, у > 0, г > 0, ~ — 1 <0.
5 3 6
1189. а) г > 0, 7х + 7у — 4z — 14 < 0, 7х — г > 0, 7х — 7у + 4z < 0; б) г— 1 >
z 7 ?
> 0, у —1 > 0, х—1 > 0, х + у+~ — — < 0. 1190. М2 и Mt. 1191. а) Не
выпуклый; б) выпуклый. У Казани е. Для каждой грани F многогранника по-
казать, что все вершины, не лежащие в грани F, расположены в одном полупрост-
ранстве, определяемом этой гранью. 1192. Указание. Пусть АХА2 ... Ak — одно
из оснований призмы. Общую декартову систему координат взять так, чтобы это ос-
нование лежало в плоскости Оху, а боковые ребра были параллельны оси Ог. Дока-
зать, что для каждой боковой грани AiAi+1Bl+1Bt все вершины, не лежащие в этой
грани, расположены в одном полупространстве, определяемом этой гранью. Для это-
го записать уравнение грани в виде а х+Ру + у = 0 и, учитывая, что это уравнение
есть одновременно уравнение прямой А[А^+. в плоскости Оху, воспользоваться усло-
вием выпуклости многоугольника А^ ... Ад,. 1193. Указание. Пусть SA1A2 ...
Ah — данная пирамида с вершиной в точке S. Общую декартову систему координат -
взять так, чтобы S лежала на оси Ог, а многоугольник A±A3 ... Ah — в плоскости
Оху. Доказать, что для каждой боковой грани SAtAl+1 все вершины, не лежащие в
ней, расположены в одном полупространстве, определяемом этой гранью. Для этого,
пользуясь задачей 1101, записать уравнение грани 5А;Ад+1 и воспользоваться усло-
вием выпуклости многоугольника AtA2 ... А^ 1194. У к а з а н и е. Достаточно по-
казать, что все ребра попарно равны друг другу. 1196. Указание. Показать,
что указанные отрезки пересекаются в центроиде вершин тетраэдра (см. задачу 53).
1197. Решение. Пусть О АВС — данный тетраэдр. Примем за начало координат
точку О, а за координатные векторы = ОА, е2 = ОВ, еа = б<5. Обозначив сере-
240
дины ребер ОА, ОВ, ОС, АВ, ВС, СА соот-
ветственно через Mi, М2, Л-13, М4> М5, Мв,
будем иметь: Мг ^-, 0, oj , М2 ^0, ~ , oj,
лЦо.о, I), ^(7.7.0), лЦо,
т)’ ^с(~2”’ °’ ' ®тс!ода получаем
уравнение данных плоскостей:
(0ЛМ5) у—z=0,
(OBMJ х—z=0,
(ОСТИ4) х—у=0,
(ЛВМд) х-Ьу+2г=1,
(BCMj) 2х+у+г=1
(САМ.J x+2y+z=l
Легко убедиться в том, что все плоскости
/1 1 „
проходят через точку QI —, —, — I. Дру-
гих общих точек плоскости не имеют,
1200. У каз ани е. Если AlDB1CBClAD1—
описанный параллелепипед тетра-
эдра ABCD, а Е и F — середины ребер
АВ и DC (см. рис. 43), то показать, что
вектор »£F =ABf. 1201. Указание.
Предварительно показать, что перпенди-
куляры к двум соседним граням правиль-
ного многогранника, восставленные 'в
центрах этих граней, пересекаются в од-
ф •
ной точке на расстоянии atg — от своих
I
оснований. Здесь а — апофема грани, а
Ф — двугранный угол этих граней.
1202. Указание, а) Показать, что все
прямые, соответствующие сторонам одной
грани, проходят через некоторую точ- ... Рис. 72
ку прямой, соединяющей центр . много-
гранника с центром этой грани; б) показать, что все прямые, соответствующие
ребрам, исходящим из одной вершины Р, лежат в плоскости, перпендикулярной
ОР, где О — центр многогранника. 1203. Указание. Воспользоваться
задачами 1201 и 1202. 1204. Указание. Ввести в рассмотрение единичные век-
торы alt а2, as, сонаправленные с ребрами трехгранного угла SABC так, чтобы
а1ага3> 0, и воспользоваться задачей 1028. 1206. У Казани е. Воспользоваться
задачей 1205. 1207. Указание, а) Воспользовавшись задачей 1029, показать,
что углы Рх, р2, Ра однозначно определяются .заданием углов а1Е, а23, а31; б) этот слу-
чай свести'ж случаю а). Для этого, воспользовавшись задачей 1029, показать, что
все соответствующие плоские углы данных трехгранных углов равны; в) н г) ввести
в рассмотрение полярные трехгранные углы и, пользуясь задачей 1205 и утвержде-
нием .6) или а), показать, что они равны; далее воспользоваться задачей 1206.
1208. Указание. Воспользоваться задачей 1207. 1210. Указание. Для того
чтобы получить первое неравенство, следует рассмотреть число ребер каждого много-
гранного угла и все эти числа сложить; для вывода второго соотношения поступить
аналогично с числом сторон каждой грани. 1211. Указание. Если через 13 и 14
обозначить число трехгранных и четырехгранных углов многогранника, а через f3
и — числа треугольных и четырехугольных граней, то предварительно показать,
что 2k = 3Z3 + 4Z4 и 2k = 3/8 + 4 /4, где k — число ребер. Далее воспользоваться
теоремой Эйлера для многогранников. 1212. Указание. Воспользоваться тео-
ремой Эйлера для многогранников и предыдущей задачей. 1213. а) х2 -j- (у — I)2 4-
+ г2 = 25; б) х2 + / + г2 = 36; в) (х — 5)2 + (у I)8 < (г + З)2 = 25.
241
1216. (х — I)2 + (у — 5)2 + (г + I)2 = 4. 1217. а) (—1, 0, 5), R =
.4,-1), R=4; в) (—6,3,0), R=2f2. 1218. (х2 + у2 + г2 + 15)2
ром.
1221.
х2+и» у2
т о
1214. а) (х — I)2 + (у — I)2 + (z — З)2 = 36; б) (х + 4)2 + (у — 7)2 + (г + 9)2=
=225. 1216. (х — I)2 4 (у — 5)2 + (г + I)2 = 4. 1217. а) (—1, 0, 5), R = 2;
б) (3,
= 64 (х2 + у2). Эта поверхность называется
= 4г2 (х2 + у2).
v2_L
1222. а) —
1220. z4 = 100 (х2 4- у2).
у2 Х24- Z2 у2
1223. z2 = sin2 /х2 4- у2. 1224.
' У4 4- У2 4“ 2 = 0
х = 0
1219. (х2 + у2 + z2)2=
z2 -F 25 = 10 У х2 + у2.
„ — ,3-------11 Г) X2 + z2=
д2 Ь2
Поверхность образована вра-
вокруг оси Oz; б) поверхность образована враще-
В)
а)
= 2ру.
щением кривой {
нием окружности радиуса 2 около хорды, стягивающей дугу 60°; в) одаополостный
х2 у2
гиперболоид, образованный вращением гиперболы — —— — 1 вокруг оси Оу.
1225. Поверхность представляет собой тор (см. задачу 1218). Сечение — две концент-
рические окружности с центром в начале координат: (х2+ у2—9) (х2 + у2 — 49) =0.
1227. Однополостный гиперболоид. Решение. Ось Oz совместим с прямой
llt а ось Оу направим вдоль общего перпендикуляра данных скрещивающихся пря-
мых. В этой системе прямая /2 имеет уравнения у — а, х = kz, где а — кратчайшее
расстояние между прямыми; Согласно предыдущей задаче уравнение искомой по-
верхности имеет вид: х2 + у2 — fe2z2= а2. 1228. а) Трехосный эллипсоид, оси кото-
рого лежат на осях координат; а = 5, b = 4, с = 2; б) эллипсоид вращения с центром
в точке (—2, 0, 0), первая ось которого принадлежит оси Ох, а две другие параллель-
ны соответствующим координатным осям; а — 2/3, ‘Ь = /6, с=' 2/3; в) трехос-
ный эллипсоид с центром в точке (2, —1, 2), оси которого соответственно параллель-
ны координатным осям; а — 3, b= Y&, с = зК2; г) мнимая сферическая поверх-
х2 у2 у2 z2 --°
посты 1229. "(Оху) — + Т- = 1, (Oyz) + — =1, (Oxz) — + — =1,
lb У У 4 а
х2 у2 г2
4 т 5 Т 20
х2 . у2
16 * 4
X х3+УЕ , t
В) 25 + 2
____ . х2
lb
X2 у2 22
1230. a) -4- ^-4- -J
1231. 4x2 4-У2 + z2 — 36. 1232. Решение. Пусть x= x0 + at, y=y04-B<,
z = гл 4" yt (1) — параметрические уравнения произвольной касательной к поверх-
ности в точке Af0(x0, у0, z0). Подставив выражения х, у, z в уравнение поверхности
и потребовав, чтобы точки пересечения прямой с поверхностью совпали, приходим
хйа у0В гм _ ...
к соотношеншо —— ± — ± — = 0. Отсюда следует, что прямая (1)
в2 62 с2
ХпХ уоу ' гог
параллельна плоскости — ± — ± — = 1 (2) (см. задачу 1072), а так
а2 Ь2 с2
как прямая (1) и плоскость (2) проходят через одну и ту же точку A40(x0, у0, Zq), то
прямая (1) принадлежит плоскости (2). Таким образом, любая прямая, касательная
к поверхности и проходящая через точку 7И0, лежит в плоскости (2). Отсюда следует,
что плоскость (2) является касательной. 1233. Указание. Воспользоваться
задачей 1232. 1234. У Казани е. Воспользоваться задачей 1232. 1235. а) Однопо-
лостный гиперболоид, действительные оси которого совпадают с осями Ох и Ог, а
мнимая ось — с осью Оу, а = 1, b = 2, с = 3; б) двуполостный гиперболоид с цент-
ром в точке (2, 1, —3), действительная ось которого параллельна оси Ох, а две дру-
гие— осям Оу и Oz; а-
в точке (0, 0, —1), оси которого параллельны осям координат; а = 2, b = У2,
X2 у2
с= 1. 1236. Эллипс + — — 1. 1237. Две прямые у — 4—0 и у + 4 = 0.
50 32
у-2 »i2 ~2 у2_1 у2
1238. а) — 4-у — —= 1; б) — — = 1. 1239. х2 4-2у2 — Зг2 4-1 = 0.
1240. Двуполостный гиперболоид, уравнение которого в данной системе
с= 2; в) одаополостный гиперболоид с центром
242.
X2 у2 22
координат имеет вид:— — — -т+—-=1. 1241. а) Эллиптический параболоид
5 5 4
с вершиной в начале координат, для которого координатные плоскости Охг и Оуг
являются плоскостями симметрии; р = 2, q — 8; б) эллиптический параболоид
(5 \
0, 0, — I, ось вращения которого параллельна оси Ozj
р= <7= 1; в) гиперболический параболоид, плоскости симметрии которого парал-
лельны координатным плоскостям Охг и Оуг; Р=~£ > Я = • 1242. 4х2+ 9у2 = 36г.
1243. х2 — Зг2 = у. 1244. Два эллиптических параболоида вращения с осью I и вер-
шинами в точке О пересечения прямой I и плоскости а; эти параболоиды симметричны
относительно плоскости а. 1245. Указание. Задача решается аналогично зада-
че 1232. 1246. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 1247. Уравне-
ния систем прямолинейных образующих:
(х + ЗХу — z = ЗХ,
t Хх — Зу + Xz — 3;
х — 2 у — 1 z х — 4 у + 2
,248- —=Ъ-=ти~
X — Зру— 2 = Зр,
|хх + Зу + pz = 3.
Z
— 1250. Гиперболический _да-
1
2
раболоид Зхг — 2yz+2x—у = 0. _____.
вольная точка искомого множества Й, а р {plt р2, р3} — направляющий вектор
прямой /, параллельной плоскости Оху, г~ ——- —’— *'* т— —
р II Оху, то ps = 0. Принимая М за начальную точку прямой I, напишем ее урав-
нение X = х + pjt, Y = у + p2t, Z = 2. Эта прямая \лересекает данные прямые,
поэтому ,
Р е ш-е н и е. Пусть М (х, у, г) — произ-
на' которой' лежит точка А1. Так как
=» г. Эта прямая \пересекает данные прямые.
х — 1 у — 2 z
2
Pi
X у Z
О О 1 =0 и
Pi Pi о
3 1=0.
Pi о
Мы получили систему уравнений относительно рх и р2;
УР1 — Ч>2 = 0,
(У — 3z — 2)рх + (—х 4- 2z + 1) р2 = 0,
Так как рх и ра одновременно не равны нулю, то
|У —* I — л
|у — 3z—2 —х 4-2z 4-1 | и’
или в развернутом виде
3xz — 2угГ+ 2х — у = 0.
(1)
Итак, если точка М (х, у, г) принадлежит множеству Й, то ее координаты удовлет-
воряют уравнению (1). Легко показать, что любая точка поверхности (1) принадле-
жит данному множеству Й. 1251. xz+2y—2z=0. 1252. 20х2 4* 13у2 + 25г2 —
—24ху— 12xz—16yz — 220х + 190у—50г +641 = 0. Решение. Все точки
М (х, у, г) круговой цилиндрической поверхности находятся на одинаковом рас-
стоянии р от ее оси, где р — расстояние от точки Мо (2, —1, 0) до данной прямой.
Как известно, р --------—--------, где АД — данная точка, Мо — начальная точка,
1л1
ар — направляющий вектор прямой. Непосредственным подсчетом убеждаемся в
том, что р = 3. Для того чтобы точка М (х, у, z) лежала на круговой цилиндриче-
|[р-ЛКМ]|
скон поверхности, необходимо и достаточно, чтобы-’------------ 3. Подставив сюда
Ipl
координаты данных точек и вектора р, после элементарных преобразовании полу-
243
чаем уравнение поверхности. 1253. 8х2 4* 5уя + 5г2— 4ху + 8уг+ 4хг + 16x4*
4* 14у 4* 22г — 39 = 0. * 1254. а) |х — г)2 + 2 (х — г) у 4 Зу2 — (х — г) = -0;
6) у2— yz+ 5= 0; в) 1; Г) (х — 1)® 4 г2 = 4. 1255. х2 4" у2=
5 4
= 25. 1256. 2х2 + (у + г)2 — 18= 0. 1257. а) (х — г)2 + у2 — у (1 — г) = 0;
6) х2+у2 —16(1—г)2= 0. 1258. х2 + у2 + 7 г2— 16ху — 8xz — 8yz + 62х +
4- 44у — 32г — 11 = 0. Решение. Для того чтобы точка М (х, у, г) лежала
на конической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы вектор SM составлял
с нормальным вектором п данной плоскости угол 0 = 90° — «р = 45°. Так как
ct,/ 1 о /о о п а 1 2(х-1)+2(у-2) + (г-4у
SM(x-l, у-2, г-4) и „(2.2,1). ™ «е- •
Отсюда получаем уравнение искомой поверхности. 1259. 27[(х — I)2 + (у — 2)2 4*
’ x% 2v^ 6z^ №
+ (Z-3)21= 4 (2х + 2у — г — З)2. 1260. а)-+ — = 0; б) - +
ZU 10 О 2
4* Зг2 — ху 4- 4хг — 2уг =0. 1261. х2 (— — с] + у2 I — — с) — сг2= 0. 1264. Ко-
\а2 / \Ь2 /
ническая поверхность с центром в точке пересечения прямых /х и Z2, ось которой
совпадает с прямой 12. У к а з а н и е. Вывести уравнение искомого множества точек
в прямоугольной декартовой системе координат, две оси которой совпадают с пря-
мыми 1г и /а. 1265. г= п; например, {1, 0, ..., 0},"{0, 1.0}, {0,0, ..., 1}. 1266.
г= 9; например^ девять матриц Ми, Л41а, /И13, Л1а1, ..., Л433, где Мц есть матрица
третьего порядка, все элементы которой равны нулю, за исключением элемента,
находящегося на пересечении i-й строки и /-го столбца, который равен 1. 1267..
Указание. Воспользоваться ответом задачи 1266 и обобщить на случай произ-
вольного п. 1268. г= 1; любое положительное число, отличное от 1. Нулевым век-
тором будет единица. 1269. Нет, так как существуют такие векторы a Я, b(f,Q,
что а 4- b С Я. 1270. Например, функции /х (х) = х, /а (х) = х2, ... ..., '
» xft, ... линейно независимы при любом k. 1271. »х {1, —6, 7, 2), р2 {1, 1, 8, 7},
{7 13 19 1
-•j • - 7 • -4] • 1274-х = 2°i- °2 + 3°з+в4-
1275. х{3, 1, —1, 0}, у{1, —1, 3, 4). 1276. а) г= 3; например, аъ йх и rfx; б) г= 2;
например, аа, da; в) г = 3; например, а3, й3, е3; г) г = 2, например, at сл. 1277.
Д (П | 1)
/=---------. Базисом могут служить матрицы Лу(1 <f, I, j—l, 2, ..., п), у каждой
из’которых элементы ау и ад равны единице, а все остальные — нулю. Например,
при п = 2 имеем:
А _ /1 0} А _ (0 1\ . . _ /0 0\
\0 о)’ Л12—иод Л22— \0 1J •
/J (fl 11
1278. г =-----— . Базис образуют, например, матрицы Ац (i < /, /, / = 1, 2,...,
п), у каждой из которых элемент ац равен единице, ад равен —1, а все остальные
элементы равны нулю. Например, при п = 2 базис состоит из одного вектора Д1а =
= ( । J). 1279. а) Да; г= п— 1. Базисом, например, служат следующие векторы:
{1,-1, о/..., 0}, {1,0,—1.....0}..... {1,0.......О,—1,0}, {2,0,0.......—1);
б) нет; в) да; г = п — 2. Базис образует, например, векторы {1, 0, 0,..., 0}, {0, 0, 1,
[nl
— , где знак _
[о] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее а. Базис образуют, на-
пример, векторы alt а2, ..., afn ,. Здесь at — вектор, у которого координата с
[г ]
номером 2i равна единице, а остальные равны нулю. Например, при п = 5 имеем:
г = 2, а базисными будут следующие векторы:.{0, 1, 0, 0, 0), {0, 0, 0, 1, 0); д) да;
г = 2. Базис образуют векторы (1, 0, 1, 0 ...) и (0, 1, 0, 1); е) нет. 1282. Пусть Уо --
244
сумма, a V„ — пересечение подпространств, а) Уа совпадает с R3, a V„ — множе-
ство всех векторов, коллинеарных линии пересечения плоскостей лх и ла; б) Ув
совпадает с множеством векторов, принадлежащих плоскости ях, a Vn — с множест-
вом векторов прямой /3; в) Ул — совпадает с множеством всех векторов плоскости,
параллельной прямым /4 и /5; Vn — нулевой вектор; г) Уа совпадает с R3, Ул —
нулевой вектор. 1283. Указание. Пусть аъ а2, .... ап — базис подпростран-
ства Ул. Дополнить Эти векторы до полного базиса пространства Vp аи
а2..... ая, bn^,,..... bf, далее дополнить те же векторы до полного базиса
Пространства У^: alt а2, ... ап, Сд.,.], .... с* и доказать, что система векторов
Лх, аа....ал, .... bi, ся_|_1, .... С/, является базисом подпространства Ув.
Отсюда будет следовать, что ст — л + (I—л) + (k—л) = I + k—л. |
1284. Указание. Использовать указание к задаче 1283. 1285. Указание,
а) Использовать результат задачи 1284, а также учесть задачу 1283; б) использовать
задачу 1284 и, кроме топ>, показать, что векторы ps_^2.........Ре линейно не-
зависимы. Далее воспользоваться задачей 1283. 1286. Пусть Уо — сумма, а Уя —
пересечение данных подпространств: а) Уо —трехмерное пространство е базисом
{—1, 0, —2, 3}, .{1, 2, —5, 3}, {3, 1, 0,1}; Ул — одномерное пространство, натя-
нутое на вектор {0, 2, —7, 6}; б) Уо совпадает с Rit а Ул — одномерное подпро-
странство, натянутое на вектор {1, 3, 12, —1}. 1287. а) Базис суммы Уо образуют,
например, векторы ах, аа, bit а базис произведения Ул состоит из одного вектора
с= ,ах + 2аа = bi + b2. Вектор с имеет координаты {3, 5, 1}; б) базис суммы об-
• разуют, например, векторы ах, а2, а3, Ьг, а базис произведения — вектор Ь2 =>
— —2ах +.а2 +а3; в) Базис суммы состоит, например, из векторов ах, а2, а3, Ь3,
а базис произведения, состоит например, из векторов сх — ах -р а2 + а3 =
= b3-j-bi и с2 = 2ах + 2а3 = Ь2 + Ь3\ сх {1,2, 2,1}, са{2, 2, 2, 2). 1288. а)
Подпространство Уо совпадает с У; базисными векторами являются, например, век-
торы-ах, а2, а3, а4. Подпространство 1УЛ совпадает с 1У; базисными векторами яв- х
ляются, например, векторы йх, Ь2, б) подпространство Уо совпадает с R3, подпро-
странство 1УЛ содержит только О-вектор. 1290. Указание. Воспользоваться
задачей 1283. 1292. Нет, так как, например, распределительное свойство не всегда
выполняется. 1294. а) —16; б) 12; в) 6; г) —39; д) 119. 1295. ab — прямой; ас—ту-
пой; ad— тупой; Ьс—острый; bd—тупой; cd— прямой. 1296. Указание. Ис-
пользовать тождество (х+у)а=хх +2ху+уу. 1297. Записать линейную зависимость
данных векторов в виде ахах + а2а2 -f- ... -р amato = 0 и умножить скалярно это
соотношение соответственно на ах, а2,.... ат. 1298. Указание. Воспользоваться
предыдущей задачей. 1300. Указание. Сначала показать, что йх, Ь2, .... Ь^ —
ненулевые векторы, далее показать, что bjbj = 0, если i Ф j. Для последнего
применить метод математической индукции. 1301. Например: а) {—1, 8, 5, 0},
{4, —2, 4, 3); б) {3, 0, —1, 0}, {1,0, 3, —2}. Указание. Можно воспользовать-
ся задачей 1300. 1304. Двумерное подпространство, натянутое на векторы: а) {1, —1,
1, —1}, {2, —2, 0, 0}; б) {3, 0, 3, —2}, {0, 3, 9, —4}. 1305. Указание. Рас-
смотреть ортогональное дополнение пространства Уд. и использовать задачу 1302.
1307. а) О (0, 0, 0, 0), Ех( S*, S2, S?; Sz); б) середина отрезка ОЕ/ имеет координаты
f-s’ ,-s2,-s.3 ,-sf
^2 ( 2 1 2 1 2 ‘
(т ’ ~2 ' °’ °) '
-,с ‘ '
2
j. Середины остальных отрезков имеют координаты ЕхЕа:
°4
0, —-, о) . Здесь Si
2 / ‘
1 \ / 1 1 \ /1 1 \
0) ; Е3Е4: О, 0, - , - ; Е.Ег i - . О, 0. - }
/ \ л л j \ “ /
= 1, если i = j, и S? = 0, если i Ф j. 1308.
EiE3 :
5 8 .
-, — — , М.
3 3/
3 * \
, 5, —б!. 1310. Если Р (уХ|
1, —2 , М3 — 1,
Ч 2
245
tnixii+ mAl + •••+ „
Уз,—,Ул), тоуг=--------г—;---------------— , где i = 1, 2...... п. Замеча-
/пх4-тз+ —
'5 1 41 7\
— , —— , — , — . 1312. Если Р (ух, уа, .... у„)—•
4 12 12 3 /
xlti)i М2 (Х2Х, ^22» ^2/г ), ..., (х^х, Х/>а, •••• xkn)»
где i = 1, 2, ..., п. Указание. Воспользоваться
, 0), £х (1, 0..0), Е2 (0, 1, .... 0), ..., Еп (0, 0.1),
1315. Указание. Ввести в рассмотрение систему
и и е. Ср. с задачей 52. 1311.
центроид точек Mt (х1х, хХ2,
Х11 + Kzi + — + Xkl
^yt=-----------~k------
задачей 1310.1314. О (0, 0, .
/11 1
Afn'l---- , -------. ... , - I.
\п + 1 п + 1 п + 1 /
координат и, пользуясь задачей 1312, показать, что общей точкой рассматриваемых
отрезков будет центроид вершин. 1316. 4-параллелепипед имеет 16 вершин:
Ав (0, 0, 0, 0), At (1,0, 0,0), Л2(0, 1,0, 0), Ла (0,0, 1,0), Л4 (0, 0, 0, 1),
Лха (1, 1, 0, О,), Л13 (1, 0, 1, 0), ЛХ4 (1, 0, 0, 1), Ли (0, 1, 1, 0), Л24 (О, 1, 0,1),
Л34 (0, 0, 1, 1), ЛХ23 (1, 1, 1, 0), ЛХ24 (1, 1, 0, 1), ЛХ34 (1, 0, 1, 1), Л234 (0, 1, 1, 1),
ЛХ234 (1, 1, 1, 1). 1317. Указание. Дополнить векторы аи а2, ..., ат до полно-
го базиса и вычислить координаты всех вершин данного /п-параллелепнпеда в систе-
ме Айа1 а2...а„ (см. задачу 1316). Показать, что серединой каждой диагонали явля-
ется точка с координатами хх = х2 = ... = хт= — , хт+х = хт+2 = ... = хп= 0.
1319. ЛХ35 (3, -1, 4, 4, 1), Л1235 (3, 0, 4, 4, 1), ЛХ345 (3, -1, 4, 5, 1), Л36 (2, -1,
4, 4, 1), Л16 (3, —1, 3, 4, 1), Л13 (3, —1, 4, 4, 0). Векторы, соединяющие вер-
шину ЛХ35 со смежными вершинами, равны е2, ел, — elt — е3, —еъ.
1320. Указание. Пусть М t г ... — некоторая вершина (т — 1)-паралле-
лепипеда|/Иоа1... а/+1.(относительно обозначений см. задачу 1316). Если
*1 < Ь < ••• *s-i < 1 < is < ••• < гй> то показать, что эта вершина являет-
ся серединой стороны Ailia ... ikAi^... is-i iis ... ik исходного m-паралле-
лепипеда. 1321. а) /122; б) 7; в) /38. 1322. рх = /17, р2 = /30, р3 = 5, р4 = 5,
р5 = /26. 1323. Указание. Показать, что АВ ВС = 0. 1324. cosax = — ,
3 6 /11 1 \ VrT
cosaa =0, cosa3 = — cosa4 = —. 1326. С I — , — , ... , — I , р= Е?— 1327.
Указание, а) Воспользоваться задачей 1318, б). 1328. Квадрат и обычный куб.
Указание. Воспользоваться задачей 1318. 1329. /fe a, cos<p= • 1330. Центр
совпадает с серединой любой диагонали; р = V// у Казани е. Восполь-
зоваться задачами 1317 и 1329. 1331. Если векторы е\ имеют координаты1 et {aix, ai2,
5
«й. “й. «&}, то Xi — «//У/, i = 1, 2, 3, 4, 5. 1332. хх = 2ух + у3 — у4,
>• z=i
х2 = — Зу4 + у2 — 2у3 + у4, Ха = ух — 2уа + 2у3 — у4, х4 = ух — у2. 1333. Ес-
ли О' имеет координаты (ax, a2, ...,а„), то у/=х4—а^, где i == 1, 2, .... п.
1334. Если в Rffii и О' имеют координаты ai2,.... О/п}, О'{ае1, ае2, ...,аоп}, то
xi = + аоь гДе « = 1,2, .... п. 1335. а) /{1,1,1}, {— 3, 1,0},
/{1,0,0}, О'(0,0,1); б) ^=ег(/= 1,2, 3, 4), О'(1, —1, 5, 0); в) ^{1,
0* .... 0}, е2{1, 1, 0, .... 0}, .... е'п {1, 1,...» 1}, О' (1, 2, 3 п). 1336. хх =
= Уз, *2 = —У1 — У« — Уз — у4 + хз = Уз, хг= У4- 1337. Нет, так как опреде-
1 В задачах 1331 — 1341 хх, х2.. хп — координаты — точки или вектора в
старой системе координат, ух, у2, .... уп координаты точки или вектора в новой
системе.
246
литель, составленный из коэффициентов при переменных у1, равен нулю. 1338. а),
б) и г). 1339. а) Да; б) нет. 1340. Да. 1341. хх = — у3 +1, х2 = уп Xg — — у4 + 1,
х4 = уа, х5 = —у6 + 1. Так как матрица коэффициентов при yj ортогональная,
то новая система координат прямоугольная декартова. 1343. 6) и в). 1344. 7ИХ,
Af4 и/>2* 1345. Л12, и рд. 1346. Ет, ^m-н» •••» ^т+1 •••»
е„_х — еп. 1347. (Охх) : х2 = х3 = хх = 0; (Охд) : хх = х3 = х4 = 0; (Ох8) ; хх ==
= х2 = х4 = 0; (Ох4) : хх = Ха = Хд = 0; (Оххх2х,) : х4 = 0; (Оххх2х4) : ха =
= 0; (OXjXgX^) : ха = 0; (Ох2ХдХ4) : хх = 0. 1348. Па; хх — 2ха + 1 = 0, х3— х.==
= 0. 1349. Пд; Xi — ха + х4 + 2 =0. 1350. П2; ха = —1, х4= 4, х5 = 5. 1351. Пх;
хх — St, ха = —2t, Хд = 3 — St, х^= 4 — St, х6= 1. 1352. П„_х; хх + ха + ... +
+ х„ = 1. 1353. Координатная fe-плоскость: хА+1 = х*+2 = ... = хп = 0.
1354. Доказательство. Пусть Мг Л4а, ..., Af^+a лежат в плоскости Пл.=>
= {Aft, Vs), где s < k. По определению имеем: MtM2czVs, AfjAfgC ...
..., Д4х7ИА+2 с Vs, т. е. МгМ2, MiMa, .... MiMk+2 линейно зависимы:
или а2МгМ2 + ... + ak+2MiMk+^ = °- (D
«2(^2 — t\) + а3 (г3 — гх) + ... + а* +2(га+2 — гх) = 0. (2)
Если обозначить через ах число—аа—а3—...—аА+а, то получим искомый ре-
зультат. Теперь докажем обратное утверждение. Из условия задачи следует, что
ах = — а2—а3 ... —аА+а, причем хотя бы одно из чисел а2, а3,..., ай+2 отлично от
нуля. Подставив это значение в соотношение а1г1 +... +«А+агА+а=0, получаем (2)
или (1). Пусть, например, а2 0, тогда из соотношения (1) получим:
Л^2 =————ЛМ14+... + (——) ЛМ4й+а.
Ctg \ ^2 /
> ' >
Если Vs — подпространство, натянутое на векторы Л1Х7И3..AfxAf^+2, то это соот-
ношение показывает, что Л1а С {Л4Х, Кл}. Очевидно, s < k. 1355. Указание.
„ . ,. ®i+ &2~1- ^-Рд
Если (хх, х2,..., х„)— координаты точки М, то хх= —-——— , ха= ——-——, .... хи=>
1 4“ л 1 -р л
= . Далее воспользоваться условием М а-Пп_х. 1356. Указание. Си-
1-1- л
стему координат выбрать так, чтобы гиперплоскость П„_х имела уравнение х” = 0.
И, пользуясь задачей 1355, определить отношения, в которых гиперплоскость П„_х
делит отрезки АВ, ВС, и СА. 1357. I = 0; пересекаются в единственной точке (1, 2,
0, 0). 1358. 1 = 1; плоскости полностью параллельны. 1359. I — 0; плоскости скре-
2
щиваются. 1360. 1 = —; пересекаются по плоскости Па : хх + ха + ха—х4 + 1 =0,
О
хх— 2ха 4- ха + х4 = 0. 1361. I = 1; гиперплоскости полностью параллель-
ны. 1362. S —
; плоскости частично параллельны. 1363. Указание.
Доказа-
тельство провести рассуждением от противного. 1364. Указание. Ввести в рас-
смотрение систему координат так, чтобы первые т векторов системы принадлежали
плоскости Пт, а остальные—подпространству Vn-m, и воспользоваться задачей 1312.
1365. Указание. Предварительно показать, что базисы данных плоскостей, вместе
взятых, образуют базис всего пространства. Доказательство единственности разло-
жения провести рассуждением от противного. 1366. У Казани е. Для доказатель-
ства первой части теоремы рассмотреть плоскость {Ао, Уо }, где Ло — одна из точек
пересечений, a Уа — сумма подпространств данных плоскостей Пх и П2, и доказать,
что эта плоскость является объединением данных плоскостей. Для доказательства
второй части предварительно показать, что если Л1хс: Пх, а М2 CZПа>.то Мх7ИаC.Va,
12 35 11 ]6Х — fe2|
1367. а)- ; б) - ; в) 0; г) -. 1368. d= -==Li==A= . 1369. а) 4; б) 12.
7 9 8 у а2+й2+...+а2
1370. TF=- У к а з а и н е. Записать уравнение гиперплоскости, проходящей через точ-
247
кн Elt Е2, .... Еп и вычислить расстояние от начала координат до этой плоскости.
(374. а) 2хх4-4ха—х4—9=0; б) (1, 2, 0, 1); в) /30. 1375. а) х3—xt——1, хх4- 2ха=,
= 0; б) (0, 0, 0, 1); в) И13. 1376. Указание, б) если А и В — две из данных
точек, то систему координат выбрать так, чтобы точка А была началом, а вектор
АВ г- первым координатным вектором. 1380, Указание. Если V* и V( —
подпространства плоскостей П/; и Пг, а Уо — сумма этих подпространств, то сначала
показать, что <т = п — 1. Далее взять ненулевой вектор р, ортогональный Уо , и
показать, что подпространство V^+x, содержащее V/, и р, является подпространством
искомой плоскости. 1381. а) (хх — х0Х)2 + (ха — хоа)2 + ... + (хп — х0п)2 = р2;
Л
б) 2 gij(xi — xoi> (xj — = P2- Указание. Сначала показать, что вектор-
ное уравнение данной гиперсферы имеет вид: (г — г0) (г — г0) = р2. Далее восполь-
зоваться задачей 1299. J 382. a) xf+ х|~|- х34- х| — 4х} — 6х3+ 2х4— 11 = 0;
б) xf+ х|+ х|+ х%— 4 = 0; в) xf 4-х|+х3+х4 —2хх — 6х4+9= 0.
1383. а) (0, 0, 7, 0), р = 7; б) (2, —1, 0, —3), р = 5; в) (5, 0, —1, 0, 1), р = 1;
г) (2, 0, 1, —1, 3), р = 2; д) (1, 2, 3.п), р = 4. Указание. Воспользоваться
формулой 12'4- 23 -J- З2 + ... + п2 = -7 (2п +1) (n + 1) п.
6
1384. Гиперсфера, центр которой лежит на прямой АВ. 1385. xf+ х^+ ... +
4- х% — *i — Хз — ... — хп = 0. Указание. Воспользовавшись задачей 1314,
найти координаты всех вершии данного симплекса, а далее использовать задачу
1381, а). 1386. Указание. Пусть Ао, AL,.... Ап — данные точки. В системе коор-
динат Оеге2 ..., еп, где ei~ АВА{, пользуясь задачей 1381, записать уравнение
искомой сферической гиперповерхности в виде У, gij (хг — xel) (xj— х0Д = р2..
Далее, пользуясь условиями задачи, показать, что хи, хоа, .... хе„ и р определяются
однозначно. 1387. а) ахх = 3, а22 = = 1, fli3 = = 1, а12 = = 1, я23 =
= аза = 2, г = 3; б) аи = оаа = Яда = а44 = ахз = язх = а24 = я4а = 0, остальные
элементы равны единице, г = 2; в) ах1 = 3, а22 = — 1, я»=1» «44= 5, остальные
элементы равны нулю, г = 4; г) аи — а22 = 1, яха = а13 = a2i = с21 = а31 == «41 =
= , остальные элементы равны нулю, г = 3; д) схх = 1, я22 = 4, аха = яах = 2,
г = I. 1388. а) Зххух + хауа + х3у= + хху„ + х3у, + 2хау3+ 2х,уа + x-xy2 + х2ух;
б) Х!Уа + х2ух + Хауз + х3у2 + х3у4+ х4у3 + *4У1 + х^; в) Зххух — х2у2 + х3Уз+
+ 5х4у4; г) Ххух + хауа + — ххуа 4- — хаух + — хху3 + — х3ух + — хху4+
д) Х1У1 + 4хауа + 2хху2 + 2хаух. 1389. а) Указание. Воспользоваться преды-
дущей задачей. 1390.’ а) яу = 0, если i < п и / < п; б) ап — а22 = ... = апп = 0.
13911. У1+У2; У1=3хх—Ха, у2 = 2ха. 1392. у,— у'<2', ух= хх — Зх2 + х3,
у2 = ха, Уз — Хд. 1393. у,; ух = хх Ч- 2ха х3, уа = Ха, у3 = х3. 1394. У] Уз “F
+ у4; У1= 2xj + ха+ х, + х4, уа = х2, у3 = х3 + х4, у4= х4. 1395. yf —у^ +
+Уз+У4“Уб- У1 = 2-^1 + *2 4" х5» Уа = 2ха4-2х4, у3 = 2х3 —Зх4, у4=х44-хв,
у5 = х5. 1397. (1391) 2; (1392)0; (1393) 1; (1394) 1; (1395) 1; (1396) а), б) в) 3.
1398. %х = 0, {1, 2, 1}; Х2 = 6, {1, 0, —1}; Х3 = —6, {1, —1, 1). 1399. Ах = 1а = О,
подпространство, натянутое на векторы {1,—1,0), (1,1,—1}; Х3 = 6, {1,1,2}.
1400. /х = А.а = Хд = —, трехмерное подпространство: рх — р2 — ps+ Pt — 0;
3 х
Х4=——{1,—1,—1,1). 1401. Хх=1а=Х3=5, трехмерное подпространст-
во, определяемое соотношениями: 2ра 4* Рз — 0, —Зр4 + 2р6 =0; Х4 = — 8,
• {0, 0, 0, 3, —2}; Хв = 0, {0, 2, 1, 0, 0}. 1402. Хх = 3, ех; Ха= 4, е2; Х3=—1, е3;
248
14 == 1; е4; кб = le = 0, ае6+Р^4, где е2, е3, е4, et, е,—данный базис,
а а и Р — произвольные числа, не равные одновременно нулю. 1403. 50у|; xL =
~ 3^-(У1 +7У8), х3= ^-(-7У1 + Уг). 1404. Зу® +9у® + бу®; хх= ^±-2^+-2-^,
х 2Ух-2у2+уз г ^^Ух+У^Уз . 1405_ Зу? +6у2 _ . у _ 1 (Х1_Ха+Хз)>
о О У V
Уа = у= (*i — — 2х3), у3 = у== («1 + х2). 1406. у| — у|+ Зу|+ 5у®; ух =
= “ (*! + х2 + Хз + *«). Уа = "£(*1 + *2 ~ *з — *а). Уз =77(*1 — *а+ хз ~ **)•
у4 = (*i — х2 — х3+ Ха). 1407. 4yf + 4у| + 4у| — 6у| — 6у|; хх = уъ х2 =
= (Уз + 2уа), х3 = (—2уа+уа), xt = ^== (у3 + Зу6), х0 = р== (Зу2—у5).
1409. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 1410. а) аи = =
= ... = аЛЛ; остальные коэффициенты равны нулю; б) ам= в13= ... = о1п = 0;
в) с1Х = с22 = ... = akk, а1}=И, где i Ф j, i = 1,2,.... k, a j = 1, 2,.... п.
1411. а) (0, 0, 0), (1, 1, 1); б) данная прямая является прямолинейной образующей.
Указание. Записать параметрические задания прямых. 1412. Квадрика пересе-
кает гиперплоскость Ох1х2х3 по эллипсоиду, а остальные координатные гиперплос-
кости — по одиополостному гиперболоиду.
рх+Хз — ха + 3 = °, (Хх —Хз + 2 = 0,
(х3 — 1=0 ( Хх 4- х2 + 2 = 0.
1414. Указание. Систему координат Оегеа ... еп выбрать так, чтобы Пт =
= {О, £i, е2, ..., ет}. Записать в этой системе координат уравнение квадрики О.
1415. a) <Zxi=ж 0, П22 > И, fl-зз > 0, ..*, Gji/i > 0 или «22 0, «33 «с 0, ...,
б) ац > 0 или «у < 0, i= 1, 2.... п. 1416. Два асимптотических направления
{1,1} и {1, —1}, <1 = 0. 1417. Имеется только одно асимптотическое направление
{—4, 3), 0=0. 1418. Асимптотические направления определяются из условия
pf + 2р|= 0, ст=0. Векторов квадрики не существует. 1419. Асимптотические на-
правления определяются из условия 2р, + р®—4рхр2=0. о=Г. Асимптотическое под-
пространство определяется вектором {0, 0, 1). 1-цилиндрическая квадрика.
1420. Асимптотические направления определяются из условия р®+2рх p2+p| — 2р|—
— 2р®—4рзР4=0, 0=1. Асимптотическое подпространство определяется векто-
ром {1,—1,0,0}. 1-цилиндрическая квадрика. 1421. 1-цилиндрическая квадрика.
1422. 2-цилиндрическая квадрика. 1423. 3-цилиндрическая квадрика. 1424. Одна
вершина (1, 0, 0). 1425. Двумерная плоскость вершин: хх + х4 — 1=0, х% — 3=0.
1426. Двумерная плоскость вершин: — х2 + х6 = 0, х^ + х4 = 0, х4 + 2х4+
+ х6 = 0. 1427. Однополостный гиперболоид: У? + у| — Уз — 4 = 0. 1428. Две
параллельные плоскости: у® — 2 = 0. 1429. Эллипсоид: У1+У2+У3+У4—1 = 0.
1430. Параболоид: У1 + y^ —У3 + У4 = 0. 1431. Пара пересекающихся ги-
перплоскостей: у® — у|= 0. 1432. 2-цилиндрическая квадрика: у® + у® — уз = 0.
1433. Указание. Сначала показать, что множество Gp всех точек пространства
Rn, принадлежащих всем асимптотам или прямолинейным образующим направления
п п
р, определяется уравнением 2 aljPiKj + 2 ~ ”^ак как по УСЛ0ЕИ1° б) ие
i,/=i i=i
все координаты при х4, ..., хп равны нулю, то этим уравнением определяется ги-
перплоскость. 1434. а) Хх + 5ха — х3 + 5 = 0; б) х2 — х3 = 0; в) х2 + х4 = 0.
1435. 6х2 — 1 = 0. 1436. 4хх + 5*2 — 2хд = 0. Указание. Использовать центр
1 Ответы к задачам 1391 — 1395 неоднозначны.
249
A
(1)
квадрики. 1437. Зх4 + 5x2+ 2x3 + 2 = 0. 1438. x4 — x2 — x3 = 0. 1439. 38x, +
4- 39x2 — 20x3 — 1 = 0. 1440. x, — 2xa = 0. 1441. a) x4 + 3x2 — x3 — 1 = 0;
6) 4xr + x2 + x3 + x4 — 2=0. Решение, а) Найдем координаты вектора
a{alt a2, <%}, сопряженного искомой диаметральной плоскости:
*1мД1+ ^ia^-2 4~ а1з^з ^21^1 + ^22^2+ ^азаз ^31^1+ G32fl2 + а330з „
------------------=-------------------- =-----------—--------. Для данной за-
jlJ С
ба, + Зса + 20s За, + 9а2 —2а, + а2
дачи получаем: -------j-------=-----------=---------j--,
отсюда будем иметь: а {2, —1,5}. Записав уравнение диаметральной гиперплоскс*
ста, сопряженной вектору а, получим искомый результат. 1442. Решение. Пусть
Р(а.₽.Т} — вектор, который сопряжен диаметральной плоскости Ох^. Задача
сводится к тому, чтобы подобрать такие а, 0, у, для которых
апа + О21₽ + ад = 0,
а12рс + а22Р + ад = О,
а13а + а23₽ + а33у^= О,
а14а + а24р + ад = О,
причем Р = (аиа + а12£ + ад) а + (а21а + + ад) Р + (адх + а326 +
4-«зз7)7=+0. Последнее условие означает, что вектор {а, р, 7} не имеет асимптотиче-
ского направления. Из соотношений (1) следует, что условие Р + 0 равносильно ус-
а р
ловию 7 =/= О.,Разделив уравнение (1) на 7 и обозначив — = р, — — q, получаем:
7 7
- аир + a21q + а31= 0,
^1йР 4" ^22*7 + О32 = О,
аиР 4- q + Ом — О,
ад 4- 023 q + Одз + 0.
Таким образом, плоскость Оху является одной из диаметральных плоскостей тогда
и только тогда, когда существует такое число А Ф 0, что система
ад + ад + Оз! = 0, ад + a22q + = О,
ад + «24? + Ом = 0, а13р + a23q + а^— 4 = 0
имеет хотя бы одно решение, т. е. совместна. Мы пришли к следующему выводу: для
того чтобы плоскость Ox-iXg была одной из диаметральных плоскостей, необходимо
и достаточно, чтобы существовало такое число 4 =/= О, чтобы ранги матриц
(2)
(3)
(4)
(5)
а11 в21\ /+1 Я21 Я31
012 а22 I I a12 °22 °32
+1 fl24 / I аИ
а13 а23' > '«13 й23 азз—
совпадали. 1443. а) Да; например, пара параллельных гиперплоскостей xj — 1 = 0.
Эта квадрика имеет единственную диаметральную гиперплоскость х4 = 0; б) все
диаметральные гиперплоскости проходят через (п — 2)-мерную плоскость пересе-
/3 \
чения данной пары гиперплоскостей. 1444. а) (1, 1, —1); б) (0, 2, —2); в) I — ,0, —11.
1445. а) Прямая центров: Зх4 — 2х2 = 0, х2 — Зх3 + 6 = 0; б) нет центров; в) един-
ственный центр (0, 0, 0); г) плоскость центров: х4 + 4х2 — 4х3 + 5 = 0.
1446. а) ^1, 0, 3, — ~ j; б) (О, 0, 0, 1); в) (0, 0, 0, 0,0). 1447. а) Прямая центров: 4х4+
+ 2х4+1=0; х2=0, х3=0; б) трехмерная плоскость: х,—2х2=0, х3 + 2х4—2=
= 0; в) гиперплоскость: х4 — х2 + xs = 0. 1449. Уравнение квадрики имеет
вид: хп + а = 0. 1450. >bt = b2 = ... = Ьп = 0; alt = atl = 0, i = I, 2, .... n.
1451. а) Главные диаметральные плоскости: 2xt + 2x2 — 1 = 0, 3x4 — 3x2 + 3x3 —
— 4=0, 6x4 — 6x3 — 12x3 — 7=0; оси:
250
f 3xr— Зх2 + Зх3— 4 = О, f 6xt— 6х2— 12х3— 7 = 0, f 2xt + 2х2 — 1=0,
, 16х,— 6х2— 12х3— 7=0; ( 2xt + 2ха — 1=0; [ Зхх— Зх2+ Зх3— 4=0;
б) главные диаметральные плоскости: 4xr + х2 + 2х3 +7=0, хх = —2х2 х3 +
+ 5=0; ось ( 4xj + х2 + 2х3 +7=0,
I хх — 2х2 — х3 + 5 = 0;
в) , глааные диаметральные плоскости: х, — х3— 1 = 0, х, — х2 + Хд = 0; ось:
I х, — х3 — 1 = 0,
1 х2 + х3= 0;
г) главные диаметральные плоскости: хх + х2 = 0, Зхх — Зх2 — 6х^ — 1 = 0,
Зх, — Зх2 + Зх3 + 5 = 0, оси:
( Зхх — Зх2 — 6х3 =1, ( 3xj — Зх2 + Зхз = — 5, I Xi + х2 = 0,
I Зх, — Зх2 + Зх3 = — 5; I хх + х2 = .0; . (Sxj — Зх2 — 6xs = 1;
д) главные диаметральные плоскости: хх + х2 + х3 + 1 = 0, 2xt — 4х2 + 2х3—
— 1 = 0- ось- / xi + х2 + хз + 1 = 0,
1 и, ось. _ 4д.а + 2х3 — 1 = 0.
1152. У2+У2 = 4; х1 = -> +
72 3 V 6 у 2 /3 2 // /З 3 /б
2 2 2
_ у* _ jy. М53.2! + h _ h =1 У-2у, + У2у2 /2Уз-/2У1
/2/3 15 5 3 1 2 2 2
__ 2
х3=Уз. 1454. у1 =-Ц1У2; х1=У1, х2= , х3= 1455. у +
о у О у о 4
2? у3 о , > , _ о,. 1 , 1 ,1
+ 2 6 —цл.!—3, Лг—6, Х3-2), Xi — ^__У1 + ^_ y2 + ^/._ Уз, х2 _
1,2 1 1 1 yj. у1
= - ру уг+ ру у2. ъ = рр*+ рру2- рру3- м58. т+-=г. ч =
11 11 о г-
— у2~У1 У2~^2г Х2 ~~ У2~ ^2’ Хз~^3’ И57. 5у2 4-2у 13yj = 0;
2
У2
1458. =
3^2
2yi 4- Зуз 3у1 — 2у2 У1 у2 г—
Х1 ~ |<1з ’ Х2~ У29 Хз ~ yjg • *458’ Т + Т 1; xi + х2 = Уг>
%з~ У3 У2» -^2 2-^з 1^"6 Уз* 1159. Зу g = 4 ~ ^)»
^14”-^2 V2 У1> xi х2 — 2л-*з — у2, + х3 = У 3 у3. 1460. —— *4"
2 2 2 2 2 2
+ ^“^==L ,46t 3у1-2у1 = 2У2. 1462. +^ + ^=Ь 1463. 21 +
Уг У1 Уз
+ у у 2Уз. 1464. - у + у = 2Уа. 1465. у| _у| +у2 = 0. 1466. У2 —3У2 = 0.
2 2 2 2 2 2
1467. ^+22+^=_1. 1468. У2—5=0. 1489. + у + =1. 1470. У2 =
2 2 2 2
=-^Уг- 1471. у-у = 2У2. 1472. У?+У2 = 2Уз. 1473. -^+-^=1.
ооо 1 z
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., «Нау-
ка», 1968. ~ . Н
2. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М.—Л., Гостехиздат,
1950.
3. А т а н а с я н Л. С. Аналитическая геометрия. М., «Просвещение», т. I,
1967, т. II, 1970.
4. Ата на ся н Л. С. Геометрия, ч. I. М., «Просвещение», 1973.
5. А т а и а с я. и Л. С. Основы многомерной геометрии. М., изд. МГПИ мм;
В. И. Ленина, 1963.
6. Бахвалов С. В., Бабушкин Л. М„ Иваницкая В. П.
Аналитическая геометрия, изд. 3.. М„ «Просвещение», 1965.
7. Болтянский В. Г. и Я г л о м И. М. Преобразования. Векторы.
М., «Просвещение», 1964.
•8. В ы г о дс к и й М. Я. Справочник по высшей математике, изд. 9. М.,
«Наука», 1969.
9. Выгодский М. Я. Аналитическая геометрия. М., Физматгиз, 1963.
10. Делоне Б. Н. и Райков Д. А. Аналитическая геометрия. М.—Л.,
Гостехиздат, т. I, 1948, т. II, 1949.
11. Д у б н о в Я. С. Основы векторного исчисления. М., Гостехиздат, 1948.
12. Е ф и м о в Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, изд. 10. М.,
«Наука», 1969.
13. Е ф и м о в Н. В. Квадратические формы и матрицы.
14. Лопшиц А. М. Аналитическая геометрия. М., Учпедгиз, 1948.
15. Л ю с т е р н и к Л. А. Выпуклые тела. М.—Л., Гостехиздат, 1941.
16. Ми нор ск и й В. П. и Улаиовский В. П. Векторная алгебра.
М., Гостехиздат, 1951.
17. М о д е н о в П. С. Аналитическая геометрия. М., изд-во МГУ, 1955.
,1 8. Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. М., Гостех-
издат, 1947.
19. П е р е п е л к и н Д. И. Курс элементарной геометрии. М.—Л., Гостех-
издат, т. I, 1948, т. II, 1949.
20. Р о'з е н ф е л ь д Б. А. Многомерные пространства. М., «Наука», 1966.
21. Тышкевич Р. И., Ф еден ко А. С. Линейная алгебра и анали-
тическая геометрия. Минск, «Вышэйная школа», 1968.
22. Ш и л о в Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М.—Л., 1952.
23. Яглом И. М. и Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. М.—Л:,
Гостехиздат, 1951.
24. Энциклопедия элементарной математики, т. IV. Геометрия. М., Физматгиз,
1963.
25. А д а м о в А. А. Сборник задач по аналитической геометрии и дифферен-
циальному исчислению. 1924.
26. А т а н а с я н Л. С., Атанасян В. А. Сборник задач по аналитиче-
ской геометрии. М., «Просвещение», 1968.
27. Атанасян Л. С., Васильева М. В., Гуревич Г. Б.,
Ильин А. С., Козьмина Т. Л., Редозубова О. С. Сборник задач
по элементарной геометрии, изд. 2. М., «Просвещение», 1964.
28. Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С.
Сборник задач по аналитической геометрии, изд. 3. М., «Наука», 1964.
29. Г ю и т е р Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей ма-
тематике. М., Гостехиздат, 1957.
30. П р о с к у р я н о в И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Гостех-
издат, 1957.
31. Скопец 3. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по элементарной
геометрии. М., Учпедгиз, 1962.
32. Ц у б е р б и л л е р О. Н. Задачи и упражнения по аналитической гео-
метрии, изд. 29. М., «Наука», 1968.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............ ............ ...... 2
Раздел перв.ый.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава Г. Элементы векторной алгебры в пространстве
§ 1. Сложение н вычитание векторов ........................................... 3
1. Равенство и коллинеарность векторов (3). 2. Сложение и вычитание векторов (4). 3. Мо-
дуль вектора (5).
§ 2. Умножение вектора на число. Линейная зависимость ......................... 5
1. Умножение вектора на число (5). 2. Линейная зависимость. Подпространства (6). 3. Ради-
ус-вектор точки (8). 4. Центр тяжести системы материальных точек (10).
§ 3. Координаты вектора на плоскости ..................................... 11
1. Координаты вектора в данном базисе (11). 2. Координаты линейной комбинации векторов.
Коллинеарность (12). 3. Вычисление модуля вектора и угла между векторами (13), 4. Пло-
щадь ориентированного параллелограмма (14).
§ 4. Координаты вектора в пространстве . ................................... 15
1. Координаты вектора в данном базисе (15). 2. Координаты линейной комбинации векторов.
Коллинеарность и компланарность векторов (15).
§ 5. Скалярное произведение векторов ....................................... 17
1. Вычисление скалярного произведения (17). 2. Вычисление модуля вектора и угла между
векторами (18). 3. Векторные уравнения (20).
§ 6. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной гео-
метрии . . . ................................................................ 21
I. Задачи на треугольники (21). 2. Задачи на четырехугольники (23). 3. Стереометрические
задачи (24).
Глава II. Метод координат на плоскости. Уравнение множества точек
§ 7. Координаты точек плоскости. Решение простейших задач в координатах 25
1. Прямоугольные и общие декартовы координаты точек (25). 2. Определение координат век-
тора по координатам его концов (26). 3. Деление отрезка в данном отношении. Середина от-
резка (27). 4. Центр тяжести системы материальных точек (28). б. Вычисление расстояния
между точками (28). 6. Площадь треугольника (29).
§ 8. Полярные координаты .............................................. 30
§ 9. Уравнение множества точек на плоскости ............................. 32
1. Изучение свойств множества точек по данному уравнению (32). 2. Составление уравнения
множества точек и изучение его свойств (33). 3. Множества точек в полярных координа-
тах (35).
§ 10. Преобразование координат точек иа плоскости ........................ 36
1. Преобразование общей и прямоугольной декартовых систем координат (36). 2. Изменение
уравнения множества точек при преобразовании системы координат (38).
§ 11. Окружность ......................................................... 40
1. Уравнение окружности (40). 2. Задачи на множества точек, определяющие окружность (41).
3. Радикальная ось. Угол между двумя окружностями (42).
§ 12. Некоторые замечательные кривые ..................................... 43
§ 13. Приложение метода координат к решению задач элементарной геомет-
рии .................................................................. 49
Глава III. Прямая на плоскости
§ 14. Прямая в общей декартовой системе координат 60
§ 15. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат 53
§ 16. Взаимное расположение прямых. Пучок прямых ........................ 55
1. Взаимное расположение прямых (55). 2. Пучок прямых (56).
§ 17. Геометрический смысл линейных неравенств с двумя неизвестными. 58
1. Расположение точек отиоснтельно прямой (58). 2: Неравенства, характеризующие полу-
плоскости, углы и многоугольники (69).
§ 18. Простые многоугольники .................................-........... 60
1. Условие принадлежности точки многоугольнику (60). 2. Выпуклые многоугольники (61).
§ 19. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми .................. 63
1. Расстояние от точки до прямой (63). 2. Угол между прямыми (65).
§ 20. Смешанные задачи иа прямую ......................................... 66
§ 21. Приложение теории прямой к решению задач элементарной геометрии. 68
253
Глава IV. Линейные преобразования векторов плоскости
§ 22. Линейные преобразования. Собственные векторы и характеристические •
' числа ...............................................;................ 69
1. Линейные преобразования векторов (69). 2. Координатное задание линейного преобразо-
вания (71). 3. Собственные векторы и характеристические числа (72). 4. Изменение матрицы
линейного преобразования при изменении базиса (73).
§ 23. Сумма и произведение линейных преобразований. Обратное преобразо-
вание ..................................................... ..... 74 1
§ 24. Ортогональные преобразования и преобразования подобия ............. 76
1. Координатное задание преобразования подобия (78). 2. Произведение преобразований (79).
Глава V. Аффинные преобразования плоскости
§ 25. Отображения точек плоскости. Аффинные преобразования ................. 80
1. Координатное задание отображений точек (81). 2. Координатное задание аффинных преоб-
разований (82). 3. Неподвижные точки и инвариантные направления (84). 4. Изменение пло-
щадей при аффинных преобразованиях (85).
§ 26. Преобразования подобия и движения .................................... 85
1. Координатное задание преобразований подобия и движений (87). 2. Задачи на определение
вида преобразований подобия и движений (88). 3. Произведение преобразований подобия и
движений (90).
§ 27. Некоторые специальные аффинные преобразования......................... 91
1. Перспективио-аффинное преобразование (91). 2. Инверсные преобразования. Косая сим.
метрНя (92). 3. Смешанные задачи (93).
§ 28. Инверсия на плоскости. Гиперболическая инверсия ...................... 94
.1. Инверсия на плоскости (94). 2. Преобразование кривой второго' порядка при инверсии
(96). 3. Гиперболическая инверсия. (99).
§ 29. Приложение теории преобразований к решению задач элементарной
геометрии .................................................................. 99
1. Применение преобразований подобия в движений к решению задач (99). 2. Применение
аффинных преобразований к решению задач (101)
Глава VI. Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям
§ 30. Эллипс .....................................*........................ 103
1. Определение эллипса и его простейшие свойства (103). 2. Некоторые геометрические свой,
ства эллипса (107).
§ 31. Гипербола ........................................................... 108
1. Определение гиперболы и ее простейшие свойства (108). 2. Некоторые геометрические
свойства гиперболы (110).
§ 32. Парабола ........................................................... 111
1. Определение и основные свойства параболы (111). 2. Некоторые геометрические свойства
параболы (112).
§ 33. Некоторые множества точек, определяющие эллипс, гиперболу и пара-
болу ...................................................................... 113
Глава VII. Классификация и изучение свойств кривых второго порядка по их
общим ураввеииям
§ 34. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническо-
му виду ................................................................... 115
4. Упрощение уравнения кривой путем поворота системы координат (115). 2. Упрощение
уравнения кривой путем переноса начала координат (116). 3. Приведение уравнения кривой
к каноническому виду (116).
§ 35. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические на-
правления и асимптоты ............................................. 116
3. Пересечение кривой с прямой. Касательная (117). 2. Асимптотические направления. Аснмп.
тоты (117).
§ 36. Диаметр и центр кривой второго порядка ............................ 118
I. Диаметр кривой второго порядка (118). 2. Центр второго порядка (119).
§ 37. Сопряженные направления. Главные направления и главные диаметры. 120
1. Сопряженные направления н сопряженные диаметры (120). 2, Главные направления и
главные диаметры (120).
§ 38. Определение вида кривой в общей декартовой системе координат ... 121
§ 39. Аффинные преобразования кривых второго порядка ........ 122
254
Раздел второй
ПРЯМЫЕ ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВЫХ
И АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Глава VIII. Метод координат в пространстве. Векторное и смешанное произ-
ведения векторов
§ 40. Координаты точек. Решение простейших задач в координатах .... 124
1. Метод координат в пространстве. Простейшие задачи (124). 2. Центр тяжести системы
материальных точек (125). 3. Формулы преобразования координат (126);
§ 41. Векторное и смешанное произведения векторов ........................ 127
1. Векторное произведение (127). 2. Смешанное и векторное произведения (128). 3. Геометри-
ческие приложения (129). 4. Векторные уравнения (130).
§ 42. Приложение метода координат к решению задач элементарной геометрии 130
Глава IX. Плоскость и прямая в пространстве
§ 43. Составление уравнения плоскости по различным заданиям............... 132
1. Задание плоскости в общей декартовой системе координат (132). 2.'Задание плоскости в
прямоугольной декартовой системе координат (134).
§ 44. Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей .................. 135
1. Взаимное расположение плоскостей (135). 2. Пучок плоскостей (136).
§ 45. Геометрический смысл линейных неравенств с тремя неизвестными. 137
§ 46. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями........... 138
§ 47. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. 140
1. Уравнения прямой, заданной различными способами (140). 2. Взаимное расположение
прямой и плоскости (141).
§ 48. Метрические задачи на сочетание прямых и плоскостей................. 143
§ 49. Приложение теории прямой и плоскости к доказательству теорем и
решению задач стереометрии ................................................ 145
Глава X. Многогранники и простейшие поверхности в пространстве
§ 50. Многогранники ...................................................... 146
1. Задание многогранника системами неравенств (146). 2. Тетраэдры, параллелепипеды в
правильные многогранники (147). 3. Трехгранный угол (148). 4. Теорема Эйлера (149).
§ 51. Сферическая поверхность. Поверхность вращения ....................... 149
1. Сферическая поверхность (149). %. Поверхность вращения (150J.
§ 52. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды .............................. 151
§ 53. Цилиндрические и конические поверхности ............................ 154
Глава XI. Аффинное и евклидово многомерные пространства
§ 54. Линейное векторное пространство и его подпространства. Координаты
векторов ..................................*............................... 155
1. Векторное пространство (155). 2. Базис. Координаты вектора (156), 3< Подпространства;
сумма и пересечение подпространств (158).
§ 55. Евклидово векторное пространство и его подпространства; координаты
векторов .................................................................. 160
1. Евклидово пространство Еп (160). 2. Ортогональность (161).
§ 56. Координаты точек в аффинном й евклидовом пространствах............. 162
1. Координаты точек пространства Еп (162). 2. Свойства ^-симплексов i^ m-параллелепипе-
дов (163). 3. Координаты точек в пространстве Еп (165). 4. Прямоугольный параллелепипед
пространства Еп (165).
§ 57. Преобразование координат векторов и точек .......................... 166
1. Преобразование координат в пространстве Rn (166). & Преобразование координат в про-
странстве Еп (167).
§ 58. Плоскости в многомерном аффинном пространстве ................... . 168
1. Уравнение ^-плоскости (169). 2. Взаимное расположение плоскостей (170).
§ 59. Плоскости и гиперсферы в многомерном евклидовом пространстве. 172
1. Расстояние от точки до гиперплоскости (172). 2. Ортогональные плоскости (172). 3. Гипер-
сферы (173).
255
Глава XII. Квадратичные формы и квадрики в многомерных аффннЯых и
евклидовых* пространствах
§ 60. Квадратичные формы ........................................... 174
1. Понятие квадратичной формы (175). 2. Приведение квадратичной формы к нормальному
виду; сигнатура (175). 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в прост-
ранстве Еп. Собственные направления (176).
§ 61. Асимптотические направления. Классификация квадрик в аффинном
пространстве . .................................................... 177!
1. Пересечение квадрики с прямой и плоскостью; асимптотические направления (178). 2. Ци*.
линдрическне и конические квадрики (179). 3. Приведение уравнения квадрики к нормаль^
ному виду (179).
§ 62. Асимптотические и диаметральные гиперплоскости. Центры квадрик. 180
1. Асимптотические и диаметральные гиперплоскости (180). 2. Центры квадрик (18Г)«,
3. Главные диаметральные Гиперплоскости и оси (182).
§ 63. Приведение обшего уравнения квадрики трехмерного евклидова про-
странства к каноническому виду ................................. 182
Ответы и указания ................................................. 184
Список литературы . . . . . . . . . . . . ..................... . . 252
*9?
Левон Сергеевич Атанасян, Вера Алексеевна Атанасян
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Часть 1
Редактор В. Г, Долгополов. Художник В. Л. Николаев. Художественный редакторЕ. Н. Ка-'
расик, Технический редактор Л. Л. Медведев. Корректор Р, Б. Штутман.
Сдано в набор 6/IX 1972 г. Подписано к печати 8/VI 1973 г. 60X90*/ie. Бумага типогр. Ай 2.
Печ, л., 16,0, Уч.-нзд. л. 18,89. Тираж"85 тыс. экз. А07092.
Издательство ^Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по Де-
лам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано С матриц Саратовского полиграфкомбината иа Калининском полиграфкомбц
нате детской литературы Росглавполнграфпрома Государственного комитета Совета Минй»
стров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Калинин, проспект
60-летия Октября, 46. Заказ № 290. Цена без переплета 53 к., переплет 10 к,
63 коп.