/
Автор: Посвянский А.Д.
Теги: математика геометрия черчение инженерная графика начертательная геометрия
Год: 1970
Текст
А. Д. П О С В Я II C IS II Й
КРАТКИЙ КУРС
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
А. Д. П о с в я и с к и й
КРАТКИЙ КУРС
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено Министерством высшего и среднего спе-
циального образования СССР в качестве учебника
для студентов высших технических учебных заве-
дений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МОСКВА 1970
515
П61
УДК 515
Посвянский А. Д.
П 61 Краткий курс начертательной геометрии.
Изд.3-е. Учебник для всех специальностей втузов,
кроме строит, и архит.
М., «Высш, школа», 1970
240 с. с илл
Настоящий учебник выгодно отличается от
большинства одноименных учебников: он построен
на современной методике преподавания начерта-
тельной геометрии, что способствует сближению
ее с требованиями практики.
Изложение курса проводится по безосной
системе.
П редназначается для студентов втузов всех
специальностей, кроме строительных и архитек-
турных.
Рецензенты:
кафедра инженерной графики и начертатель-
ной геометрии Киевского политехнического инсти-
тута,
кафедра инженерной графики и начертатель-
ной геометрии Уральского политехнического ин-
ститута им. С. М. Кирова.
3—1—3
352—69 515
Александр Давидович Посвянский
КРАТКИЙ КУРС
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор Л. Н. Ч у п е е в а
Художественный редактор Т. А. Дурасова
Технический редактор С. П. Передерий
Корректор Г. А. Казакова
Сдано в набор 20/Х1 1969 г. Поди, к печати 5/Ш 1970 г. Формат 70 X 90/16. Объем
1Б печ. л. 17,55 усл. п. л. Уч.-изд. л. 13,61. Изд. № ОТ-ЮО/68. Тираж 150 000 экз.
. Зак. 593. Цена 48 коп.
Тематический план издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1969 год.
Позиция № 352
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Ярославский полиграфкомбинат Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Ярославль, ул. Свободы, 97.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Третье издание является стереотипным, за исклю-
чением некоторых редакционных изменений.
Автор считает своим долгом принести благодар-
ность комиссии кафедры начертательной геометрии
МАИ под председательством Н. Ф. Четверухина, рас-
сматривавшей рукопись учебника и сделавшей ряд
ценных принципиальных замечаний, научному ре-
дактору Г. И. Федотову за многие полезные советы»
а также кафедрам начертательной геометрии и графи-
ки Киевского политехнического, Уральского поли-
технического, Харьковского автомобильно-дорожно-
го, Ростовского железнодорожного и Московского
энергетического институтов и Военно-инженерной ака-
демии им. В. В. Куйбышева за благожелательную
критику его работы.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Начертательная геометрия, являясь одной из ветвей геометрий, имеет
ту же цель, что и геометрия вообще, а именно: изучение форм предметов
окружающего нас действительного мира и отношений между ними, уста-
новление соответствующих закономерностей и применение их к решению
практических задач.
Начертательную геометрию выделяет то обстоятельство, что она для
решения общегеометрических задач использует графический путь, при ко-
тором геометрические свойства фигур изучаются непосредственно по чер-
тежу. В то время как в других ветвях геометрии чертеж является вспомога-
тельным средством (так как с помощью чертежа лишь иллюстрируются
свойства фигур), в начертательной геометрии чертеж является основным
средством изучения свойств фигур.
Разумеется, не всякое изображение может служить этим-средством. Для
того чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемой фигуре
или, как говорят, оригиналу, он должен быть построен по определенным гео-
метрическим законам. В начертательной геометрии каждый чертеж строит-
ся при помощи метода проецирования, поэтому чертежи, применяемые в
начертательной геометрии, носят название проекционных чертежей.
При построении этих чертежей широко используются проекционные свой-
ства фигур, благодаря чему изображение обладает такими геометрическими
свойствами, по которым можно судить о свойствах самого оригинала.
Таким образом, содержанием начертательной геометрии является:
исследование способов построения проекционных чертежей;
решение геометрических задач, относящихся к пространственным фи-
гурам;
приложение способов начертательной геометрии к исследованию прак-
тических и теоретических вопросов науки и техники.
В наше время нелегко указать на такой вид человеческой деятельности,
4
где бы в большей или меньшей степени не приходилось прибегать к помощи
чертежей. Кроме технических чертежей, значение которых общеизвестно,
чертежи встречаются в виде планов зданий и соо}Уужений, географических
и топографических карт. Все они строятся по правилам проецирования.
«Чертеж является языком техника»,— говорил один из создателей на-
чертательной геометрии — Гаспар Монж. Дополняя высказывание Монжа,
профессор В. И. Курдюмов — автор классического русского учебника на-
чертательной геометрии — писал: «Если чертеж является языком техника,
то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как
она учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли,
пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элемента-
ми всякого изображения».
§ 2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. Как и всякая другая наука, начертательная геометрия возникла из
практической деятельности человечества. Задачи строительства различных
сооружений, крепостных укреплений, жилья, храмов требовали предва-
рительного построения изображений этих сооружений. Зародившись в
глубокой древности, различные способы построения изображений по мере
развития материальной жизни общества претерпевали глубокие изменения.
От примитивных изображений, передававших геометрические формы изоб-
ражаемых на них объектов лишь весьма приближенно, постепенно совер-
шился переход к составлению проекционных чертежей, отражающих гео-
метрические свойства изображаемых на них объектов.
После упадка и застоя в средние века в эпоху возрождения начинается
новый расцвет культуры. В связи с бурным развитием в это время архитек-
туры, скульптуры и живописи разрабатываются теоретические основы перс-
пективы.
Итальянский ученый Альберти (1404—1472), использовав опыт
мастеров-профессионалов, дал основы теоретической перспективы. Гени-
альный итальянский художник и ученый Леонардо да Винчи
(1452—1519) дополнил линейную перспективу учением «об уменьшении
цветов и отчетливости очертаний». Этим самым абстрактное геометрическое
пространство как бы насыщалось воздухом. В результате Леонардо получал
исключительно рельефные изображения. Немецкий художник и гравер
Дюрер (1471—1528) внес большой вклад в развитие перспективы. Из-
вестен его способ построения перспективы по двум ортогональным проек-
циям предмета. Итальянский ученый У б а л ь д и (1545—1607) по праву
может считаться основателем теоретической перспективы, так как в его
работах содержится решение почти всех основных задач перспективы.
5
Французский архитектор и математик Дез а р г (1593—1662) впервые
применил для построения перспективы метод координат, положив тем са-
мым начало аксонометрическому методу в начертательной геометрии.
Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии как науки
сыграл знаменитый французский геометр и инженер времен Великой фран-
цузской революции Гаспар Монж (1746—1818). Монж системати-
зировал и обобщил накопленные к этому времени практический опыт и тео-
ретические познания в области изображений пространственных фигур на
плоскости. В своем труде «Начертательная геометрия», изданном в 1798 г.,
Монж дает первое научное изложение общего метода изображения прост-
ранственных фигур на плоскости. Монж предложил рассматривать плоский
чертеж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух вза-
имно перпендикулярных плоскостей проекций. Это совмещение плоскостей
проекций он достигает путем вращения вокруг прямой их пересечения, по-
лучившей впоследствии название оси проекций.
Появление «Начертательной геометрии» Монжа было вызвано к жизни
все возрастающими потребностями в разработке теории изображений. По-
этому новая наука сразу же завоевала прочное положение в технической
школе как одна из основных дисциплин инженерного образования.
Дальнейшее развитие начертательной геометрии в середине прошлого
столетия обязано трудам школы австрийского геометра Винера. За-
дачи начертательной геометрии освещались этой школой с точки зрения
проективной геометрии, в связи с чем были получены более общие резуль-
таты. В это же время зародилось новое направление в начертательной гео-
метрии — многомерная начертательная геометрия. К началу нашего сто-
летия относится зарождение векторно-моторной начертательной геометрии,
нашедшей применение в строительной механике и в теории механизмов
и машин.
2. Развитие начертательной геометрии в нашей стране происходило по
трем основным периодам.
/ период (до XIX в.).
Изучение памятников старины, различных документов — летописей,
планов, карт, чертежей показывает, что проекционные методы построения
изображений были известны еще в древней Руси. Художественные картины
Рублева, Дионисия и др. были выполнены с соблюдением неко-
торых законов перспективы. Также был выполнен план города Пскова
(1581 г.). Чертеж Московского кремля (1600 г.) был выполнен в свободной,
проекции, близкой к фронтальной аксонометрии. Примерами геометри-
чески правильных проекционных изображений (в том числе и ортогональ-
ных проекций) могут служить чертежи И. И. Ползунова (1728—
1766) — изобретателя новой паровой машины, чертежи И. П. Кули-
бина (1735—1818), например его знаменитые чертежи однопролетного
арочного моста через Неву, а также чертежи великих русских зодчих
6
XVIII в.: В. И. Баженова (1737—1799), А. Н. Воронихи-
на (1759—1814), М. Ф. Казакова (1733—1812) и др.
// период (от начала XIX в. до Великой Октябрьской социалистической
революции).
К началу XIX в. в России трудами техников-самоучек, архитекторов
и художников были довольно детально разработаны различные приемы
построения изображений.
В 1810 г. в Институте корпуса инженеров путей сообщения (ныне Ле-
нинградский институт инженеров железнодорожного транспорта) впервые
стал читаться курс начертательной геометрии. Первым профессором, чи-
тавшим этот курс, был ученик Монжа — французский инженер
К. И. П о т ь е, который издал в 1816 г. курс начертательной геометрии
на французском языке, переведенный на русский язык помощником Потье
по институту Я. А. Севастьяновым (1796—1849). С 1818 г. пре-
подавание начертательной геометрии стал вести Севастьянов, которому
вскоре было присвоено звание первого русского профессора начертатель-
ной геометрии. В 1821 г. был издан первый в России оригинальный курс
начертательной геометрии, написанный Севастьяновым. Этот курс содержал
подробное изложение теории начертательной геометрии и стоял на уровне
лучших европейских курсов. Огромная заслуга Севастьянова состояла так-
же в том, что он ввел русскую терминологию по начертательной геометрии,
употребляющуюся, с некоторыми изменениями, и по настоящее время.
Высокому уровню преподавания начертательной геометрии во многом
способствовали курсы преемников Севастьянова Н. И. Макарова
(1824—1904) и В. И. Курдюмова (1853—1904). «Курс начертатель-
ной геометрии» В. И. Курдюмова является капитальным трудом (более
1100 страниц), не устаревшим в некоторых своих частях и сейчас.
Знаменитый русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров
(1853—1919) часть из своих многочисленных работ посвятил проективной
геометрии, внеся также большую ясность в понимание основных принципов
построения многомерной начертательной геометрии. Обширную учебную
литературу по начертательной геометрии создал Н. А. Р ы н и н (1887—
1943). Им были показаны различные области применения начертательной
геометрии, в частности, в задачах механики, аэросъемки, кинематографии..
Московские профессора А. К. Власов (1869—1921) и Н. А. Гла-
голев (1888—1945) развивали проективное направление в начертатель
•ной геометрии и работали в области обоснования аксонометрии.
/// период (советский).
После Великой Октябрьской социалистической революции начертатель-
ная геометрия как наука получила все условия для своего полного разви-
тия. Появилась обширная учебная и научная литература. Во втузах были
образованы специальные кафедры по начертательной геометрии и инженер-
ному черчению. При кафедрах в ведущих вузах страны была учреждена
7
аспирантура, готовящая научных работников. Возникли научные объеди-
нения преподавателей и научных работников по начертательной геометрии
и графике. Особо следует отметить московский научный семинар по начер-
тательной геометрии, организованный и возглавляемый Н. Ф. Ч е т ве-
ру х и н ы м, имеющий большое значение в развитии начертательной гео-
метрии.
В настоящее время начертательная геометрия развивается по следую-
щим основным научным направлениям:
проективное направление и исследование основной теоремы аксоно-
метрии;
методы параметрического исследования изображений; теория позици-
онной и метрической полноты изображений;
многомерная начертательная геометрия и ее применение;
векторно-моторная начертательная геометрия и ее приложения;
применение топологических преобразований в начертательной геометрии;
развитие способов номографирования и механизации построений в на-
чертательной геометрии.
ПРИНЯТЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. Точки пространства обозначают прописными буквами латинского
алфавита: А, В, С, D, ... или цифрами 1, 2, 3, 4, ...
2. Прямые и кривые линии пространства — строчными буквами ла-
тинского алфавита: a, b, с, d, ...
3. Плоскости и поверхности — прописными буквами греческого ал-
фавита: Г, ©, Л, S, Ф, ЧТ, Q.
4. Плоскость проекций и поле проекций — 1Г (прописная буква гре-
ческого алфавита).
5. При образовании комплексного чертежа плоскости проекций и поля
проекций обозначают буквой П с добавлением подстрочного индекса 1, 2,
3, 4, ..., при этом:
горизонтальная плоскость проекций обозначается Пь
фронтальная плоскость проекций — П2,
профильная плоскость проекций — П3.
Новую плоскость проекций, отличную от указанных выше, обозначают:
П4, П5, П6, ...
6. Проекции точек, прямых и плоскостей обозначают теми же буквами,
какими обозначены их оригиналы с добавлением индекса, соответствующего
индексу плоскости проекций.
Так, проекции точки А, прямой а и плоскости 0 соответственно обоз-
начают:
на плоскости IT— А', а', 0';
на плоскости Щ— Ах, ait 0^
на плоскости П2— Л2, а2, 02;
на плоскости П3— А3, а3, 03.
7. Для указания способа задания плоскости рядом с буквенным обозна-
чением плоскости в скобках пишутся обозначения тех элементов, которыми
она задана, например:
0(Л, В, С), Л (а || Ь), 2 (mxn).
9
8. Для некоторых прямых и плоскостей присвоены постоянные обоз-
начения.
Линии уровня обозначают:
горизонталь — h;
фронталь — /;
профильная — р.
Плоскости уровня обозначают:
горизонтальная — Г;
фронтальная — Ф;
профильная — Т.
9. Последовательность точек, прямых и плоскостей обозначают верх-
ним индексом; так, последовательность точек А обозначают: 41, А2, А3,
А4, ...
10. Новые положения точки А, прямой а и плоскости© после преобра-
зования соответственно обозначают: А, а, ©; после двух преобразований —
А, а, 0.
11. Углы обозначают следующими строчными греческими буквами:
а, (3, у, 6, ...
12 Основные операции обозначаются:
совпадение двух геометрических элементов — знаком =;
принадлежность одного геометрического элемента другому — знаком zz>
или cz (знак включения);
пересечение двух элементов — знаком X;
результат геометрической операции — знаком =,
Глава I
КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ
1. Центральная проекция (перспектива). Пусть дана не-
которая плоскость IT, которую называют плоскостью проекций, и вне ее
точка S, называемая центром проекций.
Для построения изображения или проекции А' некоторой точки А про-
водят через точку А и центр проекций S прямую 5Л, называемую проеци-
рующей прямой, а затем н аходят точ-
ку А' пересечения этой прямой с
плоскостью IT (рис. 1 )Ч
Таков метод центрального проеци-
рования точек пространства на плос-
кость проекций ХГ, его можно запи-
сать с помощью следующего символи-
ческого равенства
Л' = П'х5Л
(А' есть точка пересечения плоскости
1Г с прямой 5Л).
Проецирование можно выполнить
для любой точки пространства, за
исключением точек, лежащих в плос-
кости, проходящей через центр проек-
ций S и параллельной плоскости
проекций IT.
1 Здесь и дальше для большей выразительности наглядных изображений, иллюст-
рирующих то или иное положение курса, изображения выполнены в условной форме
чертежей-моделей. При этом для упрощения таких изображений проекции точек даны
в виде кружков.
11
На рис. 1 показано построение проекций точек А, В, С и D, различно
расположенных относительно плоскости проекций П' и центра проекций S.
Обычно проекциями точек, лежащих в плоскости, проходящей через
центр проекций S и параллельной плоскости проекций IT, принято счи-
тать бесконечно удаленные точки1 плоскости IT, так как для этих точек
проецирующие прямые оказываются параллельными плоскости проекций П'.
Однако для центра проекций S не может быть построена проекция,
так как проецирующая прямая становится при этом неопределенной, вместе
с тем становится неопределенной и проекция точки S на плоскости IT.
Так как каждая геометрическая фигура есть некоторая совокупность
точек, будем называть
проекцией фигуры совокупность проекций всех ее точек.
Однако для построения проекции фигуры совершенно не обязательно
проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка или прямой линии впол-
не определяется проекциями двух точек; проекция треугольника или плос-
кости определяется проекциями трех точек; проекция какого-либо много-
гранника определяется проекциями его вершин.
Изображение предметов при помощи центрального проецирования об-
ладает большой наглядностью, так как процесс человеческого зрения в гео-
метрическом отношении совпадает с операцией центрального проецирова-
ния (оптический центр хрусталика глаза можно считать центром проекций,
а участок задней стенки сетчатки может быть принят приближенно за плос-
кость проекций). Метод центрального проецирования слишком сложен и в
значительной степени искажает форму и размеры оригинала, так как’ не
сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому на прак-
тике чаще пользуются методом параллельного проецирования (в частности,
ортогонального проецирования). Этот метод, являясь частным случаем
центрального проецирования, когда центр проекций находится в бесконеч-
но удаленной точке Soo, дает более простое построение изображения и в
большей степени, как это будет показано дальше, сохраняет те свойства
оригинала, от которых зависят его форма и размеры.
2. Параллельная проекция. Пусть даны плоскость про-
екций П' и направление проецирования s, непараллельное плоскости про-
екций. Когда мы удаляем центр проекций S в бесконечно удаленную точку
Soo, то все проецирующие прямые, как пересекающиеся в бесконечно уда-
ленной точке, будут параллельны некоторому направлению $. Чтобы по-
строить проекцию А' какой-либо точки А, проводят через точку А проеци-
1 Введение бесконечно удаленных элементов (точек и прямых) позволяет избе-
жать исключений в геометрических положениях, связанных с понятием параллельнос-
ти. Так, каждые две прямые одной плоскости всегда пересекаются в одной точке (обык-
новенной или бесконечно удаленной). Каждые две плоскости всегда пересекаются по
прямой (обыкновенной или бесконечно удаленной).
12
рующую прямую параллельно направлению проецирования s, а затем на-
ходят точку А' пересечения этой прямой с плоскостью П' (рис. 2).
Таков метод параллельного проецирования точек пространства на плос-
кость проекций.
Рассмотрим некоторые свойства параллельной проекции.
Проекцией точки является точка.
Это свойство следует из самого способа
Пооекцией прямой линии является
прямая линия.
Все прямые, проецирующие точки
А, В, С, ... данной прямой / (рис. 2),
лежат в одной плоскости, проходящей
через прямую / и параллельной направ-
лению проецирования $. Эта плоскость,
называемая проецирующей плоскостью,
пересекает плоскость проекций П' по пря-
мой линии Г, которая, согласно опреде-
лению проекции фигуры как совокупно-
сти проекций всех ее точек, и является
проекцией данной прямой. Это свойство
будем называть свойством прямолиней-
ности.
Очевидно, что если прямая / будет
проецирующей прямой, то ее проекция
выродится в точку.
Проекцией точки, лежащей на неко-
построения проекции точки.
торой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой.
Это свойство, называемое свойством принадлежности, непосредственно
следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций
всех ее точек.
Рассмотренные три свойства имеют место также и в случае центральной
проекции.
Однако параллельная проекция обладает еще другими свойствами, ко-
торых не имеет центральная проекция.
Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые.
Действительно, если прямые / и т параллельны, то и проецирующие их
плоскости будут параллельны как содержащие по паре пересекающихся
соответственно параллельных прямых (Z || т и АА' || ММ'). Отсюда сле-
дует, что V || т' как прямые пересечения параллельных плоскостей третьей
плоскостью. Это свойство называется свойством сохранения параллельности.
Очевидно, что если прямые / и т будут проецирующими прямыми, то
указанное свойство теряет смысл, так как проекциями этих прямых будут
две точки.
13
Отношениепроекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или
на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков.
Пусть АВ и MN — отрезки, лежащие на параллельных прямых I и т,
а А'В' и M'N'— их проекции на плоскость IT (рис. 2). Проведем в прое-
цирующих плоскостях отрезки АВ* и MN*, соответственно параллельные
отрезкам А'В' и M'N'. При этом ЛВ*= А'В' и MN* = M'N'. Очевидно,
что треугольники АВВ* и MNN* подобны, так как их соответственные
стороны параллельны. Отсюда получаем: А'В': M'N'— АВ*: MN* =
= АВ : MN. Если данные отрезки лежат на одной прямой, то теми же рас-
суждениями можно установить, что А'В': В'С — АВ : ВС.
Рис. 3
Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости
проекций.
В качестве проецируемой фигуры возьмем треугольник АВС и спрое-
цируем его по направлению s на плоскости II' и IT параллельные между
собой (рис. 3). Так как отрезки А'А', В'В', С С параллельны и равны
между собой, то четырехугольники А'В'В'А', В'С С В' и С А'А'С явля-
ются параллелограммами. Поэтому у треугольников А'В'С и А'В'С' со-
ответственные стороны равны и, следовательно, эти треугольники равны
между собой. Очевидно, что эти же рассуждения применимы для проекции
любой другой фигуры.
Рассматривая указанные выше свойства параллельной проекции, мож-
но заметить, что ее три последние свойства обеспечивают более простое
14
построение изображения, которое вместе с тем и меньше искажает форму и
размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.
В самом деле, одно из свойств указывает на сохранение параллельности
прямых, поэтому параллельная проекция трапеции есть трапеция; парал-
лельная проекция параллелограмма есть параллелограмм, в то время как в
центральной проекции эти фигуры вообще проецируются в четырехуголь-
ники произвольного вида. По следующему свойству мы имеем для проекций
двух параллельных отрезков соотношение
А'В': M'N' = АВ : MN,
откуда
А'В': АВ = M'N': MN (рис. 2),
т. е. при параллельном проецировании искажение для всех параллельных
отрезков постоянно.
Отсюда, в частности, следует, что середина отрезка проецируется в се-
редину проекции отрезка.
Последнее свойство позволяет переносить плоскость проекций парал-
лельно самой себе, т. е. отказаться от фиксации плоскости проекций. При
этом говорят, что положение плоскости проекций определяется лишь с точ-
ностью до параллельности. Это обстоятельство весьма1 удобно и поэтому
широко применяется при построении технического чертежа.
3. Ортогональная проекция. Еще большее упрощение
построения чертежа дает применение ортогонального проецирования, яв-
ляющегося частным случаем параллельного
ление проецирования s перпендикуляр-
но плоскости проекций IT. В этом слу-
чае нетрудно установить соотношение
между длиной натурального отрезка и
длиной его проекции. Если отрезок А В
образует с плоскостью проекций угол
а, то, проведя АВ* || А 'В' (рис. 4), полу-
чим из прямоугольного треугольника
АВ*В : АВ* = АВ cos а или
А'В' = АВ cos а.
проецирования, когда направ-
Ортогональная проекция получила
наибольшее распространение в техни-
ческих чертежах, так как она позволяет
наиболее легко судить о размерах изо-
бражаемых предметов. Рис. 4
15
Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно
решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его проекцион-
ный чертеж. Однако обратная задача — по данному проекционному чер-
тежу воспроизвести (реконструировать) оригинал — не решается одно-
значно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, так как
каждую точку А' плоскости проекций IT можно считать проекцией любой
точки проецирующей прямой, проходящей через А' (рис. 1, 2 и 4).
Таким образом, рассмотренные нами проекционные чертежи не дают
возможности определить оригинал или, как говорят, не обладают свойст-
вом обратимости. Для получения обратимых чертежей дополняют проек-
ционный чертеж необходимыми данными. Существуют различные методы
такого дополнения. В данном курсе будут применяться только два вида
обратймых чертежей, а именно, комплексные чертежи в ортогональных про-
екциях и аксонометрические чертежи.
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ
1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж,
составленный из двух или более связанных между собой ортогональных
проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным
чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.
Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный ориги-
нал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плос-
кости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с
плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций ГЦ располагается го-
ризонтально и называется, горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость
П2 располагается вертикально, эта плоскость расположена перед наблю-
дателем, ее называют фронтальной плоскостью проекций (рис. 5).
Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.
Спроецируем ортогонально на плоскости проекций Щ и П2 какую-ни-
будь точку А, тогда получим две ее проекции: горизонтальную проекцию Ai
на плоскости П-t и фронтальную проекцию А2 на плоскости П2.
Проецирующие прямые AAt и АА2, при помощи которых точка А про-
ецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость
AiAA2, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проек-
ций х. Прямые и АхА2, являющиеся проекциями проецирующей плос-
кости на плоскостях проекций Ili и П2, будут перпендикулярны к оси
проекций х.
Обратно, каждая пара точек и А2, соответственно принадлежащих
плоскостям Hi и П2 и расположенных на перпендикулярах к оси х, вос-
ставленных из одной и той же точки Ах, определяет в пространстве единст-
венную точку А.
В самом деле, если провести через точки /Ц и Л2 перпендикуляры AtA
и А2А соответственно к плоскостям П1 и П2, то они, находясь в одной
плоскости AtAxA2, пересекутся в некоторой точке А.
Расстояние А{А точки А от горизонтальной плоскости проекций назы-
вается высотой h точки А, ее расстояние А2А от фронтальной плоскости
проекций — глубиной f точки А.
2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций Ili
с плоскостью П2, вращая плоскость IXi вокруг оси х в направлении, ука-
Рис. 5
занном на рис. 5, а. В результате получим комплексный чертеж точки А
(рис. 5, б), состоящий из двух проекций Ai и А2 точки Л, лежащих на од-
ной прямой, перпендикулярной к оси х. Прямая А^, соединяющая две
проекции точки, называется линией связи.
Полученный комплексный чертеж будет обратимым чертежом, т. е. по
этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать ориги-
нал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А2
точки А и имея на чертеже ее глубину f = ЛД.ЛЬ можно реконструировать
точку А. Для этого надо восставить перпендикуляр к плоскости чертежа
в его точке А2 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки,
тогда конец перпендикуляра определит положение точки А.
3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил
со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако
в технической практике нет необходимости в определении положения изоб-
ражаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей про-
екций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться
от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить уста-
17
новленное в § 3 свойство, что проекция фигуры не меняется при параллель-
ном переносе плоскости проекций. *
На рис. 6 показано образование комплексного чертежа точки А при
нефиксированных плоскостях проекций. В этдм случае плоскости проек-
ций IT-t и П2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции прое-
цирующей плоскости AiAA2 на плоскостях Щ и П2 лежали бы на одной
прямой.
Рис. 6
Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого
множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих
точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния меж-
ду проекциями каждых двух из этих плоскостей на Щ и на П2 равны меж-
ду собой. Для удобства чтения чертежа плоскость Uf считают расположен-
ной ниже всех точек оригинала, а плоскость П2— сзади всех точек ори-
гинала.
Множество проекций точек пространства на каждой из плоскостей про-
екций называется полем проекций. Поэтому комплексный чертеж точек
пространства представляет собой два поля проекций, связанных между
собой параллельными прямыми — линиями связи.
Реконструирование оригинала по его комплексному чертежу, образо-
ванному при нефиксированных плоскостях проекций, обычно производят
18
по проекция на плоскости1 П2 и измеренным на чертеже глубинам точек
оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении
плоскости П2, которую в этом случае обозначим буквой Ф (рис. 6, а).
Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым произ-
водят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плос-
костями.
Таким образом,
для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу нужно восставить
перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке Л2 и отложить на нем от
плоскости чертежа глубину / точки А, измеренную на поле Щ от проекции
базовой плоскости Ф (проекцию будем называть базой отсчета глубин).
Конец этого перпендикуляра определит положение точки А"по отноше-
нию к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбира-
ется произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чер-
тежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, поло-
жение оригинала определяется с точностью до параллельного переноса.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ
1. Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном
чертеже всякая прямая I может быть задана проекциями Alf А2 и Blt В2
двух ее точек А и В (рис. 7). Но так как параллельная проекция обладает
свойствами прямолинейности и принадлежности, то прямую I на комплекс-
ном чертеже можно задать и ее проекциями lit Z2; они будут прямыми, про-
ходящими через точки Air Bt и А2, В2.
Рис. 7
1 Поэтому в технической практике изображение на плоскости проекций П2 назы-
вается главным, изображением.
19
Очевидно и обратно: пара проекций Z ± и Z2, из которых ни одна не парал-
лельна линиям связи-, определяет в пространстве некоторую прямую.
В самом деле, проекции и Z2 определяют проецирующие плоскости
А^АВВх и Л2ЛВВ2. В пересечении этих плоскостей и определяется пря-
мая I, имеющая своими проекциями It и Z2.
Полезно заметить, что у прямой I, изображенной на рис. 7, ближайшая
к наблюдателю точка А (наблюдатель предполагается стоящим лицом к
плоскости П2) расположена ниже, чем более удаленная от наблюдателя
Рис. 8
точка В. Прямая I по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх,
поэтому прямую / называют восходящей. Если же прямая по мере удаления
от наблюдателя понижается, такую прямую называют нисходящей (рис. 8).
Нетрудно видеть, что на комплексном чертеже проекции восходящей пря-
мой наклонены к линиям связи в одну и ту же сторону (см. рис. 7), а про-
екции нисходящей прямой наклонены в разные стороны (см. рис. 8).
В дальнейшем условимся считать, что
на комплексном чертеже проекции восходящей прямой ориентированы
одинаково, а нисходящей — противоположно.
2. Профильная прямая. В то время как всякие две пары
проекций Ль Л2, и В2, заданные на комплексном чертеже, каждая из
которых находится на одной линии связи, вполне определяют прямую I
(см. рис. 7), не всякая пара прямых Ц и 12 может определять в пространстве
некоторую прямую. Если Ц и Z2 параллельны линиям связи, не совпадая
с одной и той же линией связи (рис. 9), или если, например, Z2 параллельна
линиям связи, в то время как It не параллельна линиям связи (рис. 10),
то в обоих этих случаях прямые It и Z2 не могут быть приняты за проекции
некоторой прямой I.
В самом деле, в обоих этих случаях нельзя по линиям связи найти для
всех точек проекции соответствующих точек проекции Z2.
20
Если же обе проекции pi и р2 (рис. 11) находятся на одной линии связи,
то проецирующие плоскости, определяемые этими проекциями, совпадают
в одну плоскость Ф и поэтому этой паре проекций соответствует в прост-
ранстве бесчисленное множество прямых, лежащих в плоскости Ф. Плос-
Рис. 11
кость Ф, перпендикулярная к обеим плоскостям проекций Щ и П2, назы-
вается профильной плоскостью, а прямые этой плоскости — профильными
прямыми.
Таким образом, все профильные прямые, расположенные в одной и той
же профильной плоскости Ф, изображаются на комплексном чёртеже одной
и той же парой проекций рх и р2, расположенных на одной линии связи.
Поэтому эта пара проекций не определяет единственной профильной пря-
мой.
Итак,
всякая непрофильная прямая I вполне определяется двумя своими проек-
циями 1Х и 12, для определения же профильной прямой необходимо задать
на проекциях pt и р2 прямой р проекции ее двух точек А и В1.
1 Обычно при решении различных вопросов- с профильными элементами и, в
частности, с профильными прямыми и плоскостями прибегают к построению третьей
проекции на профильную плоскость проекций П3, перпендикулярную к плоскостям
Пхи П2. (будет рассмотрено дальше).
21
3. Взаимопринадлежность точки и прямой. Де-
ление отрезка в данном отношении.
Чтобы задать на данной непрофильной прямой I (llf 12 ) какую-нибудь
точку 7И, достаточно задать ее проекции ТИА и на одноименных про-
екциях /х и /2 данной прямой (рис. 12).
Точка М (Alt, М2) будет принадлежать данной прямой / на основании
сохранения принадлежности при параллельном проецировании.
Рис. 12
Так как отношение отрезков одной и той же прямой равно отношению
проекций этих отрезков, будем ивдеть
AM : МВ = Л1М1; М^ = А2М2: М2В2.
Отсюда следует, что
для деления данного отрезка АВ в данном отношении достаточно раз-
делить в этом отношении одну из проекций даннбго отрезка, а затем спроеци-
ровать делящую точку на другую проекцию отрезка.
На рис. 13 отрезок АВ разделен точкой М в отношении 2: 3, первона-
чально в этом отношении была разделена проекция AiBi данного
отрезка.
Деление отрезка в данном отношении можно использовать для задания
точки на профильной прямой. Пусть дана профильная прямая р, на которой
отмечены две точки А и В (рис. 14). Чтобы задать какую-нибудь точку М
на этой прямой, выбираем одну из ее проекций, например Alt в произволь-
22
ной точке проекции Вторую проекцию точки М строим на проекции р2
при помощи деления отрезка А2В2 в том же отношении, в котором точка
делит отрезок А Построение удобнее сделать следующим образом: через
данные проекции At и Bi проводим два параллельных луча произвольного
направления до пересечения в точках Ао и Во с соответствующими парал-
лельными лучами, проведенными через проекции А2 и В2. Далее, через
выбранную проекцию проводим луч, параллельный лучам AiA0 и BiB0,
Рис. 14
до пересечения его в точке Мо с прямой Л0В0, называемой прямой прелом-
ления лучей, и через точку Л40 проводим луч, параллельный лучам Л2^о
и B2BQ, до пересечения с проекцией р2 в искомой проекции М2. Справедли-
вость указанного построения следует из соотношений
A^A^i: M^Bi = : Л40В0 = А2М2: М2В2,
которые имеют место на основании свойств отрезков прямых, пересеченных
параллельными прямыми.
Таким образом,
разноименные проекции точек профильной прямой связаны между собой
ломаными линиями связи, вершины которых находятся на прямой прелом-
ления.
Этот способ построения проекций точек, принадлежащих прямой, ре-
комендуется применять не только для профильных прямых, но и для тех
прямых, проекции которых образуют с линиями связи комплексного чер-
тежа весьма острые углы. В этих случаях ломаные линии связи дают боль-
23
шую точность построения, чём обычные линии связи комплексного чертежа.
4. Определение натуральной величины отрез-
ка прямой и его углов наклона к плоскостям про-
екций можно выполнить с помощью способа пря-
моугольного треугольника.
Пусть дан отрезок АВ общего положения (рис. 15, а). Зафиксируем
плоскость проекций IIj так, чтобы она прошла через один из концов отрез-
ка, например через точку А, тогда получим прямоугольный треугольник
Рис. 15
ABiB, в котором гипотенузой является данный отрезок АВ, одним катетом
является горизонтальная проекция AiBi отрезка АВ, а вторым катетом—
высота Л точки В. Угол а, образованный отрезком АВ и его проекцией
AtBt, является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций Пр
Аналогично при фиксации плоскости проекций П2 получим прямоуголь-
ный треугольник, в котором одним катетом будет фронтальная проекция
данного отрезка, а вторым катетом — глубина одного конца отрезка от-
носительно другого.
Таким образом,
натуральная величина отрезка является гипотенузой прямоугольного тре-
угольника, у которого одним из катетов будет любая из проекций отрезка,
вторым катетом соответственно — высота или глубина одного из концов от-
резка относительно другого.
На рис. 15, б выполнено построение натуральной величины отрезка АВ,
заданного своими проекциями А^В^ и А2В2, при этом показаны два вариан-
та решения. В одном варианте построен прямоугольный треугольник
AJ3J31 на горизонтальной проекции данного отрезка, а в другом — прямо-
24
угольный треугольник А2В2В2 на фронтальной проекции отрезка. Гипоте-
нузы этих треугольников AJ31 и А2В2 определяют натуральную величину
отрезка АВ, а углы а и (3 определяют углы наклона этого отрезка к плос-
костям проекций Щ и П2.
Иногда удобнее строить прямоугольный треугольник не на проекции
отрезка, а на высоте h или на глубине f одного из концов отрезка относи-
тельно другого. На рис. 15, в показаны оба варианта этих построений.
Отрезки АгВ2 и A2Bt определяют натуральную величину отрезка АВ.
§ в. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ
1. Плоскость определяют три ее точки, не лежащие на одной прямой,
поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость 0 может быть задана
проекциями Ai, Bif Ci и А2, В2, С2 трех ее точек А, В, С (рис. 16). Для
Рис. 16
большей наглядности соединим точки А, В и С прямыми; получим задание
плоскости треугольником АВС. При этом следует помнить, что плоскость
безгранична и поэтому некоторые построения могут выходить за пределы
треугольника.
В общем случае на комплексном чертеже плоскость не может быть за-
дана ее проекциями, так как проекции плоскости на каждую плоскость
проекций П1 и П2 занимают полностью всю плоскость проекций. Поэтому
25
в общем случае проекции плоскости не определяют ее положения в прост-
ранстве.
Таким образом, если всякая точка и всякая непрофильная прямая могут
быть заданы на комплексном чертеже своими двумя проекциями на полях
Ilj и П2, то профильные прямые и, в общем случае, плоскости не опреде-
ляются их проекциями на этих полях. Как профильные прямые, так и плос-
кости на комплексном чертеже приходится задавать с помощью проекций
точек, их определяющих.
Если плоскость по мере удаления от на-
блюдателя поднимается вверх, то такую плос-
кость называют восходящей. Чтобы избежать
недоразумений, удаление надо производить
по профильной прямой плоскости1. На комп-
лексном чертеже (рис. 16, б) обе проекции
треугольника АВС, которым задана восходя-
щая плоскость, имеют одинаковые обходы
(против движения часовой стрелки). Нисходя-
щая плоскость по мере удаления от наблюда-
теля понижается.
На рис. 17 проекции треугольника АВС,
которым задана нисходящая плоскость, име-
ют противоположные обходы (проекция
имеет обход по движению часовой стрелки, а
проекция А2В2С2.— против движения часовой
стрелки).
В дальнейшем будем считать, что
на комплексном чертеже проекции восходя щей плоскости ориентированы
одинаково, а нисходящей — противоположно.
Задание плоскости тремя точками или, что то же самое, треугольником
не является единственно возможным. Так как плоскость вполне опреде-
ляется прямой и точкой, взятой вне прямой, или двумя пересекающимися
прямыми, или двумя параллельными прямыми, или любой плоской фигу-
рой, то на комплексном чертеже плоскость может быть задана проекциями
этих элементов2. При этом всегда можно перейти от одного способа задания
плоскости к другому и, в частности, к заданию плоскости тремя точками.
2. Взаимопринадлежность точки и плоскости.
Чтобы иметь возможность выполнять какие-нибудь построения в плоскости,
заданной своим комплексным чертежом, необходимо уметь строить в дан-
ной плоскости любые ее точки.
1 Проведение прямой линии на плоскости показано в пункте 2.
2 Изображение на комплексном чертеже двух пересекающихся или двух парал-
лельных прямых показано в § 10, 4.
26
Пусть плоскость 0 задана тремя точками А, В и С (см. рис. 17). Пока-
жем, как задать какую-нибудь точку этой плоскости. Для большей нагляд-
ности соединим точки А, В и С прямыми; тогда плоскость 0 будет задана
треугольником АВС. Проще всего искомую точку М1 задать на какой-ни-
будь стороне, например ВС треугольника АВС. Для этого достаточно ее
проекции и М21 задать на одноименных проекциях BiCi и В2С2 сторо-
ны ВС. Точка Л41, как принадлежащая прямой ВС, лежащей в плоскости 0,
будет принадлежать и плоскости 0.
Для более общего задания точки, принадлежащей плоскости 0, следует
провести в плоскости 0 произвольную прямую I. Выделив на плоскости 0
две произвольные точки, например А и М\ мы определим этими точками
прямую I (/ь /2)> принадлежащую плоскости 0. Теперь любая точка М2
(Mi2, М22) прямой I будет принадлежать плоскости 0.
Так как проекция плоскости 0 покрывает все поле проекций, то одну
из проекций точки, принадлежащей плоскости, можно задать произвольно,
тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем произвольно
проекцию Mi3. Далее, проведем в плоскости 0 какую-нибудь прямую т,
горизонтальная проекция которой mi проходила бы через выбранную про-
екцию Mi3. Прямая т определена точками С и N, принадлежащими плос-
кости 0. Построив вторую проекцию т2 прямой т в пересечении с линией
связи, проведенной через Mi3, найдем искомую проекцию М23.
Итак,
построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построе-
нию в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой пря-
мой..
При этом можно выбрать одну из проекций точки, а другую проекцию
построить при помощи вспомогательной прямой, проведенной на данной
плоскости так, чтобы ее соответствующая проекция проходила бы через
выбранную проекцию точки.
§ 7. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ИЗ ТРЕХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ПРОЕКЦИЙ И ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Профильная плоскость проекций. Как было по-
казано, комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проек-
ций1, является обратимым чертежом, т. е. по этому чертежу можно рекон-
струировать оригинал. Однако реконструкция оригинала, у которого
имеются профильные элементы и, в частности, профильные прямые или
1 Комплексный чертеж из двух проекций иногда называют двухкар тинным чер-
тежом.
27
плоскости, становится проще, когда помимо двух основных проекций име-
ется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости
проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным
плоскостям Hi и П2, называемая профильной плоскостью проекций1, ее
обозначают П3. Три плоскости проекций Пь П2 и П3 образуют систему
трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 18, а).
Рис. 18
2. Трехкартинный комплексный чертеж. Рассмот-
рим образование такого чертежа некоторой точки А при нефиксированных
плоскостях проекций. Спроецировав ортогонально на плоскости проекций
Пь П2 и П3 данную точку А, получим в дополнение к ее проекциям At
и А2 профильную проекцию А3 (рис. 18, а). Расстояния точки А от фиксиро-
ванных горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций ранее были
названы соответственно высотой h и глубиной f точки Д; расстояние же
точки А от фиксированной профильной плоскости проекций называется
широтой р точки А.
Если теперь совместить плоскости проекций П2 и П3 с плоскостью
чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости А^А2 на плос-
костях И! и П2 оказались на одной вертикальной прямой (вертикальная
линия связи AiA2), а проекции проецирующей плоскости Д2ДД3 на плос-
костях П2 и П3 оказались на одной горизонтальной прямой (горизонталь-
1 В начертательной геометрии эту плоскость принято располагать правее ориги-
нала . Однако в технической практике приходится пользоваться и второй профильной
плоскостью проекций, которую располагают левее оригинала. При этом изображение
на первой профильной плоскости проекции называют видом слева, а на второй —
видом справа. '
28
ная линия связи Л2Л3), то получим комплексный чертеж точки А в трех ор-
тогональных проекциях (рис. 18, б).
Если зафиксировать плоскость проекции П2 и принять ее за базовую
плоскость Ф, то глубина f — АА2 точки А может быть измерена как на поле
П4 от базы отсчета глубин Фь так и на поле П3 от базы отсчета глубин
Ф3.
Следовательно,
для построения профильной проекции А3 точки А, заданной ее гори-
зонтальной Ах и фронтальной Л2 проекциями, нужно провести через фрон-
тальную проекцию Л2 данной точки горизонтальную линию связи, на кото-
рой отложить от базы отсчета Ф3 глубину f точки Л, предварительно
измеренную на поле Hi от базы Ф1#
При построении профильной проекции точки можно использовать пос-
тоянную прямую преломления, обеспечивающую сохранение глубины точки
(рис. 18, б). Постоянная прямая преломления, являясь биссектрисой пря-
мого угла между базами Ф! и Ф3, будет наклонена к вертикальным и гори-
зонтальным линиям связи под одним и тем же углом 45°.
Итак, три проекции Лъ Л2 и Л3 какой-либо точки А являются вершинами
прямоугольника Л!Л2Л3Л0, четвертой вершиной которого является
точка Ло, принадлежащая постоянной прямой преломления. При этом, про-
екции Ai и Л2 связаны вертикальной линией связи, проекции Л2 и Л3—
горизонтальной линией связи, проекции Ai и Л3—ломаной горизонтально-
вертикальной линией связи.
3. Рассмотрим пример, при решении
которого будет использована профильная
проекция.
Пример. На профильной прямой р,
заданной точками А (Лъ Л2) и В (Bi, В2),
построить произвольную точку М (рис. 19).
Этот пример был уже решен (см.
рис. 14) с помощью прямой преломления и
ломаных линий связи.
Теперь рассмотрим его решение с по-
мощью профильной проекции р3. данной
прямой р. Для этого проведем постоянную
прямую преломления под углом 45° к вер-
тикальным линиям- связи. Пользуясь пря-
мой преломления, найдем профильные про-
екции А3 и В3 точек А и В, определяющих
прямую р. Если выбрать проекцию М3
точки М произвольно на проекции р3, то
проекции Mi и М2 легко найдутся соответ-
Рис. 19
ственно на проекциях Pi и р2.
29
Сравнивая решение, приведенное ранее, с данным решением, нетрудно
заметить, что последнее несколько сложнее первого независимо от того,
будет ли при последнем решении использована постоянная прямая прелом-
ления или оно будет выполнено с помощью измерения глубин точек. Един-
ственным преимуществом последнего решения является его большая наг-
лядность.
4. Пространственная система прямоугольных
координат. Чтобы иметь возможность точной передачи и точного
Рис. 20
построения комплексных черте-
жей каких-либо оригиналов,
необходимо уметь задавать по-
ложение проекций точек, опре-
деляющих данные оригиналы,
при помощи чисел. Для этого,
как известно, следует пользо-
ваться координатным методом.
Этим методом приходится поль-
зоваться также при построении
аксонометрических чертежей
(глава IX).
Пространственная система
прямоугольных координат Oxyz
(рис. 20), употребляемая в ко-
ординатном методе, состоит из
трех взаимно перпендикулярных
прямых х, у и z {осей коорди-
нат), пересекающихся в одной
точке О {начало координат), и
трех взаимно перпендикулярных
плоскостей хОу, xOz и yOz {плоскостей координат), попарно пересекаю-
щихся по соответствующим осям координат. Положительными направле-
ниями координатных осей будем считать направления, указанные стрел-
ками.
Три координатные плоскости делят пространство на восемь частей {ок-
тантов). Нумерация октантов показана на рис. 20. Каждому октанту со-
ответствует своя система знаков направлений координатных осей. У пер-
вого октанта все три координатные оси имеют положительные направления.
Чтобы отнести данную точку А к выбранной системе координат Oxyz,
спроецируем ее ортогонально на координатную плоскость хОу. Получим
проекцию Aif которую, в свою очередь, спроецируем ортогонально на ко-
ординатную ось х в точку Ах. В результате этих двух проецирований по-
лучим пространственную ломаную линию ОАХА}А {координатная ломаная),
отрезки которой параллельны координатным осям.
30
Эти отрезки соответственно называются:
0Ах — отрезком абсциссы;
Л хА! — отрезком ординаты;
A iA — отрезком аппликаты.
Измеряя координатные отрезки единицей длины е, получим три числа —
координаты точки А\
ОАХ АХА, ЛхЛ
абсциссу х = , ординату у = —- и аппликату z~ —выра-
жающие длины соответствующих координатных
отрезков.
Так как координаты точки А выражают также
расстояния этой точки от координатных плоскостей,
то, рассматривая эти плоскости как плоскости Аг h
проекций, можно называть координаты точки со- j
ответственно:
х — широтой точки;
у — глубиной точки;
Z — высотой точки.
*2-------------------\ог^уг
о —- , ff,=
Axt
Рис. 21
AxiAt и Ах2А2 еди-
Л.
Если точка А (Лъ Л2) задана своим комплек-
сным чертежом (рис. 21), то для отнесения ее к
системе координат Oxyz нужно построить на комп-
лексном чертеже проекции координатных осей.
Обычно систему координат располагают так, что-
бы координатные плоскости были параллельны
соответствующим плоскостям проекций, при этом
параллельно горизонтальной плоскости проекций
располагают координатную плоскость хОу. Тогда
проекции координатных осей изобразятся так, как
показано на рис. 21. Измеряя отрезки OiAxl = 02А
ницей длины е, получим координаты х, у и z точ
Чтобы построить точку Л (х, у, z), нужно при помощи единицы длины е
определить координатные отрезки 0Ах, AxAi и Л^, а затем отложить от-
резок 0Ах на оси х, отрезок AxAi — параллельно оси у и отрезок AiA —
параллельно оси z (см. рис. 20). Конец Л координатной ломаной ОАХ AtA
и определит искомую точку. В зависимости от знаков координат точка
может оказаться в том или другом октанте. Имея координаты точки Л, еди-
ницу длины е и комплексный чертеж системы координат Oxyz, нетрудно
построить комплексный чертеж точки Л (см. рис. 21).
Пример. Построить комплексный чертеж точки Л (15, 10, 20) в трех
ортогональных проекциях, если единица длины е = 1 мм (рис. 22 ).--
Если у оригинала нет явно выраженных размерных баз (осей или плос-
костей), которые удобно принять за оси или плоскости координат, то после
соответствующего выбора системы координат можно принять за плоскости
31
3
у- ю
Х = 15
у,
Рис. 22
проекций сами координатные плоско-
сти. Тогда получим комплексный чер-
теж при фиксированных плоскостях
проекций, на котором будут совмеще-
ны проекции координатных осей
%1 = %2> ^2 — ^3 И -^3 = Z/2 = ^1-
Само построение проекций А{, А2
и Л3 точки А сводится к построению
проекций координатных отрезков,
соответственно равных 15, 10 и 20 мм.
Нетрудно видеть, что горизонтальная
проекция точки А определяется коор-
динатами хну, фронтальная — коор-
динатами х и z, профильная — коор-
динатами у и z.
§ 8. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
1. Прямые и плоскости, наклоненные ко всем основным плоскостям
проекций, называются прямыми и плоскостями общего положения. Прямые
и плоскости, перпендикулярные либо параллельные плоскости проекций,
называются прямыми и плоскостями частного положения.
Прямые и плоскости частного положения разделяются на проецирующие
прямые и плоскости, перпендикулярные плоскости проекций, и на прямые
и плоскости уровня, параллельные плоскости проекций. Нетрудно видеть,
что каждая проецирующая прямая является вместе с тем и прямой уровня,
а каждая плоскость уровня — и проецирующей плоскостью.
2. Проецирующие прямые. Прямая i, перпендикулярная
плоскости проекций ГЦ, называется горизонтально проецирующей прямой',
она проецирует все свои точки на горизонтальную плоскость проекций ГЦ
в одну точку Ц, являющуюся ее горизонтальной проекцией (рис. 23). Фрон-
тальная i2 и профильная i3 проекции прямой i параллельны вертикальным
линиям связи. Прямая I, будучи параллельна плоскостям проекций П2
и П3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е.
АВ — А2В2 — А3В3.
Так как точки горизонтально проецирующей прямой I, в том числе и
точки А и В, имеют одну и ту же горизонтальную проекцию Ц= А^=Вь
то такие точки будем называть горизонтально конкурирующими.
32
Аналогично, прямая i, перпендикулярная плоскости проекций П2,
проецирует все свои точки, в том числе и точки С и D (рис. 24), на фрон-
тальную плоскость проекций П2 в одну точку1: t2= С2= D2. Эта прямая
называется фронтально проецирующей прямой, ее фронтальной проекцией
является точка i2, горизонтальной — прямая iit параллельная вертикальным
а)
Рис, 23
Рис. 24
1 На рис. 24—31 построение профильных проекций произведено при помощи от-
носительных глубин точек.
2—593 . 33
линиям связи, а профильной — прямая t3, параллельная горизонталь-
ным линиям связи. Прямая i, будучи параллельна плоскостям проекций
Щ и П3, проецируется на эти плоскости без искажения, т. е.
CD ~ClDi = C3D3.
Точки фронтально проецирующей прямой и, в частности, ее точки С
и D называют фронтально конкурирующими.
Прямая х, перпендикулярная плоскости П3, проецирует все свои точки,
в том числе и точки Е и F (рис. 25), на профильную плоскость проекций П3
о)
Рис. 25
в одну точку: t3= ^з- Эта прямая называется профильно проецирующей
прямой, ее профильной проекцией является точка х3, а горизонтальная ц
и фронтальная i2 проекции параллельны горизонтальным линиям связи.
Так как прямая г-параллельна плоскостям проекций П4 и П2, то она прое-
цируется на эти плоскости без искажения, т. е.
EF ~E1Fl = E2F2.
Точки профильно проецирующей прямой и, в частности, ее точки Е и F
будем называть профильно конкурирующими.
3. Проецирующие плоскости. Плоскость S, перпенди-
кулярная к плоскости проекций Щ, называется горизонтально проеци-
рующей плоскостью. Эта плоскость проецирует все свои точки на горизон-
тальную плоскость проекций в одну прямую S 1, которая и является гори-
зонтальной проекцией плоскости S . Фронтальная S 2 и профильная S 3 про-
екции занимают соответственно все поле проекций П2 и П3 (рис. 26).
Горизонтальная проекция точки или фигуры, лежащих в горизонтально
проецирующей плоскости!], располагается на прямой 2^ Так, прямая /,
лежащая в этой плоскости, имеет своей горизонтальной проекцией пря-
мую If, совпадающую с проекцией S t плоскости S, т. е. lt= S 1. В связи
с этим можно сказать, что проекция S! горизонтально проецирующей плос-
кости S собирает на себе проекции точек, прямых и фигур, расположенных
в этой плоскости.
Нетрудно видеть, что горизонтально проецирующая плоскость S вполне
определяется ее одной проекцией S ь Вместе с этим углы fl и у, которые
Рис. 26
образует проекция S 1 соответственно с прямой, перпендикулярной верти-
кальным линиям связи, и с самими линиями связи, измеряют углы накло-
на плоскости S к плоскостям проекций П2 и П3.
Плоскость S, перпендикулярная к плоскости проекций П2, называется
фронтально проецирующей плоскостью, ее фронтальная проекция S2 яв-
ляется прямой, а горизонтальная 21 и профильная S3 проекции занимают
соответственно все поле проекций II t и П3 (рис. 27).
Фронтальная проекция всякой точки, прямой или фигуры, лежащих во
фронтально проецирующей плоскости S, располагается на прямой S2. Так,
треугольник АВС, лежащий в этой плоскости, своей фронтальной проек-
цией имеет отрезок А2ВгСъ совпадающий с проекцией S2 плоскости S.
Иначе говоря, проекция S2 фронтально проецирующей плоскости S со-
бирает на себе проекции точек, прямых и фигур, расположенных в этой
плоскости. -
Фронтально проецирующая плоскость S вполне определяется ее одной
проекцией 22- Углы а и у, которые образует проекция 2 г соответственно с
2*
35
горизонтальными и вертикальными линиями связи, измеряют углы наклона
плоскости S к плоскостям проекций ГЦ и П3.
Плоскость S, перпендикулярная к плоскости проекций П3, называется
профильно проецирующей плоскостью, ее профильная проекция S з явля-
Рис. 27
ется прямой, горизонтальная S i и фронтальная S2 проекции занимают соот-
ветственно все поле проекций Щ и П2 (рис. 28).
Рис. 28
Аналогично предыдущему, профильная проекция всякой точки, прямой
или фигуры, лежащих в профильно проецирующей плоскости S, располага-
ется на прямой 5 з» которая собирает на себе проекции этих оригиналов.
Так, профильно проецирующие прямые i1 и i2, лежащие в этой плоскости,
36
имеют своими профильными проекциями точки г'з1 и t32, принадлежащие
проекции S з плоскости S .
Профильно проецирующая плоскость S вполне определяется одной
проекцией S3. Углы аир, которые образует проекция S3 соответственно
с горизонтальными линиями связи и с прямой, перпендикулярной к ним,
измеряют углы наклона плоскости S к плоскостям проекций ГЦ и П2.
В практике очень часто прибегают к помощи проецирующих плоскос-
тей, так как различные вопросы с ними решаются весьма просто. Так, чтобы
построить произвольную точку, прямую или фигуру в проецирующей плос-
кости, достаточно одну из проекций этих фигур взять на прямой, являю-
щейся проекцией плоскости (см. рис. 26, 27, 28).
Точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же
горизонтально проецирующей плоскости, называют горизонтально кон-
курирующими точкой и прямой или горизонтально конкурирующими пря-
мыми, так как, в общем случае, их горизонтальные проекции либо взаимно
принадлежат друг другу, либо совпадают. Исключение составляют случаи
точки и горизонтально проецирующей прямой, а также двух горизонтально
проецирующих прямых. В этих случаях горизонтальные проекции данных
оригиналов не принадлежат друг другу и не совпадают и поэтому эти ори-
гиналы не являются конкурирующими.
Аналогично, в общем случае, точку и прямую, а также две прямые,
расположенные в одной и той же фронтальной проецирующей плоскости,
называют фронтально конкурирующими точкой и прямой или фронтально
конкурирующими прямыми.
Точку и прямую, а также две прямые, расположенные в одной и той же
профильно проецирующей плоскости, называют профильно конкурирующи-
ми точкой и прямой или профильно конкурирующими прямыми.
Так, каждую вершину и противоположную сторону, а также стороны
треугольника АВС, расположенного во фронтально проецирующей плос-
кости S (см. рис. 27), можно называть фронтально конкурирующими, в то
время как профильно проецирующие прямые il и t2, расположенные в од-
ной и той же профильно проецирующей плоскости S (см. рис. 28), конкури-
рующими называть не следует.
4. Плоскости уровня. Плоскость, параллельную какой-ни-
будь плоскости проекций, называют плоскостью уровня, так как все точки
этой плоскости одинаково удалены от соответствующей плоскости про-
екций.
Плоскость Г, параллельную горизонтальной плоскости проекций Пь
называют горизонтальной плоскостью уровня (рис. 29).
Плоскость Ф, параллельную фронтальной плоскости проекций П2, на-
зывают фронтальной плоскостью уровня (рис. 30).
Плоскость ЧГ, параллельную профильной плоскости проекций П3, на-
зывают профильной плоскостью уровня (рис. 31).
37
Рис. 31
Как уже отмечалось, каждая плоскость уровня является в то же время
проецирующей плоскостью.
Так, горизонтальная плоскость Г является вместе с тем фронтально и
профильно проецирующей плоскостью, фронтальная плоскость Ф является
горизонтально и профильно проецирующей плоскостью, а профильная
плоскость Ф является горизонтально и фронтально проецирующей плос-
костью. Поэтому плоскости уровня Г, Ф и Ф на комплексном чертеже
могут быть заданы одной проекцией Г2 или Г3, Ф! или Ф3, или ЧГ2.
Каждая из этих проекций является прямой, перпендикулярной или па-
раллельной соответствующим линиям связи.
Нетрудно видеть, что всякая фигура, лежащая в горизонтальной плос-
кости Г, фронтальной плоскости Ф или профильной плоскости Ф, проеци-
руется без искажения соответственно на плоскости проекций Пь П2 или П3.
5. Прямые уровня. Прямая, параллельная какой-нибудь плос-
кости проекций, называется прямой уровня. Прямая уровня h, параллель-
ная горизонтальной плоскости проекций Щ, называется горизонталью.
Прямая уровня f, параллельная фронтальной плоскости проекций П2,
называется фронталью. Профильная прямая р также является прямой
уровня по отношению к плоскости проекций П3, которой она параллельна.
Так как горизонталь h всегда может лежать в соответствующей гори-
зонтальной плоскости Г (см. рис. 29), то ее фронтальная /i2 и профильная
h3 проекции соответственно совпадают с проекциями Г2 и Г3. Поэтому на
комплексном чертеже фронтальная и профильная проекции горизонтали
совпадают с одной и той же горизонтальной линией связи. Из условия, что
фронталь f лежит в соответствующей фронтальной плоскости Ф (см. рис. 30),
следует, что ее горизонтальная fi и профильная f3 проекции совпадают соот-
ветственно с проекциями Ф4 и Ф3. Поэтому на комплексном чертеже гори-
зонтальная и профильная проекции фронтали соответственно перпендику-
лярны вертикальным и горизонтальным линиям связи. У профильной пря-
мой р, как уже отмечалось, горизонтальная и фронтальная проекции совпа-
дают с одной и той же вертикальной линией связи (см. рис. 31).
Напомним, что проецирующие прямые также являются прямыми уров-
ня. Так, горизонтально проецирующая прямая является вместе с тем фрон-
талью и профильной прямой, фронтально проецирующая прямая — гори-
зонталью и профильной прямой, а профильно проецирующая — горизон-
талью и фронталью.
Прямые уровня проецируются без искажения на параллельную им плос-
кость проекций (в проекции сохраняются длины любых их отрезков).
Поэтому на плоскости проекций П± не искажаются горизонтали, на пло-
скости проекций П2 не искажаются фронтали, а на плоскости проекций
П3— профильные прямые.
Одновременно с этим на поле П± можно измерить углы [3 и у наклона
горизонтали h соответственно к плоскостям проекций П2 и П3 (см. рис. 29).
39
%
Аналогично на поле П2 можно измерить углы а и у наклона фронтали/
соответственно к плоскостям проекций Щ и П3 (см. рис. 30), а на поле
П3— углы аир наклона профильной прямой р соответственно к плоскос-
тям проекций П± и П2 (см. рис. 31).
6. В плоскости общего положения можно провести бесчисленное мно-
жество горизонталей, фронталей и профильных прямых, при этом все го-
ризонтали будут параллельны между со-
бой, точно так же будут параллельны меж-
ду собой фронтали и профильные прямые.
Пр и м е р. Плоскость 0 задана про-
екциями трех точек АхВхСх, А2В2С2. Про-
вести в этой плоскости через одну из данных
точек, например точку А, горизонталь h и
фронталь /, а через точку В — профильную
прямую р.
Для удобства построения, а также для
большей наглядности изображения переза-
дадим плоскость 0 треугольником АВС
(рис. 32). Определим горизонталь h данной
точкой А и вспомогательной точкой 1, при-
чем эта точка взята на прямой ВС так, что-
бы фронтальная проекция h2 горизонтали
была бы перпендикулярная вертикальным
линиям связи.
Фронталь f проводим через точку А и
точку 2, взятую на прямой ВС так, чтобы
проекция fx фронтали была бы перпендику-
лярна вертикальным линиям связи,
горизонтали начинаем с ее проекции h2,
а построение фронтали — с проекции Д.
Профильную прямую р определим данной точкой В и точкой D, взятой
на прямой АС так, чтобы горизонтальная pt и фронтальная р2 проекции
профильной прямой совпадали с вертикальной линией связи. Следует от-
метить, что так как в системе плоскостей проекций Пъ П2 профильная
прямая не определяется ее проекциями рх и р2, то точки В и D, которыми
она определена, являются не вспомогательными, а ее основными точ-
ками.
Очевидно, что через каждую точку йлоскости можно провести в этой
плоскости лишь одну горизонталь, одну фронталь и одну профильную
прямую.
7. Выше были рассмотрены различные формы задания на комплексном
чертеже плоскости общего положения (§ 6). Если комплексный чертеж
образован при фиксированных плоскостях проекций, то возможно задание
Рис. 32
Таким образом, построение
40
плоскости ее следами, т. е. прямыми ее пересечения с плоскостями проек-
ций (рис. 33). Нетрудно видеть, что след на горизонтальной плоскости про-
екций Пх является не чем иным, как горизонталью h данной плоскости,
а след на фронтальной плоскости проекций П2 является ее фрон-
талью f.
В общем случае следы плоскости пересекаются, и точка их пересече-
ния Fx лежит на оси проекций. Задание плоскости ее следами на плоскос-
Рис. 33
тях проекций является частным случаем задания плоскости двумя пересе-
кающимися прямыми. Отсюда следует, что решение всевозможных задач
с плоскостями, заданными их следами, можно производить так же, как с
плоскостями, заданными двумя пересекающимися прямыми уровня. Так,
на рис. 33 показано построение точки М, принадлежащей плоскости 0,
заданной своими следами Ли f. Это построение выполнено при помощи вспо-
могательной прямой, определяемой точками 1 и 2, выделенными на прямых
(следах) h и f данной плоскости, т. е. так же, как это делалось в случае
задания плоскости тремя точками (§ 6).
Задание плоскости следами не находит применения в технической прак-
тике, так как требует фиксации плоскостей проекций, что без нужды вносит
дополнительные усложнения. Кроме того, оно может быть и не удобно,
например, когда точка схода следов или сами следы оказываются за преде-
лами чертежа.
41
§ 9. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
1. Для увеличения наглядности чертежа при его построении прибегают
к некоторой условной видимости. При этом проекции невидимых линий
либо вовсе не изображаются, либо показываются менее заметными для
глаза, чем проекции видимых линий. Обычно проекции невидимых линий
вычерчивают штрихами, в два-три раза меньшей толщины, чем толщина
сплошных линий, которыми изображают проекции видимых линий.
о
4 3) Аг
О
Рис. 34
<к/
Будем считать, что направление лучей зрения совпадает с направлением
проецирующих прямых. Ясно, что если две точки лежат на одном и том же
луче зрения, то одна из них закрывается другой, причем точка, располо-
женная ближе к наблюдателю, будет видимой, а точка, расположенная
дальше от наблюдателя,— невидимой.
При рассматривании горизонтально конкурирующих точек А и В (§ 8)
по направлению стрелки на Щ (рис. 34) точка А будет видимой, а точ-
ка В — невидимой. Если же рассматривать фронтально конкурирующие
точки С и D по направлению стрелки на П2, то точка D будет видимой,
а точка С — невидимой. Отсюда получаем следующий критерий видимости
для комплексного чертежа:
из двух горизонтально конкурирующих точек на поле П1 видна та точ-
ка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих то-
чек на поле П2 видна та точка, которая расположена ближе (по отноше-
нию к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости П2).
Аналогично
из двух профильно конкурирующих точек на поле П3 видна та точка,
которая расположена левее.
42
На комплексном чертеже (рис. 34, б) в горизонтальной проекции из двух
горизонтально конкурирующих точек А и В видимой будет точка А (Д^,
так как, сравнивая фронтальные проекции этих точек, видим, что точка А
расположена выше точки В. Во фронтальной
проекции из двух фронтально конкурирующих
точек С и D видимой будет точка D (Z)2), так
как сравнивая горизонтальные проекции этих
точек, видим, что точка D расположена бли-
же точки С.
2. Критерий видимости может быть приме-
нен для определения видимости элементов
любых фигур.
Пример. Определить видимость ребер
тетраэдра A BCD (A^B^CJ)^ A2B2C2D2)
(рис. 35).
Сначала выясним видимость ребер тетра-
эдра в горизонтальной проекции. При рас-
сматривании тетраэдра по стрелке на Пь т. е.
принимая направление луча зрения совпада-
ющим с направлением проецирования на
плоскость Пь замечаем, что ребра тетраэдра
АВ, BD, DC, и С А являются контурными,
следовательно, эти ребра видимы на поле ПР
Остается выяснить видимость ребер ВС и
AD.
Обозначим пару горизонтально конкури-
рующих точек этих ребер через 1 и 2. Гори-
зонтальные проекции этих точек совпадают
/1= 2Ь а фронтальные проекции 12 и 22 раз-
личны, причем, судя по их расположению,
видно, что точка 1 расположена выше точки
2. Поэтому точка 1, а следовательно, и ребро
ВС, которому принадлежит эта точка, видимы на поле Пь а точка 2 и ре-
бро AD — невидимы.
Теперь установим видимость во фронтальной проекции. При рассматри-
вании тетраэдра по стрелке на П2 его ребра АВ, ВС, CD и DA являются
контурными, и поэтому они видимы на поле П2.
Для выяснения видимости ребер BD и АС выделим на этих ребрах пару
фронтально конкурирующих точек 3 и 4. Фронтальные проекции этих
точек совпадают 32= 42, а горизонтальные проекции 3t и 4^ различны,
причем точка 4 расположена ближе точки 3. Поэтому точка 4, а следова-
тельно, и ребро BD, которому принадлежит эта точка, видимы на поле П2;
точка же 3 и ребро АС будут невидимыми.
43
§ 10. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
1. Позиционными задачами называются задачи, в которых определяется
взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг
друга.
К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимопринадлеж-
ность (взятие точки на линии или поверхности, проведение линии на по-
верхности или поверхности через данные линии и т. д.) и задачи на пере-
сечение.
Выше были рассмотрены некоторые из позиционных задач, например
в § 5 и 7 была рассмотрена взаимопринадлежность точки и прямой, в § 6 —
взаимопринадлежность точки и плоскости.
Необходимо заметить, что указанные позиционные задачи относятся к
числу прямых позиционных задач. В настоящем же параграфе рассматри-
ваются все обратные основные позиционные задачи, в которых определяется
взаимное расположение точек, прямых и плоскостей относительно друг
друга (и относительно наблюдателя).
2. Взаимное расположение двух точек. Две точки
пространства могут совпадать или не совпадать. Если данные точки А и В
совпадают, то соответственно совпадают их горизонтальные и фронтальные
проекции, т. е.
A^—Bi и = В2.
Если же данные точки Л и В не совпадают, то их горизонтальные и
фронтальные проекции различны (рис. 36) или, по крайней мере, не должна
совпадать одна пара их проекций (рис. 37 и 38).
В2
Рис. 36
6
Ai = Bt
Рис. 37
4/(1----
о
-----
Рис. 38
44
конкурирую-
Если точки Л и В не совпадают, то возникает вопрос, как они располо-
жены относительно друг друга (и относительно наблюдателя).
Рассматривая рис. 36, легко определить, что точки Л и В не совпадают,
причем точка А расположена левее точки В на а единиц, ближе точки В
на b единиц и ниже точки В на с единиц. На рис. 37 изображены горизон-
тально конкурирующие точки Л и В, а на рис. 38 — фронтально конкури-
рующие точки. Нетрудно видеть, что из двух горизонтально
щих точек Л и В (рис. 37) точка А расположе-
на выше точки В на с единиц. При этом гово-
рят, что А расположена над точкой В или
точка В расположена под точкой А. На поле
П1 точка А будет видимой, а точка В —неви-
димой. Из двух фронтально конкурирующих
точек Л и В (см. рис. 38) точка А располо-
жена дальше, чем точка В, на b единиц, т. е.
точка А находится за точкой В или точка В
находится перед точкой А. На поле П2 точка
В будет видимой, а точка А — невидимой.
3. Взаимное расположение
точек и прямой. Точка может нахо-
диться на прямой и вне прямой. Если точка
находится на данной прямой I, то, как указы-
валось в § 5, ее проекции должны лежать на
одноименных проекциях прямой. Если же
данная точка находится вне прямой, то, по крайней мере, одна из про-
екций данной точки не должна лежать на одноименной проекции прямой.
Справедливы и обратные предложения, если только прямая, заданная в си-
стеме плоскостей проекций Пь П2, не является профильной. Взаимное
расположение точки и профильной прямой будет рассмотрено дальше.
На рис. 39 видно, что точка А находится на прямой I, а точки В, С и D
находятся вне прямой /. При этом при рассмотрении поля П2 определяем,
что точка В находится над прямой I, так как она расположена выше, неже-
ли горизонтально конкурирующая с ней точка прямой / (фронтальная про-
екция этой точки прямой I отмечена крестиком).
Аналогично при рассмотрении поля Й! определяем, что точка С нахо-
дится за прямой I, так как она расположена дальше, нежели фронтально
конкурирующая с ней точка прямой I (горизонтальная проекция этой точки
прямой I отмечена крестиком).
Если сравнивать положение точки D с положением той точки прямой I,
которая находится в той же профильной плоскости, что и точка D (проек-
ции этой точки отмечены крестиками), то легко определить, что точка D
расположена ближе и ниже, нежели точка прямой I, проекции которой
отмечены крестиками.
45
Для определения взаимного положения точки и профильной прямой
приходится пользоваться прямой преломления ломаных линий связи, со-
единяющих разноименные проекции точек профильной прямой, или при-
бегнуть к построению профильной проекции.
Пусть дана профильная прямая р при помощи двух точек А и В
(рис. 40). Определим положение точек М и N относительно прямой р. По-
строив прямую преломления А0В0 так, как это указывалось в § 5, можно
легко определить, что точка М лежит на прямой р, а точка W — вне пря-
мой р (рис. 40, а).
В самом деле, проекции Мх и Мг точки М лежат на одной ломаной ли-
нии связи, вершина которой находится на прямой преломления. Поэтому
отрезки AJ^ и А2В2 делятся точками Mi и М2 в одном и том же отношении,
что и доказывает принадлежность точки М прямой р.
Что касается точки N, то ломаная линия связи, проходящая через про-
екцию N1, не проходит через проекцию N2, поэтому точка N находится вне
прямой р. Если бы точка N лежала на прямой р, то, имея своей горизон-
тальной проекцией точку Nь она должна была бы иметь своей фронтальной
проекцией точку, отмеченную крестиком. Но так как ее фронтальная проек-
ция Nz расположена выше, то точка W находится над прямой р. Проведя лома-
ную линию связи через проекцию Nz, можно было бы определить положение
точки N относительно прямой р по глубине. Проще это сделать непосредст-
венно, исходя из пространственного представления. Прямая р является
46
нисходящей прямой (ее проекции AtBt и А2В2 различно ориентированы),
и так как точка N находится над прямой р, то она в то же время находится
и за прямой р.
На рис. 40, б показано определение взаимного положения точек М и N
относительно прямой р с помощью построения профильной проекции. При
рассмотрении поля П3 легко определить, что точка М лежит на прямой р,
а точка N над и за ней.
Рис. 43
Таким образом,
определение взаимного положения точки и прямой сводится к опреде-
лению взаимного положения двух точек.
4. Взаимное расположение двух прямых. Две пря-
мые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещи-
ваться.
Если прямые / и т пересекаются в некоторой точке /С, то на основании
свойства принадлежим сти (§ 3) проекции Ki и Лг точки Л должны принад-
лежать одноименным проекциям прямых I и т (рис. 41).
Иначе говоря, точки пересечения одноименных проекций двух пересе-
кающихся прямых лежат на одной и той же линии связи.
Если прямые I и т параллельны, то на основании свойства параллель-
ности (§ 3) одноименные проекции этих прямых также параллельны, т. е.
Z1 II пц и /2 II ^2 (рис. 42).
Если прямые I и т скрещиваются и их одноименные проекции соответ-
ственно пересекаются в точках At и В2, то эти точки не должны лежать на
одной линии связи (рис. 43), так как в противном случае прямые I и т пе-
ресекались бы.
Заметим, что точка At является горизонтальной проекцией горизон-
тально конкурирующих точек А1 и Ат, принадлежащих прямым I и т.
47
Так как точка А1 расположена выше точки Ат, то в горизонтальной проек-
ции в точке видима прямая а прямая mi невидима (на рис. 43 это от-
мечено разрывом прямой т вблизи точки AJ.
Аналогично точка В2 является фронтальной проекцией двух фронтально
конкурирующих точек В1 и Вт, соответственно принадлежащих прямым I
и т. Нетрудно видеть, что во фронтальной проекции в точке В2 видима пря-
мая т2, а прямая /г невидима, так как точка Вт расположена ближе, чем
точка В1.
Справедливы и обратные положения, если прямые, заданные в системе
плоскостей проекций Пъ П2, не являются профильными.
Таким образом,
взаимное положение двух непрофильных прямых определяется следу-
ющим образом: если одноименные проекции двух непрофильных прямых па-
раллельны, то и прямые параллельны. Если точки пересечения одноимен-
ных проекций двух непрофильных прямых лежат на одной линии связи, то
прямые пересекаются, если же эти точки не лежат на одной линии связи,
то прямые скрещиваются.
В частном случае, если две непрофильные прямые являются конкури-
рующими, то, находясь в одной и той же проецирующей плоскости, они не
могут быть скрещивающимися. Взаимное расположение таких прямых
легко определяется на том поле, на котором их проекции не сливаются.
Так, по полю П2 определяем, что горизонтально конкурирующие прямые
I и т пересекаются в точке К (рис. 44); по полю nt определяем, что фрон-
тально конкурирующие прямые I и т параллельны (рис. 45).
Для определения взаимного положения профильных прямых следует
пользоваться прямыми преломления или построить профильные проекции
данных прямых.
Пусть даны две профильные прямые р1 и.р2, причем первая задана свои-
ми точками А и В, а вторая — точками С и D, и пусть обе прямые лежат в
48
одной профильной плоскости (рис. 46). Построив для каждой из данных
прямых ее прямую преломления (§ 5), можно легко определить взаимное
положение прямых р1 и р2 (рис. 46, а).
Рис. 46
Если прямые преломления До#о и С0Е>0 пересекаются в некоторой точ-
ке Ло, то данные прямые р1 и р2 пересекаются в точке К (Ль Лг), так как из
равенства отношений
__ ло/<о __ А2К2 __С0К0 С2К,2
КгВг ~ ков. — к2в2 и /ад - /ад — k2d2
следует, что точка К (Ль Л2) принадлежит обеим данным прямым, а зна-
чит, является их точкой пересечения.
Если же прямые преломления Л050 и C0D0 совпадут или окажутся па-
раллельными, то и данные прямые р1 и р2 соответственно совпадают или
параллельны.
На рис. 46, б показано определение взаимного положения профильных
прямых р1 и р2 при помощи построения их профильных проекций. Так как
проекции рз1 и р32 пересекаются в точке Л3, то данные прямые р1 и р2 также
пересекаются в точке К (Ki, К2, Лз)-
49
Очевидно, что если профильные прямые р1 и ра расположены в различ-
ных профильных плоскостях (рис. 47), то в случае параллельности прямых
преломления Л0В01| CqD0 они также параллельны, а в случае непараллель-
ности прямых преломления профильные прямые р1 и р2 скрещиваются.
5. Взаимное расположение точки и плоскости.
Если точка находится в проецирующей плоскости, то соответствующая про-
екция ее должна лежать на прямой, являющейся проекцией плоскости (§8).
Если же точка находится на плоскости общего положения, то ее проек-
ции должны лежать на одноименных проекциях какой-либо прямой, при-
надлежащей данной плоскости (§ 6).
Справедливо и обратное положение, если только при решении вопроса
в системе плоскостей Пъ П2 вспомогательная прямая не является про-
фильной.
Для определения взаимного положения точки и плоскости общего поло-
жения следует провести на данной плоскости какую-нибудь вспомогательную
прямую, конкурирующую с данной точкой, и определить взаимное положе-
ние данной точки и вспомогательной прямой.
Если точка будет принадлежать вспомогательной прямой, то она на-
ходится на данной плоскости, если же точка окажется вне прямой, то она
находится и вне данной плоскости. При этом если точка окажется над (под)
или перед (за) прямой, то она точно так же будет расположена и относи-
тельно плоскости.
На рис. 48 изображена плоскость 0, заданная треугольником АВС,
и две точки М и Определим расположение данных точек относительно
плоскости 0.
50
Сначала определим положение точки М. Проведем на плоскости 0 пря-
мую I, горизонтально конкурирующую с точкой М. Для того чтобы пря-
мая I была горизонтально конкурирующей с точкой М, нужно, чтобы ее
проекция Ц проходила через Л4Ъ а для того чтобы прямая / принадлежала
плоскости 0, необходимо, чтобы две ее точки (на рис. 48 этими точками яв-
ляются точки Ли/) принадлежали плоскости. Так как и вторая проекция
/2 прямой I проходит через проекцию М2 точки М, то точка М принадлежит
прямой I, а значит, и плоскости 0.
Теперь определим положение точки N относительно плоскости 0. Для
этого проведем на плоскости 0 прямую т, фронтально конкурирующую
с точкой W. Точками плоскости 0, определяющими прямую т, являются
точки С и 2. Тогда по полю ГС определяем, что точка N находится вне пря-
мой т, а значит, и вне плоскости 0. В самом деле, если бы точка N лежала
на прямой т, то, имея своей фронтальной проекцией точку N2, она должна
была бы иметь своей горизонтальной проекцией точку, отмеченную крес-
тиком. Но так как ее горизонтальная проекция расположена на комплекс-
ном чертеже ниже, то точка N находится перед фронтально конкурирующей
с ней точкой плоскости 0, а значит, и перед
самой плоскостью 0. Проведя на плоскости 0
новую прямую, горизонтально конкурирую-
щую с точкой N, можно было бы определить
положение точки N относительно плоскости 0
по высоте. Однако проще это сделать непо-
средственно, исходя из пространственного
представления. Плоскость 0 является восхо-
дящей плоскостью (ее проекции А и
А2В2С2 одинаково ориентированы), и так как
точка N находится перед плоскостью 0, то в
то же время она находится и над плоско-
стью 0.
6. Взаимное расположение
прямой и плоскости. Прямая
может принадлежать плоскости, пересекаться
с плоскостью или быть ей параллельной.
Если прямая I принадлежит, пересекается или
параллельна плоскости 0, то вместе с тем она
будет соответственно совпадать (рис. 49, а)
или пересекаться (рис. 49, б) с какой-нибудь
прямой а этой плоскости или будет ей па-
раллельна (рис. 49, в).
Справедливы и обратные положения. По-
этому определение взаимного расположения
прямой и плоскости, в общем случае, сводит-
51
ся к определению взаимного расположения двух прямых — данной прямой
и вспомогательной прямой, принадлежащей данной плоскости. Обычно
в качестве вспомогательной прямой выбирают прямую, конкурирующую
с данной прямой.
Таким образом,
чтобы определить взаимное расположение прямой I и плоскости 9,
нужно на данной плоскости провести вспомогательную прямую а, конку-
рирующую с прямой /, и
Рис. 50
определить взаимное положение конкурирующих
прямых I и а.
Если эти прямые пересекаются в некоторой
точке Д, то в этой же точке данная прямая
пересекается с плоскостью. Если же конкури-
рующие прямые совпадают или параллельны,
то данная прямая соответственно принадлежит
или параллельна данной плоскости.
На рис. 50 изображена прямая I и плос-
кость 0 (АВС) общего положения. Определим
их взаимное положение.
Построим на плоскости 0 вспомогательную
прямую а, конкурирующую с данной прямой
I. Нами построена прямая а, горизонтально
конкурирующая с прямой I. Для этого на
прямых АС и ВС плоскости 0 выделены точ-
ки 1 и 2, горизонтально конкурирующие с
прямой /. Точки 1 и 2 определяют прямую а,
принадлежащую плоскости 0 и горизонтально
конкурирующую с прямой I. Теперь определяем относительное положение
прямых I и а. По полю П2 замечаем, что прямые I и а пересекаются; при
этом вначале определяется фронтальная проекция Д2 точки пересечения
Д, а затем горизонтальная проекция Д4. Точка К и будет точкой пересе-
чения данной прямой / с данной плоскостью 0.
Определяем видимость прямой I относительно плоскости 0. Судя по
полю П2, видно, что левее точки Д прямая I расположена под прямой а,
а значит, и под плоскостью©, поэтому на поле П\ прямая / левее точки Д
будет невидимой, правее же точки Д прямая, естественно, будет видимой.
Видимость прямой I на поле П2 легче всего определить исходя из того фак-
та, что в данном случае плоскость 0 является нисходящей. Поэтому, если
нами уже определено, что левее точки Д прямая расположена под плос-
костью, то она вместе с тем расположена и перед плоскостью. Это означает,
что на поле П2 прямая I левее точки Д видима, следовательно, правее точ-
ки Д она невидима. Так как на рис. 50 для увеличения наглядности плос-
кость 0 ограничена треугольником АВС, то вне проекций треугольника
проекции прямой / будут видимы.
52
Если при построении вспомогательной прямой а, горизонтально кон-
курирующей с данной прямой / (рис. 51), окажется, что /2II а2, то это ус-
ловие совместно с условием означает, что 11| а и, значит, прямая I
параллельна плоскости 0.
Так как, судя по полю П2, прямая I расположена над прямой а, а зна-
чит, и над плоскостью©, то прямая I полностью видима на поле Пр Плос-
кость 0 — нисходящая, поэтому прямая /, будучи расположена над плос-
костью 0, будет находиться в то же время и за плоскостью 0, а это означ а -
ет, что на поле П2 прямая I невидима.
Если же при построении вспомогательной прямой а окажется, что I == а
(li== и /2= а2) (рис. 52), то прямая принадлежит плоскости 0.
Рассмотрим теперь случай определения взаимного расположения про-
фильной прямой и плоскости.
Пусть даны: профильная прямая р, на которой отмечены две точки М
и N, и плоскость общего положения 0 (А, В, С) (рис. 53). Как и в общем
случае, построим на плоскости 0 вспомогательную прямую а, конкурирую-
щую с данной прямой1 р. Для чего выделим на прямых АС и АВ плоскос-
ти 0 точки 1 и 2, которыми и определится прямая а. Нетрудно Видеть, что
прямая а будет так же, как и прямая р, профильной прямой.
Далее определяем относительное положение двух профильных прямых:
данной прямой р и вспомогательной прямой а. Для этого строим их прямые
1 В данном случае прямая а будет одновременно и горизонтально, и фронтально
конкурирующей с прямой р.
53
преломления M0N0 и или их профильные проекции р3 и а3. Так как
прямые преломления или профильные проекции пересекаются, то прямые
р и а также пересекаются, и точка их пересечения является точкой пере-
сечения прямой р с плоскостью 0.
Видимость прямой р относительно плоскости 0 можно определить с
помощью прямых преломления, но в данном случае это нетрудно сделать
непосредственно из пространственного представления. Так как прямая р —
восходящая (проекции и M2N2 одинаково ориентированы), а плос-
кость 0 — нисходящая (проекции А^С^ и А2В2С2 различно ориентиро-
ваны), то прямая р от точки К в сторону точки М находится над и за плос-
костью©. Поэтому на поле Щ прямая р от точки К видима в сторону точ-
ки М и невидима в сторону точки N\ на поле П2 прямая р, наоборот,
видима в сторону точки N и невидима в сторону точки М.
Если прямые преломления M0N0 и 1о2о или профильные проекции р3
и а3 окажутся параллельными или совпадут, то прямые р и а будут соответ-
54
ственно параллельны или совпадут, а это означает, что профильная прямая
р соответственно параллельна плоскости 0 или ей принадлежит.
При определении взаимного положения прямой и плоскости, когда пря-
мая или плоскость являются проецирующими, следует воспользоваться
вырождением их соответствующих проекций в точку или прямую.
При этом решение существенно упрощается. Так, если проецирующая
прямая пересекается с какой-либо плоскостью, то соответствующая проек-
ция точки пересечения совпадает с точкой, в которую проецируется сама
прямая. Если же проецирующая плоскость пересекается с какой-либо пря-
мой, то одна из проекций точки пересечения определяется в пересечении их
соответствующих проекций.
На рис. 54 показано построение точки пересечения горизонтально
проецирующей прямой i с плоскостью общего положения 0 (АВС). Гори-
зонтальная проекция Kt точки К совпадает с проекцией а фронтальная
проекция К2 легко определяется из условия принадлежности точки К плос-
кости 0, для чего использована вспомогательная прямая А — 1, принад-
лежащая плоскости 0.
На рис. 55 показано построение точки К пересечения прямой общего
положения I с фронтально проецирующей плоскостью 2. Фронтальная
проекция К2 точки К определяется в пересечении фронтальных проекций
12 и 2 г прямой и плоскости. Горизонтальная же проекция Kt найдется в
пересечении линии связи с горизонтальной проекцией Ц прямой /.
55
Определение взаимного расположения прямой и плоскости является
одной из важнейших задач курса, так как эта задача входит как вспомога-
тельная при решении более сложных задач на пересечение многогранных
поверхностей с прямой, с плоскостью и друг с другом. Способ решения этой
задачи: проведение на данной плоскости вспомогательной прямой, конку-
рирующей с данной прямой,
а) и определение взаимного по-
ложения конкурирующих
прямых — данной и. вспомо-
гательной — является упро-
щенным толкованием так на-
зываемого способа посредников,
в его частном случае исполь-
зования проецирующей плос-
кости.
Вначале через данную
прямую проводится проеци-
рующая плоскость (посред-
ник) и находится прямая пе-
ресечения данной плоскости
с проецирующей, а затем
определяется относительное
положение данной прямой и
прямой пересечения данной
плоскости с проецирующей.
Нетрудно видеть, что прямая
пересечения этих плоскостей
является прямой данной пло-
скости, конкурирующей с
данной прямой, что показы-
вает эквивалентность обоих
толкований.
7. Взаимное рас-
положение двух
плоскостей. Две плос-
кости 0 и Л могут совпадать,
быть параллельными или пе-
ресекаться. Если плоскости©
и Л совпадают или параллель-
ны, то соответственно этим
случаям для любой прямой /
плоскости 0 всегда найдется
на плоскости Л такая пря-
56
мая т, которая будет совпадать с прямой I (рис. 56, а) или будет
ей параллельна (рис. 56, б). Если же плоскости 0 и Л пересекаются, то
любая прямая / плоскости 0 будет пересекаться с какой-нибудь прямой
т плоскости Л в некоторой точке К, принадлежащей прямой к пересече-
ния плоскостей (рис. 56, в, прямые Iх, т1), или прямая / окажется па-
раллельной какой-нибудь прямой т, причем, в этом случае, прямые / и
т должны быть параллельны и прямой к (рис. 56, в, прямые /2, т2). В
частности, прямые I и т могут совпадать, и тогда они совпадут с пря-
мой к.
Так как плоскость определяется двумя прямыми (пересекающимися
или параллельными), то для установления взаимного расположения двух
плоскостей 0 и Л необходимо установить взаимное расположение по край-
ней мере двух пар прямых I1, тх и /2, т2 этих плоскостей. При этом нетруд-
но видеть, что прямые каждой пары не должны быть скрещивающимися.
Обычно в качестве таких прямых выбирают конкурирующие прямые.
Обратные положения, в общем случае, справедливы лишь при опреде-
лении взаимного расположения двух плоскостей по двум пересекающимся
прямым каждой плоскости. При определении же взаимного расположения
плоскостей по двум параллельным прямым каждой плоскости не всегда
удается выяснить вопрос.
В самом деле, если две параллельные прямые одной плоскости окажутся
соответственно параллельными двум параллельным прямым другой плос-
кости, то плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Поэтому,
если при определении взаимного расположения двух плоскостей прямые
первой пары конкурирующих прямых окажутся параллельными, то вто-
рую пару конкурирующих прямых не следует проводить так, чтобы они
были параллельны соответствующим прямым первой пары.
Итак,
определение взаимного положения двух плоскостей сводятся к определе-
нию взаимного положения двух пар конкурирующих прямых, проведенных
на данных плоскостях.
Рассмотрим пример определения взаимного расположения двух плос-
костей 0 (а X Ь) и Л (с || d) (рис. 57).
Построим пару конкурирующих прямых так, чтобы первая прямая при-
надлежала плоскости 0, а вторая — плоскости Л. Чаще всего пользуются
конкурирующими прямыми уровня. В рассматриваемом примере проведе-
ны две фронтально конкурирующие горизонтали h1 и /г2. Горизонталь /г1
проведена на плоскости 0, для чего на прямых а и b выделены точки 1 и 2,
а горизонталь h? проведена на плоскости Л при помощи точек 3 и 4, выде-
ленных на прямых cud. Определяем относительное положение горизонта-
лей h1 и /г2. По полю П4 определяем, что горизонтали h1 и /г2 пересекаются,
при этом вначале определяется горизонтальная проекция К/ точки пере-
сечения Л1, а затем фронтальная проекция Лг1. Точка К\ принадлежа
57
обеим плоскостям 0 и Л, будет принадлежать и прямой их пересечения.
Чтобы определить вторую точку прямой пересечения плоскостей, проводим
вторую пару конкурирующих горизонталей h3 и /г4. Горизонталь h3 прово-
дим на плоскости 0 при помощи ее точек 5 и 6, а горизонталь /г4— на плос-
кости Л при помощи ее точек 7 и 8. Пересечение этих горизонталей опреде-
ляет вторую точку № прямой пересечения плоскостей. Прямая k, прове-
денная через точки № и №, будет прямой пересечения плоскостей 0 и Л.
Нетрудно видеть, что при построении второй пары горизонталей h3 и h4
каждую из них можно определить при помощи только одной точки.
Рис. 57
В самом деле, горизонталь h3 должна быть параллельна ранее проведен-
ной горизонтали h1, а горизонталь /г4 должна быть параллельна горизон-
тали /г2. Поэтому горизонталь h3 определяется одной точкой 5, а горизон-
таль /г4 — точкой 7.
Таким образом, плоскости 0 и Л, заданные на рис. 57, пересекаются и
прямая к является прямой их пересечения.
Если при определении взаимного расположения двух плоскостей ока-
жется, что прямые обеих пар конкурирующих прямых совпадают, т. е.
/х== т1 и /2= т2 (см. рис. 56, а), то данные плоскости совпадают.
Если же прямые одной из пар конкурирующих прямых параллельны,
т. е. /21| т2 (см. рис. 56, б и в), то для выяснения взаимного положения сле-
дует другую пару конкурирующих прямых провести так, чтобы прямые
этой пары не были параллельны соответствующим прямым первой пары.
Тогда, если и прямые этой пары параллельны, т. е. /1|| т1, то плоскости 0
и Л — параллельны (см. рис. 56, б). Если же прямые I1 и т1 пересекаются
в некоторой точке Л, то плоскости пересекаются и прямая пересечения этих
58
плоскостей к пройдет через точку К параллельно прямым /2 и /п2
(см. рис. 56, в).
При определении взаимного положения двух плоскостей, когда одна или
обе плоскости являются проецирующими, следует воспользоваться вырожде-
нием их соответствующих проекций в прямую.
На рис. 58 показано построение прямой к
пересечения плоскости 0 (АВС) общего поло-
жения с горизонтально проецирующей плоско-
стью 2. Горизонтальная проекция /сь прямой к
совпадает с проекцией 2 i, плоскости 2. Фрон-
тальная проекция /с2 определена при помощи
вспомогательных точек / и 2 из условия принад-
лежности прямой к плоскости 0.
Способ конкурирующих прямых, при помо-
щи которого определялось взаимное располо-
жение двух плоскостей, является, как и в слу-
чае определения взаимного положения прямой
и плоскости, упрощенным толкованием способа
посредников. Вначале проводим две вспомога-
тельные проецирующие плоскости, затем нахо-
дим прямые пересечения этих плоскостей с дан-
ными плоскостями, после чего определяем от-
носительные положения прямых пересечения
данных плоскостей с каждой из проецирующих.
Глава II
ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ И ПОЗИЦИОННЫЕ
ЗАДАЧИ НА МНОГОГРАННИКИ
§ 11. ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
На комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями
своих вершин и ребер, при этом (выполняя условия видимости) изображают
невидимые ребра штриховыми линиями. Кроме этого, рекомендуется от-
мечать кружками проекции вершин многогранника в отличие от проекций
конкурирующих точек на скрещивающихся ребрах, которые оставляют
неотмеченными. Для облегчения реконструкции многогранника рекомен-
дуется обозначать проекции его вершин.
Если у многогранника некоторые из его ребер являются профильными
прямыми или проецирующими прямыми, а вершины не обозначены, то при
Рис. 59
60
реконструкции многогранника по комплексному чертежу можно получить
не одно, а несколько решений. В самом деле, если задан комплексный чер-
теж куба (рис. 59, а), на котором йет обозначений вершин, то при реконст-
рукции, помимо куба (рис. 59, 6), можно получить четыре различно распо-
ложенные в пространстве треугольные призмы (одна из этих призм изобра-
жена на рис. 59, в). Кроме того, можно получить четверть кругового ци-
линдра (рис. 59, г), фигуру, дополняющую четверть кругового цилиндра
до куба (рис. 59, д), и др. Для устранения многозначности в этом случае
необходимо обозначить проекции вершин куба.
Таким образом, если у многогранника имеются ребра профильного или
проецирующего положения, а также при совпадении проекций каких-ни-
будь вершин или ребер обратимость чертежа достигается либо введением
буквенных обозначений проекций вершин многогранника, либо построе-
нием профильной проекции многогранника или какой-нибудь другой до-
полнительной его проекции1.
§ 12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С ПЛОСКОСТЬЮ
1. Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вер-
шинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секу-
щей плоскостью, а сторонами — отрезки прямых пересечения граней мно-
гогранника с той же плоскостью.
Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к
многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью
или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей
(§ 10). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то
обычно при построении сечения многогранника строят вершины сечения
как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После
построения вершин сечения следует соединить отрезками прямых каждые
две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом
стороны сечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в
невидимых гранях — невидимы.
Таким образом,
построение вершин сечения многогранника плоскостью сводится к про-
ведению на секущей плоскости вспомогательных прямых, конкурирующих
с ребрами многогранника, и определению точек пересечения этих прямых
с соответствующими ребрами.
Разумеется, что
если при построении сечения многогранника плоскостью секущая плос-
кость или грани многогранника являются проецирующими, то следует ис-
пользовать вырождение их соответствующих проекций в прямые.
1 Построения дополнительных проекций даны в главе IV.
61
2. Рассмотрим несколько примеров построения сечения многогранника
плоскостью, причем вначале разберем простейшие случаи, когда либо се-
кущая плоскость, либо поверхность многогранника является проециру-
ющей.
Пример 1. Построить проекции сечения пирамиды SABCDE фрон-
тально проецирующей плоскостью 5 (рис. 60).
Рис. G0
Так как фронтальная проекция сечения в данном случае вырождается
в отрезок прямой, совпадающей с фронтальной проекцией 5 г плоскости 5,
то можно отметить фронтальные проекции А2*, В2, С2, D2 и Е2 вершин
искомого сечения. Горизонтальные проекции Л/, В*, Ct1, D^, Е/ вершин
сечения находим на соответствующих горизонтальных проекциях ребер,
соединяя которые в последовательном порядке отрезками прямых, получим
горизонтальную проекцию сечения.
Пример 2. Построить проекции сечения треугольной призмы
ЛВСЛ’/ГС1, боковая поверхность которой является горизонтально проеци-
рующей поверхностью, плоскостью 0 (а х Ь) общего положения (рис. 61).
62
Так как боковые ребра данной призмы являются горизонтально проеци-
рующими прямыми, то горизонтальные проекции £>ъ Ej и Ft вершин D, Е
и F искомого сечения совпадают с горизонтальными проекциями самих ре-
бер. Фронтальные же проекции Dz, Е2 и F2 этих вершин легко определяют-
ся из условия их принадлежно-
сти, секущей плоскости 0, для
этого использованы прямые 1—
—2 и Е—3. Теперь рассмотрим
общие случаи пересечения мно-
гогранника плоскостью.
Пример 3. Построить
проекции сечения треугольной
призмы АВСА1В1С1 плоскостью
0 (М, N, Р) общего положения
(рис. 62).
Чтобы найти вершины иско-
мого сечения, строим точки пе-
ресечения боковых ребер призмы
АА1, ВВ1 и СС1 с данной плос-
костью 0. Для этого на плоско-
сти 0 проводим три вспомога-
тельные прямые 1—2, 3—4и5—6,
фронтально конкурирующие с
ребрами АА1, ВВ1 и СС1. Да-
лее строим точки пересечения
вспомогательных прямых с соот-
ветствующими ребрами призмы.
На ребре А А1 получаем точку D,
на ребре СС1— точку Е и на
продолжении ребра ВВ1— вспо-
могательную точку 7. Если бы
требовалось найти сечение приз-
матической поверхности, не при-
нимая во внимание оснований
Рис. 62
призмы, то в сечении был бы получен треугольник D—7—Е. Если же учи-
тывать основания призмы, то в сечении получим четырехугольник DEFG,
у которого вершины F и G являются точками пересечения сторон ВС и АВ
основания АВС призмы с данной плоскостью©. Точки F и G определяют
в пересечении сторон основания призмы ВС и АВ со сторонами сечения
Е—7 и D—7.
Так как боковые ребра призмы параллельны друг другу, то конкури-
рующие с ними вспомогательные прямые 1—2, 3—4 и 5—6 будут параллель-
ны между собой. Поэтому, построив первую из них — прямую 1—2 при
63
помощи двух точек 1 и 2, можно каждую из остальных вспомогательных
прямых строить при помощи одной точки. Так прямую 3—4 можно пост-
роить при помощи точки 3, а прямую 5—6 — при помощи точки 5, проведя
з^9г
Рис. 63
их параллельно прямой 1—2.
Пример 4. Построить
проекции сечения четырех-
угольной пирамиды SABCD
плоскостью 0 общего поло-
жения, заданной параллель-
ными прямыми а и b
(рис. 63).
На плоскости 0 проводим
четыре вспомогательные пря-
мые 1—2, 3—4, 5—6 и 7—8,
фронтально конкурирующие
с боковыми ребрами ЗЛ, SB,
SD и SC пирамиды. В пере-
сечении вспомогательных пря-
мых с соответствующими реб-
рами пирамиды находим
вершины А1, В1, D1 и С1
искомого сечения. Соединяя
в последовательном порядке
отрезками прямых вершины
сечения с учетом видимости,
получим сечение A1B1C1D1.
Для увеличения нагляд-
ности чертежа секущая плос-
кость 0 принята непрозрач-
ной и ограниченной па-
раллельными прямыми.
Так как боковые ребра
пирамиды пересекаются в од-
ной точке S, то конкурирую-
щие с ними вспомогательные
прямые 1—2, 3—4, 5—6 и
7—8 будут также пересекать-
ся в одной точке, обозначенной на чертеже цифрой 9, причем эта точка бу-
дет фронтально конкурирующей с точкой S. Отсюда следует, что если
первую из вспомогательных прямых — прямую' 1—2 определяем точками
1 и 2, то остальные можно определить точками 3 и 9, 5 и 9, 7 и 9, не строя
точек 4, 6 и 8.
64
§ 13. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С ПРЯМОЙ
1. Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника
производится тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой
с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не
на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет
представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить
отрезки прямых, лежащих в гранях многогранника и конкурирующих с
данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной ли-
нией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника.
Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это озна-
чает, что прямая не пересекается с многогранником.
Таким образом,
для определения взаимного положения прямой и поверхности много-
гранника нужно провести на его поверхности вспомогательную ломаную
линию, конкурирующую с данной прямой, и определить взаимное поло-
жение этих линий; если они пересекаются, то точки их пересечения и яв-
ляются точками пересечения данной прямой с поверхностью многогранни-
ка. Л „
2. Рассмотрим выполнение указанного построения на комплексном
чертеже.
Пример 1. Построить точки М и N
пересечения прямой I с поверхностью тре-
угольной пирамиды SABC (рис. 64).
Построим на поверхности пирамиды вспо-
могательную ломаную линию, фронтально
конкурирующую с прямой /. Эта вспомога-
тельная линия определяется точками 1, 2 и
3. Нетрудно видеть, что данная прямая пере-
секается с вспомогательной линией в точках
М и N, которые и будут искомыми точками.
При этом вйачале строятся горизонтальные
проекции Mi и Nt в пересечении Ц с гори-
зонтальной проекцией вспомогательной ли-
нии, а затем уже отмечаются фронтальные
проекции М2 и N2 на проекции /2.
Установим видимость прямой I. По гори-
зонтальной проекции определяем, что точки
М и N лежат соответственно в гранях ASC
и BSC. Эти грани видимы в горизонтальной
проекции, поэтому видимы и обе точки М и
N, следовательно, прямая I будет невидима
только на отрезке MN, находящемся внутри
3—593
65
пирамиды. Во фронтальной проекции грань ASC невидима, и поэтому пря-
мая I невидима от точки N до точки М и далее до точки, конкурирующей с
точкой 1 ребра AS.
В частных случаях,
при построении точек пересечения прямой с поверхностью многогран-
ника, когда прямая или грани многогранника являются проецирующими,
следует использовать вырождение их соответствующих проекций в точку
или прямые.
Рис. 65
Рассмотрим это на примерах.
Пример 2. Построить точки М н N пересечения фронтально прое-
цирующей прямой i с поверхностью треугольной пирамиды SABC (рис. 65).
Фронтальные проекции М2 и N2 искомых точек совпадают с фронталь-
ной проекцией i2 данной прямой. Горизонтальные же проекции Mi и Nt
легко находятся с помощью вспомогательных прямых S—1 и S—2, принад-
лежащих граням SAC и SBC, которые пересекает прямая i.
Пример 3. Построить точки М и N пересечения прямой I общего по-
ложения с поверхностью треугольной призмы АВСА1В1С1, боковые грани
66
которой являются горизонтально проецирующими плоскостями, а основа-
ния — горизонтальными плоскостями (рис. 66).
Нетрудно видеть, что прямая I пересекается в точке М с левой боковой
гранью призмы, а в точке N — с ее верхним основанием. При построении
этих точек сначала найдем их проекции Mi и N2 в пересечении соответст-
вующих проекций прямой I с горизонтальной проекцией боковой грани и
фронтальной проекцией основания, а затем построим проекции М2 и
соответственно на проекциях 12 и Ц прямой I.
§ 14. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
1. Линия пересечения двух многогранников, называемая линией пере-
хода, представляет собой некоторую пространственную ломаную линию,
которая может распадаться на две и более отдельные части. Эти части мо-
гут быть, в частности, и плоскими многоугольниками.
Вершинами линии пересечения многогранников являются точки пере-
сечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер
второго многогранника с гранями первого. Сторонами или звеньями линии
пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани
обоих многогранников.
Поэтому построение вершин линии пересечения многогранников сво-
дится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоско-
стью, а построение сторон этой линии — к многократному решению задачи
о пересечении двух плоскостей. Обычно предпочитают находить вершины
линии пересечения, а ее стороны находят соединением соответствующих
вершин. При этом очевидно, что только те пары вершин можно соединять
отрезками прямых, которые лежат в одной и той же грани первого много-
гранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника.
Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике
принадлежит разным граням, то такие вершины не соединяются.
Порядок соединения вершин линии пересечения в большинстве случаев
легко определяется, если после построения вершин выяснен вопрос о види-
мости ребер обоих многогранников, причем для каждого ребра, на котором
имеются вершины линии пересечения, отмечена видимость до и после его пере-
сечения с другим многогранником. Разумеется, что окончательно видимы-
ми будут только те видимые ребра каждого многогранника, которые пере-
секаются с видимыми гранями другого многогранника1.
При соединении вершин линии пересечения необходимо учитывать ви-
димость ее звеньев. Видимыми Звеньями будут только те, которые принад-
1 В затруднительных случаях порядок соединения вершин определяется при по-
мощи вспомогательной таблицы, составление которой показано в книге Н. Ф. Ч е т-
верухина и др. «Курс начертательной геометрии», 1963, стр. 96—98.
3*
67
лежат одновременно видимым граням как первого, так и второго много-
гранника.
При построении линии пересечения надо иметь в виду, что проекции
линии пересечения могут располагаться только в пределах площади нало-
жения одноименных проекций обоих многогранников (рис. 67). Поэтому,
если хотя бы на одной проекции проекция какого-нибудь ребра находится
вне площади наложения, то это ребро не пересекается с другим много-
гранником.
Таким образом,
построение вершин линии пересечения двух многогранников сводится
к проведению на поверхности каждого многогранника вспомогательных лома-
ных линий, конкурирующих с ребрами другого многогранника, и определе-
нию точек пересечения этих линий с соответствующими ребрами. Построе-
ние сторон линии пересечения сводится к последовательному соединению
отрезками прямых тех пар найденных вершин, которые лежат в одной и
той же грани каждого из данных многогранников.
"2. “Рассмотрим примеры построения линии пересечения многогранников.
Пример 1. Построить линию пересечения треугольной пирамиды
SABC и треугольной призмы DEFD1E1F1 (рис. 67).
Найдем сначала точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы.
Ребра АВ, ВС, С А основания пирамиды не пересекают граней призмы,
поскольку проекции этих ребер располагаются вне площади наложения.
Поэтому будем искать точки пересечения ребер SA, SB, SC пирамиды с
гранями призмы. Для каждого из этих ребер строим на поверхности приз-
мы вспомогательные фронтально конкурирующие линии (рис. 67, а). Эти
линии образуют треугольники. Так, линия, фронтально конкурирующая
с ребром SA, образует треугольник 1—2—3. В пересечении ребра SA со
сторонами 1—2 и 1—3 треугольника 1—2—3 находим точки К и L пересе-
чения ребра SA с поверхностью призмы.
Определяем видимость ребра SA. Так как это ребро пересекается в точ-
ке Л с гранью DEE*D\ а в точке L — с гранью EFF1E1, а обе эти гра-
ни видимы в горизонтальной проекции, то ребро SA будет на поле П! ви-
димым на отрезках SK и LA. Во фронтальной проекции грань DEE4)1
видима, а грань EFF^1 невидима, поэтому на поле П2 ребро SA будет
видимым на отрезке SK и на отрезке от точки, конкурирующей с точкой 3
до точки А. Аналогично находим точки М, N и Р, Q пересечения ребер SB
и SC с поверхностью призмы, а также определяем видимость этих
ребер.
Теперь определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирами-
ды. Ребра обоих оснований призмы не пересекают поверхности пирамиды,
так как их проекции расположены вне площади наложения. Таким образом,
остается определить точки пересечения ребер ЕЕ1, DD1, FF1 призмы с по-
верхностью пирамиды. Проведя на поверхности пирамиды вспомогательные
68
Рис. 67
линии, фронтально конкурирующие с рассматриваемыми ребрами призмы
(на рис. 67, а показана только вспомогательная линия для ребра FF1), вы-
ясняем, что ребра ЕЕ1 и DD1 не пересекают поверхности пирамиды, а реб-
ро FF1 пересекает поверхность пирамиды в точках R и Т. Определяем ви-
димость этих ребер.
Теперь все вершины линии пересечения построены и остается их соеди-
нить в определенном порядке. Так как каждая пара вершин К, М\ М, Р\
Р, К лежит в одной и той же грани пирамиды, а все вместе они находятся
в грани DEEXDX призмы, что легко обнаружить из рассмотрения поля Щ
(рис. 67, а), то эти вершины можно соединить попарно, при этом получим
треугольник КМ.Р, являющийся сечением пирамиды гранью DEEXDX
(рис. 67, б).
Остальные пять вершин можно соединить в следующем порядке:
L—R—N—Т—Q—L. В самом деле, у вершин L и R общие грани SAB и
EFF1E1; у вершин R и N общие грани SAB и DFFXDX’, у вершин N и Т об-
щие грани SBC и DFFXDX\ у вершин Q и Т общие грани SBC и EFF^E1-,
у вершин Т и Q общие грани SXC и EFFXEX.
Рис. 68
70
Итак, линия пересечения состоит из двух замкнутых ломаных линий —
из треугольника КМР и из пространственного пятиугольника LRNTQ.
Решая вопрос о видимости звеньев линии пересечения, убеждаемся, что
в горизонтальной проекции видимыми будут только звенья КМ, КР, LR
и LQ, а во фронтальной проекции — звенья КМ, MP, NT и NR, так как
эти звенья одновременно лежат на видимых гранях как первого, так и вто-
рого многогранника.
Если при построении линии пересечения двух многогранников поверх-
ность хотя бы одного из них является проецирующей, тд следует использо-
вать вырождение соответствующих проекций ребер и граней этого много-
гранника в точки и прямые.
Пример 2. Построить линию пересечения треугольной пирамиды с
треугольной призмой, боковая поверхность которой является горизонталь-
но проецирующей (рис. 68).
Горизонтальные проекции точек А, В, С, D, F, G пересечения ребер
пирамиды с гранями призмы находятся в пересечении их горизонтальных
проекций, после чего определяются и фронтальные проекции этих точек
на фронтальных проекциях соответствующих ребер. Горизонтальные про-
екции точек Е и Н пересечения правого ребра призмы с гранями пирамиды
совпадают с горизонтальной проекцией самого ребра, а фронтальные про-
екции этих точек построены с помощью прямых S—1 и S—2, принадлежа-
щих граням пирамиды, которые пересекает ребро призмы.
Глава ill
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 15. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОГО УГЛА
1. Помимо позиционных задач в технической практике часто прихо-
дится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков
и углов, определения натуральной формы плоских фигур и др. Такие за-
дачи называют метрическими задачами.
При их решении существенную роль играют условия перпендикуляр-
ности прямых и плоскостей. Поэтому следует установить, как эти условия
выполняются на комплексном чертеже. Для этого необходимо выяснить
свойства ортогональной проекции прямого угла.
2. Если обе стороны какого-нибудь угла, а следовательно, и прямого
угла параллельны плоскости проекций, то такой угол, находясь в плоскос-
ти, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость
в натуральную величину. Кроме этого случая, прямой угол проецируется в
свою натуральную величину и тогда, когда только одна из его сторон па-
раллельна плоскости проекций, при этом вторая сторона не должна быть
перпендикулярна к последней.
В самом деле, пусть сторона ВС прямого угла АВС параллельна плос-
кости проекций Пр Так как при параллельном переносе плоскости про-
екций проекция фигуры не изменяется, то для простоты рассуждений пере-
местим плоскость проекций П4 параллельно самой себе так, чтобы она про-
шла через параллельную ей сторону ВС (рис. 69). Тогда из условия, что
угол АВС — прямой, следует, что прямая ВС перпендикулярна
к прямой АВ. Поэтому на основании обратной теоремы о трех перпенди-
кулярах прямая В±Сг перпендикулярна и к проекции Таким обра-
зом, угол AiBiCi, являющийся ортогональной проекцией прямого угла
АВС, также прямой угол.
Имеет место и положение, обратное рассмотренному, т. е. если хотя бы
одна из сторон угла, проецирующегося ортогонально в прямой угол, па-
раллельна плоскости проекций, то проецируемый угол также является
прямым.
72
Справедливость этого положения не трудно установить на основании
теоремы о трех перпендикулярах. Из условия, что угол — прямой
(см. рис. 69), следует, что прямая ВС = В^ перпендикулярна к пря-
мой А{ВЬ но тогда прямая ВС перпендикулярна и к наклонной АВ, а это
означает, что угол АВС — прямой.
3. Покажем теперь, что прямой угол невозможно спроецировать орто-
гонально в прямой же угол, если ни одна из сторон прямого угла не па-
раллельна плоскости проекций. Иначе говоря, необходимо показать, что
Рис. 70
Рис. 69
если ортогональная проекция прямого угла является прямым углом, то, по
крайней мере, одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций.
Перенесем плоскость проекций lit параллельно самой себе так, чтобы
она прошла через вершину В прямого угла ЛВС (рис. 70), и предположим,
что сторона Л В не параллельна плоскости проекций. Тогда покажем, что
сторона ВС обязательно должна лежать в плоскости Пь а это означает,
что сторона ВС параллельна плоскости проекций.
На основании теоремы о трех перпендикулярах проекция AtBi сторо-
ны АВ, будучи по условию перпендикулярна к проекции BiCi стороны ВС,
будет перпендикулярна и к прямой ВС. Тогда прямая ВС, как перпендику-
лярная к прямым АВ и AiBt, будет перпендикулярна к проецирующей
плоскости ABAlt определяемой этими прямыми. Так как прямая ВС имеет
общую точку В = Bi с плоскостью Щ и перпендикулярна к плоскости
ABAit в свою очередь перпендикулярной к плоскости Пь то прямая ВС
должна целиком лежать в плоскости Пр
4. Так как условия перпендикулярности скрещивающихся прямых
сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, про-
веденных через произвольную точку пространства и соответственно парал-
лельных скрещивающимся прямым, то рассмотренные свойства ортого-
73
нальной проекции прямого угла распространяются как на пересекающиеся,
так и на скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые.
Обобщая указанные выше свойства, можно сформулировать следующее
предложение:
а)
для того чтобы две данные взаим-
но перпендикулярные прямые (пере-
секающиеся или скрещивающиеся)
проецировались ортогонально в виде
двух взаимно перпендикулярных пря-
мых, необходимо и достаточно, чтобы
одна из этих прямых была параллель-
на, а вторая — не перпендикулярна
плоскости проекций.
Применяя полученный результат к
проекциям на комплексном чертеже,
получим следующую формулировку.
Две взаимно перпендикулярные
прямые (пересекающиеся или скрещи-
вающиеся) тогда и только тогда со-
храняют свою перпендикулярность в
горизонтальной (рис. 71), фронталь-
ной (рис. 72) или профильной (рис. 73)
проекции, когда, по крайней мере,
одна из этих прямых соответственно
является горизонталью, фронталью
или профильной прямой.
Рис. 73
74
§ 16. ПРЯМЫЕ НАИБОЛЬШЕГО УКЛОНА ПЛОСКОСТИ
1. Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плос-
кости, называются прямыми наибольшего уклона данной плоскости к соот-
ветствующей плоскости проекций.
Такое название этих прямых объясняется тем, что среди различных
прямых какой-либо плоскости
прямые наибольшего уклона, перпендикулярные горизонталям плоскос-
ти, образуют наибольший угол с горизонтальной плоскостью проекций;
прямые наибольшего уклона, перпендикулярные фронталям плоскости, обра-
зуют наибольший угол с фронтальной плоскостью проекций; прямые наи-
большего уклона, перпендикулярные профильным прямым плоскости, об-
разуют наибольший угол с профильной плоскостью проекций.
Действительно, если провести в плоскости 0 прямую АВ, перпендику-
лярную к горизонтали h этой плоскости, и произвольную прямую АС, от-
личную от прямой АВ (рис. 74), то нетрудно показать, что прямая АВ об-
разует больший угол наклона с плоскостью проекций Пъ нежели пря-
мая АС.
Перенесем плоскость проекций nt параллельно самой себе так, чтобы
она прошла через выбранную горизонталь h плоскости 0. При таком пере-
носе углы прямых АВ и АС с плоскостью Щ не изменятся. Так как угол
наклона прямой к плоскости измеряется углом между прямой и ее ортого-
75
нальной проекцией на эту плоскость, то углы прямых АВ и АС с плоско-
стью Щ будут соответственно измеряться углами а = ^ABAt и
Р — ^АСА{. Покажем, что а > р.
Для этого рассмотрим два прямоугольных треугольника /^AAtB и
/\AAiC с общим катетом AAi. В этих треугольниках имеем АВ < АС, так
как АВ — перпендикуляр, а АС наклонная по отношению к горизон-
тали h. Поэтому если совместить вращением вокруг AAf плоскости рассмат-
риваемых треугольников, то прямая АВ займет положение АВг внутри тре-
угольника АА{С. Теперь можно утверждать, что ^ABiAi — а больше
^ACAt = р, так как внешний угол треугольника ABiC больше внутрен-
него, с ним не смежного.
Таким образом, прямая АВ плоскости 0, перпендикулярная к ее гори-
зонтали h, является прямой наибольшего уклона к горизонтальной плос-
кости проекций.
Аналогично можно доказать, что прямая плоскости 0, перпендикуляр-
ная к фронтали или профильной прямой этой плоскости, является соответ-
ственно прямой наибольшего уклона к фронтальной или профильной плос-
кости проекций.
Прямая наибольшего уклона плоскости 0 к какой-либо плоскости про-
екций со своей проекцией на эту
плоскость образует линейный угол
двугранного угла плоскости 0 с соот-
ветствующей плоскостью проекций.
Поэтому
измерение двугранного угла между
плоскостью 0 общего положения и
плоскостью проекций может быть све-
дено к измерению угла между соответ-
ствующей прямой наибольшего укло-
на плоскости 0 и ее проекцией на
выбранную плоскость проекций.
Прямую наибольшего уклона к
горизонтальной плоскости проекций
часто называют линией ската, так как
материальная частица, находящаяся
на плоскости, будет скатываться по
этой линии.
2. Пример. Провести в плос-
кости 0 (А, В, С) общего положе-
ния через ее точку В прямые наи-
большего уклона и1 и и2 к горизон-
тальной и фронтальной плоскостям
проекций (рис. 75).
Рис. 75
76
Вначале построим прямую наибольшего уклона к1 к плоскости проек-
ций Пр Для этого предварительно построим в плоскости 0 горизонталь h
при помощи точек А и 1. Так как прямая наибольшего уклона и1 перпенди-
кулярна к горизонталям плоскости 0, а эта перпендикулярность сохра-
няется в горизонтальной проекции, то горизонтальную проекцию и/ стро-
им перпендикулярно проекции hi, проведя ее, например, через точку Bi.
Фронтальную же проекцию и2г находим из условия принадлежности пря-
мой и1 плоскости 0, для чего используем точки В и 2.
Теперь Построим прямую наибольшего уклона и2 к плоскости проек-
ций П2. Для этого проводим в плоскости 0 фронталь f при помощи то-
чек А и 3. Так как прямая наибольшего уклона и2 перпендикулярна к
фронталям плоскости 0, а эта перпендикулярность сохраняется во фрон-
тальной проекции, то фронтальную проекцию и22 проводим через точку В2
перпендикулярно к f2. Горизонтальную проекцию и2 находим при помощи
точек В и 4, выделенных на плоскости 0.
§ 17. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Как известно, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендику-
лярна ко всякой прямой этой плоскости. Поэтому, если некоторая прямая п
перпендикулярна к какой-либо плоскости 0, то она перпендикулярна
Рис. 76
ко всякой горизонтали h и ко всякой фронтали f этой плоскости, т. е. п I h
и п _|_ / (рис. 76, а). Эта перпендикулярность (как было установлено в § 15)
сохраняется для горизонтали в горизонтальной проекции, и для фронта-
ли — во фронтальной проекции.
77
Поэтому проекции щ и п2 прямой п, перпендикулярной к плоскости 0,
должны удовлетворять условиям:
Щ ± hlf п2 _]_ /2,
где hi и f2— соответствующие проекции произвольных горизонтали h и
фронтали f плоскости 0 (рис. 76, б).
Справедливо и обратное предложение: если горизонтальная проекция щ
какой-либо прямой п перпендикулярна к горизонтальной проекции hi лю-
бой горизонтали h данной плоскости, а фронтальная проекция п2 прямой п
перпендикулярна к фронтальной проекции f2 любой фронтали f плоскос-
ти 0, то прямая п и плоскость 0 взаимно перпендикулярны.
В самом деле, из условий n.i±_hi и n2J_/2 следует, что п±h и а это
означает, что прямая п перпендикулярна к двум прямым плоскости 0.
В общем случае горизонталь h и фронталь f какой-либо плоскости являются
пересекающимися прямыми, поэтому прямая п, будучи перпендикулярна
к двум пересекающимся прямым плоскости 0, будет перпендикулярна и к
самой плоскости.
Исключение составляет профильно проецирующая плоскость, у которой
горизонталь и фронталь параллельны между собой. Прямая, перпендику-
лярная к такой плоскости, будет профильной прямой. В этом случае пер-
пендикулярность прямой и плоскости устанавливается по перпендикуляр-
ности их профильных проекций.
Аналогично, прямая, перпендикулярная к горизонтально или фрон-
тально проецирующей плоскости, будет соответственно горизонталью или
фронталью, и тогда перпендикулярность прямой и плоскости устанавли-
вается по перпендикулярности их горизонтальных или фронтальных про-
екций.
Таким образом,
прямая и плоскость общего положения взаимно перпендикулярны в том
и только в том случае, когда проекции прямой перпендикулярны одноимен-
ным проекциям соответствующих линий уровня плоскости, т. е. горизон-
тальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции го-
ризонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной
проекции фронтали.
Если плоскость является проецирующей, то прямая, перпендикулярная
к ней, будет линией уровня и тогда их взаимная перпендикулярность сохраня-
ется между вырожденной проекцией плоскости и соответствующей проек-
цией прямой.
2. Рассмотрим примеры построения прямой, перпендикулярной плос-
кости, и плоскости, перпендикулярной прямой.
Пример 1. Через точку А плоскости 0 (Л, В, С) провести прямую
п, перпендикулярную к плоскости (рис. 77).
78
Рис. 79
Вначале строим в плоскости 0 произвольную горизонталь h и произ-
вольную фронталь f, а затем через проекции Ai и А2 точки А проводим соот-
ветственно перпендикулярно hi и f2 проекции гц и п2 искомого перпенди-
куляра п к плоскости 0.
Если точка, через которую требуется провести перпендикуляр п к плос-
кости 0, находится вне плоскости, то построение перпендикуляра произ-
водится согласно условиям: n^Ahi и При этом для определе-
ния основания этого перпендикуляра на плоскости 0 нужно построить точ-
ку пересечения прямой п с плоскостью 0.
Пример 2. Через точку А провести плоскость©, перпендикулярную
данной прямой п (рис. 78).
Проводим через точку А горизонталь h и фронталь /, перпендикулярные
данной прямой п. Для этого из условий перпендикулярности должно быть
hi J_ni и /2_L^2- Искомая плоскость 0 определится двумя пересекающимися
прямыми: горизонталью h и фронталью f.
Пример 3. Построить проекции и натуральную величину перпен-
дикуляра, опущенного из данной точки М на профильно проецирующую
плоскость S (а II Ь) (рис. 79).
В данном случае можно использовать сохранение перпендикулярности
между вырожденной проекцией плоскости и соответствующей проекцией
искомого перпендикуляра. Вырожденной проекцией профильно проециру-
ющей плоскости является ее профильная проекция. Поэтому следует пост-
роить профильные проекции М3 и S3 данной точки М.и данной плоскос-
ти S. Это построение выполнено с помощью базовой плоскости Ф, от гори-
зонтальной проекции Фь которой измерялись глубины данных элементов,
а от ее профильной проекции Ф3 эти глубины откладывались по новым ли-
ниям связи.
Опустив из проекции М3 перпендикуляр M3N3 на проекцию S3, найдем
натуральную величину перпендикуляра MN. Возвращаясь в систему плос-
костей проекций Пъ П2, получим проекции MtNi и M2N2 искомого пер-
пендикуляра.
§ 18. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
1. Как известно, если две плоскости 0 и А взаимно перпендикулярны,
то каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Справедливо и обратное предложение, т. е. две плоскости 0 и А вза-
имно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр
к другой.
Отсюда следуют два способа построения взаимно перпендикулярных
плоскостей 0 и А: либо плоскость А проводится через прямую п, перпен-
дикулярную плоскости 0, либо плоскость А проводится перпендикулярно
прямой п, принадлежащей плоскости 0.
80
Таким образом,
построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построе-
нию взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Через произвольную точку пространства
множество плоскостей, перпендикулярных к
данной плоскости. Все эти плоскости будут
проходить через перпендикуляр к данной
плоскости, проведенный через данную точ-
ку. Поэтому для определенности решения
необходимо иметь дополнительное условие.
2. Пример. Через прямую I прове-
сти плоскость Л, перпендикулярную к
данной плоскости 0 (Л, В, С) (рис. 80).
Через произвольную точку 1 прямой I
проводим прямую п, перпендикулярную к
плоскости 0, для чего предварительно в
плоскости 0 строим произвольные гори-
зонталь h и фронталь f, а затем проводим
и п-> I f9. Пересекающиеся прямые
I и п определяют искомую плоскость Л,
перпендикулярную к плоскости 0. '
можно провести бесчисленное
§ 19. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ
1. Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается
на обеих плоскостях проекций, то перпендикулярность прямых общего
положения приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости.
При этом используется известное положение, что две прямые перпендику-
лярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно
провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
Таким образом,
построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения сво-
дится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
2. Рассмотрим примеры взаимной перпендикулярности прямых обще-
го положения.
Пример 1. Из данной точки А опустить перпендикуляр на пря-
мую I общего положения.
Если через точку А провести вспомогательную плоскость 0, перпен-
дикулярную прямой I (рис. 81, а), затем построить точку В пересечения
прямой / с плоскостью 0 и, наконец, соединить точку А с точкой В,
то прямая АВ будет перпендикулярна к прямой I, как принадлежащая
плоскости 0, перпендикулярной прямой I. Вспомогательную плоскость 0
4—593
81
определяем горизонталью h, и фронталью f, проведенными через точку А
перпендикулярно прямой Z, для чего проводим и /2J_Z2 (рис. 81, б).
Далее, при помощи вспомогательной прямой /, фронтально конкуриру-
ющей с прямой I, найдем точку В пересечения прямой I с плоскостью
х/). Соединив точку А с точкой В, получим искомый перпендикуляр
АВ к прямой I.
Пример 2. Определить, перпен-
дикулярны ли данные прямые I и т?
Для выяснения вопроса о перпенди-
кулярности данных прямых необходимо
построить вспомогательную плоскость,
перпендикулярную одной из данных пря-
мых, и установить относительное поло-
жение второй прямой и вспомогательной
плоскости. Если вторая прямая будет
принадлежать вспомогательной плоско-
сти или будет ей параллельна, то дан-
ные прямые взаимно перпендикулярны1.
Через произвольную точку А прове-
дем горизонталь h и фронталь f, перпен-
1 Если данные прямые являются профиль-
ными, то их перпендикулярность устанавли-
вается по перпендикулярности профильных
проекций этих прямых.
82
дикулярные к одной изданных прямых, например прямой I, при этом
и f9 I (рис. 82). Тогда плоскость 0, определяемая прямыми h и f, будет
перпендикулярна к прямой I. Выясним относительное положение прямой
т и плоскости 0. Проведя в плоскости 0 вспомогательную прямую t,
фронтально конкурирующую с прямой т, устанавливаем, что прямая т
параллельна прямой I, а значит, параллельна и плоскости 0.
Таким образом, прямая т, будучи параллельна плоскости 0, перпенди-
кулярной прямой I, будет перпендикулярна прямой I.
Глава IV
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО
ЧЕРТЕЖА
§ 20. О ПРЕОБРАЗОВАНИИ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Решение задач позиционного и, главным образом, метрического харак-
тера значительно облегчается, когда данные элементы располагаются на
прямых или на плоскостях частного положения.
В связи с этим в технической практике при изображении какого-нибудь
оригинала на комплексном чертеже предпочитают так располагать ориги-
нал по отношению к плоскостям проекций Пь П2 и П3, чтобы наиболее
важные элементы оригинала располагались на прямых или на плоскостях
частного положения.
Разумеется, что не всегда удается выполнить это условие по отношению
ко всем элементам оригинала. Тогда могут возникнуть задачи об измерении
отрезков и углов, а также об определении натуральной формы плоских
фигур тех элементов оригинала, которые расположены неудачно по отно-
шению к плоскостям проекций, т. е. элементов, расположенных на прямых
или на плоскостях общего положения.
Желание упростить решение указанных задач приводит к необходимости
такого преобразования комплексного чертежа, при котором прямые и плос-
кости общего положения, содержащие интересующие нас элементы ориги-
нала, перешли бы соответственно в прямые и плоскости частного положения.
Такое преобразование комплексного чертежа может быть осуществлено
следующими двумя основными способами:
способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизмен-
ным положение оригинала в пространстве, а заменяют одну или обе плос-
кости проекций так, чтобы интересующие нас прямые и плоскости оказа-
лись бы в частном положении по отношению к новой системе плоскостей
проекций;
способом вращения, при котором оставляют неизменной систему плос-
костей проекций, а меняют положение оригинала в пространстве путем его
вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим
образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плос-
-84
кости оказались бы в частном положении по отношению к данной системе
плоскостей проекций.
Кроме этих основных способов преобразования комплексного чертежа,
иногда при решении позиционных задач целесообразно пользоваться спо-
собом дополнительного проецирования. В этом способе ортогональное прое-
цирование заменяют косоугольным или центральным проецированием либо
на одну из старых плоскостей проекций, либо на какую-нибудь новую
плоскость проекций.
В настоящей главе даны все указанные выше способы преобразования
комплексного чертежа.
§ 21. ОСНОВЫ СПОСОБА ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
1. Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из ос-
новных плоскостей проекций Пь П2 или П3 заменяется новой плоскостью
проекций П4, подходящим образом расположенной относительно, ориги-
нала, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций. Так, если
заменяется плоскость проекций П2, то новая плоскость П4 должна быть
перпендикулярна к незаменяемой плоскости (рис. 83), если же заме-
няется плоскость Ilf, то плоскость П4 должна быть перпендикулярна к
плоскости П2 (рис. 84).
В результате замены одной из основных плоскостей проекций на плос-
кость проекций П4 мы получаем вместо старой системы плоскостей проек-
ций (Пь П2) новую систему (Г1ь П4), если заменялась плоскость П2; или
систему (П2, П4), если заменялась плоскость Пр
В каждой из этих систем можно произвести замену оставшейся неза-
мененной плоскости. Так, в системе (Щ, nj можно заменить плоскость Г1х
85
на новую плоскость П5, перпендикулярную незаменяемой плоскости П4,
а в системе (П2, П4) можно заменить плоскость П2 на плоскость П5, пер-
пендикулярную П4, после чего получим новые системы (П4, П5).
Последовательное введение новых плоскостей проекций П4, П5, П6, ...
позволяет получить такую систему плоскостей проекций, относительно
которой данный оригинал займет удобное для решения той или иной задачи
положение.
При решении большинства задач приходится вводить только одну или
последовательно только две новые плоскости проекций.
Рис. 85
2. Выясним ход выполнения на комплексном чертеже замены плоскос-
тей проекций.
Пусть дана точка А своими проекциями At и Л2 в системе плоскостей
проекций (Пь П2). Заменим плоскость П2 на новую плоскость П4, перпен-
дикулярную к плоскости Пъ и спроецируем данную точку А на эту плос-
кость, обозначив полученную проекцию через Л4 (рис. 85, а).
Нетрудно видеть, что если точка А определяется своими проекциями Ai
и А2 в старой системе плоскостей проекций (Пй П2), то она также опреде-
ляется своими проекциями At и Д4 в новой системе плоскостей проекций
П1 и П4.
Теперь установим способ построения по комплексному чертежу точки,
выполненному в старой системе, комплексного чертежа, выполненного в
новой системе. Для этого выясним, какие свойства проекций остаются не-
изменными при переходе от старой системы плоскостей проекций к новой.
Очевидно, что это те свойства, которые связаны лишь с незаменяемой плос-
костью проекций Пр
При этой замене остаются неизменными:
горизонтальная проекция точки А;
86
высота h точки А относительно произвольной горизонтальной плос-
кости Г, являющейся в этом случае базовой плоскостью для измерения
высот точек1.
Произведем переход от системы (П4, П2) к системе (nit П4) на комплекс-
ном чертеже (рис. 85, б).
Так как горизонтальная проекция AY точки А остается неизменной, то
через эту проекцию в произвольном направлении проводим новую линию
6
Рис. 86
связи AiA&. Далее проводим проекции (базы отсчета высот) Г2 и Г4 базо-
вой плоскости Г в наиболее удобных местах чертежа, соответственно пер-
пендикулярно старой и новой линиям связи. Измерив на поле П2 от базы
Г2 высоту h точки А и отложив ее на новой линии связи от новой базы Г4,
получим новую проекцию А4 точки А.
Сохранение высоты точки А на поле П4 может быть обеспечено и при
помощи прямой преломления, являющейся биссектрисой угла, образован-
ного базами Г2 и Г4. В этом случае новая проекция А4 связывается с за-
меняемой проекцией А2 ломаной линией связи, вершина которой лежит на
прямой преломления.
3. Аналогичным образом производится замена плоскости П± на новую
плоскость проекций П4, перпендикулярную к плоскости П2 (рис. 86).
При этой замене остаются неизменными:
фронтальная проекция А2 точки А;
глубина f точки А относительно произвольной фронтальной плоскости
Ф, являющейся в этом случае базовой плоскостью для измерения глу-
бин точек.
Поэтому для перехода от системы (Пь П2) к системе. (П2, П4) на комп-
лексном чертеже проводим через незаменяемую проекцию А2 новую линию
1 На рис. 85, а для упрощения изображения плоскость проекций Щ совмещена с
базовой плоскостью Г. На рис. 86, а из тех же соображений плоскость проекций П2
совмещена с базовой плоскостью Ф. .
87
связи в направлении Л2Л4, которое выбираем. Затем проводим проекции
(базы отсчета глубин) Of и Ф4 базовой плоскости Ф соответственно перпен-
дикулярно старой и новой линиям связи. Тогда, измерив на поле ITt от
базы глубину f точки Л и отложив ее на новой линии связи от новой
базы Ф4, получим проекцию Л4 точки Л.
Нетрудно видеть, что построение профильной проекции какого-нибудь
оригинала по двум данным его проекциям, горизонтальной и фронтальной,
является по существу заменой плоскости проекций ГЦ на плоскость П3,
перпендикулярную плоскостям П! и П2 (см, рис. 18).
4. Проведенные замены плоскостей проекций показывают, что всегда
можно заменить любую из данных плоскостей проекций Пъ П2 или П3
на всякую плоскость П4, перпендикулярную к незаменяемой плоскости
проекций.
Объединим способы построения на комплексном чертеже новой проек-
ции-точки при замене любой из плоскостей проекций в одно правило.
Для построения на комплексном чертеже новой проекции точки при за-
мене любой из плоскостей проекций необходимо:
провести через незаменяемую проекцию точки новую линию связи
(в направлении, отвечающем поставленным условиям)',
провести на заменяемом и новом полях базы отсчета расстояний (высот,
глубин или широт), соответственно перпендикулярные старой и новой лини-
ям связи;
измерить расстояние заменяемой проекции точки от базы заменяе-
мого поля и отложить его на новой линии связи от базы нового поля.
Это правило применяется и при последовательном выполнении двух и
более замен. Так, если для точки А произведена замена плоскости П2 на
плоскость П4, перпендикулярную к плоскости ГЦ (рис. 87, 85), и после
этого нужно заменить и плоскость П± на плоскость П5, перпендикулярную
к плоскости П4, то при выполнении
последней замены нужно считать поле
ITi заменяемым, поле П4— незаменя-
емым и поле П5— новым. Поле П2
не участвует в этой замене. Линию
связи полей П± и П4 надо считать
старой линией связи, а линию связи
полей ГЦ и П5 — новой.
Так как базовая плоскость па-
раллельна незаменяемой плоскости
проекций^ то если при первой замене
базовой плоскостью является горизон-
тальная плоскость Г, то при второй
замене ею является горизонтально
проецирующая плоскость 5. Проек-
ции 51 и 5 5 базовой плоскости S дол-
ее
жны быть соответственно перпендикулярны к старой и новой линиям
связи. На рис. 87 базы Г4 и Si совмещены, что, вообще говоря, необяза-
тельно. Отложив на новой линии связи от базы S 5 расстояние /, предва-
рительно измеренное на заменяемом поле Щ от базы Si, получим проек-
цию А5 точки Л. Так совершается переход от системы плоскостей проекций
(П1, П2) к системе (П4, П5) через промежуточную систему (Пь П4).
§ 22. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ
ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
1. Рассмотрим четыре основные задачи, к которым сводится решение
различных задач способом замены плоскостей проекций.
Первая задача. Сделать прямую I (llf 12) общего положения в
новой системе плоскостей проекций прямой уровня.
Для того чтобы сделать данную прямую
I прямой уровня, достаточно заменить одну
из плоскостей проекций, например плоскость
П2, на новую плоскость П4, перпендикуляр-
ную к незаменяемой плоскости Щ и парал-
лельную данной прямой I. Тогда в системе
(Пь П4) прямая I будет прямой уровня.
Чтобы проделать эту замену на комплек-
сном чертеже (рис. 88), проводим новые ли-
нии связи через незаменяемые проекции Л и
2, двух произвольных точек 1 и 2 прямой I,
определяющих эту прямую. Эти линии связи
должны быть перпендикулярны к проекции Zb
так как известно, что у прямой уровня одна
из ее проекций перпендикулярна к линиям
связи.
Далее, проводим базы отсчета высот Г2 и
Г4 соответственно перпендикулярно к старым
и новым линиям связи. При этом для удоб-
ства отсчета высот базовая плоскость Г проведена на уровне точки 1, по-
этому высота этой точки /ii= 0, и, следовательно, новая проекция /4 точки
1 будет находиться на базе Г4. Отложив на новой линии связи, прове-
денной через проекцию 21? от базы Г4 высоту h2 точки 2, предварительно
измеренную на поле П2 от базы этого поля Г2, получим новую проекцию
24 точки 2. Проведя прямую через проекции /4 и 24. получим новую про-
екцию Z4 данной прямой /.
Таким образом, прямая I (lit /4) в системе плоскостей проекций (Пь П4)
является прямой уровня, ее проекция С перпендикулярна к линиям связи.
89
Нетрудно видеть, что прямая I проецируется на плоскость П4 без иска-
жения, а угол а, образованный проекцией Z4 с базой Г4, дает натуральный
угол “ ' ~
наклона прямой / к плоскости Пр
Очевидно, что рассмотренную задачу
можно решить также заменой плоскости П4
на плоскость П4, перпендикулярную к П2
и параллельную прямой /. Эта замена про-
изведена на комплексном чертеже (рис. 89).
Новые линии связи здесь проводились
через незаменяемые проекции /2 и 22 пер-
пендикулярно к проекции 12 и на этих ли-
ниях связи строились новые проекции /4 и
24 так, чтобы глубины этих точек относи-
тельно базовой плоскости Ф не изменились.
Прямая I проецируется на плоскость П4
без искажения, а угол р, образованный
проекцией Z4 с базой Ф4, дает натуральный
угол наклона прямой / к плоскости П2.
2. Вторая задача. Сделать
прямую уровня I (/ь Z2) в новой системе
плоскостей проекций проецирующей прямой.
Пусть прямая I является горизонталью
в системе плоскостей проекций (Пь П2).
Заменим плоскость проекций П2 на новую
плоскость П4, перпендикулярную к прямой Z, а так как прямая Z [| Пъ то
П4±П1. Тогда в системе (Пъ П4) прямая Z будет проецирующей прямой
относительно плоскости П4.
На комплексном чертеже (рис. 90) проводим новые линии связи через
проекции Л и 2i двух произвольных точек 1 и 2 прямой Z, определяющих
эту прямую. Эти линии связи в данном случае совпадают с проекцией ZP
Далее для удобства отсчета высот базовую
плоскость Г проводим на уровне данной
горизонтали. Тогда высоты обеих точек 1 и
2 равны нулю. Поэтому новые проекции /4
и 24 этих точек совпадут в одну точку, рас-
положенную на проекции Г4 базовой плос-
кости Г. Таким образом получаем проек-
цию Z4 прямой Z на плоскость П4 в виде
точки /4==24.
Если бы данная прямая I являлась
фронталью, то для ее преобразования в
проецирующую прямую нужно было бы
заменить плоскость П± на плоскость П4,
Рис. 90
90
перпендикулярную к прямой I, а следовательно, перпендикулярную и к
незаменяемой плоскости П2.
3. Для того чтобы сделать прямую I общего положения в новой системе
плоскостей проекций проецирующей прямой, нужно последовательно ре-
шить рассмотренные первую и вторую задачи.
На рис. 91 показано соответствующее преобразование комплексного
чертежа. Вначале в системе (Щ, П2) произведена замена плоскости П2
на плоскость П4 (П4_1_П1 иП41| /)• При этой замене базовой плоскостью Г
является горизонтальная плоскость, проведенная на уровне точки 1. Да-
лее, в системе (Пъ П4), в которой прямая I является прямой уровня от-
носительно плоскости П4, произведена замена плоскости П± на плоскость
П5 (П5±/). А так как I || П4, то П5_[_П4. При этой замене базовой плос-
костью 2 является горизонтально проецирующая плоскость, проведенная
через прямую I. В системе (П4, П5) прямая I является проецирующей пря-
мой относительно плоскости П5.
4. Третья задача. Сделать плоскость 0 (А, В, С) общего поло-
жения в новой системе плоскостей проекций проецирующей плоскостью.
Если провести в данной плоскости какую-нибудь линию уровня, на-
пример горизонталь h (рис. 92), то, заменяя плоскость проекций П2 на
плоскость П4, перпендикулярную к этой горизонтали, а значит, перпенди-
91
кулярную и к незаменяемой плоскости проекций Пъ получим горизонталь
и данную плоскость 0 проецирующими относительно плоскости П4.
Для выполнения этой замены на комплексном чертеже проводим новые
линии связи через незаменяемые проекции Аь Въ Ci параллельно гори-
зонтальной проекции hr горизонтали h. Далее, проводим горизонтальную
плоскость Г на уровне
Рис. 93
горизонтали h и строим на соответствующих новых
линиях связи новые проекции Д4, В4 и С4, так,
чтобы высоты точек Л, В и С относительно ба-
зовой плоскости Г не изменились. Так как точ-
ка С находится над базовой плоскостью Г, а
точка В — под ней и их проекции С2 и В2 соот-
ветственно расположены от базы Г2 в сторону
своего (П2) и чужого (Щ) полей, то и на поле
П4 проекции С4 и В4 должны быть соответствен-
но расположены от базы Г4 в сторону своего (П4)
и в сторону чужого (П4) полей. На поле П4
проекции Л4, В4 и С4 лежат на одной прямой,
которая будет новой проекцией 04 плоскости 0.
Угол а, образованный проекцией 04 с базой
отсчета Г4, дает натуральный угол наклона
плоскости 0 к плоскости проекций Пр
Аналогично можно определить и угол накло-
на плоскости 0 к плоскости проекций П2, выпол-
нив при этом замену плоскости Щ на плоскость
П4, перпендикулярную к фронтали данной пло-
скости 0.
’**►5. Четвертая задача. Сделать проецирующую плоскость 0
(А, В, С) в новой системе плоскостей проекций плоскостью уровня.
Пусть плоскость 0 является горизонтально проецирующей плоскостью
(рис. 93). Сделаем ее плоскостью уровня. Для этого заменим плоскость
проекций П2 на плоскость П4, параллельную данной плоскости 0 и, сле-
довательно, перпендикулярную к незаменяемой плоскости ПР В системе
(Пр П4) плоскость 0 будет плоскостью уровня относительно плоскости П4.
Чтобы выполнить эту замену на комплексном чертеже, проводим новые
линии связи через проекции Аъ Въ Ci перпендикулярно к проекции 0!
данной плоскости. Принимаем за базовую плоскость горизонтальную плос-
кость Г, проведенную на уровне самой низкой точки С, тогда высота этой
точки будет равна нулю. Измерив на поле П2 от базы этого поля Г2 вы-
соты данных точек, отложив их от базы Г4 на соответствующих новых ли-
ниях связи, получим новые проекции Д4, В4 и С4 данных точек.
В системе (Пр П4) плоскость 0 является плоскостью уровня относи-
тельно плоскости П4. Проекция Д4В4С4 треугольника АВС, определяющего
плоскость 0, дает натуральный вид этого треугольника.
92
Если бы данная плоскость 0 являлась фронтально проецирующей плос-
костью, то для того чтобы сделать ее плоскостью уровня, нужно заменить
плоскость П4 на плоскость П4, параллельную плоскости 9 и, следователь-
но, перпендикулярную к плоскости П2.
6. Для того чтобы сделать плоскость ©
(ЛВС) общего положения в новой системе
плоскостей проекций плоскостью уровня,
нужно последовательно решить рассмотренные
третью и четвертую задачи.
На рис. 94 показано соответствующее
преобразование комплексного чертежа. Вна-
чале в системе (П4, П2) произведена замена
плоскости П2 на плоскость П4, перпендику-
лярную горизонтали h плоскости 0 и, следо-
вательно, ЩД-П! и П4_1_0. При этой замене
базовой плоскостью является горизонтальная
плоскость Г, проведенная на уровне горизон-
тали h. Затем в системе (Пь П4), в которой
плоскость 0 является проецирующей плоско-
стью относительно плоскости П4, произведена
замена плоскости n\ на плоскость П51| 0 и,
следовательно, П5ДП4. При этой замене ба-
зовой плоскостью 2 является горизонтально
проецирующая плоскость, проведенная через
точку С. В системе (П4, П5) плоскость 0
является плоскостью уровня относительно
плоскости П5, и поэтому проекция Л5В5С5
треугольника АВС дает натуральный вид
этого треугольника.
7. Рассмотрим ряд примеров, решение
которых сводится к решению указанных
четырех основных задач.
Пример!. Из точки А опустить пер-
пендикуляр на прямую / общего положения
(рис. 95).
Если сделать данную прямую I прямой
уровня, заменяя плоскость П2 на плоскость
П4 || / (см. первую основную задачу), то не-
трудно провести искомый перпендикуляр,
так как перпендикулярность к прямой уровня
сохранится при этой замене на поле П4. По-
этому, опустив из новой проекции Л4 точки Л
перпендикуляр на проекцию /4 прямой I,
93
получим проекцию Л4В4 искомого перпендикуляра. Возвращаясь в основ-
ную систему плоскостей проекций, получим проекции АХВ^ и А2В2 иско-
мого перпендикуляра (сравнить указанное решение с решением, приведен-
ным на рис. 81).
Пример 2. Построить
общий перпендикуляр двух
скрещивающихся прямых а
и Ь.
Среди бесчисленного мно-
жества прямых, перпендику-
лярных к двум данным скре-
щивающимся прямым, имеет-
ся только один общий перпен-
дикуляр, пересекающий дан-
ные прямые. Отрезок KL
(рис. 96, а) между точками
пересечения этого перпенди-
куляра с данными прямыми
является кратчайшим рассто-
янием между скрещивающи-
мися прямыми.
Если спроецировать пря-
мые а и & на плоскость П5,
перпендикулярную к одной из
данных прямых, например к
прямой а, то эта прямая спро-
ецируется в точку а5. Общий
перпендикуляр KL прямых а
и Ь, будучи перпендикулярен
к проецирующей прямой а,
будет прямой уровня по отно-
шению к плоскости П5. Поэто-
му прямой угол между пря-
мыми KL и b спроецируется
на эту плоскость также в пря-
мой угол, т. е.
а сам отрезок
спроецируется без искаже-
ния, т. е. KL — К^5-
Таким образом, для реше-
ния данного примера нужно
одну из данных прямых, на-
пример прямую а, сделать
Рис. 96
94
проецирующей прямой (см. первую и вторую основные задачи). Прежде
всего определяем прямую а двумя точками 1 и 2, а прямую b —точками 3 и
4, выбранными для простоты построения так, что 12= 32 и 2^== (рис. 96, б).
Производим замену
плоскости П2 на плоскость
П4, преобразуя прямую а
в прямую уровня (см. пер-
вую основную задачу). За-
тем в системе (Пъ П4) про-
изводим замену плоскости
Щ на полскость П5, превра-
щая прямую уровня а в
проецирующую прямую
(см. вторую основную зада-
чу). Тогда на поле П5 по-
лучим проекцию прямой а
в виде точки а5. Опустив из
этой точки перпендикуляр
на проекцию Ь5, получим
проекцию K5L5 общего
перпендикуляра KL скре-
щивающихся прямых а и
Ь. Проекция дает на-
туральную величину крат-
чайшего расстояния между
этими прямыми.
Для построения основ-
ных проекций KiLi и K2L2
общего перпендикуляра на-
ходим сначала проекцию
А4 на проекции д4, а затем,
проведя /<4£', перпендику-
лярно к линиям связи по-
лей П4 и П5, находим на
проекции а4 проекцию /<4
(рис. 96, а, б). Далее не-
трудно построить основные
проекции искомого перпен-
дикуляра KL.
ПримерЗ. Из точ-
ки М опустить перпенди-
куляр на плоскость 0
(АВС) общего положения.
95
Если спроецировать плоскость 0 на плоскость П4, перпендикулярную
к плоскости 0, то эта плоскость спроецируется в прямую 04 (рис. 97, а).
Перпендикуляр MN, опущенный из точки М на плоскость 0, будет линией
уровня по отношению к плоскости П4. Поэтому перпендикуляр MN спрое-
цируется на плоскость П4 без искажения, т. е.
MN = Af4JV4, причем Af4JV4J_04.
£
Рис. 98
96
Таким образом, для решения данного примера нужно плоскость 0 сде-
лать проецирующей плоскостью (см. третью основную задачу).
Заменой плоскости П2 на плоскость П4 сделаем плоскость 0 проеци-
рующей плоскостью (рис. 97, б). Тогда на поле П4 получим проекцию плос-
кости 0 в виде прямой 04. Опустив из проекции Л44 перпендикуляр на
проекцию 04, получим проекцию Л14ЛГ4 искомого перпендикуляра MN;
проекция Af4JV4 дает его натуральную величину.
Для построения основных проекций и M2N2 искомого перпенди-
куляра проводим перпендикулярно к линиям связи полей Щ и П4.
Проекцию же N2 основания N перпендикуляра находим из условия сохра-
нения высоты точки N при замене плоскости П2 на П4.
Для контроля точности построения проекций Nи N2 проверяем при-
надлежность точки N плоскости 0.
Пример 4. Построить проекции и натуральный вид сечения пира-
миды SABC плоскостью 0 (Л4, N, Р) общего положения (рис. 98).
Проекции искомого сечения можно было бы построить, не производя
замены плоскостей проекций, а определяя вершины сечения как точки пе-
ресечения ребер пирамиды с данной плоскостью общего положения. Но
кроме проекций сечения, требуется построить и натуральный вид сечения,
а для этого нужно данную плоскость сделать сначала проецирующей плос-
костью (см. третью основную задачу), а затем ее сделать плоскостью уровня
(см. четвертую основную задачу). Поэтому проекции сечения проще постро-
ить после превращения секущей плоскости в проецирующую плоскость.
Решение данного примера сводится к последовательному применению
третьей и четвертой основных задач.
Заменим плоскость проекций П2 на плоскость П4, перпендикулярную
к горизонтали h плоскости 0, превращая эту плоскость в проецирующую
плоскость. Одновременно с этим спроецируем на плоскость П4 и данную
пирамиду. Тогда на поле П4 легко построить проекцию сечения
отмечая точки пересечения проекции 04 с проекциями ребер пирамиды.
Возвращаясь к основной системе, получим проекции и D2E2F2G2
искомого сечения.
Теперь произведем в системе (Пь П4) замену плоскости П± на плос-
кость П5, параллельную плоскости 0, превращая эту плоскость в плос-
кость уровня. Тогда на поле П5 получим натуральный вид D5E5F5G5 ис-
комого сечения.
§ 23. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПРЯМОЙ
1. Как уже указывалось (§ 20), при применении способа вращения плос-
кости проекций остаются неизменными, а изменяется положение оригинала
в пространстве. Изменение положение оригинала достигается вращением
97
Рис. 99
его вокруг некоторой оси. В качестве оси вращения обычно выбирают про-
ецирующую прямую или прямую уровня, так как построения, выполняе-
мые на комплексном чертеже при вращении вокруг этих прямых, значи-
тельно проще построений при вращении вокруг прямой общего положения.
Если же требуется произвести вращение
оригинала вокруг оси, являющейся прямой
общего положения, то предварительно выпол-
няют преобразование комплексного чертежа
так, чтобы данная ось стала проецирующей
прямой. После выполнения вращения вокруг
проецирующей прямой возвращают получен-
ные результаты в основную систему плоскостей
проекций.
При выполнении вращения вокруг какой-
либо оси v следует помнить, что вращающая-
ся точка А описывает окружность, располо-
женную в плоскости 2, перпендикулярной оси
вращения v (рис. 99). Центр С этой окружности является основанием пер-
пендикуляра, опущенного из вращаемой точки А на ось вращения и, или,
иначе, точкой пересечения с осью вращения v плоскости й, в которой вра-
щается точка. Совершенно очевидно, что все точки оригинала при его вра-
щении вокруг оси поворачиваются на один и тот же угол Исключение
составляют те точки оригинала, которые расположены на оси вращения;
эти точки остаются при вращении неподвижными.
2. Вращение точки вокруг
мой. Пусть дана какая-нибудь точка А,
проецирующей пря-
которая вращается вокруг горн-
а)
А=А1 _
Рис. 100
98
зонтально проецирующей прямой i. Плоскость Г, в которой точка А опи-
сывает окружность, будучи перпендикулярной к горизонтально проеци-
рующей прямой I, будет горизонтальной плоскостью уровня (рис. 100, а).
Нетрудно видеть, что окружность с центром в точке С, которую при враще-
нии описывает точка А, проецируется на плоскость проекций П] без ис-
кажения, а на плоскость проекций П2 в виде отрезка прямой, перпендику-
лярной линиям связи. На рис. 100, а для упрощения наглядного изображе-
ния плоскость Tlf совмещена с горизонтальной плоскостью Г. На
рис. 101, а плоскость П2 совмещена с фронтальной плоскостью Ф.
Для примера выполним поворот точки А вокруг прямой i на некоторый
угол © по направлению, противоположному движению часовой стрелки
(если смотреть на плоскость Щ сверху, рис. 100, б). Для этого проводим
на поле Пх окружность с центром в точке С\== it и радиусом Д^. Затем
откладываем угол Д1С1Д1= со, учитывая указанное направление вращения.
Получаем горизонтальную проекцию At нового положения точки А. Фрон-
тальная проекция Д2 нового положения точки А определится на проекции
Г2 плоскости Г, в которой происходит вращение точки А.
Если точка А вращается вокруг фронтально проецирующей прямой i,
то она опишет окружность во фронтальной плоскости уровня Ф (рис. 101, а).
Эта окружность спроецируется без искажения на плоскость проекций П2;
на плоскость Щ она спроецируется в виде отрезка прямой, перпендику-
лярной линиям связи.
На рис. 101, б осуществлен поворот точки А вокруг фронтально прое-
99
цирующей прямой i на угол со по направлению движения часовой стрелки.
Таким образом,
при вращении точки вокруг горизонтально (фронтально) проецирующей
прямой горизонтальная (фронтальная) проекция точки перемещается по
окружности, а фронтальная (горизонтальная) проекция — по прямой, перпен-
дикулярной линиям связи.
венно равны сторонам Ц—it
3. Вращение прямой ли-
нии. Так как прямая линия определяет-
ся двумя точками, то вращение прямой
сводится к вращению точек, определяющих
прямую.
Пусть, например, требуется повернуть
прямую I общего положения вокруг гори-
зонтально проецирующей прямой i на угол
а) по направлению противоположному дви-
жению часовой стрелки (рис. 102).
Выбрав на прямой I две произвольные
точки 1 и 2, повернем их вокруг оси i на
один и тот же угол со по заданному напра-
влению вращения (при этом хорда —Ц
должна быть равна хорде между точками,
отмеченными крестиками). Новые положе-
ния 1 и 2 точек 1 и 2 определят новое
положение I данной прямой I, после ее по-
ворота на угол со в данном направлении.
Рассматривая треугольники Ц—2t—it
и Ц—2t—it, замечаем, что стороны It—it
и 2t—it первого треугольника соответст-
и 2j—it второго треугольника, равны также
углы, заключенные между этими сторонами. Поэтому
A It — 2t — it — А Ц — 2t — it и, значит, — 2t— Ц — 2t.
Таким образом,
расстояние между горизонтальными проекциями точек при их вращении
на один и тот же угол вокруг горизонтально проецирующей прямой остается
неизменным.
Очевидно,
что при вращении вокруг фронтально проецирующей прямой остается
неизменным расстояние между фронтальными проекциями точек.
Эти свойства позволяют несколько упростить построение новых проек-
ций прямой, вращаемой вокруг проецирующей прямой. На рис. 103 вы-
100
полнен поворот прямой / вокруг горизонтально проецирующей прямой i
на угол «о по направлению, противоположному движению часовой стрелки,
с применением упрощенных построений. Так же как и раньше, прямая I
определена двумя точками. При этом точка 1 выбрана произвольно на пря-
мой I, а точка 2 является основанием общего перпендикуляра прямой I и
прямой i. Далее, точка 2 повернута вокруг прямой i на угол со в заданном
направлении. После этого через новое положение 2Х горизонтальной про-
екции точки 2 проводим перпендикулярно к отрезку ц—21 горизонтальную
проекцию li нового положения прямой I. Так как отрезок lt—2t при вра-
щении не меняет своей длины, то, откладывая на Ц от точки 2t отрезок
2i—li—2i—Ц, определяем новое положение горизонтальной проекции 1Y
точки 1. По проекциям li и 2i находим фронтальные проекции 12 и 22 новых
положений точек 1 и 2, определяющих прямую I в новом положении.
4. Вращение плоскости. Так как плоскость определяется
тремя своими точками, не лежащими на одной прямой, то вращение плос-
кости сводится к вращению точек, определяющих плоскость.
Пусть, например, требуется повернуть плоскость 0 (ЛВС) общего по-
ложения вокруг фронтально проецирующей прямой i на угол со по направ-
лению движения часовой стрелки (рис. 104).
101
Повернув точки А, В и С, определяющие данную плоскость, на один и
тот же угол со по заданному направлению вращения (при этом хорда А2А2
должна быть равна хорде между точками, отмеченными черточками, и хор-
де между точками, отмеченными крестиками), получим новые положения
А, В и С данных точек. Точки ~А, В и С определяют новое положение плос-
кости после ее поворота вокруг прямой Z на
угол ш в заданном направлении.
Так как фронтальная проекция треуголь-
ника АВС сохраняет свою величину при вра-
щении вокруг фронтально проецирующей пря-
мой I, то можно было бы сначала повернуть
одну из сторон треугольника приемом, ука-
занным на рис. 103, тем самым были бы по-
строены новые положения двух вершин тре-
угольника. Тогда новое положение третьей
вершины можно найти из условия, что
А А2В2С2 = А А2 В2 С2 (рис. 104).
5. Методом вращения вокруг проецирую-
щих прямых можно решить все четыре основ-
ные задачи, решенные в § 22 методом замены
плоскостей проекций. Однако решения этих
задач методом вращения получаются более
громоздкими, нежели решения их методом
замены плоскостей проекций. Поэтому не бу-
дем рассматривать здесь решения всех четы-
рех задач, а покажем для сравнения только
решения первой и третьей.
Первая задача. Повернуть прямую I общего положения до по-
ложения прямой уровня.
Повернем прямую I до фронтального положения. Для этого за ось вра-
щения примем горизонтально проецирующую прямую t, проходящую че-
рез какую-нибудь точку 1 прямой I (рис. 105). При таком выборе оси вра-
щения построение несколько упростится, так как точка 1 будет неподвиж-
ной, и поэтому для поворота прямой I останется повернуть только одну
точку, например точку 2. Так как горизонтальная проекция прямой I в
своем новом положении Zj должна быть перпендикулярна к линиям связи,
то этим определяется угол, на который должна быть повернута точка 2.
Построив проекции 2t и 22 нового положения точки 2, мы тем самым опреде-
лим прямую I в ее фронтальном положении Z. Проекция 12 является неиска-
женной проекцией прямой Z, а угол а, образованный проекцией /2 с прямой,
102
0 (АВС) общего положе-
перпендикулярной к линиям связи, дает натуральный угол наклона пря-
мой I к плоскости проекций Пр
Для поворота прямой I до горизонтального положения нужно за ось
вращения принять фронтально проецирующую прямую, проведенную через
какую-нибудь точку прямой I.
Третья задача. Повернуть плоскость
ния до положения проецирующей плоскости.
Повернем плоскость 0, например, до поло-
жения фронтально проецирующей плоскости.
Для этого ее нужно повернуть вокруг горизон-
тально проецирующей прямой i так, чтобы какая-
нибудь горизонталь h плоскости 0 стала фрон-
тально проецирующей прямой (рис. 106). Так как
при этом горизонтальная проекция горизонта-
ли h займет положение параллельное линиям
связи, то отсюда определяется угол поворота
(о = < (Ль /zt).
Если теперь повернуть на этот угол вокруг
оси I, проходящей через точку В, точки А и С,
то новые положения этих точек А и С совмест-
но с неподвижной точкой В определят новое
фронтально проецирующее положение 0 данной
плоскости. Фронтальные проекции точек плоско-
сти 0 в их новых положениях расположатся на
одной прямой 02, которая и будет фронтальной
проекцией плоскости. Угол а между проекцией
02 и прямой, перпендикулярной к линиям свя-
зи, дает натуральный угол наклона плоскости
0 к плоскости Пр
Для поворота плоскости 0 до горизонтально проецирующего положения
нужно за ось вращения принять фронтально проецирующую прямую, про-
веденную через какую-нибудь точку плоскости 0. При этом поворот надо
осуществить так, чтобы какая-нибудь фронталь плоскости 0 стала гори-
зонтально проецирующей прямой.
6. Решим два примера. В первом из этих примеров способ вращения
используется для преобразования комплексного чертежа, а во втором —
он применяется для решения кинематической задачи.
Пример!. На прямой а общего положения от ее точки А отложить
отрезок АВ данной длины I (рис. 107).
Выберем на прямой а произвольную точку 1, отличную от данной точ-
103
ки А, и повернем прямую а до фронтального положения а вокруг горизон-
тально проецирующей прямой i, проходящей через точку А. Так как про-
екция а2 дает натуру прямой а, то, отложив на этой проекции отрезок A2Bz
заданной длины I и произведя обратный поворот, найдем на прямой а ис-
комую точку В. Возможны два решения, так как на прямой а можно отло-
жить отрезок Л В по разные стороны от точки А.
Рис. 107
Рис. 108
Таким образом, решение данного примера свелось к решению рассмот-
ренной выше первой задачи.
Пример 2.. Повернуть данную точку М. вокруг данной горизонталь-
но проецирующей прямой i до совмещения ее с плоскостью 0 (а Ц Ь)
(рис. 108).
При вращении вокруг прямой i точка М опишет окружность в горизон-
тальной плоскости Г. Поэтому при совмещении с плоскостью 0 точка М.
расположится на линии пересечения плоскостей 0 и Г, т. е. на горизон-
тали h плоскости 0. Проведя из центра ц окружность радиусом по-
лучим в пересечении с проекцией горизонтали hi горизонтальные проекции
М/ и М2 новых положений точки М.. Фронтальные проекции этих точек
найдутся на проекции Г2. Точки А41 и М2 являются новыми положениями
104
точки М, повернутой соответственно на углы wi и со 2 Д° совмещения с плос-
костью 6.
Если проекция hx касалась бы окружности, то задача имела бы одно
решение, если бы проекция проходила вне окружности, то задача не имела
бы решения.
§ 24. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ПРЯМОЙ УРОВНЯ
(СПОСОБ СОВМЕЩЕНИЯ)
1. Вращение точки. Рассмотрим вращение какой-либо точки А
вокруг горизонтали. Точка А, вращаясь вокруг горизонтали h, опишет
окружность в плоскости S, перпендикулярной к оси вращения h. Эта плос-
кость будет горизонтально проецирующей плоскостью и поэтому спроеци-
Рис. 109
руется на плоскость проекций IJi в виде прямой 2 4, перпендикулярной к
проекции hi горизонтали h. На рис. 109, а упрощения чертежа плос-
кость проекций Щ зафиксирована на уровне горизонтали h.
Таким образом, окружность, которую описывает при своем вращении
точка А, проецируется на плоскость проекций lit в виде отрезка прямой.
На плоскость П2 эта окружность спроецируется в виде эллипса, так как
она расположена в плоскости 2, наклоненной к плоскости П2.
Если ограничить вращение точки А и поставить целью нахождение
только совмещения А с горизонтальной плоскостью Г, проведенной на
уровне горизонтали h, то А легко построить, определив радиус вращения г
точки А.
105
В самом деле, проекция At совмещения А точки А расположится на
проекции St на расстоянии, равном радиусу вращения г точки А, от про-
екции 01 центра вращения О.
Натуральную величину радиуса вращения г можно определить по спо-
собу прямоугольного треугольника. Так, в прямоугольном треугольнике
А А101 (рис. 109, а) радиус вращения г является гипотенузой, а катетами
этого треугольника соответственно являются: горизонтальная проекция
OiAi радиуса вращения г и высота h = AAt точки А относительно горизон-
тальной плоскости Г.
На рис. 109, б показано, как выполняются построения на комплексном
чертеже. Проводим через проекцию At точки А прямую S В пересе-
чении S 1 и hi находим горизонтальную проекцию Oi центра вращения О.
При помощи прямоугольного треугольника OiAiA*, в котором катетом
0^1 является горизонтальная проекция радиуса вращения точки А, а ка-
тетом AtA*— высота h точки А относительно плоскости Г, находим нату-
ральную величину радиуса вращения г точки А. Откладывая на прямой S i
от точки Oi натуральную величину радиуса вращения г, получим горизон-
тальную проекцию Ai искомого совмещения А.
На рис. 109, б показано также построение фронтальной проекции О2
центра вращения, фронтальной проекции О2А2 радиуса вращения и фрон-
тальной проекции А2 совмещения А.
Однако построение указанных фронтальных проекций часто не являет-
ся необходимым и их не показывают на чертеже.
Вращение точки вокруг фронтали производится аналогичным образом.
2. Вращение плоскости. Рассмотрим теперь вращение плос-
кости вокруг прямой уровня до ее совмещения с плоскостью уровня. Целью
такого совмещения может являться либо определение натуральной формы
и размеров любой фигуры, расположенной в совмещаемой плоскости, либо,
обратно, построение в данной плоскости фигуры наперед заданной формы
и размеров.
Пусть требуется повернуть плоскость 0 (АВС) общего положения вок-
руг какой-нибудь ее горизонтали до совмещения с горизонтальной плос-
костью уровня (рис. ПО).
Проводим в данной плоскости через ее точку С горизонталь h. Выбирая
эту горизонталь в качестве оси вращения, добиваемся двух преимуществ.
Во-первых, точка С будет неподвижной при вращении и поэтому С==С
во-вторых, проекция AiBiCi совмещения не будет накладываться на про-
екцию AiBiCi. Определим проекцию Ai совмещения точки А с плоскостью
уровня Г, проведенной через горизонталь h. Для этого через точку Ai про-
водим прямую S / JL hi и откладываем на ней от точки Oi натуральную ве-
личину радиуса вращения г, которую предварительно определяем с по-
мощью прямоугольного треугольника OiAiA*.
106
Теперь найдем проекцию Вх совмещения точки В; при этом можно не
определять радиуса вращения точки В, а использовать неподвижную точ-
ку 1 прямой АВ. Проекция Bi определится в пересечении прямой Ai—
с проекцией S i2 горизонтально проецирующей плоскости, в которой про-
исходит вращение точки В.
Так как плоскость 0 совмещена с горизонтальной плоскостью уровня Г,
то треугольник ЛiBi^i дает натуральную форму и размеры треуголь-
ника АВС, определяющего плоскость 0.
Таким образом,
при вращении какой-либо плоской фигуры вокруг ее прямой уровня не-
обходимо определить радиус вращения для построения проекции совмещения
только одной точки; проекции совмещений остальных точек можно построить,
не определяя их радиусов вращения, а используя неподвижные точки
прямых, на которых находятся эти точки.
3. Измерение углов. Способ вращения вокруг прямой уровня
имеет ограниченное применение. Но им выгодно пользоваться для опреде-
ления натуральной формы и размеров любой плоской фигуры. Кроме этого,
107
указанный способ целесообразно применять при определении натуральных
величин углов между прямыми, плоскостями, а также между прямой и
плоскостью.
Покажем это на примерах.
Пример 1. Определить натуральную величину угла между двумя
скрещивающимися прямыми а и b (рис. 111).
Через произвольную точку М пространства проводим прямые с и d,
соответственно параллельные данным прямым а и Ь. Тогда, как известно,
Рис. 111
угол между прямыми end и будет углом между данными скрещиваю-
щимися прямыми.
Для определения натуральной величины угла между пересекающимися
прямыми с и d повернем плоскость угла, например, вокруг фронтали f этой
плоскости до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф, проходя-
щей через фронталь f.
Проекция М2 совмещения вершины М искомого угла определится на
проекции S2 фронтально проецирующей плоскости, в которой происходит
вращение точки М. Определив с помощью прямоугольного треугольника
О2М2М* натуральную величину радиуса вращения г и отложив ее на про-
екции 2 2 от проекции О2 центра вращения, получим проекцию М2 искомого
совмещения точки М. Соединив точку М2 с проекциями 12 и 22 неподвиж-
108
них точек, найдем проекции совмещений с2 и d2 прямых с и d. Угол а между
прямыми с2 и d2 определит натуральную величину искомого угла между
прямыми end или, что то же самое, между прямыми а и Ь.
Пример 2. Определить натуральную величину двугранного угла,
образованного плоскостями 0 (АВС) и Л (а || Ь) (рис. 112).
Если ребро двугранного угла задано, то можно определить натуральную
величину этого угла способом заменьг плоскостей проекций, сделав ребро
проецирующей прямой (§ 22).
В данном случае, как и во многих других, ребро двугранного угла не
задано на чертеже и нет необходимости его находить, т. е. строить прямую
пересечения данных плоскостей. В самом деле, проведя из какой-нибудь
точки пространства М перпендикуляры /г’ и /г2 к плоскостям 0 и Л, мы
получим в плоскости этих перпендикуляров при точке М два плоских уг-
ла а и (3, которые соответственно равны линейным углам двух смежных
двугранных углов, образованных плоскостями 0 и Л. Определив нату-
ральные величины углов между перпендикулярами п1 и /г2 путем вращения
вокруг прямой уровня (см. пример 1), мы решим поставленную задачу без
построения ребра двугранного угла.
Пример 3. Определить натуральную величину угла а, образован-
ного прямой I с плоскостью 0 (рис. 113).
Если из какой-нибудь точки М прямой I опустить перпендикуляр п на
плоскость 0, а затем соединить точки К и L пересечения прямых I и п с
плоскостью 0, то угол MRL между прямой I и ее проекцией KL на плос-
кость 0 будет искомым углом а.
Однако при выполнении указанных построений на комплексном чертеже
возникают излишние усложнения, так как приходится находить точки К
109
I
Рис. 114
и L пересечения прямых I и п с плоскостью 0. Их можно избежать, если
определить натуральную величину р угла KML между прямой Z и перпен-
дикуляром п. Этот угол является дополнительным к искомому углу а
до 90°. Поэтому после определения натуральной величины угла р путем
вращения вокруг прямой
уровня (см. пример 1) оста-
ется его дополнить до пря-
мого угла и это дополнение
даст натуральную величи-
ну искомого угла а.
4. Рассмотрим пример
применения способа вра-
щения вокруг прямой
уровня для построения в
данной плоскости общего
положения наперед задан-
ной фигуры.
Пример. В плоско-
сти 0, заданной пересе-
кающимися прямыми Z и
т, построить правильный
шестиугольник со сторо-
ной, равной а, и с центром
в данной точке О (О2)
(рис. 114).
Сначала повернем дан-
ную плоскость вокруг ее
горизонтали h до совме-
щения с горизонтальной
плоскостью Г, проведен-
ной через горизонталь.
Для этого строим проек-
цию Mi совмещения точки
М, определяя радиус вра-
щения г точки М с помо-
щью прямоугольного тре-
с проекциями неподвижных
Zf и mi прямых Z и т. He-
QtAfjAl*. Соединяя проекцию М
угольника
точек ?! и получим проекции совмещений
достающую проекцию Ot и проекцию совмещения Ot центра окружности О
находим с помощью прямой плоскости 0, параллельной прямой т и опре-
деляемой неподвижной точкой 3.
llo
Далее, при помощи окружности с центром в точке и радиусом а стро-
им правильный шестиугольник AlBlClDlEiFl, который является проек-
цией совмещения искомого шестиугольника. Затем обратным построением
плоскость 0 возвращена в исходное положение и найдены сначала гори-
зонтальная, а потом фронтальная проекции шестиугольника. При этом для
отыскания проекций вершин шестиугольника использованы прямые плос-
кости 0, параллельные прямой т и определяемые неподвижными точками
3, 4 и 5 горизонтали h.
5. Рассмотрев основные способы преобразования комплексного чертежа
и показав на ряде примеров их применение для решения различных мет-
рических задач, можно сделать некоторые выводы о целесообразности при-
менения того или иного способа при решении конкретной метрической за-
дачи.
Очевидно, что
при решении пространственных метрических задач целесообразным явля-
ется применение способа замены плоскостей проекций, а при решении плос-
ких метрических задач и задач, сводимых к ним,—способа вращения вокруг
прямой уровня.
§ 25. СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ
1. Как уже указывалось (§ 20), помимо основных способов преобразова-
ния комплексного чертежа — способа замены плоскостей проекций и спо-
соба вращения,— иногда при решении позиционных задач целесообразно
пользоваться способом дополнительного проецирования. При использова-
нии этого способа направление проецирования и плоскость, на которую
производят проецирование, выбирают в зависимости от требуемого в том
или ином случае преобразования чертежа. Обычно применяется косоуголь-
ное или центральное проецирование на какую-нибудь плоскость уровня
или проецирующую плоскость.
Таким образом, на комплексном чертеже дополнительно строится про-
екция оригинала на выбранную плоскость или, иначе, тень данного ори-
гинала на выбранную плоскость.
Целью применения дополнительного проецирования является получение
вырожденных проекций того или иного оригинала при решении позиционных
задач.
Как известно, в этом случае решение позиционных задач существенно
упрощается.
Применение дополнительного проецирования для решения метрических
задач нецелесообразно, так как решение получается сложнее, чем при поль-
зовании основными способами преобразования комплексного чертежа.
2. Косоугольная проекция М' точки М на данную плоскость при дан-
ном направлении проецирования s представляет собой точку пересечения
111
с данной плоскостью прямой, проведенной через данную точку Л4 парал-
лельно заданному направлению проецирования. В случае центрального
проецирования проецирующий луч проводится через точку М и данный
центр проекций S.
На рис. 115 показано построение косоугольной проекции М' точки М
соответственно на горизонтальную плоскость Г (рис. 115, а), на фронталь-
Рис. 115
ную плоскость Ф (рис. 115, б) и на горизонтально проецирующую плос-
кость S (рис. 115, в) при заданном направлении проецирования $. На
рис. 115, г показано построение центральной проекции М' точки М на го-
ризонтальную плоскость Г при заданном центре проецирования S.
В качестве плоскости дополнительных проекций удобно принимать вос-
ходящую профильно проецирующую плоскость Q, наклоненную к плос-
костям проекций П1 и П2 под углами 45°. При проецировании на эту плос-
кость любого оригинала его дополнительная проекция будет иметь одина-
ковые и одинаково расположенные относительно вертикальных линий связи
горизонтальную и фронтальную проекции. Это позволяет при желании
112
совместить на комплексном чертеже горизонтальную и фронтальную про-
екции дополнительной проекции любого оригинала, что в некоторых слу-
чаях дает известные упрощения.
На рис. 115, д показано построение совмещенных проекций косоуголь-
ной проекции М' точки М. на указанную выше плоскость й при заданном
направлении проецирования $.
Нетрудно видеть, что применяемые нами ранее при решении позицион-
ных задач с профильными прямыми прямые преломления ломаных линий
связи можно трактовать как совмещенные проекции дополнительной про-
екции данных профильных прямых на плоскость Q.
3. Рассмотрим теперь построение дополнительной косоугольной про-
екции прямой линии и плоскости. При этом поставим целью такого постро-
ения получение вырожденных проекций прямой и плоскости, т. е. чтобы
прямая спроецировалась в точку, а плоскость — в прямую.
Пусть требуется построить вырожденную проекцию данной прямой а
на фронтальную плоскость Ф (рис. 116, а). Для этого выбираем направле-
ние проецирования $ параллельно прямой а, тогда проекция прямой а изоб-
разится точкой а’. На рис. 116, б показано построение совмещенных проек-
ций а/= а2' вырожденной проекции прямой а.
Чтобы построить вырожденную проекцию плоскости, достаточно нап-
равление проецирования $ выбрать параллельным данной плоскости. На
рис. 117, а показано построение проекции плоскости 0 (АВС) на горизон-
тальную плоскость Г, при этом направление проецирования $ || АС, на
рис. 117, б построены совмещенные проекции 0/== 02' вырожденной про-
екции плоскости 0.
Дополнительная проекция данной плоскости представляет собой прямую
линию.
5—593
113
Следует отметить, что в случае построения дополнительной проекции
на проецирующую плоскость или на плоскость уровня на комплексном
чертеже интерес представляет только одна ее проекция на П1 или на П2.
Так, на рис. 115, а, а и 117, а нас интересует только горизонтальная проек-
ция дополнительной проекции, а на рис. 115, б, в и 116, а — только фрон-
Рис: 117
тальная проекция дополнительной проекции. Поэтому в дальнейшем бу-
дем обозначать только эти проекции.
4. Рассмотрим примеры решения позиционных задач с применением
дополнительного проецирования.
Пример 1. Построить точку К пересечения профильной прямой р
(М, N) с плоскостью 0 (АВС) общего положения (рис. 118).
Принимая сторону АС за направление дополнительного проецирова-
ния s, построим совмещенные проекции 0/== 02' и р/= р2 дополнитель-
ных проекций 0' и р' данной плоскости и данной прямой.
114
В пересечении вырожденной проекции 0' плоскости 0 и проекции р'
прямой р найдем дополнительную проекцию К' искомой точки К. Теперь
при помощи обратных линий связи легко определяются основные проек-
ции Ki и К2 точки К-
Пример 2. Построить проекции сечения треугольной пирамиды
SABC плоскостью 0, заданной прямой I и точкой L (рис. 119).
Проведем через точку L горизонталь h, плоскости 0 и направление этой
горизонтали примем за направление косоугольного проецирования. Спрое-
цируем пирамиду и плоскость 0 на горизонтально проецирующую плос-
кость S, выбранную так, чтобы дополнительная проекция разместилась в
удобном месте чертежа. Тогда получим проекцию пирамиды S2 А2'В2'С2
и проекцию плоскости 0 в виде прямой 02
Отметив точки D2, Е2 и F2 пересечения 02 с проекциями ребер пи-
рамиды, легко найдем основные проекции D2E2F2 и искомого се-
чения при помощи обратных линий связи.
Пример 3. Построить линию взаимного пересечения треугольной
пирамиды SABC с треугольной призмой DEFGHI (рис. 120).
Принимая направление боковых ребер призмы за направление проеци-
рования s, спроецируем данные многогранники на фронтально проецирую-
5*
115
щую плоскость S. Тогда пирамида спроецируется в фигуру Si'A^B/C/,
а призма — в треугольник D/= С/; Е^’=Н^ -, Р^=11.
Отмечая точки Mt', N/, , Qlt Ki и L/ пересечения проекций ребер
пирамиды с проекциями граней призмы и точку Ri = Tt = Fi'== //, яв-
ляющуюся проекцией точек пересечения ребра призмы FI с гранями пира-
миды, получим дополнительные проекции всех вершин искомой линии пе-
ресечения многогранников.
Теперь легко найти при помощи обратных линий связи проекции на П4
и П2 вершин М, N, Р, Q, К и L. Для построения же основных проекций
вершин R и Т проводим в соответствующих гранях пирамиды вспомога-
тельные прямые S—1 и S—2, с помощью которых и находим эти вершины.
Полученные восемь вершин соединяем в последовательности
К—М—Р—К и L—Q—R—N—Т—L, чем и определяется линия пересе-
чения данных многогранников.
116
Рис. 120
Глава V
КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
§ 26. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ИХ ПРОЕКЦИИ
1. Плоские кривые. Все точки плоской кривой линии находят-
ся в одной плоскости, определяемой любыми тремя точками плоской кри-
вой, не лежащими на одной прямой. Наиболее часто встречающимися на
практике плоскими кривыми являются кривые второго порядка1: окруж-
ность, эллипс, парабола и гипербола, а также различные закономерные
кривые, такие, как синусоида, циклоида, архимедова спираль и др.
На основании свойств параллельного проецирования можно установить,
какие свойства кривых сохраняются у их проекций. Так, секущая и каса-
тельная к кривой линии проецируется, в общем случае, соответственно в.
секущую и касательную к ее проекции, при этом сохраняется число точек
пересечения секущей с кривой2. Бесконечно удаленные точки кривой прое-
цируются в бесконечно удаленные точки ее проекции.
Сохранение этих свойств кривых при параллельном проецировании
позволяет утверждать, что окружность и эллипс проецируются, в общем
случае, в эллипс, парабола проецируется в параболу, а гипербола — в ги-
перболу. Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее
точек имеется единственная касательная t, непрерывно изменяющаяся от
точки к точке.
Точки кривых разделяются на обыкновенные и особые. На рис. 121, а
показана обыкновенная точка М, а на рис. 121, б, в, г, д, е— некоторые
особые точки (точка перегиба Af, точки возврата Р первого рода, и Q вто-
рого рода, узловая точка R и точка излома Т). При проецировании сохра-
1 Кривые, определяемые в декартовых координатах алгебраическими уравнения-
ми, называются алгебраическими, причем степень уравнения является порядком кри-
вой. Порядком алгебраической кривой определяется максимальное число точек ее пе-
ресечения с прямой; так, кривая второго порядка пересекается со всякой прямой не
более чем в двух точках.
2 Это означает, что порядок плоской алгебраической кривой сохраняется при па-
раллельном проецировании.
118
няются все эти особенности точек кривой и поэтому по проекции плоской
кривой можно судить о характере самой кривой.
Рис. 121
Построение проекций плоской кривой линии, расположенной в данной
плоскости общего положения, следует производить при помощи способа
совмещения. При этом постро-
ение проекций точек, опреде-
ляющих данную кривую, вы-
полняется так же, как это
делалось для точек, опреде-
ляющих плоские фигуры,
ограниченные отрезками пря-
мых (см. рис. 114).
2. Ортогональная
проекция окружно-
сти. Так как построение
проекций окружности на ком-
плексном чертеже будет встре-
чаться в дальнейшем доволь-
но часто, выясним некоторые
свойства ортогональной про-
екции окружности.
Как известно, параллель-
ной проекцией окружности
Рис. 122
119
является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция
является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окруж-
ность О, расположенную в плоскости общего положения 0 (рис. 122) орто-
гонально на плоскость Пь получим эллипс Ор
В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АВ
и CD, причем А В пройдет по прямой уровня плоскости 0, а диаметр
CD — по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к
плоскости проекций Пр Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр /ЦГЦ
эллипса, равный диаметру окружности, т. е. АВ — АХВГ а диаметр CD
спроецируется в диаметр C^Di эллипса. Так как угол, образованный этими
диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона, плос-
кости 0 к плоскости Пр то, обозначив его через ср, получим CTDi=
= CDcoscp Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окруж-
ности обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр
делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при
параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры А^ВХ
и CXDX будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны,
эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями
взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плос-
кости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причем А^^—
большая ось, a C^Di— малая ось.
Таким образом,
большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружнос-
ти, расположенной в некоторой плоскости 0, параллельна проекции прямой
уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось — парал-
лельна проекции прямой наибольшего уклона плоскости 0 и равна диаметру
окружности, умноженному на косинус угла наклона плоскости 0 к плоскос-
ти проекций.
Обозначим большую ось эллипса через 2а, малую — через 26, а диаметр
окружности — через d, имеем
2а = d', 2b = d cos ср.
Можно дать и другой признак для определения направления осей эл-
липса, являющегося ортогональной проекцией окружности. Если провести
какую-нибудь прямую п, перпендикулярную к плоскости 0 (рис. 122), то
такая прямая будет перпендикулярна ко всякой прямой плоскости 0, в
частности, будет перпендикулярна к диаметру АВ || Щ. Поэтому ее орто-
гональная проекция на плоскость ГЦ окажется прямой, перпендикуляр-
ной к проекции Л1В1 диаметра АВ. Иначе говоря, проекция перпендику-
ляра к плоскости 0 параллельна малой оси эллипса.
Справедливо и обратное положение:
малая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности,
120
расположенной в какой-либо плоскости О, параллельна ортогональной
проекции перпендикуляра к этой плоскости.
Рассмотрим построение проекций окружности на комплексном чертеже.
Они могут быть построены общим способом, при помощи совмещения плос-
кости окружности с плоскостью уровня и построения проекций отдельных
точек окружности. Однако мы рассмотрим примеры
построения проекций окружности, основанные на
свойствах ее ортогональной проекции. г
Пример 1. Построить во фронтально проеци- /
рующей плоскости 2 окружность радиуса R с цент- fy/
ром в точке О (рис. 123). 7
В данном случае фронтальной проекцией окруж- /
ности будет отрезок прямой длиной 27?, горизон-
тальной — эллипс. Большая ось этого эллипса Ci£>i _ /7\
будет, по предыдущему, параллельна горизонтальной //
проекции горизонтали (в данном случае фронтально д //
проецирующей прямой) плоскости 5 и равна диаметру <р
окружности 27?. Малая ось будет параллельна
горизонтальной проекции прямой наибольшего уклона ^—4— и
(в данном случае фронтали) плоскости 2 и будет
равна
27?-cos ср,
где <р — угол наклона плоскости 2 к плоскости про^
екций Пр
Имея оси /4iBi и CiDj эллипса, легко построить \ ]
сколько угодно его точек при помощи двух концент- хХ/
рических окружностей, построенных на этих осях, р
как на диаметрах.
Пример 2. Построить в плоскости 0 (hxf) Рис- 123
общего положения окружность радиуса 7? с центром
в точке О (О2) (рис. 124).
Сначала найдем центр большую AiBi и малую CfDt оси эллипса,
являющегося горизонтальной проекцией искомой окружности. Для этого
проводим в плоскости 0 ее горизонталь О—1 и прямую наибольшего ук-
лона О—2 к плоскости проекций Щ. Тогда центр Of и большая ось А^В}
легко найдутся на горизонтальной проекции горизонтали О—1, так как
AiBt= 2R.
Малая же ось CiDi эллипса найдется на горизонтальной проекции пря-
мой наибольшего уклона О—2. Для определения ее длины построим пря-
моугольный треугольник Oj—О*—2if одним катетом которого является от-
резок Oi—2i, а другим — превышение точки О над точкой 2. Тогда гипоте-
121
нуза О*—2i будет натуральной величиной отрезка О—2, а<р —2t—О*
будет измерять угол наклона плоскости 0 к плоскости проекций Пр По-
этому если отложить от точки О* на гипотенузе О*—2t величину радиуса R,
то при помощи полученной точки D* легко определить сначала точку
являющуюся одним из концов малой оси эллипса, а затем и точку —
второй конец малой оси.
Таким же образом можно построить оси второго эллипса, являющегося
Рис. 124
фронтальной проекцией искомой
окружности. На рис. 124 этот
эллипс построен по его сопряжен-
ным диаметрам Л2В2и C2D2, являю-
щимся фронтальными проекциями
взаимно перпендикулярных диа-
метров АВ и CD искомой окруж-
ности. Как известно, при помощи
параллелограмма, построенного на
диаметрах А2В2 и C2D2, как на его
средних линиях, можно построить
сколько угодно точек эллипса.
3. Пространственные
кривые. Кривые, точки кото-
рых не лежат в одной плоскости,
являются пространственными кри-
выми.
У пространственных кривых
также могут быть особые точки.
Но если особенности плоских кри-
вых сохраняются при их проециро-
вании, то иначе обстоит дело при
проецировании пространственных
кривых. На рис. 125 даны проекции
пространственной кривой, каждая
из которых имеет узловые точки,
эднако сама она таких точек не имеет, это видно при совместном рассмот-
рении двух проекций кривой.
Таким образом, для изучения свойств пространственной кривой необ-
ходимо рассматривать обе проекции кривой. Так, прямая является каса-
тельной к пространственной кривой только в том случае, когда обе проек-
ции прямой являются касательными к соответствующим проекциям кривой
в точках, являющихся проекциями точки данной кривой. У плоской же
кривой прямая, лежащая в ее плоскости, будет касательной к ней, если
хотя бы одна из ее проекций касательна к соответствующей проекции
кривой.
122
Теперь рассмотрим спрямление пространственной кривой для определе-
ния длины ее дуги (рис. 125).___
Сначала спрямим в отрезок A^Bi горизонтальную проекцию дуги
данной кривой. Для этого разбиваем данную дугу на части, мало отличаю-
щиеся от стягивающих их хорд, и эти хорды последовательно откладываем
на горизонтальной прямой. Затем через полученные точки делений прово-
дим прямые, параллельные линиям связи, на которых откладываем отно-
сительные высоты соответствующих точек пространственной кривой. Тогда
ломаная
А% 12 22 $2 ^2 $2 ^2 72 В2
после спрямления в отрезок прямой и будет давать приближенную длину
данной дуги АВ.
Нетрудно видеть, что приведенное спрямление дуги пространственной
кривой основано на построении натуральной величины отрезка по способу
прямоугольного треугольника.
4. Из пространственных кривых наиболее часто встречается в практике
цилиндрическая винтовая линия.
Если какая-нибудь точка А совершает равномерное движение по неко-
торой прямой, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг па-
раллельной ей оси, то указанная прямая опишет поверхность кругового
цилиндра, а точка А опишет пространственную кривую, называемую ци-
линдрической винтовой линией.
Высота h, на которую поднимается точка А при одном полном повороте,
называется шагом винтовой линии.
На рис. 126 показано построение проекций винтовой линии, ось i кото-
рой расположена перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций.
123
В этом случае горизонтальная проекция винтовой линии будет окруж-
ностью. Для построения фронтальной проекции следует разделить на оди-
наковое число равных частей окружность, являющуюся горизонтальной
проекцией винтовой линии, и ее шаг; на рис. 126 деление произведено на
двенадцать частей.. Тогда в пересечении соответствующих горизонтальных
и вертикальных прямых, проведенных через одноименные точки деления,
получим фронтальные проекции точек винтовой линии. Соединив эти точки
плавной кривой получим фронтальную проекцию винтовой линии, которая
является синусоидой, что следует из способа ее построения.
Показанная на рис. 126 винтовая линия является правой, так как она
имеет подъем вправо на передней стороне цилиндра. В противном случае
винтовая линия является левой.
Если спрямить горизонтальную проекцию винтовой линии и провести
через точки деления прямые, параллельные линиям связи, на которых от-
ложить относительные высоты соответствующих точек винтовой линии, то
полученные точки лягут на одну прямую. Это следует из самого способа
образования винтовой линии. Обозначив угол наклона этой прямой к го-
ризонтальной прямой через а, а диаметр цилиндра, на котором расположе-
на винтовая линия, через d, можно написать следующее соотношение:
tga = -^E-. Указанное соотношение позволяет определить угол а, назы-
ваемый углом наклона винтовой линии.
124
§ 27. ОБРАЗОВАНИЕ, ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. В начертательной геометрии пользуются, главным образом, кинема-
тическим способом образования поверхностей.
При этом способе
поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных
положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определен-
ному закону.
Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерыв-
но меняться.
На всякой поверхности Q можно, в общем случае, провести два таких
семейства линий I и т (рис. 127), которые будут удовлетворять следующему
Рис. 127
Рис. 128
условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между
собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекает все линии
другого семейства. В этом случае поверхность Q может быть образована
движением линии /, называемой образующей, по неподвижным линиям т
второго семейства, которые называются направляющими. Нетрудно видеть,
что можно поменять местами образующие и направляющие и при этом по-
лучится одна и та же поверхность.
Каждая поверхность может быть образована различными способами.
Так, например, поверхность кругового цилиндра (рис. 128) может быть
образована вращением прямолинейной образующей I вокруг оси, ей парал-
лельной, или движением образующей окружности т, центр которой О пе-
ремещается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время
перпендикулярной к оси; либо вращением около оси произвольной обра-
зующей к, нанесенной на поверхность цилиндра.
125
Из всех возможных способов образования поверхности необходимо вы-
бирать такие, которые являются наиболее простыми и более удобными для
изображения или для решения данной задачи.
2. Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь
на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую
ее точку. Совокупность этих элементов поверхности называют определите-
лем поверхности. Часто поверхность задается проекциями своих направ-
ляющих, причем указывается способ построения ее образующих.
Для придания чертежу большей
Рис. 129
чаев строят на нем еще и очерк
поверхности, а также ее наиболее
важные линии и точки.
Когда какая-нибудь поверх-
ность Q проецируется параллельно
на плоскость проекций П, то прое-
цирующие прямые, касающиеся по-
верхности Q, образуют цилиндри-
ческую поверхность (рис. 129). Эти
проецирующие прямые касаются
поверхности Q в точках, образую-
щих некоторую линию /, называе-
мую контурной линией.
Очерком поверхности и являет-
ся проекция контурной линии.
Таким образом, очерком поверх-
ности называется граница, которая
отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.
3. Поверхности для удобства изучения можно разбить на следующие
классы:
поверхности вращения, образуемые вращением произвольной образую-
щей вокруг неподвижной оси;
линейчатые поверхности, образуемые движением прямой линии, в част-
ности, винтовые поверхности, образуемые движением прямой линии по
винтовым направляющим;
поверхности второго порядка1',
циклические поверхности, образованные движением окружности;
топографические поверхности, которые не могут быть образованы по
какому-нибудь простому закону и задаются на чертеже семейством некото-
рых линий (обычно линиями уровня)
1 Поверхность второго порядка пересекается с плоскостью по кривой второго
порядка (иногда распадающейся на пару прямых). Со всякой прямой поверхность
второго порядка пересекается в двух точках.
126
Необходимо указать, что отдельные поверхности могут быть отнесен ы
не к одному, а к нескольким классам.
§ 28. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
1. Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывает-
ся какой-либо кривой, в частности, прямой {образующей) при ее вращении
вокруг неподвижной оси.
Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой.
Поверхность вращения определяется заданием своей образующей I и оси i
(рис. 130).
Каждая точка L образующей I при вращении описывает окружность с
центром на оси i. Эти окружности называются параллелями.
Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно эк-
ватором и горлом. У поверхности, изображенной на рис. 130, а, паралле-
ли h- и /г5 являются экваторами, а параллель h3— горлом.
О hf
Рис. 130
127
Кривые поверхности вращения, плоскость которых проходит через ось
I, называются меридианами. Нетрудно видеть, что все меридианы равны
между собой.
При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обыч-
но поверхность располагают так, чтобы ее ось i была перпендикулярна к
плоскости проекций. На рис. 130, б ось iтогда все параллели проеци-
руются на плоскость Щ без искажения, причем экватор /г5 и горло h3 оп-
ределяют горизонтальный очерк поверхности. Меридиан f, расположенный
во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на плоскость П2.
Этот меридиан называется главным меридианом, он определяет фронтальный
очерк поверхности.
Чтобы выделить какую-нибудь точку М на поверхности вращения, вы-
бираем ее фронтальную проекцию Л42, после чего при помощи параллели /г4,
проведенной на уровне точки М, легко построить горизонтальную проек-
цию Л1! точки Л4. На рис. 130 точка М предполагается видимой во фронталь-
ной проекции.
Поверхности вращения получили самое широкое применение в деталях
различных механизмов и машин. Основными причинами этого является,
с одной стороны, распространенность вращательного движения, а с другой
стороны — простота обработки поверхностей вращения
На рис. 131 показан клапан двигателя, ограниченный поверхностями
вращения различных видов, а именно:
сферической /;
торовой 2;
конической 5;
цилиндрической 4.
2. Рассмотрим поверхности, образуемые вращением прямой линии.
Цилиндр вращения образуется вращением прямой I вокруг параллель-
ной ей оси i (рис. 132).
Конус вращения образуется вращением прямой / вокруг пересекающейся
с ней оси i (рис. 133).
Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой I
вокруг скрещивающейся с ней оси i (рис. 134).
При вращении прямой I вокруг оси i все точки прямой опишут окруж-
ности различных радиусов, причем общий перпендикуляр АО прямых I и i
будет наименьшим из всех радиусов, и поэтому точка А опишет окружность,
являющуюся горлом гиперболоида. Для построения главного мери-
диана гиперболоида достаточно повернуть вокруг оси i ряд точек прямой I
до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось i.
Тогда получим гиперболу, которая и будет фронтальным очерком однопо-
лостного гиперболоида.
Рассмотренные поверхности вращения можно отнести и к классу линей-
чатых поверхностей, так как они образованы движением прямой линии.
128
Рис. 132
Рис. 134
Кроме того, эти поверхности являются поверхностями второго порядка;
максимальное число точек пересечения каждой из этих поверхностей с пря-
мой линией равно двум.
Построение точки М на любой из рассмотренных выше поверхностей
вращения (см. рис. 132—134) можно выполнить при помощи параллели h.
или при помощи прямолинейной образующей I.
Все три указанные поверхности вращения применяются при передаче
вращения с помощью зубчатых или фрикционных колес. Так, передача
Рис. 135
вращения при параллельных осях производится с помощью цилиндричес-
ких колес (рис. 135, а), при пересекающихся осях — с помощью коничес-
ких колес (рис. 135, б), а при скрещивающихся осях — с помощью гипер-
болоидальных колес (рис. 135, в)"
3. Рассмотрим поверхности, образуемые вращением окружности.
Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра i.
Тор образуется вращением окружности вокруг оси I, лежащей в плос-
кости окружности, но не проходящей через ее центр (рис. 136). При этом
если ось I проходит вне окружности, то тор называют кольцом (рис. 137).
• Сфера является поверхностью второго порядка, а тор — четвертого, что
соответствует максимальному числу точек пересечения этих поверхностей
с прямой линией.
Построение точки М как на сфере, так и на торе производят с помощью
параллели h.
4. Рассмотрим поверхности, образуемые вращением кривых второго
порядка — эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей.
131
Рис. 137
Рис. 138
а)
' Рис. 139
Рис. 141
Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси i
(рис. 138).
Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси i
(рис. 139). (Параболоид вращения употребляется в качестве отражающей
поверхности в прожекторах для получения параллельного светового пучка.)
Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы
вокруг ее мнимой оси i (рис. 140).
Как было показано, однополостный гиперболоид вращения является
линейчатой поверхностью и может быть образован вращением прямой линии
вокруг скрещивающейся с ней оси (см. рис. 134).
На рис. 140, помимо гиперболоида, показан его асимптотический конус
вращения, образованный вращением асимптот гиперболы, являющейся
образующей гиперболоида. Во внешней части этого конуса и расположен
однополостный гиперболоид.
Двухполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы
вокруг ее действительной оси i (рис. 141).
При вращении асимптот этой гиперболы получаем асимптотический
конус вращения, во внутренней области которого и расположен двухпо-
лостный гиперболоид.
Рассмотренные выше четыре поверхности являются поверхностями вто-
рого порядка.
Построение точки М на каждой из этих поверхностей производится с
помощью их параллелей h (см. рис. 138—141).
§ 29. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
1. Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая описыва-
ется какой-либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по
какому-нибудь закону.
В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движе-
нием прямой линии по трем направляющим.
В самом деле, если выделить на линейча-
той поверхности три какие-нибудь линии а, b
и с и принять их за направляющие, то дви-
жение образующей I определится единствен-
ным образом. Так, выбрав на направляющей
а какую-нибудь ее точку А (рис. 142), можно
будет провести через эту точку бесконечное
множество прямолинейных образующих, пе-
ресекающих направляющую с. Этим самым
определится коническая поверхность с верши-
ной в точке А. Предполагая, что она пересе-
135
чется с направляющей Ъ в точке В, получим образующую /, определяемую
точками А и В направляющих а и Ь. Образующая I пересечет и направляю-
щую с в некоторой точке С, так как принадлежит вспомогательной кони-
ческой поверхности.
Такиод образом,
каждой точке А направляющей а, взятой на линейчатой поверхности,
будет соответствовать определенная прямолинейная образующая / и поэто-
му, в общем случае, линейчатая поверхность может быть определена зада-
нием трех ее направляющих линий.
Помимо указанногб общего способа образования линейчатой поверх-
ности при помощи трех направляющих, существуют и другие способы, оп-
ределяющие закон движения прямолинейной образующей, описывающей
линейчатую поверхность.
Так. имея одну направляющую линию и потребовав, чтобы прямолиней-
ная образующая, двигаясь по ней, в то же время проходила через непод-
вижную точку (конечную или бесконечно удаленную) или чтобы при своем
движении она все время являлась касательной к направляющей, мы полу-
чим определенную линейчатую поверхность. Точно так же движение пря-
молинейной образующей по двум направляющим при сохранении опреде-
ленного положения образующей относительно какой-нибудь неподвижной
плоскости (параллельность этой плоскости или постоянный уклон к ней)
порождает определенную линейчатую поверхность.
Построение какой-либо точки на линейчатой поверхности производят
при помощи ее прямолинейной образующей, проходящей через эту точку.
2. В зависимости от вида направляющих линий и характера движения
образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.
Рассмотрим линейчатые поверхности с одной направляющей.
Коническая поверхность образуется движением прямой линии I (обра-
зующей) по некоторой кривой линии т (направляющей) и имеющей непод-
вижную точку 3 (вершину) (рис. 143).
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии I
(образующей) по некоторой кривой линии т (направляющей) и имеющей
постоянное направление s (рис. 144).
Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай
конической поверхности, у которой вершиной является бесконечно удален-
ная точка 3°° образующей.
Если направляющей является ломаная линия, то получим частные слу-
чаи конической и цилиндрической поверхностей — пирамидальную и приз-
матическую поверхности.
На комплексном чертеже коническая и цилиндрическая поверхности
могут быть заданы проекциями направляющей т и вершины 3 в случае
конической поверхности (рис. 143, б) или проекциями направляющей т
и направления s образующей в случае цилиндрической поверхности
136
Рис. 144
(рис. 144, б). Обычно при задании конической или цилиндрической поверх-
ности в качестве направляющей выбирается какая-нибудь линия уровня,
например горизонталь h.
Для увеличения наглядности изображения конической и цилиндричес-
кой поверхностей на комплексном чертеже, помимо элементов, определяю-
щих эти поверхности, дополнительно строят их очерки. На рис. 145 и 146
Рис. 145
Рис. 146
показано построение очерков (горизонтального и фронтального) конической
и цилиндрической поверхностей. Точками 1 и 2 обозначены концы очерко-
вых образующих в горизонтальной проекции, а точками 3 и 4 — концы
очерковых образующих во фронтальной проекции. При этом горизонтальные
проекции точек 1 и 2 являются точками касания к проекции hi направляю-
щей h очерковых образующих, а проекции 3 и 4 являются точками касания
к hi линий связи. Этими очерковыми образующими определяются на плос-
костях проекций области, внутри которых могут находиться проекции то-
чек данных поверхностей, а также производится разграничение проекций
поверхностей на видимую и невидимую части на каждой из плоскостей
проекций.
Если направляющей конической или цилиндрической поверхностей
является кривая второго порядка, то и поверхность будет второго порядка.
138
Торс образуется движением прямолинейной образующей I, касающейся
во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называе-
мой ребром возврата (рис. 147).
Ребро возврата является направляющей торса, который вполне опре-
деляется ее заданием. Торс состоит из двух полостей, граничащих друг с
другом по ребру возврата.
Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как
частные случаи поверхности торса, когда ее ребро возврата вырождается
в точку (конечную или бесконечно удаленную).
Конические и цилиндрические поверхности, а Г
также торсы относятся к числу развертывающихся \ \ \
поверхностей (см. гл. VIII). Все другие линейча- \\ \ \Мт
тые кривые поверхности относятся к числу нераз-
вертывающихся\ их так же называют косыми. \^И|И|
На рис. 143, 144 и 147 показано построение /V/Wl
точки М на конической и цилиндрической поверх-
ностях, а также на поверхности торса при помощи 7^/ / УЖ
образующей /. .Z / /Х/гЖ
3. Теперь рассмотрим некоторые из линейчатых Г /
поверхностей с двумя направляющими, а именно, \/ / / Гг Т\\Ч
линейчатые поверхности, у которых все образую- / / j
щие параллельны неподвижной плоскости, назы- —1—~
ваемой плоскостью параллелизма.
Задание плоскости параллелизма заменяет тре- ис’ ‘
тью направляющую, которая, в этом случае, явля-
ется бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Действительно, обра-
зующие линейчатой поверхности, будучи параллельны плоскости парал-
лелизма, будут пересекаться с ней в бесконечно удаленных точках, со-
вокупность которых и будет бесконечно удаленной прямой этой плоско-
сти.
Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей I по
двум криволинейным направляющим а и Ь, причем во всех своих положе-
ниях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма S
(рис. 148).
Для построения образующих цилиндроида на комплексном чертеже
проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма, и опре-
деляют точки их пересечения с направляющими кривыми цилиндроида.
На рис. 148 плоскость параллелизма является горизонтально проецирую-
щей плоскостью. Обычно для удобства построения образующих за плос-
кость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций; тогда обра-
зующие будут соответствующими линиями уровня.
Коноид образуется движением прямолинейной образующей I по двум
направляющим, из которых одна является кривой линией а, а другая —
139
Рис. 148
прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна
некоторой плоскости параллелизма (рис. 149). Коноид является частным
случаем цилиндроида. Если у коноида прямолинейная направляющая b
перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым.
На рис. 149 показан прямой коноид с плоскостью параллелизма Щ;
его образующие являются горизонталями.
Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей I
по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим а и Ь, причем
Рис. 149
во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости
параллелизма (рис. 150).
Таким образом, косая плоскость может рассматриваться как частный
случай цилиндроида или коноида. Если направляющие а и b будут не скре-
щивающимися прямыми, а пересекающимися или параллельными, то косая
плоскость выродится в обыкновенную плоскость, в которой лежат направ-
ляющие а и Ь.
На рис. 150 изображена косая плоскость, направляющими которой яв-
ляются прямые а и Ь, а плоскостью параллелизма — плоскость П4 Обра-
зующие этой косой плоскости являются горизонталями. Необходимо за-
метить, что ту же самую косую плоскость можно получить, если принять за
направляющие две любые образующие косой плоскости, а за плоскость
параллелизма — плоскость, параллельную прямым а и Ь. Отсюда следует,
что у косой плоскости имеются две серии прямолинейных образующих,
при этом образующая каждой серии не пересекается ни с одной образующей
той же серии и пересекает все образующие второй серии.
141
to
Рис. 150
Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме ее прямоли-
нейных образующих, параболу и гиперболу, то эту поверхность называют
также гиперболический параболоид. Заметим, что на рис. 150, б горизон-
тальным очерком этой поверхности является парабола. Косая плоскость
или гиперболический параболоид являются поверхностью второго порядка.
4. В заключение рассмотрим линейчатую поверхность, имеющую три
прямолинейные направляющие. Эта поверхность называется однополостным
гиперболоидом. Частный случай этой
поверхности — однополостный гипер-
болоид вращения — был рассмотрен
в § 28 (см. рис. 134 и 140).
Для построения какой-либо обра-
зующей I однополостного гиперболои-
да, заданного своими тремя прямо-
линейными направляющими а, b и с
(рис. 151), причем прямые а, b и с —
скрещивающиеся и непараллельны
одной плоскости, выбираем на на-
правляющей а произвольную точку А
и проводим через нее и направляю-
щую с вспомогательную плоскость @.
Найдя точку В пересечения направ-
ляющей b с плоскостью @, определим
искомую образующую I при помощи
точек А и В. Эта образующая пересечет и направляющую с в некоторой
точке С, так как принадлежит плоскости проходящей через на-
правляющую с.
В отличие от однополостного гиперболоида вращения у однополостного
гиперболоида общего вида в сечении, перпендикулярном к оси, получается
не окружность, а эллипс.
Однополостный гиперболоид общего вида является поверхностью вто-
рого порядка.
§ SO. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Так как поверхности второго порядка находят особенно широкое
применение в технике, то здесь мы дадим краткую сводку всех поверхнос-
тей второго порядка, включая и те из них, которые были рассмотрены как
поверхности вращения или как линейчатые поверхности.
Поверхность второго порядка можно определить либо как поверхность,
пересекающуюся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка
(иногда распадающейся на пару прямых или мнимой), либо как поверх-
143
ность, пересекаемую произвольной прямой, не принадлежащей ей, в двух
точках (иногда совпадающих или мнимых).
2. Рассмотрим отдельные типы поверхностей второго порядка.
Коническая поверхность второго порядка включает виды: конус вращения
(см. рис. 133) и эллиптический конус, который может быть получен из ко-
нуса вращения деформацией его параллелей в эллипсы.
Цилиндрическая поверхность второго порядка включает виды: цилиндр
вращения (см. рис. 132), элли-
птический, параболический и
гиперболический цилиндры.
Эллиптический цилиндр может
быть получен из цилиндра вра-
щения деформацией его паралле-
лей в эллипсы.
Эллипсоид включает виды:
эллипсоид вращения (см. рис.
138) и, в частности, сфера, а
также трехосный эллипсоид, ко-
торый может быть получен из
эллипсоида вращения деформа-
цией его параллелей в эллипсы.
Параболоид включает виды:
параболоид вращения (см. рис.
139), эллиптический и гипербо-
лический параболоиды. Элли-
птический параболоид может
быть получен из параболоида вращения деформацией его параллелей в
эллипсы. Гиперболический параболоид (рис. 152) является линейчатой
поверхностью.
Однополостный гиперболоид включает виды: однополостный гипербо-
лоид вращения (см. рис. 140) и однополостный эллиптический гиперболоид.
Последний может быть получен из первого деформацией его параллелей
в эллипсы, а также непосредственно движением прямолинейной образую-
щей по трем прямолинейным направляющим (§ 29).
Двуполостный гиперболоид "включает виды: двуполостный гиперболоид
вращения (см. рис. 141) и двуполостный эллиптический гиперболоид, ко-
торый может быть получен из первого деформацией его параллелей в эл-
липсы.
Следует отметить, что из всех поверхностей второго порядка только
конус, цилиндр, однополостный гиперболоид и гиперболический парабо-
лоид являются линейчатыми поверхностями, причем у последних двух по-
верхностей через каждую их точку проходят две прямолинейные образу-
ющие. Отметим, также, что все поверхности второго порядка, за исключе-
144
нием параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболи-
ческого параболоида, могут пересекаться плоскостью по окружности, т. е.
имеют круговые сечения.
§ 31. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рис. 153
1. Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается
какой-либо линией — образующей при ее винтовом движении.
Так как точки образующей при ее винтовом движении описывают со-
осные цилиндрические винтовые линии, то винтовая поверхность может
быть образована движением образующей по соос-
ным цилиндрическим винтовым линиям, которые
будут ее направляющими.
Если образующей винтовой поверхности явля-
ется прямая линия, то поверхность называется
линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом.
Геликоид называется прямым или наклонным в
зависимости от того, перпендикулярна образующая
к оси геликоида или наклонна.
2. Рассмотрим некоторые виды линейчатых
винтовых поверхностей.
Прямой геликоид образуется движением прямо-
линейной образующей I по двум направляющим,
из которых одна является цилиндрической винто-
вой линией т, а другая — ее ось i, причем во всех
своих положениях образующая I параллельна
плоскости параллелизма, перпендикулярной оси I.
Обычно за плоскость параллелизма принимают од-
ну из плоскостей проекций (рис. 153). У прямого
геликоида образующая I пересекает винтовую ось
i под прямым углом. Прямой геликоид может быть
отнесен к числу коноидов и назван винтовым коно-
идом.
Наклонный геликоид отличается от прямого
геликоида тем, что его образующая I пересекает ось геликоида под посто-
янным углом ф, отличным от прямого.
Иначе говоря, образующая I наклонного геликоида при своем движении
скользит по двум направляющим, из которых одна является цилиндричес-
кой винтовой линией т, а другая — ее ось i, причем во всех своих положе-
ниях образующая / параллельна образующим некоторого конуса вращения.
У этого конуса угол между образующими и осью параллельной оси гелико-
ида равен ф. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида.
6—593 145
На рис. 154 показано построение проекций наклонного геликоида. Его
направляющими являются цилиндрическая винтовая линия т и ее ось i.
Образующие геликоида параллельны соответствующим образующим нап-
равляющего конуса.
Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной об-
разующей I, касающейся во всех своих положениях цилиндрической вин-
товой линии т, являющейся ребром возврата геликоида (рис. 155). Развер-
тывающийся геликоид, как линейчатая поверхность с ребром возврата,
относится к числу торсов.
На рис. 155 поверхность развертывающегося геликоида ограничена реб-
ром возврата т и линией а от пересечения геликоида с поверхностью со-
осного цилиндра большего диаметра, чем диаметр винтовой линии т.
146
3. Винтовые поверхности имеют большое значение в технике. Чаще
всего они используются в крепежных изделиях (винты, болты и др.), в дом-
кратах и ходовых винтах, в сверлах, в червячных передачах и винтовых
транспортерах.
Тело, ограниченное винтовыми поверх-
ностями, называется винтом. Винт обра-
зуется от винтового движения какой-ни-
будь плоской фигуры — профиля. На рис.
156 изображены профили некоторых вин-
тов. В случае прямоугольного профиля
(рис. 156, а) винт ограничен поверхностями
двух цилиндров вращения и двух прямых
геликоидов; в случае треугольного про-
филя (рис. 156, б)— двумя наклонными
геликоидами; в случае трапецеидального
профиля (рис. 156, в) — поверхностями двух цилиндров вращения и двух
наклонных геликоидов.
§ 32. ЦИКЛИЧЕСКИЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
1. Циклической поверхностью называется поверхность, которая описыва-
ется какой-либо окружностью {образующей) постоянного или переменного
радиуса при ее произвольном движении.
Из рассмотренных выше поверхностей к циклическим можно отнести все
поверхности вращения, так как они могут быть образованы движением
окружности (параллели), центр которой перемещается вдоль оси, а ее плос-
кость перпендикулярна к оси. К циклическим поверхностям можно также
отнести те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые се-
чения.
Кроме этого, к циклическим поверхностям можно отнести каналовые
и трубчатые поверхности.
Каналовая поверхность образуется движением окружности переменного
6*
147
радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой I
(направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой
(рис. 157).
Трубчатая поверхность отличается от каналовой только тем, что ее об-
разующая окружность т имеет постоянный радиус (рис. 158).
Если направляющая / трубчатой поверхности является цилиндрической
винтовой линией, образуется трубчатая винтовая поверхность (рис. 159).
Рис. 159
Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр
которой перемещается по цилиндрической винтовой линии.
Примером такой поверхности является цилиндрическая винтовая пру-
жина.
2. Топографической поверхностью называется поверхность, образование
которой не подчинено какому-либо геометрическому закону.
К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса
судна, обшивки самолета, автомобиля и др.
На чертеже эти поверхности изображают при помощи совокупности не-
которых линий. Так, земная поверхность изображается при помощи се-
мейства ее горизонталей (рис. 160), поверхность обшивки самолета и дру-
гие — при помощи ее линий уровня (горизонталей, фронталей и профилей)
с последующей их увязкой и согласованием.
Такие поверхности часто называют каркасными, так как совокупность
линий, которыми они задаются, образуют каркас поверхности..
148
> На рис. 161 показан так называемый теоретический чертеж поверхности
фюзеляжа самолета, который обычно выполняется в натуральную величину.
На этом чертеже показаны три семейства линий рассматриваемой поверх-
Рис. 161
ности, а именно: ее горизонтали, фронтали и профили. При этом, чтобы
излишне не зггтемнять горизонтальную и фронтальную проекции, на чер-
теже не изображены фронтальные проекции горизонталей и горизонталь-
ные проекции фронтален.
Глава VI
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
И С ПРЯМОЙ.
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
§ 33. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
1. Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет
собой плоскую кривую, которая может распадаться и на прямые линии в
случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образую-
щим. Обычно построение этой линии производят по ее отдельным точкам.
Основным способом построения точек линии пересечения поверхности
с плоскостью является способ вспомогательных проецирующих плоскостей,
который заключается в следующем: вводится ряд вспомогательных проеци-
рующих плоскостей, пересекающих данную поверхность по некоторым
линиям, а данную секущую плоскость — по прямым. Точки пересечения
этих линий с соответствующими прямыми, являясь общими для данной
поверхности и данной плоскости, будут точками искомой линии пересе-
чения.
При выборе вспомогательных проецирующих плоскостей следует руко-
водствоваться простотой построения линий пересечения этих плоскостей с
данной поверхностью. Эти линии должны быть графически простыми ли-
ниями, т. е. прямыми или окружностями. Кроме того, если этими линиями
являются окружности, то поверхность должна быть так расположена от-
носительно плоскостей проекций, чтобы эти окружности не искажались
на одной из плоскостей проекций.
Так как линии пересечения каждой из вспомогательных проецирующих
плоскостей с данной поверхностью и с данной секущей плоскостью явля-
ются конкурирующими линиями, то построение точек линии пересечения
поверхности с плоскостью производится по существу тем же способом кон-
курирующих линий, который ранее применялся нами при решении пози-
ционных задач с прямыми, плоскостями и многогранниками.
Итак,
для построения точек линии пересечения поверхности с данной плос-
костью необходимо провести на секущей плоскости прямые, конкурирующие
150
с графически простыми линиями данной поверхности; тогда точки пересече-
ния каждой прямой и конкурирующей с ней линией поверхности будут точка-
ми искомой линии пересечения.
Если секущая плоскость является проецирующей, то точки линии пере-
сечения определяются сразу в пересечении проецирующей плоскости с гра-
фически простыми линиями поверхности.
Отсюда следует, что при построении линии пересечения поверхности с
плоскостью общего положения иногда бывает полезным предварительное
преобразование секущей плоскости в проецирующую (либо способом заме-
ны плоскостей проекций, либо способом дополнительного проецирова-
ния).
2. Среди точек линии пересечения имеются такие точки, которые выде-
ляются из других точек какими-либо своими особыми свойствами. К этим
точкам относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстре-
мальными точками являются высшая и низшая точки линии сечения, а так-
же самая ближняя, самая дальняя, самая левая и самая правая точки се-
чения (по отношению к наблюдателю, стоящему 'лицом к плоскости П2).
Точками видимости являются точки, которые расположены на контурной
линии поверхности. Проекции этих точек лежат на соответствующем
очерке поверхности. . Точки видимости разграничивают линию пересе-
чения поверхности с секущей плоскостью на видимую и невидимую
части.
Экстремальные точки и точки видимости относятся к числу опорных
точек, в отличие от которых остальные точки называются произвольными
или случайными.
Если все случайные точки могут быть найдены общим приемом, указан-
ным ранее, то для нахождения опорных точек, даже для одной и той же
поверхности, приходится каждый раз искать свой особый прием построе-
ния. Однако для построения точек видимости можно указать следующий
прием.
Если на секущей плоскости построить линию, конкурирующую с соответ-
ствующей контурной линией поверхности, то точки пересечения этих линий
будут точками видимости линии пересечения поверхности с плоскостью для
того или другого поля проекций.
3. При построении случайных точек линии пересечения поверхности
с плоскостью выбор графически простых линий, конкурирующих с пря-
мыми секущей плоскости, зависит от того, к какому классу относится по-
верхность.
У поверхностей вращения этими линиями будут параллели (окружнос-
ти); у линейчатых поверхностей, включая линейчатые винтовые поверх-
ности,— образующие (прямые линии); у поверхностей второго порядка —
их прямолинейные образующие (конус, цилиндр, однополостный гипер-
болоид, косая плоскость) или их круговые сечения (конус, эллиптический
151
цилиндр, эллипсоид, параболоид, однополостный и двуполостный гипер-
болоиды); у циклических поверхностей — образующие (окружности); у то-
пографических поверхностей — линии, которыми они заданы.
§ 34. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
1. Рассмотрим примеры построения линии пересечения плоскости с
поверхностью вращения и линейчатой поверхностью.
Пример 1. Построить линию пересечения поверхности вращения
с данной плоскостью и определить натуральный вид сечения.
Рассмотрим случай, когда секущая плоскость является проецирующей,
например фронтально проецирующей плоскостью1 S (рис. 162).
Предварительно строим опорные точки. На главном меридиане / данной
поверхности отмечаем низшую точку А и высшую точку В. На экваторе /г1
отмечаем точки С и D, они являются точками видимости для плоскости
проекций П1 и разделяют горизонтальную проекцию искомой линии пересе-
чения на видимую и невидимую части.
Для построения случайных точек на поверхности вращения проводим
графически простые линии, которыми являются ее параллели, и отмечаем
на них точки, принадлежащие секущей плоскости S . На рис. 162 проведена
параллель h2, являющаяся окружностью радиуса R, и на ней отмечены
точки М и N, принадлежащие плоскости S.
Точки Е и F, найденные при помощи параллели h3, являются точками
видимости для плоскости проекций П3, так как они лежат на профильном
меридиане поверхности.
Построение натурального вида сечения проще всего выполнить при по-
мощи непосредственного измерения высот и широт точек сечения. При этом
высоты точек следует измерять на поле П2, так как они располагаются нд
фронтали и, следовательно, не искажаются на поле П2, а широты — на
поле Пь так как они располагаются на фронтально проецирующих прямых
(горизонталях) и поэтому не искажаются на поле Щ.
Теперь рассмотрим случай пересечения поверхности вращения плос-
костью общего положения 0 (а X Ь) (рис. 163).
Сначала построим опорные точки. Точки видимости А и В для плос-
кости проекций Щ найдем в пересечении горизонтами h1 плоскости 0, кон-
курирующей с экватором h2 данной поверхности. Точки видимости С и D
для плоскости проекций П2 определятся в пересечении фронтали плос-
кости 0, конкурирующей с главным меридианом f2 поверхности. Одновре-
1 Здесь и в следующих примерах секущую плоскость считаем прозрачной, чтобы
не вносить излишних усложнений.
152
менно с этим в пересечении фронтали f1 с осью поверхности вращения нахо-
дим точку 5 пересечения этой оси с секущей плоскостью 0.
Для определения высшей и низшей точек линии пересечения проведем
через точку 5 прямую наибольшего уклона и плоскости 0 относительно
Рис. 162
плоскости проекций Пь тогда точки пересечения Е и F этой прямой с по-
верхностью и будут экстремальными точками линии пересечения. Чтобы
построить проекции этих точек, повернем прямую наибольшего уклона и
вокруг оси i поверхности вращения до фронтального положения и1, при
этом точка 5 будет неподвижной, а точка 6 повернется до положения точ-
153
ки 61. Прямая и в своем положении а1 будет конкурировать с главным ме-
ридианом /2 поверхности и поэтому точки их пересечения определят экст-
ремальные точки Е1 и F1 в повернутом положении. После обратного пово-
рота получим высшую точку Е и низшую точку F.
Рис. 163
Построение случайных точек линии пересечения выполняется при по-
мощи горизонталей плоскости 0, конкурирующих с параллелями поверх-
ности вращения. На рис. 163 проведена горизонталь h3 плоскости 0, кон-
курирующая с параллелью /^поверхности. Пересечение линий h3 и /i4 опре-
деляют случайные точки М и N.
Натуральный вид сечения определяем при помощи высот и широт точек
сечения. При этом высоты точек измеряем по фронтальной проекции и.21,
повернутой до фронтального положения прямой наибольшего уклона и
154
плоскости, а широты — по горизонтальным проекциям горизонтален этой
плоскости.
Пример 2. Построить линию пересечения линейчатой поверхности
(цилиндроида), заданной направляющими а и Ь и плоскостью параллелиз
dt
Рис. 164
ма П2, с данной плоскостью 0 || d)\ определить натуральный вид сечения
(рис. 164).
Направляющие а и b в данном примере являются окружностями, причем
окружность а расположена в горизонтальной плоскости, а окружность Ь —
во фронтально проецирующей плоскости. Поэтому для построения образу-
ющих цилиндроида, которые в данном случае являются фронталями, их
концы на окружности а находим непосредственно, а концы на окружности b
найдем с помощью замены плоскости Пг и П4 и построения натурального
вида Ь4 окружности Ь.
155
Для построения точек линии пересечения цилиндроида с данной плос-
костью 0 следует провести на секущей плоскости фронтали, конкурирую-
щие с образующими цилиндроида. На рис. 164 проведена фронталь f1 плос-
кости 0, конкурирующая с двумя образующими f2 и /3 цилиндроида. В пе-
ресечении Р с образующими f2 и /3 получаем точки А и В, которые являются
точками видимости для плоскости проекций П2. Аналогично находим
точки видимости С и D для плоскости проекций П4 при помощи фронтален
/4 и р плоскости 0, соответственно конкурирующих с образующими /5
и Р цилиндроида.
В пересечении фронтали плоскости 0, конкурирующей с образующи-
ми р и /10, находим случайные точки М и N искомой линии пересечения.
об
Натуральный вид сечения определяем при по-
мощи высот и широт точек сечения. При этом вы-
соты точек измеряем по горизонтальной проекции
а1!, повернутой до горизонтального положения
прямой наибольшего уклона и плоскости 0 отно-
сительно плоскости проекций П2, а широты то-
чек — по фронтальным проекциям фронталей этой
плоскости.
Если секущая плоскость будет проецирующей,
то построение точек сечения несколько упростится,
так как в этом случае нет нужды в построении на
плоскости прямых, конкурирующих с образующи-
ми линейчатой поверхности.
2. Рассмотренные примеры дают представление
общем методе построения линии пересечения
поверхностей вращения и линейчатых поверх-
ностей с какой-либо плоскостью.
Однако весьма часто заранее известен вид
кривой, получающейся в сечении поверхности
плоскостью. В этом случае линия пересече-
ния может быть построена при помощи ос-
. новных элементов, определяющих эту кривую.
Так, сфера пересекается плоскостью всегда
по окружности. Цилиндр вращения пересека-
ется плоскостью, в общем случае, по эллипсу.
Если же секущая плоскость параллельна или
перпендикулярна оси цилиндра, то в сечеции
получается соответственно пара параллельных
прямых или окружность (рис. 165).
В сечении конуса вращения получаются
все виды кривых второго порядка (конические
Рис. 166 сечения). Если секущая плоскость непарал-
156
лельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то
в сечении получается эллипс (рис. 166); в частности, если секущая плос-
кость перпендикулярна оси конуса, то получается окружность. Если секу-
щая плоскость параллельна только одной образующей конуса, то в сече-
нии получается парабола. Если же секущая плоскость параллельна двум
образующим, то в сечении получается гипербола В частности, если плос-
кость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересе-
кающихся в вершине прямых.
Разумеется, что >
, в случае, когда линия пересечения поверхности с плоскостью представ-
ляет собой окружность или эллипс, а также, когда она распадается на пару
прямых, можно избежать кропотливого построения линии пересечения по
точкам, а провести построение этих линий по их основным элементам.
Так как проекции окружности и эллипса являются, в общем случае,
эллипсами, то построение этих проекций сводится к определению центров
эллипсов и их осей или их сопряженных диаметров.
Покажем на примерах построение таких сечений.
Я
Рис. 167
157
Пример 3. Построить проекции и натуральный вид сечения сферы
данной плоскостью.
Рассмотрим случай, когда секущая плоскость является фронтально про-
ецирующей плоскостью S (рис. 167).
Так как сфера сечется плоскостью по окружности, а плоскость в данном
случае является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция
этой окружности будет отрезком А2В2 прямой S 2, а горизонтальная про-
екция — эллипсом. Центр О окружности сечения легко построить, ибо его
фронтальная проекция О2 должна находиться посредине отрезка А2В2, ко-
торый дает натуральную величину d диаметра окружности. Поэтому нату-
ральный вид сечения может быть построен сразу, как круг с диаметром d.
Эллипс, являющийся горизонтальной проекцией сечения, определяется
своими осями и CtDi, причем ось CiDi равна диаметру d окружности
сечения, так как диаметр CD, являясь отрезком фронтально проецирую-
щей прямой, не искажается на плоскости проекций ПР Имея оси эллипса,
можно его вычертить любым из известных способов. Однако для уточнения
чертежа полезно дополнительно построить точки видимости Е и F; они
158
легко находятся в пересечении секущей плоскости S с экватором h сферы.
Необходимо заметить, что при построении эллипса не по осям, а при
помощи случайных точек, определяемых в пересечении параллелей сферы
с секущей плоскостью, все же рекомендуется для уточнения эллипса
строить и его оси.
Рассмотрим случай пересечения сферы (рис. 168) плоскостью общего
положения 0 (ахЛ).
Этот случай можно свести к предыдущему, если заменить плоскость
проекций П2 на плоскость П4, перпендикулярную к горизонтали h секу-
щей плоскости 0. Тогда плоскость 0 будет проецирующей в системе плос-
костей (Пь П4), и поэтому горизонтальную проекцию и натуральный вид
сечения можно построить точно так же, как это сделано на рис. 167.
Для построения эллипса, являющегося фронтальной проекцией сечения,
следует построить фронтальные проекции взаимно перпендикулярных диа-
метров АВ и CD окружности сечения, что легко сделать из условия сохране-
ния высот точек при замене плоскости П2 на П4. Проекции А2В2 и C2D2
этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса, так как взаимно
перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряжен-
ности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные
другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании окруж-
ности в эллипсе сохраняется. Имея сопряженные диаметры эллипса, можно
его вычертить известным способом (с помощью описанного параллелог-
рамма).
В дополнение к этому определены точки видимости У и Н во фронталь-
ной проекции. Они построены при помощи фронтали 2—3 плоскости 0.
конкурирующей с главным меридианом сферы.
Пример 4. Построить проекции и натуральный вид сечения конуса
вращения данной плоскостью.
Вначале рассмотрим случай, когда секущая плоскость является фрон-
тально проецирующей (рис. 169).
Так как в данном случае фронтально проецирующая плоскость S пере-
секает все образующие конуса, то в сечении получится эллипс. Фронталь-
ная проекция эллипса будет отрезком А2В2 прямой S 2, а горизонтальная
проекция будет эллипсом, так как ортогональная проекция эллипса, в об-,
щем случае, также является эллипсом.
Большая ось АВ эллипса-сечения является ф'ронталью и поэтому не
искажается на плоскости проекций П2. Малая же ось QD является фрон-
тально проецирующей прямой. Поэтому она проецируется на плоскость П2 в
точку O2=C2=D2^ делящую отрезок А2В2 пополам (точка О—центр эллип-
са), а на плоскость П) проецируется без искажения. Для построения горизон-
тальной проекции малой оси достаточно провести на уровне точек С
и D параллель h. конуса; тогда CiDi будет хордой окружности, являющейся
горизонтальной проекцией этой "параллели. Теперь эллипс, являющийся
159
горизонтальной проекцией эллипса-сечения, можно построить по его
осям.
Натуральный вид эллипса-сечения можно построить при помощи его
осей АВ и CD; при этом АВ — А2В2, CD = С1£\.
Если построить линию пересечения конуса вращения плоскостью при
помощи случайных точек, то их проекции можно находить, используя па-
раллели конуса, как в случае поверхности вращения, или используя обра-
зующие конуса, как в случае линейчатой поверхности.
Рассмотрим случай пересечения конуса вращения (рис. 170) плоскостью
общего положения 0 (axh).
Этот случай легко сводится к предыдущему при помощи замены плос-
кости проекций П2 на плоскость П4, перпендикулярную к горизонтали h
секущей плоскости 0. Тогда в системе плоскостей проекций (Пъ П4) плос-
кость 0 будет проецирующей и, следовательно, данный случай сведется к
предыдущему.
Эллипс, являющийся фронтальной проекцией сечения, построен по его
сопряженным диаметрам А2В2 и C2D2, концы которых найдены при помощи
160
поля- П4. Дополнительно построены точки видимости Е и F во фронтальной
проекции. Эти точки найдены в пересечении с секущей плоскостью очерко-
вых образующих S—2 и S—3.
Эллипс, являющийся натуральным видом сечения, построен по его осям
АВ и CD; при этом АВ = А4В4, a CD = С£)4.
Рис. 170
3. Рассмотрим применение дополнительного проецирования при пост-
роении линии пересечения поверхности плоскостью общего положения.
В этом случае направление дополнительного проецирования выбирается
параллельным секущей плоскости, новая проекция плоскости вырожда-
ется в прямую линию и построение сечения упрощается.
Пример 5. Построить проекции нормального сечения эллиптичес-
кого цилиндра с круговым основанием (рис. 171).
161
Нормальным сечением цилиндра называется сечение, перпендикулярное
к его образующим. У эллиптического цилиндра, как известно (§ 30), нор-
мальным сечением является эллипс. Для задания секущей плоскости Q,
Рис. 171
перпендикулярной к образующим цилиндра, достаточно через произволь-
ную точку М провести горизонталь h и фронталь /, перпендикулярные к
образующим; при этом /2 перпендикулярна к фронтальным проекциям об-
разующих, a перпендикулярна к горизонтальным проекциям образующих.
Секущая плоскость будет определена пересекающимися прямыми h и f.
162
Для построения проекций сечения воспользуемся дополнительным прое-
цированием. За направление проецирования s выберем направление фрон-
тали f секущей плоскости и спроецируем по этому направлению на плос-
кость Г основания цилиндра секущую плоскость и данный цилиндр. Тогда
плоскость^ спроецируется в прямую Q/, а образующие цилиндра — в пря-
мые, параллельные прямой 21—<?/, являющейся дополнительной проекцией
оси цилиндра.
Теперь можно найти сколько угодно случайных точек искомой линии
пересечения. Так, например, чтобы найти точку А на образующей, конец
которой находится в точке 4, проводим через точку 4Х параллельно пря-
мой 21—5/ дополнительную проекцию этой образующей и отмечаем на ней
в пересечении с дополнительной проекцией 2/, секущей плоскости точ-
ку А/, являющуюся дополнительной проекцией точки А. Обратным прое-
цированием найдем основные проекции Л( и точки А.
Но так как искомое сечение является эллипсом, то его проекции можно
построить и по сопряженным диаметрам. Центр О эллипса определяется
обратным проецированием точки пересечения О/ дополнительной проек-
ции 2/, секущей плоскости с дополнительной проекцией 2t—5/ оси ци-
линдра. Если провести на основании цилиндра два взаимно перпендикуляр-
ных диаметра 4—5 и 6—7, то, так как эллипс-сечение можно рассматривать
как ортогональную проекцию окружности основания на секущую плос-
кость Q, эти диаметры спроецируются на плоскость Q в два сопряженных
диаметра АВ и CD искомого эллипса. На рис. 171 показано с помощью об-
ратного проецирования построение концов А и С этих диаметров. Вторые
концы этих диаметров В и D найдены из условий АО = О В и СО = OD.
Сопряженные диаметры эллипса-сечения проецируются на плоскость про-
екций П1, в оси эллипса, являющегося горизонтальной проекцией сечения.
Дополнительно построены точки видимости Е и F во фронтальной про-
екции. Эти точки найдены в пересечении с секущей плоскостью контурных
образующих, концами которых служат точки 8 и 9.
4. Рассмотрим построение сечений двух технических деталей.
Пример 6. Построить линию среза головки рычага двумя фрон-
тальными плоскостями Ф1 и Ф2 (рис. 172).
Данная головка представляет собой некоторое тело вращения, ограни-
ченное поверхностями цилиндра I, конуса II, тора III и шара IV. После
среза головки фронтальными плоскостями Ф1 и Ф2 получим переднюю и
заднюю части линии пересечения (их фронтальные проекции совпадают).
Точки линии пересечения легко строятся при помощи параллелей поверх-
ности вращения, ограничивающей данную головку. На чертеже показано
построение точек А и В при помощи параллели р, которая, являясь окруж-
ностью, расположенной в профильной плоскости, не искажается на по-
ле П3. На чертеже также показано построение точки С — вершины гипер-
болы, по которой пересекается поверхность конуса II. Точка С построена
163
при помощи параллели, касающейся секущих плоскостей. На участке по-
верхности шара IV линия пересечения является дугой окружности, и по-
тому на этом участке построение производится не по точкам, а непосредст-
венно циркулем.
Рис. 173
164
Пример 7. Построить натуральный вид сечения данной детали фрон-
тально проецирующей плоскостью S (рис. 173).
Для построения искомого натурального вида нет нужды в построении
горизонтальной проекции сечения, так как высоты и широты точек линий,
ограничивающих сечение, непосредственно определяются по чертежу.
В самом деле, высоты точек не искажаются на поле П2, а широты точек
располагаются на фронтально проецирующих прямых и, следовательно,
не искажаются на поле Пр
На чертеже показано построение точек А, В, С, D, Е, F, G и Н нату-
рального вида сечения. Эти точки построены при помощи их высот и широт.
Эллипсы, которые получаются в сечениях цилиндров, построены по их
осям, при этом малая ось каждого эллипса равна диаметру соответствую-
щего цилиндра, а большая — отрезку проекции 2 2, заключенному между
проекциями очерковых образующих цилиндра.
§ 35. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПРЯМОЙ
1. Для построения точек пересечения прямой с какой-либо поверхно-
стью необходимо провести через данную прямую вспомогательную секу-
щую плоскость; затем найти линию пересечения вспомогательной плос-
кости с данной поверхностью и, наконец, определить точки пересечения
полученной линии с данной прямой. Эти точки и будут искомыми точками
пересечения прямой с поверхностью.
Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую
плоскость, проходящую через данную прямую, так как в общем случае
линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью строится про-
ще, нежели с плоскостью общего положения.
Однако в некоторых частных случаях выгоднее в качестве вспомога-
тельной плоскости выбирать плоскость общего положения, пересекающую
данную поверхность по графически простой линии. Ниже будут рассмотре-
ны эти случаи.
Так как линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью,
проведенной через данную прямую, и данная прямая являются конкури-
рующими линиями, то общий прием построения точек пересечения прямой
с поверхностью можно сформулировать так:
для построения точек пересечения прямой с поверхностью нужно постро-
ить на поверхности вспомогательную линию, конкурирующую с данной
прямой, и найти точки пересечения этой линии с прямой.
При этом, строя вспомогательную линию, следует для определения ее
отдельных точек пользоваться графически простыми линиями поверхности.
Так, в случае поверхности вращения такими простыми линиями будут па-
раллели (окружности), а в случае линейчатой поверхности — образующие
(прямые).
165
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Построить точки пересечения поверхности вращения
(тора) с прямой I (рис. 174).
Строим на данной поверхности линию t, фронтально конкурирующую
с данной прямой I. Точки 1 и 2 вспомогательной линии t находим на глав-
ном меридиане f поверхности, остальные точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 находим на ее
параллелях Л1, A2, h3, из которых параллель h2 является экватором поверх-
ности. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим линию t по-
верхности, конкурирующую с прямой /. Отметив точки М и N пересечения
линии t с прямой I, найдем искомые точки пересечения прямой I с по-
верхностью.
Нетрудно видеть, что точка М будет видимой и в горизонтальной, и во
фронтальной проекциях, так как она находится над экватором и перед глав-
ным меридианом поверхности. Точка же W будет невидимой в обеих проек-
циях, так как она находится под экватором и за главным меридианом.
166
Пример 2. Построить точки пересечения сферы с прямой I (рис. 175).
Строим на поверхности сферы линию t, горизонтально конкурирующую
с прямой I. Так как всякая плоская кривая на сфере является окруж-
ностью, то и линия t будет окружностью. Чтобы избежать построения эл-
липса, являющегося фронтальной проекцией этой окружности, производим
замену плоскости проекций П2 на плоскость П4, параллельную прямой I
и перпендикулярную плоскости Пр Тогда на плоскости проекций П4 ли-
ния t изобразится окружностью /4. Построив также проекцию /4 прямой /
и определив точки Л44 и JV4 пересечения проекций /4 и /4, можно найти ос-
новные проекции Ni и М2, Л7 г искомых точек пересечения прямой I
со сферой.
2. В частных случаях,
при построении точек пересечения прямой с кривой поверхностью, когда
прямая или поверхность являются проецирующими, следует использовать
вырождение их соответствующих проекций в точку или кривую линию.
Рассмотрим это на примерах.
Пример 3. Построить точки пересечения поверхности кругового
конуса с профильно проецирующей прямой i (рис. 176).
Профильные проекции М3 и JV3 искомых точек совпадают с профильной
проекцией 1з данной прямой. Фронтальные же проекции этих точек легко
определяются: М2— с помощью образующей S—/ конуса, М2— на фрон-
тальной проекции основания конуса.
Пример 4. Построить точки пересечения поверхности кругового
цилиндра с прямой I (рис. 177).
Так как образующие данной цилиндрической поверхности являются
фронталями, то можно при помощи одной замены плоскостей проекций пре-
образовать данную поверхность в проецирующую. Для этого достаточно за-
менить плоскость Щ на плоскость П4, перпендикулярную к образующим
167
данной поверхности. Тогда на плоскости проекции Ш цилиндрическая
поверхность изобразится окружностью. Построив также проекцию к пря-
мой I и определив точки Mi и N& пересечения проекции к с проекцией дан-
ной поверхности, легко найти и основные проекции М2, 2V2 и Мь иско-
мых точек.
Нетрудно видеть, что при ре-
шении данного примера общим
способом на данной поверхности
пришлось бы строить эллипс, кон-
курирующий с прямой. Такое ре-
шение более сложное и менее точ-
ное, чем приведенное решение.
3. При построении точек пере-
сечения прямой с цилиндрической
или конической поверхностями ли-
нии этих поверхностей, конкури-
рующие с прямой, в общем случае
не будут графически простыми
линиями. Можно избежать кропо-
тливого построения этих линий,
если в качестве вспомогательной
плоскости использовать не проеци-
рующую плоскость, проходящую
через данную прямую, а плоскость
общего положения, выбранную
так, чтобы она пересекала данную
цилиндрическую или коническую
поверхность по графически простой
линии. В случае цилиндрической
поверхности вспомогательную плос-
ис' кость проводят через данную пря-
мую параллельно образующим
цилиндрической поверхности, а в случае конической поверхности ее про-
водят через данную прямую и через вершину конической поверхности. В
обоих случаях пересечение произойдет по образующим (прямым) поверх-
ностей. Для построения этих образующих нужно найти след вспомога-
тельной плоскости на плоскости основания цилиндра или конуса, а затем
отметить точки пересечения этого следа с основанием цилиндра или ко-
нуса. Этими точками и определяются искомые образующие.
Указанные построения можно истолковать и иначе, используя способ
дополнительного проецирования.
Пример 5. Построить точки пересечения цилиндрической поверх-
ности с прямой I (рис. 178).
168
Построим дополнительную проекцию цилиндрической поверхности и
прямой / на поверхность Г основания цилиндрической поверхности, при-
няв за направление проецирования образующие цилиндрической поверх-
ности. Тогда цилиндрическая поверхность спроецируется в кривую линию
своего основания, а прямая I — в прямую Г. Если теперь отметить точки М/
и A\' пересечения проекции // с горизонтальной проекцией линии основа-
ния, то основные проекции Mlf и М2, ^2 можно будет найти при помощи
обратного проецирования.
Рис. 179
Пример 6. Построить точки пересечения конической поверхности
с прямой I (рис. 179).
Построим дополнительную центральную проекцию конической поверх-
ности и прямой I на плоскость Г основания конической поверхности, при-
няв ее вершину S за центр проецирования Тогда коническая поверхность
спроецируется в кривую линию своего основания, а прямая / — в пря-
мую Г
Отметив точки М\ и N\ пересечения /\ с горизонтальной проекцией
основания и произведя обратное проецирование, получим основные проек-
ции искомых точек М и N.
Решения примеров 5 и 6 позволяют сделать следующий вывод:
при построении точек пересечения прямой с цилиндрической или коничес-
кой поверхностями целесообразно применять способ дополнительного проеци-
169
рования, параллельного для цилиндрическом поверхности и центрально-
го для конической,
при этом поверхность преобразуется в проецирующую и решение зна-
чительно упрощается.
§ 36. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТЯМ
Рис. 180
ности, одной из этих кривых
щая (она совпадает со своей
1. Если на какой-нибудь кривой поверхности Q (рис. 180) провести
через ее обыкновенную точку М произвольные кривые линии а, Ь, с, ...
и к этим кривым в точке М построить касательные прямые t1, t2, t3, ..., то
все касательные прямые будут лежать в
одной плоскости 0, называемой каса-
тельной плоскостью к поверхности1.
Таким образом,
касательная плоскость является гео-
метрическим местом всех касательных,
проведенных к данной кривой поверх-
ности, проходящих через одну ее точку.
Очевидно, что для построения каса-
тельной плоскости к поверхности в ее
точке М достаточно через эту точку
провести на поверхности только две
кривые линии а, b и к ним построить
касательные прямые Z1 и t2. Эти две ка-
сательные прямые и определяют каса-
тельную плоскость 0. Разумеется, что в
качестве таких кривых линий поверхно-
сти следует выбирать ее простейшие
линии. Так, в случае линейчатой поверх-
:ет служить ее прямолинейная образую-
1тельной), а в случае поверхности вра-
щения — ее параллель. В зависимости от вида поверхности касательная
плоскость может иметь с поверхностью только одну общую точку, например
в случае сферы (рис. 181), или бесчисленное множество общих точек, состав-
ляющих прямую или кривую линии, например в случае конической по-
верхности (рис. 182) или поверхности кольца (рис. 183).
В приведенных выше случаях поверхность располагается по одну сто-
рону от касательной плоскости, которая не пересекает поверхности. Однако
1 Это положение доказывается в курсе дифференциальной геометрии. Там же рас-
сматриваются особые точки поверхности, в которых касательная плоскость или неоп-
ределенная, или же не единственная. Примером такой точки может служить вершина
конической поверхности.
170
касательная плоскость может и пересекать поверхность по какой-нибудь
линии. Так, например, в случае однополостного гиперболоида касательная
плоскость пересекает его по двум образующим а и Ь, которые вместе с тем
Рис. 182
Рис. 181
будут и их касательными и /2, определяющими касательную’ плоскость 0
(рис. 184).
2. Рассмотрим несколько примеров построения касательной плоскости
к различным поверхностям.
Пример 1. Построить плоскость 0, касательную к поверхности
вращения в ее точке М (рис. 185).
В качестве двух кривых линий поверхности вращения, касательные к
которым определяют искомую плоскость 0, выберем параллель h и мери-
171
диан а данной поверхности, проходящие через точку М. Так как парал-
лель h является окружностью, расположенной горизонтально, то построе-
ние касательной t1 не вызывает затруднений. Для построения же касатель-
ной /2 к меридиану а предварительно поворачиваем его вокруг оси
поверхности вращения до фронтального
положения а. При этом данная точка
М займет положение М. Если теперь
построить касательную t2 к фронталь-
ному меридиану а в его точке М, то, про-
изведя обратное вращение, получим
искомую касательную t2 к меридиану а.
Рис. 184
Таким образом, касательная плоскость 0 определена двумя пересекаю-
щимися прямыми t1 и t2.
Пример 2. Построить плоскость 0, касательную к конической
поверхности в ее точке М (рис. 186).
Так как данная поверхность линейчатая, то, проведя через данную точ-
ку М образующую I, являющуюся в то же время и своей касательной, по-
лучим одну из прямых, определяющих искомую плоскость©. Второй пря-
мой, определяющей плоскость 0 . будет касательная t к окружности h в ее
точке М, проведенной на конической поверхности.
Нетрудно видеть, что касательная t параллельна касательной I1, про-
веденной в точке N к окружности основания конической поверхности.
172
Поэтому искомую касательную плоскость© можно определить образующей I
и касательной Z1 к окружности h1 основания конической поверхности,
не строя вспомогательной окружности h, проходящей через данную
точку М.
Необходимо заметить, что касательная плоскость к конической или
цилиндрической поверхности и вообще ко всякой поверхности торса каса-
ется поверхности по всей образующей.
Рис. 187
Рис. 186
Пример 3. Построить плоскость 0, касательную к цилиндрической
поверхности и проходящую через точку Д, заданную вне цилиндрической
поверхности (рис. 187).
Так как искомая касательная плоскость должна содержать в себе обра-
зующую цилиндрической поверхности, то в этой плоскости можно провести
через данную точку А прямую а, параллельную образующим цилиндри-
ческой поверхности.
173
Если теперь провести через точку В — пересечения прямой а с плос-
костью Г — касательные прямые t1 и /2 к окружности основания цилинд-
рической поверхности, то прямая а и касательные t1 и /2 определят две
искомые касательные плоскости 01 (а X tl) и 02 (ах /2). Эти плоскости
касаются цилиндрической поверхности по ее образующим I1 и /2.
Кроме указанных выше случаев задания касательной плоскости, ее
можно задавать и другими условиями, характер которых зависит от вида
поверхности.
Так, к сфере можно проводить касательную плоскость, ставя условие,
чтобы она:
проходила через заданную прямую, не пересекающую сферу;
была параллельна некоторой заданной плоскости;
и т. д.
К конусу касательную плоскость можно проводить так, чтобы она:
проходила через точку, расположенную вне поверхности конуса;
была параллельна некоторой прямой;
и т. д.
Глава VII
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 37. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ
ВЗАИМНО! О ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет
собой пространственную кривую1, которая может распадаться на две и
более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми.
Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным
точкам.
Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-
посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной
поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями,
в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии
пересечения.
Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяют плос-
кости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы
построения точек линии пересечения двух поверхностей: способ вспомо-
гательных плоскостей, разделяющийся на способы вспомогательных прое-
цирующих плоскостей и вспомогательных плоскостей общего положения,
и способ вспомогательных сфер. Применение того или иного способа зави-
сит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного располо-
жения.
Способ вспомогательных проецирующих плоскостей следует применять
тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым
линиям некоторой совокупностью проецирующих плоскостей или, ц част-
ности, совокупностью плоскостей уровня.
Способ вспомогательных плоскостей общего положения следует приме-
нять при построении линии пересечения конических (пирамидальных) и
цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида. Особенно
1 В случае двух многогранных поверхностей линия их пересечения является ло-
маной линией (см. § 14).
175
целесообразно применение этого способа в случае, когда у обоих поверх-
ностей заданы их следы (основания) на одной и той же плоскости.
Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии
пересечения таких поверхностей, которые имеют общую плоскость симмет-
рии, расположенную параллельно какой-либо плоскости проекций. При
этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей,
по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих
поверхностей. В частности, способ вспомогательных сфер можно приме-
нять при построении линии пересечения двух поверхностей враще-
ния, оси которых пересекаются и параллельны какой-либо плоскости
проекций.
В некоторых случаях линия пересечения поверхностей второго порядка
распадается на плоские кривые второго порядка. Тогда, если заранее из-
вестен вид этих кривых, можно избежать трудоемкого построения линии
пересечения по точкам, а провести построение этих кривых по их основным
элементам.
Заметим также, что если одна из пересекающихся поверхностей является
проецирующей поверхностью, например проецирующей цилиндрической
поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в
этом случае сразу определяются точки пересечения проецирующей поверх-
ности с графически простыми линиями другой поверхности.
Отсюда следует, что при построении линии пересечения какой-либо
поверхности с цилиндрической или конической поверхностями иногда бы-
вает полезным предварительное преобразование этих поверхностей в прое-
цирующие либо способом замены плоскостей проекций (в случае ци-
линдрической поверхности), либо способом дополнительного проециро-
вания.
2. Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения
поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать
определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхнос-
тей так же, как и у линии пересечения поверхности с плоскостью, разли-
чают точки опорные и случайные (см. § 33).
В первую очередь, определяют опорные точки, так как они всегда поз-
воляют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения
и где между ними имеет смысл определять случайные точки для более
точного построения линии пересечения поверхностей.
Определение видимости линии пересечения производят отдельно для
каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость
всего участка совпадает с видимостью какой-нибудь случайной точки этого
участка.
При построении линии пересечения необходимо иметь в виду, что ее
проекции всегда располагаются в пределах площади наложения одноимен-
ных проекций пересекающихся поверхностей.
176
§ 38. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПРОЕЦИРУЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
(СПОСОБ КОНКУРИРУЮЩИХ ЛИНИЙ)
1. Как было указано выше, построение точек линий пересечения двух
поверхностей способом вспомогательных проецирующих плоскостей состоит
в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверх-
ности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пере-
сечение этих линий дает точки, принадлежащие искомой линии. Так как
линии пересечения каждой из вспомогательных проецирующих плоскостей
с данными поверхностями являются конкурирующими линиями, то можно
сказать, что способ вспомогательных проецирующих плоскостей приводит
к проведению на данных поверхностях-графически простых линий, конку-
рирующих друг с другом.
Таким образом,
если у пересекающихся поверхностей имеются семейства графически
простых линий, конкурирующих друг с другом, то точки пересечения этих
линий и будут точками искомой линии пересечения.
Рассмотрим примеры построения линии пересечения двух поверхностей
указанным способом.
Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения и ци-
линдра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом
(рис. 188).
Построение линии пересечения данных поверхностей можно произвести
с помощью конкурирующих линий. В самом деле, если провести на цилинд-
рической поверхности ее образующие (прямые), то каждая из них будет
конкурировать с некоторой параллелью (окружностью) конической по-
верхности, и так как эти параллели являются горизонталями, то они не
будут искажаться на плоскости проекций Щ.
Вначале покажем построение опорных точек. У цилиндрической поверх-
ности точками видимости для плоскости проекций flj являются точки А
и В, они же будут и наиболее удаленными точками. Эти точки найдены в
пересечении контурной образующей h1 цилиндрической поверхности и кон-
курирующей с нею параллелью Л2 конической поверхности. У конической
поверхности точек видимости для плоскости проекций Щ нет, так как вся
ее поверхность на этой плоскости проекций видима.
Точки видимости С, D и Е, F цилиндрической поверхности для плоскос-
ти проекций П2 найдены в пересечении контурных образующих цилиндри-
ческой поверхности h3 и h5 и соответственно конкурирующих с ними па-
раллелей Л4 и h6 конической поверхности. При этом точки С и D будут выс-
шими точками, а точки Е и F — низшими. Точки видимости G, Н и К, L
конической поверхности для плоскости проекций П2 найдены в пересече-
нии контурных образующих f1 и /3 конической поверхности и соответствен-
но конкурирующих с ними образующих f2 и /4 цилиндрической поверхности.
7-593
177
Фронтальные проекции образующих f2 и f4 построены при помощи про-
фильных проекций fl и ff.
Точки видимости М и N конической поверхности для плоскости проек-
ций П3 найдены на контурной (по отношению П3) образующей р коничес-
кой поверхности; при этом предварительно построены профильные проек-
Рис. 188
ции Л43 и N3 этих точек в пересечении профильной проекции р3 образую-
щей р с окружностью, являющейся профильной проекцией цилиндричес-
кой поверхности.
Теперь можно построить сколько угодно случайных точек. На рис. 188
показано построение четырех случайных точек Р, Q, R и Т. Эти точки най-
дены в пересечении образующих Л7 и hs цилиндрической поверхности и
конкурирующей с ними параллели h9 конической поверхности1.
1 Так как цилиндрическая поверхность является профильно проецирующей, то
точки искомой линии пересечения можно найти и при помощи образующих коничес-
кой поверхности. В самом деле, в пересечении профильных проекций этих образую-
щих с профильной проекцией цилиндрической поверхности легко определяются про-
фильные проекции искомых точек.
178
Построив достаточное число случайных точек линии пересечения, сле-
дует их соединить в определенной последовательности, учитывая условия
видимости. В данном случае видимость линии пересечения на обоих полях
проекций определяется цилиндрической поверхностью; поэтому видимыми
будут только те участки линии пересечения, которые расположены на ви-
димой части цилиндрической поверхности1.
2. Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы
одна из них является проецирующей, то следует использовать вырождение
проекции этой поверхности в линию.
При этом построение линии пересечения поверхностей значительно
упрощается, так как одна из проекций любой ее точки принадлежит вы-
рожденной проекции проецирующей поверхности, а другая проекция легко
определяется с помощью графически простых линий второй поверхности.
Покажем это на следующем примере.
Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров враще-
ния со скрещивающимися осями, причем поверхность одного из них явля-
ется горизонтально проецирующей (рис. 189).
Так как поверхность одного из данных цилиндров является горизон-
тально проецирующей, то горизонтальная проекция искомой линии пере-
сечения совпадает с дугой АХВХ окружности, являющейся горизонтальной
проекцией этого цилиндра. Для определения фронтальной проекции линии
пересечения следует построить при помощи графически простых линий,
в данном случае образующих второго цилиндра, фронтальные проекции
точек, определяющих линию пересечения поверхностей.
На рис. 189 показано построение фронтальных проекций опорных то-
чек А и В (самой дальней и самой ближней), С и D (наивысшей и наиниз-
шей; они же являются точками видимости второго цилиндра для плоскости
проекции П2), Е и F (самых левых; они же являются точками видимости
первого цилиндра для плоскости П2) и случайных точек М н N.
Необходимо заметить, что фронтальные проекции точек Е, F и случай-
ных точек М, N удобнее всего находить, используя замену плоскости про-
екций Щ на плоскость П4, перпендикулярную образующим второго ци-
линдра. Тогда этот цилиндр спроецируется на плоскость П4 в виде окруж-
ности и можно легко построить при помощи глубин f1 и f2 проекции
F4 и М4, N4 искомых точек, после чего легко определяются и фронтальные
проекции этих точек.
В’отдельном круге показан элемент линии пересечения с точками види-
мости С и Е в увеличенном виде.
1 На рис. 188 и на последующих чертежах, иллюстрирующих пересечение поверх-
ностей, не изображены элементы каждой из этих поверхностей, расположенные внутри
другой поверхности. Иначе говоря, на этих чертежах принято, что каждая из пересе-
кающихся поверхностей высекает из другой поверхности ее часть, заключенную внутри
первой поверхности.
7*
179
3. Рассмотрим пример построения линии пересечения, при решении
которого целесообразно произвести предварительное преобразование комп-
лексного чертежа.
Рис. 189
Пример 3. Построить линию пересечения треугольной призмы со
сферой (рис. 190).
Линия пересечения в рассматриваемом примере состоит из дуг окруж-
ностей, являющихся линиями пересечения граней призмы со сферой. Эти
дуги соединяются между собой в точках пересечения ребер призмы со
сферой.
180
Таким образом, в данном случае, как и в других случаях построения
линии пересечения многогранной и кривой поверхностей, задача сводится
к последовательному решению задач о пересечении кривой поверхности с
Рис. 190
прямой и с плоскостью (§ 33—35). И в том и в другом случае пользуются
методом вспомогательных проецирующих плоскостей, приводящим к пост-
роению конкурирующих линий.
Чтобы сделать построение более простым, а значит, и более точным,
произведем замену плоскости проекций Щ на плоскость П4, перпендику-
лярную к боковым ребрам призмы. При этом плоскость П4 будет перпенди-
181
Рис. 191
кулярна к плоскости П2, так как в системе (Пь П2) эти ребра являются
фронталями. Тогда в системе (П2, П4) боковая поверхность призмы будет
проецирующей по отношению к плоскости П4, что значительно облегчит
построение искомой линии пересечения.
При помощи фронталей f1 и /2 данной сферы, конкурирующих с соответ-
ствующими боковыми ребрами призмы, находим точки А, В и С, D пере-
сечения ребер призмы со сферой (§ 35, пример 2).
Далее строим линии пересечения сфе-
ры с каждой из трех боковых граней
призмы (§ 34, пример 3).
На чертеже (рис. 190) подробно пока-
зано построение линии пересечения сфе-
ры только с одной из граней призмы, а
именно — с гранью, видимой на обеих
основных плоскостях проекций.
Сначала находим центр V окружно-
сти, являющейся искомой линией пере-
сечения. Для этого опускаем из точки
<Э4 перпендикуляр на прямую G4H4.
Основание этого перпендикуляра опре-
делит проекцию V4 центра V, после чего
легко находятся и основные проекции
V2 и Vi центра V. Отрезок G4H4 опреде-
ляет величину диаметра искомой окруж-
ности. Эллипс, являющийся фронталь-
ной проекцией линии пересечения,
определяется своими осями E2F2 и G2H2,
при этом ось E2F2 равна диаметру ок-
Г4. Дополнительно находим точки види-
мости К и L для плоскости проекций П2.
Для построения эллипса, являющегося горизонтальной проекцией ис-
комой окружности, следует построить горизонтальные проекции взаимно
перпендикулярных диаметров EF и GH искомой окружности. Проекции
EiFi и G^Hi этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса,
при помощи которых можно построить и сам эллипс. В дополнение к этому
следует определить точки видимости М и N для плоскости проекций Пр
Они построены при помощи прямой 1—2, принадлежащей рассматри-
ваемой грани и конкурирующей с экватором сферы.
4. Рассмотрим технический пример на построение линии перехода ци-
линдров вращения с пересекающимися осями (рис. 191).
Для построения нескольких точек линии перехода используем допол-
нительные плоскости проекций П3 и П4, по отношению к которым боко-
вые цилиндры являются проецирующими.
ружности, т. е. равна отрезку G4
182
§ 39. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ (СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ)
1. Как уже указывалось, способ вспомогательных плоскостей общего
положения рекомендуется применять при построении линии пересечения
конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также и их
частных видов — поверхностей пирамид и призм. В этих случаях вспомо-
гательные плоскости удобно выбирать так, чтобы они пересекали обе по-
верхности по их образующим. Такими плоскостями будут плоскости общего
положения. Эти плоскости в случае пересечения двух конических поверх-
ностей должны проходить через прямую ST, соединяющую их вершины
(рис. 192). В случае пересечения конической и цилиндрической поверх-
ностей вспомогательные плоскости должны проходить через прямую ТТ',
проведенную через вершину Т конической поверхности, параллельно об-
разующим цилиндрической поверхности (рис. 193).
В случае же пересечения двух цилиндрических поверхностей вспомо-
гательные плоскости должны быть параллельны некоторой плоскости па-
раллелизма, определяемой двумя пересекающимися прямыми, соответствен-
но параллельными образующим цилиндрических поверхностей (рис. 194).
При указанном выборе вспомогательных плоскостей они пересекут обе
данные поверхности по их образующим, а точки пересечения этих образую-
щих и будут точками линии пересечения поверхностей.
Построения, выполняемые при пользовании способом вспомогательных
плоскостей общего положения, можно истолковать и иначе, используя для
этого способ дополнительного проецирования.
Рассмотрим подробнее все три случая пересечения конических и ци-
линдрических поверхностей с точки зрения способа дополнительного прое-
цирования.
Взаимное пересечение двух конических поверхностей. В этом случае при-
меняем дополнительное центральное проецирование. Приняв за центр про-
екций вершину S (см. рис. 192) одной из данных конических поверхностей,
а за плоскость дополнительных проекций плоскость 0, на которой заданы
следы данных поверхностей, мы получим вырожденную дополнительную
проекцию конической поверхности S в виде ее следа. Если теперь пост-
роить дополнительную проекцию Т' вершины Т второй конической по-
верхности, то легко будет построить дополнительные проекции образую-
щих этой поверхности.
Так, на рис. 192 построены дополнительные проекции Т'—1 и Т’—2
двух произвольных образующих Т—1 и Т—2 конической поверхности Т.
В пересечении этих проекций со следом конической поверхности S отмечаем
дополнительные проекции четырех точек, Л'== В' и С'=1У, принадлежа-
щих обеим поверхностям. Произведя обратное проецирование из того же
центра S, получим на образующих Т—1 и Т—2 точки А, В, С и D, принад-
183
Рис. 192
Рис. 193
лежащие искомой линии пересечения данных поверхностей. Таким же об-
разом могут быть построены и другие точки этой линии.
В первую очередь следует определить опорные точки. Для этого надо
построить дополнительные проекции крайних образующих Т—3, Т—4 и
Т—5 конической поверхности Т, пересекающих коническую поверх-
ность S. Дополнительные проекции этих образующих должны касаться
следа одной поверхности и пересекать след другой поверхности. Кроме
этого, надо построить дополнительные проекции контурных образующих
поверхности Т, а также тех ее образующих, которые пересекаются с кон-
турными образующими поверхности S. С помощью этих образующих будут
найдены точки видимости линии пересечения. В большинстве случаев для
построения линии пересечения найденных таким образом точек будет уже
достаточно.
Взаимное пересечение конической и цилиндрической поверхностей. Этот
случай отличается от предыдущего только тем, что здесь применяют до-
полнительное параллельное проецирование по направлению $ образующих
цилиндрической поверхности (см. рис. 193). Тогда на плоскости 0, на ко-
торой заданы следы данных поверхностей, получим вырожденную допол-
нительную проекцию цилиндрической поверхности в виде ее следа. Даль-
нейшие построения аналогичны построениям в предыдущем случае.
Взаимное пересечение двух цилиндрических поверхностей. В этом случае
применяем дополнительное параллельное проецирование по направлению s
185
образующих одной из данных цилиндрических поверхностей (см. рис. 194).
Тогда дополнительная проекция этой поверхности на плоскости 0 выро-
дится в ее след. При построении дополнительных проекций образующих
второй цилиндрической поверхности следует учесть, что все они будут па-
раллельны между собой и поэтому достаточно спроецировать только ка-
кую-нибудь одну из образующих, а затем проводить параллельно ее про-
екции дополнительные проекции других образующих.
2. Рассмотрим построение линии пересечения для одного из указанных
выше случаев на комплексном чертеже.
Рис. 195
186
Пример. Построить линию пересечения конической и цилиндри-
ческой поверхностей, для которых заданы их следы на одной и той же плос-
кости Г (рис. 195).
Применяем дополнительное параллельное проецирование по направ-
лению s образующих цилиндрической поверхности. Строим на плоскости Г
дополнительную проекцию S' вершины S конической поверхности, через
которую пройдут дополнительные проекции всех образующих конической
поверхности.
Прежде всего проводим дополнительные проекции S/—Д, S/—и
S/—3i крайних образующих, в пересечении которых со следом цилиндри-
ческой поверхности получаем дополнительные проекции В/, С/
и Di точек линии пересечения. Проведя через эти проекции обратные лучи
до пересечения с соответствующими горизонтальными проекциями Si—lit
Si—2i и St—3i крайних образующих, получим горизонтальные проекции
Ai, Bi, Ci и Di точек искомой линии пересечения. После этого нетрудно
построить и фронтальные проекции этих точек.
Далее, внутри угла, определяемого дополнительными проекциями край-
них образующих, проводим дополнительные проекции промежуточных
образующих конической поверхности. В пересечении их со следом цилинд-
рической поверхности получим дополнительные проекции произвольных
точек линии пересечения. С помощью обратных лучей найдем основные
проекции этих точек.
При определении произвольных точек линии пересечения необходимо
предварительно построить ее точки видимости. Для этого нужно внутри
угла, определяемого дополнительными проекциями крайних образующих,
провести дополнительные проекции контурных образующих конической
поверхности и проекции тех образующих конической поверхности, которые
пересекаются с контурными образующими цилиндрической поверхности.
На рис. 195 показано построение дополнительных проекций S/—
и Si—5i промежуточных образующих конической поверхности, в пересе-
чении которых со следом цилиндрической поверхности найдены дополни-
тельные проекции Fi и <?/= Я/ точек линии пересечения. По этим
проекциям построены основные проекции точек Е, F, G и Н. Заметим, что
в то время как точки G и Н являются произвольными точками, Е и F яв-
ляются точками видимости1 цилиндрической поверхности для поля П2.
Последовательность соединения отдельных точек линии пересечения
легко устанавливается по ее дополнительной проекции С/—6/—Ai—
Ei—Di—Fi—Bi—Hi'—Ci'. Определение видимости линии пересечения
производится по ее отдельным участкам, заключенным между точками ви-
1 На рис. 195 не показано построение всех необходимых точек и, в частности, не
показано, построение всех точек видимости. В противном случае чертеж был бы не-
удобочитаемым.
187
димости, при этом определяется видимость какой-нибудь промежуточной
точки рассматриваемого участка. Разумеется, что видимой будет только та
точка, которая принадлежит видимым образующим обеих поверхностей.
3. Рассмотрим, как видоизменяется способ дополнительного проеци-
рования, когда у данных поверхностей их следы заданы на разных плос-
костях. Пусть, например, требуется построить линию пересечения приз-
Рис. 196
матической и конической поверхностей, для которых заданы их следы соот-
ветственно на плоскостях 0 и Л (рис. 196).
В этом случае, применив дополнительное параллельное проецирование
по направлению s боковых ребер призматической поверхности, строим две
дополнительные проекции S' и S" вершины S конической поверхности со-
ответственно на плоскостях 0 и Л. Далее находим прямую к пересечения
плоскостей. Тогда, проведя на плоскости Л дополнительные проекции
S"—1 и S"—2 двух произвольных образующих S—1 и S—2 конической
поверхности, легко найти с помощью точки 3 прямой к дополнительные
проекции этих образующих на плоскости©. Отметив точки Д'== В' и C'=D'
пересечения этих проекций со следом призматической поверхности
и проведя через них обратные лучи, получим на образующих S—1 и S—2
точки А, В, С и D, принадлежащие искомой линии пересечения. Таким же
образом могут быть построены и другие точки этой линии и в первую оче-
редь — опорные точки.
188
§ 40. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР
1. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспо-
могательных сфер возможны два случая. В одном из них пользуются сфе-
рами, проведенными из одного, общего для всех сфер центра, а в другом —
сферами, проведенными из разных центров. В
первом случае имеем способ концентрических,
сфер, во втором- способ эксцентрических сфер.
Вначале рассмотрим способ концентрических
сфер, для этого предварительно остановимся на
пересечении соосных поверхностей вращения
(поверхностей вращения с одной осью).
Нетрудно видеть, что две соосные поверхно-
сти вращения пересекаются друг с другом по
окружностям, причем число последних равно
числу точек пересечения меридианов поверх-
ностей .
В самом деле, если одна поверхность образу-
ется вращением меридиана I (12), а другая — ме-
ридиана т (т2) около общей оси i (Z2) (рис. 197),
то общие точки меридианов А (Д2), В (В2) и
С (С2) будут описывать окружности, общие для
данных поверхностей. При этом если общая ось поверхностей вращения па-
раллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут
проецироваться на данную плоскость, в виде отрезков прямых.
Необходимо отметить частный случай пересечения двух соосных поверх-
ностей вращения, когда одна из этих поверхностей является сферой.
Если центр сферы находится на оси
какой-нибудь поверхности вращения, то
сфера соосна с поверхностью вращения и
в их пересечении получатся окружности
(рис. 198)7
Это свойство сферы с центром на оси ка-
кой-либо поверхности вращения и положе-
но в основу способа концентрических сфер.
2. Способ концентричес-
ких сфер. Выясним на примерах
условия, при которых можно построить
линию пересечения двух поверхностей
указанным способом. рис |98
Пример 1. Построить линию пересе-
чения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и / пересекаются в
некоторой точке О и параллельныплоскости проекций П2 (рис. 199).
189
Проведем из точки О пересечения осей данных поверхностей, как из
центра, произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверх-
ностей, эта сфера будет
соосна с данными
ftmcn
Рис. 199
поверхностями. Сфера пересе-
чется с каждой из данных
поверхностей по окружностям.
Эти окружности изобразятся
на плоскости проекций П2
отрезками прямых, что сле-
дует из параллельности осей
данных поверхностей плоско-
сти П2. В пересечении отрез-
ков прямых, изображающих
окружности, мы получим
проекции точек, принадлежа-
щих обеим данным поверх-
ностям, а значит, и искомой
линии пересечения.
Вначале должны быть по-
строены некоторые опорные
точки. Так как обе данные
поверхности имеют общую
плоскость симметрии, парал-
лельную плоскости проекций
П2, то их контурные образую-
щие, по отношению к плоско-
сти П2, пересекаются. Точки
А, В, С V.D пересечения этих
образующих являются точ-
ками видимости линии пере-
сечения поверхностей.
Далее следует определить
радиусы максимальной и ми-
нимальной сфер, пригодных
для отыскания точек линии
пересечения.
Радиус максимальной сфе-
ры /?тах равен расстоянию
удаленной точки пересечения
от проекции 02 центра сфер до наиболее
очерковых образующих, в данном случае до точки А2.
Чтобы определить радиус наименьшей сферы 7?min, необходимо провес-
ти через точку 02 нормали к очерковым образующим данных поверхностей.
Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет 7?min. В этом случае
сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей,
190
a co второй — пересекаться. Если же взять в качестве T?m5n меньший от
резок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется.
В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся
цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверх-
ности по окружности 1—2\ коническую поверхность она пересекает по двум
окружностям 3—4 и 5—6. Точки Е, F и G, Н пересечения этих окружнос-
тей будут точками искомой линии пересече-
ния.
Для построения других точек линии пере-
сечения проводят несколько концентрических
сфер с центром в точке О, причем радиус R
этих сфер должен изменяться в пределах
^min ^тах*
На рис. 199 проведена одна дополнитель-
ная сфера радиуса R. Она пересекает цилин-
дрическую поверхность по окружностям 7—8
и 9—10, а коническую поверхность — по
окружностям 11—12 и 13—14. В пересечении z
этих окружностей получаем точки К, L, М, N
и Р, Q, принадлежащие линии пересечения.
Чтобы построить горизонтальные проек-
ции точек линии пересечения следует вос-
пользоваться окружностями той или другой
из данных поверхностей, содержащими иско-
мые точки. В данном примере удобнее использовать окружности коничес-
кой поверхности, так как они не искажаются на плоскости проекций Пр
Если оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не парал-
лельны какой-либо плоскости проекций, то можно при помощи замены
плоскостей проекций привести их в положение, параллельное новой плос-
кости проекций.
Пример 2. Построить линию пересечения сферы с произвольной
поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плос-
кости с центром сферы С (рис. 200).
Так как из любой точки пространства, за исключением центра сферы С,
можно описать концентрические сферы, пересекающие данную сферу по
окружностям, и из любой точки оси i можно описать концентрические сфе-
ры, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям, то гео-
метрическим местом точек пространства, из которых возможно описать
концентрические сферы, пересекающие по окружностям и данную поверх-
ность вращения и данную сферу, будет ось i поверхности.
191
Таким образом, если из любой точки О (О2) оси i поверхности вращения
описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по
окружностям. Так, на рис. 200 вспомогательная сфера радиуса R пересе-
кает поверхность вращения по окружности 1—2, а данную сферу — по ок-
ружности 3—4 (эти окружности изображаются на плоскости проекций П2
отрезками прямых). Точки М и N пересечения указанных окружностей и
будут точками искомой линии пересечения. Для построения горизонталь-
ных проекций точек линии пересечения можно воспользоваться окружнос-
тями поверхности вращения, которые не искажаются на плоскости проек-
ций Пр
Рассмотренные примеры показывают, что
способ концентрических сфер можно применять для построения линии
пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость сим-
метрии и каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым
ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
В частности, способ концентрических сфер следует применять при по-
строении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пе-
ресекаются.
3. Способ эксцентрических сфер. Указанный способ
построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении
вспомогательных сфер, имеющих различные центры.
Для выяснения условий, при которых можно применять этот способ,
рассмотрим пример, показанный на рис. 201. Как было выяснено, в этом
примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси по-
верхности вращения. Поэтому построе-
ние линии пересечения в этом случае
можно выполнить не только способом
концентрических сфер, но и способом
эксцентрических сфер.
На рис. 201 показано построение
точек линии пересечения данных поверх-
ностей способом эксцентрических сфер.
Здесь проведены четыре сферы радиусов
R1, R2, R3 и R4 из различных центров
О1, О2, О3 и в4, расположенных на оси i
поверхности вращения. Каждая из этих
сфер пересекается с данными поверхно-
стями по окружности, точки пересечения
которых и будут точками линии пересече-
ния поверхностей.
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Построить линию пере-
сечения поверхности тора с конической
Рис. 201
192
поверхностью вращения, имеющих общую фронтальную плоскость симмет-
рии (рис. 202).
Отмечаем точки видимости А и В в пересечении контура поверхности
тора с контуром кони-
ческой поверхности. Для
построения случайных
точек здесь нельзя вос-
пользоваться способом
концентрических сфер,
так как, хотя обе по-
верхности и являются
поверхностями враще-
ния, но их оси z1 и Р не
пересекаются. Способом
же эксцентрических
сфер, центры которых
находятся в различных
точках оси I2 конической
поверхности, можно
найти сколько угодно
случайных точек линии
пересечения.
Действительно, у по-
верхности тора, кроме
семейства окружностей
(параллелей), располс
женных в плоскостях,
перпендикулярных оси
Z1, имеется семейство
окружностей (меридиа-
нов), расположенных в
плоскостях, проходящих
через ось i1. Центры
сфер, пересекающих по-
верхность тора по этим
окружностям, будут на-
ходиться на перпенди- ,
кулярах к плоскостям Рис. 202
этих окружностей, про-
веденных через их центры С1, С2, С3, ... Поэтому если взять центры
эксцентрических сфер в точках О1, О2, О3, ... пересечения этих перпенди-
куляров с осью t2 конической поверхности, то сферы соответствующих ра-
диусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пере-
193
сечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих родной и той же
сфере, и будут точками искомой линии пересечения.
На рис. 202 проведены три эксцентрические сферы из центров О1, О2
и О3, с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения.
Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3—4 поверхности
тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходя-
щей через ось Р (гУ), и из его центра С1 (С2г) восстановлен перпендикуляр
к этой плоскости. В точке О1 (О2Х) пересечения перпендикуляра с осью г2
(z22) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провес-
ти сферу с центром в точке О1 (О2Х) такого радиуса R, чтобы ей принадле-
жала окружность 3—4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность
по некоторой окружности 1—2, определит в пересечении окружностей 1—2
и 3—4 искомые точки М и N.
Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью
графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее па-
раллели. Так, горизонтальные проекции и Nl точек М и N построены
при помощи параллелей f1 и f2 поверхности тора. Точки видимости Р и Q
конической поверхности для плоскости П1 построены приближенно, их
фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии
пересечения и оси i2 конуса.
Рассмотренные примеры показывают, что
способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пе-
ресечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии; каждая
из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей; по ко-
торым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих по-
верхностей.
§ 41. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА.
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
1. Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является
кривой четвертого' порядка1, т. е. эта кривая пересекается с плоскостью
в четырех точках (действительных и мнимых). В частных случаях линия
пересечения поверхностей второго порядка может распадаться, причем
особый интерес представляет случай ее распадания на пару плоских кри-
вых второго порядка.
Для примера рассмотрим пересечение сферы с конической поверхностью
второго порядка, имеющей круговое основание Л В, расположенное на дан-
1 Как известно, порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей
равен произведению порядков поверхностей.
194
ной сфере (рис. 203). В этом случае линия пересечения распадается на две
окружности, данную окружность АВ и окружность CD, которые проеци-
руются на плоскость проекций П2 в виде
отрезков прямых, так как плоскость сим-
метрии конической поверхности параллель-
на плоскости П2.
Выясним условия, при которых линия
пересечения двух поверхностей второго
порядка распадается на пару плоских
кривых второго порядка.
Если две поверхности имеют в какой-
либо их общей точке одну и ту же каса-
тельную плоскость, то они касаются между
собой в этой точке. Когда две пересекаю-
щиеся поверхности имеют две точки, в ко-
торых они касаются друг друга, то говорят,
что такие поверхности имеют двойное при-
косновение.
Линия пересечения двух поверхностей
второго порядка, имеющих двойное при-
косновение, распадается на пару кривых
второго порядка, плоскости которых про-
ходят через прямую, соединяющую точки
прикосновения1.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий
это положение.
Пример. Построить линию пере-
сечения двух цилиндрических поверхнос-
тей вращения одинакового диаметра (рис.
204).
Данные поверхности имеют двойное
прикосновение в точках А и В, так как
в этих точках обе поверхности имеют общие
касательные плоскости Ф1 и Ф2. Поэтому
линия их пересечения распадается на пару
кривых второго порядка, которые должны
проходить через точки прикосновения А,
В и точки С, F и D, Е пересечения кон-
турных образующих.
Нетрудно видеть, что линия пересече-
ния в данном случае будет представлять
1 Доказательство этого положения см. в книге «Курс начертательной геометрии»,
под ред. Н. Ф. Четверухина, 1963, стр. 304.
195
собой два одинаковых эллипса, большие оси которых будут CF и DE, а
малые — АВ. Эти эллипсы проецируются на плоскость Й2 в отрезки пря-
мых С2Р2 и D2E2, а на плоскость П1 в окружность, совпадающую с проек-
цией одной из цилиндрических
поверхностей.
2. Теорема о двойном прикосновении
позволяет весьма просто строить круговые
сечения тех поверхностей второго поряд-
ка, которые их имеют. Для этого следует
провести сферу, имеющую двойное прикос-
новение с данной поверхностью. Тогда ли-
ния их пересечения распадается на пару
плоских кривых. Но так как плоские кри-
вые, расположенные на сфере, окружности,
то этим самым будут найдены круговые се-
чения поверхности второго порядка. Итак,
для построения круговых сечений по-
верхностей второго порядка следует провес-
ти сферу, имеющую двойное прикосновение
с данной поверхностью, тогда линия их
пересечения даст пару круговых сечений
данной поверхности.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить круговые се-
чения эллиптического цилиндра (рис. 205).
Из какой-либо точки О оси цилиндра
описываем сферу так, чтобы она касалась
двух образующих цилиндра и пересекала
бы его. Точки касания М и N будут точ-
ками соприкосновения обеих поверхностей,
так как в них можно провести общие ка-
сательные плоскости Ф1 и Ф2. Таким об-
разом. имеем двойное прикосновение по-
верхностей второго порядка, и, следовательно, линия пересечения рас-
падается на пару плоских кривых, в данном случае — на пару окруж-
ностей АВ и CD, расположенных во фронтально проецирующих плос-
костях. Полученные два круговых сечения цилиндра входят в две серии
круговых сечений цилиндра, параллельных между собой.
Пример 2. Построить круговые сечения эллиптического конуса
(рис. 206).
Как и в предыдущем примере, описываем сферу с центром в точке О на
оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом. В точ-
ках М и N у обеих поверхностей общие касательные плоскости 21 и 22.
Тогда линия пересечения распадается на пару окружностей АВ и CD, рас-
196
положенных во фронтально проецирующих плоскостях. Полученные кру-
говые сечения входят в две серии круговых сечений конуса, параллельных
между собой.
Пример 3. Построить круговые сечения трехосного эллипсоида
(рис. 207).
Описываем сферу с центром в точке О и радиусом, равным средней полуоси
эллипсоида. Тогда имеем двойное прикосновение в точках М и N, и, сле-
Рис. 206
довательно, линия пересечения распадается
на пару окружностей АВ и CD. Получен-
ные два круговых сечения проходят через
центр эллипсоида и поэтому называются
центральными. Они входят в две серии
круговых сечений эллипсоида, параллель-
ных между собой.
3. Не всегда удается непосредственно
обнаружить двойное прикосновение у пере-
секающихся поверхностей второго поряд-
ка, тогда для установления распадения
линии их пересечения пользуются сле-
дующим положением.
Если две поверхности второго порядка
описаны около третьей поверхности второ-
го порядка (или вписаны в нее), то линия
их пересечения распадается на две плоские
кривые второго порядка.
Рис. 207
197
Это положение, известное как теорема Монжа, является следствием
из положения о двойном прикосновении. Покажем на следующем примере.
Пример. Построить линию пересечения конической и цилиндричес-
кой поверхностей, описанных около одной и той же сферы (рис. 208).
Линией прикосновения конической поверхности и сферы будет окруж-
ность 1—2, а цилиндрической поверхности и сферы — окружность 3—4.
Точки М и N пересечения этих окружностей и будут точками двойного при-
косновения конической и цилиндрической поверхностей, так как в этих
точках у этих поверхностей будет общая касательная плоскость.
Таким образом, имеем двойное прикосновение данных поверхностей и,
следовательно, линия их пересечения распадается на пару плоских кривых
второго порядка. В рассматриваемом примере линия пересечения распада-
ется на пару эллипсов АВ и CD, фронтальные проекции которых изобража-
ются отрезками прямых А2В2 и C2D2.
4. Рассмотрим применение теоремы Монжа при конструировании тру-
бопроводов, выполняемых из листового материала.
Пример. Построить переходные конические поверхности, соединяю-
щие данные цилиндрические трубы /, // и ///, оси которых находятся в
одной фронтальной плоскости (рис. 209). Если вписать в каждую из дан-
ных труб сферу, то каждая пара сфер, вписанных в трубы I, II и III,
определит переходные конические поверхности IV и V, касательные к этим
сферам. При построении линий пересечения данных и переходных поверх-
ностей следует учесть теорему Монжа, из которой следует, что искомые
линии пересечения будут плоскими кривыми (эллипсами). Фронтальные
проекции этих линий будут отрезками прямых А2С2, В2С2, C2D2, E2F2 и
G2H2, определяемых точками пересечения очерковых образующих.
Глава VIII
РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 42. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЕРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки,
можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверх-
ность совмещается с плоскостью без складок и разрывов. Следует указать,
что далеко не каждая поверхность допускает такое преобразование. Ниже
будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плос-
костью при помощи изгибания, без растяжения и сжатия.
Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются
развертывающимися, а фигура на плоскости, в которую поверхность
Рис. 210
преобразуется, называется раз-
верткой поверхности.
Построение разверток поверх-
ностей имеет большое практи-
ческое значение при конструи-
ровании различных изделий из
листового материала. При этом
необходимо отметить, что часто
приходится изготовлять из лис-
тового материала не только
развертывающиеся поверхности,
но и неразвертывающиеся по-
верхности. В этом случае нераз-
вертывающуюся поверхность
разбивают на части, которые
можно приближенно заменить
развертывающимися поверхно-
стями, а затем строят развертки
этих частей. Более подробно это
будет показано дальше на от-
дельных примерах.
199
2. Дадим более строгое определение развертывающейся поверхности
и ее развертки, которое позволит рассмотреть геометрические свойства
этих понятий. _
Поверхность 2 называется развертывающейся на плоскость Q, если
между их точками М и М (рис. 210) можно установить взаимно однозначное
соответствие, при котором сохраняются длины линий, расположенных на
поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограничен-
ных замкнутыми линиями.
Таким образом, если обратиться к рис. 210, то будем иметь, что длина s
дуги АВ равна длине s дуги АВ, угол <р равен углу1 <р и площадь F равна
площади F.
Нетрудно видеть, что указанные свойства вытекают из представления
поверхности в виде нерастяжимой пленки, и поэтому при ее изгибании со-
храняются все эти свойства.
Если какой-нибудь дуге CD, расположенной на поверхности, соответ-
ствует на развертке отрезок прямой CD, то дуга CD будет кратчайшей из
всех дуг на поверхности, проведенных между точками С и D.
Кратчайшие линии на поверхности называются геодезическими линиями.
3. Выясним теперь, какие виды поверхностей принадлежат к типу раз-
вертывающихся. Очевидно, что к этому типу относятся все многогранные
поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская
фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же пло-
скостью всех ее граней. Поэтому построение развертки многогранной по-
верхности сводится к определению натурального вида ее отдельных граней.
Из кривых поверхностей к числу развертывающихся относятся только
те линейчатые поверхности, у которых касательная плоскость касается
Рис. 211
1 Углом между двумя кривыми называется угол между их касательными. Геомет-
рическое преобразование, в котором сохраняются углы, называется конформным.
200
поверхности во всех точках ее прямолинейной образующей1. Иначе говоря,
у развертывающейся линейчатой поверхности касательная плоскость во
всех точках одной и той же образующей постоянна. Если же у линейчатой
поверхности в различных точках одной и той же образующей разные каса-
тельные плоскости, то она не развертывается и называется косой поверх-
ностью.
Таким образом,
к числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилинд-
рические (рис. 211, а), конические (рис. 211, б) и торсы (рис. 211, в).
Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость
и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листо-
вого материала их приближенно заменяют развертывающимися поверх-
ностями.
§ 48. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПИРАМИДАЛЬНЫХ, КОНИЧЕСКИХ
И ДРУГИХ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИСКЛЮЧАЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
1. Построение разверток указанных поверхностей приводит к много-
кратному построению натурального вида треугольников, из которых со-
стоит данная пирамидальная поверхность или многогранная поверхность,
вписанная (или описанная) в данную коническую или линейчатую поверх-
ность, которой заменяется эта поверхность. Так как этот способ приводит
к разбивке поверхности на треугольники, то он называется способом тре-
угольников (триангуляция).
2. Покажем применение этого способа для пирамидальных поверхно-
стей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки
таких поверхностей можно считать точными.
Пример. Построить полную развертку поверхности части треуголь-
ной пирамиды SABC, заключенной между плоскостью основания и секущей
фронтально проецирующей плоскостью S (рис. 212).
Вначале следует построить развертку боковой поверхности всей пира-
миды SABC. Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками,
то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих
треугольников. Для этого предварительно должны быть определены нату-
ральные величины боковых ребер. Боковые ребра можно определить при
помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним ка-
тетом является превышение точки S над точками А, В и С, а вторым кате-
том — отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующего бо-
кового ребра.
1 Этот признак развертывающейся линейчатой поверхности устанавливается в
курсе дифференциальной геометрии.
201
Так как стороны нижнего основания являются горизонталями, то их
натуральные величины можно измерить на плоскости проекций Пр
После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем
сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде
'Ч
в
Рис. 212
ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S.
Для нанесения на развертку точек D, Е и F, соответствующих верши-
нам D, Е и F сечения пирамиды плоскостью S, нужно предварительно
определить их натуральные расстояния от вершины S, для чего следует
перенести точки D, Е и F на соответствующие натуральные величины бо-
ковых ребер.
202
После построения развертки боковой поверхности усеченной части пи-
рамиды следует пристроить к ней треугольники АВС и DEF, являющиеся
натуральными видами оснований усеченной пирамиды.
3. Рассмотрим построение разверток конических поверхностей. Несмот-
ря на то что конические поверхности являются развертывающимися и, сле-
довательно, имеют теоретически точные развертки, практически строят
их приближенные развертки, пользуясь способом треугольников. Для этого
заменяют коническую поверхность вписанной в нее поверхностью пирамиды.
Пример 1. Построить развертку боковой поверхности эллиптичес-
кого конуса с круговым основанием (рис. 213).
В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью
вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверх-
Рис. 213
'203
ность имеет плоскость симметрии S, то можно построить развертку только
одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности
основания конической поверхности на шесть равных частей и определив
с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образую-
щих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к
другому треугольников с общей вершиной 8. Каждый из этих треугольни-
ков строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным
величинам образующих, а третья — хорде, стягивающей дугу окружно-
сти основания между соседними точками деления. После этого через точки О,
1, 2, ... разогнутого по способу хорд основания конической поверхности
проводится плавная кривая.
Если на развертке надо нанести какую-либо точку М, находящуюся
на поверхности конуса, то следует предварительно построить точку М* на
гипотенузе 82—7* прямоугольного треугольника, с помощью которого оп-
ределена натуральная величина образующей 8—7, проходящей через точ-
ку М. После этого следует провести на развертке прямую 8—7, определив
точку 7 из условия равенства хорд 2t—= 2—7, и на ней отложить рас-
стояние SM = S2M*.
П р и м е р 2. На поверхности данного конуса вращения провести гео-
дезическую линию между ее точками А и В (рис. 214).
Чтобы провести искомую геодезическую линию, необходимо предвари-
тельно построить развертку боковой поверхности конуса. Этой разверткой
является круговой сектор, радиус которого равен натуральной величине
образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания
конуса. Практически дугу сектора определяют при помощи ее хорд,
которые принимают равными хордам, стягивающим дуги основания кону-
са. Иначе говоря, поверхность конуса заменяется поверхностью вписан-
ной пирамиды.
Так как точки А и В расположены на передней половине поверхности
конуса, то на рис. 214 построена развертка только этой половины поверх-
ности. При помощи образующих 8 — 7 и 8 — 8, на которых лежат точки А и
и В, найдены соответствующие им точки Л и В на развертке; при этом пред-
варительно на очерковой образующей 82 — 02, являющейся натуральной
величиной образующих конуса, определены натуральные величины 82Л*
и 82В* расстояний точек Л и В от вершины 8 конуса.
Если теперь соединить на развертке точки Л и В отрезком прямой, а
затем отметить на нем точки С, D и Е пересечения с прямыми 8 — 2,8 — 3
и 8—4, соответствующими образующим 8—2, 8—3 и 8—4, то можно пост-
роить искомую геодезическую линию при помощи точек С, D и Е. Для этого
предварительно нужно построить на очерковой образующей конуса вспо-
могательные точки С*, D* и В*, расстояния которых от вершины конуса
204
равны расстояниям точек С, D и Е отточки S, а затем перенести эти вспо-
могательные точки на соответствующие образующие конуса.
При построении горизонтальной проекции Di точки D, расположенной
на профильной образующей S—3, сначала найдена точка на проекции
Рис. 214
St — Oi очерковой образующей конуса, которая затем повернута до совме-
щения с проекцией St—профильной образующей.
4. Рассмотрим построение приближенных разверток неразвертываю-
щихся линейчатых поверхностей при помощи замены их вписанными мно-
гогранными поверхностями, состоящими из треугольников.
Покажем это на следующем примере.
Пример. Построить развертку поверхности цилиндроида, у которого
направляющими являются две одинаковые окружности, причем одна из
них расположена в горизонтальной плоскости, а другая — в профильной,
и плоскостью параллелизма является плоскость проекций П2 (рис. 215).
205
Так как поверхность данного цилиндроида имеет плоскость симметрии,
то можно ограничиться построением развертки только одной половины
поверхности.
Заменим данную поверхность вписанной в нее многогранной поверх-
ностью, состоящей из треугольников. Для этого проводим образующие
О—7,1—8,2—Рит. д., учитывая, что в данном примере они являются
фронталями. Концы образующих на горизонтальной окружности можно
найти непосредственно делением половины этой окружности на шесть рав-
ных частей, а концы на профильной окружности — с помощью замены плос-
кости П4 на Пз и построения натурального вида этой окружности. Далее,
каждый элемент поверхности, ограниченный смежными образующими,
разделим на два треугольника. Так элемент, ограниченный образующими
О—7 и 1—8, разделим на треугольники 0—7—8 и 0—1—8, ... и т. д. Пост-
роив натуральные виды этих треугольников так же, как это было сделано
206
в примере 1 (см. рис. 213), и проведя через их вершины плавные кривые,
получим приближенную развертку поверхности цилиндроида.
Чтобы нанести на развертке какую-нибудь точку Л4, находящуюся на
поверхности цилиндроида, необходимо провести на развертке прямую
14—15, соответствующую образующей 14—15, на которой находится точ-
ка М, и на ней отложить расстояние 15—М = 152—М2.
§. 44. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
1. Построение разверток указанных поверхностей приводит, в общем
случае, к многократному построению натурального вида трапеций, из ко-
торых состоит данная призматическая поверхность, или призматическая
поверхность, вписанная (или описанная) в данную цилиндрическую по-
верхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или ци-
линдрическая поверхности ограничены параллельными основаниями, то
трапеции, на которые разбивается поверхность, обращаются в прямоуголь-
ники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или
нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности.
Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести
по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки ос-
нований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построении раз-
вертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо пред-
варительно определить натуральный вид нормального сечения данной по-
верхности. Стороны этого сечения, в случае призматической поверхности,
и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит
поверхность. В случае цилиндрической поверхности высотами будут хор-
ды, стягивающие дуги нормального сечения, на которые разделена кривая,
ограничивающая это сечение.
Так как указанный способ требует построения нормального сечения,
то он называется способом нормального сечения.
2. Покажем применение этого способа для призматических поверхнос-
тей. Если пренебречь графическими ошибками, то построенные развертки
этих поверхностей можно считать точными.
Пример. Построить полную развертку поверхности треугольной
призмы ABCDEF (рис. 216).
Пусть данная призма расположена относительно плоскостей проекций
так, что ее боковые ребра являются фронталями. Тогда они проецируются
на плоскость проекций П2 в натуральную величину, и фронтально прое-
цирующая плоскость S (S2)» перпендикулярная к боковым ребрам, опре-
делит нормальные сечение PQ/? призмы. Построив натуральный вид PiQ^Rt
207
этого сечения, найдем натуральные величины P4Q4, Q47?4 и Т?4Р4 высот па-
раллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы.
Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны
нормального сечения им перпендикулярны, то из свойства сохранения уг-
лов на развертке следует, что на развертке призмы боковые ребра будут
также параллельны между собой, а стороны нормального сечения развер-
Рис. 216
нутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы нужно
отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормаль-
ного сечения, а затем через ,их концы провести прямые, перпендикулярные
к этой прямой. Если теперь отложить на этих перпендикулярах по обе сто-
роны от прямой РР отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости про-
екций П2, и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков,
то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой
развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.
Для построения на развертке точки М, принадлежащей поверхности
призмы, необходимо на прямой РР отложить отрезок Р—1 = Рь—h и
через точку 1 провести прямую, параллельную боковым ребрам, на которой
отложить от прямой РР отрззок 1—М = 12—М2.
208
Если боковые ребра данной призмы имели бы произвольное распол<же-
ние относительно плоскостей проекций, то нужно было бы предварительно
преобразовать их в прямые уровни.
3. Рассмотрим построение разверток цилиндрических поверхностей.
Хотя цилиндрические поверхности являются развертывающимися, прак-
тически строят приближенные развертки, заменяя их вписанными призма-
тическими поверхностями.
Пример 1. Построить развертку боковой поверхности эллипти-
ческого цилиндра (рис. 217).
Для построения искомой развертки заменяем данную поверхность впи-
санной в нее призматической поверхностью. Так как цилиндрическая по-
верхность имеет фронтальную плоскость симметрии, то можно построить
развертку только одной половины поверхности. Для этого проводим фрон-
тально проецирующую плоскость S перпендикулярно образующим ци-
линдрической поверхности и при помощи замены плоскости проекций llt
на П4 строим натуральный вид половины нормального сечения данной по-
верхности. Дугу полуэллипса, который при этом будет получен, делим на
шесть частей, так чтобы хорды, стягивающие эти части, возможно меньше
отличались от дуг полуэллипса.
209-
Далее проводим на поверхности цилиндра образующие, соответствую-
щие точкам деления нормального сечения. Тогда поверхность половины
цилиндра разобьется на шесть трапеций, так как плоскости оснований ци-
линдра не параллельны между собой. Основаниями этих трапеций будут
натуральные величины образующих (они могут быть измерены на плос-
кости П2), а высотами будут соответствующие хорды, стягивающие дуги,
нормального сечения (они измеряются на плоскости Ш).
После этого построение развертки выполняется так же, как и в преды-
дущем примере, только вершины построенных на развертке трапеций сле-
дует соединить не отрезками прямых, а плавными кривыми.
На рис. 217 показано также построение на развертке точки М, принад-
лежащей данной поверхности. Для этого на развертке проведена соответ-
ствующая образующая и на ней отложен от развертки кривой, ограничи-
вающей нормальное сечение, отрезок 7—М = 72—М2.
Пример 2. Построить развертку цилиндрической трубы кругового
сечения, состоящей из трех элементов /, // и III, расположенных фрон-
тально (рис. 218).
Для построения более рациональной развертки всех элементов данной
трубы предварительно отнимем элементы / и /// от элемента // и повернем
их вокруг своих осей на 180°. Если теперь приставить обратно элементы I
и III к элементу II так, чтобы совпали эллипсы, по которым пересекаются
данные элементы (новые положения этих элементов показаны штрих-пунк*
210
тирными линиями), то все три элемента составят один цилиндр, на поверх-
ности которого проведены два эллипса.
Справедливость этого утверждения следует из рассмотрения углов а,
Нетрудно видеть, что а + у = 180°, но а = |3, так как равны между
Р и Т. диаметры элементов трубы; поэтому р 4- у = 180°.
Построив развертку спрямленной трубы в виде прямоугольника и на-
неся на ней развертки эллипсов, получим наиболее экономную разметку
разверток всех элементов трубы.
Аналогично строится развертка цилиндрической трубы, имеющей не
олоскую, а пространственную ось.
§. 45. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
1. -Построение разверток развертывающихся поверхностей вращения,
а именно, конуса и цилиндра вращения, было уже рассмотрено выше
(см. рис. 214 и 218), поэтому нам остается рассмотреть только построение
разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
Способ построения этих разверток состоит в том, что данную поверх-
ность вращения разбивают с помощью меридианов на сравнительно узкие,
равные между собой доли. Каждую такую долю заменяют описанной ци-
линдрической поверхностью, которая касается данной поверхности в точ-
как среднего меридиана доли. Этот средний меридиан будет вместе с тем
нормальным сечением цилиндрической поверхности. Границами цилинд-
рической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рас-
сматриваемую долю.
2. Покажем применение указанного способа при построении разверток
сферы и поверхности кольца.
Пример 1. Построить развертку данной сферы (рис. 219).
Разобьем сферу при помощи меридианов на шесть равных частей.
Рассмотрим построение приближенной развертки одной части сферы,
средним меридианом которой является главный меридиан f. Прежде всего
заменим эту часть сферы цилиндрической поверхностью, описанной около
Образующие этой поверхности будут фронтально проецирующими
прямыми и поэтому проецируются в натуральную величину на плоскость
проекций Пр Нормальным сечением цилиндрической поверхности будет
половина главного меридиана f, а границами поверхности будут плоскости
меридианов, ограничивающих рассматриваемую часть.
Для построения развертки этой цилиндрической поверхности заменяем
ее вписанной призматической поверхностью. Для этого делим половину
главного меридиана на шесть равных частей и через точки деления прово-
дим образующие цилиндрической поверхности. Затем спрямляем полуме-
ридиан f в отрезок прямой и через его точки деления проводим перпенди-
211
кулярно к нему образующие EF = EF = Е^ь CD — CD = CJD^ и т- Д-
Соединив концы этих образующих плавными кривыми, получим прибли-
женную развертку одной доли данной сферы, равной 1/6 ее части. Разверт-
ки остальных долей являются повторением первой.
Обычно сферу разбивают на двенадцать и более частей для получения
более точной ее развертки.
Рис. 219
Чтобы нанести на развертке точку М, принадлежащую сфере, нужно
предварительно повернуть ее до совмещения с главным меридианом f, за-
тем измерить на П2 расстояние от повернутого положения точки М до бли-
жайшего деления меридиана f и измерить на расстояние от точки М
до проекции среднего меридиана доли, на которой находится точка М. При
помощи этих двух расстояний строим на развертке нужной доли точку М
соответствующую данной точке М.
Для построения какой-нибудь линии на развертке сферы наносят точки
этой линии, расположенные на среднем и крайних меридианах каждой
доли, в которых проходит указанная линия. На рис. 219 показано нане-
.212
сение на развертке сферы точек N и К, соответствующих точкам N и К,
расположенным на крайнем и среднем меридианах второй доли сферы.
Пример 2. Построить развертку поверхности кольца (рис. 220).
Разобьем поверхность кольца при помощи меридианов на двенадцать
равных частей и построим приближенную развертку одной части. Заменяем
поверхность этой части, описанной цилиндрической поверхностью, нор-
мальным сечением которой будет средний меридиан рассматриваемой части
кольца. Если теперь спрямить этот меридиан в отрезок прямой и через точ-
ки деления провести перпендикулярно к нему образующие цилиндрической
поверхности, то, соединив их концы плавными кривыми, получим прибли-
женную развертку 1/12 части поверхности кольца.
Нанесение на развертке поверхности кольца каких-нибудь ее точек
производится точно так же, как и в случае нанесения точек на развертке
сферы.
213
3. В заключение покажем построение развертки поверхности одной
технической детали, изготовляемой из листового материала.
На рис. 221 изображена поверхность, с помощью которой осуществля-
ется переход с квадратного сечения на круглое. Эта поверхность состоит
из двух конических поверхностей /, двух конических поверхностей //, двух
плоских треугольников III и плоских треугольников IV и V.
Рис. 221
Для построения развертки данной поверхности нужно предварительно
определить натуральные величины тех образующих конических поверх-
ностей / и II, с помощью которых эти поверхности заменяются совокуп-
ностью треугольников. На вспомогательном чертеже по способу прямо-
угольного треугольника построены натуральные величины этих образую-
щих. После этого строят развертки конических поверхностей, а между ними
в определенной последовательности строят треугольники III, IV и V, на-
туральный вид которых определяется по натуральной величине их сторон.
На чертеже (рис. 221) показано построение развертки одной половины
отданной поверхности, при этом поверхность разрезана по высоте треуголь-
ника V.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................... 4
§ I. Предмет и метод начертательной геометрии ....................... 4
§ 2. Краткие сведения по истории развития начертательной геометрии . 5
Принятые обозначения ................................................ 9
Глава I.
Комплексный чертеж точки, прямой и плоскости.
Основные позиционные задачи .................................... 11
§ 3. Основные свойства проецирования ................................ 11
§ 4. Комплексный чертеж точки .................................... 16
§ 5. Комплексный чертеж прямой ................................... 19
§ 6. Комплексный чертеж плоскости ................................ 25
§ 7. Комплексный чертеж из трех ортогональных проекций и прямоугольная
система координат в пространстве ............................... 27
§ 8. Прямые и плоскости частного положения .......................... 31
§ 9. Условия видимости на комплексном чертеже ....................... 42
§ 10. Основные позиционные задачи .................................... 44
Г лава II.
Изображение многогранников и позиционные задачи на многогранники
§11. Изображение многогранников ............................. 60
§ 12. Пересечение многогранника с плоскостью ......................... 61
§ 13. Пересечение многогранника с прямой ............................. 65
§ 14. Взаимное пересечение многогранников ............................ 67
Глава III.
Перпендикулярность прямых и плоскостей 72
Метрические задачи ............................................. 72
§ 15. Ортогональная проекция прямого угла ............................ 75
§ 16. Прямые наибольшего уклона плоскости ............................ 77
§ 17. Перпендикулярность прямой и плоскости .......................... 79
§ 18. Взаимная перпендикулярность плоскостей ......................... 81
§ 19. Взаимная перпендикулярность прямых общего
положения ............................................
Глава IV.
Способы преобразования комплексного чертежа .................... 84
§ 20. О преобразовании комплексного чертежа ......................... 84
§21. Основы способа замены плоскостей проекций ...................... 85
§ 22. Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций 89
§ 23. Способ вращения вокруг проецирующей прямой ...................... 97
§ 24. Способ вращения вокруг прямой уровня (способ совмещения) . . . 105
§ 25. Способ дополнительного проецирования ........................... 111
Глава V.
Кривые линии и поверхности ........................................цд
§ 26. Кривые линии и их проекции ..............................118
§ 27. Образование, задание и изображение поверхностей ..................125
§ 28. Поверхности вращения .............................................127
§ 29. Линейчатые поверхности ............................135
§ 30. Поверхности второго порядка ..............................143
§ 31. Винтовые поверхности .............................................145
§ 32. Циклические и топографические поверхности ........................147
Глава VI.
Пересечение поверхностей с плоскостью и с прямой. Касательные плоскости 150
§ 33. Пересечение поверхностей с плоскостью ........... 150
§ 34. Примеры построения линий пересечения поверхностей с плоскостью 152
§ 35. Пересечение поверхностей с прямой ............................... 165
§ 36. Плоскости, касательные к поверхностям ........................... 170
Глава VII.
Взаимное пересечение поверхностей ............................... 175
§ 37. Общие сведения о способах построения линии взаимного пересечения двух
поверхностей ............................................. 175
§ 38. Способ вспомогательных проецирующих плоскостей (способ конкуриру-
ющих линий) .............................................177
§ 39. Способ вспомогательных плоскостей общего положения (способ дополни-
тельного проецирования). ........... .... 183
§ 40. Способ вспомогательных сфер . . ................189
§ 41. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка. Особые случаи пе-
ресечения 194
Глава VIII.
Развертки поверхностей 199
§ 42. Общие понятия о развертывании поверхностей .......................199
§ 43. Построение разверток пирамидальных, конических и других линейчатых
поверхностей, исключая цилиндрические ..................................201
§ 44. Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей 207
§ 45. Построение разверток поверхностей вращения .......................211
Глава IX.
Аксонометрические проекции .......................................215
§ 46. Общие сведения 215
§ 47. Ортогональная аксонометрическая проекция .........................221
§ 48. Стандартные аксонометрические системы ............................225
§ 49. Примеры построений стандартных аксонометрий ......................233
Содержание .......................................«... 239