Библиотека
«Математическое просвещение»
Выпуск 9
Б. П. Гейдман
Площади
многоугольников
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ЦЕНТРА
НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКВА • 2001

УДК 514.11
Г27
ББК 22.151.0
Аннотация
Брошюра посвящена вычислению площадей прямоугольни¬
ка, треугольника, параллелограмма, трапеции и других много¬
угольников. Рассмотрены решения 20 задач, сгруппированных
вокруг следующих вопросов:
—	равновеликость и равносоставленность многоугольников;
—	медиана делит треугольник на два треугольника равной пло¬
щади;
—	разрезание треугольника и выпуклого четырёхугольника на
две равновеликие части.
Приведены 16 задач (с ответами и указаниями) для самосто¬
ятельного решения.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку
записи лекции, прочитанной автором для школьников 8-11 клас¬
сов 21 октября 2000 года на Малом мехмате.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересу¬
ющихся математикой: школьников, учителей...
ISBN 5-900916-72-3
Гейдман Борис Петрович
Площади многоугольников
(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"»)
М.: МЦНМО, 2001. — 24 с.: ил.
Главный редактор серии В. М. Тихомиров.
Редакторы А. А. Ермаченко, Е. Н. Осьмова.	Техн, редактор М. Ю. Панов.
Лицензия ИД № 01335 от 24/Ш 2000 года. Подписано к печати 10/1 2001 года.
Формат бумаги 60 х 88 Vie- Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 1,50.
Усл. печ. л. 1,50. Уч.-изд. л. 1,38. Тираж 1500 экз. Заказ 4041.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11.
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ.
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554-21-86.

В брошюре рассматриваются задачи на площадь многоугольни¬
ка. В первую группу вошли задачи, для решения которых не требует¬
ся применения аналитического аппарата, достаточно знания основ¬
ных свойств площади: равные плоские фигуры имеют одну и ту же
площадь; площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых
она составлена.
Решения второй группы задач используют в качестве основного
тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих тре¬
угольника.
Решения третьей группы задач опираются на формулу для вычи¬
сления площади треугольника.
Понятие площади многоугольника
Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие поло¬
жительное число S (площадь) так, чтобы выполнялись следующие
свойства:
I.	Равные многоугольники имеют равные площади.
II.	Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не
имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
III.	Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, рав¬
на 1 (единице измерения площадей).
Иными словами, площадь — это функция, заданная на множе¬
стве многоугольников, принимающая только положительные значе¬
ния и удовлетворяющая условиям I, II, III.
Примем без доказательства, что площадь многоугольника суще¬
ствует*).
Площадь прямоугольника
Докажем (выведем из свойств I, II, III), что площадь прямоуголь¬
ника равна произведению длин его сторон.
Пусть а и & — длины сторон прямоугольника.
Доказательство теоремы существования площади многоугольника довольно
сложное. Оно содержится, например, в статье В. Г. Болтянского «О понятиях
площади и объёма» (см. раздел «Литература», с. 24).
3

A.	Если а и & — целые числа, разделим стороны прямоугольника
соответственно на а и & равных частей и разобьём прямоугольник на
ab квадратов со стороной 1 (рис. 1). Площадь каждого из квадратов
равна 1 в силу аксиомы III, значит, площадь всего прямоугольника
равна ab в силу аксиомы II.
Б. Пусть длины сторон прямоугольника выражены конечными
десятичными дробями, скажем, а = а0,а1а2...аге, b = b0,b1b2...bn, где
а0 и Ьо — целые числа, ах, а2, ..., ап и &х, Ь2, ..., Ъп — цифры от 0 до 9.
(Мы можем считать, что а и & имеют одинаковое число цифр после
запятой, в противном случае припишем справа к одному из чисел
необходимое количество нулей.)
Возьмём единичный квадрат и каждую его сторону разделим
на 10" равных частей. Весь квадрат разобьём на 102" маленьких
квадратиков (рис. 2), которые в силу аксиомы I имеют одинаковую
площадь SM к . По аксиоме II площадь единичного квадрата равна
102">SM к . И так как по аксиоме III эта площадь равна 1,
С _	1	_ 1 n-2/l
К. -£Q2n
Числа а • 10" и b -10" — целые. Делим стороны прямоугольника
на а • 10" и b • 10" равных частей соответственно. Прямоугольник
разбиваем на ab • 102" равных маленьких квадратиков (рис. 3), и в
силу аксиомы II площадь прямоугольника равна
ab • 102" • к. = ab • 102" • 10"2" = ab.
B.	Рассмотрим теперь общий случай, когда аиЬ — бесконечные
десятичные дроби:
а = ап,а1а2...ап... и b = b0,b1b2...bn...
Возьмём рациональные приближения чисел а и b по недостатку, т. е.
а0, ах а2... ап и b0, bt b2... Ьп. Прямоугольник с такими сторонами являет¬
ся частью прямоугольника со сторонами а и Ь: это следует из свойств
длины отрезков. Также рассмотрим прямоугольник со сторонами
a0,aia2—an + Ю-" и b0,bib2...bn + 10_" (это приближения чисел а и &
по избытку); он будет содержать исходный прямоугольник (рис. 4).
Используя аксиому II, несложно получить, что площадь данного пря¬
моугольника удовлетворяет условию
a0,ai...are • ba,bx...bn <S< (а0,а1...ап + 10"") • (&0,+ 10"").
При неограниченном увеличении п левая и правая части этого не¬
равенства стремятся к одному и тому же действительному числу ab.
А это значит, что площадь данного прямоугольника также равна ab.
4

10n
10n
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 3
&0,&1&2...&n + 10“n
5

Площадь треугольника, параллелограмма,
ТРАПЕЦИИ И ЛЮБОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
А.Площадь прямоугольного треугольника. Достроим
его до прямоугольника (рис. 5). Диагональ прямоугольника делит его
на два равных треугольника, и из аксиом I и II следует, что площадь
треугольника равна половине площади прямоугольника.
Б. Если же треугольник не прямоугольный, то его
можно представить в виде объединения (рис. 6) или разности
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
(рис. 7) двух прямоугольных треугольников. Следовательно, пло¬
щадь единственна*) на множестве всех треугольников.
В. Площадь параллелограмма, тра¬
пеции, произвольного многоугольни¬
Рис. 8	Рис. 9
к а тоже единственна: это следует из свойств площади и из единствен¬
ности площади произвольного треугольника (рис. 8, 9, 10).
Задачи о равновеликих фигурах
Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую
площадь.
В решениях этих задач не используются формулы для вычисле¬
ния площадей (треугольников, параллелограммов, трапеций) — мы
опираемся только на основные свойства площади, т. е. на аксиомы I,
II, III.
*) То есть существует не более одной функции S (площадь), удовлетворяющей акси¬
омам I, II, III.
6

Задача 1. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точкам.
Площадь треугольника ВМС равна S (рис. 11). Какова площадь
параллелограмма?
Решение. Проведём через точку М прямую, параллельную сто¬
роне АВ (рис. 12). Треугольники AM В и NBM равны; треугольники
CMD и MCN также равны. Таким образом, площадь незаштрихован-
ной части параллелограмма равна площади заштрихованной, поэто¬
му площадь всего параллелограмма равна 2S.	□
AM D
Рис. 12
Задача 2. Пусть теперь точка М взята внутри параллелограмма
и соединена со всеми его вершинами (рис. 13). Площадь заштри¬
хованной части параллелограмма равна S. Чему равна площадь
параллелограмма?
Решение. Как и в предыдущей задаче, проведя через точку М
прямые, параллельные сторонам (рис. 14), убеждаемся, что площадь
незаштрихованной части параллелограмма равна площади заштри¬
хованной, а площадь всего параллелограмма равна 2S.	□
Задача 3. Параллелограммы ABCD и A'BCD', у которых стороны
AD и A'D' лежат на одной прямой, равновелики (рис. 15).
Рис. 15
Решение. Трапеция ABCD' есть, с одной стороны, объедине¬
ние треугольника АВА' и параллелограмма A'BCD' (рис. 16), с другой
стороны, объединение треугольника DCD' и параллелограмма ABCD;
треугольники АВА и DCD' равны.	□
7

Задача 4. Дан параллелограмм ABCD. Рассмотрим новый па¬
раллелограмм, у которого одна вершина совпадает с вершиной В,
соседняя с ней вершина М лежит на стороне AD, а сторона KL,
противоположная стороне ВМ, лежит на прямой, проходящей че¬
рез вершину С (рис. 17). Докажите, что параллелограммы ABCD и
BKLM равновелики.
Решение. Можно считать (см. предыдущую задачу), что
сторона KL содержит точку С (рис. 18). Треугольник ВСМ — «об¬
Рис. 17
щий» для обоих параллелограм¬
мов, и SABCD = 2SBMC = SBKLM по
задаче 1.	□
Рис. 18
Задача 5. Медиана треугольника делит его на два равновеликих
треугольника.
Решение. Пусть ВМ — медиана треугольника АВС. Достро¬
им треугольник до параллелограмма ACFD, проведя через точку В
прямую, параллельную АС, а через точки А и С — прямые, парал¬
лельные ВМ (рис. 19). Параллелограммы ADBM и MBFC равны:
D	В	F параллельный перенос на вектор AM пере-
\ водит первый из них во второй. Поэтому
/ \	\ ^adbm = ^mbfc- Диагональ параллелограм-
\ /	\	\ ма делит его на два равных треугольника,
	н	\	и значит,
А	М	С	q 	 1 л	Q 	 1 q
„	. „	10ABM ? °ADBM И &СВМ v^MBFC-
Рис. 19	л	л
Следовательно, = SCBM.	□
11 Задача 6. Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих
II частей.
8

Решение. Пусть О — точка пересечения медиан АК, BL и СМ
треугольника АВС (рис. 20). ОМ — медиана треугольника АОВ, зна¬
чит, SAOM = SBOM; обозначим эту величи¬
ну через х. Пусть также у = SBOK = SCOK,
z = &соь = ^aol‘ Поскольку BL — меди¬
ана треугольника ABC, SABL = SCBL, т. е.
2х + z = 2у + г, откуда х = у. Аналогично,
У = z.	□
Задача 7. Каждая сторона треугольни¬
ка АВС продолжена на свою длину, так
что точка В — середина отрезка АВ', С —
середина ВС', точка А — середина СА' (рис. 21). Площадь треуголь-
никаАВС равна S. Найти площадь треугольника А'В'С'.
Решение. Проведём отрезки АВ, В'С и С'А (рис. 22). СВ —
медиана треугольника АСВ', поэтому SBCB = S (см. задачу 5); В'С —
медиана треугольникаВВ'С', поэтому	=
= S. Рассуждая аналогично, получаем, что
^С'АС = Sa'C'A = Sa'BA = Sb'A'B = 'S’
следовательно, = 7S.	□
Задача 8. Дан выпуклый четырёхуголь¬
ник ABCD площади S. Продолжим его сто¬
роны, как в предыдущей задаче: пусть точ¬
ка В — середина отрезка АВ', С — середина
ВС', D — середина CD', А — середина DA! (рис. 23). Найти площадь
четырёхугольника А'В'CD'.
9

Решение. Проведём в четырёхугольнике ABCD диагональ BD
и обозначим площадь треугольника ABD через р, а площадь тре¬
угольника BCD через q, так что р + q = S (рис. 24). Рассуждая
так же, как в предыдущей задаче, по¬
лучаем, что
^А'ВА = ВВ'А'В = Р
и &CDC = ^D'C'D = Q -
Таким образом,
^ав'а + ^cd'c = 2р + 2q = 2S.
Аналогично, проводя диагональ АС,
можно доказать, что
^в с'в ^d'a'd = 2S.
Итак, = S -I- 2S -I- 2S = 5S. □
Задачи о разрезаниях фигур
Рассмотрим серию задач о разрезании треугольника, выпуклого
четырёхугольника некоторой прямой на две равновеликие части.
Нам понадобится вспомогательная задача.
Задача 9. Пусть диагонали трапеции ABCD (AD || ВС) пересека¬
ются в точке О. Тогда треугольники АОВ и DOC равновелики.
Решение. Проведём через точку В прямую, параллельную
АС, а через точку С — прямую, параллельную BD (рис. 25); точки
пересечения этих прямых с прямой AD обозначим соответственно В'
и С. Параллелограммы АСВВ' и DBCC равновелики (см. задачу 3),
значит, равновелики их «половинки» — треугольники АВС и DCB.
«Выбрасывая» из этих треугольни-
В С	ков один и тот же треугольник ВОС,
убеждаемся, что треугольники АОВ
/	и DOC также равновелики; другими
/ м/	словами,
В' A	DC SAOB = Вавс _ &вос =
Рис- 25	= S’BCB - SBOC = <SBOC. □
На этом свойстве трапеции и основаны решения последующих
задач.
10

Задача 10. Через произвольную точку на стороне треугольника
провести прямую, которая делит его на две равновеликие части.
Решение. Пусть Р — точка на стороне АС треугольника АВС,
М — середина АС. Если Р совпадает с М, то ВМ — искомая прямая.
Рассмотрим случай, когда Р лежит между точками М и С (если Р
лежит на отрезке AM, рассуждения аналогичны). Тогда площадь
треугольника АР В больше половины площади треугольника АВС.
Если вращать прямую PN вокруг точки Р (точка N скользит по
отрезку АВ), площадь треугольника APN будет убывать. В начале
движения, когда точка N совпадала с В, эта площадь была больше
в конце, npnW = А, эта площадь станет равной нулю (треуголь¬
ник вырождается). По принципу непрерывности должен наступить
момент, когда эта площадь равна ■|ВАВС.
Используя предыдущую задачу, можно показать, что это про¬
изойдёт, когда четырёхугольник BPMN превратится в трапецию
(рис. 26). Действительно, поскольку SBON = SPOM (О — точка
пересечения диагоналей трапеции),
&APN = &AMON ■*" & РОМ = & AMON + &BON = &АВМ = ^АВС
Итак, вот способ построения прямой PN, делящей пополам пло¬
щадь треугольника АВС: проведём через точку М прямую, парал¬
лельную ВР, тогда N — точка пересечения этой прямой со стороной
АВ, если Р лежит на отрезке МС (или со стороной ВС, если Р лежит
на отрезке AM).	□
Задача 11. Через вершину выпуклого четырёхугольника прове¬
сти прямую, которая делит его на две равновеликие части.
Решение. Проведём эту прямую через вершину А четырёх-
угольникаАВСВ). Если диагональАС делит площадь ABCD пополам,
11

задача решена. Пусть О — точка пересечения диагоналей ABCD, М —
середина BD. Ломаная АМС делит четырёхугольник на равновели¬
кие части. Допустим, что точка М лежит на отрезке OD (рис. 27).
С
D
Рис. 27
Проведём через точку М прямую, параллельную АС, К — точка пере¬
сечения этой прямой со стороной CD. Тогда
&АВСК = &ABCL + $CLK = ^ABCL &ALM = &АВСМ = ABCD' □
С помощью этой задачи несложно решить следующую.
Задача 12. На стороне треугольника как на диаметре построен
полукруг (рис. 28). Провести прямую, которая делит эту фигуру на
две равновеликие части.
Замечание. Эта фигура не является многоугольником, но ин¬
туитивно понятно, что можно определить функцию площади других
«хороших» фигур (в частности,
круга и полукруга) так, чтобы
выполнялись аксиомы I, II, III.
Решение. Пусть полукруг
построен на стороне АВ треуголь¬
ника ABC, D — точка, которая
делит полуокружность пополам
(эту точку легко построить: она
лежит на серединном перпенди¬
куляре к отрезку АВ). Заштрихованные сегменты (рис. 29) равны
(так как симметричны) и, следовательно, имеют одинаковую пло¬
щадь. Проведём через точку D прямую, которая делит пополам
площадь четырёхугольника ADBC. Очевидно, это прямая и будет
искомой.	□
12

Теперь — обобщение задачи 11.
Задача 13. Через точку на стороне выпуклого четырёхугольника
провести прямую, которая делит его на две равновеликие части.
Решение. Пусть М — данная точка на стороне AD четырёх¬
угольника ABCD. Проведём через точки В и С прямые, которые делят
площадь четырёхугольника пополам.
Рассмотрим сначала случай, когда эти прямые пересекают сторо¬
ну АО в точках В' и С соответственно (рис. 30). Пусть точка М лежит
на отрезке АС'. Если М совпадает с С, то СС — искомая прямая.
Если М не совпадает с точкой С', то можно провести прямую С'К,
параллельную прямой СМ (К — точка на стороне CD) и
& АВС КМ = &АВСОМ + & СОК = &АВСОМ &М0С = &АВСС' = ^ABCD
(О — точка пересечения диагоналей трапеции К СМС1).
Если М лежит на отрезке B'D, то проведём прямую В'К парал¬
лельно ВМ и искомой прямой будет прямая МК (рис. 31).
Рис. 30
Рис. 32
В случае, когда точка М лежит на отрезке С'В', можно прово¬
дить и прямую С'К параллельно МС, и прямую В'К параллельно МВ
(рис. 32); оба построения приводят к одной и той же точке К.
13

Описанный приём построения проходит и в случае, когда только
одна из прямых, проходящих через точки В и С и делящих четырёх¬
угольник ABCD на две равновеликие части, пересекает сторону AD
(рис. 33 и 34).
С
И наконец, рассмотрим случай, когда ни одна из этих прямых
не пересекает сторону АО четырёхугольника ABCD (рис. 35). В этой
ситуации проведём через вершину А прямую АА, которая делит че¬
тырёхугольник на две равновеликие части. Прямая АК, параллель¬
ная прямой А'М, пересекает сторону ВС в точке К. МК — искомая
прямая.	□
Формула для площади треугольника
Площадь треугольника вычисляется по формуле
S = |а/га,
где а — длина стороны треугольника, ha — высота, опущенная на эту
сторону (рис. 36).
Доказательство этой формулы мы фактически провели на стр. 6.
14

Следствие 1. Площади треугольников, имеющих одно и то же
основание, пропорциональны высотам (рис. 37):
&АВС = ^В
&ADC ^1'
Следствие 2. Площади треугольников, имеющих одну и ту же
высоту, пропорциональны основаниям (рис. 38):
Sabc = АС
Sa'b'c А.'С
Следствие 3. Площади треугольников, имеющих общий угол,
пропорциональны произведениям сторон, заключающих этот угол
(рис. 39):
$авс = АВ -АС
Sab'с1 АВ' ■ АС ‘
Доказательство следствия 3. Проведём отрезок ВС
(рис. 40). Тогда, согласно следствию 2,
и ^abcl = AB
Алис А.С	^ABic’ АВ'
15

Перемножая эти равенства, получаем, что
&лвс - АС-АВ
8ав'с' АС - АВ'
Приведём теперь серию задач, решение которых опирается на
формулу S = ^aha и её следствия.
Li
Задача 14. Трапеция разделена диагоналями на четыре треуголь¬
ника. Площади треугольников, прилегающих к основаниям, равны
>S1 и S2. Найти площадь трапеции.
Решение. Пусть О — точка пересечения диагоналей трапе¬
ции ABCD, AD || ВС; SB0C = St, SAOD = S2 (рис. 41). Мы знаем
(см. задачу 9), что SAOB = SDOC, обозна¬
чим эту величину через х. Треугольники
АОВ и ВОС имеют одну и ту же высоту;
треугольники COD и AOD также имеют
одну и ту же высоту. Поэтому
х = АО х _ ОС
Sr ОС’ S2 АО
(Величина^SlS2 называется средним геометрическим чисел иВ2.)
Итак,
^ABCD
= Si + S2 +	= (VSi + V^)2.
□
Задача 15. Точка M лежит на стороне ВС, а точка N — на сто¬
роне АС треугольника АВС. Отрезки AM и BN пересекаются в точ¬
ке О. Площади треугольников AON,
АОВ и ВОМ равны Sx, S2 и >83 соответ¬
ственно. Найти площадь треугольни¬
ка MCN.
Решение. Обозначим площадь
треугольника MCN через х, а треуголь¬
ника MON — через у (рис. 42). Тогда
= O2V = _У_ _ „ = SLS3
S2 ВО S3 у S2 '
16

_ AN _ &amn _ У
х~У+&з	AC Snmc	х
ТТ	_ S.So
Подставляя у	в полученное уравнение
*2
+В2 = у + St
х + у + S:}	х '
находим
Задача 16. Точки М, N, Р лежат на сторонах АВ, ВС и СА тре¬
угольника АВС, причём AM : АВ = BN : ВС = СР : СА = 1 : 3.
Площадь треугольника MNP равна S. Найти площадь треугольни¬
ка АВС.
Решение. Треугольники АВС и MBN имеют общий угол В, при
этом ВМ = |-ВА и BN = 1ВС (рис. 43). Согласно следствию 3
с =2.1.0	— 2 с<
3	3 °ABC д^ЛВС'
По тем же соображениям
8 MAP =	И SpCN =
Следовательно,
s = sabc~3'IsaBC’ откуда 5^ = 35. □
Задача 17. Точки М, N, Р лежат на сторонах АВ, ВС и СА тре¬
угольника АВС, причём AM : АВ = BN : ВС = СР : СА = 1 : 2. При
пересечении отрезков AN, ВР и СМ образуется треугольник А1В1С1,
площадь которого равна S (рис. 44).
Найти площадь треугольника АВС.
Решение. Вычислим, какую
часть площади треугольника АВС со¬
ставляет площадь треугольника ААГМ.
Для этого найдём, в каком отноше¬
нии отрезок AN делится отрезком СМ.
Проведём AWX || СМ (рис. 45). Тогда
AM [АВ,
О
17

о о о 9
и ^1 = AM = AM = |АВ _ з
AN ANr АВ - BN{ ~Lj^~7‘
Поэтому SAlAM = | • | ‘8Ш =	= 1 • ±SAnc = 15ли. Точно так
же можно получить, что SBiBN = ±8^ и SCiCp = ±SABC. Итак,
& = &АВС ~ SaBBy ~ ^ВСС1 ~ SCAAl =
= &АВС ~ (^ABN ~ SBlBIf) - (SBCP - SClCp) - (SCAM ~ SAjAM) =
= SABC - 3 (з^АВС - -^>Sabc) = TfSABC’
Откуда &ABC — IS.	□
Последние три задачи — из замечательной книги Виктора
Васильевича Прасолова «Задачи по планиметрии» (см. раздел «Ли¬
тература», с. 24).
Задача 18. Пусть К и L — середины сторон ВС и AD выпуклого
четырёхугольникаАВСП. Отрезки АК plBL пересекаются в точке Р,
отрезки CL и DK — в точке Q. Докажите, что сумма площадей тре¬
угольников АВР и CDQ равна площади
четырёхугольника KPLQ (рис. 46).
Решение. Из точек В, К л С опу¬
стим на AD перпендикуляры ВВ{, ККг и
ССХ (рис. 47). Тогда ВСС1В1 — трапеция,
а ККг — средняя линия этой трапеции.
Следовательно, КК{ = |(ВВХ +СС1). Обо- А
значим через а длину AL = DL. Имеем:
SAKD = а-КК1 = ^a-BBl -I- ^а-СС1 =
= ^ABL &DCL •
С другой стороны,
&AKD = ^KPLQ + SApL + Sdql,
&ABL = & АВР + ^APL’ ^DCL = ^CDQ + Sdql,
значит, SKPLQ = SABP + SCDQ.	□
18

Задача 19. Две прямые делят каждую из двух противоположных
сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Дока¬
жите, что между этими прямыми заключена треть площади четы¬
рёхугольника (рис. 48).
Решение. Пусть точки К и М делят на три равные части сторону
АВ, а точки N iiL — сторону CD выпуклого четырёхугольника ABCD
(АК = КМ = MB, CN = NL = LD). Каждую из «полосок» MBCN,
KMNL, AKLD разобьём диагональю на два треугольника. Рассмо¬
трим заштрихованные треугольники BCN, MNL, KLD (рис. 49).
Проведём их высоты ВВ±, ММГ, ККГ. И сноваВКК1В1 — трапеция,
ММХ = к(ВВх + KKt). Основания треугольников равны, поэтому
Li
Smnl = ^(^bov + SKLD). Аналогич-
н0’ ^klm = ^(^mnb + &adk)‘ Следо¬
вательно,
&KMNL = ^(^MBCN ■*" &AKLd)’
= (&MBCN + &AKLd) ^KMNL’
&KMNL = ^&ABCD'	□
Задача 20. Каждая из сторон вы¬
пуклого четырёхугольника разделе¬
на на три равные части, и соответствующие точки противополож¬
ных сторон соединены. Докажите, что площадь центрального (за¬
штрихованного) четырёхугольника в девять раз меньше площади
целого (рис. 50).
19

Решение. Введём обозначения, как на рис. 50. По предыдущей
задаче площадь «средней полоски» KMNL составляет треть всей пло-
щади четырёхугольника ABCD. Если
мы докажем, что МВХ = ВХСХ = СХА и
КАХ = A1D1 = DXL, задача решена.
Докажем, например, что МВХ =
= BlCl = СХА. Гомотетия с центром
в точке В и коэффициентом 3 перево¬
дит отрезок МР в отрезок АС, поэтому
МР || АС и МР = jAC (рис. 51). Го-
О
мотетия с центром в точке D и коэф¬
фициентом переводит отрезок NQ в
Li
Рис. 51
отрезок СА, поэтому AQ || АС и NQ = §АС. Значит, МР || NQ и
О
МР = gWQ, и гомотетия с центром в точке Вх и коэффициентом —2
переводит МР в NQ. Следовательно, МВ. = ^B,N, МВ. = ^MN.
Z '	о
Аналогично, СХА = а тогда и В1С1 = ±MN.	□
о	о
Задачи для самостоятельного решения
21. Пусть К, L, М, N — середины сторон АВ, ВС, CD, DA (соот¬
ветственно) выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 52). Отрезки
КМ и LN пересекаются в точке О. До¬
кажите, что сумма площадей четырёх¬
угольников AKON и CLOM равна сум¬
ме площадей четырёхугольников BKOL
и DMON.
22.	Докажите, что выпуклые четы¬
рёхугольники, середины сторон кото¬
рых совпадают, равновелики.
23.	Длина стороны АС треугольника
АВС равна а. Прямая I, параллельная
стороне АС делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найди¬
те длину отрезка прямой I, заключённого внутри треугольника АВС.
Ответ: -2=.
V2
20

24.	Длины оснований трапеции равны а и Ь. Прямая I, парал¬
лельная основаниям трапеции, делит трапецию на две равновели¬
кие фигуры. Найдите длину отрезка прямой I, заключённого вну¬
три трапеции.
Ответ: i/q21	.
25.	Диагонали LN и МК прямоугольника KLMN пересекаются
в точке О. Треугольники MON и MOrN симметричны относитель¬
но общей стороны MN. Угол MON в два ра¬
за больше, чем угол LOrK. Найдите стороны
прямоугольника KLMN, если известно, что
площадь пятиугольника LMO^NK равна 5 \Д.
Ответ: 2 \Д и 2.
26.	Через некоторую точку, взятую вну¬
три треугольника, проведены три прямые
соответственно параллельные сторонам тре¬
угольника. Эти прямые делят треугольник
на шесть частей, три из которых — треуголь¬
ники с площадями S2 и S3 (рис. 53). Найдите площадь данного
треугольника.
Ответ:	4-	+ д/^)2-
27.	Из точки, расположенной внутри остроугольного треуголь¬
ника, опущены перпендикуляры на стороны. Длины сторон и
опущенных на них перпендикуляров равны а и k, b и т, с и п
(рис. 54). Найдите отношение площади исходного треугольника
к площади треугольника, вершинами которого служат основания
перпендикуляров.
О т в е т: —=-—,	,	.
mkc + nkb + mna
Рис. 55
Рис. 54
28.	На плоскости расположен равнобедренный прямоугольный
треугольник, катеты которого имеют длину а. Поворотом данного
21

треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получа¬
ется другой равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 55).
Найдите площадь четырёхугольника, являющегося общей частью
этих двух треугольников.
Ответ:	^а2.
Li
29.	Около окружности радиуса R описана трапеция. Хорда, со¬
единяющая точки касания окружности с боковыми сторонами тра¬
пеции, параллельна основанию трапеции; длина этой хорды рав¬
на Ь. Найдите площадь трапеции.
орЗ
Ответ:
Ь
30.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС выбраны соответ¬
ственно точки Вх и Сх так, что АВХ : АВ = 1:3, АСХ : АС = 1:2.
Через точки А, Вх и Сх проведена окружность. Через точку Вх прове¬
дена прямая, пересекающая отрезок АСХ в точке D, а окружность —
в точке Е. Найдите площадь треугольника ВХСХЕ, если АСХ = 4,
AD = 1, DE = 2, а площадь треугольника АВС равна 12.
Ответ: 3,5.
31.	В треугольнике KLM с основанием КМ = 6 проведена медиа¬
на LP. Известно, что расстояния от точки Р до боковых сторон KL и
LM относятся как 1 : 2 (рис. 56). Найдите длину медианы LP, при
которой площадь треугольника KLM будет наибольшей.
Ответ: V41.
Указание. ПосколькуSKLP = SLPM, тоKL : LM = РН2 : PHt =
= 2:1. Все такие точки L лежат на окружности (найдите её центр и
радиус).
22

32.	В трапецию ABCD с основани¬
ями ВС и AD вписана окружность с
центром О. Найдите площадь трапе¬
ции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и
0.0 = 4.
Ответ: 14,4.
Указание. См. рис. 57.
33.	Внутри прямоугольного тре¬
угольника АВС (АВ = 90°) взята точка
D так, что площади треугольников
ABD и BDC соответственно в 3 и 4 раза меньше площади треуголь¬
ника АВС. Длины отрезков АО и DC равны соответственно а и с.
Найдите длину отрезка BD.
Ответ:
За2 + 8с2
35
34.	Около трапеции KLMN описана окружность, причём основа¬
ние KN является её диаметром. Известно, что KN = 4, LM = 2.
Хорда МТ пересекает диаметр KN в такой точке S, что KS : SN =
= 1:3. Найдите площадь треугольника STN.
Ответ:
35. Площадь трапеции ABCD равна 30. ТочкаР— середина бо¬
ковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так,
что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются
в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ,
если AD = 2ВС.
Ответ:
О
36. В остроугольном треугольнике АВС про¬
ведены высоты СМ и AN, точка О — центр
описанной около треугольника АВС окружнос¬
ти. Известно, что ZABC = р, а площадь четы¬
рёхугольника NOMB равна S. Найдите длину
стороны АС.
Ответ: 2д/£> tg р.
В
А	С
Рис. 58
Указание. Площадь четырёхугольника NOMB равна полу-
произведению длин его диагоналей ОВ и MN, так как OB ± MN
(рис. 58).
23

Литература
1.	Болтянский В. Г. О понятиях площади и объёма. //Квант.
1977. № 5. С. 2-9.
2.	Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч. I. — М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986 (и др.).
3.	Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии (планиметрия). — М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982, 1986. — (Библиотечка
«Квант». Вып. 17).
4.	См. также задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
по математике в МГУ в 1980-1996 гг., в журнале «Квант» и его
приложениях и, например, в следующих книгах:
Справочник для поступающих в Московский университет.
1980-1996. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1980-1996.
Ткачук В. В. Математика — абитуриенту. — М.: МЦНМО,
2000 (и др.).