БИБЛИОТЕКА
УЧИТЕЛЯ
СРЕДНЕЙ
ш КОЛ ы
D.M. БРАДИС и А К ХАРЧ ЕВА
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКИ
ОШИБКИ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ
РАССУЖДЕНИЯХ
УЧ П ЕДГИЗ
МОСКВА 1030
БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
СЕРИЯ МАТЕМАТИКИ
В.М.БРАДИС И А.К. ХАРЧ DBA
ОШИБКИ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ
РАССУЖДЕНИЯХ
^^ZZ^^^Z^ZZZZZZZZZZZZZ>ZZZZZZZZZZZ/ZZZZZZZZZZZ^^^^^^
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО- ПЕ Д АГ О Г ИЧЕ CKO Е ИЗ ДАТ ЕЛЬСТВО
МОСКВА -— 1938
51
Б 87
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Настоящей книгой редакция математики
Учпедгиза приступает к изданию „Библиотеки
учителя средней школы" по математике. Эта
серия должна, с одной стороны, оказать помощь
учителю в его повседневной работе в школе,
с другой стороны,— способствовать повышению
его научно-педагогической квалификации по
вопросам элементарной математики.
Просьба к учителям направлять свои отзывы
и пожелания в редакцию математики Учпедгиза
по адресу: Москва, Орликов пер., 3.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Бесконечно разнообразны те ошибки, которые совершались и
совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть
с учащимися средней школы хотя бы некоторые такие ошибки полезно
по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь
ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем;
во-вторых, самый процесс разыскания ошибки легко сделать весьма
увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится средством
поднять интерес к изучению математики.
Рассуждение, в которой допущена та или другая ошибка, в боль-
шинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода.
Получается видимость доказательства какой-нибудь явной нелепости,
или так называемый софизм. Разобрать софизм — это значит указать
ту ошибку, которая была допущена в рассуждении и из-за которой
получился нелепый вывод.
Известен целый ряд подобных ошибочных рассуждений из раз-
личных разделов математики, и существует несколько сборников таких
рассуждений. Однако эти издания давно разошлись, и этим оправды-
вается выпуск в свет настоящего сборника. Он предназначен для
учащихся неполных средних и средних школ, и содержит материал
разной трудности, который учителя могут рекомендовать в соответ-
ствующих классах школы от V до X включительно. Этот материал
удобнее всего использовать в работе школьных математических круж-
ков, но некоторые вопросы можно разобрать с пользой для дела и на
обычных классных занятиях, особенно при повторении.
Отметим, что при работе по разбору ошибок безусловно необхо-
димо добиваться полной ясности: учащиеся должны совершенно
отчетливо установить, в чем заключается допущенная в рассуждении
ошибка и как ее исправить. Учитывая это, авторы снабдили подробным
разъяснением почти каждое ошибочное рассуждение, приведенное
в настоящем сборнике. Разумеется, читать это разъяснение следует
3
не сразу после ознакомления с постановкой вопроса, а после настой-
чивых попыток разобраться в вопросе самостоятельно. Во многих
случаях читатели найдут разъяснение самостоятельно или после неболь-
ших указаний со стороны учителя. Особое внимание следует обращать
на точность формулировок. Дело в том, что недостаточная точность
обычной у учащихся словесной формулировки теоремы может быть
иногда причиной недоразумения (хороший пример такого недоразу-
мения дает § 1 главы Ш), а неточности встречаются не только в от-
ветах учащихся, но и в общепринятых формулировках (см,, например,
§ 24 главы II и § 10 главы III).
Основой настоящего сборника послужило сочинение Харче-
вой А. К. „Математические софизмы и их применение в школе*, пред-
ставленное ею при окончании Калининского педагогического инсти-
тута в качестве дипломной работы. Окончательная редакция книги и
несколько добавлений к первоначальному тексту (§ 3—5 главы 1,§ 8,
10, 15, 16* 18, 21—24 главы II, § 10, 13, 15, 16, 19 главы Ш, § 6 главы IV,
§ 1—6 главы V) принадлежат Брадису В. М. Глава VI целиком
написана Харчевой А. К. В § 4 главы I использовано сообщение, сде-
ланное сотрудником Калининского горплана Половцевым А. Н.
Авторы надеются, что преподаватели, ознакомившиеся с этой
книжкой, не откажут поделиться с нами как опытом своей работы
по использованию ее материала в школе, так и соображениями о не-
дочетах книги и желательных в ней изменениях.
При составлении настоящего сборника были использованы следую-
щие источники.
Виола И., Математические софизмы, Москва 1883.
Обреимов В. И., Математические софизмы, изд. 2-е, Петер-
бург 1889.
Волжин В. Ао Физические парадоксы и софизмы, Петер-
бург 1898.
Горячев Д. Н. и Воронец А. М., Задачи, вопросы и со-
физмы для любителей математики, Москва 1903.
Лямин А. А., Математические парадоксы и интересные задачи,
Москва 1911.
Аменицкий Н., Математические развлечения и любопытные
приемы мышления, Москва 1912.
Лянченков М. С., Математическая хрестоматия, вып. I и II,
Петербург 1912.
Литцманн В. и Триер В., В чем ошибка? Одесса 1923.
Литцманн В., Веселое и занимательное в фигурах и числах,
Москва — Петроград 1923.
4
Дер нов Н. и Коваль П., Игра цифр, Воронеж 1934.
Богомолов С. А., Актуальная бесконечность, Москва —Ленин-
град 1934.
Кольман Э., Предмет и метод современной математики,
Москва 1936.
Книги Перельмана Я. И. по занимательной математике и др,
Авторы.
Калинин, Государственный
педагогический институт
им. М. И. Калинина.
ГЛАВА I.
АРИФМЕТИКА.
§ 1.	Куда делась копейка?
В ларьке было две корзины с яблоками, в каждой по
30 штук. Была установлена цена: из первой корзины яб-
локи должны продаваться по 2 штуки на копейку, из
второй корзины по 3 штуки на копейку. Таким образом
за все яблоки в первой корзине надо было получить
30:2 =15 копеек, за все яблоки из второй корзины 30:3=
= 10 копеек, а всего 15 + 10 = 25 копеек !).
Продавец рассудил, что, взяв из первой корзины два
яблока, а из второй—три, он должен продать этот
пяток яблок за 2 копейки. Поэтому он смешал яблоки из
обеих корзин вместе и продавал эти 30 X2 = 60 яблок
по 2 копейки запяток. В результате он получил 2Х(60:5)=-
= 24 копейки, т. е. на копейку меньше того, что должно
быть.
Куда делась копейка?
Решение. Из второй корзины (3 яблока на 1 копей-
ку) продавец мог брать по 3 штуки всего 10 раз. Добав-
ляя к каждым трем яблокам по 2 штуки из первой кор-
зины (2 яблока на 1 копейку), он вынет из нее только
20 яблок. Составленные таким образом 10 пятков он про-
даст за 20 копеек. После этого останется десяток яблок
только в первой корзине; из них каждые два яблока он
должен был продавать по копейке и получить за весь
десяток 5 копеек; на самом же деле он этот десяток про-
дал за 4 копейки (по 2 копейки за пяток) и таким обра-
зом потерпел 1 копейку убытка.
т) При записи арифметических действий, с целью экономии места,
наименования будем ставить только у результата,
б
§ 2.	100% экономии.
На обложке технического журнала находится несколь-
ко объявлений. Одно, рекомендующее некоторое усо-
вершенствование в паровой машине, сулит 40% экономии
топлива; другое, предлагающее другое усовершенствова-
ние, независимое от первого, обещает 35% экономии, и,
наконец, третье патентованное нововведение дает 25% эко-
номии.
Некто решил ввести все три изобретения и таким об-
разом, сэкономив 40%-35-%25 = 100%, пускать машину
в ход совсем без топлива.
Очевидно, расчет неправилен. Какую же экономию топ-
лива дает в действительности введение этих трех изоб-
ретений?
Разъяснение. Здесь допущена ошибка при вычис-
лении процента экономии топлива. При наличии всех трех
усовершенствований расчет экономии топлива должен быть
проведен следующим образом: 40% экономии топлива,
получающиеся от введения первого изобретения, нужно
взять от всего количества топлива, потребляемого машиной.
35 % экономии от введения второго изобретения вычисляются
от остатка после вычета экономии от первого усовер-
шенствования. 25% экономии топлива, получающиеся от
введения третьего усовершенствования, вычисляются от
второго остатка. Расчет будет верен и в том случае, если
мы проведем вычисление в другом порядке, т. е. начнем
со второго или третьего усовершенствования. Возьмем
конкретный пример. Допустим, что машина потребляет
100 кг топлива; тогда расчет должен быть проведен сле-
дующим образом:
40%	от	100 = 40	100 — 40 = 60 кг
35%	„	60 = 21	60 — 21 =39 я
25%	„ 39 =9,75	39 — 9,75 = 29,25	кг
Следовательно, при наличии трех усовершенствований
в топку нужно будет заложить вместо 100 кг только
29,25 кг.
Результат может быть выражен так:
100 z (1—0,40) X (1 —0,35) X (1 —0,25) = 29,25 кг.
Это выражение показывает, что общий процент экономии
не зависит от того, в каком порядке мы вводим отдель-
ные усовершенствования.
7
§ 3.	Как вычислять средний процент?
Рассмотрим несколько более сложную задачу.
Фабрика выпустила:
в I квартале 161 т изделий, в том числе 1-го сорта—85%
во II	„	207	„	„	„	«	»	„	я	— 62%
в III	„	120	„	„	„	«	«	«	„	—88%
«IV	„	185	„	„	«	„	„	«	„	— 86%
Найти средний процент выпуска 1-го сорта за год.
Определяя количество тонн изделий 1-го сорта по каж-
дому кварталу, предварительно находим, что всего за год
выпущено 673 и в том числе 1-го сорта:
161 X0,85 + 207 X 0,62+ 120 X 0,88 + 185x0,86 ^=529,89 т,
что составляет 78,7% всего выпуска.
Если взять просто среднее число процентов выпуска
1-го сорта по кварталам, то получим (85+ 62 + 88+86):4 =
— 80,25%, что заметно больше правильного ответа.
Итак, необходимо твердо помнить, что, при вычисле-
нии среднего процента х по нескольким группам (или, как го-
ворят статистики, по нескольким частным совокупностям).
простое среднее арифметическое из чисел А,А’Рз» •••» А,
выражающих соответствующий процент по каждой
группе отдельно, дает правильный ответ лишь в том слу-
чае, когда все эти группы одинаковой численности (име-
ют одинаковый вес). Если же среди этих групп не все
одинаковой численности, средний процент х необходимо
вычислять по формуле взвешенного среднего, а именно:
Х — {р1а\-}~р2аЪ	4~ • • • ~\~Pnat^ *•(+ + +> + ••• + ап)>
где «J, а2, я3,.. ..ап— числа, выражающие численность {вес)
каждой группы. В случае ах = а2 = а3 =... ~ап эта фор-
мула приводится к формуле простого, т. е. не взвешенного
среднего арифметического * = (А + А + Рз + ••• + А):Л-
§ 4. Что даст ежегодный прирост в 40% за пять лет?
Некоторое предприятие, согласно установленному для
него плану, должно за пятилетку утроить свою произво-
дительность. В течение первых трех лет оно ежегодно
увеличивало свою производительность на 30% (по срав-
нению с предшествующим годом). Выполняет ли пред-
приятие свой пятилетний план или нет?
я
Напомним, что производительностью предприятия на-
зывается количество продукции, выпускаемой за какую-
нибудь определенную единицу времени, например за сутки
(суточная производительность). Если принять производи-
тельность к началу пятилетки за 100%, то (при ее утро-
ении за пятилетку) к концу пятилетки производительность
должна стать равной 300%, т. е. возрасти на 200%. Таков
прирост производительности за 5 лет, за один же год она
должна получать прирост в среднем на 200:5 —40%. Сле-
довательно, рассматриваемое предприятие, дающее ежегод-
ный прирост в 30%, своего пятилетнего плана не вы-
полняет.
Однако это заключение совершенно неправильно. В
самом деле, пусть мы имеем ежегодный прирост в 40%
по сравнению с предшествующим годом. К началу пер-
вого года производительность была 100%, к концу его
она стала уже 100 Ц-40= 140%. Новый 40-прэцентный
прирост за второй год надо вычислять не от первоначаль-
ной производительности в 100%, а от той, какая была
к началу второго года, т. е. от 140%. Следовательно,
прирост за второй год равен 40% от 140%, т. е. 56%,
и к концу второго года производительность составит
14056 = 196%. Прибавив сюда 40% от 196%, найдем,
что к концу третьего года мы будем иметь уже
196-(-78,4 = 274,4%. К концу четвертого года будем иметь
274,44-40% от 274,4, или 274,4+ 109,76 = 384,16%, а к
концу пятого года уже
384,16 + 40% от 384,16, или 384,16+ 153,66 = 537,82%.
Таким образом ежегодный прирост производительно-
сти в 40% даст не утроение, а более чем пятикратное
увеличение производительности за пятилетку.
Чтобы иметь за пятилетку утроение, мы должны взять
за год не 40% прироста, а меньше. Взяв 20%, убедимся,
что к концу первого, второго и так далее лет пятилетки
мы будем иметь 120%, 144%, 172,8%, 207,36%, 248,83%,
и утроения за пятилетку не получим. При 25% ежегод-
ного прироста утроение за пятилетку уже обеспечено —
к концу пятилетки получим 305,18% производительности.
Ежегодный прирост в 30% даст к концу пятилетки
371,29%.
Ошибка первого рассуждения, которое привело к за-
ключению, что 30% ежегодного прироста утроения за пя-
тилетку не дадут, состояла в том, что там не были уч-
9
тены проценты на проценты. 30% прироста за год надо
считать не от производительности к началу пятилетки,
принятой нами за 100%, а от производительности к на-
чалу каждого года. Другими словами, здесь мы имеем
дело не с простыми, а со сложными процентами. Более
точный расчет, основанный на применении формулы слож-
ных процентов:
А =а(1 +
\ 1 1007
(для решения нашей задачи надо взять А— За, п = 5
и провести вычисление р посредством логарифмов), при-
водит к заключению, что ежегодный прирост в р = 24,6%
уже обеспечивает утроение за пятилетку (300,32%), а еже-
годный прирост в р = 24,5% его не обеспечивает (299,12%).
§ 5. Новое правило умножения дробей.
Один ученик заявил своему учителю математики:
„Я нашел новое правило умножения дробных смешанных
чисел, гораздо более простое и понятное, чем то, которое
вы нам объяснили и о котором пишут в учебниках. Дело
в том, что при сложении смешанных чисел надо отдель-
но складывать целые и отдельно дроби; например:
4 + 21 = (б + 2) + (1 + 1) = 8 + | = 8|.
То же самое делается и при вычитании: из целых вы-
читаем целые, из дроби — дробь, в случае надобности де-
лаем „заем"; например:
6- — 2 -- = ('б —2*) + (- — -) = 4%- — = 4 —,
2	4	\	7	\2	4/	1 4	4 ’
6- —2- = 5- — 2 —= (5 — 2) + (- —	=
2	4	2	4 V 1 \ 2	4 ,/
=х34--=3-.
1 4	4
Очевидно, так же надо поступать и при умножении сме-
шанных чисел: надо целые умножить на целые, дробь
на дробь; например:
61х21=(6Х2) + (-1хД =12 + 1 = 12-'.
Мое правило и проще для применения, и более понятно,
чем ваше*.
10
В самом деле, нельзя ли производить умножение сме-
шанных чисел так, как предлагает юный изобретатель?
Рассмотрим задачу: если человек проходит по булгл/ в
час, то сколько он пройдет за 2 часа? Решим эту задачу,
не пользуясь никаким правилом умножения дробей, ни
старым, ни новым.
За час человек пройдет 6 км или 6500 м> за 2 часа
6500 X 2 = 13 000 м, за четверть часа 6500:4 = 1625 л/, а
всего за 2 — часа 13 000 -{- 1625 ~ 14 625 м или 14 км 625 м
4
1 л 5
или 14—км.
8
Казалось бы, задачу эту можно решить одним дейст-
вием — умножением 6 на 2 ~ . Действительно, при лю-
бом целом числе часов пройденный путь равен пути, прой-
денному в 1 час, повторенному столько раз, сколько часов
продолжалось движение, т. е. равен произведению 6 у на
число часов. Естественно ожидать, что и при дробном
числе часов результат должен получаться посредством
того же действия умножения. Но если принять новое пра-
вило умножения, то произведение 6 —на 2 — , как мы ви-
1	5
дели выше, оказывается равным 12 —, а не 14 — , как дол-
8	8
жно быть. Обычное же правило умножения в настоящем
случае дает:
6- Х2-
2	4
— = 14—,
8	8
т. е. именно тот результат, который мы получили выше,
обходясь вовсе без дробей (посредством раздробления
километров в метры).
Итак, „новое правило" умножения дробных смешан-
ных чисел приходится забраковать. Но интересно выяс-
нить, почему сложение (и вычитание) смешанных чисел
можно выполнять, складывая (и вычитая) отдельно це-
лые и отдельно дроби, а умножение выполнять таким
образом (т. е. умножая целое на целое, а дробь на дробь)
нельзя,
11
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число,
нужно это третье число прибавить к одному из сла-
гаемых, оставляя другое неизменным. Например, чтобы
к8-|-5 прибавить 2, мы должны взять либо (8 4-2)4“ 5 =
= 10-j-5, либо 8-}-(5-|-2) = 8 + 7. В обоих случаях полу-
чается правильный результат (15). Мы имеем здесь формулу:
(а Ц- Ъ) с — а {р с\
выражающую так называемое „сочетательное" свойство
суммы. Используя „переместительное свойство" суммы
(a-]-b = b-]-a>), мы получим (a^b)-}-c = (b-]-a')-}-c =
—	= +	\~ Ь и придем к другому выраже-
нию сочетательного свойства суммы:
(я 4' + — (а 4- с) 4~&.
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье
число, надо умножить на это третье число один из
сомножителей, оставляя второй неизменным. Например,
чтобы умножить 3x4 на 5, надо взять либо (3 X 5) X 4 =
= 15x4, либо 3 X (4 X 5) = 3 X 20. В обоих случаях по-
лучается правильный результат (69). Здесь имеем формулу:
(а• 0• с - а-(Ь-с),
выражающую „сочетательное" свойство произведения.
Мы рассмотрели случаи, когда дважды выполняется
одно и то же действие: два раза сложение или два раза
умножение. Теперь возьмем случай, когда выполняется
сперва сложение, затем умножение. Чтобы сумму двух
чисел умножить на третье число, оказывается, нельзя огра-
ничиться умножением одного лишь из данных чисел:
надо умножить каждое слагаемое. Например, чтобы
умножить на 5 сумму 34-4, нельзя взять 3 X5-j-4=15-4-4=19
или 3 4-4X5 = 34-20 = 23; необходимо взять ЗХ54~
4-4 х 5 = 15 4- 20 = 35. Таким образом здесь нельзя огра-
ничиться простым сочетанием третьего числа с одним
из двух первых. Здесь второе действие (умножение) как
бы распределяется между двумя числами, над которыми
производится первое действие (сложение). Говорят, что
произведение суммы обладает распределительным свой-
ством, которое выражается формулой:
(а 4~ Ь} • с = ас 4~ Ьс.
Итак, прибавляя к сумме двух чисел третье число,
мы должны применять сочетательное свойство, а умно-
12
жая сумму двух чисел на третье число, должны приме-
нять распределительное свойство.
Теперь вернемся к действиям над дробями. Всякое
смешанное число можно рассматривать как сумму двух
чисел, целого и правильной дроби, например, б~ = 6-ру.
Складывая два смешанных числа, например о у и 2-^->мы
можем прибавить к 6 ~ сперва 2, потом . Чтобы прибавить
к б — = 6	— число 2, мы увеличим на 2 первое слага-
2	2
емое (6), а второе оставим без изменения. Получим
(6 + 2)-]- — . К этой сумме двух слагаемых (6	2) и —
2	2
1 ГТ
остается прибавить еще —. Пользуясь еще раз со-
четательным свойством, оставим первое слагаемое (6	2)
без изменения, а второе увеличим на Окончатель-
но имеем:
б а 2 --
2	4
Рассмотрим умножение смешанных чисел 6 и 2—
ис-
= 8-.
4
1
2
Чтобы умножить 6 —— 6 + на 2 —, мы должны,
пользуя распределительное свойство, умножить на 2
первое слагаемое (6), так и второе слагаемое , а затем
произведения сложить:
6^X21-f 6+ а\ х2Х — 6X2^4-! Х2а.
как
Но для получения произведения 6x2 — или 2 X 6
или ^2 + v 6 опять используем распределительное
свойство:
6X2^
4
X6-6X2-J-6X
13
Точно так же поступаем и для получения произведения
1 _ п 1
— z 2 ~ , а именно:
2	4
lv о1-/2-ь1\ -1=2- 14--vl =
2'^4 V 1 4 7	2	2 ‘ 4 "4 2
= 1 х 2-; 1 X
2	2	4
В конце концов оказывается, что наше произведение двух
смешанных чисел равно сумме четырех частных произ-
ведений, а именно:
6 - / 2 Т 6 / 2 + 6 Х- + -Х2+-Х-.
2	4	1	4	2	2	4
Теперь ясно, что, умножая целое на целое и дробь
на дробь, мы получаем не все произведение, а лишь часть
его: теряются второе и третье частные
(б X -~и 1 X 2^, т. е. произведение целой
сомножителя на дробную часть второго
второго на дробную часть первого.
Применяя умножение для вычисления
моугольника по основанию и высоте, мы можем очень
наглядно представить все четыре частных произведения,
входящие в произведение	“
например, прямоугольник
произведения
части первого
и целой части
площади пря-
двух смешанных чисел. Взяв,
со сторонами б— и 2 — , видим
(черт. 1), что его площадь
состоит из 4 частей: большого
прямоугольника со сторонами
6 и 2, узкой длинной полоски
— прямоугольника со сторона-
ми 6 и 1, более широкой по-
лоски справа — прямоуголь-
ника со сторонами 1 и 2, ма-
со сторонами 1 и 1. Площадь
Черт. 1.
ленького прямоугольника
большого прямоугольника содержит 12 квадратов (кв.
единиц), площадь узкой длинной полоски—6 четвертей квад-
,2	.1
рата или 1 — = 1 - квадрата, площадь полоски справа —
две половины или 1 целый квадрат, а площадь малень-
14
кого прямоугольника есть половина одной четверти илй
одна восьмая квадрата. Всего имеем 12 +1 ~ 4- 14“ -j-—
= 14 — квадрата, как и дол-	с	а
8
жно быть.
Если обозначить целые и
дробные части обоих сомно-
жителей буквами, то мы полу-
чим не что иное, как известное
из курса алгебры правило ум-
ножения двучленов:
а	ас	ad
b	Ьс	bd
(л ~—— ас —р Ьс —{— ad —|— bd,	Черт. 2.
наглядно изображенное на чертеже 2.
§ 6. Есть ли пропорциональность?
Рассмотрим несколько задач вместе с их решениями,
получаемыми в результате применения простого тройного
правила.
1.	Самолет поднялся на высоту 8 км за 32 минуты.
На какую высоту он поднимется за 4 часа?
~	8 X 60 X 4
Ответ\ на —-—-— = 60 км.
32
1
2.	Мотор в 1— лошадиной силы, установленный на
лодке, дает лодке скорость в 8 км в час. Какую ско-
рость даст этой лодке мотор в 10 лошадиных сил?
8х ю
Ответ-. =64 км в час.
1,2о
3.	Победитель на состязании в беге пробежал 100 м
за 10,2 секунды. Сколько он пробежит за 1 час?
100 х 60 х 60 о
Ответ*. -----—-—	35,3 км.
10,2
4.	Мальчик бросил диск в 800 г на 12 м. На какое
расстояние он бросит диск в 20 г?
Опит, = 480
20
Неправильность полученных ответов бросается в гла-
за. Все они получены в предположении, что между теми
двумя величинами, о которых идет речь в задаче, имеет-
ся прямо- или обратно-пропорциональная зависимость;
15
в действительности же зависимость между величинами,
с которыми мы имеем дело в каждой из этих четырех
задач, гораздо более сложна.
Решая п рвую задачу, мы пришли к заключению, что
за 4 часа самолет поднимется на 60 км. Это было бы
верно, если бы высота набиралась пропорционально вре-
мени: во сколько раз больше продолжительность подъема,
во столько раз больше и достигнутая высота. В дейст-
вительности же такой пропорциональности нет: по мере
того как увеличивается высота подъема, растет и время,
нужное для подъема на каждый следующий метр, и вся-
кий аэроплан имеет свой „потолок", т. е. такую высоту
подъема, превзойти которую он уже не может.
Во второй задаче решение дано в предположении, что
скорость моторной лодки пропорциональна числу лоша-
диных сил (мощности) мотора. Оказалось, что сравни-
тельно небольшой мотор, всего в 10 лошадиных сил,
даст лодке скорость в 64 км в час, т. е. скорость курь-
ерского поезда. Этот расчет тоже неправилен, так как в
действительности увеличение скорости моторной лодки,
как и вообще всякого судна с механическим двигателем,
происходит гораздо медленнее, чем увеличение мощности
мотора. Опыты показывают, что мощность растет прибли-
зительно пропорционально кубу скорости: чтобы увели-
чить скорость в а раз, надо увеличить мощность не в
а раз, а в a-a-ci- az раз. Чтобы дать лодке скорость в
64 км в час, т. е. увеличить скорость в 8 раз по сравне-
нию с уже имеющейся и указанной в условии задачи
(8 км в час), мощность мотора надо увеличить в
8X8X8 = 512 раз, т. е. мотор в 1,25 лошадиных силы
надо заменить мотором в 1,25 X 512 = 640 сил. Замена
же мотора в 1,25 силы мотором в 10 сил, т. е. в 8 раз
более мощным, даст лишь удвоение скорости, так как
2 X 2 X 2 = 8, и моторная лодка будет делать вместо
8 всего на всего 8X2 = 16 км в час.
Решение третьей .задачи гласит, что человек, пробе-
гающий 100 м за 10, 2 секунды, пробежит за час больше
35 км. Как показывает опыт, силы человека при таком
быстром беге очень быстро истощаются, и каждые сле-
дующие 100 м человек будет бежать уже гораздо доль-
ше, а затем и вовсе остановится. О пропорциональности
между продолжительностью пробега, начатого с такой
большой скоростью, и пройденным расстоянием не может
быть и речи.
16
Последняя задача решена в предположении, что чело-
век бросает диск на расстояние, обратно-пропорцио-
нальное весу диска. Полученный фантастический ответ
(диск забрасывается на 480 м — почти полкилометра!)
показывает неправильность этого предположения. Объяс-
няется это тем, что лишь при очень небольших, измене-
ниях веса бросаемого диска пролетаемое им расстояние
изменяется приблизительно обратно-пропорционально весу
(точнее: если бросать снаряд в безвоздушном пространстве
под одним и тем же углом к горизонту и сообщать ему
одно и то же количество энергии, то для увеличения про-
летаемого им расстояния в 2, 3, 4, вообще а раз, надо
вес снаряда уменьшить в 2X2 = 4 раза, 3X3=9 раз,
4X4 = 16 раз, вообще л-а = а2 раз). Когда диск бро-
сают в воздуде, то при уменьшении веса диска и увели-
чении его скорости все большее и большее влияние на
дальность его полета оказывает сопротивление воздуха.
Кроме того, диску очень малого веса нельзя сообщить
при бросании его рукой всего того количества энерги^,
какое можно сообщить диску более тяжелому. В силу
этих причин очейь малые диски летят не дальше, а бли-
же более тяжелых, и расчет дальности полета, основан-
ный на применении обратно-пропорциональной зависимо-
сти, дает результаты совершенно неправильные. .
Из всего сказанного надо сделать вывод о необходи-
мости соблюдения большой осторожности при решении
задач посредством тройного правила: всякий раз, преж-
де чем применить это правило, надо убедиться, что рас-
сматриваемые в задаче величины действительно находят-
ся в пропорциональной зависимости. Можно привести
сколько угодно примеров нелепых выводов, основанных
на применении тройного правила в случаях, когда его
применять нельзя. Мы с ними еще встретимся в § 11 гла-
вы III. В § 4 настоящей главы мы уже имели именно
этого рода ошибку, решая вопрос на основе' предположе-
ния о существовании пропорциональности между ростом
производительности и временем.
2—646
17

ГЛАВА И.
АЛГЕБРА.
§ 1. Всякое число равно своей удвоенной величине.
Возьмем тождество а2 — а2 = а2 — а2, где а означает
какое угодно число, и перепишем его, взяв в левой части а
за скобку, а правую разложив на множители по фор-
муле разности квадратов ; получаем :
а (а — а) = (а-]-а) (а — а),	(1)
а отсюда, разделив обе части на а — а, имеем:
a — а-\-а, или а--2а,	(2)
так как, если два равных числа разделить на равные же
числа, то и результаты получатся равные.
Разъяснение. Равенство (1) совершенно правильно,
так как и левая и правая его части равны нулю, равенство
же (2) уже неправильно. Значит, при переходе от равен-
ства (1) к равенству (2) была допущена ошибка. Дейст-
вительно, здесь мы произвели деление нуля на нуль*, каж-
дая часть равенства (1) равна нулю, нулю же равен и
делитель а — а. Но ведь при делении нуля на нуль в
частном получается не какое-нибудь определенное число,
а что угодно: полагая 0:0 = x, имеем х-0 = 0, а это по-
казывает, что вместо х можно взять какое угодно число
(любое число после умножения на нуль дает нуль). Итак,
производя деление равенства (1) почленно на а — а, мы
никакого определенного результата получить не мо-
жем, и равенство (2) отпадает. Вообще, имея равенст-во
а-0 = 6-0, мы отнюдь не можем заключать из него, что
а — Ь.
Отметим, что подобное деление нуля на нуль являет-
ся одним из наиболее часто встречающихся источников
18
ошибок в математических рассуждениях. Выполняя деле-
ние на буквенное выражение, необходимо всегда ставюь
себе вопрес: а не равен ли нулю взятый делитель? Деле-
ние равных чисел на равные дает равные же частные
лишь при условии, что делители отличны от нуля.
Приводим еще одно „доказательство" равенства а —2а,
основанное на той же ошибке, но несколько зама-
скированной.
Пусть а и b два произвольных равных числа:
а~Ь.
Умножив обе части этого равенства на а, получим: 1
а2 — ab.
Отнимая от обеих частей по Ь2 и производя разложе-
ние на множители, найдем:
а2 — b2 ~ab — Ь2,
(а 4- b} (а - b) = b (а — Ь).	(3)
После деления обеих частей последнего равенства на
а — b приходим к заключению, что
a±b^b,	0)
или, вспоминая, что а = Ь и заменяя b через а, получаем:
а-\~а = а,
или	2а — а.
Каждая часть равенства (3) при а — b равна нулю,
нулю же равна и разность а — Ь, на которую мы делили
обе части равенства (3) для получения равенства (4).
Следовательно, и здесь мы произвели деление нуля на
нуль, т. е. действие, которое дает в результате что угодно.
§ 2. Любые два числа равны друг другу.
Возьмем ^ва произвольных и неравных друг другу
числа а и Ь и предположим, что а > Ь. Их разность обо-
значим буквой с, так что получим:
а — Ь~с, а=Ь-\-с.
Умножим обе части последнего равенства на а — Ь.
Теперь имеем:
а2 — ab~ab	ас —Ь2 — Ьс,
с*
19
или, отнимая от обеих частей по ас, получаем.
а2 — ab — ac = ab — Ь2 — Ьс,
а после вынесения общих множителей за скобку:
а (а — b — c') = b(a — b — с).
Деление обеих частей на а — b — с приводит к равен-
ству:
а = Ь,
т. е. к заключению, что два взятых произвольно числа
а и равны друг другу.
Разъяснение. Нелепый результат получен опять
из-за той же ошибди, что и в § 1, а именно из-за деления
нуля на нуль: ведь трехчлен а — b — с в силу равенства
а — Ь = с равен нулю при любых значениях а и Ь.
Вот еще образец рассуждения, в котором тот же неле-
пый вывод (два произвольных числа равны друг другу)
получается после несколько более сложных выкладок,
среди которых опять-таки имеется деление нуля на
нуль.
Пусть а и b два произвольных неравных числа. Возь-
мем еще три произвольных числа с, d, е и обозначим
буквой f их сумму:
с 4* d 4- е=f. .
Умножим это равенство сперва на а, затем на — Ь, и
сложим полученные равенства почленно; получим:
z	ас Д- ad -|- ае = af,
— be — bd — be — — bf,
ac-}-ad-[-ae — be — bd— be — af— bf,
или, после переноса членов и вынесения множителей за
скобку:
ас 4- ad+ae — af— bc-\-bd-\- be — bf,
a(c-\-d-\~e—f) = b{c-\-d-\-e—£).
Деление обеих частей на c-\-d-\-e — f приводит к ра-
венству:
а = Ь.
Разъяснение. Конечно, и здесь произведено неза-
конное деление', многочлен c-j-d-j-e—f равен нулю, так
как буква /обозначает сумму c-\-d-\-e.
20
§ 3. Деление нуля на нуль при решении уравнений.
Дано уравнение 1-й степени с одной неизвестной:
6х—15 = 10х —25.	(1)
Решая его обычным способом (перенесением известных
в одну часть, неизвестных в другую), получим:
6х—Юх = 15— 25,	— 4х =—10, х = 2,5.
Но если предварительно вынести общие множители в каж-
дой части за скобку (3 в левой, 5 в правой), а затем раз-
делить обе части уравнения на разность 2х— 5, то при-
дем к нелепости:
3 (2х — 5) =5 (2х —5);	.(2)
3 = 5.	(3)
Обычно, если при правильном решении уравнения мы
приходим к такого рода нелепому выводу, то это указы-
вает, что уравнение вовсе не имеет решения. Но здесь,
решая уравнение, мы допустили ошибку, производя'деле-
ние обеих частей равенства (2) на разность 2х — 5. Дело
в том, что корень уравнения (1) равен 2,5, а потому раз-
ность 2х— 5 равна нулю, нулю же равна? и каждая часть
равенства (2). Таким образом при переходе от равенства (2)
к неверному равенству (3) мы выполнили деление нуля
на нуль, деление, которое, как известно, дает какое
угодно частное.
Вообще никогда не следует делить обе части уравне-
ния на множитель, зависящий от неизвестной, не убедив-
шись предварительно, что этот множитель не нуль. В та-
ких случаях удобнее всего перенести все члены уравне-
ния в одну часть, разложить ее на множители, а затем
приравнивать нулю каждый множитель отдельно. •
Так, имея уравнение х2 = х и производя деление обеих
его частей на х, мы придем к неверному заключению,
что уравнение имеет один лишь корень х = 1. Правиль-
ным будет такое решение: х2 — х = 0, х (х — 1) = 0, Xj — 0,
х2=1. Деление на х привело к потере корня.
Вот еще пример нелепости, получаемой при решении
уравнения из-за деления нуля на нуль.
Возьмем уравнение х — а — 0 и разделим обе его ча-
сти на х — а. Получим равенство:
х — а __	0
х — а ~ х — а ’
21
или
1 звк 0.
Взятое ндми уравнение х— а —0 имеет единственный
корень х а, а потому разность х—а равна нулю, и
последний результат получен незаконно.
4. Произвольное число а равно 1.
Пусть а означает совершенно произвольное число.
Возьмем два числа х и у, из которых каждое в отдель-
1	2
ности равно ~бг, и выпишем следующий ряд равенств,
каждое из которых легко получается из предыдущих:
Ух^УУ _	(О
X— Ух —У— Уу,
У X — у = Ух —у,
х—у~Ух — Уу
(результат почленного сложения двух предшествующих равенств),
(УхУЧУуУ^Ух-Уу
(1’х+УуЦУх-УУ) = Ух-УУ, .	(-’)
Ух + Уу — 1 •
Но, по условию, х ~ у--^~а2,
Ух — -1- а,
Уу=^а>
а потому равенство (3) дает — а-у —а — 1, или а .= 1.,
.	2 *	2
Итак, мы „доказали", что произвольное число а равно I.
Разъяснение. Этот нелепый вывод получился в ре-
зультате допущенной в рассуждении ошибки: переход от
равенства (2) к равенству (3) был выполнен посредством
деления на разность W—равную в силу равенства (1)
нулю. Каждая часть равенства (2) тоже равна нулю, и мы,
следовательно, делили нуль на нуль. Но это действие, как.
мы уже знаем, не дает определенного результата, а потому’
равенство (3) получено незаконно.
22
§ 5. Другое „доказательство* равенства двух
произвольных чисел.
Возьмем два произвольных числа а и Ь>а и напи-
шем тождество:
а2 — 2ab-\-b'- — b2 — 2ab-}-a2,	(1)
где алгебраические суммы в правой и левой частях от-
личаются одна от другой лишь порядком слагаемых.
Равенство (1) перепишем в более коротком виде, поль-
зуясь формулой квадрата разности:
(« — b)2 = (b — а)2.	(2)
Извлекая из обеих частей квадратный корень, по-
лучим:
а — b = Ь — а,	<3)
откуда, после перенесения членов, приведения подобных
и деления обеих частей на 2, имеем:
а-\-а = Ь+Ь, 2а = 2Ь, а = Ь,	(4)
Разъяснение. Взяв вместо а и 6 какие-нибудь
числа, например я = 3, 6=1, легко убедимся, что равен-
ства (1) и (2) верны, равенства (3) и (4) уже неверны.
Следовательно, ошибку допущена при переходе от равенст-
ва (2) к равенству (3). Этот переход был сделан на ос-
нове того соображения, что извлечение корня одной и той
же степени из двух равных чисел должно привести к рав-
ным же результатам. Это, конечно, совершенно справед-
ливо, если мы имеем дело с одними положительными чис-
лами: если х и у два положительных числа, а п произ-
вольное натуральное число, то из равенства хп—уа вы-
текает равенство х =у. | Действительно, если бы было
х^>у или х <^у, то и хп было бы больше или меньше У*.
При П — 2 теорему эту можно формулировать так:
если два квадрата имеют одну и ту же площадь, то сто-
роны их равны.
Все это так, если числа х и у— положительные. Если
же они оба (или одно из них) могут быть и положитель-
ными и отрицательными, то из равенства степеней этих
чисел еще нельзя заключать о равенстве самих чисел.
Например, при л: = 5 и = — 5 мы имеем равенство квад-
ратов, так как х2=-у2 — 2Ь> но здесь х>у.
Принимая во внимание правило знаков при возведе-
23
нии относительных чисел в квадрат, легко придем к та-
кому заключению: если: квадраты двух относительных
чисел равны, то самые эти числа либо равны, либо про-
тивоположны (т. е. имеют одно и то же абсолютное
значение, но разные знаки). Короче: из равенства х2=_у2
вытекает одно из равенств: х = у, или х = —у. Какое
именно — надо выяснять каждый раз особо ца основании
тех сведений о числах х и у, какими мы располагаем.
Может случиться, что верны оба равенства х=у и
х = —у, т. е. что х имеет два значения.
В изложенном выше рассуждении; которое привело
нас к ложному заключению о равенстве чисел а и Ь, мы
имели равенство (а — Ь)2 — (Ь — а)2. Если а > Ь, как бы-
ло предположено, то а — b число положительное, а b — а
число отрицательное; таким образом здесь мы имеем дело
с числами относительными и должны считаться с тем,
что из равенства квадратов этих чисел вытекает одно из
двух: либо эти числа а — b и b — а равны друг другу,
либо противоположны. Но числа а — b и b — а име-
ют разные знаки; возможность их равенства отпадает,
остается лишь возможность их противоположности. Равен-
ство (3) в приведенном выше рассуждении надо заменить
таким:
а — Ь — — [Ь — а),
откуда
а — Ь = — Ь-\-а, а — а- Ь — Ь,
а не а-^ а = Ь Ь,
как было получено выше, и нелепый вывод устранен.
Для разъяснения настоящего софизма часто ограничи-
ваются просто указанием на то, что извлечение квадрат-
ного корня дает результат с двумя знаками (плюс и ми-
нус). Для полной ясности необходимо добавить еще не-
сколько указаний. Извлекая квадратный корень из обеих
частей равенства (2), мы должны писать результат в ви-
де — (а— Z»)=ct(Z>— а), где любой знак левой части мо-
жет браться одновременно с любым знаком правой части.
Вместо одного равенства (3) мы имеем теперь целых че-
тыре равенства:
4-(а-^)- + (6-«),
4-(а — — — — а),
— (а — b) = -\-(b — а),
_ (а — b) = — (b— а).
24
Меняя знаки обеих частей в последних двух равенствах
на обратные, мы сведем эти четыре равенства к двум:
+ (а —= + (6 —а),
Ц- (а — #) = — (Ь — а),
а пользуясь двойным знаком z±z, даже к одному:
а — b — ±(b — а),
в котором надо ещр произвести выбор знака.
Ошибки, обусловленные переходом от х2 = у2 к х=у,
встречаются очень часто. Необходимо твердо помнить,
чтЬ из х2=_у2 вытекают два равенства: х=у и х = —у,
или, короче, х — —У, и никогда не забывать о необходи-
мости выяснения вопроса о выборе знака.
Рассмотрим еще одно „доказательство" равенства а — Ь
при а>Ь.
Выпишем следующий ряд равенств, первое из ко-
торых является очевидным тождеством, а каждое из по-
следующих получается из предыдущих посредством про-
стых преобразований:
—ab — — ab, (— а) • b — а • (— Ь),
[Ь — (а + #)] - 6 = а- [а — (я-|-#)],
b2 — b (a -J- Ь) — а2 — а (а -}- Ь),
b^-2-b-^-^ = а2-2-а-^±± ,
2	2
. a -I- b _____ и —
b-------!— — а-----------1— ,
2	2
Ь — а.
Разъяснение. Здесь нелепый вывод получился из-за
ошибки в переходе от совершенно правильного равен-
ства (А) к равенству (В). Из равенства (А) вытекает, что
справедливо либо равенство (В), либо равенство
Но легко видеть, что числа
= и а-^ = —-
2	2	2	2
25
при а > b имеют разные знаки, а потому равенство (В) от-
*	к d А-b	/ а -г- Ь \
падает. Заменяя его равенством о-±(а/--------—Ь
мы получим после упрощений тождество
i (*—=	—а).
и нелепый вывод устраняется.
§ 6. Сумма двух произвольных одинаковых чисел
равна нулю.
Возьмем "произвольное неравное нулю число а и напи-
шем равенство:
х = а.
Производим над этим равенством следующие понятные
преобразования:
— 4 ах = — 4а2,
— 4ах 4а2 = О,
х2— 4ах + 4а2 — х-,
(х — 2а)2 = х2,	(А)
х — 2а —х.	(В)
Заменяя в последнем равенстве х равным ему числом а,
получим:
а — 2а = а,
— а = а,
О = а + а,
О = 2а; а = 0.
Разъяснение. Ошибочным является равенство (В):
из равенства (А) вытекает, что либо х — 2а = х, либо
х — 2а = — х. В силу условия х — а имеем:
х — 2а~ а — 2а — — а,
а потому равенство (В) отпадает (при а^=0 число х — 2а,
равное —а, не может равняться числу х, равному а), и
должно быть заменено другим: х — 2а —— х. Но из него
следует, что 2х — 2а = 0 и х = а, и мы пришли к исход-
ному равенству, устранив нелепый вывод.
§•7. Число не изменится, если к нему прибавить 1.
Возьмем произвольное число п и будем исходить из
тождества:
2d
п2 — п(2я-|- 1) = (я~р I)2 — (n-|- 1) (2«+ I)»
справедливости которого легко проверить, раскрывая
скобки. Прибавив к обеим частям этого тождества по
/ ---!— \ > перепишем его в таком виде:
<
или в таком:
+ (А)
откуда следует, что
-2^-!,	(В)
ИЛИ
11 = п -р 1,
Разъяснение. Как и в § 6, ошибка допущена при
извлечении квадратного корня из обеих частей равенства (А):
из равенства (А) следует, что выражения в скобках либо
равны, и тогда имеет место равенство (В), либо эти выра-
жения имеют равнопротивоположные значения, и тогда
вместо (В) надо написать равенство:
• -	«--^-(«41-^).	, (С)
Легко убедиться, что верно именно (С), а не (В).
§ 8. Чему равен квадратный корень из числа а2?
Ученикам была дана задача: найти числовое значение
выражения 2x -f- V1 —	х2 при х = 3. Эту нетрудную
задачу ребята решили быстро, но оказалась странная вещь:
одни прямо подставляли вместо х данное число 3 и, вы-
полняя действия над числами, пришли к ответу 8, другие
же, заметив, что подкоренное выражение есть квадрат
разности чисел 1 и х, предварительно преобразовали дан-
ное выражение к виду 2х К(1 — x)2 = 2x-P(l—х) = 1-ря,
и получили после подстановки другой ответ: 1 -1- 3 = 4.
Разъяснение. Предположение, что здесь мы опять
27
должны считаться с двумя значениями квадратного корня,
как это было в § 5—7, отпадает: ведь*в данном выражении
результат извлечения корня берется с определенным зна-
ком, а именно со знаком плюс, т. е. берется арифметическое
значение корня. Выражение 2х V1 — 2х -f- х2 однозна-
чно: каким бы способом мы ни находили его числовое
значение, результат всегда должен быть один и тот же,
если только мы вычисляем правильно.
Тщательно проверяя оба решения, мы находим только
один сомнительный пункт: имеем ли мы право считать,
что + К(1—х)2 = 1—х? Другими словами: всегда ли
арифметическое значение квадратного корня из квадрата
какого-нибудь числа равно этому числу, всегда ли
_|_]/а2 = 4-^? Последняя формула, очевидно, верна при
а>0, но при а<0 она должна быть заменена другой,
а именно формулой -|-К&2 = — так как, если а отрица-
тельно, то для получения арифметического (положитель-
ного) значения корня надо взять не а, а —а. Обе эти
формулы можно соединить в одну, а именно:
где две вертикальные черточки, поставленные около
буквы а, означают, что берется абсолютное значение ве-
личины а.
Решая поставленную выше задачу вторым способом,
мы брали 1^(1 — х)2= 1—х. Это верно, если 1—х>0,
т. е. если х < 1. Но в дальнейшем мы заменяли х числом 3,
т. е. делали разность 1—х отрицательной. Значит, для
получения положительного значения квадратного корня
из (1—х)2, при таком значении х, надо брать не 1—х,
а — (1—х) или х — 1. Правильным будет тако^ решение:
2х +/(1 — х)2 = 2х4- [— (1 —х)] = 2х—14-я = Зх—1 =
= 3-3—1=8.
Получено то же, что и при вычислении первым способом.
Недоразумение разъяснено.
§ 9. Сколько значений имеет кубический корень?
Разобрав ошибки, приведенные в § 5 — 7, мы твердо
усвоили, что квадратный корень имеет не одно, а два
значения, и что из равенства х2 — а? нельзя выводить,
что х~а\ может быть х действительно равен а, но мо-
28
жет быть, что х равен не а, а —а, и в каждом отдель-
ном случае необходимо разобраться, какое из двух ра-
венств л = а и х =— а верно и какое нет (иногда верны
оба, и приходится писать х = ±й).
Казалось бы, что эти осложнения присущи только извле-
чению квадратного корня, или вообще корня четной сте-
пени, корень же нечетной степени, как, например, куби-
ческий, всегда имеет лишь одно значение, а потому из
равенства л3 = а8 можно смело заключить, что х = а.
Но рассмотрим следующее рассуждение, которое по-
кажет, что это не всегда так.
Возьмем произвольное вещественное число а и соста-
вим квадратное уравнение:
л2 — ах = —- а2.
3
Умножим обе его части на —За, а затем прибавим к
обеим частям разностью3 — а8; получаем:
— Зал2 Ц- За2л = а8,
л8 — Зал2 4~ За2л — а8 = л8.
Пользуясь формулой куба разности двух чисел, пере-
пишем полученное уравнение в более коротком виде:
, (л — а)8 = л8,
а после извлечения из обеих частей кубического корня
будем иметь:
л — а — л,
откуда а = 0. Итак, оказалось, что произвольное веще-
ственное число а есть нуль, что нелепо.
Разъяснение. Сомнение в этом рассуждении вызы-
вает лишь одно место ~ переход от, (л — а)8 = л8
к л — а — л. Подобный переход совершенно законен, если
возведенные в куб числа оба вещественны: кубический
корень из вещественного числа, если ограничиваться
только вещественными значениями, имеет одно лишь
значение (положительное, если подкоренное положи-
тельно, и отрицательное, если оно отрицательно); если
известно, что л8 = а8 и что оба числа л и а вещественны,
то мы имеем право утверждать, что л = а.
Но необходимо иметь в .виду, что кроме одного веще-
ственного значения кубический корень (из вещественного
числа) имеет еще два комплексных значения. Действи-
тельно, уравнение л8 — а8 = 0 имеет три корня. Разлагая
29
левую его часть на множители, получаем уравнение
(х — а) (л2 4- ах 4- а2) = 0, распадающееся на два уравнения:
х — а —О, х2 -J- ах 4~ а2 = О,
и мы находим три корня:
хх — а.
х2 = — а -I- |/. — а1 = — Ь а (1 — i /З),
Таким образом, если в равенстве х* = а3 число х мог
жет иметь и вещественное и комплексное значение, то
почленное извлечение кубического корня приводит не к
одному равенству х = а, а к трем:
X — Л,
л- = -|а(1-/Кз'),
х = -1й(1-НКз).	(1)
Какое из этих трех равенств верно, надо выяснить
каждый раз, учитывая условия' задачи.
В изложенном выше ошибочном рассуждении, которое
привело нас к нелепому выводу (что произвольное веще-
ственное число а равно 0), мы имеем число х, являюще-
еся корнем уравнения:
х? — ах= —- а2.	(2)
з
Легко видеть, что это число х имеет два комплексных
значения:
г — a 1 / — — а2 — ~ a f 1	i
2 V 12	2	\	3/
Поэтому из равенства (х— а)3 = а3 вытекают, со-
гласно формулам (1), три равенства:
х — я — х — а — —	— Z КЗ ),
х '— а = — ~ а (1 4- i КЗ ),
2) Буква i означает V —1 („мнимую единицу*). Комплексным чис-
лом называется всякое выражение вида а 4- Ы, где а и b веществен-
ные числа, b
30
и верны два последних, а не первое: х — а, как разность
между комплексным числом х и вещественным числом а не
может равняться вещественному числу а, а должна иметь
комплексное значение.
Переписывая последние два равенства, получим, после
переноса а направо:
х~а —- а( 1 — i КЗ ) = — <2 (1	3 ),
2	2
Х = я— (1 + i/ёГ) = j-a (1 — Z/3 ),
т. е. как раз те значения х, какие дает решение уравне-
ния (2).
§ 10. О квадрате мнимой единицы.
Как известно, мнимой единицей i называется число,
равное квадратному корню из отрицательной единицы,,
точнее — равное этому квадратному корню, взятому со
знаком плюс\
•	i — Ц- У*— 1.
По определению, квадратный корень из какого угодно
числа, будучи возведен в квадрат, дает подкоренное чис-
ло. Поэтому
Г- = — 1.
Эта последняя формула является основной при всех
выкладках с комплексными числами, т. е. с числами вида
х + (V, где х и у произвольные действительные (вещест-
венные) числа: всякий раз, встречаясь с числом /2, мы
имеем право заменить его через —-1.
Но будем рассуждать так: чтобы получить Z2, надо i
умножить на /, т. е. +К—1 умножить на 4~ К—1; при-
меняя обычное правилу умножения корней с одинаковым
показателем, а именно правило, выражаемое формулой
Vа • Vb l— ab,
мы получим:
г- = = (-1- К=Т). (+ /~^1) = + ]/-(_1).(-Т)^
— -Т / "Ь 1 — 1>
что, очевидно, неверно, так, как I2 равно — 1, а неЦ- 1.
Где же в нашем последнем рассуждении допущена
ошибка?
31
Разъяснение. Просматривая отдельные его шаги,
убеждаемся, что все они вполне обоснованы и не вызы-
вают никаких сомнений, кроме одного: верно ли, что
(+/=Т)- (+-Г^1)= + /(-!)•(—1)?
Делов том, что формула V а • yf b =У ab безусловно спра-
ведлива для арифметических значений корней из положи-
тельных чисел: арифметическое значение квадратного корня
из положительного числа а, будучи умножено на арифме-
тическое же значение квадратного корня из положительного
числа Ь, дает, разумеется, арифметическое, т. е. положи-
тельное, а не отрицательное значение квадратного корня из
произведения Но имеем ли мы право распространять это
правило умножения квадратных корней, доказанное для кор-
ней из положительных чисел, на корни из отрицательных
чисел? Приведенное выше неверное рассуждение, при-
водящее к нелепому выводу, что г2 = 1, является ничем
иным, как доказательством „от противного" того, что так
делать нельзя. Исходя из определения г2 = —1, легко
показать справедливость следующего утверждения: »
квадратный корень из отрицательного числа, взятый
со'знаком плюс, будучи умножен на другой квадратный
корень из отрицательного числа (того же или другого—
безразлично), тоже взятый со знаком плюс, дает корень
из произведения этих чисел, но этот последний корень
надо брать не со знаком плюс, а со знаком минус.
Действительно, если а>0, &>0, то
(4- V-а) • (+=(+	 (+	=
— (4-г	=	) =
= —1 (+/«*)= —Vab.
Следовательно, вышеприведенное рассуждение, кото-
рым „доказывалось"; что i2 — -j- 1, должно быть исправ-
лено и проведено так:
i2=ti =	=	!).(_!) =
= -/+1=-1.
Неверное заключение отпало.
Поставим теперь вопрос несколько шире, рассматри-
вая правило умножения квадратных корней уже не толь-
ко из отрицательных чисел, а из чисел комплексных
32
т. е. чисел вида
Z = x—ty,
где х и у числа действительные. Как известно из курса мате-
матики 10-го класса средней школы, всякое такое число
изображается определенной точкой плоскости, а именно
точкой с абсциссой х и ординатой у, и может быть пред-
ставлено в тригонометрической форме z = r (cos а 4' i sin а),
где „модуль" г действительное положительное (или равное
нулю) число, выражающее рас-
стояние этой точки от начала кУ
координат, а „аргумент" а выра-	,
жает угол между положительным	/ !
направлением оси X и лучом, про-	s' ;
веденным из начала в эту точку
(черт. 3). Угол а, взятый в градус-	!
ной или радианной мере, может	/ I X
выражаться любым действитель-
ным числом (положительным, от-
рицательным, равным нулю), но	ЧеРт- 3-
это число всегда можно „приве-
сти" в интервал 0°, 260°, прибавляя или отнимая целое число,
кратное 360°, а потому будем считать, что 0°^а<360°.
Правило умножения комплексных чисел, выраженных,
в тригонометрической форме, дается известной формулой
Моавра:
если г —г (cos a -\-i sin а), 24 —-^(coso^ 4~ jsinaj,
то zzY = rr} [cos(a + aj) 4 * sin (а 4 <2j)b
которая легко получается, если перемножить выраже-
ния для z и zXi применяя обычное правило умножения
многочленов, заменяя Z2 через — 1 и пользуясь формулами
для синуса и косинуса суммы двух углов.
Теперь найдем, чему равен квадратный корень из чис-
ла z — г (cos а + i: sin а). Полагая, что он равен некоторо-
му комплексному же числу со = р (cos 9 -f-Z sin <р), найдем
неизвестные р и z по данным г и а. По условию,
ш — ]/’г, откуда or = z.
По формуле Моавра:
ч)2 __ рр [cos ('5 4- 9) 4- i sin (ср 4 ?)] = Р2 (cos 2ср 4 * sin 2?).
Имеем равенство:
Р2 (cos 2? ' Z sin 2?) = г (cos а 4^ sin а).
-646
33
Два комплексных числа, заданных в тригонометричес*
кой форме, равны (и изображают, следовательно, одну
и ту же точку плоскости) тогда и только тогда, когда их
модули равны, а аргументы либо равны, либо отличают-
ся друг от друга на целое число, кратное 360°. Отсюда
заключаем, что р2 —Л —а + 360°-п, где п любсе целое
число. Модуль р, как действительное неотрицательное чис-
ло, равен арифметическому (положительному) значению
квадратного корня_ из неотрицательного действительного
числа г: р = -^]/'г, а аргумент 4) имеет бесконечное мно-
жество значений, определяемых формулой ? — ~ а —180°-zz
при произвольном целом п. Однако, если из всего этого
бесконечного множества значений ср выбросить те, какие
отличаются от других на целое число, кратное 360°, то
останутся только два значения, соответствующие числам
п — 0 и п — 1, а именно:
(Pl=4Cf’ t?2 = V0t+180°’
и мы приходим к заключению, что существует два и
только два значения квадратного корня из числа
z — r (cos а + i sin а),
а именно:	_ z !	j
<»,==-J—( cos — a-|- i sin — а
Аргумент а, как мы
0°) + г sin 0-а-|-18Оо)]=
— —Vr(cos -а-4-isin—a Y
\	2	2 )
причем w>2~—
Ha чертеже 4 точка A
изображает данное число z>
а точки В± и В2— оба зна-
чения Vz (здесь ОА = г,
OBX^OB2 = +Vr ),
а именно точка — первое
значение \rzY = ^{9 точка
В2 — второе значение
/z=<o2 = —(оР
ли выше, всегда можно счи-
34
гать удовлетворяющим неравенству 0° -С а < 360°, а потому
0°< -а<180°, 180°^ 1 а4-180°<с60°.
2	2
Таким образом из двух значений квадратного корня одно
всегда изображается точкой верхней полуплоскости (т. е.
той части плоскости, которая расположена выше оси
абсцисс) или в крайнем случае (при а = 0с) точкой поло-
жительной части оси X, а другое—всегда точкой ниж-
ней полуплоскости, или в крайнем случае (при а — 0°) точ-
кой отрицательной части оси X.
В случае, когда корень извлекается из действительного
положительного числа, имеем а - 0°, и первое значение^
есть не что иное, как арифметическое значение корня 4~Кг •
Поэтому одно из двух значений квадратного корня из
комплексного числа г, а именно то его значение, кото-
рое выражается точкой положительной полуоси X или
точкой верхней полуплоскости, будем называть „первым"
или „арифметическим" значением корня. Другое значение
корня, а именно то, которое изображается точкой отри-
цательной полуоси X или нижней полуплоскости, будем
называть „вторым" или „неарифметическим" значением
корня.
Возьмем теперь два произвольных комплексных числа:
z = г (cos а Д- i sin а)
и z1 = г1 (cos а' i sin а'),
где С°^а<360°, 0°^а'< 360°,
и найдем „первые" значения их квадратных корней:
1	I • • 1	\
cos — а 4-1 sin — а ),
2	2 )
(	1 , , • .	1 Л
COS — а' -н- I Sin — а' );
<	2	2 ]
Ф1
ш'
а затем перемножим их, применяя правило Моавра:
= (+Кг ) (ч-/г')(cos 41- + iSin 44) =
(со§44+/sin
Кроме того, найдем произведение чисел z и z1 и оба
значения квадратного корня из него:
3*
zz' --- rr’ [cos (a 4- a') 4 i sin (a | >.')[,
и J/zz’ —	Vrr' ^cos—-f /sin j,
v — y7z’—-\ УТУ [cos (Mf" + 180°)+
4-ZSin	180°)]-
Теперь у нас подготовлено все нужное для решения
вопроса о том, дает ли произведение „первых" значений
квадратного корня из двух произвольных комплексных
чисел „первое" значение квадратного корня из произве-
дения этих чисел, или нет.
Как видим, произведение „первых" значений квадрат-
ного корня из чисел
z = r (cos a —f sin aj и z1 ~/'(cos a1 -f- / sin a'),
а именно
= 4 Угг1 (cos 4 r s’n '
равно одному из значений квадратного корня из числа zz1,
а именно числу:
« — +1 IT' ^cos -----1-1 sin	
Но возникает вопрос, является ли это последнее число
и „первым" значением корня из zz1, или этим „первым"
значением является другое значение корня из zz1, обозна-
ченное у нас буквой V?
Из условий 0°=Са<360° и 0е а'< 360° выводим, что
0° а4аг^20° и 0°^ у (аЦ а') <360°. Следовательно,
точка, изображающая число и, может лежать и на поло-
жительной части оси X (при = 0 и выше оси X
(при 0°< ~у~ <С 1^0° и на отрицательной части оси X
(при 180°у и ниже оси X (при 180°<	360°)-
Таким образом, произведение „первых" значений корней
из z и z1 может быть равно в некоторых случаях „пер-
вому" значению корня из zz1, а в других случаях „вто-
рому" его значению.
Рассматривая вместо значений полусуммы аргументов
36
1 (a -j- a') значения целой суммы a a' и объединяя по-
парно установленные выше четыре случая, придем
к следующим двум случаям:
Случай J. Если ая'<360°, то либо -	- =0°, либо
0° < —< 180°; число и изображается либо точкой по-
ложительной части оси X, либо точкой верхней полу-
плоскости; и равно „первому" значению корня из zz\
Случай II. Если а ^360°, то либо ~~~ -180°, ли-
бо 180° <	<360°, число и изображается либо точкой
отрицательной части оси X, либо точкой нижней полу-
плоскости; и равно „второму" значению корня из zzf.
Теперь получаем окончательный вывод: произведение
„первых* значений квадратных корней из комплексных
чисел z и z' равно „первому* значению квадратного кор-
ня из произведения этих чисел, тогда и только тогда,
когда сумма аргументов этих чисел меньше 360° (пред
полагается, что аргуменгы приведены в границы 0°, 360°).
Замечая, что „второе" значение квадратного корня
равно „первому" его значению, взятому с обратным зна-
ком, легко составим, пользуясь последним предложе-
нием, следующую „таблицу умножения" квадратных кор-
ней из комплексных чисел („первое" значение квадратного
корня будем обозначать знаком плюс, поставленным перед
знаком корня, „второе"—знаком минус); как и раньше,
будем предполагать, что аргументы а и а' чисел z иг' заклю-
чаются меж ту 0° и 360°.
Случай I, а Ц-<360.	Случай II, a-|-a'>360o.
(Н-И«_) ’ (+И^)- + Игг'> , (bKT) (+И£)- —Игг',
( у Иг_) • (— Vzp— ~Vzz', ! (-|-Иг)  (—	-+Игг^,
(-Mz ) . (+/^) - — Игг'. | (-Иг) • (+И^) = + Игг',
(—Oz ) • (— Иг') - -f- Vzz'. ‘ (—Иг ) • (— Иг') - — Игг'.
Вернемся теперь к тому частному случаю умножения
корней, которым мы занимались в начале настоящего па-
раграфа: пусть z и z' два действительных отрицательных
числа. Всякое такое число можно написать в виде
z — д* ф- Z-0, где х действительное отрицательное число,
37
а потому такое число z изображается точкой отрицатель-
ной полуоси X. Следовательно,
а= 180°,
а' — 180=,
. а + а' =360°,
и здесь мы имеем случай II: произведение „первых" зна-
чений квадратных корней из двух действительных от-
рицательных чисел равно „второму" значению квадратного
корня из произведения этих чисел.
§ 11. Мнимая единица и действительная отрицательная
единица равны.
Пусть х —— 1. Тогда х4 = (— I)4 — + 1, а так как
+ 1 =(— 1)-(— 0> то
Х4=(-1).(_1).	(1)
Извлекая из обеих частей корень 4-й степени, получаем:
х = КьТРьЯ = V!/(-!)• (-1)=/=
— —Yi2 = ц	(2)
где буква i обозначает, как обычно, мнимую единицу, т. е.
квадратный корень из числа —1 (Z =j/—1). Производя
преобразования, показанные в строке (2), мы воспользо-
вались следующими теоремами алгебры: 1) корень из
корня можно заменить одним корнем, показатель которого
равен произведению показателей данных корней; на этом
основании мы заменили один корень 4-й степени двумя
квадратными корнями; 2) корень из произведения равен
произведению корней из сомножителей; 3) действие извле-
чения квадратного корня и возведения в квадрат взаимно
уничтожаются,
В строке (2) мы установили, что x = i. Но мы исхо-
дили из того, что х ——1. Следовательно, i —— 1, т. е.
мнимая единица и действительная отрицательная единица
равны.
Где же ошибка, допущенная нами, которая привела
нас к такому абсурду?
Разъяснение. Как и в § 5 и 9, мы допустили ошибку,
переходя от равенства степеней чисел к равенству самих
чисел: из того, что х = а\ отнюдь еще не следует, что
38
х~а. Решая уравнение х4 = а4 или х4— а4 = 0 посред-
ством разложения левой части на множители, мы получаем
не одно, а четыре значения для х. Действительно, это
уравнение можно переписать в виде:
(х2 + а2) (х а) (х— а) = О
или даже в виде:
(х-|- id) (х—/а) (хЦ-а) (х—а) — 0, .
что показывает, что этому уравнению удовлетворяют
такие значения:
х — а, х = — а, х — ia, х— — ia.	(3)
Уравнение (1), заменяя в нем —1 через Z2, можно пе-
реписать в виде x4 — i4. Согласно формулам (3), в кото-
рых надо теперь взять a — i, это последнее уравнение
приводит к таким четырем равенствам:
х—Z, х= — i,x=i-i =—1, х — — i-i = — i2=z — {—
Итак, заключение, полученное в строке (2), неверно:
из уравнения (1) вытекает, что число х может иметь лю-
бое из четырех значений +1, + Z. Чтобы не впасть в про-
тиворечие с исходным предположением, мы должны взять
лишь одно из этих четырех значений, а именно —1, от-
вергнув все остальные.
§ 12. Всякое отрицательное число больше положитель-
ного, имеющего то же абсолютное значение.
Нижеследующее рассуждение основано на очевидной
истине: если предыдущий член первого отношения неко-
торой пропорции больше последующего его члена, то и
предыдущий член второго отношения этой пропорции
больше своего последующего. Короче говоря: если
а> b и а : b = с: d, то и с^> d.
Берем произвольное неравное нулю число а и, замечая,
что
(-|-а):(—а) = —1
и (—«):(+«) = — 1,
составляем пропорцию:
(+а):(-а) = (-а):(+«).
Здесь предыдущий член первого отношения больше
последующего его члена, так как	Согласно
сказанному выше, в таком случае и предыдущий член
39
второго отношения больше своего последующего. Следо-
вательно, имеем, что
— а> ]- а.
Разъяснение. Внимательно просматривая все рас-
суждение в поисках ошибки, которая привела нас к этому
абсурдному выводу, мы обнаруживаем, что она заключа-
ется в той „очевидной истине", с формулировки которой
мы начали этот параграф. Для чисел положительных это
утверждение правильно: если a\b — c\ d, и а>Ь, причем
все четыре числа a, Ь, с и d—положительны, то, полагая
a-.b — q, заключаем, что ?>1; но отношение c\d тоже
равно q, а если отношение двух положительных чисел
больше 1, то первое число больше второго; следовательно,
c>d.
Для чисел относительных, как показывает настоящий
софизм, это заключение может быть и неверным. Кроме
рассмотренной в нем пропорции (-[- я): (— я) = (— я): я)
можно привести сколько угодно других, для которых
„очевидная истина" начала настоящего параграфа не
оправдывается. Например:
15:3 = (—15): (—3),
15 : (— 3) = (—10): 2.
В настоящем софизме мы имеем очень поучительный
пример того, как легко ошибиться, доверяясь „очевидной
истине", т. е. принимая без доказательства некоторое
утверждение, представляющееся с. первого взгляда пра-
вильным. Принимая некоторое утверждение без доказатель-
ства, мы должны внести его в список аксиом. Все же
утверждения, не включаемые в список аксиом, должны рас-
сматриваться как теоремы и подлежат доказательству
(на основе принятых аксиом и определений, а также
ранее доказанных теорем). Слово „очевидно" хорошо бы
вовсе изгнать из употреблен 1я в математических рассуж-
дениях: вместо ссылки на „очевидность" необходима
либо ссылка на определенную аксиому, либо доказатель-
ство, т. е. сведение нового утверждения к аксиомам и
ранее доказанным теоремам.
С другой стороны, настоящий софизм показывает
пример того, как может перестать быть верным утвер-
ждение, доказанное для некоторых чисел (в данном слу-
чае положительных), после перехода к числам более об-
щего вида (в данном случае относительным). Уже при
40
переходе от целых чисел к дробным ученик, привыкнув
к тому, что умножение на целое связано с увеличением
(при множителе, большем 1), а деление — с уменьшением
взятого числа, с большим трудом привыкает к тому, что
при умножении и делении на правильную дробь все про-
исходит наоборот.
В дальнейшем мы встретим еще ряд примеров ошибок,
происходящих от подобного применения теорем, справед-
ливых при некоторых условиях, в таких случаях, когда
эти условия не выполняются.
§ 13. Если а>&, то а>2&.
Возьмем два произвольных положительных числа а и Ь,
причем предположим, что а>Ь. Умножив обе части это-
го неравенства на Ь, получим новое неравенство ab>b\
Отняв от обеих частей по а2, придем к неравенству
ab — а2>Ь2 — а2, или, что то же, к неравенству:
a (b — а) > (b + a) (b — а),	(1)
После деления обеих частей на Ь—а имеем соотноше-
ние:
а > Ь Ц- а.	(2)
Если к этому последнему неравенству прибавить по-
членно исходное неравенство Ь, получим неравенство
2а >2Ь или, после отнимания от обеих частей по а,
неравенство:
а > 2b. (3)
Итак, если а>6, то а>2Ь. Например, из того, что
10 >9, заключаем, согласно доказанному, что 10 >18.
Разъяснение. Легко убедиться, взяв хотя бы чис-
ловые значения, что ошибка сделана при переходе от не-
равенства (1) к неравенству (2), т. е. при делении обеих
частей неравенства (1) на разность b — а, имеющую при
а>Ь отрицательное значение. Дело в том, что деление
обеих частей неравенства на одно и то же число приво-
дит к неравенству того же смысла, т. е. к неравенству с
тем же из двух знаков > и <, лишь тогда, когда дели-
тель положителен; при отрицательном же делителе смысл
неравенства изменяется. Например, разделив обе части
неравенства 6>2 на —2, мы получим числа —3 и —1,
из которых первое не больше, а меньше второго: —3<—1.
41
Доказательство этого свойства неравенств можно найти
в любом руководстве алгебры. Если при переходе от не-
равенства (1) к неравенству (2) примем во внимание пе-
ремену смысла неравенства, то получим, что а<^Ь-\~а,
и неверный вывод о том, что а^>2Ь, отпадает.
Отметим, что смысл неравенства меняется не только
при делении, но и при умножении на отрицательное чис-
ло об^их его частей; например, после умножения обеих
частей неравенства 3>2 на ~2 получаем неравенство
— 6<—4.
§ 14. Если анЬ положительные числа, то а > b и b > а.
Как известно, имея два неравенства одинакового смыс-
ла, т. е. оба со знаком > (больше) или оба со знаком
< (меньше), мы можем сложить или перемножить их по-
членно, и новое неравенство будет того же смысла, что
и оба данных: из неравенств а >Ь и с^> d вытекает, что
а с > Ъ 4- d, ас^> bd.
Возьмем два положительных числа а и b и напишем
два следующих совершенно бесспорных неравенства:
— Ь, Ь> — Ь.
Перемножая их почленно, придем к заключению, что
ab>b2, или, после деления обеих частей на 6, что вполне
законно, так как £>0 (§ 13):
а> Ь.
Если же напишем два других тоже бесспорных неравен-
ства:
— а, а > — а,
то окажется, что Ьа>а2 и Ь^а.
Итак, из любых двух положительных чисел каждое
больше другого.
Разъяснение. Теорема об умножении неравенств»
приведенная в начале настоящего параграфа, формулиро-
вана у нас неточно: она верна лишь для неравенств, все
части которых положительны. Вот ее точная формули-
ровка: можно перемножать почленно два неравенства
одного и т/го же смысла, если все части его положи^
те льны; новое неравенство будет того же смысла, чта
и каждое из данных неравенств (Бертран, Алгебра
42
изд. 1908 г., стр. 166, ч. I). Если же применять эту тео-
рему к таким неравенствам, как 5>—1 и 2>—15,
может получиться нелепость: 5-2>(—1)-(—15), т. е.
10 >15. Неосторожное умножение неравенств и привело
нас к абсурдному выводу, что а>Ь и
§ 15. Делимость многочленов и делимость чисел.
Установив, что некоторое утверждение о свойстве
чисел оказывается верным в ряде частных случаев, т. е.
для ряда определенных чисел, мы отнюдь не можем быть
уверены, что это утверждение окажется верным всегда:
заключать от частного к общему можно лишь в виде
предположения, догадки, которая в дальнейшем должна
быть либо доказана, либо опровергнута. Но если такое
доказательство проведено, то мы можем смело применять
наше общее утверждение в каждом отдельном случае:
заключение от общего к частному вполне законно. Так,
уменьшая на единицу квадраты простых (первоначальных)
чисел, больших 3, а именно чисел 5, 7, И, 13, 17 и т. д., мы
получим числа 24, 48, 120, 168, 288 и т. д., кратные 24.
Естественно сделать догадку: не будут лк кратными 24
все числа вида р2—1, где /?(/?>3) простое число? Пред-
ставив р-—1 в виде (р4~1)-(р— 1)> замечаем, что числа
1 и р— 1 оба четные, причем одно из них даже четно-
четное, т. е. делится не только на 2, но и на 4, а потому
р2—1 кратно 8. С другой стороны, из трех последователь-
ных целых чисел р—1, р, р~\- 1 одно непременно кратно 3,
а так как р, будучи числом простым большим 3, не
может быть кратным 3, то кратным 3 оказывается одно
из чисел р—1 или р 4-1, а следовательно, и их произведение.
Итак, каково бы ни было простое число р>3, всегда
р-—1 кратно 8-3 = 24. Доказав это утверждение в об-
щем виде, мы можем быть уверены, что оно окажется
справедливым и в каждом частном случае, т. е. для вся-
кого числа, удовлетворяющего поставленным условиям.
Положим, однако, что некоторое утверждение, дока-
занное в общем виде, оказывается неверным в каком-либо
частном случае. Ясно, что здесь непременно имеет место
какая-нибудь путаница или просто ошибка: либо общее
утверждение, которое мы считали доказанным, на самом
Деле неверно, т. е. ошибка была допущена в доказатель-
стве, либо неправильно само указание на то, что в дан-
Н0хМ случае наше общее утверждение не оправдывается.
43
Любопытный пример такого рода путаницы мы имеем
в следующем рассуждении.
Возьмем двучлен хп— ап , где п произвольное натураль-
ное (т. е. целое положительное) число; х и а произволь-
ные, неравные друг другу, действительные числа, причем
а =4 0. Полагая — =у, имеем:
а
X — ау,
хп — ап — а” (уп — 1),
х — а — а (у—1),
ап [(х — а) ~ап(у—\).
Замечая, что ап делится на а , а У*—1 делится на_у —1 (раз-
ность степеней всегда делится на разность оснований),
заключаем, что
хп —ап — ап (у" — 1) делится на ап~](х—а) ~ап(у—1).
Таково общеедоказанное нами утверждение. Применим
его к частному случаю, когда а = 2, % —3, п~3.
Имеем: хп — ап = З3 — 23 = 19, ап~\х — л) = 22(3 — 2)^4,
и следовательно, 19 делится на 4!!!
В чем тут дело?
Разъяснение. Самая тщательная проверка доказа-
тельства делимости разности хп — ап на а""1 (% — а) не
обнаруживает никакой ошибки. Точно так же не вызывает
никаких сомнений и рассмотренный частный случай: при
х — 3, а —2, п — 3 разность хп— а" —19 не делится на
ап~х (х — а) = 4.
Попробуем найти частное от деления хп — ап на
ап~г(х— а) — ап~1х— ап ; оно равно:
— Xя-14—— х"-8 + .. . + -х2+-!-х+1.
а'7”1	ап~2	an~z	а2 а
Дроби, появившиеся во всех членах частного, кроме
последнего, заставляют насторожиться и сразу указыва-
ют, в чем источник путаницы: слово „делится* в алгебре
и в арифметике имеет различный смысл.
Когда в алгебре говорят, что один многочлен, распо-
ложенный по степеням какой-нибудь главной буквы, на-
пример х, „делится" на другой многочлен, расположенный
по степеням того же х, то под этим разумеют возмож-
ность получения целого частного, т. е. многочлена, тоже
44
расположенного по степеням х. Будут ли при этом коэфи-
циенты отдельных членов частного числами целыми или
дробными — совершенно безразлично. Например, двучлен
ах2 — а9 делится на х — ап дает в частном ах-\-а2-, ко-
эффициенты а и а2 могут при этом оказаться и целыми и
дробными. Двучлен х2— а2 делится на ах — а2 и дает в
1	।	1	<	1
частном —х 4- 1; коэфициент — опять-таки может иметь
а	а
при этом и целое значение (например при а = и дроб-
ное (например при а - 2).
В арифметике же в применении к натуральным числам
слово „делится" имеет совсем другой смысл: если нату-
ральное число а делится на натуральное число Ь, то су-
ществует такое натуральное же число с, которое, будучи
умножено на Ь, дает а.
Поэтому из делимости одного многочлена на другой
(в алгебраическом смысле!) еще не вытекает делимость
(в арифметическом смысле!) тех чисел, которые получатся,
если заменить в многочленах буквы числами. Делимость
чисел будет вытекать из делимости многочленов лишь в
том случае, когда все коэфициенты частного — целые ал-
гебраические выражения, а не дроби (при условии, разу-
меется, что все буквы заменяются натуральными числами
и что делитель получает значение, отличное от нуля).
Отметим еще одно различие между делением много-
членов и делением натуральных чисел. При делении мно-
гочлена на многочлен степень остатка (относительно
главной буквы) всегда ниже степени делителя, при де-
лении же натуральных чисел остаток всегда меньше
делителя. Деление многочленов, выполненное совершенно
правильно, может после замены букв числами привести
к такому случаю деления чисел, которое не будет пра-
вильным в арифметическом смысле. Например, при деле-
нии многочлена х* — Зх2 -J- 4х -ф- 3 на х2—2y ф- 1 получа-
ем в частном х—1 и в остатке хф-4. Если заменить х
через 3, делимое принимает значение 15, делитель 4, а
частное и остаток равны 3—1=2 и 3-1-4 = 7 (вместо
правильных значений 3 и 3), т. е. остаток оказывается
больше делителя.
Итак, не всегда правильное в алгебраическом смысле,
правильно и с точки зрения арифметической!
45
§ 16.	Число не изменяется, если в нем переставить
любые цифры!
Чтобы доказать „теорему", формулировка которой да-
на в заголовке настоящего параграфа, рассуждаем следу-
ющим образом.
Всякое число, сумма цифр которого равна нулю, само
необходимо равно нулю, так как все его цифры — нули.
Возьмем два произвольных, хотя бы трехзначных, числа:
N=lC0a 4-1064-с,
^ = 100a1+1061 + q,
где буквы л, Ьу с,	означают произвольные цифры.
Первое число имеет сумму цифр s = a~-b-{-c, второе —
5i — а\ ^1+^р
Рассмотрим разность
N—^=100 (а — aj	10 (& —	+ (с — с Д
Сумма цифр этого последнего числа М— равна
(л *— ci\}	~(с — q) .— л —	b — by —с — —-:
— (аЧ~ Ч~ с) — Gzi Ч~ Ьх + с J — s — Sj.
Если взятые числа N и Nx имеют одинаковые суммы
цифр, т. е. если s — q, то сумма цифр числа N — рав-
на нулю.
Следовательно, при s = q имеем всегда N = NV
Числа М и отличающиеся одно от другого лишь
порядком цифр, имеют одну и ту же сумму цифр. Следо-
вательно, та^ие числа всегда равны друг другу (напри-
мер, 257 = 7251).
„Доказательство", проведенное для трехзначных чисел,
без существенных изменений применимо к любым много-
значным числам.
Разъяснение. Ошибку настоящего ложного дока-
зательства легко обнаружить, рассмагривая разности
а — b — Ь}у с — q, которые появляются при вычитании
А\ из N. Будут ли эти разности цифрами в обычном
смысле этого слова, т. е. всегда ли каждая из них явля-
ется одним из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Если Л;~257,
— 725, то	а=2,
Ь — 5,
с = 7,
а, — 7,
Ь\ = 2,
q — 5,
46
it — a^ — — 5,
Ь — Ь^—Ъ,
с — Ct =2,
и разность а — отрицательна. Легко понять, что если
числа /V и имеют одну и ту же сумму цифр, то по
крайней мере одна из разностей а — а}, b — bit с — q отри-
цательна (исключением является лишь тот случай, ког-
да а = Ь — с = а} — b} —cx и когда перестановка цифр
действительно числа не меняет). В самом деле, переписы-
вая равенство a-\-b-\-c — a1-\-bi~}-Ci в виде
(а —«О + (b — bi)-{ (с —Ci) = О,
убеждаемся, что если одна из этих разностей положи-
тельна, то по край!.ей мере одна из двух других должна
иметь отрицательное значение.
Итак, записав разность N — в виде 100 (а — Л1)4~
'4-10(6— 6J4- (с— £]), мы не имеем права утверждать,
что в числе N — имеется cl — аг сотен, 6— Ь} десятков,
с—с} единиц. Вместо разностей надо взять их абсолютные
значения:
а — aj,
\b~bi\,
|с —rj.
Сумма цифр числа N—/V] равна не алгебраической
сумме
(а — Я1) + (д — Ьх) -|-(с — q),
а арифметической сумме
\а—а\\ + \ь — + с —
и все дальнейшие преобразования, проведенные в нашем
„доказательстве*, отпадают.
§ 17.	Чго говорит основная теорема Высшей алгебры?
Один человек слыхал, что в Высшей алгебре доказы-
вается теорема, называемая „основной*, которая утверж-
дает, что всякое уравнение имеет по крайней мере один
корень, действительный или комплексный. Человек этот
был очень смущен, встретившись с иррациональным урав-
нением
+ ГГ=-1,	(1)
которое после освобождения от радикала приводится к
уравнению х = 1. „Решив* это последнее уравнение, он
47
Нашел ею единственный корень 1. Помня, что почленное
возведение обеих частей уравнения в степень может дать
посторонние корни, он сделал подстановку найденного
корня в данное уравнение и убедился, что корень
этот данному уравнению не удовлетворяет. Следовательно,
данное уравнение корней не имеет вовсе. Но как же
быть с основной теоремой Высшей алгебры?
Заметим, что можно указать сколько угодно уравнений,
вовсе не имеющих корней, подобно уравнению (1). Та-
ково, например, уравнение:
К 5 + х -Р ]/5 — х = Ух,
так как оба значения, xY= 0 и х2=4, которые получаются,
если решать это уравнение, освобождая его от радика-
лов, ему не удовлетворяют.
Недоразумение разрешается очень просто. Основная
теорема Высшей алгебры относится лишь к уравнениям
вида:
— -i + о. (2)
где п некоторое натуральное число, т. е. имеет одно из
значений 1,2, 3,4,..., а все коэфициенты aQ, а}, а2,.. .,ол^ьап
произвольные действительные или комплексные числа,
причем йо + О. Относительно такого уравнения доказано,
что оно всегда имеет по крайней мере один корень (дей-
ствительный или комплексный). Надо твердо помнить,
что эта основная теорема Высшей алгебры (или теорема
Гаусса, как ее называют по имени великого немецкого
математика, впервые строго ее доказавшего) относится
только к уравнениям вида (2) и что она ничего не гово-
рит об уравнениях другого вида, как, например, об урав-
нении (1). Существенна и сделанная выше оговорка от-
носительно значений коэфициентов. Если, например, мы
возьмем уравнение
0-х + 1=0,	(3)
то окажется, что никакого корня оно не имеет: какое
число мы ни возьмем вместо х, всегда произведение 0-х
будет 0, и девая часть уравнения всегда окажется рав-
ной 1; равенство левой и правой частей, таким образом,
невозможно ни при каком значении х. Это обстоятельство
ничуть не противоречит теореме Гаусса: в уравнении (3)
коэфициеят старшего члена aQ — 0, между тем как в усло-
виях теоремы указывается, что а^^О.
48
Иногда говорят, что уравнение (3) имеет корнем бес-
конечно большое число (х = оо). Понимать это надо так:
если обе части уравнения (3) разделить на х, то получим
новое уравнение 0-|~—= 0, обе части которого стре-
мятся к равенству, если х неограниченно растет по аб-
солютной своей величине, принимая положительные или
отрицательные значения.
Основная теорема Высшей алгебры имеет в виду лишь
конечные значения корней, а не подобные бесконечно
большие их значения.
Из теоремы Гаусса легко выводится следствие, глася-
щее, что левая часть уравнения (2) всегда разлагается
на п линейных множителей, т. е. что уравнение (2) всегда
можно представить в виде:
а0 (х — flQ (х — а2) (х — а3).. .'(х — а„) 0.	(4)
Числа otj, а2, а3,..., ап, которые могут быть и действи-
тельными (положительными, равными нулю, отрицатель-
ными) и комплексными, как неравными, так и равными
друг другу, представляют собой- не что иное, как корни
уравнений (2) и (4); замена в уравнении (4) х через одно
из этих чисел otp а2, а3,...,ап превращает уравнение (4) в
тождество 0 = 0. Поэтому это следствие теоремы Гаусса
можно формулировать иначе: всякое уравнение вида (2)
имеет (при	ровно п корней, т. е. столько-корней,
сколько единиц в показателе его степени.
Зная следствие теоремы Гаусса лишь в последней его
формулировке, можно притти в недоумение, встретившись,
например, с уравнением л8 = 0. Ведь оно имеет лишь
один корень х = 0, так как никакое неравное нулю число,
ни действительное, ни комплексное, не даст 0 после воз-
ведения в куб. Следствие теоремы Гаусса в первой его
формулировке в применении к уравнению х3 = 0 гласит,
что левую часть этого уравнения можно разложить на
три линейных множителя вида х — а. Но это сделать
очень легко: х3_ (х — 0)(л* — 0)(х — 0). Теперь становится
ясным, что уравнение л8 = 0 имеет три корня, как и по-
лагается, но что все эти корни равны между собой.
Применяя следствие теоремы Гаусса, никогда не сле-
дует забывать о возможности равенства некоторых (или
даже всех) корней уравнения.
4-646
49
§ 18.	Уравнения с бесконечно большими корнями.
Возьмем уравнение:
->- + ^---------=о.
х 4- 4 х + 1 х + 2
и будем решать его, как обычно: освободимся от знаме-
нателей, сделаем приведение подобных членов, а после
этого применим формулу корней квадратного уравнения,
так как можно заранее предвидеть, что наше уравнение
после всех упрсщений сведется к уравнению 2-й степени.
Однако, осуществляя все это в действительности, мы
встретимся с неожиданным затруднением: после освобож-
дения от знаменателей мы получим:
х24 Зх + 2 + 2х2 4 12х16 — Зх2 — 15х — 12 — 0,
а после приведения подобных членов:
Q./-L0-x + 6^0,
или, что то же:
6^0.
Итак, подвергая данное уравнение совершенно закон-
ным преобразованиям, мы пришли к нелепости. Отсюда
можно сделать только такой вывод: не существует такого
значения х, при котором уравнение (1) становится тож-
деством, т. е. это уравнение вовсе не имеет корней (пи
действительных, ни мнимых). Однако следует отметить,
что левая часть уравнения (1) становится тем меньше
по своей абсолютной величине, т. е. тем ближе к равен-
ству с правой частью уравнения, чем больше х по своей
абсолютной величине. Например, взяв х=1000, мы будем
иметь в левой части число 0,000003. Ясно, что при неогра-
ниченном увеличении х (по абсолютной величине) каждая
из дробей левой части стремится к нулю, а потому стре-
мится к нулю и вся левая часть. Эго дает нам основание
сказать, ввилу данного в §17 определения, что хотя
уравнение (1) и не имеет никакого конечного корня, но
оно имеет корнем бесконечно большое число.
Если взять уравнение йх-|- Ь- 0 и приближать к нулю
коэфициент а, сохраняя постоянным и неравным нулю
значение /?, то единственный корень этого линейного
b *
уравнения х =-----будет неограниченно возрастать по
а
своей абсолютной величине. Поэтому говорят, что урав-
нение O*x~J-£ = O, где не имея корня в обычном
50
смысле слова (не существует никакого определенного
конечного числа, которое, будучи подставлено в левую
часть вместо х, обратило бы эту часть в нуль), имеет
бесконечно большой корень (х = ±°о).
Подобным же образом уравнение 0-х2 Ьх о = 0,
где	имеет один конечный корень (хх — —-) и
Ь )
один бесконечно большой корень (х2=оо). К этому за-
ключению приходим, рассматривая корни уравнения:
ах2 Ьх с = 0,
а именно:
— b -J-Vb2 — 4ас	— b —VЬ2 — 4ас
Хг =-----!-------,	X.)—-------------,
2а	“	2а
и полагая, что а стремится к нулю (я-»0), в то время
как b сохраняет постоянное и неравное нулю значение
(будем считать для определенности ^>0). Первый корень
предварительно преобразуем так:
(—&4~ Vb2^4ac)(—b—Vb2~4ac)	(—b)2 — (Vb2 — 4ас)2
1	2а (—b — V Ь2— 4ас )	— 2а (b 4-У Ьг — 4ас )
 4ас	__ — 2с
—2a(b-\-Vb2—$ас) b 4- У Ь2—4ас
2с
Теперь ясно, что когда а -» 0, то х{ ->--. Второй же
Ь Ь
корень выражается дробью, числитель которой при прибли-
жении а к 0 стремится к —2Z?, а знаменатель к 0, и вся
дробь, следовательно, неограниченно возрастает по абсо-
лютной величине. Если в квадратном уравнении не толь-
ко первый, но и второй каэфициенты — нули, а третий
коэфициент отличен от 0, т. е. если уравнение имеет вид:
0-х2Ц-0-х -|-с — 0, то, полагая в формуле х1 = —— 6-»0,
ь
мы придем к заключению, что оба корня этого квадрат-
ного уравнения — бесконечно большие числа.
Рассмотрим еще одно уравнение. Положим, требуется
найти такое значение х, чтобы разность Кх2 -j-x-j-l —
•— Их2~х-|-1 стала равной 1. Решая обычным спо-
собом иррациональное уравнение
Кх2 + х + 1 —К х2 — х X1	,
а именно, уничтожая оба корня (предварительно изоли-
ровав поочередно каждый из них), посредством двукрат-
4*	51
ного возведения обеих частей уравнения в квадрат, мы
придем к нелепому равенству:
хД- 1 — X2 — Х-!~ 1 — 2 V л3 —Х4-14-1,
2х — 1 = — 2 /х2 — х-|- 1,
4х2— 4х -|- 1 — 4х2 — 4х + 4,
1 =4.
Здесь мы пришли (в предпоследней строчке) к квад-
ратному уравнению только что рассмотренного вида, и
заключаем, что если поставленная задача и имеет реше-
ние, то лишь в виде бесконечно большого числа. Дейст-
вительно, полагая х равным последовательно 10, 100, 1000,
получим, обозначив для краткости одной буквойу разность:
/х2 -|- х + 1 — Ух2 — X +1
при х = 10 у = / ПТ— /10,53565 — 9,53939 = 0,99626,
при х = 100 у = К10101 — /9У01 = 100,50373 — 99,50377 =
0,99996,
при х = 1000у= V 1о01001 —/999001 =1000,5003748 —
— 999,5003752 = 0,9999996.
Как видим, при возрастании х получаются значения j/,
все ближе и ближе подходящие к 1. Подвергнув данную
разность корней некоторым преобразованиям, мы устраним
всякое сомнение в правильности сделанного заключения:
— (^*4- * 4И ~	* 4-1 4- У*2 — *+1) _
Ух2-}- х -pi -j-Vх~ х 4-1
При неограниченном возрастании х дроби ~ и ~ стре-
мятся к 0, оба подкоренных — к 1, каждый из корней —
к 1, знаменатель дроби — к 2, величина у стремится к 1.
Итак, рассматриваемое уравнение имеет только один
корень, а именно л = -]-оо.
Отметим, что если мы будем брать здесь бесконечно
возрастающие по абсолютной величине отрицательные
52
значения для х, то получим предельное значение разности
не +1, а — 1.
Дело в том, что переход от выражения (1) к выраже-
нию (2) был нами сделан в предположении, что х>0. Если
жел<0, то корни в знаменателе выражения (2) надо
взять со знаками минус.
§ 19.	Чем больше знаменатель дроби с числителем 1,
тем больше и сама дробь.
Возьмем тождество lg— = lg—, где 1g знак десятич-
ного логарифма, к удвоим левую его часть, оставляя пра-
вую без изменения. Вместо знака равенства теперь при-
дется поставить знак „больше":
Но
а потому
21g|>lg|.
2U4=>g(i-)=^,
(А)
Зная, что при всяком основании, большем 1, большему
числу соответствует больший же логарифм, и обратно,
заключаем, что
- -
4 "2 ‘
Подобным же образом легко „доказать", что >
8	4
1
— и т. д.
8
Разъяснение. Ошибочно уже неравенство (А), так
как 1g - =1,6990 = — 0,3010, 21g - = — 0,6020 < —0,3010.
Удвоив левую часть равенства lg— = 1g — , мы не увели-
2	&
чили, а уменьшили эту часть, так как она отрицательна.
Умножение числа а на 2, как и на всякое другое число А,
большее единицы, дает в произведении число (ik, боль-
шее а, лишь тогда, когда а>0. Если же а<0, то ak<^a.
При а = 0 ka — а.
53
§ 20.	Сумма двух чисел равна их полусумме.
Возьмем формулу бинома Ньютона, справедливую, как
известно, для любого натурального показателя п при
любых значениях а и Ь\
(а +- b)n^=	"• ал ~1	ап ~	~±}а2Ьп ~
г у abn Ч Ьп.	(А)
Полагая п — \у имеем:
(а + ^)1 = а + 6 + 0 + ... + 04-аН-й,
а Ь 2(Л	2й, “ (cl -ф- b} ~~ ci —Ь.
Следовательно, сумма двух произвольных чисел а и b
всегда равна их же полусумме.
Разъяснение. Как известно, разложение n-й сте-
пени бинома содержит п -ф- 1 член, и при л = 1 формула
бинома Ньютона имеет такой вид: (a -ф-by = а -ф- Ь, Фор-
мула же (А), содержащая три первых и три последних
члена разложения, да еще сколько-то промежуточных чле-
нов, замененных точками, верна лишь при при мень-
ших значениях п, применяя формулу (А), надо брать не
все ее члены, а лишь п-ф-1 член.
Во избежание недоразумений, подобных только-что
происшедшему, лучше вовсе не писать последних членов
в формуле (А), тем более, что, как установлено, форму-
лой бинома Ньютона можно пользоваться не только при
натуральных значениях показателя /г, но и (при опреде-
ленных условиях) при произвольных его значениях. Если п
не натуральное число, то формула бинома Ньютона
приводит к бесконечному ряду членов, никаких последних
членов не будет. Если же п натуральное число, то все
члены разложения, следующие за (п-1)-м, окажутся
нулями, и разложение оборвется само собой.
§ 21.	Об одном неправильном способе получать пра-
вильные результаты.
Как известно, всякая несократимая дробь —, у кото-
рой знаменатель п содержит хотя бы один первоначаль-
ный множитель, отличный от 2 и 5, при обращении в де-
54
сятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь.
Поставим себе обратную задачу: имея какую-нибудь бес-
конечную периодическую дробь, найти ту обыкновенную
дробь, от обращения которой в десятичную она получи-
лась. При этом ограничимся „чистыми* периодическими
дробями, т. е. такими, у которых период начинается сразу
после знака дробности.
Пусть дана, например, дробь 0,242424..., т. е. чистая
периодическая дробь с целой частью 0 и периодом 24.
Обозначив величину этой дроби через х, возьмем ра-
венство:
х = 0,242424...
и умножим обе его части на 100; получим:
100 х = 24,242424... = 24 4- 0,242424....
Замечаем, что это последнее равенство можно переписать
в новом конечном виде (бесконечное повторение периода
исключено):
ЮОх — 24 4-*.
Мы получили уравнение 1-й степени, решение кото-
24	8 п	.	8
рого дает х — — =— . Для проверки обращаем — в де-
99	33	33
сятичнукх дробь, и после деления 8 на 33 действительно
получаем данную периодическую дробь 0,242424...
Этим способом можно обратить в обыкновенную дробь
любую чистую периодическую дробь, но только умно-
жать надо не всегда на 100: если в периоде k цифр, то
умножать надо на 10*. Для обращения в обыкновенную
дробь „смешанной* периодической дроби, т. е. такой, у
которой между знаком дробности и периодом находятся
еще цифры, надо предварительно преобразовать смешан-
ную дробь так, чтобы свести вопрос к обращению чистой
периодической дроби. Например, если дана дробь
0,8333 ..., то сперва умножаем обе части этого ра-
венства на 10, а потом, получив
10х = 8,33333 ... = 8 4- 0,333 ...,
полагаем у — 0,333 ..., и находим сперва у——, а по-
3
том и	у): Ю — у. Проверка (делением 5 на 6)
показывает, что задала решена правильно.
Характерной особенностью примененного нами метода
я 5
было исключение бесконечного повторения периода. Вот
еще задача, где применяется аналогичный прием.
Надо найти /24-/ 2Ф/2 + ... , предполагая, что
действие извлечения квадратного корня повторяется не-
ограниченное количество раз. Полагая
х — 4" У 2 У2 -{- ... f возводим обе части этого
равенства в квадрат и убеждаемся, что после переноса
числа 2 налево в правой части опять получается выра-
жение, обозначенное нами через х. Делая замену, исклю-
чаем бесконечное множество корней и приходим к квад-
ратному уравнению, из которого и определяем х:
х2 = 2 + У 2 + V 2 + /2=7 ,
х2 — 2 = У 2 + V 2 4- КГ-Ь... ,
х2 — 2 = х, х2 — х — 2 = 0,
= 0,5 Ц-]/2,25= 0,5 4- 1,5 =2, х,= 0,5 — 1,5 = — 1.
Пригодным, разумеется, является лишь положительный
корень. Итак, искомое выражение равно 2.
Правильность нашего утверждения легко проверить,
произведя следующие вычисления:
_____х^/2 =1,414;
х, = /24-/2-^-к 2'4?Т1=1/’3)414 = 1,848;
х3 =/2+Т2 = 1,961;
х4 =/2 + %3= 1,990;
х5 =/2+7, = 1,997;
х6 = /24-х5 = 1,999.
Как видим, последовательность чисел
х1 = /7 х2	/2 + /7
/ 24-/24=у17..(
которую можно продолжать как угодно далеко, состоит из
чисел, действительно приближающихся к указанному зна-
чению 2, как к своему пределу (насколько можно об этом
судить по нашему небольшому вычислению, проведенному
с точностью до тысячных).
56
Наш прием исключения бесконечного ряда повторяю-
щихся операций в рассмотренных двух случаях привел к
правильным результатам. Но рассмотрим еще одно при-
менение этого приема.
Возьмем какое угодно положительное число а, и обо-
значим буквой х сумму бесконечного числа слагаемых,
равных а\ затем производим исключение бесконечности
и приходим к неожиданному заключению, что а = 0:
х = а 4 а 4 а +...,
х а “4 4-	• • • )>
х = а х,
0 = я.
Применение нашего приема исключения бесконечности
привело здесь к противоречию между заключением (а = 0)
и исходным условием {а > 0).
Вот еще пример: обозначив через х значение алгебраи-
ческой суммы бесконечного числа слагаемых
1 -24-4 — 84 16 — 32 4-...,
имеем:
л= 1 — 2 4-4-8-f- 16 — 32-4...,
х=1 —2.(1—244 —8416 —...),
х — 1 — 2х
х 4 2z = 1, Зх = 1, х = —.
3
Ответ явно неверный, так как, находя суммы последо-
вательно возрастающего числа слагаемых, мы получим
ряд целых чисел:
х1 = 1, х9 — 1 — 2 -- — 1,
х3=1-244 = 3,
х± = 1 —2 -4 4 — 8 = — 5,
х5 = 1 — 2 44 — 8 + 16=11 ит. д.,
не обнаруживающих никакого приближения к найденному
нами числу 4- . Итак, примененный нами способ устра-
3
нения бесконечности, дающий иногда правильные резуль-
таты, иногда дает результаты явно неправильные, а по-
тому его применение требует осторожности: необходимо
выяснить, при каких условиях этот прием дает правиль-
ные результаты.
Во всех рассмотренных выше примерах, как в первых
двух, когда наш спо:об устранения бесконечности дал
57
правильные результаты, так и в последних двух, когда
он привел к неверным выводам, все выполненные нами
преобразования не вызывают никакого сомнения: все де-
лалось в строгом соответств и с правилами алгебры. Един-
ственная операция, для которой нельзя указать основа-
ния в виде некоторого правила алгебры,это само обозна-
чение результата бесконечной совокупности операций
буквой х, над которой мы в дальнейшем производим дей-
ствия, предполагая, конечно, что эта буква х обозначает
некоторое определенное, хотя нам пока еще неизвестное,
но во всяком случае конечное число. Ведь все правила
алгебры относятся к действиям над конечными числами!
Причина появления в результатах наших рассуждений в
примерах третьем и четвертом нелепых выводов в том и
заключается, что в этих примерах не существует опреде-
ленного конечного числа, которое получалось бы- после
бесконечного повторения рассматриваемых операций. Вы-
ражаясь точнее, можно сказать, что в примере третьем
мы имеем дело с бесконечной последовательностью чисел
хх — а,
х2 — а 4- a = 2а,
х2	a —j— а —а За,
х4 а Ц- а 4~ а а = 4а,...,
которая при а 4> 0 не имеет никакого предела, так как
эти числа неограниченно возрастают: как бы велико ни
было данное число А, всегда можно указать такой но-
мер п, что все члены нашей последовательности, имеющие
номера выше п, будут больше А (для этого достаточно
взять	• Обозначив это бесконечно большое пре-
дельное значение буквой х и произведя над х действия
так, как будто этот х обозначал конечное число, мы и
пришли к нелепому выводу.
Подобным же образом обстоит дело и в примере чет-
вертом. Здесь мы имеем последовательность чисел х1 = 1,
х2 — — 1, х* — 3, х4 = — 5, х5 — 11,. .., которая никакого
предельного значения не имеет. Неправильным было само
обозначение этого несуществующего предельного значения
буквой х и действия над этим х, как над конечным опре-
деленным числом.
Теперь является вопрос: а как узнать, существует ли
предельное значение у рассматриваемой бесконечной по-
следовательности чисел или нет? Ответ на этот вопрос
.=>8
дают различные изучаемые в „Теории пределов" и в „Ана-
лизе бесконечно малых" призма <и существования предела
у бесконечных после ювательностей. Укажем один такой
признак: если дана бесконечная последовательность воз-
растающих чисел'.
й3> а2>	И т- Д’,
но каждое из этих чисел меньше некоторого постоян-
ного числа Ь, то числа аъ а2, a<i9..стремятся к пре-
делу, который либо меньше Ь, либо равен Ь. Аналогич-
ный признак существует к для последовательностей убы-
вающих чисел.
В первом рассмотренном выше примере мы имели
последовательность из бесконечного числа возрастающих
чисел:
= 0,24, х2 - 0,2424, х3 = 0,242424,..,
но каждое из этих чисел меньше, например, 0,3. Сле-
довательно, предельное значение существует. Обозначив
его буквой х, мы можем спокойно оперировать над х,
как это было сделано выше, и придем к заключению,
что х — у-. Точно так же и во втором примере мы имеем
бесконечную последовательность возрастающих чисел
= 1/2, х2 = К2 + Xj , х3 -- У2 -|-х2, х4 = |/*24-х3,...,
но каждое из этих чисел меньше 2, так как каждое под-
коренное меньше 4. Следовательно, и здесь предельное
значение существует, и. его можно обозначить через х.
Итак, применяя прием исключения бесконечности, мы
только тогда можем быть уверены в правильности полу-
чаемого результата, когда предварительно установим, что
искомое предельное значение действительно существует.
§ 22.	Всегда ли целое больше своей части?
Рассмотрим множество Af всех натуральных чисел, т. е.
совокупность всех чисел 1,2, 3,4,... и т. д., и множество Q
квадратов всех целых чисел, т. е. совокупность всех
чисел 12 = 1, 2? = 4, 3? — 9, 42= 16, 52 = 25 и т. д. (Числа
1, 4, 9, 16, 25 и т. д. будем называть квадратными чис-
лами.) Всякое натуральное число является „элементом"
множества/V, всякое квадратное—„элементом" множества Q.
Каждое из этих множеств бесконечно, но ясно, что
второе множество является лишь частью первого: ведь
среди натуральных чисел 1, 2, 3, 4,... мы встречаем все
без исключения квадратные числа: 1,4, 9, 16,..., но,
кроме того, еще сколько угодно чисел, не являющихся
квадратами, как 2, 3, 5, 6, 7 и т. д.
Теперь напишем натуральные числа в порядке их воз-
растания в одну строку, и под каждым натуральным
числом подпишем его квадрат. Получим две бесконечно
длинные строки, начала которых приводим:
1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12,...,
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,....
Сопоставление этих двух строк приводит к совершенно
неожиданному заключению: оба взятых множества, а
именно множество всех натуральных чисел (первая строка)
и множество всех квадратных чисел (вторая строка)
имеют равное число элементов. Другими словами: сколько
существует натуральных чисел, столько же существует
и квадратных чисел, и обратно. Следовательно, часть
(множество Q) равна своему целому (множеству Л/).
Заметим, что математики предпочитают говорить не о
равенстве бесконечных множеств, а об их „эквивалент-
ности": два множества, конечные или бесконечные, назы-
ваются эквивалентными, если каждому элементу первого
соответствует один и только один элемент второго, и об-
ратно, каждому элементу второго множества соответст-
вует один и только один элемент первого.
Итак, имеем два факта: 1) множество Q есть часть
множества 2) множества /V и Q, тем не менее, экви-
валенты.
Во избежание недоразумений отметим еще раз, что
речь идет о множествах бесконечных, состоящих из всех
квадратных и всех натуральных чисел. Если взять конеч-
ное множество из натуральных чисел, не превышающих,
например, один миллион, и множество квадратных чисел,
тоже не превышающих один миллион, то никакой эквива-
лентности в этих двух множествах мы, конечно, не обна-
ружим: на миллион натуральных чисел у нас придется
лишь тысяча чисел квадратных, часть окажется меньше
своего целого.
Если же рассматривать все натуральные и все квад-
ратные числа, не ограничивая ничем их величину, то
окажется, что множество Q, будучи частью множества /V,
в то же время эквивалентно ему: часть равна своему целому,
60
Получив такой вывод, мы непременно заподозрим пра-
вильность наших рассуждений, так как привыкли считать
одной из основных обще-математических истин, что
часть меньше своего целого (это утверждение составляет
одну из аксиом I книги „Начал* Евклида). Но рассужде-
ния безупречны, и этот вывод приходится принять. Ак-
сиома „часть меньше своего целого" верна лишь для ко-
нечных множеств, бесконечное же множество может быть
и равно своей части. На вопрос, какое множество назы-
вается бесконечным, иногда отвечают так: бесконечным
называется всякое множество, у которого есть часть,
эквивалентная всему множеству.
Кроме алгебры конечных чисел, существует еще ал-
гебра бесконечных (или ,,трансфинитных“) чисел. Ее изу-
чает математическая наука, носящая название „Теории
множеств". Как видим, обе эти алгебры резко отличны
одна от другой. Мы получаем новое подтверждение ска-
занного в предшествующем параграфе: если мы обозна-
чаем некоторую величину буквой х и выполняем над этим х
операции по правилам обыкновенной алгебры, мы только
тогда можем быть уверены в правильности полученных
выводов, если предварительно убедимся, что х — конечное
определенное число.
§ 23. Почему произведение любого конечного числа на
нуль есть нуль?
Предположим, что а есть некоторое натуральное число.
Произведение 0 на а есть не что иное, как сумма
0Ц-0-|-...-|-04-0, в которой слагаемое 0 повторяется
а раз, а потому 0-<7 — 0. Но на основании чего утверждают,
что и а-0 тоже равно нулю? Иногда приходится слышать
такое объяснение: умножить а на 0, значит взять а нуль
раз слагаемым, т. е. вовсе не брать ни одного слагаемого;
но если ничего не брать, то ничего и не получится, а по-
тому это произведение а • 0 равно ничему, т. е. нулю.
Чтобы показать неправильность такого рассуждения,
достаточно применить его к действию возведения в сте-
пень. Ведь ак есть произведение k множителей, каждый
из которых равен а; возвести а в степень с показателем 0
значит взять число а нуль раз сомножителем, т. е. не
брать ни одного сомножителя; но если ничего не брать,
то ничего и не получится, а потому а° = 0.
Как видим, мы пришли к противоречию с установлен-
61
ной в алгебре формулой а" — 1, каково бы ни было а.
Значит, так рассуждать нельзя.
Правильное объяснение происхождения формулы
а-0 — 0 требует ссылки на переместительное свойство
произведения (ab — ba). По первоначальному определению
действия умножения (на натуральное число) произведе-
ние ab есть сумма b слагаемых, каждое из которых
равно а. Это определение теряет смысл при £ —0, и для
этого случая нужно новое, дополнительное определение.
Выставив требование сохранения переместительного свой-
ства произведения и при нулевом множителе, мы при-
ходим к заключению, что а-0 = 0-я. Но 0, а по-
тому и а-0 — 0.
§ 24. Всегда ли аэ—1?
Когда говорят, что любое число а в нулевой степени
равно 1, то обычно упускают из виду необходимость ого-
ворки о том, что а неравно нулю. Действительно, фор-
мула aQ =1 получается в результате распространения
формулы ап:ak = an~~k, доказываемой для на слу-
чай n = k, когда левая часть дает 1, правая а0. Но деле-
ние ап на ak имеет смысл лишь при условии, что а =4 0,
а потому и формула aQ = 1 устанавливается лишь для
а т^0. В элементарной алгебре выражение 0° вовсе не
имеет смысла. В высшей математике рассматривается вы-
ражение . uv (так • называемая „степенно-показательная
функция*), где и и v — переменные величины; если как и,
так и v приближаются к нулю, то uv может в зависимо-
сти от закона изменения и и v приближаться к какому
угодно предельному значению, а потому выражение 0°
о
столь же неопределенно,
как и —.
о
Чтобы подтвердить сказанное примером, возьмем
и = 10 х = -Ц-, v — — (х Д- х2), и будем давать переменной
юЛ'
х ряд положительных и приближающихся к нулю числовых
значений. Тогда — будет неограниченно возрастать, оста-
ваясь больше нуля, неограниченно же возрастать будет и
1
10*, а значения и~—г будут, следовательно, прибли-
10 ~
62
жаться к нулю. Равным образом приближаться к нулю будут
0	1 \— (.v4--V2)	I -J- Л
о~т) =10
будет приближаться к 10, и мы получаем в настоящем
__ i
случае 0° = 10. Взяв и = а * , где а произвольное
положительное число, мы пришли бы точно таким же пу-
тем к заключению, что 0° = я.
§ 25. Сумма бесконечного числа нулей есть единица.
Возьмем две переменные величины х и у, стремящиеся
соответственно к пределам а и Ь, и рассмотрим третью
переменную величину z, равную сумме	Когда х
стремится к а, а у к Ь, то z = x-\-y стремится к а-\-Ь:
предел суммы равен сумме пределов. Так, если взять
1	1
х = — ,у = — и предположить, что п неограниченно воз-
п	п
растает, то х и у будут переменными величинами, стре-
мящимися к одному и тому же пределу 0. Ясно, что пе-
ременная величина г, равная сумме x-j-у, стремится к
пределу, равному 0 + 0, т. е. тоже к нулю.
Возьмем теперь не две, а п дробей, равных —, и най-
п
дем предел их суммы, предполагая, что п неограниченно
возрастает:
предел (—4^4 — 4~ • • • + + —
\ п П 11	п J
„п№ слагаемых
1 । 1 ,
— предел — -+ предел----1-- предел-[-••••
Сумма в левой части имеет постоянное значение
и i
~ — 1,.а потому и предел ее равен 1, в правой же части
каждое слагаемое равно нулю, и мы приходим к равенству:
1 = 0+ О-J-0+-... (без конца).	(2)
Но сумма любого числа нулей есть нуль, а потому из
равенства (2) вытекает, что 1=0.
Разъяснение. Причина получения этой нелепости —
неосторожное применение теоремы о пределе суммы. Эта
теорема, доказываемая в теории пределов, говорит, что
63
Предел суммы любого конечного числа переменных слагае-
мых, имеющих пределы, равна сумме их пределов. Приме-
нять эту теорему к той сумме из п слагаемых, которая
фигурирует в левой части равенства (1), нельзя: эта сумма
состоит из п слагаемых, а мы предполагаем, что число п
неограниченно возрастает.
§ 26. Любое число есть произведение бесконечного
множества единиц.
Возьмем произвольное число х и напишем следующие
очевидные тождества:
х — 1 (х — 1) (х — 3) _ х2 — 4х -j- 3	z. v
. х — 2~(х — 2)(х —Т) “	5x4-6’	' '
Х-^ = (Х2_ 4х + 3)----------.	(2)
х —2	1 7 х2-5х + 6	4 7
Берем, далее, квадратный корень из произвольного
числа N и возводим его в степень, показателем которой
является сперва левая, потом правая часть тождества (2).
Получаем тождество:
(//V)*~2(/д/)(^'4^3)-	>
или, что то же:
(/Л/) = [(/wr~4v+3J *2~5*+6 '	(3)
Полагая в тождестве (3) х = 3, имеем:
(Кд/)2 = [(|/м)°р,	(4)
или, принимая во внимание, что (КМ° — — = с0 , полу-
чаем, что
/V=l°° = bbl. ...
Итак, произвольное число А/ мы представили в виде
произведения бесконечного множества единиц, откуда
заключаем, что N—1.
Разъяснение. Чтобы выяснить ошибку, которая
приводит к столь нелепому выводу, надо рассмотреть
характер равенства (1). Конечно, это равенство — тожде-
ство, верное при всех значениях буквы х, но с одной
оговоркой: нельзя брать х = 3, так как при х = 3 левая
64
о	О
часть принимает значение 2, правая же обращается в —
и равна, следовательно, чему угодно: нельзя сказать, что
, О
2=—, так как это равносильно утверждению, что 2
равно любому другому числу.
Ясно, что в тождествах, полученных из тождества (1),
букве х можно давать какое угодно значение, только не 3.
ЛАежду тем при переходе от тождества (3) к тождеству (4)
мы взяли как раз х = 3, а это и привело к нелепости.
§ 27. Еще одно „доказательство" равенства двух
неравных чисел.
Мы уже видели (в § 5—9), с какой осторожностью
надо делать заключение о числах а и Ь, если известно,
что а2 — Ь2 или az = b\ Однако, если числа а и Ь оба
действительны и положительны, то из равенства ап = Ьп
можно, казалось бы, смело заключить, что а~Ь.
Возьмем два произвольных действительных числа а и
Ь, притом оба больше 1, и сравним дроби ~ и	где п
произвольное натуральное число. Чем больше п, тем
меньше разница между этими двумя дробями, так как обе
они стремятся к нулю. В пределе, при п~ оо, дроби ста-
новятся равными, так как каждая из них обращается в
нуль:
JL—1.1.1 ... = о,
а00	а а а
_L = 1. JL. 1... —о.
b™	b b	ь
Так как число одинаковых сомножителей в обоих по-
следних произведениях одинаково, то равенство произведе-
ний влечет за собой равенство сомножителей. Таким об-
разом — — —, а потому а = Ь.
а b
Разъяснение. Ошибка состоит в том что из равен-
ства = которое безусловно верно при 1, b> 1
и которое можно переписать в виде а"°° = мы сде-
лали неверное заключение о том, что а — Ь. Очевидно,
нужна еще одна оговорка: из равенства ап--Ьп следует
5—646	65
равенство а — b, если числа а и b действительны и поло-
жительны и если п произвольное конечное число.
§ 28. О сумме 1 —	— !+••••
Пусть имеется сумма (алгебраическая) бесконечного
числа слагаемых, равных поочередно плюс единице и ми-
нус единице; попробуем найти значение этой суммы.
Обозначив ее через х, имеем:
х=1 — 1 + 1 — 1 + 1 — ....	(1)
Переписав равенство (1) в несколько преобразованном
виде, а именно:
х = 1— (1 — 1 + 1 — 1 + 1—...),
замечаем, что в скобке у нас получилась снова первона-
чально взятая сумма; заменяя ее через х, имеем уравнение
х = 1—х, с корнем х —0,5.
Но если мы будем находить значение х интересующей
нас суммы (1), предварительно заключив в скобки каж-
дую пару слагаемых, состоящую из одного положитель-
ного и одного отрицательного слагаемого, то получим:
х = (1-1) + (1-1)+(1-1) + ...
х = оц о + он-...
х = 0.
Можно действовать еще по другому. Будем соединять
слагаемые в пары, начиная не с первого, а со второго
слагаемого, и ставить перед каждой парой слагаемых знак
минус. Тогда получим, что
х=1 —(1 —1) —(1 —1) —....
х = 1—0 —0—...»
х = 1.
Наконец, переставив каждое положительное слагаемое
на место отрицательного и обратно, мы придем к сумме:
х — 1 —|- 1 — 1 -j- 1 1 -Б 1 — 1 • • • >
X	1 +(1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ..
х= —14-0+0+0...,
' х = — 1.
Итак, действуя четырьмя различными и, казалось бы,
одинаково правильными способами, мы пришли к четырем
различным заключениям о значении х, а именно х оказал-
66
ся у нас равным 0,5, 0, -|-1,— 1. Это можно рассматривать
как „доказательство" явной нелепости, что
0,5 = 0 = + 1= —1.
Разъяснение. Читатель, уже ознакомившийся с § 21,
конечно, давно понял, в чем тут дело: наша сумма беско-
нечно большого числа слагаемых вообще не имеет никакого
определенного значения, так как последовательное сумми-
рование все большего и большего числа слагаемых не дает
приближения ни к какому предельному значению:
х1 = 1, х2=1 —1 =0, х3 = 1 — 1 + 1 = +1,
х4=1 —1 + 1 —1=0..................
Ошибка первого рассуждения, которое привело к зна-
чению 0,5, заключалась в том, что мы производили над х
действия, не установив предварительно, что буква х озна-
чает определенное конечное число. Во втором рассужде-
нии, которое дало х = 0, мы воспользовались так называе-
мым сочетательным свойством алгебраической суммы: в
любой алгебраической сумме, состоящей из конечного числа
слагаемых, можно заключить произвольное число слагаемых
в скобки. Перенесение этого сочетательного свойства на сум-
му бесконечно большого числа слагаемых ничем не оправ-
дано, и полученный результат (определенное числовое зна-
чение, а именно 0, для выражения, явно не имеющего ника-
кого определенного числового значения) обнаруживает, что
такое перенесение может привести к неверному заключению.
В третьем рассуждении, приведшем к значению х= 1, мы
опять незаконно использовали это сочетательное свойство
конечной алгебраической суммы в применении к сумме из
бесконечного числа слагаемых. В четвертом рассуждении,
в котором мы нашли, что х = — 1, мы имеем опять-таки
незаконное использование сочетательного свойства, но,
кроме того, незаконное же использование свойства пере-
местительного'. как известно, значение алгебраической
суммы из конечного числа слагаемых не изменяется от
перемещения слагаемых, если каждое слагаемое переносить
с тем знаком, какой стоит перед ним; перемещая же
слагаемые в сумме, содержащей бесконечное множество
слагаемых, мы в некоторых случаях изменяем значение
этой суммы.
Итак, все наши четыре рассуждения — сплошное нагро-
мождение ошибок, основанных на применении к сумме из
бесконечного множества слагаемых таких приемов, кото-
5*	67
рые законны лишь в применении к суммам из конечного
числа слагаемых.
§ 29. Квадратные рубли.
Как известно, всякие два равенства можно перемно^
жать почленно. Применяя эту теорему к следующим двум;
равенствам:
а рублей=100а копеек,
1 рубль =100 копеек,
мы получим новое равенство:
а рублей = (100а • 100) копеек,
или
ш	а рублей — 10000а копеек,
что явно неверно.
Отметим, что, взяв вместо денежных единиц единицы
длины и поступая точно так же, мы не получим ничего
неверного:
а м = 100а см,
1 м = 100 см,
а кв. м = (100а-100) кв. см,
или
а кв. м~\0>Ж)а кв. см,
что совершенно правильно.
Получив от умножения чисел, выражающих метры, чис-
ло, выражающее уже не простые (линейные), а квадратные
метры, мы догадываемся, в чем была допущена ошибка,
когда мы имели дело с деньгами: умножить а рублей на
1 рубль нельзя, так как никаких „квадратных рублей" и
„квадратных копеек" не существует.
Иногда говорят, что множимое может быть и отвле-
ченным, и именованным числом, множитель же должен
быть обязательно числом отвлеченным. Уже такое умноже-
ние, как 2 м X 3 м — Ъ кв. м, показывает, что это неверно.
Можно указать еще сколько угодно примеров умножения
именованного числа на именованное. Так, количество ра-
боты, которую надо затратить для выполнения некоторого
задания, выражают обычно числом рабочих дней, т. е.
произведением числа рабочих на число дней, в течение
которых они будут заняты; работу транспорта характе-
ризуют числом пассажиро-километров (произведением
числа пассажиров на число километров). Каждый раз
68
умножение двух именованных чисел приводит к некоторой
новой, сложной единице. Почленное умножение двух
равенств между именованными числами законно всегда,
когда существует соответствующая сложная единица. Так,
имея равенства:
1 т — 1000 кг, 1 км = 1000 м,
мы можем перемножить их почленно, и получим совер-
шенно правильный результат:
1 т-км — 1 000 000 кг-м,
говорящий, что для подъема груза в 1 т на высоту в 1 км
надо затратить в миллион раз больше работы, чем для
подъема груза в 1 кг на высоту 1 м.
§ 30. Ахиллес и черепаха.
Отметим на горизонтальной прямой две точки А и В
на расстоянии 100 м одна от другой (А левее, В правее).
Положим, что по этой прямой движутся две точки М и
N, одновременно выходящие из точек А и В, обе слева
направо, но точка М со скоростью 10 м в секунду, точка W
со скоростью лишь 1 м в секунду (обе скорости пред-
полагаются постоянными).
Будем доказывать, что точка М, догоняющая точку N,
никогда ее не догонит.
Когда точка М достигнет точки В, точку N она здесь
уже не застанет: эта последняя будет уже впереди, в не-
которой точке Вг. Когда точка М доберется до точки BJt
точки N здесь опять-таки уже не будет, так как она
успеет перейти в некоторую новую точку В2, расположен-
ную правее Когда М достигнет В2, точка N будет уже
в точке В3, расположенной еще правее. Повторять это
рассуждение можно сколько угодно раз, а потому прихо-
дится признать, что точка М никогда не догонит точки N,
хотя движется быстрее ее в 10 раз.
Где же ошибка в этом, с виду правильном, рассужде-
нии, которое привело нас к такой нелепости?
Разъяснение. Посмотрим, как расположены те точки
А, В, Bv В2, В3, В4 и т. д., о которых была речь, и сколько
времени надо точке М, чтобы пройти отрезки АВ, BBit ВХВ2,
В2В3 и т. д. По условию, АВ — 100 м. Отрезок ВВ{ точка 2V,
двигаясь со скоростью 1 м в секунду, проходит за то
время, в течение которого точка М, двигаясь со скоростью
69
Юл/ в секунду, проходит отрезок Л8=Ю0л/, т. е. за
100 : 10=10 секунд; легко видеть, что ВВХ — 10 л/. Точно
так же устанавливаем, что для перехода от В к Вх точке М
нужна 1 секунда (в течение которой точка N пройдет
отрезок ВХВ2 — 1 ж), а для перехода от В{ к В2 нужна 0,1
секунды (за этот промежуток точка М пройдет отрезок
5283 = 0,1 м). Повторяя эти рассуждения, легко убедимся,
что расстояния (в метрах) между точками А и В, В и Blf
Bt и В2 и так далее образуют бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию:
100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001 ...,
а промежутки времени (в секундах), в течение которых
точка М проходит эти расстояния, образуют другую та-
кую же прогрессию:
10, 1, 0,1, 0,01, 0,001;...
Приведенное выше рассуждение, „доказывающее", что
точка М никогда не догонит точку А/, действительно до-
казывает, что точка М не догонит точку N в течение
времени, равного сумме любого числа п промежут-
ков 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001,.... Но сумма «членов этой про-
грессии равна:
£ _ 10-10-0,1” _ 10_______10-0,1”
п~~	1—0,1	“1—0,1	1—0,1
10	10	- 5 1	~
и всегда меньше числа -------------—— = 11—.	Следова-
1 — 0,1	0,9	9
тельно, наше рассуждение доказывает лишь то, что точка М
не догонит точки /V ни в какой промежуток времени,
меньший 11 у секунды. А в этом утверждении ничего
абсурдного нет: точка М сближается с точкой V на
10—1—9 м в секунду, и догонит ее, т. е. сблизится на
все первоначально бывшее между ними расстояние в 100 м,
как раз через 100 : 9 = 11-^- секунды, но не раньше.
Только что рассмотренный софизм был указан грече-
ским философом Зеноном еще в V веке до нашей эры:
Зенон доказывал, что как бы быстро ни бежал Ахиллес
(легендарный греческий герой), он никогда не догонит
медленно ползущую черепаху, и ставил тем самым под
сомнение истинность тех выводов, к каким приходит чело-
70
Веческий ум. Как видим, достаточно знать формулу для
суммы членов геометрической прогрессии, чтобы убедиться
в том, что никакого противоречия между результатом
рассуждения и действительным положением вещей здесь
нет.
Отметим, кстати, что впервые формулу для суммы
членов геометрической прогрессии мы находим у Евклида
в IX книге „Начал" (III век до нашей эры).
§ 31. О двух ученических ошибках.
В заключение настоящей главы, отведенной рассмот-
рению ошибок в алгебраических рассуждениях, укажем
две очень простые, но, к сожалению, очень часто допу-
скаемые ошибки.
Первая из них относится к сокращению алгебраических
дробей: зачеркивают одинаковые буквы в числителе и
знаменателе дроби, не заботясь о том, означают ли эти
буквы множители всего числителя и всего знаменателя,
или нет. Так, производят сокращение дроби ----- х— нал
и получают дробь забывая о том, что сократить
дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель
на одно и то же число, и что хотя для деления одно-
членного числителя а2х на х достаточно зачеркнуть в
нем х, для деления двучленного знаменателя Ь2 + сх на х
надо разделить на х каждый член, как д2, так и сх. После
деления на х данная дробь примет такой вид:
а2
а вовсе не---^ . Наше „сокращение" привело к неудобной
„трехэтажной" дроби, и делать его здесь, конечно, не сле-
дует.
Итак, надо твердо помнить, что при сокращении алге-
браических дробей можно зачеркивать лишь одинаковые
множители всего числителя и всего знаменателя. Не со-
блюдая этого правила, легко притти к такому за-
ключению:
2а6 _ 2b _	2	_ j
а + Ь ~~ 1 + 6 “ 1 + 1 ~
•	71
Совершаемая при таком „сокращении" ошибка сво-
дится к нарушению так называемого распределительного
закона (или распределительного свойства) для частного
от деления алгебраической суммы. Закон этот говорит, что
для деления суммы на некоторое число надо разделить
на это число каждый член этой суммы, и выражается
формулой:
(а -Ь : с = а ’•с + : с>
Другая, тоже очень распространенная, ошибка заклю-
чается в почленном извлечении корня из суммы: считают,
что для извлечения корня из суммы надо извлечь корень
из каждого слагаемого отдельно, т. е. что У а2 -]-Ь2 = а -|- Ь.
Ясно, что это неверно: ведь (а-|-&)2 равно а2 -[- 2аЬ-\- Ь\
а не л2-|-&2. Равенство У а2 -{-Ь2~ а -\-Ь является очевидной
нелепостью и с точки зрения геометрии: ведь оно выра-
жает равенство гипотенузы и суммы катетов в произ-
вольном прямоугольном треугольнике! Оказывается, что
действие извлечения корня не обладает распределитель-
ным свойством по отношению к сумме и разности, но
обладает им по отношению к произведению и частному:
Уа^Ь	У a + УЬ~ УаЬ = УТГ/У,
У а : b = У а : УЬ.
Отметим, что действия второй ступени (умножение и
деление) обладают распределительным свойством по от-
ношению к результатам действий первой ступени (сло-
жения и вычитания). Действия третьей ступени (возве-
дение в степень и извлечение корня) обладают распреде-
лительным свойством по отношению к результатам дей-
ствий второй ступени и не обладают им по отношению к
результатам действий первой ступени. Особо обстоит дело
с третьим действием третьей ступени — логарифмирова-
нием: как известно, 1g (ati) — 1g a-(-lg b, 1g (a: b) = 1g a—lg b>
а для lg(^ + 6) й lg (a — Ь) простых выражений черезlgя
и lg b не существует.
ГЛАВА III.
ГЕОМЕТРИЯ.
§ 1. Во всякой окружности можно указать хорду,
не проходящую через ее центр,
но равную тем не менее ее диаметру.
В произвольной данной окружности проведем диаметр
АВ и хорду АС (черт. 5). Находим середину D этой хор-
ды и через точки В и D проводим хорду BE. Соединив
точки С^и Еу получаем пару
треугольников ABD и CDE.
Углы ВАС и СЕВ равны jr	.
как вписанные (в одну и /	\
ту же окружность), опира- /	\
ющиеся на одну и ту же /	\
дугу; углы ADB и CDE рав- /	о	|в
ны как вертикальные; сто-
роны AD и CD равны по \	°/
построению. Отсюда заклю- \	/
чаем, что треугольники ABD	/
и CDE равны (по стороне и f
двум углам)/ Но стороны
равных треугольников, ле-
жащие против равных уг-	Черт. 5.
лов, сами равны, а потому
АВ = СЕ> т. е. диаметр окружности оказывается равным
некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде,
что, однако, невозможно, так как диаметр больше всякой,
не проходящей через центр окружности, хорды.
Разъяснение. Внимательный пересмотр приведен-
ного рассуждения легко обнаруживает допущенную в нем
ошибку. Она заключается в неправильном применении те-
оремы о равенстве треугольников по двум углам и сто-
роне. Точный текст этой теоремы таков: если сторона и
73
два прилежащих к ней угла одного треугольника соот-
ветственно равны стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, то эти треугольники рав-
ны. У нас же сторона AD и два прилежащих к ней угла
BAD и BDA треугольника ABD соответственно равны
стороне CD и двум углам CED и CDE треугольника CDЕ,
но из двух последних углов лишь один (CDE) является
прилежащим к стороне CD, другой же (CED) лежит про-
тив нее. Теоремы о равенстве треугольников применить
нельзя, треугольники ABD и CDE не равны, а только по-
добны, заключение о равенстве диаметра АВ и хорд^СЕ
отпадает.
Допущенная выше ошибка очень поучительна. Она яс-
но показывает, как внимательно нужно относиться к тем
условиям, которые должны быть выполнены, чтобы можно
было применять теорему, и как осторожно надо пользовать-
ся сокращенными формулировками текстов теорем;
§ 2. 64 кв. см = &§ кв. см.
Возьмем квадрат со стороной в 8 см и разрежем его
на четыре части, две трапеции и два прямоугольных тре-
угольника, как показано на чертеже 6а. Укладывая эти че-
тыре части в другом порядке, а именно так, как показано
на чертеже 66, мы получим прямоугольник с основанием
5 см-\- %см=-13 см и высотой 5 см. Площадь этого прямо-
угольника равна 13 см X 5 см — 65 кв. см, в то время как
площадь первоначально взятого квадрата равнялась
8 см X 8 см — 64 кв. см.
Черт. 6а.
Каким же образом могло получиться, что простое пе-
рекладывание частей фигуры привело к увеличению их
общей площади? Площадь первоначально взятого квадра-
та равна 64 кв. см — в этом не может быть никакого
74
сомнения. Площадь каждой получившейся после разрезл-
нИя трапеции равиа ~ X (5 см 3 см) X 5 см = 20 кв. см,
площадь каждого прямоугольного треугольника равна
X X 3 см X 8 см = 12 кв. см.
9
Следовательно, общая площадь всех четырех частей
равна (20 кв. см -}- 12 кв. см) X 2 = 64 кв. см, как и должно
быть. Из этих четырех частей общей площадью в 64 кв. см
никоим образом нельзя построить фигуру площадью в
65 кв. см. Между тем у нас получился прямоугольник
со сторонами 5 см и 13 см, площадь которого равна 65 кв. см.
Естественно возникает вопрос: действительно ли является
прямоугольником фигура, получившаяся у нас после пере-
кладывания?
Разъяснение. Трапеция ABCD с основаниями
АВ = 5 см и CD — 3 см и высотой AD = 5 см имеет при вер-
шинах AnD прямые углы. Прикладывая к ней треугольник
CDE с прямым углом при вершине D и катетами CD = 3 см
и DE — Scm, мы получим новую фигуру, ограниченную сни-
зу прямолинейным отрезком АЕ, так как два прямых угла
ADC и CDE дают в сумме выпрямленный угол. Но будут
ли лежать eq одной прямой линии стороны ВС и СЕ?
Хотя на-глаз кажется, что это так, но уже тщательно
выполненный чертеж ясно показывает, что в действитель-
ности линия ВСЕ—ломаная, а не прямая. Всякое сомне-
ние в этом вопросе устраняется, если мы заметим, что
в случае прямолинейности ВСЕ у нас получается пара
подобных треугольников АВЕ и CDE, у которых отно-
шение вертикальных катетов АВ к DC, лежащих против
Черт. 7.
75
общего угла Е, равно 5:3 = 1,666... , а отношение
горизонтальных катетов АЕ и DE равно 13:8= 1,625.
Таким образом, фигура, полученная после перекладывания,
не прямоугольник. Она превращается в прямоугольник
лишь после добавления к ней длинного и узкого парал-
лелограма, хорошо видного на чертеже 7 и имеющего пло-
щадь как раз в 1 кв. см.
Итак, в настоящем недоразумении виноват наш глаз,
не замечающий небольшой разницы в направлениях от-
резков ВС и СЕ\
§ 3.	Внешний угол треугольника равен внутреннему,
с ним несмежному.
На произвольном отрезке АВ строим произвольный
четыреугольник ABCD (черт. 8), но так, чтобы углы при
вершинах В и D имели суммой 2rf=180°:
A ADC А- /.АВС—2d.	(1)
Через точки А, С, D
проводим окружность,
которая пересечет
стороны АВ и ВС,
положим, в точках Ей
F. Соединив точки С
и Е, получим впи-
санный в эту окруж-
ность четыреугольник
ADCE. Но сумма про-
тивоположных углов
всякого вписанного
четыреугольника, как
известно, равна 2d, а
потому
/ADC + /АЕС — 2d.
(2)
Сопоставление равенств (1) и (2) дает:
откуда
Z ADC + Z АВС = L ADC + L АЕС,
£АВС = /.АЕС,
и внешний угол треугольника ВСЕ, а именно угол ЛЕС.
оказывается равным одному из внутренних углов этого
76
же треугольника, а именно углу АВС, несмежному с этим
внешним. Получилось противоречие с известной теоремой
о свойстве внешнего угла треугольника.
Разъяснение. В происшедшем здесь недоразуме-
нии виноват чертеж. Выполняя его со всей тщательностью,
мы убедимся, что проведенная через точки А, С, D
окружность пересечет стороны АВ и ВС в точке их пере-
сечения В, и никакого треугольника ВСЕ не окажется.
Через три взятые нами точки А, С, D, не лежащие на
одной прямой, провести окружность можно всегда. Но
дальше надо сделать три единственно возможных пред-
положения: вершина В может оказаться либо вне этой
окружности, либо внутри ее, либо на ней. Первое предпо-
ложение, как мы только что видели, ведет к противо-
речию. К такому же противоречию ведет и второе пред-
положение (в этом легко убедиться, сделав новый чер-
теж). Остается одна лишь возможность — окружность
должна пройти как раз через точку В.
§ 4.	Окружность имеет два центра.
Построим произвольный угол АВС и, взяв на его сторонах
две произвольные точки D иЕ, восставим через эти точ-
ки перпендикуляры к сторонам угла (черт. 9а и 96). Пер-
пендикуляры эти должны пересечься (если бы они были
параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ),
Обозначим их точку пересечения буквой F.
Через три точки D, Е, F проводим окружность, чт^
всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одно^
Ъ
прямой. Ёсли при этом Точка В окажется вне окружности
(черт. 9а), то после соединения точек пересечения Н и G
с точкой F мы получим два вписанных в окружность
прямых угла GDF и HEF, Отюда заключаем, что каж-
дая из дуг GHEF и HGDF равна полуокружности (впи-
санный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается!), а потому отрезки GF и HF— диаметры на-
шей окружности. Следовательно, точки О и Ор делящие
отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что
иное, как два центра этой окружности. Предположение,
что точка В окажется внутри окружности, проведенной
через точки Z), Е, F (черт. 96), приводит к тому же
заключению.
Разъяснение. Два сделанных предположения о по-
ложении точки В относительно окружности не исчерпы-
вают всех возможностей: эта точка В может находиться
не вне и не внутри, а на окружности.
Тогда две точки G и Н пересечения окружности со
сторонами угла сливаются в одну, совпадающую с В, и
вместо двух диаметров GF и HF мы получим один, а
именно BF, Противоречие, к какому приводят предполо-
жения о том, что точка В находится вне или внутри
окружности, доказывает, что единственно правильным яв-
ляется третье предположение, при котором неправильный
вывод отпадает.
§ 5.	Любой треугольник —равнобедренный.
Возьмем произвольный треугольник АВС и предполо-
жим, что АС > ВС, Проведем биссектрису ССХ угла АСВ
и симметраль DDX стороны АВ (симметралью отрезка
называют прямую, делящую отрезок пополам и перпен-
дикулярную к нему). Эти две линии ССХ nDDx не могут
ни совпадать друг с другом, ни быть параллельными, так
как в обоих этих случаях биссектриса служила бы одно-
временно и высотой, что возможно лишь в равнобедрен-
ном треугольнике, т. е. при АС = ВС, Следовательно, пря-
мые СС{ и DDy обязательно пересекаются в некоторой
точке Е. Относительно этой точки Е единственно воз-
можны три таких предположения: либо точка Е нахо-
дится внутри треугольника АВС, либо вне его, либо на
стороне АВ.
Чертеж 10а соответствует первому предположению.
Проводим отрезки АЕ и BE, а также EF I АС и EG ВС.
78
Прямоугольные треугольники СЕ? и С EG равны по Гипо-
тенузе СЕ и катетам EF = EG (точка Е, находясь на бис-
сектрисе угла С, одинаково удалена от его сторон), а
потому CF=CG. Прямоугольные треугольники ADEиBDE
тоже равны — по общему катету DE и равным катетам
AD — BD, а потому АЕ = ВЕ. Наконец, прямоугольные
треугольники AEF и BEG равны в силу равенства гипотенуз
АЕ и BE и катетов EF и EG\ следовательно, AF—BG.
Почленное сложение равенства CF—CG и AF = BG при-
водит к равенству АС = ВС, противоречащему усло-
вию АС>ВС. Получается, что всякий неравнобедренный
треугольник есть в то же время равнобедренный!
К тому же заключению мы придем, сделав предполо-
жение, что точка Е не внутри, а вне треугольника АВС
(черт. 106). Рассмотрение треугольников EFC и EGC,
EAD и EBD, EAF и EBG позволяет установить, что
CF — CG, AF — BG, а почленное вычитание последних ра-
венств приводит к выводу, что АС —ВС.
Ничего не меняет и предположение, что точка Е ока-
зывается на стороне АВ, т. е. совпадает с точкой D
(черт. 10в). Равенство треугольников ADF и BDG,
CDF и CDG влечет за собой равенства AF—BG, FC — GC,
откуда опять АС —ВС.
Итак, при каждом из трех сделанных предположений
получается один и тот же нелепый вывод. В чем же
ошибка?
Разъяснение. Аккуратное выполнение чертежа
сразу укажет, в чем причина противоречия, но установить
ее можно и без нового чертежа следующим рассуждением.
79
Опишем около i\ABC окружность и продолжим симмет-
раль DD, и биссектрису ССХ до пересечения с нею. Сим-
метраль DDX, будучи перпендикуляром к хорде АВ, про-
веденным через середину этой хорды, пройдет через се-
редину дуги АВ, которая стягивается этой хордой. Но
биссектриса угла АСВ тоже должна пройти через сере-
дину этой дуги: иначе вписанные углы АССХ и ВССХ, из-
меряемые половинами соответствующих дуг, не были бы
равны друг другу. Следовательно, эта середина дуги АВ,
являясь общей точкой биссектрисы и медианы, есть не
что иное, как их точка пересечения Е. Итак, точка Е на-
ходится непременно вне треугольника — предположения
первое и третье отпадают, остается предположение вто-
рое, которому соответствует чертеж 106.
Четыреугольник АЕВС оказывается таким образом
вписанным в окружность. Но у всякого вписанного в
окружность четы реугольника сумма каждых двух противо-
лежащих углов равна, как известно, 2d, а потому об уг-
лах ЕАС и ЕВС можно сделать два предположения: либо
оба они прямые, либо один из них острый, другой тупой.
Если имеет место первое, то перпендикуляры EF и EG,
опущенные на стороны АС и ВС, совпадают со сторона-
ми ЕА и ЕВ, и прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ
равны, как имеющие общую гипотенузу СЕ и равные ка-
теты АЕ—ВЕ. Следовательно, АС —ВС, что противоре-
чит условию АС > ВС. Таким образом предположение, что
Z ЕАС = L ЕВС — d, отпадает, и из этих двух углов
один острый,' другой тупой.
Отсюда заключаем, что рас-
положение треугольников
AEF и BEG, показанное на
чертеже 106, не соответст-
вует действительности: обе
точки F и G не могут быть
вне треугольника АВС, так
как тогда оба угла ЕАС и
ЕВС были бы тупые. Пра-
вильным будет лишь распо-
ложение, показанное на чер-
теже 11, где одна из точек
F и G находится внутри
треугольника АВС, другая
же вне его. Но тогда из
равенств CF=CG vlAF=BG
В
G
£
Черт. 11.
80
отнюдь не вытекает, что АС —ВС, так как АС — AF-\-CF,
а ВС =CG —BG, и никакого противоречия с условием
АС^>ВС не получается.
§ 6.	Из точки на прямую можно опустить два
перпендикуляра.
Возьмем какой-нибудь треугольник АВС и на сторонах
его АВ и ВС, как на диаметрах, опишем окружности /
и // (черт. 12). Точки D и Е пересечения этих окружно-
стей со стороной АС соединим с точкой В. Угол BE А, бу-
дучи вписанным в окружность / и опирающийся на диа-
метр, есть прямой, а потому ВЕ\_АС. Угол BDC, как впи-
санный в окружность II и опирающийся на ее диаметр,
тоже прямой, и следовательно, BD_\_AC. Таким образом,
из точки В опущены на прямую АС два перпендикуляра
BE и BD.
Черт. 12.
Разъяснение. В получившемся противоречии опять
виноват чертеж. Обозначив вторую^ точку пересечения
окружностей 1 и II буквой F и соединив F с точками А, В
и С, легко убеждаемся, что L AFB = L CFB — d, а. потому
отрезки AF и CF лежат на одной прямой АС. Следова-
тельно, эта прямая АС пересекается окружностями I и II
не в. двух различных точках D и Е, а в одной точке F,
и существует один только перпендикуляр BF, опущен-
ный из точки В на прямую АС.
§ 7.	Через две данные точки можно провести
две прямые.
Возьмем произвольный треугольник АВС (черт. 13) и
на каждой из его сторон АВ и АС, как на диаметрах,
е—646	si
построим по окружности. Пересекаясь в точке Л, эти две
окружности пересекутся еще в одной точке; обозначим
ее буквой D. Угол ADB, как вписанный в окружность и
опирающийся на ее диаметр АВ, есть прямой. По той же
причине угол ADC, опира-
ающийся на диаметр АС,
тоже прямой. Углы ADB и
ADC, имеющие общую вер-
шину D, общую сторону AD
и составляющие в сумме 2d,
имеют две другие сто-
роны BD и DC на одной
прямой. Следовательно, ли-
ния BDC не ломаная, как
показано на чертеже, а пря-
мая. Итак, на чертеже по-
с лучаются две прямые, сое-
диняющие точки В и С:
прямая BDC и прямая ВЕС.
Черт. 11	Разъяснение. Конеч-
но, приведенное рассуждение
показывет лишь то, что точка D лежит на прямой ВС, со-
впадая с точкой Е\ окружности, построенные на сторо-
нах АВ и АС треугольника АВС, как на диаметрах, пере-
секаются в точке D, которая является основанием пер-
пендикуляра, опущенного из вершины А на сторону ВС.
§ 8.	Отрезки параллельных прямых, заключенные
между сторонами угла, равны.
Возьмем произвольный угол и
пересечем его стороны двумя про-
извольными параллельными прямы-
ми. Пусть АВ и CD будут отрезки
параллельных, заключенные между
сторонами этого угла, а трчка Е —
его вершина (черт. 14).
Как известно, параллельные пря-
мые отсекают от сторон угла про-
порциональные отрезки; следова-
тельно,
AE\CE = BE*.DE
и
AE-DE = BECE.
(1)
. Черт. 14.
13
Умножйв обе части последнего равенства на разность
АВ — CD, производим следующие простые преобразования:
АЕ • DE* АВ — AE*DE*CD = BE • СЕ • АВ — BE • СЕ • CD,
AE*DE*AB — BE*CE*AB — AE*DE*CD — BE*CE*CD,
АВ {АЕ *DE—BE* СЕ) = CD {АЕ *DE — BE • СЕ).	(2)
Разделив обе части последнего равенства на разность
АЕФЕ — BE* СЕ, получим равенство AB = CD\таким обра-
зом отрезки параллельных, заключенные между сторонами
данного угла, всегда равны.
Разъяснение. В рассуждении, которое привело к по-
следнему нелепому выводу, допущена та же ошибка, что
и в § 1 главы И: почленное деление равенства (2) на раз-
ность AE*DE— BE*СЕ недопустимо, так как эта разность,
в силу равенств (1), равна нулю, нулю же равны и обе
части равенства (2).
§ 9.	Объемлемая и объемлющая.
На чертеже 15 мы имеем две ломаные с общими кон-
цами, объемлемую ADC и объемлющую АВС. Как известно,
выпуклая объемле-
мая всегда короче
своей объемлющей.	у^\
Следующее рассуж-	\
дение приводит к	у^	\
результату, находя-	у^ D \
щемуся в противо-	у^	\
речии с этой теоре-	\
мой.	с
Пусть отрезки АВ
и ВС взяты произ-	ЧеРт- 15-
вольно, отрезки же
AD и DC взяты не произвольно, а пропорциональ-
ными отрезкам АВ и ВС, т. е. AD = k-AB, DC = k*BC, где k
некоторая правильная положительная дробь (на чертеже 15
взято k — — . Из последних равенств вытекает, что
— AD — k( — АВ),
— DC = k( — BC),
(- AD) + (-DC) = k'[(- AB) + (- SC)],
[(- AD) + (- D C)]: [(- AB) + (-BC)] = kt
но k = AD: AB,
6*	83
следовательно,
[(-^) + (- DC)]: [(-АВ) - {- (- ВС)\ ~AD'>AB. (1)
В пропорции (1) предыдущий член второго отношения
меньше последующего его члена; следовательно, и пре-
дыдущий член первого отношения меньше своего после-
дующего, т. е.
(- AD) + (- DC) < (- АВ) + (- ВС). (2)
Перенося все члены из перзой части неравенства во
вторую, и из второй в первую, имеем:
AB-\-BC<AD-\-DC.
Таким образом объемлющая АВС оказывается не длин-
нее, как должно бы быть, а короче своей выпуклой объем-
лемой ADC.
Разъяснение. Ошибка допущена при переходе от
равенства (1) к неравенству (2). Дело в том, что оба
члена первого отношения равенства (1) отрицательны, а
потому нужна особая осторожность при сравнении их ве-
личины: имея пропорцию (—1):(—2) = 1:2, мы не можем
утверждать, что — 1 < — 2.
Ошибка, допущенная выше, была подробно рассмот-
рена в § 12 главы II.
§ 10. Сумма оснований любой трапеции равна нулю.
Для „доказательства" этой удивительной „теоремы"
нам понадобится известное из элементарного курса алгебры
свойство ряда равных
отношений: если не-
сколько отношений
равны между со"ой,
то сумма всех пре-
дыдущих членов отно-
сится к сумме всех
последующих, как один
из предыдущих отно-
сится к своему после-
дующему.
Возьмем произвольную трапецию и продолжим нижнее
основание а хотя бы направо, на отрезок, равный верх-
нему основанию Ь. Верхнее же основание b продолжим в
противоположную сторону, т. е. налево, на отрезок, рав-
84
ный нижнему основанию а. Проведем диагонали трапе-
ции, и обозначим буквами х, у, z три отрезка, на которые
диагональ АС (черт. 16) делится другой диагональю BD
и прямой, соединяющей концы продолженных осно-
ваний, т. е. прямой FE.
Из подобия треугольников CDG a ABG имеем пропор-
цию (х 4-j): z = а: Ь, а из подобия треугольников AFH и
СЕН пропорцию (у^-zy.x — cr.b, что дает новую пропор-
цию (x-\-y):z = (y-}-z):x. Умножив оба члена второго
отношения на — 1, придем к пропорции
(х + j): z = (— у — z): (— х).
Применяя к этой пропорции упомянутое выше свой-
ство ряда равных отношений, получим, что
(х-Ну):z= (х4-J — У — Z) : (г — х) —
= (х — z) : (z — х) — — 1.
Сопоставляя полученный результат с пропорцией
(х-{-y):z = а:Ь, находим, что а'.Ь — —1, откуда а = — b
и a -f- b = 0.
Разъяснение. Нелепость вывода очевидна, но самый
внимательный просмотр всего рассуждения нигде ошибки
не обнаруживает. Приходится заподозрить правильность
указания на свойство ряда равных отношений. Вспомним,
как это свойство доказывается.
Пусть ax’.bt — a2'-b2 — q. Здесь b}, b2, q совершенно про-
извольные числа, причем b^Q, b2=t=0. Числа и «2
определяются равенствами a^ — b^q, a2—b2-q. Сложив эти
два равенства почленно, получим новое равенство
Если Ьх Ь2 =4 0, это последнее равенство можно
преобразовать к виду (<Ч + а2):	= <7> и мы прихо-
дим к свойству ряда равных отношений:
ai:b1 — a2:b2 = (al +«2):(Z»1-|-&2).
Как видим, свойство это доказано при двух существен-
ных оговорках: ни одно из чисел bt и Ь2 не равно нулю,
и, кроме того, сумма ^j-|-62 также не равна нулю. Если
сумма £14-62 равна нулю, то, в силу равенства ах -]- а2 =
~(bx-\-b^-q, и сумма at-|-a2 равна нулю, и последнее
отношение имеет вид 0:0. Число же 0:0 выражает, как
известно, какое угодно число.
Итак, применяя свойство ряда равных отношений, мы
85
всегда должны убедиться, что сумма последующих чле-
нов не равна нулю. Если же она равна нулю, применять
свойство ряда равных отношений нельзя.
Не получилась ли нелепость в приведенном выше рас-
суждении о сторонах трапеции в силу того, что примене-
ние свойства ряда равных отношений было здесь неза-
конным? Не равна ли нулю та сумма последующих чле-
нов Z и —х, которую мы там имели, т. е. не равны ли
два отрезка z и х? Чертеж как будто подтверждает это
подозрение. Следующий простой расчет показывает, что
это действительно так.
Две пропорции, полученные выше из подобия треуголь-
ников, после освобождения от знаменателей получают
такой вид:
Ьх — az = — by,
ах — bz — by.
Решая эти два уравнения относительно х и z, полу-
чаем, предполагая а^Ь:
х —by:(а—b), z — by:(a — b).
Значит, отрезки х и z действительно равны. Случай
а — Ь надо рассмотреть особо. В этом случае пропорции
дают x-{-y = z и х— уЦ-z, откуда х=у-±-х-1~у, 2у = 0,
v = 0 и x —Z. Итак, и в этом случае отрезки х и z равны.
Причина получения нелепого вывода вполне выяснена:
получив пропорцию a:b— (х 4-j): z и отношение (х — z):
'*(z—х), мы отнюдь не можем считать, что последнее
отношение равно— 1, так как оно, в силу равенства х~ z,
равно не—1, а чему угодно.
§ 11.	Еще о пропорциональности.
В § 6 главы I мы имели несколько примеров ошибок,
происшедших из-за того, что за пропорциональные вели-
чины принимались величины, отнюдь не пропорциональ-
ные. Вот примеры ошибок в вопросах геометрического
характера, обусловленных тем же обстоятельством.
1.	Па плане с масштабом в 1:10 000 изображен прямо-
угольник, имеющий на плане стороны 2 см и 3 см. Какова
площадь этого прямоугольника в натуре? Здесь дробь
1:10 000 („численный масштаб") является отношением длины
любого отрезка на плане к длине соответствующего от*
резка в натуре,
86
Ответ 2 см X 3 см X 10 000 — 60 000 кв. см = Ъ кв. м не-
верен, так как площади подобных фигур (прямоугольник
ABCD на плане и прямоугольник	в натуре по-
добны) не пропорциональны сторонам, а пропорциональны
квадратам сторон. Стороны прямоугольника AiByCyDi
больше соответствующих сторон прямоугольника ABCD в
10 000 раз, площадь же больше не в 10 000 раз, а в 10 0002 раз,
а потому площадь AiB1C1Di = 6x100000000 кв. см —
= 60 000 кв. м — 6 га.
2.	Возьмем прямоугольный треугольник с острым углом
в 30° и обозначим противолежащий этому углу катет
буквой а. Другой катет, лежащий против острого угла
в 90° — 30° = 60°, обозначим буквой Ь, гипотенузу —
буквой с.
Рассуждаем так: гипотенуза, находясь против угла в
90°, должна быть больше катета а, лежащего против угла
в 30°, во столько раз, во сколько 90° больше 30°, т. е.
втрое, а потому с = 3а; катет Ь, расположенный против
угла в 60°, должен быть вдвое больше катета а, а по-
тому Ь — 2а. Сумма квадратов катетов а2 Ь2 = а2 4а2—
—5а2, квадрат гипотенузы с2 —9а2, и мы пришли к про-
тиворечию с теоремой Пифагора, так как a2-j-b2 у нас
меньше с2.
Ошибочным является сделанное допущение о пропор-
циональности между сторонами и углами треугольника'.
как известно, против большего угла в треугольнике ле-
жит большая сторона, но во сколько раз эта большая
сторона больше меньшей, геометрия не устанавливает.
Вопрос этот разрешается только в тригонометрии, где дока-
зывается, что стороны треугольника пропорциональны не
противолежащим углам, а их синусам. В нашем примере
имеем: sin 90°= 1, sin30° = 0,5, sin 60° = 0, 5 КЗ, а потому
с: а = sin 90°: sin 30° = 1:0,5 = 2, b'. а = sin 60° :_sin 30° =
= 0,5 / 3 : 0,5 = K 3, значит, с = 2а, b = a]/3, а2+ Ь2 =
= а2+ (а К 3)2--а24-3а2 = 4а2, с2 = (2а)2 = 4а2, и с тео-
ремой Пифагора все обстоит благополучно.
3.	Имеются три банки в форме прямых круглых ци-
линдров. Вторая имеет вдвое больший поперечник (диа-
метр) основания, чем первая, но зато вдвое меньшую вы-
соту. Третья имеет, наоборот, вдвое меньший поперечник
основания по сравнению с первой, но зато двойную вы-
соту. Правильно ли утверждение, что удвоение одного
измерения компенсируется уменьшением вдвое другого
87
измерения, и что в силу этого объем у всех трех банок
один и тот же?
Это утверждение было бы правильным, если бы объем И
цилиндра был пропорционален и высоте А, и попереч-
нику основания d. Но формула V = 0,25п d2h показывает,
что объем цилиндра пропорционален не поперечнику осно-
вания, а его квадрату. Отсюда заключаем, что вторая
банка имеет объем вдвое больший, чем первая, а третья —
вдвое меньший, чем первая. Это подтверждают и фор-
мулы:
для первой банки Vx — 0,25* rf2A,
для второй банки V>2 = 0,25*-(2rf)2-0,5A = 0,5*rf2A —21/р
для третьей банки V%—0,25*-(0,5d)2-2A_ 0,125*rf2A = 0,51/^.
4.	Модель сооружения в натуральной величины из-
готовлена из того же материала, из которого будет
строиться само сооружение. Взвешивание показало, что
эта модель весит 3 кг. Следует ли ожидать, что само со-
оружение будет весить 3 кг X 20 = 60 кг?
Модель сооружения и само сооружение являются те-
лами, геометрически подобными, а объемы подобных тел,
как известно из геометрии, пропорциональны кубам их
линейных размеров, веса же пропорциональны объемам
(если тела сделаны из одинакового материала). Поэтому
увеличение размеров модели до размеров самого соору-
жения, а именно увеличение в 20 раз, вызовет увеличе-
ние объема и веса в 208 = 8000 раз, и само сооружение
будет весить 3 кг X 8000 — 24 000 кг — 24 т.
5.	Желая сравнить два участка, человек обмерил их
границы (периметры), и, найдя границу первого участка
равной 60 м, а границу второго—равной 50 м, заключил,
что площадь первого участка больше площади второго
на 20%. Так ли это?
Простое рассмотрение нескольких фигур хотя бы про-
стейшей прямоугольной формы сразу показывает, что
между площадями и периметрами определенной зависимо-
сти нет. Так, прямоугольник со сторонами 10 м и 15 м имеет
периметр 50 л/, площадь 150 кв. м, а прямоугольник со сто-
ронами 5 м и 20 м, имея такой же периметр, имеет пло-
щадь значительно меньшую (только 100 кв. м), прямоуголь-
ник же со сторонами 12 м и 13 м имеет периметр 50 м,
а площадь уже 156 кв. м. Судить о площадях двух
фигур по их периметрам можно лишь в том случае, если
88
фигуры эти геометрически подобны. Тогда площади их
пропорциональны квадратам их периметров. Два геомет-
рически подобных участка, имея периметры в 60 м и 50 м>
имеют площади, отношение которых 602:502= 1,44, а по-
тому площадь первого участка больше площади второго
на 44% площади последнего. Если же участки с перимет-
рами 60 м и 50 м не подобны, то об их площадях ничего
сказать нельзя.
§ 12.	Задача о заплате.
Мастеру поручили поставить заплату на шубу из до-
рогого меха, чтобы уничтожить дыру, имеющую форму
разностороннего треугольника. Мастер взял шкурку, по-
лученную им для заплаты, положил ее на стол мехом
вниз, а сверху положил шубу мехом вверх. Очертив фи-
гуру Дыры, он вырезал заплату и, приступив к вшива-
нию, спохватился, что вырезал заплату не той стороной,
какой надо было. Считая дело непоправимым, он готов
был выбросить приготовленную заплату и искать мате-
риал для новой. Прав ли он, или есть возможность испра-
вить допущенную ошибку?
Разъяснение. Если взять неравносторонний треуголь-
ник АВС (черт. 17а) и перевернуть его другой стороной, то
Черт. 17а.
Черт. 176.
он после совмещения точки А с С, а точки С с А займет
положение треугольника АВгС, не совпадающего с тре-
угольником АВС. Но нельзя ли разрезать треугольник АВС
на такие части, чтобы каждая часть в отдельности перево-
рачивание допускала? Ясно, что всякий равнобедренный
треугольник допускает переворачивание, а потому перед
нами задача: разрезать данный неравносторонний треуголь-
ник так, чтобы, каждая часть представляла собой равно-
бедренный треугольник. Чертеж 176 показывает, как это
89
сделать. Сперва проводим BD±_AC, затем из вершины D
прямого угла каждого из полученных прямоугольных
треугольников проводим медианы DE и DF (точка Е есть
середина отрезка АВ, точка F—середина отрезка ВС}.
Легко видеть, что медиана всякого прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
равна половине гипотенузы; чтобы в
этом убедиться, достаточно рассмо-
треть прямоугольник ADBG и две
его диагонали АВ и DG (черт. 17в).
Поэтому все четыре треугольника
ADE, BDE, BDF, CDF> полученные на
чертеже 176, равнобедренные (АЕ —
— DE = BE, DF=CF=BF). Разрезав
приготовленную заплату на четыре
таких части, а затем перевернув каж-
Черт, 17в.
дую из них в отдельности, мастер
получит возможность исправить свою ошибку (конечно,
ему придется не только вшивать всю заплату на место,
но и предварительно сшить между собой треугольники
первый, второй, третий и четвертый).
Чтобы лучше уяснить себе все дело, рекомендуется
вырезать чертеж 176 из бумаги, одна сторона которой за-
крашена..
Отметим, что равнобедренный треугольник — далеко не
единственная фигура, допускающая переворачивание. Пе-
реворачивание допускает всякая фигура, имеющая хотя
бы одну ось симметрии. К таким фигурам принадлежит
и всякий прямоугольник (2 оси симметрии), и квадрат
(4 оси симметрии), и ромб (2 оси симметрии), и всякий
правильный n-угольник (п осей симметрии), и окружность
(осью симметрии служит любой диаметр), и еще бесконеч-
ное множество более сложных фигур.
§ 13.	Подобные треугольники с равными сторонами.
Возьмем два подобных разносторонних треугольника и
обозначим стороны первого в порядке возрастания бук-
вами а, Ь, с (а<Ь <с}, а сходственные стороны второго
буквами Ь}, сг. В силу пропорциональности сходствен-
ных сторон подобных многоугольников имеем: ax = aq,
bx = bq, cY^cq, где q коэфициент подобия, а потому
а\ С < с\*
Если q - 1, то все стороны наших двух треугольни-
£9
ков соответственно равны, равны и треугольники. Равен-
ство треугольников является, таким образом, частным слу-
чаем подобия.
Может показаться, что раз треугольники подобны, но
не равны, то равных сторон у них нет. Ошибочность та-
кого заключения показывает простое рассмотрение тре-
угольников со сторонами 8, 12, 18 см и 12,18,27 см. Сто-
роны второго в 1— раза больше соответствующих сторон
2
первого, а потому эти треугольники подобны (но не равны).
Как видим, эти два треугольника имеют две пары соот-
ветственно равных сторон.
Установим условия, которым должны удовлетворять
два подобных, но не равных треугольника, имеющие две
пары соответственно равных сторон.
Будем считать <?>1. Наименьшая сторона а первого
треугольника (со сторонами а, Ь, с} меньше наименьшей
стороны ах второго треугольника (со сторонами aY = aq,
bv = bq, cx — cq) и не может равняться ни одной из сто-
рон последнего.
Средняя по величине сторона b первого треугольника
может равняться только наименьшей стороне аг второго
треугольника (так как b меньше bY = bq и подавно меньше
c{=cq\ а наибольшая сторона с первого треугольника
равна либо наименьшей стороне либо средней стороне Ьх
второго треугольника. В случае, когда две стороны
первого треугольника равны двум сторонам второго тре-
угольника, должно быть b = at, с = Ьх. Отсюда выводим,
что b — aq, с — bq = aq»q = aq2. Таким образом стороны
первого треугольника образуют геометрическую прогрес-
сию a, aq, aq2. Стороны второго треугольника равны
aq, aq2, aq\ и представляют собой второй, третий и чет-
вертый члены той же геометрической прогрессии.
Сторона а может быть какой угодно. Но число q не
вполне произвольно. Оно должно удовлетворять неравен-
ству aq2<a aq, так как наибольшая сторона треуголь-
ника должна быть меньше суммы двух других сторон.
Разделив обе части этого неравенства на а, получаем
неравенство q2—q—1<0, которому должно удовлетво-
рять число q (к этому же неравенству приводит и рас-
смотрение второго треугольника). Разлагая квадратный
трехчлен q2—q—1 на множители, переписываем это нера-
венство в виде (q-----1+12L Y--------Lrlf-5. Л С 0 или в
Я
виде (q — 0,5 — 0,5 J 5 )• (q — 0,5	0,5 /5 ) <0 и замечаем,
что выражение во второй скобке при q > 1 всегда поло-
жительно. Следовательно, выражение в первой скобке
должно быть отрицательным, а потому:
q < 0,5 -J- 0,5 /57 <7 <0,5+ 0,5-2,236, ^<1,618....
Итак, два подобных неравных треугольника имеют две
пары соответственно равных сторон тогда и только тогда,
когда стороны первого треугольника равны a, aq, aq2, а
стороны второго — aq, aq2, aq3, причем сторона а произ-
вольна, а число q заключается между 1 и 0,5-+0,5/5 =
= 1,618.
Можно указать сколько угодно пар таких треуголь-
ников.
§ 14.	Две окружности разного радиуса имеют
одну и ту же длину.
Возьмем два колеса радиусов и г</? и представим
себе, что они насажены на общую ось. Будем катить ко-
лесо радиуса R без скольжения по прямой DE (черт. 18).
Когда точка А на окружности этого колеса, находившаяся
в начальный момент на прямой DE, совершит полный обо-
рот и снова окажется на прямой DE, совпадая с точкой Лр
то путь ССР пройденный за это время центром окру-
жности С, будет равен отрезку АА}, который равен в свою
очередь длине окружности колеса 2~R.
Если второе (меньшее) колесо насажено на общую ’ось
с первым и наглухо с ним скреплено, то оба колеса совер-
шат один полный оборот одновременно. Но можно считать,
что в то время как первое колесо катится по прямой DE,
второе колесо катится по прямой FO. Совершив один
92
Полный оборот, второе колесо пройдет путь ВВ}, равный
длине своей окружности, т. е. 2тгг. Но BBY— CClt а потому
2пг=2тг/?, т. е. длины двух окружностей разных радиусов
оказываются равными!
В чем ошибка нашего рассуждения?
Разъяснение. Мы предположили, что большее коле-
со катится по прямой DE без скольжения. Это означает,
что при каждом полном обороте колеса центр его прохо-
дит путь, равный длине его окружности. Конечно, мы в
праве считать, что меньшее колесо, насаженное на общую
ось с большим и наглухо с ним скрепленное, катится по
прямой FG. Но будет ли это меньшее колесо катиться
тоже без скольжения? Конечно, нет, так как при одном
полном его обороте его центр проходит путь СС1( не рав-
ный длине его окружности 2~г, а больший этой длины
(СС1=2к/?,/?>г, 2W?>2w). Следовательно, меньшее коле-
со не только катится по прямой FG, но и скользит по ней.
§ 15.	Трисекция угла.
Выполнить трисекцию угла — это значит разделить угол
на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно.
Можно, например, измерить данный угол транспортиром,
разделить найденное число градусов на три, а затем от-
ложить посредством того же транспортира угол, содержа-
щий полученное в частном число градусов. Но можно
обойтись и без транспортира, применяя метод „последо-
вательных приближений": построив произвольным радиу-
сом дугу, для которой данный угол является центральным,
возьмем на-глаз хорду, соответствующую третьей части
дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по
дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого
мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если
же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до дру-
гого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами
на-глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее
на одну треть расстояния от полученной точки до конца
дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на-глаз.
Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в
случае надобности вновь исправляем тем же способом.
Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все
более точное решение, и, наконец, повторив операцию
несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на
данной дуге практически ровно три раза, и трисекция
93
угла будет выполнена. Конечно, эти два способа Позволяв
ют делить данный угол не только на три, но на любое
число равных частей.
Однако, когда математики говорят о проблеме трисек-
ции угла* они имеют в виду не эти весьма ценные в прак-
тическом отношении, но все же лишь приближенные
способы, а точный способ, притом основанный на приме-
нении исключительно циркуля и линейки. Необходимо
еще отхметить, что имеется в виду использование одного
лишь ребра линейки и что линейка должна служить
только для проведения прямых (не допускается исполь-
зование, например, масштабных делений), а циркуль—толь-
ко для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый спо-
соб должен давать решение задачи посредством конечнсго
числа операций проведения прямых и окружностей. По-
следнее замечание очень существенно- Так, установив (по
формуле предела суммы геометрической бесконечно убы-
вающей прогрессии), что
- = - + — + -4- — + ...,
3	4	16	64	256
можно предложить следующее решение задачи трисекции
угла, требующее применения только линейки и циркуля:
делим данный угол на 4 равные части, что, как известно,
выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к по-
лученному углу прибавляем поправку, равную четверти
его самого, т. е. — данного угла, потом вторую поправку,
16
равную ~ первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное ре-
шение задачи этим способом требует бесконечно боль-
шого числа операций (делений углов на 4 равные части),
а потому не является тем классическим решением, какое
имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции
угла и других задач на построение.
Итак, у нас будет итти речь о точном решении задачи
трисекции угла посредством проведения конечного числа
прямых и окружностей.
Для некоторых углов эта задача решается весьма про-
сто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно постро-
ить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника,
а'для трисекции углов в 90° и 45° — углы в 30° и 15°,
т. е. половину и четверть угла равностороннего треуголь-
ника. Однако доказано, что наряду с бесконечным мно-
94
жеством углов, допускающих трисекцию, Существует dec*
конечное же множество углов, не допускающих трисекции
(в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три
равные части (посредством проведения конечного числа
прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни
угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное
множество других углов').
Теперь выясним, правилен ли следующий часто реко-
мендуемый способ деления произвольного угла АВС на
три равные части. Из вершины В произвольным радиусом
проводим дугу окруж-
ности, которая Пересе-	~%С
чет стороны угла в	'
точках D и Е (черт. 19).	/
Делим хорду DE на
три равные части и	/
соединяем точки де-	/	-'"'хК
ления F и G с В. Углы	/
DBF, FBQ, GBE ока-	F \п
жутся, будто бы, рав-	1
ными, и трисекция про- в ------------------------1—&
извольного угла АВС,
следовательно, будет	Черт. 19.
выполнена так, как тре-
буется, т. е. посредством проведения конечного числа
прямых и окружностей: деление отрезка DE на три рав-
ные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как
известно, именно так.
Предлагающие такое решение полагают, что равенство
отрезков DF, FG, GE, на которые мы разделили хорду DE,
влечет за собой и равенство дуг DH, HI, IE, которые
получатся, если продолжить BF и BG до пересечения
с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны
и углы DBH, HBI, IBE (пусть каждый из них равен а),
равны и стягивающие их хорды DH, HI, IE. Но отрезок HI
больше отрезка FG (это утверждение подсказывается
чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок DH равен
отрезку DF, так как углы DFH и DHF равны:
/ DFH = L DBH+ L BDF = а Д- -(180°- За) = 90°— - а,
2	2
0 См., например, книги: Адлер А., Теория геометрических по-
строений, стр. 225—227 (изд. Матезис 1924) и Александров И.,
Геометрические задачи на построение и методы их решения, стр.
144^—150 (Учпедгиз 1934).
95
1(180° — a) = 90°—la.
Следовательно, при равенстве отрезков DH и Hl отре-
зки DF и FG, вопреки условию, неравны, и предположение
о равенстве DH и HI надо отвергнуть.
Опустив перпендикуляр ВК из вершины В на хорду DE,
замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК
перегнув чертеж по ВК, мы приведем обе его поло-
винки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок HI
перпендикулярен к ВК, а в силу этого отрезок FG парал-
лелен HI, и треугольники BHI и BFG подобны, что дает:
HI*.FG — ВН\BF. Но BH^>BF, а потому и HI^>FG, как
мы и утверждали выше.
Итак, деление хорды на три равные части i е дает де-
ления на равные части соответствующей дуги и не дает,
следовательно, трисекции соответствующего центрального
угла: средний угол окажется непременно несколько больше
каждого крайнего. Правда, при небольшом угле АВС раз-
ница будет невелика, и на практике этим способом иногда
пользуются для приближенного деления малого угла на
три равные части.
Приведем еще одно доказательство неправильности
предположения, что из равенства отрезков DF, FG, GE
вытекает равенство дуг DH, HI, IE и углов DBH, HBI,
IBE. Допустив, что все это так, и положив a = 2^, мы
легко получим формулы: O/< = SK-tg3^, FK=BKAg но
DK—3FK, откуда tg 3^ = 3 tg р. Но, применяя формулу
тангенса суммы двух углов, легко найдем, что
tg3^3tgP~tg--l
Сопоставляя это безусловно правильное соотношение
с полученной выше формулой tg Зр — 3 tg 0, мы придем к
равенству 9 tg3 [J = tg8 [J или 8tg8j5—0, верному лишь при
tg р = 0. Отсюда вытекает, что при равенстве отрезков
DF, FG, GE соответствующие центральные углы не могут
быть равными.
§ 16. Еще о трисекции угла.
Вот способ деления произвольного угла на три равные
части (посредством „вставки"), указанный еще в древней
96
Греции [как полагают, Архимедом *)]• Может показаться,
что этот способ даёт то решение задачи о трисекции про-
извольного угла, о котором выше говорилось, как о невоз-
можном для бесконечного множества углов.
Продолжим одну из сторон данного произвольного
угла АВС = а (черт. 20) за вершину В и начертим про-
извольным радиусом г полуокружность с центром в В;
пусть эта полуокружность пересекает вторую сторону
угла в точке D. Затем берем линейку и делаем на ее
ребре две метки £ и F на расстоянии г друг от друга.
Укладываем линейку так, чтобы ее ребро проходило через
точку D и чтобы метка Е оказалась на продолжении ВА.
Метка F окажется при этом либо вне полуокружно-
сти, либо внутри ее, либо на ней. В первых двух случаях
Черт. 20.
будем перемещать линейку, соблюдая оба указанных ус-
ловия (линейка должна проходить через точку D, а метка Е
должна лежать на продолжении ВА), и добьемся того,
чтобы метка F оказалась на полуокружности. Как говорят,
выполнена „вставка” отрезка EF — r между прямой В А и
окружностью, причем эта „вставка" делается на луче,
исходящем из точки D.
Теперь мы получили равнобедренный треугольник BFE
(EF=BF=r). Обозначив каждый из двух равных углов
при его основании через р, имеем, что Z BFD — 2р. Но
треугольник BDF тоже равнобедренный, а потому Z. BDE=
= L BFD — 2^. Остается рассмотреть треугольник BDE, для
которого угол АВС = а, как внешний, равен сумме углов
BED = $ и BDE = 2$. Итак, а = ЗР, и LBED—Q есть,
следовательно, ровно треть данного произвольного угла а.
Мы решили задачу трисекции произвольного угла по-
0 Ц е й т е и Г., История математики в древности и в средние
века, стр. 64—67 (изд. ГТТИ 1932).
7—646	97
средством циркуля и линейки, и с первого взгляда пред-
ставляется, что это решение опровергает то, что сказано
в § 16 о невозможности трисекции очень многих углов.
Но более внимательное рассмотрение показывает, что ника-
кого противоречия здесь нет. Доказано, что не всякий
угол можно разделить на три равные части посредством
проведения конечного числа прямых и окружностей. Но
при решении по способу „вставки" линейка была исполь-
зована не только для проведения прямых линий, а и для
выполнения более сложной операции — самой „вставки*4
радиуса между продолжением ВА и полуокружностью:
линейка была использована не так, как предусмотрено
теорией. В сущности говоря, мы использовали линейку
для вычерчивания особой кривой, так называемой конхо-
иды : вращая линейку около точки D и одновременно пе-
ремещая ее так, чтобы точка Е все время была на пря-
мой ВА, мы заставляем вторую метку (точку F) двигаться
по плоскости, вычерчивая кривую, показанную на чер-
теже 21. Эта кривая и называется конхоидой, В нашем ре-
шении была использована точка Fz пересечения конхоиды
с полуокружностью.
Итак, решение задачи трисекции угла по способу
„вставки" основано на построении, кроме прямых и
окружности, еще и конхоиды, и ни в какой мере не опро-
вергает доказываемую в теории геометрических построе-
ний теорему о невозможности трисекции произвольного
угла посредством конечного числа прямых и окружностей.
§ 17. Квадратура круга.
Знаменитая задача о квадратуре круга была поставлена
еще задолго до начала нашего летосчисления, оконча-
98
тельно же ее решили лишь в 1882 году1). Состоит эта за-
дача в том, что требуется построить квадрат, равновеликий
данному кругу, т. е. имеющий одинаковую с ним площадь.
Обозначив радиус данного круга буквой г, а сторону
искомого квадрата буквой л, имеем уравнение кг2 — х2, из
которого находим х = Так как число к, выражающее
отношение длины окружности к диаметру, известно с очень
большой точностью, а извлечь квадратный корень из лю-
бого числа можно с произвольно высокой точностью, то
для х легко получаем следующее выражение:
х = г/3,14159265 = г • 1,77245385,
где значения пи ]/п взяты с 8 десятичными знаками.
Однако, говоря о решении задачи о квадратуре круга,
имеют в виду не это простенькое вычисление, а постро-
ение стороны искомого квадрата по данному радиусу
круга, притом построение, выполняемое посредством про-
ведения конечного числа прямых и окружностей, т. е. при
употреблении только линейки и циркуля, и дающее сто-
рону искомого квадрата точно, а не приближенно. Дока-
зано, что в такой постановке задача эта неразрешима.
Однако попытки решения этой задачи людьми, мало зна-
ющими математику, продолжаются и до сегодняшнего
дня.
Рассмотрим следующий давно известный способ постро-
ения квадрата, равновеликого данному кругу. Возьмем пря-
мой круглый цилиндр, основанием которого служит данный
круг радиуса г, высоту же цилиндра сделаем равной-^- г. Ес-
ли катить этот цилиндр без скольжения по плоскости, на
которую он кладется так, чтобы его ось была параллельна
плоскости, то при одном обороте он покроет на плоскости
прямоугольник, равный его развернутой боковой поверх-
ности, а именно прямоугольник со сторонами 2~г и
2
2
Но площадь этого прямоугольника равна (2~г- г = ъг2,
т. е. равна площади данного круга. Теперь остается лишь
превратить полученный прямоугольник в равновеликий
квадрат, а для этого, как известно, достаточно построить
*) См. историю вопроса в книге Р у д и о Ф. »О квадратуре круга*,
меревод с немецкого под редакцией академика Бернштейна С. Н.,
ГТТИ 1934.
7*	99
отрезок, являющийся средним пропорциональным 'между
двумя смежными сторонами прямоугольника.
Было бы большой ошибкой думать, что это решение
опровергает сказанное выше о невозможности решения
задачи о квадратуре круга. Ведь здесь, кроме циркуля и
линейки, которые были нужны для деления радиуса г
пополам и для построения среднего пропорционального
между 2кг и у г, мы пользовались еще одним инструмен-
том, а именно тем цилиндром, который катили по плос-
кости.
§ 18. Об одном доказательстве теоремы о сумме внут-
ренних углов треугольника.
Возьмем произвольный треугольник АВС и совершим
обход по его периметру из вершины А через вершины В
и С снова в А. Представим себе, что, совершая этот об-
ход, я держу перед собой руку, вытянув ее по направ-
лению своего движения. Двигаясь от А до В, я сохраняю
направление руки неизменным. Достигнув вершины Bt я
вращаю руку против часовой стрелки на угол ВХВС\
(черт. 22). Далее, при движении от В до С, направление
руки снова остается неизменным. В точке С рука делает,
новый поворот — на угол С£А. Затем при движении от
С до А направление руки не меняется и, наконец, по при-;
loo	i
'J
ходе в А рука делает последний поворот — на угол А}АВ.
Обход закончен, я вернулся в исходную точку, рука вер-
нулась в исходное положение — она вновь направлена от
А к В. Во время своего обхода рука совершила один
полный оборот, т. е. повернулась на 360°. Но этот пол-
ный оборот является суммой трех поворотов, а именно
на углы ВХВС, СХСА, АХАВ, которые являются внешними
для данного треугольника АВС. Итак,
L В.ВС4- Z С£А + LAXAB = 360°.
Но каждый из внешних углов можно заменить разностью
между 180° и соответствующим внутренним углом. По-
этому имеем:
(180°~ Z 5) + (180°— L Л) + (180°— Z С) = 360°,
где LA, LB, LC — внутренние углы треугольника АВС.
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов,
приходим к равенству:
Z ^ + Z5 + ZC=180°.
Это простое и понятное доказательство не опирается
ни на какие теоремы геометрии, кроме теоремы о сумме
двух смежных углов, в частности, не ссылается на теоремы
о параллельных прямых и не зависит, следовательно, от
аксиомы о параллельных. Это обстоятельство было бы
огромным преимуществом нашего доказательства, если бы
только в ходе доказательства мы не опирались незаметным
образом на некоторую новую аксиому.
В том, что это так, мы убеждаемся в силу следующего
соображения. Возьмем сферу и на ней три точки D, Е, F,
притом так, чтобы дуги DE, EF, FD больших кругов
сферы равнялись бы каждая 90° (можно за точку D при-
нять северный полюс, точки Е и F взять на экваторе).
Все приведенное выше рассуждение, доказывающее, что
сумма внутренних углов плоского треугольника АВС равна
180°, применимо без каких бы то ни было изменений
и к нашему сферическому треугольнику DEF\ надо только
иметь в виду, что под направлением дуги на сфере разу-
меют направление касательной к этой дуге (в рассматри-
ваемой точке). Итак, наше рассуждение доказывает, что
и сумма внутренних углов сферического треугольника DEF
равна 180°. Но это неверно, так как каждый из внутрен-
них углов взятого нами сферического треугольника ра-
вен 90°, а их сумма, следовательно, 270°. Обходя сфёри-
101
ческий треугольник с рукой, вытянутой по направлению
движения, и вернувшись в исходное положение, мы совер-
шим рукой, таким образом, поворот не на 360°, как в слу-
чае обхода плоского треугольника, а на другой угол.
Утверждая, что после обхода плоского треугольника и воз-
вращения к исходному положению мы имеем поворот
на 360°, мы высказываем не что-то само собой разумею-
щееся и верное при всяких условиях, а основываемся на
следующем свойстве плоскости, которого не имеет сфера:
обход всякого треугольника на плоскости связан с пово-
ротом на 360°. Принимая это свойство плоскости за оче-
видное, мы и вводим новую аксиому.
Итак, утверждение, что мы доказали теорему о сумме
внутренних углов треугольника, не пользуясь ни аксиомой
о параллельных, ни некоторой новой аксиомой, является
ошибочным. Еще более ста лет назад наш гениальный
геометр Николай Иванович Лобачевский
(1793—1856), работавший в Казани, доказал, что невоз-
можно устранить из нашей (евклидовой) геометрии ак-
сиому о параллельных, не вводя взамен нее некоторую
другую аксиому,
§ 19. Как вычислять объем усеченной пирамиды?
Как известно, площадь трапеции можно получить, взяв
произведение полусуммы ее оснований на высоту, или же
взяв произведение ее средней линии на высоту. Оба спо-
соба дают одно и, то же, так как трапеция равновелика
прямоугольнику, основанием которого служит средняя ли-
ния трапеции, а высота одинакова с высотой трапеции.
В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли вычислить
объем усеченной пирамиды вместо обычного способа, ос-
нованного на формуле V- — h(B\ + #2 + K^i^2), где h
высота усеченной пирамиды, Вх и В2 площади двух ее ос-
нований, другим способом, основанным на замене усечен-
ной пирамиды призмой, основанием которой служит сред-
нее сечение усеченной пирамиды, а высота одинакова
с высотой усеченной пирамиды? Средним сечением усечен-
ной пирамиды называют такое ее сечение, которое про-
изводится параллельно ее основаниям через середину
высоты.
Заметим, что в технике при вычислении объема усе-
ченной пирамиды (например, при обмере куч песку, заго-
102
товленного для дорожных работ) поступают обычно именно
так: находят площадь среднего сечения, затем умножают
ее на высоту усеченной пирамиды.
Многие думают, что этот способ дает результаты
вполне точные, подобно тому, как точные результаты дает
вычисление площади трапеции как произведения средней
линии на высоту. Выясним, так ли это, ограничиваясь
рассмотрением лишь особенно простого случая, когда ос-
нования усеченной пирамиды — квадраты со сторонами а
и Ь<а.
Объем такой усеченной пирамиды выражается форму-
лой V^~h{a2^- b2 ab}. Среднее сечение представляет
3
собой квадрат со стороной ~ (а 4- 6). Объем призмы, ос-
нованием которой служит это среднее сечение, а высота
равна высоте усеченной пирамиды, вычисляется по фор-
муле V\= y h (а 4~ b)2.
Найдем разность V— V\. Как показывает легкий расчет,
она равна — h (а—6)2, а потому является всегда величиной
положительной. Итак, не равно I/, а всегда меньше V.
Как велико может быть расхождение между V и
Выражение для разности V — V\ показывает, что она растет
с возрастанием разности между а и Ь. Самым неблаго-
приятным случаем будет тот, когда 6 = 0, т. е. когда
верхнее основание усеченной пирамиды обращается в одну
точку и пирамида из усеченной делается полной. В этом
случае — a2h, Vx — — a2hf V—=—д26 = —V, и
J	3	1	4	1	12	4
вычисление по формуле для V\ дает значение объема,
меньшее истинного его значения на 25% последнего.
Чтобы оценить погрешность в общем случае, когда
У z ГА	CL - Ъ
Ь^=\\ положим-----— х и выразим в зависимости от х
а
отношение . Так как b — a (1—х), то подстановка
дает, после сокращения на аг и 6, формулу —=
х~
=---------------. Если х малая дробь, ее значением срав-
12(1-х + у%2).
нительно с 1 можно пренебречь, тем более можно пренеб-
103
речь и дробью ^-х2. Все выражение в скобке в знамена-
теле дроби заменится при этом единицей, и мы приходим
к формуле:
V- Vi 1 2	а — Ь
----	— х2, где х —----.
V 12	а
Эта формула говорит, что при разнице между а и Ь,
например, в 0,1 от а, V} меньше И приблизительно на
— 0,12=—от И Действительно, взяв а — 10 см, Ь = 9см>
12	1200
h— 12 см, получаем по точной формуле V — 1084 куб. см,.
а по приближенной V1 = 1083 куб. см. Разность V—Vx
равна 1 куб. см, что составлает около—— от V.
Г	1100
При небольших значениях разности а — b сравнительно
с а приближенная формула дает, как видим, довольно
точные результаты.
Конечно, этот же прием приближенного вычисления
объема применихМ и к вычислению объема усеченного ко-
нуса: берется произведение среднего сечения усеченного
конуса на высоту; среднее сечение усеченного конуса есть
окружность с радиусом (диаметром), равным полусумме
радиусов (диаметров) обоих оснований усеченного конуса.
§ 20. Сумма катетов равна гипотенузе.
Возьмем произвольный прямоугольный треугольник АВС
и разделим его гипотенузу ВС на п равных частей, где п
некоторое натуральное число, а затем через каждую точку
деления проведем пару прямолинейных отрезков, один
параллельно катетуЛб,
другой параллельно
катету АС. Продолжив
эти отрезки до их вза-
имного пересечения вне
треугольника, получим
ступенчатую ломаную,
изображенную на чер-
теже 23. Сумма Sn всех
звеньев этой ломаной
от точки В до точки С
равна- суммме кате-
тов АВ-[-ВС, так как
сумма всех проведен-
104
ных отрезков, параллельных одному из катетов, равна
этому катету.
Будем теперь неограниченно увеличивать число п, при-
давая ему последовательно значения 2, 4, 8, 16, ...и т. д.
Число звеньев в нашей ломаной линии ВС будет при этом
неограниченно возрастать (оно равно 2я), но длина каж-
дого звена будет стремиться к нулю, и ломаная линия
будет все меньше и меньше отличаться от прямой ВС.
В пределе при п -> со (знак заменяет слово „стремится",
„стремящийся") ломаная сольется с гипотенузой ВС, а
потому
пред. Sn — BC.	(1)
Но каково бы ни было натуральное число п, всегда
имеем, как мы видели выше, равенство SK— АВ-\-АС.
Следовательно, и пред. Sn при равен той же сумме:
пред.	(2}
Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к заключе-
нию, что АВ + АС —ВС, т. е. что сумма катетов произ-
вольного прямоугольного треугольника равна его гипо-
тенузе.
Разъяснение. Найти ошибку, которая привела нас
к этому нелепому выводу, совсем легко, если вспомнить
точное определение предела: постоянное число а является
пределом переменной величины х, если абсолютная
величина разности х — а в процессе изменения перемен-
ной величины х стремится к нулю, т. е. с некоторого
момента становится и в дальнейшем остается меньше
любого наперед заданного числа. В нашем рассуждении
мы имеем дело с переменной величиной Sn, выра-
жающей сумму всех звеньев ломаной ВС и принима-
ющей значения S2, 54, 58, 51с и т. д. Все эти значения
равны между собой, так как всегда Sn — АВ-\- АС. Следо-
вательно, величина является лишь кажущейся пере-
менной, по существу же эта величина постоянная. Но
это ничуть не мешает поставить вопрос о пределе Sn при
п -> оо. Ясно, что пределом для Sn не может быть никакое
другое постоянное число, кроме того, которое выражает
сумму длин обоих катетов АВ-^-АС\ если а отлично от
АВ-А-ЛС, то абсолютное значение разности Sn—а — АВ-\~
-{-АС — а, будучи постоянной и неравной нулю величиной,
отнюдь не стремится к нулю. Следовательно, написанное
выше равенство (1) неправильно и должно быть заменено
105
другим, а именно пред. Sn= АВ -{- АС, т. е. равенством (2).'
Нелепый вывод, как видим, отпадает.
Настоящий софизм очень поучителен. Он показывает,
как внимательно и критически надо относиться к тому,
что нам дает наглядное представление. Ступенчатая ло-
маная, из п одинаковых ступенек, которую мы видим на
чертеже 23, при неограниченном увеличении числа п все
менее и менее отличается от гипотенузы ВС. При доста-
точно больших значениях п наш глаз не в состоянии бу-
дет отличить эту ломаную от прямой: представьте себе,
например, что мы взяли п равным 1 000 000! Эта ломаная
линия связана с целым рядом переменных величин: можно
говорить о длине ломаной, о площади фигуры, ограничен-
ной катетами АВ и АС и этой ломаной, о сумме площадей
всех треугольников, расположенных между гипотенузой ВС
и ломаной, о сумме периметров всех этих треугольников,
о сумме их внутренних углов и т. д. К какому пределу
стремится каждая из этих переменных величин и стре-
мится ли она вообще к какому-нибудь пределу—эти
вопросы надо решать, основываясь не на зрительном
образе, а на точном определении понятия предела. Зри-
тельный образ помогает, да и то не всегда, сделать пра-
вильную догадку, вопрос же решает рассуждение.
Любопытно отметить, что при решении вопроса о пре-
деле площади Qn фигуры, ограниченной катетами АВ и АС
и ступенчатой ломаной, наглядное представление приводит
к совершенно правильному заключению о том, что этим
пределом является площадь треуголника АВС. Действи-
тельно, полагая АВ — b, AC — h, находим, что площадь
каждого треугольника, образованного двумя соседними
о	„	1 b h. bh
звеньями ломаной и гипотенузой, равна — • —- • — =----,
2 п п 2п*
а сумма площадей всех таких треугольников равна
— ~ - Для площади всей фигуры получаем формулу
Qn= — bh-}- — bh ^1 -|------у и убеждаемся, что пре-
дел QM есть ~bh, так как предел равен 0, если//-* ос.
§ 21.	Длина полуокружности равна ее диаметру.
Возьмем полуокружность радиуса г вместе с ограни-
чивающим ее диаметром и разделим последний на п рав-
106
ных частей, затем построим на каждом полученном отрезке
диаметра новые маленькие полуокружности, располагая
их поочередно по одну и
по другую стороны диаме-
тра. Получаем зигзагообраз- /
ную кривую, вьющуюся /	\
около диаметра (черт? 24).	/	\
При неограниченном увели- /	\
чении числа п эта кривая	х—.	|
линия делается все менее и *	г—	— д~7
менее отличной от прямой
и в пределе, при п-»о©, с	Черт. 24«
ней совпадает. Обозначив
длину кривой линии из п равных полуокружностей бук-
вой £л, имеем в силу этого:
пред. Ln — 2r.	(1)
Но длина каждой маленькой полуокружности, постро-
2г	г
енной на диаметре — и имеющей радиус , равна
п	п
^2к~):2 = —, а потому Ln— — -п = кг. Таким образом
полная длина нашей кривой линии равна всегда длине
первоначальной взятой полуокружности, этой же длине
равен и предел длины этой кривой линии:
пред. Ln — T.r.	(2)
Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к выводу,
что ^г = 2г, т: = 2. Следовательно, длина произвольной
полуокружности равна длине своего диаметра, и число к,
выражающее отношение длины всякой окружности к свое-
му диаметру, равно 2.
Разъяснение. Равенство (2) правильно, равен-
ство (1) ошибочно. Здесь допущена та же ошибка, что
и в § 20.
§ 22.	Боковая поверхность круглого прямого конуса
с радиусом основания г и высотой h выражается
формулой Р = кг (г Л).
Возьмем круглый прямой конус с радиусом основания г
и высотой h и проведем в нем сечения плоскостями,
перпендикулярными к оси конуса и отстоящими одна от
107
другой на расстоянии —, где п некоторое натуральное -
п
число. Каждое из полученных п — 1 круговых сечений
примем за верхнее основание цилиндра, имеющего высотой
отрезок Получим всего п—1 цилиндров, образующих
в своей совокупности ступенчатое тело, вписанное в
Черт. 25.
данный конус. Разрез
конуса и этого ступен-
чатого тела по оси ко-
нуса представлен на чер-
теже 25.
Найдем боковую по-
верхность тела. Она со-
стоит из суммы боковых
поверхностей всех ци-
линдров и суммы площа-
дей колец, остающихся
на верхнем основании
каждого цилиндра за вы-
четом площади, занятой
нижним основанием бли-
жайшего выше располо-
женного цилиндра; у са-
мого верхнего цилиндра верхнее основание надо взять
целиком.
Установив из подобия треугольников, что радиус осно-
вания нижнего цилиндра равен г(1------второго снизу
третьего снизу г^1— —и так далее — до
самого верхнего, у которого радиус основания равен
— п—легко находим, что сумма боковых поверх-
ностей всех цилиндров равна:
... + 2кгГ1-^У А,
\	11 J п
или

108
или
2w- - Г(п — 1) — - •	1 = ~rh (1 —
п L	п 2 J \ п /
Что касается площадей колец, то их сумма равна пло-
щади основания нижнего (самого большого) цилиндра,
т. е.
того
(1----~)J* Для боковой поверхности ступенча-
тела получаем формулу:
М(1_±КК1_1)Г,
или, после упрощений:
Р. = .г[4(1_±) + г(1_1у].
Замечая, что при неограниченном увеличении числа п
ступенчатое тело будет приближаться к конусу, как к
пределу, находим для боковой поверхности Р конуса фор-
мулу, указанную в заголовке:
Р=пред. Рп~ пред.яг р (1 — +г (1 —
Р = пг
Но эта формула существенно отличается от той, ко-
торая выводится в любом курсе геометрии (Р—кг1, где
I образующая конуса), так как сумма отрезков А и г,
являющихся катетами прямоугольного треугольника, всегда
больше его гипотенузы /.
Разъяснение. Конечно, верна формула Р=ъг19 а
не полученная нами формула Р — ттг (А г)- При выводе
последней мы приняли без доказательства, что пред. Ра — Р,
а это неверно. Замечая, что nr(h^ г) = кг2г) • А,
убеждаемся, что пределом для Рп служит не боковая по-
верхность конуса, а сумма площади основания конуса и
боковой поверхности цилиндра с радиусом основания
— г и высотой А.
2
109
§ 23.	Площадь прямоугольника с основанием й и
высотой b равна ой.
Черт. 26.
стремиться к пределу,
* Возьмем прямоугольный
j треугольник с катетами а и
Н (черт. 26) и проведем в
нем параллель к катету а на
расстоянии Ь<Н от него.
Пусть длина этой секущей
। равна с, а длину отрезка
Н—b обозначим буквой h.
। Мы получили трапецию, пло~
I щадь которой равна
I
j s = ±aH—±chz=±(aH-ch).
Если, сохраняя отрезки а и Ь
постоянными, неограниченно
увеличивать А, то с будет
равному а, и мы получим:
пред. S=^(aH — ah) = ±a(H—h) = ±ab.	(1)
Но при h оо трапеция стремится к прямоугольнику
с основанием а и высотой Ь. Обозначив его площадь бук-
вой Sof имеем:
пред. 5 =. Se.
(2)
Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к заклю-
чению, что
So = - ab,
°	2
т. е. что площадь прямоугольника равна половине произ-
ведения его основания на высоту.
В этом рассуждении ошибочна вся строка (1). Пере-
ходя к пределу при h -> оо, мы должны заменить не толь-
ко отрезок с его предельным значением а, но и Н и h
их предельными бесконечно большими значениями; тогда
получим:
пред. 5 = (а • оо — а • оо).
(3)
НО
Вынесение а за скобку здесь невозможно: распредели-
тельный закон, выражаемый формулой
ат — ап — а(т —п),
относится лишь к конечным значениям букв а, т, п, и мы
не вправе сделать никакого заключения на основании ра-
венства (3) о пределе SJ).
Вот правильный вывод формулы для предела S. Преж-
де чем переходить к пределу, выражаем S в зависимости,
от постоянных а и b и единственной переменной h:
с: а == h: (b А),
с = ah: (А -|- А);
S=^(aH — ch) = ± [ah + ah—ah2:(h + h)] =
- j-a [h-j-h—h2:(h + h)]=~a[h?+2hh-l-h2 — h2]:(b+h) =
= ± a [A24-2AA] :(A-|-A).
Итак,
5=1 аг.,Щ
2 bh
(4)
Теперь остается наити предел дроби—!— при
b -f- h
Простая подстановка дает неопределенность, так как
&4~2-оо = со> £_[_со = со, а частное от деления одного
бесконечно большого числа на другое бесконечно боль-
шое число может равняться чему угодно. Поэтому
предварительно преобразуем эту дробь, разделив ее
числитель и знаменатель на Л:
]) Конечно, мы можем взять т = п -j- k , где k постоянно, п +"оо^
т _> со, и после предельного перехода получаем из равенства
ат — ап~ а(т — п) совершенно правильный вывод ak ~ ak. Но вынесе-
ние а за скобку делается здесь все же до предельного перехода, т. е.
при конечных значениях т и п, применять же вынесение за скобку а
в формуле (3), полученной в результате предельного перехода, нельзя.
Кроме того, даже допустив законность такого вынесения и получив из
формулы (3) формулу пред. S = ~ а-(оо —оо), мы не получим ничего-
дальше, так как разность двух бесконечно больших чисел не имеет
определенного значения. Не следует считать, что наша разность со—ос
есть пред. (Н—h): переход к пред. Ни пред, h был совершон еще
при выводе формулы (3).
111
b±2h
пред. - , - = пред.
г b + h
b:h±2 _ 0 + 2_о
*:Л4-1 — 0+1"“
Возвращаясь к формуле (4), производим переход к пре-«
делу и получаем пред. S = ~ ab • ^пред. =-^ab-2,
откуда So = ab, как и должно быть.
Неопределенность выражений вида оо— оо (разность
двух бесконечно больших чисел) и^| (частное двух бес-
конечно больших чисел) обусловлена тем, что величины
могут неограниченно возрастать, следуя самым разнооб-
разным законам изменения. Если а = п> Ь = п—1, где
п= 1,2,3,4..., при а-»оо, 6->со, а — 6=1, а\Ь = п\(п—1) =
= l:fl------^->1. Если же а=п2, Ь — п, то а — 6->-|“°°>
\ п/
а'»Ь -> Ц-оо. Если, наоборот, а = п, 6 = п2, то а — b—°°,
а:6->0. Подбирая искусственно законы изменения а и 6,
мы можем получить, приа-»-}-00, 6->Ц-°°, какие угодно
значения для предела {а — 6) и предела (а: 6).
ГЛАВА IV.
ТРИГОНОМЕТРИЯ.
§ 1. Не существует других треугольников, кроме
правильных.
Возьмем произвольный треугольник АВС с углами а,
Y (черт. 27) и продолжим его стороны АВ = с, и АС = b
соответственно на отрезки
b и с. Угол а является
внешним по отношению к
каждому из полученных рав-
нобедренных треугольников
ACD и АВЕ, а потому
L ACD + L ADC = а, и
ввиду равенства углов ACD
и ADC каждый из них равен
1	гг.
~а. Такую же величину
имеют и углы АВЕ и АЕВ.
Теперь возьмем треуголь-
ник BCD. Его стороны ВС—а
и BD = b-\-c лежат про-
тив углов CDB — ~ а и
BCD — у а, а потому
по теореме синусов имеем:
Черт. 27.
. /	. 1	\	bс . 1
sin ( у 4— а	!— sin — а.
V 2	/ а <2
(1)
Подобным же образом из треугольника ВЕС получаем:

(2)
8-646
113
Сопоставление равенств (1) и (2) дает равенство:
sin(Y + ^a)= sin(₽ + y«),	(3)
которое приводит к заключению, что
Y +	+	(4)
или, после уничтожения равных членов слева и справа,
что
P = Y-	(5)
Далее повторяем все рассуждение, продолжив не сто-
роны АВ и АС, а стороны ВА и ВС, и точно так же при-
ходим к выводу, что
а = р.	(6)
Равенства (5) и (6) говорят, что взятый нами произволь-
ный треугольник—равноугольный, а следовательно, пра-
вильный.
Разъяснение. В нашем рассуждении все правильно,
кроме перехода от равенства (3) к равенству (4). Равные
углы имеют равные синусы, но обратное утверждение не
всегда верно : два угла с одинаковыми синусами либо равны,
либо отличаются друг от друга на четное целое число
развернутых (выпрямленных) углов (36U°, 720°, 1080°,...),
либо имеют сумму, равную нечетному целому числу
выпрямленных углов (180°, 540°, 900°,...). В равенстве (3)
мы имеем два угла	и Т + а> каждый из ко-
торых, являясь углом треугольника, заключен в интервале
между 0° и 180°:
0°<₽ + уа< 180°,	0°<7 + у а< 180°.
На основании равенства (3) можно сделать три пред-
положения:
либо P4--|a = Y + -“a«
либо	—(тЧ -уа) = 360° (или 720°, или
1080°, и т. д.),
либо	Ч~ (т-Чуа) — 130° (или 540°, или 900°
и т. д.).
114
Первое предположение, как мы только что видели,
приводит к явной нелепости и должно быть отброшено.
Отбросить надо и второе предположение, так как разность
двух положительных углов, каждый из которых меньше
выпрямленного угла, равного 180°, имеет абсолютное зна-
чение, тоже меньшее 180°, и не может поэтому равняться
360° или больше. Остается третье предположение, не при-
водящее ни к какому противоречию, но и не дающее
ничего нового: сумма
равна
а 4-р-4 у = 180°, т. е. сумма внутренних углов треуголь-
ника равна одному выпрямленному углу (180°).
Ошибочное заключение о равенстве углов на основа-
нии одного лишь равенства их синусов или других триго-
нометрических функций встречается очень часто. Никогда
не следует забывать о необходимости рассмотрения всех
предположений, возможных в случае равенства значений
одной из тригонометрических функций углов, с учетом
тех границ, внутри которых заключены эти углы.
§ 2.	Синус угла уменьшается, если к углу
прибавить 360°.
Пусть а какой-нибудь угол, заключающийся между 0°
и 180°. Его половина, которую мы обозначим буквой х,
заключается, следовательно, между 0° и 90°. Синус и ко-
синус этого угла первой четверти положительны. Прибавив
же к х еще 180°, получим угол третьей четверти, у кото-
рого и синус и косинус, как известно, отрицательны. Но
всякая отрицательная величина меньше положительной, а
потому:
sin (180° + х) < sin х, cos (180° + х) < cos х. (1)
Перемножив эти два неравенства почленно, получим
неравенство:
sin (180° + х) • cos (180° -)-х) < sin х • cos х,	(2)
которое можно переписать короче, используя формулу
синуса двойного угла (sin 2а = 2 sin a -cos а), а именно:
у sin (360° 4- 2х) < sin 2х.
После умножения обеих частей последнего неравенства
на 2 и замены х через у а имеем окончательно:
8*
115
sill (360° -{- a) < sin a,
что и „доказывает" высказанное в заглавии настоящего
параграфа утверждение, противоречащее тому общеизвест-
ному факту, что ни одна из тригонометрических функций
не меняется от увеличения угла на 360°.
Разъяснение. В результате почленного умножения
двух неравенств одинакового смысла, все части которых
положительны, получается новое неравенство того же
смысла. Умножение же неравенств, не удовлетворяющих
этому требованию, может давать, что угодно: и нера-
венство другого смысла, и даже равенство.
Например:
— 1 < 2,	2 < 3; (— 1).2з= — 2, 2-3 = 6, —2<6,
— 4<2, — 2 < 3; (— 4)-(— 2) = 8, 2-3 = 6,	8>6,
— 2<2, —3<3; (—2)-(—3) = 6, 2-3 = 6,	6 = 6,
В неравенствах (1) левые и правые части равны по
абсолютной величине, но различны по знакам:
sin (180°-(-*) = — sin л: и cos(180° + x) =— cosx.
Почленное их перемножение приводит к двум равным по
абсолютной величине произведениям, имеющим оба знак
плюс, а потому равным друг другу. Неравенство (2), в силу
этого, неправильно и должно быть заменено равенством:
sin (180° + х) • cos (180° -|- *) = sin х • cos х,
которое приводит к общеизвестной формуле:
sin (360° Ц-2х) = sin2x и sin (360° 4- a) = sin a.
Отметим, что ошибка, допущенная в только что рассмотрен-
ном рассуждении, у нас уже встречалась раньше (в § 14
главы II).
§ 3.	Косинус любого острого угла больше единицы.
Взяв произвольный острый угол а, напишем тождество
cos a = cos а и прологарифмируем его (хотя бы по основа-
нию 10); получим:
lg cos a = lg cos a.
(1)
116
Заменим равенство (1) неравенством, увеличивая вдвое
левую его часть:
2 lg cos а > lg cos а,	(2)
или, что то же:
lg cos2a > lg cos а.	(3)
Принимая во внимание, что при основании, большем 1,
большему числу соответствует больший логарифм, и
обратно, из неравенства (3) выводим, что
cos2 а > cos а.
Разделив обе части последнего неравенства на положи-
тельное число cos а, получим неравенство того же смысла:
cosa> 1,
и придем к противоречию с определением косинуса острого
угла как отношения прилежащего катета к гипотенузе.
Разъяснение. При переходе от равенства (1) к нера-
венству (2) мы умножили на 2 левую часть равенства (1).
Но действительно ли это умножение на 2 есть увеличение?
Всегда ли 2а > а? Перенося в этом последнем неравенстве
число а из правой части в левую, убеждаемся, что из
неравенства 2а > а вытекает неравенство а>0, Следо-
вательно, если а не больше нуля, а меньше нуля или
равно нулю, то неравенство 2а > а не может иметь места.
Например, при а~— 5, 2а~—10, —10<— 5, 2а<^а\
при а —0, 2а - 0, 2а — а. Итак, переход от равенства
а = а к неравенству 2а> а возможен исключительно при
а>0. Но косинус острого угла всегда заключен между
нулем и единицей, десятичный логарифм этого косинуса
отрицателен, а потому из равенства lg cos а = lg cos а не
вытекает неравенство 2 lg cos а > lg cos а.
С ошибкой этого рода мы уже имели дело в § 19
главы II.
§ 4.	Площадь прямоугольника равна нулю.
Возьмем тригонометрический круг и отметим на его
окружности точку Л4, представляющую собой конец неко-
торой дуги первой четверти а = (черт. 28). Проведя
A4Ml_[_AA}f MQ_[_BB}, М^Х_\_ВВЪ где ААХ и ВВ{ пара
взаимно перпендикулярных диаметров тригонометрического
круга, получим прямоугольник	и займемся вычи-
слением его площади 5. Основание прямоугольника Q^i
117
равно отрезку OP, который является линией косинуса для
угла а и равен в силу этого г cos а, где г радиус тригоно-
метрического круга. Высота прямоугольника пред-
ставляет собой сумму двух отрезков РМ и РЛЦ. Первый
Черт. 28.
из этих отрезков есть линия синуса для угла а и равен
г sin а, второй же является линией синуса для угла — а и
равен rsin( — а) = — г sin а. Далее получаем:
М1М = РМ + РМХ,	(1)
M1M = rsina + (—г sin а) = г (sin а— sin а) = О,
5= OP* М^М = rcosa-0 = 0.
Разъяснение. Ошибка настоящего рассуждения за-
ключается, конечно, в неправильном вычислении высоты
прямоугольника. Приписывая отрезку определенный знак
(4- или —), мы тем самым указываем, в каком направле-
нии этот отрезок откладывается, или, что то же, в каком
направлении мы этот отрезок проходим. Для линии синуса
знак плюс указывает, что она откладывается вверх от
горизонтального диаметра, минус — вниз. Рассматривая
такие направленные отрезки и обозначая каждый отрезок
двумя буквами, всегда предполагают, что первая буква
означает начало отрезка, вторая — его конец. Поэтому два
направленных отрезка АВ и ВА не тождественны: имея
одинаковую длину, они имеют противоположные направ-
ления, и в силу этого АВ = — В А.
118
На чертеже 28 отрезок РМ откладывается вверх, а
потому PM = r sin а> отрезок же РМХ — вниз, и следо-
вательно, РМХ =— г sin а. Чтобы получить высоту прямо-
угольника со знаком плюс, мы должны двигаться от точки
М{ к точке М в одном и том же направлении, а именно
вверх. Поэтому формула (1) неверна, правильной же яв-
ляется формула М^М = М{Р-\- РМ, или, что то же М{М =
= РМ-\~ МХР. Замечая, что МХР=—РМ{ =— (—г sin а) =
— Ц- г sin а, имеем: |
iM^M — г sin а	fjsin а = 2r sin а, j
как’иЛдолжно быть.
Разъяснить настоящий софизм можно было бы гораздо
короче, просто указав, что при вычислении площади пря-
моугольника мы должны брать лишь длины его основания
и высоты, не принимая во внимание их знаков. Однако,
во-первых, нередко и площадям приписывают определен-
ные знаки (-(- и —); во-вторых, важно выяснить, как, зная
направленные отрезки, ведущие от некоторой данной точки
к концам некоторого интересующего нас отрезка, получить
длину этого отрезка (в нашей задаче вопрос заключался
именно в этом: надо было найти длину отрезка М}М, зная
направленные отрезки, ведущие от точки Р к точкам
М. и М),
§ 5.	Бесконечно большое значение равно нулю.
Если острый угол а увеличивается, приближаясь к 90°,
как к пределу, то его тангенс, как известно, неограниченно
растет по абсолютной величине, оставаясь положительным:
tg90° = + oo.	(1)
Но если взять тупой угол 0 и уменьшать его, прибли-
жая к 90°, как к пределу, то его тангенс, оставаясь от-
рицательным, тоже неограниченно растет по абсолютной
величине, а потому
tg90° = —оо.	(2)
Сопоставление формул (1) и (2) приводит к заключе-
нию, что
— оо = — ОО ,
— оо оо = 0,
оо — 0.
Разъяснение. Чтобы вскрыть ошибку только что
приведенного рассуждения, следует дать себе ясный отчет
119
в том, что такое tg90°. Понимать этот символ буквально,
т. е. как обозначение тангенса угла в 90°, нельзя, так
как прямой угол тангенса не имеет: ведь тангенс угла
есть отношение линии тангенса этого угла к радиусу
тригонометрического круга, а линия тангенса есть отрезок
касательной к кругу, проведенной через начало дуги до
пересечения с продолжением радиуса, проведенного через
конец дуги; но при угле в 90° эти радиус и касательная
параллельны, а потому их точка пересечения не сущест-
вует, линии тангенса нет, нет и тангенса. Когда говорят,
что tg 90° = -|- ст, то тем самым только указывают, что
при приближении угла а к 90° его тангенс неограниченно
растет по абсолютной величине, оставаясь положительным,
если угол приближается к 90° со стороны меньших зна-
чений (а < 90°), и оставаясь отрицательным, если угол а
приближается к 90° со стороны больших значений (а> 90°).
Равенства (1) и (2) представляют собой ввиду этого не
равенства обычного вида, как а — &, а —с, из которых
можно вывести, что Ь = с, а условные сокращенные записи
следующих утверждений:
если 0°<а<90°, то при а->90°	(Ibis)
tg а -> -|- оо,
если 90°<а< 180°, то при а-»90°	(2bis)
tg CL —» — оо.
Понятно, что нелепое заключение-{-оо = — оо, получен-
ное выше без учета этого особого характера равенств (1)
и (2), отпадает.
§ 6. Осторожнее с бесконечно большими значениями!
Задача заключается' в разыскании предела дроби:
у __ tg Зх + tg 5х ,
tgx
нри условии, что угол х, выраженный в радианной мере,
стремится к значению у-.
Один ученик предложил следующее весьма простое,
но, к сожалению, совершенно неправильное решение этой
задачи. Возьмем, говорит он, вместо х его предельное зна-
чение ~ тт,и ли 90е, и подставим это значение в данное
выражение. Как известно, tg90°w=co, а потому tgx = oo.
120
Но углы Зх — 3 • 90° - 270° и Ъх = 5 • 90° — 450° тоже имеют
бесконечно большие тангенсы: tg3x~ °°, tg 5х--Далее
получаем:
tg Зх -j- tg Зх — со-'t со = 2 • со,
(tg Зх + tg эх) __ 2-оо _ 2
tg X	со
Итак, искомый предел равен 2.
Убедиться в том, что этот ответ неверен, проще всего
вычислением. Если мы дадим х несколько значений, пос-
тепенно приближающихся к 90°, то вычисление у должно
дать значения, постепенно приближающиеся к найденному
нами предельному значению 2, — если только, конечно,
оно определено правильно.
Даем х три значения: = 89°0', х2 = 89°30', х3=89°54',
и находим соответствующие значения у посредством та-
блицы (четырехзначной) натуральных тангенсов; при вы-
числении переходим к котангенсам, что позволит упрос-
тить умножения:
д- = 90э — а,
tg х — ctg а,
tg Зх = tg (270° — За) = ctg За,
tg 5х = tg (450° — 5а) = ctg 5а.
При х = 89°, а — 1°:
У = (ctg 3°+ctg 5°): ctg Г = (19,08+ 11,43) : 57,29 = 0,5325.
При х = 89=30', а = 0=30':
у = (ctg 1=30'+ ctg 2=30') : ctg 0°30' =
= (38,19 + 22,90): 114,6 = 0,5330.
При х = 89=54', а = 0°6':
у (ctg 0=18' + ctg 0=30'): ctg 0=6' =
= (191,0 + 114,6) : 573,0 = 0,5333.
Полученные числа говорят о том, что здесь, дейст-
вительно, есть приближение к пределу, но предел этот
вовсе не похож на найденное выше число 2.
В приведенном выше решении, которое привело к от-
вету 2, совершенно незаконны операции сложения и де-
ления бесконечностей (<х>+со =2оо; 2оо : оо=2). Беско-
нечность не есть число в обычном смысле слова, и дей-
ствовать' с ней по правилам действий над конечными чис-
121
лами нельзя. Когда мы говорим, что tg90°=oo, то это
означает лишь то, что при достаточном приближении
угла к 90° его тангенс получает значения (положитель-
ные или отрицательные), превосходящие (по абсолютной
величине) любое заданное число. Запись со 4" 00 = 2 00 не
имеет смысла: складывая две бесконечности, мы должны
в каждом отдельном случае выяснить, какой характер
имеет сумма. То же самое относится и к делению беско-
нечности на бесконечность. Пусть, например, мы имеем
переменную величину х, принимающую значения 10, 100,
1000 и т. д. Эта величина х есть бесконечно возрастаю-
щая величина или бесконечно большая величина или
просто бесконечность. Бесконечно большими будут при
этому — 2х-|-1 (принимает значения 21,201,2001 и т. д.)
и z = x2 (принимает значения 100, 10000, 1000000 и т. д.).
Частное от деления у на х будет при этом конечной
переменной величиной (принимает значения 2,1, 2,01,
2,001 и т. д., стремясь к пределу 2), а частное от деле-
ния z на х — опять-таки бесконечно большая величина
(принимает те же значения 10, 100, 1000 и т. д., что и х),
частное же от деления х на z— уже бесконечно малая
величина (принимает значения 0,1, 0,01, 0,001 и т. д., стре-
мящиеся к пределу 0).
Приводим правильное решение нашей задачи.
г	tg3r-ptg5r	/tg3r I tg5r\
д = "р“' LVJ- = ^(fc+fc)=
x T	x
/tg 3x\ I	/tg 5,r \
=npT (t!7)+npe4;	)
2"	V •* T
(здесь использована теорема: предел суммы конечного
числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых);
если x = jir— a, Totgz — ctga, tg3x = ctg3a,
tg 5 x — ctg 5 a;
T	Ctg За I	Ctg 5a
^ = пред- ~ctg^+nP^- ctgT =
/cos 3a sin a \ I	/cos 5a sin a \
^прад-(^	-^) =
cos 3a	Sin a ,	COS 5a ___4 Sin a
= ПРеД- • ПРеД- s-i^ + ПРеД- CoTa • "РеД*
122
(использована теорема: предел произведения конечного
числа сомножителей равен произведению пределов этих
сомножителей). Если х стремится к ~тг, то а=ул —х
стремится к нулю, поэтому:
пред, cos За
Пред. cos За _ а = 0	__ COS (3-0) _COS 0 ___1
а —о COS а Пред. COS а COS 0 COS 0	1
а —о
cos 5а ' .
также	пред, = 1
(использована теорема: предел частного двух переменных
равен частному от деления предела делимого на предел
делителя при условии, что предел делителя не равен
нулю; кроме того, использована непрерывность косинуса,
т. е. то обстоятельство, что предельное значение косинуса
всегда равно частному его значению при соответствую-
щем предельном значении угла). Далее,
sin, а	sin а а					пред. а = 0	Sin а а	_2_
пред. Sjn — пред.	Sin За	3 ’	пред.	Sin За	3 ’
ц — (J	(Л — U	За 3		а— о	За	
	Sin а		пред.	Sin а	
	—				
sin. а 	 ппр тт ппел		 — пред.	а	1	а= о	а	2
аРЛо81п5а “ = 0	Sin 5а	У *	пред.	Sin 5а	5
	5а		а —	5а	
(здесь использована, кроме теоремы о пределе частного,
еще теорема о пределе отношения синуса бесконечно ма-
лого угла к самому углу, выраженному в радианной ме-
ре; как известно, предел этот равен 1).
Теперь имеем окончательно: Л=—= Обра-
щение этой дроби в десятичную дает бесконечную перио-
дическую дробь 0,53333 ...» и полученный результат на-
ходится в полном согласии с результатами вычисления,
проведенного выше с целью проверки первого решения
(были получены числа 0,5325, 0,5330, 0,5333).
ГЛАВА V.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
§ 1. Сколько лет древней статуе?
На вопрос о том, сколько лет древней статуе, храня-
щейся в музее, служащий музея ответил; „Ей 4008 лет“.
Дальше последовал вопрос: „Каким образом возраст та-
кой древней вещи установили с такой высокой точностью?".
Служащий объяснил, что он поступил работать в музей
еще восемь лет назад, и узнал тогда от директора
музея, что этой статуе 4000 лет; с тех пор прошло во-
семь лет, а потому возраст статуи в настоящее время
40004-8 — 4008 лет.
Как отнестись к такому объяснению?
Служащий музея, очевидно, не понимает, что возраст
статуи определен в четыре тысячи лет не точно, а
лишь приближенно: известно, сколько тысячелетий про-
шло с того времени, когда эта статуя была сделана, но
сколько с тех пор прошло веков, десятков лет, тем более
отдельных лет — остается неизвестным. Заменяя неизвест-
ные цифры в указанном директором возрасте статуи зна-
ками вопроса, мы должны записать проделанное служащим
сложение в таком виде:
. 4???
+___8
4008.
Но совершенно ясно, что от прибавления 8 к числу,
выраженному неизвестной нам цифрой единиц первого сла-
гаемого, может получиться число с какой угодно цифрой
единиц, а вовсе не обязательно с цифрой 8. Точно так же
ничем не оправдана и постановка нулей в качестве цифр
124
десятков и сотен суммы. Единственно правильным будет
такой результат:
, 4???
+	8
4???
Следовательно, возраст статуи, определенный перво-
начально в 4 тысячи лет, остается таким же и по про-
шествии 8 лет.
Складывая и вычитая числа, известные нам не абсолют-
но точно, а лишь с некоторым приближением, мы всегда
должны выяснить, какие цифры результата заслуживают
доверия, а какие нет, и вовсе отбрасывать последние.
Положим, получен ящик с прибором; на ящике надпись:
вес брутто (т. е. вес товара вместе с упаковкой) 35 кг.
Пусть вес самого прибора (вес нетто) оказывается, как
показало взвешивание на точных весах, равным 2,853 кг.
Заключение, что упаковка (тара) весит 35—2,853 = 32,147 кг,
является неправильным; все цифры после запятой не
заслуживают никакого доверия, результат надо округ-
лить до целых: упаковка весит 32л:г.
§ 2. О точности произведения приближенных чисел.
Положим, требуется найти произведение двух чисел
124“ и • Не желая иметь дело с обыкновенными дро-
бями, переходим к десятичным, ограничиваясь точностью
до десятых. Так как — — 0,33..., — —0,13..., то выполняем
з	73
умножение десятичных чисел 124,3 и 2,1, и получаем про-
изведение 261,03. Сомножители были взяты с точностью до
десятых. Считая, что с такой же точностью получен и
результат, пишем окончательно: 124 у • 2	261,0.
Так ли это?
Производя умножение без предварительного обраще-
ния сомножителей в десятичные дроби, мы найдем, что
51
произведение равно 265— или 265,698 ... Следовательно,
в полученном выше результате, вопреки нашему ожи-
данию, неверна не только цифра десятых долей, [но и
цифра целых единиц.
125
Для того чтобы понять, почему так получилось, запи-
шем приближенные сомножители в виде 124,3? и 2,1?, за-
меняя знаками вопроса неизвестные цифры сотых долей, и
выполним умножение так, как будто эти цифры сотых
были нам известны. Умножая неизвестные цифры, в част-
ных произведениях ставим в соответствующих местах тоже
знаки вопроса:
124,3?
Х 2,1?
???? ?
И 243 ? ’
24 : 86 ?
26 .1,03??
Все цифры произведения направо от вертикальной
пунктирной черты получены от сложения неизвестных
цифр с известными или одних неизвестных цифр друг с
другом, а потому никакого доверия не заслуживают. От-
брасывая эти цифры результата, записываем произведение
в виде 260 или, еще лучше: в виде 26о: уменьшенный
размер нуля целых указывает, что этот нуль поставлен
вместо неизвестной нам цифры единиц.
При умножении приближенных чисел следует руко-
водствоваться правилом: в произведении двух приближен-
ных чисел следует сохранять столько значащих цифр,
сколько их имеет тот сомножитель, у которого
значащих цифр меньше. Под значащими цифрами числа
разумеют все его цифры, т. е. цифры как целой, так и
дробной его части, за исключением нулей, которые стоят
левее первой отличной от нуля цифры, и тех нулей, кото-
рые могут быть у числа справа, если эти нули постав-
лены взамен неизвестных цифр (например, числа 20,6, 206,
0,00206 имеют по три значащие цифры каждое).
В применении к рассмотренному выше примеру умно-
жения приближенных чисел это правило рекомендует сох-
ранить в произведении лишь две первые значащие цифры,
так как приближенное множимое (124,3) имеет 4 знача-
щие цифры, приближенный же множитель (2,1) — только 2.
Но мы убедились, что только эти две первые цифры
произведения в нем и верны. Взяв множитель 2— =
= 2,1370 ... в виде десятичной дроби не с 2, а с 3 зна-
чащими цифрами (2,14), мы получили бы произведение
126
266,002, в котором следовало бы, согласно правилу, сох-
ранить уже 3 первые значащие цифры, и мы имели бы
1	10
Г24“-2~= 266, т. е. как раз то, что получается, если
точное произведение 265,698 округлить до 3 значащих
цифр. Взяв множитель с 4 значащими цифрами (2,137), мы
получили бы произведение 265,6291, в котором, согласно
правилу, надо бы было сохранить 4 первые значащие
цифры. И, действительно, расхождение между этим прибли-
женным произведением и точным его значением (265,698...)
начинается лишь после четвертой значащей цифры.
Пользоваться этим очень удобным правилом округле-
ния произведения приближенных чисел можно и тогда,
когда один из сомножителей — число точное. Надо только
считать, что в этом сомножителе бесконечно много зна-
чащих цифр, и сохранять в произведении столько знача-
щих цифр, сколько их имеет второй (приближенный)
сомножитель. Например, если взять тт 3,14 и находить
длину окружности с диаметром ровно в 2,6 см, то в про-
изведении 3,14-2,6 = 8,164 следует сохранить 3 первые
значащие цифры, которые и являются единственными вер-
ными цифрами этого произведения (взяв к = 3,14159, мы
получили бы тт • 2,6 = 8,1681 . ..).
Следует заметить, что могут быть случаи, когда про-
изведение двух чисел имеет больше верных цифр, чем
можно ожидать на основании этого правила, так как один
приближенный сомножитель может быть меньше соот-
ветствующего точного значения, а другой — больше. Точ-
но так же может случиться, что последняя цифра, кото-
рую мы сохраняем в произведении согласно правилу, бу-
дет не вполне точной; теория указывает, что в этой
последней цифре может быть неточность, приближающая-
ся в исключительных случаях к 6 единицам этого разряда,
но никогда не превосходящая этого предельного значения !).
Подобные же правила надо соблюдать и при выполне-
нии других действий над приближенными числами: в част-
ном двух приближенных чисел следует сохранять столь-
ко значащих цифр, сколько их имеет то из данных чи-
сел (делимое и делитель), в котором меньше значащих
9 О деталях, касающихся обоснования и применения этого пра-
вила округления произведения приближенных чисел, см. книгу Б р а-
диса В. „Теория и практика вычислений* (Учпедгиз 1937, § 55 и сл.).
Там же идет речь и об аналогичных правилах для деления, возведе-
ния в квадрат и куб и извлечения корня.
127
цифр; при возведении в квадрат и куб в результате на-
до сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет
возводимое в степень приближенное число \ квадратный
и кубический корни из приближенного числа надо извле-
кать со столькими значащими цифрами, сколько их
имеет подкоренное число.
Stn а _ _
§ 3. Верна ли формула
Sin а
Один ученик, ознакомившись с формулой —~ = tg у,
решил проверить ее. Выписав из таблицы значения всех
трех функций при а = 89°42', а именно sin а =1,0000,
cos а = 0,0052, tg а =191,0, он разделил sin а =1,0000 на
cos у = 0,0052, но получил не число 191,0, как ожидал, а
число 192,3..., и заключил, что либо неверна формула, либо
неверно по крайней мере одно из трех взятых табличных
значений.
Конечно, причиной расхождения является то обстоя-
тельство, что все выписанные табличные значения, как и
подавляющее большинство других табличных значений,
являются числами приближенными, дающими лишь не-
сколько первых значащих цифр соответствующих точных
значений. При делении двух приближенных чисел част-
ное получается, разумеется, не точно, а лишь прибли-
женно. Правила, о которых была речь в предшествующем
параграфе, указывают, сколько значащих цифр следует
сохранять в таком частном. В настоящем случае делимое
(1,0000) имеет пять значащих цифр, делитель (0,0052)
только две, а потому и в частном мы должны сохранить
лишь две первые значащие цифры. Получив частное
192,3..., округляем его так, чтобы оставались лишь две
первые значащие цифры, и получаем число 190, которое
совпадает в пределах первых двух значащих цифр с таб-
личным значением tg89°42', равным 191,0.
Чтобы получить частное с четырьмя значащими циф-
рами, надо повысить точность делителя, взяв его не с
двумя, как было у нас, а по крайней мере тоже с че-
тырьмя значащими цифрами (чтобы получить четыре
вполне надежные значащие цифры частного, делимое и
делитель лучше брать с одной „запасной" цифрой, т. е.
не с четырьмя, а с пятью значащими цифрами). Итак,
найдя (по более точной таблице), что cos 89°42' = 0,0052360,
делим 1,0000 на 0,0052360 и получаем в частном 190,98...
128
или, после округления до четырех значащих цифр, как
раз табличное значение tg89°42', а именно 191,0.
§ 4. Сколько цифр надо .знать в подкоренном числе,
чтобы получить корень с заданной точностью?
Положим, что мы желаем вычислить значение sin 15°
по формуле sin 15° = 0,5 V 2 — У-причем ставим себе
задачей получить это значение с четырьмя десятичными
знаками. С какой точностью необходимо извлечь Уз,
чтобы обеспечить при втором извлечении квадратного
корня (из 2—У~з) требуемую точность результата? Часто
рассуждают так: для получения каждой следующей циф-
ры квадратного корня нужна новая грань из пары цифр
подкоренного; следовательно, для получения четырех
цифр после запятой в значении корня из 2 — У~“з в этом
последнем числе необходимо иметь 2-4 = 8 цифр после
запятой. Руководствуясь этим соображением, извлекают
корень из 3 с восемью десятичными знаками и, получив
/"3 = 1,73205081, находят 2 — У”з = 0,26794919; после это-
го вычисляют 1^2 — У 3—0,5176 и, наконец, sin 15° =
= 0,2588.
Как показывает справка в таблице синусов, все че-
тыре десятичных знака полученного результата верны.
Но тот же самый результат дает и следующее вычисле-
ние, требующее значительно меньше выкладок:
/"3= 1,7321,
2 —У”з = 0,2679,
V 2- V 'З =0,5176,
sin 15° — 0,5 V 2 — Уз =0,2588.
Этот пример наводит на мысль, что для получения
каждой лишней цифры в значении квадратного корня
нет надобности знать целую лишнюю грань, т. е. две
лишние цифры в подкоренном. И действительно, не труд-
но доказать целесообразность такого правила: при из-
влечении квадратного корня из приближенного числа,
имеющего п значащих цифр, надо брать в корне тоже
п значащих цифр *). Последняя цифра получённого корня
9 Обоснование этого правила см. в упомянутой выше книге «Тео-
рия и практика вычислений*, § 60.
9—646	(	129
буд.ет при этом или вполне точна, или отлична от точч
ной на одну единицу. Поэтому, для получения квадрата
ного корня с п значащими цифрами, подкоренное достаточ-
но брать тоже с п значащими .цифрами (или, если жела-
тельно иметь полную гарантию точности последней циф-
цы, то с п -|- 1 значащей цифрой).
Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значе-
ние х = У/ 28у с точностью до сотых долей. Замечая, что
корень содержит лишь одну цифру в целой части, видим,
что его значение надо найти с тремя значащими цифрами
(цифра целых единиц, цифры десятых и сотых долей).
2
Поэтому и число 28 ~ достаточно взять с тремя значащи-
ми цифрами, т. е. в виде 28,3. Извлекая корень йз этого
последнего числа, имеем окончательный результат 5,32.
Для проверки найдем тот же корень другим способом, а
именно, сводя вопрос к извлечению корня из целого
числа:
28 у =	= у К1386“ = у • 37,229... =
= 5,318... =5=5,32.
§ 5. Зачем освобождаются от иррациональности
в знаменателе?
Нередко необходимость освобождения от иррациональ-
ности в знаменателе дробного выражения объясняют тем,
что благодаря этому достигается повышение точности.'
Так, в пользующейся большой известностью книге Ш м у-
левича П. И. „Дополнения к курсу алгебры, требуе-
мые программами конкурсных экзаменов* (изд. Юте, 1917 г.),
мы находим (на стр. 63) утверждение, что, вычисляя ко-
рень до — , мы получим численное значение выражения
я
а
в Ь раз точнее, если предварительно преобразуем
Уь
т____
это выражение к виду ДК<>'”~"1
ь
Действительно ли это так?
Рассмотрим пример. Пусть х = ——, гдеа= 1, b = 10,
/Г
130
Ш --2, и надо найти значение %, извлекая корень с то-
чностью до десятых. Подставляя числовые значения не-
посредственно, имеем	“=0>3125 ; применяя
V ю
предварительное уничтожение иррациональности в зна-
Iх То 3,2
менателе, получаем х., =	^~ = 0,32. Сравнивая оба
найденных приближенных значения с более точным, рав-
ным 0,1 К10 —0,1 -3,1622 = 0,31622..убеждаемся, что пер-
вое из них (xj имеет погрешность 0,31622... — 0,3125 =
=0,00372... по недостатку, второе же (х2) — погрешность
0,032 — 0,31622. .. = 0,00378... по избытку. Как видим, во-
преки утверждению в книге, уничтожение иррациональ-
ности в знаменателе отнюдь не повысило точность в
b = 10 раз, а даже немного ее понизило.
Легко показать, что при замене корней их приближен-
ными значениями, отличающимися от точных их значений
меньше чем на — долю единицы, мы получим значение
выражения —— с погрешностью, не больше чем ——,
т ____________	т __
Уь
а значения выражения 9	—с погрешностью, не
оольшеи — .
nb
Эги границы погрешности при /п = 2 равны, что и под-
твердил только что рассмотренный пример. При т > 2 и
b 1 вторая граница погрешности меньше первой, но не
т_______________________________________
в b раз, как утверждает книга, а лишь ьУЬт~2 раз. При b <4
вторая граница при /тг>2 больше первой.
Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти зна-
чение выражения х =_____1	— при а -1,02, b = 1,01,
Г а -р V b
имея в своем распоряжении четырехзначную таблицу квад-
ратных корней. Таблица дает У а = 1,010, УЬ — 1,005, и,
делая подстановку непосредственно в данное выражение,
мы получим хх~ —-— = 0,4963. Если же предварительно
2,015
преобразовать данное выражение, уничтожая (посредст-
вом умножения числителя и знаменателя на У а—УЬ ) ирра-
9*	131
циональность в знаменателе, то получим:
_ Va—Vb 	1,010—1,005 _ nt-
а — b	0,01	0,01
В то время как первое вычисление дало значение х с
четырьмя десятичными знаками, второе дало его лишь
с одним, т. е. значительно менее точно.
Как видим, уничтожение иррациональности в знамена-
теле далеко не всегда повышает точность результата вы-
числения, а иногда даже понижает ее.
Зачем же тогда ведут эту „борьбу с иррационально-
стями в знаменателе"?
Дело в том, что вычисление производится в громадном
большинстве случаев значительно удобнее, если в знаме-
нателе нет корней, чем в тех случаях, когда там корни
тт	1
имеются. Например, для вычисления —— мы должны про-
V ю
извести деление на многозначное приближенное значение
корня, а после уничтожения иррациональности в знаме-
/1Л7о\
менателе деление выполняется гораздо проще/
\ 10/
Попробуйте упростить выражение:
..;—+	------------------k
j/* л 1 -|- J/r а	2 У а 2 У J\.cl -|- 2	j/* Зя -j- 1 -|- j/* Зя
сперва уничтожив предварительно корни в знаменателе
каждой дроби, а затем не прибегая к этому приему, и
польза „борьбы с иррациональностями в знаменателях*
станет вполне очевидной. Не надо, однако, думать, что
вести эту борьбу надо всегда. Во многих вопросах выс-
шей математики (при разыскании пределов, при интегри-
ровании иррациональностей и т. д.) нередко приходится
делать обратное: уничтожать иррациональности в числи-
теле, переводя их в знаменатель. Вот простой пример.
Надо установить, что делается с разностью
У = Ух 4-1 — Ух
при неограниченном возрастании %. Простая подста-
новка х — оо здесь ничего не дает, так как выражение
1 —V00 = 00— 00 будет неопределенно. Но стоит
только представить у в виде дроби со знаменателем 1 и
умножить числитель и знаменатель на Ух +1 + К*, как
сразу становится ясным, что у при неограниченном возрас-
тании х стремится к нулю :
132
Vх 4-1 — у/х (Их 4-1 — /х ) (Их -г 1 4- Их )
1	Vx-\-l~[-Vx
=	—7= ------х— = °-
Fx+l+/x 00-1-00
§ 6. Об одном неправильном способе
использования таблицы.
Возьмем	следующий отрывок таблицы квадратных		
корней:	п	Vn	d
	10	3,16228	15 434
	И	3,31662	14 748
	12	3,46410	14 145
	13	3,60555	13611
	14	3,74166	
Здесь столбец с буквой d в заголовке содержит зна-
чения табличных разностей, т. е. разностей между двумя
смежными табличными значениями квадратного корня,
выраженные в единицах пятого десятичного знака.
Найдем посредством этой таблицы V 12,52. Для этого
выполняем так называемую линейную интерполяцию,
рассуждая так: при возрастании п на 1 от 12 до 13 ква-
дратный корень увеличивается на 3,60555 — 3,46410 =
= 0,14145, или 14 145 единиц пятого десятичного знака;
при возрастании п на 0,01 увеличение будет в 100 раз
меньше, т. е. 141,45 единиц пятого десятичного знака; при
возрастании п с 12 до 12,52, т. е. на 52 сотых, увеличе-
ние Уп будет в 52 раза больше, т. е. на 141,45-52 = 7355,4
единицы (того же пятого десятичного знака). Прибавляя
полученную поправку к значению V— 3,46410 и отбра-
сывая явно ненадежную цифру шестого десятичного знака,
получаем в результате искомое значение И12,52 = 3,53765.
Однако непосредственное извлечение квадратного кор-
ня из числа 12,52 приводит к нислу 3,53836, превосходя-
щему найденное выше число 3,53765 на 71, единицу (пя-
того десятичного знака).
Стоит только внимательно пересмотреть приведенное
выше рассуждение, и причина полученного расхождения
станет ясной. Разыскивая поправку, мы считали, что из-
менения значений корня пропорциональны изменениям
133
в значении подкоренного; мы считали, что при увеличе-
нии п на 0,01 корень из п увеличится на число, в 100
раз меньшее, чем при изменении п на 1, а при увеличе-
нии п на 0,52 корень из п увеличится на число, в 52 ра-
за большее, чем при изменении п на 0,01. Другими словами,
мы предполагаем изменение функции равномерным. Но
один взгляд на приведенную в начале параграфа таблицу
сразу показывает, что это предположение неверно: при
последовательном увеличении значений п на единицу ко-
рень из п увеличивается на неодинаковые, а именно на
постепенно (и значительно) убывающие числа, рост Уп
не равномерный, а замедленный.
Более глубокое изучение вопроса показывает, что ли-
нейная интерполяция дает хорошие результаты, если таб-
личные значения изменяются равномерно или почти рав-
номерно, а именно в тех случаях, когда соседние таблич-
ные разности отличаются одна от другой не больше чем
на 4 единицы последнего десятичного знака (в подавля-
ющем большинстве случаев максимальная погрешность,
происходящая от неравномерности изменения табличных
значений, не больше одной восьмой доли этой разницы двух
соседних табличных разностей). В нашем примере таблич-
ные разности отличаются друг от друга на несколько сот
единиц последнего десятичного знака. Поэтому не прихо-
дится удивляться, что полученный результат содержит
такую значительную ошибку.
Округлив табличные значения до тысячных, мы полу-
чим новую таблицу:
п Уп d
12 3,464 Jn
13 3,606 Л t
14 3,742
Здесь соседние табличные разности отличаются одна
от другой на сравнительно небольшие числа (8 — 5 — 6).
Хотя они и превосходят указанное выше предельно допус-
тимое значение (4), все же линейная интерполяция допус-
тима: полученный результат будет иметь ошибку от не-
равномерности изменения табличных значений не больше
чем в одну единицу последнего десятичного знака.
Действительно, вычисляя вновь У 12,52 , получаем
поправку
134
(142 : 100)-52 = 73,84 = 74,
а потому
= 3,464 + 0,074 = 3,538.
В этом значении корня из 12,52 все три десятичных знака
точны (/7752 = 3,53836...).
Мы сделали возможной линейную интерполяцию,
округлив все табличные значения, т. е. жертвуя точностью
таблицы. Если заменить данную таблицу другой, с голь
же точной, но более подробной, а именно такой,где зна-
чения п изменяются через 0,1, то изменение корня станет
настолько медленным, что линейная интерполяция станет
возможной даже при вычислении с пятью десятичными
знаками.
Приводим отрывок такой более подробной таблицы:
п	Vn	d
12,4	3,52136	1417
12,5	3,53553	1412
12,6	3,54965	1406
12,7	3,56371	
Здесь уже можно применять линейную интерполяцию.
Для значения К 12,52 она дает поправку (1412 : 10) • 2=
= 282,4 ^ 282, а потому |/Щ2	3,53553 + 0,00282 =
— 3,53835, что меньше точного значения 3,53836... на
одну единицу последнего десятичного знака с небольшим,
так как следующий (шестой) десятичный знак в точном
значении есть I.
ГЛАВА VI.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ
СОФИЗМАМИ В ШКОЛЕ1).
Желая повысить интерес учащихся к математике, вы-
звать активное отношение к работе и внести некоторое
разнообразие в программный материал, я приступила с
ноября 1934 года к использованию математических софиз-
мов в своей школьной практике. За II и III четверти
1934/35 учебного года мной было разобрано в разных
классах (я работала в V, VI и VII классах) всего 15 со-
физмов. Начало в работе было очень трудное. По своей
неопытности, я не учла математических сил учащихся и
взяла для разбора первый софизм более трудный, чем
нужно. Да и сами учащиеся, впервые знакомясь с софи-
змами, с трудом понимали их. Приходилось на ходу пере-
страиваться, чтобы довести тот или иной софизм до со-
знания учащихся.
Опишу более подробно, как проходила работа с софи-
змами в одном из седьмых классов.
Первое занятие с применением софизмов было прове-
дено в VII классе. Для этого был использован урок по
заместительству (ввиду болезни другого преподавателя).
После краткого введения, в котором учащимся было дано
понятие о математическом софизме, как ложном доказа-
тельстве какого-нибудь неверного утверждения, и о цели
ознакомления с математическими софизмами (хорошо разо-
бравшись в той ошибке, какая была допущена в софизме,
мы никогда сами такой ошибки не сделаем), я приступила
к изложению софизма, рассмотренного выше в § 2 главы II
и основанного на делении обеих частей равенства на нуль
(взят был более трудный случай, рассмотренный во вто-
!) Настоящая глава целиком принадлежит Харчевой А. К.
136
рой половине указанного параграфа). Изложение софизма
мной проводилось с записью на классной доске, а учащие-
ся проводили запись софизма в своих тетрадях. Как я
уже указала, начало было не совсем удачное. Считая
учащихся седьмых классов более подготовленными, чем
учащиеся шестых классов, я не захотела взять для раз-
бора софизм более простой, рассмотренный в § 1 главы II,
ошибку в котором было разыскать очень легко, или со-
физм, рассмотренный в первой половине того же § 2, и
начала работу сразу с более трудного. Вначале много
времени было потрачено на то, чтобы учащиеся уяснили
условие софизма (т. е. что дано); кроме того, во время
рассказа приходилось часто отвлекаться „в сТорону* (да’
вать подробные объяснения относительно всякого рода
преобразований). Учащиеся вели себя очень возбужденно
и во время доказательства часто останавливали меня,
категорически протестуя против тех или иных преобра-
зований, хотя бы даже и законных. Так, например, если
требовалось по ходу доказательства из одной части ра-
венства перенести тот или иной член в другую, то уча-
щиеся останавливали меня и спрашивали: „А зачем вы
переносите члены из одной части в другую?*. „Так ведь
это не противоречит законам математики!*—отвечала я,
Учащиеся: „А вы все-таки не переносите, а так и ре-
шайте".
Подобные вопросы и замечания со стороны учащихся
сопровождали все мое объяснение софизма. Или введение
было сделано недостаточно ясно, или трудность софизма
испортила дело, но из всего хода работы можно было
сделать вывод, что перед учащимися стояла задача не
отыскать ошибку, а не допустить, чтобы их „провели".
Это было видно из того, что учащиеся каждую новую
строчку, каждый шаг в доказательстве ставили под подо-
зрение, не доверяя подчас тем математическим законам,
которые только что изучили и усвоили неплохо. В за-
ключение пришлось подробнее остановиться на том, ка-
кая задача стояла перед учащимися. Было еще раз под-
черкнуто, что решить софизм—это значит разыскать
ошибку, допущенную в доказательстве. Затем софизм был
рассмотрен коллективно снова строчка за строчкой. При
активном участии сильных учащихся ошибка была най-
дена. Изумление учащихся было огромно, когда они уз-
нали, что ошибку найти было легко, если бы они не за-
были так основательно одно из основных правил преобра-
137
зования уравнений, которое заключается в том, что обе
части равенства можно разделить на одно и то же число,
не равное нулю. Последнее условие (делитель не должен
равняться нулю) и было учащимися забыто. Забыто оно
было потому, что тренировочные упражнения, проведен-
ные в связи с прохождением темы „Уравнения 1-й степени
с одним неизвестным", не закрепляли этого правила пол-
ностью. После урока учащиеся очень просили меня к
следующему уроку математики принести еще интересный
софизм.
Через некоторое время, при повторении уравнений
1-й степени с числовыми коэфициентами и при изучении
темы „Уравнения 1-й степени с буквенными коэфициен-
тами", мы еще раз вернулись к софизмам, основанным
на той же ошибке, что и предыдущий. На этот раз уча-
щиеся были более спокойны. Нелепых вопросов было
меньше. Рассматривался в классе софизм § 3 главы II.
Все внимание учащихся было направлено на то, чтобы
разыскать ошибку. Объявлено было соревнование. Силь-
ные учащиеся заволновались: каждому хотелось быть
впереди (первому решить софизм). Ошибка найдена была
быстро одной из сильных учениц. Ответ был дан в такой
форме: „Делить обе части уравнения на выражение 2х— 5
опасно, так как оно содержит неизвестное, и если х =2,5,
то это выражение будет равно нулю. В данном уравнении
как раз х = 2,5, а поэтому мы допустили ошибку, разде-
лив обе части уравнения на нуль".
На основании такого продуманного и точно формули-
рованного ответа (правда, это ответ сильной ученицы)
можно было сделать вывод, что проработка первого
софизма, по крайней мере, для некоторых учащихся, имела
положительное значение. После урока выяснилось, что
учащиеся после первого занятия с софизмами повторили
дома основные свойства уравнений по учебнику Киселева.
Ученица, решившая софизм, была в этот день героем.
Заметно было, что учашиеся почувствовали к ней уважение,
как к сильному математику своего класса. С большой охо-
той учащиеся взялись вместе с обычным заданием по теме
решить дома софизм, приведенный в первой половине § 2.
Интерес к математике в этом классе значительно под-
нялся. Даже самый ленивый ученик В. С. включился
с этого дня в работу по математике.
9 февраля в этом же VII классе при прохождении темы
„пропорциональные отрезки" (после изучения теоремы
138
о свойстве параллельных прямых, пересекающих стороны
угла) был предложен учащимся на рассмотрение софизм
об отрезках двух параллельных прямых, заключенных
между сторонами данного угла (§ 8, глава III). Учащиеся
с большим интересом слушали доказательство, попутно
проводя запись софизма в тетрадях. Нелепых вопросов,
которые были на предыдущих занятиях, уже не было.
Объяснение шло гладко до того момента, когда пришлось
обе части равенства разделить на выражение, заключен-
ное в скобки. Учащиеся заволновались, почувствовав, что
в данном месте допущена ошибка, так как переход от этой
строчки неожиданно привели нелепому выводу, до этого же
момента все преобразования шли правильно, в чем уча-
щиеся были убеждены.
Сразу учащиеся ошибки не вскрыли, несмотря на то,
что все внимание приковали к подозрительной строчке»
Трудность в раскрытии ошибки была вызвана тем, что
отрезки были обозначены каждый двумя буквами, вслед-
ствие чего получилась громоздкая запись, а навыка в вы-
полнении таких преобразований учащиеся еще не имели.
Пришлось дать небольшое объяснение, после которого
ошибка была немедленно вскрыта всеми учащимися.
Позднее этот софизм рассматривался в другом классе
(тоже VII). Чтобы облегчить учащимся понимание софизма,
были введены некоторые упрощения. Каждый отрезок был
обозначен одной буквой. Результаты получились лучше,
чем в первый раз.
В том же VII классе, в конце III четверти, на одном из
уроков, посвященных решению системы уравнений с при-
менением всех способов, я предложила учащимся решить
систему:
2x-|-j/ = 8,1. х = 2 —v,
не предупредив их, что эта система — несовместная. Все
усердно решали систему, применяя способ подстановки^
и приходили к нелепости:
2-^2—у ) Ц-у — 8, 4—j/ = 8, 4 = 8.
Послышались голоса: „Задача не выходит". Я предло-
жила ребятам поработать еще: раз получилась нелепость,
значит где-то была допущена ошибка. Еще энергичнее
в?.
началась работа по разысканию ошибки. Занимаясь вторую
неделю тренировочными упражнениями, учащиеся успели
позабыть, что система двух уравнений с двумя неизвест-
ными может быть и несовместной, о чем им сообщалось
во вводной беседе к теме. Вспомнив это, мы установили
причину получения нелепого равенства 4 = 8: система
2хЦ-_у = 8, л = 2—^у или 2r-f-j/ = 8, 2х-|-_у = 4 несов-
местна, а мы ее решали как совместную. После этого
естественно было перейти к повторению всей темы, что
мы и сделали при напряженном внимании всего класса.
Положительные результаты рассмотрения ошибки за-
ключались в данном случае в том, что учащиеся закрепили
полученные ранее знания на интересном примере.
Урок прошел так живо и интересно, что учащиеся
на 100% были захвачены работой. Все были активны
и сознательно отнеслись к работе. После урока не
было заметно усталости со стороны учащихся и наблю-
далось обратное: желание продолжать работу в перемену.
Еще немного остановлюсь на описании одного занятия
в V классе, на котором разбиралась ошибка, рассмотрен-
ная в § 1 главы I. Прежде чем рассказать об уроке, считаю
необходимым дать небольшую характеристику класса. Эта
группа была переведена в школу, где я работаю, из дру-
гой школы в порядке разгрузки в конце II четверти,
в декабре. При передаче класса было сообщено, что ин-
тереса к учению у учащихся не наблюдается, дисцип-
лина плохая, успеваемость низкая. Прежде чем начать
в этом классе работу по математике, я долго думала над
тем, как лучше провести первый урок, чтобы заинтересо-
вать учащихся математикой и с первого же дня наладить
.дисциплину. Был составлен подробный план проведения
урока, в который я включила проработку § 1 главы I. Не-
смотря на то, что учащиеся остановились при переходе
из одной школы в другую на изучении обыкновенных
дробей, я решила повторить с учащимися более старый
материал: „Четыре действия с целыми числами". Прове-
рить, как подготовлены учащиеся в этой области, было
необходимо. После небольшой вступительной беседы было
проведено решение примеров с целыми числами (четыре
ученика были вызваны к доске). Подготовка вызванных
к доске учащихся оказалась неплохой.
Отметив, что учащиеся неплохо справляются с действи-
ями над целыми числами, я сказала ребятам, что не все
140
учащиеся хорошо справляются с действиями над целыми
числами, а бывают и случаи, подобные тому, о котором
я сейчас расскажу.
Ребята насторожились. В классе стало тихо, чего не
было до этого момента. Я прочла следующий рассказ из
книги проф. Дернова Н. и Коваля П. „Игра цифр" (Воро-
неж 1931, стр. 46—47).
Ошибки Коли и Пети.
„У маленького Коли не выходила по ответу задача.
Обиднее всего было то, что он отлично понимал, как ее
надо решать. Наконец, он обратился к своему старшему
брату за помощью.
— Петя,— говорит Коля,— покажи — как сделать за-
дачу : она у меня не выходит по ответу.
— Что же трудная она, что ли? Не знаешь, как делать?
— Нет, знаю, да вот не выходит.
— Как же так,— говорит ему Петя,— знаешь, как
делать, а не выходит. Если не выходит, значит неверно
делаешь. Ну, показывай, что за задача такая.
Коля читает:
„40 штук яблок разделили между 8-ю мальчиками.
Сколько яблок получил каждый мальчик?*
— И эту задачу ты не умеешь сделать? Если 8 маль-
чиков получили 40 яблок, то 1 мальчик получит в 8 раз
меньше — рассуждает Петя.
— Я делил на 8 — говорит Коля.
— Ну, и задача должна выйти,— утверждает Петя.—
Сколько получил?
— Сорок один.
— Что? 41. Ха-ха-ха! Ну и разделил, нечего сказать.
А ну-ка дели снова:
__40	8
32	41
_ 8
_8
0
— 40 разделить на 8, получится 4; четырежды 8 будет 32,
из 40 вычитаем 32, будет 8. 8 разделить на 8, будет 1.
Одному мальчику достается 41 яблоко.
— Да ты сам пойми,— все 8 мальчиков получили
40 яблок, а один 41! Разве это может быть?
141
Если помножить частное на делитель, то получим
делимое. Петя решил проверить и начинает множить.
8
X 41 ‘
8
— 32
40
— 8 на 1 будет 8. Четырежды 8 будет 32. 8 да 2 рав-
но 10. Ноль пишем, а один в уме. 3 да 1 будет 4. Всего 40.
Гм... да...
Коля разделил неверно, а Петя умножил неверно.
Помогите им найти правильные ответы".
Читая, я производила на доске выкладки, приведенные
в тексте рассказа. Когда на доске появилась запись деле-
ния, выполненного Колей, то ребята совсем замерли, уст-
ремив свои глаза на доску.
Не дав ребятам опомниться, я перешла ко второй части
рассказа и записала на доске вычисление Пети.
На этом месте рассказа ребята загудели и от волнения
все даже встали.
Ошибка была найдена учащимися во втором действии.
Ее подметили все учащиеся (очевидно, они лучше знали
умножение, чем деление). Ошибку в первом действии
обнаружил сильный ученик, а остальные не могли этого
сделать быстро.
Обсуждение ошибок, допущенных Колей и Петей, пе-
решло в повторение правил Деления и умножения целых
чисел. Решена была еще задача из учебника. Занятие
прошло с большим подъемом; дисциплина была хорошая,
чего не бывало до сих пор в этом классе. Активность со
стороны учащихся была проявлена стопроцентная. После
урока учащиеся провожали меня до учительской и просили
к следующему занятию принести еще интересную задачу,
обещая аккуратно выполнить домашнее задание.
Так проводилась работа с софизмами в 1934/35 учебном
году. В 1935/36 учебном году использование софизмов
проводилось значительно шире. Кроме учебных часов ра-
бота проводилась в математическом кружке, организован-
ном из учащихся восьмых классов. Интерес к математике
и, в частности, к софизмам, с которыми учащиеся позна-
комились в прошлом учебном году, и послужил толчком
к успешной организации математического кружка. Занятия
кружка проводились не реже одного раза в месяц. В про-
грамму кружка кроме целого ряда других вопросов была
142
включена проработка софизмов. За весь учебный год
было проработано в кружке 11 софизмов. Для рассмотре-
ния брались, главным образом, те софизмы, которые в классе
за недостатком времени трудно проработать. Несмотря
на то, что учащиеся уже второй год имели дело с софиз-
мами, интерес к этим занятиям не снижался. В работу
кружка было вовлечено несколько новичков, т. е. уча-
щихся, которые впервые здесь знакомились с математиче-
скими софизмами. Интересно отметить такой случай.
В одном из восьмых классов сильная ученица по матема-
тике (новичок) однажды мне заявила, что она не любит
заниматься математикой; если она аккуратно выполняет
задания и активна на уроках, то только потому, что из-за
одного предмета не хочет портить своей ведомости успе-
ваемости (по всем остальным предметам она имеет отметку
„отлично*). Через некоторое время после этого заявления
она явилась на занятия математического кружка. После
такого заявления ее приход на занятия кружка был для
меня неожиданным. Хотелось знать причину, которая
заставила ее явиться на эти занятия. После занятий она
попросила меня записать ее в число членов кружка и с тех
пор стала аккуратно посещать кружковые занятия. Позд-
нее она мне рассказала, что благодаря занятиям в кружке
у нее пробудился интерес к математике. В кружок же ее
вовлекли учащиеся-кружковцы, которые горячо обсуждали
во время школьных перемен и после занятий проработан-
ное на кружке. Нередко работа, начатая в кружке, про-
должалась в классной комнате после занятий. Чаще всего
это было решение какого-нибудь сложного софизма. В та-
ких случаях труДно было учащихся отправить домой.
Работа с софизмами в кружке проводилась следующим
образом. На каждом занятии рассматривался софизм или
два. Членам кружка предлагалось найти ошибку. Если
учащиеся затруднялись в решении, то предлагалось этот
софизм записать в тетради и к следующему занятию
подумать над его решением.
Так как на кружке разбирались наиболее сложные
софизмы, то понятно, что не все из заданных софизмов
были решены учащимися. В таких случаях руководителю
кружка на очередном занятии приходилось подробно рас-
сматривать решение заданного софизма. Так, например,
учащиеся не могли самостоятельно решить софизмы
§ 2 главы I и § 12 главы II.
Так проходила работа с софизмами в кружке.
143
На уроках математики рассматривались более легкие
софизмы и притом в тесиой связи с проходимым программ-
ным материалом. Так, например, в одном из восьмых
классов, при прохождении темы „Подобие треугольников",
выяснилось, что некоторые учащиеся не имеют твердых
знаний по теме „Признаки равенства треугольников",
и вследствие этого постоянно путают при изложении
доказательств, основанных на равенстве треугольников.
Прежде чем двигаться вперед, необходимо было повто-
рить тему „Признаки равенства треугольников". Зная, что
учащиеся не очень охотно занимаются повторением, я ре-
шила поднять их интерес к этой работе путем рассмот-
рения геометрического софизма, рассмотренного в § 1
главы III (во всякой окружности можно указать хорду,
не проходящую через ее центр, но равную ее диаметру),
и я не ошиблась. В этом классе я работала первый год.
Понятия о софизмах до сих пор учащиеся не имели, а
поэтому, прежде чем приступить к изложению софизма,
я провела краткую вводную беседу. Понятно, в этот раз
были учтены все ошибки, допущенные мной в первой
вводной беседе в 1934/35 учебном году. Изложение со-
физма было прослушано учащимися с большим интере-
сом. Сильные учащиеся самостоятельно нашли его реше-
ние. После его изложения я перешла к повторению на-
меченного материала. Весь урок прошел очень живо
при большой активности учащихся.
После урока повторился тот же разговор, что и в дру-
гих классах: учащиеся просили почаще знакомить их
с софизмами. Когда мной было указано, что мы мало имеем
на это времени в классе, учащиеся предложили исполь-
зовать на это шестые уроки и дни отдыха.
Этот же софизм был рассмотрен и в другом парал-
лельном классе', уже имеющем понятие о софизмах. Необ-
ходимости в повторении пройденного материала здесь не
было : раздел о признаках равенства треугольников уча-
щиеся знали твердо. В данном случае софизм был рас-
смотрен с целью внесения разнообразия в программный
материал. Для разбора этого софизма был использован
урок по заместительству (по случаю болезни другого пре-
подавателя).
Применение софизмов в работе с теми же учащимися
продолжалось и в 1936/37 учебном году. Желая проверить
твердость знаний учащихся девятых'классов на необычном
материале, после проработки темы „Вписанные и описан-
141
ные многоугольники" был разобран в классе софизм
§ 3 главы III (внешний и внутренний несмежные углы тре-
угольника равны между собой). Рассмотрение этого софиз-
ма показало, что учащиеся твердо знают теорему о свой-
стве углов вписанного четыреугольника. Как в одном, так
и в другом классах даже не удалось до конца довести
доказательство софизма. Учащиеся хором заявили, что*
если, по условию, четыреугольник имеет сумму противо-
лежащих углов равную 2rf, то окружность обязательно
должна пройти через вершины этого четыреугольника,
т. е. четыреугольник должен быть вписанным в окружность,
и другого положения быть не может.
В заключение всего должна сказать, что изучать
софизмы и вообще математические ошибки в школе нужно.
Небольшой опыт показал, что при правильном использо-
вании их получаются положительные результаты. Развивая
математическую смекалку, софизмы вместе с тем способ-
ствуют активному и сознательному отношению учащихся
к изучению данного предмета. Применение софизмов помо-
жет преподавателю оживить урок интересной задачей,
выходящей из рамок обыкновенных задач и примеров из
учебника. Кроме того, при помощи некоторых софизмов
лучше, чем на обычных примерах и задачах, можно выявить,
насколько учащиеся усвоили тот или иной материал и
как они умеют применять свои знания в более трудных
случаях.
10—646
§ 4.	Площадь прямоугольника равна нулю................„117
§ 5.	Бесконечно большое значение равно нулю . . .... 119
§ 6.	Осторожнее с бесконечно большими значениями! .... 120
ГЛАВА V. Приближенные вычисления.
§ 1.	Сколько лет древней статуе?.............124
§ 2.	О точности произведения приближенных чисел .... 125
sin а
§ 9	Верна ли формула---— tg а?...............128
cos а
§ 4.	Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы
получить корень с заданной точностью?.........129
§ 5.	Зачем освобождаются от иррациональности в знамена-
теле? .........................................130
§ 6.	Об одном неправильном способе использования таблицы . 133
ГЛАВА VI. Из опыта работы с мате машине скими софизмами
в школе........................ 136
Ответственный редактор М. Поликарпов. Технич. редактор В. Якунина.
Сдано в набор 5/IX 1937 г. Подписано к печати 7/1II 1938 г. Изд. листов 9х/4. Бумажных
листов З’/ц. Авт. листов 7,76. В 1 бумажн. листе 140 800 зн. Формат бумаги 84х108/81*
Бумага № 2 Камской фабрики.	Тираж 10 тыс.	Учгиз 9786. Индекс У-2.
Заказ 646. Цена 1 р. 15 к. Уполномоченный Главлита Б-39899.
17 ф-ка нац. книги Огиза РСФСР треста „Полиграфкнпга".
Москва, Шлюзовая наб., д. № 10.
Цена 1 руб. 16 ютП7~
О
о -Л