/
Автор: Чисхолм Д.
Теги: промышленные здания трубопроводы теплообмен гидродинамика инженерные расчеты
Год: 1986
Текст
Чисхолм Д. Двухфазные течения в трубопроводах и теплооб-
менниках: Пер. с англ. Пер. изд.: Великобритания, 1983.—М.: Нед-
ра, 1986.— 204 с.
Рассмотрены виды газо-жидкостных потоков в горизонтальных
и вертикальных трубах. Подробно представлен расчет гидравличе-
ских потерь в трубах при течении двухфазных потоков с различны-
ми структурами. Описано поведение двухфазных потоков в трубах с
местным сопротивлением (повороты, иасадки, диафрагмы и т. д.).
Приведены материалы по неравновесным потокам с фазовыми пере-
ходами, а также расчеты двухфазных потоков в трубопроводных си-
стемах и теплообменниках.
Для инженерно-технических работников, занимающихся проек-
тированием и эксплуатацией трубопроводных систем в нефтяной,
газовой, иефте- и газоперерабатывающей промышленности.
Табл. 24, ил. 90, список лит. 106 иазв.
Рекомендовано к переводу д-м техн, наук Г. Д. Розенбергом
(Московский ордена Трудового Красного Знамени институт нефти
и газа имени академика И. М. Губкина).
Книга впервые издана иа английском
Годвии, отделением фирмы Лонгмен Труп
языке фирмой Джордж
Лимитед, Лондон, 1983.
3608000000—340
4 043(01)—86
399—86
© D. Chisholm, 1983
© Перевод иа русский язык,
издательство «Недра», 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Цель данной работы — вооружить специалистов надежными ме-
тодами расчета перепадов давлений и расходов при течении паро-
й газо-жидкостных смесей в трубопроводах и теплообменниках.
Книга может служить учебным пособием при подготовке специа-
листов соответствующего профиля. Многие из помещенных в ней
материалов были использованы ранее при чтении лекций в Нацио-
нальной технической лаборатории.
Почти во всех отраслях промышленности приходится сталки-
ваться с течением двухфазных смесей (например, в установках
для испарения и конденсации, где различные компоненты переме-
шиваются в процессе химических реакций и т. п.). Наиболее рас-
пространенные промышленные объекты, в которых наблюдается
двухфазное течение, — паровые котлы, рефрижераторы, конденса-
торы, экономайзеры, газо- и нефтепроводы, эрлифты, испарители,
установки, используемые в энергетической и перерабатывающих
отраслях промышленности.
Принятый до 40-х годов метод расчета двухфазных потоков был
основан на гомогенной теории. Теперь известно, что он дает трех-
четырехкратное занижение значений перепадов давлений. При
расчетах течений через диафрагмы на основе гомогенной теории
наблюдается занижение примерно того же порядка. Однако при
определении по формуле для перепада давлений диаметра трубы
четырехкратное завышение падения давления дает лишь 1,3-крат-
ное занижение диаметра трубы. Следует отметить, что определение
диаметра трубы — не единственная задача методики, предложен-
ной автором. Какая мощность насоса необходима при заданном
диаметре? Каков расход смеси, вытекающей из трубопровода дан-
ного диаметра при заданном перепаде давлений? Будет ли поток
дросселироваться? На все эти вопросы автор попытался дать
ответ.
Методы, которыми пользовались раньше, были не очень слож-
ными. Расчеты достаточно быстро выполняли вручную. Более слож-
ные методы, описанные в данной книге, могут быть успешно реа-
лизованы при использовании электронно-вычислительной техники.
В данной работе автор в основном обобщил свои публикации
по затронутым проблемам и сделал попытку дать читателю неко-
торое представление о большинстве хорошо известных в этой обла-
сти расчетных методах, в частности о методах Мартинелли, Арман-
да, Барокши, Тома, Уоллиса, Генри, Зубера, Бэнкоффа, Фауске.
Автор старался, насколько это возможно, использовать обозна-
чения и терминологию, принятые предыдущими исследователями,
для того чтобы облегчить восприятие текста тем, кто уже знаком с
литературой по двухфазным потокам, и позволить читателю, кото-
рый впервые сталкивается с этими проблемами, получить пред-
5
ставление о принятых в литературе терминах и обозначениях.nRcПЕНИЕ
Лишь в одном важном вопросе автор отошел от общепринятой®*’
практики. Обычно градиент давления при течении двухфазной сме-
си записывают следующим образом: dpCM/d3=DpCM. Поскольку в
тексте речь идет только о двухфазных потоках, индекс «см» опу-
щен, однако читатель должен помнить, что Цо — это градиент
давления при течении двухфазной смеси.
Используемые уравнения и системы уравнений почти всегда
приведены в безразмерной форме.
Для обозначения физических величин использованы общеприня-
тые буквенные символы. Иногда символы означают числа. В этих
случаях используются так называемые численные формулы. В фи-
зической формуле площадь поверхности можно выразить так: А —
= 2500 м2. Между физической величиной, числом и единицей изме-
рения существует простая алгебраическая зависимость: Д/м2 =
=2500, или А (103-м2) =2,5. Следовательно, если в шапке таблицы
записано Д/(103-м2), а в ее графе 2,5, это значит, что площадь
равна 2500 м2.
Определение двухфазного течения
Понятие «фаза» определяется следующим образом: отдельная
часть неоднородного тела или системы. Например, смесь льда и
воды — двухфазная система, раствор соли в воде — однофазная.
В книге рассмотрены течения таких двухфазных смесей, как
пар — жидкость или газ — жидкость. Паро-жидкостные смеси, в ко-
торых пар и жидкость — различные фазы одного и того же веще-
ства, называют двухфазными однокомпонентными. Газо-жидкост-
ные смеси относят к двухфазным двухкомпонентным смесям. К ним
же можно отнести и смеси пар — жидкость, если пар и жидкость —
различные вещества.
При отсутствии фазовых переходов течение двухфазной одно-
компонентной смеси подчиняется тем же физическим законам, что
и течение двухкомпонентной смеси. Если фазовых переходов нет,
будем употреблять термин «газ» применительно как к газовой, так
и к паровой фазе, а индекс «г» использовать для указания свойств
как газа, так и пара.
Первая часть книги посвящена двухфазному течению в трубах
и трубопроводных системах. При этом полагаем, что речь идет о
течении не только в прямых трубах, но и через различные элементы
трубопроводов: краны, повороты (колена), участки с переменным
диаметром.
Заключительная глава посвящена рассмотрению двухфазных
потоков в теплообменниках.
Области распространения двухфазных потоков
С двухфазными течениями приходится сталкиваться практиче-
ски во всех областях техники (например, в трубчатых испарителях,
реакторах с кипящей водой, или «кипящих» реакторах, системах
продувки котлов, нагревателях, кипятильниках, газлифтных насо-
сах, нефтяных и геотермальных скважинах, нефте- и газопроводах,
рефрижераторах, технологических трубопроводах, конденсаторах
и т. д.).
Двухтрубный котел с естественной циркуляцией (рис. 1) —одна
из первых промышленных установок, созданных для изучения
двухфазных течений. В этой установке плотность флюида, кипя-
щего в обогреваемом стояке, меньше плотности его в ненагревае-
мом стояке. Разность плотностей вызывает естественную циркуля-
цию флюида, который движется вниз по ненагретой трубе и вверх
по нагретой. Попадая в барабан, фазы флюида разделяются. Пар
отбирается и используется для привода паровой турбины или дру-
гих целей, а отделенная вода остается в котле и стекает по йена-
циркуляцией';" К0ТеЛ с естест-
воздушный ком-
прИессор.ДВУХфаЗНЫЙ
ВДСТ У“ ВОДвоз°дуХКаНаЛ:/ 1 ~ в°да:
нисходящем потоке- /V ' 111 ~ вода в
тыйС\ В нисх°Дящём пото°ке°'ВО1/ДУШНая
1 Ь1й воздух- т/1 потоке у—рЖЯ
воды 7 разделение воздуха^
венной ”Д-^ХТ₽убный
мый и нагреваемьйСТВе2НН°4 ненагРевае-
соответственно лаповой „ 2' барабаны
Дача воды; //_ отбоп £ Водяной: /-по-
Ление фаз; /И-пар®°РИ2авРоа-а///~РаЗДе-
столетии
течения.
;=УСИ^.В-- отбиРаемая ю ютла в вад пара. постмвш
Историческая справка
ФравдяЦ н^колькХвктно'ав ат₽"ваемов "Робкие (1830
Еще в XVII В„ еслУ„ проблемой лвухфазного
=Е' f=Ei~=;5¥sа»
воздуха“ ®оВертикальнУЮ трубу, на вхпиЛ 2‘ В°Да из канала
в духа увлекались жидкостях гг Входе в которую nvurm.™
=== .-ж»:Е=»г-=?г-
™ появился, насколько известно ав’тору™ ^““ванной ра-
8 ну, в ючо г. в статье со-
зетского ученого С. Костерика «Исследование структуры течения
хвухфазной среды в горизонтальной трубе». В 1944 г. Мартинелли,
Бойлтер и другие исследователи [72] опубликовали работу «Изо-
термическое падение давления при течении двухфазной смеси в
горизонтальной трубе». Этой проблеме посвящено большое число
работ американских авторов, которые были изданы в 30-е годы.
Гаус в 1966 г. опубликовал обширную библиографию по двух-
фазным течениям, которая содержит около 8000 названий. Он от-
метил, что до 1948 г. число публикаций на эту тему удваивалось
примерно каждые 10 лет, после 1948 г. — примерно через каждые
5 лет. Столь существенное увеличение числа публикаций после
1948 г. частично объясняется интенсивным развитием науки во-
обще, однако, по мнению автора, в основном это обусловлено тем,
что с двухфазными потоками связана работа реакторов с кипящей
водой, а реализация программ развития ядерной энергетики в
США и СССР основана на использовании реакторов именно этого
типа.
Ранние методы проектирования
До 1940 г. при проектировании большинства заводов исходили
из того, что смеси пар — жидкость или газ — жидкость однородны,
а плотность смеси определяли в предположении, что скорости дви-
жения фаз одинаковы. При допущении, что среда гомогенна, гради-
енты давления, обусловленные трением, оценивались так же, как
при течении однофазного флюида, что хорошо совпадает с экспери-
ментальными значениями в широком диапазоне условий. Это спра-
ведливо даже в тех случаях, когда скорости газа или пара в 5 раз
превышают скорость жидкости. При проектировании котлов число
Рейнольдса для смеси обычно определялось в предположении, что
вязкость смеси равна вязкости жидкой фазы.
Современные исследования показывают, что в прошлом инже-
нерам повезло: гомогенная теория оказалась приемлемой при тех
массовых расходах, которые характерны для хорошо спроектиро-
ванного котла (скорость на входе в стояк обычно достигает
2 м/с). Большинство исследователей считают, что при таких рас-
ходах гомогенная теория приемлема. При таких условиях допу-
щение о гомогенности потока приводит к значительным ошибкам.
Например, падение давления на диафрагме с острыми краями при
высоких отношениях плотностей жидкости и газа составляет при-
мерно !/з от величины, вычисленной по формулам на основе гомо-
генной теории, а для колен (поворотов) падение давления может
быть почти в 4 раза больше рассчитанного на ее основе.
Первые научные исследования
Как уже отмечалось, при использовании гомогенной теории ис-
ходили из допущения о том, что скорости фаз одинаковы. Одно
из первых исследований в этой области выполнено Муром и Виль-
де в 1931 г. Они методом отсечек измерили часть объема трубы,
занятого жидкостью, применяя для этого быстрозакрывающиеся
клапаны на входе в вертикальную трубу и на выходе из нее.
Первое всестороннее исследование в этой области связано с
циркуляцией в котлах. Оно было выполнено в Германии в начале
30-х годов. Измерялось трение на стенке вертикальной трубы путем
подвешивания в ней втулки, которая образовывала внутреннее
межтрубное пространство, а также статическое давление. Зная ка-
сательное напряжение на стенке, можно оценить плотность смеси.
Мартинелли с соавторами [70, 72, 73] первым создал система-
тическую основу для корреляции падения давления в двухфазном
потоке, хотя вскоре после первой статьи (1944 г.) Арманд [2] в
1946 г. опубликовал работу, которая остается одной из классиче-
ских в этой области.
Точность методов расчета
Несмотря на значительный объем исследований по двухфаз-
ным течениям, имеется немало случаев, когда погрешности прогно-
за по ранее выведенным формулам достигают 50 %. Следует иметь
в виду, что для смеси воздух — вода, например при нормальных
условиях и одном и том же массовом расходе, отношение гради-
ентов давления газа и жидкости, обусловленных трением, состав-
ляет 800 : 1. Во многих областях техники инженер, полагаясь на
собственный опыт, может оценить требуемую величину с погреш-
ностью 50 %, однако на двухфазные течения это положение не
распространяется. Высокая неопределенность прогноза связана с
большим числом переменных, характеризующих двухфазное тече-
ние. Потребовалась бы чрезвычайно'обширная программа исследо-
ваний для получения надежных эмпирических корреляций. Сле-
дует отметить, что наши знания об однофазном течении в значи-
тельной степени являются эмпирическими.
Рассмотрим некоторые переменные, характеризующие двухфаз-
ное течение: массовый расход, расходное массовое газосодержа-
ние, плотности и вязкости жидкости и газа, поверхностное натя-
жение, шероховатость внутренней поверхности труб, наклон трубы
к горизонту.
Если мы хотим получить эмпирические корреляции для двух-
фазных потоков, то для всех комбинаций переменных необходимы
пять разных значений каждой из них. При этом число эксперимен-
тальных данных составит 59 = 2 0 0 0 0 00 (только при течении в тру-
бе несжимаемой среды).
Барокша [6] при разработке полуэмпирической корреляции, ко-
торая считается одной из лучших для двухфазных течений, исполь-
зовал значительное число экспериментальных данных для горизон-
тального и вертикального течений. Действительно, при развитой
турбулентности градиент давления, обусловленный трением, срав-
Рис. 3. Зависимость градиента давле-
ния, обусловленного трением, от мас-
совой скорости воздуха при течении
смеси воздух — вода (диаметр тру-
бок 27 мм, давление смеси 0,13 МПа):
1—4—массовые скорости жидкости
соответственно 2786, 1269, 581 и
190 кг/(м2-с); I—III — трубки соответ-
ственно вертикальная, горизонтальная и
наклоненная под углом 45°
Рис. 4. Пузырек газа в вертикальном
столбе жидкости:
1 — пузырек газа; 2 — жидкость; 3 — по-
верхность раздела газ—жидкость; 4—
профиль скорости жидкости в сечении
Нительно мало зависит от наклона трубы (рис. 3). При наклонном
(под углом 45°) и вертикальном положениях трубы [35] поток был
Восходящим. Обычно градиент давления, обусловленный трением,
повышается с увеличением наклона трубы, т. е. в вертикальной
трубе он максимален. Резкое уменьшение давления при малой мас-
совой скорости жидкости [190 кг/(м2-с)] связано с интересным
11
явлением: в двухфазном восходящем потоке касательное напряже-
ние на стенке может быть направлено против течения; при этом
возможно повышение статического давления в направлении тече-
ния, обусловленное трением (рис. 4). Порции газа увлекают жид-
кость со скоростью, превышающей скорость течения чистой жидко-
сти. Это компенсируется тем, что жидкость стекает по стенке тру-
бы, создавая на ней силу трения, направленную против основного
потока.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
Основные трудности при расчетах двухфазных течений связаны
с необходимостью овладения большим числом соотношений, без-
размерных параметров и обозначений, принятых в этой области.
Рассмотрим наиболее важные из них.
Расходное массовое газосодержание и относительный массовый
расход
Общий массовый расход М = М^+М№, где Л1Г, Мж— массо-
вые расходы соответственно газа и жидкости.
Относительный массовый расход фаз задается как отношение
массового расхода газа к общему расходу смеси и называется рас-
ходным массовым газосодержанием
х = MJM (1)
или как отношение расхода жидкости к общему расходу смеси и
называется расходным массовым содержанием жидкости
\—x = MJM. (2)
В литературе по двухфазным течениям широко используется по-
нятие массовой скорости: Gr=Alr/A; бж=Л4ж/Л; G=Af/A, где G,
GT, G-,K — массовые скорости соответственно общая, газа и жид-
кости; А—площадь поперечного сечения потока смеси. Используя
соотношения для массовых скоростей, получаем следующие выра-
жения:
для расходного массового газосодержания
х = Gr/G; (3)
для массового содержания жидкости
\-x=GJG. (4)
Отношение истинных объемных скоростей, относительная скорость
фаз (проскальзывание) и скорость дрейфа
Отношение истинных объемных скоростей фаз, или коэффици-
ент скорости, как его обычно называют,
К = uju^, (5)
где щ — скорости соответственно жидкости и газа.
Относительная скорость фаз — это разность истинных объем-
ных скоростей фаз (проскальзывание):
“отн «г «ж-
(6)
Скорость дрейфа
МД мг Мгом» (7)
где иГОм — гомогенная скорость двухфазной смеси, т. е. скорость'
при tf=l.
Истинное объемное газосодержание и истинное объемное
содержание жидкости
Истинное объемное газосодержание — это отношение площади
поперечного сечения, занятой газом, к общей площади поперечного
сечения потока А : а = ЛгМ- Общее поперечное сечение А— это сум-
ма площадей сечений, занятых газом (Аг) и жидкостью (Лж) : А =
=ЛГ+ЛЖ.
Истинное объемное содержание жидкости аж=1—а=Аж/А.
Уравнения сохранения массы для фаз (уравнения неразрывности
фаз)
Уравнения сохранения массы (неразрывности) имеют следую-
щий вид:
для газа
/Иг = AfUr/Vp = aAuJv,,; (8)
для жидкости
^Ж = = (1 а) ^«Ж^Ж» (9}
где vr, ии;— удельные объемы соответственно газа и жидкости.
Соотношения (8) и (9) можно выразить через массовые ско-
рости:
Gr = ctujv,,; Gk = (1
Из уравнений (1), (2), (5), (8) и (9) имеем
х = « ^Ж
1 — х 1 — a vr ’
откуда истинное объемное газосодержание
(10)
(И)
(12)
ХУг 4“ К (1 X) ^ж
и истинное объемное содержание жидкости
1 _а = К(1—х) vr
xvr + к (1 — х) уж '
Приведенные скорости фаз
Приведенные скорости фаз —это скорости, с которыми эти фазы
двигались бы при однофазном течении (т. е. если бы в трубе дви-
галась только одна из фаз). Следовательно, приведенная скорость
газа
_ ОА, (13)
/1
а приведенная скорость жидкости
== Q (1 4
Ж. 11 Ж /Т\ ' /
Относительный объемный расход газа
Объемный расход газа
Qr = Лгиг = Grvr, (15)
а объемный расход жидкости
(X. = Лжыж = Сжхш. (16)
Отношение объемного расхода газа к сумме объемных расходов
газа и жидкости называют относительным объемным расходом газа
и обычно обозначают буквой [3: P = Qr/(Qr + Q®). Из уравнений
(3), (4), (15) и (16) имеем
р =-----. (17)
ХИг+ (1 — Х)иж
Скорости газа, жидкости и гомогенной среды
(гомогенная скорость)
Из уравнений (8) и (11) истинная объемная скорость газа
«г = (Mrvr)/aA =С[даг+К(1-х)У)К], (18)
а из уравнений (9) п (12) истинная объемная скорость жидкости
= = lxVr + К (1 “х)(19)
Когда коэффициент скорости фаз К=1, т. е. скорости фаз оди-
наковы, среду называют гомогенной, а скорость такой среды — го-
могенной скоростью
Игом = G Сщ- + (1 — *) Ml • (20)
Согласно уравнениям (13) и (18), истинная объемная скорость
газовой фазы и приведенная скорость газовой фазы связаны соот-
ношением
ыг = ыг.п/а, (21)
а, согласно уравнениям (14) и (19), истинная объемная скорость
жидкой фазы и ее приведенная скорость — соотношением
нж = uHf,n/(l а). (22)
15
Плотность и удельный объем смеси
Плотность смеси
Рем = ОРг + (1 — “) Рж» (23)
где рг, рж — плотности соответственно газа и жидкости.
Подставим а из уравнения (11). После преобразований полу-
чим
Рсм х/Рг+К(1-х)/Рж • ( ’
Так называемая гомогенная плотность — это плотность смеси,
в которой обе фазы имеют одну и ту же скорость (Л=1):
Ргом = ————J — • (25)
х/Рг + (1 — х)/Рж
Удельный объем — это величина, обратная плотности, следова-
тельно, удельные объемы смеси и гомогенной среды являются ве-
личинами, обратными приведенным выше, т. е.
= даг + /С(1 —x)v^ (26)
см х + К(1— х)
Чом = xvr 4” (1 Х) Чк> (27)
где псм, угом— удельные объемы соответственно смеси и гомоген-
ной среды.
Уравнение (27) можно привести к виду
угом/уж = 1 “Ь 1) х- (28)
Читателю необходимо усвоить приведенные в данной главе со-
отношения, а также полезно самому вывести следующие соотно-
шения: ^гом/^ж = (1—/ (1 Р) > Ид= (^ 1)^жп=(1 к) Потн; Пгом =
= ^ж.п-)-Wr.n = (Рж~ЬРг)
Следует отметить, что при стационарном течении несжимаемой
среды с дискретным распределением фаз (рис. 5) объемный рас-
ход Q должен быть одинаковым во всех поперечных сечениях тру-
бы постоянного диаметра. Тогда
ижа. = Uyy — QJA — Пром. (29)
Рис. 5. Структура потока (дискретная газовая фаза):
/ — газ; // — жидкость
16
Это значит, что скорость, определенная как отношение объемного
расхода к площади сечения, во всех поперечных сечениях вдоль оси
трубы является гомогенной скоростью, несмотря на разность истин-
ных объемных скоростей и дискретное распределение фаз.
Унос жидкости газом
Рассмотрим более сложные уравнения, справедливые в тех слу-
чаях, когда часть жидкости в виде капель уносится газом. Жела-
тельно различать скорости жидкости, увлеченной и не увлеченной
газом.
Если рассматривается течение, при котором часть жидкости пе-
ремещается в виде капель, увлеченных газом или паром, можно
записать
“ = Мж.у/Мж, (30)
где со — отношение расхода жидкости, увлеченной газом, к общему
расходу жидкости; ЛГжу—массовый расход жидкости, увлеченной
газом.
Уравнение сохранения массы для течения жидкости в газе
(если считать, что скорости увлеченной жидкости и газа одина-
ковы) имеет вид
^Ж.у — (|^Ж.уМг)/^Ж> (31)
где Лж.у — часть поперечного сечения, занятого жидкостью, увле-
ченной газом (рис. 6).
Для остальной жидкости
Л1ж.у = (Лж Лж_у) иЖ1Ну/^ж, (32)
где иж.ну — скорость жидкости, не увлеченной газом.
Из уравнений (9), (30)—(32) имеем
мж.ну=мгДТ • (33)
1 д — ы
Уравнение сохранения массы для смеси газа и увлеченной им
Жидкости (если вновь допустить, что увлеченная жидкость имеет
ту же скорость, что и газ) запишем в виде
/Иг + соМж = (Аж + Ажу) Цр/Осм, (34)
₽Ис. 6. Идеализирован-
ное распределение струк-
тур потока при раздель-
ном течении (а) и тече-
нии с уносом капель
Жидкости газом (б)
17
где v'CM — удельный объем смеси (газа и увлеченной им жидко-
сти) .
Из уравнений (30), (31) и (34) имеем
а.
' __ 1 + <0 [(1 — х)/х] (гж/рг)
С,СМ •
1 + со (1 — х)/х
Если пг/пж3> 1, то уравнение (35) можно аппроксимировать вы-
ражением
(35)
vr
^СМ ---
1 + СО (1 — X) X
(36)
Градиенты статического давления
Градиент давления при течении двухфазной смеси запишем как
dp/dz, а для удобства будем пользоваться обозначением Dp =
= dp/dz, где 2— расстояние по длине трубы; Dp — градиент давле-
ния (положительный в направлении течения при повышении дав-
ления) .
Для восходящего потока в трубе, наклоненной к горизонтали
под углом 0,
Ор Г)ртр — DpVI Dpg. DpTp -|- DpA! §рсм sin 0,
где DpTP, DpM, Dpg — составляющие градиента давления, обуслов-
ленные соответственно трением, изменением количества движения
и силой тяжести.
Изменение давления между точками 1 и 2 вдоль потока обозна-
чают Др1,2. Следовательно, если 2—расстояние между точками 1
и 2, то
/2 '
Др! ,2 = ( f dp/dz I dz.
\ i /
Падение давления запишем так: —ЛР1,2 = —Дртр1,2—APmi,2—APgi,2-
Градиенты давления в однофазном потоке
При описании двухфазного потока используют четыре градиен-
та давления для течения однофазной среды: Ьрж0 — жидкость за-
полняет всю трубу и движется с массовым расходом смеси; Dp®—
жидкая фаза заполняет всю трубу и движется с массовым расхо-
дом жидкой фазы; Dpro — газ заполняет всю трубу и движется с
массовым расходом смеси; Dpr — газовая фаза заполняет всю тру-
бу и движется с массовым расходом газовой фазы. Если учитыва-
ется трение, то для градиента давления, обусловленного трением,
имеем:
-DpTp.®o = -^~^; (37)
18
-врТр.®-%ж(1~д^^; (38)
-DpTp.r0=^gt-; (39)
-DpTP.r=^^( (40)
где А®о, X®, Хго, — коэффициенты гидравлического сопротивления
соответственно жидкости, которая заполняет всю трубу и движется
с массовым расходом смеси; жидкой фазы, которая заполняет вск>
трубу и движется с массовым расходом жидкой фазы; газа, кото-
рый заполняет всю трубу и движется с массовым расходом смеси;
газовой фазы, которая заполняет всю трубу и движется с массовым
расходом газовой фазы; D — диаметр трубы в свету.
Соответствующие числа Рейнольдса
Re®0 = СП/т]ж; Реж = (1 — х) GDp^-,
(41)
Re^ = GD/iqr; Rep = xGD/x]r,
где г]®, Лг — динамические вязкости соответственно жидкости и
газа.
Если коэффициент трения определяется по формуле Блазиуса,,
то
7ж0 = c/Re-Lo; Хж = c/Re'i;
(42}
7г0 = c/Re?0; Хг = c/Re".
Из приведенных выше уравнений имеем
ЦРтр.жЖр.жо = (1 - х)2-"; (43}
DpTp.I./DpTp.I.0 = x2-n. (44}
Выражая градиент давления через приведенные скорости, взя-
тые из уравнений (14) и (38), получаем
— DRtp.® = ^®«ж.п/(20иж), (45}
а из уравнений (13) и (40) имеем
— DPTp.r = W.n/(2Hnr).
Параметры двухфазности
Мартинелли с соавторами [70, 72, 73] ввел понятие параметров
Двухфазности:
ОрТр/ОрТр_ж = Фтр.ж, (46)
^Ртр^Г^Ртр.Г ~ фтр.Г- (4/)
В более поздней работе [74] были приведены следующие соот-
ношения:
DpTP/DpTpH(0 = сртр.жо! (48)
^Ртр/ОРтр.гО = фтр.гО- (49)
Из уравнений (43), (46) и (48) имеем
фтр.жо/фтр.ж = (1 —#) , (50)
а из уравнений (44), (47) и (49)
2 » 2 2—п /с 1 \
фтр. гО/фтр. г = X • (^1)
Авторы работы [37] в развитие приближения Барокши [6] ввели
так называемый коэффициент физических свойств
Гг = ОРтр.го/ОРтр.жо- (52)
Отметим, что при х = 0 из уравнений (46) — (49) следует
2 1.2
фтр. Ж - фтр.Г * 00 >
фтр.жО ~ It фтр.гО ~
а когда х= 1,
2 2 1 .
фтр.ж —*" О© J фтр.г —
2 7^2. 2 _ 1
фтр.жО —J > фтр.гО — 1.
Подобным образом можно ввести параметр двухфазности, ис-
пользуя градиенты давления, обусловленные изменением количе-
ства движения потока.
Параметр Локкарта — Мартинелли
Локкарт и Мартинелли [70] связали <р2тр.ж и ф2тр.г через пара-
метр X, названный параметром Локкарта — Мартинелли и опреде-
ляемый как
х = (Ортр.ж/Ортр.г)1/2. (53)
Из уравнений (38), (40) и (53)
^2 __ Аж (1 х)2 (54)
Aj, х2 vv.
С учетом уравнения (42)
X = f 1—^у2~п)/2 / \‘/г у/2 (55)
\ X J \ vr J \»1г/
При описании течения в шероховатой трубе (квадратичный ре-
жим трения) можно считать, что показатель степени в формуле
Блазиуса как бы равен нулю. Тогда
X = —- (-^Y7’. (56)
X \ vr /
Коэффициент Г2 и показатель степени п физических свойств
Из уравнений (37), (39), (52)
Г2 = (\ofr)/(^m)- (57)
После подстановки уравнений (41) и (42)
Г2 = (Пг/'Пж)'2 чАк- (58)
Коэффициент Барокша — величина, обратная выражению (58) при
л=0,2. Для ламинарного течения п—1, следовательно,
Г2 = (t]A)/(W»)> (59)
а для течения в шероховатых трубах (л = 0)
Г2 = (60)
Безразмерное избыточное падение давления
При описании потоков «твердые частицы — газ» и «твердые ча-
стицы— жидкость» широко используется так называемое безраз-
мерное избыточное падение давления, определяемое выражением
(DpTP—ПрТр.ж)/ПрТр.ж. Термин «избыточное» вводят для обозна-
чения превышения падения давления над тем, которое наблюдалось
бы при течении жидкости или газа без твердых частиц. Чтобы
получить безразмерную величину, избыточное падение давления
делят на падение давления жидкой фазы. Иногда этот термин ис-
пользуют и при изучении течения смесей газ — жидкость и пар —
жидкость. Безразмерное избыточное падение давления связано с
параметром двухфазности соотношением
Ортр ОрТр.ж ___ 2 (61)
-фтр.ж-1.
Аналогичное выражение, очевидно, можно записать и для <р2Тр.г-
Нормализованный параметр двухфазности
Автором введено понятие «нормализованный параметр двухфаз-
ности», граничные значения которого при х = 0 и х=1 равны соот-
ветственно 0 и 1:
__ (^Ртр/ОРтр.жо) 1 (А9\
(Ортр.го/^Ртр.жо) — 1
Комбинируя уравнения (48), (49), (52) с уравнением (62), по-
лучаем
: Фтр.жО ~ 1 = Фтр.гО ~ (УГ2)
™ Г2_!
Коэффициенты гидравлического сопротивления
для двухфазного потока
Многие исследователи использовали понятие «коэффициент гид-
равлического сопротивления для двухфазного потока». Среди боль-
шого числа общепринятых определений есть выражения для коэф-
фициентов гидравлического сопротивления, входящие в следующие-
уравнения:
— DpTp = 3
нТр 2D v 7
— DpTp— (64).
__£)- _ __ ^ЖЗ (1 Х)2 б^Ж (65)
Мтр 2Dv 2D(1 —а)2 ' 1
Эти коэффициенты связаны между собой следующим образом:
из уравнений (38), (46) и (63)
^ж2= ^жфтр.ж; (бб)>
из уравнений (37), (48) и (64)
^ж20 = ^жофтр.жО»
из уравнений (63), (65) и (66)
^жз = ^жг (1 — «)2 = ^ж<Р2тР.ж (1 — а)2-
Дополнительные выражения для числа Рейнольдса
В литературе по двухфазным течениям кроме уже приведенных
выражений для числа Рейнольдса часто используют еще несколько-
соотношений. Число Рейнольдса для гомогенного потока можно вы-
разить через вязкость жидкости:
К^ж.гом = («гом^УЛж^ж-
Из уравнений (20), (27), (41) и (67) имеем
КЧк.гом ~ КЧкоЧ’ом/Чк = К®жо [ 1 1 ^-1 • (68)
L \ Кж J J
Соответствующий коэффициент гидравлического сопротивления
определяется по выражению Аж.гом = с/Репж.гом.
ПЛ
Число Рейнольдса можно выразить и через истинную объемную
скорость жидкости:
= «яУЛж ’ • (69)
Из уравнений (19), (41) и (69)
Кежз — Кеж/(1 — а). (70)
Аналогично для газовой фазы
Rer3 = R4/“-
Пример 1. Смесь воздух — вода течет по гладкой горизонтальной трубе
(внутренний диаметр 20 мм). Массовая скорость смеси равна 1791 кг/(м2-с), а
расходное массовое газосодержание — 0,001. Пусть коэффициент скорости К=
= (вР0ж/рж)*/2. Физические свойства сред; пг = 0,84 м3/кг; ча1 = 1-10-3 м3/кг;
г]ж = 1,002-10-3 Па-с; т|г = 1,789• 10~5 Па-с. Коэффициент гидравлического соп-
ротивления для однофазного течения задается формулой X=0,186/Re°-2.
Требуется определить:
приведенные скорости фаз;
коэффициент скорости К;
истинное объемное содержание газа и жидкости;
фазовые скорости и гомогенную скорость 1>гом;
относительную скорость фаз (проскальзывание) и скорость дрейфа;
плотности смеси и гомогенной среды;
числа Рейнольдса Кеж0, Re®, Rer0, Rer;
градиенты давления, обусловленные трением, ОрТр.жо, Ортр.ж, DpTp.ro,
-Ортр.г!
параметры ф2тр.жо, Ф2тр.ж, <р2тР.го, ф2тр.г при градиенте давления 2-Ю4 Па/м
для двухфазного потока, обусловленном трением;
параметр Локкарта — Мартинелли и коэффициент физических свойств;
безразмерное избыточное падение давления;
нормализованный параметр двухфазности.
Решение. Приведенные скорости фаз [см. уравнения (13) и ( 14)] иг.п =
= 0,001-1791-0,84=1,504 м/с; и®.и = 0,999-1791 • 10~3= 1,789 м/с.
Коэффициент скорости определяем, используя уравнение (28);
Угом/^ж= 1 +0,001 (0,84:1.10-3 — 1) = 1,839.
Отсюда К= (1,839)1/2=1,356.
Истинное объемное газосодержание [см. формулу (И)]
1,356-0,999-1-Ю-3
+ 0,001-0,84
и истинное объемное содержание жидкости [см. формулу (12)]
аж = 1 —0,383 = 0,617.
Истинные объемные фазовые скорости и гомогенную скорость определяем по
формулам (18) —(20):
иг= 1791 (0,001-0,84 + 1,356-0,999-1-10-3) = 3,931 м/с.
Используя уравнение (21), получаем
иг= 1,504:0.383 = 3,931 м/с; пж = 2,899 м/с,
а используя уравнение (22) —
иж= 1,789:0,617 = 2,899 м/с.
OQ
Из формулы (20) имеем
игом = 1791 .(0,001 -0,84 + 0,999-1 • 10~3) = 3,294 м/с.
Относительную скорость фаз и скорость дрейфа рассчитываем по уравнениям-
(6) и (7):
«отн = 3,931 — 2,899= 1,032 м/с;
«д = 3,931 —3,294 = 0,637 м/с.
Для определения плотности смеси и гомогенной среды используем форму-
лу (23):
рсм = 0,383:0,84 + 0,617:(1 • 10~3) = 618 кг/м3
или формулу (24):
0,001 4- 1,356-0,999
Рсм =----------------------77--------- =618 кг/м3.
гс 0,001-0,84+ 1,36-0,999-Ь10“3
Из уравнения (25)
Ргом— 0,001 -0,84 + 0,999- МО”3 544 кг/м •
Числа Рейнольдса для отдельных фаз рассчитываем по формуле (41):
ReH;o = 1791 -20-10—3: (1,002-10~3) = 35 750;
ReH; = 0,999- 35 750 = 35710;
Rero = 1791-20-10—3:(1,789-10—6) = 2-10«;
Rer = 0,001-2-10е = 2-103.
Градиенты давления, обусловленные трением (Ортр.жо, DpTp ;K, DpTp.ro-
DpTp.r), рассчитываем следующим образом.
Используя уравнение (42), получаем коэффициенты гидравлического сопро-
тивления:
Хжо = о, 186:35 7500,2 = 0,0228;
= 0,186:35 71O0,2 = 0,0229;
+„ = 0,186:2 002 0000,2 = 0,0102;
%г = 0,186:2ОО20’2 =0,0407.
Из уравнений (37) — (40) имеем
„ 0,0228-17912-1-10—3
Ортр.жо— о nr, ,п—я — 18,28-Ю2 Па/м;
2-20-10—3
— DpTp ж = 0,999’18-18,28-102 = 18,24-102 Па/м;
„ 0,0102-17912-0,84
ОРтр.го — 2-20-10-3 = 68,7-10 Па/м;
— DpTp r= 0,001’ ’8-6870 = 2,73 Па/м.
Для расчета параметров двухфазности <р2гр.ж0, ч+р.;к, <р2тр.го, <₽2тр.г при
DpTp.r = 2-104 Па/м используем уравнения (46) — (49):
’Ртр.жО = 20°: 18.28 = Ю-94;
<р2р.ж = 200:18,24 = 10,96;
<р2рг0 = 200 : 6870 = 0,0291;
<р2р г =200 : 0,0273 = 7326.
Параметр Локкарта — Мартинелли н коэффициент физических свойств опре-
деляем по уравнениям (53) — (60). Из уравнения (53) получаем
/18,24 -102\0,5
X = ( - ’ ) = 25,85.
\ 2,73 J
Из формулы (55) при и=0,2 имеем
х / 0,999 \о.9 / 1-1Q-S \о,5 / 1,002- 10-8 \ 0,1
\ 0,001 ) Д °,84 ) ' \ 1,789-10—5 ) ~
Коэффициент физических свойств определяем по формуле (57)
0,0102 0,84
Г2 = -------- ---—- = 376
0,0228 1-Ю-’
или по формуле (58)
„ / 1,789.10-5 \о.2 о,84
Г2 = ( —----------- . —---------=376.
\ 1,002-10-8 J [.io-!
Безразмерное избыточное падение давления рассчитываем по уравнению
•(61):
ОРтр ОРтр.ж 200 18,24 __9 96
1-^Ртр.ж 18,24
шли
’Ртр.ж—1 = 10>96- 1 = 9,96.
Нормализованный параметр двухфазности определяем по формуле (62):
Пример 2. Часть жидкости со в виде капель уносится газом и движется со
«скоростью газа. Необходимо оценить отношение площади поперечного сечения,
.занимаемой жидкостью Лж.Ну вблизи стенки трубы, к общей площади сечения,
.занимаемой жидкостью без учета ее уиоса.
Решение. Из уравнения сохранения массы для жидкости с учетом ее уноса
.имеем
__ (1—ю)Ожрж
Я».ну —
“ж.Ну
Подставив «ж.Ну нз уравнения (33), получим
(1 — со/Ю GKvm
^ж.ну —
Из уравнения сохранения массы для жидкости без учета уиоса
иж ~ ОкЦщМж-
•Объединив два приведенных выше уравнения, получим
«4 ж .ну = «4 ж (1 —• W/K).
Глава 2
СТРУКТУРЫ потоков
Структуры потоков двухфазной смеси в трубе могут быть самы-
ми разнообразными. Хотя представление о структуре потока не иг-
рает существенной роли при выборе метода расчета градиентов
давления, знание ее необходимо для понимания сути двухфазного
течения.
Горизонтальные трубы
Условия течения потоков в горизонтальных трубах (рис. 7), при
которых реализуется та или иная структура, выражаются в без-
размерных комплексах [49]:
f ^Ж.П = [(^но/^ж) (^l/0)] ^Ж.П> (71)'
f (^Ж> ^Г> °) ^Г.П = (РМ [(^ЖзДж) ^г.п> (72)>
где о — поверхностное натяжение; индекс «1» означает, что вели-
чины относятся к смеси при температуре 15,5°C; обозначения без
этого индекса соответствуют текущим значениям параметров.
Этих комплексов, как правило, недостаточно для выделения
всех структур, указанных на рис. 7. Для описания структур двух-
фазных потоков могут быть использованы также следующие соче-
тания параметров:
Бейкера [5] —
сг • .(Уг/Уг1)’(иж/уж1) Iй g>k (o-i/o-) Кпж/пжО (^ж/Уж1)2] 1/‘;
Костерина [66] — р и игом;
Стерлинга [93] —
«гп[-----——ТЛ и р " Ь
I <Pg Кг — ?ж) J L V(gD) ]
Уайта и Хантингтона [102]— Gr и G;i:;
Уоллиса и Добсона [99] —
Г Vk Т 2 и п
^г.п г-, i 1 на,
[Dg(ar — vw)J
где g — ускорение силы тяжести.
Комплексы параметров Стерлинга, Уоллиса и Добсона были
предложены для вертикального течения. Очевидно, что при тече-
нии смеси воздух — вода группы параметров (см. рис. 7) зависят
от приведенных скоростей газа и жидкости. Экстраполяция от эта-
лонного условия в основном базируется на анализе данных для
вертикальной трубы [49].
Разработан [94] достаточно удачный теоретический метод пред-
скячяпия PTnvKTvn по ока. Три основные структуры идентифици-
° --д ..З-Л—Рис. 7. Основные структуры потоков
в горизонтальной трубе и карта
структур:
1 — пузырьковая (пузырьки газа в непрерывной жидкости); 2 — пробковая (газовые проб-
ки. образующиеся при коалесценции множества пузырьков, движутся в непрерывной жид-
кости); 3 — расслоенная (жидкость течет вдоль нижней образующей трубы; заметных
волн на поверхности раздела фаз не наблюдается); 4 — волновая (то же, что и расслоен-
ная, но поверхность раздела фаз волнистая, возможен унос жидкости газом); 5 — сна-
рядная (волны при «волновой структуре», достаточно велики и достигают верхней обра-
зующей трубы); 6 — кольцевая (жидкость образует пленку на стенке трубы; газовое ядро
может содержать капельки жидкости)
рованы на основе анализа выбросов в спектральной плотности
пульсаций статического давления на стенке трубы:
раздельная — расслоенная гладкая, расслоенная волновая, коль-
цевая;
перемежающаяся — снарядная и пробковая;
дисперсная — капельки жидкости в газе и пузырьки газа в жид-
кости.
Было показано [49], что группами параметров, определяющих
переход от одной структуры к другой при горизонтальном тече-
нии, являются параметр Локкарта — Мартинелли и, в зависимости
от характера перехода, один из следующих комплексов (рис. 8):
^пеп=«гпГ------------------------------—-------Т’5; (73)
Р L-Dg (vr — v№) cos 0 I
/<пер = «Г.пГ--(74)
L« (уг — V») COS 0 ]
ГПер = Г - -]0,5. (75)
— VK) COS0J
Рнс. 8. Обобщенная кар-
та структур потоков при
горизонтальном течении:
1,2 — дисперсная, соответ-
ственно капельки жидкости
в газе и пузырьки газа в
жидкости; 3 — перемежаю-
щаяся; 4, 5 — расслоенная,
соответственно гладкая и
волновая; кривые I и II
построены в координатах
^пер от кривая III —
в координатах Т'цер от X
[см. уравнения (73) —(75)1;
кривая IV—в координатах
Рнс. 9. Основные структуры потоков
в вертикальной трубе и карта струк-
тур при восходящем течении:
/ — пузырьковая; 2 — вспененная; 3 —
снарядная; 4—кольцевая
Вертикальные трубы
Основные структуры потоков и карта структур для вертикаль-
ного восходящего течения приведены на рис. 9. Две структуры
(пузырьковая и кольцевая) остаются весьма похожими на соот-
ветствующие структуры при течении смеси в горизонтальной тру-
бе, хотя наклон трубы оказывает существенное влияние на харак-
nvQwnbKOB пои пузырьковом течении.
На базе теоретических исследований была получена [94] фор-
мула для пограничной области между пузырьковым и снарядным
течениями «для случая, когда дисперсионные силы взаимодействия
между фазами не являются доминирующими»:
^ж.п Зиг,п 1,15
ё (^г ^ж) ^жр ~]V*
Vr
(76}
Дисперсионные силы взаимодействия приводят к диссипации ме-
ханической энергии. Когда эти силы становятся доминирующи-
ми, пузырьки разбиваются на более мелкие по размеру, коалес-
ценция пузырьков подавляется и объем, в котором может суще-
ствовать пузырьковое течение, увеличивается. Уравнение (76) по-
лучено при допущении, что пузырьковое течение (когда дисперси-
онные силы взаимодействия между фазами не являются домини-
рующими) может существовать при объемном газосодержании
вплоть до 0,25 и что превышение скорости этих пузырьков над
средней скоростью жидкости
_ J ^ж) Ч1/*
’ L ivp 1
(77>
где ип — скорость пузырька.
Уравнение (76) указывает на возможный переход к снарядной
структуре при несколько меньших, чем это следует из рис. 9, зна-
чениях и>к.п.
Получена формула [94] для условий течения, при которых воз-
никает турбулентность, обусловленная дисперсионными силами:
^ж.п ^г.п 4
дО, 429 а0,089 у0,017 ’
0,446
„0,072
'1ж
Для течения смесей воздух — вода при атмосферном давлении
в трубе диаметром 5 см это соответствует приведенным скоростям
жидкости и газа, равным соответственно 2 и 0,1 м/с. Для более
высоких расходов жидкости структура потока описывается как
дисперсно-пузырьковая. В этом случае переход к снарядному те-
чению происходит при истинном объемном газосодержании 0,52
(эта величина получена из представления о максимально возмож-
ной плотности упаковки твердых сферических частиц).
Если диаметр трубы меньше некоторого заданного значения,
Дисперсно-пузырьковая структура невозможна вследствие коалес-
ценции пузырьков с более крупными «пузырьками Тэйлора» (см.
Рйё. 9). Если «пузырьки Тэйлора» движутся быстрее более мелких
ЦУзырьков, последние остаются сбоку и коалесценции не происхо-
ЦИт- Однако мелкие пузырьки могут догнать «пузырьки Тэйлора»
11 объединиться. Скорость «пузырьков Тэйлора» по отношению к
Чудней скорости жидкости
Ил = 0,35 [g£> (1 — пж/пг)]0,5.
(78)
10
Возможные названия структур потоков
Все возможные структуры потоков двухфазных смесей подраз-
делены на семь типов: пузырьковую, пробковую, снарядную, рас-
слоенную, волновую, вспененную и кольцевую (см. рис. 7—10).
В литературе встречаются и другие классификации (табл. 1). Об-
Таблица 1
Классификации и описания структур двухфазных потоков
0,01
I_________I—
0,1 7
f(irx,u-r,Vurn, м/с
Основная
классификация
Альтернативные названия
Литературный
источник
Альтер-
нативная
основная
классификация
Рис. 10. Структуры потоков и карта
структур при вертикальном нисходя-
щем течении:
1 — пузырьковая; 2 — вспененная; 3,—
снарядная; 4 — кольцевая; 5— неста-
бильная область
Из уравнений (77) и (78) находим диаметр трубы. В трубах
меньшего диаметра возможна только дисперсно-пузырьковая струк-
тура потока:
Пузырьковая
Пробковая
Снарядная
Вспененная
Расслоенная
Кольцевая
D = 19 от*-.-Г5
.g (1 — vHt/vr)
Вспененная
Расслоенная пузырьковая
Пульсирующая пузырьковая
Структура удлиненных пузырьков
Расслоенная пробковая
Пробковая пенистая
Расслоенная снарядная
Дисперсная
Пенисто-снарядная
Пробковая
Пенистая
Дисперсная
Раздельная
Волнистая
Пленочная
Дисперсно-кольцевая
Снарядно-кольцевая
Волнистая снарядно-кольцевая
Т онкокольцевая
[59] Гомогенная
[64] [64] [48, 55] Перемежаю-
[93] щаяся
[67] [93, 64]
[68] [80] [18] [80]
[67] [67] Раздельная
[102] [49] Кольцевая
[59] [93] [102] [41]
в
Многими исследователями было показано, что граница пере-
хода зависит от отношения длины трубы к ее диаметру. Тернер, на-
пример, предположил, что кольцевая структура возможна в вер-
тикальных трубах только в тех случаях, когда скорость газового
ядра достаточно велика для уноса капель жидкости. Тогда урав
нение для минимальной скорости газа, при которой возможно коль-
цевое течение, будет иметь вид
«г.п = 3,1 [о^г(Шк —I)]0,25.
Структуры вертикального нисходящего потока и карта струк-
тур, показанные на рис. 10, позволяют сделать вывод о том, что
изменение направления движения в вертикальной плоскости н£
очень заметно влияет на структуру потока. Голан и Стеннинг по-
строили зависимость только ит.п от игп. Поскольку были исполь-
зованы данные для смесей воздух — вода при атмосферном давл«'
нии, оказалось возможным применить экстраполяцию Говье.
судим сначала те термины, которые используются
различном смысле. Часто понятие «пробковая» iijjriivicn л BJ 1 дли
|Дисания снарядной структуры по нашей основной классификации.
//ПпттО« тыто-птг. ------
литературе в
применяют для
- -------
JJIobo «пена» иногда используют для описания турбулентного те-
чения отдельных очень мелких пузырьков (смесь близка к эмуль-
сии).. В других случаях это слово характеризует вспененную струк-
туру. Термины из основной классификации нередко употребляют
в качестве прилагательного для более детального определения ре-
жима течения. Например, понятие «пенистая снарядная» указыва-
ет на то, что непрерывная жидкая фаза при снарядном течении
является вспененной, жидкость содержит множество пузырьков
гзза; «туманное кольцевое» течение — газовое ядро содержит мно-
жество равномерно распределенных мелких капель жидкости, а жид-
кость образует пленку на стенке трубы; «снарядно-кольцевое» те-
ение — имеется кольцо жидкости на стенке трубы, а отдельные
«Орцин
жидкости движутся в газовом ядре; «тонкокольцевое» и
*волйистое» течение — волны бегут в оль повепх ости пязнряя
1, 2 — капиллярные пузырьковые течения соответственно вер-
тикальное и горизонтальное; 3, 4 — течения соответственно
капиллярное и капельное
жидкость — газ. Некоторые названия структур выпадают из основ-
ной классификации, приведенной в табл. 1. К таким названиям
можно отнести «ручейковую структуру», когда жидкость течет по
стенке в виде ручейков, «дисперсную» — вся или почти вся жид-
кость переносится в газе в виде капель; «дисперсно-ручейковое те-
чение»— часть жидкости, за исключением той, что течет в виде ру-
чейков, движется в виде тумана.
Важной структурой, которая не упомянута в табл. 1 и не пока-
зана на предыдущих картах, является «капиллярно-пузырьковая»
(рис. И). Эта структура наблюдается при течении воды и воздуха
в трубках диаметром около 7 мм при нормальных условиях. Если
диаметр трубки больше 7 мм, такая структура характерна для
жидкостей с более высоким, чем у воды, поверхностным натяже-
нием. Жидкости (кроме ртути), у которых поверхностное натяже-
ние больше, чем у воды, стремятся быть «экзотичными»: поверх-
ностное натяжение натрия в 2 раза, лития в 4 раза, ртути в 7 раз,
серебра в 10 раз больше, чем у воды. На рис. 11 показаны также
два режима, которые возможны при горизонтальном течении и ма-
лых объемных расходах жидкости, в частности жидкостей с вы-
соким поверхностным натяжением. Это капиллярное и капельное
течения.
Согласно альтернативной основной классификации, структура
подразделяют на гомогенную, перемежающуюся, раздельную и
кольцевую (см. табл. 1).
Границы перехода от одной структуры к другой определяют по
изменению массовой скорости смеси G [в кг/(м2-с)] и истинного
объемного газосодержания а. При гомогенной структуре G>2700,
а = 0ч-1; перемежающейся — 2700<G>94, а = 0-^0,8(±0,1); коль
цевой — 2700<G>94, а=0,8(±0,1); раздельной — G<94, а=0-?1
(В скобках приведены пределы неопределенности.)
Следует отметить, что понятие «гомогенная» применительно
структуре двухфазного потока не имеет того же значения, что и f
предыдущих разделах, где термин «гомогенный» означал равенстве
скопостей Лаз, т. е. /С=1.
в
a
Рис. 12. Изменение структуры потока под влиянием фазовых превращений:
Л восходящий поток с кипением: б, в — конденсация в горизонтальных трубах при
массовых расходах соответственно низких н высоких: структуры: / — кольцевая; 2 — вспе-
ненная: 3 — снарядная; 4 — пузырьковая,- 5 — расслоенная; 6 —волновая; 7.—пробковая:
/ — кипение переохлажденной жидкости
Влияние фазовых превращений
В вертикальной нагретой трубе (рис. 12,а) с увеличением ис-
парения структура изменяется от пузырьковой к снарядной, а затем
до вспененной и кольцевой. До тех пор пока температура всей
жидкости не достигнет температуры насыщения, наблюдается ки-
пение, при котором пузырьки образуются у стенки, а затем конден-
сируются в объеме жидкости. В горизонтальной трубе (рис. 12,6)
при низких массовых расходах структура с увеличением конденса-
ции изменяется от кольцевой к волновой, а затем расслоенной. При
высоких массовых расходах (рис. 12, в) структура с увеличением
конденсации изменяется от кольцевой к снарядной, а затем к проб-
ковой. Массоперенос, связанный с фазовыми превращениями,
влияет на структуру потока лишь в определенных пределах. В про-
цессе кипения у стенки трубы пузырьков образуется больше, чем
при адиабатических условиях. В процессе конденсации (массопере-
нос пара к стенке) унос жидкости паром уменьшается и поверх-
ность раздела фаз становится менее волнистой.
Глава 3
ИСТИННОЕ ОБЪЕМНОЕ ГАЗОСОДЕРЖАНИЕ И ПЛОТНОСТЬ
СМЕСИ
При проектировании систем для транспортировки двухфазных
смесей важно правильно определить эффективную плотность смеси,
по которой можно оценивать перепад давлений, обусловленный
силами тяжести. Для нахождения ее необходимо оценить часть
поперечного сечения, занятую газом, т. е. так называемое истинное
объемное газосодержание. С этой проблемой тесно связана оценка
перепада давлений, вызванного ускорением потока, поскольку ско-
рости фаз и, следовательно, количество движения, зависят от объ-
емного газосодержания. Добавим, что количество движения суще-
ственно зависит от распределения скоростей фаз.
Объемное газосодержание и скорость дрейфа
Основные уравнения для объемного газосодержания были при-
ведены в гл. 1 [см. уравнения (7) и др.]. Преобразование уравне-
ния (7) дает
Щ^ГОМ = 1 4* ^д/^ГОМ- (80)
Из уравнений (18) и (20) имеем
(81>
ХУГ+ (1 — х) VK
а из уравнений (11), (17) и (81)
«г/"гом = ₽/а. (82)
Следовательно, исходя из уравнений (80) и (82),
Р/а = 1 + «д/«гом, (83)
где р — относительный объемный расход газа.
В дальнейшем это уравнение будет использоваться довольно
часто.
Пузырьковое течение
Когда поток пузырьков барботирует сквозь столб неподвижной
жидкости (отсуствует восходящее течение ее), непосредственно пе-
ред пузырьком жидкость должна перемещаться со скоростью
34
иж = QJA. (84)
Это следует из условия неразрывности. Газ, нагнетаемый в
трубу снизу, барботирует вверх через столб жидкости, следова-
тельно, во всех сечениях трубы скорость его восходящего движе-
ния описывается уравнением (84). Необходимо отметить, что в
поперечном сечении трубы, включающем пузырек газа, жидкость
относительно газа течет вниз. При восходящем движении единич-
ного пузырька в столбе неподвижной жидкости скорость его равна
ип. Там, где есть поток пузырьков, скорость их равна и'п. Полага-
ют, что скорость пузырьков относительно жидкости перед ними
идентична скорости единичного пузырька:
«п = “п —«ж- (85)
Для рассматриваемого потока пузырьков в неподвижной жид-
кости объем пузырька и объемное газосодержание связаны соотно-
шением
vn = агЛ, (86)
где z — расстояние между соседними пузырьками (рис. 13).
Расход газа можно оценить по числу пузырьков п, проходящих
через поперечное сечение трубы в единицу времени:
Qr = nva = («п/г) vn. (87)
Кроме того, из уравнения неразрывности для газа имеем
Qr=uItxA. (88)
Из уравнений (86)—(88)
«г = «п, (89)
а из уравнений (84), (85) и (89)
«г = Qr/A + ип.
В общем случае, когда имеется восходящее течение жидкости,
получаем
«г = (Qr + QK)/A + un. (90)
Комбинируя (29) и (90), получаем
= ^ГОМ + Цг (91)
Сравнение уравнений (80) и (91) показывает, что в потоке пу-
зырьков, движущихся через столб неподвижной жидкости, скорость
единичного пузырька равна скорости дрейфа.
Коэффициент Арманда
: В 1946 г. Арманд [2] обработал данные по объемному газосо-
держанию для течения смеси воздух — вода в горизонтальной труб-
ке под давлением, близким к атмосферному. Построив график за-
Рис. 13. Барботирование пузырьков
газа через столб жидкости:
I — газ; II— жидкость
Рис. 14. Зависимость а от р при те-
чении смеси воздух — вода в гори-
зонтальной трубке (диаметр 26 мм»
давление 0,1 МПа) [2]:
массовый расход жидкости (в кг/ч) со-
ставляет: 1 — менее 1000; 2 — 1000—4200;
3 — 750; 4 — 1000; 5—2000
висимости а от р (рис. 14), он показал, что вплоть до а = 0,72
(Р = 0,9) справедливо соотношение
а = Сдр, (92)
где С а — коэффициент Арманда (Сл=0,83).
Позднее Арманд установил [3], что аналогичное соотношение
’’справедливо и для вертикального потока, но в этом случае не на-
блюдается тенденции расположения опытных данных при малых
значениях 0 выше линии (см. рис. 14), описываемой формулой
(92). В основном это объясняется уменьшением осевой скорости
газа из-за всплывания пузырьков к верхней образующей трубы
при горизонтальном течении. Уравнение (92) с постоянным коэф-
фициентом СА справедливо только для 0 = 0,9. Для больших значе-
ний 0 было предложено следующее приближенное соотношение:
а=={СА + (1-СА)х]р. (93)
Совместное решение уравнений (83) и (92) дает
1/СА = 1 Н-Ид/Игом. (94)
Из уравнения (94) видно, что с увеличением гомогенной скорости
С а->1. а не к 0,83. Расхождение между теорией и экспериментом
можно объяснить влиянием неоднородного распределения объем-
ной газонасыщенности и скорости в поперечном сечении потока.
Модель с переменным распределением параметров
При течении смесей пар — жидкость и газ — жидкость отмеча-
ется изменение как объемного газосодержания, так и скорости в
поперечном сечении трубок (рис. 15). С учетом этих наблюдений
была рассмотрена модель с переменным распределением парамет-
ров.
Следуя гипотезе Бэнкоффа, который полагает, что обе фазы
имеют одинаковую локальную скорость и', можно допустить, что
ц7«0 = (1//Д)1/'” = 6!'"я; (95)
a’/a0 = (y/R)l/n = 8l,n, (96)
pie у — расстояние от стенки трубки; R— радиус трубки; б — без-
размерное расстояние от стенки трубки (6 = у/7?); индекс «о» ука-
зывает на то, что величины взяты на оси трубки. Массовые рас-
ходы
Рис. 15. Изменение локального истин-
ного объемного газосодержания а' и
отношения скоростей и'!итат в попе-
речном сечении трубок разного диа-
метра
37
Мж = 2лЯРжи0 j (1 - 6) (1 - S'%) 61/md6;
С
Мг = 2пЯрги0 (1 — 6) a061/n6Vmd6.
О
Истинное объемное газосодержание по всему сечению трубы
а = 2а0)'61/га (1 — 6) dd.
о
Из этих уравнений следует
С — 2(т + п+ тп) (m-j-n-j- 2тп)
(n+l)(2n^l)(m+l)(2m+ 1) ’
где т, п — коэффициенты.
В зависимости от значений т и п коэффициент Арманда изме-
няется от 0,6 до 1, что соответствует экспериментальным данным.
Важно отметить, что, несмотря на допущение о равенстве локаль-
ных скоростей фаз и'=иг'=и',к, средние по сечению трубки скоро-
сти фаз не равны между собой (нж^иг). Средняя скорость газа
больше средней скорости жидкости, поэтому в центральной части
потока движется большее количество газа, чем на периферии.
Анализ Зубера — Финдлея
Были получены [105, 106] соотношения, учитывающие влияние
дрейфа и распределения фаз на зависимости (92) — (94). Для удоб-
ства средние значения величин в поперечном сечении обозначим
<F>, т. е.
<F>=J7W4. (97)
о
Тогда можно определить средние значения некоторых исполь-
зованных ранее величин:
С?ГМ = (98)
Выразим локальную скорость газа через скорость дрейфа [см.
уравнение (7)]: «'г=и'гом+и'д. Умножим все члены этого уравнения
на а'/А и проинтегрируем по всему сечению. Тогда <и'га/> =
= <и'Т0У1а,'> + <и'яа'>. Разделив все члены равенства на а, с
учетом уравнения (98) получим
Ur ^О^гом Т- (ЦдСС )/сс, (99)
где
С?0 = (^ГОМ® )/(^ГОМ®*) (ЮО)
коэффициент распределения.
Определим средневзвешенную скорость дрейфа
«св.д = <“да'>/“- (Ю1)
Из уравнений (99) и (101) получим
Ur = ^о^гом "Т" ^св.д* (102)
Ранее использовалось уравнение ит = Соиттл + ил. Коэффициент
распределения принимают равным 1,2, так как это в однофазном
развитом турбулентном потоке есть отношение максимальной ско-
рости к средней.
Совместное решение уравнений (82), (92) и (102) дает
1/Са = Р/« = Со + «св д/«гОм. (103)
Важным различием между уравнениями (103) и (83) является
то, что единица заменена Со, а скорость ил — средневзвешенной
по сечению скоростью дрейфа исв,я. Когда средневзвешенная ско-
рость дрейфа равна нулю или очень мала, из уравнений (100) и
(103) имеем
Q ___ 1 ЦГОМ°^
<“гома'>
Таким образом, как и модель с переменным распределением
параметров, данное приближение показывает, что при нулевой
скорости дрейфа Сд может принимать значения, отличные от 1. Это
свидетельствует о различии в средних скоростях фаз при отсут-
ствии локального проскальзывания последних.
Гравитационная составляющая градиента давления
- - -
Обозначим плотность смеси рсм. Тогда гравитационная состав-
ляющая градиента давления—Dpg = gpCMsin 0, где знак «минус»
указывает на то, что поток восходящий. Плотность смеси рсм=
арг"(- (1—сх)рж или рсм/р®=1—оь(1 рг/рж)- С учетом уравнения
(92) имеем
Рсм/Рж = 1 СаР(1 Рг/Рж)- (Ю4)
Из уравнений (17) и (25) следует, что
Ргом/рж ~ 1 Р(1 " Рг/рж)* (105)
Из уравнения (104) видно, что при гомогенном течении СЛ=1.
Комбинируя уравнения (104) и (105), получаем
Рсм/Рж ~ 1 (1 Ргом/Рж)- (106)
39
Из уравнений (103) и (106) получаем
Рсм/Рж = 1 - -Д /(Ргом//Рж) .
^0 “Г (^св.д/^гом)
(107)
Используя уравнение (24) и выражая плотность смеси через
отношение скоростей, получаем
Рсм/рж --
х + К(1-х)
х' Рж/Рг + К (1 — х)
Расчет отношения скоростей (коэффициента скорости)
Прежде чем вернуться к уравнениям (106) и (107), рассмотрим
методы вычисления коэффициента скорости К. Из уравнений (14),
(20), (82) и (103) имеем
я= с0+ (Со-1) --xv\ +
(1 х) иж.п
Если Со=1, выражение упрощается: К= 1 + нсвд/иж.п.
Имеется несколько простых моделей для оценки величины К
[75]. Одна из них [92] известна под названием «равноскоростной
напор». Полагают, что при раздельном течении жидкости и газа
кинетическая энергия жидкости равна кинетической энергии газа
с увлеченной им жидкостью, поэтому
Чж.ну/ит = Цж.у/Усм, (108)
где «ж.ну — скорость жидкости при раздельном течении; — ско-
рость газа с увлеченной им жидкостью (полагают, что газ и капли
жидкости имеют одинаковую скорость); и'см— удельный объем
газа и увлеченных им капель.
Поскольку газ и унесенные им капли жидкости имеют одинако-
вую скорость, цжу=«г. Отсюда, решая совместно уравнения (33),
(35) и (108), получаем
1 / 1 —<о \а 1 I 1 + <о (1 — х)/х |
иж \ X — ® / «г I 1 + со [(1 — х)/х] (иж/ог) J ’
где и — доля жидкости, унесенной газом.
После преобразований получим
7<=со + (1_со)/ 1+jJ(1-^](^/Kr) р(109)
Ч 1-J-<о(1 — х)/х I ' 7
При и = 0,4 отмечается наилучшее совпадение данных, получен-
ных теоретически и экспериментально
= 0 4 I 0 6 ( ' 4~0»4[(1—х)/х] (иж/иг) у/» / vT \‘/z jq.
* I 1 + 0,4 (1 — х)/х j \ vK /
Уравнение
К = (^м/Уж)’/’ = [ 1 + X ( - 1 )11/2 (111)
I \ Кж /1
ИГ>
получено на основе теории для кольцевого течения и гомогенной
теории [31]. В том и другом случае оно дает приблизительно оди-
наковые градиенты давления, обусловленные трением. Используя
уравнения (ПО) и (111), можно получить близкие по величине ко-
эффициенты скорости (табл. 2). При больших расходных массо-
вых газосодержаниях уравнение (111) дает завышенные значе-
ния К.
Таблица 2
Сравнение значений К, полученных из уравнений (ПО) и (111)
Номер уравнения Уиж Расходное массовое газосодержание
0,01 0,05 0,1 0,5 0,9 1 ,0
(110) 1000 3,4 7,1 9,3 16,3 19 19
(111) 3,3 6,9 10 22,4 30 32
(НО) 100 1,51 2,5 3,3 5,6 6,3 6,4
(111) 1,41 2,4 3,3 7,4 9,5 10
(НО) 10 1,06 1,26 1,43 2 2,3 2,3
(111) 1,05 1,21 1,38 2,4 3 3,2
(110) 2 1,01 1,03 1,05 1,22 1,34 1,34
(111) 1,01 1,03 1,06 1,Н 1,24 1,25
Когда силы тяжести мало влияют на градиент давления и основ-
ную роль играет ускорение потока, К следует вычислять по сле-
дующим уравнениям:
при х > 1 х0 = (УгомЮ1/г; (I12)
при X < 1 Хо = Wz‘> (! 13)
где индекс «ноль» вводится для того, чтобы читатель помнил о том,
что К найдено из этих уравнений.
При Х=1 значения К, полученные из уравнений (112) и (113),
совпадают. Уравнение (112)—частный случай уравнения (111).
Уравнения (112) и (113) могут быть использованы для оценки
гравитационной составляющей градиента давления при условии,
что гомогенная скорость превышает скорость, задаваемую уравне-
нием Unep = «св.д/[ ( 1/Са.г) — 1], где нПер — переходное значение ско-
рости.
Если нет уноса жидкости газом (со = 0), то уравнение (109)
Превращается в уравнение Фауске для отношения скоростей при
истечении из трубы:
X = («Лж)7’- (И4)
Это отношение соответствует минимуму количества движения по-
тока.
. В работе [86] было показано, что отношение скоростей, при ко-
тором кинетическая энергия минимальна, Х= (vr/vx) 1/з.
Рнс. 16. Зависимость а от Р при течении смеси воздух — вода в вертикальной
трубке (диаметр 26 мм, давление около 0,1 МПа):
1 — по данным работы [2]; 2 — по уравнению (116)
Таблица 3
Зависимость СА от ₽ и ог/уж
^ж Относительный объемный расход газа
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1
800 0,88 0,84 0,81 0,81 0,8 0,8 0,82 1
20 0,89 0,86 0,84 0,83 0,82 0,83 0,86 1
2 0,94 0,93 0,93 0,93 0,93 0,95 0,97 1
экспериментальных и расчетных значений коэффициента Арманда
для смесей пар — вода при разных давлениях приведено в табл. 4.
Таблица 4
Зависимость СА для смеси пар — вода от давления ((3=0,7)
Давление, МПа Сд, полученный Давление, МПа Сд, полученный
экспери- ментально по уравнению (117) экспери- ментально по уравнению (117)
0,49 0,79 0,8 7,9 0,808 0,83
0,99 0,783 0,8 10,7 0,827 0,83
0,2 0,783 0,81 13,7 0,85 0,85
0,29 0,783 0,81 17,6 0,904 0,88
0,39 0,788 0,81 19,6 0,938 0,9
0,5 0,796 0,81 20,6 0,975 0,92
Из уравений (17) и (111) имеем
к = 1/11 - Р(1 - Ш71.
а из уравнений (11), (17), (92) и (115) —
!/Са = ₽+ (1_₽(; 2^777--
(П5)
(П6)
При уж/уг» 1
г____________1 и а = Р
А Р + (1- ₽)1/а Р+(1- Р)1/! ’
На рис. 16 зависимость, вытекающая из уравнения (116), срав-
нивается с данными Арманда [2]. Аналогичное сопоставление мож-
но было бы сделать и для горизонтальной трубки (см. рис. 14)
[31]. Расчетные значения были получены из уравнения (116) при
(3 = 0,7, что дает
________0,3________
[1-0,7(1-Цк/иг)]^ ‘
Са.г = 0,7 +
(Н7)
В табл. 3 приведены значения СА в зависимости от отношения
удельных объемов фаз при разных значениях р. Видно, что Сд
стремится к постоянному значению при (3 = 0,44-0,9. Сравнение
Совпадение между теоретическими и экспериментальными дан-
ными весьма удовлетворительное (за исключением заниженных
расчетных значений при высоком давлении). Следует отметить, что
при р>0,9 предпочтительнее пользоваться уравнением (116) вме-
сто уравнения (117).
На рис. 17 сравниваются истинные объемные газосодержания,
рассчитанные по формуле (116), с экспериментальными данными
Для течения смесей воздух — вода и пар — вода в вертикальных
трубках, а на рис. 18 показана зависимость истинного объемного
газосодержания от расходного массового газосодержания для сме-
сей пар — вода при разных давлениях (вплоть до критического),
рассчитанная по формулам (92) и (116). Кривые на рис. 17 и 18
хорошо согласуются с полученными ранее [74, 111].
Расчет коэффициента Арманда
Лабунцов с соавторами показал, что параметр распределения
Может быть принят равным единице, а не СА при низкой гомоген-
ной скорости. Коэффициент Арманда оценивается (для вертикаль-
ного восходящего потока) из уравнения
1/Сд = 1 -ф UCE,д/«гом- .(118)
43
42
6
в
Рнс. 17. Зависимости а от х при разных условиях [31]:
о —смесь воздух—вода в вертикальной трубке диаметром 1 мм при давлении 0,11 МПа
(данные Андерсона и Мантзураниса); б — смесь пар—вода в вертикальной трубке диамет-
ром 6 мм при давлении 2 МПа [85]; в — смесь пар—вода в трубке диаметром 38 мм при
давлении 14,5 МПа; / — по уравнению (116); 2, 3 — поток соответственно вертикальный н
горизонтальный [56]
44
рис. 18. Зависимости а
от х для смесей пар —
вода при разных давле-
ниях, полученные по
уравнениям (92) и (116)
Графическое сравнение соответствующих расчетных и экспери-
ментальных данных приведено на рис. 19.
Уравнения (116) и (118) дают идентичные значения, если гомо-
генную скорость принять равной
Ыпер (1/СА.г)-1
Поскольку при высоких значениях игом расчетные и эксперимен-
тальные значения СА близки, при р<0,9 рекомендуется пользо-
ваться уравнением (116) или (117).
(И9)
Рис. 19. Зависимость СА от исв.д/иГом (диаметры труб 300—457 мм):
1по уравнению (118)
45
Когда игом возрастает по ходу движения смеси, целесообраз-
нее вместо уравнения (118) использовать уравнение (117). Урав-
нение (116) приемлемо для горизонтальных потоков как при вы-
соких, так и при низких гомогенных скоростях и при 0<О,9.
Другие авторы [105, 106] рекомендуют при £>>51 мм принимать
Со== 1,5.
Расчет скорости дрейфа (Р<0,9)
Лабунцов с соавторами ввел отношение скорости дрейфа к ско-
рости пузыря
®д ~ ^св.д/^п (120)
и коррелировал свои данные, используя эмпирическую формулу
Шд = 1,4 (цЛк)^ (1 — цж/ог)5. (121)
Если диаметр трубы меньше рассчитанного по формуле (79),
пп оценивают по уравнению (78), а при больших диаметрах — по
уравнению (77). Введем число Бонда
Во = -^-(1-пж/цг). (122)
от®
Тогда уравнение (78) следует использовать при условии, что
Во2с 192<361.
Расчеты при высоких относительных объемных
расходах газа (Р>0,9)
При р>0,9 истинное объемное газосодержание — явная функ-
ция массовой скорости. Структура потока будет кольцевой или рас-
слоенной.
Если необходима высокая точность, следует пользоваться урав-
нением [105]
1/СА = 1 [ 23 f Нж^ж.п \*7| /j Од \
игом \ Рг£> / \ Ог /
и соответствующим ему уравнением
к = 1 + -4г (^ж)1/2 о - им-
Re.'2
Исключение составляют случаи, когда известно, что течение рас-
слоенное.
При высоких значениях р влияние гравитации на градиент дав-
ления невелико, поэтому можно использовать Ко [см. уравнения
(112) и (113)].
Течение в наклонных трубках
В работе [35] отражены результаты изучения течения смесей
воздух — вода при турбулентном движении каждой фазы в труб-
46
Рис. 20. Зависимость аж от Gr при разных углах наклона трубы и массовых
скоростях жидкости:
3—0 равно соответственно 0, 45 и 90°; 4—равно соответственно 2782, 1269 и
190 кг/(м2 с)
ках диаметром 27 мм, расположенных горизонтально, вертикально
(восходящий поток) и под углом 45°. Давление было близким к
атмосферному. Объемные содержания жидкости измеряли с по-
мощью быстрозакрывающихся кранов (рис. 20).
Объемное содержание жидкости при горизонтальном течении
наименьшее (за исключением случаев, когда расходы жидкости и
газа велики). Возможно, наиболее неожиданным явился тот факт,
47
что в трубке, наклоненной под углом 45°, при малых расходах газа
и жидкости объемное содержание жидкости максимально.
Рунге и Уоллис провели аналогичные наблюдения, изучая сна-
рядное течение в наклонных трубках. Отношение скорости пузы-
ря в наклонной трубке к скорости его в вертикальной трубке уве-
личивается с приближением ее к вертикали. Максимальное значе-
ние, равное 1,6, достигается при 0 =» 45°. Это отношение уменьша-
ется примерно до 1 при 0 = 85°.
В работе [9] приведено уравнение для объемного газосодержа-
ния в наклонных трубках:
а =аг4-(ов — Ог)/(0), (123)
где индексы «г» и «в» указывают соответственно на течение в го-
ризонтальной и вертикальной плоскостях.
По этому уравнению рассчитывают ав при восходящем течении.
При нисходящем течении функция f(0) имеет следующий вид:
/(0) = 3,333 sin (1,80) + 0,333 sin3 (1,80), (124)
где 0 — угол наклона оси трубы к горизонтали, считающийся по-
ложительным независимо от направления течения.
Уравнение (124) дает максимальное значение f (0) =2,22 при
0 = 50°. Этот угол близок к значению его (45°), полученному Рунге
и Уоллисом.
В работе [9] приведены результаты изучения течения смесей
воздух — вода в трубках, внутренний диаметр которых равен 25,4 и
38,1 мм, при давлениях 0,24—0,65 МПа (рис. 21). Кривые получены
с использованием уравнений (123) и (124). Недостаток графика —
наличие газосодержания, превышающего 1. Для построения кри-
вых (см. рис. 21) использовались экспериментальные значения
ав и осг*
С помощью уравнений (92) и (123) можно получить коэффи-
циент Арманда для наклонной трубки
Са = Са.г + (Са.в-Са.г)/(0). (125)
Если при расчетах по этому уравнению окажется, что плотность
смеси больше плотности жидкости или меньше плотности газа, сле-
дует использовать ближайшее значение плотности для однофазной
среды. С учетом уравнения (103) уравнение (125) можно записать
так:
+|Г \ Сов ± ^св.д/^гом Сог 7
где Сог, Сои — параметры распределения соответственно для гори-
зонтального и вертикального потоков.
В настоящее время на практике при расчетах принимают Сог=
= СОв. Скорость дрейфа в горизонтальном потоке считают равной
нулю [см. уравнение (126)], знак «плюс» указывает на восходя-
щее течение, знак «минус» — на нисходящее. Когда гомогенная ско-
48
Рйс. 21. Зависимость а от 0 [см. уравнения (123) н (124)]:
К н,- потоки соответственно восходящий н нисходящий; приведенные скорости
“ж.п и газа ит п (в кг/с) равны соответственно: а — 0,0213 и 2,41; б — 0,219 и
Ш и 2,77; г —i,74 и 1,28; д—1,615 и 0,396
ЖИДКОСТИ
1,21; в —
₽>0,9,
лъ выше критической, задаваемой уравнением (119), а
!Итают, что наклон трубки не влияет на конечный результат.
Если гомогенная скорость превышает значение, задаваемое
нением (119), для практических целей с достаточной степенью
Ярчности можно использовать значения Ко [см. уравнения (112) и
4113)] во всем диапазоне изменения р.
'асслоенный и вязкий потоки
у Для аппроксимации используем уравнение (114). Уравнения
ж?7), (78), (120) и (121) для средневзвешенной скорости дрейфа
Жрнменимы только в тех случаях, когда доминирующими являются
49
Рис. 22. Зависимость параметра скорости пузырьков от числа Этвеша [101]
силы инерции. Для снарядной структуры, когда влияние вязкости
и процессов на поверхности раздела фаз становится существенным,
скорости пузырьков можно определять по рис. 22. Введем безраз-
мерные параметры u2lgD-, pgD2l<r, g«2/p<r3, которые известны соот-
ветственно как число Фруда (Fr), число Этвеша (Еб) и параметр
физических свойств (Уф). Влияние вязкости наименее существенно
при Уф>3-105, капиллярных сил — при Еб>70, инерционных сил —
при Fr<0,003. Автор [20] коррелировал данные табл. 5 для
р 2,1 ('Пяк/'Няк.э)0’28 1 >2 (127)
2,1 (Нж/Ц/к.э)0,28— 1,135
где цж.э — эталонная вязкость (1,002-10~3 Па-с), соответствующая
вязкости воды при 20 °C, используя уравнение
К = 1,2 (Цж/Т|ж.э)0-22 + 0,22 (V^J °’22. . Es .
X Vf
Для воды при 200 °C из выражения (127) р = 0,932. При р выше
значений, соответствующих переходному режиму, отношение ско
50
!лвца 5
(ЗюЙства смесей жидкости и воздуха при давлении, близком к атмос ферному
(внутренний диаметр трубки 25,8—27 мм) [20]
- Жидкость Относительная плот- ность жидкости О Я с «4 Р Я Е £ а с». и а сГ X я л т
Вода 1 1,01 0,14 20 606 314
Керосин 0,83 2,03 0,12 26 571 860
Дизельное топливо 0,867 4,96 0,12 27 598 778
Смешанное топливо № 1 0,901 41,9 0,12 28 625 722
Смешанное топливо № 12 0,913 123 0,12 29 634 531
Топливо В 0,912 267 0,12 29 633 507
ростей с точностью до ±20 % удовлетворяет выражению
A-=^L_3i5(Vn)Kji/2-
Re^>
Средняя плотность при фазовых превращениях
Когда расходное массовое газосодержание линейно изменяется
вдоль трубы постоянного диаметра, а физические свойства смеси
остаются неизменными, можно получить аналитическое решение
уравнения (106) для средней плотности рсм. Для удобства обозна-
чим
R = ^ж/^гом = Ргом/Рж • (128)
На основе гомогенной теории
Ргом/Рж = — Rz)'^(Ri/R^> (129)
где индекс «1» указывает на условия на входе в трубу, а индекс
<2» — на выходе из нее при испарении. Если коэффициент Арманда
вдоль трубы остается постоянным, то
Рсм/Рж = 1 Ргом/Рж)’ (130)
Определяя
(; Иж0 = G/pK, (131)'
будем иметь иГом=«жо/^-
Уравнение (119) можно использовать для расчета
‘ R-кр ~ ^ж(/Квер ~ ^жо^св.д (1/^А.г 1), (132)
F&e ₽кр — критическая величина аж/ег.
51
Рис. 23. Зависимость Сл
от Р при разных значе-
ниях R'.
а - RKB>Ri; Р<0.9 [см.
уравнения (129), (130)];
0>О,9 [см. уравнения (117),
(133)]; любое Р [см. урав-
неиия (117), (133)]; б —
₽<₽кр [см-
уравнения (134), (135)];
Ркр<Р<0,9 [см. уравнения
(129), (130)]; ₽>0,9 [см.
уравнения (117), (133)]; в —
^>^кр> Э<0’9 Гсм- Урав-
нения (134), (135)]; р>0,9—
численное интегрирование
При фазовых превращениях характер изменения Сд вдоль тру-
бы зависит от соотношений между R\, Rz и /?кт (рис. 23).
При /?кр>/?1, когда для части потока справедливо условие
Р>0,9, можно воспользоваться уравнением (93), которое дает сле-
дующее решение:
__ ।___С \
Рсм/Рж — 1 — Сд +( Сд - ) Ргом/Рж
\ vr/vm 1 J
__ Lz5a .r_L/_Lj______21, (133)
»гМк 1 L 2 \ 2?а 7?! / J
где Сд задается уравнением (117).
Если то на Сд оказывает влияние скорость дрейфа.
Тогда
ром/Рж = 1-1/Со(1-Я), (134)
52
где Я — функция плотности,
цсв.д
ижо
_i__\ ^2^1 in Г —жр/(цсв.д^2)
Со / Rz R1 1 1 + Соижо/(исв д/^)
(135)
Точность расчетов
Статистически, на базе 6704 экспериментальных значений
(табл. 6), была исследована [47] точность 16 корреляций, предло-
женных разными авторами [6, 15, 31, 60, 79, 83, 92, 96]. Суть анали-
за заключалась в следующем. Определялись число эксперименталь-
ных точек т, степени свободы f, градиент давления у, обусловлен-
ный гравитацией пли плотностью смеси, а также
% __ У1 изм У1 рас
У1 рас
Тогда среднеарифметическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение
ср —
а абсолютное
т
(i/i изм Hi рас)
Пример 3. Смесь пар — вода при давлении 6 МПа течет вверх по верти-
кальной трубке (диаметр 40 мм, длина 4 м) со средней массовой скоростью
200 кг/(м2-с). Расходное массовое газосодержание линейно изменяется от 0 на
входе до 0,3 на выходе. Необходимо оценить перепад давлений, обусловленный
гравитацией. Физические свойства жидкой и газовой фаз следующие: иг=32,4Х
ХЮ-з м3/кг; = 1,3185-Ю-з м3/кг; о = 20,55-10-3 Н/м.
Коэффициент Арманда для горизонтального потока определяем по уравне-
нию (117)
1 „ 0,3
— = 0,7 +------------------------------— = 1,223,
сА.г [1 —0,7(1 — 1,3185 : 32,4)]
Откуда Са<г=0,8174.
Используя уравнение (79), получаем эталонный диаметр для выбора соот-
ветствующего уравнения, по которому можно определить скорости дрейфа:
„ „Г 20,55.10-s-l,3185-IO-® 1*/«
D = 19 ----------------------- =32,2
L 9,8 (1 — 1,3185 : 32,4) J
мм.
53
Таблица 6
Статистические ошибки при измерениях средней плотности
(по данным разных авторов)
Среда Число [31] [79]
опытных данных х, % scp- % Sa6 x, % scp’ % sa6
н2о R12 Двух- 484 3601 2619 —0,4 — 1,8 11,4 26 32,5 33,7 54,7 84,4 80,7 —8,8 3,2 0 40,5 35,1 43,6 152,7 79,2 124,9
компо- нентная
Продолжение табл. 6
Среда Число [60] [92]
опытных данных х, % scp’ % Sa6 x, % ^cp’ sa6
н2о R12 Двух- 484 3601 2619 — 10,8 — 18,5 —5,4 33 33,5 25,7 103,8 103,1 73,4 0,5 4,1 12,7 26,8 35,9 37,8 54,6 82,2 81,1
компо- нентная
Продолжение табл. 6
Среда Число [83] [15]
опытных данных х. % Q о/ °Cp’ /о Sa6 x, % scp’ % Заб
н2о R12 Двух- 484 3601 2619 9,3 31,4 4 35 58,5 33,8 54,7 99,2 86,3 — 18,1 — 18,4 — 12,7 26,2 34,9 27,2 90,4 128,3 108,2
компо- нентная
Продолжение табл. 6
Среда Число [96] 16]
опытных данных х, % scp- % Sa6 X. % ^cp’ % sa6
н2о R12 Двух- 484 3601 2619 7,4 23,9 12,9 36,5 52,2 71,4 48,5 90,6 155 -5,6 —10,6 —4,4 21,7 32,4 30,6 51,7 250,4 89,3
компо- нентная
54
Лз уравнения (77) имеем
un= 1,5 20,55-10—3-Э,8-1,3185-10—3-( 1
1,3185
32,4
V,
= 0,1895 м/с,
а из уравнения (121) получаем
,, ( 1 \5
а.'п = 1,4-24,57'5 ( 1 —-----) = 2,1577,
д к 24,57 /
где Ur/^ж — 24,57.
Отсюда, используя уравнение (120), найдем средневзвешенную скорость
дрейфа
«св.д= 2,1577-0,1895 м/с = 0,4089 м/с.
Из уравнений (131) и (132)
_ 200-1,3185-10~3
кр ~ 0,4089
(1,223— 1) = 0,1438,
где, согласно уравнению (131),
ижо = 200-1,3185-10“3 = 0,2637 м/с.
При /?>0,1438 коэффициент Арманда следует рассчитывать по уравнению
(118) или принимать среднее значение, определяемое по уравнению (134). По-
скольку в уравнении (118) Со=1, уравнение (134) упрощается:
0,4089
200 1,3185-10—3
Рсм/Рж — R ( 1 +
1-0,1438 , 1 4- 0,2637 : (0,4089-0,1438)
1П ’ —
1 —0,1438 1+0,2637 : (0,4089-1)
Расходное массовое газосодержание, соответствующее RKp = 0,1438,
(1 : 0,1438) — 1
Хкп=-----5-----'---------= 0,2526.
р (32,4 : 1,3185)—1
На выходе
1 +(0,7 : 0,3) (1,3185 : 32,4)
Поскольку Р>0,9, для расчета средней плотности смеси при 0,2526<х<0,3
лучше использовать уравнение (133), а не уравнение (130).
На выходе
R =--------------------= 0,1286.
1 +0,3(24,57— 1)
Из уравнения (129)
- 0,1286-0,1488 0,1438
Ргом/Рж = -----------------1П--------= 0,1359.
ргом/рж 0,1438 — 0,1286 0,1286
Из уравнения (133) получим
Г Г 1—0,8174 \
Рсм/Рж = 1 - 0,8174 + 0,8174- —----------) 0,1359-
\ Z , и / — 1 /
1 — 0,8174 [1/1 1 \ 3
—------------- — (--------+---------1—2 =0,2511.
24,57— 1 L 2 \ 0,1286 0,1438 ) J
55
Расходное массовое газосодержание, равное 0,2526, будет зафиксировано на
расстоянии z от входа:
0,2526
2=4- —’------= 3,36 м.
0,3
Перепад давлений между входом и выходом
9,8
— bpg = 3 (3,36-0,516 + 0,64-0,2511)= 14 083 Па.
Знак «минус» указывает на понижение статического давления.
Глава 4
ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнения для расчета перепада давлений, обуслов-
ленного изменением количества движения вследствие ускорения
или замедления потока.
Градиент давления и количество движения
Для баланса сил, действующих на элемент однофазной смеси
в трубе (рис. 24), будем иметь
— 8zA = 8zPx + 6z (136)
dz dz v
где Р — периметр; т — касательное напряжение.
Члены данного уравнения характеризуют соответственно пере-
пад давлений на длине 6z, силы трения о стенку трубы и изме-
нение количества движения. Преобразовав уравнение (136), по-
лучим
dp Рх . d (Ми)
dz A Adz
или
— Dp = — DpTp — DpM.
Рис. 24. Баланс сил, дей-
ствующих на элемент
смеси
56
Можно записать
-DpM=-J-D(M (137)
/1
где знак «минус» указывает на то, что с увеличением количества
движения по ходу течения жидкости давление падает.
Количество движения через единицу площади поперечного се-
чения называют плотностью потока количества движения, следова-
тельно,
MF = (М/А)и = Gu. (138)
Из уравнения баланса массы
G = u/v, (139)
где v — удельный объем (о= 1/р).
Используя уравнения (137)—(139), получаем
— Орм = G2Dv. (140)
Как следует из уравнения (140), перепад давлений, обуслов-
ленный изменением количества движения, составляет — Арм=
= G2(v2—У1), где vt, v2— удельные объемы соответственно на вхо-
де в трубу и выходе из нее.
Модель раздельного течения
Исходя из представления о средней скорости каждой фазы для
плотности потока количества движения двухфазной смеси в трубе
можно записать [28]
д/у? = хМиг [ (1 —х) Мит (141)
А А
Решая совместно уравнения (18), (19) и (141), получаем
v MF = G2[xur + 7<(1 — х) иж] [х + (1 — х)/К]. (142)
В литературе встречается и другой вид этого уравнения:
MF = G2 рцЕщ + I1 - х)2Рж 1 (i43)
L а 1—а Г v 7
Уравнение (142) выражено через коэффициент скорости К, а
уравнение (143) —через истинное объемное газосодержание а. Ре-
шая совместно уравнения (11) и (143), можно получить уравнение
(442).
' Эффективный удельный объем иэ определим из уравнения
£ MF = G2vg. (144)
Из уравнений (142) и (144) имеем
t иэ= 1/рэ = [хцг+К(1—х)пж1[х+(1—х)//<], (145)
Же Рэ — эффективная плотность.
57
Этот удельный объем называют эффективным для того, чтобы
отличить его от удельного объема смеси, используемого при оценке .
гравитационной составляющей градиента давления, который зада-
ется уравнением (26).
Из уравнений (26) и (145) получим
»ДИ = к + 1Д—х)/К] [х + К(1 — х)].
Эффективный удельный объем можно выразить иначе:
= 1 + (Уг/^'ж — 1) [Вх (1 — х) х2], (146)
где
g = (^гАж) ~4~ К 2 ,।
(0г/0Ж) — 1
Если уг/уж^>/((К—2) и уг/Эж^> 1, что весьма часто наблюдается
в реальных процессах, то приближенно
В = \/К. (148)
Зная цэ, можно определить эффективную скорость смеси:
нэ = Сцэ. (149)
Из уравнений (145) и (149)
пэ = G[xur + К (1 — х) [х+ (1 — х)/7С]. (150)
Параметры двухфазности
Плотности потока количества движения для каждой из фаз сле-
дующие:
Л4ГЖ = (1 — x)2G2u;K; MFr = x2G2vr. (151)
Если смесь течет как «чистая жидкость» или как «чистый газ», то
MFH;0 == О2иж; MFr0 = G4- (152)
Параметры двухфазности, связанные с количеством движения,
можно определить следующим образом:
2 — MF 2 — MF
(Рм Ж — МР* ’ ж о — MF жо ’
о MF о MF
Фа,г ~~MfF Фл' г 0 = .WFI 0 ’
Аналогично можно определить параметр типа параметра Марти-
нелли
(154)
Подставляя уравнение (151) в соотношение (154), получаем
Х2м = [(1 — х)/х]2 пж/ог. (155)
58
Кроме того, введем параметр Чисхолма — Сазерленда
‘ Г2М = MFJMF^. (156)
Подставив равенство (152) в уравнение (156), получим Р =
= Уг/^ж-
Лз уравнения (144) и (151) следует, что
—F =------!--- (157)
44Fffi (1 х)2 чж
с учетом уравнений (145) и (154) уравнение (157) может быть
приведено к виду
фм ж — 1 С/Хм 1/Хл!, (158)
где
с = 4" (иг/М1/г + к (Чк/Уг)1/2. (159)
Л
Из уравнений (144) и (152) MF/MF.fl.0 = иэ/пж. Это равенство мож-
но преобразовать с помощью выражений (146) и (153):
Фм ж о = 1 + (уг/^ж — 1) [Вх (1 — х) 4- х2] =
= 1 + (Гм— 1) [Вх(1 — х) тх2]. (160
Коэффициенты В и С связаны между собой следующим соотно-
шением :
Автором был введен «нормализованный» параметр двухфазно-
сти, обусловленный изменением количества движения,
.1, Фм ж о ~ 1
=—-------------,
FM 1
имеющий следующую особенность: при х = 0 фл; = 0; при х=1
Фм = 1.
Из уравнений (146) и (160) следует, что
фм=Вх(1—х) + х2. (162)
Там, где применимо уравнение (148),
Фм = 4 (1 — х)х +х2.
, к
В гомогенной теории это уравнение принимает следующий вид:
фл!=х. (163)
59
Рис. 25. Измерение коли-
чества движения с по-
мощью отражательной
пластины:
/ — стенка трубы; 2~
отражательная пластина;
3 — направляющие лопат -
ки
Измерение количества движения
Количество движения потока может быть найдено путем изме-
рения силы, действующей на преграду, помещенную внутри трубы
или на выходе из нее (рис. 25):
F = Мщ — Ми2, (164)
где Ui — скорость компонента, приближающегося к пластине и те-
кущего перпендикулярно к ней; и2 — скорость того же компонента,
покидающего пластину.
Обычно пластина устроена таким образом, чтобы флюид, поки-
дающий ее, не имел составляющих скорости, перпендикулярных к
поверхности пластины. Кроме того, предусмотрены направляющие
лопатки, с помощью которых обеспечивается направление скорости
флюида после пластины, параллельное к ней. В этом случае и2=0.
Уравнение (164) принимает вид F=Mult откуда плотность потока
количества движения MF = MujA = F/A.
На рис. 26 приведены экспериментальные данные для нормали-
зованного параметра двухфазности в зависимости от расходного
массового газосодержания для смесей воздух — вода при атмосфер-
ном давлении.
Данные были получены для гладких (В = 0,6) и шероховатых
(В = 0,7) труб. Аналитический метод, приведенный в работе [103],
аналогичен описанному ранее.
Как следует из уравнения Кэ = Ао0’28, эффективное отношение
скоростей в этом случае существенно меньше, чем величина, полу-
ченная при замерах истинного объемного газосодержания.
Рис. 26. Зависимость от х для смесей воздух — вода при атмосферном дав-
лении (диаметр трубок 12,7 мм):
/, 2—по данным работ соответственно [103] и [1]; 3 — на основе гомогенной теории [см.
уравнение (163)]: 4 — по уравнению (индекс «э» указывает па эффективное от-
ношение скоростей, полученное из замеров плотности потока количества движения на базе
модели раздельного течения); 5 — иа основе измеренного истинного объемного газосо-
держания [см. уравнения (112), (113)]; 6— по уравнению
Влияние пульсаций потока
Рассмотрим влияние пульсаций на усредненную плотность по-
тока количества движения. Усредненную массовую скорость опре-
деляем по уравнению
t
G = ~ f G'&t, (165)
b
гДе t—время; G' — массовая скорость при пульсациях потока.
Отметим, что
f(G'~ G)2d/>0,
b
так как член, содержащий квадрат какой-либо величины, всегда
положителен. Раскрыв скобки, получим
J (G')2 df — 2G / G'd/ -Ь GAt > 0. , (166)
60
61
Подставив уравнение (165) в уравнение (166), имеем
J(G')2d7 —G2/> 0.
о
После преобразований и умножения левой и правой частей на
удельный объем [1] получим
t
-у- J (G')2yd/ > G2v.
о
В пульсирующем потоке средняя плотность потока количества
движения
t
MF = -1- j* (G')2vdt.
о
Она всегда больше плотности, полученной по уравнению (138).
Аналогичные преобразования можно выполнить и для того, чтобы
показать, что изменение скорости, нормальной к направлению те-
чения, всегда дает значение плотности потока количества движе-
ния, большее полученного по уравнению (138).
Влияние уноса жидкости газом
Предположим, что часть жидкости со уносится газом (или па-
ром) и движется со скоростью газа. В этом случае плотность пото-
ка количества движения
MF = -у [хМиг + со(1 — х)Миг+ (1 —со) (1 —х)Мит]. (167)
После подстановки уравнений (19) и (33) и преобразований
MF = G2[xvr + ЛГ(1 -х)рж] [х 4- (1 -x)/KJ, (168)
где
Кэ = [СО + (1 — <0)2/(К —со)]-1. (169)
Значения К и Кэ для некоторых значений со приведены в табл. 7.
В уравнении (168), когда х мало, К и Кэ близки к 1. Если х вели-
Таблица 7
Соотношение между со, К и Кэ, используемыми в уравнении (169)
СО К при К., равном СО «э при К, равном
2 5 20 2 5 20
о 2 5 20 0,6 1,43 1,57 1,65
0,2 1,8 3 4,3 0,8 1,2 1,24 1,25
0,4 1,6 2,1 2,4 1 1 1 1
Во, то К(1—x)vm мало по сравнению с xvr. Отсюда замена К на
Кэ в уравнении (168) даст незначительную ошибку:
ЖГ = С2[хпг+Кэ(1-х)пж][х + (1-х)/Кэ]. (170)
Это выражение отличается от выражения (142) только тем, что К
заменено на Кэ-
Из уравнений (148) и (169) имеем
В = 1/Кэ =© + (!— со)’7(К — со). (171)
Значение коэффициента В=МКЭ для смесей воздух — вода при
атмосферном давлении и со=0,6
X к в X к в
0,001 1,36 1,07 0,1 9,2 0,64
0,005 2,28 0,82 0,5 20,5 0,62
0-01 3,06 0,75 1 29 0,61
0,05 6,65 0,66
Примечание. К рассматривается прн иг/и =840.
Минимальная плотность потока количества движения
Отношение скоростей, при котором плотность потока количе-
ства движения будет минимальной, получено путем дифференциро-
вания уравнения (170) по параметру Кэ. Для минимальных
значений Кэ имеем d(MF) /dK3 = 0- Отсюда
— 1/К1 х (1 — х) vT -у х (1 — х) — 0.
Отношение скоростей, при котором плотность потока количе-
ства движения минимальна,
Кэ = №)1/2. (172)
Подстановка этого выражения в уравнение (159) дает С при
минимальном значении количества движения
С = 2. (173)
Тогда из уравнения (147)
£> _____________________________2____
ОдАук) + 1
а из уравнения (162)
2
фм =-----------------------Г,---- х (1 — х) -г X2.
Градиент давления, обусловленный изменением количества
Движения потока
Как следует из уравнений (140) и (144), градиент давления в
тРубе, обусловленный изменением количества движения потока,
— Ърм = G-Dv3,
63
62
где задается уравнением (146).
Дифференциал для v9 может быть записан в виде
Dv° = dp + (it) Ds- (174)
\ op Js \ OS / p
В последнем члене появляется градиент энтропии, который можно
выразить так:
Ds — + Д (175)
где q — теплота, переносимая единицей массы; F — диссипация ме-
ханической энергии на единицу массы; Т — температура.
Последний член в уравнении (174) запишем в следующем виде:
Ds = QD (q + F), (176)
\ ds / р йг —
где hr, h-,,— удельные энтальпии соответственно газа и жидкости.
Из уравнения (146)
£2 = f—х(1—х) + В + (1—В)2х. (177)
\ дх J р
Кроме того, при выводе уравнения (176) следует использовать со-
отношение
/ дх \ 1 /' d s \
\ / р Sr $тк \ др J р
Во многих случаях диссипацией энергии трения (механической
энергии) можно пренебречь по сравнению с притоком тепла. Сле-
довательно, V)s = Y)q/T.
Если отношение скоростей выразить как
Лэ = П —
то с учетом уравнения (148)
( дВ\ =______ДГ-J__________1 1 (178)
\ дх )р X Кэ
Из уравнений (177) и (178)
Q = ---------!----- (I— х) +-L(1 -2х) + 2х. (179)
Кэ ^(l+<n)/m V Кэ
Когда используются уравнения (112), (ИЗ) и Кэ = Ко0,28, т0
т = 0,14 и, следовательно, при Х>1
П = — 0,14 f —--------— Л (1 — jc) + + 2^.
К°’28 Ко’28) К?’28
ГиХ<1
a-q^-+2x- <18°)
К)
g последнем случае используется уравнение (ИЗ), поэтому
(дВ1дх)р = 0. При допущениях гомогенной теории уравнение (179)
упрощается до £2=1.
При рассмотрении газо-жидкостных смесей последний член в
уравнении (174) обычно приравнивают к нулю. При течении смеси
з трубе постоянного диаметра изменение давления, обусловленное
изменением количества движения, получают из выражения
— крм = G2(o32 — иэ1). (181)
Проще всего оценивать влияние изменения количества движе-
ния, если считать, что фазы несжимаемы, фазовые переходы отсут-
ствуют, а вдоль трубы изменяется только отношение скоростей.
Тогда падение давления, обусловленное изменением этого отноше-
ния между точками е и g в трубе постоянного диаметра, согласно
уравнениям (146) и (181),
- APeg = MFm0 (v^ — 1) (Bg —Ве)х (1 — x). (182)
Точка e по течению расположена выше, чем точка g.
Пример 4. Насыщенный пар поступает в трубу диаметром 40 мм с массо-
вой скоростью 200 кг/(м2-с) под давлением 6 МПа. Физические свойства фаз
следующие: пг=32,4-10-3 м3/кг; пж = 1,3185-10-3 м3/кг.
Необходимо оценить составляющую изменения давления, обусловленную
изменением количества движения в случаях, когда пар полностью конденсиру-
ется в трубе и когда расходное массовое паросодержание на выходе равно 0,3.
Из уравнения (181)
— Ьрм = G2 — t>r) = 2002 (1,3185 — 32,4) • 10-® = — 1243 Па.
Знак «минус» указывает на то, что в направлении течения наблюдается повы-
шение или восстановление давления.
При х=0,3 параметр Локкарта — Мартинелли
= 0,47.
5.
0,7
х 0,7 / 1,3185 \
- 0,3 \ 32,4 )
ртсюда, используя уравнение (ИЗ), получаем
/ 32,4 \‘Л
к» = (т^г) =2>38-
\ 1,о1оО /
|Из уравнения Кэ=Ко°’28=2,38')’28= 1,275.
•V Используя уравнение (145), имеем
( 32,4 \ /
(°’3+ 1,275 7-...........
Изменение давления, обусловленное изменением количества движения, со-
гласно уравнению (176), равно
г 32 4 \
— Др.и = 2002-1,3185-10—» (-----7,017 j =9^5,9 Па.
\ 1,3185 /
64
65
Если на входе в трубу смесь течет как жидкость, то изменение давления
—ApM = 2002-1,3185-IO-3 (7,017— 1) = 317,3 Па.
Пример 5. Необходимо определить удельный объем смеси ve„ и эффектив-
ный объем иэ, если расходное массовое газосодержание х = 0,05, а отношение
скоростей К= 1,708.
Физические свойства следующие: иг=183-10—3 м3/кг; иж= 1-10“3 м3/кг.
Согласно уравнению (26)
0,05-183-10~з + 1,708-0,95-1-Ю-3
0,05+ 1,708-0,95
Из уравнения (145)
v3 = (0,05-183-10~3+ 1,708-0,95-1 • 10~3) ( 0,05 +
= 6,44-10~3 м3/кг.
—------ =6,53 • IO”3 м3/кг.
1,708 J
Используя уравнения (146) и (147), имеем
—------183+ 1,708
1,708
182 = 0,587;
уэ/уж = 1 182 (0,5871-0,05-0,95 + 0,052) = 6,53,
откуда
оэ = 6,53-10—3 м3/кг.
Из уравнения (148) приближенно
В =--------=0,5855,
1,708
а из уравнений (146) —
уэ/уж = 1 + 182 (0,5855-0,05-0,95 + 0,052) = 6,52,
откуда иэ = 6,52-10-3 м3/кг.
Глава 5
ТЕЧЕНИЕ ПРИ ДРОССЕЛИРОВАНИИ
Расход через трубу будет максимальным, когда общий перепад
давлений обусловлен только изменением количества движения.
Следовательно, исходя из уравнения (167) имеем, что дроссель-
ное течение наблюдается при
— dp = G2dvg, (183)
откуда массовая скорость при дросселировании
__Q2 __ / Ар \
\ dt>3 ) s
(184)
где индекс «х» указывает на то, что производная вычисляется в
предположении о постоянстве энтропии процесса.
66
Течение газо-жидкостных смесей
При течении газо-жидкостных смесей фазовые переходы отсут-
ствуют, следовательно,
=0. (185)
\ др J з
Из уравнений (145) и (184)
- = + +l(l-x)(l-x + +
G2 I К J \ др /„ \ др /з
ЖЖ-ЖО- <186)
Для однофазного течения жидкости
а для газа
1 = f dvr \
Сд.го дР
где Сд.жо> Сд.го — массовые скорости соответственно
жидкости и газовой (паровой) среды.
Из уравнений (186)—(188)
(188)
однофазных
(189)
Д
где
и
^д.ж о
°д.го
дуг \ / др \
др J в \ dvm J з
(190)
в (Л2/К) - 2 + к + (гж - 1>Г/Д?) (Ж/&>г) s Л2
Л2 — 1
(191)
Следовало отметить, что коэффициент В неявно зависит от рас-
ходного массового газосодержания х. Из уравнений (188) и
(^)!=4Н1-1г)1Л‘(,-х)+Л-
(189)
(192)
Для большинства газо-жидкостных смесей Л2^>1; для смеси
воздух — вода при нормальных условиях Л2 — 107. За исключе-
нием случаев, когда х очень мало (х~1/Л2), приближение
f = вх(1 — х)+х2
\ Од /
(193)
дает незначительную ошибку при численных расчетах.
3* 67
Из уравнения (191) следует, что при течении гомогенной сре-
ды (#=1) коэффициент В=1. Тогда из уравнения (193)
(194)
где бд.р — массовая скорость однофазной равновесной среды.
В уравнениях (193) и (194) при однофазном течении массовая
скорость газа при дросселировании может быть найдена из выра-
жения
Од.г о = nsplvr, (195)
где ns — показатель изоэнтропийного расширения.
Генри сделал допущение, что при дросселировании отношение
скоростей остается постоянным. Тогда уравнение (190) примет вид
д= (Л2/Ю 2 + К
Л2 — 1 v '
Если Л2 велико (например, для смесей воздух — вода при ат-
мосферном давлении), уравнение (196) может быть аппроксими-
ровано выражением
В = 1/К. (197)
Автор предположил, что для изоэнтропийного процесса
К = 1 +ЬШ (198)
где Ь — коэффициент, не зависящий от удельных объемов.
Отсюда
Подставив уравнение (199) в уравнение (191), получим
В = (AW) - 2 + К + (К - 1) (уж1уг) Л2 200)
Л2—1 ' ' ’
Если Л2 и v^v-k достаточно велики, уравнение (200) примет вид
В = 1/№. (201)
На рис. 27 графически измеренные значения массовой скорости
при дросселировании сравниваются при малых значениях х со зна-
чениями, рассчитанными по уравнениям (193) и (194) при В=1
(гомогенное течение) и при В, задаваемом уравнениями (197) и
(201) с использованием экспериментальных значений К.
В последующих главах часто будет использоваться отношение
скоростей Ко из уравнений (111) — (ИЗ). Уравнение (111) можно
записать в более общем виде:
я = [1 +х(^ж-1)Г.
(202)
68
Рис. 27. Зависимость (7Д от х при дросселировании смеси воздух — вода под
давлением 0,17 МПа:
/ — по данным, приведенным в работе [44]; 2 — В=1/К?; 3~В=1/К', 4 — Од—Од р;
(?д — массовая скорость при дросселировании
Тогда из уравнения (192) [при тех же допущениях, которые были
сделаны при выводе уравнений (197) и (198)1
nJ_____________rn ( тА/т _ 1 \
/((!+«)/« Ч‘
При использовании уравнения (111) т = 0,5. Отсюда
В = ±--^-(№- 1). (203)
v Записывая уравнения (112) и (113) в более общем виде:
/(= (угЛ'ж)т, приближенно получим
В = J- (1 — т + тК* Y
К \ vr /
Уравнение (ИЗ) соответствует т = 0,25. В этом случае
(; В=—(0,75 + 0,25№-^\
К \ «г /
^Гомогенное равновесное течение паро-жидкостных смесей
Для гомогенного течения, согласно уравнению (186), имеем
1
~ [ХУГ + (1 — х)уж]1.
. &Р ) s
(204)
69
Это уравнение может быть приведено к виду
~ -у-=х тг+<1 - х> ( “) • (2°5)
G2 р dp dp \ др Js
Частная производная от расходного массового газосодержания
может быть выражена как
=—[х —(1—, (206)
\ dp j s L dp dp J sr s®
где sr, s®— удельные энтропии соответственно газа и жидкости,
так как s = srx+s®(l—х) и (ds/dp)s = Q.
Из уравнений (204) и (205) видно, что при х->0 массовая ско-
рость приближается к Од.®, задаваемой уравнением
___1__________d£®_°г Уж / ds® (207)
G2_________________________________________dp Sr — S® \ dp ] ’
Д •ж
а при х->1 массовая скорость приближается к Од.г, задаваемой вы-
ражением
___ 1 __ dt>r__»Г ~ в® / dsr \ (208)
G2 г dP * —s® \ dp /’
где Од.®, Сд.г — массовые скорости соответственно пара и жидко-
сти в пределах двухфазной области.
Следует отметить, что Сд.® и Сд.г отличаются от Сд.®0 и Одго.
Зависимость массовой скорости от расходного массового газосодер-
жания (или энтальпии) при дросселировании имеет разрывы на
границах двухфазной области.
Из уравнений (205) — (208) имеем
1/Gtp = x/Gtr + (1 -x)/Gt«. (209)
Определим
Лпер = (Ся.ж/Ся.г)2, (210)
где Лпер — отношение массовых скоростей фаз при фазовом пере-
ходе.
Тогда из уравнений (209) и (210)
(^д.ж/^д.р)2 = 1 Т (Апер— 1) х\
(СдЛ.р)2 = + (1 - 1/Л2пер) х. (211)
Апер
Параметры Л2пер и Л2
На рис. 28 приведена зависимость параметра Л2Пер Для паро-
водяной смеси от давления. Значения A2nep на порядок меньше, чем
Л2, которые можно оценить непосредственно по параметрам вне
70
Рис. 28. Зависимость Л2Пер от
давления для паро-водяной
смеси
двухфазной области. Уравнение (190) представим в следующем
виде:
А2 = (Уд.ж о+д.г 0' +/уж) •
Отношение скоростей отдельных фаз на линии насыщения при
температуре насыщения /Нас<320°С можно получить из выражения
уд.жо/ид.гО = 14- (440 ^нас), (212)
а при /нас>320 °C — из выражения
Уд.жо/«д.го = 1 +0,0156 (373,7 -/нас). (213)
При атмосферном давлении из уравнений (212) и (213) Л2 =
= 29-106. Тогда Л2Пер=17 (см. рис. 28). Коэффициент расширения
п.2 может быть определен способом, аналогичным примененному
при выводе уравнения (195):
п2 = Сд.г(+/р)- (214)
На рис. 29 приведены значения п2 Для смесей пар — вода как
функции давления. При низких давлениях п2—1,1, а показатель
расширения ns для сухого пара равен 1,3.
Разрыв показателей п на границе двухфазной области при
х=1 составляет примерно 10 %, поэтому массовая скорость для
сухого пара будет больше. Это значит, что на границе фазового
перехода при атмосферном давлении х=0 и Одж0/Сд)К =
= Одлк0/Од.™-G д.г0/Од.г-G д.г/G д.ж =(29-106)1/2 • 1,1-1 : 17^2 = 1,44-103.
Рис. 29. Зависимость п2 от дав-
ления для паро-водяных сме-
сей
71
Следовательно, функция массовой скорости при дросселировании
имеет основной разрыв на этой границе.
Равновесное течение с проскальзыванием фаз
При равновесном течении с проскальзыванием фаз последние
находятся в термодинамическом равновесии (температуры фаз оди-
наковы) и имеется относительное движение фаз. Сравнение с экс-
периментом показывает, что при дросселировании смесь можно счи-
тать находящейся в термодинамическом равновесии при Х<1. Уди-
вительно, что отношение скоростей в точке дросселирования при
Х<1 удовлетворяет уравнению (113). Параметр Локкарта — Мар-
тинелли
(215)
X = ±-i(v>r)‘/2)
X
отсюда при Х=1 расходное массовое газосодержание
, _ 1
1 И- (иг/иж)
Поскольку отношение скоростей пропорционально увеличению
отношения плотностей фаз, экспериментальные данные по дроссе-
лированию паро-водяных смесей при разрежении позволяют оце-
нить точность методов расчета. Сравнение с данными Бернелла
[16], проведенное в табл. 8, подтверждает справедливость сделан-
ного допущения о наличии термодинамического равновесия и воз-
можности использования уравнения (ИЗ) для нахождения отно-
шения скоростей. Уравнения (146) и (184) были решены численно.
Таблица 8
Сравнение значений массовой скорости при дросселировании
р, МПа X G [в кг/(м“*с)], Д полученная р, МПа X G [в кг/(м2-с)]» Д полученная
экспери- ментально [16] по урав- нениям (ИЗ), (146) и (184) экспери- ментально [16] по урав- нениям (ИЗ), (146) и (184)
0,102 0,0258 2010 2136 0,035 0,025 930 909
0,068 0,0465 1150 1313 0,034 0,048 676 726
0,06 0,0244 1530 1414 0,029 0,0563 550 596
0,048 0,0351 1100 1075 0,023 0,0376 564 569
0,043 0,0402 858 941 0,02 0,0691 353 394
На рис. 30 сравниваются экспериментальные и расчетные дан-
ные при более высоких давлениях. Равенство параметра Локкар-
та — Мартинелли единице соответствует расходному массовому га-
зосодержанию, равному 0,045 при этих условиях.
72
30. Зависимость Од/Од.р от х для смеси пар-вода при разных давлениях:
1—3 — давления соответственно 0,275, 0,35 и 0,425 МПа; 4—7— расчет по уравнениям соот-
ветственно В=1/К(Х/Хпер)2; В = [(иг/иж)1/4+(иж/Уг)1/4]Х; _р=(20л)-1/2; В= (Ож/иг) 1 /4;
хпер — переходное значение расходного массового газосодержания
Замороженное течение паро-жидкостных смесей
с проскальзыванием фаз
’ Модель замороженного течения с проскальзыванием фаз пред-
полагает, что пар и жидкость движутся с разными скоростями и
Ж точке дросселирования не происходит никаких фазовых превра-
щений [применимо уравнение (185)]. Смесь в точке дросселирова-
ния ведет себя как газо-жидкостная. В этом случае для расчетов
Жркно использовать уравнения (189), (195) и (201), которые дают
(Сд.з/Сд.го)2 = П11т '---7—т, (216)
£-/ м м (1/№)х(1 — х) +х2а
i G2 з =---------, (217)
f д пг[(1/№)х(1-х)+х2] ’
шё Од з —массовая скорость замороженного течения .при скольже-
Иии фаз.
73
Было установлено, что для корреляции данных Бернелла [16]
приемлемы следующие уравнения для отношения скоростей К:
при х< 0,122 и vjvm< 720 /( = 1 -0,0139—^-.^-; (218)
1 — X
при л; >0,122 и цг/цж < 720 К = 1 0,00193 (219)
при х < 0,122 и vr/vx > 720 /С == 1 + 10 [х/(1—х)]; ,(220)
при х> 0,122 и цг/пж>720 К = 2,39. (221)
Эти уравнения дают значения К, близкие к измеренным Фауске
[44] для смесей воздух — вода при дросселировании, и согласуют-
ся с данными Бернелла (см. табл. 8) в пределах ±15%.
При малых значениях расходного массового газосодержания
отношение объемных скоростей приближается к единице, а массо-
вая скорость при дросселировании
Сд.з = nslx-plvr. (222)
Это хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Неравновесное течение. Метод Генри
Генри ввел параметр метастабильности
N = xvIKx, - (223)
где хр— реальное массовое газосодержание; х определяем по фор-
муле (10) в предположении о равновесном течении.
Если х<0,05, то, поскольку хр<х, имеем
хр = К [а/( 1 — а) • цж/цг]. (224)
Используя уравнения (223) и (224), будем иметь
N __ «Рж
х (1 — a) vT
На основании измерения истинного объемного газосодержания
при дросселировании Генри сделал вывод о том, что при х<0,05
N = —= 20х, (225)
0,05 v ’
а при х>0,05
ЛГ = 1. (226)
Это значит, что при х>0,05 будет наблюдаться термодинамическое
равновесие, если предположить, что течение гомогенное (/С=1).
Генри аппроксимировал уравнение (211) так:
(бд.^бд.р)2 = X. (227)
Отсюда для неравновесных условий и гомогенного течения
(Сд.г/6д.н)2 = Мх, (228)
74
где Од.н — массовая скорость однородной неравновесной среды.
Наконец, из уравнений (227) и (228) он получил
(G«.H/G«.P)2=l/Ar. (229)
При х<0,05 уравнение (229) [с учетом уравнения (225)] прини-
мает вид (Од.н/Сд.р)2= 1/20х.
Коэффициент В для неравновесного течения
При неравновесном течении, используя уравнения (146) *, (148)
и (223), получаем
иэ/цж = 1 + (нгФж — 1) [Wx (1 — KNx) 4- №№х2]. (230)
Влияние неравновесности особенно заметно при малых расход-
ных массовых газосодержаниях. Приближенно выражение (230)
при NK— 1 можно записать так:
V3!vx = 1 + (^ж — 0 pfr 0 — X) + х2],
откуда B = N.
Дифференцируя уравнение (146) при условии, что vT/v№ изме-
няется обратно пропорционально давлению (что приблизительно
верно для воды при низких давлениях), будем иметь**
Ц- =-----— [Вх (1 — х) + х2] + (иг — иж) Г х (1 — х) +
G2 Р L dP
+ В_ЁД(1_2х)+ 2х — 1 +
dp dp J „2ж dp
где GK—массовая скорость при дросселировании.
При малых значениях х, используя выражение (183) и зависи-
мость цг/цж=1 р, будем иметь
1 »г п , / \ / dB . n dx \
—--------Вх + (цг — пж) ( —— х 4- В 1.
Р \ dp dp /
Если, следуя Генри [57], предположить, что B = Zx, где Z не за-
висит от давления и расходного массового газосодержания, то
это уравнение примет вид
_-Ь = (пг-цж)2В^-. (231)
G2 dp
* Уравнение (146) записывается для хр. (Прим, ред.)
** Автор дифференцирует выражение (146):
d (оэ/»ж) 1 dp, оэ dt^ 1 »э
dp °ж Кроме того, dP dp dp
= — vr/pvm- (Прим, ред.)
dp ' г 1 рг
75
Совместное решение уравнений (222) и (231) при малых зна-
чениях х и пж/пг дает
В/х = Z = —
1
2-6р (clx/dp)
(232)
где ns= 1,3.
Можно показать, что уравнение (232) приблизительно верно
в тех случаях, когда Z есть функция давления.
Сравнение значений В/х для воды, вычисленных по разным формулам
р, МПа Уравнение (233) Уравнение (232) р, МПа Уравнение (233) Уравнение (232)
0,01 11,1 11,55 1 3,91 4,1
0,05 7,64 8,78 5 2,78 2,07
0,1 6,53 7,59 10 2,41 1,23
0,5 4,54 5,07 20 2,04 0,22
Из приведенных данных видно, что по крайней мере для воды
вполне приемлема для расчетов линейная интерполяция В
при Х=1 и 0<х<1, которая при этих условиях дает В =
= (^жМ) 1/4%/xnep. С учетом уравнения (215) имеем
в = [(уЛж),/4 4- (iW«r)1/4l X. (233)
Расходное массовое газосодержание при неравновесных
условиях течения
Приведенные ранее выражения для коэффициента В учитывают
влияние неравновесных условий. Вообще при проектировании си-
стем, в которых приходится иметь дело с двухфазными потоками,
существенной проблемой является учет термодинамических эффек-
тов. Уравнение (230) с учетом уравнения (223) можно записать
в виде
v3/vK = 1 +(vIJvm — 1) [ 1//Слгр (1 — хр)4-Хр]. (234)
Из численного анализа данных, приведенных на рис. 30, можно
сделать вывод о том, что приближенно
хр = (х/х')2 х. (235)
На рис. 30 кривая 4 получена с помощью уравнений (184),
(234) и (235) с использованием неравновесного значения расход-
ного массового газосодержания. Отношение скоростей, согласно
уравнениям (112) и (113), было принято равным Ко- Наилучшее
совпадение наблюдается именно при таком подходе. Разрыв на
кривой (см. рис. 30) связан с изменением наклона функции В от
х при Х= 1.
Пример 6. Необходимо оценить массовые скорости при дросселировании, ис-
пользуя гомогенную теорию и модель замороженного течения со скольжением
фаз для системы пар — вода при условиях а и б:
76
Давление, МПа ....................................
..................................................
vT, м3/кг.........................................
иж, м3/кг.........................................
а
.0,4
0,0527
462-10-3
1,084-10-3
б
0,2
0,1028
885,6-Ю-з
1,061-10-з
Используем гомогенную теорию. Для условия а из рис. 28
а из рис. 29 — «2=1,14. Используя уравнение (2)1), получаем
Сд.г/Сд.р = [ °’05274] */4 = °’36,
а из уравнения (214) —
/ 1.14-4-105 \*/а
Ga г = ( —------— ) = 993 кг/(м2 - с),
яг \ 462-Ю-з J
имеем Л2Пер = 12,
откуда
Од.р = 993-0,36 = 2758 кг/(м2-с).
Аналогично для условия б имеем:
^пер=14> «2=1.14;
Сд г/Сд.р = I + (1 - -тг) 0,1028]1/2 = 0,4085;
Г- I I Д \ lAI I
/ 1.»4-2-10^-'.е507
д' \ 885,6-10-з ) у
Сд р = 1242 кг/(мЗ-с).
Рассмотрим модель замороженного течения со скольжением фаз. Для усло-
вия а
г)г/пж = 462 : 1,084 = 426.
Тогда из уравнения (218)
0,05273
К = 1 +0,0139------ • 426= 1,33.
1 —0,05273
Используя уравнение (217), получаем
1,3-4-Ю6
Сд.э —
/ 0,05273-0,9473
462 - 10-з / _г-----2-----о 052732
\ 1,332
Для условия б
ог/пж = 885,6 : 1,061 = 834,7.
- Из уравнения (220) будем иметь
= 2,146.
1—0,1028
Тогда, используя уравнение (217), получаем
1,3-2-Ю8________________’
0,1028-0,8972 \
—-------------+ 0,10282 )
2.1462 / 1
К= 1 + 10 •
= 6024 кг/(м2-с).
Сд.э —
= 3099 кг/(м2-с).
77
Глава 6
ТРЕНИЕ. ОБОБЩЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Рассмотрим обобщенные корреляции для градиента давления,
обусловленного трением, при течении двухфазных смесей в трубах.
Термин «обобщенные» означает, что мы не ориентируемся на ре-
жим течения и не вводим ограничений, связанных с определен-
ным режимом. В данной главе после рассмотрения гомогенной тео-
рии— основы всех расчетных методов — будут обсуждены также
корреляции Мартинелли, Барокши, Тома, методы коэффициентов
С и В.
Однофазное течение
Для однофазного течения в трубах градиент давления, обус-
ловленный трением, описывается уравнением
A,G2f
<2эб)
где коэффициент гидравлического сопротивления X—функция чис-
ла Рейнольдса и относительной шероховатости поверхности е
(рис. 31). Число Рейнольдса определяется соотношением
n uD GD
Re =---- =-----.
Г)
Для гладких труб коэффициент гидравлического сопротивления
при турбулентном течении можно задать обобщенной формулой
Блазиуса:
X = a/Re", (237)
где при 2000<Re< 100 000 а = 0,314, п=0,25, при 5-103<Re<2-105
п = 0,186, п=0,62, при Re<1000 (ламинарное течение) а = 64, п=1.
Формулу Блазиуса широко применяют в аналитических иссле-
дованиях. Однако там, где имеется вычислительная техника, реко-
мендуется использовать уравнение Черчилля [39], справедливое во
всем диапазоне чисел Рейнольдса:
X = 8 [(8/Re)121/0 + В)3/Д/12, (238)
где
А = 2,457 In
(7/Re)0’9 + 0,27e/D
(239)
В == (37 530/Re)16. (240)
Уравнения (238) — (240) использованы при построении графика,
приведенного на рис. 31.
78
Рис. 31. Зависимость X от Re [39]:
— ламинарное течение (Г/Re); 2 —гладкая труба; X=8[(68/Re)l2+1/(A+B)3/211/12;
A = {2,4571n[l/((7/Re)O,9+o,278/0)]} 16; В= (37 530/Re)16
Режимы течения
Мартинелли и другие исследователи [72] выделили четыре ре-
жима течения газо-жидкостных смесей:
турбулентно-турбулентное (жидкость и газ движутся в турбу-
лентном режиме);
турбулентно-вязкое (жидкость течет турбулентно, а газ лами-
нарно);
ламинарно-турбулентное (жидкость течет ламинарно, а газ тур-
булентно) ;
ламинарно-ламинарное (обе фазы текут ламинарно).
Очевидно, что для двухфазных смесей на режим течения каж-
дой фазы существенно влияет взаимодействие между фазами. Од-
нако в корреляции Локкарта — Мартинелли [70], где используются
приведенные режимы течения, принято считать, что фаза течет тур-
булентно при Re>2000 и ламинарно при Re<1000. На практике
там, где турбулентно-ламинарное течение связано с малыми мас-
совыми газосодержаниями, возможно существование турбулентно-
турбулентного режима течения.
Гомогенная теория
Наиболее распространенный метод оценки градиентов давления
в двухфазных потоках [81] до сих пор был основан на использо-
вании так называемой гомогенной теории. В этом случае градиент
Давления, обусловленный трением
— DpTP=-^^-, (241)
р 2D
где гомогенный удельный объем определяют по выражению (27).
79
Коэффициент гидравлического сопротивления вычисляю^ как
для однофазного потока с числом Рейнольдса
Re = GD/t]cm, (242)
где вязкость двухфазной смеси т)См определяют по одному из трех
способов. Первый из них основан на применении уравнения
’Чем ~ ’Чяо (243)
которое чаще всего используют при проектировании водотрубных
котлов. Однако это уравнение имеет следующий недостаток: при
течении только газа (х=1) вязкость принимается такой же, как
и при течении жидкости. Две другие формулы [40] лишены этого
недостатка:
П™ = [*/Пг + (1 — "1; (244)
Псм = хПг + (1 — х) • (245)
При использовании условия (243) коэффициент гидравлического
сопротивления в уравнении (241) равен Хж0, т. е. коэффициенту
гидравлического сопротивления при течении всей смеси как жид-
кости. Отсюда, применяя уравнение (37), выражение (241) можно
записать в следующем виде:
°ГОМ °ГОМ /О/1СЧ
иРтр------— — — — Ь'ртр.ж о — .
ли °ж
Комбинируя уравнения (28) и (246), получаем
= DpTp>Ht0 [1 (Ур/Уд 1) х].
Отсюда параметр двухфазности из формулы (48)
(247)
игтр.ж о
При вязкости двухфазной смеси, определенной по уравнению
(244), и использовании формулы Блазиуса для коэффициента
гидравлического сопротивления
Ф?р.жо = [1 +(^Лж— +*(Пж/Пг —Ol-" (248)
При течении в шероховатой трубе (п = 0') уравнение (248) сводит-
ся к уравнению (247).
Корреляция Мартинелли
В гл. 1 мы ввели понятие о параметрах двухфазности [см. вы-
ражения (46), (47)] и Локкарта — Мартинелли [см. выражение
(53)]. Локкарт и Мартинелли [70] построили график зависимости
<р2тр.г от X (рис. 32) при турбулентно-турбулентном течении. Эмпи-
рическая кривая, проведенная через экспериментальные точки, ре-
комендуется для вычисления параметра двухфазности. В качестве
базисных для корреляции Локкарта — Мартинелли использованы
80
Рис. 32. Зависимость ф2тр г от X для турбулентно-турбулентного течения
следующие опытные данные: 2,1<£)<25,8 мм; 210<уг/уж=?700;
44<г)ж/Пг<85 021; 1,1 ^Кеж^ 124 000; 7CRer<83 500.
Ординаты точек эмпирической кривой и кривых для других
режимов течения в виде величин <р2тр.ж и <р2Тр.г приведены в табл. 9..
Таблица 9
Зависимость параметров двухфазности <р2р_ ж и <р2р г от параметра
Локкарта—Мартинелли X для разных режимов течения
- X Турбулентно - ту рбулентио е течение Ламинарно- турбулентное течение Турбулентно- ламинарное течение Ламинарно- ламинарное течение
2 ^тр. ж т2 'Ртр. Г 2 *тр. ж ^тр. г _2 ^тр. ж т2 %-р. г 2 ^тр. ж ч>2 *тр. г
0,01 16 380 1,64 14 400 1,44 12 540 1,25 11 030 1,1
0,04 1482 2,37 1156 1,85 961 1,54 784 1,28
0,1 342,3 3,42 231 2,31 210 2,1 153,8 1,54
Г; 0,4 49,7 8,01 31,58 5,06 30,3 4,84 18,06 2,89
1 17,64 17,64 12,11 12,11 12,11 12,11 4,63 4,63
4 5,66 90,3 4,2 67,2 4,62 163,8 3,1 49
10 3,06 306,3 2,53 252,8 2,76 275,6 2,25 225
40 1,66 2652 1,56 2500 1,56 2500 1,56 2500
100 1,23 12 320 1,23 12 320 1,23 12 320 1,23 12 320
2 2
Примечание. ФТр. ж « фТр г/^2» см> уравнения (46), (4 7) н (53).
Разработана [74] корреляция для паро-водяных смесей в тру-
>ах и построен график зависимости <р2тржо от расходного массово-
о газосодержания х (рис. 33).
81
Рис. 33. Зависимость cp2TP.« о от расходного массового газосодержания х (в %)
при разных давлениях [74]:
/—расчет по уравнению <р2тр ж 0=1+ (Г2— 1)[Вх(2-п>/2(1—х)(2-п)Г2+х2-п], где Г опреде-
ляется по уравнению (52); В=2,364; п=0,25
Метод коэффициента С
Рассмотрим аналитические выражения [32, 35], представляю-
щие собой рассмотренные выше корреляции. График «избыточного
-безразмерного падения давления» [35] показывает, что <р2тр.ж->1
при больших величинах X (рис. 34). В опытах были использованы
смеси воздуха и воды, текущие в гладких трубах при давлениях,
близких к атмосферному. Можно показать, что экспериментальные
данные удовлетворяют уравнению
<Р?р.ж = 1 + (249)
где
<7 = 21. (250)
Кривая Локкарта — Мартинелли (см. рис. 34) хорошо совпа-
дает с кривой, построенной по уравнению (249).
Из уравнений (46), (47), (53) следует, что уравнение (249)
можно записать в виде
<^т = \-рСХ + Х\ (251)
ОРтр == Ортр.г -р С(Ортр-г2?ртр.ж)1/г -Т СрТр.ж. (252)
Рис. 34. Зависимость избыточного падения давления от X для гладкой трубы:
/—расчет по уравнению (249); 2 — кривая Локкарта—Мартинелли; 3—9 — G [в кг/(м2-с)?
соответственно 190, 414, 580, 904, 1270, 1980, 2780
При любом С эти уравнения должны удовлетворять следующим
граничным условиям: при х = 0 <р2тр.ж=1; <р2тр.г = о°; DpTP=DpTp.w’,
при х= 1 <р2тР.ж = оо; <р2тр.г=1; DpTP=DpTp.r. Теоретическое обосно-
вание уравнения (249) можно получить разными способами [26].
Если, используя гомогенную теорию, записать, что
DpTP = + (1 - х) (253)
где двухфазный коэффициент гидравлического сопротивления опре-
деляется выражением
7.2 = х/.г + (1 — х) Хж, . (254)
82
83
то из уравнений (38), (54), (253), (254) будем иметь
(255)
Если эту модель использовать для гладких труб, то коэффици-
ент С будет функцией расходного массового газосодержания, по-
скольку уравнение (255) содержит отношения коэффициентов гид-
равлического сопротивления. Для шероховатых труб (л = 0) будем
иметь 1
с = (УгМк)1Л + (ижМ)’/2- (256)
Для случаев, показанных на рис. 34, уравнение (256) дало бы
£=23-4-29 вместо эмпирического С=21, поскольку в опытах дав-
ление изменялось.
Коэффициент С, получаемый по уравнению (256) при п~0.
иногда называют псевдогомогенным коэффициентом С. Было пока-
зано, что данные для гомогенного течения (см. гл. 2), хорошо .сов-
падают с результатами расчетов по уравнению для псевдогомоген-
ного течения.
Выведем [22] уравнение для коэффициента С в критической
точке, где свойства фаз становятся идентичными. В критической
точке на основе уравнений (55) и (249) будем иметь
ф?р ж = 1 + С Y2-n)/2 + М-Г. (257)
тр ж \ 1 —X J \ 1 —X ]
Помимо этого, в критической точке
ОРтр ~ ^Ртр.жо = DpTp-г0.
Тогда, исходя из уравнений (48), (50) и (258),
(р2 -. рРтр _ ________1____
тр-ж ОРтр.ж (1-х)2-л •
Из уравнений (257) и (259) имеем
(1 —ху~п + Сх<2-«)/2 (1 — х)<2-»)/2 + x2-«— 1 = 0.
При л: = 0,5
С = 22~п — 2,
(258)
(259)
(260)
(261)
что при п = 0,25 удовлетворяет уравнению (260). При этом макси-
мальная погрешность составляет 2,3%. При п->0 ошибка умень-
шается, а при п = 0 значение С из уравнения (261) становится
точным решением уравнения (260): С=2. При м = 0,25 С= 1,364.
Корреляция Мартинелли — Нельсона (см. рис. 33) дана для
параметра двухфазности д^тр.жо. Преобразование уравнения (249)
в этом случае приближенно дает
ф2р.ж0 = 1 + (Р- 1) [5x(2-n)/2(l — xf-n)fz+ х2-п], (262)
1 Имеется в виду квадратический закон трения. (Прим. ред.).
84
где Г2 определяется по уравнению (52) и
(263)
Более точное преобразование уравнения (249) дает еще один
член в правой части уравнения (262)
L = (1 - х)2-" + (2"-2 - 2) х(2~п)/2 (1 - xf~n)/2 4- х2—л -1.
Из уравнения (260) следует, что при n = 0,25 L имеет макси-
мальное значение, приблизительно равное 0,023. В инженерных
расчетах им можно пренебречь.
Зависимость L от х (п=0,25)
х............... 0 0,01 0,05 0,2 0,5 0,8 1
L .............. 0 0,023 0,015 0,011 0 0,011 0
Изучение кривых, приведенных на рис. 33, показывает, что при
Х=О,5<р2тр.жо«Г2 (при ф2Тр.жо = Б2 имеем х=1). Подставив в урав-
нение (262) х=0,5 и ф2тр.жо = Г2, получим
В —22-" —1. (264)
При /1 = 0,25 В = 2,364. Кривые, соответствующие уравнению
(262) при этом значении В и давлениях 0,689; 3,44 и 13,8 МПа,
показаны на рис. 33 пунктиром. Уравнение (262) при х<0,5 и
jc>0,5 дает соответственно завышенное и заниженное значения па-
раметра двухфазности.
Используя уравнения (263) и (264), получаем
С = (22-« —1)Г—1/Г = 2.364Г — 1/Г. (265)
Это значение С удовлетворяет условиям в критической точке [см.
уравнение (261)]. При /г = 0,25 уравнение (265) дает С=21, что
соответствует кривой Локкарта — Мартинелли при Г=8,9. Отсюда
следует, что корреляцию Локкарта — Мартинелли рекомендуется
использовать при Г>8,9, а уравнение (265)—при Г<8,9.
Метод коэффициента В
Коэффициент В определяют по уравнению (262). Независимо от
величины В уравнение (262) должно удовлетворять следующим
граничным условиям: при х=0 ф2Тр.жо = 1, DpTP —Бртр.жо; при х=1
Ч^тр.жО Г2, D/?Tp = D/?Tp.ro; При Г2=1 ф2тр.ж0=ф2тр.гО, Пртр= ОРтр.г0 =
^Ортр.жо.
Если Г>8,9, то С—21. Тогда, используя уравнение (263), по-
лучаем
В = 21Г~22-” + 2
Г2— 1
С точностью до 1 % при п=0,25 можно принять В = 21/Г.
85
При Г<8,9 В задается уравнением (264). Тогда при п = 0,25>
В = 2,364.
Когда п = 0, уравнение (262) принимает следующий вид:
ФтР.жо= 1 +(Г2-1)[Вх(1-х)+ х2]. (266).
Из уравнений (60), (247) и (266) следует, что в гомогенной тео-
рии
В= 1. (267).
При В=1 с учетом уравнения (60) формулу (263) преобразуем в.
уравнение (256).
Таблица 10
Зависимость <р2р жо от давления и расходного массового газосодержания
для системы пар-вода при я=0,25, В=1
Давление, МПа
0,1 1 4 10 90
Л7 2 Уравнения для определения Фтрф жо
(248) (262) (248) (262) (248) (262) (248) (262) (248) (262)
0,01 16,39 14,26 2,656 2,718 1,371 1,436 1,132 1,137 1,016 1,026-
0,05 68,52 56,17 8,870 7,712 2,779 2,818 1,513 1,517 1,082 1,108
0,1 122,1 104,4 15,45 14,4 4,403 4,406 1,997 2,07 1,161 1,202
0,2 214 194,3 27,26 26,05 7,359 7,368 2,899 3 1,319 1,377
0,5 432,1 441 56,63 58 14,89 15,49 5,279 5,553 1,765 1,858
0,8 626,7 650,5 81,03 85,16 [21,4 22,4 7,371 7,723 2,181 2,267
1 741,6 741,6 96,96 96,96 25,4 25,4 8,666 8,666 2,445 2,445
В табл. 10 приведено сравнение параметров двухфазности для
паро-водяных смесей, полученных с использованием коэффициента
В при и = 0,25, с данными, полученными на основе гомогенной тео-
рии [см. уравнение (248)]. Максимальное расхождение результатов
(22%) отмечается при давлении 0,1 МПа и х=0,05. Для смесей,
характеризующихся более высокими отношениями вязкости газа
и жидкости или пара и жидкости, это расхождение может быть
большим. Оба уравнения при критическом давлении дадут
2 _ 1
ф Тр.Ж0"~ 1 •
На основе экспериментальных данных, полученных для про-
мышленных шероховатых труб, удалось показать [32], что коэффи-
циент В уменьшается с увеличением шероховатости поверхности
(рис. 35). Кривая 1 описывается уравнением
Вш/Вгл = {0,5 [1 4- (Пг/Лж)2 + Ю-^/О]}*0'25-^0-25, (268)
86
Рис. 35. Зависимость Вш/Вгл от ше-
роховатости поверхности трубы:
1 — кривая, построенная по уравнению
<268): 2—4 — экспериментальные данные
разных авторов [13, 56]
где Вш, Вгл — значения В для трубы соответственно шероховатой
и гладкой.
Следовательно, когда e/.D>0,002 и Г<8,9,
6=0,5.2,364 = 1,2. (269)
Используя уравнения (263) и (269), при п = 0 получаем
С = 1,2Г 4-0,8/Г = 1,2 (уг/уж)1/з + 0,8 (y.Juj''1. (270)
Это выражение — близкая аппроксимация уравнения Тома [97]:
С = 1,1 [(пг/ож)’л + (У^А)1'2] - 0,2. (271)
Значения градиентов давления, вычисленные по выражениям
*(270) и (271) для шероховатых труб, лишь незначительно превы-
шают эти показатели для гладких труб. Исключение составляют
случаи, когда расходные массовые газосодержания очень низки
или высоки. Это хорошо согласуется с экспериментом.
Неточными в проведенном выше анализе являются следующие
определения показателя степени в формуле Блазиуса, выполненные
с помощью уравнения (42):
V*r = (адежЛ = [х/(1 — х) •
= в ~ ('Пж/'Пг) в> (272)
Таблица 11
Коэффициенты С и В, аппроксимирующие разные корреляции и условия
в критической точке
Диапазон изменения 1(8г/°ж)°’5Х *(VM0’125 С (корреляция Локкарта- Мартинелли, /г=0,25) В (корреля- ция Лок- карта* Нельсона, e/D=0) С (корреляция Тома; п=0, Вш=0,5 3гл) В (корреляция Тома; 8/D>0,002)
Более 8,9 21 21/Г 10,5 (Чж/Чг)0,125 10,5 X Х0ЪкЛ1г)0’125
-Менее 8,9 2,364Г— 1/Г 2,364 1,2 (Цг/ож)0,5 + +0,8(ож/цг)°'5 1,2
1* 1,364 — 2 —
• Условия в критической точке.
87
где пс, пв — показатели степени в формуле Блазиуса соответст-
венно для методов коэффициентов С и В (табл. 11).
При преобразовании уравнения (249) в уравнение (262) пола-
гали, что пс = пв. Это допущение справедливо при 2- 103<Re<2-105.
В табл. 11 приведены уравнения и для шероховатых труб при
Г>8,9. Коэффициенты В и С аппроксимируют корреляцию Лок-
карта— Мартинелли, Мартинелли — Нельсона, Тома и условия в
критической точке.
Корреляции Барокши
Барокши [6] коррелировал потери давления на трение в двух-
фазном потоке в виде зависимости ф2Тр.жо от 1/Г2 при G =
= 1356 кг/(м2-с) и принимал показатель степени в формуле Бла-
зиуса постоянным и равным 0,2 (рис. 36). Параметры двухфазно-
сти для других массовых скоростей можно получить, умножив па-
раметр, приведенный на рис. 36, на поправочный коэффициент
(рис. 37). При высоких значениях х и Re для газа лучше исполь-
зовать независимую переменную 1/Г2, определяемую по уравнению
1/Р = = UWr = (Г|ж/Г]г)"в-^Г. (273)
1-7'тр.го
где пв задается уравнением (272).
Рис. 36. Зависимость <р2тр.,к() от (ож/нг) (’Ь«/’]г)0'2 при разных величинах х
[0 = 1356 кг/(м2 • с)] [6]
88
Рис. 37. Поправочные коэффициенты Лп к параметру двухфазности Барокши
Для учета влияния массовой скорости [в кг/(мг-с)]:
— соответственно 678. 4068 , 339 и 2712
Рис. 38. Зависимость С от Г при
разных массовых скоростях G [37]
Уравнение (273) дает лучшие
результаты, чем уравнение
1/Г2=(пжЧ)°’2рж/ог- (274>
В работе [37] использована за-
висимость Барокши (рис. 38) для
построения семейства кривых С=
f(T) при разных значениях мас-
совой скорости G. Для получения
непрерывных кривых использо-
вались поправочные коэффициен-
ты (см. рис. 37). Затем корреля-
ция Барокши [30] была применена
для определения коэффициента В,
Значения В для гладких труб
Г G, кг/(м2-с) В
Г G, кг/(м2-с) В
<9,5
<500
500<G<1900
>1900
4,8
2400/G
55/G0’5
9,5<Г<28 . . <600 520/(ЛЗ°’5>
>600 21/Г*
>28 ........... — 15 000/Г20°’5
• Соответствует кривой Локкарта — Мартинелли.
Использование табличных значений при расчетах [47] дает луч-
шее совпадение с обширными экспериментальными данными, чем
непосредственное применение корреляции Барокши.
Основное различие между корреляциями Барокши, Мартинелли
и Тома связано с учетом влияния массовой скорости. Теперь мы мо-
жем объяснить, почему на рис. 33 расчетные значения лежат ниже
экспериментальных при больших значениях х и выше — при малых
значениях этого параметра.
В исследованиях, выполненных Девидсоном с соавторами и ис-
пользованных Мартинелли и Нельсоном, массовая скорость была
функцией х и уменьшалась с его увеличением. Таким образом,
корреляция, основанная на среднем значении В [см. уравнение
(264)], должна давать заниженные результаты при больших значе-
ниях х и завышенные — при малых. Если необходима точность,
превышающая ту, которую дает метод, не учитывающий «поправку
на массовую скорость» (см. табл. 11), рекомендуется использовать
данные, приведенные на с. 90. Для шероховатых труб Вш следует
брать из табл. И, а затем из уравнения (268).
Нормализованный параметр двухфазности
Кривые, приведенные на рис. 33, имеют одинаковую форму, что’
указывает на возможность построения графика, который сократил
90
’Рис. 39, Зависимость 10ф от х для
•смеси пар — вода [30] [уравнение
(262); В = 2,3; /г=0,2]:
1—4 — G [в кг/(м2 • с)1 соответственно
.590. 602, 603 и 595; р (в МПа) соответ-
ственно 0,645: 0,635; 1,03 и 1,03; Г соот-
ветственно 13,Г, 13,2; 10,4 и 10,4
бы семейство кривых до одной. Безразмерная группа, определяе-
мая в работе [30] как
- ~7 > (275)
позволяет получить такую кривую, поскольку х=0 при ф = 0 и
1|>=1 при х=1. Из уравнений (262) и (275)
ф = Вх(2~'1>/2(1 — х)(2-'1)/2 + №~':. (276)
Из этого уравнения видно, что независимо от величины В ф = 0
прих = 0иф=1 при х = 1.
На рис. 39 приведены данные разных исследователей для тече-
ния системы пар — вода в вертикальной трубе, представленные в
виде зависимости ф от х. Кривая, проведенная через эксперимен-
тальные точки, аппроксимируется уравнением (262) при п = 0,2 и
.6 = 2,3. Из уравнений (48), (49), (52) и (275)
= (€.жоДа) - БД8) = Фт2р.г0- (1/Л) .
* 1 —(1/Р) 1 —(1/р)
При Г2^>1 ф = <р2тр.го- Для течения в шероховатой трубе (п = 0)
при В = 1 уравнение (276) можно привести к виду ф = х. Относи-
тельно ф хорошо известная корреляция Ченовета и Мартина может
быть аппроксимирована выражением
ф = 1,1х. (277)
Это уравнение имеет следующий недостаток: оно дает завышен-
ный на 10 % градиент давления при х=1.
Влияние наклона трубы
Во «Введении» обсуждался вопрос о влиянии наклона трубы на
градиент давления, обусловленный трением. В дополнение к дан-
ным для системы воздух — вода, приведенным на рис. 34, были
получены результаты для вертикальной и наклоненной под углом
91
Рис, 40. Зависимость избыточного падения давления от параметра Локкарта —
Мартинелли при течении смеси воздух — вода в гладкой вертикальной трубке
диаметром 27 мм при G [в кг/(м2-с)]:
/—156; 2 — 415; 3—581; 4 — 903; 5— 1269; 5— 1987; 7 — 2782; кривая соответствует урав-
нению Ф2тр ж = 1+26/Х+1/Х2
45° трубы (см. рис. 3). Из рисунка видно, что при течении в гори-
зонтальной трубе имеется тенденция снижения градиента давле-
ния, обусловленного трением (за исключением случаев, когда рас-
ходы очень малы).
Экспериментальные точки, нанесенные на рис. 40, удовлетвори-
тельно аппроксимируются уравнением
= 1 +26/Х+ MX1.
Коэффициент С для вертикальной трубы на 24 % больше, чем
для горизонтальной. При Х=1 расхождение параметров двухфаз-
ности для горизонтальной и вертикальной труб минимальное
(22 %). Для смесей пар — вода было получено [56] большое число
92
данных как для горизонтальной, так и для вертикальной трубы.
Существенного влияния наклона трубы не обнаружено.
В настоящее время ни обобщенные корреляции, ни методы, учи-
тывающие структуру потока, не позволяют прогнозировать влия-
ние наклона трубы. Исключение составляют случаи расслоенного-
горизонтального течения.
Падение давления при фазовом переходе
При Dp^p (/'2 = const) составляющую DpTp можно в некото-
рых случаях определить путем интегрирования уравнения (262).
Для случая, когда расходное массовое газосодержание изменя-
ется вдоль трубы линейно, начиная с нуля, имеем
х/х2 = z/z2. (278)
Из уравнений (262) и (278) следует, что средний по длине тру-
бы параметр двухфазности
z?
Фтр.жо = J DpTp dz/(DpTp.KOz) = 1 + (Л —
О
х2
fx(2-ra)/2(l-x)(2-n,/2dx+^—
.) V ’ !3 —П
(279)
Интеграл — С х(2 rt)/2(l— х)(2 rt)/2 dx
Х^ V
может быть
путем разложения в
ряд (табл. 12). Для случая, когда
вычислен
начальное
расходное массовое газосодержание отлично от нуля и равно Хц
^Таблица 12
И'
| *2
качения интеграла------- f х(2—л)/2 ц—х)(2—п)/2 ПрИ разных значениях
х2 р
и п
(Г л, равное п, равное
0,25 0,2 0,1 0,25 0,2 0,1
г 0,01 .0,02 0,03 0,04 ,0,05 ‘0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,00943 0,0172 0,02438 0,03117 0,03767 0,04393 0,04997 0,05582 0,06151 0,06704 0,00828 0,01538 0,02202 0,02836 0,03446 0,04036 0,01608 0,5164 0,05706 0,06234 0,00642 0,01232 0,01799 0,02349 0,02885 0,03408 0,03919 0,04421 0,04912 0,05392 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,11540 0,15366 0,18348 0,20562 0,22037 0,22788 0,22817 0,22101 0,20562 0,10895 0,14621 0,1754 0,19711 0,21159 0,21893 0,21915 0,21209 0,19711 0,09714 0,13242 0.1603& 0,18122 0,19513 0,20213 0,20223 0,19536 0,18122
93
выражение (279) становится более громоздким. Введем
/Х1 = _L J х<2-«>/2(1 - x)(2-n)/2dx;
1 о
Когда происходит полная конденсация пара в жидкость (п = 0,
уравнение (287) с учетом данных табл. 12 дает
фтр.го = 0,2056В + 0,3636.
При п = 0 из уравнения (266) имеем
Ix2 = -L ? х<2-«>/2 (1 _ X)(2-W d%. (280)
Х2 J
Средний параметр двухфазности можно записать следующим об-
разом:
фтр.жо = 1 4--------— X-Jxi) +т г "X • (281)
Х2 — *11 3 — п О — п
Средний нормализованный параметр двухфазности определим как
[ф]
— 2 I
Фтр.жО 1
Г2— 1
(282)
Уравнение (279) можно записать в виде
D х* г2—п
[ф]?=А + — . (283)
Х2 (J 3 — П
С учетом среднего нормализованного параметра двухфазности
уравнение (281) можно выразить так:
-,Х2
IyJxi — ~ '
х2 хг
В тех случаях, когда смесь первоначально имеет большое
расходное газосодержание х и происходит конденсация, следует
использовать средний параметр двухфазности, вычисленный для
условий течения чистого газа:
। DpTp dz
Из уравнений (52) и (284)
Ф?Р.го = 1/Л (1 - 1/Р) (285)
Таким образом, при ф?§>1/Г2, что обычно наблюдается на прак-
тике, и наличии конденсации в потоке приближенно имеем
Йр.го = 1ф]о2 (286)
или из уравнений (283) и (286)
-9 Г2 1 Х» 5?
фтр.жо= 1 4--------В xdx + (l— В) ( x2dx
х2 J J
Теперь легко вычислить интегралы для случая, когда измене-
ние х вдоль трубы удовлетворяет уравнению
х —
Х2~ *1 ~
(г/г^.
Тогда
Фтр.го — 14" (Л — 1) ^Вхх 1 4—। s "
V 7 1 + S 1 + 2s / J
(288)
где
Я = (х2 —хх)/хг
При линейном изменении х вдоль трубы (s==l) уравнение (288)
принимает вид
фтр.жО = 1 + (Л — 1) J в + (1 — В) Х' + Х1*2 + *2
Из уравнений (282) и (288)
• (289)
^ВХ1(1 + 7д_)+(1_В)х;(1 + _ад.+т^.). (29о>
Когда вдоль трубы происходит переход от пара (на входе в
трубу, Xi=l) к конденсату (на выходе из трубы, Х2 = 0, R = — 1),
уравнение (290) преобразуется:
ф = Bs + 2s2
(1 +s) (1 + 2s) •
Если B = l, ф=$/(1+$).
Течение смеси с вязкой составляющей
В дополнение к корреляции для турбулентно-турбулентного те-
чения (см. рис. 32) получены [70] аналогичные кривые для других
режимов течения. (Ординаты для этих кривых, как и ординаты для
турбулентно-турбулентного режима, даны в табл. 9.) При этом
.предполагалось, что переход от ламинарного течения к турбулент-
ному происходит при числах Рейнольдса, приведенных в разделе
95
94
«Режимы течения». Кривые приближенно описываются уравнением
(249) при С, равном 12, 10, 5, и режимах течения системы жид-
кость— газ соответственно турбулентно-ламинарном, ламинарно-
турбулентном и ламинарно-ламинарном. Для ламинарно-ламинар-
ного режима течения в критической точке С = 0, что следует из
уравнения (261) при п—1. В качестве промежуточного для эк-
страполяции к критической точке можно использовать следующее
уравнение:
С == (УГ/У;К У;к/Уг) ’ •
Для других режимов течения необходимы дальнейшие исследова-
ния экстраполяции к критической точке.
Обобщенные корреляции
Рассмотрим корреляции для градиента давления, выраженные
через параметры двухфазности (табл. 13), которые в явной форме
не учитывают режима турбулентно-турбулентного течения. Марти-
нелли с соавторами [70, 72—74] первым применил такие корре-
ляции в конце 40-х годов. Они до сих пор находят широкое при-
менение.
Пример 7. Смесь пар — вода под давлением 6 МПа течет вертикально вверх
по трубе диаметром 40 мм. Расходное массовое газосодержание х = 0,3. Физи-
ческие свойства фаз следующие: сг=32,4-10-3 м3/кг; vM = 1,3185-10-3 м3/кг;
ПЖ = 99,1-1О-6 Па-с; цг= 18,55-10~6 Па-с.
Необходимо рассчитать градиент давления, обусловленный трением, при мас-
совой скорости смеси 200 кг/(м2-с) и относительной шероховатости внутренней
поверхности трубы, равной 0 и 0,001.
Рассмотрим случай, когда e./D = 0. Числа Рейнольдса
200-40-10~3
Re™. =-------------= 80 726;
0 99,1-10—6
200-40-10~3
18,55-10-6
= 431 300.
Из рис. 31 или уравнений (238) — (240) Лж0 = 0,01871 и tao=O,01345. Исполь-
зуя уравнение (272), получаем
, „ ' 0,01871 X /, / 431 300 \
л = log (JWAro)/log (ReI0/Re;K0) = log 0~^1345 J / !о* 80 726~/ = °’1967’
Градиент давления при течении только жидкости
Ортр.жо
0,01871 - 200s-1,3185 -10—3
= 12,33 Па/м.
2-40-10-3
Используя уравнение (58), получаем
32,4 / 18,55 X °.1967
1,3185\ 99,1 /
17,673.
В соответствии с данными, приведенными на с. 90, В = 4,8. Отсюда, ис-
пользуя уравнение (262), имеем
Ч’тр.жО = 1 + 46,673 [4,8 (0,3-0,7)0,902 + О.З1 ”803] = 22,48.
Для двухфазной смеси градиент давления, обусловленный трением, —
DpTp= 12,33-22,48 = 287,5 Па/м.
96
Таблица 13
Корреляции для параметров двухфазности
Год Источник Вид корреляции Тип поверхности
Параметр двухфазности не зависит от массовой скорости
1948 [71] Фгр. «0 = f Р> Г ладкая
1949 [70] Фгр.ж = Ж) »
1955 [17] Фтр.ж0 = Ж Г2)
1958 [35] Фтр.Ж^/W »
1963 [96] Ф?р.ж0 = Ж р) Шероховатая
1963 [221 Фт2р.ж = Ж, С), C=f(p) Г ладкая
1967 [26] <.ж = Ж. С). С=/(ог/вж) Любая
1968 [97] Фтр. ж = f С^> С)’ (°г/уж) Шероховатая
Параметр двухфазности зависит от массовой скорости
1966 [6] Фтр. ж0 = Ж Л G) Г ладкая
1969 [37] Ф?р.ж = С), C=f(F, G) »
1973 [30] Фг2р.жО = Ж В), В=/(Г, G) Обобщенная корреляция »
1978 [32] ф?р. жо = Ж Л В), В=[ (Г, G, X) Любая
Рассмотрим случай когда е/Д=0,001. Из рис. 31 или уравнений (238) —
(240) ^жо=0,02283 и ^го = О,02045. Используя уравнение (272), получаем
/0,02283\ / /431 300 \
п = log { ----- ) / log I —rz— ) = 0,06574.
\0,02045// \ 80 726 /
Градиент давления при течении чистой жидкости
0,02 283-2002-1,3185-IO-3 _ „ „ ,
— DnTO ж0--------------------------= 15,61 Па/м.
"тр-ж0 2-40-IO-3
Из уравнения (52) имеем
= 22,01.
В соответствии с данными, приведенными на с. 90, В=4,8. Вычисляем по-
правку для коэффициента В, учитывающую влияние шероховатости, используя
Уравнение (268):
4 Зак. 1134 97
Вш (Г 718,55V . „11 (0,25-0,06574)/0,25
^г=Г'1+(^т)+I° 11 = 0’722\
Следовательно, Вш = 4,8 0,722 = 3,466.
Исходя из уравнения (262)
Фтр.жо =1 + 21,01 [3,466 (0,3-0,7)°'9е7 + 0,3‘ ’&34] = 19,147.
Для двухфазной смеси — DpTp = 15,61 • 19,139=298,8 Па/м.
Пример 8. Используя условия примера 7, необходимо оценить падение давле-
ния в трубе длиной 4 м при е/Д=0, если х изменяется от Х] = 0 на входе до
%2=0,3 на выходе. В рассматриваемом случае к=0,1967. Из табл. 12, интерполи-
руя по п между к=0,1 и п=0,2, получаем
7 = 0,13242+ (0,1967 — 0,1) (0,14621 —0,13242):0,1 = 0,1456.
Используя уравнение (279), имеем
- f q gi,8оз \
Фтр.жо = 1 + 16,673^4,8-0,14о6+ 2^803 / = 13,33.
Из примера 8 градиент давления для жидкости — 0/;Тр.жо= 12,33 Па/м.
Следовательно, — !\р= 12,33• 13,33• 4 = 657,4 Па.
Глава 7
ТРЕНИЕ. ТЕОРИИ И КОРРЕЛЯЦИЯ ДЛЯ РАЗНЫХ
СТРУКТУР ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА
Рассмотрим теоретические модели, которые дают уравнения,
использованные при построении корреляций в гл. 6, теорию коль-
цевого течения двухфазной смеси, которая наиболее проста для
изучения и чаще всего встречается на практике, приведем уравне-
ния для описания структур потоков, рассмотренных в гл. 2, обсудим
обобщенные корреляции, учитывающие структуру потока.
Модели раздельного течения
Модель раздельного течения, как видно из названия, основана
на допущении, что каждая фаза течет отдельно (нет уноса одной
фазы другой). Если каждая фаза соприкасается с поверхностью
трубы, то можно записать
А 2 А 2
Лгз лжз«ж
Т„ — , Т-,, — " ,
8ог 8ож
где тг, тж—касательные напряжения соответственно между газом
и стенкой, жидкостью и стенкой.
Обозначив периметр контакта каждой фазы со стенкой трубы
как Рг и Рж, получим ADpTP=Ргтг+Ржтж. Сделав допущение о
том, что Хжз = +з = Хж = %г, где Хж, %г определяются соответственно
уравнениями (38), (40) и Р\г/Рж = а1 (1—а), а также отметив, что
А/(РГ + РЖ) =Z)/4, получим
D/?Tp = Ортр.ж (1 + С/Х + 1/Х2), (291)
98
Ke C = 1//С(г>г/г>ж) 1/2 + Л'(пж/пг)1/2; X — параметр Локкарта — Мар-
Кнелли при п = 0, определяемый по формуле (56).
р- В работе [26] приведено решение, основанное на учете касатель-
ного напряжения на поверхности раздела фаз. Уравнение (291)
было получено при C=Z-t-l/Z,
,где
1 Ч~ ->отн б^гМж)
1 S0TH
— s
ТН ~ 4D/;IP ’
где Soth — относительное касательное напряжение на поверхности
раздела фаз; S — касательное напряжение на границе раздела фаз.
Модель раздельного цилиндрического течения Уоллиса
В модели раздельного цилиндрического течения Уоллиса пред-
полагается, что в цилиндрической трубе определенного радиуса
расходы фаз неодинаковы. Фазы не взаимодействуют друг с
другом. Эквивалентный диаметр для каждой из фаз вычисляют по
учетверенной площади сечения трубы, занятой фазой, и периметру
Рг или Рж. Соответствующие уравнения для падения давления
имеют следующий вид:
-вр.р=-^(5У'’-; (292)
Do — Г (1 — х) М ' ь • 12931
Ртр 2РЖ 1 (1 — сх)Л
а j ^у (294)
1 — а \ k ыж /
где Dr, Ож — гидравлические диаметры сечения, занятого соответ-
ственно газом или жидкостью.
Решая совместно уравнения (38), (40), (46), (47), (292)—
'(294), получаем
(1/фт2р.г)2/5 + (1/Ф^р.ж)г/5= 1. (295)
В более общем виде
(1/Ф^р.г)1/т + (1/ф?р.ж)1/т= 1. (296)
Где т = 2 для ламинарного течения; т = 2,3754-2,5 при использова-
Яии формулы Блазиуса для коэффициента гидравлического сопро-
тивления; пг = 2,54-3,5 при использовании других формул для вы-
числения А.
Было установлено, что уравнение (296) лучше всего отвечает
Турбулентному течению при т = 4. Из уравнений (46), (47) и (296)
Dpir=D^mr + Dp'p/nL
4* 99
или
DpTP=DpTP.Ul'+l/X2/T- (297)
Сравнение уравнений (291) и (297) показывает, что они дают
одинаковые результаты при X, равном 0, 1 и со, и
С = 2"г —2. (298)
Интересно, что при щ=4, рекомендованном Уоллисом для тур-
булентного течения, уравнение (297) дает С=14, а не С=21, как
было получено в гл. 6 для аппроксимации кривой Локкарта —
Мартинелли. При ламинарном течении (т = 2) уравнение (298)
дает С = 2 вместо С=5, рекомендованного в гл. 6.
Приближения, приведенные в работах [30, 35, 37], имеют одно
существенное различие. Получив аналитическое выражение (295),
Уоллис вносит поправку в показатель степени т для того, чтобы
получить совпадение с экспериментом, а автор вносит поправку
в коэффициент С. Из уравнения (298) ясно, что, поскольку С есть
функция Г2, т также должно быть функцией Г2.
Теория кольцевого течения
Если вся жидкость течет в виде кольцевой пленки у стенки
трубы (рис. 41) и распределение скоростей в пленке следует за-
кону ОДНОЙ СедЬМОЙ (U=Umax6^7, где ^тах — СКОРОСТЬ, КОТОрЯЯ
была бы на оси трубы при течении однофазной жидкости и каса-
тельном напряжении на внутренней поверхности трубы, получен-
ном для двухфазной смеси), то
V,
Мж = 2л/?4пахрж J (1-8) S1/7dS, (299)
о
где бпл — безразмерная толщина пленки у стенки; б = у/7?.
Максимальная мтах и соответствующая ей средняя й скорости
связаны между собой соотношением
1
й = 2Uniax f (1 - 6) S1/!dS = итах. (300)
о
Рис. 41. Кольцевое течение в трубе
100
Интегрирование уравнения (299) с учетом уравнения (300) дает
(1 — А <5ПЛ . (301)
Истинное объемное газосодержание и толщина пленки связаны
между собой соотношением
1 - бПл = «1/2- (302)
В результате подстановки выражения (302) в уравнение (301)
имеем
Л1Ж = n/^up-Jl — а1/а) ^1 + у а1^ . (303)
Из уравнений (14) и (303)
«ж.п = «0 — a,/2)S/’^l + -у “1/2) • (304)
Поскольку DpTP= (и2/.р;к)/2D, где к изменяется обратно пропор-
ционально п1/4 (закон Блазиуса), то DpTp оо йж.п7/4 и аналогично
Вртр.жоо«ж.п. Из этих соотношений
Из уравнений (304) и (305)
Фтр.ж — - - у— • (306)
(1-а‘/2)2^ 4- -усХ) л
Уоллис показал, что уравнение (306) дает численные значения,
которые почти идентичны получаемым из уравнения
фтр.ж = 1/(1 — а)2 = l/a«. (307)
Градиент давления, обусловленный трением, можно выразить
также через скорость газа или пара:
(308)
^^с.г гг
где ki — коэффициент гидравлического сопротивления на поверх-
ности раздела фаз; Dc.r— диаметр поперечного сечения, занятого
газом.
Если
и
п ^"г.п
Ртр-Г“~ w
кг а^а.2
2Dvr
(309)
Дг/Д = а = (Ос.г/Е>)2,
(ЗЮ)
101
из уравнений (47), (308)—(310) получаем
2 DpTp 1
фтр г = +77 = ’ 7+ '
(зп)
Имеется несколько формул для Хг-/Хг. Самая простая предложе-
на Уоллисом, который выражает отношение коэффициентов гид-
равлического сопротивления через толщину пленки жидкости:
Хг/Хг = 1 + 3006/D =1 + 75 (1 — а), (312)
Совместное решение уравнений (311) и 1312) дает
2 1+75(1 -а)
Фтр.г —
а2’5
Соотношения между ф2тр.ж и объемным содержанием
жидкости
Первые эмпирические соотношения между трением и содержа-
нием жидкости были получены Армандом (рис. 42) [2]:
Рис. 42. Зависимость <р2тр.ж от объемного содержания жидкости при течении
смеси воздух — вода в гладкой горизонтальной трубке диаметром 26 мм при
давлении 0,1 МПа [2]:
1 - +Р.ж“Ь73/а1.«ж; 11 - Ill - +Р.Ж = 1/а1,42ж
102
При 1 х'> 0,35 (ртр.ж — J ~ ,
при 0,35 > аж > 0,1 Фтр.ж = 5
4
при 0,1 > а.к фтр.ж = Ц’^-3-.
444
Установлено [35], что полученные опытные данные для тече-
ния смесей воздух — вода в гладких горизонтальных трубах хо-
рошо коррелируются выражением
2 0,8
Фтр.ж - • 7-- . (313)
а б
1 2 3 9 5 S 7 8 9аж1 2 3 9 5 6 7 8а„
Рис. 43. Зависимость (f.2TP.« от объемного содержания жидкости при течении
смеси воздух — вода в шероховатых трубках под давлением 0,1 МПа [23]:
а, б — шероховатость соответственно винтовая и песчаная при <7.к [в кг/(м2.с]: / — 400;
2—561: 3— 873; 4—1230; 5—1920; 6. 12 — 2700; 7 — 450; ^ — 630* 9 — 970; 10 —
1370; II- 1930; ' ~ <Г2тР.ж “ V"2’’ж- Ч - 4>2тр.ж = (0,98/аж)[(грж)/(Ортр'ж)]1/2
103
Рис. 44. Зависимость показателя сте-
пени z в уравнении (314) от шеро-
ховатости внутренней поверхности
трубы при разных углах ее накло-
на [65]
Из рис. 42 следует, что данные Арманда тоже согласуются с
уравнением такого вида.
Данные для кольцевого потока в гальванизированной трубке
удовлетворяют соотношению
о °>8
ср2 ---------.
ТР-Ж „1.875
“ж
С увеличением шероховатости поверхности приведенные соотно-
шения становятся несправедливыми (рис. 43). При Ор>£рж и ис-
пользовании трубки диаметром 26 мм
2 _ 0,98 / £рж \*/г
Утр. ж — I •— J
аж \ ^Ртр.ж /
В опытах с трубками диаметром 13 мм было установлено, что ко-
эффициент 0,98 дает завышенные значения <р2тр.ж. Результаты, при-
веденные в работе [103], удовлетворяют приведенному выше урав-
нению, если коэффициент 0,98 заменить на 1,6.
Исследовалось [65] влияние шероховатости труб при разных уг-
лах наклона. Для этой цели использовалась система естественной
циркуляции, для которой Пр<£рж. Корреляция эксперименталь-
ных данных с расчетными выполнена с помощью уравнения
Ф?р.ж=—, (314)
аж
где показатель степени z — функция шероховатости и наклона тру-
бы (рис. 44).
Дисперсно-кольцевое течение
Уноса жидкости нет только при относительно малых расходах
газа или пара. Как было указано в гл. 2, с увеличением скорости
газа на поверхности жидкости появляются волны и некоторое ко-
личество ее уносится газом с образованием тумана.
Если Апл — поперечное сечение жидкой пленки, то
ССпл ^пл/^ •
(315)
104
При наличии уноса и п=0,25 с учетом уравнения (307) полу-
чим
(1 со)' ,7°Кртр.ж
Ортр =-------------------
“пл
Используя уравнения (30) и (315), можно показать, что
“пл = аж(1—®/7<).
(316)
(317)
Из уравнений (316) и (317) получим
^Ртр
(1 со)1 ’7 5 DpTp. ж
(1 - <ж)*с4
а с учетом уравнения (46) —
фтр.Ж --
(1 -W)1'75
(1-О/А)2 а*
(318)
Допущение о том, что унос капель со = 0,4 (см. гл. 3), позво-
ляет получить ф2Тр.ж того же порядка, что и при эксперименте.
При допущении, что К= (Угом/^ж)12, из уравнений (313) и (318)
получим значения ф2Тр.ж> приведенные в табл. 14.
Таблица 14
Сравнение ф2р ж, полученных по уравнениям (313) и (318) при разных
значениях цг/цж
X Уравнение
(313) (318) (313) (318) (313) (318)
к=800 = 100 иг v =10 ж
0,001 1,82 2,12 0,94 1,29 0,814 1,15
0,005 4,84 4,75 1,46 1,8 0,869 1,21
0,01 7,88 7,44 2,06 2,34 0,941 1,29
0,05 27,7 26,7 5,99 5,84 1,51 1,89
0,1 52,2 53,1 10,55 10,09 2,25 2,65
0,2 111 123 21,1 20,7 4,51 5,53
0,5 531 715 92,2 104 14,6 16,5
0,8 3820 6759 642 935 91,3 124
Пузырьковое течение
Говье и Азиз для пузырькового течения в
вертикальной трубе
рекомендуют использовать уравнение
Dp1P -
1 „2
лж.гом“гом
2£^см
(319)
105
оценивая коэффициент гидравлического сопротивления по числу
Рейнольдса
Dn _______ игом^ _ Пп Ггом
£'СЖ.ГОМ
Т]ЖУЖ
С учетом уравнений (38), (42) и (48) уравнение (319) примет
вид
фтр.жО = (^гомМк) '^ж/^СМ- (320)
Для вертикального потока рекомендуется использовать уравне-
ние
где коэффициент гидравлического сопротивления оценивается по
Ре =
W® 1 — а
Из уравнений (45), (65) и (70)
фтр.ж ~ _ ,2—/г > (321)
(1 СС)
что соответствует уравнению (313), если показатель степени в фор-
муле Блазиуса равен 0,25.
Для горизонтального пузырькового течения (вытянутые пузырь-
ки) рекомендуется использовать выражение [4]
у0,855
фтр.г= 8,89—-у-уу ,
а для дисперсно-пузырькового течения —
у0,7 5
фтр.г = 7,34 л— •
/К
Эти формулы дают завышенные значения по сравнению с корре-
ляцией Локкарта — Мартинелли при массовых скоростях, прибли-
зительно равных 136 кг/(м2-с). В литературе [59] представлена
корреляция для пузырькового (с вытянутыми пузырьками), сна-
рядного и пенистого течений, выраженная через коэффициент гид-
равлического сопротивления двухфазного потока, определяемый
уравнением (64).
Величина ЛжгоАжо зависит от отношения плотностей газа и
жидкости и расходного массового газосодержания (рис. 45), т. е.
Т,ж2о/^жО = ф2тр.ж0-
Если принять показатель степени в формуле Блазиуса равным
0,2, окажется, что кривые на рис. 45 хорошо описываются уравне-
нием (262) при соответствующих значениях комплекса [В (щ/Ци.-)0,2]
(рис. 46). Параметры двухфазности будут несколько меньше пара-
метров, получаемых методом, рекомендованным в гл. 6.
106
30
Рис. 45. Зависимость А.Ш2оАжо от от-
ношения плотностей газа и жидко-
сти [59]
Рис. 46. Зависимость 5(г|г/т]ж)0’2,
аппроксимирующих корреляцию Ху-
гендорна и Буителара, от отношения
Рг/рж
Для пузырькового течения рекомендуется [7] следующий пара-
метр двухфазности:
=н+мл - di" 8 (1 -11 .
I L (Пг + т)ж)уж JJ
При очень малых размерах пузырьков 1
фтр.жО = [1 + Я(ЦЛ’ж 1)1 ’ П + х (ЗДсу/гу. '—1)]
Снарядное течение
Для течения в вертикальных трубах Говье и другие исследова-
тели рекомендуют
— DpTB = хж-гомЦДом _ г— , (322)
20ож г + гп
где А,ж.гом — коэффициент гидравлического сопротивления, оценен-
ный при Re из уравнения (68); z — расстояние между пузырями;
гп — длина пузыря.
1 Автор не приводит количественной оценки размеров пузырьков. (Прим,
ред.)
107
Можно использовать следующее приближение:
z/(z + zj = 1 — а.
Следуя процедуре, примененной при выводе уравнения (320),
можно показать, что
фтр.ж = (^гом/^ж) (1
Если /2 = 0 и истинное объемное газосодержание оценивается при
/С=1, практически получим уравнение (246) для гомогенной среды
при малых значениях х.
Уравнение Бейкера для снарядного горизонтального течения
имеет следующий вид:
Фт2р.г= (1920Х1 ’63)/б?ж.
Здесь параметр двухфазности обратно пропорционален расходу
жидкости, что соответствует данным рис. 37. Однако в целом к
рекомендациям Бейкера следует относиться с некоторой осторож-
ностью, так как в его формулах не учитывается влияние физиче-
ских свойств.
Кривые, приведенные на рис. 45, рекомендуется использовать
для расчетов пузырькового, снарядного и пенистого течений.
Для расчета градиентов давления в наклонных трубах (от 0
до 10° к горизонту) с успехом использовалось уравнение (322).
Расслоенное течение
Предположим, что уравнение (321) применимо для расслоенно-
го течения. Для газовой фазы
<р2р.г = 1/а2-п. (323)
Из уравнений (321) и (323) имеем
1/а = 1 +X2(2-n). (324)
Это соответствует отношению скоростей [51]
К=^Лж)(1-'1)/(2"п)(г1ж/Пг)п/(2-П).
При использовании уравнений (47), (323) и (324) получаем
DpTp = DpTp.r [1 + Х2/(2-«)]2-«. (325)
Уравнение (325) может быть аппроксимировано выражением
(251), эти уравнения совпадают, если С = 22-п—2.
Используя уравнение (263), получаем
В = (22~п — 2)/(Г+ 1), (326)
Сравним результаты расчетов по уравнениям (325) и (251),
(261).
108
2D
Рис. 47. Зависимость ф2тр.г от X для расслоенного течения:
д 2 — расчет по данным, приведенным в работах соответственно [4] и [12]; 3 — расчет по
уравнению срТК) г= (1 +1,5%+Х2)
Зависимость <р2р г от X (га=0,26)
X . . •....................... 0,1 0,3 1 3 10
*Ртр г’ рассчитанный по уравне-
нию:
(325) ...................... 1,29 1,48 3,36 14 113
(251), (261)................. 1,146 1,5 3,36 14,1 115
На рис. 47 полученные результаты сравниваются с эксперимен-
тальными данными при тг = 0,2, что соответствует С=1,5. Расчеты
по уравнениям (251) и (261) дают заниженные значения.
В литературе рассмотрены и другие модели для описания рас-
слоенного течения.
Переход от расслоенного к турбулентно-
турбулентному течению
Известно [37, 75], что при Re<2-104 кривая Локкарта — Мар-
тинелли дает существенно завышенные градиенты давления в го-
ризонтальных трубах. В связи с этим автор предлагает использо-
вать уравнение
Дррс/Дрг = 1 + С3М. (327)
Графики этой зависимости показаны на рис. 48. Для охлаждающей
жидкости R11 результаты с погрешностью до ±14% ложатся на
прямую 1, построенную по формуле (327) при С3=13,2. Для смеси
вода — воздух погрешность составляет ±6 % (см. прямую 2, рас-
считанную по формуле (327) при С3=7). Для проверки совпаде-
ния расчетов по формуле (327) с результатами обработки опыт-
ных данных можно использовать табл. 15, из которой взяты дан-
ные, приведенные на рис. 48. Рассматриваемые в работе [37] опыт-
ные данные соответствуют условиям в области, переходной от рас-
109
7
Рис. 48. Зависимость <р2тр.г от массового расхода смеси [37]:
1, 2 — расчет по формулам соответственно <р2тр г= 1 + 13,2 М и ф2тр г= 1 +7 М; 3, 4 — рас-
чет по данным, приведенным в работах соответственно [75] н [881
Таблица 15
Пример обработки экспериментальных данных [75]
Номер опыта хМ, кг/с (1—х)-М, кг/с М, кг/с ЧуДог
8 0,0633 0,2147 0,278 2,56
23 0,0947 0,1854 0,2801 3,09
38 0,124 0,151 0,275 2,55
47 0,1495 0,1303 0,2798 3,14
72 0,1773 0,1063 0,2836 3,09
101 0,1912 0,0747 0,2659 3,01
14 0,0603 0,2851 0,3455 3,73
29 0,0907 0,2598 0,3505 3,68
44 0,1034 0,2401 0,3435 4,27
59 0,184 0,1686 0,3526 3,44
75 0,1753 0,169 0,3443 3,82
104 0,2050 0,151 0,356 3,75
ПО
Рис. 49. Зависимость ф от х:
Л — смесь воздух — вода: Б — охлаждающая жидкость R11: В — расслоенное течение: I —
<?=600 кг/(м2-с); II — Re—900, G*-200 кг/(м2-с); III, IV—Неж0 равно соответственно
23 000 и 19 000; V — НежовЮОО, 0=21,4 кг/(м2-с); цифры соответствуют номерам опытов
•(см. табл. 15)
слоенного к турбулентно-турбулентному течению двухфазной смеси
(см. гл. 6). Для удобства уравнение (327) запишем в виде
фтр.г=Я. (328)
Из уравнений (46) — (52), (275) и (328)
Г^х2-П __ 1
Ф = --------- .
4 Г2— 1
Когда Г2 велико [75, 88], приближенно имеем
ф = Rx2~n — 1/Л ~ Rx2~n. (329)
На основании анализа данных для смесей воздух — водный раствор
Rll, R13 и R22 была получена эмпирическая формула
R = 1 + 0,001223Г6, (330)
где R— коэффициент.
Область применения уравнений (329), (330) выявляют следующим
111
образом. Определяют параметр, характеризующий режим течения,
6С=- ^~^л , (33 1)
4-поп Фгл
где флоп, ”фгл оценивают с помощью уравнения (276), а связанные
с ними значения В равны соответственно ВТ10Л и Втя (значения ко-
эффициента Виоп приведены на с. 90, а коэффициент Втя опреде-
ляют по уравнению (326); когда е>1 ВГл=1, а когда е<0 Вгл = 0).
При ес = 0 поток описывается как расслоенный, а при е=1—
как полностью турбулентный. Уравнения (329) и (330) следует
использовать в тех случаях, когда 0<е<1. Из уравнений (276)
и (331) получим
ес=—^—5— ( ------Вгл--' (332^
Вцоп Вгл \ 1 х / Snon Вгл
Коэффициент В представим в следующем виде: В=ВП0П+(ВП01Г—
—Вгл)ес, где при ес<0 принимаем ес = 0, а при ес>1 считаем, что
е = \.
На рис. 49 показано семейство кривых для смесей воздух — вода
при нормальных условиях и для паро-воздушных смесей охлажда-
ющей жидкости R11 при 30°C (диаметр трубки 46,7 мм).
Там, где массовая скорость смеси такова, что при низких рас-
ходных массовых газосодержаниях расслоенное течение невозмож-
но, рекомендуется принимать е=1.
Рис. 50. Характер изменения коэффициента С при структуре потока в горизон-
тальной трубке [%Пов = 29 КУжМ; фпов=(76/0) (Цж/Цг)1/3] [42]:
/__расслоенной; 2 — волновой; 3 — кольцевой; 4 — пенистой; 5 —снарядной; 6 — расслоен-
ной с перемычками; 7 — пузырьковой; I — С-2; II — С“ (рж/рг) 1/2+ (Рг/Р^)1/2 : ^ — гра-
ницы структур
112
Обобщенный подход к описанию структуры потока
В работе [42] предложен подход, в котором используется коэф-
фициент С, определяемый по уравнению (249). Для определенных
структур потока коэффициент С характеризуется относительно про-
стыми выражениями. Для гомогенного течения при н = 0 он зада-
ется выражением (уг/^ж) 1/2+ (уж/уг)1/2- Для расслоенного течения
с показателем степени в формуле Блазиуса, равным нулю, из урав-
нения (261) имеем С=2. Предложено [42] сопоставлять значения
коэффициента С для разных структур потока (рис. 50).
Оценка точности результатов
Сравнение нескольких методов прогнозирования с использова-
нием более 6406 экспериментальных точек, выполненное Фриделем
[47], проиллюстрировано в табл. 16. В ней приведены четыре (из
14) корреляции, дающие наиболее удовлетворительное совпадение
с экспериментом. Корреляция Барокши — Чисхолма (см. с. 90)
во всем диапазоне данных дает такие же результаты, как и кор-
реляция Ломбарди — Педроччи, и лучше, чем другие. Метод,
описанный в разделе «Переход от расслоенного к турбулентно-тур-
лентному течению», может дать еще более точные результаты, если
его применять в сочетании с данными, приведенными на с. 90, и
уравнением (329).
Таблица 16
Статистические ошибки при измерениях падения давления, обусловленного
трением
Н2О
R12
Однокомпо-
нентная
Двухкомпо-
нентная
2705
2263
4968
1438
16,1 36,7 4,8 3,9 36 6,1
22,2 39,2 3,3 5,4 32,6 3,1
17,2 37,8 4,2 4,6 34,5 5
53,2 79,8 21,4 37,5 64,3 21
Пример 9. Паро-водяная смесь под давлением 6 МПа течет в горизон-
тальной гладкой трубе диаметром 40 мм и длиной 7 м. На входе в нее х=1
(т. е. течет только пар), а на выходе — х=0 (т. е. течет одна жидкость). Между
этими точками х изменяется линейно. Необходимо оценить падение давления,
обусловленное трением, для массовой скорости 200 кг/(м2-с).
Из примера 7 Р= 17,673; —DpTp.;I,o= 12,33 Па/м. Из уравнения (330)
R = 1 Ч- 0,001223-(17,673)*/г 200 = 2,02.
113
Из уравнения (332), где е—1,
X____/ Впоп \2/<г~'г) _ ( 4,8 \ 2/(2—0 , 1 967)
1 —1J ~\1,02/
Значения В и п получены из примера 7. Следовательно,
Когда е = 0.
х/(1 -х) = [Вгл/(Я-
Из уравнения (326)
22 — 0,1967 _2
Вгл =-------------- =0,1991.
17,673 А — 1
Следовательно, когда е=0,
х/(1 — х) = (0,2864:1,02)2/(2-0,1967) = 0>2486,
что дает х = 0,2486 : (1 -Ь 0,2486) = 0,1991.
Пользуясь линейностью закона изменения х вдоль трубы, находим длину
области, где l^x^0,845; Zj = (l—0,845)-7= 1,085 м. Здесь справедливы уравне-
ния (262) и данные, приведенные на с. 90. Уравнение (329) справедливо в об-
ласти 0.845^X1^0,1991. Длина этой области г2= (0,845—0,1991)-7=4,521 м.
Уравнения (262) и (326) справедливы в области 0,1991 »х>0, длина ко-
торой г3 = 0,1991 • 7= 1,394 м.
Для удобства вычислений примем п=0,2. На отрезке гь используя уравне-
ние (281) и данные табл. 13, имеем
17,673— 1 (
< жо = 1 + -Д'4,8 [0’19711 ~°’845(0’21915“
h i — U, 040 (
1 0.8452,8 )
— 0,45-0,00706)]+ 2~g— -Ay-g—j = 22,96;
на отрезке
2 _ 4 " 1 о ( X2t8 _ *1’8Л „
Фтр.жо . X2_X1 # 2>8 2,8 /
16,673 /0,8452’8 0,19912,8 \
1 + 0,845 —0,1991 ’2’02 I 2Т8~~ 2,8 ) = 12,41
на отрезке z3 —
<f|p ж0 = 1 + 16,673 {о,2864 {0,10895 -
„ 0,19912’8)
— 0,009 (0,10895 — 0,06234)]+ --^-g---1= 1,845.
Общее падение давления, обусловленное трением,
- Др= 12,33 (1,085-22,96 + 4,521-12,41 + 1,394-1,845) = 1031 Па.
114
Глава 8
ТЕЧЕНИЕ В ПРЯМЫХ ТРУБАХ
Рассмотрим методы расчета падения давления при, течении
двухфазной смеси в прямой трубе; способы нахождения массового
расхода для данного пёрепада давления и требуемого диаметра
трубы; условия течения при дросселировании и без него.
Полный градиент давления
Используя уравнения, полученные в гл. 3, 4 и 6, для полного
градиента давления имеем
- Эр = - Эртр.ж0фт1 2р.жо + + G4M. (333)
®си
Из уравнений (174)—(176)
G2Do3 = G2 (dv3ldp)sDp + G2 QD (p + F),
ftr — /гж
где q — внешний приток тепла на единицу массы.
Используя уравнение (184), получаем
G2Dy3 =----G~ Dp + G2 QD (p + F), (334)
Од "ж
где Сд—массовая скорость при дросселировании (истечении в
атмосферу).
Из уравнений (333), (334) после соответствующих преобразо-
ваний получим
ОРтр.жоФ^р.жО “Г (g sin 0)/усмG2 [фг— ^ж)/(Аг — ^ж)] (р + Р)
1 — G2/G2
(335)
Термодинамическое описание течения
Уравнение энергии можно записать в следующем виде:
D [xhp -Г (1 — х) -|- D
+ gsinO = Dp.
(336)
Удобно ввести удельную энтальпию торможения в какой-либо
точке по ходу движения потока:
Ло = + (1 — х)Лж1+х-^-+(1— х) (337)
Исходя из уравнения (336), получаем расходное массовое га-
зосодержание в точке, находящейся на расстоянии z (вниз по
115
ходу движения смеси) от точки торможения при восходящем тече-
нии:
%__ кд ^жг ^«2/2 gz sin 0 -\-q (338)
йг2 — ЛЖ2 -f-
Для решения этого уравнения необходим метод итераций, по-
скольку скорости являются функциями расходного массового газо-
содержания.
Гомогенная теория
Гомогенная теория использовалась и раньше, например при
проектировании водотрубных котлов. Вязкость двухфазной смеси
принималась равной вязкости жидкой фазы. В этом случае гра-
диент давления
- Dp = - DpTPiH;0 + + G*Dvr0M, (339)
^гом
где удельный объем гомогенного потока [уравнения (27), 28)]
угом = ^ж + х(пг— пж) или пгом/пж=1//?=1+х(цг/цж—1). Разность
статических давлений на отрезке трубы г задается выражением
Pi — Р2 = — Ортр.жогсртр.жо + г^п-~ 4- С2Д (угом2 — УГОм1)> (340)
^гом
где
Фтр.жО —
1 ? "2
1 фтр.жО^
г 6
и
1
усм
dz
г'см
При равномерном тепловом потоке, когда изменения давления
малы по сравнению со статическим давлением, массовое газосо-
держание изменяется вдоль трубы линейно: (х—Xi)/(x2—xj =
= z/z2. При этом [см. уравнение (289) /(=1, В = 1] из уравнения
<340)
фтр.жо = 1 + (vJv.r,, — 1);
иж/игом = —R'R2 In .
Ж гом Rl~R2 f>2
постоянства плотностей фаз Д(уГом2—ьфом
При условии :
= (х2—Xi) (г?г— пж).
116
Рис. 51. Зависимость давления от
расстояния до входа в трубу при
дросселировании (истечении в атмо-
сферу)
Рис. 52. Влияние давления на выхо-
де из трубы на расход при постоян-
ном начальном давлении
Для горизонтального течения уравнение (339) можно записать
следующим образом:
_Dp=2^M_+№Dyr0M. (341)
Если коэффициент гидравлического сопротивления принять по-
стоянным, то после преобразований и интегрирования с учетом
уравнения (129) получим
_ V'
G2 =-------го-м------- . (342)
X?/(2D) -yin (УгОМ2/УГОМ1)
В табл. 17 показано численное решение уравнения (342) для
определения массовой скорости при заданном падении давления.
Это таблица может быть использована для определения давления,
при котором происходит дросселирование.
На основании данных табл. 17 были построены графики
(рис. 51, 52). Максимальная массовая скорость достигается при
понижении давления до определенного значения. При дальнейшем
падении противодавления массовая скорость остается постоянной.
Предсказанного уменьшения массовой скорости (пунктирная ли-
ния на рис. 52) на практике не наблюдалось.
117
Таблица 17
00 Расчет пар амегров п ри изоэнтропийном расширении воды —
1
(Я-j 01 (EJHs Ж21' 10 г-Ю й [ О 3, м3 2 « 1 я 's я 2 2 р р. х Р. о S s о _ L. <N Q s Q
С й р р" /г Ч £ * О р о S О р <J £ s о E
0,8 215,6 2,046 — — 0 1 1,1149 1,6801 0,2381 0 1 0
0,76 226,9 2,025 0,021 4,656 0,00451 2,0188 2,2453 2,8888 0,1385 0,2381 2,0139 1,4001
0,72 239,4 2,003 0,043 4,696 0,00916 3,1837 3,5323 4,2627 0,09384 0,3766 3,1836 2,3064
0,68 253,3 1,98 0,066 4,738 0,01392 4,512 4,993 5,8318 0,06859 0,47044 4,4784 2,9985
0,64 269 1,956 0,09 4,783 0,01882 6,0438 6,6705 7,6425 0,05234 0,53903 5,983 3,5778
0,6 286,7 1,931 0,115 4,83 0,02381 7,8025 8,5851 9,7408 0,04106 0,59137 7,7266 4,0893
0,56 306,9 1,904 0,142 4,88 0,0291 9,9017 10,867 12,222 0,03273 0,63243 9,7471 4,5539
0,52 330,1 1,875 0,171 4,933 0,03466 12,407 13,577 15,154 0,0264 0,66516 12,178 4,9993
0,48 357 1,845 0,201 4,991 0,04027 15,336 16,73 18,671 0,02142 0,69156 15,006 5,4169
0,44 388,7 1,812 0,234 5,053 0,04631 18,954 20,611 23,009 0,01738 0,71298 18,487 5,8341
0,4 426,7 1,776 0,27 5,12 0,05273 23,447 25,407 26,81 0,00746 0,73036 22,788 6,2525
0,38 448,5 1,757 0,289 5,156 0,05605 26,082 28,213 29,751 0,006722 0, 73782, 25,305 6,462
0,36 472,8 1,738 0,308 5,194 0,0593 28,978 31,288 33,077 0,006046 0,74454 28,064 6,669
Продолжение табл. 17
p, МПа Й to ml m 4 ’ Дж/(кг-К) (Sra-W'10’3 Дж/(кг-К) й о р X о jp4 J’l/sW ‘ е— 0 1 • о N 1 i £ X к с'гом [кг/(м2.с)]2 п -. . . -J f 'V f го.м2' голи : Cl 6 5 с
0,34 499,8 1,717 0,329 5,234 0,06286 32,355 34,866 36,9 0,00542 0,75059 31,273 6,8855
0,32 0,3 530,1 564,4 1,695 1,672 0,351 0,374 5,276 5,321 0,06653 0,07029 36,201 40,601 38,934 43,573 41,254 0,004848 0,75601 0,76086 34,922 39,082 7,1062 7,3313
0,28 603,4 1,647 0,399 5,368 0,07433 45,776 49,022 46,298 0,00432 0,76518 43,97 7,567
0,26 648,3 1,621 0,425 5,419 0,07843 51,768 55,314 52,168 0,003834 0,76901 49,614 7,8086
0,24 700,4 1,593 0,453 5,474 0,08275 58,875 62,755 59,035 0,003388 0,7724 56,288 8,061
0,22 761,8 1,563 0,483 5,533 0,08729 67,410 71,677 67,216 0,002975 0,77537 64,29 8,3268
0,2 835, 1 1,53 0,516 5,597 0,09219 77,896 82,609 77,143 0,002593 0,77797 74,095 8,6107
0,18 924,2 1,494 0,552 5,668 0,09739 90,91 96,137 89,373 0,002238 0,7802 86,229 8,914
0,16 1035 1,455 0,591 5,747 0,10284 107,34 112,2 104,17 0,00192 0,78212 100,64 9,223
0,14 1177 1,4109 0,6351 5,825 0,10884 128 134,52 123,36 0,001621 0,78375 120,66 9,586
0,12 1364 1,3609 0,6851 5,937 0,11529 58,14 65,6 50,06 0,001333 0,78508 48,53 10,0016
0,1 1623 1,3027 0,7433 6,056 0,12274 2 00,08 08,72 87,16 0,001069 0,78615 87,21 10,4645
Для наклонных труб
G2 = -1](^омАР)/(^2ом + &)
Xz/(2D)+ln [ (аг2ом2 + б)/(Ком 1 +6Н
где
b (sinO)g
ZO3
Метод коэффициента В
Уравнение (333) с учетом выражений (146) и (262) принимает
следующий вид:
-Dp = -Ортр.ж0{1 + (Г2 — 1) [5трх(2-")/2(1 - xf~n)/2 + х*~п]} +
+ g— +G2DK + (yr-aHt)[5MX(l-x)+x2]}. (344)
г'см
Коэффициент Вы характеризует изменение количества движе-
ния и оценивается с помощью уравнений (148) и КЭ = КО°-28. Для
полностью установившегося турбулентного течения коэффициент
Втр, обусловленный трением, оценивают по данным, приведенным
на с. 90. Удельный объем смеси оценивают по уравнению (106)
и коэффициенту Арманда СА (см. с. 45). Уравнение, аналогичное
(341), имеет вид
— Dp = -g— ужфтр.жо + G2Df3.
Оно может быть решено относительно G2:
-5-^г-
Qi =__________Фтр--Ж°---. (345)
W .
20 ^жФтр.жО
Если Втр и Хжо взяты как функции G, необходимо применять
ЭВМ.
Уравнение (345) может быть также использовано для опреде-
ления диаметра при заданном расходе.
Численное интегрирование вдоль трубы
Рассмотрим один из методов интегрирования вдоль трубы.
Разность давлений запишем в следующем виде:
Pi — р2 = — DpAz, (346)
где kz=z[n-, z— длина трубы; п — число шагов интегрирования.
Общий градиент давления Dp оценивается по уравнению (335).
120
Во всем интервале давлений р полагаем, что
=~=а(р1-Р) + Ь- (347)
dp Dp
Из граничных условий
b = 1/DP1;
а = (1/Dp2 — 1/DP1) —. (348)
Pi —Pz
Введем
*=ДГ (349)
Из уравнений (346), (348) и (349)
а = — (s — 1) —5— .
Ор2Дг
Интегрирование уравнения (347) дает
Отсюда
Р1—Р = -р~^г (1 + Г1 + 2-^г-—г^-5~^у/г1. (350)
s— I ( [ Az J )
Правильным решением является результат со знаком «минус».
Определим бг=г2—Затем из выражений (346) и (350) по-
лучим
6Z= ^(S+ 1),
где 6z— участок трубы, на котором давление изменяется от Pl
до р2.
Недалеко от конца трубы, т. е. при z—S6z = zK<Az, считаем,
что
Az = zK. (351)
Давление на выходе из трубы определяем по выражениям
(350) и (351):
PK=p1--^-H-(2s-l)1/!l.
S — 1
Реальные значения будут получены при условии s<0,5. При-
нимаем Az=zK/2.
Уравнение притока тепла
Уравнение энергии было представлено в виде уравнения (336).
Приток тепла q и теплота, обусловленная внутренней диссипацией
121
механической энергии F, увеличивают внутреннюю энергию i
и высвобождают энергию ри, необходимую для расширения.
Уравнение притока тепла имеет следующий вид ':
D [xzr + (1 — х) 1Ж] + pD [хиг + (1 — х) иж] = Dy X DF =
= TD [xsr + (1 - х) sw[. (352)
Имеем
D [xhT + (1 — х) й.к] = D [xzr -r (1 — х) i J + pDnroM + нГОмОр- (353)
Уравнение для изменения механической энергии можно полу-
чить из уравнений (336), (352) и (353):
угомВр + В/7-'-D(F£) £-^sin© = 0, (354)
где член, учитывающим кинетическую энергию,
“ж
D(££) = D x-| + (l-x)-f
Из уравнений (333) и (354) получаем DF =—игомВртр + С1 2щомХ
X Онэ—D (&£) + £s: п0 (Угом/^см 1) •
Диссипация механической энергии обусловлена касательным
напряжением на внутренней поверхности трубы и относительным
движением фаз. Это уравнение используется только при оценке
градиента давления, обусловленного изменением плотности потока
количества движения [см. уравнение (175)].
При вычислении общего градиента давления приближение вида
DF = — Hr0MDpTP (355)
дает небольшую ошибку, что позволяет упростить уравнения для
градиента давления.
Из уравнения (355) видно, что в точке дросселирования про-
исходит диссипация механической энергии. Уравнение (184) для
массовой скорости при дросселировании более точно можно
записать следующим образом [57]:
(-тг)
где индекс h0 указывает на адиабатическое расширение при по-
стоянной энтальпии торможения.
Для воды различие в расходных массовых газосодержаниях,
вычисленных исходя из изоэнтропийного и изоэнтальпийного рас-
ширения, невелико.
Неравновесное течение
Ранее уже рассматривались потоки, в которых жидкость не на-
ходится в термодинамическом равновесии, а также модель замо-
1 В этом разделе все слагаемые данного и последующих уравнений отне-
сены к массовой скорости. (Прим, ред.)
199
роженного течения с относительным движением фаз. Неравновес-
ные эффекты учитываются через массовую скорость при дроссе-
лировании. В уравнении (335) это влияние сказывается на вели-
чине G„. С практической точки зрения уравнения (217)_(221) по
форме удобны для оценки бд.
Таблица 18
Сравнение экспериментальных и расчетных данных при дроссельном течении
в трубах
МПа г/т D/m G, кг/(м2-с) рг, МПа
1 измеренная 1 рассчитанная 1 измеренное 1 рассчитанное
по формуле (356) 1 1 по данным, приведен- ным в работе [ 1 6] 1 1 । по формуле (356) 1 по данным, приведен- ным в работе [16]
0,165 1,52 0,0135 2009 1902 1303 0,102 0,099 0,143
0,0985 1,52 0,0135 1730 1279 897 0,070 0,062 0,086
0,061 1,52 0,0135 931 873 578 0,035 0,039 0,052
0,0985 6,1 0,0135 1103 895 681 0,048 0,049 0,069
0,0985 6,1 0,023 1584 1135 774 0,06 0,055 0,077
0,0985 13,72 0,023 858 845 632 0,043 0,045 0,069
1,087 25 0,0381 3504 4201 3626 0,403 0,316 0,516
0,785 25 0,0381 2916 3430 2867 0,306 0,242 0,413
0,361 25 0,0381 2450 2088 1681 0,175 0,124 0,206
0,374 13,41 0,0381 4018 2693 2024 0,275 0,168 0,248
В табл. 18 массовая скорость и давление в конце трубы, вычис-
ленные по описанному в данном разделе методу, сравниваются с
экспериментальными данными, приведенными в работе [16], для
течения паро-водяных смесей в трубах при дросселировании. Пер-
воначально расходное массовое газосодержание принимается рав-
ным нулю. В расчетах было сделано допущение об изоэнтропий-
ности расширения. Как уже упоминалось, для воды различие
между изоэнтропийным и изоэнтальпийным расширением невелико.
Поскольку труба горизонтальна, уравнение (335) аппроксимиру-
ется выражением
Dp =----РР-р-2- . (356)
1-б2/0д
Более точно расходное массовое газосодержание для адиабати-
ческого течения следовало бы определять с помощью уравнения
(338), а затем оценивать градиент давления по уравнению
Dp =
DpTp 11 4-G2 Кг — Иж)/Фт Кн)] —Г’гом
1 - G2/G^
i
123
Описанные методы, безусловно, требуют применения вычисли-
тельной техники.
Расчетные данные (см. табл. 18), приведенные в работе [16],
получены на основе гомогенной теории, которая вообще дает зани-
женные значения массовой скорости и завышенные значения дав-
ления на выходе из трубы.
Тенденция к занижению результатов, полученных с помощью
уравнения (335), по сравнению с экспериментальными данными вы-
ражена менее резко.
Метод Генри, рассмотренный в разделе «Неравновесное тече-
ние. Метод Генри» также дает уравнение для вычисления массо-
вой скорости при дросселировании, так что оно может быть ис-
пользовано в приведенной модели замороженного течения с отно-
сительным движением фаз. Генри утверждает, что при подаче в
трубу насыщенной жидкости испарения наблюдаться не будет
вплоть до достижения отношения г/П=12. Неравновесное расход-
ное массовое газосодержание вычисляют по формуле
Хщ, =ЛГх[1—ехр[—0,0523(z/D—12)]}, (357)
где выражение в скобках равно 0,99 при z/D=100.
Приведенные выше уравнения справедливы для труб с острыми
краями. Для труб с гладкими входными отверстиями Генри реко-
мендует применять следующее уравнение:
хнр = Nx [1 — exp (— 0,0523z/0)]. (358)
Уравнения (357), (358) можно использовать только в тех слу-
чаях, когда жидкость на входе является насыщенной.
На практике удобнее всего использовать метод коэффициента В.
Пример 10. Смесь пар — вода под давлением 6 МПа течет вертикально-
вверх по гладкой трубе длиной 4 м и диаметром 40 мм. Массовая скорость сме-
си 200 кг/(м2-с). Расходное массовое газосодержание изменяется линейно от
нуля на входе в трубу до 0,3 на выходе из нее. Необходимо рассчитать падение
давления.
Из примера 3 имеем составляющую падения давления, обусловленную гра-
витацией: Дрд=—14 080 Па, из примера 4 — составляющую перепада давле-
ний, обусловленную ускорением потока: Дрм =—317,3 Па, из примера 8 — со-
ставляющую перепада давлений, обусловленную трением: Дртр = 657,4 Па. Об-
щее падение давления Др=—14 080—317,3—657,4 =—15 050 Па. Знак «минус»
указывает на падение давления по ходу движения смеси.
Пример 11. На входе в трубу диаметром 50 мм вода является насыщен-
ной при давлении 0,8 МПа. Давление на выходе из трубы равно 0,1 МПа. Ко-
эффициент гидравлического сопротивления равен 0,02. Необходимо определить
расход воды при длине трубы 30 и 250 м.
Решение в рамках гомогенной теории получают по уравнению (342). Члены
2(Др/цГом) и 1п(цГом2/^гом1) оценивают при допущении изоэнтропийного расши-
рения (см. табл. 17). При давлении 0,1 МПа они равны соответственно
0,7861-10® [кг/(м2-с)]2 и 5,2323, а при изоэнтальпийном расширении соответст-
венно 0,7809-108 [кг/(м2-с)]2 и 5,3218. Скорость истечения необходимо опреде-
лить для следующих случаев:
Xz 0,02-33 Xz 0,02-250
— = ——— = 12 и — =---------------= 100.
Таблица 19
Определение массовой скорости и давления при дросселировании
р, МПа '-Z/.O + 2111 Игом i^roM 2)
-2-^-
угом
[кг/(м2'
_____~2 (А^гом) х
(?.z/z>) + 2ln (ого>! j/^qm 2)
X 10-*,
£кг/(м2,с)]3
Хг/D = 12; бд = 2828 кг/(м2-с)
0,48 17,4169 0,69156 0,03971
0,44 17,8341 0,71298 0,03998
0,4 18,2525 0,73036 0,04001
0,38 18,462 0,73782 0,03996
0,36 18,669 0,74454 0,03988
•kz/D= 100; Сд= 1197 кг/(м2-с)
0,24 108,061 0,7724 0,007148
0,22 108,327 0,77537 0,007158
0,2 108,611 0,77797 0,007163
0,18 108,914 0.78020 0,007163
0,16 109,223 0,78212 0,007161
Табл. 19 иллюстрирует метод определения критического давления, который
справедлив при Gmax. При длине трубы 30 м критическое давление равно
0,4 МПа, а массовая скорость 2828 кг/(м2-с). При длине трубы 250 м эти пара-
метры равны соответственно 0,2 МПа и 1197 кг/(м2-с). Эти значения близки
к данным, полученным другим методом в примере 6.
Глава 9
ПАДЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБАХ С ПОВОРОТАМИ
Рассмотрим методы вычисления падения давления, обусловлен-
ного поворотом трубы при течении двухфазных смесей, в частно-
, сти поворотом в горизонтальной плоскости.
» На рис. 53 схематически показано изменение давления при по-
вороте трубы радиусом г на 90°. Если ра и рн — статические дав-
|ления в точках соответственно а и /г, то изменение статического
Давления, обусловленное поворотом, —ДрпОв = Ра—P/l+DpTp(z)+22)>
где длины Zt и z2 соответствуют прямолинейным участкам трубы
>т точек а и h, в которых измеряется давление, до поворота. Отре-
юк гпов.в — это участок до поворота по ходу движения смеси, на
ia котором поворот создает нарушение течения; 2П0В.н — соответ-
ствующий участок после поворота. На последнем участке отмеча-
йся некоторая тенденция к восстановлению давления вследствие
аскажения профиля скорости на повороте: к точке «g» профиль
скорости восстанавливается.
125
Рис. 53. Распределение давления при
повороте трубы на 90°
Рис. 54. Зависимость эквивалентной
длины от относительного радиуса
при однофазном течении [10]
Падение давления в однофазном потоке
В одном из общепринятых методов вычисления падения давле-
ния в однофазном потоке, связанного с поворотов трубы, исполь-
зуют понятие эквивалентной длины [10].
На рис. 54 показана зависимость эквивалентной длины трубы
от отношения r!D для поворота на 90°. Это отношение известно
под названием «относительного радиуса кривизны». Увеличение от-
ношения эквивалентной длины к диаметру с ростом относитель-
ного радиуса кривизны обусловлено повышением сопротивления.
Падение давления в месте поворота трубы
— ЛРпов = -т- (—) • (359)
Кривая (см. рис. 54) хорошо согласуется с данными работы
[46], где коэффициент гидравлического сопротивления К принимал-
ся равным приблизительно 0,013 при Re>106. Эквивалентный ко-
эффициент сопротивления определялся по формуле
^пов= -l~^ob1 • (360)
Gzv
С учетом выражений (359), (360)
Йпов = ^(г/П)а. (361
* Формула (359) определяет понятие эквивалентной длины. (Прим, ред.)
Отсюда коэффициент физических свойств при повороте трубы
Г- _ ^Рпов.го __ ^пов.го
1 пов — -- т .
аРпов.жо йпов.жо уж
Если &пон не зависит от числа Рейнольдса, то Е2п()В = аг/иж. Там,
где справедлив закон Блазиуса,
/пов = уЛж • (пЛжЛ (362)
Простейшая модель
Предложенная в работах [25, 28, 33] простейшая модель для
вычисления падения давления при повороте трубы основана на
предположении о том, что при повороте происходит разделение фаз,
уменьшается унос капель жидкости паром (газом) и изменяется
(видимо, увеличивается) отношение скоростей. Изменение давле-
ния после поворота, обусловленное изменением отношения скоро-
стей, определяют по выражению (182). При сг/"зи;:>] Bg = \IKg и
В,.= 1/Ке. Следовательно, уравнение (182) можно записать в виде
- APeg = Л7/ж0 (уг/пж - 1) А (1/К) х (1 - х). (363)
При положении точки е сразу после поворота Ке вследствие
разделения фаз становится больше Kg, т. е. падение давления обус-
ловлено изменением количества движения в результате поворота
потока.
Рассмотрим падение давления в пределах самого поворота.
Если допустить, что восстановление давления в однофазном потоке
незначительно, а параметр двухфазности в пределах поворота при-
нять в соответствии с гомогенной теорией, то
^Рсе = ЛРпов.жо [1 -Г — 1) Ч, (364)
Где
~ЛРпов.жо = 2^(г/П)э. (365)
Комбинируя уравнения (363) и (364), получаем
&Рпов ~ ^Рсе "Г ^Pef ~ ДДюв.жо О 1^пов^ U -^) %2]}>
(366)
где
/нов = 1 + (Ве - Bg). (367)
АРпов.жо
Плотность потока количества движения всей жидкости MFm0=
= G2v-,t;. Отсюда, используя уравнения (152), (361), (365) и (367),
получаем
^пов “ 1 + 2/йпов.жоА (1/К). -< (368)
127
В более общем виде уравнение (366) можно записать так:
фпов.жО = 1 + (Гпов - О [Вповх(2~")/2 (1 - Х)<2^)/2 + х2~п]. (369)
Это уравнение — разновидность уравнения (262). Чтобы выпол-
нить преобразование, рассмотренное в разделе «Метод коэффици-
ента С», необходимо учесть закон Блазиуса. Тогда
Фпов.жо = 1 + Спов/х + 1/Х\ (370)
где СПОв, Ваов взяты из уравнения (263);
X ~ ^-ПОВ.ж/^ПОВ.Г 0 %)
Коэффициент В
Используя результаты, полученные в работе [46] при исследова-
нии течения смеси пар — вода в трубе диаметром 51 мм, автор
[25] построил кривую для коэффициента В* (рис. 55) при значе-
ниях относительного радиуса кривизны 1,5 и 5 без возмущения
потока (кривая 7) и с возмущением его перед поворотом (кри-
вая 2). В последнем случае на расстоянии 46Z) выше поворота диа-
метр трубы уменьшали с 76 до 51 мм. Согласно данным работы
Рис. 55. Зависимость коэффициента
В от относительного радиуса кривиз-
ны [25]:
/ — без возмущения потока- 2 — при
возмущении потока перед поворотом
Рис. 56. Зависимости относительного
давления от расходного массового
газосодержания [29] (радиус кри-
визны 75 мм, радиус трубки 50,8 мм),
полученные расчетным путем при В =
= 4,5 (кривые) и экспериментально
(точки);
1—3 — при давлении соответственно 5,5;
8.3 и II МПа
----------1--------1---------1---------1
0 0,04 0,08 0,12 0,18 X
Здесь коэффициент В=Вао8. (Прим. ред.).
128
[46], при нарушении течения перед поворотом падение давления
увеличивается примерно на 60 % (при однофазном течении) по
сравнению с падением давления при таком же повороте, но без
Нарушения потока перед ним.
На рис. 56 показаны результаты вычислений с использованием
коэффициентов ВПОБ, приведенных на рис. 55, и экспериментальные
данные, полученные при относительном радиусе кривизны 1,5 и
отсутствии нарушения течения перед поворотом. Более современ-
ные исследования дают следующее соотношение:
<371>
Значения, полученные при решении уравнения (371), согласу-
ются с рассмотренной моделью. Если r[D=\lb, то Д(1//С) = 0,314.
Следовательно, если Kg = 2, то
Ke = U/Kg+ Д(1/7<)]-1= 1,23.
Из уравнений (368) и (371) при 0=90°
о _ , ,__________________________2,2 ?
^ПОВ 1 X. /Л , *
^ПОВ.ЖО (2 + rID)
Таблица 20
Сравнение расчетных и экспериментальных значений коэффициента Впов
при повороте потока на 90°
Серия опытов r/D k жо ®пов’ полУченное Источник Примечания
по урав- нению (372) экспери- ментально
1 0 1,25 1,9 1,8 [29, 46] Тройник
2 1 0,31 3,4 3,4 [29, 46] Нарушение потока перед поворотом
3 1,5 0,174 4,6 4,5 [29, 46] —
4 1,5 0,282 3,2 3,4 [29, 46] Нарушение потока перед поворотом
5 2,36 0,25 3 По рис. 58 [87] —
6 5 0,234 2,3 2,4 [29, 46] k уменьшается с увеличением Re
7 5,02 0,3 2 По рис. 58 [87] —
В табл. 20 значения ВП0Б при 0 = 90° сравниваются со значения-
ми его, приведенными в работе [33], вычисленными с помощью
уравнения (372). Погрешность составляет ±6 %. Уравнение (372)
|орошо коррелирует данные рис. 54 для потока с нарушением пе-
ред поворотом (рис. 57).
i Приемлемость уравнения (372) и, следовательно, уравнения
4371) при возмущенном и невозмущенном течениях позволяет пред-
положить, что величины восстановления давления в обоих случаях
Одинаковы.
В Зак. 1134
129
Рис. 57. Зависимость относительного
падения давления от расходного мас-
сового газосодержания при возмуще-
нии потока перед поворотом трубки
(р= 8,3 МПа, радиус трубки 50,8 мм):
/ — по уравнению (369) при .8 = 3,2; 2 —
иа основе гомогенной теории; 3, 4 —
радиус кривизны соответственно 50,8 и
76 мм
Рис. 58. Зависимость параметра двух
фазности от параметра Локкарта —
Мартинелли при повороте иа 90°
(0=18 мм) [33]:
/ —r/D==2,36, С = 60; 2 — r/D-5,02, С-
= 40; 3 — О=2Й; 4—6 — r/D равно
соответственно 2,36; 5,02; <х
Коэффициент СпОв
Для трубы с поворотом, согласно уравнениям (263) и (372),
--------1 (71ов - 1) + 22~п — 2).
^пов.жо (2 + r/D) I
Если Г2пов»1, можно принять аппроксимацию
^пов = Люв 11 4 - |. (373)
L ^пов.жо (2 + r/D) I
На рис. 58 приведены данные [33] для течения смеси воздух —
вода при повороте горизонтальной трубы на 90° (относительные
радиусы кривизны 2,36 и 5,02; среднее давление 0,15 МПа;
Уг/уж=5б0). Показатель степени в формуле Блазиуса п~0,08;
относительная вязкость — 56. Тогда параметр физических свойств
[см. уравнение (362)] Г2Пов = 560-(5б) 0 08 = 406 ~202. При всех чис-
лах Рейнольдса коэффициент сопротивления при повороте ^П0в.жо
для течения однофазной жидкости приблизительно постоянен. Ис-
пользуя уравнение (373) и данные табл. 20, получаем
Спов = 20 Ц--------1.
L 0,3(2 + 5,02) J
Кривая на рис. 58 для относительного радиуса кривизны 5,02,
полученная с помощью уравнения (370), при этом значении коэф-
фициента Спов описывается уравнением
2 , , 40 , 1
<Рпов.ж — I 3 — 4---— .
Л Л2
Повороты, не равные 90°
Как уже обсуждалось в разделе «Коэффициент В», член, учи-
тывающий восстановление давления, одинаков как для возмущен-
ного, так и для невозмущенного течения перед поворотом. Пред-
положим, что восстановление давления после поворота при 0>9О°
будет таким же, как и при 0 = 90°. Тогда ВПов.е =1 + (бпов.эо—1) X
Х^пов.эо/^пов.е • Для поворота на 180° приближенно имеем
Апов.9(Дпов.18о = 0,5. Следовательно, Впов.180 = 0,5( l+SnoB,90). Анало-
гичные закономерности наблюдаются в опытах со смесями газ —
твердые частицы, текущими в трубах с поворотами на 90 и 180°.
При 0<9О° коэффициент Sn0B рекомендуется брать таким же, как
«ля 0 = 90°.
^лияние плоскости поворота
j Многие исследователи отмечали влияние плоскости поворота
|а падение давления. Деобальд пришел к выводу, что поворот в
Ввризонтальной плоскости, поворот с горизонтальным входом и
Вертикальным (вверх) выходом, поворот с вертикальным (вниз)
Входом и горизонтальным выходом дают примерно одинаковые па-
|ения давления. Однако при повороте с горизонтальным входом и
Вертикальным (вниз) выходом падение давления на 35 °Ь меньше,
Йм в других перечисленных случаях. Пешкин изучал случай гори-
юнтального входа и вертикального выхода как при. восходящем,
Вак и при нисходящем течении. Он установил, что при* нисходящем
5* 131
течении падение давления на выходе было на 10 % больше. Однако
опыты осуществлялись в канале прямоугольного сечения. Мохан,
проводя опыты в трубах круглого сечения, пришел к выводу, что
при вертикальном восходящем течении на выходе из поворота по-
тери давления довольно велики. Таким образом, имеющиеся дан-
ные весьма противоречивы и в настоящее время невозможно учесть
с достаточной степенью достоверности влияние плоскости поворота.
Пример 12. Необходимо оценить параметр двухфазности ср2пов.жо для смеси
пар — вода (расходное массовое газосодержание 0,2), текущей по трубе диа-
метром 51 мм при радиусах кривизны 51 и 76 мм. Возмущение течения перед
поворотом увеличивает падение давления однофазного потока по сравнению с
течением без возмущения на 60 %. Коэффициент гидравлического сопротивления
равен 0,013. Физические свойства фаз следующие: иж = 1,3938-10-3 м3/кг; ог=
= 22,54-10-3 м3/кг.
Относительный радиус кривизны rID = 51 :51 = 1. Из рис. 54 следует, что
z/D = 17.
Используя уравнение (361) для поворота при отсутствии перед ним возму-
щения течения, получаем &Пов.жо=0,013-17 = 0,221. Возмущение течения создает
60%-ное увеличение перепада давлений, т. е. £Пов.жо= 1,6-0,221 =0,3536.
Используя уравнение (372), имеем
2,2
Впов = 1 -г-------------= 3,074.
пов г 0,3536-(2 +1)
Уравнение (336) дает параметр двухфазности
( 22,54 X
Фпов.ж0= 1 + 1 (3-074-0,2-0,8 + 0,22) = 9,07.
\ 1,оУоо J
Радиус кривизны г=76 мм. Следуя описанной выше процедуре, полу-
чаем r/D = 76 : 51 = 1,5; г/£>=14; /гПов.жо= 1,6-0,182 = 0,291;
2,2
Впов= 1 + 0,291 (2+1,5) =3,16;
Фпов.жО = 9,276.
Кривая на рис. 57 соответствует радиусу кривизны 76 мм. Для радиуса
51 мм кривая легла бы несколько ниже.
Пример 13. Смесь паров н жидкого пропилена течет по трубе диаметром
45 мм (массовая скорость 382 кг/(м2-с), расходное массовое газосодержание —
0,202). Необходимо оценить падение статического давления, обусловленное по-
воротом трубы на 90°, при радиусе кривизны 90 мм с учетом влияния восста-
новления давления, а также приблизительное падение давления при повороте ее
на 180°. Физические свойства фаз следующие: рг=14,8 кг/м3; рж=530 кг/м3.
Предполагается, что смесь несжимаема, а фазовые изменения незначительны. Ко-
эффициент гидравлического сопротивления равен 0,029.
Поворот на 90°. Относительный радиус кривизны r/D=90 : 45 = 2. Из рис. 54
следует, что эквивалентная длина поворота г/О = 12.
Исходя из уравнения (359) в однофазном потоке жидкости падение давле-
ния, связанное с поворотом трубы,
0,029-12-3822
АРпов.жо— п con =47,91 Па.
Z • OoU
Из уравнения (361) имеем £ПОв = 0,029-12 = 0,348.
Из уравнения (372)
_ 2,2________
пов-1-Ь 0,348(2 + 90:45) = 2,58’
132
Используя уравнение (369) при п—0, получаем
<Рпов.жО= 1 + (530:14,8— 1) (2,58-0,202.0,798 + 0,2022) = 16,9
Л падение давления в двухфазном потоке
АРпов = 47,91-16,9 = 809,5 Па.
Поворот на 180°. Следуя описанной выше процедуре, получаем
Дрпов-жо = 47,91-2 = 95,9 Па; £пов = 2-0,348 = 0,696.
Из уравнения (372)
2,2
Вп = 1 +-----------------= 1,79.
0,696(2 + 90:45)
Используя уравнение (369), имеем
Фпов.ж0= ’ + 34,81 (1,79-0,202-0,798 + 0,2022) = 12,46.
При повороте на 180° падение давления в двухфазном потоке — Дрпов =
=95,9-12,46=1195 Па.
Глава 10
ТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Рассмотрим течение несжимаемых двухфазных смесей через
диафрагмы и другие местные сопротивления. Если отношение дав-
лений до местного сопротивления и после него не меньше 0,9, мак-
симальная ошибка, вводимая допущением о постоянстве плотности
газа, будет меньше 10 %.
Модель, предполагающая отсутствие касательного
напряжения на поверхности раздела фаз
Если фазы текут через диафрагму раздельно (рис. 59), то для
жидкости (пренебрегая изменением количества движения на диаф-
рагме) имеем
- Арж = (1 - xf/2 - (М/А)* • иж, (374)
а для газа
— Дрг = х2/2 • (М/А)2 иг. (375)
Если на поверхности раздела фаз нет касательного напряже-
ния, то они характеризуются одинаковым падением давления в
Двухфазном потоке. Следовательно,
- Ар = (1 - х)2/2 • рИМж)2 • уж (376)
и
— Др =х2/2-(Ж4г)2-уг. ’< . (377)
133
Рис. 59. Распределение фаз при те-
чении через диафрагму с острыми
краями:
1, 3 — фазы соответственно паровая и
жидкая; 2 — поверхность раздела; Ад —
площадь поперечного сечения диаф-
рагмы; ДдГ> Ад ж — то же, занятая соот-
ветственно газом и жидкостью
Площади поперечных сечений фаз связаны с общей площадью
поперечного сечения потока смеси следующим образом:
А = Ат + Аг. (378)
Из уравнений (374)—(378) имеем
(Ар/Арг)*/! = (Арж/Арг)1/г + 1 (379)
или
Ар/Арг = 1+2 (Арж/Арг)‘/2 + Арж/Арг. (380)
Используя параметры двухфазности и Локкарта — Мартинелли,
эти уравнения можно записать в следующем виде: фг=1+Х или
Ф2Г= 1 + 2А+X2, где коэффициент «2» означает, что отношение ско-
ростей равно (Уг/^ж)1/2- Это можно видеть более отчетливо, если
переписать уравнения (376) и (377): —Ар = п2ж/2+к и —Ар =
= п2г/2иг. Совместное решение этих уравнений дает К=иг/иж =
= (Vr/M1/2.
Уравнение (379) имеет вид, впервые предложенный в работе
[78]. Соответствующий график показан на рис. 60, а условия экспе-
риментов приведены в табл. 21. Эти данные могут быть с доста-
точной точностью описаны уравнением (Ap/jApr)|/2= 1 +1,26 X
X (Арж/Арг) '/2, недостаток которого заключается в том, что при
течении одной только жидкости (Ар/Арж) ,/2->-1,26, а не к 1.
Зависимость, представленная графически на рис. 60, достаточ-
но точно описывается уравнением
Ар/Арг = 1 +2,66 (Арж/Арг)‘/2 + Арж/Дрг. (381)
Теория, основанная на постоянстве отношения скоростей
При постоянном отношении скоростей вдоль потока получаем
простое теоретическое решение. Из баланса сил для текущей смеси
—Adp = Mdu3, где эффективная скорость смеси иэ определяется по
уравнению (149). Тогда —dp = Gdu3-
134
i Рис. 60. Зависимость <рг от X при течении через диафрагму с острыми краями,
f рассчитанная по формуле (fr= (1 + 2.66Х+Х2)‘/2 [78]
Из уравнений (149) и (379) имеем
— oBdp = «3d3u8. (382)
гЕсли газ несжимаем и отношение скоростей постоянно, то эффек-
тивный удельный объем уэ также постоянен. Уравнение (382) мо-
Ькет быть проинтегрировано по длине вплоть до сужения потока:
Лр = п2э.п/2г':,(1—о2), где индекс «п» указывает на параметры
|смеси при минимальном поперечном сечении потока; а — отноше-
|йие проходного отверстия диафрагмы к поперечному сечению по-
рока перед ней.
Кроме того, —Арж=(1—х2)-О2п/2-иж(1—о2), следовательно,
Ьр/&рт = --^--------. •. (383)
(1—Х)2УЖ
135
Решая совместно уравнения (145), (374), (375) и (383), получаем
Ар/Арг = 1 + С (ApJApr)t,z + Ар;,./Др,., (384)
где C = l(0A),/! + K^r)’/! (385)
или С == Z + 1/Z; (386)
Z = 1/K.(^)V2. (387)
где Z — коэффициент.
Из уравнения (381) С = 2,26, откуда Z = 2,l. Следовательно, ис-
ходя из уравнения (387),
Поскольку относительная плотность в опытах [78] изменялась
от 15 до 1200, полученное значение К изменяется от 1,85 до 16,5,
Возможен и другой вывод уравнения (384), в котором не ис-
пользуется эффективный удельный объем смеси иэ. Из баланса
сил для текущей смеси имеем —Adp=xMdur + (1—x)/Wdw®. По-
скольку отношение скоростей принято постоянным, К—du^/du-^,
откуда
Комбинирование уравнений (18) и (388) дает
_ ДУ + КО-*)?,« d d (389)
-V-т (1 ~х)/к
С учетом уравнения (26) можно записать —yCMdp = «rdwr. Инте-
грирование уравнения (389) дает
_ хрг+К(1-х)уж д цг.п /J _
х + (\-х)1К р 2 ’’
а с учетом уравнения (18) будем иметь
— Ар =^[xvr + K(\—x)v№] (х+ •
Данное уравнение может быть преобразовано в выражение
(384).
На рис. 61 приводится сравнение расчетов по уравнению (384)
с данными Бизона [14] для течения паро-водяной смеси через ди-
афрагмы с острыми краями при давлении 8,3 МПа. Данные Бизо-
на хорошо корреспондируются с расчетными при С=2,34, что, со-
гласно уравнениям (386) и (387), соответствует отношению скоро-
стей 2,26.
1 QA
Рис. 61. Зависимость <р1К—1 от 1/Х при течении паро-водяной смеси через диаф-
рагму под давлением 8,3 МПа [14], рассчитанная по формуле (р2ж = 14-2,34/Х+-
+ 1/Х2
Уравнения, выраженные через Ар1&ржо
Уравнение (384) может быть записано в следующем виде:
Др/ДРжо = 1 +(уг/уж— 1)[5х(1 — х) 4-х2], (390)
где
В = C-C^L—~ j (391),
(пг/иж) 1
или после подстановки уравнения (385)
В = (vr/vnd ~Ь К 2 (392)
(»г/»ж) — 1
Нормализованный параметр двухфазности был рассмотрен и
использован в разделе «Параметры двухфазности». Определяя
Ф как
137
ф = — I
(уг/иж) 1
уравнение (390) можно записать так:
4 = Вх (1 — х) + х2. (394)
Из уравнения (392) при уг/уж5>1 имеем 5=1//(, следовательно,
уравнение (390) может быть аппроксимировано выражением ф =
= 1//С-лг(1—х)+х2. Можно пользоваться приближением ф=х1-5.
(393)
Модель, учитывающая касательное напряжение
на поверхности раздела фаз
В работе [63] исследовалось течение гомогенных смесей через
диафрагмы. Общий баланс сил на диафрагме записывался следу-
ющим образом: (р,—р2)Ал-Х-Р = Ми, где F— сила, обусловленная
падением давления на поверхностях отверстия диафрагмы;
F = fM*/(pAj, (395)
/ — коэффициент местного сопротивления;
/ = 1/Сс—1/2С2; (396)
Сс — коэффициент сжатия при течении несжимаемой смеси, зави-
сящий от ее свойств [63].
Допущение о том, что уравнения (395) и (396) справедливы для
каждой фазы в процессе двухфазного течения, приводит к следую-
щим выражениям для баланса сил с учетом взаимодействия фаз:
(Рх - р2) А.Ж + f (397)
И
(Pl — Pz)Aa.v + f ~S (398)
лд.г
Эти уравнения предполагают, что изменение количества движе-
ния после диафрагмы незначительно. Уравнения сохранения массы
для фаз следующие:
(1-х)Л4 = Л4ж=Лж«ж/иж; (399)
хМ = Мг = Ariir/vr. (400)
При допущении, что С’с = С’г=Сж, получаем
Лж = СсЛд.ж; (401)
А = Сслд.г- (402)
Совместное решение уравнений (396) — (402) дает
2
(Р1-р2)пж|1+ л --1=^- (403)
I Лж (pt — р2) J 2
188
и
2
(Pi - РМ И ~ —~Сс 1 = • (404)
L 'Мр1— р-2) ! 2
Пусть
е SCc
SQTH =--------2--- .
4г(/?1-р2)
Подставив Sqth в уравнения (403) и (404), получим
2
(Л — p2)v.j\ ; (405)
(Р1 — р2) V? (1 — Soth) = -у- - (406)
из которых К = «г/мж = 1/Z • (t'r/г'ж)1'2,
где
2 _ / 1 4- Sqth ’^г/4Ж \1 /2
\ 1 ^отн /
Уравнения (405), (406) могут быть преобразованы [24] в урав-
нения вида (384) и (390). Определяя Л4ЖП как расход однофазной
жидкости, при котором перепад давлений такой же, как в двухфаз-
ном потоке, уравнения (384) и (390) можно записать [24] так:
Л4Ж.ПЛИЖ = (Ар/Арж)'Л = (1 + С)Х 4- 1/Х2)' 2
и
ЛкЛи = (Ар/Арш0),/2 = {1 + (иг/иж - 1) [Вх(1 - х) -4 х2]}. (407)
Коэффициент сжатия зависит от формы канала отверстия и для
несжимаемого потока определяется из уравнения
Сс =-------------1—.
0,639(1 —о) '2 4 1
(408)
Эффективное отношение скоростей для диафрагм
В работах [36, 84] представлены результаты экспериментального
исследования системы пар — вода при течении ее через диафрагмы
и построены графики зависимости ф [см. уравнение (393)] от мас-
сового расходного газосодержания х (рис. 62). При малых значе-
ниях х, соответствующих значениям параметра Локкарта — Марти-
нелли больше единицы, эти кривые описываются уравнением (407)
при
В = \/К0. (409)
При Х>1 Ко определяется по выражению (112), а при Х<1 —
по выражению (ИЗ). - ‘
139
Рис. 62. Зависимость ф от х (данные Чисхолма):
а—г — давление соответственно 1, 3, 5 и 7 МПа; / — согласно гомогенной теории; 2 —
предсказанное Дрсм(±20%); 3 — рассчитанная по уравнениям (407) и (409); 4—7~ диа-
метры диафрагмы и трубы (в мм) соответственно 19 и 32; 22 и 32: 25 и 32: 19 и 44
Уравнения (112) и
или, если исходить из
(113) дают идентичные значения при Х=1
расходного массового газосодержания, при
1
1 + (Уг/Уж)1/2
(4Ю)
Из рис. 8 видно, что переход к кольцевому течению наблюда-
ется при параметре Локкарта — Мартинелли, несколько большем 1.
Соответствующие переходу значения х равны 0,708: 0,119; 0,153 и
0,182 при давлениях 1, 3, 5 и 7 МПа, поэтому для сравнения с дан-
ными, представленными на рис. 62, следует использовать формулу
(И2).
Значительная часть данных, опубликованных в литературе, от-
носится к значениям расходного массового газосодержания, кото-
рые больше полученных из уравнения (410) при одинаковых дав-
но
Рис. 63. Зависимости ср>к—1 от 1/Х:
/ — данные [95]; 2, 3 — рассчитанные соответственно по уравнениям C-(oroM/or)l/S+
+ <»гЛ'гом)1/2 и И’шИ4—) I/4
лениях. В табл. 21 экспериментальные значения коэффициента С
для Х< 1, полученные разными исследователями, сравниваются со
значениями, рассчитанными по уравнениям (385) и (409). Из этих
уравнений
С = + (иж/иг)1л. (411)
За исключением данных, приведенных в работах [61] и [78],
рассчитанные и экспериментальные значения коэффициента С сов-
падают в пределах ±15 %. Ошибка при определении падения дав-
ления существенно меньше. Из уравнений (391) и (411) можно
получить соответствующие выражения для коэффициента В:
от__ (Рг/^ж) /4 + (^г/Рж) — 2 /41 ОУ
Ы«ж)~1 ‘ ' 1
При (Уг/Уж)'./2>1 В= (уж/Уг),/4.
141
На рис. 63 расчетные данные сравниваются с эксперименталь-
ными [95] для системы пар — вода. Условия, при которых проводи-
лись эксперименты, приведены в табл. 21.
Зависимость отношения скоростей от расходного
массового газосодержания
Проведенный анализ позволяет считать, что отношение скоро-
стей при течении через диафрагму не зависит от х (за исключе-
нием случаев, когда х малы). Это согласуется с теорией. Касатель-
ное напряжение между фазами может быть выражено следующим
образом:
Т(. =А(иг-иж)Х. (413)
где скорости фаз соответствуют скоростям при сужении канала.
В работе [24] было показано, что
к =_______^г/г-'ж) Л. (414)
[1 + (1 - 1/К)2 ср]1/*
В этом уравнении ф = СсЛг-Л1Д/(4гЛж).
Если жидкость течет в виде капелек, то площадь поверхности
раздела фаз в единице объема может быть выражена как 4г =
= NKnd2, где NI; — число капелек в единице объема смеси; d — диа-
метр капельки. Объем капель в единице объема смеси ЛЖ = Л'КХ
Хл/6-t/3. Отсюда Аг/Аж = б/t/. Таким образом, если диаметр постоя-
нен, то .4;/4;I; = const. Аналогично, при высоких значениях х отно-
шение A;/Ar-M. Таким образом, с увеличением массового газосо-
держания (f-^const. Тогда, согласно уравнению (414), отношение
скоростей также стремится к величине, постоянной для данной от-
носительной плотности, что соответствует экспериментальным дан-
ным.
Течение через трубки Вентури и насадки (сопла)
Данные, характеризующие течение через насадки и трубки Вен-
тури, приведены в табл. 22. Из-за ограниченности информации в
табл. 22 включены также данные для сжимаемой жидкости и те-
чения с мгновенным испарением.
Результаты, изложенные в работе [14] для течения системы
пар — вода через трубку Вентури при давлении 8,3 МПа, показаны
на рис. 64. Они удовлетворяют уравнению (384) при С = 2,6, что
лишь незначительно больше С=2,504, полученного для диафрагм
при расчетах по уравнению (411). В опытах [77] со смесями воз-
дух— вода, текущими через трубку Вентури при давлении, близ-
ком к атмосферному, было установлено, что истинное объемное
газосодержание аппроксимируется уравнением Арманда для тече-
ния в трубах: а = 0,833 р. Если исключить данные [50] для насадок
142
Таблица 21
Экспериментальное исследование потоков через диафрагмы с острыми краями
Рис. 64. Зависимость <рж—1 от I/Х при течении смеси пар — вода через трубку
Вентури (р=8,3 МПа) [14], рассчитанная по формуле ср2ж = 1 +2,6/Х+ 1/Х2
с круглым входным отверстием и данные для сопла Лаваля, ис-
пользованные в работе [58], то эффективное отношение скоростей,
полученное экспериментально, совпадает с Ко [см. уравнения (112)
и (113)]. Данные для насадки с круглым входным отверстием при-
ближенно удовлетворяют отношению скоростей
К = К°0< (415)
Пример 14. Диафрагма диаметром 25,4 мм установлена в трубе диаметром
50 мм. Падение давления на диафрагме равно 10 МПа, когда массовая ско-
рость смеси равна 500 кг/(м2-с). Физические свойства смеси следующие: vr=
= 32,4-10-3 м3/кг; ож = 1,3185-IO-3 м3/кг. Необходимо оценить расходное мас-
совое газосодержание, если считать, что смесь несжимаема.
В однофазном потоке
— АРжо = ^2/2рж [ 1/(Сср)2 1].
Если Сс = 0,61, то Сса=0,61 (25,4 : 50)2=0,1574, откуда
5002-1,3185 / 1
— Арж0— 2-103 ^о,1574а
= 6487 Па;
14
2 10 000 , E,„
’"«•-'SS’-1'542'
_ _ 0Л42 _
™ (32,4:1.3185)—I 23,57
Из уравнения (394) ф = Вх(1—x)+x2 или (1—B)x2+Bx—ф=0. Отсюда
— В + [В2 4-4 (1— В) ф]1/а
х~ 2(1—В)
Если Х<1, то из уравнения (412)
24,57*/‘ 4-24,571/1 — 2
23,57
= 0,475,
следовательно,
— 0,475+(0,2256 4- 4-0,525-0,(ИЗ)1/1
х— 2-0,525 —0,0461.
При этом значении х параметр Локкарта—Мартинелли
„ 0,9539/ 1 \*/2
X =-------( -----) = 4,175.
0,0461 \24,57/
Поскольку .¥>1, коэффициент В следует оценивать с помощью уравнения
(112). При этом необходимы итерации, поскольку теперь коэффициент В явля-
ется функцией х:
В = (1 + 0,0461 -23,57)~*/а = 0,6923,
— 0,6923 + (0,4792 + 4-0,3077-0,023)
х- 2-0,3077 - 0,0326;
В = (1 + 0,0326-23,57)_,/а = 0,7520;
— 0,7520+ (0,5655 + 4 0,248 • 0,023),/а
х =------------*-----2+7548--------—— =0,03028.
Если принять х=0,0297, то
| В = (1 + 0,0297-23,57)~1/а =0,767;
— 0,767+ (0,5883+ 4-233-0,023) *''2
х— 2-0,233 — 0,0297.
При оценке коэффициента В для простоты вместо уравнения (147) в дан-
ном примере использовано уравнение (148).
Глава 11
ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ СМЕСИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ТРУБЫ
Рассмотрим методы определения падения давления, связанного
с изменением поперечного сечения канала (рис. 65) в случае, когда
фазы практически несжимаемы. Следует отметить, что рассмат-
риваемые методы не касаются прогнозирования потерь напора или
Механической энергии. Автор применяет нетрадиционные коэффи-
S Зак. 1134 145
Рис. 65. Поперечные сечения каналов и распределение статического давления:
а, б — соответственно резкие сужение и расширение; в, г — тонкая и толстая диаф-
рагмы
сопротивления, так как в данной книге использу-
уравнения изменения количества движения, а не
циенты местного
ются в основном
энергии; обычно необходимо знать статическое давление в системе
пар — жидкость, поскольку оно определяет расходное массовое га-
зосодержание; потери напора или энергии известны только в том
случае, когда известна кинетическая энергия, а кинетическую энер-
гию двухфазного потока точно определить не удается.
Сначала разрабатываются методы, предполагающие постоянст-
во плотности смеси при течении ее через какое-либо местное сопро-
тивление, затем создается теория для случая, когда с изменением
скорости изменяется плотность смеси.
Коэффициент падения давления
Определим, как и при поворотах трубы [см. уравнение (360)],
коэффициент падения давления
А = — 2Ар _ _ 2Ар
u2/v G2v
где Ар — повышение статического давления.
146
(416)
Если поперечное сечение
изменяется, то скорость или
массовая скорость перед мест-
ным сопротивлением известны.
При внезапном сужении кана-
ла (рис. 66, б) и течении од-
нофазного флюида падение
давления в горизонтальном
потоке
— ДР12 = иг/2и — ul/2v =
= G?o/2.[l/(Cc0)>-1]. (417)
Уравнение для восстанов-
ления давления после суже-
ния канала следует из урав-
нения баланса количества дви-
жения:
Др23 = 1/Д3-(Л4и2 — Ми3) =
= :Сзи(1/Сс-1).
Тогда общее падение давле-
ния в месте сужения трубы
-Ap13=G?u/2.[l/(Cco)2-
— 1 — 2/<т2 (1/Сс — 1)],
откуда коэффициент падения
давления
Л = 1/(Ссст)2—1 -2/о2-(1/Сс-1),
(418)
Таким способом коэффици-
ент падения давления можно
получить и для других случа-
ев изменения сечения (мест-
вых сопротивлений):
поворот — k = X(z/Z))3X
Рис. 66. Структура потока при из
менении сечения канала:
Х20П(1в/18О; а, б — соответственно резкие расшире-
резкое расширение - k= ™^аХение; в' г-тонкая и толстая
=---2/о (l-1/о);
£ внезапное сужение— 1/(Ссо)2—1—2/о2- (1/Сс—1);
тонкая диафрагма — й=1/(Ссо)2—1—2[1/(Ссо) — 1];
. толстая диафрагма—й=1/(Ссо)2—1—2/о2-(1/Сс—1)—2(1/о—1).
Значение коэффициента Сс определяем по уравнению (408),
‘(z/Z))g — по уравнению (359); о — отношение площадей сечения
После местного сопротивления и до него, G определено в расчете
Йа площадь сечения до местного сопротивления.
6*
147
Если имеются эмпирические значения коэффициентов k, пред-
почтительнее использовать их. Если смесь поступает в трубу из
очень широкого сосуда (относительное сужение должно быть от-
личным от нуля), определить коэффициент падения давления пос-
ле местного сопротивления довольно сложно. В этом случае коэф-
фициент может быть определен относительно поперечного сечения
трубы.
Модель, предполагающая постоянство удельного объема
Рассмотрим двухфазное течение, в процессе которого удельный
объем остается постоянным. Уравнение (416) принимает следую-
щий вид:
й=-(2Др)/(С2иэ), (419)
где k имеет то же значение, что и при однофазном течении.
Аналитическое решение, позволяющее определить эффективный
удельный объем, дано в гл. 4.
При течении жидкости уравнение (416) принимает вид
& = — (2Држ0)/(О2иж). (420)
Из уравнений (419) и (420) имеем
= уэ/уЖ) (421)
где Д/2жо — повышение давления в том случае, когда вся смесь
течет как жидкость.
Используя уравнения (146) и (421), получаем Др/Држ0=1 +
+ (Ur/^ж— 1)[Вх(1—х) + х2].
Из уравнений (158) и (421) имеем Др/Држ= 1 + C/XM+1/Х2м.
Значения коэффициента С приведены в работе [37], а коэффи-
циента В для приближенных расчетов — в работе [25]. С помощью
уравнения (161), зная значение коэффициента В, можно получить
коэффициенты С.
При резком расширении канала В = 0,5 [см. уравнения (148) и
Аэ = Ло0’28]; резком сужении — В=1; для тонкой и толстой диаф-
рагм В равен соответственно 0,5 и 1,5; для шарового клапана —
2,3; запорного клапана при z!D<_0,b и z!D>0,§—соответственно
0,5 и 1,5; для дроссельного и диафрагменного клапанов — 0,5; для
пробкового крана—1,5. Для поворотов коэффициент В вычисляют
по уравнению (372).
Модель переменной плотности
Рассмотрим случай, когда поток вдоль трубы через дискретные
интервалы характеризуется разными постоянными коэффициен-
тами В. На всем пути течения смеси расходное массовое газосодер-
жание и удельные объемы фаз остаются постоянными. Например,
между сечениями 1 и 2 канала, показанного на рис. 66, имеем
\рп = Држ012 {1 + (пг/пж — 1) [В12х (1 — х) + х2]}, (422)
148
а между сечениями 2 и 3 —
Ари = Држ0 23{1 + (уг/уж — 1) [ВгзХ(1 — х) + х2]} (423)
и так далее. Коэффициенты В — средние значения на выбранном
отрезке. Суммирование по трем отрезкам дает
Дри = Држ014 {1 + (ц,/иж — 1) [Вх(1 — х) + х2]}, (424)
где
ДРм = ДРхг + Др23 + Лр34 (42b)
и
ДРжО 14 = ДРжО 12 “Ь ДРжО 23 ДРжО 34‘ (426)
Определим отношения площади в начале каждого участка к
площади в начале канала:
о2 = Д/А; (427)
о3 = А^АУ; (428)
о4 = Л4/Д. (429)
Тогда коэффициент В в уравнении (424) можно выразить так:
з
5 — ° _ felg12 + (fe2523/gi) + (Йз534/°з) (430)
У Држо Й1 + (Л?2-/СТ1) + (Аз/сг1)
1
Коэффициент падения давления определяют относительно мас-
совой скорости в начале каждого отрезка. В более общем виде,
для п отрезков, имеем
------. (431)
2*/<72
1
1
L Когда коэффициент падения давления определяют относительно
[Скорости в начале канала, уравнение (430) упрощается до
s
J В = . (432)
Sk
: i
i
>Ценка местных значений средних коэффициентов В
; Коэффициенты В для сужения канала были выведены и обсуж-
ены в гл. 10. Прежде чем использовать уравнение* (431), необ-
149
I
Рис. 67. Восстановление давления при резком расширении канала (смесь пар —
вода, р=0,82 МПа, а= 1,832) [41]:
1—3 — массовые скорости соответственно 2476; 1976 и 993 кг/(м2 с)
ходимо рассмотреть методы решения в случае расширения канала
в направлении потока.
Для резкого расширения на выходе из трубы (если предполо-
жить, что существует равновесная плотность потока количества
движения до расширения и после него), используя уравнение К3 =
= Koo,2S, получим
В= 1//С?’28. (433)
При этом (рис. 67) можно получить завышенные значения дав-
ления после местного сопротивления. Однако при более сложной
геометрии канала, включающей расширение, это уравнение дает
хорошее совпадение с экспериментом. Уравнение (433) рекомен-
дуется использовать также при наличии диффузора на выходе из
трубы.
Если за сужением следует расширение, получаются более слож-
ные уравнения, поскольку на входе в расширенный участок нет
равновесной плотности потока количества движения.
Рассмотрим резкое сужение после диафрагмы с острыми края-
ми, т. е. после тонкой диафрагмы (рис. 66, в). Баланс сил между
сечениями 2 и 3 дает
Др = MF2/A2 — MF3/A3 = G23vm (1/Сс • иэ2/<тож — иэз/иж), (434)
из которого, используя уравнение (432), получаем
В =
1/(СсаК0)- 1//ф23
1/(Сса) — 1
(435)
150
где отношение скоростей в критическом сечении предполагается
равным Ко, а после него — /С00,28-
С учетом уравнения (415) для расширения, следующего за
соплом,
в !/«*)-1//<°-2з
(1/а)— 1
Ниже места сужения на входе в трубу
в 1/(Сд^)-1/^’28
1/Сс-1
На входе в трубу после диафрагмы с круглыми краями отноше-
ние скоростей изменяется от Ko0,i (непосредственно у входа) до
Ко0,28 (ниже по течению, после местного сопротивления). В этом
случае получаем уравнение, аналогичное уравнению (434): Ар =
= б2иж (v^/v^—иэ3/иж). Следовательно,
Bk = 1//С8*4— 1/Ло’28. (437)
Запись Bk означает, что при Арж0 = 0 k — 0.
Сужения у входа в трубу
С учетом уравнений (431) и (436) для трубок с острыми вход-
ными отверстиями перед сужением и при расширении после су-
жения
в = [1/(Сс<л)^— 1]-I/KO — 2/(СсСТ^0)+ 2/(CT^g’28)
1/(Соа)« - 1 - 2/(Саа2) + 2/а2
Экспериментально было доказано [45], что при резком расши-
рении канала изменение давления удовлетворительно описывается
гомогенной теорией. Это может показаться странным, если учиты-
вать зависимость В от Ко в уравнении (438): при о = 0,01, Сс = 0,61
[см. уравнение (408)], Ко, равном 1,1; 2; 5, В равно соответственно
1; 0,96; 0,82; при о=0,1, Сс = 0,62 и тех же значениях Ко В равно
соответственно 1; 0,98; 0,84; при о = 0,5, Сс = 0,69 и тех же значе-
ниях Ко В равно соответственно 1; 1,18; 1,12. Из приведенных дан-
ных видно, что даже при отношении скоростей в месте сужения
канала Ко = Ъ расчетное значение В близко к единице (В>0,82, что
зависит от относительной площади сечения). Прогнозные значения
в пределах 18 °/о совпадают со значениями, полученными на основе
гомогенной теории . Коэффициент сжатия [см. уравнение (408)]
1(1/Сж)-1](1-а)1/2+ 1 ’
где Сж — коэффициент сжатия для жидкости, принимаемый рав-
ным 0.61, когда о = 0.
151
Рис. 68. Зависимость ф2ж0 от х при течении смеси пар — вода через диафрагму
толщиной 2,54 мм с прямоугольной щелью (12,7X44,5 мм) при давлении
6,9 МПа [62]:
1 — <т=0,6; Сс=0,77; 2— а—0,42, Сс = 0,75; 3 — на основе гомогенной теории; 4 — по урав-
нению <Р2ж0= 1 + (чг/иж—О[^х(1—х) +х2], коэффициент В взят из уравнения (440)
Для канала круглого сечения, используя уравнения (431) и
(437), получаем
(1/(72 — 1)-1//<0.4 + 1/АГ0,4_ 1/АГ0.28 1/(т2.1/АГ0.4_1/К0.28
75 = . _ - = ----------------------- (4оУ)
I/O2— 1+* I/O2— 1
Тонкие диафрагмы
Для тонкой диафрагмы с острыми краями с учетом уравнений
(431) и (435)
В = П/(Сса)2- 1]-1/К0-2/(аСсК0) + 2/К°’28
1/(Сса)2-1-2/(Сса) + 2 ’ 1
На рис. 68 кривая зависимости ф2ж0 от х, полученная с учетом
уравнения (440) для течения смеси пар — вода через тонкую диаф-
рагму, сравнивается с данными, приведенными в работе [62], боль-
шая часть которых получена при относительной площади сечения
0,42 и коэффициенте сжатия 0,75. Уравнение (439) дает В=0,61
для условий, когда Х<1. Это соответствует кривой 4, которая хо-
рошо согласуется с эксперйментальными данными. Кривая, по-
строенная при относительной площади 0,6 и коэффициенте сжатия
0,75, соответствовала бы В = 0,74 и имела бы значения примерно на
10 % выше значений, соответствующих кривой 4.
При использовании толстой диафрагмы в отверстии отмечается
частичное восстановление давления (см. рис. 66,г). В работе [77]
описаны испытания, при проведении которых использовали насадки
с острыми краями (длина 0,76—38 мм, диаметр отверстия 12,7 мм).
Минимальное падение давления, при котором наблюдались макси-
мальное восстановление давления и минимальное трение, было по-
лучено при длине насадки 25,4 мм. При длине диафрагмы 6,4 мм
происходит некоторое восстановление давления. Если за критерий
для максимального восстановления давления принять отношение
длины насадки к диаметру отверстия, то тонкая диафрагма долж-
на иметь z/d<0,5, а толстая — z/d>2.
Толстые диафрагмы
С учетом уравнений (431), (433) и (436) для толстой диаф-
рагмы
в = [ 1/(Ссч)2 — 1 ] 1/К, — 2/(Ccg^,)-|2/(g2A'g ’28) — (1/g — 1)'2//Cg’28
1 /(Сса)2 - 1 - 2/(Сса2) + 2/а2 - 2/а + 2 ' ' ’
j На рис. 69 сравниваются значения <р2ж0 при разных значениях
х, полученные с помощью уравнения (441), с экспериментальными
данными [62] для смесей пар — вода, текущих через толстые диаф-
рагмы. При о=0,492 В=1,54, а при о=0,42 В=1,37 (см. кривую 1
на рис. 69).
Запорная арматура
I Мы не располагаем достаточной информацией о падении дав-
ления двухфазного потока на клапанах. В работе [46] описаны
Ьпыты, выполненные с использованием запорных кранов в трубе
(Иаметром 49 мм. Кроме того, имеются результаты экспериментов
> запорными кранами в трубе диаметром 125 мм. На рис. 70 пред-
ставлены данные, которые могут быть аппроксимированы коэффи-
(иентом В = 1,5. Другие результаты хорошо согласуются с корре-
ляцией для диафрагм, рассмотренной в гл. 10. Это очевидное про-
’иворечие может быть объяснено тем, что кран большого диаметра
(дентичен тонкой диафрагме, а кран малого диаметра — толстой
диафрагме. Следовательно, запорные краны можно рассматривать
Как толстые или тонкие диафрагмы. Эффективная длина должна
рыть равной седлу крана, а диаметр — диаметру проходного се-
рения. Если предпочтительнее получить завышенное*падение дав-
153
Рис. 69. Зависимость <р2ж0 от х при те-
чении смеси пар — вода под' давлением
6,9 МПа через толстую диафрагму [62]:
/ — по уравнению <р2.ж0=1 + (ог+иж—1) X
Х[Вх(1—х)+х2], коэффициент В взят из
уравнения (441); 2—на основе гомогенной
теории; S — размеры щели 12.7X44,5 мм, а —
«*0,42, Сс~0,66, толщина диафрагмы
12.7 мм; 4 — размеры щели 12,7X44.5 мм,
0=0,42, Сс«0,68, толщина диафрагмы
0,354 мм; 5 — диаметр диафрагмы 25.4 мм,
0=0,492, Сс=0,67, толщина диафрагмы
0,254 мм
Рис. 70. Зависимость <р2ж0 от х при те-
чении смеси пар — вода через запорный
клапан под давлением 8,3 МПа [45, 28]:
/ — В = 1,5; 2— гомогенная модель
оаботе [251 было показано, что для
г L _________о___ООПпЯ
ления, принимают В=1,51. В работе [25] было показано, что дл»
шаровых кранов хорошая корреляция достигается при В = 2,3. Для
дроссельных и диафрагменных клапанов рекомендуется принимать
В = 0,5, для пробковых кранов — В = 1,5. Коэффициенты В рекомен-
дуется использовать также в тех случаях, когда клапаны частично
закрыты.
Пример 15. Смесь паров и жидкого пропилена течет по трубопроводной
системе (массовый расход 0,6075 кг/с, расходное массовое газосодержание х=
=0,202). Плотности жидкости и пара равны соответственно 530 и 14,8 кг/м3.
Необходимо оценить падение давления при резком сужении трубы (входное от-
верстие с острыми краями) от 300 до 45 мм; при резком расширении трубы от
45 до 80 мм; при резком расширении трубы от 80 мм до 2 м; у шарового крана
при 6=1,7 в трубе диаметром 45 мм.
Резкое сужение трубы от 300 до 45 мм. С учетом восстановления давления
после сужения однофазный коэффициент 6=1/(Ссо)2—1—2/о2(1/Сс—1), а а =
= (45 : 300)2=0,0225.
Используя уравнение (408), получаем
с 0,64 (1 — 0.0225)2 + 1
Тогда
/ 1 \2 2/1
k = (--------- ) — 1 —-------( -----— 1
\0,615-0,0225/ (0.0225)2 \ 0,615
Поперечное сечение перед сужением А = л/4-0,32=0,07 м2, а массовая скорость
Gi = 0,6075 : 0,07 = 8,59 кг/(м2-с).
Используя уравнение (375), имеем
8,592
= -2749= 191 >5 Па.
z • ооО
На основе гомогенной теории
срж0 = 1 + 0,202 (530:14,8— 1) = 8,032,
откуда падение давления двухфазной смеси
— Ар = 191,5-8,032 = 1538 Па.
Резкое расширение трубы от 45 до 80 мм. В этом случае 6 = —2/а(1—1/а)
2 / 1 \
Относительная площадь о= (80 : 45)2=3,16, откуда k= — —--- 1 —----- 1 —
3,16 \ 3,16/
—0,4325
Массовая скорость, отнесенная к поперечному сечению перед местным со-
противлением,
G = 8,59 (300:45)2 = 382 кг/(м2-с).
Используя уравнение (416), будем иметь
3822
Аржо= „ -0,4325 = 59,54 Па.
Z ’ООО
Параметр Локкарта — Мартинелли
х 0,798
- 0,202
= 0,66,
рткуда, используя уравнение (ИЗ), получаем
= Фг/гж)1/4 = (530:14,8)‘/‘ = 2,446.
|Из уравнений (148) и Кэ = К0°’28
________1
5 = 2,4460’28
= 0,7784,
i
г
следовательно,
[. Фжо= 1 + (530:14,8— 1) (0,7784-0,202-0,798 + 0,2022) = 6,788,
1
а величина восстановления давления двухфазного потока Др = 59,54-6,788=
= 404,2 Па.
Резкое расширение трубы от 80 мм до 2 м. В этом случае <т= (2000 :80)2=
= 625, откуда
= —0,003195.
2 f 1
k = —— I 1 — —
625 k 625
Массовая скорость, отнесенная к меньшему сечению,
02 = 8,5939 (300:80)2= 120,1 кг/(м2-с).
Используя уравнение (378), получаем
120,I2
Др =------—— -0,003195 = 0,0435 Па.
2-530
Параметр двухфазности соответствует вычисленному ранее. Следовательно, дав-
ление восстанавливается на величину Др=0,0435-6,788 = 0,2946 Па.
Шаровой кран. Здесь
С = 8,5939(300:45)2 = 382 кг/(м2-с);
3822
— Лржо=1>7- „ = 234 Па.
& • оои
Поскольку В = 2,3 (см. раздел «Запорная арматура»), имеем
д>жо= 1 + (530:14,8— 1) (2,3-0,202-0,798 + 0,2022) = 15,327;
—Др = 234-15,327 = 3586 Па.
Глава 12
ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМЫХ ГАЗО-ЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ
ЧЕРЕЗ ДИАФРАГМЫ И ТРУБКИ ВЕНТУРИ
Модели, предполагающие отсутствие касательного
напряжения на поверхности раздела фаз
Приведенный массовой расход газа через диафрагму, при ко-
тором падение давления будет таким же, как при течении двух-
фазной смеси,
Я.П = ОгЛд{PiPrXr2/n[1 -г<п-1>/п]/(1 , (442)
где г — относительное давление двухфазной смеси; п — показатель
политропы расширения, определяемый из соотношения
ри" = const. (443)
Приведенный массовый расход несжимаемой жидкости, опреде-
ляющий падение давления двухфазной смеси, А1жп= СЖД жХ
Х[2р1Рж(1—г)/(1—ст2)]1/2-
Если касательное напряжение или какое-либо другое взаимо-
действие между фазами отсутствует, то фазы будут иметь одина-
ковую скорость, равную скорости, с которой двигалась бы каж-
дая фаза в отдельности. Расходы компонентов смеси (см пис ЙфГ
следующие: ' р • •
Мж = Л4ж<п-Лд.ж/Лд; (444)
Л4Г = Л4Г П-Лд Г/Лд, (445)
где площади сечения потоков соответствуют площади отверстия
в пластине.
Поперечные сечения трубы, занятые фазами, связаны между
собой соотношением
Лд.г Лд.ж = Лд, (446)
Из уравнений (444) — (446) МГ/МГЛ1+МЖ/Л4Ж п== 1
или
4,<.A — 1 = М/Мж • ^ж.пЖ.п- (447)
Введем
Y = Мг/Мж Л4Ж _П/Л4Г.П, (448)
где Y — параметр, пропорциональный \/Х для потока сжимаемого
флюида.
Из уравнений (442), (443), (448) и определения расходного
массового газосодержания [см. уравнение (1)]
Y = CjCr- (рж/рг1)
1 —х
1—г 1 п—1 j"]*/«
r2/« п 1—о2
где Сж, Сг — коэффициенты сужения канала соответственно для
жидкости и газа.
В работах [19, 27] это выражение аппроксимируется в виде
Y = Сж/Сг-х/(1 - х) • (рж/рг1у/2 [_ f(L.)/n П~ 1 f ’ • (449)
Когда относительное давление близко к единице
Y -> (Рж/Рп),/2 = 1/Х.
1 — X
Таким образом, при течении несжимаемой смеси параметр У и
величина, обратная параметру Локкарта — Мартинелли, иден-
тичны.
При истечении в атмосферу (дросселировании) относительное
критическое давление газа определяется из выражения
/ 2 \ «/(«+!)
В этом случае уравнение (442) принимает вид
.. л Г / 2 \(»+1 )/<«—!)
Л4г.п= СЛд[р1Рг1^— ) (1— •
157
Тогда для г<гд
г - /л±£у.»«№-'.. (450)
1 —х L п J \ 2 }
Уравнение (450) при допущениях, сделанных при выводе урав-
нения (449), может быть записано в следующем виде:
У = Сж/Сг-у^-(рж/рг1)°'5Е,
где F— функция г и п, учитывающая эффект сжимаемости.
Если /г=1,3, что соответствует изоэнтропийному расширению па-
ра, F с погрешностью ±3 % можно аппроксимировать [27] уравне-
ниями F=l,68—0,68r(l>r>0,8) и F=2,12— 1,23г (0,8 > г).
При /г=1,4, что соответствует изоэнтропийному расширению
воздуха, с такой же точностью можно записать F= 1,695—0,695 г
(1>г>0,7); Е = 2,097—1,27 г (0,7>г).
Из уравнений (447) и (448)
Л4Ж.П/Л4Ж = 1 + Г. (451)
На рис. 71, а приведены данные [50, 100], представленные в
виде зависимости Л4ЖЛ/Л4Ж—1 от Y [19]. Если исключить самые ма-
лые значения параметра Y, то приведенные данные удовлетвори-
тельно коррелируются (в пределах ±10%) следующим уравне-
нием:
(Л4Ж.П/Л4Ж)2 = 1 + 5,ЗУ + У2. (452)
Возведение в квадрат обеих частей уравнения (451) дает
(МЖ.П/МЖ)2=1+2У+У2.
Для течения одной только жидкой фазы
^ж = СжЛж(2ржАрж)1/7(1-о2),Л, (453)
следовательно, исходя из уравнений (443) и (453), (Л4ЖЛ/Л4Ж)2 =
= Ар/Арж=Ф2ж. Тогда уравнение (452) можно записать так:
Ар/Арж=<р2ж= 1 + 5,3 У+У2.
Учет касательного напряжения на поверхности
раздела фаз
Автор [27] аналитически показал, что при учете касательных
напряжений на поверхности раздела фаз справедливо выражение
срж = 1 + СУ + У2, (454)
где С=Z + 1 /Z2 и
Z = 1/К-(рж/рг1)*/г-1/Ег1/'‘ = l/Fr1/2rt. (455)
Вплоть до отношения давлений, равного 0,55, для смесей
воздух — вода при /г=1,4 имеем Fr1/<2n)= 1,13, что является макси-
мальной величиной. Уравнение (455) сводится к уравнению (387),
158
если отношение давлений равно единице. Анализ, проведенный ав-
тором [27], касался только недроссельного течения. Однако отноше-
ние давлений на диафрагме изменялось от 0,12 до 0,88 (см.
рис. 71, а). В этих экспериментах не наблюдалось изменения ус-
ловий на входе, а наиболее удовлетворительная корреляция при
оценке отношения скоростей в уравнении (455) была получена при
относительной плотности, соответствующей давлению после мест-
ного сопротивления и Fr1/<2n)=l, это равносильно использ9ванию
уравнения (387) для течения после местного сопротивления.
Данные, представленные на рис. 71, а, были получены при дав-
лении после местного сопротивления, равном атмосферному, что
соответствует относительной плотности 840. Тогда, используя от-
ношение скоростей из уравнения (113), получаем
С = 840°’25 +-----кг = 5,6.
‘ 840° "25
При У<1 уравнение (112) для отношения скоростей дает лучшее
приближение. Значение 5,6 сравнимо с значением 5,3, полученным
экспериментально. При таком различии в значениях С максималь-
ная разница в падении давления равна 4%. Случаи, когда урав-
нение (455) дает погрешность, превышающую ошибку эксперимен-
та, в частности, при малых г (г<0,5), требуют дальнейшего изуче-
ния. Уравнение (454) может быть преобразовано в выражение
(266), где Г=(рж/рГ1)°-5-Сж/Сг.У=(рж/рг2)о^.Сж/Сг.Рг1(2«) и В =
= 1/А- 1/(У2г1'п). Эти уравнения могут быть аппроксимированы
следующими выражениями:
Г = Сж/Сг-(рж/Рг2)0’5; (456)
В = 1/А. (457)
Коэффициент сжатия
Рассмотрим, какую роль играют однофазные коэффициенты
сжатия при определении параметра Y и получении окончательной
корреляции. На рис. 71,6 приведены те же данные, что и на
рис. 71, а, но при допущении, что Сж/Сг=1. Значения C-vjCr, ис-
пользованные при построении графика рис. 71, а, следующие.
Зависимость относительного сжатия от относительного давления
г...................... 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
Сг/Сж.................. 1 1,07 1,18 1,31 1,4 1,44
Разброс данных на рис. 71,6 гораздо больший, чем на
рис. 71, а. Это значит, что фазовые коэффициенты сжатия
Cr=AjA^ (458)
СЖ=АЖМД (459)
совпадают со значением для однофазного флюида (Аг, Аж — пло-
щади сечения газовой и жидкой фаз в месте сужения канала).
159
_ Рис. 71. Зависимость срж—1 от параметра У при течении смеси воздух — вода через диафрагму с острыми краями;
2 а ~ сг/сж^ б —Сг/С^ = 1; 1—3 — диаметр диафрагмы соответственно 25,4; 15,9 И 9,5 мм; 4 — по уравнению (р2^ = 1+5,3 У+У2
Тогда
XVp /С ( 1 х)
(xvr/Cr) [К (1 х) гж/Сж]
Коэффициенты сжатия для газовой фазы были оценены с по-
мощью уравнения, приведенного в работе [63]:
9 4г^(1 -r)f 11/г]
ai----*---------
(460)
Сг =--------- а, —
I
а-г
(461)
р _
где /=1/еж— 1/(2С2ж); ai = l + (Гд—г)/^-^1/”; а2=2п/(п— 1)Х
ХГд2/”(1—гд(”~1)/п). Если гд<г, то принимают гд=г. В этом случае,
очевидно, 0^ = 1. В наших исследованиях, рассмотренных ранее,
для показателя расширения была принята величина показателя
изоэнтропы. При его использовании делается допущение, что вре-
мя пребывания среды в диафрагмах очень мало и недостаточно
для достижения равновесных условий. Там, где поддерживаются
одинаковые температуры фаз, можно показать, что
(1 х) СрЖ 4- ХСрГ
(462)
Р (1 х) Сиж Д- ХСур
где пр — коэффициент расширения при равновесных условиях;
срж, срг—удельная теплоемкость жидкости и газа при постоян-
ном давлении; cVHi, сгг—то же, при постоянном объеме.
Когда расходное массовое газосодержание мало, пр=1 [см.
уравнение (462)].
Решения, основанные на учете
эффективной скорости
Имеющиеся в литературе аналитические данные были получены
в то время, когда сведений об отношении скоростей было меньше,
чем теперь. На их основе выведены уравнения (112) и (ИЗ). С уче-
том уравнения (382) можно записать:
— 2j v3dp
G22 =-------------------------, (463)
Гэ2 {1 [(-'‘4at’si)/(-<4it'aa)]}
где индексы «1» и «2» указывают на то, что параметры относятся
к условиям до местного сопротивления и после него.
Аналитические решения могут быть получены с помощью приве-
денных в литературе уравнений при разного рода допущениях. Та-
кие уравнения решаются численно с использованием ЭВМ. При
этом полагают, что дросселирование наблюдается тогда, когда
дальнейшее уменьшение противодавления вызывает уменьшение
массовой скорости.
В табл. 23 предсказанные значения, полученные с использова-
нием отношения эффективных скоростей /<0 [см. уравнения (112),
Таблица 23
Параметры, характеризующие течение смеси воздух — вода через диафрагмы
с острыми краями (диаметр канала перед диафрагмой 50,8 мм)
pi, МПа Др, МПа М, кг/с Г X 'Мизм-/Л*расч гд Сс
Диаметр диафрагмы 9, 53 мм
0,655 0,574 0,798 0,1237 0,0244 1,034 0,211 0,77
0,654 0,561 0,692 0,1295 0,0427 1,037 0,259 0,775
0,643 0,545 0,74 0,152 0,0398 1,091 0,236 0,778
0,611 0,527 0,452 0,138 0,0786 0,929 0,310 0,784
0,579 0,491 0,346 0,1508 0,1243 0,959 0,320 0,795
0,574 0,49 0,351 0,1474 — 0,971 0,361 0,784
0,555 0,471 0,293 0,1516 0,1563 0,97 0,364 0,789
0,549 0,453 0,493 0,1752 0,0678 1,027 0,341 0,774
0,548 0,462 0,574 0,1582 0,0445 0,979 0,243 0,783
0,539 0,452 0,224 0,1619 0,2215 0,954 0,371 0,792
0,534 0,447 0,594 0,1635 0,0389 0,994 0,325 0,779-
0,456 0,363 0,443 0,2044 0,0564 0,976 0,288 0,776
0,304 0,208 0,411 0,3155 0,0338 1,005 -1 0,773
0,250 0,153 0,264 0,3867 0,0576 0,996 — 0,772
0,234 0,135 0,266 0,4217 0,0508 1,006 — 0,76
Диаметр диафрагмы 25,4 мм
0,165 0,6 2,373 0,6375 0,007 1,066 — 0,709
0,164 0,56 2,253 0,6597 0,0078 1,038 — 0,692
0,164 0,64 1,354 0,6092 0,0391 0,914 — 0,713
0,162 0,63 1,815 0,6128 0,0198 1,028 — 0,707
0,159 0,59 1,692 0,6277 0,0215 0,99 — 0,704
0,15 0,51 1,508 0,6606 0,0257 1,012 — 0,702
0,149 0,5 1,044 0,002 0,0507 0,952 — 0,707
0,148 0,47 2,096 0,6822 0,0096 1,179 — 0,687
0,147 0,47 0,757 0,6993 0,0884 0,988 — 0,701
0,146 0,48 0,718 0,6741 0,1011 1,025 — 0,708
(113)], сравниваются с экспериментальными данными [50] для те-
чения смеси воздух — вода через диафрагмы с острыми краями.
Среднеарифметическое отклонение для 158 расчетных точек [34}
составило 0,016, а стандартное отклонение — 0,063. При интегри-
ровании уравнения (463) шаги по давлению были приняты рав-
ными 2 % от начального давления, а начальный удельный объем
оценен в предположении, что отношение эффективных скоростей
равно О28- Показатель политропы для воздуха был принят рав-
ным 1,4, а коэффициент сжатия оценен из уравнения (461).
Течение через трубки Вентури
В табл. 24 расчетные значения (также в предположении, что от-
ношение эффективных скоростей равно /Со) сравниваются с экспе-
риментальными данными [77] для течения смесей воздух — вода че-
рез сопло Вентури. Максимальное расхождение между эксперимен-
Таблица 24
Параметры, характеризующие течение смеси воздух — вода через трубки Вентури
критическое сечение размерами 6,35x12,7 мм [77]
Рнач. МПа Ркр, МПа X М, кг/с
полученный экспериментально рассчитанный по уравнениям (112), (ИЗ) н (463)
0,634 0,108 0,00013 2,54 2,50
0,552 0,108 0,000183 2,29 2,27
0,383 0,112 0,000295 1,74 1,71
0,35 0,112 0,000361 1,59 1,58
0,301 0,112 0,000471 1,38 1,36
0,274 0,112 0,000577 1,25 1,24
0,243 0,112 0,000734 1,1 0,964 1,08
0,221 0,112 0,009922 0,95
0,174 0,112 0,00154 0,659 0,65
0,15 0,112 0,00242 0,459 0,47
0,139 0,112 0,00393 0,377 0,352
0,139 0,112 0,00548 0,309 0,329
тальными и расчетными значениями составляет ±7 %. Автор [27],
анализируя данные [98], также исходит из того, что отношение эф-
фективных скоростей аппроксимируется величиной Ко-
Течение через сопла
В работе [50] приведены результаты исследований течения через
сопла, форма которых показана на рис. 72. Данные для сопла,
показанного на рис. 72, б, первоначально были скоррелированы
графически (рис. 73). Эти данные при С=14 удовлетворяют урав-
нению (454), которое с учетом уравнения (455) дает отношение
скоростей
К=(Л)0,1. (464)
соответствующее при 1 К=Ао0,4-Уравнение (464) аппроксими-
рует также данные при Х>1, но менее удовлетворительно, чем при-
водимая ниже методика.
При малых х используют уравнение (112). Совместное решение
уравнений (112) и (464) дает значение х, большее, чем х, при ко-
тором справедливо уравнение (112):
— (рг/Рж)0,2— 1
пер - (Vr/t)jH) _ ]
При значениях х>хпер используют уравнение (415).
В более общем случае, когда К~ (yr/v>K)m, имеем
г . Ы^)2т~1
*4iep
(^г/^ж) 1
Рис. 72. Сопла различных геометрий и размеров [50]:
а — А—3,4 мм, В=25,4 мм; б — модификации сопла, имеющие следующие размеры: А —
9,6; 15,3; 11,5; 21,1 мм; В— соответственно 15,9; 25,4; 25,4; 35 мм; J — соответственно
0,47; 0,76; 0,76; 1,04 мм
Соответствующий параметр Локкарта-Мартинелли
у _ ЫУж)°-5-(Уг/Ож)(4т-1)/2
Пе₽ (Vr/y«)am - 1
Для сопла, показанного на рис. 73, С = 6,4 в предположении,
что отношение эффективных скоростей лишь незначительно мень-
ше Ко- Необходимы дальнейшие исследования влияния геометрии
насадок.
Изменение давления после местного сопротивления
Метод оценки изменений давления после критического сечения
местного сопротивления при течении сжимаемой смеси близок к
методам, рассмотренным в разделе «Решения, основанные на учете
эффективной скорости» для течения несжимаемой среды. Эффек-
тивные удельные объемы до местного сопротивления и после него
различны.
Учитывая расширение после диафрагмы с острыми краями, как
и ранее, будем использовать уравнение (434). Поскольку удельный
объем после местного сопротивления есть функция давления в дан-
ной точке, это уравнение следует решать методом последователь-
ных приближений.
Методы расчетов для местного сопротивления
со сложной геометрией
Рассмотрим сначала тонкую диафрагму, после которой коэффи-
циент падения давления однофазного потока, полученный экспе-
риментально, отличается от fe=l/(Cco)2—1—2/(Ссо) +2. Если k
меньше значения, задаваемого этим уравнением, получается кажу-
щийся коэффициент сжатия. При k, превышающем это значение,
используют уравнение
k = 1/(Ссо)а — 1 — 2Я/(С0о) + 2 (465)
и получают величину А, которая дает экспериментальное значе-
ние k. Аналогичные методы применимы и для толстых диафрагм.
В этом случае вместо уравнения (465) применяют уравнение ..
k = 1/(Ссо)2— 1 — 2/<т2. (1/Сс — 1) — 2 (Л/ст — 1). (466)
Более сложные по геометрии сопла можно рассматривать как
тонкие или толстые диафрагмы. В зависимости от конкретных осо-
бенностей местных сопротивлений решают, каким типом диафраг-
мы можно заменить при расчетах то или иное сопло. Если прибли-
женно известен коэффициент В, можно судить о правильности этой
замены. Как отмечалось в гл.' 11, при тонкой диафрагме В<_ 1, тол-
стой— В>1. Если из уравнений (465) или (466) получаем А — 1,5,
желательно моделировать местное сопротивление в виде двух или
более диафрагм. Краны (клапаны) на трубопроводных системах
относят к наиболее сложным по геометрии местным сопротивле-
ниям. Запорные клапаны с отношением диаметров седла и трубы
более 0,5, шаровые и пробковые краны следует рассматривать как
толстые диафрагмы. Запорные клапаны с данным отношением,
меньшим или равным 0,5, дроссельные и диафрагменные, клапаны
следует рассматривать как тонкие диафрагмы.
Пример 16. Коническое сопло Лаваля имеет площадь поперечного сечения
на входе, равную 1129 мм2 и площадь критического сечения, равную 80,645 мм2.
Необходимо оценить расход смеси воздух — вода при следующих условиях:
начальное давление 0,634 МПа; давление в критическом сечении 0,1 МПа; рас-
ходное массовое газосодержание — 0,00013.
Предположим, что первоначально рж = 1000 кг/м3, рг = 7,862 кг/м3. Жидкость
можно считать несжимаемой, а показатель политропы для воздуха принять рав-
ным 1,4. Для решения необходимо использовать ЭВМ. На первом шаге по дав-
лению, равном 2 % от начального давления, вычисление выполним вручную.
Интегрирование уравнения (463) дает
/*/.
б2 =-----------------------— ,
Vai [1 — И2М1) КэтАэ;)] /з
где Z = 0,02 pi (сэ; + пэ(1--1)) +/ (первоначально I принимается равным нулю); ин-
декс «г» указывает число шагов по давлению.
При оценке пЭ1 эффективный удельный объем перед диафрагмой определя-
ется из равенства /<я =/<.-,0 28, где Ко задается уравнениями (112) и (113).
Параметр Локкарта — Мартинелли
v 1 —0,00013 ( 7,862 \*/2
X =------------( —----- ) = 682.
0,00013 \ 1000 /
Поскольку Х>1, то Ко задается уравнением (112):
Г / 1000
Кв= 1 +0,00013 —
L \ /»
= 1,008,
откуда Ка1= 1,008°’28 = 1,0022.
Используя уравнение (146), получаем
1000 \ / 1 \
• — 1 ) (---— -0,00013-0,9999 + 0,00013° ) = 1,016,
7,862 ) \ 1,0022 . -г , у
Чэ+ж — 1 +
откуда val=1,016-10~3 м3/кг.
В конце первого шага по давлению рГ2=7,862-0,981/1-4=7,75 кг/м3, откуда
г /;iooo \>о,14
/СЭ2= 1 + 0,00013 (*——— 1 ) = 1,0023;
L \ 7,75 J \
«Ъ/₽ж = l + f-^7 - 1) fri 0,00013-0,9999 + 0.00013*5) = 1,017.
\ 1,10 ) \1,ООЛ5 /
Удельный эффективный объем смеси иЭ2= 1,017-10-3 м3/кг, откуда /=0,02х
Хб,34- 10s- (1,016+1,017) • 10-3=25,78.
Массовая скорость смеси
G =
25,781/г
1,016 »/.
1,017 J
= 5005 кг/(м2-с).
Массовый расход М=5005-80,65-10-6 кг/с = 0,4037 кг/с. Дальнейшее ните
грнрованне по давлению даст, очевидно, значения, приведенные в табл. 24.
Глава 13
ТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ КОРОТКИЕ ТРУБКИ, СОПЛА
И ДИАФРАГМЫ С УЧЕТОМ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
Рассмотрим течения насыщенных сред и паро-жидкостных сме-
сей через такие местные сопротивления, как короткие трубки, соп-
ла и диафрагмы.
Течение насыщенной жидкости через короткие трубки
На рис. 74 показаны различные структуры потоков при тече-
нии жидкостей через короткие трубки с острыми краями на входе
при разных температурах, а также распределение статического
давления. Поскольку давление в месте сужения потока существен-
но ниже давления насыщения, восстановления давления внутри
трубки после сужения не произойдет (поперечное сечение трубки
будет заполнено паром). Испарение происходит с поверхности жид-
кости, хотя струя ее находится в метастабильном состоянии. Так
как после трубки давление падает, в ядре струи вблизи выхода из
трубки, очевидно, будет наблюдаться кипение, приводящее к дрос-
селированию потока (см. рис. 74, а).
Рис. 74. Структуры потоков при те-
чении насыщенной жидкости через
короткие трубки:
•а — без испарения (^г^нас^» в ~~
испарение с поверхности струи (соответ-
ственно Т2^ТН&С и 7’2>7’нас^ 2 —испа-
рение в ядре (Г2>Гнас)
Рис. 75. Разность давлений как функ-
ция массового расхода при течении
насыщенной жидкости через короткие
трубки [104]:
/ — согласно рис. 74, г и уравнениям гд =
“Рнае/РоО-0’28^^»: Сд = Сс [2Рох
Хр}к(1—^Д)Р/2; 2 — согласно рис. 74, в;
3— согласно уравнению (468); 4 — со-
гласно рис. 74,6; 5 — согласно рис. 74, а
и уравнению (467)
На рис. 75 показано изменение давления на выходе из трубки
в зависимости от массового расхода первоначально охлажденной
жидкости. График построен в двойном логарифмическом масштабе
[104]. На отрезке 0а массовая скорость возрастает с падением дав-
ления. В точке а (самая узкая часть потока) давление соответст-
вует давлению насыщения. Дальнейшее падение давления приво-
дит к увеличению скорости испарения и уменьшению восстановле-
ния давления. Падение давления на выходе из трубки остается
неизменным на всем отрезке ab.
Разность давлений 0а и 0Ь (см. рис. 74, а и 75) связаны между
собой [см. уравнения (417) и (418)] соотношением
кроъ/кроа = --—-----------------•
(1/С2)-02_2[(1/Сс)-1]
По достижении точки b (см. рис. 75) дальнейшее падение дав-
ления приводит к увеличению расхода до тех пор, пока не начнет-
ся испарение из ядра метастабильной струи жидкости (точка с).
Трубка начинает выполнять функцию дросселя (линия cd). При
дальнейшем падении давления массовая скорость не увеличива-
ется. Точка а соответствует точке дросселирования выше по тече-
нию, точка b — точке дросселирования ниже по течению. Опыты
[100] подтвердили, что до точки а падение давления подчиняется
закону
— Др =С2уж [1/Сс —о2 —2 (1/Сс—1)] (467)
или массовая скорость при дросселировании выше по течению за-
дается уравнением
Р1-Рнас= G«/2-v!K(l/^-o2)) (468)
где Риас — давление насыщения.
Массовая скорость зависит от диаметра короткой трубки. Для
массовых расходов, которые выше соответствующих дросселирова-
нию перед трубкой, падение давления (см. гл. 11) Др=б2/2-ижХ
Х(1/С2с—о2). Это подтверждается экспериментами, результаты ко-
торых приведены в работе [100]. Чтобы уравнение (467) было спра-
ведливо, длина трубки должна обеспечивать полное восстановление
давления. В экспериментах [100] были использованы трубки дли-
ной 25,4 мм и диаметром 12,7 мм.
Уравнения двухфазного течения
При изоэнтропийном расширении горизонтального потока изме-
нение удельной энтальпии равно изменению кинетической энергии-
Имеем
2 2
h0~h2 = (l-^)J^+x2-^ ,
и и \ "*'2 2
(469)
где h0 — удельная энтальпия торможения [см. уравнение (337)],
т. е. удельная энтальпия в точке, где кинетическая энергия равна
нулю.
Используя уравнения (5) и (18), получаем
h0-h2 = ^(х2ог+К(1-х2)уж]2Гх24--^-\, (470)
где слагаемые в правой части относятся к состоянию в точке 2.
В процессе изоэнтропийного расширения
/2 \
^0 — ^2 =(proMdp . (471)
\0 / з
Используя уравнения (470) и (471), будем иметь
(2 \
ргомФ) =-y-[wr+K(l— + . (472)
а используя уравнения (150) и (382), получаем
2
[Мр=^[хаг + К(1-х)О^2(х4-Ц^у. (473)
о 2 \ К J
Уравнения (472) и (473) совместимы, если отношение скоро-
стей вдоль потока соответствует значению при отсутствии взаимо-
действия между фазами. Для гомогенного течения они идентичны.
2
Оценим член уравнения (472) JfroMdP и разность удельных эн-
о
тальпий. Можно показать, что для воды при изоэнтропийном и
изоэнтальпийном расширениях интегралы мало отличаются друг
от друга. Считая жидкость несжимаемой и используя уравнение
(27), получаем
2
h0 ~ h2 = иж (р0 — рг) + J х (vr — vK) dp.
о
Теперь, исходя из уравнения Клапейрона и определения удельной
энтропии, запишем
2
/г0 h2 ~ иж (р0 р2) Ц- J (s0 зж) d7\
о
Для многих сред, включая воду, удельная энтропия изменяется
почти линейно с изменением температуры. Следовательно,
= (Ро Рг) 4" 1 /2 • (2s0 зж0 зж2) (Гц Т2).
Гомогенно-равновесная теория
Гомогенное равновесие подразумевает процесс,-в котором от-
ношение скоростей принимается равным единице, а расширение
происходит в условиях теплового равновесия, т. е. когда фазы
находятся при одинаковой температуре. Следует отметить, что в
неравновесном или метастабильном потоке расходное массовое
газосодержание отличается от равновесного значения. Уравнение,
соответствующее уравнению (469), имеет следующий вид:
й0 —/га = щом/2, (474)
или в дифференциальной форме d/i=uroMduroM.
Давление при дросселировании определяют путем нахождения
удельной энтальпии потока после местного сопротивления при ус-
ловии, что массовая скорость максимальна:
(dG/dh)s=O. (475)
При изоэнтропийном расширении
(dh/dp}s = пгом. (476)
Следовательно, из уравнений (475) и (476) имеем (dG/dp)s=0, что
является более общим критерием для характеристики дросселиро-
вания (см. гл. 5).
Было показано, что изоэнтропийная гомогенно-равновесная тео-
рия дает хорошее совпадение с экспериментом для течения паро-
водяных смесей через сопло Лаваля при давлениях 0,7—7 МПа и
условии, что х>0,1. Данные, полученные д,ля воды при тех же дав-
лениях, показывают, что гомогенная теория дает удовлетворитель-
ные результаты при использовании сопл длиной 114—119 мм. При
меньшей длине сопл значения массовой скорости оказываются за-
ниженными по сравнению с экспериментальными данными в ос-
новном вследствие метастабильности течения, а при большей длине
их — завышенными вследствие пренебрежения влиянием трения.
Во всех случаях течение не является ни гомогенным, ни изо-
энтропийным. Из уравнения баланса механической энергии для по-
тока с учетом диссипации энергии имеем
Как уже отмечалось, для воды огом практически не зависит от
вида потока. Следовательно, исходя из уравнений (471), (474) и
(477), приближенно можно получить диссипацию энергии
где расчетные значения, полученные в предположении о гомоген
ном равновесном расширении, хорошо совпадают с экспериментом-
На практике допущение о гомогенности потока приемлемо при те-
чении смесей вода — пар под давлением более 0,7 МПа через сопла
длиной более 114 мм. В работе [16] впервые показано, что при
1 70
низких давлениях (близких к атмосферному) скорость смесей пар —
вода должна быть существенной. Отношение скоростей в опытах
было равным 1,8.
Модель замороженного течения
Как уже отмечалось в гл. 5, общее допущение в модели замо-
роженного течения сводится к тому, что dx/dp = 0. Следовательно,
смесь пар — жидкость рассматривается как смесь газ — жидкость.
К ней применимы разные корреляции и теории, рассмотренные в
гл. 12. Там, где уравнения используются для смесей пар — вода,,
показатель изоэнтропийного расширения часто принимается рав-
ным 1,3. Для равновесной смеси можно использовать показатель
расширения, задаваемый уравнением (462). Автор [19] разработал
модель замороженного течения для случая, когда касательное
напряжение на поверхности раздела фаз равно нулю. Эта модель
описана в гл. 12. Теперь определим
^ж.з = МжЛ1Сж', (^78}
У3 = СГ/СЖ.У, (479)
Тогда из уравнений (451), (478) и (479) будем иметь МЖЭ/Л4Ж—
— 1/Сж=Уз/Сг. Уравнение в этой форме использовано в работе [19]
в качестве основы для анализа, поскольку не было уверенности в
том, что элементарная модель, приводящая к уравнению (451),
даст правильное значение коэффициента сжатия двухфазного по-
тока. Последующие исследования (см. гл. 12) подтвердили, что
сомнения были не напрасны.
На рис. 76 представлены данные [11] для смесей пар — вода, те-
кущих через диафрагмы с острыми краями: Л4ЖЗ/Л1Ж—1/Сж от
[Рис. 76.
f . Зависимость Л4;к.з/
IM
JK' 1/Сж от Уз при течении
гсмесн пар — вода через диаф-
рагму с острыми краями [см.
^равнение (480), табл. 25]
Таблица 25
Параметры, характеризующие течение смеси пар — вода через диафрагмы
с острыми краями диаметром 6,3—22 мм [11]
Обозначения на рис. 76 pi, МПа р2, МПа r=P2lPi *max
1 0,1 0,103 0,103 0,05
2 0,1 0,59 0,586 0,05
3 0,71 0, ЮЗ 0,146 0,08
4 0,71 0,59 0,825 0,08
5 0,52 0,59 0,2 0,11
6 0,52 0,38 0,734 0,11
У3. Диапазон изменения этих величин приведен в табл, 25. Эти
данные аппроксимируются уравнением
— 1/Сж = 2,1 Г°-825. (48 0)
Принимая Сж=0,61 и среднее значение Сп/Сж=1,23, получаем
=1,52У0’825. (481)
Справедливо также уравнение
«(.п/<()2=1 4-4,ЗУ + У^ (482)
Коэффициент 4,3 в уравнении (482) при среднем противодавле-
нии 0,35 МПа дает С=4,9, а при противодавлении 0,1 МПа—С=
= 6,3. Для сопл численный коэффициент в уравнении (480) состав-
лял 1,85—2,23, что зависело от геометрии сопла. Это соответствует
С— 6,14-10,5. При течении смеси воздух — вода (см. гл. 12) коэф-
фициент сопла был также больше, чем коэффициент для диафраг-
мы. Рассмотренные значения коэффициентов предполагают значи-
тельное скольжение фаз и метастабильность течения смеси.
Данные [100], полученные при изучении течения смеси пар — во-
да через диафрагмы, согласуются с приведенными выше уравне-
ниями при высоких относительных давлениях. Однако с уменьше-
нием относительного давления уравнения дают завышенные значе-
ния массовой скорости. Объяснить это можно только тем, что в
опытах [100] вода испаряется более интенсивно, чем в опытах,
описанных в работе [11], что связано с большим числом ядер испа-
рения или с большей их величиной. Модели замороженного тече-
ния изучались и другими исследователями. Было установлено, что
данные, приведенные в работе [11], коррелируются более удовлет-
ворительно, чем данные работы [100].
Неравновесные модели и теория
Во многих работах [16, 90, 91 и др.] предложены методы управ-
ления метастабильными состояниями, которые могут возникнуть
при внезапном падении давления в насыщенной жидкости. Модель
Бернелла [16] основана на гипоте-
зе о том, что пузырьки, в которых
Происходит испарение, растут толь-
ко тогда, когда местная температу-
ра жидкости превышает температу-
ру насыщения, соответствующую
давлению внутри пузырька, рг =
= р+2а//?, где р— местное давле-
ние жидкости; R — радиус пузырь-
ка. Таким образом (см. рис. 74, г),
если начальная температура жид-
кости соответствует давлению на-
сыщения Риас, жидкость начинает
мгновенно испаряться, когда рнас—
—рд=2о/7?. Отсюда относительное
давление при дросселировании за-
дается уравнением. тд = рд/р0 =
= Рнас/ро[1 2сг/ (Рнас^?)]-
Бернелл [16] на основании опы-
тов, в которых вода истекала через
сопла при давлениях до 1,2 МПа,
сделал вывод о том, что гд =
= Рнас/ро ( 1—0,264 o/Or), где Он —
поверхностное натяжение при дав-
лении 1,2 МПа.
Киндеман и Уэйлс, используя
более точные данные о поверхност-
ном натяжении, получили
би = PnJPo (1 — 0,26о/од), (483)
Рис. 77. Зависимость рнач от Од
для смесей пар— вода (началь-
ная температура 120 °C) в копот-
ких трубках диаметром 12,6 мм
[104]:
1—3 — длина трубок соответственно
12,6; 19 и 76 мм; 4 — расчет по урав-
нениям (483J и (484)
где эталонное давление равно 1,38 МПа.
Значения о/о^ как функции давления воды
р, МПа..........-0,1 0,2 0,5 1 1,38 1,5 2 - 5 10
.......... 1,16 1,55 1,32 1,11 1 0,97 0,87 0,54 0,26
Зная относительное давление и массовую скорость при дроссе-
лировании, из уравнения для однофазного течения можно получить
бд = [2рорж (1 — гд)]1/г. (484)
На рис. 77 расчеты по уравнениям (483), (484) сравниваются
с данными, приведенными в работе [104] для течения смеси через
короткие трубки с острыми краями на входе. Коэффициент сжатия
был принят равным 0,61.
Одно из ранних исследований неравновесного течения насыщен-
ной жидкости описано в работе [91]. Изучая течение-.через насадки
с круглыми отверстиями при отношениях длины и Дйаметра до 12,
175
авторы работы [91] предположили, что тип течения аналогичен по-
казанному на рис. 74, в. Было сделано допущение о том, что испа-
рение происходит только с поверхности метастабильной струи, а
теплота, необходимая для испарения, обеспечивается за счет ох-
лаждения жидкости во внешнем кольце струи. Процесс определялся
временем, необходимым для проникновения тепла через это кольцо
к испаряющейся жидкости на поверхности. Данные для некоторых
из испытанных насадок удовлетворительно совпадали с эксперимен-
том, но зависимость их от диаметра выявлена не была.
Модель Генри — Фауске для неравновесного течения
Было сделано допущение [58], что в процессе критического исте-
чения двухфазного потока через насадки (сопла), диафрагмы и
короткие трубки от входа к критическому сечению dx/dp=0 и что
у критического сечения
dx^dp = N dx/dp, (485)
где х, хнр — расходное массовое газосодержание соответственно
равновесное и неравновесное.
Таким образом, полагают, что фазовые изменения при течении
до критического сечения отсутствуют и расходное массовое газо-
содержание остается равным его значению перед соплом, а также
что течение является гомогенным, пар ведет себя как идеальный
газ (вместо п используют у). При этом [58]
Q2 = 2 {(1 — х0) (Ро — Рг) + — 1) 1 х0 (Ро^го — №2)} (48g)
[(I — х0) + х0иг2]2
Удельный объем жидкости считается неизменным, используют
значения параметров до критического сечения. Изменение расход-
ного массового газосодержания в критическом сечении выражают
через уравнение
4хНр [ (1 х0) с!5ж Hp/dpxodSr/dp 1
ТГ' = L---------------------------1 (487)
где dS/dp вычисляют для метастабильного состояния;
^ж.нр/dp = V —°—жо- • . (488)
sr ар
Тогда массовая скорость при дросселировании может быть по-
лучена из уравнения
1 4ргом dvr dyH< dxnp
“^2“ dp~ 0 ~Xo) (yr~
Считая жидкость несжимаемой, а расширение пара в точке
дросселирования удовлетворяющим уравнению (443), получаем
1 vv _ _dx„p_ (489)
бд2 прР dp v
Рис. 78. Зависимость G„ от х0 в застойной зоне при течении смеси пар — вода
через сопло Лаваля:
1, 2 — начальное давление равно соответственно 3,45 и 1,376 МПа; 3 —расчеты в соответ-
ствии с данными работы [58]; 4 — расчеты по уравнениям (463) и хн.,=»х0+[(х—х[1)/(х'—
—Ж0)2](Х—Хо)
Выпишем член с массовым газосодержанием. Используя урав-
нения (487) и (488), получаем уравнение, которое применяли Ген-
ри и Фауске:
_L = 2W + + ^ж)/ A-*» 2V-^S- + —---------------(490)
Од прР \ 5г sr — sw dp /
Свойства среды принимались такими же, как в точке дросселиро-
вания.
Генри и Фауске решали совместно уравнения (486) и (490) и
получили громоздкое уравнение для критического давления, кото-
рое было решено методом последовательных приближений. Как от-
мечалось в гл. 5, Генри [57] установил, что для течения в трубах
при х<0,05 N можно выразить через уравнение (225), а при
ix>0,05—через уравнение (226).
f Для сопл и коротких трубок соответствующие уравнения имеют
[следующий вид: при х<0,14 7V=x/O,14; при х>0,14 М=1. Случаи,
Когда N—1, соответствуют равновесному течению.
[ Расчеты, выполненные Генри, Фауске и их соавторами, сравни-
вались с экспериментальными данными для течения через сопла,
{диафрагмы и короткие трубки. Хорошее совпадение наблюдается
дри течении воды, двуокиси углерода и азота. На рис. 78 приво-
дятся данные для течения смеси пар — вода через- сопло Лаваля.
На рис. 79 рассчитанные относительные критические давления
сравниваются с экспериментальными данными. Рассчитанное отно-
сительное давление очень близко к экспериментальному значению
и значению, полученному методом, рассмотренным ,в следующем
разделе, но значительно больше величины, получаемой на основе
7 Зак. 1134 177
д
Рис. 79. Зависимость гд от х0 в застойной зоне при течении смеси пар — вода
через сопло Лаваля при р0=3,45 МПа:
/—расчеты по данным работы (58]; 2 — расчеты по уравнениям (463) и хнр =
=хо+[(х—хо)/(х'—Хо)]2(х—Хо); 3 — расчеты на основе теории гомогенного замороженного
течения
теории гомогенного замороженного течения. Эти данные зависят
от х, определяемого уравнением ЛО=ХОЛГ(1—х0)/гт, где h0— удель-
ная энтальпия торможения [см. уравнение (337)].
Для.начальных условий насыщения или переохлаждения паде-
ние давления в точке дросселирования определяется уравнением
для однофазного течения гд=1—(иж0О2я/(2р0). Массовая скорость
при дросселировании задается выражением 1/С2д=(пг—цж)Ух
Xdx/dp, которое получается из уравнений (485) и (489), если
принять х = 0. Генри и Фауске [58] проанализировали течение сме-
сей пар — вода через диафрагмы, принимая коэффициент сжатия
равным 0,84. Совпадение с опытными данными было удовлетвори-
тельным. Однако, как видно из материалов гл. 12 [см. уравнение
(460)], это лишь первое приближение к реальным условиям.
Неравновесное расходное массовое газосодержание
В гл. 5 была приведена удовлетворительная корреляция дан-
ных для условий дросселирования, полученная в предположении,
что расходное массовое газосодержание в неравновесных условиях
хНр при х<х' задано уравнением (235), где х' определяется из
уравнения (215). Применение этой зависимости к течению через
сопла, где х0 — начальное расходное массовое газосодержание, при
х<х' дает
Хщ, = х0 [(х' Хд)/(х х0)] (^ *о)- (491)
Если х<х', что справедливо при Х<1, наблюдается тепловое
равновесие. Массовая скорость при течении через сопло опреде-
.ляется из уравнения (463), где v3/vm находят из уравнения (234).
Уравнения (234), (338), (463) и (491) решаются совместно. На
рис. 78 и 79 показаны также результаты соответствующих числен-
ных расчетов. Отношение скоростей оценивалось равенством (415).
Было установлено, что при использовании его достигается лучшее
совпадение с экспериментальными данными, чем при К = К0, так
как в последнем случае расходы были на 20 % больше тех, которые
получались при расчетах по уравнению (380). Для воды уравне-
ние (338) дает незначительное отклонение х от значения, получен-
ного в предположении об изоэнтропийном расширении.
Пример 17. Необходимо оценить массовый расход смеси пар — вода при
дросселировании ее через сопло Лаваля при,, следующих начальных условиях:
р=3,45 МПа, х=0,05. Прочие начальные свойства, необходимые для расчета,
следующие: sягi == 2,718 103 Дж/кг; sr0 = 3,413-103 Дж/кг. Будем считать, что
применяют сопло Лаваля с насадкой, которая имеет круглый вход. Полное ре-
шение задачи требует использования компьютера. Рассмотрим ручной расчет для
первого шага по давлению. Примем шаг по давлению равным 2 % от давле-
ния в начале каждого следующего шага. Здесь применимо уравнение, использо-
ванное в примере 16, но упрощенное,
1 ( “
G2 =------- 2) a3dp =l'l2lvai,
°Э1 А ‘ / .
где
/ = 0,02р;.
(чэ; +_а?(;_1))+/.
Из таблиц для пара при давлении 3,45 МПа имеем аж = 1,2327-10~3 м3/кг;
vr = 57,89 10-3 м3/кг. Параметр Локкарта — Мартинелли
0,95 /1,2327 X 7*
X = ) =2,77.
0,05 \ 57,89 /
Поскольку сопло круглое, K=Ko1'i. Так как Х>1, используем уравнение (112):
Х= [1 +х(аг/аж — I)]0’2 = (1 4-0,05-46)°’2 = 1,27.
Из уравнения (146)
МПа
sKT=
/0,05-0,95 X
= 1 + 46 1 27 ~ 0,05 J = 2,835.
Давление на втором шаге р = 3,45-0,98=3,381 МПа. Тогда
5г = (2,718 + 0,05-3,413)-103 = 2,889-103 Дж/кг.
Значение va легче всего оценить при давлении 3,35 МПа, а затем методом
линейной интерполяции найти аЭ2 при давлении 3,381 МПа. При р=3,35
вж= 1,2292-10-3 м3/кг; ог = 59,64-10~3 м3/кг; хж = 2,702-103 Дж/(кг-К),
.= 3,44-103 Дж/(кг-К).
Считая расширение изоэнтропийным, получаем
(2,889 —2,702)-103
х, = —---------:------= 0,05436.
2 3,44-103
Параметр Локкарта — Мартинелли
1 — 0,05436 /1,2292 X*/*
Х =-----г-2-------( —--- | = 2,497. *
0,05436 \ 59,64 )
7* 179
Для Х>1 при дросселировании наблюдается неравновесное течение:
хпeD =-------------п---- = 0.1255.
пер (59,64:1,2292)+ 1
При использовании уравнения (491) получаем
„ / 0,05432—0,05 \2
хНп = 0,05 + (0,05432 — 0,05) ( —-------- ) = 0,05003,
р ’ ' ’ 0,1255 — 0,05 /
откуда
Г /59,64 \-]0,2
/<= 1 + 0,05003 ( —2—— 1 ) = 1,276;
L \ 1,2292 /]
/0,05003-0,95 \
= 1 + 47,52 ----——------+ 0,052 ) = 2,889;
\ 1,276 /
пэ2= 2,889-1,2292-10-3 = 3.55-10-3 м3/кг;
t>31 = 2,835-1,2327-10~3 = 3,495-10-3 м3/кг.
Линейная интерполяция при р=3,381 МПа дает
t>a2 = [3,495 + (3,551 — 3,495)-0,69[-10~3 = 3,534-10~3 м3/кг.
Следовательно,
/= 0,02-34,5-105 (3,495 + 3,534)-10-3 = 485
и
q--------------= 6232 кг/(м2-с).
°2~ 3,534-Ю-3 ' '
Берем следующий шаг по давлению Ар—0,02-3,381 МПа, оцениваем I и
полученные данные прибавляем к предыдущему значению. Дросселирование
наблюдается в тех случаях, когда G на последующих шагах по давлению на-
чинает падать.
На описанную процедуру имеется программа для ЭВМ.
Глава 14
ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТЕПЛООБМЕННИКАХ
Рассмотрим двухфазное течение в кожухотрубчатых теплооб-
менниках, в частности методы расчета падения давления в тепло-
обменниках при течении с перекрестным током, когда падение дав-
ления больше зависит от структуры потока, чем при течении в тру-
бах. Ознакомимся со способами расчета (для горизонтального те-
чения) высоты слоя жидкости в расслоенном и расслоенно-дисперс-
ном потоках и содержания жидкости в газе, что очень важно для
прогнозирования тепловых режимов теплообменников.
Структура потока при горизонтальном течении
Структуры потока, которые могут возникнуть при горизонталь-
ном течении двухфазной смеси через пучок труб [51], приведены на
рис. 80. Наблюдается четыре структуры:
1 ол
a
б
г
Рис. 80. Структуры двухфазной сме-
си при горизонтальном течении в зо-
не перекрестного тока:
а — пузырьковая; б — расслоенная; я—
расслоенно-дисперсная; г — дисперсная;
/ — пузырьки газа в жидкости; II— газ;
III — жидкость; IV — капли жидкости в
газе
Рис. 81. Карта структур двухфазной
смеси при горизонтальном течении в
зоне перекрестного тока:
/ — расслоенная; II — расслоенно-днсперс-
иая; /// — дисперсная; IV—пузырьковая
пузырьковая — газ течет в виде пузырьков, рассеянных в жид-
кости; она образуется при истинном объемном газосодержании,
приблизительно равном 0,75, и высоких скоростях сред;
расслоенная — полное разделение фаз; более тяжелая фаза те-
чет вдоль нижней части трубного пучка; такая структура потока
возникает при весьма малых расходах смеси;
расслоенно-дисперсная — аналогична расслоенной, но часть
жидкости уносится газом или паром в виде капель;
дисперсная — кроме небольшого количества жидкости, смачи-
вающей металлические поверхности, вся жидкость уносится газом
(рассеяние в газе в виде капель).
В работах [51, 52] приведена карта структур потока (рис. 81).
Опытные данные были получены для двух моделей теплообменни-
ков (рис. 82). Трубки (наружный диаметр 19 мм) были уложены
в прямоугольной раме при отношении их наклона к диаметру 1,25.
Модель с 39 трубками имела три перегородки и четыре хода, а мо-
181
Рис. 82. Модели кожухо-
трубчатых теплообмен-
ников с 39 (а) и 165 (б)
трубками:
1,2 — зоны соответственно
окна н перекрестного тока
дель со 165 трубками — одну перегородку с двумя ходами. Отно-
шение поверхности области, пересекаемой потоком, к поверхности
окна в этих моделях составляло соответственно 0,6 и 0,9. Гнезда по
периферии решетки представляли собой полуокружности, что поз-
воляло предотвратить перетоки. Точки замера давления были рас-
положены в верхней части решетки между перегородками. Таким
образом, общее падение давления складывалось из перепадов его
в зоне перекрестного тока (в области трубной решетки) и зоне ок-
на вокруг перегородки. В опытах использовались воздухо-водяные
смеси под давлением, близким к атмосферному. Границы между
структурами потока можно определить, используя соответствующие
уравнения. Для удобства запишем
™ = 1 + (vJvrn^A [ 1 - xneD)/xnep](2-n)/2, (492)
где хПер — расходное массовое газосодержание, соответствующее
истинному объемному газосодержанию, равному 0,75. Приводимые
далее рассуждения основаны на допущении, что пузырьковое тече-
ние наблюдается при истинном объемном газосодержании, не пре-
вышающем 0,75. Для перекрестного тока коэффициент 7?, опреде-
ляемый по формуле
фтр.жо = 1 + (Га-1)Дх2+ (493)
которая получена из уравнений (275) и (329), равен
£> = 1,3+ О,О9РгжоЛ'2 (т1ж/т1г)/г, (494)
где N — число трубок, перпендикулярных к направлению течения.
Для жидкости
G2Z
F+=—(495)
SD
При
наблюдается переход от пузырьковой структуры к расслоенно-дис-
персной. Тогда
<497)
В = Вп К+ом)1/2. (498)
Коэффициент В при пузырьковом течении определяют по фор-
муле (262). Совместное решение уравнений (262), (493) и (494)
приводит к уравнению (497). Переход от расслоенно-дисперсной
структуры к дисперсной происходит при
в = Впоп = (t'r/M72 у = К/ПгГ72, (499)
Рис. 83. Структуры потока смеси воз-
дух — вода в зоне перекрестного то-
ка (давление атмосферное, N = 8;
п=0,345; £>=19 мм):
структуры: 7 — пузырьковая; И — дис-
персная; III — расслоенно-дисперсная;
/V — расслоенная; расчеты: / — по урав-
нениям (497) н (498); 2 — по уравнениям
(497) и (499); 3 — по неравенству (496);
a
где Впоп — коэффициент для учета впрыскивания фазы поперек
течения и развитого турбулентного течения в трубе.
Коэффициент В получен при допущениях псевдогомогенной тео-
рии [см. уравнения (249) и (256)]. При Fr®0< (цг/цж)п• (Rnep—
—1,3)/0,09 N2 переход к расслоенно-дисперсной структуре наблюда-
ется в тех случаях, когда в уравнении (497) В=В^С =
= (22~п—2)/(Г + 1), где Врс — коэффициент В для расслоенного те-
чения.
Переход от расслоенно-дисперсного течения к дисперсному про-
исходит при числе Фруда, задаваемом выражением (499).
Другая форма диаграммы структур потоков,’полученная с ис-
пользованием этих уравнений, показана на рис. 83.
Падение давления в горизонтальном перекрестном токе
Для оценки трения применительно к перекрестному току можно
использовать уравнения, выведенные для течения в трубах:
фтр.жО = 1 + (Г2 — 1) [Вх(2~п)/2 (1 -х)(2~п)/2 + х2~п],
а также формулу (493), которая справедлива для расслоенно-дис-
персного течения. Коэффициенты, используемые в этих уравнениях,
следующие: для пузырькового течения берется из уравнения
(498); для расслоенного — из выражения (326); для расслоенно-
дисперсного— из уравнения (494). Последнее выражение исполь-
зуют также для перехода от пузырькового течения к дисперсному.
При дисперсном течении коэффициент Впоп определяют по уравне-
нию (499). Результаты расчета по приведенным уравнениям срав-
ниваются с экспериментальными данными, полученными при тече-
нии смесей воздух — вода в кожухотрубчатых теплообменниках
(рис. 84). Уравнение (493) уже рассматривалось применительно к
течениям в трубах, когда коэффициент В находили из уравнения
(330). Для перекрестного тока в модели с 39 трубками была полу-
чена формула
R = l,3 + -^-G2. (500)
Существенное различие между уравнениями (330) и (500) за-
ключается в том, что в первом случае R = R(G), во втором —
R = R(G2). Из теории известно, что при малых значениях расход-
ного массового газосодержания влияние числа рядов трубок, пер-
пендикулярных к потоку, учитывается коэффициентом, определяе-
мым из выражения
R ~ 1,3 0,59Ргж0Мпер* (501)
Рис. 84. Зависимость ф от х для двухфазной смеси в зоне перекрестного тока
в теплообменниках с 39 (а) и (165) (б) с трубками:
массовые скорости [в кг/(м2 с)]: /—17,5; 2 — 41,9; 3 — 59,4; 4 — 77,6; 5 — 158- 6 — 265- 7 —
632: 8 — 830; 5—1120; /0 — 47,25; // — 236,2; 12 — 472,4; /3 — 708,7; //— 945; кривые Л,
Б, В рассчитаны соответственно по выражениям Вгом“4рж/Пг)п I2', Врс —
_(22-п_2)/(Г+|); Вп = («ж/«гом)>/2 ' '
185
Более удовлетворительное совпадение данных, полученных тео-
ретически и экспериментально, дает использование уравнения
(494).
Результаты исследований горизонтальных двухфазных пере-
крестных течений были представлены графически в виде зависи-
мости Dp/Dpro от 1/[(^г/иж) +х/(1 + %)].
Имеется корреляция падения давления с использованием урав-
нения (249) при С = 8. Это уравнение является промежуточным
между зависимостями для дисперсного и расслоенного течений.
Эмпирическая кривая зависимости Dp/Dpr0 от 1/[(иг/иж)+х(1+*)]
также лежит в промежуточной области.
Высота слоя жидкости и унос ее при раздельном течении
Для расслоенно-дисперсной структуры был определен пара-
метр, характеризующий унос жидкости газом [см. уравнение (331)],
где
ф =
<>„.„ = (1 - X)'--”'2 +
Ч,,с=Вих'2-»'!(1-х)|2-'’'г+.г’-».
Решив совместно эти уравнения, получим
Р-1 / X \(2-п)/2 Вр0
6 ~ R---R— ( 1----г / -----R----R-- ’ (592)
°ПОП-- °рс \ 1 - Л/ ‘-•'поп °рс
Для расслоенного течения не унесенной газом жидкости
Ор = Вртр.ж0[(1-<о)(1-х)]2 i-
“рс.ж
(503)
где аРс.ж — доля поперечного сечения, занятая жидкостью; унос
был определен по формуле (30).
Для дисперсного течения газо-жидкостной смеси общий гради-
ент давления
Dp = DpTPtHi0 [х + (о (1 — х)]2~пфтр.жо -- 1 2_п~ • (504)
U арС.ж)
Параметр двухфазности определяется по формуле
фтр.жо = 1 + (Р- 1)[(щДМ',/241-',,/2 (1 -хРс)(2~п}/2 + ХрГ], (505)
где хРс — массовое газосодержание при расслоенном течении газо-
жидкостной смеси;
Из приведенных зависимостей
арс.ж
{[х + оз (1 -X)]2 -п + (Л - 1) [(Пж/Г]Г)"/2[<М (1—х)](2~п)/2 + ’
"Г (1_ю)(1_х)
(507)
По известной величине уноса жидкости можно определить па-
дение давления, используя выражения (503) — (506). И, наоборот,
задаваясь падением давления из выражения (329), можно оценить
величину со. С помощью перечисленных формул можно показать,
что
<в=е1>3 (508)
с точностью до ±8 %.
Таким образом, при дисперсно-расслоенном течении высоту слоя
жидкости и унос ее можно определить следующим образом:
оценить е по формуле (502);
найти ю по формуле (508);
оценить высоту слоя жидкости при расслоенном течении, исполь-
зуя формулу (507), которая при ю = 0 (расслоенное течение) при-
нимает вид
1 _ 1 I Г2/(2—п) X ___ . 1
«рс.ж 1-х 1+х2/(2-«>-
Данная формула может быть преобразована в выражение (324).
Тогда
= (^ж) • (509)
Если поперечные сечения потоков отличны от равновесных, то
формулы (503) и (504) дадут разные значения градиента давле-
ния. Если допустить, что фазы имеют одинаковый общий градиент
давления, то различие в градиентах, обусловленных трением и тор-
можением потока, даст
<51°)
где у — высота слоя жидкости в поперечном сечении расслоенного
потока; Dpi, Dp% — градиенты давления, полученные соответствен-
но из выражений (503) и (504).
Приведенные закономерности получены при допущении, что по-
перечное сечение потока прямоугольное.
Падение давления в теплообменниках
при горизонтальном течении
При расчетах падения давления в окнах кожухотруб.чатых теп-
лообменников должна быть учтена зависимость перепада давлений
Рис. 85. Зависимость ф от х для двухфазной смеси в зоне окоп теплообменников с 39 (а) и 165 (б) трубками:
массовые скорости [в кг/(м2 • с)]: /—10,3; 2 — 24,6; 3 — 34,9; -4—45,6; 5 — 92,9; 6—156,7; Z —313; 8 — 488; 9 — 659; 10—43,6;
217,8; /2 — 435; 13 — 635,8; 7-4 — 871,5; кривые A, В, В рассчитаны соответственно но выражениям ^гом ^л-У^гом!1/4’
_122-п-2)/(Г+1); Вп-(»ж/»„)МТ/4
при перекрестном токе от структуры потока. В данном случае пере-
пад давлений — это разность между давлениями на входе в окна и
выходе из них. Остальные потери напора учитываются в корреля-
ции для перекрестного тока. Параметр двухфазности получен из
выражения (262). Рекомендуемые коэффициенты те же, что и для
перекрестного тока, кроме дисперсной структуры, где В =
= (^жМ)0,25. Искомая массовая скорость в окне максимальна. Па-
дение давления в зоне окна в экспериментах не зависело от числа
Рейнольдса, а показатель степени в формуле Блазиуса был равен
нулю. На рис. 85 сравниваются расчетные и экспериментальные
данные.
Структуры потока при вертикальном течении
Используя опытную секцию (рис. 86), исследователи [52] на-
блюдали три структуры потока: пузырьковую — как и при горизон-
тальном течении, пузырьки газа рассеяны в жидкости; дисперс-
ную— как и в горизонтальном потоке, вся жидкость течет в виде
капель, рассеянных в газе, за исключением небольшого количест-
ва жидкости, смачивающей стенки; промежуточную — пробки жид-
кости следуют за газовыми пробками, жидкость скапливается в ниж-
них окнах и перекрывает сечение канала, затем жидкая пробка те-
чет вверх.
Все структуры показаны на рис. 87. Опытная секция, показан-
ная на рис. 86, отличается от секции, приведенной на рис. 82, а,
только своей ориентацией.
На рис. 88 показана карта структур, полученная с помощью
координат Бейкера [5].
Рис. 86. Модель кожухотрубчатого
теплообменника с вертикальным пе-
рекрестным током:
I, II— зоны соответственно окна н пере-
крестного тока; 1~8 — точки измерения
давления
189
Рис. 87. Структуры двухфазных смесей при восходящем течении в зоне пере-
крестного тока:
а — пузырьковая; б — снарядная; в — дисперсная; 1 — пузырьки газа в жидкости; 2—
капли жидкости в газе; 3 — пленка жидкости иа стенке трубы
Рис. 88. Карта структур потока при вертикальном течении в зоне перекрестного
тока:
Л-О1,[(рг/1,2)(р1к/1000)]/-1/2 кг/(М2-с) В={(Сж/Сг)[(рг/1,2)] (рж./1000)]1/2{[Пж (1000/
/Рг)2J1/2(0,073/а)j} [(Па • с) - Ю-зр/2; структуры; / — дисперсная; //—пузырьковая; III —
снарядная; массовая скорость [в кг/(м2 с)]: / — 60- 2 — 85; 3—170; 4 — 240; 5 — 540;
6— 830; 7—1120
Рис. 89. Падение давления двухфазного потока при вертикальных восходящем
и нисходящем течениях в зоне перекрестного тока:
I— для абсциссы 1—х; II — данные для перемежающейся структуры; III —1|)=
—Bx(2-n)/2(|—x)(2-n)/2+x2-n при В=1, /1 = 0,37; массовая скорость [в кг/(м2 . с)]: / — 60;
2 — 85; 3 — 170; 4 — 240; 5 — 540; 5 — 830; 7—1120
Падение давления в вертикальном перекрестном токе
Вертикальный перекрестный ток — случай более сложный, чем
аналогичное течение в горизонтальной плоскости. Здесь имеется
дополнительная неопределенность, связанная с расчетом гравита-
ционной составляющей градиента давления. Изучалось [54] верти-
кальное восходящее течение двухфазных воздухо-водяных смесей
в 20-рядных пучках (9 трубок были перпендикулярны к направле-
нию потока). Гнезда в решетке имели форму полукруга для пре-
дотвращения перетоков. При анализе полученных данных сделано
допущение, что истинное объемное газосодержание определяется
формулой Арманда (92) при СА=0,833. Значение К получено по
формуле (112).
Имеются результаты непосредственных замеров объемного га-
зосодержания или отношения скоростей при вертикальном пере-
крестном токе. Эти данные коррелировались [54] для перекрест-
ного тока с учетом торможения с помощью формулы (262) при
В = 3. При изучении нисходящего течения двухфазных смесей бы-
ли получены аппроксимации в виде зависимости &pl&prQ от
1/{(^ж/^г) +fx/(l—х)]} 1/7?г65. Было установлено, что число Рей-
нольдса не является определяющим критерием для горизонталь-
ных потоков. В работе [52] использовалась опытная секция, пока-
занная на рис. 86, и воздухо-водяная смесь при атмосферном дав-
лении. Градиенты давления для восходящего и нисходящего пото-
ков были существенно различными, поэтому хорошей корреляции
данных получить не удалось. Достаточно хорошая корреляция была
достигнута лишь для осредненных данных. На ее основе установ-
лено, что В = 1.
Сравнение расчетных и экспериментальных данных приведено
на рис. 89. Из него видно, что при малых значениях х наблюда-
ется тенденция к завышению нормализованного параметра двух-
фазности. Данные, приведенные для массовой скорости
1120 кг/(м2-с), соответствуют диапазону значений массового газо-
содержания, в котором работали Грант и другие исследователи [54],
Процесс характеризуется величиной нормализованного параметра
двухфазное™ того же порядка.
Падение давления при вертикальном течении в окнах
Единственными данными, опубликованными в открытой печати,
о падении давления в вертикальном перекрестном токе в окнах
были данные, полученные на установке, которая показана на
рис. 86. При сопоставлении расчетных и экспериментальных зна-
чений (рис. 90) была использована [52] формула (262) и зависи-
мость В= (Пж/^гом)°’25- Вид ее следует из выражения (112). Опыт-
ным данным удовлетворяет показатель степени 0,25. Приведенная
зависимость ранее использовалась для дисперсной структуры при
горизонтальном течении в окнах. Показатель степени в формуле
Блазиуса, как и при горизонтальном течении в окнах, равен нулю.
Влияние перетоков и утечек
По периферии трубных решеток имеются полукруглые гнезда
(см. рис. 82 и 86) для предотвращения перетока флюида. Они,
безусловно, позволяют уменьшить падение давления в однофазном
потоке и параметр двухфазное™. Площадь перетока составляет
22 °/о от минимальной площади сечения пучка.
При использовании модели, описанной в работе [82], применя-
лась смесь, при перетоке которой падение давления в пучке мини-
мизировалось. Результаты эксперимента были предсказаны с точ-
Рис. 90. Падение давления двухфазной смеси при вертикальных восходящем и
нисходящем течениях в зоне окна:
I — ф’=Вх(1— х)+х2 при .5= (вж/пГОм)1/4: массовая скорость [в кг/(м2.с)]; 1 — 60; 2 — 85;
3—170; 4 — 240; 5 — 540; 6 — 830; 7—1120
ностью до ±20 %. Описанные в данной главе опыты относились к
вертикальному течению. Горизонтальное течение более сложное,
поскольку поток асимметричен вследствие влияния гравитации.
В литературе отсутствуют данные о систематическом изучении это-
го процесса.
Влияние количества движения и гравитации
Плотность потока количества движения рекомендуется оцени-
вать так же, как для течения в трубах (см. гл. 4), используя фор-
мулу для эффективного отношения скоростей. Возможно завыше-
ние влияния количества движения для расслоенного течения, где
отношение скоростей из соображений неразрывности задается
уравнением (509). Вследствие малых массовых скоростей, связан-
ных с расслоенным течением, ошибка будет невелика.
Объемное газосодержание в вертикальном двухфазном потоке
до сих пор не было предметом систематического исследования. Ре-
комендуется использовать те же уравнения, что и для течения в
трубах. Базой для оценки влияния количества движения может
1О.Ч
быть массовая скорость, осредненная по сечению потока в пучке
труб.
Пример 18. Массовая скорость смеси в горизонтальном перекрестном токе
равна 150 кг/(м2-с), а расходное массовое газосодержание — 0,01. Имеется
20 трубок диаметром по 15 мм, перпендикулярных к направлению течения. По-
казатель степени в формуле Блазиуса равен 0,28. Свойства жидкости следующие:
t’;к == 1,0432• 10—3 м3/кг; ог= 1,694-10-3 м3/кг; т|ж =28,3-10~5 Па-с; т]г=1,2х
Х103 Па-с. Необходимо оценить потери на трение, параметр двухфазности;
унос и площадь сечения, занятую жидкостью.
Используя выражение (495), получаем
^гжо
(150- 1,0432-10~3)2
9,8-0,015
0,1666,
а по формуле (494)
R — 1 = 0,3 + 0,09-0,1666-20- (28,3:1,2)0,28 = 14,83.
Параметр физических свойств [см. формулу (58)]
1694 / 1,2 \o.28
1,0432 \28,3/
На верхней границе для пузырькового течения при объемном газосодержа-
нпи. принимаемом равным 0.75, в предположении, что для первой итерации от-
ношение скоростей К = 3. получим
1
хпеГ| =----------------------------------= 0,005512,
1 + — (0,25:0,75) (1694:1,0432)
откуда
К= [1 + 0,005512 (1694:1,0432 — I)]0’5 = 3,154.
Путем дальнейших итераций находим К=3,2; лх-,, =0.005914.
По формуле (492) получаем
1 / 1 —0,005914', о,8б
^пер— 1 ~ 3>22 \ 0,005914 у ~ 2>47-
Используя неравенство (496), имеем
1,2 \0,28
28,3 J
25,47—0,3
0,09-2О2
= 0,2886 > 0,1666.
Таким образом, пузырькового течения
и (490), получаем
не будет. Используя формулы (326)
21’72 — 2
BDC =-------------= 0,04815;
Р 670^ — 1
/28,3\о.14 _
Bnon={l,2j
1,557.
Из выражения (502) находим
14,83 /0,01\0,86 0,04815
€а~ 1,509 \0,99/ — 1,509 = 0,157‘
Затем по формуле (508) получаем
го = 0,1571'3 = 0,0901,
а по формуле (507) —
1 {(0,01 + 0,0901-0,99)’>72 + 669 [(28,3:1,2)°’14 X
-------= ] j.-------------------------------------------------->
о^рс.ж (1 — 0,0901) х
X (0,0901-0,01-0,99)°’86 + 0,01’ ’72]}1/1172
-*-----1!:------------------------------------- = 2,997.
X 0,99
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Andeen G. В. and Griffith P. Momentum flux in two-phase flow Trans
A. S. M. E. J. Heat Transfer, Paper No 67—HT—32, August 1967.
2. Armand A. A. Resistance to two-phase flow in horizontal tubes (in Russian)
Izv. VTI, 1946, 15(1), 16—23. English translation, NLL M882, Boston Spa, Yorks-
National Lending Library.
3. Armand A. A. The flow mechanism of a two-phase mixture in a vertical
tube. In Styrikovich M. A. (ed). Hydrodynamics and Heat Transfer During Boiling
in High Pressure Boilers, pp. 19—34, (in Russian). Moscow: Akad. Nauk SSSR
1955. English traslation, AEC — tr— 4490, Washington 25, D. C.: Office of Techni-
cal Services, V. S. Dept, of Commerce.
4, Baker O. Designing pipelines for simultaneous flow of oil and gas. Amer.
Inst. Mining and Met. Engrs. petroleum Branch Meeting. Dallas, Texas, 1953.
Preprint Paper No 323 — G. New York, N. Y., American Institute of Mining and
Metallurgical Engineers, 1953.
5. Baker O. Simultaneous flow of oil and gas. Oil and Gas J, 1954, 53(12)
185—90, 192, 195.
6. Baroczy C. J. A systematic correlation for two-phase pressure drop. Chem.
Engng Prog. Symp. Ser. 1966, 62(44), 232—49.
7. Beattie D. R. H. A note on the calculation of two-phase pressure losses.
Nucl, Engng Design, 1973, 25, 395—402.
8. Becker К. M„ Heinborg G. and Bode M. An experimental study of pressure
gradients for flow of boiling water in vertical round ducts. Parts 1—4. Reports
Nos AE — 69, AE — 70, AE — 85, AE — 86. Stockholm: AB Atomenergie, 1962.
9. Beggs H. D. An experimental study of two-phase flow in inclined pipes.
Ph. D. Thesis, Univ, of Tulsa, 1972. Order No. 77—21—615. Ann Arbor, Michigan:
Univ. Microfilms, 1972.
10. Beij К. H. Pressure losses for fluid flow in 90° bends. J. Res. Natn. Bur.
Stand. 1938, 21(1), 1—18,
11. Benjamin M. W. and Miller J. G. The flow of saturated water through
throttling orifices. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 1941, 63(5), 419—29.
12. Bergelin О. P. and Gazeley C. Jr. Cocurrent gas-liquid flow. I. Flow in
horizontal tubes. Proc. 1949 Heat Transf. and Fluid Meeh. Inst., 5—18.
13. Berkowitz L„ Bertoletti S., Lesage J., Peterlongo G., Soldaini G. and
Zavaratelli R. Results of wet steam cooling experiments. Pressure drop heat
transfer and burnout measurements with round tubes. USAEC Report TID 12092.
Milan, Italy: Centro Informazioni Studi Esperienze Report R—27, 1960. Washing-
ton 25, D. C.: Office of Technical Services, U. S. Dept, of Commerce, 1960, Nucl.
Sci. Abstr, 1961, 15(12A), abstr. 15724.
14. Bizon E. Two-phase flow measurement with sharp-edged orifices and
venturies. AECL — 2273. Atomic Energy of Canada Ltd., Chalk River, Ontario,
June 1965.
15. Bruce J. M. Fluid to fluid modeling criteria for two-phase pressure drop-
Report AECL 4263. Chalk River, Ontario: Atomic Energy of Canada Ltd., Chalk
River Nuclear Labs., August, 1972.
16. Burnell J. G. Flow of boiling water through nozzles, orifices, and pipes.
Engineering, London, 1947, 164(4272), 572—6.
17. Chenoweth J. M. and Martin M. W. How to calculate turbulent two-phase
flow. Pipe Line Indus., 1955, 3, 50—2, 55, 57.
18. Chierici G. L. et al. Two-phase flow in oil wells, prediction of pressure
drop. Paper No. SPE 4316. Dallas, Texas: Soc. Petroleum Engrs of AIME,
1973.
19. Chisholm D. The flow of steam/water mixtures through sharp edge orifices.
Engng and Boiler House Rev., 1958, 73(8), 252—6.
20. Chisholm D. The influence of viscosity and liquid flow rate on the phase
velocities during two-phase flow. NEL Report No 33. East Kilbride, Glasgow:
National Engineering Laboratory, May 1962.
21. Chisholm D. Discussion of reference 78 p. 433, 1962.
22. Chisholm D. The pressure gradient due to friction during the flow of
boiling water. Engng and Boiler House Rev., 1963, 78(9), 287—9 (also NEL
Report No 78).
23. Chisholm D. Note on relationships between friction and liquid cross-
sections during two-phase flow. J. Meeh. Engng Sci., 1966 8(1), 107—9.
24. Chisholm D. Flow of incompressible two-phase mixtures through sharp-
edged orifices. J. Meeh, Engng Sci., 1967, 9(1), 72—8.
25. Chisholm D. Calculate pressure losses in bends and tees during steam-
water flow. Engng and Boiler House Rev., 1967, 82(8), 235—7.
26. Chisholm D. Pressure gradients during flow of incompressible two-phase
mixtures through pipes, venturis and orifices plates. Brit. Chem. Engng., 1967,
12(9), 1368—71.
27. Chisholm D. Flow of compressible two-phase mixtures through throttling
devices. Chem. Process Engng., 1967, 48(12), 73—8.
28. Chisholm D. Prediction of pressure losses at changes of section, bends and
throttling devices. NEL Report No 388. East Kilbride, Glasgow: National Engi-
neering Laboratory, January 1969.
29. Chisholm D. Prediction of pressure drop at pipe fittings during two-phase
flow. 13th Int. Inst, of Refrig. Cong., Washington, 27 August — 3 September 1971,
2, 781—9.
30. Chisholm D. Pressure gradients due to friction during the flow of evapo-
rating two-phase mixtures in smooth tubes and channels. Int. J. Heat Mass Tran-
sfer, 1973, 16(2), 347—58.
31. Chisholm D. Void fraction during two-phase flow. J. Meeh. Engng Sci.,
June 1973, 15(3), 235—6 (Also NEL Report No 536).
32. Chisholm D. Influence of pipe surface roughness on friction pressure
gradient during two-phase flow. J. Meeh. Engng Sci., 1978, 20(6), 353—4.
33. Chisholm D. Two-phase pressure drop in bends. Int. J. Multiphase Flow,
August 1980, 6(4), 363—7.
34. Chisholm D. Flow of compressible two-phase mixtures through sharp-
edged orifices. J. Meeh. Engng Sci., 1981, 23(1), 45—8.
35. Chisholm D. and Laird A. D. K. Two-phase flow in rough tubes. Trans.
Amer. Soc. Meeh. Engrs. 1958, 80(2), 276—86.
36. Chisholm D. and Rooney D, H. Pressure drop during steam-water flow.
J. Meeh. Engng Sci., 1974, 16(5), 353—5.
37. Chisholm D. and Sutherland L. A. Prediction of pressure changes in pipe-
line systems during two-phase flow. Paper No 4, I. Meeh. E./I. Chem. E. Joint
Symp. on Fluid Mechanics and measurements in two-phase systems, 24—25 Sep-
tember 1969, University of Leeds.
38. Chisholm D. and Watson G. G. The flow of steam-water mixtures through
sharp-edged orifices. Symposium on two-phase flow. University of Exeter. Exeter,
21—23 June 1965, 2, G201—2.
39. Churchill S. W. Friction equation spans all fluid flow regimes. Chemical
Engng, 1977, 84(24), 91—2.
40. Cicchitti A. et al. Two-phase cooling experiments — pressure drop, heat
transfer, and burnout measurements. Energie Nucleare, 1960, 7(6), 407—25.
41. Collier J. G. Convective Boiling and Condensation, London: McGraw-Hill,
1972.
42. Collier J. G. Two-phase gas-liquid pressure drop and void fraction. A re-
view of the current position. 1974 European Two-phase Flow Conference, Paper
No Bl. Harwell, England: Atomic Energy Establishment, 1974.
43. Collins D. B. and Gacesa M. Measurement of steam quality in two-phase
upflow with venturis and orifice plates. J. Bas. Engng, 1971, 93(1), 11—21.
44. Fauske H. K. Two-phase and one-component critical flow. Symposium on
Two-phase Flow, Exeter, 21—23 lune, 1965, vol. 1, Univ. ’Exeter, Dept. Chem.
Engng., G101—G114.
лк Porroi г К and McGee J. W. Two-nhase flow through abrupt expansions
and contractions. T. 1. D.— 23394, 1966, Vol. 3. Dept, of Chemical Engng. North
Carolina State University, Royleigh, N. C.
46. Fitzsimmons D. E. Two-pnase pressure drop in piping components. H\V —
80970, 1964, Rev. 1. General Electric Hanford Laboratories, Richland, Washington.
47. Friedel L Mean void fraction and friction pressure drops: comparison of
some correlations with experimental data. European Two-phase Flow Group Meeting.
Grenoble. 6—9 June 1977. Paper A7.
48. Govier G W. and Aziz K. The Flow of Complex Mixtures in Pipes. New
York, N. Y.: Van Nostrand Rheinhold, 1972.
49. Govier G. W. and Omer M. M. Horizontal pipeline How of air-water
mixtures. Canad. J. Chem. Engng, 1962, 40, 93—104.
50. Graham E. J. The flow of air-water mixtures through nozzles. NEL
Report No 308. East Kilbride, Glasgow: National Engineering Laboratory, 1967.
51. Grant I. D. R. Two-phase flow and pressure drop on the shell-side of
shell-and-tube heat exchangers. Heat and Fluid Flow in Steam and Gas Turbine
Plant, Univ, of Warwick, Coventry, 3—5 April, 1973. CP3, pp. 244—251. London
I. Meeh. E„ 1973.
52. Grant I. D. R. and Chisholm D. Two-phase flow on the shellside of a
segmentally baffled shell-and-tube heat exchanger. Trans. ASME, 1979, 101.
38—42.
53. Grant I. D. R., Cotchin C. and Chisholm D. Tube submergence and entrain-
ment on the shellside of heat exchangers. Heat and Mass transfer Conference.
Dubrovnik, September 1981.
54. Grant I. D. R„ Finlay I. C. and Harris D. Flow and pressure drop during
vertical upward two-phase flow past a tube bundle with and without bypass
leakage. I. Chem.E./l.Mech.E. Joint Symp. on Multiphase Flow Systems. Univ, of
Strathclyde, Glasgow, 2—4 April 1974, 2, Paper 17. London: The Institution of
Chemical Engineers, 1974.
55. Gregory G. A. and Scott D. S. Correlation of liquid slug velocity and
frequency in horizontal co-current liquid slug flow. A. I. Ch. E. JI., 1969, 15,
933—5.
56. Haywood R. W., Knights G. A., Middleton G. F. and Thom. J. R. S.
Experimental study of the flow conditions and pressure drop of steam-water
mixtures at high pressures in heated and unheated tubes. Proc. Instn Meeh Engrs
1961, 175(13), 669—726.
57. Henry R. E. A study of one- and two-component two-phase critical flows
at low qualities. Report No ANL—7430. Argonne, Illinois: Argonne National La-
boratory, 1968.
58. Henry R. E. and Fauske H. K- The two-phase critical flow of one- compo-
nent mixtures in nozzles, orifices, and short tubes. ASME, Trans., Series C —
Journal, of Heat Transfer, May 1971, 93, 179—87.
59. Hoogendoorn G. J. and Buitelaar A. A. The effect ot gas density and
gradual vapourization on gas-liquid flow in horizontal pipes. Chem. Engng. Sci.,
1961, 16, 108—221.
60. Hughmark G. A. Hold-up in gas-liquid flow. Chem. Engng. Progr., 1962,
48(4), 62—5.
61. James R. Metering of steam-water two-phase flow by sharp-edged orifices.
Proc. Instn. Meeh. Engrs, 1965, 180, 549—72.
62. Janssen E. Two-phase pressure loss across abrupt contractions — expan-
sions, steam-water at 600 and 1400 lb/in2. Proc. Third Int. Heat Transfer, 1966,
5, 13—25. New York: American Inst. Chem. Engrs, 1966.
63. Jobson D. A. On the flow of compressible fluids through orifices. Proc,
Instn. Meeh. Engrs, 1955, 169(37), 767—76.
64. Johnson H. A. and Abou-—Sabe A. H. Heat transfer and pressure drop
for turbulent flow of air-water mixtures in a horizontal pipe. Trans. Amer. Soc.
Meeh. Engrs, 1952, 74(6), 977—87.
65. Katsuhara T. Influence of roughness of inner surface of pipe on the
pressure drop due to friction during two-phase flow. Bull. Japan Soc. Meeh. Engrs.
1959, 2(7), 439—45.
66. Kosterin S. I. Research into structure of the flow of a two-phase medium
n horizontal tubes (in Russian). Izv. Akad. Nauk. SSSR, Otdei tekh Nauk, 1943,
37—45.
67. Kosterin S. I. An investigation of the influence of the diameter and in-
dination on a tube of the hydraulic resistance and flow structure of gas-liquid
nixtures (in Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR. Otdei tekh Nauk, 1949, 12, 1824—
15. English translation, HB 3085. Altadens, California: Henry Brutcher.
68. Nrasyakova L. Y. Some characteristics of the flow of a two-phase mixture
n a horizontal pipe. Zhur, Tekh. Fiz., 1952, 12, 654—69. Harwell, England:
\ERE Library Translation 659/1957.
69. Lockhart R. 11". An analysis of isothermal two-component, two-phase data.
Hech. Engr. Thesis. University of California, 1945.
70. Lockhart R. IF. and Martinelli R. C. Proposed correlation of data for
sothermal two-phase two-component flow in pipes. Chem. Engng Progr., 1949,
15(1), 39—48.
71. Lombardi E. and Pedrocchl E. Pressure drop correlation in two-phase
low. Energ. Nucl. 1972, 19(2), 91—9.
72. Martinelli R. C., Boelter L. M. K., Taylor T. H. M„ Thomson E. G. and
Moen R. H. Isothermal pressure drop for two-phase two-component flow in a
rorizontal pipe. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs. 1944, 66(2), 139—51.
73. Martinelli R. C„ Lockhart R. IF. and Putnam J. A. Two-phase two-compo-
aent flow in the viscous region. Trans. Amer. Insi. Chem. Engrs, 1946, 42(4),
581—705.
74. Martinelli R. C. and Nelson D. B. Prediction of pressure drop during
forced circulation boiling of water. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engng, 1948, 70(6),
595—702.
75. McMillan H. K. A study of flow pattern and pressure drop in horizontal
.wo-phase flow. Ph. D. Thesis, Purdue University, 1963.
76. Moore T. V. and Wilde FL D. Jr. Experimental measurement of slippage
n flow through vertical pipes. Trans. Amer. Inst. Mining and Met. Engrs (Pet.
Div.), 1931, 92, 296—319.
77. Muir J. F. and Eichorn R. Compressible flow of an air-water mixture
through a vertical two-dimensional converging-diverging nozzle. Proc. Heat Tran-
sfer and Fluid Meeh. Inst. 1963, 183—204. Stanford, California: Stanford University
Press, 1963.
78. Murdock J. IF. Two-phase flow measurement with orifices. Trans. Amer.
Soc. Meeh. Engrs, Ser. D. J. Basic Engng. 1962, 84(4), 419—33.
79. Nabizadeh H. Ubertragungsgesetze fiir den Dampfvolumenanteil zwischen
Freon and Wasser. EIR — Wurenlingen, Vortrag auf dem R12 Kolloquium im
Inst, fiir Verahrenstechnik der T. U. Hanover, 1976.
80. Oshinowo T. and Charles M. E. Vertical two-phase flow. Part 1. Flow
pattern correlations. Canadian J. Chem. Engng. February 1974, 52(1), 25—35.
81. Owens IF. L. Two-phase pressure gradient. In ASME International Deve-
lopments in Heat Transfer, 1961, Part II, 363—8. New York: American Society,
of Mechanical Engineers, 1962.
82. Polley G. T. and Grant I. D. R. Pressure drop prediction for two-phase
upward flow through a tube bundle with bypassing. Assoc. Engrs Grad. Univ.
Liege (A. I. Ig.) Proc. Internal. Meeting. Industrial Heat Exchangers and Heat
Recovery, Liege, 14—16 November 1979. Paper A10. Liege, Belgium: A. I. Ig. 1979.
83. Premoli A., Franceso D. Di. and Prina A. An empirical correlation for
evaluating two-phase mixture density under adiabatic conditions. European Two-
phase Flow Group Meeting. Paper B9, Milan, June 1970.
84. Rooney D. H„ Chisholm D. and Cornwall R. S. Flow of steam-water
mixtures through sharp-edged orifices. In: Heat and Fluid Flow in Steam and Gas.
Turbine Plant, Univ, of Warwick, Coventry, 3—5 April 1973. Paper CP — 3,
pp. 1—8. London: Institution of Mechanical Engineers, 1973.
85. Rouhani S. L. and Becker К. M. Measurements of void fraction of boiling
heavy water in vertical sound duct. Report AE— 106, 2nd Rev. Edition. Stockholm:
AB Atomenergie, 1963.
86. Ryley D. J. The flow of wet steam. Engineer, London, 1952, 193(5015),
332—3(5016), 363—5.
87. Sekoda G., Sato K. and Kayasaki T. Horizontal two-phase flow charac^e-
199
ristics in the disturbed region due to 90° bend. Trans. Jap. Soc. Meeh. Engrs.
1969, 35(279), 2227—33. English Trans: NEL 2237. T6914. East Kilbride. Glasgow:
National Engineering Laboratory, 1971.
88. Siegla D. C. Two-phase flow as related to condensation processes. M. Sc.
Thesis. Purdue University, 1961.
89. Silberman E. Air-water mixture flow through orifices, bends and other
fittings in a horizontal pipe. Project Report No 63. St. Anthony Falls Hydraulic
Lab., University of Minnesota, 1960. AD 253—494.
90. Silver R. S. Temperature and pressure phenomenon in the flow of satu-
rated liquid. Proc. Roy. Soc. (London), 1948, A194, 464—80.
91. Silver R. S. and Mitchell J. A. The discharge of saturated water through
nozzles. Trans. N. E. Coast Instn Engrs. Shipp., 1945, 62, 51—72, D15—D30.
92. Smith S. L. Void fractions in two-phase flow: a correlation based upon
an equal velocity head model. Proc. Instn Meeh. Engrs., 1969—70, 184(Pt 3C),
647—64.
93. Sternling С. V. Lecture presented at the Meeting of the American Institute
of Chemical Engineers, Dec. 1965.
94. Taitel Y. and Dukler A. E. A model for predicting flow regime transitions
in horizontal and near-horizontal flow. A. I. Ch. E. JI, 1976, 22, 47—55.
95. Thom J. R. S. The flow of a steam-water mixture through sharp-edged
orifices. Research Department Report No 1/62/65. Renfrew: Babcock und Wilcox,
1963.
96. Thom J. R. S. Prediction of pressure drop during forced circulation boiling
of water. Int. J. Heat Mass Transfer, 1964, 7(7), 709—24.
97. Thom J. R. S. Prediction of friction pressure gradients, In: NEL Report
No 387. East Kilbride, Glasgow: National Engineering Laboratory, 1969.
98. Vogrin J. A. Jr. An experimental investigation of two-phase two-component
flow in a horizontal converging-diverging nozzle. USAEC Rept. ANL — 6754
Lemont. Ill: Argonne National Laboratory, 1963.
99. Wallis G. B. and Dobson J. E. The onset of slugging in horizontal
stratified air-water flow. Int. J. Multiphase Flow. 1973, 1(1), 173—93.
100. Watson G. G. and Vaughan V. E. and McFarlane M. W. Two-phase
pressure drop with a sharp-edged orifice. NEL Report No 290. East Kilbride,
Glasgow: National Engineering Laboratory, 1967.
101. White E. T. and Beardmore R. H. The velocity of rise of single cylindrical
air bubbles through liquids contained in vertical tubes. Chem. Eng. Sci., 1962.
17, 351—61.
102. White P. O. and Huntington R. L. Horizontal cocurrent two-phase flow
of fluids in pipelines. Petrol. Engr. 1955, 27(9), D40—45.
103. Wiafe F. Two-phase flow in rough tubes. Ph. D. Thesis. The University
of Strathclyde, Glasgow, 1970.
104. Zaloudek F. R. The critical flow of hot water through short tubes. General
Electric Co., Hanford Atomic Products Operation, Richland, Wash, HW — 77594,
May 1963, 36 pp.
105. Zuber N. and Findlay J. A. Average volumetric concentration in two-
phase flow systems. Trans. ASME J. Heat Transfer, November 1965, 87, 453—68.
106. Zuber N. et al. Steady state and transient void fraction in two-phase flow
systems. GEAP — 5417. Vol. 1, 422 pp.; Vol. 2, 285 pp. San Jose, California:
General Electric Co., 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора.................................................... 5
Введение 7
Определение двухфазного течения................................... 7
Области распространения двухфазных потоков..................... 7
Историческая справка.............................................. 8
Ранние методы проектирования ..................................... 9
Первые научные исследования ....................................... 9
Точность методов расчета ......................................... 10
Глава 1. Основные определения и терминология.............................13
Расходное массовое газосодержание и относительный массовый
расход...........................................................13
Отношение истинных объемных скоростей, относительная скорость
фаз (проскальзывание) и скорость дрейфа..........................13
Истинное объемное газосодержание и истинное объемное содержа-
ние жидкости.....................................................14
Уравнения сохранения массы для фаз (уравнения неразрывности фаз) 14
Приведенные скорости фаз.........................................14
Относительный объемный расход газа...............................15
Скорости газа, жидкости и гомогенной среды (гомогенная скорость) 15
Плотность и удельный объем смеси............................... 16
Унос жидкости газом..............................................17
Градиенты статического давления . . 18
Градиенты давления в однофазном потоке ......................... 18
Параметры двухфазности...........................................19
Параметр Локкарта — Мартинелли...................................20
Коэффициент Г2 и показатель степени п физических свойств . . 21
Безразмерное избыточное падение давления ................... 21
Нормализованный параметр двухфазности............................21
Коэффициенты гидравлического сопротивления для двухфазного 22
потока .......................................................
Дополнительные выражения для числа Рейнольдса....................22
Глава 2. Структуры потоков.............................................26
Горизонтальные трубы.............................................26
Вертикальные трубы...............................................28
Возможные названия структур потоков..............................31
Влияние фазовых превращений......................................33
Глава 3. Истинное объемное газосодержание и плотность смеси 34
Объемное газосодержание и скорость дрейфа........................34
Пузырьковое течение..............................................34
Коэффициент Арманда.................................. . 35
Модель с переменным распределением параметров....................37
Анализ Зубера — Финдлея......................................... 38
Гравитационная составляющая градиента давления...................39
Расчет отношения скоростей (коэффициента скорости) .... 40
Расчет коэффициента Арманда......................................43
Расчет скорости дрейфа (Р<0,9)...................................46
Расчеты при высоких относительных объемных расходах газа
(Р>0,9) ...... 46
Течение в наклонных трубках..............................*..... 46
Расслоенный и вязкий потоки.........................Ч .• . . 49
Средняя плотность при фазовых превращениях.......................51
Точность расчетов .............................................. 53
Глава 4. Плотность потока количества движения....................
Градиент давления и количество движения.......................
Модель раздельного течения....................................
Параметры двухфазности .......................................
Измерение количества движения ................................
Влияние пульсаций потока .....................................
Влияние уноса жидкости газом............................... .
Минимальная плотность потока количества движения . . . .
Градиент давления, обусловленный изменением количества дви-
жения потока ..................................................
Глава 5. Течение при дросселировании................................
Течение газо-жидкостных смесей.................................
Гомогенное равновесное течение паро-жидкостных смесей
Параметры А2ПСр и Л2...........................................
Равновесное течение с проскальзыванием фаз ....................
Замороженное течение паро-жидкостных смесей с проскальзыва-
нием фаз.......................................................
Неравномерное течение. Метод Генри.............................
Коэффициент В для неравновесного течения.......................
Расходное массовое газосодержание при неравновесных условиях
течения .......................................................
Глава 6. Трение. Обобщенные корреляции........................
Однофазное течение.......................................
Режимы течения...........................................
Гомогенная теория ................... . ................
Корреляция Мартинелли....................................
Метод коэффициента С.....................................
Метод коэффициента В.....................................
Корреляции Барокши.......................................
Нормализованный параметр двухфазности . . ............
Влияние наклона трубы....................................
Падение давления при фазовом переходе....................
Течение смеси с вязкой составляющей .....................
Обобщенные корреляции....................................
Глава 7. Трение. Теории и корреляции для разных структур двухфаз-
ного потока ..............
Модели раздельного течения...............................
Модель раздельного цилиндрического течения Уоллиса
Теория кольцевого течения ...............................
Соотношения между <р2тр.,к и объемным содержанием .жидкости
Дисперсно-кольцевое течение....................... . . .
Пузырьковое течение .....................................
Снарядное течение .............................. . . .
Расслоенное течение .....................................
Переход от расслоенного к турбулентно-турбулентному течению
Обобщенный подход к описанию структуры потока . . . .
Оценка точности результатов..............................
Глава 8. Течение в прямых трубах..............................
Полный градиент давления.................................
Термодинамическое описание течения.......................
Гомогенная теория ...... ......................
Метод коэффициента В.....................................
56
56
57
58
60
61
62
63
63
6b
67
69
70
72
73
74
75
76
78
78
79
79
80
82
85
88
90
91
93
95
96
98
98
99
100
102
104
105
107
108
109
113
113
115
115
115
116
120
Численное интегрирование вдоль трубы...........................120
Уравнение притока тепла ..................................... 121
Неравновесное течение ......................................... 122
Глава 9. Падение давления в трубах с поворотами..................... 125
Падение давления в однофазном потоке............................126
Простейшая модель...............................................127
Коэффициент В...................................................128
Коэффициент Спов................................................130
Повороты, не равные 90°.................................: 131
Влияние плоскости поворота .................................... 131
Глава 10. Течение через местные сопротивления........................133
Модель, предполагающая отсутствие касательного напряжения на
поверхности раздела фаз.........................................133
Теория, основанная на постоянстве отношения скоростей . . . 134
Уравнения, выраженные через Др/Држ0.............................137
Модель, учитывающая касательное напряжение на поверхности раз-
дела фаз........................................................138
Эффективное отношение скоростей для диафрагм...................139
Зависимость отношения скоростей от расходного массового газосо-
держания ....................................................: 142
Течение через трубки Вентури и насадки (сопла) . . . . 142
Глава 11. Течение несжимаемой смеси при изменении поперечного
сечения трубы................................................... . 145
Коэффициент падения давления....................................146
Модель, предполагающая постоянство удельного объема . . . 148
Модель переменной плотности.....................................148
Оценка местных значений средних коэффициентов В 149
Сужения у входа в трубу.........................................151
Тонкие диафрагмы................................................152
Толстые диафрагмы...............................................153
Запорная арматура ............................................. 153
Глава 12. Течение сжимаемых газо-жидкостных смесей через диафрагмы
и трубки Вентури ................................................... 156
Модели, предполагающие отсутствие касательного напряжения на
поверхности раздела фаз.........................................156
Учет касательного напряжения на поверхности раздела фаз . . 158
Коэффициент сжатия..............................................159
Решения, основанные на учете эффективной скорости .... 162
Течение через трубки Вентури .................................. 163
Течение через сопла.............................................164
Изменение давления после местного сопротивления .............. 165
Методы расчетов для местного сопротивления со сложной геомет-
рией ...........................................................167
Глава 13. Течение через короткие трубки, сопла и диафрагмы с учетом
фазовых превращений.......................................168
Течение насыщенной жидкости через короткие трубки .... 168
Уравнения двухфазного течения..........................170
Гомогенно-равновесная теория...........................171
Модель замороженного течения ...................................173
Неравновесные модели и теория..........................174
1Модель Генри — Фауске для неравновесного течения .... 176
Неравновесное расходное массовое газосодержание........178
9ПД
Глава 14. Двухфазное течение в теплообменниках.......................
Структура потока при горизонтальном течении ...................
Падение давления в горизонтальном перекрестном токе
Высота слоя жидкости и унос ее при раздельном течении
Падение давления в теплообменниках при горизонтальном течении
Структуры потока при вертикальном течении .....................
Падение давления в вертикальном перекрестном токе . . . .
Падение давления при вертикальном течении в окнах . . . .
Влияние перетоков и утечек ....................................
Влияние количества движения и гравитации.......................
Список литературы..............................................
180
180
185
186
187
189
191
192
192
193
196
ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ
Дуикан Чисхолм
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДАХ
И ТЕПЛООБМЕННИКАХ
Редактор издательства А. Б. Латай
Обложка художника Ю. А. Асофова
Художественный редактор В. В. Шутько
Технические редакторы А. В. Трофимов, Е. С. Сычева
Корректор И. И. Таранева
ИБ Ks 6670
Сдано в набор 04.03.86. Подписано в печать 19.06.86. Формат 60 x 90'/is. Бумага типографская
№ 1 имп. Гарнитура Литературная. Печать высокая. Усл.-печ. л. 13,0. Усл. кр.-отт. 13,12.
Уч.-изд. л. 12,55. Тираж 1800 экз. Заказ 1134/944—8. Цена 85 коп.
Ордена «Знак Почета» издательство «Недра»,
103633, Москва, Третьяковский проезд, 1/19
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24." ‘
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.