/
Автор: Башарин Г.П.
Теги: теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов прикладная математика
ISBN: 5-209-00382-6
Год: 1990
Текст
Г. П. БАШАРИН
Москва
Издательство Университета дружбы народов
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1990
\
Государственный коивтет СССР
по народному образовании
Г.П.Башаржн
ВВЕДЕНИЕ
В ТВОРЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособив
Для студентов П - Ш курсов
специальностей "Математика", "Прикладная математика"
Москва
Издательство Университета дружбы народов
1990
ЗЕК 22.17 Утверждено
Б 33 Редакционно-издательским советом
Университета
Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей. Учебное посо-
бие. Для студентов И - Ш курсов специальностей "Математика",
"Прикладная математика" -И.: Изд-во УДН, 1990.- 228 с.
В основу пособия положен двухсеместровый курс лекций по
"Теории вероятностей", читаемый автором студентам-математикам
факультета УДН. Дается физическая интерпретация, приводится
много пршеров й рисунков. В тексте приводятся такие упражне-
ния, служащие как для углубления и расширения теоретического
материала, так и для самоконтроля при самостоятельной работе.
Материал по комбинаторике может быть использован и при изуче-
нии курса "Дискретная математика", кроме того пособие может
быть полезно студентам-физикам. Изложение не самое общее, но,
как правило, математически строгое с четким выделением более
простых методически и,'' вместе с тем, важных для приложений
дискретных случаев.
Подготовлено на кафедре вычислительной математики.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
академик АН УССР, доктор физико-математических наук,
профессор Б.В^Гнеденко
член-корреспондент АН СССР, доктор физико-математичес-
ких наук, профессор Б.А.Севастьянов
В I60.g010000-Q48 49(lfa)^
093(02) - 90
18ВЖ 5-209-00382-6
б) Университет*; дружбы народов, 1990 г.
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
11. Методические замечания, обозначения и сокращения.
Ill Изучение курса, теории вероятностей большинство
студентов начинает лимь в вузе, хотя интуитивное понятие о
случайности знакомо уже детям и в некоторых странах элементы
теории вероятностей (ТВ) изучают в средней школе в курсе ал-
гебры. При первом знакомстве с предметом в вузе перед студен-
том стоят три задачи - освоить основные понятия, факты и тер-
минологию ТВ, овладеть ее аналитическим аппаратом и научиться
самостоятельно решать задачи разного типа и разной сложности.
При етом решение задач играет особую роль, поскольку они по-
могают освоению как новых понятий, так и применению аналити-
ческого аппарата.
Курс ТВ для математиков наиболее тесно связан с курсом
Анализа, хорошее знание которого сильно облегчит изучение ТВ.
. Опыт преподавания в УДН показал, что целесообразно включить в
гл. 1 элементы теории «новеств со специфической для ТВ терми-
нологией и интерпретацией. По методическим соображениям вклю-
чена и.краткая гл. 7, посвященная теории и применению в IB
интеграла Римана-Огилтьеса, сильно облегчающего изложение мно-
гих разделов курса. Штеграл Лебега в курсе, как правило, не
используется, хотя отдельные факультативные упоминания о нем
со ссылками на учебник А.Н.Колмогорова, С.В. Фомина [ 5] имеют-
ся. В 4-м семестре (гл. 4) в курсе вводится сходимость после-
довательностей по вероятности, в 5-м (гл. 10-12) - сходимость
с вероятностью.!, среднеквадратическая и по распределению,
причем активно используются линь первая и четвертая из них. В
5-м семестре все эти веды сходимости под другими названиями
вводятся и в курсе Анализа (см., например,[б]).
Много связей имеет ТВ и с рядом разделов курса "Дискрет-
ная математика", что подтверждает обширная гл. 4 о комбинато-
рике, раздел НЛО о производящих функциях и подробный мате-
риал о дискретных распределениях почти во всех главах. Посколь-
ку курс ТВ начинается в 4 семестре, а курс "Дискретная матема-
тика" в 4 семестре, заканчивается, то возможно взаимно дополня-
ющее изложение ряда вопросов как в лекционных курсах, так и на
семинарах и на математическом практикуме. Отметим еще, что -
цепи Маркова тесно связаны с теорией орграфов, но им посвяще-
ио отдельное пособие £llj, дополняющее его.
В тексте содержатся упражнения, как иллюстрирующие,
так и развивающие излагаемый материал. Их рекомендуется
решать одновременно с чтением текста и при самостоятельной
работе для самоконтроля, а более сложные - на семинарах.
В конце пособия приводится список основной и дополнительной
литературы, а также сборников задач и некоторых учебных
пособий. Itaoro интересных содержательных примеров из раз-
личных областей кибернетики и информатики содержит книга
Е С Вентцель, Л.А. Овчарова (13]. Ее целесообразно исполь-
зова~ь как на семинарах, так и при самостоятельной работе,
особенно прикладникам.
В ТВ применяется много стандартных многословных тер-
минов и названий, для которых удобно применять аббревиатуры.
Ниже приводится их список.
I.I.2. Основные аббревиатуры и обозначения.
ДСВ - дискретная случайная величина
ЗБЧ - закон больших чисел
ЭР - закон распределения
КСВ - комплексноэначная случайная величина ,
МО - математическое ожидание
НОР - независимые, одинаково распределенные
ПФ - производящая функция
СВ - случайная величина
ТВ - теория вероятностей
ФР - функция распределения
ХФ - характеристическая функция
ЦСВ - целочисленная случайная величина
биномиальное распределение с параметрами н ,р
" отрицательно-биномиальное распределение с
параметрами и ,/о
&*©»'(’/>)• 1, р) - геометрическое распределение
с параметром
- нормальное распределение с параметрами
ПС») - пуассоновское распределение с параметром Л
ЕаисКл/) - непрерывное равномерюе распределение на(сц^
Елр(Л) - экспоненциальное распределение с параметром > .
4
1.2. Предмет теории вероятностей.
В настоящее время специалисты по науковедению выделяет око-*
лр 1500 различных научных дисциплин и среди них по правуодно из
первых мест занимает комплекс дисциплин, называемых "Математика*.
Математика изучает количественные отношения и пространственные •
фермы реального мира, причем болыцую роль играют и потребности'
|)взвития самой математики. Вместе с тем, математические методы
дсе шире проникают в конкретные дисциплины, на стыке с которыми
появилось немало новых математических дисциплин (теория надеж-
ности, теория информации, математическая лингвистика и др.).
Естественные, технические и экономические науки изучают за-
кономерные явления и процессы реального мира, широко используя
дри этом математические модели. Математическая модель - прибли-
женное описание какого-либо класса объектов, явлений, экспери-
ментов или процессов с помощью математической символики. Типич-
ную связь между математической моделью и объектом научного ис-
следования можно представить в виде следующей упрощенной схемы:
Рис- I-I
Абстрактный характер математических моделей является их достоин-
ством, т.к. позволяет компактно описать наиболее существенные
че^ты изучаемого объекта, пренебрегая менее существенными. Яри
этом с помощью одной математической модели путём Выбора Подходя-
щих параметров часто удается описать ряд объектов, относятся и
различным научным дисщплинам, что способствует как развитию
этих дисциплин, так и научно- техническому прогрессу в делом.
Реальные события можно разделить на детерминированные, которые
происходят к&адый рае при осуществлении некоторого комплекса А
условий к действий, и недетерминированные, которые при осущест-
влении комплекса <Х могут либо произойти,либо на произойти.
Классическая механика Ньютона, основанная на нескольких аксиомах
и законе всемирного тяготения, является примером математического
аппарата исследования реальных процессов детерминированного ме-
ханического движения.
Сложнее обстоит дело с классом недетерминированных событий.
Выделим в этом классе такие массовые события, которые обладают
свойством статистической устойчивости при многократном повторе-
нии комплекса условий и действий, и назовем их случайсши
(ем.рис.1.2). ч
, Рис. 1.2
Теория вероятностей изучает закономерности, которш подчи-
няется случайные события при многократном осуществлении комплекса
JC . Заметим, что на практике иногда бзддео трудно провести чет-
кую грань меаду тремя типами событий. Например, в детерминирован-
ное событие или эксперимент случайность может вноситься за счет
окибок намерений, а статистическая устойчивость случайного собы-
тия может нарушаться за счет постепенного изменения комплекса
уеловй Л * Однако, теория вероятностей рассматривает только
случайные событияи эксперимента.
Пример 1.2.I. Если подбросить вверх и закрутить "правильную”
Монету (хотяеКс условий й действий )» то она может упасть
на поя ЯВЙ ttepx гербом (событие Г), либо дафрой (событие Ш,
ИехЬд «Нй ШсперйментЗ является недетермиюсрованным и сяучзЯ-
ный, Поскольку мы с детства знаем, что при "честном” бросании
"правильной" монеты выпадение герба или ци<?ры происходит о оди-
наковой чаетЬ^ой, т.е. ййеетоя статистическая устойчивость.
Пример 1.2.2. Ня аналитических весах производится 10 взве-
яивайяй некоторого предмета, которые дают близкие, но различные
Значения. Это объясняется той, Что всем измерениям присущи слу-
чайные оиибки, которые различии для разных измерений.
Пример 1.2.3. Рассмотрим технический контроль некоторого
Простого издёлия, изготавливаемого в массовом порядке с помощью
хоройз налаженного однородного Во времени технологического про-
цесса. Тогда события "данное изделие годно" и "данное изделие
негодно” можно считать случайными, причем здесь можно даже уста-
новить меру случайности, если на основе опыта известно, что
"первое событие более вероятно, чем второе" или что "второе со-
бытие мЛловероятно". :
1.3. Математическое описание случайного эксперимента
Чтобы научиться прогнозировать исхода некоторого массового
Случайного эксперимента Q, , нужно прежде всего описать класс
наблюдаемых событий этого эксперименты. Для этого нужно сначала
с достаточной подробностью, но без излишней детализации учтено-
вить комплекс Ж. основных условий и действий, характеризующий'
эксперимент Gt и поззоляодай его многократно повторять. Змчйч
нужно указать непустое множество (пространство) Л, всех его,;.
логически возможных и принципиально различима* элементарных исхо-
дов (событий).
Таким образом, В результате двух первых этапов описания ыв&»
сперимента Gt ему можно поставить в соответствие пару обЬек*^
тов служащих его частичной моделью я содержащих '
формацию о способе осуществления и возможных исходах Gx
<Sr ценив за реализацией эксперимента Сх позволяет установить,
какое элементарное событие сл€ SL произошло. Наряду с эле-
ментарными могут наблюдаться и составные случайные события АсЛ
состоящие из объединения элементарных.
Назовем события А С Л иЬеЛ несовместными (непере-
секающимися), если они состоят из различных элементарных собы-
тий, то есть АЛВ-0. Несовместными являются, например, собы-
тия А и Д’ , для которых А с/А* Л . Здесь и далее (J -
символ объединения несовместных событий. Событие А часто на-
зывают противоположным (дополнительным) событию А
Если точка является наблюдаемым исходом эксперимента .
G. и сое А , то говорят, что "произошло событие А ", а если
А » то говорят, что Гсобытие А не произошло" или, что
то же самое, что "произошло событие А ". Поэтому при любом ис-
ходе СО эксперимента Gt становится известным произошло собы-
тие. А или нет. л
Т.к. по построению и 4 происходит при любом исходе эксперт
мента G- , то Л называется достоверным событием. Противополож
ное Л пустое множество вообще не содержит элементов и поэтому
0’=Л={ } = /1ЛА , VA<=Sl
никогда не происходит, сколько бы раз не осуществлялся экспери-
мент (х . Это позволяет назвать 0 Невозможным событием.
Достоверные и невозможные события естественно считать слу-
чайными и наблюдаемыми, так кал они обладаютабсолютной стати-
стическойустойчивостью: Л происходит при каждом осуществлении
G. , а 0 никогда не происходит. Кроме того, это необходимо и
для построения дальнейшей теории: чтобы класс наблюдаемых собы-
тий был замкнутым оносительно теоретико-множественных операций
над событиями, он должен содержать как Л , так и 0
Пример I.3.I. Если эксперимент О состоит в "честном" бро-
сании "правильной" монеты, то комплекс XI состоит из следующих
условий и действий.
I. Монета является тонким цилиндрическим диском, изготовлена из
однородного металла без пустот и вкраплений, влиянием грави-
ровки на ее поверхности можно пренебречь, так что ее центр тя-
8 '
жести практически совпадает с геометрическим центром.
2. Монета бросается вверх и при этом закручивается так,что ее
траектория достаточно длинная, а монета в воздухе многократно
переворачивается.
3. Эксперимент производится в комнате с гладким полом и без ще-
лей, в которых монета может затеряться или стать на ребро.
При этом такие условия, как начальные положения и скорости
точек монеты; температура, давление и влажность воздуха и т.д.
можно не фиксировать, так как они либо не влияют на исход броса-
ния, либо их влиянием можно пренебречь.
В этом эксперименте всего два элементарных исхода Г ,
если монета упала гербом вверх и сог«Ц, если монета упала циф-
рой вверх. Оба исхода являются наблюдаемыми, причем в сил./ им-
метрии естественно считать их равновозможными (равноправными).
Пространство элементарны^исходов Г,Ц | является достовер-
ным событием, а бутпэан 2 (множество всех подмножеств множества
) имеет вид 2 и содержит все наблюдаемые
События. f
Пример 1.3.2. а) Рассмотрим эксперимент Gt > состоящий в
"честном" бросании "правильной" игральной кости. В этом экспери-
менте комплекс условий и действий можно построить аналогично
предыдущему примеру, а если грани кости перенумеровать, то
JL={l,2,3,4,5,6) . Здесь элементарное событие {l} означает, .
что кость упала гранью С вверх, Т?6. Если все элементарные
события наблюдаемы, то любое событие Де: Л также являете^ на-
блюдаемым. Сл^овательно, любое наблюдаемое событие А 6 2 , то
есть булеан 2** , как и в предыдущем примере, является классом
всех наблюдаемых событий. Поэтому, если все элементарнее исход!
являются наблюдаемыми, а их число конечно или счетно, то эа более
полную модель эксперимента (д, естественно принятьях, Л ,2 / .
б) Примем теперь, что эксперимент G> производит автомат,
который из-за неисправности распознающей системы не в состоянии
различать исхода 3 и 5, выдавая на печать вместо любой из этих
цифр знак X . В этом случае множеством основных наблюдаемых со-
бытий являются элементы разбиения
X-b.sJ,
9
2-1390
• любое наблюдаемое событиеД 6 а . Поэтому здесь за модель
эксперимента G- естественно принять следующую систему из четы-
рех объектов:
На основании этих примеров можно прийти к заключению, что
моделью случайного эксперимента G. служит совокупность объек-
тов 2 , если все элементарные события cue St . являют-
ся наблюдаемыми, иСл»*Я»^»2Г^, если на&аедйемйм являются
лишь события, образ, дне разбиение . Заметим, что из вто-
рого случая следует первый, если принять, что наблюдаемыми явля-
ются все элементарные события. torAa^4^®{iMhws^*}i то есть
наблюд!’и ними являются все одноэлементные множества, образованные
из элементов St . Поэтому в дольнейшем достаточно рассматривать
лишь второй случай.
События, образующие эовем основными наблюдаемы-
ми событиями. С помощью произвольного числа любых теоретике- -мно-
жественных операций над основными наблюдаемыми событиями будут
получаться также наблюдаемые србтия, являющиеся элементами клас-
са**’*’. В силу того, что является замкнутым классом, то
применяя к любым наблюдаемым событиям произвольное число любых
теореткко-ынокественкых операций, мы.снова получим наблюдаемые
события, ямявцкеся элементами . С другой стороны, какое
бы событие Ас мы ни взяли, оно является наблюдаемым и
после того, как эксперимент G произошел, а его результат фик-
сирован, становится известным, произошло событие А или нет.
Напомним, что по определению 2^'А^ содержит как достоверное,
так к невозможное события.
В силу ограниченной точности любых измерений разбиение
на основные наблюдаемые события с физической точки зрения являет-
ся дискретным даже для такого эксперимента G. , которому с ма-
тематической точки зрения естественно поставить в соответствие'
непрерывное про стран ст во Лс IV» Ав 1.
Таким образом, язык теории множеств является естественным
языком для математического описания исходов случайного экспери-
мента. Но в построенную нами модель20 случайного
эксперимента G , кроме простых и достаточно четких теоретико-
множественных конструкций «Я,^>2* входит пока и слабо форма-
лизованный комплекс ' условий и действий, от которого нам
10
удастся избавиться лишь после формального определения вероятнос-
ти. Отметим лишь, xiro комплекс JC должен быть обозримым, кон-
тролируемым и допускать многократное осуществление эксперимента
Q. за приемлемое время, так как в противном Случае нельзя обес-
печить проверку свойства статистической устойчивости. Для иллю-
страции рассмотрим следующий пример.
Пример 1.3.3. Рассмотрим экспериментальный запуск беспилот-
ного космического зонда с мягкой посадкой на Марсе и событие А «
состоящее в том, что программа эксперимента G- будет выполнена
полностью. В атом эксперименте из-за необозримости комплекса!^?
условий и действий (параметры ракеты-носителя, самого зонда, на-
учных приборов; параметра систем управления, сбора, хранения и
передачи информации.; параметры траектории и ее корректировал;
сома программа исследований и т.,д.) труднообозримым является и
пространство элементарных исходов. Креме того, из-за сложности и
дороговизны такие эксперименты повторяются редко и через большие
интервалы времени, причем от запуска к запуску могут изменяться
многие из указанных Выше параметров, входящих в . Наконец,
последовательные эксперименты зависимы, так как в каждом следу-
ющем запуске учитывается качество работы всех подсистем в преды-
дущем запуске, новые технические достижения и вносятся необходи-
мые изменения. Поэтому в данном эксперименте нельзя говорить о
статистической устойчивости элементарных или даже наблюдаемых ее»
бытий, так что исходы этого эксперимента хотя и являются недетер-
минированными, но они не являются случайными.
Поэтому и событие А , и сам эксперимент & , хотя и явля-
ются недетерминированными, но не являются случайными в смысле
теории вероятностей. . <1
Последний пример хорошо иллюстрирует стоящие перед нами
трудности. Тем не менее, позднее мы сумеем правильно поставить и
дать ответ на более простой вопрос, например, о том, какова ве-
роятность того, что бортовая ЦВМ или какая-либо другая подсисте-
ма сохранит работоспособность на протяжении заданного промежутка
времени при использовании ее в определенных условиях. Для этого
нам необходимо расширить модель Л, Д'» , включив в нее
определение вероятности наблюдаемых событий, отражающее еще не-'
учтенное влияние 5С . Это позволит отказатьея от явного упомина-
ния ЭС и сделает модель более простой и более общей одновременно.
II
Т.4, Операция над событиями и их свойства
1.4.I. В предыдущем разделе мы уже воспользовались понятия-
ми теории множеств. Остановимся на этих понятиях подробнее и од-
новременно введем принятую в теории вероятностей терминологию,
установив ее соответствие с терминологией теории множеств.
Теория множеств лежит в основе современной математики и ее
многочисленных приложений . Т.к. элементы интуитивной теории
множеств излагаются в различных математических дисциплинах, начи-
ная со сродней школы, то при первом чтении достаточно лишь бегло
просмотреть этот раздел, возвращаясь к нему при возникновении в
этом необходимости. Ввиду многозначности названий и обозначений
мы приводим одно или два наиболее употребительных, а затем отда-
ем предпочтение одному из них.
Интуитивное представление о понятии "множество" имеется у
каждого человека со школьных лет. Так,легко представить множест-
во людей, множество стульев или множество других различимых объек-
тов, находящихся в данном помещении в настоящий момент. Для на-
ших целей достаточно следующее определение, данное в конце 19 в.
Г.Кантором.
Определение 4.1. Множеством называется объединение в одно
целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.
Это определение исключает те множества, элементы которых оп-
ределены нечетко или неразличимы. Так, трудно говорить о множест-
ве внеземных цивилизаций. Свойство "быть элементом” или, как еще
говорят, "отношение принадлежности" лежит в основе теории множеств.
Действительно, множество полностью определено, если относительно
любого объекта можно сказать, является или не является он элемен-
том этого множества.
Если множество состоит из конечного, счетного или несчетного
числа элементов, то оно называется соответ'*твенно конечным, счет-,
ным или несчетным. Множество иэ одного-единственного элемента
называется элементарным. Например, множество всех целых чисел и
множество Q. всех рациональных чисел являются счетными, а мно-
жество R. всех действительных чисел - несчетным.
Пусть Л - основное для нас пространство (множество) элемен-
тарных событий, являющихся в принципе различимыми исходами некото-
рого эксперимента G> . Это пространство может быть задано пере-
12
числением всех его элементов, указанием общего для всех его еле»
ментов признака или свойства. Например,Л ’может быть множест*
вом всех а) десятичьйгх цифр, б) натуральных чисел, в) точек дан-
ного отрезка, г) точек данной геометрической фигуры, д) точек »
данной плоскости, е)решений данного дифференциального уравнения
* *«Д»
Множества /I иб называются равными, если
А€ Д s* Л€&,&<В => А (4.1)
Иначе говоря
А»В Дсб, ВсА (4.1а)
Здесь и в дальнейшем знак ст означает как строгое(ДсВ> А’АВ),
так и не строгое (А®В) включения. Проверка равенства двух
конкретных шюжеств, заданных тем или иным способом, производит-
ся обычно либо с помощью проверки наличия их взаимного включения,
либо путем непосредственной логической интерпретации.
Целесообразно ввести множество, не содержащее элементов.
Например, множество целых чисел, удовлетворязврх уравнениюЭО»2,
не имеет элементов. Такое множество называется пустым и обозна- . -
чается 0 или ( } . В силу определения для любого миожества^Ь;
0 с А, Ас А . ' ’
Теорема 4.1. Пустое множество единственно.
Доказательство. Пусть0t “ Два различных пустых
множества. Т.к. 0л включены в любое множество, то0^/2$,
, откуда в силу (4.1а) Й*Й •
1.4.2. Etane мм считали, что множество не содержит тожеств
в качестве своих элементов. Однако, часто приходится рассматри-
вать и множества, составленные из подмножеств некоторого универ-
сального множества . В ТВ роль tC играет Л . Будем назы-
вать множества, элементами которых служат подмножества из л
классами- множеств и обозначать их прописными готическими буква-
ми: ОС, ^6г, ITL, FL,JE и т.д. Примером класса может служить
множество наблюдаемых событий.
13
Для каждого множества Ju существует класс, образованный
всеми частям множества «& .
'Определение 4.2. Класс, образованный всеми частями множест-
ва 31 , называется множеством всех подмножеств множества Л или
булеаном и обозначается 2* .
<«•«
«Л
Класс Z содержит в качестве своих элементов само мно-
жество 31 , пустое множество 0 , все одноэлементные, двух-
элементше и т.д. подмножества множества J4 . Поэтому задание
Ль однозначно определяет 2* . В свою очередь, каждое подино-
’> жество UL класса 2*** также является классом множеств, причем
0с»1с2?
Если A* - конечное множество, то будем
обозначать число элементов А через Ml , полагая MlyseatdA»
art , причем при П*О |{ }|e|0j«?O.
Теорема 4,2. Если множество Д конечно, то
. |2*|»2М1. ‘4-3>
Для доказательства рассмотрим множество
Хаж( ->х<0 J t*М»”•>
двоичных векторов из нудей и единиц длины П . Установим взаиц»
неоднозначное соответствие между и Ха > поставив каждому
В С А в соответствие вектор X (8) • гДе
ж‘(в)=(о,М& ’
И наоборот. Например, если А*{аДс} , то подмножеству В-И,е}
соответствует вектор б А 1,1) . а подмножеству {oj - вектор
(1,0,0). Пустому подмножеству любого Д соответствует вектор
из одних нулей, а самому А - вектор из одних единиц.,Очевидно,
что 1г*1"|хи«гл каждая из А» компонент вектора
9? € Ха может независимо от других принимать лишь два значения
'• 0 жди I, " \ .
14
1.4.3. На булеане 2. любого данного множества Л оп-
ределим две фундаментальные бинарные операции и одау унарную.
Это - операции объединения, пересечения и дополнения. Примем для
простоты, что все элементарные исхода Л наблюдаемы,так что
2**“ - пространство наблюдаемых событий. Тогда любые подано?
«ества А,Вс Л являются событиями.
Пересечением или произведением событий А и& называет»
ся событие, которое происходит при одновременном осуществлении
как А , так и о :
Д0В«{со;и>€ А И (*хВ} . (4.4)
Если это не вызывает сомнений, то символ пересечения мокко опус-
кать.
Объединением или сумюй событий А и Б называется собы-
тие, которое происходит при осуществлении хотя бы одного из них:
AUB«{w: а>еД млм «де В} , (4.6)
Здесь "или" является не исключающим. При объединении несовмест-
ных событий (АЛВж0) часто используют стволы U или + .
Если АиЛд,...с<Я , то QAm - пересечение, aUA* -
объединение событий AirAe>.».» . .
Э-СЛ)* 4 At, At,...} называется разбиением Д , если .
А^ЛА:«М. иЛ«^Ас
Пусть А - любое поданожество ль . Протиэоположным или
дополнительным к событию А называется событие АГ , которое .
означает, что событие А не происходит:
Дж{й>:сдеЛ . (4.6)
т.к. . _ -
дпд=е<, AUA-a.
ТО - наиболее ’простое разбиение & .
Пример 4.1. а) Пусть А • v 1,2,3 В*{3,4 J ,
Тогда ААВ« { 3h AUB* 11,2.3,4} ,
б) Пусть А •{ 1,3,5,...}, Ь“ I 2,4,6,...}. . Тодда
АЛВ»0» AUB«{ i,2,3,4,... } .
Для наглядного представления различных соотномт* мевду
событиями и операций над ними удобно использовать диаграмммЭЙлэ»
ре Венна. На этих диаграммах изображается в виде прямоуголь-
ника, а каждое событие задается некоторой фигурой внутри этого
Bw. 4.1
На рис.4.1 А заштриховано по вертикали, В - по гори-
зонтали, АДВ - в клетку, AUB - вся заштрихованная тем
или иным способом фигура, « JnE - незаштрихованная
часть прямоугольника.
РазностьюД\В событий А и В> называется событие, со- .
держащее тб элементарные исходы из Д , которые не входят в В •
''А\В,*Н <***<«>* А» со/6}*АЛВ (4.7)
Иначе говоря, АчВ происходит, если и только если А
происходит, а В не происходит, т.е.
Д\В« А АВ (4.7а)
На рис. 4.1 Д\В«АЛВ заштриховано по вертикали, г
ВчД«ВАД - ио горизонтали. Из (4.4) и (4.5) следует,
?° ДЖ*ЙЛА (4.8)
Из (4.7а) и (4.8) следует, что-из четырех уже определенных
нами операций A,U, \ независимо определяются только три:
А, У и одна из операций "* или X . Заметим, что'разность X
не является операцией, обратной по отношению к прямой суше У
или объединены? У , так как
. (A'B)0B®(A4B)UB*AUB (4.9)
' Это выражениеравно А только при ЪсА , так что разность X ]
не обладает свойствами алгебраической разности чисел. .
Пример 4.2. Пуст* «£1лн 1,2,3,...} , А«|1,2,3| ,
, .. ' • \
ftwf 3,4} . Тоадд Х«ДМ-|4,5,б,„1 t _f,
Б & Ж {1,2,6 6,7, •. J, A\ ft* АЛВЧ1,2),В\А-Ш’М.
Пример 4.3. Пусть S» - множество всех жителей нашего горо-
да на начало сегодняшнего дня, А - множество всех жителей муж-
ского пола, В - множество всех совершеннолетних жителей. Тогда
ДУВ - ьечожество всех жителей без девочек, Д V& - мно-
жество Девочек, А С'В - множество всех взрослых жителей муж-
ского вола, А - множество всех жителей женского пола, Д'*В -
множество всех мальчиков, ВчА - множество всех совершенно-
летних жительниц города»
На рис. 4.2 множество Д заштриховано по вертикали, В -
по горизонтали, множество мужчин АЛ& - в клетку, множество
мальчиков Д\& - по вертикали, множество женщин В\ А - по
горизонтали, множество Девочек Ль-лпв - не заштриховано”
вовсе. Очевидно, что множество всех жителей города является пря-
мой cytetol этих четырех множеств:
Jl=UA6)0(A\B)IXesAW4Ub> .
Симметрической разность!» АдВ событий А и В называ-
ется событие, состоящее в том,' что произошло одно из событий А
или В , но не оба одновременно:
ДдВ_(А\Ь}СКелА> , (4.10)
Заметим, что операция AU& связывает утверждений "дс^Д ’
И "JCefe " неисключающим "или":
ХеАиВчП> или же А , или к?в ,
а операция А а В связывает те же ваше утверждения исключающим
"или":
I?
3-1390
А дВ или только Хв А , или ТОЛЬКО хе В .
Из (4.10) вытекают следуйте соотновения:
ДаЬ~ (Аи&ЧАЛЬ} (4.П)
AUB*A&f!>UAAB (4.12)
На рис. 4.3 Д\Ь заштриховано по вертикали, &\А - по
горизонтали, ДдС - фигура, заштрихованная тем или иным спо-
собом.
Этот рисунок наглядно иллюстрирует эквивалентность (4.10) и
(4.II), а также справедливость (4.12),
В силу (4.II) симметрическую разность Адо можно интер-
претировать еще как объединение А и & по "модулю два": эле-
менты ив А и & объединяются, но те из них, которые встреча-
ются дважды, выбрасываются. Поэтому АдЬ называют иногда
дизъюнктивной суммой А и Ь . . г }
Пример 4.4. Если А»4 1,2,3} Г 6»13,4j , С* tl,2j ,
то’ АдЬя)!,2,4} , АлС*АМ?*4 3!f •
БаОЬскМ I.2.3.4} .
Заметим, что соотновения между множествами в конкретных
примерах носят частный характер, а приведенные выше формулы для
операций над А и Е> являются тождествами. Это значит, что они
справедливы для )/ Д , . Диаграмма Эйлера-Венна иллюстри-
руют как тождество, так и равенство, справедливые только при
определенных условиях.
Пример 4.5. На рис. 4.4 множество А (оно заштриховано)
содержится в Ь , а множество С не пересекается с В .С
помощью этого рисунка можно проиллюстрировать эквивалентность
18
Рие. 4.4
следующих соотношений относительно Д и В> :
АеЬ<6> ААВ*А4^ AU&e&<^AA&w0
и относительно Ь и С :
ьпс=0^е>лС=‘В>ис .
Эти соотношения не являются тождествами - первое из них в
каждом ряду является условием, при котором верны остальные.
1 Поэтому, чтобы доказать с помощью диаграмм Эйлера-Венна ка-
кой-либо общий факт относительно нескольких множеств, нужно рас-
смотреть самый общий случай их взаимного расположения - случай
взаимного пересечения всех множеств. Частньм случаем взаимного
расположения множеств, число которых быстро растет с увеличением
числа рассматриваемых множеств, отвечают и частные соотношения
между ними. Поэтому общим методом доказательства тождеств являет-
ся либо метод сравнения их левых и правых частей в соответствии с
определением (4.1а), либо их непосредственная логическая интерпре-
тация. ”
1.4.4. Основные законы операций надмножествами..
В предыдущем разделе введено пять операций над множествами
А ) и показано, что с помощью трех первых из них
можно получить дйа остальные. ОДерам в качестве основных опера-
ций Л, U, будем использовать скобки и условимся, что при на-
личии нескольких операций внутри скобой или при их отсутствии
операция U выполняется последней. л
Теорема 4.3. Операций AjU,"*? на булэане 2 удовлет-
19
воряют следующим законам:
I. AU6«&UA, Г ААВ-ВЛА коммутативность;
2. AU(fcUC'XAVb)t?C , 2' АПСЬАСХАЛЬ'ЮС
ассодеативноеть;
3. AU(W)e)«fAV&M(AVO), 3?ДП(ЫА?)*(АЛВ)и<АЛС) .
отношению к объединению.
•* 4.* АЛА* А
. 5^ДЛ(Аи^-А
- идемпотентность;
-законы поглощения;
диструбутивные законы объединения по отношению к пересечению
и пересечения по
<• AUA-A
б.Аи(Алео«А
• закон инволюит;
, •FfXKB-Xvb
ва. Ала* 0
9а.ДП0-^
9$.АЛЛ*Л
закон двойственности
- законы дополнения;
- законы тождества или
де Моргана;
8а. AUA*&
86. g.Jl
9а. ДЦЛлЛ
W.AU0*A
существования универсальгапс верхней4 (Л ) и нижней (0) гра-
ниц?
Проверять эти тождества можно с помощью диаграмм Эйлера-Вен-
на (сделайте ото) , а Их доказательство производится либо Путем
непосредственной логической интерпретации, либо с помощью провер-
ки наличия взаимного включения левой и правой частей каждого из
тождеств.
В качестве типичного примера использования последнего мето-
да приведем доказательство первого закона де Моргана.
Теорема 4.4. ..—
(4.13)
Доказательство. Покажем сначала, что
(4.13а)
20
Пусть хедив
. Это возможно лишь если Х^А и Ь ,
иХбВ . ПоэтомуХ€ А ЛЬ и (4.13а) дока-
зано.
Справедливо
что поскольку AU0» А » АЛ0* 0 , то 0
к операциям У, Л играет ту же роль, что О
к операциям сложения и умножения чисел, а в силу
множество «Л по отношению к операции Л - ту
d по отношению к операции умножения чисел. _
и обратное включение
J ЛЬ c=rAU6 (4.136)
Действительно, пусть « Апь . Это возможно лишь если
«А и Xf£ & • Но тогда х/ ДУВ , то есть зсеАив
и (4.136) доказано. Наличие взаимных включений (4.13а) и (4.136)
влечет за собой справедливость (4.13). Из теоремы де Моргана вы-
текает следующее следствие. Из трех основных операций А, У,””-
независимыми являются лишь две: Л, ~ или U, ~ .
Заметим, что первый из диструбутивкых законов отличен от
соответствующего закона для операции сложения и умножения чисел.
Отметим еще,
по отношению
по отношению
АЛЛ-А
же роль, что _ ...
Принцип двойственности. Операции U и Л и множестве SL
и 0 называются двойственными друг другу. Заметим теперь, что
все тождества в теореме 4.3, кроме закона инволюции, объединены
в пары, а каждая из тождеств пары может быть получено из другого
заменой U на Л и & на 0 . ’
Теорема 4.5. Если Т - любая теорема о множествах из 2** ,
выраженная в терминах U,Л,~ и доказанная с помощью основных '
законов, то справедлива и двойственная ей теорема Т* , полу-
ченная заменой U на Л и & на 0 и наоборот.
Доказательство. Пусть имеется верная последовательность
’S/wSt.s ...»S/ц______ утверждений о множествах, где »$£ сле-
дует из_______________в силу некоторых законов Vc . Тогда
справедлива и последовательность i&n. ут-
верждений, где следует из в силу двой-
ственных законов Vf*. Поэтому из SrfJ’T* следует, что
и наоборот. При этом в следует расета- '
вить все необходимые скобки и выразить операции и А , если
они имеются, через Л,У,”" . £ ’
21
Пример 4.6.
' Теорема Т
(АЛВ)иЬ=АМЬ.
_____ Доказательство:
(Ang)Ve-tfUK>ub=
«Дисьиь)«А Vb .
Двойственная теорема Т
СА1»ёЛЛЬ=АЛВ .
Доказательство:
«ДА(ЬПв)«ДЛЬ .
Здесь при доказательстве каддсй из теорем применены последова-
тельно законы де Моргана, ассоциативности и идемпотентности.
I . S.'. Алгебра и ©*-алгебра множеств .
' Определение 4.3. Алгеброй (полем) событий называется непус-
той класс ЭД, подмножеств из iQ, если
it ал» Хет.,
г' A.bcJJl* AUbeJn.
Следствие. Если - алгебра, то
a)
б) AjfecWl =$»АЛЬеЖ; '
в)A, ЬсЖ А\Ь е 91 \
г)А,ЬеЭП^Ал&еЛ1 ;
д) Алгебра замкнута относительно конечного числа любых теоретике
множественных операций. .
Доказательство, а) т.к. ж не пусто, то Э AM . Поэтому
Дедаг, АиХ-ЛеЭТ1,
в) АЛЬ « Диь
»> А\е> • АЛБ е Ж 5
г)
д) Для доказательства достаточно выразить все операции через
U^*~ , а затем применить индукцию и воспользоваться ас со
22
Отметим, что • силу принципа двойственности условие 2. в
определении алгебры и свойство б) из следствия можно поменять
местами. А
Пример 4.7. а) Булеан 2 является алгеброй, для обозна-
чения которой часто используется символ <2, ,
б) Если Л «0,2,3,4,5,б) ,. Л«{1,3,5} , Лх{2,4,б/ , то
булеан 2*** t{0, } - алгебра. Говорят, что эта
алгебра порождена событием А или, что то же самое разбиением
4A»AJ . . . , г . . .
в) Если Лзф,2,3,4,5,6J 4*41,2], АгРЛ] ,
то класс f 0) А, *й/ алгеброй не является. Булеан
алгебра, порожденная разбиением 76ЯЫМ.Л1-
г) Класс тчы .• cuCiQ.} , составленный из одноэлемент-
ных подмножеств множества Л , не является алгеброй, т.к. он не
замкнут относительно операции объединения.
Необходимость выполнения операций над счетным числом мно-
жеств не позволяет ограничиться только алгебрами.
Определение 4.4. Непустой класс OL подмножеств множества
Л называется 0“*-алгеброй, если
Г. Де 01 А е(Х»м
Я* Дь€ Л, Ai<CX.
Следствие. Если 0L -О'-алгебра, то
а) ЛеЛ, 0€ОГ,
б) AieOtj П Ai»
. _ i»i
в) ^-алгебра является алгеброй,
г) для конечного £1 любая алгебра является одновременно и ©-ал-
геброй,
д) ©’-алгебра замкнута относительно любого числа любых теоретико-
множественных операций.
Для доказательства заметим, что 2* влечет 2* , т.к.
А|,Аа,...1Аи,0» ... € ^ ^.U-Aj
и в) доказано^ Остальные утверждения доказываются аналогично
предыдущему случаю. . •
' 23
"Наибольшей", то есть наиболее подробной -алгеброй в Л
является 01*» 2 , а "наименьшей”, то есть наименее подробной,
- тривиальная в* -алгебра XI | . Очевидно, что для
любой 6* -алгебры ОС имеет место включения
Заметим, что &" -алгебра 2 удобна лишь для дискретных
(конечного или счетного) Х1> , а для несчетного Л она слиш-
ком обширна, чтобы служить моделью реального пространства собы-
тий.
Если ...| - дискретное разбиение Л , то
рассматривая как новое пространство элементарных событий,
можно пользоваться в* -алгеброй а*ф=2* . В частном
случае ДО) «{Д, А } класс (X*» } являет-
ся алгеброй (и (3~-алгеброй); порожденной множеством А .
Пример 4,8 Рассмотрим класс {А, Ь} , где А,Вег XI ,
причем Д * . Тогда
Хл'Мапв,А№,мь,Ш j -
разбиение, порожденное классом <jC , а
(Х*(^1 ” А, А, ь, ъ, АОЬ, AU6, А ив, Диь,
АВ,А6,АЬ,А6, ABUA6,A&VAb, |Л J -
наименьшая б* -алгебра, содержащая класс
В таблице приводятся названия основных понятий, наиболее
часто употребляемые в теории множеств и в теории вероятностей.
Сравнительная таблица названий
Обозначения название * в теории тожеств название в теории вероятностей
Я основное (универсальное) множество ' пространство элементар- ных событий (исходов); достоверное событие
пустое множество невозможное событие
GJ, tJeXl элемент основного мно- жества ; У • ' . элементарное событие (исход)
' * П'- -, ” ’ •
24 • /
I
а^или а &-алгебра подвдожеств ив Д 0* -алгебра событий из Д
А,А«Л элемент 0“ -алгебры событие
я дополнительное к Д множество противоположное к событие
ДА В или 46 пересечение множеств Д и & произведение событий А и В
АЛВ»0 множества А и & не пересекаются события А и & не- совместны
AU& объединение множеств А и Ь сумма событий А и В
дие» или Д+& объединение непересека- кхфпсся множеств А и Ь или прямая сумма сумма несовместных со- бытий А и В
А\В* АЛЬ разность множеств Д и & разность событий Д и
АеЬМ^ЖА симметрическая разность множеств А и В симметрическая разность событий А и В
As Ь А есть подмножестве • ь событие А влечет со- бытие ь.
А ® В» А и В равны А и В равносильны
1.6. Упражнения . '
I. Пусть Д»41,2,3,4,5,6J , A*{l,2,3j , b*{l,3,5},
С 2,4,6}.
Проверьте, совпадают ли множества, выписанные в одной строке. В
случае равенства проверить, является ли это равенство тождеством.
D д л (4 ц a no,
2) (АЛВ)иС , (AUC)h(feUC) ,
3) (Аиа)\(дое), сыьУиС)
4-1390
25
4) (4\ Ь)\С, СА\с)\(В\С)
2, ^полните упражнения I для iQ»={x : 0<Х<Ю} ,
А=^зС; &Цх.Ч<Х«1Оа|,Сз{я’:04Х4{}<
3. Доказать следующие тождества:
I) =бАЛ&)иД-Д i
2) САЛв^(слВ)«бАие)лгвуе)Л(Аишгвм1));
з) А\ (ьиО- бАчеЛЛСАчс);
4) А\(е>ЛС)«(АЧайи<А\С);
5) а\(а\б)«дль;
б)(А\е>)\С »<А\С)\(В\С>« А\<вис);
7) АХ&ХС)» (АХВ')и(АЛС) ;
8) ДабВдС)» (А д&и С j
9) АЛ(В4С)®бАЛбЫАЛС^
Ю)Ад(АаЫ«&1 _
П) Ал$=4» АлА»0, АаХ2« Д ;
4. Доказать с помощью диаграмм Эйлера-Венна, что для любых
л»
D 4<= 6ЛС*» A <rb. А^С ;
2) АЛВсС «Ф ДсгЪиС;
3) А сЬУС 4=> АЛЬ с С ;
4) МЛШС» AACBUCM СоА;
5) АеВ Ф AUC<=.auc ;
6) Ас В Ф АПС с ВОС ;
26
7)Acfc4 A\Ccfe\C J
8)АсВ4С\ЬсС\А .
9)ЛРЙ> « А ПЬ=> A»fe;
io а=ь апь^0, див»л.
5. Доказать приведенные тождества, затем выписать двойственные
им и также доказать.
D Ди(АЛЬ)=АиЬ;_______
2) (лль)и(ьпс)-{Кл2)ЛЬ .
б. Доказать с помощью,индукции, что для УАж.А»,...,Ал«= Л
,иД(-Й ДОСЛАЛ .
.1»* 1*4 hi •
7. Какие из следующих утверждений верны?
I) <aj в НаН, <а|<={(аУ;
2) 4а) с
8. Пусть Л*4&} . Найдите 2 и 2^ .
9. (Парадокс Кантора). Покажите, что множество всех множеств
А .'/?-множество J
не существует. Указание: А принадлежит А ?
Ю. Пусть АнЗ - разбиение Л .Покажи-
те, что
^№пьМмм«пв,,..,А,,пь|,
П. Сколько существует различных разбиений Л. -элементного
множества £1 на два?
27
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА
”w> ’ -
В этом параграфе ш дадим сначала частные определения ве-
роятности, а затем - общее аксиоматическое определение.
2.1. Классическое определение вероятности,
2.4.4. Рассмотрим случайный эксперимент с конечнш
множеством элементарных событий
Если все элементарные события наблюдаемы, то наблюдаемым будет и
любое событие А вида
Здесь 4*4 }*0 пр* н»0 и при т«а* .
Поэтому любое А , A C.SL является наблюдаемым событием. От-
сюда следует, во-первых, что классом наблюдаемых событий служит
алгебра 2Л и, во-вторых, что ее можно и не рассматривать, чем
мы и воспользуемся.
Это не всегда можно сделать. Например, если у игральной кости
надписи 3 и 5 на гранях стерлись и их нельзя различить, то хотя
Л“| 1,2,3,4,5,б} и является пространством элементарных собы-
тий, но классом наблюдаемых событий служит алгебра 2*^ , где
А»}. пр„да,л,-х-а) можно принять за но-
вое пространство элементарных наблюдаемых событий, но будет нару-
шена симметрия исходов и их равноправность.
Примем, что комплексОС условий и действий таков, что все
элгементарные события Л являются наблюдаем»» и равно воз-
можными (равноправными). Например, в экспе !менте с бросанием
вверх правильной игральной кости с четкими надписями все шесть
элементарных исходов наблюдаемы и любой из них естественно счи-
тать равновозможным.
Исторически первым было определение вероятности именно для
случая П. равновозможных исходов, появившееся в 17 веке в рабо-
тах Б.Паскаля (1623-1662) и П.Ферма (1601-1669) в связи с анали-
зом азартных игр.
28
Определение I.I (классическое определение вероятности).
Если iQ.>4wx,cjo...,caJ, * 4 П.< 1 и все эле- .
ментарные события наблюдаемы и равно возможны, то вероятностью .
элементарного исхода называется число
♦ £»4Д>> (1.3) s
с вероятностью PG4) любого события
называется число
PC'4')» <м>
Классическая вероятность Р{А) представляет собой отноюе-
ние числа благоприятных для события А элементарных исхо- •
дов эксперимента (i к общему числу И. всех возможных эле-
ментарных исходов. Физический смысл определения (1.3) состоит в :
том, что равновоэможность при конечном числе исходов интерпрети-
руется как их равновероятность. Можно сказать еще, что (1.3)
представляет собой равномерное дискретное распределение единич-
ной вероятностной массы между всеми Н. равновозможными исхода-
ми эксперимента Си- , а (1.4) - аксиоматическое определение
классической вероятности. . <; ;
Например, в эксперименте с бросанием правильной монеты ,* .
Л.{г.ц}, 2Л-{0.И,1и1,й$
и в соответствии о определением *
Таким образом, вероятностной моделью эксперимента (у. с ко-
нечным множеством £1 равновозможных исходов служит система .(
объектов j • : q
<Я}Р(»)-1И (I.S)
называемая вероятностным пространством. Вероятностное пространст-
во является полным математическим описанием этого эксперимента, у
так как вся необходимая информация о возможных исходах, наблюда-
емых событиях,и их вероятностях содержится в (1.5). Поэтому ве-<
роятностное пространство и свободно от каких-либо дополнительных
упоминаний о комплексе условий .
В силу своей простоты и наглядности классическое определение
имеет большое познавательное значение и долгое время играло фун-
даментульную роль в развитии теории вероятностей. Хотя в настоя-
щее время схему конечного числа равновозможных событий приходит-
ся считать весьма частной, но получаемые с ее помощью результаты
хорошо иллюстрируют основные понятия современной теории вероят-
ностей, а решение комбинаторных учебных задач помогает наиболее
быстро и эффективно развить вероятностное мышление и получить
навыки самостоятельной формулировки и решения задач вероятностно-
го характера. Кроме большого методического значения, это важно
еще и потому, что й в настоящее время есть рад областей, в кото-
рых классическое определение является отправной точкой, а комби-
наторика - одним из методов исследования (генетика, теория коди-
рования, теория графов и др.)
Итак, классическая вероятность Р(А^ является числовой
функцией от события А с. О. и обладает рядом естественных свойств
вытекающих из ее определения.
Т' О4 Р(а><1,а<=Я; «•«>
Эти свойства сразу следуют из (1.4), условия 0<1А\4Г1 , и
того факта, что 101е О , 1Л1Ж*Х .
2. Если А с В , то
3. Если АЛВ=0, то .
P(AU&=P<Xn-P(e>V
Действительно, для несовместных событий I аоьмаыы.
4. p(A)»d-P(A) г
5. (теорема сложения). Для любых А ,В
Р(АиЬ')=Р(А')+Р(Ь')-Р(АПВ). <1.9>
Действительно, AUb=АО6\(АЛЬ) , | Ь\(АЛ Ь)1«1 Ы~| АЛЫ ,
и (Г.9) следует из (1.7). Это действительно наглядно иллюстрирует
диаграмма Эйлера-Вонна на рис. 2.1, где А АВ заштриховано.
30
б. Для любых А , В
P(AUb)^P(A') + P(B') , (I.M)
причем равенство имеет место, если и только если А и В не-.
совместны.
Доказательство вытекает из (1.9),
Таким образом, классическая модель {XL 04»^
фактически полностью определяется заданием конечного множества
XL элементарных равновозможных исходов, чем и объясняется ее
простота и наглядность.
Пример I.I. Рассмотрим геометрически правильную игральную
кость с шестью гранями, занумерованными цифрами 1,2,...,б, и
пусть эксперимент состоит в одном "честном" бросании кости. Тог-
да 1,2.........б} , • .
Рассмотрим события Д*} 2,4,6} и S = £ 5,6/. Тогда
P(A)»f > , Р(АПв)-Р{0—<
p(AU6)«P6AVPf®_p<'An6') = f •
2.1.2. Рассмотрим теперь общий дискретный случай с конечным
или счетным числом исходов. Как и раньше примем, что каждой мыс-
лимый исход эксперимента описывается одним и только одним элемен-
тарным событием иэ простоанства элементарных событий XL в
» iWi'UJt,.,• }, со и пусть xl—Hm,...} .
Каждому со £ поставим в соответствие его вероятность -
число Р(ОД.)^0, <€<? (условие неотрицательности вероят-
ности) и потребуем, чтобы выполнялось также условие нормировки
31
Определение 1.2. Вероятностью события А называется
сумма вероятностей составляющих его элементарных событий!
Р(А)=.£ Р6*) , А сЛ . (I.I2)
медеА
Это определение называют иногда обобщенным классическим, т.н.
при I Лйп и PCa?f)»d/a, IstГЛ из него следует класси-
ческое. £ -
Пример 1.2. Пусть 0,1,2,... J ,
/bt*P(Mhe*-$ ,К«^...ЭЛ>О (I.I3)
Т.к. вероятности элементарных событий неотрицательны и нормиро-
ваны, то 4. рм. } представляет собой дискретное вероят-
ностное распределение, называемое распределением Пуассона с пара-
метром Д* . .
Упражнение I.I. Докажите с помощью (I.II)-(1.12), что для *
обобщенной классической вероятности имеют место те же свойства
(1.6)-(1.Ю), что и для классической. Проиллюстрируйте доказа-
тельства с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
2.2. Геометрические вероятности ..
2.2.1. Более сложной является модель такого мысленного эк-
сперимента Gt , в котором точка бросается в Л наугад, а са-
мо Л является несчетным (континуальным). Рассмотрим R.a и
обозначим через J*(V) ft.-мерный объем V , Ус: ft.
Примем, что элементарными исходами эксперимента G. служат точ-
ки множества £). , , t а наблюдаемьми со-
бытиями являются те подмножества множества Л. , для которых
можно определить Л-мерный объем. Для построения класса наблю-
даемых событий построим сначала О' -алгебру подмно-
жеств из R.* ( ", порожденную всевозможными п.-мерами праго-
угольниками вида СЦ bi , iw .Назовем &п боре-
левской 6“ -алгеброй, а ее элементы будем называть борелвески-
ми множествами. Рассмотрим теперь О' -алгебру “
32
&"«алгебру борелевских множеств из Л . Если Вс $ , то.
Ъ имеет п. -мерный объем м&) - соответствующую мору
Лебега. л
Определение 2.1. Если 51е & , О<•*» ( а кдас-
сом наблюдаемых событий служит СГ -алгебра 2^ всех множеств
из & , имекяра rt -мерный объемjMf*) , то геометричес-
кой вероятностью называется
Р(6)=^>*6‘* «.п
Упражнение 2.1. Докажите, что геометрическая вероятность
(2.1) имеет те же свойства (I.6)-(I.10), что и классическая и
обобщенная классическая вероятности. Обратите внимание, что для
иллюстрации доказательства этих свойств во всех случаях исполь-
зуются однотипные диаграммы Эйлера-Венна, на которых Л - пря-
моугольник в R.
Для геометрической вероятности характерно, что она опреде-
ляется не формой или расположением подмножества В , а лишь ее
•объемом. Это позволяет считать все точки в & равноправными или
равновозможными в смысле их выбора при мысленной реализации экспе-
римента G . Можно также сказать, что единичная вероятностная
масса непрерывно и равномерно распределена в Л .
Заметим, что если моделью случайного выбора из п. равнове-
роятных объектов служит.вероятностное пространство .
< Л, г10; Р(В), В е2а>« ;Р(В>. ь я>,
то моделью случайного выбора из геометрической фигуры служит ве-
роятностное пространствоВс *£) . В первом случае
нулевую вероятность имеет только невозможное событие, ‘во втором -
любое событие А , для которого .. В частности/лю-
бая точка имеет нулевую вероятность, хотя и является
возможным элементарным событием. В этом нет никакого противоречия,
т.к. в физическом эксперименте в отличие от мысленного применяют-
ся измерительные приборы ограниченной точности. Поэтому можно
фиксировать выбор (или попадание) лишь в окрестности некоторой
точки, а окрестность уже имеет конечный объем.
Например, если ос* [О, 10] - отрезок длиной 10 мм, а для
измерения применяется линейка с ценою деления I мм, то фактически
5-1390
33
пространством наблюдаемых элементарных событий является не <0, ,
а (ЛНад»U,2V..,ra3oy , так что классом наблю-
даемых событий служит алгебра 2А* . По существу здесь проис-
ходит аппроксимация равномерного непрерывного распределения рав-
номерным дискретным.
Пример 2.1. Рассмотрим линейное уравнение ЛХ+& *0 ,
коэффи^енты которого О. и равномерно распределены на от-
резке £-1,1]. Найт, вероятность события В состоящего в том,
что корень уравнения положителен.
Решение. Согласно условию
Itud.
6 = {(a,t): a <oh
На рис. 2.1 изображены Л и В , причем В
заштриховано.
Следовательно,
Пример 2.2. Стержень длины I разламывается случайным об-
разом на три части. Найти вероятность события В , состоящего
в том , что из этих частей можно составить треугольник.
Решение. Обозначим через X и длины концевых частей
стержня. Тогда длина его средней части равна
(см. рис.2.2а). Для этого эксперимента
OtX+yll}.
Следовательно, SL представлпет^собрй равнобсдрошгый прямоуголь*
кнй треугольник с катетами длины £ , изображенный на рис. <i.2
34
Рис. 2.2
Для того, чтобы из трех обломков можно было составить тре-
угольник длина каждого из них должна быть меньше суммы двух
других;
Поэтому 6=Н ЯГ+И4 I J
равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длины ,
изображенный на рис.2.26, т.к. условия задачи позволяют применить
геометрическую вероятность, то
РСЬ)- .
Пример 2.3. Задача Бю^фона (18 век). Плоскость R. расчер-
чена параллельны» прямыми на расстоянии 2Л друг от друга. На .
плоскость случайно'бросается игла длины 21 , 1<Л. . Найти ве-
роятность события А , состоящей в пересечении иглы с какой-ню*
будь из прямых.
Решение. Пусть у -расстояние от середины иглы до блишайшей
прямой, у - угол между иглой и этой прямой, отсчитываемой про-
тив часовой стрелки (см. рис.2.За) it , '
35
На плоскости R. координаты случайного исхода (•/, у) ,
определяющие положение иглы, распределены равномерно в прямоуголь.
нике
Игла пересечет одну из прямых, если и только если координаты
случайного исхода удовлетворяют условию • Поэтому
(см. рис. 2.36)
/,
jn(A)» f tSinfAf ,
Критерием истинности для математической модели служит фиэи-
ческий эксперимент. Пусть игла была бремена N раз и hf(A} раз
произошло пересечение. Тогда при больших N за статистическую
оценку вероятности (2.2) естественно принять
Р(А) - 2^1 <2.э>
/V
Если математическая модель адекватно описывает физический
эксперимент, то (2.2) и (2.3) должны быть приблизительно равны.
Поэтому оценкой для JC служит
Ц- (2.4)
Приведем результаты двух реальных экспериментов оценки JC по-
средством бросания иглы.
Экспериментатор 4/Л N 1 1 N6M Я
Вольф, 1850 г. 0.8 5000 2532 3.1596
Рейна, 1925 г. 0.5419 2520 859 3.1795
Модель геометрических вероятностей успешно применяется в ря-
де разделов науки и техники (астрономия, атомная физика, биология
кристаллография и др.)
36
>. Z 2.2.2. Рассмотрим теперь идею вычисления интеграла с по-
мощью случайных чисел, лежащую в основе метода Монте-Карло.
Пусть на отрезке fcj задана неотрицательная и непрерывная
функция / , для которой max Пос)<С . Требуется вычис-
лить
Чтобы свести эту задачу к задаче на геометрическую вероятность,
рассмотрим две области (см. рис. 2.4):
A-I (*Д): у* 4М } > ju(а)« |
Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном выборе одной
из точек А . Тогда . I ।
jfe) Я ‘ U.6)
Сделаем замену и введем функцию
Тогда области Л и А отобразиться соответственно в А<и А<
(см. рис. 2.46):
At = { бед): I •
Т.к. Jk(iQ>As4 , то
'37,
Р ( АЛ=/4 (А Л =’ =J7* хс(^а5= <2.7)
Как и в задаче Боффона, статистической оценкой (2.7) служит .
foxuVtjrf)» , <2S>
где N(Ai) - число попаданий в At при случайных бро-
саниях в единичный квадрат. Этот эксперимент легко осущест
вить программно с помощью ЭВМ, воспользовавшись стандартной
программой получения случайных чисел, распределенных равномерно ’
на tOj 11 . Действительно, из 2.М случайных чисел
образуем М точек ^ас), <= 1»^ , каждая из ко-j
торых имитирует результат случайного бросания в единичный квад-|
рат. Пусть rej-x^o •
’<>0 |
1г:=^г*-ЯВк-<)’ £‘И
Тогда д •. jL I
lM(N)=^-tgu(4a «wi
служит оценкой интеграла. |* , а ]
= <2”J
- оценкой искомого интеграла (2.5). 1
Вопрос о точности этой оценки и ее зависимости от объема I
выборки N требует, применения более развитого вероятностного I
аппарата и здесь рассматриваться не может. Заметим, что точнося
оценки зависит от fit , так что сходимость |(N)x | будет 1
довольно медленной. Поэтому применение этого метода целесообрая
но лишь при высокой кратности интеграла, ]
2.3. Статистическое определение вероятности —
Рассмотрим некоторый эксперимент G/4* м
предположим, что мы можем повторять этот эксперимент при иден-
тичных условиях любое число Ь/ раз так, чтобы исход одного
эксперимента не влияя на исходы других. Обозначим через Gu
составной опыт,состоящий в U -кратном повторении GL, и при-
мем, что всего произведено m серий опытов *по
Nt экспериментов в каждой серии t , Iе 1,^1 . Фиксируем
любое наблюдаемое событие Д € 2^ и обозначим частоту
его появления в опыте через Ni(A^ , 04N{(A)4 h/(, ,•
а относительную частоту - через _
• (3.1)
Определение 3.1. Пусть при достаточно больших Ni, bt ,...,
Nm относительные частоты (3.1) событие А в сериях
близки. Тогда событие Д называется статистически устойчивым,
и принимают, что существует некоторое пограничное число РбА),
вокруг которого колеблются относительные частоты. РСА} назы-
вается вероятностью события Д , а оценкой Р(А) служит
статистическая вероятностьД
А ДМсСл)
Экспериментальные относительные частоты (3.1)-(3.2) удов-
летворяют тем же свойствам, что и введенные аксиометрически
классическая и геометрическая вероятности (проверьте это!).
Этот факт имеет фундаментальное значение.
Пример 3.1. Рассмотрим эксперимент G. , состоящий в бро-
сании правильной монеты, многократно повторим его и будем фик-
сировать число экспериментов, в которых выпал герб. Этот опыт
доступен каждому, и мы приведем результаты некоторых из них.
В книге Ф.Мостеллера, Р.Рурке и Дж.Томаса "Вероятность",
Наука, 1975г. приводятся следующие числа выпадений герба в Ю
сериях по 1000 бросаний монеты в каждой серии.
Таблица 3.1.
(3.2)
i 11 2 3 4 1 1 5 б 7 8 1 [ 9 10 2
ад 1502 518 497 529 504 476 507 528 i 504 529 5094
...» '
этом опыте относительные частоты выпадений герба в каждой из
серий заключены в пределах:
?1000(Г) £0,529 ,
а относительная частота выпадения герба в 10000 бросаниях рав-
на 0,5094.
Как показывает следующая таблица, при увеличении числа
бросаний монеты колебания относительной частоты вокруг 1/2
уменьшаются
Таблица 3.2.
Экспериментатор Число бросаний Число выпадений герба Частота
Бюффон 4040' 2048 0,5080
К.Пирсон 12000 6019 0,5016
К.Пирсон 24000 I20I2 0,5005
Таким образом, мы видим, что результаты опытов согласуют-
ся с классическим определением вероятности, согласно которому
₽(Р).£ .
Тот факт; что при большом числе экспериментов относитель-
ная частота случайного события остается почти постоянной, сви-
детельствует о наличии объективных вероятностных закономернос-
тей, и позволяет предположить, что существует некоторая постов
янная, около'которой колеблется частота. Эту постоянную, являю-
щуюся объективной числовой характеристикой рассматриваемого
эксперимента или некоторого явления, физически естественно наз-
вать вероятностью изучаемого случайного события А , на чем и
основано статистическое определение вероятности.
Так, уже в древнем мире было замечено, что для целых госу-
дарств относительная частота рождения мальчиков из года в год
почти не изменяется. В древнем Китае, за 2238 лет до новой эры
на основании переписей установили, что это число равно 1/2. На
основании изучения данных переписей на ряду европейских стран
великий французский математик П.-С. Лаплас (1749-1827) в конце
18в, установил, что относительная частота рождения мальчиков
приблизительно, равна 33 « 0,512 .
При изучении статистики народонаселения в 17-18 веках в
• ленилось, что имеются и другие устойчивые закономерности: про-
цент смертности в определенном возрасте для определенных групп
населения, находящихся в близких материальных и социальных
‘Л. 40.'... ч
условиях; распределение лвдей определенного пола, возраста и
национальности по росту, ширине груди, длине ступни и др. С
тех пор накоплен огромный статистический материал, позволяющий
довольно точно прогнозировать количественные характеристики
общественно важных демографических явлений.
Пример 3.2. Приведем заимствованные из книги Г. {фанера
"Математические методы статистики", Москва, Наука 1975 офици-
альные данные шведской статистики о распределении новорожден-
ных по полу и по месяцам рождения за 1935г. (см.табл. 3.3).
На рис. 3.1 показано уклонение частоты рождений девочек по ме-
сяцам от 0,4825 - частоты рождений девочек за год. Мы видим,
что эти отклонения, в общем, небольшие, хотя какие-либо окон-
чательные выводы здесь сделать трудно.
С точки зрения генетики было бы легко постулировать рав-
ную вероятность рождения мальчиков и девочек, но фактически
для мальчиков она несколько выше, причем более подробные иссле-
дования обнаруживают отклонения от статистической однородности.
Пример 3.3. Рассмотрим электронный прибор (ЦВМ, радиоло-
катор и т.д.) и включим в комплекс условий X допустимые пре-
делы таких параметров, как температура, влажность, давление,
напряжение, сила тока и т.д., а также фиксируем допустимые пре-
делы изменения технических параметров комплектующих прибор эле-
ментов. Так как нас будет интересовать длительность безотказной .
работы прибора, измеренная с точностью до I минуты, то в качес-
тве пространства элементарных исходов выберем ,
а в качестве - разбиение £2 на непересекающиеся интерва-
лы длиной I минута. Задав модель эксперимента 6 в виде
2.^> рассмотрим случайное событие - длитель-
ность безотказной работы прибора при его непрерывном включении
до первого выхода из строя. На основании большего числа экспе-
риментов для ряда типов приборов и при широком диапозоне усло-
вий удалось установить, что
Параметр Д имеет размерность I/время, а его величина зависит
от типа и сложности прибора и комплекса условий ОС » причем
чем меньше Л , тем более надежным является прибор. J
Отметим теперь слабые места статистического определения
вероятности. Прежде всего, это определение является апостери-
орным (основанным на опыте), так как априори (до опыта) оно не
6-1390 ' • : 41
----------j, j 1 j , 1 1 j } J
Месяц । I f 2-, 3-, 4-, 5-। 6-f 7-, 8-, 9-, IC । II , 12-, Зя год
Всего *7280 ’6997 17883 17884 17892 ’7609 17585 17393 17203 16903 ! 6552 17132 ! 88273
Мальчиков -3743 *3550 ?40I7 *4F3 !4II7 *3944 !3964 !3797 !37I2 ?35I2 !3392 !376I ! 45682
Девочек *3537 * 3407 * 3866 * 37И [з775 *3665 *3621 *3596 *3491 [з391 ’,3160 *3371 J 42591
Относительно,486? 0,489»0,490» 0.47110,47810,482!0,46210,48410,48510,49110,482; 0,4731 0,4825
!!!!»!!!!!!!
Относитель-
ная частотаt
девочек
0,49 -
0,4825.,
0.47 _
0.46
I’ ' 2f jff—g—6—fo /f" 12 *Мвеяц
B»c. 3.1
позволяет даже ответить на вопрос о существовании вероятности
Р(А^ . Это является серьезным недостатком, так как лишает
нас одного из основных преимуществ любой науки - возможности
прогноза и предвидения результатов эксперимента еще до его осу-
ществления. Действительно, вообразим на минуту, что в геометрии
не существовало бы никаких других методов определения площадей
и объемов, кроме непосредственных измерений. Могли бы мы тогда
сказать, что существует вполне сложившаяся наука геометрия?
Скорее всего, нет. Так же обстоит у нас пока дело и со стати-
стическим определением вероятности, поскольку априорное клас-
сическое определение возможно лишь для очень частной модели
случайного эксперимента.
Статистическое определение вероятности обладает и дру. л-
ми недостатками. Например, не ясно, какие применять количест-
венные критерии идентичности комплекса условий УС и независи-
мости экспериментов, а также как оценивать допустимую величину
отклонения отР(А) в зависимости от N . Нако-
нец* статистическое определение вероятности вообще не дает от-
вета на вопрос о том, как выбирать величину Р(А) .
В связи с этим остановимся на концепции вероятности, пред-
ложенной в двадцатые годы нашего века Р. Мизесом (1883-1953).
Согласно Р. Мизесу, раз частота по мере увеличения опытов все
меньше и меньше уклоняется от вероятности, то существует не за- •
висящий от номера ’ L серии экспериментов предел
Zim , (3.3)
К
который следует принять в качестве апостериорного определения
вероятности. По Р. Мизесу, теория вероятностей имеет дело с z
бесконечными последовательностями результатов экспериментов,
называемыми коллективами. Каждый коллектив должен обладать
двумя свойствами:
I) существованием пределов относительных частот тех членов,
которые обладают рем или иным свойством из некоторой определен-
ной группы свойств;
2) иррегулярностью, то есть инвариантностью этих пределов
по отношению к выбору из коллектива любой подпоследовательнос-
ти (серии) экспериментов по закону, который не должен опираться
на различие элементов коллектива по отношению к рассматриваемо-
му свойству, а в остальном - произвольному.
43
Построение математической теории, основанной на выполне-
нии обоих этих требований, сталкивается с огромными труднос-
тями, поскольку требование иррегулярности несовместимо с тре-
бованием существования предела. Например, если рассмотреть
все способы образования подпоследовательностей (серий экспе-
риментов) основной последовательности (коллектива), то среди
них монет оказаться как серия экспериментов, содержащая только
события , так и серия, в которую Д во-
обще не входит ( , так что (3.3) заведомо
имеет место не для всех серий. Поэтому в обычном смысле преде-
ла у Ni(A)/Nc ' нет, так что использование (3.3) в качестве
определения математически некорректно. Эта трудность является
существенной и хотя в последние годы последователи Р. Мизеса
и наметили научные пути ее преодоления, но до практических ре-
комендаций дело еще не дошло. Кроме того, Р. Мизес считал, что
левое априорное определение обречено на неудачу, и, в частно-
сти, предлагал отбросить и классическое определении вероятности
через равновозможность, основанное на симметрии.
Таким образом, если статистическое определением вероят-
ности 3.1 в силу своего апостериорно-описательного характера и
обладает рядом отмеченных выше недостатков, но оно не обладает
противоречиями, присущими концепции Р. Мизеса, не использует
соотношения (3.3), носит объективный характер и дает способ
приближенной оценки вероятности интересующего нас события.
Нашей цель» является априорное определение для любой мо-
дели г вероятности Р(А) , Де2* и
построение на основе этого определения непротиворечивой и со-
держательной теории, включающей классическое определение, до-
пускающей опытную проверку и не только согласующееся со стати-
стическим определением, но и позволяющей количественно оцени-
вать это согласие. Забегая немного впе; т, скажем, что эта
цель достигнута в аксиоматическом определении вероятности,
предложенной А.Н. Колмогоровым (I903-t9B7) в 1933 г., причем
в рамках построенной на аксиоматической основе теории можно -
придать научный смысл и соотнощонию (3.3) с помощью понятия
"сходимость по вероятности* (см. раздел 10.4 ).
44
2.4. Аксиоматическое определение вероятности
2.4.1. Др начала 20 века теория вероятностей представля-
ла собой еще не вполне сложившуюся математическую науку, в ко-
торой основные понятия были определены недостаточно четко. »
Несмотря на это, теоретико-вероятностный подход приводил к
крупным конкретным успехам как в самой теории вероятностей,
так и ее разнообразных приложениях. Развитие естествознания в
начале 20 века, а затем быстрый рост техники предъявили к тео-
рии вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость
в систематическом изучении основных понятий теории вероятное-*
тей и выяснении тех условий, при которых возможно использова-
ние ее результатов. Поэтому особенно важное значение приобрело
формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксио-
матическое построение. При этом в основу теории вероятностей
как математической науки должны быть положены некоторые пред-
посылки, являющиеся обощением многовекового человеческого опы-
та. Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством де-
дукции из этих основных положений без необходимости постоянно-
го обращения к наглядным представлениям и апелляции к здравому
смыслу вместо строгих выводов. Разумеется, наглядная интерпре-
тация полученных путем формальных выводов результатов являет-
ся необходимым условием их правильного понимания и успешного
применения, но не более. Теория вероятностей должна строиться
из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая
наука - геометрия, теоретическая механика, теория групп и т.д.
В современной математике аксиомами называют те предложе-
ния, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории
не доказываются. Все остальные положения этой теории должны'
выводиться чисто логическим путем иэ принятых аксиом. Формули-
ровка аксиом, то есть тех фундаментальных положений, на базе
которых строится обширная теория с разнообразными приложениями, •
обычно представляет собой не начальную стадию развития матема-
тической науки, а является результатом длительного накопления
фактов и их логического анализа с целью выявления действитель-
но основных первичных факторов. Именно так складывались аксио-
мы эвклидовой геометрии, первоначальное знакомство с которыми
дается в курсе элементарной математики, аксиомы механики (зако-
на Ньютона), излагаемые в курсах теоретической механики и т.д.
..... ' 45
"Удобный же путь прошла и теория вероятностей, в которой аксио-
матическое построение ее основ'явилось делом сравнительно не-
давнего прошлого. Впервые задача аксиоматического построения
теории вероятностей как логически совершенной науки была пос-
тавлена и решена в 1917 г. известным советским математиком
С.Н. Бернштейном (1880-1970). При этом С.Н. Бернштейн исходил
иэ качественного сравнения случайных событий по их большей или
меньшей вероятности, что затруднило дальнейшее развитие «того
подхода.
Другой подход предложил в 1933 г. знаменитый советский
математик А.Н. Колмогоров (1903-1987). Этот подход тесно свя-
зал теорию вероятностей с теорией множеств, теорией меры и
интеграла.Лебега и послужил основой нового и очень плодотвор-
ного современного этапа ее развития.
Аксиоматическое построение основ теории вероятностей от-
правляется от основных свойств вероятности, подмеченных на при-
мерах классического, геометрического и статистического опреде-
лений и включает первые два как частные случаи. На этой базе
возможно построение логически совершенного здания теории ве-
роятностей, и в то же время удовлетворение повышенных требова-
ний к ней со стороны современного естествознания и техники.
Перейдем теперь к изложению аксиом теории вероятностей.
2.4.2. Рассмотрим произвольный случайный эксперимент
и его незавершенное описание в виде системы объектов
<х,а 2»> . Здесь УС - комплекс условий, XL -
множество элементарных исходов,
44 I <*> , - дискретное разбиение Л на
основные наблюдаемые события, йЛ - класс всех наблюдаемых
событий. При втом и Л будем считать неизменными характе-
ристиками рассматриваемого эксперимента Gt 9 а может
изменяться при изменении точности системы,, фиксации наблюдае-
мых исходов эксперимента G- . Например, при увеличении точно-1
сти системы фиксации может стать необходимым продолжить раз- J
бйение , разбив его компоненты на более мелкие не- |
пустые и непересекающиеся части. |
^4» • j
Примем за модель класса наблюдаемых. событий пару объектов;
где 01s 2?*<Л) - -алгебра, порожденная j
достаточно подробным дискретным разбиением на основнЦ
46 к I
наблюдаемые события при многократном повторении Gt . Если
Л дискретно^ все элементарные исходы GJ С XI являются
наблюдаемыми, то естественно принять, что Cl« 2.Л
Следуя теории функций действительного переменного, будем
называть модель < Л, 01 ) класса наблюдаемых событий измери-
мом пространством. Измеримое пространство является
кошактной, гибкой и плодотворной математической моделью клас-
са наблюдаемых событий.
Действительно, пусть основные наблюдаемые события принад-
лежат (У*-алгебра 01 выбрана так, что 5
события AnCOt , П® 1,2,... . Тогда осуществление экспе-
римента Gu и фиксация в качестве его исхода одного из основ-
ных наблюдаемых событий из позволяет ответить на следую-
щие вопросы:
I. Произошло ли некоторое ?
2. Произошло ли хотя бы одно из событий Ал , А» I, то есть
произошло ли событиеJU Ал ?
3. Произошли ли одновременно все события Ал , то есть
произошло ли событие А Ап ?
4. Произошло ли любое событие, полученное с помощью конечного
или счетного числа любых теоретико-множественных операций
над событиями А* , А»,...?
Случайными событиями в математической модели
являются не любые подмножества из Л .а лишь те из них, ко-
торые являются элементами OL . Это упрощает построение даль-
нейшей математической теории и оправдано тем, что наряду с мно-
жеством Л мысленно различимых элементарных событий на прак-
тике часто выделяется менее обширный класс физически наблюдае-
мых событий.
2.4.3. Первая система аксиом.
Определение 4.1. Вероятностью Р(А) называется число-
вая Функция множества, определенная на 6“ -алгебре Ot измери-
мого пространства <Л, 01) и удовлетворяющая следующим: ак-
сиомам:
1° Р(А)>О (неотрицательность Р > ,• (4.1)
2° Р6й)= i (нормированность Р > »•_ ' , (4.2)
3° Если A,, A»,... eOt и , то
рс£а)=е₽йл (счетная аддитивноеть;РУ(4.3),
US 4-4
Первые две аксиомы выполняете» для классического и геоме-
• 47
'"рического определений и допускают простую частотную интер-
претацию для статического определения. Третья аксиома - ак- И
сиома счетной аддитивности или расширенная аксиома сложения - I
носит более сложный характер и необходима потому, что в теории 1
вероятностей очень часто приходится рассматривать события, |
подразделяющиеся на счетное число частных случаев. В теории ]
функций действительного переменного говорят, что Р - неот-
рицательная, нормированная, счетно-аддитивная мера на измери-
• мом пространстве (Л, О1> .
Определение 4.2. Тройка объектов называется
вероятностным пространством.
Вероятностное пространство является моделью эксперимента
G. , содержащей его полнее математическое описание. Рассмот-
рим теперь свойства вероятности Р , вытекающие из аксиом
(4.1)-(4.3)
D Р(0)*О. (4.4)
Для доказательства представим невозможное событие в виде сум-
мы несовместных событий .. * Применяя теперь
аксиому счетной аддитивности, получим неравенство
Р(0)=Р(0) + Р60)+-»пРС0),
из которого вытекает, что Р(^)«О . I
2) Если события Ai , Аг,..., А«.€ч(Х и попарно-несов-
местны, то вероятность обладает свойством конечной аддитивности:
PC^.Ai^£ pfA.') . (4.5) |
Для доказательства представим У* Ai. в виде
L«4 ?
а затем применим аксиому счетной аддитивности . -
3) Р (Д)’^-РМ) . (4.6) j
Доказательство вытекает из соотношения , ак- I
еиош нормированности и свойства конечной аддитивности . 1
« АсЬ =» Р(в>\Л1=Р(&')\Р(А'> . (4.7) I
Для доказательства представим В в виде суммы двух несов- |
местных событий Ь = А + g>\ Д |
4
- а затем применим (4.5) 1
5) АсВ4 Р(АНР(Ь) . (48)
48
Доказательство вытекает из (4.7) и аксиомы неотрицательности
Р .
6) (HPfA'Xi (4.9)
Доказательство вытекает из соотношения
свойств (4.8),(4.4) и аксиомы нормированное™ Р ,
7) (теорема сложения). Для Ot
P(AUb>P6AV Р(Ь)-Р64ПЬ) . <4.Ю)
Доказательство. Представляя & в виде
b«(b\AB^UAB
и используя конечную аддитивность Р , получим, что
р(в\А&>р<еЛ-р(Аел .
Поскольку AUbsAU(B\AВЛ , то
Р(АМВ>»Р(А) + Р(В\ДЬ>Р(А)*Р(В>-РГАЛЬ>.
8) РС^АЛ $ £ РОй) .. . <4.П)
Доказательство. Из (4.10) вытекает, что
Р(ЛиЬ)4Р60 + РбВ)
откуда, с помощью индукции следует (4.II).
Отметим теперь, что все восемь свойств Р , выведенные
из аксиом, выполняется для классического и геометрического оп-
ределений и допускают простую частотную интерпретацию. Дей-
ствительно, обозначая частоту события А в N повторениях
эксперимента G- через N( А) , получим следующие очевидные
соотношения для частот:
^0)sO, • (4.4а)
//ГД А ) «Л/ (А) > (4.5а)
H(A>N-N(A} , (4.6а)
Acrfc’* h/(B\A)« N(В)- N(A)f (4.7а)
А NГА) & НМ , (4.8а)
0$ А/М*Н, , (4.9а)
Л7Л и&): N(A) -Н(А6), (4.10а)
Н(МЛ S , (4.IIaj
7-1390 • '
1.4.4. Вторая снегам» аяемсм. Рассмотрим монотонно невоэ-
растаюио'п (стягивающуюся) последовательность событий
Cl , А”4,2».«.
и пусть Д: = ?Ап , причем Дс 01 . Будем писать
/мЛи-Л 4MUA (4.12)
и говорить, что 4 - предел стягивавшейся последователь-
ности.
Рассмотри»» также монотонно неубывающую (растр ягщуюся)
последовательность событий
Л< Да С ... » Ац € ДГ > A»4t2, >>•
и пусть Д.‘= О А% « причем Д< СЛ . Будем писать
&т 4<®А Д*1А (413>
Лмнм
и говорить, что А - предел расширяющейся последователь-
ности.
Аксиому счетной аддитивности (расширенную аксиому схоже- j
ния) 3° можно заменить на аксиому конечной аддитивности (як- |
сиому сложения) 3й и аксиому непрерывности 4°. |
Аксиома 3*. Если АнАа<<Х " А»Аа»Р > ТО 5
P(A,UA,')=P6AbP(A,) («Л«> }
По индукции доказывается . .
Следствие. Если Д;€ (X, Iх 1,2...А и AiAAjs0
”рф1)=£Р^ (4.15) ’
Аксиома 4°. Если А.10 » то ‘
РОШ о при Л-* с*» (нгг’'<'рывностьР»0)(4.16)
Тйоремя 4.1. Система аксиом Iе, 2°, 3е эквивалентна сис-
теме аксиом 1°, 2°, 3Л, 4°. 1
Доказательство, а) 1° - 3° 1°, 2°, 3*, 4n. f
Пусть bU0 . Построим пг>г"*>"овятельность попарно несов-
местных событий
ж А» 4,2,-.
(см. РИС.4.Т) I
50
Ьо. 4.1
Легко видеть, что „
б>п « О Ст >
м
Из аксиомы 3° следует, что рад Р(ь>_гр(с.л
сходится, т.е. сумма остатка этого ряда
P(bi^eJS P(Cm) | О >«.<*•*.
б) 1°, 2°, 3*. 4° => 1°, 2°. 3°.
Пусть - последовательность попарно несовместных событий.
Обозначим «а
А*С/Ап , .
Тогда при любом П.»О можно представить А в виде суиш
n-f-J попарно несовместных событий:
А »,С/ Al +
Иэ аксиомы 3 следует, что
р(д}* s РбАЛ+Рба».).
Т.К. ПО построению Л =* и П Brt.1* (Э ,
то £>л | 0 и из аксиомы 4° следует, что* Wbr»)l0 ;
Поэтому Р6А)«3| PfAi) , и теорема доказана.
Если £1 -"конечно, то вероятность Р должна удов-
летворять лишь аксиомам 1°, 2° и 3 , а в аксиомах 3° и 4°
нет необходимости. Если же Л имеет бесконечное (счетное
или несчетное) число элементарных событий, то при определе-
нии вероятностной меры Р в одном конкретном случае более
удобной может оказаться проверка первой, а В другом «• второй
системы аксиом.
Следствие. Если <л,а,р> * вероятностное проСФранот-
во» АпеО1 ,ЬпеО[,п.ъ1 и .«
81
и
п<м» ***
Доказательство. Поскольку доказательства обоих утвер-
ждений аналогичны, то проведем его лишь дли , и. > Г.
Так как ОС - (Г-алгебра, то она замкнута относительно любых
счетных операций над своими элементами. Поэтому А&01 и
(А\А4<(Х, Л>д . Так как (А\А»Л^ 0 , то в силу
аксиомы непрерывности
PMV.H О» [РС4)-Рб».)]*0« РМ.И Рбл) .
Таким образом, операция Р(’) перестановочна с монотон-
нш предельным переходом.
Отметим теперь, что как перми, так и вторая системы ак-
сиом имеют геометрическую интерпретацию. Действительно, для
определения геометрической вероятности необходимо уметь вы-
числять П. -мерные объемы фигур из . Например, при
площадь квадрируемой фигуры А , Ас Л ,
можно получить, разбив ы сеткой из равно-
удаленных на К прямых, параллельных координатным осям, а за-
тем суммируя площади микроквадратов, образующих А* и XV ,
где А# G De D* . Чтобы обеспечить законность предельных пе-
реходов от и к jufO) (см.рис.4.2)
при Мо и Д,ФА > Я*и> ' , нужны либо аксиомы 3*,
4?, либо аксиома За,
52
ГЛАВА 3. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТОВ
3.1. Условная вероятность.
Рассмотрим вероятностное пространство 4 ,Р^ и
события А , В> € 01 . Если стало известно, что событие Д
уже произвело, то эта информация может изменить безусловную
вероятность Р(В') , вычисленную по отношению ко всему ®о-
жеству J2t элементарных событий, т.к. теперь роль Л иг-
рает его подмножество Д
Определение 3.1. Если Р(А)>0 , то условной вероят-
ностью события ft при условии, что А произошло, назы-
вается число
Р(ЫА):=-В^=:Р4(ь)>Л1Ьв<Х (3.1>
В отличие от условной вероятности /д вероятность
£«.(6)= Р^Ь) называется безусловной. Если известно, что
произошло событие Д , то можно перейти от исходного вероят-
ностного пространства к вероятностному про-
странству либо к "урезанному" вероятностно-
му пространству < Д , , РА> . где { А8> .* feetXf.
Теорема 3.1. рл обладает всеми свойствами вероятности.
Для доказательства проверим, что (3.1) удовлетворяет
аксиомам 1°, 2°, 3*, 4°. Выполнение 1° и 2° сразу следует из
(3 1). Чтобы проверить 3*", заметим, что если Вы и fot не-
совместны, то и Abt и A&i также несовместны. Поэтому
Если же , то и , так что
Рд (ь.) -- — О , п.—од.
Пример 3.1. Игральная кость бросается один раз. Чему рав-
на вероятность впадения "шестерки”, если известно, что выпало
четное число очков?
Здесь Л 1,2....б). Д-=[2,4,б| , б } . Поэ-
’w РША)- .
1 |Д рс*>"р(аГ з
63
Пример 3.2. На рис. 3.1 изображены XL И события А, В
Л
Рис. 3.1
Для геометрической вероятности при
РСАГЙ= Р^=
Эти результаты следуют непосредственно из определения геомет-
рической вероятности, т.к. в первом случае роль Л играет
А ., во втором -Ь , и в обоих случаях интересуюцим нас :
событием является Д£> .
Пример 3.3. Из колоды в 62 карты выбирается без возвраще-
ния две карты. Цусть Д(, - событие, состоящее в том что
L -я карта оказалась тузом, L== 1,2. Найти PfA*} и
Р(Д»М1У- . s i
Используя классическое определение вероятности и правила
операции над событиямиs получим:
sP(AAtC/JiAt'b PCAiAaY*P(&A*V^^* ’
i
77 ’
Р(АП " SZ>54
Ддвсъ
Р(А.У- RCM-АЛ = - 47 = °-°'* >0,
т.е. безусловная вероятность оказалась болыое условной, что в
данном случае можно было предвидеть.
54
3.2. Теорема умножения
№ определения условной вероятности вытекает, что
Меситы а)= р(вЖа1 &\ад са, ₽а>,яи>0<3-2’
(3.2) называют теоремой умножения для двух событий. По
существу (3.2) представляет собой лить другую вались опреде-
ления условной вероятности, так что теорема умножения имеет
самостоятельное значение лишь в том случае, если и
Р(А1Ь) определять не с помощью (3.1), а, например, с по-
мощью прямого подсчета.
Обобщением (3.2) является следующая теорема умножения
для П. событий
Теорема 3.2. Если At » А* ,...»АЛ£^ *
Р(А<А,-A,.,)>0
РСА.А. ...Л.) 'PMPCA.IA,') !3-3’
Доказательство. Введем А и заме-
тим, влечетЭто га-
рантирует существование всех условных вероятностей в (3.3).
Далее применим индукцию. Т.к. (3.3) при п.» 2 верна в силу
(3.2), то предположим, что (3.3) верна и при п-1 • Поль-
зуясь ассоциативностью операции пересечения событий и приме-
няя (3.3) сначала при П=2, а затем при Л-1 , получим:
Р(6»ч А) = Р(В„.,')Р(А.1ЬЛ=Р(АЛР(А.!АЛ... •
‘Р (А.., 1а,А,... А.-а) * Р^А./йп-,)
Пример 3.3а. Из колоды » 52 карты выбирается без возвра-
щения 3 карты. Какова вероятность того, что все вынутые карты .
окажутся тузами?
Пусть А( - вероятность того, что на l-м месте в •
выборке без возвращения объема будет туз, . Тог-
да ч а Л
Р(А.>£ . P(A,IA>£ f РМ3|А,Аг>^-
На основании теоремы умножения искомая вероятность равна
р(а,а1ап- -г к'"
.55
Этот же результат следует непосредственно и из классического
оделения вероятности.
Упражнение 3.1. В условиях предыдущего примера найти
Р(Аа\РбМАг\ КА41Х*\Р(Ам), РбАч \А4\ МАЛЫ.
3.3. Независимость событий. |
•I
3.3.1. Для ТВ очень важным является понятие стохасти- |
ческой независимости, которое имеет определенную специфику |
по сравнению с общепринят»* понятием причинной невавксююстм |
явлений.
Рассмотрим сначала понятие независимости событий при
однократном повторении эксперимента .
Определение 3.2. Если A , Р(А) ,Рф)< 4 и
Р(ЫА)~РСВ) (3.4)
то говорят, что событие Ь не зависит от события А '.
Условие (3.4) означает, что сообщение о том, что в ре-
зультате эксперимента G- произошло событие Ае&Ъ но
влияет на вероятность Р(Ь) . Условие добавлено,
поскольку всегда Р(Ы41)= PCS') и сообщение о том, что
произошло достоверное событие SL новой информации не несет
Йе (3.4) следует, что
<з.6)-
Это означает, что если А не несет информации о £> , то и
Ь не несет информации об А , т.е. понятие независимости
событий взаимно. Теорема умножения позволяет дать симметричное
Определение 3.3. Два произвольных события А ,
0<Р(А),Р(£>)< 1 , называется независимыми, если
. Р(АЬ')» PM')P(fe) (Э.б)
й завясюшми, если (3.6) но выполняется.
События А , b поровдает разбиения 7 A, A 1 и
сЛ < Оказывается, что меоазысямоеть А ,6»
влечет «а собой независимость всех попарных комбинаций собы»
m п ь । h .
Теорема 3.3, Если A «Bed ,4 , то
I) независимы 2) Х,6 независимы фф
36 . I
3) А,Ь независимы 4Ф 4) Я, Ь независимы
Доказательство. Достаточно доказать, что I)* 2)*3)«о4)
D. Здесь 1)4*2), т.к. Р^ЛЬ>Р(ЬХА ЬЖЬУРСАЬУ
•PCS) - PC AY • P( 6>) PC A) .
Далее, 2)=>3), т.к. PCAb)- PCAve>>i-PCAvB)’J-PCA)~
-PCe»)*PCA)PC6>» fi-PM)Hi-P<fe>l*PCA)₽c£) •
Упражнение 3.2. Докажите, что 3)^4), 4)* I).
Теорема 3.4. Если А ,&€(Х , Ck ft4),KB)<4 , то
а) и» независимости А , Ь следует их совместность, б) иэ
несовместности А , & следует их зависимость.
Действительно, АСЛВ*)жРСА)₽СЬ)>0 мечет а). Иэ AS*JZ5
вытекает PC А1&)" 0 , что отлично от Р(А)>0 , а это
влечет б).
Пример 3.4. Иэ колоды в 36 карт случайно выбирается одна
карта. Цусть событие А - карта пиковой масти, а событие В
- туз. Будут ли события А и ь независимыми?
Решение. Здесь событие AS • карта является тузом
шк. так что
PCAY’^' •
Поскольку PfASVPCA)PC5') , то А и В независимы .
Пример 3.5. В спортивном магазине самообслуживания про-
даются аорты одинакового покроя и цвета nt размеров и Л.
ростов. Перед открытием магазина на прилавок были выложены
mn. ' целофановых пакетов с аортами - по одному пакету с аор-
тами каждого роста-размера. Рассеянный покупатель входит в ма-
газин, находит в объявлении о наличии товара нужный ему размер
к рост и , не читая этикетки, выбирает случа№о пакет с аор-
тами. Пусть событие А - выбраны аорты нужного размера, Ь-
нужного роста. Будут ли А и Ь независимы?
Равенне. Здесь событие А£> означает, что выбраны аорты
нужного размера и роста, так что
Поскольку ФМЫ» ₽(A)F6b) , то А мВ» независимы, 0
Заметим, что как в этом, так и в аредцдуцем примерах*
стохастическая независимость не носит причинного характера, а
является следствием определения (З.б) а параметров экспери-
мента. Действительно, достаточно положить на прилавок не одой,
8-139Q б’
а два пакета с шортами одного росто-размера, т.е. всегоГПП+4
пакетов, как стохастическая независимость событий А и Ь
уже не будет иметь места.
Упражнение 3.3. а) В примере 3.S подобрать другие вариан-
ты наборов пакетов с портами различных росто-размеров так, что
стохастическая независимость событий А и Ь сохранялась.
б) Установить необходимые и достаточные условия, которым
удовлетворяет так-е наборы.
Отметим еще, что наличие вависимости событий А и Ь
часто бывает можно установить и беэ вычисления вероятностей
, Р(В) и Р(АЬ} , если ив физических соображений
очевидно, что PM) MJW» .
3.3.2. Рассмотрим п& 2 событий Ал» Ait... ,An^OL и
по аналогии со случаем а * 2 введем следующее
Определение 3.4. События Ал , А г.,..,, А аб(Х называются
независимыми (в совокупности или взаимно-независимыми) если
для любых пг из них выполняется равенство
Р(П А;Л=П <з.7>
4'1 4а 1
Упражнение 3.4. Докажите, что для независимости в сово-
купности событий А» ,А,,..., Ап. всего должно выполняться
2*v-a-d условий вида (3.7)
Таким образом, из условий попарной независимости
не следует независимость в совокупности, а из независимости в
совокупности следует попарная независимость.
Пример 3.6. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду,
изготовленную из однородного материала, занумеруем ее грани
цифрами 1,2,3,4 и окрасим три ее грани соответственно в белый
(Б), красный (К) и синий (С) цвета, а четвертую грань - в три
цвета (Б,К,С). Пусть эксперимент состоит в бросании этой пи-
рамиды, а его исход - номер грани, на которую упала пирамида.
Здесь Д1Ч 1,2,3,4 1, Бх 1 1,4\ , К-{2,4 |, С=4з,4^
БК БС КС • БКС 4J.
Предполагая все исходы равновероятными, подучим:
Р(Б) . Р(К) . Р(С) *1/2 , *
Р(БК) . Р(БС) - Р (КС) - J/x/= (1/2) ;
Р(БКС) . А. #(£)*
Следовательно, события Б,К,С попарно независимы, но зави-
симы в совокупности. А
58
Приведем теперь пример трех независимых в совокупности
событий, построив его по образцу примера 3.5.
Пример 3.7. В спортивном магазине самообслуживания про-
даются шорты одинакового покроя ПХ размеров, Л ростов и
К цветов. Перед открытием магазина на прилавок были выложе-
ны щи к непрозрачных целлофановых пакета с шортами - по
одному пакету с шортами каждого размера, роста и цвета. Рас-
сеянный покупатель входит в магазин, находит в объявлении о
наличии товара нужный ему размер, рост и цвет и, не читая
этикетки, выбирает случайно пакет с шортами. Цусть событие Д
- выбраны шорты нужного покупателю размера, событие Ь - нуж-
ного роста, событие С - любимого цвета. Тогда
Р( A"> = , р(м=££_.Х,
так m
, J-» P(AVP(^>
mn-fc ic ' ИЛс. mA
p(AC)= 2Ь_ „ A- B Pf A) P(C) ,
mnx игк.
P (Ьб) - £L_ . JL = рф) Рф),
mac
P(ABC')« Jb. = P(b} PCC) .
Следовательно, в данном случае выполнены все четыре условия
(3.7), то есть события Д , £> , С - независимы в совокуп-
ности. Очевидно, что и в этом примере независимость рассмат-
риваемых событий есть результат специального подбора их ве-
роятностей, так что изменение этих вероятностей может повлечь
за собой появление эависимсоти.
Упражнение 3.5, I) В примере 3.7 подобрать другие вариан-
ты наборов пакетов с шортами различных размеров, ростов и •
цветов так, чтобы а) события Д , & ,С были независимыми в
совокупности; б) события А « (2 были попарно-независимы-
ми, но зависимыми в совокупности.
2) Установить необходимые и достаточные условий, которым удов-
летворяют такие наборы.
Упражнение 3.6. а) Докажите, что независимость в совокуп-
ности Ал ,..., Ап. влечет независимость в совоцушости
Ам , • • •, Ан • ,
б) Цусть Д4:= А . A i=A • Докажите, что Ал............Дн
независимы в совокупности, если и только если Д^1»..., •
ft *Oti » независим* в совокупности.
Теорема 3.5. Если ,...,Ап. независимы в совокуп-
ности, то
Р( . <3.8)
* ».»1
Доказательство сразу следует из соотношения теорем!
Л = (рЛ^и(уА.Ъ ( UAt)CI ( П5<)
сложения_для несовместных событий и независимости в совокуп-
ности А< ,..., Ал .
Пример 3.8» Предположим, что между полосами I и 2 неко-
торой влектрическоя схем! существуют три независима токопро-
водящих цепи (см. рис. 3.2). Цусть событие At означает, что
Рис. 3.2
в цепи i нет обрыва, причем события А| , Аа, Ал незави-
сим! в совокупности иР(А,)’0.9 , . Тогда вероят-
ность того, что между полосами I и 2 течет ток равна
Р(0а,) • 0.999.
1 Следующий пример иллюстрирует идее резервирования аппара-
туры с целью повышения ее функциональной надежности.
Пример 3.9. Пусть для управления очень ответственным про-
цессом в реальном масвтабе времени используются одновременно
две микроЭВМ, работающих независимо по одинаковой программе,
а вероятность отказа за сутки непрерывной работы для каждой
из микро-ЭВМ составляет . Тогда вероятность безотказ-
ной работы в течение суток хотя бы одной из микро-ЭВМ равна
0.999999, что говорит об очень высокой надежности
данной системы из двух параллельно и независимо работающих
мамин.
3.4. Формула полной вероятности и формулы Байеса.
3.4.1. Рассмотрим зкспери мент (л0( и некото-
рое разбиение
60
Теорема 3.6. Вели какое-нибудь раз-
биение Л и Р(НЛ>0 » • ,0 Л** любого события
Д справедлива формула полной вероятности: '
Р(А')’ ZPftUPfAlfM, AgOL . (3.9)
j.
Для доказательства представим Я в виде (см.рис. 3.3)
А = АЛ=идн« . (з.ю>
Рис. 3.3
Т.к.
(АНЛ(АНЛ*АМ;Ни
Г 0 , t*lct
I AHi, i«e,
то события (ДНа,«« !,«. J несовместны. Применяя к (3.10)
теорему сложения для несовместных событий, подучим
Рб А) = Z Р(АНг ,
* применяя к каждому иэ Р(АН<?) теорецу умножения (3.2),
подучим (3.9)
Значение (3.9) состоит,в том, что вычисление вероятности
некоторого сложного события А может быть выполнено по час-
тям: сначала для подходящего разбиения с известными Р(Нк) вы-
числяются условные вероятности PCAlHa) , , а затем .
Уже вычисляется вероятность события А . Элементы разбиения
иногда называют гипотезами и считают, что вероятности гипотез
известны заранее, например, иэ теоретических соображений или
статистических данных.
Пример 3.10 (см. рис. 3.4) Иэ точки А выезжает машина,
й на каждом перекрестке она е равной вероятностью направляет-.'
ся по одной из доступных ей дорог. С какой вероятностью машина
61
прибудет в точку С ?
Поскольку мажина обязательно проследует через точки bi ,
&2 > Ьэ и Ьч , то примем соответствующие события за полную
группу несовместных событий (гипотез). В силу предположения о
равновероятности выбора всех доступных дорог P(6>f) = — *
. 4
Анализ рисунка 3.4 показывает, что
Р(С1ьЛ-4-> РГс1М-Х> Pfcife). 1,Pfcib^-o ,
чЭ с»
так что
i.» d
(ЗЛ1)
3.4.2.. Простым следствием теЪремы унижения и формулы ''
полной вероятности является следующая
Теорема 3.7. Вели Hl( ...zHfc,y - разбиение
Л, , причем О , it-ijn. , то для Me (Я таких, что
справедливы формулы Байеса:
P(H.IA')’ ,K-vs AeOt
S РСЮРОННЛ
k.’£
Для доказательства заметим, что
Р( АН0 - PM) Р( Hk | А)= РСМ^Р СА\Ю
откуда
PCh.iaS-
• I л J
Если в знаменателе последней формулы записать РбА^ с
62
помощью формулы полной вероятности, то получим формулы Байе-
са (З.П) __
Вероятности Р(Н^ , К=/,п. , известные до начала экспери-
мента G , можно считать априорными (доопытными) вероятностя-
ми гипотез, а вероятности Р(Н< IА^ - априорными (после-
опытными) вероятностями гипотез. Действительно, формулы (З.п!
позволяет как бы переоценить вероятности гипотез на основании
эксперимента G- , в котором может произойти некоторое собы-
тие А .
Пример З.П. Автоматы Н< ,Н*изготавливают
одинаковые детали и размещают их каждый в свой ящик, которые ,
внешне неотличимы. Контролер выбирает наудачу один ящик (собы-
тие Н* , к=*,а), вынимает из него наудачу ОДНУ деталь и про-
веряет ее. Если деталь оказалась бракованной (событие А ) и
для каждого автомата из предыдущего опыта известка вероят-
ность Р(А|НЛ*/>« изготовления брака, то чему равна веро-
ятность P(HkIA') того, что данную бракованную деталь изгото-
вил автомат Нм ?
Поскольку по условию > -Д- , то в силу формул
Байеса
Р(н.щ- Р(А|Нй-д ?£_ , С.<7 .
Особенно интересен случая и.- 2.
Пример 3.12. Предположим, что для некоторого заболевания
Н существует эффективный медико-диагностический тест А ,
причем
Здесь А означает положительный результат теста, а о( и/ , •
называтше ошибками первого и второго рода, малы. феть апри-
орная вероятность заболевания Н известна и равна .
либо а) на основании статистического обследования большой
группы лиц одного пола и возраста, проживающих в данном районе,
либо б) на основании предварительного мнения врача. Используя
Формулы Байеса, получим:
примем теперь, что обауй* 0.1 (очень хороший тест) и что^
J
I
/>а_ » 0.01, Pf - 0.5. Тогда равно примерно 8 в
случае а) и е (Л-*) - 1.8 в случае б), а сама вероятность
PfHjX) равна соответственно 0.08 и 0.90. Таким образом, |
апостериорная вероятность Р(Н|Л") из-за малоститакже |
невелика, хотя и превосходит ее в 8 раз, что говорит об эффек-i
тивности теста. Соответственно, апостериорная вероятность j
Р(Я|М отсутствия болезни у пациента при положительном
исходе теста составляет 0.92 и 0.10. Это говорит о той роли,
какую играет точность априорной оценки даже при эффективном,
но только одном анализе (тесте), и подтверждает необходимость ।
выполнения различных анализов для более достоверного обнаруже-
ния заболевания.
3.5. Независимость экспериментов
3,5.1. Рассмотрим множество
. н-4G°\...,0“"i,ай~ <я" а”р<л>,i.& I
из №• различных физических экспериментов со случайными исхо-
дами. Фиксируем теперь способ, число Н- и очередность вы- ?
полнения экспериментов из И , причем один и тот же экспери- ;
мент может быть выполнен неоднократно, а сам эксперимент и его
исходы могут зависеть от ранее выполненных. Будем рассматри-^I
вать последовательность
(Gi, Gi/..., > G-icH
экспериментов вместе с указаниями о способе их выполнения как |
новый составной эксперимент Си '. Возникает вопрос, каким
должен быть способ выполнения С- » чтобы знание вероятностных
пространств _ ' ___ 1
, Oli V G-Ь-t - , j
для изолированных экспериментов &•{. ', выполнявши без связи
друг с другом, позволило построить вероятностное, пространство ,;
<£2>*0ЦР>? яЬляяцееся математической модельюв?Прежде всего |
примем, что при включении^ G“> в состав Ся- пространство .|
элементарных событий Л* либо сохраняется без изменений, |
либо урезается. Поэтому, если. <лЗк^ -элементарньйисход-
«SZ- • то элементарным исходом 6-> , для 4
является GO = ЦРщ , .. . j
причем Л
Вероятностное пространство <11,01, P> для G. наиболее
просто строится в случае , когда меоду исходами последователь-
ных экспериментов не суцествует никакой причинной или стоха-
стической связи или когда ев можно пренебречь.
Пусть ранение о том, что&в£с еН и наличие любой
информации об исходах , j** не оказывает никакого влия-
ния на комплекс условий , на исходы ф. и, следовательно,
на <&£ . В этом случае обозначим
• = G-t * G-x* ••• * Gn.
и будем называть G. последовательностью независима экспери-
ментов. Если И- последовательных экспериментов независим и
идентичны, то пусть - я -кратное повторение экспе-
римента . Сяедувций пример * иллюстрирует различие меаду
понятиями независимости нескольких экспериментов и независи-
мости событий при однократной реализации одного эксперимента.
пример 3.13. Цуоть НЦ& , , где в?* - <4»^.
сание монеты, a - бросание кости. Примем, что
Тогда
Представим £1 в виде следуюцвй таблицы:
£^*1 II2!3I4!5(6!U
““П------1-----!---!-----!----1---1------
г I (Г,2)I !(Г,5) !(ГтС)!{Г1жДг
Ц !(Ц,П !(ЦД>НЦЛ)|(.Ц>М!^,5)!(Ц,£)НЦ|х>Йа
Здесь - выпадение | очков на втором месте
в составном экспериментеЛJ j€ в то время как{||
- выпадение j очков в изолированном эксперименте
. Далее,- выпадание герба
на первом месте в составном эксперименте (gl , cOLt^Oli -
в то время как 4 Г) - выпадение герба в изолированном экспе-
9-1390 65
рименте G ,1'КСЛх , и аналогично дм Ц.
Цусть событие А1»4Г}СЛ> означает, что в экспери-
менте с монетой выпадает герб, а событие означа-
ет, что в эксперименте с костью выпадает четная грань. Тогда
событие .
А-А.М, (г,г),(М),
составного экспер. ментаС-’^в0’) означает, что должны после-
довательно произойти два события: сначала в (3^ выпадает
герб, а затем в - четное число
зероятностныэ пространства первого, второго и составного
экспериментов полностью определяются заданием таблиц элемен-
тарных вероятностей
Г Ла] ГЛ*] ГА?
1 f"‘l# l^J» If I
С учетом условия нормировки каждая из этих таблиц содержит со-
ответственно |Л< 1*4Н ,Ш*Н«£ и независи-
ма элементарных вероятностей. Задание одиннадцати элементар-
ных вероятностей для составного эксперимента необходимо при
тех способах его выполнения, когда исход первого эксперимента
влияет на исходы второго. Например, если первый игрок бросает
монету, а второй - кость, то зная исход бросания монеты и учи-
тывая условия игры,второй игрок может жульничать, нарушая рав-
новероятность выпадения граней кости. Однако, при независимос-
ти экспериментов Gw и 6п* физически очевидно, что для любых
А|€2Л* • Ал*2Л‘ вероятность события
А » САе, Ав}* At *А» С 2
равна
к/
где , Р* и Р соответственно вероятности на 2А* , 2*°* и
2**шА» .В этом случае задание [*%i] *1^*1 полностью опре-
деляет^]-. Г г
/> (э.и,
Условие (3.12) независимости экспериментов означает, что
•вероятность любого прямоугольника равна произведению вероят-
66
ностей его сторон". Этот пример показывает, как можно распро-
странить понятие независимости некоторых событий при однократ-
ной реализации одного эксперимента на случай последовательной
реализации нескольких независима экспериментов. 4
3.5.2. Рассмотрим последовательность вероятностных про-
странств ). Образуем пространство^
и построим наименьшую О' -алгебру OL , содержащую все прямо-
угольники А вида
A-xAi. , А: «Я; >
Обоэн&чямЯг~ и ниом>< ОС прпшм прои.,здвн1ни
О' -алгебр(Kt,...,(X^ . Определеим на OL числовую функции
Р£АУ положив, что для любого прямоугольника А €.
» Р ( * A J - ft Pf Ад (3.14)
и что для объединения конечного числа любых непересекаюцихся
А'“хА“, А<йеа,«ч7Я
Р(бх аГГ* £ ПР.ГАГ) . <зли
Mi«< к. А О ZTT
Очевидно, что определенная таким образом функция г наСч.
обладает свойствами неотрицательности и нормированное™, а ис-
пользуя конечную аддитивность и непрерывность ft,..., Рл. мож-
но доказать, что и Р обладает этими свойствами, т.е. явля-
ется вероятностью на 01 .
Определение 3.4. Вероятностная мера Р (3.14) называется
прямым произведением вероятностных мер Р< ft. и обозна-
чается .х Р; , а вероятностное пространство
<ДД,Р> «16>
называется прямым произведением вероятностных пространств
Определение 3.5. Эксперименты l,(li, Р; л
называются независимыми (в совокупности), если вероятностное
пространство <Л , Р > составного эксперимента ед *
является прямым произведением (3.16) вероятностных пространств
отдельных экспериментов. В этом случае G=xS-v .
Покажем теперь, что определение независимости эксперимен-
тов согласовано с определением независимости событий и, более
того» основывается на нем.
Для любого ё Cl u назовем событие
с-<
3.17)
цилиндром порядка I с основанием Ai. , .
Очевидно, что событие А является исходом эксперимен-
та (к ...,Gny всли ” только если событие Д; является
исходом эксперимента . Если
-л-. ,/#4=:Р‘7А^Ле#. -
- проекция Н. -мерного вакона распределения Р иа ось ( ,
то в случае независимости экспериментов
(3.18)
Дм дальнейвего полома следующая л
Лмам. Если прямоугольникиД то их пересе-
чение также является прямоугольником hbSL :
АЛЬ^С^ AiYl(c^biS«.X (Ai Obi) (3.19)
Доказательство вытекает кв следующей цепочки равенств:
ЛЛб» , ••• си € Ai,
1 <Q4,...,u>aVoteAi flbi,,
Иллюстрацией при П.* 2 служит рис.. З.б, на котором А
эаятриховано по вертикали, £> - по горизонтали, А Л В - в
клетку]
Упражнение 3.5. Обобщите (3.19) на случай пересечения
любого конечного числа 6^2 прямоугольников.
Ив леммы вытекает следующее
Следствие. Если ,..., Ац - цилиндры из Щ. , то их
68
пересечение является прямоугольником из 01 , образованным
основаниями этих цилиндров:
Л А ж X Д; (3.20)
« 4-1 4
Иллюстрацией при п.~2 служит рис. 3.6, на котором ци-
______________________ - А 1 * £1*2,
Рис- З.б
линдр заштрихован по вертикали, цилиндр
- по горизонтали. Пересечением цилиндров Дх и Ла является
прямоугольник
ЛДХ e (4j xSh^flG&t *Аг)*А* *Аг (3-20в)
который заштрихован в клетку.
Теорема 3.5. Утверждения
I Эксперименты (£р....Л.Л независимы, т.е.
4>=.Х 0-*<ХЛ^ХЛ1,? Рс> и
II Цилиндрические события д ,..., эксперимента
&' ((3М>...ДЛУ>'<Л,01(Р> независимы являются эквивален-
тными.
Доказательство, а) 1фП. Действительно, в силу (3.14)' и
(3.17)
РСГЛ-ftUOn. Р.(лЛ*Рс САП,1-*А <з.»>
р(а РС? д№» ПР;бА^ЙРМ,
= flftfAO . лй
!•<
69
ГЛАВА4. КОМБИНАТОРИКА, СХЕМ^БЕРНУЛЛИ |
4.1. Элементы комбинаторного анализа J
•t
Для решения более сложных задач на классическое опреде- |
ленив Вероятности целесообразно использовать элементы теории |
конечных множеств наряду со сведениями из комбинаторного ана~
лива. Комбинаторный анализ применяется не только в теории веч
роятностей, но и в таких разделах дискретной математики и I
теоретической информатики, как теория конечных графов, цело-||
численное программирование, теория кодирования, конструировав
ние и анализ алгоритмов, теория информационно-поисковых сис-|
тем и в ряде других. В этом разделе мы приведем начальные fl
сведения из комбинаторики, необходимые для развития навыков ||
самостоятельного решения различных задач на классическое оп-| I
ределение вероятности. Решение таких задач особенно полезно ||
в начале изучения курса теории вероятностей, а для более под||
ровного знакомства мы рекомендуем том I превосходного учебниЦ
ка В.Феллера . Вместе с тем, ряд понятий и примеров это||
го раздела иллюстрирует методику построения вероятностных мо||
долей последовательности как независимых, так и зависимых эя||
спериментов для дискретного пространства элементарных исходи!
4.1.1. - Принцип умножения. досмотрим *2 конечных множеств!
, j = J по Н-с элементов в каждом, V- и |1
образуем их прямое (декартово) произведение |1
.* Лг • ••• ||
Теорема I.I (принцип умножения). Всего существует 11
|Л|» ' «.г» |
! I
различных упорядоченных комбинаций , содерм
жащих по одному элементу из каждого множества
Доказательство. Составим таблицу, в строке с которой!
содержатся rvt элементов . ||
T (.Of t, • » > CO, it, t
*^>2. COt t, CO g 11 ... , COz <^t .
(1.3)
><А\г •
Докажем теорему с помощью индукции. При Ч->2 теорема верна,
т.к. число пар (иу^ о)гд) •<|\= составляет
rijHj . Действительно, эту пару можно расположить на пере-
сечении строки J. и столбца прямоугольной матрицы раз-
мера н,хпг .
Предположим, что теорема верна при т-1 . Тогда число
комбинаций (a)^t ,, ..., € VЛ, *: 8 составляет
Пщ и приписывая к каждой из них справа поочередно эле-
менты со21)си^....^получим, что
^гч,jt-i *кО»га Л •
Поскольку при t » 2. теорема верна, то „
|Л|« 161 |5Мг( Пп.?)ги< fUi . л
Заметим, что (1.2) можно интерпретировать так: на'первое'
место в комбинации>СЭг^ выбирается один из П.< эле-
ментов строки I таблица (1.3), на второе - один из nt эле-
ментов строки 2, и т.д., на 'z -е - один из п.г элементов
строки х , так что всего существует гц возможностей
выбора. Еслии1г*^14* ... .^.г , ТО i!“
Л » Sil — (1.4) •
декартова степень Ъ множества Л, , а (^1 .
Пример I.I. a) t неразличимых шаров по И. различным
и занумерованным ящикам можно расположить п.г различными
способами, если для каждого шара выбирается любой из К. ящи-
ков, а расположение шаров внутри ящика не учитывается. Воли
же исключить какой-нибудь ящик, например, первый, то число
расположений, при которых первый ящик пуст, составляет(И-Х)х.
Предполагая все расположения равновозможными, получим,что
вероятность первому ящику остаться пустым составляет(п*фУл.'.
б) Решим эту же задачу другим, более формализованным способом,
, 71
fym этого опишем рассматриваемый эксперимент как последова-
тельность из идентичных и независимых экспериментов '
в кавдом из которых выбирается один из п. ящиков, т.е.
11,1, , l-ix". Тогда для составного эксперимента
&=&* пространством элементарных исходов будет
причем в силу (1.2) 1Л1=»гх . Цусть событие состоит
в том, что какой-то фиксированный ящик, например, первый,
останется пустым: . ТогдаМи-б*-!)*
и если выбор каждого ящика равновероятен, то
; PM- jw«vo .
* Г* V**.
Аналогичным образом, если событие Ai& состоит в том, что
два каких-то фиксированных ящика, например, I и 2, останутся
цустыми, то г .х
Пример 1.2 а) Цусть % pas бросается игральная кость.
Какова вероятность события
А{ := {при х бросаниях ни разу не выпала единица} ?
Решение. Будем рассматривать выпадение грани i играль-
ной кости как попадание шара в ящик i , <.“1,6 , Тогда в со- .
ответствии с предыдущим примером при t- -кратном бросании
возможно различных исходов, включая S'* различных исхо-
дов, в которых ни разу не выпала единица. Поэтому в соответ-
ствии с классическим определением • Заметим»
что при tx 6 6
Р(АР>~ *~(f) < у i
т.е. нельзя ожидать, что при шести бросаниях обязательно вы-
падет единица.
. б) (парадокс дв-Мере). В АУН веке французский дворянин де-
Мере считал, что выпадение хотя бы одной единицы при однов-
ременном бросании четырех правильных игральных костей имеет
ту ае вероятность, что и выпадение хотя бы один раз двух
единиц при 24 одновременных бросаниях двух костей, и обвинял
математиков в своих проигрывал. Однако, эти претензии были
не обоснованными, так как первая вероятность равна
72 ' ' •;,v’ >•
I - ( 5/6 )4 . 0.518
и превосходит вторую, равную
I - ( 35/36 )24 . 0.491 .
Поскольку I - ( 35/36 > 0.5, то уже при 26 одновременных
бросаниях двух костей выпадение один рае двух единиц более
вероятно, чем их невыпадение и соответствующая вероятность
ближе к 0.518.
4.1.2. Упорядоченные выборки. Рассмотрим тожество или,
как говорят в статистике, генеральную совокупность^
из rt различных элементов, • Еь*бор одного элемен-
та иэ п. называется случайным, если любой элемент извлекает»
ся с равной вероятностью 1/А. *
Пусть эксперимент ... > G-V*) состоит в
последовательном и случайном выборе х элементов из <4 •
с возвращением О® 4) или без возвращения (4=2.) извлечен»
ного элемента. Выборку объема п. иэ тожества объема п.
будем называть t -выборкой из п -тожества или -выбор-
ной. На каждой позиции X -выборки е возвращением может по-
явиться любой элемент из ^4 *. т.е. G.r<> ” последователь-
ность иэ х идентичных и независимых экспериментов с про-
странством состояний
• (1.5)
На каедой позиции Z -выборки без возвращения располо-
жены различные элементы ив -Л , так что - последова-
тельность иэ z нендентичных экспериментов, исход каедого
иэ которых зависит от всех предедуедх. Здесь
Если для выборки с возвращением , то для выборки
без возвращения кг^п.
Обозначим
(rt\=
1 ,
. »г(п-£)... (и-г+Г)
-° , Т^П >
(1.7)
и заметим, что
’ 'г'5^ ; (rL')--rL’
73
Теорема 1.2. а) Число различных упорядоченных ^-вы-
борок из U с возвращением (или число размещений из rv
различимых элементов no t с повторением) равно
I , r.t.i.... (1-и
и все t -выборки с возвращением равновероятны,
б) Число различных упорядоченных % -выборок из Л беэ
возвращения (ил. число размещений из гг. различимых элемен-
тов по % беэ повторения) равно
| (-).
и все *t -выборки беэ возвращения равновероятны.
Доказательство. Формулы (1.8) и (1.9) следует из теоре-
мы I.I. В силу независимости t идентичных экспериментов
дм т -выборок с возвращением
Для % -выборок беэ возвращения
Р!М-'Р(л.( pfaXV...₽ta.K-Aub
. J_____L_ ... _J__ _ _J_
,VJ ’ *
Поэтому термин "случайная упорядоченная t -выборка
нэ_4 • означает, что все выборки «мест одинаковую вероят-
ность, равную п.'^ при выборке с возвращением и (nV1 •
при выборке без возвращения.
Случайный выбор беэ возвращения служит хорошей моделью
последовательных экспериментов такого типа, как вытаскивание
карт из хорошо перемешанной колоды. Если же элементами гене-
ральной совокупности являются, например, мивые микроорга-
низмы или сложные технические систем: . то осуществление слу-
чайного выбора должно основываться на специально разработан-
ной методике.
Определение I.I. Упорядоченные г -выборки беэ возвра-
щения из «тожества jt называются* размещениями из п эле-
ментов по Y без повторений, а при Т-П - перестановкой
П. элементов ^4 .
Размещения u>e(Qj,(из п. элементов по т мо-
гут отличаться как составом г элементов, так и их поряд-
ком, а перестановки w» 0^ отличаются только
74
порядком своих элементов. Обозначая через п. общее чис-
ло различных размещений из п. элементов по t , запишем
(1.9) в виде
v/n | = = '^"^37 ,*twC>'n- • (I*®*)
В частности, общее число всех различных перестановок
элементов равно
X- П.! <1.10)
В силу известной иэ Анализа формулы Стирлинга
Уже при небольших и. можно пользоваться приближенной фо{
мулой
а (ё/ t (I.IIa)
о точности которой свидетельствует следующая таблица
’V j О j з j ... i 6 j 7 J 8 » 9 j lO
"n.f | 4 } d ; ;7.2 /О*
j * 3.60/0*
Пример 1.3. а) Из генеральной совокупности кА объема
•х случайно извлекается упорядоченная /'с. -выборка с воз-
вращением , т. = цл. . Цусть &п.,х ~ событие^ состоящее в
том, что все элементы этой выборки различны, т.е. 'с. -вы-
борка с возвращением фактически не имеет повторений. Прост-
ранством В^гЛ^всех элементарных событий здесь является
Л “г » а Лл.г * В силу равновероят-
ности всех
рыборок
W । V |
t&n.tL _ (Н-К -i-\
“Rv'U1
Если tx велико и членами порядка^—по сравнению с
можно пренебречь, то
4=ojx. (1.12)
(При х=о,1,2
ной
эта формула является точной). Если же величи-
не сравнению с I также можно пренебречь, то
и можно вообще пренебречь различием между упо-
75
рядоченным выбором с возвращением и бев возвращения.
б) Если чИх{о(i....,9I, то любая упорядоченная -выборка с
возвращением представляет собой случайное г -значков число.
Здесь
P(feio,s>0.302^
вероятности того, что соответственно пять, семь и десять по-
следовательных с. /чайных цифр будут различны.
в) Если ч • п. , то в сиду формулы Стирлинга
Р(ьп.п>-2^--У2лгГ . ci.»)
С ростом п эта вероятность быстро уменьшается, что иллю-
стрирует следующая таблица
! 6 ! ? I <о !
P(e»..)|aois‘< Jaooci |1S9/б’|
г) Событие можно интерпретировать как вероятность того»
что при 6 бросаниях правильной игральной кости появятся все
грани. В примере 1.2а мы подсчитали, что вероятность при Xя б
бросаниях кости некоторой фиксированной грани не выпасть ни
разу близка к 1/3.
д) Пусть в некотором городе каждую неделю в среднем происхо-
дит 7 дорожно-транспортных Происшествий (ДТП). Примем, что
ДТП распределены равновероятно по дням недели, хотя это и не
очень реально, так как интенсивность движения и, следователь-
но, число ДТП по рабочим и по выходным дням паэлично. Тогда
Р | каждый день недели по I ДПЦ = P(R>v,?) « ° .
Поэтому с вероятностью 0.994 будут дни недели без ДТП и, сле-
довательно, дни с двумя или более ДТП
4.1.3. Неупорядоченные выборки беэ возвращения. Рассмот-
рим эксперимент f G^,..., G.^) , состоящий в случай-
ном выборе беэ возвращения t элементов из жодества «
- t QnJ/ беэ учета порядка извлечения. Элементарным
исходом для , т.е. неупорядоченной п,г -выборкой
беэ возвращения является
U>u)» / , ... ст J .
Поэтому пространство элементарных исходов эксперимента
76
(G-<if> представляет собой «можест во ХгбХ) всех Z -элемент-
ных поджожеств из Л:
где при ч»о по определению Ч . (И
Установим теперь связь между множествами lQih.x и •
Назовем элементысои>с , т.е. упорядоченные <t -выборки
без возвращения, эквивалентными, если они отличаются лишь пе-
рестановкой своих компонент. Тогда каждому элементу^
будет отвечать класс из ч! эквивалентных элементов •
полученных упорядочением t, компонент с помощью всевоз-
можных перестановок. Поэтому можно разбить на
непересекающихся классов эквивалентности по %! элементов
,к“яс“' (а* ) -{-»>, л
1л“’Нл‘“Ы
Элементы Лил называются также сочетаниями из «- раз-
личимых элементов по т без повторения, а их общее число обо-
значается через (£) или О* . Мы будем применять более
современное обозначение (£) • Из предыдущей формулы следует,
что . . • •
«•»>
Поскольку любая выборка 60 е мДид имеет одинаковую вероят-
ность (п),*с , то все выборки си<Ле Л2.Дд также равноверо-
ятны, причем
PW ........МН- (Ы6)
Пример 1.4. Если то множество£2 х* всех
упорядоченных 2 -выборок без возвращения (размещений иэ 3 .
различимых элементов по 2 без повторения) содержиТч^-ЗД-б .
элементов:
А > Сл.<о>(с,со» а,с), }
божество неупорядоченных X. -выборок.без возвращения
(сочетаний из 3 различимых элементов по 2 без повторения) со-
держит элемента:
77
•У
J
_ ca> I
^десь можно рассматривать как множество классов экви-
валентности для , где
{9,Й’(4;<)СКМ) J и,С}»(й,е)и<е#а> ,* .
4.1.4. Неупорядоченные выборки с возвращением. Рассмот-
рим эксперимент <[}У»(б1ч\ , состоящий в случайном
выборе с возвращением х элементов из множества Л •4си).«-(я«Л
без учета порядка их извлечения. Элементарным исходом для G.M *
т.е. неупорядоченной п.,т -выборкой с возвращением является
конфигурация
Пространство Д.и,ч элементарных исходов эксперимента
имеет вид:
> (I-1?)
где при •'г=© по определении Sl„*o =| . Здесь для обозна-
чения . использованы квадратные скобки вместо фигурных
или круглых, чтобы подчеркнуть, что не является ни мно-
жеств ом, поскольку среди ее компонентов могут быть совпадаю-
щие, ни вектором, так как ее компоненты можно записывать в лю-
бом порядке. (<0|
Подсчитаем теперь 1^-и.х I . Цусть - число входящих
в состав i>jP* элементов йкеЛ > так что ' ]
^<^0, • (1Л8) 1
К.» 1
Тогда вектор эапонения полностью описывает состав
компонент *z -выборки что позволяет установить взаимно
, однозначное соответствие меад\ элементами множества и "
множества - j
бЛд:вкЧ‘»Л»‘Ул<х>,...|ги>о,2и«г <1Л9>
Поэтому
, (1.20)
а *х -выборку О с составом компонент ’t„') можно назы-
вать -выборкой. При этом порядок компонент вектора
fl,,.., ,4») полностью определяется порядком элементов множестве^
Л , который является произвольным, но фиксированным. |
Сведем теперь вычисление /So,x| к решению задачи о числ«|
78 • . I
разложений числа t на П. неотрицательных, упорядоченных
слагаемых. Назовем вектор ,хи> , tv* 1,2,... , компо-
ненты которого неотрицательны, целочисленны и в сумме равны
<г , 2-0,1,2,... , неотрицательным решением уравнения
ОС< ♦ ... + Хп = Ч. . (I.2I) .
Порядок слагаемых здесь учитывается, так что уравнение
зс«*осг=1
имеет два различных решения - ( 0,1 ) и ( 1,0 ). Еслих^^,
., то вектор 0*1х„) называется положительным
решением уравнения (I.2I). Очевидно, что даожество неотрица-
тельных решений уравнения <1.21) совпадает с , а мно-
жество положительных решений является его подмножеством.
Чтобы вывести формулу для |Ли,11 нам потребуется рас-
смотреть еще одну схему, которая имеет к тому же и самостоя-
тельный интерес.
4.1.5. Схемы размещения 'z шаров по tv. ящикам. В самом
начале курса мы условились, что природа элементарных событий
не играет роли. Воспользуемся этим и приведем описание четы-
рех различных типов Y -выборок из Л» 1f в терми-
нах размещения % шаров (частиц) по п. различимым ящикам
(ячейкам). Другое эквивалентное описание возможно в терминах
классификации объектов по п_ признакам.
Примем, что все ящики различимы и неупбрядочены, напри-
мер, выкрашены каждый в свой цвет и помечены символами
at, • ••, в произвольном порядке. Эксперимент
*(Н?\ , Нч?) состоит в последовательном размещении <г-
шаров по и- ящикам при соблюдении некоторых правил размещения
(беэ ограничения числа шаров в одном ящике или с ограничением).
* сйособа записи результатов размещения (упорядоченный или не-
упорядоченный) . Будем рассматривать попадание с. -го шара в
_ящик_ как элементарный исход Qt эксперимента . Напри-
мер, элементарный исход четырех последователь-
ных бросаний упорадочемшх шаров означает, что первый шар по-
Лтйетийящик, второй и третий - в первый .
второй ящик. <4|
Покажем, что эксперимент £ * (G”,... всходом
которого служит Ч. -выборка ив .Ли экспе-
римент исходом которого служит размещение Т
79
паров по ft ящикам, помеченным символами Лх ,,. . , On »
совпадают с точностью до названий, если договориться о coot- J
ветствии правил их выполнения (см.рис.I.I).
/л _ _ \ й i й И
Рис. I.I |
Цусть выбору с возвращением соответствует случай, когда |
в ящике может размещаться любое число шаров, а выбору без воэ-|
вращения - не более одного. Примем, что размещение шаров про-J
изводится случайным образом, то есть при отсутствии ограниче-1
ний на Число шаров в ящике,вероятность шару попасть в любой Г
ящик при каждом бросании равна , а при наличии ограниче-f
ний - вероятность шару при к. -м бросании попасть в любой из
n-tc+d свободных ящиков равна
—i, к - Гг , X« п.
п-к+4
Цусть упорядоченной ъ -выборке соответствует размещение |
1 упорядоченных шаров, а неупорядоченной х -выборке - раз-4
мещение 'Z неразличимых (тождественных) шаров. Обозначим те-|
перь упорядоченный выбор -х элементов иэ и. с возвращением |
через (G., а без возвращения - через ; неупорядоченный!
выбор х элементов из без возвращения - через , с|
возвращением - через , а соответствующие эксперименты j
размещения t шаров по п. ящикам обозначим 1Н^-\ 1Н°,>1НО) и j
In^. Тогда очевидно, что пространство элементарных исходов
kQ,n,x эксперимента совпадает с пространством элемен-
тарных и равновероятных исходов эксперимента IHe> , .
Таким образом, нами доказана следующая
Лемма. Вероятностные модели для х -выборки типа
(эксперимент <б/а)) и для размещения
X. шаров по п. ящикам (эксперимент 1Н<Л) совпадают
4.1.6. Вывод формулы для ISIm.iI и следствий из
I
I.
d
типа
при
из
I
Пост
нее.
4 = 1,2,3 нами уже рассмотрены продолжим рассмо^
кольну схемы
80
рение схемы G. , используя эквивалентную схему IH . Эк-
сперимент |Ц14’ состоит в случайном размещении % неразли-
чимых (тождественных) паров по п. различимым и произвольно
упорядоченным ящикам без ограничения числа па-
ров в ящике , к»i/i , так что выполняется (I.I8) и поэто-
му неупорядоченную (Ti,..,,* 4)-выборку из Л с возвращением
можно называть также (7и')-размещением Ч неразличима
шаров по ящикам Ан. •
Теорема 1.3. Число различима размещений ч неразличимых
паров по п. произвольно упорядоченным ящикам совпадает с чис-
лом неотрицательных решений уравнения <1.21) с учетом порядка
слагаемых и равно
/»з+х-1\ /и + г-1\
| Sh.tI'V Ч /’у ’ (1*22)
включая Qi'l) положительных решений при *t^rt .
Доказательство. Представим ящики как промежутки между
вертикальными черточками, а шары условимся обозначать
звездочками и расположим звездочки и черточки вперемежку на
одной горизонтальной линии. Крайнюю слева и крайнюю справа
черточки фиксируем (на рис. 1.2 они проведены жирно), а осталь-
ные п+г-1 черточек к звездочек можно расположить в произволь-
ном порядке. На рис. 1.2 представлено два размещения 1=4 ша-
ров по и_= 3 ящикам
а) б)
I* * I I* *1 I * I** I * I
li-г ,чг-о ,1Э=2 г,-2,тзша
Рис. 1.2
Каждое размещение является решением уравнения (I.2I), а каедое
решение уравнения (I.2I) можно представить в виде размещения.
Число размещений «равно числу способов выбора положения %
звездочек (или И.-1 черточек) из n.+i-i возможных* то есть
• \ и (1.22) доказано.
Для доказательства второго утверждения заметим, что усло-
вие >0, ... , Тп > о означает отсутствие пустых ящи-
ков, то есть каждая из п.-1 черточек должна быть заключена
I
81
ttqmy двумя звездочками. Всего между * звездочками имеется
t-/ промежутков, в которых л.-а черточек при г^п. моя-*
ио разместить ) способами. 4
Пример 1.6. Перечислим все неупорядоченные выборки объе-
ма 4 с возвращением из или, что эквивалентно,
все + 4 ~ ^) "15 способов размещения четырех неупорядо-
ченных ыаров по ящикам . В строке $ таблицы 1.1
приводится элеменг с*У$*'е и соответствующий ецу элемент
• St,,ч » * такжв число . , смысл ко-
торого будет объяснен неьного позднее. *•
Таблица I.I
6 <0 Ъ Zi ъ 4?
U.*a! 1?.
I [«•,«*. °*. 4 0 0 I
2 ( d, , Q,, Й», С1»1 0 4 0 I
3 Г«*. а», ал.а»] 0 0 4 I
4 С л», Qt, , а,] 3 I 0 4
6 [ , а», съ) I 3 0 4
6 С а«. 3 0 I 4 '
7 С Qi, Л», ai, 4*1 I 0 3 4
8 1 о<. Дж. (<jl 0 3 I 4
9 [а». ai. 4*. я*7 0 3 4
10 f щ 2 2 0 6
II С л», Qi, aj,6jJ 2 0 2 6
12 [ а» |й|, Qj.Qi] 0 2 2 6
13 [Ai, Qi, Qi, 2 I I 12
14 [ *i, а», а»,&»1 I 2 I 12
IS t а», а», а«,а»1 I I 2 12
81 ш 34
Состояния 13 15 представляют собой размещения
беэ пустых ящиков. Л
Пример 1.6. а) Семь пирожных четырех типов (наполеон, эк-
лер, песочное и фруктовое) йожно выбрать/****-*) т/20 спо-
собами , л.«А ) , * к •
б) Число различимых исходов при одновременном бросании 'с
неразличимых костей ( n=t) равно: *
62
к
а если кости различимы, то 6 . При ч«2 эти числа соответ-
ственно равны 21 и 36.
в) Если ,сСн) - аналитическая функция от п. пе-
ременных, то ее частные производные порядка х
не зависят от порядка дифференцирования, а зависй,х)1ЙшьготЛ"
-числа дифференцирований по каждому переменному.
Здесь каждое переменное играет роль ящика,Z - число жаров,
так что число различных частиц производных порядка х равно
("?•') •
Так, у аналитической функции трех переменных число различных
частных производных до пятого порядка включительно соответ г-
венно равно: 3, 6, 10, 15, 21. Л
4.1.7. Связь между тожествами Л п,х и . Устано-
вим теперь связь между множествами и Л.«,х . Назовем
элементы и множества , то есть две упорядо-
ченные % -выборки с возвращением, эквивалентными, если они
имеют одинаковый состав компонент и различаются лишь их распо-
ложением. Все элементы тожества “Л* с одинаковым
составом компонент образуют класс эквивалентности
• (Это тожество не следует путать с ранее введен-
ным числом размещений ). х
Определение 1.2. Каждый элемент класса назо-
вем перестановкой X элементов состава х4(.„ с повторе-
ниями, а число элементов этого класса обозначим
G41...(x3’= I . п,23>
Очевидно, что существует взашяо-однозначное соответствие
Л',.,;. .... (1'24)
между элементами множеств и ) (^) э
j ШД :V'°- ’
так что число различных классов равно:
^бд‘Л)|-1л“1 = 15и4иТ) (I-»’
Поэтому разлагается на + j непересекающихся клас-
сов эквивалентности:
83
Л Л’ = 2 ЛС.Л. «•“»
* Ct»,...Д.ЭС&'Л г х. \
Поскольку классU содержит )эквивалентных
элемента шожества1’" а всего'* jl содержит и?" эле-
ментов, то / х \ t
Введем тепе; • формулу для (х.
Теорема 1.4. Число перестановок х различима элемен-
тов, разбитых на п. произвольно упорядоченных групп 1,2,...,п
сост зд , где а
на I местах без учета порядка элементов внутри группы,равно
и не зависит от фиксированного упорядочения групп 1,2,...,и..
Доказательство. Элементы первой группы можно расположить
на Ос местах ( способами, элементы второй группы нас-х*
оставшихся свободными местах -('i’*) способами, элементы
третьей группы на ч_ т с оставшихся свободными местах -
(J” тг‘) способами, и т.д., элементы си>С -й группы на
г- оставшихся свободными местах - (г*х’Л|*)
способами, а элементы последней группы на х ос-
тавшихся свободными местах - ( V.) • 1 способом. Общее
число различимых расположений *г элементов на х местах
равно произведение числа способов расположения элементов каж-
Эта формула справедлива и при n.* I, так как по определение
Следствие I. Если эс«,... - любые действительные или
комплексные числа, то
В4
Доказательство. Раскрывая скобки в произведении Ь суш
(Х4* • можно получить х*'...» если и только
если в Тк. суммах выбрать в качестве множителей слагаемое
Хк , tc’ i/L • Такой выбор осуществляется 7^ спосо- 1
бами, а всего слагаемых в (1.29) столько, сколькими способами
натуральное число t можно разбить на п. натуральных неот-
рицательных чисел с учетом порядка слагаемых.
Полагая в (1.29) ... = a‘rt«-d . получим
Следствие 2.
(1.30)
Следствие 3. Сочетание из гъ по t элементов моокно рас-
сматривать как элемент класса эквивалентности » то
есть как перестановку гъ элементов состава с пов-
торениями:
I i Л L/ П *•! -в/*Ч
I z|(n-t}| ' d’3I)
Действительно, каждая неупорядоченная 7. -выборка без
возвращения разбивает п. различимых элементов на две группы,,
а порядок элементов внутри группы не учитывается.'
Следствие 4. Размещения из и. элементов по Ъ можно
рассматривать как элемент класса эквивалентности j(t ,
то есть как перестановку п. элементов состава о
повторениями: / и \ I •
...• »•“>
Действительно, каждая упорядоченная t -выборка без воз-
вращения разбивает ц, различимых элементов на группу:'
% групп по одному выбранному элементу каждая я одна группа
из оставшихся, вне выборки и.-г. элементов. Л
Пример 1.5 (окончание). В последнем столбце таблицы I.I
приводится число эквивалентных элементов множества ,
содержащихся в классе х и проверяется условие
s Гл* 1-3* л
г*,гч'г*‘ ° • *
Пример 1.7. а) Четыре буквы, составляющие слово "окно", •'
можно переставить
. 85
4 !
2! I! II
= 12
способами.
б) Девять букв, составляющих слово "математика”, можно |
переставить
9! - I5I20
3! 2! 2! I! II
способами.
в) Восемь студентов по трем комнатам - одноместной, трех-;'
местной и четырехместной можно расселить
I ® ] 8! рал
V’ 3« 4) I! 3! 4!
способами. s
г) Четверо юношей могут пригласить танцевать четырех из <
шести девушек ;
I | ж 360 >
{l,1,1,1,2/ JJ и 1} и 21
способами. i
д) Шесть упорядоченных шаров можно разместить по трем j
упорядоченным ящикам так, чтобы в каждый ящик попало по два |
шара, |
6 At .
ооо « -.<ч ж 90 способами . jt.’ j
2» 21 21 |
Пример 1.8. Колоду из 52 карт можно сдать на руки четырем
игрокам I
-----5.2i-..-.... ж 5,36 • IO28 j
(iso4 1
способами. |
При этом число способов к&адоку «в игроков получить по (
одноцу тузу равно произведению 4? способов распределения четы-
рех тузов по однощу в руки каждого из игроков на общее число ,
способов распределения оставшихся 48 карт i
(I2I)4 >
мевду четырьмя игроками. Считая все способы раздачи карт рав-
новероятными, получим, что вероятность каждому игроку полу-
чить по одному тузу равна
4
86 ‘ 1
$
24 «Lid. . 0.105 . a
521
Пример 1.9. Цусть одна игральная кость бросается 12 раз.
подряд (или 12 различимых игральных костей бросается одновре-
менно). Тогда У = <1,2..б}, Z=I2,J2£Le^U и об- ’
цее число различимых и равновероятных исходов равно
г МГ -612.
Событие ^2.2,...,г , состоящее в том, что каждая грань выпада-
ет дважды, может быть осуществлено
12!
(2!)6
способами. Поэтому
рЮ
121— б"12 - 0,00344 .
26
Пример 1.10. Рассмотрим функцию :X"*Y ,^e|n ,IYl»a.
Тогда общее число всех различных функций равно л/” , а
число всех взаимно однозначных функций у" равно (п}т ,
Для доказательства запишем функцию у' в виде
Тогда общее число функций равно - числу упорядочен-
ных л! -выборок с возвращением из -множества У или, что
эквивалентно, размещению w различимых шаров по п. различи-
мым ящикам без ограничения числа шаров в одном ящике. Число
всех взаимно однозначных функций у равно - числу упо-
рядоченных /п -выборок без возвращения из У или, что экви-
валентно, размещению т ^якчюаа. шаров пр п. различимых
ящикам, причем в каждом ящике не может быть более одного шара.
4.1.8. Цультишожества. Во многих комбинаторных задачах '
наряду с множеством ыЛ У#/,Л., «<#,<?<»/удобно рассмотреть поро-
жденное им мультимножество (множество с повторениямиХ^Ч»»7«»»),
в котором элемент встречается раз,с^^, . Обоз-
начим ... «и
мультимножество, порожденное множеством Л ,
87
jv4 -S S а4 зе; ---------- (1.34)
' 4 •?
мощность (число элементов) dfa ••'/*") . Заметим, что порядок
элементов мультимножества несуществен, а играет роль лишь
кратность o(i элемента Q; , «//г . Например, если./--/^
то .
<а‘ С, в>, еЫе,- ,«, в,“]—• ,
H0Rй/< в, 6,eJ* fa е] . хотя/а,а, l&eeh.
Определение 1.3. Назовем.,,/>«} подмножеством
Jfai,...,0b) . если
/э < а j >> (1.35)
С'*/»,' <?о< t /.•J,'!
Например,Я, . В силу (1.35) и прин-
ципа уважения, общее число подмножеств у ..y«4.) состав-
ляет ’ • . . н
= П (1Э6)
' Если<✓<»...1 и иэ (1.36) сле-
дует ранее доказанная формула /2*/* 2lJI . ;
Отметим теперь, что неупорядоченная <z -выборка с возвра-
щением иэ генеральной совокупности «У- fa-., я*} является
мультшюожеством ^^«,..,,0/.,) мощности </. = £
Упражнение I.I а) Покажите, ч^о число всех упорядоченных 1
. способов записи элементов мультимножества мощнос-
ти об» X совпадает с числом упорядоченных z -выборок соста- '
из Л с возвращением.
б) Покажите, что число различных мультимножеств 7«н)
мощности о/. -1- совпадает с числом упорядоченных -выборок
из с возвращением.
в) Покажите, что © множество всех неупор^ц^оченных •*выбО“
рок,0ж/»>< t , из <А с возвращением можно ввести частичный
порядок по включение.
f) Покажите, что последовательно получаете неупорядоченные
-выборки, /*«4^ »• с возвращением образуют монотонно воз-
растающую последовательность.
88
4.2. Биномиальные коэффициенты.
4.2.1. В курсе Анализа доказывается, что функцию
для любого целого можно разложить в ряд Тейлора
wr-gny, <2.1>
сходящийся при . Этот ряд и его коэффициенты
> '‘•‘’-‘г.- (2-2>
называется биномиалышми. Дм упроцвния записи символ (‘с)
удобно доопределить для всех целых t , положив
(г)~° . г = • <2-3'
Если<Хб=+п. , где п, - натуральное число, то в силу
(п\ = О , 'г» п-+2 ,...
коэффициенты при , t= , . <. , o^f/asnuncn в нуль,
так что биномиальный ряд сводится к сумме своих ntl первых
членов: и
21 (£№> (2.4)
t=o.
Форцула (2.4) имеет место при |у1<«» и ее часто называют
формулой Ньютона для бинома.
Если 01»-п. , то
(-п-г<6даСн.г-;ка6^,и.1-А^< (2.5>
• W • ’ ** *
и биномиальный ряд можно записать в виде
,^^.2.... (2.6)
Это разложение часто используется в теории вероятностей.
Биномиальные коэффициенты обладают многими интересными
свойствами, часть которых мы приведем в этом разделе, а часть
вынесем в упражнения.
Лемма 2.1. Для любых действительных ,/> и любого це-
лого числа rv
(л+&\ - (2.7)
IV Г ЙЧ Д'”<Р
12-1390
89
Для доказательства применим формулу (2.1) к каждому из бино-
мов равенства
, <г-8)
а затем сравним коэффициенты при £ Л в обеих частях равенст-
ва.
4.2.2. Биномиальные коэффициенты (2.2) в том частном слу
чае, когда п. , где гь - натуральное число, совпадают с
числом сочетаний из л. элементов по :
(?' . , г.гп <2.2.)
В задачах комбинаторного характера наряду с общими свойствами
биномиальных коэффициентов используются и специальные свой-
ства , связанные с целочисленностью rv . Приведем не-
которые из них.
Лемма 2.2. Число сочетаний из п, элементов по 't, обла-
дает свойством симметрии.
Доказательство сразу следует из (2.2а). Второй комбина-
торный вывод этого свойства состоите том, что каждая неупо-
рядоченная 2 -выборка без возвращения определяет дополнитель
ную (П-1)- выборку из но включенных в первую выборку элемен-
тов шожества uf • 1 /. Поэтому
I 5.11 - | Д , *»
что совпадает е (2.9).
В частности,
/И\ I П\ л I "i. I " \.1
(о)’ (и)’1 ’ U' '"-1 > 1 • Л
Следствие.
UT*(a,CV п-°^- <гл°’
Для доказательства нуимо в формуле (2.7) положить л а
затем использовать (2.9).
Приведем теперь в качестве еще одного примера использова
90
, получим
и
(2.12)
ния теории неупорядоченных -выборок без возвращения пря-
мой вывод формулы Ньютона для бинома.
Лемма 2.3. Для любого целого о.
27 ,‘aW<~ • (2.П)
Доказательство. Очевидно, что
/**#)(**Сх+ = 27 Xх ^и“г
ж р V
IX РАЗ
Здесь ь%. - число способов, которыми можно выбрать х в ка-
честве 't, из »х сотожителей. Это можно сделать С^Уг. спо-
собами для упорядоченной выборки беэ возвращения, и (I-*4 -
для неупорядоченной.
Полагая в (2.II)
Следствие I.
Дадим теперь простую комбинаторную интерпретацию этой
формулы. Цусть w/- 1а*, ... . Тогда -тожество
всех подмножеств множества,^
Следствие 2. Если Lit - система всех подто-
жеств н_- множества - тожество неупорядоченных
•и -выборок из *беэ возвращения, , то
z*= (JUtU)= , <2ЛЗ)
|2Л)- г.л <гЛ4>
Доказательство. Первая из этих форцул вытекает из опре-
деления 24 и равенства
а вторая - из равенства ъ >
соотношения - . ч
1^1-гЮ
Т»О
и формулы (2.12). 4}
Заметим теперь, что каждая ? -выборка делит множество~А
на две части - из! и из и.-х элементов. Поэтому (2.12) можно
также рассматривать как число способов разбиения п, различи-
91
мых элементов на две группы, без учета порядка элементов в
каждой группе, когда объем элементов первой группы может иметь
любое значение Ч«о,П. .
Лемма 2.4.
UH X г ( t-J <2.15)
Для доказательства заметим, что тожество GO всех
1 -подмножеств и: а -тожества Л распадается на два непе-
ресекапцихся класса: классТ-подмножеств, которые
не содержат некоторый фиксированный элемент и класс
%- -п ^множеств* которые его содержат. Второй класс подучается
•” » «ели в каждое из его QX-О -подтожеств
добавить
Заметим, что (2.15) непосредственно следует иэ утвержде-
ния леммы 2.1.
Тождество (2.15) позволяет построить следующий треуголь-
ник Паскаля:
О
I
2
3
4
5
1
i i
4 2. 1
4 Ъ Ъ 1
4 Ь Ь Ч i
i r iO JO s t
Здесь строка n. состоит иэ чисел/5)»(?). •••(«) и в силу
(2.15), каждое иэ них, хроме равных единице крайних чисел,
является суммой двух находящихся над ним чисел из предыдущей
строки п-1 .
Упражнение 2.1. а) Докажите, что при п*2.
(о) < ( ?) > (гимнУ ••’> ( и ) • (г-1б)
Для нецелого X здесь ixj - ближайшее снизу целое число, а
f)cl - ближайшее сверху целое число. Если Х -целое, то
L*J»ГХ1» X • Например,L2.5J-2 'Г2.5|«3;1г)»Г21*2 .
Указание. Исследуйте отношение (£)/(/?,) *
« .
•’ (гс)'22
02 *»О »»О
W"1
г> ^в(гьгм ,
д) 3? 2*"*
•с»2
Указание. В г) и д) продифференцировать (2.4)
4.3. Некоторые приложения к статистической физике.
Каждая из четырех ранее рассмотренных моделей размещения
г. частиц (шаров) по п. ячейкам (ящикам) имеет применение в
статистической физике.
Рассмотрим физическую систему & , состоящую из очень
большого числа х частиц одинаковой природы (электроны, про-
тоны, фотоны, мезоны, нейтроны и т.д.). Каждая из -частиц
может находиться в одном из п. микроскопических состояний
(или ячеек), роль которых могут играть, например, энергети-
ческие уровни системы. Тогда (можеством элементарных событий
(микросостояний) системы 3 • как и в модели IH , будет£чд,
а для описания макросостояния служит вектор заполнениям,.-,^,
где - число частиц в ячейке к. , с» 1,2,..., и.. Поэтому
множество макросостояний представляет собой разбиение Лнд на
классы эквивалентных микросостояний. Для вычисления вероят-
ностей макросостояний необходимо сделать, как и в модели Н ,
дополнительные предположения относительно различимости частиц
и наличия ограничений на число частиц в одной ячейке.
Согласно принципу запрета Паули, в. любой ячейке может
находиться не более одной частицы. Если частицы неразличимы и
удовлетворяют принципу Паули, то присвоим рассматриваемой сис-
теме S » по аналогии с моделью JH , индекс 3, если же не '
удовлетворяют - индекс 4. В случае физики говорят, что -
частицы обладают статистикой Ферми - Дирака (электроны, про-
тоны, нейтроны и другие частицы с половинным значением "спина”),
а в случае статистикой Бозе-Эйнштейна (фотоны, мезоны и
другие частицы в целыми значениями,"спина").
Если частицы различимы и не удовлетворяют принципу Паули,
то присвоим системе S индекс I, а если удовлетворяют - ин-
декс 2. В случав физики говорят, что частицы обладают
статистикой Максвелла - Больцмана. Хотя фактически частицы
являются неразличимыми, статистика Максвелла - Больцмана нахо-
дит применение в классической теории газов.и, кроме того,, при
некоторых соотношениях параметров она может рассматриваться
как аппроксимация статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.
Случай непосредственной физической интерпретации не
имеет.
Таким образом, между моделями выборок, размещения шаров
по ящикам и распределения физических частиц по ячейкам суще-
ствует взаимно-однозначное соответствие:
Поскольку модели £отличаются от моделей |Н лишь терми-
нологией, то в следующей таблице отражено соответствие между
моделями и ^<к>.
Таблица 3.1
' Число размещений частиц по *
1различимым и неупорядоченным ячейкам
Размещение Z * Частицы различимы * Частицы *
частиц по п. ' и упорядочены ' неразличимы'
ячейкам 1 1 !
Без ограничений] |Лпа |ж П? I 1’ СЧ'1) |С воэвраще-
। Статистика Макс- । Статистика [Нием
, велла-Больцмана . । Бозе-Эйн- ।
« ... । штейна ।
Не более одной !. . <*> | z . ' !|Лид1ж (г) !Без возвра-
частицы в ячейке • а"*,г ’ L /г ! Статистика !щения
! ’ Ферми-Дирака!
' Упорядоченный ' Неупорядо- ' г. -выборка
* выбор ' ченный выбор'
! I ’ । Число *2 -выборок из -.
! !
Пример 3.1. При ып для^мддой иэ четырех рассмотрен-
ных выше моделей вероятности Р** ^С) и двух следую-
щих событий С и 'Ъ :
I) в определенных Z ячейках из П. окажется по одной
частице^
2) в каких-то Ъ ячейках ив и- окажется по одной части-
це.
а) В статистике Максвелла-Больцмана из пЛ равновероят-
ных элементарных исходов благоприятным для события С будут
исходов, а для - в Р®13 больше: ,
• <3.1)
б) В статистике Бозе-Эйнштейна из С "х'*) равнове-
роятных элементарных исходов благоприятными для события С бу-
дет один исход, а для *2) - в I*) больше:
ПоГГТ, Р^)-(?Хвхг-‘Л (32) '
= н’би-О» (2И-П! _ / гп-П/гиЧГ1
~ (и-’t)'.62п.-0‘ ’ V «-гл >ъ / .
в) В статистике Ферми-Дирака из равновероятных эле-
ментарных исходов благоприятным для события С tyf&t один
исход, а для *2) - все:
Р<и(с)-(г)”* , P»d . <3.3)
г) Для второй модели иэ^г)?! равновероятных элементар-
ных исходов благоприятными для события С будет 11 , а для
<30 - все исходы:
P‘“(CV С?)" , <3.4)
Как и следовало ожидать, для всех моделей
- ("№"№ . > <з-5>
причем для третьей и второй моделей вероятности событий Q. и
<70 соответственно совпадают.
Пример 3.2. Для наглядной иллюстрации предыдущего приме-
ра в случае и - з , г »2 приведем множества JZ1%’ для каж-
дой из четырех моделей, ц*« 1,2,3,4. Для этого перенумеруем
ячейки числами 1,2,3; пометим частицы, если они различимы,
символами Ли примем, что событие Q состоит в том, что в
ячейках I и 2 находится по одной частице, а событие Ф - что .
в каких-нибудь двух ячейках находится по одной частице.
а) В случае Максвелла-Больцмана состоит из 3>г« 9
95
равновероятных элементарных исходов (см. таблицу 3.2).
Таблица 3.2
”Г 1_ I “Г t- 2 -Г" 1 3 ”Т 1 Ъ
I ! CL ! € i 1 I I 0
2 I I ! cv ? ! I I 0
3 1 А. 1 ! <> 1 I 0 I
4 1 1 I О, 1 I 0 I
5 ! J а ! €> ! 0 I I
6 Г ! Ъ ! сь ! 0 I I
7 ? ’ ! 1 1 2 0 0
8 I 1 1 ! 0 2 0
9 ! ! • I a.Jb I 0 0 2
Из.этих девяти исходов событию С благоприятны исходы I
и 2, а событию D - исхода с первого по шестой включительно,
Поэтому
что согласуется с формулами (3.1) и (3.5). .
б) в случае Бозе-Эйнштейнасостоит из (3 +| ’/* 6
равновероятных элементарных исходов (см. таблицу 3.3).
4 Таблица 3.3
I ? I I О
2 ? I О I
3 ! 0 11
4 1 2 0 0
а ’ ' ого
О ’ 0 0 2
..U*.Ж».------
O<V) .
является разбиением Д43,>г на классы эквивалентности,
причем первый, второй и третий элементарные исходы Jlf.V со-
Держат по —=1— > 2 элементарных исхода tsl , а чет-
11 I! О!
вертый, пятый и шестой - по-----—----- = 1 исходу. Тем не ме-
2! 01 0!
96
^9)
нее, все исхода Лъл ® статистике Бозе-Эйнштейна считаются
равновероятными. Так как событию С благоприятен один первый
исход, а событию О - исхода с первого по третий, то
что согласуется с формулами (3.2) и (3.5).
в) В случае Ферми-Дирака ^2*2 л состоит 3 равно-
вероятных элементарных исходов (см. таблицу 3.4).
Таблица 3 4
!
। Т» 'll
I ’ I I О
2 ’ I О I
3 1 О I I
---------1----------------------------
Событию С благоприятен один первый исход, а событию 'Z) -
все три исхода:
/ Pft> (ъ) = i ,
что согласуется с формулами (3.3) и (3.5).
г) Для второй модели lSIсостоит иэ(з)г*& равновероят-
ных элементарных исходов (см. таблицу 3.5). __
Таблица 3.5
I • I 1 _ 1 1 2 1 1 1 1 3 1 ..... ! -4 Та. *3
I ! <х 1 1 1 1 f I I 0
2 ! 1 а- 1 1 ! I. I 0
3 ! О- I 1 1 1 6 1 I 0 I
4 ! €> I 1 1 1 сс ! I 0 I
5 ! 1 1 А, 1 1 ъ I 0 I I
6 ! 1 I £ 1 1 1 0 I I
Событию О благоприятны первый и второй исхода, а собы-
тию - все шесть исходов:
что согласуется с формулами (3.4) и (3.5).
Рассмотренные примеры показывают, насколько важно точно
определять, какие события считаются в задаче равновероятными.
4.4. Схемы Бернулли и полиномиальная
4.4.1. Схема и распределение Бернулли. Рассмотрим експе-
риментб,ДУ с Д®У*« исходами, которые обозначим 0 и
I: Обычно элементарное событие {1^ называют успе-
хом । соответствующую вероятность обозначают ,{ 0}
называют неудачей, Р,(о)« i-/» » . Здесь
^|Гг’»2Л1/0,и вероятностной моделью яв-
ляется т.е. по существу и число/а, .
Заметим, что
. (4.1)
Последовательность (£ * G? из п. независимых и идентич-
ных экспериментовQt называется схемой Бернулли. Эта схема
часто встречается на практике. Например, а) несимметричная мо-
нета с подбрасывается /г раз и успехом при каждом
подбрасывании считается выпадение герба; б) из урны, содержа- '
щей белые и красные пары, причем доля белых паров составляет
р , производится выборка с возвращением объема п. , причем
успехом считается появление белого пара и т.д.
В соответствии с предыдущим разделом 3.5 вероятностной
моделью для^-б/ является прямое произведение
<*SZ,P> 4 «•••’< , РаХ-.хР» >
где <О.» «о, / / г-/7Н"/
Здесь ^40,- - число успехов, a/и- число неудач в
и. ексН^иментах. Цусть ‘т - событие,
состоящее в том, что при п. независимых экспериментах про-
изошло ровно т успехов. Обозначим .
Теорема 4.1. В схеме Бернулли
РоОО » (^РЧИ'” , • (4,3’
9В
Доказательство.
PhC^V 22 M «Pj 1М-(ж)М .
CO £ Ca>6 » »
Здесь («) , поскольку m единиц нап. местах можно
разместить (2.) способами.
Очевидно, что выполняется условие нормировки
", и
22 ft(**<)- Ср**}) в < (4.4)
Р*М т»о,л называется распределением Бернулли или бино-
миальным и часто обозначается 6\(и,р) . Наиболее вероятным
значением или модой биномиального распределения называется
число успехов т* , определяемое из условия
Щсис ft (m) - Р„ С t-и*)
Обозначим через целую часть числа х так что, например,
L3.5J - 3, L3J 3. Чтобы исследовать Р«(’т') как функцию
от дискретного аргумента m , рассмотрим при отноше-
^'.Си-»иУ. И1
(4.6)
ние
ftM - м-и< + 4
~ -= • -41 х
m < (." * р )
m » (u-U)p ,
Следовательно, ft6*») возрастает при переходе от к m ,
еслит<(ич, а затем убывает, если ги><и+1‘)^ . (см. рис.
4.1), Когда (и+^р - нецелое, r>i*-L(4+i)pJ -единственная
*(*'*Ар б) Uh+fiPJ-Ch^p
о» 4 «ЯП m*U**OfU
В) L я О
iR.(n')
• гп
п
......................
1 «Н <п?ч1^р ntn П
Г) ЦИН)Р J * П.
О
1
t * у
*U1 Рис.
П.
99
мода распределения (рис. 4.1а), а если - целое, то
Wi-flp-y, t (’*'*) = РД»**) ,
так что распределение имеет две моды (рис. 4.16). Таким обра-
зом, нами доказана следующая
Теорема 4.2. Модой биномиального распределения является
* jLnp ’ вСЛИ ” нецелое число
, если пр*р - целое число
I пр* р
Если т*<о (рис.4.1 в), то наиболее вероятным будет пол-
ное отсутствие успехов, а если гл" (рис. 4.1г), то наибо-
лее вероятным будет полное отсутствие неудач.
Пример 4.1. Игральную кость бросают 20 раз. Каково наибо-
лее вероятное число выпадений "шестерки"?
Здесь n.«20 , ,Lnpj*i . Поэтому наиболее вероят-
ным числом выпадений "шестерки" будет 3, причем
4.4.2. Полиномиальное распределение. Обобщением биноми-
ального является полиномиальное распределение, когда в каждом
иэ п. независимых идентичных экспериментов возможно 1^2 ис-
хода. Здесь л 4
В соответствии с разделом 3.5 и аналогично случаю
вероятностной моделью для рассматриваемого эксперимента G*Q*
является прямое произведение
,Р*Ш “?<>,
где
= { (ц)<, , u>,.): cOj . vT, j • ОТ }
Далее, для У сие Л» ч
».П ,2^-Л , (4.7)
4.1« J»i
где ну - частота появления исхода J в GJ-ftvj,...,u>,_) ,
]»1~Г • Пусть &('*>»,,../*%') - событие, состоящее в том, что
100
исход J появился раз в п. экспериментах, а
Р„(*ч,..,,гч4) - вероятность этого собы-
тия.
Теорема 4.3. В полиномиальной схеме
Р"(т......Г"‘"?"'• ' М’8)
Доказательство:
РДп' fW-27 Пр?-1к«..-,«Л-.ЬрГ/
Здесь
I «>(->.. ,>"д| -7 ~
полиномиальный коэффициент, равный числу способов размещения
на и. местах ft i единиц, тг двоек и т.д. Очевидно, что вы-
полняется условие нормировки
2Z d . (4-9)
Полагая в (4.8) 1= г , д.д получим биноми-
альное распределение (4.3). • Г / г
Пример 4.2. Колода из 52 карт сдается на руки четырем
игрокам по 13 карт каждому. Найти вероятность события Д ,
состоящего в том, что каждый игрок подучит по одному тузу.
Решение. Здесь число возможных способов раздачи карт сос-
тавляет ^2 Jtu’f. Событие А произойдет,-если 4 туза распре-
делить между игроками произвольно 4! способами, а оставшиеся
48 карт распределить по 12 между четырьмя игроками также про- -
невольно. Поэтому
p/Д).-11mL . ШОН.ам . .
i J (12)? ^2} А
4.4.3. Отрицательно-биномиальное распределение. С бино-
миальным распределением связано отрицательно-биномиальное или
распределение Паскаля. Цусть независимые эксперимента Бернул-
ли с вероятностью успеха р в каждом производятся до дости-
жения п. успехов. Обозначим через А к, и* к состояние, состоя-.
Цее из /2 единиц (успехов) и < нулей (неудач), причем на пос-
леднем / мосте находится единица,- а остальные п-К
* глт
единиц размещены произвольно на предшествующих И + »С-£ мес-4
тах, что можйо сделать С****”*) способами. Т.к. I
кавдое элементарное событие из AM,n*k. имеет вероятность
, то
ybfl,И+к):=Р(Д= | ДИ(„.к ||»V“Cл-1 <4'10>
Заметим, что
[ К J к.! к I <l 11 ' t Л
Поэтому (4.10) можно записать в виде
<4-10а>.
откуда .
Х.-4? *=£> '
Распределение (4.10) или (4.10а) называют отрицательно-
биномиальным и часто обозначают £и(р) • ^Ри Л'у это 7
распределение превращается в геометрическое
(jueo/rjQ5) - VB/ С^р^)
Здесь
(4.II)
- вероятность того, что первый успех произойдет в эксперимен-
те ts+i после * неудач.
4.4.4. Гипергеометрическое распределение. В комбинаторике
часто используется такая схема. Генеральная совокупность со- 4
держит п. шаров, - белых и /2*»/?-^ - красных. Иэ нее
производится неупорядоченная выборка беэ возвращения объема
/п , в которой оказывается /»» белых - красных
шаров. . .
В соответствии с разделом 4.1.8 можно считать, что гене-'
ральной совокупностью является мультимножество
J (4.12) :
порожденное множеством , а любая ^-выборка без воэ*
102 ' , i
вращения имеет вид
О*Ь(т-пц}»^Е> \ к (4.13)
Цусть R,„, (гп.’‘»«) - вероятность того, что из генераль-
ной совокупности (4.12) извлечена «-и -выборка (4.13). Выб-
рать Н шаров из п. можно способами. При этом
белых шаров из п, белых можно выбрать способами, и для
кавдого из них существует еще способов выбора
красных шаров иэ и-а, красных, т.е. всего *£2ч)
способов получения выборки (4.13). Поэтому
(4.14) •
Совокупность вероятностей (4.14) называется гипергеометричес-
ким распределением, причем из нормированного условия следует,
что
Упражнение 4.1. Получите (4.15) из (2.7).
Гипергеометрическое распределение используется, напри-
мер, при выборочном контроле, когда партия из п изделий со-
держит неизвестное число щ бракованных. Если производится*
контрольная случайная выборка объема ии , в которой оказа-
лось Mi бракованных изделий, то (4.14) позволяет сделать не-
которые выводы относительно наиболее вероятного значения .
Подробнее этот вопрос рассматривается в курсе математической
статистики.
№ же воспользуемся гипергеометрическим распределением,
чтобы оценить вероятность выигрыша в "Спортлото 6 из 49". В-
этом случае и ж 49 , - число выигравших в рассматриваемом
тираже видов спорта, - число отмеченных до тиража вла-
дельцем билета видов спорта, и1< - число выигравших видов
спорта среди отмеченных, т.е. число правильно угаданных видов
спорта. Соответствующие вероятности содержатся в следующей
таблице. ~
] О I 1 j 2. ; Л | У « ! S.
е °-I I 2' fo~* I .•
ЮЗ
Теорема 4.4. Itycrb И и П, стремятся к бесконечности
так, чтоП</п-*-р> - доля белых шаров в генеральной совокуп-
ности, ожрха. . Тогда
Ри,и4 (141 <•"-Л—(4.16)
Для доказательства обозначим п»»м-и<» , и
заметим, что^а/п. - доля красных шаров в генераль-
ной совокупности. Разделим теперь числитель и знаменатель
формулы (4.14) для R,r.(«,*>») ва и.” и выполним следующие
очевидные преобразования:
Р ( ГП( ГИЛ х 141 • . ( И*)»Ч . (*аУмг И***
*'1 * С и)., I (С*
Таким образом, если и. велико, а объем м-выборки
небольшой, то практически нет разницы между г» -выборкой с
возвращением (распределение Бернулли с параметрами м^ь^т/п.)
и без возвращения .(гипергеометрическое распределение d пара-
метрами РЦП^П..)*'
Упражнение 4.2. Формулы (4.14) - (4.16) обобщите на слу-
чай, когда генеральная совокупность объема ц содержит
классов объектов, т.е. является цульти»«ожеством
ЧГ»4
порожденным тожеством .J* A»z,.<, /Э,} .
Указание. В этом случае любая ги -выборка без возвращения :
имеет вид
" л
ш . 1
1Г» 4
104 (
ГЛАВА 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕЗИ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
5 I Вводные замечания.
Цусть - случайное число успехов в схеме Бернулли с
параметрами п • р • Тогда
Р{ Зл- m} = R.(т) = —(I.I)
и при больших а вычисление биномиальных вероятностей труд-
но выполнить без калькулятора или компьютера. Кроме того фак-
ториалы очень быстро растут, a может быть очень ма-
лым. Поэтому нужно контролировать величину порядка сомножите-
лей, чтобы избежать появления машинной бесконечности и/или
машинного нуля Таблицы же для (II) будут очень объемными,
так как для каждой пары значений п , р нужно привести пИ
значение Рпб'п) , m»b,rt.
Далее, в приложениях чаще всего бывает нужна вероятность
того, что число успехов находится в некотором интервале:
• . (1.2)
гч,«т«па
Если ввести функцию распределения для случайной ве-
личины Sn
{О , ,
2Z R.6*0,O<x«n. , <1.3)
*П<х
1, х>п ,
то (1.2) можно записать в виде
Р4 * <2И < гиа | « Ri (г”г, р) - Fn (ш 4 э . (1.4)
Конечно, можно табулировать функцию , завися-
щую от трех параметров, но пользоваться ими из-за их объема
было бы очень неудобно, а обращаться в каждом частном случае
к калькулятору или компьютеру нецелесообразно. Заметим также,
что калькуляторы‘и компьютеры появились сравнительно недавно,
а задачи эти возникли еще в 18 веке и потребность как в их ре-
шении, так и в решении многих аналогичных задач была большой.
Поэтому полученные А.Тавром (1607-1754) и П.С.Лапласом (1749-
1827) локальная и интегральная предельные теоремы для оценки
соответственно (I.I) и (1.2) при больших п. и пр сыграли
огромную роль в развитии теории вероятностей, как теоретичес-
кую, так и прикладную.
f
•f'
5.2. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. |
Напомним сначала некоторые сведения из курса анализа
Определение 2.1. Числовые последовательности
и (Ь* называются (асимптотически) эквивалентными, если
(2.1)
<>rv
Для обозначения эквивалентности (си) и (ft*?) будем использо-
вать символ Q.,^ bn * Ири асимптотическом анализе функций и
пос довательностей удобно использовать также символы 0 ио .
Определение 2.2. Если для функций g , f : су-
ществуют конечная постоянная оо и интервал Ь<= ft* та-
кие, что
| 3 « С И
то будем говорить, что g и f одного порядка малости на Ь
и обозначать Off) .
Определение 2.3. Если для любого £>о существует та-
кой интервал fee. Й4 , что
IgOM < (О. Xtfe
то будем говорить, что g имеет на fe высший порядок малос-
ти по сравнению с / и обозначать .
Упражнение 2.1. а) Покажите, что справедливы следующие
соотношения:
OGHOCp- Off) о(р»о(р.оср
Offf off
0(0(.f)) . 0(f) off, off - ofj)
O(cf) = Off) o _ 0(p
Ofofj)) = off) o(OG>) = off)
OGHo(f).OG)
б) Покажите, что если последовательности (Лп) и(йа') эквива-
лентны, то при достаточно большом П. их члены связаны соотно-
106 4
i
пениями:
arv&vfd+Ofo*)] , ^>о
«а - Ъп. в , jb^O
б*-гЯп. , £>о
Пример 2-1. Пусть
CU = nJ. , jfert. ” \i2xrtH-J •> .
Здесь Of.nT’in. , поскольку в силу известной из Анализа формулы
Дж.Стирлинга (1692-1770)
I - - — гг-*б)н~ у
П.’ ’"'J2ДСП. • п. • Q. ч 0<6п.<-^^ (2.2)
Заметим, что форцулу (2.2) было бы правильнее называть форцу-
лой Муавра-Стирлинга, поскольку Цуавр внес большой вклад в ее
вывод.
Для дальнейшего, удобнее наряду с Sn. рассматривать
центрированное и нормированное число успехов
~ (2.3)
fl, I...
__
Здесь nf> называется средним значением, а - стан-
дартным отклонением 3k (см. раздел 9.3 ), так что 37Г пред-
ставляет собой отклонение от среднего значения, измерен-
ное в стандартных отклонениях.
Введем функцию ,
. «• -Зл. ___
2 , . (2.4)
которая называется нормальной или гауссовой плотностью и игра-
ет большую роль в теории вероятностей, (таблица значений при-
водится в приложении).Обозначая
JCm= , (2.6?
получим
Pt3a=^}’P{Sr=3Cm}= рп(л?) .
107
Если 0<р<4 и р не слишком близко к 0 или I, то с помощь»
формулы Стирлинга можно получить асимптотическую формулу для
R,fr>) при больших и. и таких г* . что X, ограничено.
Теорема 2.1. (локальная предельная теорема Цуавра-Лалла-
са). Если в схеме Бернулли уо фиксировано, , а />> с
ростом п. изменяется так, что
|3Cm|<C (2.6)
где С “ любое конечное фиксированное число, то равномерно
относительно m
(2.7)
№аче говоря, для лвбого фиксированного С , 0<С<*° и
любого £>о
и любом
существует такое , что при
€Г-О,С]
1.e<afe>S.<jf+e ,
1 (р(х^ Ь
(2.8)
Доказательство. Ив условия О< р< 1 следует, что
(SVfipp 0(ni), • из условия (2.5) следует, что
т=-цр ♦ -пр (б* • р(а') ,
так как X ограничено, аСГ-*«>о при (Здесь и далее
при выкладках будем обозначать через х ). С помощью фор-
мулы Стирлинга затеей теперь R,(m) в виде:
On-t'm-Gc
(2.10)
Здесь в сиду (2.2) и (2.9)
| »с)*0(п > .
поа)
равномерно относительно всех т таких, что |Х|< СИ .
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение '^5. и
108
(^)к • зда=ь
t^np^si^.se^^HOfn.4)] (2I2>
равномерно относительно всех <п таких, что |Х|< С . Далее,,
ЦтРП^)'"" fc а
• U (1 * £1) - n<j, (1 - In (i - £₽)
Так как Л ограничено, а при , то при малых 2
можно использовать разложение
4x(d+-2")-=г--*р + 0(г4) , |г|<1
Повтоцу
W- - V 0 ’ о^Ц-
<г.гз>
4 О(п^) ] . -J-x* + 0 6^) .
равномерно относительно всех m таких,.что |x|<(f . Подстав-
ляя (2.П)-(2.13) в (2.10) к замечая, что
[ 44 5
получим утверждение теоремы.
Упражнение 2.2. Доказать, что
Pn W » У [4 * ОСт 10(£)] "(114)
равномерно относительно М таких, что|Хм|<С? v
Указание. При оценке Ьи и Л£Л"7 восполь-
зоваться разложением •*» k te '
~ -♦• (Хг1*)
.109
Из (2.14) следует, что аппроксимация с помощью |
наиболее точна при и наименее точна при р , j
близком к 0 или к I
Пример 2.2. Для иллюстрации точности аппроксимации
PnW^-iT ,^-QrL
рассмотрим случай п«4О , р-0.2 , ~ Л • .
Таблица 2.1
, — j _ . - . - . - j —_
"“f..... .т"" г ' i t ? '!
R(m) , g/w |О,г£/у , агсуз , бда?» t^.
о.оэы ’ агзо? ’ агло?! aogcw• q.oi?4 o.oojj
"'" 1 t .’."I1 " 1 I 1 ; 1,1 !' 1 —-4'"———t" ' '-&
свивка, ! ^ ! /з£ ! ЗК ! -43%’-УС^г
? .....................-------— .....................
Здесь при |г6-мр|*2 точность удовлетворительная хотя п. , пр
и нр^, невелики. Однако, по мере удаления •*> отлр®2 точ-
ность быстро падает.
5.3. Интегральная предельная теорема Цуавра-Лапласа.
Это название носит следующая
Теорема 3.1. Если Sn - число успехов в схеме Бернулли
е фиксированным р , 0<р<1 ,то
Р{а «Ге-г^ (ЗЯ)
причем стремление к пределу равномерно относительно д, и J
. -~оо<а <&< оо .
Доказательство. Обозначим через LxJ наибольшее целое ?
число, не превосходящее х , а через Гх1 - наименьшее це- .
лое число, превосходящее х. , так что
ГхТ -IxJ .(’•
*• 10, если эс - целое .
Если :S^2£efa(fc~l , то » ГД®
тш-Lnp+acj ,п>г = Г«р-* , б~= .
Поскольку при |А|(|6|4 d условия локальной предельной
теореш выполнены, то
ПО
Так как ДХ^ , то
Р{*4 j = 2Z 4*(x^A^[P06i{)]
»”:«»хл«С
Здесь главный член в правой части представляет собой риманову .
интегральную сумму, которая при и-*»» сходится к интегралу
«L-J е" f^oc равномерно относительно любых конечных а и &.
а.
Можно показать, что интегральная предельная теорема име-
ет место не только при (?-а<оо , но и при 6-а<ао , но мы
ето доказательство приводить не будем.
Введем теперь нормальную или гауссову функцию распреде-
ли* X X I
(32)
и функцию
Фо(х) »=4= (е Л/ > ХсЯ" , “(ЗЛЕ
О
которую часто называют интегралом ошибок. Так какф(+оо)«1,
то я
Ф(х') = 4 (х) , xeR4.
Поскольку , то функция ^e(x) достаточно та-
булировать лишь при Хэо •
В силу интегральной предельной теоремы при достаточно
большом h. *
Sn<nui = Р{эС 5и & , _____
,г** «и*
Момо показать» что погрешность приближенной фврмуш ' г
(3.4) будет значительно меньше, если расширить пределы интег-
рирования на d/<j“ И принять, что
Здесь
= тг^т-Ар_ ,
т.-Ь-р
Обычно принимают, что формулами (3.4)—(3.5) можно пользо-
ваться при к >400» Пр >30 . причем их точность падает, ког-
да оценивается вероятность больших отклонений от пр . Это
происходит потому, что согласно интегральной предельной тео-
реме гл должно быть одного порядка с п .
Пример 3.1. Цустьn^dOO, р^аз > Тогда пр-30 , СТ—)®»
= b.5g3> и таблица 3.1 дает представление как о сравнитель-
ной точности.приближений (3.4) и (3.5) , так и о ухудшении
точности обеих формул по сравнению с точным значением (3.4)
при удалении интервала £т1(1мг] длины 2 от пр-^зо .
Таблица 3.1
• • Г П ! I t Т Г 1 • г ' 1
’ (1.2) ! (3.4) ошибка _ !(3.4)в%! (3.5) ошибка^, КЗ. 51 вХ
L9,14] £123*3 ! [ 0.000(5 } 3*10 1 0.00011 ! .*• 9оО J +20 J з /о'г J 0.00033 • +4-00 । 1400
С 15,1 Л £1*,2о] £24,23] £24,26] ! 0.00201 I 0,01*30 ! 0.0590? \О,19Ш ! O.OOltg 1 0.01023 f 0,03/01 j 0.09 705 ’ -41 ! -30 ; -35* ! 0.00213 [ о. 01599 J 0,05195 ^01999? [ +V0 ,-+ 12 ! О !
[2?, 29] \ 0.23799 ! 0,45509 ! -35 10 23905 1-2
[S4.33] 1 0.23013 I ! 0.15609 {0.ШО5- ’ -ъг 10,23 905 }0.49997 ’ +2. •
£зч,зс] 1Q.1902& ! +3
[*Л,ЗЛ] JO.05W6 । 0.03004 ! -35 ! 0.05995 1 °
[ЧО, *2] 1 0.04902 Ю. 01023 ! - 40 10.01599 ! -6
[4М5] ’0.00343 ! о,оо/ч& ! -50 ! 0.О0255 ! -Af
[4G,42] [ 0.000 49 J о. ооо51 i 5 • 1О“5‘ •[ ^0.00033 ; з-do~s [ -J3
(49 ,54 ] . 5.10~* л- ~ -
112
В приложениях часто бывает необходимо оценить величину
отклонения статистической оценки р„ - $”/п. вероятности от
ее теоретического значения, т.е. вычислить
-P{lv=^|<fV^}»&«*) (36>
где № (З.б) следует, что справедлива еле-
дующая
Теорема 3.2. (закон больших чисел Я.Бернулли). В схеме
Бернулли с вероятностью успеха р , О<р<1 , при любом СХ>
1^* "И <€1 (3 7)
Говорят, что сходится к р по вероятности и г пи-
сывают (3.7) в виде
(3.7а)
Значение этой теоремы состоит в том, что при большом П,
полученная из опыта относительная частота (статистическая ве-
роятность) pn«Sn/rt является хорошей оценкой для теорети-
ческой вероятности ь
При конечных значениях И- (3.6) позволяет с помощью
таблиц нормального распределения (см. приложение) подучать
значение одной из величин п. , Р , £ , «С в зависимости от
трех других. 1
Часто возникает вопрос нахождения границ, в которых с_ве-
роятн остью ot заключено для данных Пи р . Из (3.6)
следует, что
cL« Р ( l^~npl<«r'Ul-P{rtp-'USi$ (3 8)
Здесь и hp+tdCT называются соответственно нижней и
верхней доверительной границей для с уромем доверия cL .
Для быстрого ответа на различные вопросы, связанные с ис-
пользованием нормального распределения при отсутствии таблиц
полезно заложить следующую маленькую таблицу:
Таблица 3,2
iot ! 1.9G ! ь
-------—। 1
cL | о.9£Г-। 0.997
Первый сточбец позволяет воспользоваться "правилом двух
"(1.96^2), второй -"правилом трех ", так как ИЗ
15-Т.Ч9?
P{ IS,-"pl.^er^o.ar, P{IS, -Л/л/*3<5’/-a^F
локальная
5.4. Распределение и предельная теорема Цуассона.
Выше мы уже приводили в качестве примера дискретного рас»
пределения распределение Пуассона с параметром А :
Р(т, х (4.1)
Пусть м* - мода распределения Пуассона, т.е. плах
. Чтобы найти т*". рассмотрим отновение двух после»
довательных членов распределения (4 1) :
Н , **1>л ,
Отсцда следует, что
Д-d , А , если Д
L д 1 , если Д
- целое
» нецелое
(4.2)
Поетому Р(м,А^ возрастает с ростом от 0 до Ш* , дости-
гает максимума прит»щ* , * ватем убывает. На рис. 4.1 по-
хаваны графики функции для Я = 0,5 ,1,2. Кая-
Рйс. 4.1
дай график представляет собой дискретный ряд точек, которые
для наглядности соединены ломаной линией, называемой много-
114
угольник распределения. В приложении приводится таблица рас-
пределения Цуассона для Л от 0 до б.
Распределение Пуассона хорошо описывает число отказов
радиоэлектронной аппаратуры за время "t ; число частиц, эаре-
гистрированных счетчиком Гейгера-Моллера за время t ; число
вызовов, поступивших на телефонную станцию в час наибольшей
нагрузки и т.д. Кроме того, распределение Пуассона является
предельным для биномиального распределения, когда /г-*оо , а
, т.е. локальную предельную теорему применять нельзя.
Поскольку в схеме Бернулли р произвольно, но фиксиро-
вано, то для доказательства соответствующей предельной теоре-
мы рассмотрим серию (последовательность) схем Бернулли с па-
раметрами л. и f>n. . Здесь ph - постоянная вероятность у *
пеха в каждом из независимых экспериментов серии номер ,
но от серии к серии рп может изменяться. Элементарным исхо-
дом для серии номер л, является вектор
гдебД,^! , если исходом эксперимента V этой серии был ус-
пех и в противном случае, • Поэтому
- общее число успехов в серии IX , причем •«*
P{S.-m]= Р„М = (J)рГ^-ркГ", т.5*
Схему серий иллюстрирует следующая таблица
Таблица 4.1
номер’вероят. ’ ИС1тп ояпии t число !распределение
серии;успеха । и^ход серии ।успехов;числа успехов
1 ! f>i I Ou>« ! Г
2 ’ Ра * СОал, Wax ’ Se ’
, I , ! 1'4*
: ! : ! • । । :
’ ! I • !
п’ ! ! холл, >LOnn f grt ।
Теорема 4.1. (теорема Пуассона). Если в последовательнос-
ти серий из 1,2, ...,п,... независимых экспериментов Бернулли ве-
роятности успеха в каждом из rv экспериментов гх -й серии
равна -jV » гДв Л - не зависящая от П. постоянная, то
при любом фиксированном
ZCm С™') — Q «HisO i .„ (4.3)
Доказательство вытекает иэ следующей цепочки равенств:
Zuj, £)'= <$?-.
в »»>• > rns<\4,...
В приложениях для схемы Бернулли при п >{ОО и nf> <1О
обычно считают возможным пользоваться приближенной формулой
Р1&» е’”Г , И1>ц7Г . (4 4)
m I ’
Дм оценки точности приближенной формулы (4.4 ) может быть
полезен следующий результат, доказательство которого содержит
си в курсе Б.А.Севастьянова f 3 , $20].
Теорема 4.2. В схеме Бернулли при любых и , р и лю-
бом числовом множестве В>
I P|«U€ kJ -Z • (4.5)
’ »*»с ь 1 «I
Следующий пример иллюстрирует точность формулы (4.4) .
Пример 4.1. Па факультете учится и.» 500 студентов, слу-
чайное число иэ которых родились I января. Полагая, что
все дни рождения равновероятны и пренебрегая различием между
Невисокосным и високосным годами, найти распределение числа
•** . •
Реюание. Здесь m имеет распределение Бернулли ,
*» с вероятностью успеха Поскольку й “
» прп* 1.37 мало, то для аппроксимации можно исполь-
зовать пуассоновскую вероятность ,т»О,4,...
Таблица 4.2
m Jo* d ? 2 * Л ’ 4 &* 6
*3ео0»»^ ^0.20? j4»/v23
H»*>4.V»')tMS44 !0AMt4
Из этой таблицы следует, что овибка аппроксимации не
превосходит ф.^сГ*.
П6
5.5. Многомерное распределение Цуассона.
Рассмотрим полиномиальную схему: из п. независимых эк-
спериментов, в каждом из которых возможны исхода ОД,... ,4 .
Элементарным исходом этой серии будет вектор
Опп. )э где i , если исходом эксперимента аГ этой серия
было i , , п>1. Цусть вероятность исхода 4
равна
А . (5.1)
I® 1
Примем, что Д; - не зависящая от п. постоянная, так •
что при
,с=^7г }
Обозначим через число появлений исхода с в серии из
п. независимых зкепериментов, т.е. число равных i компо-
нент вектора (<^и<.... ,о)й<«). Очевидно, что|„^>0 ,
'’° Теорема 5.1. Если в последовательности серий из 1,2,...,
и. .... независимых экспериментов вероятность исхода С ,<•<5Г,
в каждом из и_ экспериментов серии п- имеет вид (5.1) , гда
Л, »сои4^ • , w при любых фиксированных «4,.,.,**»$
Р { 5 nl ’ t * Д, 1»..2)"।
где
• ___________________
POi, дЛ»е 21-, (5.3V
Распределение (5.2) называется <5 -мерным распределе-
нием Пуассона.
Доказательство? Из формулы (4.8) Главы 4 для полиномиаль^
ного распределения с учетом (5.1) следует, что
рЬ-*м‘ - '
«(d - -------------- А? л? . ,
' **< / flu!
а так какфиксированные постоянные, то
П-*о» lx*1* **** И-*" ’’ л ) л»
к теорема доказана.
Заметим, что при 4-4 полиномиальная cxeia превращает»
ся в биномиальную с исходами 0 и I и ив теоремы 5.1 следует
теореме! 4.1. _
Пример 5.1. Допустим,что число яиц, отложенных некото-
рым насекомым за сезон, имеет пуассоновское распределение •
,***>о и что из каждого яйца независимо от другим
с вероятностью р появляется жизнеспособный потомок. Дока-
зать, что распределение числа жизнеспособных потомков у пер»
вого поколения насекомого за сезон будет также пуассоновским
с параметром Л р .
Решение. Если насекомое-мать отложило m яиц, то ус-
' ловная вероятность того, что к из них дадут жизнеспособ-
ных потомков имеет распределение Бернулли: „
PrAV (rjf’V’k ’
Поэтому на основании формулы полной вероятности безусловная
вероятность иметь к жизнеспособных потомков равна
Н»27 Р-М-е г |~м,-
I ^..1. *С« И1»1е.
Здесь последняя сумма равна & * , откуда '
•
Упражнение 5. Г. Вероятность рождения мальчика приблизи-
тельно равна 0.515 . Найти вероятность того, что среди
новорожденных число мальчиков не превосходит число дево-
чек.
Упражнение 5 2 • №ига в 500 страниц имеет 50 опечаток.
Найти вероятность того,что на случайно выбранной странице
не менее 3 опечаток.
П8
ГЛАВА 6 . СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОБЩЕГО ВОДА И ДИСКРЕТНЫЕ
6 I. Вводные замечания.
Понятие случайной величины является одним из основных
в теории вероятностей. Случайная величина является числовой
функцией от элементарного события - исхода эксперимента. Инту-
итивно случайной величиной можно считать:
I) величину выигрыша первого иэ двух игроков в "орлянку"
за десять бросаний монеты;
2) число космических частиц, зарегистрированных счетчиком'
Гейгера-Мюллера за один час работы в некоторой фиксированной
точке земной поверхности;
3) число вызовов, поступающих ежедневно на автоматичес-
кую междугороднюю телефонную станцию за время от 12 до 13 ча-
сов, а также сушу оплаты абонентами за состоявшееся при этом
разговоры;
4) длительность безотказной работы интегральной схемы
при постоянных напряжений и окружающей температуре;
5) скорость молекулы газа в замкнутом сосуде при постоян-
ных температуре и давлении в данный момент времени и т.'д. %
Эти примеры показывают, что со случайными величинами при-
ходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и тех-
ники. Несмотря на всю разнородность конкретного содержания
приведенных примеров, в каждом из них мы имеем дело с одной
или несколькими случайными величинами, характеризующими иссле-
дуемое явление. В зависимости от исхода эксперимента случайная
величина может принимать различные значения из некоторого чис-
лового множества, которое может быть дискретным (конечнш или
счетным) как в примерах I) - 3), или несчетными, как в приме-
рах 4) и 5). Хотя множество значений случайной величины из-
вестно, нельзя заранее указать значение, которое оно примет.
Для полного ее задания надо определить вероятность ее попада- .
пил в различные числовые множества#- что позволит прогнозиро-
вать результаты случайного эксперимента.
Ц9
6.2 . Определения и свойства случайных величин
однозначную числовую функцию (со) от элементарного
Рассмотрим вероятностное пространство^ и
события:
(2.1)
Здесь д - область определения, а
область значений В .№. . Рассмотрим также
значков отображение 1 _
полубесконечный интервал иэ R_c , '
много-
и пусть
его прообраз относительно j* . В ТВ рассматриваются только
такие функции , для которых
Ахе(Х , хе£* . <2.2>
Следовательно, Ал - случайное^ событие^ и для любого Ле fc
; в
Дх с (Ж > хе .
...._________________________„____________
. известна вероятность P^A»e)«P{^ <XJ попадания £
. В ТВ называют случайной величиной (СВ) на ве-
роятностном пространстве <JQ.,6X)R>. втадп <Л,ОС>
вают измеримом пространством, а £ - измеримой (О[-измери-
мой) функцией. Рис. 2.1а иллюстрирует однозначное отображение
, а рис/2 <16 - многозначное отображение^** .
назы-
Целесообразность условия измеримости состоит в том, что
для любой СВ всегда определена вероятность
Р0.<х} *=• (2 3)
называемая ее функцией распределения (ФР) и играющая очень
120
важную роль в ТВ. Итак, дадим теперь
Определение %1. Измеримая функция 1 на-
зывается случайной величиной на <1(1^01*1^0 функцией рас-
пределения 5^ •
Замечание. В ряде случаев вместо Q, рассматривают
Rleft*U{±»°j • Тогда J* : Jl^R4 называют
собственной СВ, если -О и несобствен-
ной в противном случае.
СВ мы будем обычно обозначать буквами греческого алфави-
та ., а принимаемые ими значения - строчными ла-
тинскими буквами С , Л , ,... Часто для обозначения СВ ис-
пользуются также прописные латинские буквы X .Y »Z а
для их значений - соответствующие строчные 4С »» Ж »••• •
Это удобно в книге, но не очень удобно при записи на доске
или в тетради, т.к. рукописные прописные и строчные буквы
трудно различать. > /п 1i v/
Определение SI.2. СГ*-алгебра 2г(Л /ж: дГ число-
вых множеств, порожденная всевозможными полуинтервалами fit,6),
называется борелевскей, а ее элементы называются
борелевскими множествами. . ____
Одноточечное множество -[я) и интервал (сс, 6) -
борелевские множества т.к.
4аЗ = П [ft >&•< а*) > (ft, £ft>&)\
п«1
Каждое, открытое множество является борелвеским, т.к. любое от-
крытое множество в ft есть сумма конечного или счетного чис-
ла интервалов, а каждое замкнутое множество является борелев-
ским как дополнение к открытому. Поэтому 0* -алгебра 3^ со-
держит все числовые множества,
пусть - {<*>.• $(&>)<
любого числового множества
Упражнение %tI. Докажите, что операция "взятие прообраза"
сохраняет теоретико-множественные операции:
Проиллюстрируете три последние утверждения с помощью рисунка
типа JL. 16.
121
которые могут нам потреооват
. £>1 - (полный) прообраэ.
16-1390
Определение 2.3. Функция
<*•«>
называется распределением вероятностей СВ £ .
Можно показать, что Р| однозначно определяется с помощью
я . а а , т.е. является случайнш событием,
порожденным £ . Рис. 12 иллюстрирует случай, когда2р{вм,<^А}|.
Рис. 2.2
Таким образом, измеримое отображение
порождает новое вероятностное пространство:
Это позволяет считать ft новым пространством элементарных
событий, - новым пространство^ наблюдаемых событий, а
Р| - вероятностной мерой на
Теорема 2Л. Если , Ч - СВ на <Д?(Х,РЙ , то
функции ’
(2.5)
также СВ, причем в последнем случае предполагается, что
Р| 01! •[(<*>)* О If = d .
Докажем, например, первое из этих утверждений. Здесь
UictoKxl с>° .
* * • всл" С<О
Поэтому рассматриваемое множество является событием, а -
СВ. Аналогичным образом доказываются второе и третье утвержде-
ния, а доказательство остальных содержатся в параграфе 5.4[63
Таким образом, совокупность СВ, заданных на^Д>О(,Р^ ,
122
замкнута относительно арифметических операций над ними.
Определение CL4. Функция g : называется
борелевской, если прообраз любого борелевского тожества есть
снова борелевское тожество.
Борелевскими являются, например, все непрерывные и кусоч-
но непрерывные, т.е. все важные для приложений функции.
Теорема 2.2. Если $ - СВ на <A,Ot, Р> , g - бо-
релевская функция, то - тоже СВ на<Д4(Х.|Р> ,
причем
Р,(Ь^Ц(}1Ы)=РЦ <1.6)
Доказательство. Т.к. - сложная функция,
10 (см- рис* ^"3)
Т.«. fY.) является борелевским множеством, то
т.е. является событием.
6.3. Примеры
Z
Пример 3.1. Пусть - длительность безотказной работы
интегральной схемы во время испытаний при постоянных напряже-
нии и окружающей температуре, причем условия изготовления ин-
тегральных схем неизменны (комплекс условий и действий
фиксирован). Здесь , т.е. X ~ несчетное мно-
жество. Однако, поскольку все измерения дискретны, то можно
считать, что У=*{0,1,... | , где за единицу принята цена
деления таймера.
Пример 5.2. Пусть - число вызовов, поступающих в
I -й понедельник этого года на автоматическую междугороднюю
123
телефонную станцию за время от 12 до 13 часов, а - сум-
ма оплаты абонента в копейках за состоявшиеся при этом разго-
воры. Здесь - двумерная СВ с дискретным пространст-
вом значений Х= {О’»»»*): и,п.« 0,1,...} .
Пример Э.З. Пусть СВ - результат t -го выстрела
спортсмена в тире по мишени» состоящей из 10 концентрических
кругов» где 10 - попадание в "яблочко". Отсутствие выстрела за
заданное время и,, непопадание в мишень оценивается в 0 очков.
Здесь нет необходимости в задании Л » если условия
стрельбы неизменны» т.е* фик<ген комплекс условий и дей-
ствк я , причем
ЭД1)г$Х «{<М,2...........ю} -
множество возможных значений . Определим зара-
нее на тренировках для данного спортсмена его характеристики,
т.е. статистические оценки &
= Zh-4.
Тогда СВ *£ - результат спортсмена на
соревнованиях в серии иэ П. выстрелов.
Упражнение J.J. Найти распределение
Как показывают эти примеры, на практике обычно каждому
элементарному, но не обязательно числовому исходу сО эк-
сперимента можно единственным образом поста-
вить в соответствие число , или вектор (
) несущие важную числовую информацию об этом ис-
ходе. При этом обычно регистрируется именно значение СВ^(иО ,
• не элементарного исхода CJ . Регистрация же самого исхода
оЗ может оказаться очень непростой задачей, причем запись
CU может содержать много излишней информации или вообще
быть не нужной. Наконец, различным с*э может отвечать одно и
то же значение , так что переход от работы с множеством
«О» к работе с множеством может означать
очень большое упрощение.
Т.к. для фиксации значения СВ , соответствующего ис-
ходу Л5 эксперимента, необходимо использовать ту или иную
измерительную аппаратуру (в примере 1.! - часы), то ясе экспе-
риментально полученные значения СВ можно с«ита*ь дискретными.
124
6.4. Дискретные СВ.
6.4.1. Назовем числовое множество X дискретным, если
оно конечное или счетное, но на любом конечном интервале имеет-
ся лишь конечное число элементов X , Тогда в самом общем «
случае
X - i
так что мещду У и <f существует взаимно-однозначное соот-
ветствие.
Определение 4.Т. называется дискретной СВ (ДСВ), ес-‘
ли дискретно множество X ее значений. Вероятностью А»
аначения х^ t X называется
Последовательность (вектор) pj , на“
зывается распределением ДСВ £ , а таблица - ее
законом распределения.
Если д - конечное множество, то СВ называется простой.
Заметим, что для любого
л /2». Р&*>) .. если Д - дискретно; •
/ ’ вслИ1^* " произвольно
Здесь №)/ - интеграл Лебега (см. §5.6 в £5] ), но это
не должно смущать читателя, который может рассматривать вторую
строчку (4.Я) как обобщение первой или просто ограничиться
первой строкой.
Теорема 4.1. Каждой ДСВ J : Д**Х соответствует ' :
единственное разбиение .
> • <4&
Доказательство. Т.к. отображение t : являет-
ся однозначной функцией, то прообразы и ^”*£зС|)
при I не имеют общих точек. Поэтому соответствие ®
между элементами множеств X и является взаимно'
однозначными J' f ‘(&У- Л ♦.
т.е. класс непересекающихся множеств v*l* дей« >
ствительно представляет собой разбиение 41 , порожденное СВ
. В примерах 3.1 и 3.3 были приведены дискретные СВ. При-
ведем еще несколько примеров.
6,4.2. Пример 4.1. Две пары игроков играет в*орлянку“с '
помощью одной несимметричной игральной кости. Первая пара счи-
тает кость симметричной, вторая - несимметричной. Пусть |Cu>V-
- выигрыш в копейках при исходе о) первого игрока в первой ;
парс, а - первого игрока во второй паре. Тогда все
параметры игры содержатся в следующей таблице:
Т ! 2 ! 3 * 4 ! 5 » 6 < )(
йй < /°хt A t А । A t А »_
tW’ -5 ’ -5 ’ +5 -5 ’ *5 ? -5 Ч-5,Й
С—4-----1----I-----1---1---«-----
+3 ! -4 ! +3 ! -4 t +3 ! -2 Ц-4,-2,3^
Здесь закон и ФР«л имеют следующий вид
S < Б
-----------------1---------------i
г--------------------------------5 (M>r. •
Рис.4.1
Упражнение 4Л. Выпишите аналогичные характеристики для
||
Пример 4,2, Рассмотрим сисла схему Бернулли
из П независимых окспориментол с вероятностью успеха |3 в
126
эк-
. Tor-
(4.4)
каждом. Вели -исход I -го эксперимента, О
в случае неудачи, в случае удачи, то
элементарный исход последовательности иэ п. экспериментов,
так что *
Ля|(аз<»сэм...,с«>Лу.ы1=0>1 |Л|«2 .
Пусть - случайное число успехов в П
спериментах; fe : Х«|0,1,...,п| , |х|»П+4
да ’ 1-1
Д = |си *. 5(<»ЛяЛг]“| (Tn), meX t
Л
множество последовательностей с Пл_ успехами, С/Anw'
6Q)’| Апя. ”»-а j - разбиение Л» , порожденное ;
Р{ Anm 1 гР{^ =^Ы*)р"У',П=г; Ц (лг\»*«4Д(4.5)
вероятность успехов в гъ экспериментах - распределение Бер-
,рулли.
Таким образом, отображает исходное вероятностное
пространство Р(о>>
в новое вероятностное пространство
которое гораздо проще исходного. При этом (4.4) - взаимоодноз-
начное соответствие между (А) и X , а (4.5) - ве-
роятность эквивалентных событий в Д и в X .
Пример 4.3. Рассмотрим бесконечную последовательность эк-,
спериментов, исходом которой служит , Л*
»|(!й1,о,,...):и)*«0,4)г«4,2>..4 . Пусть u>c
случайное число успехов в бесконечной последовательности экспе-
риментов; 0,1,.. . как и в предвдущеМ примере,
Ame 4<«Э.' ^С<*>>тЛв^~*(т\*П6 X - Множество последова-
тельностей с Ш. успехами, 0 Am=»Q. •
разбиение JX , порожденное . В отличие от предыдущего
примера, не будем делать никаких дополнительных предположений
о независимости последовательности экспериментов и не будем
задавать £^6*3*5 , сэеА . Зададим сразу распределение на
всех одноточечных множествах из К , положив
pj ^=лг/ = Ц (4,6).
Это - распределение Пуассона, для которого значение
является возможным, но р (|»«»')- о . Такой способ непосред- ;
странного задания СВ обычно применяется в приложениях.
127
Пример 4.4. Пусть в неограниченной последовательности
экспериментов Бернулли - число экспериментов до
первого успеха включительно, - число неудач до первое
го успеха включительно, . •[М* 4 °»1» • •}•
Здесь также •
Например, если Ш « (0,0,0,1,.., то .
• Пусть э
Ви,=4 ш' <•>*» O“mj , т.»4,2,<..
множество последовательностей, у которых первый успех проис-
ходит в »П -м эксперименте, 0ebmeA ; ^(^0*
w 1 Вт »***••,J -разбиение Л. , порожденное
Тогда в силу независимости
»"*4 (4-71
' Р\ = . (4.7.)
Каждое иэ этих распределений называют геометрическим, мы для
определённости будем так называть (4/ЗД и обозначать его
&еотф). ______
Пример 4.5. Если все точки конечного множества
имеют одинаковую вероятность, то РЦ-мЛ ха 4/*1
и говорят, что имеет равномерное дискретное
распределение на X .
Пример 4.6. (гипергеометрическое распределение).'Пусть
иэ ящика с М белыми и красными шарами извлекается
без возвращен^выборка объема 7L' , а - число белых шаров
в этой выборке, 1 <_Х* ^0,</..«>т(п<а,М)Ь . .
Т.к. всего и. из 44 шаров можно выбрать } спосо-
бами, а **» белых и n.-m красных (способа-
• (4,8>
Это распределение называется гипергеометрическим. Его часто
применяют при выборочном контроле продукции, полагая, что {V -
число изделий в контролируемой партии, М - неизвестное чис-
. ло бракованных среди них, И. - объем контрольной выборки,
- число обнаруженных в ней бракованных изделий.
128
Пример 4.7 (спортлото). Частный случай гипергеометри-
ческого распределения при N=: 49, М« Л.» 6 описывает спорт-
лото "6 из 49". Его распределение р . ж р^<’*') та_
0 ! I ! 2 13 |4 ! 5 I б ! Я
—---------------i-----1—_—।------1----1----l_±L
6.4.3. Введем теперь функцию Хевисайда (единичный скачок)
’ <4-w
Очевидно, что <
Р(|«о1я4=» SjCadM/fa}, celt •,
Р4|*л^в4 =^РЦ<эс^*5 6t)=uGC-a),
&> 4) . .
r-------------кое) *__________
Рис. 4.2
Теорема 4.2. Для ДОВ £ задание ЗР (р:)л‘Х «о
эквивалентно заданию ФР 9^ ($)•
Доказательство, а) liB , т.к. таблица закона распреде-
ления определяет ФР:
-X.
Р< ! Р1 < /04 I ... | уСЦ !*..
------1 1 1 ——--------т—_
о-------------------------------------! ра-| ...-!^А'-Г“
Здесь {-£j^
б)]Г*1 , т.к. абсциссы точек разрыва образуют мно-
жество X > а величина разрыва в точке равна Д
. . _________________________ ---------------
х», jCj * ' Рис. 4,3 ^*-4 ЗС» J29
17-1390
Определение 4.2. Функцией-индикатором^события А на
<а,а,р> называют случайную величину
Упражнение 4.2. Докажите, что функция-индикатор обладает
следующими свойствами.
а) Vя® » б) U’* , ®)1ал*с1Л >
ma*^*»J** > д) Iau»8!*'* »
в) ^Л*«Х 2 1дiAAjAA, ”4 lyUIA* (4Л2)
m>U(VAY w*u‘
Уеоуюма 4*3.
^/х>Р(А}<К*ЪР(АХ(*-Л>*‘К' MI3’
Доказательство. Здесь Xе J.CnkWJ >
’M, xso,
Д ,0<X<4,
A»•
(4.141
Тогда
(0,*tO ,
£ (scVPH Mb
*A4 A (4 > XM ,
откуда следует ?4,13)
Теорема 4.4. Дискретную СВ с множеством значений
X’ <«4,хм... J = {<,2,... }
можно записать в виде
| Л , ( 4 .15)
где Ai«r4(*iV*? • , ,
Доказательство вытекает из теоремы 4.1,в силу которой UA(,J
«разбиение XX , порожденное , причем >GdeA^>
130
6.5. Свойства ФР
Рассмотрим СВ § на < и изучим свойства ее
фр
(*)'= Р{ 5 <51>
поскольку
РЦ <’«<}* Р{ Ы1 РЦ <«t I.
2° ЭТх) - неубывающая функция X , т.к.
РЦб[ЗС<,ЭС?Ьо, если ,
30 0 * S' С-х') $ i , хс Q*, <5-3>
поскольку - вероятность
4° РЦ>эе5 « d-^бс) > эе«^* > (5.4)
т.к. •
Заметим, что в ряде случаев (например, в теории надежности)
часто используется дополнительная ФР
аммиимы—। л ' '
Г<е) i = i- У(х1 , х« В . (б-5>
5° Пусть
С («Л:«ЗГСси-о) -УСХе), Л I, ы (5.6)
скачок (разрыв первого рода) ФР в точке ate , еслиС&о&О.
Теорема 5.1, Общее число скачков ЗХх) не более, чем ’
счетно.
Доказательство. Разобьем интервал не систему-
прилегающих интервалов .&4J ......
Sb* Дл , и обозначим через ЛЛ число скачков Ст» СЛ<’-
< величины которых принадлежат 4п . т.к. &Sc)U I
Хц ft* ♦ то Ап# 2“Л, , т.е. число точек
разрыва 9- , соответствующих Ал , конечно.. Поскольку объе-
динение счетного числа конечных множеств, снова счетно, то тео-
рема доказана.
Упражнение 5.1. Сравните формулировку этой теоремы с фор-^
мулировкой аналогичной теоремы из курса анализа.
131 •
6° т.к. & монотонна в силу 2° и ограничена в силу 3°,
то существуют пределы
760* Сйп, У60»! (5.7)
timStO- St*®®)
9С/М nt«®
Теорема 5.2.
S(*®®W • (5.8)
Доказательство. Построим разбиение (Hi)» |Qr|fci ,f ,
где событие Q» :« (со • м-i4 J ,€))< ОС .
т.«. *
то в силу счетной аддитивности вероятное''и и (5.2)
. i . 2 Р(ад » £ [ j(й -Vfc-o],
«••«а 1и-«»
Из сходимости последнего ряде следует, что его частичная сумма
также сходится к I:
Нее
Отсюда и из (5.3) следует (5.8).
7° Теорема 5.3. S - непрерывная слева <«>
SC*) «^Тх-о)»х«л€ (5.9)
Доказательство. Рассмотрим монотонно возрастяюпол» после-
довательность Xj , стрем»*угол к X , и
построим с ее помощью монотонно отягиваю^шея к (3 систему
интервалов Схе,х)Их,х)»0 (см. рис.5,2) ;
132
Рис. 5.2
Пусть 4n:=^~Y[btn,x)) , так итоАм^Ар.». - стяги-
вающая система событий. Т.к.
Г (мьг-Гллцчь'),
го л ч л
д 4-*Л г «о- 0,
Следовательно, Ап и в силу аксиомы непрерывности
о »-Urn РСАп^ » Лйп -Т(Хн)btct'i- #Х“<?) .
*<*«• п-ь«а
Упражнение 5.2. Доказать, что если
^СхУ’«РЦ«х5, (5.10)*
то - непрерывна справа.
8° Теорема 5.4.
РЦ - х} » 9Ф+о)- ft*) > . (5. П)
Доказательство. Рассмотрим монотонно убывающую последо-
ра-еяьность Л4>Х1>.«.*аСп> , стремящуюся к ЯС , и '
псгтрпим с ее помощью монотонно стягивающуюся к 4x1 систему
ИН'гч-рпа.ЯОР fX,Xn)H*>X>0Mx| . Пусть
Томя %эЗ)4э(,, , так что$)п)п>4 - стягивающаяся сис- '
тема событий. Т.к.
Д». -о -'([«, х.5). • fV«o >
<®лЦ**<Сз^п‘*вв ” ® СИЛУ следствия из аксиомы непрерывности
р\ 5-x}.pj Г‘(i)V lim
"аким образом,
133
(5.12)
и.величина скачка ? в точке Хв равна "вероятностной
массе", сосредоточенной в точке Z© .
।
Рис. 5.3
Упражнение 5.3 а) Доказать, что
’JFGc+o'i j
РЦ fc (зс«,зс»]|г ЗТХг*©) i-3r«a+6) ;
РЦё 3Wo>-rC«d.
(5.13)
(5.14)
(5.15)
(5.16)
б)
9°
ет
Вывести аналогичные формулы для ФР (5.10).
Напомним (4.10), что ФР для ДСВ 1| с ЗР )&? име-
т.е. представляет собой ступенчатую функцию, равную в точке
сумме величин скачков в точках разрыва , расположенных
левее х .
10° Итак, из 1° - 8° вытекает следующая
Теорема 5.5. Любая является неубывающей, непре-
рывной слева, имеет не более счетного числа скачков, причем
• Следствие. Любую функцию ЗА*) , XfeR. с указанными
свойствами можно принять за ФР некоторой СВ | , положив
Заметим,'что если | определяет однозначно, то
Ф определяет ( , вообще говоря, неоднозначно. Например,
6.6. Непрерывные СВ
Определение 6.1. В называется непрерывной СВ, а^Г
абсолютно непрерывней ФР, если 3
<6Д)'
и - неотрицательна и непрерывна почти всюду. £L на-
зывается функцией плотности распределения (короче, плотностью)
причем в приложениях обычно принимают, что А кусочно] не-
прерывна. *5
Свойства .
I) В силу нормированности вероятности
(6.2)
2) Поскольку как функция интеграла (6.1) от верхнего
предела является непрерывной функцией от X в обычном смыс-
Р4 (х+о)- 6г) »О, . (6.3)
Поэтому непрерывная £ не имеет точек сосредоточения вероят-
ностной массы. .
3) Из (6.1) и (6.3) следует, что
РЦ е (6 4)
tt foXli* f A
4) Вели В* - объединение конечного, или счетного
числа непересекающихся или прилегающих интервалов любого вида.
(открытых, замкнутых, полузамкнутых или вырожденных), то
’ <б,5)
Доказательство. Пусть, например, »**•! .
ДаН* . Тогда ввделим точку пересечения
этих прилегастцих интервалов в отдельный интервалД*
и заметим, что в силу аддитивности вероятности и 2) - 3)
PI Дп,и * Pi ft—i >#*)! ♦PlXmkP^m^-^
4/ * J ) ЛвГ®)®*»’
135
5) Если - непрерывна в интервале (At 4>) , то по
теореме о среднем
Р4|€ [ас-Цос+КН^ J fyfyty
- pj(x)2k + o(^) > k-»o , Ok,xA] <= (a, %)
Отсюда следует, что
$'(x) = A W <6 6)
средняя плотность вероятностной массы, сосредоточенной в точ-
ке <£б &,4) .
Поскольку вероятность попадания непрерывной СВ в малый
интервал пропорциональна с точностью до малых более высокого
порядка его длине, то вероятность попадания в любую заранее
заданную точку равна О , что связывает свойства 2) и 5). На
практике между тем, что РЦ- О и Рь&Со)*0 Н0Т ДР0*
тиворечия, т.к. все измерительные приборы тгеют конечную точ-
ность и могут фиксировать лишь факт попадания в окрестность
X»
Заметим еще, что фактически любую непрерывную СВ с
непрерывной ФР можно получить равномерным предельным
переходом из последовательности дискретных СВ со сту-
пенчатыми ФР ». (см. ф»ис. 6.1)
Рис. 6.1
Увеличивая с ростом П. число ступеней у можно
приблизить непрерывную с помощью ступенчатой ,
а непрерывную СВ - с помощью дискретной . Мы не бу-
дем рассматривать этот вопрос более детально, ограничившись
136
этими предварительными соображениями.
Определение 6.2. Модой распределения вероятностей непре-
рывной СВ £ называется любая точка X» максимума
А (х) - Распределения с одной, двумя или более модами
называются соответственно одномодальными (одновершинными),
бимодальным и мультимодальными.
Мода служит одной из характеристик расположения значений
СВ, причем наиболее часто встречаются унимодальные распределе-
ния. Приведем теперь несколько примеров непрерывных СВ.
Пример 6.1.0пределение 6.3. £ имеет равномерное рас-
пределение на интервале ^6), £ RANDOM (a, } , ес-
(ХУ~ 1-i— ,
(6.7)
Упражнение 6.1. а) Нарисуйте графики функций и .
б) Докажите, что если Ь - борелевское множество, укД) -
его’длина, то . г- Л,л
Пример6.2.0пределение 6.4. имеет нормальное (гаус-
сово) распределение с параметрами а.еИ* ,
<в.в>
Если Дэо , , то имеет стандартное нормальное
распределение JUM) •
Очевидно, что нормальная плотность стметрична относитель-
но прямой и что точка а, является модой нор-
мального распределения, равной . На рис. 6.2,
при и 6“ « 0,5 , I и 2.
6x0.9
приведены кривые
2 -4
Рис. 6.2
1 2
T3-I393
137
С ростом 8* плотность вытягивается вдоль оси
абсцисс, что приводит к уменьшению вероятности попадания £
в любую фиксированную окрестность точки л . Поэтому пара-
метр 8* характеризует рассеяние СВ f относительно ее
моды и называется стандартным отклонением (подробнее см. раз-
дел 9.3 )
Пример 6.3,0пределение 6.5. t имеет Г распределение
е параметрами Д>о,*>О, » если
,xe fc4 . <б-9>
Здес - гамма-функция.
При ето распределение называется экспоненциальна»
(Н£Х₽(АЫ(А1)) •
Упражнение 6.2. а) Найдите экстремальные точки экспонен-
циальной плотности и нарисуйте ее график при различных Л
б) Во всех примерах проверьте выполнение условия нормировки
(6.2). t
Пример 6.4. Пусть СВ £ имеет непрерывную ФР .
Найдем ФР7«Л(^) . Поскольку , то
-Прио<у<4 (см.рис. 6.3)
т.е. 2 ъQand(0,1) .
138
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛ СТИЛПЬЕСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ТВ
7.1. Интеграл Стилтьеса (точнее, Римана-Стилтьвса) нау-
чается в курсе анализа, но поскольку в ТВ нужен не самый об-
щий его вариант, мы дадим соответствующее определение и выве-
дем несколько важных для ТВ свойств в удобной для нас форме.
Рассмотрим числовые функции и У , заданные на
СаДЗ и пусть - некоторая непрерывная слева функция
с ограниченным изменением (условие А ), а Ц ограничена.
В ТВ ФР W неубывающая и ее полная вариация на R-* равна
J , но это не дает дополнительных упрощений. Пусть
Х-j й-<•.. <ОСл.® 4 ’
-разбиение интервала (й-о,4>+0) >
> ATfciV> i-> (?.I)
A ДЭС;-*О .
ir0,n«4
Примем, что fl имеет не более конечного числа точек
разрыва, которые не совпадают с разрывами $Р > и включим
точки разрыва fl наряду с точками Л. , в неподвижные
точки разбиения (условие Б). Для упрощения изложения можно за-
менить условие В на’ условие В непрерывности fl на р», .
Выберем теперь внутри каждого полуинтервала [Х;-* > Xi}
точку у. , <Хс » (см. рис. 7.1)
X. Xi Ха
1 1 &М .......* "" * —
й’Х. X, - .*» т
Рис. 7.1
положим 3" (зе»дгТ(£- О) и построим интегральную сумму
ЦкО)- (7.2)
Определение 7.1. Если при неограниченном измельчении
разбиения существует предел (7.2), не зависящий от выбо-
ра ОС 4 l я , то этот предел называется интегралом
Стилтьеса от по на
139
Lun (7.3)
Аналогичным образом определяют несрбственный интеграл
Стилтьееа, причем в ТВ считают, что Л*г существует,
еслк< конечен. Справедлива следующая
’Теорема 7.1*. Если на [4,6)sR.* Q имеет ограни-
ченную вариацию (-ом более, непрерывна), - непрерывная
слева и с ограниченной вариацией (тем более, ФР), то интеграл
Стилтьееа (7.3) существует.
7.2. Установим теперь некоторые свойства интеграла Стил-
тьеса.
Лемма 7.1. Если , то
(7.4)
бс-о.с^о) £с,с*о)
Доказательство. Сделаем С=*‘. X*. неподвижной точкой
разбиения ф , а < <• < 4 (см. Р”0, 7«2)
/V
х*
С’С «*♦<
рис. 7.2
Тогда в силу (7.3)
fe-o,e*ol <t-e,c«o)
♦ j (£,<)£(«,.,) - $W)b g Се*») Г ?("<* - ^C>1
Действительно, и X* стремятся ри ЛЮ к С сни-
зу, а Хк*| * - сверху, - непрерывна слева, а
ограничена. Л
Таким образом, отдельные точки могут давать ненулевой
вклад в интеграл Стилтьееа, но в силу непрерывности У сле-
ва ненулевой вклад может дать только правая окрестность точки
С , что можно записать так:
f f , (7.5)
(см*» <c-«.C) te,c*<) [e,cv)
140
Если SFfc+o)« jFfc) , О даже при
^(c+O)#a fc-o) • что'объясняет смысл условия Б.
Теорема 7.2. При 4,^ с< 4
СМГ С-.еГ f£.V z .г
Для доказательства достаточно заметить, что
Гл,в) -- Ге,с)V Lc- о, vie* о, ft)
(7.6) ’
и воспольэоваться(7.5). Л ’
Отметим, что (7.6) - условие аддитивности для интеграла
Стилтьеса, записанное как в обычной форме, так и с выделением
вклада точки С
Упражнение 7.1. Доказать, что
a) / Я^*‘i 9(ато)ГТ(лмй-ШЪ f
см) <«•«,<) 9 *ч<г (7 7)
Т.к. в ТВ 3$ (xKj-lC*)" , то интеграл .
Стилтьеся является естественнм» средством учета влияния дис-
кретной вероятностной массы, сосредоточенной в точке хе ft4 .
Упражнение 7.2. Доказать, что
рц«[4,«]}. М-ЯМ
1о,4*0) (7.8) ’
(**,1) 5 ’ 5
(Ml}» J c/Xfc)* Sj &♦<?)-Sifa+o).
7 6юЛ*о) ’
7.3. Определение 7.2. Если ФР имеет разрывы в точ-
ках из 4 оо , причем на лю-
бом конечном интервале их число конечно, и 3^ имеет непре-
рывную производную 3"^ всюду в ft,* г эа исключением точек
141
' :зЯ>иещё, вить можёт, из конечного множества & ,
то называется дискретно-непрерывной СВ (см.рис. 7.3), где
- точка разрыва К на интервале непрерывности 3» ,
---------------------------------------5<х>
• *
‘ • 1
4 |4с‘. Аз~
Теорема 7,3. Дня дискретно-непрерывной СВ
(S) « ± 9(ck)[j(^ +0) -жя (?.9) •
Для доказательства включим все точки из (я uwx La,fe)« : С ,
C“lCkikjl A=CL<Ci<... <4 в неподвижные точки разбиения и
воспольэуемся (7.6):
ls> Ь^-2
!В силу непрерывной дифференцируемости на (6^+0, С^-о)
'<можно применить теорему о среднем:
4 3^(хт) • ~ 3^ 3^j (xJtX^wv “
«(с*-!+o, e^-o),
что и доказывает (7.9) . 4
Иэ этой теоремы следует, что условие нормировки для дис-
кретно-непрерывной СВ имеет вид:
Здесь первое слагаемое равно /» - суммарной дискретной вероят-
ностной массе распределения 1 , второе - - непрерыв-
ной (см.рис. 7.3). Пусть £Ы' р ^^[3^((Лк^о)(cL.} —ФР
дискретной компоненты J , УДх>-tjk .жеД1- >Р непре-
рывной компоненты. Тогда 4, *
Х(®>» р3jbt) + <7«П)
т.е, любое вероятностное распределение является смесью дис-
кретного и непрерывного. Если p*i , то | имеет дискретное,
д если р»О - непрерывное распределение.
142
ГЛАВА 8. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧЖЫ
8.1. Основные понятия
№огие явления окружающего мира требуют для своего опя-,
сания использование многомерных СВ Примерами могут служить: ,
а) результат одновременного бросания двух игральных костей
разного цвета; б) одновременное измерение в момент t> темпе-
ратуры и давления в комнате; в) координаты точки, брошенной
случайно в выделенный на плоскости квадрат, крут или другую
фигуру _ •
Определение I.I. § wOj4, •••>§*) называется п-мэр-
ной случайной величиной или п.-мерным случайным вектором,
определенном на <£i>OL,PX если прообраз любого борелевского
множества В из jjn:=s "£г(/?п) является событием, т.е. .
f4(e>)€ <X , BesS* / (i n
Т.к. П -мерный прямоугольник (координатный параллелепи-
пед) .л
ЕЬ • (- <х> *... * (- •• 1Хь) <£ »
то для 7Х €К известна и. -мерная S3
Пусть J4- fa, ,a4t U - интервал координатной оси
•5, . в главе б мн подробно рассмотрели случай'
когда '
Р1 < 1,п”:
-разность первого порядка функции JC* в точке Л* . Эту
формулу можно обобщить на случай любого п. . Рассмотрим те-
перь подробнее случай , поскольку переход от него к
случаю любого_Л. достаточно прост. ♦
На рис. I.I представлен прямоугольник А-У. Mt
м
. где
Л-G • !<* L , ЛК* 1а \
с-®*»**) ♦ (‘•ee»a«). .
143
Рис. I.I
Рассмотрим некоторую функцию на ft и
обозначим ее первые и вторые разности соответственно
Л> #х‘ >а^
Тмрж11'Р(СФи--4|1 ^(а„агу а.»
Доказательство. Пусть РЦ<=3]~ PfS) . Тогда
P(UW=Р( срл- Рр4аМ-Р(ЛАи АУ PW) -
• ^^(й<+^а,Ла+АЛ ~ А«»Ла) ♦
♦ Ту (<« А)ж ^1^3? *
Обобщением этого результата на случай.любого И- содер-
жится в следующем утверждении.
Упражнение 1.1. Доказать, что при
Р|..<> ^п€ ЕХп)'Х(\+ Кп)}= Дд. jfy -
» £ ... Z (-1) <Fr (=са+еДъ...,аЛ*сХ)1
<«-e Си’* ’
Упражнение 1.2 . Доказать, что если у Gx*_) существу-
ет непрерывные производные второго -порядка в окрестности точ-
144км ( Oj.cb) . то
(I.,>
= (a* •*•& M, Q< 4 & Кд) Lt / l -»л л л «
'Эх^х* *l<"« » "* 0>"|О,О<вЛЧ
8.2. Свойства функции распределения.
Аналогично одномерному случаю (см.раздел 6), доказывают-
ся следующие свойства 1° - 3° ФР Эу (3), а?6 R".
1° <?у С?)является неубывающей и непрерывной слева по каждому
аргументу.
2° j Зу (>«,
3° 3f» (з?)»0 > если хотя бы при одном .
Здесь, например,
^”®в> *^ж > /ЭСп.)9fa. Зг (и
а существование этого и аналогичных пределов вытекает из того,
что не убывает по каждому аргументу и ограничена.
Следующее свойство при n.«i является следствием «ого,
что ФР - неубывающая функция, а при П.>2 требуется предва-
рительно доказать (1.5)-(1.б)
4° ДГ Уг » О t yk&O , V'-xTg £ , т.к. в силу
(1.5)-(1.6) это - вероятность попадания в соответствующий
п_ -мерный прямоугольник. л 4
Заметим теперь, что если функция &' ft ”*ft удовлетво-
ряет 1° - 4°, то ее можно рассматривать как ФР некоторого слу-
чайного вектора . Как показывает следуккций при-
мер, условие 4° не вытекает из 1° - 3°.
Пример 2.1. Пусть
Ср(Хъхг) - 1 0 у Хл* О > ,
( 1 э в остальных ГвК* .
На рис. 2.Т область нулевых значений У заштрихована и
выделен квадрат М со сторонами 1/2, опирающийся на точку
(1/2,1/2). Согласно (Г5)
Р(м1 ,
т.е. Э* удовлетворяет I) - 3), но не удовлетворяет 4) и
поэтому не может быть ФР.
Определение „Л. Распределение любой группы из m ком-
понент вектора £ называется частным (маргинальным) Н -
мерным, м-<
LJcero у |х -мерного распределения существует
частных распределений. При Н»2 это
Теорема 2.1. Чтобы из ФР 5^* получить ФР <П[* век-
тора Цц |i.,) , ** *4<н< ... <im< а
нужно у приравнять бесконечности те n-m аргумен-
тов, номера которых отличны от i<,it,..., im :
(2.1)
14*<
Для краткости доказательство проведем для случая п*2 »
. Т.к.
Ц, "И Л. з ц-4 h
то в силу счетной аддитивности вероятности
[^.сх.л.п -
Ц'Л. 1 - (JG' ’]'
’^Л**/*) (я*,*’).
и аналогично •
Таким образом, частное распределение вектора ~
а C^i получается проектированием вероят-
ностной массы исходного Н. -мерного распределения на т -
мерное пространство величин, вхедящих в частное распределение.
146 Например, при а»2. и
вся вероятностная масса двумерного распределения, расположен-
ная на плоскости левее прямой •
Рис. 2.2
8.3. Дискретные СВ.
Как и в одномерном случае, в приложениях чаще всего встре-
чаются лишь два основных типа распределений случайных векторов
- дискретные и непрерывные.
Определение 3.1. Случайный вектор назы-
вается дискретным, если вся вероятностная масса сосредоточена
в тожестве из не более, чем счетного числа точек, причем
в каждом конечном п-мерном прямоугольнике имеется не более
конечного числа точек из & . Если координа-
ты -S-й точки сосредоточения массы, 6. = 1лЧоо , то
Р| ЗСи,, • = :Рч.••• ,1п.> & ’ (3.1)
Далее для краткости и наглядности рассмотрим лишь случай
п = а . Пусть Ц,’|)б8={(зси'ув)) > 1~4/?Ь . Проекции
множества g на оси абсцисс и ординат обозначим соответст-
венно - *
и введем I = { 4 w I *"* X, 7“/2 > ... Y •
Пусть
, <3.2>
A- = Z p.i’PlW-Л, £<fl , <33’
p-j = z p4-Pi г=ай > j63
4«Г T47
соответственно двумерное распределение (,§/0 и частные
распределения для и для 2 * Тогда в силу нормиро-
ванное™ вероятности Л Л
,3”
Сведем все эти данные в следующую таблицу:
Таблица 3.I
р« ... р*.
^ajPtt p*t Pin J Pt.
• i • ; : : ! . (3.6)
» t •
" IMP-
p. - P*l i
Т.н. распределение сосредоточено в fij точках,
то среди чисел (f^p N положительных нулевых,
причем расположение ненулевых элементов таблицы I наглядно
отображает структуру двумерного распределения. В силу аддитив-
ности вероятности
PRU>ebi= 2! (37)
так что с помощью таблицы I легко выписать и вероятность попа-
дания в любую область Ь на плоскости.
Т.к. в каждой строчке и в каждом столбце таблицы I имеет-
ся хотя бы один ненулевой элемент, то
Д ЛС> г > Лу У’**
Поэтому условные распределения определяются следующим образом
рц*«‘ =. B.j «.»>
(3”
Здесь (3.8) - усланный закон распределения > при заданном
значении *1 х (3.9) - условный закон 7рлг*преппл^чия £
при заданном значении h i. ~ 1 7™ .
148
Упражнение 3.1. Пусть двумерное распределение сосредото-
чено в трех точках:
Составить таблицу I и выписать все условные распределения.
8.4. Непрерывные (Ж.
aCcoJwrW' ®пРеделвнив <•!. Случайный вектор £
навивает-
ся непрерывным, если существует кусочно непрерывная неотри-
цательная функция платности такая, что
Свойства р^> .
10 (4.а
2° Для любой области 2)s RT , у которой существует объем
(вообще, для VX) е Уз* )
P4f €^i« J. (ur
3° Пусть 5^.(4) ;= -
шар радиуса с центром в точке 3? . Если непре-
рывна в - овьем
50 , то в силу теоремы о среднем для интеграла (4.3)
Р \ %650 J » С&/Ф) ♦ о (* _____
* р£ (£> )jW 6&), Хое7) О . И •
В частности, при - 4 •’ Хс <*fi< JCi j
PiXi< <XVAX;,L»<af- >Xn>AXi...AXat___
+ o faxj ... дх,) ma* asq -*o . ^^;..
4° Из определения 4.1 и 3° следует^ что если <ВР нецре-
рывна, то QnT
О«4..ГЭ«и ЙМ11.
существует и непрерывна всюду, за исключением, быть может, не- ’’
. v.-, - •- W
которых точек, принедлежаадас конечному числу гиперповерхностей
в R (вообще говоря, (4.6) имеет место почти вседу в
Г ).
Запись дальнейшие свойств для наглядности приведем для
случая t-а , обозначая
5^Из определения 4.1 и теоремы 2.1 следует, что если вектор
$ имеет плотность, то и каждое частное распределение
"подвектора" шеет плотность, причем при
Ясно такие', что любая кусочно непрерывная неотрицатель-
ная и нормированная функция р(^с) , хе£ может быть
плотностью некоторого распределения. л
Пример 4.1. Пусть - некоторая область из Я ,
имевцая объем . Говорят, что случайный вектор
имеет равномерное распределение в. 50 , если
Рл* (ЗР) * Jfat (4.3)
/ s угя» *
Здесь - функедя-ивдикдтор области SO . Если & -
некоторая другая область иэ , имеющая объем, то
кc3nJsr: '
Пример 4.2. Рассмотрим функцию
Р&И»—i— охН-
Г.™’ H. «5 (% J
где t
Т.к. - неотрицательна и нормирована (покажите
это), то она является плотностью некоторого распределения. Это
распределение называется двумернш нормальным (гауссовым) рас-
пределением и играет важную роль.
8.4.2. Рассмотрим двумерное распределение с плотностью
и пусть в окрестности некоторой точки
плотности , Р^(*Ь'Pity) непрерывны и положи-
тельны. Рассмотрим полосы Jx = [х,Х4дх]х ft4, ,
J|= и прямоугольник М» 1Х П ft
150
Обозначаяу<(М1» 4х*4^ и используя свойства плотности, за- •
М10)
( Jr)(х)лх+Р»|$|
Используя свойства условной вероятности и действуя аналогично ,
дискретному случав, запишем: , _ , ,
хРЦЦ) P(j£kl?el,J МЛП
Р1?« Ь №4* L
РЦй Jxlf* Г,| * ?
Теперь становится естественна следующее
Определение 4.2. Если , то
называется условной плотностью вероятности О
/«лс , а если /Ol>0 «то
14.13У
при условии
называется условной плотность»
при условии,
Таким образом, одномерные плотности можно записать в видё^
представляющем непрерывный аналог формулы'полной вероятности: 7
’ IW
zjh
А * ZРм (уюжс
8.5. Независимость случайных величин
Если некоторый эксперимент Сх повторяется в неизмен-
ных условиях R- раз и в каждом из экспериментов измеряется
некоторая случайная величина , то ее значения в различных
экспериментах не зависят друг от друга. Это значит, например,
что информация о значениях в экспериментах 1,2,
ничего не дает для прогнозирования значения fj в экспери-
менте и . Понятие стохастической независимости является
очень важным*для теории вероятностей и ее приложений.
Определение 5.1. называются независимыми
' (в совокупности), если для любых борелевских
Полагая ='("•<», Хк), ic=4,R. \ запишем это условие в виде
(х4 .СС»")- П $к(х«Лзс4|„•jXn.cR4 (5.2)
, Используя тот факт, что борелевские множества порождают-
ся полуинтервалами, можно показать, что (5.2) влечет (5.1) ,
т.е. эти условия эквивалентны.
Таким образом,_вся исходная информация о п~ -мерном
случайном векторе £ с независимыми компонентами содержит-
ся в его л. одномерных ФР , lc«i,n. его компонент.
Это очень упрощает анализ i
Если , к» JJE. •, то в случае неза-
висимости из (1.6) и (5.1) следует, что вероятность попадания
в п, -мерный прямоугольник Б® равна
dP{ Ди Э^Сх.0 (5.3)
Упражнение 5.1. Пусть ,4) имеет и ®
§,2- независимы. Используя (5.3) и (5.2) покажите, что
> вероятность попасть в прямоугольник В= 8>1хВ>а
.152
<-.п- .
можно записать в виде:
Р{ ^,7)еЬ1-Лк,Ля?<д(*,«)-4С^ (лХ^Н(в.«
Далее для простоты и наглядности рассмотрим случай п.«2
8.5.1. Независимость дискретных СВ. Пусть со-
средоточено на множестве йЛ из Л/ точек, среди кото-
рых при Ы»оо нет предельных точек; X s... хп I
-проекции точек из $ на оси абсцисс и ординат соответствен-
но, так что ;
-двумерный закон распределения на X*Y , причем
-одномерные законы распределения на X и Y соответственно.
Теорема Б. I. Дискретные СВ независимы, если и
только если
(5.6)
причем %* Y
Доказательство. Необходимость. Построим систему прилегаю-
щих прямоугольников и заметим,
что содержит лить одну точку из Xх У .
Поэтому в силу (5.1)
fa - РЦе
для любых ie J , jj е J . •
Достаточность. Пусть - борелевские множества на пря-
мой, Й)ос»£>,/!/ , Ьу-ВгЛУ .Тогда
~ by} * fa ~
• Хб.6)
= 'Efc-ZL p-j * Р4?еМ-.
4 _ ______________________________________
Следовательно, (5.5) влечет (5Л) , причем вероятность (5.6) I
положительна, если (
153
Таким образом, а случае независимости дискретных СВ век
вероятностная масса сосредоточена во всех точках ,
C«TJe 7 пряюугольника Х*У .При этом условные ве-
роятности совпадают с безусловными:
PH-x.lt-fch .
Пример 5.1. Пусть у, Y’f-i.iJ • I) Величины 1/* • 11 ?/♦
NJ '1 4 |Х
- < ! ! 1 | </« ; i/v I 1/2 , | . - -
! 1/* | 1/2 •1 0 * $
Z|.Vr 1/г| « 4А •4
независимы, т.к. условие* (5.5) выполнено.
2) Вел1 X? CS тчины £ ,7 1.3 i/y Hz . • it 4
• г л/t ji/i I i/г ____
1 lz 1 1 > .4 '* l/8 u/s М/г • * <
X завист 3) Вел» -1 1 j/211 /г | 1 3/4 «к, т.к. условие (5.5) не выполняется «чины I 1/г 1 о I 1/2 . * \п .,л
1 1| Zi 1 ! 1 1 ! • ! [о р/гр/2 ' Г-""" (' " !• — *fl 1 1/2! 1/2 ! О * -5
зависимы, т.к. область значений СВ является подиночеством X*Y
т.е. (5.5) заведомо но выполняется.
Отмотим, что во всех трех примерах одномерные рлспредоле-
154
ния на X и на Y совпадают и являются равномернши дас-
кретнши.
8.5.2. Независимость непрерывных СВ. Как и в 3.4.2 рас-
смотрим двумерное распределение с плотностью р. и) к
цусть в некоторой области gcR* Р.
ограничены, непрерывны и положительны, причем'* ’ М
Проекции на оси абсцисс и ординат обозначим соответст-
венно «5*^ и
Теорема 5.2. При сделанных предположениях непрерывные СВ
2 независимы, если
А/? (Б-J
причем *S# '
Доказательство. Необходимость. (5.7) вытекает из (5.4) ,
т.к. для любой внутренней точки (х,у)€ в силу теоремы
о среднем значении интеграла
Т.К. х > й«ЛГО.
то (5.7) справедливо всюду в открытой области .
Достаточность. Пусть Ь<(В>а - борелевские множества на
прямой, &я:: = йиА&: , б>«;=Ьа051 . Тогда
= /'PAx}dx '
Ляс ъ ______ _1________ „
__ Следовательно, (5.7) влечет (5.1Уf причем вероятность
(5.8) положительна, если длины и Ьу положительны.J
Таким образом, при небольших ограничениях на плотность в
случае независимости вся вероятностная масса распределена в
прямоугольнике или системе, прямоугольников <£*3^ • При этом
условные плотности совпадают с безусловными
A6*1*3’ xe2lJ
155
Пример 5.2. Пусть случайный вектор имеет рав-
номерное распределеше в области ЛГХЖУ , где
X* y*
(нарисуйте эту of асть). Будут ли §,•(, независимы?
Решение. Плотность совместного распределения имеет вид
> (*у)е£г
где Xyfop ~ функция-индикатор множества tSf , а
‘J" Y)*
площадь «У .Т.к. эту плотность можно представить в виде
произведения плотностей двух одномерных равномерных распреде-
лений
А(хУ * ’Х6 е - ft ’6 Е‘'
соответственно на X и Y , то | и 7 независимый
Теорема5.3. Велм - независимые С8 на
<Л,01,Р> . - бореле вс кие функции, то СВ
7k»ЯиЦО . Ьф. также независимы.
Доказательство.. Здесь являются СВ в. сиду тео-
ремы 2.2 главы 6. Далее, juib УЙ^е j&‘ , к-ГТп.
р1ЛС?,«ь*М‘Р|,П1>Ц»)«М =
. Р! h i ;П РН^; Р1?к *4
8.6. Функции от случайных векторов
8.6.1. На практике часто приходится иметь дело не о самим
случайным вектором, а некоторой достаточно гладкой функцией от
него. Назовем функцию f; ft'1-* ft.1 боре леве кой функцией п. пе-
ременных, если прообраз каждого борелевского жокестваВс^*
есть борелевекое множество в ft. . Борелевскими являются все
156
непрерывные и кусочно-непрерывные функции, т.е. все вешне для
приложений функции.
Цусть на вероятностно^ пространстве <Л>ЛгР> задана
п- -мерная СВ (сл.векторЦ'Ц»,,..,^') и т. борелевских
функций & ;Qa-*R4 , i- i,m . Тогда аналогиедо теореме 2.2 ^
главы 6 СП»!) можно показать, что вектор гдф.
» ^’^гп также представляет собой т. -мерную СВ
на <Л,(Х|Р> , причем
(jp = Р^о-> 'Я1 ЦС*0))*.
» Л * ММ I)
« P{cu: fl 6°°»^)}, 7е •
В частности, суша, ревность, произведение я частное Двух
СВ при условии, что знаменатель в нуль не обращается, есть
снова СВ. Для приложений необходимо получить более удобные,
чем (6.1),выражения для ФР, функций плотности и других хара-
ктеристик функций от векторов.
Цусть, например, т«п-г и - дискретный сл.
вектор с законом распределения А.* Р4 ,
одеХрЗ^еХл. Тогда ю <6.1) «подует, что
.><М« 2 fij«Ж
Если же - непрерывный ел. вектор о плотностью
то
£,M)S '
(см.рис. 6.1). Здесь при сведении двоШого штеграла к повтор-
ному использована теорема Фубини. Производя замену x4*xt у
и замечая, что якоб1ИнгИх<^г5 1<о|в< .получим
1б7
и О»
(6-4)
Отсвда следует, что
£>О С*Э
Таким образом наш доказана
Теорема 6.1; Если у существует плотность, то и
имеет плотность (6.5) .
Для независима СВ с плотностями , |^г (6.5)
принимает вид:
<6-«
Эта форфла называется формулой свертки для суммы независимых
СВ и ее часто ааписывают в ваде
(6.ба)
аиалоги«ая формула для свертки суммы Н. независимых СВ, каж-
дая иа которых обладает плотностью, имеет вид
(6.7)
Очевидао, что операция свертки обладает свойствам коммутатив-
ности и ассоциативности.
Цример 6.1. феть , i Tjn- * неаависшше и одинаково
раслределеюше (НОР) СВ с экспоненциальным распределением с
параметром Л>0 каддая:
wG>c) > хе Н .
НаАти распределение & £ $ г . ’
Вмввнме. Формула свёртки (6.6), для неотрицательных СВ
ДМ»: / -дх.
А. ГУ)» ле
'!>1хл.ЛгеУ^лгё^,1>.
О °
Применим «могкцию и предположим, что
п-4)'
¥
ьЛ < > 9
ISO
и (6.8) доказана. Говорят, что СВ «51 с плотность» (6.8)
имеет распределение Эрланга с параметрам! П_= 1,2,...
и обозначают 61 € Еъ{(Л ,Л) .
Пример 6.2. а) Пусть имеет плотность х*) ,
<$=^1/^2 Тогда оо « «2?
5 -* 2 О -«Г
Если 1‘»Ла независимы, то и
3*Ф® Jfit , (6.9)
О 0О
A(i)— (6,10)
- «О ®
б) Пусть ,*« независимы и^{<Емэ(Л() , 1-1,2. . Тогда в
силу (6.9)
в) Пусть |i независимы и & € Л^/) < t»l,a . Тогда в си-
лу (6.9) и (6.10)
(6.1Г)
Говорят, что СВ<$ имеет распределение Коми (6.II) с парамет-
рами 0 и I, или<?< .
Пример 6 3 Пусть (£д,£а) имеет плотность
Тогда о е» <* • yf*
ybwtWd**» * (6.12)
Л/Х» • '“О . .
о во
<в13)
Упражнение 6.1. Пусть if ,fet независимы,^» Ltea Най- .
дите/^ф для
б)|/в£г/оГЛ) .
Пример 6.4. #Р СВ 2>|* и*йв* вид
Уг (»)* Р#< у) • Р И< 5 < if? f
......... I®
ЕслиЗ(^(х) .aeR* то
Л ’ г**',
В частности, при £ё//&(Гг) ‘
8.6.2. Цусть ^(^...^имеет плотность^у/УЛ Я^еХ?'* .
2< =^-6р, где $ - достаточно гладкие функции, i^/^L . Иначе
говоря, задана функция^ :R~»R и пусть h - обратное
отображение. ЗР ДЛя^Г-р^,...,^^ можно найти иэ соотношения
(6.14)
Где £> - любая' квадрируемая область, но нас интересуют усло-
вия, при которых 2 и метод ее нахождения при заданных
и % • Ответ на этот вопрос содержит следующая основанная на
известных фактах из Анализа „
Лемма 6.1. Цусть для УЗГб R таких, что З/^f
справедливо:-
1° О(- , - однозначны и непрерывны вместе с
для У.аЕ*€5О\®.=«.Ж>/ , где . ** ,
2° g - взшпмоодноэначнм^отображение, т.е. k(y') -
однозначная функция,
3° В окрестности V2?e%/ якобиан
Тогда если Sc*Z>' и ,чТ0
И?(6-15)
. Теорема 6.2. При выполнении условий леммы 6.1
Р?<616>
Доказательство следует из (6.16) и следующих равенств:
Пример 6.6. Пусть + ГП .О^ОГиА’ИкЛ ,dlM&Qt
л Тогда ,
Следовательно,
160
ГЛАВА 9. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Для полного описания СВ необходимо знать ее закон или
ФР. Однако, такая полная информация о СВ в приложениях часто
бывает недоступной, а иногда - излишней. Поэтому желательно
иметь несколько числовых характеристик распределения, которые
отражают его наиболее важные особенности и могут быть найдены
иэ эксперимента Числовые характеристики играют большую роль,
так как с их помощью удается полностью решить шогие задачи,
не используя непосредственно закон или ФР. Важнейшей число-
вой характеристикой является математическое ожидание (МО).
9.1. Математическое ожидание - определение и примеры.
Определение II Математическим ожиданием (или средним
значением) СВ называется
ПЛ)
если интеграл сходится абсолютно, т.е.
• <L2)
называют еще первым начальным моментом , a М1$1 -
первым начальным абсолютным моментом, причем вместо символа
(Mean) используют еще символ £ ( E-xpectlon. ).
Из определения 9.1 следует, что для дискретных и непре-
рывных СВ можно
записать соответственно в виде:
, если (i.3a)
(б2)7^с^(*)о1х, еслиCR)ц.за)
Здесь абсолютная сходимость ряда в (1.3а) позволяет изме-
нять порядок суммирования, а это означает, что в дискретном
случае ДЦ не зависит от порядка нумерации значений £ .
Заметим еще, что если >0 , и ряд в (1.3а) или интеграл в
(1.36) расходятся, то полагают 0Ц-.ДЦ1-»- .
Упражнение 9 1 Пусть ФР дискретно-непрерывной СВ Й име-
ет вед £
(1.4)
I6X
21-1390
ГДв ! s р>. f 1 .
Напишите выражения для Гиз которого (1.3а) и (1.36)
следует как частные случаи при и О
С физической точки зрения представляет собой коорди-
нату центра тяжести единичной массы, распределенной на оси
абсцисс по некоторому дискретному • непрерывному
fy(x) , или '’метанному (1.4) закону.
Чтобы дать с ап'сти”ескую интерпретацию, рассмотрим
простую СВ £ с конечным множеством значений^
Повторим h/ раз тот эксперимент (ж , в котором наблюдается
£ . и пусть ... , - наблюдаемые значения 1| .
Обозначая через X*. число появлений значения л*. , в этой се-
рии из экспериментов, - д/ , запишем среднее зна-
чение ’ЗС(М) наблюдаемых величин в виде
<>»>
Здесь pi* - относительная частота появления *"* ,
X • 4 • Так как Д является статистической оценкой
вероятности у9< яг*}, то (15) - статистическая оценка
для М (I.3a). /о\ 1/гЛ
ЦустьЛ, дискретно, так M/bLj» (A«|i *
Теорема I.I. Для дискретного Jl **
ЛЦ "-‘S.” w
если
Доказательство Так как^(мб9*15 (af‘)>‘*ej
разбиение SI , то
В общем случае можно показать, что
ail - , ci.?)
* * **•
всЛИ / к
Л1 ыЦбс) г Gw tyu>)| * 00.
Поэтому второй^ интеграл в (1.7) часто принимают за определение
162
, что дает ряд преимуществ, но требует знания некоторых
фактов из теории интеграла Лебега (1,3,5,7,10).
Запишем теперь (I.I) в виде
и проинтегрируем по частям:
Г^(хк1х .
Если x3|fx)»o при х>-м , a ac[l-$j661*О при х»+о© ,
то о
JUI = fcM* + в//1-Т|(хУ|с/< (1.6)
Формуле (1.8) можно дать простое геометрическое истолко-
вание. нужно из заштрихованной на рис. I.I. площади, помечен-
___________________________ di
Рис. I.I
ной знаком вычесть заштрихованную площадь, помеченную
знаком Этот же результат легко получить, если рассмот-
реть интегральную сумму Стилтьеса типа (7.2) непосредственно
для интеграла (I.I). № (1.§^ следует, что если >Q, , фо
. (1.9)
Пример I.I. Пусть - число успехов в схеме Бернулли
, так что Р4гл1'(н) .
Тогда n „
"Г • <ЫО)
Пример 1.2. Пусть е имеет распределение IfyaccoHa с пара-
метром Л , так что Pf . Тог-
Да <22 -Я -А 4^ п’*’'1
nkвУ_те Л. л2_ д . ci.ii)
153
Пример 1.3. Пусть $€Randl(*i6) , т.е.
r,t ] о , .
Тогда . 4 л
Пример 1.4. Пусть имеет экспоненциальное
ленив с параметром А , т.е. ЕхрССс-»
<s> Ptfc)-ae"AXu6e) , ®ceR‘ .
(I.I2)
распреде-
<1.13)
Л^х/где^аг»- xeA*Q ..
(I.I4)
Следовательно, если продолжительность безотказной работы не-
которого прибора имеет распределение ЕГосрСД) , то сред-
нее еначение длительности безотказной работы этого прибора
равно £• .
Пример 1.6. Пусть имеет нормальное распределение
т е
’ °ceP< tIIW
Производя под знаком интеграла (I. Эб) замену у • ,
‘получим: . ж t <м i
Первый несобственный интеграл абсолютно сходится и равен 0 в
силу нечетности подинтегральной функции. Замена Ц*?2 -i. во
втором интеграле дает:
Следовательно,
ДЦ-О. , (I.I6)
и мы выяснили физический смысл параметра Л . Смысл параметра
О'* будет выяснен позже в этой главе.
Пример 1.6 Пусть плотность некоторой СВ £ симмет-
164
1
рична относительно некоторой точки Л. , т.е.
fa+x) t eftf £>л . С1.Г7) х
Тогда, если (x+ei)Jx < «о t то 3<^|=Л. , так
как замена у»х-о. дает:
Здесь в правой части последнего равенства второй интеграл ра-
вен I в силу нормированности , а первый - абсолютно
сходится в силу предположения и равен 0 в силу симметрии функ-
пни ftty+a) относительно точки 0. Очевидно, что этот при-
мер влечет ва собой результат предыдущего.
Пример 17 Цусть 4= имеет распределение Ноам с плот-
ностью
Л ' яг₽'е* (I.I8)
Здесь не существует, так хак
Однако, если учесть стметрию распределения Коши относйтель-'
но точки 0 и принять эа значение^ несобственного интеграла его'
главное значение по Коии "° ’ то йн0ГДа 4*°™- .
мают, что и .
9.2. Свойства математического ожидания.
МО обладает рядом простых и полезных свойств.
1° Если С - постоянная, то
JHC-C, ЛЦ-СЛ) : <гг>
Доказательство сразу следует соответственно из (1.3а) и
(I.I).
2° Если ,tojU|>0.
Доказательство сразу следует ив (I.I), включая случай
.
3° Если t то существует и * (? .
Действительно,
I6B
щ|х| J«-«/3j#)|<
существует, то
«г— ДигаамфАСУМ сразу следует на определения.1.1. •
aJfi.ХЬйГЛЖсно'теореме 2.2 главы б ие того,что J - СВ, ,
^борелевская (в частности, кусочно-непрерывная) функция, сле-
дует, что - т«в СВ. Следующая теорема позволяет
находить МО функции от СВ по ФР аргумента.
Теорема 2.1. Если и 6е) <в,в , то
и «• *
J<1» • <22)
Доказательство. а) Рассмотрим сначала дискретную СВ£ с
законом распределения (ЗР).
. РЦ-*Л-:РоХ-Ц;/е^)
Тогда * тоже дискретная СВ с ЗР
Y-«М'/Л • “*/> £*<
Так как отображение порождает разбиение
.>(*)• ' ,<?о
•!2Я
ъ- Поскольку по условию * 00 > то все пере-
становки членов ряда (2.3) не нарушают его сходимости, и для
дискретной СВ £ (2.2) доказано. .
б) Пусть теперь 3 ft »• а функция принимает не более,
чем счетное множество значений, т.е. q(R*)*Ys Д!
Тпгдд.
Г.’ S’- ? '' ' • . - ' ' (2-4>
В последнем равенстве использована аддитивность интеграл* Ри-
мана и тот факт, что отображение е'1 порождает разбиение
$(*’)•• St j . Поскольку по условия .
о» t ч6 Bce операции над рядом в (2.4)
законны и (2.2) доказано. #
С помощью предельного перехода теорема 2.1 доказывает-
ся и для любой непрерывной функции £ , нц мы Не будем приво-
дить это доказательство. ‘ •
Заметим еще, что теорема 2 I справедлива и в более обдам
случае, когда f*" < а борелевская функция
| .• ft*- ft* . Здесь
М 4 ПП ’ * (2.6)
а при существовании плотности
(f ь <2 в> ,
6° Рассматриваемые в дальнейвеы СВДД или^х.'..л|*ац|айм ИПТ?Д
одном вероятностном тфостранстве, что позволяет цроизводитьйаД.
ними различные арифметические операции и затем вычислять М0 ?г
Теорема 2.2. Если цЦ^ и существуют, то существу-г
ет и , причем ,
Доказательство а) Пусть “ Дискретная СВ с дву-
мерным ЗР . <!,
Pi> X-.i’iU»7f. Y- Гу..,*i,
Здесь одномерные распределения
Epk«l ,
причем по условию теоремы {
Л I* I - £ hj I ft. < - , A111
Тогда имеет закон распределения
- г ftk Sf;
ev vy~ Л Г- . (2.8) .
'*‘“‘-5 'Ч£,.»-2Ь
♦ <2'”
j * *• *
Следовательно, существует и повторяя (2.9) для U4£ с
Заменой 4 на » получим (2.7).
б) Цусть С i>,?) *• непрерывная СВ с плотностью .JC/eX>/ .
Тогда в силу (6,5) m3 сУмма +? имеет плотность
* *• “** (2.10)
- / < / Isdcix/МЧзМм +
Stef*
Изменение порядка интегрирования здесь возможно в силу ’
абсолютной сходимости соответствующих интегралов . Сяедова-
тельно,^.^ существует и повторяя (2.10) для с заменой
на» получим (2.7) .
Заметим теперь, что определение посредством интегра-
ла Лебега (1-7) имеет ряд преимуществ по сравнению пос-
редством интеграла Стилтьееа (I.I).
Например, доказательство теоремы 2.2 для дискретногоЛ
и для произвольного Л записывается соответственно так:
ФНкЯв СлК(Я|
4м& - ***А ьфЯ
'' ' ' Однако, мы будем пользоваться и дальше интегралом Стил-
V Тьеоа в виду близости его теории, кратко изложенной в главе 7,
./•‘168
к хорошо известной из курса Анализа теории интеграла Римана.
Следствие. Если существуют... , а С*,... ,Л-
некоторые постоянные, то существует JU. » причем
. (2.II)
Доказательство Цусть , 1”^ . Ив (217) по
индукции следует, что МО обладает конечной аддитивностью:
Из конечной аддитивности и свойства 1° вытекает (2.II).
Это означает, что МО обладает свойством линейности.
7° Теорема 2.3. Если и ? независимы и существуют.
, то существует и • причем
(2.12)
Доказательство. По аналогии с теоремой 2.2 рассмотрим
отдельно дискретный и непрерывный случаи,
а) В дискретном случае в силу независимости одномерные рас-
пределения
Р14 ».'Ч . £ Ч - * ; НмМ - *r‘>2k‘*-4
полностью определяют двумерное распределение
i$.urk , .
Тогда СВ ^*£'2 имеет закон распределения
f ...7 - Z7 Ч >4 , « ь > бе s } .
S?- >urk • I.
Далее,
** (213)
< t*o ;
k<Jt
Следовательно, существует повторяя выкладку <2.13) для
получим (2.12).
б) В непрерывном случае мы рекомендуем читателю доказать тео-
рему самостоятельно.
169
9 3 Старей» моменты. Дисперсия и ее свойства.
Определение 3.1. Начальным моментом порядка п СВ на-
вивается м
(3.1)
При этом предпол;.. пется, что существует и абсолютный началь-
ный момент __
во. (3.2)
Второе равенство в (3.1) - (3.2) записано на основании
теоремы 2.1.
Теорема 3.1. ЗсСп ”^3 . (3.3)
Доказательство Легко видеть, что |3C|W< |acl"+l как
при (Xt <4 , так и при 1x1*1 Поэтому при m<rt
Определение 3 2. Центральным моментом порядка и. СВ^
называется м
:sM(% ”<*<) »(3,4)
При этом предполагается, что существует и абсолютный централь-
ный момент Уп !««/(| <*» .
Здесь О «/(ел'Эап t .
Упражнение 3.1. а) Покажите, что
, п.»о. (3 8)
в) Вычислите с помощью (3.5) значения Jit* при /г«4?
Определение 3.3. Второй центральный момент СВ £ называ-
ется дисперсией w
)« /(***<№%(*). (з.б)
Дисперсия характеризует рассеивание, разброс СВ вокруг ее МО.
В механике аналогом является момент инерции относительно
центра месс Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата СВ,
170
то у приложениях бывает удобнее использовать стандартное (или
среднее квадратическое) отклонение , имеацее
размерность СВ, а также при безразмерный коэффици-
ент вариации • Все эти три характеристики - ,
б* , ТЛ - дают представление о возможных отклонениях значе-
ний СВ от ее центра группирования ,
Пример ВЛ. Вычислю! центральные моменты СВ вЛи^<Гд
Поскольку в примере 1.S ш показали, что а.»М^ » то исполь-
зуя (3.4) и производя замену Ц:= £&£? , подучим: g
7у"е^-
Следовательно, при нечетном лж2^*1 . Если И.
четное, то! полагая и*2k и производя замшу ^г-<?2
получим: I в® , • ©о.
/ о
—iknk _
.2k к
= <г*(гПН-
к! 2Л
Здесь мы использовали известные из Анализа определение гамма-
функции и следующие ее свойства:
Из (3.7) вытекает, что
7*е« б*а , /ц *36-* . (3 0)
Итак, СТ2* 5D£ , т.е. мы выяснили вероятностный смысл и
второго параметра нормального распределения; Поэтому нормаль-
ный закон распределениядля некоторой СВ £ пол-
ностыо определяется заданием двух параметров:
Кроме коэффициента рассеяния, используются еще безразмер-'
ные коэффициенты астыетрии и эксцесса .
» причем последаий применяется обычно
лишь для непрерывных СВ. ;
** ,
Коеффифинт «симметрии , если распределение
сюжетрично относительно ЛЩ « если распределе-
ние £ имеет большие отклонения от вправо, чем влево
("более длинный и/или более тяжелый правый хвост") -
в противном случае. Величина Из характеризует степень
отклонения от симметрии. На рис. 3.1 а воображены две асим-
метричных плотности распределения: (*> . vatwt положи-
тельную, a ftt(' ) - отрицательную асишютрню, причем для
наглядности •
•> б)
Ряс. 3.1.
В силу (3.7) эксцесс нормального распределения равен 0.
Поэтому, если у СВ^сучествует плотность р^(Х) и Ki/ty^O ,
илм » то говорят' что имеет соот-
ветственно нормальный, положительный или отрицательный эксцесс.
Грубо говоря, осям ,©£»<?* • т0 по сравнению с
t й рРМ1И* ft(*) 8 окрестности точки л прм/4ф>0
расположен над графиком ft (х) , поскольку распределение скон-
центрировано вокруг среднего болыве, чем нормальное и под гра-
фиком ft(*) при • Н» рис. 3.1 б изображены нор-
мальная плотность ft (х) ; более высокая и более островеряин-
ная плотность о положительным эксцессом; более низкая
и более плооковорвютая плотность fttC*) с отрицательным эко-
цоогом. Для наглядности вое СВ имеют одюшковые Ж) и симметрич-
ные распределения.
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
I’ чц ~лг-бщ)г>е. ' «а.»
ДяЯетяятыяно, > owjv о,оИот, ИО 4bf‘MQ-<td*O я
172
Действительно,уьг(&) *Л$г-2.4>ЛЛ% т и мтимум
достигается при . Это значит, что явля-
ется наилучшим среднеквадратическим приближением для СВ .
1Р аО , если и только если 1 . ,
Доказательство. Если > Cj » i , то JULt^C ,
ОЦ4 = Сг ,^-СЛС8-О . Обратно, если7)Л^^-^ЯС»
то РЦ-ЛЦ«О>«4 •
4° -г?22>£ . (зло)
Доказательство сразу следует из (З.б) я свойств ИО.
5° Теорема 3.2. Если §£,<>< Д* - попарно независимые
СВ, у которых существуют дисперсии, то
• «•«’
Доказательство. Цусть Дь “ . TorflacZ£fc>tt/f|k
6° Теорем 3.3. Еолх^Цг<°° , то дхя Ve>0
P4IM >е|«•£ <злг)
Доказательство. По определению интеграла Стилтьееа
Р 4 ||1 >£$ М
Поскольку в области интегрирования |te)/£ >1 , то
Urt »£ e мй»6 “**
Следствие (неравенство ЧебыиеВа). Веля < «о , то
ДЛЯ V£>0
p{l^-vW^I»sf, <».»>
Для доказательства достаточно в (3.12) вместо £ веять
7 173
Неравенство Чобывева позволяет с помоцыо дисперсии оце-
нивать вероятность отклонения от М.^ . Подробнее мы оста-
новимся на атом вопросе в сладуючей главе.
Цжмер 3.2. Цгсть - независимые СВ, при-
чем • Тогда
и в силу свойств МО и дисперсии для СВ полу-
чим: п _2_
Вели - НОР СВ, т.е./Ьу> . , то&^^-Т^
Пример 3.3. Цусть £ € ПМ)
. Тогда
г -J » J" J к 1*‘4
*5 *•<> П п! & ЛийХИ'<Ч*Хи-П}
Поскольку впримере 1.2 мы похавали, что , то
Пример 3.4. Цусть Д-fcRano/<3,1’) . Тогда
. ? Э «М< -ИЧ
* £ (4a,-‘U> +а1) -
Следовательно, дисперсия равномерного распределения зависит
только от длины интервала (a, 4J и растет по квадратичному
вакшу вместо с длиной интервала.
Цример 3.6. Цгсть^^Гул , т.е.
'^>о-
Ttor* 11 it Тх**'^-**^ 1 L"4-1 -*!
» Г<п*^ _el6t+4Y..6Un-A .
А*Гба Г5 , п>1 .
> 174 .• ' •; .
' V ‘ 1 ’
Поэтому £ •
Так как ГСА,О«*Ехр(А) , то для £ с ЕлрбЮ
ЛЦ-В^ ,п,с »i-/.
Упражнение 3.2. Вычислите коэффициенты асимяетраи и вкс-‘
цесса для а)£ « Hand (о, 4) ; 0)|«Exf>fA)
9 .4. Моменты многомерных СВ. Свойства коэффициента
корреляции
9 4 1. Рассмотрим теперь моменты адогомерных
пр чем для краткости записи рассмотрим сначала случай и»2 ,
полагая
Определение 41. Смеианным начальным моментом порядка
(i,t) (или i*lt ) называется
*•* (4.П
примем
3 /<4х/ «•# •
Здесь о(;в~ и если £ наммсимы, то
о/, 4 «. Для дальнейшего удобно обозначить:
Определение 4.2. Сметанным центральным моментом порядка
(i,k) (или ) называется
. (4.3)
причем
3. (4.4)
'^мечтами порядка 2 здесь являются М
ковариация
С4>1Г^»
Если «2 независим*. и, в чаежоеан»'
' Г»
J4it
Теорема 4.1. (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). Если
у СВ существуют дисперсии, то
. <««>
- Доказательство. Поскольку2}а&14л*+ ,
то полагая и вычисляя МО от обе-
их частей последнего неравенства,получим (4.6). 4
Цри *£ж$ из (4.6) вытекает___________
Следствие!. jU||144Mg = fag. (4,7)
Следствие 2. । |«Qj . (4.8)
Двйствительио,
д|(?1«£й(г«Е=^б-г.
Определение 4.3. Если , 6L>O , то безразмерная
величшш > <
ft = СтгСЬУ (4„
^1’? (5| (Гг '*w
называется коэффициентом корреляции между и 7 •
Установим теперь некоторые свойства коэффициента корреля-
ции,
г <410’
Доказательство сразу следует.ив (4.8).
2° Если Д <* О , Оа^О » те легко видеть, что
Ь 4 =р . . <4.П)
»Л»|*44,<*»{♦ 1« |С1<1 Гл*} * 1»?
Отседв следует, что коэффициент коррелщди не зависит от выбо-
ра начала координат и единицы измерения для и для .
так как при Л«>о , а*>о .
(4.11а)
Можно сказатьvчто Pi » является мерой линейной зави-
ашости между < и 2~Л **1
EcJttcJi.j'O , >O или <o t то £ и 7 называются соот-
ветственно некоррелированными, положительно коррелированными
ида отрицательно коррелированншш.Яз независимости ,7
следует их некоррелированность, но следующий пример показы-
вает, что обратное утверждение неверно.
Пример 4.1. ItycTb имеет равномерное распределение
в кругерадиуса г (см. рис. 4.1.)•
•ffxydactfy « о ,
т.е. | । */ • нскоррелированы. Однако, | • зависимы, пос»
кольну из рис. 4.1 и (4.13) следует, чтор^р#^(у1^»лс) .
9.4.2. Для Н. -мерной обозначим •
KljsKjtAHA • (4.14)
Введем ковариационную матрицу
(4.16)
Здесь ku-ЯЦ1=. <57г , матрица ) является симметричес-
кой и содержит «(«♦«>/£ , вообще говоря, различных элементов.
Теорема 4.2. Если J . то для постояяого вектора
С ^С1,Сл,..On)
177
23-1390
'iTlKff )Г>0 . „.и,
*•* 9м
Девствительно,
Следствие I. Поскольку в силу (4.16) K(f*) - неотри-
цательно-определенная матрица, то в сиду известной из курса
Алгебры теоремы Сильвестре все ее главные миноры неотрицатель-
ны:
К ,... Д Ю »Ч* Ч * •. * ,<”•& . (4.17)
Цри т»2 отсода также вытекает неравенство (4.8) .
Следствие 2. Если СВ некоррелированм (тем бо-
лее, попарно независимы), то
-TJClciVV >’е’ ®|. • «»>
В частности, при Л»••• «<3»w/ отсода вытекает (3.1!).
Определение 4.4. Если б; >о , i-Гл , то
„ /< Г<« ... fU\
« КЛНД’ * ЛЧ (419>
’ Jb. d /
называется соответственно коэффициентом корреляции между £,
И и корреляционной матрицей для «Г* .
Упражнение 4.1. Покажите, что
.где 95-Л.А» (С.,,
б) Ccj*}• Останется ли это
соотношение верным для Сапа ?
Упражнение 4.2» а) Докажите, что для последовательности
СВ справедлив 314, если'2)^*,х> , ^'*1 и
*) Ю1 ^0 » i или б) k{j~-*O равномерно при Ic-jl*00 .
Упражнение 4,3. Докажите, что если . то
Эа,1« такие, что (з
1’,-н
9.6. Условные математические ожидания. Регрессия.
9.6.1. Цусть <52, а, Р> - вероятностное пространство;
Be Л , Р(В)>0 - произвольное событие ненулевое вероят-
ности; ^(А)4ТА(МЛ/Р<в)- условная вероятность,
Тогда согласно 93.3.1 также вероятностное про-
странство и если - СВ на <ifl.,(X,P> , то £ - СВ и на
с условной «Р
3" (х|Ь)- (».1>
Определение 6.1 Jл'(л<5.2)
называется условным относительно А МО § в пространстве
<Л,а .f^> . Поэтому для дискретного и непрерывного со-
ответственно
<Ъ.2л)
Пользуясь интегралом Лебега, допускающем совершенно оче-
видную интерпретацию для дискретного J2 » введем
<оэ>
Теорема 5.1.
Действительно, в силу (5.2) и (1.7)
Теорема 5.2. Если ^(Я) = ббм) . И
существует, то для него справедлива следующая форцула полной
вероятности:
, и | = Z РСВ.^Л($ IМ <».»)
Доказательство.
Заметим, что правая часть (5.5) имеет ВИД МО Новой Дис-
кретной СВ с зр Рб&и)) и.»1 .
Поэтому (5.5) можно записать в виде
(в.б)
Эту формулу иногда называют формулой полного МО.
9 5.2. Цусть на <Л,Л,Р> задан дискретный случайный
вектор с
(см 58.3). Если fij— I , то
, j<7 <’•”
Так как - разбиения Л , то (5.5) выполняется:
' <8-Я
Рассматривая теперь (5.7) как дискретную СВ с ЗР(/^ ) ,
jtd » и обозначая ее можно записать (5.8) в виде
следующей формулы полного МО, обоцмцей СЛв):
Mi • М1Л($1?)] . <S.9>
Условные МО обладают теми же свойствами, что м безуслов-
ные. .
Упражнение 5.1. Цусть существуют
ивмеримая функция. Докажите, что
1° Если | ,0 независимы, то
<5.10)
2® • (5.П)
3® > <5Л2>
4° . (5.13)
Указание Отчала моимо принять, что Л дискретно, а
затем использовать интеграл ДеСога. а
9.5.3. Цусть теперь^, 2) йиевт плотностьД?^^/^.
Здесь при &• 1^*/^ и любому ЙВ)*4>» так что уже нельзя
непосредственно воспользоваться форму ..оми (5.1)-(5.2), как
это мы сделали в дискретном случае. Одаахо, используя при
условную плотность
(ом. 58.4), и предполагая, что существует, определим
условное МО g следующим образом:
(j‘Piq>’oi. (’л4’
йюсматривая теперь (8.14) как СВ о плотностью Яуб/9 *
g1 ) скова получки формул (5.9) полного МО:
180
Наряду с МО можно рассматривать условные момент более вне-
вих порядков.
Определение 5.2. функции
/W-гЛ® .///£/§-г)
называются соответственно регрессией на и £ на £
В первом случае J , а во втором - | считают неэавксшой
СВ и называют регрессионной переменной. Кривую (х,
называют кривой регрессии р по х , а (tbCy)*#) - кривой
регрессии по у .
Если , у независимы, то ,
т.е. кривые регрессии - прямые линии, параллельные коорди-
натным осям и проходящие через центр, масс . Если
кривая регрессии есть прямая, то регрессия называется линей-
ной.
Пример 4.1(продолжение). Если ?-> , то
| д Rg>wl6ft*-i* , а если |»ле , то
,ixl,l|l< t . Поэтому гч«(и)»о »
ги,(х).о, Т)(^)*/«- ЦМ.*,Й$(2||»зе).
5° Здесь линия регрессии % по х совпадает с осью f , а *
по | - с осью у .
Обе условные дисперсии монотонно убывают от I? при
или *«о до 0 при или x«t .
9 6 №огомерное нормальное распределение
Определение б I. Говорят, что ,£„)имеет иевн*
рожденное п. -мерное нормальное (гауссово) распределение, ес-
ли nt -ж , ковариационная матрица l^r •.&:
невыроддена и
В этом случае € /К» \
Пример 6.1 а) Цри л»/,« так что‘
и
к'е/г‘' (,г’ к
'. _
^|К₽/Л/^5*ба>0.®сли , .4 z . °i?’0 >oi
* f (-.Р/ад j/e-pyj-p* ’
<63).
Тмш обрааоы, мы выяснили сшсл параметров многомерно-
го нормального распределения, введенного нами ранее при п«1
(раздел 66) и и»а (раздел 8.4).
- Теорема 6.1 Если компоненты нормально распределенного
случайного дектора некоррелированы, то они нвеависиш.
’ Действительно, в этом случае <5<\..., ,
. так что (6.1) мечет:
^-Пр4Л?> '
Следствие. Если Kf) , то СВ и
- %*’ неэавистш .
Действительно, так как Jlfy •Ji&J&'O , то
,$.)*<W<<О .
Пример 6.2. Если • то условная
A Я' *(x'f
5 2 Д,6г<) ' П
Следовательно, условное распределение является одномерным*’**
нормальным, и его условное МО и дисперсия соответственно
равны
Тмим обраеом, регрессия по и аналогично по а:£
ямяется линейно*.
182
ГЛАВА Ю. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
10.I. Массовые явления и устойчивость средних
Предметом теории вероятностей являются закономерности, ,
присущие массовым случайным явлениям. Например, уже очень дав-
но было замечено, что если Л/ , представляют собой
результаты серии измерений со случайными погрешностями некото-
рой постоянной величины CL . то среднее арифметическое
х« X является хорошей оценкой для <х , если п.
достаточно велико. Действительно, случайные отклонения от
среднего в каждом отдельном измерении при суммировании взаим-
но погашаются, так что при большом числе измерений в серии их
среднее при определенных условиях является уже не случайным,
& почти детерминированным. Это позволяет говорить об устойчи-
вости средних при большом числе экспериментов, в данном приме-
ре - измерений.
В разделе 4.6.2, посвященном интегральной предельной тео-
реме Цуавра-Лапласа, была доказана теорема Я.Бернулли, соглас-
но которой в серии из п. независимых экспериментов с постоян-
ной вероятностью р успеха в каждом иэ них и общим числом
успехов для
Pf «•«
Оба приведенных здесь примера устойчивости средних Ж и
относительных частот «£& являются частными случаями закона
больших чисел (ЗБЧ), под которым в теории вероятностей понима-
ют ряд теорем о приближении средних характеристик для длинных
серий экспериментов к некоторым постоянным.
10.2. Неравенство Чебышева.
Теорема 2.1. Йели у СВ | сучестйует абсолютный момент
а*. Г|«№г. («) «•»
-МВ •
порядка , то дм?£>0
< <2a
w
183 •
Доказательство. По определению интеграла Стилтьеса
Тм жав в облаетв ж*агп|рованиа ма 151 >4 вытекает, что
. -
Следствие. Вели У СВ существует дисперсия , то
1^- (2-3>
Доказательство. Применяя (2.2) к неотрицательной СВ
’ ПОЛУЧЧ“
Заметим теперь, что поскольку
р1ц-^1<£}+рц-и^1>«Н,
то неравенство (2.3) вквивалентно неравенству
РЙ-иц><еН_?£- <2-4’
Эти неравенства были получены в середине 19 века незави-
симо и почти одновременно И.Бьенеме (Франция)и (Знаменитым рус-
ским математиком А.Л.Чебывевым. В настоящее время его обычно
называет неравенством ЧебывевЯ, поскольку П.Л.Чебымев исполь-
вовал его для доказательства одного ив вариантов ЖЧ.
Следующий пример показывает, что если у СВ £ известны
ливьД| иф| и нет никакой другой информации, то оценку,
которую дает неравенство Чебывеза, улучвмть нельзя.
Пример 2.1. Рассмотрим следующую дискретную СВ М :
ЗдесьЛ^«С> , я 4* .Поэтов
достигает своей верней границы неравенства
Чебышева. 4
Если случайная величина имеет конечное среднее зна-
чение Q.| и дисперсию 6^а , то полезной для приложений
мерой концентрации t вокруг среднего значения является
функция
"к*5! +
=Р{ < к)-£ (yksj)- 5 (^^ > U W
* к>©.
Так как Q|(M является функцией распределения неотрицатель-
ной случайной величины
5=мй , «.«
то при В частности, (h)» O
при YhCO и
5'J(+o')-Qj(to’) -Р^-аН
Если функция распределения случайной величины извест-
на, то (2.5) позволяет получить и при . Дос-
тоинством же неравенства Чебымева является тот факт, что оно
дает при оценку снизу для , верную одновремен-
но для всех случайных величин, у которых существует конечная
дисперсия: ,
. (2.7)
Для того, чтобы воспольвоваться этой оценкой достаточно
знать только два первых момента
Разумеется, (2.7) - грубая оценка и знание старвих момен-
тов и особенно самого распределения , позволяет эначитель*ч
но ее улучшить, но сила (2.7) состоит именно в универсальнос-
ти и простоте.
Вычислим ( к) для нескольких непрерывных распреде-
лений - нормального, экспоненциального и равномерного и соло-
ставим полученные результата с оценкой (2.7). Результата это-
го сражения приводятся на рис. 6.1.
Если имеет нормальное (гауссовское) распределение, с
параметрами СЦ и » ♦*
Je’^/зс « $(Ю - к»О (2.8)
где $(<) - нормальная функция распределения, таблица значе-
ний которой содержится в приложении.
Если | имеет экспоненциальное распределение с парамет-
ром Л . то
ti-e-" Х»О,
(2.9)
Если | распределено равномерно на отрезке fa (£ j . то
I С, хоа,
»«*«**,
G » 4<х,
ftte. ID. I a) для | , V^>0 )
б) (?|(М для I « А/(Л >б*> » Ya« R\ V<5-e ;
в) $|(|,) для | €ЙЛ/И>ОМ(а,|>), Уа.НЙ4, л<Ъ i
г) нижняя граница для Q* (Ю иэ неравенства Чебышева.
Рис. 10.I показывает, что для практических расчетов не-
равенство Чебышева дает для Q* (X) очень грубую оценку, но
большая простота и универсальность этого неравенства позволя-
ют получать с его помощь» важные теоретические результаты
качественного характера.
10.3. Закон больших чисел в форме Чебышева и Маркова.
Рассмотрим последовательность случайных величин
, определенных на одном вероятностном прос -
ранстве, и обозначим через сумку первых случайных
величин 1 «
(3.1)
^«еет место следующая
Теорема 3.1 (теорема Маркова). Если последовательность
случайна величин такова, что существу*
ет и
'&Н » О « ° ) > (3.2)
П-*оо гь
то для V£>0
Zim (3.3)
Доказательство. Применяя к неравенство(2.4) и
пользуясь тем фактом, что вероятность не может превосходить -
I, получим:
Переходя в правой части к пределу при и используя
(3.2), получим (3.3). . «е
Определение 3.1. Если последовательность
обладает свойством (3.3), то говорят, что она удовлетворяет
аакону больших чисел. «о
Определение 3.2. Последовательность (Mhik-i Н6“
эывается последовательностью независимых (некоррелированных)
187
случайных величин, Вели для¥п»2 , 1<* «<*•*»•••}
таких, что случайные величины
>••»><•»являются независимыми (некоррелированными).
Теорема 3.2 (теорема Чебышева). Если (^гЛи^/ пос“
щдователвность некоррелированных случайных величин, диспер-
сии которых существуют и равномерно ограничены
, (3.4)
то эта последовательность удовлетворяет ЗБЧ (3.3).
Доказательство. Покажем, что из условия Чебышева (3.4)
для последовательности некоррелированных случайных величин
следует выполнение условия Маркова (3.2), а, тем самым, и
ЗБЧ (3.3). Действительно, так как для некоррелированных слу-
чайных величин п
ТО
фДп <К^.° *
Заметим, что первоначально закон больших чисел был сфор-
мулирован именно в форме теореш Чебышева для независимых
случайных величин и именно в этой форме получил наибольшее
распространение. Это объясняется тем, что в физической моде-
ли реальных явлений независимость является наиболее простым
предположением, а условие (3.4) в приложениях обычно выполня-
ется.
Пример 3.1. Предположим, что с помощью микроскопа, у ко-
торого нет систематической ошибки, *i студентов производят по
одному независимому измерению длины некоторого образца при
постоянных условиях окружающей среды.
Результаты замеров Г,,xx,...,jc„ за счет случайных
ошибок измерений являются случайными величинами, причем от-
сутствие систематической ошибки (отсутствие смещения нуль-
пункта шкалы) и постоянство неизвестной длины а. образца
позволяют принять, что
Обозначая среднее значение X == X Х< , получим
(3.6)
Следовательно, если наблюдения неравноточные, то ЗГ будет (
более точной оценкой для а , чем белым а я чем меньяв
дисперсия самого грубого наблюдения. Вели же допустить, что
независимости нет (например, все студенты списывает резуль-
тат у первого студент^, то 2с* Л4 и вместо (3.5) будет спра-
ведливо неравенство
Р{|зс*-*Д|<€}>i“ •
и закон болымх чисел уже не имеет места. Л
Ваяшми частными случаями теорема Чебмвева явяиютея тео-
рема Цуассона и Бернулли.
Теорема 3.3 (теорема Цуассона). Вели в последовательнос-
ти п независимых экспериментов, вероятность яоявямня со-
бытия «4 в эксперименте к равна р* , то дм >0
где £>»» обозначает число появлений события Л в яервмх *
Н. экспериментах.
Доказательство. Цгсть случайная величина равна I,
если в к -м эксперименте произошло событие J , и равна 0
в противном случае. Тогда 4* •
и теорема Цуассона является частным случаем теоремы Че<ймева4
Частным случаем теоремы фассона является теорема (М>5
Я.Бернулли. • :
10.4. Три вида сходимости последовательностей СВ
* *
10.4-I. ТВ приходится рассматривать несколько видов схо-
димости последовательностей СВ Рассмотрим вероятностное про- ,
ртрапство <Л,С?,Р>, на котором задана последовательность !, ,
СВ и СВ '' Г"
Определение 4 I. Последовательность 6^”) сходится по
вероятности (по P-мере) к , если для V6>O >
И-***» г ЙО -
Для краткости используют обозначения или
. Теперь ЗБЧ (I.I) для схемы Бернулли можно записать
а зиде S»/n . так как мсмно считать, что последова-
тельность СВ /пЛ задана на одном вероятностном простран-
стве.
Определение 4.2. Последовательность сходится к
« вероятностью I (или почти наверное-п.н., или Р -почти всю-
ду* Р-п.в.), если
Р 4<лЭ ! 1 (4.2)
к1 * * 9
т.е. для , гдеРбЯ<д«О.
Для краткости используют обозначение
Упражнение 4.1. а) Докажите, что сходимость
эквивалентна тоцу,.что ’ . при V£>o
б) Докажите, что •
' Определение 4.3. Если 3 *t>o такое, что
h.H,
(4-з)
то говорят, что (сходится к в среднем порядка Ъ
я обозначают При t«2 эта сходимость называется
среднеквадратическо! (С. К), а обозначается
Теорема 4.1. к.ь
: (4-4)
Доказательство. № неравенства Чебышева (2.2) и (4.3) сле-
дует, что для у £ >О tr
Пример 4.1.показывает, что обратное к (4.4) утверждение,
вообце говоря, неверно,' а примеры 4.2-4.3 иллюстрируют связь
между различными видами сходимости.
Пример 4.1. Рассмотрим последовательность (В , каж-
дая из которых имеет распределение (Сош с плотностью
* . Р*» * У*
Здесь .^поскольку
D4ik l<c I» Гл _____
190
Но легко видеть, что о» при любом р , т.е.
Пример 4.2. Рассмотрим последовательность независимых СВ
с распределением |„| о Н . Здесь « так
как при Vее(о,t
и ^н~»о , так как.ЛЦ? О . Но при УсшЩл) име-
ем:
Р 1пей *с<м кгьи)^ Р|Ць1«< л₽м»сел }•
рци-о}. nV-'
k«R *•*
при Vn и достаточно большом Л/ . Поэтому О )»О ,
’• V5*o .
Пример 4.3. Рассмотрим последовательность СВ (?•») о
распределением . . । .
*>>1 о I «
. <ф m-Mim W
Здесь , так как при ¥£>О
?аккак РЩа1> € хотя бы при одном 1с J <
»^4/k* • НоЛЦш»/ , тек что ^,-^Х.о. ’
"Упражнение 4.2. Рассмотрим последовательность СВ £^««) с
распределением . , ।
|1-}/и‘|</пг
В отличие от примера 4 3. здесь не требуется независимости СВ,'
но зато их распределение теперь гораздо сильнее сконцентрирова-
на в О . Показать, что О во всех трех смыслах^
Заметим теперь, что если С* , UicJi , Л>1 ,
то все три вида сходимости СВ совпадают с обычно* сходиюстью
нислоных последовательностей. Более подробно вопроси сходимос-'
ти ® рассмотрени nfl.Sj, а их свйь с Анализов f rftjj; .
10.4.2. Усиленный ЗБЧ. ЗБЧ (I I) для схемы’Вернуллк <
означает, что для >о , V^>o З^таяое, we ,
I РУк-fч« П?Л/
I»!
В 1909 г. френцуэский математик 8. Борель установил для
схемы Бернулли усиленный ЗБЧ (УЗБЧ), согласно которому дм
.V 1>о, У Г >0 Э# такое, что для
В«оот место следующая
Теорема 4,2. (УЗБЧ Колмогорова). Цусть -пос-
ледовательность НОР СВ. Тогда
' (4.6)
Доказательство втой- теоремы содержится в Cl-з].
Поскольку , то иа (4.6)
. следует.что для схем* Бернулли справедлив не только ЗБЧ
> , но и УЗБЧ &,/лНьр .
. . Упражнение 4.3.(обобщение неравенства Чебышева). **
I) Докалить, что если СВ | такова, что при A>o3«WC * ,
*° - . ’ • 1 -<МБ ।, ate
рц>е}<е Me '
• 2) Докавать, что если £(*х)>О - неубывающая функция, то
•Упражнение 4.4. Докавать, что к последовательности не-
вависимых СВ применим ЗБЧ, если s С
для любых к, м» 4,и,... и при
Item I -* «•
|и Упражнение 4.5. Додавать,' что к последовательности не-
вавиеймых СБ . - 1 и
У л | "
, | Лг I 7г
’®Ч применим, если •< <0,5"
' ? 4 t 4
й 1 1 , ,
• । г ; ,
глш к. производят® и хАнштЕРитнвсюв «ушедм
II. I. Производящие функции
*.
ИЛЛ. Общие положения. Определение I.I. называется
целочисленной случайной величиной (ЦСВ), если она пршимает
только целые неотрицательные значения, при атом ЦСВ t имеет
закон распределения / к \
I fjcej
Следовательно, ЦСВ^ (<МЛ>-}имеет закон распреде-
ления , где .
Определение 1.2. Производящей функцией (IB) ЦСВ > назы-
вается функция ««
> <1Л’
определенная в круге 111*1 .
IB существует у любой ЦСВ $ , так как ряд (I.I) абсо-
лютно сходится в круге 111*4 :
р« . (W
44 (i) является аналитической функцией при Ц|<£ ,
В силу формулы Тейлора
(>к= , <М>
т.е. между множеством законов распределения (. и
множеством IB 4^ fs) (I.I) существует веаишо однозначное
соответствие.
Поскольку Y9(i) - комплекснозначная функция, а ком-
плексы означная СВ нами еще не определена, то для простоты в
дальнейшем ограничимся рассмотрением действительнозначной П
, ж* ft* .
Теорема I.E Для любой ЦСВ
, IxUX . (1-4)
Доказательство. СВ имеет закон распределения
откУДа в силу (1.1)-(1.2) следует (1.4). ф
Определение 1.3.
(LS’
наживается факториальным моментом порядка п СВ .
Теорема 1.2. Ив существования ДЦ* следует существо-
вание «Д($)ф ж левосторонних производных Ч1|(
ИрЖЧВМ
М (|V 4^(<) а г- 1д (1.6)
Доказательство. В разделе 9.3 было доказано, что
3 вевЭ UZlr> . Tta как(у)г<Цг ,
VH . то
М.^-ь’Ь1 *те ’
т.е. Э«Д£|)ыв • Поскольку у степен-
ного ряда внутри области сходимости существуют производные
всех порядков, то w
С>(х>2(‘=)1грк«’'-Г,|х|<1
’ Му '
В сиду (1.7)
.г-3^ •
Поетоыу же теоремы Абеля следует, чтоф| *Yx) непрерывна в
точке х»< слева ж
4/J ,*-*
, Заметим, что, вообще говоря, (1.6) имеет место при любом
V >1 обо Ого части .могут одновременно равняться ♦ «о .
Начальныеи центральные моменты можно выразить через фак-
ториальные и наоборот. Например, из теорем 1.2 следует, что
если существует , то
, (18)
а если существует , то
»-щт»*; (п»^й)-[^« >г. ”•«>
Вели Э Л($)л , К»4,4,... , то для вычисления факториаль-
ных моментов можно использовать следующее разложение Ч^(х) в
ряд Тейлора в левой окрестности точки <• { : *
(1ло)
*.о
194
Пример I.I. а) Если ЦСВ $ имеет биномиальное раСЛредО-
ЛвНИв zn\LnV
(к)р <? ’ , fc.o,n ,
ТО ^2ме \ гь
-б^р®) . (1П)
Здесь ФЛ<)-ир($+р*)" \
Я В СИ jfr’(I.8)-(I.9) ’
U/|-np, <^JxndH)pe+np4«^-np^ . (1.12)
б) Если ЦСВ | имеет пуассоновское распределениеа-ё^-Аг ,
к.Ц1,... » Л>0 » ’о 1 *
^(x)=e‘g^>‘.e^ . <ыз>
Поскольку е** *s£ —, « в силу (1.10)
М($ V Л , К«О,/,... .Поэтому
Л^л , . ало
геометрическое распределение Gtofp)
•• > • Р*Л" X ♦ то
в) Если ЦСВ имеет
рк=^кр^*сМ,-
(I.IB)
Здесь ^<Х)« t так что
U4$=|-, «•»> ;,
II.1.2. Свертка. Теорема' 1.3. Если la i(t' fen - нева-
висимые ЦСВ, то п * *
= • (I.I7)
Доказательство. В силу (1.4)
V- .»-(х) • м**' **" - <
Поскольку СВ независимы ваз функции о, назаиаси-
““®<......Л-;’0
Ji ft х^ПЛ4л^*= П% (х) 4,
*»t t=l к.» ’k 195
Цусть независимые ЦСВ |имеют соответственно рас-
пределяя (а«)м; » » * их су»"* ^•|+1 - Рас-
пределение бСе5не< ’^4w-2^<4-22Ch-J . По формуле
полно! вероятности й») Sq
е.-£рц-|.|Р(г>|-Н-£а‘ 6е>а > (X. 167
Распределение (Сп)л«г называется композицией или сверткой
распределений (с н%ц к(4п)п«у и обозначается
. (I.I9)
Упражнение I.I. а) Подучите (I.I8) с помоцью (I.I7).
б) Докажите, что свертка является ассоциативной и коммутатив-
ной операцией.
Пример 1.2. а) Свертка двух биномиальных распределений
Bl и сном дает биномиальное распределение
Бс(Па*Пир) , так как в силу (I.ГУ) и (I.II)
(Vpxy(w*r-(V .
в) Свертка двух пуассоновских распределений с параметрами А*
и Ла сном дает пуассоновское распределение с параметром
At+At , так хак в силу <1.ГУ) и <1.13)
Аа(х-П tAMACr-jf)
е Q ’в
в) Геометрическое распределение , I -си,... есть рас-
пределение числа Iji неудач до первого успеха в схеме Бер-
нулли. Вели - число неудач между (т-D -м и ЧГ-м успе-
хами, то S. • У5 |v - обеде число неудач, предиествуюедх
п. -му успеху, а - обеде число экспериментов в схеме
Бернулли до Ц -го успеха включительно. Распределение
навивается отрицательно-биномиальным и обозначается
(см. 4.4.3). Поскольку предстаг яет собой сумму незави-
симых ЦСВ с одинаковым геометрическим распределением каждая,
то
, (1.20)
MS; . <й8.-п^. „,а1)
Можно сказать, что является П. -кратной
196
сверткой распределения Geoff)*4,. йшмгая теперь
ГВ (1.20) в ряд с помощью (4.2.6), получим, что коэффициент
при хк равен
4)p”<}fe,n4V;k-4<r <I-22)
Эта формула совпадает с формулой (4.4.10) для p(«,»wk)»P{S<H.
г). Вели ЦСВ и 11 независимы и имеет соответственно рас-
пределения (п<и b7(n»,f} , то ЦСВ также
имеет отрицательно-биномиальное распределение fc£(a«*nt,f^ »
поскольку Ч*«/Л V* / Wn«
Лхч-ЛаСЪЛл1‘’(1^р) (т^|х)
Упражнение 1.2. Получите этот результат беэ ГВ, используя
связь с биномиальным распределением..
II. 1.3. Сумма случайного числа.СВ. Цуст> C^)i*4 “ п®“
следовательность независимых одинаково распределенных (НОР)
ЦСВ с ГВ 'ty(x) каедая, а - независимая от них ЦСВ с
П> (|^(z). В приложениях часто встречается
сумма случайного числа СВ, причем G»«O
Теорема 1.4. IB ЦСВ равна ф^(<К(х)) •
Доказательство. Используя сначала условное, а затем пов-
торное МО запивем полное МО в веде:
В силу независимости
так что
22 PtvMW (<>« . л
* л «о
Следствие. Если и 3^1 » , при- .
чем >
Действительно,
Упражнение 1.3. Доказать, что если и
то
II.1.4. Метод красных и синих. В приложениях часто бы-
вает полезной следующая интерпретация Ш ,xe£p,i].
Будем рассматривать каедую реализацию СВ как число неко-
торых объектов, учтенных эа определенный интервал времени^
Примем,что одновременно с учетом каждый объект о вероятностью
.. & окрашивается в красный цвет,а с дополнительной вероятностью
4-Х - В синий цвет.О^Л* 1 . Пусть - число учтенных
красных объектов,, a - синих, так что
Теорема 1.6. Щ при О«х«1 можно интерпрети-
.ровать как вероятность того, что при реализации все учтен?
ные объекты оказались красными, т.е.
Pk-oJ
Доказательство. В сиду формулы полной вероятности
(x'i - Лх* « £ рц=1с}рц-н •
II. 1.5. ВюгЬмерные I®, Цусть « (|»(...
неотрицательный целочисленный случайный вектор с законом рас-
пределения .
...•
Определение 1.4. . Л -мерной 1Й для называется
^нкцм А
Чу<я-)-.ДП»?. (1гз)
(1-24)
- ' UI (1.23) обладает рядом полезных свойств.
Теорема 1,5. а) Одномерная ГЙ любой СВ имеет вид:
яе
Здесь аргументом служит вектор, у которого о^»х ,
а все остальные компоненты равны I.
в) - » |<|«1.
в) СВ невавистш, если и только если
4V - П . 1«М, j-м
г) Смешанный факториальный момент порздка (vj, ...,1Гд )мож-
получить из соотношения
но
В частности
ЭХк. * (
Упражнение 1.4. Докажите теорецу 1.6.
Пример 1.3. Рассмотрим полиномиальное распределение. '
Так как здесь tf __
. u-1^K W-'1 '
TO ____
-тш .„ftp,, j.k.Mj.^’26’
II.1.6. Теорема непрерывности. Покажем теперь, что вза-
иию однозначное соответствие между законами распределения
. (р0 и их IB является еще и взаимно непрерывным.
Теорема 1.7. 1^еть 44,^ • X рГ’ х* - IB ЦСВ ,
п*4д#... . Цфе)=Х» jjk - IB ЦСВ В . Тогда при любом
фиксированном к ***'
’ (Г2>)
если и только если при любом хе Го,1)
llm. « o/fx) . (1.28)
п-» «* *
Доказательство, а) Допустим,что (1.27) выполняется. Если
для любого фиксированного хс£•,<) и любого £Х) выбрать
Л/ так, чтобы зс /0-х) <€/2 , то
Ьмх)-ч><х) । * £ | Z?I f£ • pj +
!t>W • k-O ’ ’ ’ - k-o ' •
.Поскольку zv конечно, а />< Г“ • то сумма в правой
части последнего неравенства будет меньше -£ при п п» .
Поэтому IЧ4»(ас’)“Ч*(Х)|<£ при п>пв • и (1.28) следует из
(1.27).
б) Допустим, что (1.28) выполняется и докажем (1.27) от
противного. Если (1.27) не выполняется, то найдутся две под-
> последовательности (п«) и (nw) такие, что
f\=Р* ’ N* fc ‘° (1гэ’
причем )k>4 a (fC*k*e не совпадают. Тогда в силу
ум доказанной части а) теоремы
• ' /йн ж * 2^ Рк 00
пш-*^ к-о ‘ •
; «00
»
причем <pVx) * ^**6X) ,**fab • Поскольку ото противо-
речит существованию предела (1.28), то теорема доказана. 4
Пример 1.4. а) Рассмотрим биномиальное распределение
и примем, что ’ Торда
р- ,
т.е. № исходного биномиального распределения сходится к П
пуассоновского распределения с параметром Л . Ив теорем
непрерывности следует, что
(к)р.к(<-р»Г;^г <1.зо'
б) Рассмотрим отрицательно-биномиальное распределение
ВЛ’Ър’д и примем, что —• О . . Тогда в си-
-УCI.20I 7 \ ***• -лтдх
<Р(х) (^~ л инХ »
т.е. ПК исходного отрицательно-биномиального распределения
сходится к ГВ пуассоновского распределения с параметром Д .
Из теоремы непрерывности следует, что
Упражнение 1.5. Дайте вероятностную интерпретацию (1.30)
и (I.3I) с помощью схемы серий.
П.2. Комплекснозначные случайные величины (КСВ)
До сих пор мы рассматривали линь действительные СВ (ДСВ)
5 . Если - произвольный случайный вектор,
(со) f<X>) 4 i (со),04>£ ; (2.1)
определяет КСВ . Если существуют конечные ,
то примем, что
4- i . (2,2)
26-1390
2 независим! и суцествуат ко-
Легко проверить, что МО КСВ обладает свойством аддитив-
ности. Для обоснования свойства мультипликативности МО пот-
ребуется следующее
Определение 2.1. КСВ||»^с4«^а <"7* называ-
ются независима», если независим! векторы
т.е. независимы четыре пары ДСВ^ , • 1Л I»2-
Теорема 2.1. Если КСВ В ,
нечныо то
MfrJfyUi «»
Доказательство вытекает ив следующей цепочки равенств:
♦ щ.мч.). -JWt- л
Теорема 2.2. Для любой КСВ
(г-4’
Доказательство проведем лишь для дискретной КСВ с
законом распределения ( |%)ь<>«гк’л1ь*‘Л>к- Здесь 7
.. Поскольку в приложениях часто обозначаетМ^, через дГ ,
то мы будем обозначать через - i )»г сопряженную с
КСВ, а центрированную КСВ будем, как обычно, обозначать че-
рез , где
Определение 2.2. Дисперсией КСВ называется,
причем
Действительно,
Определение 2.3. Ковариацией двух КСВ называет-
ся JU , причем
202
Упражнение 2.1. а) Докажите второе равенство в (2 6) и
получите (2.5) ив (2.6).
б) Докажите, что anr(lf/l)- .
в) Докажите, что если КСВ g , у невависими, то ДО7£,^«о .
г) Сформулируйте условие независимости для >
•$«хд , и докажите, чтог^ф^г)'# приб*зг
II.3. Определение и свойства характеристических
функций.
II.3.1. Цусть <ме R1 - действительный параметр, £ -
ДСВ,
iv*6o5 , •
Q (Ч W) - € « <sos+ i *ьибг/|б»))) -
' КСВ, причем 1£б*э. , ыеЛ .
Определение 3.1. Характеристической функцией (Х>) ДСВ
называется комплекснозначная функция действительного аргу-
мента к:
^Си):=Мё . (3.1)
В сиду (3.1) '
<3,2>
ХФ существует у любой ДСВ | и определена при любом
«ей1 , поскольку из непрерывности и ограниченности Д?еМЗС
вытекает существование интеграла (3.2) и,"следовательно,
существование (3.1). Если £ дискретна или обладает плот-
ностью, то ее ХФ соответственно равна:
. (3.2а)
В анализе называется преобразованием Фурье-Стилтьеоа
функции 3^ или преобразованием Фурье плотности »
если последняя существует. ХФ представляют собой удобный
аналитический аппарат для исследования свойств любых» а не
только целочисленных СВ, и особенно эффективны для анализа
свойств распределений сумм независимых СВ. 2Q3
II-3.2. фиведем теперь основные свойства ХФ.
10
Докавательство следует ив (3.1) и неравенства .
2е равномерно непрерывна по w ,ие&1.
Действительно,
I <w - v, ft..' |« /I е“‘Г e'a-*l<J3i, ц
< J'/|«/гы.г
КкЛ ,ж|М Г
„ . ци.-«а«.
Последнее неравенство следует на того, что|в -Л <2 .
Для Уе>о в силу сходимости можно выбрать Л$)
так, чтобы 1Л< £/г . фиксируем'теперь А(£) и выберем JW
тек, чтобы !£*«••-<'»>«[р£ npnixkAfO и .
Тогда
J-*£ Xz’*fx) '
я lY^fwf)-^fu») I < t при |ut -ih I * S(e) .
Определение 3.2. Цусть / : R*~*C - непрерывная и ог-
раниченная хомплексновначнал функция действительного аргумен-
та. Тогда /(к) , м< С* навивается положительно определен-
ной, если дчл Vh .» У4/ъ- ,^й€ Й’ , »„ е <Г
. (3,3)
3° Теорема Еохнера-Хинчияа. Непрерывная функция </> : ₽*-*<Г ,
удовлетворяощая условие » 1 , является ХФ некоторой СВ,
если и только если она положительно определена.
Действительно, если tffu) * Ut(jLU^ , то необходимость
(3.3) вытекает ив следупцей цепочки равенств:
Докааательство достаточности (3.3) содержится в (г],536.
204
4° Если^»С|+б| - линейное преобразование СВ| , С ,с! -
постоянные, то
4>4+d М- e'W . (3.4)
Доказательство вытекает ив цепочки равенств
ё^Мё“с^ ё^е^.^и):
5° Если (...; - независимые СВ, то
<3”
Доказательство. Независимость влечет нева-
висимость , а всилу свойства мультипликатив-
ности математического ожидания
...... (« > • 01 ёи- Ч М п ё“* Л.
км Лй><
Например, если ^«,5* ~ независимые СВ, то место сверт-
ки *3<. достаточно рассмотреть»^ ,
что значительно нроце. ’ ** 5 ’
6° (-«) - ) - ЧЦ О) (3.6)
Действительно,
Свойство ’fl| С*О означает, что - эрмито-
ва функция. ' 5 jf
Определение 3.3. § называется ситетришой, если рас-
пределения и совпадают.
Упражнение 3.1. а) Покажите, что если Ь - любое боре-
невское множестве,iУ'<-ус, то для симметричной
(3.7) :
б) Для дискретного или абсолютно непрерывного (3.7) прини-
мает соответственно вид: . ,
^(*5-^6Х), (3.7а) J
7° Если - симметричная СВ, то - действительная чет-
ная функция.
Доказательство. По условию <&6да(р* С*0 » • ® силу Ч ,
(3.6) (.u)^‘
Цример 3.1. Если. то •
. v«ft* . •
«° Если -ЦСВ, Ле(Г , - ее И, то
(3,8>
Доказательство. («)-£
где t-eVM • э * iua_
Пример 3.2. а) Если Plvfl 1Ж » то<^(«)а€
б) Если £ *i>i(nt р) » то в силу (I.II) и (3.8)
<?5 («)- Рр ре‘“>п <3”
в) Если ^сПб^) » то.в силу (I.I3) и (3.8)
^АСеМ- (3.10)
р) Если ^ gGeo(p) . то в сиду (I.IS) и (3.8)
к*-леСМ)’4 (зп)
9° Если при некотором п <*=>3^/41^1* , то су-
цествуот непрервные <p^fu) , к®/7* • причем
-1\Ы$и , k-i7 <3-'2)
Доказательство. а) Заметим, что .33^1
- » и докажем сначала 9® для кж1 . Поскольку
| Jhrid^(x)=U/l$l
Г' iuxJT г i
то несобственный интеграл_J,txe сходится рав-
номерно относительно параметра и. , что делает законным диф-
ференцирование под знаком интеграла:
(ч) ~ (х), .
,б) Рассуждая по индукции, примем, что для некоторого КОП су-
цествует и непрерывна . Пос-
кольку ’* s
lW* и, tux.^.z\l F. Л.+41 /\
то несобственный интеграл равномерно схо-
206
дится относительно параметра U , что также делает ааконнш
дифференцирование под знаком интеграла:
rg 6В-С JX е clfyx,
Следствие. Если Д(||1п< °®
во следующее разложение (ц }
, то при и-»® справадли-
в ряд Тейлора:
<0.£ . в(му.£ . <з. is)
|е«о • М • *
Таким образом, для вычисления моментов СВ § с помоць»
можно воспользоваться формулой (3.12), а если разложение *
фм в род Тейлора нам известно из Анализа, то - формулой
(3.13).
Упражнение 3.2. Докажите, что если существует производ-
ная четного порядка, то
ОЩ1и<о% . (3.W
(3.14) является частично обратным утверждением для
(3.12).
пример 3.3. Цусть . Тогда
,л , ч «/л-
(3.15)
’ * 7 о iu
Разлагая C/’gfu} в ряд в окредтности , подучим
<тка/>Л?’
iUh " ‘ :
Отсюда и иэ (3.13) следует, что 4/(И*/) ,и»л,г,м.'.
В частности, ‘л . ./ :
Пример 3.4. а) Если , то ,;
ог«-£* » так что £ - симметричная СВ, а <А - действительная
четная функция. Поэтому
би)=J= feesuxe Tdx ; I ихёЬх1^ оЫаг
Дифференцируя теперь равномерно сходящийся несобственный ин-
теграл по параметру и под знаком интеграла, а затем интег-
рируя по частям, получим:
*Z4-i
Таким образом, . Т.е. SL^^f)s.U>^o)^ .
Ч< См) = e * , К e R4 (3.16)
б) Цгсть £ 6 A/fC<) . e *1»анг* • Тогда
и * силу (3.4)
6<)X e М4Ц (CU ) {iШ (3- r7*.
в) Вели |« /¥б>,<5-9 » то
(А/гфр^ 5^f-i)fct/<tg~t'L (c^)^ .
Якк! C2^' £fcM
Поскольку (ffiL =ч|.ь . ... tzfc-i) » то иа (3-13) следует, что
vU^o,v«ft-6-'< 3-... ^t-O. Ъ-Ч,- <31в>
II.4. Формуя* обращения и теорема единственности.
II.4.1. Итак, каедой ФР соответствует единственная
» » но является ли вто соответствие взатно однозначным?
Положительный ответ на этот вопрос4дают следующие утверждения.
Теорема 4.1. (формула обращения для ФР). Цусть
не более чем счетное тожество точек разрыва^ , аС|яйЧл^-
- тожество ее точек непрерывности. Тогда, если я*4,хгсС| ,
ос, < хж » *о д
а если осв/^ , то
<4-2>
Доказательство стих утверждений относится к теории пре-
образований Фурье-Отилтьеса из щурса Анализа, и мы его приво-
ч дать но будем. Доказательство можно найти в [ 1-з].
Следствие (теорема единственности). ХФ СВ одноз-
начно определяет ФР Эъ •
2(В 5
Доказательство. Поскольку fa*} -3$ (х<) однозначно оп-
ределяется с помощью (4.1) во всех точках » то ус-
тремляя ЭД к -*• по точкам непрерывности, мы однозначно оп-
ределим , af*cCj .В точках разрыва можно восполь-
зоваться тем, что непрервна слева и соотношением (4.214
Следующие примеры иллюстрируют значения теоремы единст-
венности.
Пример 4.1. а) Если , k.j.n , и
независимы, то в сиду (3 10) и (3.5)
(4-3’
Поскольку это - № пуассоновского распределения с параметром
2Z Ям , то по теореме единственности »
т.е. пуассоновское распределение устойчиво по отношению к
операции суммирования независимых СВ .с пуассоновским распре-
делением. ____
б) Если независимы,
-то в силу (3.17) и (3.5)
^,*...^6/)=Пе<М;ыйг^7ж . (4-4)
' • k»l k«4
Поскольку это - ХФ нормального распределения, то
> £2 <51 ) » нормальное рас-
пределение также устойчиво по отношению к операции суммирова-
ния независимых СВ с нормальным распределением.
в) Если € £«• > ръ) . к-J/7 , и независимы,
то в силу (3.II) и (3.5)
MV-t-о>'
Поскольку это выражение не является ХФ биномиального распре-
деления, то биномиальное распределение не обладает свойством
устойчивости. Однако, при Джу° ’ :
» (4Б)
т.е. имеет место частичная устойчивость.
П.4.2. Для иллюстрации связей ТВ с курсом анализа при-
ведем доказательство теоремы обращения для абсолютно непре-
рывных СВ.
Определение 4.1. Ограниченная функция^" : назы-
вается абсолютно непрерывной на , если для Уоо ,
209
27-1390
Ул Ы , . k*1,n> причем ,
smj:
£ Z < £ • ««
Огавидно, что иэ абсолютной непрерывности следует обыч-
ная и, что если f удовлетворяет условию Липшица на Я ,
то (4.6) выполняется.
Теорема 4Л (формула обращения для плотностей). Если
. <4”
то i° “ абсолютно непрерывна,
2° £ имеет непрерывную плотность , причем
Замечание I. Поскольку ив существования Рь ылцъч,
что *• iyr '
(4.9)
то в этом случае (4.9) и (4.8) представляют собой соответст-
венно прямое и обратное преобразования Фурье для .
Замечание 2. №тегрируя. формально (4.8) по х от V до
X и изменяя порядок интегрирования, мы в принципе получим
(4.1), т.к. « . -i"*
Доказательство 1°. Чтобы преобразовать (4.1), обозначим
Г,»х-А , , так что х-, А ж —-g^- . Тог-
е lu*
и если х-ike , то (4.1) принимает вид:
<4 I0)
удовлетворяет условию Липшица, так как
(хД)|’|Й
210
Здесь ш использовали тот факт, что I uj,~И д и условие
(4.7).
2°. Для вывода (4.8) используем первое равенство предцдущей
цепочки:
. «•«>
Поскольку несобственный интеграл (4. II) от параметров к .тс
в силу (4.7) равномерно сходится, то можно переходить к пре-
делу при L-*O под знаком интеграла, а так как
"file М®ж4 » т0 (4-П) влечет (4.8).
Упражнение 4.1. На основе (4.8)-(4.9) докажите, что
II.4.3 Определение 4.2. Дискретная СВ £ имеет реоет-
чатое распределение с магом h , если существуют числа Л. и
К>0 такие, что Ом
Y= Jfl+kk: .
' k«”*»
Теорема 4.3. 08 Ч. имеет рештчатое распределение, если
и только если I«4 при некотором 2<t0 .
Доказательство. Если - решетчатая 08, то
^м-еСилХ^Р{^^\,
к»--»
и условие теоремы выполняется при 2.= , поскольку
Чтобы доказать достаточность, предположим, что
при некотором 2<^О . Тогда . >
(«а ’ / - e‘*'V’
где ~V - некоторое действительное число. Отсюда следует, что
211
i» - /a* * (x-v)j3L(x),
*•© > -<M) *
Последний интеграл обращается в 0 лгавь в том случае, если
точки роста находятся среди тех JC , для которых
- о Поэтому |е ,
т.е. - решетчатая с шагом 2И/«< . £
Шаг распределения к называется максимальным, если ни
при каких £> и h«>k множество X значений $ , имеющих
строго положительную вероятность, нельзя представить в виде
X“{Vkk« • J • Например, еслиХ^ являет-
ся множеством всех четных чисел, включая О , то Хс У*
• ТА*kк .' к»С\ 2,..J при а-о , » но «аг й«1 не
является максимальным, так какХ* {4+kt»<*. .„J при
4*0 , h »*2.
Условие максимальности мага содержит следуюцая
Теорема 4.4. Шаг к распределения СВ является
максимальным, если и только если |^в(*)|< 1 при (XI и 1< г®
" ,к
Действительно, если 1ф| при , то
из предыдущей теорема следует, что является шагом
распределения Но поскольку кг к», то к не является мак-
симальным магом. 4
При А» О , к»1 решетчатая (2 является ЦСВ, кото-
рая может принимать любые целые значения, т.е.
В этом случае справедлива следуюцая
Теорема 4.6. I) Если - ЦСВ, то
(К*21ГП^, H4.O,t4,tz,.., (4.12)
2) Если - X» ЦСВ , а - ее П>, то
<413)
Доказательство. I) Наличие у (Дь периода 2К сразу еле-
212
дует из цепочки равенств
2) Поскольку *
и ряд в правой части равенства сходится равномерно (он мажо-
рируется абсолютно сходящимся рядом) то его можно почленно
интегрировать. Далее, приН-^О
Поэтому
fe ‘uVt(^“‘‘“Ь-р,",
и первое равенство в (4.13) доказано. Второе равенство сле-
дует иэ первого при замене
Таким образом, (4.13) - формула обращения для ЦСВ, кото-
рая по существу представляет собой формулу для коэффициентов
ряда Фурье.
Пример 4.2. Найти закон распределения , если _ . •
a)yg(v')» Со»и ; б)о>^(ы)<гсслг1/ j в)^ (u)»g: л:емкига**^к1.
Решение. Во всех трех случаях <Р|Сгп')»< ° , так что
| - ЦСВ с матом кис такими законами распределения: -
a) »
ЧЧ ('<)• Ср4*и
•’ "г Л
ft , >-/,*,4" •
II.5. Теорема непрерывности
До сих пор мы рассматривали последовательности СВ, задан-
ные на одном вероятностном пространстве. Пусть -теперь каддая
СВ 5 и задана на своем вероятностном пространстве
<Ли,(Хи,Ри> , ($»Л - последовательность СВ,^п:«^|и , ..
. Рассмотрим также некоторую СВ .на <ЛО,0U, ?•>«
с ФР !Г> , и пусть Со - множество точек непрерывности £ .
........... 21^
Определение 5.1. Говорят, что слабо сходится
к ФР X» (=с) и пицут Зн । если <Ги(*)—►Зъбс)
при и-**» во всех точках эссС» . В этом случае говорят
также, что слабо сходится (или сходится по распределе-
нию) К lj® и пишут 4® (или^н*=2*^о ).
В качестве примера можно привести интегральную предель-
ную теорецу Цуавра-Лапласа, где би слабо схо-
дится к , поскольку 3^» •
Пример 5.1. Цусть равномерно распределена на от-
. Тогда , но в втом случае нет слабой сходи-
мости к предельной функции Q(x)»1/г , хе U1 , так как она
не является ФР. J
Доказательства двух следуюп^х важных теорем приводятся в
[1-3,7.10].
Теорема 5.1. Цусть - последовательность СВ, за-
данных на одном и теш же вероятностном пространстве, а
,(3н)н»4 последовательность их ФР, X» - ФР СВ |о .
Теорема 5.2 (теорема непрерывности). Цусть 3*и и -
ФР и XI СВ , заданной на произвольном вероятностном
пространстве, и>1 ; и - ФР и ХФ некоторой СВ
. Тогда при о справедливы.'
' а) (прямая предельная теорема)
(5.2)
б) (обратная предельная теорема)
уц(ч)—> , ueR.1 , gfu) - непрерывна вО^
(5.3)
Таким образом, слабая сходимость 3*~л‘3'с> для ФР по *
существу эквивалентна обычной поточечной сходимости <Д,-»ф«>
для соответствующих Хф, а взаимно однозначное соответствие
между множеством ФР и множеством 5 их ХФ,
установленное в предыдущем разделе II.4, является и взаимно
непрерывным . Поэтому теорецу 5.4 называют теоремой непрерыв-
ности и на ней основывается ряд фундаментальных результатов
в теории суммирования независимых СВ. В качестве примера при-
ведем доказательство двух теорем, основанных на обратной пре-
дельной теореме.
Теорема 5.3. (ЗБЧ в форме Хинчина). Цусть СВ за-
даны на одном вероятностном пространстве, независимы и одина-
ково распределены (НОР), причем к»1 • Тогда
удовлетворяет ЗБЧ, т.е.
, ««
_ Xй Ь ‘
где 1=^ 5•
Доказательство. Иэ следует возможность разло-
жения в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
причем предельная функция непрерывна при . В сиду
свойств Х$ &***- , где » ’•••
(Л?) * и(х- а) , где V(se) - функция Хевисайда,
. Справедливость (5.4) вытекает из следующей цепочки
равенств:
Pil£-«|>eb Р{Р1
J___________ш ' 1.
I
= U(-£')+l-U(£-t-o)«O . 4
. Докажем теперь теорему Цуассона 4.5.4 с помощью обратной !
предельной теорема. 1
Теорема Б.4. Цусть Р*д - последователь-
ность серий независимых экспериментов Бернулли, = *
и >4 . Вели
Ри(^ = (м)|*и $"ри) > •*”'<’>*' > Кб**),
ТО «V*» -д .
21 е -£fr), , 5>
Доказательство. Ди биномиального распределения
^«60 - Ле14**’. £<♦&(€ -7)] =:у»в(м), и е е*
Из поточечной сход имости <Д, —*(f>o . где '/« - ХФдляПО)
следует слабая сходимость Ти-^То во всех точках непрерыв-
ности То , т.е. (5.5). . лй
Упражнение БД. Цусть П£д) , , Докажи-
те, что пржД-»«»о СВ *1 можно аппроксимировать с ПО-
МОЩЬЮ N(0,±)
В заключение обобщим определение ХФ на жогомерные СВ.
Определение 5.2. ХФ iff ( й*) , "ve Н- -мерной СВ
.....называется функция
(5.6)
Упражнение 5.2. Докажите, что ив (5.6) вытекают следую-
щие свойства :
п VrW-4,|Tr(<)l<i.ffeR'.
2) Если , ь,. * независимы, то
3) » СВ 2» равна , м€ЙХ.
/4) И случайного вектора^
рмн* Iм! \
. Z I i j~ekW*‘ )
. 5) Если известна Xi (V) , то ХФ вектора
равно ......
-Ж., .
ГЛАВА 12. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
12.I. Постановка проблемы и условие Линдеборта.
12.1.1. Налощим интегральную предельную теорецу Цуаяра»
Лапласа, которую мы доказали в разделе 4.6.3. Цусть ($к) -
последовательность независимых, одинаково распределенных
(НОР) СВ, где - бернуллиева СВ,
а число успехов g Ь; (и.р) - биномиальная СВ.
Тогда к*'5 х \
1 хе ₽‘. (I.I)
V . И-*»
№аче говоря, нормированное число успехов
сходится по распределению к СВ .
Возникает естественное желание распространить (I.I) на
возможно более широкие классы СВ .В связи с
этим рассмотрим последовательность независимых СВ,
каждая из которых имеет МО и дисперсию:
=:ак«*» , (1.2)
Обозначим
Ьи'«=Х^4к;^Чк,=^-^,к*1,и^2д,к=:^ (j.3)
Здесь > к=^И - независимые СВ, d .
Определение I.I. Говорят, что последовательность ,
для которой справедливо (1.2) удовлетворяет ЦПТ, если'при
некоторых дополнительных условиях *?„-=*£ , т.е.
Й, (х.) 1=г Р/<^}^> ’ (L4)
Здесь использованы обозначения из (I.I) и (1.3).
Эти дополнительные условия содержатся в группе теорем,
объединенных под .общим названием ЦПГ, Отметим, что факти-
чески здесь идет речь об интегральной ЦЦГ, поскольку (1.4)
представляет собой (I.I) для более общих
12.1.2. Теорема I.I. Если последовательность ^£к) не-
зависимых СВ при любом постоянном ^>0 удовлетворяет
условию Линдеберга
28-1390
217
***** Ь»< Ье-ак|>Гвм
то удовлетворяет ЦДГ, причем сходимость в (1.4) равно-
мерна относительно ас
Доказательство достаточности условия Линдеберга содер-
жится в( 2]. Выясним теперь ошсл этого условия. Введем собы-
тие О*. :• | I , 1ем,и . Тогда при любом Т>0
PCDk). / лКМ j (»-arf*olrki«),
Таким образом, условие Линдеберга гарантирует равномерную
малость вклада каждого слагаемого >7нк в сумцу .
12.2. Теореш Линдеберга-Леви и Ляпунова.
12.2.I. Теорема 2.1 (ЦПГ в условиях Лмдеберга-Ляви).
Если ” последовательность НОР СВ
«Дк'<> . <2.1»
'xee* (г-2>
Доказательство. № существования Z)^k. следует воз-
можность разложения ХФ в ряд Тейло-
ра с остаточным членом в форме Пеано:
У^о(мг), и-»с>, Ы.
Так хак , то Xй”и
% (£0.{<-£-<о(#)Г- е Д
Отскда в силу обратной предельной теоремы для ХФ следует,
что , т.н. справедливо (2.2). j
12.2.2. Условия Линдеберга-Леви очень просты и сводятся
линь к существованию конечной дисперсии, но предположение об
одинаковом распределении сильно ограничивает сферу
218
действия теоремы 2.1. В приложениях обычно применяют ЦПГ *
условиях А.И.Ляпунова, доказанную им в 1901 г. Эта теорема
завершила важный этап в развитии теории вероятностей и поло-
жила начало новому этапу.
Теорема 2.2 (ЦПГ в условиях Ляпунова). Цусть f£k) -
последовательность независимых СВ, у которых существуют и ко-
нечны моменты до третьего порядка включительно:
- п , _а_ <2.3)
k«i ' ’ к-1 •
Тогда, если выполняется условие Ляпунова
г О при и—*<=*»; (2.4)
то
. (2.6)
' Для доказательства теореш нам потребуется сведущая
Лемма. Если 1Ь<°° • то
|£б.)|<|иГ^|‘,мег'. <2.в>
Доказательство. При комплексном разлешении в* в
ряд Тейлора с остаточным членом Лагранжа:
Полагая 2- , подучим
что влечет (2.6). Л
Доказательство теоремы 2.2. I) Поскольку
то условие Ляпунова можно записать в виде
Си’
bi
Отсюда следует,
к . Далее,
~ О <2.w
* к» 4
ЧТО равномерно относительно
« Jj£ ге/$ик fa) ~ f ~t J $
|xl<£ ixi»e
< £*/И $,!<(*•) « £г* * © .
219
Отсада следует, что и 07,* -е»р равномерно относитель-
но к . **“
2) Поскольку в силу лемм
(2.7)
ТО
%(*)• •£][*- ♦М‘</м]
Здесь при И-»00 равномерно относительно
- rfyek ”* о, I ₽ь (и/Ьи) I < I u llUl IО,
Rk(VBe)—*о.
Если /и обозначает главное значение логарифма, а I ?1 ма-
ло, то
йи(1* Зим) 'v F геЗ *
~ -у- 4- jZl Rk .
•Ив лемм» и условия Ляпунова (2.4а) следует, что
If ₽. (ч/iJI «2? ими/в-)!
k>t k«J ь-'
Итак, ‘ Т • т.е. 7 « •
силу обратной предо 1ы< ой теоремы -2^ .
Пример 2.1. Применим теорему Ляпунова для обобщенной
схемы Бернулли. Цусть 6^*^ - последовательность независи-
(Л ' ft q*4 -~М* (№ > ‘t;
{т mi‘ 1=4] - (f mJ1—'о,
220
если . Таким образом, в данном случае иэ
условия -♦ с*»» следует выполнение условия Ляпунова
4 Он/&J —* О * и справедливость ЦПГ. Л
Заметим теперь, что хотя в условиях Линдеберга-Леви для
НОР требуется лишь существование дисперсии,но они являются
более ограничительными, чем условия Линдеберга и влекут их
выполнение. Действительно, для НОР СВ ХЛ •
1с»1 , и при любом
поскольку “° ПРИ л“*сжэ , а интеграл сходящийся.
ХФ впервые ввел А.М.Ляпунов для доказательства ЦПГ. Обоз-
начим .и предположим, что для
последовательности /£l) независимых СВ
(2.8) называется условием Ляпунова с моментами порядка
и при совпадает с (2.4), с помощью которого мы дока-
зали ЦПГ. Иэ (2.8) следует выполнение условия Линдеберга (
(1.5), так как ч ’
4vt. f /*«./*&<&
л —*• С
Поэтов (2.8) является достаточным условием для выполнения
ЦПГ и по существу оно близко к (1.5). Смысл условий (2.8) и
(1.5) состоит в том, что вклад каждого из слагаемых в сумку
должен быть мал, а условие независимости в более общей теории
заменяется на условие слабой зависимости.
Если для последовательности СВ<* и существуют я
такие, что • . ’
(2.9)
то говорят, что СВ<^„ асимптотически нормальна
чли короче, что . При атом в приложениях
вместо (2.9) пользуются приближенным равенством
(2.10)
12.3. О применении ЦПТ
Ццелаем теперь несколько замечаний о применении ЦПТ.
Во-первых, условия ЦПТ более или менее точно выполняются весь-
ма часто, чем объясняется широкое и успешное применение на -
практике асимптотической нормальности даже при умеренных зна-
чениях и • Однако, надо, соблюдать известную осторожность,
поскольку условия ЦПТ могут в принципе не выполняться, напри-
мер, из-за сильной зависимости слагаемых или наличия домини-
рующего, слагаемого и т.д.
Далей, даже при вы неимении условий ЦПТ нужно правильно ее
Применять. Например, если 5»® ~ последователь-
ность НОР дискретных СВ с конечной дисперсией, то
*2h-~g. также дискретна и асимптотически нор-
мальна N(oti') . Поскольку СВ имеет плотность,
то можно выбрать такое дискретное тожество , что
>0 , хотя . Это может вызвать
большие ошибки. Здесь могут помочь'локальные предельные теоре-
мы для НОР решетчатых или непрерывных СВ,в которых устанавли-
ваются условия сходимости к плотности нормального распределе-
ния (см.[1-2]).
Наконец, очень большие ошибки могут произойти при оценке
"хвостов" распределения , т.е. очень больших положитель-
ных или отрицательных значений *2*» * Действительно, ЦПТ гаран-
тирует, чтоЗ^СФ;^*^*) , но неверно, что Sf} „(*)/#/*)
равномерно по эС . Для иллюстрации значения этого факта рас-
смотрим в качестве примера такую ответственную ситуацию, когда
наступление события означает, например, аварию слож-
ной технической системы. Здесь надо требовать выполнения усло-
вия Р4 V * * °* , где может иметь поря-
док от Ю“3 до 10”° - для систем типа атомных реакторов.
При больших отклонениях 7* отношение [l-3^ett<)JI/[l-^»<)J
может достигать нескольких порядков, хотя сами эти значения
очень малы. В такой ситуации могут быть полезны теоремы о боль-
222 .
ших уклонениях [IJ • но чаще необходимы другие методы расчета.
Пример 3.1. Результатом измерения некоторой детерминиро-
ванной величины является СВ ^ : = , где J4* -
ошибка измерения. Поскольку всякое измерение содержит как сис-
тематическую, так и случайную ошибки, то можно предста-
вить в виде , где - случайная ошиб-'
ка, a JQ-CL, - систематическая. Систематическая ошибка
может быть связана, например, со смещением нуль-пункта шкалы
измерений и ее можно устранить или учесть. Поэтому примем, что
• 0 . Случайная погрешность измерения Л & » £ по-
рождается многими причинами, каждая из которых при точных из-
мерениях вносит свою неболыцую элементарную погрешность. Нап-
ример, при взвешивании на точных аналитических весах элемен-
тарные погрешности вызываются температурой и влажностью возду-
ха, наличием пылинок, вибрацией весов, ошибками эксперимента-
тора и т.д. Поэтоцу случайную ошибку 4* даже одного измере-
ния часто можно считать приблизительно нормальной со средним
” дисперсией б~г . Однако, для осторожности не
будем делать предположение о нормальности еГ" , а для уменьше-
ния ошибки сделаем И. независимых из^рений
и примем среднее арифмитическое за оценку для
Л. . Если измерения производятся в одинаковых условиях, то *
“ НОР СВ с , так что JT в
силу теоремы Линдеберга-Леви асимптотически нормальна
Отсюда следует, что & асимптотически нормальна/^, и
<3.1)
Если можно принять, что каждое измерение ^1е€Л^4/<Г^),то
(2.II) становится точным равенством. Цусть, кроме того, <Г -из-
вестна, например, из предыдущих измерений, и требуется оценить
неизвестный параметр Л- . Тогда из (3.1) следует, что с ве-
роятностью /-«/ Л- покрывается случайным интервалом
(*&>*• %) Этот интервал называется интервальной
оценкой для 4 или доверительным интервалом для а. с уров- ?
нем доверия • Более подробно вопросы оценки параметров
распределений по результатам измерений оцениваются а курсе
математической статистики.
Пример 3.2. Поскольку мы постоянно испольэовшм Анализ * 3
интересах ТВ, то покажем, что и ТВ мсвдо использовать в инте- ‘:
ресах Анализа С этой целью докажем, что • ,
223
Цусть ( ~ последовательность НОР СВ, каждая из ко-
торых имеет пуассоновское распределение П(1). Тогда
«пм t так что
ри.<»Ье"±^-е"-Й
; Поскольку JUS* *Ф5иш п. и выполнены условия Линдебер-
га-Леви, то
Р )&.<»)-Pl^oj^r 4(о)-4,
и (3.2) следует иэ того, что в силу формулы Стирлинга
Упражнение 3.1. Игральная кость бросается 1000 раз. Най-
ти пределы, в которых будет лежать число выпавших очков с ве-
роятностью больше .а) 0.95, б) 0.99, в) 0.997 отчета
Упражнение 3.2. При составлении статического сложили 10^
чисел, каждое иэ которых было округлено с точностью до I0“m.
/7' ~ Предполагая, что ошибки округления взаииго независи-
ш и равномерно распределены на (-0.5 10”**, 0.5 10”**), най-
ти пределы, в которых будет лежатьсуммарная ошибка с вероят-
ностью больше 0.997 при t*i»o,± X,t2,t & .
Упражнение З.-З. Даны последовательности незави-
симых СВ с распределениями:
.6) РЦк-±2к}-2”ак41) > 3
- Установить, выполняются ли для ЗБЧ и ЦПГ.
224 ‘
j »
Нормальное распределение.
I. Значения функций % .
Ч> (*)--—=. С*'7* ^(х)ж-±-
ск 10.0 Ю.5 II.0 II.5 12.0 I 2.5 I 3.0 I 3.5 I 4.0 I 4.5
----------,---,----1----,------1-----1----1-----1------1----
'г(х) y9,iU9
’лил/
2. Квантили i<* нормального распределения, о</~>—
<=<- 1 I ! 0.75’0.50 ’ 0.25 ’ О.Ю’О.Об ’ IO-2’ IO*3’ I0~*
I" Г" I------------1----1----- '!'"” " I-----1------!-----!------
| 0 | t>.101 Д 6 ft, /,*«? I /. /4<г} f.XO, г,ГК ?.19O J З.У9/
6)
. -t< *1.0 ’1.4 ’1.8 ’2.0 I 2.4 ’ 2.8 ’ 3.0 ’ 3.4 ’ 3.8 ’ 4.0
>1 I I I I I I I, -pl fl
д Распределение Цуассона. Знача! «XJ 0.1 ’ 0.2 ’ 0.4 ’ 0.6 ’ 0.8 1ИЯ функции 1.0 ’ 2.0 ’ 3.0 ’ 4.0 ’
I Io. tiov iOi !л1гЛз!я M9tf ».SC99\o. ?><??!
ДЗ 1 <• 21 <b Ci < XT 5 cs ST I V u
3 pp₽2 iG,(W кл^фл* \»D^s A22vd4/^!
4 J I Q.0001 0,АДОрг w?. AP/£3\a0fP£
5 I I lAW^.aW!#^ а. махаон* I 1
6 । » | | AOApr\fi.O£iO
7 1 I I i i fi.cw>/\a Oesi’ »,A£(6 |4»xaq
о Г 1 1 1 I Q ! 1 1 I t \».AAA9
9 I I I I I 9^999\A,9f9t I
тл i f iii i lv I I «I 1 1 г i L— 1 1 CjfiAAl |<ЯйД|
и i I t i i i
to t i ! 1 i t к j _i • * • t L I {^oearUm^!
13 I ! I i ! i lA^/l
14 1 ’ I I Г 1 ’
29-1390
225
ЛИТЕРАТУРА
Основная '
I. Боровков А.А. Теория вероятностей. -М.: Наука,ГРФМЛ, все
годы издания.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука,ГРФМЛ,
все годы издания.
3. . Севастьянов Б.'. Курс теории вероятностей и математичес-
кой статистики. -М.: Наука,ГРФМЛ, 1982.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. -М.: Неука,ГРФМЛ,
рее годы издания.
Дополнительная
В. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. -М.: Наука,ГРФМЛ, все годы издания.
6. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика.
-М.:Изд.МГУ, 1983.
7. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и мате-
матическая статистика. -М.:Высшая школа, 1982. *
8. Прохоров D.B., Розанов D.A. Теория вероятностей. -М.:Ндука, |
ГРФМЛ, все годы издания. .
9, Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, ?
т1. -М.: Мир, все годы издания.
10. Ширяев А.Н. Вероятность. -М.; Наука,ГРФМЛ, все годы издания
Сборники задач и учебные пособия-.
П. Башарин Г.П. Графы и цепи Маркова. Уч.пос. -М.: Изд.УДН,
1909.
12. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Учебное
пособие для специальности "Физика". -М.: Изд.УДН, 1990.
13. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инже-
нерные приложения. -М.: Наука,ГРФМЛ, 1988
14. Климов Г.П., 1^узьмин А.Д. Вероятное -, процессы, статисти-
ка. Задачи с решениями. -М.:Изд.МГУ, 193b.
15. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории
вероятностей. -М.: Наука,ГРФМЛ, 1986.
16. Севастьянов Е.А., Чистяков B.U., Зубков А.М. Сборник задач
по теории вероятностей. -М.: Наука,ГРФМЛ, все года издания. ,
I
I
2»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА i. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 3
1.1. Методические замечания, обозначения и
сокращения 3
1.2. Предмет ТВ б
1.3. Математическое описание случайного экспе-
римента 7
1.4. Операции над событиями и их свойства
1.5. Алгебра и -алгебра множеств
1.6. Упражнения
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА
2.1. Классическое определение вероятности
2.2. Геометрические вероятности
2.3. Статистическое определение вероятности
2.4. Аксиоматическое определение, вероятности
ГЛАВА 3. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТОВ
• , . 3.1. Условная вероятность
Ь 3.2. Теорема умножения
3.3. Независимость событий
' 3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
З.б. Независимость экспершентов
ГЛАВА 4. КОМБИНАТОРИКА, СХЕМА БЕРНУЛЛИ
4.1. Элементы'комбинаторного анализа
4.2. Биномиальные коэффициенты
4.3. Некоторые приложения к статической физике
4.4. Схемы Бернулли и полиномиальная
ГЛАВА 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
5.1. Вводные замечания
5.2. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
5.3. Интегральная предельная теорема Цуавра-
Лапласа
5.4. Распределение и предельная теорема Цуассона
5.5. Многомерное распределение Цуассона
ГЛАВА 6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОБЩЕГО ВИДА И ДИСКРЕТНЫЕ
6.1. Вводные замечания
;' 6.2. Определения и свойства случайных величин
i 6.3. Примеры
‘ V 6.4. Дискретные СВ
6.5. Свойства ФР 131 •
SSSSSSSs ззавзззакзаавваврззквв
227
!*
6.6. Непрерывные СВ 136
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕЕА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В ТВ 139
ГЛАВА 8. МНОГОМЕРНЫЕ СВ 143
8.1. Основные понятия 143
8.2. Свойства функции распределения 145
8.3. Дискретные СВ 147
8.4. Непрерывные СВ 149
8.5. Неэавис.лость случайных величин 152
8.6. функции от случайных векторов 156
ГЛАВА 9. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 161
9.1. Математическое ожидание - определение и
примеры 161
9.2. Свойства математического ожидания 165
9.3. Старшие моменты. Дисперсия и ее свойства 170
9.4. Моменты многомерных СВ. Свойства коэффициента
корреляции 175
9.5. Условные математические ожидания. Регрессия 179
9.6. Многомерное нормальное распределение 181
ГЛАВА 10. ЗАКОН БСЛШ1Х ЧИСЕЛ 183
10.1. Массовые явления и устойчисвость средних 183
10.2. Неравенство Чебшева 183
10.3. Закон больших чисел в форме Чебышева и Маркова 187
10.4. Три вида сходимости последовательностей СВ 189
ГЛАВА «. ПРОИЗВОДИШЬ: И ХАРАКТЕРИСТЙЧЕЕКИЕ ФУНКЦИИ 193
«Л. Проиаводяцие функции 193
11.2. Комплекеноэкачные случайные величины (КСВ) 201
|{.Э. Определение и свойства характеристических
функций 203
UA, Формулы обращения и теорема единственности 208
<<.5. Теорема непрерывности 213
ГЛАВА <2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ TEOPhU 217
12Л. Постановка проблемы и условие Линдсборга 217
12.2. Теоремы Линдеберга-Деви и Ляпунова 218
<2.3. О применении ЦПТ 222
ТАБЛИЦЫ 225
ЛИТЕРАТУРА 226
Гелий Павлович Башарин
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
Для студентов II — III курсов
специальностей «Математика», «Прикладная математика»
Отв. за выпуск В. А. Абышкин
Тематический план 1990 г., № 49
Подписано в печать 21.12.89 г. Формат 60X907t6. Ротапринтная печать.
Усл. печ. л. 14,25. Усл. кр.-отт. 14,625. Уч.-изд. л. 14,18. Тираж 500 экз. Заказ 1390.
Изд. № 2012. Цена 50 коп.
Издательство Университета дружбы народов
________________117923, ГСП-1, Москва, ул. Орджоникидзе, 3______________
Типография Издательства УДН. 117923, ГСП-1, Москва,
ул. Орджоникидзе, 3
50 коп.
b)bC-
Ь5Ъ0