Текст
                    С.Г. КАЛАШНИКОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2003


УДК 537 ББК 22.33 К17 Калашников С. Г. Электричество: Учебн. пособие. — 6-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 624 с. — ISBN 5-9221-0312-1. Книга написана на основе курса лекций, читанных автором в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного уни- университета. В результате обобщения опытных фактов формулируются в сжа- сжатой, но ясной форме основные законы электродинамики и выясняется их физический смысл. Изложение построено на основе СИ. 5-е изд. — 1985 г. Для студентов физических и физико-математических факультетов уни- университетов, физико-технических и инженерно-физических институтов, а так- также для всех вузов, где физика является основной дисциплиной; книга может быть также полезна для преподавателей физики в высшей школе. Табл. 20. Ил. 448. Учебное издание КАЛАШНИКОВ Сергей Григорьевич ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Редактор Д-А. Миртова Оригинал-макет: О. Б. Широкова Оформление переплета: А.Ю. Алехина ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 03.12.02. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 39. Уч.-изд. л. 38,13. Тираж 3000 экз. Заказ Л» 4fc7. Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997 Москва, Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московская типография № в» Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 115088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24 ISBN 5-9221-0312-1 9»78 922И1 03121 ISBN 5-9221-0312-1 © ФИЗМАТЛИТ, 1985, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ От редакции Из предисловия к первому изданию ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Глава I. Электрические заряды 11 § 1. Введение A1). § 2. Закон взаимодействия электрических за- зарядов A2). § 3. Абсолютная электростатическая система единиц A5). § 4. Международная система единиц (СИ) A6). § 5. Гальва- Гальванические элементы A8). § 6. Электризация как разделение зарядов A9). § 7. Электроны A9). Глава II. Электрическое поле 21 § 8. Понятие об электрическом поле B1). § 9. Напряженность электрического поля B2). § 10. Сложение электрических полей B4). § 11. Объемная и поверхностная плотности заряда B4). § 12. Линии напряженности электрического поля B5). § 13. Тео- Теорема Остроградского-Гаусса B9). § 14. Уравнение Пуассона C6). § 15. Диполь в электрическом поле C8). Глава III. Разность потенциалов 40 § 16. Работа в электростатическом поле D0). § 17. Разность по- потенциалов D1). § 18. Условия равновесия зарядов в проводниках D4). § 19. Разность потенциалов и напряженность поля D4). § 20. Эквипотенциальные поверхности D6). § 21. Измерение напряже- напряжения между проводниками D7). § 22. Нормальные элементы D9). § 23. Электрический зонд E0). § 24. Потенциал в простейших элек- электрических полях E1). § 25. Вычисление потенциала в поле задан- заданных зарядов E3). § 26. Общая задача электростатики E5). § 27. Проводники в электрическом поле E7). § 28. Точная проверка за- закона Кулона E8). § 29. Острия F0). § 30. Электростатический ге- генератор F1). Глава IV. Энергия электрического поля 63 § 31. Электрическая емкость F3). § 32. Емкость простых конденса- конденсаторов F4). § 33. Метод зеркальных изображений F8). § 34. Энергия заряженного конденсатора F9). § 35. Соединение конденсаторов
ОГЛАВЛЕНИЕ G0). § 36. Сложные конденсаторы G2). § 37. Энергия электричес- электрического ноля G4). Глава V. Диэлектрики 77 § 38. Поляризация диэлектриков G7). § 39. Поляризованность (80). § 40. Напряженность электрического поля внутри диэлектрика (83). § 41. Электрическое смещение в диэлектрике (85). § 42. Изо- Изотропные и анизотропные диэлектрики (88). § 43. Преломление ли- линий смещения и напряженности поля (89). § 44. Законы электри- электрического поля в диэлектриках (90). § 45. Механические силы при на- наличии диэлектриков (93). § 46. Электронная теория поляризации диэлектриков (94). § 47. Диэлектрическая проницаемость неполяр- неполярных диэлектриков (96). § 48. Диэлектрическая проницаемость по- полярных диэлектриков (98). § 49. Определение дипольных моментов молекул (99). § 50. Сегнетоэлектрики A01). § 51. Пьезоэлектриче- Пьезоэлектрический эффект A04). § 52. Обратный пьезоэлектрический эффект (ПО). Глава VI. Постоянный электрический ток 115 § 53. Характеристики электрического тока A15). § 54. Уравнение непрерывности A17). § 55. Действия электрического тока A18). § 56. Баллистический гальванометр A21). § 57. Закон Ома A23). § 58. Измерение сопротивлений A24). § 59. Сопротивление прово- проволок A26). § 60. Зависимость сопротивления от температуры A27). § 61. Закон Ома в дифференциальной форме A28). § 62. Элек- Электролитическая ванна A32). § 63- Заземление в линиях связи A33). Глава VII. Электродвижущая сила 136 § 64. Источники тока A36). § 65. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца A36). § 66. Энергия, освобождаемая в гальваническом элементе A38). § 67. Электродвижущая сила галь- гальванического элемента A38). § 68. Напряжение на зажимах источ- источника тока A41). § 69. Электродвижущая сила и работа источника тока A43). § 70. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа A46). § 71. Мощность во внешней цепи и коэффициент полезного дей- действия источника тока A52). § 72. Закон сохранения энергии для электрического поля A54). § 73. Квазистационарные токи A57). § 74. Конденсатор в цепи с сопротивлением A59). МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Глава VIII. Магнитное поле токов в вакууме 162 § 75. Магнитное взаимодействие токов A62). § 76. Магнитная ин- индукция A64). § 77. Абсолютная электромагнитная система еди- единиц A68). § 78. Магнитная постоянная A70). § 79. Напряженность магнитного поля A71). § 80. Линии индукции магнитного поля A73). § 81. Вихревой характер магнитного поля A74). § 82. Маг- Магнитный момент тока A79). § 83. Два параллельных проводника с
ОГЛАВЛЕНИЕ током A81). § 84. Механическая работа в магнитном поле. Маг- Магнитный поток A82). § 85. Контур с током в магнитном поле A85). § 86. Магнитное поле движущегося заряда A88). § 87. Опыты Ро- уланда и Эйхенвальда A89). § 88. Сила Лоренца A91). Глава IX. Электромагнитная индукция 192 § 89. Электромагнитная индукция A92). § 90. Закон Ленца A94). § 91. Основной закон электромагнитной индукции A95). § 92. Из- Измерение магнитного напряжения B00). § 93. Самоиндукция B01). § 94. Магнитная проницаемость вещества B05). § 95. Исчезновение и установление тока B06). Глава X. Энергия магнитного поля 208 § 96. Собственная энергия тока B08). § 97. Энергия магнитного поля B10). § 98. Взаимная индукция B12). § 99. Взаимная энергия двух токов B14). § 100. Закон сохранения энергии при наличии магнитного поля B15). § 101. Механичес кие силы в магнитном поле B18). § 102. Давления и напряжения Фарадея-Максвелла B21). Глава XI. Магнетики 222 § 103. Намагничивание сред B22). § 104. Напряженность магнит- магнитного поля внутри магнетика B24). § 105. Магнитная индукция в магнетике B25). § 106. Законы магнитного поля в магнетиках B27). § 107. Влияние формы тела на намагничивание B30). § 108. Пре- Преломление линий индукции магнитного поля B32). § 109. Маг- Магнитные свойства веществ. Диамагнетизм и парамагнетизм B36). § ПО. Ферромагнетизм B38). § 111. Работа при намагничивании B42). § 112. Магнитные материалы. Ферриты B45). § 113. Магнит- Магнитные заряды. Формальная теория магнетизма B47). § 114. Влияние среды на магнитное взаимодействие B53). § 115. Природа моле- молекулярных токов B55). § 116. Магнитомеханическое и механомаг- нитнос явления B57). § 117. Магнитный и механический моменты электрона B59). § 118. Объяснение пара- и диамагнетизма B61). § 119. Объяснение ферромагнетизма B65). Глава XII. Техническое использование магнитного потока. Генераторы и двигатели 271 § 120. Магнитные цепи B71). § 121. Электромагниты B74). § 122. Разветвление магнитного потока B76). § 123. Генераторы переменного тока B78). § 124. Генераторы постоянного тока B80). § 125. Электродвигатель постоянного тока B82). § 126. Синхронные двигатели B83). § 127. Двухфазный ток B84). § 128. Трехфазный ток B86). § 129. Векторные диаграммы B90). § 130. Вращающееся магнитное поле B93). Глава XIII. Взаимные превращения электрических и маг- магнитных полей. Теория Максвелла 296 § 131. Вихревое электрическое ноле B97). § 132. Вихревые токи B99). § 133. Трансформатор C01). § 134. Вытеснение переменного
ОГЛАВЛЕНИЕ тока (скин-эффект) C04). § 135. Индукционный ускоритель C06). § 136. Ток смещения C08). § 137. Уравнения Максвелла C11). § 138. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме C13). § 139. Значение теории Максвелла C16). § 140. Электромагнит- Электромагнитное ноле в движущихся толах C17). § 141. Для электромагнитных явлений важно относительное движение C20). § 142. Электромаг- Электромагнитная индукция в движущихся проводниках C23). § ]43. Преоб- Преобразование Лоренца C25). ЭЛЕКТРОННЫЕ И ИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ Глава XIV. Природа электрического тока в металлах и по- полупроводниках 329 § 144. Измерение заряда электрона C29). § 145. Природа носите- носителей заряда в металлах C32). § 146. Причина электрического со- сопротивления C34). § 147. Классическая электронная теория ме- металлов C36). § 148. Сверхпроводимость C40). § 149. Пределы применимости классической электронной теории металлов C44). § 150. Концентрация и подвижность электронов в металлах C46). § 151. Полупроводники и диэлектрики C48). § 152. Собственная проводимость полупроводников C50). § 153. Примесная проводи- проводимость полупроводников C52). § 154. Понятие об энергетических зонах C54). § 155. Распределение импульса и энергии у электро- электронов C59). Глава XV. Электрические токи в вакууме 363 § 156. Электронная эмиссия C63). § 157. Вольт-амперная харак- характеристика вакуумного диода C64). § 158. Зависимость тока насы- насыщения от температуры C67). § 159. Электронная лампа как вы- выпрямитель C69). § 160. Трехэлектродная электронная лампа (три- (триод) C70). § 161. Усиление электрических сигналов C74). § 162. Электрические флуктуации C77). § 163. Вторичная электронная эмиссия C79). § 164. Многосеточные лампы C81). § 165. Автоэлек- Автоэлектронная эмиссия C82). Глава XVI. Разряды в газах 383 § 166. Ионизация газов C83). § 167. Ионизация электронными уда- ударами C85). § 168. Движение ионов в газах C86). § 169. Несамо- Несамостоятельные и самостоятельные разряды C88). § 170. Возникно- Возникновение самостоятельных разрядов C90). § 171. Тлеющий разряд C94). § 172. Коронный разряд C97). § 173. Искровой разряд D00). § 174. Молния D02). § 175. Дуговой разряд D03). § 176. Устойчи- Устойчивость электрических разрядов D06). § 177. Плазма D10). Глава XVII. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях 412 § 178. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле D12). § 179. Движение заряженных частиц в однородном
ОГЛАВЛЕНИЕ магнитном поле D13). § 280. Циклотрон D16). § 181. Определе- Определение удельного заряда электронов методом магнитной фокусиров- фокусировки D18). § 182. Магнегрон D19). § 183. Определение удельного заряда /3-частиц D22). § 184. Результаты измерений удельного за- заряда электрона D24). § 185. Циклотронный (диамагнитный) резо- резонанс D25). § 186. Эффективная масса D27). § 187. Отражение и преломление электронных пучков. Электронная и ионная оптика D29). § 188. Электронный осциллограф D33). Глава XVIII. Электрический ток в электролитах 435 § 189. Законы электролиза Фарадея D35). § 190. Электролитиче- Электролитическая диссоциация D38). § 191. Движение ионов в электролитах D41). § 192. Проводимость электролитов D43). § 193. Числа пере- переноса. Подвижности ионов в электролитах D44). § 194. Электрод- Электродные потенциалы D47). § 195. Химические источники тока D51). § 196. Напряжение разложения электролита D55). § 197. Аккуму- Аккумуляторы D57). Глава XIX. Электрические явления в контактах 459 § 198. Контактная разность потенциалов D59). § 199. Термо- Термоэлектричество D63). § 200. Эффект Пельтье D67). § 201. Эф- Эффект Томсона D70). § 202. Применения термоэлектричества D72). § 203. Электронно-дырочные переходы в полупроводниках D73). § 204. Полупроводниковые диоды D78). § 205. Неравновесные элек- электроны и дырки с полупроводниках D79). § 206. Полупроводнико- Полупроводниковые усилители D82). ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Глава XX. Собственные электрические колебания 485 § 207. Собственные электрические колебания D85). § 208. Затуха- Затухание колебаний D88). § 209. Уравнение собственных электрических колебаний. Колебания в отсутствие затухания D90). § 210. Коле- Колебания при наличии затухания D93). § 211. Поддержание колеба- колебаний. Искровой контур D96). § 212. Автоколебательные системы D97). § 213. Использование отрицательных сопротивлений D98). § 214. Ламповые генераторы. Обратная связь E00). § 215. Условие самовозбуждения E03). § 216. Релаксационные колебания E05). Глава XXI. Вынужденные электрические колебания. Пере- Переменные токи 506 § 217. Сопротивление в цепи переменного тока E07). § 218. Ем- Емкость в цепи переменного тока E08). § 219. Индуктивность в цепи переменного тока E11). § 220. Закон Ома для переменных токов E14). § 221. Резонанс напряжений E16). § 222. Установление ко- колебаний E20). § 223. Работа и мощность переменного тока E22).
ОГЛАВЛЕНИЕ § 224. Разветвление переменных токов E25). § 225. Резонанс токов E27). § 226. Параметрический резонанс E30). § 227. Комплексные величины E32). § 228. Комплексные сопротивления E36). Глава XXII. Электромагнитные волны вдоль проводов . . . 541 § 229. Распределенные системы E41). § 230- Электромагнитный импульс вдоль проводов E42). § 231. Электромагнитные волны E45). § 232. Стоячие электромагнитные волны E47). § 233. Соб- Собственные колебания двухпроводной линии E51). § 234. Экспери- Экспериментальное исследование стоячих электромагнитных волн E53). § 235. Открытый вибратор E55). § 236. Стоячие волны в катушках E56). Глава XXIII. Свободные электромагнитные волны 557 § 237. Образование свободных электромагнитных волн E57). § 238. Волновое уравнение E58). § 239. Плоские электромагнит- электромагнитные волны E60). § 240. Свойства электромагнитных волн E62). § 241. Экспериментальное исследование электромагнитных волн E63). § 242, Энергия электромагнитных волн E67). § 243. Эле- Элементарный диполь E71). § 244. Давление электромагнитных волн E74). § 245. Импульс и масса электромагнитного поля E75). § 246. Электромагнитная масса движущегося заряда E79). Глава XXIV- Применение электромагнитных волн для целей связи 582 § 247. Принцип радиосвязи E82). § 248. Модуляция колебаний E83). § 249. Радиопередатчик E86). § 250. Демодуляция коле- колебаний. Радиоприемник E88). § 251. Гетеродинный прием E91). § 252. Супергетеродинный приемник E91). § 253. Полусвободные электромагнитные волны E93). Добавления 595 1. Теория опытов Кавендиша и Максвелла (к § 28) 595 2. Ориентировка полярных молекул в электрическом поле (к § 48) . 598 3. Лилии напряженности и тока (к § 61) 599 4. Метод контурных токов (к § 70) 600 5. Максвелловское время релаксации (к § 73) 601 6. Взаимная энергия двух токов (произвольные контуры) (к § 90) . 602 7. Теорема Лармора (к § 115) 603 8. Закон Богуславского-Лэнгмюра 604 9. Устойчивость электрических разрядов (к § 176, 213) 605 10. К объяснению циклотронного резонанса (к § 185) 608 11. Электромагнитное поле диполя (к § 243) 610 12. Давление электромагнитных волн (к § 244) 612 13. Система единиц Гаусса 6]4 14. Таблица электрических и магнитных единиц 619 Предметный указатель 621
ОТ РЕДАКЦИИ Предлагаемая вниманию читателей книга профессора С.Г. Калашникова «Электричество» написана на основе лек- лекций, которые автор читал в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета. Лек- Лекции С.Г. Калашникова по курсу общей физики и созданный им курс по физике полупроводников всегда отличались глубиной содержания, точностью и прозрачной ясностью изложения и неизменно современным уровнем. Эта особенность лекций привлекала к ним не только студентов, на которых они прежде всего были рассчитаны, но и аспирантов, преподавателей и научных сотрудников всех рангов. Книга впервые увидела свет в 1956 году, быстро получила широкое признание и стала одним из основных учебных посо- пособий для студентов физических специальностей высших учебных заведений. При подготовке переизданий автор постоянно совер- совершенствовал курс, дополняя его новым материалом и расширяя содержание. За несколько дней до своей кончины, последовав- последовавшей 23 апреля 1984 года, Сергей Григорьевич Калашников за- завершил работу над основным текстом настоящего, пятого, из- издания «Электричества»; не написанным осталось только преди- предисловие. Как и в предыдущих изданиях, автор внес в книгу некото- некоторые улучшения и изменения, сохраняя при этом общий замысел, структуру курса и стиль изложения. Так, расширены и перера- переработаны § 113 (Магнитные заряды. Формальная теория магне- магнетизма), § 117 (Магнитный и механический моменты электрона), § 246 (Электромагнитная масса движущегося заряда). Добав- Добавлены важные сведения об изотропных и анизотропных диэлек- диэлектриках (§ 42), прямом и обратном пьезоэлектрических эффектах (§ 42, 51), энергии заряженного конденсатора (§ 34) и энергии магнитного поля (§ 47), а также о термоэлектричестве (§ 199). Включен вопрос об ориентировке полярных молекул в электри- электрическом поле (Добавление 2). Кроме того, сделано значительное число более мелких вставок и замен в других местах книги. В процессе редактирования и окончательной подготовки ру- рукописи к публикации проведено уточнение терминологии; обо- обозначения единиц физических величин приведены в соответствии с действующим ГОСТ 8.417-81 (СТ СЭВ 1052-78).
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга задумана как учебное пособие по разде- разделу «Электричество» общего курса физики, который я читал в течение ряда лет на физическом факультете Московского уни- университета. В основу изложения материала, за редкими исключениями, обусловленными методическими соображениями, я стремился положить опыт. Я старался также уделить внимание разъясне- разъяснению принципов измерения основных электрических и магнит- магнитных величин, которое, по возможности, следует непосредствен- непосредственно за введением соответствующих физических понятий. Однако описание различных опытов отнюдь не претендует на полно- полноту и, кроме того, касается только принципов этих опытов, так как предполагается, что читатели этой книги слушают лекци- лекционный курс с демонстрациями и работают в учебных лаборато- лабораториях. По этой же причине большинство рисунков выполнено в виде умышленно простых схем, легко доступных воспроизведе- воспроизведению студентами. Текст книги разделен на три группы. Материал, набранный основным шрифтом, соответствует принятой программе и, по мнению автора, является обязательным для изучения. Факуль- Факультативный материал дан петитом. Наконец, в добавления вынесе- вынесены некоторые (факультативные) вопросы, которые имеют чисто вычислительный характер. Так как в настоящее время имеются задачники, соответству- соответствующие университетскому курсу физики, то включение в книгу задач и упражнений казалось мне излишним. Поэтому в кни- книге приведены лишь сравнительно немногочисленные примеры, иллюстрирующие применение наиболее важных законов и со- составляющие, как правило, органическую часть текста. Июнь 1956 С. Г. Калашников
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛАВА I ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ § 1. Введение Напомним некоторые элементарные факты, касающиеся электрических зарядов. Так как они должны быть известны чи- читателям из курса физики средней школы, мы остановимся на них лишь очень кратко. Уже в глубокой древности было известно, что янтарь, по- потертый о шерсть, приобретает способность притягивать легкие предметы. Однако только в конце XVI века английский врач Джильберт подробно исследовал это явление и нашел, что ана- аналогичным свойством обладают многие другие вещества. Тела, способные, подобно янтарю, после натирания притягивать лег- легкие предметы, он назвал наэлектризованными (от греческого электрон — янтарь). Теперь мы говорим, что на телах в та- таком состоянии имеются электрические заряды, а сами эти тела называем заряженными. Укажем, что само трение при «электризации трением» не играет никакой принципиальной роли. Электрические заряды всегда возникают при тесном соприкосновении различных ве- веществ. В случае твердых тел тесному соприкосновению препят- препятствуют микроскопические выступы и неровности, всегда имею- имеющиеся на поверхности. Сдавливая тела и притирая их друг к другу, мы лучше сближаем поверхности обоих тел, которые без притирания соприкасались бы только в немногих точках. В некоторых телах электрические заряды могут свободно пе- перемещаться между различными частями тела, в других же те- телах это не имеет места. Тела первого рода называют проводни- проводниками электричества, а тела второго рода — диэлектриками или изоляторами. Проводниками являются все металлы в твердом и жидком состояниях, водные растворы солей и кислот и многие другие вещества. Примерами изоляторов могут служить янтарь, кварц, эбонит и все газы в нормальных условиях. Отметим, что разделение тел на проводники и диэлектрики весьма условно. Все известные вещества в большей или мень-
12 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ ГЛ. I шей степени проводят электричество. Когда мы говорим, что данное тело есть изолятор, то этим мы выражаем только то об- обстоятельство, что в данных условиях опыта заряд, прошедший через тело, мал по сравнению с другими зарядами, участвую- участвующими в рассматриваемом явлении. Опыт показывает, далее, что два заряженных тела могут ли- либо отталкиваться, либо притягиваться друг к другу. Если заря- зарядить два легких тела, подвешенных на изолирующих шелковых нитях, прикасаясь к ним стеклянной палочкой, потертой о шелк, то оба тела отталкиваются. То же наблюдается, если оба тела заряжены при помощи эбонитовой палочки, потертой о мех. Но если зарядить одно из тел от стеклянной палочки, а другое — от эбонитовой, то оба тела притягиваются друг к другу. Это означает, что заряды стекла и эбонита качественно различны. Несмотря на обилие различных веществ в природе, существу- существуют только два вида электрических зарядов: заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о шелк, и заряды, подобные появляющимся на эбоните, потертом о мех. Первые из них по- получили название положительных зарядов, а вторые — отрица- отрицательных зарядов. Следовательно, одноименные заряды оттал- отталкиваются, а разноименные притягиваются. Явление электрического отталкивания используют для устройства электроскопа, предназначенного для обнаружения электрических зарядов. Он состоит из изолированного метал- металлического стержня, к которому прикреплены легкие металли- металлические или бумажные листочки. При соприкосновении с заря- заряженным телом часть заряда тела переходит на электроскоп и листочки под действием сил электрического отталкивания от- отклоняются на некоторый угол. § 2. Закон взаимодействия электрических зарядов Начало количественного изучения электрических явлений относится к концу XVIII века, когда Кулон A785 г.) установил на опыте закон взаимодействия электрических зарядов. Для заряженных тел произвольных размеров такой закон в общей форме дать нельзя, так как сила взаимодействия протя- протяженных тел зависит от их формы и взаимного расположения. Однако форма тел и их взаимная ориентировка перестают ска- сказываться, если размеры тел весьма малы по сравнению с рас- расстоянием между ними. Поэтому закон взаимодействия, имею- имеющий общее значение, можно установить только для точечных зарядов. Так как электрические заряды всегда распределены в объ- объеме, то никаких конечных зарядов в математической точке, ра- разумеется, быть не может. Под точечным зарядом в физике все-
§2 ЗАКОН ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ 13 гда понимают протяженное заряженное тело, размеры которого весьма малы по сравнению с расстоянием от других зарядов. Схема опытов Кулона изображена на рис. 1 (а — общий вид прибора, б — его головка, в — проводник для зарядки шари- шариков А я Б). На тонкой металлической нити Н подвешено легкое изолирующее коромысло К, имею- имеющее на одном из концов ша- шарик А, а на другом — противо- противовес П. Верхний конец нити за- закреплен на вращающейся головке прибора, позволяющей точно от- отсчитывать угол закручивания ни- нити. Внутрь прибора можно вно- вносить второй изолированный ша- шарик Б такого же размера, как и шарик А. Большой стеклянный цилиндр защищает чувствитель- чувствительные части прибора от движения воздуха. Чтобы установить, как зави- зависит сила взаимодействия от рас- расстояния между зарядами, шари- шарикам А и Б сообщают произволь- произвольные заряды, касаясь их третьим заряженным шарикбм, укреплен- укрепленным на изолирующей ручке. Ша- Шарики отталкиваются и устанавливаются на некотором расстоя- расстоянии, которое измеряют, пользуясь шкалой прибора. Затем вра- вращают головку прибора и закручивают нить подвеса, замечая при этом расстояния, до которых сближаются шарики при раз- различных углах закручивания нити. Как известно из механики, при деформации кручения (в области обратимых упругих де- деформаций) угол закручивания пропорционален моменту крутя- крутящей силы; зная, во сколько раз мы увеличили угол закручива- закручивания нити, мы тем самым определяем, во сколько раз увеличился момент силы, а отсюда можно определить и силу, действующую на шарик коромысла. В результате этих опытов Кулон заклю- заключил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов направле- направлена вдоль линии, соединяющей оба заряда, и обратно пропорци- пропорциональна квадрату расстояния между зарядами: F-1/r2. Сила взаимодействия между шариками зависит еще от заря- зарядов шариков. Эту зависимость можно выяснить при помощи сле- следующего опыта. Если коснуться на короткое время одного из ша- шариков, А или Б, другим шариком, имеющим такие же размеры, Рис. 1. Крутильные весы Кулона
14 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ ГЛ. I но не заряженным, то в силу тождественности обоих соприка- соприкасающихся шариков заряд распределяется между ними поровну. При этом оказывается, что сила взаимодействия между шарика- шариками А и Б, на одном из которых теперь находится лишь половина первоначального заряда, при том же расстоянии уменьшается в два раза. Повторяя этот прием, можно уменьшить заряд шарика в два, четыре и т.д. раз и убедиться, что сила взаимодействия пропорциональна заряду каждого из шариков. Более точно этот вопрос можно исследовать следующим образом. Сообщим шарикам А и В некоторые (неизвестные) заряды и измерим силу взаимодействия Fab между ними при некотором определенном расстоянии. Заменим, далее, шарик Б другим заряженным шариком В и измерим снова силу взаи- взаимодействия Fab между А и В при том же расстоянии, что и в первом случае. Если теперь изменить произвольным образом заряд шарика А и опять измерить силы взаимодействия шарика А с шариками Б и В, то опыт показывает, что отношение сил Fab /Fab в обоих случаях одинаково, т.е. не зависит от заря- заряда шарика А. Это значит, что указанное отношение сил зависит только от зарядов шариков Б и В, а следовательно, можно по- положить его равным отношению зарядов обоих шариков, т.е. Fab /Fab =Яб/чв- Это соотношение является определением отношения двух заря- зарядов и указывает способ сравнения зарядов.. Полученный результат показывает, что сила взаимодействия пропорциональна заряду одного из шариков (А). Так как оба шарика в этих опытах равноправны, то отсюда следует, что сила взаимодействия пропорциональна каждому из зарядов q\ и qi- Таким образом, сила взаимодействия двух точечных зарядов равна F = /??. B.1) Здесь / — коэффициент пропорциональности, зависящий от вы- выбора единиц заряда, расстояния и силы. Для того чтобы выразить не только модуль силы, но и ее на- направление, закон Кулона можно представить в векторной форме: Fi2 = /^r12, B.1а) *i где Fi2 — вектор силы, действующей на заряд 2 со стороны заряда 1, а Г12 — радиус-вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2. Опыты Кулона, конечно, не являются единственным дока- доказательством справедливости закона обратных квадратов. В на- настоящее время имеется большое количество других эксперимен- экспериментальных данных, показывающих, что закон Кулона выполняется
§ 3 АБСОЛЮТНАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ 15 очень точно и притом как для очень больших, так и для очень малых расстояний. В частности, исследования атомных явле- явлений позволяют заключить, что он справедлив, по крайней мере, вплоть до расстояний порядка 10~15 м. § 3. Абсолютная электростатическая система единиц Для определения коэффициента пропорциональности / в за- законе Кулона мы должны остановиться на какой-либо определен- определенной системе единиц. Всякая система единиц состоит из некоторого числа основ- основных единиц, выбираемых независимо друг от друга, и сово- совокупности производных единиц. Последние образуются из основ- основных (и других производных) единиц с помощью подходящим образом выбранных соотношений, выражающих определенные физические законы и связывающих между собой данную фи- физическую величину, для которой устанавливается единица, с другими величинами, единицы которых уже определены. Каж- Каждое такое соотношение, используемое для установления той или иной производной единицы, мы будем называть определяющим соотношением для данной единицы. В физике до настоящего времени часто употребляют абсо- абсолютную систему единиц (механических, электрических и маг- магнитных) СГС, построенную на трех основных единицах: длины (сантиметр), массы (грамм) и времени (секунда). Единицей си- силы в этой системе служит дина. Если выражать расстояние г в сантиметрах, а силу F в динах, то в законе Кулона будет един- единственная неопределенная единица — единица заряда. Поэтому можно выбрать эту единицу таким образом, чтобы было / = 1, т.е. чтобы закон Кулона приобрел наиболее простую форму. Та- Такая единица заряда получила название абсолютной электро- электростатической единицы заряда. Полагая в формуле B.1) г = 1, q\ = q2 = 1, получаем F = 1. Это значит, что абсолютная электростатическая единица за- заряда есть такой заряд, который действует в вакууме на рав- равный ему заряд, удаленный на расстояние 1 см, с силой 1 дин. Если выражать заряды в абсолютных электростатических единицах, силу — в динах, а расстояние —- в сантиметрах, то закон Кулона B.1) принимает вид Выбирая за основные единицы сантиметр, грамм и секунду и пользуясь абсолютной электростатической единицей заряда, можно определить единицы всех электрических и магнитных величин, с которыми мы познакомимся в дальнейшем. Такая
16 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ ГЛ I система единиц называется абсолютной электростатической системой и обозначается символом СГСЭ. Таким образом, в системе СГСЭ единица заряда есть произ- производная единица. Определяющим соотношением для нее служит закон Кулона. В дальнейшем мы будем пользоваться общепринятым спосо- способом обозначения производных единиц. Для этого данную вели- величину будем выражать из определяющего соотношения и в полу- полученное выражение подставлять вместо физических величин их единицы. Так, например, из формулы C.1) имеем отсюда единица заряда в системе СГСЭ равна 1 СГСЭд = 1 см • дин1/2. Такой способ обозначения производных единиц удобен пото- потому, что он определяет их размерность, т.е. показывает, как из- изменяется единица данной физической величины при изменении других единиц системы. Так, например, приведенное выраже- выражение показывает, что при увеличении единицы длины в а раз и единицы силы в Ь раз единица заряда увеличивается в аб1/2 раз. Производные единицы можно также выразить только через основные единицы. Так, например, учитывая, что 1 дин есть 1 г-см-с", получаем 1 СГСЭ, = 1 см3/2 ¦ г1'2 ¦ с. § 4. Между народная система единиц (СИ) Помимо системы СГСЭ, можно построить и другие абсолют- абсолютные системы электрических и магнитных единиц. Так, напри- например, в § 77 мы познакомимся с электромагнитной системой еди- единиц СГСМ, которая, как и система СГСЭ, построена на трех основных единицах: длины (сантиметр), массы (грамм) и вре- времени (секунда), но основана не на законе электростатическо- электростатического взаимодействия зарядов, а на законе магнитного взаимодей- взаимодействия токов. Эта система является также абсолютной, так как в ней все магнитные единицы определяются таким образом, что- чтобы коэффициенты пропорциональности в законах магнетизма обратились в единицу. Система единиц СГСЭ весьма удобна для описания электрических явлений, а система СГСМ — для магнитных явлений. Особенно широко в физической литерату- литературе применяется также так называемая симметричная система электрических и магнитных единиц (система единиц Гаусса), представляющая собой сочетание обеих систем СГСЭ и СГСМ (см. Добавление 13).
§ 4 МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (СИ) 17 Однако эти абсолютные системы единиц, наряду с весьма большими их достоинствами, обладают тем недостатком, что единицы многих электрических и магнитных величин получа- получаются в них неудобными для целей практики, так как оказыва- оказываются или слишком большими, или слишком малыми. Поэтому в настоящее время получила широкое распространение Меж- Международная система единиц, сокращенно обозначаемая латин- латинскими буквами SI (The system international of units) и русскими буквами СИ (система интернациональная). При разработке этой системы стремились к тому, чтобы единицы основных электри- электрических и магнитных величин совпали с соответствующими прак- практическими единицами, давно установившимися и принятыми в электротехнике и радиотехнике 1). Система СИ построена на основе семи основных единиц: еди- единица длины — метр (м), единица массы — килограмм (кг), еди- единица времени — секунда (с), единица силы тока — ампер (А), единица термодинамической температуры — кельвин (К), еди- единица силы света — кандела (кд) и единица количества веще- вещества — моль (моль). Кроме семи основных, система СИ имеет две дополнительные единицы: единицу плоского угла - радиан (рад) и единицу телесного угла — стерадиан (ср). Каждая из этих единиц позволяет образовать все производ- производные единицы для величин, имеющих немеханическую природу: ампер — единицы электрических и магнитных величин, кель- кельвин — единицы тепловых величин, кандела — единицы свето- световых величин, моль — единицы величин молекулярной физики и химии. Единица электрического заряда в системе СИ есть кулон (Кл) — заряд, проходящий за 1 с через сечение проводника, в котором имеется неизменяющийся ток силой 1 А, т.е. 1 Кл = 1 А • 1 с = 1 А • с. Определение ампера основано на законе магнитного взаи- взаимодействия токов и будет дано в § 83. Из этого определения следует, что 1 кулон содержит 0,1с единиц заряда СГСЭ, где с = 2,99792458 • 1010 есть скорость света в вакууме, выраженная в см/с. В дальнейшем мы будем пользоваться округленным зна- значением этой величины и считать, что заряд 1 Кл = 3 • 109 СГСЭ9. 1) Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 19 марта 1981 г с 1 января 1982 г в Советском Союзе введен в действие государственный стандарт ГОСТ 8 417-81 (СТ СЭВ 1052-78), согласно ко- которому обязательному применению подлежат единицы Международной си- системы (СИ), а также десятичные кратные и дольные от них. (Примеч. ред.)
18 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ ГЛ. I Отличие системы СИ от системы СГСЭ заключается еще и в том, что в ней используется так называемая рационализованная форма записи законов электричества Это изменение заключа- заключается в следующем. Во многие формулы электричества, в осо- особенности в те, которые часто встречаются в практике, входит множитель 4тг. Чтобы избавиться от него в практически важ- важных формулах, в выражение для закона Кулона с самого нача- начала вводят множитель 1/4тг. Такой же множитель оказывается удобным ввести и в основной закон магнитного взаимодействия токов (ср. § 79). Поэтому закон Кулона в системе единиц СИ записывают в виде F =-!-*?, D.1) где вместо коэффициента пропорциональности /, входящего в формулу B.1), написано 1/Dтгео). Здесь е0 — некоторая посто- постоянная, зависящая от выбора единиц. Однако, так как едини- единица заряда уже определена, эту постоянную нельзя обратить в единицу. Поэтому в системе СИ, в отличие от системы СГСЭ, в законы электричества входит новая постоянная бо, имеющая определенную размерность. Эту постоянную мы будем называть в дальнейшем электрической постоянной. Нетрудно найти, чему равно значение ?о в системе единиц СИ. Положим, что два точечных заряда q\ = qi = 1 Кл, удален- удаленных на расстояние 1 м = 102 см, взаимодействуют в вакууме. Тогда, согласно формуле C.1), сила взаимодействия равна С другой стороны, согласно формуле D.1), та же сила есть F= 1 ''= 1 н 4 I2 4 Отсюда О единице электрической постоянной ео см. § 32. § 5. Гальванические элементы Электрические заряды можно получить различными спосо- способами, с которыми мы познакомимся в дальнейшем. Сейчас же мы упомянем о получении зарядов с помощью гальванических элементов. Гальваническим элементом называют два различных провод- проводника, соединенных электропроводящим раствором (обычно вод-
ЭЛЕКТРИЗАЦИЯ КАК РАЗДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ 19 Си ным раствором кислоты или соли). На рис. 2 показан один из простейших элементов — элемент Вольты. Он состоит из медной и цинковой пластин, называемых элек- электродами элемента, погруженных в сла- слабый водный раствор серной кислоты. Медь заряжается положительно, а цинк — отрицательно. Положительный электрод часто называют анодом, а отрицатель- отрицательный — катодом. Устройство различных гальваниче- гальванических элементов и процессы, в них проис- происходящие, будут рассмотрены в ГЛ. XVIII. Рис. 2. Элемент Вольты § 6. Электризация как разделение зарядов Опыт показывает, что возникновение заряда на любом теле всегда сопровождается появлением другого заряда, равного ему по модулю, но противоположного по знаку. Так, например, в гальванических элементах мы имеем всегда два электрода, один из которых заряжается положительно, а другой — отрицатель- отрицательно. При электризации трением также всегда заряжаются оба притираемых тела и притом равными по модулю, но противо- противоположными по знаку зарядами. Одновременное появление разноименных зарядов при всяком процессе заряжения привело к заключению, что во всех телах всегда содержатся положительные и отрицательные заряды. В обычных условиях, однако, количество положительного заряда в каждом объеме тела равно количеству отрицательного заря- заряда, и поэтому тело представляется нам незаряженным. Всякий процесс заряжения есть процесс разделения электрических за- зарядов, при котором на одном из тел (или части тела) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или другой части тела) — избыток отрицательного заряда. Общее количество по- положительного и отрицательного зарядов, содержащихся в телах, не изменяется, а эти заряды только перераспределяются между телами. Поэтому алгебраическая сумма зарядов, возникающих при любом электрическом процессе на всех телах, участвующих в процессе, всегда равна нулю. § 7. Электроны В настоящее время твердо установлено, что электрические заряды существуют в природе в виде заряженных частиц, кото- которые мы считаем простейшими, или элементарными. Элементар- Элементарная отрицательно заряженная частица, с которой нам приходит- приходится встречаться в электрических явлениях, получила название
20 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ ГЛ. I электрона. Заряд каждого из электронов равен 1,60 • 109 Кл (§ 144). Масса электрона чрезвычайно мала и составляет все- всего около 10~30 кг. Поэтому можно принести на тело и убрать с него огромное число электронов без заметного изменения массы тела. В состав атома каждого элемента входит определенное свой- свойственное ему число электронов. Атом в целом, однако, не заря- заряжен, так как в нем имеется и положительный заряд, равный по модулю сумме зарядов всех электронов атома. Положительный заряд атома заключен в ядре атома, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Если атом теряет один или несколько электронов, то он обра- обращается в положительно заряженный атом, или положительный ион. Если атом захватывает дополнительные электроны, образу- образуется отрицательно заряженный атом, или отрицательный ион. Процесс заряжения какого-либо тела представляет собой либо перенос на это тело, либо увод с него некоторого количества электронов или ионов. Теория, объясняющая различные свойства вещества наличи- наличием в нем электронов и их движением, носит название электрон- электронной теории. Хорошие проводники электричества — это такие тела, в ко- которых электрические частицы могут свободно перемещаться. Электропроводность металлов обусловлена тем, что часть элек- электронов, содержащихся в металле, находится в подвижном со- состоянии. Такие электроны называются свободными электронами или электронами проводимости. Если к изолированному незаряженному металлическому про- проводнику приблизить заряженное тело, то на проводнике появ- ©•©•©•©•\ "/• © • © • © © ©•©•©•©• \ /т\ /•©•©•©•© ©•©•©•©• / <& \т ©•©•©•© ©•©•©•©•У f. V© • © • © © Рис. 3. Схема объяснения электрической индукции в электронной теории ляются наведенные, или индуцированные, заряды (рис. 3, где кружки с плюсом — положительные ионы металла, темные точ- точки — электроны проводимости). В рамках электронной теории это объясняется тем, что приближение влияющего тела вызыва- вызывает появление сил, действующих на электроны проводимости ме- металла, отчего они перемещаются и перераспределяются, пока не будет достигнуто новое положение равновесия. Если, например, влияющее тело заряжено положительно, то электроны проводи- проводимости будут притягиваться к нему и на ближнем к телу конце
§ 8 ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 21 проводника появятся избыточные электроны, т.е. отрицатель- отрицательный заряд; на удаленном конце образуется недостаток электро- электронов, а следовательно, здесь появляется избыток положительных ионов, т.е. возникает положительный заряд (рис. 3 6). В дальнейшем мы рассмотрим основные опыты, доказываю- доказывающие существование электронов, позволяющие определить их свойства и выясняющие участие электронов в различных элек- электрических явлениях. Однако существование электронов целесо- целесообразно учесть уже с начала изучения электричества, так как это сразу позволяет просто и наглядно объяснить многие элек- электрические явления. ГЛАВА II ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ § 8. Понятие об электрическом поле При исследовании взаимодействия электрических зарядов, естественно, возникает вопрос, почему появляются силы, дей- действующие на заряды, и как они передаются от одного заряда к другому? Совершенно так же можно поставить и следующий вопрос: механические силы возникают только при наличии двух зарядов; происходят ли, однако, какие-либо изменения в окру- окружающем пространстве при наличии только одного заряда, когда второго нет вовсе? В процессе развития физики существовали два противопо- противоположных подхода к ответу на поставленные вопросы. При одном из них предполагалось, что телам присуще свойство действовать на другие тела на расстоянии, без участия промежуточных тел или среды, т.е. предполагалось, что силы могут передаваться от одного тела к другому через пустоту и притом мгновенно (тео- (теории дальнодействия). С этой точки зрения при наличии только одного заряда никаких изменений в окружающем пространстве не происходит. Согласно второму взгляду силовые взаимодействия между разобщенными телами могут передаваться только при наличии какой-либо среды, окружающей эти тела, последовательно от одной части этой среды к другой, и с конечной скоростью (тео- (теории близкодействия); даже при наличии одного-единственного заряда в окружающем пространстве происходят определенные изменения. Современная физика сохраняет только идею близкодействия и отвергает дальнодействие. Действительно, допущение возмож- возможности передачи силовых взаимодействий, т.е. движения, через
22 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II пустоту, без участия материи, равносильно допущению возмож- возможности движения без материи, что бессодержательно. Таким образом, для понимания происхождения и переда- передачи сил, действующих между покоящимися зарядами, необходи- необходимо допустить наличие между зарядами какого-то физического агента, осуществляющего это взаимодействие. Этим агентом и является электрическое поле. Когда в каком-либо месте появля- появляется электрический заряд, то вокруг него возникает электриче- электрическое поле. Основное свойство электрического поля заключается в том, что на всякий другой заряд, помещенный в это поле, дей- действует сила. Рассматривая взаимодействие покоящихся зарядов, мы при- приходим к понятию электрического поля. Подобным же образом, рассматривая магнитное взаимодействие движущихся зарядов (токов) или постоянных магнитов, мы придем к понятию маг- магнитного поля. Мы увидим (гл. XIII), что электрические и маг- магнитные поля могут превращаться друг в друга и что каждое из них есть лишь частный случай более общего электромагнитного поля. Далее будет показано, что электрические (и магнитные) поля могут существовать и без зарядов (и токов), первоначаль- первоначально их породивших (гл. XXIII), и что именно в электромагнитном поле нужно видеть основную причину электрических и магнит- магнитных явлений. Электромагнитное поле заключает в себе и пере- переносит определенную энергию (§ 242), а также обладает импуль- импульсом и массой (§ 245). Следовательно, электромагнитное поле не есть абстрактный образ, введенный нами для описания элек- электрических и магнитных взаимодействий, но представляет собой объективную реальность, обладающую физическими свойства- свойствами. Оно является определенной формой материи, которая осу- осуществляет электрические и магнитные взаимодействия. Таким образом, современная физика при помощи понятия поля расши- расширяет представление о близкодействии и распространяет его на немеханические явления. § 9. Напряженность электрического поля Для количественной характеристики электрического поля служит специальная физическая величина — напряженность электрического поля. Рассмотрим точечный электрический заряд q и будем вно- вносить в электрическое поле этого заряда другой точечный проб- пробный заряд <7ь На пробный заряд q\ будет действовать сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Ку- Кулона, будет пропорциональна пробному заряду q\. Поэтому от- отношение этой силы к пробному заряду F/q\ уже не зависит от выбора пробного заряда и характеризует электрическое поле в
|9 НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 23 той точке, где находится пробный заряд. Эта величина и полу- получила название напряженности поля. Если электрическое поле вызвано одним точечным зарядом q, то напряженность поля получается непосредственно из зако- закона Кулона путем деления обеих частей равенства на пробный заряд. Обозначая напряженность поля через Е, имеем () Г2 Ч ' Напряженность поля точечного заряда убывает обратно пропор- пропорционально квадрату расстояния от заряда. Так как электрический заряд есть скаляр, а сила — вектор, то напряженность поля, получаемая от деления вектора на скаляр, есть вектор. Направление этого вектора определяет направление силы, действующей на положи- положительный заряд, помещенный в рас- рассматриваемую точку поля. Так, например, если поле вызвано по- положительным зарядом, то вектор напряженности направлен вдоль Рис' 4- Направление напряжен- радиус-вектора от заряда во внеш- ности электрического поля соз- ^ J ^ Г даваемого положительным (а) и нее пространство (отталкивание отрицательными (^ зарядами положительного пробного заряда); если поле вызвано отрицательным зарядом, то вектор напря- напряженности направлен к заряду (рис. 4). Пользуясь законом Кулона в векторной форме, можно на- написать выражение для напряженности электрического поля то- точечного заряда также в векторной форме: Е ^ (9.1а) Г3 Здесь г — модуль расстояния от заряда до рассматриваемой точ- точки поля, а г — радиус-вектор, направленный от заряда в данную точку. Из сказанного следует, что если известна напряженность поля в какой-либо точке, то тем самым определена и сила, дей- действующая на электрический заряд, помещенный в эту точку. А именно: F = qB. (9.2) Отметим в заключение, что для случая поля, вызванного то- точечным зарядом, выбор величины пробного заряда безразличен. В более сложных случаях, рассматриваемых ниже, может ока- оказаться, что само его внесение вызывает перераспределение заря- зарядов, создающих поле, и поэтому пробный заряд может вызвать искажение поля. Чтобы это не имело места, пробный заряд дол- должен быть достаточно малым.
24 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II § 10. Сложение электрических полей Рассмотрим теперь электрическое поле двух точечных заря- зарядов q\ и <72- Пусть Ei — напряженность поля в точке а, создава- создаваемая зарядом q\ (когда заряда qi нет вовсе), а Е2 — напряжен- напряженность поля заряда qi (когда нет заряда q\). Опыт показывает, что напряженность Е результирующего поля (при наличии обо- обоих зарядов) может быть найдена по правилу сложения векто- векторов (по правилу параллелограмма) (рис. 5). Или, иначе, напряженность результирующего электрического по- поля есть векторная сумма напряжен- ностей полей, создаваемых отдельны- отдельными зарядами. Правило векторного сложения ~ электрических полей справедливо Рис. 5. Сложение электриче- не только для двух, но и для какого ских полей угодно числа зарядов. Если Еь Ег, Ез, ... — напряженности полей, создаваемых отдельными зарядами в какой-либо точке, то напряженность Е результирующего поля в той же точке равна E = Ei +E2+B3 + ... Соотношение A0.1) выражает принцип суперпозиции (или на- наложения) электрических полей и представляет важное свойство электрического поля. Отметим, что справедливость этого принципа заранее не оче- очевидна и в его правильности нас убеждает только опыт. А именно, вычисляя электрические поля при помощи принципа суперпози- суперпозиции, мы всегда получаем результаты, согласующиеся с опытом. Однако при очень малых расстояниях (~ 10~13 см) и экстре- экстремально сильных электрических полях (ср. § 245) принцип су- суперпозиции электрических полей, возможно, и не выполняется. § 11. Объемная и поверхностная плотности заряда Пользуясь формулами (9.1а) и A0.1), можно вычислить на- напряженность электрического поля, создаваемого любыми заря- заряженными телами. Если линейные размеры каждого из заряженных тел малы по сравнению с расстояниями между этими телами и рассма- рассматриваемой точкой поля, то каждое из тел можно рассматривать как точечный заряд. В этом случае по формуле (9.1а) можно вычислить напряженность поля, создаваемого каждым из заря-
§ 12 ЛИНИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 25 женных тел, и затем, пользуясь принципом суперпозиции полей A0.1), найти их векторную сумму. Если заряженное тело настолько велико, что его нельзя рас- рассматривать как точечный заряд, то в этом случае необходимо знать распределение зарядов внутри тела. Выделим внутри заряженного тела малый объем Дт и обо- обозначим через Д<7 электрический заряд, находящийся в этом объеме. Предел отношения Aq/Ат, когда объем неограниченно уменьшается, называют объемной плотностью заряда в данной точке. Обозначая ее через р, имеем lim ^-=p. A1.1) Таким образом, объемная плотность заряда измеряется зарядом единицы объема тела. Заряд, находящийся в элементе объема dr, равен pdr. В общем случае неравномерно заряженного тела р различно в разных точках. Распределение заряда в объеме тела задано, если известно р как функция координат. Очень часто заряды распределяются в телах только внутри тонкого слоя, прилегающего к поверхности. В этом случае удоб- удобно пользоваться поверхностной плотностью заряда, которая, по определению, есть lim #f = <т. A1.2) Здесь Дд — заряд, находящийся на элементе поверхности Д5. Иными словами, поверхностная плотность заряда измеряется зарядом единицы поверхности тела. Заряд, находящийся на эле- элементе поверхности dS, равен a dS. Для задания распределения зарядов на поверхности тела нужно знать а как функцию коор- координат поверхности. Если известно распределение зарядов внутри тела, то мож- можно вычислить и создаваемое ими электрическое поле. Для этого заряженное тело разбивают на бесконечно малые части и, рас- рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность поля, создаваемую отдельными частями тела. Полное поле нахо- находят затем суммированием полей, вызываемых отдельными ча- частями тела; суммирование обычно сводится к интегрированию. Следует, однако, отметить, что определение электрического поля по заданным зарядам чаще всего производят посредством вычисления разности потенциалов (гл. III), так как в этом случае расчеты проще. § 12. Линии напряженности электрического поля Для описания электрического поля нужно задать вектор на- напряженности в каждой точке поля. Это можно сделать аналити- аналитически, выражая зависимость напряженности поля от координат
26 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II Рис. 6. К линии напряженности в виде формул. Однако такую зависимость можно представить и графически, используя линии напряженности электрического поля. Линиями напряженности электрического поля (или линия- линиями вектора Е) называют линии, касательные к которым направ- направлены так же, как и вектор напряженности Е в данной точке поля (рис. 6). Поскольку касательная, как и всякая прямая, определяет два взаимно противоположных направления, то ли- линии напряженности приписывают опре- определенное направление, отмечая его на чертеже стрелкой. Чтобы при помощи линий напряжен- определению ности изобразить не только направле- направление, но и модуль напряженности поля, условились на графиках поля проводить линии напряженности с определенной густотой, а именно так, чтобы число линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к ним, было равно (или пропорционально) напряженности поля в данном месте. Изображая линии электрического поля, мы получаем своеоб- своеобразные графики или карты поля, которые сразу наглядно пока- показывают, чему равна напряженность в разных частях поля и как она изменяется в пространстве. Вследствие большой наглядно- наглядности этот способ представления полей широко применяют в элек- электротехнике. Из сказанного следует, что линию напряженности можно провести через всякую точку поля. Далее, так как в каждой точке поля вектор напряженности имеет вполне определенное направление, то линии напряженности нигде не пересекаются. Линии напряженности закан- заканчиваются (или начинаются) на окружающих предметах, на которых возникают ин- индукционные заряды. На рис. 7 в качестве при- примера дана картина линий напряженности точечного за- заряда. Густота линий напря- напряженности на каком-либо рас- расстоянии г от заряда равна отношению полного числа N линий напряженности, вышедших из заряда, к поверхности сферы радиуса г, т.е. ЛГ/Dя"г2). Она убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от за- заряда, т.е. так же, как и напряженность поля. Рис. 7. Линии напряженности точеч- точечного заряда
12 ЛИНИИ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 27 Если удается вычислить напряженность электрического по- поля, то можно построить и чертежи линий напряженности этого поля. Однако в случае заряженных тел сложной формы такие вычисления могут быть трудны. В ¦ этих случа- случаях картину линий напря- напряженности можно полу- получить на опыте. Если в электричес- электрическом поле поместить ка- какие-либо мелкие части- частицы, то на них возник- возникнут индукционные заря- ОООг Мелкие частицы в электрическом Рис. 8. ды (рис. 8 а). Такие ча- поле стицы будут перемещаться под влиянием взаимного притяже- притяжения разноименных зарядов и отталкивания одноименных, пока не установятся в виде цепочки, направленной вдоль линии на- напряженности (рис. 8 б). Этим и пользуются для эксперименталь- экспериментального исследования электрического поля: в изучаемое поле вносят подходящий жидкий изолятор, к которому подмешан порошок из мелких твердых частичек; частицы порошка образуют в элек- электрическом поле множество цепочек, простирающихся от одного заряженного электрода до другого, и воспроизводят форму и расположение линий напряженности. Рис. 9. Линии напряженности электрического поля между двумя разно- разноименно заряженными шариками На рис. 9 показано электрическое поле между двумя одина- одинаковыми шариками, заряженными разноименно. Изображенное
28 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II поле возникает в том случае, если другие окружающие тела рас- расположены достаточно далеко, т.е. на расстояниях, значительно больших, чем расстояние между шариками. Рассмотрим еще электрическое поле между двумя парал- параллельными металлическими пластинами, заряженными разно- разноименными зарядами. Такая система называется плоским кон- конденсатором. Электрическое поле плоского конденсатора показано на рис. 10. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с размерами пластин, то практически все линии напряженности, тттшшттттжж Рис. 10. Электрическое поле плоского конденсатора исходящие из одной пластины, заканчиваются на другой. Это значит, что при заряжении одной пластины на другой возникает индукционный заряд, равный ему по модулю. Далее, в средней части конденсатора линии напряженности имеют вид парал- параллельных линий, расположенных с одинаковой густотой. Следо- Следовательно, напряженность поля в плоском конденсаторе одина- одинакова в разных точках поля. Такое поле является простейшим и называется однородным. На рис. 10 также видно, что вбли- вблизи краев пластин линии напряженности искривляются, т.е. поле делается неоднородным. Отметим в заключение, что линии напряженности перпен- перпендикулярны к поверхности металлических электродов. Это и по- понятно. Если бы напряженность поля была не перпендикулярна к поверхности проводника, то существовала бы составляющая по- поля, направленная по касательной к поверхности. Под действием этой составляющей электроны проводимости проводника при-
§13 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 29 шли бы в движение вдоль поверхности, и мы не имели бы рав- равновесия электрических зарядов. § 13. Теорема Остроградского-Гаусса Вычисление электрического ноля во многих случаях силь- сильно упрощается применением важной теоремы, излагаемой ниже. Она была установлена М.В. Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и Гауссом — применительно к случаю электрического поля. Чтобы сформулировать эту теорему, введем новое понятие электрического смещения. Для вакуума электрическое смеще- смещение, по определению, равно D = е0Е. A3.1) Обобщение этого понятия на случай произвольной среды будет дано в § 41. Если электрическое поле создается одним точечным зарядом, то электрическое смещение на расстоянии г от заряда равно по модулю D = hi> A3-2) а направление смещения D совпадает с направлением поля Е. Отметим, что в системе СГСЭ напряженность поля и электрическое смещение в вакууме равны друг другу. В системе же СИ они различны. По аналогии с линиями напряжен- напряженности электрического поля (§ 12) для графического изображения распреде- распределения электрического смещения в про- пространстве мы будем пользоваться ли- линиями электрического смещения. На- Направление этих линий в каждой точке пространства совпадает с направлени- направлением вектора электрического смещения, а их густота равна электрическому сме- смещению. Введем далее понятие потока электрического смещения. Рассмотрим в электрическом поле плоскую по- поверхность S и выберем определенное направление нормали п к ней (рис. 11). Будем считать сначала, что поле однородно, но составляет произвольный угол а с направлением нормали. Величину N = SD cos a = SDn A3.3) называют потоком электрического смещения через данную по- поверхность. Здесь через Dn обозначена проекция D на направ- направление нормали п. Так как густота линий электрического сме- Рис. 11. Поток электри- электрического смещения через данную поверхность
30 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II щения равна D, то можно сказать также, что поток вектора электрического смещения через данную поверхность равен пол- полному числу линий электрического смещения, проходящих через эту поверхность. Если поле неоднородно и поверхность, через которую разыс- разыскивают поток, не является плоскостью, то эту поверхность мож- можно разбить на бесконечно малые элементы dS и каждый элемент считать плоским, а поле возле него — однородным. Поэтому для любого электрического поля поток смещения через элемент по- поверхности есть dN — Dn dS. Полный поток смещения через по- поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен N=fDn dS. A3.4) Отметим, что поток смещения, определяющий число проходя- проходящих линий смещения, есть скаляр. Из A3.3) видно, что поток может быть как положительным, так и отрицательным. Если направление линий смещения соста- составляет острый угол с направлением нормали (cos a > 0), то поток будет положительным. Если же этот угол тупой (cos a < 0), по- поток будет отрицательным. Рассмотрим теперь точечный положительный заряд q и вы- вычислим поток электрического смещения через замкнутую сфе- сферическую поверхность S (рис. 12), окружающую этот заряд и имеющую центр в точке на- нахождения заряда. За поло- положительное направление нор- нормали выберем направление внешней нормали. В этом случае D во всех точках сфе- \S) ры одинаково и, кроме того, везде cos a = 1. Поэтому Легко видеть, что этот ре- результат справедлив не только для сферической поверхно- поверхности, но и для любой замкну- замкнутой поверхности и для любого произвольного расположения Рис. 12. К выводу теоремы Остро- Заряда внутри этой поверх- градского-Гаусса НОСТИ. Действительно, полученный результат показывает, что поток смещения через сферическую поверхность не зависит от радиу- радиуса сферы, он один и тот же для сферы S и любой другой кон-
§13 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 31 центрической с ней сферы Sy (рис. 12). Это значит, что линии смещения в пространстве между S и Si, где не имеется заря- зарядов, непрерывны. Линии электрического смещения начинаются и заканчиваются только на электрических зарядах. Но из непрерывности линий смещения следует, что полное число линий смещения, проходящих через произвольную по- поверхность ^2 (рис. 12), охватывающую заряд, т.е. поток смеще- смещения N, имеет такое же значение, как и для сфер Si и S, т.е. N = J DndS = q. A3.5) Напротив, если замкнутая поверхность не охватывает заряда Eз на рис. 12), то поток смещения через эту поверхность равен ну- нулю, так как число линий смещения, входящих через поверхность, равно числу линий, выходящих из нее. Из A3.5) также следует, что поток через замкнутую поверх- поверхность не зависит от расположения заряда внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно рас- расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебра- алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности. Формула A3.5) выражает теорему Остроградского-Гаусса: поток электрического смещения через замкнутую поверх- поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположен- расположенных внутри поверхности. Отметим, что при доказательстве этой теоремы мы исходили из закона Кулона, и потому она есть следствие этого закона. Если бы показатель степени у расстояния в формуле B.1) был не 2, а каким-либо другим, то и доказанная теорема была бы несправедливой. Из формулы A3.5) видно, что размерность потока смещения такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей по- потока смещения, как и заряда, служит кулон. Это — поток через замкнутую поверхность, окружающую заряд 1 Кл. Электрическое смещение можно определить как поток сме- смещения через единицу поверхности, нормальной к направлению смещения, или, иначе, как плотность потока смещения. Поэто- Поэтому единица электрического смещения есть кулон на квадратный метр (Кл/м2). Рассмотрим некоторые простые примеры вычисления электрического поля с помощью теоремы Остроградского- Гаусса. Пример 1. Равномерно заряженная плоскость. Имеет- Имеется безграничная плоскость, заряженная равномерно с поверх- поверхностной плотностью заряда а. Из симметрии задачи очевидно, что линии смещения могут быть направлены только перпен-
32 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II , 1 '- n т n E -S- -s- E ] Рис. 13. Электрическое поле равномерно заряженной плос- плоскости дикулярно к плоскости. В этом случае в качестве замкнутой поверхности в теореме Остроградского-Гаусса удобно выбрать прямой цилиндр, перпендикуляр- перпендикулярный к заряженной плоскости и огра- ограниченный двумя плоскими основа- основаниями перпендикулярными к лини-- ям напряженности поля и располо- расположенными по обеим сторонам заря- заряженной плоскости (рис. 13). Так как образующие цилиндра параллельны линиям смещения (cos a = 0), то поток смещения через боковую по- поверхность цилиндра равен нулю и поэтому полный поток сквозь ци- цилиндр равен сумме потоков через его основания: N — 2DS. Пол- Полный заряд, заключенный внутри ци- цилиндра, равен aS. Поэтому, применяя теорему Остроградского- Гаусса, имеем 2DS = aS, откуда D = а/2. Напряженность поля равномерно заряженной плоскости в вакууме равна Е = а/2е0. A3.6) Пример 2. Поверхность заряженного проводника. По- Посмотрим теперь, чему равна напряженность поля вблизи поверх- поверхности произвольного заряженного металлического проводника, если заряды на нем находятся в равновесии. При решении задачи мы учтем, что в отсутствие электри- электрического тока линии напряженности всегда перпендикулярны к поверхности проводника (§ 12). Да- Далее очевидно, что в этом случае на- напряженность поля внутри проводни- проводника всегда равна нулю. Действительно, если бы это было не так, то электро- электроны проводимости металла пришли бы в движение, т.е. в проводнике возник бы электрический ток, что противоречит условию. Выделим на поверхности провод- проводника бесконечно малый элемент по- поверхности dS (рис. 14) и обозначим поверхностную плотность заряда на нем через а. В качестве за- замкнутой поверхности выберем опять прямой цилиндр с осно- /dS w L ' Рис. 14. Электрическое по- поле у поверхности заряженного проводника
§13 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 33 ваниями dS и бесконечно малой высотой dh. В данном случае нужно рассматривать бесконечно малый элемент поверхности проводника, так как в общем случае а меняется от точки к точке поверхности. Высота цилиндра должна быть также бесконечно малой, потому что в случае проводника произвольной формы линии смещения будут перпендикулярными к поверхности про- проводника только в непосредственной близости от нее. В этом слу- случае полный поток смещения равен потоку через одно основание, и мы имеем DdS = adS. Поэтому D = a, E = а/е0. A3.7) Таким образом, значение D у поверхности проводника рав- равно непосредственно поверхностной плотности заряда, т.е. заря- заряду, сместившемуся внутри проводника, в расчете на единицу поверхности. Этим объясняется происхождение термина «элек- «электрическое смещение». Замечательным в этом результате являет- является то обстоятельство, что напряженность поля и электрическое смещение вблизи рассматриваемой точки поверхности не зави- зависят явно от формы проводника, от распределения зарядов на нем, а также от расположения других соседних проводников. При сравнении формул A3 6) и A3.7) возникает кажущееся противо- противоречие: в обоих случаях мы имеем заряженные поверхности, однако напря- напряженность поля около них отличается в два раза. На самом же деле ни- никакого противоречия здесь нет. Формула A3.6) выражает поле, вызванное только зарядами, располо- расположенными на плоскости. В случае же поверхности про- проводника исходящие из нее линии напряженности все- всегда заканчиваются на дру- других телах, на которых воз- возникают индукционные заря- заряды. Формула A3.7) учитыва- учитывает действие всех фактически существующих зарядов как на рассматриваемой поверх- поверхности, так и на окружающих телах. Сказанное можно пояс- пояс, 2е0 Е-, = — Рис. 15. Электрическое поле внутри плоско- плоского конденсатора есть сумма полей, создава- создаваемых заряженными плоскостями его обкла- обкладок нить на примере плоско- плоского конденсатора (рис. 15). При появлении на какой- либо пластине заряда с плот- плотностью +а на второй пла- пластине всегда возникает заряд противоположного знака с плотностью —а. Эти заряды под влиянием взаимного притяжения будут сосредоточены на внутренних поверхностях пластин. Заряженная плоскость каждой пласти-
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II ны создает по обе стороны от себя напряженность поля, выражаемую фор- формулой A3.6) и равную ±<т/2ео. Внутри металлических пластин и вне кон- денгатора эти поля направлены противоположно и поэтому в сумме дают нуль. Внутри конденсатора эти поля, напротив, направлены одинаково и, складываясь, дают у поверхности пластин напряженность а/еа в соответ- соответствии с A3.7). В данном частном случае электрическое поле однородно, и поэтому его напряженность у поверхности пластин такая же, как и в других точках ноля. Это мы и видели на опыте, описанном в § 12. Пример 3. Равномерно заряженный шар. Рассмотрим электрическое поле между двумя шаровыми концентрически- концентрическими электродами (рис. 16). Такая си- система электродов называется шаро- шаровым конденсатором. Если заземлить внешний элек- электрод и сообщить внутреннему шару заряд +q, то на внешнем электро- электроде возникает индуцированный за- заряд — q. Под действием взаимного притяжения эти заряды располо- расположатся только на поверхности вну- внутреннего шара и на внутренней по- поверхности внешнего электрода. _ Из условий симметрии задачи Электрическое поле очевиднО) чт0 зарЯды на обоих ша- шарах будут распределены равномер- равномерно и что линии смещения могут быть только радиальными прямыми. Поэтому в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать сферу с радиусом г, расположенную между электрода- электродами и имеющую общий центр с обоими электродами. Тогда из теоремы Остроградского-Гаусса следует Рис. 16. шарового конденсатора N = D ¦ 4тгг2 = q, откуда E=~\. A3.8) 4тг?0 r2 v ' Эта формула показывает, что напряженность поля между элек- электродами зависит от расстояния г рассматриваемой точки ноля от центра внутреннего шара, но не зависит вовсе от размеров внешнего электрода. Поэтому мы получим ту же напряженность поля, если радиус внешнего электрода будет как угодно велик. Если внешний электрод значительно больше внутреннего, то электрическое поле вблизи внутреннего шара не зависит и от формы внешнего электрода. Это происходит по той причине, что при удаленном внешнем электроде изменение его формы не ока- оказывает влияния на распределение зарядов на внутреннем шаре, которое остается по-прежнему равномерным. Следовательно, и
§13 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 35 в том случае, когда роль внешнего электрода играют различ- различные удаленные заземленные предметы, например стены, пол и потолок комнаты, формула A3.8) будет также применима для участков поля вблизи шара. Поэтому часто говорят просто о по- поле заряженного шара, не указывая, что именно является вторым электродом. Электрическое поле шара, равномерно заряженного ио по- поверхности, во внешнем пространстве совпадает с полем точечно- точечного заряда, равного полному заряду шара и помещенного в центре шара. Если бы мы рассмотрели шар, заряженный равномерно ио объему, то напряженность поля вне шара выражалась бы то- тоже формулой A3.8). Напряженность же поля внутри шара в обоих случаях различна. В случае шара, равномерно заряжен- заряженного по поверхности, напряженность поля в любой внутренней точке равна нулю. Если же шар заряжен равномерно по объ- объему, то напряженность поля равна нулю только в центре шара и с увеличением расстояния г от центра возрастает пропорцио- пропорционально г. В справедливости этого можно убедиться также при помощи теоремы Остроградского-Таусса. Пример 4. Равномерно заряженный цилиндр. Вычислим напряженность электрического поля между двумя коаксиаль- коаксиальными металлическими цилиндрами. Такая система называется цилиндрическим конденсатором. Предположим, что внешний цилиндр соединен с землей, а внутреннему цилиндру сообщен заряд +q\ на каждую единицу длины цилиндра. Тогда на внешнем цилиндре появится заряд —qi на единицу его длины и эти заряды будут сосредоточены только на обращенных друг к другу поверхностях обоих ци- цилиндров. Длину цилиндров будем считать весьма большой по срав- сравнению с их радиусами. Из условий симметрии ясно, что заряды будут распределены равномерно по поверхности ци- цилиндров, а линии смещения будут радиальными прямыми, перпен- перпендикулярными к поверхности обо- Рис 17- К вычислению поля ци- ИХ цилиндров. В этом случае в ка- ливдрического конденсатора честве поверхности для вычисления потока электрического сме- смещения удобно выбрать цилиндрическую поверхность, показан- показанную на рис. 17. Так как поток электрического смещения через основания цилиндра равен нулю (cosа = 0), а боковая поверх- поверхность перпендикулярна к линиям смещения (cos a = 1), то фор- формула A3.5) дает D-2-itrl = qil.
36 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. П Отсюда получаем, что напряженность ноля между электродами в точке, отстоящей на расстоянии г от оси цилиндров, равна ? = — 21. A3.9) Это выражение справедливо для всех участков конденсато- конденсатора, не слишком близких к его краям. Практически его можно применять уже на расстоянии от края порядка одного диаметра внешнего цилиндра. Так же как и в предыдущем примере, напряженность поля между электродами не зависит от радиуса внешнего цилиндра. Если размеры внешнего электрода значительно больше радиуса внутреннего цилиндра, то напряженность поля вблизи него не зависит и от формы внешнего электрода. Поэтому и здесь ча- часто говорят о поле равномерно заряженного цилиндра. Напря- Напряженность поля, выражаемую формулой A3.9), мы имеем возле металлических проволок, удаленных от окружающих предметов на расстояния, значительно превышающие их радиус. § 14. Уравнение Пуассона Теорема Остроградского-Гаусса в форме A3.5) связывает электрическое смещение в точках некоторой замкнутой поверх- поверхности с зарядом, находящимся внутри объема, ограниченного этой поверхностью, т.е. связывает величины, относящиеся к раз- разным точкам поля. Можно, однако, придать этой теореме такую форму, чтобы в нее входили величины, от- относящиеся к одной и той лее точке поля. Для этого нужно применить теорему к бесконечно малому объ- объему. Введем прямоугольную систе- ^^Х " МУ координат X, Y, Z и обо- обозначим электрическое смещение в Рис.18. К выводу теоремы какой-либо точке a(x,y,z) через Остроградского-Гаусса в диф- D{DX, Dy, Dz). Рассмотрим беско- ференциальной форме нечно малый прямоугольный парал- параллелепипед с вершиной в точке а и ребрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (рис. 18), и вычислим поток смещения через его поверхность. Поток через грань dydz, проходящую через а, есть —Dx dy dz, где знак минус означает, что внешняя нормаль к dydz и поло- положительное направление Dx составляют угол а = тг (cos а = — 1). Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль X на dx a{x,y,z)
§ 14 УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 37 (она заштрихована), есть (Dx -~-dx\ dydz. Поэтому поток че- через обе эти грани равен (Dx + ^ dx) dydz -Dxdydz = ^dr, где dr = dxdydz — объем параллелепипеда. Вычисляя анало- аналогичным образом потоки через две другие пары граней и скла- складывая их, получим полный поток через всю поверхность парал- параллелепипеда дх ду d Если в рассматриваемом пространстве имеется распределен- распределенный в объеме заряд с объемной плотностью р — p(x,y,z), то ве- величина заряда, содержащегося в объеме параллелепипеда, равна pdr. Приравнивая ее, согласно A3.5), значению полного потока через поверхность параллелепипеда, мы получим Ё°.+Ё°л+ §»-. = р. A4.1) дх ду dz ч ' Это соотношение, выражающее теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассо- Пуассона. В векторном анализе показывают, что предел отношения по- потока какого-либо вектора А через замкнутую поверхность S к объему т, ограниченному поверхностью S, при т —> 0 (если этот предел существует) не зависит от формы поверхности S. Предел этого отношения получил название дивергенции или расхожде- расхождения вектора А и обозначается специальным символом divA. Таким образом, по определению, 1 с div А = lim - I An dS. т—»0 т J т->0 Так как поток вектора и объем суть скаляры, то и дивергенция вектора тоже есть скаляр. Пользуясь этим понятием, можно записать уравнение Пуас- Пуассона в виде div D = р. Если составляющие электрического смещения D заданы в какой-либо системе координат в виде функции этих координат, то всегда можно вычислить и значение div D в каждой точке. Так, например, мы видели выше, что если пользоваться прямо- прямоугольными декартовыми координатами, то ^ + ^ + ^. дх ду dz
¦± 38 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ГЛ. II § 15. Диполь в электрическом поле Рассмотрим два точечных заряда +q и —q, жестко связан- связанных между собой и смещенных на расстояние I друг от друга. Смещение обоих зарядов будем характеризовать вектором 1, на- направленным от отрицательного заряда к положительному. Та- Такую пару зарядов называют электрическим диполем. С электрическими диполями нам приходится встречаться весьма часто. Небольшое проводящее тело в электрическом поле можно приближенно рассматривать как диполь, так как на его концах возникают индукционные заряды, равные по модулю и противоположные по знаку. В гл. V мы увидим, что подобные заряды возникают и на диэлектриках, и поэтому небольшое ди- диэлектрическое тело в электрическом поле также можно рассма- рассматривать как диполь. Наконец, многие молекулы построены из положительных и отрицательных ио- нов, центры которых смещены друг относительно друга. Такие молеку- лы можно считать во многих случаях электрическими диполями. Найдем силу, действующую на "¦" диполь в электрическом поле, причем D 1П г, будем считать сначала, что поле од- РИС. 19. ДИПОЛЬ В ОДПОрОД- J" , 1П\ тт ном поле породно (рис. 19). На концы диполя действуют равные по модулю силы F = qE, где Е — напряженность поля. Эти силы направлены в противоположные стороны и образуют пару сил. Момент М этой пары равен М = qEl sin a, где а — угол между вектором 1 и напряженностью поля Е. Мы видим, что момент пары сил зависит от произведения заряда q на длину диполя I. Это произведение называют элек- электрическим моментом диполя. Момент диполя р есть вектор, равный p = ql. A5.1) Он направлен так же, как и 1, т.е. от отрицательного заряда к положительном}'. Единица электрического момента диполя есть кулон-метр (Кл-м). Пользуясь понятием электрического момента диполя, можно написать выражение для момента пары сил, действующей на диполь, в виде М = рЕ sin (p,E). A5.2) Направление момента этой пары совпадает с направлением оси вращения диполя, т.е. перпендикулярно к р и Е.
§ 15 ДИПОЛЬ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 39 Рис. 20. Векторное произ- произведение двух векторов Модуль и направление момента пары М можно выразить од- одной формулой, если воспользоваться обозначениями векторной алгебры. Как известно, векторным про- произведением [аЬ] двух векторов а и b на- называют вектор, модуль которого равен aft sin (а, Ь), т.е. равен площади парал- параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах. Этот вектор пер- перпендикулярен к а и b и направлен в сто- сторону перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого от а к b (рис. 20). Поэтому вектор момента пары сил М, действующей на диполь, можно выразить формулой М = [рЕ]. A5.3) Мы видим, что в однородном поле на диполь действует только пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы р и Е были параллельны. Для того чтобы повернуть диполь в электрическом поле па некоторый угол, нужно совершить определенную работу. Так как эта работа равна увеличению потенциальной энергии дипо- диполя, то можно найти выражение для энергии диполя в электриче- электрическом поле. Примем за нуль энергию диполя, перпендикулярного к направлению поля (а = 7г/2). Тогда энергия диполя, момент которого составляет угол а с направлением поля, равна а W= Г pEsinada = — pEcosa. A5.4) тг/2 Рассмотрим теперь диполь в неоднородном поле и положим для простоты, что момент диполя параллелен направлению по- поля (а = 0). В этом случае си- силы, действующие на концы ди- диполя, уже неодинаковы, и по- поэтому их результирующая не равна нулю (рис. 21). На диполь в неоднородном поле действует сила, стремящаяся передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью. Найдем эту силу. Направим координатную ось X вдоль мо- момента диполя и будем считать, что длина диполя А/ весьма мала (элементарный диполь). Си- Сила, действующая на отрицательный конец диполя, есть — qE, где Е — напряженность поля в точке нахождения заряда —q. Рис- 21 поле Диполь в неоднородном
40 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III Сила, действующая на положительный конец диполя, равна +q[E + (dE/dx)Al], где Al — длина диполя. Поэтому полная си- сила F оказывается равной ^AlE)qAl^=p^. A5.5) dx I dx dx ' В однородном поле dE/dx = 0 и результирующая сила равна нулю. Если диполь находится в неоднородном поле и не паралле- параллелен полю, то на него действуют и пара сил, стремящаяся повер- повернуть диполь параллельно полю, и сила, втягивающая диполь в область более сильного поля. Пусть Ех, Еу, Ez — составляющие напряженности электри- электрического поля в прямоугольных осях координат, а рх, ру, pz — составляющие момента диполя в тех же осях. Тогда, поступая так же, как и выше, легко получить, что составляющая силы по оси X равна о п дЕх дЕх дЕх h_ , Составляющие силы Fy и Fz выражаются аналогичными фор- формулами. Этот результат можно выразить векторной формулой: F = (pgrad)E, A5.7) где введен дифференциальный оператор (pgrad)= Px-^+Py^+Pz^;- A5.8) ГЛАВА III РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ § 16. Работа в электростатическом поле Для понимания свойств электрического поля большое значе- значение имеет понятие разности потенциалов, или электрического напряжения. К этому понятию мы приходим, рассматривая ра- работу сил электрического поля. Предположим, что электрический заряд перемещается в каком-нибудь электрическом поле из некоторой точки 1 в дру- другую точку 2. Так как на заряд в электрическом поле действует сила, то при таком перемещении будет произведена определен- определенная работа, которую мы обозначим через А]2- Ясно, что если
§17 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ 41 тот же заряд перемещается по прежнему пути в обратном на- направлении (от точки 2 к точке i), то работа будет той же, но изменится ее знак, т.е. А\2 = —А21. Рассмотрим теперь электрическое поле, созданное неподвиж- неподвижными зарядами (электростатическое поле). Легко видеть, что в электростатическом поле работа при перемещении заряда не зависит от формы пути, по которому движет- движется заряд, и определяется только положением точек 1 и 2 — начала и конца пути заряда. Действительно, допустим, что это не так и что работа А12 при перемещении заряда вдоль контура L (рис. 22) не равна работе А\2 для контура L\, причем оба они соеди- соединяют одни и те же точки 1 и 2. Тогда, пе- перемещая заряд по замкнутому контуру, со- составленному из путей L и L\, мы найдем, что электрические силы совершили работу ЛЬ) "г ,(?i) которая не равна нулю. Но это противоречит Рис- 22' Работа ПРИ общему закону сохранения энергии. Если за- пеРеме1чении заРя' J ^ ^ да в электростати- ряды, создающие поле, неподвижны, то при ческом поле не зави- перемещении подвижного заряда в окружаю- сит от формы пути щих телах не происходит никаких процессов. После возвращения заряда в исходную точку 1 мы не имеем ни- никаких изменений в рассматриваемой системе тел и поэтому не можем получить ни выигрыша работы, ни ее потери. Это значит, что наше предположение неверно и что в действительности Таким образом, в электростатическом поле работа переме- перемещения заряда между двумя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. При перемещении заряда по замкну- замкнутому контуру работа равна нулю. § 17. Разность потенциалов Положим теперь, что в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 перемещается положительный заряд +1. Согласно § 16 работа, совершаемая силами поля при этом перемещении, не зависит от формы пути. Так как заряд выбран определенным (+1), то эта работа зависит только от существующего электри- электрического поля и поэтому может служить его характеристикой. Она называется разностью потенциалов точек 1 и 2 в данном электрическом поле или электрическим напряжением между
42 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ III точками 1 и 2. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в элек- электростатическом поле измеряется работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда +1 из точки 1 в точку 2. Зная напряженность ноля в каждой точке, можно вычислить и разность потенциалов любых двух точек. Если ds — элемент перемещения заряда, Es — проекция век- вектора напряженности поля на направле- направление ds (рис. 23), то работа при перемеще- перемещении заряда +1 на отрезок ds есть Esds. Поэтому разность потенциалов точек 1 и 2 равна 2 Ul2=jEsds, A7.1) 1 где интегрирование производится вдоль Рис. 23. К определению любого контура L, соединяющего рае- разности потенциалов сматриваемые точки, в направлении от точки 1 к точке 2. Если в электрическом поле перемещается не единичный за- заряд, а заряд произвольной величины q, то в каждой точке сила, действующая на заряд, увеличится в q раз. Поэтому работа А\2, совершаемая силами поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, равна Ап = qUn. A7.2) Из сказанного следует, что физический смысл имеет только разность потенциалов, или напряжение, между двумя точками поля, так как работа определена только тогда, когда заданы две точки — начало и конец пути. Несмотря на это, часто говорят просто о потенциале, или напряжении, в данной точке, но всегда имеют в виду разность потенциалов, подразумевая, что одна из точек выбрана заранее. Такую постоянную точку часто выби- выбирают «в бесконечности», т.е. на достаточном удалении от всех заряженных тел. Мы видели, что в электростатическом поле напряжение меж- между двумя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Поэтому, если заряд +1 перемещается по замкнуто- замкнутому контуру, например, сначала из точки 1 к точке 2 по контуру L (рис. 22), а затем от 2 к 1 вдоль L\, то работа будет равна и12 + u2i = и12 - ии = о. В электростатическом поле напряжение вдоль замкнутого кон- контура всегда равно нулю. Последнее утверждение выражает важное свойство электро- электростатического поля. Именно по этой причине для электростати- электростатического поля можно ввести разность потенциалов, которая одно-
§ 17 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ 43 значно определяется действующим полем (не зависит от формы пути) и поэтому может служить характеристикой поля. Пользуясь формулой A7.1), можно выразить это свойство электростатического поля в следующей форме: sc/s = O, A7.3) где кружок у интеграла означает, что интегрирование произво- производится по замкнутому контуру. Криволинейный интеграл какого- либо вектора вдоль замкнутого контура называется циркуляци- циркуляцией вектора вдоль этого контура. Следовательно, можно также сказать, что циркуляция напряженности электрического поля вдоль любого контура равна нулю. Понятие разности потенциалов широко используют по двум основным причинам. Во-первых, описание электрического ноля при помощи потенциала гораздо проще, чем при помощи напря- напряженности поля. Напряженность поля есть вектор, и поэтому для каждой точки поля нужно знать три скалярные величины — составляющие напряженности по координатам. Потенциал же есть скаляр и вполне определяется в каждой точке одной вели- величиной — своим числовым значением. В § 19 мы увидим, что, зная потенциал в каждой точке поля, можно найти и вектор напряженности. Во-вторых, разность потенциалов гораздо легче измерить на опыте, чем напряженность поля. Д/гя измерения напряженности поля нет удобных методов. Напротив, для измерения разности потенциалов существуют многочисленные методы и разнообраз- разнообразные приборы. Поэтому и описывать электрическое поле гораздо удобнее при помощи потенциала. Единица разности потенциалов (напряжения) в системе СИ есть вольт (В). Вольтом называется потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 Кл, надо свершить работу 1 Дж. Отметим, что, пользуясь формулой A7.2), можно выражать энергию не в механических единицах (эргах, джоулях и т.п.), а в электрических. Для этого служит внесистемная единица энер- энергии, называемая электронвольтом (эВ). Электронвольт -- это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заря- заряду электрона е = 1,60 - 10~19 Кл, пробегая в вакууме разность потенциалов 1 В, т.е. 1 эВ = 1,60 • 10~19 Дж = 1,60 ¦ 10~12 эрг. В электронвольтах обычно выражают энергию различных эле- элементарных частиц (электронов, протонов и др.). При этом при- применяют также более крупные единицы энергии: 1 килоэлектрон- килоэлектронвольт (кэВ) = 103 эВ, 1 мегаэлектронвольт (МэВ) = КN эВ и др.
44 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III § 18. Условия равновесия зарядов в проводниках Если электрические заряды находятся в равновесии в каком- либо проводнике, т.е. в этом проводнике нет электрического то- тока, то напряженность поля Ei в любой точке внутри проводника равна нулю. Действительно, если бы это условие не выполня- выполнялось, то подвижные электрические частицы, имеющиеся во вся- всяком проводнике, под действием сил поля пришли бы в движение и равновесие было бы нарушено. Кроме того, в § 12 мы нашли, что при равновесии зарядов вектор напряженности поля у по- поверхности проводника перпендикулярен к поверхности. Отсюда следует, что для перемещения заряда из любой точки проводни- проводника в любую другую его точку не требуется никакой работы. Но согласно A7.1) это обозначает, что разность потенциалов любой пары точек как внутри проводника, так и на его поверхности равна нулю. В отсутствие электрического тока все точки про- проводника имеют одинаковый электрический потенциал. Земля является также проводником. Хотя в земле существу- существуют токи, но они невелики, и можно считать, что заряды земли близки к равновесию. Поэтому для многих случаев можно при- принять, что все точки земли имеют одинаковый потенциал. По этой причине постоянную точку при измерении потенциала ча- часто выбирают в земле и говорят о потенциале относительно зем- земли. Если соединить два проводника металлической проволокой, то оба проводника и проволока образуют единый проводник. Ес- Если до соединения между проводниками существовала разность потенциалов, то равновесие зарядов будет невозможно. Напря- Напряженность поля Е внутри проволоки не будет равна нулю, и элек- электроны проводимости в проволоке придут в движение, т.е. в ней возникнет электрический ток. Этот ток будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы обоих проводников не сделаются рав- равными. § 19. Разность потенциалов и напряженность поля Если известно распределение потенциала, т.е. его значение в каждой точке поля, то можно найти и напряженность этого поля в каждой точке. Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 и предположим, что заряд +1 переходит из точки 1 в точ- точку 2 вдоль прямолинейного отрезка As (рис. 24). Работу элек- электрических сил АА при этом перемещении можно выразить, во- первых, через напряженность поля: АА = Es As,
19 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ И НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ 45 где Es — проекция вектора напряженности Е на направление As. С другой стороны, ту же работу можно выразить через раз- разность потенциалов AC/i2 точек 1 и 2: АА = Рис. 24. К соотноше- соотношению между разностью потенциалов и напря- напряженностью поля Введем теперь приращение потенциала при перемещении As, т.е. разность потен- потенциалов AU21 точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и обозначим его через AU. Тогда Д17 = Д1721 = -Д1712. Приравнивая оба выражения для работы, получаем для напряженности электричес- электрического поля выражение Es = -AU/As. В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать достаточно близко друг от друга, строго говоря, беско- бесконечно близко, чтобы можно было считать напряженность поля на отрезке As постоянной. Переходя к пределу при As —> О, получим Es = -dUjds. A9.1) Производная, стоящая в правой части равенства, выражает бы- быстроту изменения потенциала в данном направлении. Мы ви- видим, что проекция вектора напряженности на данное направле- направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении с обратным знаком. Градиентом любой скалярной величины </э в векторном ана- анализе называют вектор, направление которого совпадает с на- направлением быстрейшего увеличения кр. Модуль же этого век- вектора равен изменению <р при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения. Этот вектор обозначает- обозначается символом gradt/з. Из сказанного следует, что напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком: E = -grad?7. A9.2) Таким образом, зная распределение потенциала, мы всегда можем определить и проекцию напряженности поля на любое направление, а значит, и проекции Ех, Еу, Ez на координатные оси. Если поле однородно, т.е. создается плоским конденсатором, a U — напряжение между пластинами, d — расстояние между ними, то Е = U Id. A9.3) Это соотношение используют для опредапения единицы напря- напряженности электрического поля. Единица напряженности вольт
46 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III на метр (В/и) — это напряженность однородного электрическо- электрического поля, создаваемая разностью потенциалов 1 В между точка- точками, находящимися на расстоянии 1 м на линии напряженности. Из сказанного ясно, что если между какими-нибудь провод- проводниками есть электрическое напряжение, то между ними суще- существует и электрическое поле. Это обстоятельство разъясняет так называемое отведение зарядов в землю. Когда мы желаем раз- разрядить какой-либо проводник, то соединяем его с заземленным предметом, например, с водопроводным краном, или даже про- просто касаемся его рукой, и говорим, что заряды с проводника «ушли через наше тело в землю». Более точно это явление заключается в следующем. Все элек- электрические действия обусловлены электрическим полем. Поэто- Поэтому мы наблюдаем их только тогда, когда имеется напряжение между рассматриваемым телом и окружающими предметами. При соединении тела с землей исчезает напряжение между этим телом и окружающими заземленными предметами, а значит, и электрическое поле, и все электрические действия прекращают- прекращаются. Само соединение с землей не играет принципиальной роли. Мы наблюдали бы то же самое, если бы вместо заземленных предметов, например стен комнаты, имели замкнутый провод- проводник, изолированный от земли. § 20. Эквипотенциальные поверхности Объединяя в электрическом поле точки, обладающие одина- одинаковым потенциалом, мы получаем некоторые поверхности, на- называемые поверхностями равного потенциала или эквипотен- эквипотенциальными поверхностями. Пользуясь эквипотенциальными поверхностями, можно изображать электрические поля графи- графически, подобно тому как мы это делали с помощью линий на- напряженности. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенци- эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии (рис. 25). Прочерчивая эквипотенциальные линии, соответствующие раз- различным значениям потенциала, мы получаем сразу наглядное представление о том, как изменяется потенциал в данном поле. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находят- находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна к перемещению. Отсюда мы заключаем, что линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если прочерчивать эквипотенциальные линии так, чтобы они соответствовали одинаковым приращениям потенциала, напри- например 1, 2, 3 и т.д. вольт, то быстрота изменения потенциала в направлении линий напряженности будет обратно пронорцио-
§21 ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ МЕЖДУ ПРОВОДНИКАМИ 47 нальна расстоянию между соседними эквипотенциальными ли- линиями. Это значит, что густота эквипотенциальных линий про- Рис. 25. Эквипотенциальные линии (сплошные) и линии напряженности (штриховые) поля двух одноименно заряженных металлических шаров порциональна напряженности поля: там, где больше напряжен- напряженность поля, там и эквипотенциальные линии располагаются теснее друг к другу. Мы видим, что, зная эквипотенциальные поверхности, можно всегда построить линии напряженности данного поля и наоборот. Поэтому любое электрическое поле можно графиче- графически изобразить при помощи эквипотенциальных поверхностей так же хорошо, как и при помощи линий напряженности. В § 18 мы видели, что если заряды находятся в равновесии, то все точки проводника имеют одинаковый потенциал. Это зна- значит, что в отсутствие тока поверхность проводника есть одна из эквипотенциальных поверхностей. § 21. Измерение напряжения между проводниками Электрическое напряжение можно просто измерить на опы- опыте. Для этого служат приборы, называемые электромет,рами или электростатическими вольтметрами. На рис. 26 изображен один из простейших электромет- электрометров. Штриховыми линиями изображены сечения эквипотенци- эквипотенциальных поверхностей плоскостью чертежа, сплошными линия- линиями — линии напряженности электрического поля. Электрометр содержит легкую алюминиевую стрелку а, укрепленную на ме- металлическом стержне б. Стрелка может поворачиваться вокруг горизонтальной оси. Стержень со стрелкой заключены внутри металлического корпуса в и хорошо изолированы от него при помощи пробки г из непроводящего материала (янтарь, кварц,
48 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III эбонит и т.п.). Прибор имеет шкалу, позволяющую отсчитывать угол отклонения стрелки. Рассмотрим сначала, как измеряют напряжение между дву- двумя проводниками. Для этого соединяют корпус электрометра с одним из проводников, а его стер- стержень — с другим. Бели нужно из- измерить напряжение между заря- заряженным проводником и землей, то корпус электрометра соединяют с землей, а стержень присоединяют с помощью металлической прово- проволоки к заряженному проводнику (рис. 27). Легко видеть, что отклонение стрелки электрометра будет зави- зависеть от напряжения, существую- существующего между стрелкой и корпусом. Действительно, на стрелку дей- действуют силы, поворачивающие ее, потому, что внутри электромет- электрометра возникает электрическое поле. Так как электрометр имеет корпус неизменной формы, то это поле бу- будет зависеть только от напряжения, приложенного к электрометру. Создавая каждый раз одно и то же напряжение между стрел- стрелкой и корпусом, мы будем получать одну и ту же напряжен- напряженность поля у поверхности стрелки, а значит, будут одинаковы и силы, действующие на стрелку, и ее от- отклонение. А это и означает, что электрометр измеряет напряжение. Такой прибор можно проградуи- ровать, т.е. определить, каким напряжениям соответствуют раз- различные углы отклонения стрелки. Таким образом, электрометр всегда измеряет напряжение, су- существующее между его стрелкой и корпусом. Поэтому в опыте, изо- изображенном на рис. 27, можно бы- было бы изолировать корпус и соеди- соединить его с исследуемым телом, а стержень соединить с землей, и при этом показания электрометра не изменились бы. Пользуясь электрометром, легко убедиться, что поверхность проводника всегда является эквипотенциальной поверхностью. Рис. 26. кой Электрометр со стрел- Рис. 27. Измерение напряже- напряжения между заряженным провод- проводником и землей
22 НОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 49 Если в опыте, изображенном на рис. 27, соединять электрометр с различными точками проводника, то, как бы сложна ни была форма проводника, отклонение стрелки электрометра не изме- изменяется. Описанный электрометр удобен для измерения высоких на- напряжений (тысячи и десятки тысяч вольт). Для измерения ма- малых напряжений применяют электрометры других типов. § 22. Нормальные элементы Для того чтобы с помощью электрометров измерять напря- напряжение, их необходимо проградуировать. Для градуировки элек- электрометров в настоящее время часто пользуются нормальными элементами, которые представляют собой гальванические эле- элементы, составленные из таких веществ, которые обеспечивают весьма большое постоянство напряжения между электродами. Это напряжение было тщательно измерено и теперь хорошо из- известно, поэтому нормальные элементы являются удобными эта- эталонами напряжений, которые легко воспроизвести в любой ла- лаборатории. Нормальные элементы играют в электрической из- измерительной технике ту же роль, что и эталоны длины (метра) и массы (килограмма) при измерении механических величин. Большое распространение получил кадмиевый нормальный элемент. Его напряжение при 20 °С равно 1,0186 В. При комнатных температурах напряжение этого элемента почти не зависит от температуры: при повышении температу- температуры на 1 °С оно уменьшается менее чем на 0,0001 В. Устройство кадмиевого нормального элемента показано на рис. 28. Он состоит из двух соединяющихся стеклянных пробирок, в дно которых впая- впаяны платиновые проволоки. На дне одной из пробирок находится небольшое количество ртути, а поверх наложена паста из смеси сернокислой ртути и сернокислого кадмия. На дне другой пробирки имеет- имеется амальгама кадмия. Про- Пробирки заполнены насыщен- насыщенным раствором сернокисло- сернокислого кадмия. В этом элементе положительным электродом (анодом) служит ртуть, а отрицательным (катодом) — амальгама кадмия. От такого элемента мож- можно брать только очень сла- слабые токи, не превышающие нескольких микроампер, так как только при этом условии его напряжение можно считать неизменяю- неизменяющимся. Однако этого вполне достаточно для проведения измерений. Для получения более высоких напряжений нормальные эле- элементы можно соединять между собой последовательно в бата- Раствор CdSCV CdSO HgCd Парафин CdSO4, HgSO4 Hg Рис. 28. Кадмиевый нормальный элемент
50 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ III реи так, чтобы положительный полюс каждого предыдущего элемента был соединен с отрицательным полюсом последующе- последующего. При п элементах, соединенных последовательно, напряжение между крайними электродами батареи будет в п раз больше, чем у одного элемента. Отметим, однако, что на практике соединение нормальных элементов применяют редко. При использовании компенсацион- компенсационных схем измерения напряжений (§ 70) оказывается возможным измерить напряжение какого-нибудь источника, применяя всего один нормальный элемент, даже если измеряемое напряжение намного больше или намного меньше, чем у нормального эле- элемента. § 23. Электрический зонд Посмотрим теперь, как можно измерить потенциал внутри диэлектрика. Пусть требуется измерить потенциал в какой-либо точке в воздухе относительно земли. Если мы поместим в эту точку металлический шарик, то на шарике возникнут индукционные заряды. Эти заряды вызовут дополнительное поле, и поэтому результирующее поле изменится. Электрическое поле будет ис- искажено внесением шарика. Если, однако, шарик мал, то и разноименные индукционные заряды будут расположены близко друг к другу, и искажение, вносимое ими, будет проявляться только в непосредственной близости от шарика (рис. 29 а). Поэтому шарик практически Рис. 29. Маленький металлический шарик слабо искажает поле (а), но при соединении шарика с электрометром искажение поля увеличивается (б): сплошные линии — линии напряженности, штриховые — эквипотенциаль- эквипотенциальные линии примет потенциал, который существовал в данной точке до вне- внесения шарика.
§24 ПОТЕНЦИАЛ В ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ 51 Однако мы получим совсем иную картину, если, желая из- измерить этот потенциал, соединим шарик проволокой с электро- электрометром (рис. 29 6). В этом случае на шарике будут находиться индукционные заряды только одного знака, а заряды противопо- противоположного знака будут внутри электрометра. Поэтому возникнет сильное искажение первоначального поля и его эквипотенциаль- эквипотенциальные поверхности и линии напряженности существенно изменят- изменятся. Электрометр и в этом случае, как и всегда, покажет потен- потенциал стрелки относительно корпуса, равный потенциалу шарика относительно земли. Однако этот потенциал будет совсем дру- другим, нежели тот, который существовал до внесения шарика. Из сказанного ясно, что мы получим правильное значение по- потенциала, если уберем индукционные заряды, искажающие по- поле. Это можно сделать, если вблизи шарика создать в воздухе небольшое количество ионов. Тогда ионы, противоположные по знаку заряду шарика, будут переходить на шарик до тех пор, по- пока индукционный заряд не исчезнет вовсе. Это обстоятельство используют на практике для устройства электрического зонда. Электрический зонд представляет собой небольшой метал- металлический электрод, вокруг которого создается ионизация газа. Бе можно осуществить, помещая зонд в небольшое пламя горя- горящего светильного газа (пламенный зонд). Для этого можно так- также использовать металлическую проволоку, накаливаемую то- током (зонд с накаленной нитью), или применить любой другой прием ионизации газа. Зонд соединяют металлической проволо- проволокой с электрометром, корпус которого заземлен. Тогда показа- показание электрометра даст потенциал относительно земли той точки поля, где находится зонд. § 24. Потенциал в простейших электрических полях Вычислим потенциал в электрическом поле, создаваемом од- одним точечным зарядом q. Рассмотрим в этом поле некоторую точку, удаленную на расстояние г от заряда, и найдем потенци- потенциал в этой точке относительно бесконечности. Так как разность потенциалов не зависит от формы пути, то мы предположим, что заряд +1 перемещается из точки г в бесконечность вдоль радиуса, т.е. вдоль линии напряженности электрического поля. Тогда U= Г Edr = -2— Г'^ = _1_?. B4.1) г г Потенциал убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от заряда. Поступая подобным образом, можно вычислить распределе- распределение потенциалов и в других полях, если известна напряженность
52 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. Ш поля в каждой точке. Рассмотрим некоторые практически важ- важные примеры. Пример 1. Шаровой конденсатор. Имеются два электро- электрода в виде концентрических сфер с радиусами а (внутренняя) и Ь (внешняя). Напряженность поля Е между такими электрода- электродами выражается формулой A3.8) и изменяется в пространстве так же, как и в случае точечного заряда. Следовательно, раз- разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точ- точкой внутри конденсатора, удаленной на расстояние г от центра конденсатора, равна В этой формуле можно выразить заряд q через разность потен- потенциалов Щ между электродами: 9 B4.2) откуда окончательно получаем Таким образом, измеряя Щ между электродами, по формуле B4.2) можно вычислить потенциал в любой точке поля. Пример 2. Плоский конденсатор. Вычислим разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удаленной на рас- расстояние х от нее. Напряженность поля в плоском конденсаторе выражается фор- формулой A3.7). Поэтому U X X = Г Edx= — Г J eo J = -х. So B4.3) Рис. 30. Эквипотенци- Эквипотенциальные линии и линии напряженности поля плоского конденсатора Полная разность потенциалов С/о между электродами равна B4.3а) где d — расстояние Поэтому также между пластинами. . В плоском конденсаторе потенциал изменяется по линейному закону. B4.36) с расстоянием
§ 25 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В ПОЛЕ ЗАДАННЫХ ЗАРЯДОВ 53 В этих расчетах мы не учитывали искажение электрическо- электрического поля вблизи краев пластин. Поэтому полученные формулы применимы только для средней части конденсатора. Электри- Электрическое поле плоского конденсатора конечных размеров показано на рис. 30. Пример 3. Цилиндрический конденсатор. Рассмотрим еще распределение потенциала между коаксиальными цилиндрами. Напряженность этого поля выражается формулой A3.9). Поэто- Поэтому разность потенциалов между внутренним цилиндром и про- произвольной точкой между электродами равна 2я-?о J г 2п?о а' а Здесь г — расстояние от рассматриваемой точки до оси цилин- цилиндров, а — радиус внутреннего цилиндра, q\ — заряд внутреннего цилиндра на единицу его длины. Полная разность потенциалов Щ между цилиндрами равна U°= btolna> где Ь — радиус внешнего цилиндра. Отсюда U ~ ° Потенциал в цилиндрическом конденсаторе изменяется по лога- логарифмическому закону. § 25. Вычисление потенциала в поле заданных зарядов В примерах предыдущего параграфа мы вычисляли потен- потенциал по напряженности поля, которая была известна заранее. Однако часто напряженность поля бывает неизвестна и именно ее и требуется вычислить. В этих случаях находят сначала по- потенциал, что оказывается гораздо проще, а затем вычисляют и напряженность поля по формуле A9.1). При вычислении потенциала следует различать два случая: а) задано распределение зарядов, вызывающих поле, и б) зада- заданы потенциалы заряженных тел, создающих поле. Рассмотрим сначала первый случай. Если поле создается одним-единственным точечным заря- зарядом, то потенциал этого поля выражается формулой B4.1). Если имеется несколько точечных зарядов, то, согласно принципу наложения электрических полей (§ 10), результирую- результирующее поле равно сумме полей, создаваемых отдельными заряда- зарядами. Поэтому и потенциал этого поля равен сумме потенциалов,
54 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III вызываемых отдельными зарядами, т.е. 1 B5.1) Здесь U — потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, гг — расстояние этой точки до г-го заряда, а суммирование производится по всем точечным зарядам. Подобным образом можно рассчитать потенциал поля и про- протяженных заряженных тел. В этом случае нужно сначала найти потенциал, создаваемый отдельным бесконечно малым элемен- элементом объема тела dr, который можно рассматривать как точеч- точечный заряд. Этот потенциал есть 47Г60 Г где р —- объемная плотность заряда, а г — расстояние от рас- рассматриваемой точки поля до dr. Полное значение потенциала равно 1 Г pdr U = 47ГЕО B5.2) где интегрирование распространяется на весь объем г заряжен- заряженного тела. Если заряды расположены только на поверхности тела, то 1 Г crdS U = 47Г?о B5.3) Здесь а — поверхностная плотность заряда, dS — элемент поверхности тела, г — расстояние рассматриваемой точки поля до dS, а интегрирование распро- распространяется по всей заряженной по- поверхности S. Электрическое поле дипо- диполя. Применим результаты преды- предыдущего параграфа к вычислению электрического поля, создаваемого диполем (рис. 31). Согласно B5.1) потенциал в некоторой точке поля а есть U = _ Я. 47ГЕ-0 V Г2 _ q ri - r-j Г1Г2 Будем теперь считать, что длина Рис. 31 К вычислению элек- диполя I весьма мала по сравнению трического поля диполя с расстояниями г\ и ri до точки а
§ 26 ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 55 (элементарный диполь). В этом случае можно положить Г\ — Г2 = I COS а, Г\Г2 = Г2 и выражение для потенциала принимает вид и= 1 pcosa } Здесь р есть модуль момента диполя, а а — угол между на- направлением момента диполя р и направлением радиус-вектора г, проведенного из диполя в рассматриваемую точку поля. Зная U в зависимости от координат, мы можем вычислить напряженность поля Е по формуле A9.1), дифференцируя вы- выражение для U по координатам. Будем пользоваться полярными координатами г и а с началом в точке нахождения диполя и на- направим полярную ось в направлении момента диполя р. Тогда составляющая напряженности в направлении радиуса г есть Ег=Ы = jcosa ( 5) Составляющая, перпендикулярная к г: 7-, dU p sin a Полная напряженность поля в точке а(г,а) будет os2a + l. B5.7) Вектор напряженности образует с направлением г угол /3: tg/3 = Ea/Er = {1 /2) tg a. B5.8) Эти формулы вполне определяют напряженность поля по модулю и ПО направлению В каждой его точке. Рис. 32. Линии напряженно- На рис. 32 изображены линии поля сти элементарного диполя диполя. § 26. Общая задача электростатики Наиболее часто встречаются такие случаи, когда распреде- распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников. Такие задачи могут быть сформулированы следующим общим образом: имеется система проводников А, Б, В и т.д. заданной формы и заданного взаимного расположения и известны потен- потенциалы всех проводников Ua, Ub и т.д. (например, относительно
56 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III бесконечности или относительно одного из проводников); требу- требуется определить значение потенциала в любой точке поля между проводниками. Математически эта задача сводится к следующей. Состав- Составляющие напряженности поля Е по координатам можно выра- выразить, согласно A9.1), через потенциал: тр __dU „ _ _dU „ _ dU Подставляя эти выражения в уравнение Пуассона A4.1), мы по- получим общее уравнение, которому удовлетворяет потенциал, в виде ? Если между проводниками нет зарядов, то во всех точках р = 0, и уравнение B6.1) переходит в более простое: d?V_ ,д^Ц_ ,dHJ_ __ n (Of. „v ax2 ay2 az2 v ' называемое уравнением Лапласа. Поэтому вычисление потен- потенциала в общем случае сводится к нахождению такой функции координат U(x,y,z), которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет дифференциальному уравнению B6.2), а на самих проводниках принимает заданные постоян- постоянные значения Ua, Ub и т.д. Можно показать, что решение такой задачи однозначно. Легко убедиться, что найденные нами в § 24, 25 выражения для потен- потенциала в простейших полях удовлетворяют уравнению B6.2) и граничным условиям. Действительно, для однородного поля плоского конденсатора потенци- потенциал выражается формулой B4.3). Потенциал зависит лишь от одной коор- координаты х, и поэтому в уравнении Лапласа B6.2) имеется всего один член. Вычисляя производные от потенциала по координатам, имеем a dU _ a d2U U — х, — , „ — U. ?о ах ?о ах* Потенциал, кроме того, удовлетворяет граничным условиям, так как оста- остается постоянным во всех точках одной обкладки (х = 0) и другой обкладки (х = d). Для радиального поля шарового конденсатора мы нашли формулу B4.2), где г = у/х2 +у2 + z2. Дифференцируя выражение для потенциа- потенциала по координатам, получаем г2 — Чт2 со^ —. дх дх \ rj r2 r' дх2 И аналогично d2U ej г2 - Зу2 д2Ц с2 г2 - Зг2 ду2 °° г5 ' дг2 г5
§ 27 ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 57 Поэтому &V_ д^и_ d2U gj Зг2 - 3(х2 + у2 + z2) _ Q дх2 ду2 dz2 r5 Потенциал, выражаемый формулой B4.2), удовлетворяет и граничным условиям, так как постоянен во всех точках каждой обкладки (при г = а и г = Ь). Подобным же образом можно проверить, что формула B4.4), найденная для потенциала в поле цилиндрического конденсатора, также удовлетворя- удовлетворяет и уравнению B6.2), и граничным условиям. Решение уравнения B6.2), вообще говоря, сложно и составля- составляет содержание специального раздела математической физики — теории потенциала. Если форма электродов настолько сложна, что распределе- распределение потенциала трудно вычислить, то его всегда можно опре- определить экспериментально. Для этого может служить электри- электрический зонд (§ 23). Еще удобнее применение электролитической ванны, описанной в § 62. § 27. Проводники в электрическом поле Рассмотрим теперь, каким образом распределяются электри- электрические заряды внутри проводников в отсутствие электрического тока. В § 18 мы видели, что для равновесия зарядов необходимо, чтобы напряженность поля Е{ в любой точке внутри провод- проводника была равна нулю. Но тогда из уравнения Пуассона A4.1) следует, что объемная плотность заряда pi внутри проводника также равна нулю. В отсутствие электрического тока заряды распределяются только на поверхности проводника. Если мы представим себе, что из сплошного проводника уда- удалена внутренняя часть, то получится полый замкнутый провод- проводник. Так как внутренняя часть не имела зарядов, то ее удаление не изменит ни распределение поля, ни распределение зарядов внутри оставшейся части проводника. Поэтому равновесное рас- распределение зарядов в полом проводнике будет таким же, как и в сплошном проводнике, т.е. заряды будут только на внешней по- поверхности. Напряженность же поля будет равна нулю в любой точке внутри стенок и в любой точке внутри полости. Заряды в состоянии равновесия распределяются на поверх- поверхности проводника всегда, независимо от того, каким образом они возникли. Если замкнутый полый металлический проводник на- находится во внешнем электрическом поле (рис. 33 а), то на нем появятся индукционные заряды. Эти заряды будут также сосре- сосредоточены только на внешней поверхности, а электрическое поле и в толще металла, и внутри полости будет равно нулю. Поэтому
58 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ Ш полый металлический проводник экранирует электрическое по- поле всех внешних зарядов. Этим широко пользуются на практи- практике для устройства электростатической защиты. Для того чтобы оградить чувствительные электрические приборы от возмуща- возмущающего действия внешних электрических полей, их заключают в замкнутые металлические ящики, которые соединяют с землей. Отметим, что замкнутый полый проводник экранирует толь- только поле внешних зарядов. Если электрические заряды находят- находятся внутри полости, индукци- индукционные заряды возникнут не только на внешней поверхности проводника, но и на внутрен- внутренней (рис. 33 5). Распределение этих индуцированных зарядов будет таким, чтобы полное по- поле, равное сумме полей, созда- создаваемых зарядом внутри полости и индукционными зарядами, в любой точке в толще металла было равно нулю (условие рав- равновесия) . Однако внутри полос- полости поле не будет равно нулю, и здесь будут проходить линии Рис. 33. Заряд вне (а) и внутри (б) металлической полости напряженности, соединяющие заряд, заключенный в полости, с индукционными зарядами на внутренней поверхности. Индукционные же заряды на внешней поверхности вызовут поле во внешнем пространстве, и поэтому замкнутая проводящая полость не экранирует поле электриче- электрических зарядов, помещенных внутри нее. В связи с изложенным выше находится важный практиче- практический прием передачи заряда от одного проводника к другому. Пусть, например, требуется передать заряд с металлического проводника на электрометр. Чтобы осуществить эту переда- передачу полностью, электрометр соединяют с полым проводником, приближающимся по форме к замкнутой полости, например с металлическим цилиндром («фарадеев цилиндр»), и вносят за- заряженный проводник внутрь этой полости. Тогда проводник разряжается полностью и его заряд целиком переходит на элек- электрометр. § 28. Точная проверка закона Кулона В предыдущем параграфе, объясняя, почему заряды рас- распределяются только на поверхности проводника, мы основыва- основывались на теореме Остроградского-Таусса. Но эта теорема есть
§ 28 ТОЧНАЯ ПРОВЕРКА ЗАКОНА КУЛОНА 59 следствие закона Кулона, и поэтому найденные нами особен- особенности распределения зарядов являются также следствием этого закона. И наоборот: можно показать, что если бы сила взаимодей- взаимодействия точечных зарядов выражалась законом то при любом S, отличном от нуля, теорема Остроградского- Гаусса не имела бы места и заряды распределялись бы не только на поверхности, но и в объеме проводника (см. Добавление 1). Поэтому, исследуя на опыте, действительно ли в объеме про- проводника нет зарядов, можно проверить справедливость закона Кулона и притом гораздо более точно, нежели в опытах с кру- крутильными весами. Такие опыты произвел впервые Кавендиш, который за несколько лет до Кулона установил, что сила взаимодействия зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния. В этих опытах металлический шар 1 (рис. 34) был укреплен на изоли- изолирующей подставке 2. Две металлические полусферы 3, изоли- изолированные от земли, были укреплены на подвижных подставках (на рисунке не изображены) и могли быть соединены в одну сферу, охватывающую шар 1. В одной из полусфер имелось малое отверстие, в которое можно было вставлять короткий металлический проводник 4, под- подвешенный на изолирующей нити 5, и соеди- соединять шар и сферу, не разряжая прибора. Сам опыт заключался в следующем. По- Полусферы 3 складывали вместе, соединяли их проводником 4 с шаром 1 и заряжали. О заряде сферы судили по показаниям элек- электрометра. Затем проводник 4 с помощью нити 5 удаляли, обе полусферы раздвигали и разряжали, соединяя их с землей. После вендиша этого электрометр присоединяли к шару 1 и проверяли, имеется ли на нем какой-либо заряд. Опыт всегда показывал, что на шаре нет никаких следов заряда. Вследствие большого принципиального значения вопроса о законе силового взаимодействия зарядов подобные опыты бы- были повторены позднее Максвеллом в улучшенной форме. Исхо- Исходя из чувствительности своих опытов, Максвелл рассчитал, что отклонение S от величины 2 в показателе закона Кулона если и существует, то не превышает 1/21600. В настоящее время за- закон Кулона для макроскопических расстояний проверен гораздо точнее. Рис. 34. Опыт Ка-
60 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ. III § 29. Острия При исследовании распределения зарядов на проводнике сложной формы (рис. 35 а) оказывается, что поверхностная плотность заряда различна в разных точках поверхности: она близка к нулю внутри углубления (точка 1), принимает наиболь- наибольшее значение на заострении (точка 2) и имеет промежуточную величину в точках боковой поверхности C). Но напряженность поля Е, согласно A3.7), пропорциональна поверхностной плотности заряда о. Поэтому и напряженность поля у поверхности проводника сложной формы также весьма неодинакова. Она особенно велика возле участков с малым ра- радиусом кривизны, т.е. у заострений. Это приводит к своеобразному явлению «стекания» зарядов с металлических острий. Если соединить изолированное метал- металлическое острие с источником высокого напряжения, то находя- находящиеся поблизости изолированные проводники заряжаются. По- Помещая недалеко от острия электрометр, соединенный с метал- металлической пластиной, можно видеть, что пластина заряжается до значительного напряжения и притом зарядом того же знака, что и на острие. Если, наоборот, предварительно зарядить пластину с электрометром, а острие присоединить к земле, то при подне- поднесении острия к пластине последняя разряжается: индукционные заряды стекают с острия и нейтрализуют заряд пластины. Причина этого явления заключается в большой напряжен- напряженности поля возле острия. Когда эта напряженность становится достаточно большой, в окружающем воздухе начинается иони- ионизация (подробнее см. § 166) и появляются положительные и от- отрицательные ионы (рис. 35 5). Ионы с тем же знаком заряда, Рис. 35. Напряженность электрического поля и поверхностная плотность у заострения проводника (а); причина стекания зарядов (б) что и у острия, движутся от острия; ионы с противоположным знаком заряда движутся к острию и уменьшают его заряд. Ионы, движущиеся от острия, увлекают в своем движении и нейтральные молекулы, отчего возникает направленное течение
§ 30 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР 61 воздуха от острия, или электрический ветер. Его можно обнару- обнаружить, поднося к острию зажженную свечу: пламя свечи сильно отклоняется от острия и может быть погашено струей электри- электрического ветра. Рассмотренное свойство заостренных проводников использу- используют на практике для съема зарядов в различных устройствах. Для предотвращения стекания зарядов у всех приборов и машин, работающих под высоким электрическим напряжением, металлические части делают хорошо закругленными, а концы металлических стержней снабжают гладкими шариками; нали- наличие заострений вызвало бы стекание зарядов и нарушение изо- изоляции. § 30. Электростатический генератор То обстоятельство, что заряды всегда распределяются толь- только на внешней поверхности проводника, используют для устрой- устройства электростатических генераторов, предназначенных для по- получения весьма высоких напряжений. Принцип их действия разъясняется опытом, изображенным на рис. 36. Соединим изо- изолированный проводник а с источником напряжения В (удобно воспользоваться заря- заряженным конденсатором или техническим выпря- выпрямителем на 2-3 тысячи вольт) и расположим поблизости полый изоли- изолированный проводник б, соединенный с электро- электрометром. Соединим на момент проводники а и б металлическим стерж- стержнем (на изолирующей ручке). Проводник б за- зарядится до напряжения ~ ~ проводника а, которое и „ „,, „ _ Рис. 36. Принцип действия электростати- определим по показаниям ческого генератора электрометра. Возьмем теперь металлический шар е, укрепленный на изолирующей ручке, коснемся им проводника а, а затем внутренней поверх- поверхности проводника б. Заряд шара в перейдет полностью на проводник б, отчего напряжение на б увеличится. Повторяя этот процесс многократно, мы сможем сделать напряжение на проводнике б намного бблыпим, чем на проводнике а; в принципе можно увеличивать его неограниченно.
62 РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ГЛ IV При помощи описанного процесса мы переносим положительные заря- заряды от тела с более низким потенциалом к телу с более высоким потенци- потенциалом. На первый взгляд это может показаться удивительным, так как при соединении двух проводников положительные заряды всегда перемещают- перемещаются от более высокого потенциала к более низкому. На самом же деле здесь никакого противоречия нет, так как при перемещении шара в от а к б мы преодолеваем силу отталкивания и совершаем механическую работу. Поэто- Поэтому, перемещая в по направлению к б, мы увеличиваем потенциал шара в. Когда в окажется внутри полости б, его потенциал сравняется с потенциа- потенциалом б. Таким образом, ценой совершения механической работы мы можем, располагая источником небольшого напряжения, зарядить какой-либо про- проводник до напряжения более высокого. Это и осуществляется в электростатическом генераторе. Он состоит из большого полого проводника 1 (рис. 37), обычно ша- шарообразной формы, укрепленного на изолирующей колонне 2. Внутри колонны проходит бесконечная лента 3 из прорезинен- прорезиненной ткани, движущаяся на двух шкивах 4 и играющая роль ша- шара в на рис. 36. Лента заряжается при помощи системы острий 5, соединенных с одним из полюсов источника напря- напряжения, второй полюс которого заземлен. Против острий, с обратной стороны лен- ленты, помещают заземленную пластину 6, которая увеличивает заряды, стекающие с острия 5 на ленту. Проходя мимо си- системы острий 7, соединенных с шаром 1, резиновая лента отдает им принесенные заряды, которые полностью переходят на внешнюю поверхность шара незави- независимо от того, какое напряжение имеется между шаром и землей. Максимальное напряжение, которое практически можно получить на шаре, определяется утечками зарядов с шара (главным образом вследствие ионизации лектростати- ВОЗдуха). Напряжение шара перестает повышаться, когда заряд, приносимый лентой в единицу времени (ток ленты), делается равным заряду, теряемому вследствие утечки (току утечки). Поэтому на прак- практике стремятся по возможности увеличить ток ленты. Электростатические генераторы применяют в настоящее время для ускорения заряженных частиц (электронов и ионов). С их по- помощью удается получить напряжения до 3-5 миллионов вольт. Высота таких генераторов достигает 10-15 м, а диаметр шара - нескольких метров. Электростатические генераторы иногда помещают в камеры со сжатым газом, так как ионизация газа при повышении давления наступает при больших напряжениях. Рис. 37. ческий генератор
§31 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ 63 ГЛАВА IV ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ § 31. Электрическая емкость Рассмотрим два проводника, между которыми существует электрическое напряжение, и предположим, что все линии сме- смещения, исходящие из одного проводника, заканчиваются на дру- другом. Такую пару проводников мы будем называть простым кон- конденсатором или просто конденсатором. Простым конденсатором является шаровой конденсатор, со- состоящий из двух проводников в виде концентрических сфер (§ 24), так как линии смещения, исходящие из внутренней сфе- сферы, обязательно все заканчиваются на внешней сфере. Две параллельные проводящие пластины (плоский конденсатор) можно считать также простым конденсатором, если расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами. Простым конденсатором является и цилиндрический конденсатор (§ 24), если длина цилиндров велика по сравнению с зазором между ни- ними. Оба проводника, образующие конденсатор, называются его обкладками. Так как линии смещения начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, то отсюда следует, что заряды, нахо- находящиеся на обкладках простого конденсатора, всегда равны по модулю и противоположны по знаку. Напряженность поля в любой точке между обкладками кон- конденсатора всегда пропорциональна заряду обкладок. Поэтому, согласно A7.1), и напряжение U между обкладками всегда про- пропорционально заряду обкладок q: q=CU. C1.1) Коэффициент С в этой формуле называют электрической ем- емкостью конденсатора или просто его емкостью. Из C1.1) следует, что q = С при [7 = 1. Это значит, что емкость конденсатора измеряется зарядом, находящимся на каждой из обкладок, если напряжение между обкладками равно единице. Единицей емкости служит фарад (Ф) — емкость такого уеди- уединенного проводника, потенциал которого повышается на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл/1 В = 1 Кл/В. На практике применяют также более мелкие единицы емкости: 1 микрофарад (мкФ) = 10~6 Ф и 1 пикофарад (пФ) — 10~12 Ф.
64 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ. IV Емкость конденсатора зависит от его размеров, формы и от свойств среды, находящейся между его обкладками. Пусть Со — емкость любого конденсатора, когда его об- обкладки находятся в вакууме. Практически мы получим ту же емкость, если между обкладками будет атмосферный воздух. Пусть далее С — емкость того же конденсатора, если все про- пространство между его обкладками заполнено каким-либо другим однородным диэлектриком. Отношение С/Со = е C1.2) называют относительной диэлектрической проницаемостью или просто диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Ди- Диэлектрическая проницаемость е есть величина, характеризую- характеризующая электрические свойства вещества и зависящая от рода ве- вещества и от его состояния (температуры, давления и т.д.). Отметим, что величина, определяемая формулой C1.2), есть отношение абсолютной диэлектрической проницаемости данно- данного вещества (eqe) и вакуума {eq). Как видно из C1.2), эта вели- величина безразмерна. Значение абсолютной диэлектрической про- проницаемости eqe зависит от того, какую размерность и какое зна- значение приписать eq. В абсолютной электростатической системе единиц полагают е$ — \ к считают величиной безразмерной. Поэтому C1.2) определяет одновременно и абсолютную диэлек- диэлектрическую проницаемость в системе единиц СГСЭ. В системе единиц СИ ео есть величина размерная и не равная единице (§4). Поэтому абсолютная диэлектрическая проницае- проницаемость вещества в системе единиц СИ есть eqe. В качестве примера приводим в табл. 1 диэлектрические про- проницаемости е некоторых веществ: Таблица 1 Вещество Вакуум Воздух *) Эбонит е 1 1,000594 2,7-2,9 *) При 0 °С и 760 мм **) В зависимости от Вещество Стекло Спирт этиловый Вода рт. ст. сорта. е 5-10 *¦) 27 81 § 32. Емкость простых конденсаторов Емкость конденсаторов простой формы можно вычислить. Для этого предполагают, что на каждой из обкладок находит- находится некоторый заряд q, и вычисляют потенциал в электрическом
§ 32 ЕМКОСТЬ ПРОСТЫХ КОНДЕНСАТОРОВ 65 поле рассматриваемого конденсатора U(x:y, z). Если удается ре- решить эту задачу, то отсюда получается и значение напряжения между обкладками конденсатора U. После этого емкость можно найти по формуле C1.1). Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. Плоский конденсатор. Будем считать, что зазор между пластинами мал по сравнению с их размерами, так что краевыми эффектами можно пренебречь. Распределение по- потенциала в поле плоского конденсатора нами уже вычислено в § 24. Если на единице поверхности обкладок имеется заряд а и диэлектриком является вакуум, то полное напряжение между обкладками равно U = ad/sQ, где d — расстояние между пластинами. Если площадь каждой пластины равна S, то полный заряд пластины есть q = aS. По- Поэтому C = q/U = ?0S/d. C2.1) Если диэлектриком является не вакуум, а вещество с диэлек- диэлектрической проницаемостью е, заполняющее все пространство, где имеется электрическое поле (пространство между обкладка- обкладками), то емкость будет в е раз больше: С = ee0S/d. C2.1а) При уменьшении расстояния d между обкладками емкость уве- увеличивается. Пример 2. Шаровой конденсатор. Если на обкладках кон- конденсатора имеется заряд q, то напряжение между обкладками в вакууме (§ 24) A 1 \ а Ь) ' где а и Ь — радиусы внутренней и внешней обкладок. Поэтому емкость в вакууме С- q - Если внешний радиус Ь гораздо больше внутреннего а, то фор- формула упрощается: С = 4тге0а. C2.3) Этот результат справедлив и в том случае, если внешняя об- обкладка имеет не сферическую форму, а какую угодно, при усло- условии, что ее размеры намного больше радиуса внутренней сфе- сферы. В таком смысле часто говорят о емкости уединенного шара, хотя это выражение всегда обозначает емкость конденсатора, у которого роль внешней обкладки играют удаленные предме- предметы, находящиеся при одинаковом потенциале (стены комнаты и т.п.).
66 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ IV Если, наоборот, зазор между обкладками Ь — а = d весьма мал по сравнению со средним радиусом сфер г, то C2.2) можно представить в виде ob , г2 S ^?? где S = 4тгг2 есть площадь поверхности обкладок. Мы видим, что при малом зазоре выражения для емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают. Пример 3. Цилиндрический конденсатор. Пусть конден- конденсатор состоит из двух коаксиальных цилиндров с радиусами а (внутренний) и Ь (внешний). Длину цилиндров будем считать весьма большой по сравнению с зазором между ними. Напряже- Напряжение между обкладками (§ 24) 2тг?0 а где q\ — заряд на единицу длины цилиндров. Поэтому емкость цилиндрического конденсатора в вакууме на каждую единицу длины равна с' - % = im- <32-4> Эта формула выражает, в частности, емкость кабеля, который состоит из металлического провода, окруженного слоем изолято- изолятора и металлической броней; выражение C2.4) следует умножить еще на диэлектрическую проницаемость е вещества изолятора. Если расстояние между цилиндрами Ъ — а = d мало по срав- сравнению с их радиусами, то C2.4) упрощается. В этом случае In (b/a) можно разложить в ряд и ограничиться только членом первого порядка: In (Ь/а) =ln(l + d/a)»d/o. Поэтому где через S обозначена площадь поверхности обкладок на еди- единицу длины конденсатора: S = 2тга. И в этом случае емкость выражается той же формулой, что и для плоского конденсато- конденсатора. Отметим, что этот результат имеет общий характер и спра- справедлив для конденсаторов с обкладками любой формы, если только зазор между обкладками мал по сравнению с радиусом кривизны обкладок. Он является следствием того, что любое неоднородное поле на малых расстояниях можно рассматривать как однородное.
§ 32 ЕМКОСТЬ ПРОСТЫХ КОНДЕНСАТОРОВ 67 Пример 4. Двухпроводная линия. Рассмотрим теперь два параллельных цилиндрических провода с радиусами а и расстоянием между осями d (рис. 38). Будем считать, что все остальные тела, включая и землю, на- находятся на расстояниях, больших по сравнению с d, и поэтому будем рассма- рассматривать оба провода как простой конден- конденсатор. Если расстояние d сравнимо с а, то заряды будут распределены по поверх- r**-1* d I ности проволок неравномерно, и вычис- <~т т^ ление электрического поля будет слож- Рис 3§ Электрическое ным. Поэтому мы предположим, что поле двухпроводной ли. а ^>а. В этом случае оба цилиндра заря- нии жены равномерно, и напряженность по- поля, создаваемую ими, можно найти по формуле A3.9). Так как напряжение в электростатическом поле не зависит от формы пу- пути, то для его вычисления мы выберем простейший путь в виде прямой линии, соединяющей оси проводов и перпендикулярной к их поверхности. Напряженность поля Е в какой-либо точке х на этой линии (рис. 38) равна 27Г?о X 2iT?0 d — X ' где q\ — заряд на единицу длины проволок. Поэтому напряже- напряжение U между проводами d — a d — a d — а Edx = / 1 j — = —— In ~— In - 27Г?о J х 2гг?о J a — х тгео а 7Г?о с а а а Емкость двухпроводной линии на каждую единицу длины U In [d/a) ' ' Единица электрической постоянной ео- Понятие элек- электрической емкости используют в системе единиц СИ для опре- определения единицы электрической постоянной Eq. Пользуясь, на- например, формулой C2.1), имеем е0 = Cd/S. Подставляя сюда вместо С, d и S их единицы, находим единицу электрической постоянной: 1 ?о = 1 Ф • 1 м/1 м2 = 1 Ф/м; она получила название фарад на метр (Ф/м).
68 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ. IV § 33. Метод зеркальных изображений При расчете электрического поля и вычислении емкости бывает полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений зарядов. Этот метод основан на сле- следующем очевидном положении: если в электрическом поле заме- заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рас- рассматриваемой эквипотенциальной по- поверхности, то электрическое поле не изменится. Применим это положение к элек- электрическому полю двух точечных заря- зарядов +q и —q, расположенных на рас- расстоянии 2/г друг от друга (рис. 39). Рассматриваемое поле можно разде- разделить плоскостью А А на две равные ча- части. Эта плоскость будет везде перпен- Рис. 39. Электрическое по- дикулярна к линиям напряженности ле между точечным заря- П0ЛЯ; а следовательно, будет эквипо- дом^и проводящей плоско- тенциальной поверхностью. Поэтому если в АА находится неограниченная проводящая плоскость, то поле между этой плоскостью и заря- зарядом +q не изменится и будет совпадать с полем двух точечных зарядов +q и —q. Это позволяет просто учесть действие инду- индуцированных зарядов на проводящей плоскости. Заряд — q расположен за плоскостью на том же расстоянии h, что и заряд +q над плоскостью, и поэтому является его зеркаль- зеркальным изображением в проводящей плоскости. Поэтому найден- найденный результат можно сформулировать так: электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной проводящей плоско- плоскостью совпадает с полем, создаваемым рассматриваемым заря- зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Или, иначе: действие проводящей плоскости с ее индуцирован- индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в про- проводящей плоскости. Применим рассмотренный метод к вычислению емкости ци- цилиндрического провода с радиусом а, подвешенного на высоте h над землей. Такой случай мы имеем в воздушной телеграф- телеграфной линии. Линии напряженности этого поля (в плоскости, пер- перпендикулярной к проводу) будут изображаться так же, как на рис. 39. Поле в пространстве между проводом и землей будет совпадать с полем провода и его зеркального изображения, и поэтому задача сводится к случаю двух параллельных прово-
§34 ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО КОНДЕНСАТОРА 69 дов. Однако напряжение между поверхностью земли и прово- проводом при том же заряде провода будет равно только половине напряжения между двумя проводами, а, значит, емкость будет в два раза больше. Умножая на 2 соотношение C2.5) и полагая в нем d = 2/i, найдем выражение для емкости единицы длины провода над землей в виде к 1 Б т % 34. Энергия заряженного конденсатора Если обкладки заряженного конденсатора замкнуть метал- металлическим проводником, то в нем возникнет электрический ток, а конденсатор разрядится. Электрический ток разряда конденса- конденсатора выделяет в проводнике определенное количество теплоты, а это значит, что заряженный конденсатор обладает энергией. Так, если в схеме рис. 40 перевести переключатель К в по- положение 1, то конденсатор С окажется соединенным с батареей элементов Б и зарядится до напряже- напряжения батареи. При перебрасывании пе- переключателя в положение 2 конденса- конденсатор разряжается через электрическую лампочку, которая дает вспышку. Вычислим энергию заряженного конденсатора. Для этого представим себе, что конденсатор заряжается, и обозначим через и мгновенное значе- значение напряжения между его обклад- обкладками. Процесс зарядки будем счи- считать бесконечно медленным (квазиста- (квазистатическим), полагая, что напряжение батареи и равное ему на- напряжение между обкладками бесконечно медленно увеличива- увеличиваются. В этом случае потенциал каждой из обкладок в любой момент времени будет иметь везде одно и то же значение. Если заряд обкладок увеличивается на малую величину dq, то совер- совершаемая при этом внешняя работа 6А (в данном случае батареи), согласно § 17, равна 6А — и dq. Выражая в этой формуле заряд обкладок q через напряжение по формуле C1.1), получим 6A = Cudu. Если емкость не зависит от напряжения (электрического поля), то работа 5А идет на увеличение энергии конденсатора dW. Ин- Рис. 40. При разрядке кон- конденсатора через электриче- электрическую лампу его энергия пре- превращается в тепло
70 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ IV тегрируя выражение для 5А между значениями напряжения 0 (начало зарядки) и U (конец зарядки), получаем и A = W = C fudu = lcU2. C4.1) 0 Зависимость энергии конденсатора от емкости и напряжения можно также показать в описанном выше опыте (рис. 40). Если увеличить напряжение батареи (увеличивая, например, число последовательно соединенных элементов), то лампочка вспыхи- вспыхивает гораздо ярче. Если, оставляя батарею неизменной, изме- изменять емкость конденсатора, то с увеличением емкости накал лампочки увеличивается. Пользуясь соотношением C1.1), можно представить выраже- выражение для энергии заряженного конденсатора также в любом из следующих видов: Благодаря способности запасать в себе энергию конденсато- конденсаторы играют большую роль в электро- и радиотехнике. § 35. Соединение конденсаторов Если напряжение на конденсаторе сделать слишком боль- большим, то конденсатор «пробивается», те. между его обкладка- обкладками возникает искра (внутри диэлектрика или по его поверхно- поверхности) и конденсатор портится вследствие нарушения изоляции. Поэтому каждый конденсатор характеризуется не только своей емкостью, но еще и максимальным рабочим напряжением. Для того чтобы, располагая определенными конденсаторами, осуществить желаемую емкость при нужном рабочем напряже- напряжении, конденсаторы соединяют в батареи. ННН Рис 41 Соединения конденсаторов На рис. 41 а показано параллельное соединение конденсато- конденсаторов. В этом случае общим для всех конденсаторов является на- напряжение U, и мы имеем qi=CiU, q2
§ 35 СОЕДИНЕНИЕ КОНДЕНСАТОРОВ 71 Суммарный заряд, находящийся на батарее, равен и поэтому емкость батареи Емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Так как в этом случае напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на батарее, то и допустимое рабочее напряжение батареи будет таким же, как и у одного конденсатора На рис. 41 б изображено последовательное соединение кон- конденсаторов. В этом случе одинаков для всех конденсаторов за- заряд q, равный полному заряду батареи, и мы можем написать Ui = q/C\, U2 = q/C2. Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на от- отдельных конденсаторах, т.е. Поэтому для емкости С всей батареи, находим - C5-2) При последовательном соединении конденсаторов суммиру- суммируются обратные значения емкостей В этом случае напряжение на каждом конденсаторе будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое рабочее напряжение будет больше, чем у одного конденсатора. На рис. 41 в показано смешанное соединение конденсаторов. Емкость такой батареи легко определить, пользуясь формулами C5.1) и C5.2), что предоставляем сделать самим читателям. Используя на практике соединение конденсаторов, следует всегда иметь в виду, что диэлектрик любого конденсатора не является идеальным изо- изолятором и, хотя бы очень слабо, проводит электричество Поэтому всякий С2 Сх С2 С, шг гчхг дихт Рис 42 Эквивалентные схемы конденсаторов с утечками реальный конденсатор имеет некоторую утечку зарядов и может быть изо- изображен эквивалентной схемой (рис 42 а) в виде идеального конденсатора
72 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ IV С (без утечки) и параллельно присоединенного большого сопротивления г. В случае параллельного соединения конденсаторов утечки не играют осо- особой роли и напряжение на каждом конденсаторе будет равно по-прежнему полному напряжению батареи. Не то, однако, будет при последовательном соединении. Если конденсатор Сг (рис. 42 б) без утечки соединен последова- последовательно с конденсатором С\, обладающим утечкой п, то с течением времени конденсатор С\ будет разряжаться, и в конце концов на конденсаторе Сг окажется полное напряжение батареи. В реальном случае обоих конденса- конденсаторов с утечками (рис. 42 е) установившиеся напряжения будут зависеть не от емкостей, а от утечек. На конденсаторе с меньшей утечкой будет большее напряжение, и он может быть пробит. Поэтому последовательное соедине- соединение конденсаторов не применяют при работе с постоянными напряжениями, а используют его в цепях переменного тока. § 36. Сложные конденсаторы До сих пор мы рассматривали лишь простые конденсаторы, в которых все линии смещения, исходящие из одной обкладки, заканчивались на другой обклад- обкладке. Однако могут быть и более сложные случаи, когда линии смещения распределяются меж- между несколькими проводниками (рис. 43). Такую систему про- проводников мы будем называть сложным конденсатором. В этом случае заряд какого- либо из тел будет зависеть от потенциалов всех проводников, участвующих в образовании Поле сложного конден- электрического поля. Этот заряд можно найти следующим образом. Рассмотрим проводник 1 (рис. 43) и выделим на нем часть поверхности аб, которая соединяется линиями смещения только с проводником 2. Заряд такого участка равен qae — C^Uiz, где С^ — емкость участка аб относительно тела 2, a TJ\i — напряжение между телами 1 и 2. Аналогично для другого участка поверхности бе имеем: Чбв — Сбви\з и т.д. Поэтому полный заряд тела 1 будет равен Рис. 43. сатора = Ca6Ul2 CeoUU- C6.1) Здесь через Un обозначено напряжение между проводником 1 и тем телом, на котором заканчиваются линии смещения, идущие с участка ва. Вместо напряжений или разностей потенциалов между каж- каждой парой проводников U12, C/13, ... мы можем ввести в C6.1) потенциалы Ui, С/2, ¦ •• каждого из проводников (например, от-
§36 СЛОЖНЫЕ КОНДЕНСАТОРЫ 73 носительно бесконечности): = Ui- U2, Подставляя эти выражения в C6.1), получим для заряда q\ опять линейную функцию потенциалов всех проводников в виде Cl2U2 C6.2) И аналогично для зарядов других проводников имеем C6.2а) где i — номер проводника. Коэффициенты Сц- в этих формулах имеют простой физический смысл. Из C6.2) видно, что Сц рав- равно заряду проводника 1, когда его потенциал равен единице, а потенциалы всех других проводников равны нулю; коэффици- коэффициент Суг равен заряду на теле 1, когда потенциал тела 2 равен единице, а потенциалы всех остальных тел (включая и тело 1) равны нулю, и т.д. С^ зависят от формы и размеров рассма- рассматриваемых проводников, от их взаимного расположения и от свойств окружающей среды. Систему уравнений C6.2а) можно разрешить относительно потенциа- потенциалов Uk и выразить, наоборот, все потенциалы через полные заряды про- проводников. Потенциалы проводников будут также линейными функциями зарядов, и мы можем написать: Uk — / PikQi- C6.3) о + + ++ + + + + V ^ - E + i - = Можно показать, что коэффи- коэффициенты С,к и р,к удовлетворяют условиям симметрии Cik = Скг, Ргк = Pki, на чем, однако, мы не останавли- останавливаемся. Мы видим, что в ел у- чае сложного конденсатора Заряд любого из проводни- Рис. 44. Пример сложного конденса- ков определяется потенциа- тора лами всех проводников. По- Поясним это на простом примере. Рассмотрим цилиндрический конденсатор вблизи поверхности земли (заземленных предме- предметов) (рис. 44). Мы имеем здесь три проводника: внешнюю об- обкладку, внутреннюю обкладку и землю, и в правой части фор- формулы C6.1) будут два члена. Обозначим через С емкость обеих
74 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ IV обкладок, а через с — емкость внешней обкладки относитель- относительно земли (емкостью стержня относительно земли пренебрегаем). Если соединить внешнюю обкладку с землей, то U\3 = 0. Поэто- Поэтому при заряжении конденсатора до напряжения U он накопит заряд gi = CU. Если же соединить с землей внутреннюю обкладку, то Ui$ не равно нулю и равно напряжению на конденсаторе U. Поэтому при том же напряжении заряд конденсатора будет больше, чем в первом случае, а именно д2 = CU + cU. § 37. Энергия электрического поля Мы видели, что заряженный конденсатор обладает опреде- определенной энергией. Поэтому можно поставить вопрос о том, где именно сосредоточена, локализована эта энергия. Можно, на- например, предполагать, что энергия сосредоточена на обклад- обкладках конденсатора, т.е. на электрических зарядах. Однако мож- можно также допустить, что энергия конденсатора сосредоточена в его электрическом поле, т.е. в пространстве между обкладками. Только опыт, очевидно, может дать решение этого вопроса. Пока мы рассматриваем постоянные электрические поля, та- такой опыт невозможен, так как в этом случае мы всегда имеем заряды, окруженные электрическим полем, и, наоборот, — элек- электрические поля совместно с электрическими зарядами. Одна- Однако интересующие нас опытные данные можно получить, рас- рассматривая поля, переменные во времени. Ниже мы увидим (гл. XXIII), что существуют электромагнитные волны, предста- представляющие собой электрические и магнитные поля, изменяющиеся во времени и распространяющиеся с определенной скоростью в пространстве. Электрические поля в электромагнитных волнах можно получить без электрических зарядов, первоначально по- породивших эти поля (так же как и магнитные поля — без элек- электрических токов, их поддерживающих). Опыт показывает, что электромагнитные волны заключают в себе и переносят энер- энергию, и эту энергию мы с успехом используем в радиотехнике для целей связи и в других технических устройствах. Факт су- существования электромагнитных волн позволяет ответить на по- поставленный выше вопрос и заключить, что энергия сосредото- сосредоточена в электрическом поле. Учитывая этот результат, мы можем преобразовать выраже- выражение C4.1) для энергии конденсатора таким образом, чтобы в него входила характеристика поля — его напряженность.
§ 37 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 75 Рассмотрим сначала однородное поле и применим C4.1) к плоскому конденсатору. Мы получим Но U/d (ср. § 19) есть напряженность поля Е, a Sd — объем, занимаемый полем. Мы видим, что энергия однородного поля пропорциональна объему, занимаемому полем. Поэтому целесо- целесообразно говорить об энергии каждой единицы объема, или об объемной плотности энергии электрического поля. Она равна u = \eeQE2. C7.1) При получении формул C4.1) и C7.1) мы предполагали, что емкость конденсатора, а значит, и диэлектрическая проницае- проницаемость постоянны. При этом мы считали, что вся внешняя работа (источника тока) превращается в энергию электрического поля. Это совершенно точно для вакуума, и поэтому формула C7.1) при е = 1 выражает объемную плотность энергии электрическо- электрического поля в вакууме. В диэлектриках, вообще говоря, это не так. При создании электрического поля диэлектрики могут нагре- нагреваться. Их объем и плотность в электрическом поле, даже при неизменной температуре, могут изменяться (вследствие явления электрострикции § 45). Диэлектрическая же проницаемость за- зависит от температуры и плотности вещества и не остается по- постоянной. Кроме того, внешняя работа источника тока может не целиком переходить в энергию поля. Поэтому в общем слу- случае формула C7.1) не точна. В дальнейшем мы будем считать, что объем г среды и ее плотность остаются постоянными (не изменяются в электриче- электрическом поле или поддерживаются неизменными). Формула C4.1) выражает точно внешнюю работу (источни- (источника тока) Л, если температуру диэлектрика, а следовательно и е, поддерживать постоянной. Эта работа расходуется на увеличе- увеличение энергии поля W и на выделение тепла Q, которое нужно от- отводить от диэлектрика (или подводить к нему, тогда оно войдет со знаком минус) для поддержания неизменной температуры: А = W + Q. C7.2) Но из термодинамики известно, что работа внешних сил, со- совершаемая над системой при квазистатическом изотермическом процессе, равна приращению функции состояния системы, на- называемой свободной энергией. Поэтому формула C7.1) выража- выражает не внутреннюю энергию электрического поля в диэлектри- диэлектрике, а слагаемое в свободной энергии диэлектрика, зависящее от электрического поля, являющееся мерой внешней работы при изотермическом изменении электрического поля.
76 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ. IV Если диэлектрическую проницаемость при постоянном объ- объеме т можно считать не зависящей от температуры: (ds/дТ) = — О, то е = const при Q = 0, и формула C7.1) опять дает объ- объемную плотность энергии электрического поля. В этом случае электрические части свободной энергии и внутренней энергии диэлектрика совпадают друг с другом. В дальнейшем мы будем предполагать, что тепло Q в фор- формуле C7.2) мало по сравнению с энергией поля W и, если не оговорено обратное, будем считать внешнюю работу при созда- создании электрического поля в диэлектрике равной энергии этого поля. При выводе формулы C7.1) было сделано также предполо- предположение, что электрическое смещение D = eeqE> есть линейная функция напряженности поля Е (е = const). Между тем для некоторых веществ зависимость D от Е, даже при постоянной температуре, оказывается более сложной. Нетрудно обобщить полученные результаты на случай нелинейной зависимости D от Е. Для этого учтем, что поверхностная плотность заряда а на проводниках (обкладках) равна нормальной составляющей вектора электрической индукции Dn (§ 13, пример 2; см. также § 41). Поэтому, рассуждая, как и выше (§ 34) в случае однородно- однородного электрического поля, мы получим для приращения внешней работы при зарядке конденсатора 6 А = udq = uSdDn. Здесь и = Ed, a Sd = т есть объем поля. Следовательно, 5 А - Ed • SdDn = т(Е <Ш). Полная работа при создании электрического поля в диэлектрике равна A = rf(EdD). C7.3) Смещение D зависит не только от электрического поля Е, но еще и от температуры тела и его плотности. Поэтому функ- функция D(E), а значит, и работа А зависят от условий создания электрического поля и различны для теплоизолированного тела, поддерживаемого при постоянной температуре, и т.д. В случае изотермического процесса формула C7.3) дает общее выраже- выражение для приращения свободной энергии тела в электрическом поле. Если выделяющимся теплом (и внешней работой при изме- изменении объема тела) можно пренебречь по сравнению с энергией поля, то вся внешняя работа А превращается в энергию поля. Из формулы C7.3) следует, что в этом случае объемная плот- плотность энергии электрического поля равна и= J(EcflD). C7.4)
§ 38 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 77 При исчезновении электрического поля (разряде конденса- конденсатора) эта энергия выделяется во внешней цепи. Для линейной связи D = ееоЕ (формула C7.4) переходит в формулу C7.1)). Если электрическое поле неоднородно, то его можно разбить на элементарные объемы dr и считать, что в пределах бесконеч- бесконечно малого объема это поле однородно. Полная энергия электри- электрического поля равна W = fudr, C7.5) т где и выражается формулой C7.4), а интегрирование произво- производится по всему объему т электрического поля. Отметим в заключение, что при наличии диэлектрического гистерезиса (сегнетоэлектрики, см. § 50) внешняя работа при со- создании электрического поля по-прежнему определяется форму- формулой C7.3). Однако в этом случае внешняя работа уже не равна приращению энергии поля, так как ее заметная часть превра- превращается в тепло (ср. § 111). Поэтому и формула C7.4) уже не выражает объемную плотность энергии поля. ГЛАВА V ДИЭЛЕКТРИКИ § 38. Поляризация диэлектриков При внесении в электрическое поле каких-либо диэлектриков электрическое поле изменяется. В настоящей главе мы рассмо- рассмотрим, как оно изменяется в присут- _-, сугвии диэлектриков и в чем заключа- [+• ±';± '1yt\ ются причины его изменения. Для выяснения этого вопроса обра- обратимся к опытам. Зарядим электрометр и отметим его показание. Приблизим к электрометру какое-либо незаряженное диэлектрическое тело, например тол- толстую стеклянную пластину (рис. 45). Мы увидим, что показания электромет- электрометра уменьшаются, когда пластина на- находится вблизи электрометра, и вновь Рис- 45- восстанавливаются при удалении пла- пластины. Если бы вместо диэлектрика мы приближали к электрометру проводник, то мы наблюдали бы подобное же явление. Но мы знаем, что на проводнике возника- При поднесении незаряженного диэлектри- диэлектрика показания электрометра уменьшаются
78 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V ют индукционные заряды, которые и изменяют электрическое поле Отсюда можно заключить, что на диэлектрике в электри- электрическом поле также возникают заряды, на ближайшей к телу ча- части диэлектрика появляются заряды, разноименные с зарядом влияющего тела, а на удаленной ча- части диэлектрика — одноименные за- заряды (рис 45) Появление зарядов на диэлектри- диэлектриках ведет к возникновению сил, действующих на диэлектрики, даже если они первоначально были неза- незаряженными Подвесим на тонкой ни- нити стеклянную или парафиновую па- палочку (рис 46) и приблизим к ней Рис 46 Диэлектрическая па- заряженный шар Палочка начнет лочка в электрическом поле поворачиваться и установится сво- поворачивается и устанавли- ^ J „ вается вдоль линий напряжен- еи осью ВДОЛЬ линии напряженно- ности поля сти п°ля, т е таким образом, что ее ось окажется направленной к центру шара Это свидетельствует опять о том, что на ближайшей к ша- шару части палочки появляются заряды, разноименные с зарядом шара, а на удаленной части — одноименные Подобные силы можно наблюдать и в таком опыте Укрепим неподвижно две изолированные металлические пластины плос- плоского конденсатора Подвесим на одном конце коромысла весов стеклянную пластину, поместив ее между обклад- обкладками конденсатора без соприкоснове- соприкосновения с ними так, чтобы она заполняла только часть пространства конденса- конденсатора, и уравновесим весы Создадим теперь между обкладками конденса- конденсатора электрическое поле, соединив их с источником напряжения в несколь- несколько тысяч вольт Мы увидим, что стек- стеклянная пластина начнет втягиваться в электрическое поле, и равновесие весов нарушится Причину появления сил, действующих на стеклянную пласти- пластину, разъясняет рис 47 На стеклянной пластине в электрическом поле появ- появляются заряды В области неоднород- неоднородного поля (вблизи краев обкладок) на- напряженность поля конденсатора Е имеет составляющую Ej, параллельную обкладкам а и б, и поэтому на стеклянную плас- пластину действуют силы F, втягивающие ее внутрь конденсатора Рис 47 Пластина диэлек- диэлектрика втягивается в элек- электрическое поле
§38 ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ 79 Рассмотрим в заключение еще один поучительный опыт Соединим по- последовательно плоский конденсатор, источник напряжения Б и чувстви- чувствительный гальванометр (рис 48) Если изо- изоляция конденсатора достаточно хороша, то гальванометр не покажет никакого тоха Бы- Быстро вдвинем теперь в конденсатор стеклян- стеклянную пластину Мы заметим, что при вдвигании диэлектрика гальванометр показывает кратко- кратковременный ток, который исчезает, как только пластина перестает перемещаться При выдви- выдвигании пластины в цепи появляется ток обрат- обратного направления Возникновение тока в этом опыте опять свидетельствует о появлении зарядов на диэлек- диэлектрике Эти заряды частично компенсируют действие зарядов на обкладках Чтобы напря- напряжение между обкладками осталось неизмен- неизменным (конденсатор подключен к источнику), на пластины должны перейти с источника дополнительные заряды, равные зарядам на диэлектрике, и поэтому в цепи возникает ток При выдвигании диэлектрика эти дополни- дополнительные заряды уходят снова в источник и в цепи появляется ток обратного направления Рис 48 При вдвигании диэлектрической пласти- пластины в конденсатор в цепи возникает электрический ток Приведенные опыты показывают, что на первоначально неза- незаряженных диэлектриках в электрическом поле возникают элек- электрические заряды На диэлектрике появляются электрические полюсы, отчего и самое явление получило название поляризации диэлектриков Заряды, возникающие на диэлектриках в электри- электрическом поле, мы будем называть поляризационными зарядами Явление поляризации диэлектриков имеет сходство с индук- индукцией в проводниках Однако между обоими явлениями имеется и важное различие Разъединяя в электрическом поле проводник на части, можно отделить друг от друга индукционные заряды, и поэтому после исчезновения поля разъединенные части про- проводника остаются заряженными Разъединяя же в электриче- электрическом поле диэлектрики, мы найдем, что после устранения поля каждая часть диэлектрика остается по-прежнему незаряженной Отделить друг от друга поляризационные заряды невозможно Это различие объясняется тем, что в металлах отрицатель- отрицательный заряд существует в подвижном состоянии в виде электронов проводимости, которые могут перемещаться на значительные расстояния Поэтому индукционные заряды в металлах можно отделить друг от друга В диэлектриках же заряды обоих зна- знаков связаны друг с другом и могут только смещаться на малые расстояния в пределах одной молекулы Неполяризованный диэлектрик (в отсутствие электрического поля) можно схематически изобразить в виде собрания молекул,
80 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V в каждой из которых равные положительные и отрицательные заряды распределены равномерно по всему объему молекулы (рис. 49 а). При поляризации диэлектрика заряды в каждой мо- ооооо ооооо ооооо о э э о о о о о о о э о 8fiS$$S888&5&§&b 6/ ', Рис. 49. Модель непсшяризованного (а) и поляризованного (б) диэлектрика лекуле смещаются в противоположные стороны, и на одном кон- конце молекулы появляется положительный заряд, а на другом — отрицательный (рис. 49 <з). При этом каждая молекула превра- превращается в электрический диполь. Смещение зарядов внутри молекул будет проявляться как возникновение некоторых зарядов на диэлектрике. Действи- Действительно, неполяризованный диэлек- диэлектрик можно представить как два тождественных объема, совпада- совпадающих друг с другом, каждый из которых равномерно заполнен по- положительным или отрицательным зарядом (рис. 50 а). Поляризацию диэлектрика можно рассматривать как смещение этих объемов на ма- малое расстояние в противоположные Рис 50 Поляризация диэлек- стороны (рис. 50 6). При этом вну- трика как смещение зарядов: ТРИ Диэлектрика по-прежнему коли- а - неполяризованный, б - по- чество положительного заряда будет ляризованный диэлектрик равно количеству отрицательного, но на одном из концов диэлектрика возникнет тонкий слой с некомпенсированным положительным зарядом, а на другом появится некомпенсированный отрица- отрицательный заряд, т.е. возникнут поляризационные заряды. § 39. Поляризованность 1) При поляризации диэлектрика каждая его молекула превра- превращается в электрический диполь и, следовательно, приобретает определенный электрический момент (§ 15), равный х) Прежнее наименование этой физической величины — вектор поляри- поляризации {Примеч. ред.)
§ 39 ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ 81 При этом, как и прежде, вектор смещения 1 считается направ- направленным от отрицательного заряда к положительному. Для количественной характеристики поляризации диэлек- диэлектрика служит специальная физическая величина, называемая поляризованностъю. Поляризованностью диэлектрика называ- называют электрический момент единицы объема диэлектрика. Он равен векторной сумме электрических моментов всех молекул, заключенных в единице объема: Р = -Х)Р»- C9Д) Если диэлектрик однороден и смещение зарядов 1 одинаково во всех точках, то и вектор Р будет одинаков по всему диэлек- диэлектрику. Такую поляризацию называют однородной. Зная поляризованность Р, можно определить поляризаци- поляризационные заряды, и наоборот. Будем считать поляризацию однородной и рассмотрим в электрическом поле кусок диэлектрика в виде на- (-• *-\ Р„ клонной призмы с основанием S и ребром L, параллельным вектору Рис 51 К определению поля- Р (рис. 51). На одном из оснований ризованности Р призмы появятся отрицательные поляризационные заряды с поверхностной плотностью —а', а на другом — положительные заряды с плотностью +<т', и призма приобретет электрический момент р = a'SL. Если а — угол между направлением нормали к основанию приз- призмы и вектором Р, то объем призмы т равен т = SL cos a, и поэтому а'т COS Q ' Но, с другой стороны, эту же величину можно выразить через электрический момент единицы объема: р = Рт. Сравнивая оба последних равенства, мы находим соотношение c/ = Pcosa = Pn. C9.2) В этой формуле Рп обозначает проекцию вектора Р на направ- направление внешней нормали к рассматриваемой поверхности. Для правой грани призмы на рис. 51 угол а острый (cos a > 0) и а' положительно. Для левой грани угол а тупой (cos a < 0) и а' отрицательно.
82 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V Полученный результат показывает, что поверхностная плот- плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляю- составляющей поляризованности в данной точке поверхности. Он также означает, что электрический заряд, прошедший через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению смещения заря- зарядов, равен модулю поляризованности. Если вектор Р различен в разных точках (неоднородная по- поляризация), то в диэлектрике могут возникнуть еще объемные заряды. Объемные поляризационные заряды можно найти следующим образом. Рассмотрим внутри поляризованного диэлектрика бесконечно малый па- параллелепипед с ребрами dx, dy и dz, параллельными прямоугольным осям координат X,Y и Z Пусть, далее, поляризо- ванность имеет в точке (x,y,z), где находит- находится одна из вершин параллелепипеда, состав- составляющие по осям Рх, Ру, Pz (рис 52). Тогда, согласно C9 2), положительный заряд, выхо- выходящий из параллелепипеда через заштрихо- заштрихованную грань, равен dydz. Положительный заряд, входящий в паралле- Рис 52 К определению лепипед через другую параллельную грань, объемных поляризационных есть зарядов Pxdydz Поэтому приращение положительного заряда равно где dr — dx dy dz — объем параллелепипеда Рассматривая подобным обра- образом две другие пары граней, перпендикулярные к осям Y и Z, мы найдем, что полный положительный заряд, вошедший внутрь параллелепипеда при поляризации, дается выражением (эрх дру дРЛ \ ах ду dz ) С другой стороны, тот же заряд равен р dr, где р — объемная плотность искомых поляризационных зарядов Поэтому -Р = дРх дх ду дРг dz C9.3) Если поляризация однородна, то Р = const и C9 3) дает р = 0. Заме- Заметим, что в некоторых случаях и при неоднородной поляризации выражение C9.3) также может обращаться в нуль (ср. § 44)
§40 НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 83 § 40. Напряженность электрического поля внутри диэлектрика В гл. II мы определили напряженность электрического поля в вакууме как силу, действующую на единичный положительный пробный заряд. При переходе к диэлектрикам это определение требует дополнительного уточнения. Представим себе, что размеры пробного заряда малы по сравнению с расстояниями между молекулами диэлектрика. То- Тогда мы найдем, что электрическое поле внутри диэлектрика весьма различно в разных точках и достигает особенно больших значений вблизи заряженных концов молекул — диполей. Эти изменения поля происходят лишь в микроскопических масшта- масштабах и недоступны непосредственному наблюдению. Определен- Определенное подобным образом поле носит название микроскопического поля (Ем). Однако во всех реальных опытах мы имеем дело с телами (или частями этих тел), размеры которых велики по сравне- сравнению с межатомными расстояниями. В таких случаях нас инте- интересует усредненное по объему значение микроскопического поля Ем, т.е. макроскопическое поле. Это среднее значение напря- напряженности электрического поля и называют напряженностью электрического поля внутри диэлектрика. Таким образом, по определению ! fMdr. D0.1) Отметим, что объем т в этой формуле должен быть велик микроскопически, те в нем должно содержаться большое число молекул. Однако он должен быть достаточно мал макроскопи- макроскопически, т.е на протяжении его размеров макроскопическое значе- значение поля должно оставаться практически неизменным. Подоб- йые малые объемы, удовлетворяющие обоим этим требованиям, называются физически бесконечно малыми (в отличие от мате- математически бесконечно малых). Совершенно аналогично потенциалом внутри диэлектрика называют макроскопический потенциал, т.е. среднее его значе- значение по некоторому физически малому объему. Макроскопиче- Макроскопические значения поля Е и потенциала U связаны теми же соотно- соотношениями, что и в вакууме. В случае плоского конденсатора мы имеем Е = U/a, D0.2) где U — разность потенциалов между обкладками, а — расстоя- расстояние между ними. Рассмотрим плоский конденсатор (однородное поле), цели- целиком заполненный однородным диэлектриком. Напряженность
84 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. V поля Е внутри диэлектрика есть сумма двух полей: поля созданного зарядами на металлических обкладках, и поля Е', вызванного поляризованным диэлектриком (рис. 53). Поле Eq равно ст/ео, гДе <? — поверхностная " Ёо ~^ - плотность заряда на металлических с обкладках. Действие же поляри- поляризованного диэлектрика можно вы- выразить через поляризационные за- заряды (§ 39), возникающие на его поверхности. Поэтому Е' = —cf'/cq, где а' — поверхностная плотность поляризационных зарядов. Следо- Следовательно, Е = (а- а')/е0. Напряженность поля диэлектрика совпадает с Е- Рис. 53. Напряженность элек- электрического поля Е внутри ди- диэлектрика есть разность меж- между полем Ео зарядов обкладок и полем Е' поляризационных зарядов внутри напря- напряженностью поля в вакууме, когда поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна (ст — а'). Эту разность между зарядом обкладок и поляризаци- поляризационным зарядом часто называют свободным зарядом. В связи со сказанным выше необходимо особо отметить, что сила, действующая на макроскопическое тело с зарядом q, по- погруженное в диэлектрик, в общем случае уже не равна qE, как это имело место в вакууме. Действительно, рассмотрим сначала твердый диэлектрик. Чтобы внести в него заряженное тело, мы должны сделать в нем полость. Но на ее поверхности будут возникать поляриза- поляризационные заряды, и поэтому сила, действующая на тело, будет зависеть от формы полости. В случае жидких и газообразных диэлектриков это также справедливо, так как при внесении заряженного тела мы вы- вытесняем телом часть среды и создаем в нем тоже «полость», совпадающую по форме с заряженным телом. Однако в случае жидкостей и газов на тело будет действовать еще дополнитель- дополнительная механическая сила, вызванная деформацией диэлектрика в электрическом поле (электрострикция, см. § 45). Тем не менее напряженность поля внутри диэлектрика мож- можно определить и с помощью силы, действующей на пробный за- заряд. Для этого представим себе узкую длинную щель, прорезан- прорезанную внутри диэлектрика параллельно направлению смещения зарядов (рис. 54), и будем считать, что пробный заряд не каса- касается стенок полости. Поляризационные заряды будут возникать только на торцах полости, и если ее диаметр мал по сравне- сравнению с длиной, то и поле, создаваемое этими зарядами, будет
§41 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 85 +c Рис. 54. К определению на- напряженности электрическо- электрического поля внутри диэлектрика пренебрежимо мало. Поэтому внутри полости будет напряжен- напряженность поля, создаваемая только свободными зарядами (а — а') у внешней поверхности диэлектрика, а это, как мы видели, и есть напряжен- напряженность поля внутри диэлектрика. На- Напряженность поля внутри диэлектри- диэлектрика равна напряженности поля внутри узкой полости, вырезанной в диэлек- диэлектрике параллельно направлению сме- смещения зарядов. Она равна силе, дей- действующей на заряд +1 внутри этой полости. Для практического определения напряженности поля внутри диэлек- диэлектрика достаточно измерить напряже- напряжение между обкладками конденсатора. Тогда для плоского конденсатора напряженность поля можно найти по формуле D0.2), а для конденсаторов другой формы — по соответствующим формулам, полученным нами ранее для ва- вакуума. § 41. Электрическое смещение в диэлектрике Рассмотрим теперь границу двух однородных и однородно поляризованных диэлектриков 1 и 2 (рис. 55). В каждом из диэлектриков вблизи поверхности раздела появятся поляриза- поляризационные заряды с плотностями а[ и а2, которые будут иметь противоположные знаки. Грани- Граница раздела окажется заряженной с поверхностной плотностью за- ¦ ' ряда а1 — о2, отчего появится до- , полнительное электрическое поле '' (а[ — а'2)/2е$) перпендикулярное к границе раздела и направ- направленное в каждом из диэлектри- диэлектриков в противоположные стороны Рис. 55. Поляризационные заря- (рис. 55). ды на границе двух диэлектриков иоозначим напряженность и создаваемое ими электрическое полного поля в каждом из ди- диполе электриков через Ei и ~Е2 и разложим каждое из этих полей на две составляющие: касательную к границе раздела (Ец и Et2) и нормальную к границе (Еп\ и Еп2). Нормаль будем считать направленной от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Так как электрическое поле зарядов поверхности раздела перпен- перпендикулярно к этой поверхности, то касательные составляющие
86 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V поля не изменятся и их значение в обоих диэлектриках будет одинаково: Еп = Et2. D1.1) Напротив, нормальные составляющие поля будут различны; их разность равна ЕП2 - ЕпХ = {а[ - а'2)/е0 = {Рщ - Рп2)/ео, где Рп\ и РП2 — нормальные составляющие поляризованности в каждом из диэлектриков. Но, согласно § 13, нормальная состав- составляющая напряженности поля есть поток линий напряженности через единицу поверхности. Поэтому число линий напряженно- напряженности, проходящих через единицу поверхности раздела, в диэлек- диэлектриках 1 и 2 не равно друг другу, а значит часть линий преры- прерывается на границе раздела Если на поверхности раздела кроме поляризационных заря- зарядов имеется заряд с поверхностной плотностью а, то вместо пре- предыдущего соотношения имеем ЕП2 - Еп1 = {Рп1 - Рп2)/е0 + ст/е0. В § 13 мы ввели электрическое смещение в вакууме ?оЕ. Обобщим теперь это понятие на случай произвольного диэлек- диэлектрика и определим электрическое смещение в диэлектрике как D=?0E + P. D1.2) Тогда из сказанного выше следует, что Аг2 - Ai = сг- В случае заряженной поверхности раздела нормальная состав- составляющая электрического смещения испытывает скачок, равный а. Если вместо диэлектрика 1 имеется металл, то Dnl = 0 и Dn = a, D1.3) где индекс 2 у Dn опущен. Нормальная составляющая электри- электрического смещения в диэлектрике у поверхности металла в отсут- отсутствие тока равна поверхностной плотности заряда металла. Этот результат мы уже получили в § 13 для поверхности металла в вакууме. Для незаряженных диэлектриков (о = 0) нормальные к гра- границе раздела составляющие электрического смещения непре- непрерывны: Аи = Dn2. D1.4) Так как Dn\ равно числу линий смещения, пересекающих единицу поверхности раздела в диэлектрике 1, a Dn2 — числу линий смещения для той же площадки в диэлектрике 2, то из D1.4) следует, что линии электрического смещения не преры- прерываются на границе раздела диэлектриков. Поэтому для описа- описания электрического поля в неоднородных диэлектриках гораз- гораздо удобнее пользоваться электрическим смещением D вместо
§41 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 87 напряженности поля Е, и в этом заключается основной смысл введения электрического смещения. Легко показать, что линии электрического смещения остаются непре- непрерывными и при неоднородной поляризации, когда в диэлектрике возникают объемные поляризационные заряды Действительно, согласно C9 3), объем- объемная плотность зарядов в диэлектрике равна , (дРХ ЭРу р - - \~дх~ + ~ду~ Поэтому по теореме Остроградского-Таусса дР ?о (дЕх дЕу дЕЛ _ (дР^ \ дх + ду + dz ) - \ дх или А)+ ? эр {e0Ez+Pz) = i Но полученный результат показывает, что поток вектора D = еоЕ + Р че- через замкнутую поверхность равен нулю, а это значит, что линии смещения нигде не возникают и не обрываются внутри диэлектрика Рассмотрим опять плоский конденсатор, заполненный одно- однородным диэлектриком (рис 53) Тогда, согласно § 40, напряжен- напряженность поля внутри диэлектрика равна Следовательно, D = е0Е + Р = ?0Е0, D1.5) т.е. в случае однородного диэлектрика электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением в ва- вакууме, создаваемым одними зарядами обкладок конденсатора. Если q — заряд обкладок конденсатора, S — площадь каждой обкладки, то D = а = q/S. D1.6) Из этой формулы вытекает практи- практический способ измерения D. Чтобы из- измерить электрическое смещение внутри диэлектрика, достаточно измерить за- заряд на обкладках, ограничивающих ди- диэлектрик. Определение электрического смеще- смещения можно представить и в другой фор- форме. Рассмотрим в однородном диэлек- диэлектрике узкую длинную щель, вырезанную перпендикулярно к на- направлению смещения зарядов (рис. 56). Тогда, согласно формуле D1.4), электрическое смещение внутри щели будет такое же, как и внутри диэлектрика. Поэтому электрическое смещение вну- внутри диэлектрика равно электрическому смещению внутри узкой Рис 56 К определению электрического смещения внутри диэлектрика
ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. V длинной полости, вырезанной в диэлектрике перпендикулярно к направлению смещения зарядов. Сила, действующая на заряд +1 в этой полости, равна D/ § 42. Изотропные и анизотропные диэлектрики Если измерять электрическое смещение в стеклянных пла- пластинках, вырезанных различным образом из массивного куска, то при одинаковом значении поля Е электрическое смещение во всех пластинках оказывается одинаковым. Согласно D1.2) это значит, что и поляризованность Р одна и та же во всех пластин- пластинках, а следовательно, поляризация не зависит от направления поля. Такие диэлектрики называются изотропными. В изотроп- изотропных диэлектриках смещение зарядов происходит в направлении электрического поля, и поэтому векторы Е и Р параллельны. Для многих кристаллов это, однако, не имеет места. Если исследовать электрическое смещение в пластинках, вырезанных различным образом из таких кристаллов, то D при одном и том же поле Е будет различно. Это показывает, что диэлектрические свойства зависят от направления поля относительно осей кри- кристалла. Подобные диэлектрики называются анизотропными. В анизотропных диэлектриках направления Е и Р, вообще говоря, не совпадают, и поэтому направления Е и D также различны. Опыт показывает, что в широком интервале изменения электрического поля поляризованность можно считать пропор- пропорциональной напряженности поля Е в данной точке. Поэтому для изотропного диэлектрика можно написать P = Q?oE, D2.1) где а — скалярная величина, получившая название диэлектри- диэлектрической восприимчивости данного вещества. В эту формулу мы вводим ?о, чтобы а было безразмерным. Подставляя D2.1) в D1.2), получаем D = ееоЕ, D2.2) где через е обозначено: ? = 1 + а. D2.3) Легко видеть, что определяемая таким образом величина е есть диэлектрическая проницаемость вещества (относительная), которую мы уже ввели в § 31, рассматривая зависимость емко- емкости конденсатора от свойств диэлектрика. Действительно, поло- положим для определенности, что при заполнении конденсатора ди- диэлектриком конденсатор остается присоединенным к источнику напряжения. Это значит, что напряжение между обкладками, а следовательно, и напряженность поля в конденсаторе не изменя- изменяются. Тогда из формулы D2.2) следует, что электрическое сме-
§ 43 ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛИНИЙ СМЕЩЕНИЯ И НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ 89 щение внутри конденсатора увеличивается в е раз. Но, согласно формуле D1.6), это значит, что во столько же раз увеличится и заряд обкладок, а следовательно, и емкость конденсатора В анизотропных средах (кристаллах) линейная зависимость D от Е имеет вид Dv = SyxSoEx + EyyEo-Ej, 4- EyZEQEz, D2.4) Dz = EzxEqEx + EzyEoEy + SzzEoEz, или, в сокращенной записи, Ог-'^ЕгкЕйЕк, i,k = x,y,z. D2.5) к Девять величин ?гк образуют компоненты тензора диэлектрической прони- проницаемости 2-го ранга. Этот тензор симметричен: etk = ?ь, а поэтому имеется только шесть независимых компонент. Из математики известно, что для всякого симметричного тензора 2-го ранга можно выбрать такие оси координат (главные оси тензора), что- чтобы недиагональные компоненты со смешанными индексами обратились в нуль. В этом случае остаются только три независимых значения тензора: ?xx=?i, e»»=?2, ?zz=E3, называемые главными диэлектрическими проница- емостями кристалла. Если ?\ = ег = ?з, то направления D и Е совпадают и кристалл ведет себя как изотропная среда. В очень сильных электрических полях соотношения D2.4) нарушаются и связи между Р и Е и соответственно D и Е становятся нелинейными. Такие поля существуют в излучении так называемых оптических кванто- квантовых генераторов, или лазеров. Нелинейная зависимость D от Е существенна для явлений нелинейной оптики. Линейная зависимость D от Е нарушается также в сравнительно слабых электрических полях в веществах с большой поляризуемостью, например в сегнетоэлектриках (§ 50). § 43. Преломление линий смещения и напряженности поля Соотношения D1.1) и D1.4) выполняются всегда на границе раздела двух сред и представляют собой граничные условия для электрического поля. Из них сле- следует, что направления линий сме- Dn щения и напряженности поля изме- изменяются при переходе через границу раздела. Пусть Dnx и Оц — составляю- составляющие электрического смещения Di по нормали к поверхности раздела и ! вдоль нее в диэлектрике 1 (рис. 57), а Dn2 и Dt2 — составляющие смеще- смещения D2 в диэлектрике 2. Обозначим рис. 57. Преломление линий через Q2 угол между вектором D2 в смещения на границе двух ди- Диэлектрике 2 и нормалью к грани- электриков
90 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V це раздела, а через а.\ — соответствующий угол для вектора Di в диэлектрике 1. Из рис 57 видно, что tg «1 = Da /Dni, tg q2 = Dt2 /Dn2 Ho Dn\ — Dn2, и поэтому tga2/tgai = Dt2jDn. Далее, из D2.2) и граничного условия D1.1) имеем Dt2 = e2e0Et2, Dn = eie0Etl, Etx = Et2. Отсюда получаем окончательно tgQ2/tgQl =tijt\. D3.1) Эта формула выражает закон преломления линий смещения Она показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектри- диэлектрической проницаемостью е, линии смещения удаляются от нор- нормали Закон преломления линий напряженности поля в изотроп- изотропных диэлектриках, очевидно, такой же, как и закон преломления линий смещения, поскольку в каждом из диэлектриков на- направления D и Е совпадают. Однако картины линий смещения и линий напря- напряженности будут все же раз- различны. Различие заключает- заключается в том, что линии смещения непрерывны, в то время как часть линий напряженности Рис 58 Линии смещения (а) и линии прерывается на границе раз- напряженности (б) в пластине диэлек- дела (§ 41) На рис 58 по- тРика казаны в качестве примера линии смещения и линии напряженности в диэлектрической пластинке При этом предполагается, что длина и ширина пластинки очень велики, так что искажения поля, вносимые краями пла- пластинки, не сказываются в рассматриваемой части пластинки В соответствии с D2 2) густота линий напряженности внутри пла- пластинки меньше, чем вне пластинки Отметим еще, что линии смещения внутри пластинки вследствие преломления сгущают- сгущаются, что указывает на увеличение смещения D в пластинке § 44. Законы электрического поля в диэлектриках Основным законом в электростатике является закон Кулона Поэтому прежде всего рассмотрим, как изменится этот закон Пусть в однородном изотропном диэлектрике с диэлектриче- диэлектрической проницаемостью е находится точечный заряд +q, который
§44 ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 91 мы будем представлять себе в виде равномерно заряженного ша- шара (рис 59) Вычислим напряженность поля на расстоянии г от центра шара На границе диэлектрика, прилегающей к шару, по- появится отрицательный поляризационный заряд с поверхностной плотностью —а', которая, согласно сказанному в § 42, равна о' — аеоЕ(а) = (е - 1)еоЕ(а). Здесь Е(а) — напряженность поля в диэлектрике на расстоянии а от цен- центра шара, а — радиус шара. Поэтому полный поляризационный заряд ра- равен v-~———*- ' q1 = 4тга2сг' = 4тга2?0(? - 1)Е(а). Рис 59 К определению на- Из симметрии задачи ясно, что ли- пряженности поля точечного нии напряженности могут быть толь- заРяДа в диэлектрике ко радиальными прямыми, густота которых обратно пропорцио- пропорциональна квадрату расстояния от заряда, а значит, Е{а)/Е(г) = г2/а2. Поэтому д' = 4тгг2?о(? - 1)Е(г) Напряженность поля в точке г равна напряженности поля, создаваемого свободным зарядом (q — q') в вакууме Следова- Следовательно, тп/ \ 1 Q - </ 1 ^ ( ч-ч J~Jy' ' 4тгео г2 4тг?о Выражая отсюда Е(г), находим Е(г) = i - (е - 1)Е(г). _q_ =ЁШ D41) 4тгео? г2 ? v ' где через Ео(г) обозначена напряженность поля, создаваемая точечным зарядом в вакууме Полученная формула выражает закон Кулона для диэлек- диэлектриков. Она показывает, что напряженность поля точечного за- заряда в однородном диэлектрике уменьшается в е раз по срав- сравнению с его значением в вакууме Мы видим, что физическая причина этого заключается в появлении поляризационных за- зарядов в диэлектрике, уменьшающих электрическое поле. Однако если бы мы, желая получить силу взаимодействия двух точечных зарядов, разделили выражение B 1) на ?, то мы получили бы в общем случае неверный результат, так как сила может зависеть от формы полости, где находится пробный заряд (ср. § 40)
92 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V При выводе формулы D4 1) мы считали, что объемных поляризаци- поляризационных зарядов нет Легко убедиться, что в случае радиального поля это действительно так Мы имеем Р = D Так как линии смещения непрерывны всегда, то в силу сферической сим- симметрии задачи D(r) = D(a)a2/r2, D = D(a)a2r/r3 Поэтому, вычисляя по формуле C9 3) объемную плотность поляризацион- поляризационных зарядов р , имеем дРх ?-1 2 д х е-1 2г3-Ъгх2 =D(a)a = D(a)a g , дх ду dpz dz Р ~ ? ? е-1 В дРх дх ^">" дх \а)а Г)(п\2Г 'J{a)a дРу ду гз г6 т дРг dz В 1 = 0 Из D4.1) следует, что потенциал (относительно бесконечно- бесконечности), создаваемый точечным зарядом в диэлектрике, есть D4.2) Обратимся теперь к теореме Остроградского-Гаусса (§ 13). Из формул D2 2) и D4.1) следует, что электрическое смещение, создаваемое точечным зарядом в диэлектри- диэлектрике, есть D = д/Dтгг2). Оно такое же, как и в отсутствие ди- диэлектрика в вакууме. Поэтому теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков имеет тот же вид A3.5), что и для вакуу- вакуума, где q обозначает фактические заряды тел без учета поляризационных зарядов диэлектрика. Отсюда, в частности, следует, что при за- Конденса- полнении любого конденсатора (отключенно- (отключенного от источника) однородным диэлектриком электрическое смещение D не меняется. На- Напряженность же поля Е = D/eo? в любой точке поля уменьшится в е раз. Однако нужно иметь в виду, что поле уменьшается в е раз только в том случае, когда диэлектрик заполняет все пространство конденсатора. Если это условие не выполнено, то напряженность поля может быть как меньше, так Рис 60 тор с неоднородным диэлектриком
J» 45 МЕХАНИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ НАЛИЧИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ 93 и больше его значения в вакууме Eq. Так, например, в случае, изображенном на рис 60, напряженность поля в точке б меньше fio, но в точках а и в — больше Eq § 45. Механические силы при наличии диэлектриков Опыты, описанные в § 38, показывают, что на диэлектрики в электрическом поле действуют механические силы Они возни- возникают и в том случае, если диэлектрик в целом не заряжен. Объяснение происхождения этих сил мы уже дали выше. Они возникают потому, что на диэлектриках в электрическом поле появляются поляризационные заряды (как поверхностные, так и объемные), и поэтому на каждый элемент поверхности и объема диэлектрика действует определенная сила. Если тело находится не в вакууме, а в какой-либо другой среде, то поляризация будет происходить и в окружающей сре- среде, и поэтому силы, действующие на тело, будут зависеть как от поляризационных зарядов тела, так и от поляризационных зарядов окружающей среды. Хорошей иллюстрацией сказанному служит опыт, изобра- изображенный на рис 61. Подвесим на нити парафиновый шарик а и поместим его вблизи изолированно- изолированного металлического шарика б Когда оба шарика находятся в воздухе, то при заряжении металлического шари- шарика парафиновый шарик притягивается к нему. Если же погрузить оба шарика в ацетон, у которого диэлектрическая проницаемость больше, чем у парафи- парафина, то парафиновый шарик отталкива- отталкивается от металлического шарика Объяснение этого опыта заключа- заключается в следующем. На поверхности ша- Рис 61 Парафиновый ша- шарика появляются поляризационные за- заряды с некоторой поверхностной плот- плотностью а[, а на границе среды, при- прилегающей к шарику, — поляризацион- поляризационные заряды противоположного знака с другой плотностью ст2, поэтому сила, действующая на поверх- поверхность шарика, зависит от результирующего заряда а[ — <т'2 Если диэлектрическая проницаемость среды ?2 < ?i, то ст2 < ®'\- Если ?2 > ?i, то <72 > <7], результирующий заряд изменяет знак, и поэтому сила притяжения переходит в силу отталкивания. Сила, действующая на тело в диэлектрике, зависит, однако, не только от свободных зарядов, находящихся на теле. Вслед- рик а притягивается к за- заряженному металлическому шарику б в воздухе, но от- отталкивается от него в аце- ацетоне
94 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V ствие поляризации на каждый элемент объема диэлектрика дей- действуют силы, и поэтому диэлектрики в электрическом поле де- деформируются. Это явление носит название электрострикции. Вследствие электрострикции внутри диэлектрика возникают ме- механические силы. Поэтому непосредственное вычисление полной механической силы, действующей на какое-либо тело в диэлек- диэлектрике, как правило, сложно. Однако во многих случаях механи- механические силы можно просто вычислить без детального разбора их происхождения, с помощью закона сохранения энергии. К этому вопросу мы вернемся в § 72. § 46. Электронная теория поляризации диэлектриков Мы уже говорили, что причина поляризации диэлектриков заключается в том, что атомы и молекулы всех тел содержат элементарные заряженные частицы. В электрическом поле про- происходит смещение этих частиц, и поэтому возникает электриче- электрический момент. Однако в различных диэлектриках эти смещения имеют разный характер. Молекулы многих веществ построены из незаряженных ато- атомов. Примером может служить молекула водорода (рис. 62 а). Подобные молекулы названы неполяр- неполярными. Молекулы многих других ве- веществ, напротив, содержат атомы в заря- заряженном состоянии, т.е. ионы (полярные молекулы). Полярной является молеку- молекула воды, которая содержит отрицатель- отрицательный ион кислорода и два положитель- положительных иона водорода (рис. 62 6). Неполярную молекулу в отсутствие электрического поля в грубом (но доста- достаточном для наших целей) приближении можно представить в виде двух рав- Рис. 62. Грубые модели н°мерно заряженных сфер, центры ко- неполярной молекулы во- ТОРЫХ совпадают. Так как поле равно- дорода (а) и полярной мо- мерно заряженной сферы во внешнем лекулы воды {б) пространстве равно полю точечного за- заряда той же величины, помещенного в центре сферы, то очевидно, что электрический момент такой молекулы равен нулю. В электрическом поле оба заряда смеща- смещаются в противоположные стороны, и поэтому молекула будет вызывать электрическое поле, совпадающее (вне молекулы) с полем диполя, у которого каждый из точечных зарядов равен заряду соответствующей сферы, а расстояние между зарядами равно смещению центров сфер (рис. 63).
§46 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ 95 Смещение зарядов в молекуле при не очень сильных полях можно положить пропорциональным напряженности электри- электрического поля. Поэтому дипольный мо- момент молекулы р можно считать пропор- пропорциональным напряженности поля: р = /0?ОЕ', D6.1) где Е' — напряженность поля, действую- действующего на молекулу. Это поле отличается от среднего поля Е внутри диэлектрика (подробнее см. § 47), поэтому мы и ввели для него специальное обозначение. Ко- Коэффициент пропорциональности /?, на- Рис- 63. Схема электрон- зываемый поляризуемостью молекулы, ной поляризации зависит от строения молекулы. Описанный тип поляризации на- называют электронной поляризацией смещения. Рассмотрим теперь диэлектрик с полярными молекулами. В этом случае каждая молекула имеет определенный дипольный момент ро уже в отсутствие поля. Однако, вследствие теплового движения, в отсутствие поля молекулы расположены совершен- совершенно хаотично (рис. 64 а), и поэтому векторная сумма всех момен- моментов диполей в среднем близка к нулю. При наложении внешнего электрического поля на каждый диполь действуют силы, стре- стремящиеся ориентировать его параллельно электрическому полю. Поэтому возникает частичное упо- упорядочение в расположении диполей (рис. 64 6), тем большее, чем сильнее внешнее поле и чем ниже температу- температура. В этом случае сумма всех диполь- ных моментов молекулы уже не равна нулю, и диэлектрик приобретает элек- электрический момент. Такой тип поляри- поляризации называют ориентационной или диполъной поляризацией. В твердых диэлектриках мы нахо- находим еще один тип смещения зарядов, приводящий к поляризации. Кристал- Кристаллические решетки многих веществ по- построены из положительных и отрица- отрицательных ионов. Примером может слу- служить кристалл хлористого цезия. Элементарная ячейка его ре- решетки представляет собой центрированный куб (рис. 65), в вершинах которого находятся положительные ионы Cs+, а в центре — отрицательные ионы С1~. Рассматривая все ионы Cs+ и все ионы С1~ порознь, мы находим, что они образуют две про- простые кубические решетки, сдвинутые по отношению друг к дру- Рис. 64. Схема дипольной поляризации
96 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. V гу в направлении диагонали куба на расстояние половины диа- диагонали. В электрическом поле на каждую из простых решеток дей- действуют различные по модулю и направлению силы и решет- решетки смещаются по отношению друг к другу. Вследствие этого в некоторых кристаллах может возникнуть элек- электрический момент. Этот тип поляри- поляризации называют поляризацией ион- ионного смещения или просто ионной поляризацией. Рассмотренные типы поляриза- поляризации могут сочетаться друг с другом. Так, например, в полярных жидких и газообразных диэлектриках молеку- молекулы могут не только ориентироваться под действием поля, но и деформиро- деформироваться, и поэтому в них может проис- происходить одновременно электронная и дипольная поляризации. Рис. 65. Элементарная ячей- ячейка кристалла хлористого це- цезия CsCl § 47. Диэлектрическая проницаемость неполярных диэлектриков Исходя из представлений, изложенных в предыдущем па- параграфе, можно вычислить диэлектрическую проницаемость и связать ее с атомарными постоянными диэлектрика. Рассмо- Рассмотрим сначала неполярные диэлектрики. Пусть диэлектрик находится в электрическом поле, и будем считать сначала, что поле Е', действующее на молекулу, сов- совпадает со средним полем Е внутри диэлектрика. Тогда каждая молекула диэлектрика имеет дипольный момент р, выражаемый формулой D6.1), где Е' = Е. Если п — число молекул в единице объема диэлектрика, то электрический момент единицы объема (поляризованность) равен Р = п/ЗеоЕ, а для смещения D, согласно D1.2), имеем D = ?0Е + Р = ?0ЕA + пр). Так как, с другой стороны, D = ??оЕ, то отсюда е=1 + п/3. D7.1) Полученное соотношение связывает диэлектрическую проница- проницаемость ? с концентрацией п молекул внутри диэлектрика и по- поляризуемостью молекул /3.
§ 47 ПРОНИЦАЕМОСТЬ НЕПОЛЯРНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ 97 Формула D7.1) весьма приближенна. При выводе ее мы счи- считали, что электрическое поле Е\ вызывающее смещение заря- зарядов в молекуле, равно среднему электрическому полю Е. Это, однако, неверно. При вычислении поляризации молекулы нас интересует не среднее поле, а поле в точке, где находится дан- данная молекула. Среднее поле Е учитывает действие всех зарядов, т.е. зарядов на обкладках конденсатора и зарядов всех молекул, включая и рассматриваем)'Ю. Поле же Е' выражает действие всех зарядов при исключении рассматриваемой молекулы. Хотя заряды одной молекулы и малы по сравнению с зарядами мно- множества других молекул диэлектрика, но эти заряды находятся в непосредственной близости от рассматриваемой точки и по- поэтому их исключение приводит к поправке конечной величины. Различие полей Е и Е' не существенно только в газах, для ко- которых е близко к единице. Чтобы получить выражение для диэлектрической проница- проницаемости плотных диэлектриков, нужно определить напряжен- напряженность поля Е', действующего на молекулу (внутреннее поле). Это является, вообще говоря, сложной задачей, так как внутрен- внутреннее поле существенно зависит от структуры диэлектрика. Внутреннее поле можно просто вычислить только для кри- кристаллов с кубической решеткой. Для них Е' = Е + Р/3?0, D7.2) где Р — поляризованность кристалла. Эту формулу можно при- приближенно применять и к неполярным жидкостям и газам, в ко- которых расположение молекул хаотично. Пользуясь формулой D7.2), можно вычислить электронную поляризованность плотных диэлектриков. Электрический мо- момент единицы объема в этом случае будет равен р = пр = прео{Е + Р/Зе0). Поэтому для смещения D получаем D = е0Е + Р = = е0Е + п/3 \eqE + i (D - e0E)j = e0E + 1 nj3(D + 2e0E). Так как D = ssqE, to отсюда следует ( 5 + 2 3 [i'-6) (формула Клаузиуса-Моссотти). Соотношение D7.3) показывает, что для неполярных диэлек- диэлектриков величина (е — 1)/(е + 2) прямо пропорциональна концен- концентрации молекул, а следовательно, плотности данного диэлектри- диэлектрика. Этот результат хорошо оправдывается на опыте, например для газов в широком интервале изменения давлений. Кроме то- того, из D7.3) видно, что при неизменной концентрации молекул
98 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V (плотности) диэлектрическая проницаемость не зависит от тем- температуры, так как поляризуемость молекул /3 зависит лишь от их строения, но не от температуры. Этот результат также хо- хорошо подтверждается на опыте, который показывает, что при нагревании или охлаждении неполярных диэлектриков при по- постоянном объеме их диэлектрическая проницаемость не изменя- изменяется. Формулу D7.3) часто пишут в несколько ином виде. Концен- Концентрацию молекул п можно выразить через молярную массу ве- вещества [I, его плотность d и постоянную Авогадро iV, а именно п — Nd/fi. Подставляя это в D7.3), имеем ? = ТГ21 = const Величину, стоящую в левой части, называют молярной поляри- зованностъю данного вещества. Она зависит только от поля- поляризуемости молекул j3, т.е. от рода вещества, но не зависит от температуры и давления, и, следовательно, остается постоянной для данного вещества при изменении его состояния. Измеряя на опыте е при данном d, можно определить молярную поляризо- ванность и по формуле D7.3а) найти поляризуемость молекул. § 48. Диэлектрическая проницаемость полярных диэлектриков Рассмотрим теперь, от чего зависит диэлектрическая прони- проницаемость газообразных полярных диэлектриков и как именно. Сначала будем считать, что молекулы недеформируемы, т.е. не будем учитывать электронную поляризацию. Электрический момент единицы объема такого диэлектрика есть где рЕг — проекция электрического момента какой-либо г-й моле- молекулы на направление внешнего поля, а т — объем диэлектрика. Но, по определению среднего значения, г где п — число молекул в единице объема, а Ре — среднее зна- значение проекции дипольного момента молекул на направление поля. Поэтому вычисление поляризованности сводится к опре- определению Ре- Расчет, согласно законам статистической физики, дает (см. Добавление 2) ё
§ 49 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИПОЛЬНЫХ МОМЕНТОВ МОЛЕКУЛ 99 Здесь ро — постоянный дипольный момент одной молекулы, к = = 1,38 • 10~23 Дж/К — постоянная Больцмана, Т — термодина- термодинамическая температура диэлектрика, Е' — напряженность поля, действующего на диполь. При выводе D8.1) предположено, что поле Б' не очень велико и вызывает только слабую упорядочен- упорядоченность в расположении диполей. Отметим, что результат, выраженный формулой D8.1), каче- качественно понятен и без расчетов: чем больше поле Е', тем сильнее ориентация диполей, тем больше будет и проекция дипольного момента на направление поля; напротив, чем выше температу- температура, тем сильнее дезориентирующее влияние теплового движе- движения, тем меньше и проекция дипольного момента. Сравнивая D8.1) с D6.1), мы видим, что при дипольной поляризации вели- величина рп/ЗеокТ играет ту же роль, что и поляризуемость моле- молекулы р в неполярных диэлектриках. Подставляя эту величину в D7.3), получим (е - 1I {е + 2) = р20п/(9еокТ). D8.2) Диэлектрическая проницаемость полярных диэлектриков зави- зависит от температуры и уменьшается при нагревании. Отметим еще раз, что последняя формула, так же как и формула D7.3), справедлива лишь тогда, когда внутреннее поле можно представить в виде D7.2). В жидкостях с полярными мо- молекулами, в отличие от неполярных жидкостей, формула D7.2) для внутреннего поля, по-видимому, оправдывается плохо. Положение упрощается для газообразных диэлектриков. Вследствие слабой их поляризуемости в них можно считать вну- внутреннее поле Е' равным среднему полю Е. Это значит, что в левой части формулы D8.2) нужно положить е + 2 « 3. Если в газообразном диэлектрике молекулы обладают в от- отсутствие поля постоянным дипольным моментом и, кроме того, могут деформироваться в электрическом поле, то диэлектриче- диэлектрическая проницаемость газа равна ? = 1 + n[/3 + p§/Ce0fcT)]. D8.3) Здесь второе слагаемое описывает электронную поляризацию смещения, а третье — дипольную (ориентационную) поляриза- поляризацию. § 49. Определение дипольных моментов молекул Рассмотренная выше теория поляризации диэлектриков, принадлежащая в основном Дебаю и Ланжевену, приводит к зависимости диэлектрической проницаемости от температуры, показанной на рис. 66. По оси ординат отложено значение мо- молярной поляризованности, а по оси абсцисс — величина, обрат-
100 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V ная термодинамической температуре. Для чисто неполярных диэлектриков (ро = 0) молярная поляризованность не зависит от температуры и изображается прямой 1, параллельной оси 1/Т. Для чисто полярных диэлектриков / = 0) эта зависимость, согласно 48.2), выражается прямой 2, прохо- проходящей через начало координат. Если молекулы имеют и постоянный диполь- ный момент ро, и заметно деформиру- деформируются (/3^0), то наблюдаются оба типа поляризации и рассматриваемая зави- зависимость изображается прямой 3, полу- получаемой сложением прямых 1 и 2. Исследуя на опыте температурную зависимость диэлектрической прони- проницаемости е, можно определить, какой тип поляризации имеет место в данном диэлектрике, и выделить электронную поляризацию смещения и ориентационную (дипольную) поляризацию. А отсюда можно найти по формулам D7.3) и D8.2) поляризуемость молекулы ft или соответственно ее дипольный момент щ. Значения диполь- ных моментов молекул, полученные таким образом для некото- некоторых веществ, приведены в табл. 2. Таблица 2 Рис. 66. Теоретическая за- зависимость молярной поля- ризованности от темпера- температуры Вещество Водород, азот, кислород Четыреххлористый углерод Хлористый водород Бромистый » Окись углерода Этиловый эфир Вода Химическая формула H2,N2,O2 СС14 НС1 НВг СО (CaHsbO Н2О Дипольный момент ро, 1(Г30 Клм 0 0 3,4 2,6 0,40 3,8 6,2 Зная дипольный момент, можно оценить размеры молекул. Простейший случай представляет молекула из двух ионов, для которой ро — Ф {я — заряд ионов, I — расстояние между их центрами). Так, например, для молекулы НС1 q равно заряду электрона е = 1,60 • 10~19 Кл, так как известно, что водород содержит всего один электрон. Поэтому для расстояния между центрами ионов мы находим I = C,4 • 10~30) : A,60 ¦ 10~19) ~ рз 2 • 101 м = 0,2 ¦ 10~8 см, что по порядку величины хорошо совпадает с размером молекул, определяемым из данных химии и молекулярной физики.
§50 СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ 101 Рис. 67. Кристалл сегне- товой соли § 50. Сегнетоэлектрики Некоторые химические соединения в твердом состоянии име- имеют весьма необычные и интересные диэлектрические свойства. Первоначально эти свойства были обнаружены в кристаллах сегнетовой соли, и поэтому все подобные диэлектрики получили название сегнетоэлектриков. Деталь- Детальное исследование диэлектрических свойств сегнетовой соли было впер- впервые произведено в 1930-1934 гг. И.В. Курчатовым и П.П. Кобеко, которы- которыми были установлены все основные свойства сегнетоэлектриков. Сегнетова соль представляет собой двойную натрий-калиевую соль винной кислоты NaKGjKUOe • 4НгО. Ее кри- кристаллы принадлежат к ромбической си- системе и обычно имеют вид, показанный на рис. 67, где а, Ь, с — кристаллографи- кристаллографические оси. Кристаллы сегнетовой соли обнаруживают резкую анизотропию свойств. Сегнетоэлектриче- ские свойства, описываемые ниже, наблюдаются, если электри- электрическое поле конденсатора направлено вдоль кристаллографиче- кристаллографической оси а (рис. 67). Первая особенность сегнетовой соли заключается в том, что в некотором температурном интервале ее диэлектрическая про- проницаемость весьма велика и достигает огромного значения: око- около 10 000. Второе важное свойство сегнетовой соли обнаруживается при исследовании зависимости электрического смещения от на- напряженности поля. Смещение оказывается не пропорциональ- пропорциональным полю, а значит, диэлектрическая проницаемость зависит от напряжен- напряженности поля. Эта зависимость для раз- разных сегнетоэлектриков различна. Третья особенность состоит в том, что значение электрического смещения в сегнетовой соли опре- определяется не только значением на- напряженности поля, но зависит еще от предшествовавших состояний по- поляризации. Это явление называется диэлектрическим гистерезисом (ср. § 110). Зависимость смещения D от А Рис. 68. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлектри- ках напряженности поля Е имеет вид, изображенный на рис. 68. При первоначальном увеличении поля нарастание смещения
102 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V описывается ветвью кривой J, которая не линейна. Если затем уменьшать электрическое поле (напряжение на конденсаторе), то уменьшение смещения будет происходить в соответствии с ветвью 2. Когда поле становится равным нулю, смещение не равно нулю и изображается отрезком D\. Это показывает, что в сегнетовой соли имеется остаточная поляризация и сегнето- ва соль остается поляризованной даже в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы уничтожить остаточную поляриза- поляризацию, нужно создать электрическое поле Е\ обратного направле- направления. При дальнейшем циклическом изменении электрического поля изменение смещения описывается изображенной петлеоб- петлеобразной кривой — петлей гистерезиса. Эти свойства присущи не только сегнетовой соли, но и всем сегнетоэлектрикам. Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от темпера- температуры. При температурах, превышающих определенное значе- значение Tki различное для разных веществ, сегнетоэлектрические свойства исчезают и сегнетоэлектрик превращается в обычный диэлектрик. Эта температура называется температурой Кюри или точкой Кюри в честь Кюри, который впервые обнаружил существование подобной критической температуры при иссле- исследовании магнитных свойств железа и сходных с ним веществ (ферромагнетиков). В некоторых случаях, как, например, для сегнетовой соли, существуют две температуры Кюри (+24 °С и —18 °С) и сегнетоэлектрические свойства наблюдаются только при температурах, лежащих между обеими точками. Наличие одной или нескольких точек Кюри является четвертым харак- характерным свойством всех сегнетоэлектриков. Помимо сегнетовой соли сегнетоэлектрическими свойствами обладают и другие соединения, например КН2РО4 (фосфат ка- калия) и KH2AsO4- Практически важным сегнетоэлектриком яв- является титанат бария ВаТЮз- Его точка Кюри лежит около 120 °С, а диэлектрическая проницаемость достигает в макси- максимуме 6000-7000. Сегнетоэлектрики имеют важные практические применения Приготовляя сложные диэлектрики на основе сегнетоэлектри- сегнетоэлектриков и добавляя к ним различные примеси, можно получить кон- конденсаторы большой емкости при малых размерах и придать им высокие качества Причиной сегнетоэлектрических свойств является самопро- самопроизвольная поляризация сегнетоэлектриков, возникающая в них под действием особенно сильного взаимодействия между части- частицами. Под влиянием этого взаимодействия сегнетоэлектрик под- подразделяется на отдельные области — области самопроизвольной (спонтанной) поляризации, или диэлектрические домены, в ко-
§50 СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ 103 торых возникает большой электрический момент даже в отсут- отсутствие внешнего электрического поля Спонтанная поляризация в обычных условиях, однако, не проявляется. Если указанные области малы, то поляризован- ность направлена в разных областях раз- различно и результирую- результирующее значение электри- электрического момента всего сегнетоэлектрика близ- близко к нулю (рис 69 а). Такое расположение соответствует мини- минимуму энергии, так как в противном случае вокруг гегнетоэлектри- ка возникло бы элек- Е Рис. 69. Области самопроизвольной поляри- поляризации в сегнетоэлектриках и направление век- вектора поляризованное™ в них (схематически) а) сегнетоэлекгрик в целом неполяризован, б) сегнеюэлектрик поляризован трическое поле, кото- которое содержало бы в себе дополнительную энергию. Если области спонтанной поляризации велики или если даже весь кристалл представляет собой одну такую область, то поляризация обыч- обычно все же не проявляется, так как на поверхности кристалла возникают поверхностные заряды (вследствие осаждения ионов из воздуха или за счет электропроводности кристалла), ком- компенсирующие поляризационные заряды кристалла Поэтому в обоих случаях могут наблюдаться только изменения электри- электрического момента сегнетоэлектрика, возникающие по каким-либо причинам. Во внешнем электрическом поле происходит изменение на- направления поляризованности в отдельных областях Это измене- изменение таково, что векторы поляризованности приближаются к по- положению, параллельному направлению поля, и тем ближе, чем сильнее поле (рис. 69 6). Кроме того, границы между отдель- отдельными областями могут смещаться таким образом, чтобы объем энергетически более выгодных областей увеличивался за счет объема энергетически менее выгодных. Поэтому электрический момент всего сегнетоэлектрика изменяется и это изменение вос- воспринимается как его поляризация Наличие областей спонтанной поляризации является наибо- наиболее общим и точным признаком сегнетоэлектриков Кристаллы, в которых возникает спонтанная поляризация без внешнего Электрического поля, образуют более широкую группу, нежели сегнетоэлек- трики Они получили название пир о электриков Помимо упомянутой выше причины, спонтанная поляризация может возникнуть вследствие особенно-
104 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V стей структуры кристалла. Так, расположение положительных и отрица- отрицательных ионов в элементарной ячейке кристалла может быть таким, что их электрический дипольный момент не равен нулю. Тогда и кристалл в це- целом приобретает электрический момент, т.е. оказывается поляризованным. Поляризованность при этом направлена вдоль некоторой, характерной для данного кристалла, оси. Для возникновения спонтанной поляризации та- такого рода необходимо, чтобы у кристалла было выделенное направление и притом единственное. Поэтому спонтанная поляризация имеет место только у кристаллов определенных кристаллографических классов. В отличие от сегнетоэлектриков, рассматриваемая спонтанная поляризация практически не изменяется внешним электрическим полем. Вследствие компенсации поляризационных зарядов из-за проводимо- проводимости кристалла, а также в результате оседания ионов из воздуха, постоян- постоянная спонтанная поляризация не наблюдается Однако она проявляется при нагревании кристалла Вследствие теплового расширения изменяется рас- расположение ионов в элементарной ячейке, а следовательно, изменяются ее дипольный момент и поляризованность кристалла Это изменение и прояв- проявляется как возникновение поляризационных зарядов на гранях кристалла. Электризация при нагревании кристаллов получила название пироэлектри- пироэлектрического эффекта. Отсюда произошло и название веществ, в которых на- наблюдается это явление Классическим примером пироэлектрика являются кристаллы турмалина. Из 32 кристаллографических классов симметрии только 10 являются пироэлектрическими. Таким образом, сегнетоэлектрики представляют собой частный случай пироэлектриков, в которых спонтанную поляризацию можно обратимо из- изменять электрическим полем. По аналогии со свойствами ферромагнитных материалов (§ 112) сегнетозлектрики можно назвать «мягкими» пироэлек- триками. По этой же аналогии их часто называют ферроэлектриками. § 51. Пьезоэлектрический эффект До сих пор мы рассматривали поляризацию диэлектриков, вызванную внешним электрическим полем. В некоторых кри- кристаллах поляризация может возникнуть и без внешнего поля, если кристалл подвергается механическим деформациям. Это явление, открытое в 1880 г. Пьером и Жаком Кюри, получи- получило название пьезоэлектрического эффекта. Чтобы обнаружить пьезоэлектрические заряды, на грани кристаллической пластинки накладывают металлические об- обкладки. При разомкнутых обкладках между ними при дефор- деформации появляется разность потенциалов. При замкнутых об- обкладках на них образуются индуцированные заряды, равные по модулю поляризационным зарядам, но противоположные им по знаку, и в цепи, соединяющей обкладки, в процессе деформации возникает ток. Рассмотрим основные особенности пьезоэлектрического эф- эффекта на примере кварца. Кристаллы кварца ЭЮг существуют в различных кристаллографических модификациях. Интересую-
§51 ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 105 щие нас кристаллы (а-кварц) принадлежат к так называемой тригональной кристаллографической системе и обычно имеют форму, показанную на рис. 70. Они напоминают шестигранную призму, ограниченную двумя пирамидами, однако имеют еще ряд дополни- дополнительных граней. Такие кристаллы характеризуются четырьмя кристал- кристаллическими осями, определяющими важные направления внутри кри- кристалла. Одна из этих осей — Z соеди- соединяет вершины пирамид. Три другие Х\, Х2, Х$ перпендикулярны к оси Z и соединяют противолежащие реб- ребра шестигранной призмы. Направле- Направление, определяемое осью Z, пьезоэлек- пьезоэлектрически неактивно: при сжатии или растяжении по этому направлению никакой поляризации не происходит. Напротив, при сжатии или растяже- Рис. 70. Кристалл кварца нии в любом направлении, перпендикулярном к оси Z, возни- возникает электрическая поляризация. Ось Z называется оптичес- оптической осью кристалла, а оси Х\, Х^1 Хз — электрическими или пьезо- пьезоэлектрическими осями. Рассмотрим пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно к од- одной из пьезоэлектрических осей X. Ось, перпендикулярную к Z и X, обозначим через Y (рис. 71). То- Тогда оказывается, что при растяже- растяжении пластинки вдоль оси X на пер- перпендикулярных к ней гранях А В CD и EFGH появляются разноименные Рис 71. Кварцевая пластин- поляризационные заряды. Такой пье- ка, вырезанная перпендику- зоэлектрический эффект называется лярно к пьезоэлектрической продольныж Если изменить знак де- деформации, т.е. перейти от растяже- растяжения к сжатию, то и знаки поляризационных зарядов изменятся на обратные. Возникновение поляризационных зарядов определенных знаков при данном типе деформации (растяжение или соответственно сжатие) показы- показывает, что концы осей X неравноправны, и осям X можно приписать опреде- определенные направления (что отмечено на рис 70 стрелками) Это значит, что при данной деформации знак заряда зависит от того, направлена ли ось X по внешней нормали к грани или по внутренней. Такие оси с неравноправ-
106 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V ными концами получили название полярных осей. В отличие от полярных осей Xi, Х-г, Хз, концы оси Z совершенно равноправны и она является неполярной осью. Неравноправность концов полярной оси проявляется, конечно, не толь- только в пьезоэлектрическом эффекте, но и в других явлениях. Так, например, скорость химического травления граней, расположенных у разных концов полярной оси, оказывается различной и получающиеся при этом фигуры травления отличаются друг от друга. Наряду с продольным пьезоэлектрическим эффектом суще- существует также поперечный пьезоэлектрический эффект. Он за- заключается в том, что при сжатии или растяжении вдоль оси Y возникает поляризация вдоль оси X и на тех же гранях ABCD и EFGH появляются поляризационные заряды. При этом ока- оказывается, что знаки зарядов на каждой грани при сжатии вдоль Y (в поперечном эффекте) такие же, как при растяжении вдоль X (в продольном эффекте). Пьезоэлектрический эффект объясняется следующим обра- образом. В § 46 мы уже говорили, что в ионных кристаллах вслед- вследствие несовпадения центров положительных и отрицательных ионов имеется электрический момент и в отсутствие внешнего электрического поля. Однако эта поляризация обычно не прояв- проявляется, так как она компенсируется зарядами на поверхности. При деформации кристалла положительные и отрицательные ионы решетки смещаются друг относительно друга, и поэтому, вообще говоря, изменяется электрический момент кристалла. Это изменение электрического момента и проявляется в пьезо- пьезоэлектрическом эффекте. Рис. 72. К объяснению пьезоэлектрического эффекта Рисунок 72 качественно поясняет возникновение пьезоэлек- пьезоэлектрического эффекта в кварце. Здесь схематически показаны проекции положительных ионов Si (заштрихованные кружки) и отрицательных ионов О (светлые кружки) в плоскости, перпен- перпендикулярной к оптической оси Z. Этот рисунок не соответствует
§ 51 ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 107 фактической конфигурации ионов в элементарной ячейке квар- кварца, в которой ионы не лежат в одной плоскости, а их число боль- больше показанного. Он, однако, правильно передает симметрию взаимного расположения ионов, что уже достаточно для каче- качественного объяснения. Рисунок 72 а соответствует недеформи- рованному кристаллу. На грани Л, перпендикулярной к оси Х\, имеются выступающие положительные заряды, а на параллель- параллельной ей грани В — выступающие отрицательные заряды. При сжатии вдоль оси Х\ (рис. 72 б) элементарная ячейка деформи- деформируется. При этом положительный ион 1 и отрицательный ион 2 «вдавливаются» внутрь ячейки, отчего выступающие заряды (положительный на плоскости А и отрицательный на плоскости В) уменьшаются, что эквивалентно появлению отрицательного заряда на плоскости А и положительного заряда на плоскости В. При растяжении вдоль оси Х\ имеет место обратное (рис. 72 е): ионы J и 2 «выталкиваются» из ячейки. Поэтому на грани А возникает дополнительный положительный заряд, а на грани В — отрицательный заряд. Анализ симметрии в теории твердого тела в согласии с опы- опытом показывает, что пьезоэлектрический эффект может суще- существовать только в таких кристаллах, в которых элементарная ячейка не имеет центра симметрии. Так, например, элементар- элементарная ячейка кристаллов CsCl (рис. 65) имеет центр симметрии и эти кристаллы не обнаруживают пьезоэлектрических свойств. Расположение же ионов в ячейке кварца таково, что в нем центр симметрии отсутствует, и поэтому в нем возможен пьезоэлектри- пьезоэлектрический эффект. Из 32 кристаллографических классов симметрии 21 класс не имеет цен- центра симметрии, однако один из них пьезоэлектрически неактивен и пьезо- электриками являются кристаллы 20 классов. Отметим, что для существования пироэлектрических свойств (§ 50) то- тоже необходимо отсутствие центра симметрии, но одного этого условия еще недостаточно. Поэтому пироэлектричество, как уже отмечалось, наблюда- наблюдается только у 10 кристаллографических классов, которые относятся к чис- числу 20 пьезоэлектрических. Следовательно, все пироэлектрики (включая и сегнетоэлектрики) являются и пьезоэлектриками, но не каждый пьезоэлек- трик обладает пироэлектрическими свойствами. Поляризованность Р в широком интервале изменения пропорциональна механическим деформациям. Так, при растяжении вдоль оси X в продоль- продольном эффекте где d — толщина пластинки, a Ad — ее изменение при деформации. При растяжении вдоль оси У при поперечном эффекте где I — длина пластинки (см. рис 71) Величина /3 называется пьезоэлек-
108 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V трическим коэффициентом. Знак /? может быть как положительным, так и отрицательным. Так как относительная деформация безразмерна, то ве- величина /3 измеряется в тех же единицах, что и Р, т.е. кулон на квадрат- квадратный метр (Кл/м2). Поверхностная плотность пьезоэлектрических зарядов на гранях, перпендикулярных к оси X, равна <г' — Рх- Пьезоэлектрический эффект возникает не только при деформации од- одностороннего растяжения, но и при деформации сдвига. В общем случае де- деформация характеризуется симметричным тензором деформации 2-го ран- ранга. Если смещения точки среды с координатами х, у, z вдоль координатных осей X,Y и Z есть и, и и го, то компоненты тензора деформации, по опре- определению, равны du dv dw 1 (dw dv\ UXx ~ C > ^УУ == "o~> Uzz ~ ~7i } Wyz = UZy = ~ I -7т + 77— I , ox ay oz 2 \dy ozj 1 (ди dw\ 1 (dv du Компоненты с одинаковыми индексами дают линейные растяжения вдоль координатных осей, а компоненты со смешанными индексами описывают деформации сдвига. В общем случае каждая составляющая поляризован- ности Рх, Ру и Рг есть линейная функция всех компонент тензора дефор- деформации. В кристаллофизике вместо тензорных соотношений часто употребля- употребляют более простую, так называемую матричную форму записи. Для этого вводят сокращенные обозначения: tin = mi, Uyy = иг, uzz = из, 2uzy — 2uyz = Ui, 2uzx = 2uxz = U5, 2uxy = 2uyx = tie- Тогда общее выражение для поляризованности принимает вид Рх = fillUl + /?12 + /?13 + /9l4«M + /?I5U5 + /?16И6, Ру = #21 + /?22 + /З23М3 + /З24И4 + /?25 + /326"e, E1-1) Рг = folUl + /З32М2 Таким образом, в общем случае пьезоэлектрический эффект описыва- описывается матрицей из 18 пьезоэлектрических коэффициентов /?п, ..., /Зге- Одна- Однако все эти коэффициенты отличны от нуля только для кристаллов наиме- наименее симметричной триклинной системы. С повышением степени симметрии кристалла увеличивается число коэффициентов, обращающихся в нуль, а отличные от нуля коэффициенты оказываются связанными друг с другом. Поэтому число независимых пьезоэлектрических коэффициентов уменьша- уменьшается и тем сильнее, чем выше симметрия кристалла. Так, например, для кварца /3i2 = -/9u, 025 = -Ры, /326 = -/?ii, E1.2) а остальные коэффициенты равны нулю. Таким образом, остается лишь пять коэффициентов, из которых независимы только два. За них принима- принимают ^и и /?i4 При выборе координатных осей так, как показано на рис 70, эти коэффициенты равны ?и = +5,2 • 104 СГСЭ = +0,18 Кл/м2, /Зн = +1,2 104 СГСЭ = +0,040 Кл/м2.
§ 51 ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 109 Следовательно, пьезоэлектрический эффект в кварце описывается уравне- уравнениями Рх — /3llUl - /3uU2 + /3uli4, Ру = -Рииъ- gillie, E1.3) Pz=0. Вследствие возникновения поляризации при деформации изменяется и электрическое смещение D внутри кристалла. В этом случае в общем опре- определении смещения D1.2) под Р нужно понимать сумму Ре + Р«, где Ре обусловлено электрическим полем, аР, — деформацией: D = e0E + PB + P«. E1.4) Здесь поляризованность Ри в общем случае определяется соотношениями E1.1). Если поляризованность в электрическом поле Ре не зависит от на- направления Е, то можно ввести скалярную диэлектрическую проницаемость е (§ 42) и написать еоЕ + Ре = ееоЕ. Тогда D = ??OE + PU. E1.5) Оценим теперь порядок величины пьезоэлектрического эффекта на примере кварца. Для этого рассмотрим пластинку, вырезанную перпенди- перпендикулярно к электрической оси X (си. рис. 71), и положим, что она подвер- подвергается одностороннему растяжению вдоль этой оси. Пусть растягивающее напряжение равно si = 105 Па. Возникающая деформация равна и\ = si/C, где С — модуль упругости (модуль Юн- Юнга), зависящий от направления растяжения и от того, закреплены боковые грани пластинки или свободны (зависит от граничных условий при дефор- деформации). Будем считать боковые грани пластинки свободными. Тогда при растяжении вдоль оси X для кварца С = 7,8 • Ю10 Па. Тогда деформация равна Ad si Ю5 , , 1П-в U 13 10 Возникающая вследствие этой деформации поляризованность, согласно первому из уравнений E1.3), равна Рх\ = ?п«1 = 0,23 ¦ 10~6 Кл/м2. Найдем теперь напряженность электрического поля, вызываемого этой поляризацией. Ее можно определить из выражения для электрического сме- смещения. У кварца е слабо зависит от направления и можно воспользоваться формулой E1.5). Так как объемная плотность заряда р внутри пластинки равна нулю, то, согласно уравнению Пуассона A4.1), divD = 0, а следовательно, D = = const Это значит, что возникновение в каком-либо сечении пластинки X = const поляризации Р„ будет сопровождаться появлением в том же сечении электрического поля Е противоположного направления и такой ве- величины, чтобы изменения обоих членов в правой части формулы E1 5) компенсировали друг друга. Поэтому найденная выше поляризованность ¦Pxi = j3nui вызовет электрическое поле Bxi = -^ui. E1.6) ??0 Подставляя сюда для кварца е = 4,5 и используя приведенные выше значе- значения /?ц и «1, находим \Е\ = 5900 В/м = 59 В/см. При толщине пластинки, скажем, d = 0,5 см напряжение между обкладками будет U = Ed и 30 В.
110 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ V IF, Как уже говорилось, пьезоэлектрические свойства наблюдаются, кро- кроме кварца, у большого числа других кристаллов. Гораздо сильнее, чем у кварца, они выражены у сегнетовой соли. Сильными пьезоэлектриками яв- являются кристаллы соединений элементов П-й и VI-й групп периодической системы (CdS, CdSe, ZnO), а также многих других химических соедине- соединений. Применяя вместо кварца более сильные пьезоэлектрики и используя должным образом выбранные типы деформаций, можно получать пьезо- пьезоэлектрические напряжения, измеряемые многими тысячами вольт. § 52. Обратный пьезоэлектрический эффект Наряду с пьезоэлектрическим эффектом существует и обрат- обратное ему явление: в пьезоэлектрических кристаллах возникнове- возникновение поляризации сопровождается механическими деформация- деформациями. Поэтому, если на металлические обкладки, укрепленные на кристалле, подать электрическое напряжение, то кристалл под действием поля поляризу- поляризуется и деформируется. Легко видеть, что необходимость су- существования обратного пьезоэффекта следует из закона сохранения энергии и факта существования прямого эф- эффекта. Рассмотрим пьезоэлектрическую пластинку (рис. 73) и предположим, что мы сжимаем ее внешними силами F. Ес- Если бы пьезоэффекта не было, то работа внешних сил равнялась бы потенциаль- потенциальной энергии упруго деформированной пластинки. При наличии пьезоэффекта на пластинке появляют- появляются заряды и возникает электрическое поле, которое заключает в себе дополнительную энергию. По закону сохранения энергии отсюда следует, что при сжатии пьезоэлектрической пластинки совершается большая работа, а значит, в ней возникают допол- дополнительные силы Fi, противодействующие сжатию. Это и есть силы обратного пьезоэффекта. Из приведенных рассуждений вытекает связь между знака- знаками обоих эффектов. Если в обоих случаях знаки зарядов на гранях одинаковы, то знаки деформаций различны. Если при сжатии пластинки на гранях появляются заряды, указанные на рис. 73, то при создании такой же поляризации внешним полем пластинка будет растягиваться. Обратный пьезоэлектрический эффект имеет внешнее сход- сходство с электрострикцией (§ 45). Однако оба эти явления раз- различны. Пьезоэффект линейно зависит от электрического поля и при изменении направления последнего на противоположное Рис. 73. Связь прямого и обратного пьезоэлектри- пьезоэлектрических эффектов
§52 ОБРАТНЫЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 111 изменяет знак. Электрострикция же пропорциональна и элек- электрическому полю и поляризации, производимой этим же полем, т.е. пропорциональна квадрату напряженности электрического поля и поэтому не зависит от направления поля. Пьезоэффект наблюдается только в кристаллах, и притом только некоторых кристаллографических классов, не обладающих центром сим- симметрии. Электрострикция же имеет место во всех диэлектри- диэлектриках — твердых, жидких и газообразных. Будем характеризовать обратный пьезоэлектрический эффект механи- механическими напряжениями, соответствующими возникающим деформациям. Как известно из механики, упругие напряжения в твердом теле описывают- описываются симметричным тензором 2-го ранга, имеющим шесть независимых ком- компонент: Sxx, Syy, Szz, &yz — Szy, Szx — Sxzi Sxy — Syx. Каждая из этих компонент выражает некоторую силу, действующую на единичную площадку внутри твердого тела. Первый индекс указывает на- направление внешней нормали к площадке, а второй дает координатную ось, вдоль которой рассматривается составляющая силы, действующей на пло- площадку. Как и в случае упругих деформаций (§ 51), в кристаллофизике обыч- обычно используют упрощенную запись, обозначая: Sxx = S\, Syy = «2, Szz = S3, Szy — Syz ~~ S4, Szx "-" Sxz *— 55, Sxy = Syx — S(j. Во избежание недоразумений в дальнейшем, необходимо условиться о знаке напряжений. Мы будем понимать под st внутренние напряжения в кристал- кристалле. Сжимающие напряжения будем считать положительными, а растя- растягивающие — отрицательными. Опыт показывает, что в широком интервале изменения напряжений, компоненты тензора напряжений линейно зависят от составляющих напря- напряженности электрического поля Ех, Еу и Ez. Поэтому общие уравнения, описывающие линейный обратный пьезоэлектрический эффект, можно за- записать в виде — «2 = y s3=j3i3Ex + pKEy+fr3Ez, —Si = j3nEx + &i\Ey + PzaEz, -s5 = где восемнадцать величин /Зп, ..., /Зге есть те же самые пьезоэлектрические Коэффициенты, которые входят в уравнения E1.1) для прямого пьезоэлек- пьезоэлектрического эффекта. Как уже говорилось в § 51, часть пьезоэлектрических коэффициентов может быть равна нулю, и их число тем больше, чем выше симметрия кри- кристалла. Возвращаясь опять к а-кварцу, мы находим в нем только пять от- отличных от нуля коэффициентов, между которыми имеются соотношения E1.2). Поэтому уравнения, описывающие обратный пьезоэффект в кварце,
112 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. V имеют вид si = -рпЕх, s2 = +рцЕх, Si = О, S4 = -puEx, s5 = +j3i4Ey, s6 — +fiuEy. Уравнения E2.1) и E2.2) выражают упругие напряжения, вызываемые электрическим полем. Помимо них, в кристалле могут быть еще и напря- напряжения, не связанные с электрическим полем, а обусловленные упругими де- деформациями кристалла. Полная величина упругих напряжений есть сумма обоих этих напряжений. В формулах E1.1) и E2.1) мы выбирали в качестве независимых пере- переменных деформации и, и напряженность электрического поля Е и считали поляризованность Р и упругие напряжения Sk их функциями. Это, конечно, не обязательно, мы могли бы считать независимыми переменными другую пару величин, одна из которых — механическая, а другая — электрическая. Тогда мы получили бы тоже два линейных соотношения между Uj, sj, E и Р, но с другими пьезоэлектрическими коэффициентами. В зависимости от типа рассматриваемых задач удобны различные формы записи основных пьезоэлектрических соотношений. Оценим теперь порядок величины обратного пьезоэффекта, опять на примере кварца. Положим, что пластинка толщины d = 0,5 см выреза- вырезана перпендикулярно к электрической оси X и что к обкладкам пластинки приложено напряжение U = 103 В, вызывающее электрическое поле напря- напряженности Е = Ех — 2 • 105 В/м. Пусть это поле Е > 0, т.е. направлено вдоль электрической оси X. Тогда, учитывая значение /?п (§ 51), из пер- первого уравнения E2.2), находим, что, например, сила в направлении оси X на единицу площади равна s\ = —0,18 • 2 • 105 = —0,36 • 105 Па. Знак ми- минус обозначает, что механическое напряжение s\ соответствует растяжению пластинки вдоль оси X. Нетрудно видеть, что это соответствует соотношению между знаками прямого и обратного эффектов, о котором говорилось выше. Действитель- Действительно, из формулы E1.6) видно, что в прямом пьезоэлектрическом эффекте для создания электрического поля Ех\, направленного вдоль оси X, необ- необходимо ui < 0, т.е. сжатие, пластинки. В обратном же эффекте, как мы видели, при том же самом направлении электрического поля пластинка бу- будет растягиваться. Это растяжение можно найти по формуле и\ = Ad/d — — si/C, где С = 7,8 ¦ 1010 Па есть модуль Юнга для данного направления деформации. Это дает и\ = 0,46 • 10~6. Уравнения пьезоэлектрического эффекта в некоторых специальных случаях можно представить в простой скалярной форме. А именно, во мно- многих кристаллах можно выбрать такое направление (обычно оно совпадает с одной из осей симметрии высокого порядка), чтобы при простой дефор- деформации, скажем одностороннем растяжении и вдоль этой оси, возникающие поляризованность Ри и электрическое поле Е были тоже параллельны (или антипараллельны) этой оси. В этом случае Ри = ри и пьезоэлектрический эффект характеризуется только одним коэффициентом /5. Если при этом Ре и Е тоже коллинеарны, то для электрического смещения вместо фор- формулы E1.5) получаем скалярное соотношение D = ее0Е + ри, E2.3) где е — диэлектрическая проницаемость при постоянной деформации и.
§52 ОБРАТНЫЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 113 Аналогично, для единственной составляющей механического напряже- напряжения имеем а = Си - J3E. E2.4) Здесь, как и раньше, s считается положительным, если оно соответствует сжатию, С — модуль Юнга для данной деформации, взятый при постоян- постоянном поле. Формулы E2.3) и E2.4) широко используются при исследовании распространения упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах. Пьезоэлектрический эффект проявляется и в упругих свойствах кри- кристаллов. Поясним это с помощью простых соотношений E2.3) и E2.4). Для этого рассмотрим пластинку, вырезанную перпендикулярно к соответ- соответствующему направлению, и представим, что она испытывает растяжение и вдоль этого направления. Так как объемных зарядов в кристалле нет, то электрическое смещение при деформации остается постоянным. Поэто- Поэтому, рассуждая так же, как и при получении формулы E1.6), мы найдем из формулы E2.3), что при деформации и возникает электрическое поле с напряженностью Е=--$-и. E2.5) Подставляя это выражение в формулу E2.4), находим для механиче- механического напряжения в пластинке ^\( ^Л E2.6) Напряжение, как и в отсутствие пьезоэлектрического эффекта, пропорци- пропорционально деформации. Однако упругие свойства пластинки теперь характе- характеризуются эффективным модулем упругости С = С который больше С. Увеличение упругой жесткости вызвано появлением до- добавочного напряжения при обратном пьезоэффекте, препятствующего де- деформации. Влияние пьезоэлектрических свойств кристалла на его механи- механические свойства характеризуется величиной ? E2.8) Квадратный корень из этой величины (К) называется константой элек- электромеханической связи. Пользуясь приведенными выше значениями е, С и /3, находим, что для кварца К2 к 0,01. Для всех других известных пье- пьезоэлектрических кристаллов К2 оказывается также малым по сравнению с единицей и не превышает 0,1. Пьезоэлектрический эффект (прямой и обратный) широко применяется для устройства различных электромеханических преобразователей. Для этого иногда используют составные пье- зоэлементы, предназначенные для осуществления деформаций разного типа. На рис. 74 показан двойной пьезоэлемент (составленный из двух пластинок), работающий на сжатие. Пластинки вырезаны из кристалла таким образом, что они одновременно либо сжи- сжимаются, либо растягиваются. Если, наоборот, сжимать или рас- растягивать такой пьезоэлемент внешними силами, то между его
114 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ VI обкладками появляется напряжение. Соединение пластинок в этом пьезоэлементе соответствует параллельному соединению конденсаторов. |E Рис 74. Двойной пьезоэлемент, работающий на сжатие Рис. 75 Двойной пьезоэлемент, работающий на изгиб На рис. 75 показан двойной пьезоэлемент, работающий на изгиб. При появлении напряжения на обкладках одна из пла- пластинок сжимается в поперечном направлении и удлиняется в продольном, а другая — растягивается и укорачивается, отче- отчего и возникает деформация изгиба. Если изгибать такой пье- пьезоэлемент внешними силами, то между его обкладками возни- возникает электрическое напряжение. Соединение пластинок в этом случае соответствует последовательному соединению конденса- конденсаторов. Очевидно, что такой пьезоэлемент не отвечает на сжатия и растяжения: в этом случае в каждой из пластинок возника- возникает электрическое поле, но поля направлены противоположно, и поэтому напряжение между обкладками равно нулю. Электромеханические преобразователи находят многочис- многочисленные применения в разнообразной электроакустической и измерительной аппаратуре. Укажем на пьезоэлектрические микрофон и телефон, пьезоэлектрический адаптер (в электриче- электрических проигрывателях патефонных пластинок), манометры, из- измерители вибраций и др. Особенно важные применения имеют пьезоэлектрические колебания кварца. Если поместить квар- кварцевую пластинку между пластинами конденсатора и создать между пластинами переменное напряжение, то при частоте электрических колебаний, совпадающей с одной из собственных механических частот пластинки, наступает механический резо- резонанс и в пластинке возникают очень сильные механические ко- колебания. Такая кварцевая пластинка является мощным изл}'- чателем волн сверхзвуковой частоты (кварцевые излучатели), используемых в технике, биологии и медицине, а также в мно- многочисленных физических и физико-химических исследованиях. Пьезоэлектрические колебания применяются также для стаби- стабилизации частоты генераторов электрических колебаний в радио- радиотехнике и в других технических устройствах
§53 ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА 115 ГЛАВА VI ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК § 53. Характеристики электрического тока Всякое движение электрических зарядов мы называем элек- электрическим током. В металлах могут свободно перемещаться только электроны. Поэтому электрический ток в металлах есть движение электро- электронов проводимости. В гл. XVIII мы увидим, что в проводящих растворах нет свободных электронов, а подвижными заряжен- заряженными частицами являются ионы. В газах могут существовать в подвижном состоянии и ионы, и электроны (гл. XVI). Направлением тока условились считать направление движе- движения положительных частиц. Поэтому направление тока в метал- металлах противоположно направлению движения электронов. Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, на- названы линиями тока. За направление линий тока принимают направление движения положительных зарядов. Прочерчивая линии тока, мы получаем сразу нагляд- наглядное представление о движении электро- электронов и ионов, образующем ток. Если внутри проводника с током мысленно выделить трубку, у которой боковая поверхность состоит из линий тока, то заряженные частицы при дви- жении не будут пересекать боковую по- Рис 76 т бка тока верхность трубки и не будут ни выхо- выходить из трубки наружу, ни входить извне в трубку. Такая трубка называется трубкой тока (рис. 76). Поверхность металлической проволоки, находящейся в изоляторе, есть одна из трубок тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока. Плотность тока равна заряду, про- проходящему в единицу времени через 1 \///Ш единицу поверхности, перпендикуляр- ) Я ной к линиям тока. Выделим внутри проводника пло- площадку с S = 1, расположенную пер- Рис. 77 К определению пендикулярно к линиям тока, а зна- Илотности тока ЧИТ! и перпендикулярно к направле- направлению скорости v заряженных частиц (рис. 77). Построим на этой площадке прямоугольный парал- параллелепипед с длиной, равной скорости движения частиц v. Тогда Число частиц, которые пройдут через рассматриваемую площад-
116 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI ку в единицу времени, будет равно числу частиц, заключенных внутри параллелепипеда. Если п есть концентрация заряжен- заряженных частиц, то число частиц внутри параллелепипеда равно nv, а заряд, переносимый ими, есть nev, где е — заряд одной части- частицы (например, электрона). Поэтому плотность тока j равна j = nev. E3.1) Так как п и е суть скалярные величины, а скорость — вектор, то можно ввести вектор плотности тока j, определяемый следую- следующим образом: j = nev. E3.1a) Так как скорость v характеризует движение заряженных частиц в данной точке, то и вектор плотности тока j определяет элек- электрический ток в данной точке проводника. Если выделить внутри проводника бесконечно малую пло- площадку dS, перпендикулярную к вектору плотности тока j, то заряд, проходящий через нее за время dt, равен dq — j dS dt. Бели площадка dS не перпендикулярна к j, то в этом выражении вместо j нужно взять составляющую плотности тока jn, перпен- перпендикулярную к dS. Сила тока i в каком-либо проводнике равна заряду, проходя- проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если dq — заряд, прошедший через сечение проводника за время dt, то i = dq/dt. E3.2) Так как заряд dq и время dt суть скаляры, то и сила тока есть скалярная величина. Зная вектор плотности тока j в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока. Из сказанного выше следует, что i= fjndS, E3.3) 5 где интегрирование производится по всей поверхности S любого сечения проводника (рис. 76). Единицей силы тока служит ампер (А). Эта единица явля- является одной из основных единиц системы СИ и определяется в § 83. При токе в 1 А через полное сечение проводника протека- протекает заряд 1 Кл за время 1 с. На практике употребляют и более мелкие единицы: 1 миллиампер (мА) = 10~3 А и 1 микроампер (мкА) = 10~6 А. Единица плотности тока есть ампер на квадратный метр (А/и2).
§54 УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 117 Если плотность тока и сила тока не меняются во времени, то мы говорим, что в проводнике имеется постоянный, или ста- стационарный, ток. Для постоянного тока сила тока одинакова во всех сечениях проводника. Действительно, если бы сила тока для двух каких-либо сечений S и S\ (рис. 76) была различна, то заряд, заключенный между этими сечениями, изменялся бы во времени, так как заряд, входящий через Si, был бы не равен заряду, выходящему через S. Но тогда изменялось бы и элек- электрическое поле внутри проводника и ток не мог бы оставаться постоянным. § 54. Уравнение непрерывности Рассмотрим внутри проводника с током какую-либо замкну- замкнутую поверхность S и будем понимать под jn проекцию вектора плотности тока j на внешнюю нормаль к элементу поверхности dS. Тогда из определения плотности тока следует, что положи- положительный заряд, уходящий в единицу времени через всю поверх- поверхность S наружу, есть § Зп dS, где интегрирование проводится по всей замкнутой поверхности. Вместе с тем, согласно одному из основных законов электриче- электричества, электрические заряды сохраняются: они только перерас- перераспределяются между телами (или различными частями тела), но долная сумма возникающих положительных и отрицательных зарядов равна нулю (ср. § 6). Поэтому если dq/dt есть измене- изменение за единицу времени положительного заряда, заключенного внутри замкнутой поверхности S, то JndS. E4.1) s 5то соотношение называется уравнением непрерывности. Поступая так же, как при преобразовании уравнения Пуас- Сона (§ 14), мы можем записать уравнение E4.1) в дифферен- дифференциальной форме, связывающей токи и заряды в одной и той же Точке среды. Для этого рассмотрим опять бесконечно малый Йараллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям X, Y и Z (см. рис. 18), и воспользуемся соотношением E1.1). Тогда, рассуждая как и в § 14, мы найдем, что правая часть формулы E4.1) равна х ду oz ) Где dr = dx dy dz — объем параллелепипеда. С другой стороны,
118 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI если р есть объемная плотность заряда, то q = р йт и мы полу- получаем уравнение непрерывности в дифференциальной форме: _др _ djx ~dt ~ Ih ду E4.2) Отметим, что мы употребляем здесь символы частных произ- производных, поскольку р и j могут зависеть как от координат, так и от времени. Пользуясь понятием дивергенции вектора (ср. § 14), уравне- уравнение E4.2) можно записать в более компактной форме: — ~- = divj. E4.3) Если токи постоянны, то все электрические величины не за- зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить dpjdt равным нулю. Тогда получается, что поток вектора j че- через любую замкнутую поверхность равен нулю, а, значит, для постоянных токов линии тока непрерывны. § 55. Действия электрического тока Движение электронов и ионов непосредственно невидимо. Однако это движение вызывает различные сопутствующие ему явления, по которым мы и судим о наличии тока и его величине. Магнитное действие тока. Еще в 1820 г. копенгагенский профессор физики Эрстед открыл, что проводник с током вызы- вызывает появление сил, действующих на магнитную стрелку. Если расположить прямую металлическую »-, N проволоку в направлении магнитно- ~ " го меридиана (в направлении север — юг) и поместить под ней магнитную стрелку (рис. 78), то при соединении концов проволоки с электродами гальванического элемента магнитная стрелка отклоняется. Направление отклонения стрелки можно найти при помощи следующего правила: ес- Рис. 78. Магнитное действие ли положить ладонь правой руки на провода с током провод сверху и направить средние пальцы в направлении тока, то ото- отогнутый большой палец укажет направление отклонения север- северного конца стрелки. Помещая магнитную стрелку над проводом, мы найдем, что отклонение стрелки изменилось на обратное. Если заменить металлическую проволоку стеклянной труб- трубкой, наполненной каким-либо проводящим раствором, например раствором серной кислоты в воде, и присоединить проводящий столб раствора при помощи металлических проводников, опу-
§55 ДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА 119 щенных в него, к полюсам батареи, то магнитная стрелка также отклоняется. Отклонение стрелки наблюдается и в том случае, если вместо проволоки использовать газоразрядную трубку (на- (например, неоновую рекламную трубку), питаемую постоянным током. Магнитное действие наблюдается во всех случаях неза- независимо от природы проводника и является самым общим при- признаком тока. Магнитное действие тока используют для измерения силы тока с помощью магнитоэлектрических приборов. Они содержат легкую рамку с проволокой, укрепленную на упругой пружине и помещенную между полюсами магнита. В § 85 мы увидим, что в этом случае на рамку с током действует момент силы М, пропорциональной силе тока: М = аг. E5.1) Коэффициент пропорциональности а зависит от устройства прибора (от числа витков проволоки, силы магнита и т.п.). По- Поэтому по отклонению рамки можно судить о силе тока. Прибо- Приборы, показания которых зависят от силы то- тока, получили общее название гальваномет- ~^Гфг-Уголь. ров. Химическое действие тока. Электри- Электрический ток может выделять в некоторых ЧЧ-CuSO проводниках их составные химические ча- *^"— сти. Химическое действие тока можно наблю- наблюдать в простых опытах. Опустим в водный раствор медного купороса CuSO4 две уголь- Рис 79- Разложение ные пластины (рис. 79) и соединим их с по- током медного купо- люсами батареи гальванических элементов. роса Через несколько минут вынем пластины из раствора. Мы обна- обнаружим, что на пластине, соединенной с отрицательным полю- полюсом батареи, выделился блестящий слой меди, хорошо заметный На черном фоне угля. На второй пластине, соединенной с поло- положительным полюсом батареи, выделяется остаток SO4- Однако, Соприкасаясь с водой, он вступает во вторичную реакцию, не Связанную с наличием тока, по суммарной формуле 2SO4 + 2Н2О = 2H2SO4 + О2; в растворе появляется серная кислота и на пластине выделяется газообразный кислород. В качестве второго примера рассмотрим разложение током водного раствора бромистого калия КВг. В этом случае у поло- положительной пластины выделяется Вг, который хорошо заметен вследствие своей бурой окраски. У отрицательной пластины по-
120 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI является К, который вступает во вторичную реакцию с водой 2К + 2Н2О = 2КОН + Н2, так что у отрицательной пластины выделяется вместо калия во- водород. Явление выделения током химических составных частей про- проводника получило название электролиза (от греческого л и о — разлагаю). Электролиз имеет место не во всех проводниках Проводники, в которых не наблюдается химическое действие тока, называются проводниками 1-го рода К их числу принадле- принадлежат все металлы, уголь и многие химические соединения. Про- Проводники, в которых происходит электролиз, называются провод- проводниками 2-го рода или электролитами. Электролитами являются многие водные растворы кислот и солей и некоторые химические соединения как в жидком, так и в твердом состояниях. Явление электролиза обычно осложняется вторичными реак- реакциями, примеры которых были рассмотрены выше. Вторичные реакции не связаны с наличием тока и не имеют прямого от- отношения к электролизу. Если, однако, отделить первичное дей- действие тока от вторичных реакций, то можно обнаружить простое правило на отрицательном полюсе (катоде) всегда выделяются металлы и водород, а на положительном полюсе (аноде) — оста- остаток химического соединения При этом составные части элек- электролита выделяются только на электродах Масса любого вещества, отложившегося на электроде, всегда пропорциональна полному заряду, прошедшему через электро- электролит. Однако масса вещества, выделяемая единицей заряда, раз- различна для разных веществ Так, например, при прохождении 1 Кл через водный раствор какой-либо серебряной соли на ка- катоде выделяется 1,1180 мг металлического серебра, а при про- прохождении 1 Кл через раствор медной соли выделяется 0,3294 мг металлической меди (подробнее см. § 189) Явление электролиза используют в кулонометрах, представ- представляющих собой электролитические ванны, включаемые последо- последовательно в цепь тока. Одним из точных приборов является се- серебряный кулонометр, который имеет серебряные электроды и содержит в качестве электролита водный раствор азотнокислого серебра AgNO3 Кулонометры непосредственно измеряют заряд, прошедший через цепь Если т — масса выделенного Ag в миллиграммах, а t — время пропускания тока в секундах, то сила тока в амперах равна г = l,1180m/i. Тепловое действие тока. Электрический ток вызывает на- нагревание проводников Если пропускать ток через металличе-
§ 56 БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ ГАЛЬВАНОМЕТР 121 ский проводник, то при достаточной силе тока его можно на- нагреть до желаемой температуры, довести до плавления и испа- испарить. На тепловом действии тока основано устройство тепло- тепловых гальванометров. Они содержат металлический проводник из неокисляемого упругого материала, через который пропуска- пропускают измеряемый ток О силе тока судят по удлинению проводни- проводника вследствие его нагревания током. Магнитоэлектрические и тепловые гальванометры не явля- являются абсолютными приборами и требуют градуировки. § 56. Баллистический гальванометр При помощи гальванометров можно измерить не только силу тока, но и заряд, находящийся на каком-либо конденсаторе. Рассмотрим магнитоэлектрический гальванометр и будем считать, что трение при движении рамки настолько мало, что им можно пренебречь. Рамка является механической колебательной системой, Она имеет определенный момент инерции I и на нее действует сила упругости подвеса Момент сил упругости подве- подвеса Мп можно считать пропорциональным углу поворота рамки: Мп = -fa, где / зависит от устройства подвеса или спиральных пружин. Поэтому, будучи выведена из положения равновесия, рамка со- совершает механические крутильные колебания с периодом Т = 2тгл//77- Положим теперь, что мы замкнули на гальванометр какой- нибудь заряженный конденсатор. Конденсатор начнет разря- разряжаться и в гальванометре возникнет кратковременный ток (импульс тока). Будем считать, что время импульса т мало по сравнению с периодом колебаний рамки: т <С Т (баллистический режим). Тогда за все время импульса рамка не успеет заметно сместиться и все явление будет подобно явлению удара в меха- механике. За время т на рамку подействует импульс момента силы, равный, согласно E5.1), Г М dt = a I idt = aq, где q — полный заряд, прошедший через гальванометр. Поэтому рамка приобретает момент импульса /а>о = aq (а>о — угловая скорость рамки) и кинетическую энергию WK = Iu>l/2.
122 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. VI После окончания импульса тока рамка начнет поворачивать- поворачиваться и ее кинетическая энергия будет превращаться в потенциаль- потенциальную энергию закрученного подвеса: Wn = fa2/2. Поэтому, если ат есть максимальный отброс, то /с&/2 = 1шЦ2. Из этих уравнений находим = Ч = = Ьа т, E6.1) где b — постоянная для данного прибора, называемая балли- баллистической постоянной. Мы видим, что, измеряя первый макси- максимальный отброс гальванометра, можно определить полный за- заряд, прошедший через гальванометр. Баллистический метод измерения заряда весьма удобен и широко применяется на практике. Употребляемые для таких измерений гальванометры называют баллистическими гальва- гальванометрами. В отличие от обычных гальванометров, в которых затухание колебаний рамки долж- должно быть значительным (чтобы вре- время установления рамки было малым), в баллистических гальванометрах за- затухание делают возможно меньшим. Т Кроме того, для лучшего выполнения ¦ ' условия баллистического режима уве- _ личивают момент инерции рамки, что Рис. 80. Принципиальная обеспечивает большой период ее соб- схема для определения ственных колебаний AО„2о с) Г баллистической постоянной и для сравнения емкостей В предыдущих рассуждениях мы не учитывали затухания колебаний рамки вследствие трения. При учете трения теория получается более сложной. Однако это не имеет особого значения, так как обычно баллистическую постоянную Ь определяют не расчетом, а на опыте, т.е. градуируют гальванометр на заряды. Употребля- Употребляемая для этого принципиальная схема показана на рис. 80. Здесь С — конденсатор известной емкости, а Б — батарея с известным напряжением U. В этом случае известен и заряд конденсатора q = CU, и поэтому, наблюдая отброс гальванометра ат, можно по формуле E6.1) найти Ъ. Если в схему рис. 80 один раз включить конденсатор с емко- емкостью С\, а другой раз — с емкостью С2, то отношение отбросов гальванометра в обоих случаях будет равно отношению емко- емкостей: = Сх/С2.
§57 ЗАКОН ОМА 123 Рис. 81. Падение напряжения вдоль проводника с током Поэтому баллистический гальванометр позволяет просто срав- сравнивать емкости, причем напряжение батареи знать не нужно. § 57. Закон Ома Если в проводнике имеется ток, то потенциал в различных его точках уже не одинаков. Присоединив корпус электрометра к одному из концов а прово- проволоки аб с током, а стрелку — к какой-либо другой точке Ъ (рис. 81), мы обнаружим, что между этими точками имеется напряжение, которое тем боль- больше, чем ближе точка Ъ ко вто- второму концу проволоки. При на- наличии тока существует падение напряжения вдоль проводника. Падение напряжения, со- согласно § 19, означает, что су- существует составляющая напря- напряженности поля Et, направленная вдоль проводника (рис. 82). Это значит, что напряженность поля у поверхности проводни- проводника с током, а следовательно, и линии на- напряженности уже не перпендикулярны к по- поверхности проводника. Они наклонены в на- направлении тока на некоторый угол а, при- причем tga = En/Et. Мы видим, что для поддержания посто- постоянного тока, т.е. движения электронов с по- постоянной скоростью, необходимо непрерыв- непрерывное действие силы (равной eEt, где е — за- заряд электрона). А это значит, что электро- электроны в проводниках движутся с трением, или, иначе говоря, что проводники обладают электрическим сопротивлением. Если состояние проводника остается неизменным (не меняет- меняется его температура и т.д.), то для каждого проводника существу- существует однозначная зависимость между напряжением U, приложен- приложенным к концам проводника, и силой тока г в нем: г = f(U). Она называется вольт-амперной характеристикой данного провод- проводника. Для многих проводников, в особенности для металлов, эта зависимость особенно проста — сила тока пропорциональна при- приложенному напряжению, т.е. t = A.U. E7.1) Этот закон носит название закона Ома. Рис. 82. Электриче- Электрическое поле проводника с током
124 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI Коэффициент пропорциональности Л называется электри- электрической проводимостью, а величина, обратная проводимости, — электрическим сопротивлением. Если обозначить сопротивле- сопротивление проводника через R, то Л = 1/R. E7.2) Электрическая проводимость и сопротивление зависят от ро- рода вещества проводника, от его геометрических размеров и фор- формы, а также от состояния проводника Единицей сопротивления служит ом (Ом) сопротивление та- такого проводника, в котором при напряжении между его концами 1 В течет постоянный ток силой 1 А: 1 Ом = 1 В/1 А = 1 В/А. Для измерения больших сопротивлений употребляют более крупные единицы: 1 килоом (кОм)= 103 Ом и 1 мегаом (МОм) = = 106 Ом. Единицей электрической проводимости является сименс (См). По определению 1 См = 1 Ом". На использовании закона Ома основано измерение напряжений при помощи вольтметра. Вольтметр Рис 83 Вольтметр представляет собой гальванометр, последовательно с которым со- соединено большое сопротивление (рис. 83). При подключении вольтметра к каким-либо точкам а и б участка цепи в вольтметр ответвляется часть тока; сила ответвленного тока г по закону Ома пропорциональна напряжению U между этими точками: i = U/г. Поэтому, зная чувствительность вольтметра по току и его сопро- сопротивление г, можно определить и напряжение U. Это напряжение наносят непосредственно на шкалу прибора. Чтобы подключение вольтметра существенно не изменяло силу тока и распределения напряжения в цепи, ток в вольтмет- вольтметре должен быть мал по сравнению с током в цепи, а для этого сопротивление вольтметра г должно быть велико по сравнению с сопротивлением R участка цепи аб. § 58. Измерение сопротивлений Сопротивление какого-либо проводника можно измерить наиболее просто при помощи амперметра и вольтметра. Если г — сила тока в амперах, показываемая амперметром, at/ — напря- напряжение в вольтах на концах проводника, измеряемое вольтмет- вольтметром, то сопротивление проводника в омах равно R = U/г. При
§58 ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ 125 этом предполагается, что ток, ответвляющийся в вольтметр, мал по сравнению с током в проводнике. Если током вольтметра пре- пренебречь нельзя, то в написанной формуле под г нужно понимать ток в проводнике, равный г = г а — ty, где г а — показания ам- амперметра, и iy — ток вольтметра. Последний можно найти по закону Ома, зная сопротивление вольт- вольтметра. Ток вольтметра можно также определить, зная чувствительность вольт- вольтметра по току, т.е. ток, соответствующий отклонению вольтметра на одно деление. Точность этого метода определяется точностью амперметра и вольтметра и обычно бывает не очень велика (~ 1%). Поэтому для точного измерения сопро- сопротивлений употребляют метод сравнения сопротивлений, не требующий измерения тока и напряжения. Это осуществляют в схеме моста, изображенной на рис. 84. Рис g4 Здесь ri, Г2, гз и Г4 — четыре сопротивле- сопротивления, одно из которых неизвестно. Сопро- Схема сопротивлений моста тивления плеч моста изменяют и подбирают их таким образом, чтобы ток гальванометра был равен нулю. В этом случае гг/г2 = гз/г4. E8.1) Поэтому, зная сопротивление трех плеч моста, можно опреде- определить и неизвестное четвертое сопротивление. Условие E8.1) можно получить следующим образом. Пусть п, *2, h и «4 — силы токов в плечах моста г\, Е ток гальванометра равен нулю, то в точках в и г у и г±. Если не имеется разветвления токов, и поэтому г\ = 12, «з = «4- Напряжения между концами плеч моста: Uae = i\r\, Ue6 = «2^2 = ii?, = 23Г4. В отсутствие тока в гальванометре напряжение между точ- точками виг равно нулю. Это дает = иаг = г3гз, Деля почленно оба равенства, получим соотношение E8.1). В него входят сопротивления плеч моста, включающие в себя и сопротивления соединительных проводов. Поэтому измеряемое сопротивление и сопротивления остальных плеч моста должны быть велики по сравнению с сопротивлением соединительных проводов.
126 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI § 59. Сопротивление проволок В § 57 мы говорили, что сопротивление проводников зависит от их формы и размеров. Эта зависимость особенно проста, если проводники имеют форму цилиндров постоянного поперечного сечения (проволоки). Тогда R = pl/S, E9.1) где / — длина проводника, a S — его поперечное сечение. Коэф- Коэффициент пропорциональности р зависит от рода вещества и его состояния и называется удельным электрическим сопротивле- сопротивлением данного вещества. Величина, обратная удельному сопро- сопротивлению, Л = 1/р, получила название удельной электрической проводимости вещества. Единица удельного сопротивления есть ом-метр (Ом-м) Ес- Если в E9.1) положить / = 1, S = 1, то R = р. Следовательно, удельное сопротивление вещества есть сопротивление куба с ре- ребром 1 м из данного вещества, выраженное в омах, при токе, па- параллельном одному из ребер куба. В табл. 3 приведены удельные сопротивления некоторых веществ при комнатной температуре. Таблица 3 Вещество Серебро Медь тянутая Платина Константин (сплав 60 % Си, 40 % №) Нихром F7,5% N), 15%Сг, 16% Fe, 1,5 % Мп) Графит Удельное сопротивление р, Ом м A,66-1,63)-КГ8 1,78 1СГ8 11,0 10~8 49,0 1(Г8 110 10"8 ~3 1(Г6 Вещество 10 %-ный водный раствор NaCl Химически чис- чистая вода Стекло натровое Фарфор Янтарь, плав- плавленый кварц Удельное со- сопротивление р, Ом м 0,0825 ~106 ~109 ~1013 > 1018 Простой зависимостью E9.1) пользуются на практике для изготовления различных сопротивлений из проволок. Если со- сопротивления нужно изменять во вре- время опыта, то употребляют реостаты со скользящим контактом Они состоят из однослойной обмотки голой проволоки из сплава с высоким удельным сопротив- сопротивлением (нихром, никелин), намотанной на жаростойкий изолирующий цилиндр (фарфор, стеатит), и скользящего кон- Рис 85 Делитель на- такта В цепь тока включают один конец пряжения обмотки и скользящий контакт Г I I U
§ 60 ЗАВИСИМОСТЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 127 На рис 85 показана схема делителя напряжения. Если Щ есть напряжение между концами реостата а и б, то напряжение U между точками виг (разомкнутыми) равно U = U0n/r, где г — полное сопротивление реостата, а г\ — сопротивление его части между зажимом б и скользящим контактом. § 60. Зависимость сопротивления от температуры Удельное сопротивление зависит не только от рода вещества, но и от его состояния, в частности от температуры. Зависимость удельного сопротивления от температуры можно охарактеризо- охарактеризовать температурным коэффициентом сопротивления данного вещества: Он дает относительное приращение сопротивления при увели- увеличении температуры на один градус. Температурный коэффициент сопротивления для данного вещества различен при разных температурах, т.е. удельное со- сопротивление изменяется с температурой не по линейному зако- закону, а зависит от нее более сложным образом. Однако для многих проводников, к которым относятся все металлы, изменение а с температурой не очень велико. Если интервал изменения темпе- температуры достаточно мал, то приближенно можно считать а по- постоянным, равным среднему его значению внутри рассматрива- рассматриваемой области температур. Так, например, если ро есть удельное сопротивление при 0 °С, а р — его значение при t °С, то можно положить p = P0(l + at). F0.2) Температурный коэффициент сопротивления может быть как положительным, так и отрицательным. У всех металлов со- сопротивление увеличивается с увеличением температуры, а сле- следовательно, для металлов а > 0 Для многих других проводни- проводников 1-го рода наблюдается обратное и, по крайней мере в некото- некотором температурном интервале, их сопротивление уменьшается с увеличением температуры. Наконец, у всех электролитов (про- (проводники 2-го рода), в отличие от металлов, сопротивление при нагревании всегда уменьшается, и для них также а < 0. В табл. 4 приведены средние значения температурного ко- коэффициента сопротивления для некоторых веществ. Для всех чистых металлов температурный коэффициент сопротивления близок к 1/273 = 0,00367, т.е. к температурному коэффициен- коэффициенту расширения газов. Следует также отметить, что некоторые сплавы имеют весьма малое а, примером чего может служить
128 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ. VI константан. Поэтому проволоки из таких сплавов применяют для изготовления точных образцов (эталонов) сопротивлений. Таблица 4 Вещество Серебро Медь Платина Константан 10 %-ный водный раствор NaCl Графит Стекло Температура, °С 0-100 18 0-100 18 18 18 100 *) В зависимости от образца. Температурный коэффициент сопротивления а, К 40 • Ю-4 43 -10~4 38 • Ю-4 (от-0,4 до+0,1)-КГ4 *) -0,021 -5-10-" от -0,1 до -0,2 Зависимость сопротивления металлов от температуры ис- используют в различных измерительных и автоматических устройствах. Наиболее важным из них является термометр со- сопротивления. Он представляет собой сопротивление из плати- платиновой проволоки, которое включают в схему моста в качестве одного из плеч. Сопротивление платины весьма постоянно во времени и хорошо изучено в широком интервале температур. Поэтому, измеряя сопротивление платиновой проволоки, можно очень точно измерить и температуру. Термометры сопротивле- сопротивления обладают тем важным достоинством, что могут служить как при очень низких, так и при высоких температурах, при которых применение обычных жидкостных термометров невоз- невозможно. При очень низких температурах в некоторых веществах воз- возникает удивительное состояние сверхпроводимости, в котором электрическое сопротивление исчезает вовсе. Однако этот во- вопрос будет рассмотрен позднее (§ 148). § 61. Закон Ома в дифференциальной форме Закон Ома E7.1) и формула E9.1) позволяют найти силу тока в проволоках и вообще в тех случаях, когда трубки тока являются цилиндрами постоянного сечения. Однако часто при- приходится вычислять силу тока в проводящих средах, в которых трубки тока не имеют цилиндрической формы. Примерами мо- могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы, в которых пространство между обкладками заполнено проводя- проводящей средой. В этом случае формула E9.1) уже неприменима, так как расстояние / различно для разных точек поверхности
§ 61 ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 129 обкладок, а площадь S у каждой обкладки имеет разную вели- величину. Однако закон Ома можно представить в другой форме, кото- которая пригодна и для решения задач о токах в проводящих средах. Рассмотрим в однородной и изо- изотропной проводящей среде небольшой отрезок трубки тока длины Д/ (рис. 86) и два близких эквипотенциальных ее сечения 1 и 2. Обозначим их потенциа- потенциалы через C/i и С/г, а среднюю площадь сечений — через AS. Применяя к это- этому отрезку закон Ома E7.1) и формулу E9.1), получим =jAS= Рис. 86. К закону Ома в дифференциальной форме или, сокращая на AS и вводя удельную электрическую прово- проводимость среды А = 1/р, получим - _ х U\ - U? _ \U2-Ux _ ХД?/ ;~л~дг л~дг л^Г Чтобы последняя формула была совершенно точна, нужно пе- перейти к пределу при А1 —> О, так как только в этом случае рас- рассматриваемый отрезок трубки можно считать цилиндрическим и применять к нему формулу E9.1). Но где Е — напряженность электрического поля внутри провод- проводника. Учитывая далее, что j и Е суть векторы, и что внутри изотропных сред они направлены одинаково, находим j = ЛЕ. F1.1) Это соотношение носит название дифференциальной формы за- закона Ома. В отличие от E7.1) (интегральной формы закона Ома), оно содержит величины, характеризующие электрическое состояние среды в одной и той же точке. В анизотропных средах, каковыми, например, являются мно- многие кристаллы, направления j и Е, вообще говоря, уже не сов- совпадают. В этом случае вместо формулы F1.1) получается более сложное соотношение. В анизотропных средах в широкой области электрических попей ли- линейная связь между j и Е сохраняется. Поэтому дифференциальный закон Ома в общем виде выражается формулой где индексы i и к пробегают значения х, у, z. Девять величин А,* суть ком- компоненты тензора удельной электрической проводимости. Этот тензор 2-го
130 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Г Л VI ранга симметричен. Ал = А*,, и поэтому независимыми являются только шесть компонент Так же как и в случае тензора диэлектрической проница- проницаемости (§ 42), при выборе осей координат, совпадающих с главными осями тензора, отличны от нуля только три диагональных компоненты: \хх — Ai, \уУ = \2 и \zz = A3, которые называются главными значениями удельной электрической проводимости. Поле Е, входящее в F1.1), есть поле внутри проводящей сре- среды при наличии тока. Можно, однако, показать, что если про- проводящая среда однородна, то во всех практически интересных случаях это поле совпадает с электростатическим полем Ест, т.е. с полем, которое существовало бы между данными электрода- электродами, если бы между ними было то же напряжение, что и при наличии тока, а вместо проводящей среды был бы вакуум. От- Отсюда следует, что в однородном проводнике линии напряжен- напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока (см. Добавление 3). Для вычисления силы тока в проводящих средах поступают следующим образом. Сначала находят по заданному напряже- напряжению между электродами напряженность поля внутри проводя- проводящей среды, т.е. решают задачу электростатики, и потом, поль- пользуясь формулой F1.1), определяют плотность тока j в каждой точке среды. Затем мысленно выделяют какую-либо замкнутую поверхность S, целиком окружающую один из электродов, и на- находят силу тока г, согласно E3.3), как поток вектора j через эту поверхность. Разумеется, замкнутую поверхность S следу- следует выбирать, сообразуясь с условиями симметрии задачи, чтобы вычисления были простыми. Пример 1. Сферический конденсатор с утечкой. Пусть имеется сферический конденсатор, у которого пространство между обкладками заполнено веществом с удельной электри- электрической проводимостью Л. Потенциал U его электрического поля нами уже вычислен, он выражается формулой B4.2). Отсюда находим напряженность поля: F = -QL = и° 1 dr 1/а - l/b г2 " Поэтому, согласно F1 1), плотность тока на расстоянии г от цен- центра равна 3 = Uo TJa^TTb И' В данном случае удобно выбрать в качестве поверхности S в E3.3) сферу некоторого радиуса г, проходящую между обклад- обкладками. Тогда jn = j и, кроме того, j постоянно во всех точках сферы. Поэтому •о тт А 1 . 2 4тгА тт 1/а — 1/6 г2 1/а — 1/Ь
§ 61 ЗАКОН ОМА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 131 Сила тока через конденсатор, в соответствии с E7.1), пропор- пропорциональна напряжению Uq между обкладками. Проводимость конденсатора Л оказывается равной 4тгЛ С/о l/a-1/Ь' По этим формулам можно вычислить ток утечки г и сопротив- сопротивление утечки R = 1/Л сферического конденсатора. Пример 2. Цилиндрический конденсатор с утечкой. В этом случае напряженность поля находим из формулы B4.4): Е = -— = Uo 1 dr In (b/a) r' Плотность тока j равна Так как нас не интересует направление тока, а лишь его зна- значение, мы опустим в дальнейшем знак минус. В качестве зам- замкнутой поверхности целесообразно выбрать цилиндр радиуса г, проходящий между обкладками. В этом случае опять jn = j и постоянно на поверхности цилиндра. Поэтому сила тока на еди- единицу длины конденсатора получается равной I • п тт ^ 1 л 2тгЛ тт т = 3s — Uo . ,, , ч - • 2тгг = -¦-, С/о. I In (b/a) r In (b/a) И в данном случае, как и во всех подобных задачах, сила то- тока пропорциональна напряжению между обкладками. Проводи- Проводимость конденсатора длины / есть а 27гЛ / Этими формулами пользуются для вычисления тока и сопро- сопротивления утечки кабеля. Сравнивая полученные выражения для проводимости Л сфе- сферического и цилиндрического конденсаторов с выражениями для емкости С (§ 32), мы видим, что отношение этих величин равно С/Л = еое/Х. F1.2) Оно одинаково для обоих типов конденсаторов и зависит только от свойств среды между электродами. Этот результат справедлив и в общем случае проводников произвольной фор- формы, как угодно расположенных относительно друг друга. Для правильности полученного результата необходимо, что- чтобы удельная электрическая проводимость среды была значи- значительно меньше удельной электрической проводимости провод- проводников.
132 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI Формула F1.2) оказывается во многих случаях полезной. Так, если нужно определить емкость какой-либо пары проводни- проводников, то вместо непосредственного измерения их емкости (что при малой ее величине не очень просто) можно поместить проводни- проводники в среду с известной величиной А и измерить электрическую проводимость, после чего найти их емкость по формуле F1.2). И обратно, полученное соотношение позволяет свести измерение электрической проводимости к измерению емкости. § 62. Электролитическая ванна В § 61 мы говорили, что в однородной среде линии напряжен- напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока. На этом основан ценный практический метод экспериментального исследования электрических полей. Если имеется какое-либо двумерное электрическое поле и же- желают определить на опыте его эквипотенциальные поверхности, то изготовляют металлические модели электродов, создающих поле, и помещают их в слабо проводящую сред}'. Модели могут и не совпадать по своим размерам с оригиналом, но должны быть им подобны и подобным образом расположены. На элек- электроды подают напряжения, пропорциональные напряжениям на действительных электродах. Тогда распределение потенциала между моделями электродов будет подобно распределению по- потенциала между действительными электродами. Для измерения потенциала в различных точках среды в них помещают неболь- небольшой проводник — зонд, например в виде короткого металличе- металлического штифта. В качестве проводящей среды часто употребляют какой-либо электролит, налитый в достаточно большую ванну, от- отчего указанный метод получил название метода электролитиче- электролитической ванны. На рис. 87 показана схема од- одной из простейших электролити- электролитических ванн. В деревянный ящик, наполненный влажным песком, погружены исследуемые электро- Рис 87. Простая электролитиче- ды а и б Размеры ящика должны екая ванна в несколько рэз превышать рас- расстояние между электродами. На электроды подают напряжение от батареи и делителя напряжения. В песок погружают два зон- зонда 1 и 2, присоединенных к зажимам вольтметра. Для определе- определения эквипотенциальной линии один из зондов оставляют непо- неподвижным, а другой помещают в разные точки и находят такие, для которых отклонение вольтметра равно нулю. Таким обра-
§ 63 ЗАЗЕМЛЕНИЕ В ЛИНИЯХ СВЯЗИ 133 зом определяют одну из эквипотенциальных линий. Затем пер- первый зонд помещают в другую точку, с другим значением потен- потенциала, и при помощи второго зонда находят точки, лежащие на другой эквипотенциальной линии, и т.д. Поступая подобным об- образом, можно определить форму и расположение эквипотенци- эквипотенциальных линий электрического поля данных электродов. Вместо вольтметра удобнее применять нулевой гальванометр, в котором нулевое деление расположено в центре шкалы. Отметим, что в § 61, говоря о совпадении поля в проводящей среде с электростатическим полем, мы предполагали, что проводящая среда од- однородна В электролитической же ванне мы имеем неоднородную среду, состоящую из электролита и воздуха, имеющую границу раздела между ними. Однако это не изменяет результата. Действительно, в случае цилин- цилиндрических электродов с параллельными осями (двумерное поле) все линии тока лежат в плоскостях, перпендикулярных к электродам. Но поверхность электролита есть одна из таких плоскостей Это значит, что линии тока и напряженности не пересекают эту поверхность, а, значит, ее наличие и не искажает распределения этих линий Электролитическая ванна имеет большие преимущества пе- перед электрическим зондом (§ 23). То обстоятельство, что вну- внутри электролита текут токи, делает возможным употребление токопотребляющих вольтметров и гальванометров, которые го- гораздо удобнее и надежнее электрометров. Кроме того, распреде- распределение токов и напряжений в ванне нечувствительно к посторон- посторонним электростатическим влияниям. Поэтому электролитическая ванна обеспечивает наиболее простой и удобный метод исследо- исследования электрических полей и широко применяется на практике. Если нужно произвести точные измерения, то ванна, изображенная на рис. 87, малопригодна. Один из ее недостатков заключается в том, что при постоянном токе происходит электролиз и на электродах выделяются со- составные части электролита (электроды поляризуются, см. § 195). В резуль- результате напряжение между электродами в течение опыта несколько изменяется и измерения становятся неточными Чтобы избавиться от этого неудобства, применяют переменный ток. К электролитической ванне часто присоединя- присоединяют еще пантограф, состоящий из системы рычагов, на одном конце которой находится зонд, а на другом — пишущее приспособление, отмечающее на листе бумаги положение зонда. § 63. Заземление в линиях связи Результаты § 61 позволяют понять действие заземления в линиях связи. Схема заземления изображена на рис. 88. При сооружении телеграфных и телефонных линий прокладывают всего один провод (Л). С этим проводом соединяют лишь один полюс источника тока Б отправительной станции, а второй его полюс присоединяют к металлическому листу 3, который зака- закапывают в землю. Аппарат приемной станции (показанный на
134 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ГЛ VI рис. 88 в виде гальванометра) присоединяют к линии и к друго- другому такому же листу. Роль второго провода, замыкающего цепь, играет земля. Существенным является то обстоятельство, что сопротивление заземления практически не зависит от расстояния между станциями. Сопротивление заземления получается сравнительно ма- малым (в хороших заземлениях— десятки омов и омы), хотя среда между его электродами Рис 88 Заземление в линиях связи плохо проводит электричество (сухие почвы, граниты и т.п.) Чтобы понять свойства заземления, рассмотрим электроды простой формы в виде двух одинаковых шаров радиуса а и бу- будем предполагать, что они погружены в безграничную однород- однородную среду с удельной электрической проводимостью А (рис. 89). Среду между шарами мы можем разбить на трубки тока и рассма- рассматривать их как параллельно соеди- соединенные проводники (одна из тру- трубок тока на рис. 89 заштрихована). Увеличивая расстояние между ша- шарами, мы будем удлинять каждую трубку тока, отчего ее сопротивле- сопротивление будет увеличиваться. Однако при этом линии тока в среде бу- будут все больше и больше удаляться от обоих шаров (в предельном слу- случае бесконечно большого расстоя- расстояния между шарами линии тока направлены вдоль радиусов ша- шаров и уходят в бесконечность). Поэтому и сечения трубок тока, на которые мы разбили среду, будут увеличиваться, что приве- приведет к уменьшению сопротивления каждой трубки. Физическая причина независимости сопротивления от расстояния и заклю- заключается в том, что увеличение сечения как раз компенсирует уве- увеличение длины. Вычислим сопротивление между шарами, пользуясь мето- методом, изложенным в § 61. Окружим один из шаров замкнутой поверхностью S, вплотную прилегающей к поверхности шара, и вычислим силу тока через нее. Будем считать, что расстояние между шарами г>а. В этом случае можно пренебречь индук- индукционным влиянием шаров друг на друга и считать, что заряды распределяются на шарах равномерно. Если заряды на шарах равны +д и —</, то их потенциалы (относительно бесконечности) Рис. 89 К объяснению ствия заземления дей-
§ 63 ЗАЗЕМЛЕНИЕ В ЛИНИЯХ СВЯЗИ 135 выражаются соотношениями °° 4тг??о а' 4тг??о a' Разность потенциалов, или напряжение между шарами, есть а Поэтому напряженность поля у поверхности каждого шара, вы- выраженная через напряжение, равна Е= 1 * = и. 4тг??о а2 2а' Отсюда находим силу тока через поверхность шара: i= JjdS = \fEdS = \^- 4тга2 = 2жа\и. s s Следовательно, сопротивление R среды между шарами равно г 2тгаЛ Мы видим, что сопротивление вовсе не зависит от расстояния между электродами и определяется только радиусами шаров и удельной электрической проводимостью среды. Полученный результат легко продемонстрировать на опыте. Для этого опустим в какой-либо электролит, налитый в боль- большую ванну, два малых металлических шарика и включим их в цепь тока, содержащую батарею и амперметр. Чтобы с электро- электролитом соприкасалась только поверхность шариков, подводящие провода нужно изолировать стеклянными трубками. Отметим показания амперметра и будем изменять расстояние между ша- шариками. Мы увидим, что пока расстояние между ними превы- превышает несколько радиусов, показания амперметра практически не зависят от расстояния между шариками, а значит, и сопро- сопротивление остается постоянным. И только при сближении шари- шариков на расстояние порядка их радиуса амперметр показывает увеличение тока. Обращаясь вновь к рис. 89, мы видим, что густота линий напряженности велика только в непосредственной близости к шарам. Это значит, что напряженность поля значительна толь- только вблизи шаров и, следовательно, основная часть напряжения приходится на участки среды, непосредственно прилегающие к электродам. Поэтому и сопротивление заземления практически зависит только от удельной электрической проводимости этих участков. Чтобы уменьшить сопротивление заземления, элек- электроды закапывают на глубине подпочвенных вод, где прово- проводимость велика вследствие растворения солей, содержащихся в земле.
136 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII ГЛАВА VII ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА § 64. Источники тока Легко видеть, что нельзя получить в проводнике постоян- постоянный ток, если для создания напряжения на концах проводни- проводника пользоваться заряженными конденсаторами. Действительно, наличие тока будет всегда сопровождаться переходом зарядов с одной обкладки на другую и притом в таком направлении, что заряды обкладок будут уменьшаться. В результате будет непре- непрерывно уменьшаться напряжение между обкладками и, согласно закону Ома (§ 57), сила тока в проводнике будет падать. Это об- обстоятельство является общим для любого электростатического поля: такое поле всегда перемещает заряды так, чтобы разности потенциалов уменьшались. Для получения постоянного тока на заряды в электрической цепи должны действовать какие-либо силы, отличные от сил электростатического поля. Такие силы получили общее назва- название сторонних сил. Всякое устройство, в котором возникают сторонние силы, мы называем источником тока. Источниками тока являются, например, гальванические элементы. Если воспользоваться гидростатической аналогией, то силы электростатического поля можно уподобить силе тяжести, стре- стремящейся выравнять уровни жидкости в сообщающихся сосудах; источник же тока можно сравнить с насосом, работающим про- против силы тяжести и восстанавливающим разность уровней в со- сосудах, несмотря на наличие тока жидкости. Ближайшей нашей задачей будет установление количествен- количественных характеристик источников тока и выяснение связи между ними и силой тока в цепи. Мы будем считать, что источник то- тока есть гальванический элемент, а затем обобщим полученные результаты на случай любого источника. При разборе этих во- вопросов мы будем исходить из первого начала термодинамики (общего закона сохранения энергии) и рассмотрим, какие пре- превращения энергии происходят в замкнутой цепи тока. § 65. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца Электрический ток совершает в любом участке цепи опре- определенную работу. Пусть имеется произвольный участок цепи (рис. 90), между концами которого существует напряжение U. По определению электрического напряжения (§ 17) работа, со- совершаемая при перемещении единицы заряда между точками а
§ 65 РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА 137 и б, равна U. Если сила тока в участке цепи равна г, то за время t пройдет заряд it, и поэтому работа электрического тока в этом участке будет А = Uit. F5.1) Это выражение справедливо для постоянного тока в любом слу- случае, для какого угодно участка цепи, который может содержать проводники 1-го и 2-го рода, электромоторы и т.д. Мощность тока, т.е. работа в единицу времени, равна Р = A/t = Ui. F5.2) Формулу F5.2) используют в системе СИ для определения единицы напряжения. Единица напряжения вольт (В) есть 1 В = 1 Вт/1 А = 1 Вт/А. Вольт — электрическое напряжение, вызывающее в электриче- электрической цепи постоянный ток силой 1 А при мощности 1 Вт. Будем теперь считать, что участок цепи представляет собой неподвижный проводник 1-го рода. Тогда вся работа тока пре- превращается в тепло, которое выделяется в проводнике. Если про- проводник однороден и подчиняется закону Ома (сюда относятся все металлы и элек- ^ и ж | тролиты), то U = гг, где г — сопротивле- I 1 ние проводника. В таком случае А—Н> ——/ °Ц—-А А = ri2t. F5.3) Рис. 90. К вычисле- Этот закон был впервые установлен на нию работы электри- опыте Э-Х. Ленцем и, независимо от него, ческого тока Джоулем. Отметим, что нагревание проводников током находит много- многочисленные технические применения. Наиболее важное из них — осветительные лампы накаливания. Современные лампы накаливания являются результатом настойчивых и длительных работ ряда ученых. Большое значение в развитии ламп на- накаливания имели работы А.Н. Лодыгина, который уже в 1873 г. публично демонстрировал в Петербурге различные типы своих ламп. Первые лам- лампы Лодыгина имели форму стеклянного шара, в котором на двух медных стержнях был укреплен стерженек специального угля. В поисках способов увеличения срока службы ламп им совместно с сотрудниками была введена откачка ламп и найдены более долговечные тела накала в виде различных обугливаемых органических волокон. В 1890 г. Лодыгин ввел лампы накали- накаливания с металлической нитью из тугоплавких металлов: вольфрама, молиб- молибдена и др. Работы Эдисона, поставленные в очень широком промышленном масштабе, привели к внедрению ламп накаливания в практику. В после- последующее время были сделаны только два существенных усовершенствова- усовершенствования: тело накала стали изготовлять в виде тонкой спирали, что уменьшило теплоотдачу, и баллоны ламп начали наполнять инертным газом, чтобы иметь возможность повысить температуру нити накала без заметного ее распыления (Лэнгмюр).
138 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII § 66. Энергия, освобождаемая в гальваническом элементе Когда какой-либо гальванический элемент создает в цепи ток, то внутри элемента происходят химические реакции. В большинстве элементов основная реакция состоит в соединении цинкового электрода, являющегося катодом элемента, с электро- электролитом, и поэтому во время работы элемента расходуется метал- металлический цинк, а в растворе появляются новые вещества — про- продукты реакций. В простейшем элементе Вольты (см. рис. 2) эта реакция такова: Zn + H2SO4 = ZnSO4 4- Н2- Но опыт показывает, что при всякой химической реакции ли- либо поглощается, либо выделяется определенное количество энер- энергии. В дальнейшем мы будем предполагать, что химическая ре- реакция происходит при постоянном внешнем давлении. При этом выделяется количество теплоты Qx, равное Qx=pm, F6.1) где т — масса прореагировавшего вещества. Величина р опре- определяет тепловой эффект химической реакции и указывает, ка- какое количество теплоты выделяется при вступлении в данную реакцию единицы массы рассматриваемого вещества. Если ре- реакция идет с выделением тепла, то р положительно, если с по- поглощением тепла, — отрицательно. Так, например, в указанной реакции образования сернокислого цинка при взаимодействии 1 г цинка с серной кислотой выделяется 6900 Дж, и поэтому тепловой эффект данной реакции, рассчитанный по цинку, есть р = 6,9 • 106 Дж/кг. Энергия химических реакций и есть та энергия, которая освобождается в гальванических элементах. Ее мерой является тепловой эффект реакции. § 67. Электродвижущая сила гальванического элемента Рассмотрим теперь какой-либо гальванический элемент, зам- замкнутый на проводник с сопротивлением R (рис. 91). Будем счи- считать, что в отсутствие тока в элементе не происходит никаких химических реакций. Это имеет место не для всех комбинаций металлов с электролитами. Так, например, в элементе Вольты цинк растворяется в серной кислоте и при разомкнутой цепи, хо- хотя и в меньшей степени. Если же цинк покрыть слоем амальгамы цинка путем обработки его ртутью и в качестве электролита вы- выбрать раствор хлористого цинка ZnC^ или хлористого аммония NH4CI, то цинк в отсутствие тока растворяется очень медленно,
§ 67 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГАЛЬВАНИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА 139 Рис. 91. Электрическая цепь с гальваническим элементом и наше предположение будет ближе к действительности. При наличии тока масса электрода, перешедшая в электролит, равна т = Kq, где К — электрохимический эквивалент металла электрода (ср. § 189), ад — полный заряд, прошедший через элемент. Поэто- Поэтому для энергии, освобождаемой в химиче- химических реакциях у обоих электродов, имеем Qx = (piKi + P2K2)q. При замкнутом элементе в цепи бу- будет совершаться еще работа тока, кото- которая будет превращаться в тепло Джоуля- Ленца. При этом мы должны учесть, что электрические заряды нигде не накап- накапливаются в цепи, а, значит, ток суще- существует не только во внешней цепи, но и внутри элемента. Гальванический элемент представляет для тока определенное со- сопротивление, называемое внутренним со- сопротивлением, которое складывается из сопротивлений электролита и электродов. Далее, будем считать, что элемент поддерживается при постоянной температуре и что мы отбираем от него только очень слабый ток (строго говоря — бесконечно слабый). В этом случае внутри элемента не будут возникать ни заметные разности концентраций в электролите, Ни заметные разности температур, и состояние элемента в лю- любой момент времени будет лишь бесконечно мало отличаться от состояния равновесия в отсутствие тока. Такой режим рабо- работы элемента часто называют квазистатическим. Однако если температура элемента поддерживается постоянной, то при на- наличии тока элемент будет передавать окружающей среде (или, наоборот, заимствовать от нее) некоторое количество теплоты Qt-i необходимое для поддержания постоянства температуры. Применим теперь к рассматриваемой замкнутой цепи пер- первое начало термодинамики (общий закон сохранения энергии). Тогда <3х = А + QT, F7.1) Где А — работа тока. Разумеется, все входящие сюда величины Должны быть выражены в одинаковых (тепловых или механи- механических) единицах. Рассуждая совсем точно, мы должны были бы еще учесть, что в кон- контактах двух различных проводников в присутствии тока выделяется или Поглощается (в зависимости от направления тока) дополнительное коли- количество теплоты. Однако это так называемое тепло Пельтье (§ 200) обычно мало по сравнению с теплом химических реакций и теплом Джоуля-Ленца, и поэтому им можно пренебречь
140 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII Мы видим, что даже в квазистатическом режиме в работу тока превращается не вся энергия химических реакций, а лишь разность А = Qx - QT. Если бы мы отбирали от элемента ток конечной силы, то вну- внутри элемента происходили бы еще дополнительные процессы, обусловленные появлением разностей концентраций и темпера- температур, и полезная работа тока была бы еще меньше. Величина А для квазистатического процесса называется максимальной ра- работой химической реакции. Максимальная работа при данной температуре представляет собой определенную долю энергии Qx и, подобно Qx, пропорциональна заряду, прошедшему по цепи. Поэтому можно положить А = Щ, где & — максимальная работа данной химической реакции (или реакций), рассчитанная на единицу заряда. Она получила на- название электродвижущей силы гальванического элемента. Приравнивая А полной работе тока (во внешней цепи и вну- внутри источника), имеем Щ = Ri2t + ri2t, где г — внутреннее сопротивление элемента. Деля обе части ра- равенства на заряд q = it, находим Полученный закон F7.2) называется законом Ома для замкну- замкнутой цепи. Сумму (R+r) внешнего и внутреннего сопротивлений называют полным сопротивлением цепи. Формула F7.2) пока- показывает, что для всякого гальванического элемента можно ввести характерную для него величину — электродвижущую силу — та- таким образом, что частное от деления ее на полное сопротивление цепи будет равно силе тока в цепи. Из F7.2) видно, что размерность % совпадает с размерностью напряжения, и поэтому ЭДС выражают в тех же единицах, что и напряжение. Максимальная работа А, так же как и энергия химических реакций <5Х, при известном прошедшем заряде зависит только от природы электродов и электролита. Поэтому и ЭДС гальваниче- гальванического элемента зависит только от рода веществ, входящих в его состав, и не зависит от размеров элемента. Напротив, внутрен- внутреннее сопротивление элемента, как и всякого проводника, зависит от его размеров и формы. Выше мы определили ЭДС гальванического элемента через максималь- максимальную работу химической реакции. Однако ЭДС можно выразить и непо- непосредственно через тепловой эффект химической реакции. В термодинамике
§ 68 НАПРЯЖЕНИЕ НА ЗАЖИМАХ ИСТОЧНИКА ТОКА 141 показывается, что работа А, совершаемая в любом изотермическом квази- квазистатическом процессе, связана с количеством теплоты Qp, отбираемым от источника тепла, соотношением где индекс р указывает, что соответствующие величины измерены при по- постоянном внешнем давлении (формула Гиббса-Гельмгольца). Подставляя Сюда вместо Qp выражение Qx, приведенное в тексте, и А = 8'д, получаем ' p где первое слагаемое в правой части есть тепловой эффект химических ре- реакций в элементе, рассчитанный на единицу прошедшего заряда. Это соот- соотношение было получено Гельмгольцем и является основным в теории галь- гальванических элементов. Мы получили закон Ома F7.2), рассматривая источник то- тока в виде гальванических элементов. Однако этот закон имеет общее значение. Всякий источник тока можно охарактеризовать его электродвижущей силой таким образом, что будет справед- справедлив закон Ома F7.2). Так как ЭДС любого источника легко из- измерить на опыте (§ 68), то формула F7.2) имеет большое значе- значение и позволяет вычислить силу тока в любой цепи. Отметим, что закон F7.2) был впервые установлен Омом на опыте со- совсем другим путем. Ом экспериментировал не с гальваническими элемента- элементами, а с термоэлементами, и при теоретическом объяснении закона исходил из аналогии между электрическим током и течением жидкости и тепла. § 68. Напряжение на зажимах источника тока Пусть имеется цепь, содержащая источник тока, переменное внешнее сопротивление R и амперметр А (рис. 92), и положим, что мы измеряем напряжение на за- зажимах источника с помощью вольт- г метра V. Сопротивление вольтметра выберем достаточно большим, чтобы ]>• подключение вольтметра не изменя- изменяло напряжение между точками 1 я 2. / Мы найдем, что напряжение, показы- показываемое вольтметром, зависит от си- силы тока в цепи. Оно наибольшее при разомкнутой цепи (г = 0) и стремит- Рис- 92- Измерение напря- ся к нулю при уменьшении до нуля жения на зажимах работаю- _ ^ J ту f щего источника внешнего сопротивления К (включая и сопротивление амперметра). Напряжение на зажимах рабо- работающего источника есть величина переменная, зависящая от на- нагрузки источника. -g r 1| •—
142 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII Объяснение этого мы находим в законе Ома. Напряжение, показываемое вольтметром, есть напряжение между точками 2 и 1. Применяя к внешней цепи 2R1 (не содержащей ЭДС) закон Ома E7.1), имеем U2i = Ri. Но сила тока в цепи выражается законом Ома F7.2), и поэтому Мы видим, что напряжение на зажимах меньше ЭДС на вели- величину ri, которая есть падение напряжения внутри самого источ- источника. Полученная формула показывает, что чем больше внешнее сопротивление Я по сравнению с внутренним сопротивлением г, тем меньше падение напряжения внутри источника и тем ближе напряжение на зажимах к ЭДС. Если R^>r (цепь разомкнута), то U = Ш: электродвижущая сила равна напряжению на зажи- зажимах разомкнутого источника. Это позволяет весьма просто опре- определить ЭДС любого источника и лежит в основе всех методов измерения ЭДС. Чтобы пояснить смысл формулы F8.1), рассмотрим распре- распределение потенциала в цепи гальванического элемента. При разо- разомкнутой цепи (нет тока) потенциал внутри металлических элек- электродов, проводов и в толще электролита (где нет сторонних сил) постоянен (рис. 93 а). В тонких же пограничных слоях между + a и 1 I i т \ «2, X б и ¦ ri--4 ; / п X Рис 93. Распределение потенциала в цепи разомкнутого (а) и замкнутого (б) гальванического элемента электродами и электролитом существуют сторонние силы, вы- вызывающие быстрое изменение (скачки) потенциала Ь\ и #2- Сум-
§ 69 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И РАБОТА ИСТОЧНИКА ТОКА 143 ма этих скачков равна напряжению между электродами и пред- представляет собой полную ЭДС элемента. При замыкании точек а и б цепи получается распределение потенциала, показанное на рис. 93 б. Из рисунка видно, что в этом случае напряжение между точками 2 и 1 (между электродами) уже не равно сумме $1 + ^2 > а уменьшается на величину падения напряжения внутри элемента гг. Обратим еще внимание на то, что заряды в замкнутой цепи движутся кругообразно: во внешней части цепи положительные заряды перемещаются от положительного электрода к отрица- отрицательному, а внутри источника — от отрицательного электрода к положительному. Это и понятно. Из рис. 93 б видно, что в толще электролита это соответствует движению от более высо- высокого потенциала к более низкому, т.е. так же, как и во внешней цепи. В пограничных же слоях, где имеются скачки потенциа- потенциала, положительные заряды движутся в направлении увеличения потенциала, что осуществляется с помощью сторонних сил. Если внешнее сопротивление R намного меньше г, то из F8.1) следует, что U < %. Если R -? 0, то и U -? 0. Случай R <С т называют коротким замыканием источника. При этом сила тока, согласно F7.2), делается максимальной: We = 8/г F8-2) (ток короткого замыкания). Мы видим, что качество источника определяется не только его ЭДС, но и внутренним сопротивлением. Формула F8.1) связывает напряжение на участке цепи с си- силой тока в нем и поэтому может быть названа законом Ома для участка с ЭДС (ряс. 94). В дальнейшем мы будем писать ее в виде ,• €, г Uvt = ri-«. F8.3) 1О~* 'I °2 Здесь г — полное сопротивление участ- Рис. 94. Участок цепи с ка (сопротивление источника и про- ЭДС водников). При пользовании формулой F8.3) необходимо соблюдать следующее правило знаков: ток считается положительным, если он направлен от точки 1 к точке 8, ЭДС считается положительной, если, перемещаясь от точки 1 к точке 2, мы проходим источник от отрицательного полюса к положительному. § 69. Электродвижущая сила и работа источника тока Понятие электродвижущей силы, введенное выше на приме- примере гальванических элементов, можно обобщить так, чтобы оно охватывало любые источники тока. Рассмотрим произвольный
144 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ УП источник тока, который посылает ток во внешнюю цепь, состоя- состоящую из неподвижных проводников 1-го рода. Напишем выраже- выражение для силы тока в цепи в прежнем виде g 1 R + r (закон Ома для замкнутой цепи) и выясним, какой физический смысл имеет & в общем случае. Умножим обе части этого ра- равенства на it = q, где t — время протекания тока, a q — полный заряд, прошедший по цепи. Тогда i2Rt + i2rt = Ы = Щ. Но слева стоит полная работа, совершенная током во всей цепи, т.е. работа источника. Обозначая ее через Л, получаем А=Ш = Щ. F9.1) Следовательно, работа любого источника тока выражается про- произведением его ЭДС на полный заряд, прошедший по цепи. Полагая в F9 1) q — +1, мы получим & = А. Это позволя- позволяет дать определение ЭДС через работу: электродвижущая сила, действующая в какой-либо цепи, измеряется работой, соверша- совершаемой при перемещении заряда +1 по этой цепи. В § 64 мы говорили, что во всяком источнике тока на заря- заряды обязательно действуют какие-либо силы (сторонние силы), отличные от сил электростатического поля. Работа, которая со- совершается в цепи с ЭДС, и есть работа сторонних сил, и поэтому ЭДС можно выразить через эти силы = +1 Введем новую величину, которую назовем напряженностью поля сторонних сил. Мы определим ее как силу, действующую на заряд +1, которая обусловлена любы- любыми причинами, кроме электростатическо- электростатического поля. Тогда полная сила, действующая на заряд +1, будет суммой Е + Е*, где Е — напряженность электростатиче- Рис ^' К опРеДеле- ского поля, а Е* — напряженность поля нию ЭДС сторонних сил. Рассмотрим теперь замкнутую цепь I (рис. 95) с ЭДС и пред- предположим, что заряд +1 обходит эту цепь. Тогда совершаемая работа есть § dl, где индекс / обозначает проекцию соответствующей величины на направление перемещения dl, а интегрирование производится
§ 69 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И РАБОТА ИСТОЧНИКА ТОКА 145 по всей замкнутой цепи I. Но, согласно § 17, напряжение вдоль замкнутого контура в электростатическом поле равно нулю, т.е. idl = 0. Поэтому Ш= § Efdl. F9.2) Если Е* отлично от нуля только в части цепи, например на от- отрезке 1\ (рис. 95), то для всех других участков подынтегральное выражение в F9.2) будет равно нулю, и поэтому интегрирование можно производить только по участку цепи /i. Формула F9.2) дает самое общее определение ЭДС и пригод- пригодна для любых случаев. Если известно, какие именно силы вы- вызывают движение зарядов в данном источнике, то всегда можно найти напряженность поля сторонних сил Е* и по F9.2) вычис- вычислить полную ЭДС источника Измерить же ЭДС в любом случае можно по напряжению разомкнутого источника. Физическая природа электродвижущих сил в разных источ- источниках весьма различна. Так, например, в гальванических эле- элементах — это силы молекулярного взаимодействия (§ 195), в тер- термоэлектрических явлениях — силы давления электронного газа (§ 199), в электромагнитной индукции — силы электрического поля (однако не электростатического, а вихревого; см. § 131). Ниже будут рас- рассмотрены подробнее причины возникно- возникновения этих сил и будет показано, как в отдельных случаях можно вычислить ЭДС Сейчас мы ограничимся лишь одним особен- особенно простым примером Пусть имеется металли- металлический диск радиуса а (рис 96), вращающийся с угловой скоростью ш Диск включен в электри- электрическую цепь при помощи скользящих контак- п „_ _ т-* "не У6. Ниимеи вычис- тов, касающихся оси диска и его окру ясности В " „~F этом случае на каждый электрон металла дей- "=""¦» ^-v-w ствует центробежная сила, которая и является сторонней силой Поэтому в диске появляется ЭДС и между осью диска и его наружным краем воз- возникает напряжение Вычислим эту ЭДС. Центробежная сила равна F = тгш2, где г — расстояние от оси диска, am — масса электрона Эта сила действует на эаряд электрона е, и поэтому » _ F _ тгш2 е е Возникающая ЭДС равна О 2 О 9 9 с? (• * tnuj n тпш а ' ~ j r - е J r r - 2е
146 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ. VII Полагая о = 0,1 м, ш = 103 рад/с, т - 9 • 1СГ31 кг и е = 1,6 • 1СГ19 Кл, находим ЭДС: 2-1,6-10-" § 70. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа До сих пор мы имели дело с простыми электрическими це- цепями, представляющими собой один замкнутый контур. Рассмо- Рассмотрим теперь более сложный случай разветвленной цепи, пример которой изображен на рис. 97. Здесь имеются точки разветвле- разветвления А, В, С, D, F, где сходятся три и более проводов. Между точками разветвления находятся участки цепи 1,2,..., 7, кото- которые имеют определенные сопротивления г\, г%, .. -, r-j и могут содержать источники с ЭДС Ш\, 82, -.-, Щ- Изображенный контур может в свою очередь входить в состав более сложной цепи. Сопро- Сопротивления участков и действующих в них ЭДС будем считать заданны- заданными. Задача заключается в вычис- вычислении силы тока во всех участках цепи. Рассмотрим какую-либо точку разветвления, например точку F. В D n-7 d этой точке сходятся три участка E, гис. 97 Разветвленная цепь i /у\ ¦ 4 и 7), в которых имеются токи ?з> «4 и «7- Припишем этим токам определенные знаки: будем счи- считать их положительными, если они направлены к точке развет- разветвления («з), и отрицательными, если они направлены от нее (г4 и ii). Выбор знаков токов произволен, и мы могли бы считать, наоборот, токи, притекающие к узлу, отрицательными, а токи, уходящие от узла, — положительными. Алгебраическая сумма токов «з ~ Н — *7 есть заряд, прихо- приходящий к точке F за единицу времени. Если в данной цепи токи постоянны, то эта сумма токов должна равняться нулю, так как в противном случае потенциал рассматриваемой точки изменял- изменялся бы со временем, а значит, изменялись бы и токи в цепи. Это справедливо по отношению ко всякой точке разветвления, и по- поэтому для любой точки разветвления 5> = °- G0-1) Эта формула выражает первое правило Кирхгофа: алгебраиче- алгебраическая сумма сил токов в участках цепи, сходящихся в любой точке разветвления, равна нулю.
§ 70 РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ ПРАВИЛА КИРХГОФА 147 Выделим теперь в разветвленной цепи какой-либо замкну- замкнутый контур, например контур ABCFA (рис. 97). К отдельным его участкам можно применить закон Ома для участка цепи F8.3). Тогда для разности потенциалов точек А я В имеем Аналогично для других участков: Uв — Uc = UC-UF = i3r3 - g'3, Up — UA = ЧГА — <$4- Складывая почленно эти равенства, мы найдем, что сумма ле- левых частей равна нулю, откуда Подобное соотношение мы получим для любого замкнутого кон- контура, и поэтому Х> Х>п- G0.2) Написанное соотношение выражает второе правило Кирхгофа. Каждое из произведений ir определяет разность потенциалов, которая существовала бы между концами соответствующего участка, если бы ЭДС в нем была равна нулю, т.е. это произ- произведение есть падение напряжения, вызываемое током. Поэтому второе правило Кирхгофа можно выразить следующим образом: для любого замкнутого контура сумма всех падений напряже- напряжения равна сумме всех электродвижущихся сил в этом контуре. Правила Кирхгофа не выражают новых свойств электричес- электрического поля. Выше мы видели, что первое правило обозначает не что иное, как условие стационарности токов. Второе правило вытекает из того, что электрическое напряжение по замкнуто- замкнутому контуру равно нулю, а значит, это правило есть следствие основного свойства электростатического поля, согласно которо- которому работа при движении заряда по замкнутому контуру равна нулю (§ 17). Однако оба правила Кирхгофа весьма полезны при решении задач на разветвленные цепи. Применяя эти правила к точкам разветвления и к различным замкнутым контурам, входящим в состав сложной цепи, мы получаем уравнения для определения всех неизвестных токов. Можно показать, что получаемое при этом число независимых уравнений всегда равно числу неизвест- неизвестных токов, и поэтому оба правила Кирхгофа дают общий метод решения задач на разветвленные цепи. При составлении уравнений с помощью правил Кирхгофа G0.1) и G0.2) следует тщательно соблюдать правило знаков, приведенное в § 68. Так, например, в цепи рис. 97 ЭДС в участ-
148 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ. VII ке 1 следует брать со знаком плюс, а ЭДС в участке 6 — со знаком минус. В связи с этим правилом знаков может возникнуть кажуще- кажущееся затруднение при составлении уравнений. Ведь направления отдельных токов заранее неизвестны и должны быть найдены из решения задачи, тогда как само составление уравнений требует знания этих направлений. Однако на самом деле этой трудно- трудности не существует. При составлении уравнений можно с самого начала произвольно выбрать для каждого участка некоторые направления токов и считать их положительными. Иными сло- словами, можно сначала произвольно предположить, что токи в участках текут в определенных направлениях, и в соответствии с этим применить правило знаков для ЭДС. Действительное на- направление токов определится решением задачи: если какой-либо ток окажется положительным, то, значит, его направление сов- совпадает с предположенным; если он окажется отрицательным, то, значит, в действительности он направлен противоположно принятому положительному направлению. Отметим в заключение, что метод Кирхгофа приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений пер- первого порядка. Для сложных цепей это тре- требует вычисления детерминантов высокого порядка, что весьма кропотливо. Поэто- Поэтому были предложены различные вспомо- вспомогательные приемы, позволяющие умень- уменьшить число уравнений системы. Один из них рассмотрен в Добавлении 4. Пример 1. Параллельное соединение со- Рис. 98. Параллельное противлении. Шунт. Пусть в цепь источника с соединение сопротивле- ЭДС % и внутренним сопротивлением г включе- включений ньг два сопротивления п и гг, соединенные свои- своими концами в точках разветвления аи б (рис. 98). Вычислим силу тока в цепи. Выберем положительные направления токов так, как показано на рисунке. Тогда первое правило Кирхгофа для точки а дает i — i\ — гг = 0. Применяя второе правило Кирхгофа к контурам аг^бгх и аг\бШа и обходя их по часовой стрелке, имеем —r\i\ + гггг = 0, ri + nil = Щ. Мы получили три уравнения для определения трех неизвестных токов, и легко убедиться, что больше независимых уравнений нет. Исключим из первых двух уравнений ток ti. Это дает соотношение i2/i = п/(п +г2). Исключая из тех же уравнений ток г'г, найдем аналогично ii/i = г2/(г1 +г2).
§ 70 РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ. ПРАВИЛА КИРХГОФА 149 Поэтому Отношение сил токов в двух проводниках, соединенных параллельно, обратно пропорционально отношению их сопротивлений. Подставляя выражение для i\ в третье уравнение системы, находим i[r + Г1Г2/(г1 + г2)] = 8". Сравнивая полученное выражение с законом Ома F7.2), мы видим, что оба параллельно соединенных проводника имеют сопротивление R = пгг/(г1 +г2). Полученный результат можно записать в более удобном виде 1/Я=1/п + 1/г2. Если бы мы рассмотрели не два проводника, а какое угодно их количе- количество, то результат был бы аналогичен: R G0.3) г а Участок цепи, составленный из параллельно соединенных проводников, имеет проводимость, равную сумме проводимостей отдельных проводни- проводников. Параллельное соединение сопротивлений /~Г\ используют при устройстве шунта в измери- измерительных приборах. Пусть требуется измерить силу тока в какой-либо цепи при помощи ам- i_ перметра, который рассчитан на меньшую силу тока. В этом случае параллельно ампер- амперметру включают сопротивление г (рис. 99), гис. 99. Шунт называемое шунтом. Тогда, согласно полученным выше результатам, сила тока в цепи г связана с током амперметра гл соотношением г -CD- #!,/-, ?[,/-( R -сэ- Рис. 100. Батарея из п последовательно соеди- ненных источников тока, питающих нагрузку R Сравнивая эту формулу с ствует как один источник ление г имеют значения где га — сопротивление амперметра. Так, на- например, если при помощи амперметра, рассчи- рассчитанного на токи до 10 А, нужно измерять токи силой до 100 А, то должно быть (г + га)/г = 10, откуда г = г а/9. Пример 2. Соединение источников то- тока. Пусть п одинаковых источников соединены последовательно и замкнуты на внешнюю цепь (рис. 100). Обозначим ЭДС каждого источника а, через ©1, его внутреннее сопротивление через а сопротивление внешней цепи - через Я. Тогда Qe п л0 к гофа г(пп + Щ = пШ\. законом Ома F7.2), мы видим, что батарея дей- дейтока, у которого ЭДС "& и внутреннее сопротив- сопротив$' = nisi, г — nri.
150 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ. VII При последовательном соединении п одинаковых источников тока ЭДС батареи и ее внутреннее сопротивление в п раз больше, чем у одного источника. Рассмотрим теперь параллельное соединение, показанное на рис. 101. В этом случае все положительные полосы отдельных источников и все отрицательные полосы соединяются между собой и образуют два по- полюса а и. б батареи. Выберем положительные направления токов, как показано на рис. 101, и применим к изображенной цепи оба правила Кирхгофа. Первое правило для точки а дает г =ii +«г + ... +гт. Применяя второе правило к отдельным про- простым контурам цепи, получаем = W\ - %i - 0, i2 - пг3 = 0, im-i — r\im = 0, Рис. 101. Батарея из т Из этих уравнений (кроме последнего) находим ^ = j2 = j3 = . i ^ последнее уравнение дает параллельно соединен- ных источников тока, питающих нагрузку R im _ Отсюда видно, что такая батарея действует как один источник, для кото- которого % = isi, г = гх/т. При параллельном соединении т одинаковых источников тока ЭДС бата- батареи равна ЭДС одного источника, а внутреннее сопротивление батареи в т раз меньше, чем у одного источника. На рис. 102 показано смешанное со- соединение источников. Такая батарея со- состоит из т параллельно соединенных звеньев, в каждом из которых имеется п последовательно соединенных источни- источников. Легко сообразить, что ЭДС и вну- внутреннее сопротивление этой батареи име- имеют значения iS = n<S\, r = пп/т. Пользуясь соединением источников в батареи, можно изменять ЭДС и вну- внутреннее сопротивление в широких преде- пределах и осуществлять такие их значения, которые необходимы для питания данной внешней цепи. Пример 3. Компенсационный метод измерения ЭДС. Рассмотрим важный метод измерения ЭДС при помощи компен- Рис. 102. Смешанное соедине- соединение источников тока в батарею
§70 РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ ПРАВИЛА КИРХГОФА 151 сации. Схема этого метода показана на рис. 103. Два источника с ЭДС $ и is/ включены навстречу друг другу. Сопротивления П и Г2 — переменные, причем все время выполняется условие т\ + Г2 = R = const. Если можно ограничиться не очень высокой точностью (~1%), то осуществляют оба сопротивления г\ и Г2 в виде однородной проволоки, натяги- натягиваемой между точками а и б, a точка в определяется скользя- скользящим контактом. В точных из- измерениях сопротивления Г\ И Г2 Рис. 103. Принципиальная схема представляют собой магазины потенциометра сопротивлений. Выберем положительные направления токов, как показано на рисунке, и применим к рассматриваемой схеме правила Кирх- Кирхгофа. Первое правило для точек а и в дает ti — i — »' = 0. Второе правило для контуров а'ёбва и а&'ва приводит к урав- уравнениям ir + i{R — n) Эти уравнения вполне определяют все неизвестные токи. Од- Однако мы ограничимся частным случаем и предположим, что со- сопротивления п и Г2 подобраны таким образом, что ток в цепи гальванометра i' = 0. В этом случае написанные уравнения дают Н = г, i(R + r) = %, in = %'. Из двух последних уравнений находим Предположим теперь, что вместо источника с ЭДС ?' мы включили в схему другой источник с ЭДС if" и изменением пе- переменных сопротивлений вновь добились компенсации. Пусть Для этого вместо сопротивления т\ потребовалось ввести сопро- сопротивление г". Тогда щ" = R + r Деля почленно оба последних равенства друг на друга, находим
152 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII Это равенство и лежит в основе сравнения ЭДС при помощи метода компенсации. Отметим, что отношение сравниваемых ЭДС не зависит во- вовсе от внутренних сопротивлений источников и от других сопро- сопротивлений схемы и определяется только сопротивлениями участ- участка цепи, к которому подключаются сравниваемые источники. Не требуется знать и ЭДС вспомогательного источника 8", которая только должна быть достаточно постоянна во время измерения и должна быть больше обеих сравниваемых ЭДС ft' и Ш . Для измерения ЭДС этим методом в качестве одного из сравнива- сравниваемых источников выбирают нормальный элемент (§ 22), ЭДС которого известна очень точно. Для практического измерения ЭДС компенсационным мето- методом служат потенциометры, устроенные в принципе по схеме рис. 103. Переменные сопротивления г\ и Г2 выполняются в них обычно в виде точных магазинов сопротивления с кнопочны- кнопочными контактами и спаренными рукоятками и увеличение одного из сопротивлений автоматически сопровождается соответствую- соответствующим уменьшением другого. § 71. Мощность во внешней цепи и коэффициент полезного действия источника тока Рассмотрим теперь практически важный вопрос об использовании энер- энергии источника тока. Пусть какой-либо источник с ЭДС iS и внутренним сопротивлением г замкнут на внешнюю цепь с сопротивлением R. Во внешней цепи будет выделяться мощность Ра, равная Ра = Ui = Ri2 ~ I ~ Предположим теперь, что мы желаем получить во внешней цепи макси- максимальную мощность (Ра)макс, возможную при данном источнике, и для это- этого меняем внешнее сопротивление R. Значение R = Rm, соответствующее максимальной мощности, мы получим, дифференцируя выражение Ра по R и приравнивая первую производную нулю Это дает dR ~С> (r откуда, учитывая, что г и R всегда положительны, получаем Rm =Г. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения, если сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению ис- источника. При этом ток в цепи равен <s/2r, те. половине тока короткого замыкания, а наибольшее возможное значение мощности есть (Ра )макс = 82/4г.
§71 МОЩНОСТЬ ВО ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ И КПД ИСТОЧНИКА ТОКА 153 Однако при практическом использовании источников тока важна не только мощность, но и их коэффициент полезного действия (КПД). Когда источник работает на внешнюю цепь, то ток протекает также и внутри ис- источника, и поэтому некоторая мощность тратится бесполезно на выделение тепла внутри источника. Эта мощность имеет значение Р, = П\ тогда как полная мощность источника р = т2 + н Поэтому КПД источника равен г, = Ра/Р = Так как всегда [/ ^ ё, то и т; ^ 1. Рассмотрим подробнее, как зависят Ра и 7/ от силы тока г, отбираемой от источника. Полезную мощность Ра можно представить в следующем виде: = т. Мощность во внешней цепи Ра меняется с изменением г по параболическому закону; Ра обращается в нуль, если i(e-ri) =0. Это дает два значения тока: i\ = 0 и г'г = <s/r. Первое решение соответству- соответствует разомкнутой цепи (Д> г), а второе — короткому замыканию (R <С г). Зависимость КПД от силы тока выражается следующей формулой: т, = Ра/Р = (Ш - ri2)/&i = 1 - п/Ш. КПД достигает наибольшего значения i/=1b случае разомкнутой цепи и затем уменьшается по линейному закону, обращаясь в нуль при коротком замыкании Зависимость Р, Р, и ij от силы тока i изображена графически на рис. 104. Мы видим, что условия получения наибольшей полезной мощности Ра и наибольшего КПД т] несовмести- несовместимы. Когда Ра достигает наибольше- наибольшего значения, сила тока равна <§/2г и КПД 7/ = 1/2, или 50%. Когда же КПД т] близок к единице, полез- полезная мощность Ра мала по сравнению С МакСИМаЛЬНОЙ МОЩНОСТЬЮ (Ра)макс, которую мог бы развить данный ис- источник. В силовых электрических уста- установках важнейшим требованием яв- является получение высокого КПД. А для этого должно быть п п Рис. 104. Зависимость мощности источника Р, мощности во внешней цепи Ра и КПД источника т/ от силы тока g (R + r)i R + r ' т.е. внутреннее сопротивление г ис- источника должно быть мало по срав- сравнению с сопротивлением R нагрузки (сети). При этом мощность Р,, выде- выделяемая внутри источника, мала по сравнению с полезной мощностью Ра в нагрузке.
154 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII В случае короткого замыкания, как мы видели выше, Рй = 0 и вся мощность выделяется внутри источника, что может привести к перегре- перегреву внутренних частей источника и выходу его из строя По этой причине короткие замыкания мощных источников (генераторы постоянного тока, аккумуляторные батареи) недопустимы. § 72. Закон сохранения энергии для электрического поля Закон сохранения энергии есть общий закон природы, и по- поэтому он применим и к электрическим явлениям. При разборе превращений энергии в электрическом поле удобно различать два случая: 1) заряды проводников не изменяются (т.е. провод- проводники изолированы) и 2) потенциалы проводников не изменяют- изменяются (проводники присоединены к источникам тока). Рассмотрим сначала второй случай. Положим, что мы имеем систему тел (проводников и диэлек- диэлектриков) и даем возможность этим телам совершить бесконечно малые и бесконечно медленные (квазистатические) возможные перемещения. Температуру тел будем поддерживать постоян- постоянной, для чего потребуется отводить тепло от тел, если оно выде- выделяется, или сообщать его телам, когда оно поглощается. Диэлек- Диэлектрики будем считать изотропными и слабо сжимаемыми и со- соответственно плотность их постоянной. При этих условиях доля внутренней энергии тел, не связанная с электрическим полем, не будет изменяться. Кроме того, диэлектрическая проницаемость диэлектриков (которая зависит от плотности и температуры) тоже будет оставаться постоянной. Посмотрим, какие превра- превращения энергии будут происходить в рассматриваемой системе. На всякое тело, находящееся в электрическом поле, действу- действуют силы. Эти силы называют иногда пондеромоторными сила- силами поля, т.е. действующими на тела, в отличие от электродвижу- электродвижущих сил неэлектростатического происхождения, действующих на заряды внутри тел. При бесконечно малом перемещении тел пондеромоторные силы поля произведут бесконечно малую ра- работу, которую мы обозначим через 5А. Далее, в § 37 мы видели, что электрическое поле заключа- заключает в себе определенную энергию. Если тела перемещаются, то электрическое поле между ними изменяется, а следовательно, и его энергия также изменяется. Обозначим увеличение энергии поля при бесконечно малом перемещении тел через dW. При перемещении проводников изменяется их взаимная ем- емкость, и поэтому, чтобы их потенциалы оставались постоянны- постоянными, к проводникам нужно либо подводить, либо убирать с них некоторые заряды. Тогда каждый из источников тока совершит работу 8 dq = tfidt, где 9 - ЭДС источника, г — сила тока в
§ 72 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 155 нем, a dt — время перемещения. При этом в рассматриваемой системе тел появятся электрические токи и в каждой ее части будет выделяться соответствующее тепло Джоуля-Ленца ri dt. Вследствие закона сохранения энергии работа всех источников тока должна быть равна механической работе сил электричес- электрического поля + увеличение энергии электрического поля + тепло Джоуля-Ленца: ]Г Ш dt = 5 А + dW + ]Г ri2 dt. G2.1) Если все проводники и диэлектрики неподвижны, то 5А = = dW = 0и вся работа источников тока превращается в тепло. Рассмотрим теперь другой случай, когда не изменяются за- заряды проводников. Здесь источники тока не входят в рассматри- рассматриваемую систему, и поэтому левая часть в формуле G2.1) равна нулю. Кроме того, тепло Джоуля-Ленца (которое может воз- возникать в результате перераспределения зарядов в телах при их перемещении) обычно пренебрежимо мало по сравнению с дру- другими слагаемыми. Тогда закон сохранения энергии дает SA + dW = 0. G2.2) В этом случае механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля. Пользуясь законом сохранения энергии, во многих случаях можно вычислить механические силы в электрическом поле го- гораздо проще, чем непосредственно рассматривая действие поля на отдельные части тел. Для этого поступают следующим об- образом. Если нужно найти силу F, действующую на какое-либо тело в поле, то предполагают, что это тело совершает какое- либо малое возможное перемещение dr. Тогда работа неизвест- неизвестной силы будет Frfr = Frdr. Потом вычисляют все остальные изменения энергии, вызванные этим перемещением, и затем из закона сохранения энергии G2.1) или G2.2) находят проекцию неизвестной силы Fr на направление dr. Выбирая рассматрива- рассматриваемые перемещения параллельными координатным осям, можно найти составляющие силы по этим осям, а значит, определить неизвестную силу по модулю и направлению. Пример 1. Вычислим силу притяжения F между пластинами плос- плоского конденсатора, находящегося в однородном и изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е. Диэлектрик будем представлять се- себе в виде жидкости, которая при перемещении пластин может входить в конденсатор или выходить из него Пластины отключены от источника. Из соображений симметрии ясно, что в данном случае сила может быть только перпендикулярна к поверхности пластин, и поэтому возможное пе- перемещение следует выбирать по нормали к пластинам. Если расстояние между пластинами уменьшается на dx, то механиче- механическая работа равна 6A = Fdx
156 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII Изменение энергии поля dW = -{ееоЕ2 /2M dx и уравнение G2.2) дает F = (??0E2/2)S. Таким образом, сила, действующая на единицу поверхности пластины (ме- (механическое напряжение), равна / = F/S = ??ОЕ2/2, G2.3) т.е. объемной плотности энергии электрического поля. Если бы между пластинами был вакуум (е = 1), то сила была бы равна Fo = {e0E2/2)/S. При заполнении конденсатора, отключенного от источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в е раз, а, следова- следовательно, сила притяжения изменяется в еA/еJ = 1/е раз, т.е. становится в ? раз меньше. Отметим, что полученный результат на первый взгляд кажется непо- непонятным. Действительно, ведь заряды обкладок находятся вне диэлектрика, где напряженность поля такая же, как и в вакууме, и поэтому неясно, поче- почему же сила взаимодействия уменьшается в е раз. Объяснение заключается в том, что в случае жидких и газообразных диэлектриков появляются еще силы электрострикции (§ 45), которые расталкивают пластины конденса- конденсатора. Результирующая сила равна разности между силой электростатиче- электростатического притяжения между пластинами (которая не изменяется при введении диэлектрика) и силой электрострикции. Закон сохранения энергии автоматически учитыва- учитывает все силы, действующие в системе, и пока- показывает, что эта результирующая сила умень- уменьшается в е раз. Если бы между диэлектриком и пластинами конденсатора был хотя, бы очень тонкий зазор, то силы электрострикции не передавались бы пластинам и сила взаи- взаимодействия между ними не менялась бы при введении диэлектрика. Пример 2. Рассмотрим плоский кон- конденсатор, частично погруженный в жидкий диэлектрик (рис. 105). При заряжении пла- пластин на жидкость в области неоднородного поля действуют силы (§ 38) и жидкость втя- втягивается в конденсатор. Вычислим силу /, с которой электрическое поле действует на каждую единицу горизонтальной поверхности жидкости. При расчете будем считать, что пластины присоединены к источ- источнику напряжения, а, следовательно, напряжение U и напряженность поля Е = U/d между пластинами постоянны. Если высота жидкости h увеличится на dh, то работа искомой силы равна dA = Sf dh, где 5 — горизонтальное сечение конденсатора. Изменение энергии электри- электрического поля равно dW = (??0Е2/2 - ?OE2/2)Sdh. Рис. 105. Втягивание жид- жидкого диэлектрика в элек- электрическое поле
§ 73 КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ 157 На пластины перейдет дополнительный заряд dq = {ее0Е — EoE)adh (a — ширина пластин), и работа источника тока будет &dq = Udq = U{ee0E - Е0Е)а dh = {ee0E2 - e0E2)Sdh. Мы предположили, что сопротивление проводов весьма мало, и в соответ- соответствии с этим считали Ш = U. Подставляя эти выражения в уравнение G2.1), находим / = ее0Е2/2 - ?0Е2/2. G2.4) Механическое напряжение / равно разности объемных плотностей энергии электрического поля с обеих сторон границы раздела (ср. § 101). Отметим, что полученный результат, разумеется, не зависит от сопро- сопротивления проводов. Если бы мы положили это сопротивление не малым, то, объединяя в G2.1) два члена: ffAdt и ri2 dt, мы нашли бы, что Ш dt = ri2 dt = ($- ri)i dt = Ui dt, т.е. то же, что и раньше. § 73. Квазистационарные токи До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Од- Однако полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам, если только изменение силы тока про- происходит не слишком быстро. Действительно, представим себе, что в некотором контуре с постоянным током электродвижущие силы изменились на ма- малую величину. Сила тока в контуре начнет изменяться, но через некоторое время достигнет нового установившегося значения. Изменяя ЭДС небольшими ступенями, мы создадим в конту- контуре ступенчато изменяющийся ток, к отдельным установившимся Значениям которого будут применимы все законы постоянного тока. Представим себе теперь, что мы увеличиваем число ступеней тока, уменьшая одновременно величину каждой ступени. Тогда в пределе мы получим непрерывно изменяющийся ток. Если из- изменения тока настолько медленны, что за время установления Электрического равновесия в цепи относительные изменения то- токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем законам постоянных токов, как и при ступен- ступенчатом изменении тока. Такие токи называют медленно меняю- меняющимися или квазистационарными. Отметим, что скорость установления электрического равно- равновесия весьма велика, и поэтому под понятие квазистационарных Токов подпадают в обычном смысле весьма быстрые процессы. Все технические переменные токи являются квазистационарны- квазистационарными. Даже очень быстрые электрические колебания, употребляе- употребляемые в радиотехнике, с частотами порядка миллиона колебаний В секунду, очень часто можно еще рассматривать как квазиста- Ционарные.
158 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ VII Из сказанного следует, что задачи на квазистационарные электрические процессы можно решать при помощи законов по- постоянных токов, если применять эти законы к мгновенным зна- значениям электрических величин Однако при этом вместо алге- алгебраических соотношений мы приходим к дифференциальным уравнениям, интегрирование которых и дает зависимость иско- искомых величин от времени Чтобы неустановившийся электрический процесс был квазистационар- квазистационарным, необходимо выполнение двух условий Первое из них относится к про- процессам внутри проводника А именно, можно показать (см Добавление 5), что если внутри проводящей среды возник избыточный объемный заряд с плотностью р, то этот заряд под действием вызванного им самим электро- электростатического поля будет уменьшаться с течением времени по закону р = ро ехр (-t/тм) G3 1) Здесь ро — объемная плотность заряда в момент времени t — О, а тм = еое/Х, G3 2) где е — диэлектрическая проницаемость среды, А — ее удельная элек- электрическая проводимость Время тм называется временем диэлектрической релаксации или временем релаксации Максвелла Оно равно времени, в те- течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,71 раза Время ре- релаксации Максвелла, следовательно, определяет порядок времени, в тече- течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов Чтобы токи можно было считать квазистационарными, характерное вре- время рассматриваемого неустановившегося процесса Г должно удовлетворять условию тм < Т G3 3) Если токи изменяются со временем периодически (электрические коле- колебания), то под Г следует понимать период колебаний и сформулированное условие примет вид LJTM "С 1, где ш = 27г/Т — круговая частота колебаний Однако при рассмотрении электрических контуров (цепей) следует на- наложить еще одно условие на размеры контура Дело в том, что при любом изменении электрического состояния в какой-либо части контура электри- электрическое возмущение распространяется вдоль контура с конечной скоростью, равной (гл XXII) Здесь с ~ 3 108 м/с — скорость света в вакууме, а е и ц — диэлектри- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающей проводники Если / — длина контура, то время прохождения возмущения вдоль контура равно r = l/v = (l/c)y/Ejl G3 4) Поэтому второе условие квазистационарности токов есть г < Т G3 5) Для периодически изменяющихся токов оно имеет вид изт < 1 G3 5а)
§74 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ 159 При выполнении этого условия мгновенные значения всех электрических величин в каждой части контура будут такими же, как и в случае постоян- постоянного тока В частности, для простого неразветвленного контура мгновенная сила тока в любом сечении проводника одинакова Значение тм изменяется в широчайших пределах В плохо проводящих веществах (диэлектриках) оно может измеряться многими минутами В ме- металлах вследствие их большой электропроводности тм равно по порядку величины 10 ~17 с В зависимости от свойств проводников одно из условий квазистацио- квазистационарности G3 3) и G3 5) обычно гораздо сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является определяющим § 74. Конденсатор в цепи с сопротивлением В качестве примера квазистационарных токов рассмотрим процессы зарядки и разрядки конденсатора. Пусть конденсатор с емкостью С включен в схему рис. 106 Тогда, ставя переклю- переключатель в положение 1, мы будем заряжать конденсатор от ис- источника тока, а перебрасывая переключатель в положение 2, — разряжать конденсатор Рассмотрим сначала процесс зарядки конденсатора Обозна- Обозначим через Ш ЭДС источника, через г — сопротивление цепи (включая и внутреннее сопротивление источника) и выберем положительное направление тока, как показано на ри- рисунке Применяя к контуру &гС& вто- второе правило Кирхгофа, получим п + U = Щ I г 1——1 1 1 /¦ 1 1 1 + 1 1 - -*i - С здесь г — мгновенное значение силы то- тока, U — мгновенное значение напряже- напряжения на конденсаторе Но U = q/C, г = dq/dt, где q — заряд конденсатора. Из напи- рИс 106 Заряжение и санных трех равенств мы можем исклю- разряжение конденсатора чить две из трех переменных величин q, г и U и получить уравнение для какой-либо одной из них Ис- Исключая q и г, находим dt гС гС Мы получили для определения U дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами Введем новую переменную u = U — Ш. Тогда du
160 ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ. VII В этом уравнении переменные разделяются, и в результате ин- интегрирования находим Постоянная интегрирования А зависит от начального усло- условия. Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента за- замыкания переключателя. Тогда начальное условие имеет вид t = 0: G = 0, и = -Ш. Это дает А = -$. Возвращаясь к прежней переменной U, находим окончательно для напряжения на конденсаторе выражение G4.1) При t = 0 это выражение дает U = 0 в соответствии с началь- начальным условием задачи. С увеличением времени t напряжение U непрерывно увеличивается и асимптотически приближается к ЭДС источника. Зависимость зарядного тока от времени имеет вид . -С/Ч-8" » ( t Сила тока имеет наибольшее значение в начальный момент вре- времени и асимптотически стремится к нулю в процессе зарядки. В случае разрядки конденсатора исходные уравнения будут ri = U, U = q/C, i = -dq/dt. В отличие от предыдущего, в выражение для тока г входит знак минус, так как выбранное нами положительное направление то- тока соответствует уменьшению заряда конденсатора. Исключая из написанных равенств q и г, получим dt + rC U' откуда ( Если начало отсчета времени совпадает с началом процесса раз- разрядки, то начальное условие будет t = 0: U = П. В этом случае постоянная интегрирования равна В = Ш, и зависимость напряжения конденсатора от времени имеет вид G4.2)
§ 74 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ 161 Полученные результаты показывают, что процессы заряже- заряжения и разряжения (установление электрического равновесия) происходят не мгновенно, а с конечной быстротой. Для рас- рассмотренного контура, содержащего сопротивление и емкость, быстрота установления зависит от произведения Т - гС, G4.3) которое имеет размерность времени и называется постоянной времени данного контура. Постоянная времени показывает, че- через какое время после выключения ЭДС напряжение (а значит, и напряженность поля внутри конденсатора) уменьшается в е = = 2,71 раза. Если г и С выражать в единицах системы СИ (в омах и фарадах), то Т будет выражено в секундах. Мы полу- получим Т в секундах и в том случае, если будем выражать г и С в единицах системы СГС, так как в обеих этих системах единицей времени служит секунда. При решении задачи мы сразу предположили, что процессы являют- являются квазистационарными. Правильность этого можно выяснить a posteriori, проверяя, удовлетворяет ли полученное решение условиям квазистационар- квазистационарности G3.3) и G3.5). Характерным временем рассматриваемых процессов является постоянная времени Т = гС. Так, например, если емкость конденсатора С = 1 мкФ, а сопротивление контура г = 1 Ом, то Т = 10~6 ¦ 1 = 10~6 с. Таким образом, условие G3.3) выполняется с большим запасом, так как гм внутри металлов на много порядков меньше Т (ср. § 73). Если, далее, длина контура / = 1 м, то время распространения возмущения т = l/v и 10~8 с. Поэтому и условие G3.5) тоже выполняется и, следовательно, наше решение правильно. Однако при уменьшении Сиг условие G3.5) может оказаться нарушенным. В этом случае мы должны уже рассматривать процессы совсем иначе, а именно, как распространение электромагнитных волн вдоль контура (см. гл. XXII).
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛАВА VIII МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ § 75. Магнитное взаимодействие токов Мы уже говорили, что электрические токи действуют на маг- ниаы и, обратно, магниты действуют на электрические токи (§ 55). Подобным образом взаимодействуют и два проводника с током. Взаимодействие токов было открыто практически одновре- одновременно с действием тока на магнитные стрелки в 1820 г. и подроб- подробно изучено Ампером, который исследовал поведение подвижных проволочных контуров различной формы, укрепленных в специ- специальных приспособлениях (станки Ампера) Рис 107 Станок Ампера с прямоугольной рамкой Взаимодействие двух прямых токов На рис. 107 изображен станок Ампера с прямоугольным кон- контуром. Он содержит прямоугольную проволочную рамку, укреп- укрепленную на двух вертикальных остриях, опирающихся о днища двух чашек с ртутью. Вследствие ничтожного трения в игольча- игольчатых подшипниках рамка может свободно поворачиваться вокруг
§75 МАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ 163 вертикальной оси, оставаясь все время включенной в цепь тока при помощи ртутных контактов Если приблизить к подвижной рамке другую (неподвижную) рамку с током, то можно наблюдать взаимодействие токов. При достаточном сближении одного из ребер подвижной рамки с каким-либо из ребер неподвижной рамки можно считать, что практически взаимодействуют только сближенные ребра, и та- таким образом исследовать взаимодействие двух прямолинейных токов. При этом легко обнаружить, что токи, направленные одинаково (параллельные), притягиваются друг к другу, а то- токи, направленные противоположно (антипараллельные), оттал- отталкиваются друг от друга. Пользуясь таким станком, можно исследовать взаимодей- взаимодействие тока и магнита и двух токов между собой Если подне- поднести к одному из вертикальных ребер подвижной рамки с током прямой магнит, то рамка поворачивает- поворачивается. При замене северного полюса магни- магнита на южный направление силы изменя- изменяется и рамка начинает поворачиваться в обратную сторону Направление силы изменяется и в том случае, если изме- изменить направление тока в рамке. На рис. 108 показан станок Ампера с прямой длинной катушкой (соленоид). Если подносить к концам такого солено- соленоида прямой магнит, то обнаруживается, что один из концов соленоида отталки- отталкивается oi северного полюса магнита, но притягивается к южному полюсу, в то время как для второго конца соленоида Рис 108 Прибор Ампе- наблюдается обратное. Этот опыт пока- p&j B котором рамка заме- зывает, что соленоид с током ведет себя Нена соленоидом как прямой магнит. Тот конец соленоида, который обтекается током против часовой стрелки (если смо- смотреть в торец катушки), соответствует северному полюсу маг- магнита (указывающему на север), а конец, обтекаемый током по часовой стрелке, соответствует южному полюсу магнита Если убрать магнит, то соленоид с током устанавливается так же, как магнитная стрелка компаса, в направлении магнитного мериди- меридиана Земли Заменяя в предыдущем опыте магнит другим (неподвиж- (неподвижным) соленоидом, можно исследовать взаимодействие двух со- соленоидов. При этом вновь легко убедиться, что каждый из со- соленоидов по своим действиям подобен прямому магниту. Описанные опыты и им подобные показывают, что взаимо- взаимодействие контуров с током подобно действию токов на магниты,
164 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII а также действию магнитов на токи. Поэтому рассмотренное взаимодействие проводников с током получило название маг- магнитного взаимодействия. Магнитное взаимодействие проводников отлично от электри- электрического взаимодействия, рассмотренного в гл. I. Электрическое взаимодействие возникает при наличии зарядов на проводниках и зависит от этих зарядов; магнитное же взаимодействие не за- зависит от зарядов проводников, возникает только при наличии токов в проводниках и зависит от этих токов. Если заряжен- заряженное тело находится внутри замкнутой металлической оболочки, то действие на него других зарядов, находящихся вне оболоч- оболочки, не наблюдается. Если же заэкранировать проводящей обо- оболочкой один из контуров с током, то магнитное взаимодействие сохраняется. При истолковании магнитного взаимодействия то- токов мы встречаемся с теми же вопросами, что и при объяснении электрического взаимодействия зарядов. И здесь можно спро- спросить, почему возникают силы, действующие на контур с током в присутствии другого контура, и как эти силы передаются от одного проводника к другому? Происходят ли какие-либо из- изменения в пространстве возле провода с током, когда другого провода нет и магнитное взаимодействие не проявляется? По тем же причинам, которые изложены в § 8, современная физика отвергает возможность дальнодействия в магнитных яв- явлениях, так же как и в электрических. Причину возникновения сил магнитного взаимодействия мы видим в появлении вокруг проводников с током магнитного поля. Мы увидим далее, что магнитное поле является носителем ряда физических свойств. Основное свойство магнитного поля заключается в том, что на проводники с током, находящиеся в нем, действуют силы. Магнитное поле возникает вокруг провода с током всегда, даже в отсутствие других проводников, когда магнитное вза- взаимодействие не наблюдается. И в этом случае в окружающем проводник пространстве происходят определенные физические изменения. Основная задача исследования магнитных явлений заключается в изучении свойств магнитного поля и законов, ко- которым оно подчиняется. Мы начнем изучение магнитных явлений с исследования вза- взаимодействия между токами. Сначала мы рассмотрим это взаи- взаимодействие в вакууме, а затем учтем влияние среды на магнит- магнитные явления. § 76. Магнитная индукция В опытах Ампера было прежде всего установлено, что сила взаимодействия двух проводников пропорциональна силе тока в каждом из них. Далее опыты показали, что если провод с то-
§76 МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 165 б Ж 2 4%5 Рис 109 Изогнутые про- проводники (а, б) не произво- производят магнитного действия ком изогнуть, как показано на рис. 109 а, то он не производит магнитного действия. И, обратно, такой проводник не испыты- испытывает действия силы со стороны других проводников. Магнитное действие не наблюдается и в том слу- случае, если одну часть провода (и притом произвольным образом) обвить вокруг другой (рис. 109 6). Из этих результатов вытекает за- заключение, что какие-либо элементы проводника dli, dl? и dlz совместно (рис. 110) производят такое же магнит- магнитное действие, как один элемент dl, за- замыкающий эти отрезки. В частности, действие изогнутых отрезков 12 и 23 проводника на рис. 109 б оказывается таким, как если бы вместо них был прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 3, действие 34 и ^5 равно действию 35 и т.д., поэто- поэтому действие всего этого проводника такое же, как и проводника на рис. 109 а, т.е. равно нулю. Из сказанного следует, что маг- магнитное действие бесконечно малого отрезка du провода зависит от произведения i dl, где i — сила тока, a dl — вектор, имеющий длину от- отрезка dl и направленный вдоль тока. Это про- произведение называют элементом тока. Сила взаимодействия контуров конечных размеров складывается из взаимодействия отдельных элементов тока. Она зависит от размеров контуров, их формы и взаимного расположения, и поэтому сформулировать об- общий закон взаимодействия контуров с током нельзя. Однако такой закон можно дать для элементов тока. Понятие элемента тока в законах магнитного взаимодействия играет ту же роль, что и понятие точечного за- заряда в законах электрического взаимодействия. Результаты опытов Ампера и последующих многочисленных исследований можно сформулировать следующим образом. Спо- Способность магнитного поля вызывать появление механической си- силы, действующей на какой-либо элемент тока, можно количест- количественно описать, задавая в каждой точке поля некоторый вектор В. При этом сила, действующая на элемент тока г dl, равна dF = i[dlB]. G6.1) Величина В называется магнитной индукцией и является основной характеристикой магнитного поля. Соотношение же G6.1) есть определение магнитной индукции. Рис. 110 К поня- понятию элемента тока
166 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII G6.1а) векторного произведения Полную силу, действующую на проводник конечных разме- размеров, можно найти, суммируя силы на отдельных его элементах. Если имеется прямолинейный отрезок провода и магнитная ин- индукция во всех его точках постоянна, то из формулы G6.1) по- получаем F = г[1В]. В соответствии с определением двух векторов (§ 15) эта сила равна F = *?Bsin(l,B). G6.16) Направление силы перпендикулярно к 1 и В и подчиняется пра- правилу правого буравчика: при движении рукоятки буравчика от вектора 1 к вектору В поступательное дви- движение буравчика происходит в направле- направлении силы F. Взаимное расположение век- векторов 1, В и F показано на рис. 111. Посмотрим теперь, как можно найти магнитнз'ю индукцию, входящую в форму- формулу G6.1). Опыт показывает, что для маг- магнитного поля, так же как и для электри- электрического, в широкой области изменения магнитной индукции справедлив принцип наложения, или суперпозиции: если имеет- имеется несколько контуров с током, каждый из которых создает магнитные индукции Bi, B2 и т.д., то магнит- магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме ин- индукций отдельных контуров: В = Bi + В2 -+- . Отсюда можно заключить, что принцип суперпозиции справед- справедлив и для элементов тока. Поэтому магнитную индукцию, создаваемую каким-либо контуром с током, можно найти, суммируя магнитные индук- индукции от отдельных элементов тока, на которые можно разбить данный контур. Чему же равна индукция, создаваемая элемен- элементом тока? Опыт дает, что правильные значения сил магнитного взаимо- взаимодействия мы получим в том случае, если примем, что индукция магнитного поля элемента тока равна dB = K—sT- I76-2) Рис Ш магнитного ток Действие поля на Здесь г — радиус-вектор, проведенный из элемента тока в рас- рассматриваемую точку, а К — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц.
§76 МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 167 Из G6.2) следует, что магнитная индукция в точке, удален- удаленной на расстояние г от элемента тока, равна dB = к1-^^-, G6.2а) где i9 — угол между d\ и г (рис. 112). Направление dB перпенди- перпендикулярно к d\ и г, т.е. перпендикулярно к плоскости, в которой они лежат. Это направление подчиняется правилу правого бу- буравчика; направление магнитной индукции совпадает с направ- направлением движения конца рукоятки буравчика с пра- правой нарезкой, движущегося поступательно в направле- направлении тока. Так, например, если ток течет вертикально сверху вниз (рис. 112), то правый буравчик нужно вращать по часовой стрелке (глядя сверху); поэтому магнитная индукция в точке а будет направлена от чертежа к читателю, в точке б она направлена противоположно, от чита- читателя за чертеж. Формула G6.2) носит название зако- закона Био-Савара-Лапласа. Формулы G6.1) и G6.2) совместно вполне опреде- определяют закон взаимодействия двух элементов тока. Рассмотрим в качестве примера два параллельных элемента тока i\ d\\ и 12 db, показанные на рис. 113. Так как sin (dl\, Г12) = = 1, то формула G6.2а) дает, что индукция, со- создаваемая элементом то- тока iidli, равна dB\ = = Ki\ dlijr\2. Она пер- перпендикулярна плоскости _, 11О _ чертежа и направлена от Рис. ИЗ Два параллельных элемента тока Ч1?атедя за чертеж. То- гда по формуле G6.16) получаем, что сила, действующая на эле- элемент тока %i dl.2, равна dF = К j ? G6.3) так как sin(cfl2,B) = 1. Она направлена вдоль линии, соединя- Рис 112 аа тока Магнитная индукция элемен- i\(u\
168 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII ющей оба элемента тока, от элемента тока 2 к элементу тока 1. Сила, действующая на второй элемент тока i\ d\\, имеет такую же величину, но направлена противоположно. Отметим, что закон взаимодействия токов, выражаемый формулами G6.1) и G6.2), на первый взгляд не удовлетворяет третьему закону Нью- Ньютона, Так, например, для двух элементов тока 1 и 2, изображенных на рис. 114, индукция, создаваемая током 1 в точке 2, равна нулю, так как sin(cWi,ri2) = 0. Поэтому и dF\2 — 0. (Индукция же, создаваемая током 2 в 2 точке 1, отлична от нуля и направле- 1на перпендикулярно току 1, а следо- _ „ вательно, cfi<2i не равна нулю. Такой clY dt\2-u результат получился потому, что на опыте можно исследовать только вза- взаимодействие замкнутых контуров ко- Рис. 114. Два взаимно перпенди- нечной величины. Поэтому из опыта кулярных элемента тока можно вывести закон взаимодействия элементов тока только с точностью до некоторого слагаемого, обращающегося в нуль при суммировании по зам- замкнутому контуру. Такое слагаемое опущено в G6.2), что и является при- причиной кажущегося нарушения третьего закона Ньютона. Однако это сла- слагаемое не играет никакой роли, так как, применяя формулы G6.1) и G6.2) к замкнутым контурам, мы всегда получаем результаты, согласующихся с третьим законом Ньютона. § 77. Абсолютная электромагнитная система единиц В выражение G6.2) для магнитной индукции входит коэф- коэффициент пропорциональности Л", зависящий от выбора единиц. Поэтому для вычисления сил магнитного взаимодействия мы должны остановиться на какой-либо определенной системе еди- единиц и определить, какое значение имеет К в выбранной системе. Если пользоваться абсолютной системой единиц СГС, по- построенной на трех основных механических единицах, то длины dl-y, dl2, т\2 нужно измерять в сантиметрах, а силу — в динах. Единица силы тока при этом будет производной, и поэтому ее можно выбрать такой, чтобы коэффициент пропорционально- пропорциональности К обратился в единицу. Такая единица силы тока получила название абсолютной электромагнитной единицы силы тока (СГСМ{). Выражая из формулы G6.3) силу тока и заменяя (в соответ- соответствии с правилом образования производных единиц) в получен- полученном выражении физические величины их единицами, находим 1 СГСМ; = 1 дин1/2. Эта единица отличается от единицы силы тока в системе СГСЭ. Учитывая выражение единицы заряда в системе СГСЭ
§ 77 АБСОЛЮТНАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ 169 (§ 3), имеем 1 СГСЭ; = 1 дин1/2 . см/с. Если г'э — сила некоторого тока, измеренная в системе СГСЭ, а гы — сила того же тока в системе СГСМ, то можно написать *м = -гэ, G7.1) где с — некоторая размерная постоянная, называемая электро- электродинамической постоянной. Ее размерность совпадает с размер- размерностью скорости. Значение постоянной с можно определить только из опытов. Такие опыты были произведены А.Г. Столетовым, Вебером и другими исследователями. Тщательно изготовленный конденса- конденсатор, емкость которого была точно определена, заряжался много раз в секунду и разряжался через цепь, содержащую гальвано- гальванометр. Напряжение, до которого заряжался конденсатор, измеря- измерялось электростатическими методами, откуда можно было опре- определить заряд конденсатора и силу тока в электростатических единицах. Измеряя тот же ток гальванометром, основанным на магнитном действии тока, можно было найти его значение в маг- магнитных единицах и отсюда определить с. Эти опыты привели к заключению, что электродинамическая постоянная равна скоро- скорости распространения света в вакууме 3 • 1010 см/с. Такое совпадение не случайно. Еще во второй половине XIX в. Максвелл развил электромагнитную теорию света, со- согласно которой свет есть электромагнитные волны, и теорети- теоретически показал, что в вакууме скорость света, как и скорость распространения любых электромагнитных волн, должна быть равна электродинамической постоянной. Исходя из закона магнитного взаимодействия токов, можно построить новую систему электрических единиц — абсолютную электромагнитную систему. В этой системе все механические единицы остаются такими же, как в системе СГСЭ (сантиметр, грамм, секунда), но в основу определения электрических и маг- магнитных единиц кладется не электростатическая единица заряда (как в системе СГСЭ), а электромагнитная единица силы тока. Нетрудно найти соотношение между основными электрическими вели- величинами в обеих системах. Заряд есть произведение силы тока на время: q = it. Поэтому соотно- соотношение зарядов в обеих системах такое же, как и токов. Если дм — заряд, измеренный в системе СГСМ, а дэ — тот же заряд, измеренный в системе СГСЭ, то 1 дм = -дэ. Если заряд какого-либо тела равен 1 СГСМ,, а заряд другого тела есть 1 СГСЭЧ, то, сравнивая оба заряда, мы найдем, что заряд у первого тела в 3 • 1010 раз больше, чем у второго тела.
170 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Произведение силы тока на напряжение есть мощность: Ш = Р, ко- которая измеряется в одних и тех же единицах в обеих системах (в эрг/с). Поэтому и, следовательно, г'м Напряжение, равное единице в системе СГСМ, в 3 • 1010 раз меньше, чем напряжение, равное единице в системе СГСЭ Поступая подобным образом, можно выразить все электрические вели- величины в системе СГСМ. Однако в физической литературе системы СГСЭ и СГСМ обычно не применяют, а широко используют так называемую аб- абсолютную симметричную систему электрических и магнитных единиц, или, иначе, систему единиц Гаусса. Она построена на трех основных единицах: сантиметре, грамме и секунде, но пред- представляет собой сочетание обеих систем СГСЭ и СГСМ. Система единиц Гаусса рассмотрена в Добавлении 13. § 78. Магнитная постоянная В Международной системе СИ единица силы тока являет- является одной из основных единиц, а следовательно, уже установ- установлена. Поэтому коэффициент пропорциональности в ней нельзя сделать безразмерным. Далее выражение для магнитной индук- индукции записывают в рационализованной форме, т.е. добавляют в знаменателе множитель An, чтобы этот множитель не входил впоследствии в другие, часто встречающиеся формулы. Поэто- Поэтому магнитная индукция, создаваемая элементом тока, в системе единиц СИ, выражается формулой dB G81) 4тг г2 Здесь /uq — новая размерная постоянная, которая называется магнитной постоянной. Если в формуле G8.1) все величины измерять в единицах системы СИ, т.е. длину — в метрах, силу тока — в амперах, механическую силу — в ньютонах, то Это значение /j.q непосредственно следует из определения ампе- ампера, которое будет дано в § 83. Сама же единица для измерения цо в системе СИ получила название генри на метр (Гн/м). Смысл этого наименования будет разъяснен в § 94. Вычисляя магнитную индукцию по формуле G8.1), мы по- получим ее выраженной в системе СИ; в этой системе единица
§ 79 НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 171 магнитной индукции называется тесла (Тл). В однородном маг- магнитном поле с индукцией 1 Тл на 1 м длины перпендикулярного к вектору В прямого проводника, по которому течет ток 1 А, действует сила 1 Н: 1 Н = 1 А • 1 м • 1 Тл, отсюда 1 Тл = 1 Н/A А • 1 м) = 1 Н/(А • м). § 79. Напряженность магнитного поля Для описания магнитного поля наряду с магнитной индук- индукцией широко используют еще другую физическую величину — напряженность магнитного поля. Если В — магнитная индукция в какой-либо точке поля в вакууме, то напряженностью магнит- магнитного поля в той же точке поля называется Н = B/V G9.1) Так как Цо есть скаляр, то Н, как и В, есть вектор. В абсолютной системе единиц СГСМ цо — безразмерная ве- величина, равная единице. Поэтому Н и В в вакууме в этой си- системе совпадают друг с другом. В системе единиц СИ В и Н даже в вакууме имеют различ- различную размерность и отличаются друг от друга. Из формул G8.1) и G9.1) следует, что напряженность магнитного поля, создавае- создаваемого элементом тока г ей есть G9 2) или в векторной форме dH = -?-&]. G9.2а) Пока мы рассматриваем магнитные поля в вакууме, нам до- достаточно знать лишь один из векторов В или Н, безразлично какой, так как, зная В, можно по формуле G9.1) найти Н, и обратно. Однако внутри намагничивающихся сред это уже не так (гл. XI). Найдем напряженность магнитного поля в вакууме для неко- некоторых простых контуров с током. Пример 1. Магнитное поле в центре кругового провод- проводника (рис. 115). В этом случае все элементы проводника пер- перпендикулярны к радиус-вектору и sin?? = 1. Расстояние всех элементов провода до центра круга одинаково и равно радиусу круга R. Поэтому G9.2) дает
172 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направ- направления, перпендикулярное к плоскости витка, и поэтому полная напряженность поля в центре кругового витка равна тт __ Jdl = = ъ- G9-3) Рис. 115. ное поле в центре кругового тока 4тгД2 J 4тгЯ2 Направление магнитного поля находим по правилу правого буравчика, который нужно расположить параллельно касательной к кругу Магнит- (в направлении тока). Если ток обтекает виток против часовой стрелки, то правило правого dl буравчика дает, что магнитное поле направ- направлено от витка к наблюдателю (рис. 115). Пример 2. Магнитное поле прямого тока. Найдем на- напряженность поля, создаваемого прямым проводом в точке а (рис. 116), удаленной на расстояние R от оси провода. Длину провода будем считать весьма большой по сравнению ей. Ив этом случае направление магнит- магнитного поля всех элементов прово- провода одинаково (перпендикулярно к плоскости чертежа, рис. 116), и поэтому можно складывать мо- модули напряженностей. Напряжен- Напряженность поля какого-либо элемента проводника dl выражается фор- формулой G9.2). Из рис. 116 видно, что cMsini? d/cosa ds , da Рис. 116. К вычислению магнит- магнитного поля прямого тока Г = R cos a Подставляя эти выражения в G9.2), мы находим, что напряжен- напряженность, создаваемая одним элементом провода, равна , о- 1 г dl sin ¦д an — - — 4тг г2 cos a da. г* 4тгД Поэтому для полной напряженности поля получаем +7Г/2 if* 1 Н = —- / cos ada = . -тг/2 Это поле направлено перпендикулярно к плоскости, содержащей провод и отрезок R. Если в формулах G9.3) и G9.4) выражать силу тока в амперах, а длину — в метрах, то напряженность G9.4)
§80 ЛИНИИ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 173 магнитного поля будет выражена в единицах системы СИ. Эта единица называется ампер на метр (А/м). § 80. Линии индукции магнитного поля Магнитные поля, так же как и электрические, можно изобра- изображать графически при помощи линий индукции. Линиями ин- индукции (или линиями вектора В) называют линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор В в данной точке поля. Очевидно, что через каждую точку магнитного поля мож- можно провести линию индукции. Так как индукция поля в любой точке имеет определенное направление, то и направление ли- линии индукции в каждой точке данного поля может быть толь- только единственным, а значит, линии магнитного поля, так же как и электрического, нигде не пересекаются. Подобно линиям на- напряженности электрического поля, линии индукции магнитного поля прочерчивают с такой густотой, чтобы число линий, пере- пересекающих единицу поверхно- поверхности, перпендикулярной к ним, было равно (или пропорцио- пропорционально) индукции магнитного поля в данном месте. Поэтому, изображая линии индукции, можно наглядно представить, как меняется в пространстве индукция, а следовательно, и напряженность магнитного по- поля по модулю и направлению. Рассмотрим линии индук- индукции поля прямого тока. В § 79 мы видели, что напряженность Н (а следовательно, и В) всегда перпендикулярна к плоскости, содержащей проводник и рас- рассматриваемую точку поля. По- Поэтому линии индукции в данном случае суть концентрические окружности, центр которых расположен на оси тока (рис. 117). Представление о виде линий индукции можно получить на опыте. Для этого пользуются тем обстоятельством, что подвиж- подвижная магнитная стрелка всегда устанавливается своей осью в на- направлении линий магнитного поля, т.е. линий индукции. Еще удобнее пользоваться железными опилками. Крупинки железа в магнитном поле намагничиваются и становятся подоб- подобными магнитным стрелкам. При практическом осуществлении этих опытов исследуемый провод с током пропускают сквозь Рис. 117. Линии индукции магнит- магнитного поля прямого тока
174 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ. VIII горизонтальную стеклянную пластину (или листок картона), на которую насыпают небольшое количество железных опилок. При легком встряхивании пластинки (постукивании) частицы опилок образуют цепочки, форма которых близко соответству- соответствует линиям исследуемого магнитного поля Рис. 118. Линии индукции магнитных полей кругового тока (а) и соленои- соленоида (б) На рис. 118 приведены полученные таким способом картины линий индукции магнитного поля кругового тока и поля соле- соленоида. Из рисунка видно, что в средней части соленоида линии ин- индукции суть прямые параллельные линии. Это показывает, что здесь индукция одинакова во всех точках, т.е. что в средней части соленоида поле однородно. У концов соленоида линии ис- искривляются и расходятся, а значит, поле становится неоднород- неоднородным. § 81. Вихревой характер магнитного поля На рис. 118 видно, что линии индукции магнитного поля непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно кон- контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается суще- существенное отличие магнитного поля от электростатического. В электростатическом поле линии напряженности всегда разомкнуты: они начинаются и заканчиваются на электриче- электрических зарядах. Линии же индукции магнитного поля не имеют ни начала, ни конца. Это соответствует тому, что в природе нет магнитных зарядов.
§ 81 ВИХРЕВОЙ ХАРАКТЕР МАГНИТНОГО ПОЛЯ 175 Движение электрических зарядов есть электрический ток. Так как магнитных зарядов нет, то магнитного тока не суще- существует. В § 17 мы ввели понятие электрического напряжения вдоль заданного контура. В электростатическом поле напряжение не зависит от формы контура и для замкнутого контура всегда равно нулю. Это позволило ввести разность потенциалов двух точек поля, зависящую только от положения этих точек. Аналогично этому мы введем понятие магнитного напряже- напряжения вдоль контура L: = f Hs ds, ds где ds — элемент длины контура L, a Hs — проекция напряжен- напряженности магнитного поля на направление ds. Однако, в отличие от электрического напряжения в поле неподвижных зарядов, маг- магнитное напряжение зависит от формы контура L и не опреде- определяется только положением точек начала и конца этого контура. Поэтому однозначной раз- разности потенциалов в маг- магнитном поле не существует. Магнитное напряжение по замкнутому контуру, вооб- вообще говоря, не равно нулю. Рассмотрим, от чего за- зависит магнитное напряже- напряжение. Наиболее просто это можно сделать на примере поля, создаваемого прямым длинным проводом. Пред- Предположим сначала, что кон- контур есть часть окружно- окружности между точками 1 и 2 (рис. 119), совпадающая с одной из линий индукции. В этом слу- случае во всех точках контура (окружности) напряженность поля одинакова. Далее, так как контур совпадает с линией индукции, то во всех точках Hs = Н — -—, и поэтому Рис. 119. К вычислению магнитного на- напряжения где s — длина дуги окружности между точками 1 и 2. Но s/r есть угол ip, составленный радиус-векторами, проведенными в точки начала (./) и конца B) контура Поэтому Uu = f Hsds = (81.1)
176 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Рассмотрим теперь произвольный контур L (рис. 119), одна- однако лежащий в плоскости, перпендикулярной к току. Магнитное напряжение вдоль элемента <is этого контура есть = Hsds = Н cos ads = ~^— cos a ds, 2irr где а угол между Н и ds. Но ds cos a = dip, ds2 и поэтому, суммируя магнитное напряжение по всему контуру, мы получим опять формулу (81.1). Если контур L не лежит в плоскости, перпендикулярной к току, то любой элемент этого контура ds можно разложить на составляющую ds\, перпендикулярную к току, и составляющую ds2, параллельную к току (рис. 120). Так как составляющая ds2 перпендикулярна к Н, то для нее Нs = 0 и dUu — 0- Это зна- значит, что магнитное напряжение вдоль ds такое же, как вдоль cfei- Отсюда следует, что магнитное напряжение вдоль произ- произвольного контура такое же, как и для проекции этого контура на плоскость, перпендикулярную к току. Рассмотрим теперь магнитное напряжение вдоль замкнутого кон- контура, охватывающего провод с то- током (рис. 121а), или циркуляцию напряженности магнитного поля (ср. § 17) В этом случае ip = 2ж, и поэтому Isds = i. (81.2) Рис 120. Магнитное напряже- Для формулы (81.2) также ние вдоль отрезка ds равно маг- справедливо правило правого бу- нитному напряжению вдоль dsi равчика: положительное направле- направление обхода контура совпадает с на- направлением вращения правого буравчика, который движется поступательно в направлении тока. Так, например, на рис. 121 ток предполагается текущим от читателя за чертеж, и поэтому контур нужно обходить по часовой стрелке. Если замкнутый контур не охватывает провод с током (рис. 1216), то при обходе такого контура, например, начиная от точки 1 по часовой стрелке, радиус-вектор будет занимать последовательно положения ri, гг, гз и угол ср будет увеличи- увеличиваться. Если продолжать обход, начиная с точки 2, то после- последовательные положения радиус-вектора будут гз, г±, г§ и т.д. и угол tp будет уменьшаться; когда мы вернемся в точку 1, угол
§81 ВИХРЕВОЙ ХАРАКТЕР МАГНИТНОГО ПОЛЯ 177 (р = 0. Поэтому магнитное напряжение для любого замкнутого контура, не охватывающего ток, равно нулю. В том случае, когда замкнутый контур охватывает ток не один, а п раз (рис. 121 б, п — 2), магнитное напряжение будет в п раз больше. Рис. 121. Контуры, охватывающие (аи в) ш не охватывающие (б) ток Формула (81.2) выражает важнейшее свойство магнитного поля. Можно показать, что она справедлива не только для по- поля прямого провода, но и для любого постоянного во времени магнитного поля, вызванного каким угодно распределением то- токов. Таким образом, магнитное напряжение вдоль замкнутого контура равно полной силе тока, протекающего сквозь поверх- поверхность, ограниченную рассматриваемым контуром. Из формулы (81.2) видно, что магнитное напряжение изме- измеряется в тех же единицах, что и сила тока, т.е. в амперах. Рассмотренная теорема позволяет во многих случаях просто вычислить напряженность магнитного поля. Обра- Обратимся к некоторым важным примерам. Пример 1. Тороидальная катуш- катушка. Вычислим напряженность поля вну- внутри замкнутой тороидальной катушки (рис. 122). Из соображений симметрии ясно, что напряженность Н одинако- одинакова во всех точках окружности, центр которой совпадает с центром тороида. Поэтому магнитное напряжение вдоль этой окружности равно Н ¦ 2жг. Рассматриваемая окружность охва- охватывает токи всех витков катушки. Если полное число витков катушки есть N, а сила тока в ней равна г, то наша окружность охватывает ток си- силы Ni. Поэтому по теореме о магнитном напряжении мы имеем Н ¦ 2irr = Ni, откуда H = N^. (81.3) Рис 122. катушка Тороидальная
178 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Следует иметь в виду, что поле внутри тороида не вполне однородно. Напряженность наибольшая у внутренней сторо- стороны катушки [Н\ = N | и наименьшая у внешней стороны 2 = N——). Относительная разность обоих полей равна 27ГГ2 / (Я1-Я2)/Я1 = (г2-п)/г2. Пример 2. Соленоид. Будем теперь неограниченно уве- увеличивать радиус тороида г. Тогда отношение {г2 — гг)/гг будет стремиться к нулю и поле сделается однородным. Любой отрезок тороида перейдет при этом в прямую катушку или соленоид. На- Напряженность поля внутри соленоида можно найти из формулы N (81.3). Замечая, что -— = п, где п — число витков на единицу длины катушки, находим Н = т. (81.4) Мы видим, что напряженность магнитного поля в достаточно длинном соленоиде равна произведению силы тока и числа вит- витков на единицу длины катушки. Это произведение называют числом ампер-витков на метр. Соленоиды широко используют в технических устройствах и в лабораторной практике, так как с их помощью можно просто создать однородное магнитное поле и притом известной напря- напряженности. Пример 3. Прямой длинный провод. Рассмотрим еще вычисление магнитного поля длинного прямого провода в точ- точке, лежащей вне провода на расстоянии R от его оси. В этом случае в качестве контура для вычисления магнитного напря- напряжения удобно выбрать окружность радиуса R, перпендикуляр- перпендикулярную к току и имеющую центр на оси тока. Теорема о магнитном напряжении дает 2ttRH = г, откуда Я = —^— (вне провода). (81.5) Этот результат мы получили уже в § 79. Мы видим, что рас- расчет при помощи магнитного напряжения гораздо проще, неже- нежели непосредственное суммирование полей отдельных элементов тока. Вычислим теперь напряженность поля в какой-либо точке внутри провода, отстоящей на расстоянии г от оси провода. Зам- Замкнутый контур выберем опять в виде окружности, проходящей через эту точку с центром на оси провода (на рис. 123 а указана
§82 МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ТОКА 179 штриховой линией). Тогда но теореме о магнитном напряжении имеем 2-кгН - жг2], где j — плотность тока (постоянная во всех точках проводника) Отсюда получается (внутри провода). Здесь г — полная сила тока через все сечение провода, а — радиус провода. Таким образом, напря- напряженность поля внутри про- провода увеличивается с рас- расстоянием от оси по линей- линейному закону, а во внешнем пространстве уменьшается по гиперболическому зако- закону. Эта зависимость изо- изображена графически на рис. 123 6. Рис. 123 Магнитное поле прямого про- провода с током § 82- Магнитный момент тока Во многих случаях нам приходится иметь дело с замкнутыми токами, размеры которых весьма малы по сравнению с расстоя- расстоянием от них до точки наблюдения Такие токи мы будем назы- называть элементарными. Пример подобных токов мы имеем во всех атомах, так как в них имеются движущиеся электроны, обра- обращающиеся по замкну- замкнутым орбитам (гл. XI). Эти токи вследствие малости атомов мож- можно рассматривать по- почти во всех задачах как элементарные. Посмотрим, от че- чего зависит магнитное поле, создаваемое эле- элементарным током. По- Положим, что мы имеем круговой ток силы г с радиусом R. Вычис- Матнитное поле кругового витка с Рис 124 ТОКОМ лим магнитное поле в некоторой точке А, находящейся на оси тока на расстоянии г от его центра (рис. 124). В этом случае все
180 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ. VIII элементы тока перпендикулярны к радиус-векторам р и поэтому в формуле G9.2) sini9 = 1. Далее, из рис. 124 видно, что магнит- магнитные поля dHi и dH-2, создаваемые какой-либо парой элементов тока 1 и 2, расположенных на одном диаметре, складываясь, дают поле dH, направленное вдоль оси тока. Поэтому и полное поле всего кругового тока направлено по его оси. Составляющая поля по оси тока, создаваемого одним элемен- элементом тока, есть J_ г off sin ^ _ J_ idlR 4тг р2 4-jt р3 Суммируя это выражение по всем элементам тока, получаем где S = 7ГЙ2 — площадь, обтекаемая током. Бели ток является элементарным, т.е. если р~Э> R, то с точно- точностью до малых второго порядка в полученной формуле можно положить р ~ г. Окончательный результат удобно представить в виде Если бы мы имели элементарный электрический диполь, на- направленный вдоль оси тока (он изображен на рис. 124 штриховой линией), то создаваемое им электрическое поле было бы направ- направлено так же, как и магнитное поле в рассматриваемом примере, т.е. тоже по оси тока. Электрическое смещение D = EqE, соглас- согласно B5.5) (где нужно положить cos a = 1), было бы равно D = ? где р — электрический момент диполя. Формула (82.2) имеет тот же вид, что и (82.1). Однако роль электрического момента р диполя играет произведение iS; оно получило название магнит- магнитного момента тока. Единицей магнитного момента в системе СИ является ампер-квадратный метр (А-м2). Электрический момент диполя есть вектор (§ 15). Аналогично магнитный момент тока есть также вектор. За его направление прини- w мают направление нормали к плоскости вит- * ка (рис. 125). Если п есть единичный вектор вдоль нормали, то магнитный момент тока рт равен рт = iSn. (82.3) „¦ " Выше мы ограничились частным случаем ныи момент тока L CJ кругового тока и считали, что точка наблюде- наблюдения лежит на оси тока. Однако понятие магнитного момента тока имеет общее значение. Легко показать, что напряженность
§ 83 ДВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ 181 магнитного поля элементарного тока любой формы и в произ- произвольной точке наблюдения можно найти по формулам B5.5) и B5.6), если выразить из них ?qEt и ?оД» и затем заменить электрический момент диполя р на магнитный момент тока рт, определяемый формулой (82.3). Мы видим, что магнитное дей- действие элементарного замкнутого тока определяется его магнит- магнитным моментом. § 83. Два параллельных проводника с током Зная магнитное поле, создаваемое каким либо проводником с током, можно вычислить и силу, действующую на другой про- проводник с током в этом поле. Рассмотрим в качестве примера два бесконечно длинных па- параллельных проводника 1 и 2 с током (рис. 126) и вычислим силу, действующую на отрезок длины / проводника 2 со стороны проводника 1. Напряженность маг- нигного поля, создаваемого провод- проводником 1 в месте нахождения провод- проводника 2, выражается формулой G9.4), а следовательно, магнитная индук- /""' i ция равна 'ч 2-nR Индукция перпендикулярна к проводнику 2, а следовательно, sin(l,B) = 1. Поэтому G6.16) дает (83.1) Рис. 126. Взаимодействие Если бы мы вычислили индукцию двух параллельных провод- 02, создаваемую током й, а затем на- ников с током шли силу, действующую на провод- проводник 1, то получили бы ту же формулу (83.1). Это и понятно, так как при магнитном взаимодействии выполняется закон ра- равенства действия и противодействия. Применяя правило правого буравчика к рис. 126, легко ви- видеть, что если направления токов в обоих проводниках одинако- одинаковы, то возникающие силы стремятся уменьшить расстояние R между проводниками; если же токи направлены противополож- противоположно, то эти силы стремятся увеличить расстояние R: параллель- параллельные токи притягиваются, антипараллельные — отталкиваются. Определение ампера. В § 4 мы уже говорили, что четвер- четвертая основная единица системы СИ — ампер — определяется че- через магнитное взаимодействие токов. Для этого как раз исполь- используют закон взаимодействия двух параллельных токов (83.1).
182 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной дли- длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длины 1 м силу вза- взаимодействия, равную 2•10~7 Н. Отсюда непосредственно получается значение цо, уже при- приведенное нами в § 78. Действительно, из формулы (83.1) и опре- определения ампера следует, что 2 - 1СГ7 = Ь1 1 откуда цо = 47г ¦ 10~7 СИМ0. Найдем еще соотношение между ампером, с одной стороны, и единица- единицами силы тока в системах СГСМ и СГСЭ, с другой. В нерационализованной системе СГСМ /хо = 1- Кроме того, мы во все формулы должны ввести еще множитель 47г. Поэтому в системе СГСМ вместо формулы (83.1) имеем „ 2гщ*2М , ,„„ „ч F = —— I, (83.2) где силы тока измеряются в единицах СГСМ, длины — в сантиметрах, а сила — в динах. Если силы обоих токов равны 1А, a, R = I (I = 1 м), то сила будет 2 ¦ 10~7 Н = 2 ¦ 10~2 дин, и мы имеем 2-10 =2iiMi2M- Отсюда видно, что »ш = »2М = 0,1. Это значит, что сила тока, которая в системе СИ равна 1 А, в системе СГСМ равна 0,1 СГСМг. Так как, с другой стороны, сила тока, равная 1 СГСМг, в системе СГСЭ равна 3 ¦ 10io СГСЭ,, то 1 А соответствует 3 • 109 СГСЭг. § 84. Механическая работа в магнитном поле. Магнитный поток Так как на провод с током в магнитном поле действуют си- силы, то при движении провода совершается определенная работа. Найдем эту работу. Предположим, что прямой проводник длины /, входящий в цепь тока, перемещается поступательно параллельно самому се- себе на отрезок dx и переходит из положения 1 в положение 2 (рис. 127). Направление магнитной индукции В будем считать перпендикулярным к I и к dx. На проводник действует сила и поэтому механическая работа 6А выразится формулой 6А = ИВ dx = iB dS,
§84 МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 183 где dS = Idx — площадь, описанная проводником с.током при движении (на рис. 127 заштрихована). Если индукция В направлена иначе, то ее всегда можно раз- разложить на составляющую В„, перпендикулярную к dS, и со- составляющую В{, параллельную dS. Так как сила F всегда пер- перпендикулярна к В (§ 76), то составляющая В< вызовет силу, перпендикулярную к dx, и работа этой силы будет равна нулю. Поэтому SA = iBndS. (84.1) Рассмотрим теперь вращательное движение проводника. Пусть элемент проводника dl, входящий в цепь тока, повора- поворачивается в магнитном поле на угол da (рис 128). При движении он описывает площадь dS = Idadl, где / — расстояние элемента Ш I • Рис. 127. К вычислению механи- механической работы при поступательном движении проводника 4 О Рис. 128. К вычислению меха- механической работы при вращатель- вращательном движении проводника от оси вращения О- Сила, действующая на элемент dl в направ- направлении его перемещения, есть idlBn, где Вп — составляющая напряженности, перпендикулярная к dS. Поэтому совершаемая работа равна 6 A = idl Bnl da = iBn dS и выражается той же формулой (84.1), что и при поступатель- поступательном движении. Но любое движение проводника можно свести к поступатель- поступательному и вращательному движениям. Это значит, что формула (84.1) определяет механическую работу для произвольного пе- перемещения проводника. Полученный результат можно представить в более удобном виде, если ввести понятие магнитного потока. Рассмотрим сначала плоскую площадку S (рис. 129), нахо- находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией В. Маг- Магнитным потоком или потоком вектора магнитной индукции
184 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII сквозь площадку S называют величину Ф = BScos a = BnS. (84.2) Здесь а — угол между направлением нормали п к площадке и направлением индукции В, и Вп — проекция вектора В на нор- нормаль п. Так как Вп — скаляр, то и магнитный поток есть ска- скалярная величина. Магнитный поток BnS равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверх- поверхность. Магнитный поток характеризуется не только своей величи- величиной, но и знаком, который зависит от того, какой знак имеет cos а. Этот знак зависит от выбора положительного направ- направления нормали п. Во всех электромагнитных явлениях всегда приходится рассматривать магнитный поток в связи с током, обтекающим контур, ограничивающий рассма- рассматриваемую поверхность. Поэтому положительное направление нормали естественно связать с на- направлением этого тока. Мы будем везде считать, что положительное на- Рис 129 тока К определению магнитного по- правление нормали к пло- площадке совпадает с на- направлением перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого в направлении тока (ср. рис. 129) Отсюда, в частности, следует, что магнигный по- поток, создаваемый каким-либо проволочным контуром с током, сквозь поверхность, ограниченную им самим, всегда положите- положителен. Если магнитное поле неоднородно, а рассматриваемая по- поверхность не плоская, то ее можно разбить на бесконечно малые элементы dS. Каждый элемент поверхности можно рассматри- рассматривать как плоскую площадку, а любое поле на протяжении этого элемента — как однородное. Поэтому магнитный поток через элемент поверхности есть d<$> = Вп dS, а полный магнитный поток через всю поверхность Ф = f Bn dS. (84.3) Если в (84.2) и (84.3) выражать В в Тл, a S — в м2, то маг- магнитный поток окажется также выраженным в единицах системы СИ веберах (Вб) (§91)
§85 КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТДОМ ПОЛЕ 185 Пользуясь понятием магнитного потока, мы можем предста- представить (84.1) в следующем виде: 5 А = i е*Ф. (84.4) Здесь 5А — работа, совершаемая силами поля, а ёФ — увеличе- увеличение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную кон- контуром с током Если проводник совершает конечное перемещение, то А = г(Ф2-Ф,), (84.5) где $2 ~ магнитный поток сквозь контур в конце перемещения, а Ф\ — поток сквозь контур в начале перемещения; при этом мы считаем, что сила тока в контуре при его перемещении поддер- поддерживается постоянной. Выражая в этой формуле магнитный поток в веберах, а силу тока — в амперах, мы получим работу в джоулях. § 85. Контур с током в магнитном поле Найдем теперь механические силы, действующие на замкну- замкнутый контур с током в магнитном поле. Положим сначала, что контур имеет форму прямоугольной рамки (рис 130) и магнит- магнитное поле однородно Согласно формуле G6.1а) силы, действую- действующие на ребра а, перпендикулярны к ним и к магнитной индук- индукции В и поэтому стремятся только растянуть (или сжать) виток. Силы же F, действующие на ребра Ь, стремятся повернуть виток м Рис. 130 Прямоугольная рамка с током в магнитном поле' а — вид сбоку, б — вид сверху так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна к В. Следова- Следовательно, на виток действует пара сил с некоторым моментом М.
186 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКОВ В ВАКУУМЕ ГЛ VIII Это справедливо, очевидно, не только для прямоугольной рам- рамки, но и для контура произвольной формы. Момент пары сил М (и притом для плоского контура про- произвольной формы) можно непосредственно найти из формулы (84.4). Для этого представим себе, что мы даем возможность контуру повернуться под действием сил поля на бесконечно ма- малый угол da. Силу тока в контуре i будем считать неизменяю- неизменяющейся, и следовательно, магнитный момент контура рт = iS — постоянным. Тогда механическая работа сил поля будет равна 5А = М da. Вместе с тем магнитный поток, пронизывающий контур, есть Ф = SB cos а, а его изменение при уменьшении угла а на da равно о!Ф = SB sin a da. Поэтому из формулы (84.4) имеем М da = iSB sin a da, откуда М = ртВ sin a. (85.1) Полученные результаты можно выразить векторной форму- формулой, дающей и модуль, и направление момента пары сил: М = [РтВ]. (85.2) Эта формула аналогична выражению A5.3) для момента па- пары сил, действующих на электрический диполь в электрическом поле. Рассмотрим теперь малый виток с током в неоднородном магнитном поле (рис. 131) и будем считать сначала, что линии индукции симметричны относительно нормали к плоскости вит- витка. Силы g!F, действующие на от- отдельные участки витка, будут по- прежнему перпендикулярны к току и к магнитному полю. Однако те- теперь, так как линии индукции уже не параллельны, эти силы будут со- составлять некоторый угол с плоско- плоскостью витка. Составляющие этих сил dJ?t, параллельные витку, создадут усилия, растягивающие или сжима- сжимающие виток. Составляющие же dFn. перпендикулярные к плоскости вит- витка, складываясь, дадут некоторую силу F, стремящуюся перемещать виток в магнитном поле. Применяя правило правого бу- буравчика, легко видеть, что если мо- момент тока рт параллелен магнитной индукции (как изображено на рисунке), то виток будет втягиваться в область более сильно- сильного поля. Если же вектор рт антипараллелен индукции, то виток Рис 13