Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
5 февраля 2020 г.

Курс «Магнитная гидродинамика» является продолжением курса
«Основы физики плазмы».
Магнитная гидродинамика
2/38

Учебные пособия
Учебник И. А. Котельникова
«Лекции по физике плазмы»
имеется в библиотеке НГУ.
При изучении английского языка
рекомендуется использовать ко‐
пии оригинальных статей, кото‐
рые можно получить у препода‐
вателя.
Магнитная гидродинамика
3/38

Лекция 1
Плазма как сплошная среда
Динамика установления теплового равновесия
Моменты функции распределения
Моменты кинетического уравнения
Двухжидкостная магнитная гидродинамика
Магнитная гидродинамика
4/38

Уравнение Фоккера‐Планка с интегралом столкновений Ландау
даёт наиболее строгое — кинетическое — описание плазмы.
Однако во многих случаях достаточно ограничиться более
простым гидродинамическим приближением, когда плазма
рассматривается как сплошная проводящая жидкость.
При движении проводящей жидкости в магнитном поле в ней
индуцируются электрические поля и возникают электрические
токи. На токи в магнитном поле действует сила Ампера, которая
влияет на движение жидкости. Возникает сложная картина
взаимодействия проводящей среды и поля, которую описывают
уравнения магнитной гидродинамики (МГД).
В рамках двухжидкостной МГД плазма рассматривается как
сплошная среда, состоящая из двух взаимопроникающих
жидкостей — электронной и ионной.
Через несколько лекций мы перейдем к более грубой модели
одножидкостной МГД.
Магнитная гидродинамика
5/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
6/38

За время e‐e и i‐i столкновений устанавливается состояние
локального термодинамического равновесия, в котором и
электроны, и ионы приближённо описываются «сдвинутой»
максвелловской функцией распределения
fмa( ⃗v) =
na
(2πTa/ma )3/2 exp −
ma(⃗v − ⃗
ua )2
2Ta
(1)
с разными, вообще говоря, температурой Ta и потоковой
скоростью ⃗ua ; здесь и далее a = e либо a = i, а функция
распределения выражена через скорость ⃗v = ⃗
p/ma .
Параметры
na = na(⃗r,t), Ta = Ta(⃗r,t), ⃗ua = ⃗
ua(⃗r,t),
характеризующие это распределение, меняются в пространстве и
во времени.
Далее не пишем индекс a в промежуточных формулах.
Магнитная гидродинамика
7/38

В замкнутой системе процессы переноса (диффузия,
теплопроводность, вязкость) ведут к установлению полного
термодинамического равновесия. Они также обусловлены
кулоновскими столкновениями, но идут медленнее.
В незамкнутой системе состояние полного термодинамического
равновесия вообще может быть недостижимо. Действительно,
внешние силы должна уравновешивать сила Ампера
1
c
[⃗j × ⃗B].
Однако в состоянии полного термодинамического равновесия
⃗
ue=⃗
ui и в квазинейтральной плазме (где ei ni + ee ne = 0)
⃗
j=eene⃗ue+eini⃗ui=eene(⃗ue− ⃗
ui)=0.
Внешнее воздействие может также препятствовать
выравниванию температур электронов и ионов.
Магнитная гидродинамика
8/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
9/38

МГД теория строится в предположении, что
f=fм+δf,
δf≪fм.
(2)
Деление f на fм и δfнеоднозначно (неоднозначность
устраняется из соображений удобства при решении конкретной
задачи). Сейчас достаточно принять соглашение, что
n≡ fd3v
(3a)
n⃗u≡
⃗
v fd3v
(3b)
nT≡
1
3
m(⃗v−⃗
u
≡⃗w
)2 fd3v.
(3c)
Они обращаются в тождества, если f = fм ; интегралы (3) с
заменой f → δf все должны быть равны нулю.
Магнитная гидродинамика
10/38

Если ввести обозначение
⟨...⟩ ≡
1
n
(...) fd3v
для моментов функции распределения, то определение
скорости и температуры отдельной компоненты плазмы можно
записать в компактном виде
⃗
u=⟨⃗v⟩,
T=
1
3
m⟨w2⟩,
(4)
где⃗w=⃗
v−⃗
u; по определению
⟨⃗w⟩ =0.
Моменты функции распределения суть среднее значение той
или иной величины.
Магнитная гидродинамика
11/38

Для максвелловской функции распределения другие моменты
либо выражаются через n , ⃗u и T, либо равны нулю. Однако в
общем случае усреднение тензора более высокого ранга
порождает новые моменты, которые не выражаются только
через моменты более низкого ранга.
Пример. Тензор давления1
Pμν = mn⟨wμwν⟩,
⃖⃗
P=nm⟨⃗w ⃗w⟩.
(5)
В изотропной плазме
⟨wμwν⟩ =
1
3
⟨w2⟩δμν =
T
m
δμν, т.е.
⃖⃗
P=nT
=p
⃡
I,
где ⃡I — единичный тензор с компонентами Iμν = δμν .
1
Не путать тензор ⃗a ⃗b (с компонентами aμbν ) и скалярное произведение
⃗
a⋅⃗
b=aμbμ=axbx+ayby+azbz.
Магнитная гидродинамика
12/38

В неизотропной плазме ⟨ ⃗w ⃗w⟩ не выражается через ранее
введённые величины, поэтому вводят тензор вязких
напряжений
⃖⃗
π=mn ⃗w⃗w−
1
3
w2⃡I ,
(6)
⃖⃗
P=nT⃡I+⃖⃗π.
В изотропной плазме
⃖⃗
π=0.
Пример.Тензор потока импульса
⃖⃗
Π=nm⟨⃗v⃗v⟩=nm⟨(⃗u+⃗w)(⃗u+⃗w)⟩=
=nm⃗u⃗u+nm⟨⃗w⃗w⟩=nm⃗u⃗u+⃖⃗P (7)
с компонентами
Πμν = nm⟨vμvν⟩ = nmuμuν + Pμν.
Магнитная гидродинамика
13/38

Аналогичная картина возникает при вычислении тензора ещё
более высокого ранга ⟨vμ vν vγ ⟩. Тем не менее можно
предположить, что вновь возникающие немаксвелловские
поправки малы и на каком‐то шаге перехода от кинетического
описания плазмы к гидродинамическому их можно отбросить и
получить замкнутую систему уравнений для величин n, ⃗u и T. Для
этого нужно последовательно выполнить почленное
интегрирование кинетического уравнения по всему пространству
скоростей с весом 1, ⃗v и v2 . При этом, помимо ранее
определённого тензора вязких напряжений ⃖⃗πa , возникает ещё
вектор потока энергии
⃗
q=
1
2
mnw2⃗w .
(8)
В изотропной плазме
⃗
qa=0.
Магнитная гидродинамика
14/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
15/38

Для вывода уравнений магнитной гидродинамики, запишем
кинетическое уравнение в дивергентной форме:
∂f
∂t
+
∂
∂⃗x
⋅⃗
vf+
e
m
∂
∂⃗v
⋅
⃗
E+
1
c
[⃗v× ⃗B] f=Caa+Cab. (9)
Здесь индексы a и b могут принимать значения e либо i, причём,
если a = i , то b = e и наоборот. (Слева индекс a опущен.)
Интегрируя кинетическое уравнение по пространству скоростей с
весом 1, m ⃗v,
1
2
mv2, вычислим последовательно первый, второй
и третий моменты кинетического уравнения. Они выражают
соответственно законы сохранения числа частиц , импульса и
энергии.
Магнитная гидродинамика
16/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
17/38

d3v
∂f
∂t
=
∂n
∂t
+ d3v
∂
∂⃗x
⋅⃗
vf
=
∂
∂⃗x
⋅ (n⃗u)
+
+ d3v
e
m
∂
∂⃗v
⋅
⃗
E+
1
c
[⃗v×⃗B] f
=0
=
=
d3v Caa
=0
+ d3v Cab
=0
.
Получившуюся в итоге формулу
∂n
∂t
+
∂
∂⃗x
⋅ (n⃗u)=0
Магнитная гидродинамика
18/38

называют уравнением непрерывности и чаще всего записывают
в виде
∂n
∂t
+ div(n⃗u)
=⃗
u⋅∇n+n div ⃗u
=0.
Ещё одна форма уравнения непрерывности,
da na
dt
+nadiv⃗ua=0,
(10)
более похожая на другие уравнения двухжидкостной магнитной
гидродинамики (см. ниже), использует обозначение
da
dt
≡
∂
∂t
+(⃗ua ⋅∇)
для конвективной (полной) производной по времени.
Магнитная гидродинамика
19/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
20/38

Умножим кинетическое уравнение
∂f
∂t
+
∂
∂xν
vνf+
1
m
∂
∂vν
Fνf=Caa+Cab,
(11)
гдеFν =e
⃗
E+
1
c
[⃗v × ⃗B]
ν
, на mvμ и проинтегрируем по d3v.
Интеграл от первого слагаемого в левой части:
d3v mvμ
∂f
∂t
=
∂
∂t
d3v mvμf=
∂
∂t
mn ⟨vμ⟩
=uμ
.
Интеграл от второго слагаемого в левой части:
d3v mvμ
∂
∂xν
vνf =
∂
∂xν
d3v mvμvνf =
∂
∂xν
mn⟨vμ vν⟩
=Πμν
.
Магнитная гидродинамика
21/38

Последнее слагаемое в левой части:
vμ
∂
∂vν
Fνf =
∂
∂vν
vμFνf− Fνf
∂vμ
∂vν
=
∂
∂vν
vμFνf − Fμf.
d3v vμ
∂
∂vν
Fνf = d3v
∂
∂vν
vμFνf
=0
−
d3v Fμf = −n⟨Fμ⟩.
Первое слагаемое справа:
m d3v⃗vCaa=0.
Второе слагаемое справа (сила Брагинского):
⃗
Rab=ma
⃗
v⏟
=⃗
ua+ ⃗w
Cabd3v=ma
⃗
wCab d3v,
(12)
Магнитная гидродинамика
22/38

⃗
Rab=−⃗
Rba
(13)
вследствие закона сохранения импульса
d3v[ma⃗vCab+mb⃗vCba]=0.
В итоге получаем уравнение
m
∂
∂t
nuμ +
∂
∂xν
Πμν−en
⃗
E+
1
c
[⃗u × ⃗B]
μ
≡Fμ
= Rab,μ
.
В тензоре потока импульса выделим тензор давления:
Πμν = nm⟨vμvν⟩ = mnuμuν + nm⟨wμwν⟩
=Pμν
.
Магнитная гидродинамика
23/38

Затем с помощью преобразования
∂
∂t
nuμ +
∂
∂xν
nuμuν = uμ
∂n
∂t
+
∂
∂xν
nuν
=0
+n
∂
∂t
uμ+uν
∂
∂xν
uμ
duμ
dt
выделим конвективную производную скорости d ⃗u/dt. В
результате получается уравнение Эйлера
ma na
da ⃗ua
dt
=−∇⋅⃖⃗
Pa + eana
⃗
E+
1
c
⃗
ua×⃗B +⃗Rab,
(14)
где∇⋅ ⃖⃗
P суть вектор с компонентами
∇⋅ ⃖⃗
Pμ
=
∂
∂xν
Pνμ =
∂
∂xν
Pμν .
Магнитная гидродинамика
24/38

Ещё одна форма уравнения движения
ma na
da ⃗ua
dt
= −∇pa + eana
⃗
E+
ea
c
na ⃗ua×⃗B −∇⋅⃖⃗
πa + ⃗Rab
(15)
получается путём выделения в тензоре давления
⃖⃗
Pa=pa
⃡
I+⃖⃗πa
парциального давления
pa=
1
3
nama⟨w2⟩a = naTa
(16)
и тензора вязких напряжений
⃖⃗
πa=mana⃗w⃗w−
1
3
w2⃡I
a
.
(17)
Магнитная гидродинамика
25/38

ma na
da ⃗ua
dt
= −∇pa +eana
⃗
E+
ea
c
na ⃗ua×⃗B −∇⋅⃖⃗
πa + ⃗Rab (15)
..........................↑этобылоранее↑..........................
В правой части уравнения движения стоят силы, действующие на
компоненту («жидкость») сорта a в единице объёма плазмы.
Первое слагаемое — это сила давления, второе и третье — сила
Лоренца. Четвёртое слагаемое содержит тензор вязких
напряжений ⃖⃗πa и представляет собой вязкие силы.
На следующей лекции мы узнаем, что вязкие силы возникают в
неоднородной плазме (πμν ∝
∂uμ
∂xν
). Сила Брагинского ⃗Rab
включает силу трения (пропорциональную ⃗ub − ⃗
ua ) и термосилу
(в плазме с градиентом температуры электронов ∇Te ).
Магнитная гидродинамика
26/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
27/38

Уравнение переноса тепла получится, если умножить
кинетическое уравнение на
1
2
mv2 и проинтегрировать по d3v:
∂
∂t
1
2
mn⟨v2⟩ +
∂
∂xν
1
2
mn⟨v2vν⟩ − en⟨vν⟩Eν =
=
1
2
m v2Caad3v+
1
2
m v2 Cab d3v. (18)
Последнее слагаемое в левой части вновь получено путём
интегрирования по частям слагаемого с силой Лоренца в
кинетическом уравнении, причём магнитная часть силы выпала,
поскольку ⃗v ⋅ ⃗
v×⃗B =0.
Магнитная гидродинамика
28/38

Действуя далее так же, как при выводе уравнения движения,
получим уравнение баланса энергии
3
2
da pa
dt
+
5
2
padiv⃗ua=Qab−div⃗qa−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua.
(19)
Первое слагаемое в его правой стороне
Qab =
1
2
ma w2 Cab d3v
описывает локальную передачу тепла от одной компоненты
плазмы к другой. Второе слагаемое описывает нагрев вследствие
переноса тепла, причём
⃗
qa=
1
2
mana⟨w2 ⃗w⟩a
обозначает вектор потока тепла. Наконец, третье слагаемое
отвечает за нагрев вязким трением.
Магнитная гидродинамика
29/38

3
2
da pa
dt
+
5
2
padiv⃗ua=Qab−div⃗qa−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua.
(19)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Выделим энтропию единицы объёма
sa=nalnp
3/2
a/n
5/2
a
(20)
в уравнении баланса энергии. Для этого исключим div ⃗ua при
помощи уравнения непрерывности
da na
dt
+nadiv⃗ua=0.
Так как d(sa/na) =
3
2
dpa /pa −
5
2
dna /na , в результате получим
уравнение переноса тепла
pa
da
dt
sa
na
=Qab−div⃗qa−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua.
(21)
Магнитная гидродинамика
30/38

pa
da
dt
sa
na
=Qab−div⃗qa−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Электрическое и магнитное поля в явном виде не входят в это
уравнение в соответствии с утверждением, что
самосогласованное поле не изменяет энтропию плазмы. Однако
возможно косвенное влияние самосогласованного поля на рост
энтропии через поддержание электрического тока. Вследствие
кулоновских столкновений плазма приобретает электрическое
сопротивление, поэтому электрический ток нагревает плазму,
как и любой другой проводник.
Магнитная гидродинамика
31/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
32/38

Запишем систему уравнений двухжидкостной магнитной
гидродинамики, собрав вместе все уравнения:
da na
dt
+nadiv⃗ua=0,
(22a)
ma na
da ⃗ua
dt
= −∇pa + eana
⃗
E+
ea
c
na ⃗ua×⃗B −∇⋅⃖⃗
πa+⃗Rab,
(22b)
pa
da
dt
sa
na
=Qab−div⃗qa−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua.
(22c)
Магнитная гидродинамика
33/38

Их следует дополнить уравнениями Максвелла:
rot⃗E=−
1
c
∂⃗B
∂t
,
div⃗B =0,
(23a)
rot⃗B=
4π
c
⃗
j+
1
c
∂⃗E
∂t
,
div ⃗E = 4πρq,
(23b)
где
ρq = eene + eini,
⃗
j=eene⃗ue+eini⃗ui,
(24)
причём
∂ρq
∂t
+div⃗j =0,
(25)
как легко проверить с помощью уравнений (22a).
Магнитная гидродинамика
34/38

Считая все происходящие в плазме движения медленными, со
скоростями значительно меньше скорости света, в первом
уравнении (23b) для магнитного поля обычно (но не всегда)
пренебрегают током смещения (1/c)∂ ⃗E/∂t. Одновременно с
этим необходимо заменить второе уравнение (23b) на условие
квазинейтральности ρq = 0, иначе система уравнений не будет
согласована:
rot⃗E=−
1
c
∂⃗B
∂t
,
div ⃗B =0,
(26a)
rot⃗B=
4π
c
⃗
j,
ρq=0,
(26b)
причём
div⃗j =0.
(27)
Электрическое поле находят из уравнения (26a), а плотность
заряда — по найденному ⃗E из уравнения div ⃗E = 4πρq .
Магнитная гидродинамика
35/38

Сформулированная система уравнений формальна, пока нет
способа вычислить моменты высших порядков, входящие в
правые части уравнения движения и уравнения переноса тепла.
Вычислению ⃗Rab , ⃖⃗πa , ⃗qa , Qab посвящена следующая лекция.
Магнитная гидродинамика
36/38

Далее...
1 Динамика установления равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Моменты кинетического уравнения
Уравнение непрерывности
Уравнение движения (уравнение Эйлера)
Уравнение переноса тепла
4 Двухжидкостная гидродинамика
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
37/38

Задачи для семинара I
Вычислить силу трения (12), предполагая, что распределение
электронов описывается «сдвинутой» функцией Максвелла
(1), а средняя направленная скорость электронов мала по
сравнению с их тепловой скоростью.
Используя решение предыдущей задачи, вычислить
(спитцеровскую) проводимость плазмы.
* Вычислить удельную мощность Qei нагрева электронов
ионами в простой плазме.
Номера задач указаны по книге «Лекции по физике плазмы».
Магнитная гидродинамика
38/38

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
12 февраля 2020 г.

Лекция 02
Уравнения переноса
Кинетические коэффициенты
Метод Чепмена‐Энскога
Теплопроводность плазмы
Уравнение Фурье
Термосила
Сила трения
Проводимость плазмы
Магнитная гидродинамика
2/34

Напомним систему уравнений двухжидкостной МГД:
da na
dt
+nadiv⃗ua=0,
(1a)
ma na
da ⃗ua
dt
= −∇pa + eana
⃗
E+
ea
c
na ⃗ua×⃗B −∇⋅⃖⃗
πa+⃗Rab,
(1b)
na Ta
da
dt
sa
na
=Qab−(⃖⃗πa⋅∇)⋅ ⃗
ua − div ⃗qa;
(1c)
da
dt
=
∂
∂t
+(⃗ua ⋅∇),
sa=nalnp
3/2
a/n
5/2
a
,
pa = naTa,
⃗
w=⃗
v−⃗
ua,
⟨...⟩a ≡
1
na
(...) fa d3v,
⃗
ua=⟨⃗v⟩a,
Ta=
1
3
m⟨w2⟩a ,
⃖⃗
π=mana ⃗w⃗w−
1
3
w2⃡I
a
,
⃗
qa=
1
2
mana w2
⃗
w
a
⃗
Rab=ma
⃗
wCab d3v,
Qab =
1
2
ma w2Cabd3v.
Магнитная гидродинамика
3/34

Процессы переноса удаётся описать, выразив высшие моменты
функции распределения ⃗qa и ⃖⃗πa через градиенты низших
моментов na , ⃗ua и Ta . Коэффициенты пропорциональности
между высшими моментами и этими градиентами называют
кинетическими коэффициентами.
Гидродинамические уравнения, дополненные кинетическими
коэффициентами, называют уравнениями переноса. Для газов
они были выведены в 1916–1917 годах независимо С. Чепменом
(Sydney Chapman) и Д. Энскогом (David Enskog). С. Чепмен и
Т. Каулинг (Thomas Cowling) в 1939 году вычислили некоторые
коэффициенты переноса для плазмы в магнитном поле.
Завершил построение системы уравнений классического
переноса в простой плазме С. И. Брагинский в 1957 г. Теорию
Брагинского подверг критике Р. Балеску (Radu Bălescu) в
монографии, опубликованной в 1988 г.
Магнитная гидродинамика
4/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
5/34

Каждый момент кинетического уравнения (КУ) «зацепляет»
моменты функции распределения более высокого порядка.
Например, первый момент КУ
da
dt
na
⟨1⟩
+na div ⃗ua
⟨⃗v⟩
=0
содержит и первый, и второй момент функции распределения
(ФР). Поэтому надо где‐то оборвать цепочку уравнений для
моментов.
Если просто отбросить высшие моменты в уравнениях для ⃗ua и
Ta , будут выброшены процессы переноса, которые обусловлены
анизотропной поправкой к функции распределения δf. При
вычислении моментов δf даёт потоки частиц, импульса и
энергии, связанные с анизотропией ФР, которая обусловлена
неоднородностью макроскопических параметров плазмы.
Магнитная гидродинамика
6/34

При вычислении этих потоков производная ∂δf/∂t в
кинетическом уравнении отбрасывается, так как процессы
переноса идут медленнее, чем установление локального
термодинамического равновесия. В результате δf выражают
через пространственные производные na , ⃗ua , Ta ,
Вычислив δf, находят ⃗Rab , Qab , ⃗qa , ⃖⃗
πa , замыкая тем самым
систему уравнений двухжидкостной МГД. Из неё уже можно
определить, как изменяются макроскопические параметры
плазмы с течением времени.
Магнитная гидродинамика
7/34

Помимо неоднородности макроскопических параметров,
вносящих анизотропию в функцию распределения частиц
плазмы, имеется и другой источник неравновесности. Даже если
в некоторой области плазма однородна, но средние скорости
(или температуры) электронов и ионов различны, возникает
обмен импульсом (энергией) между компонентами плазмы.
Темп выравнивания импульса (энергии) в этом случае зависит
только от локальной разности скоростей (температур) электронов
и ионов. Соответственно, в моментах интеграла столкновений
⃗
Rab и Qab , входящих в уравнения двухжидкостной МГД (1),
появляются слагаемые, пропорциональные ⃗ue − ⃗
uiиTe−Ti.
Магнитная гидродинамика
8/34

Малые неоднородности различного вида можно рассматривать
независимо один от другого. Это упрощает расчёт кинетических
коэффициентов, позволяя разделить одну большую задачу на
несколько частных задач. Например, чтобы вычислить поток
тепла, вызванный градиентом температуры, градиентами других
макроскопических параметров можно пренебречь.
Не имея возможности в полной мере изложить теорию
Брагинского, мы рассмотрим только некоторые из процессов
переноса, обусловленных кулоновскими столкновениями частиц
в полностью ионизованной плазме.
Магнитная гидродинамика
9/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
10/34

Пусть ne = Zni = const, ∇Te = (∂Te/∂z)
̂
z,⃗B=0,⃗ui=0.
Предположим, что ⃗j = 0, так как плазма изолирована от внешних
проводников; тогда ⃗ue = 0, а ∇pe = ne ∇Te уравновешивается
электрическим полем ⃗E = E
̂
z, которое создаётся зарядами на
поверхности плазмы (эффект Зеебека, Thomas Seebeck, 1821).
В кинетическом уравнении для электронов отбросим ∂f/∂t и
используем приближение лоренцевой плазмы (Z ≫ 1):
∂f
∂t
⇒0
+vz
∂f
∂z
−
e
m
E
∂f
∂vz
=
A
v3
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂f
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂2f
∂ψ2
⇒0
.
(2)
Здесь
A
v3=
2πZ2e4niΛei
m2v3
∼
1
2
ν
(p)
ei,
скорость vz = v cos θ направлена вдоль ∇Te , и учтено, что f не
зависит от азимутального угла ψ вокруг оси z.
Магнитная гидродинамика
11/34

vz
∂f
∂z
−
e
m
E
∂f
∂vz
=
A
v3
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂f
∂θ
.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Ищем решение в виде
f=fм+δf,
δf≪fм,
(3)
fм=n
m
2πT
3/2
exp −
mv2
2T
и упрощаем (линеаризуем) кинетическое уравнение:
vz
∂fм
∂z
−
e
m
E
∂fм
∂vz
=
A
v3
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂δf
∂θ
.
Магнитная гидродинамика
12/34

Раскрывая производные функции fм = n
m
2πT
3/2
exp −
mv2
2T
с
помощью легко проверяемых формул,
∂fм
∂vz
=−
mvz
T
fм=−
mvcosθ
T
fм,
×−
eE
m
∂fм
∂z
=−
3
2T
∂T
∂z
fм+
mv2
2T2
∂T
∂z
fм=
1
T
∂T
∂z
mv2
2T
−
3
2
fм,
×vcosθ
перепишем кинетическое уравнение в виде
1
T
∂T
∂z
mv2
2T
−
3
2
+
eE
T
fмvcosθ=
A
v3
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂δf
∂θ
.
Решаем методом разделения переменных. При подстановке
δf=Φ(v)cosθ
(4)
множитель cos θ сократится, подтверждая нашу догадку
относительно зависимости δf от θ.
Магнитная гидродинамика
13/34

1
T
∂T
∂z
mv2
2T
−
3
2
+
eE
T
fмvcosθ=
A
v3
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂δf
∂θ
=−2(A/v3) Φ(v) cos θ
.
Φ(v)=−
v4
2A
1
T
∂T
∂z
mv2
2T
−
3
2
+
eE
T
fм.
(5)
Чтобы найти E, вспомним, что выбор δf в f = fм + δf
неоднозначен. Потребуем, чтобы
n
n⃗u
nT
=
1
⃗
v
1
3
m(⃗v−⃗
u)2
fd3v =
1
⃗
v
1
3
m(⃗v−⃗
u)2
fм d3v,
Магнитная гидродинамика
14/34

то есть те же интегралы от δf = Φ(v) cos θ равны нулю, в
частности:
δfd3v = 0,
(7a)
⃗
vδfd3v=0,
(7b)
(⃗v−⃗
u)2δfd3v = 0.
(7c)
Здесь ⃗v ={vsinθcosψ,vsinθsinψ,vcosθ},d3v =v2dvdo,
do = sin θ dθ dψ. В рассматриваемой задаче ⃗u = 0. Из
z‐проекции уравнения (7b) имеем
vzδfd3v= Φ(v)vcos2θd3v= cos2θdo Φ(v)vv2dv=
=
cos2θdo/ do Φ(v)vv2dvdo=⟨cos2θ⟩ Φ(v)vd3v=0.
⟨cos2θ⟩≡ cos2θdo/ do=
1
3
,
Φ(v)vd3v =0.
Магнитная гидродинамика
15/34

Φ(v)vd3v =
−
v4
2A
1
T
∂T
∂z
mv2
2T
∝4!
−
3
2⏟
∝
3
2
×3!
+
eE
T
∝3!
fмvd3v=0.
Учитывая, что
fм v2k−1 d3v =
2k!
√π
2T
m
k−1/2
n
при целом k, находим
eE=−
5
2
∂T
∂z
.
(8)
Таким образом,
δf= −
v4
2A
1
T
∂T
∂z
mv2
2T
−
3
2
+
eE
T
fмcosθ
(9)
=
v4
2A
4−
mv2
2T
1
T
∂T
∂z
fм cos θ.
(10)
Магнитная гидродинамика
16/34

δf=
v4
2A
4−
mv2
2T
1
T
∂T
∂z
fмcosθ∼
λ
T
∂T
∂z
fм;
..........................↑этобылоранее↑..........................
δf ≪ fм , если длина пробега электронов λ ∼ v/νei ∼ v4/A мала
по сравнению с характерной длиной неоднородности
температуры 𝓁 = T/|∂T/∂z|. Соответственно, только при условии
λ≪𝓁
(11)
выполняется исходное предположение о близости функции
распределения к максвелловской. Если оно нарушено,
уравнения магнитной гидродинамики формально не
применимы. Это общее правило, хотя оно и получено на одном
конкретном примере.
Магнитная гидродинамика
17/34

Найдём электронный поток тепла
⃗
q=
1
2
m(⃗v−⃗
u)2(⃗v − ⃗
u)fd3v=
1
2
m v2⃗v(fм
⏟
⇒0
+δf) d3v. (12)
qz=
1
2
m v3 cosθδfd3v =
1
2
m cos2θ
v3 Φ(v) d3v =
= −32
2
π
n
A
T
m
5/2
∂T
∂z
∼ λvTn
=κ
∂T
∂z
.
В векторной записи полученная формула называется законом
Фурье (Jean Fourier, 1822):
⃗
qTe = −κe∇Te.
(13)
Коэффициент теплопроводности электронов
κe ∼ vTeλene.
(14)
Магнитная гидродинамика
18/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
19/34

z
z
z+λ
z−λ
q−
Tz()
dz
q+
Рис. 1: Если потоки частиц слева и
справа одинаковы, Γ+ = Γ−
∼ nvT,
то потоки тепла слева и справа, q+
и q− , различаются на величину,
пропорциональную градиенту
температуры T. Разность потоков
q(z − dz/2) и q(z + dz/2) идёт на
нагрев слоя.
q±=K±Γ≈
3
2
T±
∂T
∂z
λ
=K±
nvT .
Суммарный поток равен дисбалансу левого и правого потоков
q=q−
−
q+≈−3λnvT
κ
∂T
∂z
.
Так же можно оценить любые кинетические коэффициенты.
Магнитная гидродинамика
20/34

Разность энергий, втекающих через границы слоя за время dt
[q(z − dz/2)−q(z+dz/2)]dt ≈ −
∂q
∂z
dzdt=
∂
∂z
κ
∂T
∂z
dz dt,
идёт на увеличение внутренней энергии электронов
3
2
ndTdz
слоя за счёт приращения температуры dT = (∂T/∂t) dt.
Составляя баланс, получаем уравнение теплопроводности
3
2
n
∂T
∂t
=
∂
∂z
κ
∂T
∂z
.
В случае трёх пространственных измерений
3
2
n
∂T
∂t
= div (κ∇T) .
(15)
Можно вывести из уравнения (1c), если отбросить ∇ ⋅ ⃖⃗
πa и Qab.
Магнитная гидродинамика
21/34

3
2
n
∂T
∂t
= div (κ∇T) .
..........................↑этобылоранее↑..........................
Если n = const, обе стороны уравнения теплопроводности
можно поделить на n. Результат деления
∂T
∂t
= div (χ∇T)
(16)
называют уравнением Фурье. Величина χ =
2
3
κ/n называется
коэффициентом температуропроводности в отличие от
коэффициента теплопроводности κ.
Магнитная гидродинамика
22/34

Так как χ ∼ κ/n, а κ ∼ nvTλ, замечаем, что
χ∼λvT∼v2
Tτ ∼ λ2/τ,
(17)
где λ = 1/nσ — длина свободного пробега,
σ=4πe2
ae2
b Λ/m2
a b v4 — транспортное сечение кулоновских
столкновений, n — плотность частиц, τ = λ/vT — время
свободного пробега, а vT — тепловая скорость.
Сравним электронную и ионную теплопроводности
(температуропроводности):
κe
κi
∼
χe
χi
∼
λvTe
λvTi
∼
mi
me
≫1.
В плазме без магнитного поля тепло переносится
преимущественно электронами.
Магнитная гидродинамика
23/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
24/34

Подставив ⃗E = −
5
2
∇Te/e =
5
2
∇Te /ee в уравнение движения
электронной компоненты плазмы
me ne
de ⃗ue
dt
=0
=− ∇pe
=ne ∇Te
+ eene
⃗
E
=
5
2
ne ∇Te
−∇⋅⃖⃗
πe
=0
+ ⃗Rei
(18)
легко понять, что есть ещё термосила
⃗
RT=−
3
2
ne ∇Te.
(19)
Она составляет только часть полной силы Брагинского
⃗
Rei=⃗
RT + ⃗Ru,
(20)
которая содержит ещё силу трения ⃗Ru .
Задача: найти термосилу, вычислив ⃗Rei = me ∫ ⃗vCei d3v. Почему
время столкновений не входит в ответ?
Магнитная гидродинамика
25/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
26/34

Вычислим ⃗Ru . Используем решение задачи о теплопроводности,
взяв ∂T/∂z = 0. Тогда из (4) и (5) при заданном E находим
δf= −
v4
2A
eE
T
fм cos θ,
(21)
где fм = n (m/2πT)
3/2
exp −mv2 /2T взята при ⃗u = 0, поэтому
n⃗u =
⃗
v(fм
⏟
⇒0
+δf) d3v =
̂
z vcosθδfd3v
=−
1
2A
e⃗E
T
⟨cos2 θ⟩
=1/3
v5 fм d3v
=
2×3!
√π
2T
m
3−1/2
n
=−
2n
√πA
2T
m
5/2
e⃗E
T
.
δf=√π
4
v4u
(2T/m)5/2 fм cos θ.
(22)
Магнитная гидродинамика
27/34

n⃗u =
2n
√πA
2T
m
5/2
e⃗E
T
,
A = 2πZ2e4niΛei/m2.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Окончательный результат вычислений записывают в виде
⃗
u=
32
3π
ee
⃗
Eτe
me
,
τe=
3
4√2π
m
1/2
eT
3/2
e
niZ2e4Λei
.
(23)
В общем случае (при произвольном Z)
⃗
u=
1
C(Z)
ee
⃗
Eτe
me
,
(24)
C(∞) =
3π
32
≈ 0.29,
C(1) ≈ 0.51,
C(0) = 1.
(25)
Магнитная гидродинамика
28/34

Чтобы найти силу трения электронов об ионы, вновь используем
уравнение движения электронов:
me ne
de ⃗ue
dt
=0
=−∇pe
=0
+ee ne
⃗
E+
ee
c
ne ⃗ue×⃗B
=0
−
∇⋅ ⃖⃗
πe
=0
+⃗Rei.
Исключая ⃗E из уравнений
ee ne
⃗
E+⃗Ru=0,
⃗
u=
1
C(Z)
ee
⃗
Eτe
me
,
получим
⃗
Ru = −C(Z)
me ne
τe
⃗
u.
(26)
Магнитная гидродинамика
29/34

Формула
⃗
Ru = −C(Z)
me ne
τe
⃗
u
имеет простой смысл. При e‐i столкновениях за время порядка τe
электроны теряют свою упорядоченную скорость ⃗u = ⃗
ue−⃗
ui
относительно ионов; следовательно, они теряют импульс
ne me ⃗u. Это значит, что на электроны действует сила трения
порядка −ne me ⃗u/τe . Коэффициент C(Z) ∼ 1 зависит от Z.
Величина τe выбрана так, чтобы числовой коэффициент C(Z) в
силе трения был равен 1 для электронов с максвелловским
распределением, сдвинутым как целое относительно ионов на
величину ⃗u. Так как ν
(p)
ei ∼Zν
(p)
e e , формально такое
распределение соответствует пределу Z → 0.
Вопрос: почему C(Z) уменьшается с ростом Z?
Магнитная гидродинамика
30/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
31/34

Мы предполагали, что ⃗ui = 0. В общем случае
⃗
u≡⃗ue−⃗
ui=
1
C(Z)
ee
⃗
Eτe
me
,
⃗
j=eene⃗ue+eini⃗ui =eene⃗u.
С другой стороны, согласно закону Ома,
⃗
j=σ⃗E,
(27)
где σ — коэффициентом проводимости.
σ=
1
C(Z)
e2
eneτe
me
=
ω2
pτe
4πC(Z)
.
(28)
Это Спитцеровская проводимость. Спитцер (Lyman Spitzer)
первым опубликовал расчёты коэффициента C(Z) для
нескольких Z . Брагинский завершил свои расчёты раньше, но
из‐за режима секретности опубликовал позже.
Магнитная гидродинамика
32/34

Далее...
1 Кинетические коэффициенты
2 Теплопроводность плазмы
3 Уравнение Фурье
4 Термосила
5 Сила трения
6 Проводимость плазмы
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
33/34

Задачи для семинара
Объяснить, каким образом электрон‐электронные
столкновения влияют на силу трения электронов об ионы и
на проводимость плазмы?
Найти термосилу в лоренцевой плазме, вычислив интеграл в
определении силы Брагинского.
* Найти силу трения в лоренцевой плазме, вычислив интеграл
в определении силы Брагинского.
Вычислить поток тепла, связанный с протеканием тока в
лоренцевой плазме.
Получить уравнение теплопроводности из уравнения
переноса тепла.
Магнитная гидродинамика
34/34

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
19 февраля 2020 г.

Лекция 03
Процессы переноса в магнитном поле
Анизотропия плазмы в магнитном поле
Кинетические коэффициенты замагниченной плазмы
Амбиполярная диффузия
Бомовская диффузия
Обобщённый закон Ома
Эффект Холла
Магнитная гидродинамика
2/33

Магнитное поле вносит анизотропию в свойства плазмы:
процессы переноса вдоль и поперёк магнитного поля идут с
разной скоростью. Чем больше напряжённость магнитного поля,
тем медленнее перенос плазмы в поперечном направлении.
Однако на перенос вдоль силовых линий магнитное поле не
влияет.
Говорят, что плазма замагничена, если
ρ<λ,
ν<Ω.
(1)
Теоретически возможна ситуация, когда электроны замагничены,
а ионы – нет, но в термоядерных установках замагничены
частицы всех сортов.
Магнитная гидродинамика
3/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
4/33

Поток тепла вдоль ⃗B такой же, как в плазме без магнитного поля.
Например, для электронов
⃗
qTe = −κe∇Te,
(2)
причём
κe∼neλevTe∼neλ2
e/τe.
Такая оценка соответствуют наглядной физической картине
явления, когда за время свободного пролёта τe электрон
переносит энергию порядка Te на расстояние порядка длины
свободного пробега λe .
Аналогичные рассуждения применимы к ионам.
Магнитная гидродинамика
5/33

Поперёк магнитного поля за то же время τe электрон смещается
на расстояние порядка ρe ∼ vTe /Ωe ≪ λe . Следовательно,
κ⊥e ∼ neρ2
e/τe.
Коэффициент теплопроводности становится тензором, а вместо
(2) следует писать
⃗
qTe = −⃖⃗
κe⋅∇Te
(3)
(и аналогично для ионов), где тензор
κe,μν = κ‖e[hμhν] + κ⊥e[δμν − hμhν] + κ∧eεμγνhγ
(4)
в самом общем случае зависит от направления магнитного поля
⃗
h=⃗
B/B и трёх коэффициентов: продольной κ‖e , поперечной
κ⊥e и «косой» κ∧e теплопроводности, причём в замагниченной
плазме
κ∧e ∼ neρ2
eΩe.
Магнитная гидродинамика
6/33

В векторной записи
⃗
qTe = −κ‖e∇‖Te − κ⊥e∇⊥Te − κ∧e
⃗
h×∇⊥Te ,
(5)
⃗
qTi = −κ‖i∇‖Ti − κ⊥i∇⊥Ti − κ∧i
⃗
h×∇⊥Ti .
(6)
«Косые» слагаемые есть также в термосиле,
⃗
RT ≡ ⃗Rei,T = −β‖∇‖Te − β⊥∇⊥Te − β∧
⃗
h×∇Te =−⃗
Rie,T , (7)
силе трения,
⃗
Ru≡ ⃗Rei,u = −α‖⃗u‖−α⊥⃗u⊥−α∧
⃗
h×⃗u =−⃗
Rie,u ,
(8)
и потоке тепла,
⃗
qu≡ ⃗qe,u = β‖Te⃗u‖+β⊥Te⃗u⊥+β∧Te
⃗
h×⃗u ,
⃗
qi,u = 0, (9)
связанном с электрическим током, однако они малы в силе
трения.
Магнитная гидродинамика
7/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
8/33

Пусть
⃗
B=B
̂
z,
Te = const,
Ti = const,
eene+eini=0, ee= −e, ei=Ze ⇒ ne(x)=Zni(x).
Скорость движения, вызываемого диффузией, обычно мала,
поэтому в уравнениях движения отбросим инерционные
(me de ⃗ue /dt, mi di ⃗ui /dt) и вязкие (−∇⃖⃗πe , −∇⃖⃗πi ) члены:
0 = −Te∇ne + eene
⃗
E+
ee ne
c
[⃗ue × ⃗B]+ ⃗Ru,
0= −Ti∇ni+eini⃗E+
ei ni
c
[⃗ui× ⃗B]− ⃗
Ru,
(10)
⃗
Ru=−
me ne
τe
⃗
u⊥ − C(Z)
me ne
τe
⃗
u‖
нам не потребуется
−
D(Z)
me ne
τe
⃗
h× ⃗u⊥
|Ωeτe|
2/3
мал при |Ωe τe|≫1
.
(11)
Магнитная гидродинамика
9/33

Рассмотрим движение поперёк магнитного поля со скоростью
⃗
u⊥ = (ux,uy,0):
0 = −Te∇ne + eene
⃗
E+
ee ne
c
[⃗ue × ⃗B] + ⃗Ru,
0= −Ti∇ni+eini⃗E+
ei ni
c
[⃗ui× ⃗B]− ⃗
Ru,
⃗
Ru=−
me ne
τe
(⃗ue−⃗
ui)⊥ .
(10)
..........................↑этобылоранее↑..........................
В проекции на ось x учтём, что Rx = 0, поскольку, как мы
увидим, uex = uix = ux:
−Te
∂ne
∂x
+ eeneEx +
ee ne
c
ueyB = 0,
−Ti
∂ni
∂x
+ einiEx +
ei ni
c
uiyB = 0.
Магнитная гидродинамика
10/33

−Te
∂ne
∂x
+ eeneEx +
ee ne
c
ueyB = 0,
−Ti
∂ni
∂x
+ einiEx +
ei ni
c
uiyB = 0,
+
..........................↑этобылоранее↑..........................
Складывая уравнения с учётом условия ee ne + ei ni = 0, находим:
eene(uey − uiy)B/c = Te
∂ne
∂x
+Ti
∂ni
∂x
=
∂p
∂x
,
где p = ne Te + ni Ti . Следовательно,
Ry=−
me ne
τe
(uey−uiy)=−
me ne
τe
c
Bee ne
∂p
∂x
=−
1
Ωe τe
∂p
∂x
,
где
Ωe = eeB/mec.
Магнитная гидродинамика
11/33

Подставляя
Ry=−
1
Ωe τe
∂p
∂x
..........................↑этобылоранее↑..........................
в y‐проекцию первого из уравнений движения (10),
eeneEy −
ee ne
c
uexB
=me Ωe ne uex
+Ry=0,
находим
uex=c
Ey
B
−
1
meneΩ2
eτe
∂p
∂x
.
Из y‐проекции второго из уравнений движения (10),
einiEy −
ei ni
c
uixB−Ry=0,
находим uix = ue x , подтверждая нашу гипотезу.
Магнитная гидродинамика
12/33

Первое слагаемое в
uex=uix=c
Ey
B
−
1
meneΩ2
eτe
∂p
∂x
..........................↑этобылоранее↑..........................
соответствует электрическому дрейфу; обычно Ey = 0.
Электрический ток в направлении градиента плотности
отсутствует,
jx = eeneuex + einiuix = eene(uex − uix) = 0,
обеспечивая сохранение квазинейтральности плазмы.
Это свойство является отличительной чертой амбиполярной
диффузии. Термин «амбиполярная диффузия» можно
расшифровать как «двуполярная», т. е . совместная диффузия
противоположно заряженных частиц.
Магнитная гидродинамика
13/33

uex=uix=−
1
meneΩ2
eτe
∂p
∂x
,
p=neTe+niTi, ne =Zni.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Диффузионный поток:
neuex = −
ne
meneΩ2
eτe
∂
∂x
(neTe + niTi) = −
Te + Ti/Z
meΩ2
eτe
=D
∂ne
∂x
,
niuix = −
ni
meneΩ2
eτe
∂
∂x
(neTe + niTi) = −
Te + Ti/Z
meΩ2
eτe
=D
∂ni
∂x
.
Коэффициент диффузии:
D=
Te + Ti/Z
meΩ2
eτe
∼
v2
Te
Ω2
eτe
∼
ρ2
e
τe
.
(12)
Магнитная гидродинамика
14/33

При подстановке ne ⃗ue = −D ∇ne в уравнение непрерывности
∂ne/∂t + div(ne ⃗ue) = 0
получается уравнение диффузии
∂ne
∂t
= div(D∇ne )
(13)
для электронов. Такое же уравнение с тем же коэффициентом
диффузии получается и для ионов.
Как ясно из приведённого вывода, диффузия возникает в
результате трения между электронной и ионной компонентами
плазмы при их скольжении одна относительно другой в
направлении, перпендикулярном как градиенту плотности, так и
магнитному поля.
Магнитная гидродинамика
15/33

Почему диффузия не возникает при столкновении
тождественных частиц?
B
B
(а)
(б)
+
+
+
-
Рис. 1: a) При столкновении тождественных частиц в магнитном поле их
ведущие центры смещаются так, что суммарный сдвиг отсутствует. б)
При столкновении противоположно заряженных частиц их ведущие
центры смещаются в одном и том же направлении.
Магнитная гидродинамика
16/33

Оценка
De∼
ρ2
e
τe
∼
Te
meΩ2
eτe
соответствует простой физической картине. При каждом
столкновении с ионом, сопровождающемся рассеянием на угол
порядка 90∘ , электрон смещается случайным образом на
расстояние порядка ларморовского радиуса ρe .
Вопрос: Почему диффузионный поток определяется
электронами, а не ионами, притом что диффузионные потоки
электронов и ионов одинаковы?
Магнитная гидродинамика
17/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
18/33

Коэффициенты поперечного переноса обратно
пропорциональны B2 , например
χ⊥e∼D∼
ρ2
e
τe
∝
1
B2.
Однако до начала 1960‐х годов в экспериментах не удавалось
создать условия, при которых бы реализовывалась эта
зависимость. Дэвид Бом (David Bohm) в 1949 г. предложил
полуэмпирическую формулу
DB=
1
16
cT
eB
.
(14)
Позднее стало ясно, что бомовская диффузия возникает в
турбулентной плазме, а формула Бома даёт верхний предел на
величину коэффициентов переноса поперёк магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
19/33

К этому выводу можно прийти с помощью следующих
рассуждений. Например, для электронов
χ⊥e ∼
v2
Teτe,
если |Ωe|τe ≪ 1
ρ2
e/τe,
если |Ωe|τe ≫ 1
.
Максимальное значение χ⊥e достигается при |Ωe |τe ∼ 1. Полагая
τe ∼ 1/|Ωe |, находим
χ⊥e∼ρ2
e|Ωe|∼v2
Te/|Ωe| ∼ cT/eB.
Масса электрона выпала из итогового результата, поэтому
полученная оценка применима также и к ионам. С точностью до
коэффициента 1/16 она совпадает с формулой Бома.
Магнитная гидродинамика
20/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
21/33

В уравнение (10) добавим отброшенную ранее термосилу:
0= −∇pe+eene
⃗
E+
ee ne
c
[⃗ue× ⃗B]+ ⃗Ru+ ⃗RT.
Выразим силу трения
⃗
Ru= −α‖⃗u‖−α⊥⃗u⊥−α∧
⃗
h× ⃗u
через плотность тока ⃗j = ee ne ( ⃗ue − ⃗
ui ):
⃗
Ru=−
α‖
ee ne
⃗
j‖−
α⊥
ee ne
⃗
j⊥−
α∧
ee ne
[⃗h × ⃗j⊥].
Затем выделим массовую скорость плазмы ⃗V = ⃗
ui и исключим
скорость электронов ⃗ue из третьего слагаемого при помощи
подстановки
⃗
ue=⃗
V+
⃗
j
ee ne
.
Магнитная гидродинамика
22/33

После деления на −ee ne уравнение
0= −∇pe+eene
⃗
E+
ee ne
c
⃗
V+
⃗
j
ee ne
×⃗B+⃗Ru+⃗RT
принимает форму обобщённого закона Ома
⃗
E+
1
c
[⃗V×⃗B]=+
∇pe
ee ne
−
⃗
RT
ee ne
+
+
α‖
e2
en2
e
⃗
j‖+
α⊥
e2
en2
e
⃗
j⊥+
α∧
e2
en2
e
[⃗h×⃗j⊥]−
1
cee ne
[⃗j × ⃗B]
=
α∧ + meneΩe
e2
en2
e
[⃗h × ⃗j⊥]
,
который в самом общем виде устанавливает связь между
электрическим полем и током в плазме.
Магнитная гидродинамика
23/33

⃗
E+
1
c
[⃗V × ⃗B]
E в с.о. ионов
=
∇pe− ⃗
RT
ee ne
+
α‖
e2
en2
e
⃗
j‖+
α⊥
e2
en2
e
⃗
j⊥+
α′
∧
e2
en2
e
[⃗h × ⃗j⊥]
Эффект Холла
,
(15)
α′
∧ = α∧ + meneΩe ≈ meneΩe.
(16)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Если плазма неподвижна, ⃗V = 0, а ток в ней отсутствует, ⃗j = 0,
обобщённый закон Ома редуцируются до уравнения
⃗
E=(∇pe− ⃗
RT)/eene .
Оно обращается в тождество, если температура однородна
(тогда ⃗RT = 0), плотность плазмы удовлетворяет закону
Больцмана (тогда ne = ne0 e−ee φ/Te ), а электрическое поле
потенциально (т. е. ⃗
E = −∇φ).
Магнитная гидродинамика
24/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
25/33

⃗
E+
1
c
[⃗V × ⃗B]
E в с.о. ионов
=
∇pe− ⃗
RT
ee ne
+
α‖
e2
en2
e
=ρ‖
⃗
j‖+
α⊥
e2
en2
e
=ρ⊥
⃗
j⊥+
α′
∧
e2
en2
e
=ρ∧
[⃗h × ⃗j⊥]
эфф. Холла
.
(15)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Последнее слагаемое в правой части обобщённого закона Ома
описывает эффект Холла (Edwin Hall, 1879).
В переменном электрическом поле эффект Холла вызывает ток,
перпендикулярный ⃗E . Проводимость плазмы становится
недиагональным тензором. Она вычислена в курсе ФСС.
В стационарном поле результат чувствителен к геометрии задачи
и к условиям протекания тока на границе плазмы. Рассмотрим 2
задачи, пренебрегая термосилой и градиентом давления
электронов, что можно сделать, если плазма однородна.
Магнитная гидродинамика
26/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
27/33

Пусть плазма имеет форму цилиндра, а электрическое поле
направлено по радиусу, ⃗E = E
̂
⃗
r, как показано на рис. 2(а).
E
V
B
E,j
EH
y
x
z
(а)
(б)
B
Рис. 2: Эффект Холла в стационарном поле.
Магнитная гидродинамика
28/33

Обратившись к уравнению
0 = −∇(neTe) + eene
⃗
E+
ee ne
c
[⃗ue× ⃗B]+ ⃗R,
0= −∇(niTi)+eini⃗E+
ei ni
c
[⃗ui× ⃗B]− ⃗
R.
видим, что при ∇(ne Te ) = ∇(ni Ti ) = 0, электронная и ионная
компоненты плазмы будут вращаться вокруг оси цилиндра с
одинаковой скоростью
⃗
ue=⃗
ui=
c
B2[ ⃗E × ⃗B],
сила Брагинского будет равна нулю, ⃗R = 0, как и электрический
ток, ⃗j = 0. А раз ток не возникает, то плазма ведёт себя как
непроводящий диэлектрик (!).
Магнитная гидродинамика
29/33

Совершенно иная ситуация складывается, если движение
плазмы запрещёно граничными условиями. Пусть имеется
ограниченная область плазмы в виде плоского плазменного
канала, как показано на рис. 3(б).
E
V
B
E,j
EH
y
x
z
(а)
(б)
B
Рис. 3: Эффект Холла в стационарном поле.
Ток поперёк канала не может существовать, если стенки канала
непроводящие или оторваны от плазмы вакуумным зазором.
Магнитная гидродинамика
30/33

Подставляя jy = 0 в x‐проекцию уравнения
⃗
E=ρ‖⃗j‖+ρ⊥
⃗
j⊥+ρ∧[⃗h×⃗j⊥],
немедленно находим
jx=
1
ρ⊥
Ex,
ρ⊥=
me ne /τe
n2
ee2
e
=
4π
ω2
pe τe
.
Теперь выясняется, что магнитное поле никак не влияет на
электрический ток. Этот факт в своё время заинтересовал Эдвина
Холла и привёл к открытию эффекта, названного в его честь. Вы
можете повторить опыт Холла, сравнив сопротивление
металлического провода при включении и выключении
магнитного поля.
Из y‐компоненты уравнения находим холловское поле:
EH=Ey=ρ∧jx,
ρ∧≈
meneΩe
n2
ee2
e
=
4πΩe
ω2
pe
,
Ey
Ex
=
ρ∧jx
ρ⊥jx
= Ωeτe≫1.
Магнитная гидродинамика
31/33

Далее...
1 Кинетические коэффициенты в магнитном поле
2 Амбиполярная диффузия
3 Бомовская диффузия
4 Обобщённый закон Ома
5 Эффект Холла
Стационарное поле
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
32/33

Задачи для семинара
Показать с помощью наглядных рассуждений, что при
наличии градиента температуры, перпендикулярного
магнитному полю, возникает «косой» поток тепла в
направлении, перпендикулярном как магнитному полю, так
и градиенту температуры.
Оценить термосилу в магнитном поле.
Найти амбиполярный диффузионный поток в
слабоионизованном газе.
Эффект Холла в нестационарном случае.
Магнитная гидродинамика
33/33

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
26 февраля 2020 г.

Лекция 04
Одножидкостная магнитная гидродинамика
Теория Альфвена
Резистивная магнитная гидродинамика
Идеальная магнитная гидродинамика
Вмороженность и диффузия магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
2/36

Система уравнений магнитной гидродинамики (МГД),
предложенная Х. Альфвеном (Hannes Alfvén, 1942), может быть
получена путём редуцирования уравнений двухжидкостной МГД.
Однако Альфвен «просто» дописал в уравнениях обычной
гидродинамики силу Ампера. Анализируя полученные таким
образом уравнения, он предсказал неизвестные ранее МГД
волны.
Теория Альфвена исходит из одножидкостной модели плазмы,
поэтому её следовало бы называть одножидкостной магнитной
гидродинамикой (одножидкостная МГД), но обычно слово
«одножидкостная» опускают там, где это не должно вызывать
недоразумений.
Магнитная гидродинамика
3/36

Существует класс крупномасштабных сравнительно медленных
движений, для которых различие в движении ионов и
электронов мало и поэтому плазму можно рассматривать как
гомогенную проводящую жидкость в согласии с идеей Альфвена.
Следуя Альфвену, изложим феноменологический вывод
уравнений (одножидкостной) МГД, а формальное
преобразование двухжидкостной теории МГД в одножидкостную
оставим для самостоятельной работы над задачами.
Уравнения (одножидкостной) МГД часто используются там, где их
нельзя строго обосновать. Модель одножидкостной МГД
позволяет понять и прогнозировать явления, которые затем
уточняются с учётом более тонких физических эффектов. В связи
с этим возникло несколько вариантов системы уравнений МГД.
Мы последовательно сформулируем системы уравнений
резистивной и идеальной МГД, умолчав о холловской и
бесстолкновительной МГД.
Магнитная гидродинамика
4/36

Далее...
1 Теория Альфвена
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
5/36

Предполагается, что поведение плазмы сходно с поведением
идеального газа.
Давление плазмы:
p=niTi+neTe.
(1)
(Массовая) плотность плазмы:
ρ=mene+mini≃mini.
(Потоковая) скорость плазмы:
⃗
V=
mene ⃗ue + mini ⃗ui
ρ
≃ ⃗ui.
Магнитная гидродинамика
6/36

С добавлением силы Ампера гидродинамическое уравнение
Эйлера принимает вид
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
c
[⃗j × ⃗B],
(2)
где ⃗B — магнитное поле, ⃗j — плотность электрического тока, а
dF
dt
=
∂F
∂t
+(⃗V ⋅∇)F
(3)
обозначает полную (или лагранжеву) производную
произвольной функции F( ⃗x , t); в данном случае F → ⃗V .
Магнитная гидродинамика
7/36

В рамках магнитной гидродинамики уравнение непрерывности
∂ρ
∂t
+div(ρ⃗V)=0
(4)
обычно записывают в виде
dρ
dt
=−ρdiv⃗V,
(5)
если другие уравнения также записывают с помощью полных
производных по времени. Эквивалентность уравнений (4) и (5)
доказывается с помощью векторного тождества
div(ρ ⃗V) =
⃗
V⋅∇ρ +ρdiv ⃗V
и формулы (3), в которой нужно принять, что F = ρ.
Магнитная гидродинамика
8/36

Плотность электрического заряда и электрического тока:
ρq = eini + eene,
⃗
j=eini⃗ui+eene⃗ue.
Из уравнений непрерывности для электронов и ионов получаем
уравнение сохранения электрического заряда:
∂ρq
∂t
+div⃗j =0.
(6)
Далее предполагаем, что плазма квазинейтральна, т.е . ρq мала
по сравнению с eini ≈ −eene. При этом
⃗
j=eene⃗u,
(7)
где⃗u=⃗
ue−⃗
ui.
Магнитная гидродинамика
9/36

Условие квазинейтральности накладывает на величины,
описывающие плазму, одну связь:
ne = Zni.
(8)
Следовательно, из системы уравнений для плазмы одно
уравнение должно быть отброшено, а именно уравнение
div ⃗E = 4πρq,
(9)
в которое явно входит объёмный заряд.
Считая, что все происходящие в плазме движения медленные и
протекают со скоростями, которые значительно меньше скорости
света, в уравнении (6) можно пренебречь производной ∂ρq /∂t:
div⃗j =0.
(10)
Магнитная гидродинамика
10/36

В тех же условиях в уравнениях Максвелла можно пренебречь
током смещения (1/c)∂ ⃗E/∂t:
rot⃗E=−
1
c
∂⃗B
∂t
,
div ⃗B =0,
(11)
rot⃗B=
4π
c
⃗
j,
div⃗j =0.
(12)
Пренебрегая ρq , мы не накладываем ограничений на div ⃗E .
Вихревые электрические поля определяются из первого
уравнения (11), а потенциальные поля, возникающие вследствие
малой некомпенсации положительных и отрицательных зарядов
(сами эти поля не малы!), определяются условием div ⃗j = 0
совместно с уравнениями движения. Уравнение Пуассона
div ⃗E = 4πρq может служить для того, чтобы по известному ⃗E
найти ρq (но обычно это никому не нужно).
Магнитная гидродинамика
11/36

Уравнения
rot⃗E=−
1
c
∂⃗B
∂t
,
div⃗B =0,
(11)
rot⃗B=
4π
c
⃗
j,
div⃗j =0
(12)
..........................↑этобылоранее↑..........................
в таком же виде входят в систему двухжидкостной МГД, но в
одножидкостной магнитной гидродинамике они служат лишь
отправной точкой для получения финальных уравнений.
1) С помощью (12) исключим ⃗j из уравнения движения
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
c
[⃗j × ⃗B],
(2)
переписав его в виде
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
4π
[rot ⃗B × ⃗B].
(13)
Магнитная гидродинамика
12/36

2) Исключим ⃗E , скомбинировав первое уравнение (11) с законом
Ома. В одножидкостной МГД вместо обобщённого закона Ома
⃗
E+
1
c
[⃗V × ⃗B]
=⃗
E′
=
∇pe− ⃗
RT
ee ne
+ρ‖⃗j‖+ρ⊥
⃗
j⊥+ρ∧
⃗
h×⃗j⊥,
используют более грубое приближение
⃗
E′
=
1
σ
⃗
j′
,
связывающее электрическое поле ⃗E
′
и плотность тока ⃗j
′
в
системе отсчёта, движущейся вместе с жидким элементом.
Магнитная гидродинамика
13/36

Преобразование Лоренца в эту систему отсчёта при V ≪ c даёт
⃗
E′
=⃗
E+
1
c
[⃗V × ⃗B],
⃗
j′
=⃗
j,
поэтому
⃗
E+
1
c
[⃗V×⃗B]=
1
σ
⃗
j=
c
4πσ
rot ⃗B.
(14)
∂⃗B
∂t
= −crot⃗E =rot[⃗V×⃗B]−rot
c2
4πσ
rot ⃗B
.
При σ = const
rotrot⃗B =∇div⃗B −∇2⃗B = −∇2⃗B
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B.
(15)
Магнитная гидродинамика
14/36

Уравнения (1), (5), (13) и (15) составляют основу системы
уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики. Чтобы
замкнуть эту систему уравнений, её нужно дополнить
уравнением для температуры T. Единого рецепта, каким должно
быть это дополнительное уравнение, нет. Если из всех
диссипативных процессов учитывать только омический нагрев
плазмы, следует использовать уравнение
p
γ−1
d
dt
ln
p
ργ=
j2
σ
(16)
с показателем γ =
5
3
. Оно согласуется с уравнением (14) (и его
следствием (15)) в том смысле, что там также пренебрегается
всеми видами диссипации, кроме омической.
Магнитная гидродинамика
15/36

Далее...
1 Теория Альфвена
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
16/36

Суммируя сказанное выше, запишем систему уравнений
резистивной МГД:
dρ
dt
=−ρdiv⃗V,
(17a)
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
4π
[rot ⃗B × ⃗B],
(17b)
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B,
(17c)
p
γ−1
d
dt
ln
p
ργ=
j2
σ
.
(17d)
Она игнорируют все диссипативные процессы, за исключением
электрического сопротивления.
Магнитная гидродинамика
17/36

Далее...
1 Теория Альфвена
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
18/36

Очевидный недостаток приближения резистивной МГД состоит в
том, что σ считается скалярной величиной. В применении к
плазме такое приближение далеко от действительности, так как в
магнитном поле σ является тензором. Однако иногда переходят к
ещё более упрощённому способу описания плазмы. При σ → ∞ в
сопутствующей системе отсчёта ⃗E
′
=⃗
j′/σ = 0, а поэтому
⃗
E=−
1
c
[⃗V × ⃗B].
(18)
Подстановка скорости электрического дрейфа
⃗
vE=
c
B2
⃗
E×⃗B
(19)
обращает равенство (18) в тождество. Продольная скорость ⃗V‖
может иметь любое значение.
Магнитная гидродинамика
19/36

Иными словами, в приближении идеальной МГД плазма
движется со скоростью электрического дрейфа. Уравнения
⃗
E=−
1
c
[⃗V × ⃗B]
(18)
и
⃗
vE=
c
B2
⃗
E×⃗B
(19)
по сути эквивалентны, но их смысл различен:
согласно (18), движение плазмы порождает электрическое поле;
согласно (19), электрическое поле приводит плазму в движение.
Мы увидим далее, что такое движение «вмораживает»
магнитное поле в плазму.
Магнитная гидродинамика
20/36

При σ = ∞ второе слагаемое справа в уравнении
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B
(15)
и правая сторона уравнения
p
γ−1
d
dt
ln
p
ργ=
j2
σ
(16)
..........................↑этобылоранее↑..........................
обращаются в ноль, и мы получаем систему уравнений
идеальной магнитной гидродинамики (H. Alfvén, 1942):
dρ
dt
= −ρ div( ⃗V),
(20a)
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
4π
[rot ⃗B × ⃗B],
(20b)
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B],
(20c)
d
dt
p
ργ=0.
(20d)
Магнитная гидродинамика
21/36

Уравнение
d
dt
p
ργ=0
фактически является уравнением состояния плазмы
p
ργ = const( ⃗r0)
с показателем политропы γ =
5
3
. Оно описывает движение, в
котором энтропия каждой жидкой частицы остаётся постоянной
вдоль траектории движения, аналогично тому, как функция
распределения в бесстолкновительной плазме неизменна вдоль
траектории в фазовом пространстве.
Магнитная гидродинамика
22/36

Если же характерные размеры неоднородности в плазме
невелики, то из‐за высокой электронной теплопроводности
более адекватным может быть приближение изотермической
плазмы
dT
dt
=0,
(21)
которое соответствует политропе с показателем γ = 1:
0=
d
dt
p
ρ1=
d
dt
nT
ρ1=
d
dt
T
mi
.
Магнитная гидродинамика
23/36

В некоторых случаях правдоподобные предсказания даёт модель
несжимаемой жидкости, в которой
div⃗V =0.
(22)
Формально, она соответствует пределу бесконечной скорости
звука cs = γp/ρ при γ → ∞. Действительно, перепишем
уравнение (20d) в виде
dp
dt
=
γp
ρ
dρ
dt
= −γpdiv ⃗V.
При γ → ∞ и конечной производной dp/dt отсюда получаем
div ⃗V = 0, что и требовалось доказать.
Магнитная гидродинамика
24/36

Уравнения идеальной магнитной гидродинамики (20) неплохо
описывают крупномасштабные и сравнительно медленные
движения в плазме, для которых несущественно различие в
движении отдельных групп частиц. В частности, эти уравнения
используют для расчётов равновесия плазмы в магнитном поле в
условиях, когда несущественна её анизотропия, т. е. функция
распределения частиц по скоростям близка к максвелловской.
Магнитная гидродинамика
25/36

Далее...
1 Теория Альфвена
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
26/36

Рассмотрим подробнее уравнение
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B.
(23)
При ⃗V = 0 оно принимает вид уравнения диффузии
∂⃗B
∂t
= Dm∇2 ⃗B
(24)
с коэффициентом
Dm = c2/4πσ,
(25)
который и в самом деле называют коэффициентом диффузии
магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
27/36

Из‐за конечной проводимости магнитное поле просачивается
сквозь плазму по диффузионному закону. Глубина
проникновения поля за время t ∼ 1/ω равна толщине скин‐слоя:
δ∼2Dmt∼ 2
c2
4πσ
1
ω
∼
c
√2πσω
.
(26)
Если δ ≪ L, сопротивлением плазмы можно пренебречь. В
движущейся плазме ω ∼ V/L и условие δ ≪ L означает, что
V≫
c2
2πσL
.
В этом случае мы приходим к идеальной МГД, в которой
отсутствуют все виды диссипации и, в частности,
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B].
(27)
Магнитная гидродинамика
28/36

Докажем, что в идеально проводящей жидкости поток
магнитного поля через любой жидкий контур, который движется
вместе с плазмой, сохраняется. Силовые линии магнитного поля
не пересекают контур и поэтому как бы «приклеены» к жидким
элементам плазмы (говорят: вморожены в плазму).
Напомним свойства магнитного потока
Φ=
S
(⃗B ⋅d ⃗S),
которые следуют из уравнения div ⃗B = 0:
1 Потоки, входящий в объём и выходящий из него, равны.
2 Через любую поверхность, натянутую на данный замкнутый
контур, проходит один и тот же поток.
Магнитная гидродинамика
29/36

dS
B
B
V
dl
dS
S’
S
Рис. 1: Изменение потока
ΔΦ=∫
S′
(⃗B
′
⋅ d ⃗S)−∫
S
(⃗B ⋅d ⃗S)завремя
Δt есть разность потоков через контур S
в момент времени t и тот же контур,
перемещённый с плазмой в новое
положение S′ в момент времени t + Δt;
здесь⃗B=⃗
B(⃗x,t), ⃗
B′
=⃗
B(⃗x,t+Δt),ad⃗S
— элемент поверхности, направленный
по нормали к ней и составляющий
правый винт с направлением обхода
контура.
Поскольку Φ не зависит от формы поверхности S, натянутой на
контур, поверхность S можно выбрать так, что она будет
составлена из поверхности S′ и узкой ленты ΔS шириной V Δt,
соединяющей два контура.
Магнитная гидродинамика
30/36

dS
B
B
V
dl
dS
S’
S
ΔΦ=
S′
(⃗B
′
⋅ d⃗S)−
S
(⃗B ⋅d ⃗S);
S=S
′
+ ΔS;
d⃗S =[d⃗l× ⃗V].
ΔΦ=
S′
(⃗B
′
⋅ d⃗S)−
S′
(⃗B ⋅d ⃗S)
=Δt
S′
∂⃗B
∂t
⋅d⃗S
+
S′
(⃗B ⋅d ⃗S)−
S
(⃗B ⋅d ⃗S)
=−
ΔS
(⃗B ⋅d ⃗S)
Магнитная гидродинамика
31/36

ΔΦ=Δt
S′
∂⃗B
∂t
⋅ d⃗S
−
ΔS
(⃗B ⋅d ⃗S).
..........................↑этобылоранее↑..........................
ΔS
(⃗B⋅d ⃗S)=Δt
l
⃗
B⋅[d⃗l× ⃗V] = Δt
l
d⃗l⋅[ ⃗V× ⃗B] = Δt
S
rot⃗V×⃗B⋅d⃗S.
ΔΦ
Δt
→
Δt→0
S
∂⃗B
∂t
⋅d⃗S−
S
rot⃗V×⃗B ⋅d⃗S=0.
dΦ
dt
=0.
Магнитная гидродинамика
32/36

Сохранение магнитного потока означает, что силовые линии
магнитного поля не пересекают линию контура. Поскольку это
утверждение верно для любого контура L, движущегося вместе с
веществом, получается, что силовые линии как бы вморожены в
проводящую жидкость, иными словами, приклеены к её
частичкам. Представление о вмороженности магнитного поля
упрощает анализ картины движения идеально проводящей
плазмы.
Важное следствие вмороженности магнитного поля состоит в
том, что при движении плазмы магнитные силовые линии не
могут разрываться или пересоединяться. Иными словами, в
рамках идеальной магнитной гидродинамики изменение
топологии магнитного поля невозможно.
Магнитная гидродинамика
33/36

Далее...
1 Теория Альфвена
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
34/36

Задачи для семинара I
Почему в уравнении Эйлера опущена электрическая сила
ρq ⃗E?
Из уравнения rot ⃗B = (4π/c) ⃗j следует, что div ⃗j = 0. При
этом из уравнения непрерывности вытекает, что ∂ρq /∂t = 0.
Однако уравнение Максвелла div ⃗E = 4πρq вместе с
законом Ома показывает, что ρq , вообще говоря, не
константа и что ρq ≠ 0. Как разрешить это противоречие?
Система уравнений идеальной МГД (20) не содержит
параметров, характеризующих столкновения между
частицами. Означает ли это, что её можно использовать для
описания бесстолкновительной плазмы?
Магнитная гидродинамика
35/36

Задачи для семинара II
Доказать, что любое магнитное поле локально можно
записать через потенциалы Клебша α1( ⃗x, t) и α2( ⃗x, t) в виде
⃗
B = [∇α1 × ∇α 2]. Проверить, что силовая линия магнитного
поля есть пересечение поверхностей α 1 = const и
α2 = const. Можно ли подобным образом описать
магнитное поле, такое, что бесконечная силовая линия
плотно устилает поверхность тора, нигде не замыкаясь на
себя?
Найти потенциалы Клебша для осесимметричной магнитной
ловушки с прямой осью и плоскими силовыми линиями.
* Используя представление магнитного поля ⃗B = [∇α1 × ∇α2]
через потенциалы Клебша α1 = α1( ⃗x, t), α2 = α2( ⃗x, t),
доказать, что уравнение (27) выполняется, если
dα1 /dt = dα 2/dt = 0. Означает ли это, что силовые линии
движутся вместе с плазмой?
Магнитная гидродинамика
36/36

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
4 марта 2020 г.

Лекция 05
Гидродинамика анизотропной плазмы
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
2/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/30

Запишем уравнение движения в координатном представлении:
ρ
dVμ
dt
=−
∂p
∂xμ
+
1
4π
[rot ⃗B × ⃗B]μ.
(1)
−
∂p
∂xμ
=−
∂
∂xν
pδμν=−
∂Pμν
∂xν
.
(2)
1
4π
[rot⃗B×⃗B]μ=
−
1
8π
∇B2 +
1
4π
(⃗B ⋅∇)⃗B
μ
=−
1
8π
∂
∂xμ
B2+
1
4π
Bν
∂
∂xν
Bμ=−
∂
∂xν
B2
8π
δμν −
BνBμ
4π
= Tμν
.
(3)
Tμν =
B2
8π
δμν−hμhν −
B2
8π
hμhν,
⃗
h=⃗
B/B.
(4)
Магнитная гидродинамика
4/30

Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получаем
ρ
dVμ
dt
=−
∂Pμν
∂xν
−
∂Tμν
∂xν
.
(5)
В других обозначениях
ρ
d⃗V
dt
=−∇⋅⃖⃗
P−∇⋅⃖⃗
T.
Тензор
Tμν =
B2
8π
δμν−hμhν −
B2
8π
hμhν
(4)
называется тензором напряжений магнитного поля.
Компоненты Tμν имеют размерность давления, как и
pm=
B2
8π
.
Тензор натяжений ⃖⃗σ = −⃖⃗
T введён Максвеллом (J. Maxwell, 1861).
Магнитная гидродинамика
5/30

Из уравнения (5) следует, что
⃗
f=−∇⋅⃖⃗
P−∇⋅⃖⃗
T
(6)
есть сила в расчёте на единицу объёма. Так как
⃗
fd3x=−
⃖⃗
P+⃖⃗T ⋅d ⃗S,
d⃗F = −⃖⃗
P⋅d⃗S−⃖⃗
T⋅d ⃗S
есть сила, действующая на элемент поверхности d ⃗S.
Вычислим магнитную часть этой силы. Составим свёртку
(−⃖⃗
T⋅d ⃗S)μ= −TμνdSν =
= −pm δμν −hμhν dSν+pmhμhνdSν =
= −pmd⃗S⊥+pmd⃗S‖.
Магнитная гидродинамика
6/30

(−⃖⃗
T⋅d ⃗S)= −pmd⃗S⊥+pmd⃗S‖.
dS
dF
dSǁ
B
dS^
Рис. 1: Магнитное поле действует на
элемент площадки d ⃗S с силой
d⃗Fm = −⃖⃗
T ⋅ d ⃗S . Оно тянет площадку
вдоль своего направления с силой
d⃗Fm‖ =
1
8π
B2 d ⃗S‖ и давит поперёк с
силойd⃗Fm⊥ = −
1
8π
B2 d ⃗S⊥. Если
магнитное поле непрерывно на
поверхности, суммарная сила с двух
сторон поверхности будет равна нулю.
Магнитная гидродинамика
7/30

Так как
1
4π
[rot⃗B×⃗B]= −∇ ⋅⃖⃗
T,
(3)
в вакуумном магнитном поле, где rot ⃗B = 0, имеем
∇⋅ ⃖⃗
T=0.
(7)
Следовательно, в вакуумном поле
⃖⃗
T⋅d⃗S =0
(8)
по любой замкнутой поверхности, поэтому магнитная сила
возникает только за счёт искажения магнитного поля плазмой.
Магнитная гидродинамика
8/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
9/30

Ранее мы предполагали, что любой малый элемент плазмы
релаксирует к максвелловскому распределению быстрее, чем
изменяются его макроскопические свойства. При этом λ ≪ L.
Такая упорядоченность времён допускает гидродинамическое
приближение.
В термоядерном реакторе с магнитным удержанием длина
свободного пробега многократно превышает размеры системы,
λ ≫ L. К такой бесстолкновительной плазме гидродинамическое
описание формально неприменимо. Однако даже для слабых
магнитных полей ларморовский период 2π/Ω остаётся короче
всех макроскопических времён, и у плазмы есть двумерная
упорядоченность в направлении, перпендикулярном
магнитному полю. Это обстоятельство открывает в ограниченных
пределах возможность гидродинамического описания даже
бесстолкновительной плазмы.
Магнитная гидродинамика
10/30

Рассмотрим замагниченную плазму. Если столкновения редки,
p‖ ≠ p⊥. В специальной системе координат, где ⃗B ∥
̂
z,
Pμν =
p⊥00
0p⊥0
00p‖
.
(9)
Примером является плазма, где распределение частиц
описывается бимаксвелловской функцией
f=
n
(2π/m)3/2T⊥T
1/2
‖
exp −
mv2
x+mv2
y
2T⊥
−
mv2
z
2T‖
.
В произвольно ориентированной системе координат по аналогии
с Tμν имеем
Pμν = p⊥ δμν − hμhν +p‖hμhν,
(10)
гдеp⊥=nT⊥,p‖=nT‖.
Магнитная гидродинамика
11/30

Подставим (4) и (10) в (5):
ρ
dVμ
dt
=−
∂
∂xν
(p⊥+pm) δμν −hμhν +(p‖−pm)(hμhν) .
(11)
Дифференцируем первые множители (содержащие давление):
−
δμν − hμhν
∂
∂xν
(p⊥ + pm)
∇⊥(p⊥ + pm)
− (hμhν)
∂
∂xν
(p‖ − pm)
∇‖(p‖ − pm)
.
Дифференцируем вторые множители:
(p⊥+pm)−(p‖−pm)
=2pm +p⊥ −p‖
∂
∂xν
(hμhν ).
Магнитная гидродинамика
12/30

Так как ∂(Bhν)/∂xν = ∂Bν/∂xν = div ⃗B = 0, имеем
∂
∂xν
(hμhν) = Bhν
∂
∂xν
hμ
B
= B(⃗h ⋅∇)
hμ
B
=
= (⃗h ⋅∇)⃗h+B⃗h(⃗h ⋅∇)
1
B
=⃗
κ−
∇‖B
B
.
В итоговом уравнении ∇‖pm = ∇‖ B2/8π сокращается с
− 2pm∇‖B/B = −B∇‖ B/4π:
ρ
d⃗V
dt
= −∇⊥(p⊥+pm)−∇‖(p‖−pm)+ 2pm + p⊥ − p‖ ⃗κ −
∇‖B
B
=
= −∇⊥p⊥+
B2
8π
+ p⊥−p‖+
B2
4π
⃗
κ
поперёк ⃗B
−
∇‖p‖− p⊥−p‖
∇‖B
B
вдоль ⃗B
.
(12)
Магнитная гидродинамика
13/30

ρ
d⃗V
dt
= −∇⊥p⊥+
B2
8π
+ p⊥−p‖+
B2
4π
⃗
κ
поперёк ⃗B
−
∇‖p‖− p⊥−p‖
∇‖B
B
вдоль ⃗B
.
(12)
.....................................................................
Эквивалентная форма того же уравнения
ρ
d⃗V
dt
= −∇⊥p⊥+ p⊥ − p‖ ⃗κ−∇‖p‖− p⊥ − p‖
∇‖B
B
+
1
c
[⃗j× ⃗B] (13)
получается, если слагаемые, содержащие только магнитное поле,
вернуть к исходному виду силы Ампера, как в уравнении (1).
Магнитная гидродинамика
14/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
15/30

Найдём замену уравнению
d
dt
p
ργ=0,
которое подразумевает изотропность плазмы. Покажем, что
величины p⊥ и p‖ подчиняются двум уравнениям состояния
d
dt
p⊥
ρB
=0,
(14)
d
dt
p‖B2
ρ3 =0,
(15)
которые применимы, если сохраняются адиабатические
инварианты μ и J‖.
Магнитная гидродинамика
16/30

Поперечное давление p⊥ пропорционально квадрату
поперечной скорости v2
⊥, усреднённому по всем частицам, и
плотности плазмы ρ: p⊥ ∝ ρv2
⊥. Вследствие инвариантности
μ=mv2
⊥/2B = const
величина v2
⊥ пропорциональна B, поэтому
p⊥∝ρv2
⊥∝ρB,
что подтверждает уравнение
d
dt
p⊥
ρB
=0.
(14)
Магнитная гидродинамика
17/30

Инвариантность J‖ означает, что
v‖l = const
где l — протяженность трубки плазмы вдоль магнитной силовой
линии. В рассматриваемом случае l ∝ B/ρ. Действительно,
масса плазмы в магнитной трубке M = ρlS сохраняется, как и
поток магнитного поля Φ = BS через сечение трубки S, поэтому
M/Φ = ρl/B = const. Следовательно, v‖ ∝ 1/l ∝ ρ/B и
p‖∝ρv2
‖ ∝ ρ3/B2.
что подтверждает уравнение
d
dt
p‖B2
ρ3 =0.
(15)
Уравнения (14) и (15) называют адиабатами Чу‐Голдбергера‐Лоу.
Магнитная гидродинамика
18/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
19/30

Говорят, что уравнения записаны в консервативной форме, если
частная производная по времени от какой‐либо величины
выражена через дивергенцию от соответствующего потока.
Консервативная форма записи уравнений идеальной МГД в
неподвижных (эйлеровых) координатах выглядит следующим
образом.
Уравнение непрерывности:
∂ρ
∂t
= −∇ ⋅(ρ⃗V),
(16)
то есть
∂ρ
∂t
=−
∂
∂xν
(ρVν).
Магнитная гидродинамика
20/30

Уравнение движения:
∂
∂t
ρ⃗V=−∇⋅ρ⃗V⃗V+p+
B2
8π
⃡
I−
⃗
B⃗B
4π
,
(17)
то есть
∂
∂t
ρVμ=−
∂
∂xν
ρVμVν+ p+
B2
8π
δμν −
BμBν
4π
.
Здесь ⃡I обозначает единичный тензор второго ранга с
компонентами Iμν = δμν ; ⃗a
⃗
b — есть прямое (диадное)
произведение векторов ⃗a и ⃗b , причём ( ⃗a
⃗
b)μν = aμbν.
Магнитная гидродинамика
21/30

Уравнение переноса энергии:
∂
∂t
ρV2
2
+
p
γ−1
+
B2
8π
=
=−∇⋅
ρV2
2
⃗
V+
γp ⃗V
γ−1
+
1
4π
⃗
B× ⃗V×⃗B
,
(18)
то есть
∂
∂t
ρV2
2
+
p
γ−1
+
B2
8π
=
=−
∂
∂xν
ρV2
2
Vν+
γpVν
γ−1
+
1
4π
⃗
B× ⃗V×⃗B
ν
.
Магнитная гидродинамика
22/30

Уравнение переноса магнитного потока:
∂⃗B
∂t
=−∇⋅
⃗
B⃗V−⃗
V⃗B ,
(19)
то есть
∂Bμ
∂t
=−
∂
∂xν
BμVν − VμBν .
Эти уравнения описывают изменение во времени массы,
импульса, полной энергии, а также потока магнитного поля в
любой точке пространства. Интегрируя любое из них по объёму
некоторой неподвижной области и используя теорему
Остроградского‐Гаусса, можно убедиться, что его правая часть
представляет собой поток через границу данной области.
Магнитная гидродинамика
23/30

Например, из уравнения непрерывности получаем
∂
∂t
ρd3x=−
ρVν dSν .
(20)
Отсюда видно, что ρVν есть ν‐компонента потока массы.
Аналогичным образом из уравнения движения следует, что
∂
∂t
ρVμd3x= −
ρVμVν+ p+
B2
8π
δμν −
BμBν
4π
dSν , (21)
где подынтегральное выражение в правой части имеет смысл
тензора потока импульса.
Магнитная гидродинамика
24/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
25/30

На поверхности разрыва, где какая‐либо величина меняется
скачком, как плотность или давление плазмы на её границе с
вакуумом, должны быть непрерывны нормальные к поверхности
компоненты потоков. В частности, интегрируя уравнение
непрерывности
∂ρ
∂t
=−
∂
∂xν
(ρVν)
по малой окрестности границы, получаем, что на границе
должна быть непрерывна нормальная компонента вектора ρ ⃗V:
[[ρVn]] = 0
в системе отсчёта, где граница покоится.
Магнитная гидродинамика
26/30

Из уравнения движения
∂
∂t
ρVμ=−
∂
∂xν
ρVμVν+ p+
B2
8π
δμν −
Bμ Bν
4π
следует
ρVμVn+ p+
B2
8π
δμn −
BμBn
4π
=0.
Если граница плазмы образована магнитными силовыми
линиями (т.е . Bn = 0) и отсутствует поток плазмы через границу
(Vn = 0), отсюда получаем
p+
B2
8π
=0.
Магнитная гидродинамика
27/30

Далее...
1 Тензор напряжений магнитного поля
2 Анизотропное давление
3 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
4 Консервативная форма уравнений идеальной МГД
5 Граничные условия на поверхности разрыва
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
28/30

Задачи для семинара I
Вычислить тензор давления в плазме с бимаксвелловским
распределением частиц.
Вычислить дрейфовый ток, зная скорость дрейфов.
Вывести уравнение (19) переноса магнитного потока в
консервативной форме.
Вывести уравнение движения (17) в консервативной форме.
Магнитная гидродинамика
29/30

Задачи для семинара II
Вывести уравнение переноса энергии
∂
∂t
ρV2
2
+
p
γ−1
+
B2
8π
+
+ div
ρV2
2
⃗
V+
γp ⃗V
γ−1
+
c
4π
⃗
E× ⃗B
=0
и объяснить смысл каждого его члена. Можно ли считать,
что оно эквивалентно уравнениям
p
γ−1
d
dt
ln
p
ργ=
j2
σ
или
p
γ−1
d
dt
ln
p
ργ=0.
Магнитная гидродинамика
30/30

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
11 марта 2020 г.

Лекция 06
Равновесие плазмы
Теорема вириала
Равновесие изотропной плазмы
Равновесие анизотропной плазмы
Плазма как диамагнетик
Магнитная гидродинамика
2/27

В реальных условиях плазма редко бывает спокойной. В ней
легко возникают колебания разного рода. Прежде, чем начать их
изучение, естественно рассмотреть ситуацию, когда плазма
находится в покое. Разумеется, можно представить себе
неограниченную однородную плазму, заполняющую всё
пространство и находящуюся в тепловом равновесии. Такая
предельная идеализация часто используется при теоретическом
анализе колебаний плазмы. Если же отойти от умозрительных
построений, следует признать, что реальная плазма всегда
неоднородна и ограничена в пространстве. Она может находится
в покое, только если на неё действуют внешние силы,
препятствующие её разлёту. В лаборатории ими могут быть силы
со стороны внешнего магнитного поля, а в космосе — силы
гравитации.
Магнитная гидродинамика
3/27

Далее...
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
4/27

Выражение «вириал» происходит от латинских слов «vis»,
«viris» –– «сила», «энергия». Оно было введено Р. Клаузиусом
(Rudolf Clausius) в 1870 году. В механике теорема вириала
связывает среднюю кинетическую энергию со средней
потенциальной энергией.
Теорема вириала предсказывает, что собственное
гравитационное поле звёзд способно длительное время
удерживать сферические скопления плазмы.
Может ли собственное магнитное поле удержать плазму в
лабораторной установке?
Магнитная гидродинамика
5/27

Докажем, что изолированная и ограниченная в пространстве
плазма не может находиться в равновесии с собственным
электромагнитным полем. Запишем уравнение движения
ρ
dVμ
dt
=−
∂
∂xν
Pμν + Tμν
в консервативной форме:
ρ
∂Vμ
∂t
= −ρVν
∂Vμ
∂xν
−
∂
∂xν
Pμν + Tμν
+
Vμ
∂ρ
∂t
= −Vμ
∂
∂xν
ρVν
=
∂
∂t
ρVμ=−
∂
∂xν
ρVμVν + Pμν + Tμν
Магнитная гидродинамика
6/27

В состоянии равновесия
∂
∂t
ρVμ
=0
=−
∂
∂xν
ρVμVν+Pμν+Tμν .
Умножим на xμ и проинтегрируем по доступному объёму:
0=−
xμ
∂
∂xν
ρVμVν+Pμν+Tμν d3x=
=−
∂
∂xν
xμ ρVμVν+Pμν+Tμν d3x+
∂xμ
∂xν
ρVμVν + Pμν + Tμν d3x
=−
xμ ρVμVν+Pμν+Tμν dSν
=0
+ ρVμVμ+Pμμ+Tμμ d3x.
Магнитная гидродинамика
7/27

ρVμVμ+Pμμ+Tμμ d3x=0.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Pμν+Tμν= p⊥+
B2
8π
δμν−hμhν+ p‖−
B2
8π
hμ hν
Следовательно,
ρV2+2p⊥+p‖+
B2
8π
>0
d3x=0.
Равенство невозможно, поэтому изолированная система не
может находится в равновесии. (Теорема вириала,
В. Д . Шафранов, 1957). Учёт отброшенного поверхностного
интеграла делает равенство возможным, но в таком случае
система не может считаться изолированной.
Магнитная гидродинамика
8/27

Далее...
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
9/27

Говоря о равновесии, обычно подразумевают состояние, в
котором плазма неподвижна и ⃗V = 0. Согласно уравнению
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
c
[⃗j × ⃗B],
при ⃗V = 0 градиент давления уравновешен силой Ампера:
∇p=
1
c
[⃗j × ⃗B].
(1)
Отсюда вытекают два соотношения
(⃗B ⋅∇p)=0,
(⃗j ⋅∇p)=0,
(2)
которые означают, что силовые линии и линии тока должны
лежать на поверхностях p = const, а давление должно быть
постоянно вдоль этих линий.
Магнитная гидродинамика
10/27

Из уравнений
rot⃗B=
4π
c
⃗
j,
(3)
div⃗j =0,
(4)
div⃗B =0
(5)
следует, что линии ⃗B и ⃗j нигде не обрываются и не пересекаются.
Если пытаться изолировать плазму от стенок магнитным полем
(проблема УТС), то магнитные поверхности p = const должны
быть замкнуты и вложены друг в друга так, что на границе
плазмы p = 0. Уложить на эти поверхности линии ⃗j и ⃗B так, чтобы
магнитные поверхности не протыкали проводники с током,
можно только в том случае, если они представляют собой
систему вложенных друг в друга тороидальных поверхностей. Так
поиск равновесных конфигураций изотропной плазмы приводит
к задаче о равновесии в торе, которая будет рассмотрена
позднее.
Магнитная гидродинамика
11/27

Далее...
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
12/27

В пробкотроне из‐за наличия конуса потерь p⊥ > p‖.
Приравнивая ⃗V = 0 в уравнении
ρ
d⃗V
dt
= −∇⊥p⊥+
B2
8π
+ p⊥−p‖+
B2
4π
⃗
κ−∇‖p‖−p⊥−p‖
∇‖B
B
=0
,
получим уравнение равновесия анизотропной плазмы. Запишем
это уравнение в проекциях на направления нормали ⃗n,
бинормали ⃗b и касательной ⃗h:
⃗
κ=
⃗
h⋅∇
⃗
h=
⃗
n
R
,
⃗
b=[
⃗
h× ⃗n],
⃗
h=⃗
B/B.
Магнитная гидродинамика
13/27

−∇⊥ p⊥+
B2
8π
+ p⊥−p‖+
B2
4π
⃗
κ−∇‖p‖− p⊥−p‖
∇‖B
B
=0.
..........................↑этобылоранее↑..........................
∂
∂n
p⊥+
B2
8π
=
p⊥−p‖+
B2
4π
κ,
∂
∂n
=(⃗n⋅∇), (6)
∂
∂b
p⊥+
B2
8π
=0,
∂
∂b
= (⃗b⋅∇),
(7)
∂p‖
∂s
=−
p⊥−p‖
B
∂B
∂s
,
∂
∂s
= (⃗h⋅∇).
(8)
Из последнего уравнения следует, что p‖ уменьшается при
увеличении B по мере приближения к магнитной пробке.
Магнитная гидродинамика
14/27

p–p
ǁm
p–p
ǁm
p+p
^
m
s–ds
s+ds
B
p+p
^
m
B
Рис. 1: Получим уравнения
равновесия из наглядных
соображений; P⊥ = p⊥ + pm ,
P‖=p‖−pm,pm =B2/8π.
Проекция силы на элемент плазмы на силовую линию:
−
P‖(s)S‖(s)
s+ds
s−ds
+⃗h⋅
S⊥
−P⊥d⃗S =0.
Таккак∫∇pd3x =∮pd⃗S =p∮d⃗S =0приp =const,имеем
−
⃗
h⋅
S⊥
P⊥d⃗S ≈ −P⊥(s)⃗h ⋅
S⊥
d⃗S =P⊥(s)⃗h ⋅
S‖
d ⃗S = P⊥(s) S‖(s)
s+ds
s−ds
.
Магнитная гидродинамика
15/27

Так как S‖(s) = const /B(s), имеем
−
P‖(s)
B(s)
s+ds
s−ds
+ P⊥(s)
1
B(s)
s+ds
s−ds
=0
−
∂
∂s
P‖
B
+P⊥
∂
∂s
1
B
=0
×−B
∂P‖
∂s
= P⊥−P‖ B
∂
∂s
1
B
=−
P⊥−P‖
B
∂B
∂s
∂p‖
∂s
−
∂
∂s
B2
8π
=−
p⊥−p‖
B
∂B
∂s
−
B
4π
∂B
∂s
,
∂p‖
∂s
=−
p⊥−p‖
B
∂B
∂s
.
Магнитная гидродинамика
16/27

R
φ
p+p
^
m
p+p
^
m
p–p
ǁm
p–p
ǁm
Проекция на нормаль.
Рассмотрим силовую трубку с
сечением S‖ = ΔR × Δb, которая
имеет радиус кривизны R и
опирается на малый угол φ.
− P⊥(r) φr Δb
r=R+ΔR/2
r=R −ΔR/2
+P‖
φ
2
2S‖=0,
− φS‖
∂
∂R
RP⊥(R) + φS‖P‖ = 0,
−
∂P⊥
∂R
=
P⊥−P‖
R
.
⃗
κ=(
⃗
h⋅∇)⃗h =
⃗
n
R
=−
⃗
eR
R
,
κ=(⃗n⋅ ⃗
κ)=
1
R
∂
∂n
p⊥+
B2
8π
=
p⊥−p‖+
B2
4π
κ.
Магнитная гидродинамика
17/27

Другая форма уравнения равновесия получается из уравнения
ρ
d⃗V
dt
= −∇⊥p⊥+ p⊥−p‖ ⃗κ−∇‖p‖− p⊥−p‖
∇‖B
B
+
1
c
[⃗j × ⃗B]
=0 при ⃗V=0
.
Отсюда можно выразить перпендикулярную магнитному полю
компоненту плотности тока:
⃗
j⊥=
c
B
[⃗h×∇p⊥]−
c(p⊥−p‖)
B
[⃗h × ⃗κ].
(9)
Этот результат можно получить прямым суммированием
дрейфового и диамагнитного токов (задача для семинара).
Магнитная гидродинамика
18/27

∂
∂n
p⊥+
B2
8π
=
p⊥−p‖+
B2
4π
κ,
∂
∂b
p⊥+
B2
8π
=0,
∂p‖
∂s
=−
p⊥−p‖
B
∂B
∂s
..........................↑этобылоранее↑..........................
В случае изотропной плазмы нужно взять p⊥ = p‖ = p:
∂
∂n
p+
B2
8π
=
B2
4π
κ,
∂
∂b
p+
B2
8π
=0,
∂p
∂s
= 0. (10)
∇⊥ p+
B2
8π
=
B2
4π
⃗
κ,
∇‖p=0.
(11)
Магнитная гидродинамика
19/27

Далее...
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
20/27

Суммируя магнитные моменты
⃗
μ=−
mv2
⊥
2B2
⃗
B
всех частиц в единице объёма плазмы, находим вектор
намагничивания:
⃗
M=−
p⊥
B2
⃗
B.
(12)
Здесьp⊥=∑
a na ⟨mv2
⊥/2⟩a — давление плазмы поперёк
магнитного поля. Ток намагничивания
⃗
jdia=crot⃗M=−crot
p⊥
B2
⃗
B
(13)
в физике плазмы называют диамагнитным током.
Магнитная гидродинамика
21/27

j
θ
r
B
Рис. 2: Происхождение
диамагнитного тока в плазме.
Ларморовские токи в
цилиндрическом столбе плазмы
формируют кольцевой
диамагнитный ток на её границе.
Он уменьшает магнитное поле в
плазме. Градиент магнитного
поля ∇B на краю плазмы создаёт
дрейфовый ток, который
направлен против диамагнитного
и частично компенсирует
вызванное им уменьшение
магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
22/27

В электродинамике поле
⃗
H=⃗
B−4π ⃗M
называют напряжённостью магнитного поля в отличие от
индукции магнитного поля ⃗B . Однако в плазме поле ⃗H не имеет
ясного смысла, так как помимо тока намагничивания в плазме
имеется ток, вызванный дрейфом заряженных частиц.
Магнитная гидродинамика
23/27

В стационарном магнитном поле частицы дрейфуют со скоростью
d ⃗R⊥
dt
=
c
B2[⃗E×⃗B]+
v2
⊥
2Ω
⃗
h×
∇B
B
+
v2
‖
Ω
[⃗h × ⃗κ]. (14)
Дрейфовое движение создаёт дрейфовый ток
⃗
jdr =
cp⊥
B2 [⃗h×∇B]+
cp‖
B
[⃗h × ⃗κ].
(15)
Он не может быть отождествлен ни с током проводимости, ни с
поляризационным током, так как градиентный и центробежный
дрейфы существуют в плазме даже без электрического поля,
создавая новый вид тока, отсутствующий в обычных
проводниках, диэлектриках и магнетиках. Как следствие,
электродинамика плазмы строится на иных принципах, нежели
электродинамика других сред.
Магнитная гидродинамика
24/27

В сумме диамагнитный
⃗
jμ=crot⃗M=−crot
p⊥
B2
⃗
B
(13)
и дрейфовый токи
⃗
jdr =
cp⊥
B2 [⃗h×∇B]+
cp‖
B
[⃗h × ⃗κ]
(15)
дают ток
⃗
j⊥= ⃗
jdr+⃗jμ=
c
B
[⃗h×∇p⊥]−
c(p⊥−p‖)
B
[⃗h × ⃗κ], (9)
который обеспечивает равновесие анизотропной плазмы.
Магнитная гидродинамика
25/27

Далее...
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
26/27

Задачи для семинара
* Доказать теорему вириала для механической системы
частиц , в которой потенциал взаимодействия между парой
частиц пропорционален некоторой степени расстояния
между частицами. Проверить, что теорема вириала
предсказывает устойчивое удержание плазмы собственным
гравитационным полем звезды.
На примере θ‐пинча, показать, что дрейфовый ток
противоположен по направлению диамагнитному току,
который, в свою очередь, направлен против тока во
внешних катушках.
Вычислить сумму дрейфового и диамагнитного токов и
показать, что суммарный ток удовлетворяет уравнению
равновесия плазмы.
* Вывести уравнение продольного равновесия анизотропной
плазмы из дрейфового кинетического уравнения.
Магнитная гидродинамика
27/27

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
18 марта 2020 г.

Лекция 07
Равновесие в пинчах
Пинчи
Тета‐пинч
Зет‐пинч. Соотношение Беннетта
Винтовой пинч
Бессиловые конфигурации
Пинч с обращённым полем. Парамагнетизм плазмы
Магнитная гидродинамика
2/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/32

Изучение равновесных конфигураций начнём с плазмы в
цилиндре. В теории удобно рассматривать бесконечный
цилиндр (столб, шнур), пренебрегая явлениями на его торцах.
Пусть в системе координат (r, θ , z) параметры плазмы зависят
только от r (одномерное равновесие).
rot⃗B=
4π
c
⃗
J⇒Jθ=−
c
4π
d
dr
Bz,
jz=
c
4πr
d
dr
rBθ
∇p=
1
c
⃗
J× ⃗B
⇒
dp
dr
=
1
c
[JθBz − JzBθ]
dp
dr
=−
d
dr
B2
z
8π
−
1
r2
d
dr
r2B2
θ
8π
.
(1)
Одно уравнение (1) на три функции p(r), Bθ (r) и Bz(r) оставляет
большой произвол, поэтому существует много разных
равновесных конфигураций.
Магнитная гидродинамика
4/32

Два полюса этого разнообразия составляют θ‐пинчи и Z‐пинчи.
Так называют системы с цилиндрической симметрией, в которых
ток имеет соответственно только θ‐ или только z‐компоненту.
Θ‐пинч создают, пропуская разрядный ток через
цилиндрический проводник с продольным разрезом,
окружающий столб газа. Разряд ионизует газ, а продольное
магнитное поле сжимает образовавшуюся плазму.
Z‐пинч возникает при пропускании разрядного тока
непосредственно через столб газа. Образовавшаяся плазма
сжимается азимутальным магнитным полем этого тока.
Промежуточной конфигурацией является винтовой пинч.
Магнитная гидродинамика
5/32

Θ‐пинч. Импульсный ток в
одновитковой катушке создаёт
азимутальное электрическое
поле, которое ионизует газ, и
продольное магнитное поле,
которое сжимает столб
плазмы.
Z‐пинч. Импульс напряжения
на торцевых электродах
инициирует разряд в газе.
Разрядный ток в плазме
создаёт азимутальное
магнитное поле, которое
сжимает столб плазмы.
Магнитная гидродинамика
6/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
7/32

dp
dr
=−
d
dr
B2
z
8π
−
1
r2
d
dr
r2B2
θ
8π
.
(1)
...............................................................
Пустьjz = 0.ТогдаBθ=0,B =Bzииз(1)получаем
p+
B2
8π
=
B2
vac
8π
= const,
(2)
где Bvac — поле вне плазмы. Тот же результат получается из
уравнения
∇⊥ p+
B2
8π
=
B2
4π
⃗
κ,
если учесть, что ⃗κ = 0.
Магнитная гидродинамика
8/32

с
т
е
н
к
а
Bvac
Bz
p
jθ
a
r
Давление плазмы
уравновешивается магнитным
давлением, а плазма обладает
свойствами диамагнетика.
Внутри плазмы поле ослабевает. Например, если p = B2
vac/8π, то
B=0.
Приp>B2
vac /8π равновесие плазмы со свободной границей
невозможно. Если ввести параметр
β=
8πp
B2
vac
,
(3)
можно сказать, что в θ‐пинчах удержание плазмы ограничено
условием
β≤1.
(4)
Магнитная гидродинамика
9/32

При β ≪ 1 магнитное поле ослабляется на малую величину:
p+
B2
8π
=p+
(Bvac +δB)2
8π
≈p+
B2
vac +2BvacδB
8π
=
B2
vac
8π
,
δB≈−
8πp
2B2
vac
Bvac=−
β
2
Bvac .
Наряду с параметром β = 8πp/B2
vac часто вводят параметр
β′
=
8πp
B2.
(5)
При β ≪ 1 различие между β и β′ несущественно, однако β
ограничено условием
β′≤∞
(6)
вместо β ≤ 1.
Магнитная гидродинамика
10/32

Если β ≪ 1 и давление плазмы внутри шнура постоянно, а затем
резко спадает до нуля на его границе, то, интегрируя уравнение
равновесия
dp
dr
=
1
c
JθBz
поперёк шнура и считая Bz = B ≈ const, получим условие
равновесия в виде
p(r)
r=a
r=0
=
a
0
Jθdr×
B
c
,
−p=
1
c
IsB,
(7)
где Is = ∫ Jθ dr — поверхностная плотность тока (скинированный
пинч). Уравнение (7) имеет смысл баланса сил: давление p
плазмы внутри шнура уравновешивается силой Ампера,
действующей на его границу.
Магнитная гидродинамика
11/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
12/32

В другом предельном случае Bz = 0, B = Bθ плазменный шнур
стягивается магнитным полем протекающего по нему тока jz
(пинч‐эффект, van Marum, 1790). Умножим уравнение
dp
dr
=−
1
r2
d
dr
r2B2
θ
8π
на −πr2/πa2 и проинтегрируем его по r от 0 до радиуса a, на
котором давление плазмы очень мало:
−
1
πa2
a
0
dp
dr
πr2dr=
1
πa2
a
0
d
dr
πr2B2
θ
8π
dr.
Интеграл слева:
−
1
πa2
a
0
dp
dr
πr2dr= −
1
πa2 pπr2
a
0
=0
+
1
πa2
a
0
p2πrdr
=p
=p,
где p — среднее давление плазмы.
Магнитная гидродинамика
13/32

Интеграл справа выражается через магнитное поле на границе
плазмы:
1
πa2
a
0
d
dr
πr2B2
θ
8π
dr=
1
πa2
πr2B2
θ
8π
a
0
=
B2
θ (a)
8π
.
Полученное уравнение показывает, что столб плазмы стягивается
собственным магнитным полем пинча (пинч‐эффект):
p=
B2
θ (a)
8π
.
В данном случае также можно определить параметр «бета»:
β=
8πp
B2
θ (a)
,
β=1.
Магнитная гидродинамика
14/32

Уравнению p = B2
θ (a)/8π можно придать иной смысл, выразив
магнитное поле через полный ток I и среднее давление через
полную энергию плазмы W:
Bθ(a) =
2I
ca
,
W=
3
2
pπa2.
В итоге получаем условие Беннета (Willard Bennett, 1934):
p=
B2
θ (a)
8π
⇒W=
3I2
4c2 .
(8)
Энергия плазмы пропорциональна квадрату полного тока.
В экспериментах 1950‐х годов выяснилось, что Z‐пинч
катастрофически неустойчив, причём неустойчивость часто
приводит к полному гашению плазмы после пары микросекунд.
В наше время исследуют т.н . быстрые Z‐пинчи .
Магнитная гидродинамика
15/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
16/32

При наличии и Bz , и Bθ из уравнения равновесия
dp
dr
+
d
dr
B2
z
8π
=−
1
r2
d
dr
r2B2
θ
8π
,
(1)
после умножения на −πr2 /πa2 и интегрирования по r получаем
1
πa2
a
0
2πrp dr +
1
πa2
a
0
2πr
B2
z
8π
dr−
B2
z (a)
8π
=
B2
θ (a)
8π
,
то есть
p+
B2
z
8π
=
B2
z (a)
8π
+
B2
θ (a)
8π
,
(9)
B2
θ(a)+B2
z (a)
8πp
=1+
B2
z
8πp
≥1,
β≡
8πp
B2
θ(a)+B2
z (a)
≤1.
(10)
Магнитная гидродинамика
17/32

В винтовом пинче (screw pinch) стягивание шнура плазмы
магнитным полем тока останавливается за счёт увеличения Bz
внутри шнура. При этом возникает своеобразный
парамагнетизм плазмы (отсюда другое название —
парамагнитный пинч (устаревшее)).
В винтовом пинче возможность манипулирования профилем
одновременно двух компонент магнитного поля, Bθ(r) и Bz (r),
вместо только одной, Bθ(r) или Bz (r), открывает перспективу
достижения устойчивой конфигурации плазмы с высоким
значением бета. Чем больше бета, тем более плотную плазму
можно удерживать при заданной предельной величине
магнитного поля, которая ограничена существующими
технологиями.
Магнитная гидродинамика
18/32

В винтовом пинче магнитные силовые линии становятся
спиралями, тогда как в θ‐пинче и Z‐пинче все силовые линии
плоские.
Винтовой пинч —
одномерная модель
токамака. Уравнение
силовой линии:
(0, Bθ, Bz) ∥ (dr, r dθ, dz).
dr
dz
=0,
r
dθ
dz
=
Bθ (r)
Bz (r)
.
Магнитная гидродинамика
19/32

Шаг спирали соответствует повороту силовой линии на угол
Δθ=2π:
r
dθ
dz
=
Bθ(r)
Bz (r)
⇒ Δz=
Δθ
dθ/dz
=
2πrBz(r)
Bθ(r)
.
Отношение шага спирали к длине пинча L = 2πR0 называют
коэффициентом запаса устойчивости (kink safety factor):
q(r) =
Δz
2πR0
=
rBz (r)
R0Bθ(r)
.
Задача: Пусть отрезок винтового пинча длины 2πR0 свёрнут в
тор. Вычислить значение q для силовой линии, которая
замыкается на себя после m оборотов вокруг большой оси тора и
n оборотов вокруг малой окружности тора.
Δz = 2πR0m/n,
q=
m
n
.
Магнитная гидродинамика
20/32

Другое (более универсальное) определение запаса устойчивости:
q=
rBz(r)
R0Bθ(r)
=
dΦ
dΨ
.
Тороидальный магнитный поток:
Φ=
r
0
Bz(r) 2πr dr
Полоидальный магнитный по‐
ток:
Ψ=2πR0
r
0
Bθ(r) dr
Если q(r) меняется по радиусу, имеется шир (shear), т.е.
перекрещенность силовых линий магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
21/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
22/32

В плазме могут формироваться равновесные конфигурации, в
которых давление плазмы пренебрежимо мало по сравнению с
давлением магнитного поля. Как следует из уравнения
равновесия
∇p=
1
c
[⃗J, ⃗B].
при ∇p = 0 ток должен течь вдоль магнитного поля. Такое
равновесие называют бессиловым. Бессиловые конфигурации
нередко возникают на Солнце, когда магнитные поля,
генерируемые внутри Солнца, «всплывают» на его поверхность.
В лабораторных условиях они осуществляются, если велики
потери энергии и плазма не нагревается.
Магнитная гидродинамика
23/32

Самые простые бессиловые конфигурации возникают в случае
цилиндрической симметрии. При этом имеется одно уравнение
dp
dr
+
d
dr
B2
z
8π
=−
1
r2
d
dr
r2B2
θ
8π
(1)
с dp/dr = 0 на две функции Bθ(r) и Bz(r), что допускает
большой произвол в выборе конфигураций. Экспериментально
наблюдаемое распределение полей близко к бессиловому, у
которого ⃗J пропорциональна ⃗B , так что
rot⃗B=
4π
c
⃗
J=λ⃗B,
(11)
причём λ = const. Решение уравнения (11) выражается через
функции Бесселя:
Bz = B0J0(λr),
Bθ = B0J1(λr).
(12)
Магнитная гидродинамика
24/32

Действительно:
rot⃗B=λ⃗B
rot,
rot rot ⃗B
=∇ div ⃗B−∇2 ⃗B
= λrot⃗B =λ2⃗B,
∇2⃗B+λ2⃗B =0,
1
r
d
dr
r
d
dr
Bz+λ2Bz = 0,
Bz = B0J0(λr).
Bθ=
1
λ
(rot ⃗B)θ = −
1
λ
dBz
dr
= B0J1(λr).
Магнитная гидродинамика
25/32

Параметр λ связан с отношением полного тока I, протекающего
через плазму, к магнитному потоку Φ. В цилиндре радиуса a
I=
a
0
Jz
=(c/4π)λBz
2πrdr=
cλ
4π
a
0
2πrBz dr =
cλ
4π
Φ.
Следовательно,
λ=
4πI
cΦ
.
Обычно разряд заключен в кожух с достаточно высокой
проводимостью, поэтому Φ = πa2Bvac = const, где Bvac —
начальное значение Bz перед разрядом. Мы увидим, что по мере
увеличения разрядного тока I (и параметра λ) Bz стягивается к
оси, что можно интерпретировать как парамагнетизм плазмы, а
магнитное поле в плазме может поменять знак.
Магнитная гидродинамика
26/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
27/32

0
1
2
3
4
0
B0
λr
Bz
Bθ
Рис. 1: Распределение
полей в диффузном пинче.
Диффузным называют
пинч, в котором ток
распределён по сечению,
в отличие от
скинированного пинча, в
котором ток течет по
поверхности плазмы.
При λ = 2,4/a поле Bz обращается в нуль на границе шнура
r = a , а при r > 2,4/λ даже меняет свой знак. Изменение
направления Bz на периферии разряда при увеличении
разрядного тока наблюдается экспериментально, причём
хорошо совпадают и числовые значения параметра λ в теории и
эксперименте, соответствующие обращению поля.
Магнитная гидродинамика
28/32

Почему из множества возможных бессиловых конфигураций в
эксперименте наблюдается именно та, для которой параметр λ
не зависит от координат? Дж. Тейлор (John Taylor) предположил,
что в диффузном пинче развивается магнитогидродинамическая
турбулентность, в результате которой энергия магнитного поля и
плазмы переходит в тепловую энергию, а затем уносится из
шнура за счёт потерь на торцы. Однако теряется только часть
энергии, так как из‐за высокой проводимости плазмы
приближённо сохраняется интеграл
K=(⃗A⋅⃗
B) d3x,
взятый по всему объёму плазмы (задача для семинара). Для
магнитного поля с плоскими силовыми линиями K = 0, поэтому
интеграл K характеризует спиральность магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
29/32

Наличие дополнительного интеграла движения K означает, что
далеко не всякая перестройка магнитного поля возможна даже
при возникновении турбулентного движения. Если искать
минимум энергии магнитного поля при K = const, то
соответствующая вариационная задача приводит к бессиловому
полю, подчиняющемуся уравнению (11) с λ = const (задача).
Таким образом, наблюдаемое экспериментально бессиловое
поле в диффузных пинчах связано с развитием
мелкомасштабной магнитогидродинанической турбулентности, в
которой энергия магнитного поля релаксирует к минимуму при
заданной спиральности.
Магнитная гидродинамика
30/32

Далее...
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Z‐пинч. Соотношение Беннета
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
7 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
31/32

Задачи для семинара I
Представьте, что отрезок скинированного θ‐пинча свёрнут в
тор. Используя формулу (7), докажите, что равновесие
изотропной плазмы в такой конфигурации невозможно.
Доказать, что в пределе идеальной магнитной
гидродинамики магнитная спиральность сохраняется при
подходящем выборе граничных условий.
Вычислить магнитную спиральность для пробкотрона и
диффузного пинча с бессиловым магнитным полем.
Проверить формулу (9) для диффузного пинча с бессиловым
магнитным полем.
Найти магнитное поле, которое имеет минимальную
энергию при заданной спиральности.
Магнитная гидродинамика
32/32

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
8 апреля 2020 г.

Лекция 08
Токамаки
Магнитное поле в торе
Шинный эффект
Равновесие в гофрированном торе. Удельный объём
Тороидальный ток
Магнитные поверхности
Магнитная гидродинамика
2/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/37

Если взять тета‐пинч конечной длины, магнитные силовые линии
упрутся в стенки камеры, и плазма быстро остынет или вытечет
на стенки. Чтобы не нарушать термоизоляцию, плазменный
шнур нужно свернуть в тор. Для простоты будем считать, что
большой радиус тора R велик по сравнению с малым радиусом
a, т.е . мало обратное аспектное отношение
a/R≪1.
Какое влияние оказывает на равновесие шнура его
тороидальность? Пусть для начала продольный (тороидальный)
ток в плазме отсутствует, а магнитное поле создаётся внешними
катушками (обмоткой тора).
Магнитная гидродинамика
4/37

Принципиальная схема
токамака: 1 — катушки
тороидального магнитного
поля Bt , 2 — катушки
полоидального магнитного
поляBp,R0иb—большойи
малый радиусы тороидальной
камеры, a — малый радиус
плазменного шнура.
В импульсных экспериментах тороидальный ток It в плазме
возбуждают при помощи импульсного трансформатора (не
показан), а для поддержания постоянного тока используют более
сложные методы.
Магнитная гидродинамика
5/37

R
Bt
R
Z
φ
Ip
r
θ
Bt
⊗
В симметричном торе в
соответствии с теоремой Стокса
тороидальное магнитное поле
обратно пропорционально
расстоянию R от большой оси тора:
Bt = Bφ(R,Z)=
2Ip(R, Z)
cR
,
где полоидальный ток
Ip(R, Z) =
R
0
2πR′Jz(R′
, Z)dR′
=
Sp
⃗
J⋅d ⃗S
(1)
есть полный ток, протекающий через круг радиуса R в плоскости
Z; вследствие div ⃗J = 0 на самом деле Ip(R, Z) не зависит от
формы поверхности, натянутой на окружность радиуса R в
плоскости Z. Если пренебречь током в плазме, Ip = 0 вне тора и
Ip = NI = const внутри.
Магнитная гидродинамика
6/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
7/37

Кривизна магнитных силовых линий, сколь бы малой она ни
была, приводит к возникновению шинного эффекта, в
результате которого плазма стремиться расшириться в
направлении увеличения радиуса тора.
Примерно так же раздувается автомобильная шина по мере
увеличения давления в ней. Неограниченному расширению
шины препятствуют упругие силы, возникающие в резиновой
камере шины.
Чтобы воспрепятствовать расширению плазмы, в ней
возбуждают тороидальный ток вдоль направления большого
обвода тора. Однако сначала мы выясним, что произойдёт, если
тороидальный ток в плазме отсутствует.
Магнитная гидродинамика
8/37

R
fp
p –p’
ǁm
pm
p –p’
ǁm
pm
pm
φ
.Z
Шинный эффект в токамаке. Будучи
диамагнетиком, плазма
выталкивается в область более
слабого магнитного поля. Сумма сил,
действующих на выделенный
сегмент плазмы в тороидальном
магнитном поле направлена в
сторону от большой оси тора.
Рассмотрим небольшой сегмент плазменного шнура,
опирающийся на угол φ. Считаем, что a ≪ R.
Магнитная гидродинамика
9/37

R
fp
p –p’
ǁm
pm
p –p’
ǁm
pm
pm
φ
.Z
Малость параметра
ε=a/R≪1
(2)
позволяет пренебречь изменением
магнитного давления pm = B2
t /8π
по сечению плазмы. Тогда можно счи‐
тать, что на торцы выделенного сег‐
мента навстречу друг к другу под
небольшим углом φ действуют силы
πa2 p‖−p
′
mφ,
где p′
m ≈ pm − p⊥ обозначает давление магнитного поля внутри
плазмы, ослабленное вследствие диамагнетизма; это следует из
равенства p + B2/8π = B2
vac/8π.
Магнитная гидродинамика
10/37

R
fp
p –p’
ǁm
pm
p –p’
ǁm
pm
pm
φ
.Z
Суммарная сила со стороны торцов
πa2 p‖−p
′
m φ=πa2 p‖+p⊥−pmφ.
частично компенсируется силой дав‐
ления магнитного поля pm на боковую
поверхность сегмента. При отсутствии
плазмы
⃖⃗
T⋅d⃗S =0,
поэтому слагаемое −πa2pmφ в силе,
действующей на торцы, сокращается.
Таким образом, на сегмент действует сила
πa2 p‖+p⊥ φ≡fpRφ.
Магнитная гидродинамика
11/37

Сила в расчёте на единицу длины тора
fp=
πa2
R
p‖+p⊥ .
(3)
Под её действием плазма расширяется с ускорением
̈
R=
fp
πa2ρ
=
p‖+p⊥
ρR
∼
c2
s
R
,
где ρ — массовая плотность плазмы, а cs ∼ (p‖ + p⊥)/ρ —
скорость звука. Оценивая
̈
R ∼ b/t2 , находим, что за время
t∼
√bR
cs
=
b
cs
R
b
плазма вылетит на стенки тороидальной камеры (a ≲ b ≪ R).
Это лишь чуть больше времени разлёта b/cs при B = 0.
Магнитная гидродинамика
12/37

R
Z
φ
⊗
Bt
++
+
-
-
-
E
∇B
E⨯B
Рис. 1: Шинный эффект возникает
вследствие разделения
положительных и отрицательных
зарядов в неоднородном
магнитном поле. Поляризация
плазмы создаёт вертикальное
электрическое поле, которое
инициирует электрический дрейф
в сторону от оси тора.
Магнитная гидродинамика
13/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
14/37

X
Y
R
φ
Рис. 2: Тор с гофрированным
магнитным полем. Сечение
плоскостью Z = 0 (вид на тор
сверху). В чисто тороидальном
магнитном поле силовые линии
замкнуты, образуя кольца вокруг
главной оси тора. Гипотетически
можно создать равновесную
конфигурацию тороидальной
плазмы, увеличив длину силовых
линий на внутреннем обводе тора.
Магнитная гидродинамика
15/37

Пусть давление плазмы мало и однородно по сечению шнура.
Подходящее условие равновесия границы плазмы получено на
примере скинированного θ‐пинча:
p= − (1/c)IsB,
где Is — компонента поверхностного тока, нормальная к ⃗B , а
следовательно, и к силовой линии. Из условия сохранения
электрического заряда находим, что полный поверхностный ток
через сечение границы, проведённое вдоль любой замкнутой
силовой линии на границе плазмы, одинаков, т.е.
Isds= −cp
ds
B
= const .
Так как p = const, то отсюда следует, что интеграл
U=
ds
B
= const
вдоль любой замкнутой силовой линии на границе плазмы.
Магнитная гидродинамика
16/37

Любое распределение давления по некоторой координате Ψ,
нумерующей поверхности p = const, можно приближённо
представить в виде набора ступенек. На каждой ступеньке
U = const. Поэтому для равновесия необходимо, чтобы
давление p было постоянно на поверхности U( ⃗r) = const, т.е.
p = p(U),
p( ⃗r) = p(U( ⃗r)).
Если давление плазмы мало, то магнитное поле B можно считать
вакуумным. Тогда в симметричном торе
U=
ds
B
=
2πR
2Ip/cR
∝ R2,
поэтому p = const на цилиндрической поверхности R = const.
Однако, если произвести гофрировку магнитного поля, чтобы
U = const на некоторых тороидальных поверхностях,
образованных замкнутыми силовыми линиями, то равновесный
шнур плазмы может иметь форму (гофрированного) тора.
Магнитная гидродинамика
17/37

Интеграл
U=
ds
B
называют удельным объёмом магнитного поля, так как
UΔΦ=
ΔΦ
B
ds= S(s)ds=V
есть объём магнитной силовой трубки, в которую захвачен
магнитный поток ΔΦ. В адиабатических (открытых) ловушках
U=
s2
s1
ds
B
между точками s1 и s2 в бесконечно сильных магнитных пробках
или на непроводящих торцах.
Магнитная гидродинамика
18/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
19/37

Чтобы скомпенсировать силу выталкивания, в плазме можно
возбудить тороидальный ток It вдоль направления большого
обвода тора. При смещении плазмы (и тока) на малое расстояние
ΔR от оси в проводящей камере возникает ток‐изображение −It
на расстоянии r = b2/ΔR от центральной окружности тора. С
силой
ft=−
It
c
2It
rc
=−
2I2
t
b2c2 ΔR
(4)
он возвращает тороидальный ток к оси тора. Эта сила
уравновешивает диамагнитную выталкивающую силу
fp=
πa2
R
p‖+p⊥
(3)
при
ΔR=
πa2b2c2
2I2
tR
p‖+p⊥ .
(5)
Магнитная гидродинамика
20/37

R
Z
φ
Bp
(а)
R
Z
φ
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
Bt
(б)
Рис. 3: Другое объяснение стабилизирующего эффекта тороидального
тока. Тороидальный ток создаёт полоидальное магнитное поле Bp —
аналог Bθ в винтовом пинче; тороидальное поле Bt — аналог Bz в
винтовом пинче. Идеально проводящая стенка может создать баланс
тороидальных сил в случае полоидального магнитного поля (а), но не в
случае чисто тороидального поля (б).
Магнитная гидродинамика
21/37

Рис. 4: Так как ток‐изображение в конечном итоге затухает, в
стационарных экспериментах при помощи полоидальных катушек
создают вертикальное магнитное поле Bv , перпендикулярное
плоскости тора. При подходящем выборе направления Bv сила ItBv/c
компенсирует выталкивающую диамагнитную силу fp , препятствуя
разлёту плазмы.
Магнитная гидродинамика
22/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
23/37

Тороидальный ток в плазме создаёт полоидальное поле,
направленное вдоль малого обвода тора. В сумме с
тороидальным полем от внешних катушек оно качественно
меняет топологию магнитных силовых линий, разматывая
замкнутые кольца в бесконечные спирали, навитые на
центральную кольцевую линию (магнитную ось) плазменного
шнура.
Магнитная гидродинамика
24/37

Винтовой пинч —
одномерная модель
токамака. Шаг спирали
силовой линии:
Δz=
2π
dθ/dz
=
2πrBz
Bθ
.
Коэффициент запаса устойчивости (kink safety factor):
q(r) =
Δz
2πR0
=
rBz (r)
R0Bθ(r)
.
Магнитная гидродинамика
25/37

Если силовая линия замыкается после m оборотов вокруг
большой оси тора и n оборотов вокруг малой окружности тора, то
m2πR0=nΔz,
то есть
q=
Δz
2πR0
=
m
n
.
Бесконечное (но счётное) число силовых линий, для которых q
есть рациональное число, замыкается на себя после одного или
нескольких обходов вокруг тора.
Если же q — иррациональное число, силовая линия бесконечна.
Занимая ограниченное пространство, она плотно (эргодически)
устилают поверхность тора.
Вопрос: откуда следует, что бесконечная линия лежит на
поверхности?
Магнитная гидродинамика
26/37

Рис. 5: Пример тороидальной магнитной поверхности, которая
формируется круговым током и прямым проводником с током в его
центре. В токамаке круговой ток замещается тороидальным током,
который распределён по сечению плазмы, а прямой ток замещается
полоидальным током в катушках тороидального поля. Слева: с.л.
замыкается после m = 2, n = 1 оборотов, справа: с.л. эргодически
заполняет магнитную поверхность.
Магнитная гидродинамика
27/37

Поверхность, которую образует бесконечная силовая линия
называют магнитной поверхностью. Так как в изотропной
плазме
(⃗B ⋅∇p)=0,
т.е. давление постоянно вдоль магнитной силовой линии, оно
постоянно на всей такой магнитной поверхности:
p=const.
Если силовая линия замкнута, можно ввести понятие удельного
объёма U. Тогда магнитная поверхность — это поверхность
U=const.
Такую поверхность называют рациональной, так как для неё q
есть рациональное число.
Магнитная гидродинамика
28/37

Рассмотрим систему
вложенных тороидальных
поверхностей p = const,
созданных бесконечными
силовыми линиями. Так как
(⃗B ⋅∇p)=0и(⃗J ⋅∇p)=0,
линии магнитного поля и
линии тока лежат на
магнитной поверхности.
Следовательно, поток магнитного поля (и поток тока) через
любое сечение фиксированной магнитной поверхности есть
фиксированная величина.
В торе можно сделать полоидальное сечение Sp и тороидальное
сечение St .
Магнитная гидродинамика
29/37

Магнитный поток через
тороидальное (St) и
полоидальное сечения (Sp ) тора,
привязанные к магнитной
поверхности, не зависит от
формы и положения сечений. То
же утверждение верно в
отношении потока плотности
тока ⃗J.
Для описания равновесия в таком торе удобно использовать так
называемые поверхностные величины, которые являются
функциями только магнитной поверхности (т.е . постоянны на
каждой магнитной поверхности).
Магнитная гидродинамика
30/37

По аналогии с функцией
Ip=
Sp
⃗
J⋅d ⃗S
(1)
введём полоидальный
магнитный поток
Ψ(R, Z) =
R
0
2πR′Bz(R′
,Z)dR′ ⇒ Ψ=
Sp
⃗
B⋅d⃗S . (6)
Он одинаков для любого контура на данной магнитной
поверхности, который можно непрерывной деформацией
преобразовать в кольцо радиуса R в плоскости Z = const.
Магнитная гидродинамика
31/37

Полоидальный магнитный поток вычисляется через большое
сечение магнитной поверхности (которое протыкается главной
осью тора, не зависит от формы и положения сечения):
Ψ=
Sp
(⃗B ⋅d ⃗S).
Тороидальный магнитный поток вычисляется через
перегородку, натянутую внутри тора, в «дырке от бублика»
(также не зависит от формы и положения сечения):
Φ=
St
(⃗B ⋅d ⃗S).
Так как и Φ, и Ψ постоянны на магнитной поверхности, одну
функцию выразить через другую, например:
Φ = Φ(Ψ),
т.е. Φ(R,Z) = Φ(Ψ(R,Z)).
Магнитная гидродинамика
32/37

Линии тока также лежат на магнитной поверхности. Поэтому
аналогичным образом можно ввести полный тороидальный
ток внутри данной магнитной поверхности
It=
St
(⃗J ⋅d ⃗S)
и полный полоидальный ток через полоидальное сечение
Ip=
Sp
(⃗J ⋅d ⃗S).
Эти функции постоянны на магнитной поверхности, поэтому Ip
можно выразить через It или наоборот. Нам удобно считать, что
они выражены через полоидальный магнитный поток, т.е.
It = It(Ψ),
Ip = Ip(Ψ).
Магнитная гидродинамика
33/37

Таким образом, p, Φ, Ψ, It , Ip являются поверхностными
величинами, так как они постоянны на магнитной поверхности.
Все поверхностные величины можно считать функциями
полоидального магнитного потока:
p = p(Ψ),
Φ = Φ(Ψ),
Ip = Ip(Ψ),
It = It(Ψ).
Коэффициент запаса устойчивости также является поверхностной
величиной:
q(Ψ) =
dΦ
dΨ
.
(7)
Магнитная гидродинамика
34/37

Далее...
1 Магнитное поле в торе
2 Шинный эффект
3 Удельный объём магнитного поля
4 Тороидальный ток
5 Магнитные поверхности
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
35/37

Задачи для семинара I
Исследовать равновесие плазмы в поле прямого тока при
произвольной величине β.
Представьте кольцо с током, на оси симметрии которого
расположен прямой проводник с током. В такой
конфигурации магнитные линии имеют форму спиралей,
охватывающих кольцо. Какая часть силовых линий замкнута,
а какая эргодически покрывает тороидальную поверхность?
Почему бесконечная силовая линия в предыдущем примере
лежит на поверхности, а не занимает конечный объём?
Доказать, что магнитное поле в симметричном токамаке
можно представить в виде
⃗
B=
1
2π
[∇Ψ × ∇φ] + RBt∇φ,
Магнитная гидродинамика
36/37

Задачи для семинара II
где Ψ = Ψ(R, Z) — полоидальный магнитный поток,
Bt = Bt (R, Z) — тороидальное магнитное поле, φ —
азимутальный угол в цилиндрической системе координат
(R, φ, Z).
Доказать, что в симметричном токамаке коэффициент
запаса устойчивости q(Ψ) = dΦ/dΨ выражается
рациональным числом на магнитной поверхности, на
которой силовые линии замкнуты.
Указание:
BR=
1
2πR
∂
∂Z
Ψ(R, Z), Bφ =
2I
cR
,
BZ=−
1
2πR
∂
∂R
Ψ(R, Z).
Магнитная гидродинамика
37/37

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
15 апреля 2020 г.

Лекция 09 (24)
Тороидальные системы
Магнитное поле в симметричном токамаке
Уравнение Грэда‐Шафранова
Решение Соловьёва
Магнитные острова
∗
Релаксированные равновесия в токамаке
Магнитная гидродинамика
2/34

Далее...
1 Магнитное поле в симметричном токамаке
2 Уравнение Грэда‐Шафранова
3 Решение Соловьёва
4 Магнитные острова
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/34

R
Z
φ
Bp
Bt
⊗
R0
Магнитное поле в токамаке:
⃗
Bt = 0,Bφ,0 ,
⃗
Bp = (BR,0,BZ),
Bφ(R, Z) =
2Ip(R, Z)
cR
=
4πip(R, Z)
cR
;
ip=
Ip
2π
=
R
0
R′Jz(R′
, Z)dR′
,
ψ=
Ψ
2π
=
R
0
R′Bz(R′
, Z)dR′
.
BZ=
1
R
∂ψ
∂R
,
∇⋅⃗
B=
1
R
∂
∂R
RBR +
∂BZ
∂Z
=
1
R
∂
∂R
RBR +
1
R
∂2ψ
∂Z∂R
=0,
BR=−
1
R
∂ψ
∂Z
.
Магнитная гидродинамика
4/34

BR=−
1
R
∂ψ
∂Z
,
Bφ=Bt=
4πip
cR
,
BZ=
1
R
∂ψ
∂R
.
...............................................................
R
Z
φ
Bp
Bt
⊗
R0
Те же формулы в векторном
виде:
⃗
B=[∇Ψ×∇φ]+
4πip
c
∇φ,
∇φ = {0, 1/R, 0}.
Магнитное поле ⃗B непрерывно на границе плазмы, поэтому там
непрерывны ψ и ∂ψ/∂n.
Магнитная гидродинамика
5/34

BR=−
1
R
∂ψ
∂Z
,
Bφ=Bt=
4πip
cR
,
BZ=
1
R
∂ψ
∂R
.
...............................................................
R
Z
φ
Bp
Bt
⊗
R0
Так как
∇⋅⃗
J=0,
и
ip=
R
0
R′Jz(R′
, Z)dR′
,
по аналогии запишем полоидальный ток:
JZ=
1
R
∂ip
∂R
,
JR=−
1
R
∂ip
∂Z
.
Магнитная гидродинамика
6/34

BZ=+
1
R
∂ψ
∂R
,
BR=−
1
R
∂ψ
∂Z
,
JZ=+
1
R
∂ip
∂R
,
JR=−
1
R
∂ip
∂Z
.
...............................................................
Тороидальный ток:
Jφ=
c
4π
∇× ⃗B
φ
=
c
4π
∂BR
∂Z
−
∂BZ
∂R
=
=
c
4π
−
1
R
∂2ψ
∂Z2 −
∂
∂R
1
R
∂ψ
∂R
=
=−
c
4πR
∂2ψ
∂Z2+R
∂
∂R
1
R
∂ψ
∂R
≡Δ∗Ψ
.
Магнитная гидродинамика
7/34

Далее...
1 Магнитное поле в симметричном токамаке
2 Уравнение Грэда‐Шафранова
3 Решение Соловьёва
4 Магнитные острова
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
8/34

BR=−
1
R
∂ψ
∂Z
,
Bφ=
4πip
cR
,
BZ=
1
R
∂ψ
∂R
,
JR=−
1
R
∂ip
∂Z
,
Jφ= −
c
4πR
Δ∗ψ,
JZ=
1
R
∂ip
∂R
.
...............................................................
Запишем уравнение равновесия:
∂p
∂R
=
1
c
JφBZ − JZBφ .
dp
dψ
∂ψ
∂R
=
1
c
−
c
4πR
Δ∗ψ
1
R
∂ψ
∂R
−
1
R
dip
dψ
∂ψ
∂R
4πip
cR
,
dp
dψ
=−
1
4πR2 Δ∗ψ −
2π
c2R2
di2
p
dψ
.
Магнитная гидродинамика
9/34

dp
dψ
=−
1
4πR2 Δ∗ψ −
2π
c2R2
di2
p
dψ
.
...............................................................
Уравнение Грэда‐Шафранова (В.Д. Шафранов, 1957; H. Grad and H.
Rubin, 1958):
Δ∗ψ = −4πR2 dp
dψ
−
8π2
c2
di2
p
dψ
.
(1)
Вне плазмы
Δ∗Ψ=0.
На границе плазмы
[[ψ]] = 0,
[[∂ψ/∂n]] = 0.
[[ψ]] ≡ ψout − ψin.
Магнитная гидродинамика
10/34

Далее...
1 Магнитное поле в симметричном токамаке
2 Уравнение Грэда‐Шафранова
3 Решение Соловьёва
4 Магнитные острова
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
11/34

Пример (Л.С. Соловьёв, 1967)
Δ∗ψ = −4πR2 dp
dψ
−
8π2
c2
di2
p
dψ
.
(1)
...............................................................
⎧
⎨⎩
4π
dp
dψ
≡ −A = const,
8π2
c2
di2
p
dψ
≡−C=const
⇒ Δ∗ψ = AR2+C
Δ∗ψ =
∂2ψ
∂Z2+R
∂
∂R
1
R
∂ψ
∂R
=
∂2ψ
∂Z2+4R2 ∂
∂R2
∂ψ
∂R2
Частное решение
ψ=
C
2
Z2+
A
8
R2−R2
0
2
.
Магнитная гидродинамика
12/34

Пример #1 (сферический токамак)
-2
-1
0
1
2
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
R
Z
Рис. 1: Решение уравнения
Грэда‐Шафранова. Пример #1:
A=1,C =1/4,R0=1.
ψ=
C
2
Z2+
A
8
R2−R2
0
2
.
Магнитная гидродинамика
13/34

Пример #2 (Field‐Reversed Configuration)
-2
-1
0
1
2
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
R
Z
Рис. 2: Решение уравнения
Грэда‐Шафранова. Пример #2:
A=1,C =0,R0=1,D =1/2.
ψ=
C
2
Z2+
A
8
R2−R2
0
2
+D
1
2
R2Z2 −
1
8
R2−R2
0
2
.
(2)
Магнитная гидродинамика
14/34

Пример #3 (открытая ловушка)
-2
-1
0
1
2
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
Z
R
Рис. 3: Решение уравнения
Грэда‐Шафранова. Пример #3:
A=1,C =0,R0=0,B0=1/8,
D1=1,D2=1/8.
ψ=
C
2
Z2+
A
8
R2−R2
0
2
+D1
1
2
R2Z2 −
1
8
R2−R2
0
2
+
+πB0R2+D2R2 R4−12R2Z2+8Z4 .
Магнитная гидродинамика
15/34

Пример #4 (В.Д . Шафранов, 1964)
Равновесие в осесимметричном токамаке с малой величиной
обратного аспектного отношения a/R ≪ 1.
R
Z
φ
Bp
Bt
⊗
R0
Рис. 4: Шафрановский сдвиг:
Магнитная ось сдвинута наружу
от главной оси тора. Центры
магнитных поверхностей
сдвинуты от магнитной оси на
расстояние шафрановского
сдвига
Δ(r) =
a2−r2
2R0
1
4
+β,
где
β=
8πp
B2
p (a)
,
p=
1
πa2
a
0
p01−
r2
a2 2πrdr=
p0
2
.
Магнитная гидродинамика
16/34

Далее...
1 Магнитное поле в симметричном токамаке
2 Уравнение Грэда‐Шафранова
3 Решение Соловьёва
4 Магнитные острова
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
17/34

Мы рассмотрели МГД‐равновесия с вложенными магнитными
поверхностями, которые окружают одну общую магнитную ось.
В плазме может быть несколько магнитных осей, вокруг которых
формируются магнитные острова.
Магнитный остров — это трубка плазмы со своей собственной
системой вложенных магнитных поверхностей, окружающих
собственную местную магнитную ось.
Магнитные острова возникают при наложении на «идеальное»
поле симметричного токамака малых неосесимметричных
возмущений магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
18/34

Рассмотрим винтовой пинч с
длиной L = 2πR0,
эквивалентный токамаку с
большим радиусом R0 . В
невозмущённом поле
Br = 0, Bθ(r), Bz(r)
силовая линия
r=const, θ =θ0+
Bθ(r)
Bz(r)
z
r
замыкается, если коэффициент запаса устойчивости
q(r) =
rBz(r)
RBθ(r)
(3)
выражается рациональным числом.
Магнитная гидродинамика
19/34

Наложим возмущение на исходное поле, так что
Br = Bmn sin(ζ),
Bθ = Bθ(r),
Bz = Bz(r), (4)
где Bmn –– малая амплитуда,
ζ=mθ−nz/R,
а m и n — целые числа. Ввиду однородности задачи по θ и z
малое возмущение можно разлагать в ряд Фурье и
рассматривать отдельные гармоники независимо от других.
Поправками порядка Bmn к ненулевым Bθ , Bz пренебрегаем.
Магнитная гидродинамика
20/34

Принимая во внимание вид возмущения магнитного поля, будем
искать траекторию силовой линии в виде
r=r(θ,z)=r(ζ)
вблизи рациональной поверхности, где
q(rmn ) = m/n.
(5)
На рациональных поверхностях силовые линии замыкаются сами
на себя после нескольких оборотов, поэтому винтовые
возмущения с тем же шагом, что и шаг силовой линии,
оказываются резонансными и приводят к расщеплению
магнитных поверхностей с образованием магнитных островов.
Магнитная гидродинамика
21/34

q(r) =
rBz (r)
RBθ(r)
,
ζ=mθ−n
z
R
,
θ=θ0+
Bθ(r)
Bz(r)
z
r
.
...............................................................
Выразим производную dr/dζ через компоненты поля:
dr
dζ
=
dr
dz
/dζ
dz
=
dr
dz
m
dθ
dz
−
n
R
−1
=
=
Br
Bz
m
r
Bθ
Bz
−
n
R
−1
=
Br
Bz
m
q
−
n
−1
R.
Таким образом,
dr
dζ
=
Bmn
Bz
m
q
−
n
−1
R sin(ζ).
Магнитная гидродинамика
22/34

dr
dζ
=
Bmn
Bz
m
q
−
n
−1
R sin(ζ).
...............................................................
Bz(r)
R
m
q(r)
−
n dr = Bmn sin(ζ) dζ.
Проинтегрируем полученное уравнение:
1
R
r
rmn
m
q(r)
−
n Bz(r)dr = −Bmn[cos(ζ)+δ].
Константу интегрирования δ выберем позднее.
Магнитная гидродинамика
23/34

Вблизи рациональной поверхности, где q(rmn ) = m/n,
приближённо под знаком интеграла
m
q(r)
−
n≈−
m
q(rmn)2 q′(rmn) (r − rmn) = −
n2
m
q′(rmn) (r − rmn) ,
а Bz (r) ≈ Bz(rmn ). Выполнив интегрирование, получим
1
R
r
rmn
m
q(r)
−
n Bz(r)dr = −
n2q′Bz
2mR
(r − rmn)
2
=
= −Bmn [cos(ζ) + δ] , (6)
где параметр q′Bz вычисляется при r = rmn .
Магнитная гидродинамика
24/34

n2q′Bz
2mR
(r − rmn)
2
= Bmn [cos(ζ) + δ]
(6)
...............................................................
r(ζ)=rmn±
2mRBmn
n2Bzq
′
[cos(ζ) + δ]
-2π
-π
0
π
2π
-Δrmn
0
Δrmn
ζ
r
-
r
m
n
δ= −1 —центрс
координатами rk = rmn ,
ζk = 2πk (при целом k);
−1<δ<1—замкнутая
кривая вокруг центра; δ = +1
— сепаратриса через узловые
точкиr=rmn,ζ =π+2πk;
δ > 1 — незамкнутые
периодические кривые
ниже/выше сепаратрисы.
Магнитная гидродинамика
25/34

-2π
-π
0
π
2π
-Δrmn
0
Δrmn
ζ
r
-
r
m
n
В трёхмерном пространстве
кривые
r=r(ζ)=r(mθ−nz/R)
определяют магнитные
поверхности p = const,
поскольку давление постоянно
вдоль силовой линии.
Магнитная гидродинамика
26/34

-2π
-π
0
π
2π
-Δrmn
0
Δrmn
ζ
r
-
r
m
n
Внутри области, которая
образуется сепаратрисой
вокруг локальной магнитной
оси(r=rmn,ζ =2πk),
давление постоянно на каждой
поверхности, отвечающей
замкнутой кривой, но вообще
говоря, различно на разных
поверхностях.
Процессы переноса стремятся его уравнять, формируя острова
постоянного давления внутри сепаратрисы. Такие области
постоянного давления принято называть магнитными островами.
Ширину острова оценивают по максимальному расстоянию
между верхней и нижней частями сепаратрисы:
Δrmn = max(r − rmn) = max
2mRBmn
n2Bzq′ [cos(ζ) + 1] =
4mRBmn
n2Bzq′
.
Магнитная гидродинамика
27/34

Образование магнитных островов связано с перестройкой
топологии магнитного поля в плазме. В рамках идеальной
магнитной гидродинамики такая перестройка невозможна
вследствие вмороженности магнитного поля. Поэтому для
изучения динамики формирования магнитных островов
необходимо учитывать конечную проводимость плазмы.
Если представить, что вначале возмущение магнитного поля
отсутствовало, а затем было включено в какой‐то момент
времени, то магнитные острова появятся в плазме вследствие
развития тиринг‐неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
28/34

(а)
(б)
Сечение магнитных
поверхностей: (а)
вложенные поверхности;
(б) поверхности с
островной структурой
m=1,2,3,n=1.
Сложные возмущения, состоящие из множества периодических
возмущений типа (4) с разными номерами m, n, создают
сложную иерархическую структуру магнитных островов.
Магнитная гидродинамика
29/34

Магнитные острова перекрываются, если расстояние между
центрами островов |rmn − rm′ n′ | меньше их суммарной ширины
Δrmn + Δrm′n′, т. е.
|rmn − rm′n′|<Δrmn +Δrm′n′.
Перекрытие островов приводит к стохастизации поведения
силовых линий, давление выравнивается во всей области
перекрытия.
Магнитная гидродинамика
30/34

Магнитные острова могут появляться в плазме из‐за
особенностей магнитной системы установки. Особенно
нежелательно наличие возмущений с большими значениями
номеров m и n. Они формируют густую сеть рациональных
поверхностей q = m/n, облегчая перекрытие магнитных
островов. Отсюда возникают жёсткие требования к точности
магнитной системы.
Наличие магнитных островов служит причиной усиления
транспортных процессов: во‐первых, внутри самого острова
перенос больше, а во‐вторых, взаимодействуя друг с другом,
острова порождают множество островков более высокого
порядка. Все это приводит к тому, что и в плазме токамака может
развиваться процесс релаксации к состоянию с более низкой
энергией.
Магнитная гидродинамика
31/34

Далее...
1 Магнитное поле в симметричном токамаке
2 Уравнение Грэда‐Шафранова
3 Решение Соловьёва
4 Магнитные острова
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
32/34

Задачи для семинара I
Проверить, что в пределе r/R → 0 уравнение
Грэда‐Шафранова переходит в уравнение равновесия
винтового пинча.
Вывести граничные условия на поверхности раздела плазмы
и вакуума, интегрируя уравнение Грэда‐Шафранова по
тонкому граничному слою.
Все ли внутренние силовые линии магнитного острова
имеют одинаковое значение q относительно главной
магнитной оси тора? Если так, то рационально ли это
значение q?
Магнитная гидродинамика
33/34

Задачи для семинара II
Сформулировать вариационный принцип для уравнение
Грэда‐Шафранова. Для этого записать лагранжиан
L= L(ψ,∇ψ,R,Z)RdRdZ,
такой, что равенство нулю его вариации δL при
произвольной вариации δψ полоидального потока ψ
приводит к уравнению Грэда‐Шафранова.
* Найти решение уравнения Грэда‐Шафранова для токамака с
малой величиной обратного аспектного отношения a/R.
Вычислить шафрановский сдвиг.
Магнитная гидродинамика
34/34

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
18 марта 2020 г.

Лекция 10
МГД волны
Уравнение малых колебаний
Альфвеновские волны
Быстрый и медленный магнитный звук
МГД волны в анизотропной плазме
Магнитная гидродинамика
2/32

Далее...
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/32

Благодаря самосогласованному полю в плазме могут
распространяться волны, не имеющие аналогов в других средах.
Волны малой амплитуды распространяются независимо друг от
друга. Их можно представить в виде линейной суперпозиции
собственных колебаний данной среды. В однородной
стационарной среде каждое собственное колебание
характеризуют фиксированные значения волнового вектора ⃗k и
круговой частоты ω. Они связаны дисперсионным
соотношением ω = ω( ⃗k).
Общий принцип теоретического анализа линейных колебаний
состоит в следующем. Сначала находят стационарное
(равновесное) состояние в рамках выбранной системы
уравнений. Затем на это состояние накладывают малое
возмущение и линеаризуют исходные уравнения по малой
амплитуде возмущения. Полученная таким образом система
линейных уравнений описывает малые колебания.
Магнитная гидродинамика
4/32

Используем приближение идеальной МГД:
dρ
dt
= −ρ div( ⃗V),
(1a)
ρ
d⃗V
dt
= −∇p+
1
4π
[rot ⃗B × ⃗B],
(1b)
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B],
(1c)
dp
dt
= −γpdiv ⃗V,
(1d)
dρ
dt
=
∂ρ
∂t
+(⃗V ⋅∇ρ),
d⃗V
dt
=
∂⃗V
∂t
+(⃗V ⋅∇)⃗V.
Магнитная гидродинамика
5/32

Пусть плазма равномерно заполняет все пространство с
постоянными ρ0 и p0 ; однородное магнитное поле ⃗B0 = B0
̂
⃗
z
направлено вдоль оси z декартовой системы координат (x, y , z);
⃗
V0 = 0. Подстановка постоянных величин p = p0, ρ = ρ0, ⃗V = 0,
⃗
B=⃗
B0 в уравнения (1) обращает их в тождества (проверить).
Наложим на это равновесное состояние малое возмущение
p=p0+δp, ρ =ρ0+δρ, ⃗V =δ ⃗V,
⃗
B=⃗
B0+δ⃗B
и линеаризуем систему уравнений, т.e . оставим лишь те
слагаемые, которые содержат малые величины не выше чем в
первой степени. Например,
dρ
dt
=
∂ρ
∂t
+(⃗V ⋅∇ρ)=
∂δρ
∂t
+(δ⃗V ⋅∇δρ)→
∂δρ
∂t
.
Магнитная гидродинамика
6/32

∂δρ
∂t
= −ρ0 div(δ ⃗V),
(2a)
ρ0
∂δ ⃗V
∂t
= −∇δp+
1
4π
[rot δ ⃗B × ⃗B0],
(2b)
∂δ ⃗B
∂t
= rot[δ ⃗V × ⃗B0],
(2c)
∂δp
∂t
= −γp0divδ⃗V.
(2d)
Вместо скорости δ ⃗V введём в рассмотрение смещение плазмы
из положения равновесия ⃗ξ , связанное с δ ⃗V соотношением
δ⃗V =
∂⃗ξ
∂t
.
(3)
Магнитная гидродинамика
7/32

Опуская для краткости индекс 0 у невозмущённых величин,
после интегрирования по времени в первом, третьем и
четвёртом уравнениях, получим
δρ= −ρdiv⃗ξ,
(4)
δp= −γpdiv ⃗ξ,
(5)
δ⃗B =rot[⃗ξ× ⃗B].
(6)
Первое из этих соотношений просто означает, что плотность в
данной точке уменьшается пропорционально вытекшему из
объёма количеству жидкости. Примерно такой же смысл имеет
второе соотношение. Рассмотрим третье соотношение.
Магнитная гидродинамика
8/32

δ⃗B =rot[⃗ξ× ⃗B]=[∇×[⃗ξ⊥× ⃗B]].
..........................↑этобылоранее↑..........................
Применяя известное соотношение векторного анализа
[∇×[⃗ξ⊥× ⃗B]]=( ⃗B ⋅∇)⃗ξ⊥− ⃗
Bdiv⃗ξ⊥−(
⃗
ξ⊥⋅∇)⃗B+ ⃗ξ⊥div ⃗B
и учитывая, что ⃗B = const, имеем
δ⃗B =B
∂ ⃗ξ⊥
∂z
−
⃗
B div ⃗ξ⊥.
(7)
Магнитная гидродинамика
9/32

ρ
∂2 ⃗ξ
∂t2 = −∇δp+
1
4π
[rotδ⃗B×⃗B], δ ⃗B =B
∂ ⃗ξ⊥
∂z
−
⃗
Bdiv ⃗ξ⊥.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Подставив сюда δ ⃗B и δp, получим одно векторное уравнение для
смещения ⃗ξ , но сначала упростим силу Ампера:
δ⃗F =
1
4π
[[∇×δ⃗B]× ⃗B]=
1
4π
(⃗B ⋅∇)δ⃗B −
1
4π
∇(⃗B ⋅δ ⃗B), (8)
(⃗B ⋅∇)δ⃗B =B
∂δ ⃗B
∂z
= B2∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 − B2∇‖ div ⃗ξ⊥,
∇‖=
̂
⃗
z
∂
∂z
;
−∇(⃗B ⋅δ ⃗B)=B2∇div ⃗ξ⊥.
δ⃗F =
B2
4π
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 +∇⊥div ⃗ξ⊥ ,
∇⊥=∇−∇‖
.
(9)
Магнитная гидродинамика
10/32

ρ
∂2 ⃗ξ
∂t2=−∇δp
−γpdiv ⃗ξ
+
1
4π
[rotδ⃗B× ⃗B]
B2
4π
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 +∇⊥ div ⃗ξ⊥
.
Вводя обозначения для скорости звука cs = γp/ρ и
альфвеновской скорости cA = B/ 4πρ, приходим к уравнению
∂2 ⃗ξ
∂t2=c2
s ∇div⃗ξ+c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 +c2
A ∇⊥ div ⃗ξ⊥,
(10)
которое описывает малые магнитогидродинамические
колебания однородной идеально проводящей среды.
Магнитная гидродинамика
11/32

Далее...
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
12/32

Одно векторное уравнение
∂2 ⃗ξ
∂t2=c2
s ∇div ⃗ξ+c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 +c2
A∇⊥div ⃗ξ⊥
(10)
соответствует трём скалярным и поэтому описывает три типа
волн.
Рассмотрим класс смещений ⃗ξ , в котором
ξ‖=0,
div⃗ξ⊥=0.
(11)
При этом div ⃗ξ = 0 и мы получаем уравнение только для ⃗ξ⊥ :
∂2 ⃗ξ⊥
∂t2 =c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 .
(12)
Оно описывает альфвеновские волны (Hannes Alfven, 1942).
Магнитная гидродинамика
13/32

Смещение плазмы в
альфвеновских волнах:
(а) изгибание силовой трубки;
(б) кручение силовой трубки.
∂2 ⃗ξ⊥
∂t2 =c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 ,
(12)
ξ‖=0,
div⃗ξ⊥=0.
Магнитная гидродинамика
14/32

Такое же уравнение возникает в теории колебаний натянутой
струны. Его решение — суперпозиция колебаний,
распространяющихся вдоль оси z (вдоль струны) со скоростью
±cA . В альфвеновских колебаниях возмущается только
магнитное поле, причём [см. (4), (5) и (7)]
δ⃗B =B
∂ ⃗ξ⊥
∂z
,
δρ=0,
δp=0.
(13)
Магнитная гидродинамика
15/32

Аналогия со струной имеет глубокий физический смысл.
Вследствие эффекта вмороженности смещение плазмы меняет
направление магнитного поля согласно (13), искривляя силовые
линии. Натяжение силовых линий, как и натяжение струны,
создаёт возвращающую силу, которая стремится вернуть плазму
в исходное состояние. Однако в исходное состояние плазма
возвращается, имея некоторую скорость, и поэтому продолжает
движение, искривляя силовую линию в противоположном
направлении. Так возникают альфвеновские колебания.
Магнитная гидродинамика
16/32

∂2 ⃗ξ⊥
∂t2 =c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 .
(12)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Для решения в виде плоской монохроматической волны
⃗
ξ(⃗r,t)= ⃗
ξ0exp(i⃗k ⋅ ⃗
r − iωt),
⃗
k=(k⊥,0,k‖) (14)
получаем дисперсионное уравнение
ω2=k2
‖c2
A.
(15)
Оно имеет два решения,
ω=±k‖cA=± ⃗k⋅ ⃗
cA,
∂ω
∂⃗k
= ±⃗cA; ⃗cA=
⃗
B
4πρ
,
(16)
которые отвечают движению волны вдоль и против ⃗B.
Условия ξ‖ = 0, div ⃗ξ⊥ = 0 означают, что
(⃗B ⋅
⃗
ξ)=0,
(⃗k ⋅
⃗
ξ)=(
⃗
k⊥⋅
⃗
ξ⊥)=0.
(17)
Магнитная гидродинамика
17/32

Далее...
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
18/32

∂2 ⃗ξ
∂t2=c2
s ∇div⃗ξ+c2
A
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 +c2
A ∇⊥ div ⃗ξ⊥,
(10)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Рассмотрим колебания, в которых ξ‖ ≠ 0 и div ⃗ξ⊥ ≠ 0. Так как
div ⃗ξ = div ⃗ξ⊥ + ∂ξ‖/∂z, для ξ‖ получаем из (10)
∂2ξ‖
∂t2 =c2
s
∂2ξ‖
∂z2+c2
s
∂
∂z
div ⃗ξ⊥.
(18)
Уравнение для div ⃗ξ⊥ получим, взяв дивергенцию от поперечной
составляющей уравнения (10):
∂2
∂t2div⃗ξ⊥=c2
s∇2
⊥div⃗ξ⊥+c2
s∇2
⊥
∂ξ‖
∂z
+c2
A∇2 div ⃗ξ⊥,
(19)
где ∇2
⊥=div∇⊥,∇2=∇2
⊥ + ∂2/∂z2.
Магнитная гидродинамика
19/32

∂2
∂t2div⃗ξ⊥=c2
s∇2
⊥div⃗ξ⊥+c2
s∇2
⊥
∂ξ‖
∂z
+c2
A∇2 div ⃗ξ⊥.
(19)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Рассмотрим случай плазмы низкого давления (малого «бета»):
β=
8πp
B2∼
c2
s
c2
A
≪1.
Тогда в (19) можно пренебречь слагаемыми с c2
s:
∂2ψ
∂t2 =c2
A∇2ψ, ψ =div ⃗ξ⊥;
ω2 = k2c2
A.
(20)
Это уравнение описывает так называемый магнитный звук, в
котором приблизительно ξ‖ = 0. Упругость среды создаётся
давлением магнитного поля B2/8π.
Магнитная гидродинамика
20/32

∂2ξ‖
∂t2 =c2
s
∂2ξ‖
∂z2+c2
s
∂
∂z
div ⃗ξ⊥.
(18)
..........................↑этобылоранее↑..........................
ξ‖∼
k‖k⊥c2
s
ω2 ξ⊥∼
k‖k⊥
k2
c2
s
c2
A
ξ⊥ ≪ ξ⊥∗.
При div ⃗ξ⊥ ≠ 0 уравнение (18) позволяет найти малое
продольное смещение ξ‖ в магнитозвуковых волнах. Кроме того,
при β ≪ 1 уравнение (18) описывает самостоятельную ветвь
колебаний, в которых div ⃗ξ⊥ ≈ 0. Для этих колебаний имеем
∂2ξ‖
∂t2 =c2
s
∂2ξ‖
∂z2 ;
ω2=k2
‖c2
s.
(21)
Такие ионно‐звуковые колебания представляют собой звук,
распространяющийся вдоль магнитного поля, причём смещение
плазмы при β → 0 происходит только вдоль магнитного поля.
Магнитная гидродинамика
21/32

Смещение плазмы при
магнитозвуковых (а) и
ионно‐звуковых (б)
колебаниях при c2
s /c2
A≪1.
При произвольной величине
c2
s /c2
A∼βэтиволны
называют быстрым и
медленным магнитным
звуком.
Магнитная гидродинамика
22/32

Если параметр β не мал, уравнения
∂2ξ‖
∂t2 =c2
s
∂2ξ‖
∂z2+c2
s
∂
∂z
div ⃗ξ⊥,
(18)
∂2
∂t2div⃗ξ⊥=c2
s∇2
⊥div⃗ξ⊥+c2
s∇2
⊥
∂ξ‖
∂z
+c2
A ∇2 div ⃗ξ⊥ (19)
нужно решать совместно. Ищем решение в виде плоской
монохроматической волны вида
⃗
ξ(⃗r,t)= ⃗
ξexp(i⃗k ⋅ ⃗
r−iωt)
Для такой волны получаем систему алгебраических уравнений
ω2−c2
sk2
‖ξ‖=c2
sk‖(⃗k⊥ ⋅
⃗
ξ⊥),
ω2−c2
Ak2−c2
sk2
⊥ (⃗k⊥⋅
⃗
ξ⊥)=c2
s k‖k2
⊥ξ‖.
Магнитная гидродинамика
23/32

ω2−c2
sk2
‖ξ‖=c2
sk‖(⃗k⊥ ⋅
⃗
ξ⊥),
ω2−c2
Ak2−c2
sk2
⊥ (⃗k⊥⋅
⃗
ξ⊥)=c2
s k‖k2
⊥ξ‖.
..........................↑этобылоранее↑..........................
Чтобы она имела нетривиальные (не равные тождественно нулю)
решения, её детерминант должен обращаться в нуль. Это
требование приводит к дисперсионному уравнению
ω2−c2
sk2
‖ ω2−c2
Ak2−c2
sk2
⊥ =c2
s k‖c2
s k‖k2
⊥;
ω4− c2
A+c2
s k2ω2+c2
Ac2
sk2
‖k2=0.
Оно имеет два корня:
ω2
±=
1
2
k2c2
A+k2c2
s ± (k2c2
A+k2c2
s)2−4c2
Ac2
s k2k2
‖ (22)
Магнитная гидродинамика
24/32

ω2
±=
1
2
k2c2
A+k2c2
s ± (k2c2
A+k2c2
s)2−4c2
Ac2
s k2k2
‖ (22)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Больший корень ω2
+ соответствует так называемой быстрой
магнитозвуковой волне (БМЗ), а меньший корень принадлежит
медленной магнитозвуковой волне (ММЗ).
Вектор смещения магнитозвуковых волн лежит в плоскости
векторов ⃗k и ⃗B. Этот факт можно сформулировать в виде
равенства
(⃗ξ ⋅[
⃗
k×⃗B])=0.
(23)
Магнитная гидродинамика
25/32

ω2
±=
1
2
k2c2
A+k2c2
s ± (k2c2
A+k2c2
s)2−4c2
Ac2
s k2k2
‖
..........................↑этобылоранее↑..........................
При c2
s ≪c2
A быстрая волна превращается в магнитозвуковую, а
медленная — в ионно‐звуковую, которые обсуждались выше. В
этом пределе
ω2
+≈k2c2
A,
ω2
−
≈k2
‖c2
s.
Магнитная гидродинамика
26/32

ω2
±=
1
2
k2c2
A+k2c2
s ± (k2c2
A+k2c2
s)2−4c2
Ac2
s k2k2
‖
..........................↑этобылоранее↑..........................
При c2
s ≫c2
A быстрая магнитозвуковая волна становится обычной
звуковой волной, а медленная волна вырождается в
альфвеновскую. Она имеет тот же закон дисперсии (15), что и
альфвеновская волна, но перпендикулярную ей поляризацию.
Можно сказать, что в несжимаемой среде (чему формально
соответствует предел cs → ∞) существует альфвеновская волна с
двумя независимыми поляризациями. В этом случае
ω2
+≈k2c2
s,
ω2
−
≈k2
‖c2
A.
Магнитная гидродинамика
27/32

Далее...
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
28/32

В анизотропной плазме уравнение альфвеновских колебаний
изменяется:
∂2 ⃗ξ⊥
∂t2 =
2pm+p⊥−p‖
ρ
∂2 ⃗ξ⊥
∂z2 .
Оно описывает описывает поперечные колебания с частотой
ω=±k‖cA 1+
β⊥
2
−
β‖
2
,
(24)
где β⊥,‖ = p⊥,‖/pm = 8πp⊥,‖/B2. Если
β‖>2+β⊥,
(25)
частота становится чисто мнимой, ω = ±iγ. Частота с
положительной мнимой частью соответствует шланговой
неустойчивости (kink, firehorse), когда возмущение нарастает по
закону ⃗ξ ∝ exp(−iωt) = exp(+γt).
Магнитная гидродинамика
29/32

Зеркальная (или диамагнитная) неустойчивость — антипод
шланговой неустойчивости в том смысле, что возникает при
обратном соотношении между p⊥ и p‖.
МГД теория с использованием адиабат Чу‐Голдбергера‐Лоу
предсказывает, что возмущения магнито‐звукового типа
неустойчивы, если
β⊥
β‖
>6+
6
β⊥
.
(26)
Однако кинетическая теория предсказывает существенно более
низкий порог развития зеркальной неустойчивости:
β⊥
β‖
>1+
1
β⊥
(27)
Существенное расхождение критериев (26) и (27)
свидетельствует об ограниченности теории Чу‐Голдбергера‐Лоу.
Магнитная гидродинамика
30/32

Далее...
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме
5 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
31/32

Задачи для семинара
Найти энергию альфвеновской волны.
Шланговая неустойчивость в анизотропной плазме.
Зеркальная неустойчивость в анизотропной плазме.
Магнитная гидродинамика
32/32

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
22 апреля 2020 г.

Лекция 11
Неустойчивости плазмы
Гидромагнитная устойчивость плазмы
Метод малых колебаний
Свойства спектра МГД‐колебаний
Энергетический принцип
Потенциальная энергия возмущений
Вариационный принцип (семинар)
Магнитная гидродинамика
2/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/30

Будет ли равновесное состояние сохраняться длительное время
или же случайные флуктуации (возмущения) будут быстро
нарастать? Такова общая постановке задачи об устойчивости
плазмы.
g
(а)
(б)
Рис. 1: Механический аналог
неустойчивого (а) и устойчивого (б)
состояния плазмы. Шарик в поле
тяжести сваливается с выпуклой
вершины горы. Его положение на
вершине является равновесным,
но неустойчивым, т. е . малое
отклонение от равновесия
неуклонно нарастает. Положение
на дне ямы является равновесным
и устойчивым –– при малом
отклонении шарик возвращается в
исходное положение.
Магнитная гидродинамика
4/30

Общепринятый подход к решению задачи устойчивости состоит в
последовательном рассмотрении различных возмущений,
начиная с простейших МГД‐моделей. Постепенно усложняя
модели, затем можно учесть диссипацию и кинетические
эффекты.
Неустойчивости в плазме условно разделяют на две большие
группы — гидромагнитные и кинетические. К гидромагнитным
относят такие неустойчивости, которые связаны с перемещением
макроскопических участков плазмы. Для их описания используют
уравнения МГД.
В кинетических неустойчивостях существенно различие в
движении разных групп частиц, находящихся в одном и том же
объёме. Кинетические неустойчивости, как правило, связаны с
высокочастотными колебаниями с короткими длинами волн. В
этом смысле они являются «микроскопическими» по отношению
к крупномасштабному гидродинамическому движению.
Магнитная гидродинамика
5/30

Различают также потенциальные (или электростатические) и
электромагнитные неустойчивости. В потенциальных
неустойчивостях возмущение магнитного поля считается
равным нулю, а электрическое поле выражается через
электрический потенциал:
δ⃗B =0,
δ⃗E = −∇δφ.
В электромагнитных неустойчивостях
δ⃗B≠0.
Представление об отсутствии δ ⃗B является приближением в той
или иной степени и используется для упрощения задачи.
Гидромагнитные неустойчивости могут быть как
потенциальными, так и электромагнитными. То же утверждение
верно и в отношении кинетических неустойчивостей.
Магнитная гидродинамика
6/30

Существуют несколько методов исследования
МГД‐неустойчивостей.
Метод малых колебаний (спектральный метод) позволяет не
только ответить на вопрос: устойчиво ли состояние плазмы, но и
исследовать спектральный состав неустойчивых возмущений,
вычислить их инкременты нарастания. Однако этот метод весьма
сложен и поэтому не всегда может быть полностью реализован.
Энергетический принцип основывается на предположении, что в
устойчивом равновесии достигается минимум потенциальной
энергии. Энергетический принцип позволяет сформулировать
критерий устойчивости, но не позволяет найти собственные
частоты неустойчивых колебаний.
Вариационный принцип — интегральный аналог метода малых
колебаний. Позволяет приближённо находить спектр малых
колебаний, варьируя форму возмущения.
Магнитная гидродинамика
7/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
8/30

В связи с большими математическими трудностями обычно
выделяют более простую задачу исследования устойчивости
относительно возмущений малой величины. Идея метода:
плазма с равновесными параметрами (ρ0, p0 , ⃗B0, ⃗V0)
подвергается малой виртуальной деформации, при которой
возникают добавки δρ, δp, δ ⃗B , δ ⃗V к равновесным значениям тех
же параметров. Эволюция такого состояния плазмы затем
прослеживается с помощью уравнений МГД. Предположение о
малости амплитуды облегчает математическое исследование
этих уравнений, так как позволяет линеаризовать уравнения.
Магнитная гидродинамика
9/30

Запишем линеаризованные уравнения. В отличие от
предыдущей лекции, считаем, что плазма неоднородна, но
по‐прежнему в равновесии ⃗V0 = 0:
∂δρ
∂t
+δ⃗V ⋅∇ρ0 = −ρ0div(δ⃗V),
(1)
∂δp
∂t
+δ⃗V ⋅∇p0= −γp0divδ⃗V,
(2)
∂δ ⃗B
∂t
= rot[δ ⃗V × ⃗B0],
(3)
ρ0
∂δ ⃗V
∂t
= −∇δp+
1
4π
rot⃗B0×δ⃗B +
1
4π
rotδ⃗B×⃗B0 ,
(4)
Введём смещение плазмы из положения равновесия, так что
δ⃗V =
∂⃗ξ
∂t
.
Магнитная гидродинамика
10/30

Тогда
δρ= −
⃗
ξ⋅∇ρ0 −ρ0div ⃗ξ,
(5)
δp= −
⃗
ξ⋅∇p0−γp0div ⃗ξ,
(6)
δ⃗B =rot[⃗ξ× ⃗B0].
(7)
Подстановка этого в (4) даёт диф. уравнение 2го порядка
ρ0
∂2 ⃗ξ
∂t2= −∇δp+
1
4π
rot⃗B0×δ⃗B +
1
4π
rotδ⃗B× ⃗B0
≡ ⃗F[⃗ξ]
,
(8)
где введено обозначение для линейного оператора
⃗
F[⃗ξ]= ∇
⃗
ξ⋅∇p0+γp0div⃗ξ +
1
4π
rot ⃗B0× rot[⃗ξ× ⃗B0] +
1
4π
rot rot[ ⃗ξ× ⃗B0 ]× ⃗B0 .
(9)
Магнитная гидродинамика
11/30

Граничные условия зависят от задачи. В лабораторных условиях
плазма обычно окружена проводящим кожухом, на поверхности
которого тангенциальная компонента электрического поля
⃗
E = −(1/c)[ ⃗V × ⃗B] ≈ −(1/c)[∂ ⃗ξ/∂t × ⃗B0]
обращается в нуль. Если плазма соприкасается с кожухом, то из
равенства ⃗Et = 0 следует условие
[⃗ξ× ⃗B0]t=0
(10)
на поверхности кожуха. В общем случае оно означает, что ⃗ξ = 0
должно обращаться в нуль в месте контакта. Если же ⃗B0
тангенциально поверхности проводника, это условие сводится к
более простому ξn = 0. Оно имеет очевидный смысл: плазма не
может пересекать твёрдую стенку.
Магнитная гидродинамика
12/30

Граница плазмы с вакуумом является магнитной поверхностью,
т.е.
(⃗n⋅⃗
B)=0.
(11)
С внутренней стороны границы это условие выполняется
автоматически вследствие вмороженности. Снаружи —
вследствие непрерывности нормальной компонента магнитного
поля на любой поверхности разрыва, т.е .
[[⃗n⋅⃗
B]]=0.
Поэтому, если ( ⃗n ⋅ ⃗
B) = 0 изнутри плазмы, то такое же условие
должно выполняться и снаружи.
Магнитная гидродинамика
13/30

Второе граничное условие на свободной границе плазмы:
[[p + B2/8π]] = 0
(12)
так как в противном случае ускорение границы было бы
бесконечно большим.
Решая линейную задачу, граничные условия (11) и (12) нужно
линеаризовать. Процедура линеаризации в данном случае
весьма поучительна, поскольку нужно учесть не только
линейные поправки δp, δ ⃗B , но и смещение границы; граничные
условия проще линеаризовать в конкретной задаче, имея перед
глазами конкретную геометрию.
Магнитная гидродинамика
14/30

Таким образом, задача о малых колебаниях плазмы вблизи
равновесия сводится к решению линейного уравнения
ρ0
∂2 ⃗ξ
∂t2=⃗
F[ ⃗ξ]
(8)
с линейными граничными условиями. Вследствие линейности
зависимость возмущений от времени можно выбрать в виде
⃗
ξ(⃗x,t) =
k
ak
⃗
ξk( ⃗x) e−iωkt
.
(13)
Подстановка (13) в (8) приводит к задаче на собственные
значения. После отделения временнОго множителя для каждой
собственной функции (eigenfunction) ⃗ξk( ⃗x) получаем уравнение
−
ρ0ω2
k
⃗
ξk= ⃗
F[ ⃗ξk],
(14)
которое с учётом граничных условий имеет решение только при
выделенных собственных частотах (eigenfrequency) ωk .
Магнитная гидродинамика
15/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
16/30

Говорят, что оператор ⃗F[ ⃗ξ] самосопряжённый (self‐adjoint), если
равенство
⃗
η⋅⃗
F[⃗ξ]d3x =
⃗
ξ⋅⃗
F[ ⃗η] d3x
(15)
верно для любых функций ⃗ξ и ⃗η , которые удовлетворяют
граничным условиям. Проверка самосопряжённости оператора
(9) интегрированием по частям весьма громоздка, однако в
определённом смысле свойство самосопряжённости очевидно,
как мы увидим позднее.
Используя самосопряжённость оператора ⃗F[ ⃗ξ], можно сделать
важные выводы относительно собственных частот ωk и
собственных функций ⃗ξk , не решая саму задачу на собственные
значения.
Магнитная гидродинамика
17/30

(1) Докажем, что квадраты собственных частот вещественны.
−
ρ0ω2
k
⃗
ξk= ⃗
F[ ⃗ξk]
⋅
⃗
ξ∗
k,
− ρ0ω∗2
k
⃗
ξ∗
k=⃗
F[ ⃗ξ
∗
k]
⋅
⃗
ξk.
Вычтем второе уравнение из первого и проинтегрируем по
пространству, занятому плазмой:
−
ω2
k−ω
∗2
k
ρ0| ⃗ξk|2 d3x =
⃗
ξ∗
k⋅⃗
F[ ⃗ξk] d3x −
⃗
ξk⋅ ⃗
F[ ⃗ξ
∗
k]d3x = 0.
Таким образом,
ω2
k=ω
∗2
k,
т.е. ω2
k — вещественная величина.
Магнитная гидродинамика
18/30

(2) Аналогичным образом можно доказать, что собственные
функции ортогональны с весом ρ0 , т.е .
ρ0(⃗ξ
∗
k⋅
⃗
ξm)d3x = 0,
(16)
еслиk≠m.
Без ограничения общности собственные функции ⃗ξk можно
считать вещественными, поскольку как ⃗ξk , так и ⃗ξ
∗
k будут
решением задачи на собственные значения, так же как
Re⃗ξk=(⃗ξ+⃗ξ
∗
)/2,Im⃗ξk=(⃗ξ−
⃗
ξ∗)/2i. Однако в конкретных
задачах использование комплексных функций может упрощать
ход вычислений, например, в тех случаях, когда вследствие
однородности задачи по какой‐либо координате функцию ⃗ξ
можно разложить в ряд Фурье.
Магнитная гидродинамика
19/30

Поскольку ω2
k — вещественный, собственные частоты либо чисто
вещественны (при ω2
k > 0), либо чисто мнимы (при ω2
k<0).
Равновесие устойчиво, если все ω2
k>0,тогдавсеωk
вещественны. Если хотя бы одно собственное значение ω2
i <0,
имеется пара чисто мнимых частот ωk = ±iΓk . Соответствующие
им колебания изменяются во времени по закону e−i ωk t
= e±Γkt
.
Одно из них экспоненциально нарастает (неустойчиво).
Существенно, что переход из устойчивого состояния в
неустойчивое происходит, когда какая‐то собственная частота ωk
проходит через ноль. В общем случае (не в теории идеальной
МГД) переход в неустойчивое состояние происходит, когда
Im ω = 0, но Re ω ≠ 0, что значительно усложняет поиск
границы устойчивости.
Это уникальное свойство линейных колебаний в идеальной МГД
ведёт к эффективной процедуре проверки устойчивости плазмы,
которая известна как энергетический принцип.
Магнитная гидродинамика
20/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
21/30

Чтобы сформулировать этот принцип, умножим уравнение
ρ0
̈
⃗
ξ=⃗
F[ ⃗ξ]
скалярно на
̇
⃗
ξ∗
, прибавим комплексно сопряжённое уравнение и
проинтегрируем по объёму системы. Слева получим:
ρ0
̇
⃗
ξ∗
⋅
̈
⃗
ξ+
̇
⃗
ξ⋅
̈
⃗
ξ
∗
d3x =
d
dt
ρ0|
̇
⃗
ξ|2 d3x.
Справа используем свойство самосопряжённости:
̇
⃗
ξ∗
⋅
⃗
F[⃗ξ]+
̇
⃗
ξ⋅⃗
F[ ⃗ξ
∗
]d3x=
̇
⃗
ξ∗
⋅
⃗
F[⃗ξ]+ ⃗ξ
∗
⋅
⃗
F[
̇
⃗
ξ]d3x=
=
d
dt
⃗
ξ∗
⋅
⃗
F[ ⃗ξ] d3x.
Самосопряжённость эквивалентна существованию интеграла
энергии, поэтому она по сути очевидна, поскольку в идеальной
МГД энергия сохраняется.
Магнитная гидродинамика
22/30

Таким образом, мы получили закон сохранения энергии
d
dt
(K+W)=0,
K+W=const=0,
(17)
где
K=
1
2
ρ|
̇
⃗
ξ|2 d3x,
(18)
W=−
1
2
⃗
ξ∗
⋅
⃗
F[ ⃗ξ] d3x.
(19)
Система устойчива, если W > 0 для всех возможных возмущений
⃗
ξ, так как тогда равенство K + W = 0 возможно только при ⃗ξ ≡ 0.
Если W < 0 для какого‐нибудь возмущения ⃗ξ , то система
неустойчива, так как оказывается возможным движение с K > 0.
Магнитная гидродинамика
23/30

Не обязательно, чтобы такое возмущение обладало самой
большой скоростью нарастания или было бы собственной
функцией уравнений, или тем состоянием, к которому, вероятно,
придёт система в процессе эволюции. Подойдет любая пробная
функция, лишь бы она удовлетворяла граничным условиям и
была интегрируема. Это является одним из преимуществ
использования выражения (17) для исследования устойчивости.
И напротив, если любое возмущение приводит к увеличению
потенциальной энергии W, то система линейно устойчива по
отношению к экспоненциально нарастающим модам.
Магнитная гидродинамика
24/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
25/30

Существует много различных способов преобразования
выражения для потенциальной энергии W( ⃗ξ ,
⃗
ξ): это
интегрирование по частям, разбиение различных членов на
части, добавление членов, интеграл от которых для заданных
граничных условий равен нулю и т.д .
Из (9) и (19) следует основное выражение для W в плазме
W=−
1
2
⃗
ξ⋅⃗
F[⃗ξ]d3x =
=−
1
2
⃗
ξ⋅∇
⃗
ξ⋅∇p0+γp0div ⃗ξ +
1
c
⃗
J0×δ⃗B +
1
c
δ⃗J × ⃗B0 d3x,
(20)
где
δ⃗B =rot[⃗ξ× ⃗B0],
⃗
J0 = (c/4π) rot ⃗B0 ,
δ⃗J =(c/4π)rotδ⃗B.
Магнитная гидродинамика
26/30

Члены с p0 и δ ⃗J можно проинтегрировать по частям по объёму
плазмы. Это даёт (без доказательства) вклад плазмы
WF=
1
2 Vpl
γp0 div ⃗ξ
2
+ ⃗ξ⋅∇p0 div ⃗ξ +
(δB)2
4π
−
1
4π
δ⃗B ⋅
⃗
ξ×rot ⃗B0 d
3
x
плюс поверхностный член, включающий вклад вакуумного
зазора,
WSV =
1
2
δp+
δ⃗B⋅⃗
B0
4π
⃗
ξ⋅d ⃗S.
На жёсткой стенке ⃗ξ ⋅ d ⃗S = 0 и поверхностный член обращается в
нуль.
Магнитная гидродинамика
27/30

Если плазма окружена вакуумной областью, то поверхностный
член внутри вакуумной области можно проинтегрировать и
получить развёрнутую форму записи:
W=WF+WV+WS,
где
WV=
1
2 Vvac
(δB)2
4π
d3x,
WS=
1
2
(⃗n ⋅
⃗
ξ)2 ∇ p0+
B2
0
8π
⋅ d⃗S.
Такое обобщение энергетического принципа с учётом вакуумной
области было сделано Бернштейном, Фриманом, Крускалом и
Кулсрудом.
Магнитная гидродинамика
28/30

Далее...
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД‐колебаний
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
29/30

Задачи для семинара
* Какие из следующих операторов являются
самосопряжёнными на интервале, на краях которого ξ = 0:
⃗
F[⃗ξ]= ⃗
ξ, ⃗F[ ⃗ξ] = ∂ ⃗ξ/∂x, ⃗F[ ⃗ξ] = ∂2 ⃗ξ/∂x2?
* Доказать свойство ортогональности (16) собственных
функций краевой задачи (14).
* Каким — достаточным или необходимым — условием
устойчивости является энергетический принцип?
* Проверить, что энергетический принцип предсказывает
устойчивость МГД‐волн в изотропной однородной плазме.
* Сформулировать вариационный принцип на примере
краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка (задача Штурма‐Лиувилля).
Магнитная гидродинамика
30/30

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
29 апреля 2020 г.

Лекция 12
Неустойчивости пинчей
Скинированный пинч
«Перетяжки»
«Змейки»
Винтовая неустойчивость
Критерий Крускала‐Шафранова
Неустойчивость скинированного пинча (семинар)
Магнитная гидродинамика
2/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/26

Модель скинированного пинча. Весь ток те‐
чёт по тонкой шкурке цилиндрического стол‐
ба плазмы c радиусом a. Продольный ток Jz
создаёт снаружи азимутальное магнитное по‐
ле
Bθ(r) =
2I
cr
(r>a).
Магнитное поле Bi = const внутри плазмы
однородно и направлено вдоль оси столба.
Вне плазмы продольное магнитное поле Bz =
const также однородно.
Магнитная гидродинамика
4/26

В скинированном пинче давление постоянно по сечению столба
плазмы и уравновешивается разностью давления магнитного
поля:
p+
B2
i
8π
=
B2
z
8π
+
B2
θ (a)
8π
.
Если токовый слой на поверхности плазмы размывается,
скинированный пинч переходит в диффузный пинч.
Устойчивость скинированного пинча удаётся исследовать
методом малых колебаний. Устойчивость диффузного пинча
изучают с помощью энергетического принципа.
Магнитная гидродинамика
5/26

В задаче об устойчивости цилиндрического пинча произвольное
смещение плазмы из равновесного состояния можно
представить в виде ряда Фурье — набора гармоник вида
⃗
ξ(r,θ,z,t)= ⃗
ξ(r) eikz+imθ−iωt
(1)
или их вещественных комбинаций с разными значениями
волновых чисел k и m.
Азимутальное волновое число m = kθ r может принимать
целочисленные значения m = 0, ±1, ±2, ... , поскольку смешение
⃗
ξ, очевидно, периодично по углу θ с периодом 2π.
Аксиальное волновое число k также, вообще говоря, квантуется.
Например, если ⃗ξ обращается в ноль на торцах пинча (вследствие
вмороженности магнитного поля в проводящие электроды), то
величина k должна быть кратна 2π/L, где L –– длина пинча.
Магнитная гидродинамика
6/26

⃗
ξ(r,θ,z,t)= ⃗
ξ(r) eikz+imθ−iωt
(1)
...............................................................
Так называемые «перетяжки» соответствуют смещениям с m = 0
иk≠0.
У «змеек» и винтовых возмущений |m| = 1, k ≠ 0.
Смещения с |m| ≥ 2 также могут быть неустойчивы. Частоты всех
подобных колебаний вблизи границы устойчивости удаётся
рассчитать на примере скинированного пинча. Расчёт
оказывается поучительным, но весьма громоздким (задачи для
семинара). Мы ограничимся простыми примерами, в которых
вывод относительно устойчивости возмущения можно сделать с
помощью наглядных рассуждений.
Магнитная гидродинамика
7/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
8/26

Скинированный Z‐пинч неустойчив относительно возмущений
m = 0, k ≠ 0, которые называют перетяжками (англ.: sausage).
Представим,чтоBi=Bz =0ичтона
плазменном шнуре радиуса a возникла
небольшая перетяжка, так что радиус
шнура r стал меньше a. Тогда
непосредственно у поверхности плазмы
Bθ = 2I/cr превысит начальное значение
Bθ = 2I/ca, а вместе с этим вырастет и
давление магнитного поля pm = B2
θ /8π.
Давление в плазме не изменится, так как плазма может
свободно вытекать из области перетяжки. В результате возникнет
самоускоряющийся процесс углубления перетяжки, который
приведёт в конечном итоге к разрыву плазменного шнура.
Магнитная гидродинамика
9/26

Из‐за индуктивности внешних электрических цепей, питающих
пинч, ток не сможет прерваться мгновенно, поэтому почти всё
напряжение, приложенное к пинчу, будет собрано к месту
разрыва, там возникнут сильные электрические и магнитные
поля. В сильноточных экспериментах с Z‐пинчами в конце 1950‐х
годов даже наблюдалось большое количество нейтронов, что
поначалу было принято за начало термоядерной реакции.
Магнитная гидродинамика
10/26

Создание продольного магнитного поля Bi внутри плазмы
способно предотвратить (стабилизировать) развитие перетяжки.
Получим условие стабилизации.
В исходном состоянии при r = a имеет место баланс давлений
p+
B2
i
8π
=
B2
z + Bθ(a)2
8π
.
(2)
При возникновении перетяжки (a → a + δa)
p = const
⇒
δp=0;
Bθ(a)a = const
⇒
δBθ(a) = − (δa/a) Bθ(a);
Bi a2 = const
⇒
δBi = −2(δa/a) Bi;
Bz(b2 − a2) = const
⇒
δBz =
2δaaBz
b2−a2 ≈0приb≫a.
Магнитная гидродинамика
11/26

δp=0, δBθ(a)= −
δa
a
Bθ(a), δBi = −2
δa
a
Bi, δBz=0.
...............................................................
Система устойчива, если при δa < 0 суммарное давление внутри
пинча возрастает быстрее, чем снаружи, т.е .
δp+
Bi δBi
4π
>
Bz δBz + Bθ(a) δBθ(a)
4π
.
Отсюда находим критерий устойчивости плазмы относительно
возмущений типа перетяжки:
B2
i>
1
2
B2
θ (a).
(3)
Это условие ограничивает предельное значения параметра
β=
8πp
B2
z +B2
θ (a)
=
B2
z +B2
θ(a) −B2
i
B2
z +B2
θ (a)
<1−
B2
θ/2
B2
θ+B2
z
.
Магнитная гидродинамика
12/26

Стабилизация возмущений одного вида ещё не означает, что
плазма устойчива. В частности, помимо перетяжек пинч может
быть неустойчив к возмущениями изгиба, которые также
называют змейками (англ.: kink).
Магнитная гидродинамика
13/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
14/26

Возмущения типа змейки c m = 1, k ≠ 0.
Представим пинч с вмороженным
продольным полем Bi ≠ 0 и допустим
вначале, что Bz = 0. Силовые линии вне
пинча в этом случае замкнуты. Под
изгибом они гуще, чем над ним, поэтому
равнодействующая сила Fs будет
направлена наружу так, чтобы увеличивать
величину изгиба. Натяжение же
искривленных линий продольного поля Bi
даёт силу FB , направленную внутрь. Если
FB > Fs , то шнур по отношению к такому
изгибу будет устойчив.
Магнитная гидродинамика
15/26

Точное решение задачи о скинированном пинче даёт следующее
условие устойчивости длинноволновых «змеек»:
B2
i >B2
θ(a)ln
1.123
ka
.
Так как из условия равновесия
p+B2
i /8π = Bθ(a)2/8π
следует, что B2
i <B2
θ (a), то ясно, что пинч нельзя полностью
стабилизировать сильным внутренним продольным полем
относительно длинноволновых возмущений типа «змейка»
(kink). Но такая неустойчивость может быть стабилизирована
проводящими стенками камеры, если они расположены
достаточно близко к шнуру, так как при смещениях столба
плазмы в проводящих стенках должны наводиться
индукционные токи, взаимодействие с которыми стремится
вернуть плазмы в исходное положение.
Магнитная гидродинамика
16/26

Пример «перетяжки» и «змейки» показывает, что достаточно
сильное внутреннее продольное магнитное поле Bi способно
стабилизировать эти виды возмущений. Интересно, что наличие
внешнего продольного поля Bz (почти) не меняет их условие
стабилизации. Однако на практике сложно представить себе
ситуацию, чтобы продольное поле, создаваемое внешними
катушками, имелось внутри пинча, Bi ≠ 0, но отсутствовало вне
него, Bz = 0.
При наличии Bz ≠ 0 возникает неустойчивость винтовых
возмущений.
Магнитная гидродинамика
17/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
18/26

При Bz ≠ 0 и Bθ ≠ 0 магнитное поле обладает широм (англ.:
shear). Магнитным широм называют перекрещенность силовых
линий. Величину шира характеризует параметр
θs=
r
q
dq
dr
,
где
q(r) =
rBz
RBθ
обозначает коэффициент запаса устойчивости. При наличии
шира радиальная производная dq/dr отличается от нуля.
В Z‐пинче Bz ≡ 0, поэтому q = 0 и шир отсутствует. Мы увидим,
что шир оказывает стабилизирующее влияние на плазму.
Магнитная гидродинамика
19/26

Если продольное магнитное поле имеется и вне шнура, т.е .
Bz ≠ 0, то неустойчивыми могут стать винтовые возмущения. В
этом случае магнитные силовые линии вне шнура идут по
спиралям. В таком поле не всякое искривление шнура приводит
к изменению магнитного поля между шнуром и кожухом,
окружающим плазму. Так, если возмущения идут вдоль спирали
силовой линии, то она не деформируется и дополнительное
натяжение не возникает. Поэтому такие возмущения
неустойчивы, и шнур может искривиться в спиральную линию с
шагом, равным шагу спирали магнитной силовой линии
λ = 2πaBz/Bθ.
Магнитная гидродинамика
20/26

Максимальный шаг спирали, форму которой может принять
шнур, ограничен длиной системы L. Поэтому если сделать
продольное поле достаточно сильным, так чтобы шаг силовой
линии был больше длины системы, λ > L, то искривление шнура
не возникнет. На этом основан метод стабилизации пинча
сильным продольным полем. Условие устойчивости в этом
случае имеет вид
2πaBz/Bθ > L ≡ 2πR.
В эквивалентном виде
q(a) =
Bza
BθR
>1
(4)
оно известно как критерий Крускала‐Шафранова, является
необходимым для устойчивости плазменного шнура в сильном
продольном поле. Оно означает, что шаг силовой линии должен
быть больше L = 2πR.
Магнитная гидродинамика
21/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
22/26

Применительно к токамакам с большим аспектным отношением
R/a критерий Крускала‐Шафранова
q=
Bta
BpR
>1
(5)
означает, что плазменное бета ограничено сверху очень жёстким
условием. Действительно, из баланса давлений плазмы и
магнитного поля по малому радиусу a,
p+
B2
i
8π
=
B2
z
8π
+
B2
θ
8π
⇒
p+
B2
t
8π
=
B2
t
8π
+
B2
p
8π
,
следует, что полоидальное бета βp = 8πp/B2
p может
приближаться к единице, βp ≤ 1. Но при этом тороидальное бета
βt = 8πp/B2
t будет мало, так как согласно (5)
βt=βp
B2
p
B2
t
<
a2
R2.
(6)
Магнитная гидродинамика
23/26

Далее...
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовые возмущения
5 Критерий Крускала‐Шафранова
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
24/26

Задачи для семинара
Поскольку любой пинч симметричен относительно поворота на
произвольный угол θ, любое возмущение в пинче можно
разложить в ряд Фурье
⃗
ξ(⃗r) = ⃗
ξ(r) ei(kz+mθ)
с целыми значениями азимутального числа m = kθ r.
Перетяжки соответствуют возмущениям с m = 0 и k ≠ 0. У змеек
и винтовых возмущений |m| = 1, k ≠ 0. Колебания с |m| ≠ 2
также могут быть неустойчивы. Частоты всех подобных
колебаний вблизи границы устойчивости удаётся рассчитать на
примере скинированного пинча. Расчёт оказывается
поучительным, но весьма громоздким.
Магнитная гидродинамика
25/26

Задачи для семинара
Исследовать устойчивость скинированного пинча, вычислив
частоты собственных колебаний вблизи границы
устойчивости.
Оценить инкремент винтовой неустойчивости тонкого
провода с током в продольном магнитном поле.
Магнитная гидродинамика
26/26

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
6 мая 2020 г.

Лекция 13
Желобковая неустойчивость плазмы
Желобковая неустойчивость
Критерий Кадомцева
Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
Инкремент желобковой неустойчивости
Методы стабилизации (самостоятельно)
Магнитная гидродинамика
2/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/42

В неоднородной плазме может развиваться желобковая
неустойчивость (перестановочная, конвективная; flute,
interchange).
Для начала рассмотрим ловушку с замкнутыми силовыми
линиями. Выделим отдельную замкнутую трубку, образованную
силовыми линиями магнитного поля и заполненную плазмой
низкого давления с β ≪ 1. Так как плазма стремится
расшириться, то эта трубка выталкивается в сторону, где она
увеличивает свой объём (вследствие диамагнетизма плазмы).
Однако движение трубки в сильном магнитном поле не является
свободным: всякое заметное её искривление связано с большим
увеличением магнитной энергии и поэтому недопустимо, если
β→0.
Магнитная гидродинамика
4/42

Возможно лишь такое перемещение трубки, при котором
δ⃗B =rot[⃗ξ⊥× ⃗B]→0.
Этот факт можно усмотреть, анализируя выражение для
потенциальной энергии возмущения:
WF=
1
2 Vpl
γp div ⃗ξ
2
+ ⃗ξ⊥⋅∇pdiv⃗ξ
∗
⊥+
+
|δB|2
4π
−
1
4π
δ⃗B ⋅
⃗
ξ∗
⊥×rot⃗B d3x.
Она будет заведомо положительна из‐за доминирования
слагаемого |δ ⃗B|2/4π, если δ ⃗B ≠ 0 при β → 0, что и означает
невозможность возмущений такого рода.
Магнитная гидродинамика
5/42

rot[⃗ξ⊥× ⃗B]=0
⇔
[⃗ξ⊥× ⃗B]=∇χ.
(1)
Поскольку
⃗
E=−
1
c
⃗
V×⃗B =−
1
c
∂ ⃗ξ⊥
∂t
×⃗B =−
1
c
∇
∂χ
∂t
,
такие возмущения являются потенциальными. Кроме того,
функция χ постоянна вдоль силовой трубки, т.е .
⃗
B⋅∇χ=0.
Функцию φ = (1/c)∂χ/∂t можно отождествить с электрическим
потенциалом, причём φ также не меняется вдоль магнитного
поля. Такое возмущение называют желобковым (flute). Если
желобковые возмущения неустойчивы, говорят о желобковой
неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
6/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
7/42

Объём выделенной силовой трубки с плазмой равен
V= ΔSds=ΔΦ
ds
B
,
причём магнитный поток ΔS B = ΔΦ = const как вдоль трубки,
так и во времени вследствие вмороженности магнитного поля в
идеальную плазму. Выделенная трубка с плазмой стремится
двигаться в направлении увеличения функции
U=
ds
B
.
(2)
Плазма может находиться в равновесии только в том случае,
если её давление будет постоянным на поверхности постоянного
U, т.е. p = p(U). Это соотношение мы получили ранее, исходя из
иных соображений.
Магнитная гидродинамика
8/42

Исследуем устойчивость такого равновесия. Пусть всё та же
трубка с плазмой смещается на малое расстояние, раздвигая
соседние трубки. Если это смещение имеет вид желобка, т.е . его
форма подстраивается под форму силовых линий
невозмущённого магнитного поля, то относительное изменение
объёма трубки равно
δV/V = δU/U,
а изменение давления вследствие адиабатического расширения
находим из равенства p/ργ ∝ pVγ = const:
δp/p = −γ δV/V = −γ δU/U.
Давление же в трубках, окружающих рассматриваемый желобок,
равно
p(U+δU)=p+(dp/dU)δU.
Магнитная гидродинамика
9/42

Если смещение происходит в сторону возрастания U, т.е. δU > 0,
давление в желобке уменьшается, но если оно окажется больше,
чем давление плазмы, окружающей его в новом месте, то
желобок будет всплывать дальше, и такое распределение
плазмы будет неустойчиво. Если же, наоборот, давление в
желобке окажется меньше, т.е .
− γp δU/U < (dp/dU) δU
при δU > 0, то он будет вытесняться обратно в сторону
равновесия, и плазма будет устойчивой. Таким образом, условие
устойчивости есть
dp
dU
>−γ
p
U
.
(3)
В таком виде оно было получено Б.Б. Кадомцевым в 1957 году
(условие конвективной устойчивости Кадомцева).
Магнитная гидродинамика
10/42

На границе плазмы производная dp/dU обычно велика по
сравнению p/U, так что правой частью в (3) можно пренебречь. В
этом случае можно использовать упрощённое условие
устойчивости
dp
dU
>0.
(4)
Оно означает, что давление плазмы должно быть больше в
области с бо
́
льшим U. Так как эта область соответствует более
слабому магнитному полю, её можно назвать магнитной ямой.
Таким образом, для устойчивости плазмы относительно
возмущений желобкового типа достаточно, чтобы плазма
располагалась в магнитной яме.
Магнитная гидродинамика
11/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
12/42

Механизм желобковой
неустойчивости (M. Rosenbluth, C.
Longmire, 1957). В неоднородном
магнитном поле ионы и электроны
дрейфуют в разные стороны, поэтому
всплывающий желобок
поляризуется. В зависимости от знака
средней кривизны магнитных линий
электрический дрейф либо
возвращает желобок в исходное
состояние, либо удаляет от него,
разрушая равновесие.
Запишем критерий устойчивости плазмы относительно
желобковых возмущений в форме, которая явно содержит
кривизну силовых линий.
Магнитная гидродинамика
13/42

z
R
δn
r
1
2
κ>0
κ<0
К выводу критерия
Розенблюта‐Лонгмайра.
В открытой ловушке с бесконечно сильными магнитными
пробками плазма приближённо изотропна, поэтому можно
использовать критерий Кадомцева, считая, что интегрирование в
формуле U = ∫ ds/B идёт между максимумами B в пробках.
Магнитные поверхности удобно маркировать (редуцированным)
магнитным потоком
Φ=
r
0
Bzr dr,
подразумевая, что p = p(Φ), U = U(Φ) и
dp
dU
=
dp
dΦ
/dU
dΦ
.
Магнитная гидродинамика
14/42

z
R
δn
r
1
2
κ>0
κ<0
Рассмотрим две близкие
силовые линии и вычислим
изменение
δU=δ
ds
B
функции U = ∫ ds/B при переходе от силовой линии 1 к линии 2.
Пусть δn = δn(s) обозначает расстояние по нормали между
этими линиями. При β ≪ 1 магнитное поле потенциально и
rot ⃗B = 0. Тогда ∮ ⃗B ⋅ d ⃗s = 0 по любому контуру. Составив контур
из силовых линий 1 и 2, соединённых отрезками нормали δn,
заключаем, что интеграл ∫ B ds одинаков в точках, соединённых
отрезками нормали δn. Поэтому
δ
ds
B
=
dsB δ
1
B2.
Магнитная гидродинамика
15/42

z
R
δn
r
1
2
κ>0
κ<0
B2R = B1(R + δn),
B2=B+δB, B1=B,
B+δB=B(1+δn/R).
Из тех же соображений следует, что
δB
B
=
δn
R
= κδn,
где δB = B2 − B1, κ = 1/R — кривизна силовой линии. Поэтому
δU= dsBδ
1
B2= dsB−2
δB
B3 =−2ds
κδn
B
.
Магнитная гидродинамика
16/42

Параметр δn можно выразить через магнитный поток
δΦ=rBδn
между магнитными поверхностями, на которых лежат наши
выделенные силовые линии, так что
δU= −2 ds
κδn
B
=−
1
π
ds
κδΦ
rB2 .
Радиус r силовой линии, её кривизна κ и магнитное поле B
меняются вдоль силовой линии, но величина δΦ остаётся
постоянной и её можно вынести из‐под знака интеграла.
Следовательно,
dU
dΦ
=−2
κds
rB2 .
(5)
Магнитная гидродинамика
17/42

dU
dΦ
=−2
κds
rB2 .
(5)
...............................................................
Учитывая, что давление плазмы убывает при удалении от оси
ловушки и поэтому dp/dΦ < 0, заключаем, что условие
Кадомцева (4), согласно которому
dp/dU = (dp/dΦ)/(dU/dΦ) > 0, эквивалентно неравенству
dU/dΦ < 0. Таким образом, плазма в аксиально‐симметричной
открытой ловушке устойчива по отношению к желобковых
колебаниям при условии
κds
rB2>0,
(6)
которое называют критерием Розенлюта‐Лонгмайра (Marshall
Rosenbluth, Conrad Longmire, 1957).
Магнитная гидродинамика
18/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
19/42

Оценим инкремент желобковой неустойчивости в
аксиально‐симметричном пробкотроне с помощью
энергетического принципа. В выражении для WF опустим
слагаемые, содержащие δ ⃗B , поскольку желобковые колебания
потенциальны:
WF=
1
2
γp div ⃗ξ
2
+ ⃗ξ⊥⋅∇pdiv⃗ξ
∗
⊥ d3x.
(7)
[⃗ξ⊥×⃗B]=∇χ
⇒
⃗
ξ⊥=
[⃗B×∇χ]
B2
.
(8)
Силовая линия однозначно определяется величиной Φ и
азимутальным углом θ, поэтому
χ( ⃗x, t) = χ(Φ) eimθ−iωt
.
(9)
Магнитная гидродинамика
20/42

Вычисления упрощаются в пределе m → ∞. В таких возмущениях
инкремент максимален, а силовая трубка имеет вид узкого ножа,
который, всплывая, раздвигает соседние участки плазмы почти
не возмущая магнитное поле. Нормальная компонента
возмущения
⃗
ξ⊥=
[⃗B×∇χ]
B2
⇒
ξn=−
1
B
1
r
∂χ
∂θ
=−
imχ
rB
(10)
в m ≫ 1 раз больше других компонент и поэтому ими можно
пренебречь.
div⃗ξ⊥=∇⋅
⃗
B
B2×∇χ =∇χ⋅ ∇×
⃗
B
B2−
⃗
B
B2 ⋅[∇×∇χ]
=0
= ∇χ⋅
[∇× ⃗B]
B2
=0
+∇χ⋅ ∇
1
B2×⃗B
=
1
r
∂χ
∂θ
−
∂B−2
∂n
B=
2imχ
rB2
∂B
∂n
.
Магнитная гидродинамика
21/42

Из уравнения равновесия
∂
∂n
p+
B2
8π
=
B2
4π
κ
при β → 0 следует, что ∂B/∂n = κB, поэтому
div ⃗ξ⊥ =
2imχ
rB2
∂B
∂n
=
2imχ
rB
κ = −2ξnκ.
В параксиальном приближении кривизна κ мала, поэтому
первым слагаемым в (7) можно пренебречь по сравнению со
вторым.
Магнитная гидродинамика
22/42

В оставшемся выражении
WF=
1
2
⃗
ξ⊥⋅∇pdiv⃗ξ
∗
⊥ d3x
(11)
перейдём к интегрированию по магнитному потоку и длине
силовой линии при помощи замен
dΦ=rBdn,
d3x=rdndsdθ=
1
B
dΦ ds dθ,
а также учтём, что
⃗
ξ⊥⋅∇p =ξn
∂p
∂n
= rξnB
dp
dΦ
.
Магнитная гидродинамика
23/42

d3x =
1
B
dΦ ds,
⃗
ξ⊥⋅∇p =rξnB
dp
dΦ
,
div ⃗ξ
∗
⊥=−2ξ∗
nκ.
...............................................................
WF=
1
2
⃗
ξ⊥⋅∇pdiv⃗ξ
∗
⊥ d3x
=
1
2
rξnB
dp
dΦ
(−2ξ∗
nκ)
1
B
dΦ ds dθ.
Собирая все формулы вместе, заметим, что величины
rξnB = −imχ и dp/dΦ постоянны на силовой линии, поэтому их
можно вынести из‐под интеграла по длине силовой линии. В
результате получаем выражение
WF=−
dθ dΦ
dp
dΦ
|rBξn|2 ds κ
rB2 ,
(12)
у которого во внутреннем интеграле нетрудно распознать
критерий Розенблюта‐Лонгмайра (6).
Магнитная гидродинамика
24/42

WF+K=0,
ξ ∝ e−iωt
= eΓt
,
K=
1
2
ρ|
̇
ξ|2 d3x =
1
2
Γ2dθdΦds
ρ
B
|ξn|2 ≡ Γ2K,
Γ2=−ω2=−
WF
K
.
Принимая для грубой оценки, что dp/dΦ ∼ p/a2B, p ∼ ρv2
Tiи
κ ≈ d2r/ds2 ∼ a/L2, где L — длина ловушки, а vTi — тепловая
скорость ионов, находим, что инкремент неустойчивости порядка
обратного времени пролёта иона между магнитными пробками:
Γ∼
vTi
L
.
(13)
Магнитная гидродинамика
25/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
26/42

Желобковая неустойчивость в аксиально‐симметричной
открытой ловушке возникает потому, что минимум B на оси
такой ловушки в действительности является седловой точкой:
магнитное поле нарастает от этой точки в направлении вдоль оси
к магнитным пробками, но убывает поперёк оси.
Поэтому в поисках способов стабилизации желобковой
неустойчивости прежде всего стоит попытаться отыскать такие
конфигураций магнитного поля, чтобы его напряжённость
возрастала во всех направлениях от области, занятой плазмой, а
не только в продольном направлении, как это имеет место в
обычной ловушке. Такие конфигурации существуют и в принципе
исключают возможность возникновения желобковой
неустойчивости (конфигурации с минимумом B).
Магнитная гидродинамика
27/42

Другие способы стабилизации связаны с подавлением
поляризационных электрических полей, возникающих в плазме
из‐за магнитного дрейфа ионов и электронов в неоднородном
поле ловушки. В одном случае это достигается путём создания
достаточно хорошей проводимости между удерживаемой
плазмой и эквипотенциальными металлическими электродами,
расположенными вне её — по торцам за магнитными пробками
(стабилизация торцами).
В другом методе поля подавляются с помощью специальной
системы электродов, которые размещаются вокруг плазмы и не
находятся с ней в непосредственном электрическом контакте;
между электродами внешними источниками создаются в каждый
данный момент времени электрические поля, противоположные
по направлению полям в плазме и препятствующие тем самым
нарастанию начальных желобковых возмущений (стабилизация
обратными связями).
Рассмотрим подробнее каждый из этих способов.
Магнитная гидродинамика
28/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
29/42

Впервые стабилизация желобковой
неустойчивости с помощью
магнитной ямы была достигнута
М.С. Иоффе с сотрудниками в начале
1960‐х годов. Они использовали
комбинированную систему, в
которой к обычным круглым
катушкам была добавлена
стабилизирующая обмотка,
состоявшая из системы линейных
проводников, расположенных вдоль
оси ловушки на некотором
расстоянии от неё.
Магнитная гидродинамика
30/42

Токи в соседних проводниках были направлены во взаимно
противоположных направлениях, поэтому создаваемое ими
магнитное поле было равно нулю на оси ловушки и монотонно
нарастает по радиусу. Тем самым можно было скомпенсировать
радиальный спад основного поля и сделать суммарное поле
нарастающим от центральной области ловушки к периферии,
если пропускать через эту дополнительную обмотку ток
достаточной величины.
Позднее был предложен целый ряд конфигураций с минимумом
B. Все они содержат в качестве ключевого конструктивного
элемента ловушку с квадрупольным магнитным полем.
Магнитная гидродинамика
31/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
32/42

Возмущения желобкового типа в открытой ловушке можно
стабилизировать, если обеспечить хороший электрический
контакт плазмы с торцевыми проводниками, например,
поместив их непосредственно за магнитными пробками.
Подобную ситуацию можно также осуществить в эксперименте,
если внешнюю область между пробкой и проводящей стенкой
вакуумной камеры заполнить холодной плазмой, которая
является более хорошим проводником, чем стенка. На
проводящих торцах ⃗ξ = 0 вследствие вмороженности
магнитного поля в твёрдый (и поэтому неподвижный)
проводящий материал торцов. Для предписанной формы
желобка (1) равенство ⃗ξ = 0 на концах силовой линии означает,
чтоивсюду⃗ξ =0.
Магнитная гидродинамика
33/42

Физический же механизм подавления желобковой
неустойчивости проводящими торцами состоит в том, что
поляризационный заряд, который возникает при всплытии
желобка, стекает на торцы и там нейтрализуется. Недостатком
такого метода стабилизации является значительное увеличение
потерь энергии из плазмы на торцы, в результате чего она быстро
остывает. Создать термоядерный реактор с таким методом
стабилизации плазмы заведомо не получится, но в небольших
установках с умеренными параметрами плазмы торцевая
стабилизация была достигнута экспериментально.
Подавляя желобковую неустойчивость, стабилизация торцами
оставляет возможность развития других неустойчивостей. В
частности, в магнитном поле, где нет минимума B, возможна
баллонная неустойчивость, если давление плазмы превысит
критическое значение.
Магнитная гидродинамика
34/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
35/42

Поляризационные заряды желобковых возмущений создают
вблизи поверхности плазмы местные азимутальные
электрические поля, которые вызывают нарастание начальных
возмущений и дрейф плазмы к стенке. Если окружить плазму
системой изолированных электродов и изменять потенциалы
этих электродов так, чтобы в каждый момент времени всюду по
азимуту создавались электрические поля, противоположные по
направлению поляризационным полям в плазме, то таким
способом можно ослабить и, в пределе, полностью подавить
нарастание желобковых возмущений. Управление потенциалами
отдельных электродов должно производиться, разумеется,
автоматически. Это осуществляется системой небольших
емкостных датчиков, размещённых вблизи электродов и
следящих за изменениями потенциала на поверхности плазмы.
Сигналы с датчиков усиливаются и в нужной фазе подаются
обратно на соответствующие электроды.
Магнитная гидродинамика
36/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
37/42

В рамках идеальной МГД самыми неустойчивыми среди
возмущений желобкового типа являются самые
мелкомасштабные, m → ∞. Однако выводы
магнитогидродинамической теории перестают быть
достоверными, если
a
L
<m
ρi
a
.
Тогда ларморовское вращение размывает поляризационный
заряд, который возникает при всплытии желобка, и
неустойчивость подавляется эффектами конечного
ларморовского радиуса (эффектами КЛР). Эффекты КЛР могут
стабилизировать все желобковые колебания, кроме m = 1,
поэтому на практике часто бывает достаточно озаботиться только
стабилизацией этой ветви желобковых колебаний. Особый статус
колебаний с m = 1 связан с тем, что они представляют собой
смещение плазменного шнура как целого без внутренних
деформаций.
Магнитная гидродинамика
38/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
39/42

Можно сделать торцевую проводящую пластину в форме
концентрических, взаимно изолированных колец и таким
образом получить контроль над радиальным распределением
потенциала в плазме. В этом случае электростатический
потенциал будет заданной функцией магнитного потока,
φ = φ(Φ). Профилирование электростатического потенциала
позволяет контролировать частоту вращения плазмы ω(Φ),
которое создаётся электрическим дрейфом плазмы в
скрещенных электрическом и магнитном полях.
Эксперименты на газодинамической ловушке в новосибирском
Институте ядерной физики показали, что достаточно сильное
положительное электрическое смещение внешней поверхности
плазмы приводит к улучшению устойчивости. Теория
А.Д. Беклемишева связывает этот эффект с нелинейной вихревой
стабилизацией, где сдвиговое течение, возникающее вблизи
границы плазмы, предотвращает пересечение этой границы
центральной частью плазмы, где формируется вихрь.
Магнитная гидродинамика
40/42

Далее...
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Минимум B
Стабилизация торцами
Метод обратных связей
Эффекты КЛР
Вихревое удержание
6 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
41/42

Задачи для семинара
Доказать, что плазма в аксиально‐симметричном
пробкотроне неустойчива относительно желобковых
возмущений.
Найти профиль магнитного поля в аксиально‐симметричном
пробкотроне, который обеспечивает минимизацию
инкремента желобковой неустойчивости.
Получить критерий стабилизации желобковой
неустойчивости плещущимися ионами.
Магнитная гидродинамика
42/42

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
13 мая 2020 г.

Лекция 14
Баллонная неустойчивость
Баллонные возмущения
Уравнение баллонных колебаний
Предельное бета
Магнитная гидродинамика
2/28

Далее...
1 Баллонные возмущения
2 Уравнение баллонных колебаний
3 Предельное бета
4 Методы стабилизации баллонной неустойчивости
Магнитная гидродинамика
3/28

z
R
δn
r
1
2
κ>0
κ<0
Согласно критерию
Розенблюта‐Лонгмайра
желобковые возмущения
устойчивы, если
κds
rB2>0.
(1)
В линейной (открытой) ловушке области благоприятной (κ > 0) и
неблагоприятной кривизны (κ < 0) обычно чередуются. Даже
если средняя кривизна положительна и желобковые
возмущения устойчивы, в области неблагоприятной кривизны
могут развиваться баллонные возмущения.
Для простоты будем считать, что устойчивость желобковых
возмущений обеспечивает контакт плазмы с проводящими
торцами. Баллонная неустойчивость возникает при значении
параметра бета, превышающем критическое значение:
β >βcrit.
(2)
Магнитная гидродинамика
4/28

z
κ>0
κ<0
Рис. 1: Возмущения баллонного
типа локализованы в области
неблагоприятной кривизны.
Для простоты предположим, что идеально проводящие торцы
установлены непосредственно в магнитных пробках. Тем самым
мы сужаем класс возможных возмущений, допускаемых к
соревнованию при минимизации потенциальной энергии
возмущений, поэтому найденные значения βcrit дадут в
действительности верхнюю границу этой величины. Вместе с тем,
отличие истинных значений βcrit от этой верхней границы должно
быть малым, поскольку за пробкой располагается магнитная яма,
вследствие чего силовые линии фактически жёстко закреплены в
пробках.
Магнитная гидродинамика
5/28

Далее...
1 Баллонные возмущения
2 Уравнение баллонных колебаний
3 Предельное бета
4 Методы стабилизации баллонной неустойчивости
Магнитная гидродинамика
6/28

WF=
1
2
Vpl
|δB|2
4π
+γp div ⃗ξ
2
+ ⃗ξ⊥⋅∇p div ⃗ξ
∗
⊥+
rot ⃗B⋅
⃗
ξ∗
⊥×δ ⃗B
4π
d3x
...............................................................
Проведём анализ устойчивости возмущений баллонного типа с
помощью энергетического принципа. Ожидая, что предельное
значение βcrit может быть малым (мы будем рады ошибиться),
рассмотрим с самого начала плазму с β ≪ 1. Ответ на вопрос об
устойчивости в этом случае существенно зависит от того,
насколько малым может быть сделано возмущение магнитной
энергии
WB=
(δ ⃗B)2
8π
d3x= dθ dΦ ds
(δ ⃗B)2
8πB
.
(3)
Магнитная гидродинамика
7/28

Желобковые возмущения выделены именно тем, что
возмущение магнитного поля δ ⃗B практически равно нулю,
поэтому они могут быть неустойчивы даже при β → 0. Чтобы
найти βcrit, величину возмущения магнитной энергии WB нужно
сравнивать с потенциальной энергией WP , которую мы
вычислили, изучая желобковые возмущения. Однако теперь
следует учесть, что величина (rBξn)2 может меняться вдоль
силовой линии, поэтому её нельзя выносить из‐под знака
внутреннего интеграла. С учётом такой поправки имеем
WP=−
dθ dΦ
dp
dΦ
ds
κ
rB2 (rBξn)2 .
(4)
Магнитная гидродинамика
8/28

В соответствии с реальной ситуацией будем считать, что силовые
линии составляют малый угол с магнитной осью системы
(параксиальное приближение) и что расстояние между пробками
L велико по сравнению с длиной пробок Lm , которые разделены
длинной однородной частью, так что устойчивость каждой из
пробок может рассматриваться независимо от устойчивости
противоположной. Малый параметр, характеризующий точность
параксиального приближения, есть a/Lm , где a — поперечник
плазмы в однородной части ловушки и Lm — длина пробки. В
параксиальном приближении интегрирование по силовой линии
(по dl) можно заменить интегрированием по оси ловушки (по
dz). Условимся, что пробкам соответствуют координаты z = ±L, а
экваториальная плоскость ловушки расположена при z = 0.
Магнитная гидродинамика
9/28

Для желобка в аксиально‐симметричном пробкотроне
δ⃗B =rot[⃗ξ⊥× ⃗B]=0,
⃗
ξ⊥=
[⃗B ×∇χ]
B2
,
ξn=−
1
B
1
r
∂χ
∂θ
=−
imχ
rB
Кроме того, в параксиальном приближении
r2B(z) = r2
0 B0, (r + ξn)2B(z) = (r0 + ξ0)2B0.
Отсюда находим
r = r0 B0/B(z), ξn ≈ ξ0 B0/B(z),
(5)
где ξ0 — смещение при B = B0 (в выбранной плоскости). ξn не
удовлетворяет условию на торцах ξ(±L) = 0, поэтому вместо (5)
рассмотрим смещение более общего вида
ξn(z) → α(z)ξn(z),
где α(z) — неизвестная пока безразмерная функция.
Магнитная гидродинамика
10/28

Наложим на неё два граничных условия:
α(±L) = 0,
α(0) = 1.
(6)
Первое из них обеспечивает выполнение условия
вмороженности в торцы, а второе имеет смысл условия
нормировки (оно фиксирует величину смещения в центре
ловушки).
Вычислим возмущение магнитного поля
δ⃗B =rot[⃗ξ⊥× ⃗B],
где
[⃗ξ⊥× ⃗B]=α[⃗ξn× ⃗B]=α∇χ,
причём функция χ определяет потенциал в желобковых
колебаниях.
Магнитная гидродинамика
11/28

Выполняя вычисления, учтем, что градиент ∇α, как и вектор ⃗B ,
направлен почти параллельно оси z, поэтому
δ⃗B =rot[α∇χ]=[∇α×∇χ]=[∇α×[⃗ξn× ⃗B]]= ⃗
ξn
dα
dz
B
и, следовательно,
WB=dθdΦds
(δ ⃗B)2
8πB
=
1
8π
dθ dΦ dz |ξn|2B
dα
dz
2
.
Используя теперь выражение (5) для ξn = ξ0 B0/B, находим
WB=
1
8π
dθ dΦ|ξ0|2B0 dz
dα
dz
2
.
(7)
Магнитная гидродинамика
12/28

Плазменную часть энергии (4) также преобразуем, пользуясь
параксиальным приближением:
WP=−
dθ dΦ
dp
dΦ
ds
κ
rB2 (rBαξn)2
=−
dθ dΦ
dp
dΦ
dz
(r0B0ξ0α)2
r0B
1/2
0 B3/2
d2
dz2 r0
B0
B
=−
dθ dΦ
dp
dΦ
ξ20 r2
0dz
B3/2
0
B3/2 α2 d2
dz2
B0
B
.
Подставляя сюда r2
0 = 2Φ/B0 и вводя обозначение
q(z) = B0/B(z), получаем
WP=−
1
8π
dθ dΦξ2
0B0
16πΦ
B2
0
dp
dΦ
dz α2q3d2q
dz2 .
(8)
Магнитная гидродинамика
13/28

Следовательно, суммарная энергия WF = WB + WP возмущения
баллонного типа равна
WF=
1
8π
dθ dΦξ2
0B0 dz (α′)
2
+ 2βα2q3q′′
,
(9)
где
β(Φ)= −
8πΦ
B2
0
dp
dΦ
,
(10)
а штрих обозначает производную по z. В частном случае, когда
давление имеет параболический (по r) профиль и
p(Φ)=p0(1−Φ/Φa)
при Φ < Φa , для крайней силовой линии Φ = Φa параметр β(Φ)
совпадает с традиционным определением
β0 = 8πp0/B2
0,
где p0 имеет смысл давления плазмы на её оси при Φ = 0.
Магнитная гидродинамика
14/28

WF=
1
8π
dθ dΦξ2
0B0 dz (α′)
2
+ 2βα2q3q′′
,
(9)
...............................................................
Результат вычисления интегралов в формуле (9) зависит от вида
функции ξ0 = ξ0(Φ, θ). Далее мы предположим, что эта функция
описывает мелкомасштабное возмущение, ширина которого δΦ
существенно меньше Φa . Тогда можно пренебречь изменением
функции β(Φ) на размере возмущения и отделить
интегрирование по Φ и θ от интеграла по z, так что
WF=
1
8π
dθdΦξ2
0B0
dz (α′)
2
+ 2βα2q3q′′
,
(11)
где β –– величина функции (10) на силовой линии, вблизи
которой локализовано возмущение.
Магнитная гидродинамика
15/28

В соответствии с энергетическим принципом, система устойчива,
если минимальное значение интеграла (11) больше нуля. Чтобы
найти этот минимум, приравняем к нулю вариацию интеграла
δ
L
0
dz (α′)
2
+ 2βα2q3q′′
=2
L
0
dz α′ δα′ + 2βq3q′′α δα
Так мы получим уравнение, которому должна удовлетворять
функция α(z), доставляющая минимум энергии возмущения
WB + WP . Значения α(z) на концах интервала интегрирования
фиксированы граничными условиями (6), поэтому
δα(0) = δα(L) = 0. Выполнив с учётом этого факта
интегрирование по частям, получим выражение
2
L
0
dz −α
′′
+ 2βq3q′′α δα,
которое обращается в ноль при любой вариации δ α, если
α′′
−
2βq3q′′ α = 0.
(12)
Магнитная гидродинамика
16/28

Как видно, вычисление величины βcrit, при котором существует
отличное от нуля решение уравнения (12) с указанными
граничными условиями, сводится к квантовомеханической
задаче об определении условий возникновения уровня нулевой
энергии в потенциале
V(z) =
∞,
еслиz<0;
2βq3q′′
,
если0<z<L;
∞,
еслиz>L.
(13)
Можно также сказать, что βcrit является собственным значением
классической задачи Штурма‐Лиувилля для уравнения (12) с
граничными условиями (6), а решение этой задачи α(z) является
собственной функцией. Нетрудно доказать, что подстановка
собственной функции и собственного значения в интеграл (9)
обращает в ноль энергию баллонного возмущения, что в
согласии с энергетическим принципом соответствует границе
устойчивости.
Магнитная гидродинамика
17/28

Далее...
1 Баллонные возмущения
2 Уравнение баллонных колебаний
3 Предельное бета
4 Методы стабилизации баллонной неустойчивости
Магнитная гидродинамика
18/28

В наше время методы компьютерных вычислений достигли такой
стадии совершенства, что любой человек, не владеющий
методами решения дифференциальных уравнений, может
почувствовать себя великим математиком, написав за час
программу для вычисления собственных функций и собственных
значений задачи Штурма‐Лиувилля. Тем не менее мы
воспользуемся представившимся случаем, чтобы наглядно
продемонстрировать метод приближённого вычисления βcrit с
помощью вариационного принципа.
Магнитная гидродинамика
19/28

0
L
L-Lm
z
5
10
B/B0
0
L
L-Lm
z
-0 .6
-0 .5
-0 .4
-0 .3
-0 .2
-0 .1
q3q
′′
Рис. 2: Вычисление βcrit в модели длинного пробкотрона: слева ––
профиль магнитного поля, справа –– соответствующий ему потенциал
q3q′′; для расчёта выбран профиль магнитного поля
B(z)/B0 = 1 + (K − 1) e−(z−L)2/ΔL2
+ e−(L+z)2 /ΔL2
с параметрами
K=15,L =6,ΔL =1,Lm ≈2.2ΔL.
Магнитная гидродинамика
20/28

Заметим, что функция q3q′′ приближённо равна нулю вне пробки
(при 0 < z < L − Lm) и быстро спадает вглубь пробки вместе с
ростом пробочного отношения B/B0 = 1/q2 , как показано на
рис. 2. Характерный размер потенциальной ямы приблизительно
равен Lm , а сама яма расположена в области пробки,
примыкающей к однородному магнитному полю, то есть там, где
B/B0 ∼ 1 и z ≈ L − Lm. Вне области потенциальной ямы
уравнение (12) сводится к тривиальному равенству α ′′
=0,
поэтому там α(z) является линейной функцией координаты z. С
двух сторон от потенциальной ямы производная α ′ является
константой, но константа меняется в месте расположения ямы.
Сконструируем из линейных функций тестовую функцию
α1(z) =
1
|z|≤L−Lm,
L−|z|
Lm
L−Lm<|z|≤L,
(14)
обладающую указанными свойствами, подставим её в интеграл
(9) и приравняем результат к нулю.
Магнитная гидродинамика
21/28

Из полученного таким образом уравнения находим
приближённое значение предельного бета:
βcrit = −
1
2
L
0
dz α′
1
2
/
L
0
dz α2
1 q3q′′
.
(15)
Для магнитного поля, показанного на рис. 2, вычисленная таким
образом величина βcrit = 0.580 лишь незначительно отличается
от точного собственного значения βcrit = 0.597. График
собственной функции α(z) показан на рис. 3, там же пунктиром
показана тестовая функция α1(z).
0
L
L-Lm
z
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
α
Рис. 3: График собственной
функции α(z) задачи
Штурма‐Лиувилля для профиля
магнитного поля, который
изображён на рис. 2. Пунктиром
показан график тестовой функции
(14).
Магнитная гидродинамика
22/28

На основе вариационного принципа разработан эффективный
метод численного тестирования МГД‐устойчивости. В
применении к задаче о вычислении предельного бета для его
реализации нужно выбрать какой‐нибудь достаточно полный
набор базисных функций αn (z), удовлетворяющих граничным
условиям, и записать α(z) как сумму
α(z) =
n
cn αn (z)
этих функций c некоторыми коэффициентами cn . Подстановка
этой суммы в интеграл (9), который должен быть равен нулю,
приводит к выражению для βcrit, которое аналогично (15), но
зависит от всех коэффициентов cn . Минимизируя это выражение
перебором коэффициентов cn вычисляют предельное значение
βcrit.
Магнитная гидродинамика
23/28

Обсудим полученные результаты. Вычисленное значение βcrit
оказалось близко к единице. Для других профилей магнитного
поля B(z) оно может даже превышать единицу, тогда как,
приступая к выводу уравнения баллонных колебаний, мы
использовали приближение β ≪ 1 и считали магнитное поле
вакуумным. Следовательно, наша гипотеза была не совсем
верна. Тем не менее наш труд не был совсем уж бесполезен.
Теперь мы можем утверждать, что предельное бета в
аксиально‐симметричном пробкотроне не мало по сравнению с
единицей. С другой стороны, оно не может быть и больше
единицы, поскольку равновесие невозможно, если давление
плазмы превышает давление магнитного поля снаружи от столба
плазмы. Таким образом, можно ожидать, что βcrit ≲ 1.
Магнитная гидродинамика
24/28

Нужно сделать ещё одно замечание. Локальное значение β(Φa)
параметра
β(Φ) = (−8πΦ/B2
0 ) dp/dΦ
на крайней силовой линии Φ = Φa для конкретного профиля
давления
p(Φ)=p0(1−Φ/Φa)
лишь случайно совпало с классическим определением
относительного давления β0 = 8πp0/B2
0 . Для более крутого
профиля давления
p(Φ)=p0 1−Φ2/Φ2
a
получаем β(Φa) = 2β0, поэтому предельное значение параметра
β0 будет βcrit/2. Вообще же, для профиля давления, близкого к
ступеньке, предельное значение β0 тем меньше, чем тоньше
пограничный слой. Это означает, что баллонная неустойчивость
выглаживает резкую границу плазмы.
Магнитная гидродинамика
25/28

Более сложные расчёты, не использующие приближение β ≪ 1
предсказывают значение
βcrit ≈ 0.7 ÷ 0.8.
Оно было найдено для крайней силовой линии при
квадратичной зависимости давления p(Φ) = p0 1 − Φ2/Φ2
aи
профиля магнитного поля, который оптимален для стабилизации
желобковой неустойчивости. В экспериментах на установке
газодинамическая ловушка достигнуто β = 0.6, причём величина
β была ограничена мощностью нагрева плазмы при отсутствии
каких‐либо проявлений баллонной неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
26/28

Далее...
1 Баллонные возмущения
2 Уравнение баллонных колебаний
3 Предельное бета
4 Методы стабилизации баллонной неустойчивости
Магнитная гидродинамика
27/28

Большое значение параметра β в открытых ловушках достигнуто
сравнительно недавно, но и оно не превышает предельное
значение βcrit, предсказываемое теорией. Достоверно
доказанных проявлений баллонной неустойчивости до
настоящего времени в экспериментах не обнаружено.
Возможно, именно поэтому методы стабилизации баллонной
неустойчивости в научной литература практически не
обсуждаются. Один из предложенных методов стабилизации
состоит в том, чтобы окружить область неблагоприятной
кривизны массивным проводником. Так как баллонные
возмущения искажают магнитное поле, они наводят в
проводнике токи изображения, которые стабилизируют
неустойчивость.
Магнитная гидродинамика
28/28

Магнитная гидродинамика
Игорь Александрович Котельников
Новосибирский Государственный Университет
Кафедра физики плазмы
Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН
13 мая 2020 г.

Лекция 15
Перезамыкание магнитных силовых линий
Перезамыкание магнитных силовых линий.
Резистивная тиринг‐неустойчивость.
Магнитная гидродинамика
2/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
3/40

Приближение идеальной МГД нарушается на больших
временных масштабах из‐за диффузии плазмы поперёк
магнитного поля или, что эквивалентно, диффузии магнитного
поля в плазму. Этот эффект может быть учтён как ненулевое
сопротивление в законе Ома. Хотя сопротивление часто ведёт к
затуханию малых возмущений, существуют важные примеры,
когда оно играет дестабилизирующую роль. Существует особый
класс неустойчивостей плазмы, которые возникают только в
присутствии сопротивления. Их называют резистивными
неустойчивостями. Причина, по которой сопротивление может
дестабилизировать плазму, состоит в том, что оно снимает
ограничения, накладываемые вмороженностью магнитного
поля, и делает возможными качественно новые типы
возмущений, которые могут эффективно высвобождать
магнитную энергию.
Магнитная гидродинамика
4/40

Мы говорили, что свойство вмороженности гарантирует
сохранение топологии магнитных силовых линий. Однако при
сложных движениях плазмы силовые линии с различными
направлениями могут близко подходить друг к другу и
«перезамкнуться». Вблизи точки сближения велика плотность
электрического тока, поэтому даже малое сопротивление
приводит к большому выделению тепловой энергии. Эта энергия
черпается из энергии магнитного поля, которая уменьшается в
результате перезамыкания силовых линий. Таким образом, при
перезамыкании электрическое сопротивление «срабатывает»
только в малых областях с высокой плотностью тока, но при этом
может происходить существенное изменение топологии силовых
линий.
Магнитная гидродинамика
5/40

Можно ожидать, что в высокотемпературной плазме, где σ → ∞,
резистивные неустойчивости развиваются чрезвычайно
медленно, на временных масштабах
τR=
a2
Dm
=
4πσa2
c2.
Тогда они были бы малоинтересны, так как нет смысла
обсуждать равновесие плазмы на временах, бо
́
льших чем время
диффузии. Однако некоторые резистивные неустойчивости
нарастают гораздо быстрее. К их числу прежде всего относится
тиринг‐неустойчивость. Название происходит от английского
слова tearing, что можно перевести как неустойчивость разрыва.
Она развивается в неоднородном магнитном поле вблизи
нейтрального слоя, где какая‐либо компонента магнитного поля
меняет направление на противоположное.
Магнитная гидродинамика
6/40

В результате неустойчивости происходит частичная аннигиляция
полей противоположного направления, а на месте нейтрального
слоя образуются магнитные острова.
Тиринг‐неустойчивость играет важную роль в токамаках.
Релаксационные колебания, наблюдаемые в токамаках в
некоторых режимах, связаны с тем, что внутри плазменного
шнура из‐за тиринг‐неустойчивости время от времени
происходит перестройка магнитной конфигурации, при которой
избыток энергии магнитного поля передаётся плазме.
Неустойчивость такого типа может оказаться важной также в
астрофизике и геофизике. В частности, вспышки на Солнце также
связывают с развитием тиринг‐неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
7/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
8/40

Рассмотрим
плоскую
модель
тиринг‐неустойчивости (задача об
устойчивости равновесия плазмы
в нейтральном слое). Давление
плазмы максимально в плоскости
x = 0, магнитное поле направлено
поосиy,равнонулюприx = 0
и нарастает при удалении в обе
стороны от нейтральной плоско‐
сти с характерным масштабом a,
причём направление By при x > 0
противоположно
направлению
при x < 0. Такая переполюсовка
магнитного поля поддерживается
током jz вдоль оси z.
Магнитная гидродинамика
9/40

Подобное равновесие обладает избытком свободной энергии,
заключенной в магнитном поле. Потенциально этот избыток
энергии мог бы высвободиться, если бы произошла
«аннигиляция» встречных магнитных полей, что не противоречит
сохранению интегрального магнитного потока через полное
сечение плазмы. Физическим механизмом такой аннигиляции
могло бы стать пинчевание, т.е. разбиение первоначально
плоского токового слоя на отдельные жгуты и образование
магнитных островов вокруг этих жгутов.
Магнитная гидродинамика
10/40

В пределе нулевого сопротивлении плазмы конфигурация,
изображённая на рисунке, представляет собой устойчивое
состояние равновесия. Это утверждение следует, в частности, из
анализа неустойчивости Рэлея‐Тейлора. Действительно, согласно
вариационному принципу
ω2=−
g
∂ρ
∂x
k2ξ2
x−
(⃗k⋅⃗
B)2
4π
∂ξx
∂x
2
+ k2ξ2
xdx
ρ (∂ξx/∂x)2 + k2ξ2
xdx
,
(1)
ω2 > 0, если g = 0, и, следовательно, частота колебаний ω
вещественна.
Магнитная гидродинамика
11/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
12/40

Аналогия с неустойчивостью Рэлея‐Тейлора не случайна.
Основные уравнения и их вывод почти совпадают. Вместо
системы уравнений идеальной МГД запишем систему уравнений
резистивной магнитной гидродинамики, причём с самого начало
будем считать, что движение плазмы является несжимаемым:
ρ
d⃗V
dt
=−∇p+
B2
8π
+
1
4π
(⃗B ⋅∇)⃗B,
(2a)
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B,
(2b)
div⃗V =0.
(2c)
Магнитная гидродинамика
13/40

Предположим, что в равновесии все величины зависят только от
координаты x, причём магнитное поле
⃗
B = By(x)
̂
⃗
y,
как и ток
⃗
J=
c
4π
rot⃗B=
c
4π
∂By
∂x
̂
⃗
z,
перпендикулярны оси x. В состоянии равновесия с ⃗V = 0 все
уравнения (2) выполняются автоматически, кроме x‐компоненты
уравнения (2a), согласно которой суммарное давление плазмы и
магнитного поля должно быть константой:
P=p+
B2
8π
= const .
Магнитная гидродинамика
14/40

Линеаризуем уравнения (2), выполнив замену
P→P+δP,
⃗
V→δ⃗V,
⃗
B→ ⃗B+δ⃗B;
для краткости не пишем индекс 0 у равновесных величин.
Ради максимального упрощения задачи будем считать, что
движение плазмы двумерно, так что δ ⃗V и δ ⃗B имеют только x‐ и
y‐компоненты. Наконец, рассмотрим возмущения, которые
вытянуты вдоль оси z, и поэтому любую компоненту возмущения
можно представить в виде
δA( ⃗x, t) = δA(x) exp(iky − iωt).
(3)
Магнитная гидродинамика
15/40

Распишем по компонентам линеаризованную версию уравнения
ρ
d⃗V
dt
=−∇p+
B2
8π
+
1
4π
(⃗B ⋅∇)⃗B.
(2a)
Проекцию
−
iωρδVx = −
∂δP
∂x
+
ik
4π
By δBx
(4)
на ось x сохраним в исходном виде, а из проекции
−iωρδVy = −ikδP +
1
4π
ByikδBy + δBx
∂By
∂x
,
на ось y исключим δVy и δBy с помощью уравнений
divδ⃗V =
∂δVx
∂x
+ikδVy=0,
divδ ⃗B =
∂δBx
∂x
+ikδBy=0.
(5)
Магнитная гидродинамика
16/40

∂δVx
∂x
+ikδVy=0,
∂δBx
∂x
+ikδBy=0;
− iωρδVy = −ikδP +
1
4π
ByikδBy + δBx
∂By
∂x
.
..........................↑этобылоранее↑..........................
В результате получим
ω
k
ρ
∂δVx
∂x
= −ikδP +
1
4π
δBx
∂By
∂x
−
By
∂δBx
∂x
=
= −ikδP −
1
4π
B2
y
∂
∂x
δBx
By
.
(6)
Магнитная гидродинамика
17/40

Исключая затем δP из двух уравнений
−iωρδVx = −
∂δP
∂x
+
ik
4π
ByδBx,
(4)
ω
k
ρ
∂δVx
∂x
= −ikδP −
1
4π
B2
y
∂
∂x
δBx
By
,
(6)
..........................↑этобылоранее↑..........................
получаем одно уравнение второго порядка:
ω
k
∂
∂x
ρ
∂δVx
∂x
−
k2ρδVx = −
1
4π
∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
−
k2ByδBx .
(7)
Оно содержит две неизвестные функции δVx и δBx , поэтому
требуется ещё одно уравнение.
Магнитная гидродинамика
18/40

Его мы получим, линеаризуя уравнение
∂⃗B
∂t
= rot[⃗V× ⃗B]+
c2
4πσ
∇2 ⃗B.
(2b)
Его x‐компонента
−
iωδBx = ikByδVx +
c2
4πσ
∂2δBx
∂x2 − k2δBx
(8)
совместно с уравнением (7) составляют систему двух
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
на две функции.
Магнитная гидродинамика
19/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
20/40

Если перейти к пределу σ → ∞ в уравнении
− iωδBx = ikByδVx +
c2
4πσ
∂2δBx
∂x2 − k2δBx ,
(8)
получим соотношение
δBx=−
k
ω
δVx By.
(9)
С его помощью можно исключить δBx в уравнении
ω
k
∂
∂x
ρ
∂δVx
∂x
−
k2ρδVx = −
1
4π
∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
−
k2ByδBx
(7)
и получить одно уравнение второго порядка для одной функции:
∂
∂x
ω2ρ −
k2B2
y
4π
∂δVx
∂x
=k2 ω2ρ−
k2B2
y
4π
δVx .
(10)
Магнитная гидродинамика
21/40

∂
∂x
ω2ρ −
k2B2
y
4π
∂δVx
∂x
=k2 ω2ρ−
k2B2
y
4π
δVx .
(10)
..........................↑этобылоранее↑..........................
По сути оно совпадает с финальным уравнением в задаче о
неустойчивости Рэлея‐Тейлора и описывает устойчивые
альфвеновские колебания в низкочастотном пределе. Обычно
частота таких колебаний есть
ω=
kBy
4πρ
≡ ωA.
Однако в рассматриваемой конфигурации By зависит от x. Если
частота ω попадает в интервал значений, которые может
принимать kBy(x)/ 4πρ, тогда уравнение (10) становится
сингулярным в том смысле, что коэффициент перед второй
производной исчезает в точке, где ω = kBy(x)/ 4πρ.
Магнитная гидродинамика
22/40

∂
∂x
ω2ρ −
k2B2
y
4π
∂δVx
∂x
=k2 ω2ρ−
k2B2
y
4π
δVx .
(10)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Так как здесь нас интересуют неустойчивости, мы не будем
исследовать устойчивые колебания более подробно. Достаточно
отметить, что спектр возможных решений уравнения (10)
содержит дискретные колебания с ω > max k|B|/(4πρ)1/2 и
континуум колебаний с более низкой частотой, которые сильно
затухают вблизи сингулярности из‐за эффектов, не описываемых
в модели идеальной МГД.
Магнитная гидродинамика
23/40

При учёте сопротивления, но на достаточном удалении от
резистивного слоя (вправо и влево от x = 0) можно ожидать, что
приближение идеальной МГД по‐прежнему верно. Поскольку мы
найдём, что ω ≪ ωA , в (7) и (10) можно опустить слагаемые,
содержащие ω. Два упрощённых таким способом уравнения
∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
= k2ByδBx ,
(11)
∂
∂x
B2
y
∂δVx
∂x
= k2B2
y δVx
(12)
эквивалентны ввиду
δBx=−
k
ω
δVx By.
(9)
Они описывают возмущения вне «резистивного слоя».
Магнитная гидродинамика
24/40

∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
= k2ByδBx .
(11)
..........................↑этобылоранее↑..........................
При x → 0 (но вне резистивного слоя) можно считать, что
By=B
′
y x, и искать решение уравнения (11) в виде
δBx∝x
α
.
Вычисления показывают, что δBx ∝ x либо δBx = const.
Соответственно, решение уравнения (12) есть δVx = const либо
δVx ∝ 1/x. Нас будет интересовать второе (сингулярное)
решение:
δBx ∝ x0,
δVx ∝
1
x
.
(13)
Магнитная гидродинамика
25/40

δBx ∝ x0,
δVx ∝
1
x
.
(13)
..........................↑этобылоранее↑..........................
Оно устроено так, что δBx приближается к некоторой ненулевой
константе по мере того как x → 0 либо справа, либо слева. Такое
решение не могло бы существовать, если бы уравнение (11) было
применимо вплоть до точки x = 0, где из него следует, что δBx
должно быть нулём. Однако такое решение разрешено в
резистивном случае, когда соотношение (9) должно быть
заменено уравнением (8). Именно такое неисчезающее
возмущение δBx в точке, где By = 0, характеризует резистивную
тиринг‐неустойчивость.
Магнитная гидродинамика
26/40

Тонкую область вокруг плоскости x = 0 удобно рассматривать
как пограничный слой между двумя областями идеальной МГД и
сформулировать граничные условия, интегрируя уравнения
резистивной МГД в пределах этого слоя.
Будем считать, что толщина слоя δ мала, так что kδ ≪ 1. Тогда из
уравнения
divδ ⃗B =
∂δBx
∂x
+ikδBy=0
(17)
следует, что
[[δBx]] ≡ δBx(0+) − δBx(0−) = 0.
(14)
Магнитная гидродинамика
27/40

δBy может испытывать скачок в пределах резистивного слоя.
Интегрирование уравнения rot δ ⃗B = (4π/c)δ ⃗j по толщине
резистивного слоя приводит к граничному условию
[[δBy]] =
4π
c
δiz ,
где iz — ток через сечение слоя. Так как
∂δBx
∂x
= −ik[[δBy]]
имеется скачок производной ∂δBx /∂x. Величина
(∂δBx /∂x)/δBx в теории тиринг‐неустойчивости обозначается
как Δ′
. Следовательно,
∂δBx
∂x
=Δ
′
δBx .
(15)
Магнитная гидродинамика
28/40

Решение во внешней области полностью определяет значение
параметра Δ′
. Пусть, например, By → const при x → ±∞. Тогда
решением уравнения
∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
= k2ByδBx
(11)
на большом удалении от резистивного слоя будут экспоненты
e±kx
, поэтому δBx ∝ e
−kxприx→+∞иδBx∝e
+kx при
x → +∞при x → −∞ . Протягивая эти решения (например, при
помощи численного интегрирования) к резистивному слою, мы
увидим, что они подходят к нему при x → ±δ с некоторыми
значениями δBx(±δ). Эти значения можно уровнять, умножая
решение справа (или слева) от слоя на постоянный множитель.
При этом значения производных ∂δBx/∂x на границах
резистивного определят величину Δ′
.
Магнитная гидродинамика
29/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
30/40

Внутри резистивного слоя вместо (9) используем уравнение
− iωδBx = ikByδVx +
c2
4πσ
∂2δBx
∂x2 − k2δBx
(8)
с подстановкой By = B
′
yxиω=iγ.Учтём,чтоkδ≪1и
δBx=const=δ
̄
Bx . Тогда
iγδ
̄
Bx+kB′
yxδVx =
ic2
4πσ
∂2δBx
∂x2 .
(16)
Магнитная гидродинамика
31/40

В уравнении
ω
k
∂
∂x
ρ
∂δVx
∂x
−
k2ρδVx = −
1
4π
∂
∂x
B2
y
∂
∂x
δBx
By
−
k2ByδBx
(7)
сделаем такие же упрощения:
iγρ
∂2δVx
∂x2=−
kB′
y
4π
∂
∂x
x2∂
∂x
δBx
x
.
Затем преобразуем с помощью цепочки тождеств
∂
∂x
x2∂
∂x
δBx
x
=
∂
∂x
x
∂δBx
∂x
−
δBx =
∂2δBx
∂x2
и исключим ∂2δBx /∂x 2 с помощью (16):
γρ
c2
σ
∂2δVx
∂x2 = kB′
yx iγδ
̄
Bx+kB′
yxδVx .
(17)
Магнитная гидродинамика
32/40

Систему уравнений
iγδ
̄
Bx+kB′
yxδVx =
ic2
4πσ
∂2δBx
∂x2 ,
(16)
γρ
c2
σ
∂2δVx
∂x2 = kB′
yx iγδ
̄
Bx+kB′
yxδVx
(17)
удаётся решить, но мы ограничимся порядками величин.
На границе резистивного слоя при x ∼ δ все члены в уравнении
(17) одного порядка. Приравнивая слагаемое слева и второе
слагаемое справа и оценивая ∂2δVx /∂x 2 как δVx /δ2, находим
δ ∼ γρc2/σ
1/4
kB′
y
−1/2
.
(18)
Сравнивая затем слагаемые справа, получаем
δVx∼γδ
̄
Bx/kB′
yδ∼γδ
̄
Bx γρc2/σ
− 1/4
kB′
y
−1/2
.
(19)
Магнитная гидродинамика
33/40

Наконец , интегрируя уравнение
iγδ
̄
Bx+kB′
yxδVx =
ic2
4πσ
∂2δBx
∂x2
(16)
по толщине резистивного слоя, вычислим скачок производной
∂δBx /∂x. Учитывая, что слагаемые в левой части (16) одного
порядка в соответствии с (19), для оценки интеграла можно взять
произведение первого слагаемого на δ. Поэтому
Δ′
=
∂δBx
∂x
/δ
̄
Bx∼
4πσ
c2 γδ=
4πγ5/4ρ1/4
(c2/σ)
3/4
kB′
y
1/2
.
(20)
Отсюда находим инкремент тиринг‐неустойчивости
γ∼
Δ′
4π
4/5
c2/σ
3/5
kB′
y
2/5
ρ−1/5.
(21)
Магнитная гидродинамика
34/40

γ∼
Δ′
4π
4/5
c2/σ
3/5
kB′
y
2/5
ρ−1/5.
(21)
Введём характерные времена:
τ−1
A =kcA=
kB′
ya
4πρ
,
(22)
τR=
4πa2σ
c2.
(23)
В новых обозначениях
γ ∼ (Δ′a)
4/5
τ
−2/5
A
τ
− 3/5
R.
(24)
Магнитная гидродинамика
35/40

γ ∼ (Δ′a)
4/5
τ
−2/5
A
τ
− 3/5
R.
(24)
В типичных условиях τA ≪ τR , Δ
′
a ∼ 1, поэтому
τA≪γ−1≪τR.
Таким образом, тиринг‐неустойчивость развивается заметно
медленнее, чем типичные неустойчивости идеальной МГД (что
вполне ожидаемо), но заметно быстрее, чем происходит
диффузия магнитного поля (что неожиданно).
Магнитная гидродинамика
36/40

Формирование
магнитного
острова
В результате роста тиринг‐возмущений образуются магнитные
острова. Действительно, положительное возмущение магнитного
поля δBx вблизи x = 0 уводит силовую линию в область
положительных значений x. По мере смещения по x появляется
невозмущённое магнитное поле By вдоль оси y и силовая линия
уходит вдоль y. При этом изменяется фаза возмущённого поля
δBx и силовая линия начинает смещаться к плоскости x = 0 и
затем в область отрицательных значений x. Здесь
невозмущённое магнитное поле меняет направление и уводит
силовую линию в направлении −y . Фаза возмущения δBx опять
Магнитная гидродинамика
37/40

меняется и в результате силовая линия совершает полный
оборот, образуя магнитный остров (рис.) . Вдали же от
нейтрального слоя возмущённое поле δBx лишь деформирует
силовую линию, не вызывая изменения её топологии. Линия,
разделяющая замкнутые и разомкнутые силовые линии
магнитного поля, называется сепаратрисой.
Ширина магнитных островов растёт по мере развития
тиринг‐неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
38/40

Далее...
1 Перезамыкание магнитных силовых линий
2 Тиринг неустойчивость
Основные уравнения
Решение вне резистивного слоя
Резистивный слой
3 Задачи для семинара
Магнитная гидродинамика
39/40

Задачи для семинара I
Магнитная гидродинамика
40/40

Магнитная гидродинамика
И. А . Котельников
Новосибирский Государственный Университет
2020 г.

Знать (помнить) формулы I
1 Система уравнений двухжидкостной МГД.
2 Связь потоков и градиентов замагниченной плазме
(кинетические коэффициенты).
3 Оценки кинетических коэффициентов.
4 Система уравнений резистивной МГД.
5 Адиабаты ЧГЛ.
6 Уравнения равновесия анизотропной плазмы.
7 Магнитная спиральность.
8 Удельный объём магнитного поля.
9 Коэффициент запаса устойчивости q.
10 Альфвеновская скорость.
11 Закон дисперсии альфвеновской волны.
12 Критерий Крускала‐Шафранова.
13 Критерий Кадомцева (конвективной устойчивости плазмы).
14 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра.
15 Инкремент желобковой неустойчивости.
Магнитная гидродинамика
2/11

Вывод ключевых уравнений I
1 Моменты функции распределения
2 Уравнения двухжидкостной МГД.
3 Коэффициент электронной теплопроводности в лоренцевой
плазме.
4 Уравнение теплопроводности.
5 Проводимость плазмы.
6 Эффект Холла (в переменном и стационарном полях).
7 Коэффициент амбиполярной диффузии (в магнитном поле
или в слабоионизованной плазме).
8 Уравнение переноса энергии.
9 Сохранение магнитного потока через жидкий контур.
10 Консервативная форма уравнение движения в идеальной
МГД.
11 Консервативная форма уравнения вмороженности.
Магнитная гидродинамика
3/11

Вывод ключевых уравнений II
12 Тензор напряжений магнитного поля. Давление и натяжение
магнитного поля.
13 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу.
14 Теорема вириала.
15 Уравнение равновесия анизотропной плазмы в проекциях
на векторы касательной, нормали и бинормали к силовой
линии.
16 Условие Беннета.
17 Магнитное поле в бессиловой конфигурации на примере
пинча.
18 Диамагнитная сила в торе (шинный эффект).
19 Удельный объём магнитного поля и магнитные поверхности
(на примере гофрированного тора).
20 Магнитное поле в токамаке (через Ψp , Ip).
Магнитная гидродинамика
4/11

Вывод ключевых уравнений III
21 Уравнение Грэда‐Шафранова.
22 Уравнение малых колебаний в однородной плазме.
23 Закон дисперсии альфвеновских колебаний.
24 Закон дисперсии магнитозвуковых колебаний.
25 Общие свойства спектра МГД колебаний.
26 «Перетяжки» и «змейки» в пинчах (качественный вывод).
27 Условие конвективной устойчивости плазмы (критерий
Кадомцева).
28 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра.
29 Уравнение баллонных колебаний.
Магнитная гидродинамика
5/11

Программа экзамена I
Двухжидкостная магнитная гидродинамика
1 Динамика установления теплового равновесия
2 Моменты функции распределения
3 Уравнения двужидкостной МГД
4 Кинетические коэффициенты
5 Теплопроводность плазмы и уравнение Фурье
6 Термосила
7 Проводимость плазмы
8 Анизотропия плазмы в магнитном поле
9 Кинетические коэффициенты замагниченной плазмы
10 Амбиполярная диффузия
11 Бомовская диффузия
12 Обобщённый закон Ома
13 Эффект Холла
Магнитная гидродинамика
6/11

Программа экзамена II
Одножидкостная магнитная гидродинамика
1 Плазма как сплошная среда
2 Резистивная магнитная гидродинамика
3 Идеальная магнитная гидродинамика
4 Вмороженность и диффузия магнитного поля
5 Консервативные формы уравнений идеальной МГД
6 Вмороженность магнитного поля
7 Тензор напряжений магнитного поля
8 Гидродинамика анизотропной плазмы
9 Гидродинамика анизотропной плазмы
10 Адиабаты Чу‐Голдбергера‐Лоу
Равновесие плазмы
1 Теорема вириала
2 Равновесие изотропной плазмы
Магнитная гидродинамика
7/11

Программа экзамена III
3 Равновесие анизотропной плазмы
4 Плазма как диамагнетик
Равновесие в пинчах
1 Пинчи
2 Тета‐пинч
3 Зет‐пинч. Соотношение Беннетта
4 Винтовой пинч
5 Бессиловые конфигурации
6 Пинч с обращённым полем
Равновесие в токамаке
1 Токамаки. Шинный эффект
2 Равновесие в гофрированном торе. Удельный объём
3 Магнитные поверхности
4 Поверхностные величины
Магнитная гидродинамика
8/11

Программа экзамена IV
5 Магнитное поле в токамаке
6 Уравнение Грэда‐Шафранова
7 Магнитные острова
МГД волны
1 Уравнение малых колебаний
2 Альфвеновские волны
3 Быстрый и медленный магнитный звук
4 МГД волны в анизотропной плазме. Шланговая и
зеркальные неустойчивости.
5 Полярные диаграммы
Неустойчивости плазмы
1 Гидромагнитная устойчивость плазмы
2 Метод малых колебаний
3 Свойства спектра МГД колебаний
Магнитная гидродинамика
9/11

Программа экзамена V
4 Энергетический принцип
5 Потенциальная энергия возмущений
Неустойчивости пинчей
1 Скинированный пинч
2 «Перетяжки»
3 «Змейки»
4 Винтовая неустойчивость
5 Критерий Крускала‐Шафранова
Желобковая неустойчивость плазмы
1 Желобковые возмущения
2 Критерий Кадомцева
3 Критерий Розенблюта‐Лонгмайра
4 Инкремент желобковой неустойчивости
5 Методы стабилизации желобковой неустойчивости
Магнитная гидродинамика
10/11

Программа экзамена VI
Баллонная неустойчивость
1 Баллонные возмущения
2 Уравнение баллонных колебаний
3 Предельное бета
Магнитная гидродинамика
11/11