/
Текст
м
зз
ДЖ. п. ДЕН-ГАРТОГ
МЕХАНИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ
Пе евод с четвертого
американского издания
А. Н. ОБМОРЩЕВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА I960
MECHANICAL
VIBRATIONS
J. P. DEN HARTOG
Professor of Mechanical Engineering
Massachusetts Institute of Technology
FOURTH EDITION
New York Toronto London
Me GRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
19 5 6
Дж. П. Ден Гартог
Механические колебания
Редактор;. С. А. Мейнгаод.
Технический редактор С. С. Гаврилов Корректор: Л. О Сечейко
Сдано в набор 12/1 I960 г Подписано к печати 23/IX I960 г. Бумага 6Оу92х/10
Физ. печ л. 36,25. Услопн. печ. л 36,25. Уч. изд. л. 37,73. Тираж 8500 экз.
Г 08935 Цена книги 20 о 85 к С 1/J 1961 г. цена 2 р. 09 к Заказ 2074
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В 71. Ленинский проспект, 15.
liinoi рафии I дстеми, Будапешт
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию ..................................... 6
Hi предисловия автора ........................................... 8
I л и и а I Кинематика колебаний.................................... 11
§ I I Основные определения .................................. Н
У 1.2 Век горний интерпретация колебаний ..................... 13
| I I Ьш пия ................................................ 17
J I I Ко к Л.in ия трубопровода водяной турбины ...... 19
!| Г» Mi н»л комплексных чисел ................................. 22
I о I'jTioiii, от рш н m.ih при гармоническом движении .... 25
17 I h HipMon Н'й ( ног периодическое движение ............ 32
I л и п а II ( in 1ГМ1.1 с одной 11С11СНЫ0 свободы ................. 40
У 2 I (,нп(пи свободы ..................................... 40
У 2.2 (.осииикчнн дифференциального уравнения колебаний .. 42
У 2 I Другие случаи ......................................... 45
У 2.4 Свободные колебания без затухания ........................ 52
У 2,5. Примеры ............................................... 56
§ 2.6 Свободные колебания с затуханием, пропорциональным
скорост и............................................. 60
|| 2 7 Вынужденные колебания без затухания ..................... 67
| 28 Вынужденные колебания с затуханием, пропорциональ-
ным скорости............................................. 74
IV Ч Приборы для измерения частоты............................. 83
2 10 Сейсмические приборы .................................... 86
2 11 Приборы электрического измерения ....................... 93
2 12 Георня виброизоляции ................................. 102
2 Н Приложения к однофазным электрическим машинам .... 105
| 2.14 Применение к автомобилю. Плавающая подвеска........ 111
I л п и и III. Две степени свободы ........................... 115
1J I Свободные колебания. Главные колебания ................... 115
3,2, Динамический поглотитель колебаний без затухания .... 125
У 3 i Поглотитель колебаний с затуханием....................... 134
!1 4 Успокоение качки корабля ............................... 150
15 Поглотители толчков на автомобилях ...................... 159
3,6 Впброизоляция нежестких оснований ....................... 165
I лйнл IV Системы с произвольным числом степеней свободы ..... 171
У 1 I Свободные колебания без затухания ....................... 171
!4,2. Вынужденные колебания без затухания ..................... 176
4 i Свободные и вынужденные колебания с затуханием .... 181
4.4. Струны и органные трубы. Продольные и поперечные коле-
бания однородных балок .......................... 188
У 4.5, Метод Рэлея ......................................... 195
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4.6. Колебания изгиба однородных балок ............... 204
§ 4.7. Балки переменного поперечного сечения ......... 214
§ 4.8. Нормальные функции и их применение .............. 218
§ 4.9. Метод Стодолы для высших типов колебаний ........ 223
§ 4.10. Кольца, мембраны и пластинки..................... 226
Глава V. Многоцилиндровые двигатели ......................... 232
§ 5.1. Неприятные явления, присущие машинам с возвратно-
движущимися частями .................................... 232
§ 5.2. Динамика кривошипного механизма .................. 237
§ 5.3. Уравновешивание сил инерции многопилиндровых дви-
гателей .................................................... 245
§5.4. Собственные частоты крутильных колебаний ......... 250
§ 5.5. Числовой пример .................................. 254
§ 5.6. Исследование крутящего момента ................. 266
§ 5.7. Работа, совершаемая крутящим моментом при колеба-
ниях коленчатого вала .................................... 271
§ 5.8. Затухание при крутильных колебаниях. Затухание коле-
баний гребного винта ..................................... 278
§ 5.9. Поглотители и другие приспособления для успокоения
крутильных колебаний ..................................... 284
Глава VL Вращающиеся части машин ........................303
§ 6.1. Критические скорости .......>..................... 303
§ 6.2. Метод Гольцера для определения критических скоростей
при изгибе ............................................. 309
§6.3. Уравновешивание жестких роторов .............. 313
§ 6.4. Одновременное уравновешивание в двух плоскостях .... 322
§ 6.5. Уравновешивание гибких роторов. Уравновешивание на
месте установки ......................,.................. 327
§ 6.6. Критические скорости второго рода ................ 332
§ 6.7. Критические скорости роторов вертолетов........... 335
§ 6.8, Гироскопический эффект ........................... 340
§ 6.9. Вибрации рам электрических машин ................. 356
§ 6.10. Вибрация винта самолета ....................... 361
§ 6.11. Вибрации колес и лопаток паровых турбин.......... 370
Глава VEL Автоколебания ................................. 377
§ 7.1. Общие замечания .................................. 377
§ 7.2. Математический критерий устойчивости ............. 381
§ 7.3. Неустойчивость вследствие трения .............. 387
§ 7.4. Внутренний гистерезис валов и масляные пленки от
смазки подшипников как причины неустойчивости............. 394
§ 7.5. Галопирование линий электропередачи .............. 400
§ 7.6. Вихри Кармана ................................ 408
§ 7.7. Колебания регулятора паровой машины .............. 413
§ 7.8. Форсунки двигателей Дизеля ....................... 419
§ 7.9. Колебания турбин, вызванные просачиванием пара .... 423
§ 7.10. Явление флаттера в крыльях самолета ............. 428
§ 7.11. Явление шимми в колесах автомобилей ....,........ 438
Глава V11L Квазигармонические и нелинейные колебания систем 447
§ 8.1. Принцип наложения ................................ 447
§ 8.2. Примеры систем с изменяющейся жесткостью.......... 449
§ 8.3. Решение уравнения ................................ 458
§ 8.4. Интерпретация результата ......................... 463
§ 8.5. Примеры нелинейных систем ........................ 468
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 8.6. Свободные колебания систем с нелинейными харак-
теристиками ........................................ 472
§ 8.7. Релаксационные колебания ........................ 485
§ 8.8. Вынужденные колебания при нелинейной восстанавли-
вающей силе .......................................... 494
§ 8.9. Вынужденные колебания при нелинейном затухании .... 500
§ 8.10. Субгармонический резонанс ...................... 504
Задачи .................................................. 509
О гнеты к задачам .......................................... 552
Приложение: формулы и постоянные ........................... 566
Обозначения ................................................ 573
Именной указатель........................................ 576
Предметный указатель ....................................... 577
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая вниманию читателей книга является переводом
с четвертого, значительно переработанного американского изда-
ния, вышедшего в оригинале в 1956 г. Перевод со второго амери-
канского издания, выполненный тем же переводчиком, был
издан в 1942 г. под названием «Теория колебаний». За истекший
период наша отечественная литература обогатилась не только
огромным количеством статей в периодических и непериодических
изданиях, содержащих существенные результаты, но также много-
численными монографиями и книгами учебного характера по
общей теории колебания, среди которых имеются такие фунда-
ментальные труды, как «Колебания» Б. В. Булгакова, составив-
шие эпоху в науке о колебаниях, «Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний» Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митро-
польского, «Теория колебаний» И. М. Бабакова и многие другие.
Несмотря па это, книга Дж. П. Деп-Гартога, особенно в пере-
работанном виде, нисколько не потеряла своего значения. Эта
книга при достаточной элементарности математического аппарата
насыщена инженерными приложениями из самых разнообразных
областей техники, которые охватывают все основные разделы
современной теории колебаний. При этом автор обращает большое
внимание <на физическую сторону явлений и на практические
приемы исследования, что делает книгу особенно ценной для
многочисленных инженеров-производственников. Однако можно
с уверенностью сказать, что эта книга полезна вообще всем,
изучающим теорию колебаний, как пропедевтика к теоретическим
курсам.
11еревод выполнен текстуально, поскольку это допускалось лите-
ратурной формой русского изложения. Числовые данные в иллюс-
тративных примерах и в задачах пересчитаны с английских мер
на метрические, причем во многих случаях, где это не имело прин-
ципиального значения (например, двигатели определенных марок),
для удобства расчета данные введены с округлением. В неко-
торых случаях текст снабжен необходимыми примечаниями.
В то же время переводчик не счел себя в праве делать какие-
либо существенные дополнения, в частности снабдить книгу
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
7
онолиографическим указателем, изъятым автором из последнего
издания. Библиографические справки читатель найдет в много-
численной советской литературе, особенно в упомянутой книге
Ь. В. Булгакова.
При переводе были приняты во внимание замечания по преды-
дущему изданию. Переводчик считает своим долгом выразить
благодарность всем лицам, сделавшим замечания, — профессору
К). И. Иоришу, доценту А. Г. Галанову и в особенности доценту
( . Л. Мейнгарду, который взял на себя нелегкий труд подготовки
рукописи к печати.
А. Н. Обмершее
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Настоящая книга возникла из курса лекций, читанных авто-
ром в период 1926—1932 гг. слушателям инженерной школы
(Design School) Компании Вестингауз в Питсбурге. С 1932 г. до
начала войны это был уже систематический курс, читавшийся в
Гарвардской инженерной школе; с целью облегчения изучения
курса в 1934 г. было опубликовано первое издание этой книги,
отразившей личный производственный опыт автора в фирме
Вестингауз. В последующих изданиях были внесены изменения и
дополнения, подсказанные консультационной практикой автора
и его службой в Корабельном Бюро (Bureau of Ships) во время
войны.
В книге поставлена цель дать наиболее простое допустимое
изложение предмета при возможной полноте его охвата. При этом
математический метод не избегается, но во всех случаях избирается
простейшее математическое приближение. Число задач увеличи-
лось с 81 в первом издании до 230 в настоящем — четвертом.
Изменения в тексте были сделаны во всех главах, чтобы привести
дисциплину к современному уровню. Для сохранения объема
книги изменения состояли не только в дополнениях, но и в изъя-
тии некоторых разделов.
За время существования книги — с 1934 г. — наука и техника
инженерного дела росли с поразительной быстротой; одновременно
выросла и наука о колебаниях. За истекшие двадцать лет она
дала начало многим своим ответвлениям, каждое из которых
приобрело самостоятельное значение и обогатилось обширной
литературой. Сюда относятся: 1) электронная измерительная
аппаратура с теорией и практикой ее применения; 2) следящие
системы и системы автоматического регулирования; 3) теория
флаттера или «аэроупругости».
Здесь не было попытки охватить эти три области, так как
даже поверхностное их изложение сделало бы эту книгу в не-
сколько раз толще. Но каждый из перечисленных трех предметов
является ветвью теории колебаний и не может быть изучен без
знания этой теории. В то время, как в 1934 г. инженер-механик
мог считаться хорошо образованным без каких-либо знаний из
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА 9
области колебаний, теперь эти знания являются необходимыми.
Таким образом, материал, представленный в первом издании,
тогда охватывал более или менее всю дисциплину; с другой
стороны, изложенное в настоящем издании теперь может рассмат-
риваться лишь как необходимый инструмент почти для каждого
инженера-механика.
Как и в предыдущих изданиях, автор выражает благодарность
читателям, приславшим свои отзывы и указавшим на погрешности,
и выражает надежду, что такое же внимание будет проявлено со
стороны читателей и к этому изданию. Автор чувствует себя осо-
бенно обязанным профессору Эриксону за проверку задач и
ответов к ним.
Дж. П. Ден-Гартог
ГЛАВА 1
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
§ 1.1. Основные определения
Колебанием мы вообще называем периодическое движение,
т. е. такое движение, которое повторяется по истечений некото-
рого промежутка времени, называемого периодом колебания;
период колебания обыкновенно обозначается буквой Т. График
перемещений х в зависимости
от времени I часто может изо-
бражаться достаточно сложной
кривой. В качестве примера на
рис. 1.1,а изображен график
колебаний станины паровой
турбины1).
Простейшим типом периоди-
ческого движения является гар-
моническое движение-, в этом слу-
чае зависимость между пере-
мещением х и временем t может
быть выражена уравнением
х = ж0 sin G)t (1.1)
Рис. 1.1. Графики периодической и
гармонической функций периода Т
и амплитуды а?0.
Это уравнение имеет место
для малых колебаний математи-
ческого маятника, график ко-
торых представлен на рис. 1.1,5. Наибольшее значение ж0 откло-
нения называется амплитудой колебания.
г) Строго говоря, колебание, во-первых, не обязательно движение
(подразумевается механическое) и, во-вторых, не обязательно является
периодическим процессом. Вообще колебательный процесс, в частности
механическое колебание, характеризуется чередованием возрастания и
убывания некоторой величины, например, отклонения движущейся точки
<и некоторого фиксированного положения. (Прим, перев.)
12
КИНЕМА IИКЛ КОЛЕБАНИИ
ГЛ. I
Период Т обычно измеряется в секундах. Величина, обратная
периоду,
/=т
называется частотой колебания и измеряется числом колебаний
в одну секунду. Для единицы частоты предложено название
герц — в честь Генриха Герца, первого экспериментатора в обла-
сти электрических колебаний и волн.
В уравнение (1.1) входит величина ю, известная под назва-
нием угловой, круговой или циклической частоты, измеряется
она числом радианов в секунду. Такое, может быть несколько
неудачное, название получила эта величина на основании вектор-
ной интерпретации гармонического колебания, о чем будет речь
в следующем параграфе. Установим соотношения между ®, / и Т.
Из уравнения (1.1), а также из рис. 1.1,6 ясно, что полный цикл
колебания завершается при изменении at на 360° или, в радиан-
ной мере, на 2тг, так как после этого синус принимает свое преж-
нее значение. Тогда, если at = 2тг, то промежуток времени t
равен периоду Т:
Т = - сек. (1.2)
(1)
Но величина / обратна величине Т. Поэтому
/ = «г- колеб/сек. (1.3)
Для вращающихся машин частота нередко выражается числом
N колебаний в минуту:
уу колеб _30ы
мин л *
Найдем скорость гармонического движения. Зная, что закон
движения выражается уравнением
х = х0 sin at,
находим, дифференцируя его по времени,
= х = жою cos at. (1.4)
di
Отсюда видно, что скорость является также гармонической
функцией времени и имеет максимум axQ.
Аналогично находим ускорение
— х = — sin at. (1.5)
nt.6 v
I 1Л
ВЕКТОРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
13
>го — также гармоническая функция, принимающая наибольшее
шачение ю2ж0.
Рассмотрим теперь два колебательных движения, определяе-
мых уравнениями
= a sin at,
х2= b sin (at H- <p).
Графики этих колебаний представлены на рис. 1.2, где по оси
абсцисс отложена величина at. Благодаря присутствию величины
Рве. 1.2. Два гармонических движения, имеющих разность фаз <р.
смещения, вызванные соответствующими колебаниями, дости-
гни] своего наибольшего значения не в один и тот же момент
времени, а через <р!а секунд одно после другого. Величина ср
11444 1113 под названием угла сдвига фазы, или разности фаз1).
< oiu pun нно очевидно, что оба колебания имеют одну и ту же
ни нн\ / 1ик как в обоих случаях величина а одна и та же.
liMt him, iiiu cjihhi физы имеет значение лишь в случае двух коле-
си к 'ины двп/Кен nfi рапной частоты; если же частоты различны,
и» ни in личина in с уще с । вс ина.
Пример, h »1<», 1И1Л1К iiiriHioe па пружине, колеблется вверх и вниз в
!<гр| iiioi'ii.ном к ап ра нл( п и и, ишпмая крайние положения на высоте 1 и
1,5 ппл некоторым основанием. Найти Т, j, ы и х0, если известно, что
нло лиснпас! своего верхнею положения 20 раз в течение каждой се-
кунды,
Решение т0 = 0,25 см, 7 = 0,05 сек, 1 = 20 колеб1сек, ы = 2 л/ =
126 padlccK.
§ 1.2. Векторная интерпретация колебаний
Движение колеблющейся частицы может быть представлено
помощью вращающегося вектора. Пусть некоторый вектор а
(рис 1.3) вращается против часовой стрелки с некоторой по- б
б Г.ели рассматривается только одно уравнение колебаний, то назы-
(ин |ч и просто начальной фазой, (Прим, перев.)
14
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. I
стоянкой угловой скоростью а. Если мы будем отсчитывать
время от того момента, когда вектор находился в горизонтальном
положении, то горизонтальная (О А) и вертикальная (О В) про-
екции вращающегося вектора будут соответственно равны
a cos cot и a sin at.
Каждая из этих проекций
Рис. 1.3. Гармоническое движе-
ние, изображаемое горизонталь-
ной проекцией вращающегося
вектора.
может служить для представления
возвратно-поступательного дви-
жения, но в дальнейшем мы будем
пользоваться для этой цели лишь
горизонтальной проекцией.
Приведенная здесь интерпре-
тация колебательного движения
послужила поводом для введения
термина «круговая частота». Вели-
чина ю, являясь угловой ско-
ростью вектора, измеряется в
радианах в секунду, а частота /,
очевидно, в оборотах в секунду.
Отсюда сейчас же следует ра-
венство
а = 2лг/.
Скорость движения, происходящего по закону
х = a cos at,
будет
х = — аа sin at
и может быть представлена как
горизонтальная проекция век-
тора длины аа, вращающегося
с той же угловой скоростью а,
что и предыдущий вектор, опре-
деляющий смещение точки,
но повернутого относительно
него на 90° в сторону вра-
щения. Ускорение будет
х = — аа2 cos at
и, подобно скорости, может
быть представлено как горизон-
тальная проекция вектора
длины аю2, вращающегося опять
с такой же угловой скоростью
а, но уже повернутого на 180°
Рис. 1.4. Перемещение, скорость в
ускорение изображаются тремя
взаимно перпендикулярными векто-
рами.
относительно вектора смещения
или на 90° относительно вектора скорости в сторону дви-
§ 1.2
ВЕКТОРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
15
жения (рис. 1.4). В справедливости сказанного легко убедиться,
проследив последовательные положения всех векторов за один
оборот.
Изложенный векторный метод представления возвратно-
поступательного движения чрезвычайно удобен. Пусть, например,
имеем точку, совершающую одновременно два гармонических
движения равной частоты, но имеющих разность фаз ср, о пре де»
Рис. 1.5. Сложение двух колебаний посредством сложе-
ния векторов, изображающих эти колебания.
ляемых именно выражениями acosofl и b cos (cot — р). Сложе-
ние этих выражений по правилам тригонометрии связано с излиш-
ней затратой времени. Однако очень легко построить два соот-
ветствующих вектора, геометрическая сумма которых определит
полное движение, как это видно из верхней части рис. 1.5. Для
этого заставим параллелограмм (а, Ь) вращаться с постоянной
угловой скоростью со против часовой стрелки; тогда горизон-
тальные проекции векторов будут перемещениями в функции
времени. Все это показано на нижней части рис. 1.5, где линия
а а изображает тот момент времени, для которого построена
16
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ.
указанное сложение векторов
Рис. 1.6. Сложение двух колебаний
различной амплитуды, из которых
одно происходит по закону синуса,
а другое — по закону косинуса.
векторная диаграмма. Из чертежа сразу видно, что перемещение
суммы векторов а + Ь равно сумме перемещений векторов а и 6,
и, следовательно, перемещение проекции суммы векторов, пока-
занное на графике пунктиром, действительно равно сумме пере-
мещений проекций векторов а и Ь.
Совершенно очевидно, что
приводит к верному результату. В самом деле, a cos осесть гори-
зонтальная проекция вектора a, a b cos (at — ср) — горизонталь-
ная проекция вектора 6; но гори-
зонтальная проекция суммы
двух векторов равна, как из-
вестно, сумме, горизонтальных
проекций составляющих век-
торов, а это и есть то, что мы
хотели показать.
Такое сложение векторов
допустимо лишь в том случае,
когда оба колебания имеют
одинаковые частоты. Колеба-
тельные движения, определя-
емые выражениями a sin at и
a sin 2at, могут быть пред-
ставлены двумя векторами,
первый из которых вращается с
угловой скоростью о,а второй —
вдвое быстрее, т. е. с угловой скоростью 2а. Так как взаимное
расположение этих векторов на диаграмме непрерывно изменя-
ется, то геометрическое сложение в данном случае не имеет смысла.
В заключение остановимся на одном особом случае векторного
сложения, который довольно часто будет встречаться в после-
дующих главах, а именно, на случае, когда складываемые коле-
бания имеют разные амплитуды и происходят: одно по
синуса, а другое по закону косинуса, т. е. соответственно
a sin at и b cos at.
закону
В этом случае оба вектора взаимно перпендикулярны
легко видеть из рис. 1.6,
a sin at + Ь cos cot = /а2 4- b2 sin (at +q>),
и, ка..
(1.6)
где
Ь
Пример. Найти амплитуду результирующего колебания, если состав-
ляющие определяются уравнениями
#, = 5 sin 25г см,
я2=10 sin (25? + 1) см.
БИЕНИЯ
17
Ь 1.3
Решение. Первое движение изображается с помощью вектора длины
5 см, который проведен, например, вертикально вниз. Так как в этом
положении построенный вектор не имеет горизонтальной проекции, то
можно считать, что указанное положение соответствует началу движения
в момент t ~ 0. В этот момент для второго движем и я получаем = 10 sin 1,
т. е. в данном случае имеем вектор длиной 10 см, повернутый на 1 радиан
(^57°) против часовой стрелки по отношению к первому вектору. Путем
графического сложения полученных векторов находим результирующий
вектор длиной в 13,4 см, что и будет амплитудой суммарного колебатель-
ного движения.
§ 1.3. Биения
’8’E‘D кб?)
Если точка движется взад и вперед по некоторой прямой
таким образом, что ее смещение во всякий момент времени может
быть представлено в виде суммы двух членов
a sin + b sin сэ2£,
где 0j ф й)2, то мы получаем движение, которое называется «на-
ложением» двух колебаний различных частот. Очевидно, что
это движение уже не будет синусоидальным. Здесь интересен тот
особый случай, когда обе частоты 0г и ю2 почти равны друг другу.
Тогда первое составляющее коле-
бание может быть представлено
посредством вектора а, врашающе-
о гося с угловой скоростью 0V в то
время, как вектор Ь, определяющий
второе колебание, вращается с угло-
вой СКОРОСТЬЮ 02. ЕСЛИ 0г почти
равно 02, то оба вектора приблизи-
тельно сохраняют взаимное распо-
ложение в течение одного оборота,
т. е. угол, заключенный между ними,
изменяется очень незначительно.
Вследствие этого мы можем оба
вектора сложить, и тогда резуль-
тирующее движение за время одного
оборота векторов может практически
считаться происходящим по закону
синуса с частотой «2 и ампли-
тудой с (рис. 1.7) Однако вслед-
ствие неполного совпадения величин ол и сэ2 относительное
положение векторов а и Ь по истечении некоторого, доста-
точно значительного, числа оборотов все же изменится, что
повлечет за собой изменение и результирующего вектора с.
Поэтому получаемое движение приближенно может быть
представлено как колебание по закону синуса с частотой 0г
и амплитудой, медленно изменяющейся между ее крайними
2 Ден-Гартог 2047
Рис. 1.7. Векторные диаграммы,
иллюстрирующие биения.
18
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. 1
значениями (Ь + а) и (6 — а), или, если b = а, то между 2а
и 0 (рис. 1.7 и 1.8).
Описанное явление носит название биений. Частота биений
есть число, показывающее, сколько раз в секунду амплитуда
изменяется от одного минимума А до ближайшего следующего
В, проходя при этом через максимум (рис. 1.8). Период одного
биения, очевидно, соответствует времени, необходимому для
полного оборота вектора Ь по отношению к вектору а. Круговая
частота биений, как легко видеть, равна — сэ2-
Рис. 1.8. Биения.
Пример. Тело совершает одновременно два колебания, соответственно
= 3 sin 402 и а?2 — 4 sin 412, где за единицу длины взят сантиметр и за
единицу времени — секунда. Каковы максимум и минимум амплитуды
результирующего движения и чему равна частота биений?
Решение. Максимум амплитуды есть 3 + 4 — / см, мин имум 4 — 3 = 1 см.
Угловая частота биений со/, = 41 — 40 = 1 рад1сек, тогда частота =
= со/,/2эт = 1/2тг колебаний в секунду и период, или продолжительность
одного биения Т/, = 1//& = 6,28 сек.
Явление биений можно наблюдать во многих случаях (см. стр.
122,442). Биение особенно заметно при звуковых колебаниях. Два
тона одинаковой силы, но незначительно отличающиеся по высоте,
вызывают колебания в силе получающегося звука, частота кото-
рых равна разности частот обоих составляющих тонов. Биение
можно слышать, например, на электрических станциях во время
пуска генераторов, Динамомашина обладает «магнитным жуж-
жанием». основной тон которого соответствует удвоенной частоте
электрического тока, обычно 120 колебаниям в секунду. В момент
включения генератора в линию частота электрического тока
генератора несколько отличается от частоты тока в цепи. Вслед-
ствие этого жужжание генератора и жужжание в остальной цепи
(другие генераторы или трансформаторы) имеют различную
высоту тона, что и дает возможность услышать биение.
В существовании биений можно убедиться также с помощью следую-
щих три тонометр ических выкладок. В самом деле, пусть мы имеем два
колебания a sin и b sin где и w2 почти равны друг другу; пусть
далее w2 — «Iе /Aw-
$ 1.4 КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА ВОДЯНОЙ ТУРБИНЫ 19
Тогда
a sin 4“ b sin (o2t =
= a sin 4- b (sin cos Awt 4- cos sin Дю£) =
= (a 4- b cos Aut} sin co4 4- b sin Aut cos 0г£.
Применяя формулу (1.6) к результирующему колебанию, имеем
У .(а 4- b cos Awt)2 4- b2 sin2 Awt • sin 4- p),
где (p есть сдвиг фазы, определение которого выполнимо, но в данном случае
не представляет интереса. Что касается амплитуды, определяемой ради-
калом, то она может быть выражена так:
Уа2 4- b2 (cos2 & ut 4- sin2 A to ft 4- 2ab-cos Aut = \a2 4- b2 4- 2ab • cos Avt,
откуда следует, что амплитуда изменяется между а + b и а —- b с часто-
той Ди.
§ 1.4. Колебания трубопровода водяной турбины
Непосредственное применение векторного метода к изучению
колебаний рассмотрим на примере, имеющем большое практи-
ческое значение.
На одной гидростанции обнаружились столь сильные колеба-
ния труб, подводящих воду
даже вопрос об опасности
разрушения турбинного
здания. Частота колебаний
оказалась равной НЗ^з
колебаниям в секунду, что
как раз совпало с произве- >
дением числа оборотов в
секунду (400:60) на число
лопаток (17) вращающейся
части турбины Фрэнсиса.
Трубы издавали такое
громкое жужжание, что
оно было слышно на рас-
стоянии нескольких кило-
метров. Случайно в непо-
к водяным турбинам, что возник
Рис, 1.9. Объяснение колебаний трубопро-
вода турбины Фрэнсиса.
средственуой близости от
трансформаторов электро-
станции были обнару-
жены биения с частотой
62/з колебания в секунду, которые
были вызваны совместным действием шума трубопровода и тран-
сформаторов; эти биения можно было ясно слышать.
На рис. 1.9 изображена в горизонтальной проекции схема
турбины с вертикальным валом. Вода поступает через трубу I
в спиральную камеру или «улитку» ZZ, в которой основной поток
2*
20
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. 1
воды разбивается на 18 отдельных потоков при помощи непо-
движных лопаток направляющего аппарата. Далее вода попадает
на 17 лопаток вращающегося турбинного колеса и, проходя
между лопатками, изменяет направление своего движения
на 90°. Наконец, вода вытекает через вертикальную отводную
трубу III.
На рисунке показаны две из 18 струй, на которые разбивается
главный поток воды. Останавливая свое внимание на одной из
них, мы видим, что за каждый оборот колеса мимо струи проходят
17 лопаток, которые тем самым сообщают ей 17 импульсов. Всего
за 1 секунду проходит ИЗ1^ лопатки, сообщающих через воду
такое же количество импульсов трубопроводу. Все это происходит
не только со струей а, но и с любой другой струей, а следовательно,
подводящая воду труба получает 18 импульсов, имеющих, так
сказать, различные источники, но обладающих одной и той же
частотой, именно, ИЗ1^ колебания в секунду. Если бы все эти
импульсы были одной и той же фазы, то они, складываясь ариф-
метически, разрушающе подействовали бы на турбинную уста-
новку.
Условимся считать, что струя а испытывает наибольшее зна-
чение импульса в тот момент, когда лопатки 1—1 приходятся
одна против другой. Тогда максимальное значение импульса в
струе
ранее
b наступит несколько раньше, чем в струе а (.более точно,
1
17 • 18
на
оборота турбины вследствие того, что возникно-
вение максимального импульса в струе b наступит в момент,
когда лопатки 2—2 расположатся друг против друга).
Импульс от струи а движется к подводящей трубе со скоростью
звука (скорость звука в воде гъ 1400 м/сек)', то же самое относится
и к струе Ъ1). Заметим, однако, что путь, пройденный импульсом
от струи Ъ, во всяком случае длиннее, чем соответствующий путь
от струи а, причем разница здесь составляет примерно длины
осевой линии улитки. Вследствие указанного обстоятельства
импульс от b должен прийти в трубу позднее, чем импульс от а
Оказалось, что в исследуемой турбине упомянутые два явле-
ния погашали друг друга, вследствие чего импульсы от а и от Ь
приходили к сечению А А трубы одновременно, т. е. в одной и
той же фазе. Это обстоятельство имело место, конечно, не только
для струй а и Ь, но и для всех остальных 18 струй. В таком случае,
если воспользоваться векторным методом, то импульсы должны
расположиться так, как указано на рис. 1.10 а, и тогда ре-
зультирующий импульс в сечении АА оказывается очень
большим.
г) Так как общая скорость водяного потока мала по сравнению со ско-
ростью звука, то влиянием последней мы пренебрегаем.
§ 1.4
КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА ВОДЯНОЙ ТУРБИНЫ
21
Чтобы избавиться от указанного недостатка, колесо, имеющее
17 лопаток, было из турбины удалено и заменено колесом с 16
лопатками. Такая замена, конечно, не повлияла на величины
разностей времен прихода импульсов в рассматриваемое сечение
А А, получающихся вследствие разностей длин путей а, b и т. д.
Но зато она должна была изменить интервалы времени между
импульсами от каждых двух соседних лопаток направляющего
аппарата1). И вот теперь в тот момент, когда
вращающаяся лопатка 1 посылает свой им- |
пульс, лопатка 9 также посылает свой им- м
пульс, в то время, как в прежней конструк-
ции лопатка 9 находилась в этот момент
посредине между двумя неподвижными ло-
патками (рис. 1.9). 11
Благодаря счастливой случайности по-
ловина длины улитки проходилась звуковой
волной приблизительно в г/2 • секунды,
вследствие чего два импульса от лопаток
1 и 9 приходили в поперечное сечение А А,
имея противоположные фазы (рис. 1.10).
Что касается разности фаз импульсов от
каждых двух соседних струй, то она со-
ставляла, таким образом, одну девятую >> /
от 180°, вследствие чего 18 отдельных им- м
пульсов располагались на векторной диаг-
рамме по окружности и при своем ге- м д
ометрическом сложении давали в результате
нуль.
Произведенный анализ приводит, каза-
лось бы, к выводу, что после описанной
замены колеса колебания должны совер- Рнс. 1.10.18парциаль-
шенно исчезнуть. Однако такого эффекта сечении АА рис. 1.9
ожидать все же не приходится, так как наш
расчет выполнен лишь приближенно и многие
обстоятельства при этом вовсе не были при-
для колеса с 17 ло-
патками (а) и 16 ло-
патками (6).
няты во внимание; (прежде всего спираль-
ная камера была заменена узким каналом, далее, не были
приняты во внимание кривизна поверхности волны, отра-
жение волн от различных препятствий и действие затухания).
В действительности амплитуда колебаний трубы была понижена
до одной трети своего первоначального значения, и это уже можно
рассматривать как достаточно удовлетворительное решение за-
дачи.
х) Обусловленные изменением расстояний по окружности между
лопатками колеса турбины. (Прим, перев.)
22
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. I
§ 1.5» Метод комплексных чисел
В предыдущих параграфах было показано, что гармонические
движения можно представлять посредством вращающихся век-
торов, что сложение двух векторов соответствует сложению двух
гармонических движений одинаковой частоты и, наконец, что
дифференцирование уравнений таких движений по времени можно
понимать как умножение изображающего вектора на со с одновре-
менным поворотом его на 90° по направлению движения. Если
немного напрактиковаться в пользовании этими векторами, то
тем самым мы получаем достаточно наглядный метод изучения
гармонических движений, который является более простым, чем
непосредственное изучение синусоидальных колебаний.
Несмотря на указанную наглядность, все же векторный метод
мало пригоден для числовых расчетов, поскольку приходится рас-
кладывать векторы на вертикальные и горизонтальные состав-
ляющие. Так, например, если нужно сложить два движения, со-
гласно рис. 1.5, то мы пишем
с — а 4- bs
разумея здесь геометрическое сложение. Для вычисления длины
вектора с, т. е. амплитуды результирующего движения, надо
еще написать равенство
а —
которое выражает, что а есть геометрическая сумма своих компо-
нентов, ах и ау соответственно по осям х и у. В таком случае
имеем
с = ах 4- Яу 4- Ьх 4- by = (ах 4- Ъх) 4- (ау 4" Ьу).
Тогда длина вектора с или его модуль будет
с = У(ах 4- \)2 4- (ау 4- 6у)2.
Итак, этот метод оказывается довольно длинным, вследствие
чего в значительной мере теряется то преимущество, которое мы
получаем путем использования векторной интерпретации гармо-
нического движения. ►
Однако существует простой метод числовых расчетов с помо-
щью векторов, а именно метод комплексных чисел. Как известно,
всякое комплексное число может быть представлено графически
точкой на плоскости, где действительные числа 1, 2, 3,... на-
носятся на горизонтальной оси, а мнимые — на вертикальной.
Если ввести обозначение
1 = V— 1»
то эти мнимые числа представятся как /, 2/, 3/. . . В качестве
§ 1.5
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
23
примера на рис. 1.11 изображена точка, соответствующая ком-
плексному числу 3 + 2/. Соединяя эту точку с началом коор-
динат, мы видим, что комплексное число может быть представлено
также посредством вектора. Если буквой а обозначить угол,
образованный вектором с горизонтальной осью, и буквой а —
длину вектора, то комплексное
выражения
a (cos а + j sin ос).
Вспомним теперь, что гар-
моническое движение изобра-
жается посредством вращаю-
щегося вектора. В таком слу-
чае, подставляя в последнее
выражение вместо фиксирован- *
кого значения угла ос перемен-
ную величину cot, мы приведем
выражение для вектора к виду
число можно написать в виде
Рис, 1.11. Изображение вектора точ-
кой в комплексной плоскости.
собою гармоническое движение,
я есть не что иное, как действи-
a (cos cot + j sin cot), (1.7)
представляющему уже враща-
ющийся вектор, горизонтальная
проекция которого определяет
Но эта горизонтальная проекци
тельная часть выражения (1.7). Поэтому если мы говорим, что
«вектор изображает гармоническое движение», то мы подразу-
меваем, что горизонтальная проекция вращающегося вектора
изображает это движение. Подобным же образом, когда мы
утверждаем, что «комплексное число изображает гармоническое
движение», мы имеем в виду, что указанное движение представляет-
ся действительной частью такого числа, написанного в виде выра-
жения (1.7).
Пример, Решить пример, приведенный на стр. 16, пользуясь методом
комплексных чисел.
Решение. Первый вектор изображается числом —5?, а второй числом
— 1О/ cos 57° + 10 sin 57° == —5,4/ + 8,4. Сумма этих чисел равна 8,4 —
— 10,4/, откуда мы находим длину вектора, равную У(8,4)2 + (10,4)2 =
— 13,4 см.
Дифференцируя выражение (1.7) и вспоминая, что, по опреде-
лению, /2 = —1, имеем
а (— со sin cot + /о cos cot) = jco • a (cos cot + / sin cot).
Таким образом, мы видим, что дифференцирование комплексного
выражения (1.7) равносильно его умножению на jco.
24
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ I
Итак, в векторном изображении при дифференцировании вектор
умножается на со и поворачивается в сторону движения па угол
90°. Отсюда мы приходим к заключению, что умножение комплекс-
ного числа на j равносильно повороту соответствующего вектора
в положительную сторону на четверть оборота без изменения
его длины. Последнее утверждение легко может быть проверено
непосредственно. В самом деле,
j (а + jb) = — b + ja.
Указанное действие представлено графически на рис. 1.121).
Производя всевозможные вычисления с упомянутыми комп-
лексными числами, необходимо придерживаться обычных правил •
алгебры, помня лишь на каждом этапе расчета, что дви-
жение представляется только действительной частью этих
чисел. Правда, последнее требование обычно не соблюдается: ал-
Рис. 1.12. Умножение комплексного чис«
ла на j равносильно повороту соответ-
ствующего вектора на прямой угол в
сторону вращения.
гебраические действия вы-
полняются без того, Чтобы
особенно задумываться над
их физическим смыслом, и
лишь окончательный резуль-
тат интерпретируется пу-
тем рассмотрения действи-
тельной части полученного
выражения.
Для разрешения простых
задач навряд ли стоило бы
заниматься изучением комп-
лексного метода, так как и
без него решение получается
достаточно просто. Напротив, при решении многих задач значи-
тельно более сложного характера, подобно задачам § 3.3, об-
легчение, приносимое указанным методом, весьма существенно.
Выражение 1.7 иногда пишут в иной форме, ... именно
a (cos cot -j- j sin == aefo*
или, если для простоты положим а = 1 н tat «= а, то
eJa = cos а + j sin а. (1.8)
Правая часть написанного равенства есть обыкновенное комплексное
1) Здесь имеется в виду вращение в положительном направлении, т. е.
против часовой стрелки. (Прим, перев.)
§ 1.6 РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ
25
число; что касается левой части, то она нуждается в пояснении. Разло-
жим ех в ряд Маклорена:
еА= 1 4- х Ч-------1----h . . .
2! 3!
и положим здесь х — /а; тогда находим
а2 а3 а4 а5
eJ(1 = 1 4- ja-------j-----1----I- j---h . . =
2! 3! 4! 5!
Правая часть полученного равенства является комплексным числом,,
которое, как видим, должно быть равно eJa. С другой стороны, всматри-
ваясь в выражения, стоящие в скобках, мы узнаем в них разложения
в ряды Маклорена cos а и sin а, а тогда немедленно приходим к фор-
муле (1.8).
Полученный результат может быть очень просто интерпретирован
графически в комплексной плоскости рис. 1.11 или 1.12. Для этого рас-
смотрим в указанной плоскости окружность единичного радиуса. Каждая
точка этой окружности имеет горизонтальную проекцию cos а и вертикаль-
ную проекцию sin а, представляя таким образом комплексное число cos а 4-
-Ь j sin а = eJ°. Следовательно, число eJ° изображается точкой на единичной
окружности в угловом расстоянии а радианов от точки -Ы Если теперь
а приравнять cot, то легко видеть, что e^i представит собой вращающийся
единичный вектор, горизонтальная проекция которого изобразит гармо-
ническое движение с единичной амплитудой и с круговой частотой w.
Заметим заранее, что на стр. 62 нам представится случай использовать
уравнение (1.8).
§ 1.6. Работа, совершаемая при гармоническом движении
Во многих приложениях чрезвычайно важным является воп-
рос о работе силы, изменяющейся по гармоническому закону,
которая совершается ею при гармоническом движении, имеющем
ту же частоту, что и сила.
Пусть сила
Р = Ро sin (at + у)
действует на тело, движение которого происходит по закону
х~ ж0 sin cot.
Работа, совершаемая этой силой на малом перемещении dx,.
равна Р dx, что может быть написано также в виде P-^-dt.
Urb
За время одного полного колебания фаза cot изменяется от
О до 2тг, и, следовательно, t изменяется от 0 до 2тг/ю. Работа,
совершаемая за время одного колебания, т. е. за один период,
26
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. I
равна
_2л
w 2л
р>‘г,=Иг£*><)=
о о
2л
= Ро х0 J sin (cot + у) cos ot d(cot) =
о
2л
— Ро rroy cos cot [sin cot cos ср H- cos cot sin cp] d(cot) =
о
2л 2л
= P0x0 cos (p J sin ot cos cot d(ot) + Po xq sin cp J cos2 cot d(ot).
о 0
Пользуясь таблицей интегралов, мы видим, что первый интеграл
равен нулю, в то время, как величина второго есть тг. Таким
образом, работа за один период равна
м W = лРохо sin (р. (1.9)
Рис. 1.13. Сила и
движение, имею-
щие одну и ту же
частоту.
Этот результат мог быть получен также
графическим путем, который, как сейчас уви-
дим, интерпретирует весь произведенный расчет.
Силу и гармоническое движение можно
представить векторами, соответственно PQ и
Ёо1) (рис. 1.13). Разложим теперь силу на ее
компоненты Fo cos ср с той же фазой, что и
движение, и Fosing) с фазой, опережающей
фазу движения па 90°. Эта операция вполне
допустима на тех же основаниях, что и сло-
жение векторов, которое пояснялось в § 1.2.
Вследствие указанного разложения работа,
совершаемая всей силой, распадается па две
части, одну из которых совершает сила, находящаяся в
одной фазе с движением, а другую — сила, опережающая это
движение по фазе на 90°.
Займемся сначала рассмотрением первой части, для чего обра-
тимся к рис. 1.14, а, на котором ординаты показывают смеще-
ние х и находящуюся в той же фазе составляющую силы. Между
точками А и В перемещение направлено вверх. Сила направлена
в ту же сторону, и поэтому ее работа положительная. Далее,
х) Следует вспомнить, что геометрическая интерпретация связана с
вращающимися векторами. (Прим, перев.)
5 1.6
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ
27
между точками В и С тело движется вниз по направлению к
положению равновесия, в то время, как сила, хотя и уменьшается
постепенно по величине, остается направленной вверх. Поэтому
здесь ее работа уже отрицательная. Таким образом, работа между
А и В и работа между В и О взаимно уничтожаются, вследствие
чего вся работа за полный период равняется нулю. Итак, если
сила, изменяющаяся по гармоническому закону, действует на
тело, совершающее гармоническое колебательное движение с той
же частотой, то составляющая силы, находящаяся в одной фазе с
перемещением, работы не совершает.
Припомним, что, как это было показано в § 1.2, скорость
изображается вектором, повернутым в сторону вращения на 90°
относительно вектора смещения; тогда предыдущее положение
можно выразить такими словами: работу совершает лишь та
составляющая силы, которая находится в одной фазе со скоростью.
Рис. 1.14. Сила, совпадающая по фазе с перемещением, за полный период
колебания никакой работы не совершает; сила, отличающаяся по фазе
на 90° от перемещения, совершает наибольшую работу.
Рассмотрим теперь другую составляющую силы, обратившись
к рис. 1.14,6. В промежутке АВ перемещение возрастает, так что
движение направлено вверх, при этом сила положительна, следо-
вательно, направлена также вверх, а тогда положительна и
работа. В промежутке ВС движение происходит вниз, но вниз
оказывается направленной и сила, вследствие чего совершаемая
работа опять положительна. Так как вся диаграмма симметрична
относительно вертикальной прямой, проведенной через точку В,
то ясно, что работа, совершенная на протяжении АВ, равняется
работе, совершенной на протяжении ВС. Наконец, отсюда следу-
ет, что полная работа, произведенная за весь период колебания
AD, равна учетверенной работе, произведенной за время АВ.
Для вычисления этой величины необходимо обратиться к
самому определению работы, причем мы можем последовательно
написать
И7 = J Р dx = J Р J dt = j Pv dt.
28
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. )
Отсюда видно, что работа, совершенная за один полный период
колебания, представляется в виде интеграла по времени от произ-
ведения силы на скорость. Так как (см. рис. 1.14, б) сила и скорость
соответственно имеют вид
Р = Ро gin ф • COS Ot,
V = Х0О COS Ot,
то работа за один период равна
Т 2л
J PQ sin ср • cos ot • хосу cos ot • dt = Fo sin J cos2 cot • d(ot).
о о
Величина определенного интеграла, стоящего справа, может
быть вычислена посредством рис. 1.15, на котором кривая I изоб-
Рис. 1.15. Геометрическое доказательство равенства cos2 a da = п.
ражает cos cot, а кривая II — соответственно cos2 ot. Кривая,
построенная для cos2 ot, представляет собой синусоиду, имею-
щую своей осью пунктирную прямую АА\ частота cos2 ot вдвое
больше частоты cos ot, что легко проверить с помощью тригоно-
метрической формулы
cos2 ос = (1 + cos 2ос).
£
Рассмотрим прямоугольник 7—2—3—4, разделенный пунктир-
ной кривой II на две части, и заметим, что обе полученные части
имеют одинаковую форму и равные площади. Расстояние 1—4
равно единице, а расстояние 3—4 есть тг/2 или соответственно 90°.
Таким образом, площадь всего прямоугольника равна тг/2, а
площадь его части, лежащей ниже кривой ZZ, должна быть равна
половине найденной величины. Следовательно, величина нашего
§1.6 РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ 29
определенного интеграла, взятого в пределах от 0 до Т/4, есть
тг/4, а величина этого же интеграла, но взятого в пределах от
О до Т, должна быть равна тг. Итак, работа, совершенная за время
одного полного колебания, будет
W = 7гР0ж0 sin у. (1.9)
В следующем параграфе будет показано, что периодическая
сила а также периодическое движение могут не быть чисто гармо-
ническими, т. е. могут содержать так называемые «гармоники
высших порядков», налагающиеся на «основную гармонику». По
этой причине чрезвычайно важно уметь определить работу гармо-
нической силы на перемещении, подчиняющемся опять-таки гар-
моническому закону, но уже с частотой, отличной от частоты
изменения силы. Пусть сила изменяется с частотой, кратной о,,
например по, и пусть частота колебательного движения есть
другое кратное числу о, например то. Мы сейчас покажем,
что работа указанной силы на таком перемещении за полный
период колебания с частотой о равна нулю.
В самом деле, допустим, что сила изменяется по закону Р =
= Ро sin not, а перемещение есть х = х0 sin (mot + у). Тогда
работа за один период равна
Т 7
Р dx = Р dt = J Fo sin not * xQmo cos (mot + y) dt.
о 0
Пользуясь преобразованием
cos (mot + y) = cos mot cos у — sin mot sin у
и принимая во внимание, что угол у не зависит от времени, а
потому его функция может быть вынесена за знак интеграла,
мы можем разбить определенный интеграл на два интеграла
| а ко го вида
т т
J sin not sin mot dt и f sin not cos mot dt.
о 6
Легко показать, что при п, отличном от т, оба эти интеграла
равны нулю. Для этой цели преобразуем подынтегральные функ-
ции
sin not sin mot = £ cos (n — m) ot — £ cos (n + m) ot,
sin not cos mot = £ sin (n 4- m) ot 4- £ sin (n — m) ot.
Так как промежуток интегрирования есть Т = 2тг/й>, то синус и
30
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИИ
ГЛ. 1
косинус интегрируются в промежутках, кратных 2тг, вследствие
чего интегралы действительно равны нулю.
Для наглядности рассмотрим хотя бы первый интеграл, поло*
жив в нем, например, п = 4, т = 5. Этот случай представлен на
рис. 1.16, где амплитуды обеих волн отложены по оси ординат в
различных масштабах, чтобы таким образом сделать яснее раз-
личие между ними. Промежуток времени, на который распростра-
няется интегрирование, изображен на нашем рисунке в виде
отрезка АВ. Соответственные ординаты обеих кривых должны
Рис. 1.16. Геометрическое доказательство равенства
2л
J sin па sin та da = 0.
о
перемножаться между собой, после чего уже выполняется интег-
рирование. Рассмотрим две точки, из которых одна взята несколько
правее точки А, а другая — па таком же расстоянии влево от
точки С. Вблизи точки А обе волны положительны, но вблизи
точки С — одна положительна, а другая отрицательна, имея,
однако, ординаты, равные по абсолютной величине соответствен-
ным ординатам вблизи точки А. Следовательно, та часть интеграла,
куда входят элементы, ближайшие к точке А, взаимно уничто-
жаются с той его частью-, в которую входят соответственные
элементы, ближайшие к точке С. Такое приведение имеет место
не только для элементов, расположенных очень близко к точкам
А и С, но и для любых двух элементов, один из которых удален
влево от точки С настолько же, насколько другой удален вправо от
точки А. Вследствие этого интеграл, распространенный на об-
ласть AD, уничтожается с интегралом, распространенным на
область CD. Таким же образом можно показать, что интеграл,
распространенный на область СВ, равен нулю.
Необходимо иметь в виду, что работа равна нулю только
за время одного полного колебания. После отправления от точки А
ординаты обеих кривых (силы и скорости) положительны, так
что совершаемая работа также положительна; эта работа во
всяком случае отдается обратно, но уже позднее, при последующем
движении, а до этого времени она должна накопляться в виде
потенциальной или кинетической энергии.
§ 1.6 РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ 31
Эта графическая интерпретация явления может быть повто-
рена и для всякой иной совокупности целых чисел тип, а также
и для интегралов, содержащих косинус в интегрируемой функции.
Когда т делается равным л, мы имеем рассмотренный выше
случай равных частот. В этом случае работа опять равна нулю,
если сила и перемещение находятся в одной фазе. В случае т = п
и разности фаз в 90° работа за одно колебание n-й гармоники
равна, как мы уже знаем, лРохо, и тогда, поскольку в одном
полном колебании основной частоты а> содержится п упомяну-
тых колебаний, работа за время одного основного колебания
равна
Сделаем краткую сводку полученных результатов.
1. Работа, совершаемая гармонической силой при гармони-
ческом движении ее точки приложения с частотой, отличной отг
частоты изменения силы, равна нулю, если промежуток времени,
в течение которого работа измеряется, содержит некоторое
целое число периодов изменения силы и отличное от него целое число
периодов колебания или периодов изменения скорости
2. Работа, совершаемая за один период гармонической силой,
отличающейся по фазе на 90° от гармонической скорости той
же частоты, равна нулю.
3. Работа, совершаемая за один период гармонической силой
с амплитудой PQ и частотой со, находящейся в одной фазе с гармони
ческой скоростью = х0 о той же частоты, равна л Ро =
= тг Fo х&
Пример. Сила, равная 10 sin 2тг *60 t, действует на перемещении, рав-
ном 0,1 sin (2тг • 60 t — тг/4), причем за единицу длины взят метр, за единицу
силы — килограмм и за единицу времени — секунда. Найти pa-боту, совер-
шаемую силой в течение первой секунды, а также работу за одну тысячную
первой секунды, считая от начала движения.
Решение Сила отличается по фазе от перемещения на эт/4, или 45°, и
может быть разложена на две составляющие, амплитуда каждой из которых
равна 10/У2 кГ, но при этом фаза одной из них совпадает с фазой пере-
мещения, а фаза другой отличается от последней на 90° Первая из этих
составляющих работы не совершает, тогда как работа второй за один
период равна
10
7tP0x0 = л — • 0,1 = 2,22 к Гм.
/2
В течение первой секунды происходит 60 полных колебаний, так что
вся работа за это время равна 60 ’2,22 = 1,33 кГм
Переходя к другому вопросу, мы видим, что в продолжение первой
60
тысячной доли первой секунды совершается = 0,06 полного колеба-
ния, а поэтому векторы на диаграмме повернутся за это время только на
0,06 * 360° = 21°, 6. Заметим, что формула (1.9) имеет место лишь для пол-
ного периода. Что касается упомянутой части периода, то для нее придется
32 КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ ГЛ. i
здесь выполнить интегрированне полностью. Итак, имеем
IV — J Р dx — J Ро sin (Dt • x0(D cos ((Dt — (p) dt =
21°,6
= Poxo | sin (w£) cos ((Dt — (p) d((Dt) =
0
21 °,6
= 10 • 0,1 у sin ((Dt) [cos (ot) cos (p 4- sin (wt) sin p] d(wt) =
о
21°,6 21°,6
== cos У sin ((Dt) cos («0 d(o0 4- sin g>y sin2(«0 d(a)t) =
о о
1 . о - I1 1 • n ll21°*6
~ — cost? sin2 (w£) 4- sm (p [— (Dt — — sin 2(Dtj I —
— — cos 45° sin2 21 °,6 4- - • —- sin 45° — — sin 45° • sin 43°,2 ==
2 2 57,3 4
= J- • 0,707 • 0.3 682 4- - • —— • 0,707 - - • 0,707 • 0?685 =
2 2 57,3 4
= 0,048 + 0,133 — 0,121 = 4-0,060 kPm.
Найденная величина значительно меньше тысячной части работы,
совершаемой за всю первую секунду. Это объясняется тем обстоятельством,
что за рассматриваемую тысячную долю секунды сила чрезвычайно мала,
так как здесь она изменяется от 0 до 0,368 Ро.
§ 1.7. Негармоническое периодическое движение
Периодическое движение обладает тем свойством, что оно
полностью воспроизводится по истечении некоторого проме-
Рис. 1.17. Сложение двух гармониче-
ских движений различных частот при-
водит к движению, которое не яв-
ляется гармоническим.
жутка времени, называемого
периодом движения Всякое
гармоническое движение есть
движение периодическое, но
не всякое периодическое дви-
жение является гармони-
ческим. Например,на рис. 1.17
изображено движение
х = a sin cot 4- sin 2cyi,
представляющее собой нало-
жение двух колебаний,совер-
шающихся по закону синуса,
но имеющих различные ча-
стоты.
Это движение является периодическим, но не гармоническим.
§ 1.7 НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 33
Из математики известно, что периодическая кривая f(t) с частотой
су может быть разложена на ряд синусоид с частотами со, 2со, Зсо,
4со и т. д., а именно:
/(О = Ао + Д sin (cot + ф) + Д sin (2cot 4- ср2) 4-
4~ Д sin (3cot + <рз) 4~ . . ., (1.10)
где предполагается, что f(t) повторяет свои значения по истечении
каждого промежутка Т = 2 от/со. Амплитуды различных колебаний
Д, Д, ... и их начальные фазы д^, ср2, . . . могут быть определены
аналитически, если вид функции f(t) задан. Написанный ряд
(1.10) известен под названием ряда Фурье1).
Второй член называется основной или первой гармоникой
функции f(t) и вообще (п-\- 1)-й член с частотой псо называется п-й
гармоникой функции f(t).
Так как
sin (ncot + (рп) = sin ncot cos cpn + cos ncot sin cpn,
то написанный ряд можно представить еще так:
/(0 = ах sin cot + а2 sin 2cot + ап sin ncot + . . . 4-
4- 60 &j cos cot 4- b2 cos 2cot 4- . . . 4- bn cos ncot 4- . . . (1.11)
Постоянный член 60 представляет собою «среднюю» высоту кривой
f(t) за время одного колебания. Для кривой, которая на протя-
жении одного периода отклоняется от нулевой линии на одина-
ковое расстояние в ту и другую сторону, член bQ равен нулю.
Амплитуды а1?. . ., ап,. . blf . bn,. . . могут быть определены
с помощью доказанных теорем о работе (см. стр. 31).
Чтобы убедиться в сказанном, предположим, что f(t) есть
сила, и положим далее, что эта сила, не являющаяся, вообще
говоря, гармонической, действует на точку, скорость которой
изменяется по гармоническому закону, будучи равной, например,
sin ncot. Представим теперь силу fit) как сумму всех членов соот-
ветствующего ряда Фурье и определим работу, совершаемую
каждой гармоникой отдельно. Все члены, входящие в разложение
силы, кроме ап sin ncot и bn cos ncot, имеют частоты, отличные
от частоты скорости sin ncot, а поэтому их работа за время одного
полного колебания равна нулю. Кроме того, член bn cos ncot
отличается по фазе от скорости на 90°, вследствие чего и его
работа обращается в нуль. Таким образом, вся работа силы
а) Следует заметить, что не всякая периодическая функция может
Сыть разложена в ряд Фурье, а лишь такая, которая удовлетворяет усло-
виям Дирихле, т. е. которая в рассматриваемом промежутке ограничена,
причем этот промежуток может быть разбит на конечное число частей, в
каждой из которых данная функция непрерывна и монотонна. (Прим,
не рев.)
Ден-Гартог • 2074
34 КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ ГЛ. I
совершается лишь за счет члена ап sin not при скорости движения
sin not и равна пап • l/по за время одного колебания с часто-
той по. Что касается работы за время одного основного коле-
бания (которое в п раз больше предыдущего), то она, очевидно,
равна najo.
На основании сказанного амплитуда ап оказывается в о/п
раз больше работы, совершаемой всей негармонической силой
f(t) за время ее периода изменения при скорости точки приложения
sin not. Сказанное может быть выражено посредством фор-
мулы
2я
а
ап = ~ J f(t) sin notdt. (1.12 а)
о
Предполагая, что скорость изменяется по закону cos not
вместо sin not, и повторяя все приведенные рассуждения, при-
ходим к выражению коэффициента Ьп:
а
bn = J f(t) cos п о t dt. (1.12 b)
о
Соотношения между величинами ап и Ьп, с одной стороны, и вели-
чинами Ап и <рп, входящими в уравнение (1.10) с другой, находятся
на основании уравнений (1.6) (см. стр. 16)
4?, = а* + 1%,
•
Таким образом, работа, совершаемая негармонической силой
f(t) с частотой о на перемещении с гармонической скоростью,
имеющей частоту по, есть просто работа, совершаемая одной
только составляющей n-й гармоники силы, находящейся в одной
фазе со скоростью; работа же всех остальных гармоник силы
за время, равное ее полному периоду изменения, обращается
в нуль
С помощью формул (1.12) мы имеем возможность найти ап
и Ьп для некоторой заданной периодической кривой1). Та отрасль
математического анализа, которая занимается подобными зада-
чами, называется гармоническим анализом.
Пример 1. Рассмотрим «прямоугольную волну» — периодическую
кривую, составленную из неполных прямоугольников с чередующимися
положительными и отрицательными ординатами: f(t) == = const при
0< л- и f(t) = -Fo при л < ot < 2л.
1) См. оговорки в примечании на стр. 33. (Прим, перев.)
§ 1.7
НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
35
Коэффициенты Фурье находим на основании уравнений (1.12), а именно:
£2
пл
cos not -Ь
cos not
= — (— cos пэт 4- cos 0 4- cos 2пэт — cos пэт)
пэт
Для четных порядков п = 0, 2, 4, . . . все углы являются кратными 360°
или 2эт, а тогда четыре члена в скобках взаимно уничтожаются. Для нечет-
ных порядков п = 1, 3, 5, . . . мы имеем созпэт = —1, тогда как cos 0 =*
= cos 2пэт =4-1, вследствие чего величина выражения в скобках равна 4,
и поэтому ап = 4Р0/пэт (п — нечетное).
п 2л
tv fii
[ cos dt — Fo J cos dfj =
0 л
6)
ПЭТ
sin not
Fo
— (0 — 0 — 0 4- 0) == 0.
ПЭТ
Таким образом, разложение «прямоугольной волны» высотой Fo имеет
вид:
/(О = ~~ (sin ot 4- sin 3ot 4- g sin 5ot 4- . . . j.
Пример 2. На рис. 8.17 (стр. 470) кривая с показывает приближенно
силу сопротивления воздуха, испытываемую телом при гармоническом
движении Если на этом чертеже начало координат сместить влево на
четверть периода, то уравнение кривой сопротивления выразится так:
/(со/) = sin2 ot
при 0 < ot < эт, и
/(со/) = —sin2 со/
при эт < w t < 2эт Требуется найти амплитуды различных гармоник этой
кривой.
Решение. Анализируемая кривая изображает нечетную функцию,
которую и предстоит нам разложить на гармоники. Под нечетной функцией
понимают такую функцию, относительно которой выполняется условие
/( — со/) = —/(со/).
Поскольку синус является нечетной, косинус — четной функцией, разло-
жение нашей функции не может содержать косинусов. Вследствие этого
нее коэффициенты Ьп равны нулю. Это утверждение может быть проверено
3*
36 КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ ГЛ.
также графическим путем с помощью формул (1.12), для которых выпол-
няется построение, аналогичное рис. 1.16, откуда становится ясным взаим-
ное уничтожение слагаемых. Так как ось кривой совпадает с осью времен
(средняя высота равна нулю), то имеем, кроме того, Ьо =* 0.
Для коэффициентов при синусах находим:
2л
<ъ
w г
ап = — I /(«О sinnw/oto =
п J
о
л 2л
= — s*n2 w* • sin nat ’ d(at) — j" sin2 at • sin nat • d(w£)j.
О я
Подынтегральные функции преобразуем по формулам на стр. 29:
sin2 at • sin nat = I---- cos 2ы/| sinnat —
12 2 )
i i л i , '
= — sin nat — — sm (n 4- 2) at —- — sin (n — 2) at.
2 4 4
Неопределенный интеграл от этого выражения имеет вид
F =---------L cos nat 4- ------ cos (n 4- 2) at 4-
2n 4 (n 4“ 2)
j-----!--- cos (n — 2) at.
4 (n - 2)
Вспоминая, что коэффициент an равен соответствующему определен-
ному интегралу, деленному на л-, и замечая, что F(2ar) = Z^(0), имеем
i 2
ап « - [Z(or) - F(0) — P(2or) 4- F(TT)] « -[F(") - Л0)] =
ЭТ ЗГ
2 |1 1 114 cos nit — 1
ar (cos nit 1) | 2n 4 (n 4- 2) 4 (n — 2) 1 n n (n2 — 4)
Легко видеть, что для четных значений п все ап равны нулю, вследствие
чего существуют лишь гармоники, соответствующие нечетным п. В частно-
сти, полагая п «= 1, находим для основной гармоники
8
аА = — = 0,85.,
3 аг
т. е. амплитуда основной гармоники составляет 85% от наибольшей орди-
наты самой кривой.
Ряд Фурье для исследуемой кривой имеет вид
1(at} -= 7Д [sin at — sin Zat — ~ sin 5at — -J- sin lat —
3or \ 5 35 63 )
Вычисление интегралов (1.12) может быть выполнено в точ-
ном виде лишь для очень немногочисленных видов функции f(t\
§ 1.7
НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
37
Когда /(0 является кривой, полученной путем записи действи-
тельного колебания или же взятой с индикаторной диаграммы,
мы не в состоянии даже указать для нее аналитическую форму.
Однако все же, располагая кривой, полученной таким образом,
мы можем найти значения соответствующих интегралов либо
графически, либо путем численного интегрирования, либо, на-
конец, с помощью прибора, называемого гармоническим анали-
затором.
Действие такого гармонического анализатора основано на
том же принципе, что и действие индикатора Уатта для паровой
Рис. 1.18. Гармонический анализатор —прибор,
работающий по тому же принципу, что и инди-
катор Уатта для паровой машины.
машины. Индикатор вычерчивает замкнутую кривую, ордината
каждой точки которой представляет собой давление пара (или
силу, приложенную к поршню), а абсцисса — перемещение поршня.
Площадь полученной замкнутой кривой выражает работу, совер-
шаемую силой, приложенной к поршню, за один оборот машины.
Но ведь формулы (1.12) показывают, что коэффициенты ап или
Ьп являются величинами, в о/п раз большими работы, совершае-
мой силой /(0 за один период на определенном перемещении, ско-
рость которого равняется sin not. Чтобы получить полное
соответствие между обоими случаями, заметим, что sin not
1
есть скорость перемещения-------cos not, вследствие чего ра-
венство (1.12 а) может быть написано в несколько измененном
виде, а именно:
ап = — J М d(cos not) = — ~ ф/Ш.
1десь символ ф указывает, что интегрирование производится
по всей замкнутой кривой, описываемой силой f(t) за один период.
Прибор схематически показан на рис. 1.18.
Выходом прибора является точка D, где укреплено перо,
описывающее кривую на куске бумаги, укрепленной на столике Е.
38
КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ
ГЛ. I
По аналогии с индикатором Уатта вертикальное движение пера D
должно следовать за изменением силы /(£), тогда как горизон-
тальное движение — за скоростью cos ncot. Вертикальное движение
пера D достигается показанной связью с лекалом, изображающим
анализируемую кривую/(£)заодин период. Лекало А прикрепляется
к рейке, сцепленной с шестеренкой В, приводимой во вращение
посредством электромотора. Стержень С так установлен в направ-
ляющем приспособлении, что он может перемещаться лишь в
продольном направлении, прижимаясь слегка к лекалу посред-
ством пружины. Таким образом, вертикальное движение пера Z),
прикрепленного к стержню С, выражается функцией /(£). Столик Е
перемещается горизонтально и приводится в движение кулисой
Вольфа и зубчатым колесом, связанным соответственным пере-
даточным механизмом с колесом В таким образом, что столик Е
совершает п гармонических колебаний в то время, как лекало А
перемещается на полную длину диаграммы. К прибору прила-
гается ящик с набором запасных колес, чтобы можно было
получать, путем их замены, различные передаточные числа п
от 1 до 30.
Горизонтальное движение столика Е выражается функцией
sin ncot или cos ncot, в зависимости от того, как сцеплены зуб-
чатые колеса. Точка D описывает тогда на столике замкнутую
кривую, площадь которой равна ап или Ьп (по умножении, конечно,
на постоянный множитель 1/птт). Вместо того, чтобы в действи-
тельности вычерчивать указанную кривую, инструмент дает
возможность непосредственно находить ее площадь с помощью
присоединенного к нему планиметра, точка вращения которого
прикреплена к Е, а обводный штифт к D\ на этом планиметре,
которым снабжен анализатор, площадь может быть считана
непосредственно, без изображения самой кривой.
Гармонические анализаторы конструируются также и на
основе других принципов. Интересный оптический метод, основан-
ный на использовании звуковой записи кинофильмов, был изобре-
тен Уэнтом и конструктивно осуществлен Монтгомери в Теле-
фонной лаборатории Белла (Bell Telephone Laboratories).
Для практических целей вполне приемлемы имеющиеся элек-
трические гармонические анализаторы, дающие чрезвычайно бы-
стро значение полной амплитуды гармоники Ап = + Ъ2п [урав-
нения (1.10) и (1.11)], но не дающие никаких указаний на фазовые
углы <рп (или на отношения ап/Ьп в тех же уравнениях).
Они разработаны Западной электрической компанией (Western
Electric Company) для анализа звука или шума. Эти анализа-
торы требуют существования исходной кривой в виде закона из-
менения электрического напряжения, подобно тому, как это
имеет место в электрическом датчике при исследовании колеба-
ний (стр. 93) или в микрофоне. Это напряжение, после соответ-
§ 1.7 НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 30
ствующего усиления, поступает в электрическую цепь, известную
под названием «полосового фильтра частот». Фильтр гасит вУсе
частоты, за исключением тех, которые лежат в узкой полосе шири-
ною в пять колебаний в секунду. Полоса пропускания частот
б?“ТЬ назначенд где угодно в диапазоне от 10 до 10 000
ФупьрС1Н прпВ Секунду' Дл.я того чтобы проанализировать по методу
ФуР“ периодическое (установившееся) колебание или шум,
имеется небольшой мотор, который автоматически перемещает
"°” У "Р°ПУТ""Я теря мсь спектР' ПР" результат з™"
Штифтом на полоске провощенной бумаги. Это дает
°зм°жность в несколько минут получить амплитуды гармони-
ческих колебаний для частот, лежащих в интервале от Ю до
Ю 000 колебании в секунду. Запись сейчас же может быть считана
.ЛРУГ°И эле^РИческий анализатор, работающий почти на том
<^бтРйИН1ГИПе’ Н° ^графической регистрации, выпускается Все-
MaS ) Компанией Радио (General Radio Company, Cambridge
Задачи к главе I № 1—11.
ГЛАВА П
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 2.1. Степени свободы
Механическая система обладает одной степенью свободы, если
ее геометрическое положение в какой-либо момент времени
вполне определяется только одним числом. Возьмем, например,
поршень, движущийся в цилиндре. Так как его положение во
всякий момент времени вполне определяется заданием расстояния
от дна цилиндра, то здесь мы имеем случай системы с одной сте-
пеньюсвободы. Другим примером может послужить коленчатый вал
в неподвижных подшипниках; в этом случае положение системы
вполне определяется углом между каким-нибудь кривошипом
и вертикальной плоскостью. Груз, подвешенный на пружине
таким образом, что направляющие позволяют ему перемещаться
лишь вверх и вниз по вертикали, представляет собою классиче-
ский пример колебательной системы с одной степенью свободы
(см. рис. 2.3 на стр. 43).
Вообще, если для определения положения механической систе-
мы требуется задать п чисел, то о такой системе говорят, что
она имеет п степеней свободы. Так, диск, свободно движущийся
в своей плоскости, имеет три степени свободы, характеризую-
щиеся перемещениями х и у центра тяжести диска и углом пово-
рота диска вокруг его центра тяжести. Цилиндр, катящийся
вниз по наклонной плоскости, имеет одну степень свободы.
Если же этот цилиндр может спускаться частью вследствие
качения, а частью вследствие скольжения, то он имеет две сте-
пени свободы, определяемые поступательным перемещением и
вращением.
Твердое тело, могущее свободно двигаться в пространстве,
имеет шесть степеней свободы: три, определяемых тремя поступа-
тельными перемещениями, и три, определяемых тремя враща-
тельными перемещениями. Следовательно, для определения его
положения требуется задать шесть чисел или шесть обобщенных
координат, которые в этом случае обычно обозначаются через
§ 2.1
СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
41
х, у, z и <р, х1). Система, состоящая из двух твердых тел, соеди-
ненных между собою пружинами или какими-либо другими связя-
ми, причем так, что каждое тело может двигаться только вдоль
прямой, не имея при этом возможности вращаться, обладает
двумя степенями свободы (рис. 2.1), Заметим, что два числа,
определяющие положение такой системы, могут быть выбраны
достаточно произвольно. Например, мы можем обозначить
хх расстояние от первого тела до неподвижной точки О, а
х2 — расстояние от этой точки до второго тела. Тогда хг и х2
ются обобщенными координатами.
Можно выбрать в качестве одной
обобщенной координаты — назовем
ее ух — расстояние от точки О до
общего центра тяжести обоих тел,
а за другую координату — расстояние
между обоими телами: у2 = х2— хг.
Два числа х^ и х2 вполне определяют
положение системы, но ее положе-
ние могут определить и два числа ух
и у2. Надо заметить, что последний
выбор имеет в данном случае неко-
торое практическое преимущество,
так как обыкновенно нам не столь
интересно общее положение всей
через
через
явля-
системы в целом, как напряженное Рис. 2.1. Система с двумя сте-
состояние внутри этой системы. На- пенями свободы.
пряжение в пружине (рис. 2.1) вполне
определяется величиной y2i так что для вычисления напряжения
вовсе не требуется знать величину ух. Удачным выбором обобщен-
ных координат системы со многими степенями свободы можно
в значительной мере упростить расчеты.
Не следует думать, что система с одной степенью свободы
всегда очень проста. Так, например, двенадцатицилиндровый
двигатель внутреннего сгорания с жестким коленчатым валом
и жестко укрепленным блоком цилиндров имеет вместе со всеми
своими поршнями, шатунами, клапанами, кулачковым валом и
г. п. только одну степень свободы. Это объясняется тем обстоя-
тельством, что положение любой движущейся части двигателя
определяется всего лишь одним числом (выражающим, например,
угол поворота коленчатого вала). Однако, если блок цилиндров
подвешен на гибких рессорах и притом так, что он может сво-
бодно перемещаться в любом направлении (подобные случаи мы
г) Первые три из них определяют положение точки, фиксированной в
тимом теле, например центра тяжести: последние три являются углами
'Ойлера. (Прим, перев.)
42 ИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ГЛ. II
имеем в большинстве современных автомобилей), то система
имеет семь степеней свободы, из которых шесть относятся к самому
блоку, как свободному твердому телу в пространстве, и одна —
к коленчатому валу, угол поворота которого является седьмой
обобщенной координатой.
В общем случае упругая система имеет бесконечное число
степеней свободы. Рассмотрим для примера упругую балку на
двух опорах. Подбирая соответствующую нагрузку, можно эту
балку изогнуть таким образом, что ее упругая линия будет иметь
любую заданную форму (рис. 2.2).Описание подобной кривой тре-
................ ,, ,..бует задания фукции 2/=/(я),
а? что равносильно заданию бес-
I......................х--конечного множества число-
У вых значений. В самом деле,
Рис. 2.2. Балка имеет бесконечное число ДДЯ каждой ТОЧКИ с абсцис-
степеней,свободы. сой х балки можно задать
величину прогиба у совер-
шенно независимо от положения остальных частиц балки
(конечно, в пределах прочности), вследствие чего определение
положения всей балки требует задания стольких значений у,
сколько точек расположено вдоль балки. Как и в случае, пред-
ставленном на рис. 2.1, функция у = f(x) не есть единственная
совокупность чисел, могущих быть взятыми для определения
положения. Другой возможный путь для определения изогнутой
оси балки заключается в установлении значений коэффициентов
Фурье ап и Ьп [уравнение (1.11), стр. 33], которых опять-таки
бесчисленное множество.
§ 2.2. Составление дифференциального уравнения колебаний
Положим, что некоторая масса т подвешена посредством
пружины, как это указано на рис. 2.3. Жесткость пружины
характеризуется числом k, являющимся «постоянной пружины»,
и называемым коэффициентом жесткости1). Последний определя-
ется выраженной в килограммах растягивающей силой, которую
надо приложить к пружине, чтобы удлинить ее на 1 см. Положим
х) К сожалению, в литературе до настоящего времени еще иет строго
установившегося наименования этого коэффициента, который называется
также восстанавливающим коэффициентом, коэффициентом упругости, а
в самом общем случае—квазиупругим коэффициентом. Не следует только
называть его просто «жесткостью», так как в сопротивлении материалов
понятие «жесткости» получило вполне определенный смысл, несколько
отличный от смысла коэффициента жесткости. Так, например, для случая
удлинения стержня длины I с площадью поперечного сечения 8 и модулем
упругости Е жесткость равна Е S, а коэффициент жесткости равен Е 8/1.
В связи с этим, заметим, что коэффициентом упругости называют также
обратную величину модуля упругости. (Прим, перев.)
§2.2 СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 43
с называется
Рис. 2.3. Основной тип си-
стемы с одной степенью
свободы.
далее, что между массой и жесткими стенками имеется масляное
или воздушное тормозящее приспособление (демпфер или аморти-
затор). Предполагается, что, пока груз находится в покое, на
него не действует никакая сила, но как скоро он приходит в
движение, сейчас же возникает сила сопротивления амортиза-
тора или «сила затухания», которая пропорциональна скорости
движения, т. е. равна сх или но направлена в сторону,
противоположную движению. Величина
фициентом вязкого сопротивления или
коэффициентом затухания1).
Сила затухания, действующая на ме-
ханическую систему, в действительности
далеко не всегда может быть пред-
ставлена столь просто, как это у нас
сейчас было, т. е. в виде выражения сх\
напротив того, зачастую встречаются
случаи значительно более сложные. Но
в таких случаях и математическая тео-
рия явления весьма усложняется (см., на-
пример, главу VIII на стр. 483 и 500), в то
время,как анализ вязкого сопротивления
сравнительно прост.
Пусть переменная внешняя сила
Fosin<Df, называемая возмущающей силой
и вызываемая каким-либо приспособле-
нием, в детали которого нам нет надобности входить, дейст-
вует на массу. Для наглядности мы можем вообразить, что
кто-нибудь то тянет за эту массу рукой, то отталкивает ее, дей-
ствуя попеременно в обоих направлениях.
Задача заключается в том, чтобы найти движение массы ш,
вызванное возмущающей силой. Иначе говоря, если обозначить
через х расстояние между каким-либо мгновенным положением
массы при ее движении и положением равновесия, мы должны
выразить х в функции времени. В сущности говоря, уравнение
движения, которое нам предстоит составить, есть не что иное,
как математическое выражение второго закона Ньютона, а
именно:
сила = масса X ускорение.
При этом мы условимся считать положительными
те силы,
1) Обычно за коэффициент затухания принимают величину cj2in. Но
гак как в дальнейшем эта величина cfcm не встречается, то мы сохраним
•Ц‘рминологию автора, т. е. коэффициентом затухания будем называть
величину, указанную в тексте. (Прим, перев.)
44
СИСТЕМЫ с ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. п
которые направлены вниз, и, наоборот, отрицательными —
силы, направленные вверх.
Полагая, что пружина подчиняется закону Гука, мы можем
выразить упругую силу пружины в виде кх, где х — удлинение,
к — величина упругой силы при растяжении пружины на единицу
длины. Если х выражено в сантиметрах, кх — в килограммах,
то к будет выражено в кГ/см. Если растяжение х равно нулю,
то сила кх тоже равна нулю.
Знак силы упругости пружины должен быть отрицательным,
потому что пружина тянет подвешенную массу вверх при смещении
массы вниз, т. е. эта сила отрицательна при положительном х.
Поэтому сила пружины напишется в виде —кх.
Сила сопротивления, действующая на массу, также отрица-
тельна и равна — сх, поскольку она направлена против скорости
х, действуя, следовательно, вверх (в отрицательном направлении)
при х, направленном вниз (в положительном направлении).
Таким образом, в результате совокупного действия на массу трех
указанных сил мы получаем силу, направленную вниз и равную
— кх — сх 4- Ро sin ot.
Тогда по закону Ньютона имеем
т dt? = т$ = — — сх + PQ sin cot,
или
тх + сх + кх = Р$ sin ot. (2.1
Мы получили очень важное уравнение1), которое называется
дифференциальным уравнением движения системы с одной степенью
свободы. Четыре члена уравнения (2.1) выражают собой: силу
инерции, силу затухания, силу упругости пружины и внешнюю
возмущающую силу.
Прежде чем приступать к определению х из уравнения (2.1),
т. е. прежде чем интегрировать это дифференциальное уравне-
ние, полезно обратиться к рассмотрению некоторых других
задач, которые приводят к такому же уравнению.
1) При выводе не принималось во внимание действие силы тяжести.
Но ведь отклонение х отсчитывалось от «положения равновесия», т. е.
от того положения, в котором сила mg, направленная вниз, уравновеши-
вается силой пружины /сб, направленной вверх (где 6 — статическое удли-
нение пружины под действием груза). Конечно, можно отсчитывать ху
также от положения груза при нерастянутой пружине, так что хг = х + 6.
Тогда в уравнении (2.1) надо заменить х через х^ и прибавить справа сил7
mg, а это приведет нас опять к тому же уравнению (2.1).
§ 2.3
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
45
§ 2.3. Другие случаи
Рис 2.4. Крутиль-
ные колебания си-
стемы с одной сте-
пенью свободы.
На рис. 2.4 изображен диск с моментом инерции 2, прикреп-
ленный к стержню с коэффициентом жесткости к, под которым
мы подразумеваем величину крутящего момента, выраженного
в килограмма-сантиметрах, необходимого для закручивания диска
на угол в один радиан1}. Рассмотрим крутильные колебания
диска под действием приложенного извне крутящего момента
То sin ot. Прежде всего мы видим, что в нашей задаче мы опять
имеем дело с системой с одной степенью свободы, так как смещение
диска из его положения равновесия при кру-
чении может быть выражено посредством
только одной величины, а именно угла <р.
На основании известного закона Ньютона мы
можем утверждать, что для вращающегося
твердого тела
крутящий момент =
= моменту инерции х угловое ускорение =
Аналогично предыдущей задаче здесь имеют
место 'Три крутящих момента, действующих
на диск: момент сил упругости, момент сил
сопротивления, вызывающий затухание, и воз-
мущающий момент, приложенный извне. Мо-
мент сил упругости равен —кер, где <р измеряется в радианах.
Отрицательный знак здесь очевиден по той же причине, что
и в предыдущем случае для силы упругости пружины, где мы
имели —кх. Момент сил сопротивления или сил затухания,
вызываемый не показанным на чертеже приспособлением,
равен —с<р. В данной задаче «коэффициент затухания»
с есть величина крутящего момента, действующего на диск, при
угловой скорости последнего в один радиан в секунду. Наконец,
внешний крутящий момент равен TQ sin ot. Следовательно,
на основании закона Ньютона, мы приходим к дифференциальному
уравнению
/ф 4- сер 4- k(p = То sin ot, (2.2)
имеющему тот же вид, что и уравнение (2.1).
2) У автора эта величина названа жесткостью на кручение (torsional
stiffness), но обычно жесткостью на кручение называют величину Glp, где
G есть модуль сдвига, 1р — полярный момент инерции стержня. Из формулы
для угла закручивания <р = MyGIp, где М есть крутящий момент, I —
длина стержня, видно, что k = Glpll. Сравнить с примечанием на стр. 42.
(Прим, перев.)
46
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
В качестве третьего примера рассмотрим электрический
контур с генератором переменного тока, конденсатором О,сопро-
тивлением Ли индуктивностью Z, которые включены все последо-
вательно. Вместо закона Ньютона мы воспользуемся здесь соот-
ношением, выражающим, что во всякий момент времени электро-
двужущая сила генератора е = Е0 sin cot равна сумме трех
напряжений на концах С, R и L. Пусть г есть мгновенное значение
силы тока в цепи, направление которого указано на рис. 2.5.
Согласно закону Ома напряжение на концах проводника с сопро-
тивлением равно
F3 - V4 = Ri.
Напряжение на концах про-
водника с индуктивностью
равно
е2-г3 = л£.
П- II ? ----
'с d Ъ
tz
Рис. 2.5. Колебания в электрическом
контуре с одной степенью свободы.
Что касается конденсатора, то для него имеет место соотношение
где ^есть величина заряда,О — электроемкость и V — потенциал.
Заряд Сможет быть выражен через г следующим образом. Если ток
силы г протекает в течение элемента времени dt, то он переносит
за это время через поперечное сечение контура количество электри-
чества, равное idt. Но так как через конденсатор ток не те-
чет, то должен увеличиться заряд конденсатора и притом на
величину
dQ = idt 1)>
откуда
или
Чтобы показать, что такой электрический ток ведет себя
подобно колеблющейся массе, изображенной на рис. 2.3, удобнее
оперировать не с силой тока г, хотя эта величина и является
1) К несчастью, буква г у же сама по себе имеет точку сверху. Во избежа-
ние нед°Разумений принято считать, что i обозначает силу тока, и для
произвоДной от i по времени принято пользоваться обозначением Лейб-
di
ница
§ 2.3
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
47
более привычной для нас, а с величиной заряда Q. Падение потен-
циала на отдельных участках контура представится так:
Г,-Г, = £g
Р„- Г4 = Ri = R^ =RQ.
ClL
Так как сумма этих трех падений потенциала должна быть равна
электродвижущей силе генератора, то отсюда следует дифферен-
циальное уравнение
LQ 4- RQ + pQ = sin cot, (2.3)
и
имеющее опять такой же точно вид, как и уравнение (2.1).
Таким образом, все рассмотренные до сих пор случаи коле-
баний продольных, крутильных и электрических приводят к
одному и тому же дифференциальному уравнению. Переход от
одного случая к другому можно осуществить непосредственно^
воспользовавшись приведенной ниже таблицей.
Сравнение эквивалентных величии
Продольные колебания Крутильные колебания Электрические колебания
Масса т Коэффици- ент жест- кости ... к Коэффици- ент зату- хай ия ... с Возмущаю- щая сила. Pq sin w Перемеще- ние х Скорость .. X = V Момен т^инер- ции 1 Коэффици- ент жест- кости при кручеиии к Коэффици- ент зату- хания при кручении с Возмуща ю- щий мо- мент Tq sin at Угловое пе- ремещен ие у Угловая ско- рость .... ф = W Индуктив- ность ... L 1 : электро- . емкость — С Омическое сопротив- ление ... R Электродви- жущая сила .... Ео sin at Заряд кон- денсатора Q Сила тока Q ==
Все утверждения из области механики имеют здесь свои
аналоги из области электричества и обратно. Например, уста-
новлено, что «напряжение на концах проводника с самоиндук-
48
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
цией L равно На языке механики это будет гласить: «сила,
действующая на массу т, равна m-j-». Возьмем положение из
Рис. 2.6. Крутильные колебания
двух дисков на упругом валу.
механики: «энергия, накопляющаяся в массе, равна 1/2 тЛ.
Аналогом из учения об электричестве будет положение: «энергия,
накопляющаяся в проводнике с самоиндукцией, равна 1/2 Li2».
Посредством уравнения (2.1) решаются задачи, относящиеся
не только к рассмотренным трем случаям. Любая система, обла-
дающая инерцией, упругостью и затуханием, пропорциональным
скорости, перемещение которой может быть вполне охарактери-
зовано только одной величиной, относится к этому же классу.
Так, например, рассмотрим два
диска с моментами инерции и
/2, соединенных между собой стер-
жнем с коэффициентом жесткости
при кручении, равным ккГсм!рад
(рис. 2.6). Пусть на первый диск
действует возмущающи'й момент
Tosin&)Z, причем имеет место
затухание,пропорциональное угло-
вой скорости закручивания стер-
жня с коэффициентом пропор-
циональности с. Спрашивается,
каково будет движение.
В нашу систему входят два диска, положение каждого из
которых, определяемое углом поворота, не зависит от положения
другого вследствие возможности закручивания стержня. Казалось
бы, что здесь мы имеем систему с двумя степенями свободы. Одна-
ко, что здесь наиболее может интересовать инженера, так это
угол закручивания стержня, и движение можно описать посред-
ством только одной этой величины. Пусть будут и <р2 — угловые
перемещения каждого из двух дисков; тогда разность — <р2
определит угол закручивания стержня, к — <р2) есть крутящий
момент стержня и с (ф2 — ф2) — момент сил затухания. Применяя
закон Ньютона к первому диску, имеем:
То sin cot = Zj <рг 4- к (<рг — <р2) 4- с (<Pi — Фз)«
Аналогично для второго диска получим
О = /2ф2 + к (<р2 — д^) 4- с (ф2 — (ft).
Разделим первое уравнение на llf а второе — на Z2 и вычтем одно
из другого
Тц sin cot = (pj — ф2) 4- I ~ 4- -~j (д?! — ср2) + 4- (Ф1 — Фг)-
§ 2.3
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
49
Введем, наконец, угол закручивания
— <Р2 = у
и умножим написанное сейчас уравнение на дробь 1Т Z2/(A + Z2);
тогда мы придем к уравнению
гр + су + ку = т2^т- Sin cot, (2.4)
•*1 Т 1 2 21 т 7 2
имеющему опять такой же вид, как и уравнение (2.1). Конечно,
Рис. 2.7. Зубчатая передача, при-
водимая к системе, изображенной
на рис. 2.6.
решение этого уравнения укажет нам лишь на закручивание
стержня или на относительное
движение обоих дисков относи-
тельно друг друга, но при этом
мы совершенно не будем знать,
как движется каждый диск,
взятый в отдельности.
Видоизменение схемы на
рис. 2.6 представляет собой
схема на рис. 2.7, на которой
изображена зубчатая передача.
Положим, что моменты инерции
дисков соответственно равны
и Z2, а зубчатые колеса G и Р
инерцией не обладают вовсе.
Положим далее, что зубцы колес
жестки, так что гибкость си-
стемы, работающей на кру-
чение, имеет место лишь вследствие гибкости валов, коэф-
фициенты жесткости которых обозначим через кх и fc2. Переда-
точное число пусть будет п.
Дифференциальное уравнение для системы, изображенной на
рис. 2.7? может быть получено непосредственно из закона Нью-
тона, но мы предположим, что эту систему мы привели к системе на
рис. 2.6 путем отбрасывания зубчатых колес и замены fc2, Z2 и у
другими, «эквивалентными величинами», после чего уже можно
применить уравнение (2.4).
На рис. 2.6 коэффициент к может быть определен экспери-
ментально, для чего диск Z2 надо зажать, а к диску Ц приложить
постоянный крутящий момент То. Этот последний вызовет пово-
рот диска 1г на некоторый угол и тогда
Фо
Мы можем повторить этот опыт и для системы на рис. 2.7,
зажав диск Z2 и приложив крутящий момент То к диску Zv Благо-
даря зубчатой передаче крутящий момент на валу к2 равен
4 Ден-Гартог • 2047
50
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ II
вследствие чего угол закручивания этого вала равен Т^/пк*
Так как Z2 зажато, то этот угол будет углом поворота также
шестерни Р, а угол поворота колеса Одолжен быть в п раз меньше,
а именно Т^пгк2. Прибавляя сюда еще угол закручивания T0/fcj
вала кг, мы получим полное угловое перемещение диска /Р Таким
образом, мы приходим к уравнению, определяющему эквивалент-
ное значение к\
1 = *- = 1 + 1
к То кг п2 к2 '
Рассмотрим теперь моменты инерции.. Момент инерции Z2
на рис. 2.6 может быть определен посредством следующего опыта.
Сообщим диску (или всему валу к) постоянное угловое ускорение
а. Тогда в сечении А на вал будет действовать справа крутящий
момент То = a Z2. Следовательно, обратно, 12 = Т^а. Повторим
этот же опыт и с механизмом, изображенным на рис. 2.7. Угловое
ускорение а вала кг и колеса G определяет ускорение па вала к2.
Отсюда крутящий момент для к2 получается равным- па12. Но
это есть также крутящий момент для шестерни Р. Для колеса G
он будет уже в п раз больше, вследствие чего крутящий момент
в сечении А оказывается равным n2aZ2, а тогда эквивалентом
величины 12 в системе без зубчатой передачи будет величина n2Z2.
Таким образом, вообще система, включающая в себя зубчатые
передачи, подобно показанной на рис. 2.7, может быть приведена
к эквивалентной системе без зубчатых передач (рис. 2.6). если
воспользоваться следующим правилом.
Всю систему расчленить па отдельные части, каждая из кото-
рых имеет определенную угловую скорость, общую для всех своих
деталей (на рис. 2.7 таких частей две, но вообще их может быть
и больше). Принять одну из этих частей за основную и установить
передаточные числа п для всех прочих частей, где п представляет
собою отношение угловой скорости взятой части к угловой ско-
рости основной части (n > 1 для скоростей, больших основной
скорости; для основной системы п равно единице). После этого
удалить все зубчатые передачи и умножить на п2 все коэффициенты
жесткости к и все моменты инерции Z. Тогда дифференциальное
уравнение для полученной упрощенной системы без передач
будет такое же, как и для первоначальной системы с передачами.
Рассмотрим, наконец, последний пример, который во многих
отношениях напоминает собою первый, но в то же время от него
и отличается. Именно, предположим, что вместо силы Z% sin art,
действующей на массу на рис. 2.3, мы имеем дело с подвижным
верхним концом пружины или с подвижным местом прикрепления
А, которое вынуждено двигаться вверх и вниз с амплитудой а,
причем движение точки А определяется выражением a0 sin cot.
Покажем, что такое движение верхнего конца пружины вполне
$ 2.3
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
51
эквивалентно действию возмущающей силы на подвешенную
массу.
Обозначим, как и прежде, буквой х вертикальное перемеще-
ние массы по направлению вниз; тогда вследствие перемещения
верхнего конца пружины на величину aosin at удлинение пружи-
ны в какой-либо момент времени будет х — aosinctf. Сила упру-
гости пружины должна быть равна —к (х— aosincoi), и анало-
гично сила затухания будет —с (х — а0 a cos cot). По закону
Ньютона имеем
тх + к (х — а0 sin at) + с (х — аоа cos at) = О,
или
тх + сх + кх = kaQ sin at + са0 a cos at.
Согласно уравнению. (1.6) (стр. 16) сумма двух отклонений при
колебаниях по законам синуса и косинуса одинаковой частоты
является опять гармонической функцией, вследствие чего мы
можем написать
тх + сх + кх = У(£а0)2 + (са0аъ)2 sin (at + <р). (2.5)
Следовательно, движение верхнего конца пружины с ампли-
тудой эквивалентно действию на массу переменной силы с ампли-
тудой, равной |/(fca0)2 + (са0а)2. •
Здесь выражения ка0 и caQa представляют собой наиболь-
шие значения силы упругости и силы затухания, тогда как весь
радикал есть наибольшее значение полной силы при зажатой
массе, когда движение, определяемое изменением координаты ж,
предотвращено.
Пример. Найти относительное движение у массы относительно места
закрепления пружины А на рис. 2.3, если PQ = 0 и если место прикрепле-
ния совершает гармоническое движение вверх и вниз, т. е.
у = х — а0 sin cot.
Решение. Дифференцированием находим
х — у + а0 sin al,
х = у аоы cos cot.
№ = у — а0ю2 sin
Подставляя найденные значения в уравнение (2.5), имеем
m?/ — ma0<o2 sin wZ + су + caow cos cot 4- ky + kab sin ut =
= ka0 sin cot •+ caow cos cot,
или
my + СУ + ky = ?na0 w2 sin wi. (2.6)
Таким образом, движение массы относительно перемещающейся точки
подвеса происходит так же, как и абсолютное движение массы при неподвиж-
ном месте закрепления пружины, когда на массу, действует гармоническая
4*
52
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. 11
сила с амплитудой Правая часть уравнения (2.6) представляет
собою силу инерции массы в предположении, что эта масса колеблется с
амплитудой а0, следовательно, на этот член мы можем смотреть так же,
как на силу, приложенную к верхнему концу пружины, если бы последняя
была вполне жесткой, т. е. не допускались бы перемощения, определяемые
величиной г/.
§ 2.4, Свободные колебания без затухания
Прежде чем искать решение уравнения (2.1), написанного
в общем виде, полезно рассмотреть некоторые частные случаи,
имеющие важное значение. Так, например, если отсутствует
возмущающая сила Fosin0tf, а также нет затухания (с = 0),
то уравнение (2.1) приводится к виду
тх 4- кх = 0 (2.7)
или
Этот результат можно выразить словами: перемещение х
есть такая функция времени, которая после двукратного дифферен-
цирования по времени превращается опять в ту же функцию,
умноженную на постоянную отрицательную величину. Даже не
зная теории дифференциальных уравнений, мы можем припом-
нить, что подобные функции существуют, именно таковыми
оказываются синус и косинус. Простым подбором мы убеждаемся,
что как sin ^k/mt, так и cos f к/m t действительно являются реше-
ниями уравнения (2.7). Наиболее же общий вид, в котором может
быть написано решение этого уравнения, есть
х = Сл sin ]/— t + С2 cos ][t, (2.8)
1 t т й f т
где Cj и С2 - произвольные постоянные. Что выражение (2.8)
является решением уравнения (2.7), легко может быть проверено
путем двукратного дифференцирования этого выражения по
ypaRv-d и подстановки его в уравнение (2.7); то, что уравнение
(2.7) не имеет других решений, кроме (2.8), здесь нет надобности
доказывать, и это положение мы можем просто принять как
справедливое.
Постараемся теперь дать выражению (2.8) физическую интер-
претацию. Прежде всего мы видим, что результат в таком виде
является крайне неопределенным, так как постоянные Сг и С2
могул принимать любые значения, какие только нам будет
желательно им дать. Однако так задача никогда не ставится.
Дело в том, что уравнение (2.8) выражает собою все движения,
которые способна совершать система, состоящая из груза и пру-
§ 2.4 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 53
жины. Среди прочих отметим случай, когда = С2 = 0. Тогда
х = 0, и это означает, что подвешенный груз неизменно остается
в покое.
Теперь более конкретизируем нашу задачу, положив, что
груз выведен из положения равновесия в положение х — х0
и отпущен без начальной скорости. Отсчитывая время от того
момента, когда мы предоставили груз самому себе, мы имеем
два условия:
если t = 0, то х = х0, и х = 0.
Подставляя первое условие в уравнение (2.8), получаем
= Ci • 0 + О2 • 1,
или
= Xq.
Для того чтобы воспользоваться вторым условием, мы долж-
ны продифференцировать один раз уравнение (2.8), после чего
находим
о=с’ 1 -^-0,о-
г тг \ т
или
Сг = 0.
Подстановка обоих результатов в уравнение (2.8) приводит
нас к окончательному решению для данного частного случая в
виде
У Тс
— I- (2.8а)
Написанное уравнение выражает незатухающие колебания,
причем одно полное колебание совершается в течение такого
промежутка времени, когда величина \k/mt изменяется на 360°,
или, в радианах, на 2л (рис. 2.8). Обозначая время одного
колебания или период буквой Т, мы имеем
I/- Т =
у m
ИЛИ
Т = 2 л . (2.9)
Величину Ук/т принято обозначать через 0С и называть
круговой, или угловой, или циклической частотой собственных
колебаний. Эта величина
][ к
/ — =
\ т с
54
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. п
представляет собою угловую скорость вращающегося вектора,
изображающего колебательное движение (см. стр. 14).
Величина /с, обратная Т, т. е.
1 1 ][ к wc
Т 2л \ m 2л ’
(2.10)
называется частотой собственных колебаний и измеряется числом
колебаний в секунду. Отсюда, между прочим, следует, что если
массу т заменить, например, массой, в два раза большей, чем
предыдущая, то колебания будут совершаться в /2 раз медленнее,
чем прежде. Подобным же образом мы получим колебания в У 2
Рис. 2.8. Незатухающие колебания, начинающиеся от не-
которого начального отклонения.
раз более медленные при замене данной пружины другой пружи-
ной, более слабой, чем предыдущая, в два раза. Заметим, наконец,
что по причине отсутствия возмущающей силы Fosin cot рассмот-
ренные колебания носят название свободных колебаний.
Если мы будем исходить из предположения, что колебания
происходят по гармоническому закону, то частоту колебаний
очень легко вычислить на основании рассмотрения энергии систе-
мы. В середине полного размаха масса обладает значительной
кинетической энергией, в то время как в каждом из крайних
положений эта масса па один момент останавливается, совершенно
лишаясь вследствие этого кинетической энергии. Но в этих же
положениях пружина оказывается соответственно наиболее рас-
тянутой или наиболее сжатой, накопляя в себе упругую энер-
гию, или энергию деформации. В произвольном промежуточном
положении, между средним и крайним, мы имеем дело как с энер-
гией деформации, так и с кинетической энергией, сумма которых
остается постоянной, поскольку внешние силы в нашей системе
работы не совершают. Следовательно, кинетическая энергия в
среднем положении груза должна быть равна энергии дефор-
мации в крайнем положении.
§ 2.4 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 55
Обратимся теперь к вычислению той и другой энергии. Так
как сила упругости пружины есть кх, то работа, совершаемая
этой силой на элементарном перемещении dx, равна kxdx. Потен-
циальная энергия или энергия деформации пружины при ее растя-
жении на величину х должна быть равна
J кх dx — g кх-.
о
Кинетическая энергия есть V2 mv2. Предполагая, что движение
происходит по закону
X = х0 sin G)t,
мы имеем
V = XgG) cos cot.
Потенциальная энергия в крайнем положении равна 1/2 кх%,
в то время как кинетическая энергия в нейтральном, т. е. среднем
положении, где скорость наибольшая, равна
2 ^Wmax = 2
Тогда
1 кх2 = 2
откуда следует, что величина со2 = к/т не зависит от амплитуды
Яо’ Этот «энергетический метод» вычисления частоты имеет
очень большое значение. В главах IV и VI нам придется иметь
дело с более сложными системами, и там мы увидим, что определе-
ние- частоты из дифференциального уравнения зачастую бывает
столь сложным, что практически оно оказывается просто невы-
полнимым. Вот в таких-то случаях нас и ведет к цели обобщенный
энергетический метод, известный под названием метода Рэлея
(см. стр. 195—214).
Формула (oc^klm может быть написана также и в несколько
ином виде. Мы знаем, что масса т имеет вес, равный тд, и что
удлинение пружины под действием этого веса равно тд/к. По-
следняя величина называется статическим удлинением пружины;
обозначая ее буквой 6СТ, имеем
УСТ к ’
откуда
к _ д
772 ^СТ
56
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
или
(2.11)
Если 6СТ выражено в см, д = 981 см!сек\ то для
имеем выражение
, /9811ГТ с 17Т 4
/с = Ч— / z- = 5 /«- колеб/сек
^71 у ^ст I орт
ИЛИ
частоты /с
/с = 300 1/ колеб/мин.
I' ОС7
(2.11 а)
Это соотношение, весьма полезное для быстрого определения
Рис. 2.9. Кривая, представляющая урав-
нение (2.11а) для собственной частоты
незатухающей системы с одной сте-
пенью свободы.
частот или критических ско-
ростей, представлено графи-
чески на рис. 2.9.
§ 2.5. Примеры
Рассмотрим несколько чис-
ловых примеров на прило-
жение основной формулы
(2.10).
1. Пусть имеем стальную
балку поперечного сечения
4X2 см2, защемленную одним
концом и несущую груз 30 кГ
на другом (рис. 2.10). Требу-
ется определить:
а) частоту колебаний балки при расстоянии между грузом
и местом заделки, равным 100 см\
б) процентное изменение частоты при укорочении балки на 2 см.
Решение, а) Находим собственный вес балки: 4x2x100x0,00785^
ра 6,28 кГ. Можно считать, что частицы балки, лежащие вблизи
груза в 30 кГ, колеблются с той же
самой амплитудой, что и груз, тогда
как частицы, находящиеся около за-
деланного конца, почти не совершают
колебаний. Это обстоятельство учиты-
вается путем прибавления к весу коле-
блющегося груза некоторой части веса
самой балки. На стр. 214 показыва-
ется, что такая прибавка прибли-
зительно равняется одной четверти
Рис. 2.10. Балка, заделанная
одним концом в стену и несу-
щая груз на другом конце.
масса т в уравнении (2.10) оказывается равной
веса балки. Таким образом,
31,57
Q
31,57
981
кГсм~1сек2.
§ 2.5
ПРИМЕРЫ
57
Сила Р на конце балки вызывает прогиб
л - р/3
0 “ SEI *
Постоянная fc, согласно определению, будет
Р __ SEI
Момент инерции поперечного сечения в нашем случае равен
1 = 1 №3 = = 10,67 см*
LZ о
(или же он равен = 2,67 см*, что зависит от того, происходят
о
ли колебания балки в плоскости ее наибольшей или наимень-
шей жесткости). Круговая частота получается
равной
1/Т
= / —
с у т
3 • 2 • 10<5 • 32.981 ... ,
---------------— 44 4 сек~ .
3-1003 ‘31,57 ’ ’
откуда частота
f —
с ~ 2л
= 7,05 7 колеб/сек.
В случае колебаний в плоскости наимень-
шей жесткости I = 2,67 см*, и частота /с де-
лается равной половине своего предыдущего
значения, т. е. 3,5 колеб/сек.
б) На вопрос, касающийся изменения ча-
стоты вследствие изменения длины балки,
можно ответить следующим образом. По-
стоянная к обратно пропорциональна величине
1?\ следовательно, частота прямо пропорцио-
нальна величине Z-8/*. Отсюда видно, что при
укорочении балки на 1% ее длины частота
возрастает на 1,5°/0. Тогда, укорачивая балку
лучим увеличение частоты на 3%.
Рис 2.11. Колеба-
ния столба жид-
кости в U-образ-
ной трубке.
на 2 см, мы по-
2. В качестве второго примера рассмотрим U-образную труб-
ку, наполненную водой (рис. 2.11). Пусть вся длина водяного
столба равна I, поперечное сечение трубки равно S и масса,
приходящаяся на 1 см3 (т. е. плотность), равна Если
вода совершает колебательные движения, то в указанном дви-
жении принимает участие масса, равная m^Sl. В этой задаче
«пружина» в прямом смысле этого слова отсутствует, но зато
роль восстанавливающей силы играет сила тяжести, которая
58
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
всегда стремится возвратить уровень воды в положение
равновесия. Таким образом, действие пружины заменяется
действием веса воды, причем квазиупругим коэффициентом1),
согласно определению, должна быть сила, отнесенная к
единице отклонения. Пусть уровень воды в одном колене
трубки поднялся на 1 см, тогда уровень в другом колене должен
опуститься на 1 см. Это приводит к появлению неуравновешенного
веса водяного столбика в 2 см высотою, а тогда соответственная
сила 2тх8д и будет квазиупругой постоянной. Таким образом,
Рис. 2.12. Три системы, включаю-
щие в себя различные комбинации
пружин, эквивалентные системе
на рис. 2.8. В системах (а) и (б)
пружины включены «параллель-
но», в системе (в) — «последова-
тельно».
мы приходим к круговой частоте
][ к ][2д
Ос = / — = \ -Г .
с у т у I
3. Рассмотрим теперь системы,
изображенные на рис. 2.12, где
масса т подвешена посредством
двух пружин кх и к2 тремя раз-
личными способами. Случаи, изо-
браженные на рис. 2.12,а и
2.12,6 с динамической точки
зрения идентичны, поскольку от-
клонение груза на 1 см вниз в
обоих случаях влечет за собою
появление одной и той же силы,
равной + к^кГ и направленной
вверх. Следовательно, круговая
или циклическая частота соб-
ственных колебаний для таких систем есть
1/ fci +
у т
Что касается рис. 2.12, в, то здесь мы имеем дело с системой,
принципиально отличной от двух предыдущих. В самом деле,
потянем подвешенную массу вниз с силой в 1 кГ. Эта сила пере-
дастся вся обеим пружинам, соответственные удлинения которых
будут 1/йхи \/к2, вследствие чего полное удлинение их окажется
равным l/&i 4- 1/&2- Но ведь по определению это есть не что иное,
как \/к, т. е. обратная величина приведенного коэффициента же-
сткости обеих пружин. Отсюда
*) Здесь название «коэффициент жесткости» следует признать уже
неудачным, если только не понимать его условно. (Прим, перев.)
§ 2.5
ПРИМЕРЫ
59
Таким образом мы приходим к следующему правилу: приведен-
ный коэффициент жесткости нескольких пружин при их «парал-
лельном» включении равен
к = 2 kn.
Если же п пружин включены «последовательно», то приведенный
коэффициент жесткости находится из соотношения
к — кп '
Например, если данную нам винтовую пружину с коэффици-
ентом жесткости к разрежем на две равные части, то жесткость
каждой из них будет характеризоваться коэффициентом жестко-
сти 2к (т. е. потребуется вдвое большая нагрузка для удлинения
половины пружины на такую
же вел ич ину, на ка кую
удлиняется целая пружина).
Располагая эти две полу-
пружины последовательно,
мы'получим
Рис. 2.13. Пружина к эквивалентна не-
которой фиктивной пружине жесткости
к
, помещенной в месте прикреп-
что и следовало ожидать.
Интересно отметить, что
выведенное правило дляопре- ления массы т.
деления квазиупругих коэф-
фициентов сложных систем такое же, как и то, которым поль-
зуются в электротехнике при определении полного сопротивления
проводников, включенных в цепь последовательно или параллельно.
4. Рассмотрим, наконец, последний пример, для которого
имеем схему, изображенную на рис. 2.13. Пусть невесомый и
несгибаемый брус шарнирно укреплен одним концом, а на другом
несет груз массы т. На расстоянии а от шарнира имеется пружина,
жесткость которой характеризуется коэффициентом жесткости
к. Требуется определить частоту собственных колебаний этой
системы.
Допустим, что рассматриваемые колебания столь малы, что
движение груза с достаточной степенью точности можно считать
происходящим лишь по вертикали вверх и вниз. При составлении
дифференциального уравнения движения (стр. 44) мы прирав-
нивали силу упругости пружины, действующую на массу, вели-
чине тх. В нашем случае естественно задать вопрос: какую
силу надо приложить к массе, чтобы отклонить ее на 1 см? Пусть
F будет искомая сила. Согласно условию статического равновесия
сила упругости пружины должна быть в этом случае равна (l/a) F.
60
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
Далее, так как отклонение массы равно 1 см, то изменение длины
пружины будет уже a/Z см, а отсюда следует, что сила упругости
пружины должна равняться у к. Таким образом, приходим
к уравнению
- F= у к,
а I
откуда
* = (тр-
Итак, действительный коэффициент жесткости для подвешен-
ного груза оказывается равным fc(a/Z)2. Отсюда видно, что дей-
ствие жесткости пружины очень быстро убывает при перемещении
ее влево. Круговая частота будет
.С помощью энергетического метода (стр. 55) расчет может
быть произведен следующим образом. Пусть движение массы
представляется уравнением
X = Хо sin CDct,
где ос есть пока неизвестная величина. Амплитуда колебаний
конца пружины тогда равна х^а/1, а потенциальная энергия
пружины l/2 кд2 = V2 fc(^oa/Z)2. Кинетическая энергия массы
равна х/2 m/v2 = х/2 тсо2х%. Приравнивая эти величины друг
другу и сокращая на амплитуду х0, находим
Некоторые задачи в конце книги, относящиеся к этой главе,
могут быть решены значительно проще с помощью энергетиче-
ского метода, чем путем непосредственного применения формулы,
заключающей в себе величину ^к/пь.
§ 2.6. Свободные колебания с затуханием, пропорциональным
скорости
Из предыдущего мы могли видеть, что свободные незатухающие
колебания должны продолжаться сколь угодно долго [см., напри-
мер, уравнения (2.7) и (2.8а)]. Однако совершенно очевидно, что
это никогда не может иметь места в действительности; все свобод-
ные колебания в конце концов прекращаются. Поэтому рассмот-
рим теперь уравнение (2.1) уже с членом сх, входящим в него
вследствие затухания, т. е.
т£ + сх + кх = 0. (2.12)
§ 2.6
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ
61
Член, определяющий силу затухания, обычно представляется
в виде выражения сх, поскольку оно достаточно хорошо отобра-
жает условия затухания вследствие вязкости масла в амортиза-
торе. Правда, существуют и другие случаи затухания, но они
будут рассмотрены ниже (стр. 484). Теперь уже решение урав-
нения (2.12) не может быть найдено столь же просто, как это
имело место для уравнения (2.7). Однако, если мы рассмотрим
функцию х = est, где t есть время, as - неизвестная пока постоян-
ная величина, то легко видеть, что после дифференцирования мы
получим опять ту же функцию, но только умноженную на эту
постоянную величину. Если эту функцию подставить в уравнение
(2.12), то мы можем последнее разделить на esi, придя, таким
образом, к алгебраическому уравнению вместо уравнения диффе-
ренциального, а это уже есть большое упрощение. Итак, мы поло-
жим, что est есть решение уравнения (2.12), которое теперь примет
вид
(ms2 + cs + k) est = 0. (2.13)
Если уравнение (2.13) может удовлетворяться, то предпо-
ложение, что х = est есть решение, является правильным. Но
уравнение (2.13) — квадратное относительно s, и поэтому суще-
ствуют два значения и s2> обращающие в нуль его левую часть,
а именно:
(2.14)
Вследствие этого выражения eSit и е5*1 оба являются решениями
уравнения (2.12). Что касается его наиболее общего решения, то
оно имеет вид
х = 4- С2
(2.15)
где Су и С2 — произвольные постоянные.
При изучении физического значения этого уравнения нужно
различать два случая в зависимости от того, будут ли выражения
для s, получаемые из равенства (2.14), действительными или
комплексными. Совершенно ясно, что при (с/2т)2> /с/т выра-
жение под знаком радикала положительно, а тогда оба значения
s действительны. Больше того, мы можем сразу сказать, что
они оба отрицательны, так как квадратный корень меньше, чем
с/2т. Таким образом, выражение (2.15) представляет собою
решение, изображающееся суммою ординат двух показательных
кривых, приближающихся к оси абсцисс, как указано на
рис. 2.14. В качестве примера на нем взят конкретный случай,
когда Су = \,С2 = —2, причем график, соответствующий сумме,
изображен пунктирной линией.
62
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
Без анализа частных случаев, для чего следовало бы опре-
делять соответственные значения постоянных (\ и С2, из рассмот-
рения графика видно, что, в сущности говоря, здесь нет никакого
колебания, а имеет место лишь медленное движение к положению
равновесия. Это происходит вследствие того, что при (с/2т)2 > к/т
Рис. 2.14. Движение системы с одной
степенью свободы при затухании,
большем критического ск.
затухание с очень велико. При
меньшихзначениях с, что именно
и встречается в большинстве
практических случаев, из урав-
нения (2.14) получаются для s
уже комплексные значения, а
тогда решение,написанное в виде
уравнения (2.15), становится
лишенным смысла. Затухание,
определяемое коэффициентом с,
при котором наступает указан-
ный переход, называется кри-
тическим затуханием, и соот-
ветствующий коэффициент обо-
значается тогда через ск:
ск = 2?п ]/ — =
к \ т
= 2 т к = 2 т сэс. (2.16)
В случае меньшего затухания формулу (2.14) лучше перепи-
сать в таком виде:
С ."]/"& ( С 1 “ С । . /П 1
= — — ? / — о 14’ (2.17)
1,12 2т — ’ у т \2т) 2т ~ f
где j = у—1. Хотя радикал здесь и действительный, но зато
оба значения s содержат /, а потому решение (2.15) уравнения
(2.12) содержит члены вида ejat, которые мы интерпретировали
посредством уравнения (1.8) на стр. 24.
С помощью равенств (2.17) и (1.8) решение уравнения (2.15)
примет вид
_________с
х = е ~т [Cj (cos qt + j sin qt) 4- Ca (cos qt — j sin qt)] =
e
[(C\ 4- C2) cos qt 4- 1 (CT — C2) sin qt].
(2.18)
Так как (\ и C2 были произвольными постоянными, то произ-
вольны также Сг + С2 и /(Ci —О2), которые мы для краткости
обозначим через С{ и С2. Таким образом, имеем
с
— -— I
х = е [GJ cos qt 4- С2 sin qt],
(2.19а)
S 2.6
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ
63
где
к с2
у т 4m2
(2.19b)
Это есть решение уравнения для случая, когда затухание
меньше критического, т. е. когда с < сК. Оно представляет собою
произведение двух сомножителей, первый из которых изобра-
жается нисходящей показательной кривой (рис. 2.14), а второй —
синусоидой. В окончательном результате мы получаем затуха-
ющую синусоиду, которая лежит между показательной кривой и
Рис. 2.15. Свободные колебания системы при затухании,
меньшем критического, определяемого уравнением (2.16).
ее зеркальным изображением (рис. 2.15). Чем меньше коэффици-
ент затухания с, тем более пологой будет показательная кривая
и тем большее число полных колебаний произойдет до их прек-
ращения.
Здесь представляет интерес быстрота такого затухания,
которая может быть достаточно просто определена на основании
рассмотрения двух последовательных максимумов кривой:
А и В, В и С и т. д. В течение промежутка времени между двумя
такими максимумами, т. е. в течение 2n/qceK, амплитуда колебания
(которая в моменты этих максимумов практически совпадает с
величиной e~(c/2m}t) уменьшается от e~(c/2m)t до e~(cl2m}(t+2nlq) Ч.
Как видим, последнее из этих двух выражений равно первому,
умноженному на постоянную величину e~nc/mq, которая, очевидно,
меньше единицы. Легко убедится, что этот множитель будет
одним и тем же для каждых двух последовательных максимумов,
независимо от амплитуды колебания и времени. Таким образом,
отношение двух последовательных наибольших отклонений
Ь Строго говоря, при этих выражениях должен быть еще постоянный
коэффициент, но так как в дальнейшем отыскивается их отношение, где
этот коэффициент сокращается, то в данном случае величина его не суще-
ственна и может быть положена равной единице. (Прим, перев.)
64
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
постоянно, или, иными словами, амплитуды убывают в геомет-
рической прогрессии.
Если хп есть п-е наибольшее отклонение тела при колебании, а хп+1 —
следующее наибольшее отклонение, то из предыдущего видно, что жп+1 =
== хп или
. хп
In------=
Я'п-н
ле
— = 6.
тд
Эта величина 6 называется логарифмическим декрементом затухания.
Для малого затухания мы имеем
ПС
тд
и, следовательно,
а поэтому
(2.20)
Частота колебаний, как легко видеть из равенства (2.19b),
с увеличением сопротивления уменьшается. С помощью соотно-
шения (2.16) мы можем упомянутое равенство переписать в такой
безразмерной форме:
Рис. 2.16. Собственная частота
системы с затуханием, имею-
щей одну степень свободы, как
функция коэффициента зату-
хания График соответствует
уравнению (2.19b).
Эта зависимость изображена гра-
фически на рис. 2.16, где ординаты
представляют собою отношение ча-
стот затухающего и незатухаю-
щего колебаний, а абсциссы — отно-
шен недействительно го и критического
коэффициентов затухания. График
представляет собою окружность.
Очевидно, что для критического
затухания (с = ск) циклическая ча-
стота q собственных колебаний равна
нулю. Построенная диаграмма заходит также в область отрица-
тельных значений с, для которых она сохраняет свою силу. Смысл
этих значений будет выяснен в дальнейшем в главе VII (стр: 379).
Вследствие горизонтального положения касательной к окруж-
ности при с = 0 циклическая частота здесь может считаться
§ 2.6
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ
65
постоянной и равной /й/тпдля всех случаев затухания, встреча-
ющихся обычно в технике (при с/ск < 0,2).
Свободное незатухающее колебание, являясь движением гар-
моническим, может быть изображено посредством вращающегося
вектора, конец которого описывает окружность. В случае зату-
хающего колебания подобная графическая интерпретация тоже
имеет место, с тем лишь исключением, что амплитуда умень-
шается с течением времени. Так,если вращающийся вектор укора-
чивается со скоростью, пропорциональной его длине, то ряд по-
следовательных его длин
образует убывающую гео-
метрическую прогрессию.
Конец вектора описывает
при этом логарифмическую
спираль (рис. 2.17). От-
клонения точки, даваемые
диаграммой, изображен-
ной, например, на рис. 2.15,
могут быть получены из
рис. 2.17, если взять го-
р изонтальную проекцию
переменного вектора, ко-
торый вращается с посто-
янной угловой скоростью
q и конец которого все
время остается на упомя-
нутой спирали [см. урав-
нение (2.19)]. Особым слу-
чаем предыдущей задачи
Рис. 2.17. Векторная диаграмма свободных
затухающих колебаний.
является тот, когда масса
или инерция системы настолько мала, что ею можно пренебречь,
такчтоостается лишь пружина и амортизатор. Постараемся найти
движение такого невесомого поршня с амортизатором, совер-
шаемое им после первоначального отклонения на величину ж0.
Дифференциальное уравнение движения здесь примет вид
dx
С dt
+ kx = 0,
или
с dx
к х
— — dt,
откуда находим
. с С dx с Z1 . ,ч
t = — & I “ = — (ш ж + const).
5 Ден-Гартог • 2074
66
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
Так как при t — 0отклонение х = х0, то постоянная равна —In По-
следовательно,
, С , X
t = — г In — ,
к х0
а отсюда
-Ъ
х = х0 е с . (2.21)
Написанное уравнение изображается графически одной из
сплошных кривых рис. 2.14. Очевидно, что показатель степени
является безразмерной величиной, вследствие чего дробь с/к
должна иметь размерность времени. Эта дробь называется вре-
менем релаксации, которое определяется как время, необходимое
для уменьшения отклонения х0 системы до величины, составляю-
щей 1/е часть первоначального его значения. На стр. 490 нам
представится случай воспользоваться этим понятием.
Пример. Пусть в системе, изображенной на рис. 2.13, стр. 59, подвешен-
ный груз весит 20 Г, жесткость пружины такова, что эта пружина уд-
линяется на 1 см при нагрузке 1,6 кГ\ I — 10 см, а = b — 5 см. Пусть, далее,
амортизирующий механизм скреплен с серединой балки, т. е. с той же точ-
кой, где прикреплена пружина. Сила сопротивления амортизатора равна
0,2 Г при скорости 1 см/сек. Найти:
а) быстроту затухания свободных колебаний,
Ь) величину критического затухания амортизатора.
Решение. Ответим сначала на вопрос Ь) с помощью уравнения (2.16).
Круговая частота свободных незатухающих колебаний есть ы0 = У&/т.
На стр. 60 было найдено, что приведенный коэффициент жесткости пру-
жины на рис. 2.13 равен
а2 к
к ~ = - — 0,4 кПсм.
I2 4
Тогда
Коэффициент критического затухания системы (т. е, критического зату-
хания для воображаемого амортизатора, связанного с массой), согласно
уравнению (2.16) равен
0,02
2 • —— • 140 = 0,0057 кГсек/см.
981
Так как амортизатор в действительности помещен в середине балки, то
нам надо увеличить найденное значение в четыре раза; это следует из тех
же соображений, на основании которых мы должны брать здесь более
жесткую пружину, а именно с учетверенным коэффициентом жесткости
по сравнению с «эквивалентной» пружиной (см. стр. 60). Таким образом,
мы находим ответ на вопрос (Ь):
ск = 4 • 0,0057 = 0,0228 к Г сек/см.
§ 2.7 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
67
Ответ на вопрос (а). Быстрота затухания определяется на основании урав-
нения (2.20):
Лх п с 0,0002
— = 6 = 2 л — — 2л------------— 0,055.
х ск 0,0228
Тогда
5111 = 1 _ 0,055 = 0,945.
§ 2.7. Вынужденные колебания без затухания
Исследуем другой важный частный случай уравнения (2.1),
когда член сх, выражающий затухание, равен нулю, а все прочие
члены остаются:
тх + kx — /%sin cot. . (2.22)
/Мы можем предположить, что функция
х = х0 sin cot
удовлетворяет этому уравнению. В самом деле, если указанную
функцию подставить в уравнение (2.22), то оно примет вид
— тсо2 xQ sin cat + kxQ sin at = Po sin at.
Это уравнение может быть почленно разделено на sin cot, а тогда
имеем
х0 (к — тсо2) — Ро,
или
£о £о
т ___ Л _______ ___ __ к
0 к — mw2 to2 / ю \2 '
1-тп- 1- -|
к \(й0)
откуда
что и будет решением уравнения (2.22). Выражение Р^к, стоящее
в числителе, имеет простое физическое значение, а именно: это
есть статическая деформация пружины под действием постоянной
нагрузки Pq. Поэтому мы можем написать
Л/СТ,
б*
68
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
вследствие чего решение примет вид
=-----sin “г- (2.24)
Lfi)CJ
Хотя и верно то, что выражение (2.23) есть решение, однако
оно не может быть общим решением, которое должно содержать
две постоянные интегрирования. Подстановкой легко убедиться,
что выражение
х = С\ sin й?с t + С2 cos coct Ч-^т-2 sin cot (2.25)
1©CJ
удовлетворяет уравнению (2.23). Здесь первые два члена справа
определяют свободные или собственные незатухающие колебания,
а третий член — незатухающие вынужденные колебаниях). Эта
форма решения определяется общим свойством дифференциальных
уравнений такого вида, которое может быть выражено в виде
следующей теоремы.
Теорема. Общее решение (2.25) дифференциального уравнения
(2.22) с правой частью есть сумма общего решения (2.8) уравнения
(2.7) без правой части и частного решения (2.23) данного урав-
нения (2.22).
Мы видим, что первые два члена выражения для х (2.25) (сво-
бодные колебания) определяют колебательное движение по закону
синуса с частотой свободных или собственных колебаний сос,
тогда как вынужденные колебания (третий член) являются также
колебательным движением по закону синуса, по уже с частотой,
равной частоте со изменения возмущающей силы. Поскольку у
нас имеется свобода в выборе величины со, то ясно, что со и сос
совершенно не зависят друг от друга. Решение (2.25), представляю-
щее собою сумму синусоидальных колебаний различных частот,
само не является, вообще говоря, гармоническим движением
(см. рис. 2.25, в, стр. 82).
Интересно ближе изучить результат, выражаемый формулой
(2.24). Очевидно, что х/хСТ представляет собою синусоиду с ампли-
тудой 1 : [1—(о/юс)2], зависящей от отношения частот со/сос.
На рис. 2.18 эта зависимость изображена графически.
Из формулы (2.24) следует, что при со/сос < 1 амплитуды, или,
что то же, ординаты положительны, тогда как при со/сос > 1
они отрицательны. Чтобы уяснить смысл отрицательных ампли-
туд, возвратимся к уравнению (2.22) и к предположению, что
х) Величина ----- называется коэффициентом динамичности или
-а
коэффициентом нарастания колебаний. (Прим, перев.)
§ 2.7
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
69
ж0 sin at есть его решение. Тогда становится ясным, что’в области
а/а)с > 1 значения х0 должны быть отрицательны. Но мьГможем
написать
— х0 sin cot = + х0 sin (cot + п),
откуда видно, что «отрицательная амплитуда» эквивалентна
положительной амплитуде колебания, отличающегося по фазе
на л: от рассматриваемого колебания. С физической точки зрения
которой подвергается действию силы постоянной амплитуды и изменяю-
щейся частоты [уравнение (2.23)]. Эта диаграмма отлична от диаграммы
рис. 2.20.
это значит, что в случае со/<ос < 1 сила и движение находятся в
одной фазе, а в случае gd/g)c > 1 они находятся в противоположных
фазах. Таким образом, если при ю/юс < 1 груз находится ниже поло-
жения равновесия, когда сила действует вниз, то при со/юс > 1 груз
находится выше этого положения,если сила опять направлена вниз.
Обычно эта зависимость между фазами не представляет боль-
шого интереса, тогда как амплитуды имеют исключительно боль-
шое значение. По этой причине мы можем не обращать внимания
на знак, и тогда приходим к кривой, обозначенной на рис. 2.18
пунктиром. На этом графике имеются три замечательные точки,
а именно А, В и С, ординаты которых легко определить из сооб-
ражений чисто физического характера. Рассмотрим прежде всего
70
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. п
точку А в непосредственной близости к а = 0. Здесь частота
изменения силы чрезвычайно мала, и груз будет отклоняться
силой лишь до достижения упругой системой положения стати-
ческого равновесия в деформированном состоянии. С физической
точки зрения это совершенно ясно, и, таким образом, ординаты
кривой вблизи точки А должны быть приблизительно равны
единице. С другой стороны, для очень больших частот, когда
а>/шс^> 1, сила изменяет свое направление то в одну, то в другую
сторону столь быстро, что масса не успевает следовать за ней, а
тогда соответственные амплитуды будут очень малы (точка В).
Рис. 2.19. Неуравновешенный мотор, дающий силу
ты?а0 и приводящий к резонансной диаграмме"
рис. 2.20. *
Однако наибольший интерес представляет точка С, где ампли-
туда становится бесконечно большой. Этот факт может быть так-
же интерпретирован физически. Дело в том, что при o>/&)c = 1 час-
тота вынужденных колебаний, а следовательно, и частота изме-
нения возмущающей силы совпадает с частотой собственных коле-
баний. Поэтому возмущающая сила действует на массу в такт с ее
движением, вследствие чего амплитуда может расти безгранично.
Таков, например, случай маятника, которому при каждом раз-
махе сообщается легкий толчок в направлении его движения;
тогда с помощью незначительной силы можно получить колебания
сочень большой амплитудой. Описанное явление, имеющее исклю-
чительно важное значение, носит название резонанса, а частота
собственных колебаний называется тогда резонансной частотой.
До сих пор мы имели дело с возмущающей силой, амплитуда
которой Р$ не зависит от частоты а>. Другой важный случай,
имеющий в технике большое значение, это тот, когда Р$ пропор-
ционально ш2. Например, на рис. 2.19 представлена балка, лежа-
щая на двух опорах и несущая посредине неуравновешенный
мотор. Во время вращения ось мотора испытывает действие цент-
робежной силы т^т, где есть масса неуравновешенного гру-
за, а г — его расстояние от оси вала. Эта сила, вращающаяся
вместе с валом мотора, может быть разложена на вертикальную
составляющую sin cot и горизонтальную составляющую
m^r cos at. Предположим, что балка является очень жесткой
в горизонтальной плоскости, но имеет значительно меньшую
жесткость в вертикальной, допуская, следовательно, перемещения
только в последней. В таком случае мы имеем систему с одной
§ 2.7
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
71
степенью свободы, состоящую из массы т (мотор) и пружины
(балка) с коэффициентом жесткости к = 48-E7Z/Z3. Эта система
подвергается действию вертикальной возмущающей силы с ампли-
тудой зависящей от частоты.
Другой пример такого же типа был рассмотрен на стр. 51.
Там мы видели, что определяемое ординатой у «относительное дви-
жение массы по отношению к подставке на рис. 2.3, где под-
ставка движется по закону а0 sin art, а сила Ро отсутствует,
происходит таким же образом, как если бы на массу действовала
переменная сила с амплитудой ma0a)2. Оказывается, что и этот
последний случай имеет очень большое практическое значение,
так как на таком же принципе построены приборы, регистриру-
ющие колебания (вибрографы), о чем будет идти речь дальше (см.
стр. 86).
Кривая резонанса для обоих только что рассмотренных слу-
чаев может быть найдена непосредственно из уравнения (2.23)
подстановкой в него ma»2a0 вместо Ро. Таким образом, имеем
тю2а0 Гы"|2
ПЛИ
Вспомним» что а0 есть амплитуда движения верхнего конца
пружины, а у выражает движение подвешенного груза относитель-
но верхнего конца пружины, иначе говоря, у есть удлинение
пружины. Здесь ординаты трех точек А, В и С (рис. 2.20) также
допускают простую физическую интерпретацию. Так, в точке
А частота о почти равна нулю. Тогда верхний конец пружины
перемещается вверх и вниз очень медленно, а потому движение
груза будет следовать указанному движению, и пружина оста-
нется нерастянутой: у0 = 0. В точке В верхний конец пружины
движется очень быстро, вследствие чего груз не будет успевать
следовать за этим движением и останется вообще в покое. Тогда
относительное движение будет такое же, как движение верхнего
конца, и поэтому z/0/a0=l. В точке С имеет место резонанс,
аналогично предыдущему случаю, и удлинения пружины теорети-
чески должны сделаться бесконечно большими.
Последний результат находится в очевидном противоречии
с фактами, наблюдаемыми в действительности, а поэтому
72 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ гл. п
необходимо принять во внимание также затухание, что и будет
сделано в § 2,8.
Пример. Умформер состоит из электромотора переменного тока в 25
периодов, соединенного с генератором постоянного тока. Мощность уста-
новки равна 200 л. с. при 725 об}мин. Соединительный вал имеет диаметр
10 см и длину 60 см. Момент инерции ротора мотора равен 200 кГ см сек2,
а генератора — 800 кГ см сек2. Вращающий момент мотора не постоянен
(см. стр. 106), а изменяется от нуля до удвоенного значения момента при
Рис. 2.20. Резонансная диаграмма, соответствующая уравнению (2.26),
показывает относительное движение системы, в которой один конец пружи-
ны подвергается колебаниям с постоянной амплитудой а0 и абсолютное
движение системы,масса которой испытывает действие переменной силы
амплитуды mw2a0,
полной нагрузке. Он изменяется с частотой, вдвое большей частоты тока,
т. е. с частотой 50 периодов в секунду, и равен
То 4- То sin (2 л • 500.
В то же самое время противодействующий момент генератора постоянного
тока с течением времени не меняется. Требуется найти наибольшее напря-
жение вала при полной нагрузке, полагая вал стальным.
Решение. Прежде всего найдем коэффициент жесткости вала:
„ G—d*
крутящий момент G1 р 32
угол I I
8,4 • 105 • л 104
32 • 60
13,7 • 106кГ см.
§ 2.7 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 73
Наша система схематически изображена на рис. 2.6 (стр. 48), и ее
дифференциальное уравнение есть (2.4). Круговая частота собственных
колебаний определится по формуле
13,7 • 10е • 1000
—----------------= 291 сек-1.
200 • 800
Частота изменения возмущающей силы, а следовательно, и вынужденных
колебаний, равна 50 колебаниям в секунду, или
ы = 2л/ == 314 сек-1.
Это, очевидно, составляет = 1,08 резонансной частоты системы,
вследствие чего, согласно рис. 2.18 или уравнению (2.23), крутящий момент
увеличивается в число раз, равное так называемому коэффициенту нара-
стания колебаний или коэффициенту динамичности1)'
1 — (1,08)2
Из
момент
уравнения (2.4)
800
равен -----Тп,
1000 °
видно, что встречающийся в расчетах крутящий
4
или — переменной составляющей действительного
о
крутящего момента. Как мы уже установили, вращающий (он же крутя-
щий) момент состоит из постоянной части То и переменной части с такой
же самой амплитудой То. Таким образом, наибольшее значение интере-
сующего нас крутящего момента равно
То 4- 6,0 -~Т0 - 5,80 То.
5
Постоянный момент То можно найти, зная угловую скорость ы (или число п
оборотов в минуту) и мощность ДО, выраженную в лошадиных силах, по
формуле
75 ДО 75 • 30 ДО
----------------------------
Ы 71 П
75 • 30 • 200
------725— == 197 кГ м = 19,7 • 103 кГ см.
Касательное напряжение на окружности вала при статическом дей-
ствии крутящего момента То равно
Tod
То
7i d* d3
5 • 19,7 • 103
To3
= 98.5 кПсм2,
т
32
Вследствие близости к резонансу это напряжение необходимо умно-
жить еще на 5,80, и тогда полное наибольшее касательное напряжение
окажется равным 570 кГ(см2.
Усталостная прочность стенки определяется испытанием иа растяже-
ние, причем нормальное напряжение в этом случае вдвое больше касатель-
*) См. подстрочное примечание на стр. 68. Для нас здесь интересно
лишь абсолютное значение этой величины, а потому мы не обращаем вни-
мания на знак. (Прим, перев.)
гл. п
валов ниже
может быть
74 СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
«ого. Так как предел усталости обычных сталей для
1140 кПсм\ то возможно разрушение вала. Конструкция
улучшена путем уменьшения диаметра вала до 8 см. Тогда круговая частота
собственных колебаний получается равной 185 сек~1 и соответствующий
коэффициент динамичности равен 0,53 Новое значение наибольшего нор-
мального напряжения теперь будет равно 466 кПсм2. что уже допустимо в
смысле безопасности.
§ 2.8 Вынужденные колебания с затуханием, пропорциональным
скорости
Рассмотрим, наконец, уравнение (2.1) в его полном виде:
тх 4- сх 4- kx = Р 0 sin (tit (2.1)
Можно показать, что теорема, приведенная на стр. 69, здесь
также сохраняет силу. Согласно этой теореме, полное решение
уравнения (2.1) состоит из суммы общего решения уравнения
(2.12), которое представляет собою уравнение (2.1)/ где правая
часть равна нулю, и частного решения данного уравнения (2.1).
Но решение уравнения без правой части нами было уже получено
[см. уравнение (2.19)], а тогда
с
х = е 2™ ((\ sin qt 4- С2 cos qt) 4- частное решение. (2.27)
Таким образом, нам остается только найти частное решение.
Аналогично случаю, рассмотренному в § 2.7, здесь, казалось бы,
можно тоже принять х = tfosintt>£. Но так как при подстановке
производной от этого выражения в уравнение (2.1) вместо х полу-
чится член, содержащий cos то высказанное предположение
несправедливо. Однако мы можем положить
х — A sin at + В cos (ti 1
и подставить это выражение в уравнение (2.1). После такой под-
становки получится уравнение, в котором будут члены, содержа-
щие sin (tit и cos (tit. Поскольку в нашем уравнении имеются две
постоянные А и В, то после группировки членов приравниваем
нулю коэффициенты при sin (tit и cos (tit и получаем два алгебраи-
ческих уравнения, решая которые относительно А и В, находим
частное решение. Темне менее при отыскании решения мы пойдем
иным путем, чтобы лучше уяснить явление с физической точки
зрения.
Допустим, что искомое решение представляет собою колебание
по закону синуса с частотой вынужденных колебаний (о. Тогда
все четыре силы, входящие в уравнение (2.1), должны также изме-
няться по закону синуса с той же частотой, причем эти силы
Й 2.8
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ
75
мы можем изобразить соответствующими векторами на векторной
диаграмме Как было изложено на стр. 14, дифференцирование в
этом случае эквивалентно умножению длины вектора на со
с одновременным поворотом его на прямой угол в сторону
вращения.
Пусть перемещение точки выражается уравнением
х = х0 sin (cot — ср),
где х0 и ср — пока неизвестные постоянные величины. Отложим
это перемещение в виде вектора, направ-
ленного вертикально вверх. На векторной
диаграмме (рис. 2.21) он изображен пункти-
ром. Восстанавливающая сила — кх имеет
амплитуду кх$ и направлена на диаграмме
вертикально вниз Сила затухания — сх
имеет амплитуду сох^ и повернута на
прямой угол в положительном направлении
по отношению к восстанавливающей силе.
Сила инерции — тх повернута на 90° в сто-
рону вращения по отношению к силе зату-
хания и имеет амплитуду тги&х Возмуща-
ющая сила Fo sin cot расположена под углом
ср к перемещению xQ sin {cot — ср) и тоже в
сторону вращения Таким образом, мы полу-
чаем полную диаграмму на рис. 2.21. где
я0 и ср остаются неизвестными
Закон Ньютона [или же уравнение (2.1)]
требует, чтобы сумма всех четырех сил была
равна нулю во всякий момент времени Но
ЭТО значит, что геометрическая сумма четы- Рис. 2.21. Векторная
рех векторов на рис. 2.21 должна быть равна
нулю, откуда, в свою очередь, следует, что
должна равняться нулю не только сумма
вертикальных проекций всех этих векторов,
диаграмма, на основа-
нии которой может
быть построен
рис. 2.22.
но также сумма их горизонтальных проекций. Все это может
быть выражено математически:
по вертикали
кх0 — то2х0 — /%cos ср = 0:
по горизонтали
— Рп sin ср = 0.
Из этих двух уравнений могут быть найдены х0 и р, и мы
76
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. В
получаем:
V(cw)2 + ты2)2
(2.28а)
. cw
Ф Ь _ т(а2
(2.28b)
Пользуясь механико-электрической аналогией (стр. 47), мы можем
полученный результат перевести на язык электротехники и получить
или
(2.29)
Гак как ? — и Q ® Qo sin w с то сила тока будет г — Qom cos cot
Левая часть уравнения (2.29) есть наибольшее значение силы тока.
Квадратный корень в знаменателе правой части известен под названием
«импеданса». Эта величина играет большую роль в электротехнике.
Формулы (2.28а) и (2 28b) для амплитуды х0 и угла сдвига
фазы ср выражены через «безразмерные величины», т е. только
через отношения Так, сюда входят отношение частот gj/o)c и
отношение коэффициентов затухания с/ск, где ск есть коэффициент
«критического затухания», определяемый формулой (2.16). PQ/k
можно истолковать как удлинение пружины под действием на-
грузки Ро, эта величина иногда называется «статическим удли-
нением» жст
Указанные соотношения представлены на рис. 2.22,а и 2.22,6
График амплитуд содержит семейство кривых, каждая из которых
соответствует одному определенному значению коэффициента
затухания с Все эти кривые лежат ниже одной кривой, соответ-
ствующей отсутствию затухания, которая, очевидно, является
гой же кривой, что и изображенная на рис. 2.18 Всматриваясь в
эти кривые, мы видим, что амплитуды вынужденных колебаний
уменьшаются вследствие затухания. Другое интересное свойство
данной диаграммы состоит в том, что максимумы отдельных кри-
вых имеют место уже не при а>/а>с = 1. а вообще при меньших
частотах. В сущности говоря, в случае затухающих колебаний
Рис 2.22. а) Амплитуды вынужденных колебаний систем, представленных н а
рис' 2.3— 2.7 при различных значениях затухания. 6} Разность фаз между
силой и перемещением для различных значений затухания.
78
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. п
необходимо различать три разные частоты, которые все совпадают
между собою при с — 0, а именно:
1) £>с = — частота незатухающих собственных колеба-
ний;
2) 0. [з^г]2 ““ част°та затухающих собственных коле-
баний;
3) частота, соответствующая максимуму амплитуды вынуж-
денных колебаний или «резонансная часто га».
Для малых величин затухания все эти три частоты по своим
числовым значениям очень близки друг к другу. Большой инте-
рес представляет также диаграмма угла сдвига фазы, данная на
рис 2.22,6. Мы уже видели выше, что при отсутствии затухания
сила и перемещение находятся в одной фазе (<р = 0) до наступле-
ния резонанса и в противоположной (ср = тг) после. Таким обра-
зом, кривая сдвига фазы имеет разрыв в точке, соответствующей
резонансу, где она делает скачок. Это можно видеть также из
уравнения (2.286), считая в нем коэффициент затухания с очень
малым. Ниже резонанса знаменатель положителен, вследствие
чего tg ср должен быть очень малым положительным числом.
Выше резонанса tg ср уже оказывается очень малым отрицательным
числом. Что же касается самого угла ср, то он должен быть поэтому
либо очень близким к 0,либо немногим меньше тг. Если положить
затухание равным нулю, то ср делается в точности равным либо 0,
либо тг
Для затуханий, отличных от нуля, мы имеем на рис. 2.22,6
ряд других кривых, дающих значения сдвига фазы. Можно ви-
деть, что затухание вообще стремится сгладить резкие переходы в
кривых, построенных для незатухающих колебаний, причем это
относится как к диаграмме амплитуд, так и к диаграмме углов
сдвига фазы
Здесь было бы поучительно вернуться к векторной диаграмме
на рис. 2.21 и проследить за ней, как изменяются в зависи-
мости от изменения частоты амплитуда и сдвиг фазы. Для очень
медленных колебаний (со 0) затуханием и силой инерции можно
пренебречь, а тогда Ро = кх0 и ср = 0. С возрастанием частоты
вектор, изображающий силу затухания, растет, но зато сила
инерции растет еще быстрее. Сдвиг фазы уже не может больше
оставаться равным нулю, поскольку Ро должно иметь горизон-
тальную составляющую слева, чтобы уравновесить ссохо. Вектор
силы инерции будет увеличиваться до тех пор, пока он по своей
длине не сделается равным восстанавливающей силе или силе
упругости пружины. Тогда будет ср = тг/2 и Ро = co)xQ, а это
имеет место при резонансе, так как ?по>2е0 = кх0 или со2 = к/т.
Итак, при резонансе сдвиг фазы равен л/2 независимо от затухания.
§ 2.8 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ 79
За пределом этой частоты увеличивается интенсивнее,,
чем кх0, вследствие чего Ро получит наклон вниз, и ср будет
больше, чем тг/2. Для очень высоких частот кх0 незначительно
по сравнению с так что Р^ будет уравновешивать силу-
инерции, и тогда <р = %.
При малых скоростях возмущающая сила преодолевает силу
упругости пружины; при больших скоростях эта возмущающая
сила идет на преодоление инерции, а при резонансе она уравно-
вешивает силу затухания.
Привлечение энергетических соотношений к описываемым коле-
баниям также помогает лучшему уяснению физической стороны
явления Для очень медленных движений <р = 0 и, как это было
показано на стр. 27, за полный период колебания никакая работа
не совершается. Иными словами, за это время механическая энер-
гия в тепловую не преобразуется. Исходя от положения равнове-
сия, возмущающая сила перемещается на некоторое расстояние,
прежде чем достигнуть крайнего положения, и следовательно,
совершает при этом некоторую работу Однако эта работа просто
переходит в потенциальную или упругую энергию, накопляю-
щуюся в пружине. В продолжение следующей четверти периода
движение происходит против приложенной силы, и пружина
отдает поглощенную ею энергию Итак, при малых скоростях
работа возмущающей силы переходит в упругую энергию, и ника-
кая ее часть не превращается в тепло. При резонансной частоте
ср = тг/2 величина рассеянной энергии за один период равна
%Р0 х0 (стр. 31). В таком случае возмущающая сила численно
равна и противоположно направлена силе затухания, так что
затухание происходит как раз вследствие рассеяния энергии.
Сила упругости пружины равна тогда силе инерции, но противо-
положна ей по фазе, а следовательно, она находится в одной
фазе с перемещением. Каждая из этих сил совершает работу за
четверть периода, вследствие чего накапливается энергия. В
течение следующей четверти периода эта энергия отдается обрат-
но. Таким образом,за счет совершаемой работы происходит перио-
дическое накопление упругой энергии пружины и кинетической
энергии движущейся массы
Между прочим, эти энергетические соотношения могут быть
использованы для вычисления «резонансной амплитуды». Сила
затухания имеет амплитуду e(rr)max = cg>x0 и отличается по
фазе на %/2от перемещения х0. Следовательно,энергия,рассеянная
за один период вследствие затухания, равна тгсбхг?. Работа же,
совершенная возмущающей силой за один период, есть лР0 xQ,
и эта величина должна равняться количеству энергии, рассеиваю-
щейся в связи с затуханием, т. е
= пссйх^. (2.30)
80
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. И
Это соотношение представлено на рис. 2.23, где по оси абсцисс
отложены амплитуды а по оси ординат — величины работы
за один период, причем одна кривая соответствует работе силы
Ро, а другая — работе силы затухания. В точке пересечения кривых
мы имеем энергетическое равновесие, и соответствующая амплиту-
да ж0 есть та амплитуда, которая устанавливается сама собой.
В самом деле, если в некоторый момент времени амплитуда
сделается больше, то рассеяние энергии будет больше, чем ее
приток, что повлечет за собою постепенное уменьшение кинети-
ческой энергии системы до тех
пор, пока не будет достигнута
амплитуда, соответствующая
указанному равновесию.
Разрешая уравнение (2,30)
относительно я0, мы имеем
(^о)ред = • (2.31)
Строго говоря, это есть не
что иное, как амплитуда при
той частоте, когда сдвиг фазы
равен тт/2, но эта частота в точ-
ности не соответствует наиболь-
шему значению амплитуды.
Однако эти частоты настолько
близки друг к другу по вели-
Рнс.2.23. Величина работы, сорершае
мой за один период гармонической
силой и вязким сопротивлением при
разных амплитудах.
чине, что очень хорошее при-
ближенное значение наибольшей амплитуды можно полу-
чить, приравнивая работу возмущающей силы энергии, рас-
сеившейся при затухании. Для систем с одной степенью свободы
этот метод вычисления резонансной амплитуды не представляет
большого интереса, но в дальнейшем мы рассмотрим более слож-
ные случаи, где точное вычисление чрезвычайно затруднительно
и где приближенный метод, для которого имеет место уравнение
(2.30) и рис. 2.23,дает вполне приемлемые результаты (см. стр. 272).
Уравнения (2.28а) и (2.28b) являются наиболее важными в
этой книге. Представляет интерес получение коэффициента дина-
мичности в случае резонанса w — сос из уравнения (2.28а). Этот
коэффициент оказывается тогда равным простому выражению
1:2с/ск. С другой стороны, на стр. 64 [см. уравнение (2.20)] мы виде-
ли, что относительное уменьшение амплитуды свободных колеба-
ний за один период есть Дх/х = 2т/ск. Сопоставляя написанные
два выражения, получим:
коэффициент динамичности =
относительное уменьшение амплитуды
§ 2.8
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ
81
Для процентного изменения амплитуды указанное соотноше-
ние представлено в виде графика на рис. 2.24.
Возвратимся, наконец, к выражению (2.27) на стр. 74 и вспом-
ним, что все изложенное'\на предыдущих страницах относится
лишь к «частному решению» или к «вынужденным колебаниям».
Общее решение состоит из двух частей, представляющих собою
в своей совокупности свободные затухающие колебания, наложен-
ные на вынужденные колебания. По истечении короткого про-
межутка времени затухающие
колебания исчезают и оста-
ются лишь одни вынужден-
ные колебания. Поэтому вы-
нужденные колебания назы-
ваются также «установив-
шимися колебаниями», в то
время как свободные коле-
бания могут быть названы
«колебаниями в переходном
процессе». Значения посто-
янных С, и С2 зависят от
условий в начальный момент
движения и могут быть
определены аналитически из
этих условий подобно тому,
как это было сделано на
стр. 53. Однако вполне воз-
можно построить полную
Рис.. 2.24. Коэффициент динамичности
при резонансе, как функция процент-
ного уменьшения амплитуды свободных
колебаний за один период.
картину суммарного движения даже только на основании
соображений чисто физического характера В качестве примера
рассмотрим следующую задачу.
На груз, подвешенный к пружине, действует извне гармони-
ческая возмущающая сила, частота которой в восемь раз меньше
частоты собственных колебаний системы. Вначале груз удержи-
вается в неподвижном состоянии при помощи зажима, в то время
как возмущающая сила уже действует. В некоторый момент
зажим мгновенно удаляют. Каково в результате будет движение,
если затухание в системе уменьшает колебания на 10% в течение
каждого периода?
Первое, на что надо обратить внимание при решении этой
задачи, это неопределенность ее постановки, поскольку ничего
не было сказано о том, в какой момент полного цикла изменения
силы груз освобождается. Чтобы сделать задачу определенной,
допустим, что освобождение груза происходит в тот момент,
когда тело вследствие вынужденных колебаний должно было бы
иметь наибольшее отклонение от положения равновесия. Из на-
чальных условий задачи следует, что в момент освобождения
б Ден-Гартог 2047
82
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. D
груз не имеет ни отклонения от этого положения, ни скорости.
Таким образом, мы предписываем вынужденным колебаниям
момент их начала при х = ж0 и х = 0. Эти два условия могут
быть выполнены лишь в том случае, если свободные колебания
будут начинаться при ж =— xQ и х =• 0. Тогда суммарное или
полное движение начнется от нулевого положения при скорости,
равной нулю. Рис. 2.25,а показывает свободные колебания, рис.
2.25,6 — вынужденные колебания и, наконец, рис. 2.25,в — сум-
марное движение.
Легко видеть, что свободные колебания в переходном процессе
очень скоро исчезают и что наибольшее отклонение в начале
2.9
ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ
83
движения примерно в два раза больше конечной амплитуды
установившегося колебания. Если разность частот свободных и
вынужденных колебаний мала и если затухание также мало,
то на графике мы получим биения от этих двух колебаний (см.
стр. 17). Вследствие затухания такие биения исчезают по истече-
нии некоторого промежутка времени. Для того чтобы иметь
установившиеся биения, обязательно должны быть или два уста-
новившихся, или два вынужденных колебания.
Пример. Автомобиль имеет надрессорную часть, весящую 1360 кГ,
которая покоится иа четырех одинаковых рессорах, имеющих просадку
в 22,8 см под действием веса надрессорной части. Каждый из четырех амор-
тизаторов имеет коэффициент затухания, равный 1,25 кГ сек/см (т. е.
сила сопротивления равна 1,25 кГ при скорости в 1 см/сек). Этот автомобиль
установлен всеми своими четырьмя колесами на испытательной платформе,
двигающейся вверх и вниз с резонансной скоростью и амплитудой в 2,54 см.
Найти амплитуду колебаний на рессорах надрессорной части автомобиля,
полагая, что центр тяжести его находится в центре колесной базы.
Решение. На основании уравнения (2.11) частота собственных колеба-
ний равна
1ГТ Юл
Гшс == 2 л/с = Юл I/ —= — = 6,6 сек"1.
F бст V22.8
Затухание системы (для четырех амортизаторов) определяется коэф-
фициентом
с = 4 • 1,25 = 5 кГ сек/см.
Движение определится из дифференциального уравнения (2.5) на
стр. 51. При резонансе возмущающая сила равна
У(£а0)2 4- (ca0w)2.
Здесь
1360
к == ----= 59,6 кПсм, а0 — 2,54 см,
22,8
с — 5 кГ сек!см, ы = 6,6 сек~ Ч J
Тогда
У(kae)a + (саош)2 = VfSF’+S?2 = 173 кГ.
Наконец, из уравнения (2.31) находим искомую амплитуду колебаний
автомобиля:
§ 2.9. Приборы для измерения частоты
Рис. 2.20 дает ключ к пониманию действия большинства вибро-
измерительных приборов. Колебание иногда представляет собою
волну достаточно .сложной формы. Если эта волна нанесена на
бумагу, то все параметры, касающиеся колебания, вполне воз-
6*
84
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
можно определить, но во многих случаях это даже и не требуется.
Нас может интересовать либо частота, либо амплитуда движения,
либо ускорение. Приборы, удовлетворяющие только этим ча-
стным требованиям, могут быть изготовлены проще и дешевле,
чем в случае, когда потребовалась бы полная запись колеба-
тельного движения.
Прежде всего рассмотрим методы измерения только частоты.
Во многих случаях колебание бывает достаточно чистым, т.е. осно-
вная гармоника имеет значительно большую амплитуду, нежели
гармоники высших порядков. В таких случаях измерение частоты
выполняется легко, и по результату измерения бывает возможно
судить о причине колебаний. Устройство измерителей частот
почти всегда основывается на принципе резонанса. Для частот
низших, чем примерно 100 колебаний в секунду, обычно употреб-
ляются язычковые тахометры Таковых существует два типа:
с одним язычком и с большим числом язычков.
Измеритель частоты с одним язычком состоит из балочки,
представляющей собою пластинку из рессорной стали, плотно
зажатую одним концом и имеющую другой конец свободным.
Длина свободной части пластинки может изменяться посред-
ством вращения ручки установочного винта, соединенного с
зажимом. Таким образом, частота собственных колебаний пла-
стинки может регулироваться по произволу, и на язычке или
балочке нанесены значения частот в числах колебаний в секунду,
соответствующие каждой длине балочки (см. рис. 4.28 на стр.
211). Во время измерения зажатый конец пластинки плотно
прижимают к колеблющемуся предмету, вследствие чего основа-
ние этой пластинки принимает участие в измеряемом колебании.
После этого начинают слегка вращать установочный винт, изменяя
тем самым свободную длину язычка до тех пор, пока, при некоторой
определенной длине, не наступит состояние резонанса с пере-
даваемыми колебаниями, на что укажет значительный рост
амплитуд свободного конца. В этот момент на язычке читается
соответствующая частота. Прибор подобного типа выпускается
фирмой Вестингауз.
Пример. Язычковый частотомер с одним язычком переменной длины
состоит из полоски рессорной стали поперечного сечения 5x0,5 мм\ несу-
щей на конце грузик весом 7 г. Какова должна быть наибольшая длина
свободной части язычка этого прибора, если он предназначается для изме-
рения частот от 6 до 60 периодов в секунду?
Решение Коэффициент жесткости язычка, представляющего собой
балочку, заделанную одним концом, равен ЗЕ1№. Момент инерции попереч-
ного сечения
1 « — Ь№ • 0,5 • 0,053 = 5,2 • 10“«сл<4.
12
Тогда, полагая Е ** 2,10 - 106 кПсм\ имеем жесткость на изгиб, равную
EI = 2,1 • 106.5,2 • 10“6 = 10,9 кГ см\
§ 2.9
ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ
85
и тогда
ЗЕ1 32,7
Масса груза на конце равна
0,007
т =--------
981
= 71,4 • 10“7 кГ сек*!сМ' и
масса балочки на единицу длины (т. е. на 1 см)
0,5 • 0,05 • 0,0078 л л л п
= 2.0 • 10“07
к Г сек* 1см.
981
Так как нам надо при расчете взять одну четверть этой массы (так назы-
ваемую приведенную массу груза, см. стр. 214), то в общей сложности мы
получим массу
т 4- = (71,4 + 0.5/) • 10“7 кГ сек*/см.
4
При наибольшей длине частота должна быть равна 6 колебаниям в
секунду, откуда
ш2 = (2 л • 6)2 = 1420 сек-*.
Пользуясь уравнением (2.10), находим
_ 32,7-10’
1420 = -- _________
I* (71,4 + 0,5/)’
или
/з (1 + 0,007/) = 3,225 • 103.
Это уравнение может быть разрешено путем последовательных прибли-
жений. Вследствие малости второго члена в скобках (учитывающего массу
балочки), по сравнению с первым членом (учитывающим массу грузика),
мы в первом приближении пренебрежем вторым членом, и тогда получим
/з = 3225, откуда I = 14,8 см.
Если теперь это значение для / подставить в скобки предыдущего урав-
нения, то двучлен в скобках будет равен 1 + 0,007 • 14,8 = 1,104: следова-
тельно
„ 8225
/3 = ----- — 2992 см* и I — 14,3 см.
1,104
что уже является достаточно хорошим приближением.
Частотомер другого типа, известный под названием тахо-
метра Фрама, имеет большое количество язычков. Этот прибор
состоит из легкого ящика 6, содержащего в себе очень много
стальных пружинных полосок а. расположенных в один или
несколько рядов. Каждый такой язычок имеет частоту собствен-
ных колебаний, немного более высокую, чем соседний слева от
него, благодаря чему покрывается целый ряд частот. При упо-
треблении ящик помещается на вибрирующую машину, причем
86
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
большинство язычков вообще не будет двигаться. Однако один
или два из них, частоты собственных колебаний которых очень
близки к частоте колебаний, воспринимаемых от машины, будут
колебаться со значительной амплитудой. Это будет особенно
Ъ
lllllllll
Рис. 2.26. Тахометр Фрама.
хорошо видно, если ящик выкрасить внутри в сплошной черный
цвет, а наконечники на свободных концах язычков сделать бе-
лыми (рис. 2.26). Тахометры такого типа имеют широкое при-
менение.
Совершенно такие же приборы употребляются для определения
частоты переменного электрического тока. Механическое возбуждение от
возмущающей силы здесь заменяется электрическим возбуждением. Для
этой цели один или несколько витков проволоки помещается в ящик под
язычки. Ток, протекающий по этим виткам, образует переменное маг-
нитное поле, которое соответствующим образом действует на язычки.
§ 2.10. Сейсмические приборы1)
Для измерения амплитуды ко’лебаний обычно применяются
так называемые сейсмические инструменты, основная часть
которых состоит из массивного тела, подвешенного на пружинах
внутри коробки. Такой прибор помещается на вибрирующую
машину, и тогда амплитуда относительного движения коробки
и массы при различных частотах, регистрируемого колебания
будет следовать диаграмме, изображенной на рис. 2.20. Легко
видеть, что если частота изменения возмущающей силы велика по
сравнению с частотой собственных колебаний прибора, то заре-
гистрированная амплитуда г/0 практически оказывается такой
же самой, как и амплитуда а0 действительного движения. Таким
образом, чтобы получить прибор для измерения перемещений,
или «виброметр», необходимо, чтобы этот прибор имел частоту
собственных колебаний, по крайней мере вдвое меныиую, чем наи-
более низкая частота регистрируемых колебаний. В том случае,
когда исследуемое движение не является чистым, а, например,
содержит высшие гармоники, мы, в сущности говоря, никаких
х) Называемые также инерционными приборами. (Прим, перев.)
§2.10
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
87
трудностей не встречаем, поскольку гармоники высших порядков
имеют более высокие частоты, чем основное колебание, вследствие
чего они будут записаны еще точнее.
Сейсмическая масса на пружинах может дать также запись
ускорений. Заметим, что если движение определяется выражением
aosinGji, то соответствующее ускорение есть — а0 о2 sin at с
амплитудой а0 а2. На рис. 2.20 левая ветвь кривой (от а/ас = 0
до а/ас = 1/2) практически идет по закону а0о2. В самом деле,
уравнение кривой, изображенной на рис. 2.20 (стр. 72), есть
(2.26)
Так как для небольших значений а/ас знаменатель мало отли-
чается от единины, то уравнение приближенно может быть выра-
жено так:
?/о = [ Ц1
ап | wc I
2
или
1 2
Уо = $ «о «2-
Здесь l/сэ2 есть постоянная прибора, не зависящая от частоты
внешних колебаний. Отсюда следует, что крайняя левая часть
рис. 2.20 изображает ускорения при различных частотах.
Акселерометр, или прибор для записи ускорений, есть сейсми-
ческий инструмент с частотой собственных колебаний, по край-
ней мере вдвое более высокой, чем наибольшая частота регистри-
руемых ускорений. Отсюда сейчас же возникает возможность появ-
ления принципиальных трудностей в конструировании такого
прибора, так как движение, не являющееся чисто гармоническим,
содержит гармоники высших частот по сравнению с основной
гармоникой, причем частота одной из них может оказаться очень
близкой к частоте собственных колебаний прибора. Указанное
затруднение свойственно лишь акселерометру. В отношении
виброметра упомянутые осложнения отпадают, поскольку все
гармоники колебания имеют частоты, высшие* по сравнению с
частотой главного или основного колебания, и, таким образом,
опасность резонанса возникает лишь в том случае, когда частота
регистрируемого главного колебания ниже, чем частота собствен-
ных колебаний прибора. Чтобы обойти это специфическое затруд-
нение, необходимо ввести в акселерометр затухание.
88
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
На рис. 2.27 представлены четыре кривые: парабола, соответ-
ствующая идеальному акселерометру, и три резонансные кривые,
соответствующие различной степени затухания. Кривые для слу-
чаев, когда затухание равно 0,5 или 0,7 его критического зна-
чения. лежат ближе к параболе, которую нам было бы жела-
тельно получить, чем к кривой без затухания. Больше того,
теперь уже нечего бояться резонанса. Если коэффициент зату-
хания заключен между половиной и 0,7 его критического зна-
чения, то акселерометр запишет ускорения без заметной по-
Рис. 2.27. Сравнен не резонансных кривых для различных значений за-
тухания с парабол и чес кой кривой для идеального акселерометра.
грешности для колебаний, частота которых доходит до трех чет-
вертей частоты собственных колебаний прибора, в то время, как
влияние на ускорение высших гармоник уменьшится, или, если их
частоты достаточно велики, то практически совсем уничтожится.
Расчет кривых на рис. 2.27 производится путем применения дифферен-
циального уравнения (2.1) (стр. 44). Его решение [выражение (2.28а) на
стр. 75] можно сейчас же применить здесь, заменив Ро через тю8а3. Таким
образом.
является уравнением кривых на рис. 2.27. Читателю будет полезно про-
верить правильность формулы для нескольких точек кривой.
Формула (2.28b) для сдвига фазы и соответствующий рис. 2.28,6 могут
быть использованы в нашем случае без всяких изменений. Интересно отме-
§ 2.10
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
80
тить, что в области частот ниже резонансной и при затухании между 0,5-
и 0,7 критического значения кривая сдвига фаз очень мало отличается от
прямой, проходящей по диагонали’ прямоугольника. Это обстоятельство
способствует избавлению от ошибки, известной под названием «искажения
фазы». Для каждой гармоники сложного колебания прибор дает свой
особый сдвиг фазы между действительным движением и записанным.
Если всякий раз этот сдвиг пропорционален соответствующей частоте,
то записанные кривые колебаний будут иметь такую же форму, что и>
кривые действительных движений.
Исторически наиболее старыми сейсмическими инструментами
являются сейсмографы, служащие для записи колебаний при зем-
летрясениях. В этих приборах упруго подвешенная масса бывает
иногда очень велика, ее вес достигает 1m и больше. Что же касает-
ся частоты собственных колебаний,
то она очень низка, порядка одного
колебания за десять секунд.
Для технических применений
имеется большое разнообразие пере-
носных инструментов, весящих при-
близительно от 10 кГ для обычно-
го употребления и до 30 Г и даже
меньше для установки на самолетах.
Главное различие между разнообраз-
ными приборами заключается в спо-
собе регистрации. В наиболее про-
стых из них имеется циферблатный
Рир. 2.28. Виброметр для го-
ризонтальных и вертикальных
колебаний.
индикатор, прикрепленный к раме
прибора и связанный, кроме того, с сейсмической массой.
На рис. 2.28 представлена схема подобного прибора с одним ука-
зателем для горизонтальных и одним для вертикальных колеба-
ний. Обыкновенно колебательное движение бывает столь бы-
стрым, что наблюдателю циферблатная стрелка представляется
в виде двух стрелок с затемненной областью между ними; тогда
удвоенная амплитуда колебаний определится расстоянием между
двумя крайними положениями стрелки.
Приведенная здесь схема видоизменяется еще таким образом>
что циферблат со стрелкой заменяется маленьким зеркальцем,
которое качается при колебаниях Луч света от небольшого про-
жектора, ввиде автомобильной фары, проходит через щель и
затем отражается от качающегося зеркальца на шлифованную
стеклянную пластинку. Пока зеркальце находится в покое, изоб-
ражение получается в виде тонкой линии, но как только начи-
наются колебания, эта линия расширяется в полоску. Приборы
подобного рода, не снабженные приспособлением для непрерывной
записи, называются виброметрами Более совершенные вибро-
графы имеют регистрирующий механизм, который по своим раз-
мерам обычно превосходит сейсмическую часть прибора. Не ко то-
90
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
рые из них имею! перо, производящее запись на бумажной ленте;
в других эта запись совершается посредством иглы, наносящей
царапину на целлулоиде или стекле, которая затем исследуется
под микроскопом; наконец, есть приборы, в которых запись про-
изводится световым лучом на движущейся фотографической
пленке.
Вибрографы иногда изготовляются без специальных гасителей.
Эти приспособления должны ставиться в акселерометрах, где они
изготовляются в виде воздушного или масляного демпфера, либо
магнитного амортизатора, сущность которого состоит в том, что
сейсмическая масса снабжается еще придатком, представляющим
собою тонкую медную пластинку, перемещающуюся параллельно
своей плоскости в узкой щели между двумя полюсами сильного
электромагнита. При движении пластинки в ней возбуждаются
токи Фуко, которые вызывают тормозящую силу, пропорциональ-
ную скорости движения.
Пример !. Иногда употребляется виброграф, вовсе лишенный сейсми-
ческой части, т. е. являющийся просто регистрирующим приспособлением.
В этом случае прибор устанавливается на месте, свободном от колебаний,
например он может быть поставлен на тяжелом предмете, который
подвешен к крану заводского помещения Единственным соединением при-
бора с вибрирующей деталью является нгла, которая прижимается к этой
детали посредством пружины, другой конец нглы приводит в действие
записывающий механизм. Требуется найти давление пружины на иглу,
которое необходимо для удержания ее на детали, колеблющейся по закону
sin и« Масса иглы и соединительных движущихся частей пишущего
приспособления равна т.
Решение. Если бы пружины не было, то соприкасание между колеблю-
щейся деталью и концом иглы должно немедленно нарушиться, как только
эта деталь начнет двигаться в обратную сторону. При отсутствии соприка-
сания ускорение иглы по направлению к детали должно равняться Pjm,
где Р есть давление пружины. Это ускорение должно быть, по крайней
мере, равно наибольшему ускорению при возвратном движении колеблю-
щейся детали, т. е.
Р
— = anw2,
т
«ли
Р = юга0ю2.
Для записи крутильных колебаний употребляется сейсми-
ческий прибор, являющийся некоторым видоизменением вибро-
графа и называемый торсиографом. Вместо массы, подвешенной
на пружинах, работающих на растяжение или сжатие, здесь
имеется маховичок, связанный с пружиной, работающей на кру-
чение. Очень легкий алюминиевый шкив а (рис. 2.29) заклинен
на валу Ь. Тяжелый маховичок с может свободно вращаться на
валу, но между ним и валом осуществляется связь при помощи
мягкой спиральной пружины d. Пока шкив находится в покое,
маховичок может совершать вокруг вала свободные крутильные
§ 2.10
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
91
колебания, собственная частота которых достаточно низка. Но
как только валу будут сообщены крутильные колебания, и, следо-
вательно. шкив начнет колебаться, то движение маховичка отно-
сительно шкива будет происходить в этом случае по тому же за-
кону, который изображен графически на рис. 2.20 (вследствие
эквивалентности рисунков 2.3 и 2.4).
Торсиографы этого типа широко распространены в применении
к измерению крутильных колебаний коленчатых валов тихоход-
Рис. 2.29. Сейсмическая часть торсиографа.
ных, а также работающих на средних скоростях двигателей внут-
реннего сгорания.
Конечно, помимо измеряемых колебаний, валы обладают также
равномерным вращением. При производстве измерений шкив а
приводится в движение от коленчатого вала посредством узкого
хлопчатобумажного приводного ремня. Пока коленчатый вал
вращается равномерно, маховичок в точности следует этому дви-
жению, и между а и с никакого относительного движения нет.
Когда же вал начинает вращаться неравномерно, т. е. на его
вращение налагаются крутильные колебания, то шкив а будет
опять точно следовать движению вала, но зато уже маховичок с,
вследствие большой инерции, будет вращаться опять с постоянной
скоростью. Таким образом, возникают колебания в относительном
движении между а и с, которые передаются посредством системы
маленьких коленчатых рычажков тонкому стержню, расположен-
ному по осевой линии полого вала Ъ. В свою очередь, стержень
приводит в действие перо, которое производит запись на бумаж-
ной ленте, приводимой в движение часовым механизмом. Опи-
санный прибор, известный под названием вибро-торсиографа
Гейгера, появился в 1916 г. и выпускается фирмой Commercial
Engineering Laboratories, Detroit, Mich. Он пригоден лишь в при-
менении к тихоходным машинам, каковы, например, судовые
двигатели. В то же время в случае современных быстроходных
двигателей Дизеля регистрирующая система с пером попадает
92
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
в местный резонанс и, сверх того, достижимое увеличение записи
(до 24) оказывается недостаточным. В этих случаях предпоч-
тительнее пользоваться механическим торсиографом Саммера
(Summer), изготовляемым фирмой General Motors Research Labo-
ratories, Detroit, Mich.
Этот прибор вполне пригоден для частот до 10 000 колебании
в минуту и делает запись в виде полярной диаграммы.
Пример 2. Пусть маховик с торсиографа на рис. 2.29 может быть,
приближенно представлен в виде сплошного стального диска диаметром.
11 см и толщиной 5 см. Внешний диаметр шкива равен 12 см. При неподвиж-
но зажатом маховике груз в 300 Г, подвешенный к веревке, навернутой на-
шкив, поворачивает внешнюю окружность шкива на 1,2 см, т. е. при этом'
груз спускается также на 1,2 см.
Какова погрешность записи колебаний с помощью такого инструмента,
если записываемые колебания обладают частотой в 3 периода в секунду?
Кроме того, какова погрешность в записанной амплитуде третьей гармоники
кривой?
Решение. Найдем прежде всего частоту собственных колебаний при-
бора. Коэффициент жесткости k при кручении, выраженный в килограм-
мосантиметрах на радиан, определяется из тех соображений, что момент,
равный 0,3*6= 1,8 кГ см, вызывает угловое перемещение, равное 1,2 : 6 ==
— 0,2 радиана. В таком случае
. 1,8 n г
k = — — 9 к Г см.
0,2
Найдем теперь вес маховика. Получим
- • II2 • 5 • 0,0078 = 3,71 кГ.
4
Далее находим его момент инерции
1 1 3, 7
I — — тг2 = — •----- 5,52 = 0,0572 к Г см сек2.
2 2 981
Частота собственных колебаний получается равной
9 ___
—— = /157 - 12,5 сек-\
0,0572
12,5
fc — — = -— = 2,0 колебания в секунду.
2 л 2л
Итак, частота
Следовательно, по
истинной равно
записываемых колебаний оказывается на 50% выше
уравнению 2.26 отношение записанной амплитуды к
1,52 2,25
Т1 - 1.5s I ~ Ё25 “ 11 1
Гак как третья гармоника имеет частоту, в 4 - раза большую частоты
собственных колебаний прибора, то коэффициент динамичности равен
4,5 20,25
______ _ _ — _ . — — I иг
| 1 - 4.52 | 19,25 ’ ’
^2.11
ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
93
§ 2.11. Приборы электрического измерения
Быстрое развитие радиотехники за последнее десятилетие
Рис. 2.30. Сейсмоэлектрический датчик,
являющийся в существенных чертах
элементом громкоговорителя.
обмотками,
механиче-
в электри-
сделало возможным создание многих измерительных приборов,
имеющих вообще значительно меньшие размеры и в то же время
гораздо большую чувствительность, чем прежние механические
приборы, описанные в предыдущем параграфе. Большинство из
таких электрических «датчиков» — это опять сейсмические ин-
струменты для прямолинейных или крутильных колебаний,
работающие на том же принципе, что и приборы, рассмотренные
выше. Но они снабжены еще
электрическими
превращающими
ские колебания
ческий ток, который может
быть усилен и затем записан
посредством осциллографа.
На рис. 2.30 изображен схе-
матически датчик для прямо-
линейных колебаний, раз-
работанный Дрейпером и
Бентли (Draper and Bentley)
и выпускаемый под назва-
нием «Сперри-МИТ» фирмами
Sperry Gyroscope Company,
Brooklyn, N. Y. и Consolidated Engineering Corporation,
Pasadena Calif.
Электрическая часть этого прибора, габаритные размеры
которого, кстати сказать, не превосходят 2,5 см, а вес 60 Г, в
общих чертах напоминает собою электромагнит электродинами-
ческого громкоговорителя. Прибор имеет форму тела вращения
вокруг вертикальной осевой линии. Стальная часть а сейсмиче-
ски подвешивается посредством пружин с к корпусу d прибора.
Весьма важной деталью является не показанное на чертеже
направляющее приспособление для массы а. ограничивающее
ее движение только вертикальным направлением и не позволя-
ющее смещаться в стороны. В полости стальной части а помещается
катушка Ь, намотанная на центральный цилиндрический сердеч-
ник. Возбуждение производится проходящим через витки катушки
постоянным током, который намагничивает тело а
Для упрощения в некоторых конструкциях катушка не ста-
вится, и деталь а изготовляется в виде постоянного магнита из
специальной стали. Магнит а, являющийся телом вращения,
имеет кольцевой воздушный зазор с радиальным магнитным полем,
в который вставлен тонкий бумажный цилиндр е, несущий на
себе обмотку из чрезвычайно тонкой проволоки и прикрепленный
94
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
к крышке корпуса d. Весь прибор прикрепляется к тому объекту,
колебания которого желательно измерить. Всякое движение
магнита а в вертикальном направлении создает относительное
перемещение его по отношению к «звуковой катушке» е, приводя
таким образом к возникновению переменного напражения в
этой катушке. Это напряжение, пропорциональное скорости
относительного движения, поступает в усилитель, а затем после
достаточного увеличения записывается на ленте осциллографа.
Пригодные для этой цели осциллографы получили значительное
развитие за последние десятилетия прежде всего в связи с их
применением к практическим вопросам нефтеразведки, завоевав
себе в настоящее время достаточно
прочное положение.
Датчик торсиографа подобного
же типа показан на рис. 2.31, где
а есть вращающаяся сейсмическая
часть, аналогичная части с на
рис. 2.29. Эта часть здесь пред-
ставляет собою постоянный магнит,
северный и южный полюсы которого
обозначены на чертеже. Магнит мо-
жет свободно поворачиваться на мяг-
кой пружине, работающей па кру-
чение, вокруг сердечника d, жестко
Рис. 2.31. Сейсмоэлектрический связанного с валом, крутильные ко-
датчик торсиографа. лебапия которого желательно изме-
рить. Этот сердечник d несет на себе
звуковую катушку е. Силовые линии магнитного поля проходят от
северного полюса к южному через сердечник d, вследствие чего
всякое относительное вращательное движение магнита а по
отношению к сердечнику d вызывает изменение напряжения в
звуковой катушке е, величина которого пропорциональна угловой
скорости относительного движения.
Поэтому запись, полученная на осциллографе (осциллограмма)
от каждого из вышеописанных двух приборов, дает непосредствен-
но скорость, а не амплитуду колебаний. Этот факт сам по себе
не является отрицательным, однако во многих случаях удобнее
иметь сразу же запись амплитуды, а не получать ее путем числен-
ного или графического интегрирования кривой скорости. Это
может быть выполнено электрическим путем посредством так
называемого интегрирующего контура», показанного на рис. 2.32.
На этом рисунке буквой е опять обозначена звуковая катушка,
напряжение в которой пропорционально скорости. Ток, возбуж-
даемый в этой катушке, питает контур с последовательно включен-
ными емкостью С и сопротивлением R. Этот контур рассчиты-
вается так, что напряжение на сопротивлении в несколько раз,
§2.11
ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
95
например в 10, больше, чем на конденсаторе. Напряжение на
сопротивлении равно iR, а на конденсаторе Так как пер-
вое из них значительно больше второго, то вполне допустимо
считать напряжение iR равным полному напряжению V зву-
ковой катушки. Вследствие этого сила тока г оказывается
пропорциональной напряжению 7, которое, в свою очередь,
пропорционально скорости сейсмической массы, и напряже-
ние на обкладках конденсатора, пропорциональное Jidt, оказы-
вается, таким образом, пропорциональным интегралу от скорости,
т. е. амплитуде колебаний, а это и имелось в виду. Справа на рис.
Рис. 2.32. Интегрирующий электрический кон-
тур, преобразующий запись скорости в запись
амплитуды.
2.32 изображен векторная диаграмма падений напряжения при
изменениях этих величин по гармоническому закону. Упомя-
нутое выше «интегральное» напряжение попадает на вход первого
каскада усилителя. Так как напряжение на конденсаторе равно
примерно одной десятой полного напряжения, то чувствительность
установки понижается в 10 раз, вследствие чего оказывается необ-
ходимым добавочное усиление.
Конструирование усилителей чувствительности, не подвер-
женных влиянию частоты, легко осуществляется для частот от
10 герц и выше. Однако выполнены усилители также для более
низких частот до 3/4 герц и для более высоких до 15 000 герц;
таким образом, оказывается перекрытым весь диапазон частот,
имеющий практическое значение в машиностроении.
Для регистрации очень медленных колебаний применяется
другой электрический принцип, известный под названием «вари-
ации магнитного сопротивления» и поясненный на схемах рисун-
ков 2.33—2.35.
На рис. 2.33 изображены два электромагнита а, жестко свя-
занных один с другим, через обмотки с которых пропускается
нерешенный ток. Частота его значительно выше частоты измеряемых
колебаний, а амплитуда напряжения имеет постоянную вели-
чину. Обычный ток в 60 периодов в большинстве случаев вполне
96
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ, п
подходит для изучения колебания с частотой ниже 15 периодов
в секунду; при регистрации колебаний, значительно более бы-
стрых, для возбуждения катушек с применяется специальный
-альтернатор с частотой порядка 500 периодов. Ток из альтерна-
тора проходит через две катушки с, включенные последовательно.
Сердечник Ь, изготовленный из стальных пластинок, как и
С7-образные части а, установлен между этими частями таким обра-
зом, чтобы воздушный зазор между ними получился возможно
более малым. Средняя часть Ь совершает колебательное движение
Рис. 2.33. Прибор, работающий на прин-
ципе вариации магнитного сопротив-
ления, в котором применяется несущий
ток значительно более высокой частоты,
чем частота измеряемых колебаний.
между неподвижными частя-
ми а, изменяя, таким обра-
зом, воздушный зазор с ча-
стотой, равной частоте коле-
баний. Если при колебании
части Ь зазоры по обе сто-
роны от этой части в некото-
рый момент времени в точ-
ности равны др^г другу, то
напряжение от альтернатора
распределяется поровну меж-
ду обмотками с; однако, если
зазор со стороны одной части
а делается больше, чем со
в катушках с уже отли-
стороны другой, то напряжения
чаются одно от другого.
Описанный прибор соединяется с цепью мостика Уитстона
по схеме, показанной на рис. 2.34, где катушки с уравновешиваются
двумя равными полными сопротивлениями d. При равных воз-
душных зазорах и, следовательно, равных напряжениях на
катушках с указатель на мостике Уитстона покажет нуль, а
вообще его показания будут пропорциональны разности между
обоими зазорами. Как легко видеть, прибор находится под дей-
ствием тока, частота которого равна частоте возбуждающего
источника. Если вместо указателя включить в цепь осциллограф,
то последний сделает запись, характер которой представлен на
верхней части рис. 2.35. На этой осциллограмме быстрые колеба-
ния обусловлены переменным током от альтернатора, а медлен-
ные изгибы обертывающей кривой представляют собою интере-
сующие нас колебания установки. Для большего удобства чте-
ния записи в измерительную ветвь мостика Уитстона включают
выпрямитель, который преобразует верхнюю запись на рис.
2.35 в нижнюю.
Прибор, изображенный на рис. 2.33, может применяться в
качестве сейсмического прибора, если части а имеют сейсми-
ческую подвеску, а часть b непосредственно соединена с колеблю-
щейся деталью, движение которой желательно изучить. Однако
§2.11
ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
97
Рис.2.34. Цепь мостика Уит-
стона для прибора, пока-
занного на рис. 3.33.
этот же прибор может быть использован в качестве тензометра,
т. е. прибора для определения удлинений в стержнях конструк-
ций; тогда две части а прикрепляются к одному месту исследуе-
мой конструкции, а средняя часть Ъ к другому.
Прибор, известный под названием электрического торсиометра
Сименса — Мак-Наба (Siem ens-McNab Electric Torsion Meter),
вошел в употребление для измерения
мощности, передаваемой валом гребного
винта у судов, находящихся в пути.
Часть а прибора по схеме на рис. 2.33
прикрепляется к муфте, связанной с
одним сечением вала гребного винта,
тогда как часть b прикрепляется к дру-
гой муфте, связанной с сечением вала,
находящимся примерно на расстоянии
90 см от первого. Если вал на этом
участке подвергается скручиванию,
дающему деформированное состояние,
то в процессе вращения вала части а
и Ъ изменяют относительное располо-
жение. Обратимся теперь к рис. 2.34.
Здесь части с, с вращаются вместе
с валом, и ток протекает через три
скользящих кольца. В то же время неврашающийся прибор
содержит не только омические сопротивления й, но также
и весь комплекс, подобный изображенному на рис. 2.33. Взаимное
расположение (невращающихся)частей а и Ь изменяется прецизион-
ным микрометрическим винтом до тех пор, пока амперметр не
покажет нуль. Тогда воздушные зазоры, вращающийся и не вра-
Рис. 2.35. Запись, полученная с помощью мостика Уитстона.
шлющийся, должны быть одинаковы; их положение, а следова-
к'лыю, и крутящий момент на валу, прочитывается по невращаю-
щемуся микрометрическому винту.
Прибором, имеющим чрезвычайно большое значение, является
।сизометрический датчик проволочного сопротивления, впервые
7 Двп-Гартог - 2074
98
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
4
ГЛ. II
Рис. 2.36. Проволочный
тензометрический зажим.
введенный в употребление Симмонсом и Дэтвейлером (Simmons
and Datwyler), усовершенствованный Раджем и де-Форестом
(Ruge and De Forest) и выпускаемый под маркой «SR-4gage» фир- *
мой Болдуин (Baldwin Southwark Со, Philadelphia, Ра); этот при-
бор получил всеобщее применение, особенно в авиационной
промышленности. Прибор изготовляется из очень тонкой прово-
локи (0,025 мм) с большим электри-
ческим сопротивлением (нихром), рас-
положенной, как показано на рис. 2.36,
и помещенной между двумя тонкими
листами бумаги. Вся длина прибора
около 2,5 см\ полное электрическое ь
сопротивление около 500 ом. Прибор
приклеивается к испытуемому метал-
лическому предмету; если этот предмет (а следовательно, и нихро-
мовая проволока) деформируется, то электрическое сопротив-
ление проволоки изменяется. Коэффициент чувствительности,
являющийся отношением относительного изменения' сопротив-
ления к относительному изменению длины, примерно равен 3. )
Это значит, что, например, для напряжения в стали, равного
2,1 • 10® кГ/см2 и дающего относительное удлинение 0,001,
электрическое сопротивление получает относительное изме-
нение 0,003, так что в приборе с сопротивлением 500 ом
абсолютное изменение сопротивления будет 1,5 ом. Рис. 2.37
показывает включение описанного прибора в цепь. Электри-
ческое напряжение батареи делится между прибором а и постоян-
ным сопротивлением Ъ. Если деформация, и, следовательно, ।
Рис. 2.37. Цепь для электри-
ческого тензометрического
датчика.
Рис. 2.38 Два тензометрических дат-
чика, укрепленных под углом 45° к
оси вала, образующие чувствитель-
ный элемент для исследования кру-
чения вала.
сопротивление прибора ас течением времени изменяется, то меня-
ется как напряжение на его концах, так и напряжение на сетке
лампы первого каскада усилителя, связанного с осциллографом.
На рис. 2.38 показано применение этого метода к измерению
кручения вала. Известно, что для вала, работающего на кручение,
§2.11 ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ 99
.пинии наибольших деформаций направлены под углом 45° к
его оси. Поэтому, если приклеить два тензометрических датчика
к валу, как показано на рисунке, то при его скручивании один из
них будет удлиняться, а другой укорачиваться. Вследствие этого
напряжение постоянного тока от батареи непоровну распреде-
лится между обоими датчиками, и изменения напряжения будут
следовать за изменениями вала, т. е. за изменениями крутящего
момента.
Практическое преимущество тензометров только что описан-
ного типа заключается прежде всего в их чрезвычайной легкости.
Так, для измерения напряжений в винтах самолетов или в лопат-
ках турбин, где напряжение поля центробежных сил достигает
9000 д, пригодны только чувствительные элементы, почти лишен-
ные веса. Применение датчиков омического сопротивления впер-
вые сделало возможными достаточно надежные измерения ви-
брационных давлений в винтах самолетов.
При очень медленных вариациях замеряемых величин обыч-
ный усилитель не сможет работать, и в этих случаях приборы
возбуждаются высокочастотным током, подобно тому, как пока-
зано на рис. 2.34. Фирма Фоксборо (Foxboro Со., Foxboro, Mass.}
выпускает прибор под маркой «Диналог» (Dynalog) с несущим
током 1000 периодов, генерируемым ламповым осциллятором,
вмонтированным в прибор. Схема его контура приблизительно
такая же, как на рис. 2.34, где с, с — два датчика» один в состоя-
нии растяжения, другой — в состоянии сжатия, й, d — конден-
саторы, один постоянной емкости,'другой — переменной. Ток от
неуравновешенного мостика вместо того, чтобы проходить через
амперметр (рис. 2.34), проходит через маленький моторчик, вра-
щающий вал. Последний изменяет переменную емкость конден-
сатора d до тех пор, пока не будет снова достигнуто равновесие,
и ток через мотор прекратится. Положение вала конденсатора
показывает деформацию, значение которой может быть легко
отсчитано по шкале с точностью до 1% всей шкалы, которая
обычно соответствует относительной деформации в 0,001.
В соединении с этим диналогом возможно употребление мно-
ючисленных датчиков для измерения самых разнообразных
величин, как, например, деформации, напряжения, давления.
Датчики для измерения давления имеют вид и размеры запальной
свечи и могут ввинчиваться в трубопровод. Они содержат в
п Си элемент, который деформируется пропорционально давле-
нию жидкости или газа и с которым связан описанный выше датчик
SJI = 4. Эти приборы имеют различную чувствительность;
наиболее чувствительные из них имеют шкалу для диапазона
давлений от Одо 42 кГ/см2, в то время как наименее чувствитель-
ны! — от Одо 1400 кГ)см2. Существуют также дифференциальные
приборы подобного типа, наиболее чувствительные из которых
100
СИСТЕМЫ с ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. I)
регистрируют давления в диапазоне шкалы от 0 до 250 см водя-
ного столба, налагающиеся на основное давление 35 кГ/см2
или выше1).
Стробоскоп есть прибор для производства прерывающихся
вспышек света, посредством которых тело, совершающее быстрые
колебательные движения, может казаться находящимся в покое
или движущимся очень медленно. В хорошем стробоскопе вспышки
света имеют исключительно короткую продолжительность. Вооб-
разим, что колеблющийся предмет освещен источником света
подобного рода, который отрегулирован так, что имеет ту же
самую частоту, что и колебания. Предмет будет видимым в не-
котором определенном положении, после чего он сделается тем-
ным и будет оставаться невидимым при дальнейшем своем пере-
мещении в течение одного периода колебания. Затем, когда по
истечении периода он возвратится к своему первоначальному
положению, на него опять попадает свет при следующей вспышке.
Таким образом, предмет будет казаться стоящим на месте. Если
частота вспышек слегка отличается от частоты колебательного
движения, то создается впечатление, что колебания происходят
очень медленно. Для создания хорошей иллюзии покоя, без мерца-
ния, необходимо, чтобы в течение одной секунды происходило не
менее 15 вспышек, подобно тому, как это имеет место в кинопроек-
торе. Отчетливость получаемой картины обусловливается требо-
ванием, чтобы за время одной вспышки предмет перемещался
очень мало. Вспышки значительной продолжительности при-
водят к расплывчатому изображению. Новейшие усовершенство-
вания вакуумных и газонаполненных трубок сделали возмож-
ным изготовление стробоскопов, дающих вспышки большой силы
и очень малой продолжительности. Частота вспышек может
непосредственно отсчитываться на калиброванном циферблате
подобно тому, как это делается в радиоприемнике. Для достаточно
больших амплитуд прибор может служить одновременно как
измерителем частоты, так и измерителем амплитуд.
Для меньших амплитуд употребляется стробоскоп в соеди-
нении с сейсмически подвешенным микроскопом. Для этого надо
взять сейсмическую массу с очень малой частотой собственных
колебаний, несущую на себе микроскоп. Микроскоп наводится на
маленький кусочек наждачной бумаги, наклеенный на колеб-
лющийся предмет и освещенный стробоскопом. Тогда отдельные
частички наждака представятся наблюдателю в виде резких
точек, описывающих по причине стробоскопической установки
1) В оригинале приводится калибровка приборов в английских мерах.
Указанные здесь значения давления представляют собой соответствен-
но слегка округленные величины 600 фунт1дюйм2, 20 000 фунт1дюйм2.
100 дюйм, 500 фунт/дюйм2. (Прим, перев.)
§2.11
ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
101
замкнутые кривые. Таким образом, можно определить частоту
и амплитуду колебаний.
Некоторые стробоскопы имеют две или больше ламп, действу-
ющих от одной и той же цепи, которые вследствие этого вспыхи-
вают одновременно. Это чрезвычайно удобно для нахождения
отношения фаз. Пусть мы имеем две части машины, колеблющиеся
с одной и той же частотой, и нам нужно знать, находятся ли эти
части водной фазе или в противоположных.Для этого каждый из
двух наблюдателей берет по лампе, причем частота вспышек
регулируется так, чтобы колебания казались очень медленными.
После этого они обращают свое внимание на две отметки, и пер-
вый наблюдатель подает сигнал каждый раз, как рассматриваемая
им колеблющаяся часть занимает одно из двух крайних положе-
ний.,Тогда другой наблюдатель может легко проверить, находится
ли изучаемое им движение в той же фазе или в противоположной.
Очень удобный прибор такого рода, разработанный Эджер-
тоном (Edgerton), выпускается Всеобщей Компанией Радио (Gene-
ral Radio Company, Cambridge, Mass.) под маркой «Строботак»
(Strobotak).
Пример. Положим, что мы хотим наблюдать точку, расположенную
в 10 см от оси машины, вращающейся со скоростью 10 000 об/мин. Какова
должна быть продолжительность одной вспышки света, если нам желатель-
но получить расплывчатость изображения не более чем в 0,7 мм?
Решение. Точка, о которой идет речь, перемешается в одну секунду
на расстояние
• 2л • 10 = 10 500 см = 150 000 • 0,07.
60
1
Таким образом, вспышка должна длиться — А—- - сек или меньше.
150 000
Интересный торсиограф, основанный на совершенно ином
принципе, был разработан фирмой General Motors Research
Laboratories. Он назван «торсиографом со сдвигом фазы» (phase-
shift torsiograph) и состоит из насаженного на вал тонкого колеса
(толщины около 1,5 мм) с большим числом равноотстоящих друг
от друга зубцов (например, около 300). Два небольших электро-
магнита с обмотками подведены почти вплотную к зубчатому
колесу, которое действует наподобие обращенного электриче-
ского звонка. Проходящие зубцы вызывают в обеих катушках
переменное напряжение с частотой прохождения этих зубцов.
>ia частота постоянна лишь в случае равномерного вращения
нала; если же вал испытывает крутильные колебания, то запись
юка покажет синусоидальные волны то тесно сдвинутые, ю-
раздвинутые.
Получаемый на выходе ток переменной частоты поступает в
смеситель, где он смешивается с током постоянной средней ча-
ст гы, который вырабатывается ламповым генератором.
102
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. II
Таким образом, два тока будут составлять между собой непре-
рывно изменяющийся фазовый угол, и соответственным приемом
можно достигнуть того, что на осциллографе сразу получится
запись амплитуд крутильных колебаний в зависимости от вре-
мени. Преимущества этого метода состоят в отсутствии скользя-
щих колец и в возможности установить прибор на машинах так
компактно, как это невозможно для какого-либо иного прибора,
а также в получении записи, которая не зависит от степени усиле-
ния электронных устройств, а определяется только фазовыми
углами. Интересно отметить, что в этом методе «сейсмическим»
элементом является уже не механическая деталь — маховик,
вращающийся с постоянной скоростью, а вакуумная трубка
генератора, производящего ток постоянной частоты.
По вопросу электрических гармонических анализаторов см.
стр. 38 (раздел о рядах Фурье).
§ 2.12. Теория виброизоляции
Положим, что неуравновешенная машина должна быть уста-
новлена в сооружении, колебания которого нежелательны. Подоб-
ное требование встречается довольно часто. Примером может
служить мотор переменного тока лифта в больнице или гостинице,
а также двигатель на автомобиле. Задача заключается в уста-
новке машины таким образом, чтобы в том сооружении, с которым
она связана, колебания не
появлялись.
Общее решение этой
задачи состоит в пружин-
ном подвешивании ма-
шины, а тогда рисунки 2.18
и 2.20 опять дают указа-
ния к правильному выпол-
нению подобной установ-
ки. На рис. 2.39 машина
изображена в виде массы
т с силой Р sin cot, дей-
Рис. 2.39. Опора на очень гибких пружинах
предупреждает передачу колебаний фун-
даменту.
ствующей на нее. На
рис. 2.39, а эта масса прикреплена жестко к фундаменту,
в то время как на рис. 2.39,6 она установлена на пружинах
с коэффициентом жесткости к (на рис. 2.39, а это к бесконечно
велико). Для простоты фундамент предполагается абсолютно
жестким; более сложный случай подвижного основания будет
рассмотрен ниже на стр. 165.
Если теперь Ро удерживается постоянным, а частота из-
меняется, то амплитуда колебаний массы т изменяется согласно
диаграмме, изображенной на рис. 2.18.
§ 2.12
ТЕОРИЯ ВИБРОИЗОЛЯНИИ
103
Наша задача заключается в нахождении величины силы,
передаваемой машиной фундаменту. Так как в соприкосновении
с основанием находятся лишь пружины к, то единственной пере-
даваемой силой может быть только сила упругости пружины,
которая имеет величину кх (предполагается, что затухание
отсутствует). Ординаты на рис. 2.18 представляют собою отно-
шение наибольшего перемещения xQ массы к статическому пере-
мещению:
Поэтому
хп хп ка0 сила пружин
ордината =—- = = ----------------
г жст Ро Ро возмущающая сила
к
= —°-----------— = «коэффициент передачи» (transmissibility),
возмущающая сила
) В идеальном случае это отношение должно быть равно нулю;
практически наша цель заключается в том, чтобы сделать указан-
ное отношение достаточно малым. На рис. 2.39, а коэффициент
жесткости к = ©о, и поэтому частота собственных колебаний
или резонансная частота равна бесконечности. Таким образом,
действующая частота со возмущающей силы очень мала по срав-
нению с частотой собственных колебаний, т. е. мы находимся в
точке А рис. 2.18, вследствие чего передающая сила равняется
возмущающей силе. С физической точки зрения это очевидно, так
как основание предположено нами жестким, а поэтому масса т
не может двигаться: следовательно, основанию передается вся
сила Ро. Диаграмма на рис. 2.18 показывает, что поддерживающие
пружины необходимо рассчитать таким образом, чтобы часто-
та собственных колебаний всей машины была очень мала в сравне-
нии с частотой изменения возмущающей силы; иными словами,
пружины должны быть очень мягкими.
Рассмотрение этой диаграммы и соответствующей формулы
(2.24) показывает, что если со меньше, чем сос ]/2 = У^к/т, то пру-
жины в действительности только ухудшают положение, так
как коэффициент передачи оказывается больше единицы. Когда
1
частота собственных колебаний равна- частоты изменения возму-
о
тающей силы, коэффициент передачи равен Это достаточно
хорошо, но во многих случаях предпочитают делать пружины
еще мягче. До сих пор мы предполагали, что колебание машины
происходит без затухания. Практически это можно считать
104
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
выполненным при применении стальных пружин. Однако иногда
с целью амортизации употребляется каучуковая или пробко-
вая набивка, и тогда уже [пренебрегать явлением затухания
нельзя. Соответствующая система символически представлена
на рис. 2.40; амплитуда движения массы т определяется одной
Рис. 2.40. Рессорная
опора с затуханием.
из кривых на рис. 2.22. В этом случае
ординаты кривой перемещений уже не
являются прямо пропорциональными ор-
динатам кривой коэффициентов передачи.
Теперь передаваемая сила возникает не
только вследствие силы упругости пружины
kxQ, но также вследствие силы затухания
сых0. На стр. 75 было показано, что эти
две силы, находящиеся соответственно вод-
ной фазе с перемещением и со скоростью,
отличаются по фазе друг от друга на 90°,
или на тг/2. Следовательно, их сумма, ко-
торая является полной передаваемой силой, согласно уравнению
(1.6, стр. 16), равна
х0У№ + (са>)2.
(2.32)
Амплитуда ^определяется формулой (2.28 а) на стр. 16,
ствие чего из формулы (2.32) получаем:
вслед-
передаваемая сила =
или, поскольку PQ является возмущающей силой, то
(2.33)
В случае отсутствия амортизатора, т. е. при с/ск = 0, мы получаем
формулу (2.24) на стр. 68. Это соотношение графически представ-
лено на рис. 2.41. Как видно, затухание выгодно лишь в области,
где й)/юс < 1,41 (где рессорное подвешивание нецелесообразно);
для всех же значений о/с»с, при которых рессорное подвешивание
оказывается благоприятным, затухание ухудшает значение коэф-
фициента передачи.
Это довольно парадоксальное утверждение в действительности
не имеет столь принципиального значения. В самом деле, прежд
всего неблагоприятное действие затухания уже не так велико и
105
§ 2,13 ПРИЛОЖЕНИЯ К ОДНОФАЗНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МАШИНАМ
может быть легко избегнуто, если сделать пружины несколько
менее жесткими, что соответствует на рис. 2.41 некоторому
перемещению вправо. С другой стороны, хотя мы и не желаем
попадать в резонанс, когда cd/cdc = 1, но это, к сожалению, иногда
может случаться, и тогда-то присутствие амортизатора является
Рис.2.41. Диаграмма, показывающая желательность зату-
хания в рессорном подвешивании при &> < о>с У2 и не-
желательность при w > ь>сУ2.
в высшей степени желательным. Таким образом, вопреки указа-
нию диаграммы, изображенной на рис. 2.41, некоторое затухание
в пружинах вообще выгодно.
§ 2.13. Приложения к однофазным электрическим машинам
На практике случаи виброизоляции посредством пружин
встречаются во многих машинах. Надо, однако, отметить, что
главная область применений относится к тем машинам, которые
являются неуравновешенными по самой своей конструкции или
воспринимают непостоянный вращающий момент, обусловленный
особенностью машины. Среди последних наиболее важны одно-
фазные динамомашины и электромоторы, а также двигатели
внутреннего сгорания.
Рассмотрим прежде всего однофазные электрические машины.
Как известно, крутящий момент в электромоторе вызывается
действием электромагнитного поля на якорь, по которому
106
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. 11
течет ток, но в свою очередь и само магнитное поле вызвано тече-
нием тока через катушки поля. Пусть мотор приводится в дей-
ствие однофазным переменным током, имеющим, например, 60
периодов в секунду; тогда ясно, что ток, протекающий через мотор
(и через катушки электромагнитов поля), должен обращаться в
нуль 120 раз в секунду. Но при силе тока, равной нулю, исчезает
и магнитное поле, а следовательно, и крутящий момент. Даже
не зная подробностей устройства такой машины, мы можем
предполагать, что вращающий момент должен быть некоторой
периодической функцией времени, имеющей 120 периодов в
секунду.
Более точный анализ может быть произведен следующим образом.
Мощность всякой электрической машины в данный момент времени, выра-
женная в ваттах (произведенная работа за одну секунду), равняется произ-
ведению напряжения (в вольтах) на силу тока (в амперах), или:
число ватт = е • i.
Если напряжение равно
б = emax ‘ sin tot,
где ю = 60 • 2леек-1 и если сила тока
« = «max ’ Sin (tot — <р),5
то имеем:
мощность = етах • ?тах • sin tot • sin (ьИ — tp) =
— етах «max sin tot (sin cot coSep — cos tot sin tp) =
= emax «max (sin2 tot COS tp — sill tot COS tot sin tp) =
emax «max . ,, n
= ---------[cos«p(l — cos 2wf) — smtp sin 2 tot] =
emax «max r ,o . ,
« ---------[cos tp — cos (2cot — tp) J.
Таким образом, мы видим, что выражение для мощности состоит из двух
частей, из которых одна не зависит от времени в представляет собою
установившуюся мощность (это есть та мощность, которая имелась в
виду при конструировании машины); другая же часть изменяется по гар-
моническому закону с частотой 2со. За продолжительный промежуток
времени последняя часть не даст работы, так как положительные и отрица-
тельные члены будут взаимно уничтожаться. Крутящий момент найдется
из мощности так:
работа момент X угол
мощность = --------- ------------------- момент х угловая скорость,
секунда секунда
Таким образом, все заключения, сделанные относительно мощности,
сохраняют свою силу и для момента, если, конечно, угловая скорость
постоянна, что обычно при установившемся ходе машин практически можно
считать выполненным.
§ 2,13 ПРИЛОЖЕНИЯ К ОДНОФАЗНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МАШИНАМ
107
Соотношение между крутящим моментом и временем дано
на рис. 2.42, который показывает, что амплитуда а изменения
момента примерно на 30% больше номинального значения Ь
этого момента для данной машины. Однако такое соотношение
создает плохие условия для работы машины; самый лучший
случай, который только может представиться — это тот, когда
а = Ь. Тогда крутящий момент никогда не делается отрицатель-
ным, а только обращается в нуль, причем 125 раз в секунду.
Рис. 2.42. Крутящий момент однофазного электромотора перемен-
ного тока есть периодическая фун кция времени, частота которой
равна удвоенной частоте напряжения.
Электрическая машина состоит из двух частей: ротора и
статора. Хотя в назначение машины входит сообщение крутящего
момента ротору, однако по закону Ньютона о равенстве действия
и противодействия неизбежным является тот факт, что момент,
такой же по величине, но противоположный по направлению,
действует на статор. Если статор наглухо прикреплен болтами к
фундаменту, то мы имеем случай, аналогичный изображенному
на рис. 2.39, а. Реактивный момент весь передается фундаменту
машины, и оттуда его действие может дальше распространяться
r различных направлениях. Хотя распространяющееся таким
образом колебательное движение обычно очень мало, однако может
случиться, что на достаточно большом расстоянии от источника
колебаний окажется балка или вообще какое-либо сооружение,
имеющее частоту собственных колебаний тоже 120 периодов
в секунду. Подобная конструкция воспримет движение и увеличит
его благодаря резонансу. Известен случай, относящийся к неко-
торому числу больших однофазных генераторов, установленных
па фундаменте в Нью-Йорк Сити. От жильцов квартир, располо-
женных в доме за несколько кварталов от места установки гене-
108
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. П
раторов, поступали жалобы на неприятное жужжание в их
квартирах, тогда как со стороны соседей, живущих значительно
ближе к источнику колебаний, подобных жалоб совершенно не
было. Очевидно, объяснение описанного факта таково: лица,
которые жаловались, имели несчастье жить в квартирах, где
пол или потолок звучали именно с частотой 120 колебаний в
секунду. Помочь этому оказалось возможным путем установки
генераторов на пружинах, как указано на рис. 2.43.
Рис. 2.43. Рессорное подвешивание больших однофазных
генераторов для восприятия реактивных моментов.
Так как возмущающим фактором является лишь крутящий
момент, а не сила, действующая попеременно вверх и вниз, то
пружины должны быть расположены таким образом, чтобы
статор мог поворачиваться, совершая крутильные колебания,
т. е. уступать действию крутящего момента. Жесткость пружин
должна быть подобрана так, чтобы частота собственных кру-
тильных колебаний статора на пружинах была примерно равна
одной седьмой от 120 колебаний в секунду.
В установках для больших машин, имеющих место в действи-
тельности, пружины, показанные на рис. 2.43, бывают обычно
не винтовые, как изображено на рисунке, а чаще в виде брусьев
из рессорной стали, работающих на изгиб и расположенных своей
длиной параллельно оси вращения генератора. На рис. 2.44 дан
эскиз подобной установки (поперечное сечение АА на рис. 2.43);
а обозначает статор, Ь — опору и с — плоскую рессору, воспри-
нимающую нагрузку в четырех точках.
Малые однофазные моторы широко применяются в машинах
для домашнего хозяйства, как то: в холодильниках, в машинах
для стирки белья и т. п. Иногда такие моторы имеют шестерню
§2.13 ПРИЛОЖЕНИЯ К ОДНОФАЗНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МАШИНАМ
109
на валу, приводящую в движение зубчатое колесо, так что в этом
случае оказывается необходимым устанавливать подшипники
ротора таким образом, чтобы они обладали большой жесткостью
либо при вертикальных, либо при горизонтальных перемещениях,
благодаря чему было бы обеспечено хорошее действие зубчатой
Рис. 2.44. Деталь листовой рессоры генератора рис. 2.43.
передачи. Сдругой стороны, статор должен быть установлен весьма
гибко для возможности совершать вращательные движения.
В продаже существует несколько конструкций, удовлетворя-
ющих обоим поставленным требованиям. Две из них мы здесь опи-
шем. Их общая особенность та, что подшипники ротора непо-
Рис.2.45. Укрепление малого однофазного мо-
тора в резиновом кольце а, являющемся гиб-
ким на скручивание и жестким на верти-
кальное и боковое перемещения.
движно скреплены со статором, чем эти конструкции и отличаются
от изображенной на рис. 2.43, где подшипники прикреплены не-
подвижно к полу, так что пружины оказываются между подшип-
никами ротора и статором. Такой жесткий агрегат (ротор-
счатор) установлен на пружинах или на основании, или на полу.
Способы, которыми все это выполняется, во всяком случае доста-
точно разнообразны.
no
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
гл. п
В первой конструкции (рис. 2.45) каждый конец статора уста-
новлен в толстом резиновом кольце а, которое удерживается в
опоре Ь, прикрепленной к полу. Резина является материалом,
могущим подвергаться весьма значительному растяжению до
достижения предела упругости, но в то же время она исключи-
тельно сильно сопротивляется изменению ее объема: если рези-
новую полоску удлинить вдвое, то среднее значение ее поперечного
сечения при этом становится также в два раза меньше (иным
способом это можно выразить, указав, что для резины пуассоново
Рис. 2.46. Укрепление малого мотора на рессоре, со-
стоящей из двух участков, наклоненных под углом 45°
к горизонту и проходящих через ось мотора.
отношение равно половине). Благодаря такому свойству подшип-
ник внутри резинового кольца навряд ли сможет передвигаться в
сторону по отношению к основанию, так как это значило бы
утоньшение кольца с одной стороны, что могло бы иметь место
лишь тогда, когда резина утолщалась бы в вертикальном направ-
лении. Это, однако, предотвращено трением, вследствие чего
кольцо образует жесткое звено между подшипником и опорой,
поскольку речь идет о боковых (или вертикальных) перемещениях.
Что же касается вращения подшипника в опоре, то ему резина
противодействует лишь реакцией, действующей на сдвиг, который
может иметь место без изменения объема, и, таким образом,
кольцо проявляет гибкость по отношению к этому движению.
Обратимся теперь к другому способу, также достаточно
остроумному и ведущему к той же цели; соответствующая схема
представлена на рис. 2.46.
Здесь подшипник поддерживается стальной полоской, изог-
нутой так, что два ее участка образуют с горизонтом углы по 45°,
а три участка горизонтальны (эта полоска является одновременно
и пружиной и опорой). Таким образом, мы получаем между полом
и подшипником две наклоненные под углом 45° балки, заделанные
обоими концами. Конструкция осуществляется так, что осевые
линии обеих балок проходят через центр подшипника. Всякое
вертикальное и горизонтальное перемещение сопряжено либо с
растяжением, либо со сжатием этих балок, в то время как поворот
§ 2.14
ПРИМЕНЕНИЕ К АВТОМОБИЛЮ. ПЛАВАЮЩАЯ ПОДВЕСКА
111
подшипника вызывает изгиб балок. Так как полоска легко под-
дается изгибу, но является несравненно более жесткой на чистое
растяжение или сжатие, то тем самым мы достигаем желаемого
результата.
§ 2.14. Применение к автомобилю. Плавающая подвеска
Двигатели внутреннего сгорания имеют диаграмму враща-
ющего момента в зависимости от времени, немногим отличающуюся
от диаграммы, представленной на рис. 2.42. Для четырехтактного
двигателя соответствующая частота в периодах в минуту равна
п п
2 X число оборотов в минуту, где п есть число цилиндров. Все
это подробно будет разъяснено на стр. 266, здесь же важно знать
Рис. 2.47. Схема плавающей подвески автомобильного двигателя.
лишь, что существует вращающий момент. Если мотор жестко
установлен на раме, то изменения этого момента вызовут появле-
ние соответственных реакций со стороны самого экипажа (авто-
мобиля, вагона и т. д.), которые будут восприниматься как крайне
неприятное явление. Очевидное средство против указанного
явления заключается в установке двигателя таким образом,
чтобы его свободные вращательные колебания вокруг оси вра-
щающего момента были очень медленными; точнее говоря, частота
1нких свободных колебаний должна быть меньше угловой скоро-
< hi вращения вала примерно в п/2 раза.
Это может быть выполнено помещением блока мотора на две
напфы — одна спереди и одна сзади, — входящие в подшипники,
прикрепленные к шасси, благодаря чему блок получает возмож-
ность поворачиваться вокруг оси, практически параллельной
о< II момента и проходящей через центр тяжести мотора (ось А А
и.। рис. 2.47). Если конструкцию осуществить именно в таком виде,
г* । каких-либо добавлений, то блок мог бы свободно вращаться
uoKpyj оси А А. Эта возможность, однако, предупреждается
112
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛ. 11
введением полоски листовой пружины В между блоком и рамой,
жесткость которой подбирается таким образом, чтобы сделать
частоту собственных колебаний достаточно низкой.
Кроме действия неуравновешенного момента, четырехцилинд-
ровый двигатель испытывает еще действие горизонтальных и
вертикальных сил инерции (см. стр. 241), которые естественно
вызывают реакции в А и В. По этой причине как подшипники А,
так и конец пружины В заделываются в резину.
В конструкциях, имеющих место в действительности, ось АА
не строго параллельна оси момента. Это делается вследствие того,
что ось момента не является главной осью инерции и, следователь-
но, не совпадает с соответственной осью вращения.
Рис. 2.48. Вращение вокруг оси, отличной от главной
оси инерции, приводит к возникновению реактивных
сил в подшипниках.
Всякое твердое тело имеет три «главные оси инерции». Рассмотрим,
например, прямоугольный брусок стали (рис. 2.48), который прикреплен к
невесомому валу, проходящему через его центр тяжести, но не совпадающему
ни с одной из его главных осей инерции (»лесь это будут оси симметрии).
Брусок и ось вала лежат в плоскости чертежа. Теперь приложим мгновенно
вращающий момент к валу и рассмотрим вызванные им ускорения. Точки
верхней части бруска получают ускорения, направленные за чертеж, в то
время как ускорения точек, принадлежащих нижней части, направлены со
стороны чертежа на нас (все это указано на фигуре точками и крестиками).
Умножая эти ускорения на массу соответственных элементов, мы получим
силы инерции. Из чертежа ясно, что произведения сил инерции на расстоя-
ния их от оси вала образуют в результате крутящий момент, который равен
по величине, но противоположен по направлению, приложенному вра-
щающему моменту. Больше того, эти силы, будучи умножены на их рас-
стояния от вертикальной пунктирной линии, дают крутящий момент
относительно этой линии, как оси. Отсюда получаются соответствующие
реакции в подшипниках; тогда на правый подшипник будет действовать
сила, толкающая его со стороны чертежа по направлению к читателю, в то
время как левый подшипник будет испытывать действие силы, толкающей
его за плоскость чертежа. Очевидно, что если бы мы удалили подшипники,
то тело под действием вращающего момента стало бы вращаться уже не
вокруг оси момента (силы в подшипниках соответствовали именно такому
вращению)1). Итак, вообще тело, находящееся под действием вращающего
момента, вращается вокруг оси, не совпадающей с осью момента (если
только эта ось не является главной осью инерции).
г) А вокруг какой-то иной оси. (Прим, перев.)
Й 2.14
ПРИМЕНЕНИЕ К АВТОМОБИЛЮ. ПЛАВАЮЩАЯ ПОДВЕСКА
ИЗ
Таким образом, ось, к которой должен быть амортизирующе
подвешен мотор («плавающая подвеска»), не должна быть
осью момента. Она должна быть осью вращения, соответствую-
щей заданной оси момента. Только в том случае, когда ось
момента является главной осью инерции, обе указанные оси
совпала ют.
Существует еще несколько иных конструкций рессорного
подвешивания в автомобилях; однако большинство из них в
принципе сходны с конструкцией, схематически представленной
на рис. 2.47. Некоторые из этих конструкций имеют одну рези-
новую опору в задней части двигателя и две, рядом расположен-
ные, в передней части на той же высоте. Эти передние опоры
по своему назначению заменяют подшипник А и восстанавли-
вающую пружину В на рис. 2.47.
Пример. Четырехцилиндровый автомобильный двигатель, весящий
182 кГ, подвешен так, как указано на рис. 2.47. Радиус инерции мотора
относительно оси АА равен 15,2 см, расстояние а = 45,8 см и длина пло-
ской пружины / = 10,2 см. Диаметр задних колес равняется 76,2 см,
причем на высшей передаче мотор делает три оборота за один оборот задних
колес. Желательно, чтобы двигатель был в состоянии резонанса при
скорости, соответствующей скорости автомобиля 5,6 км/час на высшей
передаче.
а) Чему должна быть равна постоянная плоской пружины (коэффициент
жесткости)?
б) На какой скорости следует ожидать наступление резонанса при
порче зажигания в одном цилиндре?
Решение, а) Скорость 5,6 км/час = 155 см/сек. Окружность колеса
115
76,2л = 239 см. При критической скорости колесо делает = 0,65 оборо-
тов в секунду, и тогда мотор вращается со скоростью 3 • 0,65 = 1,95 оборотов
в секунду. Полный цикл изменения кривой вращающего момента соответ-
ствует промежутку времени между каждыми двумя вспышками. Так как
в четырехтактном четырехцилиндровом двигателе за каждый оборот вала
происходят две вспышки, то в данном случае мы имеем 3,9 вспышки в
секунду.
Таким образом, желаемая частота собственных колебаний двига-
теля /с == 3,9 колебания в секунду или
k
w2 = 4л2 • (3,9)2 = 600 сек~2 = — ,
где к есть крутящий момент, действующий со стороны пружины при закру-
чивании вала на один радиан.
Отклонение конца пружины при закручивании на угол ср радианов
равно 45,8ср см. Если кх есть коэффициент жесткости пружины, выраженный
в кГ/см и характеризующий ее жесткость на отклонение, то сила упруго-
сти пружины равна 45,8 кгср кГ и действует на плече 45,8 см, вследствие
к го момент равен
45,8 • 45,8 krcp = 2,1 • 1 О3
вида к = 2100 кх.
Н Ден Гартог - 2974
114
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
гл. н
Далее, I = — • 15.22 = 42,7 кГ см сек2-. 981
следовательно, 0 _ 2100 fc, со. = 600 = —. 42,7
откуда , 42,7 • 600 k' ~ 2100 " *2'2 КПСМ-
б) Если зажигание в одном цилиндре нарушится, то кривая моментов
будет иметь уже другую периодичность, а именно: цикл ее изменения будет
соответствовать двум оборотам вала двигателя. Так как периодически
возмущающее действие сил теперь оказывается происходящим в четыре
раза медленнее против предыдущего, то резонанс с собственными колеба-
ниями двигателя должен наступить при скорости автомобиля, равной
4 • 5,6 из 22,4 км/час.
Задачи к главе II № 12—63.
ГЛАВА Ш
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
§ 3.1. Свободные колебания. Главные колебания
В предыдущей главе была изложена теория колебаний системы
с одной степенью свободы при затухании, обусловленном сопро-
тивлением вязкостих). Хотя та идеализированная система, о
которой говорит теория, встречается в точном виде редко, тем
не менее мы видели, что в действительности существует достаточно
случаев, столь близких к идеализированным, что для них можно
сделать несколько практически важных выводов. Теория, изло-
женная для системы с одной степенью свободы, позволяет нам
объяснять явление резонанса во многих машинах, находить
частоты собственных колебаний для большого количества соору-
жений, разъяснять действие большинства виброизмерительных
приборов и решать вопросы рессорного подвешивания и виброизо-
ляции.
Этим почти полностью исчерпываются возможности практиче-
ского применения изложенной теории, а для того, чтобы уметь
объяснять явления наложения колебаний, необходимо развить
теорию более сложных систем. Сделаем первый шаг в этой обла-
сти и рассмотрим систему с двумя степенями свободы, что позво-
лит дать объяснение действия большинства поглотителей колеба-
ний, или вибро гасителей, различных приспособлений для успоко-
ения качки корабля на волнах, а также амортизаторов или погло-
тителей толчков на автомобилях.
В самом общем виде система с двумя степенями свободы без
затухания может быть приведена к системе, изображенной на
рис. 3.1, которая состоит из двух масс и т2, подвешенных
на пружинах кА и к2и связанных между собою посредством соеди-
нительной пружины к3. Предполагая, что массы могут иметь
пниь вертикальные перемещения, мы имеем, очевидно, две степени
свободы, поскольку обе массы могут двигаться независимо друг
г) Когда тормозящая сила пропорциональна первой степени скорости.
(Прим, перев.)
116
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ш
от друга. Если задать их положения на вертикали величинами хг
и ж2, то тем самым положение системы вполне определяется.
Как и в случае системы с одной степенью свободы, здесь
мы сможем привести большое количество примеров систем с двумя
степенями свободы из области крутильных колебании, электро-
техники и т. п., которые вполне эквивалентны системе, представ-
ленной на рис. 3.1.
Приступая к нахождению свободных колебаний, мы заме-
различные силы, действующие на массу
а именно: сила упругости главной пру-
жины йги сила упругости соединительной
пружины &3. Первая из них равна
—кгхг и действует вниз (в направлении
положительных значений х1} если пред-
положить, что первая пружина сжата).
Укорочение соединительной пружины
равно хх — ^2>BCJleACTBHe чего соответству-
ющая сила упругости будет- к3 (х1 — х2).
Эта пружина, будучи сжата, толкает
массу вверх, а поэтому указанная сила
должна быть взята тоже со знаком минус.
Фактически мы имеем дело только с двумя
силами, действующими на массу тпи и
тогда дифференциальное уравнение ее дви-
жения напишется в таком виде:
чаем, что имеются две
Рис. 3.1. Незатухающая
система с двумя степе-
нями свободы с пружи-
т-^Ху = — кгхг — к3 (жг — х2),
ил и
mA + А + &з) ” ^2 = 0. (3.1)
Уравнение движения второй массы может быть получено
совершенно таким же путем. Но мы можем для этой цели перевер-
нуть рис. 3.1, изменив при этом направления хг и ж2; тогда т2
и к2 станут на место тг и к19 вследствие чего получим
т2х2 + (к2 4- к3) х2 — к3хх — 0. (3.2)
Допустим теперь, что массы тг и т2 совершают гармони-
ческие движения одной и той же частоты о (пока неизвестной),
но с различными амплитудами ал и а2 (также неизвестными),
т. е.
хг — аг sin cot,
Х2 —а2 sm cot.
Это — лишь предположение; мы даже не знаем, возможно ли
такое движение в действительности. Подставляя написанные
(3.3)
g 3.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 117
выражения в наши дифференциальные уравнения, мы сможем
быстро разрешить этот вопрос. Итак, имеем
[— т^о2 + (&i + k3) — fc3a2] sin ot = О,
[— т2а2о2 + (к2 + *3) а2 — к3ах] sin ot = 0.
Полученные уравнения должны удовлетворяться тождественно
в любой момент времени, но выражения, стоящие в левой части
каждого написанного уравнения, представляют собой гармони-
ческие движения, и для того, чтобы они обращались в нуль при
всех значениях времени, должны быть равны нулю амплитуды,
стоящие в скобках, т. е.
а) а, (— тхо2 + кх + к.) — к3а2 = 0, I
б) — к3а{ Ч-Ъ2 (— т2о2 + к2 + к3) = 0. |
Если предположение, что колебания выражены уравнениями
(3.3), правильно, то необходимо должны быть удовлетворены
уравнения (3.4). Вообще это, конечно, не имеет места, но мы
должны вспомнить, что в уравнениях (3.3) как на амплитуды
ах и а2, так и на частоту о не было наложено никаких ограничи-
тельных условий. Поэтому вполне возможно выбрать величины
aja2 и о так, чтобы уравнения (3.4) удовлетворялись, а при таких
значениях ах/а2 и о уравнения (3.3) становятся решением1). Для
нахождения значений ах/а2 и о нам надо разрешить относительно
этих величин уравнения (3.4). Так, из уравнения (3.4 а) имеем
°1 _ _____________ /о ГА
а2 ” mjw2 - кл к3 ’
в то время как из второго уравнения получаем
к2 — к3 ,q
— к3
Для совместности должно выполняться равенство
-к3 __ т2ы2 ~ к2 — к3
тгы2 — k-L — к3 — к5 *
ИЛИ
^4___^2 ~Ь к3 Ч~ к3) кхк2 к2к3 + кхк3 __ q (3 7)
) т2 1 ту т2 - х • )
Это уравнение, называемое «уравнением частот», приводит
к двум значениям о2. Каждое из них, будучи подставлено в равен-
сгва (3.5) или (3.6), дает соответствующее значение для aja2.
Эю значит, во-первых, что функции (3.3) могут являться реше-
нием задачи, а во-вторых, что таких решений существует два.
J) Подразумевается: уравнений (3.1) и (3.2). (Прим, перее.)
118
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. гп
Для читателей, знакомых с кругом Мора в плоской задаче теории
упругости, не лишено интереса следующее построение. Пусть на рис. 3.1
2 К + &з 2 -Нз &з
mi тч ^тхтп2
Величины wQ и являются частотами системы, когда одна нз масс
удерживается в неподвижном состоянии, в то время как &>а& характеризует
жесткость соединения. В таких обозначениях уравнение (3.7) примет
Рис. 3.2. Круг Мора для определе-
ния собственных частот системы
рис. 3.1.
вид
"4 - "2 + "Р + (w“ = о.
Обратимся теперь к рис. 3.2, на котором
отложим такие расстояния:
ОА = ОБ = ВС =
После этого опишем около сере-
дины расстояния между А и В, как
около центра, окружность, проходя-
щую через точку С. Полученные при
таком построении новыг точки D и Е
определят собою частоты собствен-
ных колебаний системы, а именно:
wf =s OD и = ОЕ,
что может быть легко подтверждено уравнением. В частном случае, при
отсутствии связи между грузами (ВС = 0), точки D и Е совпадают соот-
ветственно с Л и В, и тогда и оказываются частотами собственных
колебаний.
Для дальнейших рассуждений упростим пашу систему, сделав
ее симметричной, для чего положим
кх = к2 = к и = т2 = ттг.
Уравнение частот примет тогда вид
_ 2Ы2 + к(^+^кз) = 0
т т1
с решениями
02 _ к. + । Uр+ &з|2 + 2&з)
т — / J т J т2
ИЛИ
(3.8)
определяющими две частоты собственных колебаний системы,
которые мы будем для краткости называть просто собственными
частотами. Подставляя эти частоты в уравнения (3.5) или (3.6),
имеем
и
5 3.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 119
Физическое значение такого результата очевидно. Равенство
ах/а>2~ 1 означает [см. уравнение (3.3)], что обе массы переме-
щаются в одном и том же направлении на одно и то же расстоя-
ние. Соединительная пружина при этом не растянута и не сжата.
Тогда вполне естественно, что частота колебаний определяется
равенством ю2 = fc/лг, поскольку система приводится к двум
независимым системам, каждая из которых имеет одну степень
свободы. Что касается равенства = —1, то оно означает,
что обе массы перемещаются на одно и то же расстояние, но дви-
гаются в противоположных направлениях. Последнее движение
вполне симметрично, так что средняя точка соединительной
пружины k3 совершенно не перемещается. Если бы эта средняя
точка была закреплена неподвижно, то не произошло бы никакого
изменения в характере движения. Таким образом, и в этом случае
система распадается на две независимые системы с одной степенью
свободы каждая. Однако теперь каждая масса оказывается
связанной с неподвижной частью уже двумя пружинами, одна из
которых имеет коэффициент жесткости 1с, а другая — 2fc3 (см.
стр., 59), вследствие чего частота определится равенством
о2 = к .
т
Итак, мы имеем здесь два «главных колебания», каждому из
которых соответствует определенная собственная частота. Реше-
ние показывает, что если системе дать начальное отклонение,
определяемое координатами хг = + 1 и х2 = + 1 (рис. 3.1) и
затем ее отпустить, то полученное движение будет чисто сину-
соидальным с частотой
причем мы имеем здесь первое главное колебание. С другой сто-
роны, если начальное отклонение определяется координатами
it’j = + 1 и х2 = — 1, то, хотя движение будет опять чисто сину-
соидальное, частота будет уже
]Гк 4- 2&3
^2 — / ~ •
у т
Л о есть второе главное колебание.
Пусть теперь начальное отклонение, из которого система
свободно отпускается, определяется координатами xt = 1 и
in = 0. Для такого случая мы пока еще решения не имели. Но
указанное начальное отклонение может рассматриваться как
состоящее из двух частей: первая определяется координатами
11 11
= 2 и х2 = , а вторая — координатами и х2 = — g ’
< шрння для каждого из этих отклонений мы знаем.
12)
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. III
Предположим, что получаемое в результате этого движение
является «наложением» двух таких частных решений, а именно:
1 / 1 1 . \
— к COS G)At + К COS 6)2t, i
& & I
i 1 (3'9)
X2 = COS G)At — Tj- COS 0)2t. \
Чю это есть действительно решение, можно убедиться подста-
новкой написанных выражений в уравнения (3.1) и (3.2), которые
при этом удовлетворяются. Кроме того, легко видеть, что началь-
нье условия при t = 0 также удовлетворяются.
Уравнения (3.9) показывают, что полученное движение будет
пеэвым главным колебанием с амплитудой 1/2 и частотой
наложенным на второе главное колебание с амплитудой 1/2 и
частотой W21). Легко видеть, что, пока имеется соединительная
пружина fc3, частоты и сэ2 отличны друг от друга.. Таким обра-
зов, сложное движение каждой массы уже не может быть вообще
си-тусоидальным, а должно состоять из двух колебаний с различ-
ньми частотами. Очевидно, что если частоты мало отличаются
одта от другой, то возникнут биения (см. рис. 1.8).
Это случится, когда ^значительно меньше, чем к (к2<^ к}» или,
иными словами, когда соединительная пружина значительно
мягче главных пружин. При начальном отклонении хг = 1, х2 = О
правая масса т1 будет колебаться с амплитудой, равной 1, тогда
как масса т2 будет почти неподвижной. Однако по истечении
некоторого времени разница обеих частот изменит разность фаз
обэих колебаний на 180°, или л (см. рис. 1.7). Тогда вместо
значений
1 1 / - ч
Ж1 = з-, #2 = ат (первое главное колебание)
л
и
1 1 ( -
= —к (второе главное колебание)
мн имеем
^1 = 2" ^2 = 2 (первое главное колебание)
и
х-1 — — у, х2 — + з- (второе главное колебание).
Zi Z
х) Алгебраическое значение отношения отклонений масс в каком-либо
главном колебании в любой момент времени определяет собою форму
кшебания. (Прим, перев.)
В 3.1
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
121
Итак, теперь уже первая масса остается в покое, а вторая совер-
шает колебания с амплитудой, равной 1. Это явление должно
быть периодическим» так что движение будет непрерывно переда-
ваться от одной массы к другой.
Изложение может быть проиллюстрировано на многих разно-
образных опытах, о которых дает представление рис. 3.3. В пер-
вом случае мы имеем Два маятника, которые могут качаться в
Рис. 3.3. Пять опытов, в которых можно наблюдать периодическое переме-
щение энергии из одной части системы в другую.
плоскости чертежа. Роль основных пружин здесь играет вес,
но соединительная пружина оставлена; она представляет собою
очень мягкую винтовую пружину. Для малых колебаний (с
амплитудой, примерно меньшей 30°) тяжелый маятник может
быть уподоблен нашей основной системе с пружиной и массой.
Квазиупругий коэффициент пружины Ж1), являющийся восста-
навливающей силой при единичном отклонении, здесь равен
mgfl, вследствие чего для простого маятника
При сравнении рис. 3.3, а и 3.1 мы видим, что квазиупругий коэф-
г) См. подстрочное примечание на стр. 42.
122
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
гл. in
фициент V) соединительной пружины, изображенной на рис. 3.1,
в данном случае есть сила, действующая на массы со стороны
соединительной пружины, при увеличении расстояния между
массами на единицу длины. Применяя такую интерпретацию к
рис. 3.3, а, мы находим, что при отсутствии веса сила, равная
7 а2
и приложенная к одной массе, отодвигает одну массу от
другой на 1 см (см. также стр. 60). Итак, величиной, эквивалентной
1 г а?
к3, здесь является величина к^ .
£
Теперь уже легко найти оба главных колебания. Маятники
должны качаться либо один вместе с другим, либо противополож-
но друг другу, причем соответственные частоты равны
_ ][д ,, _ । п к а*
Отведя левый маятник на 1 см влево и удерживая правый
на своем месте, мы имеем полное отклонение системы, эквивалент-
ное сумме двух отклонений, показанных на рис. 3.4,6 и 3.4, в.
Рис. 3.4. Всякое колебательное движение системы с двумя степе-
нями свободы может быть разложено на два главных колеба-
ния, имеющих две различные собственные частоты и ы2.
Если теперь отпустить левый маятник, то он будет совершать
колебания, указанные на рис. 3.4, а (правый маятник остается в
покое). Полученное движение может рассматриваться как сум-
марное, происходящее в результате наложения двух других дви-
жений с частотами и ®2, как указано на схеме. В течение несколь-
ких первых периодов будет иметь место движение только одного
маятника, так как частоты достаточно близки друг к другу,
чтобы сохранить общую картину на некоторое короткое время.
Однако второе главное колебание происходит несколько быстрее,
чем первое, и опережает его, так как По прошествии до-
статочного промежутка времени, например 20 периодов, второе
главное колебание окажется по фазе на 180° впереди первого, что
1) Который в данном случае может быть назван и коэффициентом
жесткости. (Прим, перев,)
§ 3.1
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
123
показано на рисунках 3.4, г и 3.4, д. Выполнив сложение, указанное
на схеме, мы видим, что левый маятник теперь оказывается в
покое, тогда как правый будет качаться с полной амплитудой.
Указанное явление будет повторяться, причем амплитуда будет
непрерывно передаваться от одного маятника к другому до тех
пор, пока вследствие неизбежного трения вся система не придет
в состояние покоя.
На рис. 3.3, б маятники качаются перпендикулярно к плоско-
сти чертежа. Здесь возможны следующие два главных движения:
1) маятники качаются вместе, 2) маятники качаются навстречу
друг другу, скручивая при этом очень слабый соединительный
вал, который вызывает некоторое увеличение частоты колебаний.
Отклоняя один из маятников и удерживая другой на месте (тем
самым скручивая слегка соединительный вал), а затем отпуская
всю систему, мы приходим опять к тому же случаю непрерывной
передачи движения одним маятником другому.
На рис. 3.3, в представлена система, напоминающая шасси
автомобиля на рессорах. Здесь для массы возможны два главных
движения: 1) подпрыгивание по вертикали без вращения с частотой
l/2fc
“ I/ ,
1 у т
2) продольная качка, или галопирование, т. е. вращение вокруг
центра тяжести G в плоскости чертежа с частотой
— у 21 *
Вывод этих формул для частот предоставляем читателю. Предполо-
жим теперь, что левый конец шасси приподнят на 1 см> в то время
как правый удерживается на месте, после чего система предостав-
Рис. 3.5. Иллюстрация передачи энергии в опыте рис. 3.3, в.
ляется самой себе. В этом случае движение опять распадается на
две части (см. рис. 3.5, а, слева направо).
Если величины я I, ки I таковы, что и почти равны друг
другу, то движение, показаное на рис. 3.5, а, будет сохраняться
без заметных изменений в продолжение нескольких периодов.
Однако по истечении достаточно большого числа периодов одно
из главных движений, например галопирование, опередит другое
124
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
гл. in
по фазе на 180°. Рассматривая теперь рис. 3.5 справа налево, мы
видим, что тело колеблется так, что остается неподвижным его
левый конец. Конечно, по прошествии опять такого же промежутка
времени будет иметь место первое движение и т. д. до тех пор,
пока движение окончательно не прекратится вследствие зату-
хания.
В то время как соединительная пружина видна в том или ином
виде на рис. 3.3, а и 3.3, б, где она изображена как отдельная
часть системы, ее не видно на рис. 3.3, в. Однако сейчас наиболее
существенным требованием является у нас то, чтобы система
имела две степени свободы с отличающимися друг от друга соб-
ственными частотами и совершенно неважно, можно ли указать
соединительную пружину или нет.
Замечательный опыт можно проделать с так называемой пру-
жиной Вильберфорса, изображенной на рис. 3.3, г. Масса, под-
вешенная на винтовой пружине, имеет два выступающих винта с
насаженными на них гайками. Две степени свободы обусловли-
ваются здесь движением вверх и вниз и затем скручиванием.
«Соединение» выражается в данном случае своеобразно, а именно:
в виде того факта, что оба движения связаны друг с другом, и
оттягивание груза на пружине влечет за собою некоторое ее
скручивание и обратно, закручивая пружину, мы видим, что она
слегка изменяет свою длину. При изменении положения гаек
момент инерции I изменяется, в то время как масса m остается
постоянной. Таким образом, соответственной установкой гаек
можно добиться того, что обе частоты будут приблизительно
равны друг другу. Тогда, если оттянуть груз вниз и отпустить
его, то вначале возникнут вертикальные колебания массы без
закручивания. Однако по истечении некоторого времени будут
иметь место только крутильные колебания без вертикальных ит.д.
Последний случай, проиллюстрированный на рис. 3.3, д, это —
электрическая аналогия изучаемого нами явления (см. стр. 46, 47).
Две равные массы (индуктивности) L, присоединенные к одинако-
вым главным или основным пружинам (конденсаторам) С, связаны
между собой слабой соединительной пружиной (промежуточным
конденсатором С большой емкости, так как к эквивалентно 1/С).
Электрический ток, начавшись в одной петле контура, по истече-
нии некоторого времени весь перейдет в другую петлю и т. д.
Читатель, знакомый с теорией электричества, может продумать
до конца вопрос о том, как течет ток в каждом из своих «главных
колебаний», каковы частоты, а также построить для данного
случая схему, аналогичную схемам на рис. 3.4 или 3.5.
Пример. Однородная балка массы т и длины 2Z своими концами опи-
рается на две пружины (рис. 3.3, в) неодинаковой жесткости, определяемой
соответственно коэффициентами к (слева) и 2к (справа). Найти две соб-
ственные частоты и вид соответствующих главных колебаний.
§3.2 ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 125
Решение. Пусть х обозначает вертикальное перемещение центра тяже-
сти балки иф—ее угол поворота, отсчитываемый по часовой стрелке. Тогда
перемещение левого конца равно ж 4-/ф. а правого х— 1$. Силы упру-
гости пружин будут соответственно равны
1с (х 4- 1$) и 2к (х — !<р).
Таким образом, приходим к двум дифференциальным уравнениям.
чпх 4- к (х + + 2& (х — 1<р) = О,
Ф + kl (х 4- /ф) — 2&Z (х — 1ср) = 0.
Предполагая, что решение выражается формулами (3.3), в нашем случае
имеем:
(— + 3&) х0 — kly0 = 0,
—“ klxQ ~|~
—з 4- 3&/2
откуда получаем уравнение частот
(—тлю2 4- ЗА:) [---?nc)2Z24-3&Z2] — к2Р = 0,
«ли
(к\2
w4 _ 12 — ш2 4- 24 — == 0,
тп. [т J
решения которого таковы:
к к
= 2,54 — , = 9,46 — .
т т
Виды колебаний, соответствующие этим частотам, определятся из второго
дифференциального уравнения, которое может быть написано так:
Подставляя сюда только что найденные значения для ю2, получим
= 4-2,16 и [Д] - -0,15.
*фОУ]
Эти выражения показывают, что мы имеем дело с вращательными колеба-
ниями балки, с одной стороны, вокруг точки, лежащей на расстоянии
2,16 I справа от ее центра, с частотой wt, с другой стороны, — около точки,
лежащей на расстоянии 0,15/ слева от центра, с частотой ш2-
§ 3.2. Динамический поглотитель колебаний без затухания
Машина или какая-либо ее часть, находящаяся непрерывно
под действием переменной силы постоянной частоты изменения,
может испытывать вредные колебания, особенно вблизи резо-
нанса. Чтобы устранить таковые, мы можем попытаться прежде
126
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ш
Рис. 3.6. Добавление
малой системы
к—т к большой ма-
шине К — М преду-
преждает колеба-
ния последней, не-
смотря на действие
переменной силы
Ро sin at.
нулю. В нашем
всего освободиться от этой силы, что, однако, очень часто с прак-
тической стороны бывает неудобно или даже невозможно. В
таком случае, стремясь удалиться от условий резонанса, можно
изменить в нашей системе массу или упругую постоянную. Но
бывают случаи, когда и это также оказывается непрактичным, и
тогда в качестве третьей возможности остается прибегнуть к
помощи динамического поглотителя колебаний1), изобретенного
Фрамом в 1909 г.
Пусть совокупность К, М на рис. 3.6 схематически представ-
ляет собою рассматриваемую часть машины, на которую действует
возмущающая сила Ро sin art, Поглотитель
колебаний состоит из малой, по сравнению
с первой, колеблющейся системы к, т, свя-
занной с главной массой М. Собственная ча-
стота ^к/т присоединенного поглотителя под-
бирается так, чтобы она равнялась частоте
о изменения возмущающей силы. Покажем, что
в таком случае главная масса М вовсе не будет
колебаться и что малая система к, т будет
колебаться так, что упругая сила ее пружины
во всякий момент времени будет равна и про-
тивоположно направлена силе PQ sin cot. По-
скольку на массу М не будет действовать ни-
какая результирующая сила, то ясно, что
масса не должна колебаться.
Для доказательства высказанного утвер-
ждения напишем уравнения движения. Это
сделать очень легко, поскольку рис. 3.6 есть
частный случай рис. 3.1, где к2 равняется
случае надо добавить только внешнюю силу
Posin®f, действующую на первую массу М. Уравнения (3.1) и
(3.2) при этом несколько изменят свой вид, а именно вместо них
получим:
Мхг 4- (К 4- к) — кх2 = Ро sin cot,
тх2 4- к(х2 — хг) = 0.
(3.10)
Вынужденные колебания системы определятся, очевидно, сле-
дующими выражениями:
х. = a, sin cot, i
. , (3.11)
х2 = а2 sin cot. )
Это очевидно, поскольку уравнения (3.10) содержат только xt,
1) Называемого также антивибратором или виброгасителем. (Прим,
перев.)
§ 3.2 ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 127
хг и х2, х2, но не содержат первых производных хг и х2. После
двукратного дифференцирования синуса получается опять синус,
а следовательно, если принять выражения (3.11) в качестве ре-
шений, то все члены в уравнениях (3.10) оказываются пропор-
циональными величине sin cot. Посредством деления на sin®$
мы преобразуем наши дифференциальные уравнения в уравнения
алгебраические, подобно тому, как мы поступали с уравнениями
(3.1) и (3.2) при получении уравнений (3.4). Итак, имеем:
ах (— 71/й)2 + К + к) — Ы2 = Ро, I
— каг 4- а2 (— та2 + к) — 0. ( (3.12)
Для упрощения приведем эти уравнения к безразмерному
виду, введя для этой цели следующие обозначения:
жст == ~ — статическая деформация главной системы;
1/ &
= /-----собственная частота поглотителя;
а у т
Qc = — собственная частота главной системы;
~ — отношение масс (массы поглотителя к главной
массе).
Тогда уравнения (3.12) примут вид
(3.13)
или, если разрешить их относительно и а2, то
(3.14)
Первое из написанных уравнений сейчас же подтверждает
с праведливость наших соображений. В самом деле, амплитуда
колебаний главной массы равняется нулю, если только числи-
гель 1—(о2/о2) равен нулю, а это имеет место в том случае, когда
частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний
поглотителя.
128
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. III
Рассмотрим теперь второе из уравнений (3.14) для случая
со = соа. Поскольку первый множитель в знаменателе обращается
в нуль, уравнение приводится к виду
К Ро
^2 - £ %СТ fa •
При спокойном состоянии главной массы и при движении массы
поглотителя по закону —(PQ/k) sin cot сила упругости пружины
поглотителя изменяется по закону —Posin это и есть сила,
равная возмущающей силе и направленная противоположно ей.
Наши выводы остаются справедливыми для любого значения
отношения g>IQc. Однако мы видели, что присоединение поглоти-
теля не имеет особого смысла, если основная система не находится
в состоянии резонанса, или по крайней мере не близка к нему.
Поэтому сейчас мы рассмотрим случай, когда
или
или же
Отношение
«а =
m М 9
k _m
К " M *
m
~ м
определит в таком случае размеры поглотителя по сравнению с
размерами главной системы. Для этого особого случая уравнения
(3.14) могут быть написаны в таком виде:
------ sin (Dt,
— м
(3.15а)
(3.15b)
Как в полученном результате, так и в уравнениях (3.14) нам
сразу бросается в глаза то обстоятельство, что оба знаменателя
оказываются равными между собою. Это является далеко не
случайностью, а имеет определенный физический смысл. В самом
деле, выполняя перемножение в знаменателе, мы видим, что
5.2 ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 129
знаменатель содержит члены, пропорциональные величинам
(®2/«1)2 и (с»2/®!), а также член, не зависящий от этого отношения.
Таким образом, приравнивая знаменатель нулю, мы получаем
квадратное уравнение относительно которое должно иметь
два корня. Следовательно, для двух этих значений частоты зна-
менатели уравнений (3.15) обращаются в нуль, а тогда хг и х2
делаются бесконечно большими. Найденные таким образом две
частоты являются резонансными, или собственными, частотами
нашей системы. Если бы оба знаменателя в уравнениях (3.15)
Рис. 3.7. Две собственные или резонансные частоты
системы рис. 3.6, представленные в фун кпиональной
т
зависимости от отношения масс —, согласно урав-
М
нению (3.16).
не были равны между собой, то могло бы случиться, что при
некотором определенном значении о один из них равнялся бы
нулю, в то время как другой был бы отличен от нуля. Это означало
бы, что, например, ху обращается в бесконечность, тогда как
х2 сохраняет конечное значение. Но если бы хг равнялось беско-
нечности, то удлинения и сжатия пружины поглотителя к ста-
новились бы бесконечно большими, что неизбежно приводит
к такому же заключению и относительно силы упругости пружины.
Таким образом, мы приходим к невероятному выводу, а именно:
размахи х2 массы тп поглотителя были бы конечными при действии
на нее бесконечно большой силы к(ху— х2). Итак, становится
совершенно ясным, что если одна из амплитуд делается беско-
нечной, то такое же заключение необходимо сделать и ‘относи-
гельно другой амплитуды; следовательно, оба знаменателя в
уравнениях (3.15) должны быть одинаковыми.
9 Ден-Гартог • 2074
130
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
гл. m
Собственные частоты мы можем определить, приравнивая
знаменатель нулю, а именно*.
(' - я) (1 + * - 5) -*=»• (51‘ -15)’ <2++1 = °--
решая это уравнение, находим:
(3.16)
Это соотношение графически изображено на рис. 3.7, из кото-
рого мы находим, например, что поглотитель с массой, равной
одной десятой массы главной системы, вызывает две собственные
частоты всей системы в целом, соответственно равные 1,17 и
0,85 частоты собственных колебаний первоначальной системы.
Рис. 3.8. а) Амплитуда главной массы и б) амплитуда ж2 поглотителя
(рис. 3.6) для различных возмущающих частот ы. В данном случае масса
поглотителя составляет одну пятую часть главной массы.
Основной результат, выражаемый уравнениями (3.15), представлен
на рис. 3.8, а и 3.8, б для случая /л = т. е. при массе поглотителя,
равной одной пятой массы главной системы.
3.2 ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ 131
Проследим ход кривой на рис. 3.8, а для возрастающего отно-
шения частот a/Qc = о/оа. Легко видеть, что x-Jxzr — 1 при <у =
О, тогда как для значений о, несколько больших нуля, хг долж-
но быть обязательно положительным, поскольку в уравнениях
(3.15а) как числитель, так и знаменатель положительны. При
наступлении первого резонанса знаменатель проходит через
нуль от положительных значений к отрицательным, вследствие
чего отношение xjx^ становится отрицательным. Далее, при
to = Qc = 0а становится отрицательным также и знаменатель,
а поэтому дробь .хг/хст получает опять положительные значения
(числитель и знаменатель отрицательны, т. е. одного знака).
В момент второго резонанса знаменатель еще раз меняет знак,
вследствие чего хг делается вновь отрицательным.
Подобные, но не идентичные изменения претерпевает также
кривая для отношения ®2/жст; однако здесь числитель остается
все время положительным, так что изменение знака происходит
лишь в моменты резонанса. Но прежде, при изучении рис. 2.18,
мы видели, что такая перемена знака означает просто изменение
фазы на 180°, что в данном случае для нас не существенно. По
ной причине на рис. 3.8, а и 3.8,6 нанесены соответственные
пунктирные линии, и мы можем в дальнейших рассуждениях
смотреть на эти линии как на кривые, определяющие амплитуду,
«ибросив при этом нижние части диаграммы.
Полученные результаты могут быть интерпретированы еще
иным образом, что оказывается полезным в некоторых приложе-
ниях. Пусть изображенный на рис.3.6 поглотитель Фрама с массой
ш и пружиной й заменен некоторой массой ш9КВ, жестко связанной
с главной массой М, и пусть эта эквивалентная масса подобрана
1лк, что движение хг главной массы получается такое же, как и
при поглотителе. Вследствие того, что поглотитель представляет
собою систему, более сложную, чем просто масса (добавлена пру-
жина), то ясно, что эквивалентная масса тпэкв не может быть по-
( гоянной, а должна быть различной для различных возмущающих
частот о. Сила, действующая со стороны поглотителя на главную
массу М системы, есть сила упругости пружины к(х2 — хг),
которая на основании второго уравнения (3.10) равна — тх2.
11о если бы масса т9КВ была жестко связана с массой М, то соот-
ы 1ственная сила, действующая на М, была бы не чем иным,
как силой инерции — ^Экв®1- Для эквивалентности обеих систем
ап две силы должны быть равны друг другу, а тогда на основа-
нии уравнений (3.11) и второго уравнения (3.13) мы имеем
^ЭКВ _ &2 _ «^2 _ ^2 _ 1
т afj x-i «и [ ы2 *
"а
II*
132
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. III
Мы получим уже знакомое нам отношение, для которого была
построена на рис. 2.18 (стр. 68) резонансная кривая. Итак, мы
видим, что система динамического поглотителя Фрама может
быть заменена эквивалентной массой, жестко связанной с главной
массой, причем эквивалентная масса должна быть положительной
для медленных возмущений, бесконечно большой при равенстве
частот возмущающей силы и поглотителя и отрицательной для
быстрых возмущений. Такая точка зрения на действие поглоти-
теля нам понадобится в дальнейшем (см. стр. 297).
Из рассмотрения рис. 3.8, а, который представляет колебания
главной массы, становится ясным, что динамический поглотитель
Рис. 3.9. Электрическая машин ка для стрижки волос с по-
глотителем: а—электромагнит, b — якорь, с — ось вра-
щения якоря, d — нож, е — направляющая ножа, / — по-
глотитель колебаний.
колебаний без затухания оказывается полезным лишь тогда,
когда частота изменения возмущающей силы приблизительно
постоянна. В этих случаях нам представляется возможность
при б9/сэа = o/Qc = 1 иметь дело с очень незначительной (почти
равной нулю) амплитудой. Таково положение, например, во всех
машинах, непосредственно соединенных с синхронными электро-
моторами или генераторами. Однако в машинах, работающих
при переменном скоростном режиме, как, например, в двигателях
внутреннего сгорания, применяемых в автомобильной технике и
авиации, применение подобных поглотителей бесполезно, так как,
в сущности, мы заменяем нашу основную систему с одной резонанс-
ной скоростью (при o/Qc = 1) другой системой с двумя резонанс-
ными скоростями. В этих случаях бывает все же выгодно восполь-
зоваться поглотителем, снабдив его пружину определенным
затуханием, о чем будет идти речь в следующем параграфе.
Интересное применение поглотителя колебаний -сделано в
недавно появившихся электрических машинках для стрижки
волос. Такая машинка, изображенная на рис. 3.9, состоит из
электромагнита а, питаемого переменным током в 60 периодов.
Электромагнит действует переменной силой в 120 периодов на
колеблющуюся систему Ь. Система Ь настроена на частоту, отли-
I J.2 ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
133
чающуюся примерно на 20% от частоты в 120 периодов, с тем,
чюбы сохранить в определенных границах амплитуду стригущего
юзвия d, которое колеблется с достаточно малым затуханием.
Таким образом, лезвие d должно колебаться примерно с одной
и той же амплитудой, независимо от того, снимает ли машинка
много волос или волос нет совершенно.
Весь механизм, рассматриваемый как свободное тело в про-
странстве, лишенное действия внешних сил, должен иметь непо-
движными центр тяжести и главные оси инерции. Так как части
b и d прибора находятся в движении, то должен двигаться самый
кожух и притом в противоположные стороны, чтобы удовлетво-
рились указанные два условия. Однако колебания кожуха дей-
ствуют на руки парикмахера, создавая крайне неприятное ощу-
щение. Это нежелательное явление в значительной мере преодоле-
вается динамическим поглотителем колебаний /, настроенным в
точности на 120 периодов в секунду и предотвращающим таким
образом всякое движение кожуха в месте расположения массы /.
Наблюдая массы d и / в стробоскопическом освещении, мы дей-
ствительно отчетливо видим их колеблющимися в противополож-
ных фазах.
Необходимо заметить, что описанный прибор в таком именно
осуществлении не является совершенным по причине неправиль-
ного расположения массы /. В самом деле, в некоторый момент
времени колеблющееся лезвие d имеет большую силу инерции,
направленную вверх, в то время как расположенный на весу
конец рычага Ъ имеет малую силу инерции, направленную вниз.
Поэтому равнодействующей сил инерции движущихся частей Ь и
d будет переменная сила, расположенная слева от стригущей
части d на рис. 3.9.
Эффектом поглотителя является полное снятие 120-периодного коле-
бания точки кожуха непосредственно в месте установки массы / погло-
। ягеля; однако поглотитель не может предотвратить вращения кожуха
вокруг этой неподвижной точки. Полное исключение 120-периодного движе-
ния кожуха может быть осуществлено установкой в приборе двух поглоти-
|слсй / на некотором расстоянии друг от друга, причем так, чтобы прямая,
соединяющая их центры тяжести, была перпендикулярна к направлению
движения лезвия. Тогда эти же массы будут автоматически колебаться с
глкнми амплитудами, чтобы их силы инерции противодействовали силе
и моменту сил инерции системы d, Ъ, иными словами, указанные две массы
приведут к неподвижному состоянию две точки кожуха машинки.
Для гашения крутильных колебаний вращающихся систем,
как, например, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания,
динамический поглотитель Фрама принимает форму маховичка Д
м< пущего свободно вращаться на шейке В вала, с которым он
( вязан пружинами &(рис. 3.10, а). Так как вращательные импульсы
в шком двигателе имеют периодичность вспышек в цилиндрах,
е. действуют с частотой, пропорциональной угловой скорости
134
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ill
машины, то прибор может работать только на одном скоростном
режиме, в то время как для такой системы имеют место две близ-
лежащие скорости, при которых наступает состояние резонанса
(рис. 3.8, а). Чтобы преодолеть это затруднение, недавно было
предложено заменить пружинный поглотитель, изображенный
на рис. 3.10, а, центробежным маятниковым поглотителем, пред-
ставленным на рис. 3.10,6. Здесь маятник в центробежном сило-
вом поле действует так же, как и обычный маятник в
гравитационном поле, но в котором вместо напряжения поля
тяжести д надо взять напряжение поля центробежных сил гю2.
Рис. 3.10. Поглотители крутильных колебаний:
а) пружинный, б) центробежный.
Так как частота гравитационного маятника равна Уgjl, то частота
центробежного маятника получается равной о^тЦ, т. е. она
пропорциональна угловой скорости машины. Благодаря этому,
центробежный маятник действует как динамический поглотитель
Фрама, настраивающийся в точности на все скорости. Дальней-
шие подробности, касающиеся этого прибора, излагаются на
стр. 296.
§ 3.3. Поглотитель колебаний с затуханием
Рассмотрим систему, представленную на рис. 3.6, в которую
между массами М и т включен параллельно пружине поглоти-
теля к амортизатор. Главная пружина К остается без аморти-
затора.
Применяя закон Ньютона к массе М, имеем
+ Кхг 4- к (хг — х2) + с ($! — х2) = PQ sin ot (3.17)
и аналогично для массы т
тх2 4- к (х2 — жг) + с(х2 — #i) = 0. (3.18)
(3.19)
3.3 ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ 135
Читателю рекомендуется вывести самостоятельно эти урав-
нения и убедиться в правильности знаков у отдельных членов,
{десь вывод подобен тому, который был изложен на стр. 43 и 116.
Четыре члена в левой части уравнения (3.17) обозначают соот-
ветственно силу инерции массы М, силу упругости главной
пружины, силу упругости пружины поглотителя и силу сопротив-
ления амортизатора. Нас интересует лишь решение, соответствую-
щее вынужденным колебаниям; что же касается затухающих
собственных колебаний в переходном процессе, то рассматривать
их мы не будем. Тогда обе величины ху и я2 представляют гармони-
ческие движения с частотой о и могут быть изображены посред-
ством векторов. Каждый член в уравнениях (3.17) и (3.18) может
быть представлен с помощью такого вектора, вращающегося с
угловой скоростью со. Простейший способ решения этих уравне-
ний — это применение комплексных чисел для изображения
векторов. В этом случае наши уравнения примут вид
— Мо2 + Кху + к (Ху — я2) + foe (Ху — х2) = Ро,
— тар х2 4- к (х2 — Ху) 4- jcoc (х2 — = О,
где Ху и х2 — неизвестные пока комплексные числа; остальные
же величины действительные.
Группируя члены с х, и х2, имеем
(— Мео2 4- К 4- к + /<ус) Ху — (к 4- /ос) х2 = Ро
— (к 4- /ос) Ху 4- (— то? 4-^4- /ос) х2 = 0.
41 и уравнения могут быть разрешены относительно Ху и х2.
Мы интересуемся прежде всего движением главной массы, а чтобы
г го найти, выразим х через хл посредством второго уравнения
(3.19) и подставим в первое. Тогда получим:
р____________________(к — ты2) 4- _______________
11______________________________________________________0 [( — Мы2 4- К) (— ты2 4- к) — ты2 4- дыс (— Мы2 4~ ~ ты2)
(3.20)
Для читателей, немного знакомых с переменным электрическим током,
• ют результат может быть получен посредством рассмотрения эквивалент-
ной схемы электрического контура, показанной на рис. 3.11. Эта эквива-
11-п гность может быть установлена путем написания уравнений для напря-
жения тока и сравнения их с уравнениями (3 17) и (3.18) или же непосред-
i । вон но из рассмотрения схемы следующим образом. Растяжение (или ско-
рость) пружины К, смещение (или скорость) груза М и перемещение (или
скорость) точки приложения силы Ро — все равны Ху (или х[). Следова-
тельно, соответствующие элементы электрического контура I/O, L и Еь
юлжны пропускать ток одной и той же силы а поэтому они должны
f>n и» включены последовательно. Скорости (йу —х2) в пружине к и в амор-
I и шторе также равны между собой, вследствие чего соответствующие
|гктрические эквиваленты 1/с и г должны быть в последовательном соеди-
iiriiiin, но в то же время они должны пропускать ток, уже отличный от
136
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
гл. ш
тока в главных элементах L, С и Ео. Скорость массы tn равна разности
скорости массы М и скорости —-#2) пружины амортизатора. Отсюда
следует, что сила тока г2 в I должна быть равна разности i и — г2). Таким
образом, эквивалентность электрического контура и механической системы
можно считать установленной.
Мы интересуемся главным током г. Кажущееся сопротивление спи-
рали, или, как говорят, ее импеданс, равно j&L, а конденсатора — l/jwC',
омическое сопротивление равно R Сопротивления, включенные последова-
тельно при их комплексном представлении, складываются непосредственно;
если же сопротивления включены параллельно, то складываются их обрат-
ные величины. Импеданс в ветви с, т равен г 4- (1/?«с) и соответственно в
ветви I он равен Поэтому для полного
импеданса
раллельно
жение
Рис. 3.11. Эквивалентный
электрический контур. Ма-
лый контур I — с — т соот-
ветствует поглотителю.
кажущегося сопротивления
включенных ветвях имеем
1
’1
1
Эту величину нам надо
дансу других элементов
в па-,
выра-
прибавить к
цепи, и мы получим
1 Е
импе-
г.
Z ~ н—т*— н-
Выполняя здесь алгебраические преобразования
к механической схеме, получим уравнение (3.20).
Комплексное выражение (3.20) может быть
— Р о (^1 + 7 ДО»
и переходя обратно
приведено к виду
(3.21)
где Д и Bi — величины действительные, не содержащие j = У—1.
Смысл комплексного выражения (3.20) такой, что в векторном
представлении хг состоит из двух составляющих, одна из которых
находится в той же фазе, что и сила PQ, а другая соответствует
повороту на прямой угол в сторону вращения (сравнить рис.
2.21 на стр. 75). Складывая геометрически эти векторы, находим
для числового значения х2 выражение
Ъ = PQ / 4? 4-Д2.
Однако пока еще уравнение (3.20) не имеет формы уравнения
(3.21), а имеет форму:
т — Р л +
1 ~ гоо + jD •
S з.з
ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ
137
что можно преобразовать еще так:
р (4 + 1В) (С - jP) __ р (AC + BD) + j(BOl-'AD)
х~~ 0 (С 4- jP) (С - )Р) ~ 0 С2 4- Р2
Отсюда можно получить длину хг вектора таким образом:
о
। AO+BDf , [ ВС - АР |2
[ С2 4- Р2 J 1 [ С2 4- Р2 /
42С2 4- B2D24- В2С2 + Л2Л2
(С2 4- D2)2
1/(4* 4- B2)(C24-D2) _ ]/424- В2
F (С2 4- Р2)2 Г С2 4- Р2 ’
Применяя этот вывод к уравнению (3.20), мы можем написать
х2 ___ ________________ (к — ты2)2 4- о)2с2
/,2 Г( — Mw2 4- В) (— ты2 4- &) — то)2 к2]2 4- ю2с2 (— Мы2 4- К — то2)2
(3.22)
Эю уравнение определяет амплитуду колебаний главной массы М.
Очень полезно проверить полученный результат для несколь-
ких частных случаев и убедиться, что он приводит к уже изве-
стным результатам, полученным выше. Читателю рекомендуется
проделать это для нескольких случаев из числа следующих:
1, k — ОО.
2. к = 0; с = 0.
3. С — оо.
4. с =0; © = i2c = 1/5 = ]/-.
с \ М \ т
5. т = 0.
Таким образом, теперь мы можем вычислять амплитуду во
всех случаях. В уравнении (3.22) ж, есть функция семи пере-
менных: Р& со, с, К, к, М и т. Однако, как‘сейчас будет показано,
число переменных может быть понижено. Пусть, например, Fo
получает удвоенное значение, в то время как все остальные вели-
чины остаются теми же самыми. Тогда очевидно, что хг также
удваивается. Кроме указанного, мы можем установить еще целый
ряд аналогичных соотношений. Чтобы вскрыть их, полезно
138
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. III
написать уравнение (3.22) в безразмерной форме, для чего вводятся
следующие обозначения:
т масса поглотителя
а = = отношение масс = - — ---—
М главная масса
' к
— = собственная частота поглотителя;
т
= собственная частота главной системы;
= ~ = отношение частот (собственных);
«с
(3.23)
д = ~ = отношение частоты вынужденных колеба-
с ний к собственной частоте главной системы;
А .
яст = ~ = статическая деформация системы;
сК = 2m Qc = коэффициент «критического» затухания
(см. стр. 62).
После выполнения некоторых алгебраических преобразований
уравнение (3.22) примет вид:
^ст
2 — д
ск
2
(д2 - Г2)2
+ Lm/2 f/2 — (sr2 — 1) (g2-/*2)]2
(3.24)
Таким образом, мы видим, что отношение отклонений xJxCT
главной массы есть функция четырех переменных величин: /х,
с/ск, f и 9 На рис. 3.12 дана диаграмма отношения x-Jx^, как
функции отношения частот д для некоторой определенной системы
при / = 1, (jl = 1/20, но для различных значений отношения зату-
ханий с/ск. Иначе говоря, диаграмма показывает поведение систе-
мы, когда главная масса в 20 раз больше массы поглотителя, в
то время как частота колебаний поглотителя равна частоте коле-
баний главной системы (/=1).
Интересно проследить за тем, что получается при возрастании
затухания. При с = 0 мы имеем тот же самый случай, что и на
рис. 3.8, а т. е. уже известный результат. Когда коэффициент
затухания становится равным бесконечности, обе массы факти-
чески оказываются жестко связанными между собой, и поэтому
мы имеем случай системы с одной степенью свободы, причем
21
масса системы равна М. Две другие кривые, построенные на
рис. 3.12, соответствуют значениям с/сК, равным 0,10 и 0,32.
§ 3.3 ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ 139
Присоединением к системе поглотителя мы достигаем того,
что наибольшая величина амплитуды при резонансе приводится
к ее наименьшему возможному значению. При с = 0 амплитуда
бесконечна; аналогичный случай мы имеем и при с = ©о. Тогда
где-то между этими предельными значениями затухания с должно
быть такое его значение, при котором резонансная амплитуда
имеет минимум.
Указанное обстоятельство может быть истолковано также
и физически. Мы уже знаем, как это было показано на стр. 80,
Рис.3.12. Амплитуды колебаний главной массы системы на рис.З.бдля раз-
личных значений затухания в поглотителе. Масса поглотителя в 20 раз
меньше главной массы и настроена на ту же частоту, что и основная
система (машина). Все кривые проходят через постоянные точки Р и Q.
что резонансная амплитуда системы с одной степенью свободы
ограничивается только сопротивлением, вызывающим затухание.
Мы видели также, что энергия затухания рассеивается, обра-
щаясь в теплоту. Если погашающая сила совершает значительную
работу, то амплитуда при резонансе остается малой. Эти сообра-
жения сохраняют свою силу и в случае более сложных систем.
Работа, совершаемая погашающей силой, равна этой силе, умно-
женной на перемещение, на котором она действует. В нашем
случае перемещение определяется относительным движением
обеих масс или изменением длины пружины поглотителя. При
с = 0 погашающая сило равна нулю, поэтому никакой работы
нет, а следовательно, резонансная амплитуда делается бесконечно
большой. Когда же с = ©о, обе массы так связаны друг с другом,
что их относительное перемещение равно нулю, а поэтому работа
опять-таки отсутствует. Где-нибудь между 0 и ©© имеет место
140
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ill
такое затухание, при котором произведение силы затухания на
ее перемещение делается наибольшим, а тогда резонансная ампли-
туда должна приобрести наименьшее значение.
Прежде чем приступать к вычислению такого оптимального
затухания, мы обратим внимание на одно замечательное свойство
кривых, изображенных на рис. 3.12, а именно, что все четыре
кривые пересекаются в двух точках Р и Q (см. рис. 2.41 на стр. 105).
То, что нам сейчас предстоит установить, ни в какой мере не
является случайностью и вообще все кривые проходят через эти
Рис. 3.13. Резонансные кривые для движения главной массы при наиболее
благоприятной настройке поглотителя колебаний, масса которого состав-
ляет одну четверть главной массы.
две точки, независимо от затухания. Если бы мы смогли определить
их положение, то наша задача была бы решена, так как наиболее
благоприятная кривая есть та, которая имеет горизонтальную
касательную в наивысшей из двух точек Р и Q. Тогда наилучшей
возможной резонансной амплитудой (при наилучшем затухании)
будет ордината этой точки.
Однако это еше не все, что мы можем сделать. При изменении от-
носительной настройки,т.е. отношения/ = g>JQcчастот поглотителя
и главной системы, две отмеченные нами точки Р и Q будут пере-
мещаться вверх и вниз по кривой, соответствующей с = 0. При
изменении / одна из точек пойдет вверх, а другая вниз. Очевидно,
что наиболее желательным является тот случай, когда, во-первых,
путем соответствующего выбора отношения / точки Р и Q будут
установлены на одной высоте и, во-вторых, когда благодаря
соответствующему подбору отношения с/ск кривая будет иметь
горизонтальную касательную в одной из этих точек. Оказывается
практически безразличным, в какой именно из этих точек
* 3.3
ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ
141
(рис. 3.13) кривая будет обладать горизонтальной касательной, что
будет показано ниже.
Возвратимся опять к уравнению (3.24) и посмотрим, нет ли
таких значений д, при которых отношение делается независи-
мым от отношения с/ск. Упомянутое уравнение может быть напи-
сано в таком виде;
Жет
Очевидно, подкоренное выражение не будет зависеть от затухания,
если положить
А В
О “ D 9
или, в развернутом виде
( 1 )2 _ [ 9*-f* V
(92 - 1 + М - [^f2 92 - (92 - 1) (92-П\ '
Здесь мы можем отбросить показатели степени при больших скоб-
ках в обеих частях равенства, приписав, однако, двойной знак
± правой его части. Возьмем сперва знак минус; тогда, пере-
множая крест-накрест, имеем
mJ202 — (ff2 — 1) (#2 —/2) = — (ST2 —/2) (<72 ~ 1 + ^.72)- (3.25)
Легко видеть, что после соответствующих преобразований
получаем
^2д2 = -/*д2(д2-П
или
Г = -д2+Л
откуда
д2 = о-
Мы пришли к тривиальному (однако, верному) решению. При
g = О (т. е. о = 0) отклонение равно яст, и оно не зависит от ве-
личины затухания; этот факт имеет очень простое объяснение.
В этом случае тело движется столь медленно, что нет причины
для возникновения силы сопротивления (мы предполагаем, что
)га сила пропорциональна скорости).
Возьмем теперь перед правой частью уравнения (3.25) знак
/иное. После простых преобразований уравнение примет вид
М 1 + /‘2 + ^/‘2 . 2/2 _ л /о orv
У ~ ---2 + il~ + 2Т7 = °* (3>26)
Мы получили квадратное уравнение относительно д2, имеющее
два корня, которые определяют собою искомые «постоянные
142 ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ГЛ. Ill
точки». Пусть эти корни будут соответственно д{ и Легко
видеть, что дг и <у2 (абсциссы точек Р и Q) должны быть функциями
от и /'.
Нашей ближайшей задачей будет построить систему (а именно,
подобрать /) так, чтобы ординаты х/хС1 точек Р и Q сделались
одинаковыми. Решать уравнение (3.26) для определения дг и д2,
подставлять эти величины в равенство (3.24), затем приравнивать
одно к другому полученные выражения — все это представляет
собою весьма длительную операцию. К счастью для нас, это и не
является необходимым. В самом деле, прежде всего вспомним,
что отношение x/xQT как в точке Р, так и в точке Q не зависит от
величины затухания, а поэтому мы можем подобрать такое отно-
шение с/ск, чтобы уравнение (3.24) приняло наиболее простой
вид. Это имеет место при с = ©о, когда уравнение (3.24) обра-
щается в следующее:
Подставляя сюда д} и д2 и приравнивая выражения, имеем
1 - g? (1 +^Г = l-gl(l + /x) • (3‘28)
Однако написанное уравнение не вполне справедливо по следую-
щей причине. Уравнение (3.27) в действительности изображается
на рис. 3.12 не кривой с = ©©, а кривой, имеющей отрицательные
ординаты для значений д, больших, чем 1//1 4-/л (см. также
рис.2.18). Так как точки Рн Q лежат по разные стороны от этого
значения д, то ордината точки Р положительна, а ордината точки Q
отрицательна; следовательно, уравнение (3.28) должно быть ис-
правлено посредством изменения знака перед одной из его частей.
Сделав такое исправление и выполнив простые алгебраические
преобразования, мы приведем это уравнение к следующему виду:
$ + (3-29)
Теперь даже не потребуется решать уравнение (3.26) для полу-
чения дг и д2, если мы вспомним, что коэффициент в среднем члене
квадратного уравнения, взятый с обратным знаком, равен сумме
корней этого уравнения. В уравнении (3.26) эта сумма есть
_ 2(14-/24-ц/2)
З2 ~ 2 + М '
Подставляя это в уравнение (3.29), мы приходим к следующему
результату:
/ = ьЬ • (3-30)
« 3 3 ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ 143
Полученная очень простая формула дает правильное значение
«настройки» для любой величины поглотителя. В случае очень
малого поглотителя (^с^О) настройка определяется величиной.
( 1, т. е. собственная частота поглотителя должна быть такая
же, как и собственная частота главной или основной системы.
При массе поглотителя, составляющей одну пятую часть главной
массы / = т. е. поглотитель должен быть изготовлен так, чтобы
его частота была на 17% меньше частоты основной системы.
Итак, теперь мы знаем, как надо настроить нашу систему, но
Ч1то мы еще не знаем, какую амплитуду ж/жст мы получим. На рис.
3.13 представлен случай такой настройки для /л = 1/4. Здесь
построены две кривые, из которых одна имеет горизонтальную
касательную в точке F, но не горизонтальную в точке Q, а другая,
напротив, горизонтальную в точке Q и не горизонтальную в точке Р.
Легко видеть из чертежа, что без большой практической ошибки
амплитуду в какой-либо из этих точек можно считать за наиболь-
шую амплитуду кривой. Эту амплитуду легко вычислить, для
чего следует только подставить корень уравнения (3.26) в выра-
жение для хг/хСТ, причем, так как в данной точке (Р или Q) отно-
шение хг/хСТ не зависит от величины затухания, то для этого
отношения можно взять выражение (3.27). Выполнив указанную
подстановку, приходим к такому результату:
^- = ]ГГ+~. (3,31}
®ст г М'
Таково решение задачи, если собственная частота поглоти-
теля отличается от собственной частоты главной системы в соот-
ветствии с формулой (3.30).
Интересно теперь сравнить результат, выражаемый уравне-
нием (3.31), с другими случаями, с которыми приходится иногда
встречаться на практике в машиностроении (рис. 3.14),
Прежде всего рассмотрим поглотитель колебаний с постоянной
настройкой при /=1, когда небольшой поглотитель настроен
на такую же частоту, что и главная система, независимо от раз-
меров такового. Тогда уравнение (3.26), служащее для определения
положения обеих постоянных точек Р и Q, примет вид
о
д^ — 2д2+^~ = 0,
2+ ц
о।куда
= 1 ±
Г/2
Для обычных размеров
при меныиих значениях д
][
I 2+ /л
поглотителя максимальная амплитуда
больше, чем при больших значениях
144
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. П1
ft 3.3
ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ
145
<7 (см. рис. 3.12; проверить также положение постоянных точек
но формуле). Возьмем поэтому
g2 = 1 -
][
г 2+ ц
и подставим это значение
в уравнение (3.27). Получим
*1
Я?СТ
________1________
-^ + (1 + ц) 1/-Д-
г 2 + /Л
(3.32)
Далее, рассмотрим прибор, известный под названием «демпфера
Лаичестера» (см. стр. 285), с вязким сопротивлением. Он представ-
ляет собою систему, изображенную на рис. 3.6, в которой пружина
поглотителя заменена амор-
тизатором с линейным сопро-
i ивлением. Следовательно,
к = 0 и, кроме того, как видно
из уравнения (3.23), ол и /
также равны нулю. Поэтому
уравнение (3.26) для опреде-
ления точек Р и Q примет вид
д4-2г/2^- = О,
2+ ц
откуда следует, что одна из
этих точек всегда остается
в точке дР = 0, а положение
другой определяется урав-
нением
й . (3.33)
Рис. 3.15. Резонансные кривые простой
системы, снабженной демпфером Лан-
честера с вязким сопротивлением для
случаев нулевого затухания, беско-
нечного затухания и наилучшего за-
тухания. Все кривые проходят через
постоянные точки Р и Q.
Приборы без затухания
и с бесконечно большим за-
туханием приводятся к сис-
темам с одной степенью сво-
боды, так как в первом слу-
чае масса поглотителя осво-
бождается,а во втором случае
она оказывается жестко связанной с главной массой. Все это ясно
видно из рис. 3.15, на основании которого мы также заключаем,
что наилучшая резонансная амплитуда получается в точке Q.
Подставляя значение (3.33) в уравнение (3.27), мы найдем это
наилучшее значение амплитуды, а именно:
-^ = 1 +-.
яст ц
(3.34)
Ю Ден-Гартог -2074
146
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. 111
В некоторых конструкциях демпфера Ланчестера вязкое со-
противление заменено сухим, т. е. кулоновым трением. Исследова-
ние этого случая достаточно сложно и здесь не приводится.
Расчет показывает, что для наилучшего значения резонансной
амплитуды в таком поглотителе мы имеем следующее приближен-
ное значение:
?! = М6. (з.з5)
Яст 4/л д
Четыре только что рассмотренных случая показаны на рис.
3.14, а. Наиболее выгодные размеры поглотителя определяются
значениями + — или Мы видим из диаграммы, что беспру-
жинный поглотитель, или демпфер Ланчестера, является менее
эффективным, чем пружинные или динамические поглотители
с затуханием. Однако проектирование пружины динамического
поглотителя бывает часто очень затруднительно, так как малые
амплитуды главной массы получаются за счет больших дефор-
маций, а следовательно, и больших напряжений пружины пог-
лотителя.
Прежде чем вычислять напряжение в пружине поглотителя,
необходимо найти оптимальное значение затухания (с/ск)опт.
Оптимальное значение амплитуды было найдено просто посред-
ством установления того положения, что должно быть такое
значение отношения с/ск, при котором кривая в точке Р или Q
обладает горизонтальной касательной, как это изображено на
рис. 3.13. Правда, величина затухания до сего времени еще не была
определена, и вот здесь-то мы впервые встречаемся с трудностями.
Отправляясь от уравнения (3.24), воспользуемся формулой (3.30) для
получения случая «оптимальной настройки» (с/ск)0Пт- Продифференцируем
полученное видоизмененное уравнение (3.24) по д, найдя тем самым наклон
кривой, который приравняем нулю для точки Р, Из полученного таким
образом уравнения можно определить с/ск.
Этот трудоемкий расчет, как показал Брок х), приводит к результату
8(1+ ц)3
С другой стороны, если -— приравнять нулю не в точке Р, а в точке Q и
dg
полученное уравнение разрешить относительно с/ск, то получим:
1 John Е. В г о с k, A Noto on the Damping Vibration Absorber, Trans.
A. S. M. E., 1946, A 284.
Ч 3.3
ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ
147
< реднее из полученных значений дает оптимальное затухание для случаев
оптимальной настройки соответственно уравнению
( с \2 Зрь
Ы = 8(1 + А1)3- (3'36)
Такой же расчет в применении к поглотителю с постоянной настройкой
f = 1 при нулевом наклоне в точке Р дает
+ 3)
8 (1 + /-0
(3.37)
Аналогично для демпфера Ланчестера (рис. 3.15) при / = О нулевое
затухание в точке Q имеет место при
с \2 1
cj = 2 (2 + /X) (1 + р.)' (3'38)
Эти результаты представлены на рис. 3.14, в.
Теперь мы уже можем приступить к нахождению относительного
движения двух масс М и т, определяющего напряжение в пружине погло-
тителя. Точный расчет здесь очень сложен, так как пришлось бы вернуться
к исходным дифференциальным уравнениям. Поэтому мы удовлетворимся
приближенным решением задачи, использовав результат, полученный на
стр. 78; там мы нашли, что вблизи наибольшей или резонансной ампли-
туды разность фаз между силой и перемещением составляет 90° или л/2.
На основании указанных соображений работа, совершаемая силой
/’0 за один период [см. уравнение (1.9) на стр. 29], равна
W = ттР0 х1 sin 90° = пРцХг.
Это есть приближение, но приближение довольно хорошее, так как, если
даже у отличается более или менее значительно от тт/2, то sin отличается
от единицы достаточно мало.
С другой стороны, работа, рассеявшаяся за один период вследствие
затухания, согласно той же формуле равна произведению тт на силу сопро-
тивления и на относительную амплитуду хг, так как эта сила, будучи в
одной фазе со скоростью, отличается по фазе от смещения точно на зг/2.
Итак, для рассеившейся работы имеем
17дИС = П (С(0Хг) • хг = ттсюо#.
1 [риравнивая эти два выражения, находим
ъРцХу = ЗГС0О$,
ИЛИ
. Р°Х1
х? — -----.
Cto
11 безразмерной форме это равенство принимает вид
Xr 'j2 хх 1
Хет J а?ст п е
—
сс
(3.39)
10*
148
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ, III
Написанная формула определяет относительное движение, а следова-
тельно, и напряжение в пружине поглотителя, После подстановки соот-
ветствующих значений д, д и т. д. она может применяться как к вязкому
поглотителю Ланчестера так к « двум типам динамического поглотителя.
Кривые, изображенные на рис. 3.14, б, показывают результаты
указанных вычислений. Мы видим, что относительные движения,
т. е. растяжения пружины, достаточно велики, а именно: их ампли-
туды в три или четыре раза больше амплитуды движения главной
системы. Если пружины могут быть рассчитаны так, что они
противостоят усталости при таких повторяющихся напряжениях,
то все обстоит хорошо, но часто выполнить это весьма трудно,
а иной раз и невозможно из-за отсутствия места для соответствую-
щих пружин. В этом-то и заключается причина того, что поглоти-
тель Ланчестера, несмотря на его меньшую эффективность по
сравнению с пружинными поглотителями, получил большое
распространение.
Пример. Требуется рассчитать поглотитель колебаний для системы,
изображенной на рис. 3.6, который должен действовать при всех частотах
возмущающей силы (принять Мд = 4,5 кГ\ тд = 0,45 кГ\ Ро == 0,45 кГ\
К = 18 кПсм)
Предполагая вначале, что пружина поглотителя характеризуется
коэффициентом к = 1,8 кПсм,. найти:
а) Наилучшее значение коэффициента затухания в поглотителе.
Ь) Наибольшую амплитуду главной массы.
с) Наибольшее напряжение в пружине поглотителя.
Далее, отбрасывая требование к}К = mfM, найти:
d) При каком значении к достигается наиболее полный эффект?
е) Такой же вопрос, что и в а), но для нового значения к.
f) Такой же вопрос, что и в Ь), но для нового значения к.
g) Такой же вопрос, что и в о), но опять для нового значения к.
Решение. Ответы на все вопросы содержатся на рис. 3.14, а, б, в.
а) Рассматривая рис. 3.14 в, мы находим
или
0,45
с = 0,41 т Qn = 0,41 •------- 20 л = 0,0118 кГ • сек}см.
980
Ь) Рис. 3.14, а или уравнение (3.32) дает
а?
— = 7,2;
а?ст
тогда
а?ст = — «== ’. - = 0,025 см,
следовательно,
х = 7,2 • 0,025 = 0,18 см.
К 3.3
ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ С ЗАТУХАНИЕМ
149
с) Рис. 3.14,6 дает для относительного движения, связанного с
изменением длины пружины
— = 12,8,
*ГСт
о!куда
хг = 12,8 • 0,025 = 0,32 см,
и сила, действующая в пружине, равна
кхг = 1,8 • 0,32 = 0,576 кГ.
d) Наиболее благоприятная настройка определяется из уравнения
(3.30):
«а 1 10
Х?с 1 4" М 11
о г куда
©а V ЮО
Oj ” 121’
Так как величины т, М и К здесь те же, что и в предыдущих вопросах,
то (wa/£c)2 пропорционально к. Поэтому новая пружина поглотителя долж-
на определиться постоянной
к =
е) На рис. 3.14, в имеем
ЮО
—- • 1,8 = 1,5 кПсм.
1^1
с
-------= 0,166.
2т Qc
Так как величина 2т Qc в нашем случае та же самая, что и в вопросе а),
го имеем
0,166
с = —-— • 0,0118 = 0,0096 кГ сек/см.
0,205
f) Рассматривая рис. 3.14, а или уравнение (3.13), находим
£ЕСТ
'Гак как в вопросе Ь) мы уже нашли, что яст = 0,025 см, то наибольшая
амплитуда оказывается равной
х = 4,6 • 0,025 = 0,115 см.
g) Из рис. 3.14,6 имеем
— = 19,5.
®СТ
Тогда
хг — 19,5 • 0,025 = 0,49 см.
При к = 1,5 кГ)см находим, что наибольшая сила в пружине равна
1,5 • 0,49 = 0,735 кГ,
Рис. 3.16.Зубча-
тое колесо с
звукопоглоти-
тельными коль-
цами. Эти коль-
ца либо загоня-
ются в нагретое
колесо, которое
их обжимает
при своем со-
кращении, ли-
бо прикрепля-
ются к нему
в нескольких
местах так,что-
бы могло про-
исходить отно-
сительное пере-
мещение, сопро-
вождаемое тре-
нием во время
колебаний.
150 ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ГЛ. III
Демпферы и поглотители описанного типа нашли себе при-
менение, главным образом, на линиях электропередачи (стр. 410,
рис. 7.23), в двигателях внутреннего сгорания (см. стр. 285) и на
кораблях, о чем будет идти речь в следующем параграфе. Заметим,
что в сооружении или в машине «поглотитель»
может оказаться осуществленным таким обра-
зом, что его очень трудно распознать.
Пример упомянутого сейчас устройства мы
имеем в зубчатой передаче, которая, если не
принять соо тветству ющих п редосто ро жно стей,
издавала бы звон наподобие колокольного. Было
установлено экспериментально, что этот шум
может быть в значительной мере устранен по-
средством прижатия двух чугунных колец а, а
(рис. 3.16) к внутренней стороне обода колеса. Но
если кольца прижаты слишком слабо или, на-
оборот, слишком туго, то они не производят
никакого амортизирующего действия; однако
есть какое-то среднее значение давления колец,
при котором эффект получается наиболее полный.
Для опыта можно взять два одинаковых зуб-
чатых колеса, из которых одно снабжено упомя-
нутыми кольцами, а другие без них, поставить их
вертикально и по ободу каждого из них уда-
рить молотком. Тогда первое колесо издаст очень
короткий звук, причем звук этот будет подобен
звуку удара о кусок свинца, а второе колесо бу-
дет звучать в течение примерно десяти секунд
или даже дольше. Очевидно, что чугунные встав-
ки действуют подобно амортизатору Ланчестера.
§ 3.4. Успокоение качки корабля
Одно из наиболее интересных применений
теории, изложенной в предыдущем параграфе,
это — предупреждение качки корабля в неспо-
койном море посредством специальных приспо-
соблений, установленных на борту корабля.
Прежде всего рассмотрим боковую качку самого корабля,
снабженного амортизирующим устройством. Пусть корабль пла-
вает на спокойной воде (рис. 3.17, а), тогда его вес W и полное
давление воды (поддерживающая сила) В являются двумя рав
ными и противоположно направленными силами, проходящими
через центр тяжести G. Положим теперь, что корабль слегка
отклонен от своего первоначального положения посредством
некоторой внешней пары (рис. 3.17,6). Сила тяжести IV опять
3.4
УСПОКОЕНИЕ КАЧКИ КОРАБЛЯ
151
проходит через точку G, но равнодействующая всех давлений
уже оказывается несколько смещенной влево. Линия действия
пой силы пересекает осевую линию сечения корабля в некоторой
ючке М, которая известна в технике под названием метацентра.
(совершенно очевидно, что положение этой точки определяется
Ц'ометрической формой корпуса корабля. Расстояние h между
ючками М и G называется метацентрической высотой.
Определение этой величины по чертежу корабля является
весьма важной обязанностью конструктора, так как от нее зави-
Рис. 3.17. Подъемная сила и сила веса, действующие на
корабль. Для устойчивости метацентр М должен быть
расположен выше центра тяжести О. Расстояние МО
есть метацентрическая высота h.
сит устойчивость корабля против боковой качки, называемая
в кораблестроительной технике остойчивостью. На рис. 3.17, б
мы видим, что силы W и В образуют пару, стремящуюся воз-
вратить корабль в его вертикальное положение. Это имеет место
всегда, если только метацентр лежит выше центра тяжести или
сели метацентрическая высота h положительна. В случае же
о |рицательного значения h пара W, В (рис. 3.17, б) будет
увеличивать наклон корабля, и равновесие будет уже не-
ус юйчивым.
Пример. Пусть корабль имеет прямоугольное поперечное сечение, а
ипдводпая часть его имеет квадратное сечение со стороной 2а. Пусть, далее,
1нц||) тяжести лежит на вертикальной оси симметрии на высоте х
мил дном корабля Для малых значений х корабль устойчив, тогда как для
Гияыпих значений этой величины статическое равновесие уже не будет
устойчивым. Найти то значение ж, при котором равновесие безразлично.
Решение. Рассмотрим погруженную часть корабля величиною 2а • 2а • 1.
1н |»я такую пластинку единицы толщины, мы получаем то удобство, что
И"1 ружспные объемы становятся численно равными площадям соответ-
152
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ, Ш
ственных поперечных сечений. При наклонении на угол ср форма попереч-
ного сечения погруженной части преобразуется, переходя из полного
квадрата в квадрат, из которого справа отнимается малый треугольник,
но зато такой же треугольник прикладывается слева. Площадь этого
треугольника равна (а/2) • ау = а2у/2. Так как центр тяжести каждого
из упомянутых треугольников расположен на одной трети высоты, если
считать от основания, то перемещение треугольника из правой части в
левую вызывает перемещение центра тяжести площади а2 у/2 на расстояние
(2/3) • 2а. Произведение этих величин должно равняться площади квадрата
4а2, умноженной на горизонтальное смещение у центра тяжести всей
•фигуры. Таким образом.'
или
ау
Итак, центр тяжести погруженной фигуры перемещается на это расстоя-
ние влево от первоначальной вертикальной оси симметрии. Вертикальная
линия, проходящая через этот новый центр тяжести, пересекает ось сим-
метрии в точке, находящейся на расстоянии а/6 над первоначальным поло-
жением центра тяжести. Так как эта точка и есть метацентр Л4, то мы
находим, что метацентр М лежит на расстоянии а + а/6 = (7/6) а над
дном корабля. Таково должно быть и желаемое положение центра тяжести
всего корабля при условии его безразличного равновесия.
Корабль представляет собою колеблющуюся систему, так
как, если его вывести из своего положения равновесия, то он
стремится вернуться обратно. Для малых углов (р положение
точки М не зависит от ср. Момент восстанавливающей пары равен
—Wh sin <р или, для достаточно малых значений угла <р,—Why.
Под действием этой пары корабль будет поворачиваться обратно,
качаясь вокруг некоторой горизонтальной оси. Пусть момент
инерции корабля относительно этой оси равен Is\ тогда диффе-
ренциальное уравнение вращательного движения будет
или
Isy = — Why,
(3.40)
у 4- -f— у = 0,
а это уравнение такого же типа, что и уравнение (2.7) (стр. 52)
для незатухающих колебаний системы с одной степенью свободы.
Следовательно, качка корабля представляет собою гармоническое
колебание с собственной частотой
0С =
(3.41)
Представим себе теперь, что корабль находится в волную-
щемся море. Волны ударяют по корпусу корабля более или менее
периодически, вызывая при этом переменную пару, действующую
S 3.4
УСПОКОЕНИЕ КАЧКИ КОРАБЛЯ
153
на корабль. Хотя это действие и не отличается правильной
закономерностью в смысле его периодичности, все же приближенно
мы можем считать, что имеем дело с гармоническим возмущающим
моментом Т0 sin cot, который и должен быть написан в правой
части уравнения (3.40). В том случае, когда частота волны близка
к собственной частоте сос колебаний корабля при боковой
кач^е, вынужденные колебания могут получиться весьма зна-
чительными.
Как показали наблюдения, значения угла ср при волнении
достигают 20°.
Уравнения (3.40) и (3.41) показывают нам, что поскольку
речь идет о колебательных свойствах, то система, представленная
на рис. 3.17, эквивалентна системе, изображенной на рис. 2.4,.
Рис. 3.18. Стабилизирующие цис-
терны Фрама старого типа.
Рис. 3.19. Современная конструкция
стабилизирующей установки Фрама.
или же верхней части системы на рис. 3.6. Отсюда мы можем
сделать заключение, что делу можно помочь введением поглоти-
теля аналогично показанному на рис. 3.6. Это и было сделано в
1902 г. Фрамом, который сконструировал внутри корабля систему,
состоящую из двух цистерн (рис. 3.18), наполовину наполненных
водой и соединенных между собою водяным трубопроводом внизу
и воздушным трубопроводом с вентилем V наверху. Вторичная
или поглощающая система, полученная таким образом, приблизи-
тельно соответствует системе, представленной на рис. 2.11 (стр. 57).
В других конструкциях нижний соединительный трубопровод
упразднен, а его роль непосредственно играет океан, как это
показано на рис. 3.19. Воздушные цистерны занимают примерно
две трети длины судна и разделяются вертикальными перегород-
ками на три или большее число отсеков. Эти конструкции в действи-
тельности значительно сложнее по сравнению с системой, изо-
браженной на рис. 3.10, хотя старая конструкция (рис. 3.18),
подходит к ней достаточно близко.
Успокоители Фрама были установлены на больших герман-
( них лайнерах «Бремен» и «Европа».
Существует другой метод успокоения качки корабля, который
выглядит совершенно отличным от метода Фрама, хотя и имеет в
154
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. III
основе своего действия тот же самый принцип; речь идет о гиро-
скопе Шлика (рис. 3.20). Прибор состоит из тяжелого ротора,,
вращающегося с большой скоростью вокруг вертикальной оси.
Подшипники А А ротора укреплены на раме, подвешенной на
подшипниках ВБ таким образом чтобы рама могла вращаться
около оси, расположенной поперек корабля. Ось ВВ лежит
выше центра тяжести ротора и его рамы. Для того чтобы гасить
Рис. 3.20. Схема гироскопического стабилизатора Шлика, действующего
вследствие рассеяния энергии в тормозном барабане С.
колебательные движения рамы гироскопа, на ось ВВ насажен
тормозной барабан С. Вес ротора гироскопа рассчитывается так,
чтобы он составлял примерно 1% веса корабля. Ротор вращается
посредством электроэнергии, причем скорость вращения дово-
дится до наивысшей, при которой напряжения в материале,
вызванные центробежными силами, не превосходят допускаемых.
Для уяснения действия этого прибора необходимо вспомнить
основное свойство гироскопа, а именно, что вектор, изображаю-
щий главный момент сил, действующих на гироскоп, геометри-
чески равен скорости конца главного момента количеств движе-
ния, или, как его еще называют, кинетического момента.
Пусть вращение ротора направлено против часовой стрелки,
если смотреть на него сверху; тогда вектор L, изображающий
кинетический момент, должен быть направлен вверх. Пусть,
далее, корабль поворачивается вокруг продольной оси по часовой
стрелке (если смотреть с кормы) с угловой скоростью в таком
Й 3.4
УСПОКОЕНИЕ КАЧКИ КОРАБЛЯ
155
случае скорость изменения вектора L, т. е. скорость его конца,
представляет собою вектор длины Ьф, направленный поперек
корабля вправо. Этот вектор и будет главным моментом всех
с пл, действующих на ротор со стороны рамы. Что же касается
главного момента сил действия ротора на раму, то вектор, его
изображающий, равен предыдущему по величине, но направлен
противоположно, вследствие чего рама получит угловое ускорение
в направлении возрастания угла тр (таким образом, нижняя
часть рамы будет стремиться двигаться к корме корабля).
С другой стороны, если рама ротора при своем качании вра-
щается в данный момент времени с положительной угловой ско-
ростью ф, то вектор-момент L возрастает в каждую секунду на
величину Lip в сторону носа корабля. Этот вектор, определяю-
щий возрастание предыдущего, есть момент, стремящийся , вра-
щать ротор по часовой стрелке, а самый корабль против часовой
стрелки, если смотреть с кормы на нос.
Таким образом, корабль оказывается связанным с гироскопом
в том же смысле, как он бывает связан с успокоителем Фрама,
хотя действия той и другой установки носят совершенно различ-
ный характер.
Если не вводить затухание в колебательное движение рамы
ротора, то действие гироскопа скажется лишь в том, что вместо
одной собственной частоты корабля при его качке у него появляют-
ся две, уже другие, собственные частоты. Резонанс с морской
волной приведет к безграничному увеличению амплитуды ср коле-
баний корабля. Если же, напротив того, ввести бесконечно
большое затухание, то рама ротора фактически оказывается
жестко связанной с кораблем. Поэтому боковая качка корабля
приводит к возникновению момента, стремящегося дать наклон
килю корабля, и, наоборот, связанный с кораблем гироскоп
превращает такое вращение вокруг поперечной оси корабля во
вращение вокруг его продольной оси. При резонансе морской
волны с одной из собственных частот корабля при боковой качке
в результате мы опять получаем беспредельное увеличение амп-
л in уды при этой качке. Однако есть какое-то промежуточное
значение затухания, когда обе резонансные амплитуды суще-
ственно уменьшаются.
Активные стабилизаторы корабля. Движение воды в резер-
вуаре Фрама, так же, как и прецессия гироскопа Шлика, вызы-
ваемся самой качкой корабля и в обоих случаях задерживается
юрмозящим устройством. Таким образом, здесь мы не имеем
совершенного решения задачи, поскольку регулировка наилуч-
1НПХ тормозов различна для различных частот и прочих условий.
Подобные системы называются «пассивными системами» в отли-
чие' от более современных «активных систем», когда в системе
‘Ирама вода перекачивается из одного резервуара в другой, а в
156
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ш
системе Шлика прецессия гироскопа вынуждается. Здесь уже нет
тормоза, но зато имеется регулятор или прибор, который чувст-
вует качку корабля и который дает соответствующие сигналы,
управляющие насосом в системе Фрама или прецессией гироскопа
Сзади
б) Зад сзади
в) Сид справа
Рис. 3.21. Гироскопическая установка Сперри для успокоения качки ко-
рабля. Прецессия гироскопа вызывается электромотором который управ-
ляется направляющим гироскопом, показанным на схемах (б) и (в).
в системе Шлика, причем так, что фаза реактивного момента
всегда оказывается правильной.
Первым из таких активныху стройств,достигших практического
совершенства, явился гироскопический судовой стабилизатор
Сперри, схематически показанный на рис. 3.21. Он состоит из
главного гироскопа, отличающегося от гироскопа Шлика лишь
тем, что его ось 55 проходит через центр тяжести и что тор-
мозной барабан С заменен зубчатой дугой, сцепленной с шестер-
ней, насаженной на вал сервомотора постоянного тока D. Помимо
главного гироскопа, здесь имеется еще малый направляющий
й 3.4
УСПОКОЕНИЕ КАЧКИ КОРАБЛЯ
157
гироскоп (рис. 3.21, б, в), который имеет габаритные размеры поряд-
ка 13 см и представляет собою почти точную копию главного
1 ирископа. Единственное отличие заключается в том, что этот
i ироскоп не имеет зубчатки С, а вместо нее он снабжен двумя
электрическими контактами dx и d2f один из которых расположен
впереди, а другой позади рамки ротора.
Действие стабилизатора происходит следующим образом.
Когда корабль имеет угловую скорость качки р, направленную
по часовой стрелке (если смотреть с кормы), верхняя часть ротора
направляющего гироскопа начинает перемещаться в сторону носа
корабля и замыкает контакт й2. Это замыкание включает специ-
альное электрическое реле, которое приводит в действие серво-
мотор D, вращающий раму главного гироскопа вокруг оси ВБ
в таком же направлении, в котором вращается рамка малого
шроскопа. Иначе говоря, верхняя часть главной рамы переме-
щается в сторону носа корабля. Вследствие этого в главном роторе
возникает момент, изменяющий угол ср и направленный по часо-
вой стрелке. Он вызывает, в свою очередь, появление реактивного
момента, действующего на раму главного ротора, а, следовательно,
н на корабль. Таким образом, главный гироскоп создает вра-
щающий момент, действующий на корабль в направлении, про-
швоположном угловой скорости качки, и тем самым наиболее
)ффективно противодействующий этой качке. Как только ско-
рость качки корабля обращается в нуль, момент в направляю-
щем гироскопе исчезает, а его ротор возвращается назад к ней-
тральному положению посредством двух пружин е, показанных
па рис. 3.21, в. Но лишь только скорость качки получает противо-
положное направление, малый гироскоп опять выводится из
своего равновесного положения и замыкает уже контакт dlt
благодаря чему сервомотор начинает вращаться в противополож-
ном направлении. Таким образом, всегда возникает момент,
действующий на корабль противоположно мгновенному враще-
нию его при качке. Так как этот момент направлен против угловой
скорости корабля, то тем самым для корабля пропадает наиболь-
шее количество энергии качки (см. три правила на стр. 31).
Направление желаемого прецессионного движения у главного
гироскопа, как это видно из предыдущего, таково же, что и для
свободного вспомогательного гироскопа. Это означает, что мотор
/) вращает раму главного гироскопа в ту же сторону, в какую
опа сама стала бы вращаться, если бы она получила возможность
свободного вращения в подшипниках Б. Однако легко показать,
'Но при такой возможности прецессия главного гироскопа про-
in кодила бы весьма быстро и притом ускоренным образом: за
ничтожную долю периода качки угол у достиг бы 90°, а из этого
положения гироскоп не может быть выведен качкой. Отсюда
< подует, что мотор D не должен толкать главный гироскоп (за
158 ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ГЛ. Ill
исключением самого начала прецессии), а должен оказывать
тормозящее воздействие, понижая скорость прецессии до должной
величины. Были даже предложения совсем отказаться от мотора
D и возвратиться к старей системе Шлика с тормозным бараба-
ном, с той лишь разницей, что нажатие тормоза должно уп-
равляться опять вспомогательным гироскопом посредством
электричества.
В конструкциях, имеющих место в действительности, ось
ЛА направляющего гироскопа горизонтальна и расположена
поперек корабля, тогда как ось его рамы ВВ вертикальна. Пря-
мая, соединяющая контакты dy и d2, остается, как и прежде,
параллельной продольной оси корабля. Читателю предлагается
убедиться, что при указанном расположении действие стабили-
затора получается такое же, как и в случае, изображенном на
рис. 3.21.
Гироскопические стабилизаторы Сперри установлены и успеш-
но действуют на многих яхтах. Их применение на итальянском
трансатлантическом пароходе «Conte di Savoia» показало, что
они весьма эффективно погашают даже сильную качку. Однако
во время больших штормов на Атлантическом океане отдельные
волны бывают таковы, что они способны раскачивать судно до
17°. В то же время мощность гироскопической установки доста-
точна для раскачивания корабля лишь на 2° за каждый размах.
Отсюда следует, что наибольшие углы отклонения при такой
качке мало зависят от того, установлен ли гироскопический стаби-
лизатор или нет. Гироскоп, который в состоянии успокаивать
корабль даже при наиболее бурной погоде, должен был бы иметь
недопустимо большие размеры и обладать весом около 5% веса
всего корабля.
Подобный недостаток присущ также активным цистернам
Фрама, в которых вода подается насосом с одного борта судна
к другому, причем насос управляется направляющим гироскопом.
Испытания, произведенные с этой системой на истребителе,
показали, что она может быть эффективна в широких пределах.
Третье стабилизирующее устройство основано на использова-
нии принципа подъемной силы крыла самолета. Представим себе
такое крыло размахом примерно 6 м при выросшем фюзеляже
самолета до размеров океанского парохода. Эти крылья располо-
жены ниже ватерлинии. При движении корабля в воде возникает
подъемная сила этих крыльев или боковых рулей. Они могут
поворачиваться на малый угол вокруг их продольной оси (попе-
речной по отношению к кораблю), и таким образом может изме-
ниться угол атаки, а следовательно, и гидродинамическая подъем-
ная сила. Пусть, например, левый боковой руль имеет большой
положительный угол атаки и подъемную силу, направленную
вверх, в то время как правый боковой руль имеет отрицательный
Й 3.5
ПОГЛОТИТЕЛИ ТОЛЧКОВ НА АВТОМОБИЛЯХ
159
угол атаки и силу, направленную вниз;- тогда возникает гидро-
динамический вращающий момент, направленный по часовой
стрелке, если смотреть сзади. Если теперь углы атаки непрерывно
изменяются сервомотором (под влиянием направляющего гиро-
скопа) таким образом, что упомянутый момент, действующий на
корабль, противоположен угловой скорости боковой качки, то
ла качка гасится. Подобная система была в действии на некоторых
британских истребителях во время последней войны. Вес ее мал
по сравнению с весом судна, но она имеет тот недостаток, что
несколько увеличивает сопротивление движению, а следовательно,
требует большего расхода топлива за рейс корабля, что является
отрицательным фактором. Указанный недостаток в последнее
время устраняется тем, что боковые м
рули делаются выдвижными, так что
они вводятся в действие только в бур-
пую погоду. А в таком случае в на-
i юящее время это есть наилучшее ” ----
решение вопроса. Необходимо заметить, рис. 3.22 Боковые кили,
ч ю цистерны и гироскопические ста- простирающиеся более чем
билизаторы действуют и при стоящем наполовинудлины корабля,
корабле, что не имеет места для бо-
ковых рулей, действие которых зависит от скорости судна.
Пассивный вариант системы боковых рулей, применявшийся
в течение нескольких лет, это — боковые кили, представляющие
собою примитивную форму боковых рулей, неизбежно связанных
i бортами судна (рис. 3.22). При движении корабля вперед никакой
подъемной силы в этих килях не возникает, поскольку угол
тики равен нулю. Однако, как только корабль попадает в боко-
вую качку, его вращательное движение создает кажущийся
угол атаки, вызывающий подъемные силы, которые образуют
момент, направленный против угловой скорости качки. Боковые
। или совершенно. неэффективны в смысле прекращения качки
1ирабля, стоящего на месте, но становятся эффективными при
но движении, причем эта эффективность, грубо говоря, пропор-
циональна квадрату скорости поступательного движения корабля.
§ 3.5. Поглотители толчков на автомобилях
Автомобиль обычного типа на рессорах и пневматиках пред-
• । л вл ист собою чрезвычайно сложную колебательную систему.
Ьк<|> мы имеем три различные «массы», а именно: надрессорное
11|юепие автомобиля, переднюю ось и заднюю ось; кроме того,
• в еь имеются восемь различных «пружин»: четыре рессоры и
"•ii.ipe пневматика (рис. 3.23). Свободное тело в пространстве
ими । шесть степеней свободы. Так, оно может подпрыгивать,
in ргмсщаясь при этом вверх и вниз, раскачиваться в одну и в
160
ЛВГ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ill
Надрессорное строение
Рис. 3.23. Идеализированная схема
обычного автомобиля с передней и
задней осями и поглотителями толч-
ков (амортизаторами).
другую сторону, затем двигаться 'вперед и назад; это — три
поступательных перемещения. Кроме того, могут иметь место
три вращательных перемещения, которые в технике известны под
следующими названиями:
1) боковая качка, т. е. колебания вокруг продольной оси;
2) галопирование или продольная качка, т. е. колебания вокруг
поперечной оси;
3) виляние, т. е. колебания вокруг вертикальной оси.
Так как автомобиль представляет собою совокупность
трех твердых тел, то в действительности он должен иметь 18
степеней свободы. Однако значи-
тельная часть таких переме-
щений не имеет почти никакого
значения. Наиболее важными
перемещениями являются следу-
ющие:
1) подпрыгивание надрессор-
ного строения или корпуса
автомобиля при достаточно
устойчивом положении осей;
2) продольная качка кор-
пуса при почти устойчивом
положении осей;
3) подпрыгивание каждой
оси, вследствие упругости пнев-
матикой, при практически невоз-
мущенном состоянии остова;
4) боковая качка осей, сопровождающаяся незначительным
движением корпуса.
Первые два движения были рассмотрены на стр. 123. Для
вполне симметричного автомобиля (которого в действительности
нет) двумя главными колебаниями должны быть, во-первых, вер-
тикальное поступательное движение, во-вторых, галопирование,
или продольная качка около оси, проходящей через центр тяже-
сти; в действительности же при отсутствии такой симметрии
каждое колебательное движение является совокупностью двух
главных колебаний. На практике собственные частоты двух
первых главных колебаний очень близки друг к другу, оказы-
ваясь в современных машинах иногда даже меньше одного коле-
бания в секунду. Колебания третьего и четвертого типов имеют
частоты, приблизительно равные между собою, но более высокие,
чем предыдущие, относящиеся к надрессорному строению. В
старых моделях собственные частоты для осей были более высо-
кими, доходя до 6 или 8 колебаний в секунду. В современных
же автомобилях, снабженных баллонами и более тяжелыми
осями, по причине установки тормозных барабанов на передних
§ 3.5 ПОГЛОТИТЕЛИ ТОЛЧКОВ НА АВТОМОБИЛЯХ 161
осях, эти частоты уже ниже. Вследствие того, что частота коле-
баний корпуса и частота колебаний осей столь далеки друг от
друга, одно движение (первое или второе) может существовать
независимо от другого (третьего или четвертого). Так, если над-
рессорное строение перемещается вверх и вниз, совершая одно
колебание в секунду, то изменение возмущающей силы в рессорах
будет примерно в шесть раз медленнее собственных колебаний
массы оси на пневматиках, и, таким образом, ось не будет реаги-
ровать на переменную силу.
Подобно этому, когда ось колеблемся со скоростью шесть
периодов в секунду, рессоры должны испытывать действие пере-
менной силы с такой же самой частотой ее изменения, которая,
однако, слишком высока, чтобы оказать заметное действие на
корпус автомобиля (см. рис. 2.18 на стр. 68).
Резонанс с колебаниями каждой из упомянутых частот
возникает довольно часто и может быть легко наблюдаем не
только в машинах старых моделей, но также и в новейших авто-
мобилях, если у них удалить поглотители толчков (амортизаторы).
Явление резонанса при галопировании надрессорной части авто-
мобиля наблюдается при езде со средней скоростью по неровной
дороге с волнистым профилем. Так, например, в автомобилях с
недостаточно мощными амортизаторами наблюдается обычно
сильное галопирование при движении со скоростью около 48 клг в
час по бетонированной дороге старого типа с плитами, стыки
которых чередуются через каждые 12 м. Колебания с другой
собственной частотой оказываются в состоянии резонанса на
достаточно низких скоростях при движении по дороге, вымощен-
ной булыжником. В этом случае оси могут испытывать столь
сильные колебания, что шины отделяются от дороги при каждом
полном колебании.
Наихудшие из описанных явлений могут быть устранены
посредством установки на рессорах поглотителей толчков, кото-
рые служат для гашения колебаний так же, как и успокоители
колебаний. Прежде чем приступать к изучению их действия,
обратимся сейчас к рассмотрению влияния самих рессор и пнев-
матиков на «качество езды» или «комфортабельность езды».
Пусть автомобиль движется вперед с постоянной скоростью.
Спрашивается, какой величиной надо измерять степень комфорта-
бельности? Такой величиной может быть хотя бы вертикальное
перемещение кузова или какая-нибудь производная от этого
перемещения. Такой характеристикой не должна быть величина
амплитуды перемещения, так как переезд через гору, представ-
ая ющий собою тоже своего рода «колебание» с амплитудой, поло-
жим, в 1000 м и частотой в одно колебание в час, может быть
весьма приятным. То же самое следует сказать и о вертикальной
скорости, поскольку нет никаких препятствий к езде с большой
И Дсв-Гартог • 2074
162
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. ш
Рис. 3.24. Движение автомобиля
по волнистой дороге.
скоростью по круто поднимающейся дороге. Аналогично обстоит
и с вертикальным ускорением, гак как установившееся уск рение
ощущается в виде непрерывно действующей силы, создающей
лишь кажущееся изменение величины д, что может быть даже
нечувствительно. Однако внезапные толчки производят чрезвы-
чайно неприятное ощущение. Вот по этой причине критерием
комфортабельности является производная ускорения , что
мы и будем считать мерою толчка.
На рис. 3.24 представлено схематически колесо или ось на
пружинящем пневматике. Пусть колесо катится по дороге с
синусоидальным профилем. Если
автомобиль движется с постоян-
ной скоростью, то точка касания
пневматика с дорогой совершает
колебания
Рассмотрим
одинаковой массы т,
с одинаковой скоростью по одной
и той же дороге aosin^, причем
предположим, что эти колеса
отличаются друг от друга только величиной к, характеризующей
упругие свойства пневматиков, т. е. коэффициентом жесткости.
Сила F, передающаяся посредством пневматика о г дороги на
колесо (ось), должна быть тогда в к раз больше относительного
перемещения. По уравнению (2.26, стр. 71) получается
__ ть)2 «о
hl/o —
по закону aosin®t
различные колеса
катящиеся
F =
w2
1-------
со?
или, в безразмерной форме,
к V
F
тсо2а0
тсо2J
]Гк~\2
(3.42)
1 —
ты2
отложить по ординатам,
Если безразмерную силу
имея абсциссами безразмерный квадратный корень из числа,
характеризующего упругость пневматика, т. е. У к/тср, то урав-
нение (3.42) показывает нам, что мы получим диаграмму, изобра-
женную на рис. 2.20 (стр. 72).
Легко видеть, что жесткие пружины (большие значения к,
например, для колес, снабженных стальными ободьями) отобра-
жаются точками в правой части диаграммы, которые означают
передачу больших сил. Передача малых сил имеет место в слабых
§ 3.5
ПОГЛОТИТЕЛИ ТОЛЧКОВ НА АВТОМОБИЛЯХ
163
пружинах (в нашем случае это относится к баллонам), соответст-
венно чему получаем точки около начала координат (рис. 2.20).
К этим выводам можно прийти также из других соображений.
Рассмотрим данную нам «синусоидальную» дорогу или же ровную
дорогу с одним единственным холмиком на ней и положим, что
мы имеем абсолютно жесткие
колеса со стальными ободьями. у
В таком случае вертикальные |
ускорен ия колеса увеличиваются ---— -------------
пропорционально квадрату СКО- Рис. 3.25. Препятствия (холмик) па
расти, что может быть показано дороге.
следующим образом. Пусть се-
чение холмика на дороге представляется уравнением у = /(ж)
(см. рис. 3.25). Для всякой повозки, движущейся с постоянной
скоростью v, мы имеем х = vt.Тогда вертикальная скорость буде
—
dt d(vt)
vd/
dx
и соответственно вертикальное ускорение
dt \dt J d(vt) \dt J dx ( dx] dx2 ’
Так как вторая производная определяется лишь формой
холмика и не зависит от скорости, то легко видеть, что верти-
кальные ускорения действительно возрастают пропорционально
квадрату скорости. Если колесо вполне жестко (без пневматика),
то силы, действующие как на колесо, так и на дорогу, представ-
ляют собою произведение массы колеса на указанное ускорение.
Поэтому сила, действующая на дорогу, также увеличивается
вместе с квадратом скорости, делая, таким образом, применение
резиновых шин абсолютно неизбежным даже для умеренных
скоростей, о которых обычно идет речь.
Пневматики предназначены прежде всего для предохранения
дороги и колес, тогда как рессоры служат для создания «ком-
(|юр та бел ьности».
Итак, теперь мы можем задаться вопросом: как рассчитать
рессоры, чтобы при заданном движении осей получить наиболь-
шую комфортабельность, т. е. наименьшие толчки, определяемые
третьей производной
Из уравнения (2.26) мы имеем
w2а0 . ,
У = -----8Ш
1 - —
w?
11*
164
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. ш
откуда дифференцированием находим
-4- = —Ц cos cot. (3.43)
ы3а0 и2 ' '
Здесь опять мы получили величину, показанную на рис. 2.20.
Итак, рессоры должны обладать наименьшей возможной жестко-
стью в вертикальном направлении. Толчки на дороге в большин-
стве случаев будут происходить быстрее, чем это соответствовало
бы собственной частоте колебаний надрессорного строения, и
поэтому они не дадут более или менее заметного вертикального
ускорения. Введение затухания на таких больших частотах
дорожных толчков не является желательным. Однако, если
случай резонанса не исключен, то тогда затухание очень жела-
тельно. <
В этом вопросе есть еще иная точка зрения. ’Дело в том, что
рис. 2.20 относится к установившимся вынужденным колеба-
ниям, т. е. к колебаниям в предположении правильного чередо-
вания дорожных толчков. В действительности, однако, это встре-
чается далеко не часто, так как неровности дороги, вообще говоря,
распределяются неравномерно. Вследствие этого движение ока-
жется состоящим из какой-то комбинации вынужденных и свобод-
ных колебаний, и вот тогда-то затухание весьма желательно,
чтобы возможно скорее свести на-нет свободные колебания после
прекращения действия соответственной силы, а именно, когда
дорога станет опять гладкой.
Поглотители толчков в большинстве автомобилей делаются
гидравлическими и действуют по принципу амортизаторов. Каждое
относительное движение между осью и корпусом автомобиля
приводит в действие поршень, перемещающийся в цилиндре,
наполненном маслом. Это масло должно протекать сквозь малень-
кие отверстия или же проходить через клапан, установленный на
пружине так, что он может открываться лишь в том случае, когда
имеется разность давлений по обеим сторонам поршня. Таким
образом, упомянутому относительному движению, связанному с
просадкой рессор, противодействует значительная сила, которая,
грубо говоря, пропорциональна скорости относительного движе-
ния на рессорах.
Наиболее желательная величина затухания в таких поглоти-
телях зависит, вообще говоря, от условий дороги. Так, при езде
по гладкой дороге с пологими выступами и чередующимися с
ними впадинами, когда, например, встречается один выступ в
секунду, наиболее желательным является, очевидно, критическое
затухание. Напротив того, если по дороге встречаются короткие
резкие неровности, желательно уже малое затухание.
§ З.Г ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ НЕЖЕСТКИХ ОСНОВАНИЙ 165
Некоторые поглотители толчков имеют односторонние кла-
паны, благодаря чему имеет место различное сопротивление при
взаимном удалении и сближении надрессорного строения и
осей. Это сопротивление вызывается путем нагнетания масла
через различные системы отверстий посредством контрольных
клапанов. Обычно при удалении корпуса автомобиля от оси
затухание мало, тогда как при сближении возникают большие
силы сопротивления, действующие со стороны поглотителей.
Нужно, однако, заметить, что предлагаемые теории и доводы
в качестве оправдания таких конструкций далеко не всегда
убедительны.
§ 3.6. Виброизоляция
нежестких оснований
На стр. 102 мы рассмотрели задачу о защите основания от
вибраций, вызванных помещенной на нем неуравновешенной
машиной; установлено,что подходящим средством защиты является
введение мягких пружин между
машиной и основанием. Пру-
жины должны быть рассчитаны
так, чтобы собственная частота
колебаний подвешенной на них
машины была в несколько раз,
например в три раза, меньше
частоты возмущающих коле-
баний. При получении этого
результата предполагалось, что
основание жесткое. Это вполне
оправдано для многочисленных
случаев, когдамашина монтиру-
ется на основании, непосред-
ственно связанном с грунтом.
Однако когда мы имеем дело с
Ро smart
Возмущающая
сила
Рис. 3.26. Виброизоляция на основа-
нии, которое не является бесконечно
большим, как, например, в случае
двигателя, установленного на кор-
пусе корабля .
большими двигателями Дизеля,
установленными в корпусе судна, или с мощным авиационным
двигателем, монтированным на крыле, то указанное допущение
уже несправедливо, поскольку вес прилегающих частей «основа-
ния» значительно меньше веса самой машины.
Для изучения таких случаев в первом приближении мы пред-
ставим себе основание в виде только массы ттг2 (рис. 3.26), обозначив
при этом массу машины через mv
Дифференциальные уравнения движения имеют вид
m-i хг + к (ж, — х2) = Pq sin cot,
т2 х2 + к (х2 — хг) = 0.
166 ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ГЛ. Ш
Задаваясь решен нем
хг = xlrn sin cot,
•2/2 ““ Х2т ®ГП otj
подстановкой находим
%! (— т^со2 4- к) 4- х2 (— к) =
xi (— &) + х2 (— т2а>2 + = 0.
Состояние самой машины нас не интересует, а потому мы не
заботимся о величине xlt мы интересуемся движением х2 основа-
ния. Из второго уравнения получаем
и подставляем в первое уравнение, после чего имеем
_ ________PJc________t
2 т1 т2 w4 — к (m] + т2) со2
Это выражение может быть написано также в других фермах.
Подходящая форма для нашего случая такова:
(3.44)
очень
осно-
(3.45)
(тг 4- m2) w2 — - 1
где собственная частота сос системы определяется формулой
9 к
~— •
с т1 т2
т1 4- т2
Сила, передаваемая основанию, может быть найдена
просто, если заметить, что это есть сила инерции самого
вания т2со2х2, иначе говоря,
т2 Ра
передаваемая сила =---------Н1— .
н 4- т2 со2 1
W2
Сопоставляя этот результат с уравнением (2.33) и с рисунком
2.41, относящимися к старой теории жесткого основания, мы
видим, что эта теория (при отсутствии затухания) сохраняет
свою силу. Иначе говоря, уравнение (3.45) опять может быть
представлено простой резонансной диаграммой. Однако есть и
различие, заключающееся в том, что собственная частота по
прежней теории определялась формулой
§ 3.6 ВИБРОИЗОЛЯНИЯ НЕЖЕСТКИХ ОСНОВАНИЙ 167
тогда как теперь она определяется из уравнения (3.44). Для
всякого рода оснований защитные пружины должны быть рас-
считаны так, чтобы сделать собственную частоту равной примерно
одной трети возмущающей частоты. Согласно этому утверждению
пет как будто разницы между легким и тяжелым основанием,
что может ввести в заблуждение.
Возьмем тот случай, когда машина в 10 раз тяжелее основания.
Тогда из уравнения (3.44) имеем:
о k k 77?! + кх 10 4- 1 .. к
69 о 1 1-1 “ * 1 —... 1 1 - а
v т1 т2 ту т2 тх 1
т1 + т2
^Собственная частота при легком основании оказывается в
11 раз больше, чем при очень тяжелом, а поэтому для получения
той же степени защиты необходимо соответствующие пружины
сделать в 11 раз мягче.
Допустим, что возмущающая частота машины примерно равна
1200 колеб/мин. Тогда для массивного основания следует взять
защитные пружины с собственной частотой около 400 колеб/мин,
что равносильно статической осадке порядка 6 мм (рис. 2.9,
стр. 59). Если ту же машину установить на корабле с легким
основанием при = 0,1, то статическая осадка пружин
должна быть в И раз больше, т.е. должна равняться приблизи-
тельно 6,5 см.
Прежде всего, это вообще очень трудно сделать, и, кроме
того, такая машина на корабле, подвергающемся бортовой и
килевой качке, была бы совершенно невозможна. Отсюда видно,
что защита корпуса судна от вибраций, обусловленных действием
машин, есть очень трудная задача. Вибрации корпуса излучают
подводный шум, который нарушает спокойствие рыб, а иногда
бывает нежелательным и по другим причинам.
Идеализация основания или корпуса посредством массы
юстаточно груба. То место корпуса, где прикреплена машина,
действует отчасти, как пружина, отчасти, как масса, и отчасти,
как амортизатор, поскольку радиация вибрации оказывает демп-
фирующее воздействие. Пытаться определить по чертежу соот-
ветствующие значения жесткости пружины, массы и демпфиро-
вания1) является безнадежной задачей; но в то же время для по-
строенного корабля или самолета можно все это найти экспери-
ментально без особых трудностей. Для этой цели мы связываем
с интересующим нас местом вибратор, создающий гармоническую
возмущающую силу, частоту которой мы можем постепенно менять.
Затем измеряем силу, амплитуду колебаний и фазовый угол для
г) Точнее: количественные характеристики упругости, инерции и зату-
хания. (Прим, перев.)
168
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ III
каждой частоты. Результат может быть представлен в виде
отношения Z — механического импеданса, являющегося функ-
цией циклической частоты
= амплитуда сил^ ^ . (3.46)
' амплитуда смещения
В качестве примера рассмотрим простую пружину, нижний
конец которой закреплен неподвижно, а верхний конец возбуж-
дается вибратором. Пусть перемещение верхнего конца есть
asm cot. Тогда сила равна tosinotf, и, следовательно, для пру-
жины механический импеданс Z = к независимо от частоты.
В качестве второго примера возьмем массу как таковую. Если
вибратор действует на нее, то движение определяется выраже-
нием asinw^, и сила равна тасо2 sin cot, вследствие чего Z =
= — тсо2.
Третий пример — демпфер, цилиндр «которого прикреплен
к неподвижному основанию, а поршень приводится в действие.
Если движение поршня происходит по закону asintutf, то сила
действует по закону сасо cos cot, отличаясь по фазе на 90° от
перемещения. Обращаясь к комплексной интерпретации, мы можем
сказать, что перемещение есть а, а сила — jcaco. Тогда Z = jcoc,
т. е. мнимая величина. Другие случаи более или менее простого
вычисления импеданса приведены в задачах 84—90. Если мы
знаем систему, то мы можем вычислитьее импеданс, но все же мы не
знаем свойств интересующей нас точки корабля. Тем не менее
мы можем измерить импеданс в этой точке.
Рассмотрим теперь систему, состоящую из машины т19 к
которой приложена возмущающая сила Ро sin cot и которая
связана через посредство пружины к с основанием, имеющим
импеданс Z(co). Таким образом, масса иг2 на рис. 3.26 заменена более
общим видом основания, характеризуемым функцией Z(co), являю-
щейся вообще комплексной величиной. Дифференциальные урав-
нения имеют вид:
+ к (хг — х2) = Ро sin cot,
к (хх — х2) = х2 Z.
Предполагая, что движение есть гармоническое колебание
с частотой со, мы должны иметь для перемещений хг и х2 комплек-
сные значения, если Z есть комплексная или чисто мнимая
величина. Итак,
— т1со2х1 + к (хг — х2) = Ро,
к (жх — х2) = х2 Z,
3.6
ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ НЕЖЕСТКИХ ОСНОВАНИЙ
169
или после преобразования
(— т^2 + к) + х2 (— &) = PQ,
хг (— к) + х2 (к + Z) = 0.
Разрешаем второе уравнение относительно хг\
хг — х2 1
Подставляем найденное значение
разрешаем относительно х2:
Сила, передаваемая грунту,
есть Z х2, в то время как возму-
щающая сила, действующая на ма-
шину,определяется амплитудой Ро.
Таким образом, отношение этих
сил есть
коэффициент передачи =
в первое уравнение, которое
Рис. 3.27. Двигатель, установлен-
ный на основан ии с импедансом Z
посредством пружины и демпфе-
ра. Коэффициент передачи дается
формулой (3.49).
Эта обща'я формула содержит все возможные характеристики
основания. В качестве первого примера возьмем рис. 3.26, где
Z = — т2(п2. Подстановка этой величины в уравнение (3.48)
приводит к результату, уже полученному ранее для этого случая.
Во втором примере пусть основание состоит из простой пружины
К, так что машина опирается на основание через посредство
пружин к и К, включенных последовательно или же через посред-
ство эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости
к К /(к + К). Подставляя Z = К в равенство (3.48), имеем:
коэффициент передачи =
тг(к+ К) w2 ’
I — --- 1------
кК
как и должно быть на основании уравнения (2.33).
Для случая демпфера с, включенного вместе с пружиной к
(рис. 3.27), расчет производится аналогично и выполнение его
170
ДВЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
ГЛ. Ill
предоставляется читателю в качестве задачи № 88. Результат
получается такой:
2*
коэффициент передачи = . (3.49)
Z \1 —~— I — т1 со2
V к 4- j
В реальных случаях, когда величина Z, характеризующая
основание, известна из эксперимента, эта формула может быть
использована для изучения поведения системы с различными
защитными элементами А? и с и, таким образом, может быть
найдено наилучшее компромиссное решение.
Задачи № 64—98.
ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ
§4.1. Свободные колебания без затухания
Когда число степеней свободы системы становится больше
двух, ничего принципиально нового в задаче мы не имеем. Мы
при этом получаем лишь столько типов колебательных движений,
сколько в системе имеется степеней свободы. Общее изучение
метода мы дадим в нескольких ближайших параграфах для систем
с тремя степенями свободы; для четырех и большего числа сте-
пеней свободы рассуждения совершенно аналогичны.
Рассмотрим, например, рис. 4.1, представляющий невесомую
балку на двух жестких опорах, несущую массы тпр тп2 и т3.
Если вертикальные про-
гибы балки в точках при-
крепления масс, направ-
ленные вверх, обозначить
соответственно через
Рис.4.1. Круглый вал с тремя дисками, уста-
новленный на жестких подшипниках,
представляет собою систему с тремя сте-
пенями свободы (в смысле изгиба).
я2, я3, то первое из диффе-
ренциальных уравнений
движения может быть по-
лучено, если приравнять
произведение вели-
чине силы упругости, действующей на первую массу. Эта сила пред-
ставляет собою разность двух перерезывающих сил, действующих
па балку слева и справа от массы mlt и является величиной, за-
висящей от всех трех прогибов xv х2, х2, а потому сложной по своей
структуре и весьма неудобной для вычисления.
В данном частном случае задачи более естественным является
описание упругого состояния при помощи так называемых коэф-
фициентов влияния. Коэффициент влияния а12 определяется как
«прогиб под грузом вызванный силой, равной 1 кГ, приложен-
ной в том месте, где помещен груз т2». Мы имеем, таким образом,
<ри коэффициента прямого влияния ац, а22, соответствующих
172
СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
единичным силам и прогибам, измеряемым в точках приложения
этих же сил, и шесть коэффициентов сопряженного влияния «12,
а21, «13л «з1л «23л «32л соответствующих различным точкам приложе-
ния единичных сил и измеряемых прогибов. По теореме Максвелла
о взаимности перемещений
«12 — «21*
Это можно выразить словами: деформация упругой системы в
какой-либо точке, вызванная единичной нагрузкой, помещенной
в другой ее точке, равна деформации во второй точке под действием
единичной нагрузки, помещенной в первой точке. Коэффициенты
влияния для какой-либо упругой системы вычисляются по мето-
дам, излагаемым в курсах сопротивления материалов.
Обратимся к составлению уравнений движения. В точках
с абсциссами ж2, (рис. 4.1) массы имеют ускорения х13 х2,
и, следовательно, испытывают действие сил тхХ19 т2х2> т3х3.
Эти силы представляют собою действие балки на массы. По закону
равенства действия и противодействия массы действуют на балку
с силами —тп^Хх, —т2ж2, —т3х3, являющимися силами инер-
ции. Прогиб под действием этих сил в месте прикрепления первой
массы равен
Хг ~~~ — «11 X} — «12 ^2 *^2 — «13 т3 •^'3*
Аналогично имеем для второй и третьей массы:
Х2 = «21 ^'1 Хх «22 ^2 &2 «23 ^3 *^'з*
^3 = «31 ^'1 ^1 «32 ^2 ^2 «“33 ^3 Х3,
Хотя эти уравнения и не являются простым следствием второго
закона Ньютона для каждой массы, тем не менее взятые вместе
они определяют неизвестное движение системы посредством
координат х1} х2, х3.
Подобно тому, как было сделано на стр. 116, мы можем реше-
ние написанных дифференциальных уравнений свести к решению
алгебраических уравнений, для чего следует только положить
Хх = sin cot, \
Х2 = «2 sin /
= а3 sin cot. )
После подстановки получим:
(У-и Ctj2^'2^ «2 4” «13^'3^'^«3’
«2 = «2i^i02«i + a22m202«2 + «гз^з^^з»
а3 о^3хТПхО}^а>х ~{— «з2^^/2^^«2 ~Ь* а33тп3й)^а3.
(4.1а)
(4.1b, с)
(4.2)
(4.3)
§ 4.1
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
173
Эти уравнения однородны относительно alf а2, а3) что можно легче
видеть после соответственной перегруппировки членов и деления
обеих частей каждого уравнения на со2:
TTljCtj-j CL] 772'2^-12^'2 *4“ ^3^13^3 = О,
Т/2^21 4“ ^2^-22 + ^3^23^3 ~ О»
^31»! "Ь ^2^32^2 "4“ ( W*33 “И ^3 = О’
(4.4)
Если такие однородные уравнения разделить, например, на
а1} то мы получим систему трех уравнений с двумя неизвестными
а2/аг и а3/ах. Разрешив хотя бы первые два из уравнений (4.4)
относительно этих неизвестных и подставляя найденные решения
в третье, мы, вообще говоря, ему не удовлетворим, т. е. получим
в левой части выражение, отличное от нуля. Решение системы
(4.4) может существовать лишь в том случае, когда имеет место
определенное соотношение между коэффициентами при неизве-
стных av а2, а3. Из теории определителей известно, что это соот-
ношение имеет вид
1 772-jCZii г I 11 7722^12 7723а13
'^'lCf21< 1 т2а22 ^2 7723(X23 = 0. (4.5)
^1^81 7772СХз2 1 m3a33 “2
Рассуждения здесь аналогичны приведенным на стр. 117 для
системы с двумя степенями свободы. Разлагая написанный опре-
делитель, получаем кубическое уравнение относительно 1/со2,
известное под названием «уравнения частот», которое имеет три
корня, определяющих три собственные частоты. Каждому из
этих решений соответствует система значений а2/а3 и а3/а1} которые
определяют конфигурацию системы при колебании. Таким обра-
зом, мы имеем три вида собственных колебаний.
Выполним подробно вычисления для простейшего случая,
который получим, полагая все массы равными между собой, т. е.
полагая = т2 = т3 = т и заменяя балку струною длины 4Z
с натяжением Т (рис. 4.2, а). Груз в 1 кГ, помещенный в положение
7, вызывает деформацию, показанную на рис. 4.2, б. Если натяже-
ние струны равно Т, то вертикальная составляющая этого натя-
жения, действующего слева от тп1} равна (д/l) Т, тогда как справа
от 772, она равна (6/3Z)T. Так как сумма этих вертикальных
174 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ IV
составляющих должна быть равна 1 кГ, то 6 = 4’Т‘^то иесть
деформация в точке 1 под действием груза в 1 кГ, приложенного
3 I
также в точке 2, иначе говоря, аи -у*
Деформации в точках 2 и 3 прикрепления двух других масс
под действием того же самого груза могут быть также легко
найдены из рис. 4.2, б. Для них получаем такие значения:
_ £ 3^ 1 — 1.А
а21 — з ’ 4 * т “ 2 ’ Т ’
— 1 1 1 — £ А
аз1 “ 3 ’ 4 ’ Т ““ 4 * т •
Остальные коэффициенты влияния находятся совершенно таким
Рис. 4.2. Иллюстрация определения
коэффициентов влияния для струны
с тремя массами.
же образом. Итак,окончательно
имеем:
_ I '
а22 — у
3 I
аи — азз — 4 * т *
- 1 1
СС12 — а21 — а32 — а23 — 2 ’ Т
>(4.6)
_ 1 z
а31 — а13 ~ 4” ’ т1 •
Между прочим, среди написанных соотношений мы можем усмот-
реть также соотношение, выражающее теорему Максвелла о
взаимности перемещений.
Уравнения движения мы получим, подставляя найденные
выше значения коэффициентов влияния в уравнения (4.1). Так
как почти все члены этих уравнений оказываются пропорциональ-
ными дроби ml/T, то мы можем разделить на нее эти уравнения
и при этом ввести для сокращения новую величину, называемую
функцией частоты и имеющую вид:
'г
mlto2
= F.
(4.7)
Тогда уравнения (4.4) примут вид:
а, 4- | а2 + Г а3 = О,
4- (1 — F) а2 + | а3 = 0, ,
f | «2 (| - = 0.
(4.8)
§ 41.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕЗ ЗАТУХАНИЯ
175
Деопервоея е из этих уравнений на аг, второе на а2 и вычитая
лчлпнно одно из другого, находим
“- = 2 —(4.9)
аг F х 7
Подставляя эту величину в первое из уравнений (4.8) и разре-
шая его относительно а3/ар получаем
^ = -7 + 4F + |, (4.10)
л
Наконец, подстановка обоих найденных отношений в третье
уравнение (4.8) приводит к следующему уравнению относительно
F (уравнение частот):
F« — +1-F-1. = 0. (4.11)
Z ci 4-
Конечно, это же самое уравнение можно было бы получить,
развернув определитель в уравнении (4.5). Очевидно, что урав-
нение (4.11) имеет три корня для F. Заметим, что ни один из этих
корней не может быть отрицательным, так как при любом отрица-
тельном значении F все члены слева отрицательны, а поэтому их
сумма не может быть равна нулю. Как видно из формулы (4.7),
отрицательное значение F соответствует мнимому значению о.
Отсюда очевидно, что наша система с тремя степенями свободы*
должна иметь три действительные собственные частоты. Это
верно не только для изучаемого нами частного случая. Можно
вообще показать, что всякая колеблющаяся система с п степенями
свободы без затухания или с затуханием, пропорциональным первой
степени скорости, имеет п действительных собственных частот,.
т. е. корни уравнений частот таких, как (3.7), (4.5) или (4.11),
всегда действительны и положительны.
Кубическое уравнение (4.11) решается путем подбора значе-
ний F. Так, мы видим, что F = 0 делает его левую часть равной
— (1/4), тогда как F = 2 делает ее равной (3/4). Очевидно,
что один из корней этого уравнения должен заключаться, во вся-
ком случае, между 0 и 2. Несколькими такими пробами мы убеж-
даемся, что F — 1/2 есть корень уравнения (4.11), которое теперь
может быть написано в виде
[F-^] (f2-2F + й = 0,
I Ci I I Ci I
откуда следует, что три корня этого уравнения таковы:
^,3=1±]/1.
176
СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Пользуясь равенствами (4.7), (4.9) и (4.10), мы можем сделать
окончательную сводку результатов в следующем виде:
Fx = 1,707; ю? = 0,59 ~ ; 1 ml ’ -2 = 1,41; — = 1
F2 = 0,500; 2 О б>2 = 2 —у : г ml ’ ^=0; °3 j
F3 = 0,293; 0з = 3,41 ; d ml -2 = - 1,41; «1 — = 1 «1
Эти соотношения определяют собою различные виды колеба-
ний системы, или так называемые «главные или нормальные
формы колебания», показанные на рис. 4.3. Итак, имеют место
Рис. 4.3. Три главных формы колебаний струны с тремя рав-
ными и равноудаленными массами.
только три конфигурации, в которых система может быть в
равновесии под действием сил, пропорциональных перемещениям
х (таковыми являются силы инерции). Второе главное колебание
особенно интересно, потому что средняя масса совершенно не
движется. Если бы это обстоятельство было известно заранее,
то частоту можно было бы найти очень просто, рассмотрев только
одну, например левую, часть системы, которая была бы системой
с одной степенью свободы с коэффициентом жесткости к = 2Т/Z
(см. задачу 28).
§ 4.2. Вынужденные колебания без затухания
Положим, что на первую массу в предыдущем примере дей-
ствует переменная сила Fosin cot (рис. 4.4, а). Эта сила Fosin cot
сама по себе должна вызвать статические деформации в точках
7, 2, 3, величины которых соответственно равны auPosinaZ,
а21 Ро sin cot, а31 Ро sin cot. Уравнения вынужденных колебаний
мы получим из уравнений (4.1), прибавляя к правым частям
этих уравнений только что написанные величины. Предполагая,
£ 4.2
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
177
что решения имеют вид (4.2), мы приведем эти уравнения движения
к следующей алгебраической
форме:
[ft&jCCn — —И ^2а12^2
</ 'X • %
б.
а)
+ 77V7-i3a'3 — — ап м2 ’
^2^’22 '
б)
Ffl
+ ^з^гз^з — 67 21 “Г
У
Рис. 4.4. Вынужденные колебания стру-
ны с тремя массами. Существуют две
частоты, при которых возбуждаемая
масса не двигается; это, именно, те
O)Z=l\
ml
Т
ml
77^(7^^ ^2аз2®2
+ ^з^зз — “2^ ач = a3i —
С помощью коэфициентов
влияния (4.6) и функции
частоты F, определяемой ра-
венством (4.7), мы можем
таком виде:
частоты, при которых полностью про-
является эффект обобщенного дина-
мического поглотителя колебаний.
эти уравнения переписать еще в
н F) 0^ -+ о 4 а3 — _ ? А )
1 2 + ( 1 — F) а2 И д3 = _А А 1 2 та2 * |
1 4 1 “т" 2 а'2 + - -F! а3 = 1 Р° 1 4 то2 ‘ j г
(4.12)
Полученные уравнения уже ье являются однородными отно-
сительно аг, а2, а3, как это было с соответствующими им уравне-
ниями (4.8) для свободных колебаний. В самом деле, здесь мы имеем
систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая решается
по обычным правилам алгебры. В наших вычислениях выражение,
стоящее в левой части кубического уравнения (4.11), появляется
в знаменателях, так что оно сможет быть разложено на три линей-
ных сомножителя, в результате чего имеем
ai = А т w2 Г* — F + - 4 4
(F - 1.707) (F - 0.500) (F - 0.293)
(7'7 —“ Io 1 / М - F F 2 1 2)
mw2 (F- 1,707) (F - 0,500) (F - 0,293)
«3 = 1 - F2 4
т to2 (^- 1.707) (F - 0,500) (F - 0,293)
12 Ден-Гартог - 2074
(4.13)
178. СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Физический смысл этих выражений лучше всего вскрывается
нанесением их на диаграммы, соответствующие резонансным
диаграммам рис. 2.18 на стр. 68 и рис. 3.8,а, б на стр. 130. Пред-
варительно заметим, что для этой цели величина F, будучи про-
порциональна величине 1 /о2, не является подходящей переменной.
В качестве ординаты у для наших диаграмм мы возьмем
2/1,2,3- ро1 •
т
Так как знаменатель P^l/T представляет собою «статическую
деформацию» середины струны, если бы в ней была помещена
постоянная нагрузка Ро при коэффициенте влияния
/
^•22 — jf ’
то величина у является «безразмерной амплитудой». За абсциссу
примем
ml
В этом выражении знаменатель может быть интерпретировав
как о2, т. е. как квадрат частоты массы тп, подвешенной на
Рис. 4.5. Пояснение см. под рис. 4.7.
Рис. 4.6. Пояснение см. под рис. 4.7.
пружине с коэффициентом жесткости Т/Z, вследствие чего ^х
есть «безразмерная частота». С помощью этих двух переменных
a 4.2
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
179
уравнения (4.13) преобразуются к виду
__ -- л?2 4ж — 3 __ х — 2 \
(х — 0,59)(я — 2) (я? — 3,41) ’ У'2, (х — 0,59)(ж — 2) (я? — 3,41)' /
_ 1 " (4-14)
Уз = (аГ-0,59) (ж - 2) (® - 3,41) ‘ \
Рис, 4.7. Резонансные диаграммы
для движения массы 1 (рис. 4.5),
массы 2 (рис. 4.6) и массы 3 (рис.
4.7) системы, возбуждаемой в ме-
сте прикрепления массы 1. Из
всех масс только масса 1 не дви-
гается при двух частотах; осталь-
ные две (2 и 3) движутся при
всех частотах.
Соответствующие построения выполнены на рис. 4.5, 4.6 и 4.7.
Читателю предлагается убедиться, что в статическом случае при
х = 0 все три выражения (4.14)
дают собственно статическую
деформацию. Интересно отме-
тить одно свойство уравнений
(4.14), а именно то, что второе из
них может быть сокращено на
множитель (х—2). Этот факт
легко интерпретируется физи-
чески: дело в том, что средняя
масса не должна иметь беско-
нечных размахов при втором
резонансе, тогда как первая и
третья массы обе ’ должны
иметь безгранично возрастаю-
щие амплитуды. Чтобы убедить-
ся; в этом, достаточно только
взглянуть на второй тип коле-
бания, который изображен на
рис. 4.3.
В то время как числители
в выражениях для у2 и у3 не пред-
ставляют никаких особенностей,
мы видим, что числитель для
у^ является функцией второй сте-
пени, а поэтому он должен обра-
щаться в нуль при двух часто-
тах, а именно при частотах, соответствующих значениям х = 1
и х = 3 (рис. 4.5). При таких значениях частот первая масса, на-
ходящаяся под действием возмущающей силы, остается в покое,
тогда как две другие массы колеблются. Таким образом,
мы имеем здесь перед собою обобщение динамического погло-
тителя колебаний, изученного на стр. 126. Но если первая
масса не движется, то мы можем рассматривать ее как за-
крепленную, и тогда система приводится к одной из систем
с двумя степенями свободы (рис. 4.4). Такая система имеет
две собственные частоты, которые легко могут быть вычис-
лены, причем они оказываются соответствующими абсциссам
180 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ числом СТЕПЕНЕЙ свободы
ГЛ. IV
§4.3 СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ 181
ж=1 и я = 3. Действие системы может тогда представляться
следующим образом. При двух полученных выше резонансных
частотах система с двумя степенями свободы может быть
выведена из состояния покоя бесконечно малой возмущающей
силой, и при этом могут быть получены колебания конечном
амплитуды; в нашем случае это может произойти вследствие
бесконечно малого колебательного движения массы 1. На массу
1 (рис. 4.4, били 4.4. в) действуют две переменные силы, одна из
которых является вертикальной составляющей натяжения
струны справа от массы, а другая есть внешняя сила Posinaf.
Рис. 4.8. Резонансные диаграммы для симметричной струны с тремя мае
сами, из которых средняя возбуждается переменной силом.
Эти две силы должны быть все время равны друг Другу ио вели-
чине и противоположны по направлению, поскольку никакого
движения массы неь
С целью обобщения мы можем попытаться высказать такое
положение: если переменная сила действует на массу в системе
с п степенями свободы, то существует п— 1 частот, при которых
эта масса остается в покое, тогда как остальная часть системы
колеблется. Однако необходимо быть осторожным в таком слиш-
ком смелом обобщении. В самом деле, мы можем сейчас же указать
пример, который будет являться исключением из этого правила.
Это будет тот случай, когда мы действуем возбуждающим образом
на среднюю массу нашей системы. Так как эта масса расположена
в узле при втором резонансе (рис. 4.3), то сила не может совер-
шать работы при этой частоте, а поэтому не могут получиться и
бесконечные амплитуды. В данном случае «резонансная частота»
оказывается совпадающей с «частотой поглотителя колебании».
Если мы хотим наметить форму трех резонансных кривых при
Рис.4.9. Эффект виброгасител я в стру-
не с тремя массами, из которых
средняя подвергается возбуждению.
возбуждении средней массы, то необходимо иметь в виду, что
система симметрична, а поэтому диаграммы для у1 и для у3 должны
быть одинаковыми. Не производя подробных расчетов, мы все
же можем заключить. что в общих чертах результат должен полу-
читься такой, какой представлен на рис. 4.8.
При значениях ж, меньших 2, все три массы находятся водной
фазе, подобно тему, как это изображено на рис. 4.3, а\ при боль-
ших значениях частоты они оказываются в противоположных
фазах, как на рис. 4.3,в. Для
второй же собственной частоты
расположение, вследствие сим-
метрии, должно быть в соответ-
ствии с рис. 4.9. Амплитуда ко-
лебаний масс 1 и 3 должна быть
определена посредством возму-
щающей силы, причем сумма
ве р тика л ьн ых со ста в л я ющи х
натяжений двух участков струны слева и справа от 7?г2 должна
быть равна по величине и противоположна по напрявлению
возмушаюшей силе.
§ 4.3. Свободные и вынужденные колебания с затуханием
В случае системы со многими степенями свободы, обладающей
зал уханием, нас, с практической точки зрения, интересуют два
следующих вопроса: а) быстрота убывания амплитуды свободных
колебаний и б) величина амплитуды вынужденных колебаний
при резонансе.
Метод исследования, применяемый в точной классической
теории колебаний, мы продемонстрируем на примере струны с
тремя равными и равно-
удаленными друг от друга
массами.
Пусть сила затухания
— сх2 действует на среднюю
массу (рис. 4.10). Эта сила
вызывает деформации в трех
точках прикрепления масс, значения которых соответственно
будут — а12 сх2, — а22 с х2 и — сс32 сх2, Дифференциальные урав-
нения (4.1) свободных колебаний принимают вид
Рис. 4.10. Затухание в средней массе
струны.
777Х, — а12 т??^2 — а13 — а12 сх2. >
Х2 = ~ «21 — «22 — «23 ™Х3 ~ Д22 СХ2з ? (4. 15)
^3 = «31 ~ «32 W^2 - «33 W^3 -- «32 СХ2‘ )
Входящие сюда различные коэффициенты влияния определяются
по формулам (4.6). Подставляя значения этих коэффициентов в
182 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
комбинируя уравнения между собою, мы можем после простых
алгебраических выкладок преобразовать их к более удобному
для пас виду;
mx-i 4“ (*4 ж2) = о>
mx2 ч т (х2 — ®1) .+ у (^2 — ж3) + с.т2 — 0, Г* (4.И5)
, т
mx3 + т (z3 — Ж2) + - Х3 = 0.
уравнения системы
Рис. 4.11. Продольные колеба-
ния изображенной системы
полностью эквивалентны
колебаниям системы, изобра-
женной на рис. 4.10 или 4.12.
трения которой мы начал
Первое из уравнений (4.16) получено путем вычитания второго
из удвоенного первого уравнения той
же системы, т. е. путем составления
разности 2х1 — х2. Второе из урав-
нений (4.16) составлено посредством
вычисления выражения хх + х3— 2х2
и, наконец, третье — образованием
разности х2— 2ж3. Физический смысл
уравнений (4.16) очевиден: они пред-
ставляют собою уравнения, вытекаю-
щие из второго закона Ньютона для
различных масс, причем первый член
в каждом уравнении выражает собою
силу инерции, второй — вертикаль-
ную составляющую натяжения стру-
ны слева от массы, третий — такую
же составляющую, но справа oi
массы, и, наконец, четвертый —силу
затухания.
В данном случае можно (и это было
бы гораздо проще) прямо написать
уравнения в последней форме, не
пользуясь коэффициентами влияния.
Однако в случае балки, с рассмо-
и нашу главу (рис. 4.1), коэффициенты
влияния позволяют быстрее и проще подойти к решению задачи.
Прежде чем приступать к решению уравнений (4.16), следует
обратить внимание на то обстоятельство, что эти уравнения
могут относиться также в полной мере и к системам, изображен-
ным на рис. 4.11, 4.12. На рис. 4.11 массы установлены так, что
они могут совершать лишь вертикальные перемещения, причем
для полной аналогии с рисунком 4.10 следует постоянную пру-
жины к (коэффициент жесткости) положить равной Т/1. Другой
пример, представленный на рис. 4.12, относится к крутильным
колебаниям. Читателю рекомендуется интерпретировать резуль-
S 4.3 свободные и вынужденные колебания с затуханием 183
таты, данные на рис. 4.2—4.9, применительно к указанным двум
случаям.
Приступая к решению уравнении (4.16), вспомним, что допу-
щение существования решения вида х — a sin cot вполне законно
для колебания системы без затухания, но оно не оправдывается
при затухании. Было бы более правильно искать решение в
форме х = ае~& sin qt. Это рав-
носильно предположен ию, что
система решений имеет вид
хА = ахе5!, \
x2=a2esl, > (4.17)
)
где s есть комплексное число
5 — р 4- iq
Рис. 4.12. Крутильные колебания
системы, эквивалентные колебаниям
систем на рис. 4.10 или 4.11.
Величина р есть показатель степени, характеризующий бы-
строту убывания амплитуды, a q есть собственная частота коле-
баний (см. стр. 62). Подставляя значение (4.17) в уравнения
(4.16), имеем
T\ + 2 r) 7 -1a* + о = o,
7 — 4- (??2>S2 —h CS J- 2 ~[\ a2 -I “3 = 0.
0 1 ~~1 a2 4- pws- + 2 *-) a3 - 0.
Мы получим систему однородных линейных уравнений отно-
сительно а19 а2, а3, которая может иметь отличные от нуля решения
лишь в том случае, когда определитель системы обращается в нуль,
т. е. когда
т1
?ns2 4- 2 -j
т
“ I
0
7 + 0
I
7
ms- -4 cs 4- 2 j “ I = 0
1
“ I ms- 4 2 z-
По раскрытии определителя, имеем
ms- 4- 2 yj Г(?П52 -h 2 yll'ws2 4- cs 4- 2 jj — 2 (yj2| = 0.
(4.18)
184 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Это уравнение шестой степени относительно s известно также
под названием «уравнения частот»1), хотя в данном случае «9 уже
не является частотой в собственном смысле слова, а представляет
собою комплексное число, характеризующее одновременно как
частоту, так и убывание амплитуды. Поэтому величина s назы-
вается «комплексной частотой».
В нашем частном случае уравнение частот распадается на
два множителя, из которых первый приводит к выражению
вследствие чего получается решение вида
j
. lf2Ti . ]/"2Т
AeJ' + Be ' *m1 ,
которое, в свою очередь, может быть преобразовано к виду
[см. уравнение (1.8), стр. 24]:
1 Г 1 Г 2Т
COS|'^< + С* Sin \т1Л-
Таким образом, из этого решения получаем частоту
«>=R.
у ml
тогда как быстрота убывания амплитуды равна нулю вследствие
того, что s здесь не содержит действительной части. Эта частота
совпадает с частотой в случае, изображенном на рис. 4.3, б для
незатухающих колебаний, когда средняя масса является узлом.
Следовательно, сила затухания может не совершать работы, что
является причиной отсутствия убывания амплитуды в этом
втором типе колебания; это также объясняет тот факт, что соб-
ственная частота совершенно не искажается затуханием.
Другой множитель уравнения (4.18) после преобразований
приводится к виду
, . с Т А п Т с । п ( Т \2 п
s4 4--s + 4—,6^4-2 —— s 4- 2 —д — О-
m ml ml m \mll
*) Обычно это уравнение называется характеристическим уравнением.
(Прим, перев.)
8 4.3: СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЗАТУХАНИЕМ 185
Эго уравнение содержит четыре корня для 5, в которых мы должны
ожидать наличие действительных частей, так как в двух типах
колебаний, представленных на рис. 4.3, а и 4.3, в, сила затухания
должна совершать работу. Корни полученного уравнения напи-
шутся в форме
«а = — А + jq»
= — Pi — jqi,
— Р2 + /5’,
= — Pi — /52,
так как комплексные корни алгебраического уравнения с действи-
тельными коэффициентами являются всегда попарно 'сопряжен-
ными.
Вычисление этих корней по численным значениям тть, с, Т
и I весьма обременительно даже для сравнительно простого
уравнения четвертой степени1). Таким образом, этот классический
метод оказывается непригодным для практического решения
задачи. Он рассмотрен здесь просто по той причине, что позднее,
в главе VII, нам придется иметь дело со случаями, в которых
действительная часть s становится положительной. Это значит,
что функция, характеризующая убывание амплитуды, имеет вид
e+v*, т. е. мы имеем дело не с убыванием, а с нарастанием колеба-
ний. Такое движение носит поэтому название «автоколебатель-
ного».
В практических случаях затухание обычно так мало, что
собственная частота, а также характер колебательных движении
искажаются им очень мало (рис. 2.16, стр. 64). Поэтому интен-
сивность затухания свободных колебаний может быть найдена
при допущении, что конфигурация и частоты системы таковы,
как если бы затухания не было. К этому мы сейчас и перейдем.
Если амплитуда колебаний средней массы равна а2 и частота
равна я, то из уравнения (2.30, стр. 79) получаем для величины
работы, рассеянной за одно колебание вследствие затухания,
следующее значение:
W = TtCGjal,
Кинетическая энергия системы при прохождении через среднее
положение равна
у (ж2) (а? + а? 4- а|) = у mccrfctt, (4.19)
1) Математический метод, применяемый в этих случаях, изложен в
книге Кармана Т. и Био М., Математические методы в инженерном
деле. Гостехиздат, 1946, стр. 218.
186 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
где множитель / зависит от конфигурации системы. Эта энергия
за время каждого колебания (период) уменьшается на величину
пссоа^, которая получается из следующих преобразований
d mtffafij = ma)2fa2da2 —
откуда
da2 лс
а2 maf *
Если при каком-либо главном колебании амплитуда одной из
масс уменьшается вдвое, то это же самое происходит и с прочими
массами, следовательно,
dax da2 da3 ттс
ai а2 аз mfa ’
В первом главном колебании (рис. 4.3, а) множитель f, определяе-
мый уравнением (4.19), очевидно, равен 2, тогда как
(У = ю, = ]/ 0,59 ,
1 у ml
а поэтому относительное убывание амплитуды за один период
определится соотношением
—х = 2,04сУтг .
а, у Тт
В третьем главном колебании величина / также равна 2, но для
частоты мы имеем значение
— ][3,41 ,
3 \ ml9
вследствие чего
— = 0,85 С]1 -- .
«1 \ Т m
Изложенный метод дает удовлетворительные результаты для
обычных значений коэффициента затухания. Но если только
затухание составляет значительную долю его критического зна-
чения ск, то, конечно, предыдущие рассуждения перестают быть
применимыми.
Для вынужденных колебаний с затуханием «классический»
метод еще более сложен, чем для свободных колебаний, причем
в этом случае он оказывается настолько запутанным, что для
практических числовых расчетов делается совершенно бесполез-
х) Здесь символ d условно относится к одному периоду. (Прим, перев.)
S 4.3 СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ с ЗАТУХАНИЕМ 187
ным. В то же время для технически важных значений затухания
изложенный энергетический метод дает нам для амплитуды при
резонансе, которою мы особенно интересуемся, очень хорошие при-
ближения.
Будем считать, как и прежде, что при резонансе сила затуха-
ния и возмущающая сила столь малы, по сравнению с силами
инерции и упругими силами (см. рис. 2.21 стр. 75 для случая одной
степени свободы), что характер движения оказывается практи-
чески неискаженным. Тогда рассеяние энергии при затухании
за один период может быть вычислено совершенно таким же обра-
зом, как это делалось для свободных колебаний. В случае уста-
новившегося режима это рассеяние должно быть равно работе,
совершаемой за один период приложенной к системе возму-
щающей силой или силами. Между этой силой и перемещением,
вообще говоря, имеется некоторая разность фаз. Как было выяс-
нено на стр. 78, фазовый угол в момент резонанса становится
равным тг/2, а при этой разности фаз энергия, сообщаемая системе,
при данном движении и данной силе имеет наибольшее значение.
В качестве примера объединим рис. 4.4, а и 4.10. Работа, совер-
шаемая приложенной силой за один период, равна тгР0
Тогда резонансная амплитуда вычисляется из равенства
пР0 щ — Ttccoal,
или
откуда
Для первого главного колебания мы имели (стр. 176)
-3 = 1,41
«1
и со = ][0,59 —,;
1 ml 1
следовательно,
(ai)pe3 = 0,65^],H.
Для двух других главных колебаний мы находим
(а1)рез = 00
= 0,27
(второе колебание),
(третье колебание).
Наиболее важное техническое применение изложенного метода
имеет место при изучении крутильных колебаний коленчатых
валов, двигателей Дизеля, о чем будет нтти речь в главе V.
188 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
§ 4.4. Струны и органные трубы. Продольные и поперечные
колебания однородных балок
Задачи этих четырех типов мы будем изучать совместно,
так как их математическая и физическая интерпретации тожде-
ственны
В предыдущих параграфах мы рассматривали струну с тремя
массами, причем сама струна предполагалась невесомой, а массы
считались сосредоточенными в нескольких отдельных точках.
Если мы вообразим теперь, что число масс неограниченно возра-
стает, го от дискретного рас-
пределения масс придем к
понятию струны с равномерно'
распределенной массой. Урав-
нение движения мы можем
получить,если напишем урав-
нение.. выражающее второй
закон Ньютона, для малого
элемента ds струны, для кото-
рого опять будем считать
натяжение Т постоянным.
Пусть деформированная ось
струны во время колеба-
ния изображается функцией
у(х, I), причем ордината кри-
вой изменяется как с пере-
Рис. 4.13. Вертикальные составляющие
натяжения, действующего на элемент
dx натянутой струны.
мещением вдоль струны, так и с течением времени. Вертикальная
составляющая натяжения Т струны, действующего влево в неко-
торой точке х (рис 4.13, а), равна
Ъх 9
причем эта величина отрицательна, так как составляющая на-
правлена вниз, в то время как положительные значения у откла-
дываются вверх. Производная берется здесь частная вследствие
того, что струна рассматривается в некоторый определенный
момент времени, т. е время достается постоянным при дифферен-
цировании. На правую часть взятого элемента dx действует верти-
кальная составляющая натяжения, равная
Эта величина уже положительная, так как составляющая направ-
лена вверх. Множительная выражает собой возрастание наклона
кривой вдоль dx. Так как эти две вертикальные силы, действую-
§ 4.4
СТРУНЫ И ОРГАННЫЕ ТРУБЫ
14'.*
щие на элемент dx, между собою не равны (рис. 4.13, б), то пол\?
чается некоторая равнодействующая
т
направленная вверх, которая должна сообщить элементу ускоре-
ние в этом направлении. Если мы обозначим массу единицы
длины струны через то масса элемента dx будет равна dx,
и тогда по закону Ньютона имеем
Деля на dx. мы получим
ний струны:
дифференциальное уравнение колеба-
являющееся уравнением с
частными производными.
Читателю предлагается
сравнить структуру этого
уравнения с первым уравне-
нием (4.16) и установить
физический смысл каждого
<4.20,
Рис. 4.14. Продольные колебания бруса.
Величина х определяет положения
произвольной точки, f — смещение
этой точки, имеющее место при коле-
бании.
члена.
Задача о продольных колебаниях стержня совершенно аналогич-
на задаче о колебаниях струны и представляет собою обобщение
задачи, схема которой дана на рис. 4.11 (только без затухания),
причем здесь мы берем большее число меньших масс и большее
число меньших пружин. Теперь мы уже не будем обозначать
массы номерами 2, 2, 3, как на рис. 4.11, а будем характеризовать
их положение абсциссой х вдоль стержня (рис. 4.14). Пусть
продольное перемещение каждой точки х обозначено гре-
ческой буквой являющейся как бы эквивалентом буквы х.
Тогда состояние движения стержня можно считать известным,
если мы знаем величину £(х. t) опять как функцию двух пе-
ременных.
Поперечное сечение х переходит в х + f, а сечение х + dx
переходит в (х + dx} + (£ 4- dg). В некоторый момент времени
t длина dx делается равной
dx + ™ dx,
дх
где производная как видим, является удлинением единицы
190
СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ IV
длины стержня (относительным удлинением). Это удлинение
вызывает возникновение растягивающего напряжения
где Е — модуль упругости (модуль Юнга).
Если бы стрежень был равномерно растянут по всей своей
длине, то величина Е оыла бы постоянной вдоль длины стержня,
Рис. 4.15. Предельные упругие
силы, действующие на элемент
бруса, рис. 4.14.
и какой-нибудь элемент dx подвергался бы совершенно одинако-
вому действию как слева, так и справа. Однако, если напряжение
Е,~ изменяется от точки к точке, то должна появиться некотора51
избыточная сила, действующая на
элемент и сообщающая ему про-
дольное ускорение.
На рис. 4.15 элемент dx изобра-
жен вместе с действующими на него
силами, каждая из которых равна
соответственному на пряжению, умно-
женному на поперечное сечение S.
Сила, действующая на левую часть
элемента, равна ES-, тогда как
на правую часть должна действовать
сила, равная Е8^> плюс еще некото-
рое приращение, вызванное возрастанием dx абсциссы. Это прира-
щение равно ^Е8 откуда избыток силы в правую сторону
будет
Е8Р dx.
гст!-*
Пусть масса, приходящаяся на единицу длины стержня, рав-
на Тогда по закону Ньютона имеем
(м, йж) g - Е8 g dx,
или
Ы2 Ьх2 3
(4.21)
где Е8 есть жесткость стержня на удлинение. Итак, мы получили
такое же дифференциальное уравнение, что и уравнение (4.20).
Видоизменение рассмотренного случая представляет собою
органная труба, в которой вместо стального бруса совершает
3 4.4
СТУНЫ И ОРГАННЫЕ ТРУБЫ
191
продольные колебания столб воздуха. Уравнение (4.21), очевидно,
юлжно быть такое же самое: уьг обозначает массу воздуха на
единицу длины трубы, Е — модуль упругости. Взамен напряжения
в предыдущем смысле слова мы здесь имеем давление. Для упругих
гел имеет место следующая зависимость:
напряжение __ удлинение
Е начальная длина
Для газов имеем
увеличение давления увеличение объема
Е начальный объем
ИЛИ
Для газов так же, как и для упругих тел, Е измеряется в ки-
лограммах на квадратный сантиметр
Наконец, рассматривая рис. 4.10, 4.11 и 4.12, мы приходим
к убеждению, что изучение крутильных колебаний однородного
вала с распределенным по длине моментом инерции приводит
опять к тому же дифференциальному уравнению. В данном случае
переменной величиной является угол закручивания ср(х, t), а
само дифференциальное уравнение имеет вид
^=01^Ъ’ (4’22)
где /лх есть момент инерции вала на единицу его длины, a Glp —
жесткость вала на. кручение. Читателю предлагается в качестве
упражнения вывести это уравнение.
Приступая к решению уравнения (4.20), (4.21) или (4.22),
мы сделаем предположение, что струна колеблется гармонически
с некоторой собственной частотой, обладая при этом некоторой
определенной формой (назовем ее собственной или нормальной
конфигурацией). Остается посмотреть, правильно ли такое допу-
щение. На математическом языке это значит, что мы принимаем
у(х> I) = у(х) sin ot. (4.23)
Подставляя это значение в уравнение (4.20), мы приведем его
к виду
g+^,-0. (4.24)
а это есть обыкновенное дифференциальное уравнение. Итак,
в предыдущих задачах подобные допущения упрощали обыкно-
венные дифференциальные уравнения, приводя их к алгебраиче-
192 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
ским. Здесь же мы имеем упрощение дифференциального урав-
нения с частными производными, которое приводится указанной
подстановкой к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Легко видеть, что уравнение (4.24) того же вида, что и уравне-
ние (2.7) на стр. 52. Это можно выразить еще так: амплитуда
струны, как функция пространства, ведет себя совершенно
таким же образом, как и амплитуда системы с одной степенью
свободы, рассматриваемая как функция времени.
Таким образом, общее решение уравнения (4.24) на основании
уравнения (2.8) имеет вид
у(х) = С, sin х Ус2 cos х]1~- , (4.25)
что определяет форму струны в момент ее наибольшей дефор-
мации. Постоянные интегрирования Сх и О2могут быть определены
из того условия, что на концах струны ее отклонения должны
быть равны нулю, т. е.
у = 0 при х = 0 и х = k
Подставляя х = 0, получаем
у(0) = о = • 0 + С2 • 1;
следовательно, С2 — 0. При х == I получаем
у(1) =0=0 sin IУ . (4.26)
Это равенство удовлетворяется при СА — 0, что является верным,
но лишенным интереса решением, которое означает, что струна
остается в покое. Однако уравнению (4.26) можно удовлетворить
также, если сделать аргумент синуса числом, кратным числу от,
а именно, полагая,
^ = 0, тг, 2тг, Зтг,... (4.27)
Отсюда мы определяем собственные частоты, тогда как соответ-
ствующие главные типы колебаний могут быть найдены немед-
ленно по подстановке значений о? из уравнений (4.27) в уравнение
(4.25). Результаты подобных расчетов проиллюстрированы на
рис. 4.16.
Существует бесконечное число нормальных кривых и соот-
ветственно бесконечное число собственных частот. В каждом
из этих главных колебаний движение происходит так. что откло-
нение каждой точки струны изменяется с течением времени
по гармоническому закону, и следовательно, нормальная кривая
остается подобной самой себе. Поэтому, если струну вывести
из положения равновесия и придать ей одну из форм, изображен-
•ных на рис. 4.16, а затем предоставить ее самой себе, то она воз-
§ 4.4
СТРУНЫ И ОРГАННЫЕ ТРУБЫ
193
и для каждого элемента dx струны.
Рис.4.16.Три первых главных типа’попе-
речных колебаний однородной струны,
а также продольных или крутильных
колебаний однородного бруса,заделан•
ного обоими своими концами.
вратится в свое исходное положение по истечении времени,
определяемого периодом собственного колебания. При такой ча-
стоте и форме сила инерции и упругая сила находятся в равно-
весии в каждый момент времени
Если струне дается на-
чальное отклонение, форма
которого отличается от изо-
браженных на рис. 4.16,
например, такое, как на рис.
4.17, то такая форма может
быть представлена как со-
стоящая из ряда нормаль-
ных форм (вспомнить ряды
Фурье, стр. 33). Каждый член
ряда Фурье определяет со-
ответствующее ему колеба-
ние, но при этом каждое из
таких колебаний происходит
только с одной, свойственной ему частотой. Таким образом,
по1 истечении одной восьмой периода основного типа колебаний
отклонение основной составляющей уменьшится до 0,707 его
первоначального значения, отклонение составляющей при втором
главном колебании обращается в нуль, а отклонение четвертой
составляющей получает значение, равное
по величине первоначальному, но обрат-
ное по знаку. Следовательно, сложная
форма (рис. 4.17) не сохраняется во время
движения. Однако по истечении полного
периода основного колебания начальная
форма восстанавливается.
Формы рис. 4.16 сохраняются также
для продольных (и для крутильных) ко-
лебаний стержня с заделанными концами
или для колебаний органной трубы с за-
крытыми концами. Тогда только ординаты
условно означают перемещение вдоль
стержня. Очевидно, что частоты будут теми
же, только взамен натяжения Т придется
поставить жесткость ES на растяжение,
(или крутильных) колебаний стержня с
Рис. 4.17. Форма «ущип*
.лепной» струны и трех
первых составляющих ее
гармоник ряда Фурье.
Для продольных
одним заделанным концом или для органной трубы с одним откры-
тым концом общие выражения (4.25), определяющие форму коле-
баний, остаются в силе; однако условия на концах, служащие для
определения постоянных и С2, будут в этих случаях иными.
В закрытом конце трубы х = 0 мы опять имеем у ~ 0, так как
воздух не может проникать сквозь твердую стенку в этом конце.
13 Ден-Гартог - 2074
194
СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
1 Ко игольная
J балка
-------------Органная
I------------- труба
Рис. 4.18. Продольные колебания
стального бруса или столба воздуха
в трубе при одном заделанном и дру-
гом свободном копие.
Однако в открытом конце смещение уже возможно, но зато
здесь не может быть напряжения (в случае стержня) или избытка
давления (в случае органной трубы). При выводе дифференциаль-
ного уравнения это напряжение, как мы видели, пропорционально
производной Ц (или в обозначениях для струны ||j. Поэтому
граничные условия оказыва-
ются такими:
х — 0, у = 0;
X = I, = 0.
ах
Первое из этих условий дает
С2 = 0 в уравнении (4.25), тогда
как второе удовлетворяется,
если положить длину стержня
равной 1/4, 3/4, 5/4, и т. д. длины
волны/ как это показано на
рис. 4.18.
В заключение некоторые из
полученных выше результа-
тов представлены совместно на
рис. 4.19.
Первая из этих схем является
половиной схемы, изображенной
на рис. 4.3, б. вторая — часть
схемы на рис. 4.4. б и третья
есть то же, что и рис. 4.3, а.
Обозначенные на указанных
схемах частоты взяты из тех
же фигур, с той только разни-
цей, что здесь М обозначает общую массу всех колеблющихся
грузов, a L — всю длину струны.
В правой части рис. 4.19 к струне присоединены еще две массы,
помещенные в закрепленных концах. Так как эти массы не дви-
жутся, то они не влияют на частоту,но зато изменяют величину^/,
которая является всей массой системы. При увеличении числа
масс от I до 2, 3 и т. д. мы должны в конце концов подойти к
частоте основного типа колебаний непрерывной струны. В левой
части рисунка мы приближаемся к истинному значению частоты
колебаний непрерывной струны, как к верхнему пределу, идя
снизу, поскольку массы оказываются более тесно расположенными
к середине струны, где их инерция более эффективна
Напротив того, в правой половине рисунка массы ближе
подходят к неподвижным концам, а поэтому их суммарная кинети-
ческая энергия получается меньшей,чем при непрерывном распреде-
лении. Вследствие этого частоты должны быть слишком большими.
МЕТОД РЭЛЕЯ
195
Легко видеть, что, идя таким путем, мы приближаемся к
точному значению множителя тг2 = 9,87 очень медленно, а поэтому
Рис. 4.19. При увеличения числа равноудаленных масс на струне мы прибли-
жаемся постепенно к равномерному распределению массы. Однако вслед-
ствие слишком медленной сходимости этот процесс почти не имеет практи-
ческого значения.
указанный приближенный метод определения собственной частоты
с помощью смещения масс с практической точки зрения не может
быть признан удовлетворительным.
§ 4.5. Метод Рэлея
Задача о колебании струны является простейшей среди задач по-
добного рода для систем с бесконечным числом степеней свободы.
Хотя в данном случае и может быть получено точное решение,
по все же мы здесь еще очень далеки от возможности получить
точное решение общей задачи о колебаниях системы в том случае,
когда ее масса и гибкость распределены вообще по какому-то
закону. Вследствие этого чрезвычайно важно иметь такой при-
ближенный метод для определения наинизшей или основной
частоты колебаний, которым можно было бы пользоваться всегда.
Подобный метод был развит Рэлеем; он является обобщением
энергетического метода, изложенного на стр. 54.
Кратко говоря, сущность этого метода сводится к тому, что
мы заранее задаемся формой упругой кривой при первом или основ-
ном виде колебания; после этого вычисляются наибольшие зна-
чения потенциальной и кинетической энергии системы, которые
затем приравниваются друг другу. Конечно, если бы в основу
расчетов мы положили точную форму кривой, то получили бы
точное значение также и для частоты. Но для формы, так или
иначе отклоняющейся от точной, получается лишь практически
13*
196 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
полезное достаточно близкое приближение. Так как точное
решение задачи для струны нам уже известно, то для изложения
метода Рэлея мы возьмем именно эту задачу, что нам поможет
к тому же оценить погрешность
| приближенного результата.
£ I Для вычисления потенциаль-
Уо ной энергии мы заметим, что
деформированная струна имеет
aj? а: большую длину по сравнению с
Рис.4.20.Вычисление потенциала прямой. Так как она все время
ной энергии струны. подвергается действию натяжения
Т, то для ее перевода в деформи-
рованное состояние надо совершить работу, равную T4Z. Эта
работа поглощается струной в виде потенциальной энергии. Для
определения приращения длины струны воспользуемся известным
из дифференциальной геометрии выражением элемента длины ds
{рис. 4.20)
ds = \/dx* 2 * + dtf- = 1 + ^Гх \ dx [1 + 2 ^dx} ]dx-
Так как приращение длины этого элемента равно
, , 1 (dy\z ..
ds — dx = тг -гЧ dx,
2 [dx]
то потенциальная энергия выразится так:
= <4-28’
о
Этот результат можно получить также другим путем, что мы сей-
час к сделаем. При выводе уравнения (4.20) мы видели, что его правая часть
д2у
Т— обозначает вертикальную силу, действующую на единицу длины
Эгг2
струны. Представим себе теперь, что струна приведена в деформированное
состояние статической нагрузкой q(x), возрастающей пропорционально
деформации у(х). Тогда работа, совершаемая нагрузкой д(х), при пере-
мещении элемента dx из первоначального положения в данное,.определяемое
полной деформацией у(х), должна быть равна
вследствие чего для потенциальной энергии имеем выражение
I
U = - Jg(s) у(х) dx.
о
§ <5
МЕТОД РЭЛЕЯ
197
с?2г/
Но так как q(x) = — 'Г ^2» то
I
ry Т г d2y
U=~2iyd^dX‘ Я29)
О
Выполняя интегрирование по частям, мы можем показать, что придем к
выражению (4.28). В самом деле
Первый член справа здесь равен нулю, так как у = 0 при х = 0 и при х = I,
Что же касается интеграла во втором члене, то он может быть написан
так:
^dx =
J dx dx
о
2
dx.
Полная кинетическая энергия есть сумма кинетических энер-
гий (1/2) mv~ = (1/2) (^ dx) (усд)2 отдельных элементов: *
i
= 4 0)2 f^2 (4.30)
о
Как и в случае системы с одной степенью свободы (стр. 54,)
выражения (4.28) и (4.30) определяют максимум той и другой
энергии, причем максимум потенциальной энергии имеет место
в наиболее деформированном состоянии системы, тогда как
максимум кинетической энергии получается в недеформированном
состоянии, когда скорость наибольшая. Приравнивая обе энергии
друг другу, находим формулу для частоты
о;2 =
(4.31)
Величина о2, определяемая по этой формуле, зависит от формы
у(х), которую мы положили в основу расчета.
Рассмотрим сначала точную форму кривой
‘ТГ'У1
У = У о sin — .
198 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
По уравнению (4.28) получаем потенциальную энергию в виде
(см. стр. 18)
rr Т с ( п те 7 'J я2 1
и 2 J I I I I — 2 У» * 2
о
Подобным же образом находим кинетическую энергию
Рис. 4.21. Ду га параболы, как прибли-
женная форма (по Рэлею), колеблю- ААы получили точное значение,
дайся струны. Далее предположим, что стру-
на имеет форму дуги параболы.
В системе координат ху уравнение параболы, изображенной на
рис. 4.21, имеет вид
у ~ рхг.
Параболу можно заставить пройти через две точки (у = у0,
х = ±1/2), давая величине р значение 4у0/12. Уравнение
У = 4т/072
определяет совокупность ординат, образующих на рис. 4.21
штриховку фигуры.
Прогиб струны в какой-либо точке равен у^ минус соответ-
ственная ордината, т. е.
У = Уо
4ж2
Воспользовавшись этим значением у для уравнений (4.28) и (4.30)
и выполнив достаточно простое интегрирование, имеем
U=^Ty-f. Т = ^&1у>.
Тогда
Пи 1 [т
3,162 1/Т
Z I /11
т. е. частота получилась всего лишь на 0,7% больше своего точ-
ного значения. Погрешность оказалась удивительно малой, при-
чем уже с физической точки зрения ясно, что изогнутая струна
не может иметь точную форму параболы. В самом деле, пружиня-
§ 4.5
МЕТОД РЭЛЕ
199
щее действие струны, вследствие которого любая частица dx
стремится возвратиться в положение равновесия, определяется
кривизной струны или величиной Но в крайних точках струны
ее частицы не двигаются, а поэтому там, очевидно, нет ни силы
упругости, ни силы инерции Следовательно, точная форма кривой
должна быть такой, чтобы кри-
визна в крайних точках отсутство-
вала. Это условие и нарушается
параболой.
Чтобы испытать мощность
Рис. 4.22. Другая рэлеевская при-
ближенная форма для половины
с ни у со и да л ьп ой волны.
метода Рэлея, мы применим его
теперь к наиболее неправдопо-
добной форме кривой, по которой,
по нашему предположению, изги-
бается струна, а именно: положим, что эта кривая (рис. 4.22)
состоит из двух прямолинейных отрезков, причем уравнение ле-
вого отрезка имеет вид
у = у*т
2
при
Для энергии находим
и = 2Т , Т = ,
откуда
«1
3,464
I
/11
т. е. частота оказалась на 10% больше своего точного значе-
ния (4.32).
Приближенный метод Рэлея всегда дает для наинизшей соб-
ственной частоты более высокое значение, по сравнению с истинным.
Среди того или иного количества результатов, полученных
этим методом, наименьшее значение частоты является и наилуч-
шим ее приближением. Доказательство этого положения будет
дано на стр. 221.
В заключение мы решим комбинированную задачу о колеба-
ниях тяжелой струны массы М, в середине которой помещен
сосредоточенный груз такой же массы М. Эта задача опять экви-
валентна задаче о продольных (или крутильных) колебаниях
стержня с заделанными концами, имеющего посредине сосредо-
точенный груз, например в виде диска, масса которого (или момент
инерции) равняется массе (моменту инерции) самого стержня.
200 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Обращаясь к рассмотрению упругой линии деформированной
струны, мы можем сказать, что если средняя масса отсутствует,
то эта линия должна быть синусоидальной, а если отсутствует
масса струны, то она должна иметь форму, показанную на рис.
4.22. В действительности же кривая будет иметь какую-то про-
межуточную форму между двумя указанными Заметим, что, в
предположении синусоидальной формы, присутствие средней
массы остается без влияния на потенциальную энергию. Однако
кинетическая энергия благодаря этой массе увеличивается на
Ма>2уЦ2, что составляет удвоенное значение кинетической
энергии самой струны, так как М = /х/ Таким образом, полная
кинетическая энергия системы оказывается в три раза больше
ее значения для струны без средней массы, вследствие чего частота
будет в Уз раза меньше частоты для одной струны, т. е.
Если мы теперь предположим, что струна в деформированном
состоянии имеет форму, показанную на рис. 4.22, то для потен-
циальной энергии остается в силе найденное для этого случая
ее значение, тогда как кинетическая энергия увеличивается на
МаРу^^у е. ее новое значение становится больше предыдущего
в (1/2 + 1/6) : 1/6 = 4 раза. Поэтому частота оказывается равной
со
_ У12ЯТ _ 1Гт_
“ 21 “ 1,/o У Ml •
Так как найденное сейчас значение для частоты меньше найденного
выше, то оно является лучшим приближением, Решая задачу
точно, получим
».= 1.721
Это точное решение, являющееся, правда, более сложным, можно
выполнить на основании теории, изложенной на стр. 191. Уравнение (4.25)
является уравнением общей формы колеблющейся струны, и это уравне-
ние мы применим теперь к левой половине струны. Условие неподвижности
левого конца остается в силе. Поэтому, как и прежде, С.2 = 0, вследствие
чего форма левой половины струны определяется уравнением
у = G sin х
w’-
т
(4.33)
где С и ы пока неизвестны. Амплитуда С для нас здесь существенного зна-
чения не имеет, что же касается частоты со, то она определяется из «длины
волны» синусоиды. На рис. 4.23 показана форма этой кривой, причем правая
половина струны дана как зеркальное изображение ее левой половины.
§ 4.
МЕТОД РЭЛЕЯ
201
К средней массе М приложены сила инерции Мы2г/0 и упругая сила 2Т tg а.
Так как эти две силы должны быть в равновесии, то
27 tga = Ми2у0. (4.34)
Величины у0 и tg а представляют собою соответственно ординату кри-
вой (4.33) в той ее точке, где х = 112, и угловой коэффициент касательной
к ней в той же точке, или
Рис.4.23. Точное исследован ие дв и жен и я
тяжелой струны с центральной массой.
Но так как
получаем
I = М, то, подставляя эти значения в уравнение (4.34),
ю
2
Таким образом, нам предстоит найти такой угол, величина которого,
выраженная в радианах, равняется его котангенсу. Для угла 0° его вели-
чина в радианах также равна нулю, а котангенс имеет бесконечно большое
значение; для угла 90° его величина в радианах равна 1,6, а котангенс
равен нулю. Очевидно, что равенство имеет место где-то между 0 и 90°.
При помощи тригонометрических таблиц мы находим, что искомый угол
равен 49°,3 или же, в радианах, 0,8603. Таким образом,
« if Ж
- — = 0,8603,
2 [/ Т
или
У~Т~
М~Г
Так как наименьшее полученное значение для частоты есть
в то же время ее наилучшее значение, то, следуя Рэлею, иногда
пишут аналитическое выражение формы кривой, которое, однако,
не определяет ее вполне, так как содержит произвольный пара-
метр. С помощью этой формулы обычным путем находят частоту,
в выражение которой входит также этот параметр. Если теперь
давать ему различные значения, то и частота будет принимать
различные значения. Но наилучшим из последних является
наименьшее, а поэтому частота отыскивается как минимум функ-
ции от введенного параметра. Полученное таким путем прибли-
жение значительно лучше, чем при пользовании обычным методом
Рэлея.
Ритц обобщил указанный метод, распросгранив его на боль-
шее число параметров. Метод Ритца определения собственных
частот очень точен, но в то же время, к сожалению, требует исклю-
чительно кропотливых вычислений.
202 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Пример. Судовая двигательная установка состоит из двигателя, греб-
ного вала длиной 45 м и диаметром 25 еле и гребного винта, момент инерции
которого такой же, как момент инерции сплошного стального диска тол-
щиной 10 см и диаметром 120 см. Массу машины можно принять беско-
нечно большой. Найти собственную частоту крутильных колебаний.
Решение. Вследствие большой инерции машины конец вала со стороны
машины может считаться неподвижно заделанным, вследствие чего система
приводится к консольной балке, подвергающейся закручиванию. Если бы
не было винта, то упругая линия (здесь это будет кривая деформации,
определяющая величину угла закручивав ня р па расстоянии ж от машины)
должна представлять собою четверть синусоиды. Напротив того, если
пренебречь моментом инерции вала, по сравнению с моментом инерции
винта, то получаем прямую линию, проходящую через начало координат.
При пользовании методом Рэлея мы будем исходить из этой прямой, а
поэтому полагаем р = Сх.
Из курса сопротивления материалов имеем:
1) соотношение между крутящим моментом Л/ и углом закручивания
9?, которое будет
Mdx
*-«Г
2) величину потенциальной энергии элементарного отрезка dx вала
dU =
Л/2 dx
ZGI^'
где G1 р есть жесткость вала па кручение.
Так как, по нашему допущению, рэлеевская кривая имеет постоянный
du
наклон — = С, то из первого уравнения следует, что крутящий момент
dx
М = CGIр является постоянным по всей длине вала. В таком случае
второе уравнение может быть немедленно проинтегрировано, п мы полу-
чим
Л/2 I
и ------.
2GIP
Кинетическая энергия элемента dx вала равна 71da?<p2/2, где Ц есть
момент инерции массы единицы длины вала. Но так как
азМх
ф = = ыСх = ———,
G1 р
то кинетическая энергия вала принимает вид
2 J « а’ц
Угловая амплитуда колебаний винта (момент инерции которого I) есть
= С1 =
Ml
gk'
а поэтому соответственная кинетическая энергия
1 М-Р
_ ы2 ----.
2 G'-Pp
S 4.5
МЕТОД РЭЛЕЯ
203
Приравнивая сумму обеих кинетических энергий потенциальной
энергии и разрешая полученное уравнение относительно и2, находим
2 С1Р
ш2 =--------—
откуда видно, что к моменту инерции гребного винта надо прибавить
одну треть момента инерции вала.
Выполним теперь числовые расчеты, предполагая, что удельный вес
материала (стали) равен 7,8 и модутъ сдвига G — 8,4 • 10® кПсм2. Для
нашего случая имеем
1 о 1 /0,0078 \
I = — тт2 — — - • тгг2 • 10 г2 = 1620 кГ см сек2,
2 21 980 J
<0,0078 „ \ , ——— • ттг2 • 1 г21 = 1370 кГ см сек2, 1 980 )
1 1 2 8,4 • 105 71 —— — • - • 12,54 = 7,17106 кГ см. 4500 2
Вследствие этого
7,17 • 10е
1620 + - 1370
3
3440 сек~2,
и тогда
/ = — =я — У 3440 = 9,5 колебания в секунду.
2л 2тг
Точное решение этой задачи может быть получено подобно тому, как это
делалось на стр. 200. В самом деле, рис. 4.23 может быть использован
также и для гребного винта, для чего надо только установить аналогию
между величинами. Тогда уравнение частот примет вид
Д/ 1370
a tg а = — =-------- = 0,846,
& 1 1620
где а есть сокращенное обозначение величины
Полученное трансцендентное уравнение решается путем проб, которые
дают нам
а = 46°,3,
или же в радиальной мере,
а = 0,809,
откуда
W2 = (0,809)2 = 3410 сек~2.
Итак, мы видим, что полученная величина на 1% меньше той, какую дает
метод Рэлея.
204 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
§ 4.6. Колебания изгиба однородных балок
В руководствах по сопротивлению материалов дифферен-
циальное уравнение упругой линии балки обыкновенно пишется
М = еЛ, (4.35а)
dx2 '
в одном из следующих видов:
Рис. 4.24. Иллюстрация дифферен-
циальных уравнений изгиба балки.
ИЛИ
dW
О = ---
4 dx2
(4.35b)
где М — изгибающий момент.
После исключения М получим
d2 пт
q = EI
.1 dx2
'd2y\
(4.35c)
Здесь десть погонная нагрузка,
приходящаяся на единицу
длины балки.
Если поперечное сечение
балки постоянно по ее длине,
то множитель Е1 не зависит
от х, а поэтому последнее уравнение упрощается, принимая вид
7 = <4.36)
На рис. 4.24 показаны различные эпюры для балки, лежащей
на двух опорах и несущей одновременно две равномерно распреде-
ленные нагрузки, каждая из которых распространяется на часть
балки. Заметим, однако, чго уравнения (4.35) и (4.36) остаются
верными вообще, а в частности и для других видов закрепления
балок, например в случае консольных балок.
Если балка находится в состоянии установившегося колеба-
ния, происходящего с некоторой собственной частотой, то дей-
ствующей на нее «нагрузкой» являются переменные силы инерции.
Чтобы дать физический смысл такого утверждения, заметим,
что в положении наибольшего отклонения вниз упругой линии
балки (рис 4.24,5) к каждой ее частице приложено наибольшее
ускорение, направленное вверх. Умножим его на массу частицы;
мы получим силу инерции, направленную вверх. Это есть та сила,
с которой балка действует на выделенную частицу. Обратно, по
закону равенства действия и противодействия, частица должна
действовать на балку с силой, такой же по величине, но направлен-
ной вниз. Все эти направленные вниз силы, являющиеся резуль-
§ 4.6
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА ОДНОРОДНЫХ БАЛОК
205
татом действия отдельных частиц, которые составляют балку,
•образуют нагрузку q, вследствие которой происходит деформа-
ция балки, причем зависимость между нагрузкой и деформацией
определяется уравнениями (4.35) или (4.36). Очевидно, что, когда
балка проходит через положение равновесия, ускорения ее частиц,
а следовательно, и нагрузки обращаются в нуль, но в этом случае
равны нулю также и прогибы.
Таким образом, дифференциальное уравнение колебаний балки
постоянного поперечного сечения принимает вид
7?7 ^У _ __ &У /л 07
Е1Ъх*~ * 9 (4.37у
где есть масса балки, приходящаяся на единицу ее длины1).
Предполагая, что происходят установившиеся колебания с
частотой со, мы имеем, как на стр. 191,
у (х, t) = у (х) sin cot, (4.23)
вследствие чего уравнение (4.37) принимает вид:
EI = ^у. (4.38)
dx*
Левая часть этого уравнения является выражением нагрузки
[см. уравнение (4.36)] через величины, характеризующие упругое
состояние балки, в то время как правая часть есть наибольшее
значение инерционной нагрузки. Отсюда мы видим, что с физи-
ческой точки зрения «нормальная упругая линия» характери-
зуется тем, что грузовая линия для q должна иметь такую же
форму, как кривая прогибов, т. е. как упругая линия. Всякая на-
грузка, которая способна вызвать деформацию с упругой линией,
подобной грузовой линии, может рассматриваться как инер-
х) Рассуждения автора при выводе уравнения (4.37) неточны. Во-
первых, сила инерции в обычном понимании направлена не по ускорению,
а против него; во-вторых, автор не принимает во внимание роль статической
нагрузки. Кроме того, нет никакой необходимости брать частный случай
положения балки, когда упругая линия занимает наинизшее положение.
Беря в основу вывода уравнение (4.36) и применяя принцип Далам-
бера, мы замечаем, что полной нагрузкой, приходящейся на единицу длины
балки, являются ее вес q = g и сила инерции, направленная противи-
92w Q2w Q2y
положно ускорению —, г. е. равная — (q/g) — или — . Тогда
dt2 dt2
уравнение (4.36) переходит в такое:
Легко видеть, что решение написанного уравнения можно искать в
виде суммы двух функций:
у(х, t) 4- г/0(ж),
206 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
ционная нагрузка при колебании. Собственная частота входит
здесь в постоянный множитель связывающий ординаты
обеих кривых.
Функция, удовлетворяющая уравнению (4.38), должна обла-
дать тем свойством, что после четырехкратного дифференцирова-
ния она должна принимать прежнюю форму, умноженную лишь на
постоянную положительную величину p^cP/EI. Вспомним, что
это свойство имеют четыре функции, а именно:
£ах, е~пх, sin ах, cos ах,
где коэффициент а определяется равенством
4
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
(4.38), содержащее четыре постоянных интегрирования, может
быть написано так: -
у(х) — Сгеах + С2е~ах + С3 sin ах 4- cos ах. (4.40)
Это выражение определяет форму различных нормальных
упругих кривых. Четыре постоянные интегрирования С должны
быть определены из граничных условий. Для каждого конца
балки мы располагаем двумя условиями, а поэтому для двух
концов получаем всего четыре требуемых условия.
Такими условиями являются:
для опертого конца у = 0. у" = 0 (нулю равны прогиб и из-
гибающий момент);
для свободного конца y" = Q, у'" = 0 (нулю равны изгибающий
момент и перерезывающая сила);
для заделанного конца ?/ = 0, у' = 0 (нулюравны прогиб и угол
наклона). * **
первая из
которых удовлетворяет уравнению
1W 1X1 <№’
а вторая
— уравнению
**У
EI — д.
dx*
Но последнее уравнение определяет кривую изгиба балки под действием
статической нагрузки; на ординаты этой кривой налагаются ординаты,
даваемые первым членом решения, который, собственно говоря, и опреде-
ляет колебания около положения статического равновесия. Так как нас
интересуют именно колебания, то мы поэтому и занимаемся уравнением
в упрощенной форме, т. е. уравнением (4.37). Если же действие силы тяже-
сти мы можем не принимать во внимание, например, в случае вертикального
положения балки, когда это делается с полным правом, то при статическом
равновесии упругая линия будет прямая, и полное решение определяется
членом у(х, <). (Прим, перев.)
§ 4.6
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА ОДНОРОДНЫХ БАЛОК
207
Все эти условия становятся очевидными из рассмотрения
физического смысла производных различных порядков, как
это показано на рис. 4.24. Пользуясь для какого-либо частного
случая закрепления концов балки соответствующими гранич-
ными условиями, из уравнения (4.40) приходим к четырем одно-
родным алгебраическим уравнениям относительно четырех по-
стоянных С. Если определитель этой системы приравнять нулю,
то получим уравнение относительно а, являющееся, на основании
формулы (4.39) уравнением частот. Эти вычисления выполняются
для различных случаев закрепления балки (балка с двумя опер-
тыми концами, консольная балка или балка с одним заделанным
и другим свободным концом, балка с двумя заделанными концами
и т. п.). Однако мы предпочтем в дальнейшем находить приближен-
ные решения, пользуясь методом Рэлея. Лишь для балки, свободно
опертой своими концами, точное решение легко может быть
найдено из выражения (4.40).
В этом случае мы можем написать граничные условия таким
образом:
х — 0, у = у" — 0;
ж = /, у = у" - 0.
Мы видим сейчас же, что указанным условиям удовлетворяет
функция, изменяющаяся по закону синуса; что же касается осталь-
ных функций, т. е. косинуса и степеней е, то они здесь оказы-
ваются непригодными. Таким образом, для балки, лежащей на
двух опорах, уравнение (4.40) упрощается, принимая вид
у(х} = С sin ах,
и следовательно, упругие линии для прогибов однородной балки
на двух опорах получаются такие же, как и в случае струны,
показанные на рис. 4.16, с той лишь разницей, что здесь частоты
другие. Эти частоты могут быть найдены, если приравнять аргу-
мент синуса числу, кратному числу тс, а именно:
4 _
al = I = лзг (га = 1.2, 3,. . .),
откуда
__ п2п2 V Я/
~~ г 7Г
=
£я_2
Z2
(4.41)
Итак, в то время, как собственные частоты колебаний струны
возрастают пропорционально числам натурального ряда 1, 2, 3,
4, и т. д. (стр. 192), частоты колебаний балки на двух опорах
возрастают пропорционально квадратам этих чисел, т. е. пропор-
ционально числам 1, 4, 9, 16, и т. д.
208 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Рис. 4.25. Гармоники сосредоточенной на-
грузки.
Мы видели, что в каждом главном колебании однородной
балки грузовая линия сил инерции подобна кривой прогибов,
так как в каждой точке сила инерции dx а2у пропорциональна
прогибу у Следовательно, каждой форме колебания соответ-
ствует своя грузовая линия Такая точка зрения оказы-
вается полезной при разрешении многих задач, из которых мы
сейчас возьмем для рассмотрения один типичный пример.
Балка на двух опорах находилась в покое. В некоторый
момент к ней в середине прилагают внезапно нагрузку Р, удержи-
ваемую в течен ие секунд,
после чего нагрузка сни-
мается. Найти последу-
ющее движение балки.
Сосредоточенная на-
грузка не принадлежит к
числу «нормальных» в том
смысле, что она вызывает
не одно нормальное или
главное колебание, а мно-
жество таких колебаний.
Для решения задачи сле-
довало бы заданную на-
грузку разложить на нормальные нагрузки, т. е. соответствую-
щую функцию разложить в ряд Фурье. Однако дело осложня-
ется тем, что мы имеем сосредоточенную нагрузку. Заменим
ее равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q, при-
ложенной на коротком расстоянии 6, так что qd = Р, Тогда,
пользуясь уравнением (1.12а) на стр. 34, находим коэффициент
Фурье: ,
I 2 + 2
2 г . . пх j Tix 2а г ‘ лх ^тгх
an^-\F(x)smn~rd-r = - j sinm_ d_ =
0 I Й
2 'З
где знак + надо брать для п = 1,5, 9 . . ., а знак — для п —
= 3, 7, 1 Г. . . Таким образом, сосредоточенная сила Р. приложен-
ная в середине балки, эквивалентна ряду синусоидальных нагрузок
одной и той же интенсивности 2Р/I. Несколько первых гармоник
разложения представлено на рис. 4.25.
Мы должны исследовать влияние па движение балки каждой
такой нормальной нагрузки в отдельности. Каждая из них влияет
лишь на то главнее колебание, к которому она относится. Под
действием любой из этих составляющих нагрузок система ведет
себя так, как если бы она имела одну степень свободы, а тогда мы
§ 4.6
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА ОДНОРОДНЫХ БАЛОК
209
можем прямо применить решение задачи 48. Итак, для первой
составляющей полной нагрузки имеем
У = Уст [cos — *о) — cos
Кривая статических прогибов под действием нагрузки q =
= (2P/Z) sin (nitx/l) находится посредством четырехкратного ин-
тегрирования уравнения (4.36):
, . 2PZ3 . ппх
(Уст)п — Sin “~ •
Полное движение определяется как результат наложения
отдельных движений, соответствующих каждой гармонике; итак,
можно написать
П=во
п=Тз,5
(-1)~
, 2PZ3
У^х> $ — EI
П71Х
sm-------
--------- [COS G)n (t — Zo) — COS G)nt],
причем значения g>c находятся из уравнения (4.41).
Пусть нагрузка действует в течение промежутка времени t0,
кратного периоду первой гармоники и, следовательно, кратного
периодам всех высших гармоник. Тогда
cos cdc (t — Zo) = cos t и решение y(x, t)
обращается в нуль: после прекращения действия нагрузки ника-
кого движения нет.
Рассмотрим теперь случай, когда нагрузка удерживается
в течение * периода основной гармоники (следовательно, 9/2
периода третьей гармоники, 25/2 периода пятой гармоники и
т. д.). Тогда cos oc(i — Zo) = — cos и квадратная скобка
делается равной — 2 cos a)ct. Решение имеет вид
„=Гз, 5 1Р sm -р cos
Это движение содержит все гармоники, но их амплитуды
пропорциональны 1 /п4. Таким образом, если первая гармоника
имеет в середине пролета амплитуду 2Р1?1п4Е1, го соответствую-
щая амплитуда третьей гармоники составляет 1/81 от нее пятой
— 1/625 и 1. д.
При пользовании методом Рэлея выражение (4.30) кинети-
ческой энергии, выведенное для струны, сохраняет свою силу
также и для балки. Однако выражение (4.28) потенциальной
энергии, которое относилось к струне, уже оказывается непригод-
ным для случая балки. Выражение потенциальной энергии
балки должно отличаться от выражения потенциальной энергии
струны вследствие того, что упругий эффект в случае балки
14 Ден-Гартог • 2074
210 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
происходит в значительно большей степени вследствие сопротив-
ления изгибу, определяемого жесткостью Е1, чем вследствие
натяжения Т Из сопротивления материалов мы имеем следующие
формулы, определяющие величину потенциальной энергии, погло-
щаемой элементом длины dx балки:
ЛГУ J
dU = dx,
или
JT1 El (d2y\2 j
—~2'\d^] dx'
Написанные формулы могут быть весьма
просто выведены следующим образом. Рассмот-
рим элемент dx балки, находящейся под дей-
ствием изгибающего момента М (рис. 4.26).
Пусть этот элемент первоначально имел прямо-
Рис. 4.26. Потенциальная линейные очертания а затем был изогнут на
энергия изгиба элемен- Угол моментов М Если левый конец эле-
та балки мента предположить заделанным, то момент М
поворачивает на угол dy его правый конец.
Работа, совершаемая моментом М, действу-
ющим на балку, равняется \l2Mdy, где множитель 1/2 появляется
вследствие совместного возрастания от нуля до своих значений как
момента /И, так и угла dy Эта работа поглощается элементом балки
в виде потенциальной энергии Вычислим теперь угол dy. Положим, что
угол наклона левого конца элемента с абсциссой я определяется произвол-
ен/
вой — ; тогда соответственно для правого конца имеем
Отсюда находим разность углов:
и тогда
, d?y
dq> =
dx-
dU — ~ My" dx.
Пользуясь теперь дифференциальным уравнением изогнутой оси
балки
М = El у",
сейчас же приходим к обоим написанным выражениям.
Таким образом, полная потенциальная энергия балки будет
U =
EI r(d2y\z j
dX-
О
(4.42)
§ 4.6
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА ОДНОРОДНЫХ БАЛОК
211
Предлагаем читателю в качестве упражнения вычислить
первую собственную частоту колебаний балки на двух опорах
путем подстановки в выражения (4.30) и (4.42) половины волны
синусоиды для у.
Вычислим теперь основную собственную частоту консоли,
т. е. балки, заделанной одним концом в стену и имеющей другой
конец свободным. Здесь нам необходимо выбрать такую кривую
для изогнутой оси (рис. 4.27), которая горизонтальна при я = 0
и не имеет кривизны (а следовательно, и изгибающего момента)
у" при х = I. Двум поставленным
требованиям удовлетворяет чет-
верть косинусоиды:
Рис. 4.27. Четверть волны косину-
соиды, как рэлеевская форма изо-
гнутой оси консоли.
У =
oos^j. (4.43)
I
Так как это выражение не мо-
жет быть приведено к форме (4.40)
путем того или иного использо-
вания множителей С, то поэтому
форма кривой, определяемая
уравнением (4.43), не является
точной формой нормальной кривой,
значение для у в выражения (4.42)
мулой интегрирования на стр. 29, мы
Подставля я на писанное
и (4.30) и пользуясь кфор-
получим
Т =
Рис.4.28. Первые два главных колебания
изгиба балки, заделанной одним кон-
цом (консоли).
Приравнивая друг другу эти
два выражения, мы найдем
частоту
л2 ]ГеГ
(D = --г = ~ /--г. =
01/3 2 F мЛ
О / -л-
4 л
3,66 ][Ё1 .. ...
=-p-F^- (4-44)
Точное решение содержит множитель 3,52, который на 4%
меньше полученного 3,66. На рис. 4.28 изображена точная форма
кривой для основного второго типа колебаний Нормальная
упругая кривая для балки с обоими заделанными концами должна
иметь форму, симметричную относительно середины, с горизон-
тальными касательными на концах (рис. 4.29). Простейшей кривой,
14*
212 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
удовлетворяющей этим условиям, является полная волна коси-
нусоиды, смещенная вверх на yQ:
Г. 2лЖ1
У = Уо 1 — cos— •
Последовательно находим
EI 2 16л4 £
2 > 2 ’
Т = ^у\ач[\ + 3).
— 4я2]/^Г=22,7 1ШГ
60 “ Уз F mU4 Р г Mi
(4.45)
Точное решение задачи получается, если взять множитель 22,4,
который на 1,3% меньше, чем 22,7.
Рассмотрим, наконец, балку со свободными концами, т. е.
балку, подвешенную, например, на одной или нескольких нитях
Рис. 4.29. Нормальная упругая кривая балки с заделан-
ными концами.
или же плавающую в жидкости. При простейшем типе колебаний
(рис 4 30) здесь должно быть два узла и должна отсутствовать кри-
визна у" на каждом конце Простейшей пригодной формой изгиба
может быть половина волны синусоиды, смещенной по вертикали
на некоторое небольшое расстояние а
“ПХ
У=Уо^-1----а-
Величина а вертикального смещения имеет важное значение,
так как она определяет положение двух узлов. При а = 0 они
находятся на концах балки, а при а = у^ оба узла совпадают,
находясь в ее середине.
Истинное значение а, лежащее между 0 и ?/0, может быть
найдено из тех соображений, что, поскольку ня балку не действуют
ннешние силы, сумма проекций количеств движения всех ее частиц
ва вертикальную ось должна быть равна нулю Когда балка при
колебаниях проходит через положение равновесия, скорости ее
концов равны оу и направлены вниз, в то время как скорость
середины равна тоже оу, но уже направлена вверх. Так как балка
§ 4.6
КОЛЕБАНИЯ ИЗГИБА ОДНОРОДНЫХ БАЛОК
213
однородна, т. е. все ее частицы dx имеют одинаковую массу, то
эти величины оу пропорциональны соответственным количе-
ствам движения. Сумма количеств движения равна нулю, если
Рис. 4.30. Нормальная упругая кривая балки со сво-
бодными концами.
площади фигур, получающихся выше и ниже осевой линии на
рис. 4.30, равны между собой, т. е., если имеем равенство
l i I
0 = j'ydx = yQ§sin dx — J a dx = - y01 — al,
оо 0
откуда
a = X
71
Зная теперь форму кривой при колебаниях, мы находим:
Т7 _ л4 Elyl
U ~ 4 /з
_ ___Л2___ ]ГЁГ _ 22,72 UEI
1/1 2 Г М4 & I Pi ‘
14“я2
(4.46)
Точный результат здесь такой же, как и в случае балки с заделан-
ными концами, т. е. множитель получается равным 22,4, что на 1%
меньше, чем 22,72.
Пример. Балка, заделанная одним концом и имеющая жесткость Е1,
длину I и массу на единицу длины (полная масса та = Z), несет на
своем свободном конце массу М Пользуясь методом Рэлея, определить
собственную частоту колебаний системы, а также найти, какую долю
массы m следует прибавить к массе /И, чтобы была применима формула
(2.10) на стр. 54
Решение Форма изогнутой оси балки должна удовлетворять тем же
самым требованиям, которые были поставлены при получении уравнения
(4.43), а поэтому написанное выражение мы сохраним и здесь. Добавление
массы М на конце балки не влияет на выражение потенциальной энергии;
с другой стороны, имея в виду, что амплитуда колебаний этого конца
равна ?/0, мы замечаем, что кинетическая энергия здесь уже оказывается
больше на величину 1/2 /Иы2?/20. Так как m = ^Z, то полная кинетическая
энергия может быть написана так.’
m 1 « Г /3 4\i 1
т = - “М [-’И + m 2 + О,23.'И).
214 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ, IV
Пользуясь выражением потенциальной энергии, приведенным на стр. 202t
мы можем найти частоту
3,03 Е1
~ Z3 (М + 0,23 т) ’
Итак, к массе, помещенной на конце, надо добавить 23% массы самой
балки. В случае, когда балка предполагается невесомой, т. е. т = 0,
значение со2 получается на_1% больше точного решения, где в числителе
стоит множитель 3.
§ 4.7. Балки переменного поперечного сечения
Во многих практических случаях поперечное сечение балки
не является постоянным по ее длине. Наиболее обычным примером
подобной балки, лежащей на двух опорах, может служить вал,
установленный на подшипниках: в самом деле, в средней своей
части вал обыкновенно имеет большее поперечное сечение, чем
вблизи концов. Стальной корабль, плавающий на воде, испыты-
вает иногда колебания, как балка со свободными концами, подобно
рис. 4.30. Эти колебания достигают большой величины, если
неуравновешенные силы двигателей имеют такую же частоту,
как и частота собственных колебаний корабля. При этом надо
заметить, что жесткость корабля на изгиб ни в какой мере не
может считаться постоянной по его длине.
Метод Рэлея может быть применен также к случаю такой
неоднородной балки, поскольку всегда возможно так или иначе
наметить форму упругой линии. Вычисления здесь выполняются
совершенно таким же образом, как- и для балки постоянного
сечения, с тем лишь очевидным исключением, что необходимо видо-
изменить выражение (4 42) для потенциальной энергии путем
введения переменной жесткости Е1 под знак интеграла. Если
жесткость изменяется вдоль длины х по более или менее сложному
закону, то вычисление интеграла для потенциальной энергии
может представить значительные трудности; однако, если даже
такое точное вычисление невозможно, величина интеграла всегда
может быть найдена графическим путем.
Стодола дал несколько иной метод определения частоты
собственных колебаний, применив его впервые к роторам турбин.
В этом методе расчет повторяется несколько раз, и после каждого
повторения получаются все лучшие и лучшие результаты. Кратко
говоря, здесь дело сводится к тому, что первоначально задают
упругую линию изучаемого вала. Умножая ординаты упругой
линии на соответственные массы и на квадрат неизвестной пока
частоты, т. е. на р^х) со2, мы получаем предполагаемую кривую
инерционной нагрузки (грузовую линию). Так как величина
си2 еще не известна, то в качестве исходного значения принимают
ее равной единице. После этого, располагая инерционной нагруз-
$ 4.7
БАЛКИ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
215
кой у^х) pjx) и пользуясь обычными методами графической
статики, строят кривую прогибов, т. е. упругую линию 2/п(ж).
Очевидно, что эта вторая упругая линия уи(ж) совпадает с пред-
положенной вначале упругой линией лишь югда, когда:
1) у{(х) есть в точности нормальная упругая линия,
2) собственная частота о точно равняется единице.
Первое из этих условий приблизительно выполняется, что
же касается второго, то оно, вообще говоря, далеко от истины.
Кривая прогибов #и(ж) в большей или меньшей степени имеет
такую же форму, как та, которую мы положили в основу расчета,
т. е. y(x)f но ее ординаты могут оказаться, например, в 10 000 раз
меньше, Если это так, то нам следует попытаться получить хотя
бы приблизительно равные .ординаты уп(х) и уД®), предположив,
что су2 = 10 000. В таком случае первоначальная инерционная
нагрузка должна быть в 10 000 раз больше, и конечные прогибы
^п(ж) тоже должны быть в 10 000 раз больше, т. е. примерно долж-
ны равняться предположенным вначале. Таким образом, отноше-
ние ординат и уц(х) является первым приближением для
квадрата частоты ®2.
Если мы сделаем достаточно близкое к истине предположение
о форме упругой линии, то указанным методом мы достигнем
очень хорошего результата. Когда же требуется еще большая
точность, то построение можно повторить, принимая уже 2/п(ж)
за исходную кривую и находя третью кривую #ш(а). На стр. 222
будет показано, что этот процесс определения основного типа
колебаний сходится, т. е. всякая последующая кривая ближе к
истинной форме упругой линии, чем предыдущая. При этом в
действительности указанная сходимость оказывается столь бы-
строй, что обычно даже нельзя обнаружить разницу между
формами кривых #ш(ж) и у{](х).
Детали описанного построения относятся скорее к области графиче-
ской статики, чем к динамике колебаний.
В качестве примера рассмотрим изображенный на рис. 4.31, 1 вал
длиной 1830 мм, покоящийся на двух подшипниках. Этот вал мы мыс-
ленно разделим на шесть участков равной длины, массы которых, а также
жесткости на изгиб EI приведены в нижеследующей таблице (стр. 217),
причем модуль упругости Е мы полагаем равным 2,1 • 106 кГ/см2. Пред-
полагаемая кривая прогибов (упругая линия) обозначена римской
цифрой II. Эта кривая имеет довольно пологую форму в своей средней
части по причине значительно большей жесткости этой части вала по
сравнению с остальными. Чтобы получить инерционную нагрузку
ур.,02 = ур,, 1,
необходимо умножить ординаты у данной кривой на массу приходя-
щуюся на каждый сантиметр длины вала, т. е. на числа второго столбца
нашей таблицы. Таким образом, мы получаем кривую///, которая построена
так, что каждый «сантиметр» представляет собою 0,00173 кПсм. Все длины
на чертеже измерены в сантиметрах, указанных на масштабе сверху схемы /.
216 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ числом степеней свободы
ГЛ. IV
Рис. 4.31. Графическое определение основной частоты собствен-
ных колебаний ротора.
§ 4.7
БАЛКИ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
217
Ордината кривой II в центре вала равна 38 см, а средняя ордината
(К/1^ 1 \
= 38 см • 0,004 ----— • 1---- .
см2 сек2)
кри-
Чтобы ^получить кривую прогибов под этой нагрузкой, необходимо
выполнить четыре интегрирования, разбивающихся на две груп-
пы, по два интегриро- вания в каждой Обра- щаясь к первой группе, мы видим, что из урав- нения cZ2M q = -уу (4.35b) dx2 Таблица 4.1
Номера участков Масса на погонный сантиметр к Г сек* 1см* Масса всего участка кГ сек* [см Е1 кГ см2
путем двукратного ин- 1 0,00100 0,0305 26,8 • 108
тегрирования можно по- 2 0,00225 0,0686 135,6 • 108
лучить изгибающий мо- мен т М. 3 0,00400 0,1220 428,0 • 108
Здесь первое ин те- 4 0,00400 0,1220 428,0 • IO8
грирование выполняется 5 0,00225 0,0686 135,6 • 108
графически посредством вычисления площадей фигур, ограниченных 6 0,00100 0,0305 26,8 • 108
осью абсцисс, шестью
участками кривой III и соответственными ординатами. Так, например, пло-
щадь первой из них, очень близкой по своей форме к треугольнику, равна
— • 30,5 см • 0,0246 кГ!см = 0,376 кГ.
Это есть уже полная центробежная сила (приы = 1 ——j всего первого
V сек2;
участка вала, а следовательно, эта величина представляет собою также и
разность перерезывающих сил, действующих на левый и правый концы
соответствующего участка 1. Шесть площадей кривой IIIотложены после-
довательно по вертикали сверху вниз на силовом плане IV, где, например,
АВ есть 0,376 кГ; на этом же плайе имеем ВС = 2,00 кГ, а именно, площадь
участка 2 кривой III и т. д. Таким образом, вертикальная прямая на плане
слева равна значению перерезывающих сил и является результатом первого
интегрирования Возьмем теперь произвольное горизонтальное расстояние
Нг (полюсное расстояние), которое положим здесь равным 10,2 кГ и соеди-
ним полюс О с точками А, В, С и т. д Далее, строим кривую V, проводя
линии, параллельные лучам IV, так, чтобы, например, прямая, параллель-
ная прямой ОВ (которая отделяет участок7от участка 2), проходила между
вертикальными пунктирными линиями, проведенными через центры
тяжести площадей 1 и 2 на кривой III и т. д. Полученная таким образом
эпюра V дает значения изгибающих моментов. Так, например, изгибающий
момент в середине вала оказывается равным 454 кГ см.
Чтобы перейти, наконец, от эпюры моментов V к упругой линии VIII,
мы должны выполнить еще два интегрирования, а именно, должны проинтег-
рировать дифференциальное уравнение
М d2y
El ~ dx2'
Это уравнение имеет совершенно такой же вид, как и уравнение-
(4.35b). Итак, кривая прогибов у может рассматриваться как «эпюра изги-
218 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
бающих моментов для балки с нагрузкой М!Е1ъ. Значения жесткости EI
для различных участков вала даны в последнем столбце таблицы, а кривая
VI представляет собой диаграмму для величин MIEI. №ъ\ можем повторить
весь предыдущий процесс, посредством которого мы перешли от кривой III
к кривой V при помощи плана IV В данном случае мы переходим от кривой
VI к кривой VIII посредством плана VII. Ординаты кривой III были изме-
рены в кПсм,, тогда как на кривой VI они измеряются вслс”1; следовательно,
размерности на диаграммах VI, VII, VIII получаются из размерностей на
соответствующих им диаграммах III, IV, V посредством деления на кило-
граммы В частности, полюсное расстояние Н2 на плане VII оказывается
величиной безразмерной, т. е это есть отвлеченное число.
Упругая лин ия VIII по своей форме может быть более или менее сходной
с первоначально предположенной линией II, однако ее средняя ордината
{стрела прогиба) теперь уже равна 31 см • 2,5 • 10”6 = 77,5 * 10-6 см =
= 0,000775 мм, тогда как прежде на кривой II мы для нее имели 38 см.
•Отсюда находим первое приближение для собственной частоты поперечных
«колебаний вала:
1Г 38
|/ 77,5 • Ю-s
= 700
1! сек,.
Что касается других графических и численных методов определения
собственных частот изгибных колебаний балки переменной жесткости,
то по этому поводу см. стр. 309.
§ 4.8. Нормальные функции и их применение
Обратимся теперь к доказательствам минимальной теоремы
Рэлея и сходимости процесса Стодолы. Хотя эти доказательства
и не являются существенными для понимания последующего
материала этой книги, все же они могут дать читателю более
ясное представление о природе «главных или нормальных типов
колебаний».
Мы уже видели, что в случаях струны и балки на двух опорах
различные нормальные упругие линии представляют собою
синусоиды:
Уг = 81П — ,
2тгя; . ппх
У* = sin —................уп = sm — .
В этих выражениях амплитуды колебаний произвольно положены
равными единице, т. е. такими, чтобы максимальные прогибы
равнялись 1 см.
С другой стороны, оказалось, что в случае консоли (стр. 211),
л также в случае балки с изменяющимся поперечным сечением
упругие линии представляют собою уже кривые с более сложной
структурой.
Мы знаем также (см. стр. 33), что какая-либо произвольная
кривая между О и I может быть разложена на ряд кривых соот-
ветственно разложению изображающей ее функции в тригоно-
§ 4.8
НОРМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
219
метрический ряд или в ряд Фурье, причем одно из наиболее
важных свойств таких рядов заключается в том, что
i
sin —— sin —j— dx = и (m -p n),
о
как это было показано на стр. 30.
В примечании к частному случаю колебаний струны это
о значает то, что всякая упругая линия у(х), форму которой
можно придать струне посредством некоторой внешней нагрузки,
может распадаться на ряд «нормальных» составляющих кривых.
Это положение остается верным не только для струны с ее сину-
соидами, но и вообще для всякой упругой системы.
Пусть будут у^х). Уч(х}, . уп(х) — нормальные упругие
кривые для некоторой системы длины I; тогда какая-либо произ-
вольная упругая, линия у(х) этой системы может быть разложена
в ряд
у(х) = аг у^х) + а2 у2(х} + ... + аг уп(х) + . , (4.47)
Больше того, здесь имеет место соотношение
i
уп(х) ут(х) dx = 0 (4.48)
о
а поэтому любой коэффициент ап в разложении (4.47) может
быть найден совершенно таким же приемом, который применялся
на стр. 34, и мы получаем
MiC®) Уп(х) dx Рис. 4 32. Определение
функции влияния.
Все это дает нам широкое обобщение понятия рядов Фурье.
Для доказательства равенства (4.48) рассмотрим упругую систему
(балку) длиной Z, упругие свойства которой определяются так называемой
«функцией влияния» I (х, а^), представляющей собою (рис 4.32) величину
прогиба балки в точке х. вызванного нагрузкой, равной 1 кГ, помещенной
в точке х1. В выражении функции Цх.х^ как х, так и х1 являются пере-
менными, изменяющимися в пределах от 0 до I (см. стр 171).
Теорема Максвелла о взаимности перемещений, доказываемая в курсах
сопротивления материалов, утверждает, что прогиб в точке 7, вызванный
единичной нагрузкой, приложенной в точке 2, равняется прогибу в точке 2
под действием единичной нагрузки в точке 7. Вследствие этого функция
влияния удовлетворяет соотношению
хг) = Цхи х).
220 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Положим, что балка колеблется с одной из ее собственных частот,
имея форму yn(x). Тогда наибольшая сила инерции, действующая на участок
dxA балки с единичной массой (массой, приходящейся на единицу длины)
есть
а прогиб в точке х, вызванный этой нагрузкой, равен
Ии ’Ы3^) 1 (®, ®i) ^1(^1) dxv
Но так как указанная инерционная нагрузка действует на каждый элемент
dxy балки между 0 и Z, то действительная упругая линия должна получиться
в результате суммирования всех таких функций, выражающих |со бою
отдельные упругие линии, являющиеся результатом действия элементар-
ных нагрузок, а именно:
1
уп(х) = Ш?1
J Уп(Х1)
о
1(х, хг) р^Х]) dxv
(4,50)
Это соотношение имеет место лишь в том случае, когда Уп(х) определяет
собою один из главных типов колебаний, так как только тогда балка
может находиться в равновесии под действием нагрузок, пропорцио-
нальных соответственным перемещениям.
Чтобы теперь доказать справедливость равенства (4.48), умножим обе
части уравнения (4.50) на р^(х) ут(х) dx и проинтегрируем в пределах
от 0 до I:
I I I
J/4(z) VmW Уг№) dx = J J*/n(#i) УпМ ^1) АЧ (®i>i (®) dx dxv (4.51)
a oo
Но так как уравнение (4.50) имеет место для любой собственной часто-
ты, то мы можем заменить п значком т и наоборот. После этого опять
умножим обе части полученного уравнения, но теперь уже на ^(х) уп(х) dx
и опять проинтегрируем. Получим
l ? I
Утг№) Уп(х) dx = Ы2т J Уп(х) Цх, хг) p^xj ^(х) dx-^dx.
о оо
В последнем двойном интеграле мы можем изменить порядок интегриро-
вания, т. е. поменять местами х и xv Тогда
l l I
j /Ч(*) Ут№ Уп(х) dx = J j ym^ yn^ j ^Х1) dx dxr
0 oo
Так как по теореме Максвелла
Цх, хх) — 1(хи х),
то легко видеть, что написанный сейчас двойной интеграл оказывается
таким же самым, как и в уравнении (4.51). Пусть его величина есть А;
тогда, вычитая почленно последнее уравнение из уравнения (4.51), получим
0 = (®2 — ы?п)А.
§ 4.8 НОРМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 221
Это значит, что при двойной интеграл А равен нулю, вследствие
чего обращается в нуль также левая часть (4.51) и, таким образом, соот-
ношение (4.48) доказано.
Доказательство минимальной теоремы Рэлея. Приближенная кривая
у(х), принимаемая в методе Рэлея, сама по себе не является нормальной
упругой кривой, но может быть разложена в ряд таких кривых:
у(х) = ^(я) + а2 у2(х) + а2 у3(х) 4- ... + ап уп(х) +...
Чтобы выразить то обстоятельство, что у(х) есть приближение у-Ах),
соответствующий коэффициент должен быть положен равным единице,
в то время как остальные коэффициенты а2, а2 и т. д. могут быть малыми
числами. Нормальная упругая линия уп(х) является кривой, по которой
изгибается балка под действием статической нагрузки со2 уп(х).
Тогда статическая нагрузка р(х), вызывающая изгиб по предполо-
женной кривой у(х), представится так:
р(х) = [о? уг(х) + а2 ш2 у2(х) ап w2 уп(х)].
Потенциальная энергия элемента dx есть
1
— у(х) р{х) dx,
а тогда полная потенциальная энергия выразится интегралом
I
U = 2 + °2 У2(Х} ОзУ3(х) +
о
• • • 4- ап уп(х) ап уп(х) 4-... ] dx.
Но по уравнению (4.48) все интегралы от произведений, где т п, равны
нулю. Поэтому
I
и = - J /л г/= dx +... +а= ыпг рл, у\ dx +... j.
О о
Кинетическая энергия элемента dx, проходящего при колебании через
свое равновесное положение со скоростью ыу(х), равна
1 о 2
- а-у-р., dx,
а тогда полная кинетическая энергия будет
l l I
= 1- J Mi № = 1- шр j Mi у; <^ +... + «и J Mi ?/n .
0 0 о
где опять пропадают все члены с произведениями ут уп.
Легко видеть, что как потенциальная ,так и кинетическая энергии
состоят из сумм отдельных энергий, присущих компонентам ylt у2, Уз и т. д.
Это положение имеет место лишь в том случае, когда у19 у2, . . определяют
главные или нормальные типы колебаний, если же этого нет, то необходимо
включить в рассмотрение также произведения уп ут.
222 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Пользуясь методом Рэлея, мы приравниваем эти две энергии друг
другу и разрешаем полученное уравнение относительно о2. Получаем
1 I
Е jMi У! +• • • + ап Jmi у\ -Н ..
oJ о
l ]
[ у* dx +... + а% т/2 cto +...
о о
или
где
символ
при 1, 2. 3,..., обозначает следующее выражение:
I
Ah Уп da
(?)=5—
| Mi у1 dx
о
Так как ы2 > ©j, > w2 и т. я., то из формулы (4.52) легко видеть,
что все члены в числителе, начиная со второго, больше соответствующих
членов знаменателя, а поэтому дробь, входящая в эту формулу, является
неправильной, откуда следует, что
W >> ©!,
т. е. частота ш, найденная с помощью метода Рэлея, получается гбольше,
чем первая собственная частота ыь что и требовалось доказать.
Заметим, что на основании того же равенства (4.52) это свойство
имеет место только для первой, т. е. наинизшей, частоты, но уже не имеет
отношения ко второй и высшим частотам.
Доказательство сходимости процесса Стодолы. Положим, что первая
допущенная нами кривая прогибов выражается функцией уАх), где
У(в) = г/^я) 4- а2 у2(х) 4- а3 Уз№ + • • • 4- ап У nW 4- • • •
Пусть масса распределяется по закону а произвольная частота
а = 1; тогда инерционная нагрузка имеет вид
УпУ = Mi?/1 4- a2Mi?/2 + ®зМ1?/з 4-.. • 4-апМ1?/п 4-...
Упругая линия для нагрузки Mi Уп определяется кривой уп. Следова-
„ _ апУп
тельно, под нагрузкой апУ'гУп получаются прогибы по закону ——, а
поэтому вторая упругая линия в данном процессе определится функцией
, > Уг(х) апУп(х)
Уи№ = —— + ... + ---------—
W 6)2
которая отличается от функции, выражающей первую кривую, тем, что
каждый член ряда делится на квадрат соответствующей частоты.
§ 4.9 МЕТОД СТОДОЛЫ ДЛЯ ВЫСШИХ ТИПОВ КОЛЕБАНИЙ 223
Поступая таким же образом и дальше, мы находим для (п 4- 1)-й
упругой линии выражение
1 Г Г“112п [wil2n 1
Так как Oj, < w2, ы1 < w3 и т. д., то легко видеть, что с возрастанием числа
п члены, содержащие у2, y3i... и искажающие основное колебание, умень-
шаются, а тогда первое (основное) главное колебание у} проявляется все-
в более и более чистом виде.
§ 4.9. Метод Стодолы для высших типов колебаний
Приведенное доказательство показывает, что попытка по-
строить вторую нормальную упругую кривую с помощью метода
Стодолы, обречена на неудачу, так как всякое искажение основ-
ной упругой кривой, содержащейся в пробной форме второй
кривей, будет увеличиваться и превзойдет ординаты самой
кривей. После большого числа повторных построений мы найдем,
что второй тип колебаний исчезает совершенно, и остается опять
лишь первый тип. Тем не менее все же возможно найти колеба-
ния второго типа, если перед каждой операцией упругую кривую
«очищать» от компонента первого типа Для этого, прежде
всего, необходимо достаточно точно знать форму первого типа
колебания.
Пусть у(х) есть предположенная форма второго типа, которая,
к несчастью, содержит какую-то долю «гармонической примеси»
(harmonic impurity) Ау^х). Тогда нам желательно найти выра-
жение
у(х) — Ау^х),
свободное от такого «гармонического засорения», Для нахожде-
ния величины А подставим это выражение в уравнение (4.48).
Получим
7
j/M®) IW) — Лг/1(а:)] уг(х) dx = О
О
или
Z I
|щ(а:) у(х) уг{х) dx = A J^(х) yj(x) dx,
о о
откуда
I ач(®) у(х) уг(х) dx
А = -------------. (4.53)
Vi(®) dx
226 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
Подставляя эти числа в уравнения (4.54) и умножая на постоянные
так, чтобы было ах = 1,000, находим
1,000, а2 = 0,116. а3 = —1.181, (II)
= 1,000, а2 = 0,051, а3 = —1,125, (Ш)
ау = 1,000, а3 = —0,024, а3 = —1,148. (IV)
В этом процессе все же в решении оказалась ошибка вслед-
ствие значительной доли первой гармоники; поэтому опять
необходимо произвести очищение с помощью уравнения (4.53).
= 1,000, а2 = 0,038, = —1,058. (IV, очищенн.)
Продолжаем вычисления
= 1,000, а2 — +0,018, а3 = —1,035, (V)
= 1,000, а2 = 0,000, а3 = —1,034. (VI)
Снова оказывается необходимым освободиться от вошедшей
доли первой гармоники.
аА = 1,000, “ +0,012, а, = —1,018, (VI, очищенн.)
= 1,000, $2 = +0,006, а3 = —1,012, (VII)
ау = 1,000, й2 = 0,000, а3 = —1,012, (vin)
= 1,000, +0.004, а3 = — 1,006, (VIII, очищенн.)
ах = 1,000, ^2 ~ +0,002, а3 = —1,004, (IX)
ау = 1,000, = 0,000, а3 — — 1,004. (X)
Отсюда видно, что сходимость очень медленная, и что первая
гармоника непрерывно «пробирается» в расчет, и поэтому от
нее необходимо избавляться почти на каждом этапе расчета.
§ 4.10. Кольца, мембраны и пластинки
Очень часто при изучении какой-либо сложной конструкции
или машины для предварительных расчетов бывает вполне до-
статочно применить полученные данные, касающиеся колебаний
струн и балок. При этом мы получаем удовлетворительную точ-
ность отображения действительного явления при помощи выбран-
ной нами схемы. Когда это оказывается невозможным, наша схе-
матизация может быть осуществлена путем использования более
сложных элементов, как-то: колец (кривых брусьев) мембран и
пластинок. Однако вычисление собственных частот колебаний
этих элементов значительно более сложно, чем в рассмотренных
выше случаях. Поэтому здесь мы приведем лишь готовые резуль-
таты, отсылая читателя за подробностями выводов к соответству-
ющей литературе, в особенности к книге С. П. Тимошенко. «Коле-
бания в инженерном деле».
§ 4.10
КОЛЬЦА, МЕМБРАНЫ И ПЛАСТИНКИ
227
Полное кольцо. Из всех возможных движений полного кольца
наибольшее значение имеют колебания изгиба. Можно показать,
что если кольцо имеет равномерно распределенную массу и
постоянную жесткость, то точная форма колебаний является
синусоидальной. Основные формы колебаний с четырьмя, шестью
и восемью узлами, или, что то же, с двумя, тремя или четырьмя
полными волнами по окружности, показаны на рис. 4.33.
Точная формула для собственной частоты имеет вид
_~п(пР- 1) V EI
Уп2 + 1 /
(4.55)
где п есть число полных волн, — масса, приходящаяся на еди-
ницу длины кольца, EI — жесткость на изгиб и В — радиус.
Рис. 4.33. Нормальные формы колебаний изгиба кольца в своей
плоскости.
Одно из наиболее важных применений приведенного результа-
та имеет место в колебаниях статоров электрических машин.
Так как эти машины часто несут выступающие полюсы, играю-
щие роль сосредоточенных масс (рис. 6.37, стр. 357), то точная
форма изогнутой оси уже не будет, вообще говоря, синусоидаль-
ной. Тем не менее, если обратиться к методу Рэлея, мы можем
в качестве приближенной формы взять также и синусоиду. Потен-
циальная энергия системы не изменяется от добавления полюсов,
зато кинетическая энергия систем изменится, перейдя от значения
Т* к значению Тк + Тп, где индекс «к» относится к кольцу, а индекс
«п» — к полюсам. Таким образом, формула (4.55) для частоты
должна быть исправлена введением множителя
][ тк
I 4-
(4.56)
В том случае, когда число полюсов есть 2п, т. е. равно числу
полуволн вдоль конца, и когда эти полюсы располагаются в
пучностях волн, обладая вследствие этого лишь поступательным
15*
228 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
движением (рис. 6.38,в), то поправочный множитель (4.56) прини-
мает здесь особый вид
мк
4- 2ИП
2тг2
п2 + 1
Мп
Мк
(4.57)
где Л/к есть масса полного кольца и 7ИП — общая масса всех
полюсов, вследствие чего Мп/Мк представляет собою отношение
массы одного полюса к массе части кольца, приходящейся на
один полюс
С другим важным случаем мы встречаемся тогда, когда 2п
полюсов расположены в узлах радиальных колебаний и испыты-
вают поэтому колебательные
движения вокруг осей соответ-
ствующих узлов. Для этого
случая (рис. 6.38,с) поправоч-
ный множитель имеет вид
Рис.4.34. Основная форма колебаний
изгиба части кольца в своей плос-
кости.
и колебании. Истинное положение
—г—Тт~ - -58)
п5 47 р
п2 + I MKB*
где 1р есть момент инерции од-
ного полюса относительно оси,
вокруг которой он вращается пр
этой оси иное, и точно определить его довольно трудно (так
как «узел» кольца, о котором идет речь, есть узел лишь для ради-
альных движений, и в то же время он может перемещаться взад
и вперед по касательной). Однако без большой ошибки можно
считать, что эта ось пересекает в узловой точке осевую линию
кольца.
Часть кольца. Очень часю статоры электромоторов или гене-
раторов прикрепляются болтами к фундаменту так, как показано
на рис. 4.34. а. Если фундамент или опорная плита имеет очень
большую жесткость, то статор можно рассматривать как часть
кольца с углом а, заделанную обоими концами. Основная форма
колебаний подобного кольца в его плоскости будет примерно
такая, как это помечено на рис. 4.34, б. Собственный период такого
колебания, вычисленный по методу Рэлея, выражается формулой
такого же самого типа, что и формула (4.55), с той лишь разницей,
что числовой множитель, стоящий перед радикалом, уже оказы-
вается зависящим от центрального угла а. Обозначая его через
/(а), имеем
(4-59>
§ 4.10
КОЛЬЦА, МЕМБРАНЫ И ПЛАСТИНКИ
229
Значения коэффициента /(а) для различных значений угла
а от а — 180° (половина кольца) до а = 360° (полный круг кольца,
заделанного в одной точке) даны на диаграмме рис. 4.35.
В том случае, когда статор несет выступающие полюсы, сле-
дует и здесь применять поправочный множитель (4.56). Так как
различные точки, где помещены полюсы (рис. 4.34,5), переме-
щаются, грубо говоря, с одинаковой амплитудой (в этом отноше-
нии рассматриваемый случай коренным образом отличается
от случаев, представленных на рис. 4.33), то без большой ошибки
мы можем считать, что массы
Рис. 4.35. Коэффициент/(а) в уравнении
(4.59) для частоты системы рис. 4.34.
полюсов равномерно распре-
деляются вдоль кольца. Соб-
ственная частота, вычислен-
ная по формуле (4.59) и по
рис. 4.35,обычно оказывается
несколько более высокой
(примерно на 10%) вслед-
ствие того, что основание
статора в действительности
не является вполне заделан-
ным, а допускает некоторые
угловые перемещен и я.
Если кольцо, изображен-
ное на рис. 4.34, имеет малые
размеры в направлен ии, перпендикулярном к плоскости чертежа (т.е.
в направлении оси цилиндра), то мы встречаемся с появлением еще
иного движения, которое в этих случаях нежелательно. Именно,
здесь получаются колебания, перпендикулярные к плоскости
чертежа. Если посмотреть сбоку на систему, изображенную на
рис. 4.34, то она представится нам в виде балки высотой h,
заделанной своим нижним концом. Поперечные колебания та-
кой балки будут иметь форму наподобие изображенной на
рис. 4.28, а.
В этом случае упругое сопротивление кольца состоит из
совокупности сопротивления изгибу и сопротивления скручи-
ванию, которое определяется величинами: Е12 — жесткости на
изгиб теперь уже в плоскости, перпендикулярной к плоскости
чертежа, т. е. под углом 90° к плоскости, где жесткость равна
той жесткости EI, которая входит в уравнения (4.55) и (4.59); С —
жесткости на кручение (которая равна GIP для бруса кругового
поперечного сечения).
Частота может быть написана в таком виде:
(4.60)
где числовой коэффициент перед радикалом определяется по
230 СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ГЛ. IV
диаграмме, представленной на рис. 4.36. Эта диаграмма была
построена с помощью видоизмененного метода Рэлея и затем
подвергнута проверке лабораторными испытаниями, которые
подтвердили в существенных чертах справедливость результатов
расчета.
Мембрана представляет собою сильно натянутую пленку,
совершенно не имеющую жесткости на изгиб. Ее, следовательно,
плоскости.
можно рассматривать как двухмерное обобщение струны. Круглая
мембрана, например кожа барабана, имеет бесконечное число
типов колебаний, причем узловыми линиями служат ее диаметры,
а также концентрические окружности, меньшие, чем окружность
заделки. Однако в нашем рассмотрении мы ограничимся лишь
основным типом колебаний, когда нет никаких узловых линий,
за исключением контура. Форма мембраны при колебании прак-
тически представляет собою холм, образованный вращением
синусоиды (рис. 4.37). Частота таких колебаний равна
“=2'4oO?=4'26IG5- (4-б1)
где Т есть натяжение, отнесенное к 1 см длины какого-либо
сечения мембраны, — масса единицы плошади и S — вся пло-
щадь мембраны, равная ттТ?2.
4.10
КОЛЬЦА, МЕМБРАНЫ И ПЛАСТИНКИ
231
7?
Рис. 4.37. Основная форма
колебаний барабанной ко-
жи с частотой
Второй вид написанной формулы является пригодным для
использования в тех случаях, когда мембрана уже не круглая,
а имеет контур какой-либо иной формы, хотя бы в самой отдален-
ной степени напоминающей окружность (например, квадрат,
треугольник, половина или четверть круга и т. п.). Даже в этих
случаях формула (4.61) остается приблизительно верной, если
только величину £ положить равной площади данной некруговой
мембраны. В подобных случаях число-
вой множитель перед радикалом оказы-
вается несколько большим, чем 4,26.
Чтобы дать понятие о вводимой по-
грешности, упомянем, что для квадрат-
ной мембраны множитель 4,26 в урав-
нении (4.61) становится равным 4,44,
для прямоугольной мембраны со сто-
ронами 2x1 он равен 4,97, а для пря-
моугольной мембраны со сторонами
3X1 он уже равняется 5,74.
Совершенно таким же образом, как
двухмерной струной, можно рассматривать пластинку как двух-
мерную «балку». Теория колебаний пластинок (даже в прибли-
женной форме Рэлея—Ритца) является весьма сложной. Резуль-
таты этой теории известны для круглой и прямоугольной пла-
стинок со свободными, с заделанными и со свободно опертыми
краями. Читателю, которому представится случай подобного
расчета, рекомендуется обратиться по этому поводу к более
исчерпывающим книгам Рэлея, Прескота и Тимошенко.
Задачи к гл. IV № 99—138.
Т
W = 2,40
мы считали мембрану
ГЛАВА V
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
§ 5.1. Неприятные явления, присущие машинам
с возвратно-движущимися частями
В машинах, части которых совершают возвратно-поступатель?
ные движения, имеют место две группы колебаний, важные с
практической точки зрения, а именно:
1) колебания, передаваемые фундаменту всей машиной в
целом;
2) крутильные колебания коленчатого вала и валов различных
ведомых механизмов.
Каждое из этих двух явлений обусловливается совокупно-
стью периодически изменяющихся ускорений движущихся ча-
стей (поршней, поршневых штоков, шатунов и кривошипов) и
периодическими изменениями давления пара или газа в цилинд-
рах.
Рассмотрим вертикальный одноцилиндровый двигатель. В
этом двигателе поршень совершает возвратно-поступательные
движения, т. е. он испытывает действие переменных вертикаль-
ных ускорений. Если поршень имеет ускорение, направленное
вниз, то, следовательно, на него действует сила, также направлен-
ная вниз, причем эта сила должна вызывать противоположную
реакцию, приложенную к неподвижным частям машины и направ-
ленную вверх. Таким образом, ускорение поршня, изменяю-
щееся по величине и по направлению, оказывается связанным с
переменной силой, приложенной к станине цилиндра, которая
вызывает колебания самой машины и ее фундамента. В попереч-
ном направлении, т. е. в направлении, перпендикулярном как к
коленчатому валу, так и к поршневому штоку, движущиеся части
также имеют ускорения: это относится к цапфе кривошипа и к
части шатуна. Силы, вызывающие эти ускорения, должны иметь
равные и противоположно направленные реакции, приложенные
к станине двигателя. Этот эффект носит название «горизонталь-
ной неуравновешенности». Что же касается продольного направ-
ления, т. е. направления вдоль коленчатого вала, то здесь силы
§ 5.1 НЕПРИЯТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ПРИСУЩИЕ МАШИНАМ 233
инерции отсутствуют., поскольку все движущиеся части остаются
в плоскостях, перпендикулярных к валу двигателя.
Математическое соотношение, описывающее указанные дей-
ствия, есть не что иное, как второй закон Ньютона, устанавли-
вающий, что в механической системе скорость изменения коли-
чества движения равна результирующей F всех внешних сил, т. е.
d7^(^f)=F. (5.1)
Это есть векторное уравнение, эквивалентное трем обыкновенным
уравнениям. Из этих трех уравнений имеют значение только
два, а третье (для продольного направления) удовлетворяется
тождественно, так как проекции скоростей на это направление
всегда равны нулю.
Уравнение (5.1) допускает различные толкования. Прежде
всего рассмотрим «механическую систему», состоящую из всей
машины, которую предположим установленной на весьма гибких
пружинах, вследствие чего она окажется как бы свободно пла-
вающей в пространстве. Так как на эту систему не действуют
никакие внешние силы, то уравнение (5.1) говорит нам, что,
например, при ускорении поршня, направленном вниз, т. е. при
направленном вниз возрастании количества движения поршня,
цилиндр должен получить ускорение, направленное вверх. Пусть
масса цилиндра в 50 раз больше массы поршня. Тогда ускорение
цилиндра должно быть в 50 раз меньше ускорения поршня.
Рассмотрим теперь в качестве механической системы только
движущиеся части, т. е. поршень, шатун и коленчатый вал. Во
время работы машины эти части имеют определенное ускорение,
вследствие чего необходимо уже считаться с величиной
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях.
Уравнение (5.1) определяет тогда значение силы F, действующей
на эти части, а следовательно, и значение реакции —F на непо-
движные части.
Уравнение (5.1) пишут иногда с выполненным дифференци-
рованием:
2[™£] = Г. (5.2>
Выражение взятое с обратным знаком, называется силой
инерции, так что мы получаем теорему, утверждающую, что
внешняя сила, действующая на систему, равна сумме всех сил
инерции движущихся частей, но направлена в противоположную
сторону.
Упомянутые различные силы инерции могут создавать моменты.
Рассмотрим двухцилиндровый вертикальный двигатель, криво-
234
МП0Г0ЦИЛИНДР0ВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
шипы которого расставлены под углом 180°. В таком механизме,
если ускорение одного поршня направлено вниз, ускорение дру-
гого должно быть направлено вверх, и поэтому обе силы инерции
образуют пару, стремящуюся раскачивать машину около попереч-
ной оси. Подобно этому горизонтальные или поперечные силы
инерции двух кривошипов, будучи равными и противоположно
направленными, образуют пару, стремящуюся раскачивать маши-
ну вокруг вертикальной оси.
Раскачивание вокруг продольной оси может встретиться
также и в одноцилиндровом двигателе. В самом деле, если пор-
шень движется с ускорением, направленным вниз под действием
растягивающего усилия в шатуне, то, очевидно, это усилие должно
создать крутящий момент вокруг оси коленчатого вала. Но так
как ускорение поршня изменяется по величине и направлению,
то и момент сил инерции должен быть также переменным.
Закон моментов количеств движения, аналогичный второму
закону Ньютона, в применении к механической системе, на кото-
рую действует главный момент М внешних сил (будем называть
его для краткости просто внешним моментом), выражается урав-
нением
= (5.3)
где а есть радиус-вектор точки с количеством движения mv,
X— символ векторного умножения. Словами это можно выразить
так: внешний момент геометрически равен скорости изменения
главного момента количеств движения (кинетического момента)
системы. Выполняя дифференцирование, написанное уравнение
можно привести к виду
V[aXm^| = M. (5.4)
Это говорит нам, что сумма моментов сил инерции различных
.движущихся частей равна внешнему моменту (но имеет противо-
положное направление).
Подобно тому, как это делалось выше, мы можем в механиче-
скую систему включить весь двигатель, установленный на очень
мягких пружинах, либо можем рассматривать только его движу-
щиеся части. В первом случае внешний момент равен нулю, а
потому всякое возрастание в направлении вращения часовой
стрелки кинетического момента движущихся частей нейтрали-
зуется возрастанием в обратном направлении, т. е. против часовой
стрелки кинетического момента неподвижных частей машины.
Во втором случае возрастание в направлении часовой стрелки
кинетического момента движущихся частей должно вызываться
крутящим моментом или главным моментом внешних сил, при-
S 5.1
НАПРИЯТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ПРИСУЩИЕ МАШИНАМ
235
Рис. 5.1. Сил а давлен ия газа водно-
цилиндровом двигателе.
ложенных к этим частям, направленном также по часовой
стрелке. Этот крутящий момент внешних сил вызывает реактив-
ный момент, приложенный к станине двигателя и направленный
против часовой стрелки. Если станина жестко связана с фунда-
ментом, то этот реактивный момент передается фундаменту, вслед-
ствие чего могут произойти повреждения. С другой стороны, если
машина установлена на мягких пружинах, то никакая реакция
на фундамент через эти пружины
не передастся, и реактивный мо-
мент просто поглотится как мо-
мент сил инерции (инерционный
момент) станиной и блоком цилинд-
ров. В этом случае блок должен
совершать колебания, по фун-
дамент не воспримет никакого
заметного крутящего момента,
т. е. получится «плавающая под-
веска» (см. стр. 111).
Формулы (5.1) и (5.3) явля’
ются достаточными для установ-
ления инерционных свойств дви-
гателя, что будет выполнено в
двух ближайших параграфах. Сей-
час мы обратим наше внимание
на действие переменного давления
пара или газа в цилиндрах.
Пусть на рис. 5.1 действие
сил инерции исключается, что
можно сделать либо предположив, что движущиеся части имеют
пренебрежимо малую массу, либо считая, что машина вращается
с чрезвычайно малой постоянной угловой скоростью оз. Пусть,
далее, сила давления на поршень равна Р, причем эта сила из-
меняется с течением времени (или с углом кривошипа at). Давле-
ние газа не только толкает поршень вниз, но и действует по на-
правлению кверху на головку цилиндра. Сила Р, приложенная к
поршню, передается через поршневый шток (сила 1) на крейц-
копф. Пренебрегая трением, мы можем сказать, что эта сила
уравновешивается силами 2 и 3.
Силы I, 2,3 на рис. 5.1,6 приложены все к крейцкопфу. Сила 3
есть сжимающее усилие в шатуне, а сила 2 является реакцией
давления крейцкопфа на правую направляющую параллель или
на станину, причем эта реакция равна Ftggx Сила 3, величина
которой равна P/eoscp, передается цапфе кривошипа (сила 4).
Переместив эту силу параллельно самой себе в точку О, мы должны
добавить пару с моментом уР/cosср, который является вращающим
моментом давления газа. Сила 5 воспринимается главными под-
236
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
гл. V
шипниками в точках О и может быть разложена на вертикальную
составляющую 6 и горизонтальную составляющую 7. Из равен-
ства силовых треугольников, один из которых образован силами
1, 2, 3, а другой — силами 5, 6, 7, мы сейчас же видим, что величина
силы 6 есть Р, а величина силы 7 есть Ptg р,
Итак, силы, передающиеся неподвижным частям машины^
оказываются следующими:
во-первых, сила Р, направленная вверх и приложенная к го?
ловке цилиндра;
во-вторых, сила -Р tg направленная вправо и приложенная
к направляющей крейцкопфа;
в-третьих, сила Р, направленная вниз и приложенная к глав-
ным или коренным подшипникам в точках О;
в-четвертых, сила Ftg<p, направленная влево и приложенная
к коренным подшипникам в точках О.
Общая результирующая сила, приложенная к станине, равна
нулю, но здесь получается, кроме того, результирующая пара
с моментом Рх tg ср. По закону Ньютона о равенстве действия
и противодействия этот момент должен быть равен по величине
и противоположен по направлению вращающему моменту, при-
ложенному к коленчатому валу и равному yP/cos ср, в чем легко
можно убедиться из рис. 5.1,6, замечая, что г/ = х sin гр. Таким
образом, давление газа в цилиндре не приводит к возникновению
какой-либо результирующей силы, действующей на станину дви-
гателя, а создает только крутящий момент вокруг продольной оси.
Резюмируя сказанное, мы должны отметить, что по продольной
оси машины не получается никаких сил, в то время как в попе-
речном и вертикальном направлениях появляются лишь силы
инерции. Что касается моментов, то вокруг вертикальной и по-
перечной осей мы нашли только моменты сил инерции, тогда
как вокруг продольной оси имеют место как момент сил инерции,
так и момент сил давления газа или пара в цилиндре, т. е.
вращающий момент.
Если мы предположим, что двигатель изготовлен из абсолютно
твердых тел, т. е. тел, не поддающихся упругим деформациям,
то тогда мы имеем перед собой только проблему «уравновеши-
вания». Станина или неподвижные части машины обычно до
известной степени удовлетворяют этому условию жесткости, но
зато коленчатый вал, как правило, может относительно легко
скручиваться, вследствие чего становятся возможными крутиль-
ные колебания. Поэтому тема нашего исследования разделяется
на три части:
а) уравновешивание сил инерции; здесь мы имеем проблему
уравновешивания машины только против действия вертикальных
и поперечных сил, а также против моментов вокруг вертикальной
и поперечной осей;
5.2
ДИНАМИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
237
Ь) реакция крутящего момента; в этой части нашей темы
мы занимаемся изучением действия крутящего момента вокруг
продольной оси (вызванного силами инерции или же давлением
газа в цилиндрах) на неподвижные части машины;
с) крутильные колебания коленчатого вала; здесь мы имеем
дело уже со следствиями действия того же крутящего момента
относительно продольной оси на движущиеся части машины.
Эффект с) имеет особо важное значение, так как он был при-
чиной многочисленных поломок коленчатых валов. Этих поломок
можно избежать, если изучить теорию крутильных колебаний.
Первым шагом в изучении этих трех проблем у нас будет
вывод выражений для вертикальных и боковых сил инерции
однокривошипного механизма, а также вывод формулы для соот-
ветствующего момента сил инерции.
§5.2. Динамика кривошипного механизма
На рис. 5.2 представлена схема двигателя одностороннего
действия. Введем следующие обозначения:
хп — перемещение поршня вниз от его верхнего положения;
cot — угол кривошипа, отсчитываемый от верхней мертвой
точки;
г — радиус кривошипа;
I — длина шатуна.
Допустим, что коленчатый вал вращается
с постоянной угловой скоростью, т. е.
<у'= const. Наша первая задача будет заклю-
чаться в определении положения поршня
в зависимости от угла cot Если бы мы
пренебрегали изменениями длин отрезков
по вертикальной оси, происходящими вслед-
ствие отклонения шатуна в различные про-
межуточные моменты времени от его сред-
него положения, то должны были бы поло-
жить расстояние хп равным отрезку DB на
нашей схеме. Это расстояние DB, являю-
щееся первым приближением для хп, равно
г(1 — cos cot).
Чтобы вычислить точное значение хп,
мы должны прибавить к написанной вели-
чине поправочный член, равный разности
Рис. 5.2. Кривошипный
механ изм.
длин АС и ВС:
I (1 — cos <р).
238
МН0Г011Ш1ИНДР0ВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Входящий сюда вспомогательный угол <р может быть выражен
через посредство ot, если мы заметим, что
АВ = I sin (р — т sin
ил и
sin ф ~ у sin cot (5.5)
и следовательно,
1Г ^2j—
COS ф = /1----sin2 G)t.
т у
Отсюда находим точное выражение для перемещения жп поршня
в зависимости от угла ю/ поворота кривошипа:
хп = r( 1 — cos ot) 4- I (1 — У1 — £2 sin2 - (5.6)
Эта формула вследствие имеющегося в ней квадратного корня
мало пригодна для дальнейших расчетов. Однако, она может
быть несколько упрощена, поскольку второй член под корнем
является величиной малой, по сравнению с единицей. В обычных
машинах отношение тП не превышает 1/4, так что этот второй
член оказывается меньше чем 1/16. Следовательно, квадратный
корень имеет вид У1 — 6, где 6<<(1. Разлагая этот корень в сте-
пенной ряд и пренебрегая в разложении членами, содержащими
6 в степени, выше первой, находим
УТ—
При 6 = получающаяся ошибка меньше 2ойо- Принимая
это во внимание, мы можем приближенно представить уравнение
(5.6) так:
хп съ r(l — cos cot) 4- sin2 ot.
Дальнейшее упрощение можно получить, выразив квадрат
синуса через косинус двойного угла посредством формулы
cos 2 ot = 1 — 2 sin2 ots
или
. о 1 — cos
Sin2 ot — ----Б—---.
Таким образом, перемещение поршня определяется уравне-
нием
яп = к +* У — г [ c°s ot + — COS 2ot 1. (5.7)
§ 5.2
ДИНАМИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
239
Отсюда путем дифференцирования мы можем получить ско-
рость и ускорение:
— ГО
(5.8)
(5.9)
Рис. 5.3.Ускорение поршня, как функция
угла кривошипа при отношен и и r/l = 1 /4.
sin ot 4- 4; sin 2ot I ,
Xn = Г®2 cos ot + J cos 2ю/ j .
По умножении на массу поршня эти выражения будут равны
соответственно его количеству движения и силе инерции, имеющим
вертикальное направление. Как видим, каждое из этих выра-
жений состоит из двух чле-
нов, один из которых из-
меняется с частотой, равной
угловой скорости вращения
вала, а другой — с удвоен-
ной частотой. Первый из
них определяет соответст-
венно количество движения
и силу инерции «первого
порядка», а второй — коли-
чество движения и силу
инерции «второго порядка».
Если бы шатун был беско-
нечно длинным, то вторые
члены должны исчезнуть, и
тогда поршень совершал бы
гармоническое движение. В
случае же
движение
ускорение
лича юте я
кого. В качестве примера на
инерции) для поршня двигателя, когда отношение l/т = 4.
Изучив динамические свойства поршня, обратимся к враща-
ющейся части, т. е. к кривошипу. Прежде всего упростим нашу
задачу, сосредоточив мысленно всю массу вращающегося криво-
шипа в его центре тяжести (сила инерции этой массы будет такая
же, как и результирующая всех сил инерции отдельных малых
частиц кривошипа). Далее, переместим эту массу из центра тя-
жести в цапфу кривошипа А, уменьшив ее при эюм обратно
пропорционально расстоянию от центра вала, благодаря чему
сила инерции не изменится
Таким образом, весь кривошип оказывается здесь замененным
одной массой шс, сосредоточенной в центре цапфы, вертикальное
перемещение которой может быть сейчас же найдено из рис. 5.2:
хс = т (1 — cos ot}, (5.10)
короткого шатуна
и в особенности
значительно от-
от синусоидаль-
рис. 5.3 дано ускорение (или сила
240
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
вследствие чего вертикальные составляющие скорости и уско-
рения принимают вид
Хс = ГСО sin G)t, I
(5.11)
xc = ГСО2 COS (ot. 1
Соответственные горизонтальные составляющие оказываются
равными:
ус — —Г 8Ш (ot, \
ус = —гео cos cot, > (5.12)
ус = гео2 sin cot. j
Количество движения (или сила инерции) получается из ско-
рости (или из отрицательного ускорения) умножением на массу
Цапфа
кривошипа
Цапфа
крейцкопфа
Рис. 5.4. Деление веса всего шатуна на
части поступательную и вращательную. !
тс вращающегося кривошипа.
Возвращаясь к рис 5.2,
мы замечаем, что силы инер-
ции поршня и кривошипа по-
следовательно облечены в
математическую форму, и
остается только сделать то
же самое с шатуном. Однако
здесь- то мы и встречаемся
с наиболее трудной частью
задачи, так как движение
шатуна достаточно сложно. В самом деле, верхняя точка
шатуна движется по прямой линии, нижняя — по окружности,
в то время как все прочие точки описывают кривые, по-
хожие на эллипсы. Таким образом, определение и последующее
суммирование сил инерции всех этих частиц шатуна требуют
больших математических выкладок. К счастью, это не является
необходимым. Дело в том, что если шатун заменить другим телом,
имеющим ту же самую массу и тот же центр тяжести, гак что
траектория центра тяжести при этом не изменится, то полная
сила инерции шатуна и нового тела окажутся равными между
собой. Это следует непосредственно из законов динамики, которые
утверждают, что результирующая сила инерции твердого тела
равна силе инерции центра тяжести в предположении, что в нем
сосредоточена вся масса тела.
С помощью этого положения задача может быть легко раз-
решена, если шатун заменить двумя сосредоточенными массами,
расположенными на его концах так, чтобы центр тяжести остался
тот же самый и чтобы сумма этих масс равнялась массе шатуна.
Это деление массы выполняется таким же образом, как вес шату-
на разделяется на две части посредством помещения его в гори-
зонтальном положении на двое весов, как показано на рис. 5.4.
§ 5.2
ДИНАМИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
241
Хотя деление массы шатуна на две сосредоточенные массы не изменяет
ни положения центра тяжести, ни общей массы системы, тем не менее
оказывается, что момент инерции двух сосредоточенных масс отличен
от момента инерции реального шатуна. Следовательно, такое деление,
показанное на рис. 5.4, будучи вполне закономерной операцией при
определении сил инерции системы, приводит к погрешности при опреде-
лении моментов этих сил. т. е. при изучении инерционных пар.
Разделив указанным способом всю массу шатуна на две части,
одна из которых совершает возвратно-поступательное движение
вместе с поршнем, а другая — вращательное движение вместе
с цапфой кривошипа, мы можем теперь обозначить через тпост
всю массу, движущуюся возвратно-поступательно, а через ^Bpaui
— всю массу, движущуюся вращательно. Иными словами, тппост
есть сумма массы поршня и части массы шатуна, а тпвращ есть
сумма эквивалентной массы кривошипа и другой части массы
шатуна.
В этих обозначениях полная вертикальная сила инерции
X (всех движущихся частей) для одного цилиндра будет
X = ^пост *^п ^вращ %с “
^.2
= — (гапост + И&вращ) Гй)2 cos tot — ^пост J to2 COS 2<ot, (5.13)
в то время как горизонтальная сила инерции Y есть
F = —твра1Ц ус = —твращ то2 sin at. (5.14)
Словами это можно выразить так: вертикальная составляющая
всех сил инерции состоит из двух частей — «первичной части»
или силы инерции первого порядка, представляющей собою ре-
зультирующую силу инерции масс, движущихся возвратно-посту-
пательно и вращательно в предположении, что они перемеща-
ются вверх и вниз по гармоническому закону с частотой, равной
угловой скорости вращения кривошипа и с амплитудой г, и, кроме
того, «вторичной части» или силы инерции второго порядка,
равной силе инерции массы цШ110СТ> перемещающейся вверх
и вниз также по гармоническому закону и с той же амплитудой
г но с частотой, равной удвоенной угловой скорости вращения
коленчатого вала.
Горизонтальная или боковая составляющая сил инерции со-
стоит только из первичной части, происходящей от вращающейся
массы
Наконец, нам остается определить крутящий момент сил
инерции относительно продольной оси О. Для определения вер-
тикальной и горизонтальной сил инерции мы заменяли шатун
двумя массами, помещаемыми соответственно в поршне и в цапфе
кривошипа, как показано на рис. 5.4, и при этом пришли к точному
результату. Однако подобный результат уже не будет верен,
16 ДспТартог - 2074
242
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
если такой же метод применить для определения момента
сил инерции, и может рассматриваться лишь как приближение
с допустимой степенью точности. Итак, заменим опять нашу
сложную систему, состоящую из поршня, шатуна и кривошипа,
двумя массами, одна из которых, равная тпост, совершает возврат*
но-поступательное движение по закону (5.7), а другая, равная
твращ, равномерно вращается вокруг оси О, не создавая, таким
образом, момента сил инерции относительно этой оси. Момент
сил инерции вызывается исключительно массой шпост, причем
его величина может быть найдена на рис. 5.1, б, из которого усмат-
риваем, что этот момент равен силе, приложенной к поршню,
умноженной на х tg ср. Вместо силы давления газа на рис. 5.1
сейчас такой силой является сила инерции — wn0CTxn, что, однако,
не влияет на ход рассуждений при вычислении момента. Рассто-
яние х будет
X = I COS Ср Г COS at КЗ 1 — 4/1 7 C0S 42 C0S
Далее, так как
tg ср = - sin ср р 4* ~ sin2 срj = sin cot р + sin2 at
то крутящий момент получается равным
Д/ = —7ППОСТ Хп • X tg ср =
= — ^пост то2 pos 4- cos2~ sin at р + sin2 юр х
X ip — 4- г cos at 4- cos Vat| .
При перемножении мы отбросим в этом выражении все члены,
пропорциональные второй и высшим степеням г/1. Происходящая
при этом погрешность будет такого же порядка, как и при пере-
ходе от выражения (5.6) к выражению (5.7). Итак, имеем
М = — шпост a2r2 sin at 4- cos at 4- cos 2юр .
Пользуясь тригонометрическим соотношением
sin at cos 2at = sin 3at — sin at,
z л
получаем окончательное выражение для крутящего момента:
_-2 тпост ю-г? I— sin cat + sin 2cat + sin 3cat). (5.15)
5.2
ДИНАМИКА КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА
243
Рис. 5.5. Силы, действую-
щие на шатун.
Эта важная формула для крутящего момента сил инерции, действу-
ющего на вал в направлении его вращения или на раму, вращаю-
щуюся вокруг О в противоположном направлении, является
достаточно точной для обычных типов двигателей, в которых
шатун состоит из двух довольно тяжелых подшипников, соеди-
ненных сравнительно легким стержнем. С другой стороны, в
звездообразном авиационном двигателе па конце «главного ша-
туна» имеется головка, несущая не только подшипник пальца
кривошипа, но еще п—1 подшипников,
в которых расположены пальцы п—1
«прицепных» шатунов. Очевидно, что ука-
занная замена такой системы двумя со-
средоточенными массами уже не является
целесообразной, а поэтому в данном случае
не лишено интереса точное исследование
движения шатуна, приводимое ниже.
Положим, что кривошип, изображенный на
рис. 5.5, вращается против часовой стрелки с
постоянной угловой скоростью сообщая тем
самым движение связанному с ним шатуну.
Поскольку мы можем силу инерции поршня
сейчас же получить из формулы (5.9), в данном
случае будем считать поршень невесомым. Пред-
положим, далее, что между поршнем и стен-
ками цилиндра трение отсутствует, а поэтому
имеем только нормальную реакцию F3 стенок,
приложенную к шатуну. Пусть, наконец, Fx и F2
будут силы реакции пальца кривошипа, дей-
ствующие на шатун, движущийся, следова-
тельно, заданным образом под влиянием трех
сил Flf F2, F3. Мы имеем случай плоско-парал-
лельного движения твердого тела, для которого, как известно из динамики,
можно написать три дифференциальных уравнения: в направлении оси х
F1 = mxG,
в направлении оси у
4- F,= myG
и уравнение моментов относительно центра тяжести
—Fta sin <р + F2a costp — F36cos<p = /ср.
Кинематически движение заранее известно. В частности, центр тя-
жести движется так, что выполняются равенства
b ус b
XG = + (хс — Хп) у = —j--1---. Уа = —1
где индекс с относится к концу кривошипа, а п — к поршню; а и b — рас-
стояния от центра тяжести G до точек С и Р, как показано на рис. 5.5.
Ускорения Хп, %с и Ус определяются из уравнений (5.9), (5.11) и (5.12).
Угол (р и функции от него, включая сюда <р> определяются из уравнения (5.5).
16*
244
МНОГО ЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Таким образом, три написанных уравнения динамики могут быть
разрешены относительно трех неизвестных F2, F3.
Из первого уравнения получаем
тпхга тхсЬ
v т = j----Ь ---j— — ^пост "Н ^вращ ^с»
а это приводит нас к результату уравнения (5.13), полученному ранее.
Аналогично для суммы F2+ F2 получаем величину, обозначенную нами
через У в уравнении (5.14). Итак, мы видим, что для сил инерции вы-
сказанные нами выше утверждения оправдываются (см. стр. 241).
Вычислим теперь крутящий момент в направлении часовой стрелки,
действующий на вал и вызванный силами инерции шатуна. Этот момент
будет
= — F^r sin (ot — F2r cos cot.
Мы видим, что необходимо найти F2 отдельно от F3. Это можно сделать
путем исключения F3 из второго и третьего дифференциальных уравнений
движения. Имеем
b Lq ip Fxas\n<p
= — 7Пвращ T rw2 sin ------------1----------.
I COS ф I COS <p
Исключая отсюда у с помощью уравнения (5.5) и
г
нами, содержащими — в степенях выше второй,
пренебрегая всеми чле-
находим
Ь 1q 1 F
F2 = — ^гвращ у rCl)2 si31 ----у- rt°2 sin + — 772 пост у rCl}2 sin 2w«.
Подставляя эту величину в выражение крутящего момента и выполняя
некоторые тригонометрические преобразования, окончательно получаем
1 г г / \ Зг . 1
/ИваЛ = — 772ПОСТ w2rs — sin — 1 Н------------- sin — —- sin Зии.
2 L2Z \ al f *2,1 J
(5.16)
Здесь k есть радиус инерции шатуна, определяемый по формуле тп&2 = 1о-
Этот результат является приближенным лишь в том смысле, что мы пре-
небрегли высшими степенями г/l. В остальных отношениях он точен.
Сравнивая полученное значение момента с его выражением (5.15), мы видим,
что разница получилась только за счет члена с удвоенной частотой, за-
висящей от момента инерции тк2.
Уравнение (5.15) определяет значение инерционного крутящего мо-
мента вала, приложенного со стороны шатуна, состоящего из двух сосредо-
точенных масс mall и тЫ1 на расстояниях Ъ и а от центра тяжести.
Такой шатун имеет радиус инерции к = УаЬ, а тогда, если выполнить
подстановку, легко видеть, что уравнение (5.16) приводится к уравне-
нию (5.15).
Для сопоставления численных значений моментов (5.15) и (5.16)
интересно рассмотреть два частных случая шатуна. Во-первых, возьмем
однородный шатун, для которого а = b = 1/2 и к2 — Z2/l2 В этом случае
член с удвоенной частотой в выражении (5.16) на 33% больше соответствую-
щего члена в приближенном выражении (5.15). Затем рассмотрим шатун,
для которого W2noCT = 0, т.е. Ъ = Z, и который, следовательно, имеет центр
тяжести на оси пальца кривошипа (можно считать всю массу, расположен-
ной в некоторой области вокруг этого пальца, что является грубой схемой
Ц 5.3
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ДВИГАТЕЛЕЙ
245
главного шатуна звездообразного двигателя). Предполагая, что к2 = Z2/10,
мы находим, что средний член в уравнении (5.16) такой же самый, что и
в уравнении (5.15),где только вместо ягПОст поставлено wz/10; кроме того,
знак здесь оказывается обратный.
Главный шатун авиационного мотора в действительности представ-
ляет собою комбинацию двух предыдущих случаев, причем увеличение
момента вследствие однородности шатуна более или менее компенсируется
его уменьшением, вызванным значительной величиной момента инерции
головки шатуна. Таким образом, для такого несколько необычного шатуна,
каким является главный шатун авиационного двигателя, приближенная
формула (5.15) оказывается достаточно точной.
Момент, действующий па станину двигателя вокруг оси О вала (рис.
5.5), можно найти, умножая силу 2?3 на плечо:
Л/стан = F3(Zcos<p + rcoswZ).
Разрешая относительно F3 написанные выше дифференциальные уравнения
движения шатуна, подставляя найденное значение F3 в это выражение
момента и пренебрегая высшими степенями г/l, после ряда математических
упрощений получим
1 _ _ (Г (г2 + 8Z2)(F — ab) га
Метан = = «пост и¥ ----------——----------h — sin at —
2 (L 4mZ2 2ZJ
rad — k2 1 гЗг (k2 — ab) 3ri i
— -----—----F I sm — ----------—------~ + -- sin 3wZ . (5.17)
I aZ I L 4aZ2 2Z1 '
В случае шатуна, состоящего из двух сосредоточенных масс по концам
(F _ эта формула опять приводится к формуле (5.15). Таким образом,
в общем случае шатуна инерционные моменты, приложенные к валу и
к станине, не равны друг другу, а отличаются на моменты сил инерции
различных частиц шатуна относительно оси О. Только в том случае, когда
шатун вырождается в две сосредоточенные массы, эти моменты обраща-
ются в нуль, так как из остающихся двух сил инерции конечных точек
одна проходит по оси цилиндра, а другая — по радиусу кривошипа, т. е.
в конце концов обе проходят через точку О, и их моменты поэтому ис-
чезают.
§ 5. 3. Уравновешивание сил инерции многоцилиндровых
двигателей
Неуравновешенность сил инерции одноцилиндрового двигателя
определяется уравнениями (5.13) и (5.14). В этих уравнениях посту-
пательно-движущаяся масса wnoCT всегда положительна, в то вре-
мя как вращающаяся масса тпвращ может быть сделана равной нулю
или даже отрицательной посредством «противовеса» на кривошипе
(рис. 5.6) Благодаря этому оказывается возможным привести
к нулю горизонтальную силу инерции У, тогда как вертикальная
неуравновешенная сила X продолжает всегда существовать1).
г) Была запатентована схема, в которой шатун продолжается за
цапфу кривошипа; это преследует ту цель, чтобы Gn на рис. 5.4 сделать
отрицательным. Вследствие этого Лапост также может быть сделано рав-
ным нулю. Однако подобного типа двигатели в действительности осу-
ществлены не были, так как при этом картер получил бы слишком большие
размеры.
246
МНОГОНИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Таким образом, одноцилиндровый двигатель по своему существу
является неуравновешенным.
Рассмотрим теперь двухцилиндровый двигатель, в котором
кривошипы расставлены под углом 180°. Так как оба кривошипа
расположены противоположно друг другу, то противоположными
оказываются и горизонтальные силы инерции, которые вследствие
этого взаимно погашаются (за исключением момента относи-
тельно вертикальной оси). Если принять во внимание, что поршни
движутся противоположно один
другому, то высказанное сейчас
утверждение остается верным и
для вертикальных сил инерции
первого порядка. Однако верти-
кальные силы инерции второго
порядка действуют в одном на-
правлении и поэтому складыва-
ются, Чтобы понять это, рекомен-
Рис. 5.6. Кривошип с противовесом.
дуется представить себе различные силы в виде проекций вра-
щающихся векторов (стр. 14.). Сейчас мы изложим этот вектор-
ный метод для общего случая многоцилиндрового двигателя.
Пусть в таком двигателе расстояние n-го кривошипа от первого
равно 1п, и угол между тг-м кривошипом и первым равен ал (угол
тг-го кривошипа). На рис. 5.7 первый кривошип показан в верти-
кальном положении, соответствующем наибольшему значению
Рис. 5.7 Силы инерции первого порядка четырехцилиндрового двигателя.
вертикальной силы инерции первого порядка. Второй кривошип
расположен на угол а2 радианов впереди первого, вследствие чего
соответствующая вертикальная сила инерции первого порядка
прошла через свое максимальное значение на а2/еэ секунд раньше.
Поэтому, если вращающийся вектор, изображающий вертикаль-
ную силу инерции первого порядка для первого цилиндра, нахо-
дится в вертикальном положении, то положение соответственного
вектора для второго цилиндра определится углом а2, и вообще
для n-го цилиндра положение вращающегося вектора определится
углом ап. То же самое имеет место и для горизонтальных сил
инерции первого порядка.
S 5.3
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ДВИГАТЕЛЕЙ
247
4
порядка
перво го
Рис. 5.8. Силы инерции второго
(а), а также момент сил инерции
(б) и второго (е) порядков четырехцилинд-
рового двигателя рис. 5.7.
Таким образом, схема расположения кривошипов на рис. 5.7, б,
рассматриваемая как векторная диаграмма (рис. 5.7, в), представляет
собоюте условия, в которых находятся силы инерции первого поряд-
ка. Так, например, в случае четырехцилиндрового двигателя такого
типа мы имеем уравновешивание сил инерции первого порядка.
Векторы, изображающие силы инерции второго порядка, вра-
щаются вдвое быстрее по сравнен ню с вращением коленчатого
вала. Обращаясь опять к рис. 5.7. а. мы видим, что если сила инер-
ции второго порядка для
кривошипа 7 изображается
ве р т и ка л ьн ым ве к т<) ром.
то соответственный вектор
для кривошипа 2 был вер-
тикальным в тот момент,
когда кривошип 2 занимал
вертикальное положение.
Но кривошип 2повернулся
на угол а2 от этого верти-
кального положения, вслед-
ствие чего вектор, опре-
деляющий силу инерции
для кривошипа 2, должен
повернуться уже на угол
2а2 от вертикали. Таким
образом, векторная диа-
грамма для сил инерции
второго порядка образует
между различными векторами и первым вектором. На рис. 5.8, а
представлена такая диаграмма для схемы двигателя, изобра-
женной на рис. 5.7.
Соображения, подобные изложенным, имеют место также и
при определении моментов сил инерции относительно поперечной
оси. Момент п-й силы инерции относительно центра оси первого
кривошипа равен этой силе, умноженной на ее плечо 1п (рис.
5.7, а). Плоскость, в которой действует этот момент, определяется
направлением силы и продольной осевой линией коленчатого
вала. Таким образом, момент может быть изображен также век-
тором, имеющим то же направление, что и сила инерции, вели-
чина которой должна быть умножена на соответствующее
плечо 1п.
Диаграмма для моментов сил инерции первого порядка двига-
теля, изображенная на рис. 5.7, а, дана на рис. 5.8, б, где 1г = О,
12 = 1, 13 = 21, 14 = 31. Диаграмма моментов сил инерции второго
порядка (рис. 5.8, в) строится подобным же образом.
Читателю предлагается, пользуясь этими векторными диа-
граммами, доказать следующие положения:
звезду с углами 2а2, 2а3,. , 2ап
248
МНОГО11ИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Рис. 5.9. Векторная
диаграмма для
трехцилиндровой
паровой машины.
ющих была бы
1) четырехцилипдровый двухтактный двигатель с углами кри-
вошипов 0°, 90°, 270° и 180° имеет уравновешенные силы инерции
первого и второго порядков, а также уравновешенные моменты сил
инерции второго порядка, тогда как моменты сил инерции первого
порядка остаются неуравновешенными;
2) четырехцилиндровый четырехтактный двигатель с углами
кривошипов 0°, 180°, 180° и 0° имеет уравновешенные силы инер-
ции первого порядка и их моменты, но неуравновешенные силы
и моменты сил инерции второго порядка;
3) шестицилиндровый четырехтактный двигатель с углами
0°, 120°, 240°, 240°, 120° и 0° имеет уравновешенными все силы
инерции и все моменты;
4) восьмицилиндровый однорядный двигатель с углами криво-
шипов 0°, 180°, 90°, 270°, 270°, 90°, 180°, и 0° является вполне
уравновешенным.
В этих примерах мысленно предполагалось, что все поршни
одинаковы и расположены на равных расстояниях друг от друга,
что и имеет место в современных двигателях
внутреннего сгорания. Однако указанный метод
может быть применен также к случаю нерав-
ных масс поршней и неравных расстояний между
цилиндрами. И действительно, первоначально
эта теория была разработана в применении к
большим судовым паровым машинам с трех- и
четырехкратным расширением (теория урав-
новешивания, данная Шликом около 1900 г.).
Пример. Паровая машина тройного расширения
имеет поршни, веса которых относятся как 1:1,5:2.
Каковы должны быть углы кривошипов, чтобы в
этой машине уравновесить силы инерции первого
порядка?
Решение. На диаграмме векторы имеют длины,
пропорциональные заданным числам. Проведем на
рис. 5.9 вектор, равный двум выбранным единицам,
вертикально вниз. Тогда условие равновесия требует,
чтобы два других вектора были расположены таким
образом, чтобы их горизонтальные составляющие
уравновешивались, а сумма вертикальных составля-
:вна двум единицам. Вводя на цис. 5.9 углы а и
Д, мы имеем
1 • sin а = 1,5 sin I • cos а + 1,5 cos ft — 2.
Для решения этих уравнений найдем из первого уравнения
cos а = У1 — sin2 а == У1 — 2,25 sin2 Д
и подставим во второе:
У1 — 2,25 sin2 /3 = 2 — 1,5 cos Д.
§ 5,3
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ДВИГАТЕЛЕЙ
249
Возводя в квадрат и упрощая, находим
6 cos = 5,25,
откуда
©os/3 = 0,88 и /3 28°.
Далее,
cos а = 2 — 1,5 • 0,88 г 0,68,
и тогда а — 47°.
Результаты, даваемые векторными диаграммами, мы можем
весьма просто перевести на математический язык. В самом деле,
для уравновешенности сил инерции первого порядка необходимо,
чтобы обращалась в нуль геометрическая сумма всех векторов,
изображенных на рис. 5.7, в. Но если это так, то должны равняться
нулю их горизонтальная и вертикальная суммы проекций:
V sin ап = О, 2 cos ап = 0- (5.18)
п п
Подобно этому, находим условия уравновешенности сил
инерции второго порядка:
3" sin 2ап — 0. 2^ 008 “ 9. & 19)
п п
Для моментов сил инерции первого порядка имеем
22 ln sin ап = 0, Д к 008 ап — О' (5.20)
п п
Для моментов сил инерции второго порядка
Д' sin 2ап =0, Д 008 %ап = 0. (5.21)
n »
Все эти формулы справедливы лишь для поршней с равными
массами Например, для четырехцилиндрового двигателя (рис.
5.7) мы имеем = 0°, а2 = 90°, а3 == 270°, а4 = 0°. вследствие
чего уравнения (5.18) принимают вид
0 + 1— 1+0 = 0, I + 0 + 0 — 1 = 0,
т. е. силы инерции первого порядка уравновешиваются.
В то же время, подставляя в уравнения (5.20). получаем
0-0+1 -1—2-1 + 3- 0= 1-2 ф 0,
0-1 + 1 • 0 + 2 • 0 + 3 • 0 = 3 +- 0,
т. е. моменты сил инерции первого порядка остаются неуравно-
вешенными.
Таким образом, мы можем исследовать уравновешенность
сил инерции в машинах либо с помощью формул (5.18)—(5.21),
либо с помощью векторных диаграмм
Напомним, что в приведенном анализе двигатель рассматри-
вался как сплошное твердое тело. Это имеет место обычно в
250
МНОГОЦНЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
автомобильных и авиационных моторах, где все цилиндры отли-
ваются в одном блоке. Однако в судовых двигателях цилиндры
иногда укрепляются отдельно друг от друга, вследствие чего
силы инерции кривошипных механизмов двух цилиндров или
моменты этих сил могут быть направлены в противоположные
стороны и могут не приводить в движение всю машину в
целом. Но зато они могут вызвать упругие перемещения одного
цилиндра по отношению к другому. Задача получается чрезвы-
чайно сложной.
Однако с практической точки зрения нет особой необходимо-
сти посвящать много времени ее решению. Аналогичная проблема
для вращающихся машин рассмотрена в § 6.5. куда мы и отсылаем
читателя.
§ 5.4. Собственные частоты крутильных колебаний
Коленчатый вал двигателя внутреннего сгорания со всеми
своими кривошипами, поршнями, маховиком и передаточными
механизмами представляет собою слишком сложную систему,
। чтобы пытаться определить точное
' значение частоты его собственных
Рис. 5.10. Эквивалентный мо-
мент инерции поршня изме-
няется с его положением.
нас не ясно, что делать с
частей. На рис. 5.10, а, б
крутильных колебаний. Поэтому
прежде всего необходимо в извест-
ной степени упростить или «идеали-
зировать» машину, заменив поршни
и т. п. эквивалентными дисками с
такими же моментами инерции, а
кривошипы — эквивалентными отрез-
ками прямолинейного вала с такой
же жесткостью на кручение. Дру-
гими словами, двигатель приводится
к схеме, представленной на рис. 5.12,а.
Указанный метод дает наилучшее
приближение при решении задачи.
Рассмотрим сперва эквивалент-
ный момент инерции каждого криво-
шипного механизма. Моменч инерции
7вращ частей, имеющих чистое вра-
щение, не представляет каких-либо
затруднений, но пока еще для
весом поступательно движущихся
поршень показан в двух поло-
жениях. Вообразим, что коленчатый вал не вращается, а
испытывает лишь малые крутильные колебания. На рис. 5.10, а
это имеет место при отсутствии движения поршня, зато на рис.
5.10,6 движение поршня (и его ускорение) можно считать таким
§ 5.4
СОБСТВЕННЫЕ ЧАС! ОТЫ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
251
Рве. 5.11. Кривошип длины I заме-
си-
н ястся отрезком однородного вала
IЫО длины/эко, имеющего ту же самую
на жесткость на кручение.
же, как и движение цапфы кривошипа. Тогда эквивалентный
момент инерции поршня в положении а равен нулю, в то время
как в положении б он равен тп110стг2 Таким образом, при вращении
коленчатого вала полный эквивалентный момент инерции криво-
шипного механизма изменяется между
^вращ ^вращ “Ь ^пост
имея среднее значение, равное
•^вращ "Ь 2" ^пост
Система с переменным момен
инерции (см. стр. 468) у
теперь заменяется системой
постоянным моментом инер:
I, где
= ^вращ “Ь 2" ^пост
Упростим теперь нашу
стему, заменив кривошип час
вала с такой же жесткостью
кручение. С физической то
зрения такая замена вполне возможна, по на деле вычисление
жесткости представляет собою весьма трудную задачу. Из рис.
5.11, а мы усматриваем, что если основной вал подвергается скру-
чиванию, то щеки кривошипа W оказываются под действием
изгибающих моментов, тогда как цапфа кривошипа Р работает
на кручение. В таком случае мы можем найти угол закручивания,
вызванный некоторым определенным крутящим моментом, при-
меняя к щекам и цапфе обычные формулы для бруса, работающего
на изгиб и кручение. Однако при этом получаются результаты,
далекие от действительности, так как эти формулы верны лишь
для длинных и гибких балок. Если же применить их к коротким
отрезкам, ширина и толщина которых примерно такого же поряд-
ка, как и длина, они приведут к существенным ошибкам. Больше
того, как видно из рис. 5.11, а, крутящий момент должен вызвать
не только вращение при закручивании свободного конца вала, но
и его боковое смещение, происходящее вследствие изгиба щек.
В действительности в машинах такому боковому движению
препятствуют коренные подшипники, вследствие чего жесткость
на кручение коленчатого вала увеличивается, особенно, если
зазоры в этих подшипниках малы.
Опыты, произведенные над большим числом коленчатых валов
больших тихоходных машин, показали, что «эквивалентная длина»
^кв на рис. 5.11,6 (т. е. длина обыкновенного вала, имеющего
ту же жесткость на кручение) приблизительно равна действ и-
252
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
тельной длине I. Отклонения определяются неравенством
0,951< 1ЗКЕ< 1,10 Z,
где наибольшее значение соответствует кривошипам малых ра-
диусов при жестких щеках, а наименьшее — кривошипам боль-
Массовик
Рис. 5.12. Для приближенного вычисления на-
инизшей собственной частоты двигатель за-
меняется системой, состоящей из двух масс.
ших радиусов при тон-
ких гибких щеках. Во
всех испытаниях диа-
метр основного вала
был равен диаметру
цапфы кривошипа, что
соответствует обычным
конструкциям.
В тех случаях, когда
цапфа кривошипа имеет
диаметр, отличный от
диаметра шипа корен-
ного подшипника (обыч-
но меньше последнего),
кривошип заменяется
прямолинейным отрез-
ком вала двух различных
диаметров. Переход се-
чения одного диаметра в
сечение другого диаметра располагается в той же перпендикуляр-
ной к оси вала плоскости, что и центр щеки. В легких быстроход-
ных двигателях — в особенности в авиационных двигателях, —
где щеки отклоняются от прямоугольной формы, имея для умень-
шения веса скругленные углы, эквивалентная жесткость полу-
чается много меньше той, которая находится при указанном
расчете. В исключительных случаях жесткость может оказаться
даже на 50% меньше найденной вышеизложенным способом.
Здесь лучше всего рекомендовать произвести сравнение тео-
ретического расчета с экспериментом для достаточного коли-
чества уже имеющихся коленчатых валов с подобными харак-
теристиками.
В том случае, когда одна часть системы соединена с другой
ее частью посредством зубчатой передачи, следует привести все
вращения к одной скорости. Как было изложено на стр. 50, это
может быть выполнено исключением зубчатых колес и умно-
жением моментов инерции и квазиупругих коэффициентов быстро
вращающихся частей на тг2. где п > 1 и обозначает передаточное
число.
Пусть рис. 5.12, а представляет собою схему шестицилиндро-
вого двигателя Дизеля с маховиком и генератором. Здесь мы
§ 5.4
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
253
имеем восемь степеней свободы. Теоретически возможно, поль-
зуясь методом главы IV, найти восемь собственных частот, для
чего следует воспользоваться определителем с восемью строками
и восемью столбцами, который даст нам уравнение восьмой сте-
пени относительно а2. Однако этот путь решения является неже-
лательным, вследствие громоздкости вычислений
Вместо этого мы воспользуемся методом последовательных
приближений, исходя из предположенного первого грубого при-
ближения для частоты. Такое предположение относительно наи-
низшей собственной частоты можно сделать путем замены схемы
рис. 5.12, а схемой рис. 5.12,6, где 1а есть общий момент инерции
системы, соответствующий совокупности всех шести цилиндров,
а 1Ь — общий момент маховика и ротора генератора. На основа-
нии уравнений (2.4) и (2.10) частота колебаний этой последней
системы будет
G) —
у*
Tah
которая и является приближенным значением наинизшей частоты
системы, изображенной на рис. 5.12, а. Само приведение рис.
5.12, а к рис. 5.12, б несет в себе, без сомнения,отпечаток личного
усмотрения производящего расчеты. Имея некоторый опыт,
можно сделать оценку частоты с точностью до 10% ее истинного
значения.
Грубое приближение olf полученное таким образом, служит
базой в следующем способе, указанном Голъцером. Допустим,
что вся система находится в состоянии крутильных колебаний с
частотой 6^. Если есть собственная частота, то такое состояние
имеет место без действия на систему какого-либо внешнего крутя-
щего момента (случай свободных колебаний). Если же «1 не яв-
ляется собственной частотой, то предположенные колебания
могут происходить лишь тогда, когда в какой-нибудь точке систе-
мы периодически действует переменный внешний крутящий момент
с частотой <ур В этом случае мы имеем дело с вынужденными коле-
баниями. Сделаем совершенно произвольное предположение, что
угловая амплитуда первого диска на рис. 5.12, а равна одному
радиану. Крутящий момент, необходимый для приведения этого
диска в колебательное движение, равен
Дб?! sin
Этот момент может исходить лишь от вала справа от диска
Если этот вал имеет коэффициент жесткости при кручении
то его угол закручивания изменяется по закону
Л о? .
254
М1ЮГ0ЦИЛИНДР0ВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
имея наибольшую величину, равную Но так как амплитуда
колебаний диска Zj есть один радиан, а вала-у-1 радианов, то
диск /2 должен колеоаться с угловой амплитудой 1---р2- ради-
анов. Следовательно, амплитуда крутящего момента, необходи-
мого для таких колебаний, должна быть равна
Этот момент образуется разностью крутящих моментов на
участках вала справа и слева от диска, а тогда, — так как момент
на участке kv известен, — мы можем вычислить момент на участке
к2. Отсюда находим угол закручивания участка &2, затем угловую
амплитуду диска Z3 и т. д., придя в конце концов к последнему
диску 18. Но справа от 18 нет вала, способного вызвать необхо-
димый крутящий момент. Поэтому, чтобы заставить систему
колебаться описанным образом, надо к Z8 приложить внешний
момент ZBHeuJ, величина которого определяется всем вычисли-
тельным процессом. Лишь в том случае, когда окажется соб-
ственной частотой, этот момент Твнсш получится равным нулю.
Таким образом, величина и знак Твнеш служат мерой того, на-
сколько значение отклоняется от значения собственной частоты.
Нужно сделать более или менее значительное количество таких
вычислений, исходя из различных значений Oj пока, наконец,
остаточный момент Т^иет можно будет считать равным нулю.
Преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет
найти не только собственную частоту, но также и полную форму
главного типа колебаний, что как раз необходимо для вычисления
затрачиваемой работы, если принять во внимание неравномер-
ности крутящих моментов отдельных цилиндров (см. стр. 271).
Весь процесс вычислений становится наиболее ясным, если
его проиллюстрировать каким-нибудь определенным примером. К
такому примеру мы сейчас и перейдем.
§ 5.5. Числовой пример
В качестве примера рассмотрим современный быстроходный
легкий двигатель Дизеля, приводящий в движение электрогенера-
тор (рис. 5.13). Параметры установки частично показаны на
рис. 5.13. Остальные параметры, характеризующие систему,
следующие:
двигатель четырехтактный восьмицилиндровый 7-образный
дизель;
угол между рядами цилиндров 60°;
коленчатый вал — 0°. 180°, 180°. 0° с порядком вспышек 1 3 4 2;
§ 5.5
ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
255
мощность 50 л. с. на цилиндр при 2000 об/мин,
400 л, с. на весь двигатель;
крутящий момент при полной нагрузке 1820 кГ см на цилиндр;
генератор 250 кет\
нормальная скорость 2000 об/мин.
Моменты инерции и коэффициенты жесткости, указанные
на рис. 5.13, вычислены по чертежу описанным выше способом.
Единственное нововведение здесь — это жидкостный виброгаси-
тель, состоящий из кожуха, в котором свободно может вращаться
специальный маховик. Связь между этим маховиком и кожухом
Рис. 5.13. Четырехтактный восьмицилиндровый Т-об-
разный дизель с вязким демпфером типа Гауда, при-
водящий в движение генератор. Все моменты инер-
ции даны в к Г см сек2, все коэффициенты жесткости
— в миллионах кГ см на радиан.
осуществляется только через посредство вязкого сопротивления
масла или жидкого препарата кремния, заполняющего все про-
странство внутри кожуха Виброгаситель такого типа будет
подробно описан на стр. 285, где будет показано, что эквивалент-
ный момент инерции всего виброгасителя равен сумме момента
инерции всего кожуха и половины момента инерции маховика.
Показанное на рис. 5.13 значение 9,2 кГ см сек2 получено именно
таким путем.
В 7-образном двигателе каждый кривошип связан с двумя'
шатунами и двумя поршнями. Каждое из показанных на рис.
5.13 чисел 1.7 кГ см сек2 слагается из момента инерции собственно
кривошипа с соответствующим противовесом, из моментов инер-
ции вращающихся частей массы шатунов, приведенных к центру
цапфой кривошипа и из половины моментов инерции поступа-
тельно движущихся их частей, а также поршней, приведенных
к той же точке.
Прежде всего мы должны дать оценку первой частоте схемы
на рис. 5.13. Замечая, что массы кривошипов малы по сравнению
с остальными массами, мы объединим два кривошипа с маховиком,
256
МНОГОНИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
а два других — с виброгасителем; при этом найдем эквивалентную
жесткость одного вала
1 1 I 1 -L — 4- — I 1 0 1 '47 1
к ”62 ‘31 31 31 41,5 ” и'1О/ ““ 7,30 ’
Рис. 5.14. Приведение системы
рис. 5.13 к трехмассовой систе-
ме дляоценки первой частоты.
Таким образом, приходим к системе трех дисков, изображен-
ной на рис. 5.14. Применяя со-
ответствующую формулу на стр. 568,
находим
= 30 • 104;
= 112- 104.
Первую из этих величин мы кла-
дем в основу расчета по таблице
Гольцера (габл. 5.1).
, стоящих в различных столбцах этой
таблицы, следующий: числа второго столбца представляют собою
моменты сил инерции каждого диска, рассчитанные на амплитуду
колебаний в 1 радиан с частотой, указанной в заглавии таблицы;
Физический смысл чисел
Таблица 5.1
Первый тип колебаний. Первое приближение ю2 == 30 • 104
№ 7 /си2. [О-*1 /<«20. 10_® Z/co’d 10-* к 10-1 i Г к
1 2 3 4 5 0 7
1 9,2 2,76 1.000 2,76 2,76 41,5 0,067
2 1,7 0,51 0,933 0,47 3,23 31,0 0,104
3 1,7 0,51 0,829 0,42 3,65 31,0 0,118
4 1,7 0,51 0,711 0,36 4,01 31,0 0,129
5 1,7 0,51 0,582 0,30 4,31 62,0 0,070
6 20,6 6,18 0,512 3,17 7,48 10,8 0,692
7 121 36,3 —0,180 —6,53 + 0,95
числа третьего столбца — угловые амплитуды fl каждого диска;
в четвертом столбце поставлены моменты сил инерции дисков
при амплитуде колебаний fl\ числа пятого столбца, равные суммам
чисел предыдущего столбца до данной строки, являются значе-
ниями крутящего момента на валу позади соответствующего
диска; в шестом столбце указаны коэффициенты жесткости участ-
ков вала; наконец, в седьмом столбце даны углы закручивания
каждого участка вала.
Мы начинаем заполнять таблицу с первых двух столбцов, а
также с шестого столбца (числа к\ Далее, мы вписываем все числа
в первую строку, идя слева направо. Крутящий момент непосред-
S 5.5
ЧИСЛО1ЮП ПРИМЕР
257
ственно слева от первого диска, т. е. от виброгасителя, есть крутя-
щий момент самого виброгасителя, так что число 2,76 мы престо
переписываем в столбец с суммами. Найденный угол поворота,
равный 2.76 : 41,5 = 0,067, вычитаем из угла /3 = 1.000 и находим
тем самым угол 3 = 0,937 для диска 2, который отображает пер-
вый цилиндр. Переходя ко второй строке, мы сразу можем запол-
нить ее до столбца с суммами Здесь мы должны прибавив 0.47 и
2,76, всего 3,23. Физически это значит. что крутящий момент
вала между дисками 2 и 3 есть сумма моментов сил инерции дисков
1 и 2 Читателю предлагается теперь проследить вычисления во
всей таблице, идя шаг за шагом
и никогда не упуская из виду
физическое значение каждого
числа. Последнее из них мы на-
ходим в V-столбце: 0,95X 106.
Оно равно сумме моментов сил
инерции всех семи дисков. Это
есть крутящий момент несу-
ществующего вала слева от
маховика,необходимый для под-
Рис. 5.15. Поведение остаточного мо-
мента пятого столбца таблицы в
методе Гольцера.
держания вынужденных колебаний при о2 = 30,Ю4 и = 1,000.
Остаточный момент, равный 0,95 и, следовательно, неравный
пулю, показывает, что мы не нашли точного значения собственной
частоты. Прежде чем делать испытания вслепую и строить таб-
лицу Гольцера для какого-либо иного значения <у2, мы приведем
некоторые рассуждения и посмотрим, что будет с этой таблицей
для очень малых значений оА близких к нулю. Числа во втором
столбце малые и положительные. Числа в первой строке стано-
вятся малыми, а потому /32 будет близко к единице, оставаясь
немного меньше ее. Продолжая дальше наши рассуждения, мы
заключаем., что остаточный момент (последнее число ^-столбца)
должен быть положительным и малым. Конечно, при со2 = 0
все числа столбцов 2, 4, 5 и 7 равны нулю. Построим теперь гра-
фик на рис. 5.15, на котором мы отложим остаточный момент в
зависимости от квадрата угловой частоты о2.
Об этом графике мы знаем только, что кривая проходит через
начало координат, что она лежит в положительной полуплоскости
при малых значениях о2 и проходит через нуль при собственных
частотах. Оказывается, что этих скудных сведений достаточно
для практических расчетов. Мы занимаемся прежде всего первой
или наипизшей собственной частотой, и наше первое испытание
дало нам положительный остаточный момент.
Из рис. 5.15 мы усматриваем, что наше приближение со2 было
слишком мало (если бы оно было слишком велико, jo момент
был бы положительный). Таким образом, для второго приближе-
ния мы возьмем несколько большее число, чем для первого.
17 Ден-Гартог - 2074
258
МН ОI О ЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Таблица 5.2
Первый тип колебаний. Второе приближение ю2 — 32 • 104
№ > 10-ь 0 iw* о- ю-’ 27co*d • 10-’ « ю-А к
1 2 3 4 5 6 7
1 9,2 2,94 1,000 2,94 2,94 41,5 0,071
2 1,7 0.543 0,929 0.50 3,44 31,0 0.11 1
3 1,7 0,543 0,818 0,44 3,88 31,0 0,125
4 1.7, 0.543 0,693 0.38 4,26 31,0 0.137
5 1,7 0,543 0,556 0,30 4,56 62,0 0,073
6 20,6 6,59 0.483 3,19 7,75 10,8 0.715
7 121 38,7 —0,232 —8,97 — 1,22
В результате мы приходим к отрицательному остаточному
моменту и из рис. 5.15 заключаем, что <у2 слишком велике для
первой собственной частоты Мы имеем две точки на кривой, и
притом расположенные достаточно близко друг к другу; поэтому
соответствующий участок кривой можно считать почти прямо-
линейным и применить линейную интерполяцию, с помощью
которой для третьего приближения получим
6? = 30 • 104 + Ji5. 0.5 (32 • Ю4 - 30 • 104) = 30,9 • 10*
В то же время остаточный момент получается ничтожно малым»
вследствие чего мы можем считать приближение хорошим.
Таблица 5.3
Первый тип колебаний. Третьи и последние приближения о2 = 30,9 • I04'
и = 556; частота —5420 колеб/мин
№ 1 1(0* 10-6 ь /со» a- io-6 10-’ к 10-- к
1 2 3 4 5 6 7
1 9,2 2,84 1,000 2,84 2,84 41,5 0,068
2 1,7 0,525 0.932 0,49 3,33 31.0 0,107
3 1,7 0,525 0.825 0.43 3,76 31,0 0,121
4 1,7 0,525 0.704 0.37 4,13 31,0 0.134
5 1,7 0,525 0,570 0,30 4,43 62,0 0,071
6 20,6 6,36 0,499 3,18 7.61 10,8 0,703
7 121 37,3 —0,204 —7,62 —0.01
§ 5.5
ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
259
Переходя ко второму типу колебаний, мы кладем в основу
расчета наивысшую из двух собственных частот системы, пред-
ставленной на рис. 5.14.
Таблица 5.4
Второй тип колебаний. Первое приближение ю2 = 112 • 104
ЛЬ / Ю-« Lto'U- io-® Ю-8 к- 10-ь к
1 2 3 4 5 6 7
1 9,2 10,30 1,000 10,30 10,30 41,5 0,248
2 1,7 1.90 0,752 1,43 11,73 31,0 0,378
3 1,7 1,90 0,374 0,71 12,44 31,0 0,401
4 1,7 1,90 —0,027 -0,05 12,39 31,0 0,400
5 1,7 1,90 —0,427 —0,81 11,58 62,0 0,187
6 20,6 23,0 —0,614 — 14,10 — 2.52 10,8 —0,233
7 121 135.5 —0,371 —50,3 —52.82
Остаточный
отрицател ьн ым
в виду вторую частоту, делаем
вывод, что мы выбрали слишком
малое значение для <у2 Пробуем
последовательно еще два при-
ближения, получая при этом
следующий результат:
о2 = 120- 104 . . . оста-
точный момент — 27,95,
<у2 = 128 • 104. . . оста-
точный момент — 5,50.
момент оказывается очень большим и притом
Обращаясь к рис. 5.15 и вспоминая, что мы имеем
В обоих случаях испыты-
ваемая величина оказывается
слишком малой. Строя на гра-
фике соответствующие три точ-
ки. мы видим, что они не ле-
жат на одной прямой. Проводя
через них плавную кривую и
делая экстраполирование (опе-
Рис. 5.1б.Типы или формы колебаний,
соответствующие двум наинизшим
собственным частотам системы
рис. 5.13. •
рация. значительно менее удовлетворительная, чем интерполи-
рование), приходим к числу <у2 = 129 • 104.
На рис.5.16 показаны формы двух первых главных колебаний,
причем в качестве ординат взяты угловые амплитуды /3 отдель-
17*
260
МПОГО11ИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
ных масс. Из рисунка видно, что колебание n-го типа имеет п
узлов. Другое свойство изображения кривых, полезное для пред-
варительной грубой оценки, заключается в том, что суммарный
кинетический момент системы, соответствующий каждой кривой,
должен быть равен нулю или 7/3 = 0. На рис. 5.16 маховик
очень большой. Отсюда в первом типе колебаний произведение
его момента инерции 121 на амплитуду 0,204 равно численно и
противоположно по знаку сумме величин 1р для всех остальных
масс.
Таблица 5.5
Второй тип колебаний. Четвертое и последнее приближение ы2 = 129 • 10*;
и — 1136; частота 10 850 колеб1мин
№ / Iw*. 10-6 ь /су2/?. 10—6 ЯчМ- Ю-« к- 10—® j-l/ry*/? к
1 2 3 4 5 6 7
1 9,2 11,88 1,000 11,88 11,88 41,5 0.287
2 1,7 2,19 0,713 1,56 13,44 31,0 0.435
3 1,7 2,19 0.278 0.61 14.05 31,0 0.454
4 1.7 2,19 —0.176 —0,38 13,67 31,0 0,442
5 1,7 2,19 —0,618 — 1,35 12.32 62.0 0.199 ,
6 20,6 26,6 —0.817 —21,8 —9.48 10,8 —0,875
1 ’ 121 156.0 + 0,058 + 9,05 -0,43 i
В методе Гольцера тот факт, что различные цилиндры обычного
двигателя одинаковы, не дает никакого преимущества. В нашем
частном случае четырех кривошипов, когда система' приводится
к 7 массам, эта разница еще невелика, но бывают двигатели с
восемью кривошипами, приводимые к 9 или 10 массам. Тогда
можно в значительной мере сэкономить труд по расчету, если
воспользоваться методом, впервые примененным Льюисом
(F. М. Lewis), в котором весь двигатель рассматривается как одно
целое. В этом процессе упругости и инерции различных кривоши-
пов равномерно распределяются по всей длине машины, которая
вследствие этого, делается «валом» или «балкой», испытывающей
крутильные колебания (см. стр. 192)
В пашем примере суммарный момент инерции четырех ци-
линдров есть 4x1,7 =6.8 кГсмсек2', что касается упругости,
то определяющие ее коэффициенты жесткости, комбинируясь
при переходе от рис. 5.13 к рис. 5.17, дают 7,30 X 106 кГ см/рад. Эти
операции приводят к системе, показанной на рис. 5.17. Поведение
двигателя или «вала» определяется дифференциальным урав-
JS 5.5
ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
261
пением (4.22, стр. 191), решение которого (4,25) может быть напи-
сано в форме
ft(x) = A cos
/ I/mjW2 I
к |/ аГр + а)
где А есть амплитуда и а — фазовый угол. Эти две постоянные
А и а должны определяться в каждом отдельном случае по гра-
ничным условиям. Если ввести обозначения / — для полного
момента инерции всего двигателя и К — для коэффициента жест-
кости всей его длины, так что
I = 1^1,
к =
то последний результат может быть написан
Д(я) =
= A cos
Здесь величина
« У ' = <у (5 24)
есть волновой аргумент
для полной длины дви-
гателя, иначе говоря,
соответствующее число
радианов в аргументе
косинусоиды (от я = 0 до
+ а| .
(5.23)
в таком виде:
10,8
Рис. 5.17. Система рис. 5.13, в которой масса
двигателя принята равномерно распределен-
ной вдоль его длины. Схема дана для расчета
по методу Льюиса.
т = /). Эта величина должна быть ясно
себе представлена и приближенно найдена до начала всех расчетов.
Крутящий момент в какой-либо точке по длине двигателя
есть
J7 = Glp 2 = Ла sin (0Т + (5-25)
или, в частности, на двух концах вала
начало (х = 0): Мх.-=п = Ас» ]/Z/Tsin а,
конец (х = /): — Асп /IK sin (6> + а).
(5.25a)
(5.25b)
Вычисление может быть выполнено с помощью трех формул
(5.23), (5.24) и (5.25). Возьмем, например, первый тип колебаний,
когда о2 — 30,9 I04 и со = 556
В левом конце машины, с которого мы начинаем расчет, поме-
щен сосредоточенный момент инерции, и мы оперируем здесь, как
в методе Гольцера. Имеем = 1.000. Момент сил инерции
ЛД = Itfp = 9,2 • 30,9 • IO4 • 1,000 = 2,84 • 106.
262
МПОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ V
Этот крутящий момент должен восприниматься валом двига-
теля. Поэтому он равен моменту (M12)i
Теперь, согласно уравнению (5.23),
= Л cos а = 1.000, (5.23а)
а, согласно уравнению (5.25а),
= Лш У IK sin ct = 2,84 • 106.
Деля эти два уравнения одно на другое, находим
2,84 -106 2,84 106 _ п 70Г
tgCZ= “ 556-7,05-103 ~ °’726’ а — 36 .
Далее, согласно уравнению (5.24),
0 = <у I/•£ = 556 • 0,96 • 10~3 = 0,539 рад, или 30°,5.
Тогда 6>н-а = 30с,6 — 36°.0 = 66°,5. Это означает, что кривая (3
вдоль двигателя есть часть волны косинусоиды, начинающаяся
при аргументе, равном 36е.0. и простирающаяся до аргумента,
равного 66°,5. Но из уравнения (5.23а) имеем
л 1,000 1,000 , пл
А = — ==’-—= 1,24.
cos а 0,809
Это означает, во-первых, что наибольшая высота косинусоиды
равна 1,24 (справа от массы 1 на рис. 5.17), во-вторых, что в точке
сосредоточения массы 7 имеем
1,24 • cos а = 1,000
и, наконец, в-третьих, что в точке сосредоточения массы 2, со-
гласно уравнению (5.23),
Д2 = A cos (0 + a) = 1,24 cos 66°,5 = 0,497.
Крутящий момент двигателя на втором конце равен
(7И12)2 = А со У IK sin (О -ha) =
= 1,24 • 556 • 7,05 • 103 • 0,917 = 4,45 • 106
Итак, мы закончили с машиной. Оставшийся расчет может
быть сделан по методу Гольцера.
Заметим, что последние два числовых результата являются
контролем для соответствующих чисел таблицы Гольцера на
стр. 258 Там /36 на маховике было найдено равным 0,499. что сопо-
ставляется с числом 0,497, полученным здесь Крутящий момент
на валу справа от маховика в таблице Гольцера был 4,43 104.
$ 5.5
ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР
263
тогда как здесь было найдено 4,45 • I06. Продолжаем наш расчет
(см. рис. 5.17):
М2 = = 20,6 • 30,9 • I01 • 0,497 = 3,17 • 106,
М23 = (М12)2 + М2 = (4,45 + 3,17) • 10е = 7,62 • 106,
о ___________ ^23 _ ^>61 _ 704
^23 &23 “ W,8 “ °’704’
д = д — д3 = 0.497 — 0,704 = —0,207,
М3 = Itffi = 121 • 30,9 • 104 (—0,207) = —7,74 • 106,
МОСТ==М23 + М3 = —0,12 • 10е,
т. е. получаем малую величину.
Для того чтобы показать этот метод яснее, вычисления для
второго типа колебаний выполнены без сопровождающих их
пояснений. Числовые данные взяты из рис. 5.17, при этом исполь-
зованы уравнения (5.23), (5.24) и (5.25).
Преимущество способа Льюиса заключается в том, что он
часто позволяет давать быструю и поразительно точную оценку
частоты. Это достигается зарисовкой кривых на рис. 5.16, вы-
полняемой еще до вычислении, но с соблюдением относительных
величин ’жесткостей. При этом надо помнить, что суммарный
кинетический момент должен обратиться в нуль, а поэтому
2Г7Д = 0 Из намеченных таким образом кривых мы выводим
приближенное значение для 0. иначе говоря, получаем число
радианов в аргументе косинусоиды вдоль длины двигателя, а
уже отсюда, с помощью уравнения (5.24), находим искомую
частоту.
Вычисления по методу Льюиса
Второй тип колебаний.
о2 = 129 • !04; о =1136,
Д = 1,000; = 9,2 • 129 • 104 • 1,000 = 11,88 • Ю6 =(М12)П
, 11,88 • 106
~ 1136*7050 ~ 1’482’ а — об ,
е = 1136 • 0,96 • 10-3 = 1,090 или 0 = 62,4°,
а + О = 118,4° = 90° + 28,4°,
Д = 1,79 • cos 118,4° = —1,79 sin 28,4° = —0,850,
(М12)2 = 1,79 • 1136 • 7050 • 0,879 = 12.60 • 106,
М2 = —20,6 • 129 • 104 • 0,850 = —22,60 • 106,
264
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
М23 = (12.60 — 22,60) • 106 = — 10.00 • 106,
&а = = -0,925; & = +0,075,
= 121 • 129,104 -0,075 = +11,8 10е,
Л10сТ = (— 10,00 + 11,8) • 106 = 1,8 • 10е.
т. е. опять получаем малую величину.
Существует другой метод, предложенный Портером и приме-
няемый некоторыми машиностроителями, который состоит в
замене всего двигателя «эквивалентным маховиком» с моментом
инерции /экв. Крутящий момент, действующий со стороны машины
на остальную систему, выражается формулой (5.25), приведенной
выше. Если бы машина в действи 1елыюсти состояла из одного
только маховика 7ЭКВ, колеблющегося с амплитудой конца двига-
теля, то крутящий момент был бы равен
/экв = 1ЗКВ(О2 cos е.
Приравнивая эту величину крутящему моменту реального
двигателя, определяемому из уравнения (5.25) и принимая во
внимание уравнение (5.24),
находим
/экп - 1 %в . (5.26)
©
Рис. 5.18 Судовая двигательная уста-
новка, состоящая из быстроходных тур-
бин! и 5, двойной редукционной переда-
чи 2, 3. 4 и гребного винга 6
Таким образом, машина
с действительным моментом
инерции / и упругим колен-
чатым валом действует, как
жестко посаженный маховик
с моментом инерции
колеблющийся с частотой,
определяемой величиной 0.
Остающиеся вычисления в
основном ВЫПОЛНЯЮТСЯ ПС
схеме Гольцера.
Метод Гольцера может
быть с успехом применен к
вычислению частот разветв-
ленных систем, подобно изо-
браженной на рис.5.18, где представлен главный привод судна,
построенного в 1940 г. для Морской комиссии США.
Диски 7 и 5 отображают моменты инерции паровых турбин низ-
кого и высокого давления, вращающихся со скоростью7980 об/мин.
Диски 2 и 4 представляют собой промежуточные шестерни,
§ 5.5
числовой ПРИМЕР
265
вращающиеся со скоростью 730 об/мин, тогда как 3 есть главное
зубчатое колесо, делающее 85 об/мин и связанное с гребным
винтом 6 Моменты инерции п< казаны в кГ см сек2 и уже умножены
на квадраты передаточных чисел (см. стр. 50). Коэффициенты
жесткости должны быть умножены па 109, чтобы быть выражен-
ными в кГ см/радиан, и также умножены на соответствующие
множители. Для нахождения наинизшей собственней частоты
мы заметим, что валы самой машины очень жестки по сравнению
с приводным валом. Поэтому, в качестве первого приближения,
мы .будем считать все массы турбинной установки связанными
с главным колесом, а тогда
9 k 0.082-109 ,_п
И ^Г = -48Л0^:= 17°-
Расчет по методу Гольцера показывает, что это значение занижено.
При окончательном значении о2 = 176, получаем следующий
результат вычислений:
о2 = 176; Д = 1,000; = /о% = 1,473 • I О9,
/;1г = 7,‘ = = О(,2; & = °'998’
М2 = = 0,209 109, М23 = Л/, + Л/г = 1.682 • 109,
|323 = 7--= 0.279. & =/32 - 0,279 = 0,719.
*23
Мы еще ничего не знаем об амплитудах в ветви 3—4—5; ведь
было лишь сделано предположение, что Д = 1,000. Тем не менее
мы заново исходим из допущения = 1,000 и опять подходим к
тому же диску. Итак1):
д5 = 1,000. М5 = 0,096, Д45 = 0,000, & = 1,000,
М4 = 0,220, М34 = 0,316, Д34 = 0.053, Д3 = 0,947.
Ясно, что угол Д3 не может в одно и то же время иметь ампли-
туду 0,719 и 0,947. Последнюю величину возможно сделать равной
числу 0,719 простым умножением всех чисел, стоящих в двух
последних строках, на отношение — 0,760. Тогда эти строки
будут таковы:
/35 = 0,760, М5 = 0,073, Д45 = 0,000, & = 0.760,
М, =0,168. М34 = 0,237. &4 = 0.040, /З3 = 0,719.
Переходя к зубчатому колесу 3, мы видим, что на него действует
не только собственный момент сил инерции А13 = = 0,051 >
х) Здесь и в последующих формулах опущен множитель 10э в выра-
жениях крутящих моментов. (Прим, перев.}
266
МПОГОНИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
но также и моменты М23 и ТИ34 двух ветвей. Таким образом, на
вход в гребной вал действует момент
Л736 = 0,051 4- 1,682 + 0.237 = 1,970.
Далее,
Ры = 24,01, & = —23,29, Л76 = — 1,970
Остаток оказывается равным 0.
Читателю рекомендуется подобным же образом найти второй
тип колебаний системы, которую в первом приближении можно
рассматривать как состоящую из одного турбинного диска, колеб-
лющегося относительно другого. Это приводит нас к цикличе-
ской частоте <у2 = 1929 и к упругой линии
р} = 1,000, Р, = 0.978, р3 = —2.064,
Рл = —4,87. Р^ = —4,89. pQ = +0.200.
При выполнении расчета по этому методу оказывается, что
последнее получаемое число есть малая разность двух больших
чисел, а это надо считать очень ненадежным в смысле точности.
Вследствие этого pQ вычисляется по уравнению (2.26, стр. 71),
причем считают, что гребной винт и его вал возбуждаются дви-
жением, характеризуемым величинами <у2 = 1929 и /З3 = 2,064,
которые известны с достаточной точностью.
§ 5.6. Исследование крутящего момента
Поскольку крутильные колебания коленчатого вала вызы-
ваются неравномерностью крутящего момента, мы сейчас зай-
мемся изучением свойств этого последнего.
В § 5.2 мы видели, что крутящий момент состоит из двух
частей, одна из которых обусловлена давлением в цилиндре,
а другая — силами инерции
На рис. 5.19, а показан крутящий момент от давления для
четырехтактного дизеля в функции от угла поворота кривошипа.
При четырех мертвых положениях кривошипа в течение двух
оборотов при одном рабочем ходе, момент равен нулю Когда
двигатель работает при неполной нагрузке при уменьшенном
впрыскивании горючего, кривая моментов изменяется только
в той четверти полного цикла, который соответствует воспламене-
нию Пунктирные линии 7 и 2 относятся к случаям отсутствия
нагрузки и к половинной нагрузке. При нулевой нагрузке давле-
ние в течение рабочего хода равно таковому при сжатии, так что,
если даже среднее значение крутящего момента равно нулю,
все же имеется переменный момент с более или менее значительной
амплитудой.
§ 5.6
ИССЛЕДОВАНИЕ КРУТЯЩЕГО MOzMEHTA
267
Можно видеть, что средний момент, соответствующий одному
цилиндру, составляет лишь малую долю наибольшего значения
момента при воспламенении Тот факт, что крутящий момент
оказывается столь неравномерным, является одним из недостатков,
присущих двигателям с возвратно-поступательным движением
Рис. 5.19. Крутящий момент сил давлен ия газа в одном ци-
линдре дизеля и его первые три гармоники.
по сравнению с турбинами, в которых этот момент выражается
горизонтальной прямой
Кривую на рис 5.19,а можно разбить на ряд гармонических
составляющих, как это было объяснено на стр. 33, и в качестве
иллюстрации здесь приведены первые три гармоники. Они известны
) 1 11
под названием гармоник g-roj-ro и 1g-го порядков, поскольку эти
числа показывают полное число синусоидальных волн, соответ-
ствующих одному обороту двигателя. В двухтактных двигателях
и в паровых машинах встречаются гармоники только целых
порядков, и только в четырехтактных двигателях внутреннего
сгорания мы имеем гармоники половинных порядков, обусловлен-
ные тем фактом, что периодичность крутящего момента опреде-
ляется ходом сгорания, т. е. двумя оборотами.
268
M1I0I ОШ1ЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Нетрудно видеть, чти кривые гармоник 1-го и l^-ro порядка,
складываясь, дают положительный результат вблизи ot = 45° и
отрицательный результат вблизи 720°—-45°, тогда как в довольно
широком диапазоне около 360° они почти уничтожаются
Таким образом, при сложении первых трех гармоник полу-
чаются грубые приближения истинной кривой крутящего мо-
мента; однако, чтобы описать эту кривую во всех подробностях,
требуется значительно большее число гармоник.
Наиболее полный и практически полезный гармонический
анализ крутящих моментов выполнен Портером в статье, озаглав-
ленной «Гармонические коэффициенты кривых крутящего момента
двигателей» (Harmonic Coefficients of Engine Torque Curves, Trans-
actions of the A. S. M. E., 1943, page A 3.3). В этой работе, которая
слишком велика для того, чтобы ее приводить здесь, дан анализ
для восьми значительно отличающихся друг от друга типов
двигателей (тихоходных и быстроходных двигателей, дизелей
и карбюраторных двигателей, двухтактных и четырехтактных
двигателей). Вследствие этого один из таких типовых двигателей
Таблица 5.6
Среднее индикаторное давление
(С. U D. = М. I Р = 140 фу нт! дюйм2 —
— 9,85 кГ см2)
Гармо-
ника •Л} %
0 — 22,2 22,2
‘/г — — 47,7
1 47,5 (20,1) 51,6
I1/, — — 49,6
2 42,3 (—4,1) 42,5
21/, — — 34,9
3 27,5 (—8,3) 28,7
з1/. — — 23,4
всегда достаточно
близко подойдет к
изучаемому конкрет-
ному двигателю.
Система гармо-
ник, наиболее близко
подходящих к гармо-
никам нашего легкого
быстроходного ди-
зеля средних разме-
ров (стр. 254),обозна-
чена Портером, как
система Р2. Наиболее
существенные числа
из его таблицы при-
ведены в таблице 5.6,
причем числа даны с
точностью до трех
знаков. Последний столбец, дающий ]/а2 + Ь2, продолжен в виде
таблицы 5.7 Ч.
х) Таблицы 5.6 и 5.7, восходящие к цитированной выше работе Пор-
тера, воспроизведены здесь с оригинала, и следовательно, коэффициенты
а и 5 выражены в английских мерах Однако далее производится деление
на коэффициент нулевой гармоники: получаются безразмерные величины,
для которых система единиц уже не имеет значения. Такова следующая
таблица 5.8, а такж€ рис. 5.19. (Прим, перев.)
« 5.6
ИССЛЕДОВАНИИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
269
Таблица 5.7
Гармоника 4 4х/я 5 5'/« 6 61/» 7 7х/2 8 зЧв о
М + Ь? 18,4 14,0 10,8 8,4 6,3 4.5 3,2 2,3 1.7 1,0 0,6
В оригинальной таблице лапы все коэффициенты ап и Ьп раз-
дельно до восемнадцатой гармоники включительно для восьми
различных значений среднего индикаторного давления с точностью
до пяти знаков, что более чем достаточно для практики.
Коэффициент ап есть n-я составляющая, начинающаяся, как
синусоидальная волна, из верхней мертвой точки; Ьп есть п-я
составляющая, начинающаяся, как косинусоидальная волна;
]/а2 + б2 есть полная гармоника, начинающаяся при некотором
фазовом угле. Все числа представляют собою давления, выра-
женные в фунтах на квадратный дюйм. Чтобы получить соответ-
ствующую гармонику крутящего момента для одного цилиндра,
необходимо 91 и числа умножить на площадь поршня и па радиус
кривошипа. Однако мы можем избежать эюй операции, приняв
во внимание нулевой коэффициент Ъо, выражающий среднее или
установившееся значение крутящего момента. Тогда можно каж-
дую гармонику крутящего момента выразить, как некоторую
долю (могущую быть больше единицы) этого установившегося
среднего значения. Практически нам необходимо иметь полное
значение составляющей момента У а2 4- b;v и мы в большинстве
случаев можем не обращать внимания на разложение полной
гармоники на синусоидальную и косинусоидальную составляющие.
Это разложение необходимо лишь для гармоник 7, 2, 3, поскольку
уравнение (5.15) на стр. 242 определяет значение крутящего
момента, имеющего эти гармоники. Чтобы сложить крутящие
моменты, обусловленные давлением газа и силами инерции, мы
должны знать разности их фаз. Из уравнения (5.15) видим, что
мы должны синусоидальную составляющую момента давлений
сложить с инерционным моментом и полученную сумму скомби-
нировать по формуле |/а2 + с косинусоидальной составляющей
момента давлений. Между прочим, важно отметить, что средний
член в правой части уравнения (5.15) отрицательный, тогда как
момент давлений положителен. Таким образом, вторая гармоника
момента давлений всегда противодействует второй гармонике
инерционного момента, и когда машина попадает в резонанс по
второй гармонике, то при малой нагрузке это не так плохо, как
при полной.
Разделим теперь величины + Ъ2 в предыдущей таблице на
= 22,2. Мы получим, таким образом, значения рп отклонений
270
M1IOI О ЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Таблица 5.8
и Ч, । 14, 24, 3 34, 4 44,
р 2.16 2,32 2,23 1,91 1,57 1,28 1,05 0,82 0.63
п 5 5»/2 6 61/, 7 71/, 8 81/ 9
р 0,48 0.38 0,28 0,20 0,14 0,10 0,08 0,05 0,04
полных амплитуд n-х гармоник крутящего момента к его среднему
установившемуся значению.
Мы получили то, что желали. Из этой таблицы видно, что
наибольшие значения первых трех гармоник мсмента давления
более чем вдвое превосходят его установившиеся значения.
Отсюда видно также, что интенсивность возмущающего момента
уменьшается по мере повышения порядка и, что. когда мы при-
ходим к восемнадцатой гармонике (п — 9). соответствующая
составляющая оказывается пренебрежимо малой.
Значения р в приведенной таблице, строго говоря, удовлет-
ворительны лишь для расчета при полной нагрузке, что же ка-
сается уменьшенных нагрузок, то для них следует пользоваться
соответствующими числами из таблицы Портера для меньших
средних индикаторных давлений. Тем не менее, по-видимому,
можно считать, что указанные в таблице числа ориентировочно
не зависят от нагрузки. Другими словами, если машина работает
па полную мощность, то возмущение 6-го порядка составляет
28% от всего крутящего момента при полной мощности; если же
машина работает вхолостую, то возмущение 6-го порядка состав-
ляет, грубо говоря, те же 28% от момента при полней мощности,
или, может быть, немного меньше. Приведенный расчет величин
р необходим для полной мощности, но он приблизительно верен
и для других мощностей Это обстоятельство помогает нам из-
бежать осложнений Единственное исключение из этого правила
делается для 1-го, 2-го и 3-го порядков, что связано с инерцион-
ным крутящим моментом
В судовых двигательных установках не только дизели спо-
собны вызвать их колебания Гребней винт, имея обычно три
или четыре лопасти, испытывает неравномернее действие реак-
тивного крутящего момента от воды Всякий раз, когда лопасть
проходит около кронштейна руля или около какого-нибудь дру-
гого препятствия, это препятствие оказывает влияние на псле
давления и тем самым изменяет крутящий момент Таким обра-
зом, возникают флуктуации крутящего момента с частотой про-
хождений лопастей. Что касается интенсивности этих изменений,
$ 5.7
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ КРУТЯЩИМ МОМЕНТОМ
271
то по последним данным они составляют около 7.5% от среднего
значения крутящего момента винта; при этом вычисленные ампли-
туды крутильных колебаний находятся в хорошем соответствии
с замеренными амплитудами на достаточно большом числе судов.
§ 5.7. Работа, совершаемая крутящим моментом
при колебаниях коленчатого вала
Предположим, что коленчатый вал находится в состоянии
крутильных колебаний, налагаемых на его основное вращательное
движение. Если одна из гармоник крутящего момента цилиндра
имеет гу же самую частоту, что и колебательное движение, то
момент производит работу при 'этом движении. Совершаемая
таким образом работа может быть положительной, отрицательной
или равной нулю в зависимости от фазовых соотношений.
Вообще говоря, каждая гармоника крутящего момента вызы-
вает в системе вынужденные крутильные колебания со своей
собственной частотой, так что движение вала вызывается столь-
кими гармониками, сколько их имеется в крутящем моменте.
Однако почти все эти гармоники имеют частоты, столь удаленные
от собственной частоты, что соответствующие амплитуды коле-
баний пренебрежимо малы. Если только частота одной из гар-
моник крутящего момента совпадает с одной из собственных
частот, то реакция системы становится заметной, и амплитуда
колебаний может сделаться большой. «Критические скорости»
машины, при которых может наступить такой резонанс, очень
многочисленны
Так, например, дизель-генераторная установка, описанная на
стр. 255. имеет наинизшую собственную частоту о = 556 рад/сек,
или 5420 колеб/мин Допустим, что машина вращается со скоростью
10 480 об/мин Поскольку здесь имеется четырехтактный двига-
тель, он будет давать в этом случае 5420 вспышек в минуту, т е.
будет находиться как раз в резонансе Таким образом, одному
обороту соответствует половина периода колебания, а поэтому
скорость 10 480 об/мин мы называем первой критической скоро-
стью (критической скоростью первого типа или первой степени)
1/2-го порядка Подобно этому при скорости 2710 об/мин могут
иметь место колебания с частотой 5420 колеб/мин, которые воз-
буждаются второй гармоникой кривой крутящего момента.
Скорость в 27\0 об/мин называется первой критической скоростью
п 5420
2-го порядка, иначе говоря, скорость колеб/мин есть крити-
ческая скорость n-го порядка Во втором типе колебаний при
частоте 10 850 колеб/мин критическая скорость n-го порядка есть
10 850 рг « г пл
----. Два спектра критических скоростей показаны на рис. 5.20.
272
МНОГОИИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Критические скорости, исследованные таким образом, в боль-
шинстве своем не опасны, поскольку для них очень мала работа,
затрачиваемая крутящим моментом Амплитуда соответствую-
щих колебаний возрастает до тех пор, пока работа момента не
сделается равной работе, рассеиваемой i
5^20кол/мин 6 31/г 3 gi/2
Dl------------1 i, l l- l- .1—L-t-J---
moo гооо
10850кпл/мин 9 8 6 4'/г
Ог______________, 1111 ri_Lj,.... I_L_
при затухании, как
2
—I----1 об/мин
3600
, *
---------------------------1 -| об/мин
1000 /000--------3000
Рис. 5.20. Спектры критических скоростей первых двух типов
колебаний дизель-генераторной установки, описанной на
стр. 255.
показано на рис 2.23 (стр. 80) Нашей задачей сейчас является
вычисление работы, поглощаемой системой при различных кри-
тических скоростях, для оценки их относительной опасности.
Рассмотрение вопроса о рассеянии энергии при затухании отло-
жим до следующего параграфа.
Работа, совершаемая за цикл одним тг-м цилиндром, равна
зт Mn fin sin (рп, где Мп есть гармоника крутящего момента, —-
амплитуда крутильных колебаний и (рп — разность фаз колебаний
момента (см. стр. 29) Посмотрим теперь, как эти величины
изменяются от одного цилиндра к другому. Гармоника момента
Рис.5.21. Гармоника крутящего момента AJ и амплитуда колебаний £ для ци-
линдров 1,2,3. Диаграмма сохраняет свою силу для гармоник любого
порядка, причем индексы при М обозначают номера цилиндров (а не поря-
док гармоник).
Мп имеет все время одинаковую амплитуду, но разные фазы для
различных цилиндров, поскольку мы предполагаем, что во всех
цилиндрах воспламенение происходит с одинаковой интенсив-
ностью. но. естественно, в разное Время. С другой стороны, угло-
вое перемещение меняется по величине от цилиндра к цилиндру
§ 5.7
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ КРУТЯЩИМ МОМЕНТОМ
273
в соответствии с рис. 5.16, но оно всюду имеет одну и ту же фазу,
так как все диски достигают наибольшего отклонения (или пере-
ходят через нуль) одновременно. Вследствие этого фазовый угол
<рп изменяется от одного цилиндра к другому. Это условно пока-
зано на рис. 5.21, где вектор, обозначенный двойной линией,
отображает гармонику момента, тогда как вектор, обозначенный
простой линией, отображает угловое отклонение при колебании.
Рис. 5.22. Работа, совершаемая всеми цилиндрами, находится посредством
сложения работ отдельно взятых цилиндров.
При этом надо брать горизонтальные проекции векторов. Скорость
вращения всех векторных диаграмм есть со, т. е. она равна цик-
лической частоте колебаний. Это не есть угловая скорость колен-
чатого вала, которая в т раз меньше о для критической скорости
m-го порядка.
Так как работа, совершаемая тг-м цилиндром, равна кМпрп$гпсрп,
то она не изменится, если, как это сделано на рис. 5.22, направ-
ление всех векторов, изображающих моменты и перемещения,
поменять на каждой диаграмме местами. Таким образом, будем
теперь рассматривать фиктивный случай, когда все моменты
для различных цилиндров оказываются в одной фазе, тогда как
фазы перемещений различны. Такое представление удобно для
сложения работ, совершаемых каждым, отдельно взятым, цилинд-
ром. Горизонтальная проекция вектора /Зп па рис. 5.22, а есть
Зпя1п<рл, вследствие чего работа, совершаемая одним цилиндром,
равна этой проекции, умноженной на пМп. Таким образом,
работа всех цилиндров равна увеличенной в раз горизон-
тальной проекции результирующего вектора., полученного сложе-
нием всех векторов /3, как показано на рис. 5.22,6. Здесь уже ока-
зывается некоторый фазовый угол ук зависящий от начального
угла первого кривошипа.
Угол или у) неизвестен, и его точное определение не входит
в нашу задачу. Тем не менее мы можем утверждать, что при
резонансе угол у) должен быть равен 90°, что можно объяснить
следующим образом. В момент резонанса амплитуда (рассматри-
ваемая как функция частоты) есть максимум, а потому и работа,
рассеиваемая вследствие затухания, также есть максимум. Но
эта работа соответствует рис. 5.22, б. Таким образом, фазовый
угол ^должен быть таков, чтобы совершаемая работа имела наи-
18 Ден Гартог - 2074
274
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
большее значение, т. е. этот угол должен равняться 90°. Теперь
мы для определения совершаемой работы уже не нуждаемся в
векторах, изображенных на рис. 5.22 двойными линиями. Для
этого нам необходимо просто построить пучок векторов с фазами
моментов но с амплитудами угловых перемещений fin. Вектор-
ная сумма этого пучка, численно умноженная на лМП) выражает
работу, совершаемую всеми цилиндрами одного ряда за один
период колебаний.
Для однорядных двигателей вопрос этим исчерпывается.
Однако для V-образных двигателей с двумя рядами цилиндров,
а также для W-образных или Х-образных с тремя или четырьмя
рядами дело несколько осложняется. Все ряды цилиндров дей-
ствуют на один и тот же коленчатый вал, и обычно цилиндры
каждого ряда имеют один и тот же порядок вспышек. Рассмотрим
V-образный двигатель с 7-углом между двумя рядами av. В
каком-либо цилиндре, пусть это будет в цилиндре № 1, вспышка
происходит, когда его кривошип находится в верхней мертвой
точке. Затем, когда кривошип повернется на угол av, он окажется
в верхней мертвой точке 1-го цилиндра другого ряда, в котором
тогда также произойдет вспышка.
Промежуток времени между вспышками в двух цилиндрах с
одним и тем же номером равен ccv/2ct части от времени полного
оборота. Для колебания n-го порядка (я = 1, 1 Va и т. д.)
за один оборот имеют место п колебаний. Таким образом, время
между вспышками в двух цилиндрах одного номера (на одном и том
же кривошипе) есть время av!2n оборота или время количества
пау/2тс периодов колебаний.
Предположим, что угол nav равен 360° или есть кратное
этого числа. Тогда вспышки в обоих рядах происходят в одной
и той же фазе колебаний, и, таким образом, оба ряда усиливают
друг друга. Работа, совершаемая двумя рядами, равна удвоенной
работе одного ряда, или, как говорят, 7-фактор равен 2. С другой
стороны, если пау равно 180°, то тогда вспышки в цилиндрах
первого ряда происходят, когда вал закручивается по направле-
нию вперед, а вспышки в цилиндрах второго ряда, когда вал
закручивается назад (конечно, здесь речь идет об n-й гармонике),
и работа одного ряда равна и противоположна по знаку работе
другого ряда: 7-фактор равен нулю. Обобщая эти рассуждения,
мы можем сказать, что 7-фактор есть векторная сумма двух
векторов единичной длины (за единицу принимается полная
работа одного ряда для колебаний я-го порядка) с углом nav
между ними (рис. 5.23). Таким образом,
7-фактор = 2 cos ртр] • (5.27)
Рассмотрим случай дизель-генератора на стр. 255 с углами криво-
шипов 0°, 180°, 180°, 0° и порядком вспышек 1, 3, 4, 2. Строим
?5 5.7
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ КРУТЯЩИМ МОМЕНТОМ
275
звездообразную векторную диаграмму (рис. 5.22,6) для разлив
ных порядков колебаний, принимая во внимание прежде всего,
только фазовые углы и не обращая вни-
мания на длины векторов.
При критической скорости 1/2-го по-
рядка, т. е. когда в течение одного оборота
совершается пол колебания, коленчатый
вал совершает полный оборот, в то время
как вектор колебания поворачивается
только на 180° или, пока коленчатый вал
поворачивается на 180°, вектор колебания
в промежутке между двумя последова-
тельными вспышками поворачивается всего
лишь на 90°. Это представлено на
рис. 5.24, а. Происходит вспышка в ци-
линдре 1. По истечении четверти оборота
диаграммы, т. е. половины оборота вала,
вектор цилиндра 3 оказывается в верх-
ней точке, и в этот момент происходит
Репетирующий
вентор
Рис. 5.23. Векторная диа-
грамма для определения
F-фактора двигателя.
и В2 — векторы рав-
ной длины, каждый из
вспышка и т. д.
Рассмотрим прежде всего колебания
первого порядка, а именно 1 колебание
в минуту. Вращение векторной диаграммы
таково же, как и вращение коленчатого
вала, а потому рис. 5.24, б есть диаграмма
также для вала.
Колебанию РД-го порядка соответ-
ствует векторная диаграмма, враща-
ющаяся в Р/2 раза быстрее коленчатого
которых представляет
полный крутящий мо-
мент 72-ГО порядка од-
ного ряда цилиндров,
с углом пау между
ними. Результирующий
вектор есть суммарный
крутящий момент
порядка. F-фактор
вен 2 cos
' nay
2
72-ГО
pa-
вала, с углами Р/г* 180° = 270° между последовательными^ век-
Рис. 5.24. Формы векторных диаграмм для различных порядков колебаний.
Пока длины векторов не принимаются во внимание.
торами (рис. 5.24, в). Наконец, колебанию 2-го порядка соот-
ветствует угол 2 *180° = 360° между векторами. Все стрелки
18*
276
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
направлены в одну сторону. Колебаниям 272-го порядка соот-
ветствует угол 2% • 180° = 360° + 90° между векторами, т. е.
то же самое, что 90° или ‘/2-й порядок и т. д. Таким образом,
диаграмма на рис. 5.24 представляет собою все возможные диа-
граммы для всех порядков колебаний; при этом из приведенных
четырех диаграмм две имеют одинаковый вид, а именно: диаграммы
10,332
0,032
.,0,570
\О,ОЗ<.
0,325
0,704 '
0,570
5=3,03
0,325
2=0,33
0,704-
10,570
Лор. ’/г,/'/г,2’/г1/тв.
5=0,03
\ 0,704
0,326
Лор. 7,3,5...
Лор. 2,5.,
Рис. 5.25. Полные звездообразные диаграммы (определение величины и
направления векторов) для одного ряда цилиндров двигателя, приведен-
ного для одного ряда на стр. 255, построенные для первого типа собствен-
ных колебаний. Длины векторов взяты из таблицы Гольцера 5.3 на стр. 258.
(а) и (&) являются зеркальным отражением одна другой, давая
одинаковые результирующие векторы, но только в противопо-
ложных направлениях. Однако, поскольку мы интересуемся только
=7,47
J 0,773
М73
I
0,775
кО,713-0,670
2^=Жт
\О,270-0,176
273=0,10
Лор. */2,77?., 2г/ги/п.З. Лор. 7,3,5...
Лор. 2,5..
Рис. 5.26. Полные звездообразные диаграммы для одного ряда цилиндров,
построенные для второго типа собственных колебаний (таблица Гольцера
5.5 на стр. 260).
численными значениями векторных сумм, но не их фазами, рисунки
5.24, а и 5.24, Ь в этом смысле оказываются тождественными.
Итак, имеется три различных типа диаграмм:
4-конечные для порядков 72, \г12з 21/2, 37г и т. д.
2-конечные для порядков 1, 3, 5, 7 и т. д.
1-конечные для порядков 2, 4, 6 и т. д.
§ 5.7
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ КРУТЯЩИМ МОМЕНТОМ
277
Теперьмыуже можем приступить к построению звездообразных
диаграмм с соблюдением масштаба векторов. На рис. 5.25 выпол-
нено такое построение для первого типа колебаний, а на
рис. 5.26 — для второго или для колебаний двухузлового типа.
Критические скорости 2-го, 4-го и т. д. порядков известны
под названием мажорных критических скоростей, в то время
как прочие называются минорными критическими скоростями.
Отличительное свойство мажорной критической скорости заклю-
чается в том, что все век-
торы на диаграмме имеют
одну и ту же фазу. С физи-
ческой точки зрения, это
означает, что в случае
жесткой машины (когда
коленчатый вал не может
подвер га т ься за кр у чива -
нию) работа при коле-
бании может совершаться
только за счет мажорных
скоростей, так как при
равных амплитудах
результирующий вектор
звездообразной диаграм-
мы, построенной для ми-
норных скоростей, обра-
щается в нуль.
Различие между ма-
жорной и минорной кри-
Рис. 5.27. Первая нормальная упругая кри-
вая для симметричной машины с двумя
очень тяжелыми маховиками.
тическими скоростями во-
все не предполагает того, что первая является более опасной,
чем вторая. В самом деле, для машин с более или менее
симметричной нормальной упругой кривой, подобно показанной
на рис. 5.27, равен нулю как раз результирующий вектор мажор-
ных критических скоростей, тогда как для минорных скоростей
порядков ИД, 472 и т. д. этот результирующий вектор становится
очень большим (рис. 5.24).
Возвращаясь теперь к случаю нашего дизель-генератора, мы
уже имеем все данные для выполнения расчета величины работы,
совершаемой за цикл. Для этой цели воспользуемся рисунком,
5.20 для критических скоростей, рисунками 5.25 и 5.26 для
векторных сумм уравнением (5.27) для И-фактора и табли-
цей 5.8 для интенсивности гармоник или для ^-фактора. Получаем
числовые значения, показанные в таблице 5.9 для первого типа
колебаний и в таблице 5.10 для второго типа
В этих таблицах числа последней строки р¥ 2/3 являются
мерой работы,, совершаемой за цикл. Нам остается только
278
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
Таблица 5.9
Первый тип колебаний
Порядок 2‘/, 3 3»/« 4 41/» 5
Число оборо- тов в минуту 2080 1810 1550 1360 1205 1085
7-фактор .... 0,52 0 0,52 1,00 1,41 1,73
р-фактор .... 1,57 1,28 1,05 0,82 0,63 0,48
£0 0,38 0,03 0,38 3,04 0,38 0,03
pVEfi 0,31 0 0,21 2,50 0,34 0,03
Таблица 5.10
Второй тип колебаний
Порядок 5 5‘/, ь б1/2 7 7>/, 8
тт Число оборотов в м ин у ту . . . 2170 1980 1810 1675 1555 1450. 1360
7-фактор 1,73 1,93 2,00 1,93 1,73 1,41 1,00
р-фактор 0,48 0,37 0,28 0,20 0,14 0,10 0,08
Хр 0,01 1,41 0,19 1,41 0,01 1,41 0,19
pVEfi 0,01 1,00 0,11 0,55 0,00 0,20 0,02
умножить числа pVна тгМср = л • 1820 кГ см, чтобы полу-
чить работу, совершаемую одним циклом при амплитуде вибро-
гасителя ft = 1 радиану. Эта работа приравнивается энергии,
рассеиваемой в системе, которая будет вычислена в ближайших
двух параграфах. Тем не менее, числа pVj£p достаточно хорошо
определяют относительные величины колебаний различных поряд-
ков. Мы видим, что среди критических скоростей первого типа
скорость 4-го порядка в 1360 об/мин является наиболее опасной.
Среди скоростей второго типа наихудшей является скорость
5У2-го порядка, равная 1980 об/мин.
§ 5.8. Затухание при крутильных колебаниях. Затухание
колебаний гребного винта
Работа, совершаемая газом и инерционными парами при
установившихся колебаниях с постоянными амплитудами в точ-
ности компенсируется рассеиванием энергии в системе1). В неко-
х) В сущности говоря, здесь нужно иметь в виду работу сил давления
газов, так как работа инерционных сил и инерционных пар получается
как промежуточный фактор аккумулирования механической энергии.
(Прим, перев.)
§ 5.8
ЗАТУХАНИЕ ПРИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
279
торых случаях бывает нетрудно найти место, где происходит это
рассеяние, например в случаях, когда система содержит демпфер
сухого трения или приводит в движение гидравлический насос
или гребной винт, или, наконец, имеет скользящее сцепление или
другое соединение. Однако, если таких очевидных мест рассеяния
энергии в силовой установке указать нельзя, то вопрос об утечке
энергии становится как бы окруженным какой-то таинствен-
ностью.
Литература, касающаяся этого вопроса, восходит к 1920 г.
Делались попытки объяснить рассеяние энергии внутренним тре-
нием в приводных валах, называемым иногда «внутренним гисте-
резисом» Произведенные измерения гистерезиса стали дали
исключительно низкие значения, далеко не могущие объяснить
рассеяние в реальных установках. Однако до последних лет
было принято делать тщательные вычисления рассеяния вследствие
гистерезиса в валах и умножать найденный результат на некото-
рый, достаточно большой, найденный эмпирически множитель.
Это приводит к разумной оценке действительно наблюдаемой
амплитуды, которая никогда не была больше ее удвоенного
вычисленного значения или меньше половины этого значения.
Нелепость или нецелесообразность этой процедуры произвела
впечатление на автора, когда он однажды был на нефтеналивном
дизельном танкере, на котором вычисленные таким образом
амплитуды крутильных колебаний оказывались опасными вслед-
ствие своей большой величины, тогда как, будучи замерены, они
были вдвое меньше вычисленных. При выполнении измерений
пришлось пройти весь корабль и, когда дошли до якорной цепи,
которая была удалена от двигателя почти на всю длину корабля,
было обнаружено, что одно из звеньев якорной цепи, лежавшей
на стальной палубе, вибрировало. Вибрацию можно было и
видеть, и слышать. Контроль с помощью секундомера показал,
что эти колебания происходили, без сомнения, с частотой крутиль-
ных колебаний двигателя. В этом случае крутильные колебания
оказались совпавшими с собственными изгибными колебаниями
всего судна, как бруса, и возбуждали эти последние. После того
как, согласно наблюдениям, было установлено, что часть энер-
гии, сообщаемая крутящим моментам от давлений газа, рассеи-
вается в якорной цепи на расстоянии около 150 м, автор этой
книги никогда больше не подсчитывал потери вследствие гистере-
зиса с умножением их на эмпирический множитель.
Положение вещей в настоящее время таково, что и при отсут-
ствии определенных гасителей, гребных винтов, насосов или
скользящих сцеплений затухание в системе обусловливается це-
лым рядом причин, часто неуловимых, могущих быть достаточно
сложными и различающимися от установки к установке. Посколь-
ку мы не знаем всех подробностей по этому поводу, приходится
280
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ V
полагаться па статистику. Ф. М. Льюис исследовал большое
количество подобных двигателей, вычислив для каждого из них
величину рУУ^М^ (стр. 278) в соответствии с типом и поряд-
ком колебаний.
Здесь Мср есть среднее значение крутящего момента для одного
цилиндра при полной мощности двигателя (в нашем примере
1820 кГ см), — амплитуда рассматриваемого гармонического
момента и V есть просто число, равное не более чем всему
числу цилиндров двигателя, но иногда очень малое или даже
равное нулю. Оно отображает число цилиндров, действующих
совместно при колебании данного порядка. Вследствие этого
величина рУМсрУ$ называется «возмущающим крутящим мо-
ментом» заданного порядка и заданного типа колебаний. При
резонансе эта величина приводи! к возникновению крутящего
момента вала в месте наибольшего момента вдоль вала, т. е. в
месте наибольшего наклона кривой на диаграмме 5.16. Она во
много раз превосходит крутящий момент. Сравнивая действитель-
ные значения момента вала 2Ивал при резонансе с вычисленным
значением рУ^$Мср возмущающего момента, замеренные на
большом числе двигателей, Льюис нашел, что резонансное уве-
личение колеблется от 25 до 100. Обычно оно принимается рав-
ным 50.
Отсюда мы получаем закон, выражаемый формулой
Мвалиаиб = 50 рК^Жрхннл > (5.28)
причем мы должны помнить, что в исключительных случаях,
если затухание чрезвычайно мало, множитель 50 может увели-
чиваться до 100. Таким образом, закон относится только к уста-
новкам без очевидных гасителей. В нашем примере с дизель-
генератором имеется вязкий демпфер на свободном конце двига-
теля, и мы позднее увидим (см. стр. 290), что наибольший крутя-
щий момент на валу только в пять, а не в 50 раз превосходит воз-
мущающий момент. Наша система не могла бы работать без
демпфера, так как при работе без демпфера на критической
скорости первого типа 4-го порядка вал очень быстро сломался
бы вследствие усталости.
В судовых двигателях обычно играет большую роль зату-
хание, вызванное действием воды на гребной винт.
Момент инерции судового двигателя установки обычно бывает
значительно больше, чем момент инерции гребного винта, вслед-
ствие чего амплитуда первого главного колебания винта очень
велика по сравнению с амплитудой подвижных частей двигателя.
Момент сил сопротивления оказывается противоположным по
фазе угловой скорости. При свободных колебаниях первого типа,
наложенных на установившееся вращение двигателя, скорость
§ 5.8
ЗАТУХАНИЕ ПРИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
281
винта бывает попеременно то больше, то меньше его номиналь-
ной скорости. Так как момент сил сопротивления окружающей
воды возрастает вместе со скоростью, то он всегда оказывает
положительное затухающее действие, что может быть объяснено
следующим образом. Пусть в течение половины периода угловая
скорость винта больше ее среднего значения Qp и равна Qp +
+ dQp; тогда момент сил сопротивления тоже может быть больше
своего среднего значения Мр на некоторую величину dMp и,
следовательно, будет равен Мр +dMp. Вследствие этого избыток
dMp момента будет замедлять движение винта, т. е. момент dMp
‘будет иметь направление, противоположное направлению из-
бытка угловой скорости dQp. Напротив того, в течение той поло-
вины периода, когда скорость винта меньше ее среднего значения
и равна разности Qp — dQp, момент сил сопротивления будет
равен разности Мр—dMp\ отрицательный избыток —dMp будет
вызывать ускорение. Но ведь в этом случае отрицательный избыток
скорости —dQp направлен также против скорости вращения £2Р,
т. е. опять против направления избыточного момента. Если для
этих малых изменений момента и скорости мы примем линейную
зависимость между моментом и скоростью, то коэффициент зату-
хания с, представляющий собою величину момента сил сопротив-
ления, отнесенного к единице угловой скорости, выразится
формулой
с - d™J>
“ dQp *
Согласно уравнению (2.30, стр. 79), работа рассеяния за один
период равна
IF = » (5.29)
где рр есть амплитуда колебаний гребного винта. Если эта ампли-
туда удваивается, то должна удвоиться также работа, производи-
мая цилиндром за один период, поскольку изменение амплитуды
колебаний на величину крутящего момента не влияет. В то же
время, как это видно из уравнения (5.29), при том же удвоении
амплитуды величина рассеянной энергии учетверяется. Таким
образом, мы можем прийти к заключению, что существует какая-
го определенная амплитуда, при которой поступление
ние энергии уравновешивают друг друга (рис. 2.23.
, • о dMD
Сспчас нам надо лишь наити значение
На рис. 5.28 дано соотношение между крутящим
и рассея-
стр. 80).
моментом
и скоростью винта при установившемся режиме. Кривая пред-
сгавляет собою обыкновенную параболу или некоторую другую
кривую, более крутую, выражающуюся уравнением Мр = Q”9
282
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
где величина показателя степени п заключается между 2 и 3.
Эта кривая может быть легко получена экспериментальным путем
для каждого судна посредством измерения вращающего момента
(по индикаторной диаграмме) и числа оборотов в минуту вала
для достаточно большого количества различных скоростей. Однако
наклон этой кривой
еще
5.28.
Рис.
судового
Углявая
винта
Характеристика
гребного винта.
не дает нам интересующую нас постоян-
ную затухания (коэффициент затуха-
ния с), так как на этой кривой ско-
рость судна возрастает вместе с числом
оборотов вала в минуту, тогда как при
быстрых изменениях Qp во время кру-
тильных колебаний скорость корабля
остается постоянной. Ниже, в разделе,
набранном мелким шрифтом, будет по-
казано, что при определенных значе-
ниях момента и скорости (например,
точка Р на рис. 5.28) наклон при
постоянной скорости судна оказывается
значительно больше, чем наклон кри-
режиме. Пунктирная линия, проходя-
вой при
щая через точку Р, определяет собою кривую, когда скорость
корабля остается постоянной, причем обычно
наклон пунктирной линии в точке вдвое
сплошной линии, считая наклон по тангенсу.
установившемся
принимается, что
больше наклона
Рассмотрим элемент лопасти гребного винта, вырезанный двумя
цилиндрическими поверхностями радиусов т и г + dr, оси Которых со-
впадают с осью гребного вала. Полученное таким образом сечение винта
Рис. 5.29. а) Направление потока воды и б) направление
силы, действующей на элемент лопасти винта.
напоминает нам сечение крыла самолета. Пусть эта лопасть перемеща-
ется вперед (рис. 5.29, а) со скоростью корабля V, имея, кроме того, скорость
Qpr, направленную по касательной. Вода будет натекать на эту лопасть
§ 5.8 ЗАТУХАНИЕ ПРИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 283
с относительной скоростью 7г, на нашем рисунке со стороны левого верх-
него угла. Винт конструируется таким образом, что направление этой
скорости образует с главным направлением сечения лопасти малый угол
а (угол атаки). Вследствие этого возникает аэродинамическая подъемная
сила L, приложенная к лопасти перпендикулярно к направлению потока
(рис. 5.29, б). Кроме того, получается еще небольшая сила лобового со-
противления в направлении потока, которою мы здесь пренебрежем.
Подъемная сила L может быть разложена на две составляющие Т и R:
сила Т является упорным давлением винта, а сила R — реакцией, вызы-
вающей реактивный момент Rr вокруг оси вала. Все силы Т, действующие
на отдельные элементы различных лопастей винта, в результате сложения
дадут сумму, равную полному упорному давлению гребного винта. Что
же касается суммы всех моментов Rr, то она будет равна и противопо-
ложна полному крутящему моменту двигателя при установившемся ре-
жиме.
Представим себе, что угловая скорость Qp винта подвергается пери-
одическим изменениям, в то время как скорость V судна остается посто-
янной. Тогда на рис. 5.29, а длина вектора Qpr должна меняться, а следо-
вательно изменяться будет и угол атаки а. Все это влечет за собою из-
менения подъемной силы L и момента Rr. Пусть величина Qp настолько
уменьшилась, что угол а, а вместе с ним подъемная сила L и момент Rr
обратились в нуль. Тогда обращается в нуль также крутящий момент
на оси гребного вала, так как в этом случае гребной винт свободно ввин-
чивается в воду, играющую, таким образом, роль обыкновенной гайки.
Скорости поступательного движения и вращения увязывают друг с другом
так, чтобы такое ввинчивание имело место без затраты усилия. В обыч-
ных конструкциях угол лопасти arctg изменяется между 20° и 80°
вдоль лопасти, в то время как величина угла атаки а колеблется около 5°.
На основании сказанного мы видим, что уменьшение Qp на 10 или 20%
бывает достаточно, чтобы обратить в нуль крутящий момент. Последнее
условие отмечено на рис. 5.28 точкой Q.
В наших рассуждениях мы мысленно предполагали, что скорость
изменения dQp/dt не оказывает влияния на само явление, иначе говоря,
мы вели наши рассуждения в предположении, что на рис. 5.29,а поток
является установившимся для любого значения отношения Qpr/V. В тех
случаях, когда изменения Qp происходят медленно, такая последователь-
ность установившихся потоков практически дает то же самое, что и дей-
ствительный поток. Однако для быстрых изменений (dQpldt велико) это
исследование становится вообще неприменимым. Заметим, что вполне
удовлетворительной теории затухания для гребного винта не существует
до настоящего времени; в тех же случаях, имеющих, кстати сказать,
важное значение, когда частота велика, только эксперименты на модели
могут дать достаточно надежные указания на явление.
В тех силовых установках, в которых либо гребной винт
не дает достаточного затухания, либо отсутствует передаточный
механизм, обеспечивающий по самой своей конструкции затуха-
ние, либо вообще нет каких-либо иных видимых источников
затухания, критической скорости будут соответствовать довольно
большие значения работы за цикл. Такие значения работы поме-
щены в последней строке таблицы на стр. 278. Это неизбежно
приведет к возникновению столь больших амплитуд, что колен-
чатый или приводной вал смогут разрушиться от усталости
материала. Чтобы предотвратить разрушение, мы можем восполь-
зоваться одним из нижеследующих мероприятий:
284
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
1. В случае машины, работающей на постоянном скоростном
режиме, что, например, имеет место при синхронной электриче-
ской передаче, можно путем изменения упругих свойств вала
или инерции масс отодвинуть эксплуатационную скорость доста-
точно далеко от наиболее важной критической.
2. Если машина работает на небольшом диапазоне скоростей,
предыдущая мера обычно оказывается достаточной Если же она
нас все-таки не удовлетворяет, то мы можем повлиять на относи-
тельную степень опасности минорных критических скоростей
путем изменения порядка воспламенения газа в цилиндрах.
Все это изложено на стр. 301.
3. Наконец, в случае работы машины на очень большом диа-
пазоне скоростей, как, например, в тепловозных и теплоходных
двигателях, избежать всех опасностей от крутильных колебаний
посредством двух предыдущих мероприятий довольно трудно,
а иной раз даже невозможно. В этом случае должен быть приме-
нен тот или другой вид искусственного поглотителя колебаний.
Три таких прибора, а именно: фрикционный демпфер Ланчестера,
центробежный маятник, описанный на стр 134, и гидравличе-
скую муфту, или так называемый «жидкий маховик», мы рассмот-
рим дальше.
§ 5.9. Поглотители и другие приспособления для успокоения
крутильных колебаний
Одним из наиболее ранних эффективных поглотителей или
демпферов был демпфер, изобретенный Ланчестером, который
состоит из двух дисков а, могущих свободно вращаться в под-
шипниках Ъ, насаженных на вал. Между ними имеется дисковая
втулка Л, заклиненная на валу. Эта втулка Л несет на своих поверх-
ностях тормозящие прокладки с, к которым диски а могут при-
жиматься путем подвинчивания пружин s.
Если двигатель, а следовательно и втулка h, совершает равно-
мерное вращение, то трение увлекает диски а вместе с валом,
вследствие чего диски просто увеличивают на небольшую долю
момент инерции двигателя. Однако если втулка совершает кру-
тильные колебания, то движение дисков уже должно зависеть
от величины трения между ними и втулкой. Когда момент сил
трения очень мал, диски вращаются равномерно, причем в этом
случае имеет место относительное скольжение между втулкой и
дисками, амплитуда которого равняется амплитуде колебаний
втулки. Таким образом, вследствие того, что момент трения
почти равен нулю, лишь очень небольшая доля работы переходит
в тепло. С другой стороны, в случае очень большого момента
рения диски птрижимаются к втулке и следуют за ее движением.
Тогда уже нет никакого скольжения, а поэтому нет и рассеяния
$ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
285
энергии. Между этими двумя крайними состояниями имеются
вообще как скольжение, так и момент трения, вследствие чего
происходит рассеяние энергии. Очевидно, должно существовать
какое-то оптимальное значение момента трения, при котором
рассеяние энергии наибольшее, как это показано на рис. 5.31.
Рис. 5.30. Демпфер Лан честера.
В демпфере Ланчестера ста-
рого типа использовано кулоново
или сухое трение между сталью
и специальной асбестовой про-
кладкой. Коэффициент трения та-
кой системы в значительной мере
Рис. 5.31. Рассеяние энергии в демпфере
Ланчестера как функция момента
трен ия.
зависит от степени загрязнения маслом, что трудно избежать,
поскольку демпфер располагается на конце коленчатого вала.
Для большей уверенности в характере тре-
ния в приборе сухое трение может быть заме-
нено вязким сопротивлением. В настоящее время
появилось много работоспособных демпферов
различных размеров, примером которых может
служить демпфер Гауда (Houde), изготовленный
фирмой Houdaille-Hersey Corporation. Этот дем-
пфер изображен на рис. 5.32. ЗдесьЯестьвтулка,
снабженная изнутри пазом, причем так, чтобы
она могла быть легко насажена на конец вала.
А есть маховик, который благодаря бронзо-
вому кольцу В может свободно вращаться на
втулке; С — кожух, приваренный к втулке Н.
Зазор между маховиком А и кожухом С
очень мал, однако он всегда имеется. Этот
?азор герметичен и весь заполнен жидкостью.
Здесь берется не масло, а жидкий препарат
кремния, имеющий вязкость такую же, что
Рис. 5.32. Вязкий
демпфер Ланчесте-
ра системы Г аула.
и масло, но не столь резко изменяющуюся
температурой, как вязкость масла. Вращательное движение А
286
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
относительно С и Н связано с крутящим моментом от вяз-
кого сопротивления, так что по существу демпфер действует
аналогично демпферу сухого трения, согласно рис. 5.31. Глав-
нейшие характеристики этого демпфера показаны на рис. 5.34
и 5.35. Первая из них показывает рассеяние энергии за период,
тогда как вторая показывает эффективный момент инерции ма-
ховика А (рис. 5.32) как долю действительного. Обе характе-
ристики построены как функции вязкости жидкости демпфера с.
Займемся теперь выводом этих соотношений. Пусть будут
<ph и cpd — соответственно мгновенные значения углов втулки
и маховика демпфера. Тогда мгновенное значение относительного
угла (или угла проскальзывания через жидкую пленку) оказы-
вается равным
Тг = Th — Td-
Крутящий момент, действующий на маховик демпфера согласно
закону Ньютонаг), равен Idcpd, причем этот момент возникает
вследствие вязкого трения
Рис. 5.33. а) Фазовые соотноше-
ния для движения маховика,
движения втулки и относи-
тельного движения вязкого
демпфера Ланчестера; б) движе-
ние маховика демпфера (или
крутящий момент), разложен-
ное на составляющие в одной
фазе и с разностью фаз в 90° по
отношен ию к движению втулки.
в жидкой пленке, которое создает
момент сфг. Таким образом,
= сФг (5.30)
Если мы предпишем втулке движе-
ние по закону
Th = Th0 sin at,
то получим дифференциальное ура-
внение относительно неизвестного
угла (pd. Это уравнение мы можем
разрешить и решение его интер-
претировать, что удобнее сделать
в векторном представлении, чем
в алгебраической форме. Для
установившегося движения при
некоторой частоте а углы cph и cpd
представляются векторами. Из урав-
нения (5.30) видно, что вектор кру-
тящего момента опережает по фазе вектор cpd на 180° и вектор
(рг на 90°. Следовательно, вектор <рг перпендикулярен вектору
cpd, что и показано на диаграмме (рис. 5.33). Перепишем урав-
нение (5.30) для того момента времени, когда входящие в него
величины достигают своих наибольших значений
Idcoztpd = CGXpr
0 Вернее, его аналога для вращательного движения. (Прим, перев.}
§ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
287
или, на основании рис. 5.33
— ($
Разрешая это уравнение относительно координаты маховика
демпфера (pd, находим
(5.31)
Отсюда мы устанавливаем тот физический факт, что при с = О
оказывается (pd = 0, тогда как для с = оо имеем yd = (ph.
Итак, наибольший крутящий момент, передаваемый втулкой
маховику демпфера, есть Id(p2<Pd-
Чтобы найти работу, совершаемую за цикл этим моментом,
мы должны найти движение, которое отличается от него по фазе
на 90°. Поскольку согласно уравнению (5.21) этот момент может
рассматриваться как крутящий момент вязкого сопротивления,
указанное движение есть движение относительное. Таким обра-
зом, работа за цикл, т. е. за одно полное колебание, есть
17 = л: (Ida2(pd)(pr = nldo2cpd — tp2d.
Подставляя сюда cpd из формулы (5.31) и производя преобразо-
вания, находим
2с
W = ^Id^-^-—2. (5.32)
1 + Г"
Эта величина представлена на графике рис. 5.34. Дробь,
стоящая здесьв качестве последнего множителя, достигает наиболь-
шего значения, равного единице, при c/ZdtD=l, как это легко
может быть найдено дифференцированием. Таким образом, мы
заключаем, что оптимальное затухание (для максимума рассеи-
вающейся энергии) определяется формулами
^опт “ /(/со, (5.33а)
(5.33b)
Вычислим теперь кажущийся момент инерции маховика
демпфера, т. е. момент инерции, воспринимаемый втулкою1).
г) В оригинале — чувствуемый (felt) втулкою. (Прим, перев.)
288
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
С точки зрения физики ясно, что при с = 0 (затухание отсутствует)
втулка не воспринимает ничего, тогда как при с = оо маховик
как бы затвердевает на втулке, которая воспринимает весь мо-
мент инерции ld. На диаграмме рис. 5.33 крутящий момент,
передаваемый втулке, направлен по одной прямой с углом фа.
Разложим этот момент на составляющие: 1) параллельно движе-
нию втулки и 2) перпендикулярно к нему. Первая из них есть
момент, воспринимаемый втулкою в фазе с ее движением как
инерционный момент. Вторая составляющая отличается на 90°
Рис. 5.34. Работа, рассеиваемая за период демпфером
Гауда или вязким демпфером Ланчестера как функция
момента трения.
по фазе от движения втулки, которая воспринимает ее как жид-
костное трение (вязкое сопротивление). Мы видим, что первая
составляющая равна полному моменту, умноженному на Ф^фь
Тогда эквивалентный инерционный момент (момент сил инерции)
есть
6КвЮ2<Р/, = Ud^CPi),
откуда эквивалентный момент инерции равен
или, согласно уравнению (5.31),
^экв
Id
(5.34)
§ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
289
• Для оптимального затухания с — ld о, откуда получаем
I — - 1
*экв — 2
(5.35)
Последние два результата представлены графически на рис. 5.35.
Таким образом, когда мы начинаем расчет по методу Гольцера
для системы, содержащей демпфер Ланчестера или Гауда, мы
заменяем демпфер моментом инерции, равным моменту инерции
Рис. 5.35. Действие эквивалентного маховика на втулку
плавающего маховика в демпфере Ланчестера или
Гауда в зависимости от момента затухания.
втулки и кожуха, плюс половина момента инерции свободного
маховика. Это было сделано на рис 5.13 Строго говоря, это
верно только тогда, когда затухание является оптимальным
согласно уравнению (5.33, а), что справедливо для заданного
демпфера лишь при одной определенной частоте колебаний. Но
мы начинаем расчет с допущения оптимального затухания Рас-
считываем систему, находим опасную частоту и тогда уже назна-
чаем затухание с для демпфера гак, чтобы иметь оптимум. Эго,
во всяком случае, может быть сделано не только посредством
выбора демпфирующей жидкости, но также и установлением
зазора между маховиком и кожухом, поскольку оба Э1 и фактора
влияют на величину с
Из рис. 5.34 и уравнения (5,ЗЗ.Ь) ясно, что демпфер должен быть
помещен в той точке вала, где амплитуда крутильных колебаний
достаточно велика Напротив того, прибор становится совершенно
бесполезным, если его поместить в узле колебаний. Это свойство
присуще демпферу Ланчестера и гребному винту.
19 Ден-Гартог - 2074
290
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. v
Теперь мы можем применить приведенную здесь теорию
демпфера к нашему примеру с дизель-генератором. Энергия,
поглощаемая системой за цикл колебаний (см. стр. 278), равна
Предполагая оптимум затухания, получим для рассеяния
энергии за цикл
I ld<&<Ph-
Приравнивая друг другу эти два выражения, находим
о
<Рл = Мф
В нашем двигателе Мср = 1820 кГ см, и для маховика демпфера
Id = 10,10 кГ см сек2, так что
<Ри = 360 -^2—
В первом главном колебании наиболее опасной является крити-
ческая скорость 4-го порядка, равная 1360 об/мин. Для этого
случая мы находим (таблица 5.3 стр. 258) ю? = 309 000 и pV =
= 2,50 (таблица 5.9 стр. 278). вследствие чего
360 • 2,50 п лплп
<Рь = -жГоо?Г = 0,0029 радиана.
Обращаясь опять к таблице Гольцера (табл. 5.3, стр. 258), где
& = 1,000, мы теперь условно интерпретируем 1,000, как 0,0029.
Все остальные числа в таблице должны быть умножены на 0,0029.
В частности, максимальный крутящий момент, имеющий место в
машине, есть наибольшее число в 5-м столбце, что соответствует
участку вала между маховиком и генератором. В данном случае
это есть
Мтах = 7,61 • 10* • 0,0029 == 22 000 кГ см.
Чтобы представить себе, что означает это число, мы сравним
его с двумя другими крутящими моментами:
1) среднее значение крутящего момента при полной нагрузке,
которое для восьми цилиндров равно
8 • 1820 = 14 560 кГ см-,
2) «возмущающий момент»
= 2,50 • 1820 = 4550 кГ см.
Отсюда видно, что резонансный крутящий момент для критиче-
ской угловой скорости 4-го порядка при 1360 об/мин примерно
в 5 раз больше, чем возмущающий момент.
§ 5.9 ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ 291
Прежде мы видели (стр. 280), что в случае отсутствия демпфе-
ра крутящий момент оказывается не в 5, а в 50 раз больше воз-
мущающего момента. Однако даже при таком демпфере пере-
менный (бесполезный) крутящий момент при 1360 об/мин оказы-
вается все же на 50% больше, чем полезный эксплуатационный
момент. Валы дизельных установок принято рассчитывать доста-
точно консервативными способами (по здравому смыслу), причем
момент в 22 000 кГ см приводит к допускаемому напряжению.
Для второго типа колебаний мы имеем наихудшую критиче-
скую скорость при об/мин порядка 5х/2, при pV~ 1,00 и
== 129 • 104. В этом случае
360 • 1,00 n nnnoTQ
<Ph = Г290000 = °-000278 радиана.
Максимальный момент (см. таблицу Гольцера 5.5 на стр. 260)
имеет место в середине коленчатого вала двигателя между мас-
сами 3 и 4; он равен
iWmax = 14,05 • 106 • 0.000278 = 3900 к Г см.
Этот момент, составляя менее чем 20% от момента первого типа
колебаний, при 1360 об/лшн приводит к напряжениям очень малого
числового значения.
Предыдущие расчеты были выполнены под углом зрения под-
чинения требованию «оптимального затухания». Для первого
наихудшего типа колебаний мы нашли, что оптимальное затуха-
ние характеризуется коэффициентом
с = = 10,10 • 556 = 5600 кГ см сек/рад,
т. е. 5600 кГ см при скорости проскальзывания в 1 рад/сек. В
настоящее время это значение коэффициента является обяза-
тельным для тех, кто изготовляет подобные приборы.
Согласно рис. 5.35, эффективный момент инерции демпфера
равен половине момента инерции маховика, т. е. —плюс
момент инерции кожуха, т. е. 4.15. что равно 9,2 кГ см сек1 Это
и есть го число, которое фигурирует на рис. 5.13 и во всех табли-
цах Гольцера. Если затуханию предписывается оптимальное
значение для первого типа колебаний, то оно, к сожалению, не
может быть также оптимальным и для второго. Так, в этом
случае оно должно было бы быть
с = /а о)2 = 10,10 • 1136 = 11 500 кГ см сек/рад,
тогда как мы только что нашли значение 5600 кГ см сек/рад.
Итак, оказывается, что затухание превышает оптимальное
немного больше, чем вдвое, а тогда, согласно рис. 5.34, эффек-
тивность демпфера уменьшается до 80%, вследствие чего напря-
19*
292
МНОГОЦИЛИНДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
жение получается в 1,25 раза больше того, которое имеет место
в соответствии с только что произведенным расчетом, что опять
является пренебрежимо малой величиной Итак, согласно рис.
5.35, эквивалентный момент инерции маховика демпфера будет
равен уже не половине номинального значения, а 80% от него,
или Ц = 4,15 + 0,80 4- 10,10 = 12.23 кГсмсек?, где 4,15 отно-
сится к кожуху. Итак, мы получили 12,23 вместо прежнего числа
9,2. Таким образом, строго говоря, мы должны пересчитать
таблицу Гольцера 5.5, исходя из измененного значения Д Однако
практически это делается лишь тогда, когда получаемое напря-
жение имеет значительную величину, что не имеет места в данном
случае.
Чтобы вызвать большее рассеяние энергии в демпфере Лан-
честера при заданном моменте инерции маховика а (рис. 5.30),
можно увеличить относительное движение маховика а и втулки h
посредством монтирования маховика па соответственно настроен-
ных пружин; х. Таким образом, получается «настроенный вибро-
гаситель с затуханием», теория которого, с учетом рассеяния энер-
гии вследствие вязкости жидкости, была изложена на стр. 134—150.
Эта теория вполне описывает поведение подобного демпфера, как
простой системы, состоящей из пружины и массы, или «К — М-
системы» В применении к многсмассовой системе теория оказы-
вается значительно более сложной. Тем не менее полученные
выше результаты (стр 134—150) с осторожностью могут быть при-
менены и к многомассовсй системе при ее замене эквивалентной
простой К — М-системой, если удовлетворить следующим требо-
ваниям:
1) масса М одномассовой системы выбирается так, чтобы
при равных амплитудах для данного типа колебаний этой массы
и точки прикрепления демпфера многомассовой системы кинети-
ческая энергия той и другой системы была одна и та же;
2) коэффициент жесткости К одномассовой системы опреде-
ляется так, чтобы отношение было равно о2 в многомассовой
системе при колебании рассматриваемого типа;
3) возмущающая сила Р для одной массы М выбирается так,
чтобы работа при резонансе пРхл была равна полной работе,
совершаемой внешними силами, приложенными к многомассовой
системе при той же амплитуде ху точки прикрепления демпфера.
Другим прибором для предотвращения или гашения крутиль-
ных колебаний является гидравлическая муфта Феттингера,
известная также под названием «жидкий маховик» (рис. 5.36, а).
Прибор состоит из полой отливки А, имеющей форму половины
тора, заклиненной на ведущем валу. Подобная же отливка В
заклинивается на ведомом валу Кожух С. прикрепленный! посред-
ством отливки А к ведущему валу, может вращаться огноситель-
§ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
293
но ведомого вала. В части D имеется гидравлическое уплот-
нение с малым трением. Вся полость внутри А и В заполняется
жидкостью — маслом с малой вязкостью или же водою. На-
значение кожуха С состоит только том, чтобы удерживать
жидкость, наполняющую прибор. Торообразная полость разде-
ляется посредством перегородок на большое число открытых
Рис. 5.36. Гидравлическая муфта или* жидкий махо-
вик» передает крутящий момент за счет действия
кориолисовых сил.
отсеков, причем эти перегородки имеют полукруглую форму и
располагаются точно по радиальным плоскостям (рис 5 36,6).
Согласно закону Ньютона о равенстве действия и противодей-
ствия. крутящие моменты на ведущем и ведомом валах должны
быть равны по величине и противоположны по направлению.
Вследствие того, что прибор не межет работать без потерь, ско-
рость ведомого вала должна быть несколько ниже скорости
ведущего. Отношение скоростей валов равняется коэффициенту
полезного действия муфты, заключающемуся между 97 и 99%.
Жидкость, заполняющая муфту, находится под действием центро-
бежных сил, которые больше в ведущей части, чем в ведомой,
вследствие разности скоростей этих частей. По этой причине
294
Mi ЮГО1ШЛИ НДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
возникает циркуляция жидкости, движущейся в наружную
сторону в ведущей части и во внутреннюю в ведомой. Эта циркуля-
ция, вызванная разностью скоростей, и является причиной пере-
дачи крутящего момента от одного вала к другому.
Рассмотрим частицу жидкости dm в точке Р на рис. 5.36, в, Ес ско-
рость имеет радиальную составляющую г>, а ускорение Кориолиса этой
частицы равно 2£>гу и направлено по касательной к окружности с центром
на оси вала. Тогда кориолисова сила инерции равна 2Qvr dm и имеет
момент 2Qvrr d,mK направленный таким образом, чтобы замедлить ско-
рость Q вращения ведущего вала. Чтобы получить крутящий момент,
вызванный действием всех частиц жидкости, заполняющей трубку тока,
проходящую через точку Р, надо выполнить интегрирование
и
г г dr с dm dm с
J 2Qvrr dm — 2Q I — г dm = 2Q Jr dr — = 2Q — Jr dr = Q (r? — r|).
/
Входящий сюда множитель
dm
— представляет
dt
собою
массу жидкости.
протекающей в одну секунду через точку Р. Эта
Д т
Т
до 0 в ведущей части и от 0 до I в ведомой, деленной на
е. равна полной массе
Дтч
масса
заполняющей всю
постоянна и равна
трубку тока от 1
период циркуляции
Т. выраженный в секундах
Крутящий момент кориолисовых, сил на ведомом валу направлен
уже в сторону вращения Он вычисляется совершенно таким же образом,
но только угловая скорость здесь будет меньше на какую-то величину ДО
г. е. для этого момента имеем величину
Дт
(Q - М2) - (г*
отличную от величины предыдущего момента. Кажущееся противоречие
легко объясняется, если принять во внимание, что здесь имеет место
несколько иное распределение моментов В точке О жидкость с транс-
версальной скоростью £?г0 поступает из ведущей части в ведомую, ко-
торая в этой точке имеет трансверсальную скорость, меньшую на вели-
чину ДОг0.
Потеря за одну секунду
в соответствующей
составляющей количества
движения, таким образом,
быть равна силе действия
через Р, на ведомую часть
этой силы равно г0, откуда
равна
дт
и эта величина должна
жидкого потока в трубке тока, проходящей
в направлении вращения. Моментное плечо
4m
получаем момент AQr- — Следовательно,
полный момент, действующий на ведомый вал, представится как сумма
кориолисова момента и момента, вызванного изменением количества
дв и жен и я:
Дт
м = у
(5.36)
Подобным же образом обстоит дело с точкой / входа медленно движу-
щейся жидкости из ведомой части в ведущую, вращающуюся быстрее.
§ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
295
Здесь вози икает замедляющий момент AQ г2, , который в соединен и и
с кориолисовым моментом создает момент, опять выражаемый формулой
(5.36), замедляющий вращение ведущей части.
Крутящий момент (5.36) обусловлен действием только одной трубки
тока. Полный крутящий момент для всего прибора находится новым
интегрированием, причем переменными будут уже не только г(1 и т/, но
также и Т, поскольку период циркуляции различен для различных линий
тока жидкости Тем не менее, уравнение (5.36) может быть истолковано
как полный момент, если только рассма iривать Ат как массу воды во
всем торе, г0 и rt считать радиусами, относящимися к осевой линии тока,
а за Т принять среднее значение периода циркуляции
До сих пор мы рассматривали только установившееся действие муфты.
Учет затухания в обеих половинах муфты приводит к и лучению ее неравно-
мерного движения Пусть угловая скорость ведущего вала равна Q 4- фа*
j угловая скорость ведомого вала соответственно Q — A £> 4- Ф/, где фа
и ф/ -— изменения угловой скорости, зависящие от времени. Если эти
изменения происходят очень быстро, то вызванные ими изменения цент-
робежных сил происходят гоже столь быстро, что скорость циркуляции
жидкости от этого не меняется Тогда мы можем применить сюда изло-
женный выше анализ, относящийся к установившемуся движению, под
ставив только переменные угловые скорости вместо имевшихся постоянных
Таким образом, крутящий момент, действующий на ведомый вал в на
правлении вращения, оказывается равным
Ат . Ат
(Q - AQ+ фг) (г2 - г*) 4- (AQ -фГ + фа) г* —.
Нетрудно видеть, что это выражение есть сумма установившегося момента
(5.36) и переменной части
Ат
^перем = “уУ Ф/?’2). (5.37)
Таким же образом можно вычислить крутящий момент, действующий
на ведущую часть противсположнс вращению. Этот момент равняется
сумме кориолисова момента и момента, вызванного изменением количеств
движения при переходе жидкости из одной части в другую. В результате
получаем опять выражение (5.36) плюс переменная часть (5.37). Заметим,
что момент (5.37) пропорционален угловым скоростям, а поэтому он дей-
ствует как затухание. Это затухание может быть как положительным,
так и отрицательным в зависимости от знака скобки в (5.37), однако
в реальных установках, как оказывается, затухание, выражаемое этим
моментом, положительно. В связи с этим см. дальше задачи 204 и 205
на стр. 545.
Есть еще способ успокоения крутильных колебаний вала,
состоящий в применении- центробежного маятника, упоминав-
шегося на стр. 134. Так как в этом приборе отсутствует потеря
энергии, то он должен рассматриваться не как обычный аморти-
затор, а скорее как некоторая разновидность динамического
поглотителя Фрама, описанного на стр. 126. Маятниковый демп-
фер или антивибратор действует как бесконечная масса для
частоты, на которую он настроен, перемещая тем самым узел
колебаний в точку сосредоточения этой массы. Для других частот
он действует как масса, уже не являющаяся бесконечно большой.
296
М11ОГОНИЛИ НДРОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ
ГЛ. V
и в этих случаях отсутствует также такой исключительный
эффект. Приведем доказательство этого положения.
Пусть на рис. 5.37 вал вращается вокруг центра О со средней
угловой скоростью Q, а на это вращение налагается колебание,
происходящее по закону a = а0 sin at = а0 sin nQt, где число
тгесть «порядок» колебания Пусть далее вокруг точки А качается
Рис. 5.37. Схема центро-
бежного маятника.
математический маятник длины г и массы
т, имеющий малый угол отклонения по
отношению к валу: ср = (р0 sin nQt. Обо-
значим угол АО Б буквой этот угол
равен
Рассматривая относительное движение
системы маятника по отношению к рав-
номерно вращающейся с угловой скоро-
стью Q системе вала и считая колебания
маятника малыми, мы можем пренебречь
кориолисовыми силами. Тангенциальная
(нормальная по отношению к АБ) со-
ставляющая центробежной силы равна
— mQ2 (Б 4- г) sin (ср — ip)
mQ2 (Б 4 г) (у — ip) — mQ2R(p.
С другой стороны, тангенциальное смещение точки Б в системе
координат, связанной с валом, равно а (Б -4- г) 4- срт. Таким
образом, дифференциальное уравнение движения маятника будет
(Б 4- г) а 4- гф = —Q2P(p,
которое по подстановке гармонических значений для углов а
и <р принимает вид
Ф0 п2 (R 4 г)
а0 R — пгт
(5.38)
Натяжение нити маятника mQ2(2? 4 И есть единственная
сила, передающаяся от маятника валу. Беря плечо этой силы
ОР = Бер, находим реактивный момент
М = mQ2 (Б 4 г) Б(р = mQ2 (Б + г) Б а0 sin nQt.
Принимая во внимание равенство (5.38), отсюда находим
_ _ т (R 4 г)2 9 . т (R 4 О2 ••
М = —------------sin —------------------------у--------а.
г ° г
1-----W2 1-----п2
§ 5.9
ПОГЛОТИТЕЛИ И ДРУГИЕ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ
297
Если вместо маятника прикрепить к валу тело с моментом
инерции /9КВ, то при угловом ускорении а вал получит реактив-
ный момент от этого тела, равный —аДкв, откуда следует, что
для малых колебаний незатухающий маятник вполне эквивалентен
маховику с моментом инерции
7ЭКВ = ”*(Д + г)2. (5.39)
dlYD у ' '
1---п2
П
Числитель в этом выражении есть момент инерции маятника,
защемленного на валу; знаменатель представляет собою некото-
рый поправочный коэффициент. Тогда маятник с «нормальной»
настройкой («tuned»)
п2 = Д (5.40)
эквивалент