Автор: Атья М.
Теги: математика математический анализ математическая физика издательство мир
Год: 1967
Текст
М. Атья
ЛЕКЦИИ ПО К-ТЕОРИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1967
Лекции известного английского математика М. Ф. Атья, удостоенного
Филдсовской медали 1966г., посвящены одному из самых мощных средств
современной алгебраической топологии — теории К-функтора. С помощью этой
теории недавно были решены многие трудные задачи из разных областей
математики.
Понятие К-функтора возникло в самое последнее время и опирается на
различные факты из теории расслоенных пространств, топологии многообразий и
гомологической алгебры. Лекции вполне доступны студентам-математикам
второго-третьего курсов.
В приложение к книге включен перевод лекций М. Атья и Г. Сегала по Кс-
теории, а также ряд недавних статей, посвященных разным вариантам и
обобщениям К-теории.
Книга представляет интерес для математиков всех специальностей и будет
полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
М. Атья. Лекции по К-теории. Перевод В. М. Бухштабера 7
Глава 1. Векторные расслоения 7
Глава 2. К-теория 38
Глава 3. Когомологические операции в К-теории 93
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 121
Приложение 131
I. М.Атья, Г.Сегал. Эквивариантная К-теория. Перевод В. Н. 131
Решетникова
Лекция 1. Векторные (^-расслоения 131
Лекция 2. Элементарные свойства функтора Кс 139
Лекция 3. Дальнейшие свойства функтора Кс 156
Лекция 4. Теоремы целочисленности, 1 165
Лекция 5. Теоремы целочисленности, 11 173
Лекция 6. Аналитический индекс 188
Лекция 7. Пополнения 196
II. М.Атья. К-теория и вещественность. Перевод Д. Б. Фукса 206
III. М.Атья.О К-теории компактных групп Ли. Перевод А. А. Кириллова 234
IV. Н.Кюипер.Гомотопический тип унитарной группы гильбертова 241
пространства. Перевод В. М. Бухштабера
Предисловие
редактора перевода
Современная алгебраическая топология создала новые
мощные методы, позволившие до конца решить многие
давно стоявшие проблемы как в области самой топологии,
так и в других областях математики. Одним из таких ме-
тодов является Л’-теория, построенная в основном в ра-
ботах молодого английского математика Майкла Ф. Атья,
награжденного Филдсовской медалью на Международном
конгрессе математиков (Москва, 1966 г.).
Содержание К-теории состоит в построении и изуче-
нии так называемого Л’-функтора, сопоставляющего каж-
дому топологическому пространству X некоторое кольцо
К (X) и каждому непрерывному отображению f: X -> У
гомоморфизм соответствующих колец К (/): К (К) К (X).
Таким образом, Л’-теория развивает идеи теории пучков и
групп когомологий и позволяет свести ряд новых задач
анализа и топологии к алгебраическим задачам.
Основу этой книги составляет перевод лекций, кото-
рые М. Ф. Атья читал в Гарвардском университете. Лек-
ции рассчитаны на студентов, имеющих лишь минимальную
подготовку в области топологии (т. е. владеющих поня-
тиями топологического пространства и непрерывного ото-
бражения). В этих лекциях дается изложение /(’-теории
(включая теорему периодичности Ботта) с полными (хотя
часто очень сжатыми) доказательствами. Специальное до-
полнение посвящено вопросу об индексе оператора в гиль-
бертовом пространстве. Далее следует приложение, состо-
ящее из четырех частей.
В цикле лекций М. Атья и Г. Сегала излагается Л’д-тео-
рия, т. е. Л’-теория пространств, на которых действует
топологическая группа О. Эта часть написана более сжато
и требует от читателя большей подготовки, в частности
знакомства с основами теории представлений конечных и
компактных групп.
6
Предисловие редактора перевода
В статье „/("-теория и вещественность" дается едино-
образное изложение разных вариантов и обобщений /(’-тео-
рии. Один из результатов этой статьи — короткое дока-
зательство периодичности Ботта для ортогональной группы.
Небольшая заметка Атья о /(’-теории компактных
групп Ли дает простое доказательство теоремы Ходжкина
о структуре /(’-функтора в том случае, когда исходное
топологическое пространство является компактной груп-
пой Ли.
Наконец, в книгу включен перевод статьи Н. Кюйпера,
ссылки на которую имеются в нескольких лекциях основ-
ного цикла. Эта статья посвящена доказательству следую-
щего нетривиального факта: группа унитарных операторов
в гильбертовом пространстве, снабженная топологией,
определяемой нормой оператора, является стягиваемым по
себе пространством. (Ранее был известен более простой
факт — стягиваемость этой группы в сильной операторной
топологии.)
Мы надеемся, что эту книгу с интересом прочитают и
начинающие, и специалисты — все, кто хочет ознакомиться
с новыми плодотворными идеями современной математики.
А. А. Кириллов
ГЛАВА 1
ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
§ 1.1. Основные определения
В этой работе мы будем рассматривать лишь компле-
ксные векторные расслоения, хотя многие из наших
результатов верны также для вещественных и симплекти-
ческих расслоений. В соответствии с этим, если специально
не оговорено противное, под векторным пространством мы
всегда будем понимать комплексное векторное пространство.
Пусть X — топологическое пространство. Семейством
векторных пространств над X называется топологиче-
ское пространство Е вместе с:
(i) непрерывным отображением р: Е X,
(ii) структурой конечномерного векторного простран-
ства на каждом
Ех = р~х{х) для х£Х,
совместимой с топологией пространства Ех, индуцирован-
ной топологией пространства Е.
Отображение р называется проекцией, Е — полным
пространством семейства, X — базисным пространством
семейства и Ех—слоем над х£Х.
Сечением семейства р: ЕX называется такое не-
прерывное отображение s: X —»Е, что ps(x) = x для
всех х £ X ').
Гомоморфизмом одного семейства р: Е->Х в дру-
гое семейство q\ Г—> X называется такое непрерывное
отображение ср: Е —> Г, что
(i) q<f=p,
(ii) для каждого х £ X отображение ф^: Ех —> Ех есть
линейное отображение векторных пространств.
Будем говорить, что отображение ф — изоморфизм,
если ф взаимно однозначно и ф-1 непрерывно. Если
*) Часто сечением называют также образ отображения з. —
Прим. ред.
8
М. Атья. Лекции по К-теории
существует изоморфизм между семействами Е и F, то
будем говорить, что эти семейства изоморфны.
Пример 1. Пусть V — векторное пространство,
Е — X X и Р'- £-> А-— проекция на первый сомножи-
тель. В этом случае Е называется семейством-произве-
дением со слоем V. Семейство F, изоморфное некото-
рому семейству-произведению, мы будем называть три-
виальным семейством.
Пусть Y — подпространство пространства X. Если
Е — семейство векторных пространств над X с проекцией
р, то очевидно, что р: p~l (Y)->Y является семейством
над Y. Мы назовем его ограничением семейства £ на У
и обозначим через Е |у. Если Y — произвольное простран-
ство и f'.Y-+X — непрерывное отображение, то мы
определим индуцированное семейство f*{p)’. f*(E)-+Y
следующим образом:
f*(E) — подпространство пространства Yy^E, состоя-
щее из всех таких точек (у, е), что /(у) = р(е); проек-
ция и структура векторного пространства на каждом слое
очевидны. Для непрерывного отображения g:Z->Y суще-
ствует естественный изоморфизм ~ кото-
рый задается сопоставлением каждой точке вида (г, е)
точки вида (z, g (z), е), где z £ Z и е £ Е. Если /: Y -> X —
вложение, то ясно, что существует изоморфизм Е\у^
— /* (£), который задается сопоставлением точке е £ Е ly-
точки (р (е), е).
Семейство Е векторных пространств над X называ-
ется локально тривиальным, если для каждой точки
х£Х найдется такая окрестность U, что Е —тривиаль-
ное семейство. Локально тривиальное семейство мы будем
называть также векторным расслоением. Тривиальное
семейство мы будем называть тривиальным расслоением.
Очевидно, что для произвольного непрерывного отображе-
ния /: YX и векторного расслоения Е над X семей-
ство f*(E) является векторным расслоением над Y. Век-
торное расслоение f*(E) в этом случае называется инду-
цированным расслоением.
Пример 2. Пусть V — векторное пространство и
X — ассоциированное с ним проективное пространство.
Определим EczX~XV как множество всех таких пар
(х, v), что х£Х, v £V и вектор v принадлежит прямой.
Гл. 1. Векторные расслоения
9
определяющей точку х. Предлагаем читателю доказать,
что Е является векторным расслоением над X.
Заметим, что если Е — векторное расслоение над X,
то dim(Ex) — локально постоянная функция на X и, сле-
довательно, постоянная на каждой связной компоненте
пространства X. Если dim (Ех) — постоянная функция на
всем X, то говорят, что Е имеет размерность и размер-
ностью расслоения Е является общее значение dim (Ех)
для всех х. (Предостережение: размерность расслоения Е,
определенная таким образом, обычно отличается от раз-
мерности Е как топологического пространства.)
Так как векторное расслоение локально тривиально,
то любое сечение векторного расслоения локально описы-
вается векторнозначной функцией на базисном простран-
стве. Обозначим через Г (Е) множество всех сечений век-
торного расслоения Е. Так как множество функций на
некотором пространстве со значениями в фиксированном
векторном пространстве само является векторным прост-
ранством, то мы видим, что в Г (Е) можно естественным
образом ввести структуру векторного пространства.
Пусть V, W —векторные пространства и Е == X X V',
Е = X X — соответствующие расслоения-произведения.
Тогда любой гомоморфизм ф: Е —> Е определяет отобра-
жение Ф: X->Hom(V, W) по следующей формуле:
ф (х, v) = (х, Ф (х) ®). Более того, если задать в Hom (V, W)
обычную топологию, то Ф будет непрерывным отображе-
нием; обратно, любое такое непрерывное отображение
Ф: X->Hom(V, W) определяет гомоморфизм ф: E-+-F.
(Это легко заметить, если выбрать базисы (ег) и {/;}
в векторных пространствах V и W соответственно. Тогда
каждое Ф(х) представляется матрицей Ф(х)г ?., где
Ф(х) е( = 2Ф(х)(,у/у.
J
Непрерывность любого из отображений ф или Ф эквив а -
лентна непрерывности функций Ф; у.)
nycTb!so(V, W'JczHonXV', W)—подпространство всех
изоморфизмов между V и W. Очевидно, что Iso (И, W) —
открытое множество в Нот (У, W). Далее, обратное
отображение Т -+Т~1 дает непрерывное отображение
10
М. Атья. Лекции по К-теории
lso(V, W) —>150(117, V). Предположим, что ср: Е —> F—
такое отображение, что ср/ Ех -> Рх является изоморфизмом
для всех х £ X. Это эквивалентно утверждению, что Ф (х)с
cIso(V, W). Отображение х->Ф(х)-1 определяет непре-
рывное отображение T: X> Iso (HZ, V). Следовательно,
соответствующее отображение ф: F->Е непрерывно.
Таким образом, отображение ср: Е-+ F является изомор-
физмом тогда и только тогда, когда оно взаимно одно-
значно, или, что эквивалентно, <р есть изоморфизм тогда
и только тогда, когда каждое (рд. — изоморфизм. Так как
множество Iso(V, IF) открыто в Hom (V, IF), то для
любого гомоморфизма <р множество точек х £ X, для ко-
торых ф^. — изоморфизм, образует открытое подмножество
пространства X. Все эти утверждения по существу ло-
кальны и, следовательно, имеют место не только для три-
виальных семейств, но и для векторных расслоений.
Замечание. В предыдущих рассуждениях сущест-
венна конечномерность векторного пространства V. При
рассмотрении бесконечномерных векторных расслоений сле-
дует различать разные топологии на пространстве
Hom(F, IF).
§1.2. Операции на векторных расслоениях
Естественные операции на векторных пространствах,
такие, как прямая сумма и тензорное произведение, можно
обобщить на векторные расслоения. Трудность предста-
вляет лишь вопрос о том, как ввести топологию в полу-
ченные пространства. Мы дадим общий метод распростра-
нения операций с векторных пространств на векторные
расслоения, который решает все эти задачи одновре-
менно.
Пусть Т — функтор, переводящий конечномерные век-
торные пространства в конечномерные векторные прост-
ранства. Для простоты предположим, что Т — ковариант-
ный функтор одной переменной. Таким образом, каждому
векторному пространству V ставится в соответствие век-
торное пространство Т (F). Говорят, что Т — непрерыв-
ный функтор, если для всех векторных пространств
V и IF отображение Т: Hom (V, 1F) —> Нот (Т (V), Т (1F))
непрерывно.
Гл. 1. Векторные расслоения
11
Пусть Е — векторное расслоение. Определим множе-
ство Т (Е) как объединение векторных пространств
U Т(ЕХ)
х£Х
и для гомоморфизма расслоений ф: Е F определим ото-
бражение Т (ф): Т (£) —> Т (F) при помощи отображений
Т (фл): Т (Ех)~Покажем теперь, что множество
Т (Е) имеет естественную топологию и что в этой топо-
логии отображение Т (ф) непрерывно.
Сначала определим топологическое пространство Т (£)
для случая, когда Е — расслоение-произведение. Если
Е — X X V, то определим пространство Т (Е) как
X X Т (V) с топологией прямого произведения. Предпо-
ложим также, что F = X y^W и что ф: E—>F — гомо-
морфизм расслоений. Пусть Ф: Ar->Hom(V, W)— ото-
бражение, соответствующее этому гомоморфизму. Так
как по предположению отображение Т: Hom(V, W)—>
—> Hom (Г (V), Т (W)) непрерывно, то и отображение
ТФ: X->Hom(7’(V), Т (W)) также непрерывно. Таким
образом, и отображение Т (ф): X X Т (V) —> X X Т (W)
непрерывно. Если ф — изоморфизм, то и отображение
Т (ф) — изоморфизм, так как оно непрерывно и является
изоморфизмом на каждом слое.
Теперь предположим, что Е — тривиальное расслое-
ние, не имеющее фиксированной структуры прямого про-
изведения. Выберем некоторый изоморфизм a: E^+XyV
и введем в Т (Е) топологию, требуя, чтобы отображение
Т (а): Т (£) —> X X Т (V) было гомеоморфизмом. Если
0: E->X'y(W—любой другой изоморфизм, то, полагая
ф = ра-1, как и выше, мы видим, что отображения Т(а)
и Т (Р) индуцируют одну и ту же топологию на множе-
стве Т (£), так как Т (ф) = Т (р) Т (а)-1 — гомеоморфизм.
Таким образом, топология на Т (Е) не зависит от выбора
изоморфизма а. Далее, если YcX, то очевидно, что
топология на множестве Т (Е) |г та же самая, что и на
множестве Т(Е |г). Наконец, если ф: Е—> F— гомомор-
физм тривиальных расслоений, то отображение Т (ф):
Т (Е) —> Т (F) непрерывно и, следовательно, является го-
моморфизмом.
12
М. Атья. Лекции по К-теории
Теперь предположим, что £ — произвольное векторное
расслоение. Тогда, если окрестность UcX такая, что
Е тривиально, то введем в множестве Т (Е топологию
указанным выше способом. В множестве Т (Е) введем
топологию, считая открытыми множествами такие подмно-
жества V cz Т (Е), что V П (Т (Е) открыто в Т (ЕЦ для
всех открытых окрестностей UcX, для которых Е|^
тривиально. Читатель может теперь легко проверить, что
если Y cz X, то топология на множестве Т(Е|Г) та же,
что и на множестве Т (Е) | , и что если <р: E-+F—лю-
бой гомоморфизм, то Т (ср): Т (Е) -> Т (Е)— также гомо-
морфизм.
Если /: К —> % — непрерывное отображение и Е — век-
торное расслоение над X, то для любого непрерывного
функтора Т мы имеем естественный изоморфизм
/*Т(Е)^Т/*(Е).
Аналогичные рассуждения применимы в случае, когда Т
зависит от нескольких переменных, ковариантных и контра-
вариантных. Таким образом, мы можем определить для
векторных расслоений Е и F соответствующие расслоения:
(i) E@F—прямая сумма,
(ii) Е 0 F — тензорное произведение,
(iii) Hom (Е, F),
(iv) Е* — двойственное к Е расслоение,
(v) X' (Е), где Х‘ есть г-я внешняя степень.
Кроме того, можно'доказать, что существуют следующие
естественные изоморфизмы:
(i) ЕфЕ^ЕфЕ,
(ii) Е ® F ~ F ® Е,
(iii) В ® (Е' ф Е") = (Е ® F') ф (Е ® F"),
(iv) Hom (Е, Е) ~ Е* 0 F,
(v) X* (Е ф Е) ф (Xz (Е) ® М (Е)).
i+j-k
Наконец, заметим, что сечения расслоения Hom(E, F)
взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам ф: E-+F.
Гл. 1. Векторные расслоения
13
Следовательно, можно определить НОМ(£, F) как век-
торное пространство всех гомоморфизмов расслоения Е
в расслоение F и отождествить НОМ (Е, F) с Г (Нот (£, F)).
§ 1.3. Подрасслоения и факторрасслоения
Пусть Е — векторное расслоение. Подрасслоением
расслоения Е называется подмножество расслоения Е, ко-
торое является расслоением в индуцированной структуре.
Гомоморфизм ф: F->E называется мономорфизмом
(соответственно эпиморфизмом), если каждое отображе-
ние ф/ FX—>EX— мономорфизм (соответственно эпимор-
физм). Заметим, что ф: F-+E — мономорфизм тогда и
только тогда, когда ф*: Е* F* — эпиморфизм. Если
F—подрасслоение расслоения Е и если ф: F^-E —
отображение вложения, то ф—мономорфизм.
Лемма 1.3.1. Если ф: F^-E — мономорфизм, то
ф(/7)—подрасслоение расслоения Е и ф: F—xp(F)—
изоморфизм.
Доказательство. Отображение ф: F—»ц(р) яв-
ляется взаимно однозначным, поэтому, если ф(/7)— под-
расслоение, то ф—изоморфизм. Таким образом, остается
показать, что ф(/7)— подрасслоение.
Эта задача локальная, поэтому достаточно рассмотреть
случай, когда Е w F — расслоения-произведения. Пусть
E=X'^V\ для х£Х выберем Wxc.V как подпро-
странство, дополнительное к q>(Fx). Тогда 0 = X \ Wx—
подрасслоение расслоения Е. Определим отображение
0: F@G ^-Е формулой 0 (а ф Ь) — ф (а) i (b), где
I: О -^-Е — вложение. По построению 0Х— изоморфизм.
Следовательно, существует такая открытая окрестность U
точки х, что 0^—изоморфизм. Так как F — подрасслое-
ние расслоения FQG, то 0(/?) = ф(/:')— подрасслоение
расслоения Q(FQ)G) — E на U.
Заметим, что из наших рассуждений вытекает больше,
чем мы утверждали. Мы показали, что для произвольного
гомоморфизма ф: F->E множество точек, для которых
фх— мономорфизм, образует открытое множество. Кроме
того, мы показали, что локально подрасслоение является
прямым слагаемым. Этот второй факт позволяет нам опре-
делить факторрасслоения.
14
М. Атья. Лекции по К-теории
Определение 1.3.1. Если F—подрасслоение рас-
слоения Е, то факторрасслоением EjF называется
объединение всех векторных пространств ExjFx, снабжен-
ное фактортопологией.
Так как расслоение F является локально прямым сла-
гаемым в расслоении Е, то факторрасслоение Е/F ло-
кально тривиально и, таким образом, является расслоением.
Это оправдывает принятую терминологию.
Если ф: F-+E — произвольный гомоморфизм, то функ-
ция х —> dim ker (ф^) не обязательно постоянна и даже
не обязательно локально постоянна.
Определение 1.3.2. Говорят, что ф: F—>Е-—
точный гомоморфизм, если функция х dim ker (ф^) ло-
кально постоянна.
Предложение 1.3.2. Если ф: F—>E — точный
гомоморфизм, то
(i) ker (ф) — U кег(фл.) — подрасслоение расслоения F,
(ii) im (ф) = U im (ф^) — подрасслоение расслоения Е,
(iii) coker (ф) = |J coker (ф^) — расслоение в фактор-
структуре.
Доказательство. Заметим, что утверждение (iii)
вытекает из (ii). Докажем (ii). Эта задача локальна, по-
этому мы можем предположить, что F=Xy^V для не-
которого векторного пространства V. При данном х £ X
выберем WxcV как дополнение к кег(фл.) в V. Положим
G = X'X'Wx\ тогда” отображение ф индуцирует при по-
мощи композиции с вложением такой гомоморфизм
ф: О—>Е, что ф^. —мономорфизм. Таким образом, ф яв-
ляется мономорфизмом в некоторой окрестности U точки х.
Следовательно, ф(О)|{/—подрасслоение расслоения Е |
Однако ф(О)сф(Д), и так как б!т(ф(Ду)) постоянна
для всех у и dim (ф (Qy)) = dim (ф (Gx)) = dim (ф (Fx~)) —
— dim (ф (Fy)) для всех у £ U, то ф (G) \ц = ф (Д) 1^. Таким
образом, <р(Д) — подрасслоение расслоения Е.
Наконец, мы должны доказать (i). Ясно, чтоф*: E*-+F*—
точный гомоморфизм. Так как соответствие F* —> coker (ф*)
представляет собой эпиморфизм, то (coker(ф*))*-> Д** яв-
Гл. 1. Векторные расслоения
15
ляется мономорфизмом. Однако для каждого х мы имеем
естественную коммутативную диаграмму
ker (фл)->
(coker (ф*))*-*/7**
в которой вертикальные стрелки обозначают изоморфизмы.
Таким образом, ker (<p) (coker (<р*) )*, и поэтому, согласно
лемме 1.3.1, ker (ф) является подрасслоением расслоения F.
Мы опять доказали несколько больше, чем утверждали.
Наши рассуждения показывают, что для любого х £ X
имеет место неравенство dim (р^ (F dim фу (F для всех
у £U, где [/ — некоторая окрестность точки х. Таким
образом, ранг (ф^) является полунепрерывной сверху
функцией топки х.
Определение 1.3.3. Проектором называется такой
гомоморфизм Р: Е->Е, что Р'2=Р.
Заметим, что ранг (PJ-f-ранг (1—Рх) — dimf^., и
так как и ранг (Рх), и ранг (1 —Рх) являются полуне-
прерывными сверху функциями от х, то они локально
постоянны. Таким образом, операторы Р и (1—Р) яв-
ляются оба точными гомоморфизмами. Так каккег(Р) =
= (1—Р)Е, то Е—прямая сумма двух подрасслоений
РЕ и (1 —Р)Е. Таким образом, любой проектор Р: Е->Е
определяет разложение расслоения Е в прямую сумму
Е = (РЕ)@((Д-Р)Е).
Рассмотрим теперь метрики на векторных расслоениях.
Определим функтор Herm, который каждому векторному
пространству V ставит в соответствие векторное про-
странство Herm(IZ) всех эрмитовых форм на V. Методы
§ 1.2 позволяют нам для каждого расслоения Е опреде-
лить векторное расслоение Herm(£).
Определение 1.3.4. Метрикой на расслоении Е
называется любое такое сечение й: X -> Herm (£), что
й(х)— положительно определенная эрмитова форма для
всех х £ X. Расслоение с заданной метрикой называется
эрмитовым.
Предположим, что Е — некоторое расслоение, F— под-
расслоение расслоения Е и h — эрмитова метрика на Е.
Тогда для каждого х £ X можно рассмотреть ортогональную
16
М. Атья. Лекции по К-теории
проекцию Рх: EX->FX, определенную этой метрикой,
и тем самым задать отображение Р: Е F, которое, как
мы сейчас докажем, непрерывно. Эта задача локальна,
поэтому можно предположить, что F — тривиальное рас-
слоение и заданы сечения .......fn расслоения F, обра-
зующие базис на каждом слое. Для произвольного век-
тора v£ Fх имеем
PA^ = ^hx(v,
Так как отображение h непрерывно, то и отображение Р
непрерывно. Таким образом, Р — проектор на расслое-
нии Е. Обозначим через Fx подпространство простран-
ства Ех, ортогональное пространству Fx относительно
метрики h; пространство F1- = |J F^ является ядром
проектора Р и, таким образом, представляет собой под-
расслоение расслоения Е. Кроме того, Д — Дф ДL. Таким
образом, метрика для любого подрасслоения определяет
дополнительное подрасслоение.
Замечание. До сих пор большая часть наших рас-
суждений носила весьма общий характер и мы могли бы
заменить слово „непрерывный" словами „алгебраический",
„дифференцируемый", „аналитический" и т. д. без каких бы
то ни было затруднений. В следующем параграфе наши
рассуждения станут менее общими.
§ 1.4. Векторные расслоения на компактных
пространствах
Прежде чем приступить к дальнейшему изучению, не-
обходимо наложить некоторые ограничения на класс ба-
зисных пространств, которые мы будем рассматривать.
Мы будем предполагать, что наши базисные пространства
компактны и хаусдорфовы. Какие из результатов верны
для более общих базисных пространств, предоставляем
разобраться читателю.
Напомним, что если /: X —> V — непрерывная век-
торнозначная функция, то носителем f (обозначается supp /)
называется замыкание множества f~l(V— {0})-
Гл. 1. Векторные расслоения
17
В дальнейшем нам потребуются следующие результаты
из теоретико-множественной топологии. Мы сформулируем
их в векторной форме, которая эквивалентна обычной.
Теорема Титце о продолжении. Пусть
X — нормальное пространство, Y cz X — замкнутое
подпространство, V — вещественное векторное про-
странство и f: Y —> V — непрерывное отображение.
Тогда существует такое непрерывное отображение
g'- X—>V, что g\Y = f.
Существование разбиения единицы. Пусть
X — компактное хаусдорфово пространство, {t/J —
конечное открытое покрытие. Тогда существуют та-
кие непрерывные отображения fp X—>R, что
(О для всех х^Х,
(ii) supp(/z)cf7;,
(iii) 2//W—1 для всех х£Х.
i
Такой набор {/,) называется разбиением единицы.
Рассмотрим сначала теорему Титце о продолжении для
расслоений.
Лемма 1.4.1. Пусть X —компактное хаусдорфово
пространство, Y с X—замкнутое подпространство
и Е —расслоение над X. Тогда любое сечение s: Y ^>E\Y
может быть продолжено на X.
Доказательство. Пусть з£Г(£'|г). Так как ло-
кально s — векторнозначная функция, то можно, применив
теорему Титце о продолжении, показать, что для каждого
х^Х существуют такое открытое множество U, содер-
жащее х, и такое t £ Г (Е |у), что t y—s Так как X
компактно, то можно найти конечное подпокрытие {{7а}
такими открытыми множествами. Пусть —
соответствующие сечения, и пусть {ра}—такое разбиение
единицы, что supp (ра) cz Ua. Определим Sa £ Г (^фор-
мулой
f Ра(х)(а(х)’ если x^Ua,
S (х) = 1
“ ( 0 в остальных случаях.
Тогда есть сечение расслоения Е и ограничением
этого сечения на Y, очевидно, является з.
2 Зак. 719,
18
М. Атья. Лекции по К-теории
Лемма 1.4.2. Пусть Y — замкнутое подпростран-
ство компактного хаусдорфова пространства X, и
пусть Е, F — два векторных расслоения над X.
Если f: Е | —> Е |г — изоморфизм, то существует от-
крытое множество U, содержащее Y, и продолжение
отображения / (а именно отображение E\u->F\u'j,
которое также является изоморфизмом.
Доказательство. Отображение / является сече-
нием расслоения Hom (Е |r, F |г) и поэтому продолжается
до сечения расслоения Hom (Е, F). Пусть U — множество
таких точек, для которых это отображение представляет
собой изоморфизм. Тогда U — открытое множество, со-
держащее Y.
Лемма 1.4.3. Пусть Y — компактное хаусдорфово
пространство, ft: Y X, 0 t 1, — некоторая гомо-
топия и Е — векторное расслоение над X. Тогда имеет
место изоморфизм
Доказательство. Пусть / — единичный интервал,
/г Yy^[->X—такая гомотопия, что f(Y, t) = ft(y), и
пусть л: Y'y[I->Y— проекция. Применим лемму 1.4.2
к расслоениям f*E, л*f*E и подпространству Y X {^} про-
странства Y X Е на котором существует очевидный изо-
морфизм $. Из компактности пространства Y мы заклю-
чаем, что расслоения f*E и л*f*E изоморфны в некоторой
полосе Y X б/, где Ы — окрестность точки t в интервале I.
Следовательно, класс1) расслоения f*E есть локально по-
стоянная функция от t. Так как интервал / — связное
множество, то эта функция постоянна, откуда
_ Обозначим через Vect(A') множество классов изоморф-
ных векторных расслоений над X, а через Vect„(X') —
подмножество множества Vect(A'), представленное рас-
слоениями размерности п. Множество Vect(?0. пред став-
*) Здесь и в дальнейшем классом расслоения Е называется
совокупность всех расслоений, изоморфных Е,— Прим, ред.
Гл. 1. Векторные расслоения
19
ляет собой абелеву полугруппу относительно суммы Уитни
(прямой суммы). В множестве Vect„ (X) мы имеем один
естественно отмеченный элемент—класс тривиальных рас-
слоений размерности п.
Лемма 1.4.4.
(1) Если f: X у— гомотопическая эквивалент-
ность, то f*: Vect(X)—>Vect(X)— взаимно однозначное
отображение.
(2) Если пространство X стягиваемо, то каждое
расслоение над X тривиально и множество Vect(X)
изоморфно полугруппе неотрицательных целых чисел.
Лемма 1.4.5. Если Е—расслоение над Х\1 и
л: XX/->/XjO|—проекция, то Е изоморфно рас-
слоению л*{Е |Хх {oj)-
Обе эти леммы следуют непосредственно из леммы 1.4.3.
Предположим, что пространство У замкнуто в X,
Е—векторное расслоение над X и а: Е |у-> У X V—
изоморфизм. Мы будем называть отображение а тривиа-
лизацией расслоения Е над У. Пусть л: У X V V —
проекция; определим отношение эквивалентности на Е |г
формулой
е ~ е' ла (е) = ла (е').
Это отношение мы продолжим тождественно на 5|х г!);
пусть £/а—факторпространство расслоения Е, получен-
ное при помощи этого отношения эквивалентности. Это
факторпространство имеет естественную структуру семей-
ства векторных пространств над Х/У. Мы утверждаем,
что Е/а фактически является векторным расслоением.
Чтобы доказать это, мы должны проверить лишь локаль-
ную тривиальность семейства Е/а в отмеченной точке
У/У пространства Х/У. Согласно лемме 1.4.2, для
некоторого открытого множества U, содержащего У,
изоморфизм а можно продолжить до изоморфизма
а: Е |у—>U X Тогда а индуцирует изоморфизм
) То есть две точки из считаются эквивалентными
только в том случае, когда они совпадают. — Прим. ред.
20
М. Атья. Лекции по К-теории
который и устанавливает локальную тривиальность рас-
слоения Е/а.
Пусть а0, «1 — гомотопные тривиализации расслоения Е
над Y. Это означает, что существует такая тривиализация 0
расслоения Е\[ над подпространством Y XlczX
которая индуцирует Ио и aj в концах отрезка /. Пусть
•/: X/Y X I —> X X ЦУ X.! —естественное отображение.
Тогда /*(£Х^/₽) — расслоение над Х/Y ограничением
которого на X/Y X {*’} является расслоение E/at, z = 0, 1.
Следовательно, по лемме 1.4.3
Е/й.^Е/Щ.
Таким образом, доказана
Лемма 1.4.6. Тривиализация а расслоения Е над
YczX определяет расслоение Е/а над Х/Y. Класс рас-
слоения Е/а зависит лишь от гомотопического класса
тривиализации а.
Используя этот факт, мы докажем теперь следующую
лемму:
Лемма 1.4.7. Пусть Yс=.Х—замкнутое стягива-
емое подпространство. Тогда проекция f: X^-X/Y
индуцирует взаимно однозначное соответствие
f-. Vect (X/Y) -> Vect (X).
Доказательство. Пусть Е — расслоение над X.
По лемме 1.4.4 расслоение Е | тривиально, следовательно,
тривиализации a: Е\у->¥'ХУ существуют. Более того,
две такие тривиализации отличаются автоморфизмом рассло-
ения-произведения Y X т- е- отображением K->GL(V).
Но GL (V) = GL (п, С) — связное пространство, a Y —
стягиваемое. Следовательно, тривиализация а единственна
с точностью до гомотопии, и поэтому класс расслоения
Е |а однозначно определяется классом расслоения Е. Таким
образом, мы построили отображение
Vect (Х)-> Vect (Х/К),
"которое, очевидно, является двусторонним обратным для
отображения /*. Следовательно, /* — взаимно однозначное
отображение, что и утверждалось.
Векторные расслоения обычно строятся при помощи
конструкции сцепления или склеивания, к описанию кото-
рой мы теперь приступаем.
Гл. 1. Векторные расслоения
21
Рассмотрим пространство X = Xl (J Х2 и обозначим
через А пространство Х1 П Х2, где и Х2 компактны.
Предположим, что заданы векторное расслоение Et над
пространством Х{ (1=1, 2) и некоторый изоморфизм
ср: |л->£2 |л. Определим векторное расслоение Ег (J ф£2
над X следующим образом. Как топологическое прост-
ранство, Ех L) ф52 представляет собой факторпространство
непересекающейся суммы Ех-{-Е2 по отношению эквива-
лентности, которое отождествляет вектор £ Е{ |л с век-
тором <р (^i) £Е2 |л. Рассматривая X как соответствующее
факторпространство пространства Х1-{-Х2, мы получаем
естественную проекцию р: Е1\) ^Е2->Х, причем р-1(х)
имеет естественную структуру векторного пространства.
Остается показать, что семейство Ег (J ^Е2 локально три-
виально. Так как Е1 (J |х ч А = (Bi |х, ч л) + (е 1Х„ \ л)’
то локальная тривиальность в точках х (£ А следует из
локальной тривиальности расслоений Ег и Е2. Пусть
а£А и V1 — замкнутая окрестность точки а в Xv над
которой расслоение Е,к тривиально, так что мы имеем
изоморфизм
01--
Ограничивая на А, мы получаем изоморфизм
0^: £1|Г1ПЛ^(^ПЛ)ХС\
Пусть
0^: £2|Г1ПЛ^(^1ПЛ)ХСл
— изоморфизм, соответствующий 0J1 при изоморфизме <р.
По лемме 1.4.2 его можно продолжить до изоморфизма
®2: £2|K2^V2XC",
где V2—некоторая окрестность точки а в Х2. Тогда
пара 0Р 02 определяет очевидным образом изоморфизм
и ф02: и q>^2 Ir, (J К, U X С”,
устанавливающий локальную тривиальность семейства
U (ре-
конструкция сцепления обладает следующими элемен-
тарными свойствами.
22
М. Атья. Лекции по К-теории
(i) Если Е— расслоение над X и Е1 = Е\Х, то тожде-
ственное отображение определяет изоморфизм 1Л: Ех |л—>
-*£2|а и
LI 1л^2 = ^-
(ii) Если Et->Et — изоморфизмы на XL и фЛ =
= Р2Ф- то
Е\ (J <р^2 —zЕ\ (J ф.£2.
(iii) Если (Eh ф) и (e'i, ф')— две пары на XL, то
(Ei (J 4Е2) ® (Ei (J tf'E?) == Ei ф £] (J ср © tf’Ez ф Е>,
(Е\ L) фйг) ® (.Ei (J ф'Дг) = Д1 ® Ei L) q> ® ф'Д2 ® Е2,
(El L) qE2)*=:Ei (J (ф*)-'Е%.
Более того, справедлива также
Лемма 1.4.8. Класс расслоения £\ (J ^Е^ зависит
только от гомотопического класса изоморфизма ф:
1д —>'^2 1а-
Доказательство. Г омотопия изоморфизмов Е.. |л —>
->Д2|Л определяет изоморфизм следующих расслоений:
Ф- Л Ia X Z Л ^2 |д х /’
где / — единичный интервал и л: Xyj->-X —проекция.
Пусть отображение
Л: Х->Х%/
определяется формулой /((х) = «Х(Н! обозначим через
Ф/: 1а ^2 1а
изоморфизм, который получается из Ф при помощи ото-
бражения ft. Тогда имеет место изоморфизм
Е^.Е^Г^О^.
Так как /0 и Л гомотопны, то из леммы 1.4.3 вытекает,
•^1 U ч,Е2 = Ех L) фЛг>
что и требовалось доказать.
Гл. 1. Векторные расслоения
23
Замечание. Конструкции „стягивания" и „сцепления"
для построения расслоений (соответственно над Х/У и
Xt U Х2) являются частными случаями общего процесса
образования расслоений над факторпространствами. Предо-
ставляем читателю в качестве упражнения дать точное
описание этой общей конструкции.
Обозначим через [X, У] множество гомотопических клас-
сов отображений X -> У и через S (X) надстройку над X.
Лемма 1.4.9. Для любого пространства X суще-
ствует естественный изоморфизм
\^n{S{X))^[X, GL(n, С)].
Доказательство. Представим S (X) в виде С+ (X) U
UC~(%), где С+(Х) = [0, 1Д1ХХ С~(Х) =
= [1/2, 1] X ^/{1} X X. Тогда С+(X) (] (X) = X. Если
Е—произвольное n-мерное расслоение над пространством
S(X), то ограничения Е|с+ и Е|С-(Х) тривиальны.
Пусть a±: Е |с± Х) С* (X) X — соответствующие изо-
морфизмы. Тогда (а+|х) (ct~ |х)-1: ХХУ-+ХДУ— ото-
бражение расслоений, и поэтому оно определяет отобра-
жение а пространства X в GL(n, C) = Iso(V). Так как
пространства С"(Х) и С~ (X) стягиваемы, то гомотопи-
ческие классы изоморфизмов а+ и а~ однозначно опре-
делены и, следовательно, гомотопический класс изомор-
физма а также однозначно определен. Таким образом, мы
имеем естественное отображение 0: Vectn (S (X)) —>
->[Х, GL(n, С)]. С другой стороны, по лемме 1.4.8 кон-
струкция сцепления определяет отображение
<р: [X, GL(n, С)]-> Vect„ (S (X)).
Очевидно, что отображения 0 и ф обратны друг другу и
поэтому определяют взаимно однозначное соответствие.
Таким образом, мы показали, что V ectn (S (X)) имеет
теоретико-гомотопическую интерпретацию. Дадим теперь
аналогичую интерпретацию множеству Vectn (X). Для этого
установим сначала несколько элементарных результатов
о факторрасслоениях.
Лемма. 1.4.10. На произвольном векторном рас-
слоении Е над пространством X существует {эрми-
това) метрика.
24
М. Атья. Лекции по К-теории
Доказательство. Метрика на векторном прост-
ранстве V определяет метрику на расслоении-произведе-
нии X X V". Следовательно, на тривиальных расслоениях
метрики существуют. Пусть {(7J — такое конечное откры-
тое покрытие пространства X, что Е | тривиально, и
пусть ha—метрика на Е\и . Пусть {/?а}—разбиение еди-
и а
ницы, такое, что supppa<z(7a; определим отображение
Ра(х) Мх)
о
ka(x) =
для X £ иа
во всех других случаях.
Тогда отображение ka является положительным полуопре-
деленным сечением расслоения Herm (Е). Но для любого
существует такое а, что ра(х) > 0 (по условию
2ра=0> и поэтому x£Ua. Следовательно, для этого а
эрмитова форма ka(x) является положительно определен-
ной. Таким образом, эрмитова форма '£ika(x') является
a
положительно определенной для всех точек х £ X, и поэтому
сечение k = 2 ka определяет метрику на расслоении Е.
а
Последовательность гомоморфизмов векторных расслое-
ний
... . ..
называется точной, если для каждого х £ X последова-
тельность гомоморфизмов векторных пространств
... -^Ex->Fx-> ...
точна.
Следствие 1.4.11. Предположим, что
О—+Е' -^-+Е-^-+Е"---------->0
—точная последовательность расслоений над X. Тогда
существует изоморфизм Е — Е'ф Е".
Доказательство. Зададим на расслоении Е ме-
трику; тогда имеет место изоморфизм £ — А Но
Это и дает требуемый результат.
Гл. 1. Векторные расслоения
25
Говорят, что подпространство УсГ(Д) достаточное,
если
<p: X^V->E,
где <р(х, $) = $(%), есть эпиморфизм.
Лемма 1.4.12. Если Е — произвольное расслоение
над компактным хаусдорфовым пространством X,
то Г (£) содержит конечномерное достаточное под-
пространство.
Доказательство. Пусть {(7J—такое конечное
открытое покрытие пространства X, что Е | тривиально
а
для каждого а, и пусть {ра| — разбиение единицы, такое,
что supppac.Ua. Так как Е \[/ тривиально, то можно
найти конечномерное достаточное подпространство Vacz
с Г (Е у Определим теперь отображение
0а: Ка^Г(Д)
формулой
если x£Ua,
О во всех других случаях.
Отображение 0а определяет гомоморфизм
0: П^а->Г(£).
а
и образом при гомоморфизме 0 является конечномерное
достаточное подпространство пространства сечений Г(Е);
действительно, для каждой точки х £ X существует такое а,
что ра(х)>0, и поэтому отображение
0о(^о)->^
является эпиморфизмом.
Следствие 1.4.13. Если Е — произвольное расслое-
ние, то для некоторого целого числа т существует
эпиморфизм
Ф: ХХСт->Д.
Следствие 1.4.14. Если Е — произвольное рас-
слоение, то существует такое расслоение F, что рас-
слоение Е ф F тривиально.
Теперь можно доказать существование теоретико-гомо-
топического определения множества Vect„ (X). Введем
26
М. Атья. Лекции по К-теории
сначала многообразие Грассмана. Если V — произвольное
векторное пространство и п — целое число, то обозначим
через Gn (V) множество всех подпространств пространства V
коразмерности п. Если в пространстве V задана некоторая
эрмитова метрика, то каждое подпространство простран-
ства V определяет проектор. Это позволяет определить
отображение Gn (V) —> End (V), где End (V) — множество
эндоморфизмов пространства V. В множестве Gn (V) вве-
дем топологию, индуцированную этим отображением.
Предположим, что Е— произвольное расслоение над
X, V — векторное пространство и <р: X'/xV^>E— эпи-
морфизм. Определим отображение пространства X в много-
образие Грассмана Gn (V), сопоставляя точке х простран-
ство кег(<рЛ.); это отображение непрерывно для любой
метрики на пространстве V (здесь п = dim (f)). Назовем
такое отображение X ->Gn (V) отображением, индуциро-
ванным эпиморфизмом <р.
Пусть V — векторное пространство и Fa Gn (V) X.V —
подрасслоение, состоящее из всех таких точек (g, v), что
v £ g. В этом случае факторрасслоение Е = (Оп (V) X
называется классифицирующим расслоением над Gn (У).
Заметим, что если Е' — расслоение над пространством
X и <р: X Х^ —>Е'— эпиморфизм, то имеет место изомор-
физм Е' /*(£’), где /: X->Gn(V) — отображение, инду-
цированное эпиморфизмом <р, я Е — классифицирующее
расслоение.
Предположим, что h — метрика на V. Обозначим через
Gn <Уи) множество Gn (V) с топологией, индуцированной
метрикой h. Если h''—другая метрика на V, то эпимор-
физм Оп (Уh-) X V->Е (где Е — классифицирующее рас-
слоение) индуцирует тождественное отображение Gn(Vh) —>
Оп(У и1)- Таким образом, тождественное отображение
непрерывно и, следовательно, топология на Gn (V) не за-
висит от метрики.
Теперь рассмотрим естественные проекции
Ст->С"-1,
заданные формулой (г1.......гт)->(г!......Эти
проекции индуцируют непрерывные отображения
о. (с" - Vo. (с").
Гл. 1. Векторные расслоения
27
Если Е(ту — классифицирующее расслоение над Gn (Cm),
то отсюда немедленно следует, что
1т-1(^(т)) = ^(т-1)Н“ 1-
Теорема 1.4.15. Отображение
lim [Л7, Gn (Cm)] —> Vectn (-¥),
tn
индуцированное отображением для f-.X~>
—> Gn (Ст), является изоморфизмом для всех компакт-
ных хаусдорфовых пространств X.
Доказательство. Мы построим обратное отобра-
жение. Если Е— расслоение над X, то существует (со-
гласно следствию 1.4.13) эпиморфизм tp: XXC”->E.
Пусть /: X —>Gn (Cm) — отображение, индуцированное
эпиморфизмом <р. Если мы сможем показать, что гомото-
пический класс отображения / (в О„(1/т))для достаточно
большого т' не зависит от выбора эпиморфизма <р,
то мы построим обратное отображение Vect„ (X) —>
—> lim [X, G„(l/m)], переводя Е в гомотопический класс
отображения /.
Пусть <pz: X X Ст‘ —> Е — два эпиморфизма (Z = 0, 1).
Пусть gt: X -^-Gn (С™7) — отображение, индуцированное
эпиморфизмом <р,-. Определим фу. X X Cm” X Cm‘ —> Е
формулой фДх, vQ, vY) =(1 — Z)q>o(x, v0) + (х, v^.
Это эпиморфизм. Пусть ft: X -+Gn (С™1 ф С™') — отобра-
жение, индуцированное эпиморфизмом ф,. Если отожде-
ствить Сот° ф Ст‘ с Cm“+m‘ при помощи отображения
(Zi....Zmt)@(Ui.... Um)-^(Zi.....zmo, их.....umi),
TO
fa — JoSo’ /i — TJigv
где J у. Gn G4(Cm’+m‘)—естественное вложение и
T-. Gn(cmo+mi)^Gn(Cm»+m‘)
— отображение, индуцированное перестановкой координат
в cm°+mi и поэтому гомотопное тождественному. Таким
28
М. Атья. Лекции по К-теории
образом, jjg'i гомотопно отображению fx и, следовательно,
отображению Jogo, что и требовалось.
Замечание. Можно интерпретировать векторные
расслоения как модули следующим образом. Пусть С(Х) —
кольцо непрерывных комплекснозначных функций на X.
Если Е— векторное расслоение над X, то семейство се-
чений Г (Е) представляет собой С (А-)-модуль относи-
тельно поточечного умножения, т. е.
fs(x) = f(x)s(x), feC(X), s£r(E).
Более того, гомоморфизм <р: E-+F определяет гомомор-
физм С (Х)-модулей
Г(р: Г(£)->Г(^).
Таким образом, Г есть функтор из категории 23 вектор-
ных расслоений над X в категорию Эй С (Х)-модулей.
Если Е — тривиальное расслоение размерности п, то
Г (£) —свободный модуль ранга п. Если F— также три-
виальное расслоение, то отображение
Г: Нот (7:, F)-> Нотс (X) (Г (£), T(F))
является взаимно однозначным. Действительно, выбирая
изоморфизмы E^XyV и F=XXW, мы имеем1)
Hom(£, F)^Homc(V, W)x С (X) ® Homc(V, W)^
= Нотс (х) (Г (£), Г (F)).
Таким образом, функтор Г индуцирует эквивалентность
категории 2 тривиальных векторных расслоений и кате-
гории g свободных С (X)-модулей конечного ранга. Пусть
Proj (£) — подкатегория категории 23, объектами которой
являются образы проекционных операторов категории £, и
пусть Proj (g) <z ЭЙ — подкатегория, определенная анало-
гично. Отсюда непосредственно вытекает, что функтор Г
индуцирует эквивалентность категорий
Proj (2) -> Proj (g).
!) Напомним, что через Homc(V, W)x обозначается множе-
ство непрерывных отображений пространства X в Homc (V, W). —
Прим, пере в.
Г л. 1. Векторные расслоения
29
Но, согласно следствию 1.4.14, Proj (£) = 33. По опреде-
лению Proj(g) есть категория конечно порожденных про-
ективных С (А')-модулей. Итак, мы установили следующее
Предложение. Функтор Г индуцирует эквива-
лентность категории векторных расслоений над X
и категории конечно порожденных проективных мо-
дулей над С (А).
Таким образом, мы видим, что категория векторных
расслоений над X эквивалентна категории конечно поро-
жденных проективных модулей над С (А).
§ 1.5. Добавочные структуры
В линейной алгебре часто рассматривают векторные
пространства с некоторой добавочной структурой; мы мо-
жем сделать то же самое для векторных расслоений. На-
пример, мы уже говорили об эрмитовой метрике. Следую-
щий очевидный пример—невырожденные билинейные формы.
Если V — векторное расслоение, то невырожденная били-
нейная форма на V становится элементом Т расслоения
Hom (V ® V, 1), который индуцирует невырожденный эле-
мент слоя Hom (Vx(g К,., С) для всех х£Х. Аналогично Т
можно рассматривать как элемент, принадлежащий мно-
жеству Iso (У, V*). Векторное расслоение V вместе с этим
изоморфизмом Т будем называть самодвойственным рас-
слоением.
Если элемент Т симметричен, т. е. если преобразова-
ние Тх симметрично для всех х £ А, то мы будем назы-
вать пару {V, Т) ортогональным расслоением. Если Т
кососимметричен, т. е. если преобразование Тх кососим-
метрично для всех х £ X, то мы будем называть пару (V, Т)
симплектическим расслоением.
С другой стороны, мы можем рассматривать пары (V, Т),
когда Т £ Iso (V, У), где V — расслоение, комплексно
сопряженное расслоению V (т. е. полученное применением
„функтора комплексного сопряжения" к расслоению V).
Такая пара может быть названа самосопряженным рас-
слоением. Можно рассматривать также антилинейный изо-
морфизм ') Т\ V —> V. Если Т2 — тождественный изоморфизм,
*) То есть Т (Xv) = k (Tv) для любых v£V и Х£С. — Прим,
перев.
30
М. Атья. Лекции по К-теории
то мы можем назвать пару (V, Т) вещественным рас-
слоением. Действительно, подпространство W <z V, со-
стоящее из всех таких точек v£V, что Tv = v, имеет
структуру вещественного векторного расслоения, и V
можно отождествить с F® rC, т. е. с комплексифика-
цией расслоения W. Если Г2 — оператор умножения на —1,
то можно назвать пару (V, Т) кватернионным расслое-
нием. Действительно, можно определить структуру ква-
тернионного векторного пространства на каждом слое V х,
положив j(y) = Tv (где кватернионы порождаются над R
операторами i, J, обладающими свойствами ij =— JI,
Z2 = 7-2 = _l).
Если V имеет эрмитову метрику h, то определен изо-
морфизм V—>V*, который превращает самосопряженное
расслоение в самодвойственное. Легко проверить, что h пре-
вращает ортогональное расслоение в вещественное, а сим-
плектическое—в кватернионное. Мы показали, что эрмитовы
метрики существуют и единственны с точностью до гомото-
пии; отсюда следует, что с точностью до гомотопии понятия
самосопряженного, ортогонального, симплектического рас-
слоений по существу эквивалентны понятиям самодвойствен-
ного, вещественного, кватернионного расслоений. Поэтому
можно выбирать те из них, которые более удобны в каждом
конкретном случае. Например, результаты предшествующего
параграфа немедленно обобщаются на вещественные и ква-
тернионные векторные расслоения, хотя обобщение леммы
1.4.3, например, на симплектические или ортогональные рас-
слоения не так очевидно. С другой стороны, изучать тен-
зорные произведения удобнее в терминах билинейных форм.
Так, тензорное произведение пар (V, Т) и (W, S) равно
(V ® W, Т 0 S), и свойства симметрии преобразования
Т ® S вытекают сразу из соответствующих свойств пре-
образований Т и S. Заметим, в частности, что тензорное
произведение двух симплектических расслоений является
ортогональным расслоением.
Понятие самосопряженного расслоения является частным
случаем более общего понятия. Пусть F, G — два непре-
рывных функтора на векторных пространствах. Тогда под
(F-> О)-расслоением мы будем понимать пару (V, Т), где
V — векторное расслоение и Т £ Iso (F(V'), G(V)). Оче-
Гл. 1. Векторные расслоения
31
видно, что к самосопряженному расслоению мы приходим,
когда F— тождественный функтор, a G = *. Другой важ-
ный пример получится, если предположить, что F и G—
функторы умножения на фиксированное целое число от,
т. е.
Р(У) — G(V) = Уф Уф . . . фУ (от слагаемых).
Таким образом, (от—>от)-расслоение (или, короче, от-рас-
слоение) есть пара (У, Т), где Т £ АиЦотУ). Если суще-
ствует такое 5^Аи1(У), что Т = mS, то от-расслоение
(У, Т) называется тривиальным.
В общем случае для (F —> О)-расслоений аналог
леммы 1.4.3 не верен, т. е. гомотопность отображений
не влечет за собой изоморфности индуцированных рас-
слоений. Таким образом, хорошее понятие эквивалентности
должно включать гомотопию.
Например, два от-расслоения (Уо, То) и (Ур назы-
ваются эквивалентными, если существует такое от-рас-
слоение (1У, 5) над X X I, что
(Уг, T^w, 5)|xx{z}, 1 = 0. 1.
Замечание. Определенное выше от-расслоение над X
можно представлять себе как „mod от-векторное расслое-
ние" над S (X)!).
§ 1.6. G-расслоения над О-пространствами
Пусть G — некоторая топологическая группа. Под
G-пространством мы будем понимать топологическое
пространство X вместе с данным непрерывным действием
группы G на пространстве X; это означает, что группа G
действует на X и отображение G X X X непрерывно.
Отображение, согласованное с действием группы О, назы-
вается G-отображением между G-пространствами. Некото-
рое G-пространство Е называется векторным G-расслоением
*) Как доказано в лемме 1.4.9, всякое расслоение над S (X)
можно рассматривать как пару: тривиальное расслоение над X
и автоморфизм этого расслоения на себя; от-расслоение над X —
это пара: mod m-тривиальное расслоение и автоморфизм его
на себя. — Прим, перев.
32
М. Атья. Лекции по К-теории
над G-пространством X, если
(i) Е — векторное расслоение над X,
(ii) проекция Е—>Х является G-отображением,
(iii) для каждого g£G отображение пред-
ставляет собой гомоморфизм векторных пространств.
Если G — группа, состоящая из одного элемента, то
каждое пространство есть G-пространство и каждое век-
торное расслоение есть векторное G-расслоение. С другой
стороны, если X — точка, то X является G-пространством
для всех групп G и векторное G-расслоение над X
является в точности (конечномерным) пространством пред-
ставления группы G. Таким образом, векторные G-рас-
слоения образуют естественное обобщение, включающее и
обычные векторные расслоения, и G-модули. Многое из
теории векторных расслоений над компактными простран-
ствами можно обобщить на векторные G-расслоения, при
условии что группа G также компактна. Однако при этом
используются основные факты о представлениях компакт-
ных групп. Поэтому здесь мы ограничимся конечными
группами, при изучении которых не приходится обра-
щаться к анализу.
Существуют два крайних вида G-пространств:
(1) X — свободное G-пространство, если g Ф 1 =^>
=>£(•*)=£ х,
(ii) X — тривиальное G-пространство, если g (х) = х
для всех х £ X, geo.
Исследуем структуру векторных G-расслоений в этих
двух крайних случаях.
Пусть X — свободное G-пространство, и пусть Х/О —
пространство траекторий. Тогда л: X -> X\G — конечное
накрытие. Пусть Е— некоторое векторное G-расслоение
'над X. Тогда Е также является свободным G-простран-
ством. Пространство траекторий E\G имеет естественную
структуру векторного расслоения над Х/G; действительно,
отображение E/G —> Х/G локально совпадает с отображе-
нием Е—> X, и, следовательно, из локальной тривиаль-
ности расслоения Е следует локальная тривиальность рас-
слоения Е/G. Обратно, предположим, что V — векторное
расслоение над Х/G. Тогда nV является векторным
Гл. 1. Векторные расслоения
33
О- расслоением над X; в самом деле, лV с X X V и G
действует на X 'X.V по формуле g (х, v) = (g (х), v).
Ясно, что E-+E/G и V->n*V — взаимно обратные соот-
ветствия. Таким образом, справедливо
Предложение 1.6.1. Если X—свободное G-про-
странство, то отображение E-+E/G устанавливает
взаимно однозначное соответствие между векторными
G-расслоениями над X и векторными расслоениями
над X/G.
Прежде чем приступить к рассмотрению тривиальных
G-пространств, напомним основной факт о представлениях
конечных групп, а именно, существует такое конечное
множество Vv И2, ..., Vk неприводимых представлений
группы G, что любое представление V группы G эквива-
k
лентно единственной прямой сумме 2 пУ1- Л&л&е., для
i = \
любых двух G-модулей (т. е. для пространств предста-
влений) V, W можно определить векторное пространство
HomG(V, W) G-гомоморфизмов. Имеем1)
Hom0(Vz, Иу) = 0,
Нош0(И;, V^C, t = J.
Следовательно, для любого V это означает, что естествен-
ное отображение
2^®Homo(Vz, V)->V
является G-изоморфизмом. Результат в этой форме мы
можем обобщить на G-расслоения над тривиальным G-про-
странством. Действительно, если £ — произвольное G-рас-
слоение над тривиальным G-пространством X, то мы мо-
жем определить гомоморфизм Av £ End Е формулой
gtO
где через | G | обозначен порядок группы G. (Это связано
с тем фактом, что для тривиального G-пространства X
каждый элемент g £ G определяет эндоморфизм простран-
') Это вытекает из известной леммы Шура. — Прим, перев.
3 Зак. 719.
34
М. Атья. Лекции по К-теории
ства Е.) Из этой формулы немедленно вытекает, что Av
является проектором для расслоения Е, и поэтому его
образ, инвариантное подпространство пространства Е,
представляет собой векторное расслоение. Обозначим это
расслоение через Еа и назовем инвариантным подрасслое-
нием расслоения Е. Таким образом, если Е, Е — два
G-расслоения, то Ното(£, F) = (Нот (Е, F))° является
опять векторным расслоением. В частности, если считать,
что Е — это тривиальное расслоение Vt — X X V} с есте-
ственным действием группы О, то можно рассмотреть
естественное отображение расслоений
k
St\®Homo(Vz, F)—>F.
i — 1
Мы уже видели, что для G-модуля F это отображение
является О-изоморфизмом. Другими словами, для любого
G-расслоения F над пространством X это отображение
представляет собой О-изоморфизм для всех х£Х и, сле-
довательно, является изоморфизмом G-модулей. Таким об-
разом, каждое G-расслоение F изоморфно О-расслоению
вида У; Vt (g Eit где Ez — векторное расслоение с три-
виальным действием группы О. Более того, расслоения Et
определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
Действительно, мы имеем
k
Homo(Vz, SHomo(Vz, V - ®ЕА^
i-i
k
s 2 Homo(pz, Vj)® Ej^Ei.
i-i
Итак, доказано
Предложение 1.6.2. Пусть X — тривиальное
G-пространство, .......Vk — полное множество не-
приводимых G-модулей, Vt = X \V{ — соответствую-
щие G-расслоения. Тогда любое G-расслоение F над X
k
изоморфно прямой сумме 2 ® Et, где Et — вектор-
1=1
ные расслоения с тривиальным действием группы G.
Более того, расслоение Et единственно с точностью до
Гл. 1. Векторные расслоения
35
изоморфизма и определяется формулой £'i = Hom0(Vrz, F)
(Z — 1....k).
Перейдем теперь к случаю общего (компактного) О-про-
странства X и покажем, как обобщить результаты § 1.4
на G-расслоения. Заметим сначала, что если Е является
G-расслоением, то группа О действует естественно на
пространстве сечений Г (Е) по формуле
(gs) (х) = g (s (g~1 (x))), s £ Г (£).
Сечение s назовем инвариантным, если gs — g для всех
g £ О. Множество всех инвариантных сечений образует
подпространство Г (Е)° пространства Г (Д). Оператор
усреднения
Л,, = Т<7г£г
определяет, как обычно, гомоморфизм Г (Д)-> Г (Д)°, тож-
дественный на подпространстве Г (Е)а.
Лемма 1.6.3. Пусть X —компактное G-простран-
ство, Y с X — замкнутое G-подпространство (т. е.
инвариантное относительно действия группы G), и
пусть Е — некоторое G-расслоение над X. Тогда любое
инвариантное сечение s: Y —> Е |г продолжается до
инвариантного сечения над X.
Доказательство. По лемме 1.4.1 можно продол-
жить сечение $ до некоторого сечения t расслоения Е
над X. Тогда Av(t) является инвариантным сечением рас-
слоения Е над X, в то время как над Y мы имеем
Av (t) = Av (s) = s,
так как s — инвариантное сечение. Таким образом, Av(t) —
требуемое продолжение.
Если Е, F — два G-расслоения, то Нош(Д, F) также
является G-расслоением, и мы имеем
Г(Нот(Д, Д))°^НОМо(Д, F).
Следовательно, G-аналоги лемм 1.4.2 и 1.4.3 вытекают
сразу из леммы 1.6.3. Таким образом, справедлива
Лемма 1.6.4. Пусть Y — компактное О-простран-
ство, X — некоторое G-пространство, ft: Y->X,
3*
36
М. Атья. Лекции по К-теории
О t 1, — некоторая G-гомотопия и Е — векторное
G-расслоение над X. Тогда f*E и f*E—изоморфные
G-расслоения.
Под О-гомотопией подразумевается, конечно, О-ото-
бражение F: Y'XI-^-X, где I—единичный интервал
с тривиальным действием группы G. Мы называем О-про-
странство G-стягиваемым, если оно О-гомотопически экви-
валентно точке. В частности, конус над О-пространством
является всегда G-стягиваемым. Под тривиальным О-рас-
слоением мы будем понимать О-расслоение, изоморфное
произведению X)(V, где V —некоторый G-модуль. При
таких определениях результаты 1.4.4—1.4.11 обобщаются
на G-модули без всяких изменений. Для этого нужно
только заметить, что если h — метрика на расслоении Е,
то Av(h)— инвариантная метрика.
Чтобы обобщить лемму 1.4.12, заметим, что если се-
мейство сечений V cz Г (Е) достаточное, то семейство се-
чений У gV cz Г (Е) достаточное и инвариантное. Это
gta
ведет сразу к соответствующему обобщению следствия
1.4.14.
Для обобщения теоремы 1.4.15 необходимо рас-
смотреть грассманианы G-подпространств пространства
k
m^V} при т-+<хз, где, как и прежде, V\..........Vk —
i-i
полное множество неприводимых G-модулей. Оставим
формулировку этого утверждения читателю.
Наконец, рассмотрим модульную интерпретацию век-
торных расслоений. Введем обозначение А — С(X). Если
X — некоторое G-пространство, то группа G действует
на А как группа автоморфизмов алгебры. Если Е — век-
торное G-расслоение над X, то Г (f)проективный
Л-модуль и группа G действует на Г (Е); мы имеем сле-
дующие соотношения между действиями групп Л и G:
g (as) = g (a) g (s'), а£А, g£G, а£Г(Д).
Можно смотреть на это иначе и ввести „скрещенное про-
изведение" В группы G и алгебры А, а именно, элемен-
тами В являются линейные комбинации 2 a„g, где А,
giG 8 8
Гл. 1. Векторные расслоения
37
а произведение определяется формулой
(ag-) (a'g') = (ag {а’)) gg'.
Действительно, Г (В) является тогда В-модулем. Предо-
ставим читателю показать, что категория векторных G-рас-
слоений над X эквивалентна категории В-модулей, конечно
порожденных и проективных над А.
ГЛАВА 2
/(-ТЕОРИЯ
§ 2.1. Определения
Пусть X — произвольное пространство. Множество
Vect(A") имеет структуру абелевой полугруппы, в которой
аддитивная структура определяется прямой суммой. Если
А — любая абелева полугруппа, то мы можем поставить
ей в соответствие абелеву группу К (Л), обладающую
следующим свойством: существует такой гомоморфизм
полугрупп а: А -> К (Л), что если G — любая группа, ,
у: Л —> G — произвольный гомоморфизм полугрупп, то
существует такой единственный гомоморфизм и: К (Л) О,
что у = ха. Если такая группа К (Л) существует, то она
должна быть единственной.
Группа Д’(Л) определяется обычным образом. Пусть
F (Л) — свободная абелева группа, порожденная элемен-
тами полугруппы Л, и пусть Е (Л) — подгруппа группы
F (Л), порожденная элементами вида а-\-а'— (афа')>
где ф —сложение в Л (а, а' £ Л). Тогда группа К(А') =
= F(A)/E(A) обладает сформулированным выше уни-
версальным свойством с очевидным отображением а: А ->
—>ДГ(Л).
Иногда бывает удобна конструкция группы К(Л), не-
сколько отличающаяся от описанной выше. Пусть А: Л ->
-> Л X Л — диагональный гомоморфизм полугрупп, и
пусть К (Л) — множество классов смежности подполу-
группы А (Л) в полугруппе Л X Л. Множество К (Л)
является факторполугруппой, но перестановка координат
'в Л X Л индуцирует обратный элемент в К (Л), поэтому
К (Л) является группой. Определим аА: А—>К(А) как
композицию вложения а-->(а, 0) с естественной проек-
цией ЛХ^->К(А). (Для простоты мы полагаем, что Л
содержит нуль.) Пара (Д’ (Л), ал) есть функтор полу-
группы Л, поэтому если у: Л—>В — гомоморфизм полу-
Гл. 2. К.-теория
39
групп, то мы имеем коммутативную диаграмму
а.
А
vl 1л- (у)
ая Ф
в~
Если В — группа, то ав — изоморфизм. Это показывает,
что группа К (Л) обладает требуемым универсальным
свойством.
Если А является, кроме того, полукольцом (т. е. в Л
определено умножение, дистрибутивное по отношению
к сложению в А), то К (А) является, очевидно, кольцом.
Если А — коммутативное кольцо, то К (Л) обладает уни-
версальными свойствами, подобными тем, которыми оно
обладает как группа.
Если X — топологическое пространство, то обозначим
через К (X) кольцо Д’(Vect (А-)). (Это обозначение не
должно приводить к недоразумениям.) Если E^Vect(X),
то обозначим через [Е] образ расслоения Е в кольце К (X).
Чтобы избежать лишних обозначений, мы будем писать Е
вместо [Е] там, где можно не опасаться путаницы.
Используя вторую конструкцию группы К, мы видим,
что если X — некоторое пространство, то каждый элемент
группы К(X) имеет вид [Е] — [Е], где Е, Е — расслое-
ния над X. Пусть Q — такое расслоение, что расслое-
ние ЕфО тривиально. Тривиальное расслоение размер-
ности п. мы обозначим через п. Пусть ЕфО = л. Тогда
[Е] - [Е] = [Е] + [О] —([Е] -HG]) = [Еф G]—[га]. Таким
образом, каждый элемент группы К (X) имеет вид
[W] - [«].
Пусть Е, Е — такие расслоения, что [Е] = [Е]. Тогда
из нашей второй конструкции группы К вытекает суще-
ствование такого расслоения G, что ЕфО~ЕД)О.
Пусть G' — такое расслоение, что ОфО'^п, Тогда
Еф Сф G'ЕфОф G', и поэтому Ефга~ Ефга. Если
два расслоения становятся эквивалентными после добавле-
ния к каждому из них подходящих тривиальных расслое-
ний, то эти расслоения называются стабильно экьива-
40
М. Атья. Лекции по К-теории
лентными. Таким образом, [Е] = [F] тогда и только тогда,
когда Е и F стабильно эквивалентны.
Пусть /: X —> Y — непрерывное отображение. Тогда
/*: Vect (К) -> Vect (А’) индуцирует гомоморфизм колец
/*: К (К) —> К (АГ). По лемме 1.4.3 этот гомоморфизм за-
висит только от гомотопического класса отображения /.
§ 2.2. Теорема периодичности
Теорема периодичности является основной теоремой
/С-теории. В своем простейшем виде она утверждает, что
для любого пространства X существует изоморфизм между
кольцами К (X) g К (S2) и К(Х X S2). Это частный слу-
чай более общей теоремы, которую мы здесь докажем.
Пусть Е — векторное расслоение над пространством X.
Обозначим через Ео пространство Е \ X, где простран-
ство X отождествлено с нулевым сечением расслоения Е; ,
тогда ненулевые комплексные числа действуют на Ео как
группа автоморфизмов, сохраняющих слой. Пусть Р(Е) —
факторпространство, полученное из Ео факторизацией по
действию таких комплексных чисел. Пространство Р(Е)
назовем проективным расслоением, ассоциированным с рас-
слоением Е, или, короче, проективизацией расслоения Е.
Если р: Р(Е)->Х — проекция, то для всех х£Х слой
/?-1 (х) представляет собой комплексное проективное про-
странство. Если V — некоторое векторное пространство,
a W — одномерное векторное пространство, то простран-
ства V и V g IF изоморфны, но не являются естественно
изоморфными. Для любого ненулевого элемента со £ IF
отображение v—>v ® к» определяет изоморфизм между про-
странствами V и V g IF и, следовательно, определяет
изоморфизм Р (w): Р (F) —> Р (F g IF). Если — любой
другой ненулевой элемент пространства IF, то со' = Х<о,
где X — некоторое ненулевое комплексное число. Таким
образом, Р (w) = Р (со7), и поэтому изоморфизм между
проективными пространствами Р(У) и Р (F g IF) естествен.
Следовательно, если Е — произвольное векторное расслое-
ние и L — линейное расслоение, то существует естествен-
ный изоморфизм Р (Е)^Р (Е ® L).
Пусть Е — векторное расслоение над Х\ каждая точка
а £ Р (Е)х = Р (Ех) представляет собой одномерное под-
Гл. 2. К-теория
41
пространство Н*а с Ех. Объединение всех этих подпро-
странств определяет подпространство И* <z р*Е, где
р: Р(Е) —> X — проекция. Легко проверить, что Н*—
подрасслоение расслоения р*Е. Действительно, так как
задача локальна, мы можем предположить, что Е — пря-
мое произведение, и тогда вопрос сводится к частному
случаю грассманиана, уже рассмотренному в § 1.4. Мы
обозначили наше линейное расслоение через И*, так как
хотим обозначить через Н двойственное к нему расслое-
ние (выбор обозначений диктуется алгебро-геометриче-
скими соображениями, которые мы не будем обсуждать
здесь).
Сформулируем теперь теорему периодичности.
Теорема 2.2.1. Пусть L — линейное расслоение
над X. Кольцо Л'(/э(Сф1)) представляет собой К (X)-
алгебру с одной образующей [//] и единственным
соотношением ([ТУ] — [ 1 ]) ([Т] [Я] — [ 1 ]) — 0.
Прежде чем приступить к доказательству этой тео-
ремы, укажем два ее следствия. Заметим, что Я(1ф1) =
= Х XS2.
Следствие 2.2.2. Кольцо К (S2) как К(точка)-
модуль порождается элементом [Я], причем [Я] под-
чиняется единственному соотношению ([Н] — [1])2 = 0.
Следствие 2.2.3. Для любого пространства X
гомоморфизм р: К (X) ® К (52) —> К (X X S2)> определен-
ный формулой р (а ® Ь) = где лр п2 — проек-
ции на сомножители, является изоморфизмом колец.
Доказательство теоремы 2.2.1 мы разобьем на не-
сколько лемм.
Сначала заметим, что для любого х £ X существует
естественное вложение Lx—>P(L@ l)v, определяемое ото-
бражением у—>(у, 1). Это отображение продолжается на
одноточечную компактификацию слоя Lx и дает гомеомор-
физм одноточечной компактификации слоя Lx на слой
P(LQ)\)X. Если мы отобразим X в P(LQ)V)X, переводя
точку х в образ „бесконечно удаленной точки“ одноточеч-
ной компактификации слоя Lx, то получим сечение рас-
слоения Р(Лф1), которое мы назовем „бесконечным се-
чением". Аналогично нулевое сечение расслоения L дает
нам сечение расслоения Р(Аф1), которое мы назовем
нулевым сечением.
42
М. Атья. Лекции по К-теории
Выберем метрику на расслоении L\ пусть ScL — рас-
слоение со слоем единичная окружность. Обозначим
через Р° часть расслоения L, состоящую из векторов
длины <3, а через —часть расслоения Р(Лф1), со-
стоящую из сечения в бесконечности вместе со всеми
векторами длины ^>1. Обозначим проекции S —> X, Р°-+Х,
Р°° -> X соответственно через л, л0, лто.
Так как Ло и л^—гомотопические эквивалентности,
то каждое расслоение над Р° имеет вид л*^0), а каждое
расслоение над Р°° имеет вид л^ где Е° и Е°°— рас-
слоения над X. Таким образом, любое расслоение Е
над Р(Аф1) изоморфно одному из расслоений вида
(л’(Е°),/, <(£”)), где / С ISO (л* (£«), л* (Е°°))-функция
сцепления. Если мы потребуем, чтобы изоморфизм
£->(л’(Е0), /, л^(£°°))
совпадал с очевидными изоморфизмами над нулевым и
бесконечным сечениями, то гомотопический класс изо-
морфизма f будет однозначно определяться классом
расслоения Е. При этом снова используется тот факт,
что нулевое сечение есть деформационный ретракт про-
странства Р° и что бесконечное сечение есть деформа-
ционный ретракт пространства Р™. Упростим немно-
го наши обозначения, записывая (Е°, f, Е°°) вместо
(л; (ВО), /, Л^ (£-)).
Покажем, что расслоения Е° и Ег и функцию сцеп-
ления f можно выбрать в простом частном виде. В слу-
чае, когда расслоение L тривиально, S является прямым
произведением а проекция S —><S1— комплексно-
значной функцией на S, которую мы обозначим через z
(здесь 51 отождествляется с множеством комплексных
чисел, равных по модулю единице). Это позволяет нам
.рассмотреть функции на S, которые являются конечными
рядами Лорана от z с коэффициентами, представляющими
собой функции на Х\
п
S ak{x)z*.
k——a
Гл. 2. К-теория
43
Такие конечные ряды Лорана можно использовать для
равномерной аппроксимации функций на S.
Если L — нетривиальное расслоение, то мы имеем ана-
лог конечных рядов Лорана. В этом случае z является
сечением в расслоении, а не функцией. Так как л* (Z.)—
подмножество прямого произведения S X L, то диагональ-
ное отображение S ~> S®S с: S дает нам сечение
в расслоении л* (Л). Обозначим это сечение через z. Взяв
тензорные произведения, мы получаем для k 0 сечение zk
расслоения (л*(£))Л и сечение z~k расслоения (л*(£*))*.
Обозначим расслоение (L*)k через Ь~к. Тогда для любых
k, k' имеем Lk ® Lk ^Lk+k . Предположим, что ak £ Г (Z,~fc);
тогда n* (ak) ® zk £Г(л*(1)), и таким образом, л*(ак)®гк
есть функция на S. Обозначим эту функцию через
Под конечным рядом Лорана мы будем понимать сумму
функций на S вида
п
2j akzk,
k = -n
где для всех k.
Более общо, если Е°, Ега—два векторных расслоения
над X и ак £ Г (Hom (Lk ® Е°, Л°°)), то, обозначив ak® zk
через akzk, мы увидим, что конечная сумма вида
п
/= 2j akzk
k = -n
является элементом пространства сечений Г (л* (Л°), л*^30)).
Если / £ ISO (л* (Е°), л* (Л00)), то будем называть f функ-
цией сцепления Лорана для пары расслоений (Л°, Е°°).
Функция z является функцией сцепления для пары (1, L).
Далее, (1, z, L) есть в точности расслоение /7*, которое
мы определили ранее. Чтобы показать это, напомним сна-
чала, что Н* определялось как подрасслоение расслоения
л*(Лф1). Для каждого у (~Р(Аф1)х слой Ну является
подпространством пространства (Лф1)х и
/£=£а®0, /7о = Оф1х.
44
М. Атья. Лекции по К-теории
Таким образом, композиция
Н*-^л*(Аф1)-^л*(1),
индуцированная проекцией А®1—>1, определяет изо-
морфизм
/0: /7*|ро—>Лд(1).
Аналогично композиция
АС—>л*(Аф 1)->л* (А),
индуцированная проекцией А®1—>А, определяет изо-
морфизм
/ео: Я*|рот->Л*(А).
Следовательно, f = л*(1)—>л*(А) есть функция
сцепления для расслоения И*. Ясно, что если У^5Х, то
/(у)— изоморфизм, образ которого есть Ну. Так как
Ну — подпространство пространства Ахф1х, натянутое на
вектор у@1 (y£Svc Ал_, 1 £ С), то мы видим, что f есть
в точности наше сечение z. Таким образом,
/7*^(1, z, L).
Следовательно, для любого целого числа k
Hk^(i, z~k, L~k).
Следующий шаг в нашей классификации расслоений
над пространством Р — показать, что всякая функция
сцепления может быть взята как функция сцепления Лорана.
Предположим, что / £ Г Нот (л* (А0), л* (А°°)) — любое се-
чение. Определим коэффициенты Фурье этого сечения
айеГНот(А*®£о, £ет)
формулой
f fXZ'Xk~XdZx-
sx
Здесь fх, zx — ограничения сечений /, z на Sx, и dzx
является, следовательно, дифференциалом на Sx с коэф-
Гл. 2. К-теория
45
фициентами в Lx. Пусть Sn — частичная сумма
п
2 akzk',
k-—n
определим средние Чезаро
п
Й=0
Тогда доказательство теоремы Фейера о С (0, ^-сумми-
руемости рядов Фурье немедленно обобщается на рассма-
триваемый более общий случай и получается
Лемма 2.2.4. Пусть f — любая функция сцепле-
ния для (Е°, £“), и пусть fn — последовательность
средних Чезаро для ряда Фурье функции f. Тогда по-
следовательность fn равномерно сходится к f. Таким
образом, fn при достаточно больших п есть функция
сцепления для пары расслоений (Е°, Е'п) и (Е°, /, Ет)
= (£°. /л, Д°°).
Доказательство. Так как ISO(Е°, Е°°) — откры-
тое подмножество векторного пространства НОМ (Е°, Е°°),
то существует такое е > 0, что g £ ISO (Е°, Ею), если
|/ — g | < е, где | | означает обычную sup-норму по от-
ношению к фиксированным метрикам в Е°, Ет. Так как
последовательность fп равномерно сходится к /, то мы
имеем |/ — fn | < е для достаточно большого п. Таким
образом, |/ — (tf ~(I—t) fn) | < е для Сле-
довательно, f и fn гомотопны в пространстве ISO (Е°, Д°°),
поэтому (Е°, /, ЕСО)^(Е°, fn, Е°°).
Далее рассмотрим полиномиальную функцию сцепле-
ния, т. е. функцию вида
п
Р = 2 akzk.
Рассмотрим гомоморфизм
(п \ 7 п
й-0 / \
46
М. Атья. Лекции по К-теории
заданный матрицей
Ясно, что 8"(р)— гомоморфизм, линейный по z. Теперь
определим последовательность функций рг (г) по индукции
формулой
zpr+1 (z) = рг (г) — pr (0).
Тогда мы имеем следующее матричное тождество:
1 Pl Р2 • • • Рп
1
2’(Р) =
I
I 1
или, короче,
8л(р) = (1+^1)(Р®1)(1+^2),
где Nj и N2 — нильпотентные матрицы. Если У—нильпо-
тентная матрица, то (1-|-W) — невырожденная матрица
для 0 t 1, и поэтому мы получаем
Г л. 2. К-теория
47
Предложение 2.2.5. Функции сцепления 8я(р) а
рф 1 определяют изоморфные расслоения над простран-
ством Р, т. е.
(Е°, р, Д°°)ф( 5 Lk ® Е°, 1, 2 Lk ®
\Ы Л-1 /
= [ s Lk ® Е°, 8я (р), Е°°ф 2 I* ® Е°).
\ft-0 fe-I /
Замечание. Определение функции 8я(р), очевидно,
подсказано правилом перехода от обыкновенного диффе-
ренциального уравнения порядка п к системе уравнений
первого порядка.
Для краткости мы обозначим расслоение
п п '
2 £* ® Е°, 8я (р), Еюф2 ®Е°
к-0 к-1 ,
через 8я (Е°, р, Д00).
Лемм» 2.2.6. Пусть р — полиномиальная функция
сцепления степени ^п для пары расслоений (Еа, Е™).
Тогда имеют место следующие изоморфизмы:
(i) 8л+! (£°, р, ДЛ^8"(Ег>, р, Е°°)ф
ф(/,я+1®Е°, 1, Ля+1 ®Е°).
(ii) zp, E^^iE0, p, E00)©
@(L~l®E\ z, E°).
Доказательство. Имеем
Умножение функции z, стоящей в нижней строке, на пара-
метр t определяет гомотопию между функциями сцепления
8”+1(р) и 8л(р)ф1. Тем самым доказана первая часть
леммы.
48
М. Атья. Лекции по К-теории
Аналогично рассмотрим функцию сцепления й”+1(zp)
в матричной записи:
О
«о ^ ... ап_х ап
1 О
— z 1
— г
• 1
— Z 1
Умножив 1, стоящую во второй строке, на параметр t,
мы получим гомотопию между функциями сцепления
й”+1(гр) и й”(р)ф(—г)1). Так как функция —z есть
композиция функции z с отображением (—1) и так как
отображение (—1) продолжается на все пространство рас-
слоения Е\ то имеет место изоморфизм (А-1® Д°, — z,E°y=±
— (z.-1 ® E°, z, Д°). Следовательно, и вторая часть леммы
доказана.
Дадим теперь простое алгебраическое описание кольца
К(Р). Обозначим в дальнейшем [(Д°, р, Д°°)] через
[Д'», р, Д°°].
Предложение 2.2.7. Для. любой полиномиальной
функции сцепления р пары расслоений. (Д°, Д°) имеет
место тождество
([ДО, р, Д°°] —. [До, 1, Д°]) ([Z.] [ZZ] —- [1]) — 0.
Доказательство. Из второй части леммы 2.2.6 и
предложения 2.2.6 мы получаем, что
(Z,-1® Д9. zp, д°°)ф( 2 ДО, 1, 2 а*®д°Ы
\£=0 £=0 /
=(д°. р, дот)®( 2^®д°, 1, 2^®д°)®
\£=1 /
- ®^®Е\ z, Д°)-
*) Выполнив указанное умножение, мы найдем семейство
функций сцепления 8”+1 (гр)щ, причем 8" (р) ф (— г) получится
из 8” + 1 (£/0(O), если поменять местами первую и вторую строки.
Легко заметить, что 8л+1(рг)(0) и 8Л (р) ф (—г) гомотопны
в пространстве ISO (5°, Ех). — Прим, перев.
Гл. 2. К-теория
49
Таким образом, в кольце К (Р) имеет место равенство
гр, £°°]ф[£0, 1, 5°] =
= [£°, р, 5°°] ф [L-1 ® £°, г, Е°].
Так как [1, г, /,] = [/№], то
[L-1] [ЛГ1] [£°, р, £ет]ф[£°, 1, £°] =
= [Е°, р, £°°] ф[а-1][//-1][Е0, 1, £°].
В частности, полагая Е° = 1, р = z, Еп — L, мы полу-
чаем формулу
([#]-[!])([£] [Я]-[Ц) = 0,
которая составляет часть утверждения нашей основной
теоремы.
Теперь обратим внимание на линейную функцию сце-
пления. Сначала предположим, что Т — некоторый эндо-
морфизм конечномерного векторного пространства Е. Пусть
S — окружность в комплексной плоскости, не проходящая
ни через одно собственное значение эндоморфизма Т. Тогда
оператор
$
является проектором S в Е и коммутирует с Т. Следова-
тельно, разложение Е = Е+ (&Е_, Е+ = QE, Е_=(1 —Q) Е,
инвариантно относительно Т, и поэтому оператор Т можно
представить в виде Т — Т+@Т_, причем все собственные
значения оператора Т + лежат внутри окружности S, тогда
как все собственные значения оператора Т_ расположены
вне S. Разумеется, равенство Т = Т + Т_ есть просто
спектральное разложение эндоморфизма Т, соответствую-
щее двум компонентам связности дополнения к окруж-
ности S в комплексной плоскости.
Обобщим теперь эти результаты на векторные рас-
слоения, но сначала сделаем некоторые замечания относи-
тельно обозначений. В предыдущих рассуждениях z и, сле-
довательно, р (г) были сечениями над S. Однако эти сече-
ния продолжаются естественным образом до сечений над
всем расслоением L. В некоторые утверждения будет удобно
4 За». 719,
50
М. Атья. Лекции по К-теории
включить также бесконечное сечение расслоения Р. Так,
если мы утверждаем, что р (2) = az + b — изоморфизм
вне S, то это включает в себя утверждение о том, что
а — изоморфизм.
Пусть р—линейная функция сцепления для пары рас-
слоений (Е°, Е^1); определим эндоморфизмы Q°, Q°° рас-
слоений Е°, Е20 следующими формулами:
i dP*’ i \dPx‘ P~X^
s s
x x
Тогда Q° и Q°° — проекторы и
Обозначим El+ = QiEl, El_=(l—Ql}El, 1 = 0, co, так
что El = E1+QEL. В этих обозначениях имеет место
Предложение 2.2.8. Функция сцепления р для
пары расслоений (Е°, Е°°) совместима с разложениями
Е1 = Е1+@Е1_, 1 = 0, со, и поэтому р = р +ф р_. Более
того, р+ — изоморфизм вне S, а р_ — изоморфизм
внутри S.
Доказательство. Достаточно проверить эти утвер-
ждения в каждой точке х £ X. Другими словами, можно
предположить, что X—точка, £=С и z — комплексное
число. Так как функция p(z) определяет изоморфизм для
| z |= 1, то можно найти такое вещественное число а > 1,
что р (а): Е°—>ЕХ—изоморфизм. Для простоты вычисле-
ний мы отождествим Е° с Д00 при помощи этого изомор-
физма. Далее рассмотрим конформное преобразование
которое сохраняет единичную окружность и ее внутрен-
ность. Выражая z через w и учитывая, что мы положили
р(а)= 1, находим следующее выражение для функций р(д):
/>(*) =
w — Т
w4-а *
Гл. 2. К-теория
51
где Т g End (Е°). Следовательно,
1г |-1
= '2лТ .[ (~О + a)-1^ + (w— Т)'1 dtv) —
\w [ = 1
If —1
= -^-т (w — Т) die, так как | а | > 1.
J vt J
| W I =1
Аналогично
QOO==i' J (rfwXw-n-1 =Q0,
I W (= 1
поэтому наши утверждения следуют из соответствующих
утверждений о линейном преобразовании Т.
Следствие 2.2.9. Пусть р — линейная, функция
сцепления, определенная в предложении 2.2.8; рассмо-
трим функции
P+ — a+z-{-b+, р _ = a_z Ъ
Тогда если р (f) = р +(0® Р _ (0> г^е
p+(t) = a+z-}-tb+, р_{t) = ta_z + ь_,
то мы получаем гомотопию линейных функций сце-
пления, связывающую р с a+z-\-b_. Таким образом,
(Е°, р, £°°)=Дд0+, z, L®E°+)®(e°_, 1, Е°_\
Доказательство. Из последней части леммы 2.2.6
вытекает, что p.(t) и p_(t) — изоморфизмы на S для
0</<1. Таким образом, р (t)—функция сцепления при
Следовательно, имеют место изоморфизмы
(Е°, р, Е^^Е0, р(1), Ет)^
^(Д°+, a+z, Д”)фСб°_, Ь_, Е^.
Так как а+: A ->£“, b_: Е°_ ~>Et — непременно
изоморфизмы, то мы видим, что
(£°+, a+z, Д+)^(£°+, z, L®E0+),
(д°_, г>_, £'“)^(£°_, 1, £°_).
4*
52
Af. Атья. Лекции по К-теории
Рассмотрим теперь снова полиномиальную функцию
сцепления р степени Тогда 8"(р) — линейная функ-
ция сцепления для пары расслоений (V0, V00), где
V0 = 2 Lk ® Е°, Vm = £°°Ф 2 А* ® £°.
k-О й = 1
Следовательно, как и выше, линейная функция сцепления
определяет разложение
V° = V0+©V°_.
Чтобы подчеркнуть зависимость расслоения от функ-
т /О
ции р и числа п, запишем v+ в виде
V°+ = Vn(E°, р, А1”).
Заметим, что —векторное расслоение над X. Если
pt — гомотопия полиномиальных функций сцепления сте-
пени п, то из построения расслоения Vп над простран-
ством X X I следует, что
Vn(E\ р0, Р1, Е<”).
Поэтому из гомотопий, используемых в доказательстве
леммы 2.2.6, мы получаем следующие изоморфизмы:
V„+1(£°, Р, £ot)^V„(£0, р, Е°°),
Vn+i{L~1®E°, zp, E^V^E0, р,
или, что эквивалентно,
V„+1(£°, zp, L&E°°)^L®Vn(E°, р, 5ет)©£°.
Комбинируя этот результат со следствием 2.2.9 и пред-
ложением 2.2.5, мы получаем следующую формулу
в кольце К (Р):
'[£«, р, £°°] ©- ( 2 [Aft ® £0] [ [1] =
u-i )
= р, zr)]^-1]©
+ |2l^®£°]-[^(£0. р,
ц= о j
Гл. 2. К.-теория
53
и отсюда формулу
[£°, р, Еот] = [У„<Е°, р, £”)]([/Г Vtl]) + №]•
Это показывает, что элемент полностью опре-
деляет элемент [£°, р, Еот] (Р)- Теперь мы можем дока-
зать нашу теорему.
Пусть t — независимая переменная над кольцом К (Л").
Так как имеет место соотношение ([И] — [!])([/.] [/У]—•
— [1])— 0, то отображение индуцирует гомомор-
физм К (Х)-алгебр
И: К(Х)[Л/((У-1)([£]/-1))->К(Р).
Чтобы доказать, что и — изоморфизм, мы построим обрат-
ный гомоморфизм в явном виде.
Пусть / — функция сцепления для пары расслоений
(£°, fп — последовательность средних Чезаро ее ряда
Фурье, и пусть pn—znfn. Тогда рп при достаточно боль-
шом п представляет собой полиномиальную функцию сце-
пления (степени 2и) для пары расслоений (Е°, L" ® Е™).
Определим элемент
vn(j) -1)( 1))
формулой
V„ (/) = [v2„ (£°, pn, Ln g £°°)] Q""1 - У") + [£°] tn.
Теперь для достаточно большого п отрезок, соеди-
няющий функции pn+i и zpn ’), определяет гомотопию
полиномиальных функций сцепления степени <J2(n-|-l).
Следовательно, согласно формулам, вытекающим из след-
ствия 2.2.9, имеют место изоморфизмы
V2„+2(£°, Рл+1, zpn, Ln+'®E^
^V2n+l(E°, zPn, Ln+'®E^
^L®V2n(E\ Pn, Ln®E^®E*.
Отсюда
v„+1 (/) = {IL] [У2л (£°, p„, Ln ® £“)] + [£0]} (tn - tn+v) +
+ [£°] tn+x=vn{f),
') Отрезком, соединяющим функции а и b, здесь называется
семейство функций —t)b, — Прим, перев.
54
М. Атья. Лекции по К-теории
так как (7— 1)([Л]/—1) = 0. Таким образом, v„(/) при
достаточно больших п не зависит от п и, следовательно,
зависит только от функции /. Учитывая это, мы будем
писать v (/) вместо v„ (/). Если g — функция, достаточно
близкая к /, и п — достаточно большое число, то отрезок,
соединяющий функции fn и gn, дает гомотопию полино-
миальных функций сцепления степени 2п и, следова-
тельно, v (/) — v„ (/) = v„ (g) = v (g). Таким образом,
v(/)—локально постоянная функция от f и, следовательно,
зависит только от гомотопического класса функции /.
Далее, если Е — произвольное расслоение над Р и f —
функция сцепления, определяющая расслоение Е, то мы
положим v (£) = v (/); при этом элемент v(f) корректно
определен и зависит только от класса расслоения Е. Так
как сопоставление каждому расслоению Е элемента v(£),
очевидно, аддитивно относительно сложения, то оно инду-
цирует гомоморфизм групп
v: 1)([Л]^— 1)).
Из нашего определения ясно, что v является, кроме того,
гомоморфизмом К (-У)-модулей.
Сначала мы проверим, что гомоморфизм pv тожде-
ственный. Используя введенные выше обозначения, полу-
чаем
pv (£) = р {[И2„ (Д°, рп, Ln ® £”)] (/"-1 - Л + [Д°] Н =
= [V2„(£°, рп, Ln ® Em)]([H]n-1 —[//]")Ч-[£°] [//]" =
= [Е°, рп, Ln ® £”] [Я]л = [£°, Д°°] = [ДО, /, £”] = Е.
Так как кольцо К (Р) аддитивно порождено элементами
вида [£], то тем самым доказано, что pv—тождественный
гомоморфизм.
Наконец, докажем, что и vp — тождественный гомо-
морфизм. Так как vp — гомоморфизм К (А')-модулей, то
достаточно показать, что vp (/") = tn для всех п 0.
Однако
vp(/«) = vlHf = v[l, z~n, L~n\ =
= [V2„(1, 1, =
так как И2я(1, 1, 1) = 0.
Г л. 2. К-теория
55
§ 2.3. Группа Ка (X)
Пусть О — конечная группа, X — некоторое G-простран-
ство и Vecto(X) — множество классов изоморфных век-
торных G-расслоений над X. Множество Vecto(A") является
абелевой полугруппой относительно суммы Уитни ф. Обра-
зуем ассоциированную абелеву группу и обозначим ее
через Ка(Х). Если G=1—тривиальная группа, то
Ка(Х') = К(Х). С другой стороны, если X — точка, то
А"о (“*0 = ^(0)— кольцо характеров группы G.
Если Е — векторное G-расслоение над X, то Р(Е)
является G-пространством. Если £ = Аф1 и А —некото-
рое G-расслоение, то нулевое и бесконечное сечения
X —>Р(Е) являются оба G-сечениями. Расслоение Н над
Р(Е) также является линейным G-расслоением. Вниматель-
ное изучение данного выше доказательства теоремы перио-
дичности позволяет заметить, что во всех пунктах доказа-
тельства мы могли бы ввести действие группы G. Таким
образом, мы можем получить теорему периодичности для
групп Ко.
Теорема 2.3.1. Для G-пространства X и линей-
ного G-расслоения L над X отображение инду-
цирует изоморфизм КО(Х)-модулей
Ко (X) [t]l( (t - 1) (/ [А] - 1)) -> Kq (Р (Аф 1)).
§ 2.4. Когомологические свойства функтора К
Определим группу К (X, Y) для компактных пар (X, К).
Тогда мы сможем установить чисто формально некоторые
свойства функтора К- Так как доказательства формальны,
то наши теоремы одинаково верны для любой “теории
когомологий”, удовлетворяющей некоторым аксиомам. Мы
предоставляем эту формализацию читателю.
Пусть 6—категория компактных пространств, (S+—ка-
тегория компактных пространств с отмеченной базисной
точкой и 62— категория компактных пар. Определим
функторы
(Е2->®+.
6 ->(S2,
56
М. Атья. Лекции по К-теории
ставя в соответствие паре (X, Y) пространство Х/Y с отме-
ченной точкой Y/Y (если У—пустое множество, то под XIY
понимается непересекающееся объединение пространства X
с отмеченной точкой). Второй функтор каждому простран-
ству X ставит в соответствие пару (X, 0). Композиция
этих функторов определяет функтор б->б + , который
переводит X в Х+, где через Х+ обозначено простран-
ство Х/0.
Если X принадлежит категории ®+, то мы опре-
делим К (X) как ядро отображения I*: К (Х)-+ К (х0),
где I: х0—>Х —вложение базисной точки. Если с: X ->х0—
естественная проекция, то с* индуцирует расщепление
К (X) (X)Q)K (Xq). Это расщепление, очевидно, есте-
ственно для отображений в категории б+. Таким образом,
К — функтор на категории б + . Очевидно также, что
К (X) К (X +). Определим группу К(Х, Y) равенством
К(Х, Y)=K(X/Y). В частности, К(Х, 0)^К(Х). Так
как К — функтор на категории б+, то К(Х, Y)—контра-
вариантный функтор пары (X, Y) в категории б2.
Теперь введем операцию „Д-произведения" в катего-
рии б + . Если X, К£б+, то положим
X Д Y = X X YfX V Y,
где X V Y = X X Уо U хо X Y, х0, у0 — отмеченные точки
соответственно пространств X, Y. Для любых трех про-
странств X, Y, Z£6+ имеет место естественный гомео-
морфизм
X Д(У AZ)^(X AY)AZ,
поэтому мы отождествляем эти пространства.
Пусть Z — единичный интервал [0, 1] и д[ = {0} (J {1} —
-его граница. Примем факторпространство 1/д1 £б+ за стан-
дартную модель окружности S1. Аналогично, если /"—еди-
ничный куб в Ra, то примем факторпространство 1п[д1п
за модель n-мерной сферы S". В этом случае мы имеем
естественный гомеоморфизм
Sn^S1A$1A ••• Л^'(й сомножителей).
Г л. 2. К-теория
57
Для A'^(S* пространство <$' Д X называется при-
веденной надстройкой над пространством X и часто
записывается в виде SX. Ясно, что /г-кратно итерирован-
ная надстройка SS . . . SX (п раз) естественно гомеоморфна
пространству S" Д X; она записывается как S"X.
Определение 2.4.1. Для и^О положим
К~" (Х) = К (SnX) для Х£(Г,
К~п(Х, Y) = К~п (XiY) = К (Sn (XX)) для (X, У)£62,
К-\Х) = К^\Х, 0) = x(S"(X+)) для Х£($.
Очевидно, что так определенные группы К " (X),
К~" (X, Y), К~п(Х) представляют собой контравариант-
ные функторы на соответствующих категориях.
Прежде чем приступить к дальнейшему изложению,
определим конус над пространством X формулой
СХ = /Х*/{0}Х*-
Таким образом, конус С является функтором С: >® + .
Отождествим X с подпространством {1} X X простран-
ства СХ. Пространство СХ/Х = / X Х/д! X X назы-
вается неприведенной надстройкой над X. Заметим, что
неприведенная надстройка является функтором >® + ,
тогда как приведенная надстройка S представляет собой
функтор б+->® + . Если Х^б + с отмеченной точкой х0,
то мы имеем естественное отображение вложения
I ^Сх0'х0^СХ;Х,
а факторпространство, полученное стягиванием интервала /
в пространстве СХ/X, является в точности приведенной
надстройкой SX. Таким образом, по лемме 1.4.8 проекция
р: CXfX—>SX индуцирует изоморфизм групп К(SX) —
^,K(CXfX) и, следовательно, также изоморфизм групп
К (SX)xX (СХ/Х). Поэтому использование обозначе-
ния SX как для приведенных, так и для неприведенных
надстроек не приводит к ошибкам.
Если (X, У) £ (Р, то определим X U CY как простран-
ство, полученное из X и CY отождествлением подпро-
странств YczX и {lj ^YciCY. Рассматривая отмеченную
58
М. Атья. Лекции по К-теории
точку пространства СУ как отмеченную точку пространства
X (J СУ, имеем
хисге®+-
Заметим, что X—подпространство пространства X (J СУ
и что существует естественный гомеоморфизм
Х\]СУ{Х^СУ!У.
Таким образом, если то
KGYuCr, X)^K(CY, Y)^K{SY) = K~X(Y).
Начнем с одной простой леммы.
Лемма 2.4.2. Для пары {X, имеет место
точная последовательность
К(Х, Y)-bK(X)^K(Y),
где I: У-> X и j\ (X, 0)->(X, У)— вложения.
Доказательство. Композиция гомоморфизмов i*j*
индуцируется композицией отображений ji: (У, 0)->(X, Y)
и поэтому разлагается в композицию двух гомоморфизмов,
одним из которых является отображение в нулевую группу
К (У, К). Таким образом, i*y* = 0. Предположим теперь,
что ££KerZ*. Мы можем представить элемент £ в виде
[Д] — [п], где Е— векторное расслоение над X. Так как
Z*£ = 0, то [£ |г] = [п] в группе /С(К). Это означает, что
для некоторого целого числа т мы имеем
(£©«) |г = п® т,
т. е. тривиализацию а расслоения (£фи)|г. Это опреде-
ляет расслоение f®m/a на факторпространстве Х/У
и поэтому элемент
т] = [Дф«/а] — [п@т]£К (X/У) — К (X, У).
Тогда
/*(П) = — [яф«] = [£] — [«] = |.
Таким образом, KerZ*=Imy* и точность установлена.
Следствие 2.4.3. Если (X, и {так
что, взяв ту же отмеченную точку в пространстве X,
Гл. 2. К-теория
59
что и в пространстве Y, имеем X £6+), то после-
довательность
К(Х, Y)-+K(X)->K(Y)
точна.
Доказательство. Следствие вытекает непосред-
ственно из леммы 2.4.2 и естественных изоморфизмов
К (Х)^К(Х) ®К(у0).
к (Г) ~к (Г) ®К(у0\
Теперь докажем наше основное утверждение.
Предложение 2.4.4. Для пары (X, Х)£б+ суще-
ствует естественная точная последовательность (бес-
конечная слева')
... ->/Г2(Г)—Y)К~\Х)
->К~Х (Г) — -> /<° (X, Y) Кй (X) К° (Г).
Доказательство. Очевидно, достаточно показать,
что для (X, /)£($2 и имеет место точная после-
довательность из пяти членов
(*) i(-1(X)^X-\Y)^X0(X, Г)-£->
->К°(Х)~ +K°(Y).
Действительно, если это установлено, то, заменив пару
(X, Y) парой (SnX, SnY) для п=1, 2..., мы получим
бесконечную последовательность, продолжающую после-
довательность (*). Затем, заменив пару (X, Y) парой
(Х+. У+), где (X, Y) — любая пара из категории К2, мы
получим требуемую бесконечную последовательность. Далее
из следствия 2.4.3 вытекает точность последних трех
членов последовательности (*). Чтобы доказать точность
оставшейся части, применим следствие 2.4.3 к парам
(X\)CY, X) и ((Д' U CY) (J СХ, X\jCY). Сначала, взяв
пару (X (J CY, X), мы получим точную последовательность
(где k, т — естественные вложения)
K(X\]CY, X)^K(X^CY)^K(X).
60
М. Атья. Лекции по К-теории
Так как пространство CY стягиваемо, то из леммы 1.4.8
следует, что отображение
р*: К(XjY)-* К (X CY)
является изоморфизмом, где
р: X (jCY X (JCY/CY = X/Y
— естественная проекция. Кроме того, композиция k*p*
совпадает с гомоморфизмом у*. Пусть
0: K(X\JCY, X) ~>K~\Y)
— определенный ранее изоморфизм. Задавая гомоморфизм
6: K~1(Y)^K(X, К)
формулой 6 = т*0-1, мы получаем точную последователь-
ность
X~\Y)-Kk(X, Y)^+K(X),
которая совпадает со средней частью последовательности («).
Наконец, применим следствие 2.4.3 к паре
{X X\)CxY),
где С\ и С2 — конусы соответственно над Y и X.
Таким образом, мы получили точную последовательность
К(Х\]С^\]С2Х, Х[]СХ)->
-^К:(Хие1У'иС2Х)-^^(ХиС1К).
Достаточно показать, что эта последовательность изо-
морфна последовательности, полученной из первых трех
Гл. 2. К-теория
61
членов последовательности (*). Принимая во внимание
определение гомоморфизма 6, достаточно показать, что
диаграмма
К (X U Сг Y U С2Х, XuC^-^XiXljC^U^X)
II II
(D) К(С2Х/Х)
II II
х~\Х)
коммутативна с точностью до знака. Трудность заклю-
чается, конечно, в том, что I* индуцируется вложением
C2Y-+C2X
и что в рассмотренной выше диаграмме мы имеем C^Y,
а не C2Y.
Чтобы справиться с этой задачей, введем двойной конус
над Y, а именно ClYuC2Y.
Это приводит к коммутативной диаграмме отображений
X U CJ U С2Х.--=>C^/Y =}SY
(Е) /С1ГиСгЧ
С2Х/Х +-------- c2y/y=^sy
где все двойные стрелки индуцируют изоморфизм групп X-
Используя эту диаграмму, мы видим, что диаграмма (D)
коммутативна с точностью до знака, при условии, что
62
М. Атья. Лекции по К-теории
индуцированная диаграммой (Е) диаграмма
XK(C2Y/Y)+-K(SY)
коммутативна с точностью до знака. А это вытекает не-
посредственно из следующей леммы, которая представляет
интерес сама по себе и потребуется нам в дальнейшем.
Лемма 2.4.5. Пусть отображение Т-. S'—>S' опре-
деляется формулой T(t)=\—t, t£I (напомним, что
S1 = //д!), и пусть ТД1: *SX—— отображение, по-
лученное из Т на S' и тождественного отображения
на Y (для Y £б+). Тогда для y£K(SX) имеет место
равенство (Т Д 1)*у = — у.
Эта лемма легко выводится из следующей.
Лемма 2.4.6. Для любого отображения f:Y—>
—> GL (п, С) и соответствующего векторного расслое-
ния Ef над надстройкой SY отображение f —[п]
индуцирует изоморфизм групп
lim [У, GL(n, С)] K(SY),
П-><Х)
причем групповая структура множества в левой части
индуцируется групповой структурой группы GL (п, С).
Действительно, по лемме 2.4.6 операция (Т Д 1)* на
группе К (5/) соответствует с точностью до изоморфизма
операции, заменяющей отображение у—> f (у) отображением
у->/(у)-1, т. е. инверсии в группе. Таким образом,
из леммы 2.4.6 вытекает лемма 2.4.5 и, следовательно,
предложение 2.4.4. Итак, остается доказать лемму 2.4.6.
Из леммы 1.4.9 вытекает, что отображение / —>[£у] — [п]
” устанавливает взаимно однозначное соответствие между
множествами
lim[Г, GL(n, C)]->^(Sr).
Тот факт, что это гомоморфизм групп, следует из гомо-
топии, связывающей два отображения GL (n) X GL (п) —>
Г л. 2. К-теория
63
—> GL (2п), заданных формулами
О
1
АВ
О
Эта гомотопия определяется формулой
й(яхв)=
/А ОХ/ cos/ sin/X/l OWcos/ —sin/
\0 1/1—sin/ cos/ /\0 В IX. sint cost
где 0 X / n/2.
Из предложения 2.4.4 выводим
Следствие 2.4.7. Если Y—ретракт простран-
ства X, то для всех пД-0 точная последовательность
К~п (X, Y) Х~" (X) Х~" (Y) расщепляется:
Y)@K~n(Y).
Следствие 2.4.8. Если X, Y — два пространства
с отмеченными точками, то для всех п~^0 проекции
л,х: X'X.Y~>X, лу: XX.Y —> Y индуцируют изоморфизм
К-п(ХХУ)^К-п(Х Л Y)®K~n(X)QK-n(Y).
Доказательство. Пространство X является ре-
трактом пространства X X Y, Y — ретрактом пространства
(X X У)1*- Поэтому сформулированный результат полу-
чится, если дважды применить следствие 2.4.7.
Так как группа Кй(Х Д Y) представляет собой ядро
отображения 1”х@1*у: ^°(ХХ/)—>/<0(Аг)фЛ'0(1Л), то обыч-
ное тензорное произведение № (X) ® К° (К) —> Х° (X X О
индуцирует спаривание Х° (X) X Х° (Y)~>K0(X Д Y). Таким
образом, имеет место спаривание
K-n(X)XK-mCY)-+K~n~m(X Д Y),
так как SnX Д S"X = S" /\Sm Д X Д Г = 5п+тД X /\ У.
Заменяя X на Х+ и Y на мы получаем
К п (X) ® К "п (Y) ->К~п~т (X X Г).
64
М. Атья. Лекции по К-теории
Используя это спаривание, можно перефразировать теорему
периодичности следующим образом.
Теорема 2.4.9. Для. любого пространства X и
любого отображение К~2 (точка') ® К~п (Х)->
-> К~"~2(Х) индуцирует изоморфизм 0: К~п(Х) ->
->/Гл-2(АГ).
Доказательство. Абелева группа К~2(точка) =
= К (S2) является свободной и порождается элементом
[//] — [1]. Если (X, К)£62, то отображения в точной
последовательности из предложения 2.4.4 коммутируют
с изоморфизмом периодичности |3. Это, очевидно, верно
для гомоморфизмов г* и /*, а также для б, так как этот
гомоморфизм тоже индуцирован отображением пространств.
Другими словами, изоморфизм |3 сдвигает всю последова-
тельность влево на шесть членов. Следовательно, если мы
определим Кп (X, У) для п > 0 индуктивно по формуле
К~п — К~п~2, то мы сможем распространить предложе-
ние 2.4.4 на точную последовательность, бесконечную в обе
стороны. С другой стороны, используя периодичность р,
можно определить точную последовательность из шести
членов
К°(Х, У)-^К°(Х)-> К°(У)
t I
КДУ) <-К'(Х)^К'(Х, У)
Если не оговорено противное, мы будем всегда отожде-
ствлять Кп и Кп~2. Введем группу
К*(Х) = К°(Х)@КДХ).
Тогда для любой пары (X, У) мы имеем точный треугольник
К* (X, У)->К*(Х)
X Х
К* (У)
В формулировке 2.4.9 теорема периодичности является
частным случаем более общей „теоремы Тома об изомор-
Гл. 2. К-теория
65
физме“. Пусть X — компактное пространство, Е— веще-
ственное векторное расслоение над X. Комплексом Тома ХЁ
расслоения Е называется одноточечная компактификация
полного пространства расслоения Е. С другой стороны,
если Е — комплексное расслоение, то Xе == Р (Е@\)]Р (Е).
Таким образом, мы видим, что к(ХЕ) представляет собой
модуль над К (X).
Докажем теорему Тома об изоморфизме для комплекс-
ных линейных расслоений.
Теорема 2.4.10. Если L — комплексное линейное
расслоение, mo K(XL} представляет собой свободный
К(Х)-модуль с одной образующей р(Л), причем образом
р(А) в кольце K(P(L@ 1)) является элемент [//] — [А*].
Доказательство. Утверждение немедленно следует
из основной теоремы, определяющей кольцо К (Р (Лф1)),
и точной последовательности пары Р(Аф1), Р(А) (заме-
тим, что Р(Е)~Х).
В заключение этого параграфа приведем обобщение
леммы 2.4.5, которое потребуется нам в дальнейшем.
Лемма 2.4.11. Пусть Та: SnX-+SnX — отображе-
ние, индуцированное перестановкой а п сомножителей
в выражении S'1 = S1 Д S1 Д ... Д S1. Тогда (Тд)*х =
— sgn(o)x для любого элемента х (SnX).
Доказательство. Рассматривая сферу 8" как
одноточечную компактификацию вещественного евклидова
пространства R", мы можем определить действие группы
GL(«, R) на ней и, следовательно, на группе К (8пХ). Тем
самым обобщается действие перестановки Та. Так как
группа GL(«, R) имеет ровно две компоненты линейной
связности, характеризуемые знаком определителя преобра-
зования, то достаточно проверить формулу Т*х = — х для
одного преобразования Т £ GL (п, R), для которого
detT = —1. Но следствие 2.4.5 дает требуемую формулу
для преобразования
—1
1
5 Зак, 719,
66
М. А т ь я. Лекции по К-теории
§ 2.5. Вычисление группы К*(Х) для некоторых
пространств X
Из теоремы периодичности мы видим, что К (Sn) = О,
если п нечетно, и К (Sn) = Z, если п четно. Это позволяет
нам доказать теорему Брауэра о неподвижной точке.
Теорема 2.5.1. Пусть D" — единичный шар в евкли-
довом п-мерном пространстве. Если отображение
f : Dn —> Dn непрерывно, то для некоторого x£Dn
имеет место равенство f(x) = x.
Доказательство. Так как К* (Dn)=0 и К*
то Sn~l не является ретрактом шара Dn. Если f (х) 4= х ни
для какого х £ Dn, то определим отображение g\ Dn —
формулой g (х) — (1 — а(х) )f (х) -ф- а (х) х, где а(х)—
единственная функция, такая, что а (х) 0 и | g (х) | = 1.
Если f (х) х для всех точек х, то ясно, что такая функ-
ция а (х) существует. Если x£Sn~\ то а(х)=1 и
g(x) = x. Таким образом, g является ретракцией шара Dn
на сферу S”-1.
Мы будем говорить, что пространство X является кле-
точным разбиением, если в X существует такая фильтра-
ция замкнутыми множествами X_x<z.X0<z.X<z.Xп — X,
что каждое Xk — Xk_l есть непересекающееся объедине-
ние открытых й-мерных клеток и Л’_1=0.
Предложение 2.5.2. Если X — такое клеточное
разбиение, что X2k = X2k п для всех k, то К'(Х) =
—О, К°(Х)~ свободная группа, образующие которой
находятся во взаимно однозначном соответствии
с клетками разбиения X.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Так
как факторпространство Х2п\Х2п_2 представляет собой
объединение 2п-мерных сфер с одной общей точкой, то
(^2л' ^2л-2) — О'
№(^2я- *2„-2) = Z*.
где k — число 2п-мерных клеток в X. Таким образом,
результат для остова Х2п следует из предположения индук-
ции и точной последовательности пары (Х2п, Х2п_<^.
Утверждение 2.5.2 можно применить, например, к таким
пространствам X, как комплексное многообразие Грас-
Гл. 2. К,-теория
67
смана, многообразие флагов, комплексная квадрика (про-
странство, которое определяется однородным уравнением
вида 2^ = 0). В дальнейшем мы еще ^рнемся к много-
образиям флагов.
Предложение 2.5.3. Пусть Ц............Ln—линей-
ные расслоения над X, и пусть Н — стандартное рас-
слоение над проективизацией P(LV® ... фЛл). Тогда
отображение t—>[H\ индуцирует изоморфизм К (Ху-
модулей
п
к (X) [П/П (' ~ к*]) -> к (Р (L, ф . . . ф L,t)).
<=i
Доказательство. Сначала мы покажем, что можно
взять Ln = 1. Действительно, для любого векторного рас-
слоения Д и линейного расслоения L над X мы имеем
Р(Е ® А) = Р (Е), и стандартные линейные расслоения G, Н
над проективизациями P(E®L*), Р(Е) связываются фор-
мулой G* — Н* ® L, т. е. О — Н ® L*. Взяв Е = Lx ф ...
®Тп и L=~Ln, мы видим, что утверждения для рас-
слоений L{ ф ... ф£„ и ф . . . ® Мп, где М, = Lt®Ln
эквивалентны. Мы можем, следовательно, предположить,
что Ln — 1. Обозначим для краткости
рт = р (Li © • © Lm) для 1 < т < п,
так что имеют место включения X = Р} —> Р2 — > . . . ->Рп'
Если Нт — стандартное линейное расслоение над Рт, то
Нт\ ^Нт_х. Теперь мы видим, что диаграмма
.72-1
Рп—1 —> Р(ЯЛ*-1Ф 1)
к-i к
Р1 РП
коммутативна — проекция на X — 2„ — вложение,
s—нулевое сечение). Из этой диаграммы вытекает суще-
ствование гомеоморфизма
5*
68
М. Атья. Лекции по К-теории
Более того, q\Hr^'^:G представляет собой стандартное ли-
нейное расслоение над Р(#п-1Ф !)• Кольцо К (Р(Нп-1® 1))
является свободным /("(Р^^-модулем с двумя образую-
щими [1] и [G], причем [G] удовлетворяет уравнению
([G]— [J])([О] — [//„.J) — 0. Так как s*[G] = [l], то
К (Р (^п-1ф 1). s (Рл-1)) — свободный подмодуль, порож-
денный элементом [G] — [1], причем на этом подмодуле
умножение на элемент [G] и умножение на элемент
совпадают. Следовательно, кольцо К (Рп, Pj) представляет
собой свободный К(Р„_])-модуль, порожденный элементом
([Я„] — [1]). Структура этого модуля такова, что для
любого элемента х £ К (Рп, Р^
[Нп-i] х = [Ип] х.
Предположим теперь, что утверждение 2.5.3 доказано
для (п—1) и, таким образом,
п
где t соответствует элементу Отсюда следует, что
отображение индуцирует изоморфизм идеала,
порожденного элементом (t—1) в кольце
п-1
1) П (*-1Ф
i-х
на кольцо К(Рп, Р{). Так как
K(P„)S/C(P„, PJ®K(X)
и так как Ln = 1, это дает требуемый результат для
кольца К (Рп); тем самым установлен переход от и — 1
к л и завершено доказательство.
Следствие 2.5.4. Отображение /->[/7] устана-
вливает изоморфизм колец К (Р (Ся)) = Z — 1)”.
Доказательство. Предположим, что X — точка,
и применим утверждение 2.5.3.
В доказательствах результатов этого параграфа мы
могли бы опять ввести действие конечной группы и полу-
чить следующее утверждение:
п
ко(*)и/Д(/ -1^])=^о(Р(^Ф ••• ©£«))•
Гл. 2. К-теория
69
§ 2.6. Умножение в кольце К*(Х, У)
Заметим сначала, что умножение в кольце К (X) может
быть определено „внешне" следующим образом. Пусть
Е, F — два расслоения над Х\ обозначим символом Е F
расслоение л* (Е)® л* (Л) над ХуХ. Если А: X —> Х'®Х —
диагональное отображение, то по определению Е ® Р==
= b*(E®F).
Если Е — расслоение над X, a F — расслоение над У,
то обозначим через расслоение л*х(Е) ® n*y(F) над
X X Это определяет спаривание
Если пространства X, Y имеют отмеченные точки, то
кольцо К (X Д К) представляет собой ядро естественной
проекции К (X X ^)—> К(Х) ф К (К). Таким образом,
определен гомоморфизм
К (X) ® К (Y)(X /\ Y).
Пусть (X, Я), (Y, В) — пары пространств. Тогда опре-
делен гомоморфизм
К (X! Я) ® к (Y/B) ->K((XJA) Л (Y/В)),
т. е. гомоморфизм
К(Х, A)®K(Y, B)->K(XXY, (XXB)D(AXY)).
Определим прямое произведение (X, А) X (X как
пару XX Y, ХХВ)иИ X К)).
В частном случае, когда X —Y, определено диаго-
нальное отображение A: (X, AUB) —>(Х, А) X (X, В).
Это дает нам спариваниеХ (X, Я)® К (X, В)^-К {X, A U В).
В частности, полагая В=0, мы видим, что группа
К (X, Я) является К (Х)-модулем. Далее легко заметить, что
К(Х, Я)—>/((Л)
— точная последовательность К (А")-модулей.
Более общо, для ш, п X 0 можно определить спаривание
К"\Х, А)® К ’"(У, B)^K-n~m (XX, А)Х(У> в))
70
М. Атья. Лекции по К-теории
следующим образом. По определению
K~n(X, A) = K(Sn /\(Х/А)),
K~m(Y, B) = K(Sm /\{Y/B)),
поэтому определен гомоморфизм
К-п(Х, A'):'/'Km(Y, В) ->К (S" Д(Х/А) Д Sm Д (Y/B))=
<= К (3,г Д Sm Л (Х/А) Д (Y/В)) =
г..К^‘^((Х, A) X(Y, В)).
Таким образом, если мы определим элемент ху£
^К~'1-т(Х, А и В) для х£К~п(Х, А), у£К~т(Х, В)
как A* (х ® у), где А: (X, А[]В)-+(Х, Л) X (АГ, В) —
диагональное отображение, то по лемме 2.4.11 мы полу-
чим ху = (—1)тп ух.
Обозначим через (X, А) следующую сумму:
К#{Х, Л)= 2 К~п(Х' А).
п-0
Ясно, что К# (А') — градуированное кольцо, а К# (X, А) —
градуированный К* (А’)-модуль. Пусть |3 — образующая
группы Д’”2 (точка); умножение на |3 индуцирует изомор-
физм групп К п (АГ, Л)—> Д-"-2 (АГ, Л) для всех п. Обо-
значим через К*(Х, А) факторкольцо Д#(АГ, Л)/(1—(3).
Тогда К*(Х) является кольцом, градуированным с по-
мощью поля вычетов Z2, а Д*(Д, А) является 22-градуи-
рованным модулем над К*(Х).
Для любой пары (АГ, А) каждое из отображений в точ-
ном треугольнике
Д*(АГ) --------> К* (А)
\ X
Д* (АГ, А)
является отображением Д* (Д)-модулей. Лишь для гомо-
морфизма д это утверждение не совсем очевидно, поэтому
мы докажем следующую лемму:
Лемма 2.6.0. Гомоморфизм 6: Д-1 (К)—>Д°(АГ, У)
является гомоморфизмом К {Ху модулей.
Гл. 2. К.-теория
71
Доказательство. По определению гомоморфизм 6
индуцируется вложением пар j: (X X {1} U ^ХЛ {0})—>
-> {X X {1} (J Y X Л X {0] U X X {1) )• Следовательно,
X У
6 = у* — гомоморфизм модулей над абсолютной группой
Х(ХХ{1}и^Х/) = Х(Х).
Остается лишь заметить, что структура К (Х)-модуля
в двух рассматриваемых нами группах совпадает со стан-
дартной. Для группы К~\У) это очевидно, а для группы
К (X, Y) мы должны показать, что проекция / —>{1} инду-
цирует изоморфизмы
К(Х. Г)^и/<(Хх{1}1ИХЛ FX {0}).
К(Х) -ЛЩхПИПХП.
Теперь мы несколько отвлечемся и дадим другое опре-
деление группы К (X, А). Это определение часто более
удобно, в особенности при описании произведения
в К(Х, А).
Пусть и ^>1; определим категорию (5Я(Х, Л) следую-
щим образом: объектом категории (X, Л) является
набор Еп, En_v ..., Ео векторных расслоений над X
вместе с отображениями az: £,|д ->Е(_г |д, для которых
имеет место точная последовательность
ап-1 ,
...-^(Идио-
морфизмом ср: Е->Р, где E = (Elt az), F = (Fl, pz),
является набор таких отображений cpz: El—>Fi, что Pz<pz =
= <pz_1az. В частности, (£j (X, А) состоит из пар расслое-
ний (Др Ео) над X и изоморфизма a: Д1|д = В0|д.
п
М. Атья. Лекции по К.-теории
Назовем элементарной последовательностью в категории
(X, Л) последовательность вида 0, 0.......О, Ер,
Ер_х, 0.....О, где Ер^=Ер_х, а — тождественное ото-
бражение. Будем считать, что два объекта Е и F экви-
валентны, если для некоторого множества элементарных
элементов Qp ..., Qn, Рх, .... Pm имеется изоморфизм
^ФОгФ ... = ... ®Pm-
Множество таких классов эквивалентности обозначим через
2Л(АГ, А). Очевидно, что 2„(Х, А)—полугруппа для каж-
дого п.
Существует естественное вложение (X, Л) с
с:бп+1(АГ, Л), которое индуцирует гомоморфизм полу-
групп 8п(Х, А)-+£„+х(Х, Л). Обозначим через (£и. (АГ, Л)
объединение всех (Ц,п(Х, Л), а через 8ОО(А', Л)—прямой
предел последовательности полугрупп £„ (X, А).
Основной теоремой этого параграфа является
Теорема 2.6.1. Для всех п Д' 1 отображения
й„(Х, А)->%п+х(Х, А) являются изоморфизмами и
%п(Х, А)~К(Х, А).
Разобьем доказательство этой теоремы на ряд лемм.
Рассмотрим сначала частный случай Л = 0, п=\.
Тогда категория 6j (АГ, 0) состоит из всех пар расслое-
ний (fp Ео). По определению (Ех, Ео) — (Рх, Ео) тогда и
только тогда, когда существуют такие тривиальные рас-
слоения Q, Р, что £0@Q УГГ £оф £. Но
при этом отображение ЙДАГ, 0)->К(Х), заданное фор-
мулой (£р £0)-->[£0]—[£\], является изоморфизмом. Дей-
ствительно, определение полугруппы g1 (АГ; 0) совпадает
с одним из наших определений группы К (X).
Определение 2.6.2. Эйлеровой характеристи-
кой элементов полугруппы 8Я называется такое пре-
образование функторов
Z„: %п(Х, А)^К{Х, Л),
которое для пары (АГ, 0) выражается формулой
^n-i.....................^о)~5(—
’) Существование и единственность этого отображения
доказываются ниже. — Прим. ред.
Гл. 2. К-теория
73
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 2.6.3. Пусть АссХ, и пусть Е, F — некото-
рые расслоения над X. Пусть <р: £ |д -> £ |д, ф: Е -> F —
мономорфизмы {соответственно изоморфизмы) рас-
слоений. Если ограничение гомоморфизма ф |д гомо-
топно гомоморфизму <р, то ср продолжается до моно-
морфизма (соответственно изоморфизма) расслоений
над всем X.
Доказательство. Обозначим через Y простран-
ство (Л X 10, 1]) U (7^ X [0]). Проекция л: Y—> X уста-
навливает взаимно однозначное соответствие между рас-
слоениями над пространствами X и Y. Пусть Е', F' —
расслоения над Y, соответствующие расслоениям Е, F.
Можно определить такой гомоморфизм Ф: Е'->Р', кото-
рый является мономорфизмом (соответственно изоморфиз-
мом), причем Ф |д х |i] = ф, Ф|Хх [0] ==ф- Мы можем про-
должить гомоморфизм Ф на соответствующие расслоения над
пространством (t/ X [0, 1]) (J (X Х[0]) для некоторой окрест-
ности U пространства А в X. Пусть /: X -> [0, 1]—такое
непрерывное отображение, что f(A)=l, f(X\U) = 0.
Определим гомоморфизм фх, который в каждой точке х £ X
представляет собой гомоморфизм Ф (х, f (х)) слоя в точке х.
По построению этот гомоморфизм продолжает ф до гомо-
морфизма расслоений Е и F на всем X.
Лемма 2.6.4. Если А—точка, то последователь-
ность
0-+Чх(Х, А)-^(Х)~>%х(А)
точна. Таким образом, в этом случае эйлерова харак-
теристика /л для элементов полугруппы устана-
вливает изоморфизм
^(Х, А)->К(Х, А).
Доказательство. Пусть пара расслоений (£0, Ех)
представляет собой элемент полугруппы 8; (X), образом
которого в 8j(X) является нуль; следовательно, расслое*-
ния Ег и Ео имеют одну и ту же размерность над А и
существует изоморфизм ф: Ег |д -^-Ео |д. Таким образом,
последовательность Й, (X, А) -> (X) -> 81 (А) точна.
Если образом объекта (Ех, Ео, ф) в полугруппе ЙХХ)
является нуль, то существуют тривиальный объект Р и
74
М. Атья. Лекции по К-теории
изоморфизм ф: = Поэтому преобразование
Ф(фф I)-1 является автоморфизмом расслоенияE0Q)P |д. Но
так как А—точка, то любой такой автоморфизм должен быть
гомотопен тождественному, и, следовательно, по лемме 2.6.3
он продолжается до автоморфизма а: £’офР = Е0@Р.
Таким образом, имеет место коммутативная диаграмма
(£1ФР)1л^->(£оФ^) |д
|*1д |«1д
у у
(£офР)|д—1_^(ЕофР) |д
Следовательно, объект (Ег, Ео, ср) представляет собой нуле-
вой элемент в полугруппе Й](Л\ Л) и гомоморфизм
(X, Л) —> 2j (АГ) является мономорфизмом.
Лемма 2.6.5. Естественный гомоморфизм
л: ^(АГ/Л, Л/Л)->81(АГ, Л)
является изоморфизмом для всех пар (X, Л), т. е. эйле-
рова характеристика Хр gj (АГ, Л)—>К(Х, А) является
изоморфизмом для всех пар (X, Л).
Доказательство. Так как gj (X/А, А/А)-^-К (X, Л)
разлагается в композицию двух гомоморфизмов, одним из
которых является гомоморфизм л: (АГ/Л, Л/Л) —> ЙДАГ, Л),
то очевидно, что л — мономорфизм. Докажем, что л — эпи-
морфизм.
Пусть Elt Ео — векторные расслоения над X, и пусть
а: Ех |д —> Ео |д—изоморфизм их ограничений. Пусть Р —
такое расслоение над X, что существует изоморфизм
f: E1QP—> Е, где F — тривиальное расслоение. Тогда
объект (Др Ео, а) эквивалентен объекту (F, E0Q)P, у), где
у = (аф1)р-1. Но объект (F, E0Q)P, у) является образом
объекта (F, (E0Q)P)'y, у/у). Таким образом, гомоморфизм
л: 21(АГ/Л, Д/Л)-> 8, (X, Л) является эпиморфизмом.
Лемма 2.6.6. Если хР у'— две эйлеровы харак-
~ те рис тики объектов полугруппы то % =^.
Доказательство. Композиция х^ХГ1 представляет
собой преобразование функтора К в себя, тождественное
на каждой группе К (X). Но так как группа К (АГ, Л) =
= К(Х!А) вложена в К(Х)А), то это преобразование
является тождественным на всех группах К (АГ, Л).
Гл. 2. К-теория
75
Лемма 2.6.7. Для элементов полугруппы суще-
ствует эйлерова характеристика хР
Доказательство. Предположим, что объект
(£р Ео, а) представляет некоторый элемент полугруппы
(X, Л). Пусть Хо, Ху —два экземпляра пространства X
и Y = Хо и АХу —пространство, которое получается из Хо
и Ху отождествлением по подпространству А. Тогда можно
определить элемент [Др a, Eq}£K(Y). Очевидная ретрак-
ция лг: Y Xt индуцирует разложение К (К) = К (Y, Xf Q
@ К (Xf. Отображение (Хо, Л)—>(У, Ху) индуцирует
изоморфизм К (/, Ху) —> К (Хо, А). Определим теперь
эйлерову характеристику /j (Еу, Ео, а) как образ компоненты
элемента [Др а, До], принадлежащей группе K(Y, Xf) а:
c.K(Y). Если Л —0, то очевидно, что (Еу, Ео, а)—
— [£’о] — [Sj. Легко проверить, что это определение не
зависит от выбора экземпляра пространства X.
Следствие 2.6.8. Класс объекта (Еу, Ео, а) в полу-
группе 81(2С, Л) зависит только от гомотопического
класса изоморфизма а.
Доказательство. Пусть Y = X X [О- П- В =
— А X [0, 1] ил: F-> X — естественная проекция. Тогда,
если at—некоторая гомотопия и а0 = а, то at определяет
изоморфизм 0: л*(Еу) |в л*(£'о) |в. Пусть if. (X, А)—>
—>(Х X (/]. А X [/])• Так как в коммутативной диаграмме
.* .*
8ДХ, Л)<^-Й!(Г, В)— +%у(Х, А)
Ixi Ixi Ixi
4" 4" 'к
*
К(Х, А)<-— K(Y, В) -\к(Х, А)
каждое отображение является изоморфизмом и так как
io(ii) —тождественное отображение, то (Еу, Ео, а0) =
= (Еу, Ео, а,).
Лемма 2.6.9. Для естественное отображе-
ние 8п(Х, A)^-in+y(X, А) является эпиморфизмом.
Доказательство. Если объект (Еп + у, ..., До,
an+i....dj) представляет некоторый элемент полугруппы
8ге+1 (X, А), то объект
(^л+1> Вп®Еп+у, £re-i®Дл+1. Дл—2' Ео;
“л + 1- «л® t а1)
76
М. Атья. Лекции по К-теории
также представляет этот элемент. Два отображения
an+i®0- ^n+i ~и 0® 1‘ ^n+i ~>Еп®Еп+1 (ли-
нейно) гомотопны в множестве мономорфизмов. Отображе-
ние 0ф1 продолжается до отображения расслоений над
всем X, и, таким образом, по лемме 2.6.3 и отображе-
ние а„ + 1фО продолжается до мономорфизма |3: Еп+х->
->Е„@Еп+х, определенного уже на всем X. Поэтому рас-
слоение ДпфДл+1 можно представить в виде Р(Дл + 1)ф^.
Заметим теперь, что если обозначить через у получающееся
в результате отображение Q->En_1@En + i, то объект
(Еп+Х....£’о; ага+1...ctj эквивалентен объекту (О, Q,
Еп_х($Еп+х.... Ео; 0, у....ctj). Следовательно, ото-
бражение in(X, A)—>in+i(X, А) является эпимор-
физмом.
Лемма 2.6.10. Для всех л 1 отображение
£п(Х, Л)-*8я+1(АГ, А) является изоморфизмом.
Доказательство. Достаточно построить отобра-
жение g„+1 (АГ, Л)—>Й](АГ, А), которое является левым
обратным к отображению (X, Л) —> 2п+] (А', Л).
Пусть объект (Еп....Ео; ап, .. ., ах) представляет
элемент полугруппы (X, Л). Выберем эрмитову метрику
на каждом расслоении Е{. Пусть a': Et_x -> Е. | —эрми-
тово сопряженное к отображению «£.
Положим Ео ~ 2 Е„, Л = 2 Е21+1 и определим ото-
бражение (J: Fx -> Eq формулой р = 2 a2/+i + а2г Тогда
можно проверить, что (Д\, Ео, |3) £ Sj (АГ, Л). Это дает
нам отображение %п(Х, Л)—>ix(X, Л). Чтобы показать,
что это определение корректно, нужно лишь доказать,
что оно не зависит от выбора метрик. Но напомним, что
все метрики гомотопны между собой, так что выбор метрик
не меняет гомотопического класса отображения |3. Таким
образом, отображение (АГ, Л)->(*!(%, Л) определено
корректно, причем ясно, что оно является левым обратным
к отображению (АГ, Л)—>8„(АГ, Л).
Следствие 2.6.11. Для каждого п существует
единственная эйлерова характеристика ЙЯ(АГ, Л)->
—> К (АГ, Л), которая всегда является изоморфизмом.
Таким образом, существует изоморфизм
Х: ^(Х, А)-^К{Х, Л).
Гл. 2. К-теория
77
Далее мы хотим определить спаривания
8Л(Х. Г)®2т(Х'. Y')^n+m({X, Г)Х(*'. И),
совместимые со спариваниями
К(Х, YjfgKtX', Y')—> К ((X, Y)X(X', Y')).
Для этого необходимо рассмотреть комплексы векторных
расслоений, т. е. последовательности расслоений
0->Еп-^+Еп_1-^Х+ ... ->£0->0,
в которых ozoz+1 = 0 для всех I.
Лемма 2.6.12. Пусть Ео.......Еп—векторные рас-
слоения над X, и пусть ot: Et I/— такие
отображения, что последовательность
Q-^E^E^^^ ... ->£0->0
точна на подпространстве Y. Тогда отображения
могут быть продолжены до отображений pz: El—>Ei_x,
определенных на всем X и таких, что p;pJ+1 = 0 для
всех I.
Доказательство. Покажем сначала, что суще-
ствуют некоторая открытая окрестность U пространства Y
в X в для всех I такие продолжения т, отображений на
окрестность U, что последовательность
->Е0->0
1
точна на U. Продолжение отображений xt на все X дости-
гается после этого заменой отображений xt отображе-
ниями ртг, где р — такая непрерывная функция на X,
что р |у = 1 и supppczt/.
Предположим, что на некоторой замкнутой окрест-
ности Ut пространства Y в X мы можем так продолжить
отображения о1( . . ., о1 до отображений Tj.х{, что
на Ut последовательность
Et—... —>Е() —>0
точна. Обозначим через ядро отображения тг на t/z.
Тогда отображение oj+1 определяет сечение расслоения
78
М. Атья. Лекции по /(-теории
Hom (Ei+1, Но это сечение можно продолжить на
окрестность пространства Y в Uи, таким образом, ото-
бражение oz+1: Ei+1-^-Kt можно продолжить до отобра-
жения т/+1: на этой окрестности. Отображение
oz+1 |г является эпиморфизмом, поэтому tz+1 будет эпимор-
физмом на некоторой замкнутой окрестности t/z+1 про-
странства Y в U{. Таким образом, лемма доказывается при
помощи индукции по I.
Введем множество $)Я(Х, Y), состоящее из комплек-
сов длины п на X, ограничение которых на Y ациклично.
Мы будем говорить, что два таких комплекса гомотопны,
если они изоморфны ограничениям некоторого элемента из
2)я (АГ X А Р X Ь соответственно на X X {0} и X X {1 }•
Существует естественное отображение
Ф: ©Я(Х, Y}^<ln(X, Y),
определяемое ограничением гомоморфизмов на Y.
Лемма 2.6.13. Отображение Ф индуцирует взаимно
однозначное соответствие между классами гомотоп-
ных комплексов и элементами полугруппы 8Я (X, Y).
Доказательство. Из леммы 2.6.12 вытекает, что
отображение Ф—эпиморфизм. Чтобы показать, что Ф —
мономорфизм, мы должны доказать, что любой комплекс
над пространством X X (0} U X X {1) U Y X Е ацикличный
над Y X Е может быть продолжен до комплекса на всем
пространстве X X Е Разобьем построение требуемого про-
должения на три этапа. Сначала выполним очевидные про-
должения на пространства X X [0, 1/4] и X X [3/4, 1].
Затем применим лемму 2.6.12 к паре X X [1/4, 3/4],
Y X [1/4, 3/4] U V X {1/4} U V X {3/4}, где V —замкнутая
окрестность пространства Y в X, над которой данные
комплексы еще ацикличны. Тем самым определяется такой
комплекс на пространстве X X [1/4. 3/4], который согла-
суется с комплексом, уже построенным на двух утол-
щенных концах вдоль полосок ИХ {1/4} и V X {3/4}.
Если мы теперь умножим продолжающие отображения на
такую функцию р, что
(1) Р=1 на %Х{0}и^Х{1}иРХЛ
(11) р = 0 на (X\V)X[1/4}U(*\ЮХ{3/4},
Гл. 2. К-теория
79
то получим требуемое продолжение (пунктирная линия на
рисунке указывает носитель функции р).
Если Е^2),г(Л, К), /7^©т(А'/, Y'), то тензорное
произведение Е®Р является комплексом на пространстве
X X х’, ацикличным на (X X Y') U (К X X')- Таким обра-
зом, имеет место естественное спаривание
©Я(Х Y)®Vm(X', Y')->®n+m((X, Г)Х(*', И),
которое совместимо с разбиением комплексов на классы
гомотопных комплексов. При помощи отображения Ф
спаривание в комплексах индуцирует спаривание
V*. Y)®5lm(Xr, Y')-+%n+m«X, Г)Х(*'. И).
Лемма 2.6.14. Для любых классов У) и
х'£Дт(Х', Yr) имеет, место формула
7Дх7>х') = уДхУ/Дх').
Доказательство. Утверждение леммы очевидно
в случае, когда Y=Y'—®. Напомним, что спаривание
К(Х, Y)®K(X', Y')-+K((X, Y)X(X', Y')), опреде-
ленное ранее, — это единственное естественное спаривание,
совместимое со спариваниями, определенными для случая
Y =Y' = 0. Тем самым лемма 2.6.14 доказана.
Теперь при помощи этой леммы можно дать очень
удобное описание относительного произведения. В виде
простого применения дадим новую конструкцию образую-
щей группы К (£'л) — Z,
80
М. Атья. Лекции по К-теории
Пусть V — комплексное векторное пространство; рас-
смотрим внешнюю алгебру Л*(У). Мы можем рассматри-
вать внешнюю алгебру Л*(У) естественным образом как
комплекс векторных расслоений над V. А именно, положим
Et — V X (V) и определим отображение
V\Al (У)-^УХЛ1+'(Ю
формулой
(v, w) -> (г/, v Д w).
Если dim V = 1, то этот комплекс имеет только одно
отображение, которое является изоморфизмом для всех
v Д 0. Таким образом, этот комплекс определяет элемент
группы K(B(V), S(V))c^/<(S2), где B(V), S(V) — еди-
ничный шар и единичная сфера в пространстве V по от-
ношению к некоторой метрике. Более того, этот элемент
является по определению канонической образующей группы
K(S2) с точностью до множителя (—1). Так как имеет
место изоморфизм
Л* (V ф W) Л* (V) ® Л* (Г),
то для любого векторного пространства V внешняя ал-
гебра Л*(У) определяет комплекс над V, ацикличный
на V\{0), а этот комплекс определяет каноническую
образующую группы K(B(V), S(V)) = К (S2n) с точностью
до множителя (—1)" (где n=dimV).
Более общо, та же самая конструкция применима
к векторному расслоению V над пространством X. Вве-
дем пространство Тома Xv, определив его как одноточеч-
ную компактификацию пространства расслоения V, или,
что эквивалентно, как факторпространство B(V)IS(V).
Тогда K(B(V), S(V))^K(XV) и внешняя алгебра рас-
слоения V определяет элемент группы К (Xv), который
мы обозначим через Этот элемент обладает двумя важ-
ными свойствами:
(А) для произвольной точки р £ X ограничение эле-
мента Хк на слой л~1(р) = Сп совпадает с образующей
группы К (pv), где л — проекция расслоения;
(В) Хи ф Ку • Х^, где произведение определяется
спариванием K(XV) &K(XW) -> K(XV® w).
Гл. 2. К-теория
81
Аналогичные рассуждения применимы для проективных
пространств. Пусть V — векторное расслоение над X, и
пусть Н — стандартное линейное расслоение над Р, где
Р — Р(Уф 1),—как и прежде, проективизация расслоения
(У ф 1). Непосредственно из определений вытекает, что
естественное вложение
/7*_>л*(Уф1),
где л: Р -> X —проекция, является мономорфизмом. По-
этому, взяв тензорное произведение с расслоением Н, мы
увидим, что в расслоении
И® л*(Уф1) = (Я® л*(У))ф(Я® 1)
имеется сечение. Проектирование на первое слагаемое
определяет, таки,м образом, естественное сечение
s£V{H ® nV).
Рассмотрим внешнюю алгебру Л*(Я® nV). Каждая ком-
понента внешней алгебры есть векторное расслоение над Р-,
внешнее умножение на сечение $ определяет комплекс век-
торных расслоений, ацикличный вне подпространства, на
котором в = 0. Но это подпространство совпадает с об-
разом естественного сечения X —> Р. Непосредственно
из конструкции расслоения Н видно, что его ограничение
на дополнение подпространства P(V) в пространстве
Р(У©1) представляет собой одномерное тривиальное рас-
слоение, и поэтому построенный нами комплекс расслоений
определяет на пространстве (Р(Уф 1)—Р(У)) элемент 1Г
(напомним, что пространство (-Р(Уф1)— Р(У)) можно
естественным образом отождествить с пространством рас-
слоения V). Из этого следует, что образом элемента ly-
при гомоморфизме
K(XV) = K(P(V®V), Р(У))->/<(Р(Уф1))
является альтернированная сумма
S(-i)W[vV].
В заключение этого параграфа заметим, что все наши
рассуждения совершенно аналогично можно провести для
О-пространств, где О—конечная группа. При доказа-
6 Зак< 719,
82
М. Атья. Лекции по К-теории
тельстве мы использовали лишь основные факты о про-
должениях гомоморфизмов и т. д., которые верны и для
G-расслоений. Таким образом, элементы группы KQ(X, Y)
могут быть представлены комплексами векторных G-рас-
слоений над X, ацикличными над У. В частности, внеш-
няя алгебра векторного G-расслоения V определяет элемент
как и выше.
§ 2.7. Изоморфизм Тома
Пусть Е = 2 — разложимое векторное расслоение
над X (т. е. сумма линейных расслоений). Предложение
2.5.3 описывает структуру кольца К(Р(ЕУ) как К (X)-
алгебру. Далее, для любого пространства X мы имеем
канонический изоморфизм
KWK(W).
Пусть л: X X S1 —> X — естественная проекция; тогда
имеет место, очевидно, равенство
Р(£)Х5’ = Р(л*Д),
и поэтому существует изоморфизм
/Г(Р(£))^/<(Р(лТ)).
Таким образом, заменяя в предложении 2.5.3 простран-
ство X пространством X X S1, мы получаем
Предложение 2.7.1. Пусть E=^Lt—разло-
жимое векторное расслоение над пространством X.
Тогда кольцо К*(Р(Е)) является К* (Х)-алгеброй
с одной образующей [//] и одним соотношением
П ([£/] [//] — <1]) = 0.
Замечание. Это предложение, как и предложение
2.5.3, сразу обобщается на G-пространства и определяет
кольцо Ко(Р(Е)) как Ко (АГ)-алгебру.
Заметим теперь, что пространство Тома Xе можно
отождествить с факторпространством Р(Е ф 1)/Р(Е); кроме
того, в конце § 2.6 мы показали, что образом элемента
Г л. 2. К-теория
83
Ле£К (Xе) в кольце /<(/’(£;ф1)) является альтерниро-
ванная сумма
2 (-1 У [Hf [X^i = П < [ 1 ] - [Zj [Я]).
Так как этот элемент является образующей ядра гомо-
морфизма
К*(Р(Е@1))->К*(Р(Е)).
рассматриваемого как идеал в К*(Р(Е@ 1)), то мы полу-
чаем
Предложение 2.7.2. Пусть Е—разложимое
векторное расслоение над пространством X. Тогда
кольцо К* (Xе) представляет собой свободный К*(X)-
модуль с образующей КЕ.
Замечание. Эта „теорема об изоморфизме Тома“
для разложимых расслоений верна, как и предыдущие
предложения, для G-пространств. Мы сейчас покажем, как
это можно использовать.
Следствие 2.7.3. Пусть X — такое G-простран-
ство, что Ко(Х)= О, и пусть Е—разложимое век-
торное G-расслоение. Тогда имеет место точная по-
следовательность
0^Ko(S (Е)) ->Ко (Х)-^> Ко (X) -> Ко (S (Е)) -> О,
где гомоморфизм ср есть умножение на элемент
S(—1)'V[£],
a S (Е)— ассоциированное с расслоением Е расслоение
со слоем сфера.
Доказательство. Для доказательства нужно при-
менить предложение 2.7.2 к точной последовательности
пары (В(Е), S(E)).
Чтобы применить это следствие к случаю, когда X —
точка, необходимо проверить следующее утверждение.
Лемма 2.7.4. Ко (точка) = 0.
Доказательство. Достаточно показать, что есте-
ственный гомоморфизм
(точка)
6*
84
М. Атья. Лекции по К-теория
является изоморфизмом. Но так как по определению
группа О действует тривиально на сфере 51, мы имеем
изоморфизмы
Ко (51) S К (S1) ® R (G) К (точка) ® R (G) Ка (точка).
Таким образом, следствие 2.7.3 применимо в случае,
когда X —точка. Более того, если группа G абелева, то
расслоение Е обязательно разложимо. Отсюда мы полу-
чаем
Следствие 2.7.5. Пусть О— абелева группа,
Е — некоторый G-модуль. Тогда имеет место точная
последовательность
R(G) R(G)->Kg(S(£))->О,
где <р — умножение на элемент
2(-i)Wi.
Предположим, в частности, что группа G действует
свободно на пространстве S (Е) (в этом случае группа
непременно циклическая), и поэтому имеет место изомор-
физм
K*0(S(E))^K*(S(E)/G).
В этом случае мы получаем
Следствие 2.7.6. Пусть О — циклическая группа,
Е — такой G-модуль, для которого пространство S(Е)
является G-свободным. Тогда мы имеем точную по-
следовательность
0->Kl(S (E)/G) R (О) -2-> R (О) -> К0 (S (f)/G) -» О,
где <р — умножение на элемент
Замечание. Аналогичный результат верен и для
таких групп, свободно действующих на сферах, для кото-
рых имеет место изоморфизм Тома для Ка в случае не-
- разложимых расслоений. Однако это утверждение не будет
доказано в настоящих лекциях.
Рассмотрим частный случай следствия 2.7.6, полагая
G = Z2, Е — С" и считая, что группа Z2 действует на С"
умножением на (—1). Тогда
5(£)/G = P2n_1(R)
Гл. 2. К-теОрия
85
— вещественное проективное пространство нечетной раз-
мерности. Легко заметить, что
/?(Z2) = Z[p]/(p2—1),
Z_1 (£] = (! -pf.
Положим о = р —1; тогда о2 = — 2о и A._j [£'] = (—о)п.
В этом случае группа К°(Р2П-х (R)) является циклической
порядка S'1-1, тогда как группа К1 (Р^п-х (R)) — бесконеч-
ная циклическая. Сравнивая точные последовательности
для п и п —1, мы получим следующую коммутативную
диаграмму:
/?(Z2)
! !-а !’
0->№(P2„_i)->/?(Z2) /?(Z2)
Но в кольце R (Z2) ядро гомоморфизма умножения
на (—о)" (для есть группа, порожденная элемен-
том (2 — о), и поэтому совпадает с ядром гомоморфизма
умножения на (— о). Следовательно, отображение
есть нулевой гомоморфизм. Из точных последовательностей
паР (Pin+X' ^2Я)> (Pin' Р^п-х) мы получаем, что отобра-
жение
К1(Р2п + х)->КЧР2п)
— эпиморфизм, тогда как отображение
КЧР2п)^КЧР2п-х)
является мономорфизмом. Следовательно,
№(/’2я)=о.
Тогда из точной последовательности пары (/’2я+1’ Р211)
вытекает, что отображение
К0^2п+1)->*0(Р2п)
— изоморфизм. Суммируя эти результаты, получаем
86
М. Атья. Лекции по К.-теории
Предложение 2.7.7. Группы K*(Pn(R)) таковы-.
K'(P2n+1) = Z,
К'(Р2п) = 0,
Применения следствия 2.7.6 к другим пространствам
мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Теперь мы приступим к общей теореме об изомор-
физме Тома. Следует подчеркнуть здесь, что используе-
мые далее методы не обобщаются на G-расслоения. Для
G-расслоений нужны совершенно другие методы, и мы
не будем обсуждать их здесь.
Начнем со следующего общего результата.
Теорема 2.7.8. Пусть л: В—>Х— отображение
компактных пространств, .... — однородные
элементы группы К* {В), и пусть М* — свободная (Z2)-
градуированная группа, порожденная элементами
Pi, ..., ря. Если каждая точка х£Х имеет такую
окрестность U, что для всех V ас U естественное ото-
бражение
fC(V) ®
является изоморфизмом, то для любого Y с X ото-
бражение
К*(Х, Y)® М*->К*(В, л-1 (К))
также является изоморфизмом.
Доказательство. Заметим, что если V1zdV2 и
отображение К”(Vг) ® 7И*—>/<*(л-1 (V;)) — изоморфизм
для Z=l, 2, то из точной последовательности пары,
пользуясь тем, что группа М* свободна от кручений, мы
получаем изоморфизм
К*(У„ VJ® М*^К*(л-1(Уу), л-1^)).
Мы используем также совместимость гомоморфизма 6
с произведениями (лемма 2.6.0). Пусть теперь U2—
такие два подпространства пространства X, что для пары
Vi cz Ur, V2 cz U2 имеет место изоморфизм
К*^, Vi)®M.*^K*(a~\Ui), л-1 (У^, Z=l, 2.
Г л. 2. К-теория
87
Тогда, если U = Uj U t/2 и Vczt7, то мы имеем равенство
К*(У, V)® M* = K\Ux\yU2,
где V} = V [)U{. Но
Л* (t/1 U U2, V, U V2) = Г U U2/Vl U V2) =
= К* ((UJVJ V (i/2/V2)) К* (UJVJ Ф Г (£/2/V2) =
= K*(tA, ^)фГ(772, V2).
Следовательно,
K*(U, V)® М^К'\л~\и\ л-ЧЮ).
Доказательство заканчивается индукцией по числу описан-
ных в условии теоремы множеств U, необходимых для
того, чтобы покрыть все пространство X.
Следствие 2.7.9. Пусть л: Е —>Х— векторное
расслоение и Н — каноническое линейное расслоение
над пространством Р (£’). Тогда кольцо К*(Р(Е))
является свободным К* (Х)-модулем от образующих
1, [Л/], [Л/]2, ..., [//j"-1, причем [Л/] удовлетворяет
соотношению 2(—1/[77]'[T/f] = 0.
Доказательство. Так как расслоение Е локально
тривиально, то оно, в частности, локально разложимо.
(Это утверждение не обобщается на G-пространства!)
Следовательно, согласно предложению 2.7.1, каждая точка
х£Х имеет такую окрестность U, что для всех V cz U
кольцо К*(Р (Д|и)) является свободным К* (V)-модулем
от образующих 1, [Л/], ..., [77]"-1. Теперь применим тео-
рему 2.7.8. Соотношение для элемента [/7] уже устано-
влено в конце § 2.6.
Следствие 2.7.10. Пусть л: Е—>Х — векторное
расслоение и F (Е)—расслоение на флаги, ассоцииро-
ванное с расслоением Е, с отображением проекции
р: Е(Е)->Х. Тогда гомоморфизм
р*-. К*(Х)->/Г(Д(Д))
является мономорфизмом.
Доказательство. Легко заметить, что расслоение
F (£’) можно рассматривать как расслоение на флаги, ассо-
циированное с расслоением размерности dim (£’) — 1 над
88
М. Атья. Лекции по К-теории
проективизацией Р(Е). Таким образом, следствие 2.7.10
доказывается индукцией по dim (Е).
Следствие 2.7.11. (Принцип расщепления.) Пусть
Ег, ..., Еп — произвольный набор векторных расслое-
ний над пространством X. Существуют такое про-
странство F и такое отображение л: F —>Х, что
(1) гомоморфизм л*: К* (X) —> К* (F) является моно-
морфизмом',
(2) каждое расслоение n*(f;) представляет собой
сумму линейных расслоений.
Доказательство. Достаточно взять в качестве
пространства F расслоение на флаги, ассоциированное
с расслоением @Et.
Важность принципа расщепления очевидна. Он дает
нам возможность свести многие задачи о векторных рас-
слоениях к задачам о разложимых векторных расслоениях.
Следствие 2.7.12. (Теорема об изоморфизме Тома.)
Если л: Е —> X — векторное расслоение, то гомомор-
физм
Ф: К*(Х)->К\ХЕ),
определенный формулой Ф(х) = ЪЕх, является изо-
морфизмом.
Доказательство. Этот факт выводится из след-
ствия 2.7.9 так же, как предложение 2.7.2 из предло-
жения 2.7.1.
Доказательства следующих предложений мы оставляем
в качестве упражнения читателю.
Предложение 2.7.13. Если л: Е—>Х— вектор-
ное расслоение и если Ц, .... Ln — канонические ли-
нейные расслоения над пространством F (£), то ото-
бражение, определенное формулой >[£z], определяет
изоморфизм К*(Х)-модулей
K\X)[t......tn]!I—>K*(F(E)),
где I — идеал, порожденный элементами
Ф(^1....tnY-Е, о2(^.......tn) — V (f),...
.... о"(t...tn)-kn(E),
о1 есть l-я элементарная симметрическая функция
Гл. 2. К-теория
89
Предложение 2.7.14. Пусть л: Е—>Х есть
п-мерное векторное расслоение, и пусть Gk (Е) — рас-
слоение Грассмана1) (k-мерных подпространств), ассо-
циированное с расслоением Е. Пусть F — канониче-
ское k-мерное векторное расслоение над простран-
ством Gk(E), F'— факторрасслоение p*(E)/F. Тогда
отображение, заданное формулами ti^-X(F), st->
->kl(F'), определяет изоморфизм К* (Х)-модулей
K*(X)[tx....tk, г,.....sn_k\\l^K*(Gk(E)),
где [ — идеал, порожденный элементами
( 2 az(£)
для всех I.
(Указание: сравните расслоение Gk (Е) с расслоением
на флаги, ассоциированным с расслоением Е.)
В частности, мы видим, что для многообразия Грас-
смана к ^-мерных подпространств «-мерного вектор-
ного пространства кольцо K*(Gn k) свободно от кручений.
Этот результат можно получить также из клеточного раз-
биения многообразия Грассмана.
Теорема 2.7.15. Пусть X — такое простран-
ство, что кольцо К*(Х) свободно от кручений, и
пусть Y—(конечное) клеточное разбиение, a Y’cz.Y —
подразбиение. Тогда естественное отображение
K*(&®K*(Y, Y')->K*(XXY, %Х Y')
является изоморфизмом.
Доказательство. Из предложения 2.7.2 следует,
что теорема верна в случае, когда Y — шар, a Y' — его
граница. Таким образом, она верна для любой пары конеч-
ных клеточных разбиений (Y, Y'). Доказательство про-
водится индукцией по числу клеток в разбиении Y.
') Расслоение Грассмана Gk (Е) представляет собой рас-
слоение со слоем многообразие Грассмана Gn. ь, ассоциирован-
ное с расслоением Е. Над расслоением Gk (Е) имеется канони-
ческое векторное расслоение F с р* (Е), которое определяется
также как расслоение /7* в случае проективизации Р (Е) =
= G] (Е) (см. § 2.2), где р — проекция расслоения G*(£)->X—
Прим, перев.
90
М. Атья. Лекции по К-теории
Следствие 2.7.16. (Теорема Кюннета.) Пусть
X— такое пространство, что К*(Х)— конечно поро-
жденная абелева группа, и пусть Y — клеточное раз-
биение. Тогда существует естественная точная по-
следовательность
0-^2 Ki(X)®KJ(Y)-^K,!(XXY)-^
i+j-k
-> 2 Тог (/С (Л-), KJ(Y))->0,
i+j^k+l
где все индексы рассматриваются как элементы поля
вычетов Z2.
Доказательство. Предположим, что можно найти
такое Z и такое /; X -~>Z, что группа K*(Z) свободна от
кручений и гомоморфизм /*: К* (Z) -> К* (X) является эпи-
морфизмом. Тогда из точной последовательности пары
(Z (J fX ,Х), где Z (J fX — цилиндр отображения f, выте-
кает, что группа K*(Z!X) также свободна от кручений.
По теореме 2.7.15 имеют место следующие изоморфизмы:
K*(Z)ZY) = K*(Z)® !С(У),
К*((Z/X) X У) = К*(Z/Х) ® к*(К).
Поэтому необходимый результат вытекает из точной по-
следовательности для пары (Z X У’ X X У).
Построим теперь такое отображение g: SX -> Z. Пусть
Ар .... ап — образующие группы К°(Х), и b.t....Ьт —
образующие группы К~г (X) — К (SX). ’Л’да каждый
элемент а{ определяет отображение ар X —> ОГ;, s для
подходящих чисел rz, sz, и каждый элемент опре-
деляет отображение 0Z: SX —> Gu.t v.. Обозначим через
а: X —> ОГ1> X • • • Х<Л-л, j =0' отображение cq X • • • Хал>
а через fl: SX -> ОИр X ... X Vm = G" отображение
Pi X • • • X Pm- Тогда гомоморфизмы
a*: K°(G')->K°(X),
₽*: К° (G")-> К° (SX)
являются эпиморфизмами. Таким образом, если /: (Sa) X
X Р: SX -> (SG') X G" — О, то гомоморфизм
/*-. K*(G)->K*(SX)
Гл. 2. Х-геория
91
является эпиморфизмом и группа A’*(G) свободна от кру-
чений, что и требовалось. Это доказывает следствие 2.7.16
для надстройки $(Х) и, следовательно, для простран-
ства X ’).
Далее мы выясним структуру кольца К* (U (п)), где
(7 (п) — унитарная группа преобразований пространства С".
Для любой компактной группы Ли G мы можем рассма-
тривать представления р: О -> GL (т. С) как некоторые
элементы [р] £ X1 (G): для этого представление р рассматри-
вается просто как непрерывное отображение и игнорируется
тот факт, что р—гомоморфизм. Предположим теперь, что
а, Р — два представления G -> GL (m, С), совпадающие на
замкнутой подгруппе Н. Тогда мы можем определить
отображение
у: G/H ->GL(m, С)
формулой у (gH) = a (g) • р (g)'1. Это определение кор-
ректно, так как а, р являются гомоморфизмами. Отображе-
ние у определяет элемент [у] £ X1 (G/Н), образом которого
в группе № (О) является в точности элемент [а] — [р].
Рассмотрим частный случай
G = U(n), H = U(n—l), G/H = S'2n~\
В качестве представлений а, р мы возьмем представления
группы G на четной и нечетной частях внешней алгебры
Л* (С") и отождествим эти два пространства представления
при помощи внешнего умножения на n-й базисный вектор еп
пространства С”. Так как подгруппа U (п—1) оставляет
вектор еп неподвижным, то это отождествление совместимо
с действием группы U (н — 1). Таким образом, мы попадаем
*) Рассмотрим комплекс Mq = S1 U<pO2, где характеристи-
ческое отображение ср: S1 -> S1 имеет степень q, q^>2 (этот
комплекс называется пространством Мура). Из точной последо-
вательности пары (Mq, S’) легко заметить, что Х° (Mq) = Zq,
X1 (Mq) = 0. Определим теперь для каждого конечного ком-
плекса X группу X*(X\Z^), положив X* (X; Zq) = X*(X Д Mq).
По теореме Кюннета имеет место точная последовательность
0 -> X1 (X) ®Zq^K‘ (X- Zq) -> Тог (Xм (X), Zq) ->0,
где Z£Z2. — Прим, перев.
92
М. Атья. Лекции по К-теории
в рассмотренную ранее ситуацию и поэтому можем опре-
делить элемент
Переходя к изоморфной группе К (S2n), мы видим из опре-
деления, что элементом [у] является в точности базисный
элемент
^neK(s^).
построенный ранее из внешней алгебры. Таким образом,
элемент [у] есть образующая группы №(S2"-1), и его
образом в группе K'(U(n)) является 2(—1/ [А‘], где
А/—представление, соответствующее z-й внешней степени.
Эти предварительные рассуждения позволяют доказать сле-
дующую теорему.
Теорема 2.7.17. Кольцо К* (U (я)) есть внешняя
алгебра, порожденная элементами [А1]......[А'1], где
К1 — представление группы U (п), соответствующее
i-й внешней степени.
Доказательство. Доказательство будем прово-
дить индукцией по п. Рассмотрим отображение
U (я) -> U (пЦи (я - 1) = S2"-1.
Так как ограничением представления А' на подгруппу
U (п— 1) является представление р'фр'-1, где pz — пред-
ставление группы U(n— 1), соответствующее z-й внеш-
ней степени, то из предположения индукции и тео-
ремы 2.7.8 следует, что кольцо К*(U (я)) есть свободный
/C*(S2”-1)-модуль, порожденный одночленами от элементов
[А,1], .... [А"-1]. Но группа К* («S2"-1) является внешней
алгеброй с одной образующей [у], образом которой
в кольце K*(U), как показано выше, является альтерни-
рованная сумма
п
S(-iy [Ai.
1-0
Следовательно, кольцо /<*(£/(я)) является внешней алгеб-
рой от образующих [А1], [Ал], что и утверждалось.
ГЛАВА 3
КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ^-ТЕОРИИ
§ 3.1. Внешние степени
Под операцией Р в /(-теории мы будем понимать
естественное преобразование функтора Л'(А') в себя.
Иными словами, для каждого пространства X операция F
представляет собой такое отображение множеств F х.
К (X) К (X), что для произвольного непрерывного ото-
бражения /: X —> Y выполняется равенство Fxf* — f*Fv.
Пусть F и G — такие две операции, что для любого
разложимого расслоения Е и любого целого числа п имеет
место равенство F ([Е] — п) — G ([Е] — п). Тогда из прин-
ципа расщепления, рассмотренного в предыдущей главе,
вытекает, что F(x)—G(x) для всех элементов х£К(Х).
Существуют различные способы определения когомо-
логических операций при помощи операций внешних сте-
пеней. Сначала мы рассмотрим один из этих способов,
предложенный Гротендиком.
Пусть V — векторное расслоение над пространством X.
Рассмотрим элемент [V] £ К(Х) [ [/] ], представляющий
собой степенной ряд
СХ)
/-0
Поскольку
для любых двух расслоений V, W, мы получаем формулу
Для любого расслоения W степенной ряд [W] есть
обратимый элемент в кольце К’(А’) [[/]]> так как он на"
чинается с 1.
94
М. Атья. Лекции по К-теории
Таким образом, элемент Kt определяет гомоморфизм
Vect (*)-> 1 4-/С (X) [ [/] ] +
аддитивной полугруппы Vect (Л") в мультипликативную
группу степенных рядов над кольцом К (АГ), начинающихся
с единицы. Из универсального свойства кольца К (АС) сле-
дует, что этот гомоморфизм единственным образом про-
должается до гомоморфизма
Xz: [[/]] + .
Таким образом, коэффициенты при tl в степенном ряде
определяют операции
V: К(Х}->К(Ху
Очевидно, имеет место формула
Аналогично можно рассматривать симметрические
степени Sl (V). Так как
i + j = k
то мы получаем гомоморфизм
/С(Х)->1+К(Х) [[/]]+,
коэффициенты которого определяют операции
S1: К(Х)->К(Х).
Заметим, что если L—линейное расслоение, то
Xz (L) = 1 +/Z.,
Sf(L) = 1 ... =(1— tL)~\
и поэтому
Таким образом, если V — сумма линейных расслоений, то
имеет место равенство k_t [V] Sz [V] = 1. Следовательно,
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
95
для любого элемента х^Л'(Л') имеем 7._f(x')St(x') = 1, и
поэтому
ХД[И-[Г]) = ^ [V] 8_( [Г],
т. е.
А* ([V] — [IV]) = 2 (—1/А;[У]8>[Г].
i+j~k
Последняя формула дает явное выражение для операций А'
в терминах известных операций над векторными расслое-
ниями.
Напомним теперь, что для любого расслоения Е раз-
мерность слоя есть локально постоянная функция
точки х. Так как пространство X по предположению
компактно, то размерность расслоения, определенная фор-
мулой
dimf — Sup dim Ех,
х^Х
конечна. Внешние степени векторных расслоений обла-
дают тем важным свойством, что
А'£ — 0, если I > dim Е.
Назовем элемент кольца К (-А) положительным (записы-
вается х 0), если он представляется настоящим рас-
слоением, т. е. если он является образом некоторого эле-
мента из полугруппы Vect(A'). Тогда имеет место импли-
кация
х 0 гф f-t (х) £ К {X) [/].
Для решения многих задач представляет интерес не
dim Е, а другое целое число, которое определяется сле-
дующим образом. Обозначим через rankf расслоение,
слоем которого в точке х является Cd где d (х) —
= dim£x; если пространство X связно, то rankf пред-
ставляет собой тривиальное расслоение размерности dim/?.
Таким образом, отображение Е -> rank Е индуцирует (идем-
потентный) эндоморфизм колец
rank: К (X) -> К (X),
который обычно называется пополняющим гомоморфиз-
мом или аугментацией. Ядром этого эндоморфизма
96
М. Атья. Лекции по К-теории
является идеал, который мы обозначим через (К). Для
связных пространств с отмеченной точкой, очевидно, имеет
место равенство
Для любого элемента х£А(А)
х — rank х £ Ki (А). ,
Определим теперь размерность dim^ х для любого эле-
мента х £А(А) как наименьшее число п, для которого
х — rank х -|- /г 0.
Так как каждый элемент кольца К (А) может быть пред-
ставлен в виде [V] — п, где V — некоторое векторное
расслоение, то размерность dim^- х конечна для всех эле-
ментов х £ К (А). Для векторного расслоения £' очевидно
следующее неравенство
dimA- [£] dimf.
Заметим, что
dim^ х = dinifl- Xj,
где Xj = х—rankx, так что размерность dim^- является
по существу функцией на факторкольце кольца К (А)
по Ki (А).
Теперь удобно ввести операции у1, которые так же
связаны с размерностью dim^-, как операции V с размер-
ностью расслоений. Вновь следуя Гротендику, определим
элемент
Y< (х) — Х(Л1-()(х) £ К (А) [ [/] ];
легко проверить, что yt (х -|-у) = yt (х) yt (у). Таким об-
разом, для каждого I мы получаем операцию
у1: К(Х)-+К(Х).
Операция у1 является линейной комбинацией операций V,
где / верно и обратное утверждение, как видно из
формулы
4W = Ymi+^) W-
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
97
которую легко получить, положив s — tl(\—t), £ = s/( 1 —|—s).
Заметим, что
7,(1) = (1 -О’1
и для линейного расслоения
Yt ([А] - 1)= 1 4-f ([А] - 1).
Предложение 3.1.1. Для произвольного эле-
мента х£К1 (X) элемент yt (х) является многочленом
степени ^dim^-x.
Доказательство. Пусть n=dimA-x, так что
x-j-n > 0. Таким образом, х-(-«=[£’] для некоторого
векторного расслоения Е. Более того, dim£' = n, и по-
этому
??(£’)=() для 1>п.
Таким образом, КДх-^-п)— многочлен степени п. Да-
лее имеем
yt О) = ?<(* + «) Yt (1)"" = Ц(1-р О + «) (1 ~ 0" =
= 2 V(x + »)Z‘(1 —
i-0
Следовательно, yt (х) — многочлен степени п, как и ут-
верждалось.
Далее определим dim? х как наибольшее целое число и,
для которого у" (х — гапкх)=£0, и положим
dim*. X = sup dim*, х,
К xWX) К
dimv X = sup dimv x.
. x£K(X)
Из предложения 3.1.1 следуют неравенства
dimv х diniy^ х, dimv X dim^ X.
Мы покажем теперь, что при слабых ограничениях на
пространство X размерность dim^- X конечна. Для этого
нам понадобятся некоторые предварительные леммы о сим-
метрических функциях.
Лемма 3.1.2. Пусть хь .. ., хп — независимые пе-
ременные. Тогда любой однородный многочлен степени
7 Зак. 71S.
98
М. Атья. Лекции по К-теории
>n(n—V) в кольце Z [X].........хп] принадлежит,
идеалу, порожденному симметрическими функциями
положительной степени от переменных х}.......х„.
Доказательство. Пусть оДх,..........хп) есть 1-я
элементарная симметрическая функция. Тогда уравнение
хп — OjX"-1 -|~а2хя~2— ... -)-(—1)'гоя = 0
имеет корни x = xt. Таким образом, х" принадлежит
идеалу, порожденному функциями Gj....ап. Но любой
одночлен степени > п(п — 1) от переменных хр .... хп
делится на х? для некоторого I и поэтому также содер-
жится в этом идеале.
Лемма 3.1.3. Пусть xt.......хя, yv ..., ут—не-
зависимые переменные и
а1 = <У1(х1..х„), bl = ci(y1, ..., ут)
— элементарные симметрические функции. Пусть I —
идеал в кольце Z[a, ft], a J—его продолжение в коль-
це Z [х, у]. Тогда
JnZ[a, b] = I.
Доказательство. Известно, что кольцо Z[x]
является свободным ZfaJ-модулем с базисом, состоящим
из одночленов
хг = хрх22 .. . x^_-ji, о г. п — I.
Следовательно, кольцо Z [х, у] = Z [х] ® Z [у] является
свободным модулем над кольцом Z\a, b] = Z [а] ® Z[ft]
с базисом, состоящим из одночленов xrys. Тогда идеал
JcZfx, у] состоит из всех элементов f вида
f = ^fr,sxrys, fr,s£f.
Так как одночлены xrys образуют свободный базис, то
элемент f принадлежит кольцу Z[a, ft] тогда и только
тогда, когда frs = 0 для г, s=£(0, 0). Итак, если f £J
принадлежит кольцу Z [a, ft], то
/ = /о,о€/-
Таким образом, JHZ[a, ft] = /, как утверждалось.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории 99
Замечание. Эта лемма является по существу ал-
гебраической формой принципа расщепления, так как она
утверждает, что мы можем вложить кольцо Z [а, Ь]/1
в кольцо Z [х, y]/J. Это утверждение носит, конечно,
чисто формальный характер, и, по-видимому, всякий раз,
когда мы имеем дело с формальными алгебраическими
результатами, предпочтительнее использовать именно его,
а не топологический принцип расщепления. Топологиче-
ский принцип расщепления связан с теоремой периодич-
ности, и его следует использовать только тогда, когда
мы имеем дело со свойствами, столь же глубокими, как
эта теорема.
Лемма 3.1.4. Пусть К — коммутативное кольцо
{с единицей), и пусть
a (t) = 1 4- axt + а2^2 + • • • + «л^”,
ftW==l+^4-^2+ ... + bmtm
— такие элементы кольца K[f], что
a (f) b(t)—\.
Тогда существует такое целое число N = N (п, т),
что любой одночлен
<№
веса равен нулю,
j
Доказательство. Легко заметить, что лемма 3.1.4
вытекает из следующего утверждения: если а,....ап,
Ьг....Ьт — независимые переменные, то любой одно-
член а веса ^;\'от переменных at принадлежит идеалу I.
порожденному элементами
ск—'^а1Ь1, k—l.........тп (a0=b0=l).
i+j-k
Рассмотрим такие независимые переменные хг.....хп,
....Ут< чт0 «/ = 0/(^1.....хп), bi = Ot(yv .... ут).
По лемме 3.1.3 для доказательства нашего утвер-
ждения достаточно показать, что одночлен а принад-
лежит продолженному идеалу J. Но элемент есть
в точности /г-я элементарная симметрическая функ-
ция от т-{-п переменных х}......... хп, .......ут.
7*
100
М. Атья. Лекции по К-теории
Следовательно, результат вытекает из леммы 3.1.2 при
N = {т + п) {т + п — 1).
Замечание. Значение числа N (т, п), полученное
в доказательстве леммы, не наилучшее. Более тщательное
рассмотрение позволяет заключить, что наилучшим значе-
нием является число тп.
Применим теперь эти алгебраические результаты.
Предложение 3.1.5. Для каждого элемента
х £ Кх (X) существует такое целое число N, завися-
щее от х, что любой одночлен
у'1 (*) y'2 О') • • Уг* О)
k
веса У, I; > N равен нулю.
7-1
Доказательство. Применим лемму 3.1.4 к мно-
гочленам yt (х), yt (— х). Заметим, что число N зависит
от dimY х, dimY (— х).
Так как у1 (х) = х, мы получаем
Следствие 3.1.6. Любой элемент x£Kx (%) ниль-
потентен.
Если мы положим степень каждой операции у1, рав-
ной единице, то для любого одночлена от операций у1
получим
вес степень.
Итак, из предложения 3.1.5 следует, что для произволь-
ного элемента х^КДХ) все одночлены достаточно боль-
шой степени от элементов у1(х) равняются нулю. Таким
образом, мы можем применить формальный степенной
ряд от операций у1 к любому элементу х^КДХ).
(Как обычно, под формальным степенным рядом по-
нимается сумма / = 2/п> где fn — однородный много-
член степени п, который может содержать, очевидно, лишь
конечное число переменных.) Обозначим через Ор (Л\, К)
множество всех операций К}->К. Это множество опера-
ций имеет структуру кольца, индуцированную структурой
кольца К (сложение и умножение значений операций).
Тогда, как мы уже показали, имеет место гомоморфизм
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
101
колец
<р: Z [ [у1.у", ...]]^Op(Ki, КУ).
Теорема 3.1.7. Гомоморфизм
<р: Z [ [у1.у", ...Ц^ОрСЛ',. К)
является изоморфизмом.
Доказательство. Обозначим через Yn,m произ-
ведение п экземпляров комплексного проективного прост-
ранства Рт(С). Используя Р0(С) в качестве отмеченной
точки в пространстве Рт(С), мы получаем прямой спектр
пространств Yn, т с естественными вложениями
Y„, т~+ Уп’.т' ДЛЯ ПГ П, т' Ш.
Тогда совокупность групп K(Ynm) образует обратный
спектр групп, для которого верны следующие утвержде-
ния:
*ж+1.........
lira К (У„, m) = Z [ [*!.х„]];
^"“гп
lim Д’(Уя, т) = lim Z [ [х,, . . ., х„]].
<~т, п п
Любая операция индуцирует операцию на пределе обрат-
ного спектра. Следовательно, мы можем определить ото-
бражение
ф: Ор (/Ср Д') -> 1 iП1Z [ [Xj, . .., х„] ]
п
формулой ф(/) = 11ш/(х1-|-Х2Ч~ ••• Ч~х„). Так как
в группе К (Ynf У) имеет место равенство
У/ (xi + х2 + • • • + хп) = П (1 Ч- ХУ-
i = l
’) Через Z [ [х,. ..., хп, ...] ] обозначено кольцо формаль-
ных степенных рядов от переменных х,., .... хп..... таких, что
однородные компоненты зависят лишь от конечного числа пере-
менных. — Прим, перев.
102
М. Атья. Лекции по К-теории
то отсюда следует, что
фф(у/) = Пто/(х1...................хп),
+—
где oz есть /-я элементарная симметрическая функция.
В частности, из этого вытекает, что гомоморфизм фф
является мономорфизмом, и поэтому гомоморфизм <р также
является мономорфизмом. Более того, образом гомомор-
физма фф является кольцо
Z[[O!.....0„]],
которое совпадает с кольцом
limZ[[Xj.....х„] ]\
7Г
где через f ]s« обозначено подкольцо, инвариантное отно-
сительно естественного действия симметрической группы Sn.
Но для всех операций /f^Op^j, К) элемент
ф(/) = Пт/(л + ... Н-х„)
принадлежит этому кольцу. Другими словами,
Im фф = Im ф.
Чтобы завершить доказательство, остается теперь пока-
зать, что гомоморфизм ф является мономорфизмом. Пред-
положим, что ф (/) = 0 для некоторой операции /. Так
как любое линейное расслоение над пространством X
индуцируется отображением в некоторое пространство
Рп (С), отсюда следует, что если расслоение Е представ-
ляет собой сумму п линейных расслоений, то
/([В] -п) = 0.
Но из принципа расщепления в этом случае вытекает, что
У(х) = 0 для всех
т. е. / — нулевая операция, что и утверждалось.
Обозначим, как обычно, через Н° (X, Z) кольцо всех
непрерывных отображений пространства X в кольцо це-
лых чисел Z. Тогда мы имеем разложение в прямую
сумму групп
К(Х) = К^Х)®Н0(Х, Z),
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории 103
определенное аугментацией. Легко видеть, что не сущест-
вует ненулевых естественных гомоморфизмов
и поэтому множество операций Ор (Д') = Ор (К, К) отли-
чается от Ор(/Сь К) только множеством Op(7/°(Z)), ко-
торое совпадает с кольцом всех отображений Z —> Z. Та-
ким образом, теорема 3.1.7 дает по существу полное
описание множества всех операций Ор (К).
Перейдем теперь к обсуждению необходимых ограни-
чений на кольцо К {X). Сначала рассмотрим кольцо
ЦЬ(Х, Z).
Предложение 3.1.8. Следующие два утвержде-
ния эквивалентны-.
(A) HQ(X, Z) — нётерово кольцо,
(В) Н°(Х, Z) — конечный Z-модуль.
Доказательство. Утверждение (А) вытекает из
утверждения (В) тривиальным образом. Поэтому мы до-
кажем только импликацию (А)гф(В). Пусть кольцо
Н°(Х, Z) нётерово. Допустим, что мы можем найти строго
убывающую бесконечную цепь компонент (открыто-замк-
нутых множеств) пространства
X = ....
Тогда для каждого п мы можем найти такое непрерывное
отображение A'-^-Z, что
Л (^+1) = о,
Рассмотрим идеал I кольца Н° (X, Z), состоящий из таких
отображений /: X->Z, что /(А',г) = 0для некоторого п.
Так как кольцо 77° (X, Z) нётерово, то идеал I конечно
порожден, и, следовательно, существует такое N, что
f{XN) = 0 для всех f
Таким образом, мы получили противоречие, так как по
построению
fN& и fN(XN)*Q.
104
М. Атья. Лекции по К-теории
Следовательно, пространство X имеет только конечное
число компонент, т. е.
п
x = ^xt,
i=l
где пространства Х1 связны. Поэтому кольцо Н°(Х, Z)
изоморфно кольцу Z".
Рассмотрим теперь кольцо К (X).
Предложение 3.1.9. Следующие два утвержде-
ния эквивалентны'.
(А) К(Х) — нётерово кольцо,
(В) К (X) — конечный Z-модуль.
Доказательство. Предположим сначала, что верно
утверждение (А), тогда кольцо Н° (X, Z), являющееся
факторкольцом кольца К (X), также нётерово. Следова-
тельно, согласно предложению 3.1.8, кольцо Нй(Х, Z)
является конечным Z-модулем. Далее, кольцо К\ (X) яв-
ляется идеалом кольца К (X), состоящим из нильпотентных
элементов, см. следствие 3.1.6. Так как кольцо К (X)
нётерово, то (X) является нильпотентным идеалом. Для
краткости положим / = Л'1(А). Тогда —0 для некото-
рого п, и 1т11т+\ т = 0, 1....п—1, являются конеч-
ными модулями над кольцом X/f — H°(X, Z). Следова-
тельно, кольцо К (А) является конечным Н° (X, г)-модулем,
и поэтому также конечным Z-модулем.
Примерами пространств, для которых кольцо К (X)
есть конечный Z-модуль, являются конечные клеточные
разбиения.
Определим фильтрацию в группе К (X) подгруп-
пами Хп(Х), порожденными всеми одночленами вида
у'1 (Xi) у‘2 (х2) .. . у1” (хй),
k
где и х, ^АДА). Тогда Ку — К и, так как
у (х)—х, мы имеем Если х £Х„(Х~), то мы
говорим, что х имеет у-фильтрацию и записываем
это так: Еу(х)'^>п.
Предложение 3.1.10. Если кольцо К (X)—конеч-
ный Z-модуль, то для некоторого числа и имеет
место равенство
Кп(Х) = 0.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
105
Доказательство. Пусть хх........xs—образующие
кольца Ку (Л-), и пусть Nj = N (хф — целые числа, опре-
деленные в предложении 3.1.5. Так как имеет место
формула
Vt («+^) = Vt(a) yt(b),
то достаточно доказать существование такого что все
одночлены от у1 (хф общего веса > ЛГ равны нулю. Но,
взяв N — У, Afy, мы видим, что любой такой одночлен
/-1
для некоторого J должен иметь вес > Nj по у‘ (хф. Сле-
довательно, согласно предложению 3.1.5, этот одночлен
равен нулю.
Следствие 3.1.11. Если К (X)— конечный Z-мо-
дуль, то размерность dimY X конечна.
Обратим внимание читателя на некоторые дальнейшие
свойства операций у1.
Предложение 3.1.12. Если V—расслоение раз-
мерности п, то [V] = у" ([V] — п). Таким образом,
кольцо K*(XV) есть свободный К* (X)-мод у ль, порож-
денный элементом уп ([V]—га).
Предложение 3.1.13. Существуют такие много-
члены Pt, Qij, что для всех элементов х, у имеют
место формулы
yl(xy) = Pi(yl(x>), у1 (у), у2(х), у2(у).у1 (х), у1 (у)),
У1 (*)) = Qu (у1 (х)...yi+j (х)).
Доказательства этих утверждений мы предоставляем
читателю, который легко проведет их, используя принцип
расщепления.
§ 3.2. Операции Адамса
В этом параграфе мы изучим некоторые когомологи-
ческие операции, которые лучше связаны с алгебраической
структурой кольца К(Х), чем операции Гротендика. Они
были введены Адамсом1). Определим сначала операцию
') См. сб. Математика, 7:6 (1963), 61—64. — Прим. перев.
106
М. Атья. Лекции по К-теории
4го (х) = rank (х); затем в кольце К (Л-) [ [/] ] рассмотрим
степенной ряд Чф (х) — У, /'Ч'7 (х), определяемый равен-
i>0
ством
(х) = Чг? (х) — t (log k_t (х)).
Выражение -^-(logX,_z (х)) понимается здесь как соответ-
ствующий формальный степенной ряд, причем, так как
все коэффициенты этого степенного ряда—целые числа,
наше определение имеет смысл.
Предложение 3.2.1. Для любых элементов х,
у^К(Х) имеют место следующие утверждения'.
(1) 4fft (x-|-y)=4f* (x)-|-4rft(y) для всех целых чисел k,
(2) если х — линейное расслоение, то yJrk(x) = xk,
(3) свойства (1) и (2) однозначно определяют опе-
рации 4м.
Доказательство. По определению 4fz(x-|-y) =
= Ч^ (х)Д- Чф (у), следовательно, 4fft (ху)=Чг* (х)-ф-
_]_4/ft(y) для каждого k.
Если х — линейное расслоение, то A,_z(x)=l—tx,
и поэтому
-^-(log(l — tx)) = = — x — tx‘i— fix^— ....
Таким образом, 4rz(x)= 1-|-/х-]-/2х2-|-. . . .
Последнее утверждение вытекает из принципа рас-
щепления.
Предложение 3.2.2. Для любых элементов х,
у(^К(Л") справедливы следующие утверждения'.
(1) 4fft (ху) = 4fft (х) 4fft (у) для всех целых чисел k,
(2) 4м (4fZ (х) )=4fftZ (х) для всех пар целых чисел k, I,
(3) если р—простое число, то Ч^ (х) = хр (mod р),
(4) если u£K(S2n), то y¥k (u)—knu для всех целых
чисел k.
Доказательство. Первые два утверждения выте-
кают непосредственно из предложения 3.2.1 и принципа
расщепления. Кроме того, из принципа расщепления мы
получаем разложение 4f/’(x)—хр-\-р/(№ (х)...Zp(x)),
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
107
где / — некоторый многочлен с целыми коэффициентами.
Наконец, если h — образующая группы К (S* 2), то из уже
доказанных свойств операций немедленно вытекает
равенство Д'* (/г) = kh. Но сферу S2n можно представить
в виде S2 Д .. . Д S2, а группа К (S2'1) порождается эле-
ментом . ®h, поэтому и утверждение (4) вытекает
из уже доказанных свойств.
Теперь мы дадим одно применение операций Адамса Y*.
Предположим, что /: S4”-1—>S2n—-непрерывное отоб-
ражение. Определим инвариант Хопфа Н (/) следующим
образом. Обозначим через X f конус отображения /; пусть
Г. S2n -> Xf—естественное вложение, а /: Д'у—>А4л—
естественная проекция. Обозначим через и образующую
группы A(S4n). Из точной последовательности пары (X S2'1')
мы видим, что существует такой элемент х^К(Х^), что
элемент I* (х) порождает группу К (S2n). Более того, из
той же точной последовательности легко заметить, что
/< (Ду)— свободная абелева группа, порожденная элемен-
тами х и у = j*(u). Так как (z*(x))2=0, то для некото-
рого числа Н имеет место равенство х2 = Ну. Это целое
число Н мы и назовем инвариантом Хопфа отображения /.
Ясно, что с точностью до знака инвариант H(f) полностью
определен!). Следующая теорема был'а впервые доказана
Адамсом при помощи обычной теории когомологий Н*2).
Теорема 3.2.3. Если для некоторого отображе-
ния f число Н (/) нечетно, то «=1, 2 или 4.
Доказательство. Из свойств операций Д'* легко
следует, что для образующих х группы К (Ду) имеют
место равенства W2(x) = 2пх^\-ау, Чгз(х)=3"х-|-/>у. Так как
4r2(x) = x2(mod2), то коэффициент а нечетен. Для обра-
зующей у имеют место равенства ЧГА(у)==/*(Чг*(и))=А2лу.
•) Напомним, что если конусы отображений / и g\ Sl Sk
гомотопически эквивалентны, то [/]=±[g], где [/] и [§] —
элементы группы лД5*), соответствующие отображениям f и g.—
Прим, перев.
2) См. сб. Математика, 5:4 (1961), 3—86.—Прим, перев.
108
М. Атья. Лекции по К.-теории
Следовательно, значение операции 'У6 на элементе х имеет вид
фб (х) = Тз (Д’2 (х)) = 6лх + (2«Z> 4- 32яга) у,
W6 (х) = Д'2 (Ч/3 (х)) = 6ях + (22nb -J- Злга) у.
Таким образом, мы получаем уравнение для числа п:
2^4-32«a = 22^4-3n<z, или 2я (2я — 1) b = 3я (3я — 1) а.
Так как а нечетно, то 2” является делителем числа (3я — 1),
что, согласно элементарной теории чисел, может про-
изойти лишь в том случае, когда га=1, 2 или 4.
Если п=1, 2 или 4, то можно определить отобра-
жения Хопфа, имеющие инвариант Хопфа, равный еди-
нице. Для этого достаточно, например, заменить сферу
54я-1 подпространством ненулевых векторов в двумерном
комплексном или кватернионном пространстве или простран-
стве Кэли, а сферу S2n рассматривать как комплексную
или кватернионную проективную прямую или проективную
прямую Кэли. Мы оставляем читателю проверку этого
утверждения').
Предложение 3.2.4. Если элемент х£К(Х)
имеет у-фильтрацию Еу(х)'^п, то для любого целого
числа k элемент (Д* (х) —йях) имеет у-фильтрацию
Еу (Д* (х) — knx) > га 4~ 1.
Доказательство. Пусть га = 0. Имеем
Д* (х) = Д* (rank х 4- *i) — rank х ~Ь
где X], а потому и Д^ принадлежат группе/ц (Л-). Сле-
довательно,
Д* X — х = 4^X1 — X! С АГ1 (*) = (X),
т. е. в случае га=0 утверждение верно.
Рассмотрим случай га > 0. Так как операция Д* яв-
-ляется гомоморфизмом колец, то достаточно доказать, что
следующая операция: (y¥kyn — knyn) (где Д* £ Ор (Д'),
уя^Ор(/<1, К)) представляет собой многочлен от опера-
>) Полное доказательство можно найти, например, в книге
Стинрод Н., Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953,
стр. 128—134. — Прим, перев.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
109
ций у1, в котором каждый член имеет вес п + 1. По
теореме 3.1.7 имеет место изоморфизм
Z [ [у1..уп, .. •] ] = Ор^р /O^lhnZ[Xj....xmfm,
m
при котором операция у1 соответствует i-й элементарной
симметрической функции oz от переменных Xj. Так как
(хг) = (1 +xi)k- 1,
то
...)) = o„((l+x1)ft-l, ...)^А"Ол(х) + />
где /—многочлен от <т; веса ^>«-{-1. Поскольку опе-
рации Ч^у" при рассматриваемом изоморфизме соответ-
ствует функция (ал), предложение 3.2.4 доказано1).
Применяя последовательно предложение 3.2.4, мы по-
лучаем
Следствие 3.2.5. Если K„+i (Л") = 0, то для
любой последовательности неотрицательных целых
чисел k0, ky....kn имеет место соотношение
П Ч^™
т—0
-(Мт =0.
') Если элемент х имеет у-фильтрацию п, то по опре-
делению
1
^ = y'1(-^i)Y2(^2)..-y'z(^z), X/QKi (X) и 2г7>я-
/=1
I
Заметим теперь, что если У ij > п, то предложение 3.2.4 верно
7-1
априори, так как операции очевидно, не понижают у-фильт-
рации. Рассмотрим более подробно случай У ij — п. Как дока-
s z ii ' 7=1
зано, Т у ix = k iy i (x) f1 (x), причем элемент fl (x) имеет
у-фильтрацию >Zy-|-l. Следовательно,
^x = 'r'V1 (xj • (x2) ... 1¥kyi{ (xt) ~ 1?1!х f (x),
I
где элемент уже имеет у-фильтрацию > 2 г7 +1 = п +1>
т. е. Fy pvkx — Алх)>/г-4Т — Прим, перев!
110
М. Атья. Лекции по К-теории
Согласно предложению 3.1.10, мы можем применить
следствие 3.2.5, в частности, тогда, когда группа К (А-)
представляет собой конечный Z-модуль.
Заметим, что операция является линейным пре-
образованием векторного пространства /((A)^Q. Взяв
последовательность чисел km = k для всех ш, мы видим
из следствия 3.2.5, что на К (А)'£ Q выполняется соот-
ношение
JJ _ km^ = 0
т-0
Таким образом, собственными значениями каждого пре-
образования являются степени числа k, не превышаю-
щие kn. Обозначим через Vkt г собственное пространство
преобразования Wk, соответствующее собственному значе-
нию kl (может, конечно, оказаться, что Vkii = 0). Если
k > 1, то мы можем рассмотреть ортогональное разложе-
ние тождественного оператора 1 в пространстве A(A)®Q:
1 = 5 nz, nz = П (чг/г —
m^i
Таким образом, векторное пространство A(A)gQ явля-
ется прямой суммой пространств Vkt Далее, взяв после-
довательность чисел
kt — l и km = k для m^=i,
мы получаем, согласно следствию 3.2.5, что
и поэтому имеет место включение Vkt zc Vlt t. Таким об-
разом, доказано
Предложение 3.2.6. Предположим, что кольцо
К (А) имеет конечную у-фильтрацию-, пусть Vkti —
собственное пространство оператора Ф/г в векторном
пространстве A'(A)<gQ, соответствующее собствен-
ному значению kl. Тогда для любых целых чисел k,
I > 1 имеет место равенство
V^V^.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории 111
Так как подпространство Уй>; не зависит от k (для й> 1),
то его можно обозначить символом, не зависящим от k.
Мы обозначим пространство через l-pl{X\ Q) и
назовем его 2г'-мерной группой Бетти пространства X.
Из предложения 3.2.4 следует, что собственному значе-
нию k°— 1 могут соответствовать только векторы из про-
странства Нй(Х, Z) sQ. Таким образом, в наших обозна-
чениях
№(Х, Z)gQ = //0(A’; Q).
Определим нечетномерную группу Бетти равенством
Я2т+1(Х; Q) = /72m+2(SX + ; Q),
где Х+=Х\] (точка) и S—приведенная надстройка.
Если все рассматриваемые пространства конечномерны, то
введем обозначение
Bk~ Нь (Х-, Q)
и определим эйлерову характеристику Е(Х) формулой
Е (АГ)=2 (—1)* Bk = dimq (М° (%) g Q) — dimQ (X (X) ® Q).
Заметим, что из формулы Кюннета (когда она применима)
вытекает равенство
Е(Х X Y) = E(X)E(Y).
Следующее утверждение является простой переформу-
лировкой предложения 3.2.4 в терминах введенных нами
обозначений.
Предложение 3.2.7. Имеет место изоморфизм
*WQ = 2 W2m(X; Q),
m > n
и поэтому
{^(X)/^+1(X)) g Q^№"(X; Q).
Так как для образующей и группы К (S2) справедлива
формула Чьи — ku, то легко проверить следующее равен-
ство:
4fftp(x) = Ap4fft(x),
112
М. Атья. Лекции по К-теории
где 0: К (А") —>/<-2 (А")—изоморфизм периодичности Ботта.
Таким образом, изоморфизм Ботта р индуцирует изомор-
физм построенных нами групп:
H2m(X-, Q)^H2m+2(S2X + ; Q).
Из способа определения нечетномерных групп Бетти сле-
дует, что для всех чисел k имеет место
Формула 3.2.8. Нк(Х- + (SX + - Q).
Если теперь рассмотреть точную последовательность
пары (А", А) в /С-теории, тензорно умноженной на поле
рациональных чисел Q, и разложить ее по действию опе-
раций то из 3.2.8 мы получим
Предложение 3.2.9. Пусть АсХ — пара топо-
логических пространств. Если группы К*(Х) и К* (А)
являются конечными Z-модулями, то точная после-
довательность
... (А)^К1 (X, А)->К1 (Х)-»К1 (Л)-Л ...
индуцирует точную последовательность
... ->Н1~\А\ Q)_^Hl(X, A; Q)->
-+Н‘(Х; Q)->H‘(A; Q)_2> ... ’).
Далее мы дадим второе применение операций 4fft. Так
как факторпространство Рп (C)IPn_i (С) представляет собой
сферу S2n, то имеет место естественное вложение S2n
в (C)/^n-i (С) для всех k. Мы хотим знать, для каких
значений п и k сфера S2n является ретрактом простран-
ства Рп+Ь (C)/Pn_! (С), т. е. когда может существовать
отображение /: Рп+Ь (C')IPn_, (С) —> S2n, ограничение кото-
*) Можно показать, что построенные здесь группы Hl (X; Q)
естественно изоморфны обычным группам когомологий Н1 (X; Q).
Более того, как показал Атья в работе „Power operation in
£>theory“, Quart. J. Math., ser. 2, 17, № 60 (1966), 165—193,
операции 'Ir4 позволяют для пространств без кручения в обыч-
ных когомологиях восстановить не только кольцо Н* (X; Q),
но и действие операций Стинрода в группе Н* (X, Zp) = 2 Н1
(р — любое простое число), т. е. восстановить структуру Лр-мо-
дуля Н* (X, Zp), где Ар — алгебра Стинрода всех стабильных
когомологических операций.— Прим, перев.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
ИЗ
рого на вложенную сферу S'2n есть тождественное отобра-
жение. Мы получим некоторые необходимые условия на
числа п и k, при которых отображение f существует.
Теорема 3.2.10. Для того чтобы существовала
ретракция
f- Рп+Ь (С)1Рп_} (С) -> Рп (С)1Рп_. (С) = S2n,
необходимо, чтобы коэффициенты при х1 для i-Ck
, , 7 log (1 4- х) \п -
в разложении в ряд функции I— —-I были це-
лыми числами.
Доказательство. Пусть g — каноническое линей-
ное расслоение над проективным пространством Рп+Ь.
Положим х = 1,— 1; тогда K(P„+k) — свободная абелева
группа с образующими Xs, 0 у's а группу
K(Pn+k, Pn_i) можно отождествить с подгруппой, поро-
жденной элементами Xs при w s иРассмотрим
в кольце Л'(Р„+*)®<3 элемент у — log(l -|-х). Так как
£ —еу, то
ery = g = (?') = e'v' (у),
т. е. для элемента у имеет место формула Ч/,''(у) = гу.
Таким образом, для группа H2s(Pn+kIPn_-r, Q)
является одномерным пространством, порожденным эле-
ментом ys. Далее, пусть и — образующая группы К (52л);
рассмотрим элемент
n + k
Так как отображение f является ретракцией, то, оче-
видно, ап=1. Кроме того, так как xPku = knu, элемент
/*(«) должен быть кратным элемента уп, т. е.
n+k
2 арс1 — Куп.
1=п
Ограничивая элемент /*(и) на вложенную сферу Д2п, мы
видим, что А.= 1. Так как по определению
у" —(log(l 4-х))п,
8 Зак. 719.
114
М. Атья. Лекции по К-теории
то тем самым доказано, что все коэффициенты при х1,
n^.i^.n-2rk, в разложении в ряд функции (log(l-j-x))"
являются целыми числами, что и утверждалось.
Замечание. Адамс и Грант-Уолкер показали, что
условие теоремы 3.2.10 является не только необходимым,
но и достаточным для существования ретракции {Proc.
Camb. Phil. Soc., 61 (1965), 81 —ЮЗ)1).
Рассмотрим теперь непрерывное отображение /:
S2m+2z!~1->S2m. Поставим в соответствие каждому такому
отображению / инвариант е (/) £ Q/Z следующим образом.
Пусть X—конус отображения /, I: S2m—>X—есте-
ственное вложение и у: X—>S2n+2m— естественная проек-
ция. Обозначим через и образующую группы К° (S2n+2m),
через и — образующую группы ^°(S2m)> через х — такой
элемент группы К°{Х), что 1*{х)~ V, и через у^К°{Х)—
элемент у* {и). Тогда для любого целого числа k имеет
место формула
4м (х) — kmx + aky-
Так как для любых целых чисел k, I выполняется равен-
ство 4fft4fZ = 4rZ4f\ мы получаем соотношение
kn{km — l)at = ln {lm — i)ak.
Таким образом, для данного элемента х(~К°{Х) одно-
значно определено число
е = —1) Q-
Если для элементов хг и х2 выполняется равенство
Г(х/) = 'У, i—\, 2, то из точной последовательности пары
{X, S2m) мы получаем, что X]—х2=/гу для некоторого
целого числа k. Но легко заметить, что в этом случае
.числа е (/), построенные соответственно для элементов
X! и х2, отличаются на целое число, так что дробная часть
числа е (/) £ Q/Z уже не зависит от выбора элемента х.
Мы оставляем читателю в качестве элементарного упраж-
>) Русский перевод: сб. Математика, 11:4 (1967), 42—69. —
Прим, перев.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
115
нения доказать, что таким образом построен гомоморфизм
групп е: л2п+2т_1(-$* 2'")—> Q/Z. Оказывается, что этот гомо-
морфизм является очень полезным инвариантом ’).
§ 3.3. Группы
В этом параграфе мы предполагаем для простоты, что
пространство X связно. Можно ввести понятие эквива-
лентности между векторными расслоениями, известное как
послойная гомотопическая эквивалентность, которая пред-
ставляет большой интерес в теории гомотопий. Пусть Е,
Ef— два расслоения над пространством Х\ предположим,
что в расслоениях Е и Е' заданы эрмитовы метрики. Рас-
слоения Е и Е' называются послойно гомотопически экви-
валентными, если существуют такие отображения /:
S (E)->S(Jz'), g: S(Е'~)~> S(Е)2), коммутирующие с проек-
цией на базисное пространство X, что отображения gf
и fg послойно гомотопны тождественному отображению.
Ясно, что это отношение эквивалентности определено на
множестве классов эквивалентных векторных расслоений
над X.
Послойная гомотопическая эквивалентность аддитивна,
т. е. если расслоения Е, Е' послойно гомотопически экви-
валентны соответственно расслоениям Е, F', то расслое-
ние ЕфЕ' послойно гомотопически эквивалентно расслое-
нию ЕфЕ'. Это следует из того факта, что пространство
•$(ЕфЕ') может быть представлено в виде послойного
соединения двух расслоенных пространств 5 (Е), S (Е').
В общем случае послойное соединение расслоенных про-
странств л: УX, л': У'—> X определяется как про-
странство троек (у, t, у'), где t£I, л(у) = л/(у'), на
которое наложены отношения эквивалентности
(У. 0. У)~ (У- 0, у'),
(У1. 1. /)~(У2. 1. У)-
') При помощи гомоморфизма е можно, например, дать про-
стое доказательство известной теоремы Милнора — Кервера
об образе стабильного J-гомоморфизма, см. сб. Математика,
11:4 (1967), 3—42 . — Прим, перге.
2) Здесь через S (£) обозначено расслоение со слоем сфера,
ассоциированное при помощи эрмитовой метрики с векторным
расслоением Е. — Прим, перев.
8*
116
М. Атья. Лекции по К-теории
Легко проверить, что так определенное послойное соеди-
нение также является расслоенным пространством с базой X.
Мы говорим, что два расслоения Е, Е' стабильно
послойно гомотопически эквивалентны, если существуют
такие тривиальные расслоения V, V, что расслоение E@V
послойно гомотопически эквивалентно расслоению E'@V'.
Множество всех классов стабильно послойно гомотопически
эквивалентных расслоений над X образует полугруппу,
которую мы обозначим через J(X). Так как каждое век-
торное расслоение Е имеет дополнительное расслоение F,
т. е. такое расслоение, что расслоение EQ>F тривиально,
то полугруппа Т(Х) является группой, и, следовательно,
естественное отображение
Vect(X)—> J(X)
продолжается до эпиморфизма
К(Х)->./(Х),
который мы также обозначим через J.
Пусть Е, Е' — некоторые расслоения и л: S(E) —> X,
л': S(E')~>X —проекции соответствующих расслоений со
слоем сфера. Комплексы Тома Xе, Xе расслоений
Е и Е' являются в точности конусами соответственно ото-
бражений л, л'. Таким образом, мы видим, что если Е и
Е'—послойно гомотопически эквивалентные расслоения,
то комплексы Тома Xе и Xе имеют один и тот же гомо-
топический тип. Однако если Е — тривиальное расслоение
размерности п, то Xе = S2n (Х+). Таким образом, чтобы
показать, что J(E) =£ 0, достаточно показать, что ком-
плекс Тома Xе не является стабильно гомотопически экви-
валентным надстройке над пространством Х+ ’).
Теперь мы покажем, как при помощи операций 4fft,
определенных в § 3.2, дать необходимые условия того,
jjto J(E) = 0. По теореме об изоморфизме Тома (см. след-
ствие 2.7.12) мы знаем, что кольцо К (Xе) есть свобод-
') Два пространства X и Y называются стабильно гомото-
пически эквивалентными, если существуют такие целые числа
пит, что пространства SnX и SmY гомотопически эквива-
лентны (где SnX есть п-кратная надстройка над X).— Прим,
перев.
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
117
ный К (А')-модуль, порожденный элементом /.Е. Следова-
тельно, для любого числа k существует единственный эле-
мент р* (В) £ К (X), который определяется равенством
4^) = ^ (В).
Из свойства мультипликативности фундаментального
класса КЕ (см. § 3.2) и того факта, что операции —
гомоморфизмы колец, вытекает формула
р‘(ВфВ') = р‘(В)У(В').
Напомним теперь, что если Е = 1, то XE = S2(X), и
из формулы
4м • ₽ = ЭД • Т*.
где |3 — изоморфизм периодичности Ботта, мы получаем
равенство
р*(1) = й.
Рассмотрим подкольцо Qft= Z[l/A] кольца рациональных
чисел Q, состоящее из дробей со знаменателями, равными
степеням числа k. Тогда, определяя элемент о* (В) формулой
ok (В) = й~пр* (В), га —dim В,
мы получаем гомоморфизм
где Gk — мультипликативная группа обратимых эле-
ментов кольца К (X) Qft.
Предположим теперь, что расслоение В послойно гомо-
топически тривиально. В этом случае, как легко вытекает
из предыдущего, существует такой элемент и^К(Xе),
что Чгйга = knu. Элемент и можно представить в виде ^Еа,
следовательно,
Wku = ^kKE Wka = k"kEa,
и поэтому
ок(Е) Wk(a) = a.
Более того, рассматривая ограничение элемента а на точку,
мы видим, ' что аугментация элемента а равна единице.
Таким образом, элементы а и xVk (а) оба принадлежат
118
М. Атья. Лекции по К-теории
группе Gk. Следовательно, определен элемент
ok(E) = -а £Gk.
Y*(a) k
Так как элемент о/г(£’) зависит только от класса стабиль-
ной эквивалентности расслоения Е, то мы установили
Предложение 3.3.1. Пусть HkccGk—подгруппа,
порожденная всеми элементами вида a^k{a), где
а—некоторый обратимый элемент кольца К (X). Тогда
гомоморфизм
<?: K(X)->Gk
отображает ядро гомоморфизма J в подгруппу Нк и,
следовательно, индуцирует гомоморфизм
J(X)^GkIHk.
Чтобы применить предложение 3.3.1, необходимо уметь
вычислять элементы о4 (f) или, что эквивалентно, эле-
менты р* (Е). Но элемент
p*60p(/<)
является операцией. Аугментация его известна, поэтому
остается определить его значение на комбинациях линей-
ных расслоений. Учитывая мультипликативные свойства
операции р*, мы видим, что остается лишь определить
элемент pft(L) для линейных расслоений L.
Лемма 3.3.2. Для линейных расслоений L имеет
место формула
/г-1
р*(£)=2 1^1
7=о
Доказательство. В предложениях 2.7.1 и 2.7.2
дано описание кольца К (27л) как К (Х)-модуля, поро-
жденного в кольце К (P(LQ 1)) элементом п — 1—[7.] [77].
Описание структуры кольца К (Р (7.ф1)) дано в нашей
основной теореме 2.2.1. Поэтому в кольце 7С(7э(£ф1))
имеем
k-i
2 [£'1 [*']
7=0
— и 2 [ТУ], так как (1 — [7.] [77]) (1 — [77]) = 0.
/-о
Т* («) = 1 — [7?] [/7*] = (1 - [7.] [Я])
Гл. 3. Когомологические операции в К-теории
119
Таким образом, j
= [£']
U-o
откуда вытекает требуемая формула
й-1
7=0
В качестве примера рассмотрим случай, когда X =
— ^2п(Ю—вещественное проективное пространство раз-
мерности 2п. Как показано в предложении 2.7.7, адди-
тивная группа кольца К (Л") представляет собой цикли-
ческую группу порядка 2п с образующей x=[L] —1, где
L—каноническое линейное расслоение1). Мультиплика-
тивная структура кольца К (X) полностью определяется
соотношением [А]2=1 (которое выполняется, поскольку
расслоение L ассоциировано с главным расслоением со
структурной группой Z2). Положим й = 3; тогда
lF3(x)= [Z3] — 1 = х,
т. е. в этом случае группа /73, определенная выше, со-
стоит из одного элемента. Используя лемму 3.3.2, нахо-
дим, что
о3 (mx) = р3 (tnx) — (р3 (x))m — (р3 [L])m • 3-m =
i-i 2*-1 Im
х (так как х2 = — 2х)=
= 1 +У(-1)
Таким образом, если J(mx) = 0, то число (3m—1) де-
лится на 2л+1. Это возможно тогда и только тогда, когда m
делится на 2л~1. Следовательно, ядро гомоморфизма
J- K(P2nW)^J(P2nQtY)
') Расслоение L является комплексификацией канонического
вещественного расслоения над Р2п (R)- — Прим, перев.
120
М. Атья. Лекции по К-теории
является группой самое большее порядка 2. Этот результат
лежит в основе решения проблемы векторных полей на
сферах и может быть улучшен при помощи вещественной
А-теории ’).
Задача, рассмотренная в теореме 3.2.10, фактически
является частным случаем более общей проблемы, которую
мы сейчас рассматриваем. Действительно, легко видеть,
что пространство Pn+k (C)'P,t_1 (С) является пространством
Тома расслоения пН над пространством РЙ(С)2). Утвер-
ждение теоремы 3.2.10 можно, следовательно, интерпре-
тировать как утверждение о порядке элемента J(H) £
^7(РЙ(С)). Для доказательства теоремы 3.2.10 по суще-
ству используется тот же метод, что и в этом параграфе.
Но здесь мы рассматриваем не одно конкретное прост-
ранство, а целый класс, а именно класс пространств Тома,
и даем описание метода, пригодного для всех пространств
из этого класса.
Для более детального ознакомления с группой 7(20
читатель может обратиться к серии работ Дж. Ф. Адамса
(Adams J. F., On the groups J(X), Topology, 2 (1963),
181 — 195; 3 (1965), 137—171, 193- 222; 5 (1966),
21—71 3)).
l) Окончательное решение проблемы векторных полей на
сферах дано Дж. Ф. Адамсом, см. сб. Математика, 7 : 6 (1963),
48—79. Доказательство основной теоремы 1.2 в этой работе со-
стоит по существу в доказательстве изоморфизма
J: KR{RPn)—->J(RPn).
— Прим, перев.
2) Доказательство этого утверждения можно найти в статье
А т ь я М. Ф., Пространства Тома, сб. Математика, 10: 5 (1966),
48—69. — Прим, перев.
3) Эта серия работ Дж. Ф. Адамса переведена в сб. Мате-
матика, 10 : 5 (1966), 70—84; 11:4 (1967), 42—69. — Прим, перев.
ДОПОЛНЕНИЕ
ПРОСТРАНСТВО ОПЕРАТОРОВ ФРЕДГОЛЬМА
В этом дополнении мы дадим интерпретацию группы
Д'(Л") при помощи гильбертова пространства. [Эти резуль-
таты были получены независимо Енихом (J a n i с h К-,
Bonn dissertation, 1964).] Такой подход представляет ин-
терес в связи с теорией индекса эллиптических операторов.
Пусть Н — сепарабельное комплексное гильбертово
пространство; обозначим через 21 (Я) алгебру всех огра-
ниченных операторов на Н. В алгебре 21 мы будем рас-
сматривать топологию, индуцированную нормой оператора.
Хорошо известно, что в этом случае 21 является банаховой
алгеброй. В частности, группа 21* обратимых элементов
алгебры 21 образует открытое множество. Напомним также,
что по теореме о замкнутом графике любой оператор Т £ 21,
являющийся алгебраическим изоморфизмом Н—> Н, является
также топологическим изоморфизмом, т. е. оператор Т 1
принадлежит алгебре 21, и поэтому Т £ 21*.
Определение. Оператор Т £ 21 (Я) называется опе-
ратором Фредгольма, если КегТ и Coker Г — конечно-
мерные пространства. Целое число dim КегТ —dim Coker Т
называется индексом оператора Т.
Заметим сначала, что для оператора Фредгольма Т
образ Т (Н) замкнут. Действительно, так как простран-
ство Т (Я) имеет конечную коразмерность в пространстве Я,
мы можем найти конечномерное алгебраическое дополне-
ние Р. Таким образом, отображение Т @ j-. HQ)P-->H
(где J: Р-+Н — вложение) является эпиморфизмом, и по-
этому, согласно теореме о замкнутом графике, образ
любого замкнутого множества замкнут. В частности, про-
странство Т(Я) = Тфу(ЯфО) замкнуто.
Обозначим через §с21 подпространство всех опера-
торов Фредгольма. Если Т, S —два оператора Фредгольма,
то легко проверить следующие неравенства:
dim Ker TS dim Ker T Д- dim Ker S,
dim Coker TS dim Coker T dim Coker S,
122
М. Атья. Лекции по К-теории
и поэтому TS — также оператор Фредгольма. Таким обра-
зом, ,5 является топологическим пространством с ассоциа-
тивным умножением S X S 8- Следовательно, для любого
пространства X множество [X, §] гомотопических классов
отображений X —является полугруппой. Основная цель
этого приложения — доказать следующую теорему:
Теорема 1. Для любого компактного простран-
ства X имеет место естественный изоморфизм
index: [X, §] —> К (X).
Замечание. Если X—точка, то из этой теоремы
вытекает, что связные компоненты пространства $ опре-
деляются целыми числами. Эти числа являются индексами
операторов; этим и объясняется использование обозначе-
ния index в формулировке теоремы.
Теорема 1 утверждает, что пространство § является
классифицирующим (или представляющим) пространством
для /(-теории. Другое классифицирующее пространство,
тесно связанное с пространством может быть получено
следующим образом. Обозначим через Я с: 21 подпростран-
ство всех вполне непрерывных операторов. Пространство Я
представляет собой, очевидно, замкнутый двусторонний
идеал в алгебре 21, и, следовательно, факторалгебра 23 =
= 91/Я является снова банаховой алгеброй. Обозначим
через 23* группу обратимых элементов алгебры 23. Группа 23*
является топологической группой, и поэтому для любого
пространства X множество [X, 23*] представляет собой
группу. Наша вторая теорема утверждает следующее.
Теорема 2. Топологическая группа 23* является
классифицирующим пространством для К-теории, т. е.
имеет место естественный изоморфизм групп
[X, 23*] К (X).
Доказательство мы начнем со следующей леммы, которая
является по существу обобщением предложения 1.3.2 на
бесконечномерный случай.
Лемма 3. Если Т — оператор Фредгольма и V —
такое замкнутое подпространство в Н конечной ко-
размерности, что V ПКегТ = 0, то существует такая
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 123
окрестность U оператора Т в алгебре 21, что для всех
операторов S£U имеем
(i) V AKerS = O;
(ii) пространство (J H/S (V), топологизированное
S£U
как факторпространство пространства U яв-
ляется тривиальным векторным расслоением над U.
Доказательство. Пусть W = Т (V)-L— ортого-
нальное дополнение пространства Т (У) в Н. Так как Т
и dim (H/V) конечна, то и dim W конечна. Определим
теперь для произвольного оператора -S £ 21 отображение
Ф5: VQW-+H
формулой ф5 (V ф W) = -S (V) -|- W. Тогда соответствие
•S —>ф5 определяет непрерывное линейное отображение
ф: 21 -> 2 (V ф W, Н),
где через 2 обозначено пространство всех непрерывных
линейных отображений с топологией, индуцированной нор-
мой. Далее, отображение фг, очевидно, является изомор-
физмом, а множество всех изоморфизмов в пространстве 2
открыто (подобно группе обратимых элементов в алгебре 21).
Следовательно, существует такая окрестность U опера-
тора Т в алгебре 21, что отображение ф5 является изо-
морфизмом для всех операторов -S £ U !). Ясно, что отсюда
вытекают утверждения (i> и (ii).
Следствие 4. Пространство операторов Фред-
гольма § открыто в алгебре 21.
Доказательство. Достаточно применить лемму 3
к пространству V=(Ker7') L, где Т — оператор Фредгольма.
Предложение 5. Пусть Т: X ->§ — непрерывное
отображение компактного пространства X. Тогда
существует такое замкнутое подпространство VсгН
конечной коразмерности, что
(i) VnKer7'J. = 0 для всех точек х£Х\
(ii) пространство H/TX(V), топологизированное
xdX
') Заметим, что все операторы SGU фредгольмовы, т. е.
U с: g. — Прим, перев.
124
М. Атья. Лекции по К-теории
как факторпространство пространства Ху/Н, являет-
ся векторным расслоением над X.
Доказательство. Для каждой точки х(//Х рас-
смотрим пространство Vx = (Ker 7\)- и обозначим через Ux
прообраз при отображении Т открытого множества, опре-
деленного в лемме 3. Таким образом, мы получаем по-
крытие пространства X открытыми множествами U х. Пусть
Xi — Ux. — конечное подпокрытие из этого семейства от-
крытых множеств. Тогда для пространства V =
I
выполняется утверждение (1). Чтобы доказать (11), применим
лемму 3 к каждому оператору Тх и получим, что семей-
ство векторных пространств локально три-
у
виально в окрестности точки х и, следовательно, является
векторным расслоением.
Для краткости мы будем обозначать расслоение
U Н/ТX(V), построенное в предложении 5, через Н/Т (V).
-vfX
Как и в конечномерном случае, мы можем расщепить есте-
ственное отображение р: Н —>Н/Т (V) ’); точнее мы можем
найти непрерывное отображение
<р: Н/Т (V) -> X X И,
коммутирующее с проекцией на X и такое, что
р<р — тождественное отображение.
Один из способов построить отображение <р заключается
в том, чтобы, используя метрику в пространстве Н, ото-
бразить пространство Н/Т (V) на ортогональное дополне-
ние Т (V)-1- к Т (V). Этот способ неудобен, так как в этом
случае необходимо проверить, что Т (У)^ — векторное
расслоение. Вместо этого заметим, что по определению
.отображение р локально расщепляется, и поэтому мы
можем выбрать расщепления <рг в окрестности (7г, где
{[7J—некоторое конечное открытое покрытие простран-
ства X. Тогда отображение ср,-—= 0Z. является по суще-
') В данном случае через Н обозначено пространство
X X Н. — Прим, перев.
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 125
ству отображением Н/Т (V) |
U t[\U j^H. Если
pz—разбиение единицы, подчиненное покрытию {(7J, то
мы рассмотрим, как обычно, отображения
0/ = 2 рДу
которые определены уже над всей окрестностью Ut. Таким
образом, отображение — 0Z не зависит от I и опре-
деляет требуемое расщепление ]).
Теперь мы можем определить индекс отображения Т
для любого непрерывного отображения Т-. X—(Л- ком-
пактно). Выберем пространство V, удовлетворяющее усло-
виям предложения 5, и положим по определению
index Т = [Н/V] — [Н/Т (V)] £ Д (X),
где через Н/V обозначено тривиальное расслоение
X X Н/V. Мы должны показать, что это определение не
зависит от выбора пространства V. Если W — другое такое
пространство, то мы можем рассмотреть их пересечение
F f] IF, поэтому, очевидно, достаточно предположить, что
IFczF. Но в этом случае мы имеем точные последователь-
ности векторных расслоений
О -> V/W -> H/W -> H/V О,
О -> V/W -> Н/Т (IF) -> Н/Т (F) -> 0.
Следовательно, имеют место равенства
[Н/V] — [Я/IF] = [F/IF] = [Н/Т (F)] — [Н/Т (IF)],
что и утверждалось.
Очевидно, что наше определение индекса отображе-
ния Т функториально, т. е. если /: Y —> X — некоторое
непрерывное отображение компактных пространств, то
index Тf = f* index Т.
Это следует из того факта, что если подпространство V
’) То есть расщепление определяется такой функцией <р,
ограничение которой на окрестность Ui совпадает с функцией
<pz — 0Z = Р/фу — Прим, перев.
126
М. Атья. Лекции по К-теории
удовлетворяет условиям предложения 5 для отображения Т,
то оно удовлетворяет этим условиям и для отображения Tf.
Если Т: X X I — некоторая гомотопия отображе-
ний То и Гр то ограничениями индекса отображения
Т£К (XXD являются индексы отображений Т^К (XX{/})•
i —0,1. Но мы знаем, что отображение
К (X XI) -> К (X X {/}) ~ К (X)
— изоморфизм, следовательно, index Го = index ГР Таким
образом, отображение .index: [X, g]—>Х(Х) определено
корректно.
Далее мы должны показать, что отображение index
является гомоморфизмом. Пусть S: X->g, Г: X——
два непрерывных отображения, и пусть V, WaH—под-
пространства, выбранные в соответствии с предложением 5
соответственно для отображений S, Г. Заменяя V под-
пространством V П (W), можно предположить, что
S(V)clF. Тогда подпространство V удовлетворяет усло-
виям предложения 5 для отображения TS, и мы имеем
точную последовательность векторных расслоений над X:
0 -> W/SV H/TSV -> H[TW -> 0.
Следовательно,
index TS = [H/V] — [H/TSV] =
= [H/V] — [W/SV] — [H/TW] =
= [И/V] — [Н/SV] + [/7/1Г] — [H/TW] =
— index S index Г,
что и требовалось.
Итак, мы доказали, что отображение index: [X, g]
—> К (X) является гомоморфизмом. Следующим шагом в
доказательстве теоремы 1 является
Предложение 6. Имеет место точная последо-
вательность полугрупп
[X, Г]->[Х, g]-JH^>X(X)^0.
Доказательство. Рассмотрим сначала отображе-
ние Г: X—индекса нуль. Это означает, что
[H/V] — [И/TV] = 0 в группе К (X).
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 127
Следовательно, добавляя тривиальное расслоение Р к обоим
слагаемым, мы получаем изоморфизм расслоений
или, что эквивалентно, заменяя V таким замкнутым под-
пространством W, что dim (V/W) — dim Р, мы получаем
изоморфизм расслоений
Если мы теперь расщепим отображение опи-
санным ранее способом, то получим непрерывное ото-
бражение
<p: XXHIW-^XXH,
коммутирующее с проекцией на X и линейное на слоях.
Если
Ф: Х->2(///Г, //)
— отображение, ассоциированное с <р, то из построения
отображения <р следует, что соответствие
х —> Фх -f- Тх
определяет непрерывное отображение
Х-^Т.
Но для 0 <3 1 отображение Уф/Ф является гомото-
пией отображений X—>§, связывающей Т иТфФ. Это
доказывает точность в середине последовательности.
Остается показать, что гомоморфизм index является
эпиморфизмом. Пусть Е—векторное расслоение над ком-
пактным пространством X, и пусть F— такое расслоение,
что расслоение E@F изоморфно тривиальному расслое-
нию X\V. Обозначим через .Tr^EndV проекцию про-
странства V на подпространство, соответствующее Ех.
Пусть —стандартный оператор индекса k, опреде-
ленный относительно некоторого ортонормального ба-
зиса {еф, I— 1, 2, .... формулой
если I—
О в остальных случаях.
Определим отображение
S: Х-^(Я®И) = 3(Л)
128
М. Атья. Лекции по К-теории
формулой Sx = Т_г®л.х + Г0®(1 —лх). Имеем Her 5^=0
для всех точек х. Более того, легко заметить, что суще-
ствует изоморфизм Н ® ViS(H ® V) Е. Следовательно,
index S = — [£].
Постоянное отображение Tk. X —>$, определенное фор-
мулой Тk(x) = Tk, имеет, очевидно, индекс k, и поэтому
index TkS = k — [Д].
Но так как каждый элемент группы К (X) имеет вид
k—[Д], то это показывает, что гомоморфизм index яв-
ляется эпиморфизмом. Тем самым предложение 6 до-
казано.
Теорема 1 вытекает теперь из предложения 6 и сле-
дующего утверждения:
Предложение 7. Для любого пространства X
группа [X, 21*] состоит из одного элемента.
Это утверждение доказано Кюйпером, и мы не будем
воспроизводить здесь его доказательство ’). Фактически
Кюйпер в своей работе показывает, что группа 21* как то-
пологическое пространство стягиваема.
Вернемся теперь к доказательству теоремы 2. Напом-
ним сначала, что имеет место включение
1
Этот факт доказывается довольно просто стандартными
методами теории вполне непрерывных операторов.
Предложение 8. Пусть л: 21->23 = 21/Я— есте-
ственное отображение. Тогда
д = л-1 (23*).
Доказательство. Рассмотрим оператор Фред-
гольма Т и обозначим через Р и Q ортогональные проек-
торы соответственно на пространства Кег7', КегТ*. Тогда
операторы Т*Т -\-Р и TT*-\-Q оба принадлежат группе 21*,
и поэтому их образы при отображении л содержатся
в группе 23*. Так как Р, <2£Я, то л (Т*) • л (Г) £ 23* и
л (Т) • л (Т*) £23*. Следовательно, и л (Г) £23*.
Докажем теперь включение л-1 (23*) cz Пусть
7'£л-1(1В*), т. е. существует такой оператор S£2l, что
*) См. стр. 241—260 настоящей книги. — Прим, перев.
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 129
ST и TS принадлежат 14-Яс:§. Но так как dim Ker Т
^dimKerSZ1 и
dim Coker Т dim Coker 75,
то Т £ g.
Теорема 2 вытекает теперь из теоремы 1 и следующей
общей леммы (которую следует применять, положив L = 21,
Л4==23, U = %*).
Лемма 9. Пусть л: L^-M.—такое непрерывное
линейное отображение банаховых пространств, что
пространство n(L) плотно в М, и пусть U —некото-
рое открытое множество в /И. Тогда для любого
компактного пространства X естественное отобра-
жение
[X, л~\и)]^-{Х, [7]
является взаимно однозначным.
Доказательство. Сначала мы покажем, что если
отображение
л: L —> М
и пространства L и М удовлетворяют условиям леммы,
то для любого компактного пространства X индуциро-
ванное отображение
л*: LX->MX
и пространства Lx и Мх также удовлетворяют условиям
этой леммы. Так как пространства Тх и Мх, очевидно,
банаховы, то остается лишь доказать, что пространство
nx(Lx) плотно в Л4Х. Итак, пусть /: X—>M — некото-
рое непрерывное отображение. Мы должны построить
такое непрерывное отображение g: X —>L, чтобы для всех
точек х £ X выполнялось неравенство || ng (х) — f (х) || < е.
Выберем такие точки ах.....ап в /(Л-), что их (е/3)-
окрестности Ut покрывают все пространство f (X). Далее
выберем такие точки bt, для которых выполняются нера-
венства ||л(^)— а, Ц <4-. Пусть «/(х) — разбиение еди-
О
ницы на пространстве X, подчиненное покрытию {/”
Определим отображение g: X ->L формулой
g-(x) = S«z(x)
9 Зак. 719
130
М. Атья. Лекции по К-теории
Это и есть требуемое отображение.
Следовательно, заменив л отображением лх, а мно-
жество U множеством Ux (которое открыто в простран-
стве Alx), мы видим, что достаточно доказать лемму для
случая, когда X— точка, т. е. доказать, что естественное
отображение
индуцирует взаимно однозначное соответствие компонент
линейной связности. Ясно, что это отображение индуци-
рует эпиморфизм компонент линейной связности: если Р£ U,
то существует такая точка Q £ л (/.)(] 67, что сегмент PQ
полностью содержится в множестве U. Чтобы убедиться
в том, что это отображение индуцирует мономорфизм,
рассмотрим две точки Ро, Р} £ л-1 (U) и предположим,
что /: I U —некоторый путь, соединяющий точку
f (О) = л(Ро) с точкой f (1) = л(7Э1). По доказанному
вначале существует такой путь g: / —>л~' (U), что для
всех t£I выполняется неравенство
pg (О —/(ОН < е.
Если е взять достаточно малым, то сегменты, соединяю-
щие точки ng (I) с точками / (Z) для i=0, 1, будут пол-
ностью лежать в множестве U. Отсюда следует, что сег-
мент, соединяющий g(Z) с Pt для 1 = 0, 1, полностью
лежит в множестве л-1 (67). Таким образом, точку
можно соединить с Рг путем, лежащим в множестве л-1 (U).
и '1 (У)
Тем самым лемма 9 доказана.
ПРИЛОЖЕНИЕ
I. ЭКВИВАРИАНТНАЯ А-ТЕОРИЯ')
М. Атья, Г. Сегал
ЛЕКЦИЯ 1. ВЕКТОРНЫЕ G-РАССЛОЕНИЯ
В настоящей лекции мы введем понятие векторного
G-расслоения и определим кольцо Ка (А'). В дальнейшем G
будет обозначать некоторую фиксированную топологиче-
скую группу; в лекции 2 и далее мы будем понимать под G
компактную группу Ли.
1.1. Определения
Мы будем называть G-пространством топологическое
пространство X вместе с непрерывным отображением
G X X —> X, удовлетворяющим закону ассоциативности
St. (£2*) = (^2)х любых gv g2£G и х£Х.
Мы будем называть О-отображением между двумя
G-пространствами непрерывное отображение, коммутирую-
щее с действием группы G. Более общо, если X является
G-пространством, а У является Н - пространством и
0: H—>G — непрерывный гомоморфизм, то мы будем на-
зывать /: У —•> X Q-эквивариантным отображением,
когда оно непрерывно и когда f (hy) — (у) для всех
h£H и
Под векторным G-расслоением над G-простран-
ством X мы будем понимать векторное расслоение
р: Е—> X вместе со структурой G-пространства на Е, где
(i) р является G-отображением;
(ii) если g£G, то g-. р~' (х)—> р~г (gx) является ли-
нейным отображением.
Назовем G-гомоморфизмом Е —> F между вектор-
ными G-расслоениями Е и F отображение, которое яв-
ляется одновременно гомоморфизмом векторных расслоений
и G-отображением.
') Atiyah М. F., Segal О. В., Equivariant A-theory
Lecture notes, Oxford, 1965. [Лекции 1,4—6 принадлежат M. Атья,
остальные — Г. Сегалу.] Настоящие лекции записаны Д. Эпштей-
ном и Р. Шварценбергером.
132
I. M. Атья, Г. Сегал
Если X — точка, то векторное G-расслоение над X
является представлением группы О.
Если 0=1, то векторные G-расслоения являются
обычными векторными расслоениями.
Если X — некоторое О-пространство, то существует
факторотображение q: X-+X/0. Векторное расслоение F
над Х/G индуцирует расслоение q*F над X. Из универ-
сального свойства индуцированного расслоения следует,
что на q*F существует единственная структура векторного
G-расслоения, для которой следующая диаграмма комму-
тативна:
q*F--S—+q*F
X;о1/4
Ясно, что q* является функтором из категории век-
торных расслоений и гомоморфизмов над Х[0 в катего-
рию векторных О-расслоений и О-гомоморфизмов над X.
Предложение 1.1.1. Если X — главное О-рас-
слоение ’), то функтор q* является эквивалентностью.
Доказательство. Мы должны найти такой функ-
тор г, что q*r и rq* естественно изоморфны тождествен-
ному функтору. Пусть задано векторное О-расслоение Е
над X.
Тогда существует естественное отображение Е/О-^Х/О;
докажем, что оно является векторным расслоением над X/G,
и возьмем это расслоение за г (Д). Требуется только до-
казать, что отображение Е10—>Х/0 локально тривиально.
Пусть К — поле скаляров, п—размерность слоя в рас-
слоении Е. Пусть U — окрестность некоторой заданной
точки в пространстве Х/0, такая, что отображение
X XjG тривиально над U. Достаточно показать, что
ограничение отображения E/G —> Х/G на U локально три-
виально. Это сводит задачу к случаю, когда X — G \ Ху
и X X/О — Ху является проекцией произведения. Пусть
') То есть группа О действует на пространстве Д’свободно.—
Прим, перев.
Эквивариантная К-теория
133
x£Xv Тогда существуют окрестность V единицы е£О
и окрестность W точки х, такие, что отображение
р-. E->GyXt тривиально над VyW. Тогда мы имеем
изоморфизм векторных расслоений над e~y^W:
который может быть продолжен единственным образом
до G-изоморфизма
GX^X/C^p-’CGXXj)
векторных G-расслоений над Gy^W. Это индуцирует изо-
морфизм между расслоением WyKn->W и ограничением
на W расслоения Ei'G-^Xl. Таким образом, E/G—>X/О
является векторным расслоением г (f) над X/G.
Коммутативная диаграмма
Е->ЕЮ
; ф
Х->ХЮ
показывает, что Е^-Х является индуцированным расслое-
нием и что q*r естественно изоморфно тождественному
функтору. (Мы отмечали выше, что существует единствен-
ная G-структура на индуцированном расслоении.)
Для того чтобы показать, что rq* естественно изо-
морфно тождественному функтору, заметим, что q*F—
= X X x/oF cz X X F• Группа G действует на первом
сомножителе. Отображение q*F —> F индуцирует изомор-
физм q*F]G-^-F векторных расслоений над X/G.
Следствие 1.1.2. Категория векторных G-рас-
слоений над G эквивалентна категории векторных
пространств.
В дальнейшем мы будем использовать такое обобще-
ние следствия 1.1.2. Пусть Н — подгруппа группы G,
a Y — некоторое //-пространство. Обозначим через G X
пространство, которое получается из G X Г отождествле-
ниями по следующему отношению эквивалентности:
(gv У1)~ (g2- 3’2)<==^g2 = gl/z У2 = ЛУ1
для некоторого h£H.
134
I. M. Атья, Г. Сегал
Тогда на G X HY можно ввести структуру G-простран-
ства, задавая действие группы О формулой
g{gv y)=(ggi<y)
и замечая, что g^gjT1, hy) = (gglh~1, hy)~(ggv у) =
= g(gi. У)-
Предложение 1.1.3. Категория векторных
Н-расслоений над У эквивалентна категории вектор-
ных G-расслоений над пространством G X •
Доказательство. Рассмотрим подпространство
Н X hy пространства G X я^' Ясно, что это простран-
ство гомеоморфно У и устойчиво относительно действия
подгруппы Н группы G. Поэтому каждое векторное
G-расслоение над G X hy ПРИ ограничении на Ну^нУ =У
определяет векторное 17-расслоение.
Теперь пусть F является векторным /Y-расслоением
над У; рассмотрим отображение G X @ X я^- Здесь
О X я^ есть G-пространство с действием g £ G, задан-
ным формулой g(gy, f) = (gg\, /), а также является век-
торным расслоением. Ограничение расслоения G X на
Н"ХнУ совпадает, очевидно, с Н''/ИР<=Р. С другой
стороны, если Е—векторное G-расслоение над G X НУ,
то существует отображение
ОХя(«/Н£
определенное формулой (g, e)—>ge, которое является
G-изоморфизмом.
Следствие 1.1.4. Категория векторных G-pac-
слоений над G/Н эквивалентна категории векторных
Н-пространств.
1.2. Тривиальные G-пространства
Мы назовем X тривиальным G-пространством, если
gx = х для всех g £ G, х £ X. Если X — тривиальное
^-пространство, а V — векторное G-пространство, то
через V обозначим векторное G-расслоение X X.V —> X.
Теперь пусть G — компактная хаусдорфова группа, и
пусть Е — векторное G-пространство, другими словами,
Е является пространством представления группы G. Мы
ограничимся комплексными представлениями. Вводя меру
Хаара на группе G, легко построить G-инвариантное эрми-
Эквивариантная К-теория
135
тово скалярное произведение на Е. Так как Е вполне
приводимо, мы можем написать
Z
где Et — неприводимые векторные G-пространства, а через
/г;£\ обозначена прямая сумма nt экземпляров Et. Числа
однозначно определяются пространством Е.
Лемма Шура утверждает, что для неприводимого
G-модуля Е все его G-эндоморфизмы получаются из то-
ждественного умножением на скаляр, т. е. End0£' = C.
Пусть —множество всех неприводимых по-
парно не эквивалентных представлений группы G. Если
Е — некоторое векторное G-пространство, то будем писать
лЕ = Ногп0 (£"-[, Е). Существует G-отображение
ф (Ея ® лЕ) -> Е,
Л
которое в силу предыдущих результатов является G-изо-
морфизмом. Эти рассуждения соответствуют изучению
векторных G-расслоений над точкой. Докажем общее для
всех тривиальных G-пространств
Предложение 1.2.1. Пусть О—компактная
хаусдорфова группа, X—тривиальное G-пространство.
Пусть Е и F — комплексные векторные G-расслоения
над X. Тогда
(1) подпространство Е° пространства Е, состоя-
щее из точек, инвариантных относительно G, является
векторным подрасслоением в Е;
(ii) Ното(£, F) есть векторное подрасслоение рас-
слоения Нот (Е, F),
(iii) пусть лЕ — Ното (Ея, Е). Из (И) следует, что
это векторное расслоение. Естественное отображение
Ф(£’л ^лЕ)—>Е является изоморфизмом векторных
Л —
G-расслоений.
Доказательство, (ii) тривиально следует из (i).
(iii) имеет смысл в силу (ii) и доказывается проверкой для
каждой точки х £ X. Для того чтобы доказать (i), исполь-
зуем меру Хаара на G. Если V—векторное G-пространство,
136
1. М. Атья, Г. Сегал
то определим
формулой
усредняющее отображение ц: V —
рО) =
gv.
Очевидно, что ц линейно. Кроме того, это проектор,
т. е. ц2=ц, и его образом является V0. Аналогично су-
ществует непрерывный проектор ц: Е—> Е с образом Еа.
Но образ проектора всегда является векторным подрас-
слоением ([2], лемма 1.4).
Предложения 1.1.1 и 1.2.1 описывают два крайних
случая: когда X — главное G-расслоение и когда X —
тривиальное G-пространство. В общем случае описание
векторных G-расслоений значительно сложнее.
1.3. Кольцо Гротендика
Теперь мы определим кольцо Ка(Х). Определение
имеет смысл для произвольного G-пространства X, но
оказывается неудобным, когда X не компактно. Поэтому
мы будем далее предполагать, что X—компактное
G-пространство. Определение кольца Ка {X) для неком-
пактного X будет дано в п. 2.9.
Пусть X — компактное G-пространство. Классы экви-
валентных векторных G-расслоений образуют коммутатив-
ную полугруппу Еа(Х) относительно прямой суммы (ло-
гических трудностей можно избежать при помощи одного
из известных методов, см., например, [3]). Определим
KQ(X) как группу, которая обладает следующим уни-
версальным свойством.
Существует такой гомоморфизм полугруппы 0: Еа(Х)—>
—> KQ (X), что для любой группы Н и любого гомомор-
физма ср: Еа(Х)->Н имеется единственный гомоморфизм
ф: Ка(Х)—>Н, такой, что ф0 = ф.
Группа Ка(Х) является факторгруппой свободной абе-
левой группы, порожденной Еа (Д'), по подгруппе, поро-
жденной элементами вида Е@Р — Е—F.
Тензорное произведение двух векторных G-расслоений
станет векторным G-расслоением, если мы допустим, что
на произведении группа Ка(Х) действует диагональным
образом. Тем самым вводится коммутативное билинейное
произведение на свободной абелевой полугруппе над Еа(Х)
Эквивариантная К-теория
137
и индуцируется коммутативное билинейное произведение
в группе КО(Х). Таким образом, К0(Х) является комму-
тативным кольцом с единицей, представленной векторным
G-расслоением X X К —> X, где О действует тривиально
на поле скаляров К.
Если 0=1, мы получаем известное кольцо К(Х).
Если X — точка, мы получаем кольцо АДО) виртуальных
представлений. Напомним, что если группа О компактна,
то R (О) — свободная абелева группа, порожденная непри-
водимыми представлениями.
Постоянное G-отображение пространства X в точку
индуцирует гомоморфизм колец R (О) KQ (X), который
отображает векторное G-пространство V в векторное
О-расслоение X X V X. Последнее отображение является
отображением проекции, а действие g задается следую-
щим образом:
g(x, u) = (g-x, gv).
Заметим, что этот гомоморфизм превращает Kq (Л’)
в R (О)-модуль.
Рассмотрим теперь категорию, объектами которой
являются пары (О, X), где X есть О-пространство, а мор-
физмами— пары (0, /): (7/, К)—>(0, X), где 0—гомо-
морфизм Н->О, а отображение /: Y —>X 0-эквивариантно.
Если задано векторное О-расслоение над X, то морфизм
(0, /) индуцирует векторное 77-расслоение над Y. Таким
образом, КО(Х) определяет контравариантный функтор
из рассмотренной выше категории в категорию коммута-
тивных колец с единицей.
Отображение (О, X)->(G, точка) индуцирует гомо-
морфизм колец R(G)—>Ка(Х), упомянутый выше. Оче-
видное отображение (О, %)—>(!, X/О') индуцирует гомо-
морфизм колец К (Х[0)^Ка(Х'), который в случае,
когда X—тривиальное О-пространство, дает гомомор-
физм колец К (Х)->Ка(Х). Мы используем эти гомо-
морфизмы в предложениях 1.3.1 и 1.3.2.
Предложение 1.3.1. Если X—главное О-рас-
слоение, то К(XfG)->Ка(Х) — изоморфизм.
Доказательство. Утверждение следует из пред-
ложения 1.1.1.
138
1. М. Ат ь я, Г. Сегал
Предложение 1.3.2. Пусть К—поле комплекс-
ных чисел. Если X — тривиальное G-пространство и
G — компактная хаусдорфова группа, то композиция
R (G) ® К (X) KQ (X) ® KQ (X) —> KQ (X) представляет
собой изоморфизм.
Доказательство. Мы имеем отображение Еа(Х)-+
—> R (G) ® К (X), которое в обозначениях предложения 1.2.1
сопоставляет векторному G-расслоению Е над X про-
странство ф(Дя® пЕ). Это, очевидно, дает аддитивный
Л ~~
гомоморфизм
Хо(Х)->/?(0)®Х(Х).
Композиция
Еа (X) Ко (X) -> R (G) ® X (X) KQ (X)
является канонической проекцией Z:Q (X) —> Хо (X), как
видно из 1.2.1 (iii). Следовательно, композиция
Ко (X) -> R (О) ® К (X) -> Kq (X)
является тождественным отображением. Композиция
R (G) ® К (X) -> Ко (*) ~^R(G)®K (X)
также является тождественным отображением, в чем можно
убедиться при помощи проверки на элементах вида ЕЯ®Р,
где Р — векторное расслоение над X. —
Предложения 1.3.1 и 1.3.2 описывают ХО(Х) в двух
крайних случаях: когда X — главное G-расслоение и
когда X — тривиальное G-пространство. В общем случае
структура кольца ХО(Х) значительно сложнее. Заметим,
однако, что из предложения 1.1.3 мы получаем
Предложение 1.3.3. Пусть Н—подгруппа
группы G. Отображение (Н, Y)->(G, G X hY) опреде-
-ляет изоморфизм
Ко(0У.нГ)^Кн(Г)
для каждого Н-пространства Y.
Следствие 1.3.4. Ka(G'H)~ R(H).
Рассмотрим случай, когда X является G-пространством
и И — подгруппа группы G. Тогда X можно рассматри-
Эквивариантная К-теория
139
вать также как /Y-пространство. Существует О-отобра-
жение
ОХтА->Х,
определяемое формулой (g, х')—> gx. Если Н — подгруппа
конечного индекса п в группе О, то это отображение
является накрывающим отображением степени п. Конструк-
ция прямого образа ([1], § 1) связывает с каждым век-
торным О-расслоением над О X имеющим слой раз-
мерности q, некоторое векторное G-расслоение над X
со слоем размерности nq. В самом деле, в этом случае
О X нх гомеоморфно пространству (G/H) X X, т. е.
дизъюнктному объединению п экземпляров пространства X’,
поэтому прямой образ можно определить как прямую сумму.
Это определяет гомоморфизм ([1], § 2)
KQ(GKflX)-+KQ{X)
и, следовательно, гомоморфизм /СуДХ )->/<□(%). Мы бу-
дем называть его переходным гомоморфизмом.
Когда X —точка, мы получаем конструкцию индуци-
рованного представления, хорошо известную в теории
групп.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Atiyah М. F., Characters and cohomology of finite groups,
Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Set., 9 (1961).
[2] Atiyah M. F., Bott R., On the periodicity theorem for
complex vector-bundles, Acta Math., 112 (1964), 229—247.
[3] С т и н p о д H., Топология косых произведений, ИЛ, М., 1956.
ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКТОРА Kq
В этой лекции будут рассмотрены те факты из ЛГо-тео-
рии, которые можно получить при помощи небольшой
модификации рассуждений обыкновенной /С-теории, см. [1].
Мы будем предполагать, что О — компактная группа
Ли, и будем рассматривать только комплексные вектор-
ные расслоения. Для удобства все G-пространства мы
также будем считать компактными.
2.1. Пространство сечений векторного О-расслоения
Пусть р-. Е-^Х — векторное расслоение над компакт-
ным пространством X. Сечением в Е называется такое
140
I. M. Атья, Г. Сегал
отображение $: Х->Е, что ps=lx. Множество всех се-
чений образует векторное пространство Г (Е). Так как X
компактно, Г (Е) является банаховым пространством и под-
пространством (в компактно-открытой топологии) про-
странства с .
Предположим, что Е—векторное G-расслоение. Тогда
группа О действует на Г (Е) следующим образом:
(g • s) (х) = g s (g"1 х), g£G, s £ Г (£),
и определяет гомоморфизм G—> Aut (Г (Е)), соответствую-
щий G-действию G X Г (£)—> Г (f).
Для того чтобы доказать, что это G-действие непре-
рывно, рассмотрим отображения
G X Г (Е) X Х-> О X Г (Д) X Х-> G X Е->Е.
gXsXx^.gXsXg-,x^gXs(.g-'-()~>(g • 8)х.
Так как каждое отображение непрерывно, композиция не-
прерывна и определяет непрерывное отображение
ОХГ(Е)->Г(£)сЕх,
g X s->gs.
Мы заключаем, что группа G непрерывно действует на ба-
наховом пространстве Г (Е).
Так как группа G компактна, усредняющее отображе-
ние определяет проекцию
р: Г(£)->Г°(Д)
пространства Г (Е) на подпространство Г°(£') G-инвариант-
ных сечений расслоения Е. Проекция ц даст нам возмож-
ность распространить некоторые результаты о сечениях
векторных расслоений на G-инвариантные сечения в век-
торных G-расслоениях.
Лемма 2.1.1. Пусть s' есть О-инвариантное се-
чение расслоения Е над замкнутым устойчивым под-
множеством А пространства X. Тогда s' можно про-
должить до G-инвариантного сечения над X.
Доказательство. Выберем такое покрытие {GJ
пространства X, что ограничение Етривиально. Про-
Эквивариантная К-теория
141
должим отображение s(: A f| Ut —> Сл до отображения
sp CJl->Cn и положим $ —2ф№> где (Ф1)—разбиение
единицы, соответствующее покрытию {t7J. Тогда $ яв-
ляется сечением расслоения Е над X. Рассмотрим G-ин-
вариантное сечение Так как А устойчиво, то рх со-
впадает с s и s' на А.
2.2. Продолжение гомоморфизмов
Рассмотрим два векторных G-расслоения Е и F над X.
Существует векторное расслоение Hom (Е, F) со слоем
Нот (Е, F)x = Нот (Ех, Fx).
Более того, Нот(Е, Е) является векторным О-расслоением
с действием группы О, определяемым формулой
(Е • <Pj(e) = g-
для g£G, e£Eg-x, фх £ Hom (Ех, Ех). Подпространство
Г° (Hom (Е, Е)) G-инвариантных сечений расслоения
Hom (Е, Е) состоит из всех гомоморфизмов векторных
расслоений <р: E^-F, таких, что g • <рх (е) = <pgx (ge) для
всех х£Е, е£Ех, g£O. Это означает, что пространство
гомоморфизмов векторных О-расслоений (р: Е F может
быть отождествлено с Г°(Нот(Е, Е)).
Лемма 2.2.1. Пусть tp': Е|д—>Е|Д— гомоморфизм
векторных Q-расслоений над замкнутым G-устойчивым
подпространством А пространства X. Тогда tp' можно
продолжить до гомоморфизма векторных G-расслое-
ний ср: E->F над X. Если tp'—изоморфизм, то суще-
ствует такая G-устойчивая открытая окрестность U
подмножества А, что ср |у является изоморфизмом.
Доказательство. Применяя лемму 2.1.1 к О-ин-
вариантному сечению (р’ расслоения Hom(E, Е) |д, мы по-
лучим О-инвариантное сечение ср расслоения Hom (Е, Е).
В силу непрерывности существует такая открытая окрест-
ность V подмножества А, что ср —изоморфизм. Утверж-
дение леммы получается, если положить U = gV.
gto
Замечание. Пусть ср0, срг—два продолжения изо-
морфизма q/: Е|Д->Е|Д. Тогда фе — (1 — /)ср0-ф-f<pt—
также гомоморфизм Е —> Е, ограничение которого на А
142
1. М. Атья, Г. Сегал
совпадает с ф'. Следовательно, существует такая открытая
окрестность V подмножества А, что ф( — изоморфизм
для всех Поэтому <р0, ф] гомотопны в множе-
стве изоморфизмов в некоторой окрестности множества А.
2.3. Гомотопические свойства расслоений
Пусть Y — некоторое G-пространство, а I — единичный
интервал Тогда Y "XJ является О-простран-
ством с действием группы g (у, t) = (gy, t).
Лемма 2.3.1. Пусть Y — компактное простран-
ство, ft'. Y->X — гомотопия G-отображений (0<3<Д),
а Е —векторное Q-расслоение над X. Тогда f*Jz — f*E.
Доказательство ([1], предложение 1.3). Пусть
/: Y XI —> X — отображение, осуществляющее гомотопию,
т. е. / (у, t) = ft (у), и пусть л: Y"XI—>Y — проекция.
Рассмотрим замкнутое подпространство Y = Y X {Аг} про-
странства Y X Е Ограничения векторных О-расслоений
/*Д и n*f*E на Y изоморфны, поэтому в силу 2.3 они
изоморфны в некоторой полосе Y X 6Т, где i>T обозначает
некоторую окрестность множества {/0} в Д Следовательно,
класс эквивалентности, содержащий f'E, является локально
постоянной и, следовательно, постоянной функцией от ар-
гумента t. Отсюда мы заключаем, что f^E ~ f*E,
Как и в обычной теории, векторные О-расслоения
часто определяются при помощи функций сцепления. Пусть
X = Xi U Х2, A = Xif)X2, где Xt есть О-устойчивое
замкнутое подпространство пространства X. Пусть Е( —
векторное О-расслоение над X t {I = 1, 2) и а: \А~»Е2 |л—
изоморфизм. Тогда имеется векторное О-расслоение
Е ~ Ег (J аЕ2 над X, такое, что Е\х ~EV Е |х ^Е2.
Лемма 2,3.2. Класс расслоения Z^Ua^ зависит
только от гомотопического класса изоморфизма а.
Доказательство. Г омотопия изоморфизма Ег |л ->
->Е2[а определяет изоморфизм
Ф: TYEi\AXI->rfE2\A'XI,
где т Ху /-><Y — проекция. Пусть отображение fp X -»
-> X X I определяется формулой t), и пусть
Фг: |Л->Л2 L “ изоморфизм, получающийся из Ф при
Эквивариантная К-теория
143
помощи ft. Тогда Е} J qE2 ~ ft (л Ех (J Ef). Так как /0
и /] гомотопны, отсюда следует, что
U ср0^2 = U цЕ2.
2.4, Существование дополнительных расслоений
Мы будем пользоваться следующими определением и
леммой, принадлежащими Мостову.
Определение. Рассмотрим действие группы О на
банаховом пространстве Г. Вектор называется пе-
риодическим, если О s лежит в конечномерном подпро-
странстве пространства Г.
Лемма 2.4.1. Периодические векторы в Г обра-
зуют плотное множество.
Доказательство можно найти в [2; § 2.16].
Пусть Е — векторное G-расслоение над X. Расслое-
ние F называется дополнительным векторным расслоением,
если существует такой G-модуль М, что E(&F = M =
— X X М. Мы хотим показать, что существуют такие
расслоения с конечномерным модулем М.
Рассмотрим G-инвариантное отображение X'ХГ(Е)->Е,
определенное формулой (х, s) —> s (х). Для данной точки
х £ X существуют окрестность U х и сечения s*, ...,
£ Г (Е), такие, что для всех у £ U,. линейная оболочка
векторов sf(y), ..., s*(y) представляет собой слой Еу
над у. Кроме того, по предыдущей лемме векторы
s*, .... s* можно выбрать периодическими. Так как
X—компактное пространство, покрытие [Gn] содержит
конечное подпокрытие {£7л-(()}. Соответствующее конечное
множество сечений определяет конечномерное G-устой-
чивое подпространство М в Г (Е), такое, что индуциро-
ванное отображение Л1->-Е является G-инвариантным эпи-
морфизмом. Пусть Е — ядро этого отображения, так что
существует точная последовательность векторных G-рас-
слоений
0-> p->M^E->Q.
Применяя процесс усреднения р., определенный в п. 2.1,
мы получаем G-инвариантную метрику на М и, следова-
тельно, расщепление написанной выше точной последова-
тельности. Отсюда мы заключаем, что М = Е^Е.
144
/. М. Атья, Г. Сегал
Обратим внимание на два важных следствия, вытекаю-
щих из существования дополнительных расслоений,
(1) Пусть Gn обозначает грассманиан всех /г-мерных
подпространств модуля М. Действие группы G на М
определяет универсальное векторное G-расслоение
K={gXm; g£Gn, m^gj с Gn X Л!
над Gn. Отображение f: X -> Gn, определяемое формулой
x—>EX, дает E — f*K- Таким образом, каждое векторное
G-расслоение индуцируется некоторым векторным G-рас-
слоением над соответствующим грассманианом.
(2) Группа Ка(Х) является абелевой группой, соот-
ветствующей полугруппе векторных G-расслоений над X.
Таким образом, каждый элемент из Kq(X) представляется
парой (Ео, Ej)=[E0]— [EJ, где [EJ— элемент, представ-
ленный векторным G-расслоением Et над X. Тогда Ка(Х)
определяется следующим отношением эквивалентности:
(Ео, ЕХ)~(РО, Е,)
тогда и только тогда, когда существуют векторное G-рас-
слоение Е и изоморфизм
^оФ Л Ф^ = ЕХ@ Е0@Е.
Так как существует такое векторное G-расслоение Е, что
Е@ F = М является тривиальным расслоением, мы заклю-
чаем, что
(Ео, Е1)~(Е0, Ej)
тогда и только тогда, когда существует G-модуль Л1
такой, что
£оФЛфМ^Е1фЕофЛ1.
В частности, каждый элемент из Х0(Х) может быть пред-
ставлен парой (Е, М), где Е — векторное G-расслоение,
а М есть G-модуль.
2.5. Продолжение расслоений
Пусть Е — векторное G-расслоение над простран-
ством X; рассмотрим векторное G-расслоение Hom(E, Е) со
слоем Нот (ЕЛ, ЕЛ), где х £ X. Элемент рх £ Нот (ЕЛ, Ех)
Эквивариантная К-теория
145
является проектором, если р2х = рх- Множество всех про-
екторов рх, х £ X, является замкнутым подпространством
Proj (E)czHom (Е, Е).
Рассмотрим теперь открытое подпространство Q(E)cz
cz Hom (Е, Е), состоящее из всех Т g Hom (Е, Е), таких,
что для всех собственных значений z гомоморфизма Т
выполняется условие | z — I |=#1/2. Ясно, что Proj (E)czQ (Е).
Лемма 2.5.1. Существует ретракция a: Q(E)~*
—> Proj (Е).
Доказательство. Для данного T^Q(E) положим
аТ = 4й I
|z-l|-l/2
Мы должны показать, что
(1) отображение а корректно определено,
(ii) аТ £Proj(E),
(iii) если ТС Proj (Е), то аТ = Т.
(i) Рассмотрим гомоморфизм zl— 7'^Hom(Ex, ЕД,
где /—тождественный гомоморфизм. Гомоморфизм zl—Т
допускает обращение, если только det {zl — Т)=£0, т. е.
если z не является собственным значением гомоморфизма Т.
Поскольку на окружности jz —1 ) = 1/2 нет соб-
ственных значений гомоморфизма Т.
(ii ) Обозначим через С окружность | z — 1 |= 1/2,
и пусть С — окружность меньшего радиуса | z — 1 | =
— р< 1/2, такая, что в кольце р<Дг—1|</1 /2 нет
собственных значений гомоморфизма Т. Тогда
(2л/)2 (аТ)2 = | (z — T)~l dz^ J {z' — Г)-1 dz'^ =
= f f(—-----------, 1 г —dzdz' —
J J \ Z — T z — T ) z — z
= 0~|-(2nz)2a7'.
Следовательно, (аТ)2 = аТ и аТ £ Proj (Е).
10 Зак. 719.
146
I. M. Атья, Г. Сегал
(iii...) Рассмотрим проектор рх: Ех-+Ех и выберем
систему координат таким образом, чтобы матрица опера-
тора рх имела диагональный вид. Если рх имеет диагональ
(1 1, 0....0), то (г— Рх)~Х имеет диагональ
О-1.....О—О-1. .....z-1) и J {z—px)~Xdz
с
имеет диагональ (1....1, 0....0).
Теперь пусть Е' — векторное расслоение над G-устой-
чивым замкнутым подпространством А пространства X.
Тогда E'Q}F'=M для некоторого G-модуля /И. Отобра-
жение р': /И —> Л4, заданное формулой еф/—>еф0,
является проектором и E'=im р'. Мы можем продолжить р'
до сечения /?£Г(Нот(Е, Е)) над X.
Существует окрестность U пространства А, такая, что
р \и £Q(E). Следовательно, сечение а (р) £ Г (Hom (Е, Е))
является проектором над U, который продолжает р'. Мы
заключаем, что существует расслоение E=ima(p) над U,
такое, что Е\А = Е'.
Следствие 2.5.2. Е0(Л)~ lim K0(U).
Uz^aX
Доказательство. Существует гомоморфизм
lim Ka(U)^Ka(A),
U^)A>
определяемый ограничением. Он является эпиморфизмом,
согласно проведенным выше рассуждениям. Кроме того,
этот эпиморфизм взаимно однозначен, ибо любые два про-
должения расслоения Е' над А изоморфны над некоторой
окрестностью V пространства А (см. п. 2.2).
2.6. Относительная /Со-теория
Пусть АсХ есть G-устойчивое подпространство. Рас-
смотрим полугруппу троек (Ео, Ер а), где Ео, Ej—век-
торные О-расслоения над X и а: Ео |д—>Ег |л — изоморфизм
векторных G-расслоений над А. Зададим следующее отно-
шение эквивалентности:
(Ео, Ер а)~(Е0, Ер р)
тогда и только тогда, когда существует векторное О-рас-
слоение Е и О-изоморфизм Еоф Е1фЕEj фЕофЕ,
ограничение которого на А совпадает с афр~'ф1. Соот-
Эквивариантная К-теория
147
ветствующие классы эквивалентности образуют группу
КО(Х, А).
Теперь предположим, что А замкнуто в X. Существует
последовательность
KQ(X, A)->KQ(X)->Ka(A), (1)
в которой первый гомоморфизм переводит тройку (Ео, Еи а)
в класс, содержащий пару (Во, Fj), а второй определяется
ограничением на А.
Лемма 2.6.1. Последовательность (1) точна.
Доказательство. Каждый элемент из Ка(Х, Д)
представляется тройкой (Ео, Ех, а). Для последователь-
ности (1) мы имеем
(До, Еь a)->(F0, £\)-> (Fq |д. Е, |д) ~ (0, 0),
так как а — изоморфизм. Теперь рассмотрим элемент
из Ка(Х), представленный парой (Ео, Е^, и предположим,
что (Ео |д, F] 0). Тогда существуют О-модуль М
и изоморфизм
а: £'о1дФ^ = £'1 |д®М.
Тройка (ДофтИ, Fj^Al, а) определяет требуемый эле-
мент из К0(Х, А).
Пусть Х’А обозначает пространство, полученное стя-
гиванием G-устойчивого подпространства А в точку * £ X.
Тогда Х/А является G-пространством, а г: X—>Х/А
является О-отображением.
Лемма 2.6.2. Ка{Х, А)~КО(Х/А, *).
Доказательство. Согласно п. 2,4, мы можем
представить каждый элемент из К0(Х/А, *) тройкой
(Е', М, а'), где Е' — векторное G-расслоение над Х/А,
М является G-модулем и а' — изоморфизм Е*т^ М. Тройка
(г*Е', Д4, представляет элемент из Ка(Х, А), и, сле-
довательно, г определяет гомоморфизм Ка{Х)А, *)—>
~>К0(Х, А).
Обратный гомоморфизм мы определим с помощью функ-
ции сцепления. Пусть тройка (Е, М, а) представляет эле-
мент из Kq(X, А). Согласно п. 2.2, изоморфизм а можно
продолжить на G-устойчивую открытую окрестность U
пространства А. Его ограничение на U \ А представляет
10*
148
I. M. Атья, Г. Сегал
собой изоморфизм а: Е \UX A->(U \ А)Х М- Теперь по-
строим векторное расслоение
над (X \ A) (J г (U) = Х/А. По построению существует
изоморфизм а': Е*-+ М, и тройка (Е', М, а') представляет
соответствующий элемент из Ка(Х/А, *).
Лемма 2.6.3. Если пространство A Q-стягиваетея
к точке х0£А, то К0(Х, А)^ Ка(Х, х0).
Доказательство. Пусть г: А—>х0— ретракция;
определим гомоморфизмы
Ха(Х, А) —>Ка(Х, х0)~>Ка(Х, Л)
формулой
(Е, F, «)—>(£, F, 4o)^(F, F, г*(аЦ).
Так как А G-стягиваемо, то г*(а G-гомотопно отображе-
нию а (см. п. 2.2) и, следовательно, К0(Х, А)^:Ка(Х, х0).
2.7. Периодичность Ботта
Если Е — векторное G-расслоение над X, то, исклю-
чая из Е образ нулевого сечения и отождествляя в каждом
слое точки, которые получаются друг из друга умноже-
нием на ненулевой скаляр, мы получаем пространство Р (F),
называемое проективизацией расслоения Е. Действие
группы О на Е превращает Р (Е) в G-пространство. Про-
екция р-. Р(Е)-+Х является G-отображением и индуци-
рует гомоморфизм колец р': Ка(Х)—> KQ(P (Е)), так что
Ко (Р(Е)) становится К0{Х)-модулем.
По построению точке у£р~^(х) соответствует одно-
мерное линейное подпространство [у] в слое Ех расслое-
ния Е над X.
Теперь рассмотрим векторное G-расслоение р*Е над
Р (Е). Подпространство
{уХе£Р(Е)ХЕ; е£[у]}ср*£сР(Е)Х^
является G-устойчивым подпространством пространства р*Е\
оно является пространством расслоения векторного G-рас-
слоения И* над Р (Е) со слоем С. Пусть г] обозначает
соответствующий элемент кольца KQ(P(Е)). Теорема пери-
Эквивариантная К-теория
149
одичности описывает структуру КО(Х)-модуля К0(Р(Е))
в одном частном случае.
Теорема 2.7.1. Пусть X— компактное Q-про-
странство, L — векторное Q-расслоение над X со
слоем С и р — соответствующий элемент в К0(Х).
Пусть — элемент, определенный выше.
Тогда Ка(Х)-алгебра К0{Р(ЛфС)) порождается эле-
ментом т], подчиненным соотношению (т]— 1) (т)—р) = 0.
Доказательство этой теоремы периодичности является
прямым обобщением соответствующего элементарного дока-
зательства для /С-теории, данного Атья и Боттом.
Мы дадим несколько следствий из теоремы периодич-
ности для частного случая, когда L — векторное G-рас-
слоение Л X С и действие группы G определяется пред-
ставлением р: G —> U (1). В этом случае Р (L ф С) = X XS2
и р: X\S2-»X— проекция произведения. Рассмотрим S2
как риманову сферу и введем следующие обозначения:
D+ = {z£C; |z|< 1],
£)_ = {.г£С; | z | > 1) U {oo}.
s2 = d+u£>_; S' = d+[\d_.
Представление p определяет действие группы G на S2
следующим образом:
g-z ==p(g)-z, z£C;
при этом {0), (ooj неподвижны, a D+, D_, S1 являются
G-устойчивыми. Пусть a: C |x S1 —> p*L |x s, есть G-изо-
морфизм, задаваемый формулой
x X z X c ->•x X z X zc,
где x G X, z£S\ c£L. Тогда 77*=(C |XxD J Ua(p*L \XxD J.
Таким способом элемент т) £KQ (X X S2) описывается не-
посредственно при помощи функции сцепления.
Следствие 2.7.2. Алгебра KQ(X X.S2) изоморфна
алгебре полиномов с одним соотношением
(П — 1)(П — Р) = 0.
Следствие 2.7.3. Алгебра Ka(S2) изоморфна
алгебре полиномов R (О) [т|] с одним соотношением
(П— 001 — Р) = 0-
150
I. M. Атья, Г. Сегал
Следствие 2.7.4. Пусть G действует тривиально
на S2. Тогда алгебра KQ(X X S2) изоморфна алгебре
полиномов Ка(Х) [г]] с одним соотношением (ti-I)2 = 0.
Следствие 2.7.5. KQ(X X D+, X У, = Ка(Х).
Доказательство. Следствие 2.7.2 следует из тео-
ремы периодичности, если выбрать L, как указано выше;
следствие 2.7.3 получается, если считать X точкой; след-
ствие 2.7.4 соответствует случаю Л = С, р= 1. Для того
чтобы доказать следствие 2.7.5, рассмотрим точную после-
довательность
KQ(X^S2, XxM)->KG(*XS2)—>^PO-
rfle Т. X X % S2 — вложение X — X X {со}. Проекция
произведения р индуцирует расщепляющий гомоморфизм
Р'- K0(X)->Ka(XXS2).
Как и в случае /С-теории, кольцо К0(Х Х-S2- ^Х {со})
можно отождествить с ядром гомоморфизма I1. Так как
= р, это ядро является идеалом, порожденным элемен-
том (г] — р). Поскольку т) (т) — р) = т| — р, этот идеал имеет
вид Ка(Х)(т\—р) и, следовательно, изоморфен кольцу
КО(Х). Требуемый результат получается тогда из изо-
морфизма
Kq(XXD¥, XX5]) = KO(KXS2, КХ{оо}).
Замечание. Интересно, что теорема периодичности
может быть выведена из следствия 2.7.2. Пусть Q — глав-
ное U (1)-расслоение, ассоциированное с L, и q: Q—>X —
проекция. Тогда Р = Р (L@C) = Q Xy^S2 и существует
коммутативная диаграмма отображений:
QX-S2— -> Р
I I р
i V
Q X
Действие группы Q на расслоенном пространстве L
индуцирует действие G на Q, такое, что q является G-ото-
бражением и q*L = C. С другой стороны, Q можно рас-
сматривать как G-пространство, где G==t/(1). Действие
группы U (1) на S2 определяется действием группы G на
Q X S2- Аналогично q*L можно рассматривать как вектор-
Эквивариантная К-теория
151
ное G-расслоение L с пространством расслоения QXC и
действием группы, задаваемым формулой
(gXz\bXc) = g-bXz- с, g£G, г££/(1), 6£Q, с£С.
Пусть т]СКа(Р)— элемент, определенный в теореме
периодичности. Применим следствие 2.7.2 к О-простран-
ству Q, представлению р: G-->(7(1), заданному как проек-
ция произведения, и элементу т] = r*q £ Кд (Q X S2)- В ре-
зультате мы получим, что алгебра Кд (Q X $2) изоморфна
алгебре полиномов Кд (Q) [rj] и удовлетворяет соотноше-
нию (т]—1)(т]—р) = 0. Теперь Кд (Q X S2) = KQ (Р) и
элемент г] соответствует элементу ^^К0(Р). Кроме того,
Кд (Q) ~ Ко (X) и элемент р = <?*р £ Кд (Q) соответствует
элементу р£А'о(А'). Следовательно, алгебра Ка(Р) изо-
морфна алгебре Ка(Х) [т|] и удовлетворяет соотношению
01 — 1)01 — р) = о.
2.8. Группы Kg (X, А)
В заключение дадим определение экстраординарной
теории когомологий Ко- Пусть
Ка"(X) = К0(ХХ D", X X
Kq" {X, Л) = Ка (% X £>". X X S'^1 U А X О"),
где 5”-1, Dn — соответственно единичная (п—1)-мерная
сфера и единичный «-мерный шар в R" и группа Q дей-
ствует на них тривиально. Заметим, что
Kam~"(X, A) = KQ{XXDm+n, XX^m+"-1 U AXDm+,c)=
= КО(Х X DmX Dn, XxDmX S"'' U X X Sm~'xDn (J
U A X Dm X D") =
= Кд" (X XDm, X X Sm^ U A X Dmy
По теореме периодичности (следствие 2.7.5)
Kq2 (X) = К0(ХХ X X Ко (X).
152
I. M. Атья, Г. Сегал
Аналогично Ка\Х, А) —(Л, Л), и, следовательно,
Kg (А, А) можно определить для всех, не только неполо-
жительных, значений п.
Как и в обычной /(-теории, существует бесконечная
точная последовательность (мы опускаем доказательство).
Группа /Сё' (X) имеет особенно простое описание. Она
является группой Kq(X X Л X X {Oj (J X X {1) )> и, сле-
довательно, каждый элемент представляется тройкой
(Е, М, а'), где Е— векторное G-расслоение над X X Д
а а' определяется двумя изоморфизмами
а0: ЛГ->2?1 ... а/.
и хх {о} 1 'х х {1}
Пусть а = а~1а0. Тогда элементы из Kq1 (X) могут быть
представлены парами (/И, а), где М является G-модулем,
а а является автоморфизмом а: М -> М, М — X X Л4.
В этом случае кограничное отображение
КЬ\А)^К0{Х, А)
определяется как
(М, М, а).
Умножение в Ка(Х), задаваемое тензорными произве-
дениями векторных G-расслоений, может быть продолжено
(мы и здесь опустим доказательство) до определения произ-
ведения в относительных группах
КО(Х, A)®Ka(Y, В)->Ка(ХХУ, А X Ги Х\В),
а также в высших Л^-группах.
Теорема периодичности может быть продолжена на
относительный случай и на высшие ЛГ0-группы. Рассмот-
рим случай, когда G-пространство X имеет отмечен-
ную точку х0. Существует коммутативная диаграмма
* KQ (А) [т]] ->Ка ({х0}) [Щ
i I
0->/<о(Л, {x0})[n]
1
О Ко (А X 31 Ы X S2) -> хо (А X S2) -> KQ ({х0} XS2)
где К0(Х, {х0})[т]] обозначает кольцо полиномов от т),
а с левой стороны диаграммы написаны нули, так как
Эквивариантная К-теория
153
группа Ко'({хо}) == ЛГо1 ({^о] X“S'2) равна нулю. Согласно
следствию 2.7.2, вторая и третья вертикальные стрелки
соответствуют изоморфизмам. Следовательно, первая стрелка
также обозначает изоморфизм.
Предложение 2.8.1. Пусть Y—замкнутое О-под-
пространство компактного О-пространства X. Тогда
KQ(XXS\ yxs^ = kq(X, F)№
где 01 — 1) ("П — р) = 0, а Ко (X, Y) [т|] обозначает кольцо
полиномов от q.
Доказательство. Пусть [х0)—отмеченная точка
пространства XjY. Тогда
КО(Х, Y^K^Y, (x0})hlS
^Kq{X^YXS\ (x0)XS2)^
^KQ(XXS4YXS\ КХЯ
Предложение 2.8.2. Пусть Y—-замкнутое
Q-подпространство компактного О-пространства X.
Тогда
Kq{XXS\ XXS2)= K’Q(X, Г)№
где (ri—l)(r] — р) = 0, a K*q(X, Y) [т|] — кольцо поли-
номов от т|.
Доказательство. Имеем
Kan{XXS\ ГХ-$2) =
^KQ{X X S2 X -o". X X s2 x s"'1 IXX^X^S
^KQ{XXDn, XXS^-’u XXO")h]^X5"(X, X)[T]].
2.9. Функтор Kg с компактными носителями
До сих пор в этой лекции мы предполагали, что все
рассматриваемые G-пространства X компактны. Функ-
тор Ка{Х) можно также определить для некомпактных
пространств, но простое определение с помощью вектор-
ных G-расслоений уже не годится. Можно, однако, дать
простое определение функтора Kq с компактными носи-
телями для локально компактных G-пространств, что мы
теперь и сделаем.
Определение. Пусть X—локально компактное
G-пространство. Рассмотрим полугруппу троек (Ео, Ег; ас),
154
I. M. Атья, Г. Сегал
где Ео, Ег — векторные G-расслоения над X и ас: Ео с—>
— изоморфизм над дополнением к некоторому
относительно компактному G-подпространству С простран-
ства X. Обозначим через Ха с (X) факторгруппу этой
полугруппы по отношению эквивалентности —, где
(£0, «с)—’(^о. Ро)
тогда и только тогда, когда существуют векторное G-рас-
слоение L над компактной окрестностью А пространства
С (J D в X и G-изоморфизм
такой, что О|и7 = ас|и7®р-1|и7ф1<1|и7, где
W = А \(Си£>).
Аналогично определяется группа XOt с (X, А) для локально
замкнутого множества А в X, но только рассматриваются
такие тройки (Ео, Ер, ас), что Сс.Х \ А.
Замечания. (1) Мы оставляем читателю проверить,
что KG1C(X) и KOtC(X, А) определены корректно.
(2) Легко проверяется, что если X и А компактны, то
КО,С(Х, А)^К0(Х, А).
(3) KQtC(X) является кольцом без единицы, если X не-
компактно. Если бы мы определили кольцо К0{Х), то
о:ю было бы Е0(А')-модулем. Во всяком случае, ясно, что
векторное расслоение Е над X определяет эндоморфизм
(Ео, Ег; ас)-+(Е ® Eq, Е® Ех; id ® ас),
который аддитивно зависит от Е. (4) X —> /Со> с (X) является
контравариантным функтором на категории локально ком-
пактных G-пространств и собственных1') отображений.
Если отображение /: X —> Y является собственным, то мы
будем писать
Ka,c{Y)^Ko,c{X)
для индуцированного отображения.
*) Непрерывное отображение /: X -> Y называется собствен-
ным, если прообраз каждого компактного множества А с Y
является компактным множеством в пространстве Хо. — Прим,
перев.
Эквивариантная К-теория
155
С другой стороны, X —>KGtC(X) является также ко-
вариантным функтором на категории локально компакт-
ных G-пространств и открытых вложений1). Если
J: U —> X — открытое вложение, то мы будем писать
j\- % а, с с (X)
для индуцированного отображения.
Предложение 2.9.1. Если X — открытое О-под-
пространство компактного О-пространства Y и В —
Y \ X, то
K0(Y, B)-^KOiC(X).
Доказательство. Пусть данная тройка (Ео, Ер, а)
представляет некоторый элемент из K0(Y, В); продолжим
а до изоморфизма а над замкнутой G-устойчивой окрест-
ностью В пространства В в Y. Тогда (£0 |х, Е, |х; a|xp]g)
представляет элемент из KOi с (X) и ясно, что этот про-
цесс определяет гомоморфизм
р: K0(Y, В)-^КО,С(Х).
Обратно, пусть данная тройка (Ео, Ер, ас) представляет
элемент из KOt с (X). Выберем компактную окрестность А
пространства С в X и дополнительное расслоение F
для |л. Пусть ф: fj |л ® F —^-> М. Тогда тройка
((Ео 1д © Е) ифаС |д х с (Al X (Y \ С)), Л1; тождественное
отображение) определяет элемент из Ко (Y, В). Легко пока-
зать, что эта конструкция дает гомоморфизм, обратный к р.
Следствие. Имеем KG, С(Х)~КО(Х+, точка), где
X ’— одноточечная компактификация пространства X.
Мы будем теперь всегда под Ка(Х, А) понимать
КО,С{Х, ^), тем более что, если X и А компактны, эти
группы совпадают.
*) Непрерывное отображение /; X -> Y называется откры-
тым, если образ f (В) каждого открытого множества ВсХ
открыт в пространстве У.— Прим, перев.
156
I. M. Атья, Г. Сегал
ЛИТЕРАТУРА
[11 Atiyah М. F., В о 11 R., On the periodicity theorem for
complex vector bundles, Acta Math., 112 (1964), 229—247.
[2] M os to w 6. D., Cohomology of topological groups and solv-
manifolds, Ann. Math., 73 (1961), 20—48.
ЛЕКЦИЯ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКТОРА Kq
В этой лекции мы построим спектральную последова-
тельность для ^-теории и используем ее для вывода
следствий о поведении функтора Ко при локализации. Мы
будем здесь предполагать, что Q — компактная группа Ли,
а X — компактное G-пространство.
3.1. Нервы покрытий G-устойчивыми подмноже-
ствами
Пусть X — компактное G-пространство, F — {^’а}а€5 —
конечное покрытие пространства X замкнутыми G-устой-
чивыми подмножествами. Для flcS определим множество
Г) Л/
а£ а
пусть NP—нерв покрытия F, рассматриваемый как сово-
купность подмножеств из F. Существует отображение
множеств
Ь X~>NP,
определенное следующим образом: £(x)={a£S; x£Faj.
Пусть |Nf|—некоторая геометрическая реализация нерва NP,
а v: | /Vp | —> /Vp — отображение, которое сопоставляет каж-
дой точке единственный открытый симплекс, содержа-
щий ее.
Определение.
WP={(n, x)^|Np|X^; v(n)— грань симплекса £(х)},
или, что эквивалентно,
(J | a| X NP |Х X.
а ( Л'р
Пространство IFp замкнуто в | NP | X X и является,
следовательно, компактным G-пространством. Существуют
естественные проекции рр. WP—>|Np| и р2' Wp-+X.
Эквивариантная К-теория
157
Заметим, что конструкция (Д', F)—>WP=W(X, F) функтори-
альна, т.е. если (/, 0): (Л, F={Fa}ag5)-^(r, H={Hp)pg7.) —
морфизм (/: X -> Y, 0: S -> Т и F^czH^ для 0£S), то
| 0 | X f отображает W (X, F) в W (Y, Н).
Доказательство следующей леммы основано на стан-
дартных рассуждениях о том, что различные утонченные
отображения смежны !).
Лемма 3.1.1. Пусть (/, 0О), (/, 0j): (X, F) —> (Y, Н)—
два морфизма; тогда индуцированные отображения
W(X, Y)->W(Y, Н)
G-гомотопны.
Теперь мы зафиксируем пару {X, F) и опустим индекс F
у пространств Ад- и ITF. Полиэдр | N | имеет конечную
фильтрацию по своим остовам
| N | | N" | => . . . => | АЛ | | № |.
’ Аналогично X имеет конечную фильтрацию замкнутыми
G-устойчивыми подмножествами
X — XQ ZD Xj ZD ... ZD Xr ZD . . .,
где
Xr= [x £X, dim g (x) r).
Определение. Wp — p-11 Np |, Wr — p~} | Xr I.
Теперь мы введем /^-группы пространств W. В даль-
нейшем несколько раз используется следующая тривиаль-
ная лемма.
Лемма 3.1.2. Пусть Y — компактное G-простран-
ство, {^а]аГЛ — замкнутое G-устойчивое покрытие и
Y<4=Y^YV r°=U Y' = UY'a
р=^=а а
') Симплициальные отображения /; g: (X, У) -» (К,Ь) назы-
ваются смежными, если для каждого симплекса а комплекса X
(подкомплекса У) симплексы f (I а | ) и g- (| а | ) являются гра-
нями одного и того же симплекса комплекса К (соответственно
подкомплекса L).
Заметим, что смежные отображения гомотопны, причем
гомотопия задается формулой h (a, t) = (1—t)f (a) tg (a),
a£|A|, 0<Х<П, однако гомотопные отображения не обяза-
тельно смежны. — Прим, перев.
158
I. M. Атья, Г. Сегал
Тогда N (Ya, У')->(Г, Г') является относительным
,а£А
гомеоморфизмом (1_1 обозначает дизъюнктное объедине-
ние) и индуцирует изоморфизм
Ko(Y, Y'}-> П Ko(Ya, Y'a).
а€А
Предложение 3.1.3 Проекция р2: W -> X инду-
цирует изоморфизм Kq(X)-> Kq(W).
Доказательство. Отображение ру. (W,
—>(Х, XY) является относительным гомеоморфизмом, и,
следовательно, отображение ру. К<.(Х, Xi)->KQ(W, VYi)
является изоморфизмом.
Аналогично для всех г О имеем
Xo(Wr, ^г + 1) = Ха/ U МХЛт. (J ЫХЛ/
\dlm a>r dim а>г+1 ,
(по определению lFr)
=^g( и ыхл,. (J йх/ty
\dim dim (J=r /
(по определению р'„)
= П Й(ЙХ^ | о IX
dim о=г
(по лемме)
^р2 П Ро)~Ко(Хг.
dim а—г
(по лемме)
Отсюда по индукции следует, что отображение
ру. Xq(X, Xr)-> KQ(W, Wr) есть изоморфизм для всех г.
Но для достаточно больших г пространства Хг и Wr
пусты. Поэтому ру Ка (Х)-> К*а (W) — изоморфизм.
3.2. Спектральная последовательность для /Со-теории
Применим метод Картана — Эйленберга для построения
спектральной последовательности по фильтрации
W => Wr~l => . .. о Wp о ... => Г°.
Эквивариантная К-теория
159
Мы получим спектральную последовательность, которая
сходится к Kq (W) Kq (К) и член Е%'4 которой пред-
ставляет собой р-мерную группу когомологий комплекса
(it?1, W°)-> ... -+KPQ+4(WP, WP~A).
Стандартными методами мы получаем
Kp0+q (Wp, Wp^) П KpQ+q (| а | X Fo, | о | X Л>) ~
dim о = p
П ИсМ),
dim
где cp(N, •) обозначает р-мерную группу коцепей сим-
плициального комплекса в соответствующей системе коэф-
фициентов.
Для того чтобы проверить, что кограница
di: Kpa+q{Wp, K%+q+\Wp+\ Wp}
является обычным пограничным оператором на коцепях,
мы должны уточнить способ отождествления группы Kq (Fa)
с Kq+4 ( \ | о | X Fo). Для удобства отбросим знаки
реализации. Выберем последовательность
а0 с О] с ... с ор = о
граней симплекса о размерностей, равных индексам. Отожде-
ствим Ка+ч(орУ.Р<5, op%Fa) с Ko+q~Xop-iXF<T.Op-i X ^0)
при помощи композиции изоморфизма (относительного
гомеоморфизма)
KPG+q~' (Op — i X Лп Op-1 X Да) =
S К^-1 (ор X Р„ {Ьр - Ор^ X Fo)
и изоморфизма
d: Ktf4'1 (Op X Fo> (Ор~ Ор_ i) X FJ
^KPG+q(Op^Fa, 6PXFS),
заданного пограничным оператором тройки
(®р X Fo, Op X Fa, (Ор — Ор_]) X Fo).
Продолжая этот процесс, мы приходим к группе
Ко (Fa)- Конечно, выбор последовательности о0 с: с:. ..
160
J. M. Атья, Г. Сегал
... с ор — о определяет ориентацию симплекса а, и
различные наборы определяют одно и то же отождествление
тогда и только тогда, когда они определяют одну и ту же
ориентацию. Теперь обратимся к диаграмме
B->K&+q(o
t УI
с? d . + 1
C^Kqo{Fx)
Ka(Fx)
где А = D = KpQ+q typ, Wp~’\ В = Ка+Ч (о X.Fa, о X ^0).
С^К&(Лс), E = Kp+q(xXFx, (т— о)Х^т)’ т есть
{р 1)-мерный, а о есть р-мерный симплекс полиэдра ЛЛ
Все прямоугольники этой диаграммы, очевидно, ком-
мутативны, за исключением правого нижнего, 'который
коммутативен, антикоммутативен или вырождается в ну-
левой в зависимости от того, согласована или не со-
гласована ориентация о с ориентацией симплекса т, или о
вовсе не является гранью симплекса т. Это показывает,
что кограница является обычным пограничным опера-
тором. Таким образом, справедлива
Теорема 3.2.1. Существует спектральная после-
довательность, член Efq которой равен Е^’" =
=НР(Х, {Kqo(Fa)]), сходящаяся к K*q(X).
Легко видеть, что эта спектральная последовательность,
кроме того, является функтором от аргументов (X, F).
3.3. Пучок Kaf
Пусть группа G действует тривиально на компактном
пространстве Е, и пусть f: X —>Y является G-отображе-
нием. Определим предпучок Kaf на пространстве Y фор-
мулой В силу непрерывности Ко
(см. 2.5.2) стеблем этого предпучка Kaf над точкой у£Е
является Kqa{f~1 (у)). По определению Kaf является пред-
пучком R (О)-модулей.
Эквивариантная К-теория
161
Пусть Cov(K)— множество конечных открытых покры-
тий пространства Y. Каждому U£Cov(E) соответствует
конечное замкнутое покрытие U. Пусть Cov' (К) — под-
множество в Cov(К), состоящее из покрытий U, таких,
что Л'и = Л,и. Легко видеть, что множество Cov'(К)
является коифинальным в Cov(К).
Аналогично если Y имеет конечное покрытие размер-
ности п, то множество таких покрытий U, что А'и = Д/д
и dim U = и, является коифинальным в Cov(К).
Для каждого U£Cov(K) теорема 3.2.1 дает спектраль-
ную последовательность
Если V - измельчение покрытия U, то существует морфизм
спектральных последовательностей Далее на-
помним, что lim является точным функтором; применяя
его к семейству {Su)b(jCov’(Г), получим в результате
спектральную последовательность R (О)-модулей
HP(Y,
где Kaf теперь обозначает пучок, ассоциированный с опи-
санным выше предпучком. Если Y имеет конечное покры-
тие размерности п, то мы можем взять прямой предел по
покрытиям размерности п. В этом случае мы имеем пря-
мой предел сходящихся спектральных последовательностей,
каждая из которых связана с фильтрацией длины п.
Поэтому, если пространство Y имеет конечномерное по-
крытие, то спектральная последовательность Нр(у, Kaf)^
=$K*g(X) сходится.
Рассмотрим случай, когда Y = X!G, а /: X-^-XfG—
естественное отображение проекции. Тогда стебель пучка
в точке хО определяется как
Kl (G/Gx) КЪ* (точка) R (GJ ® Kq (точка).
Поэтому этот стебель совпадает с кольцом R (Gx) в точке xG
для четного q и равен 0 для нечетного q.
Н Зак. 719.
162
I. M. Атья, Г. Сегал
Если Q — 1, то отображение / является тождествен-
ным и пучок Kaf изоморфен группе Z для четных q.
Тогда Н*(X, —спектральная последователь-
ность, построенная в работе [1; § 2].
Для общей группы G мы получаем спектральную по-
следовательность
Hp{XjO, K9af)=^Ka(X).
3.4. Локализация
Кольцо R (О) является подкольцом кольца комплексно-
значных функций на множестве классов сопряженных эле-
ментов группы G. Мы будем обозначать одной и той же
буквой у класс сопряженных элементов в группе G, гомо-
морфизм у: R (О) —> С, сопоставляющий функции '/. £ А? (О)
ее значение на классе yczG, а также простой идеал у
в кольце R (G), который является ядром этого гомомор-
физма.
Далее, KQ (X) является /?(О)-модулем. Локализуя кольцо
R(G) по простому идеалу у, мы получим R (О)у-модуль
К0(Х)/). Обратимся теперь к спектральной последова-
тельности для ^-теории, чтобы получить геометрическую
интерпретацию модуля Ко (Х)у.
Определение. Если у — класс сопряженных эле-
ментов группы G, то через Ху обозначим множество
{хСХ; ОЛПУ= 0)= U Xg,
где Xs — множество неподвижных точек элемента g.
Ясно, что gx £ Ху тогда и только тогда, когда х £ Ху.
Следовательно, Ху является G-пространством. Вложение
г. Ху —>Х определяет гомоморфизмы
/!: Ка{Х)^Ка{Ху\ Ко(Х)^Ка{Х\
') Локализацией кольца А по простому идеалу / С Л назы-
вается кольцо Ар состоящее из всех „дробей” вида ab~\ b^I.
Локализацией Л-модуля М называется Л^-модуль =
= Л1®ДЛ .— Прим, перев.
Эквивариантная К-теория
163
Теорема 3.4.1. Если XjG имеет конечномерное
покрытие, то отображение I1 является изоморфизмом.
Доказательство. Заметим сначала, что локализа-
ция является точным функтором и поэтому спектральная
последовательность
77*(Л/О, Л*о/)=фКо(Л),
соответствующая отображению f: X —> Х/G, может быть
локализована, в результате чего получается спектральная
последовательность
H\X/G, Kof\^Ko(X)r
Вложение I: Ху-> X индуцирует гомоморфизм спектраль-
ных последовательностей
/7* (Л/О, Ло/¥) = 77* (Л/G, ~ ~ —=» Ко (Л)у
/7* (Л/О, Kof у \ХУ/О) = Н* (X^G, Kof \^lQ\ Ко (Л%
Так как Л/G имеет конечномерное покрытие, спектраль-
ная последовательность сходится и, следовательно, доста-
точно доказать, что отображение I* является изоморфизмом.
Мы будем пользоваться следующей леммой.
Лемма. 3.4.2. Пусть 77 — замкнутая подгруппа
компактной группы Ли О, а у — класс сопряженных
элементов группы G. Если Н Пу = 0, то существует
такой обобщенный характер % группы G, что % (у) ¥=0,
но X 1/7 = 0.
Так как 77—замкнутая подгруппа группы G, кольцо
R(H) является 7? (С)-модулем. Если % (у) 0, но х|// = 0
для некоторого х £ R (G), то R (Н)у = 0.
В точках f(x)£XfG стебель пучка Kof у равен R(Gx)y
для четных q, 0—для нечетных q. Если х^Х\ то
ОЛГ1У=0- Отсюда, согласно лемме, /?(Ол)у = 0. Следо-
вательно, пучок KQfy равен нулю во всех точках
11*
164
I. M. Атья, Г. Сегал
пространства X^jG. Отсюда мы получаем, что отображение/у
является изоморфизмом.
Следствие 3.4.3. Предположим, что элемент
g £G действует без неподвижных точек-, тогда
Ко — О-
Доказательство. Применим теорему для у = [g] —
класса сопряженных элементов, содержащего элемент g.
3.5. Теоремы конечности
Если Н — замкнутая подгруппа группы G, то кольцо
R(H) является конечным R (G)-модулем. Этот факт можно
использовать для доказательства того, что при соответ-
ствующих предположениях член Д2 спектральной последо-
вательности
HP{X)G, Kqaf)^KG(X)
является конечным R (О)-модулем. Например, это так
в случае, когда X — компактное дифференцируемое Q-
многообразие, или, более общо, если X локально О-стя-
гиваемо (т. е. каждая орбита имеет окрестность, для кото-
рой эта орбита является G-деформационным ретрактом). Если
дополнительно потребовать, чтобы X[G имело конечно-
мерное покрытие, то из спектральной последовательности
можно получить, что Kq(X) является конечным /?(О)-
модулем. В частности, справедлива
Теорема 3.5 1. Если X — компактное дифферен-
цируемое G-многообразие, то Kq(X) является конеч-
ным R (О)-модулем.
Доказательство и обобщения этой теоремы можно найти
в статье Г. Сегала, которая скоро выйдет. Но она пона-
добится нам только в 7.2.5.
ЛИТЕРАТУРА
-[1] АтьяМ. Ф, Хирцебрух Ф., Векторные расслоения и
однородные пространства, сб. Математика, 6: 2 (1962),
3—39.
[2] О г о t h е n d i е с k A., Dieudonne J., Elements de geo-
metric, algebrique, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Set., 4
(1960).
[3] Grothendieck A., Theoremes de finitude ..., Bull. Soc.
Math. France, 84 (1956), 1—7.
Эквивариантная К-теория
165
ЛЕКЦИЯ 4. ТЕОРЕМЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОСТИ, I
В этой лекции мы докажем теорему об изоморфизме
Тома для ^-теории, когда G — абелева группа, и исполь-
зуем ее для вывода теоремы целочисленности (4.3.1) для
дифференцируемых G-многообразий. Мы предполагаем, что
X—компактное О-пространство.
4.1. Гомоморфизм Тома
Пусть X— компактное О-пространство, Р—вектор-
ное О-расслоение над X с «-мерным слоем и s: X —> Р
есть О-инвариантное сечение.
В каждой точке х £ X существует линейное отобра-
жение
$(х)Д: \1Рх->\1+гРх.
Комбинируя эти отображения, мы получим последователь-
ность
(Х_хР, s): ... ->VF->V+!P-> ...
...
которая точна во всех точках х£Х, где s (х) =А 0.
В частности, предположим, что Y — замкнутое О-под-
пространство пространства X и что задано нигде не обра-
щающееся в нуль О-инвариантное сечение 5 пространства
Р |г. Тогда предыдущая конструкция определяет элемент
из Ка(Х, У). (Напомним, что не только тройка (£0, Е1: а)
определяет элемент из Ка(Х, У), но также и комплекс
(В;, rfj векторных О-расслоений над X, который ацикли-
чен над У. Подробнее см. [3].)
Теперь заметим, что если р-. Е-> X — векторное
О-расслоение с «-мерным слоем, то векторное О-расслое-
ние р*Е над Е имеет каноническое О-инвариантное сече-
ние б (диагональное отображение Е—уЕХх Е — р*Е),
которое никогда не равняется нулю на дополнении нуле-
вого сечения в Е. Итак, мы получили комплекс вектор-
ных О-расслоений (А_]р*Е, б) над локально компактным
пространством Е, который ацикличен на дополнении ком-
пактного множества и поэтому определяет канонический
элемент в группе Ка (Е).
Для приложений удобно компактифицировать прост-
ранство Е, рассматривая его как аффинную часть
16в
I. М- А т ь я, Г. С е е а л
проективного расслоения Р (Е ф С)—Е U Р (Е) над X. (Про-
странство Е вкладывается в Р(£фС) по формуле £->(£, 1).)
Тогда Ка(Е) = К0(Р(Е@С,), Р(Е)).
Но комплекс (Л._хр*Е, 6) над Е не может быть рас-
ширен'до комплекса над пространством Р(Е($С) наиболее
очевидным способом. Точнее, точка ^/’(ТТ^фС) не опре-
деляет гомоморфизм С>£х, но определяет вложение
—>Ехф С и, следовательно, вложение C->(Ex(gC) ® Н%,
где Н*—расслоение, сопряженное хопфовскому, над про-
странством Р(ЕфС), определенное в п. 2.7. Таким об-
разом, если р~. /3(ЕфС)->Л'— проекция, то расслоение
/(ЕфС)®// над пространством Р(Е©С) имеет кано-
ническое не обращающееся в нуль сечение, проекцию ко-
торого в р*Е(£Н мы обозначим через б. Если с, £ PCEJc
с=/’(^хФС)> то H^C,ExccExQ)Q„ и поэтому б не может
обращаться в нуль на Р(Е). Но отображение /V*—>
р* (Еф С) -> С индуцирует каноническую тривиали-
зацию С—>Н |£, и поэтому изоморфизм 6: р*Е->р*Е§§(Н |£);
легко видеть, что 6°б = б|£. Таким образом, комплекс
б) над пространством Е можно рассматривать
как ограничение комплекса (Д_1(р*Е®Я), б) на про-
странство /3(£:фС). Наконец, заметим, что (р*Е ® Н)=
= (Kkp*E) ® Hk с^(р*/кЕ) ® Hk. Суммируя все сказанное,
получаем
Предложение 4.1.1. Существует канонический
элемент КЕ в группе Ка(Е), такой, что если г. X ->Е—
п
нулевое сечение, то 1'ЪЕ — 2 (—}J‘E = 7._ХЕ.
к-0
Если Ка(Е) рассматривать как KQ (Р (Сф С), Р(Е)),
то образом элемента /,Е в группе Ка(Р(Е-]-С)) будет
элемент 2 (— 1)&р! (hkF) • г]-*-
*=о
Следствие. При ограничении на группу К0(Р(Е))
элемент 2(—\)kр[ QJ!E)c\~k группы KQ(P (f-j-C))
к-0 ~
переходит в нуль.
Эквивариантная К-теория
167
Определение. Если А — замкнутое О-подпрост-
ранство пространства X, то гомоморфизм Ко (Л")-модулей
фд; Kq(X, A}->Kq(E,
определяемый формулой <р£(м) = (—1)”(р'-и)кЕ, мы назо-
вем гомоморфизмом Тома.
Замечания.
1. Элемент р'и фактически принадлежит К*а Е |р-1дУ
но это не меняет дела, согласно замечанию (iii), сделан-
ному в 2.9.1.
2. Отображение i !<р£: К*а(Х, А) —> K*G(X, А) является
умножением на (—1)? Х_1 [£:] £ Ка (X).
3. Согласно сказанному ранее, отображение К*а (А")->
->К*а(Р (£©С), Р(Е)) представляет собой гомоморфизм
/<* (Р (£ф С)")-модулей.
4. Теорема периодичности (см. 2.7) является утвержде-
нием, что <fL: KG(X)->KG(L)^KG (Р(АфС), Р(Е)) —
изоморфизм, когда L — линейное О-расслоение. Так как
P(L) — X и существует сечение X ~ Р (Z.) —> Р (L ® С)
(обозначенное 1Ж в доказательстве теоремы периодичности;
очевидно, что 1^(Я*) ~ Zj, мы видим, что верхняя строчка
диаграммы
Ка (Р (А ф С), X) -> Ка (Р (А ©С)) > Ка (X)
4 4 I
Iй н I
К а (X) — > к а (X) [л]/(Л - D (Л - P) Ка (X)
является короткой точной последовательностью. Определим
отображение р как а -> — (т|— р)«, а отображение v —
формулой /(т|)—>/(р). Тогда диаграмма коммутативна и
можно показать, что нижняя строчка также является корот-
кой точной последовательностью, поэтому <pz—изоморфизм.
В следующем пункте мы покажем, что <р£ является
изоморфизмом для любого векторного О-расслоения Е,
которое представляет собой сумму линейных О-расслоений.
168
I. M. Атья, Г. Сегал
4.2. Обобщение теоремы периодичности
В п. 4.1 мы показали, как векторное G-расслоение Е
над X можно отождествить с открытым подмножеством
компактного пространства /’(СфС), являющимся допол-
нением к замкнутому подпространству Р (Е~). Это можно
обобщить следующим образом.
Пусть заданы два векторных G-расслоения Е{, Е2 над
пространством X. Выберем метрику в Е2. Поднимем Ег до
векторного О-расслоения Е} —Е1'ХхР (Е2) над Р (Е2).
Тогда расслоение Е} у<^хР(Е2) можно отождествить с от-
крытым подмножеством пространства /3(£1®Е2), являю-
щимся дополнением к замкнутому подпространству Р(ЕХ).
Действительно, требуемое вложение дается отображением
£2) ^)-
Заменяя во всех рассуждениях п. 4.1 С символом Е2,
можно обнаружить, что когда Ка(Е}) отождествляется
с Ка(Р (Е\®Е2), Р(Ег)), канонический элемент^ в группе
п
К, (ЕЛ отображается в элемент 2(—Р' (Л* ЕЛ г]-*
' ' 4-о
из группы Ка(Р (ЕХ.@Е^)). Более того, отображение
(£г)) К о (Р ф Е2), Р (£])) является гомо-
морфизмом Ка(Р (Ех@Е2))-модулей.
Теперь мы можем доказать обобщение теоремы перио-
дичности.
Теорема 4.2.1. Пусть X — компактное G-про-
странство а Е = Z-i® Z,2® • • • ©Ln, где Lj(\ —
линейные G-расслоения над X. Пусть x\£K*Q(P(Е)) —
элемент, определенный расслоением Н*, сопряженным
хопфовскому. Тогда Ко (Р (Е)) порождается как алгебра
над кольцом К*а(Х) элементом т]> удовлетворяющим
единственному соотношению
0„(т)) = 2 (— I/ДА]л-* = 0.
*-о
Замечания. Обозначим через А кольцо Kq(X), и
пусть Pj£K0(X) — элементы, соответствующие Тогда
Эквивариантная К-теория
169
п
(1) е„(*)= JJ (х — р •) является единицей в кольце
7-1
полиномов А [х]; в этом легко убедиться при помощи
индукции;
(2) согласно следствию из предложения 4.1.1, мы
можем определить гомоморфизм колец ап: А [х]/(0п (х)) ->
-> Ка (Р (£') ) сопоставляя элементу х элемент т].
Доказательство. Мы проведем доказательство
по индукции. Случай п— 1 тривиален, так как Р(Е)^Х.
Таким образом, достаточно показать, что если
а„: Д[х]/(0„(х)) Ка(Р(Е)),
то отображение
а„+1: А [у]/(0 (у) (у -р)) -> Ка (Р (£® А)),
где Е— векторное О-расслоение над X, a L — линейное
О-расслоение, является изоморфизмом. Очевидно, что огра-
ничение на пространство Р(Е) расслоения, сопряженного
хопфовскому (кохопфовского расслоения) над простран-
ством P(E@L), является кохопфовским расслоением
над Р(Е).
Расслоение р: P(E@L)-*X имеет каноническое сече-
ние Z, поэтому мы получаем расщепленную короткую точ-
ную последовательность К а (Р (Е ® £))-модулей
О -> К a (Р(Е®Е),Р (£)) — -> К а (Р(Е © £)) Ка (X) > 0.
С другой стороны, по теореме периодичности гомо-
морфизм Тома
Ф/ Ka(X)^K*a(LXxP(E)^KlXP(E®L). Р(Е)>, -
который, как мы видели, является гомоморфизмом
Л'о(Р(£,фА))-модулей, представляет собой изоморфизм.
Рассмотрим диаграмму
0-> Д Jx]/(0 (х)) —> Л [у]/(0(у)(у—р)) —А ->0
j.a” ^a«+i
Q->Kq(P(E)) Ка(Р(Е®Е)) ^f(*a(X)-^0,
170
I. M. Атья, Г. Сегал
где отображение р. определяется формулой /(х)->
—> (—1)л (у—р) / (у), а отображение v—формулой
h (у) -> h (р). Верхняя строчка является короткой точной
последовательностью, и диаграмма коммутативна по по-
строению, следовательно, а„+1 является изоморфизмом.
Отсюда непосредственно вытекает
Теорема 4.2.2. Гомоморфизм Тома <р£: К*О(Х)->
-> К'а (Е) является изоморфизмом, если Е представляет
собой сумму линейных Q-расслоений.
Замечание. Это ограничение не является необходи-
мым, как мы увидим в лекции 6.
Доказательство. Рассмотрим следующую диа-
грамму:
0-> А -Н>Д[у]/(0я+1(у))-2!>Д[х]/(0л(х))->О
I Ч>Я L I =
0->^(Е)—>^(Р(ЕфС)) /<о(Е(Е)) ->0,
п
где у. определяется формулой а ->(—1)л а У (—1)* Kky~k —
k=o
= (—1)”а0л(у), a v определяется формулой /(у)—>/(х).
Как мы проверяли, верхняя строчка является точной
последовательностью. Нижняя строчка точна, потому что
отображение ф есть, как известно, эпиморфизм. Диаграмма
коммутативна, следовательно, отображение является
изоморфизмом.
4.3. Гомоморфизм Гизина
Пусть X — дифференцируемое многообразие; обозначим
через ТХ пространство касательного расслоения над X.
Если группа G действует на X дифференцируемым обра-
зом, то дифференцирование индуцирует действие группы G
на пространстве ТX и мы можем рассмотреть группы
(с компактными носителями!) Kq(TX).
Пусть /: Y —> X—дифференцируемое G-отображение
компактных G-многообразий. Мы хотим определить функ-
ториальным образом гомоморфизм
Эквивариантная К-теория
171
аналогичный гомоморфизму Гизина в обычной теории
когомологий.
Существует эквивариантное вложение h пространства V
в некоторое вещественное векторное О-пространство V.
Доказательство, очень похожее на рассуждения, приведен-
ные в п. 2.4, можно найти в работе [2].
Итак, отображение /: Y -> X может быть разложено
в композицию О-отображений
Y^N-^->X ХГ-’->/,
где jl\ Y -> X задается формулой fXh, отображение
у: N—> X XV есть вложение О-инвариантной трубчатой
окрестности N пространства ji (К) в пространстве X X V,
i: Y->N является отображением пространства Y на нуле-
вое сечение нормального расслоения над пространством Y
в X а Р' X X —> X — естественная проекция.
Теперь достаточно определить отображения i,, J, р .
Определение it. Рассмотрим следующую диаграмму:
TY+-TN
4-Р 4.
Y <- N
Здесь TN рассматривается как вещественное векторное
расслоение над пространством TY со слоем Ny(£)Ny над
каждой точкой из Следовательно, TN можно ото-
ждествить естественным путем с пространством векторного
G-расслоения p*(N®rC) над TY. Гомоморфизм (относи-
тельный) Тома
ф: Ko(TY)->Kq(TN)
и является гомоморфизмом 1\. Согласно предложению 4.2.1,
отображение 1'1\ является умножением на (—1)л Л_] (N ®rC),
где п — размерность слоя расслоения над пространством N.
Заметим, что п = dim X — dim Y -ф- dim V.
Определение j\. Обозначим через (TN)+ одно-
точечную компактификацию пространства ТХ. Существует
G-отображение г: (Т (X /Ю)" ->(ТХ)+, полученное
172
I. M. Атья, Г. Сегйл
стягиванием дополнения к TN в многообразии в точку.
Гомоморфизм
г'; K0(TN)->Ka{T(XXV)}
и является гомоморфизмом Jr
Определение pi. Гомоморфизмом Тома для вектор-
ного G-расслоения V ® С является гомоморфизм
Ф: Ка(Т Х)-+Ка(ГХ Х(У ® СУ) —Ка(Т (X XV))-
Требуемым гомоморфизмом р\ служит гомоморфизм
ф->: К0(Т(ХХУ))^/<а(ТХ),
который определен, когда ф — изоморфизм.
В силу следствия из теоремы 4.2.2 отображение ф
является изоморфизмом, когда О — абелева группа; следо-
вательно, в этом случае отображение р{ определено кор-
ректно.
Теорема 4.3.1. Пусть f: Y -> X — дифференци-
руемое Q-отображение компактных G-многообразий
и О — абелева группа. Существует такой естествен-
ный гомоморфизм
f-. Kq(TY)^Kq(TX),
что (fg\ = ftg, и ft (yf'(x) ) = /((у) . x для x£Ka(T X),
y^Ko(TY). Более того, если отображение f является
вложением коразмерности п с нормальным расслое-
нием N, то отображение f]f, представляет собой
умножение на элемент (—С).
Доказательство. Пусть Z, у, р — отображения,
определенные выше; положим /, — рурГ Далее доказа-
тельство проводится так же, как в /С-теории (см. [1]).
Главное — это показать, что отображение / не зависит
от выбора V: два вложения в V и V определяют вложе-
ния в пространство УфУ', которые эквивариантно гомо-
топны.
Следствие 4.3.2. Пусть Y—компактное О-много-
образие и X -> [точка} — постоянное отображение.
Тогда ft(u)£R(G) для всех u£K0(TY).
Эквивариантная К-теория
173
В следующей лекции мы будем в частных случаях
получать другие выражения для /,(«) как элемента из
R(G) ® С. Утверждение, что в действительности /,(«) при-
надлежит R(G), будет тогда называться теоремой цело-
численности.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Atiyah М. F., Hir zebra ch F„ The Riemann — Roch
theorem for analytic embeddings, Topology, 1 (1962), 151—166.
[2] P a 1 a i s R., Theory of G-spaces, Memoirs A. M. S.
[3] Atiyah M. F., Bott R., Shapiro A., Clifford Modules,
Topology, 3, Suppl. 1 (1964), 3—38.
ЛЕКЦИЯ 5. ТЕОРЕМЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОСТИ, II
В этой лекции мы применим теорему 4.3.1 в случае,
когда Q — циклическая группа. Это даст возможность полу-
чить более конкретные результаты и яснее увидеть связь
с обычными теоремами целочисленности для дифференци-
руемых многообразий. Мы предполагаем, что X — ком-
пактное дифференцируемое О-многообразие.
5.1. Дифференцируемое действие циклических групп
В настоящей лекции удобно под циклической группой О
понимать либо конечную циклическую группу с образую-
щей g £ О, либо компактную группу Ли, в которой степени
некоторого фиксированного элемента g£ G плотны. Типич-
ной циклической группой второго типа является тор
7' = S1 X • • XS1, или, более общо, произведение тора
и конечной циклической группы.
Пусть X — дифференцируемое G-многообразие, где
G = {g*) — циклическая группа с образующей g: X -> X.
Обозначим через Xs множество неподвижных точек пре-
образования g. Для каждой точки х £ Xs существует
автоморфизм dg: ТХ—>ТХ касательного пространства Тх
к А в точке х. Подпространство
Tsx = [vgTx; dg(v) — v} cTr
отождествляется естественным образом с касательным про-
странством в точке х дифференцируемого многообра-
зия Xs. Следовательно, RX = TSX® Nsx, где Nx — подпро-
174
/. М. Атья, Г. Сегал
странство пространства Тх, натянутое на собственные
векторы оператора dg с собственными значениями, не рав-
ными единице. Обозначим через N8 нормальное расслое-
ние {J N8 над Xs в пространстве X, а через Ng®C—
x£Xg
комплексификацию расслоения N8.
Действие группы О на пространстве Ns ® С определяет
элемент (N8 g С) (zKa(Xg). Мы используем то же
обозначение для соответствующего элемента из A'0(Xfi')g..
Предложение 5.1.1. Элемент ® С)
является обратимым в KQ(Xg)g.
Доказательство. Сначала предположим, что
Xg имеет п связных компонент с отмеченными точками х(
(/=1, 2.....и). Так как действие группы О на Xе три-
виально, то вложение /г: [x/)->A'g является G-отобра-
жением. Рассмотрим точную последовательность
О -> / {X8) g R (G) -> К (X8)&R (О) ©К ([xt] )®R(G)
II II 1 II
0-> f0(X8) -> КО(Х8) ^~->© xQ({Xl})
где е = ф/-.- Идеал IQ{X8') нильпотентен, и, следова-
I
тельно, элемент и£Ка(Х8) является обратимым тогда и
только тогда, когда элемент е(«) обратим, т. е. тогда
и только тогда, когда элементы /1 (и) обратимы для
i = 1, 2, ..., п. Поэтому достаточно рассмотреть случай
п=1. Тогда KQ( (xj ) = R (O)g является локальным
кольцом А с максимальным идеалом ш.
Если группа G конечна, то R (G) = Z [х]/(хп—1) и
простой идеал (g) является ядром гомоморфизма
R(G)->C, переводящего х в £— первообразный корень
степени п из единицы. Тогда R (G)g = А Q (£). Если
G — S1 X • • X S1 — тор, то R (G) является кольцом поли-
п
номов от е±1в! (1<^./<Сга) с целыми коэффициентами,
a R(G)g—A — поле таких полиномов с рациональными
коэффициентами.
Эквивариантная К-теория
175
Для того чтобы доказать обратимость элемента /• (и),
достаточно доказать, что /• (и)(^т, т. е. что значение / (и)
на элементе g не равно нулю. Пусть теперь ut = kt (Ng® С).
Тогда
/1 В) (<?) = \ ® c) <£) = det (1 +1 dg),
где dg: Nxt-+Nxt—автоморфизм, индуцированный ото-
бражением dg.
Так как оператор dg не имеет собственного значения 1,
мы получаем, что /• (g)=£0 и/- (и^(tш. Следовательно,
элемент A._j (Xg ® С) обратим в кольце KQ(Xg)g.
Замечание. Так как группа О действует три-
виально на Xs, то
К a (*g)g ^K(Xg)®R (G)g = К (Xg)® А.
Введем следующее обозначение: Ас А, где
(1) если О — циклическая группа порядка п, то
A = Z[g], Г = 1.
(2) если G — Sl X • • • X А1, то Л — подкольцо три-
гонометрических полиномов с целыми коэффициентами.
Теорема 5.1.2. Пусть О— циклическая, группа
с образующей g, Xs—множество неподвижных точек
G-многообразия X, отображение I: Xе —>Х является
вложением, a fs: Xs —> [точка], /: X -> [точка]—
постоянные отображения. Пусть Ng — нормальное
расслоение над Xе в многообразии X и и£К0(ТХ).
Тогда, если рассматривать f^u) как элемент из
A — R(G)g, то
(-1)7, (и) = /f (- --А- ,
• W, (N ® С) )
где п — коразмерность пространства Xs в многооб-
разии X.
Следствие 5.1.3.
176
1. М. Атья, Г. Сегал
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
vg_____________________
Л ----* точка
b ZZ
4- //
X''
По теореме 4.3.1 существует соответствующая ей та-
кая диаграмма
fg
кв(.тх*) Л+
. I * / к (u)g
4 11 /Ц
К0(ТХ)/
что (v) — (v) для всех v £ Ка (ГXg)g. По теореме
3.4.1 отображение I'- является изоморфизмом с обратным
• / 1 V)
отображением ь (-----=------ ’ и, следовательно, ис-
\X^XNe®O)]
пользуя теорему 4.3.1, получаем
(-1 = L = f'-(и)-
_ । {Л/ ® (_,/ / \ Л __ j \Jv ® С</ /
5.2. Действия с конечным числом неподвижных
точек
Предположим, что Xе состоит из конечного числа
точек р£Х. Тогда
fg ( г’!» 'i _ У ipU
1 \Я,_! (Ng ®С) р '
где отображение 1р-. {р}—>Х — вложение, Тр — касатель-
ное пространство к X в точке р и и KQ (ТХ). Пусть
О —> Ей —> > ... —» Еп —> О
’) Под этим надо понимать, что элемент х переходит
в l' - Прим-перев-
Эквивариантная К-теория
177
— последовательность векторных G-расслоений над ТХ,
которая является точной вне нулевого сечения в простран-
стве ТХ. Это определяет такой элемент и £Ка (ТX), что
I и- \ _ V 1 ,р1 —
Л-! (Ng®C)J~~Z4 \ X_t(Tp®C) )
det (1 — dgp) J
Тогда из теоремы 5.1 вытекает
Предложение 5.2.1. При сделанных выше пред-
положениях
2__________________I р. х
det (1 — dgp) /
Предложение 5.2.1 можно рассматривать как множе-
ство условий на линейные отображения dgp, g | , ко-
торые выполняются, если точки р можно рассматривать
как неподвижные точки относительно действия группы Q
на некотором дифференцируемом многообразии.
5.3. Тривиальные действия
Для того чтобы показать, как теорема 5.1.2 связана
с обычными теоремами целочисленности для характеристи-
ческих классов, рассмотрим случай О — 1. Так как X — Xs,
это является другим крайним случаем по сравнению с тем,
когда множество Xs конечно. Если 0=1, то A = Z и
отображение
K(7\Y)->K(7'{x0}) = Z,
где х0—точка, всегда определено. С другой стороны,
это отображение можно вычислить обычными когомоло-
гическими методами. Характер Чжэня определяет гомо-
морфизм колец
ch: К. (ТХ) -> И* (ТХ, Q)
12 Зак. 719.
178
I. M. Атья, Г. Сегал
из кольца К(ТХ) в кольцо Н*(ТХ, Q) рациональных
когомологий с компактными носителями. Существует диа-
грамма
К(ТХ) K(T{xQ}) = Z
ch | I ch = j
у 4
H*(TX, Q) H*(T [x0], Q) = Q
в которой отображение j: Z->Q является естественным
гомоморфизмом и /„(«) = («) [7’Л’].
Напомним конструкцию отображения /р которая была
приведена в п. 4.3. Существенным шагом было рассмо-
трение вложения I: X—>V с вещественным и-мерным
нормальным расслоением N. В этом случае
i'ii—умножение на элемент (—l)nX_j (N ® С),
— умножение на класс Чжэня сп (N 0 С).
п
Рассмотрим формальное разложение с (N ® С) = JJ (1 —х2^
п
так что класс Понтрягина р (N) есть Д (1 Тогда
у-iv 77
Z*ch /, (и) — ch = ch (a) (—1)" [ch k_1 (N ® C)] =
= (-1)” ch (и) ft (1 - (1 - e~xi\
7=1
n
i\ ch (и) = (—1)" Ch (и) П (— Xj) (Xj)
и, следовательно,
Мы не можем, конечно, прямо заключить, что
Г" / п \ - Г
ch it (и) = zd ch («) | II / —/ ~^7._'\ |
I \/_i \ 1—е ^/v — ехi /J
Эквивариантная К-теория
179
Однако совершенно аналогичные вычисления на классифи-
цирующем пространстве для N ® С показывают, что эта
формула верна и что
ch/1(zz) = A(ch(zz)-T(^))[m
где т (X) — полином от классов Понтрягина р, (•<¥)£
€H4i(X, Q). Если р(Х) = П(1 +у2), то
С(Г&С) = П(1-у*) = (П(1-^))"1.
Следовательно, справедлива
Теорема 5.3.1. Если и принадлежит К(ТХ), то
(ch (и) х (X)) [ТX] — целое число.
Следствие 5.3.2. Если X — ориентируемое много-
образие и отображение q>: Н*(Х, Q)->H*(TX, Q) —
изоморфизм Тома, то (ф-1 ch (и)х(Х)) [X] — целое
число.
Это обычная теорема целочисленности. Для получения
более конкретных результатов необходимо выбрать неко-
торый элемент и£К (Т X). Различные теоремы целочис-
ленности соответствуют различным выборам элемента и.
5.4. Теорема целочисленности
Теперь мы выведем формулу, которая объединяет два
крайних случая, рассмотренных в п. 5.2 и 5.3. Мы будем
пользоваться обозначениями теоремы 5.1.2.
Так как группа Q действует тривиально на простран-
стве Xе, мы имеем KQ (Xg) = К (Xg) ® (G) и, следо-
вательно, характер Чжэня является гомоморфизмом
ch: Ka(Xg)->H*(Xg, А),
где А = (R (О) g C)g.
Аналогично если {х0} — изолированная точка, то ха-
рактер Чжэня
ch: Ка(Т{х0})-+/Г(Т[х0], А) = А
180
1‘. М. Атья, Г. Сегал
является отображением на подкольцо Л. а А. По теореме
5.1.2
ch /, (и) = ch /f f----Д.
С одной стороны, ch/j(«)£A. С другой стороны, так
как гомоморфизм ch мультипликативен и группа G дей-
ствует тривиально на Xе (см. п. 5.3), то
Рассмотрим векторное G-расслоение Ns. Каждое пред-
ставление циклической группы разлагается в прямую сумму
одномерных представлений, которые определяются соб-
ственными значениями элемента g. Отсюда следует, что
w*=M2we>
е
где Na — подпространство пространства Ne, натянутое
на собственные векторы с собственным значением — 1,
a — (вещественное) подпространство пространства Ns,
натянутое на собственные векторы с собственными значе-
ниями е± ze, 0 < 6 < л. Тогда Л/е обладает естественной
комплексной структурой и
Ne®C = Ne+©Ne,
где Nq , Nq — (комплексные) векторные О-расслоения,
на которых g действует умножением соответственно на
и e~ie. Аналогично Nn ® С является векторным О-рас-
слоением, на котором g действует умножением на —1.
Рассмотрим формальные разложения
Р ("«)=!) (1 + ,). «(«,)= П (1+ уе,
Тогда
. с {Ne ® С) = п (1 - ,) о Д я (1+ у,. ,) (1 - у,. ,)
И
ch (%_! (Ае+)) = s (— 1У ch V (Ае+) =
Г
= 2 (-1Г 2 eV6' 1‘+ +Ч 1г= П О ~ ty.
г j
Эквивариантная К-теория
181
Аналогично
ch (N„ ® С) = П (1 + Л J) (1 4- е~уе- j)
j
и, следовательно,
ch(A_!(^® С)) =
= П n(i-AM(i-e'VM=
о < е < я j
= П П(-1)(^ (/е+Уе- г40+уе, /})2.
о<9<я j
Подставляя этот результат в выражение для ch ft(u),
мы получаем следующее утверждение.
Теорема 5.4.1. Пусть G — циклическая группа
с образующей g, X есть Q-многообразие, Xs — мно-
жество его неподвижных точек, I: Xs -> X —отобра-
жение вложения и N8—нормальное расслоение над
Xs в многообразии X. Пусть элементы ye j опре-
делены, как выше, и пусть и £Ка(ГX). Тогда значение
коцикла
chi'-их (Xе)
4ул,/)2 П 1(/0+Ч/) 4(ze+*e,/)f
-М +е ) 0<6<Я j ~е j
на группе [7’A'g] принадлежит Л.
Снова для получения более конкретных результатов
необходимо выбрать некоторый элемент и£Ка(ТХ). Это
будет сделано в п. 5.5; более подробное изложение можно
найти в работе [1].
5.5. Построение элемента и£К0(ТХ)
Для того чтобы определить элементы и£К$(ТХ), мы
построим последовательность
О —> £0 —> fj -> £2' —* • • • О
векторных G-расслоений Et над касательным простран-
ством ТХ к многообразию X, которая точна вне нулевого
сечения в ТХ. Для того чтобы сделать это, мы предпо-
ложим, что многообразие X обладает //-структурой, т. е.
182
/. М. Атья, Г. Сегал
существуют главное //-расслоение Р над X, вещественное
пространство представления V группы Н и изоморфизм
ТХ ^Py^HV. Теперь предположим, что имеются такие
комплексные пространства представления Мо, ЛАг.......Мп
группы Н, что существует //-отображение V®
для каждого / = 1, 2, ,п и что последовательность
0-> Мг -. -А>Ж„->0,
определяемая при помощи v £ V, точна для всех v =/= О,
Тогда, если р: ТX—> X—отображение проекции, то
существует требуемая последовательность
ОО,
где EL = р* (Р Хн Mt). Если,- кроме того, X является
также О-многообразием с //-структурой (т. е. группа
О действует согласованно с действием группы Н и диф-
ференциальным действием О на касательном пространстве
ТX), то £; представляет собой векторное О-расслоение и
наша последовательность определяет элемент и£Ка(ТХ).
Тогда определен изоморфизм Тома //*(%, Q) ->
—>//*(ГА, Q), где через Q обозначена группа коэффи-
циентов, целочисленная или приведенная по модулю два,
в соответствии с тем, является ли многообразие X ориен-
тируемым или неориентируемым (многообразие ТХ всегда
ориентируемо). Если s: А —> 7 А — нулевое сечение и
dim А = 2А, то отображение (—l)fts*q> является умноже-
нием на эйлеров класс е (Г) многообразия А (эйлеров
класс берется целочисленный или приведенный по модулю
два в зависимости от ориентируемости многообразия X).
Следовательно,
2 (-1/ch (РХНМ.)
Ф-1 ch и —
(-1)^ (Л
всякий раз, когда правая часть имеет смысл.
Далее мы рассмотрим простейшие примеры этой кон-
струкции. Для удобства предположим, что dim V — 4k.
1. Почти комплексная структура. В этом случае
ZZ = GL(>fe. С). V = C\ Mi = XlV и V ® —
Эквивариантная К-теория
183
внешнее умножение. Многообразие X автоматически
является ориентируемым и
k
2 (-1)'ch (Р = сЬЛ^Г = П (1 - Л),
i i-i
и (pch(w)T(A') = JJ
7-1
где Т — касательное комплексное расслоение над X и
k k Л ___ Уу\
с (Г) = П(1 Н- У;)- Таким образом, ф-1 ch (и)=1Т ——-— I
>=’ 7=1 У' '
ь
—У/ \
------— —характеристика Тодда
1 — е yi )
многообразия X. В частности, из теоремы 5.3.1 следует,
что род Тодда Т (X) многообразия X является целым
числом.
2. Спинорная структура. В этом случае Я=Spin (2^),
V = R2*. Рассмотрим гомоморфизм V ® Мо —> где
Л40, —два спинорных представления, а умножение
является клиффордовым умножением. В этом случае р (X)—
k
=Д (>+/,)"
cl, (Р х„ ЛЦ - ch (Р х„ Л4.) = П М
/=1
Многообразие X автоматически ориентируемо и
к
, II
1
2 yJ
Sh|y7
В частности, теорема 5.3.1 утверждает, что Л-род
многообразия X является целым числом.
Заметим, что, используя последовательность
О -» Z2 -> Spin (2k) -> SO (2k) 0,
можно показать, что ориентируемое 2^-многообразие до-
пускает спинорную структуру тогда и только тогда, когда
184
I. M. Атья, Г. Сегал
второй характеристический класс Штифеля w2 (X) £
£/Р(Х, Z2) равен нулю.
3. Ориентируемость. В этом случае H = SO(2k) и
l/ = R2ft, Пусть А* обозначает внешнюю алгебру над R2*;
рассмотрим оператор двойственности *: Z’R2A —> Z2A-?R2?.
Определим отображение а: А*—> А* при помощи фор-
мулы а(ю'?) = (—' * со. Тогда а2 = (—1/ и
A*® RC = M0®Mb
где пространство Л10 натянуто на собственные векторы
с собственными значениями -j-г*, а пространство —на
собственные векторы с собственными значениями —lk.
Определим отображение R2k® MQ-> формулой и®1®-*
—> v(w)=v — v у w, где Д — внешнее умножение,
а V — сопряженное к нему внутреннее умножение. Тогда
v (v (w) ) — v/\(v/\w — v У w) —
— v V (v A w — v V «0 = —1| v ||2 w,
и, следовательно, V является изоморфизмом для v =Р 0.
k
В этом случае р (X) = Д у2) и
1 k
ch (Р X /Ло) - ch (Р х н^1) = П G'"7 - «Ч
j-'i
Так как X — ориентируемое многообразие, то
ф-1 ch (и) т (X) = f Д Т (X) = Д
\/-1 7 / ;-1
У/
'Цу;
В частности, теорема
k
11
7=1
У/
> вычисленный
5.3.1 утверждает, что элемент
на 2А-мерном фундаментальном
’цикле многообразия X, является целым числом.
Далее,
Эквивариантная К-теория
185
так что это согласуется с обычным определением Л-рода
многообразия X.
Заметим, что, используя последовательность
О -> SO (2k) -> О (2k) -> Z2 -> О,
можно доказать, что 2/г-мерное многообразие X является
ориентируемым тогда и только тогда, когда первый характе-
ристический класс Штифеля (X) £ Н1 (X, Z2) равен нулю.
5.6. Частный случай
Применим теорему 5.4.1 в частном случае, когда
и£Ка(ТХ) является элементом, заданным в примере 3
предыдущего пункта. Рассмотрим формальное разложение
рт=По+у2д *(^)=Пу,,
с(Т^.С) = П (1 +у,)(1 -уД
j
Тогда в обозначениях п. 5.4 если s: ХВ—>ТХВ является
нулевым сечением, то
s* ch i (и) = Д (е~У 1 — еу{
-у
— е
х цц (е~(/0+Уе, j) е(‘'0+У0, j)y
ch 1 и_____T
с11Л_,(Д^®С) j
произведением сомножителей трех
п(£^2)’<^=п
Следовательно,
ф"1
является
(1)
типов:
У)
-у.
— е '
(2)
(3)
'+«’! М I
jj Q"(z0+y0> /)_/z0+ye. /))
Д (№+yQ.j)_e
1
186
1. М. Атья, Г. Сегал
Теперь положим
ПУ J
----j — полином от классов
j th у.------Понтрягина много-
образия Xs с ра-
циональными коэф-
фициентами;
(2) ,3? (Хя) = — — полином от клас-
j th-g-сов Понтрягина про-
странства А'я с ра-
циональными коэф-
фициентами;
(3) ^(Хл) = JJ----J— --------полином от классов
j th -g- (у/-j-Z8) Чжэня с комплекс-
ными коэффициен-
тами.
Пусть е (А^л) —класс Эйлера пространства Na, целочислен-
ный или приведенный по модулю два в зависимости от
ориентируемости многообразия Xg. Тогда из теоремы 5.4.1
следует
Теорема 5.6.1. При сделанных выше предполо-
жениях
I 0 < 6 < л J
В случае О = Z2 собственные значения элемента g
равны ±1 и, следовательно, все пространство Nn = Ng
является нормальным расслоением над Xе. Отсюда вытекает
Следствие 5.6.2. Предположим, что О = Z2. Тогда
(Xg) 3? (А^)"1 • е (А^)} [%q е Л.
Следствие 5.6.3. Предположим, что характери-
стические классы расслоений Nn и Ne равны нулю для
всех 0. Тогда
3*(Xg). JI cth(lf0)l[XqeA.
о < е < л J
Эквивариантная К-теория
187
Мы закончим эту лекцию одним более конкретным
применением следствия 5.6.3.
Предложение 5.6.4. Пусть G — циклическая группа
порядка рг, где р нечетно. Тогда группа О не может
действовать на многообразии X в точности с одной
неподвижной точкой.
Доказательство. Предположим, что Xg состоит
из единственной точки. Тогда Af =0, (Xg)=l и собствен-
2 г.
ные значения элемента g имеют вид т|, т]........гр, где
т] = е2л17л, п = рг и т) =/= — 1, так как р нечетно. Из след-
2лг,-
ствия 5.6.3, полагая 0 = —, получаем
J 1
Следовательно,
Т • П (1 — V') = П (1 + <') = П (2 - (1 — <>))•
j j j
Левая часть этого равенства принадлежит идеалу кольца Z [т|],
порожденному элементом (1 —г]). С другой стороны, пра-
вая часть является степенью двойки по модулю этого идеала.
А так как Z [Ц]/(т]—l) = Zp> мы приходим к противо-
речию.
ЛИТЕРАТУРА >)
[1] Palais R., Seminar on the Atiyah — Singer index theorem,
with contributions by A. Borel, F. E. Browder and R. Solo-
vay, Annals of Mathematics Studies, 57, Princeton Univer-
sity Press, 1965.
[2*] Милнор Дж., Лекции о характеристических классах 1,
сб. Математика, 3:4 (1959), 3—53.
[3*] М и л н о р Дж., Лекции о характеристических классах II,
сб. Математика, 9 : 4 (1965), 3—40.
[4*] Том Р., Некоторые свойства „в целом" дифференцируемых
многообразий, сб. «Расслоенные пространства», ИЛ, М., 1958,
стр. 293—351.
[5*] Атья М., Пространства Тома, сб. Математика, 10:5
(1966), 48—69.
[6*] Atiyah М., Hirzebruch F., Riemann — Roch theorems
for differentiable manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., 65 (1959).
>) Звездочкой отмечены работы, добавленные переводчи-
ком. — Прим, перев.
188
Z. M. Атья, Г. Сегал
ЛЕКЦИЯ 6. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ИНДЕКС
В этой лекции мы наметим в общих чертах доказатель-
ства двух теорем, касающихся описания кольца Ко (Р (£))
и изоморфизма Тома Ko(X)^Kq(E), которые ранее были
получены только для расслоений Е, являющихся прямой
суммой векторных G-расслоений со слоем С. Как след-
ствие мы получим описание кольца Ко(Х X Р (V)) и изо-
морфизма Тома Ко (X) = Ко (К X Ю для всех О-моду-
лей V, что ранее было сделано только для случая, когда
G—абелева группа. Мы будем предполагать, что X является
компактным G-пространством.
6.1. Расщепление векторных О-расслоений
Мы хотим распространить на векторные G-расслоения
известный способ расщепления векторных расслоений. Это
обобщение основано на следующей теореме, доказатель-
ство которой использует дифференциальные операторы и
будет приведено в очень краткой форме в п. 6.2.
Теорема 6.1.1. Пусть X — компактное О-про-
странство, Е—векторное G-расслоение над X и
р: Р(Е)-+Х— проективизация расслоения Е. Суще-
ствует такой естественный гомоморфизм
р- КО(Р(ЕУ)-»КО(Х-),
что отображение р,р! совпадает с тождественным.
В частности, отображение р- является мономор-
физмом.
Мы дадим несколько приложений теоремы 6.1.1; неко-
торые другие приложения даются в п. 7.2 следующей
лекции.
Пусть Е — векторное G-расслоение со слоем С".
Р — ассоциированное главное расслоение со слоем GL (я, С),
а Е(Е)-—пространство расслоения над X, получающееся
- из расслоения Р факторизацией по действию треугольных
матриц из группы GL(n, С). Действие группы О на про-
странстве Е вводит в F(Е) структуру G-пространства,
и проекция л: F (Е)~->Х является О-отображением. Рас-
слоение F (Е) называется расслоением флагов на про-
странстве Е. По построению точка у£л-1(л;) соответ-
Эквивариантная К-теория
189
ствует некоторому флагу линейных подпространств
0 = М0аМхс2 ... сгМп=Ех
в слое Ех расслоения Е над X. Существуют такие век-
торные G-расслоения Lx, .... Ln над пространством F(Е)
со слоем С, что
n*E = Lx® ... ®Ln.
Предложение 6.1.2. Существует такой есте-
ственный гомоморфизм
л,: К0(Е(Е))^К0(Х),
что отображение лл! совпадает с тождественным.
В частности, отображение л1 является мономор-
физмом.
Доказательство. Наше утверждение оказывается
верным для случая п = 1, так как тогда Р(Е) = Х. Пред-
положим, что оно верно для случая п—1, п > 1. Суще-
ствует коммутативная диаграмма
F(E') = E(E)
I л' I л
4- *
Р (Е) X
где Ег — векторное G-расслоение над пространством Р(Е),
определенное при помощи точной последовательности
По предположению индукции отображение л' определено.
По теореме 6.1.1 отображение р, также определено. Опре-
делим отображение л( следующим образом: л, = р(л'.
Предложение 6.1.3. Алгебра K*Q(P(JE)) над
кольцом К*0(Х) порождена элементом г] (см. п. 2.7)
с единственным соотношением
2(— 1)г (£) = 0.
i=o
Доказательство. Случай, когда Е = Т^ф ... ф£„,
где каждое Lt является векторным G-расслоением со слоем С,
190
J. М. А тья, Г. Севал
был рассмотрен в теореме 4.2.1. Рассмотрим следующие
диаграммы:
Р (л*Е) -* Р (Е) K*Q (Р (л*В)) K*Q (Р (Е))
? Г !<’ л, Р'
F (В) -+ X К*а (F (В)) ^z± В*о (X)
л!
где р и q — проектирующие отображения проективизации
соответствующих расслоений, а л и о являются проекти-
рующими отображениями расслоений флагов. Тогда алгебра
Вд(Р(л*В)) порождена над кольцом K*0(F (В)) элемен-
том rf с единственным соотношением (теорема 4.2.1)
п
2(-iy^-VV(nB)^o,
i»0
где т]/ = (д’т). Отсюда
со
2 (-1/ < W (В)
z=o
= 0,
и так как отображение со! является мономорфизмом (пред-
ложение 6.1.2), то
2(— lz) V (В) = 0.
1=0
Так как отображение со! — мономорфизм, это — единственное
соотношение между элементами 1, г]....т]я; поскольку
отображение <0j — эпиморфизм, каждый элемент из кольца
К*0(Р(Е)) является линейной комбинацией элементов 1,
Т], .... Г]"-1.
Теперь из предложения 6.1.3 следует теорема об изо-
морфизме Тома; рассуждения при доказательстве анало-
_гичны рассуждениям из теоремы 4.2.2.
Теорема 6.1.4. Пусть X—компактное G-про-
странство и Е— векторное Q-расслоение над X, Тогда
алгебра К*0(Е) является свободным К*о{Х)-мод\'лем,
порожденным элементом Tv. В частности, гомомор-
физм Томац>: Ха(Х)—>Ка(Е) является изоморфизмом.
Эквивариантная К-теория
191
Доказательство. Пусть отображение I: Р(Е)—>
-^Р(£фС) является вложением. Согласно предложе-
нию 6.1.3, отображение /' является эпиморфизмом и суще-
ствует точная последовательность
О -> К*а (£) ->К*0 (Р(Еф С)) -^К*о (Р (Е)) О
II II
ВДл'1 -> 7CoGY)h]^0
п
со следующими соотношениями:/5!]'= т], S (—1/ rf“lV (В)=0
i«o
л + 1 п
и 2 (—i)z*r+1~z^Wo=(n-i) 2 (—i)zn/"_^z(£)=o.
1 = 0 — 1=0
Поэтому алгебра Л"о (Л") = ker г" изоморфна свобод-
п
ному Ко (А’)-модулю, порожденному элементом 2 (— 1)гХ
1 = 0
X т\п~1Т1(Е), и (как это видно, если мы возьмем соответ-
ствующий элемент из K*Q (Е)) изоморфна свободному К*о (X)-
п
модулю, порожденному элементом 2(—l)zV(E) = Z,£.
1=0
6.2. Семейства дифференциальных операторов
Пусть р; Y —>X— расслоенное пространство, слоем
которого является компактное дифференцируемое много-
образие М, а структурной группой — подгруппа группы
диффеоморфизмов многообразия М. Тогда дифференциал
dp; TV —> р*Т X имеет максимальный ранг. Ядро Тр ото-
бражения dp является вещественным векторным расслое-
нием со слоем размерности dim М и называется расслое-
нием вдоль слоев пространства Y.
Предположим, что группа G действует на расслоении
р; Y—»Х согласованно со структурной группой, и вспо-
мним, что при помощи метрики мы можем отождествить
пространство Тр с его двойственным.
Предложение 6.2.1. Существует естественный
гомоморфизм Ко(Х')-модулей
ind: К0(Тр)Ка(Х),
192
J. M. Атья, Г. Сегал
который в случае, когда X — точка, сводится к ана-
литическому индексу ’).
Мы не будем доказывать здесь это предложение, но
сделаем несколько замечаний для случая, когда X —точка.
Пусть л: Т'Л'1—>М — проекция; рассмотрим дифферен-
цируемые комплексные векторные расслоения Е и F над
многообразием /И. Дифференциальный оператор (Е Г (£) ->
Г(F) порядка k определяет символ
о:
Определение. Оператор d называется эллиптиче-
ским, если о является изоморфизмом вне нулевого сечения
расслоения ТМ.
Следовательно, эллиптический дифференциальный опе-
ратор d определяет элемент о (d) — (л*Е, n*F, о) из К (ТМ).
С другой стороны, из условия эллиптичности можно вы-
вести, что пространства kerd и coker d имеют конечную
размерность. Индекс ind d оператора d определяется фор-
мулой
ind d = dim ker d — dim coker d.
В действительности не каждый элемент d^-K (ТМ)
соответствует дифференциальному оператору. Однако это
будет верно, если мы рассмотрим более широкий класс —
класс псевдодифференциальных операторов, введенных
Сили [3]. По тем же самым соображениям определяется
гомоморфизм
ind: /C(TM)->Z.
Более полные результаты содержатся в работе [4],
в которой также разобран и более общий случай.
Если X — точка и М—некоторое G-многообразие,
то эллиптический дифференциальный оператор d, который
перестановочен с действием группы G на пространствах
Г(Е), Г(Е), определяет, с одной стороны, элемент
o(d)^KQ(TM),
а с другой стороны,
ind d = ker d — coker d £R (G).
') Определение аналитического индекса дается далее.—
Прим, перев.
Эквивариантная К-теория
193
где kerd и coker d теперь являются пространствами пред-
ставления группы G. Отсюда мы получаем требуемый
гомоморфизм
ind: KQ (ГМ) -> Ко (точка) = R (О).
Распространение этих результатов на общие О-про-
странства X и G-расслоения р: Y—> Л" связано с рас-
смотрением семейств d=(dx] эллиптических дифферен-
циальных операторов. Каждый из них гомотопен опера-
тору, для которого kerrf,. и coker dx имеют постоянную
размерность и поэтому определяют векторные О-расслое-
ния kerrf и coker d. Тогда
ind d = ker d — coker d £ KQ (X)
и существует гомоморфизм
ind: KQ (Tp) -> KQ (X).
Если Tp является также комплексным векторным расслое-
нием, то композиция гомоморфизма ind с гомоморфизмом
Тома <р: Ко(Y) —>Ко(Тр) определяет естественный гомо-
морфизм
р': Kq(Y)->Kq(X).
Заметим, что отображение р’ не обладает какими-то
специальными свойствами по отношению к отображе-
нию pv Это будет доказано в п. 6.3 для расслоений
р: Y-+-X, удовлетворяющих некоторым дополнительным
ограничениям.
6.3. Семейства дифференциальных операторов над
комплексными многообразиями !)
Пусть М — компактное комплексное многообразие, и
пусть QM — пучок ростков голоморфных функций на М.
Если многообразие М связно, то по теореме Лиувиля
Н°(М, QM)~C. Мы будем говорить, что М—регуляр-
ное многообразие, если М связно и если Н1 (Л4, QM) — О
для всех I > 0.
') Определения и доказательство некоторых утверждений,
относящихся к этому пункту, читатель может найти в книге:
Чжэнь Шэн-шэн ь, Комплексные многообразия, ИЛ, М.,
1961. — Прим, перев.
13 Зак, 719.
194
I. M. Атья, Г. Сегал
(Предостережение: слово «регулярный» употребляется
иногда в том смысле, что FP(M, QM) = 0.)
Лемма 6.3.1. Пусть V—комплексное векторное
пространство. Комплексные многообразия Р(У) и F(V)
регулярны.
Доказательство (см. [2; § 15]). Из теоремы
Дальбо следует, что dim/7‘(Л4, QM) равна числу h°’1 ли-
нейно независимых гармонических форм типа (О, Z). С дру-
гой стороны, Р(У) и F (V) являются кэлеровыми много-
образиями, кольцо комплексных когомологий которых
порождается элементами из FP(P(V), С) и TP(F(V), С).
Эти элементы являются классами Чжэня комплексных ана-
литических линейных расслоений и, следовательно, имеют
тип (1, 1). Отсюда вытекает, что fip,Q — 0 для всех p-pq,
и поэтому h°' ‘ = 0 для I > 0.
Теперь предположим, что р: Y—>Х—расслоение со
слоем регулярное комплексное многообразие Л4 и что
структурная группа согласована с группой комплексных
аналитических гомеоморфизмов многообразия М. Обозна-
чим через Тр двойственное комплексное векторное рас-
слоение вдоль слоев. Существует дифференциальный опе-
ратор (более подробно см. [2; § 15 и 25])
5: Г(Г7’р)^Г(Г+17’/)),
задаваемый дифференцированием по координате z. Соответ-
ствующий комплекс дифференциальных операторов
о->Г(х<>тр)Х ... ->г0."н17;)^->г(Г?>>о
эллиптичен. Его символ является элементом из Ко (Т —
~^а(Рр)< определяемым при помощи последовательности
внешних произведений
0->Ук°Тр->
^л\т^Тр-+лктТр-+0.
"Здесь л: Тр—>Х —комплексное векторное расслоение, со-
пряженное к расслоению Тр; пространства расслоений Тр
и Тр совпадают.
В каждой точке х £ X ядром соответствующего диф-
ференциального оператора dx служит пространство гармо-
Эквивариантная К-теория
195
нических форм на многообразии М типа (0, г), где
г четно, а коядром—пространство гармонических форм
на Л4 типа (0, г), где г нечетно. Так как многообразие М
регулярно, существуют изоморфизмы
kerd^^C, coker Д,. = О,
kerjrfJ^C, coker [dx] = 0.
Если р-. Y—> X есть расслоенное О-пространство и
группа G содержится в структурной группе, то образом
элемента (Д,.) при гомоморфизме
ind: KQ(Tp)-+KQ(X)
является элемент 1 £ KQ (X).
Вспомним определение гомоморфизма Тома <р: Ka(Y)-^
->К0(Тр). Из построения элемента вытекает, что его
символом является <р(1) и, следовательно, что
p,(i)=ind(r,(i))=1 ека(Х).
Так как отображение pf является гомоморфизмом
(А')-модулей, мы заключаем, что при сделанных выше
предположениях рр1—тождественное отображение. Это
доказывает теорему 6.1.1 (если положить Y — P(E)) и
предложение 6.1.2 (при Y = F (Е)).
6.4. Замечания к теореме об индексе
В п. 4.3 мы определили гомоморфизм
Ко (TY) Ко (точка) = R (О)
для любой абелевой группы G. В п. 6.2 мы определили
гомоморфизм
ind: KQ (TY) -> KQ (точка) = R (О)
для любой группы G. Заметим, что определение отобра-
жения /, опирается на топологические методы, а опреде-
ление отображения ind — на аналитические методы.
Теорема 6.4.1. Отображения ft и ind совпадают
там, где они оба определены.
В случае когда О—единичная группа, это утвержде-
ние представляет собой теорему Атья — Зингера об ин-
дексе, которая доказана в работе [1]. Другое доказательство,
13*
196
I. M. Атья, Г. Сегал
которое будет опубликовано в выходящей в ближай-
шее время работе Атья и Зингера, справедливо для
произвольной компактной группы Ли G.
Теорема 6.4.1 показывает, что мы можем, используя
теорему об изоморфизме Тома (6.1.4), распространить
определение отображения на неабелевы группы G без
каких-либо затруднений. Эта теорема также дает объяс-
нение целым числам и представлениям, которые появляются
в теоремах целочисленности; они выступают теперь как
индексы дифференциальных операторов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Atiyah М. Р„ Singer I. М., The index of elliptic
operators on compact manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., 69
(1963), 422—433. (Русский перевод: сб. Математика, 10:3
(1966), 29—38.)
[2] HirzebruchF., Nene topologishe methoden in der alge-
braischen Oeometrie, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1956.
[3] S e e 1 e у R.. Integro-differential operators on vector bundles,
Trans. Amer. Math. Soc., 117 (1965), 167—204. (Русский
перевод: сб. Математика, 11 :2 (1967), 57—97.)
[4] Palais R., Seminar on the Atiyah — Singer index theorem,
with contributions by A. Borel, F. E. Browder and R. Solo-
vay, Annals of Math. Studies, 57, Princeton University Press.
ЛЕКЦИЯ 7. ПОПОЛНЕНИЯ
В этой лекции мы сформулируем один результат, ка-
сающийся пополнения Aq(A') /?(О)-модуля Ка(Х), соот-
ветствующего I (О)-адической топологии. Мы будем пред-
полагать, что X— компактное G-пространство.
7.1. Пополнения 7?(О)-модулей
Пусть А — некоторое кольцо, / — идеал в кольце А
и 44 — некоторый А-модуль.
Под I-адической топологией модуля 44 мы будем
понимать топологию, в которой подмодули 1пМ модуля 44
образуют базис окрестностей нуля 0 £ 44.
- Существуют цепочка вложений
... сГМс1п'гМс ... с/244 с/44с44
и соответствующая ей цепочка гомоморфизмов
... ->7И//',7И->уИ//'1“ЬИ-> ... -» M/l2M -> M/IM.
Эквивариантная К-теория
197
Пополнение М модуля М, соответствующее /-адической
топологии, мы определим как
Ясно, что М является Д-модулем ’) и что существует есте-
00
ственное отображение М —> М с ядром /пМ.
п-0
Замечание. Модуль М является хаусдорфовым про-
странством тогда и только тогда, когда множество
оо
пусто. В этом случае М является пополнением
л—0
модуля М, соответствующим метрике
где
оо, если х = О,
V^~ rt> если x^.inM, х^1п+1М.
Гомоморфизм и: М' —> М индуцирует диаграмму го-
моморфизмов
М'/ГМ' ->
i i
М//пМ
и, следовательно, гомоморфизм и: уИ'—>А1 Д-модулей.
Теперь рассмотрим кольцо R(G). Существует гомо-
морфизм * 2)
е: /?(G)->Z,
который ставит в соответствие каждому представлению
его размерность. Положим /(G) —ker е и рассмотрим
) Пополнением кольца А, соответствующим /-адической
топологии, где / — идеал в кольце А, называется кольцо
Л — lim А[1пА. — Прим, перев.
п
2) В литературе часто этот гомоморфизм называют аугмен-
тацией.— Прим, перев. _
198
I. M. Ат ъ я, -Г. Сегал
/(О)-адическое пополнение R(G) модуля /?(О). Более
подробное описание структуры R(G) можно найти в ра-
боте [3] для случая, когда G — связная группа Ли, и в ра-
боте [1], если группа G конечна.
Напомним, что R(G) является нётеровым кольцом и
что (см. п. 3.5) если X— компактное дифференцируе-
мое G-многообразие, то К0(Х)— модуль конечного типа
над кольцом /?(О). Эти замечания важны отчасти потому,
что ([1; § 3]) пополнение является точным функтором для
модулей конечного типа над нётеровым кольцом.
7.2. Обобщение теоремы Атья: K(B0)~R(G)
В этом пункте мы обсудим следующий вопрос: можно ли
связать естественным образом с компактным G-простран-
ством X такое пространство Хв, что Ко (X) Д' (Хо).
Если группа О действует без неподвижных точек на
пространстве X, то ответ на этот вопрос, как мы знаем,
положительный, потому что Хо (Х)^: K(X/G). Если же О
не действует без неподвижных точек, то ответ, по-види-
мому, отрицательный, однако можно определить функтор
X —> Ха, такой, что KQ (X) и К (Хо) будут изоморфны,
если их пополнить по соответствующим естественным то-
пологиям в них как в модулях с фильтрацией.
Рассмотрим случай, когда X—точка. Известно, что
R (О) = К (Eo/G), где Ео — стягиваемое пространство, на
котором группа О действует без неподвижных точек.
(См. [1] для конечной группы О, [3]—для связной
группы О, [2]—для общей группы G.) Это подсказывает
общее решение: выберем свободное О-пространство Е(Х)
и G-отображение Е(Х) —>Х, являющееся гомотопической
эквивалентностью над X (но не обязательно О-гомотопи-
ческой эквивалентностью). Положим X0 = E(X)/G. Тогда
мы хотели бы построить изоморфизм типа
Kq (X) Kq (Е (X)) = к (Хо).
В .маетности, если X — свободное О-пространство, то за
пространство Е (X) можно принять само X.
Мы не можем дать здесь полного решения данного
вопроса по двум причинам. Во-первых, потому что ком-
пактная группа не может действовать без неподвижных
точек на компактном стягиваемом пространстве (по край-
Эквивариантная К-теория
199
ней мере если пространство является также локально стя-
гиваемым), поэтому Е (X) не может быть компактным,
если только X не является свободным. Но для неком-
пактных пространств мы не определили функтор Kq-
Второй причиной является то, что мы не определили
фильтрацию на Kq(X). Однако известно, что топология
фильтрации в R (Q) = /Со(точка) совпадает с /(О)-адиче-
ской топологией, определенной в п. 7.1. Кроме того,
(^) — модуль с фильтрацией над кольцом с фильтра-
цией RiG), и представляется, во всяком случае, вероят-
ным, что, когда К0(Х) — конечный R (О)-модуль, топология
фильтрации в Ка(Х) индуцируется соответствующей топо-
логией кольца R(G) и совпадает с I (О)-адической топо-
логией. Эти замечания служат обоснованием следующих
теорем.
Пусть Е(Х)— категория компактных свободных G-npo-
странств над X. (Другими словами, объектами катего-
рии В'(А') являются пары (£\ рЕ. Е-+Х), где Е — ком-
пактное свободное О-пространство, а рЕ является 0-ото-
бражением.)
Теорема 7.2.1. ЕслиКа(Х) — конечный R(G)-mo-
дуль, то
(1) Ko(A')^limKo(^) = liniK*(£/G),
(2) /?1ПтЛ'о(£) = 0’),
где Е пробегает категорию Е(Х) и все пополнения
берутся в I (О)-адической топологии.
Замечание. Утверждение (2) включено для удобства
тех, кто знаком с поведением обобщенных теорий кого-
мологий и понимает, что есть основания надеяться полу-
чить короткую точную последовательность (см. [5])
О -> R1 lira КЬ~1 (£) -> Kb (X) -> lim Kb (E) -> 0.
Прежде чем переходить к доказательству, заметим,
что допустимо и удобно понимать под Е(Х) категорию
*) В обозначениях Гротендика /?* ( ) — первый производ-
ный функтор.—Прим, перев.
200
1. М. Ат ь я, Г. Сегал
компактных свободных G-пространств над X и послойно
G-гомотопических классов отображений.
Напомним также, что функтор 0: <f0—><? называется
конфинальным, если
(1) для каждого объекта из 2° существует морфизм
в объект 0 (£), Е £
(2) каждая диаграмма
0(Е1)
^0(£2)
в ef может быть продолжена до коммутативной диаграммы
Теперь уже без труда можно показать, что естественное
отображение
0*: limF->lim FoO
является изоморфизмом для каждого контравариантного
функтора из g3 в категорию абелевых групп.
Мы разобьем доказательство теоремы 7.2.1 на не-
сколько этапов.
Предложение 7.2.2. Теорема 7.2.1 эквивалентна
следующему утверждению-.
Если Ко(Х) — конечный R (О)-модуль, то
(1) Ko(X)^\imKo(PXX),
(2) /?1limMG(PX-V) = 0,
где Р пробегает категорию компактных свободных
G-пространств и G-гомотопических классов отобра-
жений.
Доказательство. Мы должны показать, что под-
категория проекций (Р X X -> X) является конфинальной
Эквивариантная К-теория
201
в категории Е (А-). Но каждый элемент
допускает очевидное отображение в
С другой стороны, каждая диаграмма
(Е-+Х) в Е(Х)
(ЕДХ X).
РгХХ
р2х*
может быть продолжена до диаграммы
Р , ? (Р\ * Р2)Х X
Чх^
которая является коммутативной с точностью до послой-
ной О-гомотопии.
Теперь выберем и зафиксируем вложение ср: G->U
группы О в некоторую унитарную группу. Вложение ср
индуцирует функтор <р*: (G-пространства)—> (^/-простран-
ства), определяемый формулой X—>U\0X. Из 1.3.3
получаем, что Ки(<Р* X) ~ Ко (X). Но / (О)-адическая
топология на каждом /?(О)-модуле совпадает с /(О)-ади-
ческой топологией, поэтому Хи(<Р*Х)~К0(Х).
Функтор ср* сопоставляет свободному О-пространству
свободное U-пространство. Отображение ср*, рассматри-
ваемое как функтор из Е (X) в (Е (ср* А-), является конфи-
нальным, так как пространство X допускает О-отображе-
ние в пространство U X о А' и т. д. Таким образом,
теорема 7.2.1 для О-пространств X эквивалентна тео-
реме 7.2.1 для О-пространств ср* А", т. е. имеет место
Предложение 7.2.3. Достаточно доказать тео-
рему 7.2.1 для унитарной группы U (п).
Предложение 7.2.4. Достаточно доказать тео-
рему 7.2.1 для случая, когда группа О является то-
ром Тп = Т.
Доказательство. Напомним, что в п. 6.1 мы
определили естественный гомоморфизм
р-. KQ(F X X)К0(Х),
такой, что Pj/»1 — тождественный гомоморфизм, (через F
обозначено многообразие флагов на С", F~U(n)IT).
202
I. М. Атья, Г. Сегал
Применяя это к случаю, когда G ~U (п), мы замечаем,
что если X является U (я)-пространством, то
U(n)[Tyx^U(n)yTx.
Мы получили естественный гомоморфизм
Кт (X) к и (п) (U («) X ТХ} К и (п} (X),
который является левым обратным к гомоморфизму „огра-
ничения" р': KU(ri)(X)->Kr(X).
Теперь рассмотрим диаграмму
KuW (X) —-> Иш KuW (Е)
.14 ~. |4~
АГг(Х)---^lim^(E)
где ptp’ и ptp! — тождественные отображения. Ясно, что
если (5 — изоморфизм, то и а — изоморфизм.
Аналогично R1 ПтЛХ(л)(£) является прямым слагае-
мым в Rl lim Хт(Е), что доказывает вторую часть утвер-
ждения.
Доказательство для случая, когда 0 = 7’.
Заметим сначала, что если О — Нгу Н2 и если Ру, Р2
являются свободными соответственно Т/р, Т/2-простран-
ствами, то Ру X ^2 является свободным О-пространством,
и что свободные О-пространства такого типа конфинальны
в категории всех свободных О-пространств. (В самом деле,
каждое свободное О-пространство Р допускает диагональ-
ное отображение на пространство PfHy X и т- Д-)
Применяя это к случаю О—Т и используя предложе-
ние 7.2.2, мы видим, что теорема 7.2.1 полностью выте-
кает из следующего предложения.
Предложение 7.2.5. Если ХГ(Х) — конечный
Р(Т)-модуль, то
(1) К*т (X)-^+lim & (X у Р),
(2) R'UmKr(XyP)=;O,
Эквивариантная К-теория
203
где Р пробегает категорию компактных свободных
S1-пространств и 81-гомотопических классов отобра-
жений. (Предполагается, что задан фиксированный гомо-
морфизм 0: Т —xS1, который ^-пространство превращает
в Т-пространство.)
Доказательство предложения 7.2.5. Будем
рассматривать S1 как группу комплексных чисел, по мо-
дулю равных 1. Тогда S1 действует естественно на S2”-1—
единичной сфере в пространстве С". Кроме того, множе-
ство сфер S2”-1 с отображениями вложения является кон-
финальным в категории свободных ^-пространств. Каждое
свободное S1-пространство Р можно рассматривать как
расслоение на единичные сферы, ассоциированное с ком-
плексным линейным расслоением L. Но L можно считать
подрасслоением тривиального расслоения со слоем С".
Результирующее С-отображение L—> Сп индуцирует S^oto-
бражение Р—>S2n-1. Но каждые два ^-отображения
D с2л-1 г» о2гп—1 л +с2л~1 A o2/n—1
Р—>0 , Р—>0 ГОМОТОПНЫ В О ~0 Д0
Таким образом, мы должны показать, что
(1) Кт(Х)-^->\\тКт(Х
п
(2) /?IlimKrU'XS2n’,) = 0.
п
Рассмотрим длинную точную последовательность
л'Ххх^2". ХХ^2л-1)->
-> Кт (X X £>2") Кт (X X S2"-1) • •
Используя изоморфизм Тома, получаем
... ->Кт(К)^Кт(.К)->Кт(КХ82п-1'}^ ....
где отображение а является умножением на [Ся] =
= (1 — 0)”.
Дак как K'r(A')— конечный R (Т)-модуль, эта после-
довательность останется точной после применения опера-
ции пополнения. (Это единственное место, где исполь-
204
/. М. Атья, Г. Сегал
зуется конечность.) Мы получаем точные последователь-
ности
(1) 0 -> Л/(1 — 0)л А -> Кт (X X S2""’) -> Вп -> 0,
(2) 0->Вл->Лл^->(1-0)лЛ->0,
где А — Кт(Х), А„ = А, но отображение Лл+1->Лл
является умножением на (1—0). Теперь заметим, что
(1 — 0)" Л с /л (Г). А и lim (1 —• 0)л Л = 0.
По той же причине lim Л/(1— 0)лЛ = Л. Далее,
п
Z?1 lim Л/(1— 0)л Л = 0, так как отображения в последо-
п
вательности (I) являются эпиморфизмами. Наконец, на-
помним, что
0->ПтЛл->Плл-%Плл->/?>ПтЛл->0>
где ф((аг}) = {«( + (1 — 0)«;+1} (см- [5])- Но qp является
изоморфизмом на полном модуле JJ Лл, так как суще-
ствует обратное отображение
Ы->| 2о(1-0)ЧЦ-
Отсюда lim Лл — R' lim Лл = 0.
п п
Этим завершается доказательство, поскольку (1) инду-
цирует последовательность
0 —> Пт Л/(1 — 0)" Л -> lim Кт (X X 52л-1) -> Пт Вп ->
-> R1 Пт Л/(1 — 0)л А -> R1 Пт Кт (.X X •$2л~'1) ->
-> У?1 lim Вл-> 0,
в то время как из (2) мы получаем
0 lim Вп —> Пт Ап —> lim (1 — 0)л Л
-> У?1 lim Вп -> R1 Пт Лл,
откуда lim Вп — R1 Нт Вп = 0.
Замечание 7.2.6. Построение конфинальной после-
довательности свободных S1-пространств является, конечно,
частным случаем милноровского построения универсальных
Эквивариантная К-теория
205
расслоений [4]. Действительно, последовательность О,
G * G, G *G *G, ... конфинальна в категории свободных
компактных G-пространств, поэтому теорема 7.2.1 полу-
чает следующую эквивалентную формулировку:
(1) ^о(^)-^>1ппГ(^о),
(2) /?1Нт^*(^о) = 0,
п
где Xq = (X X E'£)/G и Eq — G* ... *G (п экземпляров).
Когда X — точка, мы получаем в точности результат Атья.
ЛИТЕРАТУРА
[1] A t i у a h М. F„ Characters and cohomology of finite groups
Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 9 (1961).
[2] Atiyah M. F., Finiteness theorems for compact Lie groups
(в печати).
[3] А т ь я M. Ф., X и р ц е б р у х Ф., Векторные расслоения и
однородные пространства, сб. Математика, 6:2 (1962),
3—39.
[4] Milnor J„ Construction of universal bundles I, II, Ann.
Math., 63 (1956), 272—284, 430—436.
[51 Milnor J., Axiomatic homology theory, Pacific J. Math.,
12 (1962), 337—341.
П. Л-ТЕОРИЯ И ВЕЩЕСТВЕННОСТЬ >)
М. Ф. Атья
Введение
Л’-теория комплексных векторных расслоений [2, 5]
имеет много вариантов и уточнений. Вот некоторые из них:
1. Л’-теория вещественных векторных расслоений, обо-
значаемая через КО.
2. Л’-теория самосопряженных расслоений, обозначаемая
через КС [1] или через KSC [7].
3. Л’-теория векторных G-расслоений над О-простран-
ствами [6], обозначаемая через Л’о.
В этой работе вводится новая Л’-теория, которую мы
будем обозначать KR и которая в некотором смысле
является смесью этих трех. Наше определение оправды-
вается отчасти аналогией с вещественной алгебраической
геометрией и с теорией вещественных эллиптических опе-
раторов. В самом деле, наша ЛЛ-теория удобна при рас-
смотрении проблемы индекса вещественного эллиптического
оператора. С другой стороны, с чисто топологической
точки зрения Л’Л-теория имеет ряд преимуществ, и есть
основания рассматривать ее как первичную теорию, а все
остальные получать из нее. Одна из главных целей этой
работы состоит в том, чтобы получить из Л’Л-теории эле-
гантное доказательство теоремы периодичности для ЛО-тео-
рии, отправляясь по существу от теоремы периодичности
в Л"-теории, доказанной в [3]. Попутно мы естественным
образом сталкиваемся с самосопряженной теорией и раз-
личными точными последовательностями, связывающими
различные теории. Здесь наша работа существенно пере-
секается с диссертацией Андерсона [1], но с нашей новой
точки зрения соотношения между различными теориями
делаются значительно прозрачнее.
’) Atiyah М. F., Л-theory and reality, The Quarterly
Journal of Mathematics, 17, 68 (1966), 367—386.
К-теория и вещественность
207
Недавно Каруби [8] развил абстрактную /(-теорию
в некотором классе категорий с инволюцией. Наша теория
включается в эту абстракцию, но ее частные свойства не
развиты в [8]; не рассматривается там и упрощение
/(О-периодичности.
Определение и элементарные свойства функтора KR
даны в § 1. В § 2 обсуждаются теорема периодичности
и общие когомологические свойства KR. Далее, в § 3,
мы приводим несколько производных теорий: Л7?-теория
с коэффициентами в некоторых пространствах. В конце
этого параграфа доказана теорема периодичности для
/(О-теории. В § 4 мы коротко обсуждаем связь /(/^-теории
с клиффордовыми алгебрами (см. [4]) и, в частности, доказы-
ваем лемму, которая используется в § 3. Значение КR-теории
для изучения топологическими методами вещественных
эллиптических операторов коротко обсуждается в § 5.
Эта работа возникла по существу в результате сов-
местных исследований автора с И. М. Зингером, относя-
щихся к теореме об индексе. Ее отдельная публикация
вызвана тем, что она представляет самостоятельный топо-
логический интерес.
1. Вещественная категория
Под пространством с инволюцией мы понимаем топо-
логическое пространство X и гомеоморфизм т: X —> X
периода 2 (т. е. т2 = id). Инволюция т рассматривается
как часть структуры X и там, где это не может вызвать
недоразумений, часто опускается. В терминах [6] прост-
ранство с инволюцией — это Z2'nP0CTPaHCTB0> гДе Z? —
группа порядка 2. В другой более удобной терминологии
пространство с инволюцией называется вещественным
пространством (по аналогии с алгебраической геометрией).
В самом деле, если X — множество комплексных точек
вещественного алгебраического многообразия, то оно имеет
естественную структуру вещественного пространства в нашем
смысле (инволюция задается комплексным сопряжением).
Заметим, что неподвижные точки этой инволюции — это
как раз вещественные точки многообразия X. В соответ-
ствии с этим примером мы будем часто записывать инво-
люцию х как комплексное сопряжение: х(х) = х.
Под вещественным векторным расслоением над
вещественным пространством X мы понимаем комплексное
208
II. М. Атья
векторное расслоение Е над X, которое также является
вещественным пространством, и
(i) проекция Е-+Х вещественна (т. е. коммути-
рует с инволюциями на Е и X),
(ii) отображение Ех~>Е- антилинейно, т. е. диа-
грамма
СХЕх->Ех
СХЕ-->Е-
в которой вертикальные стрелки означают инволюцию,
а С рассматривается в своей стандартной веществен-
ной структуре (x(z')-z'), коммутативна.
Важно заметить разницу между векторными расслое-
ниями в категории вещественных пространств (в смысле
данного здесь определения) и комплексными векторными
расслоениями в категории £2-пространств. В определении
последних отображение
Ex~->Exl
предполагается комплексно-линейным. С другой стороны,
заметим, что если Е — вещественное векторное расслоение
в категории 22-пространств, то его комплексификация
может быть задана двумя разными способами в зависи-
мости от того, продолжается отображение
Ех Ех (Х)
линейно или антилинейно. В первом случае это будет рас-
слоение в вещественной категории, в то время как во вто-
ром случае — комплексное расслоение в 22-категории.
В неподвижных точках инволюции на X (называемых
также вещественными точками X) инволюция на Е задает
антилинейное отображение
хх: ЕХ->ЕХ,
такое, что хх=1. Это означает, что Ех является в есте-
ственном смысле комплексификацией вещественного век-
торного пространства, а именно собственного подпрост-
ранства преобразования хх, соответствующего собственному
значению -}-1 (точки этого подпространства называются
К-теория и вещественность
209
вещественными точками пространства Ех). В частности,
если инволюция на X тривиальна, то все точки прост-
ранства X являются вещественными, и мы получаем есте-
ственную эквивалентность между категорией (X) веще-
ственных векторных расслоений над X и категорией {X)
вещественных векторных расслоений над вещественным
пространством X ’): достаточно определить отображение
(Х)—>г^~ (X), сопоставив расслоению Е расслоение
Е ®rC (С понимается в естественной вещественной струк-
туре и отображение (X) (X), сопоставив расслое-
нию F расслоение FR (FR — множество вещественных точек
расслоения F). Это оправдывает употребление термина
«вещественное векторное расслоение» в категории вещест-
венных пространств, так как это понятие может рассма-
триваться как естественное распространение понятия веще-
ственного векторного расслоения в категории обычных
пространств.
Если Е — вещественное векторное расслоение над ве-
щественным пространством X, то пространство сечений Г (Е)
представляет собой комплексное векторное пространство
с антилинейной инволюцией: если $£Г(Е), то Г опреде-
ляется равенством
s (х) = $ (х).
Таким образом, Г(Е) наделено структурой вещественного
пространства, т. е. является комплексификацией вещест-
венного векторного пространства Г(E)R.
Если Е, F — вещественные векторные расслоения над
вещественным пространством X, то морфизм <р: E->F
по определению есть гомоморфизм комплексных векторных
расслоений, коммутирующий с инволюциями, т. е.
<р(е) = <р(ф), где е£Е.
Расслоения Е F и Ногпс(Е, F) естественным обра-
зом снабжаются структурами вещественных векторных рас-
слоений. Например, для £ Нотс (Е*, Е^ мы определим
<px 6 Нотс (Е-, F-'j формулой
(«) = <рх (и), где и £ Е-.
) Морфизмы в категории S' (X) будут определены ниже.
14 Зак. 719,
210
II. М. Атья
Ясно, что морфизм <р: Е F есть просто веществен-
ное сечение расслоения Home (Е, F), т. е. элемент из
Г (Home (Е, F))r.
Далее, если X компактно, то точно так же, как это
сделано в [3; § 1], мы выведем гомотопическое свойство
вещественных векторных расслоений. Нужно только за-
метить, что вещественное сечение s над вещественным
подпространством У вещественного пространства X всегда
может быть продолжено до вещественного сечения над X:
достаточно взять любое продолжение t и рассмотреть
сечение (/-ф-/)/2.
Теперь предположим, что X —вещественное алгебраи-
ческое пространство (т. е. множество комплексных точек
вещественного алгебраического многообразия). Тогда, как
мы уже замечали, X является вещественным топологиче-
ским пространством (Araigi—>Xtop). Вещественное алге-
браическое векторное расслоение для наших целей может
быть определено как комплексное алгебраическое вектор-
ное расслоение л: Е—>Х, где X, Е, л и умножение на
скаляр СХ_Е->Е определены над R (т. е. заданы урав-
нениями с вещественными коэффициентами). Переходя
к топологической структуре этих объектов, мы получаем,
что ffop — вещественное векторное расслоение над A\Op.
Рассмотрим как частный пример (га — 1)-мерное ком-
плексное проективное пространство X — Р (С"'). Стандарт-
ное линейное расслоение И над Р(Сп) является веществен-
ным алгебраическим расслоением. В самом деле, Н опре-
деляется точной последовательностью векторных расслоений
0-+Е-+Х'ХСа-+Н-+0,
где ЕсХ/С” состоит из всех пар (z, и)£ХХСп,
таких, что
2 «/*/ = 0.
Так как это уравнение имеет вещественные коэффициенты,
Е—вещественное алгебраическое расслоение. Следова-
тельно, Н — тоже вещественное алгебраическое расслое-
ние. Таким образом, Н — вещественное расслоение над
рещественным пространством Р(Сп).
К-теория и вещественность
211
В качестве другого примера рассмотрим аффинную
квадрику
п
2 г*+1 = о.
Так как это многообразие аффинно, вещественное вектор-
ное расслоение может быть определено проективными
модулями над аффинным кольцом
-\ = R[*,.......*„]/(2 *!+!)
Пересечением этой квадрики с мнимой плоскостью является
сфера
инволюция на которой есть просто симметрия относительно
центра (антиподальная инволюция). Таким образом, проек-
тивный модуль над кольцом А+ определяет вещественное
векторное расслоение над с антиподальной инволю-
цией. Рассмотрим теперь квадрику
2 z2 — 1 = 0.
Ее пересечением с вещественной плоскостью является сфера
с тривиальной инволюцией. Поэтому проективный модуль
над
< = R[+.... *л]/(2^-1)
определяет вещественное векторное расслоение над сфе-
рой S”-1 с тривиальной инволюцией (т. е. вещественное
векторное расслоение в обычном смысле). Значение сферы
в этом примере состоит в том, что это деформационный
ретракт квадрики в нашей категории (т. е. ретракция
сохраняет инволюцию).
Группа Гротендика категории вещественных векторных
расслоений над вещественным пространством X обозна-
чается через KR(X). Ограничиваясь множеством вещест-
венных точек пространства X, мы получаем гомоморфизм
KR (X) -> KR (XR) КО (XR).
14*
212
II. М. Атья
В частном случае X = XR имеем
KR(X)^KO(X).
Взяв, например, X = Р (Сп), мы получаем Ary? = P(R'!)
и в результате имеем гомоморфизм ограничения
KR (Р (Сл)) -> KR (Р (R")) = КО (Р (R")).
Заметим, что образ элемента [/У] при этом гомоморфизме
есть просто стандартное вещественное хопфовское расслое-
ние над P(R”).
Тензорное умножение обычным образом превращает
KR(X) в кольцо.
Игнорируя инволюцию на X, мы получаем естествен-
ный гомоморфизм
с: KR(X)->K (X).
Если X — X R, то это просто комплексификация. С другой
стороны, если Е—комплексное векторное расслоение над X,
то расслоение Е@ХЕ имеет естественную вещественную
структуру, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм
т: /С(Х)->А7?(Х).
Если X = XR, то это просто „овеществление", т. е.
игнорирование комплексной структуры.
2. Теорема периодичности
Обратимся теперь к теореме периодичности в KR-тео-
рии. Мы будем здесь аккуратно следовать доказательству
теоремы периодичности в К-теории, изложенному в [3; § 2],
и отмечать необходимые нам в новой теории модификации.
Если Е — вещественное векторное расслоение над веще-
ственным пространством X, то через Р(Е) мы обозначим
его проективизацию. Очевидно, Р(Е) также в естественном
смысле является вещественным пространством. Более того,
стандартное линейное расслоение Н над Р(Е) является
вещественным линейным расслоением. Теорема периодич-
ности для /(/^-теории состоит в следующем.
Теорема 2.1. Пусть L—вещественное линейное
расслоение над вещественным компактным простран-
ством X, Н — стандартное вещественное линейное
расслоение над вещественным пространством P(L@l).
К-теория и вещественность
213
Тогда KR(P(Лф1)) как КН(Х)-алгебра порождается
элементом [А/] с единственным соотношением
([//] — [И)([^1 [Н]-[1]) = 0.
Прежде всего мы выберем в L метрику, инвариантную
относительно инволюции. Тогда расслоение со слоем еди-
ничная окружность S представляет собой вещественное
пространство. Сечение z пучка л*(L), определенное вло-
жением S—> L, есть вещественное сечение. Следовательно,
такими являются и сечения zk. Изоморфизм
z~\ L~k} [3; (2.5)]
является изоморфизмом вещественных расслоений. Наконец,
мы утверждаем, что если f — вещественное сечение рас-
слоения Нот (л*Е°, л*Ет), то его коэффициенты Фурье ak —
вещественные сечения расслоения Hom (L^ 'RE0, Е '"). Дей-
ствительно,
яй(х) = ай(х) = —J =
s-
(так как инволюция изменяет ориентацию S)
(так как / и z вещественны)
= i / (А • =
= «й (X).
Полезно выяснить, что происходит в вещественной
точке пространства X. Условие вещественности отображе-
ния fx записывается так:
/x(e-'e) = /7W
Отсюда следует вещественность коэффициентов Фурье.
Поскольку процесс линеаризации в [3; § 3] исполь-
зует только ak и zk, все получающиеся там изоморфизмы
являются вещественными.
214
II. М. Атья
Проекторы Q° и Q°° из [3; § 4] также вещественны
при условии вещественности р. В самом деле,
0>^=-2Si-R'4=
S-
х
= ij dPt = i J P?dPx-
sx sx
(так как p вещественно)
Аналогичная выкладка проводится и для оператора Q00.
Следовательно, расслоение Vn(E°, р, Е°°) вещественно
и равенство (4.6) из [3] имеет место и в Л7?-теории.
Осталось совершенно формально применить доказательство,
приведенное в [3; § 5].
Теперь мы можем построить обычную теорию типа
теории когомологий, используя относительные группы и
надстройки. Однако здесь имеется одна важная деталь.
Помимо обычной надстройки, базирующейся на R с три-
виальной инволюцией, мы можем рассматривать также ее
аналог, построенный при помощи R с инволюцией, пере-
водящей х в —х. Часто бывает удобно считать, что
в первом случае мы имеем дело с вещественной осью RcC,
во втором — с мнимой осью z’RczC; где С снабжено стан-
дартной вещественной структурой, индуцированной сопря-
жением. Мы будем использовать следующие обозначения:
/?p’9 = R"e/Rp,
Bp,q—единичный шар в Rp'q,
Sp’ q — единичная сфера в Rp’q.
Заметим, что Rp'р — Ср и что сфера Sp’ 9 имеет размер-
ность р-\-д — 1.
- Относительная группа KR(X, Y) определяется обычным
образом как KR(X/Y), где KR(Z)— ядро отображения,
индуцированного вложением отмеченной точки в Z. По-
ложим далее
KRp,q(X, Y) —KR(X ХВР’q, X%Sp’q (jYXBp’q).
К-теория и вещественность
215
Группа KR 4 определяется по формуле
KR~q = KR*'q.
Так же, как в [2], можно получить точную последова-
тельность для- вещественной пары (X, К):
... -^/(R-\X)->XR~\y)^KR(X, Y)—>
->KR(X)->KR(Y). (2.2)
Аналогично можно получить точную последовательность
вещественной тройки (X, Y, Z). Взяв тройку (Х'ХВР,°,
XXSp’°{jY'XBp’°, XxS1*'0)’ можно получить точную
последовательность
... -+KRP'1(X)-+KRP,\Y)->KRP,(\X, Y)->
-+KRP,(\X)->KRP'O(Y1
для любого целого р 0.
Кольцевое умножение на KR(X) продолжается есте-
ственным образом до внешнего умножения
KRp,q(X, Y)®KRP',<!' (X', /)->
->KRp+p,'4+q' (ХухХ!, X X Y' U Y X х'\
Ограничением на диагональ мы получаем внутреннее
умножение.
Теорему 2.1 можно сформулировать по-другому, так, как
обычно формулируются теоремы периодичности. Положим
е KR1’1 (точка) — KR (В1’1, 51’ ’) = KR (Р (С2) )
и обозначим через р гомоморфизм
KRP'4(X, Y)->KRp+'’qVl(X, Г),
переводящий х в b • х.
Теорема 2.3. Отображение р : KRp’q (X, К)->
->KRP+1’ 7+1 (X, Г) является изоморфизмом.
Заметим также, что точная последовательность веще-
ственной пары согласуется с изоморфизмом периодичности.
Таким образом, если мы положим
KRP{X, Y) = XRP,O(X, Y) при р>0,
216
II. М. Атья
то точная последовательность (2.2) для (X, Y) может быть
сделана бесконечной в обе стороны. Более того, имеет
место естественный изоморфизм KRP' 4 — KRP~4-
Рассмотрим общую теорему об изоморфизме Тома в том
виде, как она доказана в К-теории [2; § 2.7]. Напомним,
что основные этапы доказательства состоят в следующем:
(i) для линейных расслоений мы используем теорему 2.1;
(ii) для разложимых векторных расслоений мы рас-
суждаем по индукции, используя теорему 2.1;
(iii) для общего векторного расслоения мы используем
принцип расщепления.
Внимательное изучение доказательства, приведенного
в [2; § 2.7], показывает, что единственное место в этом
доказательстве, требующее для случая /С/?-теории суще-
ственной модификации, — это утверждение, что векторное
расслоение локально тривиально и, следовательно, локально
разложимо. Но вещественное векторное расслоение опре-
делялось нами как векторное расслоение с вещественной
структурой. Таким образом, оно локально тривиально как
расслоение в категории обычных пространств. А нам нужно
показать, что оно локально тривиально также в катего-
рии вещественных пространств. Для того чтобы сделать
это, мы должны рассмотреть два случая.
(i) х £ X —вещественная точка. Тогда — С” в нашей
категории. Отсюда, согласно лемме о продолжении, суще-
ствует вещественная окрестность U точки х, такая, что
Д ф ~ 67 У Сд в рассматриваемой категории.
(ii) х±х. Рассмотрим комплексный изоморфизм АфО-С".
Он индуцирует комплексный изоморфизм В- = СЛ. Отсюда
мы получаем вещественный изоморфизм
Е ф Y X С",
где Y = [х, х]. По лемме о продолжении существует
вещественная окрестность U множества Y, такая, что
E\u = U'XCn.
Таким образом, справедлива
Теорема 2.4 (Теорема об изоморфизме Тома.) Пусть
Е — вещественное векторное расслоение над компакт-
ным пространством X. Тогда отображение
KR{X)->KR{XE)
К-теория и вещественность
217
является изоморфизмом. Здесь <р(х) = КЕх, где кЕ—эле-
мент кольца KR(XE), определенный внешней алгеброй
расслоения Е.
Среди других результатов, которые автоматически
переносятся из [2; § 2.7], мы отметим следующий:
KR (X X Р (Ся)) = KR (X) [t]l(tn — 1)
^ОХ)&/Г(Р(СЯ)).
Вычисление функтора KR для грассманианов и много-
образий флагов мы оставляем читателю в качестве упраж-
нения. Более интересной задачей является вычисление KR
для квадрик, так как здесь ответ будет зависеть от
сигнатуры квадратичной формы.
В заключение приведем следующее замечание. Рас-
смотрим вложение
R0’1 = R -U С = R1' \
Оно индуцирует гомоморфизм
KR1’1 (точка) l* > KR°’1 (точка)
_ II _ II
KR(P (С2)) —>A7?(P(R2))
Так как /*[Я]—вещественное хопфовское расслоение над
/’(R2), то т] = I*(Ь) = /*( [77]—1) есть приведенное хоп-
фовское расслоение над /’(R2).
3. Коэффициентные теории
Если Y — фиксированное вещественное пространство,
то функтор Х\—>KR(X'XY) определяет новую теорию
когомологий в категории вещественных пространств, кото-
рая может быть названа KR-теорией с коэффициентами
в Y. Мы будем рассматривать в качестве Y сферы Sp' °,
т. е. сферы с антиподальной инволюцией. Будем говорить,
что теория F имеет период q, если имеет место естествен-
ный изоморфизм F — Р~ч
Предложение 3.1. KR-теория с коэффициентами
в Sp’0 имеет период
2, если р = 1,
4, если р — 2,
8, если р = 4.
218
IL M. Атья
Доказательство. Рассмотрим Rp как одну из трех
алгебр R, С или Н (р~~ 1, 2 или 4). Тогда для любого
вещественного пространства X отображение
цр: XXSP’OXRO'P-+XXSP’OXRP'°,
заданное формулой ]ip(x, s, и) = (х, s, su), где su— про-
изведение в соответствующей алгебре, является веществен-
ным изоморфизмом. Следовательно, оно индуцирует изо-
морфизм
= KRP- ° (X X Sp’ °) -> KR0’ р (X X sp' °).
Заменяя X соответствующей надстройкой, мы получаем
изоморфизм
р* = KRP’« (X X Sp’ °) -> KR°’ p+q (X X Sp’ °).
Полагая q = p и используя изоморфизм
р": KR->KRn’p,
существующий согласно теореме 2.1, мы получаем наконец
изоморфизм
: KR {X X Sp’ °) -> KR0’2p (X X Sp’ °)
KR~2P(XXSP'°')
Замечание. Очевидно, что p.*— гомоморфизм
KR (Л")-модулей. Так как то же самое верно и для р,
то изоморфизм периодичности
Ъ = И;₽р: KR (X X Sp’ °) KR~2p(X X Sp’ °)
есть умножение на образ ср элемента 1 при изоморфизме
KR(Sp'°)-> KR~2p (Sp'°)-
Этот элемент задается формулой
== Yp (1) = Нр где 1 £ KR (Sp> °).
Для любого вещественного пространства Y проекция
XX Y—> X порождает точную последовательность, связы-
вающую KR и KR с коэффициентами в Y. Если Y — сфера,
мы получаем последовательность типа Гизина.
К-теория и вещественность
219
Предложение 3.2. Проекция л: 0-> точка ин-
дуцирует следующую точную последовательность:
. .. ^XRp~q(.X)^KR^q (Х)^
->KX’Uxsf',0)--> • • ••
где х есть умножение на (—т])р, т] £ АХ-1(точка)~
~A/?(P(R2))— приведенное вещественное хопфовское
расслоение.
Доказательство. Заменим л эквивалентным вло-
жением SP,Q -+ВР,°. Тогда относительная группа есть
KRp,q(X). Для того чтобы вычислить у^, мы используем
следующую коммутативную диаграмму:
KRr>' ?(Х)^-> KR0,q(X)
к к
KR2p, p+q _Х^ KRp, p+q
Пусть 0 — автоморфизм группы KR2”’ p+q (А-), получаю-
щийся в результате перестановки двух сомножителей Rp> °.
Тогда композиция представляет собой умножение на
образ элемента Ьр при гомоморфизме
KRP’ р (точка) —> KR0, р (точка).
Но это как раз Т]р. Остается только вычислить 0. Рас-
суждение, аналогичное использованному в [2; § 2.4], пока-
зывает, что 0 = (—1)р — (—1)р.
Теперь рассмотрим каждую из теорий предложения (3.1)
более детально. Для р = 1 сфера Sp’ 0 представляет собой
просто пару сопряженных точек 1, — 1}. Вещественное
векторное расслоение Е над X X {+1, —1} вполне опре-
деляется своим ограничением на X X {+4 — комплексным
векторным расслоением Е+. Отсюда мы получаем
Предложение 3.3. Имеет место естественный
изоморфизм
KR(XXS'’°)^K(X).
220
II. М. А т ь я
Заметим, что этот изоморфизм не зависит от вещест-
венной структуры на X, а вполне определяется самим
пространством. Предложение 3.1 дает период 2; это со-
гласуется с тем, что мы уже знаем о X (Л-). Точная по-
следовательность из предложения 3.2 принимает вид
.. . ->Оw (X) KR~9 (X) К"9 (X) —6->
->О2'7(Х)-> .... (3.4)
где % — умножение на — т], а л* = с — комплексификация.
„Опознавание” д мы оставляем читателю в качестве упраж-
нения. Эта точная последовательность хорошо известна
(когда инволюция на X тривиальна), но она обычно извле-
кается из теоремы периодичности для ортогональной
группы. Мы получили ее из других соображений и могли бы
использовать (3.4) при доказательстве ортогональной перио-
дичности. Но еще легче получить эту периодичность из
случая р = 4 в предложении 3.1, что и будет сделано ниже.
Рассмотрим теперь случай р = 2 в предложении 3.1.
Согласно этому предложению, группы КЦ ^^Х X S2’ °)
периодичны с периодом 4. Мы предлагаем отождествить
эту теорию с самосопряженной теорией. Если X—вещест-
венное пространство с инволюцией т, то под самосопря-
женным расслоением над X мы будем понимать комплекс-
ное векторное расслоение Е с заданным изоморфизмом
а: Е—>х*Е. Теперь рассмотрим пространство X X S2’0
и разобьем окружность 5 на две половины с>+ и о 2
с пересечением (-|-1, —1). Ясно, что задать веществен-
ное векторное расслоение Е над X X S2’ 0 — это то же
самое, что задать комплексное векторное расслоение Е+
над X X -$+ ° (ограничение F) и изоморфизм
Ф: ^IxxUD 1хх{~1})-
К-теория и вещественность
221
Но X X {-Ь1} есть деформационный ретракт простран-
ства X X >$+ °, и поэтому (ср. [3; (2.3)]) мы имеем изо-
морфизм
0: F+ 1агх{-1} кх{+1}’
единственный с точностью до гомотопии. Таким образом,
задание изоморфизма qp эквивалентно с точностью до гомо-
топии заданию изоморфизма
а: Е->-г*Е,
где Е — расслоение над X, индуцированное расслоением
над F+ при отображении, переводящем х в (х, 1), и
= и-
Иными словами, классы изоморфных вещественных рас-
слоений над X X S2’ ° взаимно однозначно соответ-
ствуют гомотопическим классам самосопряженных
расслоений над X. Более того, это соответствие, оче-
видно, перестановочно с тензорным произведением. Пусть
KSC (X) обозначает группу Гротендика гомотопических
классов самосопряженных расслоений над X. Если ин-
волюция т тривиальна, то это соответствие согласуется
с определениями, данными в [1] и [7]. Мы доказали,
таким образом,
Предложение 3.5. Имеет место естественный
изоморфизм колец
KSC (X) > KR (X X S2' °).
Точная последовательность предложения 3.2 при р=2
превращается в точную последовательность
... ->X/?2-*(ХН>KR~9(X) KSC~q(X)-U
—6->ХХ3-?(Х)-> ..., (3.6)
где х — умножение на т)2, а л*—отображение, сопоставляю-
щее каждому вещественному расслоению ассоциированное
самосопряженное расслоение (т. е. а = т). Периодичность
в ХЗС-теории задается умножением на образующую группы
К8С~* (точка).
Наконец, мы переходим к случаю р = 4. Нам потре-
буется следующая ’
222
II. М. Атья
Лемма 3.7. Пусть т] '(точка) — элемент,
определенный в § 2. Тогда г]3 = 0.
Доказательство. Напомним [4; § 11], что суще-
ствует гомоморфизм ak: Ak-*KR~k (точка), где Ak—группы,
определяемые с помощью алгебр Клиффорда. Тогда г]—
образ образующей группы Аг Z2 и Л3 = 0. Так как
гомоморфизмы ай мультипликативны [4; § 11.4], то р3=0.
Следствие 3.8. Для любого р'Д>3 имеет место
поротная точная последовательность
Q—>KR~q(.X)— ->iKR-q(X X Sp' (X)_>0.
Доказательство. Это следует из (3.7) и (3.2).
Из замечания, сделанного после доказательства пред-
ложения 3.1, вытекает, что периодичность для KR^Xy^S4’ °)
задается умножением на элемент
C4=P4(^l)e^“8(S4’0).
Теперь напомним, что [4; табл. 2] X8~Z порождается
элементом X, представляющим один из неприводимых
градуированных модулей над алгеброй Клиффорда С8.
Применяя гомоморфизм
а: Л8-> КТ?-8(точка),
мы получаем элемент а(Х)£Л7?~8 (точка). Связь между с4
и а (Z) описывается следующей леммой.
Лемма 3.9. Пусть lgKR(S4,0)- Тогда
с4 = а(Х)1 EX/r8(S4>0).
Доказательство леммы 3.9 требует тонких рассужде-
ний, связанных с алгебрами Клиффорда, и поэтому будет
проведено только в § 4, где алгебры Клиффорда обсужда-
ются более детально.
~ Используя 3.9, мы можем теперь доказать следующую
теорему.
Теорема 3.10. Пусть X £ А8, a(Z)£KR~& (точка)—
те же, что и выше. Тогда умножение на а(Х) индуци-
рует изоморфизм
KR (X)->KR-S(X).
К-теория и вещественность
223
Доказательство. Умножая точную последователь-
ность из 3.8 на a(Z), мы получаем коммутативную диа-
грамму точных последовательностей
0->^“9(АГ) -> ЛТП/Х-^’Н О5-,?(Х)->0
V V V
О -> KR~9~S (X) -> KR~9~S (X X S4’ °) -> KR~3~q (X) -> О
Из леммы 3.9 мы знаем, что ф совпадает с изомор-
физмом периодичности у4. Следовательно, <р_? является
мономорфизмом для всех q. Отсюда qp5_? в диаграмме
является мономорфизмом, и это вместе с тем фактом,
что ф_?—изоморфизм, доказывает, что <р_?—эпиморфизм.
Таким образом, <р_? — изоморфизм, что и требовалось.
Замечание. Если инволюция на X тривиальна, то
KR (X) КО (X), и доказанная нами теорема превра-
щается в обычную „теорему вещественной периодичности".
Рассматривая различные вложения S9’ мы
получаем интересные точные последовательности. Для описа-
ния входящих в них относительных групп нам потребуется
следующая
Лемма 3.11. Вещественное пространство Sp,0/S9’0
(с отмеченной точкой) изоморфно пространству
$Р-Я, о х $g,o
Доказательство. Разность Sp' 0 \ S9, 0 изоморфна
Sp~9, о х рв. о Компактифицируя эту разность, мы получаем
нужное утверждение.
Следствие 3.12. Имеет место естественный
изоморфизм
KR (X X Sp’ °, X X S9’ °) KR0’9 (X X $Р~9’ °)-
Принимая во внимание 3.8, мы видим, что интерес
представляют только малые значения р и q. Особенно
интересен случай р = 2, q—1. Он дает точную последо-
вательность (ср. [1])
... -»K~1(X)->KSC(X)-+K(X)->K(X)-> ... . (3.13)
224
//. М. Атья
Точная последовательность из 3.8 на самом деле кано-
нически расщепляется, так что (при р 3)
KR'q(X X Sp' °) KR~q (X)@KRp+l~q (X). (3.14)
Для того чтобы доказать это, достаточно рассмотреть
случай /? = 3, потому что общий случай будет следовать
из коммутативной диаграммы (р 4)
О ->KR (X)-+KR (х X SP' °)
I I
О -> KR (X) -> KR (X X S3, °)
получающейся при ограничении c Sp’0 на S3’ °. Далее, S3’0 есть
двумерная сфера с антиподальной инволюцией. Она может
2
быть представлена как конус S z? = 0 в Р (С3). В § 5
/=о
мы сформулируем (без доказательства) общее предложение,
из которого будет вытекать, что если У— квадрика, то
отображение
KR(X)-^KR(XXY)
имеет каноническое левое обратное. Тем самым доказана
формула (3.14).
4. Связь с клиффордовыми алгебрами
Пусть Cliff (Rp' *) означает алгебру Клиффорда (над R)
квадратичной формы
/ р ч \
— 5^+5^)
V-1 / = 1 Ч
на Rp’ q. Инволюция (у, х) ь—> (— у, х) на Rp’ 4 индуцирует
инволютивный автоморфизм клиффордовой алгебры
Cliff (/?А q), обозначаемый a t—> а!).
Пусть Af = Af°®AfI — комплексный 22-градуирован-
ный Cliff (RPl ?)-модуль. Мы будем говорить, что М— вй-
щественный 22-градуированный Cliff (Rp' ^-модуль, если 714
*) Это обозначение отличается от обозначений [4; § 1], где
эта инволюция (для q = 0) обозначена через а, а .черта” сохра-
нена для обозначения антиавтоморфизма.
К-теория и вещественность
225
имеет вещественную структуру (т. е. существует антили-
нейная инволюция такую, что
(i) 22-градуировка согласуется с вещественной струк-
турой, т. е.
М1=М1 (1 = 0, 1),
(ii) am = am для любых а £ Cliff (/??’ 9 и m £ М.
Заметим, что если р = 0, то инволюция на Cliff
тривиальна и
MR = MR@MR={m£M\m = m}
представляет собой вещественный 22-градуированный модуль
над этой клифордовой алгеброй в обычном смысле (С?-мо-
дуль в обозначениях [4]).
Основная конструкция, использованная в [4], проходит
в этой новой ситуации. Таким образом, вещественный
градуированный Cliff (_RP' ?)-модуль Л4=Л10ф/И1 опре-
деляет тройку (Л4°, М1, о), где о: Sp' 9 X М° —>SP' 4 у( 7И1—
вещественный изоморфизм, заданный формулой
o(s, m) = (s, sm).
Таким способом мы получаем гомоморфизм
й: М(р, q)^>KRp’9(точка),
где М(р, q) — группа Гротендика вещественных градуи-
рованных Cliff (Rp’ ^-модулей. Если /И—ограничение неко-
торого Cliff (,RP' я+ ^-модуля, то а можно продолжить
на S'"' 9+1. Так как проекция
есть изоморфизм вещественных пространств (здесь S+
означает верхнюю полусферу по отношению к последней
координате), то М определяет нулевой элемент группы
Krp> ч (точка). Следовательно, определяя А(р, q) как
коядро ограничения
М(р, q-\- \)^-М(р, q),
мы видим, что h индуцирует гомоморфизм
а: А(р, q) -> КRp’ 4(точка).
15 Зак. 719.
226
II. М. Атья
Более того, как и в [4], гомоморфизм а мультипликативен.
Заметим, что для р = 0 это а по существу совпадает
с тем, которое определялось в [4], так как
Л (0, q)^Ag,
KR0, 9 (точка) КО"4 (точка).
Внешняя алгебра Л* (С1) определяет естественным обра-
зом Cliff (У?1, ^-модуль:
z(\} — ze, z(e) = — zl,
где 1 ^Л^С1) и е^Л^С1) — образующие. Пусть Aj £
£ А (1, 1)—элемент, определенный этим модулем. Вспомнив
определение элемента b £ KR^'(точка), мы видим, что
а(к1') = — д
и, следовательно, в силу мультипликативности а
a(rf) = b4.
Пусть М — градуированный Cliff (У?4,4)-модуль, предста-
вляющий X4 (на самом деле, как показано в [4; § 11], мы
можем построить М из внешней алгебры Л*(С4)), и пусть
w = e1e2e3e4^ Cliff (У?4,4), где е2, ег, е4 — стандартный
базис пространства У?4,0. Мы имеем
W2 = 1, W = W,
•wz — zw при z £ С4 — У?4’4.
Следовательно, мы можем определить новую антилинейную
инволюцию т\—>т на М, полагая
т = — <wm,
и при этом получим
zm = — wzm = — wzm — — zwm — zm.
Таким образом, M. с этой новой инволюцией (или веще-
ственной структурой) представляет собой вещественный
градуированный Cliff (У?0,8)-модуль, С8-модуль в обозна-
чениях [4]. Обозначим его через N. Из соображений раз-
мерности (см. [4; табл. 2]) мы видим, что это должен
К-теория и вещественность
227
быть один из неприводимых С8-модулей. Но после ком-
плексификации (т. е. „забывания" вещественной структуры)
он совпадает с М. Значит, /V — тот элемент из А3, кото-
рый в [4] обозначен через X.
Теперь мы можем приступить к доказательству
леммы 3.9. Мы должны доказать, что при отображении
Л44: S4-oXR& * 8->S4,oXC4
элемент Л7?4’4 (S4, °), определяемый модулем М, переходит
в элемент из 8 (фГ4’ °), определяемый модулем N. Ясно,
что для этого достаточно выписать коммутативную диа-
грамму вещественных изоморфизмов
S410XR8X^-i>54’0XC4X м
I I (4.1)
S4, ° х R8 X N -Л S4, ° х с4 X М.
где1? перестановочно с ц4 (т. е. v(s, х, у, n)=(s, x-\-lsy, m)
для некоторого m) и где вертикальные стрелки—отобра-
жения, определяющие структуру модуля, т. е. ($, х, у п)н->
>->($, X, у, (х, у)п).
Рассмотрим теперь алгебру Cliff (/?4, °) = С4. Четная
часть С° изоморфна НфН [4; табл. 1]. Более того, ее
центр порожден элементами 1 и w=e1^2^3^4, две проекции—
соответственно -g-(l ± w). Определим вложение
I: Н —> Cliff0 (/?4, °),
полагая
& (0 = *1е2>
I (?) == ^з.
£ (*) = е1е4-
Тогда мы сможем определить вложение
т]: 5 (Н) -> Spin (4) с: Г4,
228
II. М. Атья
положив т] (s) = £ (s) -1- (1 — w), где Г4—группа Клиф-
форда [4; 3.1], a 5(H) обозначает множество кватернио-
нов нормы 1. Можно проверить, что композиция
5 (Н)-> Spin (4)-> 50 (4)
определяет естественное действие группы 5 (Н) на R4 = Н,
задаваемое умножением слева1). Другими словами,
n(s)y(n(s))“1 = sy- где з£5(Н), y£R4. (4.2)
Если мы определим на 5(H) антиподальную инволюцию,
то т] не будет коммутировать с инволюцией, поскольку
инволюция на четной части тривиальна.
Рассматривая алгебру Cliff (R4’ °) как вложенную есте-
ственным образом в алгебру Cliff (/?4> 4), мы определим
требуемое отображение v формулой
v(s, х, у, — хЦ-isy, rj(s)n).
Из определения элемента w следует, что
т] (s) w — — Т) (— з)
и что
т] (— s) п — т] (— s) {— тт} — т] (s) п = т] (з) п.
Тем самым показано, что v — вещественное отображение.
Из равенства (4.2) вытекает, что
q(з) (х, у) п = (х Д- /зу) т] (s) п.
Таким образом, v согласуется со структурой модуля. Итак,
мы установили существование диаграммы (4.1) и этим за-
вершили доказательство леммы 3.9.
Определения М(р, q) и А(р, q) были естественными
с нашей настоящей точки зрения. Однако полезно указать,
чему они соответствуют в более конкретных и классиче-
ских терминах. Заметим для этого, что если М — веще-
ственный Cliff (/?р’^-модуль, то мы можем определить
новое действие [ ] группы Rp+q на М, положив
[х, у\т = хт-\-1ут.
*) Мы отождествляем 1, I, j, k со стандартным базисом ех,
е2, «з. еь (в этом порядке). (
К-теория и вещественность
229
Тогда
[х, у]2т={—1| х И2+|| УII2) «•
Более того, для инволюций мы имеем
[х, у] m — xm + iym =
(так как у =— у)
= xm + 1ут =
= [х, у]т.
Таким образом, MR — вещественный модуль в обычном
смысле для клиффордовой алгебры Ср квадратичной
формы
Р я
Q(p< у?— S *}
<-1 /_1 1
Легко видеть, что процесс обратим. Таким образом, мо-
дуль Al (р, q) может быть равным образом опреде-
лен как группа Гротендика вещественных градуиро-
ванных Ср> 9-модулей. Отсюда нетрудно подсчитать
группы из [4; § 4.5] и заметить, что они зависят
только от разности р — #(mod8) (ср. также [8]). Исполь-
зуя результаты работы [4; 11.4], можно вывести, что
а: А(р, q)->KRp' ’(точка)
всегда является изоморфизмом. Мы предоставляем чита-
телю провести рассуждения во всех подробностях. По-види-
мому, следует заметить, что использование двойных индек-
сов в наших обозначениях предложено Наруби [8].
Отображение а может быть определено в более общей
ситуации для главных спинорных расслоений, как в ра-
боте [4]. При этом получается теорема об изоморфизме
Тома для спинорных расслоений (ср. [4; 12.3]).
5. Связь с проблемой индекса
Обозначим через ф преобразование Фурье функции ф.
Мы имеем
ф(х) = ф(—х).
Так как символ о(Р) эллиптического дифференциального
оператора Р определяется через преобразование Фурье ]9],
230
II. M. Атья
то отсюда следует, что
о(Р)(х, £) = а(Р)(х, - У.
где Р — оператор, определенный равенством
Ру = P(f>.
Мы предполагаем при этом, что Р действует на функциях
таким образом, что правая часть Ар определена. Вообще
если X — вещественное дифференцируемое многообра-
зие, т. е. дифференцируемое многообразие с гладкой ин-
волюцией Xi—> х, и если Е, F—вещественные дифферен-
цируемые векторные расслоения над X, то пространства
Г (В), Г (А) гладких сечений имеют вещественную струк-
туру, и для любого линейного оператора
Р-. Г (£)-> Г (А)
мы можем определить Р: Г (Е) —> Г (F), положив
Ру = Ру.
Если Р — эллиптический оператор, то
о (Р) (х, £) = о(Р)(х, -т*(У). (5.1)
Естественно назвать Р вещественным оператором, если
р~р. Если инволюция на X тривиальна, то это просто
означает, что Р — дифференциальный оператор с вещест-
венными коэффициентами по отношению к вещественным
локальным базисам расслоений Е, F. Во всяком случае, из
(5.1) следует, что символ о(Р) вещественного эллиптиче-
ского оператора определяет изоморфизм вещественных
векторных расслоений
л*Е->л*А,
где л: S (X) ->Х — проекция кокасательного расслоения
со слоем сфера, и инволюция на S (X) определена фор-
мулой
(х, У^(х, -т*(У).
Заметим, что если т — тождественная инволюция на X, то
инволюция на 5 (X) не тождественна, а антиподальна на
К-теория и вещественность
231
каждом слое. В этом состоит основная причина, по кото-
рой наша Л7?-теория здесь необходима, В самом деле,
тройка
tfE, a*F, а(Р))
определяет обычным образом элемент
[о(Р)]6/П?(В(?0, 8(Х)),
где В(Х)— кокасательное расслоение со слоем единичный
шар — имеет индуцированную вещественную структуру *).
Ядро и коядро вещественного эллиптического опера-
тора имеют естественную вещественную структуру. Таким
образом, индекс в естественном смысле является элементом
группы KR (точка). Разумеется, поскольку отображение
KR (точка) —> К (точка)
является изоморфизмом, введение специально веществен-
ного индекса не дает никаких немедленных преимуществ.
Однако ситуация изменится, если мы рассмотрим семей-
ство вещественных эллиптических операторов, зависящих
как от параметра от точки некоторого пространства К.
В этом случае вещественный индекс может быть определен
как элемент группы KR(Y) и отображение
KR(Y)^K(Y)
уже не является, вообще говоря, инъективным.
Все эти рассуждения допускают естественное обобще-
ние на вещественные эллиптические комплексы [9]. В част-
ности, представляет интерес комплекс Дольбо на вещест-
венном алгебраическом многообразии. Это вещественный
эллиптический комплекс, потому что голоморфное отобра-
жение т: X-> X преобразует комплекс Дольбо много-
образия X в комплекс Дольбо многообразия X. Если X
таково, что Нч (X, ®) = 0 при ?^>1и Н°(Х-, ©) = С, то
индекс, или эйлерова характеристика, комплекса Дольбо
равняется 1. Основываясь на этом, можно получить такой
результат:
’) Все это, конечно, распространяется на случай интеграль-
ных (или псевдодифференциальных операторов).
232
II. М. Атья
Предложение. Пусть f: X —> Y — расслоение на
вещественные алгебраические многообразия, где слой F
таков, что
H9(F;©) = 0 при <?>1 и H°(F; ©)=С.
Тогда существует гомоморфизм
f*. KR{X)-> KR(Y),
который является левым обратным для
f*: KR(Y)-+KR(X).
Мы не можем поместить здесь доказательство; отме-
тим лишь частный случай этого предложения, когда
X = Y X F, где F— компактное однородное пространство
вещественной алгебраической линейной группы. Например,
мы можем считать, что F — комплексная квадрика, как
это требуется для доказательства формулы (3.14). Мы можем
также положить F = SO (2n)jU (п) или F = SO (2п)[Тп —
многообразие флагов группы SO (2п). Эти пространства
можно использовать для установления принципа расщепле-
ния для ортогональных расслоений. Важно заметить, что
вещественное пространство
(SO (2л)/О (n)) X ^°’2я
имеет структуру вещественного векторного расслоения.
Точка пространства S0(2n)/O(n) определяет комплексную
структуру на R2", а сопряженные точки определяют сопря-
женные структуры. Для п = 2 это по существу то же
самое1), что мы использовали в § 3 для вывода ортого-
нальной периодичности из теоремы 2.1.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Anderson D. W., Thesis (не опубликовано).
J2] Атья М., Лекции по К-теории (стр. 7—130 настоящей
книги).
[3] Atiyah М. F., Bott R., On the periodicity theorem for
complex vector bundles, Acta Math., 112 (1964), 229—247.
') В 3.1 мы использовали трехмерную сферу S4, °. Мы
могли бы с таким же успехом использовать сферу S3’° =
= SO (4)/t7 (2).
К-теория и вещественность
233
[4] Atiyah М, F., В о 11 R., S h а р 1 г о A., Clifford modules,
Topology, 3 (1964), 3—38.
[5] Atiyah M. F., Hlrzebruch F., Vector bundles and ho-
mogeneous spaces, Proc. Symp. in Pure Math., v. 3, Amer.
Math. Soc. (1961). (Перевод в сб. Математика, 6 : 2 (1962),
3—39.)
[6] Атья М., Сегал Г., Эквивариантная А-теория (стр.
131—205 настоящей книги).
[7] Green Р. S., A cohomology theory based upon self-conju-
gacies of complex vector bundles, Bull. Amer. Math. Soc.,
70 (1964), 522.
[8] К a г о u b i M., Thesis (не опубликовано).
[9] Palais R., The Atiyah — Singer index theorem, Ann. of
Math. Study, 57 (1965).
III. О К-ТЕОРИИ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 1)
М. Атья
Цель этой заметки — дать другое доказательство не-
давнего результата Л. Ходжкина о структуре K*(G), где
К*—функтор, введенный в работе [2] * 2), a Q — односвяз-
ная компактная группа Ли.
Напомним, что для любого (компактного) простран-
ства X по определению К*(Л’) = К°(Л’)ф№(Л’), где
К0 (%)— группа Гротендика комплексных векторных рас-
слоений над X, а К1 (X) определяется с помощью расслое-
ний над надстройкой над X, или, эквивалентно, с помощью
гомотопических классов отображений пространства X
в унитарную группу U (п) (для достаточно большого п).
При этом К*(Х) является 72-градуированным кольцом.
Если мы будем рассматривать представление р: Q —> U (п)
просто как непрерывное отображение, мы получим эле-
мент из KX{G), который обозначим Р(р). Напомним теперь,
что группа О имеет I базисных представлений рр .... рг.
Старшие веса этих представлений Лр .... образуют
базис в группе Т, двойственной к максимальному тору Т
в G. Теорема Ходжкина утверждает, что К* (G) является
внешней алгеброй, порожденной элементами р (р1), . .., р (р;).
На самом деле это утверждение распадается на две части:
(A) A*(G) не имеет кручений,
(В) K*(G) по модулю кручений является внешней ал-
геброй, порожденной образами элементов Р(рО.......р (рг).
В этой заметке мы дадим короткое доказательство
^асти (В). Схема наших рассуждений следующая.
1. Используя теорему Римана — Роха для дифферен-
цируемых многообразий, мы показываем, каким образом
>) Atiyah М. F., On the А-theory of compact Lie groups,
Topology, 4 (1965), 95—99.
2) См. также стр. 64 этой книги. — Прим. перев.
О К-теории компактных групп Ли
235
утверждение (В) выводится из когомологических вычисле-
ний (предложение 1) с характерами Чжэня на О.
2. Рассматривая естественное отображение
л: Q/Т XT —> О,
мы переносим когомологические вычисления с группы G на
более удобное пространство G/T X Т. Для этого нужно ис-
следовать отображение л*: К* (G) -> К* (G/T X Т) (лемма 2).
3. Наконец, мы выводим требуемую когомологическую
формулу на K*(GfT'xiT) из чисто алгебраической фор-
мулы, касающейся характеров представлений рр .... pz
(лемма 3).
Эти три этапа доказательства выполнены соответственно
в сотрудничестве с Ф. Хирцебрухом, Д. В. Андерсоном
и Б. Костантом; с удовольствием выражаю им свою бла-
годарность.
Итак, мы начнем с того, что покажем, как вывести
утверждение (В) из следующего предложения.
i
Предложение 1. Пусть а = Ц 0(pz) £fC(G). Тогда
I “ 1
cha[G] = l, где ch а [О] — значение характера Чжэня
элемента а на фундаментальном классе гомологий
группы G (при подходящем выборе ориентации).
Пусть A = /C*(G)/Tors К* (О), так что А—свободная
абелева группа. Поскольку H*(G, Q), как хорошо изве-
стно, является внешней алгеброй с I образующими и по-
скольку характер Чжэня является изоморфизмом над Q,
мы получаем
rank А = rank Н*(G, Q)—2Z.
Пусть теперь А — А(ех.....et)—внешняя алгебра с обра-
зующими ех, .... ех, определим гомоморфизм /: Л—>А,
полагая
j (А/) = Р (ft) mod Tors К* (G).
Тогда из предложения 1 следует, в частности, что а =# О,
и, таким образом, j — мономорфизм. С другой стороны,
так как
rank Л — 2l — rank А,
мы заключаем, что J(Л) имеет конечный индекс в А.
Заметим теперь, что, поскольку группа G параллелизуема,
16*
236
III. M. Атья
мы получаем в качестве весьма частного случая теоремы
[2; 3.1] гомоморфизм
/1: /T(O)->Z,
такой, что f\X = ch х [О] для x£K*(G).
Следовательно, мы можем определить гомоморфизм
k: A->Homz(A, Z),
полагая k (х) у — f\ (xj (у)). Предложение 1 показывает
теперь, что композиция
kJ: A->Homz(A, Z)
является изоморфизмом. Значит, у (Л)— прямое слагаемое
в А. Это слагаемое имеет конечный индекс, поэтому
J (Л) = А, и, следовательно, отображение у: Л -> А является
изоморфизмом, что и утверждается в (В).
Для доказательства предложения 1 используем отобра-
жение
л:
заданное формулой n(gT, и) = gttg~'. Степень отобра-
жения л равна порядку | W | группы Вейля W группы G.
Значит, предложение 1 будет доказано, если мы покажем,
что
chn*(fl)[G/7’X^] = | ^1- (1)
Исследуем теперь гомоморфизм л*: К* (Q)~+K* (С^ТуСТ").
Заметим, что, так как группа К*(Т) не имеет кручений,
формула Кюннета [1] позволяет отождествить К* (G/T%T)
с K*{GjT)®K*(T).
Лемма 2. Пусть р — представление группы G с ве-
сами pj, .... р„. Тогда
л*р (р) = 2 а (ру) ® р (ру),
/-1
где а (р;) £ К0 (G/Т), р (р;) £ К1 (Т) — элементы, опреде-
ленные отображениями р?-: Т ->/7(1).
Отложим на время доказательство леммы 2 и перей-
дем к заключительной, чисто алгебраической части наших
рассуждений. Для этого введем еще несколько обозначе-
О К-теории компактных групп Ли
237
ний. Пусть R(T)— целочисленное групповое кольцо
группы Т, так что в обозначениях леммы 2 мы получаем
гомоморфизм
a: R(T)->K0(G/T).
Пусть А £ R (Т) — элемент, заданный формулой
A— S sgn (w)w (g),
где ’) g = IJ лг. Следующая формула элементарна и
хорошо известна [3; 20.1]:
ch а (А) [G/Г] = | Г|. (2)
По существу она означает, что эйлерова характеристика
пространства G/Т равна | W |. Заметим теперь, что так
как Z].....Лг образуют базис в Т, то К*(Т) является
внешней алгеброй, порожденной р (XJ......р(Гг). Следо-
вательно, полагая b = JJ р [Xz], мы получаем
chZ>[7']=l. (3)
Следующая наша лемма может быть сформулирована так:
Лемма 3. Пусть — веса представления рг. Тогда
i
П (2 Ч ® ₽ <Ч>)=д ®ь 6 я (О ® (О-
Отложив на время доказательство этой леммы, пока-
жем сначала, как из лемм 2 и 3 следует формула (1).
Мы имеем
i i
л'а = Ц (Р/) = П (2 « ® ₽ &ij)) «
(по лемме 2)
/
= (а ® 1) П (2 Ч ® Р = (а ® О • А ® b =
(по лемме 3)
= а (А) ® b
') Функция g2 совпадает с произведением положительных
корней группы G (ср. [3; 3]).
238
111. M. Атья
и, следовательно,
ch п* (a) [G/T X Л — ch а (А) [О/Л ch b [Т] =
(согласно (3))
= ch а (А) [О/Т] =
(согласно (2))
= | W\.
Остается доказать леммы 2 и 3.
Доказательство леммы 2. Рассмотрим главное
G-расслоение Q*Q —>S(O), где * означает соединение,
a S (О) —(неприведенную) надстройку над О. Пусть V (р) —
векторное расслоение над 5 (О), ассоциированное с этим
главным расслоением при помощи представления р группы О.
Тогда!)
[V (р)] - dim р = р (р) е № (О) = К° (S (О)).
Это вытекает непосредственно из конструкции Милнора [5]
универсального G-расслоения и могло бы на самом деле
служить определением р(р). Для доказательства леммы 2
рассмотрим коммутативную диаграмму
О X (Т * Л —> 0*0
|е к
+ 'к
G/TXS(T)-^->(G*G)/T
ь к
S(O/rx Л — -> 5(G)
Верхняя стрелка означает отображение, индуцированное
умножением О X Т О, а нижняя соответствует над-
стройке над отображением л. Остальные отображения
определяются очевидным образом, и коммутативность легко
проверяется. Верхний квадрат диаграммы показывает, что* 2)
Г-расслоение /* (ф) над GjTxS(T) ассоциировано
с (Т X Л’Расслоением 0 при помощи умножения Т X Т -> Т
(которое является гомоморфизмом, так как Т — абелева
) Здесь [V] означает образ в К векторного расслоения V.
2) Для краткости мы, говоря о расслоении, указываем только
соответствующую проекцию.
О К-теории компактных групп Ли
239
группа). Таким образом, если К £ Т и если ф(Л)—эле-
мент из К°((р*О)[Т), определенный характером Л, то
мы имеем
/ЧМ = а(Х)® [V(l)] =
= a (X) ® (1 + р (X)) е К° (G/T) ® К° (5 (Т)).
Следовательно,
й*(Лт)* [V (р)] = /*g* [V (р)] =
= 2 /*Ф 09 = 2 а (и7) ® (1 + Р 09).
Заметим теперь, что 2 а 09 = dim р (так как Цу— это
все веса представления р группы О) и что h* — мономор-
физм (так как h стягивает один сомножитель произведе-
ния). Следовательно, вычитая dim р из обеих частей пре-
дыдущего равенства, мы приходим к искомой формуле
л*р (р) = 2 а 09 8 Р09-
Доказательство леммы 3. Так как К* (Т)—-
внешняя алгебра с I образующими, то для некоторого
А £ R (Т) должно выполняться равенство вида
i
П('29®р(М = А ®ь-
Далее группа Вейля действует на R (Т) ® К*(Г), и так
как она переставляет между собой веса каждого пред-
ставления р;, отсюда следует, что произведение А ® b
инвариантно относительно W. Но действие W на b опре-
деляется „сигнум-представлением":
да (b) = sgn (w) b.
Поэтому то же самое должно быть справедливо и для А.
Рассмотрим теперь такие „кососимметричные" элементы
из /?(?’). Они должны быть целочисленными комбинациями
базисных кососимметричных выражений
Е (о) = 2 sgn w (°)’
W
Мы можем предполагать здесь, что о — старший вес, т. е.
что o^-w(o) для всех да £ W. Если о сингулярен, т. е.
240
III. M. Атья
если существует ®Х1, для которого ст = го (ст), то
Е(о) = 0. Далее, множество Р всех старших весов является
в точности подполугруппой в Т, порожденной базисными
весами Л].....Х;. Элемент множества Р сингулярен тогда
и только тогда, когда он лежит в одном из множеств Pt,
где Pt — подполугруппа, порожденная весами Ху при j=f=i.
Элемент g — Ц Xz — минимальный несингулярный элемент
в Р, т. е. если о£Р и о < g, то Е(о) = 0.
Исследуем теперь веса, которые входят в А. Так как
старший вес входит в неприводимое представление с крат-
ностью 1, то и в А вес g входит только один раз, а все
остальные веса меньше, чем g. Таким образом,
4 = £(g) = A,
что и требовалось.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Atiyah М. F., Vector bundles and the Kunneth formula,
Topology, 1 (1963), 245—248.
[2] Atiyah M. F„ Hirzebruch F., Vector bundles and
homogeneous spaces, Proc. Sumposia Amer. Math. Soc., v. 3,
1961, p. 7—38. (Перевод в сб. Математика, 6:2 (1S62),
3—39.)
[3] Borel A., Hirzebruch F., Characteristic classes and
homogeneous spaces, I, II, Amer. J. Math., 80 (1958),
458—538.
[4] Hodgkin L. (в печати).
[5] Milnor J., Construction of universal bundles 11, Ann.
Math., 63 (1956), 430 -436.
IV. ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП УНИТАРНОЙ ГРУППЫ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА ')
Н. Кюйпер
§ 1. Введение
Пусть Н — вещественное (/Yr), комплексное (Y/с) или
кватернионное (/Ун) сепарабельное гильбертово простран-
ство. Элементом пространства Н, или вектором, называется
счетная последовательность х = (хг, х2, .. .) чисел* 2), для
ОО
которых существует предел суммы х,х,, где х. — число,
/=1
сопряженное с х^. Скалярным произведением ху векторов
х и у называется сумма
ОО
ху = 2 х^.
М
Длиной вектора х называется число | х ] = Ухх. Вектор х
длины |х|=1 называется единичным вектором. Обозна-
чим через End И линейное пространство непрерывных
(или, что то же самое, ограниченных) линейных опера-
торов (эндоморфизмов) пространства Н с топологией,
индуцированной нормой
||М = sup -L^l, A£EndH.
Эта топология сильнее (больше открытых множеств), чем
компактно открытая топология, для которой последующие
теоремы, как известно, верны [8].
Композиция линейных операторов определяет произве-
дение End И X End Н—► End Н, которое является непре-
рывной функцией по совокупности переменных.
*) Kuiper N. Н., The homotopy type of the unitary group
of Hilbert space, Topology, 3, 1 (1965), 19—30.
2) To есть элементов поля R, С или тела Н. — Прим, перев.
242
IV. Н. Кюйпе р
По определению общая линейная группа GL есть
топологическое подпространство пространства End Н, со-
стоящее из обратимых операторов. Она является открытым
подмножеством в пространстве End# и обозначается со-
ответственно через GLR, GLc, GLh в трех указанных слу-
чаях. Отображение Inv, ставящее в соответствие каждому
оператору f £GL обратный оператор Inv /== /-1, является
непрерывным. Следовательно, группа GL является топо-
логической группой. Элемент h £ GL называется унитар-
ным (или ортогональным), если
I h (х) | = | х |
для всех векторов х£Н, или, что эквивалентно,
= 1.
Унитарные элементы группы GL образуют подгруппу,
унитарную группу U гильбертова пространства Н. (Эта
группа не совпадает с бесконечномерной унитарной груп-
пой U(po) = lim U (п).)
Путнам и Уитнер [5], [6] доказали с помощью спект-
рального разложения, что группа UR и, следовательно,
группа GLR связны. Хорошо известно, что группа Uc
также связна (см., например, [1]).
В этой работе будет доказана
Теорема 1. Все гомотопические группы простран-
ства GL -равняются нулю-.
nfe(OZ.) = 0 для k==0, 1, 2, . .. ,
А. Дольд любезно обратил мое внимание на то, что
из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Топологическая группа GL (GLR, GLC
и GL^ стягиваема к точке.
Чтобы сделать настоящую работу независимой, мы при-
водим вывод теоремы 2 из теоремы 1 в § 3, хотя для
этого достаточно, например, применить лемму 1 работы
Милнора [3] к пространству GL (на основании последней
части работы [3] это можно сделать).
Гомотопический тип унитарной группы
243
Главным моментом в доказательстве является то, что
локально выпуклое слабо гомотопически тривиальное про-
странство GL доминируется счетным ClF-комплексом!).
Так как топологическая группа U является ретрактом
группы GL, мы заключаем (§ 4), что верна
Теорема 3. Унитарная группа U Uc и
гильбертова пространства стягиваема к точке* 2).
Другими словами,
Группы GL и U как топологические пространства
имеют гомотопический тип точки3).
Замечание. В конечномерном случае полезно заме-
нять общую линейную группу OL(n) соответствующей уни-
тарной группой U (п), так как последняя компактна. В слу-
чае гильбертова пространства такая замена не имеет смысла,
так как обе группы не компактны.
Пале, Атья и А. С. Шварц предполагали справедли-
вость теорем 2 и 3. В частности, Пале [не опубликовано],
Шварц [7] и Ених [2] получили частный результат в этом
направлении, эквивалентный нашей лемме 7.
В § 5 мы укажем некоторые приложения наших тео-
рем, в частности к теории векторных расслоений.
') Определение и подробное изучение свойств ClF-комплекса
можно найти в работе Whitehead J., Combinatorial homo-
topy, I, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213—245 (см. также
дополнение Д. В. Аносова к книге Милнора „Теория Морса",
изд-во «Мир», М, 1965). Два топологических пространства X и Y
называются слабо гомотопически эквивалентными, если суще-
ствуют CIF-комплекс Z и отображения /р ZX и f2: Z->Y,
индуцирующие изоморфизм гомотопических групп. Пространство
X называется слабо гомотопически тривиальным, если оно слабо
гомотопически эквивалентно точке. Для этого, очевидно, необ-
ходимо и достаточно, чтобы все гомотопические группы про-
странства X равнялись нулю. Говорят, что пространство X до-
минируется пространством Y, если существуют такие отображения
/: X-> Y и g: Y->X, что отображение gf гомотопно тожде-
ственному отображению пространства X на себя.—Прим, перев.
2) Напомним, что группа U (оо) cz Uc имеет следующие
гомотопические группы: n2*_i (U (оо)) — Z, я2/г(77(оо)) = 0 (Ботт),
см. стр. 41 этой книги. — Прим, перев.
з) Используя теорему 14.10 работы von Neumann J.,
Functional operators II, Ann. Math. Studies 22, p. 87, можно сде-
лать аналогичный вывод для несепарабельного гильбертова про-
странства.
244
IV. Ft. К ю й не р
Мне хотелось бы выразить благодарность Хирцебруху,
Атья, Пале, Дольду и другим за критические и другие
замечания, которые во многом помогли мне при работе
над этой статьей.
§ 2. Доказательство теоремы 1
Рассмотрим сначала случай GL — GL^. Доказательство
теоремы будет разбито на ряд лемм, при помощи которых
данное непрерывное отображение /0 = /: S-+GL /г-мер-
ной сферы S = Sft в пространство GL будет постепенно
упрощаться (ft, оставаясь в классе гомотоп-
ных отображений. В результате мы получим постоянное
отображение /5: S->l£GL сферы $ в элемент 1 £ GL,
представляющий собой тождественное отображение про-
странства Н.
Лемма 1. Произвольное непрерывное отображение
fa = f-. S—>GL гомотопно отображению fx, образ ко-
торого fl(S)aGL содержится в конечном симплици-
альном комплексе пространства GL, состоящем из
аффинных симплексов линейного пространства End Л/.
Доказательство. Если множество [w 11| w— г||^е) cz
czEnd//, е > 0, w, z^EndH содержится в пространстве
GL, то оно называется открытым шаром в GL с цент-
ром z и радиусом е. Заметим, что шары являются выпук-
лыми множествами. Множество /0(5) можно накрыть ко-
нечным числом открытых шаров1). Пусть Т — триангуля-
ция сферы 5, настолько мелкая, что образ каждого сим-
плекса при отображении /0 содержится по крайней мере
в одном из таких шаров. Определим кусочную линеари-
зацию J\ отображения /0 следующими условиями:
(a)/j (s) =/0 ($), если точка $ является вершиной три-
ангуляции Т;
(б) ограничение отображения на каждый симплекс
Триангуляции Т является аффинным отображением.
Тогда искомая гомотопия задается формулой
Л = (10<г<1.
>) Напомним, что топологическая группа GL представляет
собой открытое подпространство в пространстве End Н.— Прим,
перев.
Гомотопический тип унитарной группы
245
Из сделанных предположений и выпуклости шаров выте-
кает, что гомотопия ft(s) содержится не только в про-
странстве End Н, но и в пространстве GL для всех значений
t и $. Более того, отображение (s) непрерывно по s и,
следовательно, ft(s~) непрерывно по t и $. Таким обра-
зом, лемма доказана.
Заметим, что приведенное доказательство применимо
к отображению / любого конечного симплициального ком-
плекса в пространство GL.
Атья предложил другое доказательство леммы 1, кото-
рое верно даже для более общего случая. Мы приведем
его здесь, несмотря на то, что оно не потребуется нам
в дальнейшем.
Доказательство Атья. Шар U радиуса е в про-
странстве GL называется маленьким шаром, если он со-
держится в концентрическом шаре U радиуса Зе, также пол-
N
ностью лежащем в пространстве GL. Пусть £7* = (J £7;-—
/-1
объединение конечного числа маленьких открытых шаров.
Каждое компактное множество в пространстве GL можно
накрыть таким множеством Ut.
Пусть
гу||<с/Ь
Для каждого номера j определим числовую функцию ф;(г)
формулой
ф7 (г) = шах (еу —1| z — zs ||, 0)
и рассмотрим разбиение единицы !) на множестве £7Ш:
q>y(*) = -/v----• Z^U»-
2
А-1
Пусть zQJ*, и пусть £7^, £7^, £7Z—совокупность
всех шаров, содержащих элемент z, и Um — наибольший
среди них. Тогда геометрически ясно, что
UicUm = (® HI® — zm || < 3em}, j~\.......I,
) Определение разбиения единицы см., например, на
стр. 17 настоящей книги. — Прим, перев.
246
IV. Н. Кюйпе р
и, следовательно, мы получаем, что при любом 0 t 1
элемент
N
= — 0* + * 2 Ф/(О • Z,
/=1
принадлежит открытому шару Um czGL. Таким образом,
функция gt для 0 t 1 определяет гомотопию в про-
странстве GL тождественного отображения множества U
в отображение при t = 1 множества Ut в симплициальный
комплекс пространства GL с вершинами zv z2, . ... zN.
Если f: S->GL — непрерывное отображение любого про-
странства 5 в множество U^czGL, то семейство отобра-
жений , определяет гомотопию отображе-
ния /0 в отображение f\ = gxf, которое уже обладает
свойствами, требуемыми в лемме 1.
Так как множество /j (S) содержится в конечном сим-
плициальном комплексе пространства GZ.cz End Л/, то оно
содержится также и в векторном подпространстве Wcz End Н
конечной размерности <^/V.
Пусть gj......gN—элементы множества Д (S) с
cz GL П W, порождающие векторное пространство W.
Тогда мы можем сформулировать следующую лемму.
Лемма 2. Линейное подпространство простран-
ства Н, порожденное элементами /j(s)(x), или
элементами w(x), ни £ W, имеет размерность для
каждого вектора х£Н.
Доказательство. Первое подпространство совпа-
дает со вторым, которое, очевидно, порождается векторами
gj(x), J=1..........N.
Л е м м а 3. Существуютбесконечномерное замкнутое
подпространство Н' пространства Н и такое ото-
бражение /3: S->GL, гомотопное отображению flt
что для всех точек s£S и векторов xQH'
f3(s)x = x.
Для доказательства этой леммы нам потребуются не-
которые предварительные результаты (леммы 4, 5 и 6).
Определим при помощи индукции по / бесконечную
последовательность единичных векторов at подпространств
Гомотопический тип унитарной группы
247
А,с:Н размерности N-\-2 и единичных векторов а0.,
Z= 1. 2......
Пусть а1—произвольный единичный вектор простран-
ства И. Пусть At— подпространство размерности ЛЛ —|—2,
содержащее векторы аг, J—l......./V, и, кроме
того, единичный вектор а®, ортогональный ко воем пре-
дыдущим 1 векторам. Пусть В — замкнутое линейное
подпространство пространства Л/; обозначим через В-
ортогональное дополнение к В, т. е. замкнутое подпро-
странство, состоящее из всех векторов пространства Н,
ортогональных к подпространству В:
В = (х £ И | ух = 0 для любого у£В].
Теперь предположим, что ak, и a°k определены для
всех k < z. Тогда единичный вектор aL выбирается в сле-
дующем подпространстве конечной коразмерности, кото-
рое, следовательно, не пусто:
г-1 г , N
*=i L _
Отсюда непосредственно вытекает, что
a, f лЛ и, следовательно, а, I А. для всех /е < 7
и ^6^(4)-
Поэтому
и gj(ai)±Ak Для всех k<J-
Это позволяет выбирать следующие подпространства Ау.
Аг есть (N 2)-мерное подпространство простран-
ства /7, содержащее векторы at и gj^a^ для j — 1, ,N
и ортогональное к подпространствам Ak для всех k < I.
Наконец, за вектор а°. можно взять единичный вектор,
принадлежащий подпространству Aj и ортогональный
к векторам at и gj (а^ для всех j — 1, .... N.
Определим теперь гомотопию ft так, чтобы вектор
/2(az) имел направление вектора at и чтобы fz{ai)==ai
для i= 1, 2.....
Пусть С I — такое число, что для каждой точки s
||/1(*))|<С и 1|/ГМ|<С-
248
IV. Н. Кюйпер
Определим множество Wc:
Wc = [w £ W П GL HI w ||< С и Hw-’IK^l- (1)
Таким образом,
/i(S)<zU7c. (2)
Теперь рассмотрим пространство At при некотором I.
Для w £ Wc, например для w^f1(S), мы знаем, что
w (ai> 6 A-i
Мы будем вращать вектор w(az) в плоскости, натянутой
на ортогональные векторы w (а.') и cP., пока он не займет
положения Затем повернем вектор в пло-
скости, натянутой на векторы и а. (которые снова
взаимно ортогональны), так, чтобы он занял положение
вектора at. При обоих вращениях все векторы, перпенди-
кулярные к плоскости вращения, остаются неподвижными.
В результате мы получим движение, переводящее w (aj)
в \w(al)\ai. Опишем эту гомотопию следующими фор-
мулами.
Определим гомотопии Az(«/, t) czGL для iw^Wc и
О < 1 следующим образом: для О t у
kt (w, t) — (cos nt)(wa^ -|- (sin nt) | wa. | a0.,
k. (w, t) (| | a°t |) = — (sin nt) (va^ + (cos nt) | •wal | a°,
fez(w, t)(x) = x для и x | wa^ xj_a$;
1 , 1
ДЛЯ -jK t 1
= cosn^ — yj • aj-|-sinn^—
Az(®, t)kLx{w, yj(az) =
= — sin л — I) • + cos n — y^ • at,
kf(w, t)^1^, yj(x) = x для x£A[ и x xj_az.
Гомотопический тип унитарной группы
249
Заметим, что /г;(та», 1) (t»a() — (| n>al |) at.
Лемма 4. Гомотопия k^V), f) является непре-
рывной функцией от Wc и t равномерно отно-
сительно I.
Доказательство. Для произвольных пар та/,
та/£ IFC и t, t' £[0, 1] имеем
f) —A.(w, Z) || < || Az (та/, z') —£z(w', z')|| +
+ II kt (та/, t) — kt (w, t) ||. (3)
Так как по определению kt (та/, f)QU для любых w £ V7,
0 t 1 и Z, то правая часть неравенства (3) равна
следующей сумме:
||Az(w/, tr)k7l(yi), z) — 1|| +
4- II kt (та/, t) kr' (та/, t) — 1 ||. (4)
Если параметры t и t' оба находятся в интервале ^0, у]
или оба в интервале [у, 1^, то преобразование
ki(;w , t') k”1 (та/t) является вращением на угол л(| f—Z|)
пространства А/ вокруг N-мерного подпространства про-
странства At как „оси“. Из планиметрии следует, что тогда
\\kt(w', t')kt(w', f) — 1 ||<л(| t' — t1). (5)
Второе слагаемое в (4) остается постоянным при y<CZ 1,
следовательно, мы можем ограничиться случаем 0 <^Z<Jy.
Если угол между векторами w' (zzz) и w(zzz), орто-
гональными к а®., равен а, то, принимая во внимание (1),
мы получаем, что | та/(zzz) | С-1, | та/ (zzz) | 4 С-1,
\<w'(ад — w (а?) | > С-1 • 2 siny. (6)
(Эти неравенства также вытекают из планиметрии.) Если
а = 0, то w' — w и второе слагаемое в (4) обращается
в нуль. Поэтому пусть а=/=0, Тогда векторы vu' (zzz) и та/ (az),
17 Зак, 719s
250
IV. Н. Кюйп е р
ортогональные к вектору аг1, порождают вместе с ним трех-
мерное пространство Е. Преобразование ^(11)', tyk^Ivv, t)
оставляет неподвижным каждый вектор, ортогональный
к пространству Е. В пространстве Е это преобразование
представляет собой вращение, которое можно описать как
композицию вращения на угол, равный по абсолютной
величине а, вокруг фиксированного вектора а'. и вращения
на угол, равный по абсолютной величине а, вокруг фикси-
рованного вектора | rw'al | (cos nt) а°(—(sin nt),w'al. Так как
норма оператора вращения на угол а равна 2 sin у, то
|| kt (w', t) Af1 (w, t) — 1 || < 2 • 2 sin у. (7)
Так как, кроме того, по определению нормы оператора
имеет место неравенство
| vi)' (аг) — w (а^) |< || w' — w ||, (8)
то из (6), (7) и (8) получаем
|| ki (w't t) (vi), t) — 1 || 2C ((I w' — w ||). (9)
Подставляя (5) и (9) в (3) и (4), мы получаем неравенство
I! kt (wf, t') — kt (w, t) |K л (| f — 11) + 2C (|| <w'—w ||), (10)
из которого и вытекает утверждение леммы 4.
Пусть k(w, t)£GL—семейство ортогональных пре-
образований, определенное для всех w £ Wc и
формулой
(&(®, t)\A.') —kt(vi), t),
k (vi), t)x = x для x I At при всех I.
Лемма 5. Семейство преобразований k(w, t) непре-
рывно зависит от w и t.
Доказательство. Пусть хА. — компонента вектора
Х^Н при ортогональном проектировании пространства /7
Гомотопический тип унитарной группы
251
на подпространство At. Тогда
2 [ki (w', t') — kt (w, t) xA =
l-l '
2 [№•>'. о)хл.]2<
2 ([л| t' — t I + 2C(||w' —w||)] хл.)2<
< [л (11’ — 11) + 2C (|| vo' — w II) ] I x |.
Таким образом, имеет место неравенство
|| k(w', t') — k(w, t) || л (| t' — t |)4-2C(||w' — w II),
которое доказывает лемму 5. Заметим, что
k(w, 0) = 1 и k(ri), 1){waj) — | tsuai |at. (11)
Определим теперь гомотопию с начальным значением j\
формулой
Л(«)=й(/1(«), l)/i(s). 1<*<2. (12)
При t—1 отображение ft(s) совпадает с Д, так как
k (®, 0) = 1 £ GL. При t — 2 получаем отображение
Л («) = k (/i (s), 1) Л (s) at-
Таким образом, доказана
Лемма 6. Отображение Д гомотопно такому
отображению f2, для которого
/а Л) ai — \ ii О) |
Пусть Н' — замкнутое подпространство пространства Н
с ортонормированным базисом аъ а2, .... и пусть
/У1 = (/У')-1-. Обозначим через р' и р^ ортогональные
проекторы пространства Н соответственно на подпро-
странства Н' и Нх. Тогда
Р' + Pi = 1 € OL.
17*~
252
/V. Н. Кюйпер
Определим следующие гомотопии ft формулой
/Ду)О/ = (3 — f)/2 ($) О/4. (£ — 2) aj
Л4)У = /24)у Для J
Так как ||/2(s)||—-||/i(s)ll44 т0 ft(s) является непре-
рывной функцией от s и t. Можно дать другое опреде-
ление этой гомотопии следующим образом:
ft (*) = [(3 - О /2 ($) + ft - 2)] р' 4 /2 ($) Р1.
При t = 2 определения совпадают, так как
/2 О) =/г О) [X 4 Pil-
При t — 3 мы получаем гомотопию, существование кото-
рой утверждается в лемме 3:
/з (5) — р' 4 /г ($) Рр
/3(4 =
/3 (s) X = X для X £ Н'.
Таким образом, лемма 3 доказана.
Оператору g, принадлежащему множеству
[w £ GZ,|w = р' 4 ®Pi}>
т. е. оператору, для которого выполняется равенство
gx = х при всех х £ Н',
поставим в соответствие оператор
®£== Р' 4 PiS’Pi-
Оператор &g принадлежит группе GL и удовлетворяет сле-
дующим условиям:
(©§ |Я') — тождественный оператор,
(cog) Н1 = Н1.
Отображение со непрерывно, поэтому отображение
/Г(5) = (4-0/з^) + (^-3)®(/з(5)), 3</<4, (14)
непрерывно по 8 и t, при t — 3 совпадает с отображе-
нием /3, а при / = 4
/4 (s) X = X ДЛЯ X £ И',
Гомотопический тип. унитарной группы
253
Лемма 7 (ср. [2]). Пусть Н' и Нх~ бесконечно-
мерные замкнутые ортогональные дополнения гильбер-
това пространства Н, т. е.
Н = Н' Д- 77, 77' _]_ 7/.
Тогда подпространство V £GL
£ °L (7^0 « =
стягиваемо по себе к тождественному оператору
1QGL.
Доказательство. Пусть Н' = Н2 Д- 7/3 Д- ••• —
„разложение" пространства 77' в бесконечную сумму взаимно
ортогональных гильбертовых подпространств. Если аг,
а2, ... — ортогональный базис в пространстве Н', то
в качестве подпространства 77г, Z^>2, можно взять, на-
пример, замкнутое гильбертово подпространство, поро-
жденное векторами а}-, для которых существуют числа ntj,
такие, что
j = 2i~\Zmt+V).
Каждый эндоморфизм пространства 77 = Я1Д-772-Д773Д-.. .
определяется матрицей, составленной из элементов
т {I- J) 6 Нот (77г, 77у).
Если оператор g принадлежит пространству V, то его
матричные элементы имеют вид
щ(1, 1) = и==^|Я1,
m(i, i)— 1 £GL(Hi) для Z> 1,
т (I, f) = 0 для Z #= j.
Следовательно, оператор g полностью определяется своими
диагональными матричными элементами:
£ = («, 1, 1, 1, 1, ...),
или, что то же самое, элементами
g = {u, и~1и, 1, и~1и, 1, ...),
254
IV. Н. Кюйпер
Определим теперь гомотопию тр пространства V, кото-
рая переводит эту матрицу в диагональную матрицу с диа-
гональю
g' = (u, и~ги, и~1и, ..
а затем в матрицу с диагональю
(ми-1, 1, ии-1, 1, ии-1 ...).
Последняя матрица совпадает с единичной матрицей
(1, 1, 1, 1, 1, ...)=1 £GL.
Гомотопия Гр
следующими
для I 1
для 0 t л определяется при 0 t л/2
компонентами матрицы T]z(g):
т(\, 1) = и;
7n(2Z, 2Z) т(2г, 2/-|- 1)
/n(2/-f-l> 2i) nt(2i+-\, 2/1
’cost —sintX/u 0\/ cos/ sinO/и-1 О'
sint cos/До 1Д—sin/ cos/Д 0 1
Остальные матричные элементы равны нулю. При/ = 0
мы получаем матрицу g, а при / = л/2 матрицу g'. Гомо-
топия гр при л/2 <; / </ л определяется следующими компо-
нентами матрицы rp (g):
Im (2г — 1, 2г — 1)
\т (2г, 2/—1)
т (2/ — 1, 2г)
m(2i, 2i)
/cos /
\sin /
— sin /\ /гг-1
cos/Д О
0\ / cos t
1 / V— sin /
sin /\ /и
cos//VO
0\
, дляг>1.
Остальные матричные элементы равны нулю. При / = л/2
мы получаем матрицу g', а при /==л единичную ма-
трицу 1 £ GL.
' Доказательство теоремы 1. Требуемой го-
мотопией является ft для 0 5 с начальным значе-
нием /0 = / и конечным значением /5: S->1, где
Л = т1Я(г-4)/4 Для 4</<5. (15)
Доказательство для комплексного и кватернионного слу-
чаев проводится аналогично с некоторыми незначительными
Гомотопический тип унитарной группы
255
изменениями. Например, End Hq является комплексным ли-
нейным пространством с естественной структурой веществен-
ного линейного пространства. В рассуждениях, связанных
с выпуклостью, мы используем эту вещественную линейную
структуру. Линейные подпространства, аналогичные под-
пространствам W и Л(-, являются тем не менее линейными
подпространствами над полем С комплексной размерности
соответственно или A/'-f-2. Проведение детального
доказательства мы оставляем читателю.
Замечание. Частный результат л0 (GZ.) —О можно
доказать проще. Леммы 1 и 2 в этом случае верны авто-
матически. Если w — произвольный элемент простран-
ства GL, то в доказательстве леммы 3 подпространство At
можно заменить пространством, натянутым на векторы at
и wa.\ вектор в этом случае не нужен; мы вращаем
непосредственно вектор до | | а;. Далее доказа-
тельство проводится так же, как и выше.
§ 3. Доказательство теоремы 2
Пространство GL можно накрыть маленькими откры-
тыми шарами радиуса е 1 (определение термина „ма-
ленький" см. в доказательстве Атья леммы 1 в § 2). Так
как пространство GL паракомпактно, существует локально
конечное разбиение единицы, подчиненное этому покрытию.
Это означает, что существуют такие вещественные функ-
ции фу: GZ,->R, что
ОО
1) ФУ(г)>о, 2ф? (^)=1;
/=1
2) Vj = supp <ру = {z £ GL | фу (г) =£ 0} содержится в
некотором маленьком открытом шаре
и} = [z g GL | || z — z} || < бу} с центром в zf,
3) каждая точка z £ GL имеет окрестность, которая
пересекается не более чем с конечным числом носителей.
Пусть N— нерв покрытия носителями Vj. Обозначим
через bj вершину, соответствующую носителю Vy. Нерв А/
является CUZ-комплексом с аффинными симплексами
256
IV. Н. К ю й пе р
в качестве клеток. Как и в доказательстве Атья, можно по-
казать, что для каждой точки z £ GL и 0 t 1 элемент
В, (*) = (1 S?/*)*/
7 = 1
содержится в пространстве GL. При этом является не-
прерывным отображением пространства GL в себя. Ото-
бражение £f(z) непрерывно по t и z и, следовательно,
является для гомотопией, переводящей тожде-
ственное отображение в отображение пространства GL
в себя. Пусть о: GL->N—отображение, определенное
формулой
ст(г)= Дфу(г) bjt
и пусть р0: N->GL — непрерывное отображение, обла-
дающее следующими свойствами:
О =
2) ограничение отображения р0 на каждый симплекс
комплекса N является аффинным отображением.
Тогда == р0о
cw
Так как все гомотопические группы пространства GL
являются нулевыми, отображение р0: AT -+GL можно про-
должить до непрерывного отображения р: CN ->GL ко-
нуса CN над пространством N с вершиной ft, переходящей
в тождественный оператор 1 £ GL. Следовательно, суще-
ствует такое непрерывное отображение р: N X / ->GL,
переводящее точку («, t) в точку р, (и) £ GL, что р0 со-
впадает с данным выше и р1(и)=1£ОЛ. Тогда отобра-
жение
^ = р,_ 1О для 1 </<2
Гомотопический тип унитарной группы
257
является гомотопией £z, 0 t 2, переводящей £0 (то-
ждественное отображение GL в себя) в тривиальное ото-
бражение с,2: С?А > 1 £ GL. Тем самым теорема 2 доказана.
§ 4. Доказательство теоремы 3
Для каждого оператора f £GL (GLr, GLc или GZ,H)
обозначим через /* £GL оператор, сопряженный к /; опе-
ратор /* определяется формулой
(У*х) у = х (fy) для всех векторов х, у(~Н.
Заметим, что (У7-7 х = (fx) (fx) > 0 для любого вектора
х 0. Ретракция т: GL->U определяется формулой
(Оператор f*f можно определить следующим образом.
Пусть gx = \^GL, g„+1 = у [g^g;1 (/*/)]. Тогда опе-
ратор Уf*f = g = lim gn удовлетворяет равенству
g = уIg+g-1 (У7)1 и, следовательно, g‘i = f*f.)
Оператор т(/) принадлежит группе U, так как
(Т (У) х) (Т (У) X) = ( [Т (/)]* Т (/) X) X =
= (У7)"1/2 /7 (/7)'1/2 хх = хх
для всех векторов х(~Н.
Если /, то f*f—\£GL, откуда т(У) = у, Тре-
буемое стягивание группы U задается гомотопией
т (£z) для 0 t 2,
переводящей тождественное отображение т(^0) в постоян-
ное отображение т(^2): (7 -> 1 7 cz GL. Здесь £z является
гомотопией стягивания группы GL (см. § 3).
§ 5. Следствия и приложения
В этом параграфе через X обозначается компактное
пространство или пространство, имеющее гомотопический
тип CW-комплекса.
258
IV. И. К ю й пе р
Следствие 1. Каждое расслоение со слоем
гильбертово пространство, структурной группой GL
и базисным пространством X является тривиальным
расслоением.
Пусть у„(Я) есть «-мерное векторное расслоение,
базисным пространством которого Vп (И) является про-
странство «-мерных подпространств пространства И («-мер-
ных плоскостей), пространство расслоения — пространство
пар {(Л, х)|Д^’/„(//), х^Ас.Н\, а проекция отобра-
жает пару (А, х) в А.
Следствие 2 (ср. [2]). Для каждого п-мерного
расслоения £ с пространством расслоения Е (£) над X
существует такое отображение f: Д'—> (//), что
индуцированное расслоение изоморфно рас-
слоению £.
(Это вытекает уже из леммы 7 и было известно Пале.)
Доказательство. Пусть г] — (тривиальное) расслое-
ние над X со слоем гильбертово пространство Н. Рас-
слоение также является расслоением со слоем гиль-
бертово пространство и, следовательно, тривиально,
поэтому имеется изоморфизм расслоений
Рассмотрим следующую диаграмму:
Е(^£йф1])=ХХН
В обозначениях этой диаграммы для каждой точки х £ X
существует «-мерная плоскость p2gct~' (х) (//), и
f = p2gn~r: X—>Vп(Н) является отображением, сущест-
вование которого утверждается в следствии. Легко заме-
тить, что это отображение накрывается отображением рас-
слоений.
Атья1) и Ених [2] применили для изучения векторных
расслоений //-пространство F операторов Фредгольма на
гильбертовом пространстве Н. Оператор Фредгольма f
') См. настоящую книгу, стр. 121—130. — Прим, перев.
Гомотопический тип унитарной группы
259
является непрерывным линейным оператором в простран-
стве Н с ядром конечной размерности р и замкнутым
образом / (//) конечной коразмерности q. Из стягиваемости
пространства GL эти авторы получили, что
Groth (VB (.<¥)) =/С (Л") = [Л", F],
где К(Х)— группа Гротендика классов стабильной экви-
валентности векторных расслоений над компактным про-
странством X, [X, F] — группа гомотопических классов
отображений пространства X в F.
Доказано, что структура кольца может быть включена
в это представление для случаев R и С. Теперь, когда мы
знаем, что пространство GL стягиваемо, по-видимому, эту
теорию можно было бы развить более простыми методами.
Пусть а2, ... —базис в пространстве И; группа GL(ri)
состоит из таких элементов группы GL, которые оставляют
неподвижным каждый вектор aJt j > п, и оставляют ин-
вариантным конечномерное подпространство, натянутое на
Oj.....ап. Объединением всех групп GL(n) является
группа
(J GL(n) = GL (oo)czGL.
п = 1
[Группа GZ,(oo) не является нульсвязной в случае R и не
является односвязной в случае С, так как функция „опре-
делителя" ’) со значениями в R или С не принимает зна-
чения 0, и, следовательно, существует нестягиваемое
в точку отображение сферы S0 или S1 соответственно
в группу GZ.R(oo) или GLq (со).] Замыкание GLC группы
GL (со) в пространстве GL гомотопически эквивалентно
группе GL (со) ([4], [7]). Группа GLC состоит из таких
элементов группы GL, разность которых с тождественным
оператором является вполне непрерывным оператором.
Таким образом, по-видимому, может оказаться, что ото-
бражение GL->GL[GLC определяет универсальное расслое-
ние для ОАс-расслоений. Из работ Атья и Ениха можно
*) То есть функция, сопоставляющая каждому элементу
a£GL(co) определитель конечномерной матрицы, соответствую-
щей этому элементу. — Прим, перев.
260
IV. Н. К ю й п е р
вывести, что GL/GLC является универсальным базисным про-
странством для стабильных векторных расслоений:
К(Х)^[Х, GL[GLC\,
ZX(GLjGLc)].
ЛИТЕРАТУРА
[I] Cordes Н. О., Labroussel. Р., The invariance of the
index in the metric space of closed operators, J. Math.
Meeh., 12 (1963), 693—719.
[2] Janich K., Vektorraumbiindel und der Raum der Fredholm-
Operatoren, Dissertation, Bonn, 1964.
[3] Milnor J., On spaces having the gomotopy type of
CW-complex, Trans. Amer. Math. Soc., 90 (1959), 272—280.
[4] Palais R. S., On the gomotopy type of certain groups of
operators, Topology (1964).
[5] P u t n a m R., W i n t n e r A., The connectedness of the ortho-
gonal group in Hilbert space, Proc. Nat. Acad. Set., Wash.,
37 (1951), 110—112.
[6] Putnam R., Wintner A., The orthogonal group in Hil-
bert space, Amer. J. Math., 74 (1952), 52—78.
[7] Ш в a p ц А. С., К гомотопической топологии банаховых про-
странств, ДАН СССР, 154 (1964), 61—63.
[8] D i х m i е г J., D о u a d у A., Bull. Soc. Math. Prance, 91
(1963), 251.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода ....................... 5
М. Атья. Лекции по A-теории. Перевод В. М. Бухштабера 7
Глава 1. Векторные расслоения......................... 7
Глава 2. А-теория.................................... 38
Глава 3. Когомологические операции в А-теории... 93
Дополнение. Пространство операторов Фредгольма .... 121
Приложение...........................................131
1. М. А т ь я, Г. С е г а л. Эквивариантная А-теория.
Перевод В. Н. Решетникова......................131
Лекция 1. Векторные G-расслоения..................131
Лекция 2. Элементарные свойства функтора Ао . . . . 139
Лекция 3. Дальнейшие свойства функтора AQ........156
Лекция 4. Теоремы целочисленности, 1..............165
Лекция 5. Теоремы целочисленности, II.............173
Лекция 6. Аналитический индекс....................188
Лекция 7. Пополнения..............................196
II. М. Атья. A-теория и вещественность. Перевод
Д. Б. Фукса......................................206
III. М. Атья. О A-теории компактных групп Ли. Пере-
вод А- А. Кириллова................................234
IV. Н. К ю й п е р. Гомотопический тип унитарной группы
гильбертова пространства. Перевод В. М. Бухшта-
бера ..............................................241
М. Атья
ЛЕКЦИИ ПО К-ТЕОРИИ