Понятие истины в языках дедуктивных наук - Тарский А.

Автор: Тарский А.
Теги: философия логика
Год: 1999
Похожие
Современная логика. Теория и практика
Математическая логика и основания математики. Математика метаматематики
Основания математической логики
Введение в математическую логику
Текст
                    Альфред Гарский
Понятие истины в языках
дедуктивных наук
Перевод с польского В. Л. Васюкова
опубликованный в книге «Философия и логика
Львовско-Варшавской школы», Москва, 1999
А. ТАРСКИЙ
Альфред Тарский родился 14 де-
кабря 1901 года в Варшаве в семье
Игнаци (Исаака) Гейтельбау.ма и Ро-
зы (Ракели) Пруссак (Альфред Тар-
ский сменил фамилию в начале
1924). Начальное образование Тар-
ский получил дома, ас 1910 по 1915
год посещал IV государственную
гимназию в Варшаве. В 1915 году он
поступил в шестой класс восьмилет-
ней Мазовсцкой краевой школы, где
8 июня 1918 года получил аттестат
зрелости. Образование Тарского бы-
ло всесторонним и основательным; он рано проявил способности к
математике, интересовался естественными науками, хорошо знал
иностранные языки (древнегреческий, латынь, немецкий, француз-
ский, русский) Свои разносторонние способности он, по-видимому,
унаследовал от матери, которая обладала феноменальной памятью.
В период с 15 октября 1918 года по 22 марта 1924 Тарский учил-
ся на философском отделении Варшавского университета. В своей
автобиографии, приложенной к заявлению о приеме в университет.
Тарский написал: «В настоящее время собираюсь поступить на фи-
лософское отделение Варшавского университета, желая посвятить
себя научной работе в области биологии» Как видим, будущий ве-
личайший философ и логик переступил университетский порог как
адепт биологии — науки, которую он спустя всего лишь несколько
месяцев покинул ради занятий математикой. Его поступок объяс-
нялся тем, что в молодой и бурно развивающейся математике и ло-
гике варшавской школы он увидел огромные возможности для дос-
тижения научного успеха. Стоит заметить, что Тарский не переста-
вал и в дальнейшем интересоваться биологией^ следил за ее разви-
тием, и даже посвятил ей одну публикацию, помещенную в качестве
приложения к книге английского биологя и естествоиспытателя Дж
X. Вуджера.
А. Тарский
15
Как ученый, Тарский дебютировал еще будучи студентом второ-
го курса университета, опубликовав статью «К аксиоматике вполне
упорядоченного множества» в журнале Przeglqd Filozoficzny (1921).
Она имела знаменательный подзаголовок: «Семинар профессора
Станислава Лесьневского в Варшавском университете». Позднее
Ст. Лесьневский стал научным руководителем докторской диссер-
тации Тарского, которая называлась «О примитивном выражении
логистики» и была опубликованной сначала в журнале Przeglqd
Filozoficzny (1923), а затем, в переводе на французский язык — в
журнале Fundamenta Mathematicae (1923). Диссертация Тарского
была посвящена системе Прототетики Станислава Лесьневского, и
главным научным результатом ее был поиск ответа на вопрос о том,
можно ли сконструировать систему логистики, в которой логическая
связка эквивалентности была бы единственным примитивным тер-
мином (кроме, естественно, кванторов). На этот вопрос Тарский по-
лучил простой и элегантный положительный ответ, который состоял
в том, что в требуемой системе достаточно сконструировать опреде-
ление функтора конъюнкции, поскольку все остальные обычные
логические свя^и исииспения высказываний будут выразимы при
помощи конъюнкции, эквивалентности и квантора всеобщности.
Успешно защитив докторскую диссертацию в Варшавском уни-
верситете, Тарский не прекратил учебу. Он продолжал изучать ма-
тематику и физику, сдал экзамены по астрономии, эксперименталь-
ной физике и теории относительности. В 1926 году он получил
должность и звание доцента, выполнял обязанности адъюнкта фи-
лософского семинара. Однако дела в университете у него пошли не
наилучшим образом, вследствие чего он вынужден был преподавать
математику в гимназии им. С. Жеромского, а также логику в педаго-
гическом институте. В 1928 году Тарский сделал попытку получить
кафедру математической логики в университете Яна Казимира р
г.Львове, однако конкурс выиграл другой достойный кандидат -
известный логик и будущий яркий представитель Львовско-
Варшавской философской школы — Леон Хвистек.
История с этим конкурсом, по воспоминяниям К. Эстрайхера
(К.Estreicher, Biografia artysty, PWN, Krakow, 1971), вкратце выгля-
дела следующим образом. В качестве претендентов на должность
заведующего кафедрой, которая была только что образована (1928
г.), от Ягеллонского университета (Краков) была выдвинута канди-
16
А. Тарский
датура Леона Хвистека, а от Варшавского университета — Альфре-
да Тарского. Ввиду разделившихся мнений, Совет отделения решил
получить отзывы о кандидатах у таких выдающихся современников,
как А. Уайтхед, Д. Гильберт и Б. Рассел. Уайтхед отзыва не прислал,
Гильберт - воздержался отдать предпочтение кому-то одному из
претендентов. Решающим оказалось мнение Рассела, который хо-
рошо знал труды Хвистека, в частности, в области теории типов, и
поддержал егсг кандидатуру. При этом он добавил: «В данный мо-
мент я не знаком с трудами Тарского, и они мне недоступны». Иро-
ния судьбы заключалась в том, что незадолго до этого Тарский сме-
нил фамилию «Тейтельбаум», под которой были опубликованы его
ранние работы, на фамилию «Тарский». Известно также, что спустя
некоторое время, Рассел прислал письмо, в котором интересовался
судьбой Тейтельбаума, и спрашивал, почему его статьи перестали
появляться в научных журналах?
Всю профессиональную последующую деятельность и карьеру
Тарского можно разделить на три периода: Варшавский (1924 -
1939); (переходный) восточно-американский (август 1939 - июнь
1942); и калифорнийский (1942 - 1983), в Беркли.
В период работы в Варшаве Тарский подготовил двух учеников и
последователей - это Мойжеш Пресбургер и Анджей Мостовский.
Первый из них получил университетский диплом в 1930 году. Его
дипломная работа содержала доказательство полноты теории нату-
ральных чисел с одной-единственной операцией сложения, полу-
ченное с помощью метода элиминации кванторов. Анджей Мостов-
ский защитил дипломную работу в 1936 году; ее темой был анализ
понятия конечности и независимости различных определений этого
понятия. Тематика исследований Мостовского явилась непосредст-
венным продолжением теоретико-множественных результатов Тар-
ского предыдущего десятилетия.
Варшавский период творчества Тарского весьма продуктивен.
Он опубликовал 3 книги, 62 статьи и 16 абстрактов; активно участ-
вовал в международном научном сотрудничестве, в частности, при-
нимал участие в философских конгрессах (Прага, 1934 г.; Париж,
1935 г.). Особенное значение имели его контакты с философами и
математиками Вены, куда он впервые выехал в феврале 1930 года
по приглашению Ганса Гана - члена Венского кружка и известного
математика.
А. Тарский	|7
В том же 1930 году, в ноябре месяце, Р. Карнап посетил Варшаву
в качестве гостя Варшавского философского общества. У него было
много встреч и бесед с Тарским и остальными лидерами Варшав-
ской логико-философской школы. В свою очередь, Тарский посетил
Вену в июне 1935 года, где прочитал два доклада на математиче-
ском коллоквиуме Карла Менгера; вновь встретился с Карнапом, а
также прослушал доклады Карла Поппера по основаниям теории
вероятности.
В августе 1939 г. Тарский выехал (через Стокгольм) в США, по-
лучив приглашение от У. О. Куайна (и других американских логи-
ков) принять участие в конференции, посвященной единству науки
(Гарвард, сентябрь 1939). Здесь его застала вторая мировая война,
которая на многие годы разлучила Тарского с семьей, — его жена
Мария, сын Ян и дочь Инна остались в Варшаве, где им пришлось
пережить все тяготы оккупации. Родители Тарского погибли.
В Гарварде Тарский пробыл в течение академического 1940/41
года. В это время здесь находились Рассел, Карнап, Гудмен и Куайн.
Рассел читал лекции на протяжении одного семестра, а Тарский,
Карнап и Куайн организовывали встречи, обычно сопровождавшие-
ся научными дискуссиями. Тогда же установилось научное сотруд-
ничество Тарского с талантливым логиком и математиком Дж.
МакКинси, совместно с которым были написаны три работы: об ал-
гебраических аспектах топологии, о применении топологии к ин-
туиционистской логике и по модальным исчислениям высказываний
(см. [44], [46], [48]). После войны МакКинси совместно с Тарским
работал над вторым изданием монографии о процедурах разреши-
мости для элементарной теории действительных чисел и геометрии
(См. [48т]).
С 1942 г. Тарский в течение недолгого периода пребывал в Ин-
ституте высших исследований в Принстоне. В результате сотрудни
чества с П. Эрдошем появилась работа [43], посвященная вопросу о
том, содержит ли каждое семейство множеств подсемейство макси-
мальной мощности, элементами которого являются множества, по-
парно разделенные.
Тогда же, в 1942 году, Тарский получил должность преподавате-
ля в Калифорнийском университете в Беркли (звание экстраорди-
нарного профессора он получил тремя годами позже, а звание орди-
нарного профессора— в 1948 году). В этот период Тарский много и
18
А. Тарский
напряженно работает, выдерживая высокий темп в своей педагоги-
ческой, исследовательской и писательской деятельности. Он актив-
но пропагандирует логику и внедряет ее как самостоятельную уни-
верситетскую дисциплину. При этом он вынужден преодолевать
сопротивлением математических кругов, неодобрительно встретив-
ших широкое введение логики в учебные и исследовательские про-
граммы.
Имея на своем счету выдающиеся научные достижения и обладая
признанием международной научной общественности, Тарский
стремится укреплять и поддерживать все лучшие принципы и тра-
диции, свойственные научной школе. Он заботится о студентах,
привлекая наиболее способных к исследовательской работе, упорно
и настойчиво хлопочет о предоставлении работы новым профессо-
рам, особенно тем, кто специализируется в философии, логике и
других родственных дисциплинах. Он автор специальных программ
по обучению студентов логике и основаниям математики, создатель
курса логики для аспирантов.
В 1958 году Тарский создал в университете в Беркли исследова-
тельскую группу по логике и методологии науки, объединившую
философов, логиков и математиков. Он придавал большое значение
сотрудничеству представителей этих дисциплин. Это нашло отра-
жение в созданной им программной и организационной концепции
международного сотрудничества. Международные конгрессы по
логике, методологии и философии науки (начиная с первого кон-
гресса в Стэнфорде в 1960 г.) проходят каждые пять лет, и работают
по схеме Тарского до настоящего времени. Тарский был также ор-
ганизатором международной конференции, посвященной аксиома-
тическому методу и его применению в геометрии и физике (1958 г.)
и инициатором симпозиума по теории моделей (1963 г.) — дисцип-
лины, одним из создателей которой как раз и был сам Тарский.
В калифорнийский период своей жизни и творчества (универси-
тет в Беркли) Тарский осуществлял научное руководство и подгото-
вил 22 доктора наук. Многие из них, благодаря своим диссертациям
и дальнейшим исследованиям, внесли значительный вклад в разви-
тие логики. Достаточно вспомнить таких ученых, как В.Шмелев,
Р.Монтегю, Р.Вот, С.Феферман, Дж.Кейслер, чьи диссертации счи-
таются сегодня классическими образцами научных исследований.
Некоторые из учеников Тарского создали свои собственные на-
Понятие истины в языках дедуктивных наук
19
учные школы, основали исследовательские центры. Среди них, на-
ряду с выше перечисленными именами — Б. Йонссон и Д. Монк.
Научное наследие Тарского огромно. Приводимая библиография
его трудов дает исчерпывающее представление о том, насколько
разносторонним и плодовитым ученым он был. Попытка дать очерк
всего творчества Тарского и определить его роль в развитии логики
и математики XX века была предпринята только после смерти уче-
ного (которая наступила 27 октября 1983 года) группой его учеников
и специалистов из разных областей (невозможно было бы выпол-
нить подобное задание в одиночку).
Широкому кругу российских читателей труды Тарского почти
неизвестны. Поэтому первая публикация на русском языке его вы-
дающегося исследования «Понятие истины в языках дедуктивных
наук» позволит отечественным ученым и специалистам в области
философии и логики приобщиться к классике мировой философской
литературы.
Е. Ш.
ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ в ЯЗЫКАХ
ДЕДУКТИВНЫХ НАУК'
Введение
Настоящая работа посвящена почти целиком лишь одному во-
просу: вопросу определения истины; сущность его заключается в
том, чтобы — имея в виду тот или иной язык — сконструировать
верное по существу и формально безукоризненное определение тер-
мина «истинное высказывание». Этот вопрос, относимый к класси
ческим проблемам философии, заключает в себе немалые трудно-
сти: несмотря на то, что обыденное, «устоявшееся» значение терми-
на кажется достаточно выразительным и прозрачным, все попытки
тщательного уточнения этого значения заканчивались до сих пор
A. Tarski. Poj^cie prawdy w j^zykach nauk dedukcyjnych // Prace Towarzystwa
Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych, nr 34,
Warszawa 1933 r., VH+116 s. Перевод с польского выполнен В. Л. Васюковым
по: Alfred Tarski Pisma logiczno-filozoficzne Tom 1. Prawda. Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa, 1995, c. 3-172.
20
А. Тарский
пор неудачей, а рассуждения, в которых выступал вышеуказанный
термин, основанные на интуитивно очевидных, на первый взгляд,
предпосылках, неоднократно приводили к парадоксам и антиноми-
ям (которые, впрочем, удавалось более или менее удовлетворитель-
ным способом распутать). Понятие истины разделило в этом отно-
шении судьбу других аналогичных понятий из области так называе-
мой семантики языка.
Вопрос определения того или иного понятия не поставлен над-
лежащим образом до тех пор, пока не установлен список терминов,
при помощи которых стремятся требуемое определение построить;
если при этом определение должно отвечать своей подлинной зада-
че, то смысл терминов, охватываемых этим списком, не должен воз-
буждать ни малейших подозрений. По сути дела напрашивается,
следовательно, вопрос, какими терминами мы намерены воспользо-
ваться при конструировании понятия истины. Этот вопрос я не за-
медлю выяснить в процессе рассуждений; в любом случае, я не на-
мерен использовать в этой конструкции ни одного понятия семанти-
ческой природы, если только предварительно мне не удастся свести
его к другим понятиям.
Я не буду здесь пока что анализировать обыденное значение
термина «истинный»; читатель в большей или меньшей степени,
несомненно, обладает интуитивным знакомством с понятием исти-
ны, а более глубокие замечания на эту тему найдет во многих сочи-
нениях из области теории познания. Замечу лишь, что во всей дан-
ной работе меня интересует исключительно осознание тех интуи-
ций, которые заложены в так называемом «классическом» понима-
нии истинности, т. е. в такого рода понимании, согласно которому
«истинное — это всего лишь согласующееся с действительностью»
(в противоположность, например, пониманию «утилитарному», со-
гласно которому «истинное — это полезное в некотором отноше-
нии»)1.
Область термина, который мы стремимся определить, в значи-
тельной мере зависит от языка, являющегося объектом исследова-
ния: одно и то же выражение может быть истинным высказыванием
в одном языке, а на основании другого оказаться ложным высказы-
1 Ср. Kotarbiriski 1936, S.126 (я неоднократно воспользовался этой книгой при
редактировании настоящих размышлений, приспосабливаясь во многих случаях
к принятой там терминологии)
Понятие истины в языках дедуктивных наук	21
ванием или лишенным смысла выражением. Об одном общем опре-
делении термина здесь вообще не будет идти речи: интересующий
нас вопрос распадается на ряд отдельных вопросов, касающихся
отдельных языков.
Предметом размышлений §1 является обыденный язык; оконча-
тельное заключение этих размышлений исключительно отрицатель-
но: по отношению к обыденному языку невозможно, как кажется,
уже не только определить понятие истины, но даже последовательно
и в согласии с законами логики оперировать этим понятием.
В дальнейшем, в работе, мы ограничимся исключительно един-
ственными в настоящее время языками, построенными научными
методами, т. е. формализованными языками дедуктивных наук, чью
обобщенную характеристику я привожу в начале §2. Оказывается,
что с точки зрения рассматриваемой здесь проблемы эти языки де-
лятся на две большие группы, причем основание классификации
представляет собой лишь меньший или больший запас имеющихся в
языке грамматических форм. В применении к более «бедным» язы-
кам проблему определения истины удается решить положительно:
существует единый метод, делающий возможным конструкцию тре-
буемого определения для каждого из этих языков в отдельности. В
§2 и §3 я разовью эти конструкции со всеми подробностями для не-
которого конкретного языка, облегчая себе тем самым общее описа-
ние упомянутого метода, обрисованного в §4. Что же касается более
«богатых» языков, то, как следует из рассуждений §5, решение на-
шей проблемы пойдет в отрицательную сторону: нам никогда не
удастся определить для языков этой группы корректного понятия
истины1, но, тем не менее, все говорит за то, что и в этих случаях —
в противоположность обыденному языку — можно установить спо-
соб последовательного и верного оперирования этим понятием, от-
носясь к нему как первоначальному понятию особой науки — тео-
рии истины — и уточняя основные его свойства путем аксиоматиза-
ции.
Исследование формализованных языков требует знания основ
современной формальной логики; при конструировании определе-
ния истины требуется, кроме того — впрочем, в весьма скромном
объеме — некоторый запас понятий и методов сугубо математиче-
ской природы. Буду рад, если настоящая работа убедит читателя, что
+ |По вопросу данного утверждения см. Postscriptum.]" {[56m], s. 154 }
22	А. Тарский
вышеуказанные средства представляют собой уже в настоящий мо-
мент необходимый вспомогательный аппарат даже при рассмотре-
нии вопросов чисто философского характера2.
§1. Понятие истинного высказывания в обыденном языке
Чтобы ввести читателя в круг размышлений, мне представляется
желательным хотя бы бегло обсудить проблему определения истины
в применении к обыденному языку; я здесь стремлюсь, в частности,
подчеркнуть те разнообразные трудности, ^которыми сталкиваются
попытки упомянутого обоснования3.
Среди различных попыток, имеющих своей целью построение
корректного определения истины для высказывания обыденного
языка, наиболее естественной представляется попытка конструиро-
вания семантического определения. Я имею в виду здесь определе-
ние того рода, которое в первом приближении удалось бы передать
следующими словами:
(1)	истинное высказывание — это такое высказывание, которое
выражает то, что дела обстоят так-то и так-то, и дела
именно так и обстоят4.
2 Эта работа была представлена Варшавскому научному обществу 21 марта 1931
года Я. Лукасевичем. Полученные в ней результаты главным образом ведут свое
начало с 1929 года; изложение ее было сделано, среди других, в двух докладах,
прочитанных под названием О понятии истины по отношению к формализо-
ванным дедуктивным системам в Логической секции Варшавского философ-
ского общества (8 ноября 1930 года) и в Польском философском обществе во
Львове (15 декабря 1930 года), резюме которых должно выйти в XII томе «Ruch
Filozoficzny» {см. S. 9-12 польского издания}. По причинам от меня независя-
щим печатанье работы осуществилось со значительным опозданием; это позво-
лило мне, впрочем, дополнить текст некоторыми достаточно существенными
результатами (см. примечание 97). В промежутке я опубликовал resume главных
результатов в сообщении [27] {см. S. 9-12 польского издания}.
3 Замечания, которые я в этом контексте сделаю, по большей части не являются
результатом моих собственных исследований: в них нашли свое выражение
взгляды, развиваемые г. Ст. Лесьневским в его лекциях в Варшавском универси-
тете (начиная с академического 1919/20 года), в научных дискуссиях и личных
беседах; в частности, это относится почти ко всему, что я выскажу на тему ка-
вычечных выражений и семантических антиномий. Излишне может быть добав-
лять, что этот факт ни в малейшей степени не возлагает на г. Лесьневского от-
ветственности за эскизную и может быть недостаточно точную форму, в кото-
рую я облек нижеприведенные замечания.
4 Подобную формулировку мы находим в книге Kotarbinski 1926 s. 127, 136, где
Понятие истины в языках дедуктивных наук	23
Вышеприведенное высказывание является еще, очевидным обра-
зом, весьма несовершенным с точки зрения формальной корректно-
сти, а также ясности и однозначности встречающихся в нем выра-
жений. Но, тем не менее, интуитивный смысл и общая направлен-
ность этого высказывания кажутся достаточно прозрачными и по-
нятными; задачей семантического определения было бы как раз
уточнение этой направленности и представление ее в правильной
форме.
В качестве исходного пункта здесь напрашиваются некоторые
высказывания весьма специального характера, которые могут быть
приняты за частичные определения истинности высказываний, либо
за разъяснения конкретных всевозможных фраз, типа «х является
истинным высказыванием». Вот общая схема этого вида высказыва-
ний:
(2)	х является истинным высказыванием тогда и только тогда,
когда р;
чтобы перейти к конкретным объяснениям, заменяем в этой схеме
символ “р” на какое-нибудь высказывание, “х” же — на произволь-
ное единичное имя этого высказывания.
Имея данное имя единичного высказывания, мы можем для него
сконструировать объяснение типа (2) в каждом случае, в котором
мы в состоянии заменить выражение, обозначенное данным именем.
Самую важную и наиболее часто встречающуюся категорию имен,
для которых выполняются вышеуказанные условия, составляют так
называемые кавычечные имена', как можно догадаться, этим терми-
ном мы обозначаем каждое имя высказывания подобного вида либо
произвольного иного выражения (даже бессмысленного), которое
состоит из кавычек, левых и правых, а также выражения, заключен-
ного в кавычки, и, собственно, представляющего собой десигнат
имени. Примером кавычечного имени высказывания может служить
к ним относятся как к комментариям, выясняющим подробней сущность «клас-
сического» понимания истинности. [Формулировки эти. очевидным образом, не
являются принципиально новыми: см. напр., общеизвестные слова Аристотеля:
«...говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть — значит гово-
рить ложное; а говорить, что сущее есть и не-сущее не есть, — значит говорить
истинное.» (Arystoteles, Metaphysics, Г, 7, 27, Works, t. 2, перевод на английский
язык W. D. Ross, Oxford 1908) {русский перевод — Аристотель, Метафизика,
Соч. в четырех томах, т. 1, пер. А. В. Кубицкого, нов ред.. М. И Иткина,
Мысль, Москва, 1975}]+{[56т], с. 155, прим. 2}
24	Л. Тарский
хотя бы «“падает снег”»; соответствующее объяснение типа (2) зву-
чит тогда:
(3)	“падает снег" является истинным высказыванием тогда и
только тогда, когда падает снег5.
Другую категорию единичных имен высказываний, для которых
мы в состоянии построить аналогичные объяснения, представляют
так называемые структурно-описательные имена, т. е. имена, опи-
сывающие, из каких выражений состоит выражение, являющееся
десигнатом имени, из каких знаков состоит каждое определенное
выражение, и в каком порядке эти знаки и выражения следуют друг
за другом. Подобные имена удается сформулировать без помощи
кавычек. С этой целью следует включить в язык рассуждений, сле-
довательно — в данном случае — в обыденный язык, какие-либо
единичные, но не кавычечные имена всех букв и других знаков, из
которых состоят слова и выражения языка; такие, например, как
имена согласных “ф”, “т”, “п”, “х”... напрашиваются выражения
5 тг
К высказываниям мы относимся здесь все время как к выражениям некоторого
вида, следовательно, как к языковым образованиям. Если, однако, термины
«выражения», «высказывания» и т. д. интерпретировать как имена конкретных L
надписей, то различные формулировки, содержащиеся в данной работе, не бу-
дут полностью корректны и создают видимость распространенной ошибки, за-
ключающейся в отождествлении выражений одинаковой формы. В частности,
это относится к высказываниям (3), поскольку при вышеприведенной интерпре-
тации кавычечные имена должны трактоваться как общие имена (а не единич-
ные), означающие как надпись, заключенную в кавычки, так и каждую надпись
одинаковой с ней формы. Чтобы избежать подобных упреков, и не создавать
при этом некоторого ненужного усложнения в рассуждениях, связанного, между
прочим, с необходимостью оперирования понятием эквиформности, удобно
договориться, о том, что термины, такие как «слово», «выражение», «высказы-
вание» и т. д. всегда будут означать не конкретную надпись, а целые классы
надписей, эквиформных с некоторой данной надписью, и в этом единственном
смысле трактовать кавычечные имена как единичные имена выражений. См.
здесь Whitehead — Russell 1925, с. 661-666, и — если речь идет об иных интер-
претациях термина «высказывание»— Kotarbihski 1926 с. 123-125.
Пользуясь случаем, обращаю внимание на то, что выражения «имя» и «озна-
чает» (также как и выражения «предмет», «класс», «отношение») я использую
здесь не в одном, а во многих разных значениях, применяя их как к предметам в
строгом смысле (т. е. индивидам), так и всяческого вида классов, отношений и
т. д. С точки зрения теории типов, построенной в работе Whitehead — Russell
1925, s. 37-65. эти выражения заслуживали бы имени “систематически много-
значных”.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	25
“эф”, “тэ”, “пэ”, “ха”..., а как имена гласных “а”, “э”, “и”... можно
было бы, напр., выбрать “ай”, “эй”, “ий”... (а не “а”, “э”, “и” — во
избежание многозначности)’ . Легко отдать себе отчет в том, что
каждому кавычечному имени удается теперь сопоставить выражен-
ное без помощи кавычек структурно-описательное имя с той же са-
мой областью (т. е. означающее то же самое выражение) и vice
versa; так, например, имени “снег” отвечает имя “выражение, со-
стоящее из четырех следующих букв: эс, эн. е и гэ”. Таким образом,
очевидно, что для структурно-описательных имен высказываний мы
можем также строить частичные определения типа (2), как это вид-
но из следующего хотя бы примера:
(4)	выражение, которое состоит из двух выражений, из которых
второе состоит из четырех следующих букв: эс, эн, е и гэ, пер-
вое же из шести следующих букв: пэ, а, дэ, а, е и тэ, является
истинным высказыванием тогда и только тогда, когда снег
падает.
Утверждения, аналогичные (3) и (4), представляются интуитив-
но очевидными и наиболее согласующимися с той интуицией ис-
тинности, которая заключена в выражении (1); они вообще не вызы-
вает сомнений с точки зрения ясности содержания и безукоризнен-
ности формы (конечно, при допущении, что высказывания, которые
мы подставляем в (2) вместо символа не вызывают подобных
сомнений).
Необходимо, однако, сделать здесь некоторое предостережение.
Известны ситуации, в которых утверждения подобного типа при
сопоставлении с некоторыми другими, интуитивно не менее оче-
видными посылками, приводят к явному противоречию, а именно, к
так называемой антиномии лжеца. Вот возможное простое истол-
кование этой антиномии, идущее от Я. Лукасевича.
Условимся для большей прозрачности использовать символ "с~
как типографское сокращение выражения “высказывание, напеча-
танное на этой странице в строке 34 сверху”. Обратим внимание на
следующее высказывание:
с не является истинным высказыванием.
Для кавычечного имени (либо для какого-либо иного сдинично-
* В оригинале речь идет о	и "a’."e”.’’i” соответственно (прим пе-
реводчика).
26
А. Тарский
го имени) вышеприведенного высказывания построим объяснение
типа (2):
(а)	«с не является истинным высказыванием» есть истинное вы-
сказывание тогда и только тогда, когда с не является истин-
ным высказыванием.
Помня о значении символа “с”, устанавливаем помимо этого
эмпирическим путем, что:
(Р) «с не является истинным высказыванием» тождественно с с.
Сопоставляя посылки (а) и (Р), сразу же получаем противоре-
чие:
с является истинным высказыванием тогда и только тогда,
когда с не является истинным высказыванием.
Легко заметить в чем заключается источник этой противоречи-
вости: с целью конструирования утверждения (а) мы подставили
вместо символа “р” в схеме (2) фразу такого вида, которая сама со-
держит в себе термин «истинное высказывание» (вследствие чего
полученное утверждение — в противоположность, например, (3) и
(4) — не может уже считаться частичным определением истины). Не
видно, однако, разумного повода, по которому подобная подстанов-
ка была бы принципиально запрещена.
Я остановлюсь здесь на формулировке вышеприведенной анти-
номии, оставляя на будущее получение из этого факта соответст-
вующих следствий. Пока что, абстрагируясь от этой трудности, я
намерен заняться построением определения истинного высказыва-
ния путем обобщения объяснений того же типа, что и (3). На первый
взгляд это задание может показаться совсем легким — в частности
для тех, кто немного владеет аппаратом современной математиче-
ской логики. Могло бы показаться, что, подставляя в (3) вместо
дважды встречающегося там выражения «падает снег» произволь-
ную пропозициональную переменную (т. е. символ, вместо которого
разрешено подставлять произвольные высказывания) и затем ут-
верждая, что полученная фраза имеет позитивное значение для каж-
дого значения переменной, сразу же получаем высказывание,
имеющее все выражения типа (3) в качестве частных случаев:
(5) для произвольногор — “р” является истинным высказыванием
тогда и только тогда, когда р.
Вышеприведенное высказывание не могло бы еще приниматься
за общее определение фразы «х является истинным высказыванием»
Понятие истины в языках дедуктивных наук
27
хотя бы потому, что область возможных подстановок символа
подверглась здесь сужению до кавычечных имен. Чтобы устранить
это ограничение, нужно было бы обратиться к интуитивно извест-
ному факту, что каждому истинному высказыванию (и вообще каж-
дому высказыванию) соответствует кавычечное имя, означающее
именно это высказывание6. Основываясь на этой интуиции, можно
было бы покуситься на обобщение высказывания (5) хотя бы в сле-
дующем направлении:
(6)	для произвольного х — х является истинным высказыванием
тогда и только тогда, когда — для некоторого х — х тожде-
ственно с “р ” и при этом р.
На первый взгляд мы возможно готовы были бы принять выска-
зывание (6) за корректное семантическое определение выражения
«истинное высказывание», реализующее точным образом интенцию
высказывания (1) и, кроме того, признать, что оно представляет со-
бой удовлетворительное решение интересующей нас здесь пробле-
мы. На деле, однако, все оказывается совсем не так просто: с того
момента, как только мы начинаем подробней анализировать значе-
ние встречающихся в (5) и (6) кавычечных выражений, мы обнару-
живаем ряд трудностей и опасностей.
Кавычечные имена можно принять за единичные слова языка, а
затем и за синтаксически неразложимые выражения. Отдельные со-
ставные части этих имен — кавычки и выражения, заключенные в
кавычки — выполняют ту же функцию, что и буквы либо совокуп-
ности следующих друг за другом букв в единичных выражениях, не
имея при этом здесь никакого самостоятельного значения. Каждое
кавычечное выражение является в то же время постоянным единич-
ным именем некоторого определенного выражения (а именно того,
которое заключено в кавычки) и при этом именем того же характе-
ра, что и собственные имена людей; в частности, напр., имя «"р”»
означает одну из букв алфавита. При такой интерпретации, — кото-
рая, кстати, представляется наиболее естественной и наиболее полно
согласуется с обыденной интуицией — частичное определение того
Факт этот можно было бы представить хотя бы в следующей форме
(5’) для произвольного х — если х является истинным высказыванием, то
для некоторого р —х тождественно с "р
из посылок (5) и (5’) можно было бы вывести в качестве заключения приводи-
мое ниже высказывание (6).
28
А. Тарский
же типа, что и (3), не поддается каким-либо разумным обобщениям.
В каждом случае такими обобщениями не могут считаться высказы-
вания (5) или (6); ибо, выводя следствия (5) с помощью так назы-
ваемого правила подстановки, мы не имеем права что-либо подста-
вить вместо буквы “р”, входящей в состав кавычечного выражения
(подобно тому, как ничего нельзя подставить вместо буквы “и”,
встречающейся в «истинном» выражении); таким образом, мы по-
лучаем как вывод не (3), а следующее высказывание: “р” является
истинным высказыванием тогда и только тогда, когда падает
снег. Уже отсюда видно, что высказывания (5) и (6) не являются вы-
ражениями мысли, которую мы хотели бы выразить, что, более того,
они являются нелепыми с интуитивной точки зрения. Высказывание
(5) сразу же ведет к противоречию, поскольку из него можно, кроме
вышеприведенного следствия, вывести, с одинаковой легкостью,
противоречивое следствие: "р" является истинным высказыванием
тогда и только тогда, когда не падает снег. Высказывание (6),
правда, само по себе, не ведет к противоречию, зато влечет за собой
явно нелепый вывод, в силу которого единственным истинным вы-
сказыванием является буква “р”.
Чтобы сделать вышеприведенные рассуждения более прозрач-
ными, заметим, что при таком понимании кавычечных выражений
их можно вообще вытеснить из языка, заменяя повсюду, например,
соответствующими структурно-описательными именами. Присмат-
риваясь, однако, к объяснениям типа (2), сконструированным для
этого типа имен, как, например, объяснение (4), мы не видим ни од-
ного пути, ведущего к обобщению этих объяснений; если же мы за-
меним в (5) или (6) кавычечное имя «“р”» на структурно-
описательное имя “лэ” (либо “выражение, состоящее из одной бук-
вы пэ”), имеющее тот же самый объем, то нелепость полученных
подобным образом высказываний сразу же бросается в глаза.
Стремясь спасти смысл высказываний (5) и (6), необходимо при-
бегнуть к совершенно иной интерпретации кавычечных имен. Эти
имена следует трактовать уже как сложные синтаксические выраже-
ния, синтаксическими составляющими которых являются как ка-
вычки, так и выражения, находящиеся между ними. Не все кавычеч-
ные выражения являются в то же время постоянными именами: вы-
ражение «“р”», встречающееся в (5) либо (б), должно, например,
рассматриваться как функция, аргументом которой является пропо-
Понятие истины в языках дедуктивных наук
29
зициональная переменная, в то время как значениями (подстановка-
ми) — постоянные кавычечные имена высказываний; [Подобные
функции мы будем называть кавычечными функциями.]+{[56т], s.
161} кавычки превращаются тогда в самостоятельные выражения из
области семантики, по значению близкие к слову «имя», а по отно-
шению к синтаксису играющими роль функторов7. Сразу же возни-
кают новые осложнения. Не достаточно ясен интуитивный смысл
кавычечной функции и самих кавычек. В любом случае это не экс-
тенсиональные функторы: высказывание «для произвольных р и
q — если р тогда и только тогда, когда q , то “/?” тождественно
несомненно, находится в резко выраженном противоречии с [обы-
денной интуицией]'[обычного способа использования кавычечных
имен]+.{[56т], s. 161}. Уже с этой точки зрения определение (6) бы-
ло бы неприемлемым для всех тех, кто хочет последовательно избе-
гать использования интенсиональных функторов и даже думает, что
более глубокий анализ делает невозможным приписывание этим
функторам какого-либо уточненного смысла 8. Далее, оперирование
кавычечной функцией подвергает нас опасности втягивания в раз-
личные семантические антиномии, например, антиномию лжеца, и
притом даже тогда, когда мы, соблюдая далеко идущую предосто-
рожность, использовали бы только лишь те особенности рассматри-
ваемых функций, которые кажутся нам интуитивно почти несо-
мненными. Ибо в противоположность такому пониманию антино-
мии лжеца, с которым мы познакомились выше, можно сформули-
7 Функторами мы называем такие выражения, как «читает» в выражении «г чи-
тает» — пропозициональный (zdaniotworczy) функтор с одним именным аргу-
ментом, «видит» в выражении «х видит» — пропозициональный функтор с дву-
мя именными аргументами, «отец» в выражении «отец л-а» — номинальный
(nazwotworczy) функтор с одним именным аргументом, «либо» в выражении
либо ^» — пропозициональный функтор с двумя пропозициональными ар1умен-
тами; кавычки были бы примером именного функтора с одним пропозициональ
ным аргументом. Термин «функтор» ведет свое начало от Котарбиньского, тер-
мины «пропозициональный функтор» и «номинальный функлор» — оз К. Айду
кевича; см. Ajdukiewicz 1928, с. 16 и 147.
Мы не будем здесь далее обсуждать трудную проблему экстенсиональносзи:
см. по этому вопросу Carnap 1929, где приведена литература по этому вопросу
в частности Whitehead-Russell 1925, с. 659-666. Следуез отметить, что термина-
ми «экстенсиональный» и «интенсиональный» определяются обычно пропози-
циональные функторы, тогда как в тексте они применяются к кавычкам, а затем
к номинальным функторам.
30
А. Тарский
ровать рассматриваемую антиномию, вообще не пользуясь выраже-
нием «истинное высказывание», вместо этого вводя кавычечные
функции с переменным аргументом. Вот как выглядит набросок по-
добной формулировки.
Пусть символ “с” будет типографским сокращением выражения
«высказывание, напечатанное на этой странице в строках 6-7 свер-
ху». Примем во внимание следующее высказывание:
для произвольного р — если с тождественно с высказывани-
ем “р ”, то не р
(если бы мы приняли (6) в качестве определения истинности, выска-
зывание выше выражало бы, что с не является истинным высказы-
ванием).
Эмпирически утверждаем, что
(а) высказывание «для произвольного р — если с тождественно
высказыванию “р ", то не р» тождественно с.
Кроме этого мы принимаем только дополнительное допущение,
касающееся кавычечной функции и не возбуждающее, как нам ка-
жется, никаких подозрений:
(Р) для произвольных р и q — если высказывание “р" тождест-
венно высказыванию “q ”, то р тогда и только тогда, когда q.
Используя элементарные законы логики, из посылок (а) и (Р)
легко получаем противоречие.
Пользуясь случаем, лишь обратим внимание на иные опасности,
которыми подвергает нас последовательное применение вышепри-
веденной интерпретации кавычечных выражений — на многознач-
ность некоторых выражений (например, кавычечные выражения,
встречающиеся в (5) и (6), в некоторых ситуациях должны считаться
функциями с переменным аргументом, в других же имя есть кон-
станта, означающая одну из букв алфавита); далее, на необходи-
мость допущения некоторых языковых конструкций, согласован-
ность которых с основными принципами синтаксиса, по крайней
мере, сомнительна, например, осмысленных выражений, содержа-
щих в качестве синтаксических компонент бессмысленные выраже-
ния (примером может служить произвольное кавычечное имя бес-
смысленного выражения). Во всех этих отношениях даже при новом
понимании кавычечных выражений корректность определения (6)
кажется сильно пошатнувшейся.
Проведенное до сих пор обсуждение дает нам право, во всяком
Понятие истины в языках дедуктивных наук
31
случае, на утверждение, что попытка корректного семантического
определения выражения «истинное высказывание» сталкивается с
весьма существенными трудностями. Мы не знаем даже общего
метода, который позволил бы установить значение произвольной
конкретной фразы типа «х является истинным высказыванием», ко-
гда вместо “х” выступает какое-нибудь единичное имя высказыва-
ния. Метод, проиллюстрированный выше на примерах (3) и (4) под-
водит в таких ситуациях, когда для данного имени не удается ука-
зать десигнат (в качестве примера такого имени может служить хотя
бы «первое высказывание, которое будет напечатано в 2000 году»);
если бы в подобной ситуации мы захотели прибегнуть к конструк-
ции, использованной при формулировании определения (6), то
столкнулись бы со всеми осложнениями, о которых шла речь выше.
По отношению к такому обороту речи возникает необходимость
обратиться при решении поставленной проблемы к иным методам.
Привлеку здесь внимание лишь к одной попытке в этом направле-
нии, а именно, к попытке построения структурного определения.
Общая схема подобного рода определений была бы, примерно, сле-
дующей: истинное высказывание — это выражение, обладающее
такими-то и такими-то структурными свойствами (т. е. свойст-
вами, касающимися формы и поочередности индивидуальных со-
ставных частей выражения) либо получающееся из таких-то и та-
ких-то структурно описанных выражений, с помощью таких-то и
таких-то структурных преобразований. В качестве исходного
пункта здесь могут послужить многочисленные законы, почерпну-
тые из формальной логики, которые позволяют либо по некоторым
структурным особенностям высказывания судить о его истинности
или ложности; либо по истинности или же ложности некоторых вы-
сказываний судить об аналогичных свойствах других высказываний,
которые удается получить из данных высказываний с помощью тех
или иных структурных преобразований. Вот банальные примеры
подобных законов: каждое выражение, состоящее из четырех
частей, из которых первая является выражением «если», тре-
тья — выражением «то», вторая же и четвертая части являются
этим самым высказыванием, является истинным высказыванием,
если некоторое истинное высказывание состоит из четырех час-
тей, из которых первая является выражением «если», вторая —
истинным высказыванием, третья же — выражением «то», то и
32	А. Тарский
четвертая часть является истинным высказыванием. Законы по-
добного рода (особенно второго типа) простираются достаточно да-
леко. С их помощью можно, например, каждое фрагментарное оп-
ределение истины, область которого охватывает произвольную ка-
тегорию высказываний, распространить на все сложные высказыва-
ния, которые удается образовать из высказываний данной категории
путем соединения их с помощью таких выражений как «если..., то»,
« тогда и только тогда, когда», «или», «и», «не» — словом, выраже-
ниями из области так называемого пропозиционального исчисления
(теории дедукции). Отсюда возникает замысел: установить доста-
точно много достаточно мощных и общих законов подобного рода
таким образом, чтобы каждое высказывание подпадало под один из
этих законов; подобным образом мы добрались бы до общего струк-
турного определения истинного высказывания. Но и этот путь ка-
жется почти безнадежным, по крайней мере, по отношению к обы-
денному языку. Обыденный язык не является чем-то «готовым», за-
конченным, с четко очерченными границами. Не установлено, какие
выражения разрешено добавлять к этому языку, которые, таким об-
разом, в некотором смысле уже к нему «потенциально» принадле-
жат; нам не удастся также структурно выделить среди выражений
языка те, которые мы называем высказываниями, и тем более, мы не
умеем различить среди совокупности высказываний истинные вы-
сказывания. Попытка построения структурного определения тер-
мина «истинное высказывание» наталкивается — при применении к
обыденному языку — на трудности, которые мы не в силах преодо-
леть.
По отношению к неудаче предпринятых до сих пор попыток, по-
мимо воли, напрашивается предположение, что рассматриваемая
здесь проблема вообще не поддается удовлетворительному реше-
нию. В действительности, можно привести сильные аргументы об-
щей природы, поддерживающие это предположение, и мы обсудим
их здесь лишь вкратце.
Характерной чертой обыденного языка (в противоположность
различным научным языкам), является его универсальность. Не от-
вечало бы духу этого языка, если бы в каком-то другом языке на-
шлись выражения или фразы, которые не удавалось бы перевести на
обыденный язык: «если вообще о чем-нибудь можно осмысленно
говорить, то об этом можно говорить и в обыденном языке». Куль-
: Понятие истины в языках дедуктивных наук
33
тивируя эти универсалистские тенденции обыденного языка по от-
ношению к семантическим исследованиям, мы должны последова-
тельно включить в язык, наряду с его произвольными высказыва-
ниями, либо иными выражениями также имена этих высказываний и
выражений, высказывания, содержащие эти имена, а далее, такие
семантические выражения как «истинное высказывание», «имя»,
«означает» и т. д. С другой стороны, именно этот универсализм
обыденного языка в сфере семантики является предположительным
существенным источником всех так называемых семантических ан-
тиномий, таких как антиномия лжеца или антиномия гетерологиче-
ских выражений; эти антиномии, по-видимому, просто указывают,
что на почве каждого языка, который был бы в вышеуказанном
смысле универсальным и который бы при этом подчинялся обыч-
ным законам логики, должно возникнуть противоречие. Это касает-
ся, в частности, той формулировки антиномии лжеца, которую я
привел на с. 25, и которая не содержит кавычечных функций с пере-
менным аргументом. Анализируя антиномию в вышеприведенной
формулировке, мы приходим именно к убеждению, что не может
существовать непротиворечивый язык, сохраняющий обычные за-
коны логики, и при этом удовлетворяющий следующим условиям:
(I) для произвольного высказывания, встречающегося в языке, неко-
торое единичное имя этого высказывания также принадлежит к язы-
ку; (II) каждое выражение, полученное из (2) путем замены символа
“р” высказыванием языка, а символа “х” единичным именем этого
высказывания, должно признаваться истинным высказыванием дан-
ного языка; (III) в этом языке можно сформулировать и признать
истинным высказыванием эмпирически подтвержденную посылку,
равносильную (р)9.
Антиномия гетерологических выражений (которую я не буду здесь приво
лить — см. Grelling-Nelson 1908, с. 307) гораздо проще антиномии лжеца, по-
скольку в ее формулировке не фигурирует ни одна из посылок эмпирической
природы, аналогичная (р); она также приводит к соответственно более сильно-
му заключению: не может существовать ни одного непротиворечивою языка,
сохраняющего обычные законы логики и выполняющею некоторые два усло-
вия, аналогичные (I) и (II), но однако отличающиеся тем, что в них речь идет не
о высказываниях, а о именах, и не об истинности высказываний, а об отношении
означивания. [Ср. в этой связи обсуждения из §5 данной работы начало доказа-
тельства Теоремы I, с. 123-125, и, в частности, примечание 99.f {[56т]. s. 165.
примечание 1}
2 - 1094
34
А Тарский
Если вышеприведенные замечания верны, то сама возможность
последовательного — и при этом согласного с принципами логики и
с духом обыденного языка оперирования выражением «истинное
высказывание» — и, что вытекает отсюда, возможность по-
строения какого-нибудь корректного определения этого выраже-
ния, кажутся весьма проблематичными.
§2. Формализованные языки, в частности, язык алгебры
классов
Отказываясь по приведенным в §1 соображениям от попыток
решения поставленной проблемы для случая обыденного языка, в
дальнейшем процессе ‘обсуждения я ограничусь исключительного
формализованными языками0. Их можно охарактеризовать весьма
обще как такого рода (искусственно сконструированные) языки, в
которых смысл каждого выражения однозначно определяется его
формой. Не покушаясь на полностью исчерпывающее и точное опи-
сание, что могло бы представить значительные трудности, я уделю
здесь внимание нескольким существенным особенностям, сопутст-
вующим ныне известным формализованным языкам. Итак, (а) для
каждого из этих языков указываются или также описываются
(структурно) все знаки, из которых образованы выражения языка',
(Р) среди всех возможных выражений, образованных из этих знаков,
выделяются при помощи структурных свойств те, которые называ-
ются предложениями. Далее, формализованные языки конструиру-
ются, на данный момент, исключительно для того, чтобы на их ос-
нове развивать формализованные дедуктивные науки', язык сраста-
ется с наукой в одно целое до такой степени, что вместо того, чтобы
говорить о том или ином формализованном языке, говорится о язы-
ке той или иной формализованной дедуктивной науки. Таким обра-
зом в связи с методом построения дедуктивных наук проявляются
дальнейшие характерные особенности формализованных языков. А
10 Результаты, полученные для формализованных языков, обладают некоторой
ценностью и в применении к обыденному языку, причем благодаря его универ-
сализму: переводя на этот язык произвольное определение истинного предло-
жения, сконструированное для того или иного формализованного языка, мы
получаем фрагментарное определение истины, охватывающее более широкую
или более узкую категорию предложений.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
35
именно, (у) указывается или также структурно описывается некото-
рая категория предложений, называя их аксиомами или примитив-
ными предложениями', (5) в специальных правилах, т. н. правилах
вывода, выделяются некоторые операции структурного характера,
делающие возможными преобразование одних предложений в дру-
гие, и предложения, получающиеся из предложений, данных одно-
или многократным употреблением этих операций, называющиеся
следствиями данных предложений; в частности же, следствия акси-
ом носят имя доказуемых или принимаемых предложении1.
Излишне, быть может, добавлять, что нас здесь вообще не инте-
ресуют языки и «формальные» науки в определенном специфиче-
ском значении этого выражения, а именно, такого рода науки, что
встречающимся в них знакам и выражениям не приписывается ни-
какого интуитивного смысла; по отношению к подобным наукам
поставленные здесь проблемы теряют всякий смысл существования
и попросту перестают быть понятными. Знакам, выступающим в тех
языках, которых касается данное исследование, мы всегда приписы-
ваем полностью конкретное и понятное для нас значение11 12; выраже-
ния, которые мы называем предложениями, остаются предложения-
ми и после перевода содержащихся в них знаков на обыденный
язык; предложения, выделенные как аксиомы, кажутся нам интуи-
тивно истинными; при выборе правил вывода мы руководствуемся
всегда стремлением, чтобы эти правила, примененные к истинным
предложениям, всегда приводили к новым истинным предложени-
11 Формализация науки обычно допускает возможность введения в науку новых
знаков, не указанных exphcite вначале. Эти знаки, называемые определяемыми
знаками (по контрасту с примитивными знаками), появляются впервые в науках
в выражениях специальной структуры, т н. определениях, которые констрхирх
ются согласно особым правилам — правилам определений; иногда определения
зачисляются в доказуемые предложения науки. Этот момент в формализации
языка мы в дальнейшем не будем принимать во внимание.
Строго говоря, это относится к т. н. константам; переменные символы и тех-
нические знаки (такие как скобки, точки и т. д.) не имеют самостоятельного
значения, оказывая зато существенное влияние на значение выражений, в состав
которых они входят.
Определения, наконец, конструируются таким образом, чтобы они выясняли
и устанавливали значения знаков, введенных в язык, с помощью примитивных
знаков или предварительно определенных (ср. примечание 11).
2*
36
А. Тарский
В противоположность обыденному языку формализованные язы-
ки нисколько не обладают тем универсалистским характером, о ко-
тором шла речь в конце предыдущего параграфа. В частности,
большая часть этих языков не содержит вообще терминов из облас-
ти науки о языке, следовательно, напр., таких выражений, которые
означают знаки и выражения того же самого или другого языка, ли-
бо описывают возникающие между ними связи структурной приро-
ды, и которые (ввиду отсутствия лучшего термина) я буду называть
структурно-описательными. Поэтому, каждый раз как мы прово-
дим исследования языка некоторой формализованной дедуктивной
науки, мы должны четко отличать язык, о котором говорим, от язы-
ка, на котором говорим, науку, служащую предметом исследования,
от науки, в которой мы проводим исследования. Имена выражений
первого языка и возникающих между ними отношений принадлежат
уже к этому второму языку, т. н. метаязыку (который, впрочем, мо-
жет содержать в качестве фрагмента первичный язык); описание
этих выражений, определение более сложных понятий, особенно
связанных с методом построения дедуктивной науки (а следова-
тельно, таких как понятие следования, доказуемого или истинного
предложения), выяснение особенностей этих понятий, представляет
собой предложение этой другой науки, называемой метанаукой.
Для некоторой достаточно обширной категории формализован-
ных языков можно указать метод, позволяющий сконструировать
корректное определение истинного предложения для каждого из
этих языков в отдельности. Общее, абстрактное описание этого ме-
тода и языков, к которым он применяется, было бы достаточно об-
ременительным и получилось бы недостаточно прозрачными. По-
этому я хочу познакомить читателя с этим методом другим образом,
а именно: я построю требуемое определение в применении к неко-
торому полностью конкретному языку, приводя при случае самые
важные его следствия, а указания, которые я дам в §4 данной рабо-
ты, объяснят в достаточной, как мне кажется, степени, как следует
применить проиллюстрированный этим примером метод конструк-
ции к другим языкам с подобной логической структурой.
В качестве объекта исследований я выбираю здесь язык некото-
рой максимально простой и элементарной, а читателям, несомнен-
но хорошо известной, дедуктивной науки, а именно, алгебры (или
исчисления} классов, которая представляет собой, как известно, не-
Понятие истины в языках дедуктивных наук
37
который фрагмент математической логики и может рассматриваться
как одна из интерпретаций «формальной» науки, обычно называе-
мой алгеброй логики \
Среди знаков, из которых состоят выражения исследуемого язы-
ка, я различаю два вида: константы и переменные'5. Я ввожу лишь
четыре константы: знак отрицания “N”, знак логической суммы
(альтернативы, дизъюнкции) "А ", универсальный квантор “И" и,
наконец, знак включения “У”14 15 16. Эти знаки я считаю соответственно
эквивалентными выражениям обыденного языка «не», «или», «для
каждого» (в том значении, в котором я использовал это выражение,
напр., в предложении (6) из §1) и «содержится в». В качестве пере-
менных можно было бы, в принципе, использовать совершенно
произвольные символы, лишь бы их было неограниченное количе-
ство и они отличались по форме от констант. Однако для дальней-
шего развития наших исследований весьма желательно Точно уста-
новить форму этих знаков — и притом таким образом, чтобы эти
знаки легко можно было бы выстроить в ряд (занумеровать). Поэто-
му я буду здесь использовать в качестве переменных исключительно
такие символы, как “хЛ”, “х, ,	“х, ,и аналогичными знаками,
составленными из символа “х” и некоторого числа маленьких чер-
14 См. Schroder 1890 (особенно с. 160-163) и Whitehead-Russell 1925, с. 205-212.
15 Используя наблюдение, сделанное г. Лукасевичем, я избегаю здесь введения в
язык всевозможных технических знаков (таких как скобки, точки и т. д.), и это
главным образом благодаря тому, что в каждом осмысленном выражении я по-
мещаю функторы всегда перед аргументами; Lukasiewicz 1929. особенно с. V и
40.
16 В алгебре классов обычно фигурирует еще много иных констант, напр., кван-
тор существования, знаки импликации, логического произведения (конъюнк-
ции), эквивалентности, равенства, дополнения, суммы классов и произведения
классов (см. примечание 14); по этой причине, подходя формально, в рассмат
риваемом языке удается развить только лишь некоторый фрагмент алгебры
классов. Стоит, однако, заметить, что если бы мы дополнили формализацию
этого языка, позволяя ввести новые знаки при помощи определения (см. приме-
чание 11). то тогда все константы алгебры классов могли бы войти в состав язы-
ка как определяемые выражения; благодаря этому наш фрагментарный язык
достаточен для выражения каждой мысли, которую удается высказать в полном
языке рассматриваемой науки. Заметим еще, что можно было бы элиминировать
из рассматриваемого языка даже знак включения “Г. интерпретируя выражения
типа “х,у” (где вместо “х” и ‘V’ выступают произвольные переменные) так, как
мы далее будем интерпретировать выражение "1ху'\
38
А. Тарский
точек внизу; знак, содержащий к маленьких черточек внизу (где к
есть любое натуральное число, отличное от 0), носит имя к-ой пере-
менной. В этой интуитивной интерпретации языка, которую я посто-
янно здесь подразумеваю, переменные всегда представляют собой
имена классов индивидов. Выражениями языка являются либо еди-
ничные константы и переменные, либо группы подобных следую-
щих друг за другом знаков, напр., “x,Nx,,'\ “Nix rx,,
“AIx,x, ,Ix, ,x“Пх,”, “Пх, Дх, ,x,,“lx, ,x,,t. д. Вы-
ражения типа “Np1', “Apq”, “Пх/э” и “Ixy”, где вместо “p” и “q” вы-
ступают произвольные переменные или пропозициональные функ-
ции (значение этих терминов будет выяснено ниже), вместо же “х” и
“у” — произвольные переменные, читаем соответственно: «не р»
или «не истинно, чтор»'\ «р или q», «для произвольного класса х —
7» и «класс х содержится в классе у». О сложных выражениях, т. е.
не являющихся знаками, можно сказать, что они состоят из двух
либо из большего числа других, простых выражений; так, напр., вы-
ражение “Nix ,х,состоит из двух следующих друг за другом вы-
ражений “N” и “1х,х,или также из выражений “NV и “х,х,
либо, наконец, из выражений “Nix," и “х,
Собственную область данных исследований будет представлять,
понятным образом, не сам язык алгебры классов, а соответствую-
щий ему метаязык; наше исследование относится к сфере развивае-
мой на основе этого метаязыка «метаалгебре классов». Отсюда так-
же возникает потребность хотя бы поверхностного ознакомления
читателя со структурой метаязыка и метанауки. Я ограничусь в этой
сфере лишь двумя самыми главными моментами: перечислением
всех тех знаков и выражений, которые буду использовать в мета-
языке, не выясняя подробней в процессе исследования их значения,
и составлением списка аксиом, достаточного для обоснования мета-
науки, или, по крайней мере, для обоснования содержащихся в этой
работе результатов. Оба эти момента находятся в тесной связи с ос-
новной проблемой данных исследований: если бы мы не вникли в
них, мы не могли бы осмысленно утверждать, что нам удалось кор- *
П п
Но причинам стилистического характера, вместо выражения «не» иногда ис-
пользуем оборот «не истинно, что», при этом весь этот оборот рассматриваем
как единичный выражение, не приписывая отдельным частям и, в частности,
фигурирующему в нем слову «истинно», какого-либо самостоятельного значе-
ния.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
39
ректно определить какое-нибудь понятие на основе метаязыка, ни
также, что сконструированное определение влечет за собой те или
иные последствия. Зато я не намереваюсь покушаться на придание
метанауке характера точно формализованной дедуктивной науки. Я
удовлетворюсь единственно замечанием, что — помимо двух ука-
занных моментов — процесс формализации метанауки не выявляет
никаких специфических особенностей; в частности, правила вывода
и определения не отличаются ничем от правил, используемых при
построении других формализованных дедуктивных наук.
Среди выражений метаязыка удается выделить две категории.
Первая категория представляет собой выражения общелогического
характера, почерпнутые из какой-нибудь достаточно развитой сис-
темы математической логики18; ее можно было бы разделить на
примитивные и определяемые выражения, однако это было бы в
этом контексте совершенно напрасным. Прежде всего мы находим
здесь выражения,- эквивалентные всем константам науки, являю-
щейся предметом исследования, а следовательно, «не» или «не ис-
тинно, что»]9, «или», «для каждого» и «содержится в» — симво-
лически “с“. Благодаря этому каждое выражение языка мы можем
перевести на метаязык; так, напр., переводом выражения
“Пх/7х,х,” будет предложение «для каждого а (либо для произ-
вольного класса а) — ааа». К этой самой категории принадлежит
далее ряд аналогичных выражений из области пропозиционального
исчисления, исчисления функций (теории комплексных перемен-
ных) и исчисления классов, напр., «если..., то», «и», «тогда и толь-
ко тогда, когда», «для некоторого х» (или «существует х, такой,
что...»), «не содержится в» — символически “<z”, «тождественно
с» — символически “=”, «нетождественно с» — символически ‘V”.
«является элементом» — символически “е”, «не является элемен-
том» — символически “g”, «индивид», «класс», «пустой класс»,
«класс всех х, таких, что» и т. д. Далее мы встречаем здесь некото-
рые выражения из области теории равномощности и арифметики
18 Напр.. из работы Whitehead-Russell 1925 (однако я совсем не намерен исполь-
зовать здесь какую-либо специфическую логическую символику и за некоторы-
ми исключениями, которые exphcile укажу — буду использовать выражения
обыденного языка). О значении использованных ниже обшелогических выраже-
ний информация содержится также в Carnap 1929.
См. примечание 17.
40
А. Тарский
кардинальных чисел, напр., «.конечный класс», «бесконечный класс»,
«мощность класса», «кардинальное число», «натуральное число»,
(или «конечное кардинальное число»), «бесконечное кардинальное
число», «0», «1», «2», «<», «»>, «<», «>», «+», «-»,... Наконец, мне по-
требуются некоторые термины из логики отношений. Областью
бинарного отношения R мы называем, как известно, класс всех тех
предметов х, которым отвечает хоть один предмет у, такой, что xRy
(т. е., что х находится в отношении R к у); сходным образом проти-
вообластью отношения R мы называем класс всех тех предметов у,
для которых существует хоть один х, такой, что xRy. По отношению
к многоместным отношениям вместо области и противообласти мы
говорим о первой, второй, ..., п-той области данного отношения.
Отношение, область которого состоит из одного только элемента х,
противообласть же — из одного только элемента у (которое поэтому
имеет место только между предметами х и у, но не имеет места ме-
жду никакими двумя другими предметами) носит имя упорядочен-
ной пары с первым выражением х и вторым у; принимая в качестве
исходного пункта многоместное отношение, аналогично определяем
упорядоченные тройки, четверки и, в общем случае, упорядоченные
системы с произвольным числом выражений. Если каждому пред-
мету у, принадлежащему противообласти двуместного отношения
R, отвечает лишь один предмет х, такой, что xRy, то отношение R
называем однозначным (или одно-многозначным). Большую роль в
наших исследованиях будет играть понятие последовательности.
Бесконечной последовательностью является каждое однозначное
отношение такого вида, чья противообласть представляет собой
класс всех натуральных чисел за исключением 0; сходным образом
термин «конечная последовательность из п выражений» означает
каждое однозначное отношение, чья противообласть состоит из всех
натуральных чисел к, таких, что \<к<п (где п есть некоторое нату-
ральное число, отличное от 0). Это единственное х, выполняющее
формулу xR£ (для данной последовательности R и данного нату-
рального числа к), мы называем £-тым выражением последователь-
ности R или выражением последовательности R с показателем к и
означаем символом “R*”. Мы говорим, что последовательности R и
S отличаются самое большее на Zr-том местр, если любые два соот-
ветствующих выражения этих последовательностей, R/ и S/, иден-
тичны, за исключением самое большее £-тых выражений R*. и S/,
Понятие истины в языках дедуктивных наук	4 ]
которые могут быть разными. В нижеприводимых исследованиях
мы будем иметь дело с последовательностями классов и натураль-
ных чисел, т. е. с такими последовательностями, все выражения ко-
торых являются соответственно классами индивидов либо нату-
ральными числами; в частности последовательность, все выражения
которой являются классами, содержащимися в данном классе а, бу-
дем называть последовательностью подклассов класса а.
в В противоположность первой категории выражений, вторую ка-
тегорию образуют специфические термины метаязыка структур-
но-описательного характера, следовательно, имена конкретных
знаков и выражений языка алгебры классов, имена классов и после-
довательностей таких выражений и возникающих между ними
структурных отношений. Сюда входят прежде всего термины «знак
отрицания», «знак логической суммы», «универсальный квантор»,
«знак включения», «переменная k-той формы», «выражение, со-
стоящее из двух следующих друг за другом выражений: х и у» и
«выражение»; в качестве сокращений первых шести терминов мы
будем использовать соответственно символы “ng”, “sw”, “<?w”, “zn”,
“vA” и (знак “v” означает, таким образом, последовательность,
выражениями которой являются следующие друг за другом пере-
менные vi, v2, v3,...). Этими выражениями мы уже пользовались ра-
нее — при предварительном ознакомлении читателя с языком ал-
гебры классов; я полагаюсь на то, что ввиду замечаний и примеров,
содержащихся в указанном отрывке, смысл обсуждаемых терминов
не вызывает никаких сомнений. При помощи этих терминов (и, воз-
можно, общелогических выражений) можно определить все другие
понятия метанауки структурно-описательного характера. В частно-
сти, как легко заметить, для каждого простого или сложного выра-
жения языка, представляющего собой предмет рассмотрения, удает-
ся сконструировать в метаязыке некоторое индивидное имя этого
выражения — того самого типа, что и структурно-описательные
имена обыденного языка (ср. с. 24); так, например, в качестве имени
выражения “7V/x,x, , ” может служить термин «((ngr'in'f\’])r г2». То
обстоятельство, что каждому выражению (в частности, предложе-
нию) рассматриваемого языка можно сопоставить в метаязыке, с
одно стороны, некоторое индивидное имя этого выражения, с дру-
гой же стороны — некоторое выражение, являющееся переводом
данного выражения на метаязык, сыграет решающую роль при кон-
42
А. Тарский
струировании определения истины, как читатель в этом убедится в
следующем параграфе.
В качестве переменных я буду использовать в метаязыке симво-
лы (1) “а\”Ь”, (2) и “g”, “Л”, (3) “Г, ‘7’, “ю”, “и”,	(4)	47”,
“w”, “х”, ‘У’, “z” и (5) “JV”, “У”; они представляют соответствующие
имена: (1) класс индивидов произвольного характера20, (2) последо-
вательностей таких классов, (3) натуральных чисел и последова-
тельностей натуральных чисел, (4) выражений21 и последовательно-
стей выражений и (5) классов выражений.
Переходя к списку аксиом метанауки, я прежде всего замечу,
что — в соответствии с двумя категориями выражений метанауки —
этот список охватывает два целиком разных вида предложений: с
одной стороны, общелогические аксиомы, достаточные для построе-
ния достаточно обширной системы математической логики, с дру-
гой же стороны — специальные аксиомы метанауки, устанавли-
вающие некоторые элементарные и согласные с интуицией свойства
выше оговоренных структурно-описательных понятий. Я не вижу
необходимости присоединения здесь explicite хорошо, впрочем, из-
вестных аксиом первого вида22, в качестве аксиом второго вида
можно принять хотя бы следующие предложения23:
АКСИОМА 1. ng, sm, qu и in являются выражениями; никакие два
из этих четырех выражений не тождественны.
АКСИОМА 2. vk является выражением тогда и только тогда, ко-
гда к есть натуральное число, отличное от 0; vk отличается от
выражений ng, sm, qu и in и от каждого из выражений vlt если
только k^l.
АКСИОМА 3. х^у являются выражениями тогда и только тогда,
когда х и у есть выражения; х^у отличается от выражений ng, sm,
qu и in и от каждого z из выражений vk.
АКСИОМА 4. Если X, у, Z и t являются выражениями, то х^у - znt
20 Хотя я использую в случаях (1) и (4) различные переменные, я рассматриваю
здесь выражения как специальные классы индивидов, а именно, как классы кон-
кретных надписей (см. примечание 5).
21 См. примечание 20.
22 Можно было бы их опять почерпнуть из Whitehead-Russell 1925 (см. приме-
чание 18).
23 Насколько мне известно, никло до сих пор не представил метанауки в виде
аксиоматизированной системы.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
43
тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
(ос) х = z и у = t; (р) существует такое выражение и, что х = z^u и
/= и\ , (у) существует такое выражение и, что z = х^ и и у = и\
АКСИОМА 5. (принцип полной индукции). Если класс X выполня-
ет следующие условия: (a) ng^X, smeX, queX и intzX, (Р) если к яв-
ляется натуральным числом, отличным от 0, то vk gA? (у) если xgA
и уеХ, то х^уеХ — тогда каждое выражение принадлежит к
классу X.
Интуитивный смысл аксиом 1-4 не требует дальнейших поясне-
ний; в аксиоме 5 находит точное выражение та особенность, что ка-
ждое выражение состоит из конечного числа знаков1.
Можно было бы показать, что вышеприведенная система аксиом
является категоричной', это дает нам в определенной степени га-
рантию, что она образует достаточное основание для построения
метанауки24.
+ [Сформулированная здесь система аксиом впервые была опубликована в 1933
году в польской, оригинальной версии настоящей работы. В этом же самом году
появилась она также по-немецки в [33] (см. с. 100). Теория, основанная на этой
системе аксиом, обычно называется теорией слов {в оригинале theory of strings}
или теорией конкатенации. С точки зрения математики это просто теория сво-
бодных полугрупп (с фиксированным — конечным или бесконечным — числом
образующих). Дальнейшие сведения и библиографические ссылки, касающиеся
аксиоматизации этой теории, содержит работа Corcoran-Frank-Maloney
1974.]'{[56m]( 1), с. 174.}
24 Термином “категоричный” я пользуюсь в смысле п. О. Веблена (см. Veblen
1904. с. 346). Почему я в категоричности аксиоматической системы усматриваю
объективную гарантию того, что рассматриваемая система достаточна для по-
строения соответствующей дедуктивной науки, этого я не намереваюсь более
подробно развивать; ряд замечаний по этому вопросу содержит Fraenkel 1928.
с.347-391.
[В интерпретации термина «категоричный» проявляются некоторые, впро-
чем, не очень значительные расхождения. Не входя в детали, отмечу, что при
одной из возможных интерпретаций доказательство категоричности требовало
бы добавления к приведенной в тексте системе аксиом мезанауки двух дополни-
тельных аксиом. В этих аксиомах, не имеющих, впрочем, более широкою зна-
чения, проявилось бы специфическое понимание выражений как классов (см.
примечание 5): одна аксиома утверждала бы, что два произвольные выражения
являются непересекающимися классами, з е. не имеющими общих элементов, в
другой было бы зафиксировано — в ту или иную сторону — число элементов
каждого выражения.]^ [56т](1), с. 174 примечание 1.}
44	А Тарский
Некоторые из приведенных аксиом носят ярко выраженный эк-
зистенциальный характер и влекут за собой дальнейшие следствия
того же рода. Среди этих следствий заслуживает внимания утвер-
ждение, которое провозглашает, что класс всех выражений является
бесконечным (точнее говоря — счетным). С точки зрения интуиции
это предложение кажется сомнительным, и в каждом случае дале-
ким от действительности, и с этой точки зрения вся система аксиом
может быть подвергнута серьезной критике; при более детальном
анализе критика эта ограничится, впрочем, исключительно аксио-
мами 2 и 3 как существенными источниками инфинитизма в мета-
науке. В мои намерения не входит более детальное рассмотрение
этого трудного вопроса25. Можно очевидным образом избежать об-
суждаемых следствий, избавляя в достаточной степени аксиомы от
экзистенциальных положений. Следует, однако, принять во внима-
ние, что устранение или ослабление именно тех аксиом, которые
гарантируют существование всех возможных выражений, невиданно
затруднило бы построение метанауки, сделало бы невозможным ряд
естественнейших рассуждений и в связи с этим повлекло бы за со-
бой значительное усложнение в формулировании определений и
теорем — и это даже, как мы убедимся ниже, уже в области настоя-
щей работы. Принимая это во внимание, стоит хотя бы временно,
основывать исследования на приведенной системе аксиом в ее пер-
воначальной, не ослабленной форме.
Оперируя перечисленными ранее выражениями и символами
языка, я приступаю теперь к определению тех понятий, которые
придают алгебре классов характер формализованной дедуктивной
науки, а именно, понятий предложения, аксиомы (примитивного
предложения}, следствия и доказуемого (принимаемого) предложе-
25
Здесь в игру входят такие, напр., достаточно тонкие моменты. Обычно выра-
жения понимаются как продукты человеческой деятельности (либо как классы
таких продуктов); при таком понимании предположение о том, что существует
бесконечно много выражений, кажется явно нелепым. Однако возникает воз-
можность другой интерпретации термина «выражение», а именно, можно было
бы считать выражениями всевозможные физические тела определенных форм и
размеров. Центр тяжести проблемы переносится тогда в физику, утверждение о
бесконечном числе выражений перестает быть нелепым [и представляет собой
даже специальное следствие предположений, обычно принимаемых в физике
или геометрии]' [хотя может не быть в согласии с современными физическими и
космологическими теориями.]'{(56т](1), с. 174, примечание 2.}
Понятие истины в языках дедуктивных наук
45
ния). Но вначале я введу ряд символов вспомогательного характера,
служащих для обозначения разных простых типов выражений и
весьма пригодных для дальнейших построений.
Определение 1. х является включением с предшественником vk
и последователем V/ — символически х =	— тогда и только то-
гда, когда х = {in^vyf'vx.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. х является отрицанием выражения у — симво-
лически х — у — тогда и только тогда, когда х = ngr'y .
Определение 3. х является логической суммой (альтернативой,
дизъюнкцией) выражений х и у — символически х = у + z — тогда и
только тогда, когда х - {smPy'pz.
Определение 4. х является логической суммой выражений
(или логической суммой конечной последовательности / вы-
п
ражений из п выражений,) — символически x = ^tk — тогда и
к
только тогда, когда t есть конечная последовательность из п вы-
ражений, выполняющая одно из следующих условий: (а) п - 1 и х- Ц,
л-1
(₽) «>1и +z«26 
к
Определение 5. х является произведением (конъюнкцией) вы-
ражений у и z — символически х = y-z — тогда и только тогда, ко-
гда х — у+ Z .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. х является генерализацией выражения у по пе-
ременной vk — символически	j; — тогда и только тогда
когда х = (ри\\Ту
26 Как видим, определение 4 является индуктивным (рекурсивным) определени-
ем и как таковое влечет некоторые предостережения методологического свойст
ва. С другой стороны, известно, что при помощи некоторого общего метода,
идея которого восходит к Г. Фреге и Р. Дедекинду (см. Dedekind 1923. с, 33-40 и
Whitehead+Russell 1925, с. 550-557 и с. 224), можно каждое индуктивное опре-
деление превратить в эквивалентное ему нормальное определение; это весьма
непрактично, ибо полученная подобным способом формулировка имеет более
сложную логическую структуру, менее ясна по содержанию и менее пригодна
для дальнейших выводов. В силу хотя бы этих причин я не намереваюсь и в
дальнейшем ходе изложения избегать индуктивных определений.
46
А. Тарский
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. х является генерализацией выражения у по пе-
ременным vA,vP25...,vр — символически х = р^ У— тогда и
только тогда, когда р есть конечной последовательностью нату-
ральных чисел из п выражений, выполняющей одно из следующих
условий: (а) п = 1 и х = Q у , (Р) п> 1 и х - О О у .
1 'Р|	1 ХРк 1 'Рп
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. х является генерализацией выражения у тогда
и только тогда, когда либо х = у, либо существует такая последо-
вательность р натуральных чисел из п выражений, что
1 xpk
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. х является партикуляризацией выражения у по
переменной vk — символически х = у — тогда и только тогда,
когда х - у
Операции, заключающиеся в образовании из данных выражений
отрицания, логических сумм и генерализации, можно было бы на-
звать соответственно отрицанием, логическим сложением и генера-
лизацией. Принимая в качестве исходного пункта включения и
выполняя над ними произвольное число раз вышеприведенные опе-
рации, приходим к обширному классу выражений, носящих имя
пропозициональных функций', как частный случай именно этого по-
нятия мы получаем понятие предложения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. х является пропозициональной функцией то-
гда и только тогда, когда х есть выражение, выполняющее одно из
четырех следующих условий: (а) существуют такие натуральные
числа к и I, что х =	(Р) существует такая пропозициональная
функция у, что х — у ; (у) существует такая пропозициональная
функция у, что х = у + z; (8) существует такое натуральное число к
и такая пропозициональная функция у, что х - у27.
27 Определение 10 является рекурсивным определением несколько иного типа,
нежели, напр., определение 4, поскольку в нем нет обычного "перехода от л-1 к
л". Чтобы свести это определение к обычному индуктивному определению, сле-
довало бы индуктивно определить выражение «х есть пропозициональная функ-
ция л -той степени» (функцией 0-й степени были бы включения \.к1, первой сте-
пени — их же отрицания и логические суммы и их i енерализации по произ-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	47
Согласно определению 10, примерами пропозициональных
функций служат выражения ‘7xzxzz”, “A7xzxzzz”,
“AIx ,х, f ,1хf , zxz”, “riK/A7xzxz z” и множество других; в то же
время к этой категории не принадлежат выражения с7\ fc7xz’\
'‘А1х,хг, “№xzxz z” и т. д. Как легко видеть, для каждой пропо-
зициональной функции языка мы в состоянии почти автоматиче-
ским способом сконструировать в метаязыке структурно-
описательное имя этой функции, пользуясь исключительно симво-
лами, введенными в определениях 1, 2, 3, и 6. Так, напр., именами
приведенных выше в качестве примера четырех пропозициональных
вольным переменным и т. д.), а затем просто постулировать, что «х есть пропо-
зициональная функция» означает то же, что и «существует такое натуральное
число п, что х есть пропозициональная функция п-той степени». Можно бы
также преобразовать .определение 10 в эквивалентное ему нормальное опреде-
ление, сделав это хотя бы следующим образом:
х есть пропозициональная функция тогда и только тогда, когда для ка-
ждого класса X, удовлетворяющего следующим четырем условиям, (а)
если к и I являются натуральными числами, отличными от 0, то ikjGX
(Р) если у^Х, то у Е X ; (у) если уеХ и zeX, то y+zeX; (5) если к являет-
ся натуральным числом, отличным от 0 и уЕХ, то и у G X — спра-
ведлива также формула хеХ.
Следует заметить, что рекурсивные определения типа 10 вызывают гораздо
более серьезные сомнения, нежели обычные индуктивные определения, так как,
в противоположность этим последним, не всегда удается преобразовать их в
эквивалентные им нормальные определения (см. примечание 26) Го, что в рас-
сматриваемом случае подобное преобразование возможно, объясняется специ-
фическими свойствами фигурирующих в определении понятий (именно том\
обстоятельству, что каждое выражение состоит из конечного числа выражений
и что операции, приведенные в условиях (р)-(6), всегда ведут от более коротких
к более длинным выражениям). Если, тем не менее, я в настоящей работе неод-
нократно привожу определения подобного типа вместо эквивалентных им нор-
мальных определений (определения 10, 11. 14, 22 и 24), то делаю это потому,
что эти определения обладают важными преимуществами совершенно иного
рода: они яснее выявляют содержание определяемых понятий, нежели нормаль-
ные определения, при этом они не требуют предварительного введения вспомо-
гательных понятий, порою бесполезных (напр.. понятия пропозициональной
функции я-ой степени) — в отличие от обычных индуктивных определений.
48
А. Тарский
функций являются соответственно символические выражения «1] 2»,
« 1[ з », «I] 3+I3 1» И «Р| jlj 2 ».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. vk является свободной переменной (действи-
тельной) пропозициональной функции х тогда и только тогда, когда
к является натуральным числом, отличным от 0, а х есть пропози-
циональная функция, выполняющая одно из четырех следующих ус-
ловий: (а) существует такое натуральное число I, что х = и/ или
х= iitk; (Р) существует такая пропозициональная функция у, что vk
есть свободная переменная функции у и при этом X = у ; (у) суще-
ствуют такие пропозициональные функции у и z, что vk есть сво-
бодной переменной функции у и при этом х - у + z или х = z + у;
(5) существует такое число I, отличное от к и такая пропозицио-
нальная функция у, что vk является свободной переменной функции
у и при этом x = Q
Переменные, входящие в состав пропозициональной функции, но
не являющиеся свободными переменными этой функции, обычно
называются связанными переменными (мнимыми)2*.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. х является предложением (или осмысленным
предложением) — символически x^S — тогда и только тогда,
когда х есть пропозициональная функция и при этом никакая пере-
менная vk не является свободной переменной функции х.
Таким образом, напр., выражения Di ii .I’AiAz1*’2,
O1U2112 ’ П1<11 1 +A1U2121)’ являются предложениями, в то
время как функции нj,	li 1	1 He являются
предложениями, поскольку содержат свободную переменную vk.
Символ означает в силу вышеприведенного определения класс
всех осмысленных предложений28 29.
28 См. Hilbert-Ackermann 1928, с. 52-54.
29 Понятия, которые я буду обсуждать в дальнейшем изложении §2, не появля-
ются в самом определении истинного предложения; в то же время я буду ис-
пользовать их в подготовительных обсуждениях в начале §3, обосновывающих
окончательную форму определения, и при формулировании некоторых следст-
вий этого определения (теоремы 3-6 из §3), выражающих характерные и [важ-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	49
Список примитивных предложений алгебры классов будет охва-
тывать две категории выражений. Предложения первой категории
мы получаем, когда принимаем во внимание произвольную систему
аксиом, достаточную для построения пропозиционального исчисле-
ния и включающую в себя знаки отрицания и логической суммы в
качестве единственных констант, а следовательно, систему, состоя-
щую из четырех аксиом:
«ANAppp», «ANpApq», «ANApqAqp» и
«ANANpqANArpArq^,
в этих аксиомах мы заменяем пропозициональные переменные
“д” и “г” на произвольные пропозициональные функции и над полу-
ченными подобным образом выражениями, поскольку они не явля-
ются сразу предложениями, проделываем требуемое количество раз
операцию генерализации, пока не избавимся от свободных перемен-
ных. В качестве примера могут служить предложения:
«ЛДЛПх, 1х ,х, Их ,1х ,х, Пх ,1х ,х,»,
«Пх, Пх, ,ANIx,x, ,А1х,х, ,1х, ,х,» и т. д.
Чтобы получить предложения второй категории, берем в качестве
исходного пункта какую-либо систему аксиом еще неформализо-
ванной алгебры классов, содержащей знак включения в качестве
единственного примитивного выражения30 31, и аксиомы этой системы
переводим на рассматриваемый здесь язык, элиминировав предва-
рительно константы, определенные при помощи включения, и вы-
ражения из области пропозиционального исчисления и р исчисления
функций, отличающиеся значением от универсального квантора,
знака отрицания и знака логической суммы. В качестве примера
предложений этой категории приведу хотя бы
«Пх,/х,х,» и «Пх/Пх, ,Пх, , ,ANlx,х, ,ANIx, ,х, , ,Ix,x, , ,».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. х является аксиомой (примитивным предложе-
нием) тогда и только тогда, когда х выполняет одно из следующих
ные с интуитивной точки зрения][существенно важные]' свойства истинных
предложений. {[56m](l). с. 178, примечание 2.}
30	1
Это является результатом модификации и упрощения в системе аксиом из
труда Whitehead-Russell 1925, с. 96-97; см. Hilbert-Ackermann 1928, с. 22.
Здесь мы имеем ввиду систему постулатов, приводимую в статье Huntington
1904, с. 297 (эту систему мы, тем не менее, подвергли некоторому упрощению,
устраняя, между прочим, некоторые носчулазы экзистенциального характера).
50
А. Тарский
условий: (a) xgS и при этом существуют такие пропозициональные
функции у, z и и, что х является генерализацией одной из четырех
функций: у + у + у, y + (y + z), у + z + (z + у) и у+ z + (и 4- у + (и +
-F z)) ; (Р) х тождественно с одним из пяти предложений:
П1Ч1’ П11и’П1Г|2Аз^1 2 +12,3 + 11,з) 
АОзОз^ЬЗ 12.3 А/114 + 12,4 + 13,4))>
А] АгАз^З,! 13,2 ' А4(Ч. +14,2 +14,з))’
и
А>и2ОП4^+Т^ + 13.4) (Ч7+Ч; + 14,3)) Г|5(Ь.1 +
+ U6<16.» ' ^6,2  Ц,5 )))
Формулируя определение понятия следования, я буду использо-
вать, среди других, фразу «и является выражением, полученным из
пропозициональной функции w подстановкой переменной vk вместо
переменной v{». Интуитивное содержание этой фразы является яс-
ным и простым, несмотря на это определение приобретает несколь-
ко усложненную форму:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. X является выражением, полученным из пропо-
зициональной функции у подстановкой (свободной) переменной vk
вместо (свободной) переменной V/, тогда и только тогда, когда к и I
являются натуральными числами, отличными от 0, а х и у есть
пропозициональные функции, выполняющие одно из шести условий
(а) х = ikk иу = 1//,‘ (р) существует такое натуральное число т, от-
личное от 0, что х = xkm иу = iim либо также х - хт k и х= imj ; (у) V/
не является свободной переменной функции у их ~ у ; (S) существу-
ют такие пропозициональные функции z и t, что x-z и у -1; z
является выражением, полученным из функции t подстановкой пе-
ременной vk вместо переменной V/, (8) существуют такие пропози-
циональные функции z, t и w, что х = z + и, у = t + w, a z и и являют-
ся выражениями, полученными соответственно из функций I и w
подстановкой переменной vk вместо переменной v/; (Q существуют
такие пропозициональные функции z и t и такое натуральное число
т, отличное от к и I, что х — || z, у — | ] t, где z является вы-
Понятие истины в языках дедуктивных наук
51
ражением, полученным из функции I подстановкой переменной
вместо переменной у/2
Таким образом, напр., в силу вышеприведенного определения,
+ Ч.з) и 4,3 + П212,3
выражения: М (t
1 13 3,1
могут быть получены из
функций 1|3, П3(132+Чз) и Чз + П2*2,3
соответственно под-
становкой переменной У[ вместо переменной у2; в то же время вы-
ражение j 1| з не удается получить подобным способом из функ-
ции Р| 212 з ’ как и выражение Р| j i из функции Р|232 ] •
К следствиям данного класса предложений мы относим прежде
всего предложения этого класса, затем все предложения, которые
можем получить из них, применяя к ним произвольное число раз
некоторые четыре операции, а именно операции подстановки, от-
деления и введения и удаления квантора33. Если бы мы хотели про-
делывать эти операции не исключительно над предложениями, а над
произвольными пропозициональными функциями и получать в ре-
зультате также пропозициональные функции, то тогда смысл опера-
ции подстановки целиком определяло бы определение 14, операция
отделения подчинялась бы функциям у и у + z функции z, операция
введения кванторов основывалась бы на образовании функции
32
Вот как выглядит нормальное определение вышеприведенного рекурсивного
определения (ср. примечание 27):
а является выражением, полученным из пропозициональной функции •
подстановкой (свободной) переменной vk вместо (свободной) переменной
vb тогда и только тогда, когда к и I являются натуральными числами
отличными от 0 и когда для каждого отношения R, удовлетворяющего
шести следующим условиям: (а) ч	если т является натуральном
числом, отличным от 0 и от I, то и imj(Rimy (у) если z является
пропозициональной функцией и щ не является свободной переменной
функции z, то zRz, (5) если zRt, то zRt , (е) еспи zRt и uRu: то z-^uRi^ и
(О если т является натуральным числом, отличным от 0, к и /. и zRi. то
nzR\ I t - справедлива также формула xRy:
т I »т
На совершенно иной идее основываются определения подстановки в pa6oia.\
Lesniewski 1929, с. 73 (ТЕ. XLVII) и Lesniewski 1930, с. 20 (Т Е XLVII0).
’’ Ср. Lukasiewicz 1929, с. 159+163. [30 d], с. 46.
52
А. Тарский
у+ | |z из функции у + z (при условии, что Vk не является свобод-
ной переменной функции у), операция удаления кванторов происхо-
дила бы в обратном направлении — от функции у + т к функции
y+z 34. Здесь мы однако стремимся ограничиться исключительно
предложениями (в смысле определения 12), поэтому также модифи-
цируем вышеприведенные операции таким образом, что вместо со-
ответствующих пропозициональных функций будем рассматривать
предложения, являющиеся генерализациями этих функций.
Для упрощения конструкции я вначале определю вспомогатель-
ное понятие следования лг-той степени:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. х является следствием я-ой степени класса
предложений X тогда и только тогда, когда xeS, XczS, п является
натуральным числом и притом либо (а) п=0 и хеХ, либо также п>0
и выполняется одно из следующих пяти условий: (Р) х является
следствием п-1 степени класса X; (у) существуют такие пропози-
циональные функции и uw, предложение у и натуральные числа к и
I, что х является генерализацией функции и, у — универсальной
квантификацией функции w, и удается получить из функции w под-
становкой переменной Vk вместо переменной V/ и при этом у явля-
ется следствием п-1 степени класса X; (5) существуют такие про-
позициональные функции и и w и предложения у и z, что х, у и z яв-
ляются соответственно генерализациями функций и, w 4- и и w, и
при этом у и z являются следствиями п-1 степени класса X; (е) су-
ществуют такие пропозициональные функции и uw, предложение у
и натуральное число к, что х является генерализацией функции
У —универсальной квантификацией функции u+w, vk не
является свободной переменной функции и и при этом у является
следствием п-1 степени класса X; (Q существуют такие пропози-
циональные функции и и w, предложение у и натуральное число к,
что х является генерализацией функции u+w, у — генерализацией
функции и 4- Р'] w > и при этом у является следствием п-1 степени
класса X.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. х является следствием класса предложений X
34 См. примечание 33.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
53
__символически хеСп(Х) — тогда и только тогда, когда существу-
ет такое натуральное число п, что х является следствием п-1 сте-
пени класса X
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. х является доказуемым (принимаемым) пред-
ложением — символически хеТ — тогда и только тогда, когда х
является следствием класса всех примитивных предложений.
Как легко видеть, к принимаемым предложениям в смысле опре-
деления выше, принадлежат как все предложения, которые удается
получить из доказуемых предложений пропозиционального исчис-
ления тем же самым способом, каким примитивные предложения
первой категории (т. е. выполняющие условие (а) определения 13)
получены из аксиом этой науки, так и все известные теоремы не-
формализованной алгебры классов, как только мы предварительно
переведем их на язык, являющийся предметом рассмотрения. Чтобы
в этом убедиться, имитируем в каждом конкретном случае рассуж-
дение из области пропозиционального исчисления или алгебры
классов в метанауке. Так, напр., из известного доказуемого предло-
жения пропозиционального исчисления «ANppy> удается получить *
35 Понятие следствия можно также ввести непосредственно (т е. без помощи
следствия п-1 степени) следующим хотя бы способом:
хеСп(Х) тогда и только тогда, когда XclS и когда каждый класс Y, удов-
летворяющий пяти следующим условиям: (a) At У, (Р) если yeS, у явля-
ется генерализацией функции и, z -генерализацией функции w, и получа-
ется из функции подстановкой переменной vk вместо переменной V/ и
при этом если zeY. то и уе У . (у) если v<eS, у, z и l являются соответст-
венно генерализациями функций и, w T и и и*, и при этом zeY и le Y, то и
уе У , (5) если yeS, и и w являются пропозициональными функциями 
есть генерализация функции и + и , z генерализация функции иэ и
vk не является свободной переменной функции и и при этом ze Y, то и
yeY, (8) если yeS, и и w являются пропозициональными функциями, \
есть генерализация функции u+w, z -- генерализация функции и +
при этом ze Y, то и уе У справедлива также формула ус У.
Стоит заметить, что, преобразуя только что приведенное определение в ре-
курсивное предложение типа определения К), мы получаем предложение, кото-
рое не эквивалентно ни вышеприведенному определению, ни какому-нибудь
еще другому нормальному определению (ср. примечание 27).
54
А. Тарский
упомянутым выше способом предложение | | (ц j + Ц ]); переводя
доказательство этого доказуемого предложения36, показываем по-
очередно, что, в силу определения 13,
П1(4,1+4,1 +4,1), П1(Ч? + (4,1 +4,1))
И
Q J4 1 +4.1 +4.1 + (Ч.1 +(4.1 + 4.1) + (4,1 +4,1)))
являются примитивными предложениями, отсюда, согласно опреде-
лению 15,
П](4,1 +(4,1 + 4,1) + (4,1 +4,1))
является следствием первой степени, в то время как f"] ] (4 1 + 4 1)
является следствием второй степени класса всех примитивных
предложений, а отсюда, по определениям 16 и 17, f~>|1(ti i + 4 1)
явно будет принимаемым предложением.
На примере подобных рассуждений можно представить себе те
трудности, которые возникли бы с момента устранения из аксиом
метанауки содержащихся в них допущений экзистенциальной при-
роды. Не будем говорить уже о том, что после этого аксиомы не га-
рантировали бы нам существования некоторых специальных пред-
ложений, для которых мы стремились показать, что они являются
доказуемыми предложениями; существенно важным является лишь
то обстоятельство, что даже постулируя существование того или
иного конкретного предложения, нам бы не удалось еще обосновать
требуемого его свойства, если бы в доказательстве нам пришлось бы
ссылаться на существование других, как правило, более сложных,
предложений (как это можно видеть хотя бы из доказательства по-
ложения «P|](t1 j +t| ]) еГ», которое мы обрисовали выше). До тех
пор, пока мы бы имели дело со специальными положениями типа
«хе Г», мы могли бы поступать таким образом, что обеспечивали бы
эти положения посылками, гарантирующими существование тре-
буемых для доказательства предложений. Трудности значительно
36 Ср. Whitehead-Russell 1925, s. 101, *2.1.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
55
бы возросли, если бы мы перешли к положениям общего характера,
гласящим, что все предложения некоторой категории являются до-
казуемыми предложениями или — еще более общо — следствиями
данного класса предложений; тогда мы неоднократно должны были
бы включать в посылки общие экзистенциальные допущения, не
слабее тех, которые мы бы устранили из интуитивных соображе-
-37
НИИ .
В связи с вышеизложенным можно было бы стать на ту точку
зрения, что в случае отбрасывания экзистенциальных допущений
определение 17 уже не охватывает всех свойств, связанных с поня-
тием принимаемого предложения. В этом случае возникает пробле-
ма соответствующего «улучшения» вышеупомянутого определения;
точнее, речь идет о конструировании такого определения принимае-
мого предложения, которое было бы эквивалентно определению 17
при экзистенциальных допущениях, а при этом, независимо уже от
этих допущений, влекло бы за собой каждое положение типа «если
выражение х существует, то хе Г», насколько бы лишь соответст-
вующее положение «хе 7» удавалось бы обосновать с помощью рас-
сматриваемых допущений. Я бегло очерчу здесь некоторую попытку
решения это проблемы.
Легко показать, что принятая в метанауке система аксиом имеет
интерпретацию в арифметике натуральных чисел: между выраже-
ниями и натуральными числами удается установить взаимно одно-
значное соответствие, при этом операциям над выражениями и на-
туральными числами можно сопоставить операции над числами с
теми же самыми формальными свойствами. Имея в виду это соот-
ветствие, можно выделить среди совокупности чисел те, которые
сопоставлены предложениям, выделить среди них «примитивные»
числа, ввести понятие «следствия» данного класса чисел и, наконец,
определить «принимаемые» числа как «следствия» класса всех
«примитивных» чисел. Поскольку сейчас мы устраняем из аксиом
экзистенциальные допущения, взаимно однозначное соответствие
исчезает: каждому выражению будет в дальнейшем соответствовать
некоторое натуральное число, но не каждому числу будет отвечать
выражение; несмотря на это можно сохранить ранее установленное
понятие «принимаемого» числа и выделить принимаемые предло-
37
Это легко себе представить на примере теорем 11, 12, 24 и 28 из §3.
56
А. Тарский
жения как такие, которые отвечают «принимаемым» числам. Пробуя
на основе этого нового определения показать, что некоторое кон-
кретное предложение есть доказуемое предложение, мы не будем
уже более вынуждены, как легко дать себе в этом отчет, апеллиро-
вать к существованию каких-нибудь других предложений. Тем не
менее — и это следует особенно подчеркнуть — доказательство бу-
дет и в дальнейшем нуждаться в некотором экзистенциальном до-
пущении, а именно, в допущении, что существует достаточно много
натуральных чисел или, что то же самое, достаточно много различ-
ных индивидов. Таким образом для того, чтобы из нового определе-
ния получить все требуемые заключения, мы должны были бы при-
нять в метанауке т. н. аксиому бесконечности, т. е. принцип, соглас-
но которому класс всех индивидов является бесконечным38. Я не
знаю никакого другого, хотя бы еще менее естественного и более
сложного способа, который привел бы к удовлетворительному ре-
шению поставленной проблемы независимо от вышеуказанной ак-
сиомы.
В связи с понятиями следствия и принимаемого предложения я
упоминал о т. н. правилах вывода. Если имеется в виду именно по-
строение самой дедуктивной науки, а не проведение исследований
этой науки на основе метанауки, тогда вместо определения 17 со-
общается правило, согласно которому разрешается добавлять к нау-
ке в качестве принимаемого предложения каждое следствие аксиом
этой науки. В рассматриваемом случае можно это правило разбить
на четыре правила — соответственно четырем операциям, которыми
мы пользуемся при получении следствий.
Оперируя понятиями предложения и следствия, можно уже вве-
сти в метанауку все самые важные методологические понятия, в ча-
стности, понятия дедуктивной системы, непротиворечивости и
39
полноты .
Определение 18. X является дедуктивной системой тогда и
только тогда, когда Сп(Х) ~Xc:S.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. X является непротиворечивым классом пред-
ложений тогда и только тогда, когда X cz S и когда — для произ-
вольного предложения х — либо х£Сп(Х), либо х £ Сп(Х}.
Ср. Whitehead-Russell 1927, с. 203.
Ср. [ЗОе], в частное in, с. 369. 387-388 и Зуо.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	у]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. X является полным классом предложений то-
гда и только тогда, когда X a S и когда — для произвольного пред-
ложения х либо хеСп(Х) либо х е Си( X).
В дальнейших исследованиях нам пригодится еще одно понятие:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Предложения х и у являются эквивалентными
по отношению к классу предложений X тогда и только тогда, ко-
гда xeS, yeS, ХсХ и когда одновременно х + у&Сп(Х) и
у + х е Си(Х) .
Более подробный анализ введенных в этом параграфе понятий
выходил бы за рамки настоящих исследований.
§3. Понятие истинного предложения в языке алгебры классов
Сохраняя в дальнейшем изложении в качестве объекта исследо-
ваний язык алгебры классов, я перехожу в свою очередь к главной
задаче этой работы — к конструированию определения истинного
предложения.
В первый момент могло бы показаться, что на данном этапе на-
ших исследований эта задача не составляет ни малейших трудно-
стей, что по отношению к формализованному языку дедуктивной
науки “истинное предложение” не означает ничего иного, как
“принимаемое предложение” (“доказуемое предложение”) и что
вследствие этого определение 17 представляет собой одновременно
определение истинного предложения и притом определение чисто
структурного характера. Однако по размышлении мы вынуждены
отвергнуть вышеуказанную точку зрения хотя бы из следующих со-
ображений: никакое согласное с интуицией определение истинного
предложения не должно влечь за собой следствий, противоречащих
закону исключенного третьего, в то время как в области принимав
мых предложений этот принцип не является обязательным — про-
стой пример двух взаимно противоречащих предложений (т. е. та-
ких, что одно является отрицанием другого), из которых ни одно не
является доказуемым предложением, приводит нам хотя бы приво-
димая ниже лемма Е. Таким образом, объемы рассматриваемых по-
нятий не перекрываются; все доказуемые предложения являются,
несомненно, — с точки зрения интуиции — истинными предложе-
ниями (по крайней мере с подобным намерением были сформулиро-
ваны определения 13-17 из §2), но определение истинного предло-
58
А. Тарский
жения, которое мы ищем, должно охватывать кроме этого предло-
40
жения, не являющиеся доказуемыми предложениями .
Попробуем подойти к поставленной проблеме совершенно с дру-
гой стороны, возвращаясь к идее семантического определения из §1.
Как нам уже известно из §2, каждому предложению, принадлежа-
щему к языку алгебры классов, отвечает в метаязыке, с одной сто-
роны, некоторое единичное имя этого предложения структурно-
описательного типа, с другой стороны — некоторое предложение,
равносильное данному предложению; так, напр., предложению
“Пх,Пх, ,А1х,х, ,1х, ,х,” отвечает имя “П1П2(Ч,2 +41)” и
предложение «для любых классов aub — a cz b или Ь с а». Чтобы
выяснить значение понятия истинности по отношению к какому-
нибудь конкретному предложению рассматриваемого языка, мы
можем применить тот же самый метод, которым мы пользовались в
§1 при формулировке предложений (3) и (4), а именно: мы берем
40 п	с
Здесь входит в игру то обстоятельство, что — в противоположность истинно-
му предложению — понятие доказуемого предложения применительно к неко-
торым дедуктивным наукам носит достаточно случайный характер, связанный
главным образом с историческим развитием науки; порою трудно указать объ-
ективные основания, в силу которых мы сужаем или расширяем объем этого
понятия в ту или иную сторону. Так, напр., если речь идет об алгебре классов,
то на основании определения из §2 предложение	2 ’ утверждающее
существование по крайней мере двух различных классов, не принимается — что
будет отражено в лемме Е; подобное предложение не удается вывести из фор-
мальных допущений, на которых основывается труд Шрёдера, поскольку в этом
случае ситуация не вполне ясна (ср. Schroder 1890, с. 245 и 246; 1891, с. 278;
1895, с. 17 и 18); все же в большинстве работ рассматриваемое предложение
фигурирует среди аксиом алгебры логики или представляет собой очевидное
следствие этих аксиом (ср., например, Huntington 1904, с. 297, постулат 10). По
совершенно иным причинам, о которых речь пойдет ниже в связи с теоремой 24
(ср., в частности, примечание 58), было бы желательно включить в доказуемые
утверждения предложение Г1,(П211.2 +U2^2,l	+Ъ,2 +12.з)))*’
что обычно, однако, не делается. К вопросу взаимоотношения обеих понятий:
доказуемого предложения и истинного предложения — мы еще вернемся не-
сколько раз в процессе рассмотрения.
*{Ср. с предложением а, определенным в определении 29. с 74 }
Понятие истины в языках дедуктивных наук	59
схему (2) со стр. 23 и заменяем там символ “х” на имя данного пред-
ложения,	на Имя, представляющее собой перевод данного
предложения на метаязык. Все полученные этим путем доказуемые
предложения, напр.,	2 +12 1) является истинным пред-
ложением тогда и только тогда, когда — для любых классов а и b—
а с b или b ст а”, принадлежат, очевидным образом, к метаязыку и
объясняют точным и согласным с интуицией образом значение
встречающихся в них фраз вида “х является истинным предложе-
нием”. Таким образом, от общего определения истинного предложе-
ния не стоит, в, сущности, требовать большего сверх того, чтобы
удовлетворяя обычным условиям методологической корректности,
оно включало в себя все частичные определения этого типа в каче-
стве частного случая, являясь как бы их логическим произведением;
самое большее, чего можно требовать, это чтобы к объему опреде-
ленного понятия принадлежали только предложения, чтобы потом
на основе построенного определения удавалось доказать всякие ут-
верждения типа “х не является истинным предложением”, в кото-
рых вместо “х” фигурировало имя произвольного выражения (либо
другого предмета), не являющегося предложением.
Если ввести для обозначения класса всех истинных предложений
символ “Иг”, то вышеуказанные постулаты находят свое выражение
в следующем условии:
СОГЛАШЕНИЕ Р. Формально корректным определением символа
“Vr”. сформулированным в терминах метаязыка, мы будем назы-
вать адекватное определение истины, если оно влечет за собой
следующие следствия:
(а) все предложения, которые удается получить из выражения
“xeKr тогда и только тогда, когда р”, подстановкой вместо
символа “х” структурно-описательного имени любого пред-
ложения рассматриваемого языка, вместо же символа "р' -
выражения, представляющего собой перевод этого предлож е-
ния на метаязык;
(Р) предложение ‘'для любого х - если хе Vr, то xeS" (ши, други-
ми словами, PrCLS41/1-
Если бы мы подвергли метаязык и выраженную в нем метанауку процессу
формализации, то точное выяснение смысла разных выражений, фигурирующих
в условии Р, таких как «формально корректное определение символа», «с тру к
60
А. Тарский
Стоит заметить, что вторая часть вышеприведенного условия не
имеет существенного значения: с момента, когда мы располагаем в
метаязыке символом “Иг”, удовлетворяющим условию (а), можно с
легкостью определить новый символ “Ег”', который сверх того вы-
полняет условие (Р); достаточно с этой целью принять, что Vr’ явля-
ется общей частью классов Vr и S.
Если бы рассматриваемый язык содержал лишь конечное, уста-
новленное заранее число предложений, и если бы мы были в со-
стоянии все эти предложения перечислить, то проблема конструи-
рования корректного определения истины не представляла бы ника-
ких трудностей — достаточно было бы с этой целью выполнить
следующую схему: хе Vr тогда и только тогда, когда либо х = х\ и
Р\, либо х = Х2 и р2,  либо х = хп и рп, заменяя в ней соответственно
символы “xi”, “х2”,..., “х„” структурно-описательными именами всех
предложений исследуемого языка, a “pi”, “/?2”,..., “рС — переводами
этих предложений на метаязык. Но по сути дела это не так, предло-
жений в языке содержится бесконечно много, определение, автома-
тически построенное по указанной схеме, должно было бы состоять
из бесконечно многих выражений, а подобных выражений ни в ме-
таязыке, ни в одном другом языке мы сформулировать не в состоя-
нии. Так что наше задание подвергается значительным осложнени-
ям.
Здесь сама по себе напрашивается идея применения рекурсивно-
го метода. Среди предложений языка мы встречаем как раз предло-
жения чересчур разнородные с точки зрения их логической структу-
ры — с совершенно элементарными соседствуют более или менее
сложные. Следовательно, речь шла бы о том, чтобы указать все опе-
рации, с помощью которых более простые предложения соединяют-
ся в более сложные, и установить, как истинность или ложность бо-
лее сложных предложений зависит от истинности или ложности
входящих в их состав более простых предложений; кроме того сле-
довало бы выделить некоторые элементарные предложения, из ко-
торых при помощи указанных операций удалось бы образовать все
турно-описательное имя данного предложения рассматриваемого языка»,
«перевод данного предложения (рассматриваемого языка) на метаязык» — не
причинило бы больших хлопот; при незначительной модификации высказыва-
ния условие само приобрело бы тогда характер нормального определения, при-
надлежащего мета-метанауке.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
61
предложения языка, и указанные выделенные предложения explicate
расклассифицировать на истинные и ложные — хотя бы при помо-
щи частичных определений вышеописанного типа. При попытке
реализации этой идеи мы сталкиваемся однако с весьма существен-
ным препятствием; даже поверхностный анализ определений 10-12
из §2 показывает, что в общем случае более сложные предложения
совсем не являются соединениями более простых предложений;
пропозициональные функции, конечно, получаются подобным обра-
зом из элементарных функций, т. е. из включений; предложения же
мы получаем как некоторые специальные случаи пропозициональ-
ных функций. При подобном состоянии дел не видно метода, кото-
рый позволял бы непосредственно определить рассматриваемые
понятия рекурсивным образом. Зато оказывается возможным введе-
ние некоторого понятия более общей природы, которое применяется
к любым пропозициональным функциям, поддается рекурсивному
определению и будучи примененным к предложениям, приводит нас
непосредственно к понятию истинности; этим условиям как раз
удовлетворяет понятие выполнимости данной пропозициональной
функции данными предметами, а в рассматриваемом случае — дан-
ными классами индивидов.
Прежде всего попробуем уяснить себе на нескольких конкретных
примерах обыденное, «устоявшееся» значение только что указанно-
го понятия. Прием, к которому мы здесь прибегнем, представляет
собой естественное обобщение метода, примененного ранее к поня-
тию истинности.
Самым простым с интуитивной точки зрения является тот слу-
чай, когда данная пропозициональная функция содержит только од-
ну свободную переменную. Тогда о каждом единичном предмете
можно со значением утверждать, что он выполняет, соответственно
не выполняет, данную функцию42. Чтобы выяснить смысл этого
фразы, примем во внимание схему:
для каждого а — а выполняет пропозициональную функцию х
тогда и только тогда, когда р.
и в этой схеме подставим вместо ’ф" данную пропозициональную
функцию (по предварительной замене фигурирующей в ней свобод-
ной переменной на “а”), вместо же “х” — какое-нибудь индивидное
‘ Я пока что абстрагируюсь от вопросов, связанных ст. н. семантической кате-
горией (или типом) переменной; этими вопросами мы займемся в §4
62
А. Тарский
имя этой функции. Подобным образом, все еще в рамках обыденно-
го языка, мы можем, напр., получить следующее высказывание: для
каждого а — а выполняет пропозициональную функцию «х является
белым» тогда и только тогда, когда а является белым (и отсюда, в
частности, заключить, что снег выполняет пропозициональную
функцию “х является белым ”). Читатель, несомненно, столкнулся с
подобной конструкцией уже хотя бы в школьной алгебре, где рас-
сматриваются пропозициональные функции определенного специ-
ального типа, называемые уравнениями, а числа, выполняющие
данные функции, называются корнями уравнений (напр.: 1 является
единственным корнем уравнения «х + 2 = 3»).
Если, в частности, рассматриваемая функция принадлежит к
языку алгебры классов, а соответствующее объяснение фразы «а
выполняет пропозициональную функцию» должно быть сформули-
ровано полностью в терминах метаязыка, то в вышеприведенной
схеме подставляем вместо “р” не саму пропозициональную функ-
цию, но равносильное ей выражение метаязыка, “х” же мы заменяем
на такое единичное имя этой функции, которое также принадлежит
метаязыку. Так, напр., в приложении к функции “Пх< ,1х,х, этот
метод дает следующую формулировку:
для каждого а — а выполняет пропозициональную функцию
2 Ч 2 тогда и только тогда, когда — для произвольного
класса Ь — acb
(отсюда сразу же вытекает, что единственным классом, выполняю-
щим функции “Пх, ,1х,х,является пустой класс).
Полностью аналогично мы поступаем и в том случае, когда рас-
сматриваемая пропозициональная функция содержит две разных
свободных переменных; разница заключается лишь в том, что поня-
тие выполнимости здесь относим не к единичным предметам, а к
парам таких предметов (точнее говоря — к упорядоченным парам).
Этим способом мы получаем, напр., следующую формулировку:
для произвольных а и Ь — а и b выполняют пропозициональную
функцию “х видит у“ тогда и только тогда, когда а видит Ь;
для любых а и b — а и b выполняют пропозициональную функ-
цию 12.3 (т. е. “1х, ,х, , тогда и только тогда, когда a cz b.
Наконец, мы переходим к общему случаю, когда данная пропо-
зициональная функция содержит произвольное число свободных
Понятие истины в языках дедуктивных наук
63
переменных. Чтобы получить единый способ выражения, мы не бу-
дем с этого момента говорить, что данные предметы, но лишь что
данная бесконечная последовательность предметов выполняет
данную пропозициональную функцию. Если мы ограничимся при
этом рассмотрением функций из исчисления классов, то установле-
ние однозначности интерпретации этой фразы облегчит нам то об-
стоятельство, что все переменные, встречающиеся в языке этой нау-
ки, упорядочены (занумерованы). Рассматривая вопрос о том, какие
последовательности выполняют данную пропозициональную функ-
цию, мы будем всегда иметь в виду такого рода однозначную под-
чиненность свободным переменным рассматриваемой функции не-
которых выражений последовательности f при котором каждой пе-
ременной соответствует выражение последовательности с тем же
самым индексом (т. е. переменной vk — выражение у^), на те же вы-
ражения, которые не подчинены никакой переменной, мы вообще не
будем обращать внимания43. Саму процедуру интерпретации лучше
всего пояснить на конкретных примерах. Рассмотрим, напр., уже
упоминавшуюся функцию Р|2Ч 2 ’ эта функция содержит лишь од-
ну свободную переменную v19 поэтому мы рассмотрим только пер-
вые выражения последовательностей. Мы говорим, что бесконечная
последовательность классов /выполняет пропозициональную функ-
цию 2 тогда и только тогда, когда класс f выполняет эту
функцию в первом смысле, т. е. когда — для произвольного класса Ь
— f\ с Ь. Аналогичным образом бесконечная последовательность
43 -	,,
Это упрощение, впрочем, носит чисто технический характер Если оы нам
даже не удалось упорядочить все вообще переменные данного языка в виде по-
следовательности (напр., вследствие того, что в качестве переменных нам было
бы разрешено использовать символы произвольной формы), то и так мы бы
могли занумеровать все знаки, а, следовательно, и все переменные каждо! о вы-
ражения в отдельности, хотя бы ввиду их естественного порядка в выражении:
знак, находящийся наиболее слева, мы бы назвали первым, следующий вторым
и т. д. Подобным образом мы бы опять смогли установить некоторое соответст-
вие между свободными переменными данной функции и выражениями последо-
вательности. Очевидно, что это соответствие было бы изменчивым, зависящим
от формы рассматриваемой функции (в отличие от той упорядоченности, кото-
рую мы описали в тексте); это потянуло бы за собой достаточно значительные
усложнения в формулировке приводимого ниже определения 22, а именно, ус-
ловий (у) и (5).
64
А. Тарский
классов/выполняет пропозициональную функцию 12,3 тогда и толь-
ко тогда, когда классы /и / выполняют эту функцию в первом
смысле, т е. когда / с /. Весь этот процесс может быть описан
следующим образом.
Рассмотрим следующую схему:
последовательность f выполняет пропозициональную функцию
х тогда и только тогда, когда f является бесконечной последо-
вательностью классов и когда р.
Имея данную пропозициональную функцию из алгебры классов,
заменяем в этой схеме символ ‘‘х” на индивидуальное имя (струк-
турно-описательное) этой функции, выраженное в терминах мета-
языка, символ же “р” на выражение, которое получаем из рассмат-
риваемой функции, переводя ее на метаязык и одновременно заме-
няя в ней все свободные переменные vk, vt и т. д. на соответствую-
щие символы ‘7*”, ‘77’ и т. д.
Чтобы сформулировать общее определение выполнимости про-
позициональной функции последовательностью классов, которая
охватывало бы как частные случаи все частичные определения этого
понятия, полученные из приведенной схемы вышеописанным спо-
собом, применим рекурсивный метод. С этой целью, учитывая оп-
ределение пропозициональной функции, достаточно указать, какие
последовательности выполняют включение ц/, а затем установить,
как ведут себя рассматриваемые понятия при выполнении над про-
позициональными функциями одной из трех основных операций:
отрицания, сложения и генерализации.
Специального внимания заслуживает здесь операция генерализа-
ции. Пусть х будет произвольной пропозициональной функцией;
допустим, что мы уже знаем, какая последовательность выполняет
функцию х. Имея в виду интуитивное содержание рассматриваемой
операции, только тогда скажем о последовательности / что она вы-
полняет функцию Q х (где к представляет собой натуральное чис-
ло), когда эта последовательность выполняет саму функцию х и ко-
гда она не перестает ее выполнять в том случае, если каким-либо
способом изменим Л'-тое выражение последовательности, т. е. когда
эти функции выполняют всю последовательность, отличающуюся от
данной последовательности не более чем на А:-том месте. Так, напр.,
функцию 1] 2 выполняет такая и только такая последователь-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	55
ность/ которая выполняет формулу f причем безотносительно
того, как мы изменим второе выражение этой последовательности
(как легко видеть, это возможно только в том случае, когда первым
выражением является пустой класс).
После всех этих выяснений читателю не доставит больших труд-
ностей понимание следующего определения:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Последовательность f выполняет пропозицио-
нальную функцию х тогда и только тогда, когда f является беско-
нечной последовательностью классов, ах — пропозициональной
функцией, удовлетворяющей одному из четырех условий: (а) суще-
ствуют такие натуральные числа к и I, что х=1*,/ и при этом fk cz f;
(Р) существует такая пропозициональная функция у, что х - у и
при этом f не выполняет функцию у; (у) существуют такие пропо-
зициональные функции у и z, что х = у + z и при этом f выполняет
либо у, либо z; (5) существует такое натуральное число к и такая
пропозициональная функция у, что х - у и при этом каждая
бесконечная последовательность классов, отличающаяся от f са-
мое большее на k-том месте, выполняет у44.
Вот примеры применения вышеприведенного определения к
конкретным пропозициональным функциям: бесконечная последо-
вательность f выполняет включение ц 2 тогда и только тогда, когда
44 Нормальное определение, равносильное вышеприведенному рекурсивному
определению, звучит следующим образом (ср. примечания 27, 32 и 35):
Последовательность /удовлетворяет пропозициональной функции д
тогда и только тогда, когда для каждого отношения R, удовлетворяю-
щего следующему условию. для произвольных guy - для того, чтобы gRy
необходимо и достаточно, чтобы g являлось бесконечной последова-
тельностью классов, у пропозициональной функцией и при этом шбо
(а) существуют такие натуральные числа к и I, что у i и при этом
gk(Z gj: либо (Р) существует такая пропозициональная функция г что
у — Z формула gRz при этом не имеет места, либо (у) существуют та-
кие пропозициональные функции z и I, что у = z + / и при этом gRz или
gRt, либо, наконец, (8) существует такое натуральное число к и такая
пропозициональная функция z, что у — z и при этом hRz для каждой
бесконечной последовательности классов И, отличающейся от g самое
большее на k-том месте — также имела место формула/Rx
3- 1094
66
А. Тарский
f\ cz jS, а функция 12 з + 1з 2 тогДа и только тогда, когдаф fi,; функ-
ции Р]2Ч 2 или Р]212 з выполняют те и только те последователь-
ности f в которых /1 является пустым классом, либо /з — полным
классом (т. е. классом всех индивидов); наконец, функции I] ] вы-
полняют каждую последовательность бесконечных классов, а функ-
ции ц 2 • tj 2 не выполняют ни одну из таких последовательностей.
Только что определенное понятие имеет первостепенное значе-
ние для исследований семантики языка; с его помощью удается с
легкостью уточнить смысл целого ряда понятий данной области,
45
напр., понятия денотации, определимости и понятия истины, кото-
рое интересует здесь нас прежде всего.
45 Сказать, что имя х называет данный объект а, это то же самое, что утвер-
ждать, что предмет а (отсюда каждая последовательность, соответственным
выражением которой являегся а) удовлетворяет пропозициональной функции
некоторого определенного типа; в обыденном языке речь идет о пропозицио-
нальной функции, состоящей из трех поочередных частей: из переменной, из
слова «есть» и из данного имени х. Что касается понятия определимости, то я
попробую выяснить его смысл только лишь в одном частном случае. Раздумы-
вая над тем, какие свойства классов мы считаем определимыми (с учетом рас-
сматриваемых здесь систем алгебры классов), мы приходим к следующим фор-
мулировкам:
Мы говорим, что пропозициональная функция х определяет свойство
классов W, тогда и только тогда, когда — для некоторого натурального
числа к — (а) х содержит v* как единственную свободную переменную
или (Р) для того, чтобы бесконечная последовательность классов /удов-
летворяла х, необходимо и достаточно, чтобы fk обладала свойством W;
мы говорим, что свойство классов И7 определимо тогда и только тогда,
когда существует такая пропозициональная функция х, которая опреде-
ляет W.
На основании этих допущений можно, напр.. показать, что определимы та-
кие свойства классов, как “пустота”, обладание только одним элементом, соот-
ветственно двумя, тремя и т. д.; в то же время не является определимым свойст-
во, заключающееся в обладании бесконечным количеством элементов (ср при-
водимые ниже замечания в связи с теоремами 14-16). Также заметно, что при
вышеуказанной интерпретации понятие определимости не зависит вообще от
того, допускает ли формализация науки, являющейся предметом рассмотрения,
возможность конструирования определения (ср. примечание 11). Обширнейшие
Понятие истины в языках дедуктивных наук
67
К понятию истинности мы приходим следующим образом. На
основании определения 22 и предваряющих его рассуждений интуи-
тивной природы нетрудно уяснить, что то, выполняет ли данная по-
следовательность данную пропозициональную функцию, зависит
исключительно от тех выражений последовательностей, которые
соответствуют (по своим индексам) свободным переменным функ-
ции. В крайнем случае, когда рассматриваемая функция является
предложением, и отсюда не содержит вообще свободных перемен-
ных — чего определение 22 совершенно не исключает — выполне-
ние функции последовательностью вообще не зависит от свойства
выражений последовательности. Тогда остаются только две воз-
можности: либо каждая бесконечная последовательность классов
выполняет предложение, либо же такая последовательность его не
выполняет (ср. приводимые ниже леммы А и В). Предложения пер-
вого рода, напр.,	, являются как раз истинными предложе-
ниями’. предложения другого рода, напр., Р)^] 1 ’ можно соответст-
венно назвать ложными предложениями^.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. х является истинным -предложением — симво-
лически xeVr — тогда и только тогда, когда xeS и когда каждая
бесконечная последовательность выполняет х* 46.
замечания на тему определимости можно найти в работе [31] [и в [34]]+ {[56т],
s. 194.}
+ [Недавно J. С. С. McKinsey в статье A new definition of truth (Новое опреде-
ление истины), “Synthese”, т. 7 (1948-1949), с. 428-433, предложил новый метод
определения истины, который в сущности равносилен методу, представленному
в настоящей работе, но основывается на другой идее. ] {[56m], s 194 }
46 Во всей вышеприведенной конструкции можно было бы вместо бесконечны*
последовательностей оперировать конечными последовательностями с пере-
менным количеством выражений. Было бы удобней при этом подвергнуть поня-
тие конечной последовательности некоторому обобщению: в прежней интер-
претации этого термина (ср. с. 40) последовательность, которая содержит «-тос
выражение, должно также содержать все выражения с индексами, меньшими
п — ныне следовало бы от этого постулата абстраг ироваться, называя конечной
последовательностью каждое однозначное отношение, противообласть которого
состоит из конечного количества натуральных чисел, отличных от 0. Модифи-
кация конструкции заключалась бы в том, что из последовательностей, удовле-
творяющих данной пропозициональной функции, были бы удалены все
"лишние" выражения, нс влияющие на отношение удовлетворения: если в
3*
68
А. Тарский
На передний план выдвигается теперь вопрос, является ли только
что приведенное определение, чья формальная корректность не вы-
зывает никаких сомнений, удачным с содержательной точки
зрения — по крайней мере, в том смысле, который был ранее уста-
новлен в соглашении Р. Можно доказать, что ответ на этот вопрос
будет утвердительным: определение 23 является корректным опре-
делением в значении соглашения Р, поскольку влечет за собой все
следствия, указанные в этом соглашении. Однако легко отдать себе
отчет в том (принимая хотя бы во внимание бесконечное количество
упомянутых следствий), что точное и общее обоснование вышеука-
занного факта не вмещается в рамки прежних исследований: для
доказательства пришлось бы построить совершенно новый аппарат,
прежде всего же — после предварительной формализации метанау-
ки, становящей фундамент наших исследований — подняться на
один уровень выше, к мета-метанауке47. Тому, кто не хочет покидать
уровень наших предыдущих обсуждений, остается только эмпири-
ческий путь — проверка указанных свойств определения 23 на ряде
конкретных примеров.
Рассмотрим, например, предложение CliLK11’2’ те'
“Пх,ЛТ1х/ ,NIx ,х,Согласно определению 22, пропозициональ-
ную функцию I] 2 выполняют те, и только те последовательности
функции фигурировали бы как свободные переменные vA)v/ и т. д. (конечно, в
конечном количестве), то в последовательности, удовлетворяющей этим функ-
циям, остались бы исключительно выражения с индексами Л, I и т. д.; так, напр.,
функции i24 удовлетворяли тем и только тем последовательностям классов/
которые состояли бы только из двух выражений /2 и удовлетворяющих фор-
муле /с:/. Достоинства подобной модификации с точки зрения естественности
и согласия с обыденной интуицией очевидны, тем не менее, при тщательной
реализации возникают определенные дефекты логической природы: определе-
ние 22 приобретает гораздо более сложную форму. Что касаегся понятия исти-
ны, то следует заметить, — согласно вышеприведенной концепции — что пред-
ложению, т. е. функции без свободных переменных, удовлетворять может толь-
ко одна последовательность, а именно, “пустая1’ последовательность, не содер-
жащая ни одного выражения; истинными придется тогда назвать такие предло-
жения, которые в сущности удовлетворяют “пустой” последовательности Оп-
ределенная искусственность этого определения будет поражать всех тех. кто не
в достаточной степени освоился со специфическими “приемами”, применяемы-
ми в математических конструкциях.
47 См. примечание 41.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
69
классов / в которых/ с/, ее же отрицание, т. е. функция q 2 —
только те последовательности, в которых Ввиду этого после-
довательность f выполняет функцию Р| q 2 юлько тогда, когда
каждая последовательность g, отличающаяся от/ самое большее на
втором месте, выполняет функцию Q2q 2 , а отсюда справедлива
формула gi<z gy, поскольку g\= f, класс g2 может быть полностью
произвольным, следовательно функцию |^2Ц2 выполняют такие
только последовательности / что — для любого класса b —/с Ь.
Рассуждая далее подобным образом, приходим к выводу, что после-
довательность / выполняет функцию |^J2 q 2 , т. е. отрицание функ-
ции f^|2li 2 ’ тогда, когда существует такой класс Ь, что /<д Ь, а
предложение же P|jtJ2li 2 выполнимо (произвольной последова-
тельностью У) лишь тогда, когда — для любого класса а — сущест-
вует такой класс Ь, что а с Ь. Применяя здесь, наконец, определение
23, получаем сразу же одно из доказуемых предложений, описанных
в условии (а) соглашения Р:
О ] U 2 1| 2 G Vr тогс)а и точько тогда, когда — для произ-
вольного класса а — существует такой класс Ь, что acb.
Отсюда уже с легкостью получаем, воспользовавшись известны-
ми законами исчисления классов, что f^|1U2ri2 является истин-
ным предложением.
Полностью аналогично можем поступить с каждым другим
предложением рассматриваемого языка: конструируя для такого
предложения соответствующее утверждение, описанное в условии
(а), и, применяя тот же самый метод рассуждения, показываем без
малейших трудностей, что это утверждение является следствием
принятого нами определения истины. Во многих случаях, основыва-
ясь исключительно на самых простых законах логики (из области
исчисления высказываний и исчисления классов), из полученных
подобным образом утверждений мы можем получить определенные
заключения относительно истинности или ложности рассматривае-
70
А. Тарский
мых предложений: так, напр.,	2 +11 2) оказывается ис-
тинным предложением, Р)] 11 2 —ложным предложением. По
отношению к другим предложениям, например, к предложению
Р|1Р|2Р]3(11 2 +12 3 +13 1) или ег0 отрицанию, аналогичной про-
блемы решить не удается (по крайней мере до тех пор, пока не при-
бегнем к специфическим допущениям метанауки экзистенциального
характера — ср. с. 44-45); определение 23 не дает само по себе ни-
какого общего критерия истинности предложения48; тем не менее,
однако, благодаря полученным теоремам, смысл соответствующих
фраз типа “xg Vr” становится понятным и однозначным. Следует
также отметить, что и теорема, упомянутая в условии (р) соглаше-
ния Р представляет собой явное следствие обсуждаемого определе-
ния.
В результате вышеприведенных обсуждений читатель получит
несомненную субъективную уверенность, что определение 23, дей-
ствительно, обладает свойством, в котором мы заинтересованы:
удовлетворяет всем условиям соглашения Р. Чтобы сильнее зафик-
сировать и укрепить полученное подобным образом убеждение в
содержательной корректности сконструированного определения,
стоит изучить наиболее характерные законы самой общей природы,
которые удается из него вывести. Стремясь не обременять работы
чисто дедуктивным материалом, я приведу эти законы, опуская под-
робные доказательства49.
ТЕОРЕМА 1 (принцип противоречия). Для любого предложения х —
либо х<£ Vr, либо х &Vr.
48 „	„	„
Это не является, впрочем, по крайней мере с методологической точки зрения,
ни малейшим недостатком рассматриваемого определения, и оно не отличается
в этом отношении от значительной части определений, встречающихся в дедук-
тивных науках.
49 В доказательствах мы основываемся на общих законах логики, на специаль-
ных аксиомах метанауки и на определениях, фигурирующих в теоремах поня-
тий. В нескольких случаях удобно использовать общие свойства понятий след-
ствия, дедуктивной системы и т. д., которые установлены в работе [ЗОе]; нам
разрешается использовать эти результаты, поскольку введенные здесь понятия
предложения и следствия удовлетворяют, как легко показать, всем аксиомам, на
которых основана вышеупомянутая работа
Понятие истины в языках дедуктивных наук	71
Это является почти непосредственным следствием определений
22 и 23.
ТЕОРЕМА 2 (принцип исключенного третьего). Для любого пред-
ложения х — либо хе Vr, либо xeVr
В доказательстве существенную роль играет следующая лемма,
вытекающая изопределений И и 12:
ЛЕММА А. Если последовательность f выполняет пропозицио-
нальную функцию х, а бесконечная последовательность классов g
удовлетворяет следующему условию: для произвольного к — если vk
является свободной переменной функции х, то fk = gk — тогда по-
следовательность g выполняет также функцию х.
Как непосредственное следствие этой леммы и по определению
12 мы получаем лемму В, которая вместе с определениями 22 и 23
легко приводит к теореме 2:
ЛЕММА В. Если xeS и если хоть одна бесконечная последова-
тельность классов выполняет х, тогда каждая бесконечная после-
довательность классов выполняет х.
ТЕОРЕМА 3. Если Ха Vr, то и Сп(Х) cz Vr; отсюда, в частности,
Cn(Vr) cz Vr
Эта теорема доказывается методом полной индукции, основыва-
ясь, главным образом, на определениях 15, 16, 22 и 23; здесь полез-
на также следующая простая лемма:
ЛЕММА С. Если у является генерализацией пропозициональной
функции х, то для того, чтобы каждая бесконечная последова-
тельность классов выполняла х, необходимо и достаточно, чтобы
каждая бесконечная последовательность выполняла у.
Как resume результатов, содержащихся в теоремах 1-3, получаем
(при помощи определений 18-20):
ТЕОРЕМА 4. Класс Vr является непротиворечивой и полной де
дуктивной системой.
ТЕОРЕМА 5. Каждое доказуемое предложение является истин-
ным предложением; т. е. Та Vr.
Вышеприведенные теоремы следуют непосредственно из опре-
деления 17, из теоремы 3 и из леммы D, доказательство которой
(основывающееся, среди других, на определении 13 и лемме С) не
вызывает никаких затруднений:
ЛЕММА D. Каждая аксиома является истинным предложением
Теорему 5 не удается обернуть:
72
А. Тарский
ТЕОРЕМА 6. Существуют истинные предложения, не являющие-
ся доказуемыми предложениями, т. е. Vr cz Т.
Это является непосредственным следствием теоремы 2 и сле-
дующей леммы, точное доказательство которой не совсем простое:
Лемма Е. Как Q f Q, , ij 2 £ 7\ так и ГиЛ/ьг ё 7 50
Как подобное следствие теорем 1,5 и 6 приводим, наконец:
ТЕОРЕМА 7. Класс Тявляется непротиворечивой, но неполной де-
дуктивной системой.
В исследованиях, проводимых в настоящее время в области методоло-
гии дедуктивных наук51 (в частности в работах гёттингенской школы, груп-
пирующейся вокруг г. Гильберта), гораздо более значительную роль, неже-
ли абсолютное понятие истины, о котором до сих пор шла речь, играют
другие понятия относительного характера, охватывающие его как частный
случай, а именно, понятия корректного или истинного в некоторой облас-
ти индивидов а предложения52. Мы имеем в виду — говоря совершенно
обще и неточно — каждое такое предложение, которое было бы истинным в
обыденном смысле, если бы область рассматриваемых индивидов мы сузи-
ли бы до некоторого данного класса а или — немного подробней — если бы
50 Если бы мы включили (как это часто делается — ср примечание 40)
предложение
к принимаемым предложениям, можно было бы вме-
сто леммы Е применить здесь
ЛЕММА Е’. Как ЦП/i, 2 + 121)Й Т,так и	+il2) g Т
Идея доказательства обеих этих лемм та же самая, что и в доказательстве
непротиворечивости и неполноты т. н. узкого функционального исчисления,
которое можно найти в книге Hilbert-Ackermann 1928 на с. 65-68.
51 Читатель, не интересующийся подробней специально понятиями и исследова-
ниями в области методологии дедуктивных наук, может опустить эти фрагмен-
ты §3 и §4, которые напечатаны петитом (в теснейшей связи с основной идеей
настоящей работы находятся единственно примечания, приводимые на с. 80-81)
52 Ср., напр., Hilbert-Ackermann 1928, в частности с. 78-81, и Bernays-Schonfinkel
1928. Следует, однако, заметить, что названные авторы относят рассматривае-
мое понятие не к предложениям, а к пропозициональным функциям со свобод-
ными переменными (поскольку в языке узкого функционального исчисления,
которым они оперируют, предложений в точном значении этого слова нет во-
обще) и в связи с этим вместо термина “корректный” или “истинный” использу-
ется “общезначимый” {allgemeingiiltig}\ ср. в этом контексте вторую из цитиро-
ванных работ, с. 347-348.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
73
мы договорились термины ""индивид”, ""класс индивидов” и т. д. интерпрети-
ровать соответственно как ""элемент класса а”, “подкласс класса а” ит. д.;
если речь идет конкретно о предложениях языка алгебры классов, то выра-
жения типа “Плр” следовало бы интерпретировать как ""для каждого под-
класса класса а — р”, а выражения типа ""1ху” - как “подкласс х класса а
содержится в подклассе у класса а”. Точное определение обсуждаемого по-
нятия мы получим некоторой модификацией определений 22 и 23; как про-
изводные понятия мы введем понятие корректного предложения в области,
состоящей из к элементов и корректного предложения в каждой области
индивидов. Интересно, что — несмотря на большое значение этих терминов
для метаматематических исследований — до сих пор их использовали ис-
ключительно в интуитивном смысле, не пробуя уточнять подробней их зна-
чений5 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Последовательность f выполняет пропозициональную
функцию х в области индивидов а тогда и только тогда, когда а является
классом индивидов, f — бесконечной последовательностью подклассов
класса а, а х — пропозициональной функцией, удовлетворяющей одному из
четырех условий: (а) существуют такие натуральные числа к и I, что x=ikJ
и при этом fka f ; (Р) существует такая пропозициональная функция у, что
х = у и при этом f не выполняет функции у в области индивидов а; (у)
существуют такие пропозициональные функции у и z, что х - у + z и при
этом f выполняет либо у, либо z в области индивидов а; (5) существует
такое натуральное число к и такая пропозициональная функция у, что
х = Г1* и пРи этом каждая бесконечная последовательность g подклассов
класса а, отличающаяся от f самое большее на k-том месте, выполняет у в
области индивидов а.
Определение 25. х является корректным (истинным) предложением в
области индивидов а тогда и только тогда, когда xeS и когда каждая бес-
конечная последовательность подклассов класса а выполняет х в области
индивидов а
53 Исключение представляет собой работа Herbrand 1930, где автор уточняет
понятие истинного предложения в конечной области (с. 108-112) Сопоставляя
определение г. Эрбрана с определениями 25 и 26, приводимыми в тексте, чита-
тель придет, несомненно, к выводу, что здесь скорее имеет место подобие зву
чаний, нежели подобие содержаний, терминов, тем не менее, однако, представ-
ляется возможным, что в применении к некоторым конкретным дедуктивным
наукам и при специальных допущениях в соответствующих метанауках, понятие
г. Эрбрана имеет тот же объем (а, следовательно, и то же самое значение для
математических исследований), что и определенный частный случай понятия,
введенного в определении 25.
74
А. Тарский
Определение 26. х является корректным (истинным) предложением в
области из ^-элементов — символически xeRk тогда и только тогда,
когда существует такой класс а, что к является кардинальным числом
класса а, ах является корректным предложением в области индивидов а.
Определение 27. х является корректным (истинным) предложением в
каждой индивидной области — символически xeR — тогда и только тогда,
когда — для каждого класса а — х является корректным предложением в
области индивидов а.
Опуская в определении 25 формулу «леЗ» и тем самым модифицируя
содержание определений 26 и 27, мы приходим к понятиям более общей
природы, относящимся не только к предложениям, но и к произвольным
пропозициональным функциям.
С примерами приложения определенных понятий к конкретным пред-
ложениям мы встретимся ниже. Для удобства формулировки различных
свойств этих понятий введем здесь еще несколько символических сокраще-
ний.
Определение 28. х=ек тогда и только тогда, когда
х = Пл+11 к,к+1 Т1л+1(Пл+11л+1 А+2 + 1к+1,к + 1к,к+1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. х = а тогда и только тогда, когда
х = 01(П2 2 +^2(l2,l s2))
Как легко видеть, пропозициональная функция устанавливает, что
класс, обозначенный переменной vk, является единичным классом (т. е. со-
стоящим лишь из одного элемента); предложение а, которому предстоит
сыграть большую роль в дальнейших исследованиях, гласит, что каждый
непустой класс содержит в себе, как часть, некоторый единичный класс.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. х= тогда и только тогда, когда либо п = 0 и
X =	£| , либо ntOu
, . . л+1  п I
k	I к
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. X = у„ тогда и только тогда, когда либо п = 0 и х = ро,
либо п* 0 и х -	• Рл .
Как вытекает из определений выше, предложения р„ или у„ (где п явля-
ется любым натуральным числом) утверждают, что существует самое боль-
шее п или ровно п разных единичных классов или — что то же самое —
различных индивидов.
Определение 32. х является количественным предложением (или пред-
ложением о количестве индивидов) тогда и только тогда, когда сущест-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	75
вует такая конечная последовательность натуральных чисел реп члена-
ми. что либо
Теперь я приведу ряд характеристических свойств определенных поня-
тий и важнейших связей, соединяющих их с введенными ранее; среди них
содержатся, между прочим, некоторые результаты более специальной при-
роды, связанные со специфическими свойствами алгебры классов, которые
не удается перенести на другие науки с близкой логической структурой
(напр., теоремы 11-13, 24 и 28).
ТЕОРЕМА 6. Если а является классом индивидов, а к — кардинальным
числом этого класса, то для того, чтобы Ь было корректным предложени-
ем в области индивидов а, необходимо и достаточно, чтобы x^Rk.
Доказательство, наряду с другими, основывается на следующей лемме,
вытекающей из определения 24:
ЛЕММА F. Пусть а и Ь будут двумя классами индивидов, a R пусть бу-
дет отношением, удовлетворяющим следующим условиям: (а) для любых f
и g — если fRg, то f является бесконечной последовательностью подклас-
сов класса a, a g — класса b; (Р) если f является произвольной последова-
тельностью бесконечных подклассов класса а, то существует такая по-
следовательность g, что fRg; (у) если g является произвольной бесконечной
последовательностью подклассов класса Ь, то существует такая последо-
вательность f что fRg; (5) для произвольных f g, f, g’, k и l если fRg,
fRg’, a ku l являются натуральными числами, отличными от 0, то fka f}
тогда и только тогда, когда gk с:/). Тогда если fRg и последовательность f
выполняет пропозициональную функцию х в области индивидов а, то по-
следовательность g выполняет эту функцию также в области индивидов
Ь.
Из вышеуказанной леммы и с помощью определения 25 мы легко полу-
чаем следующую лемму G, которая вместе с определением 26 дает сразу же
теорему 8:
ЛЕММА G. Если классы индивидов а и Ь равномощны и х есть коррект-
ное предложение в области индивидов а, то х является также коррект-
ным предложением в области индивидов Ь.
Теорема 8 (или лемма G) показывают, что объем понятия «предложение,
корректное в области индивидов а» зависит исключительно от одного толь-
ко свойства класса а, а именно, от его мощности; это позволяет понять нам
в дальнейшем исследовании все результаты, относящиеся к указанному по-
нятию, так как их удается вывести непосредственно из соответствующих
теорем, касающихся классов Rk.
76
А. Тарский
С помощью определений 24 и 25 можно обобщить теоремы 1-6 и леммы
А-D, заменяя в них всюду фразы «бесконечная последовательность клас-
сов», «последовательность ... выполняет пропозициональную функцию»,
«истинное предложение» и т. д. соответственно на «бесконечная последо-
вательность подклассов класса а», «последовательность ... выполняет
пропозициональную функцию ... в области индивидов а», «корректное пред-
ложение в области индивидов а», и т. д.; благодаря теореме 8 полученные
подобным образом результаты удается, в свою очередь, расширить на пред-
ложения, принадлежащие к классам Rk. Подобным образом мы приходим,
среди других, к следующим обобщениям теорем 4-6:
ТЕОРЕМА 9. Для любого кардинального числа к — класс Rk является не-
противоречивой и полной дедуктивной системой.
ТЕОРЕМА 10. Для любого кардинального числа к — Т с Rk, в то же время
Rkd. Т.
В связи с теоремой 10 возникает проблема: как следует пополнить спи-
сок примитивных предложений из определения 13, чтобы класс всех след-
ствий этого расширенного класса примитивных предложений совпадал с
данным классом Rfi Теоремы 11 и 12, которые я приведу ниже, содержат
решение этой проблемы и одновременно показывают, что — по отношению
к языку алгебры классов — можно заменить известное нам определение
корректного предложения в области из к элементов (определение 26) на
другое равносильное определение, аналогичное определению доказуемого
предложения (определение 17), и носящее поэтому структурный характер.
ТЕОРЕМА 11. Если к является натуральным числом, а X — классом, со-
стоящим из всех аксиом и из предложений а и ук, то Rk = Сп(Х).
ТЕОРЕМА 12. Если к является бесконечным кардинальным числом, а X —
классом, состоящим из всех аксиом, и из предложения а и из всех предло-
жений yz , где I есть произвольное натуральное число, то Rk-Cn(X).
Доказательство этих теорем основывается главным образом на теоремах
9 и 10 и на трех следующих леммах:
ЛЕММА Н. Для любого кардинального числа к — а е Rk
ЛЕММА I. Если к является натуральным числом, а I есть натуральное
число, отличное от к, то уке Rk и ук£ Rb в то время как gk £ Rk w gz е /?z
ЛЕММА К. Если xeS, а X является классом, состоящим из всех аксиом и
из предложения а, то существует такое предложение у, равносильное
предложению х, относительно класса X, что либо у является количествен-
ным предложением, либо у^ Т, либо, наконец, уеТ
Понятие истины в языках дедуктивных наук
77
Леммы Н и I почти очевидны, в то время как доказательство очень важ-
нои и самой интересной леммы К не совсем просто .
При помощи теоремы 9 и леммы I можно вывести из теоремы 12 сле-
дующее следствие, которое вместе с теоремой 11 делает заметным сущест-
венное различие, возникающее в структуре классов Rk в зависимости от то-
го, является ли кардинальное число к конечным или бесконечным:
ТЕОРЕМА 13. Если к является бесконечным кардинальным числом, то не
существует такого класса X, который бы содержал среди своих элемен-
тов только конечное число предложений, не являющихся аксиомами, и
подтверждал при этом формулу Rk = Cn(X)54 ss.
В качестве легких следствий леммы I, теорем 11 и 12 далее приводятся:
ТЕОРЕМА 14. Если к является натуральным числом, а I есть кардиналь-
ное число, отличное от к, то Rk<Z R{U Rt<Z Rk.
ТЕОРЕМА 15. Если к и I являются бесконечными кардинальными числами,
то Rk = Rt.
ТЕОРЕМА 16. Если к является бесконечным кардинальным числом и xeRk,
то существует такое натуральное число I, что x^Rt (другими словами,
класс Rk содержится в сумме всех таких классов Rj)
Согласно теоремам 14-16 (или лемме I) для каждого натурального числа
к существует такое предложение, которое является корректным в области,
состоящей из к элементов, но не является корректным ни в одной области
другой мощности; с другой стороны, каждое предложение, корректное в
некоторой бесконечной области, является также корректным в каждой бес-
конечной области (безотносительно мощности), также как и в некоторых
конечных областях. Отсюда выводим, что рассматриваемый язык позволяет
выражать такие свойства классов индивидов, как обладание в точности к
элементами, где к является любым натуральным числом; в то же время в
этом языке мы не найдем никаких средств для того, чтобы различить какую-
нибудь специальную разновидность бесконечности (напр., несчетность) и не
сможем также при помощи одного или конечного числа предложений отли-
54 Эта лемма в существенной своей части содержится в результатах, полученных
в работе Skolem 1919, с. 29-37.
55 Идея доказательства этой теоремы та же самая, что и в доказательствах тео-
рем I 24 и 1.25 в работе [ЗОе], с. 377-378. Если бы мы приняли здесь определение
1.3 из этой работы, с. 375, и при этом расширили бы понятие следования, кото-
рым мы оперируем, а именно, добавляя в условии (а) определения 15 слова
‘'либо х является аксиомой \ тогда из теорем 11 и 13 мы могли бы получить
следующее следствие:
для того, чтобы класс Rk был аксиоматизированной дедуктивной систе-
мой, необходимо и достаточно, чтобы к было натуральным числом.
78
А. Тарский
чить друг от друга такие два свойства классов, как конечность или бсско-
56
нечность .
ТЕОРЕМА 17. Если X является классом непротиворечивых предложений,
содержащих среди своих элементов все аксиомы и предложение а, то су-
ществует такое кардинальное число к, что X cz Rk; если при этом X есть
полная дедуктивная система, то X = Rk.
Сопоставляя эту теорему с теоремами 11 и 12, получаем структурное
описание всех полных дедуктивных систем, которые содержат среди своих
элементов все примитивные предложения и предложение а. Следует заме-
тить, что наличие предложения а является существенным: разнообразие
систем, не содержащих этого предложения, является несравненно большим
и исчерпывающее их описание было бы непростым делом56 57.
Дальнейшие исследования касаются корректных предложений в каждой
области индивидов, т. е. принадлежащих классу R.
ТЕОРЕМА 18. Для того, чтобы xeR, необходимо и достаточно,
чтобы — для каждого кардинального числа к — xeRk (другими словами,
класс R является произведением всех таких классов RJ
Эту теорему, представляющую собой непосредственное следствие опре-
деления 27 и теоремы 8, удается существенно усилить с помощью теорем 9
и 16:
ТЕОРЕМА 19. Для того, чтобы xeR, необходимо и достаточно,
чтобы — для каждого натурального числа k —хе Rk.
Отсюда корректность предложения во всех конечных областях влечет за
собой его корректность в каждой области индивидов.
Из теорем 9, 14 и 18 получаем следующие два вывода:
ТЕОРЕМА 20. Для любого натурального числа к — RcRk, в то же время
Rk<zR.
56 Эти результаты, также как и приводимая ниже теорема 19. идут от г. Левен-
гейма; ср. Lowenheim 1915 (в частности, теорема4 нас. 459) и Skolem 1919.
57 Проблемой подобного типа, т. е. структурным описанием всех полных систем
данной науки, я занимался в 1926-28 гг., при этом в применении к различным
дедуктивным наукам (алгебре классов, арифметике действительных чисел, гео-
метрии прямых линий, теории порядка, теории групп); результаты этих иссле-
дований, до сих пор неопубликованные, были доложены на семинарских заня-
тиях по методологии дедуктивных наук, которые я вел в Варшавском универси-
тете в 1927/28 и 1928/29 гг. Ср. Presburger 1929, с. 92-101 (в частности, ссылка 4
на с. 95) [и [35а]. Частичное обсуждение тесно связанных с этой проблемой
других проблем (так же как и дальнейшие библиографические указания) содер-
жат последние публикации автора: [48m] (1) и [52а].]]+ {[56т]. с 205. примеча-
ние 2.}
Понятие истины в языках дедуктивных наук
79
ТЕОРЕМА 21. Класс R является непротиворечивой, но неполной дедук-
тивной системой.
ТЕОРЕМА 22. Т с:R, в то же время R&T
Эта теорема вытекает из теорем 10 и 18 и леммы L.
Лемма L. ае R, в то же время а & Т
То, что а е R, сразу же получаем из леммы Н и теоремы 18; точное до-
казательство второй части леммы несравненно труднее.
ТЕОРЕМА 23. Если х является количественным предложением, moxg R
Доказательство, основанное на лемме I, теореме 18 и определении32, не
представляет трудностей.
ТЕОРЕМА 24. Если X является классом, состоящим из всех примитивных
предложений и предложения а, то R = Сп(Х)-
Легче всего обосновать приведенную выше теорему с помощью теорем
11, 12 и 18. Используя лемму К, получаем отсюда в качестве непосредст-
венного вывода:
ТЕОРЕМА 25. Если хе S, х£ R и х £ R, то существует такое количест-
венное предложение у, которое равносильно предложению х по отношению
к классу R.
Ссылаясь на лемму L и теорему 24, мы оказались в следующей ситуации:
понятие корректного предложения в каждой области индивидов имеет бо-
лее широкий объем, нежели понятие доказуемого предложения, поскольку
предложение а, принадлежа объему первого из этих понятий, не попадает
под объем второго; если, однако, мы пополним список примитивных пред-
ложений именно этим единственным предложением а, то объемы обоих
понятий становятся равными. Поскольку мне кажется правильной и обосно-
ванной тенденция, чтобы — в приложении к алгебре классов — понятия
доказуемого и корректного предложений в каждой области индивидов не
отличались бы по своему объему, то ео ipso" я считал бы желательным
включить предложение а в аксиомы рассматриваемой науки 8.
’ ео ipso (лат.) — этим самым (прим, переводчика)
58 О вышеуказанной тенденции еще будет идти речь в следующем параграфе
Следует напомнить, что Шрёдер, правда, исходя из других предпосылок, пред-
лагал дополнить систему гипотез алгебры классов предложением о (и даже еще
другими предложениями, которые, однако, как нетрудно показать, вытекают
непосредственным образом из предложения а); ср. Schroder 1891, с. 318-349.
Пользуясь случаем, отмечу, что включение предложения а в «формальную»
систему алгебры логики, одной из интерпретаций которой является алгебра
классов, не кажется мне целесообразным, поскольку известны многочисленные
интерпретации этой системы, в которых рассматриваемое предложение не вы-
полняется.
80:
А. Тарский
Остается еще выяснить вопрос отношения абсолютного понятия истин-
ности, введенного в определении 23, к понятиям, которые мы последнее
время исследовали.
ТЕОРЕМА 26. Если а является классом всех индивидов, то для того, что-
бы хе Vr, необходимо и достаточно, чтобы х было корректным предложе-
нием в области а; если же мощность класса а есть кардинальное число к,
то Vr=Rk.
Непосредственное следствие теорем 20 и 26 представляет собой
ТЕОРЕМА 27. R с Vr, в то же время Vr R.
Сопоставляя теорему 26 с теоремой 14 или 11 и 12, приходим к выводу,
что на объем термина «истинное предложение» оказывают существенное
влияние те допущения метанауки, благодаря которым удается установить,
какова мощность класса всех индивидов (и которые в самом доказательстве
теоремы 26 не фигурируют): объем рассматриваемого термина является
одним в случае, когда этот класс конечен, и другим в противном случае; в
первом случае объем зависит даже от того, какова именно мощность обсуж-
даемого класса.
Поскольку, в частности, на основе принятой здесь системы допущений
может оказаться, что класс всех индивидов бесконечен, то теорема 26 в со-
поставлении с теоремой 12 делает возможным структурную характеристику
истинных предложений:
ТЕОРЕМА 28. Для того, чтобы хе Vr, необходимо и достаточно, чтобы
х было следствием класса, состоящего из всех аксиом, из предложения а и
из всех предложений , где I есть любое натуральное число
Вышеприведенная теорема по своей форме могла бы быть очевидным
образом принята за определение истинного предложения; это было бы чис-
то структурное определение, полностью аналогичное определению 17 дока-
зуемого предложения. Стоит, однако, сделать особое ударение на том, что
возможность конструирования определения этого типа является вообще
случайным явлением: мы обязаны ей специфическим свойствам рассматри-
ваемой науки (свойствам, которые нашли, среди других, свое выражение в
лемме К, представляющей собой самую существенную посылку в доказа-
тельстве теорем 12 и 28) и — до некоторой степени — сильным экзистенци-
альным допущениям, принятым в метанауке, в то же время, в отличие от
примитивного определения, не похоже, что мы можем усмотреть тут общий
метод конструкции, который удалось бы применить к другим дедуктивным
наукам.
Стоит заметить, что путем анализа теоремы 28 и лемм, из которых эта
теорема вытекает, можно получить общий структурный критерий истины
для всех предложений исследуемого языка: из теоремы 28 легко вывести
Понятие истины в языках дедуктивных наук
81
такой критерий для количественных предложений, а доказательство леммы
К позволяет эффективно сопоставить каждому предложению языка равно-
сильное ему предложение, которое, если оно не будет количественным, яв-
ляется явно истинным или ложным. Аналогичное замечание относится и к
понятию корректности в некоторой, соответственно в каждой, области ин-
дивидов.
Суммируя важнейшие результаты, полученные в этом параграфе,
мы можем утверждать следующее:
для языка алгебры классов нам удалось сконструировать то, на
что мы тщетно покушались в случае обыденного языка, а именно
формально корректное и содержательно адекватное семантиче-
ское определение выражения «истинное предложение»;
используя специфические особенности алгебры классов, нам уда-
лось затем преобразовать это определение в равносильное ему
структурное определение, из которого даже удается получить
общий критерий истинности для предложений исследуемого языка.
§4. Понятие истинного предложения в языках конечного
порядка
Метод конструирования, который я использовал в предыдущем
параграфе при исследовании языка алгебры классов, удается — с
несущественными изменениями — применить для многих других
формализованных языков, даже с гораздо более сложной логиче-
ской структурой. Замечания ниже имеют своей целью подчеркнуть
всеобщий характер этого метода, определить границы его примени-
мости и очертить те модификации, которым подлежит этот метод в
различных случаях конкретных применений.
Я нисколько не намереваюсь уделить внимание в этих исследо-
ваниях всем языкам, которые нам вообще удается себе вообразить
либо которые кто-нибудь когда-нибудь захочет и будет в силах
сконструировать; подобное предприятие с самого начала было бы
обречено на неудачу. По сути дела, в замечаниях, которые я здесь
сделаю, я буду считаться исключительно с языками той же самой
структуры, что и языки, известные нам в настоящее время (в том, не
имеющем, может быть, под собой основания, убеждении, что они
будут представлять собой всегда, как они представляют сейчас, дос-
таточный базис для обоснования всего дедуктивного знания). И да-
82
А. Тарский
же эти языки обнаруживают такое большое различие в своей конст-
рукции, что попытка подвергнуть их совершенно общим, но при
этом точным исследованиям, должна была бы столкнуться со значи-
тельными трудностями. Конечно, это различие скорее «каллиграфи-
ческого» характера: напр., в одних языках встречаются исключи-
тельно знаки констант и переменных, в других мы не в состоянии
обойтись без т. н. технических знаков (скобок, точек и т. д.); в
одних — в качестве переменных мы используем символы точно оп-
ределенной формы, причем форма переменной зависит от ее роли и
значения, в других вместо этого функции переменных выполняют
совершенно произвольные символы, лишь бы они отличались фор-
мой от констант; в одних языках каждое выражение является систе-
мой «линейно упорядоченных» знаков, т. е. следующих друг за дру-
гом в одной строке, в других — знаки, входящие в состав одного и
того же выражения могут находиться на разных уровнях, не только
друг рядом с другом, но и один под другим. Эта «каллиграфия» язы-
ка тем не менее оказывает достаточно сильное влияние на форму
конструкции в сфере метаязыка, что даже при беглом просмотре
предыдущих параграфов, несомненно, бросается в глаза59 60. Уже хотя
бы с этой точки зрения дальнейшее изложение носит общий харак-
тер; в тех же местах, в которых оно приобретает более точную фор-
му, оно будет касаться конкретно описанных языков, построенных
на тот же манер, что и известный нам язык алгебры классов (следо-
вательно, языков без технических знаков, с точно определенной
формой переменных, с линейным упорядочением знаков в каждом
,60
выражении и т. д.) .
59 Ср. тут хотя бы с. 65, в частности примечание 43.
60 т т (Г
Чтобы придать нижеследующему изложению совершенно точную и конкрет-
ную, но при этом достаточно общую форму, достаточно было бы выбрать в ка-
честве предмета исследования язык какой-нибудь полной системы математиче-
ской логики. Ибо такой язык может считаться «универсальным» в том смысле,
что все иные формализованные языки — абстрагируясь от их особенностей
«каллиграфического» свойства — либо являются его фрагментами, либо могут
быть получены из соответствующих фрагментов этого языка путем добавления
тех или иных констант, чьи семантические категории (смотри ниже — стр. 93 и
след.) уже представлены определенными выражениями данного языка; наличие
же или отсутствие подобных констант оказывает, как мы покажем, лишь мини-
мальное влияние на исследование интересующей нас здесь проблемы. JHo тем_
не менее я не_ решился здесь на конкретизацию исследований в укатанном на-
правлении. причем по следующей причине. Единственной известной мне пол-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	33
Работу по конструированию дефиниции истинного предложения
мы в каждом конкретном случае начинаем с построения соответст-
вующего метаязыка и с обоснования основ метанауки, составляю-
щей область исследований. Метаязык, отвечающий нашим потреб-
ностям, должен содержать три группы первичных выражений: (1)
выражения общелогического характера; (2) выражения, равносиль-
ные всем константам языка, который мы избрали в качестве предме-
та исследований, или же достаточные для определения таких равно-
сильных выражений (на основе принятых в метанауке правил опре-
деления); (3) выражения структурно-описательного типа, которые
обозначают отдельные знаки и выражения исследуемого языка, це-
лые классы и последовательности таких выражений или, наконец,
существующие между ними отношения. Необходимость выражений
первой группы очевидна. Выражения второй группы позволяют пе-
реложить каждое конкретное предложение или, в более общем зна-
чении, осмысленные выражения исследуемого языка на метаязык, а
благодаря выражениям общей группы мы можем каждому такому
ной системой математической логики, чья формализация — в отличие, напри-
мер, от системы Whitehead-Russell 1925 — не вызывает никаких возражений и
не оставляет желать ничего лучшего с точки зрения точности,^является система.
построенная г^Лесьненским полностью до сих пор еще не опубликованная (ср.
Lesniewski 1929 и Lesniewski 1930). К сожалению, эта система, ввиду своих спе-
цифических особенностей, представляет собой, как мне кажется, весьма небла-
годарный объект для методологических и семантических исследований. Язык
этой системы не мыслится как нечто потенциально «готовое», но как что-то
«возрастающее»: не предусмотрены заранее различные знаки и языковые фор-
мы, которые могут появиться в аксиомах системы, зато подробно разработаны
правила, позволяющие — по мере разрастания системы — поэтапно обогащать
язык за счет новых выражений и форм; в связи с этим в рамках указанной сис-
темы такие термины, как «предложение», «последовательность», «аксиома»
«истинное предложение», не обладают безотносительным значением и должны
быть соотнесены с актуальным состоянием системы. Формально было бы тяже-
ло даже подвести эту систему под общую характеристику дедуктивных форма-
лизованных наук, приведенную в начале §2. Чтобы при подобном положении
дел приспособить систему г. Лесьневского к нуждам настоящих исследований,
следовало бы подвергнуть ее довольно основательной переработке, что сущесз -
венно расширило бы размеры данной_щ^боты.1~ [В качестве такого языка мы
могли бы взять язык общей теории множеств, о котором будет идти речь в §5 и
который можно было бы обогатить за счет переменных, представляющих собой
имена двух- и трехчленных отношений (произвольной семантической катего-
рии). ]\{[56т], с. 210, примечание 2).
84
А. Тарский
выражению подчинить в метаязыке означающее его единичное имя;
оба эти обстоятельства вместе играют существенную роль при
окончательном формулировании искомой дефиниции. В соответст-
вии с тремя группами первичных выражений полная система аксиом
охватывает три группы предложений: (1) аксиомы общелогического
характера; (2) аксиомы, равносильные аксиомам науки, являющейся
предметом исследований, либо логически более сильные, а во всех
случаях достаточные для (на основе принятых правил доказательст-
ва) обоснования всех предложений, равносильных аксиомам нау-
ки61; наконец, (3) аксиомы, устанавливающие основные свойства
первичных понятий структурно-описательного типа. Мы заимствуем
первичные выражения и аксиомы первой группы (и правила опреде-
ления и доказательства) из какой-либо достаточно развитой системы
математической логики; выражения и аксиомы второй группы зави-
сят по своей природе от специфических свойств исследуемой науки;
что касается, наконец, третьей группы, то соответствующими образ-
цами нас снабжают доказательства §2. Стоит заметить, что две пер-
вые группы первичных выражений или аксиом частично перекры-
ваются, а в тех ситуациях, когда предметом исследования является
математическая логика или некоторый ее фрагмент (как это имело,
например, место в случае алгебры классов), они целиком сливаются
в одну.
С момента построения основ метанауки мы ставим себе в качест-
ве первого задания выделения среди совокупности выражений языка
той особо важной категории, которую образуют пропозициональные
61 Я уже заметил (с. 34-35), что нас здесь интересуют дедуктивные науки ис-
ключительно такого типа, которые не являются «формальными» науками в не-
котором специфическом понимании этого выражения; я упомянул при этом
различные условия интуитивного свойства, которым удовлетворяют исследуе-
мые здесь науки: точно очерченный и понятный для нас смысл константных
выражений, очевидность аксиом, надежность правил вывода. Внешним выраже-
нием этого положения дел является как раз то обстоятельство, что среди пер-
вичных выражений и аксиом метанауки фигурируют, наряду с другими, выра-
жения и аксиомы второй группы: ибо с момента, когда мы считаем понятными
некоторые выражения или верим в истинность некоторых предложений, ничто
не препятствует нам, чтобы по мере потребности мы свободно ими оперирова-
ли. Это касается также правил вывода, которые нам позволено в случае необхо-
димости перенести из науки в метанауку. Мы убедимся в ходе дальнейших ис-
следований, что в данном случае подобная необходимость играет существенную
роль.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	35
функции и, в частности, высказывания. Выражения исследуемых
языков состоят из констант и переменных. Среди констант, число
которых обычно конечно, мы находим, как правило, некоторые зна-
ки из области исчисления высказываний и функционального исчис-
ления, то есть такие, как знак отрицания, логической суммы, логи-
ческого произведения, импликации, а также кванторы всеобщности
и существования — знаки, уже известные нам частично из §2; наря-
ду с ними иногда встречаются и другие знаки, связанные с индиви-
дуальным характером рассматриваемого языка и означающие в ин-
туитивной интерпретации конкретные индивиды, классы или отно-
шения, например, знак включения в языке алгебры классов, который
означает некоторое отношение между классами индивидов. Пере-
менные обычно встречаются в бесконечном количестве; в зависимо-
сти от своей формы и от интерпретации языка они представляют
имена индивидов, классов или отношений (иногда мы имеем дело
также с переменными, представляющими высказывания, так назы-
ваемыми пропозициональными переменными)62. Мы выделяем сре-
ди выражений, образованных из знаков обоих таких родов, прежде
всего примитивные {элементарные) пропозициональные функции,
отвечающие включениям 1*/ алгебры классов1. Подробное описание
формы этих выделенных выражений и установление их интуитивно-
го смысла безусловно зависит от специфических особенностей рас-
сматриваемого языка. Во всяком случае они представляют собой
некоторые группы констант, являющихся именами индивидов, клас-
сов или отношений и представляющих эти имена переменных. Пер-
вый знак такой группы всегда будет именем класса или отношения,
либо соответствующей переменной и называется {пропозициональ-
62 n	i
Во многих языках кроме того фигурируют различные другие категории зна-
ков констант и переменных, в частности, так называемые номинальные функто-
ры, которые в сочетании с переменными образуют сложные выражения, являю-
щиеся именами либо представляющие имена индивидов, классов и отношений
(например, выражение «отец» в разговорном языке или знак дополнения в пол-
ном языке алгебре классов — ср. примечания 7 и 16). Рассматриваемые далее в
данной работе языки не содержат знаков и выражений подобного рода.
{Термин «основная пропозициональная функция» был в [56т], с. 212, переве-
ден как primitive sentential function. A propos меткости этого перевода сам Тар-
ский пишет так: [Было бы правильным называть эти функции основными (или
элементарными) В своих позднейших публикациях автор называет их атомны-
ми формулами. ).]+.{[56m], (1). с. 212, примечание 5}.
86
А. Тарский
ным) функтором данной основной функции^'. остальные знаки мы
называем аргументами. а именно, первым, вторым,..., А'-тым аргу-
ментом — в зависимости от занимаемых мест. Для каждой кон-
станты и переменной исследуемого языка — за исключением кон-
стант из области исчисления высказываний и кванторов — нам уда-
ется построить основную функцию, содержащую этот знак (пропо-
зициональные переменные, даже если они встречаются в языке, не
входят в состав пропозициональных функций в качестве функторов
или аргументов, в то же время каждую из них мы считаем самостоя-
тельной основной функцией). Далее мы рассматриваем так назы-
ваемые основные операции над выражениями, с помощью которых
из более простых выражений удается построить более сложные.
Помимо операции отрицания, логического сложения и генерализа-
ции, известных нам из §2 (определения 2, 3 и 6), имеют значение и
другие аналогично определенные операции, такие как логическое
умножение, образование импликации и тождества, а также партику-
ляризации; каждая из этих операций заключается в том, что перед
рассматриваемым выражением или перед двумя следующими друг
за другом выражениями (в зависимости от рода операции) помеща-
ем какой-либо один из числа включенных в язык констант исчисле-
ния высказываний, либо один из кванторов с непосредственно сле-
дующей за ним переменной. Выражения, которые мы получаем из
основных функций, выполняя над ними произвольное число раз в
63 При этой интерпретации термина «функтор», которую я установил на не-
скольких примерах в примечании 7, отождествление пропозициональных функ-
торов с номинальными аргументами с именами классов и отношений (а именно,
функторов с одним аргументом с именами классов, остальных же — с именами
двух- и трехчленных отношений) кажется искусственным и не отвечающим
интуиции. Это, несомненно, не согласуется с духом и формальной структурой
общеупотребительного языка. В различных же отношениях, в которые я не буду
здесь далее входить, различение этих двух категорий выражений соотноситель-
но с формализованными языками не является, по моему мнению, ни необходи-
мым, ни целесообразным. Впрочем, вся эта проблема носит скорее терминоло-
гический характер и не оказывает никакого влияния на дальнейшее течение
исследований; если у кого-нибудь возникает такое желание, то он можез трак-
товать приведенное в тексте определение функтора чисто формально, абстраги-
руясь от прежней интерпретации этого термина, он может также интерпретиро-
вать в удобном для себя направлении такие термины, как «имя класса» или «имя
отношения», охватывая их областью действия выражения, не являющиеся име-
нами в общеупотребительном значении.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
87
произвольном порядке какую-нибудь из основных операций, мы
собственно и называем пропозициональными функциями. Среди
переменных, встречающихся в данной пропозициональной функ-
ции, можно выделить — хотя бы рекурсивным методом — свобод-
ные и связанные переменные', пропозициональные функции без сво-
бодных переменных обычно называются предложениями (ср. опре-
деление 10-12 из §2).
Далее мы определяем следующие понятия, тесно связанные с де-
дуктивным характером науки, которая составляет предмет рассмот-
рения, а именно, понятия аксиомы, следствия и теоремы. К аксио-
мам мы причисляем, как правило, некоторые высказывания логиче-
ского характера, сконструированные таким же образом, как и ак-
сиомы первой категории алгебры классов (ср. §2, с. 50); однако по-
мимо этого определение аксиомы полностью зависит от индивиду-
альных особенностей исследуемой науки, во многих случаях даже
от случайных факторов, связанных с ее историческим развитием.
Уточняя же понятие следствия, мы вновь используем — mutatis mu-
tandis — формулы из §2: операции, при помощи которых из выска-
зываний данного класса мы образуем их следствия, существенно не
отличаются от операций, упомянутых в определении 15; следствия
аксиом называем теоремами.
После всех этих подготовительных работ мы приступаем уже к
главному нашему заданию — конструированию удачного определе-
ния истинного предложения. Как следует из §3, метод конструиро-
вания, имеющийся в нашем распоряжении, приводит к предыдуще-
му определению другого понятия более общей природы, имеющему
фундаментальное значение для исследований семантики языка: я
имею в виду понятие выполнимости пропозициональной функции
последовательностью предметов. В том же §3 я пытался выяснить
общеупотребительное, «установившееся» значение вышеупомянуто-
го понятия. Я также указал, что при построении его корректной де-
финиции можно воспользоваться рекурсивным методом: с этой це-
лью, учитывая рекурсивное определение пропозициональной функ-
ции и имея в виду интуитивный смысл основных пропозициональ-
ных функций и основных операций над выражениями, достаточно
установить два обстоятельства: (1) какие последовательности вы-
полняют основные функции и (2) как себя ведет понятие выполни-
мости при переходе через какую-либо из основных операций (или
88
А. Тарский
точнее говоря: какие последовательности выполняют пропозицио-
нальную функцию, полученную в результате одной из основных
операций над данными функциями, при допущении, что нам уже
известно, какие последовательности выполняют данные пропози-
циональные функции). С той минуты, как нам удалось уточнить
смысл рассматриваемого понятия, дефиниция истины не доставляет
никаких трудностей: истинные предложения можно описать как
предложения того рода, которые выполнимы произвольной после-
довательностью предметов.
Реализуя только что намеченный план в применении к различ-
ным конкретным языкам, мы тем не менее сталкиваемся с фунда-
ментальным препятствием, причем как раз тогда, когда попробуем
окончательно сформулировать корректное определение понятия вы-
полнимости. Чтобы выяснить природу этих трудностей, следует
предварительно обсудить некоторое понятие, с которым мы не име-
ли возможности столкнуться в процессе предшествующих исследо-
ваний, а именно, понятие семантической категории (или категории
значения).
Это понятие, идущее от Э. Гуссерля, было введено в практику
исследований оснований дедуктивных наук г. Лесьневским. С фор-
мальной точки зрения, роль этого понятия при построении науки
аналогична роли понятия типа в системе Principia Mathematica
гг.Уайтхеда и Рассела, в то время как с точки зрения своего проис-
хождения и интуитивного содержания, оно скорее отвечает (с неко-
торой натяжкой) понятию части речи, известному из грамматики
общеупотребительного языка. В то время как теория типов задумы-
валась главным образом как некоторого рода предохранительное
средство, имеющее целью предохранение дедуктивных наук от воз-
можных антиномий — теория семантических категорий так глубоко
укоренена в фундаментальной интуиции, связанной с осмысленно-
стью выражений, что невозможно вообразить себе научный язык,
предложения которого обладали бы выразительным интуитивным
смыслом, но чье строение не удавалось бы согласовать с рассматри-
„	64
ваемои теорией в том или ином понимании .
64 Ср. здесь Lesniewski 1929, особенно с. 14 и 68; Ajdukiewicz 1928, с. 9 и 148. С
формальной точки зрения, теория семантических категорий довольно далека от
первоначальной теории типов в Principia Mathematica (Whitehead-Russell 1925.
с. 37 и далее), в то время как она мало чем отличается от так называемой упро-
Понятие истины в языках дедуктивных' наук
89
По причинам, о которых уже шла речь в начале параграфа, мы
вынуждены здесь отказаться от приведения точной структурной де-
финиции семантической категории, удовлетворяясь лишь следую-
щей приблизительной формулировкой: два выражения принадле-
жат к одной и той же семантической категории, если (1) сущест-
вует такая пропозициональная функция, которая содержит в себе
одно из этих выражений, или (2) никакая функция, содержащая одно
из этих выражений, не перестает быть пропозициональной функци-
ей при замене в ней этого выражения на другое. Отсюда вытекает,
что отношение принадлежности к той же самой категории является
рефлексивным, симметричным и транзитивным. Используя же так
называемый принцип абстракции* 65, можно все выражения языка,
входящие в состав пропозициональных функций, поделить на клас-
сы без общих элементов, а именно, зачисляя два выражения в один
класс тогда и только тогда, когда они принадлежат одной и той же
семантической категории; каждый такой класс мы называем собст-
венно семантической категорией. В качестве простейших примеров
семантических категорий, встречающихся в различных известных
языках, достаточно привести категорию пропозициональных функ-
ций, затем категории, охватывающие соответственно имена индиви-
дов, классов индивидов, двуместных отношений между индивидами
и т. д.; переменные (либо выражения с переменными), представ-
ляющие имена данной категории, также принадлежат к той же са-
мой категории.
В связи с определением семантической категории возникает сле-
дующая проблема: нужно ли для того, чтобы утверждать, что два
данных выражения принадлежат к одной и той же семантической
категории, принимать во внимание все возможные пропозициональ-
ные функции, содержащие одно из данных выражений, и исследо-
вать их поведение, либо достаточно проследить за относительным
появлением в нескольких или даже только в одном случае? С интуи-
тивной точки зрения ответ несомненен: для того, чтобы два выра-
жения принадлежали одной и той же семантической категории, дос-
.ценной теории типов (ср. Chwistek 1924. с, 12-14, Carnap 1929, с. 19-22), пред-
ставляя собой скорее некоторое ее развитие. [По вопросу взглядов, выраженных
в последнем абзаце текста ср Postscriptum к данной работе (с. 144)]4 {[56m], (1),
с 215, примечание 1}
65 Ср. Carnap 1929. с. 48-50
90	А. Тарский
таточно, чтобы существовала хотя бы одна функция, содержащая
одно из этих выражений и она оставалась бы пропозициональной
функцией после замены этого выражения другим. Этот принцип,
который можно было бы назвать главным принципом теории се-
мантических категорий, мы будем тщательно соблюдать при по-
строении формализованных языков66 67. Его учитывают прежде всего
при уточнении понятия пропозициональной функции: оно также
оказывает существенное влияние на определение операции подста-
новки, т. е. одной из тех операций, с помощью которых из высказы-
ваний определенного класса мы образуем их следствия; так как мы
стремимся, чтобы эта операция, выполненная над произвольным
высказыванием, давала всегда в результате новое высказывание, мы
должны ограничиться подстановкой вместо переменных только та-
ких выражений, которые принадлежат к тем же самым семантиче-
ским категориям, что и соответствующие переменные . С выше-
приведенным принципом тесно связан общий закон, касающийся
семантических категорий пропозициональных функторов: функторы
двух основных пропозициональных функций тогда и только тогда
66 В приложении к различным языкам приведенные в тексте формулировки —
как самого определения семантической категории, так и приведенного только
что принципа — требуют различных поправок и дополнений. В любом случае
они являются чересчур общими, поскольку охватывают и такие выражения,
которым мы обычно не приписываем никакого самостоятельного смысла, и
включают их иногда в те же самые семантические категории, что и осмыслен-
ные выражения (так, например, в языке алгебры классов принадлежали бы к
одной и той же категории выражения «Л», «Пх», и «Мх,хf ,»); по отношению к
этим бессмысленным выражениям теряет свою силу даже, как это легко прове-
рить, главный принцип теории семантических категорий. Этот вопрос не имеет
существенного значения для данных исследований, поскольку мы здесь будем
применять понятие семантической категории не к сложным выражениям, а ис-
ключительно к знакам переменных. С другой стороны, примеры, которые будут
приведены в дальнейшем изложении работы, свидетельствуют о том, что выше-
приведенные формулировки могут подвергаться в конкретных случаях далеко
идущим упрощениям благодаря соответствующему выбору знаков, используе-
мых при построении выражений языка, уже сама форма знака (и даже сложного
выражения) решает судьбу его категории. В связи с этим в методологических и
семантических исследованиях, касающихся конкретного языка, понятие семан-
тической категории может вообще explicite не оказывать влияния.
67 В языке алгебры классов и в тех языках, которые будут подробно описаны в
дальнейшем изложении работы, такими выражениями могут быть только другие
переменные, тем самым объясняется звучание определения 14 из §2.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
91
принадлежат к одной и той же категории, когда число аргументов в
обоих функторах одинаково и когда два произвольные аргумента
этих функций, отвечающие друг другу с точки зрения их места, при-
надлежат к одной и той же категории. Отсюда, в частности, следует,
что никакой знак не может быть одновременно функтором двух
пропозициональных функций с различным числом аргументов, ни
также таких двух функций (даже с тем же самым числом аргумен-
тов), у которых два аргумента, занимающие соответственно одина-
ковые места, принадлежат к разным категориям.
Нам требуется еще определенная классификация семантических
категорий: каждой категории приписываем некоторое определенное
натуральное число, называемое порядком этой категории; этот по-
рядок мы приписываем одновременно всем выражениям, охваты-
ваемым данной категорией68 69. Смысл рассматриваемого термина
удается установить индуктивным способом. Имея в виду только те
языки, с которыми мы далее встретимся в процессе дальнейшего
исследования, и, учитывая исключительно семантические категории
переменных, мы заключаем с этой целью следующее соглашение:
(1) первый порядок мы приписываем только именам индивидов и
представляющим их переменным; (2) выражениями порядка и+1,
где п есть произвольное натуральное число, мы называем функторы
всех основных функций, все аргументы которых имеют самое боль-
шее и-тый порядок, и хотя бы один из них — точно и-тый порядок.
Всем выражениям, принадлежащим к данной семантической кате-
гории, соответствует в силу вышеприведенного условия тот же са-
мый порядок, называемый ввиду этого порядком рассматриваемой
категории . В то же время порядок нисколько не определяет кате-
68 Ср. здесь Carnap 1929, с. 31-32.
69 Вышеуказанная классификация ни в коей мере не охватывает всех семантиче-
ских категорий, встречающихся в формализованных языках. Не входят, напри
мер, в ее область пропозициональные переменные и функторы с пропозицио-
нальными аргументами — а следовательно, знаки, появляющиеся в исчислении
высказываний, ни также никакие знаки того рода функторов, которые вместе с
соответствующими аргументами образуют выражения иной категории, нежели
пропозициональные функции, такие, например, как номинальные функторы, о
которых я вспоминал в примечании 62.
Кроме того, можно было бы расширить приведенное в тексте определение
порядка следующим образом: (1) первый порядок мы бы приписали высказыва-
ниям и именам индивидов, а также представляющим их выражениям; (2) к вы-
92
А. Тарский
гории: каждое натуральное число, большее 1, может быть порядком
многих категорий: так, например, выражениями второго порядка
являются как имена классов индивидов, так и имена двух-, трех- и
многоместных отношений между индивидами.
Пропозициональные функции языка удобно расклассифициро-
вать в соответствии с семантическими категорий фигурирующих в
этих функция свободных переменных: а именно, о двух функциях
мы скажем, что они имеют тот же самый семантический тип, если
число свободных переменных каждой семантической категории од-
но и то же в обеих функциях (или, другими словами, если свобод-
ным переменным одной функции можно поставить в одно-
однозначное соответствие свободные переменные другой функции,
и при этом таким образом, что каждой переменной соответствует
переменная той же самой категории); класс всех пропозициональ-
ных функций, имеющих тот же самый тип, что и некоторая данная
функция, можно назвать семантическим типом.
Термином «семантическая категория» мы порой пользуемся в
переносном значении, приспосабливая его не к выражениям языка, а
ражениям порядка я+1 мы бы причислили того рода функторы с произвольным
числом аргументов <п, которые вместе с этими аргументами образуют выраже-
ния порядка <п, а при этом сами не являются ни выражениями я-того, ни также
низшего порядка. И это определение не охватывает еще всех осмысленных вы-
ражений, фигурирующих в дедуктивных науках. А именно, не попадают в сферу
ее действия всевозможные знаки, «связывающие» переменные (такие как кван-
тор, знаки “Z” и “П” из теории множества и анализа, либо знак интеграла), зна-
ки, которые — в отличие от функторов — можно было бы назвать операторами
(фон Нейман использует с этой целью термин «абстракция», см. von Neumann
1927). В то же время вышеприведенная классификация полностью приспособ-
лена к системе [г. Лесьневского, о которой речь шла в примечании 60]*
[созданной и описанной Лесьневским в Lesniewski 1929 и 1930]+, так как эта
система содержит операторов вообще, за исключением одного только квантора
всеобщности, не причисляемого ни к какой семантической категории. Замечу,
что отсутствие операторов представляет, по моему мнению, некоторый недоста-
ток обсуждаемой системы, который ограничивает до некоторой степени ее
«универсальный» характер [; в отношении большого значения этих знаков для
математических исследований было бы чрезвычайно желательным соответст-
вующее расширение приведенной системы]* [(в смысле, о котором шла речь в
примечании 60, с. 83)]+. {[56m], s. 218, примечание 2}.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
93
к обозначенным этими выражениями предметами; подобного рода
«гипостазы» не являются полностью правильными с логической
точки зрения, однако они упрощают формулировку многих мыслей.
Подобным образом мы говорим, например, что все индивиды при-
надлежат к одной и той же семантической категории и что никакие
ни классы, ни отношения к этой категории уже не принадлежат. Из
приведенного выше общего закона, касающегося пропозициональ-
ных функторов, мы выводим, что два класса принадлежат к одной и
той же категории тогда и только тогда, когда все их элементы при-
надлежат к одной категории; два двуместных отношения принадле-
жат к одной и той же категории тогда и только тогда, когда их об-
ласти принадлежат к одной и той же категории и когда противооб-
ласти также принадлежат к одной категории; в частности, две по-
следовательности принадлежат к той же самой категории тогда и
только тогда, когда все их выражения принадлежат к одной и той же
категории; класс и отношение или два отношения с разным числом
мест никогда не принадлежат к той же самой категории. Отсюда
далее следует, что не может существовать класс, элементы которого
принадлежали бы к двум или более семантическим категориям;
схожим образом не может существовать последовательность, кото-
рая бы содержала выражения разных семантических категорий.
Иногда индивиды называются предметами первого порядка, классы
индивидов и существующие между ними отношения — предметами
второго порядка и т. д.
Уже язык полной системы логики должен содержать — актуаль-
но или потенциально — все возможные семантические категории,
встречающиеся в языках дедуктивных наук. Именно эта особен-
ность придает упомянутому языку в некотором смысле «универ-
сальный» характер и является одним из факторов, которым логика
обязана своим фундаментальным значением для всей совокупности
дедуктивного знания. В различных фрагментарных системах логики
и в иных дедуктивных науках разнообразие семантических катего-
рий может быть существенно ограничено — как в отношении числа,
так и порядка. Как мы убедимся далее, степень трудностей, которые
мы должны преодолеть при конструировании верного определения
истинного предложения в отношении того или иного конкретного
языка, зависит, прежде всего, от этого разнообразия фигурирующих
в языке семантических категорий — точнее говоря, от того, принад-
94
 А. Тарский
лежат ли выражения, в частности переменные исследуемого языка, к
конечному или же бесконечному числу категорий, в последнем же
случае еще и от того, ограничены ли сверху или нет порядки этих
категорий. С этой точки зрения мы можем выделить четыре рода
языков: (1) языки, в которых все переменные принадлежат к одной и
той же самой семантической категории; (2) языки, в которых число
категорий, охватывающих переменные, больше 1, но конечно; (3)
языки, в которых переменные принадлежат к бесконечному количе-
ству различных семантических категорий, но порядок этих пере-
менных не превышает некоторого, заранее данного натурального
числа л; наконец, (4) языки, содержащие переменные произвольного
высокого порядка. Языки первых трех родов мы будем называть
языками конечного порядка в отличие от языка четвертого рода —
бесконечного порядка', языки конечного ряда можно было бы далее
расклассифицировать на языки первого, второго порядка и т. д. — в
зависимости от наивысшего порядка, встречающихся в языках пе-
ременных. Дополняя очерк структуры метаязыка, описанной в нача-
ле параграфа, здесь следует отметить, что метаязык, на основе кото-
рого мы проводим исследования, должен обладать, по крайней мере,
всеми теми семантическими категориями, которые представлены в
языке, являющемся предметом исследования: это необходимо с того
момента, как мы стремимся сделать возможным для себя перевод с
70
произвольного языка на метаязык .
Простейшими с точки зрения логической структуры являются
языки первого порядка. Типичным их примером может служить из-
вестный нам язык алгебры классов. Мы видели в §3, что в отноше-
нии конкретного языка определение выполнимости пропозицио-
нальной функции последовательностью предметов и тем самым де-
финиция истинного предложения не представляет больших трудно-
стей. Описанный там метод конструкций удается целиком приме-
нить к другим языкам первого рода. Ясно, что в деталях могут воз-
никать некоторые отклонения; в частности, вместо последователь-
ностей классов мы оперируем по мере потребности другими видами
последовательностей, например, последовательностями индивидов
или отношений, в зависимости от интуитивной интерпретации и
семантической категории встречающихся в языке переменных70 71.
70 Здесь используются — mutaiis mutandis — замечания, сделанные в сноске 61.
71 Некоторые сложности, которых я нс буду здесь далее обсуждать, появляются
Понятие истины в языках дедуктивных наук	95
Стоит обратить внимание на специальный простой пример язы-
ков первого рода, а именно, на язык обычного исчисления высказы-
ваний, расширенный путем добавления кванторов72, простота этого
языка заключается, между прочим, в том, что понятие переменной
пересекается с понятием примитивной пропозициональной функ-
ции. В метанауке исчисления высказываний приводятся, как извест-
но, два разных определения теоремы, эквивалентность которых, по
крайней мере, не очевидна: одно, основанное на понятии следования
и аналогичное определению 15-17 из §2, и второе, связанное с поня-
тием двузначности матрицы; благодаря второму определению, зная
форму произвольного высказывания, мы легко можем проверить,
является ли оно теоремой73. Таким образом, конструируя для рас-
сматриваемого языка определение истинного предложения согласно
формулам §3, мы легко убеждаемся, что оно представляет собой
простое преобразование второго из упомянутых определений теоре-
мы и — что следует отсюда — что в данном случае оба термина
«теорема» и «истинное высказывание» имеют ту же самую область;
это дает нам, помимо всего прочего, общий структурный критерий
истины в применении к предложениям обсуждаемого языка. Поло-
женный в основу данной работы метод конструирования можно бы-
ло бы, следовательно, считать в некотором смысле обобщением ме-
тода матриц, известного из исследований по исчислению высказы-
ваний.
Серьезные трудности возникают лишь при изучении языков го-
раздо более сложной структуры, например, языков второго, третьего
и четвертого порядков. Как следствие нам придется заняться анали-
зом этих трудностей и описанием метода, дающего возможность
хотя бы частично их преодолеть. Чтобы сделать исследование как
можно более прозрачным и точным, я рассмотрю немного подроб-
ней несколько конкретных формализованных языков — по одному
из каждого рода; я позабочусь о выборе возможно более простых
тогда, когда в рассматриваемом языке встречаются наряду с выражениями пе-
ременных также сложные выражения той же самой семантической категории; в
качестве примера может служить полный язык алгебры классов, о котором я
уже упоминал в примечании 16, либо язык системы арифметики, исследованный
в статье Presburger 1929 (см. также примечание 62).
72 Ср. Hilbert-Ackermann 1928, s. 84-85; Lukasiewicz 1928, s. 154 и ниже; [30d],
§4.
См.примечание 72.
96
А. Тарский
примеров, свободных от всех несущественных, второстепенных
сложностей, и при этом настолько типичных, чтобы упомянутые
трудности проявились на их основе во всем своем диапазоне и ярко-
сти.
Язык, который будет нам служить в качестве примера языков
второго рода, может быть назван языком логики двуместных отно-
шении4. Единственными константами этого языка являются знак
отрицания “7V”, знак логической суммы “Я” и квантор общности
“П”. В качестве переменных мы воспользуемся знаками “х,”, “х,
“х,,и “А,”, “X,“X,,	. Знак, состоящий из символа
“х” и из к малых нижних штрихов, мы называем к-ой переменной
первого порядка и обозначаем символом “Р*”; знак, образованный
аналогичным образом из символа “А”, носит имя называем к-ой пе-
ременной второго порядка, символически “v*.”. В интуитивной ин-
терпретации переменные первого порядка представляют собой име-
на индивидов, в то время как переменные второго порядка — имена
двуместных отношений между индивидами; с интуитивной и, сле-
довательно, как впрочем и в согласии с дальнейшим описанием
языка, формальной точки зрения, знаки “v*” и “Р*” принадлежат к
двум разным семантическим категориям. За примитивные пропози-
циональные функции мы считаем выражения типа «Ауд», где вместо
“А” фигурируют произвольные переменные второго порядка, вместо
же “у” и “2” — переменные первого порядка. Эти выражения мы
читаем: «индивиду находится в отношении А к индивиду z» и обо-
значаем — в зависимости от формы переменных — символами
пользуясь знаком “гэ”, известным из §2 (с. 41-43), мы пола-
гаем, что: ркхт ~	Определения основных операций над
выражениями, пропозициональных функций, предложения, следо-
вания, доказуемого предложения и т. д. полностью аналогичны оп-
ределениям §2. Следует, однако, все время иметь ввиду, что в рас-
сматриваемом в настоящий момент языке встречаются две различ-
ные категории переменных и что роль включения ц,/ играют выра-
жения Pkj.m- В связи с первым из вышеупомянутых обстоятельств
вместо одной операции генерализации (либо партикуляризации, оп-
74 Это некоторый фрагмент языка алгебры отношений, обоснование которому
дано в работе Schroder 1895 — фрагмент, достаточный тем не менее для выра-
жения каждой мысли, которую удается сформулировать в упомянутом языке
(см. примечание 16).
Понятие истины в языках дедуктивных наук	дз
ределения 6 и 9) мы рассматриваем две аналогичные операции: ге-
нерализация (партикуляризация) в отношении переменной первого
порядка и второго порядка, результаты которых обозначаем соот-
ветственно символами “А* х ” и “А* х ’’ (либо "U* х” и “U* х”);
подобным образом вводим две операции подстановки. К аксиомам
логики отношений мы причисляем предложения, выполняющие ус-
ловие (а) определения 13, а затем подстановочные случаи аксиом
исчисления высказываний и генерализации этих подстановочных
случаев, кроме того, все предложения, являющиеся генерализация-
ми выражений типа
U* А/ Аот (ркут  у + ркут  у},
где к,1 и т являются произвольными натуральными числами (/ ту
у же — произвольной пропозициональной функцией, не содержа-
щей свободной переменной Vk, аксиомы этой последней категории
ввиду их интуитивного смысла можно было бы назвать псевдоопре-
делениями .
Чтобы получить корректное и удачное определение выполнимо-
сти в отношении исследуемого языка, нам прежде предстоит не-
сколько углубить прежнее интуитивное знакомство с этим поняти-
ем. На начальном этапе оперирования вышеупомянутым понятием
мы говорили о выполнении пропозициональной функции одним,
двумя, тремя и т. д. предметами — в зависимости от числа фигури-
рующих в данной функции свободных переменных (см. с. 60-61).
Понятие выполнимости носило в то время с семантической точки
зрения заметно неоднозначный характер, так как охватывало отно-
шения с разным числом мест — отношения, последняя область ко-
торых представляла собой некоторый класс пропозициональных
функций, а остальные области состояли — в случае рассматривае-
мого тогда языка алгебры классов — из предметов одной и той же
категории, а именно, из классов индивидов. По существу мы имели
5 Этот термин идет от г. Лесьневского. который обратил внимание на необхо-
димость включения псевдоопределений в аксиомы дедуктивной науки в ю.м
случае, когда формализация науки не допускает возможности конструирования
соответствующих определений (см. примечание 11). Псевдоопределения можно
было бы истолковать как суррогат т. н. аксиом редукции, фигурирующих в сис-
теме Whitehead-Russell 1925, с. 55 и ниже; нетрудно было бы также заметить
связь между этими предложениями и некоторой группой аксиом, принятых в
работе von Neumann 1927, с. 18.
4 - 1094
98
А. Тирский
дело не с одним понятием, а с бесконечным количеством аналогич-
ных понятий разных семантических категорий; если бы мы подверг-
ли метаязык процессу формализации, то мы должны были бы вме-
сто одного термина «выполняет» использовать бесконечно много
разных терминов. Семантическая многозначность рассматриваемого
понятия еще более возрастает с того момента, когда мы переходим к
языкам с более сложной логической структурой. Ибо продолжая
исследования интуитивной природы из §3, анализируя приведенные
там примеры и конструируя по их образцу новые, мы легко отдаем
себе отчет, что между свободными номинальными переменными
пропозициональной функции и выполняющими эти функции пред-
метами имеет место точное семантическое соответствие: каждая
свободная переменная принадлежит к той же самой семантической
категории, что и имя соответствующего ей предмета. Если же среди
переменных языка представлены хотя бы две разные категории —
как это имеет место в исследуемом в настоящее время случае, то,
говоря о выполнении функций этого языка предметами, нельзя ог-
раничиться рассмотрением предметов только одной категории; об-
ласти отдельных отношений, которые охватываются термином «вы-
полнимость», теряют свою семантическую однозначность (послед-
няя область состоит, как и ранее, исключительно из пропозицио-
нальных функций). Поскольку же семантическая категория отноше-
ния зависит не только от числа областей, т. е. от числа мест отноше-
ния, но и от категории этих областей, то, следовательно, категория
понятия выполнимости, а скорее отдельных таких понятий, зависит
как от числа, так и от категории свободных переменных, встречаю-
щихся в этих пропозициональных функторах, к которым применя-
ются рассматриваемые понятия — словом, от того, что мы назвали
семантическим типом пропозициональной функции: функциям,
принадлежащим к двум разным типам, соответствует всегда два се-
мантически разных понятия выполнимости . Я проиллюстрирую
это на нескольких примерах. О предметах R, а и b мы скажем, что
они выполняют функции р\ 2,з тогда и только тогда, когда R есть от-
76 Впрочем, и функциям одного семантического типа может отвечать несколько
семантически разных понятий выполнения, насколько лишь фигурирующие в
этих функциях переменные имеют право принадлежать, по крайней мере, двум
семантическим категориям; ибо кроме числа и категории переменных тут играет
роль и их порядок.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	99
ношение, а и b — индивиды и когда aRb (т. е. а находится в отно-
шении R к Ь); функцию р\_2.з' А.2.2 выполняют предметы R, а и 5 то-
гда и только тогда, когда R и 5 являются отношениями, а есть неко-
торый индивид и при этом как aRa, так и aSa. Функцию
Пг Аз(А 2 з + А з 2) выполняют те и только те отношения R, кото-
рые являются симметричными, т. е. такие, что — для произвольных
индивидов а и b — условие: aRb влечет за собой всегда: bRa\ функ-
цию А] (а 23 + Аз,2) выполняют те и только те индивиды а и Ь,
которые удовлетворяют условию: для произвольного отношения
R — если aRb, то и bRa, а следовательно являются тождественными.
В вышеприведенных примерах встречались пропозициональные
функции, принадлежащие к четырем разным семантическим типам,
вследствие чего мы имели дело с четырьмя разными отношениями
выполнимости, поскольку число свободных переменных и, как
следствие, число мест отношения было в двух первых случаях то же
самое.
Многозначность семантического понятия выполнимости в его
первоначальной трактовке делала невозможной точную характери-
стику этого понятия в одном или даже в конечном числе предложе-
ний, и таким образом делала невозможной также единственную из-
вестную нам в настоящее время конструкцию определения истинно-
го предложения. Чтобы избежать этой многозначности, мы прибег-
ли при исследовании языка алгебры классов к некоторому приему,
повсеместно, впрочем, используемому в аналогичных ситуациях
логиками и математиками: вместо того, чтобы использовать беско-
нечно много понятий выполнимости пропозициональной функции
отдельными предметами, мы начали оперировать семантически од-
нородным, хотя и несколько искусственным понятием выполнимо-
сти функции последовательностью предметов; это понятие оказа-
лось настолько более общим, чем предыдущие, что — с интуитив-
ной точки зрения — «охватило» их все как частные случаи (впро-
чем, логический характер этого «охватывания» уточнить было бы
несколько затруднительно). Легко сориентироваться, что этот спо-
соб не удается буквально перенести в область настоящих исследо-
ваний. Выполнимость в своем новом истолковании является двуме-
стным отношением, область которого состоит из последовательно-
стей, противообласть же — из пропозициональных функций. Как и
4*
‘100
А. Тарский
ранее, при этом между свободными переменными пропозициональ-
ной функции и соответствующими выражениями выполняющих ее
последовательностей имеет место точная зависимость семантиче-
ской природы. Так как язык логики отношений содержит перемен-
ные двух разных семантических категорий, то мы должны также
пользоваться в исследовании, по крайней мере, двумя категориями
последовательностей. Так, например, функцию П2 Пз(Р1,2 з + Р\ з 2)
выполняют исключительно последовательности двуместных отно-
шений между индивидами (а именно, те и только те последователь-
ности F, первым выражением F\ которых является некоторая сим-
метрическая последовательность); в то же время функцию
П, (р} 2 з + Р\ з 2) выполняют только лишь последовательности ин-
дивидов (при этом такие последовательности /, в которых f2 - /3).
Область отношения выполнимости и ео ipso само отношение вновь
перестают быть семантически однозначными; вновь мы имеем дело
не с одним, а, по крайней мере, с двумя разными понятиями выпол-
нимости. Что еще хуже, при более подробном анализе обнаружива-
ется, что новую интерпретацию понятия выполнимости нам вообще
не удается получить во всей полноте. Ибо зачастую одна и та же
пропозициональная функция содержит свободные переменные двух
разных категорий. По отношению к таким функциям мы должны
были бы оперировать последовательностями, чьи выражения также
принадлежали бы к двум категориям; так, например, первым выра-
жением последовательности, выполняющей функцию Р1.2.3, должно
было бы быть отношение, а двумя следующими — индивиды. Из-
вестно, однако, что теория семантических категорий вообще не до-
пускает существования подобных «неоднородных» последователь-
ностей; следовательно, проваливается вся концепция. Таким обра-
зом, изменение в первоначальной интерпретации понятия выполни-
мости устранило бы лишь одну, второстепенную причину его семан-
тической многозначности — многозначность отношений, состав-
ляющих предмет понятия; в то же время полностью сохранил бы
свою силу иной, значительно более существенный фактор — семан-
тическая разнородность отдельных членов отношения.
Тем не менее, однако, при некотором видоизменении метод, ис-
пользованный в §3, удается приспособить и к этому языку, который
мы в настоящее время исследуем: и в этом случае можно найти та-
Понятие истины в языках'дедуктивных наук
101
кую интерпретацию понятия выполнимости, при которой это поня-
тие теряет семантическую многозначность и при этом принимает
настолько общий характер, что «охватывает» как отдельные случаи
все понятия выполнимости в первоначальном толковании. Здесь мы
даже имеем в своем распоряжении два разных метода; я буду назы-
вать их соответственно методом многорядных последовательно-
стей и методом семантической унификации переменных.
Первый метод заключается в том, что выполнимость мы истол-
ковываем как отношение не двух-, а трехместное, имеющее место
между последовательностями индивидов, последовательностями
двуместных отношений и пропозициональными функциями. А
именно, мы оперируем следующей фразой: «последовательность
индивидов f и последовательность отношений F выполняют совме-
стно пропозициональную функцию х». Интуитивное содержание
этой фразы легко себе представить на конкретных примерах; так.
например, последовательность индивидов f и последовательность
отношений F выполняют совместно пропозициональную функцию
р! 2,з тогда и только тогда, когда индивид^ находится в отношении
F\ к индивиду fi. При формулировании общего определения рас-
сматриваемой фразы мы точно руководствуемся определением 22 из
§3, помня только о том, что роль примитивных пропозициональных
функций играют в рассматриваемом языке выражения pkj,m и что
вместо одной операции генерализации здесь встречаются две родст-
венные операции. Определение истинного предложения полностью
аналогично определению 23.
Вышеприведенный метод можно немного видоизменить, пони-
мая выполнимость как двуместное отношение, имеющее место меж-
ду т. н. двухрядными последовательностями и пропозициональными
функциями. А именно, двухрядной последовательностью (или двух-
рядной матрицей) мы называем каждую упорядоченную пару, со
ставленную из двух последовательностей f и F; £-вое выражение
последовательности f или последовательности F мы называем при
этом it-вым выражением первого по отношению ко второму ряду
рассматриваемой двухрядной последовательности. В данном случае
речь идет о того рода упорядоченных парах, которые состоят из не-
которой последовательности индивидов и некоторой последова-
тельности отношений. Это видоизменение, как легко сориентиро-
ваться, носит чисто формальный характер и не оказывает сущест-
102
А. Тарский
венного влияния на целостность конструкции. Собственно к этому
видоизменению рассматриваемого метода применим термин «метод
многорядных последовательностей».
Чтобы понять метод семантической унификации переменных,
следует исходить из некоторых исследований, не связанных непо-
средственно с исследуемым в настоящее время языком. Известно,
что каждому индивиду а можно сопоставить некоторое определен-
ное двуместное отношение а* и при этом таким образом, что раз-
ным индивидам отвечают разные отношения; достаточно с этой це-
лью принять в качестве а* упорядоченную пару с обоими выраже-
ниями, тождественными с а, т.е. такого рода отношение R, которое
имеет место между двумя индивидами b и с тогда и только тогда,
когда b = а и с = а. Благодаря этому соответствию, можно далее ка-
ждому классу индивидов одно-однозначно сопоставить некоторый
класс отношений, каждому многоместному отношению между ин-
дивидами — соответствующее отношение между отношениями и
т.д.; так, например, произвольному классу индивидов А отвечает
класс А* всех тех отношений а*, которые сопоставлены элементам
а* класса А. Подобным образом каждое предложение, касающееся
индивидов, удается преобразовать в эквивалентное ему предложе-
ние, касающееся отношений.
Имея в виду вышеприведенные факты, мы вернемся к языку ло-
гики отношений и, ни в чем формально не нарушая его структуры,
изменим интуитивную интерпретацию встречающихся в этом языке
выражений. А именно, константы сохраняют свое прежнее значе-
ние, в то время как все переменные, как первого, так и второго по-
рядка, с этого момента представляют имена двуместных отношений
между индивидами. Основным пропозициональным функциям типа
«Ayz», где вместо “JV”, фигурирует какая-нибудь из переменных Vk,
вместо же “у” и “z” — произвольные переменные vt и vm, приписы-
ваем следующий смысл: «существуют такие индивиды а и Ь, что а
находится в отношении X к Ь, у = а* и z = b*»; ввиду этого смысл
составных пропозициональных функций также будет видоизменен.
Интуитивно почти очевидно, что -каждое истинное предложение,
соответственно ложное, в старой интерпретации остается истинным,
соответственно ложным, и в новой. В то же время благодаря новой
интерпретации мы получили то, что все переменные языка принад-
лежат теперь — правда, говоря, не с формальной, но с интуитивной
Понятие истины в языках дедуктивных наук
103
точки зрения — к одной и той же семантической категории; они
представляют выражения одной и той же «части речи». Вследствие
этого рассматриваемый язык можно исследовать в точности тем же
самым методом, что и все языки первого рода; в частности, выпол-
нимость можно трактовать как двуместное отношение между после-
довательностями отношений и пропозициональными функциями.
Здесь возникает небольшая сложность технической природы; по-
скольку в одной пропозициональной функции могут фигурировать
две переменные разных порядков с теми же самыми индексами, на-
пример, У)И без дополнительных допущений неясно, какие вы-
ражения последовательности отвечают переменным первого, а ка-
кие переменным второго порядка. Чтобы устранить эти трудности,
договоримся, например, что каждой переменной vk отвечает выра-
жение последовательности с нечетным индексом 2-£-1, переменной
же Vk — выражение с четным индексом 2 • к; так что, например, по-
следовательность отношений F выполняет функцию рк^т тогда и
только тогда, когда существуют такие индивиды а и Ь, что а нахо-
дится в отношении F2.k к b, F2-k\ = а* и F2.m.\ = b*. Кроме этой де-
тали определения выполнимости и истинного предложения ничем
существенным не отличаются от определения §3.
Оба вышеприведенные метода удается применить ко всем язы-
кам второго рода77. Гак как переменные рассматриваемого языка
принадлежат к п разных семантических категорий, то в методе мно-
горядных последовательностей мы трактуем выполнимость как л+1-
местное отношение, имеющее место между п последовательностями
соответствующей категории и пропозициональными функциями,
или же как двуместное отношение, область которого состоит из
л-рядных последовательностей (т. е. упорядоченных систем п обыч-
77 Это относится даже к таким языкам, в которых встречаются переменные, не
включенные в классификацию на с. 91 (см. примечание 69), некоторые, впро-
чем, не очень существенные трудности, которые могут тут возникнуть, я не на-
мерен далее анализировать. Замечу при случае, чго пропозициональные пере-
менные, несмотря на то, что они фигурируют в языке, не усложняют в целом
конструкции и что, в частности, не стоил их включать в процесс семантической
унификации, так как предложения, содержащие такою рода переменные, удает-
ся полностью устранить из области исследований, поскольку каждому из них
можно однозначно поставить в соответствие эквивалентное предложение, кото-
рое не содержит пропозициональных переменных (см. Hilbert-Ackermann 1928,
с. 84-85).
104
А. Тарский
них последовательностей), противообласть же — из пропозицио-
нальных функций. Конструкции, основанные на этом методе, пред-
ставляют собой наиболее естественное обобщение конструкций §3,
и их существенная корректность не оставляет сомнений.
При использовании метода унификации семантических перемен-
ных существенную роль играет выбор унифицирующей категории,
т.е. той семантической категории, в которой удается интерпретиро-
вать все переменные рассматриваемого языка. От унифицирующей
категории мы требуем только одного: того, чтобы всем предметам
каждой семантической категории, представленным переменными
данного языка, можно было сопоставить «эффективные» предметы
этой выбранной категории и при этом одно-однозначным способом
(т. е. так, чтобы разным предметам отвечали разные же). Помимо
этого выбор унифицирующей категории не всегда так же прост, как
в исследованном выше случае языка логики отношений: не всегда
можно произвести выбор среди категорий, встречающихся в языке.
Так, например, если переменные рассматриваемого языка представ-
ляют имена двуместных отношений между индивидами и классов,
составленных из классов индивидов, то простейшая унифицирую-
щая категория, является, как представляется, категорией двумест-
ных отношений между классами индивидов. Не входя в детальный
анализ этого вопроса (что требовало бы знакомства с некоторыми
фактами из области теории множеств), обращу здесь, однако, вни-
мание на следующие особенности: (1) унифицирующая категория не
может быть более низкого порядка, чем любая категория, представ-
ленная в языке; (2) для каждого языка второго рода можно найти
унифицирующую категорию, и даже бесконечно много таких кате-
горий, притом среди категорий «-го ряда, где п есть наивысший по-
рядок фигурирующих в языке переменных. С момента установления
унифицирующей категории и соответствующей интерпретации при-
митивных пропозициональных функций дальнейший ход исследо-
ваний не обнаруживает никакой разницы по сравнению с методом
конструирования, примененного к языкам высшего рода.
В противоположность методу многорядных последовательно-
стей, рассматриваемый последний метод носит, несомненно, не-
сколько искусственный характер, тем не менее при более детальном
анализе сконструированные этим методом определения приобрета-
ют признаки интуитивной очевидности в степени, немного меньшей
Понятие истины в языках дедуктивных наук	j (js
чем конструкции, основанные на предыдущем методе, и при этом
вдобавок отличаются своей логической простотой. Если речь идет, в
частности, об определении истинного предложения, то доказатель-
ство эквивалентности обеих его формулировок не представляет
трудностей ни в одном конкретном случае. Существенные достоин-
ства метода семантической унификации переменных проявляются
полностью только при исследовании языков третьего рода, где ме-
тод многорядных последовательностей оказывается полностью не-
применимым.
Как типичный пример языков третьего рода мы рассмотрим язык
логики многоместных отношений78. В этой науке мы будем иметь
дело с теми же самыми константами “7V”, “Л” и “П” и с теми же са-
мыми переменными первого порядка vk, что и в логике двуместных
отношений. В то же время мы сталкиваемся здесь с большим, чем в
предыдущем случае, разнообразием переменных второго порядка. В
качестве этих переменных мы будем использовать знаки
"X","X.”,”х'..X.","X"","х".",...,"х'. ","х"","Х'.".",... и т. д.;
символ, составленный из знака “Л”, из к малых нижних штрихов и
из / таких верхних штрихов, мы будем называть к-м переменным
функтором с I аргументов и обозначать символом “ Е/ ”. В интуи-
тивной интерпретации переменные представляют, как и раньше,
имена индивидов, переменные же — имена /-местных отноше-
ний между индивидами, в частности, для / = 1, имена одноместных
отношений, или класс: как с интуитивной, так и с формальной точки
зрения знаки vk, Vk,Vk ,... принадлежат соответственно к бесконечно
многим различным семантическим категориям первого и второго
порядка. К основным пропозициональным функциям мы относим
выражения типа «Лху .г», где вместо “Л” фигурирует произвольный
переменный функтор с / аргументами, вместо же ”х ...,”z ” —
переменные первого порядка в количестве /; эти выражения мы чи
таем: «между индивидами x,y,...,z (в количестве /) имеет место /-
местное отношение X». В зависимости от числа и формы перемен-
78 „
это язык, подобный языку узкого исчисления функций из Hilbert-Ackermann
1928, с. 43 и далее, но, однако, более богатый в том отношении, что переменные
функторы в нем могут встречаться как в роли свободных, так и связанных пере-
менных.
106
А. Тарский
них мы обозначаем примитивные функции символами “а.от”,
“А.т.Л..., а именно, полагая pkm =	рктп = (ИГvтГvт и
т.д.; чтобы получить унифицированную форму обозначения, незави-
сящую от числа переменных, мы используем, кроме того, символы
типа “ р'кр ” (где “р” представляет имя некоторой конечной последо-
вательности натуральных чисел), устанавливая смысл этих символов
при помощи формулы (((v^vpi vp2 )n )nvp| 79. Дальнейшие опре-
деления метанауки ничем не отличаются от аналогичных определе-
ний, относящихся к логике двуместных отношений или даже алгеб-
ры классов. В качестве операций генерализации мы вводим генера-
лизацию по отношению переменной v* и по отношению к перемен-
ной Vk, обозначая соответственно результаты этих операций симво-
лами “ГД х” и “П* х”. Список аксиом включает предложения, вы-
полняющие условие (а) определения 13 из §2 и псевдоопределения,
которые представляют собой естественное обобщение псевдоопре-
делений из области логики двуместных отношений и более деталь-
ное описание которых представляется излишним.
Обратимся теперь к проблеме того, как истолковать для иссле-
дуемого языка понятие выполнимости и сконструировать определе-
ние истины. При попытке использовать здесь метод многорядных
последовательностей нас ждет полное разочарование. В сущности, с
точки зрения вышеприведенного метода термин «выполнимость»
выражает — в той или иной форме — зависимость между п после-
довательностями разных категорий и пропозициональными функ-
циями, где п в точности равно числу семантических категорий,
представленных переменными данного языка. В рассматриваемом в
данный момент случае число п бесконечно велико, а метаязык, ко-
торым мы оперируем — как, впрочем, и каждый из существующих в
настоящее время формализованных языков — не дает нам средств,
которые бы позволили выразить взаимозависимость между предме-
тами, принадлежащими к бесконечно многим различным семанти-
79	/
Строго говоря, смысл символа “ рк р ” следовало бы установить индуктивным
путем.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	107
80
ческим категориям .
В то же время вполне успешно мы можем применить к рассмат-
риваемому языку метод семантической унификации переменных. С
этой целью достаточно заметить, что каждому «-местному отноше-
нию между индивидами R можно одно-однозначно сопоставить не-
который класс R*, состоящий из последовательностей индивидов из
п выражений, а именно, класс f всех последовательностей, удовле-
творяющих следующему условию: между индивидами	име-
ет место отношение R; в частности, например, двуместному отно-
шению R отвечает класс f всех последовательностей из двух выра-
жений /| и7г, таких, чтоЯД. Благодаря этому каждое предложение,
касающееся многоместных отношений, удается преобразовать в эк-
вивалентное предложение, рассказывающее о классах последова-
тельностей. При этом следует помнить, что последовательностями
индивидов мы называем двуместные отношения между индивидами
и натуральными числами; следовательно, все последовательности
индивидов принадлежат, безотносительно числа выражений, к од-
ной семантической категории, поэтому — в отличие от многомест-
ных отношений — классы этих последовательностей также принад-
лежат к одной и той же категории.
Имея вышесказанное в виду, мы частично унифицируем семан-
тические категории переменных следующим образом. Переменным
vk мы приписываем — пока что условно — старые значения; зато
переменные К/ представляют теперь имена любых классов, состав-
ленных из конечных последовательностей индивидов либо из иных
предметов той же самой категории (а, следовательно, имена предме-
тов по крайней мере третьего порядка — в зависимости от порядка,
который мы приписываем натуральным числам)81. Примитивные
80 г>
В этих ситуациях, в которых речь идет о истолковании взаимозависимости
между произвольным, заранее не установленным числом предметов одной и той
же семантической категории, мы пользуемся обыкновенно в логических и мате-
матических конструкциях обычными последовательностями. В отношении
предметов, принадлежащих к конечном} числу различных категорий, аналогич-
ную функцию выполняют многорядные последовательности. Но ничего подоб-
ного «последовательностям с бесконечно многими рядами» (различных семан-
тических категорий) на основе известных языков мы не обнаруживаем.
В системах математической логики, например, в Whitehead-Russell 1927, с. 4 и
далее, обычно кардинальные числа и, в частности, натуральные числа, понима-
ются как классы, составленные из классов индивидов (или иных предметов) — а
108
А. Тарский
функции формы «Аху...д», начинающиеся с функтора с / аргумента-
ми и содержащие затем / переменных первого порядка, мы интер-
претируем как фразы типа «последовательность индивидов, первым
выражением которой есть х, вторым — у,..., /-тым (последним) z,
принадлежит классу X, составленному из последовательностей из I
выражений». С интуитивной, хотя и не с формальной точки зрения,
переменные теперь принадлежат только лишь к двум разным семан-
тическим категориям, благодаря чему в дальнейшем процессе ис-
следований уже можно воспользоваться методами, используемыми
при исследовании языков второго рода.
Таким образом, мы уже можем использовать здесь метод много-
рядных последовательностей, используя с этой целью фразу «после-
довательность индивидов f и последовательность F, выражениями
которой являются классы, составленные из конечных последова-
тельностей индивидов, совместно выполняют данную пропозицио-
нальную функцию». Чтобы иметь возможность последовательно
оперировать этим понятием, следует предварительно однозначно
сопоставить переменным И/ выражения последовательности F и
при этом таким образом, чтобы разным переменным отвечали вы-
ражения с разными индексами; легче всего это сделать, сопоставляя
каждой переменной И/ выражение с индексом (2 •£-!)• 2А|, отсюда,
например, переменным И]1,^1,^1,^2,^2,^3,... — выражения F\, F3,
F$, F2, Ft, F4,..*2. При этом условии установление значения приве-
денной выше фразы в приложении к какой-нибудь конкретной про-
позициональной функции, и даже конструкция общего определения
именно, как классы всех тех классов, которые [равномощны с некоторым дан-
ным классом;]' [подобны (в смысле Principia Matematica) некоторому данному
классу.]* {[56т], с. 233, примечание 1.} Так, например, число 1 определяется как
класс всех тех классов, которые содержат в точности один элемент. При таком
толковании натуральные числа являются уже предметами (по крайней мере)
третьего, последовательности индивидов — четвертого, а классы этих последо-
вательностей — пятого порядка.
82	Вместо функций I) = (2 • А-1) • 2Л| • можно было бы использовать какие-
нибудь другие функции /(£./), которые одно-однозначным образом сопоставля-
ют упорядоченным парам натуральных чисел натуральные числа. В теории
множеств известны многочисленные примеры подобных сопоставлений; см.
[например, Sierpinski 1928, с. 43-44;]' [Fraenkel 1928. с. 30 и 96 и далее.]* {[56т].
с. 234, примечание 1}
Понятие истины в языках дедуктивных наук	109
рассматриваемого понятия уже не представляет никаких трудностей.
Так, например, если речь идет о примитивной функции, то функцию
рк т выполняют совместно те и только те последовательности / и F
(вышеуказанных категорий), которые удовлетворяют условию: по-
следовательность индивидов g, единственным выражением которой
есть выражение gb тождественная с fm, принадлежит классу F2.*.i;
подобным образом функцию Рк,т,п выполняют совместно те, и толь-
ко те последовательности f и F, которые удовлетворяют условию:
последовательность индивидов g с двумя выражениями, в котором
gi =fm и g2 = fn, принадлежит к классу Fp.k.\) 2, наконец вообще, для
того, чтобы последовательности f и F совместно выполняли функ-
цию р'к р , необходимо и достаточно, чтобы последовательность ин-
дивидов g с I выражениями, в которой gi =fP}, g2 =fp2,-- gi = fPp при-
надлежала к классу Р(2-к-\у2,л (составленному из последовательно-
стей с тем же самым числом выражений).
Стремясь уже до конца применить метод семантической унифи-
кации переменных, мы исходим из того, что между произвольными
индивидами и некоторыми классами конечных последовательностей
можно вновь установить одно-однозначное соответствие, сопостав-
ляя, например, каждому индивиду а класс а*, содержащий в качест-
ве единственного элемента последовательность, единственным вы-
ражением которой является собственно данный индивид. Принимая
это обстоятельство в качестве исходного пункта, мы подвергаем ви-
доизменению интерпретацию переменных первого порядка, причем
как раз в ту сторону, в которую мы видоизменили ранее смысл пе-
ременных второго порядка; примитивные функции формы
содержащие /+1 знаков, мы теперь считаем равносильными с выра-
жениями типа «последовательность индивидов g из / выражений
удовлетворяющая условиям: g{ = x,gi - e,—,g' ~z ’ принадлежит к
классу X составленному из последовательностей из I выражений». В
этой интуитивной интерпретации все переменные уже принадлежат
к той же самой семантической категории. Дальнейшая конструкция
не вносит никаких существенно новых моментов и ее завершение не
составляет для читателя серьезных трудностей.
Метод семантической унификации переменных с таким же успе-
хом можно применять и при исследовании любых языков третьего
110
А'. Тарский
порядка8’. Несколько большую трудность может представить только
установление унифицирующей категории. Как и в случае языков
второго рода, здесь невозможно ограничиться категориями, пред-
ставленными в рассматриваемом языке; более того, в отличие от
других языков, не всегда даже можно осуществить выбор между
категориями того же самого порядка, что и категории языка. Но уже
не представляет трудностей доказать, что если порядок переменных
языка не превышает числа п, то каждая категория порядка п+2 мо-
жет служить как унифицирующая категория; если же п>2, то такую
категорию уже можно найти в области порядка п+1.
Подобным образом методы, которые находятся в нашем распо-
ряжении, делают возможным — в той или иной форме — уточне-
ние понятия выполнимости и, что вытекает отсюда, корректной
конструкции определения истины в отношении любого языка ко-
нечного порядка. Мы убедимся в следующем параграфе, что дальше
эти методы не идут: совокупность указанных языков полностью
исчерпывает область применимости наших методов. Поэтому при-
шло время, чтобы суммировать самые важные следствия, которые
вытекают из сконструированного определения^.
Прежде всего, определение истинного предложения является
корректным определением истины в смысле соглашения Р из §3;
оно включает в качестве частных случаев все частичные определе-
ния, описанные в условии (а) этого соглашения и проясняющие
точным и интуитивно корректным образом смысл выражений типа
«х является истинным предложением». Хотя это определение само
по себе не дает нам никакого общего критерия истины, тем не менее
в большинстве случаев упомянутые доказуемые предложения по-
зволяют нам окончательно решить вопрос истинности или ложности
исследуемого предложения.
В частности, основываясь на принятых в метанауке аксиомах
второй группы (см. с. 84), нам удается показать, что все аксиомы
науки, являющейся предметом исследования, принадлежат к ис-
тинным предложениям. Сходным образом, используя в существен-
83	См. примечание 77.
f [Некоторые дальнейшие следствия этого рода обсуждены в статье On unde-
cidable statements in enlarged systems of logic and the concept of truth, «The Journal
of Symbolic Logic», v. 4 (1939), N 3, pp. 105-112; см., в частности §9, с. 111 .]+
{[56m], c. 236, примечание.}
Понятие истины в языках дедуктивных наук	। ] ]
ной степени то обстоятельство, что правила вывода, использован-
ные в метанауке, не являются логически более слабыми, чем соот-
84
ветствующие правила самой науки . мы в состоянии доказать, что
все следствия истинных предложений истинны. Эти два факта вме-
сте влекут за собой утверждение, согласно которому класс истинных
предложений содержит все доказуемые предложения исследуемой
науки (см. лемму D и утверждения 3 и 5 из §3).
К едва ли не наиболее важным выводам обшей природы, выте-
кающим из определения истины, следует причислить принцип про-
тиворечивости и принцип исключенного третьего. Оба эти прин-
ципа в сопоставлении с уже упомянутым утверждением о следстви-
ях истинных предложений, показывают, что класс всех истинных
предложений образует непротиворечивую и полную дедуктивную
систему (утверждения 1, 2 и 4).
Как непосредственное, однако, несколько побочное следствие
вышеупомянутых фактов, мы получаем утверждение, в силу которо-
го класс всех доказуемых предложений также образует непроти-
воречивую дедуктивную систему (хотя необязательно полную). По-
добным образом для каждой науки, для которой удается построить
определение истины, мы также в состоянии представить доказатель-
ство непротиворечивости. К сожалению, доказательство, проведен-
ное этим методом, не имеет большой познавательной ценности, так
как основывается на посылках, по меньшей мере, столь же сильных,
как и положения исследуемой науки . Тем не менее, кажется весьма
интересным, что существует общий метод доказательств этого рода,
который удается применить к обширной категории дедуктивных
наук; при этом, как можно видеть, этот метод не является совершен-
но банальным с дедуктивной точки зрения, а более простой или да-
же отличный от него в большинстве случаев нам до сих пор вообще
не известен1.
84	,
См. примечание 61.
85	Как правильно заметил в несколько ином контексте г. Айдукевич (Ajdukiewicz
1921, с. 39-40), отсюда, по крайней мере, не следует, что это доказательство
было бы некорректным с методологической точки зрения, а именно, содержа-
ло — в той или иной форме — «petitionem principii»: утверждение, которое мы
доказываем, т. е. непротиворечивость науки, вообще не фигурирует среди посы-
лок доказательства.
[В связи с проблемами, обсуждаемыми в последних трех абзацах, смотри не-
давние публикации: Mostowski 1950-51, а также Wang 1950. Из результатов этих
112
А. Тарский
В тех случаях, в которых этот класс является не только непроти-
воречивой, но и полной системой, она совпадает, как легко убе-
диться, с классом истинных предложений. Отождествляя поэтому
оба понятия — истинного предложения и доказуемого предложе-
ния — мы приходим тогда к новому определению истины, носяще-
му чисто структурный характер и поэтому существенно отличаю-
щемуся от первоначального, семантического определения этого по-
нятия* 86. Даже и тогда, когда доказуемые предложения не образуют
авторов следует, что в некоторых случаях, когда нам удается сконструировать
корректное определение истины для какой-нибудь теории Т в ее метаязыке, мы
можем быть не в состоянии показать, что все доказуемые предложения теории Т
являются истинными в смысле этих определений, и, следовательно, мы также
можем быть не в состоянии осуществить доказательство непротиворечивости
теории Т в Л/. Этот феномен в самом общем виде можно объяснить следующим
образом: в доказательство утверждения, что все доказуемые утверждения тео-
рии Т истинны, вмешивается весьма существенным образом некоторая разно-
видность математической индукции, при этом формализм метатеории Л/ может
быть недостаточно мощен, чтобы гарантировать корректность именно подобно-
го индуктивного рассуждения. Поэтому представляется желательным вкратце
объяснить положения (на с. 42 и ниже), касающиеся оснований метатеории. В
частности, фразу «из какой-нибудь достаточно развитой системы математиче-
ской логики» (с. 39) следует понимать так, чтобы не лишить метатеорию ника-
ких обычно используемых средств вывода. Если теория Т является теорией ко-
нечного порядка, то мы достигнем нашей цели в полной мере, если решимся
снабдить метатеорию М логическими основаниями, которые настолько же силь-
ны, как и обсуждаемая в следующем параграфе общая теория классов.]4 {[56т],
с. 237.}.
86 г,
В процессе исследования я несколько раз противопоставлял семантическое
определение истинного предложения структурным определениям; но это не
означает, что я в состоянии точным образом охарактеризовать разницу между
обоими видами определений. С интуитивной точки зрения эта разница вырисо-
вывается достаточно рельефно. Определение 23 из §3 — как и другие определе-
ния, построенные таким же самым манером — я считаю семантическим опреде-
лением ввиду того, что оно в некотором смысле (который трудно было бы под-
робней уточнить) представляет собой «естественное обобщение», как бы «бес-
конечное логическое произведение» этих частичных определений, описанных в
условии (а) соглашения Р, и устанавливающих непосредственное соответствие
между предложениями языка и именами этих предложений. С другой стороны, я
причисляю к структурным определениям такие, которые сконструированы со-
гласно следующей схеме [: описывается некоторый класс предложений или
иных выражений и при этом таким образом, чтобы по форме каждого выраже-
ния можно было бы распознать, принадлежит ли оно к данному классу; далее
указываются операции такого рода над выражениями, что, имея некоторые дан-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	] ] 3
полной системы, дело построения структурного определения не яв-
ляется a priori безнадежным: порой, расширяя соответствующим
образом систему аксиом науки путем добавления некоторых струк-
турно описанных предложений, мы приходим к такой системе, ко-
гда класс всех его следствий совпадает с классом истинных предло-
жений. Но ни о каком общем методе конструирования здесь не мо-
жет быть и речи. Я допускаю, что даже в относительно простых слу-
чаях — например, в приложении к исследованной в этом параграфе
логике двуместных отношений — попытки конструирования струк-
ные выражения в конечном количестве и зная форму любого другого выраже-
ния, уже можно решить, удается ли его получить из данных выражений при
помощи одной из указанных операций; наконец, истинные предложения опре-
деляются как такие предложения, которые можно образовать из выражений
данного класса, выполняя над ними любое количество раз указанные операции
(стоит заметить, что такое]' [. Во-первых, описывается некоторый класс С пред-
ложений или иных выражений, так, что на основе формы произвольного выра-
жения можно распознать, принадлежит ли оно к этому классу или нет. Во-
вторых, перечисляются некоторые операции над выражениями гак, что на осно-
ве формы данного выражения а и форм всех элементов ..., еп, принадлежащих
данной конечной совокупности выражений, можно решить, удается ли получить
а путем выполнения над eh ..., е„ какой-нибудь из перечисленных операций.
Наконец, истинные предложения определяются как такие предложения, которые
можно получить из выражений класса С, выполняя над ними перечисленные
операции любое число раз (стоит заметить, что такое структурное]" {[56m]( 1),
с.237, примечание.} (определение само по себе отнюдь не дает общий критерий
истинности). Сверх того нам удается уловить некоторые различия формальной
природы между обеими разновидностями определений. Отсюда семантическое
определение требует оперирования терминами более высокого порядка, чем все
переменные языка, являющегося объектом рассмотрения, например, термином
«выполняет»; в то же время, для формулировки структурного определения дос-
таточно терминов двух-трех низших порядков. При конструировании семанти-
ческого определения мы используем — explicite или imphcite — те выражения
метаязыка, которые равносильны выражениям исследуемого языка, тогда как н
построении структурного определения они не играют ни малейшей роли, это
различие, как легко понять, стирается тогда, когда исследуемый язык является
тем или иным фрагментом логики. Впрочем, вышеприведенное различие, в це-
лом, не является достаточно ясным и четким, о чем свидетельствует хотя бы то
обстоятельство, что в применении к исчислению высказываний семантическое
определение можно считать формальным преобразованием структурного опре-
деления, основывающегося на методе матриц. При всем этом следует еще пом-
нить, что конструкция семантического определения, основывающаяся на из-
вестных нам методах, существенно зависит от структурного строения определе-
ния предложения и пропозициональной функции.
1 14
А. Тарский
турного определения могут встретиться со значительными трудно-
стями. Несомненно, эти трудности значительно возросли, если бы
речь шла об установлении общего структурного критерия истинно-
сти предложения, несмотря на то, что мы уже столкнулись с двумя
языками — алгеброй классов и исчисления высказываний — для
которых эту проблему удается легко решить87.
Во всех тех случаях, в которых нам удается сконструировать определе-
ние выполнимости и истинного предложения, мы можем также — путем
некоторой модификации этих определений — уточнить два более общих
понятия относительного характера, а именно, понятия выполнимости и кор-
ректного (истинного) в некоторой области индивидов а предложения88. Это
видоизменение заключается в соответствующем сужении области рассмат-
риваемых предметов: вместо любых индивидов, классов индивидов, отно-
шений между индивидами и т. д. мы оперируем исключительно элементами
данного класса индивидов а, подклассами этого класса, отношениями меж-
ду элементами данного класса и т. д. Как видно отсюда, в этом частном слу-
чае, когда а есть класс всех индивидов, новые понятия совпадают со стары-
ми (см. определения 24 и 25 и утверждение 26). Как я уже отмечал в §3,
общее понятие предложения, корректного в данной области, играет значи-
тельную роль в современных методологических исследованиях; следует
однако добавить, что это относится только к тем исследованиям, предметом
которых является математическая логика и ее отдельные фрагменты: в спе-
циальных науках нас интересуют исключительно предложения, корректные
в полностью конкретных областях индивидов, из-за чего общее понятие
теряет значение. Также лишь в приложении к наукам, являющимся фраг-
ментами логики, остаются в силе некоторые общие свойства рассмотренно-
го в §3 понятия для языка алгебры классов. Оказывается, например, что в
этих науках область термина «предложение, корректное в области индиви-
дов а» зависит исключительно от мощности класса а; поэтому можно заме-
нить в исследованиях этот термин другим, более удобным термином «пред-
ложение, корректное в каждой области индивидов» (определение 6, теоре-
ма 8). На понятие предложения, корректного в данной области, уже удается
расширить ранее рассмотренные законы, управляющие понятием истины,
такие, как принцип противоречивости и принцип исключенного третьего.
Специального рассмотрения заслуживает понятие предложения, коррект-
87
См. замечания на с. 80-81 и 94. К этим проблемам я еще вернусь в §5 (см.
примечание 106).
88 См. примечание 51.
Понятие истины в языках дедуктивных наук *	115
ного в каждой области индивидов (определение 27). В том, что касается
области, оно является чем-то средним между понятием доказуемого пред-
ложения и понятием истинного предложения; класс всех предложений, кор-
ректных в каждой области, содержит все доказуемые предложения и состо-
ит исключительно из истинных утверждений (теоремы 22 и 27). При этом,
как правило, этот класс уже класса всех истинных предложений: он не со-
держит, например, никаких предложений, общезначимость которых зависит
от того, каково число всех индивидов (теорема 23). Те, кто стремится сис-
тему доказуемых предложений каждой исследуемой науки превратить в
полную систему, должны, очевидно, включить в эту систему предложения,
предрешающие в ту или иную сторону проблему «сколько всего всех инди-
видов?» Но по разным причинам представляется гораздо более обоснован-
ным иное положение, согласно которому решение подобных проблем выпа-
дает на долю специальных дедуктивных наук, в то время как в логике и ее
фрагментах стремятся только к тому, чтобы это понятие совпало в отноше-
нии области с понятием предложения, корректного в каждой области инди-
видов. Для тех, которые разделяют вышеуказанную тенденцию, приобретает
большое значение вопрос: существенно ли тождественны области обоих
указанных понятий; в случае отрицательного ответа возникает проблема
такого пополнения системы аксиом исследуемой науки, чтобы расширен-
ный класс доказуемых утверждений совпал с классом предложений, кор-
ректных в каждой области. Эта проблема, по сути дела равносильная про-
блеме структурной характеристики только что рассмотренного понятия, она
нашла положительное решение лишь в немногочисленных случаях (см. тео-
рему 24)89; вообще говоря, она влечет не меньшие трудности, чем аналогич-
ная проблема, касающаяся истинных предложений, о которых речь шла
выше. С подобными трудностями мы сталкиваемся и тогда, когда пытаемся
определить структурное понятие предложения, корректного в области, со-
стоящей из к элементов. Только лишь в случае, когда к является конечным
числом, легко привести общий метод по образцу метода матриц из расши-
ренного исчисления высказываний, который делает возможным структур-
ную характеристику этого понятия; на этом пути мы получаем даже общий
критерий, который позволяет на основе формы любого предложения ре-
шить, является ли оно корректным в области, состоящей из данного конеч-
ного числа элементов90.
89 В случае узкого исчисления функций эта проблема, поставленная в Hilbert-
Ackermann 1928, с. 68, была решена недавно г К. Гёделем в его теореме (Godel
1930).
90 См. Bemays-Schonfinkel 1928, с. 352.
116
А. Тарский
Я не буду углубляться в специальные исследования, касающиеся только
что рассмотренных понятий; некоторые результаты этих исследований,
относящиеся к алгебре классов, я привел в виде примеров в §3. Напомню
только, что в течение последних лет получены многочисленные результаты,
благодаря которым из корректности некоторых предложений в специальных
областях индивидов или из их структурных свойств мы можем вывести
корректность этих предложений в каждой области, а затем и их истин-
ность91. Очевидно, что все эти результаты получают ясное и отчетливое
содержание и их удается совершенно точно обосновать только с того мо-
мента, когда на основе исследований принимается конкретное, точно сфор-
мулированное понятие корректного предложения.
§5. Понятие истинного предложения в языках бесконечного
порядка
Займемся теперь языками четвертого рода, а, следовательно, бес-
конечного порядка, лежащего уже за пределами применимости на-
бросанных в предыдущем параграфе методов конструирования.
Примером нам будет служить язык общей теории классов. Этот
язык заслуживает внимания потому, что он — помимо своей эле-
ментарной структуры и бедности грамматических форм — уже дос-
таточен для выражения каждой мысли, которую удается сформули-
ровать в полном языке математической логики — более простой
91 Так, согласно известным утверждениям гг. Левенгейма и Сколема, предложе-
ния некоторых категорий являются корректными в каждой области, если только
они корректны во всех конечных и счетных областях; эти утверждения включа-
ют, например, все те предложения логики двух- или многоместных отношений,
описанной в этом параграфе, которые являются генерализациями пропозицио-
нальных функций, содержащих переменные второго порядка в качестве единст-
венных свободных переменных. По отношению к предложениям алгебры клас-
сов этот результат удается сформулировать в более сильном виде, как это пока-
зывают теоремы 15 и 19 из §3. Более узкую область применения имеют некото-
рые результаты гг. Бернайса, Шёнфинкеля и Аккермана; они позволяют пред-
ложениям с некоторой структурой поставить в соответствие определенные на-
туральные числа к таким образом, что из корректности данного предложения в
области, состоящей из к элементов (а поэтому — как нам известно — из чисто
структурных свойств предложения), следует уже его корректность в каждой
области. См. здесь Ackermann 1928, Bemays-Schonfinkel 1928, Herbrand 1930,
Lowenheim 1915, Skolem 1919, и Skolem 1920 [а также Skolem 1929. Системати-
ческое изложение результатов в этой области, включающее более новые резуль-
таты, содержит статья Church 1951]\ {[56т], с. 241, примечание 2.}.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	1[7
язык с подобными свойствами трудно было бы себе вообразить92.
В общей теории классов встречаются те же самые константы, что
и в ранее исследованных науках, т. е= знаки отрицания и логической
суммы и квантор всеобщности. В качестве переменных мы исполь-
зуем символы того же типа, что ”XX.”,"X ” и т. д., т. е. знаки,
образованные из знака ‘X” и некоторого числа малых штрихов вни-
зу и вверху; знак, содержащий к штрихов внизу и п вверху, мы на-
зываем £-той переменной и-го порядка и обозначаем символом
92 Язык общей теории классов значительно уступает с точки зрения богатства
семантических категорий языку системы гг. Уайтхеда и Рассела, и тем более
языку, которым оперирует в своей системе г. Лесьневский (см. примечание 60 и
69). В частности, в рассматриваемом языке не фигурируют вообще ни пропози-
циональные переменные, ни имена двух- и многоместных отношений, ни пред-
ставляющие их переменные. На излишность пропозициональных переменных
указывает обстоятельство, приведенное в примечании 77: каждому предложе-
нию, содержащему пропозициональные переменные, можно поставить в соот-
ветствие эквивалентное предложение, свободное от этих переменных. Исследо-
вания §2, особенно определения 13-17, объясняют при этом в достаточной сте-
пени, как избежать переменных этого рода при составлении списка аксиом и
обосновании доказуемых предложений исследуемой науки; см. также von Neu-
mann 1927 (в частности, сноска 9 на с. 38). Возможность элиминации двумест-
ных отношений вытекает из следующих замечаний. Каждому отношению R
можно сопоставить одно-однозначным образом некоторый класс упорядочен-
ных пар, а именно, класс всех тех упорядоченных пар из выражений х и у, кото-
рые удовлетворяют формуле xRy. Поскольку при этом отношение R является
однородным, т. е. поскольку область и противообласть этого отношения при-
надлежат к той же самой семантической категории, то упорядоченные пары
можно интерпретировать иначе, чем мы это сделали на с. 38. а именно, как
класс, состоящий из двух классов: класса, содержащего х как единственный
элемент, и класса, состоящего из двух элементов х и у. Чтобы применить подоб-
ный метод к неоднородным отношениям, нам следует предварительно одно-
однозначно сопоставить им однородные отношения, что не представляет боль-
ших трудностей. Аналогично поступаем с многоместными отношениями. Таким
образом каждое предложение, касающееся любых двух- и многоместных отно-
шений произвольной категории, удается преобразовать в эквивалентное пред-
ложение, рассказывающее исключительно об индивидах, классах индивидов,
классах таких классов и т д. См. здесь Kuratowski 1924. 171 и Chwistek 1929.
особенно с. 722.
118
А. Тарский
"V?"  Переменные ,V^ ,V^,... представляют соответственно име-
на индивидов — предметов первого порядка, классов индивидов —
предметов второго порядка, класс таких классов — предметов
третьего порядка и т. д.; эти переменные очевидным образом при-
надлежат к бесконечно многим семантическим категориям. Прими-
тивными пропозициональными функциями мы считаем выражения
типа «АТ», где вместо “АГ’ фигурирует любая переменная порядка
п+1, а вместо “К’ — переменная п-го порядка; эти выражения чита-
ем: «класс X (порядка п+1) содержит в качестве элемента предмет Y
(n-го порядка)» или «предмет Y имеет свойство X». Для обозначения
примитивных функций мы используем символы	полагая
£k i -	 Дальнейшее построение науки не обнаруживает ни-
каких существенных различий по сравнению, например, с логикой
двух- или многоместных отношений. Генерализации и партикуляри-
зации пропозициональной функции х по переменной мы обозначаем
соответственно символами “ Q" х ” и “ х ". К аксиомам мы при-
числяем (1) подстановочные случаи аксиом исчисления высказыва-
ний и их генерализации, т. е. предложения, выполняющие условие
(а) определения 13 из §3; (2) псевдоопределения, т. е. предложения,
являющиеся генерализациями пропозициональных функций типа
и;'“ПМ<>-+Т+).
где у является произвольной пропозициональной функцией, не со-
держащей свободной переменной У”+х; (3) законы экстенсиональ-
ности, т. е. предложения вида
пгпг' гг1	 <.+с 	)+Т+< > 
гласящие, что два класса, которые имеют все общие элементы,
имеют также все общие свойства, а потому являются тождествен-
ными. Чтобы получить в данной науке достаточные основания для
установления разных разделов математики, особенно всей теорети-
ческой арифметики, мы должны еще включить в вышеприведенную
систему (4) аксиому бесконечности, т. е. предложение
Ший пМ+иМ АХХ)-иХЛ))))’
Понятие истины в языках дедуктивных наук	] [9
гарантирующее существование бесконечно многих индивидов93.
При выведении из аксиом других известных предложений, мы ис-
пользуем операции подстановки, отделения и навешивания и удале-
ния кванторов, аналогичные описанным в условиях (y)-(Q опреде-
ления 15 из §2.
Стремясь уточнить в отношении исследуемого языка понятие
выполнимости, мы сталкиваемся с трудностями, которые мы не в
силах преодолеть. Ввиду бесконечного разнообразия представлен-
ных в языке семантических категорий возможность использования
метода многорядных последовательностей здесь — как и в случае
логики многоместных отношений — исключена a priori. Что еще
хуже, подводит также метод семантической унификации. В сущно-
сти, как нам известно из §4, унифицирующая категория не может
быть более низкого порядка, чем какая-либо из переменных рас-
сматриваемого языка; последовательности из выражений, принад-
лежащих к этой категории, а тем более отношение выполнимости,
имеющее место между такими последовательностями и пропози-
циональными функциями, должны быть более высокого порядка,
чем все эти переменные. В языке, с которым мы в настоящий мо-
мент имеем дело, фигурируют переменные любого высокого (ко-
нечного) порядка; при использовании метода унификации мы долж-
ны были бы поэтому оперировать выражениями «бесконечного по-
рядка». Однако ни метаязык, который образует базис исследования,
ни один из существующих языков подобных выражений вообще не
содержит; мы не в состоянии даже дать себе точный отчет, какой
интуитивный смысл можно было бы приписать таким выражениям.
Вышеприведенные замечания, по-видимому, свидетельствуют о
том, что для исследуемого языка невозможно сконструировать об-
щее, семантически однозначное понятие выполнимости, которое
было бы применимо ко всем пропозициональным функциям невзи-
рая на их семантический тип. В то же время мы не видим никаких
причин фундаментального характера, которые бы сделали невоз-
можным для нас последовательное оперирование понятием выпол-
нимости в первоначальной формулировке или скорее — ввиду се-
мантической многозначности этой концепции — бесконечным чис-
93 Г1
Цринимая аксиому бесконечности, мы тем самым отказываемся, очевидно, от
постулата, по мысли которого доказуемыми утверждениями науки должны быть
только лишь предложения, корректные в каждой области индивидов (см. с. 113) ‘
120
А. Тарский
лом таких понятий; по природе вещей каждое из таких понятий бы-
ло бы уже определенным с семантической точки зрения и применя-
лось бы исключительно к функциям определенного семантического
типа (например, к функции, содержащей некоторую переменную
первого порядка как единственную свободную переменную). По
существу, независимо от логической структуры языка, интуитивный
смысл ни одного из этих понятий не вызывает сомнений; в отноше-
нии какой угодно конкретной пропозициональной функции этот
смысл мы в состоянии даже детально уточнить, конструируя для
каждой фразы типа «предметы а, Ь, с, ... выполняют данную пропо-
зициональную функцию» интуитивно эквивалентную фразу, полно-
стью сформулированную в терминах метаязыка. Тем не менее про-
блема конструирования корректного определения для какого-нибудь
из обсуждаемых понятий вновь представляет существенные трудно-
сти. Для языков, которые мы уже ранее исследовали, легко было
получить каждое отдельное понятие выполнимости путем некоторой
специализации общего понятия; в данной ситуации этот путь оче-
видным образом недоступен. Идея применения в той или иной фор-
ме рекурсивного метода, аналогично определению пропозициональ-
ной функции, несмотря на всю свою естественность при ближайшем
рассмотрении оказывается несостоятельной. Как легко видеть, со-
ставные функции указанного семантического типа не всегда удается
образовать из простых функций того же самого типа; наоборот, что-
бы быть в состоянии сконструировать произвольные функции дан-
ного типа, мы должны использовать в качестве материала пропози-
циональные функции всех возможных семантических типов94. В
связи с этим, рекурсивно определяя какое-нибудь специальное по-
нятие выполнимости, мы должны были бы охватить тем же самым
рекурсивным процессом бесконечно много аналогичных понятий —
а это лежит полностью за границами возможностей языка.
94 Внешним выражением этого состояния дел является то обстоятельство, что в
определениях выполнимости мы должны принимать во внимание не только
свободные переменные, но и все связанные переменные рассматриваемой функ-
ции, хотя эти переменные не оказывают никакого влияния на семантический
тип функции и то, имеет ли место отношение выполнимости, вообще не зависит
от отвечающих этим переменным выражений последовательности (см. опреде-
ление 22 §3, условие (8)). Стоит напомнить, что препятствия, аналогичные об-
суждаемым в тексте, появились уже тогда, когда мы пытались непосредствен-
ным образом построить рекурсивное определение истинности (см. с. 60)
Понятие истины в языках дедуктивных наук
121
В тесной связи с вышеприведенными исследованиями находится
центральная проблема данной работы — конструирование опреде-
ления истины. Если бы удалось уточнить хотя бы не общее понятие
выполнимости, но какое-нибудь из специальных понятий, то эта за-
дача не представляла бы ни малейших трудностей95. В то же время
мы не знаем такого метода конструирования, который бы не пред-
полагал — прямо или косвенно — предварительного определения
понятия выполнимости. И потому, ввиду неудачи предыдущих по-
пыток, мы можем в каждом случае утверждать, что в настоящий
момент мы не в состоянии построить для исследуемого языка кор-
ректного и согласующегося с интуицией определения истинного
предложения1.
При таком положении дел встает вопрос о том, носят ли наши
неудачи случайный характер и вызваны исключительно несовер-
шенством использованных до сих пор методов, или же имеют также
значение преграды фундаментальной природы, связанные с самой
сущностью понятий, которые мы стремимся определить либо с по-
мощью которых пытаемся сконструировать требуемые определения;
если имела бы место вторая возможность, то все усилия, направлен-
95
Вообразим себе, например, что мы преуспели тем или иным образом в опре-
делении понятия выполнимости в отношении тех пропозициональных функций,
которые содержат некоторую переменную первого ряда в качестве единствен-
ной переменной; тогда мы можем свободно оперировать фразами типа «инди-
вид а выполняет пропозициональную функцию у». Принимая во внимание ка-
кую-нибудь конкретную пропозициональную функцию, выполнимую произ-
вольным индивидом, например, j , мы сразу же получаем следующее оп-
ределение истинного предложения: х есть истинное предложение тогда и
только тогда, когда каждый индивид а выполняет функцию х • их।
конъюнкцию предложения х и функции 1 )• Совершенно аналогичным
образом мы можем перейти к понятию истины для каждого иного из специаль-
ных понятий выполнимости.
[Дискуссия, которую мы приводим в Posiscnptum. в значительной степени
объясняет возможности определения выполнимости и истины для рассматри-
ваемого языка. Следует упомянуть, что метод определения истины, предложен-
ный в McKinsey 1948, не основывается на предварительном определении вы-
полнимости. Вместо этого МакКинси должен рассматривать формализованные
языки с несчетно многими константами и оперировать метаязыком, снабжен-
ным очень сильным теоретико-множественным аппаратом]* {[56т], с. 246}
122
'А. Тарский
ные на улучшение метода конструирования были бы, очевидным
образом, бесплодными. Чтобы ответить на вышеуказанный вопрос,
следует придать ему менее общий вид. А именно, вспомним, что в
соглашении Р из §3 мы детально установили, какие условия являют-
ся решающими для существенной корректности любого определе-
ния истинного предложения; конструирование определения, удовле-
творяющего этим условиям, фактически представляет главный
предмет исследований данной работы. Выдвинутые проблемы при-
нимают ввиду этого более точную форму: речь идет о том, является
ли принципиально возможным на основе метанауки рассматривае-
мого языка конструирование корректного определения истины в
смысле соглашении Р. Как мы убедимся, проблему в этой форме
удается окончательно решить и при этом в отрицательном смысле.
Нетрудно видеть, что интересующая нас проблема не вмещается
в рамки проведенных до сих пор исследований, так как она принад-
лежит к области мета-метанауки; окончательное ее решение, и даже
корректная формулировка, потребовало бы нового исследователь-
ского аппарата, и в первую очередь — подвергнуть метаязык и
культивируемую на его основе метанауку процессу обстоятельной
формализации96. Однако мне кажется, что, не заходя столь далеко и
избегая благодаря этому различных технических осложнений, мне
удастся достаточно ясно изложить все то положительное, что удает-
ся в настоящее время установить в связи с вышеупомянутой про-
блемой.
При оперировании с метаязыком мы сохраним символику, уста-
новленную в §2 и §3. Для упрощения выводов и во избежание воз-
можных недоразумений, мы будем предполагать такую структуру
метаязыка, при которой язык, являющийся объектом наших иссле-
дований, образует фрагмент метаязыка: каждое выражение языка
является одновременно выражением метаязыка, хотя и не наоборот.
Это позволяет в некоторых ситуациях (например, при формулирова-
нии условия (а) соглашения Р) говорить просто о самих выражениях
языка вместо, как до сих пор, равнозначных с ними выражениях ме-
таязыка.
После этих предостережений и соглашений мы приступаем к
формулировке и обоснованию фундаментального результата.
96 См. примечание 41
Понятие истины в языках дедуктивных наук
123
ТЕОРЕМА I. (а) Каким бы образом мы не определили в метанауке
символ “Vr”, означающий некоторый класс выражений, как следст-
вие этого определения мы будем в состоянии получить отрицание
одного из предложений, описанных в условии (а) соглашения Р;
(Р) если класс всех доказуемых предложений метанауки непро-
тиворечив, то невозможно сконструировать на основе метанауки
корректное определение истины в смысле вышеуказанного согла-
шения.
Идею доказательства этого утверждения можно выразить сле-
дующими словами97. (1) Устанавливается некоторая интерпретация
метаязыка в самом языке и на этом пути каждому предложению ме-
97 Использованному здесь методу рассуждений мы обязаны г. К. Гёделю, кото-
рый использовал его с несколько другими целями в своей недавно изданной
работе Godel 1931; см. особенно с. 174-175 или 187-190 (доказательство теоре-
мы VI). Эта чрезвычайно важная и интересная статья не находится в непосред-
ственной связи с темой настоящей работы — она касается проблем чисто мето-
дологических: непротиворечивости и полноты дедуктивных систем; тем не ме-
нее методы исследования, и частично результаты г. Гёделя удается использовать
в наших целях.
Замечу при случае, что теорема I вместе с очерком доказательства была
включена в настоящую работу уже после сдачи ее в печать: в тот момент, когда
эта работа была представлена Варшавскому Научному Обществу (21 марта 1931
года), статья г. Гёделя не была еще, насколько мне известно, напечатана. По-
этому в первоначальной редакции вместо позитивных результатов я выразил
только некоторые предположения, впрочем направленные в ту же самую сторо-
ну, и частично основанные на собственных исследованиях, опубликованных за
несколько месяцев до этого.
После знакомства с ранее упомянутой статьей я убедился, что дедуктивная
наука, которую избрал г. Гёдель в качестве объекта своих исследований, т. н.
«система Р», разительно похожа на рассматриваемую в этом параграфе общую
теорию классов: кроме «каллиграфических» отклонений единственная разница
заключается в том, что в «системе Р», наряду с тремя логическими константами,
встречаются также константы из области арифметики натуральных чисел (имеет
место также далеко идущая аналогия между «системой Р» и системой арифме-
тики, обрисованной в [31], с. 213-217). Соответственно результаты, полученные
для «системы Р», удается с легкостью перенести в настоящие исследования.
Впрочем, абстрактный характер методов, примененных г. Гёделем, делает цен-
ность полученных им результатов в высшей степени не зависящей от специфи-
ческих особенностей исследованной науки.
124
А. Тарский
таязыка ставится в соответствие эквивалентное с ним (в отношении
принятой в метаязыке системы аксиом) предложение языка; таким
образом, метаязык наряду с произвольным предложением содержит
также единичное имя — если не того же самого, то по крайней мере
соответствующего ему эквивалентного предложения. (2) Если бы в
метаязыке удалось сконструировать корректное определение исти-
ны, то — ввиду вышеприведенной интерпретации — метаязык по-
лучил бы тот признак универсализма, который был существенным
источником семантических антиномий в обыденном языке (см.
с.32); в частности, можно было бы тогда реконструировать в мета-
языке антиномию лжеца, а именно, создавая в самом языке такое
предложение х, чтобы то предложение метаязыка, которому соот-
ветствует предложение х, утверждало, что х не является истинным
предложением; при этом, вследствие применения известной из тео-
рии множеств «процедуры диагонализации»98, можно было бы из-
бежать при такой реконструкции всех терминов, не включенных в
метаязык, и всех посылок эмпирической природы, которые прини-
мают участие в имеющихся формулировках антиномии лжеца99.
Вот несколько более подробный очерк доказательства100.
Условимся, что мы будем временно использовать символ “и”
вместо “X-	партикуляризацию пропозициональной функции у по
98 См. напр., Fraenkel 1928, с. 48 и далее.
99
Анализируя приводимый ниже очерк доказательства, легко заметить, что ана-
логичную реконструкцию удается реализовать даже в обыденном языке и что в
результате этой реконструкции антиномия лжеца существенно сближается с
антиномией гетерологических выражений. [Достаточно простую реконструк-
цию антиномии лжеца в этом духе содержит статья [44а]. примечание 11. с. 371.
Стоит заметить, что в этой реконструкции необязательны технические приемы,
использованные в доказательстве теоремы I (такие как интерпретация метаязыка
в арифметике или диагональный метод.)] {[56m], s. 248, примечание 2 } См. в
связи с последним фрагментом текста последние замечания §1, с. 32 и ниже, в
частности примечание 9.
100 Для упрощения мы будем во многих пунктах вести себя так, как будто бы
нижеприведенное рассуждение принадлежало области метанауки, а не мета-
метанауки; в частности, например, вместо того, чтобы утверждать, что некото-
рое предложение является доказуемым предложением метанауки, мы будем
просто утверждать само это предложение. В каждом случае не стоит забывать,
что это всего лишь очерк доказательства, которому многого не достает до окон-
чательного завершения.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
125
переменной “л” будем обозначать, как и раньше, символом ”.
Переменная “л” таким образом представляет имена классов, содер-
жащих в качестве элементов классы индивидов; как известно, среди
этих классов мы встречаем, среди других, натуральные числа и, во-
обще говоря, кардинальные числа .
Я уже упоминал, что в исследуемом здесь языке общей теории
классов можно сформулировать все факты из области арифметики
натуральных чисел. В частности, имея данное натуральное число к,
легко сконструировать в языке пропозициональную функцию ц, со-
держащую символ “л” в качестве единственной свободной перемен-
ной и выражающей то, что класс, имя которого представляет этот
символ, является тождественным с числом к (а следовательно, со-
стоит из тех и только тех классов индивидов, которые содержат в
точности к элементов)102. Так, например:
'i = AM' UAzA/*''' (f|2 + ^' + £^)) +
+£"  AUzUz^i1'+£Ь£'2' £1у)у
общее индуктивное определение последовательности функций ц в
метаязыке не вызывает больших трудностей.
Как я уже отметил в §2 (с. 55), между выражениями языка и на-
туральными числами нетрудно установить одно-однозначное соот-
ветствие: можно определить в метаязыке такую бесконечную после-
довательность выражений ср, в которой встречается каждое выраже-
ние языка и притом только один раз. На основе этого соответствия
каждой операции над выражениями можно поставить в соответствие
некоторую операцию над натуральными числами (с теми же самыми
формальными свойствами), каждому классу выражений — класс
натуральных чисел и т. д.; благодаря этому метаязык получает неко-
торую «интерпретацию» в арифметике натуральных чисел и, кос
венно, в языке общей теории классов.
Предположим, в частности, что мы определили в метаязыке
класс предложений Кг; этому классу тогда отвечает некоторый класс
натуральных чисел, определенный при помощи одних только тер-
минов арифметики. Рассмотрим выражение Фл) е ’ это не"
101 г-	oi
См. примечание 81.
'02 . ,
См. примечание 81.
126
А. Тарский
которая пропозициональная функция метаязыка, содержащая “и” в
качестве единственной свободной переменной. Из сделанных ранее
замечаний вытекает, что этой функции можно поставить в соответ-
ствие другую функцию, эквивалентную ей для любого значения “п”,
но выраженную полностью в терминах арифметики. Эту новую
функцию мы будем в схематической форме «ц/(и)>>; таким образом,
мы имеем:
(1)	для любого п —	тог(^а и только тогда, когда
Поскольку языка общей теории классов достаточно для обосно-
вания арифметики натуральных чисел, то мы можем принять, что
«ф(и)» является одной из функций этого языка. Таким образом, это
будет одно из выражений последовательности ф, например, выра-
жение с индексом к: «у(п)» = фк. Подставляя в предложение (1)
вместо “и”, мы получаем:
(2)	ф*)« Vr тогда и только тогда, когда \\)(к).
Символ	ф* )й Vr ” означает, конечно, некоторое предло-
жение исследуемого языка. Применяя к этому предложению условие
(а) соглашения Р, мы приходим к доказуемому предложению в
форме «хе Vr тогда и только тогда, когда /?», где “х” следует заме-
нить на структурно-описательное имя или какое-нибудь иное инди-
видуальное имя предложения (ik <рк), а “р” — на само это пред-
ложение или на какое-нибудь эквивалентное ему предложение. В
частности, вместо “х” мы можем подставить выражение
“	' Фь) ”, вместо “/?” — ввиду значения символа “ц” — предло-
жение «существует такое п, что п = к и ф(н)» или просто «ф(£)”>>:
подобным образом мы получаем следующее выражение
(3)	(рк) е Vr тогда и только тогда, когда ф(£).
Ввиду явной противоречивости предложений (2) и (3) первая
часть теоремы обоснована: мы доказали, что среди следствий опре-
деления символа “Кг” встречается отрицание одного из предложе-
ний, о котором шла речь в условии (а) соглашения Р. Непосредст-
венно отсюда уже следует вторая часть теоремы.
Допущение непротиворечивости, фигурирующее в части (Р) вы-
Понятие истины в языках дедуктивных наук	127
щеприведенной теоремы, является существенным: если бы класс
всех доказуемых предложений метанауки был противоречивым, то
каждое определение в метанауке влекло бы за собой в качестве
следствия все возможные предложения (поскольку все они были бы
доказуемыми предложениями метанауки), в частности и те, которые
описаны в соглашении Р. С другой стороны, как известно в настоя-
щее время , нет никаких шансов на то, чтобы теорема о непроти-
воречивости метанауки была бы доказана в мета-метанауке. Стоит
отметить, что — ввиду существования интерпретации метанауки в
самой науке (что сыграло столь существенную роль в набросанном
выше доказательстве) — допущение второй части теоремы I эквива-
лентно допущению непротиворечивости самой исследуемой науки и
является также очевидным с интуитивной точки зрения.
Результат, достигнутый в теореме I может показаться на первый
взгляд чрезвычайно парадоксальным. Это впечатление, несомненно,
ослабеет, как только мы уясним себе глубокую разницу между со-
держанием понятия, которое мы стремимся определить, и характе-
ром тех понятий, которые находятся в нашем распоряжении при
конструировании определения.
Метаязык, в котором мы проводим исследования, содержит —
помимо выражений логического характера, среди которых мы обна-
руживаем наряду с другими (в конкретно рассматриваемом случае)
все выражения исследуемого языка — только лишь структурно-
описательные термины, то есть имена выражений языка, структур-
ных свойств этих выражений, структурных отношений между выра-
жениями и т. д. То, что мы называем метанаукой, является по сути
дела морфологией языка — наукой о форме выражений — эквива-
лентом таких разделов традиционной грамматики, как морфология,
этимология и синтаксис.
Формальный характер исследуемого языка и разработка на этом
языке дедуктивной науки привели к возникновению некоего инте-
ресного явления: к структурно-описательным понятиям удалось све-
сти некоторые понятия иной природы, отличающиеся от первых как
происхождением, так и обычным значением, а именно, понятие при-
-	~ 104
соединения следствии вместе с рядом родственных ему понятии
См Godel 1931, с. 196 (теорема IX).
Сведение понятия присоединения следствий к понятиям из области морфо-
логии языка является результатом дедуктивного метода в его последней стадии
128
А. Тарский
удалось обосновать как раздел морфологии то, что можно было бы
назвать логикой данной науки.
Вдохновленные этим успехом, мы попытались продвинуться
дальше и сконструировать в метаязыке определение понятий еще из
одной области — из области так называемой семантики языка, то
есть таких понятий, как выполнимость, денотация, истина, опреде-
лимость и т. д. Характерным признаком семантических понятий яв-
ляется то обстоятельство, что они выражают некоторые зависимости
между выражениями языка и предметами, «о которых в этих выра-
жениях говорится», либо что при помощи подобных зависимостей
они выделяют некоторые из категорий выражений или иных пред-
метов. Используя suppositio materialis, можно было бы также ска-
зать, что эти понятия служат для установления соответствия между
именами выражений и самими выражениями.
Семантические понятия издавна пользовались «плохой репута-
цией» среди специалистов в области исследований языка: они ус-
кользали от всех попыток детального уточнения значения, интуи-
тивно ясные на первый взгляд, их свойства приводили к парадоксам
и антиномиям. По этой причине тенденция сведения этих понятий к
структурно-описательным — с ясным и выразительным содержани-
ем и очевидными свойствами — должна показаться естественной и
обоснованной. В пользу возможности реализации вышеупомянутой
тенденции, казалось, говорит следующий факт: каждую фразу, со-
держащую рассматриваемые нами семантические термины и ка-
сающуюся частных, структурно описанных языковых выражений,
всегда удавалось заменить интуитивно равносильной фразой, сво-
бодной от таких терминов; другими словами, для каждого семанти-
ческого понятия мы в состоянии сформулировать бесконечно много
частичных определений, исчерпывающих в сумме все случаи при-
менения этих понятий к конкретным выражениям — определений,
примером которых являются предложения, приведенные в условии
(а) соглашения Р. С этой, собственно, целью, учитывая содержание
семантических понятий, мы, как правило, включали в метаязык по-
развития: говоря ежедневно, что некоторое предложение является следствием
других предложений, имеется в виду, несомненно, нечто иное, чем существую-
щие между этими предложениями некоторые структурные отношения. В свете
последних исследований г. Гёделя при этом может показаться спорным вопро-
сом, было ли это сведение выполнено существенно без остатка.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
129
мимо имен выражений все выражения самого языка или эквива-
лентные им выражения (притом даже в тех ситуациях, когда эти вы-
ражения не носили логический характер, см. с. 83-85), хотя подоб-
ное обогащение метаязыка не приносит никакой пользы при культи-
вировании «чистой» морфологии языка.
Вышеприведенный факт не имеет сам по себе решающего значе-
ния: не существует никакого способа, который бы сделал возмож-
ным автоматический переход от этих частичных определений к об-
щему определению, включающему их все как частные случаи, явля-
ясь их «бесконечным логическим произведением»105 106. Лишь благода-
ря специальным методам конструирования, развитым в §3 и §4, нам
удалось провести требуемую редукцию семантических понятий и то
лишь для некоторой группы языков, бедных грамматическими фор-
мами, имеющими ограниченный запас семантических категорий, а
именно, для языков конечного порядка. Стоит при этом напомнить,
что вышеуказанные методы требовали применения в метаязыке ка-
тегорий высшего порядка, то есть грамматических форм, фундамен-
тально отличающихся от всех категорий исследуемого языка. Ана-
лиз обрисованного выше доказательства теоремы показывает, что
это обстоятельство не носит совершенно случайный характер: как
оказалось, при некоторых общих предположениях невозможно, на-
пример, сконструировать корректное определение истины, исполь-
зуя только те категории, которые представлены в языке . По этой
105 г,	,
В процессе исследования мы уже неоднократно сталкивались с подобными
явлениями: с невозможностью установления одновременной зависимости между
предметами, принадлежащими к бесконечно многим семантическим категори-
ям, с отсутствием выражений «бесконечного порядка», с невозможностью охва-
тывания одним процессом определения бесконечно многих понятий и т п. (с 60
и далее, 107 и далее. 119, 120). Я не думаю, что можно было бы понимать эти
явления как симптом формального несовершенства существующих в настоящее
время языков — причина заключается скорее в самой природе языка: язык, бу-
дучи продуктом человеческой деятельности, с необходимостью носит «финит-
ный» характер и не может служить в качестве адекватного инструмента для ис-
следования фактов или конструирования понятий исключительно «нефинитной»
природы.
106 Отсюда или также непосредственно из некоторых результатов, содержащих-
ся в GOdel 1931 (с. 187-191), легко вывести, что структурное определение исти-
ны — в смысле, обсужденном на с. 110 и далее, особенно в примечании 86 — не
удается сконструировать даже для [несколько более богатого]’ [большинства]’
5 - 1094
130
А. Тарский
причине с того момента, как мы перешли к языкам «богатым», бес-
конечного порядка, ситуация подверглась радикальному изменению:
использованные ранее методы оказались непригодными, все поня-
тия и грамматические формы метаязыка нашли интерпретацию в
языке, и в связи с этим нам удалось в теореме I окончательно дока-
зать, что семантику языка не удается обосновать как часть его мор-
фологии. Как раз к этому собственно и сводится значение получен-
ного результата.
Независимо от сказанного выше теорема I влечет за собой важ-
ные следствия методологической природы: невозможно, как оказа-
лось, определить в такой метанауке класс предложений рассматри-
ваемого языка, который бы состоял исключительно из предложений
интуитивно истинных и был при этом полным (в смысле определе-
ния 20 из §2). В частности, расширяя каким-нибудь способом класс
доказуемых предложений — то ли пополняя список аксиом, то ли
усиливая правила вывода — мы либо включаем в этот класс ложные
предложения, либо не получаем полной системы. Это тем интерес-
нее, что расширение класса доказуемых предложений до полной
языков конечного порядка. Из других исследований того же автора (рр. сП.,
с. 193, теорема IX) следует, что в некоторых элементарных случаях, в которых
нам удается построить такое определение, невозможно тем не менее установить
общий структурный критерий истинности предложений. Первый из этих резуль-
татов приложим, между прочим, к логике двух- и многоместных отношений,
рассматриваемой в 4, второй — например, к узкому исчислению функций из
Hilbert-Ackermann 1928, с. 43 и далее [; в этом случае, однако, этот результат
приложим не к понятию истинного предложения, но к родственному понятию
общезначимой пропозициональной функции (pllgemeingultig).
В этом пункте мы хотели бы обратить внимание на тесную связь между по-
нятиями: «структурным определением истины» и «общим структурным крите-
рием истины» — рассматриваемыми в настоящей работе — и понятиями рекур-
сивной перечислимости и общей рекурсивности, известных из более современ-
ной литературы (смотри, например, Mostowski 1952, раздел 5). Фактически, как
только мы докажем, что совокупность всех истинных предложений данной тео-
рии рекурсивно перечислима, мы можем сказать, что для этой теории существу-
ет общий структурный критерий истины. В то же время мы говорим, что суще-
ствует общий структурный критерий истины, тогда — и только тогда, когда —
совокупность всех истинных предложений (обще) рекурсивна.)]4 {[56m], (1)
с.254, примечание 1. В {[56т] вышеприведенный фрагмент выражен иначе —
менее точно.}
Понятие истины в языках дедуктивных наук
131
дедуктивной системы само по себе не представляет никаких трудно-
стей107.
Всякая интерпретация теоремы 1, которая выходила бы за опи-
санные рамки, была бы безосновательна; в частности, было бы
ошибкой делать отсюда вывод о принципиальной невозможности
последовательного и согласного с интуицией оперирования семан-
тическими понятиями, особенно понятием истины. Но поскольку
один из возможных способов установления научных оснований се-
мантики отпал, следует обратиться к иным методам продвижения
вперед. Естественным образом здесь возникает мысль обоснования
семантики как отдельной дедуктивной науки, обладающей в качест-
ве подструктуры логической системой морфологии: с этой целью
следовало бы добавить к морфологии те или другие семантические
понятия в качестве примитивных понятий и установить их фунда-
ментальные свойства аксиоматическим способом. Учитывая опыт
семантических понятий в обыденных рассуждениях, мы отдаем себе
отчет в большой рискованности этого метода: по этой причине про-
блема получения гарантии того, что аксиоматический способ не
приведет к усложнениям и антиномиям, приобретает в этом случае
особое значение.
В связи с вышеназванной проблемой, ограничиваясь в дальней-
шем исключительно теорией истины, я прежде всего приведу неко-
торую вспомогательную теорему, представляющую собой следствие
исследований предыдущего параграфа:
ТЕОРЕМА II. Для произвольного, заранее заданного натурального
числа можно сконструировать в метанауке определение символа
“Vr”, влекущее за собой в качестве следствий все те предложения
из условия (а) соглашения Р, в которых вместо символа “р” встре-
чаются предложения с переменными самое большее k-го порядка (г
к тому предложение, приведенное в условии (Р) того же соглаше-
ния).
Для доказательства достаточно заметить, что вышеприведенная
теорема относится уже не к исследуемому языку во всем его объеме,
а лишь к некоторому его фрагменту, охватывающему совокупность
всех тех выражений, которые не содержат переменных порядка бо-
лее высокого, чем к. Этот фрагмент очевидным образом является
107 См. [ЗОе], с. 394, теорема 1.56 (результат г. Линденбаума).
5*
132
А Тарский
языком конечного порядка, и даже языком второго рода: поэтому
мы легко можем сконструировать требуемое определение, восполь-
зовавшись одним из двух методов, рассмотренных в §4. Стоит заме-
тить, что полученное подобным образом определение влечет за со-
бой в качестве следствия (помимо следствий, приведенных в теоре-
ме) ряд законов общей природы, как, например, теоремы 1-5 из §3,
если только соответствующим образом ослабить формулировки
этих теорем, ограничивая область их применения предложениями с
переменными самое большее £-го порядка.
Уже отсюда заметно, что — в отличие от всей теории истины —
отдельные ее фрагменты, в которых объектом исследования являют-
ся предложения, содержащие переменные заранее ограниченного
порядка, удается установить в качестве разделов метанауки. Если же
метанаука непротиворечива, то и в этих фрагментах мы нигде не
столкнемся с противоречием. Этот последний результат может, од-
нако, в некотором смысле быть расширен на всю теорию истины,
как это показывает следующая
ТЕОРЕМА III. Если класс всех доказуемых предложений метанау-
ки непротиворечив и если мы добавим к метанауке символ “Vr" в
качестве нового примитивного выражения, в то время как предло-
жения, описанные в условиях (а) и (Р) соглашения Р — в качестве
новых аксиом, то и класс доказуемых предложений этой расширен-
ной подобным образом метанауки будет непротиворечив.
Чтобы доказать эту теорему, заметим, что условие (а) содержит
бесконечно много предложений, которые мы намерены принять в
качестве аксиом теории истины. Никакое конечное число этих акси-
ом — даже в сочетании с единственной аксиомой, указанной в усло-
вии (Р) — не может приводить к противоречию (если только проти-
воречие не заключено уже в самой метанауке). По существу, в ко-
нечном числе аксиом, почерпнутых из (а), встречается лишь конеч-
ное число переменных, откуда должно существовать такое нату-
ральное число к, которого не превосходит порядок ни одной из пе-
ременных. Отсюда по теореме II следует, что можно сконструиро-
вать в метанауке такое определение символа “Vr ”, следствиями ко-
торого являются рассматриваемые аксиомы; другими словами, при
соответствующей интерпретации вышеназванного символа эти ак-
сиомы становятся доказуемыми предложениями метатеории (этот
Понятие истины в языках дедуктивных наук
133
факт может быть, впрочем, установлен непосредственно, независи-
мо от теоремы II). С другой стороны, если какой-нибудь бесконеч-
ный класс предложений является противоречивым, то, как легко
показать, противоречие должно уже быть заключено в некоторой
конечной части этого класса108. Поскольку, однако, ни одна из ко-
нечных частей описанной в теореме III системы аксиом не содержит
в себе противоречия, то и вся система непротиворечива, что как раз
и требовалось доказать.
Ценность полученного результата значительно умаляет то об-
стоятельство, что аксиомы, упомянутые в теореме III, обладают
очень малой дедуктивной силой: основанная на них теория истины
была бы системой в высшей степени неполной, лишенной самых
важных и самых плодотворных законов общей природы. Попробуем
прояснить это более детально на одном конкретном примере. Рас-
смотрим пропозициональную функцию « х i. Vr или x&Vr ». Под-
ставляя в эту функцию вместо переменной “х” любые структурно-
описательные имена предложений, мы получаем бесконечное коли-
чество теорем, доказательство которых на основе аксиом, почерпну-
тых из соглашения Р, не представляет малейших трудностей. Ситуа-
ция полностью изменяется, как только мы переходим к генерализа-
ции этой пропозициональной функции, т. е. к общему принципу
противоречивости. С интуитивной точки зрения истинность всех
упомянутых теорем уже сама по себе является доказательством об-
щего принципа: этот принцип представляет как бы «бесконечное
логическое произведение» этих специальных теорем. Это не означа-
ет, что нам при помощи нормально используемых методов рассуж-
дений удалось существенно вывести принцип противоречия из ука-
занных аксиом или теорем: наоборот, слегка модифицируя доказа-
тельство теоремы III, можно доказать, что этот принцип не является
следствием (по крайней мере, в принятом до сих пор смысле этого
термина) описанной системы аксиом.
Очевидным образом мы можем пополнить вышеупомянутую
систему, включая в нее ряд общих законов общей природы, незави-
симых от этой системы. Можно было бы, например, принять в каче-
стве новых аксиом принцип противоречивости и исключенного
третьего, а также законы, согласно которым следствия истинных
юя
См. [ЗОе], с. 388, теорема I 48.
134
А. Тарский
предложений всегда являются истинными предложениями и все до-
казуемые предложения исследуемой науки также принадлежат к
истинным предложений; на расширенную подобным образом сис-
тему аксиом удалось бы распространить теорему III109. Тем не менее
не придаем большого значения исследованиям в этом направлении;
по-видимому, всякое подобное пополнение рассматриваемой систе-
мы аксиом будет носить в значительной степени случайный харак-
тер, зависящий от малосущественных факторов, как, например, от
состояния знаний на данный момент в этой области. В каждом слу-
чае различные объективные критерии, которые нам хотелось бы ис-
пользовать при выборе дополнительных аксиом, совершенно неоп-
равданны. Таким образом, кажется естественной тенденция к тому,
чтобы аксиомы теории истины вместе с первичными аксиомами ме-
танауки образовали категоричную систему110. Можно доказать, что
этот постулат в данном случае совпадает с другим постулатом, со-
гласно которому система аксиом теории истины должна однозначно
определять область встречающегося в ней символа “Кг”, притом в
следующем смысле: в случае добавления к метанауке помимо этого
символа другого примитивного символа, например, “Кг"’, и уста-
новления ему аналогичных аксиом, должна быть доказуема теорема
«Кг = Кг». Таким образом вышеуказанный постулат не удается реа-
лизовать; ведь нетрудно доказать, что в противном случае понятие
истины удалось бы определить с помощью одних лишь терминов из
области морфологии языка, что находилось бы в явном противоре-
чии с теоремой I. По другим причинам более общей природы не
может быть даже и речи о такой системе аксиом, которая была бы
полна и тем самым достаточна для решения каждой проблемы из
области рассматриваемой теории; это является непосредственным
методологическим следствием той же теоремы I, примененной на
этот раз не к языку общей теории классов, но к более обширному
109 С этой целью нужно было бы однако несколько усилить посылки теоремы, а
именно, допустить, что класс всех доказуемых предложений метанауки является
не только непротиворечивым, но и («-непротиворечивым в смысле г. Гёделя
(Godel 1931, с. 187), или, другими словами, что класс остается непротиворечи-
вым после однократного использования правила бесконечной индукции, о кото-
ром будет идти речь ниже.
110„
См. примечание 24.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
135
языку метанауки и теории истины (ср. замечания на с. 130).
Основания теории истины удается существенно усилить совер-
шенно иным образом. Такое состояние дел, при котором из кор-
ректности всех подстановок такого рода пропозициональных функ-
ций как « х й Vr или xeVr» нельзя выводить истинность предложе-
ний, являющихся генерализациями этих функций, можно было бы
понимать только лишь как проявление некоторого несовершенства и
неполноты использованных до сих пор в дедуктивных науках пра-
вил вывода. С целью устранения этого пробела следовало бы при-
нять новое правило, т.н. правило бесконечной индукции, которое в
применении к метанауке удается сформулировать хотя бы следую-
щим образом: если данная пропозициональная функция содержит в
качестве единственной свободной переменной символ “х”, принад-
лежащий к той же самой семантической категории, что и имена вы-
ражений, и если к доказуемым предложениям метанауки принадле-
жит каждое предложение, полученное из данной функции путем
подстановки структурно-описательного имени любого выражения
исследуемого языка вместо переменной “х”, то и предложение, ко-
торое мы получаем из фразы «для каждого х — если х есть выра-
жение, то р», заменяя в нем символ “р” на рассматриваемую пропо-
зициональную функцию, разрешено добавлять к теоремам метаязы-
ка. Можно привести и иную формулировку этого правила, отли-
чающуюся лишь тем от предыдущей, что вместо выражений в нем
речь идет о натуральных числах, а вместо структурно-описательных
имен выражений — о т. н. специфических символах натуральных
чисел, т. е. о символах, таких как “0”, “1”, “1 + 1”, “1 + 1 + 1” и т. д.; в
этом виде правило бесконечной индукции напоминает принцип
полной индукции, которое, впрочем, значительно его превосходит в
отношении логической силы. Поскольку между логическими выра-
жениями и натуральными числами удается эффективно установить
одно-однозначное соответствие (см. доказательство теоремы I), то,
как легко себе в этом отдать отчет, в рамках метанауки обе форму-
лировки эквивалентны. Тем не менее, во второй формулировке не
встречаются вообще специфические понятия метаязыка, благодаря
чему его удается применить и ко многим другим дедуктивным нау-
кам. Как только, впрочем, в игру вступает наука, язык которой во-
обще не содержит специальных символов натуральных чисел, то и
эта формулировка требует некоторых внешних видоизменений; так,
136	А- Тарский
напр., с целью формулировки рассматриваемого правила для общей
теории классов следует вместо подстановок некоторой пропозицио-
нальной функции оперировать выражениями типа  р)'\ где
вместо “р” фигурирует соответствующая функция, а символ “г*”
имеет то же самое значение, что и в доказательстве теоремы I111.
Правило бесконечной индукции ввиду своего «нефинитного» ха-
рактера фундаментально отличается от обычных правил вывода; при
каждом случае его использования мы должны принимать во внима-
ние бесконечно много предложений, хотя ни в один из моментов
развития науки такое количество доказуемых предложений не дано
нам «эффективно»; можно иметь серьезные сомнения относительно
того, вместилось ли бы оперирование подобным правилом в рамки
существующего до сих пор понимания дедуктивного метода. Вопрос
о том, не приводит ли это правило здесь к противоречию, представ-
ляет не меньшие трудности, чем аналогичная проблема, касающаяся
существующих прав вывода — притом даже тогда, когда мы посту-
лируем непротиворечивость существующих правил и позволим себе
использовать новое правило не только в науке, но и в соответст-
вующей метанауке, в частности, в любом возможном доказательстве
непротиворечивости. Тем не менее, с интуитивной точки зрения
правило бесконечной индукции представляется таким же надежным,
как и обычно применяемые правила: оно приводит всегда от истин-
ных предложений к истинным предложениям; в применении к язы-
кам конечного порядка этот факт удается точно доказать на основе
сконструированных для этих языков определений истины. В пользу
принятия правила — как в науке, так и в метанауке — говорит при
этом и то обстоятельство, что оно делает возможным решение мно-
гих проблем, которые были неразрешимы на основе прежних пра-
вил: включением этого правила класс доказуемых предложений
расширяется и притом в гораздо большем объеме, чем путем какого-
111 На значение правила бесконечной индукции я обратил внимание еще в 1926
году. В докладе О непротиворечивости и полноте дедуктивных наук, прочи-
танном на Втором Философском Съезде в Варшаве в 1927 году, я привел, среди
других, простой пример непротиворечивой дедуктивной системы, которая пере-
стает быть непротиворечивой после однократного применения обсуждаемого
правила, и которое поэтому не является ©-непротиворечивым (см. примечание
109). Некоторые замечания, относящиеся к этому правилу, можно найти в рабо-
те Hilbert 1931, с. 491-492 {и в статье [33].}.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	137
либо дополнения списка аксиом"2. В отношении некоторых элемен-
тарных дедуктивных наук это расширение идет так далеко, что
класс теорем становится полной системой и совпадает с классом
истинных предложений; в качестве примера может служить элемен-
тарная теория чисел, т. е. наука, в которой все переменные пред-
ставляют собой имена натуральных или целых чисел, а в качестве
констант, помимо знаков из области исчисления высказываний и
кванторов, встречаются знаки нуля, единицы, равенства, суммы,
произведения, и другие знаки, которые удается определить с их по-
мощью*.
Если мы решимся принять в метанауке правило бесконечной ин-
дукции, то система аксиом, упомянутая в теореме III, уже будет
представлять собой достаточное основание для развития теории ис-
тины. Тогда не составит труда обоснование доказательства какого-
нибудь из известных законов из этой области, в частности, напри-
мер, теорем 1-6 из §3 и закона, согласно которому правило беско-
нечной индукции, примененное к истинным предложениям, всегда
дает в результате истинное предложение. Что еще важнее, эти ак-
сиомы в сопоставлении с общими аксиомами метанауки образуют
категоричную систему (хотя и не полную) и однозначно установят
область встречающегося в них символа “Ег”.
Вопрос о том, не содержит ли в себе построенная на этих осно-
ваниях теория внутреннего противоречия, получает при этих об-
стоятельствах особую значимость. К сожалению, мы до сих пор не в
состоянии окончательно решить этот вопрос. Теорема I полностью
остается в силе: несмотря на усиление оснований метанауки, теорию
112 -у.
I ак, например, принимая рассматриваемое правило в метанауке, а не вклю-
чая его в науку, мы можем доказать, что класс доказуемых предложений непро-
тиворечив, чего прежде мы были не в состоянии доказать См. в связи с этими
проблемами GOdel 1931, с. 187-191 и 196.
+ [Это последнее замечание дает нам возможность сконструировать достаточно
простое определение истины для элементарной теории чисел без обращения к
общему методу. Так сконструированное определение можно еще и упростить
Действительно, вначале мы можем привести структурное описание всех истин-
ных предложений, которые не содержат никаких переменных (или кванторов), а
затем определить произвольное предложение как истинное тогда и только тогда,
когда его удается получить из этих элементарных истинных предложений путем
использования правила бесконечной индукции произвольное количество раз.]’
{[56m], s. 261.}
138
А. Тарский
истины не удается обосновать как раздел морфологии языка. В то
же время мы не в состоянии сейчас доказать для расширенной мета-
науки теорему III; как легко видеть, та посылка, которая в первона-
чальном доказательстве играла существеннейшую роль, т. е. сведе-
ние непротиворечивости бесконечной системы аксиом к непротиво-
речивости каждой конечной части этой системы, сейчас, ввиду ха-
рактера нового принятого правила, полностью теряет свою значи-
мость. Не исключено, что рассматриваемый вопрос не удастся ре-
шить ни в одном направлении (по крайней мере в рамках обычной
системы мета-метанауки, построенной согласно принципам, приве-
денным в начале §4, и не содержащей семантики метаязыка). С дру-
гой стороны, возможность опровержения теоремы III в ее новом по-
нимании является с интуитивной точки зрения мало правдоподоб-
ной. Кажется ясным лишь одно: здесь не удастся непосредственно
реконструировать антиномию лжеца ни в истолковании, известном
нам из § 1, ни также в той форме, в которой она появляется в доказа-
тельстве теоремы I. По сути дела, в отличие от обыденного языка,
аксиомы, которые мы принимаем в теории истины, носят четко вы-
раженный характер частичных определений: посредством символа
“Кг” метаязык не становится никоим образом семантически универ-
сальным, так как он не совпадает ни с самим языком, ни даже не
дает себя в этом языке интерпретировать (см. с. 25-27 и 123-124)113.
113 Рассматриваемая в последнее время проблема эквивалентна, на первый
взгляд, некоторой более общей проблеме, методологической по природе, кото-
рую можно представить следующим образом. Мы предполагаем непротиворе-
чивость метанауки, дополненной правилом бесконечной индукции. Рассмотрим
некоторую бесконечную последовательность t предложений метанауки; затем
принимаем в метанауке новый примитивный символ “V’, добавляя как аксиомы
те и только те предложения, которые следуют из схемы: «леТУ тогда и только
тогда, когда р» при одновременной замене знака “л” £-тым символом специфи-
ческих натуральных чисел (т. е. символом, составленным из к знаков “1”, отде-
ленных друг от друга знаками а знака “р” — £-тым выражением последова-
тельности Z, причем к здесь является любым натуральным числом. Речь идет о
том, остается ли расширенный подобным образом класс доказуемых предложе-
ний метанауки непротиворечивым. Эта проблема могла бы быть названной про-
блемой бесконечных индуктивных определений', описанную в ней систему акси-
ом можно понимать, с интуитивной точки зрения, как sui generis определение
символа “ТУ”, тем лишь отличающееся от обычных определений, что оно сфор-
мулировано из бесконечно многих предложений. Ввиду подобного характера
аксиом возможность негативного решения проблемы кажется маловероятной.
Понятие истины в языках дедуктивных наук
139
Попытка применения полученных результатов к другим языкам
бесконечного порядка не сталкивается с серьезными трудностями.
Это касается, в частности, самого главного из этих результатов —
теоремы I. По сути дела, языки бесконечного порядка, ввиду богат-
ства содержащихся в них форм значений, дают достаточные средст-
ва для формулировки каждого предложения из области арифметики
натуральных чисел и в связи с этим делают возможной интерпрета-
цию метаязыка в самом языке; вышеуказанные обстоятельства яв-
ляются, собственно, решающими в том, что теорема I сохраняет
u	114
свое значение для всех языков рассматриваемой категории
Несколько замечаний мы посвятим тем ситуациям, в которых как
объект исследования выступает не — как до сих пор — единичный
язык, а целый класс языков. Как я уже отметил во вступлении, поня-
тие истины существенно зависит в отношении объема и содержания
от языка, к которому оно применяется; только лишь в том случае
можно осмысленно утверждать о некотором выражении, что оно
является или не является истинным предложением, когда мы пони-
маем это выражение как составляющую какого-то конкретного язы-
Из теоремы II и из интерпретации метанауки в самой науке нетрудно прийти к
выводу, что рассматриваемую проблему удается решить положительно в тех
случаях, в которых порядок всех переменных, встречающихся в предложениях
последовательности г, ограничен заранее; более того, можно тогда сконструиро-
вать в метанауке такое определение символа “TV”, из которого следуют все ука-
занные аксиомы. Рассматриваемая проблема очевидным образом не является
связанной со специфическими особенностями метанауки: ее можно поставить в
той же самой или слегка модифицированной форме и для дедуктивных наук,
например, для общей теории классов.
Здесь необходимо некоторое предостережение, принимая в качестве исход-
ного пункта классификацию семантических категорий, обрисованную в приме
чании 69, мы опять сталкиваемся с языками бесконечного порядка, для которых
теорема I теряет свое значение. Типичным примером может служить язык т. н
прототетики г. Лесьневского (см. LeSniewski 1929). Вследствие «финитного»
характера всех семантических категорий этого языка, можно с легкостью скон-
струировать в метаязыке корректное определение истины, руководствуясь мето-
дом матриц из расширенного исчисления высказываний (примечание 72); впро-
чем подобное определение удается получить и иным способом: как показал
г.Лесьневский, класс доказуемых предложений прототетики полон, вследствие
чего понятие доказуемого предложения совпадает по своему объему с понятием
истинного предложения. В то же время теорема I применяется во всей своей
полноте ко всем языкам, в которых порядок семантических категорий из облас-
ти т. н. онтологии г. Лесьневского (см. LeSniewski 1930) не ограничен заранее.
140
А. Тарский
ка. С того момента, как исследование касается большего числа язы-
ков, выражение «истинное предложение» перестает быть однознач-
ным; чтобы избежать многозначности, мы должны заменить его ре-
лятивным термином «предложение, истинное в отношении данного
языка». Чтобы уточнить смысл этого термина, воспользуемся в
принципе нам уже известными процедурами: построим для всех
языков данного класса общий метаязык; в метаязыке постараемся
определить рассматриваемый термин при помощи методов, разра-
ботанных в §3 и §4; в случае неудачи мы включаем этот термин в
первичные выражения метаязыка и устанавливаем его значение пу-
тем аксиоматизации, руководствуясь теоремой III настоящего пара-
графа. Однако мы a priori предвидим, принимая во внимание реля-
тивизированный характер термина, что при реализации обрисован-
ного плана могут значительно возрасти прежние трудности и воз-
никнуть совершенно новые осложнения (связанные, например, с
необходимостью уточнения выражения «язык»), Я не собираюсь
обсуждать более детально затронутые здесь проблемы. Для иссле-
дований подобного типа в настоящее время не видно широких пер-
спектив. В частности, было бы иллюзией допускать, что релятиви-
зация понятия истина — в том направлении, о котором речь шла
выше — открывает путь к какой-нибудь общей теории этого поня-
тия, касающейся всех возможных языков или хотя бы всех форма-
лизованных языков. Класс языков, которые мы выбираем в качестве
предмета одновременных исследований, не может быть чересчур
обширным: включая, например, в этот класс метаязык, образующий
поле исследования и обогащенный уже понятием истины, мы авто-
матически создаем соответствующие условия для реконструкции
антиномии лжеца. Язык общей теории истины был бы противоречи-
вым языком как раз по тем же самым причинам, что и обыденный
язык.
В заключение заметим, что полученные результаты удается рас-
пространить и на иные понятия семантического характера, напри-
мер, понятие выполнимости. Для каждого из этих понятий можно
сформулировать систему постулатов, которая включает (1) частич-
ные определения, аналогичные предложениям, описанным в усло-
вии (а) соглашения Р, и устанавливающие значение данного поня-
тия по отношению ко всем конкретным, структурно описанным вы-
ражениям того или иного класса (например, к предложениям или
Понятие истины в языках дедуктивных наук	141
пропозициональным функциям специфического семантического
типа), и кроме того (2) дополнительный постулат, являющийся эк-
вивалентом предложения из условия (Р) упомянутого соглашения и
утверждающий, что рассматриваемые понятия применяются исклю-
чительно к выражениям данного класса. Мы склонны считать со-
держательно корректным такое определение исследуемого понятия,
которое влечет за собой в качестве следствий все постулаты выше-
указанной системы. Методы, близкие к тем, с которыми мы позна-
комились в §3 и §4, делают возможным конструкцию требуемого
определения в тех ситуациях, когда мы имеем дело с языком конеч-
ного порядка или, вообще, когда рассматриваемое семантическое
понятие относится исключительно к таким выражениям языка, в
которых порядок всех переменных заранее ограничен (см. теорему
II). В остальных случаях, руководствуясь доказательством теоремы
I, можно доказать, что определения с указанными свойствами в ме-
танауке построить невозможно115. Стремясь и в этой ситуации обос-
новать теорию интересующего нас понятия, мы включаем ее в сис-
тему примитивных понятий, а описанные выше постулаты — в сис-
тему аксиом метанауки; рассуждение, аналогичное к доказательству
теоремы III, показывает, что обогащенная подобным образом систе-
ма метанауки остается внутренне непротиворечивой. Дедуктивная
сила добавленных постулатов, однако, весьма незначительна: этих
постулатов недостаточно для доказательства самых важных законов
общей природы, касающихся рассматриваемого понятия, они не ус-
танавливают однозначно его объем, полученная система не является
ни полной, ни даже категоричной. Чтобы радикально устранить эти
дефекты, следовало бы усилить основания самой метанауки, добав-
ляя к правилам вывода правило бесконечной индукции; однако то-
гда доказательство непротиворечивости предоставляло бы большис-
трудности, которых мы до сих пор не умеем преодолеть.
115 Это касается, в частности, понятия определимости (хотя в этом случае как
сама постановка проблемы, так и метод решения требуют определенных видо-
изменений по сравнению со схемами, приведенными в тексте). В работе [13] я
высказал предположение, что в метаязыке этого понятия во всем его диапазоне
определить невозможно; это предположение я в состоянии в настоящее время
точно доказать. Вышеуказанный факт тем более заслуживает внимания, что, как
я указал в упомянутой работе, дефиницию частных случаев понятия определи-
мости, относящихся не ко всему языку, а к любым его фрагментам, конечного
порядка, удается сконструировать не только в метаязыке, но и в самом языке.
142
А. Тарский
§6. Заключение
Главные результаты настоящей работы можно кратко выразить в
следующих трех тезисах:
А. Для каждого формализованного языка конечного порядка мы
в состоянии сконструировать в метаязыке формально корректное
и содержательно адекватное определение истинного предложения,
пользуясь исключительно выражениями общелогического характе-
ра, выражениями самого языка и терминами из области морфоло-
гии языка, т. е. именами выражений языка и существующих между
ними структурных отношений.
В. Для формализованных языков бесконечного порядка невоз-
можно сконструировать подобное определение.
С. В то же время даже по отношению к формализованным язы-
кам бесконечного порядка можно непротиворечиво и корректно
оперировать понятием истины, включая это понятие в состав
примитивных понятий метаязыка и устанавливая его фундамен-
тальные свойства аксиоматическим методом (вопрос о том, не
содержит ли в себе полученная подобным образом теория истины
противоречия, до настоящего времени, однако, окончательно не ре-
шен).
Поскольку полученные результаты удается легко распространить
на другие понятия семантической природы, мы вышеприведенным
тезисам можем придать более общую форму:
А'. Семантика произвольного формализованного языка конечно-
го порядка может быть построена как раздел морфологии языка,
основывающийся на соответствующим образом сконструирован-
ных определениях.
В'. Невозможно обосновать подобным образом семантику фор-
мализованных языков бесконечного порядка.
С. В то же время можно обосновать семантику произвольного
формализованного языка бесконечного ряда как отдельную науку,
основывающуюся на собственных примитивных понятиях и собст-
венных аксиомах и содержащую в качестве своего фундамента ло-
гическую систему морфологии (хотя до настоящего времени у нас
Понятие истины в языках дедуктивных наук
143
нет полной гарантии, что построенная подобным методом семанти-
ка является внутренне непротиворечивой).
С формальной точки зрения вышеприведенные исследования
были проведены в рамках методологии дедуктивных наук. Некото-
рые, как бы побочные результаты, заинтересуют, быть может, спе-
циалистов в этой области. Я обращу внимание на то, что благодаря
определению истинного предложения мы получили общий метод
доказательства непротиворечивости для дедуктивных наук конечно-
го порядка (метод, лишенный, впрочем, выдающейся познаватель-
ной ценности). Я также напомню, что для языков конечного порядка
нам удалось уточнить понятие предложения, корректного в данной,
соответственно в каждой области индивидов — понятия, играющего
большую роль в новейших работах в области методологии.
В существенной своей части настоящая работа находится, одна-
ко, на обочине главного русла методологических работ. Ее цен-
тральная проблема — конструкция определения истинного предло-
жения и обоснование научных оснований теории истины — принад-
лежит к области теории познания и порой бывает даже причислена к
главным проблемам этой ветви философии. Поэтом я рассчитываю
на то, что эта работа заинтересует прежде всего всех теоретиков по-
знания, что — не позволяя себя обескуражить местами обремени-
тельным аппаратом понятий и методов, не применявшихся до сих
пор в культивируемой ими области науки — они критически про-
анализируют содержащиеся в этой работе результаты и смогут ее
использовать в дальнейших исследованиях в этой области.
В заключение скажу еще одно. Философы, не привыкшие к ис-
пользованию дедуктивного метода в своей ежедневной научной ра-
боте, склонны рассматривать с некоторым пренебрежением все
формализованные языки, противопоставляя этим «искусственным»'
созданиям единый естественный язык — язык обыденной жизни. По
этой же причине в глазах многих читателей, вероятно, моментом,
существенно снижающим ценность вышеприведенных исследова-
ний, представится то обстоятельство, что полученные результаты
касаются почти исключительно формализованных языков. Мне бы-
ло бы трудно согласиться с подобным взглядом: по моему мнению,
исследования в §1 убедительно доказывают, что в отношении обы-
денного языка — при использовании обычных законов логики —
оперирование понятием истины, впрочем, как и другими семантиче-
144
А. Тарский
скими понятиями, неминуемо приводит к осложнениям и противо-
речиям. Тот, кто стремится невзирая на все трудности разрабатывать
точными методами семантику обыденного языка, должен был бы
предварительно предпринять неблагодарную работу по «реформе»
этого языка: он должен был бы уточнить его структуру, устранить
многозначность встречающихся в нем терминов, наконец, разбить
язык на ряд все более обширных языков, из которых каждый оста-
вался бы в том же самом отношении к последующему, как формали-
зованный язык к своему метаязыку. Однако можно усомниться, со-
хранит ли «рационализированный» подобным образом обыденный
язык свою «естественность» и не приобретет ли он тогда характер-
ных черт формализованных языков.
§7. Postscriptum
При написании настоящей работы я имел в виду только форма-
лизованные языки, обладающие структурой, согласующейся с тео-
рией семантических категорий, в особенности с ее основными
принципами. Это оказало существенное влияние на конструкцию
всей работы и формулировку ее конечных результатов. Тогда мне
казалось, что «теория семантических категорий так глубоко укоре-
нена в фундаментальной интуиции, связанной с осмысленностью
выражений, что невозможно вообразить себе научный язык, пред-
ложения которого обладали бы выразительным интуитивным смыс-
лом, но чье строение не удавалось бы согласовать с рассматривае-
мой теорией в том или ином понимании» (см. с. 88). Сегодня я уже
не могу решительно защищать принятый тогда по этому вопросу
взгляд. В связи с эти мне кажется теперь интересным и важным ис-
следовать, какие значения для фундаментальных принципов на-
стоящей работы имело бы включение в область наших исследова-
ний языков, для которых не являются обязательными принципы
теории семантических категорий. Ниже я рассмотрю вкратце имен-
но эту проблему.
Хотя вследствие этого поле исследований, которое предстоит ох-
ватить, значительно увеличивается, я в целом не намерен — как это
было ранее — рассматривать все возможные языки, которые кто-то
когда-то может сконструировать. Как раз наоборот, я ограничусь
исключительно языками, которые — помимо различий, связанных с
теорией семантических категорий — в своей структуре проявляют
Понятие истины в языках дедуктивных наук
145
возможно большее сходство с ранее исследованными языками. В
частности, с точки зрения простоты, я буду рассматривать только
такие языки, в которых встречаются — помимо кванторов общности
и существования и констант исчисления высказываний — лишь
единичные имена и переменные их представляющие, так же как и
постоянные и переменные пропозициональные функторы с произ-
вольным числом аргументов. Следуя способу изложения в §2 и §4,
мы стараемся определить для каждого из этих языков понятия при-
митивной пропозициональной функции, фундаментальных опера-
ций над выражениями, произвольной пропозициональной функции,
аксиомы, следования и доказуемой теоремы. Таким образом, на-
пример, как правило мы включаем в число аксиом — так же как в
языке общей теории классов §5 — все подстановки классического
исчисления высказываний, псевдоопределения и закон экстенсио-
нальности (возможно, также и другие предложения, применительно
к специфическим свойствам языка). Определяя понятие следования,
мы руководствуемся определением 15 из §2.
В конструкции языка, который мы как раз сейчас рассматриваем,
вообще не менее существенную, чем до сих пор, роль играет поня-
тие порядка выражения, введенное в §4. Рекомендуется именам ин-
дивидов и переменным, представляющим их, назначать порядок 0 (а
не, как ранее, порядок 1). Порядок пропозиционального функтора,
произвольной (примитивной) пропозициональной функции на этот
раз уже не определяется однозначно порядком всех аргументов этой
функции. Поскольку принципы теории семантических категорий
уже не являются обязательными, то может так произойти, что один
и тот же знак играет роль функтора в двух или более пропозицио-
нальных функциях, в которых аргументы, занимающие те же самые
места, тем не менее принадлежат к разным порядкам. Таким обра-
зом, чтобы установить порядок любого знака, мы должны учесть
порядки всех аргументов во всех пропозициональных функциях, в
которых этот знак является пропозициональным функтором. Если
порядок всех этих аргументов меньше некоторого установленного
натурального числа п и если, по крайней мере, в одной пропозицио-
нальной функции встречается аргумент, который имеет порядок
точно п-1, то тогда рассматриваемому символу мы приписываем
порядок п. Все пропозициональные функторы этого рода, так же как
и имена индивидов и представляющих их переменных, включаются
146
А Тарский
в знаки конечного порядка. Но нужно также учитывать возможность
того, что в языке могут встречаться другие пропозициональные
функторы, которым требуется назначить некоторый бесконечный
порядок. Если, например, какой-то знак является пропозициональ-
ным функтором только тех пропозициональных функторов, все ар-
гументы которых имеют конечный порядок, но эти порядки не огра-
ничены заранее никаким натуральным числом, то этот знак будет
бесконечного порядка.
Для классификации знаков бесконечного порядка мы используем
теоретико-множественное понятие ординального числа, являющего-
ся обобщением обычного понятия натурального числа116. Как из-
вестно, натуральные числа являются наименьшими ординальными
числами. Поскольку для каждой бесконечной последовательности
ординальных чисел существуют числа, большие, чем каждое выра-
жение этой последовательности, постольку существуют, в частно-
сти, числа, большие, чем все натуральные числа. Мы называем их
трансфинитными ординальными числами. Известно, что в каждом
непустом классе ординальных чисел существует наименьшее число.
В частности, существует наименьшее трансфинитное число, которое
обозначается символом “со”. Следующим числом является со+1, пос-
том появляются числа со+2, со+3, ..., со • 2, со • 2+1, со • 3, ... и т. д. Зна-
кам бесконечного порядка, которые являются функторами пропози-
циональных функций, содержащих исключительно аргументы ко-
нечного порядка, мы ставим в соответствие как порядок число со.
Любой знак, являющийся функтором исключительно тех пропози-
циональных функций, у которых аргументы либо конечного поряд-
ка, либо порядка со (и у которых, по меньшей мере,-один аргумент
какой-нибудь функции очевидным образом имеет порядок со), имеет
порядок со+1. Общее рекурсивное определение порядка следующее:
порядком произвольного знака является наименьшее ординальное
число, которое больше, чем порядки всех аргументов во всех пропо-
зициональных функциях, в которых данный знак встречается как
пропозициональный функтор117.
Как и в §4, мы можем различать языки конечного и бесконечного
116 См. Fraenkel 1928, с. 185 и дальше.
117 См. введение системы уровней в Carnap 1934, с. 139 и далее (в английском
переводе с. 186).
Понятие истины в языках дедуктивных наук	] 47
порядков. Фактически, каждому языку мы можем поставить в соот-
ветствие определенное ординальное число в качестве его порядка, а
именно, наименьшее ординальное число, которое больше, чем по-
рядки всех переменных, встречающихся в этом языке. (Легко пока-
зать, что согласно этому условию предыдущие языки порядка п со-
храняют свой порядок, поскольку порядок имен индивидов был
уменьшен. Язык общей теории классов имеет порядок со.)
Из этих соглашений не следует, что каждая переменная, принад-
лежащая к рассматриваемым языкам, имеет точно определенный
порядок. Как раз наоборот, мне кажется вполне очевидным (по при-
чине вышеприведенных попыток и других исследований), что мы не
можем ограничиться использованием переменных точно установ-
ленного порядка, поскольку мы должны получить языки, превы-
шающие предыдущие языки богатством понятий, выражаемых в
них, исследование которых может пролить новый свет на проблемы,
которые здесь нас интересуют. Поэтому мы должны ввести в языки
переменные неопределенного порядка, которые, так сказать, «про-
бегают» все возможные порядки, и которые могут выступать как
функторы или аргументы в пропозициональных функциях невзирая
на порядок остальных знаков, встречающихся в этих функциях, и
которые в то же время могут быть как функторами, так и аргумен-
тами в этих же самых пропозициональных функторах. С перемен-
ными этого рода мы должны обращаться с максимальной осторож-
ностью, если не хотим попасть в ловушку антиномий, таких как
знаменитая антиномия класса всех классов, которые не являются
своими собственными элементами. В частности, следует соблюдать
осторожность тогда, когда для языков, содержащих такие перемен-
ные, формулируются правила подстановки и описываются аксиомы,
которые мы назвали псевдоопределениями. К сожалению, мы не
можем сейчас входить в детали118.
118
От языков, рассмотренных здесь, до языков иного рода — представляющих
собой гораздо более удобный и фактически гораздо более часто используемый
инструмент при построении логики и математики — отделяет нас только один
шаг. В этих новых языках все переменные имеют бесконечный порядок. С фор-
мальной точки зрения, это языки с гораздо более простой структурой; согласно
терминологии, принятой в §4, их следует зачислить к языкам первого рода, по-
скольку все их переменные принадлежат к одной и той же семантической кате-
гории. Тем не менее, исследования Е. Цермело и его последователей (см. Skolem
1929. с. 1-12) показали, что благодаря соответствующему выбору аксиом можно
148
А. Тарский
Нет очевидных препятствий к тому, чтобы переменные трансфи.
нитного порядка ввести не только в язык, являющийся предметом
исследований, но и в метаязык, в котором проводятся исследования.
В частности, всегда существует возможность конструирования ме-
таязыка таким образом, чтобы он содержал переменные более высо-
кого порядка, чем все переменные исследуемого языка. Тогда мета-
язык становится языком высшего порядка, и, таким образом, язы-
ком, существенно более богатым грамматическими формами, чем
язык, который мы исследуем. С точки зрения интересующих нас
проблем, этот факт имеет капитальное значение. Ибо исчезает раз-
ница между языками конечных и бесконечных порядков — разница,
столь заметная в §4 и §5, и в полную силу выраженная в заключении
в тезисах А и В. Действительно, формулировка корректного опреде-
ления истины для языков бесконечного порядка была бы в принципе
возможна, если бы мы только имели в своем распоряжении в мета-
языке выражения более высокого порядка, чем все переменные ис-
следуемого языка. Отсутствие таких выражений в метаязыке делает
невозможным расширение этих методов конструирования на языки
бесконечного порядка. Но сейчас мы в состоянии определить поня-
тие истины для произвольного языка конечного или бесконечного
порядка, если только за основу наших исследований мы возьмем
метаязык порядка большего, по меньшей мере, на 1, чем порядок
исследуемого языка (существенную роль здесь играет наличие в ме-
таязыке переменных неопределенного порядка). Стоит, может быть,
подчеркнуть то, что тогда конструкция определения до некоторой
степени упрощается. Мы точно придерживаемся метода, набросан-
ного в §3, не прибегая к приему, который мы вынуждены были ис-
сконструировать теорию множеств и всю классическую математику, основыва-
ясь на языках этого рода. Мы можем выразить в них, так сказать, каждую
мысль, которую удается сформулировать в ранее исследованных языках конеч-
ного и бесконечного порядков. В отношении рассматриваемых здесь языков
понятие порядка никоим образом не теряет своего значения; однако оно непри-
менимо к выражениям языка, или предметам ими означаемым, или к языку в
целом. Индивиды, т. е. предметы, не являющиеся множествами, мы считаем за -
предметы порядка 0; порядком произвольного множества является наименьшее
ординальное число, которое больше, чем порядки всех элементов этого множе-
ства; порядком языка является наименьшее ординальное число, превышающее
порядки всех множеств, существование которых следует из аксиом, принятых в
языке. Наши дальнейшие выводы также справедливы без ограничений для тех
новых языков, о которых только что шла речь.
Понятие истины в языках дедуктивных наук	149
пользовать в §4, исследуя языки второго и третьего рода. Мы не
обязаны использовать ни многорядные последовательности, ни вы-
полнять семантическую унификации? переменных, так как — от-
вергнув принципы теории семантических категорий — мы можем
свободно использовать последовательности, выражения которых
имеют разные порядки. С другой стороны, исследования, представ-
ленные в §5 в связи с теоремой I, не теряют своей силы и их можно
расширить на языки произвольного порядка. Для языков, в которых
удается сконструировать арифметику натуральных чисел, невоз-
можно дать корректное определение истины, если порядок метаязы-
ка, в котором проводятся исследования, не превышает порядок ис-
следуемого языка (см. соответствующие замечания на с. 129-130).
Наконец, вышеприведенные исследования свидетельствуют о
необходимости серьезной ревизии тезисов А и В, приведенных в
заключении настоящей работы и содержащих суммирование ее
главных результатов:
А. Для каждого формализованного языка конечного порядка мы
в состоянии сконструировать в метаязыке формально корректное
и содержательно адекватное определение истинного предложения,
пользуясь исключительно выражениями общелогического характе-
ра, выражениями самого языка и терминами из области морфоло-
гии языка — но при условии, что метаязык имеет порядок выше,
чем язык, служащий предметом исследования.
В. Если порядок метаязыка самое большее равен порядку самого
языка, то невозможно сконструировать подобное определение.
Когда мы сравниваем новую формулировку этих двух тезисов с
предыдущей, то видим, что область полученных результатов суще-
ственно расширилась и одновременно уточнены условия их приме
нимости.
В свете новой формулировки тезиса А теряет значение тезис С.
Он имеет некоторую ценность лишь тогда, когда исследования про-
водятся в метаязыке, имеющем тот же самый порядок, что и иссле-
дуемый язык, и тогда, когда — отказавшись от конструирования
определения истины — предпринимается попытка построения тео-
рии истины аксиоматическим методом. Легко видеть, что построен-
ная подобным образом теория истины не может содержать внутрен-
него противоречия, если только от противоречия свободен метаязык
150
А. Тарский
высшего порядка, в котором удается сформулировать корректное
определение истины, и в котором можно вывести все предложения
119
принятые в теории истины в качестве аксиом
Так же как в заключении настоящей работы, мы можем дать те-
зисам А и В более общую формулировку, распространяя ее на дру-
гие понятия семантического характера:
А'. Семантика произвольного формализованного языка конечно-
го порядка может быть построена как раздел морфологии языка,
основывающийся на соответствующим образом сконструирован-
ных определениях, но при условии, однако, что язык, в котором
сконструирована эта морфология, имеет порядок выше, чем тот
язык, чьей морфологией она является.
В'. Невозможно обосновать подобным образом семантику (про-
извольного) языка, если порядок языка его морфологии является,
самое большее, равным порядку самого языка.
Тезис А в своей новой и обобщенной форме вообще не имеет ни
малейшего значения для методологии дедуктивных наук. Ее следст-
вия совпадают с важными результатами, которые в последние годы
опубликовал Гёдель. Определение истины позволяет доказать не-
противоречивость дедуктивной науки на основе метатеории, поря-
док которой больше порядка самой теории (см. с. 72 и 111). С дру-
гой стороны, из исследований Гёделя следует, что невозможно во-
обще доказать непротиворечивость теории, если подобное доказа-
тельство разыскивается на основе метатеории равного или более
низкого порядка.119 120 Более того, Гёдель представил метод конструи-
рования предложений, которые — при условии непротиворечивости
рассматриваемой теории — не могут быть разрешимы никаким спо-
собом в этой теории. Все предложения, сконструированные методом
Гёделя, имеют ту особенность, что их истинность или ложность уда-
ется установить на основе метатеории высшего порядка, в которой
мы располагаем корректным определением истины. И поэтому
можно установить разрешимость этих предложений, т. е. их можно
119
В частности, положительное решение имеет проблема, затронутая на
с. 138 — также как и проблема бесконечных индуктивных определений, упомя-
нутая на с. 139, примечание 113.
120 См. Godel 1931. с. 196 (теорема XI).
Понятие истины в языках дедуктивных наук	15 ]
доказать или опровергнуть. Более того, эта разрешимость может
быть получена внутри самой науки, не обращаясь к понятиям и до-
пущениям метатеории, при условии, конечно, что язык и логические
основы рассматриваемой теории были предварительно обогащены
путем введения переменных высшего порядка121.
Попробуем выяснить это несколько подробнее. Рассмотрим про-
извольную дедуктивную науку, в которой можно сконструировать
арифметику натуральных чисел, и начнем наши исследования на
основе метатеории, которая имеет тот же самый порядок, что и рас-
сматриваемая теория. Метод Гёделя конструирования неразреши-
мых предложений мы обрисовали implicite в доказательстве теоремы
в §5 (с. 124 и далее). На каждом месте — как в формулировке этой
теоремы, так и в его доказательстве — мы заменяем символ “Иг”
символом “7”, который означает класс всех доказуемых предложе-
ний рассматриваемой теории, и который удается определить в мета-
теории (см., например, определение 17 в §2). Согласно первой части
теоремы I мы можем получить отрицание одного из предложений,
описанных в условии (а) соглашения Р из §3 как вывод из опреде-
ления символа “Г” (при условии, что в этом соглашении мы заменим
“Кг” на “Г’)- Иными словами, мы можем сконструировать предло-
жение х, принадлежащее к рассматриваемой науке, которое выпол-
няет следующее условие:
не истинно, что хе Ттогда и только тогда, когдар,
или в эквивалентной формулировке:
(1)	х Т тогда и только тогда, когда р,
где символ "р" представляет целое предложение х (фактически, мы в
качестве х можем взять предложение <pk ), сконструированное
в доказательстве теоремы I).
Покажем, что предложение х является действительно неразре-
шимым и в то же время истинным. С этой целью мы перейдем к ме-
татеории высшего порядка; тогда очевидным образом теорема I бу-
дет справедливой и далее. Согласно с тезисом А на основе обога-
щенной метатеории можно сконструировать корректное определе-
ние истины, касающееся всех предложений исследуемой теории.
Если класс всех истинных предложений мы обозначим символом
121 См. Godel 1931, с. 187 и далее, а в частности с. 197, примечание 48а.
152
А. Тарский
"Vr", то тогда, согласно соглашению Р, предложение х, которое мы
сконструировали, будет выполнять следующее условие:
(2)	хе Рг тогда и только тогда, когдар.
Из (1) и (2) сразу же следует:
(3)	х $£ Т тогда и только тогда, когда хе Vr.
Если, к тому же, мы обозначим отрицание предложения х симво-
лом х, то из определения истины (см. теоремы 1 и 5 из §3) мы мо-
жем вывести следующие теоремы:
(4)	или х &Vr, или х £ Vr;
(5)	если хе Т, то хе Vr,
(6)	если х е Т , то х eVr.
Из (3) и (5) мы без труда выводим, что
(7)	хе Vr,
и что
(8)	х<£Т.
Ввиду (4) и (7) мы имеем х <&Vr, что вместе с (6) дает формулу
(9)	х&Т.
Формулы (8) и (9) выражают тот факт, что х является неразре-
шимым предложением; к тому же из (7) следует, что х является ис-
тинным предложением.
Обосновав истинность предложения х ео ipso — по причине
(2) — мы также доказали в метатеории само предложение х. По-
скольку, однако, метатеорию удается проинтерпретировать в тео-
рии, обогащенной переменными высших порядков (см. с. 55), а в
этой интерпретации предложение х, которое не содержит никаких
специфических метатеоретических понятий, являясь своим собст-
венным эквивалентом, доказательство предложения х, данное в ме-
татеории, можно автоматически перенести в саму теорию: предло-
жение х, неразрешимое в первоначальной теории, становится раз-
решимым предложением в обогащенной теории.
Я бы хотел еще обратить внимание на аналогичный результат.
Для каждой дедуктивной науки, содержащей арифметику, можно
выделить арифметические понятия, которые, так сказать, интуитив-
но принадлежат к этой науке, хотя на ее основе их не удается опре-
делить. Тем не менее — с помощью методов, полностью аналогии-
Понятие истины в языках дедуктивных наук
153
ных методам, использованным в конструировании определения ис-
тины — можно показать, что эти понятия точно так же определимы,
если только мы обогатим науку путем введения переменных высших
122
порядков
В заключение мы можем утверждать, что определение истины
и — более обобщенно — обоснование семантики позволяет проти-
вопоставить некоторым важным отрицательным результатам, полу-
ченным в методологии дедуктивных наук, параллельные положи-
тельные результаты, и таким образом в некоторой степени запол-
нить пробелы, которые проявились в дедуктивном методе и в самом
здании дедуктивной науки.
Исторические замечания. В период 1929-1935 гг. — когда я
пришел к последнему определению понятия истины и большинству
остальных результатов, представленных здесь, и в прошлом году —
когда вся настоящая работа появилась впервые на международном
языке, вопросы, рассмотренные здесь, были затронуты несколько
раз. На немецком языке, помимо моего резюме [32], вышли работы
Карнапа, в которых были представлены полностью похожие идеи
(cf Carnap, Die Antinomien und die Unvollstandigkeit der Mathematik,
«Monatshefte f. Math u. Phys. », Leipzig, 1934, t. 41, c. 263-284 и Ein
Gultigkeitskriterium fur die Sdtze der klassischen Mathematik, ibid., t. 42,
c. 163-193; обе статьи представляют собой дополнение книги Carnap
1934). Упомянутые две статьи были включены в англоязычное изда-
ние книги Карнапа, озаглавленной Logical Syntax of Language (Lon-
don, 1937)*.
122 См. мое резюме Uber definierbare Mengen reeler Zcihlen. «Annales de la Societe
Polonaise de Mathematique», t. IX, annee 1930. Krakow, 1931. c 206-207 (отчет
доклада, прочитанного 16 декабря 1930 года во Львовском отделении Польско-
го Математического Общества). Идеи, набросанные там. были частично развиты
в [31]. Ср. [56т], раздел VI, с. 116, библиографическое примечание j {[56m]( 1),
с. 276, примечание 1.}
{В [56т](I) вышеприведенный фрагмент исторических замечаний был изменен
и звучит следующим образом:}
«На протяжении шестилетнего периода, начиная с 1929 года, когда я при-
шел к окончательным формулировкам определения истины и большинства ос-
тальных результатов, представленных в настоящей работе, а заканчивая 1935
годом, когда вся работа появилась впервые на языке, принятом повсеместно для
обмена научными идеями, исследуемые здесь проблемы обсуждались несколько
154
А. Тарский '
Следовало, однако, ожидать, что вследствие этих ушедших шес-
ти лет и ввиду природы проблемы, и, быть может, из-за языка ори-
гинала моей работы, могут появиться ошибки, касающиеся истори-
ческих связей. И действительно, во второй из вышеупомянутых ста-
тей (с. 165, примечание 3) Карнап пишет о моих исследованиях, что
«...они были предприняты в связи с исследованиями Гёделя». По-
этому не будет лишним, если я приведу в этом месте несколько за-
мечаний о зависимости и независимости моих исследований.
Я хотел бы сказать совершенно абстрактно, что все мои методы и
результаты, за исключением тех, которые в соответствующих мес-
тах я выразительно подчеркнул — см. примечание 2 (с. 22) и 97
(с. 123) — я получил совершенно независимо. Даты, упомянутые в
примечании 2 на с. 22 представляют, как мне кажется, достаточное
основание для проверки моего утверждения. Я хотел бы помимо
этого отметить, что моя статья, опубликованная по-французски
[31] — о которой я сообщил уже в декабре 1930 года (см. заметку
по-немецки в [30а] — содержит в точности такие методы конструи-
рования, которые — хотя использованные там с иными целями — в
настоящей работе нашли применение в конструировании понятия
истины.
Мне хотелось бы подчеркнуть независимость моих исследований
в отношении следующих отдельных пунктов: (1) общая формули-
ровка проблемы определения истины, см. особенно с. 59-60; (2) по-
ложительное решение этой проблемы, т. е. определение общего по-
нятия истины в случае, когда средства, доступные в метаязыке, яв-
ляются достаточно богатыми (это определение для логических язы-
ков является определением термина «аналитический», который ис-
пользует Карнап). См. с. 67 и НО; (3) метод доказательства непро-
тиворечивости, основывающийся на определении истины, см. с. 72 и
111; (4) аксиоматическая конструкция метасистемы, см. с. 42 и да-
лее, и связанные с этим (5) исследования на с. 55 и далее, на тему
интерпретации метасистемы в арифметике, исследования, уже со-
держащие так называемый «метод арифметизации языка», который
Гёдель развил гораздо полнее и совершенно независимо. Я хотел бы
помимо этого обратить внимание на результаты, которые не касают-
раз. Таким образом, на немецком языке, в дополнение к моему резюме [32],
появились работы Карнапа, в которых были развиты совершенно похожие идеи
(ср. Carnap 1934 и Carnap 1937)».
Понятие истины в языках дедуктивных наук
155
ся понятия истины, но иного семантического понятия, каким являет-
ся определимость, о чем идет речь на с. 152.
В том единственном месте, в котором моя работа связана с идея-
ми Гёделя, т.е. в негативном решении проблемы определения исти-
ны в случае, когда метаязык не богаче исследуемого языка, я, есте-
ственно, выразительно подчеркнул этот факт (см. с. 123. Примеча-
ние 97); следует упомянуть, что полученный подобным образом ре-
зультат, который так великолепно дополнил мою работу, был един-
ственным результатом, который добавлен позднее к исследованиям,
уже ранее законченным .
“Postscriptum ” allatum est die 13. Aprilis 1935 *.
Приложение
Публикация в первом томе трудов А. Тарского данной работы
сопровождается следующей заметкой:
Редакционная нота. Публикация представляет собой отредакти-
рованную и дополненную перепечатку монографии [33т]. Текст
оригинала содержится на с. 12-158 (Вступление и § 1 -§6), а дополне-
ния включают §7 Postscriptum (с. 159-172) и различные мелкие
фрагменты (главным образом примечания), которые рассеяны по
всему тексту. Эти дополнения были отредактированы на основании
английской версии монографии, т. е. [35b] (1) (опубликованной в
[56т] и [56т] (1), раздел VII, с. 152-278). Для того, чтобы введенные
нами дополнения были легко заметны, мы использовали следующие
редакционные приемы. В квадратных скобках со знаком плюс ввер-
ху [ ]+ мы поместили текст из английского издания, которого в ори-
гинале нет, добавляя в фигурных скобках информацию, откуда про
исходит текст, например, {[56m] (1), с. 174, примечание 2}. В квад-
ратных скобках с минусом наверху [ ] обозначены те фрагменты
польского оригинала, которые в английском издании были пропу-
{Postscriptum и Исторические замечания были добавлены к немецком) изда-
нию Понятия истины, т. е. к [35Ь]. Заметим, что более поздние версии Истори-
ческих замечаний в английских изданиях [56т] и [56т]( 1) и во франц) зеком из-
дании [72т] отличаются друг от друга стилистикой первого абзаца (см. преды-
дущее примечание).}
[Добавление в [35b]; из [56т] оно было вычеркнуто.}
156
А. Тарский
щены. (Аналогично мы обозначаем разницу между обеими англий-
скими версиями). Помимо этого, в оригинале орфографии придан
современный характер, введены мелкие стилистические изменения
и исправлены типографские опечатки.
Мы хотели бы обратить внимание читателя на то, что английское
издание Понятия истины возникло на основе его немецкого пере-
вода [35b]; это последнее носит несколько измененное название и
содержит §7 Nachwort. По техническим причинам настоящее изда-
ние не отмечает — кроме §7 — разницу между оригиналом 1933
года и его немецкой версией 1935 года.
Библиография научных трудов Альфреда Тарского
Статьи
[21]
[23]
Przyczynek do aksjomatyki zbioru dobrze uporzqdkowanego //
Przeglqd Filozoficzny, t. 24 (1921), s. 85-94.
О wyrazie pierwotnym logistyki, teza doktorska // Przeglqd
Filozoficzny, t. 26 (1923), s. 68-89.
(1) On the primitive term of logistic // [56m], s. 1-23.
(Исправленный английский перевод [23].)
(2) Sur le terme primitif de la logistique // [72m], s. 1-25.
(Исправленный французский перевод [23].)
[23a] Sun le terme primitif de la logistique // Fund. Math., t. 4,
(192'3), s. 196-200. (Французское издание части [23].)
[24] Sur les truth-functions au sens de MM. Russell et Whitehead //
Fund. Math., t. 5 (1924), s. 59-74. (Французское издание
части[23].)
[24a] Sur quelques theoremes qui equivalent a 1'axiome du choix //
Fund. Math., t. 5 (1924), s. 147-154.
[24b] О rownowaznosci wielokqtow // Przeglqd Filozoficzny, t. 2
(1924), s. 47-60.
[24c]	Sur les ensembles finis // Fund.Math., t. 6 (1924), s. 45-95.
[24d]	Sur la decomposition des ensembles de points en parties re-
spectivement congruenles (соавтор S. Banach) // Fund. Math.,
t. 6(1924), s. 244-277.
(1) Перепечатано в: Stefan Banach, Oeuvres, t. 1, red.
S.Hartman i E.Marczewski, PWN, Warszawa, 1967,
s.l 18-148.
А. Тарский
157
[25]
[26]
[28]
[29]
[29a]
[29b]
[29c]
[29d]
[29d]
[30]
[30a]
Quelques theoremes sur les alephs // Fund. Math., t.7 (1925),
s.1-14.
Communication sur les recherches de la theorie des ensembles
(соавтор A. Lindenbaum) // Sprawozdania z Posiedzen To-
warzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk
Matematyczno-fizycznych, t. 19 (1926), s. 299-330.
Sur la decomposition des ensembles en sous-ensembles
presque disjoints // Fund. Math, t. 12 (1928), s. 188-205.
Les fondements de la geometric des corps // Ksi?ga
Pamiqtkowa Pierwszego Polskiego Zjazdu Matematycznego
(Приложение к: «Rocznik Polskiego Towarzystwa
Matematycznego»), Krakow, 1929, s. 29-33.
(1) Foundations of the geometry of solids // [56m], c. 24-29.
(Исправленный английский перевод [29].)
(2) Les fondements de la geometrie des corps // [72m], c. 27-
34. (Французский перевод (1).)
Geschichtliche, Entwicklung und gegenwartiger Zustand der
Gleichmachtigkeitstheorie und der Kardinalzahiarithmetik //
Ksi?ga Pamiqtkowa Pierwszego Polskiego Zjazdu
Matematycznego (Приложение к: «Rocznik Polskiego To-
warzystwa Matematycznego»), Krakow, 1929, s. 48-54.
Sur les fonctions additives dans les classes abstraites et leur
application au probleme de la mesure // Sprawozdania z Po-
siedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial
111 Nauk Matematyczno-fizycznych, t. 22 (1929 — издано в
1930), s. 114-117. (Дальнейшим развитием является статья
[38g].)
Sur la decomposition des ensembles en sous-ensembles
presque disjoints. (Supplement a la note sous le meme titre du
Volume Xll de ce Journal) // Fund.Math. t. 14 (1929), s. 205
215.
Na marginesie «Rozporzqdzema Prezydenta Rzeczypospolite;
о ubezpieczeniu pracownikow umysiowych z dnia 24 listopada
1927 r» // Ekonomista, t. 29 (1929), s. 115-119.
Zjazd matematykow // Ogniwo, t. 9 (1929), s. 401-402.
Une contribution a la theorie de la mesure // Fund. Math., t. 15
(1930), s. 42-50.
Uber definierbare Mengen reeier Zahlen // Rocznik Polskiego
158
Библиография
Towarzystwa Matematycznego, t. 9 (1930 — издано в 1931),
s. 206-207.
[30a] Sur une propriete caracteristique des nombres inaccessibles
(соавтор W. Sierpinski) // Fund. Math., t. 5 (1930), s. 292-
300.
(1) Перепечатка // Waclaw Sierpinski, Oeuvres choisies, t. 3,
red. S. Hartman, E. Marczewski, A. Mostowski i
A. Schinzel, PWN, Warszawa, 1976, s. 29-35.
(2) Uber Aquivalenz der Mengen in Bezug auf eine beliebige
Klasse von Abbildungen // Atti del Congresso Intemazion-
ale dei Matematici, Bologna 3-10 settembre 1928, t. 6, Ni-
cola Zanichelli, Bologna, 1930, s. 243-252.
[30a] Uber einige fundamentalen Begriffe der Metamathematik //
Sprawozdania z Posiedzen Towarzystwa Naukowego War-
szawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-fizycznych, t. 23
(1930), s. 22-29. (Дальнейшим развитием является статья
[ЗОе].)
(1)	On some fundamental concepts of metamathematics //
[56m], s. 30-37. (Исправленный английский перевод
[ЗОе].)
(2)	Sur quelques concepts fondamentaux de la
metamathematique // [72"], s. 35-44. (Исправленный
французский перевод [ЗОе].)
(3)	A metamatematika nehany alapveto fogalmarol // [90m],
s.28-37. (Венгерский перевод (1).)
[30d] Untersuchungen uber den Aussagenkalkul (соавтор J. Luka-
siewicz) // Sprawozdania z Posiedzen Towarzystwa Nau-
kowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-
fizycznych, t. 23 (1930), s. 30-50.
(1)	Investigations into the sentential calculus // [56m], s. 38-59.
(Исправленный английский перевод [30d])
(2)	Recherches sur le calcul propositionnel // [72m], s. 45-65.
(Исправленный французский перевод [30d].)
(3)	Badania nad rachunkiem zdan // Jan Lukasiewicz, Z za-
gadnien logiki i fllozofii. Pisma wybrane, red. J. Slupecki,
PWN, Warszawa 1967, s. 129-143. (Польский перевод
[30d].)
(4)	Перепечатка (1) // Jan Lukasiewicz, Selected works, ed.
А. Тарский
159
L. Borkowski, North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
1970, s. 131-152.
[30e] Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wis-
senschaften. I // Monatsh. Math. u. Phys., t. 37 (1930), s. 361-
404. (См.[30е])
(1)	Fundamental concepts of the methodology of the deductive
sciences // [56 ], s. 60-109. (Исправленный английский
перевод [ЗОе])
(2)	Concepts fondamentaux de la methodologie des sciences
deductives // [72m], s. 67-116. (Исправленный француз-
ский перевод [ЗОе])
(3)	A deduktiv tudomanyok metodologiajanak alapveto fogal-
mai // [90m], s. 38-54. (Венгерский перевод вступления
и §§ 1-2 из [ЗОе])
[30f] Sur les classes d'ensembles closes par rapport a certaines
operations elementaires I I Fund. Math., t. 16 (1930), s. 181-
304.
[31] Sur les ensembles defmissables de nombres reels. 1 // Fund.
Math., t. 17 (1931), s. 210-239. (Дальнейшим развитием
являются работы [48m] и [67ma])
(1) On definable sets of real numbers // [56m], s. 110-142.
(Расширенный английский перевод [31].)
(2) Исправленный текст [31] // [72-"], с. 117-146.
[31а] Les operations logiques et les ensembles projectifs (соавтор
К. Kuratowski) // Fund. Math., t. 17 (1931), s. 240-248.
(1) Logical operations and projective sets // [56m], s. 143-151.
(Исправленный английский перевод [31a])
(2) Исправленный текст [31а], // [72m], s. 147-156.
[31b] О stopniu rownowainosci wielokqtow // Mlody Matematyk, t. i
(Приложение к: Parametr, t. 2) (193 I), s. 37-44.
(1) The degree of equivalence of polygons. Department of
Mathematics, University of Chicago, Chicago, Illinois
1950, 8 p. (ротапринт). (Английский перевод [31b])
(2) Al ma’alat shivyon-ha-peruk shel metsula’im // Riveon
Lematematika,t. 5 (1951), s. 32-38. (Перевод на иврит
[31b])
[31/32] Teoria dlugosci okr^gu w szkole sredniej // Parametr, t. 2
(1931-32), s. 257-267.
160
Библиография
[31/32а] Uwagi о stopniu rownowaznosci wielokqtow // Parametr, t. 2
(1931-1932), s. 310-314.
(1) Further remarks about the degree of equivalence of poly-
gons, Department of Mathematics, University of Chicago,
Chicago, Illinois 1950, 7 p. (ротапринт). (Английский
перевод работы [31/32а])
[32]	Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven
Disziplinen // Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathe-
matisch-natur-wissenschaftliche Klasse, Akademischer Anzei-
ger, t. 69 (1932), s. 23-25. (Дальнейшее развитие в [35b])
(1) Перепечатка // Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur
Geschichte der modemen Logik, Hrsg. K. Berka und
L. Kreiser, Akademie-Verlag, Berlin, 1971, s. 356-359.
(Второе изд. 1973; изд. третье, испр. 1983, s. 402-404).
(2)	Перепечатка // Logischer Rationalismus. Philosophische
Schriften der Lemberg-Warschauer Schule, Hrsg.
D. Pearce, J. Wolenski, Athenaum Verlag, Frankfurt am
Mein 1988, s. 253-255.
(3)	Poj?cie prawdy w j?zykach nauk dedukcyjnych // [95m],
s. 9-12. (Польский перевод [32].)
[33]	Einige Betrachtungen uber die Begriffe der <o-
Widerspruchsfreiheit und der <n- Vollstandigheit // Monatsh.
Math. u. Phys., t. 40 (1933), s. 97-112.
(1)	Some observations on the concepts of ю-consistency and
w-compleleness // [56m], s. 279-295. (Исправленный анг-
лийский перевод [33].)
(2)	Quelques remarques sur les concepts d'w-consistance et
d'co-completude // [74m], s. 5-22. (Исправленный фран-
цузский перевод [33])
[34]	Z badan metodologicznych nad definjowalnosciq terminow //
Przeglqd Filozoficzny, 1934, t. 37, s. 438-460. (Немецкий пе-
ревод в [35c])
(1)	Some methodological investigations regarding the de-
finability of concepts. University of Chicago, Chicago, Il-
linois,1952 (ротапринт). (Английский перевод [34])
[35]	Zur Grundlegung der Boole'schen Algebra. I // Fund. Math.,
t. 24(1935), s. 177-198.
(1)	On the foundations of Boolean algebra // [56m], s. 320-341.
А. Тарский
161
(Исправленный французский перевод [35].)
(2)	Sur les fondements de I'algebre de Boole // [74m], s. 47-68.
(Исправленный французский перевод [35])
[35a] Grundzuge des Systemenkalkuls. Erster Teil // Fund. Math.,
t. 25 (1935), s. 503-526.
(1) Foundations of the calculus of systems // [56m], p. 342-
383. (Исправленный английский перевод [35a] и
[36d].)
(2) Fondements du calcul des systemes // [74m], s. 69-108.
(исправленный французский перевод [35a] и [36d])
[35b] Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen // Studia
Philosophica, t. 1 (1935), s. 261-405. (Немецкий перевод
[33m] Л. Блауштейна, с дополнением. Напечатано также в
виде отдельного тома во Львове, 1935, 145 с. См. также
[32])
(1)	The concept of truth in formalized languages // [56m],
p. 152-278. (Исправленное английское издание [35b].)
(2)	П concetto di verita nei linguaggi formalizzati // F. Rivetti
Barbo, L’antinomia del mentitore nel pensiero contempo-
raneo, da Peirce a Tarski, Societa editrice Vita e Pensiero,
Milano 1961, s. 391-677. [Перепечатка [35b] и итальян-
ский перевод.]
(3)	Перепечатка [35b] // Logik-Texte, op. cit. (cm. [32] (1)),
c. 445-559. (Третье издание, с. 443-546.)
(4)	Az igazsag fogalma a formalizalt nyevekben // [90m],
S. 55-244. (Венгерский перевод [35b])
[35c] Einige methodologische Untersuchungen liber die Deflnier-
barkeit der Begriffe // Erkenntnis, t. 5 (1935), s. 80-100. (Не-
мецкий перевод [34])
(1) Some methodological investigations on the definability от
concepts // [56m], p. 296-319. (Исправленный англий-
ский перевод [35c].)
(2) Quelque recherches methodoiogiques sur la deflnissabilite
des concepts // [74m], s. 23-46. (Французский перевод
(D)
[35d] Wahrschenlichkeitslehre und merwertige Logik // Erkenntnis,
t. 5 (1935), s. 174-175.
[36] О ugruntowaniu naukowej semantyki // Przeglqd Filozoficzny.
6 - 1094
162
Библиография
t. 39 (1936), s. 50-57. (Немецкий перевод в [36f])
[36а] О poj^ciu wynikania logicznego // Przeglqd Filozoficzny, t. 39
(1936), s. 58-68. (Немецкий перевод в [36g])
[36b] Uber die Beschranktheit der Ausdrucksmittel deduktiver Theo-
rien (соавтор A. Lindenbaum) // Ergebnisse eines mathema-
tischen Kolloquiums, t. 7 (1936), s. 15-22. [JSLl,p. 115-116].
[36c] Uber die Erweiterungen der unvollstandigen Systeme des Aus-
sagenkalkiils // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums,
t. 7(1936), s. 51-57 [JSL l,p. 116]
(1) On extentions of incomplete systems of the sentential cal-
culus // [56m], s. 393-400. (Исправленный английский
перевод [36c])
(2) Sur les extensions des systemes incomplets du calcul pro-
positionnel // [74m], s. 121-130. (Исправленный фран-
цузский перевод [36c])
[36d] Grundzuge des Systemenkalkiils. Zweiter Tell // Fund. Math.,
t. 26 (1936), s. 283-301. (Исправленные английские и
французские переводы // [35а] (1), (2).) [JSL 1, s. 71-72]
[36е] Sur les classes d'ensembles closes par rapport aux operations
de Hausdorff// Fund. Math., t. 27 (1936), s. 277-288.
[36f] Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik // Actes du
Congres International de Philosophic Scientifique, t. 3, Actu-
alites Scientifiques et Industrielles, t. 390, Hermann et Cie,
Paris 1936, s. 1-8. (Немецкий перевод [36])
(1)	The establishment of scientific semantics // [56m], s. 401-
408. (Исправленный английский перевод [36f])
(2)	Сокращенная перепечатка [36f] // Logik-Texte, op. cit.
(cm. [32] (1).), s. 350-356. (Третье издание, с. 396-402)
(3)	La fondazione della semantica scientifica // La struttura
logica del linguaggio, под ред. A. Bonomi, Idee Nuove,
t. 57, Valentine Bompiani, Milano 1973, s. 425-432.
(итальянский перевод [36f])
(4)	La construction d'une semantique scientifique // [74m],
s. 131-139. (Исправленный французский перевод [36f])
(5)	He themeliose tes epistemonikas semasiologhias // Deu-
calion (1977), № 17, s. 41-49. (Греческий перевод [36f])
[36g] Uber den Begriff der logischen Folgerung // Actes du Congres
International de Philosophic Scientifique, t. 7, Actualites Sci-
А. Тарский	163
entifiques et Industrielles, t. 394, Hermann et C'e, Paris, 1936,
s. 1-11. (Немецкий перевод [36a]) [JSL 2, s. 83-84]
(1)	On the concept of logical consequence // [56m], s. 409-420.
(Исправленный английский перевод [36g])
(2)	Сокращенная перепечатка [36g] // Logik-Texte, op. cit.
(cm. [32] (1)), s. 359-368. (Третье издание, с. 404-413)
(3)	Sur le concept de consequence logique // [74m], s. 141-152.
(Исправленный французский перевод [36g])
(4)	Перепечатка [36g] // Logischer Rationalismus. Philoso-
phische Schriften der Lemberg-Warschauer Schule, op. cit.
(cm. [32] (2)), s. 262-270.
(5)	A logikai kovetkezmeny fogalmarol // [90m], s. 287-302.
(Венгерский перевод [36g])
[36h] Ideale in den Mengenkorpem // Rocznik Polskiego
Towarzystwa Matematycznego, t. 15 (1936 — издано в
1937), s. 186-189. [JSL3, s. 47.]
[37]	Uber additive und multiplikative Mengenkorper und Mengen-
funktionen // Sprawozdania z Posiedzen Towarzystwa Nau-
kowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-
fizycznych, t. 30 (1937), s. 151-181.
[37a] Sur la methode deductive // Travaux du IX' Congres Interna-
tional de Philosophic, t. 6, Actualites Scientifiques et Industri-
elles, t. 535, Hermann et C,e, Paris, 1937, s. 95-103. [JSL 3,
s. 56]
[37b] Дополнение E // J. H. Woodger, The axiomatic method in
biology, Cambridge University Press, Cambridge a. Macmil-
lan. New York, 1937, p. 161-172. [JSL 3, p. 42-43]
[38]	Einige Bemerkungen zur Axiomatik der Boole'schen Algebra//
Sprawozdania z Posiedzen Towarzystwa Naukowego War-
szawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-fizycznych.
(1938) t. 31, s. 33-35. [JSL 4, s. 135]
[38a]	Uber unerreichbare Kardinalzahlen // Fund. Math., t. 30
(1938), s. 68-89.
[38b]	Drei Uberdeckungssatze der allgemeinen Mengenlehre //
Fund. Math., t. 30 (1938), s. 132-155.
[38c] Ein Uberdeckungssatz fur endliche Mengen // Fund. Math.,
t. 30 (1938), s. 156-163.
[38d] Eine aquivalente Formulierung des Auswahlaxioms // Fund.
6*
164
Библиография
Math., t. 30(1938), s. 197-201.
[38e] Uber das absolute Mali linearer Punktmengen // Fund. Math.,
t. 30 (1938), s. 218-234.
[38f] Ein Beitrag zur Axiomatik der Abelschen Gruppen // Fund.
Math., t. 30(1938), s. 253-256.
[38g] Algebraische Fassung des Maliproblems // Fund. Math., t. 31
(1938), s. 47-66. (Cm. [29b])
[38h] Der Aussagenkalkiil und die Topologie // Fund. Math, t. 31
(1938), s. 103-134. [JSL 4, s. 26-27]
(1)	Sentential calculus and topology // [56m], s. 421-454. (Ис-
правленный английский перевод [38h])
(2)	Calcul propositionriel et topologie // [74m], S. 153-190.
(Исправленный французский перевод [38h])
[39]	Ideale in vollstandigen Mengenkorpern. I // Fund. Math., t. 32
(1939), s. 45-63. [MR 8, s. 193]
[39a] Boolesche Ringe mit geordneter Basis (соавтор A. Mostow-
ski)//Fund. Math., t. 32 (1939), s. 69-86. [JSL 4, s. 124-125]
(1) Boolean rings with ordered basis // Andrzej Mastowski,
Foundational studies. Selected works, t. 2 (red. K. Kura-
towski, W. Marek, L. Pacholski, H. Rasiowa, Cz. Ryll-
Nardzew-ski, P. Zbierski), PWN, Warszawa oraz North-
Holland Publishing Co., Amsterdam, 1979, s. 75-91.
(Английский перевод [39a])
[39b] On well-ordered subsets of any set // Fund. Math., t. 32 (1939),
s. 176-183.
[39c] On undecidable statements in enlarged systems of logic and
the concept of truth // J. Symbolic Logic, t. 4 (1939), nr 3,
s. 105-112. [JSL 5, s. 115-116; MR I, s. 34]
(1)	Sur des enonces indecidables dans des systemes logiques
elargis et sur ie concept de verite, // [74m], s. 191-202.
(Французский перевод [39c])
(2)	О zdaniach nierozstrzygalnych w rozszerzonych systemach
logiki i poj?ciu prawdy, // [95m], s. 214-227. (Польский
перевод [39c])
[41] On the calculus of relations // J. Symbolic Logic, t. 6 (1941),
s. 73-89. [MR 3, s. 130; JSL 7, s. 38]
(1) Sur ie calcul des relations // [74m], s. 243-264. (Француз-
ский перевод [41].)
А. Тарский
165
[43]
[44]
[44a]
On families of mutually exclusive sets (соавтор P. Erdos) //
Ann. of Math., ser. 2, t. 44 (1943), s. 315-329.
The algebra of topology (соавтор J. С, C. McKinsey) // Ann.
of. Math., ser. 2, t. 45 (1944), s. 141 -191.
The semantic conception of truth and the foundations of se-
mantics // Philosophy and Phenomenological Research, t. 4
(1944), s. 341-375.
(1)	Перепечатка [44a] // Readings in philosophical analysis,
red. H. Feigl i W. Sellars, Appleton-Century-Crofts, New
York, 1949, s. 52-94.
(2)	Semantic conception of truth // The language of wisdom
and folly, red. 1. J. Lee, Harper and Brothers, New York,
1949, s. 67-71.
(3)	Перепечатка [44a] // Semantics and the philosophy of lan-
guage. A collection of readings, red. L. Linsky, University
of Illinois Press, Urbana, Illinois 1952, s. 13-47.
(4)	Het semantisch waarheidsbegrip en de grondslagen der se-
mantiek // Euclides, t. 30 (1954-1955), s. 1-43. (Голланд-
ский перевод [44a] E. W. Beth)
(5)	Grundlagen und Aufgaben der modemen Semantik // Deut-
sche Universitatszeitung, t. 13 (1958), s. 138-149. (Не-
мецкий перевод части [44a.])
(6)	La concepcion semantica de la verdad у los fundamentos
de la semantica // Antologia semantica, red. M. Bunge,
Ediciones Nueva Vision, Buenos Aires 1960, s. 111-157.
(Испанский перевод [44a] E. Colombo. Переиздание в
виде отдельной монографии в Coleccion Fichas, Edi-
ciones Nueva Vision, Buenos Aires, 1975, 75 s.)
(7)	Rilievi polemici da «La concezione semantica di verita>,
Дополнение к: 11 concetto di verita nei linguaggi formal-
izzati, Societa editrice Vita e Pensiero, Milano, 1963, 43 s
(Перепечатка второй части [44a] и итальянский пере-
вод. См. [35b] (2)) [JSL, 31, s. 284]
(8)	Truth as a linguistic problem, // Perspectives on reality.
Readings in metaphysics from classical philosophy io ex-
istentialism, eds. J. A. Mann and G. F. Kreyche, Harcourt,
Brace and World, New York, 1966, s. 506-538. (Перепе-
чатка [44a])
166
Библиография
(9)	The semantic conception of truth // Problems in the phi-
losophy of language, ed. T. M. Olshewsky; Holt, Rinehart
and Winston, New York, 1969, s. 578-610. (Перепечатка
[44a])
(10)	La concezione semantica della verita e i fondamenti della
semantica // Semantica e filosofia del linguaggio. Il Saggi-
alore, Alberto Mandadori Editore, Milano, 1969, s. 25-74.
(Итальянский перевод [44a], иной, чем в (7))
(11)	Die semantische Konzeptium der Wahrheit und die
Grundlagen der Semantik // Zur Philosophic der idealen
Sprache, red, J. Sinnreich, Deutscher Taschenbuch Verlag,
Wissenschaftliche Reihe, Monachium, 1972, s. 53-100.
(Немецкий перевод [44a])
(12)	La conception semantique de la verite et les fondements
de la semantique // [74m], s. 265-305. (Французский пе-
ревод [44a])
(13)	Перепечатка [44a] // The philosophy of language, ed.
A. P. Martinich, Oxford University Press, Oxford and New
York, 1985, p. 48-71.
(14)	Az igazsag szemantikus felfogasa es a szemantika mega-
lapozasa // [90m], s. 307-364. (Венгерский перевод [44a])
(15)	A concepfao semantica da verdade e os fundamentos da
semantica // Existencia e linguagem. Ensaios de metafisica
analitica, red. Joao Branquinho, Editorial Presen^a, Lis-
boa, 1990, s. 74-118. (Португальский перевод [44a])
(16)	Перепечатка [44a] // Meaning and truth: Essential read-
ings in modem semantics, eds. J. L. Garfield and
M. Kiteley, Paragon House, New York, 1991, p. 53-86.
(17)	Перепечатка введения и первой части [44а] // Contem-
porary readings in epistemology, eds. M. F. Goodman and
R. A. Snyder, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New
Jersey, 1993, p. 186-198.
(18)	Перепечатка [44a] // Basic topics in the philosophy of
language, ed. R. M. Harnish, Harvester Wheatsheaf, New
York, 1994, p. 536-570.
(19)	Semantyczna koncepcja prawdy i podstawy semantyki //
[95m], s. 228-282. (Польский перевод [44a])
[45] Ideale in vollstandigen Mengenkorpern. II // Fund. Math., t. 33
А. Тарский
167
[46]
[46a]
[48]
[48a]
[48b]
[48c]
[49]
[51]
[51a]
[52]
[52a]
[52b]
[52c]
[54]
(1945), s. 51-65.
On closed elements in closure algebras (соавтор С. C. McKin-
sey) // Ann. of Math., ser. 2, v. 47 (1946), p 122-162
A remark on functionally free algebras // Ann. of Math., ser. 2,
v. 47(1946), p. 163-164.
Some theorems about the sentential calculi of Lewis and
Heyting (соавтор J.C.C. McKinsey) // J. Symbolic Logic, v.
13 (1948), p. 1-15.
A problem concerning the notion of definability // J. Symbolic
Logic, v. 13 (1948), p. 107-111.
Axiomatic and algebraic aspects of two theorems on sums of
cardinals // Fund. Math., v. 35 (1948), p. 79-104.
Measures in Boolean algebras (соавтор A. Horn) // Trans.
Amer. Math. Soc., v. 64 (1948), p. 467-497.
Cancellation laws in the arithmetic of cardinals // Fund. Math.,
v. 36(1949), s. 77-92.
Distributive and modular laws in the arithmetic of relation al-
gebras (соавтор L. H. Chin) // University of California Publi-
cations in Mathematics, new series, v. 1, № 9 (1951), p. 341-
384.
Boolean algebras with operators. Part I (соавтор В. Jonsson) //
Amer. J. Math., v. 73 (1951), p. 891-939.
Boolean algebras with operators. Part II (соавтор В.Jonsson) //
Amer. J. Math, v. 74 (1952), p. 127-162.
Some notions and methods on the borderline of algebra and
metamathematics // Proceedings of the International Congress
of Mathematicians. Cambridge. Massachusetts, U.S.A..
August 30 — September 6, 1950, v. I, American Mathematical
Society, Providence, Rhode Island 1952, p. 705-720.
Mutual interpretability of some essentially undecidable theo-
ries (соавтор W. Szmielew) // Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Cambridge, Massachusetts,
U.S.A.. August 30 — September 6. 1950. v. 1 American
Mathematical Society, Providence, Rhode island, 1952, p. 734.
On algebras whose factor algebras are Boolean (соавтор
J.M.G. Fell) // Pacific J. Math., v. 2 (1952). p. 297-318.
Theorems on the existence of successors of cardinals, and the
axiom of choice //Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. v. 57
168
Библиография
(Г «Indag. Math.», t. 16) (1954), s. 26-32.
[54a] Contributions to the theory of models. 1 // Nederl. Akad
Wetensch. Proc. Ser. A, t. 57 (= «Indag. Math.», t. 16) (1954)
s. 572-581.
[54b] Contributions to the theory of models. П // Nederl. Akad.
Wetensch. Proc. Ser. A, t. 57 (= „Indag. Math., t. 16) (1954),
s. 582-588.
[55]	Contributions to the theory of models. Ill // Nederl. Akad.
Wetensch. Proc. Ser. A, t. 58 (= «Indag. Math.», t. 17) (1955),
s. 56-64.
[55a] A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications //
Pacific J. Math., t. 5 (1955), s. 285-309.
[56]	The fundamental ideas of pansomatism (английский перевод
работы T. Котарбиньского Zasadnicze mysli pansomatyzmu)
(соавтор перевода D. Rynin) // Mind, новая серия, t. 64
(1955), s. 488-500, и t. 65 (1956), s. 288.
[56a] Equationally complete rings and relation algebras // Nederl.
Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, t. 59 (= «Indag. Math.», t. 18)
(1956), s. 39-46.
[56b] Equilaterality as the only primitive notion of Euclidean ge-
ometry (соавтор E. W. Beth) //Nederi. Akad. Wetensch. Proc.
Ser. A, t. 59 (= «Indag. Math.»., t. 18) (1956), s. 462-467.
[56c] A general theorem concerning primitive notions of Euclidean
geometry // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, t. 59 (=
«Indag. Math.», t. 18) (1956), s. 468-474.
[57]	Higher degrees of distributivity and completeness in Boolean
algebras (соавтор E. C. Smith, Jr.) // Trans. Amer. Math. Soc,
t. 84 (1957), s. 230-257. [MR 18, s. 865; JSL 24, s. 59-60.]
[57a] Arithmetical extensions of relational systems (соавтор R. L.
Vaught)//Compositio Mathematica, t. 13 (1957), s. 81-102.
[57b] Remarks on direct products of commutative semigroups //
Math. Scand., t. 5 (1957), s. 218-223.
[58]	The sentential calculus with infinitely long expressions
(соавтор D. S. Scott)//Colloq. Math., t. 6 (1958), s. 165-170.
[58a] Remarks on predicate logic with infinitely long expressions //
Colloq. Math, t. 6 (1958), s. 171-176.
[59]	What is elementary geometry? // The axiomatic method, with
special reference to geometry and physics, ed. L. Henkin,
А. Тарский
169
[61]
[61a]
[61b]
[62]
[64]
[64a]
[65]
P. Suppes and A. Tarski, North-Holland Publishing Co., Am-
sterdam, 1959, p. 16-29.
(1) Que es la geometria elemental? // Boletin de la Sociedad
Matematica Mexicana, ser. 2, t. 3 (1958), s. 41-51. (Ис-
панский перевод [59])
(2) Перепечатка [59] // The philosophy of mathematics, red.
J. Hintikka, Oxford University Press, Oxford and New
York, 1969, p. 164-175.
On two properties of free algebras (соавтор В. Jonsson) //
Math. Scand., v. 9 (1961), p. 95-101.
Cylindric algebras (соавтор L. Henkin) И Lattice theory. Pro-
ceedings of Symposia in Pure Mathematics, v.2, ed. R. P. Dil-
worth, American Mathematical Society, Providence, Rhode
Island, 1961, p. 83-113.
On some problems involving inaccessible cardinals (соавтор
P. Erdos) // Essays on the foundations of mathematics, eds.
Y.Bar-Hillel, E. L. J. Poznanski, M. O. Rabin and A. Robin-
son, Magnes Press, Jerusalem, 1961, v. 50-82.
Some problems and results relevant to the foundations of set
theory // Logic, methodology, and philosophy of science. Pro-
ceedings of the 1960 International Congress, eds. E. Nagel,
P. Suppes and A. Tarski, Stanford University Press, Stanford,
California, 1962, p. 125-135.
(1) Некоторые проблемы и результаты, связанные с осно-
ваниями теории множеств // Математическая логика и
ее применения, ред. А. И. Мальцев, Изд-во “Мир”.
Москва, 1966, с. 146-158. (Русский перевоод [62])
From accessible to inaccessible cardinals. Results holding for
all accessible cardinal numbers and the problem of their exten-
sion to inaccessible ones (соавтор H. J. Keisler) // Fund
Math., v. 53 (1964), p. 225-308.
(1) Corrections to the paper «From accessible to inaccessible
cardinals» (соавтор H. J. Keisler) // Fund. Math., t. 57
(1965), p. 119.
Refinement properties for relational structures (соавторы:
С. C. Chang и В. Jonsson) // Fund. Math, v. 55 (1964), p. 249-
281.
A simplified formalization of predicate logic with identity //
170
Библиография
Arch. Math. Logik Grundlagenforsch., t. 7 (1965), s. 61-79.
[65a] Metamathematical properties of some affine geometries
(соавтор L. W. Szczerba) // Logic, methodology and philoso-
phy of science. Proceedings of the 1964 International Con-
gress, ed. Y. Bar-Hillel, North-Holland Publishing Co., Am-
sterdam, 1965, p. 166-178. (Расширенная версия в [79])
[68]	Equational logic and equational theories of algebras // Contri-
butions to mathematical logic. Proceedings of the Logic Collo-
quium, Hannover 1966, ed. H. A. Schmidt, K. Schutte i H. J.
Thiele, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1968,
p.275-288.
[69]	Truth and Proof // Scientific American, v. 220 (6) (1969),
p. 63-77.
(1)	Исправленная версия [69] // L'Age de la Science, t. 1
(1969), p. 279-301.
(2)	Prawda i dowod // Tematy, t. 31-32 (1969), s. 224-251.
(Польский перевод (1))
(3)	Истина и доказательство // Вопросы философии, № 8
(1972), с. 136-145. (Русский перевод (1) с сокращения-
ми)
(4)	Перепечатка [69] // Fundamental problems in philosophy,
ed. О. Hanfling, Blackwell and Mott, Oxford, 1972,
p. 261-287.
(5)	Adevar $i demonstrabilitate // Epistemologie, orientari
contemporane, red. 1. Parvu. Materialismul Dialectic
§tiin[ele Modeme, t. 15, Editura Politica, Bucharest, 1974,
s. 293-316. (Румынский перевод [69])
(6)	Verdad у prueba // Teoria, t. 3 (1975), s. 56-82. (Испан-
ский перевод [69])
(7)	Wahrheit und Beweis // Приложение к [41m] (II), изд. пя-
тое. (Немецкий перевод исправленной версии (1))
(8)	Перепечатка [69] (2) // Studia Filozoficzne, nr 2 (219)
(1984), s. 9-30.
(9)	Igazsag es bizonyitas // [90m], s. 365-390. (Венгерский
перевод [69])
(10)	Verdade e demonstra<;ao // Cademos de Historia e Filoso-
fia da Ciencia, t. I, № 1 (1991), s. 91-122. (Португаль-
ский перевод [69])
А. Тарский
171
[69a]
[75]
[78]
[79]
[86]
[86a]
[93]
(И) Перепечатка [69] // A Philosophical companion to first-
order logic, ed. R. 1. G. Hughes, Hackett Publ. Co., Indi-
anapolis, Indiana, 1993, p. 101-125.
(12) Prawda i dowod // [95m], s. 292-332. (Польский перевод
(1), основанный на исправленном (2) и показывающий
изменения, которые А. Тарский ввел в (7))
An exended arithmetic of ordinal numbers (соавтор
J. Doner) // Fund. Math., v. 65 (1969), p. 95-127. (Исправ-
ленная версия работы [67m])
An interpolation theorem for irredundant bases of closure
structures // Diser. Math., t. 12 (1975), s. 185-192.
The elementary theory of well-ordering — A metamathemati-
cal study (соавторы: J. Doner и A. Mostowski) // Logic Col-
loquium '77, eds. A. Macintyre, L. Pacholski and J. Paris,
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978, p. 1-54.
Metamathematical discussion of some affine geometries
(соавтор L. Szczerba) // Fund. Math., v. 104 (1979), p. 155-
192. (Cm. [65a])
What are logical notions?, вступление и ред. J. Corcoran //
History and Philosophy of Logic, v. 7 (1986), p. 143-154.
(1) Melyek a logikaifogalmak? И [90m], s. 391-412.
(Венгерский перевод [86].)
Representable cylindric algebras (соавторы: L. Henkin and
J. D. Monk) // Annals of Pure and Applied Logic, v. 31
(1986), p. 23 -60.
Sur la theorie des modeles // L'Age de la Science. Lectures
philosophiques, t. 5, Philosophic de la logique et philosophic
du language. Editions Odile Jacob. Paris, 1993, p. 137-158.
(Французский перевод доклада, прочитанного А. Тарским
70-м международном коллоквиуме CNRS „Le Raisonne-
ment en mathematiques et en sciences experimentales, Париж.
25 сентября - 1 ноября 1955 года, ред. Anne Preller.)
Монографии
[33п‘] Poj^cie prawdy w j^zykach nauk dedukcyjnych, Prace Towar-
zystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk
Matematyczno-Fizycznych, nr. 34, Warszawa 1933, Vll
+ 116s.+ Errata. (Немецкий перевод в [35b]; см. также [32])
1721
Библиография
[35m] Geometrja dla trzeciej klasy gimnazjalnej (соавторы:
Z. Chwialkowski и W. Schayer), Panstwowe Wydawnictwo
Ksi^zek i Pomocy Szkolnych, Lwow, 1935, 108 s. (Drugie
wyd., Sekcja Wydawnicza Armii Polskiej na Wschodzie w
Jerozolimie, 1944, 108 s, Przedruk naktadem Polskiego
Zwiqzku Wychodzstwa Przymusowego w Hanowerze,
Hanower, 1946.)
[36m] О logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej, Bibljoteczka
matematyczna, t. 3-5, Ksi^znica-Atlas, Lwow i Warszawa,
1936, 167 s.
(1) Einfuhrung in die mathematische Logik und in die Meth-
odologie der Mathematik, Julius Springer Verlag, Wiederi,
1937, X+166s. [JSL 3, p. 51-52.]
[41m] Introduction to logic and to the methodology of deductive sci-
ences, Oxford University Press, Oxford and New York, 1941,
XVIII + 239 p. (Расширенный и исправленный перевод
[36m] (1) О. Helmer)
(1)	Второе, исправленное издание [41т], 1946, XVIII+239p.
(2)	Введение в логику и методологию дедуктивных наук,
Гос. изд-во иностранной лит-ры, Москва, 1948, 327с.
(Перевод О. Н. Дынника, предисловие С. А. Яновской,
комментарии Г. М. Адельсон-Вельского.)
[47m] Direct decompositions of finite algebraic systems (соавтор
В. Jonsson), Notre Dame Mathematical Lectures, v. 5, Univer-
sity of Notre Dame Press, Notre Dame, Indiana, 1947, vi+64 p.
+ errata.
[48m] A decision method for elementary algebra and geometry (под-
готовлено к печати J. С. C. McKinsey), V. S. Air Force Proj-
ect RAND, R-109, the RAND Corporation, Santa Monica,
California, 1948, IV+60 p. (Cm. [31])
[49m] Cardinal algebras, с дополнением: Cardinal products of iso-
morphism types (B. Jonsson and A. Tarski), Oxford University
Press, Oxford and New York, 1949, XII + 327 p.
[53m] Undecidable theories (соавторы: A. Mostowski и
R. M. Robinson), North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
1953, XII+ 98 p.
[56m] Logic, semantics, metamathematics. Papers from 1923 to
1938, Clarendon Press, Oxford, 1956, XIV + 471 p.
А. Тарский
173
[56ma]
[67m]
[67ma]
[71m]
[72m]
[74m]
[81m]
[81 ma]
[83ma]
[85m]
[86m]
(Английский перевод [23], [29], [30c], [30d], [30e], [31],
[31a], [33], [35], [35a], [35b], [35c], [36b], [36c], [36d], [361],
[36g] и [38h] J.H.Woodgera)
Ordinal algebras, с дополнением: С. C. Chang «Some addi-
tional theorems on ordinal algebras» и В. Jonsson, «А unique
decomposition theorem for relational addition», North-Holland
Publishing Co., Amsterdam, 1956, 133 p. [MR 18, p. 632; JSL
25, p. 156-158.]
An extended arithmetic of ordinal numbers (соавтор
J. Doner). System Development Corporation, Santa Monica,
California SP-2811/000/00, 58 p.
The completeness of elementary algebra and geometry. Insti-
tute Blaise Pascal, Paris, 1967, IV+50 p.
Cylindric algebras. Part 1. With an introductory chapter: gen-
eral theory of algebras (соавторы: L. Henkin и J. D. Monk),
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1971, VI + 508 p.
Logique, semantique, metamathematique. 1923-1944, v. I,
Philosophies pour 1'Age de la Science, Librairie Armand Colin,
Paris, 1972, VIII + 276 p.
Logique, semantique, metamathematique. 1923-1944, v. 2,
Philosophies pour 1'Age de la Science, Librairie Armand Colin,
Paris, 1974, 331 p.
Cylindric set algebras (соавторы: H. Andreka, L. Henkin,
J. D. Monk и I. Nemeti), Lecture Notes in Mathematics, v.883,
Springer-Verlag, Berlin and New York, 1981, VIII + 323 p.
The collected works of Alfred Tarski, v. 1, 1921-1934, v. 2,
1935-1944, v. 3, 1945-1957, v. 4, 1958-1979, ed. S. R. Givant,
R. N. McKenzie, University of California, Berkeley, Califor-
nia, 1981, VII + 666 p. (v. 1), VI + 700 p. (v. 2), VI + 682 p
(v. 3), XIII + 737 p. (v. 4).
Metamathematische Methoden in der Geometric (соавторы
W. Schwabhauser и W. Szmielew), Hochschultext, Springer-
Verlag, Berlin, 1983, VIII + 482 s.
Cylindric algebras. Part II. (Соавторы L. Henkin ».
J. D. Monk), North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
1985, VII + 302 p.
The collected works of Alfred Tarski, v. 1, 1921-1934, v. 2,
1935-1944, v. 3, 1945-1957, v. 4, 1958-1979, eds. S. R. Givant
174
Библиография
and R. N. McKenzie, Birkhauser, Basel, Boston i Stuttgart,
1986, XII + 658 s. (t. 1), XII + 699 s. (t. 2), XII + 682 s. (t. 3)’
XII + 757 s. (t. 4).
[87m] A formalization of set theory without variables (соавтор
S. R. Givant), American Mathematical Society Colloquium
Publications, t. 41, American Mathematical Society, Provi-
dence, Rhode Island, 1987, XXI + 318 s.
[90m] Bizonyitas es Igazsag. Valogatott Tanulmanyok, Gondolat,
Budapeszt, 1990, 473 s.
[95m] Pisma logiczno-fllozoficzne, t. 1, Prawda, red. Jan Zygmunt,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1995.
Цитируемая литература
Ackermann Wilhelm
1928 Uber die Erfullbarkeit gewisser Zahlausdrucke // Mathe-
matische Annalen 100, 638-649.
AJDUKIEWICZ Kazimierz
1921 Z metodologii nauk dedukcyjnych, nakladem Polskiego
Towarzystwa Filozoficznego, Lwow.
1928 Glowne zasady metodologji nauk i logiki formalnej, red.
M. Presburger, nakladem Komisji Wydawniczej Kola
Matematyczno-Fizycznego Sluchaczow Uniwersytetu War-
szawskiego, Warszawa.
BERNAYS Paul, Moses SCHoNFINKEL
1928 Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik //
Mathematische Annalen 99, 342-372.
Carnap Rudolf
1929 Abriss der Logistik, Schriften zur wissenschaftlichen Wel-
taufasssung, t. 2. Springer, Wien.
1934 Logische Syntax der Sprache, Schriften zur wissenschaftli-
chen Weltaufiassung, t. 8. Springer, Wien.
1937 The logical syntax of language, Kegan Paul, Trench, Trub-
ner; London e Harcourt Brace, New York.
Church Alonzo
1951 Special cases of the decision problem // Revue Philosophi-
que de Louvain 49, 203-221.
CHWISTEK Leon
1924 The theory of constructive types (Principles of logic and
г	А. Тарский	.	175
			—	mathematics), Part I // Annales de la Societe Polonaise de la Mathematique, s. 9-48.
1929	Neue Grundlagen der Logik und Mathematik // Mathema- tische Zeitschrift 30, 704-724.
CORCORAN John, W. Frank, M. Maloney	
1974	String theory // The Journal of Symbolic Logic 39, 625- 637.
DEDEKIND Richard	
1923	Was sind und was sollen die Zahlen, 5 изд., Vieweg und Sohn, Braunschweig.
FRAENKEL Abraham	
1928	Einleitung in die Mengenlehre, 3 изд., Springer, Berlin.
GODEL Kurt	
1931	Uber formal unentscheidbare Satze der Principia mal- hemalhica und verwandter Systeme 1 // Monatshefte fur Mathematik und Physik 38, 173-198; [перепечатка и анг- лийский перевод в: Godel 1986].
1986	Collected works, vol. 1: Publications 1929-1936, S. Fefer- man et alia (eds.), Oxford University Press. Oxford.
HERBRAND Jacques	
1930	Recherches sur la theorie de la demonstration // Prace To- warzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial HI, nr 33, Warszawa.
HILBERT David, Wilhelm ACKERMANN	
1928	Grundziige der theoretischen Logik, Springer, Berlin.
Huntington Edward V.	
1904	Sets of independent postulates for the algebra of logic // Transactions of the American Mathematical Society, 5 288-309.
Kotarbinski Tadeusz	
1929	Elementy teorji poznania, logiki formalnej i metodologji nauk, Lwow.
1934	W sprawie pojecia prawdy // Przeglad Filozoficzny, 37, 85- 91.
1966	Gnosiology: The scientific approach to the theory of knowledge, Pergamon Press-Oxford & Zaklad Narodowy im. Ossolinskich-Wydawnictwo, Wroclaw.
176
Библиография
Kuratowski Kazimierz
1921 Sur la notion de 1'ordre dans la theorie des ensembles //
Fundamenta Mathematicae, 2, 161-171.
LeSniewski Stanislaw
1929 Grundziige eines neuen Systems der Grundlagen der
Mathematik//Fundamenta Mathematicae, 14, 1-81.
1930 Uber die Grundlagen der Ontologie // Sprawozdania To-
warzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III, 23,
111-132.
L6WENHEIM Leopold
1915 Uber Moglichkeiten im Relativkalkul // Mathematische
Annalen, 76, 447-470.
LUKASIEWICZ Jan
1929 Elementy logiki matematycznej, red. M. Presburger.
Nakladem Komisji Wydawniczej Kola Matematyczno-
Fizycznego Sluchaczow Uniwersytetu Warszawskiego,
t. 18, Warszawa.
Me Kinsey John C.C.
1948-49 A new definition of truth // Synthese, 7, 428-433.
MOSTOWSK1 Andrzej
1950-51 Some impredicative definitions in the axiomatic set
theory // Fundamenta Mathematicae, 27 (1950), III - 124 и
28, 238.
RUSSELL BERTRAND
1940 An inquiry into meaning an truth, Alien and Unwin, Lon-
don.
SCHRoder Ernst
1890 Vorlesungen uber die Algebra der Logik (exakte Logik),
Band I, Lipsk.
1891 Band 2, Teil 1.
1895 Band 3, Teil I, Algebra und Logik der Relative.
1905 Band 2, Teil. 2.
Sierpinski Waclaw
1928 Zarys teorii mnogosci. Cz^sc pierwsza: Liczby po-
zaskonczone, wyd. 3, Wydawnictwo Kasy im. Mianow-
skiego, Warszawa.
А. Тарский
177
SKOLEM Thoralf
1919	Untersuchungen iiber die Axiome des Klassenkalkiils und liber Produktations- und Summationsprobleme, welche ge- wisse Klassen von Aussagen betreffen // Skrifter utgit av Videnskapssels-kapet i Kristiania. 1. Matematisk- naturvidenskabelig Klasse, № 3, 37 s.
1929	Uber einige Grundlagenfragen der Mathematik // Skrifter utgit av Det Norske Videnskaps-Akademi i Oslo, 1. Matematisk-naturvidenskapelig Klasse, №. 4, 1-49. [Пере- печатано в: Skolem 1970, s. 227-273].
Wang Hao 1950	Remarks on the comparison of axiom systems // Proceed- ings of the National Academy of Sciences, U.S.A., 36, s. 448-453.
WHITEHEAD Alfred North, Bertrand RUSSELL
1925 Principia Mathematica, 2 ed., vol. 1, Press, Cambridge,
U.K.
1927	2 ed., vol. 2.
1927a 2 ed., vol. 3.