. М. Шапиро
ТЕОРИЯ И РАСЧЁТНЫЕ
МОДЕЛИ ОСНОВАНИЙ
И ОБЪЕКТОВ ГЕОТЕХНИКИ
Воронеж 2012
Д. М. Шапиро
ТЕОРИЯ И РАСЧЁТНЫЕ МОДЕЛИ
ОСНОВАНИЙ И ОБЪЕКТОВ ГЕОТЕХНИКИ
Монография
Воронеж
Издательско-полиграфический центр
«Научная книга»
2012
УДК 624.131
ББК 38.58
Ш23
Рецензенты:
А. Н. Богомолов, доктор технических наук, профессор,
Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет;
Н. 3. Готман, доктор технических наук,
ГУП Институт «БашНИИстрой» (г. Уфа).
Шапиро Д. М.
Ш 23 Теория и расчётные модели оснований и объектов геотехники :
монография / Д. М. Шапиро. — Воронеж : ИПЦ «Научная книга»,
2012.-164 с.
ISBN 978-5-905654-70-1
Книга посвящена изложению и обоснованию положений теории меха-
ники грунтов, которые приняты в нормативно-методических документах
и программном обеспечении расчётов грунтовых оснований, природных
и искусственно возводимых геотехнических объектов. Излагаются научные
представления о несущей способности и деформировании грунтов как физи-
ческих тел, описываемых уравнениями теорий упругости и пластичности.
Книга состоит из четырёх глав. В первой главе рассматриваются
определяющие уравнения механики грунтов. Во второй главе содержится
изложение нормативно-теоретических основ проектирования оснований,
геотехнических объектов и описание расчётных моделей грунтовых сред
как линейно деформируемых и жесткопластических тел. В третьей главе
приводятся решения классических прикладных задач, основанных на
использовании указанных выше теорий. В четвёртой главе содержится
характеристика физически нелинейных моделей, постановка и описание
решения смешанной (упругопластической) задачи теорий упругости и
пластичности для грунтов на математической основе метода конечных
элементов; приводятся примеры решения научно-технических задач.
Книга написана как учебное пособие для учащихся магистратуры
строительных специальностей, а также рассчитана на практических инже-
неров, научных работников и аспирантов, совершенствующих свои знания
в области фундаментостроения и геотехники.
УДК 624.131
ББК 38.58
ISBN 978-5-905654-70-1
© Шапиро Д. М., 2012
Введение
Грунты в качестве оснований, насыпей, сред, взаимодействую-
щих с фундаментными и ограждающими конструкциями, являются
наиболее распространённым и наиболее сложным (по математиче-
скому описанию) материалом в строительстве.
Вместе с техническим прогрессом в строительстве растут нагруз-
ки на основания. Интенсивно обновляются и совершенствуются
технические решения фундаментов, несущих конструкций в грунтах,
противооползневой защиты. Усложняются инженерно-геологические
условия в связи с освоением территорий, ранее считавшихся непри-
годными для строительства.
Возникают и развиваются новые направления исследований:
силового и кинематического взаимодействия оснований, фундаментов
и надфундаментных частей зданий; расчётных ситуаций при подзем-
ном строительстве и уплотнении городских застроек; последствий из-
менения уровней грунтовых вод, воздействия техногенных факторов.
Всё это лишь примеры геотехнических проблем. Их решению
посвящено прикладное направление механики грунтов, сочетающее
научные знания и достижения строительной механики, теорий упру-
гости и пластичности, инженерного грунтоведения.
Настоящее издание написано как учебное пособие для учащихся
магистратуры строительных вузов. Оно также адресовано инженерам,
научным работникам и аспирантам, совершенствующим свои знания
в области фундаментостроения и геотехники.
В книге излагаются научные представления о несущей способности
и деформировании грунтов как физических тел, описываемых уравне-
ниями теорий упругости и пластичности. Содержится запись и научное
обоснование проверенных временем определяющих уравнений механи-
ки грунтов. Показаны их связи с расчётными моделями и прикладными
задачами строительной механики геотехнических объектов.
Автор стремился изложить в доступной форме теоретические
знания, которые необходимы практическим специалистам в работе
с современной научной и нормативно-методической литературой, а
также при освоении наукоёмких компьютерных технологий. Исполь-
зование на практике таких источников и программных средств
требует владения их инженерными и вычислительными идеями,
сравнимого с уровнем знаний их создателей, а также глубокого пони-
мания решаемых конкретных задач. Это предполагает не просто зна-
3
ния, возраста, для которого по результатам статистической обработки
приняты общими все физические и механические характеристики.
В некоторых достаточно редких случаях при инженерной схема-
тизации геологического разреза вместо ИГЭ выделяются более круп-
ные фрагменты, называемые расчётными грунтовыми элементами
(РГЭ). Для РГЭ не обязательно единство вида и происхождения, но
должны быть постоянными (или закономерно меняющимися по
глубине) нормативные и расчётные характеристики грунта.
При построении инженерно-геологического разреза сначала
наносят вертикальные колонки с отметками границ геологических
напластований. Затем проводят границы между ИГЭ и/или РГЭ путём
соединения прямыми линиями пограничных точек на вертикальных
колонках. Для линейных сооружений (железных и автомобильных
дорог, мостов, трубопроводов и др. подобных объектов) достаточно
одного продольного инженерно-геологического разреза. При описа-
нии инженерно-геологической обстановки в основаниях площадоч-
ных объектов (зданий, сооружений) необходимо строить несколько
характерных пересекающихся разрезов.
1.2.	Условия предельного напряженного
состояния грунтов
Закон Кулона. Сжатие со сдвигом (формоизменением) является
основным видом напряжённого состояния грунта в точке. При этом
по каждой площадке элементарного объёма грунта действует нор-
мальная сгп и касательная составляющие напряжений (рисунок 4,а).
Закон внутреннего трения Кулона устанавливает равенство (предель-
ное равновесие) сдвигающих и удерживающих сил на рассматривае-
мой площадке в соответствии с уравнением
*п =\0п\*ё<Р + с,
(1.7)
где ф и с - характеристики сопротивления грунта сдвигу: угол внут-
реннего трения и удельное сцепление.
Альтернативные уравнению (1.7) неравенства тп < (j„ tg(p+с
(или тп > ап tg(p+с) означают допредельное, устойчивое (или физи-
чески невозможное) соотношения напряжений.
Другая форма записи закона Кулона имеет вид (рисунок 4,6)
T<Pf + clt,
(1-8)
15
где Т = xnlt и Р = (5nlt - касательная и нормальная составляющие
сил, действующих на поверхности скольжения или её фрагменте
длиной Z шириной t, f = tg(p - коэффициент трения. В условиях
плоской деформации t=l (м, см).
а)
Рис. 4. Схемы к уравне-
ниям закона Кулона:
а-к (1.7); б-к (1.8)
Метод лабораторного определения сопротивления грунтов
срезу. Конкретизацией физического смысла уравнения (1.7) и харак-
теристик с, (р является метод лабораторного определения сопротивле-
ния срезу песчаных и глинистых грунтов согласно ГОСТ 12248-96. На
рисунке 5 изображена схема прибора для испытания грунтов на срез
по фиксированной плоскости. Основными узлами «срезной коробки»
являются: неподвижная 1 и подвижная 2 части, кольцо 3 с образцом
грунта 6, штамп 4.
Рис. 5. Схема прибора
для испытания грунтов
на срез: 7 - неподвиж-
ная часть; 2 - подвиж-
ная часть - каретка;
3 - кольцо; 4 - штамп;
5 - индикаторы;
6-грунт; /-соедини-
тельные винты;
8 - ролики
16
Главная часть опыта заключается в следующем. После передачи
на образец грунта фиксированной нагрузки Р начинается приложение
горизонтальной силы Т. Сдвигающая сила (Т) передаётся ступенями
величиной 0,05Р. За условную стабилизацию деформации среза на
очередной ступени нагрузки Т принимается фиксируемая индикато-
ром скорость горизонтального перемещения <0,01 мм/мин. Испыта-
ние считается законченным после того, как на очередной ступени
касательной нагрузки фиксируется один из следующих признаков ис-
черпания прочности:
-	мгновенный срез;
-	достижение максимальной величины силы Т, когда устанавли-
вается её постоянное значение или имеет место снижение;
-	общее перемещение, превышающее 5 мм.
Результатом однократного испытания образца является сопро-
тивление грунта срезу т = Г/А (А -площадь среза). Опыт повторяется
не менее трёх раз, принимая для каждого образца различные величи-
ны р = Р/А. Для опытов одной серии используются образцы, выре-
занные из однородного монолита. Обработка результатов опыта
заключается в построении линейного графика зависимости T=J(a)
(рисунок 6), которая представляет собой графическую форму закона
Кулона. В условиях опыта напряжения г и а тождественны т„ и ап в
уравнении (1.7).
Рис. 6. Графическая форма закона Кулона;
точки I, 2, 3 изображают результаты испы-
таний отдельных образцов
ГОСТ 12248-96 предусматривает два варианта выполнения опыта
в срезном приборе: по методам консолидировано-дренированного и
неконсолидированно-недренированного испытания. Сравнение мето-
дов содержится в таблице 6.
Закон Кулона является основополагающим постулатом в механи-
ке грунтов и в большинстве расчётов используется в виде уравнений
(1.7) и (1.8).
17
Таблица 6
Характеристика и сравнение методов
испытания образцов грунта в срезном приборе
Наименование сравниваемых характеристик	Консолидированно- дренированное испытание		Неконсолидированно- недренированное испытание
Цель опыта Исследуемые грун- ты Описание опыта	Определение характ сопротивления срез} удельнс в условиях стабилизиро- ванного состояния пески и глинистые грунты независимо от их степени влажности испытание на срез грунта, предварительно уплотнен- ного вертикальной нагруз- кой, проводимое в условиях дренирования путем повы- шения срезающей нагрузки с такой скоростью, при ко- торой обеспечивается пол- ная консолидация грунта (медленное испытание)	еристик прочности грунта: г, угла внутреннего трения, >го сцепления в условиях нестабилизированного состояния водонасыщенные глинистые и органоминеральные грунты; про- садочные грунты, замоченные до полного водонасыщения испытание на срез грунта (без предварительного уплотнения), проводимое в условиях (практи- чески) отсутствия дренирования путём приложения вертикальной и срезающей нагрузок с такой скоростью (быстрое испытание), при которой обеспечивается практическая неизменность на- чальных значений плотности и влажности грунта	
Задача о подпорной стенке. Исторически первым и наиболее из-
вестным примером практического использования закона Кулона явля-
ется способ определения активного давления на подпорную стенку. Эта
задача была решена самим Ш. Кулоном в 1772 г. Рассмотрим простей-
ший случай, характеризуемый следующими условиями (рисунок 7):
-	засыпка состоит из идеально сыпучего грунта (с =0);
-	трение по задней грани стенки не учитывается;
-	верхняя грань засыпки горизонтальна и свободна от нагрузки.
Решение рассматриваемой задачи основывается на следующих
допущениях:
-	предположение о наличии поверхности скольжения ОА, отде-
ляющей призму обрушения ОАВ от остальной неподвижной части
грунтовой засыпки;
-	поверхность скольжения О А считается плоской.
18
Рис. 7. Схема к решению задачи о подпорной стенке
В задаче рассматривается равновесие призмы ОАВ (см. рисунок 7)
при воздействии сил G = ——tgco (собственного веса призмы); Р,
Т = Ptg(p, Е (сил взаимодействия призмы обрушения с неподвижной
частью засыпки и подпорной стенкой), определяемое уравнениями:
Е = P(cos6)-tgtpsina)); G = P(sinta+tg(pcosсу)
„ G
или P =----------------
sin a)+ tg(pcos co
Объединяя эти уравнения, находим:
G^-tg^in^ = Gctg(o)+(p}
sin G)+tgtpCOSO)
или
£—tgcoctg((O+(p)
(1.9)
Окончательно величина E определяется как максимальная, соот-
ветствующая невыгоднейшему значению угла со. Для этого составля-
ется уравнение
— = 0, из которого выводится со=45-<р/1. Подста-
dco
новка со =45- в формулу (1.9) позволяет получить максимум
2 V 2j
(1-Ю)
19
Рассмотренный пример решения задачи теории предельного
равновесия относится к числу наиболее известных, успешно приме-
няемых на практике, отличается ясностью постановки и физического
содержания, хорошо иллюстрирует разрешающую способность
метода Кулона.
Теории сопротивляемости сдвигу глин проф. Н.Н. Маслова.
В теории механики грунтов накоплено значительное число исследо-
ваний, направленных на совершенствование и развитие метода
Кулона. Одним из наиболее известных и реализованных на практике
научных направлений в этой области являются теория «плотности-
влажности» и физико-техническая теория сопротивляемости сдвигу
глинистых грунтов проф. Н.Н. Маслова.
В соответствии с теорией «плотности-влажности» уравнение (1.7)
и лабораторный опыт по методу консолидировано-дренированного
сдвига не вполне соответствуют механическим свойствам глинистых
грунтов. При выполнении серии опытов по этому методу (построении
диаграммы т=Х<т)) испытываемые образцы характеризуются различ-
ными плотностью и влажностью, которые находится в зависимости от
давления р. По этой причине прочностные характеристики глинистых
грунтов ф и с не являются константами, связанными только с природ-
ными физическими свойствами исследуемого образца.
Это положение отражает предложенная Н.Н. Масловым трёх-
членная формула сопротивляемости сдвигу Spw глинистых грунтов:
5рм’ pt^(p^~^~^w~^~cL-^ cw	(1.11)
где <pw - «истинный угол внутреннего трения», зависящий от «плотно-
сти-влажности» грунта, - связность водно-коллоидного происхож-
дения, также зависящая от «плотности-влажности», сс — структурное
сцепление, не зависящее от «плотности-влажности», - общее
сцепление.
Увеличив число испытываемых образцов одной серии и изменив
способ обработки результатов, Н.Н. Маслов и его сотрудники
построили семейства диаграмм (прямых) Spw=f(p), каждая из которых
соответствует одному значению «плотности-влажности».
Связи структурного сцепления, обусловленные цементацией,
спеканием, кристаллизацией глин, являются жёсткими, хрупкими и
необратимыми. При относительно больших деформациях такие связи
могут быть нарушены.
20
Связи водно-коллоидного происхождения могут восстанавли-
ваться после разрушения, но не препятствуют пластическим переме-
щениям (формоизменению) в глинистых грунтах.
В зависимости от величин слагаемых в уравнении (1.11) глини-
стые грунты подразделяются на три группы:
-	первая группа - жёсткие глины: ^„,=^=const, 27и=0; Spw=ptg<p+cc;
-	вторая труппа — скрытопластичные глины: <р^0, сс^0, 27н#О;
при касательных напряжениях не доходящих до Spw, но превышаю-
щих «порог ползучести» Tnm=ptg(pw+cc, в глинах этой разновидности
наблюдаются длительные пластические деформации (ползучесть)
при сохранении прочности;
-	третья группа - пластичные глинистые грунты: (pw=0, сс=0,
5рл= Zw; глины этой группы не защищены от ползучести при
сохранении прочности.
Опыт по схеме одноплоскостного среза в соответствии с
ГОСТ 12248-96 допускает возможность разделения величины удель-
ного сцепления на составляющие сс и 27w. После определения (р и c=cw
части разрезанного образца соединяются и выполняется повторный
срез по той же фиксированной плоскости. Предполагается, что на
плоскости «повторного среза» связи водно-коллоидного происхожде-
ния восстановлены, а структурные связи отсутствуют. Полученное в
результате повторного среза сцепление принимается в качестве £w, а
структурная связность определяется как сс=с~В технической ли-
тературе этот опыт называется срезом «плашка по плашке».
Изложенные положения являются центральными в физико-
технической теории проф. Н.Н. Маслова. Их знание и практическое
применение во многих случаях позволяет уточнить анализ геомеха-
нических процессов, более успешно обосновать проектные решения.
Однако областью её использования остаётся преимущественно
дорожная отрасль России, в которой работал Н.Н. Маслов и его
сотрудники и продолжают работать его последователи.
Предельное напряжённое состояние грунта. Плоская дефор-
мация. Выше была рассмотрена задача о предельном равновесии
грунтовой призмы, т. е. таком соотношении действующих сил, при
котором наступает потеря устойчивости (сдвиг, опрокидывание) с
переходом в изменяемую систему. В отличие от этого в теории
предельного напряжённого состояния равенство активных сил и сил
сопротивления сдвигу (формоизменению) рассматривается на точеч-
ном уровне: в элементарном объёме грунтового массива.
21
Уточним некоторые понятия. Под напряжённым состоянием в
точке (на плоскости или в пространстве) понимается совокупность
нормальных и касательных напряжений, действующих по всем
возможным площадкам, пересекающимся в этой точке.
Компоненты напряжений пл, на произвольной площадке
могут быть определены, если известны напряжения (например од.,
О 7, тх.) на двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих
через ту же точку (рисунок 8,а):
<у„ = <yr cos2 а + <у7 sin2 а + тГ7 sin 2а;
т„ = (<уг - <у, )sin a cos а — тг7 cos 2а.
(112)
Формула, по которой определяются главные (максимальное и
минимальное ) напряжения
также связана с условиями равновесия. Напомним, что площадки, на
которых действуют главные напряжения ет12, также называются
главными. Касательные напряжения на этих площадках равны нулю.
Если предположить, что две взаимно перпендикулярные площад-
ки на рис. 8,а являются главными, то в соответствии с (1.12) можно
записать
ап = (Tj cos2 аг + сг2 sin2 а{;
т„ =	- <у2) sin at cos а}.
(1.14)
Графической иллюстрацией условий равновесия в точке явля-
ется диаграмма на рис. 8,6, изображающая круг Мора. Горизон-
тальная ось (х) является осью нормальных напряжений <тл, а верти-
кальная ось (z) - осью касательных напряжений тя. Аналитическая
геометрия даёт следующее уравнение для точек окружности с
центром в точке Oj:
(x-d)2+z2=R2.
Запишем также:
(«)
(Ь)
Координаты точки п;
xn=d+Rcos2ai, z„~Rsin2aj.

22
Если принять, ЧТО Xi=Gi, X2—G2, х„—от Z„=Tn , то произведя
соответствующие замены и подставляя (6) в (с), можно получить
запись, тождественную (1.14):
0*1 "1” ^2	п	2	.	• 2
<7„ = —!------ ч—4--------cos 2а] = <7t cos а1 + ст2 sin at;
^2	*2.
d I ——	, _	.	. t
Tn = —--------- sin 2ax = (<7j - <T2 ) sin aI • cos a,,
где ai - угол пересечения площадок 1 и и (см. рис. 8,6).
На площадке nl, перпендикулярной п и образующей с площад-
кой 1 угол ai+it/2, действуют компоненты напряжений <т„/, т„/, изо-
бражённые на круге Мора точкой и/ и определяемые по тем же
уравнениям (1.14) с подстановкой в них а;+я/2 вместо at.
Следовательно, точки п и являются изображениями нор-
мальных и касательных напряжений ап, т„ и a„j, т„; на взаимно пер-
пендикулярных площадках, а круг Мора - геометрическим местом
изображений компонентов напряжений компонентов напряжений
на всех площадках, проходящих через точку деформируемого тела.
Рис. 8. Схемы к описанию напряженного состояния в точке: а - к уравнениям
(1.12) и (1.14); б- круг Мора и взаимное положение площадок l,nvini
23
Объединение уравнений (1.7) и (1.14) позволяет получить угол
наклона площадок скольжения к главным площадкам 45°+(р/2
и запись
-—- sin ср—с cos <р = О
которая известна как условие прочности грунта в точке по Мору-
Кулону.
На рисунке 9, а, б представлены графические иллюстрации к
уравнению (1.15). Прямая АВ, выражающая зависимость (1.7), со-
вмещена на одном графике с кругами Мора, изображающими три
качественно различных напряжённых состояния грунта в точке
(см. рисунок 9, а). Расположение круга Мора ниже прямой АВ оз-
начает, что левая часть уравнения (1.15) меньше правой и проч-
ность грунта обеспечена. Касание прямой АВ круга Мора с цен-
тром О2 показывает, что на одной из площадок, проходящих через
исследуемую точку, имеет место предельное равновесие в соответ-
ствии с зависимостью (1.7). Уравнение (1.15) может быть получено
из построений на диаграмме для этого круга: O2C=O2D+DC, где
ОгС'=1Л(ст/-<Т2), O2D=y2{ai+ai) sirup, DC=c costp. Из рассматриваемо-
го рисунка (круг Мора с центром О2) также видно, что вектор О2С
образует с осями главных напряжений ац2 углы л/2+<р, что соот-
ветствует углам наклона площадок скольжения к главным площад-
кам 45° + (р/2.
Согласно излагаемой теории круг Мора не должен пересекать
прямую, выражающую закон Кулона, так как грунт не может вос-
принять изображаемое напряжённое состояние. Если по результа-
там расчёта такое положение (круг с центром Оз) всё же получено,
то это свидетельствует о несовершенстве метода определения ком-
понентов напряжений в грунтовом массиве.
На рисунке 9, б изображена плоскость главных напряжений ах г.
Ось симметрии ОС соответствует гидростатическому напряжённому
состоянию =сг2). Так как	(|сг2| > |<7]|) действительной
является только часть диаграммы выше оси ОС.
Здесь и в дальнейшем сжатие считается отрицательным направлением напря-
жений и деформаций: ст3 < <т2 < <7j,
1 5
24
Рис. 9. Графические иллюстрации к
условию прочности Мора-Кулона (а)
и области СОАВ физически возможных
напряженных состояний на плоскости
(У2 (б)
Если напряжённое состояние в элементарном объёме грунта изо-
бражается точкой Мс координатами а1г <т2, то точка £ соответствует
а проекции отрезка LM на оси координат равны
Прямая
6 — arctg tg2 45- —
АВ, наклонённая к оси <т2
и пересекающая её на
под углом
расстоянии
2с • COS ф
-------- от начала координат является
1 - sin (р
графической формой уравнения (1.15). Поэтому для грунта физически
25
возможными считаются только такие координаты <т2> при кото-
рых изображаемая точка находится в области ОАВС.
В учебной и научно-технической литературе встречаются записи
условия прочности грунта в точке, тождественные уравнению (1.15),
полученные в результате его преобразований. Приведём два из таких
выражений:
= sin ф ,
(1.17)
где ис =---- - характеристика грунта, называемая «давлением
t£<P
связности».
Условие прочности по Мору-Кулону широко и успешно приме-
няется в научных исследованиях и инженерной практике. В настоя-
щее время в теории механики грунтов нет другого равноценного
постулата для условий плоской задачи, сочетающего простоту,
ясность физического смысла и удовлетворительное соответствие
данным наблюдений и научных исследований.
Пространственная задача. Перейдём к рассмотрению условия
прочности при пространственном (трёхмерном) напряжённом состоя-
нии, определяемом главными напряжениями <Tlt <т2, <т3 (или ст12 3) и
изображаемом графически в виде точки М на рисунке 10, а. При
анализе трёхмерного напряжённого состояния используются следую-
щие приёмы.
1. Разложение тензора напряжений на «гидростатическую» (ша-
ровой тензор) и девиаторную части. Под тензором напряжений в точ-
ке понимается совокупность напряжений, действующих на трёх вза-
имно перпендикулярных площадках (рисунок 10, б). Матричная за-
пись тензора напряжений имеет вид:
или
0
0
0	0
0
0	сг3
(1-18)
26
Гидростатическая часть напряжённого состояния включает три
пары равных напряжений

<71 + <Т2 + <73
Г
(119)
Напряжения ат не меняют своей величины при повороте осей,
т. е. являются равными (и одновременно главными) на всех площад-
ках, проходящих через точку Л£
Матричная запись шарового тензора имеет вид:
Рис. 10. Пространство главных напряжений <71,
<72, и графическая форма условия прочно-
сти Мизеса-Шлейхера-Боткина (а); компоненты
напряжений в условиях пространственной зада-
чи (б); октаэдрическая площадка (в)
Девиаторная часть включает касательные напряжения и разности
между нормальными напряжениями и их средним значением <зт.
Матричная запись девиатора напряжений имеет вид:
27
(1.21)
Девиаторное напряжённое состояние характерно тем, что его
сумма главных напряжений равна нулю.
Матрицы (1.18), (1.20), (1.21) связаны равенством
Т = Т + D
* a L ш г
(1-22)
Шаровой тензор вызывает изменение объёма, девиатор - формо-
изменение.
2. Использование инвариантов напряжённого состояния, т. е.
таких комбинаций напряжений, которые не меняют своих значений
при повороте осей. Наибольшее практическое значение имеют
первый инвариант тензора напряжений
А —	+ <7^ + CF- — (Tj + <т2 + сг3
(1-23)
и второй инвариант девиатора напряжений
-а2)2 +(а2-aj2 +(oi -сг3/]=
+ сг3 (^^ +	+	).
(1.24)
Ось симметрии О А на рисунке 10, а изображает гидростатические
напряжённые состояния = <т2 = <т3. Эта прямая наклонена к осям
tTi 2/3 под равными углами —=120 и является нормалью к девиатор-
ной плоскости, проходящей через начало координат и определяемой
тем, что суммы координат её точек cTj + <т2 + сг3 = 0.
В механике грунтов при анализе пространственного напряжённо-
го состояния используется условие прочности Мизеса-Шлейхера-
Боткина, описываемое уравнением
-к = 0,
(1-25)
28
где а и к - прочностные характеристики грунта, подобные sin (р и
ccos(p в уравнении (1.15).
Д. Друккер и В. Прагер [17] приняли допущение о том, что грунт
как идеально пластическое тело, обладающее свойством дилатансии,
в условиях плоской деформации одновременно удовлетворяет урав-
нениям (1.15) и (1.25). Это позволило получить следующие зависимо-
сти между прочностными характеристиками указанных уравнений:
с=к/(1-12а2)‘А, sintp- 3a/(l-3a2)'A, cos (р= (\-\2а2Уг/{\-За2^А.
Если приближённо допустить, что (1-За2) -1, можно получить сле-
дующие более простые соотношения:
sin(p
k = ccos(p.
(1-26)
Графической формой уравнения (1.25) является коническая
поверхность, ось которой совпадает с гидростатической (рис. 10, а).
Физически возможными являются напряжённые состояния
изображаемые на рисунке 10, а точками М, находящимися на поверх-
ности (1.25) или внутри неё.
Уравнение (1.25) тождественно соотношению с более конкрет-
ным физическим содержанием, выражающему предельное равнове-
сие на октаэдрической площадке, аналогичное закону Кулона:
т
окт
&окт
^ёРокт П<>кт *
(1-27)
2 _	Ц
где Токт = J—/2 > аокт = ~ _ касательное и нормальное напряжения на
октаэдрической (равнонаклонённой с осям главных напряжений,
рис. 10, в) площадке; рокт и покт - прочностные характеристики грунта.
Уравнения (1.25) и (1.27) тождественны при а = nk= 1^покт.
J6 V 2
Уравнение (1.15) и тем более (1.25), (1.27) изменяют первона-
чальное представление о механизме разрушения грунта. Если по
закону Кулона это явление происходит как взаимное смещение частей
сыпучего тела, то условия прочности Мора-Кулона и Мизеса-
Шлейхера-Боткина объясняют разрушение как результат формоизме-
няющего (девиаторного) воздействия приложенных сил.
29
Испытание грунта методом трёхосного сжатия. Физической
иллюстрацией формы разрушения в соответствии уравнениями (1.15)
и (1.25) является лабораторное испытание образцов грунта цилиндри-
ческой формы в соответствии с ГОСТ 12248-96 в приборе трёхосного
сжатия (стабилометре) с принципиальной схемой на рисунке 11.
Прибор допускает деформации образца грунта в радиальном направ-
лении при фиксированном (контролируемом) горизонтальном давле-
нии. Размеры образца: диаметр не менее 38 мм, отношение высоты к
диаметру от 2:1 до 2.5:1.
Рис. 11. Принципиальная схема прибора для
испытания грунта методом трехосного
сжатия: 1 - основание камеры; 2 - корпус
камеры; 3 - вентиль для выпуска воздуха;
4 - шток; 5 - образец грунта в оболочке;
б - верхний штамп; 7 - нижний штамп;
8 - трубки для дренирования и измерения
порового давления; 9 - трубка для заполне-
ния камеры и измерения давления в камере;
10 - манометр; И - индикатор; 12 - жид-
кость.
Рис. 12. К анализу результатов испыта-
ния грунта методом трехосного сжатия:
а - схема приложения напряжений
оз и о и к образцу грунта;
б - определение <р и с.
30
Таблица 7
Характеристика и сравнение методов
выполнения испытания образцов грунта методом трёхосного сжатия
Варианты испытания	Условия предварительного обжатия образца	Приложение вертикального давления	Фиксирование результатов измерений
Неконсолидированно -недренированное испытание	Всестороннее давле- ние, равное среднему природному давле- нию, без отжатия воды (дренажа) из образца (в течение 30 минут).	Равномерное нагружение без отжатия воды ступенями, равными 10% эффек- тивного напряжения в образце грунта после предварительного обжатия, с ин- тервалами 15 сек. или непрерывно, обес- печивая приращение относительной вер- тикальной деформации 0.02 за 1 мин.	Измерения вертикальной деформации фиксируются на каждой ступени нагруже- ния или через 15 сек. при непрерывном увеличении нагрузки.
Консолидированно- недренированное испытание	Всестороннее давле- ние, равное ем, пере- даваемое ступенями, при отжатии воды из образца грунта.		
Консолидированно- дренированное испытание		Нагружение вертикальной нагрузкой при постоянном давлении од? ступенями, равными 10% от всестороннего давления в камере, или непрерывно, обеспечивая приращение относительной вертикаль- ной деформации 0.003 за 1 мин. При передаче нагрузки ступенями условная стабилизация вертикальной деформации образца принимается в раз- мере не более 0.0001 за 1 мин.	Измерения вертикальной и объёмной деформации фик- сируются на каждой ступени давления: для песков - через 1, 5, 15, 30 минут и далее через 0.5 часа; для глини- стых, органо-минеральных и органических грунтов - через 1, 5, 15, 30 минут, 1, 2, 4, 6, 8 часов, в начале и кон- це рабочего дня.
Опыт заключается в приложении к образцу грунта (ненарушенно-
го сложения с природной влажностью или нарушенного сложения с
заданными значениями плотности и влажности) осесимметричной
системы сил (рисунок 12, о): вертикальных а3 и горизонтальных
(радиальных) напряженийCTj = <т2(сг3 > <?12 )• При каждом отдельном
испытании радиальные напряжения остаются постоянными, а
напряжения о3 увеличиваются небольшими ступенями. Испытание
считается законченным после исчерпания прочности грунта по одно-
му из следующих признаков: разрушение образца; пластическое тече-
ние без приращения напряжений о3; достижение относительной
деформацией величины е3 = — 0.15. Опыт повторятся не менее трёх
раз (с тремя образцами исследуемого грунта) при разных значениях
радиальных напряжений По результатам измерений по известным
значениям пар главных напряжений (0'1,2, о'3; о" 1.2, о"3-, о"'1.2, о~'з)
определяются значения прочностных характеристик (<р и с или а и к)
расчётным путём [в соответствии с уравнениями (1.15) или (1.25)] или
графически при помощи диаграмм на рисунке 12, б.
ГОСТ 12248-96 предусматривает три варианта проведения опыта,
доводимого до разрушения образца в соответствии с указанными
выше признаками: неконсолидированно-недренированное испытание,
консолидированно-недренированное испытание и консолидированно-
дренированное испытание. Сравнительная характеристика методов
проведения испытания содержится в таблице 7.
Дополнительные замечания. 1. Рассмотренные выше уравнения
Мора-Кулона (1.15) и Мизеса-Шлейхера-Боткина (1.25) представля-
ют собой разновидности соотношений, используемых для описания
условий текучести идеализированных физических тел (сред). Иллю-
страцией этого является таблица 8, в которой записи этих уравнений
и (и их графические изображения в пространстве главных напряже-
ний) помещены в один ряд с классическими теориями прочности в
форме уравнений Треска-Сен-Венана и Губера-Мизеса.
По уравнению Треска-Сен-Венана в качестве начала пластиче-
ских деформаций в точке принимается состояние, когда наибольшая
разность главных напряжений по своей абсолютной величине дости-
гает предела текучести
<Ti - сг2 = сгг. Параметр
=2ттах
означает удвоенное наибольшее касательное напряжение. Условие
текучести, выражающее предел максимума касательных напряжений,
соответствует третьей классической теории прочности.
32
Условие текучести Губера-Мизеса (четвёртая энергетическая
теория прочности) исходит из предположения о том, что причиной
достижения предела текучести является накопление удельной потен-
циальной энергии формоизменения. Выражение для удельной потен-
циальной энергии изменения формы при сложном напряжённом
состоянии имеет следующий вид:
((Т|(Т2 + ^2^3	^З67]).
(а)

где 12 - второй инвариант девиатора напряженного состояния в соот-
ветствии с выражением (1.24).
Для количественной оценки такой энергии, накопленной к моменту
достижения предела текучести, принимается допущение о том, что опи-
сывающее его уравнение одинаково справедливо как при любом слож-
ном напряжённом состоянии, так и при простом растяжении - сжатии.
В последнем случае (о#0, о>=0, <Тз=О) выражение (а) прини-
мает вид
(б)
Предел текучести при одноосном напряжённом состоянии опи-
сывается равенством 07= ат, где ат- предел текучести. В этот момент
(в)
Уравнивая [}ф в выражениях (а) и (в), получаем
или -
(г)
Условия Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина являются
развитием двух предыдущих условий текучести на материалы
(главным образом, грунты), в которых сжатие влияет на прочность.
Уравнения, содержащиеся в таблице 8, имеют общую теоретиче-
скую основу - постулат о разрушении (текучести) как результате
действия формоизменяющих сил. Можно видеть, что условие
Мора-Кулона переходит в условие Треска-С'ен-Венана, если при-
нять <р=0, с-ат/2, а условие Мизеса-Шлейхера-Боткина - в условие
Губера-Мизеса при а=0, к= ат/4з •
33
Таблица 8
Уравнения текучести (предельного напряженного состояния) упруго- и жесткопластических тел (сред)
Наименование условий текучести	Вид напряженного состояния	Прочностные характеристики	Вид уравнений	Графическое изображение		
Губера-Мизеса	Пространственное напряженное состояние (7, *0,сг2 *0, <т3 #0	ст у — предел текучести	ГГ ат JI- = —~ или у	л/З Йот-ЗУ -КЗ -t?)2	=<5 1 "	4Q	f / z / 9ч	
	Плоское напряженное состояние ст, #0,<т2 *0, ст3 =0	<тг - предел текучести	/ т	Фу- JI-. = —р= или у	л/з		7, * 2	
			^-ct^+ct’ = ат	И 11	у/ °i	
Т реска-Сен-Венана	Пространственное напряженное состояние ст, *0,ст2 *0, <73 *0	<УТ - предел текучести	b Ь ь +1 -Н -ы II II II t? ь tT 1	1	1			д О}
	Плоское напряженное состояние СТ] *О,СТ2 *0, <73 =0	ат - предел текучести	СТ, = ±СГг ст2 = ±стг			
					/ °'	
Наименование условий текучести	Вид напряженного состояния	Прочностные характеристики	Вид уравнений	Графическое изображение	
Мизеса-Шлейхера- Боткина	Пространственное напряженное состояние *0, <т2 #0, <т3 *0	с-удельное сцепление, <р -угол внутрен- него трения; sing) а .3 ’ к = с cos <р	JT2+alx-K = b	t г ^"7 Г -а,	
Мора-Кулона	Плоская деформация <?! *0, сг2 #0		fa	•	л —!—— +—!—— • sinp-ccosp=0 2	2	-q-	/ ''	
Шестигранная призма и цилиндр, описывающие условия Треска-
Сен-Венана и Губера-Мизеса в пространстве главных напряжений,
являются частными случаями (при ^=0 и а=0) пирамиды и конуса,
изображающих условия Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина.
Отсюда возможность создания алгоритмов и программных комплек-
сов, предназначенных одновременно для расчёта металлических кон-
струкций и геотехнических объектов.
Эти положения отражают подход к расчётному анализу геотехни-
ческих объектов как разновидности деформируемых тел.
2. Как следует из описания, содержащегося в п. 1.1, а также схемы
на рисунке 2, грунты представляют собой трёхфазную, а без учёта га-
зообразной составляющей - двухфазную среду, состоящую из твёр-
дых частиц (скелета) и поровой (или свободной) воды. В условиях
неполного водонасыщения при действии внешней нагрузки скелет
грунта воспринимает все компоненты давлений, роль поровой воды
отсутствует. Поэтому для задач строительства правомерна модель
неводонасыщенного грунта как однофазной среды с описанными вы-
ше физическими и механическими свойствами.
Положение меняется в условиях полного водонасыщения (запол-
нения пор) грунта. В этом случае внешнее давление распределяется
на эффективную (воспринимаемую скелетом грунта) и нейтральную
(передаваемую на поровую воду) составляющие. Способность скелета
к восприятию всех компонентов напряжений ограничена, но ненуле-
вая; а поровая вода (в стеснённых условиях) несжимаема, но не
воспринимает касательных напряжений. Поэтому в начальный мо-
мент времени после приложения внешней нагрузки сжимающая со-
ставляющая (шаровой тензор) воспринимается только поровой водой,
а девиаторная составляющая — скелетом грунта. В этот момент (при
передаче внешних сжимающих давлений только на воду) несущая
способность грунтового основания минимальна.
В связи с тем, что внешняя нагрузка на основание действует
на ограниченной площадке, поровая вода из сжатой области посте-
пенно перемещается в стороны, где внешнее давление отсутствует.
Поэтому со временем в точках грунтового основания происходит
перераспределение шаровой части тензоров напряжений с поровой
воды на частицы грунта со скоростью, зависящей от фильтрацион-
ной способности основания. В глинистых слабофильтрующих
36
грунтах процесс движения воды может быть достаточно продол-
жительным. Снижение нейтрального (порового) давления до ста-
бильного уровня заканчивается передачей всей нагрузки на грун-
товый скелет, что соответствует переходу грунтового основания из
двухфазной в однофазную систему. Остаётся только взвешиваю-
щее действие воды на твёрдые частицы и фундаментные конструк-
ции ниже уровня грунтовых вод.
В реальных условиях внешние нагрузки на основания возни-
кают не мгновенно, а увеличиваются от нуля до проектной вели-
чины одновременно с процессом снижения порового давления
(формирования однофазной системы) в водонасыщенных основа-
ниях. В теории и практике (при создании расчётных моделей,
постановках прикладных задач, проектировании фундаментов)
преимущественно используется модель грунта как однофазной
среды, что соответствует природному уровню порового давления.
Это положение сохраняют последующие главы настоящего изда-
ния. Но теорию эффективного и нейтрального давлений в водо-
насыщенных основаниях следует принимать во внимание при
прогнозах развития напряжённо-деформированного состояния,
длительности процессов осадок оснований, а также анализах
аварийных состояний.
1.3. Зависимость между напряжениями
и деформациями
В настоящем параграфе рассматриваются условия деформирова-
ния грунтов (связи между относительными деформациями, переме-
щениями и напряжениями) с делением на стадии линейного деформи-
рования и пластического течения (до и после достижения условия
текучести в соответствии с уравнениями Мора-Кулона и Мизеса-
Шлейхера-Боткина).
Соотношения Коши и обобщённый закон Гука. Введём
обозначения перемещений и относительных деформаций в прямо-
угольных координатах: U, W, V- составляющие перемещений в точке
по направлениям осей X, Y, Z; ех, еу, е2, уХ2, Уу, - относительные осе-
вые и угловые деформации; £/, Е2, ез - главные относительные
деформации.
Линейные соотношения, связывающие перемещения, относи-
тельные деформации и напряжения, имеют следующий вид.
37
Соотношения Коши связи между перемещениями и деформациями
(выражают непрерывность и относительную малость перемещений):
ЭГ7 ЭРГ _ ЭК
—	» ^Z ~	»
ох ' оу OZ
ди дУ
dz дх
(1-28)
Уравнения закона Гука для сплошных изотропных расчётных
областей имеют следующий вид.
Плоская деформация:
[аг(1-у)-уах],
2^(1+v)
XZ
(1-29)
Пространственное напряженное состояние:
>(1.30)
В уравнениях (1.29) и (1.30) обозначено: Е- модуль деформации,
£
V - коэффициент Пуассона (поперечной деформации), G = -------г -
2(1 + у)
модуль сдвига.
Продолжим рассмотрение тех же постулатов применительно к
условиям осесимметричного напряжённого состояния и деформи-
рования (рисунок 13), принимая следующие обозначения: U, V -
составляющие перемещений в точке в направлениях радиальной X
и вертикальной Z осей; ех, ez, ео, oXr gz, og — относительные дефор-
мации и напряжения в радиальном, вертикальном и тангенциаль-
ном направлениях; yxz, vxz - угловые деформации и касательные на-
пряжения в плоскости XOZ; ej, £2, Ез, <гь а2, 03 - главные относи-
тельные деформации и напряжения.
38
Рис. 13. Схема осесимметричного
напряженного состояния
Соотношения Коши и уравнения закона Гука:
(1.31)
(1-32)
Инварианты относительных деформаций. При анализе резуль-
татов экспериментов и постановке задач строгой теории исполь-
зуются инварианты деформаций, подобные инвариантам тензора
напряжений /у, 7/ первый инвариант Jj тензора деформаций, рав-
ный объёмной деформации ev
i= ev=ei+ £2+ £3— £x+£y+£z',
(1.33)
второй инвариант девиатора деформаций
Л =| [(о	> fofjr+fc- f.;)2] =
6
=7	(1-34)
6
интенсивности линейных г, и угловых у, деформаций
(1.35)
39
Уравнения равновесия. В научных теориях, программном обес-
печении используются два варианта условий равновесия однородных
линейно деформируемых тел:
-	в виде дифференциальных уравнений в частных производных
(не обязательно связанных с линейным деформированием), которые
для пространственной задачи в прямоугольных координатах имеют
следующий вид:
(1.36)
гдерХ, pY, pZ- проекции объёмных сил на соответствующие оси;
-	в виде применяемых в МКЭ вариационного энергетического
принципа Лагранжа и уравнений равновесия узлов.
Характеристики деформируемости грунтов. В рассматривае-
мых ниже расчётных моделях используются три деформационные
характеристики грунтов: модуль деформации Е, модуль упругости Ее
и коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) г.
Различие между модулями Е и Ее заключается в том, что первый из
них отражает полную деформацию, состоящую из линейной и нели-
нейной (обратимой и необратимой) составляющих, второй отражает
только упругую (восстанавливающуюся) часть деформаций, которая
фиксируется при снятии и повторном приложении нагрузки.
Назначение деформационных характеристик относится к числу
наиболее ответственных решений при проектировании, особенно в
сочетании с численными методами, ведущими к расширению области
использования деформационных расчётов. Существуют многочис-
ленные таблицы (в том числе в приложении Б СП 22.13330.2011),
связывающие модули деформации Е с физическими характеристика-
ми грунтов. Табличные данные используются на практике в связи
с ограниченными возможностями проведения специализированных
инженерно-геологических изысканий при проектировании объектов
средней технической сложности. В указанном нормативном доку-
менте предусмотрена возможность упрощённого назначения модуля
упругости по соотношению Ее=5Е.
40
Для коэффициентов v также существуют табличные значения, по-
следний вариант которых содержится в табл. 5.10 СП 22.13330.2011.
Таблица 9
Коэффициенты поперечной деформации
Грунты	Коэффициенты поперечной деформации v
Крупнообломочные грунты	0.27
Пески и супеси	0.30-0.35
Суглинки	0.35-0.37
Глины при показателе текучести: 7г<0 0< IL< 0.25 0.25< /£<1	0.20-0.30 0.30-0.38 0.38-0.45
Табличные данные в нормативно-методических документах от-
ражают обширный эмпирический материал, основанный на полевых и
лабораторных измерениях. Знание схем и способов проведения раз-
личных видов испытаний позволяет лучше понимать физическое со-
держание рассматриваемых характеристик, учитывать погрешности
их измерений.
Одним из способов лабораторного определения деформационных
характеристик является рассмотренный выше метод трёхосного
сжатия образцов грунта по версии «консолидированно-дренирован-
ного» испытания. Модуль деформации и коэффициент поперечной
деформации в опыте при постоянном значении напряжений
определяются по формулам
ДСТз Д^*1 о
Е =—v = —
Ле3 Де3
(137)
где Даз - приращение напряжений а3 в заданном диапазоне;
Afl,2 =~(^v
- приращение относи-
тельной вертикальной, поперечной и объёмной деформаций образца;
ДЛ, ДИ — абсолютные вертикальная и объёмная деформации образца
грунта с учётом поправки на сжатие камеры, h, V- начальные высота
и объём образца.
Другими известными способами определения Е и v являются
следующие эксперименты. Лабораторные испытания: компрессион-
ные, одноосные. Полевые измерения: штамповые, прессиометри-
41
ческие испытания, статическое и динамическое зондирование.
Их описание не относится к задачам настоящего издания.
Фазы напряжённого состояния грунтов. Диаграмма Прандтля.
В теории механики грунтов принято выделять две фазы напряжённо-
деформированного состояния грунта: 1) фазу уплотнения и локаль-
ных сдвигов; 2) фазу значительных сдвигов.
Первая фаза характеризуется преобладанием деформаций уплот-
нения, близкой к линейной зависимостью между напряжениями и
деформациями, быстрым затуханием деформаций. Если оценивать
напряжённое состояние грунта в соответствии с условиями текучести
Мора-Кулона и Мизеса-Шлейхера-Боткина, то на данной стадии
площадки сдвига (пластические области) только зарождаются либо не
образуются вообще. Состояние грунта оценивается как допредельное.
При возрастании величины и неравномерности нагрузки площад-
ки скольжения соединяются, образуя развитые поверхности. Грунт
переходит в близкое к предельному состояние, которому присущи
разрывы сплошности или образование обширных пластических
областей с нелинейной связью между напряжениями и деформация-
ми. Такое напряжённое состояние, если оно приближается к исчерпа-
нию несущей способности или характеризуется прогрессирующей
текучестью, является недопустимым.
При проектировании (расчётах) геотехнических объектов с
использованием в качестве теоретической основы законов Гука,
Кулона, уравнений Мора-Кулона, Мизеса-Шлейхера-Боткина прини-
мается билинейная зависимость e=f(o), известная в теории как
диаграмма Прандтля (рисунок 14), позволяющая получить качествен-
но верную, удовлетворяющую практическим требованиям картину
напряжённо-деформированного состояния. Точка А на билинейной
диаграмме совмещает пределы пропорциональности, упругости
и текучести. Условия деформирования грунта на наклонном и гори-
зонтальном участках билинейной диаграммы качественно отличаются
и описываются разными уравнениями.
Для наклонного участка ОА принимается модель линейно-
деформируемого тела, описываемая обобщённым законом Гука и ха-
рактеризуемая модулем деформации Е и коэффициентом Пуассона у.
В соответствии с уравнениями закона Гука направления векторов
главных напряжений (о-/ ?) и главных относительных деформаций (eiS)
совпадают или (в терминах теории деформируемых тел) соосны,
коаксиальны. Объёмная деформация в теле Гука
42
(ъ+ф+сгз).
(138)
Девиатор напряжений {ai-am oz-om аг-вт} не воздействует на
объёмную деформацию.
Достижение предела текучести связано с наступлением предель-
ного напряжённого состояния грунта в соответствии с уравнениями
Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина. На горизонтальном
участке диаграммы ОАВ численные значения деформаций (переме-
щений) не определяются, а их векторы описываются соотношениями
теории пластичности, которые рассматриваются ниже.
Рис. 14. Двухмерная аналогия зави-
симостей £' = /(<т) к модели упруго-
пластического тела в соответствии с
диаграммой Прандтля
Понятие о векторах пластических деформаций. Дилатансия.
При решении смешанных задач теории упругости и пластичности
требуется расчётное описание вектора относительных деформаций на
ветви АВ (см. рисунок 14) диаграммы Прандтля. При этом рассматри-
ваются два вопроса: об ориентации осей тензора-девиатора деформа-
ций и о влиянии формоизменения на объёмное деформирование.
На стадии пластического течения векторы главных напряжений и
деформаций также, как и на упругой стадии, принимаются соосными.
Однако в этом случае рассматриваемое положение вводится не как
следствие физических уравнений, а в качестве самостоятельного
допущения, основанного на экспериментальных данных или полу-
ченного при помощи соотношений теории пластического течения.
Изложенные выше положения позволяют считать соосными
векторы главных напряжений, линейных и пластических составляю-
щих главных деформаций на всех стадиях деформирования элемен-
тарного объёма (точки) грунтовой среды.
43
Ещё одним положением теории деформирования на стадии
пластического формоизменения является наличие дилатансии, т. е.
изменения (как правило, увеличения, «разрыхления») объёма.
Явление дилатансии при сдвиге грунтов зафиксировано во многих
экспериментах и объясняется как следствие изменения взаимного
положения («переупаковки») частиц грунта при формоизменении
(В. Н. Николаевский, 1972 [27]).
Пластическое деформирование элементарного объёма грунта в
условиях плоской деформации происходит в соответствии со схемой
на рисунке 15 по уравнению
еи'=^СЛ.±1),
(1.39)
где Eif - пластические составляющие главных деформаций; А - малая
скалярная величина; Л* - параметр дилатансии, константа, отражаю-
щая изменение объёма при формоизменении (сдвиге) грунта в усло-
виях плоской деформации. Из уравнения (1.39) следует, что
(1.40)
Наличие коэффициента Л*#) отличает деформацию в соответствии с
уравнением (1.39) от течения при постоянном объёме, где
£1,2
Рис. 15. Формоизменение и дилатансия
элементарного объема грунта
при пластическом деформировании:
1	- первоначальные размеры;
2	- сдвиг при постоянном объеме
(Л»=0);
3	- формоизменение с дилатансией
(4*>0)
а на площадках, наклонённых под углом 45° по отношению к осям
главных напряжений, имеет место
=0,7^4 (£/-£/) = 4-
Ассоциированный и неассоциированный законы течения.
Теория пластического течения связывает поле скоростей (прираще-
ний) пластических деформаций dEpy с частными производными
некоторой функции F=0, называемой пластическим потенциалом
Эст,,
(1.41)
где л - неопределённый положительный коэффициент пропор-
циональности, малая скалярная величина. Пластический потенциал
F((Ty)=0 описывает в «-мерном пространстве напряжений некоторую
поверхность. Математически зависимость (1.41) означает перпенди-
кулярность вектора приращений (скоростей) пластических деформа-
ций к линии или поверхности F=0.
В частном случае, если в качестве пластического потенциала
принять уравнение текучести (1.15) или (1.25) F =F’=Q, соотношение
dEpij =Л
dFP
(1.42)
будет выражать ассоциированный закон течения. Данный термин
связан с общей (ассоциированной) записью зависимостей, опреде-
ляющих предельное напряжённое состояние и вектор пластического
течения.
Уравнениям пластических потенциалов
-—— sin <р-с cos (р = 0
можно придать более общий вид путём подстановки вместо sin (р и а
параметров дилатансии Л*, Л, определяемых экспериментальным
путём, выражающих линейную связь объёмных деформаций и фор-
моизменения в условиях плоской деформации и пространственного
напряжённого состояния. Новые соотношения (А. К. Бугров, 1976 [4])
45
tTi	-/1* ( 6Ti НН CTo )
F =-J-----2+_^_J------2^ + const = Q
2	2
F = Jl2 + A/j + const — 0
(1.43)
(1-44)
описывают пластические потенциалы неассоциированного закона
течения.
Из уравнений (1.41)-(1.44) следуют важные в практическом
отношении зависимости. При F=0, определяемом уравнением (1.43),
в условиях плоской деформации
dep\,2 = Л
Я	л d£P'+ d£f>2
(А ±1); Л,=-------------
2	d£px - dEP2
(1.45)
Обратим внимание на то, что соотношения последней строки
повторяют приведенные выше уравнения (1.39), (1.40) с графической
иллюстрацией на рисунке 15.
Графической формой уравнений (1.40)-1.45) являются диаграм-
мы на рисунке 16, изображающие пластические потенциалы /^=0
и F=0 и векторы ассоциированного и неассоциированного законов
течения на плоскости главных напряжений 02-
При F=0 в соответствии с (1.44) в условиях пространственной задачи
(1.46)
(1.47)
где/,,=Л+Л+Л=Л+гр,,+Л , Л=|[(Л-Л)?+(^-Л)А>Л)’] -
6
первый инвариант тензора и второй инвариант девиатора пластиче-
ских деформаций.
Следствием изложенного выше являются следующие кинемати-
ческие свойства рассматриваемой модели:
-	тензоры-девиаторы скоростей пластических деформаций и
напряжений сосны (коаксиальны);
-	пластические деформации формоизменения должны сопровож-
даться относительным увеличением объёма со скоростью ХЛ* или 3//1.
46
%,2
Рис. 16. Пластические потенциалы
ассоциированного (неассоциирован-
ного) законов течения 1(2) и соответ-
ствующие им векторы пластических
деформаций 3(4)
Указанные выше положения подтверждаются большинством
экспериментов, и их практическое использование можно считать
пригодным для прикладных задач. Обобщение большого числа опыт-
ных исследований (А. К. Бугров, 1980*) позволило сделать вывод о
том, что относительное увеличение объёма, сопровождающее формо-
изменение, меньше или близко к значениям ассоциированного закона:
в экспериментах с плотными грунтами Л*=(0.87-4.00) sin <р, а в опы-
тах с грунтами рыхлыми и средней плотности Л*=(0.3(К0.50) sin (р.
О сопротивлении грунта растяжению. При проектировании,
а так же реальном поведении сооружений, возможны условия, когда
на некоторой части грунтового массива возникает растяжение. Грун-
ты слабо сопротивляются растягивающим напряжениям, в зонах их
действия образуются трещины, отрыв поверхностей фундаментных
конструкций от основания (например, при воздействии на сваю
горизонтальной силы). В расчётах обычно принимается, что грунт
работает только на сжатие, не воспринимает растягивающие напря-
жения, деформируется при их воздействии без сопротивления. Важ-
ным аргументом в пользу такого допущения является соображение
о том, что даже в тех случаях, когда растягивающие напряжения не-
значительны и не вызывают разрывов, теряет силу закон внутреннего
трения, и модуль деформации значительно ниже, чем при сжатии.
*Бугров А.К. Напряжённо-деформированное состояние оснований и земляных соору-
жений с областями предельного равновесия грунта // Диссертация на соискание учёной
степени доктора технических наук. - Ленинград, 1980.
47
2.	НОРМАТИВНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ГЕОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Теория - это глаза инженера.
Неизвестный автор
Задачи механики грунтов могут быть
разделены на две группы: на задачи
устойчивости и задачи упругости.
К. Терцаги, 1942
2.1.	Расчётные модели
В действующих нормативных документах и в практике проектиро-
вания геотехнических объектов наиболее широко используются две
группы расчётных моделей (РМ), основанные на одном из наборов
рассмотренных выше физических уравнений и изображаемые диаграм-
мами 7 и 2 на рисунке 17:
-	модели теории линейного деформирования;
-	модели жёсткопластических сред (теории предельного равнове-
сия и предельного напряжённого состояния грунтовых оснований и
массивов).
В обеих теориях (группах теорий) общими и основополагающими
являются уравнения равновесия, а также допущения о сплошности и
изотропности расчётных областей.
Рис. 17. Двухмерная аналогия зависимостей
Е = к моделям линейно деформируемого
1, жесткопластического 2 и упругопластическо-
го 3 тел
Следует иметь ввиду, что диаграммы на рисунках 14 и 17 пред-
ставляют собой не реальные графики, а двухмерные аналогии
зависимостей e=f(a). Общее число компонентов напряжений и
деформаций в точке (элементарном объёме) грунтовой среды
больше двух (четыре, шесть, двенадцать) и, следовательно, не
может быть изображено в виде точки на плоскости или трёхмер-
ном пространстве.
48
Диаграммы 1 и 2 являются ветвями более общего графика 3
(диаграммы Прандтля), моделирующего деформирование идеализи-
рованного упругопластического тела, которое является универсаль-
ной расчётной моделью теорий упругости и пластичности.
Теории линейного деформирования. Первая РМ (линия 1 на ри-
сунке 17) представляет собой теорию линейного деформируемой
среды, описываемую физическими уравнениями закона Гука и
геометрическими соотношениями Коши.
Линейно деформируемые тела в отличие от упругих не восста-
навливают деформаций при разгрузке (понимаемой как возвра-
щение к исходному напряжённо-деформированному состоянию).
Поскольку при проектировании объектов строительства разгруз-
ка, как правило, не предполагается, указанное различие не
препятствует применению теории упругости при расчётах осно-
ваний, грунтовых и взаимодействующих с грунтом объектов.
Границей линейного деформирования является предел текучести
(точка А), принимаемый для грунтов в соответствии с уравнениями
Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина. Получение на части
расчетной области «зоны (подобласти) разрушения» («физически
невозможного» напряжённого состояния), где не удовлетворяются
условия прочности в соответствии с указанными уравнениями,
свидетельствует о неполной корректности или даже непригодности
линейного метода расчета.
В современном проектировании развиваются два направления
решения задач теории линейно деформируемой среды: классическое —
с использованием решений теории упругости (как правило, в виде
готовых таблиц) и индивидуальные численные расчёты по методу
конечных элементов (МКЭ).
Не следует забывать о других численных методах: конечных
разностей (МКР) и граничных элементов (МГЭ), но на практике такие
способы решений геотехнических задач крайне редки.
Ещё одной разновидностью линейной модели является метод мест-
ных упругих деформаций (метод коэффициента постели), пред-
назначенный для решения контактных задач расчета изгибаемых
конструкций (свай, шпунтовых стенок, плит фундаментов конечной
жесткости), взаимодействующих с грунтом оснований. Идея метода
заключается в допущении того, что линейная связь (соотношение) между
контактными напряжениями o(z) и совместными перемещениями y(z)
грунтового основания и изгибаемой конструкции (стержня) описывается
49
некоторой задаваемой в исходных данных функцией C(z), именуемой ко-
эффициентом постели. Это позволяет записать уравнение
cr(z)Z> = p(z) = C(z)y(z)b,
(2.1)
где b - ширина (условная или фактическая) контактной поверхности,
o(z) - давление на контакте грунта и фундаментной конструкции,
связанное с их силовым взаимодействием. Функция, описывающая
коэффициент постели C(z), может быть определена только на основа-
нии результатов экспериментов, опытных измерений или численных
исследований.
Присоединяя уравнение (2.1) к дифференциальному уравнению
изогнутой оси стержня в виде
EI
q(z) + p(z),
получаем новое дифференциальное уравнение метода коэффициента
постели
(2-2)
где EI - жёсткость изгибаемой фундаментной конструкции; q(z) - внешняя
нагрузка (рисунок 18,а).
Рис. 18. Расчетные схемы контактных задач: а - схема к уравнениям (2.1) и (2.2);
б — расчётная схема сваи при совместном действии вертикальной, горизонталь-
ной и моментной нагрузки: распределение коэффициента постели C(z) = Kz,
сечение сваи и условной стенки шириной ЬР, эквивалентной свае по взаимодей-
ствию с грунтом.
z
50
Автор метода немецкий инженер К.Винклер предназначал диф-
ференциальное уравнение (2.2) для последующего аналитического
решения. Однако в современной расчетной практике рассматриваемая
задача решается численным путём с использованием МКЭ. Отметим,
что в этом случае контактные задачи всегда разрешимы и имеют
единственное решение.
В современном проектировании метод коэффициента постели,
благодаря работам К.С.Завриева, наиболее успешно применяется
в расчетах свай и свайных фундаментов на совместное действие
вертикальной, горизонтальной и моментной нагрузки. Уравнение
(функция) для коэффициента постели имеет вид:
C(z)= Kz,	(2.3)
где К - коэффициент пропорциональности в размерностью Н/м4,
определяемый по табличным данным в зависимости от разновид-
ности грунта в верхней части основания вокруг сваи, z - координа-
та длины сваи, отсчитываемая от поверхности основания. Расчет-
ная условная ширина сваи Ьр на основании опытов принята равной
Ьр = Кф(1,5с1 +0,5м) при d<\,0 м или bp=K^(d +1,0м) при d>1,0 м,
где d - диаметр (сторона сечения) сваи (рис. 18,6), Кф= 0,9-s-l,0 -
коэффициент, учитывающий форму сечения сваи.
Задача К.С.Завриева рассматривается более подробно в п. 3.5
настоящего издания.
Модели жесткопластических сред. Вторая теория представля-
ет собой группу РМ в виде жесткопластических тел (сред), описы-
ваемых уравнениями предельного равновесия или предельного на-
пряженного состояния и изображаемых на рисунке 17 линией 2.
При проектировании геотехнических объектов с использованием
моделей рассматриваемой группы наиболее широко применяются
уравнения закона Кулона и условие прочности Мора-Кулона. Пред-
полагается, что линейная (упругая) часть перемещений (деформа-
ций) пренебрежимо мала по сравнению с пластической составляю-
щей. В расчетах учитываются только прочностные характеристики
грунтов (с, р), задачи решаются как статически определимые.
Перемещения остаются неопределенными и не вычисляются, так
как жёсткопластическая РМ не содержит соотношений, связываю-
щих напряжения и деформации. Примером практического примене-
ния теории предельного равновесия является рассмотренная выше
(в п. 1.2) задача о подпорной стенке.
51
На рисунке 19 приводятся структурные схемы линейной и жё-
сткопластической РМ, изображающие наборы формирующих эти
модели уравнений равновесия, физических, геометрических соот-
ношений. В нижней части структурных схем указаны связи РМ с
прикладными задачами и практическими приложениями.
В рассмотренных выше РМ напряженно-деформированное
состояние предполагается только допредельным, подчиняющимся
закону Гука и соотношения Коши; либо предельным на всей расчет-
ной области, что предопределяет их упрощенный характер.
Несовместимость указанных РМ по принятым допущениям и исполь-
зуемым механическим характеристикам грунтов иллюстрируют
двухмерные диаграммы 1 и 2 на рисунке 17. Несмотря на это, приме-
няемые раздельно уравнения теорий линейного деформирования и
предельного равновесия (напряжённого состояния) позволили создать
комплекс достаточно эффективных методов расчета по предельным
состояниям, предназначенных для проектирования среднесложных
геотехнических объектов массового строительства.
2.2.	Предельные состояния и расчетные проверки СНиП
Начиная с 1955 г. в Советском Союзе и современной России
расчёты объектов строительства осуществляются по методу предель-
ных состояний (ПС). ПС - это состояния, при которых конструкция,
основание, здание или сооружение перестают удовлетворять задан-
ным эксплуатационным требованиям или требованиям при производ-
стве работ (возведений).
Главными принципами метода ПС (отличающими его от предше-
ствовавшего метода по «допускаемым напряжениям» и ещё более
раннего метода расчёта по «допускаемым нагрузкам») являются
следующие положения:
-	оценка результатов расчётов по критериям пригодности к
эксплуатации и надёжности объектов строительства;
-	замена одного - общего - «коэффициента запаса» пятью
группами коэффициентов надёжности (по материалу, грунту; по
ответственности; по нагрузке), сочетаний нагрузок и условий работы;
-	вероятностный подход к назначению параметров, влияющих на
расчётные значения величин силовых воздействий и показателей
несущей способности.
52
Условия
равновесия
Физические
уравнения
Геометрические
соотношения
Нестрогие
постулаты
Расчетная
модель
Прикладные
задачи
Практические
приложения
Рис. 19. Линейная и жёсткопластическая модели механики грунтов:
связи с определяющими уравнениями, прикладными задачами и практическими приложениями
(структурная схема)
Основные положения по расчётам объектов строительства на
силовые воздействия нормативно закреплены в государственном
стандарте ГОСТ 27751-88. Указанный ГОСТ включает основные
понятия и определения (в том числе приведенное выше определение
ПС), которые формируют современную методологию технических
расчётов в строительстве.
Стандарт предусматривает расчёты объектов строительства по
ПС двух групп: «ведущих к непригодности к эксплуатации» и
«ведущих к затруднению нормальной эксплуатации». На рисунке 20
представлена общая структурная схема, изображающая основные
виды ПС каждой из групп для всех категорий объектов строительства.
Виды ПС (1а, 1с, 1е, 2а), относящиеся к основаниям и грунтовым
сооружениям, выделены жирным шрифтом.
Рис. 20. Две группы и основные виды предельных состояний
в соответствии с ГОСТ 27751-88 (структурная схема)
На рисунке 20 наименования видов ПС сформулированы в
общем виде, непригодном для использования при проектировании.
Их конкретизацией являются расчётные проверки, отражающие пре-
54
дупреждаемые (расчётами) формы разрушения и деформирования и
условия, ограничивающие нагрузочные эффекты.
В таблице 10 показана связь между главными нормируемыми
расчётными проверками геотехнических объектов, видами ПС и РМ
грунтовой среды.
Таблица 10
Главные расчётные проверки оснований, фундаментов, откосных
сооружений и их связь с видами предельных состояний
и расчётными моделями
Наименование расчётов (проверок)	Группы и виды ПС на рисунке 20	Расчётная модель грунта
Расчёт несущей способности оснований	1а, 1с, 1е	Жёсткопластическая среда: предельное напряженное состояние
Расчёт устойчивости осно- ваний и откосов против глу- бокого и оползневого сдвига	1с, 1е	Жёсткопластическая среда: предельное равновесие
Расчёт несущей способности свай	1а, 1е	Предельное равновесие при вдавливании / выдер- гивании сваи
Расчёт устойчивости против опрокидывания и сдвига фундамента	1с	Предельное равновесие
Расчёт осадок, кренов фун- даментов мелкого заложения	2а	Линейно деформируемая среда
Расчёт свайных фундамен- тов на совместное действие вертикальных, горизонталь- ных сил и момента	1а, 1е, 2а	Метод коэффициента постели
В таблице 11 представлены группы повышающих или понижаю-
щих коэффициентов в соответствии с принципом раздельного ото-
бражения каждой разновидности отклонений от нормативных вели-
чин параметров, влияющих на надёжность объектов строительства.
55
Таблица 11
Характеристика коэффициентов надёжности и условий работы
Наименова- ние коэф- фициентов	Обо- зна- чение	Величина, способ применения в расчётах	Назначение коэффициентов	Дополнительные сведения
Коэффициент надёжности по материалу (грунту)		Не менее 1,0. Деление нормативных значений характери- стик материалов и грунтов на коэффици- енты надёжности	Учитывают возможные небла- гоприятные отклонения от нормативных значений проч- ностных и др. характеристик материалов и грунтов	Значения коэффициентов ут. уя принима- ются различными для разных предельных состояний
Коэффициент надёжности по ответст- венности	У«	Для I уровня ответственности уп=0,95...1,2; для II уровня Уп =0,95; для III уровня уп=0,8...0,95;	Учитывает степень ответст- венности зданий и сооружений и значимость последствий наступления предельных со- стояний	I - повышенный уровень ответственно- сти принимается для объектов, отказы которых могут привести к тяжёлым экономическим, социальным и экологиче- ским последствиям (атомные электро- станции, резервуары для нефти и нефтепродуктов, магистральные трубопроводы, уникальные здания и сооружения); II - нормальный уровень принимается для объектов массового строительства; Ш - пониженный уровень принимается для объектов сезонного или вспомога- тельного назначения.
Наименова- ние коэф- фициентов	Обо- зна- чение	Величина, способ применения в расчётах	Назначение коэффициентов	Дополнительные сведения
				
Коэффициенты надёжности по нагрузке	If	Больше и меньше 1,0. Умножение норматив- ных значений нагрузок на коэффициенты на- дёжности	Учитывают возможные небла- гоприятные отклонения нагру- зок вследствие их изменчиво- сти или отступлений от усло- вий нормальной эксплуатации	Коэффициенты jy могут быть различны- ми для разных сочетаний нагрузок
Коэффициенты сочетаний нагрузок	V	Не более 1,0. Умножение расчётных нагрузок на коэффици- енты сочетаний нагру- зок	Учитывают уменьшение веро- ятности превышения одновре- менно несколькими нагрузка- ми их расчётных значений	Под «несколькими нагрузками» следует понимать набор нагрузок разных видов (например, снеговую и ветровую) или группу нагрузок одного вида (например, нагрузка от двух и более полос движения на мосту)
Коэффициенты условий работы	Id	Больше и меньше 1,0 Умножение расчётных значений характери- стик материалов и грунтов на коэффици- енты условий работы	Учитывают особенности рабо- ты материалов, конструкций и их соединений, оснований, не отражаемые непосредственно в расчётах: влияние температу- ры, влажности; длительности, многократной повторяемости воздействий; особенности тех- нологии изготовления конст- рукций ; влияние коррозии, агрессии среды и др. факторы.	
3.	ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ГРУНТОВ
Все эти идеи родились между
реальностью и нашими попыт-
ками её понять.
А. Эйнштейн
Применение положений теории к задачам практики реализуется
через постановки и решения прикладных задач. Такие задачи пред-
ставляют собой теоретические прототипы больших групп геотехниче-
ских объектов, являются ответами на запросы инженерной практики.
Число прикладных задач механики грунтов постоянно растёт в связи
с появлением новых разновидностей сооружений и конструкций с
присущими им механизмами разрушения и деформирования, усло-
виями взаимодействия с грунтом. Одновременно обновляются поста-
новки и экспериментальная база уже известных классических задач.
Некоторые из них, обогащаясь новыми приложениями и способами
решений, образуют самостоятельные разделы теории. Неизменными,
как правило, остаются расчётные модели грунта, принимаемые в со-
ответствии с теориями линейного деформирования или предельного
равновесия (напряжённого состояния).
Распространение метода конечных элементов (МКЭ) и его
программного обеспечения привело к значительному обновлению
постановок линейных задач механики грунтов; отпали ограничения,
связанные с небольшим числом готовых решений математической
теории упругости. Несмотря на это, классические прикладные задачи
сохраняют своё место в документах технического регулирования,
нормативно-методических и учебных изданиях.
Прикладные задачи и способы их решения сочетают простоту,
ясность физического смысла и удовлетворительное соответствие дан-
ным наблюдений и научных исследований.
3.1.	Задачи Фламана и И. Буссинеска
и их практические приложения
Рассматриваемая группа задач формирует теорию расчёта лен-
точных и плитных фундаментов мелкого заложения по предельным
состояниям 2~группы. Нагрузка представлена полосами, площадками
с равномерной или переменной интенсивностью либо жёсткими
штампами, а распределение напряжений в основании описывается
уравнениями теории линейно деформируемой среды.
58
Аналитические решения. Теоретическую основу линейных
методов расчёта грунтовых оснований составляют решения задач
теории упругости о действии сосредоточенных нормальных сил Р на
поверхности полуплоскости (задача Фламана, 1892) и полупростран-
ства (задача И. Буссинеска, 1885). Решения получены при помощи
следующих допущений (рисунки 22,а,6):
-	предполагается, что напряжения <tr на площадках, перпендику-
лярных лучам О А, проведённым через точку приложения сосредото-
ченной силы Р, распределены пропорционально косинусам углов fl
между этими лучами и центральной осью Z; касательные напряжения
на этих площадках равны нулю;
-	напряжения aR обратно пропорциональны длинам (радиусам) R
лучей ОА в условиях плоской задачи и квадратам R в условиях
пространственной задачи.
В соответствии с этими положениями, а также условиями равно-
весия, определяются граничные условия решаемых задач:
ружность (см. рис. 22,а) с распределением напряжений
2Р о
<тя =---cosy?
полуок-
и полусфера (см. рис. 22,6) с распределением напряжений
R
-cos в.
(б)
б)
а)
Рис. 22. Схемы к решениям задач о действии сосредоточенных сил Р
на поверхностях полуплоскости (а) и полупространства (б).
59
б)
Рис. 23. Системы координат и компоненты напряжений по решениям задач
Фламана (а) и Буссинеска (б)
На основании этих соотношений получены выражения для
компонентов напряжений в точке M(x,z) полуплоскости единичной
толщины от воздействия силы Р (рисунок 23, а)
z
cos3/?, <гх =-
sin2/?cos/?, тХ2 =
sin p cos2 P
(3.1)
где R = yx2 + z2 (cm. рисунок 23,a).
Решение (3.1) распространяется на условия плоской деформации,
т. е. полупространство, нагруженное вертикальной полосовой нагруз-
кой, распределённой перпендикулярно плоскости чертежа. В этом
случае сила Р представляет собой долю полосовой нагрузки, дейст-
вующую на участке единичной ширины.
Решением задачи о распределении напряжений в упругом полу-
пространстве от воздействия сосредоточенной силы Р (рисунок 24,6)
являются следующие выражения:
(27?+z)y2
(tf+z)2#5
1-2уГ 1	(2^+4^
ь 3 1^/?+z) (Я+г)2#
(3.2)
где R = ^х2 + у2 + z2 , v — коэффициент поперечной деформации.
Метод угловых точек. Формулы (3.2) позволили создать семей-
ство решений задач о полосовых нагрузках с различными формами
распределения интенсивности и размерами загруженных площадок.
Для этого на загруженной части поверхности выделяется элементар-
ная площадка dxdy (рисунок 24, а), на которой нагрузка с интенсивно-
стью р считается сосредоточенной силой Р(х,у) = pdxdy. Компоненты
напряжений в основании от полной нагрузки определяются интегри-
рованием.
Одним из таких решений является формула для определения вер-
тикальных нормальных напряжений на глубине z под угловой точкой
загруженной прямоугольной площадки с размерами 1м Ь\
где D2— f + b2+ z2
При помощи формулы (3.3) могут быть определены вертикальные
напряжения в любой точке полупространства. Загруженная площадь
ABCD описывается прямоугольниками (рисунок 24, б), углы которых
находятся в точке ЛГ над площадкой М. Для коэффициентов
Кс (a=l/b, p=z/b) составлена известная таблица, которая приводится
ниже (таблица 12). Напряжения в точке М определяются как произве-
дение интенсивности нагрузки р и алгебраической суммы четырёх ко-
эффициентов Кс: az=pXKc. Возможны три варианта алгебраического
суммирования (см. рисунок 24, б):
-	первый вариант - проекция М’ точки М на поверхности основа-
ния расположена внутри загруженной площадки ABCD, все четыре
коэффициента Кс принимаются со знаком «плюс»: Kci+KC2 +К.сз+К.С4,
-	второй вариант - проекция М' расположена за пределами
загруженной площадки ABCD, но между продолжениями граничных
линий АВ и СО; алгебраическая сумма коэффициентов
Ксз+Ксз-Ксз- Кс4ъ
-	третий вариант - проекция М' расположена за пределами
загруженной площадки ABCD и продолжений её границ; алгебраиче-
ская сумма коэффициентов КС1-КС2—Ксз+КС4.
61
Рис. 24. Иллюстрации
к решению простран-
ственной задачи о
загруженной части по-
верхности основания
(а) и методу угловых
точек (б)
Таблица 12
Коэффициенты Кс
II	Отношение сторон прямоугольника а = 1/ /ь						
	1	1,5	2	3	6	10	плоская задача
0,25	0,247	0,248	0,248	0,248	0,248	0,248	0,248
0,5	0,232	0,237	0,238	0,239	0,239	0,239	0,240
1	0,175	0,193	0,200	0,203	0,205	0,205	0,205
.1,5	0,122	0,151	0,156	0,164	0,166	0,167	0,168
2	0,084	0,107	0,120	0,131	0,137	0,137	0,138
3	0,045	0,062	0,073	0,087	0,097	0,099	0,100
5	0,018	0,029	0,033	0,044	0,057	0,061	0,065
62
По этим данным определяются осадки и крены оснований под
зданиями различной конфигурации, а также взаимное влияние
воздействия на осадки соседних зданий с учётом последовательности
постройки.
Напряжения в основании ленточного фундамента. Одно из
центральных мест в рассматриваемом разделе теории фундаменто-
строения занимает задача о плоской деформации полупространства
при воздействии полосовой нагрузки, имитирующей воздействие
ленточного фундамента (рис. 25).
Рис. 25. Схема к задаче о полосовой нагрузке на основание,
ограниченное плоскостью.
Выражения для компонентов напряжений в основании [получены
путём интегрирования уравнений (3.1)] имеют следующий вид:
(3.4)
т„ = — [cos 2Д - cos 2Д ].
Л’
Величина углов Д (см. рис. 25) со знаком «плюс» («минус»)
принимается для точек А/, лежащих вне (внутри) области ABCD.
(У (У т
Существует таблица соотношений —, —, -2-, которая
Р Р Р
приводится ниже.
63
Таблица 13
Отношения <т2 / р, <гх / р, txzj р по решению (3.4)
z/b	х/2>=0			x/Z>=0.5			х/&=1.0			х/Ь=1.5		
	Gz/P	ъ/р		ъ/р	<7#	^Jp	Oz/р	Р</р	^Х^Р	Oz/p	<7#	
0	1,0	1,0	0	0,50	0,50	0,32	0	0	0	0	0	0
0,25	0,96	0,45	0	0,50	0,35	0,30	0,02	0,17	0,05	0	0,07	0,01
0,50	0,82	0,18	0	0,48	0,23	0,26	0,08	0,21	0,13	0,02	0,12	0,04
1,0	0,55	0,04	0	0,41	0,09	0,16	0,19	0,15	0,16	0,07	0,14	0,10
1,5	0,40	0,01	0	0,33	0,04	0,10	0,21	0,08	0,13	0,11	0,10	0,10
2,0	0,31	0	0	0,28	0,02	0,06	0,20	0,05	0,10	0,14	0,07	0,10
3,0	0,21	0	0	0,20	0,01	0,03	0,17	0,02	0,06	0,13	0,03	0,07
Выражения для главных напряжений в зависимости от угла
видимости р2 (см. рис. 25) имеют следующую запись:
<7l2=-£[2/?Tsm2£].	(3.5)
Векторы главных напряжений <72 совпадают с биссектрисами
углов 2/?.
Из уравнений (3.5) следует, что на каждой окружности с вписан-
ным углом 2/?, проходящей через точки А и В (с центром на плоскости
симметрии расчётной области), главные напряжения <т12 имеют одни
и те же значения.
Теоретическая оценка решений задач Фламана и Буссинеска.
Рассмотренные выше группы уравнений лежат в основе широко
применяемого на практике раздела теории фундаментостроения.
Поэтому анализ решений задач Фламана и Буссинеска представляет
научный и практический интерес.
Решение теории упругости является единственным, если гранич-
ные условия заданы на замкнутом контуре (теорема Кирхгофа).
В данном случае (решения Фламана и Буссинеска) граничные условия
являются доказанными только на верхних горизонтальных гранях
расчётных областей, а условия на цилиндрической и сферической
поверхностях на рисунке 22, а, б следует считать допущениями.
Решения (3.1) и (3.2) обеспечивают равновесие и непрерыв-
ность деформаций во всех точках расчётных областей в соответст-
64
вии с дифференциальными уравнениями (1.36) и (1.28), что явля-
ется необходимыми условиями строгого решения математической
теории упругости. Но уравнения (1.28) и (1.36), не содержат коэф-
фициент поперечной деформации v. Для того, чтобы этот коэффи-
циент вошёл в решение теории упругости, его следует иметь
в граничных условиях. В граничных условиях задач Фламана и
Буссинеска коэффициент v отсутствует. По этой причине решения
(3.1)—(3.5) не вполне корректны, а записи (3.1), (ЗЛ), (3.5) являют-
ся общими для обеих версий плоской задачи: плоского напряжён-
ного состояния (полуплоскость) и плоской деформации (полупро-
странство). Независимость указанных уравнений, а также напря-
жений crz, тХ2 и туг в формулах (3.2), от коэффициента поперечной
деформации придаёт им общность для любых грунтов.
В связи с этим отметим, что решения тех же задач методом
конечных элементов (МКЭ) не могут быть получены без коэффици-
ента v. Поэтому неизбежны расхождения между рассмотренными вы-
ше аналитическими зависимостями и численными решениями.
О природном давлении в основании. На размеры и локализа-
цию пластических областей в основании, ограниченном горизонталь-
ной (нормальной к направлению сил гравитации) плоскостью, влияет
принятое в расчёте распределение исходного напряжённого состоя-
ния (до приложения нагрузки от сооружения), называемого природ-
ным давлением. Величина четырёх компонент природного давления
обусловлена требованиями равновесия и осевой симметрии:
<Jz=^3—-yz, Тху— 0, Txz= 0, Туг~0. Окончательные выводы пока не сделаны
в отношении горизонтальных нормальных напряжений ах и ау.
По условиям осевой симметрии ех— еу— 0; ах—Оу= &i.2-
Из уравнений (3.4) и (3.5) следует, что нагрузка р, равномерно
распределённая на полной поверхности полупространства (Д2 = +я/2,
2Д = #), вызывает во всех точках основания напряжённое состояние
а = а. = ст,, -—р. Если вес вышележащих слоёв основания над
произвольной точкой М на глубине z (рисунок 25) представить как
распределённую нагрузку р — —jz, то получим гидростатическое рас-
пределение природного давления в основании, ограниченном гори-
зонтальной плоскостью,
<\ =<тг =<71,2 =-Х-	(36)
65
Эта запись находится в противоречии с другим способом опреде-
ления тех же напряжений, который прямо следует из уравнений (1.29)
закона Гука для относительной деформации при £х=£у=0.
В рассматриваемых условиях:
[crx(l-v)-vcr2] = O,где а: =-')£.
Из этих соотношений следует crv
Распределение природного давления
(3.7)
называется геостатическим. Из уравнений (3.7) следует соотношение,
определяющее коэффициент бокового давления:

1-v
(3.8)
Отметим, что £ = 1.0 и соотношения (3.6) и (3.7) совпадают
при v = 0.5.
Из двух вариантов (3.6) и (3.7) распределения природного давления
в основании, ограниченном горизонтальной поверхностью, в расчётах
по предельным состояниям 2~ группы используется соотношение
ах = <JZ = <Tj 2 = -yz. Объясняется это не как следствие решения теории
упругости в соответствии с уравнениями (3.4) и (3.5), а на основании
положений теории пластичности: аналогией между длительными про-
цессами в грунтовых массивах и поведением вязких жидкостей.
В соответствии с теорией пластического течения [уравнения
(1.39)] в условиях плоской задачи, если ех (или £v)=e/=0, то и
дилатансия отсутствует. Этим нулевым пластическим де-
формациям (в отличие от деформаций в теле Гука) соответствует гид-
ростатическое распределение напряжений oz=ox (или <tj;) = а и—yz.
Выражение az— —yz соответствует условиям оснований, сло-
женных однородными грунтами с равномерно распределённым
удельным весом и треугольной формой эпюры природного давле-
ния (рисунок 26, а). При неоднородных напластованиях с горизон-
тальными границами слоёв основания эпюры природного давления
принимают форму ломаной линии, вариант которой изображён на
рисунке 26, б.
66
Рис. 26. Характерные эпюры распределения напряжений от собственного веса
грунтов: а - в однородных основаниях; б — в неоднородных основаниях; в — в осно-
ваниях, частично взвешенных грунтовыми водами; WL - уровень подземных вод
Неравномерность распределения природного давления может
быть связана наличием в основании подземных вод. В этом случае
удельный вес грунта в основании определяется как вес минеральных
частиц, взвешенных водой,
(3-9)
где - удельный вес грунта во взвешенном состоянии; удельный
вес частиц грунта; yw=9.8 кН/м3 - удельный вес воды; е - коэффици-
ент пористости грунта, определяемый по формуле в таблице 3. Если
ниже залегает водоупорный слой, то на его поверхности следует учи-
тывать вес всех вышележащих слоёв и вес слоя воды в соответствии
со схемой на рисунке 26, в.
Начальная критическая нагрузка на основание. Прикладное
значение рассматриваемых задач заключается в расчёте при помощи
уравнений (3.3) и (3.4) осадок фундаментов мелкого заложения, а
также определении начальной критической полосовой нагрузки
(давления) на основание.
Под начальной критической нагрузкой (начальным критическим
давлением) понимается нагрузка, соответствующая зарождению в
основании пластических областей, в которых имеет место предельное
напряжённое состояние в соответствии с уравнением (1.15) с площад-
ками сдвигов с соотношением нормальных и касательных напряже-
ний по закону Кулона (1.7).
67
В соответствии с (3.5) главные напряжения (Т12 от совместного
действия нагрузки р и природного давления определяются по
формуле:
- —&Р + sin2fl\- /(Л + z),
л
(ЗЛО)
где h - глубина приложения полосовой нагрузки, z - размер на
рисунке 27.
Рис. 27. К определению рнт кр
Запишем уравнение, выражающее условие предельного напря-
жённого состояния, и введём в него значения а12 в соответствии с
(3.10). Получим следующую запись
sin^»- ccos^>=——^sin2/7-
2Д+^г+^ sin^?-ccos^=0
Для определения наибольшей глубины zmax проникновения в
основание точек с предельным напряжённым состоянием следует
решить последнее уравнение относительно z, взять первую производ-
ную dz/dfi, приравняв её нулю. В результате получено:
dz p-)h(cos2j3 Л _ oz? • по к
— = —— ----------1 =0, cos2p = sin^, 2р =------ср;
dp лу \ sin^> )	2
max
ctg<p + <p--
-h.
(3.11)
68
Принимая zmax =0 и решая уравнение (3.11) относительно р,
получаем величину начальной критической нагрузки
tg<P)
нач. кр	ft 9*’
Ctg(p+(p-~
(3.12)
при которой предельное напряжённое состояние имеет место только в
точках А и В на рис. 27. Требование об ограничении действующей
нагрузки величиной р^ является чрезмерным. Поэтому нормы
СП 22.13330.2011, а также всех предыдущих редакций главы СНиП,
относящейся к проектированию оснований, допускают применение
теории линейно деформируемой среды для расчёта осадок и кренов
оснований при проникновении зоны предельного напряжённого
с b „
состояния на глубину zmia = —. В этом случае уравнение для началь-
4
ной критической нагрузки принимает вид
Р*
ctg(p+(p- —
(3.13)
Области, в которых не выполняется условие прочности грунта
по Мору-Кулону, показаны на рис. 27.
В СП 22.13330.2011 выражение (3.13) представлено в записи
[формула (5.7) и таблица 5.5], которая (если её освободить от коэф-
фициентов условий работы) для зданий без подвалов имеет следую-
щий вид:
R = Му Ь-+МЧ • +МС-си,	(3.14)
гдеМу=--------------T,Mq =--------------7+1, Мс =-----------------
^ctgp„ +(ра -%)	ctgfpu +<ри -%	t0pu{ctspu +(ри -%)
- коэффициенты, определяемые в зависимости от угла внутреннего
трения <рп, сведённые в готовую таблицу; <рп, си, /я -расчётные зна-
чения характеристик (р, с, у для расчётов по предельным состояниям
второй группы.
В данном случае ограничение интенсивности нагрузки связано не
с исчерпанием несущей способности, а с границей корректности
линейной модели грунта для расчётов осадок и кренов основания.
Расчёт перемещений оснований. Табличные данные, получен-
ные при помощи решений теории упругости о полосовых нагрузках
на основание, позволяют определить перемещения оснований: осадки,
крены, относительные разности осадок.
В соответствии с редакцией СНиП 2.02.01-83*, действовавшей до
выхода СП 22.13330.2011 (а также всех предыдущих редакций
СНиП), осадка основания под центром фундамента определяется
методом послойного суммирования по формуле (рис. 28)
(3.15)
где <7 - среднее значение дополнительного вертикального напряже-
ния (полусумма вертикальных напряжений на границах) z-ro слоя
основания, ht, Е. - мощность и модуль деформации z-ro слоя; п -
число слоёв, на которые разбита сжимаемая толща основания; /3 = 0,8
- безразмерный коэффициент, учитывающий уменьшение осадки в
связи с ограниченным расширением грунта в стороны (воздействие
горизонтальных напряжений <jt, <7,,).
При определении дополнительных напряжений <тгр, учитывается
не полная нагрузка р, а дополнительное давление на основание с
интенсивностью
Ро Р ’	(3 16),
где ст 0 - вертикальное напряжение от собственного веса грунта
(природное давление) на уровне подошвы фундамента.
Напряжения в основании на границах z-ro слоя определяются
путём умножения интенсивности нагрузки р0 на табличные коэффи-
циенты сг I = ^р0. Нижняя граница сжимаемой толщи принимается
на глубине z=Hc, на которой выполняется условие сг = 0.2сг , где
<т - вертикальное напряжение от собственного веса грунта (природ-
ное давление).
70
Рис. 28. Схема к расчету осадки основания под фундаментом мелкого заложения
DL - отметка планировки; NL - отметка поверхности природного рельефа;
FL - отметка подошвы фундамента; WL - уровень подземных вод; ВС - нижняя
граница сжимаемой толщи; dndn глубина заложения фундамента соответствен-
но от уровня планировки и поверхности природного рельефа; b - ширина фунда-
мента; р - среднее давление под подошвой фундамента; ро - дополнительное
давление на основание; azg и o-g,o - вертикальное напряжение от собственного
веса на глубине z от подошвы фундамента и на уровне подошвы; <yzp и сгр,о -
дополнительное вертикальное напряжение от внешней нагрузки на глубине z
от подошвы фундамента и на уровне подошвы; Нс - глубина сжимаемой толщи.
В своде правил СП 22.13330.2011 принят вариант формулы для
определения осадки основания в следующей записи:
(3.17)
где а - среднее значение вертикального напряжения в i-м слое
основания от полной нагрузки с интенсивностью р;	. - среднее
значение вертикального напряжения в /-ом слое основания от собст-
венного веса выбранного грунта при разработке котлована; Еи
Eei - модули деформации z-го слоя грунта по ветвям первичного и
вторичного загружения. Легко заметить, что первый член формулы
(3.17) и полное выражение (3.15) представляют собой одно и то же.
71
В своде правил к формуле (3.17) добавляются следующие положе-
ния: 1)при отсутствии опытных определений модуля деформации^,
для сооружений II и III уровней ответственности допускается прини-
мать Ее^5Е,\ 2) при расчёте осадок фундаментов, возводимых в котло-
ванах глубиной менее 5 м, допускается не учитывать второе слагаемое.
При неравномерной нагрузке с распределением по форме трапе-
ции, треугольника или криволинейной эпюры определяются крены и
относительные разности осадок. Крен жёсткого фундамента опреде-
ляется по формуле, рекомендованной СП 22.13330.2011,
1-v2 Ne
-----ке------3
Е	(а/2)3 ’
(3.18)
где Е и v - модуль деформации и коэффициент поперечной деформа-
ции грунта основания; ке - коэффициент, принимаемый по табл. 14;
N и е - вертикальная составляющая равнодействующей нагрузок на
фундамент в уровне его подошвы и её эксцентриситет относительно
оси фундамента; а - диаметр круглого или сторона прямоугольного
фундамента, в направлении которой действует момент.
Таблица 14
д фундамента
Коэффициенты
Форма фундамента и направление действия момента	Коэффициент ке при т]=1/Ь						
	1	1,2	1,5	2	3	5	10
Прямоугольная с моментом вдоль большей стороны	0,50	0,57	0,68	0,82	1,17	1,42	2,00
Прямоугольная с моментом вдоль меньшей стороны	0,50	0,43	0,36	0,28	0,20	0,12	0,07
Круглая	0,75						
При возведении новых зданий вблизи существующих относи-
тельная разность осадок sj и s?, дополнительный крен iad, перекос jad
фундамента конечной жёсткости между точками а и d (рис. 29) опре-
деляется как отношение
iad (или jad) = AS/L =
^ad
(3.19)
где Lad ~ расстояние между точками а и d. Величина Lad назначается
равной: для коротких зданий - их полной ширине; для кирпичных и
72
крупноблочных домов — как расстояние до ближайшего проёма; для
зданий с поперечными несущими стенами - равной шагу этих стен;
для каркасных зданий — шагу колонн. Если точки а и d находятся на
внешних границах фундамента, то отношение (3.19) представляет со-
бой крен здания.
Рис. 29. Схемы к определению перекосов и кренов
В СП 22.13330 (приложение Д) содержится таблица с рекомен-
дуемыми предельными величинами осадок, кренов, перекосов осно-
ваний зданий и сооружений при отсутствии ограничений деформаций
по условиям эксплуатации.
3.2.	Задача о жёстком ленточном фундаменте
и её решение методом граничных элементов
Вертикальная нагрузка, действующая вдоль оси жёсткого штампа
(ленточного фундамента), вызывает неравномерное распределение
контактных давлений (рис. 30). Рассматриваемая плоская задача с
допущением об отсутствии сил трения на контактной поверхности
решена М. Садовским (1928) и относится к числу классических в
прикладной механике грунтов. Аналитическое решение этой задачи
описывается следующим выражением:
(3.20)
где pm=FS2bi - среднее давление на единицу площади жёсткого
штампа, х - расстояние от середины штампа до рассматриваемой точ-
ки, bу - полуширина штампа.
73
Рис. 30. Схема к задаче о вдавливании жёсткого штампа в линейно
деформируемую полуплоскость: / - линия осадок, 2 - распределение
давлений на контактной поверхности
Из уравнения (3.20) следует, что наименьшая ордината контакт-
7 п
ного давления р(х) = —— находится на оси штампа (х=0). По краям
Л’
жёсткого штампа давление теоретически становится бесконечным.
Это - одна из причин, по которой решение (3.20) не применяют на
практике. Если бы рассматриваемая задача решалась средствами
нелинейной механики грунтов, то в областях под гранями штампа
напряжения снизились бы до физически возможных величин при
сохранении седлообразной формы эпюры контактных давлений.
Обратим внимание на то, что в решении (3.20) отсутствует коэф-
фициент поперечной деформации, в связи с чем оно является общим
для обеих версий плоской задачи: плоского напряжённого состояния
и плоской деформации.
Покажем способ решения этой задачи средствами метода гранич-
ных элементов, что позволит читателям оценить возможности
использования МГЭ в теории механики грунтов.
Решение задачи Фламана содержит следующее аналитическое
выражение для вертикальных перемещений VP на верхней горизон-
тальной границе (краевой линии) упругой полуплоскости от действия
вертикальной силы Р:
„ IPfX-v1). х
=-----5-----,	(3 21)
лЕ L
74
где х - расстояние (координата) от точки приложения силы Р до
точки на краевой линии, в которой определяется перемещение,
L - произвольное расстояние от точки приложения силы до точки, в
которой перемещение VP принимается равным нулю.
Разделим контактную поверхность общей шириной Ъ на тп=1СН20
равных участков (граничных элементов, ГЭ) с размером d=b/m, в пре-
делах которых действуют неизвестные контактные давления р,(х).
Приложим в центрах ГЭ силы X,—1.
Заменяя в выражении (3.21) Р на Х,~\ й принимая х равными
расстояниям хд, между координатами центрами /-го и Л-го ГЭ, опреде-
ляем перемещения <5&=Р(А5=1, х&) в центрах к-х ГЭ от единичных
сил Х=1. В теории МГЭ перемещения <5*/ называются функциями
влияния.
Система канонических уравнений МГЭ имеет следующий вид:
6//Х/ + 6/2X2-..+ 6/Х+-..+ б/тХщ—Л/;
6х/Х/+ 6x2X2...+ 6x/Xi+•••+ бхтХ/п dx, у
(3.22)
Ь/п/Х/+ 6^X2... + 6тХ+ - + 6ттХ/п dm,
J
где неизвестными являются силы Xi, функции влияния 6н - коэффи-
циентами при неизвестных, а свободные члены 4х представляют
собой известные осадки штампа, которые (применительно к условиям
решаемой задачи) принимаются равными одной и той же величине
(например, J*=0.05 м или 0.02Z»).
В результате решения системы уравнений (3.22) определяются
силы Xj и контактные давления pt{x)—Xjld. Если задана осевая сила F,
то определяется отношение F/XXt, на которое умножаются Лх и все
значения рДх)*
На рисунке 31 представлены в безразмерной форме результаты
двух вариантов решения контактной задачи при разбиениях штампа
на 10 и 20 ГЭ (С. Крауч, С. Старфилд, 1987). В своих расчётах авторы
принимали размер £=1.25hy. В обоих случаях численные результаты
находятся в хорошем соответствии с аналитическим решением.
В продолжение темы добавим следующее:
- для определения перемещений 6х, вместо формулы (3.21) из
решения задачи Фламана могут быть применены подобные выраже-
75
ния, полученные другим способом, например, при помощи решения
задачи Буссинеска;
- в научной литературе и проектной практике известен способ
решения контактных задач по методу Б.Н. Жемочкина, который
по постановке и виду системы уравнений (3.22) мало отличается от
решений на рисунке 31.
Рис. 31. Численные (/) и аналитическое (2) решения для давлений под
штампом с отсутствием трения на контактной поверхности при
разбиении контактной поверхности: а -на 10 ГЭ, б - на 20 ГЭ
Возможности МГЭ значительно шире, чем решение задач,
подобных рассмотренной выше. Этот метод позволяет решать задачи
о напряжённо-деформированном состоянии расчётных областей
с произвольными границами, если заданы напряжения или перемеще-
ния (в том числе нулевые) на ограниченном участке внешней поверх-
ности, на внутренней линии (или границе полости). Коэффициенты
при неизвестных (функции влияния) и свободные члены канониче-
ских уравнений могут быть как кинематическими, так и силовыми
величинами. Недостатком МГЭ является ограниченные возможности
решения с его помощью физически нелинейных задач.
76
3.3.	Задачи о предельных нагрузках
на основания фундаментов мелкого заложения
Способы решения рассматриваемой группы задач теории пре-
дельного напряжённого состояния подразделяются на два направления:
-	решения с заданными (вынесенными из экспериментов) фор-
мами сеток линий скольжения;
-	решения, в которых линии скольжения определяются в процес-
се расчёта без использования допущений об их форме.
В настоящем параграфе рассматриваются примеры решений
задач обоих направлений.
Решение Л. Прандтля. Одним из первых решений плоской
задачи теории предельного равновесия для невесомого грунта являет-
ся форма линий скольжения на рис. 32 и формула, полученная
Л. Прандтлем в 1920 г.:
Рпред = (? + CCtg^(
*	Ц-sm^
-CCtg(p,
(3.23)
где рпред - предельная равномерно распределённая вертикальная
нагрузка на основание; q - боковая пригрузка, равная природному
давлению в основании на уровне подошвы фундамента.
Рис. 32. Сетка линий скольжения в условиях предельного напряженного
по решению Л. Прандтля
Сетка линий скольжения на рис. 32 состоит из трёх сопряжённых
между собой фигур:
—	треугольника Ocd, образованного двумя семействами парал-
лельных линий скольжения, наклонённых к поверхности основания
под углами ± (л/4 - (р/2)\
77
-	угла п/2 между лучами Ос и ОЪ, образованного семействами
линий скольжения в виде логарифмических спиралей, и пучка
прямых, проходящих через точку О;
-	треугольника ОЬа, образованного семействами прямых, накло-
нённых к поверхности основания под углами ±(п/4 + <р/2).
После этого было получено большое число решений подобных
задач, отличающихся формами распределения нагрузок, загруженных
площадок, линий скольжения, допущениями относительно свойств
оснований (наличием объёмных сил, внутреннего трения, связности).
Решение К. Терцаги (1943) представляет собой формулу
для определения предельного давления на весомое основание
(рис. 33, а, б) в следующем виде:
(3.24)
где Ny, Ng, Nc - безразмерные коэффициенты «несущей способности»,
определяемые по графикам на рис. 33,6 в зависимости от угла внут-
реннего трения основания. Остальные обозначения на рис. 33, а.
Рис. 33. Схема линий скольжения (а) и графики значений
коэффициентов несущей способности (б) по решению К. Терцаги
78
При выводе формулы (3.24) и построении графиков на рис. 33, б
была принята схема разрушения основания вследствие бокового
выпирания грунта со следующими допущениями:
-	форма линий скольжения для весомого основания принята
такого же очертания, как для невесомого грунта;
-	в основании выделено уплотнённое треугольное ядро в виде
клина с наклоном боковых граней к плоскости фундамента под углом
ср, равным углу внутреннего трения;
-	предполагается, что треугольное ядро при оседании преодоле-
вает пассивное сопротивление грунта при сдвиге по линиям скольже-
ния, состоящим из криволинейных (по форме логарифмических
спиралей) и плоских участков на рис. 33, а.
Вид трёхчленного выражения (3.24), но с другими значениями
коэффициентов JVy,	повторяется в большинстве решений
рассматриваемой группы задач.
Решения В. Г. Березанцева. Рассматриваемые ниже решения
задач теории предельного напряжённого состояния относятся к усло-
виям ленточных и круглых в плане фундаментов с соотношением
глубины заложения и ширины (диаметра) фундаментов h/b^Q.5.
Схемы сечений плоских и осесимметричных линий скольжения
изображены на рис. 34, а, б.
На основании экспериментальных данных были приняты формы
уплотнённых ядер с прямыми углами при вершине: в виде треуголь-
ной призмы для плоской задачи и в виде конуса для осесимметричной
задачи. Формы плоских и осесиметричных поверхностей скольжения
приняты в виде фигур с сечениями, состоящими из логарифмических
спиралей и прямых участков с наклоном к поверхности основания
под углом я/4—<pfl. Для рассматриваемых задач формулы несущей
способности
содержат коэффициенты , N4im NCin> N7fK , N4tK, NC,K, полученные
в виде формульных зависимостей. Эти формулы пересчитаны
в численные данные, сокращённые варианты которых приводятся
в таблице 15.
Значения 1/Ь в таблице 15 выражают отношения длин I призмы
выпирания к ширине (диаметру) фундамента.
79
a)
б)
Рис. 34. Зоны предельного напряженного состояния (схемы линий
скольжения) для условий ленточного (а) и круглого (б) фундаментов
по решениям В. Г. Березанцева
Таблица 15
Сокращённый вариант таблиц коэффициентов несущей способности
для ленточных и круглых (квадратных) фундаментов
Тип фундамента	Коэффи- циенты	p=16°	<p=20°	^=24°	p=28°	^=32°	^=36°	^=40°
	N 1уу,п	3.4	6.0	9.8	16.0	28.6	52.4	100.2
Ленточный	N4.n	4.4	6.5	9.8	15.0	24.7	41.5	72.0
	Nc.„	11.7	15.1	19.8	25.8	38.0	55.7	84.7
	l/b	1.6	1.9	2.1	2.5	2.8	3.3	3.9
	Nytx	4.1	7.3	14.0	25.3	48.8	97.2	216
	N„K	4.5	8.5	14.1	24.8	45.5	87.6	185
Круглый	NCK A.	12.8	20.9	29.9	45.0	71.5	120	219
	l/b	1.44	1.58	1.73	1.91	2.11	2.34	2.61
Решение В. В. Соколовского получено без заданной формы
линий скольжения. Его теоретическую основу составляют диффе-
ренциальные уравнения равновесия в частных производных (1.36)
и условие предельного напряжённого состояния Мора-Кулона.
80
Объединение этих соотношений в общую систему позволило создать
на математической основе метода конечных разностей группу теоре-
тически строгих способов расчёта по прочности оснований и геотех-
нических объектов.
Частью этой теории является рассматриваемое ниже решение о
действии наклонной нагрузки на основание ленточного фундамента
(рис. 35):
рпред= Nyyy + Nqq + NcC.	(3.26)
Рис. 35. Схема действия наклонной нагрузки к решению В. В. Соколовского
Сокращённый вариант таблицы коэффициентов Ny, Nq, Nc, опреде-
ляемых в зависимости от углов внутреннего трения (р и наклона на-
грузки к вертикали д, приводится ниже.
Таблица 16
Сокращённый вариант таблицы коэффициентов
несущей способности оснований ленточных фундаментов
3	Коэффи- циенты	p=10°	$9=15°	^=20°	p=25°	p=30°	p=35°	<p=40°
		0.56	1.40	3.16	6.92	15.32	35.19	86.46
0		2.47	3.94	6.40	10.70	18.40	33.30	64.20
	Ne	8.34	11.00	14.90	20.70	30.20	46.20	75.30
	Ny	0.38	0.99	2.31	5.02	11.10	24.38	61.38
5°	Nq	2.16	3.44	5.56	9.17	15.60	27.90	52.70
	Nc	6.56	9.12	12.50	17.50	25.40	38.40	61.60
	Ny	0.17	0.62	1.51	3,42	7.64	17.40	41.78
10°	Nq	1.50	2.84	4.65	7.65	12.90	22.80	42.40
	Nc	2.84	6.88	10.00	14.30	20.60	31.10	49.30
	Ny	- 	0.25	0.89	2.15	4.93	11.34	27.61
15°	Nq		1.79	3.64	6.13	10.40	18.10	33.30
	Nc	——	2.94	7.27	11.00	16.20	24.50	38.50
	Ny	—	—*	0.32	1.19	2.92	6.91	16.41
20°	Nq	—	—	2.09	4.58	7.97	13,90	25.40
	Nc	—	—	3.00	7.68	12.10	18.50	29.10
81
Интенсивность предельного вертикального давления по формуле
(3.26) определяется в зависимости от координаты у.
При у=0 po,nped=Nqq+Ncc-, при у=Ь (где b - ширина фундамента)
Pb.nped-N./yb+N^+N.p. Вертикальная и горизонтальная составляющие
предельной нагрузки на 1 пог. м основания равны:
P^=(Nr^ + Nqq + Ncc)b,
(3.27)
Решение В.В.Соколовского в скорректированном виде использу-
ется в СП 22.13330.2011 в разделе, относящемся к расчёту оснований
по несущей способности [формула (5.32), таблица 5.12].
На практике расчётные величины предельных давлений на
основания фундаментов мелкого заложения востребуются сравни-
тельно редко, так как их достижению предшествуют значительные
осадки, которые не могут быть допущены по условиям эксплуатации
объектов строительства.
3.4.	Задачи о давлении грунта на подпорные стенки
Развитием рассмотренного ранее решения об активном давлении
грунта на подпорную стенку является группа научно-технических
задач, образующих обширный раздел теории механики грунтов. Его
содержание составляют инженерные методы расчётов удерживаю-
щих, противооползневых, ограждающих сооружений. Задачи о под-
порных стенках являются по преимуществу плоскими (плоская
деформация). Стенки считаются жёсткими.
Применяемые на практике методы определения горизонтального
давления на подпорные стенки основываются на следующих положе-
ниях.
1. Теоретически возможными считаются три варианта силового
взаимодействия грунта и сооружения: активное давление, давление
покоя, пассивное давление.
Активное давление возникает при условии образования линии
скольжения и призмы обрушения (рисунок 36, а). Для этого необхо-
димо, чтобы подпорная стенка имела возможность небольшого
смещения (горизонтального или поворота вокруг точки О) в сторону
от засыпки. В противном случае расчётная схема на рисунке 36, а
не реализуется.
82
Рис. 36. К понятию об активном ра, пассивном рп давлении и давлении
покоя ро: а, в- расчётные схемы активного и пассивного давления, б - расчётная
схема давления покоя, г — связь между давлениями ра, рв, р„ и направлением
перемещений U подпорной стенки; 1 — подпорная стенка, 2-засыпка, 3-линия
скольжения; Т, С - направления сил внутреннего трения и сцепления грунта.
В случае если стенка неподвижно закреплена по всей высоте, на
неё передаётся «давление покоя» (рисунок 36, б). В соответствии
с уравнением закона Гука для условий плоской деформации
1 + Уг zi х 1
£ =-----|<7 (1-у)-<7 yj, где о. =-')£, горизонтальное «давление
Е
покоя» на неподвижную стенку (ех = 0 )
Ро = И =
У
1-У
= ^;
(3.28)
£ =------коэффициент бокового давления. Давление ро аналогично
1-у
горизонтальной составляющей ах при геостатическом распределении
природного давления в грунтовом основании.
Пассивное давление соответствует условиям, когда стенка
смещается в сторону засыпки, и достигает расчётного размера после
образования линии скольжения на рисунке 36, в.
83
На рисунке 36, г изображена диаграмма, определяющая усло-
вия использования расчётных схем в зависимости от направлений
перемещений U подпорной стенки и давления р грунта. Если на-
правления U и р совпадают, давление грунта на подпорную стенку
принимается в размере активного (р=ра)- При нулевых значениях U
линии скольжения не образуются, правомерным считается гори-
зонтальное давление покоя р0 по формуле (3.28). При противопо-
ложных направлениях U и р действующей является расчётная схе-
ма пассивного давления р=рп-
В СП 22.13330.2011 для условий стен подвалов и ограждений
котлованов рекомендуются следующие пограничные значения U’.
-	при /(//<0.0005 высоты конструкции h значение бокового
давления грунта допускается принимать в размере давления покоя ро;
-	при (/>0.001 h и (/<-(0.01 <0.02)/? боковое давление принимается
в размере активного ра или пассивного р„;
-	при промежуточных значениях U (в пределах от 0.0005А до
0.001Л и от «минус» 0.0005Л до «минус» (0.01-Ю.02)Л) величина
бокового давления определяется по линейной интерполяции между
Ро, Ра И рп.
2.	Универсальной гипотезой, которая используется в инженерных
методах расчёта активного и пассивного давлений, является допуще-
ние о плоской форме поверхности скольжения со следом на расчётной
плоскости в виде прямой линии (линия скольжения, см. рисунок
36,а,в). Это допущение распространяется на засыпки из несвязного
(^>/0, с=0) и связного (^#0, грунтов. Задачи об определении
активного и пассивного давления грунта для каждого расчётного
положения линии (поверхности) скольжения решаются как статиче-
ски определимые.
Трение по контактной поверхности грунта и задней грани стенки
чаще не учитывается (в запас прочности) в связи с тем, что,
во-первых, учёт трения ведёт к снижению активного давления грунта
на подпорную стенку, во-вторых - из-за неопределённости коэффи-
циентов трения.
3.	Расчётное положение линий скольжения определяется путём
поиска невыгоднейших углов со их наклона к вертикали по услови-
ям получения экстремумов: максимума равнодействующей актив-
ного давления Еа и минимума равнодействующей пассивного дав-
ления Еп. Расчётные (экстремальные) значения активного и
84
пассивного давлений при однородном несвязном (с=0) грунте
засыпки определяются в следующем порядке (рисунок 37).
Рис. 37. а) Схема к определению активного (Еа) и пассивного (Еп)
давления; б) графические формы равновесия сил
3.1.	Запись уравнений, выражающих условия равновесия призмы
обрушения при действии следующих сил: веса G призмы обрушения,
включающего нагрузки, действующие внутри и на поверхности
засыпки; нормальной силы Р взаимодействия призмы обрушения с
неподвижной частью засыпки; сил трения T=Ptgcp, направленных
противоположно смещению стенки; горизонтальной силы Е (Еа, Е„)
воздействия стенки на призму обрушения. Сила трения Т показана
сплошной линией (пунктиром) для условий активного (пассивного)
давлений.
3.2,	Решение системы уравнений равновесия относительно Е,
получение уравнения E=fico).
dE
3.3.	Запись уравнения — = 0 и его решение с определением угла
dco
со, который соответствует экстремальному значению Е: максималь-
ному активному Еа или минимальному пассивному Еп давлению.
3.4.	Запись выражений для Еа (или £„) и интенсивности распре-
делённого горизонтального давления ра (рп) со значением со, получен-
ным в предыдущей части расчёта.
4.	Распределение горизонтального (бокового) давления грунта на
стенку принимается по форме простых фигур: треугольников, прямо-
угольников, трапеций (рисунок 38). Давление грунта засыпки от его
собственного веса распределяется по эпюре треугольной формы
85
пропорционально удельному весу у засыпки и координате z, отсчиты-
ваемой от верхней грани, по уравнению
Ра~ У? Ра,
(3.29)
где ра - коэффициент бокового давления, зависящий от углов ср и со, а
также углов наклона поверхности засыпки и задней грани стенки.
Рис. 38. Формы эпюр давле-
ний на подпорную стенку:
7 - от веса засыпки рм
2 - от нагрузки на поверхно-
сти засыпки pq, 3 - суммарная
эпюра Ра+рч.
Вертикальная нагрузка q на поверхности засыпки вызывает
дополнительное горизонтальное давление на заднюю грань стенки,
распределённое по эпюре прямоугольной формы
pq=q Pa=yh3Ke. Ра,	(3.30)
где h3Ke =— - высота условного слоя грунта, эквивалентного давле-
/
нию на поверхности засыпки.
Покажем практическую реализацию этих положений на ранее
рассмотренном примере (п. 1.2) определения активного давления
засыпки из несвязного грунта (с=0) на вертикальную гладкую стенку
(см. рисунок 37, а).
Уравнения, выражающие условия равновесия:
।	2
Ea=P(cosco—tg(p sinco); G=—yh tgco= P(sinco+tg<p cos o').
cos cocos (p—sin cpsin co
Решение системы уравнений (а) относительно Ea:
cos co—tgcpsin co l
=G-------------------------.
sin co 4- tgcpcos co 2 sin cocos cp+sin cpcos co
=—')h2tgCOctg( co+cp).
(a)
(b)
86
Запись и решение уравнения dEc/dco=Q относительно со:
2 v d[tgQ)Ctg{G) + (p)'\ _
do 2'	do
= — ]h2[ctg(o+ 4?) sec2 о— tgocos ec2 (co+ (?)] =
2
_ 1 , 2 sin(O+ (p)cos(O+ (p) — sinOCOSO _Q
2	cos2 Osin2 (о+ф)
sin( o+(p)cos( й)+ф)—sinOcos (0 = —[sin2( o+ty)-sin2o] =
2
= cos(2o + <p)sin(p = 0.
Последнее выражение равно нулю при условии cos(2<y+^)=0
или 2со+^=90°; откуда со=45° — (pfl.
Выражения для Ет ра, ра:
Еа=~ lh2tgoctg( о + <р) = | ^2tg( 45° - ^-)ctg( 45° +<?-) =
Ра = ^g2(^O~)=^Pa’ Ра=^2(^°~^)-	(331)
Рассмотрим ещё один пример: расчёт пассивного давления грун-
та на такую же стенку, как в предыдущей задаче (см. рисунок 37, а). В
этом случае все условия и обозначения остаются теми же, но сила
трения T=Ptg(p направлена вдоль линии скольжения не снизу вверх, а
сверху вниз (противоположно направлению смещения призмы обру-
шения): показано пунктиром на рисунке 37, а.
Уравнения, выражающие условия равновесия:
£	7
En=P(coso+tg<p si пси); G=—yh tgo= P(sino~tg<p coso).
(«)
Решение системы уравнений (а) относительно Ер.
Е _ & cos о + tgtpsin о _ 1	COcos + <psin о
п sinO—tg(pcos о 2	sin о cos <р +sin ф cos о
— jhbgoctgt о-ф)
87
Запись и решение уравнения —- = 0 относительно со:
dco
2d[tgcoctg((D-(p)] _
” п =
dco 2'	dco
= — }h2 [ctg(СО—ф)sec2 C0—tgC0cos ec2(со-ф)] -
2
_ 1 ,2 s^n( <О~ф)сО8( (О — ф)~ Sin COCOS CO _
2	cos2 cosin2(co— ф)
sin( со—ф)со$( co— ф)—sin cocos co = — [sin 2( со—ф)~з'т2(о] =
*2
= cos( 2co - ф )sin(—(p ) = 0
'°; откуда tw=45°+^/2.
Последнее выражение равно нулю при условии со5(2а>~<р)=0
или 2со-ср=90
Выражения для Еп, рп, рп:
Еп=\ &2tgcoctg( со-ф) = \ }h2tg( 45° + ^-)ctg( 45° -
Формула (3.31) определяет параметры активного давления грунта
несвязных грунтов. На практике связные грунты засыпок ограждаю-
щих сооружений встречаются не реже, чем сыпучие. Учёт сил сцеп-
ления ведёт к уменьшению активного давления грунта на подпорные
стенки.
В книге Н.А. Цытовича [40] изложен следующий способ опре-
деления второго слагаемого (с отрицательным знаком), учиты-
вающего влияние сцепления на активное давление ра. Удельное
сцепление с условно заменяется всесторонним внешним давлением
(давлением связности)
Давление рс на верхней грани засыпки заменяется весом эквивалент-
ного слоя грунта
экв
№<Р
Тогда расчётная схема подпорной стенки с вертикальной гладкой зад-
ней гранью получит вид, показанный на рисунке 39, а. В соответствии
с этой расчётной схемой формула для определения активного давле-
ния в произвольной точке с координатой z на задней грани стенки по-
лучит следующий вид:
= ^g2f45°—
б)
Рис. 39. Схемы к определению давления связных грунтов на подпорную
стенку: а - расчётная схема с заменой удельного сцепления всесторонним
«давлением связности»; б - распределение активного давления грунта
на подпорные стенки: 1 - при с-0,2 — при срфО, с£0.
Второй член последней записи после тождественных тригономет-
рических преобразований принимает вид известного выражения:
2с /g(45°-^/2).
Окончательный вид формулы для определения активного давле-
ния с учётом внутреннего трения и сцепления грунта:
Ра = ^-^2(45°-^)-2c-Zg(45°-^) .
4*	Лшй
(3.33)
Как показано выше, угол су=45°-^/2 наклона поверхности сколь-
жения к вертикали соответствует максимуму первого слагаемого в
выражении (3.33). Также известно, и это доказано книге И.Я. Лучков-
ского [22], что второй (с отрицательным знаком) член формулы (3.33)
при <и=45°-^/2 принимает минимальное значение. Поэтому общее
89
значение давления ра по формуле (3.33) представляет собой максимум
активного давления на подпорную стенку при оговорённых выше
условиях (гладкая вертикальная задняя грань подпорной стенки и
отсутствие нагрузки на поверхности засыпки).
Эпюра давлений ра для засыпок со сцеплением изображена на
рисунке 39, б. Если допустить, что в соответствии с выражением
(3.33)ра=0, то получим часть высоты
z = h„
2с
Y-tg(45°-^)
(3-34)
на которой стенка свободна от активного давления, и грунт удержи-
вает вертикальную грань за счёт сцепления.
Формула для определения равнодействующей Еа активного
давления на подпорную стенку на рисунке 39,6 при с/0 имеет
следующий вид:
£O=|X*-AJ2%2('45°-^.	(3.35)
Изложенные выше положения теории относятся к условиям
стенок с гладкой вертикальной задней гранью и горизонтальной
поверхностью засыпки. Наиболее полное обобщение теории
активного давления на ограждающие конструкции с предположе-
нием о плоской поверхности скольжения представлено в формулах
и таблицах справочного Пособия к СНиП 2.09.03-85: «Проектиро-
вание подпорных стен и стен подвалов» (М.: Стройиздат, 1990).
Давление грунта на подпорные стенки определяется с учётом
следующих факторов:
-	внутреннего трения и сцепления на поверхности скольжения и
трения на контакте засыпки и подпорной стенки;
-	наклона задней грани подпорной стенки;
-	наклона поверхности засыпки;
-	пригрузки верхней грани засыпки;
-	наличия грунтовых вод.
Главные формулы Пособия с обозначениями, которые использу-
ются в настоящем параграфе, и с поясняющей схемой на рисунке 40
содержатся в следующей таблице.
Таблица 17
Формулы для расчета активного давления на ограждающие конструкции
(Пособие к СНиП 2.09.03-85)
Наименование параметров активного давления	Запись уравнений		Обозначения
Интенсивность давления от собствен- ного веса грунта	Pa=YZ Pa~cKt		
Коэффициент, учиты- вающий сцепление грунта по плоскости скольжения	_ 2//ecosd) -cosf 1	sin(d)+f)		е-угол наклона задней грани стенки; p-угол наклона верхней грани засыпки; 3 - угол трения на кон- такте засыпки и задней грани стенки
Коэффициент горизонтального активного давления грунта	pa = c<	Г	"I2 COS(ip-6') cosC£-)(l+D,/2)J >s(ff>+ё) • sin(ff>-/?) os(f + S) • sin(£ - p)	
Угол наклона плоскости скольжения к вертикали	sinp-77-sinp cos(£ - p) T]=	'  cost		
Интенсивность дополнительного горизонтального давления ниже уровня грунтовых вод	Ph ~	n PAr 1+e	z,,-размер на рис. 40; уи,=9.8кН/м3 —удельный вес воды; у, =26.5 кН/м3 -удельный вес частиц (минераль- ной части) грунта; е - коэффициент пористости грунта (отношение объёма пор к объёму минеральной части)
Интенсивность давле- ния грунта от верти- кальной нагрузки на поверхности призмы обрушения	p<rqpa		«/-интенсивность верти- кальной нагрузки
91
Рис. 40. Схема к формулам таблицы 17:
1 — поверхность засыпки, 2 - уровень грунтовых вод
Ниже даётся фрагмент (сокращённый вариант) таблицы значений
коэффициентов ца в зависимости от углов внутреннего трения <р,
наклона задней грани стенки е, наклона верхней грани засыпки р,
трения на контакте засыпки и задней грани стенки <5.
Таблица 18
Фрагмент таблицы значений pg в зависимости от углов у, е, р, 6
<р	5	р	£•=0	£=10°	£=20°	£=30°	<Р	д	р	£=0	£=10°	£=20°	£=30°
20°	0	0	0.49	0.55	0.61	0.66	30°	0	0	0.33	0.40	0.47	0.54
		10и	0.57	0.64	0.72	0.80			10°	0.37	0.45	0.54	0.63
		15°	0.64	0.72	0.82	0.92			15°	0.40	0.49	0.58	0.69
	р/2	0	0.44	0.49	0.53	0.57		<р/1	0	0.29	0.34	0.39	0.43
		10°	0.52	0.59	0.65	0.71			10°	0.33	0.40	0.46	0.52
		15°	0.60	0.68	0.76	0.84			15°	0.36	0.43	0.51	0.58
	<Р	0	0.40	0.44	0.47	0.49		<р	0	0.26	0.29	0.32	0.33
		10°	0.49	0.54	0.59	0.63			10°	0.30	0.35	0.39	0.41
		15°	0.57	0.63	0.70	0.77			15°	0.33	0.38	0.43	0.47
25°	0	0	0.41	0.47	0.53	0.60	35°	0	0	0.27	0.34	0.41	0.48
		10°	0.46	0.54	0.62	0.71			10°	0.30	0.38	0.46	0.56
		15°	0.51	0.59	0.69	0.79			15°	0.32	0.40	0.50	0.60
	(pfl	0	0.36	0.41	0.46	0.50		<pfl	0	0.23	0.29	0.33	0.37
		10°	0.42	0.48	0.54	0.61			10°	0.26	0.32	0.39	0.44
		15°	0.46	0.54	0.61	0.69			15°	0.26	0.35	0.42	0.49
	<р	0	0.32	0.36	0.39	0.41		<р	0	0.20	0.24	0.26	0.27
		10°	0.38	0.43	0.48	0.51			10°	0.23	0.28	0.31	0.33
		15»	0.42	0.49	0.55	0.60			15°	0.25	0.30	0.35	0.37
92
В заключение приведём ещё одну таблицу, которая содержит
справочные данные о равнодействующих и распределении активного
давления грунта при нескольких вариантах положения верхней грани
засыпки и нагрузки на её поверхности.
Таблица 19
Формулы для расчета активного давления засыпок из несвязного грунта
на подпорные стенки
Расчётные схемы,
эпюры ра
® = 45°-^/2
До- Ра.
Ди=/Г(45°-^/2);
Ра = Й*» +z)(g2(45°-^)5
Л, =JL;
tg(co+(p) tga)
при <z<hl+h2
при й>А, 4-Лг
В. = (Ук2 )ц„В
и =;
° tg(a+(p)(\-tgoag<oY
Ра=^РаВУ
и =;
tg(a)+ $?)(!+tgatgaj)
Ра = ^РаВ;
Еа = -
Примечание: В - длина подпорной стенки.
При проектировании и анализе технического состояния подпор-
ных стенок следует учитывать особенности их силового взаимодейст-
вия с основаниями, главными из которых являются следующие.
93
1.	Односторонняя нагрузка на основании от веса грунта со сторо-
ны задней грани подпорной стенки вызывает дополнительный пово-
рот фундамента с наклоном в сторону засыпки. По этой причине
общий наклон подпорной стенки может оказаться нулевым или
противоположным направлению активного давления.
2.	Кроме того, односторонняя нагрузка весом засыпки вызывает в
основании касательные напряжения, направленные в ту же сторону,
что и боковое давление на подпорную стенку. Во многих случаях
(при фундаментах мелкого заложения) это приводит к не предусмот-
ренным расчётом горизонтальным перемещениям подпорной стенки
вместе с насыпью.
3.	По этой причине в сочетании с ползучестью оснований,
сложенных глинистыми грунтами, наблюдались значительные гори-
зонтальные перемещения подпорных сооружений с фундаментами
мелкого заложения [24].
3.5.	Расчёт свайных фундаментов на совместное восприятие
горизонтальной, вертикальной и моментной нагрузки
Описание решаемой задачи. При проектировании свайных
фундаментов возможны два варианта расчёта: упрощённый расчёт с
определением только продольных сил в сваях или расчёт свайного
фундамента как рамы с упругоподатливыми связями.
Упрощённый способ расчёта (рисунок 41) пригоден в условиях,
когда сваи заделаны в основание на полную длину (низкий ростверк),
горизонтальная нагрузка отсутствует или передаётся на основание
через плиту ростверка, эксцентриситеты вертикальных сил не столь
значительны, чтобы вызывать повороты плиты. В этих случаях доста-
точно использовать формулу, которая содержится в п. 7.1.12
Свода правил СП 24.13330-2011 (актуализированной редакции СНиП
2.02.03-85):
(3.36)
где Nj - продольная сила в z-й свае; Nj - вертикальная составляющая
общей нагрузки на свайный фундамент, Му и Мх — моменты относи-
тельно горизонтальных осей Y и X, проходящих через центр тяжести
фундамента, п — число свай в фундаменте, xh у, - координаты z-й сваи
в плоскости XOY нижней грани плиты свайного ростверка.
94
Рис. 41. Схема к расчету
продольных сил в сваях
по формуле (3.36).
Вариант более полного расчёта (как рамы с упругоподатливыми
связями) предназначен для проектирования свайных фундаментов, на
которые действуют значительные горизонтальные и моментные
нагрузки, вызывающие перемещения плиты. Примерами объектов с
такими воздействиями на фундаменты являются следующие группы
сооружений:
-	распорные (арочные, сводчатые), удерживающие (противо-
оползневые), подпорные (ограждающие) сооружения;
-	башенные сооружения, воспринимающие значительные ветро-
вые нагрузки;
-	опоры линий электропередач, воспринимающие неуравнове-
шенные горизонтальные нагрузки от натяжения проводов;
-	фундаменты устоев и промежуточных опор мостовых сооруже-
ний, воспринимающие комплекс горизонтальных силовых воздейст-
вий: боковое давление грунта, силы торможения (тяги), поперечные
удары подвижного состава, ледовую и другие нагрузки.
Имеют место условия (высокие ростверки), когда сваи заделаны в
основание на часть длины и свободны на участке между плитой свай-
ного фундамента (или ригелем опоры) и поверхностью основания.
Такие условия присущи рамным опорам различного назначения и
свайным фундаментам опор мостов с прогнозируемыми при проекти-
ровании расчётными размывами дна рек.
Расчётная схема (рисунок 42) сваи (забивной, буровой, сваи-
оболочки) основывается на методе местных упругих деформаций с
треугольной формой распределения коэффициента постели и допу-
щении об условной ширине сваи, отражающей пространственные
условия взаимодействия с грунтом.
95
Рис. 42. Расчётные схемы заглублённой части свай и варианты закрепления
нижних концов: 7 - свая, 2 - распределение по длине сваи коэффициента
постели Cz=Kr, 3 - нижний конец сваи свободен, 4 - нижний конец сваи заделан
Силовое взаимодействие сваи и грунта основания описывается
функцией коэффициента постели С~ в соответствии уравнением
Cz = Kz,	(3.37)
где К - коэффициент пропорциональности с размерностью кН/м4,
принимаемый по таблице 20 в зависимости от вида грунта; z - коор-
дината длины сваи, отсчитываемая от поверхности основания; на
верхней границе основания z=0; координата нижнего конца сваи z=h,
где h - длина заглублённой части сваи на рисунке 42. Коэффициент
постели выражает отношение контактных давлений az и совместных
горизонтальных перемещений у- сваи и грунтового основания:
С - —
^z	’
Уг
Значения коэффициентов К таблицы 20 получены путём обобще-
ния результатов нескольких серий экспериментов со сваями разных
диаметров, выполненных А.А. Лугой (1944), В.Н. Голубковым (1948),
К.С. Завриевым и Н.М. Бибиной (1966) и др. по схемам, подобным
изображению на рисунке 43, а. Зависимость горизонтальных переме-
щений уо верхних концов свай (на уровне верхней грани заделки) от
испытательной нагрузки Q во всех опытах получена криволинейной,
приближённо описываемой соотношением yo=kQx 8 (Е.П. Крюков,
1963). При назначении коэффициентов К принята связь yo=J{Q) в виде
прямой 2, пересекающей криволинейную диаграмму 1 в точке, соот-
ветствующей перемещению уо= 1см (рисунок 43, б). Это означает, что
если по расчёту получено значение у о меньше (больше) 1см, то
фактическое горизонтальное перемещение верхнего конца свай
меньше (больше) расчётного.
б)
Рис. 43. Схемы к определению коэффициентов пропорциональности К
и расчётной ширины by, а - испытание сваи поперечной силой: 1 - свая,
2 - домкрат, 3 - бетонный упор, 4 - прогибомеры; б - зависимости уо=А@У-
5 — действительная, б — расчётная; в - сечение сваи 7 и условной стенки 8
шириной Ьр
Таблица 20
Коэффициенты пропорциональности К, кН/м4
Виды грунта	Для свай с </<0.8 м	Для свай с </>0.8 м
Текучепластичные суглинки, глины; илы	6502500	5002000
Мягкопластичные супеси, суглинки и глины; пылеватые пески, рыхлые пески	25005000	20004000
Тугопластичные супеси, суглинки, глины; пески мелкие и средней крупности	50008000	4000-6000
Твёрдые супеси, суглинки, глины; пески крупные	800013000	600010000
Пески гравелистые, гравий, галька	1300025000	1000020000
Примечание. В приложении В СП 24.13330-2011 имеется подобная таблица.
В ней коэффициенты К увеличены в три раза, по сравнению с данными
настоящей таблицы; при выполнении расчёта предусмотрено их деление
на коэффициент условий работы ус=3.
97
К.С. Завриевым и его сотрудниками опытным путём с примене-
нием теории подобия определена условная расчётная ширина сваи
(рисунок 43, в) Ьр=2кф*Л ,53'3218 , которая отражает в расчёте по пло-
ской схеме фактические пространственные условия решаемой задачи.
Приближённо условная ширина сваи определяется по одной из сле-
дующих формул:
Ьр= кф(1.5<1 + 0.5 м) при d < 0.8-Н.0 м;
Лр= кф (d+1.0 м) при d>0.8-4.0 м,	(3.38)
где d—сторона (диаметр) сечения сваи, кф - коэффициент формы сече-
ния сваи: прямоугольной (А^=1.0), круглой (Л^=0.9). Иными словами Ьр -
это ширина условной стенки, эквивалентной свае по взаимодействию с
грунтом. При решении контактной задачи изгибная жёсткость сваи при-
нимается в соответствии с размерами её сечения.
а)
б)
Рис. 44. К определению податливости сваи в продольном направлении:
а — кривая накоплений частности осадок свай (К.С. Завриев, Г.С. Шпиро,
1970); б - схемы к определению «длины сжатия» lN и параметра Ал;
ЕА
1 - свая длиной l=lo+h, 2 - условная часть «длины сжатия» ---------,
2ООРо
3 — упругоподатливая связь с жёсткостью As
На распределение перемещений и усилий в двух- и многорядных
системах влияет податливость (неравномерные осадки) основания под
нижними концами свай. На основании обобщения результатов стати-
ческих испытаний более 100 свай была построена диаграмма n=J(4)
98
(рисунок 44, а) «накоплений частотности» осадок свай при нагруз-
ках Ро, равных половине несущей способности Fd (К.С. Завриев,
Г.С. Шпиро, 1970). Под «накоплением частотности» п понимается от-
ношение числа результатов, для которых осадки свай имели значения,
меньшие или равные Л к общему числу испытаний. Из диаграммы на
рисунке 44, а следует, что в 83% случаев осадки свай при нагрузках
Ро= 0.5 Fj были не более 5 мм.
Полученное таким способом соответствие между осадкой сваи
J = 5 мм = 5x10 3м и продольной силой Po=O.5Fd на практике при
расчётах свайных фундаментов учитывается двумя способами (рису-
нок 44, б):
1) путём условного продолжения свай с жёсткостью ЕА (А -
площадь сечения сваи) до размера «длины сжатия»
5-Ю3 — = /+	=/+ — ,
Ро	200Ро	100Fd
(3.39)
где / - фактическая длина сваи.
2) путём введения на нижних концах свай упругоподатливых
связей в виде стержней длиной //>=1.0 м с жёсткостью при «сжатии-
растяжении»
А = ^ =	= 200/j, = 100^.	(3.40)
Физическое содержание параметра As - сила, вызывающая
единичное вертикальное сжатие основания под нижним концом сваи,
которое заменяется условным стержнем ("пружиной”) длиной /р=1м
Размерность кН/м.
Способ расчёта свайного фундамента средствами МКЭ.
В отличие от прежних описаний решаемой задачи (К.С. Завриев,
Г.С. Шпиро, 1970; приложение D СП 50-102-2003 и др) в настоящем
параграфе изложен способ её решения на математической основе МКЭ.
В соответствии с изложенным выше интенсивность погонной
контактной нагрузки, связанная с силовым взаимодействием сваи и
грунтового основания, описывается уравнением
(3.41)
Заглублённая (заделанная в основание) часть сваи делится на
короткие (как правило, равные) участки (стержневые конечные
элементы, КЭ) с размером (длиной) Г=О.5-Ч.О м, но не более 0.1 А
99
(рисунок 45, а, б, в). В узлах на границах стержневых КЭ вводятся
горизонтальные упругоподатливые связи (КЭ в виде условных
«пружин»), заменяющие участки эпюры Cz длиной t, имитирующие
упругий отпор грунта на этих участках. Физически упругоподатливые
связи представляют собой условные стержни длиной 1 м с жёстко-
стью Bz при «растяжении-сжатии», противодействующие горизон-
тальным (поперечным) перемещениям сваи, но не препятствующие
повороту (угловому перемещению) оси сваи.
Рис. 45. Расчетная схема силового
взаимодействия заглубленной части
сваи с основанием: а - общий случай;
б - вариант жесткой заделки нижнего
конца сваи; в - отрезок t условной
стенки шириной Ьр, эквивалентной свае
по взаимодействию с грунтом;
1 - свая; 2, 3 - эпюры распределения коэффициентов постели Cz=Kz\ однородное
основание, многослойное основание; 4 — упругоподатливые связи (условные
«пружины»), моделирующие отпор грунта на участках сваи длиной г;
5 - упругоподатливая связь на нижнем конце сваи; б — жесткая заделка нижнего
конца сваи.
100
Горизонтальное перемещение yz сваи на глубине z может быть
определёно двумя способами: как перемещение по закону Гука
условной пружины на рисунке 45, в и при помощи соотношения
(«)
где Rz=ozbpt - сила сжатия условной пружины длиной Нм (см. ри-
сунок 45, в) или произведение напряжения az на площадь отрезка
длиной t условной стенки шириной Ьр. Равенство правых частей урав-
нений (а) позволяет вывести формулу (величина /=1м опускается)
B-~bptKz,
(3.42)
Отметим, что величина Bz в соответствии с (3.42) может быть
представлена как объём, равный произведению площади участка
эпюры Cz = Kz длиной t на расчётную ширину Ьр.
Жёсткость упругоподатливых связей на концах сваи (где в расчёт
вводятся отрезки длины сваи, равные //2): на поверхности основания,
при z=0, и на нижнем конце сваи, при z-h
(3-43)
Физическое содержание параметров В2У Bz^ Bz^h - силы, вызы-
вающие единичные продольные (горизонтальные) перемещения
условных «пружин» длиной 1 м. Размерность - кН/м.
Вертикальные связи, моделирующие податливость основания под
нижними концами свай многорядных систем, представлены на рас-
чётной схеме МКЭ условными стержнями ("пружинами”) длиной
/р=1.0 м с жёсткостью при «сжатии-растяжении»
А = % = р —L5* = 200R = 100F
A 5Ю~3
Упругоподатливая связь, противодействующая повороту нижних
концов свай, задаётся в виде числа Сд с размерностью кНм/радиан.
Параметр Сд выражает момент, вызывающий единичный поворот ос-
нования под нижним концом сваи
Ср=Со1о,	(3.44)
2ООРо , ,
где Со =----- коэффициент постели основания под нижним концом
Л
101
сваи, Ао, Io - площадь и момент инерции сечения нижнего конца сваи,
контактирующего с основанием.
Закрепление нижнего конца сваи против продольного перемеще-
ния и поворота возможно в трёх вариантах (рисунок 46, а, б, в):
1)	упругоподатливая вертикальная (при наклонных сваях - про-
дольная, продолжающая ось сваи) связь в виде упругого стержня
длиной Ip = 1.0 м с жёсткостью As и свободный поворот;
2)	упругоподатливые связи: при вертикальном (продольном)
смещении - упругий стержень длиной //>=1.0 м с жёсткостью As, при
повороте - условная пружина с жёсткостью Ср=Со1о и неподвижное
закрепление по горизонтали;
3)	жёсткая заделка (нулевые перемещения по вертикали, горизон-
тали, при повороте).
а)
Ри	с. 46. Варианты закрепления нижнего конца сваи: а - упругоподатливая
связь 1 против продольного перемещения, свободный поворот; б - упруго-
податливые связи против продольного перемещения 1, поворота 2
и неподвижное закрепление по горизонтали; в - жесткая заделка 3.
Расчётная схема свайного фундамента представляет собой раму,
состоящую из горизонтальной плиты ростверка и заделанных в плиту
вертикальных и наклонных стержней конечной жёсткости, модели-
рующих сваи.
Плита ростверка, как правило, считается жёсткой. В этом случае
нагрузки, приложенные к плите, заменяются равнодействующими
силами: вертикальной силой Nd, горизонтальными силами Нх, Ну,
моментами Му, Мх, действующими в вертикальных взаимно перпен-
дикулярных плоскостях, моментом Mz в горизонтальной плоскости
плиты. Пространственный расчёт свайных фундаментов требуется
достаточно редко. При проектировании в большинстве случаев расчёт
ведётся раздельно по плоским расчётным схемам в вертикальных
плоскостях XOZ и YOZ на нагрузки Nd, Нх, Му и/или Nd, Ну, Мх (рису-
нок 47, а, б).
102
Рис. 47. Плоские расчетные схемы свайного фундамента:
а - в плоскости XOZ; б-в плоскости YOZ.
«Местные» нагрузки, действующие непосредственно на сваи в
пределах их свободной части, задаются в виде сосредоточенных сил
или линейно распределённых полос с указанием точек (границ) их
приложения.
Рис. 48. Свайный фундамент с ригелем (плитой) конечной жесткости
Другой вариант расчётной схемы свайных систем - рама,
состоящая из стержней, моделирующих сваи, и ригеля (плиты рост-
верка) конечной жёсткости (рисунок 48). В этом случае нагрузки,
приложенные к ригелю, сохраняют своё положение и не могут быть
заменены равнодействующими силами.
юз
Расчёты свайных фундаментов в соответствии со схемами на ри-
сунках 47,48 могут быть легко реализованы при помощи современных
программных комплексов, реализующих МКЭ (LIRA, SCAD и др.).
По результатам расчётов строятся эпюры моментов Mz, поперечных
сил Qz, перемещений yz при изгибе свай, контактных давлений oz, ко-
торые определяются двумя тождественными способами по формулам
сгг= yzCz=yzKz либо
(3-45)
где Rz — продольная сила в упругоподатливой связи (условной «пру-
жине») на глубине z, полученная по результатам расчёта МКЭ.
Расчёты свайных фундаментов по предельным состояниям
включают четыре группы главных проверок:
-	расчёт нормальных сечений свай при изгибе, внецентренном
сжатии-растяжении;
-	расчёт свай по поперечной силе;
-	проверку несущей способности свай по грунту;
-	проверку прочности основания по условию ограничения гори-
зонтального давления боковой поверхности свай на грунт.
3.6. Задачи о расчёте устойчивости откосов
Рассматриваемые ниже прикладные задачи и их решения являют-
ся расчётными моделями известных в теории геотехники форм
нарушения устойчивости природных склонов (откосных грунтовых
массивов): «обрушения со срезом и вращением», «скольжения»,
«покровного оползня». Их схемы и краткое описание в соответствии с
классификацией проф. Н.Н. Маслова содержатся на рисунке 49 и в
таблице 21.
Кроме того, расчёты устойчивости широко используются при
проектировании искусственно возводимых откосных сооружений
(насыпей, грунтово-стержневых систем) с целью предупреждения
форм разрушения по схемам глубокого и локального оползневого
сдвига. Глубокие сдвиги представляют собой смещения грунтовых
масс по криволинейным поверхностям скольжения, пересекающим
насыпи и верхние слои оснований, состоящих из слабых грунтов.
Локальные оползневые смещения возникают в нестабильно устойчи-
вых склонах с непрочными границами геологических напластований
при нагружении весом строящихся объектов и нарушениях природ-
ного водного режима.
104
Таблица 21
Формы нарушения устойчивости склонов и откосов
Формы нарушения устойчиво- сти	Характер деформации	Скорость деформации	Характерная природная обстановка
Обрушение со срезом и вращением	Перемещение мас- сивов по поверхно- сти скольжения с наименьшим запа- сом устойчивости и с некоторым пово- ротом вокруг гори- зонтальной оси	Вплоть	до весьма боль- шой (м/мин)	Преимущественно в одно- родной толще с подчинен- ными прослойками при чрезмерной крутизне от- коса
Скольжение	Сдвиг по плоско- стям напластова- ния,	разломов, древних смещений	От самых ма- лых вплоть до относительно большой (м/ч)	При ясно выраженной в толще коренных пород потенциальной поверхно- сти скольжения с накло- ном в сторону склона. При слоистом строении толщи, наличии пластовых тре- щин, прислонном залега- нии, разломах, а также на- личии грунтовых вод
Покровные оползни	Оползание покров- ных масс по неров- ной поверхности подстилающей толщи	От самых ма- лых вплоть до относительно невысоких (м/сут)	Залегание обильно увлаж- няемых покровных масс с общим падением поверх- ности подстилающей тол- щи в сторону долины, котлована
В постановке задач рассматриваемого раздела теории использу-
ются следующие общие положения:
-	графоаналитический метод с заранее заданной формой тела
обрушения;
-	основные уравнения выражают условие равновесия по закону
Кулона сил, действующих на поверхностях скольжения с продольны-
ми сечениями в виде кривых или ломаных линий;
- деление вертикальными сечениями тела обрушения на отсеки, в
пределах которых углы наклона поверхности скольжения и прочност-
ные характеристики пересекаемых ею грунтовых слоёв не меняют
своих значений.
105
Рис. 49. Формы нарушения устойчивости и деформации склонов (к таблице 21):
а - обрушение со срезом и вращением, б -скольжение, в - покровные оползни
Отсеки состоят из надводных и затопленных (взвешенных подто-
плением) частей с удельным весом грунта соответственно уо и yw.
Кроме веса грунта отсеков в состав действующих сил включаются
фильтрационное давление воды при спаде её уровней, нагрузки,
приложенные внутри отсеков и на их верхних гранях.
Сейсмическая нагрузка в рассматриваемых ниже решениях не
рассматривается.
Потери устойчивости откосов и склонов относятся к предельным
состояниям первой группы, в связи с чем в расчётах используются
прочностные характеристики грунтов <p=<pi, с=С[.
Упрощённая схематизация формы поверхностей скольжения
находится в соответствии с приближённым характером данных о
склоновых процессах и геологическом строении проектируемых или
исследуемых объектов.
Ниже в настоящем параграфе рассматриваются два метода расчё-
та устойчивости по плоской расчётной схеме, которые применяются
наиболее широко в отечественной практике, и способ решения
пространственной задачи теории предельного равновесия.
Метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения.
Первой классической задачей рассматриваемой группы является
способ расчёта откосных грунтовых массивов, направленный на
предупреждение потери устойчивости по форме «обрушение со
срезом и вращением» или глубокого сдвига оснований совместно с
106
высокими насыпями. В пределах расчётной области выделяется тело
обрушения, которое смещается по заданной, определяемой перебором
(путём многократных повторных расчётов) поверхности скольжения
цилиндрической формы. Расчётная (невыгоднейшая) линия (дуга)
скольжения (след поверхности скольжения на плоскости чертежа)
может проходить через подошву откоса или пересекать основание с
выходом на поверхность за пределами откоса (рисунок 50,а).
Деление тела обрушения вертикальными плоскостями на корот-
кие отсеки показано на рис. 50,а. Вес Z-го отсека G, вместе с верти-
кальными нагрузками (силами), действующими в его пределах, рас-
кладывается на касательную T^G, sina, и нормальную составляющие
Nj-Gi cosaj, где а, - средний угол наклона к горизонтали участка дуги
скольжения на рис. 50,6. Силы взаимодействия на границах отсеков
не учитываются.
Рис. 50. Расчётная схема к методу круглоцилиндрических поверхностей
скольжения; а — деление тела обрушения на отсеки, положения кривой скольже-
ния с выходом через подошву откоса (7) или за пределами откоса (2);
б - равновесие z-ro отсека; 3 - уровень подтопления при спаде половодья,
4 - затопленная часть отсека
Задача решается как плоская статически определимая. Условие
равновесия записывается в виде отношения моментов удерживающих
107
Муд и сдвигающих Ма сил при сдвиге по дуге скольжения ас с радиу-
сом R относительно центра в точке О :
_ Я -	+ Cjlj)
Мсд +
(3.46)
где 27—знаки суммы, распространяющиеся на все отсеки тела обруше-
ния, с, -угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта
насыпи или основания, пересекаемого дугой скольжения, /, - длина
отрезка дуги скольжения в пределах i-го отсека, dIi=IoSw— равнодей-
ствующая сил фильтрационного давления в пределах /-го отсека,
10 - средний уклон водной поверхности (кривой депрессии) в преде-
лах тела обрушения, Sw, — площадь сечения затопленной части /-го
отсека; Fk - внешние горизонтальные силы, действующие на поверх-
ности тела обрушения, Гц и г* - радиусы соответствующих сил отно-
сительно центра вращения в точке О.
При отсутствии натурных данных средние уклоны 10 кривых
депрессии принимается по следующей таблице.
Таблица 22
Средние уклоны кривой депрессии
Наименование грунта, через который проходит поверхность пойменных вод	/д, %о
Гравелистые и крупные пески	3-6
Мелкие и пылеватые пески	6-20
Супеси	20-50
Суглинки	50-100
Глины	100-200
Для обеспечения устойчивого положения откоса необходимо
выполнение следующего соотношения:
(3.47)
где tj - коэффициент, выражающий отношение моментов удержи-
вающих и сдвигающих сил; ук - требуемый (предусмотренный
нормами) коэффициент запаса устойчивости, принимаемый в размере
1.2 - 1.4 в зависимости от уровня ответственности сооружения.
108
Положение наиболее опасной (расчётной) линии скольжения с
минимальным значением 7 определяется путём перебора с много-
кратным повторным выполнением расчёта. В связи с вычислитель-
ными возможностями современных ЭВМ техника расчётов по поиску
невыгоднейшей поверхности скольжения существенно упростилась.
Приведём в качестве примера способ генерирования дуг скольжения,
принятый в одной из современных программ.
Каждая дуга скольжения строится по трём точкам A, Bj, Cj
(рис. 51). Положение точки А задаётся на поверхности основания у
подошвы откоса или на некотором удалении от неё. Точка Bj переме-
щается с некоторым шагом в пределах заданного отрезка Вг-Вп на
вертикальной линии, проходящей через вершину откоса или вблизи
неё. Точка Cj пробегает некоторый участок на верхней грани откоса с
шагом, кратным 1 метру, доле метра или 0.1-Н).2 высоты откоса.
Расчёт может быть продолжен с новой точкой А и повторным перебо-
ром всех положений точек Bj, Cj. При этом в расчёт принимаются
дуги скольжения с выпуклостью в сторону основания.
Рис. 51. Схема к построению линий
(дуг) скольжения по точкам A, Bj, Cj;
В j, В„ — границы отрезка, в пределах
которого выполняется перебор
точек Bj
Метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения приме-
няется при расчётах устойчивости фундаментов подвальных зданий
против глубинного сдвига по схеме на рис. 52 со следующими упро-
щающими допущениями:
-	в качестве следа поверхности скольжения на расчётной плоско-
сти принимается дуга с центром в верхней точке О на внутренней
вертикальной грани фундамента;
-	радиус г дуги (следа поверхности) скольжения определяется как
расстояние от центра О до крайней точки А нижней грани подошвы
фундамента.
109
Рис. 52. Схема к расчёту устойчивости фундамента с подвальной стеной
Коэффициент выражающий отношение моментов удерживаю-
щих и сдвигающих сил относительно точки О, определяется по
следующей формуле:
г • Е ь,(Pi + Yihi)cos<x№Pi +
COS (Xj
E Eajlcy + Fvaf + Gag +	sin a.
(3.48)

где bi и hi - ширина и высота z-ro отсека тела обрушения; у, — средний
удельный вес грунта z'-го отсека; <ph с, — угол внутреннего трения и
удельное сцепление грунта на поверхности скольжения в пределах
/-го отсека; pi - среднее давление, передаваемое фундаментом в
пределах /-го отсека; а, - угол наклона к горизонтали поверхности
скольжения в пределах /-го отсека; Eaj и laj - равнодействующая сил в
пределах j-го участка эпюры активного давления и её плечо относи-
тельно оси О; G и Fv - вес фундамента и равнодействующая сил,
приложенных к его верхней грани, ag и ау-соответствующие плечи
относительно оси О; S - знаки сумм, распространяющиеся на все
отсеки тела обрушения и участки эпюры активного давления.
Метод горизонтальных сил Г. М. Шахунянца. Рассматривае-
мый метод расчёта откосов также основан на теории предельного
равновесия грунтовых массивов в соответствии с законом Кулона.
В расчёте также выделяется тело обрушения, выполняется перебор
110
вариантов линии скольжения, используется принцип членения
расчётной области на отсеки. Поверхности скольжения могут быть
заданы в виде дуг окружностей или ломаных линий, проходящих по
границам геологических слоёв (рис. 53). В расчёте учитываются
горизонтальные (нормальные) составляющие Ei и не учитываются
вертикальные (касательные) составляющие сил взаимодействия на
границах отсеков. Основное уравнение расчёта выражает равновесие
горизонтальных составляющих сдвигающих и удерживающих сил,
действующих на линии (поверхности) скольжения.
Задача решается как «обратная»: при заданном коэффициенте
надёжности ук определяется алгебраическая сумма Е горизонтальных
сил взаимодействия отсеков:
E=E(4Et+ ykAIJ,
(3.49)
где Е - знак суммы, распространяющийся на все отсеки тела обруше-
ния; ЛЕ; = Ei - Ем - приращение горизонтальных сил в пределах /-го
отсека; Е„ Е,-_/ - горизонтальные силы взаимодействия на вертикаль-
ных гранях отсека; Л/, - равнодействующая сил фильтрационного
давления в пределах /-го отсека, определяемая в соответствии с изло-
женным выше.
Рис. 53. Метод горизонтальных сил Г.М. Шахунянца. Схема действия сил
Приращение сил ЛЕ,- определяется из условий равновесия /-го от-
сека по осям, нормальной и параллельной линии скольжения (без сил
фильтрационного давления):
AEi$ina.i+ Nj-Rf, Т\ - cjj - Ritg(pi - АЕ} cos = 0,
ill
где Ni=GjCosai, Ti=Gt sinat - по-прежнему нормальная и касательная
составляющие веса z-ro отсека по отношению к отрезку линии сколь-
жения в его пределах. Силы G, состоят из весов надводных и взвешен-
ных подтоплением частей отсеков, включают внешние вертикальные
нагрузки, действующие внутри отсеков и на их верхних гранях.
Объединяя последние два уравнения, находим:
7] - c,Zf - (ЛЕ, sin а, + Ni )tg(p1 - AEj cos а,- = 0
или	AEi (sin (XjtgtPi + cos <7,)=- NjtgPj.
Последнее выражение позволяет записать:
jg <Ti ~ cjt - Njtg^ycos^
cos(az-^z)
или с учётом коэффициента надёжности по назначению сооружения
(/Ji -ch-Nitg<Pdws<Pi
cos(af - )
(3.50)
Вид формулы, выражающей условие устойчивости по методу
горизонтальных сил с учётом фильтрационного давления затоплен-
ных частей отсеков,
Е = К/Л-c,l, -N,tg<p,) C°SW +	.	(3.51)
cos(az - (p-t)
При E>0 необходимо устройство подпорной стенки, противо-
оползневого сооружения или конструкции, воспринимающей гори-
зонтальное давление, не уравновешенное силами внутреннего трения
и сцепления грунта. При отсутствии противооползневого сооружения
должно быть обеспечено Е< 0 при ук= 1.2-4.4.
Если в расчёте требуется решить «прямую» задачу - определить
отношение Цо горизонтальных составляющих удерживающих и сдви-
гающих сил, действующих на поверхности скольжения, при их общей
алгебраической сумме Е=0, то на основании (3.51) можно получить
такую запись:
Е (Cili+Nftg^)
cos (р,
cos(a,-^,)
(3.52)
cos (pt
cos(az -

112
Автором метода горизонтальных сил проф. Г. М. Шахунянцем
было предложено делить касательные силы Т, на сдвигающие 7}^,
действующие в отсеках, где а,>0 (на нисходящей части кривой
скольжения), и удерживающие 7\Уд - в отсеках, где а,<0 (на восходя-
щей части кривой скольжения). Коэффициенты надёжности %>1.0
применяются только к силам Ti>cd, а к силам Tiyd применяется коэффи-
циент %=1.0. В этом случае выражения для равнодействующей Е и
коэффициента t]0 принимают следующий окончательный вид:
E = Y(nTlrCi-т^-е^	+Znzl/,; (3.53)
cos()
1h =
L	+N№Pi+Kyd)
COS^j
COS((Xj -<Pi)
(3.54)
._C0_s^L_+zl/.
cos(a,-ft)
Метод Г. M. Шахунянца основывается на допущении, согласно ко-
торому на границах отсеков учитываются только нормальные состав-
ляющие действующих сил Е^, Е, и не учитываются вертикальные силы
Vj.h Vj. Силы Vj.i, Vh если предположить, что они не равны нулю, на-
правлены так, как показано на рисунке 54. Это связано с требованием
о равновесии горизонтальных сил: касательные напряжения направ-
лены на уравновешивание сил £). Направление сил Vt следует из закона
парности касательных напряжений. Это рассуждение справедливо для
сил Vj, действующих на границах всех отсеков. При выпуклой (в сто-
рону основания) форме кривой скольжения влияние сил V^, V, ведёт к
поправке, снижающей величину равнодействующей Е.
Рис. 54. Схема к обосно-
ванию допущения И,=0
113
Это доказывает следующее рассуждение. Силы V, на контакте i-ro
и (z+l)-ro отсеков увеличивают вес (z+l)-ro отсека и уменьшают вес
z-ro отсека на одну и ту же величину. Предположим, что прочностные
характеристики на линии скольжения соседних отсеков равны: (Pi~(Pi+i,
Cj-Cj+i. Из анализа соотношений (3.53) и (3.54) (где T^Gtsina,,
Ni=Gfiosai) следует, что при а,+/<а, (sina^i<sinat, cosatt i>cosa^ разгру-
жающее действие силы V, сопровождается снижением горизонтальных
сил AEi в z-м отсеке на большую величину, чем увеличение сил
AEi+i (z+1)-m отсеке в связи с пригружающим воздействием силы V{.
Силы V, не поддаются аналитическому определению. Допущение
об их равенстве нулю не снижает качество метода, так как ведёт к
результату расчёта, который соответствует цели решаемой задачи -
вычислению максимальных значений параметров Е, tjo по формулам
(3.51)-(3.54).
В заключение отметим, что любые горизонтальные объёмные, со-
средоточенные, распределённые силы (или горизонтальные состав-
ляющие наклонных сил), действующие в пределах или на поверхно-
сти тела обрушения и его отсеков, могут быть учтены в формулах
(3.46), (3.53), (3.54) по аналогии с фильтрационным давлением EAIt.
Пространственная задача. В строительной практике встречают-
ся насыпи, ограниченные откосами с трёх сторон, для расчётов кото-
рых требуется решение пространственной задачи. Примером таких
условий являются конусы, завершающие земляное полотно подходов
к мостовым сооружениям.
Пространственное тело обрушения по своей форме ближе всего к
эллипсоидальному сегменту с соотношением размеров осей, завися-
щим от местных условий. Но прямое использование такой формы
тела обрушения затрудняет постановку задач при создании алгорит-
мов расчёта. Для этих условий реализован способ пространственного
расчёта устойчивости грунтового массива, смещающегося по поверх-
ности корытообразного очертания с поперечными сечениями в виде
ломаных линий ABCD (рисунок 55). Постановка и решение простран-
ственной задачи теории предельного равновесия является развитием
(применительно к пространственным условиям) метода горизонталь-
ных сил Г.М. Шахунянца.
Размер основания ВС поверхности скольжения принимается рав-
ным ширине насыпи Ь, а боковые грани (борта) АВ и CD наклонены
под углом p=arc ctg п& (см. рисунок 55). Величина ng принимается
общей для всех отсеков. Такой приём позволяет обеспечить простоту
114
Рис. 55. Схема расчёта устойчивости мостового конуса совместно с устоем
против сдвига по пространственной поверхности скольжения: разрез по оси
моста, сечения 1-1, 2-2',	1 - устой моста, 2-след поверхности скольжения по
форме дуги окружности, 3 - то же в виде ломаной линии, 4 - граница геологиче-
ских слоёв, 5 - поверхность пойменных вод; 6 - средние части сечений,
7- бортовые части сечений
решения задачи и придать расчётной форме поверхности скольжения
соответствие инженерным ожиданиям. Расчётный наклон бортов (за-
ложение пв) и положение осевого сечения поверхности скольжения
определяются (путём многократных повторных расчётов) наиболее
невыгодными по условию максимального значения алгебраической
суммы горизонтальных проекций сдвигающих и удерживающих сил,
действующих на поверхности скольжения:
п
Е=^(^Ес1+ ЛЕ6, + М4),
(3.55)
где п - общее число отсеков, на которые делится тело обрушения;
AEci, АЕб,, AI, -силы пределах /-го отсека: приращения горизонтальных
сил в средней и бортовых частях, равнодействующая фильтрационно-
го давления:
115
ЛЕ = У(±%Т -TV •
Z-A—/к a	ci
COS
cos(«i-^)’
ЛЕ =У'(+у>Г — N —с S 1 COS^б'
cos(a,-^)
ЛУ/
(3.56)
(3.57)
(3.58)
В уравнениях (3.56)-(3.58) приняты следующие обозначения:
TCi=Gc^inaii T6i=G6iSinaj, Nci=Gcicosai, N6i = . =
yjn6 +ctg2ai+n62ctg2ai
- касательные (сдвигающие или удерживающие) и нормальные со-
ставляющие к поверхности скольжения веса z-ro отсека (в условиях
плоской задачи), весов Gch Gf)t средней и бортовых частей z-ro отсека
со всеми нагрузками, действующими в пределах его объёма; а, - угол
наклона к горизонтали поверхности скольжения в пределах z-ro отсе-
ка; <рь Cj, (pm, Cgj — углы внутреннего трения и удельное сцепление в
пределах средней части и осреднённые значения тех же параметров в
пределах бортовых частей z-ro отсека; Sci, S6i — площади поверхности
скольжения в пределах средней и бортовых частей z-ro отсека; 1о -
средний уклон водной поверхности (кривой депрессии); Vwi - объём
затопленной части z-ro отсека.
Поперечные сечения тела обрушения, поверхности скольжения и
их бортовые части делятся на два типа с соотношениями —— > — и
Кен т
в соответствии со схемами на рисунке 56. Формульные
зависимости для определения указанных выше параметров содержат-
ся в таблице 23.
В программах в составе САПР автомобильных дорог, реализую-
щих рассмотренное выше решение при проектировании устоев и ко-
нусов мостовых сооружений (Воронежский филиал Гипродорнии,
1980-2005), предусмотрены следующие уточняющие и конкретизи-
рующие расчёт положения.
1.	Осевая линия скольжения (след поверхности скольжения на
вертикальной плоскости симметрии, параллельной оси моста) может
быть задана в виде ломаной линии или дуги окружности. Описание
ломаной линии или нескольких ломаных линий задаётся в исходных
данных. Генерирование дуг окружностей осуществляется при помощи
116
точек Л, Bj, Cj на рисунке 51 в соответствии с пояснениями к схеме на
этом рисунке.
2.	Размер отсеков в продольном направлении принимается рав-
ным 1 м. Углы ah (fid, <p6i и удельное сцепление cci, сб, определяются на
срединных вертикалях каждого отсека.
3.	Если поверхность скольжения пересекает сваи, но проходит
ниже плиты фундамента устоя, то из веса соответствующих отсеков
вычитается вес плиты и грунта над ней.
Если поверхность скольжения проходит под фундаментом устоя
или нижними концами свай, учитываются все нагрузки, приложенные
к устою, и должно быть обеспечено Е^Ета^.
4.	При переборе осевых кривых скольжения сначала принимается
фиксированный угол наклона бортов /?=45° (n6=ctgft=l .0). Затем выбира-
ется дуга с наибольшим значением равнодействующей Е и для неё выпол-
няются расчёты при значениях пв от 0.5 до 2.0 с шагом 0.1. Полученная в
результате максимальная величина Е-Е^ принимается за расчётную.
”нос i П6
^осн i
а- поперечное сечение при------2
h
в - продольное сечение z-ro отсека;
Рис. 56. Сечения тела обрушения и поверхности скольжения:
**с ‘	. б-поперечное сечение при
т	hOCH i т
г — схема к определению осредненных
значений и c6i; 1 - поверхность пойменных вод, 2 - границы геологических
слоёв, 3 - след поверхности скольжения; А^, А^, —площади средней и бортовых
частей сечений выше уровня подтопления; А^ - площади средней и борто-
вых частей сечений ниже уровня подтопления
117
Таблица 23
Формулы к определению параметров, входящих в уравнения (3.56) - (3.58)
При	При
ti i т	/г ; т
Наименование
Площади поперечных
сечений тела обрушения:
общая
тпб
U«6
I
средних частей сечения
4™ = *(A - Л,,,)
При £=-^->Ли„.
При V



бортовых частей
сечения
vsi
При £ < Ли,
При hIUK, < hKi
_ , тп,
m+n6
= hLim+hLin6 -

О
Площади поверхности
скольжения:
средняя часть
cos а.
cos с.
бортовые части
г
2
'б

Вес z-ro отсека:
средняя часть

бортовые части
Средневзвешенное удель-
ное сцепление в пределах
бортовой части i-ro отсека
Осредненный угол внут-
реннего трения в пределах
бортовой части i-ro отсека
Объём затопленной части
i-ro отсека
ct
2
бич-1
st 2
6i
ai-1
cwi-l
2
ai~l
118
5.	Для всех поверхностей скольжения расчёт с определением
Е=Етах повторяется дважды: при ук =1.0 и ук =1.4. Если при ук =1.0 по-
лучено E=Ema^>Q, расчёт прекращается. Это означает, что при имею-
щихся геологических условиях, размерах конуса и насыпи стабиль-
ность грунтового массива за счёт сил внутреннего трения и сцепления
при минимальном запасе прочности не обеспечена.
6.	Величина Е=Етах при у*=1.4 может быть получена равной 0 или
отрицательной. В этом случае устой считается свободным от горизон-
тального давления грунта.
Если поверхность скольжения пересекает фундаментные конст-
рукции устоя, то при и % = 1.4 устой должен быть рассчитан на
восприятие этой нагрузки. Распределение нагрузки Е=Етск по задней
грани устоя принимается по эпюре pz-2Ez(/h02 треугольной формы с
нижней ординатой p^lE/ho в соответствии со схемой на рисунке 57.
Рис. 57. Схема к рас-
пределению нагрузки
Е=Ет(1Л по задней грани
устоя;
Пример ликвидации оползневого сдвига. Иллюстрацией изло-
женных выше положений и практического использования методов рас-
чёта устойчивости является пример расчётного анализа оползневого
сдвига и устройства системы противооползневых конструкций. Авария
произошла на береговом склоне в зоне строительства большого моста.
На рис. 58 и в табл. 24 представлены инженерно-геологический
разрез берегового склона и расчётные прочностые характеристики
слагающих его грунтов (инженерно-геологических элементов, ИГЭ) с
уточнениями, внесёнными в период строительства (после проявления
перемещений опор моста, связанных со склоновым процессом).
119
Рис. 58. Инженерно-геологический разрез берегового склона:
©@...'10 - номера ИГЭ; 1 - промежуточная опора №5;
2 - устой №6; 3 - железобетонные сваи сечением 35><35см
длиной 10 - 12м
Рис. 59. Горизонтальные перемещения опор за период
наблюдений: 1 - промежуточная опора №5; 2 - устой №6.
Таблица 24
Расчетные характеристики грунтов инженерно-геологического разреза
№№ ИГЭ	Наименование грунта	9, град	с, кПа	Е, МПа
ИГЭ 1	Насыпной грунт	5	15,5	22
игэз	Глина тугопластичная со щебнем известняков	16	38	21
ИГЭ 4	Глина полутвердая со щебнем известняков	5(Ю)	15,5 (31)	22
ИГЭ5а	Глина жирная полутвердая со щебнем известняков	6(11)	10 (19)	10
ИГЭ56	Глина жирная твердая со щебнем известняков	3(5)	25(51)	15
ИГЭ 7	Суглинок твердый со щебнем известняков	19	30	27
ИГЭ 8	Глина твердая с обломками извест- няков	17	40	45
ИГЭ 9	Известняк разрушенный с глини- стым заполнителем	—	—	40
ИГЭ 10	Дресвяно-щебенистый грунт	—		60
ИГЭ 11	Известняк	—•	—	60
Областью возможных поверхностей скольжения и оползневых сме-
щений грунтов является комплекс четвертичных отложений ИГЭ № 4,
5 а, 5 б, 7 (глин, суглинков) аллювиального и делювиального происхож-
дения, ограниченный кровлей коренных пород (глин ИГЭ №3, коры вы-
ветривания и плотных известняков), образующей днище и выходящий на
поверхность борт долины. По данным изысканий, выполненных перед
началом проектирования, плотность/) и прочностные характеристики
пылевато-глинистых грунтов (ИГЭ №4-5-7) были определены в следую-
щих пределах: р=1.87-*-2.05г/смЗ, угол внутреннего трения ^=10-6-19°,
удельное сцепление с= 19-5-31 кПа. Исключение составила глина ИГЭ
№5 б с расчётными характеристиками р— 1.92г/смЗ, ^з=5°, с=51кПа. Эти
показатели позволяли считать береговой склон устойчивым как в при-
родном состоянии, так и после сооружения моста и подходов.
В таблице 24 в скобках указаны значения с и д> для ИГЭ №4,5 а, 5 б,
полученные по данным лабораторных исследований, без скобок - по ре-
зультатам расчета в предположении предельного равновесия берегового
склона.
121
Первоначально мост был запроектирован по схеме 5 x24м
(5 пролетов длиной по 24м) с расположением на левобережном скло-
не двух опор: промежуточной №5 и устоя №6 (см. рис. 58). Осталь-
ную часть берегового склона намечалось перекрыть подходной насы-
пью (высотой до 9.5 м протяжением 70м), переходящей в выемку.
После частичной постройки левобережных опор, начала отсыпки на-
сыпи (на участке длиной 50м насыпной грунт был уложен слоем
до 4-х метров) и разработки выемки на смежном участке подходов к
мосту было обнаружено горизонтальное смещение опоры №5, кото-
рое за короткое время достигло 107см. После этого было продолжено
инструментальное наблюдение за перемещениями опоры №5 и уста-
новлено наблюдение за устоем №6 (к тому времени его перемещение
достигло 87см). Эти измерения показали, что горизонтальные пере-
мещения обеих опор в сторону русла продолжаются (рис. 59): через
год после начала наблюдений перемещение опоры №5 составило
148см, устоя №6 - 107см, в конце измерений (через 6 лет) были за-
фиксированы перемещения опор №5 и 6 соответственно 244 и 164см.
Кроме того, велись наблюдения за русловой опорой № 4, но её пере-
мещения не были зафиксированы с момента возведения до окончания
строительства моста.
Первоначально мост был запроектирован по схеме 5 x24м (5 про-
летов длиной по 24м) с расположением на левобережном склоне двух
опор: промежуточной №5 и устоя №6 (см. рис. 58). Остальную часть
берегового склона намечалось перекрыть подходной насыпью (высо-
той до 9.5м протяжением 70м), переходящей в выемку. После частич-
ной постройки левобережных опор, начала отсыпки насыпи (на
участке длиной 50м насыпной грунт был уложен слоем до 4-х метров)
и разработки выемки на смежном участке подходов к мосту было
обнаружено горизонтальное смещение опоры №5, которое за корот-
кое время достигло 107см. После этого было продолжено инструмен-
тальное наблюдение за перемещениями опоры №5 и установлено
наблюдение за устоем №6 (к тому времени его перемещение достигло
87см). Эти измерения показали, что горизонтальные перемещения
обеих опор в сторону русла продолжаются (рис. 59): через год после
начала наблюдений перемещение опоры №5 составило 148см, устоя
№6 — 107см, в конце измерений (через 6 лет) были зафиксированы
перемещения опор №5 и 6 соответственно 244 и 164см. Кроме того,
велись наблюдения за русловой опорой № 4, но её перемещения не
122
были зафиксированы с момента возведения до окончания строитель-
ства моста.
Направление перемещений опор было не строго горизонтальным.
За первые 30 месяцев наблюдений отметки опоры № 5 понизились
в среднем на 15.5см, устоя № 6 - на 4см. Кроме того за тот же период
опора № 5 сместилась вверх по течению на 14см, устой № 6 - на Зсм.
Это говорит о направлении перемещений в соответствии с наклоном
границ геологических напластований и подтверждает оползневую
природу наблюдавшихся явлений.
После того, как смещение опор №5 и 6 на левобережном склоне
было окончательно установлено, были приняты следующие новые
проектные решения (рис. 60 а,б):
-	подходная насыпь на левобережном склоне (которая была
предусмотрена в первоначальном проекте, но не достроена) заменена
эстакадной частью моста; принята новая схема моста 3x24+6x18м
с увеличением его длины на 60м;
-	ранее построенные опоры №5 и №6 было решено разобрать до
уровня обреза фундаментов и построить на новом месте в соответст-
вии с изменённой схемой моста; также была разобрана построенная
часть насыпи;
-	фундаментная часть новых опор № 5, 6, 7, 8, включающая 40
буронабивных свай (34 сваи диаметром 1.2м и 6 свай диаметром 1.5м),
заделанных в коренные породы, запроектирована как противооползне-
вая система, рассчитанная на восприятие оползневого давления;
-	устроена система организованного отвода воды из зоны строи-
тельства моста и выемки за опорой №10.
По классификации Н.Н. Маслова (таблица 21, рисунок 49)
наблюдаемая форма нарушения устойчивости представляет собой
«покровный оползень», образованию которого присуще «залегание
обильно увлажняемых покровных масс с общим падением подсти-
лающей толщи в сторону долины».
Выход на поверхность коренных пород (разрушенного и плотно-
го известняка) перед опорой №10 позволил ограничить расчётную
область участком разреза между опорами № 4+9. Относительно
причин оползневых смещений были сделаны два предположения:
-	снижение прочности грунта на ограниченной поверхности (или
нескольких поверхностях) в пределах и на границах слоёв жирных и
песчанистых аллювиальных глин (ИГЭ № 4, 5а, 56), по которой (или
по которым) происходит смещение грунтовых масс;
123
-	реологические явления в скрытопластичных глинистых
грунтах, в соответствии с положениями теории проф. Н.Н. Маслова,
которые изложены в п. 1.2.
Развитию (или оживлению) пластических деформаций способст-
вовали дополнительное обводнение глинистых пород, связанное с
удалением растительного покрова, раскрытием выемки на смежном
участке подходов, отсутствием организованного стока; подмыв
склона у бровки русла реки; подрезка нижней части склона при
устройстве строительных площадок и подъездных путей. Кроме того,
природное равновесие было нарушено на соседних участках берего-
вого склона, где ранее были построены опоры ЛЭП с вырубкой
просек и проложением грунтовых дорог для их обслуживания.
На окончательном (уточнённом по данным контрольного обсле-
дования) варианте геологического разреза были построены 14
возможных линий скольжения, проходящих по границам слоёв на
контакте с ИГЭ № 4,5 а, 5 б.
Данные инженерно-геологического обследования не позволили
обосновать расчётные прочностные параметры оползающих слоёв
грунта. Даже при минимальных значениях (р и с, которые могли
предложить геологи, оползневое смещение берегового склона в
природных условиях не подтверждается расчётом. В связи с этим рас-
чёт устойчивости выполнен в предположении, что грунтовый массив
(без свайной противооползневой системы) находится в предельном
равновесии при сдвиге по каждой рассматриваемой поверхности
скольжения. Исходя из этого условия, были определены расчётные
значения (р и с для ИГЭ № 4,5 а, 5 б, которые вошли в табл. 24.
Расчёты выполнены с использованием положений метода гори-
зонтальных сил Г.М. Шахунянца. Линиям скольжения, отделяющим
тело обрушения от остальной (неподвижной) части грунтового масси-
ва, придавалось ломаное очертание в соответствии с границами ин-
женерно-геологических элементов. Формула, выражающая равнове-
сие горизонтальных составляющих сдвигающих и удерживающих сил
(внутреннего трения и сцеплёния грунта) на поверхности скольжения
в пределах 1 п.м. оползневого фронта, имеет вид
= (3 59)
/=1	cos(a,-$)
где использованы ранее принятые обозначения; т - общее число
отсеков, на которые разделено тело обрушения.
124
Сносите пчм

к «л
М
Рис. 60. Левобережная эстакадная часть моста, расчетные линии скольжения 1,2, 3,4\
а - продольный разрез; б - план фундаментов опор №4+10.
В уравнении (3.59) первые слагаемые 7] cos <р(jcos[ai - выра-
жают сдвигающие горизонтальные силы, вторые и третьи слагаемые
представляют удерживающие силы (внутреннее трение, сцепление
грунта). Равенство нулю означает равновесие всех действующих
(сдвигающих и удерживающих) сил.
В соответствии с изложенными выше положениями для каждой
из расчётных поверхностей скольжения определена горизонтальная
сдвигающая сила F по следующей формуле:
sin at cos tp,
ы cos(tf,. - <pt)
(3.60)

где В - ширина оползневого фронта.
Согласно уравнению (3.59) силы F и силы сопротивления грунта
сдвигу (при отсутствии противооползневых конструкций) считаются
равными (коэффициент запаса устойчивости ук равен единице). После
устройства противооползневых конструкций с суммарной удержи-
вающей силой Е выражение для коэффициента запаса устойчивости
принимает вид:
7=1+ E/F=(F+E)/F.	(3.61)
При определении равнодействующей F принято, что оползневой
фронт имеет ширину В=40 м, а его продольная ось совмещена с осью
моста. Противооползневые конструкции пересекают все расчётные
поверхности скольжения. Суммарная удерживающая сила Е для
каждого варианта линии скольжения определена как сумма несущей
способности (по горизонтальной силе Н) буронабивных свай в
составе пересекаемых (этой линией) фундаментов опор № 5-г-8. При
расчётах свайных фундаментов были учтены совместно нагрузки,
передаваемые опорами моста, и оползневое давление на фундамент-
ные конструкции, принятое распределённым по треугольнику.
Несущая способность Н и армирование буронабивных свай
определены по расчёту в соответствии со схемами свайных роствер-
ков, условиями их пересечения линиями скольжения и заделки
в нижележащую часть грунтового массива. По расчётам несущая
способность буронабивной сваи по горизонтальной силе определена в
пределах 400 - 570кН.
На инженерно-геологическом разрезе на рисунке 58, а нанесены
четыре из 14 рассмотренных при проектировании расчётных линий
(следов поверхностей) скольжения. Коэффициенты запаса устойчиво-
126
сти, определенные по формуле (3.61) для всех 14 линий скольжения,
получены в пределах 1,32-ь2,30. Эти показатели были оценены как
достаточные для обоснования принятых проектных решений. После-
дующая эксплуатация, срок которой в настоящее время превысил
15 лет, подтвердила устойчивость и стабильность эстакадной части
моста и прилегающей части берегового склона.
4.	СМЕШАННАЯ (УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ) ЗАДАЧА
ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ. НЕЛИНЕЙНЫЙ
МЕТОД РАСЧЁТА ГЕОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Придёт время, когда наука
опередит фантазии.
Жюль Верн
4.1.	Общие положения.
Понятие о физически нелинейных моделях грунта
Рассмотренные ранее РМ геотехнических объектов являются
упрощёнными по той причине, что в них используется только одна
группа физических уравнений: либо уравнения закона Гука, либо ус-
ловия предельного равновесия по закону Кулона (предельного напря-
жённого состояния грунта в соответствии с уравнением Мора-
Кулона). Распределение напряжений на всём континууме расчётной
области предполагается либо соответствующим решению теории
линейно деформируемой среды, либо предельным.
В действительности в большинстве расчётных областей одновре-
менно существуют напряжённые состояния обоих типов. Для того
чтобы это положение отразить в расчёте, требуется решение нелиней-
ной задачи механики грунтов.
В современном строительном проектировании расширяется
область использования нелинейных методов расчёта на математиче-
ской основе МКЭ. Это связано с растущим числом объектов, которые
могут быть качественно запроектированы только при помощи реше-
ний строгой теории. Примерами таких объектов являются
-	крупномасштабные (высотные, большепролетные) сооружения
с тяжелыми нагрузками на несущие конструкции и основания;
-	сооружения в сложных инженерно-геологических условиях,
когда упрощённые расчётные схемы недостаточны для обоснования
проектных решений;
-	объекты в аварийном или предаварийном состояниях;
-	объекты с высокими или повышенными требованиями к точно-
сти расчета перемещений (в частности осадок оснований);
-	неизученные технические решения.
Но главной предпосылкой востребованности нелинейных (упру-
гопластических) методов расчёта является их доступность (чего
не было раньше) в связи с успехами компьютерной и вычислительной
128
техники. Физически нелинейные РМ наряду с экспериментами могут
быть использованы для получения эталонных решений при обоснова-
нии упрощённых расчётных схем новых разновидностей геотехниче-
ских объектов.
Использование нелинейных методов предполагает выполнение рас-
чётов по предельным состояниям первой и второй группы, не меняя мо-
дели грунта. Это позволяет (в отличие от упрощённых методов расчёта)
не прибегать к ограничению действующих нагрузок для обеспе-
чения корректности способа определения расчётных напряжений;
не использовать условные коэффициенты, косвенно учитываю-
щие физическую нелинейность материала или повышение несущей
способности за счёт некоторого (ограниченного) развития пластиче-
ских областей;
получать во всех точках физически возможное (допредельное или
предельное) напряжённое состояние.
Физически нелинейные задачи не имеют единственного решения
в связи с различными гипотезами, принятыми на стадии пластического
деформирования. Применительно к геотехническим объектам существуют
два направления постановки и решения задач строгой теории: упру-
гопластические задачи на основе теории пластического течения (смешан-
ные задачи теорий упругости и пластичности) и физически нелинейные
задачи на основе деформационной теории пластичности грунтов.
Упругопластическая модель грунта основывается на следую-
щих представлениях:
-	присущими грунтам являются три вида физической нелинейно-
сти: пластическое формоизменение при сложном напряженном состо-
янии; беспрепятственное деформирование при растяжении; сдвиг по
заданной или определяемой расчётом поверхности;
-	элемент (элементарный объём) грунта при соответствующем
нагружении проходит стадии допредельного и предельного (пласти-
ческого) напряженных состояний, определяемых физическими урав-
нениями теорий упругости и пластичности;
-	в связи с неравномерным распределением напряжений в грун-
товом массиве имеют место оба вида (допредельное и предельное)
напряженного состояния, локализирующиеся в областях с фиксируе-
мыми расчетом границами;
-	предельные состояния (потеря устойчивости, прогрессирование
перемещений) являются следствием развития пластических областей,
линий скольжения и накопления присущих им деформаций.
129
Вернёмся к рисунку 17, на котором рассматриваемая модель
грунта изображена линией 3. Постановка смешанной задачи теорий
упругости и пластичности предполагает совместное использование
физических уравнений, формирующих расчётные модели грунта как
линейно деформируемой и жёсткопластической сред. Это позволяет
использовать в качестве исходных данных те же механические харак-
теристики грунтов (Е, v, (р, с), которые применяются раздельно в
моделях, изображаемых линиями 1 и 2. Физическое содержание
указанных характеристик доступно для понимания широкого круга
специалистов. Они могут быть определены по стандартным методи-
кам, освоенным в современных грунтовых лабораториях, либо при
помощи широко апробированных табличных данных.
Деформационная теория пластичности грунтов (теория малых
упругопластических деформаций А. А. Ильюшина) основана на предпо-
ложении о том, что объёмная деформация ev=Ji [в соответствии с (1.32)]
и интенсивность угловой (формоизменяющей) деформации у, [в соот-
ветствии с (1.34)] связаны со средним нормальным напряжением от и
интенсивностью касательных напряжений т, = соотношениями
(4.1)
где К(<7т)== tga и G(r;-) = — = tg/З - переменные секущие модули
объёмной деформации и сдвига, зависящие от ат и г, (рисунок 61, а, б).
Из соотношений (4.1) следуют уравнения связи между напряже-
ниями и деформациями:
<уг - (Ут СУт
’	2G(r,.) 3K(aJ’
£ ___ °у	+	.
у 2G(r,)	ЗЛ'(<т„) ’
(7_ — (У т
g __ Z	ГП _|__т .
z “ 2G(r,)	3K(<zJ’
(4.2)
Криволинейные диаграммы на рисунке 61 предполагают единый
закон деформирования во всём диапазоне действующих нагрузок.
Деление деформаций на упругие и пластические составляющие
отсутствует.
130
Определение переменных модулей К (<7т) и (7 (г,) связано с про-
ведением большого числа специальных лабораторных экспериментов,
что ведёт к невозможности практического использования рассматри-
ваемой теории в массовом проектировании.
а)	б)
Рис. 61. Зависимости между инвариантами напряжений и деформаций £v = /j (<7m )
и Г,=/26) в соответствии с деформационной теорией пластичности
Теория и методы нелинейных методов расчёта являются инстру-
ментом современных прикладных научных исследований и строи-
тельного проектирования. Эти методы не могут полностью заменить,
но существенно дополняют и в качестве теоретически строгих реше-
ний способствуют развитию упрощённых методов расчёта, которые
вполне обоснованно сохраняют своё значение при проектировании
объектов средней технической сложности.
4.2.	Упругопластическая задача для грунтов
(постановка и решение)
Модель грунта. В условиях современного проектирования
наиболее эффективной является рассматриваемая ниже в настоящей
главе упругопластическая модель грунта, сочетающая использование
четырёх групп уравнений: 1) закона Гука (для допредельной стадии
деформирования), 2) соотношений Коши, 3) условий текучести (пре-
дельного напряжённого состояния) в соответствии уравнениями
Мора-Кулона или Мизеса-Шлейхера-Боткина и 4) кинематических
соотношений теории пластического течения.
На рис. 62 представлена структурная схема РМ, сочетающей
уравнения теорий линейно-деформируемой и жёсткопластической
сред, которые прошли длительный отбор и многократную проверку
131
при проектировании различных категорий сооружений. Получаемое
по расчёту напряжённо-деформированное состояние является физи-
чески возможным во всех точках. Геометрической иллюстрацией
(двухмерной аналогией) упругопластической РМ является диаграмма
Прандтля в виде линии 3 на рисунке 17.
Условия
равновесия
Физические
уравнения
Геометриче-
ские и кине-
матические
соотноше-
ния
Расчетные
модели
Рис. 62. Структурная схема упругопластической модели грунта
Постулаты и гипотезы, формирующие принятую модель грунта, и
описывающие их уравнения для двух видов напряжённого состояния
(плоской деформации и осесимметричной задачи) представлены в
таблице 25.
Для подготовки исходных данных при решении плоской упруго-
пластической задачи требуется шесть параметров каждого слоя грун-
та: удельный вес у, модуль деформации Е, коэффициент поперечной
деформации у, угол внутреннего трения д>, удельное сцепление с, па-
раметр дилатансии Л» или Л. Для пространственной (осесимметрич-
ной) задачи параметры (р и с заменяются другой парой: a=(sin<p)/3 и
k-ccoscp.
132
Таблица 25
Описание упругопластической модели грунта
Характеристика РМ	Плоская деформация			Осесимметричное напряженное состояние			
Учитываемые проявления не- линейности грунта	1. Пластическое формоизменение при сложном напряженном состоянии						
	2. Деформирование без сопротивления при растяжении						
	3. Сдвиг по заданной (контактной) поверхности						
Зависимость между напряже- ниями и деформациями	Билинейная в соответствии с диаграммой 3 на рис. 17						
Уравнения закона Гука для линейной части деформации {*}=№}	г •> Е (\+v)(l-2v) ы	1-v и 0 v 1-v	0 l-2v 0	0 	- 2	7*1	<	°, Е Св (\^)(\-^) Ли]	1-у и и 0 и 1-у и 0 v у 1-у 0 ООО 2	
Уравнение предела текучести	Уравнение Мора-Кулона: Я	*		 л + - -  siiy>-ccosp=0			Уравнение Мизеса-Шлейхера-Боткина: +cdl-K = 0			
Уравнения для пластических деформаций	^1,2 =	il)			^,2,3 ~ '	«1дз э г-(л+—Л		
Дилатансионные соотношения на стадии пла- стического течения	~ гч R гч Ц) с с — II •			тп Л =	!_ 6-7^			
Природное давление в осно- вании, ограниченном гори- зонтальной плоскостью	«1.2 =P=~T-Z\ (z]~ координата глубины основа- ния, отсчитываемая от его поверх- ности)			«1,2,3 = Р = “Г * Z1			
Решение упругопластической задачи. Задача решается средст-
вами МКЭ в сочетании с известной в теории пластичности процеду-
рой метода начальных напряжений (МНН).
Введём следующие обозначения: {сг}={о\ сгу az тху xyz тл; а2 0з}>
{е}={ел еу е: уху УугУхг £i £2 £з} - матрицы-строки компонентов напряже-
ний и относительных деформаций в точке (элементарном объёме
грунта), конечном элементе или центре конечного элемента. Те же
матрицы, содержащие члены с верхним индексом «с» ({</}, {се}),
означают результаты линейного («упругого») решения задачи. Мат-
рица {с/7} содержит компоненты напряжений, удовлетворяющие фи-
зическим условиям задачи. При этом одно из условий выполняется на
предельном уровне: F=0, где Р - формульное выражение, описы-
вающее предельное напряжённое состояние (предел текучести).
Предположим, что на некоторой части расчётной области по
результатам линейного расчёта получено распределение напряжений,
не удовлетворяющее одному из условий текучести. Его необходимо
«исправить», т.е. получить на всей расчётной области физически
возможное напряжённое состояние, которое может быть допредель-
ным (Х<0) или предельным {</}, соответствующим условию Г*—0
и определяемым в зависимости от {се}.
Графической иллюстрацией связей между aJi2e и а1:2р являются
схемы на плоскости главных напряжений (рисунок 63), где линия ВС
изображает уравнение Мора-Кулона /^=0, точка В - одноосное на-
COS^9
пряженное состояние <т/=0, сг2 = -2с
1 - sin (p
Учитывая, что грунты слабо сопротивляются растяжению, при
котором теряет силу закон сопротивления сдвигу и снижается модуль
деформации, будем считать их воспринимающими только сжатие.
Поэтому, если в линейном решении {с} получено <т/>0, то принима-
ется о/=0. При этом второе главное напряжение должно удовлетво-
_ v „ COS 69
рять условию текучести при одноосном сжатии 0 >	£ —2с-;.
При о/>0, 0><т2е >-2с—COS^ принимается сг/-О, о2р=а2е (точки 1
1 - sin <р
и 7); при о/>0, с/>0 принимается а/М), а2р=0 (точки 2 и 2 Э; при а/Х),
е cos <р
принимается а/=0, (У2 - -2с 008 (точки 3 и 3
1 - sin <р
134
При пространственном напряжённом состоянии указанные выше
зависимости, связывающие напряжения о/ и о/, распространяются
на о/и о-/.
Рис. 63. Графическая форма связей
между oij и <т/,2е на плоскости
главных напряжений; ОА - гидро-
статическая ось, ВС - графическая
форма условия текучести Мора-
Кулона
Наибольшее практическое значение имеет случай, когда исходное
напряжённое состояние {ае} является всесторонне сжимающим, но не
удовлетворяет условию текучести в соответствии с уравнениями Мора-
Кулона (1.15) или Мизеса-Шлейхера-Боткина (1.25): 7^>0. Для составле-
ния уравнений связи между {<те} и {<?} воспользуемся условием МНН,
согласно которому упругие деформации {ее}, вызываемые напряжениями
{&}, равны упругопластическим деформациям от напряжений {</}.
Это равенство иллюстрирует рисунок 64, а, где на билинейном графике
e=f(o) точка Е изображает напряжённо-деформированное состояние
{ае}-{ге}, а точка Р - напряжения {</}, которые требуется определить.
Кроме того, в расчёт вводится условие о коаксиальности (со-
осности) тензоров-девиаторов напряжений и скоростей пластических
деформаций, следствием чего является соосность напряжений 01,2,3е
и О1,2,зр- Это позволяет записать следующие уравнения для условий
плоской деформации:
Г[(\ -	- иг/] = /[(\ -- va^ ] +1ЦД +1),
.Ст	2Ст	2
-ит,'7	-V, (4.3)
aj	Zaj	2
- модуль сдвига; Е, v, А, Л«сохраняют значения, при-
нятые в п. 1.3. Левые части уравнений (4.3) выражают относительные
135
деформации ех2	)(7\,2С ~v<72,\ 1 > первые члены правых
частей £\.ъР =-^[(l-v)O\2P —va2Ap ] ~ «упругие» части главных
деформаций от напряжений {</}, вторые члены £j 2п = ~ Л(Д ± 1) -
пластическую деформацию формоизменения с дилатансией.
Неизвестные главные напряжения о// должны удовлетворять ус-
ловию текучести
frP-frP (ТР+(7Р
Fp = —-----—+—-------— sin ф - с cos ф = 0.	(4.4)
Уравнения (4.3) и (4.4) образуют замкнутую систему (три ура
внения с тремя неизвестными: 2, <7д/), решение которой позволяет
получить следующие соотношения связи между и 07 2е:
G(1 - 2у + Д sin ^>) ’
(4-5)
(4-6)
е е е . е
„е (Ti -<т2 . СТ, +<Т2 •
F = —------— -I—1-----— sin ф - с cos ф.
2	2
В конечных элементах пластической области Р>0.
(4.7)
Вернёмся к рисунку 63, где на плоскости главных напряжений
пограничная прямая линия ВКРС изображает уравнение Мора-Кулона
7^-0, пунктирная линия ОА - гидростатическую ось. Рассмотрим
связь между напряжениями и О]/ в графической форме. Допус-
тим, что отрезок LE изображает изменение напряжённого состояния
в элементарном объёме грунтового массива после приложения на-
грузки: точка L {(71,2—р) соответствует начальному (природному)
давлению; точка Е ((71,2е) - результат линейного решения задачи,
изображаемое ею напряжённое состояние физически невозможно.
В действительности в момент пересечения вектором LE пограничной
прямой ВС (точка К) напряжённое состояние переходит в пластиче-
скую стадию, описываемую линией КР.
Для трёхмерной задачи при допущении о соосности 07,2,/, е/дД
01,2,зр уравнения, выражающие совместность деформаций и условие
прочности, записываются в следующем виде:
136
- V(<7„" + <)] =	-И<Г.' + <7/)] + Ла'Р
ЕЕ
cdxp _jt = o,
(4-8)
(4.9)
где I, m, n - 1,2, 3, остальные обозначения прежние (см. п. 1.З.).
Совместное решение этих уравнений относительно 01,2/ и Л по-
зволяет получить следующие соотношения связи между aJt2,3P и 01,2.3е
и их инвариантами:
G[6аЛ(1 + v) +1 - 1v] ’
(4.Ю)
(4.И)
(4.12)
где Fe =cdle +^-k>0.
Графическая форма связи напряжённых состояний и 01,2,3е
аналогична рассмотренной выше на рисунке 63, но изображается в
пространстве главных напряжений, где условие (4.9), заменяющее
(4.4) для плоской задачи, имеет вид конической поверхности.
Изложенный выше способ определения главных напряжений 01,2Р
(^1.2.зр) и их положения на плоскости 07, 02 (в пространстве главных
напряжений 01, о2, 03) необходим, но не достаточен для решения
упругопластической задачи. При замене относительных деформаций
{се} равными по величине упругопластическими деформациями
+{е1} непрерывность системы сохраняется, но происходит нару-
шение равновесия, возникает «невязка сил».
Для корректного перехода от напряжений 01,2,3е к 01,2/ необходи-
мо выполнить следующую двухшаговую процедуру МНН на матема-
тической основе МКЭ.
Первый шаг. Определение главных «начальных напряжений»
Л01,2,з-01.2.зр~&1.2.зе в центрах конечных элементов, в которых получено
РХ). Переход от главных напряжений Л01.2.3 к осевым «начальным
напряжениям» Лоу, До* Дтху, Aitxz, Дт^. Сложение «начальных
напряжений» {Д0} с компонентами осевых напряжений {а} линейного
(«упругого») решения задачи. На этом шаге расчёта в конечных элемен-
тах пластической области получены компоненты напряжений {</}.
137
Определение вектора «невязки силы» в матричной форме в соот-
ветствии с соотношениями, принятыми в МКЭ: {z1P}= F[B]r{z1cr},
где V - объём конечного элемента, [В]г- транспонированная матри-
ца [В], связывающая относительные деформации с узловыми пере-
мещениями в соответствии с соотношениями Коши.
Второй шаг. Наложение вектора сил {ЛР} с обратным знаком
(-{JP}) на систему (расчётную область) в целом. Определение
компонентов напряжений {ajp} и относительных деформаций {е^р}
путём расчёта системы на воздействие сил (-{JP}). Получение
новых напряжений и относительных деформаций в конечных эле-
ментах пластической области
{<7} = {О^} + {СТ{(?} + {dff} +	,
{<?}={£*}+{слр}={ср}+{с”}+{^jp}
(4.13)
и в конечных элементах, в которых исходное (начальное) напря-
жённое состояние было допредельным,
{о}={ае}+М, {е}={ее}+Ы.
(4.14)
Уравнения (4.13) и (4.14) не являются окончательными запи-
сями решения упруго пластической задачи. Распределение напря-
жений в конце «второго шага» необязательно удовлетворяет уста-
новленным требованиям. После проверки на выполнение условий
текучести на части расчётной области могут остаться или вновь
появиться конечные элементы, в которых получено Р>0. В этом
случае новое распределение напряжений и деформаций принима-
ется в качестве исходного, повторяется процедура метода началь-
ных напряжений, а затем, если понадобится, повторяется необхо-
димое число раз. Это означает, что процесс решения упругопла-
стической задачи является итерационным. Итерация заканчивается
после того, как величина «начальных напряжений» (или некоторый
характеризующий её параметр) удовлетворяет установленному
критерию сходимости.
Число ступеней итерации можно уменьшить, а размер каждой
ступени — увеличить, при помощи повышающего коэффициента
«ускорения сходимости» £>1.0 к величинам {Ао}={ар}-{ае} в
конечных элементах пластической области.
138
В связи с итерационным путём решения упругопластической за-
дачи требуется корректировка уравнений (4.13) и (4.14) и придание
им следующего окончательного вида:
{<?},+!={<!'}, + к ({с?}-{ае}1)+Ыь	(4-15)


(4-16)
где i, i+1 — номера ступеней итерации.
Уравнения (4.15) и (4.16) определяют алгоритм решения упруго-
пластической задачи, который состоит из следующих расчётов, вы-
полняемых на каждой ступени итерации.
1.	Определение исходных компонентов напряжений {ае}, и
деформаций {ее}„ полученных после действий предыдущей ступени
итерации по уравнениям (4.15) и (4.16).
2.	Определение компонентов напряжений {cf}i в соответствии
с изложенным выше в настоящем параграфе (уравнения 4.6, 4.12,
рисунок 63).
3.	Выполнение двухшаговой процедуры метода начальных
напряжений:
- определение «начальных напряжений» k{zla}f=k({tf}j—{^e}i) и
вектора «невязки сил» {JP}i= к Р[5]г{Лсг},;
- определение компонентов напряжений {ojp}, и деформаций
{EdP}i путём расчёта системы на воздействие сил (-{ЛР},).
4.	Определение новых компонентов напряжений {</},+/ и дефор-
маций {ее},+/; проверка выполнения условий текучести и сходимости
итерации.
Рис. 64. Графические
иллюстрации:
а - к уравнениям (4.3);
б - к уравнениям
(4.15), (4.16)
Графической иллюстрацией процесса решения с использованием
уравнений (4.15) и (4.16) являются ломаные линии на рисунке 64, б,
где точки Ej изображают напряжённо-деформированное состояние
{<re}i~{Ee}i в начале i-й ступени итерации на билинейной диаграмме
е=Х^)» а точки Л - напряжения {</},.
139
При поэтапном приложении нагрузки приращения напряжений
j-го этапа загружения добавляются к полученным после (j-1)
этапов	Эти суммы принимаются за исходные значения
после чего выполняются расчёты метода начальных напряже-
ний с использованием уравнений (4.15) и (4.16). Такой путь решения
графически изображён на рисунке 64, б. Пусть точка А обозначает
достигнутый уровень напряжений и деформаций после (/—1)-го этапа
приложения нагрузки. Отрезок АВ изображает связь напряжений
{<><re}j и деформаций {dee}j в соответствии с линейным решением при
j-м догружении. В этом случае использование соотношений (4.15),
(4.16) равносильно предположению о том, начальное напряжённо-
деформированное состояние {ae}j=!;j-{Ee}i=i;j в точке В состоит из уп-
ругой части СВ и ранее накопленных пластических деформаций ОС.
Пример расчёта. Рассмотрим реализацию изложенного выше
решения на численном примере задачи о полосовой нагрузке на осно-
вании, ограниченном горизонтальной плоскостью.
В/2=3,0м
Р^ЗООкПа
А				Е*	1 I	ш 1 I	. 1 -	 I	г г 1 ! 1		г м 1.
			—	।	|\ . у -			,2			« 	
	_3				/			1	i 1 j ft
।								1 1		т 6 1 1 	Еч
									1 1
			—							.			- ——_		i 		u 1 1 1
				 i					1 ’ i I.
		1			i 1 1 г			—		.	_|		^0,6m^ L—	
Рис. 65. Результаты
расчета основания
полосовой нагрузки:
1 - граница пластической
области; 2 - конечные
элементы зоны разруше-
ния по линейному реше-
нию задачи; 3 - направле-
ния главных напряжений;
4 - плоскость симметрии
В
Однородное основание, разделённое на конечные элементами в
виде прямоугольников (рисунок 65), загружено полосовой нагрузкой
с интенсивностью р=ЗОО кПа и шириной полосы h=6 м в условиях
плоской деформации. Для грунта основания приняты следующие ха-
рактеристики: £=30 МПа, v=0.42, ^=20°, А*=0, у=18 кН/м3.
140
На рисунке 65 заштрихована «зона разрушения»
Р =———1—*—с>0, полученная в результате первого упругого
2	2
решения. Глубина её проникновения в основание составила 3.6 м.
После пяти ступеней итерации величина параметра F6 во всех конеч-
ных элементах не превышала 1 кПа, и расчёт был прекращён.
При этом пластическая подобласть достигла размеров, очерченных
на рисунке.
Перед началом итерации вертикальные перемещения верхней
границы основания составляли 5.2 мм в точке Е и 30.6 мм в точке D,
горизонтальное перемещение в точке Е - 0.83 мм. В ходе расчёта вер-
тикальные перемещения практически не изменились, а горизонталь-
ное перемещение в точке Е увеличилось на 0.42 мм.
Рис. 66. Диаграммы, описывающие итерационный процесс в конечных элемен-
тах (КЭ) №75 и №95: а — круги Мора по результатам линейного расчета (1) и
в конце итерации (2); б - графики зависимости у- = S= /(г )=—LZ—1
На рисунке 66, а изображены круги Мора, соответствующие на-
пряжённому состоянию в центрах конечных элементов № 95 и 75
(см. рис. 65) в начале расчёта (первое упругое решение) и после окон-
чания итерации. На рисунке 66, б показана динамика изменения каса-
тельных напряжений ттах = ——— (радиуса круга Мора) в этих же
2
точках на диаграмме yMax=/(rWax)- Вертикальные отрезки соответству-
ют уменьшению касательных напряжений на первом шаге каждой (/-
й) ступени итерации, наклонные - приложению системы сил (-{JP},)
141
на втором шаге. Сплошные горизонтальные линии обозначают пла-
стические составляющие деформации в начале расчёта, пунктирные —
в конце расчёта. Их несовпадение связано с изменением в ходе итера-
ции среднего нормального напряжения.
4.3. Программное обеспечение
В настоящем параграфе рассматривается программное обеспече-
ние, являющееся продолжением изложенного выше решения смешан-
ной задачи теории упругости и пластичности для грунтов.
Компьютерная реализация этого решения осуществлена в про-
граммах START (Д.М. Шапиро, Г.В. Полторак, 1989) для ЭВМ поко-
ления ЕС и УПРОС (2000 - 2010) для современных PC. В обеих про-
граммах реализованы плоская и осесимметричная версии изложенно-
го выше решения упругопластической задачи. Кроме того, на основе
того же алгоритма в Полтавском нацональном техническом универси-
тете им. Ю. Кондратюка была разработана программа «Основание»
(О.А. Голов, 2002), содержащая только плоскую версию.
Программа УПРОС («Упругопластический расчёт объектов
строительства») разработана и внедрена автором совместно с кан-
дидатами технических наук Р.Н. Гузеевым и Н.Н. Мельничуком
в 2000-2010 г.г. для целей научных исследований и проектирова-
ния геотехнических объектов. Являясь результатом научных работ
небольшой группы специалистов, эта программа не оснащена
качественными пре- и постпроцессорами, графическими интерфей-
сами. Она предназначена для ограниченного круга пользователей
с исследовательскими целями, а также может быть использована
для тестирования современных программ «промышленного»
назначения.
В расчётах учитываются рассмотренные выше проявления
нелинейности грунтовой среды: пластическое формоизменение с
дилатансией, беспрепятственное деформирование при растяже-
нии, сдвиг по заданной контактной поверхности. Программа по-
зволяет рассмотреть напряжённо-деформированное состояние при
одновременном или постадийном (ступенчатом) приложении на-
грузок. Может быть учтено исходное напряжённое состояние, по-
лученное системой на предыдущих стадиях приложения нагрузок,
или гидростатическое распределённое природное давление в
основании.
142
Библиотека используемых в программе конечных элементов
(КЭ) содержится в таблице 26. Компоненты напряжений {&},, {</’},
определяются в центрах конечных элементов, моделирующих грунт,
усилия в стержнях - на концах стержневых конечных элементов,
перемещения - в узлах сетки.
Таблица 26
Библиотека конечных элементов
Форма (схема) КЭ,
используемых в программе УПРОС
Наименование
КЭ
Компоненты на-
Стержень
Трехузловой
треугольный
КЭ плоской
системы
Четырехузло-
вой прямо-
угольный КЭ
плоской систе-
мы
Осесимметрич-
ный КЭ тре-
угольного се-
чения
система коорди-
нат, векторы сте-
пеней свободы
пряжений в кон-
тинуальных КЭ
Функции
перемещений кон-
тинуальных КЭ
U=oj +c^x+a1z+c^xz
V=а$ +<%x+a!z+c^xz
В качестве показателя сходимости итерации принята норма
невязки силы
Ем =
где {JPS}, — вектор невязки силы, определяемый в соответствии с
процедурой МНН, s - номера узлов, i - текущая ступень итерации.
143
Допустимая величина Е^р задаётся как часть (3-^5%) аналогичной
нормы Ер =	действующей нагрузки {PJ.
Итерационный процесс прекращается после снижения нормы
«невязки силы» до установленного уровня или исчерпания лимита
ступеней итерации.
Вводимая информация состоит из следующих массивов исходных
данных:
-	координаты узлов;
-	связи (узлы с нулевыми перемещениями и узлы с равными
перемещениями);
-	описание нагрузок (величины, направления, узлы приложения);
-	описание конечных элементов (номера узлов, модули деформа-
ции, коэффициенты поперечной деформации конечных элементов, мо-
делирующих грунт и массивные конструкции; модули упругости,
площади сечения и моменты инерции стержней; механические харак-
теристики грунтов: угол внутреннего трения, удельное сцепление, па-
раметр дилатансии; природное или исходное напряжённое состояние);
-	коэффициент ускорения сходимости к;
—	допустимая величина нормы невязки силы (параметр Е^р);
-	максимальное число циклов итерации, после достижения кото-
рого расчёт прекращается с выводом об отсутствии сходимости.
Выходная информация - результаты расчёта в конце итерации
и на указанных в задании ступенях итерации:
-	перемещения узлов;
-	компоненты напряжений в центрах континуальных конечных
элементов;
-	продольные, поперечные силы и моменты на концах стержне-
вых элементов;
-	данные о наличии и видах пластических явлений в конечных
элементах;
-	нормы нагрузки ЕР и невязки силы Е^р,ь
4.4.	Формирование расчётных схем
и критерии предельных состояний (ПС)
Библиотека конечных элементов программы УПРОС рассчитана
на выполнение расчётов плоских (плоская деформация) и осесиммет-
ричных континуумов. Расчётная схема в виде плоской деформации
соответствует условиям геотехнических объектов, у которых про-
144
дольное измерение не менее чем в три раза превышает два других,
и имеется как минимум одна поперечная плоскость симметрии.
Осесимметричная версия упругопластической задачи рассчитана
главным образом на условия различных типов свай и фундаментных
систем в виде тел вращения.
При решении задач принимаются нелинейными (упругопластиче-
скими) конечные элементы, моделирующие грунт. Подпорные стенки,
фундаментные плиты изображаются на расчётных схемах МКЭ тела-
ми, состоящими из упругих прямоугольных элементов или упругими
стержнями. Свайные, стоечные, столбчатые ряды, анкера, анкерные
стержни, армирующие элементы (геотекстиль) моделируются плос-
кими упругими стержнями. В расчёте учитывается жёсткость стерж-
невых элементов и доля приложенных к ним сил, приходящаяся
на 1 погонный метр длины (продольного размера) проектируемого
сооружения.
Размеры расчётных областей, граничные условия назначаются
таким образом, чтобы силы и закрепления на контуре были доказуе-
мыми или обоснованными путём перебора вариантов. При делении
рассчитываемого континуума на конечные элементы наибольшую
густоту сетки следует предусматривать в зонах ожидаемого предель-
ного напряжённого состояния и наибольших градиентов напряжений.
Опыт расчётов позволяет рекомендовать размер членения порядка 0.1
наименьшего размера расчётной области. Для грунтовых откосов и
склонов допустимо применение только прямоугольных конечных
элементов. Возникающее при этом небольшое отклонение контура
расчётной области от действительной внешней границы грунтового
массива влияет на величины напряжений только в наружных конеч-
ных элементах и соседних с ними.
Особенностью решений нелинейных задач является выполне-
ние расчётов по предельным состояниям обеих групп по одной
расчётной схеме при одной модели грунта. Расчёт может быть
выполнен путём поэтапного загружения: силовые воздействия
вначале доводятся до значений, соответствующих расчёту по
предельным состояниям второй группы; затем — увеличиваются
(или уменьшаются) до размеров наиболее неблагоприятных рас-
чётных величин.
На рисунке 67 изображена структурная схема связей между
видами ПС в соответствии с ГОСТ 27751-88 и противостоящими
им расчётными проверками.
145
Рис. 67. Предельные состояния и способы проверки обеспеченности от их наступления
Формы разрушения и деформирования, способы их выявления,
присущие используемой модели грунта и математической процедуре,
отражают следующие проверки по ПС:
— сходимость итерационного процесса, т. е. решение, удовлетво-
ряющее всем установленным требованиям (при допустимой невязке),
свидетельствующее о получении статического напряжённого состоя-
ния, исключающего потерю прочности и устойчивости;
- ограничение размеров пластических областей и величин
пластических деформаций, направленное на обеспечение стабильно-
сти грунтового континуума;
-оценка степени прогрессирования перемещений в заданных
узлах системы, выполняемая при помощи соотношения
(4.17)
где R - параметр, характеризующий степень прогрессирования
перемещений при достигнутом уровне нагрузки Р; 5U - перемеще-
ния в заданных точках от нагрузки дР, составляющей 5^10%
от полной величины нагрузки Р; U - перемещения в тех же точках
от нагрузки Р.
Нагрузка Р в соотношении (4.17) может представлять собой
какое-то одно силовое воздействие (например, силу, вдавливающую
сваю) или обобщать систему наиболее значимых сил. Сущность
рассматриваемой проверки иллюстрирует обобщённый график
«нагрузка-перемещение» на рисунке 68. Сравниваются наклон «каса-
тельной» АВ и секущей ОВ. Нагрузка Р считается предельной при
достижении параметром R обусловленной величины.
Рис. 68. К определению параметра R
147
Численные значения параметров, определяющих критерии
предельных состояний (число ступеней и допустимая навязка
итерации, параметр R, размеры пластических областей, абсолютная
или относительная величина пластических частей перемещений),
выбираются индивидуально применительно к условиям решаемых
задач и являются предметом специальных исследований.
Другие проверки, представленные на рисунке 67, не требуют
специальных пояснений. Это проверки прочности и раскрытия
трещин стержневых элементов, несущей способности свай по грунту,
перемещений в заданных точках, выполняемые путём сравнения
результатов расчёта с предельными величинами.
Представленный на структурной схеме набор проверок не являет-
ся исчерпывающим или единственно возможным. Можно предполо-
жить, что по результатам численных решений новых нелинейных
задач геотехники будут предложены другие пока неизвестные спосо-
бы конкретизации предельных состояний.
4.5.	Решение научно-технических задач
1.	Расчётное моделирование фундаментов в пробитых
скважинах (ФПС). Выполненное исследование (Д.М. Шапиро,
Н.Л. Зоценко, С.В. Беда, 1996) посвящено сравнению результатов
статических испытаний и математического моделирования ФПС,
изготовленных по следующей технологии. Цилиндрической трамбов-
кой диаметром 50 см были пробиты три скважины глубиной 2 м; в две
скважины после их образования были втрамбованы объёмы щебня
Vl4= 0.45 и 0.9 м, образующие уширения по форме эллипсоидов.
После этого стволы ФПС были забетонированы враспор.
В качестве исходных данных были приняты механические харак-
теристики грунтов, полученные путём исследования «зоны влияния»
ФПС, включавшие компрессионные, сдвиговые испытания, пенетра-
цию и зондирование околосвайной области основания. Расчёты были
выполнены по осесимметричной версии программы START. Гранич-
ные условия и членение на конечные элементы приняты в соответст-
вии с изображениями на рисунке 69, а.
Процедурные параметры расчётов были приняты в следующих
размерах: коэффициент ускорения сходимости Л=1.5, допустимая
норма невязки силы ЕР в размере 0.05 от предполагаемой предельной
вдавливающей силы Р. На последних ступенях нагрузки число шагов
итерации, требуемых для достижения сходимости, составило 30-50.
148
Рис 69. Схемы к расчётному моделированию нагружения ФПС вдавливающей
силой: а — расчётная область и граничные условия ФПС с V =0; б, в — фрагмен-
ты расчётных областей ФПС с Vut =0,45; 0,90м3; г - фрагмент расчётной области
ФПС (	=0,90м3) с членением на конечные элементы и выделением подобласти
предельного напряжённого состояния (10) при /’=147 кН; 1 - железобетонная
свая; 2 - щебеночное уширение; 3 - уплотненная зона грунта; 4 - суглинок Е=5
МПа, и=0,35, с=17кПа, $7=13°; 5 - суглинок £=12МПа, v=0,35, с=37кПа, (р=14°;
6 - ось симметрии; подобласти в уплотненной зоне: 7 - £=6МПа, р=0,35,
с=18кПа, (р~13°, 8 - £=9МПа, и=0,35, с=20кПа, ^>=140; 9 - £=13МПа, и=0,35,
с=25кПа, ^>=15°
На рисунке 70 представлены шесть кривых «осадка-нагрузка»
s=f(P)\ три расчетных (2, 4, 6) и три (1, 3, 5) по результатам испыта-
нии ФПС с объёмом щебня 0; 0,45; 0,9 м3. Попарное сравнение
кривых 1-2, 3-4, 5-6 свидетельствует о близости результатов, полу-
ченных по расчётам, и данных измерений.
149
Рис. 70. Сравнение зависимостей s=f(P) по результатам расчётов
и статических испытаний: 1 - испытание, 2 - расчет — ФПС у =0,
3 - испытание, 4 - расчет - ФПС К -0,45 м3, 5 - испытание,
6 - расчет - ФПС у =0,9 м3
2.	Расчёт противооползневой подпорной стенки (Шапиро Д.М.,
Гузеев Р.Н., 1999). Расчётная область (плоская деформация на рисун-
ке 71) с общими размерами 20x26 м включает противооползневую
стенку 1 со свайным фундаментом 2, моделируемые стержневыми
конечными элементами (КЭ), часть оползневого откоса и верхние
слои основания (четырёхузловые прямоугольные КЭ). Граничные
условия показаны на расчётной схеме (см. рисунок 71): по нижней
грани неподвижное закрепление, по правой грани - неподвижное
закрепление по горизонтали, свободные перемещения по вертикали,
по левой грани - горизонтальное давление в соответствии с уравнени-
ем p=yz v/(l-v), где у=17.7 кН/м-удельный вес, v= 0.33-коэффициент
поперечной деформации, г - координата высоты расчётной области,
отсчитываемая от верхней грани засыпки.
В результате итерационной процедуры упругопластического
расчёта определены все параметры напряжённо-деформированного
состояния: продольные и поперечные силы, изгибающие моменты в
стержневых конечных элементах (стенке и сваях); перемещения
узлов, компоненты напряжений в прямоугольных КЭ, моделирую-
щих грунт. По расчёту получены подобласти 8 пластического
(предельного) напряжённого состояния и построены пересекающие
их криволинейные линии скольжения 9.
150
Рис. 71. Расчетная область с противооползневой подпорной стенкой:
1 - подпорная стенка; 2 - свайный фундамент; 3 — плита ростверка;
4 - плотный мелкий песок: Е = 24 МПа, у = 0,3, <р=32°, с = 0,9 кПа;
5 - полутвердая глина: Е = 1^МПа, У = 0,42, ^> = 19°, с = \9кПа;
6 - глина тугопластичная: Е = 9 МПа, У = 0,40, (р=7°, с = 9 кПа;
7 - песчаная засыпка: Е = \5МПа, У = 0,3, #>=30°, с = \кПа\
8 — конечные элементы, в которых получено предельное напряжен-
ное состояние грунта; 9 - линии скольжения
Полученные результаты сопоставлены с данными упрощённого
расчёта, выполненного как для обычной подпорной стенки. Расчёт
проектируемого объекта как единой грунтово-стержневой системы
(упругопластическая модель) позволил внести уточнения в прогноз
распределения моментов и перемещений элементов подпорной стен-
ки. По упрощённому расчёту равнодействующая горизонтального
давления на 1 пог. м стенки составила Е= 270 кН/м, момент в уровне
нижней грани плиты свайного фундамента Л/=542 кНм/м.
Аналогичные параметры упругопластического расчёта:
£”=161 кН/м, Л/=311 кНм/м. Перемещения узлов стенки (см. рису-
нок 69) составили: узел А - горизонтальное перемещение А=60.6 мм,
вертикальное Z= -42.9 мм; узел В - А=42.5 мм, -42.8 мм; узел С -
Х=11.9 мм, Z= -42.3 мм.
151
3.	Расчёт несущей способности буронабивных свай. Расчётная
схема и постановка задачи (Шапиро Д. М., Мельничук Н. Н. 2006-
2007), описывают (средствами МКЭ) статическое испытание бурона-
бивной сваи (вдавливание ступенчато возрастающей нагрузкой).
При изготовлении таких свай (в отличие от свай, устраиваемых
с уплотнением грунта основания) сохраняются природные характери-
стики грунтов, принимаемые в качестве исходных данных.
Условие предельного напряжённого состояния принимается в
соответствии с уравнением (1.25). В расчёт вводится ограничение
касательных напряжений т на боковой поверхности буронабивной
сваи: v<f, где f - предельное удельное сопротивление грунта по боко-
вой поверхности в соответствии с СП 24.13330.2011 (таблица 7.3).
В расчёте используются кольцевые осесимметричные конечные
элементы треугольного сечения: упругие, представляющие на расчёт-
ной схеме буронабивную сваю; упругопластические, моделирующие
грунтовую среду.
Радиус расчётной области одиночной сваи принят в размере 6d,
где d - диаметр сваи. Нижняя граница «сжимаемой толщи», учиты-
ваемой при расчёте осадки сваи, определяется по условию о соотно-
шении «дополнительного» (связанного с действием осевой силы) azp
и природного давлений azg давлений: о^= 0.2 <rzg. В соответствии с
этим условием при добавлении нагрузки (на каждой ступени вдавли-
вающей силы) размер «сжимаемой толщи» увеличивается, т. е. даже
на линейной стадии деформирования диаграмма «осадка-нагрузка»
является криволинейной (прогрессирующей).
В расчётах был принят размер параметра невязки <f=£)ZP=0.05
при числе шагов итерации до 50, коэффициент ускорения сходимости
А=1.5.
Ниже приводятся результаты сопоставительных расчётов с
использованием осесимметричной версии программы УПРОС
к статическим испытаниям двух буронабивных свай.
Пример № 1. Для расчета использованы результаты статических
испытаний двух буронабивных свай диаметром 1,0 м длиной 18 м,
выполненных на испытательной площадке в зоне строительства
Волгодонского завода тяжелого машиностроения (А.А. Григорян,
И.И. Хабибуллин, 1977). Расчетная область, геологическое строение
и членение на конечные элементы изображены на рисунке 72, а.
Основание буронабивных свай сложено тремя разновидностями суг-
линков. Для всех слоев суглинков принят коэффициент поперечной
152
деформации v = 0,35, параметр дилатансии Л = а/2 = (sin ^)/6. Для лито-
го бетона буронабивных свай принят модуль деформации 26600 МПа,
установленный авторами экспериментов. Нижние концы свай задела-
ны в суглинок «среднего яруса» на глубину 4 м.
Здание
ттглим
млтлшшм
шлшшмм
тылылытм
£
BSi
t	___
6x025 ПуО.И 7x0.5
Инженерно-геологические
элементы:
Ф - суглинок «верхнего» яруса
(£=12 МПа, с=15 кПа, <0=19°,
7=17,3 кН/м3);
® - суглинок «среднего» яруса
(£=12 МПа, с=24 кПа, #7=17°,
7= 17,9 кН/м3);
(2) - суглинок «нижнего» яруса
(£=22 МПа, с=30 кПа, ^т=19°,
7=19,2 кН/м3).
^^^^у^нзбрная


ИИИМ01

PiffrTfflffjf JT jM., , Ж
ШМЮМШМ
£2
И
J
Рис. 72. Графические изображения к примеру 1: а - расчетная область, членение
на КЭ, граничные условия; б — диаграммы зависимостей s=flP): 1, 2 - по дан-
ным статических испытаний; 3,4 — по результатам упругопластического расчета
при значениях расчетного сопротивления грунта трению по боковой поверхно-
сти сваи без понижающего
коэффициента и с коэффициентом у</=0.8; 5 - упру-
гое решение, 6, 7 - разгрузка, в—области предельного напряженного состояния:
1,2, 3 - при нагрузке Р соответственно 2,5, 3,1 и 3,5 МН
Диаграммы «осадка - нагрузка» з=ДР) по данным статических
испытаний буронабивных свай и по результатам расчетов с использо-
ванием упругопластической модели грунта показаны на рисунке 72, б.
При выполнении расчетов нагрузка прикладывалась ступенями
по схеме 10х0,25МН+ 15x0,1 МН. По ходу расчетов предельное
153
напряженное состояние было получено в такой последовательности:
сначала было достигнуто предельное сопротивление грунта касатель-
ным напряжениям на боковой поверхности буронабивной сваи
(Р=2,5^-3,0 МН); при Р=2,5 МН получено предельное напряженное
состояние в трех конечных элементах (рисунок 72, в); при нагрузке
Р=3,1 МН область предельного напряженного состояния пересекла
ось симметрии на расчетной схеме. После этого размеры пластиче-
ской области прогрессивно увеличивались при сохранении плавности
кривой s=f(P).
Достижение предельного напряжённого состояния в соответствии
с уравнением (1.25) в конечных элементах на оси симметрии в слое
грунта высотой 0,5 м, равной половине диаметра сваи, (Р=3,1 МН)
совпало с исчерпанием несущей способности при статическом испы-
тании и с расчетной осадкой (5=37,6 мм), близкой к 40 мм, принятой в
п. 7.3.5 СП 24.13330.2011 в качестве одного из показателей предель-
ного сопротивления сваи. Отношение ц = Av, /a$w приращений осадки
д?, и на двух соседних ступенях увеличения нагрузки [z-й и
(/-/)-й] достигло максимума (т/=3,94) при достижении предельного
сопротивления трению по боковой поверхности буронабивной сваи.
На заключительных ступенях нагрузки (после Р=3.0МН) параметр t]
оставался практически постоянным (7= 1,15-е-1,22).
Линия 5 на рисунке 72, б изображает зависимость s=f(P) в соот-
ветствии с линейным решением задачи. При осевой силе Р=3,1 МН
«упругая» часть осадки составила 15 мм, пластическая часть 22,6 мм,
т. е. их доли в общей осадке сваи составили 40 и 60%.
Таблица 27
Механические характеристики грунтов
Номер ИГЭ	Наименование грунта	Е, МПа	с, кПа	<Р°	V
1	Глина полутвердая	23,0	40,0	18	0,40
2	Суглинок тугопластичный	17,0	17,0	20	0,35
3	Песок пылеватый плотный	28,0	0,1	32	0,35
4	Суглинок тугопластичный	28,0	24,0	21	0,35
5	Глина полутвердая	30,0	54,0	19	0,40
6	Суглинок полутвердый	45,0	28,0	24	0,35
7	Песок пылеватый плотный	33,0	4,7	33	0,30
8	Супесь твердая	60,0	15,3	27	0,30
9	Песок средней крупности	30,0	0,1	33	0,30
10	Песок средней крупности	25,0	0,01	28	0,30
154
Пример № 2. Буронабивная свая диаметром 1,7 м длиной 26,8 м
(рисунок 73, а) была изготовлена при строительстве свайного фунда-
мента большого моста в 1992 г. При бурении скважины были пройде-
ны (таблица 27) три разновидности песков (tp = 28+33°) и четыре слоя
пылевато-глинистых грунтов (^ = 19-5-27°, с = 15-5-54 кПа). Свая была
заделана на 1,6 м в слой пылеватого плотного песка (£”=28 МПа,
^> = 32°) общей мощностью 4,0 м. Подстилающие слои: тугопластич-
ный суглинок (мощность 1,2 м, £ = 17 МПа, $> = 20°, с = 17 кПа),
полутвёрдая глина (£ = 23 МПа, $> = 18°, с = 40 кПа). В расчетах
принят удельный вес грунтов у = 19 кН/м3.
Свая была испытана в проектном положении как одиночная.
Испытание доведено до нагрузки 12,5 МН и было прекращено в связи
с исчерпанием мощности анкерной системы. Несущая способность
(предельное сопротивление) сваи не была достигнута.
При выполнении упругопластического расчета, моделирующего
испытание буронабивной сваи, была принята конечно-элементная
расчетная схема с размерами: радиусом 10,2 м, высотой 37 м. Расчет
был доведен до нагрузки 20 МН.
Диаграммы на рисунке 73, б показывают хорошее совпадение
зависимостей «осадка-нагрузка» по результатам упругопластического
расчета и статического испытания. Расчетная кривая получена плав-
ной до конца расчета. На рисунке 73, в показаны области предельного
напряженного состояния при трех значениях нагрузки Р=15,0, 17,0 и
18,0 МН.
При вдавливающей силе Р=17,5 МН область предельного напря-
женного состояния грунта под нижним концом буронабивной сваи
пересекла ось симметрии расчётной области и достигла высоты 0,9 м
(0,5 диаметра сваи); расчетная осадка составила 80 мм (0,047 диамет-
ра сваи); доля «упругой» части 30 мм (см. рисунок 73, а, линия 3)
составляет 37% от общей осадки.
Обобщение результатов расчётного моделирования статических
испытаний буронабивных свай различных диаметров позволило
обосновать в качестве в качестве критериев предельного сопротивле-
ния следующие показатели:
-	образование на оси симметрии области предельного напряжён-
ного состояния высотой, равной половине диаметра сечения сваи;
-	осадка, равная 0.05 диаметра сваи;
-	отношение пластической и упругой частей общей осадки
с /с =i s
пласт' ^упр. 1 • •
155
Рис. 73. Графические изображения к примеру 2: ^расчетная область, членение
на КЭ, граничные условия; О?...® - номера ИГЭ в соответствии с таблицей 27;
б - диаграммы зависимостей s=f(Py. 1 - по данным статического испытания;
2 - по результатам упругопластического расчета, 3 - упругое решение,
4, 5 - при разгрузке сваи; в - области предельного напряженного состояния:
1,2,3 — при нагрузках Р соответственно 15,0,17,0 и 18,0 МН.
4. Расчёт фундамента мостовой опоры на береговом склоне.
Опора большого городского моста расположена вблизи перелома
откоса и уреза воды. После семи лет эксплуатации моста был выпол-
нен контрольный расчёт* с целью оценки длительной прочности и
устойчивости берегового откоса с фундаментом опоры.
* Расчёт выполнен автором совместно с канд. техн, наук
Н. Н. Мельничуком (2005).
156
Крутизна откоса со стороны русла 1:1,7. Фундамент установлен
на полутвёрдые глины. В основании опоры на удалении 2,0-ь2,5 м от
подошвы фундамента залегает подстилающий слой мягкопластичной
глины мощностью 1,25-5-2,5м (ИГЭ-3). Ниже расположены дресвяно-
галечниковые грунты, подстилаемые известняковым основанием. Эти
особенности местоположения опоры предопределили выбор способа
выполнения контрольного расчёта средствами МКЭ с использовани-
ем программы УПРОС.
Рис. 74. Расчётная схема опоры на береговом склоне; 1 - фундамент опоры;
2, 3 - области с предельным напряженным состоянием при нормативных ^>=14°,
с-13 кПа и расчетных значениях ^=12°, с=9 кПа; 1,2,3,4,5 - номера ИГЭ
Расчётная область исследуемого участка берега реки протяжени-
ем 24 м, размеры фундамента мелкого заложения, членение на
граничные условия изображены на рисунке 74. Нормативные и
расчётные характеристики грунтов, слагающих береговой склон,
содержатся в таблице 28. Расчётная вертикальная сила на 1 пог. м
фундамента (включая его собственный вес) Р=946 кН/м, давление,
передаваемое фундаментом на основание, 189 кПа.
Расчёт был выполнен в двух вариантах, принимая для подсти-
лающего слоя мягкопластичной глины расчётные или нормативные
157
значения (р и с. В обоих расчетах было принято закрепление оси А -А
на теле опоры (см. рисунок 74) против поворота и горизонтального
смещения. Это допущение основано на том, что опора является мас-
сивной, т.е. жёсткой, и поворот её верхнего конца (ригеля) стеснён
условиями опирания пролётных строений длиной 24 м и соедини-
тельной вставкой между ними.
Таблица 28
Нормативные и расчётные характеристики грунтов
№№ игэ	Наименование грунта	Е, МПа	с7с <1'расч.) кПа	Ф /фрасч.) град.	т» кН/м3	V
1	Глина тугопластичная	8,0	39/26	15/13	20	0,42
2	Глина полутвёрдая	21,0	54/36	18/16	20	0,42
3	Глина мягкопластичная	5,0	13/9	14/12	20	0,42
4	Дресвяно-известняковый грунт	50,0	50/33	37/35	20	0,27
5	Известняк	300,0	•в	м	22	0,30
При значениях р=12°, с=9 кПа по расчету получено значительное
развитие «пластических зон» (групп конечных элементов с предель-
ным напряженным состоянием грунта) и расчетная осадка фундамен-
та 130 мм; прочность и стабильность основания опоры и прилегающе-
го откосного участка геологического разреза обеспечены с недоста-
точной надежностью. При нормативных значениях ^=14°, с=13кПа
пластические зоны принимают ограниченные размеры, осадка снижа-
ется до 85 мм.
Зафиксированное по результатам измерений сохранение опорой
своего проектного положения может быть объяснено тем, что факти-
ческие величины прочностных характеристик ИГЭ-3 равны или пре-
вышают нормативные значения ^=14°, с=13кПа. В рассматриваемых
условиях (принимая для ИГЭ-3 <з=14°, с=13кПа) было решено считать
фундамент устойчивым по следующим причинам:
-	области предельного напряженного состояния, а, следовательно,
и линии скольжения не выходят на поверхность откоса и основания;
—	число ступеней итерации при показателе невязки ^=0,05 соста-
вило л=14 (меньше допустимой величины «=30);
-	при добавлении 10% нагрузки на основание ДР=97,6 кН/м
(дополнительное давление Др=18,9 кПа) приращение осадки составило
Д8=10,8 мм; параметр R=(10,8/18,9)/(85/189)=l,27<l,5;
-	фактически стабильное состояние опоры, отсутствие наблюдае-
мых перемещений.
158
библиографический список
1.	Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при
решении задач горной геомеханики. - М.: Недра, 1975. - 144 с.
2.	Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползу-
чести. — М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.
3.	Березанцев В. Г. Расчёт оснований сооружений (пособие
по проектированию). - Л.: Стройиздат, ЛО, 1970. - 207 с.
4.	Бугров А.К. О применении неассоциированного закона пласти-
ческого течения к смешанной задаче теории упругости и теории пла-
стичности грунтов // Труды Ленингр. политех, ин-та, 1976. — № 354. -
С. 43 - 49.
5.	Бугров А.К. О решении смешанной задачи теории упругости и
теории пластичности грунтов // Основания, фундаменты и механика
грунтов. - 1974. - №6. - С. 20 - 23.
6.	Волосухин В.А., Дыба В.П., Евтушенко С.И. Расчёт и проектиро-
вание подпорных стен гидротехнических сооружений. - М.: Изд-во Ас-
социации строительных вузов, 2008. - 96 с.
7.	Волосухин В.А., Логвинов В.Б., Евтушенко С.И. Сопротивление
материалов / Южно-Российский гос. техн, ун-т; Новочерк. гос. мелиор.
академия. - Новочеркасск, 2008. — 531 с.
8.	Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. — М.:
Высшая школа, 1978. - 349 с.
9.	Голов О.О. Програмний комплекс «Основание» для розв’язання
геотехшчних задач / Зб1рник наукових праць // Полт. нац. техн, ун-т 1м.
Ю. Кондратюка. Вип. 10. - Полтава, 2002. - С. 55-58.
10.	Голубков В.Н. Экспериментальные исследования работы свай
на горизонтальную нагрузку // Сб. трудов. Основания и фундаменты.
Вопросы механики грунтов. - М.: Стройвоенмориздат, 1948.
11.	ГОСТ 25100-95. Грунты. Классификация. / Минстрой России. -
М.: Изд-во стандартов, 1996. - 30 с.
12.	ГОСТ 12248-96. Грунты. Методы лабораторного определения
характеристик прочности и деформируемости / Минстрой России. - М.:
Изд-во стандартов, 1996. - 63 с.
13.	ГОСТ 20522-96. Грунты. Методы статистической обработки ре-
зультатов испытаний. / Минстрой России. - М.: ГУП ЦПП,
1996.-25 с.
159
14.	ГОСТ 27751-88.Надёжность строительных конструкций и осно-
ваний. Основные положения по расчёту / Госстрой СССР. - М.: Изд-во
стандартов, 1996. - 9 с.
15.	Григорян А.А., Хабибуллин И.И. Несущая способность бурона-
бивных свай на площадках строительства Волгодонского завода тяжё-
лого машиностроения // Основания, фундаменты и механика грунтов. -
1977.-№2.-С. 13-16.
16.	Гузеев Р.Н. Упругопластический расчёт МКЭ при проектирова-
нии и исследовании геотехнических систем // Современные методы
статического и динамического расчёта сооружений. Вып. 5.:
Воронеж, 2000. - С. 63 - 72.
17.	Друккер Д., Прагер Б. Механика грунтов и пластический
анализ или предельное проектирование // Определяющие законы
механики грунтов / Под ред. В. Н. Николаевского. - М., 1975. -
С. 166-177.
18.	Завриев К.С., Бибина Н.М. К расчёту свай и оболочек на гори-
зонтальные нагрузки // Труды Всесоюзного НИИ транспортного строи-
тельства, вып. 59: Вопросы расчёта прочности и деформативности ос-
нований и фундаментов. - М.: Транспорт, 1966.
19.	Завриев К.С., Шпиро Г.С. Расчёты фундаментов мостовых опор
глубокого заложения. - М.: Транспорт, 1970. - 215 с.
20.	Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир. -
1975.-375 с.
21.	Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике
твёрдого тела. - М.: Мир. - 1987. - 328 с.
22.	Лучковский И.Я. Определение нагрузок на подпорные стенки. -
Харьков: Коллегиум, 2011.- 284 с
23	.Маслов Н.Н. Механика грунтов в практике строительства. - М.:
Стройиздат, 1977. - 320 с.
24.	Маслов Н.Н. Основы инженерной геологии и механики грунтов
- М.: «Высшая школа», 1982. - 510 с.
25.	Механика грунтов, основания и фундаменты: Учебник /
Ухов С.Б. и др. - М.: Изд-во АСВ, 1994. - 524 с.
26.	Николаевский В.Н. Дилатансия и законы необратимого дефор-
мирования грунтов И Основания, фундаменты и механика грунтов. -
1979.-№5.-С. 20-23.
27.	Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория
пластичности // Механика твёрдых деформируемых тел (Итоги науки и
техники). - 1972. - №6. — 84 с.
160
28.	Персльмутер А.В., Сливкер В.И. Расчётные модели и возмож-
ность их анализа. - Киев: Изд-во «Сталь», 2002. - 600 с.
29.	Предложения по расчёту устойчивости откосов высоких насы-
пей и глубоких выемок / Союздорнии. - Балашиха Московской обл.,
1968.-83 с.
30.	Проектирование подпорных стен и стен подвалов: справ,
пособие к СНиП. - М.: Стройиздат, 1990. - 101 с.
31.	Свод правил СП 22.13330.2011 Основания зданий и сооруже-
ний. Актуализированная редакция СНиП 2.02.01-81* - М.: ОАО ЦПП,
2011.-160 с.
32.	Свод правил СП 24.13330.2011 Свайные фундаменты. Актуали-
зированная редакция СНиП 2.02.03-85 - М.: ОАО ЦПП, 2011. - 85 с.
33.	СНиП 2.02.01-81* Основания зданий и сооружений. — М.:
Стройиздат, 1985.-40 с.
34.	СНиП 2.02.05-85. Свайные фундаменты / Госстрой СССР. - М.:
ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 48 с.
35.	Сопротивление материалов: Учебник / Смирнов А.Ф., Алексан-
дров А.В., Монахов Н.И. и др. - М.: Трансжелдориздат, 1961. - 592 с.
36.	Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. - М.: Изд-во Ассоциа-
ции строительных вузов, 2005. - 488 с.
37.	Терцаги К. Теория механики грунтов. - М.: Госстройиздат,
1961.-507 с.
38.	Цытович Н.А. Механика грунтов, 4-е изд., вновь перераб. и доп.
- М.: Стройиздат, 1963. - 636 с.
39.	Чирас А.А. Строительная механика. Теория и алгоритмы. - М.:
Стройиздат, 1989.-255 с.
40.	Шапиро Д.М. Практический метод расчёта оснований и грунто-
вых сооружений в нелинейной постановке // Основания, фундаменты и
механика грунтов. - 1985. - №5. - С. 19 — 21.
41.	Шапиро Д.М. Расчёт конструкций и оснований методом
конечных элементов: Учеб, пособие / Воронеж, гос. арх.-строит. акад. -
Воронеж, 1996. - 80 с.
42.	Шапиро Д.М. Способ пространственного расчёта устойчивости
откосных сооружений // Основания, фундаменты и механика грунтов. —
1979.-№3.-С. 11-13.
43.	Шапиро Д. М., Безрядин А. В., Дыбов В. С. Расчёт устойчивости
береговых опор на ЭВМ // Автомобильные дороги. - 1984. - №7. -
С. 17-18.
161
44.	Шапиро Д.М., Гузеев Р.Н. Упругопластический расчёт МКЭ
геотехнической системы // Математическое моделирование в механике
сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов:
доклады XVII Международной конференции. Доклады. - СПб.: НИИХ,
СПБУ, 1999. - С. 297 - 300.
45.	Шапиро Д.М., Зоценко Н.Л., Беда С.В. Упругопластический
расчёт несущей способности свай // Известия ВУЗов. Строительство и
архитектура. - 1996. - №6. - С. 34 - 39.
46.	Шапиро Д. М., Мельничук Н. Н. Ликвидация оползневого сдви-
га берегового склона в зоне строительства большого моста И Свк
геотехшки - 2006. - №1. - С. 13-17.
47.	Шапиро Д.М., Мельничук Н.Н. Расчётное моделирование на-
гружения буронабивных свай осевой силой // Проблемы механики
грунтов и фундаментостроения в сложных условиях / Труды междуна-
родной научно-технической конференции: Том 1. — Уфа, 2006. -
С. 155-164.
48.	Шапиро Д.М., Полторак Г.В. Внедрение нелинейного метода
расчёта при проектировании оснований и грунтовых сооружений //
Межвуз. сб. научных трудов / Марийский политехи, ин-т, 1990. -
С. 24 - 27.
162
Содержание
Введение	3
1.	Определяющие уравнения механики грунтов	5
1.1.	Классификация и физико-механические характеристики
грунтов. Строение оснований	5
1.2.	Условия предельного состояния грунтов	15
1.3.	Зависимости между напряжениями и деформациями 37
2.	Нормативно-теоретические основы
проектирования геотехнических объектов	48
2.1.	Расчётные модели	48
2.2.	Предельные состояния и расчётные проверки СНиП 52
3.	Прикладные задачи механики грунтов	58
3.1.	Задачи Фламана и Буссинеска
и их практические приложения	58
3.2.	Задача о жёстком штампе на упругом основании
и её решение методом граничных элементов	73
3.3.	Задачи о предельных нагрузках на основания
фундаментов мелкого заложения	77
3.4.	Задачи о давлении грунта на подпорные стенки	82
3.5.	Расчёт свайных фундаментов на совместное восприятие
горизонтальных, вертикальных и моментных нагрузок 94
3.6.	Задачи о расчёте устойчивости откосов	104
4.	Смешанная (упругопластическая) задача теорий
упругости и пластичности. Нелинейный расчёт
геотехнических объектов	128
4.1.	Основные положения. Понятие
о физически нелинейных моделях грунта	128
4.2.	Упругопластическая задача для грунтов
(постановка и решение)	131
4.3.	Программное обеспечение	142
4.4.	Формирование расчётных схем и критерии
предельных состояний	144
4.5.	Решение научно-технических задач	148
Список литературы	15 9
Содержание	163
163
Научное издание
---ТЕОРИЯИРАСЧЁТНЫЕМОДЕЛИ----
ОСНОВАНИЙ И ОБЪЕКТОВ ГЕОТЕХНИКИ
Компьютерная верстка Е. М. Винс
Подписано в печать 17.01.2012. Формат 60 х 84 1/16.
Усл. печ. л. 9,53. Тираж 1000 экз. Заказ № 007.
ООО МПЦ «Научная книга»,
394030, г. Воронеж, ул. Колыювская.пЗЗЛ!.
тел. (473) 261 -04-75,261-04-85,229-79-69
http://www.n-kriiga.ra. E-mail: zakaz@n-kniga.ru
"Отпечатано в ООО ИПЦ «Научная книга».
394030, г. Воронеж, ул. Кольцовская, д. 23/1.
тел. (473)261-04-75, 261-04-85, 229-79-69
http://www.n-kniga.ru. E-mail: zakaz@n-kniga.ru
г Шапиро Давид Моисеевич -
доктор технических наук,
Заслуженный строитель РФ;
профессор кафедры строптёль-
т /Я	ной механики Воронежского го-
\'1	сударственного архитектурно-
строительного университета.
Направления профессиональной деятельности:

•	проектирование мостов;
•	преподавание в области теории сооружений и
методологии проектирования объектов строитель-
ства;
/
•	научные исследования и практическое вне-
дрение нелинейных теорий механики грунтов и
строительной механики железобетонных конструк-
ций;
•	развитие методов расчёта конструкций мосто-
вых сооружено 11.