/
Автор: Петерсон Р.
Теги: прочность сопротивляемость инженерия машиностроение механика конструирование детали машин
Год: 1977
Текст
r P. ПЕТЕРСОН КОЭФФИЦИЕНТЫ
«9Л КОНЦЕНТРАЦИИ
НАПРЯЖЕНИЙ
ГРАФИКИ!» ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРОЧНОСТЬ
STRESS
CONCENTRATION
FACTORS
CHARTS AND RELATIONS
USEFUL IN MAKING STRENGTH
CALCULATIONS FOR MACHINE PARTS
AND STRUCTURAL ELEMENTS
R. E. PETERSON
Consultant
Westinghouse Research Laboratories
A WILEY-1NTERSCIENCE PUBLICATION
JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK • LONDON • SYDNEY • TORONTO • 1974
R ПЕТЕРСОН КОЭФФИЦИЕНТЫ
КОНЦЕНТРАЦИИ
НАПРЯЖЕНИЙ
ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРОЧНОСТЬ
/ ; "37'7 7
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО ' J
И. А. Нечая, И. П. Сухарева,
Б. Н. Ушакова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» . МОСКВА 1977
УДК 539.4.013.3
Книга содержит обширные сведения о коэффициен-
тах концентрации напряжений в наиболее характерных
элементах конструкций, широко распространенных
в различных отраслях машиностроения: самолетостро-
ении, ракетно-космической технике, судостроении,
станкостроении и др. Основную часть книги занимают
графики, характеризующие зависимость коэффициен-
тов концентрации напряжений в различных конструк-
тивных элементах от геометрических параметров
и значительно облегчающие проведение расчетов.
Главным достоинством работы является ее практическая
направленность.
Книга послужит ценные справочным пособием для
специалистов, занятых проектированием и разработкой
машин, механизмов и других технических объектов.
Редакция литературы по новой технике
Copyright © 1974, by John Wiley and Sons, Inc.
All Rights Reserved. Authorized translation from
English language edition published by John Wiley
and Sons, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1977
П
31301-156
041(01)-77
156-77
ОТ РЕДАКЦИИ
Концентрация напряжений — один из ос-
новных факторов, определяющих прочность и
долговечность конструкций. Снижение концен-
трации напряжений позволяет создавать более
надежные, более легкие и удобные в эксплуа-
тации, а также более экономичные конструкции.
Поэтому создание машин и сооружений с наи-
меньшей концентрацией напряжений является
одной из важнейших народнохозяйственных
задач. На исследование концентрации напря-
жений в различных конструктивных элементах
и изыскание путей ее снижения в течение мно-
гих лет направлены усилия большого числа
ученых и инженеров в нашей стране и за рубе-
жом.
Ввиду сложности современных конструк-
ций получение новых данных о концентрации
напряжений сопряжено со значительными экс-
периментальными и вычислительными трудно-
стями. В связи с этим инженерам-конструкто-
рам и инженерам-расчетчикам нужны практи-
ческие руководства, обобщающие накоплен-
ные сведения о концентрации напряжений
в различных конструктивных элементах. Та-
кого рода книг пока немного х). К их числу
относится и изданная в США в 1953 г. известная
книга Peterson R. Е., Stress' concentration
design factors, Wiley, N. Y.
Настоящая новая книга P. Петерсона, как
и ранее опубликованная, обобщает обширные
данные о концентрации напряжений для боль-
шого числа типовых конструктивных элемен-
тов, широко распространенных в самых разных
отраслях машиностроения: в космической, ра-
кетной и ядерной технике, самолетостроении,
судостроении, автомобилестроении и др. В но-
вой книге материал существенно расширен за
См. Нейбер Г., Концентрация напряжений, пер.
с немецкого, М., 1947; Савин Г. Н., Распределение на-
пряжений около отверстий, Киев, 1968; Савин Г. Н.,
Тульчий В. И., Справочник по концентрации напряже-
ний, Киев, 1976; Heywood R. В., Designing by photo-
elasticity, London, 1952.
счет новых достижений, накопленных в по-
следние годы.
Основным достоинством книги является то,
что она специально написана как справочное
руководство и содержит данные о коэффициен-
тах концентрации, необходимые для проведе-
ния расчетов на прочность и выбора рациональ-
ной формы элементов конструкций. Поэтому
объем текста в книге невелик и основное место
занимают графики, характеризующие зави-
симость коэффициентов концентрации в раз-
личных конструктивных элементах от геоме-
трических параметров конструкции.
Книга содержит сведения о коэффициентах
концентрации напряжений вблизи разнообраз-
ных вырезов и отверстий, в местах резкого из-
менения толщины деталей, в прессовых, шпоноч-
ных, шлицевых и резьбовых соединениях, в со-
судах, нагружаемых давлением, в тонкостен-
ных профилях, в замках лопаток турбин,
зарядах твердотопливных ракетных двигателей
и т. д.
Перевод книги выполнен без сокращений.
Предисловие, гл. 1 и 3 перевел канд. техн,
наук Б. Н. Ушаков, гл. 2 и 5 — канд. техн,
наук И. А. Нечай, гл. 4 — канд. техн, наук
И. П. Сухарев. Б. Н. Ушаков также просмотрел
всю рукопись перевода книги и сделал ряд
ценных замечаний и уточнений.
При переводе сохранены обозначения, имею-
щиеся в оригинале, и в то же время указаны
эквивалентные им обозначения, принятые в оте-
чественной практике. Исправлены опечатки аме-
риканского издания, любезно сообщенные ав-
тором.
Книга Петерсона, содержащая богатый
справочный материал, является полезным по-
собием для инженеров, занимающихся проек-
тированием и расчетом на прочность новых вы-
сокоэффективных машин и конструкций. Она
будет полезна также преподавателям, аспи-
рантам и студентам высших учебных заведе-
ний.
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние двадцать лет, прошедшие пос-
ле публикации книги «Коэффициенты концен-
трации напряжений для конструкторов» [1]
получено большое количество новых данных
о концентрации напряжений. Частично это
связано с ростом возможностей современных
вычислительных машин. Непрерывное увели-
чение объема данных по концентрации напря-
жений требует их систематизации и классифи-
кации. Оглавление настоящей книги знакомит
читателя с принятой в ней системой классифи-
кации, а также облегчает использование пред-
ставляемых данных в практике проектирова-
н я.
Рассмотренные в книге приложения охва-
тывают почти все отрасли техники: ядерную
технику (гл. 4, разд. 4.1.6, 4.1.12, 4.1.26,
4.1.30) проектирование подводных лодок (гл. 4,
разд. 4.1.6), самолетостроение (гл. 4,
разд. 4.1.11, 4.1.17, 4.1.22, 4.1.24), космические
летательные аппараты (гл. 2, разд. 2.1.8,
2.1.9), заряды твердотопливных ракетных дви-
гателей (гл. 4. разд. 4.1.25), подземные туннели
(гл. 4, разд. 4.1.33), турбины (гл. 5, разд. 5.6
и 5.13) и др. Формат приводимых в книге
графиков, а также вид геометрических пара-
метров и диапазон их изменения выбраны таким
образом, чтобы обеспечить наибольшее удобст-
во при практическом использовании.
Часть материала, содержавшегося в книге
[1], была опущена в настоящем издании х),
однако даже при этих сокращениях объем кни-
ги остался довольно большим.
Важность учета концентрации напряжений
при создании машин и конструкций, особенно
*) Опущен раздел, посвященный коэффициентам Kt,
ооъединяющим концепцию концентрации напряжений
с теорией прочности Мизеса (см. комментарии к теории
Мизеса в гл. 1, разд. 1.2). Не приведены также форму-
лы для оценки предельного срока службы (см. ком-
ментарии в гл. 1, разд. 1.7). Исключены формулы для
эквивалентного напряжения, основанные на рассмотре-
нии энергии (гл. 1, разд. 1.6 [1]), а также приложения
раооты [1], в которых дается вывод основных формул.
при расчетах па выносливость, уже демонстри-
ровалась на примерах, приведенных в преди-
словии к предшествующей книге [1]. Подобные
иллюстрации можно найти также в работах
[2, 3, За, 3166].
В механике разрушения используется коэф-
фициент интенсивности напряжений. В пре-
дельных условиях этот коэффициент непосред-
ственно характеризует коэффициент концен-
трации напряжений; в книге приведены три
графика для учета влияния ширины детали
(фиг. 20, 39в и 131).
Следует отметить, что все графики пред-
ставлены в безразмерных координатах; на
каждом из них показан эскиз элемента, концен-
трацию напряжений в котором характеризует
данный график. Это повышает ценность книги
как технического справочника, поскольку ин-
формация носит интернациональный характер.
Ею могут пользоваться даже те, кто плохо знает
английский язык.
Предыдущая книга [1] имела переплет
с кольцами, позволяющий страницы открытой
книги располагать на плоскости для удобства
пользования при практических расчетах. Од-
нако такая конструкция приводила к разру-
шению страниц по углам прямоугольных про-
резей из-за концентрации напряжений (кото-
рая, кстати, рассмотрена в гл. 4, разд. 4.1.22).
У настоящей книги сделан более прочный
переплет, так что страницы остаются почти
плоскими при раскрытии книги в любом ее
месте. Для быстрого отыскания наиболее часто
используемых графиков на полях соответст-
вующих страниц приведено краткое назва-
ние графика и нанесен специальный значок.
Положив книгу на корешок, взяв ее правой
рукой за противоположный край и медленно
отпуская страницы большим пальцем, можно
быстро отыскать требуемый график. Подобным
же образом можно дополнительно пометить
края других страниц с графиками, которые
чаще всего нужны при конкретных практиче-
ских расчетах.
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Использование более точных значений коэф-
фициентов концентрации напряжений позво-
ляет создавать более удобные в эксплуатации
и более экономичные (равнопрочные) конструк-
ции *), поскольку таким путем достигается
экономия материалов, снижение стоимости,
уменьшение веса и повышение надежности.
Автор выражает благодарность Левену и
Джонсону, которые прочитали рукопись и да-
J) Идеальная равнопрочная конструкция превос-
ходно охарактеризована в поэме Оливера Венделла
Холмса «Шедевр дьякона или чудесная одноконная
повозка» (1858 г.). В связи с тем, что «слабое место
в повозке должно сопротивляться деформации», дьякон
предлагает «сделать его столь же прочным, как все
остальное». Тогда «спустя сто лет» повозка разрушается
«вся сразу и ничто в ней в первую очередь».
ли много ценных советов. Материал о коэффи
циентах интенсивности напряжений обсуждался
с Вильсоном. Часть новой информации, поме-
щенной в этой книге, взята из отчетов иссле-
довательских лабораторий фирмы «Вестингауз».
Автор признателен Крамеру и Хэггу за одобре-
ние и поддержку исследований, результаты
которых изложены в этих отчетах, и разреше-
ние включить эти результаты в настоящую
книгу.
Посвящение этой книги моей жене Марии
понятно всем, кто знаком с нашей семьей.
Рудольф Петерсон
Питтсбург, Пенсильвания,
апрель, 1973
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а, 0, <р — углы;
а — радиус отверстия,
минимальный раз-
мер эллипса;
А — площадь;
Ъ — максимальный раз-
мер эллипса, шаг
резьбы, расстояние
между вырезами или
отверстиями, шири-
на шпонки;
с — индекс пружины (от-
среднего
витка к
проволо-
участка
вырезов,
от ней-
оси до
волокна,
от цен-
ношение
диаметра
диаметру
ки), длина
с рядом
расстояние
тральной
крайнего
расстояние
тра отверстия до бли-
жайшего
стержня
стины;
Cw — коэффициент Валя
для спиральной
края
или пла-
пружины;
d — диаметр, ширина,
наименьший диаметр
(ширина) ступенча-
того вала (стержня);
D — наибольший диаметр
(ширина) ступенча-
того вала (стержня);
е — расстояние от цен-
тра отверстия до
наиболее удаленного
края стержня;
Е — модуль упругости;
Е' — модуль упругости
материала включе-
ния;
g — гравитационное ус-
корение;
у — удельный вес;
h — толщина, плечо мо-
мента на зуб ше-
стерни, ширина пе-
ремычки (в случае
ряда отверстий);
I — момент инерции;
J — полярный момент
инерции;
Kt (А’т) х) — коэффициент кон-
центрации нормаль-
ных напряжений,
равный отношению
^макс^ Оном (теоре-
тический коэффици-
ент); он использует-
ся с различными до-
полнительными ин-
дексами, например,
как Kte — для эл-
липтического выре-
за, Kth — для ги-
перболического вы-
реза, KtA, Ktr,
Kta и т. д.— для
различных частных
случаев;
Kfg — коэффициент кон-
центрации по отно-
шению к напряже-
нию в наибольшем
сечении;
Ktn — коэффициент кон-
центрации по отно-
шению к номиналь-
ному напряжению;
х) В скобках указаны обозначения,
принятые в СССР.— Прим, перев.
9
ОБОЗНАЧЕНИЯ
K’t — комбинированный
к оэффициент, учи-
тывающий концен-
трацию напряжений
(нормальных) и кри-
терий разрушения
Мизеса (возможны
ва р иа ции дополни-
тельных индексов,
как и для коэффи-
циента Kt);
Kts (Кт) — коэффициент кон-
центрации касатель-
ных напряжений
(теоретический),
равный отношению
'Гмакс/^ном (возмож-
ны дополнительные
индексы, такие, как
Ktse и т. д.);
Kff (Ка) — эффективный коэф-
фициент концен-
трации нормальных
напряжений, полу-
ченный ’ расчетным
путем;
Ktts (7£т) — эффективный коэф-
фициент концентра-
ции касательных на-
пряжений, получен-
ный расчетным пу-
тем;
(Ка) — эффективный коэф-
фициент концен-
трации нормальных
напряжений, полу-
ченный па основе
усталостных испыта-
ний;
KfS (Кх) — эффективный коэф-
фициент концен-
трации касательных
напряжений, полу-
ченный на основе
усталостных испыта-
ний;
L — длина утолщения,
коэффициент пре-
дельного состоя-
ния;
Lb — коэффициент пре-
дельного состояния
при изгибе;
Ls — коэффициент пре-
дельного состояния
при кручении;
I — плечо момента;
М — момент;
m — высота Т-образной
головки;
п — коэффициент без-
опасности;
v — коэффициент Пуас-
сона;
р — давление;
Р — сила;
q — (Kf___ 1)/(7</ — 1) — коэффициент чувст-
вительности к над-
резу;
R-l — радиус отверстия в
диске, внутренний
радиус кольца;
— наружный радиус
диска или кольца;
7? о — радиус нецентраль-
ного отверстия в
диске;
г — минимальный ра-
диус выреза, радиус
отверстия в пласти-
не или стержне;
5 —- ширина перемычки
между отверстиями;
ст — нормальное напряже-
ние;
стх, п2, аз — главные напряже-
ния;
<уа — амплитуда напря-
жений;
ст0 (<тт) — стационарное (или
статическое) напря-
жение;
(°т) — предел текучести;
сти (ств) — предел прочности;
ои1 (°вр) — предел прочности на
растяжение;
аис (М — предел прочности на
сжатие;
Сту (ст-i) — предел выносливо-
сти образца без кон-
центратора при осе-
вом нагружении или
_ изгибе;
сти> (a-i) — предел выносливо-
сти образца с кон-
центратором;
Оыакс — максимальное (наи-
большее) нормаль-
ное напряжение;
стиом — номинальное нор-
мальное напряже-
нно (т. е. напря-
жение, вычисляемое
по элементарным
ОБОЗНАЧЕНИЯ
формулам для об-
разца без концен-
тратора или без уче-
та концентрации на-
пряжений);
т — касательное напря-
жение;
тй — амплитуда касатель-
ных напряжений;
т0 (Ъи) — стационарное (ста-
тическое) касатель-
ное напряжение;
(Тт) — предел текучести
при сдвиге;
ту (t_j) — предел выносливо-
сти при кручении
образца без кон-
центратора;
п/ (^-1) — предел выносливо-
сти образца с кон-
центратором;
т>]акс — максимальное (наи-
большее) касатель-
ное напряжение;
тном — номинальное каса-
тельное напряжение;
t — ширина зуба ше-
стерни в основании,
глубина выреза, вы-
сота утолщения, глу-
бина шпоночного па-
за, толщина пла-
стины;
Т — крутящий момент;
v — периферийная ско-
рость;
Г — объем;
w — ширина;
W — нагрузка на единицу
длины.
Г лава I
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. 1. Концентрация напряжений
Используемые на практике элементарные
формулы сопротивления материалов справед-
ливы для элементов, имеющих постоянное или
плавно изменяющееся сечение (фиг. 1). Однако
такие условия редко выполняются в весьма
напряженных зонах реальных деталей машин
и элементов конструкций. Наличие выступов,
углублений, отверстий, шпоночных канавок,
резьбы и других резких изменений геометрии
создает более сложное распределение напряже-
ний по сравнению с простыми элементами, изо-
браженными на фиг. 1. При этом возникают
зоны местного возрастания напряжений, как
показано на фиг. 2. Такое локальное возраста-
ние напряжений называется концентрацией
напряжений. Его оценивают с помощью коэффи-
циента концентрации напряжений, который
определяется отношением
(la)
аном
при действии нормальных напряжений (растя-
жение или изгиб) или
(1б)
тном
при действии касательных напряжений (круче-
ние). Здесь он0м и тном — номинальные на-
пряжения, подсчитываемые по элементарным
формулам, приведенным на фиг. 1.
Индекс t указывает на то, что данный коэф-
фициент концентрации напряжений является
теоретическим (theoretical) коэффициентом,
т. е. основанным на обычных предпосылках
теории упругости о справедливости закона
Гука, об однородности среды и др.1). С помо-
щью этого индекса отличают теоретические
х) В настоящей книге рассматриваются коэффициен-
ты концентрации напряжений только в пределах упру-
гости. В пластической области следует отдельно рас-
сматривать коэффициенты концентрации напряжений
и коэффициенты концентрации деформаций, причем эти
коэффициенты зависят от вида диаграммы напряжение—
деформация, а также от уровня напряжений и дефор-
маций [4а].
коэффициенты концентрации от коэффициентов,
получаемых в результате испытания образцов,
таких, как «усталостный (fatigue) коэффициент
концентрации» К], который описывается
ниже *), 2).
Коэффициент концентрации напряжений на-
ходят путем математического решения соот-
ветствующих задач теории упругости или
с помощью экспериментальных методов изу-
чения напряжений, таких, как фотоупругость,
точная тензометрия, мембранная и электриче-
ская аналогии для задачи о кручении стержня.
Если эксперимент проводится с должной акку-
ратностью, то коэффициенты концентрации на-
пряжений, полученные на основе эксперимен-
та, с высокой точностью согласуются с коэффи-
циентами, найденными путем расчета для задач,
имеющих точное теоретическое решение.
К сожалению, прикладная часть настоящей
темы, изложенная далее в гл. 1, не имеет столь
*) Поскольку по определению коэффициент концен-
трации напряжений всегда является теоретическим
коэффициентом, то, строго говоря, слово «теоретиче-
ский» в этом термине можно опустить. Однако иногда
для определенности его все же употребляют. Термины
«усталостный коэффициент концентрации напряжений»
и «эффективный коэффициент концентрации напряже-
ний», которые характеризуют результаты испытаний на
усталость, по-видимому, неудачны. Названия коэффи-
циентов, характеризующих результаты таких испыта-
ний, не должны включать слов «концентрация напря-
жений».
2) В отечественной практике также используется тер-
мин «теоретический коэффициент концентрации напря-
жений» для обозначения коэффициента, характеризую-
щего неравномерность распределения напряжений (его
обозначают обычно КТ). При этом слово «теоретический»
(и индекс «т» в обозначении) добавляют только при
использовании этого коэффициента при расчетах на
выносливость. Коэффициент, характеризующий влия-
ние концентрации напряжений на предел выносливости,
называют «эффективным коэффициентом концентрации»
и обозначают Кс в случае усталостных испытании при
одноосном напряженном состоянии или Кт при
испытаниях на кручение (см., например, книгу Серви-
сен С. В., «Сопротивление материалов усталостному
и хрупкому разрушению», Атомиздат, М., 1975).—
Прим, перев.
13
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
же точной базы, как теоретическая часть.
Необходимо гораздо больше данных, особенно
потому, что для получения требуемой точности
при испытаниях материалов часто возникает
необходимость в статистической обработке ре-
ФИГ. 1. Элементарные расчетные схемы нагружения для
определения напряжений в образце с постоянным или
плавно изменяющимся сечением при растяжении (о),
пзгибе (б) н кручении (в).
А — площадь сечения; I — осевой момент инерции; J — поляр-
ный момент инерции; с — радиус образца,
зультатов. Следует также тщательно учесть
влияние предварительной обработки материала.
Вряд ли необходимо упоминать, что конструк-
тор не может ждать, пока будут получены
точные ответы на все эти вопросы. Как всегда,
приходится разрабатывать разумную прибли-
женную методику расчета на основе имеющейся
информации, стремясь к тому, чтобы в сомни-
тельных случаях результат стремился в сто-
ФИГ. 2. Концентрация напряжений в образце с выре-
зом.
Фотография картины пзохром, полученной методом фотоупру-
гости (а) (по данным Левена), и распределение напряжений в се-
чениях, проходящих через вершину выреза и вдали от выреза (б).
рону повышения безопасности. Со временем, по
мере накопления опыта, могут быть сделаны
соответствующие уточнения. С другой стороны,
можно сказать, что имеющийся опыт использо-
вания этих методов дал удовлетворительные
результаты.
1. 2. Теория прочности
Если бы в элементах конструкций возникали
только одноосные напряженные состояния, из-
ложение теории прочности было бы весьма
кратким. Однако даже при очень простых ви-
дах нагружения создаются двуосныс напряжен-
ные состояния. Примером может служить тон-
костенный сферический сосуд, нагруженный
внутренним давлением, в котором на каждый
элемент стенки действует двуосное растяжение.
Другой пример — круглый стержень, работаю-
щий на кручение. По граням элемента, рас-
положенного на поверхности такого стержня
и повернутого на угол 45° относительно оси,
возникает двуосная система напряжений — растя-
жение в одном направлении и сжатие в другом.
Среди задач с Концентрацией напряжений
можно отметить задачу о растяжении стержня
с канавкой (фиг. 3), в которой при таком про-
стом нагружении, как растяжение вдоль оси,
для поверхности канавки характерно двуос-
ФИГ. 3. Двуосное напряженное состояние на поверх-
ности выреза растягиваемого образца.
14
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ формулы
ГЛАВА 1
ное напряженное состояние. Осевая сила Р
создает осевое растягивающее напряжение о\
и окружное растягивающее напряжение ст2
по граням элемента у дна канавки.
Предложено значительное число теорий, свя-
зывающих одноосное напряженное состояние
с двуосным или трехосным [7] :). Однако здесь
рассматриваются только те теории, которые
обычно используются на практике [8]. Для
хрупких материалов * 2) — это теория нормаль-
ных напряжений и теория Мора, а для пластич-
ных материалов — теория наибольших каса-
тельных напряжений и теория Мизеса.
1.2.1. ТЕОРИЯ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Эта теория основывается на следующем
предположении: разрушение при сложном на-
пряженном состоянии происходит тогда, когда
либо главное растягивающее напряжение до-
стигает величины предела прочности на растя-
жение оы/, либо главное сжимающее напряже-
ние достигает величины предела прочности на
сжатие стцс 3). Для хрупкого материала стцс
обычно значительно выше, чем аи(. На фиг. 4,
где воспроизведена диаграмма предельных дву-
осных напряженных состояний (а5и сг2 — глав-
ные напряжения, о3 0), теории нормальных
напряжений соответствует квадрат CFHJ.
Частный случай этой теории при = оиР
известен под названием теории наибольших
нормальных напряжений.
Сопротивление стержня при одноосном рас-
тяжении CT!tt на фиг. 4 характеризуется отрез-
ком ОВ. Заметим, что наличие дополнительного
напряжения ст2 в точках, расположенных в пра-
вых углах диаграммы, не влияет на величину
сопротивления.
При кручении <т2 = — (линия АОЕ).
Поскольку эти главные напряжения равны
по величине приложенному напряжению т,
условие разрушения по теории нормальных
напряжений (отрезок МА на фиг. 4) прини-
мает следующий вид:
Тц = о'и(. (2)
Ч См. также книги: Пономарев С. Д. и др., Расчеты
на прочность в машиностроении, т. I, Машгиз, М.,
1956; Гольденблат И. И., Коннов В. А., Критерии проч-
ности п пластичности конструкционных материалов,
изд-во «Машиностроение», М., 1968.— Прим, перее.
2) Разделение материалов на хрупкие н пластичные
является условным. В качестве границы между ними
иногда принимают величину остаточного удлинения
5% [9).
а) В отечественной практике предел прочности
обычно обозначают оЕ, предел прочности на растяже-
пие овр и предел прочности на сжатие сгвС.— Прим,
иерее.
Иными словами, в соответствии с теорией
нормальных напряжений величины пределов
прочности на кручение и на растяжение долж-
ны быть одинаковыми.
ФИГ. 4. Диаграммы разрушения хрупких материалов
в условиях плоского напряженного состояния для раз-
личных теорий прочности.
1.2.2. ТЕОРИЯ МОРА
Соответствующее теории Мора условие раз-
рушения хрупких материалов иллюстрирует
фиг. 5. На ней изображены окружности диа-
ФИГ. 5. Теория Мора для описания разрушения хруп-
ких материалов.
метром out и оис, к которым проведена общая
касательная. Условие разрушения при любом
другом напряженном состоянии характеризует-
ся кругом Мора (проходящим через точки
Hi и ст2), который касается линии, расположен-
ной по касательным к кругам out и <тцс) а) [10].
Соответствующая диаграмма для двуосных на-
пряженных состояний показана на фиг. 4.
Прямая линии соответствует частному случаю бо-
лее общей теори Мора, основанной на криволинейной
огпбающей.
15
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Как будет ясно из последующего (фиг. 6),
эта диаграмма подобна диаграмме, соответст-
вующей теории наибольших касательных на-
ФИГ. 6. Теории прочности пластичных материалов в ус-
ловиях двуосного напряженного состояния.
(3)
пряжений, хотя в последнем случае асимме-
трия отсутствует. Для второго (северо-запад-
ного) квадранта диаграммы фиг. 4 справедливо
следующее условие [10]:
р1 р2 j
Некоторые опыты с хрупкими материалами
[11] подтверждают справедливость теории нор-
мальных напряжений, тогда как другие опыты
и рассуждения лучше согласуются с теорией
Мора [10, 12]. Теория нормальных напряже-
ний и теория Мора дают один и тот же резуль-
тат в первом (северо-восточном) и третьем
(юго-западном) квадрантах. В случае круче-
ния использование теории Мора увеличивает
запас прочности, так как величина предельного
сопротивления оказывается равной отрезку
М'А' вместо МА (фиг. 4). Для отрезка М'А'
справедливо следующее соотношение:
т = °ut
U l + lPutlVuA ‘
(4)
касательных напряжений, разрушение проис-
ходит тогда, когда наибольшее касательное на-
пряжение при сложном напряженном состоя-
нии достигает величины наибольшего каса-
тельного напряжения, возникающего в мо-
мент разрушения стержня при одноосном растя-
жении. На фиг. 6 теории наибольших каса-
тельных напряжений соответствует шестиуголь-
ник. Рассмотрим, например, усталостное раз-
рушение, для которого величина предела вынос-
ливости при знакопеременной циклической на-
грузке и одноосном напряженном состоянии
равна Сту. Если ох, о2 и о3 — главные напряже-
ния, то максимальные касательные напряже-
ния равны
Щ — с2 . —а3 с2—П <
2 2 2
В случае двуосного растяжения (о3 = 0,
ох > о2 > 0) разрушение происходит, когда
сц — 0 о/
2 ~~2'
Qi = Gf. (5)
Это условие выполняется в первом (северо-
восточном) квадранте на фиг. 6. Однако во вто-
ром (северо-западном) и четвертом (юго-восточ-
ном) квадрантах, где напряжения имеют про-
тивоположные знаки, получается иной резуль-
тат. При о2 = — (что на Фиг- 6 соответст-
вует линии АЕ) усталостное разрушение в со-
ответствии с теорией наибольших касательных
напряжений наступает, когда
Щ-(-Щ) о.-Ч. М'А'- —
При испытании на кручение имеем о2 =
= — о1 — т и, следовательно,
(6)
Это как раз половина величины, соответст-
вующей теории нормальных напряжений.
1.2.4. ТЕОРИЯ МИЗЕСА
1.2.3. ТЕОРИЯ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Теория наибольших касательных напряже-
ний возникла как теория пластического разру-
шения, однако ее также применяли и для
оценки усталостного разрушения, которое
в пластичных материалах начинается при опре-
деленной максимальной величине касательного
напряжения [13]. Согласно теории наибольших
В качестве критерия разрушения при теку-
чести Мизес [14] предложил следующее матема-
тическое выражение:
Gy=~-
if (щ —^2)2 + (^2 —Рз)2+(Щ —П3)2
V 2
(7)
где Оу — предел текучести при одноосном на-
гружении стержня. Если о3 = 0, то
= —OiO2+o|.
(8)
16
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ГЛАВА 1
Этой зависимости на фиг. 6 соответствует
эллипс, проведенный штриховой линией, при-
чем а;/ — ОБ. В противоположность шестигран-
нику эллипс не имеет угловых точек, в кото-
рых нарушается непрерывность и которые
представляются нереалистичными с физической
точки зрения. Как показал позднее Генки [15],
формулу (7) можно получить также, взяв в ка-
честве критерия разрушения величину энергии
сдвига *). Айхингер [16] и Надаи [17] получили
эквивалентные результаты, воспользовавшись
октаэдрическим касательным напряжением,
тогда как Закс [18] и Кокс и Сопвис [19] пока-
зали, что результаты, близкие к получаемым
по формуле (7), получаются, если рассмотреть
статистическое поведение случайно ориенти-
рованного агрегата кристаллов. Поэтому Би-
чинг [20] предложил заменить термин «теория
энергии сдвига» каким-нибудь другим, более
удачным. Краткий термин «теория Мизеса»
получает все более широкое распространение
[21, 22]. Он и будет использоваться в данной
книге.
В случае кручения, когда о2 = — <4 = т,
теория Мизеса дает
т₽ = -у^=0,577оу, МА = (0,577) ОБ, (9)
V з
где т„ — предел текучести при плоском кру-
чении стержня.
Заметим, что, как следует из фиг. 4 и 6, все
предыдущие теории дают одинаковый резуль-
тат в точке С, соответствующей равномерному
двуосному растяжению, и разные результаты
в направлении АЕ, соответствующем чистому
сдвигу (кручению).
Эксперименты показывают, что критерий
Мизеса хорошо описывает диаграммы текуче-
сти пластичных материалов при разнообраз-
ных плоских напряженных состояниях. Прагер
и Ходж [22] отмечали, что, хотя соответствие
теории эксперименту следует рассматривать
как случайное явление, критерий Мизеса пред-
ставлял бы практический интерес вследствие
своей математической простоты, даже если бы
его согласие с опытными результатами было
менее удовлетворительным.
Установлено [23—29], что критерий Ми-
зеса дает также довольно хорошую интерпрета-
*) Подобные идеи несколько раньше Мизеса и Ген-
ки (в 1904 г.) высказывал Губер, хотя его результаты
ограничивались рассмотрением случая сжатия и не
были связаны с разрушением. Статья Губера, опубли-
кованная на польском языке, привлекла внимание
зарубежных ученых лишь через 20 лет после е^появда-
ния.— Прим, перев.
2 Р. Петерсон IV/ $ “ ‘,’71
цию результатов усталостных испытаний пла-
стичных материалов по верхней правой поло-
вине (ABCDE) эллипса на фиг. 6 в случае
симметричных и пульсирующих циклов изме-
нения растягивающих напряжений. Как пока-
зано на фиг. 7, результаты испытаний при сим-
метричном цикле лучше соответствуют крите-
рию Мизеса (верхняя линия), чем теории наи-
больших касательных напряжений (нижняя
линия). В случае текучести критерий разру-
шения (эллипс на фиг. 6) симметричен отно-
сительно линии АЕ. Что касается области ниже
АЕ (область сжатия), то по некоторым данным
при пульсирующем цикле сжатия (когда сжи-
мающие напряжения изменяются от 0 до мак-
ФИГ. 7. Сравнение пределов выносливости при кру-
чении и изгибе для пластичных материалов.
------ теория Мизеса;---теория наибольших касатель-
ных напряжений; С эксперименты Людвика; д эксперименты
Гауха и Полларда; □ эксперименты Нисихара и Кавамото.
симальной величины) эта область значительно
удлинена [30—32]. В рассматриваемых здесь
случаях мы имеем дело главным образом с верх-
ней правой зоной х).
В предыдущем издании настоящей книги
[1] был описан метод учета двуосности напря-
х) Отметим, что все представленные на фиг. 4 и 6 ди-
аграммы симметричны относительно линии НС. В мате-
риалах после их обработки (поковки, прокатанные поло-
сы и др.) могут возникать значительные эффекты дефор-
мационной анизотропии (т. е. их сопротивление в по-
перечном направлении может оказаться существенно
ниже, чем в продольном). Методы учета анизотропии
при использовании теорий прочности рассматривает
Финдли [33].
17
ГЛАВА
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
женного состояния в элементах с канавками
при простом растяжении или изгибе путем ис-
пользования коэффициента K’t, комбинирующе-
го концентрацию напряжений с теорией проч-
ности Мизеса [23]. Поскольку величина К[
меньше, чем Kt, а разница между ними обычно
менее 10% и не превышает 15%, то представ-
ляется целесообразным при практических ра-
счетах пользоваться коэффициентом Kt. Это
увеличивает запас прочности и устраняет не-
обходимость в оговорках о законности исполь-
зования комбинированного коэффициента. По-
этому графики для K't здесь уже не приводятся.
Насколько известно автору, до сих пор не была
получено каких-либо результатов, опровергаю-
щих концепцию коэффициентов K’t. При даль-
нейшем изучении влияния концентрации на-
пряжений на усталость следует принять во
внимание коэффициенты K't из предыдущего
издания [1].
1. 3. Чувствительность к вырезу
Хорошо известно, что влияние выреза (над-
реза) на усталостную прочность детали суще-
ственно зависит от типа материала йот геомет-
рии выреза. Обычно это влияние меньше, чем
можно было бы ожидать па основе теоретиче-
ского коэффициента концентрации напряже-
ний х). Такое явление называют чувствительно-
стью к вырезу (notch sensitivity) * 2). Чувстви-
тельность к вырезу можно рассматривать как
количественную характеристику степени реали-
зации теоретической концентрации напряже-
ний; она характеризуется соотношением
или соотношением
где q — чувствительность к вырезу при цикли-
ческом нагружении (определение дапо в работе
[5]), т. е. мера соответствия коэффициентов
Kt и Kt-, Kt — теоретический коэффициент
концентраций нормальных напряжений; Kts —
коэффициент концентрации касательных на-
пряжений; Kf = — усталостный коэффи-
циент выреза (для нормальных напряжений);
<jf — предел выносливости для образца без
выреза (осевое нагружение или изгиб); стл/ —
предел выносливости для образца с вырезом
(осевое нагружение или изгиб); Kfs = —
усталостный коэффициент выреза (для каса-
тельных напряжений); ту — предел выносли-
вости для образца без выреза (кручение);
тп/ — предел выносливости для образца с вы-
резом (кручение).
х) При определевиых условиях (которые будут рас-
смотрены ниже) для всех практических целей это
влияние можно считать равным теоретическому.
2) В отечественной литературе в этом случае чаще
употребляют термин «чувствительность к концентра-
ции напряжений».— Прим, перее.
18
Приведенное выше определение q дает диа-
пазон изменения чувствительности к вырезу,
меняющейся, как это видно из соотношения
(10), от q = 0 при отсутствии влияния выреза
(стл/ = Ст/, Kf — 1) до q = 1 при наличии пол-
ного теоретического влияния (Kf = Kf).
Соотношения (10) и (И) можно представить
в следующей форме, более удобной для практи-
ческого использования:
Ktf^q(Kt-l)+l, (12)
Ktsf = q(Kts-l)+l, (13)
где Ktf — расчетный усталостный коэффициент
выреза при действии нормальных напряжений,
определяемый на основании среднего значе-
ния q, полученного с графика фиг. 8 или ана-
логичного графика; Ktsf — расчетный усталост-
ный коэффициент выреза при действии каса-
тельных напряжений.
Если никаких данных о q нет, как, напри-
мер, для новых материалов, то предлагается
воспользоваться теоретическими коэффициен-
тами концентрации Kt или Kts. В связи с этим
следует отметить, что, когда чувствительность
к вырезу не учитывается при расчете вовсе
(q = 1), ошибка идет в запас прочности
[Ktf ~ Kt в формуле (12)].
При вычерчивании графиков Kf для гео-
метрически подобных образцов было обнару-
жено, что величина Kf уменьшается с умень-
шением размера образца [34—36]; по этой
причине невозможно получить надежные сопо-
ставимые величины q для различных материа-
лов, проводя испытания стандартных образцов
с фиксированными размерами [37]. Поскольку
локальное распределение напряжений (гра-
диент напряжений х), объем в зоне пика на-
пряжений) более зависит от радиуса выреза г,
чем от других геометрических параметров [38—
х) В зоне пика напряжение изменяется примерно
по линейному закону [40, 40а].
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ГЛАВА 1
ФИГ. 8. Усредненные графики зависимости коэффици-
ента чувствительности к вырезу q от радиуса выреза г,
2 — закаленная и отпущенная сталь; 2 — отожженная и норма-
лизованная сталь; з — алюминиевый сплав (прутки и листы).
Для очень глубоких вырезов с отношением t/r > 4 справедли-
вость этих зависимостей не проверялась.
41], то представляется, что было бы более ло-
гично изображать графики q в зависимости от
г [42], чем от d (для геометрически подобных
образцов форма кривой, конечно, одна и та же).
Как оказалось, вычерченные на основе имею-
щихся данных [45—54] графики изменения q
в зависимости от г [43, 44] имели разброс в ра-
зумных пределах.
Графики q (г), представляющие собой ос-
реднение ранее упомянутых даппых [43, 44]
и предназначенные для практического исполь-
зования, приведены на фиг. 8. Заметим, что
эти графики не проверялись на вырезах, глу-
бина которых более чем в четыре раза превы-
шает радиус выреза, поскольку такие данные
пока отсутствуют. Отметим также, что эти
кривые необходимо рассматривать как при-
ближенные (см. заштрихованную область).
Чувствительность к вырезу для радиусов,
близких к нулю, еще предстоит изучить. Одна-
ко хорошо известно, что мельчайшие отверстия
и царапины пе снижают прочности соответст-
венно их геометрическим коэффициентам кон-
центрации. В самом деле, у сталей с низким
пределом прочности на растяжение это влия-
ние совершенно незначительно. Однако у высо-
копрочных сталей это влияние малых отверстий
и рисок выражено сильнее. Для определенного
заключения необходимо гораздо большее коли-
чество данных, причем было бы лучше, если
бы они были получены на основе статистически
спланированных экспериментов. Таким обра-
зом, пока лучшая информация не получена,
графики на фиг. 8 представляются вполне
удовлетворительными для практических ра-
счетов.
Было предложено несколько математиче-
ских выражений для описания зависимости q
от г. Такие формулы были бы полезны при со-
ставлении программ для вычислительных ма-
шин, которые выполняли бы полный расчет.
Поскольку разрушение в объеме, соответствую-
щем точке пиковЬго напряжения [38, 40],
ожидать нереалистично, формулы для К} ос-
новываются на том, что разрушение происхо-
дит на некотором расстоянии под поверхно-
стью: е или 2р' в случае острого выреза [39]
и б в случае скругленного выреза [60]. Из фор-
мул для Kf получаются соотношения для q
в зависимости от г [60]. Эти и другие варианты
зависимости [61—65] могут быть найдены в ли-
тературе. Все указанные формулы дают ре-
зультаты, приемлемые для практических це-
лей; однако всегда следует помнить о прибли-
женном характере этих соотношений. Для
построения графиков на фиг. 8 использована
следующая простая формула 1):
4 =
(14)
где а — константа материала, а г — радиус
надреза.
На фиг. 8 а равно 0,06 мм для закаленной
и отпущенной стали, 0,25 мм для отожженной
и нормализованной стали, 0,51 мм для листов
и стержней из алюминиевого сплава. В рабо-
те [44] приводятся более подробные данные,
включающие следующие приближенные вели-
чины для сталей в зависимости от предела их
прочности па растяжение:
СГц, КГ/СМ2 а, мм
3 500 0,38
5 300 0,25
7 000 0,17
8 800 0,13
10 500 0,09
14 000 0,05
17 600 0,03
При использовании указанных значений а
следует иметь в виду, что они представляют
Соответствующая формула Куна — Хардрата
[62], основанная на соотношениях Нейбера, имеет сле-
дующий вид:
_ 1
i+iw
При практических расчетах можно воспользоваться лю-
бой из этих двух формул [60]; величины аир' опреде-
ляются на основе экспериментов.
2*
1»
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
собой результат усреднения эксперименталь-
ных данных (см. заштрихованную зону на
фиг. 8).
Нейбером был предложен метод [65а], в ко-
тором используется эквивалентное увеличение
радиуса для снижения коэффициента К', при
этом приращение радиуса зависит от напря-
женного состояния, типа материала и величины
предела прочности на растяжение. Примене-
ние этого метода дает результаты, довольно
хорошо согласующиеся с данными фиг. 8, а из
книги [1].
1. 4. Расчетные формулы
для стационарных напряжений
1.4.1. ПЛАСТИЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
В обычных условиях деталь из пластич-
ного материала не обнаруживает снижения
прочности вследствие выреза при действии
стационарных напряжений (т. е. напряжений
от медленно возрастающей нагрузки). Если ста-
тически нагруженная деталь, кроме этого, под-
вергается воздействию ударных нагрузок, либо
она работает при высоких [66] или низких тем-
пературах, либо содержит острые концентра-
торы, то пластичный материал может вести
себя подобно хрупкому материалу и оценка
прочности должна проводиться методами ме-
ханики разрушения [67—69] 1).
В особых случаях, когда есть сомнение, сле-
дует учитывать при расчете коэффициенты кон-
центрации напряжений Kt, однако обычно при
статическом нагружении коэффициенты концен-
трации напряжений не вводятся 2).
Коэффициент безопасности п, определяе-
мый приводимыми ниже соотношениями (15),
(16), (18) и (19), основан на критерии разруше-
ния Мизеса, рассмотренном в разд. 1.2.
1) См. также Черепанов Г. П., Механика хрупкого
разрушения, изд-во «Наука», М., 1974; Качанов Л. М.,
Основы механики разрушения, изд-во «Наука», М.,
1973; Партон В. 3., Морозов Е. М., Механика упруго-
пластического разрушения, изд-во «Наука», М., 1974,—
Прим, перев.
2) Такой подход опирается лишь на сопротивление
разрушению. Концентрация напряжений обычно не
снижает прочности надрезанного образца при статиче-
ском испытании, однако она снижает обилую деформацию
при разрушении. Это означает более низкую деформаци-
онную способность материала и уменьшение площади
под диаграммой напряжение — деформация, т. е.
уменьшение энергии, затраченной на полное разрушение
образца. Часто бывает весьма важным обеспечить наи-
большую способность материала к поглощению энер-
гии (сопоставьте, например, применение металла и пласт-
массы в качестве материала для изготовления авто-
мобильного кузова). Однако здесь уже нужно рас-
сматривать процесс развития разрушения, что выходит
за рамки настоящей книги. Развитие пластической
деформации рассматривается лишь весьма ограниченно
в связи с введением коэффициента предельного состоя-
ния L, как это объясняется в последующих разделах.
Для одноосного напряженного состояния
(нормальные напряжения)
где ру — предел текучести, <yod — стационар-
ное нормальное напряжение.
В случае изгиба
где Lb — коэффициент предельного состояния
при изгибе, oofl — стационарное изгибное на-
пряжение.
Коэффициент предельного состояния L в об-
щем представляет собой отношение нагрузки
(силы или момента), необходимой для того,
чтобы пластические деформации охватили все
сечение стержня, к нагрузке, при которой теку-
честь возникает лишь в крайних волокнах [70].
Концентрация напряжений при этом не учи-
тывается. В случае растяжения стержня L = 1,
при изгибе прямоугольной балки Lb = 3/2,
при изгибе стержня круглого сечения Lb =
= 16/(Зл) = 1,70, в случае кручения круг-
лого стержня Ls = 4/3. Для изгиба и круче-
ния трубы *) (фиг. 9), как нетрудно показать,
указанные коэффициенты равны соответственно
т 16 r i-№/rfo)3l
Ь Зл Ll-(di/do)4 J.
s~ з L 1-№/йо)4 J’ (1/)
где d[ — внутренний диаметр трубы, do — на-
ружный диаметр трубы.
В качестве предельного состояния стержня
может быть принято такое состояние, при ко-
тором текучесть распространяется лишь на
часть сечения. Так, для случая изгиба стержня
прямоугольного сечения было вычислено [71],
что при распространении текучести на */4 вы-
соты сечения коэффициент Lb равен 1,22, а
4) Следует иметь в виду, что тонкие трубы могут
разрушаться вследствие потери устойчивости.
ФОРМУЛЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ГЛАВА I
; напря-
16 ЛИЧИНЫ
1римене-
цовольно
8, а из
состояния
ФИГ. 9. Коэффициенты предельного состояния L для
стержней круглого сечения.
J — изгиб; 2 — кручение.
(15)
тационар-
(16)
СОСТОЯНИЯ
гибное на-
ши L в об-
; нагрузки
ДЛЯ того,
ватили все
горой теку-
окнах [70].
)М не учи-
вня L = 1,
i Lb — 3/г,
ения ~
эния круг-
а и круче-
о показать,
тветственно
(17)
ы, do — на-
ши стержня
ше, при ко-
я лишь на
иба стержня
шслено (7П,
ги на Д4 вы-
авен 1,22, а
[6 трубы могут
ивости.
на V2 высоты — 1,375; при достижении в край-
них волокнах стального бруса с пределом те-
кучести 2100 кГ/см2 величины пластической
деформации 0,1% Lb = 1,375. Для изгибаемого
круглого стержня при распространении теку-
чести на х/4 высоты сечения Lb = 1,25, а на
г12 высоты Lb = 1,5. Для изгиба трубы с отноше-
нием dildo = 3/4 при распространении текуче-
сти на V4 высоты сечения Lk = 1,23, а на ’/2 вы-
соты Lb — 1,34.
Все указанные выше значения коэффициен-
тов L вычислены в предположении, что диа-
грамма напряжение — деформация после до-
стижения предела текучести имеет горизон-
тальный участок. Такое предположение прием-
лемо для низко- и среднеуглеродистых сталей.
Для других материалов, диаграмм!,г напряже-
ние — деформация которых за пределом упру-
гости могут быть представлены наклонной пря-
мой или кривой, следует брать значения L,
более близкие к 1,0. При расчете на прочность
величина £оу не должна превышать предел
прочности aut.
В случае кручения круглого стержня (при
действии касательных напряжений) имеем
п_Цту^ Ls°v
х° ]/зто ’
где Ту — предел текучести на сдвиг, то — ста-
ционарное касательное напряжение.
При совместном действии нормальных (рас-
тяжение — сжатие или изгиб) и касательных
напряжений
(7(оо<|+Ооь/Ьь)2 + 3 (то/£к)2 ’
1.4.2. ХРУПКИЕ МАТЕРИАЛЫ
При расчете на прочность деталей из хруп-
ких материалов обычно вводят полный (теоре-
тический) коэффициент концентрации напря-
жений Kt. Использование теоретических ве-
личин Kt для литого чугуна ставит этот мате-
риал в неоправданно невыгодное положение,
поскольку, как показывают эксперименты, пол-
ное влияние концентрации напряжений не
имеет места [72]. Применение теоретических
значений коэффициентов концентрации можно
частично оправдать тем. что таким путем ком-
пенсируется плохое сопротивление хрупких
материалов ударным нагрузкам. Поскольку
расчет на ударные нагрузки произвести до-
вольно трудно и, кроме того, невозможно пре-
дусмотреть всевозможные перегрузки при транс-
портировке и установке оборудования, а также
при небрежной его эксплуатации, завышение
сечений деталей, происходящее при использо-
вании указанного выше правила, может слу-
жить средством предупреждения некоторых
непредвиденных разрушений.
Однако уже созданы крупные детали из
литого чугуна (массивные катки бумагодела-
тельных машин и др.), в которых возникали
рабочие напряжения гораздо большей величи-
ны, чем получаемые при расчете с использова-
нием полных коэффициентов концентрации.
Такие конструкции, должно быть, были тща-
тельно изготовлены и могут рассматриваться
как исключение из правила. Для обычных
конструкций представляется целесообразным
продолжить углубленное исследование выре-
зов в хрупких материалах, особенно в тяжело
нагруженных деталях.
Приводимые ниже формулы (20) и (21) для
коэффициентов безопасности основаны на тео-
рии нормальных напряжений (фиг. 4).
При одноосном растяжении —• сжатии или
изгибе (т. е. при действии нормальных напря-
жений) коэффициент безопасности описывается
формулой
где ои( — предел прочности при растяжении,
Kt — коэффициент концентрации нормальных
напряжений.
При кручении круглого стержня (касатель-
ные напряжения) имеем
<21>
где Kts — коэффициент концентрации касатель-
ных напряжений.
21
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Коэффициенты безопасности, определяемые
соотношениями (22) и (23), основаны на тео-
рии разрушения Мора (фиг. 4).
В случае одноосного растяжения и изгиба
справедлива формула (20).
При кручении круглого стержня (касатель-
ные напряжения) из соотношения (4) следует
[l + (W<T«c)]’ (22)
где <ги1 — предел прочности на растяжение,
сгие — предел прочности на сжатие.
Поскольку коэффициенты, основанные на
теории Мора, обеспечивают большую безопас-
ность, чем коэффициенты, основанные на тео-
рии наибольших нормальных напряжений, при
практических расчетах следует пользоваться
формулами (22) и (23) [9].
Для случая совместного действия нормаль-
ных и касательных напряжений коэффициент
безопасности выражается формулой
« =-------- ----------------------------- (23)
Хга0 + ]Л(Л-(<то)2+4{Х,5т(, [1 + (а„(/а„с)])2
1. 5. Расчетные формулы
для переменных напряжений
1.5.1. ПЛАСТИЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
При переменных (изменяющихся по симме-
тричному циклу) напряжениях следует учиты-
вать влияние их концентрации. Как отмечалось
в разд. 1.3, эффективный коэффициент концен-
трации Kf обычно меньше теоретического коэф-
фициента концентрации Kt. Вводимый ниже
коэффициент Кtf представляет собой расчетную
оценку реального эффективного коэффициента
концентрации Kf. Если коэффициент Kf най-
ден путем непосредственных испытаний, имен-
но этот коэффициент и следует использовать.
Однако на практике расчетчик редко сталки-
вается с таким удачным обстоятельством. Пе-
репишем здесь выражения (12) и (13) для коэф-
фициентов Ktf п Ktsf'.
Kif = q{Kt~\) + i,
KtSf = q(Kts~\) + L
Приводимые ниже формулы (24)—(26) для
коэффициентов безопасности основаны па кри-
терии прочности Мизеса, рассмотренном в
разд. 1.2.
При растяжении — сжатии или изгибе
(т. е. при действии нормальных напряжений)
имеем
п = Т?21— = тт> °/ .---- (24)
K.lfid [9 (Kt-1)4-1] ао ' ’
где (jf — предел выносливости при одноосном
напряженном состоянии, —- амплитуда
цикла изменения нормального напряжения.
Для случая кручения круглого стержня
(касательные напряжения) коэффициент безо-
пасности равен
п = Ч _ = о/_______________
Ktsf^a y3KtsfTa у3 [g(Kts-l) + l]-va’
(25)
где Tf — предел выносливости при кручении.
ти — амплитуда цикла изменения касатель-
ного напряжения.
При совместном действии нормальных и ка-
сательных напряжений коэффициент безопас-
ности выражается формулой
п = г. °’ (26)
K(W+3(W
Из соотношения (26) можно получить сле-
дующее уравнение эллипса:
з а
1_____Tg_______ 4 /97)
(GflnKtf^ + (^iny3KtSf)2 ’ ’ ;
где (jflnKtf и (jflnyZKfgf—длины его боль-
шой и малой полуосей. Испытания на усталость
образцов без концентраторов напряжений, вы-
полненные Гаухом и Поллардом [28], а также
Нисихара и Кавамото [29], дали очень хорошее
соответствие этому эллиптическому закону.
Усталостные испытания образцов с вырезами
[73] не так хорошо соответствуют эллиптиче-
скому закону, как испытания гладких образ-
цов, тем не менее указанное эллиптическое со-
отношение представляется пригодным для
практических расчетов деталей из пластичных
материалов.
1.5.2. ХРУПКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Поскольку сведения о поведении хрупких
материалов при переменных напряжениях
весьма ограниченны, предлагается использо-
вать коэффициенты концентрации напряжений
Kt без какой-либо модификации. Для практи-
ческих расчетов деталей из хрупких материа-
лов при действии изменяющихся во времени
напряжений пригодна теория Мора (см.
22
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ГЛАВА 1
разд. 1.2 настоящей главы и приложение В
книги [1]).
Для одноосного напряженного состояния
(растяжение — сжатие или изгиб) имеем
п =
К((Уа
(28)
При крученни круглого стержня (касатель-
ные напряжения) из формулы (116) в приложе-
нии В книги [1] следует
"=«а = (29)
При совместном! действии нормальных и ка-
сательных напряжений коэффициент безопас-
ности выражается формулой
п ---------- 2<7/ . (30)
Ki^a~\-V(Я/Оа)2П-4{Д^То [l + (OuZ/Ouc)]}2
1. 6. Расчетные формулы для случая
совместного действия переменных
и стационарных напряжений
В большинстве встречающихся на практике
задач напряжения не являются стационарными
или изменяющимися по синусоидальному за-
кону, а представляют собой комбинацию напря-
жений обоих этих типов (8). Напряжения, изме-
няющиеся от максимальной величины пма1(С
ФИГ. 10. Наложение циклических и стационарных на-
пряжений.
до минимальной стМИ|| (фиг. 10), можно разло-
жить па переменную (циклическую) составляю-
щую с амплитудой
g<i= Омято(31)
и стационарную составляющую
g° = Омято+ (32)
1.6.1 ПЛАСТИЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Уже стало правилом при расчете деталей
из пластичных материалов, работающих при
нормальной температуре, переменную состав-
ляющую напряжения умножать на коэффициент
концентрации напряжений и не умножать на
него стационарную составляющую [8]. Такой
подход представляется вполне разумным и под-
тверждается данными экспериментов [74] типа
показанных на фиг. 11, а (некоторые ограниче-
ния рассматривались в разд. 1.4).
При изображении на диаграмме минималь-
ных и максимальных напряжений (фиг. 11, а)
четко видно относительное расположение ста-
тических характеристик, таких, как предел
ФИГ. И. Диаграммы предельных напряжений при
усталостном разрушении образцов.
1 — образцы с вырезом; 2 — образцы без выреза; з — пульси-
рующий цикл (0 — макс.); О данные Шейка для стали с содер-
жанием углерода 0,7%.
23
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
текучести и предел прочности. Однако можно
воспользоваться и более простым представле-
нием, проиллюстрированным на фиг. 11, б, где
по оси ординат отложена переменная состав-
ляющая напряжения.
Если на диаграмме фиг. 11, а заменить кри-
вые линии прямыми, соединяющими конечные
точки Gf и cru, QflKff и gu, то получим простую
аппроксимацию, увеличивающую для сталь-
ных деталей запас прочности *). Из фиг. 11, б
следует простое соотношение для коэффициента
безопасности:
п = ——. (33)
Go/Uu+AtfQa/Gf
Это соотношение совпадает с приведенным
ниже соотношением Зодерберга (34) с той лишь
разницей, что в нем вместо gv стоит ои, т. е. со-
отношение Зодерберга основано на пределе
текучести [8] (см. линии, соединяющие af и ау,
Gf/Ktf и (Ту на фиг. И, а также приложение D
книги [1]):
П =---7--------1~ • (34)
Oo/Gy + KtfOa/Cf 4 '
Обратившись к фиг. 11, б, можно показать,
что п — ОВ/ОА. Заметим, что на фиг. 11, а
пульсирующему циклу (напряжение изменяется
от 0 до максимальной величины) соответствует
луч, идущий под углом, равным arctg 2, т. е.
примерно 63,5°, тогда как на фиг. 11, б — луч,
идущий под углом 45°.
Соотношение (34) может быть преобразовано
подобно тому, как это делалось с соотношения-
ми (15) и (16), чтобы учесть наступление пре-
дельного состояния при развитии текучести.
При этом вводятся коэффициенты предельного
состояния и учитываются соображения, подоб-
ные рассмотренным при выводе уравнения (16):
п _____________1__________# (35)
GodlGy Т GoblLtfJy -|- K-ifGalCf
Как уже отмечалось, LbGy не должно пре-
вышать аи, т. е. коэффициент безопасности п,
полученный из соотношения (35), не должен
х) Данные, имеющиеся для стальных деталей, хоро-
шо описываются следующей кубической зависимостью
[75, 76]:
oa/^f = {a/7^}{8 - [(a0/au)+l]3},
которая соответствует нижней кривой на фиг. 11,6.
Для некоторых алюминиевых сплавов кривая oa,cro
имеет вогнутую форму [77] и проходит несколько ни-
же линии GflK.j,au у верхнего конца и над этой лини-
ей у нижнего конца.
превышать величины п, подсчитанной по фор-
муле (33).
Для случая кручения (с теми же предполо-
жениями и с использованием критерия Мизеса)
получаем следующий результат:
п = г_____1„- . (36)
V3 [(toILsGy) + (KtsfXalGf)]
Соотношение (36) представляет собой до-
статочно хорошую расчетную формулу для
образцов с вырезами, которая дает результаты,
отклоняющиеся от результатов эксперимента
в сторону повышения безопасности [78]. Инте-
ресно отметить, что в случае гладких образ-
цов (без выреза) стационарное кручение (до
наибольшего напряжения, равного пределу те-
кучести на кручение) не приводит к уменьше-
нию напряжения ниже предельной амплитуды
переменного кручения [78]. Представляется,
что необходимы дальнейшие испытания мате-
риалов на кручение. Однако, поскольку влия-
ние выреза на прочность конструкции почти
всегда имеет место, использование формулы
(36) допустимо. Даже при отсутствии концен-
трации напряжений соотношение (36) давало
бы результаты, повышающие запас прочности,
одпако при сравнительно высоких значениях
стационарного момента этот запас будет слиш-
ком большим.
При сочетании стационарных и переменных
нормальных напряжений со стационарными и
переменными касательными напряжениями (пе-
ременные составляющие, кроме того, изме-
няются в фазе) справедливо приведенное ниже
соотношение (37), предложенное Зодербергом.
Оно определяется разложением касательного
напряжения на произвольной площадке на
стационарную и переменную составляющие,
теорией наибольших касательных напряжений
и выражением для коэффициента безопасности,
подобным формуле (34), которая справедлива
для прямолинейной диаграммы. При выводе
этого соотношения отыскивается площадка, на
которой коэффициент безопасности принимает
минимальное значение (см. приложение D кни-
ги [1]):
1
п= — .
V[(Po/Gv) + (.Ktaa/of)P+4 [(xo/Oy') + (KtsTa/Uf)]2
(37)
Это соотношение можно модифицировать,
удовлетворив условиям, описываемым уравне-
ниями (15), (16), (18), (24) и (25). Тогда оно при-
24
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ГЛАВА 1
мет следующий вид:
1
п= г - . - -
V[(Ood/Py) + (Oob/LbUy) + (Ktf0a/Of)]2 + 3 [(xo/LsOy) + (KtsfXa/Cf}]2
(38)
При действии только стационарных напря-
жений соотношение (38) сводится к формуле
(19).
Когда действуют только переменные
напряжения, соотношение (38) упрощается
до (26).
В случае действия только нормальных на-
пряжений соотношение (38) сводится к форму-
ле (35).
В случае одного лишь кручения соотноше-
ние (38) сводится к (36).
Опыты Оно [79] и Ли и Баджена [80] пока-
зали, что на усталостную прочность при знако-
переменном изгибе не влияет приложение до-
полнительного стационарного крутящего мо-
мента (величина которого не вызывает пласти-
ческих деформаций). Другие эксперименты,
описанные в обзоре Дэвиса [81], указывают на
снижение предела выносливости при изгибе от
дополнительного стационарного кручения. Гоге-
немзер и Прагер [82] обнаружили, что стацио-
нарное растяжение снижает усталостную проч-
ность при переменном кручении, а Гаух и
Кленшоу [73] нашли, что стационарный изгиб
снижает усталостную прочность при кручении
плоских образцов, однако этот эффект оказался
меньше для образцов с концентраторами на-
пряжений. Необходимы дальнейшие экспери-
ментальные исследования в этой области при
определенных комбинациях напряжений, осо-
бенно при наличии концентрации напряжений.
Несмотря на то что при некоторых сочетаниях
переменного изгиба со стационарным круче-
нием соотношение (38) может сильно завышать
коэффициент безопасности, использование его
в расчетной практике представляется вполне
разумным.
1.6.2. ХРУПКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Прямолинейная аппроксимация, подобная
показанной на фиг. 11 и выраженной соотно-
шением (33), может быть сделана и в случае
хрупких материалов, однако влияние концен-
трации напряжений должно быть распростра-
нено и на стационарную составляющую напря-
жения:
11 ~ Ktl(Oolout) + (ua/<jf)] • @9)
В случае хрупких материалов, как уже отме-
чалось, коэффициенты концентрации напряже-
ний Kt используются без какой-либо модифи-
кации.
Экспериментальные данные по совместному
действию касательных и нормальных напряже-
ний весьма ограниченны. Оно [79] отметил
уменьшение изгибной усталостной прочности
литого чугуна при добавлении к знакоперемен-
ному изгибу стационарного кручения. Восполь-
зовавхпись методикой Зодерберга [9] и теорией
нормальных напряжений (см. приложение D
книги [1]), получаем
п = 2/(X,[(oo/ouf) ф- (оп/оД] +
+ /«**[ (<то/<М 4- (n0/<Tf)]24-4Ar?s[(To/out)+(та/оД]2}
(40)
Если принять теорию прочности Мора и
учесть соотношения (20), (22), (28) и (29), то
уравнение (40) преобразуется к виду
/ | Kt[(Oo/Out) + (tfa/tf/)] +
+/x?(e1+§)+“4fe+?,)(,+s)j!}
01)
При действии только стационарных напряже-
ний соотношение (41) сводится к формуле (23).
В случае только переменных напряжений
соотношение (41) упрощается до (30).
При наличии только нормальных напряже-
ний соотношение (41) сводится к (39).
В случае одного лишь кручения соотноше-
ние (41) принимает следующий вид:
Kts 1(то/Пи/)Ч-(Та/П/)] [l-H<Wtfuc)]'
Это соотношение в свою очередь может
быть сведено к формулам (22) и (29).
25
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЯ II РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. 7. Предельное число циклов
изменения напряжений
В предыдущем издании книги [1] были даиы
формулы для вычисления предельного числа
циклов (верхняя ветвь S, TV-диаграммы). Эти
формулы получены путем осреднения экспе-
риментальных данных и поэтому применимы
к полированным образцам диаметром 5—8 мм.
Их можно использовать для грубой оценки,
если размеры рассчитываемой детали ие слиш-
ком отличаются от указанных размеров об-
разцов. В противном случае применение этих
формул вызывает сомнение, поскольку число
циклов, необходимое для распространения
усталостной трещины, и время разрушения
зависят от размера детали.
Усталостное разрушение включает трп ста-
дии: зарождение трещин, их распространение
и собственно разрушение. Зарождение трещин,
по-видимому, ие сильно зависит от размеров,
хотя со статистической точки зрения количество
«слабых точек», связанных с объемом детали,
может дать некоторый эффект. За последние
годы был достигнут значительный прогресс
в области знаний о распространении трещин
при циклическом нагружении [83, 84]. Хотя
полученная информация пока еще не пред-
ставлена в виде, удобном для практических
расчетов при различных типах распределения
напряжений, приемлемые оценки для ряда
задач уже могут быть сделаны.
Глава 2
ВЫРЕЗЫ И ВЫТОЧКИ
Вырезы U-образной формы и выточки кри-
волинейного очертания (частным случаем ко-
торых является полукруговое очертание) пред-
ставляют значительный интерес в инженерном
деле. Они встречаются в различных деталях
машин: на роторах турбин между рядами лопа-
ток и в уплотнениях, на различных валах
(фиг. 12) как выточка для снятия концентрации
напряжений при ступенчатом изменении диа-
метра вала или для установки пружинных
шайб и во многих других деталях.
Угловые V-образные вырезы с круговым
очертанием в вершине или круговые выточки
(и в меньшей степени U-образные вырезы)
являются обычными контурами для определе-
ния концентрации напряжений при испыта-
нии стандартных образцов на усталостную
прочность, а также на пластическое и хрупкое
разрушение.
Элементы с резьбовыми участками можно
рассматривать как образцы с большим количе-
ством выточек.
Величина Kt для элемента с вырезом или
выточкой может быть определена через два
основных коэффициента: коэффициент Ktg, за-
висящий от основного сечения элемента шири-
ной D, и коэффициент Ktn, зависящий от се-
чения шириной d, содержащего вырез или вы-
точку (см. фиг. 16). При растяжении (фиг. 16)
%tg — о’макс/о’. где ст = PlhD, a Kin =
— <Тмакс/<Тном> где стном = Pthd. Поскольку
конструктивные расчеты, как правило, осно-
вываются на определении напряжений стмакс,
развивающихся в критическом сечении образ-
ца, обычно используется коэффициент Ktn
(Kt = Ktn, если не оговорено другое).
Различие между коэффициентами Ktg и
Ktn показано на фиг. 16. В образце шириной
D, растянутом постоянной силой Р, углубле-
ние выреза (увеличение отношения 2гID) при-
водит к уменьшению коэффициента Ktn и
соответственно к уменьшению концентрации на-
пряжений (отношение максимальных напряже-
ний к средним в сечении d) при 2r!D -> 1 и
т. е. углубление выреза способствует
выравниванию напряжений в рассматриваемом
сечении. Коэффициент Ktg при увеличении от-
ношения 2r!D возрастает, что соответствует
росту напряжений стмакс, развивающихся из-
за уменьшения сечения.
В предыдущем издании этой книги [1] ме-
тод Нейбера [85] был использован для опреде-
ления коэффициентов концентрации напряже-
ний в плоских стержнях с одиночными и проти-
воположными вырезами и в круглых стержнях
с одиночной выточкой кругового очертания.
ФИГ. 12. Примеры выточек в валах (размеры в см).
а — выточка для выхода шлифовального круга; б — выточка
для маслоотражателя; в — выточка для установки пружинной
шайбы. I — выточка; II — пружинная шайба.
Метод Нейбера основан на использовании стро-
го определяемых величин коэффициентов на-
пряжения для глубокого гиперболического или
мелкого эллиптического выреза (в бесконечно
широких элементах) [86] и пересчете их для
образцов конечной ширипы путем применения
следующего простого эмпирического уравнения,
которое удовлетворяет граничным условиям:
' (Kte- 1)2 + (Х(„-1)2-
Здесь К(е — коэффициент концентрации на-
пряжений в полубесконечно широком образце
с мелким эллиптическим вырезом (с тем же
соотношением t/ry что и для U-образного вы-
реза); Кцг — коэффициент концентрации на-
пряжений в бесконечно длинном образце с глу-
боким гиперболическим вырезом (с тем же соот-
27
ГЛАВА 2
ВЫРЕЗЫ II ВЫТОЧКИ
ВЫ
ношением tlr, что и для U-образного выреза);
t — глубина выреза; г — радиус выреза (ми-
нимальный радиус контура); d — минималь-
ный диаметр или минимальная ширина об-
разца; D — максимальный диаметр или мак-
симальная ширина образца.
Выбор показателя степени 2 в уравнении
(43) является произвольным, поэтому указан-
ное уравнение не является точным. Недавние
исследования позволили получить более точ-
ные значения коэффициента Kt для представ-
ляющих интерес значений параметров, как
зто будет показано в следующих разделах. Если
в проектируемом образце имеется очень глу-
бокий или мелкий вырез либо выточка, то
вычисления по Нейберу достаточно точны,
но для образцов с отношением d/D си 0,5 ней-
беровский коэффициент Kt может оказаться
заниженным на ~12%, что приводит к зани-
жению запаса прочности. Для представляющих
практический интерес значений параметров
были получены более точные значения Kf,
они образуют основу новых диаграмм, приве-
денных в данной книге. Однако при очень
малых или очень больших по величине отно-
шениях rid метод Нейбера является единст-
венным средством для определения необходи-
мых коэффициентов (некоторые диаграммы, ох-
ватывающие крайние зоны изменения пара-
метров, также включены в эту книгу).
Диаграммы с нейберовскими коэффициен-
тами концентрации используются также при
проектировании экспериментальных образцов,
с помощью которых определяется максималь-
ное значение Kt, как зто подробно изложено
в разд. 2.4.
Коэффициенты Kt, приведенные в настоя-
щей главе для плоских образцов, действитель-
ны для двумерного (плоского) напряженного
состояния; они верны для очень тонких листов,
или, точнее, при t г 0, где t — толщина пла-
стины,. аг — радиус выреза.
При увеличении отношения Иг наступает
состояние плоской деформации, в результате
чего напряжения на поверхности выреза (во
внутренней области образца) увеличиваются,
а на поверхности пластины — уменьшаются.
Некоторые объяснения этого эффекта приве-
дены во введении к гл. 4.
Коэффициент Kt для выреза может быть
уменьшен путем применения подкрепляющей
отбортовки [86а].
элл
ны
час
анс
каг
сти
оси
ЦИ1
бул
цие
зом
тич
Kt-
пок
обр
же
и о
вае'
ука
ОПП
2.1.
по;
KOI
2. 1. Растяжение (осевое нагружение)
2.1.1. ГЛУБОКИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВЫРЕЗЫ
НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ СТОРОНАХ
БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ;
МЕЛКИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ, ПОЛУКРУГОВОЙ,
U-ОБРАЗНЫЙ ИЛИ ЗАМОЧНООБРАЗИЫЙ
ВЫРЕЗ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ;
ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ВЫРЕЗ
На фиг. 14 приведены данные по коэффи-
циенту Kt Для глубокого (dlD -+ 0) гиперболи-
ческого выреза в бесконечной пластине [85,
86]. На фиг. 15 представлены аналогичные
данные для эллиптического и U-образного вы-
резов в полубесконечной пластине [87—89].
При высоких значениях tlr коэффициент Kt для
U-образного выреза приблизительно на 1 %
больше, чем для эллиптического выреза.
Сплошной линией, показанной на фиг. 15,
можно пользоваться при практических расче-
тах обоих вырезов.
Полукруговой вырез (tlr — 1) в полубеско-
нечной пластине изучался во многих исследо-
ваниях; ниже приведены значения коэффи-
циента Kt, полученные в этих исследованиях
[90]:
1936 г., Монсел 3,05
1940 г., Исибаси 3,06
1941 г., Вейнел 3,063
1948 г., Лин 3,065
1965 г., Юнг 3,06
1965 г., Митчелл 3,08
Во многих публикациях приводится вели-
чина коэффициента Kt = 3,065, что удовлетво-
рительно для проектирования.
Подобно «эквивалентному эллиптическому
отверстию» в бесконечной пластине (см.
разд. 4.1.20), «эквивалентный эллиптиче-
ский вырез» в полубесконечной пластине мо-
жет быть определен как эллиптический вырез,
огибающий вырез иной формы с той же вели-
чиной отношения tlr. U-образные, замковые
(круговые отверстия, соединенные прорезью
с краем образца) и другие вырезы имеют значе-
ния коэффициента Kt, очень близкие к соот-
ветствующим значениям для эквивалентного
кон
КРУ
фиг
(
L =
С ОГЛ
слу>
НИИ
2.1.5
U-OE
КОН
I
форь
мето
позв
сти ,
пров
ных
крив
НИЙ
(фиг.
резул
Поел
мето;
согла
28
ВЫРЕЗЫ И ВЫТОЧКИ
ГЛАВА 2
эллиптического выреза. Понятие «эквивалент-
ный эллиптический вырез» используется в слу-
чае растяжения образца и неприменимо при
анализе сдвига.
Пластину с вырезом можно представить
как половину пластины с центральным отвер-
стием. полученную путем разрезания ее вдоль
оси отверстия. Тогда коэффициент концентра-
ции напряжений Kt для пластины с отверстием
будет приближенно характеризовать коэффи-
циент концентрации пластины с боковым выре-
зом [91]. Зависимость коэффициента для эллип-
тических отверстий [231]
Xf = l + 2]/4 (44)
показана на фиг. 15. Коэффициенты для U-
образных вырезов [232] практически имеют те
же значения. Сравнение кривых для вырезов
и отверстий, приведенных на фиг. 15, показы-
вает, что для больших значений отношения t/r
указанная выше аппроксимация может дать
ошибку в величине коэффициента до 10%.
2.1.2. ОДИНОЧНЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
ПОЛУКРУГОВЫЕ ВЫРЕЗЫ В ПЛАСТИНЕ
КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Коэффициенты Kt для растянутой пластины
конечной ширины с противоположными полу-
круговыми вырезами [92—95] приведены на
фиг. 16.
Слот показал [95а], что в полосе длиной
L = 1,5Л с r/D — 1ht коэффициенты Kt хорошо
согласуются с распределением напряжений для
случая приложения о на бесконечном удале-
нии от выреза.
2.1.3. ОДИНОЧНЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
и-ОБРАЗНЫЕ ВЫРЕЗЫ В ПЛАСТИНЕ
КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Данные, полученные при определении де-
формаций тензодатчиками [96], фото упругим
методом [97] и посредством расчетов [98],
позволяют получить необходимые зависимо-
сти для плоской пластины (фиг. 17). Важной
проверкой приведенных данных для U-образ-
ных вырезов является наложение на фиг. 17
кривой, отображающей результаты вычисле-
ний [92, 93] для полукруговых вырезов
(фиг. 16). Наблюдается хорошее согласие этих
результатов в пределах изменения Did 2.
Последние данные, полученные фотоупругим
методом [98а] для Did — 1,05, также хорошо
согласуются.
Баррата [986] сравнил эмпирические фор-
мулы для Kt с экспериментальными данными
и заключил, что удовлетворительные резуль-
таты получаются по следующим формулам:
К,„ = (0,780+2,243 j/i) [0,993 + 0,180 (^)-
-l,060(4)4«.710(»3](i-^)
(Баррата и Нил [891) (44а)
и
^tn = l + [ 1,55 (D/d) —1,3 ] ’
D/d—1 +0,5 ~]/~t/r ,v „ no .
n- ЗД-.+Ю+ (Хейвуд (98b]).
Результаты расчетов по формуле (44а) хо-
рошо согласуются со сплошными линиями
фиг. 17 на участке rid < 0,25; результаты
расчетов по формуле (446) лучше согласуются
на участке rid > 0,25. При возрастании вели-
чины rid формула (44а) дает заниженные значе-
ния для штриховых кривых (но не для штрих-
пунктирной кривой, соответствующей полу-
круговому вырезу). Формулы (44а) и (446)
основаны на результатах испытаний, не вклю-
чавших значений параметров г и d, соответст-
вующих штриховым линиям, которые опре-
делялись посредством интерполяции по вели-
чинам r/d и Did. При отсутствии более точных
данных штриховые линии, которые дают более
высокие значения Kt, могут быть использованы
в проектировании.
На фиг. 17 приведены величины коэффициен-
та Kt для диапазонов отношений 0 +Z r/d 0,3
и 1 Did 5С 2. Тем самым охвачена практи-
чески важная область изменения этих парамет-
ров. В работах [96—98] отмечалось, что при
более высоких значениях r/d и Did кривые
Kt (Did) при r/d. — const не становятся гори-
зонтальными; они достигают своих максималь-
ных значений и при Did оо постепенно сни-
жаются. Этот эффект незначителен, и на
фиг. 17 он не наблюдается.
На фиг. 17 пределы изменения параметров
соответствуют последним исследованиям [96—
98]. Величины нейберовских коэффициентов
Kt для малых и больших значений rid (фиг. 18
и 19) хотя и не очень точны, однако являются
единственными имеющимися к настоящему вре-
мени данными в широком диапазоне изменения
параметров и могут быть использованы для
некоторых расчетов. Наибольшие ошибки наб-
людаются для области средних значений d!D\
для мелких и глубоких вырезов ошибки в зна-
чениях коэффициента Kt малы. В некоторых
29
ВЫРЕЗЫ И ВЫТОЧКИ
ГЛАВА 2
фотоупругих исследованиях образцов с d!D ъ
~ 0,85 и ~ 0,001 r/D 0,02 получены бо-
лее высокие значения коэффициента Kt, чем
на фиг. 18 [98г).
2.1.4. ПОПРАВОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ
НА КОНЕЧНУЮ ШИРИНУ ДЛЯ
противоположных одиночных узких
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ВЫРЕЗОВ
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Для очень узкого эллиптического выреза,
приближающегося по форме к трещине (фиг. 20),
Диксон [99), Вестергард [100], Ирвин [101],
Бови [102), Браун и Сроули [103) и Койтер
[104] предложили формулу с поправкой на
конечную ширину пластины.
Формула, оспованная на результатах, полу-
ченных Бови [89, 103], удовлетворительна для
величин 2lliv <Z 0,5:
4^ = 0,993 + 0,18О(Я)-1,О6о(^)2 +
+Г71о(4)3. <45)
где I — длина трещины,
К* Kig i । 21 \
А/со Kfoo \ IV /
Формула (46) Койтера [104] *)
4^[1-0,50(4)-0,0134(4)2 +
справедлива по всей области изменения отно-
шения 2llw (фиг. 20); для низких значений
211 w она хорошо согласуется с формулой (45),
а для средних значений 2llw она дает несколь-
ко более высокие результаты.
Формулы (45) и (46) представляют собой
выражения для отношения коэффициентов, ха-
рактеризующих интенсивность напряжений;
для узких вырезов с малыми радиусами это
отношение определяет коэффициент концентра-
ции напряжений [105, 106].
Как показано на фиг. 20, результаты для
пластин с полукруговыми вырезами [92, 93]
практически совпадают с данными для трещи-
нообразного выреза, особенно на участке
0,5< 2Hw.
Отметим, что конечные точки крпвых^(п/^{оа
находятся около 1 при 2Uw = 0 и !//<<«> при
х) Работа [104], формула (9), поделенная на —
= 1,122 и — 2l!w.
2Hw — 1. Величины отношения 1/Kt ~ при
2l/w = 1 для эллиптических вырезов получе-
ны из значений К1(Л, приведенных на фиг. 15;
эти величины полезны при предварительном
определении значений коэффициента концен-
трации в пластинах с эллиптическими выре-
зами.
2.1.5. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ одиночные
V-ОБРАЗНЫЕ ВЫРЕЗЫ
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Для растянутых пластин с одиночными V-
образными вырезами на противоположных кра-
ях величины коэффициентов Kta были полу-
чены при различных значениях угла выреза
а [98] (фиг. 21). Метод Левена — Фрохта [107]
отнесения Kta к Kt для соответствующего U-
образного выреза (см. фиг. 21) показывает, что
ppnDId =- 1,66 влияние а несущественно вплоть
до а = 90°, а для Did — 3 — до а = 60°.
Сравнивая эти результаты с приведенными иа
фиг. 38, где максимальная величина Did рав-
на 1,82, можно отметить хорошее совпадение
данных, хотя сравниваемые случаи различны
(симметричные вырезы в растянутом образце
и односторонний вырез в изгибаемом образце).
2.1.6. ОДНОСТОРОННИЙ одиночный ВЫРЕЗ
В ПЛАСТИНЕ ИЛИ ПОЛОСЕ
Нейбер [107а] получил приближенное вы-
ражение для коэффициента Kt в случае полу-
бесконечной пластпны с глубоким гиперболи-
ческим вырезом, которая растягивается силой
Р, приложенной по средней линии минималь-
ного сечения (фиг. 22а). Для коэффициента
Kt на фиг. 226 представлены кривые, полу-
ченные для испытаний методом фотоупруго-
сти [108]; соответствующие коэффициенты Kiy
полученные путем использования данных
фиг. 22а и формулы (43), в среднем на 18%
ниже величин коэффициентов Kt, приведенных
на фиг. 226.
Кривая для полукругового выреза была
получена с учетом Did = 1 -Г- r/d и Kt = 3,065
при rid 0.
2.1.7. РЯД ВЫРЕЗОВ В ПЛАСТИНЕ1)
Известно, что одиночный вырез создает
более высокую степень концентрации напря-
жений, чем песколько близко расположенных
Аналогичными задачами занимались Вагапов Р. Д.,
Шишорина О. И. [«Эффективность разгружающего
действия при конечном числе равных отверстий (выре-
30
£
ВЫРЕЗЫ и выточки
ГЛАВА 2
одинаковых вырезов. Если привлечь гидроди-
намическую аналогию (фиг. 13), то можно за-
метить, что при наличии регулярных вырезов
(ряда вырезов) линии тока становятся более
гладкими (фиг. 13, б, е) по сравнению со слу-
чаем одиночного выреза (фиг. 13, а).
Для бесконечного ряда полукруговых крае-
вых вырезов коэффициенты концентрации на-
пряжений были вычислены в зависимости от
шага расположения вырезов и относительной
ширины пластины 1108]. Эти результаты пред-
ставлены графически на фиг. 23 и 24. Коэф-
фициенты ZCt для пластид при бесконечном
шаге вырезов согласуются с коэффициентами,
которые получили Исида и «Лин (фиг. 16) для
пластин с одиночным вырезом.
Для частного случая r/D — 1/4 и b/а = 3
[95а] хорошее согласие было получено с соот-
ветствующими данными Ацуми [109].
В результате анализа [110] напряженного
состояния полубесконечпой пластины с вол-
новой гранью (глубина волны t и мини-
мальный радиус г) было получено Kt — 2,13
при tlr = 1 и Ыа = 2, что согласуется с дан-
ными фиг. 23. Приведенные на фиг. 23 вели-
чины коэффициентов Kt соответствуют случаю
растяжения бесконечно длинной пластины с не-
ограниченным рядом круговых отверстий [111,
111а]. Если такую пластину условно разделить
па две по плоскости осей отверстий, то значе-
ния коэффициентов Kt оказываются для обоих
случаев примерно одинаковыми (для одиноч-
ного отверстия Kt = 3,0; для одиночного полу-
кругового выреза Kt — 3,065). Кривая коэф-
фициента Kt в зависимости от Ыа для отвер-
стий довольно хорошо согласуется с верхней
кривой фиг. 23.
Использование коэффициентов релаксации
нагрузки Нейбера [112] для пластин с полу-
круговыми вырезами дает слишком высокие зна-
чения коэффициентов Kt.
Концентрация напряжений на среднем
участке пластины с регулярно расположенны-
ми вырезами (фиг. 13, б) значительно меньше,
чем в пластине с одиночным вырезом. Макси-
мальная величина концентрации напряжений
в такой пластине находится в сечении, прохо-
дящем через ось крайнего выреза [113] (фиг. 26
зов)», сб. «Проблемы прочности в машиностроении»
вып. 3, Изд-во АН СССР, 1959 г.]; Шиманский Ю. А.
(«Проектирование прерывистых связей судового кор-
пуса», Госсудиздат, 1949 г.); Вагапов Р. Д., Шшпори-
ыа О. И., Хрипина Л. А. («Метод наложения известных
контурных функций для оценки концентрации напря-
жений при нескольких вырезах равных радиусов», сб.
«Проблемы прочности в машиностроении», вып. 2,
Изд-во АН СССР, 1959 г.).— Прим, перее.
ФИГ. 13. Одиночный вырез (а) и ряд вырезов (б, в).
и 27). Однако п здесь она по сравнению со слу-
чаем одиночного выреза тоже значительно
меньше. Иногда для уменьшения эффекта кон-
центрации напряжений в проектируемых об-
разцах целесообразно вместо вырезов (фиг. 13, б)
предусматривать выступы (фиг. 13, е).
Величины коэффициентов Kt для пластины
с двумя парами двусторонних вырезов [114]
(при blD = 1) приведены на фиг. 24.
Проводились фотоупругие испытания [113,
115] пластин с числом полукруговых вырезов
до шести. Результаты проведенных экспери-
ментальных исследований (фпг. 25—27) хорошо
согласуются с расчетными данными работы
[109], в которой рассматривалась пластина
с бесконечным рядом вырезов. На фиг. 26 по-
казано изменение коэффициента концентрации
напряжений Kt в зависимости от числа полу-
круговых вырезов и расстояния брутто между
ними е, а также установлены минимальные
значения этого коэффициента.
В результате плоских фотоупругих испыта-
ний пластин с 6 полукруговыми вырезами,
характерными для авиационной резьбы (b/а =
= 1,33), были получены величины концентра-
ции в сечении среднего выреза А\ = 1,94 и в
сечении крайнего выреза Kt #= 2,36 [115]. Для
резьбы Уитворта (V-образные вырезы с круго-
вым очертанием в основании) также методом
фотоупругости были определены величины
коэффициентов Kt, равные соответственно 3,35
и 4,43 [115].
Испытания на усталостную прочность по-
казали, что прочность образцов с резьбовыми
участками значительно выше прочности пла-
стин с аналогичными одиночными выреза-
ми [116].
Напряженное состояние соединений болт —
гайка рассмотрено в гл. 5.
31
ГЛАВА 2
ВЫРЕЗЫ и выточки
ВЫРЕ
2.1.8. ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЕ УГЛУБЛЕНИЕ
НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО
ЭЛЕМЕНТА
В работе [117] был определен коэффициент
Kt = 2,23 для равномерного двуосного растя-
жения полубесконечного элемента с полусфери-
ческим углублением (при коэффициенте Пуас-
сона v = 1/4). Приведенное выше значение коэф-
фициента Kt оказалось на 7% больше соответ-
ствующей величины для сферической полости
(Kt = 2,09 при v = х/4). Отметим также, что
при растяжении пластин с полукруговыми
краевыми вырезами коэффициент Kt равен
3,065 и он на 2% больше, чем при растяжении
таких же элементов с круговыми отверстиями
(Kt = 3).
2.1.9. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УГЛУБЛЕНИЕ
НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТИНЫ
КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
В работе [118] исследовались гиперболи-
ческие углубления, имитирующие след удара
метеорного тела об алюминиевую пластину.
При равномерном двуосном растяжении пла-
стины с углублениями, имеющими указанную
геометрическую форму, величины коэффициен-
тов Kt в зависимости от конкретных размеров
углубления изменялись в пределах от 3,4 до
3,8, как отмечено в работе [119]. Авторы этой
работы указывают, что приведенные выше вели-
чины коэффициентов Kt больше, чем для круг-
лого отверстия, соответствующего случаю про-
никновения ударяющегося тела через пластину
(Kt = 2,0).
2.1.10. МЕЛКИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ УГЛУБЛЕНИЯ
НА ОБЕИХ СТОРОНАХ ПЛАСТИНЫ
Такая геометрия рассматривалась приме-
нительно к образцу, у которого трещина, об-
разующаяся в зауженном сечении, может рас-
пространяться только в области с пониженными
напряжениями [120]. Мелкие сферические уг-
лубления (фиг. 28) часто используются как сред-
ство для устранения небольших дефектов на
поверхности пластины, причем при относи-
тельно небольшой глубине этих углублений
(h,Jh 1) концентрация напряжений разви-
вается незначительно.
На фиг. 28 приведены значения коэффициен-
та Ktg = <гмакс/ст для одноосно растянутой
пластины [120]; эти значения приемлемы также
при равномерном двуосном растяжении [120]
таких элементов.
.32
Расчетные величины коэффициентов Ktg
(см. фиг. 28) вычислены для мелких сфериче-
ских углублений (с диаметром в 4 4- 5 раз боль-
шим, чем толщина растягиваемой пластины).
Радиус сферического углубления можно выра-
зить через параметры, показанные на фиг. 28:
r4-[(s5s+(',-4l- . (47>
Формула (47) справедлива для а 5/i и r/ho >
25. При таких больших радиусах углублений
увеличение напряжений в минимальном сече-
нии (hjh —> 0) обусловлено главным образом
утонением образца, а не концентрацией на-
пряжений (т. е. в местах изменения толщины
пластины градиент напряжений невелик).
Зависимость коэффициента Ktg от размеров
широкого выреза, поперечное сечение которого
соответствует поперечному сечению сфериче-
ского углубления, показана для сравнения
на фиг. 28 в виде штриховой линии. Здесь
значения коэффициента Ktg были вычислены
по величинам коэффициентов Ktn, приведен-
ных на фиг. 19. Следует отметить, что значе-
ния Ktn на фиг. 19, соответствующие rid — 25,
отражают увеличение напряжений на —1%;
поэтому коэффициент Ktg по существу харак-
теризует уменьшение сечения пластины.
Таким образом, устранение поверхностных
дефектов на толстой детали посредством нане-
сения мелких сферических углублений приво-
дит лишь к незначительной концентрации на-
пряжений (~1%).
2.1.11. ГЛУБОКАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ
ВЫТОЧКА В БЕСКОНЕЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Точные значения коэффициента Kt, полу-
ченного из решений Нейбера [85, 86], приве-
дены на фиг. 29. Отметим, что влияние коэф-
фициента Пуассона на Kt невелико.
2.1.12. U-ОБРАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ
ВЫТОЧКА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
СТЕРЖНЕ
Для цилиндрического стержня с U-образной
выточкой (фиг. 30) значения коэффициента
Kt были вычислены посредством умножения
коэффициента Kt (фиг. 17) на отношение соот-
ветствующих объемного и плоского нейберов-
ских коэффициентов Kt. Величины коэффи-
циентов Kt на фиг. 30 являются приближенны-
ми, что объясняется недостатком данных для
рассматриваемой конфигурации. Однако срав-
нение этих коэффициентов с коэффициентами,
хара
же (
полу
ч
лучи
Велг
занн
2. ;
2.2.1
ГПП1
В nJ
I
чены
па (]
2.2.5
ПОЛ
в ш
I
коэ<]
с
согл
ний
= 1
2.2.;
U-OI
В HJ
НИЯ
фот<
был
цов
фиц
ван!
говг
пол;
ты
и ч
CTBJ
]
циез
rldi
2.2.
]
угл<
реза
K09(j
3 р.
ВЫРЕЗЫ И ВЫТОЧКИ
ГЛАВА 2
характеризующими изгиб или кручение таких
же образцов, свидетельствует о достоверности
полученных результатов.
Ченг [120а] в фотоупругих испытаниях по-
лучил Kt — 1,85 при r/d — 0,209 uD/d = 1,505.
Величина Kt на фиг. 30, соответствующая ука-
занным значениям параметров, равняется 1,92.
Она хорошо согласуется с данными Ченга, ко-
торые он считал несколько заниженными.
Приближенные значения коэффициентов
Kt даны для небольших (фиг. 31) и больших
(фиг. 32) значений отношения r/d (характер-
ных, например, для испытательных образцов).
2. 2. Изгиб
2.2.1. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ГЛУБОКИЕ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВЫРЕЗЫ
В ПЛАСТИНЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Точные значения коэффициентов Kt полу-
чены из решений Нейбера [85, 86] и приведены
на фиг. 33.
2.2.2. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ОДИНОЧНЫЕ
ПОЛУКРУГОВЫЕ ВЫРЕЗЫ
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
На фиг. 34 приведены результаты расчетов
коэффициента Kt [90, 92].
Слот [95а] при r/d = V4 установил хорошее
согласие данных по распределениям напряже-
ний для пластин бесконечной и конечной (Z =
— 1,5 D) длин при изгибе моментом М.
2.2.3. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ОДИНОЧНЫЕ
Г-ОБРАЗНЫЕ ВЫРЕЗЫ
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Данные фиг. 35 получены путем умноже-
ния на поправочный коэффициент результатов
фотоупругих испытаний [121], которые, как
было известно, при растяжении тех же образ-
цов соответствуют меньшим величинам, коэф-
фициентов Kt. Это сделано с целью согласо-
вания данных с величинами Kt для полукру-
говых вырезов (фиг. 34), которые, как пред-
полагается, достаточно достоверны. Результа-
ты последних фотоупругих испытаний [98а]
и численных расчетов [121а] хорошо соответ-
ствуют друг другу.
Кривые приближенных значений коэффи-
циента Kt для различных величин отношения
rid приведены на фиг. 36 п 37.
2.2.4. V-ОБРАЗНЫЕ ВЫРЕЗЫ В ПЛАСТИНЕ
На фиг. 38 представлено влияние величины
угла одностороннего V-образного углового вы-
реза в изгибаемой пластине [107] на величину
коэффициента Kt. Коэффициент Kt характе-
ризует концентрацию напряжений при U-об-
разном вырезе; коэффициент Ktu отличается
от него тем, что соответствует вырезу с на-
клонными сторонами, которые при пересече-
нии образуют угол а. При этом все остальные
параметры, характеризующие размеры выреза,
для обоих коэффициентов остаются одинако-
выми. Кривые, приведенные на фиг. 38, построе-
ны по результатам испытаний образцов с отно-
шением D/d до 1,82; влияние отношения D/d
в этом диапазоне настолько мало, что при а =
= const весь этот диапазон может быть пред-
ставлен одной кривой. С дальнейшим увели-
чением D/d кривые при а = const будут распо-
лагаться ниже (см. фиг. 21).
2.2.5. ОДНОСТОРОННИЙ ОДИНОЧНЫЙ ВЫРЕЗ
В ПЛАСТИНЕ ИЛИ ПОЛОСЕ;
ПОПРАВОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ НА КОНЕЧНУЮ
ШИРИНУ ПЛАСТИНЫ ДЛЯ
ОДНОСТОРОННЕЙ ТРЕЩИНЫ
На фиг. 39а приведены значения коэффи-
циента Kt для изгибаемой полубесконечной
пластины с глубоким гиперболическим выре-
зом [1216]. Кривые, характеризующие на
фиг. 396 коэффициент Kt, отражают результаты
фотоупругих испытаний [107]; соответствую-
щие нейберовские коэффициенты Kt вычислены
по уравнению (43) с использованием данных
фиг. 39а, и в среднем они на 6 % больше величин
коэффициентов Kt, приведенных на фиг. 396.
Кривые для полукруговых вырезов получены
с учетом D/d = 1-f-r/d и Kt = 3,065 при
r/d —>• 0.
Поправочные коэффициенты на конечную
ширину для полос с односторонним одиноч-
ным вырезом приведены на фиг. 39в; здесь
сплошная кривая относится к узким вырезам
(трещинам) [121в], а штриховая — к полу-
круговым вырезам [107]. Поправочный коэффи-
циент для трещин представляет собой отноше-
ние коэффициентов интенсивности напряжении;
при предельно узких вырезах (с малыми радиу-
сами в основании) величина этого отношения
3 Р. Петерсон
33
ГЛАВА 2
ВЫРЕЗЫ II ВЫТОЧКИ
соответствует коэффициенту концентрации
напряжений [105, 106]. Отметим, что концевые
точки кривых фиг. 39в характеризуются коор-
динатами 1 прн l/w = 0и 1/Кгоо при l/w ~ 1.
Значения 1/Z<t«, при l/w — 1 для эллиптиче-
ских вырезов были получены по данным
фиг. 15 для эти значения при l/w = 1
полезны при определении приближенных вели-
чин Kt для рассматриваемого типа выреза.
Если отношение KtglKt<x> представить гра-
фически (этого нет на фиг. 39в), то можно отме-
тить следующую закономерность: начальные
значения координат этих кривых при l/w == 0
равны 1; в дальнейшем кривые, снижаясь, при
0,10 l/w 0,15 достигают своего минимума
и затем, поворачивая вверх, уходят в беско-
нечность при l/w — 1. Это означает, что в изги-
баемых элементах градиент номинальных на-
пряжений приводит к некоторому уменьшению
Омане при нанесении на пластину выреза, но
при l/w > 0,25 -j- 0,3 максимальные напряже-
ния существенно больше, чом напряжения в по-
лосе бесконечной толщины с таким же выре-
зом. Этот же эффект, только менее значитель-
ный по величине, получил Исида [92] для изги-
баемой полосы с противоположными (двусто-
ронними) полукруговыми вырезами (фиг. 34;
данные по коэффициенту Ktg не приведены).
При растяжении, где градиент номинальных
напряжений отсутствует, отмененный} выше
эффект не обнаружен.
На фиг. 40 приведены значения коэффициен-
та Kt для различных образцов, испытанных
в условиях ударного нагружения.
2.2.6. ОДИНОЧНЫЕ ИЛИ РЕГУЛЯРНЫЕ ВЫРЕЗЫ
С ПОЛУКРУГОВЫМ ЛИБО
ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОЧЕРТАНИЕМ
В ОСНОВАНИИ
Из механических исследований зарядов
твердотопливных ракетных двигателей извест-
но, «что коэффициент концентрации напряже-
ний для оптимального полуэллиптического вы-
реза всегда существенно меньше, чем при на-
личии неоптимизированного полукругового вы-
реза» [122].
Были проведены фотоупругие испытания
[122—124] разнообразных балок с различными
по размерам и шагу расположения вырезами,
имеющими полуэллиптическое очертание осно-
вания. Отношение высоты балки к глубине
одностороннего выреза D/t изменялось в пре-
делах от 2 до 10. На фиг. 41 приведены резуль-
таты испытаний для случая D/t = 5.
Отношение коэффициентов Kt, соответст-
вующих полукруговому и оптимальному полу-
34
эллиптическому очертанию основания для оди-
ночного выреза с Ыа — 2,4 п i/(6/2) — 2,666,
равняется 1,25 (фиг. 41). Другими словами,
замена полукругового очертания основания
выреза на полуэллиптическое дает уменьшение
концентрации напряжений на ~20%- Как по-
казано на фиг, 41, для регулярных вырезов
уменьшение концентрации напряжений еще бо-
лее значительно. Хотя приведенные данные
относятся к частному случаю изгибаемого
стержня, следует ожидать значительного умень-
шени янапряжений при использовании в ос-
новании выреза полуэллиптического очертания
и во всех других случаях.
Для одиночного выреза оптимальное отно-
шение размеров полуэллипса Ыа изменяется
от г/8 до величины более 3,0. Для ряда вырезов
с большим шагом оптимальная величина этого
отношения находится около 2, а при уменьше-
нии шага расположения вырезов опа увели-
чивается до 3 и более.
Подобное использование эллиптического
контура возможно в небольших шпоночных
канавках (фиг. 136), где оптимальная величина
отношения Ыа составляет 3, а также на деталях
со ступенчатым изменением размера (фпг. 77).
2.2.7. РАЗЛИЧНЫЕ КРАЕВЫЕ ВЫРЕЗЫ
В ИЗГИБАЕМОМ БЕСКОНЕЧНОМ ЛИСТЕ
Коэффициенты Kt для противоположных
глубоких гиперболических вырезов в беско-
нечном листе [125, 126] приведены на фиг. 42.
Величины этих коэффициентов были получены
при простом изгибе образцов = 1,М2 — 0).
Результаты простого и цилиндрического пзгпба
(Мг = 1, М2 ~ v) образцов сравнивались в ис-
следованиях «Ли [126].
Данные для простого изгиба полубесковеч-
ной пластины, имеющей V-образный или пря-
моугольный (с закругленными углами) вырез
[127], приведены на фиг. 43. При отношении
r/t = 1 для обоих рассмотренных вырезов коэф-
фициенты Kt равны и соответствуют случаю
полукругового выреза. Отметим, что кривая
для прямоугольного выреза имеет минималь-
ное значение К( при r/t 1/2,
Коэффициенты Kt для эллиптического вы-
реза [128] представлены на фиг. 44. Для сравне-
ния здесь же приведена кривая, отражающая
случай растяжения подобной пластины; соот-
ветствующие коэффициенты Kt значительно
больше по величине.
На фиг. 45 даны коэффициенты Kt для
бесконечного ряда полукруговых вырезов в за-
висимости от расстояния между ними [129].
При увеличении расстояния между вырезами.
ВЫРЕЗЫ и выточки
ГЛАВА 2
значение коэффициента Kt асимптотически при-
ближается к величине, соответствующей нали-
чию в пластине одиночного выреза.
2.2.8. ВЫРЕЗЫ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
ПОЛОСЫ КОНЕЧНОЙ ширины
Приближенные значения коэффициентов
концентрации напряжений получены методом
Нейбера [85, 86] с использованием точных зна-
чений для глубоких гиперболических [125, 126]
и мелких эллиптических [128] вырезов в образ-
цах бесконечной ширины. Указанные данные
были скорректированы для элементов конеч-
ной ширины с использованием степенного со-
отношения (с показателем степени 2), удовле-
творяющего граничным условиям. Получеп-
ные результаты приведены на фиг. 46.
Полученные непосредственно в опытах дан-
ные по коэффициенту /С£ для промежуточных
толщин образцов отсутствуют. Если предполо-
жить, что величины коэффициентов Kt, полу-
ченные при растяжении, являются максималь-
ными для случая изгиба толстых пластин, то
можно использовать данные фиг. 17 при t!h 0.
Для тонких пластин (Uh оо) величины коэф-
2. 3. Кручение (сдвиг)
2.3.1. ГЛУБОКИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВЫРЕЗЫ
В [БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ,
ИСПЫТЫВАЮЩЕЙ СДВИГ
Коэффициенты Kt и Kts, приведенные на
фиг. 51, получены из точных решений Нейбера
[130]. Сдвигающие силы приложены параллель-
но осп выреза *), как показано на фиг. 51.
Координата точки с максимальными на-
пряжениями оМакс вычисляется по формуле
(48)
Местоположение максимальных касательных
напряжений тмакс вдоль линии, соответствую-
щей минимальному сечению пластины, опре-
деляется по формуле
Величина коэффициента Kt!2, представляю-
щего собой величину т в площадке под углом
-1) Сдвигающая пара сил 26 V должна быть уравно-
вешена такой же по величине парой, симметрично при-
ложенной вдали от выреза [130]. Во избежание возмож-
ной ошибки уравновешивающая пара иа фиг. 51 не
показана.
фициентов Kt определяются по фиг. 46, как
это отмечено в предыдущем разделе. Для всех
промежуточных значений отношения t/h не-
которые ориентировочные данные могут быть
получены из фиг. 160 (см. также’ данные
фиг. 162 в окрестности Ыа = 1).
2.2.9. ГЛУБОКАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВЫТОЧКА
В БЕСКОНЕЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
С КРУГОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ {СЕЧЕНИЕМ
Величины коэффициентов К( получены из
точных решений Нейбера [85, 86] и приведены
на фиг. 47.
2.2.10. U-ОБРАЗНАЯ КРУГОВАЯ ВЫТОЧКА
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ
Значения коэффициентов Kt, приведенные
па фиг. 48, были получены тем же путем, что
и в случае растяжения (см. разд. 2.1.12). При-
ближенные зависимости для Kt в области не-
больших значений отношения rid даны на
фиг. 49, а в области больших rid (характерных,
например, для испытательных образцов) ~ на
фиг. 50.
45° к <тмако, значительно больше величины
коэффициента Kts, соответствующего минималь-
ному сечению образца, как это видно на фиг. 51.
Нейбер [130] показал, что в условиях ком-
бинации сдвига и изгиба при больших значе-
ниях отношения dlr общий коэффициент Kt
равен сумме двух коэффициентов К{, каждый
из которых отражает только один из указан-
ных видов нагружения, хотя максимумы на-
пряжений при этих нагружениях лежат в раз-
ных точках.
Кручение широкой полосы с гиперболиче-
скими вырезами исследовал Ли [126].
2.3.2. ГЛУБОКАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВЫТОЧКА
В БЕСКОНЕЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ
С КРУГОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ^СЕЧЕНЙЕМ
Величины коэффициентов К2, полученные
из точных решений Нейбера [85, 86], приведены
на фиг. 52.
2.3.3. U-ОБРАЗНАЯ КРУГОВАЯ ВЫТОЧКА
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ
Данные фиг. 53 основаны на результатах
испытаний по методу электрической аналогии
[131]; они хорошо согласуются с точными велп-
3*
35
ГЛАВА 2
ВЫРЕЗЫ И ВЫТОЧКИ
чинами коэффициентов, полученных для ги-
перболических вырезов в представляющей ин-
терес области изменения параметров г, d и D.
Результаты расчетов для полукруговых выто-
чек [132, 133] удовлетворительно согласуются
с данными фиг. 53. Значения коэффициентов
Kts, приведенных на фиг. 53, превышают на
sg6% ранее полученные Нейбером (фиг. 46
работы (11); они также больше (в среднем на
4,5%) данных фотоупругих испытаний [134].
Значения коэффициента Kts из работы [131]
не согласуются с некоторыми другими опубли-
кованными данными [135, 136].
Кривые фиг. 54, характеризующие зависи-
мость коэффициента концентрации Kts от от-
ношения D/d, имеют горизонтальные участки,
которые начинаются с D/d 2 (или несколько
меньше при больших значениях r/d). Данные
фиг. 55 и 56 дополняют фиг. 53. Приближенные
значения коэффициентов Kts для небольших ве-
личин отношения r/d приведены на фиг. 55,
а для больших — на фиг. 56 (последние харак-
терны, например, для испытательных образ-
цов).
2.3.4. V-ОБРАЗНЫЕ КРУГОВЫЕ ВЫТОЧКИ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ
На фиг. 57 приведены коэффициенты Ktsa
для V-образных выточек с различным углом
наклона образующих а [131]. Здесь принцип
представления результатов такой же, как п
на фиг. 21 и 38. Для угла а 90° кривые мало
зависят от отношения r/d. При а — 135° вели-
чины коэффициентов Ktsa, характеризующиеся
кривыми при r/d = 0,005, 0,015 и 0,05, суще-
ственно различаются. Эффект уменьшения вели-
чины коэффициента Ktsa при увеличении угла
а (фиг. 57) можно сравнить с аналогичным эф-
фектом, отраженным на фиг. 21 и 38.
2. 4. Проектирование образцов
для получения максимального
значения коэффициента Kt при заданном r/D
Для получения максимального коэффициен-
та Kt в планируемом испытании выбираются
наружный диаметр 1) испытательного образца
и глубина выреза определенной формы с радиу-
сом 2) в основании г (или величина отношения
d/D).
Величины максимальных коэффициентов Kt
определены из графиков фиг. 18, 31, 36, 49,
55 [1] и нанесены на фиг. 58 в виде зависимости
от r/D и d/D. Несмотря на то что величины
этих коэффициентов являются приближенными
{как подробно отмечалось в начале этой главы),
максимумы кривых достаточно пологи и, та-
ким образом, Kt слабо зависит от d/D в этой
области.
Данные фиг. 58 показывают, что при опре-
делении максимального значения коэффициен-
2.5. Пример расчета вала
с круговой выточкой
Определим усталостные напряжения при
изгибе вала, показанного на фиг. 12,в, который
г) Часто диаметр D определяется размером имею-
щегося в наличии образца.
2) Минимальный радиус в основании выреза часто
определяется возможностью достаточной точности его
выполнения, что сильно влияет на результаты экспе-
римента.
та Kt в образцах с типичными значениями г/Г)
целесообразно принимать величину отношения
d/D равной трем четвертям диаметра имеюще-
гося образца или его ширины (предполагается,
что размеры г и D образца заданы).
В образцах, где заданы величины г и d, воз-
никает другая проблема (в отдельных случаях
минимальный диаметр d определяется исходя
из возможностей испытательной машины).
Здесь с увеличением значения D/d коэффициент
Kt возрастает, достигая перехода к горизонталь-
ному участку, который определяется значе-
нием r/d. Для небольших величин отношения
r/d можно считать, что в зоне перехода d/D =
= х/2, а для больших величин r/d следует при-
нимать для зоны перехода d/D=3/t.
изготовлен из нормализованной подшипнико-
вой стали (0,40% С) и из термообработанной
никелевой (3,5% Ni) стали марки SAE 2345.
Эти материалы имеют пределы выносливости
2100 и 4900 кГ/см2 соответственно при обычных
испытаниях без концентраторов напряжений.
Сначала определим коэффициент Kt. Из
фиг. 12,в имеем D = 3,45 см, d = 3,14 см,
36
и
§> и й О В
Е К Й н
", ы
н
§ з i и §
о «в 8 з и
s S * Е Й & gt ?
ы г- И й ,^' йс Т
iihhb
и ® w og5щ
*" • । Н • Я г! I
и ”
? II § ? Т
►й Й S (""и '-И с>о td -'” м 9”
ы я и .wg ел ц ►§ ~
К и м _ и °®ин^
« .> и >2 й Я 2 :
I 05
IU а н
й Д 2
??§
U Й
? о
й
к
и
я
® И Ч к.
” и
s S»
о X
с\ »
-3 Я
я S
w Я
0.01
0.001
4.8
4.6
4.4
4.2
4.0
3.8
3.6
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
2.0
1.8
1.6
1.4
37
35
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
9
7
5
1000
100
0.1
II
1До
о.оз
r/d
>ol)
ю
ФИГ. 17
40
ПЛАСТИНА С ВЫРЕЗАМИ—РАСТЯЖЕНИЕ
9'0 „-о
3.0
1 .о
ФИГ. 21
U. о
3.5
2.5
2.0
1.5
К ta
ишимшм vt—ИЗ'7.- ' КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТР АЦИ1 ®Й11Ж1®1 дм щ 1|Wit PАСТЯГИВАЕМОИ ПЛА Ц Ц ffff fl Нс ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ v-обр A3 _U L.J__l A. ^.|4’ j L_ J ._• -I • .U. {-.-H • ££ -J.. £ -f .. , - 4 •- - Ь aiiisgggglii HSSfaitff- Iff I ft ,1жliffa - ,4fa- if t-l rfa |—7t« jtTff'Ejfa TTfafafffff: НАПРЯЖЕНИИ^ HfffafaffHfalff7 стины fffa.'illfft: ffi ffiL+iffteff stiff- ЦЫМИ ВЙРЕЗАМИ bfa r: - fa : g>?> ffilfflfcei
ВИШ- [fit Ж И S Ж Ж й ff|ffi far:: ЙТ -t-::: te± Д fa7 :[r-J- - — ,4,’. -farr fa Ж«-Чх fffa ‘ 14 — 1 - - Ийжжед -fe1 HfeWpH ffll-p-p- ---‘----ir 7-ry: H.-j и-|-! -]Ж A h-r _ц_Д г£~СДЖ.Ц-Ж 7JJ -4Г fatffr. J г), fa 4 , Г7 fa'~ • faff-fa- jl. 1 |z'7Uliz_ 77faff| r b: ffTTff fa- E 'fff fafafffGSiH -fffaff^fatHi/ffanffffRilwS
;:ff: 1::.rfa.fafafalffffl_tfalfaiJffZtti—7 fffa-Si &£ — 4-— —Hi :::::::fafa±fa±faft -fa* f:fa ffSf ff _• fa rfat+F 7 7 fa fa '- 4 44 J 'fa 7 .73 itfafartJ^Pfaix ->dg т 7'ff4-7 ЖЕ ЖfffafftHfafffefa ^fafa-.- ;.p - faff, ur fa 'fa fa^Zi.-l ifajpfa :f 4 7'411ЙЖЙЙHff7fffe - - i “'Г77 '/i fa fadfak'Sl9;
Efarlfa W -fafflfa -:fa fafafattfai 7ЖЖЖ,Ж iLi llii lipйадйШкжёй: fetofi itefefe if,77 iff,K .^коэффициент концентрации напряжений ^ЁФ:^щ|^^^Для.и-дбразнрго. выреза (a = 0)fa|fa Izzp-faif4+ К Ж‘-“1КОЧ(Ь(ЬипИРНТ кпмпрмтпяпии ИЯППЯЖРЯМЙ- 1 fa j'';' 3- О'П/И fa
14|faiwfrИffдля V-ббразного выреза]|ЦЬЩ iff зйй iff tiff :::fa||gjggj ||.4 fflfafal.ff | Ж fall д ^ll 4 itft- - , -,. vrdfaddl 1!:Й H 1 7fa !f tffa 1 fa iff] f fa fa- faff |ff1ЭДЙ ЙM жж ий 11 faff far; iifalff fa,|tfffrfa _j± .fa 4zZfaTfai:zfaz" — farrfafafa fa— faffte7"-[fa, 7t 7y^ J-fa ‘ »j! -' --,-1 --' - Г,—Tfa--- £ ;ЖЖ7-777fa<fafafafafa 7. s- жр ей Hsffffffp ЦЗЗ : Вж Й-Ч 0 7d = Ж; - 7; ff -fa7 falff i ff “ rj+rjrfafafa'-i ^ fa: fafafffa 'fafa —b|.jt pfaEfffa
ffbtl йЙ l||44131 i diffl IffЙ ЙЦ ЙгЙ : 7 ifct jiA* ffi №L tfffa3|ff|rt:]ffrtfa fft< fafaFfa^X fafafa >Ж' : fall - Й11 fa Ш. Ж ffil fafa Hfa Щ fafa Ж z- 1- fan № fa. J-Efa- '"fa «3 20° -7 ff . 7 77- ffff ffff iff 77 iff! 0 #iжа 7 -: •? s 7 iffifaS «Ж- i7 Is +1- 7tI--й:L- 33 H -ж й i4 r ffd>> •: ;: :: г. Ж: _ .гП? r£i _ •.;- ttd Htr tEF >ЕЖ2ж rJ-L.:. i-ffiffffffzi ff-hiтд;ж±1 -Ж i-ЖЖх .faJ:.-.; Tfffffafafafafa .fa ff:: /fa:-:', "iff жН ёоЗжж — - - - t;s Ж. -
fafai'fa Wfafefa '7 "Г 7: 4 Ъ fafa=^ : :: ^fafafafajfafafafafa Ж — ж ±; H * ffff йф И1; ffs fafafefa Sjifa fa- fafa; —— ЙВtffM xtIt ;, 7.- 7 - fa7 bfa-ж ж : • Iff:; fai ___ fa£fa . ЙжЙЙ faff if fa.: fa -fa-;:"rt'fa - - ИЕ»: liisssi fafa, faff_ -Llt_ j'.-L : ff 1 _L 7 -ffa..: i ± [tt-i if 7; Ji far tff fft-4 j :';} Tifflfa ЖЖ.тЖЖ-З7 ifa iff' ,-Й Mbfffal ifa tiff -7: ;l.lr г, j fffa ..-г ЖЖ ЖЖ 'J i;:.i faff fat} [|. Uti p| f| tffdfaffaffw Ж7"^ж НтМйЕЙж ::; ffal 'fat iff rJi> f it fat JI. ... , , p.s[ 14.1 4- • r - П:"'ж331ЕЗ|-Й’1- жжжжДжжж irtSffff i ff! ’ : Hfall Лк.--.::; iffi-L-fa-fa 7;-: гр Ж11.1Ц11В
1.5
2.5
3.5
К
2,0
1.0
з.о
О
I
t
с
it
5
i
li
44
ФИГ. 22а
о£-о 52’0 02*0 p/j SCO__________ 0t'° So'o
ФИГ. 226
ФИГ. 24
D
4 р, Петерсон
ФИГ. 25
3.5
3.0
Kt
i
2.5
расчетов
а
к*1
?вирезов
2.0
ДЛЯ 7
: среднихE
-вырезов*
® Результаты :;
5-вырезов j_J
ФИГ. 26 ФИГ. 27
1
Ж
1.5
а
1.0 L
Сп О
И Л Ж
вырез, г
И
1
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ К
^‘"иш ...ДЛЯ РАСТЯГИВАЕМОЙ
............И® ПЛАСТИНЫ вй. ... .
,С ОДНОСТОРОННИМИ ПОЛУКРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ
(фотоупругость, данные Дюрелли, Лейка и Филлипса)
................... аавн
а
выреза ' :
ay пи и1
выреза
выреза" >
для Jppzv»5
средних г
вырезов^
f
<ы р»г&да i±mm и? ?£- •=£: S?
Хадля крайнего вырезащ^н-гн аг-
^-(уп~Г I ‘П -Г'ТТП—гт: t ill '*i г—1 t 1 га Т--ГТ -I -4-ПТГР- -Т
азрнвырезов (фотоупругость,Хетени)
а? ееё Li i mtm am
ffl i IH 5 выре !0B Й
(фотоупругость, Хетенир
j1L± I i 1Ш4|’|!|1н-'Тг»рн.рь^р.?7
ax wwrn whii at®
р|& вырезов
Fra
a
а
а
fa
Ж
-гамаке Н
-рАгпЬ
К; для бесконечного
числа вырезов, Тс/Г =
(Вебер)
ддля ряда отверстий
®(Щульц);....
11ЙЯ
аг
а
:f олщйна пл астйны
2
ФИГ. 29
СТЕРЖЕНЬ С ВЫТОЧКОЙ —РАСТЯЖЕНИЕ фф
54
ФИГ. 31
0.5 d/D 0.6 0.7 0.8 0.9
55
сл
OS
ФИГ. 32
og
ФИГ. 33
ФИГ. 34 _____о \_____________ФИГ. 35
о
ФИГ. 36
о
.E&aW+rrmillMm II. . I. .7ТТ.ТЙГ1 HI иЧ ..I .. I и. 1. .t.- I- , I ;-H . I In. ..'"..mm......
IqH 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 d/p 0.6 0-7 0-8 0-9 1-0
ФИГ. 37
63
64
5 р. п.
5 Р. Петерсон
(Я
ел
1 .0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0Л
0.3
0.2
0.1
О
ФИГ. 39в
ФИГ. 40
66
ФИГ. 41
b/a
3
67
о
00
ФИГ. 42
69
ФИГ. 47
w
СТЕРЖаНо С ВЫТОЧКОЙ - ИЗГИБ фф
OS ’ЛИФ
ФИГ. 51
77
«I
001
о.оз
78
ФИГ. 53
79
ФИГ. 54
РЗД1 wffffffi кажышки ,w 11 nti w-ш
80
80
ФИГ. 55
' 82
I'
ФИГ. 57
6*
83
ФИГ, 58
ВЫРЕЗ!
ОБРАЗЦЫ С МАКСИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОБРАЗЦОВ С ВЫТОЧКОЙ,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ МАКСИМАЛЬНУЮ КОНЦЕНТРАЦИЮ НАПРЯЖЕНИИ
(кривые получены расчетом по формулам Нейбера)
84
ВЫРЕЗЫ И выточки
ГЛАВА 2
г=0,078 см. Вычислив отношения Did — 1,10
игИ=0,025, находим Kt — 2,90 (см. фиг. 48).
Из данных, приведенных на фиг. 8, опреде-
ляем, что при г = 0,078 см для подшипниковой
стали д = 0,76, а для термообработанной нике-
левой стали q = 0,93. Подставив в формулу (12)
найденные величины, получим
gt/= 1 + 0,76 (2,90-1) = 2,44,
Off= 860 кГ/см2 для подшишш новой стали,
Et/= 14-0,92 (2,90-1) = 2,77,
оу=^ = 1770кГ/см2 для термообработанной
никелевой стали.
Полученные результаты свидетельствуют о
том, что при эксплуатации в рассматриваемом
валу (см. фиг. 12,в) усталостные напряжения
могут достигать значений 860 и 1770 кГ/см2
соответственно для указанных марок стали.
Для получения допускаемых напряжений необ-
ходимо умножить полученные значения на
коэффициент запаса, зависящий от условий
эксплуатации, последствий повреждения и т. д.
Различные коэффициенты запаса широко ис-
пользуются в технике. При этом прочность
детали не является предметом обсуждения. Она
определяется с помощью имеющихся в распоря-
жении современных методов и оборудования.
Естественно, что испытание, любой сложной
детали является желательным, если оно воз-
можно. Однако и в этом случае необходим пред-
варительный расчет, который должен быть до-
статочно точным и должен учитывать все извест-
ные факторы.
Глава з
ГАЛТЕЛИ
Галтели, т. е. скругления в местах резкого
изменения толщины детали (фиг. 59),— наи-
более распространенный тип концентратора
напряжений в деталях машин. Валы, оси, шпин-
дели, роторы и т. п. обычно имеют несколько
участков разного диаметра, по границам кото-
рых расположены переходные галтели, скруг-
ляющие углы, которые часто допускали в кон-
струкциях в прежние годы.
ФИГ. 59. Примеры деталей с галтелями: коленчатый
вал (а), ротор турбины (б), вал электродвигателя (<?),
ось железнодорожного вагона (г).
1 — галтель; 2 — колесо.
Коэффициент концентрации напряжений Kt
в галтелях обычно вычисляют по отношению
к напряжению на участке меньшего диаметра
d. Например, при растяжении (фиг. 65) коэф-
фициент концентрации напряжений опреде-
ляют в виде Kt = rr.,a„c/rr„0.,, где au()„ = P/hd.
Определение коэффициентов концентрации
напряжений в галтелях при растяжении и изги-
бе основывается на результатах испытания
моделей из оптически чувствительного материа-
ла поляризационно-оптическим методом, а для
случая кручения их находят путем расчета.
В предыдущем издании данной книги [1] был
изложен метод, позволяющий определить при-
ближенные значения коэффициентов Kt при
малых значениях отношения r/d. Представлен-
ные в настоящей главе графики хорошо описы-
вают область малых значений r/d благодаря
использованию недавно опубликованных но-
вых результатов.
Коэффициенты концентрации напряжений
Kt для плоских элементов, рассмотренных
в данной главе, относятся к случаю плоского
напряженного состояния и применимы лишь
к очень тонким деталям или, строго говоря,
к таким случаям, где t/r —О (t — толщина
пластины, г — радиус галтели). С увеличе-
нием отношения t/r напряженное состояние
стремится к состоянию плоской деформации.
При этом напряжения на поверхности галтели
в средней плоскости пластины возрастают, а на
наружных поверхностях пластины падают. Для
объяснения этого эффекта могут быть полезны
вводные замечания к гл. 4.
86
ГАЛТЕЛИ
ГЛАВА 3
3.1 / Растяжение (осевая нагрузка)
3.1.1. СИММЕТРИЧНЫЕ ГАЛТЕЛИ В ПЛОСКИХ
СТЕРЖНЯХ ИЛИ ПЛАСТИНАХ
Фиг. 65 содержит недавно полученные дан-
ные о коэффициентах концентрации напряже-
ний Kt при растяжении ступенчатых плоских
•стержней. Представленные на этой фигуре гра-
фики получены путем пересчета коэффициен-
тов концентрации напряжений Kt, найденных
ранее методом фотоупругости [121]. Величины
указанных коэффициентов концентрации ока-
зались слишком низкими, что связано, по-
видимому, с малым размером моделей и нали-
чием у них краевых эффектов. Коэффициенты
концентрации напряжений в диапазоне изме-
нения rid от 0,03 до 0,3 пересчитывались по сле-
дующей формуле:
тг — v Г ФИГ|
Ал фиг. 65 — Af фиг. 57[ 1 ] ь-
L [121]
Диапазон rid недавно был расширен в зону
малых значений с помощью экспериментов, вы-
полненных методом фотоупругости [98а]; эти
данные ^хорошо согласуются с результатами,
подсчитанными по формуле (486) для Did > 1,1.
Другие поляризационно-оптические иссле-
дования [1371 дают величины коэффициентов
концентрации напряжений Kt, которые хорошо
согласуются с графиками фиг. 65 для Did — 1,5
и 2.
3.1.2. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ ГАЛТЕЛИ
В ПЛОСКИХ ДЕТАЛЯХ
Коэффициенты концентрации напряжений
на фиг. 65 справедливы для тех случаев, когда
участок большего диаметра D имеет сравни-
тельно большую длину. На практике часто
встречается случай, когда длина утолщения L
(фиг. 60) невелика.
ФИГ. 60. Влияние узкого утолщения иа валу.
В одном из ранних исследований, выпол-
ненных с помощью поляризационно-оптического
метода, Бауд [138] отметил, что в случае узкого
утолщения наружная часть его разгружается,
и предложил следующую формулу:
Dx = d-]-0,3L, (49)
где Dx —диаметр широкого утолщения, имею-
щего тот же самый коэффициент концентрации
напряжений Kt (фиг. 60).
Этот же результат можно получить графи-
чески, проведя прямые линии, пересекающиеся
под углом 0 = 17° (см. фиг. 60). Иногда для
этого используют угол 0 величиной до 30°.
Правило Бауда, предложенное для ориентиро-
вочной оценки, оказалось весьма полезным.
Хотя коэффициенты концентрации напря-
жений Kt для изгиба пластин с узкими утол-
щениями (фиг. 74 — 76) были опубликованы
еще в 1951 г. [139], случай растяжения был
обследован систематически лишь недавно [140]
(фиг. 66 — 69). Как можно видеть иа фиг. 68
и 69, при Lid = 0 сохраняется точка пересе-
чения; Kt = 1 при Lid — — 2r Id (см. штри-
ховые линии на фиг. 68 и 69, проведенные для
экстраполяции до Kt — 1). Формула дает точ-
ную величину L/d при Kt — 1 Для Did = 1,8
(фиг. 68), когда rid 0,4 и для Did = 5 (фиг.
69), когда rid 2. Авторы работы [140] уста-
новили, что их результаты согласуются с ранее
полученными данными [141, 142] для несколь-
ко иных соотношений размеров. Были выве-
дены эмпирические формулы, описывающие ре-
зультаты работы [140].
Данные о концентрации напряжений в круг-
лых стержнях отсутствуют; предполагается,
что в этом случае можно воспользоваться приб-
лиженным методом, описанным в книге [1, стр.
61].
3.1.3. ВЛИЯНИЕ ТРАПЕЦИЕВИДНОГО ВЫСТУПА
НА КРАЮ ПЛОСКОГО СТЕРЖНЯ
Примерно такую форму имеет валик сва-
рочного шва. Конфигурация этого концентра-
тора напряжений показана на эскизе фиг. 70.
Для решения задачи о растяжении стержня с
эквивалентной поверхностной касательной наг-
рузкой использовался метод конечных разнос-
тей [143].
Полученные этим методом коэффициенты
концентрации напряжений Kt для выступов с
углами 0 = 30 и 60° даны иа фиг. 70 и 71 соот-
ветственно. Штриховая линия соответствует
высоте, на которой радиус закругления ка-
сается наклонной боковой стороны выступа,
87
ГЛАВА 3
ГАЛТЕЛИ
т.е. ниже этой штриховой линии прямоли-
нейные участки на боковых сторонах выступа
отсутствуют и соответствующие участки имеют
форму дуг окружности.
Сравнение коэффициентов Kt. полученных
в работе [143}, с соответствующими коэффициен-
тами (для больших отношений wit), приведен-
ными на фиг. 36 и 62 книги [1], для элементов
с галтелями и угловой коррекцией показало,
что последние коэффициенты примерно на 70%
выше первых с отклонениями в пределах 2 —
—15%. Аналогичное сопоставление, прове-
денное автором, с использованием увеличенных
значений коэффициентов Kt wir галтелей, при-
веденных на фиг. 65, показало, что эти вели-
чины (скорректированные по углу) примерно
на 17 % (в диапазоне от 14 до 22%) выше данных
Деречо —Мюнсе [143].
Измерения с помощью тензодатчиков [143]
дали коэффициенты Kt на 32, 23 и 31 % выше,
а для наименьшего Kt —на 2,3% ниже вы-
численных коэффициентов.
Авторы работы [143] комментируют эти ре-
зультаты следующим образом: «проведенное вы-
ше сравнение подтверждает, что величины 1)...,
возможно, несколько занижены. Следует заме-
тить, что если бы было возможно дальнейшее
уменьшение шага сетки в рассмотренном реше-
нии по методу конечных разностей, то могли
бы быть получены несколько более высокие
значения коэффициентов концентрации напря-
жений». По-видимому, коэффициенты концент-
рации напряжений занижены довольно суще-
ственно.
Валик типичного сварного шва имеет ма-
лое t/w и Did, близкое к 1,0. Обратившись,
например, к фиг. 70, можно видеть, что при
t/w — 0,1 и r/w = 0,1 коэффициент Kt ока-
зывается поразительно низким (1,55). Даже
если увеличить это значение на 17%, чтобы
повысить коэффициент безопасности при проек-
тировании, все же получается сравнительно
низкий коэффициент концентрации напряже-
ний Kt = 1,8.
3.1.4. ГАЛТЕЛИ НЕКРУГОВОГО [ОЧЕРТАНИЯ
В ПЛОСКОМ СТУПЕНЧАТОМ СТЕРЖНЕ
Галтели обычно делают круговыми, что
объясняется простотой проектирования и изго-
товления таких галтелей.
В машиностроительных конструкциях прош-
лых лет (например, во многих деталях, отли-
тых из чугуна) часто встречались галтели пере-
1)'Показанные на фигурах работы [143], соответ-
ствующих фиг. 70 и 71 данной книги.
менного радиуса. Конструкторы и изготови-
тели приходили к такому результату, по-ви-
димому, интуитивно. Иногда галтели перемен-
ного радиуса выполняются в виде сопряжения
двух дуг разного радиуса, как, например, в
случае, проиллюстрированном на фиг. 61.
ФИГ. 61. Галтель сложной формы.
В 1934 г. Науд [144] предложил придавать
галтелям форму, которую принимает поверх-
ность струи идеальной жидкости, вытекающей
под действием собственного веса через отвер-
ФИГ. 62. Профиль струи идеальной жидкости, вытекаю-
щей из отверстия в дне сосуда.
стие в дне сосуда (фиг. 62). Такая поверхность
характеризуется следующими уравнениями:
х = 2 — sin2 , (50)
£ = -^-[lgtg(-|-4--^-) — sin 6]. (51)
Бауд отметил, что в этом случае скорость
жидкости на поверхности струи постоянна, и
предположил, что та же самая поверхность
может быть также поверхностью постоянного
напряжения для растягиваемого стержня. На
растягиваемых фотоупругих образцах Бауд наб-
людал, что ь галтели, форма которой соответ-
ствует профилю поверхности потока жидкости,
не возникает заметной концентрации напря-
жений.
В случае изгиба и кручения стержня Тум
и Баутц [145] использовали галтели в виде
88
ГАЛТЕЛИ
ГЛАВА 3
Таблица 1
Размеры галтелей в форме ливий тока
Ь- г if
1/И dfld (растяже- ние) dj/d (изгиб и кручение) V/d df!d (растяже- ние) d/d (изгиб и кручение)
0,0 0,002 0,005 1,01 1,02 1,04 0,06 0,08 0,10 0,15 0,2 1,636 1,610 1,594 1,572 1,537 1,483 1,440 1,405 1,374 1,310 1,260 1,475 1,420 1,377 1,336 1,287 1,230 1,193 1,166 1,145 1,107 1,082 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,3 1,6 оо 1,187 1,134 1,096 1,070 1,051 1,037 1,027 1,019 1,007 1,004 1,000 1,052 1,035 1,026 1,021 1,018 1,015 1,012 1,010 1,005 1,003 1,000
кубической параболы, длина которых меньше,
чем у галтелей в случае растяжения (табл. 1).
В работе [145] также показано (на основе уста-
лостных испытаний на изгиб и кручение), что
в галтелях, профиль которых выполнен в соот-
ветствии с данными табл. 1, нет заметной кон-
центрации напряжений.
Чтобы уменьшить длину галтели, которая
получается в случае ее изготовления по форме
линии тока, Дейтлер и Харверс предложили
специальную эллиптическую форму галтели
[146], основанную на теоретическом анализе
Феппля.
Гродзинский [147] отмечает галтели пара-
болической формы. Он также описывает прос-
той графический метод, который может быть
полезен при изготовлении шаблона для отли-
ваемой детали (фиг. 63). Размеры а и b обычно
определяются имеющимся пространством или
конструктивными соображениями. Каждый из
отрезков а и Ъ делят на одинаковое число час-
тей и нумеруют точки, как показано на
фиг. 63. Далее соединяют точки с одинаковыми
номерами прямыми линиями и проводят к этим
линиям огибающую, которая, как видно на
фиг. 63, имеет непрерывно возрастающий ра-
диус
Для тяжелых валов и катков Моргенброд
[148] предложил коническую галтель с за-
круглениями по концам, угол конической части
которой выбирается в пределах от 15 до 20°.
ФИГ. 63. Построение профиля параболической гал-
тели [147].
Такая галтель по форме подобна базе кони-
ческого консольного образца Макадама [149]
для испытаний на усталость, в котором, как
показано в работе [150], напряжения изменя-
ются менее чем на 1% на длине 50 мм (номи-
нальный диаметр образца равен 25 мм). В ука-
занном образце коническая поверхность соп-
рягается с кубической поверхностью враще-
ния с постоянным напряжением.
В результате испытаний, выполненных мето-
дом фотоупругости, были получены величины
коэффициентов концентрации напряжений при
изгибе для используемых на практике эллип-
тических галтелей (разд. 3.2.4). Достигаемая
в этом случае степень улучшения может быть
использована и при рассмотрении случая рас-
тяжения. Клок [151] аппроксимировал эллип-
тическую галтель эквивалентным круговым сег-
ментом и получил соответствующие вели-
чины Kt.
Весьма интересное исследование оптималь-
ных форм для переходных зон деталей было
выполнено Хейвудом в работе [152], где он
обсуждает формы, встречающиеся в природе
(формы стволов и ветвей деревьев, шипов,
костей животных).
3.1.5. СТУПЕНЧАТЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ
СТЕРЖЕНЬ С КОЛЬЦЕВОЙ ГАЛТЕЛЬЮ
Величины коэффициентов концентрации на-
пряжений Kt для этого случая, приведенные
на фиг. 72а, получены пропорциональным пе-
ресчетом величин Kt с фиг. 65 в соответствии
с соотношением коэффициентов концентрации
напряжений для трех- и двумерных напряжен-
ных состояний образцов с выточками, как это
объясняется в разд. 2.1.12. Поэтому графики
на фиг. 72а считаются приближенными.
При взятых для сравнения значениях отно-
шения d/D (0,6 0,7 и 0,9) коэффициенты кон-
центрации напряжений для круглых стержней,
полученные методом фотоупругости [153], ока-
зались несколько ниже величин, приведенных
на фиг. 72а. Недавно полученные также с по-
89
ГЛАВА 3
ГАЛТЕЛИ
мощью поляризационно-оптического метода ре-
зультаты [137] дают величины коэффициентов
Kt при Did = 1,5, хорошо соответствующие
фиг. 72а.
3.1.6. НАГРУЖЕННЫЙ ДАВЛЕНИЕМ
ТОНКОСТЕННЫЙ СОСУД, ИМЕЮЩИЙ СТЕНКУ
СО СТУПЕНЧАТЫМ
ИЗМЕНЕНИЕМ ТОЛЩИНЫ
И С ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ГАЛТЕЛЬЮ
Зависимости для коэффициентов Kt на
фиг. 726 построены по результатам ресчетов
Гриффина и Турмана [153а]. Непосредственное
сравнение этих данных [1536] с результатами
специального экспериментального исследования
3.2 . Изгиб
3.2.1. СИММЕТРИЧНЫЕ ГАЛТЕЛИ
В ПЛОСКОМ СТЕРЖНЕ ИЛИ ПЛАСТИНЕ
Полученные методом фотоупругости резуль-
таты Левена и Гартмана [139] охватывают
область изменения rid от 0,03 до 0,3, а другие,
более поздние эксперименты [98а] — диапазон
rid от 0,003 до 0,03. Эти результаты довольно
хорошо согласуются между собой и были взяты
за основу для построения графиков, приведен-
ных на фиг. 73.
3.2.2. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ ГАЛТЕЛИ
В ПЛОСКИХ ДЕТАЛЯХ
На фиг. 74 — 76 даны коэффициенты кон-
центрации напряжений для галтелей с различ-
ными параметрами [139]. При L/D = 0 сохра-
няется точка пересечения; при D!d — 1,25
(фиг. 74) и rid 1,8 получается Kt — 1, когда
L!D = — 1,6 r!d\ при D/d = 2 (фиг. 75) и г/d
*/2 имеем Kt = 1, когда L!D — —r/d\ при
D/d = 3 (фиг. 76) и r/d 1 также Kt = 1,
когда LID = — 2/3 r/d. Штриховые линии на
фиг. 74 — 76 обозначают экстраполяцию гра-
фиков до Kt = 1. Данные для круглых стерж-
ней отсутствуют; конструктор может опреде-
лить соответствующие коэффициенты концент-
рации напряжений пропорциональным перес-
четом с использованием соотношения между
коэффициентами концентрации в решениях Ней-
бера для плоских и объемных напряженных
состояний стержней с вырезами (см. книгу
[1, стр. 61]).
90
Левена, выполненного методом фотоупругостп
[153в], показывает хорошее соответствие.
В достаточно хорошем согласии с фиг. 726 нахо-
дятся также результаты тензометрических из-
мерений Хейфица и Бермана [153г]; более низ-
кие значения получены методом конечных эле-
ментов [153д].
Приводимые здесь данные можно сопоста-
вить с графиками, показанными на фиг. 65,
если рассматривать изображенный там стер-
жень распиленным вдоль оси пополам. Соот-
ветствующие кривые коэффициентов Kt имеют
одинаковую форму с кривыми на фиг. 726,
однако они проходят несколько выше. Следует
иметь в виду, что эти случаи не вполне сопос-
тавимы и, кроме того, фиг. 65 является приб-
лиженной.
3.2.3. КОРОТКАЯ БАЛКА
С СИММЕТРИЧНЫМИ ГАЛТЕЛЯМИ
В связи с исследованием зубьев шестерен
были выполнены методом фотоупругости изме-
рения напряжений в коротких прямоугольных
балках с галтелями на противоположных сто-
ронах [319]. Эти результаты приведены на
фиг. 189 и обсуждаются далее в разд. 5.3.
3.2.4. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГАЛТЕЛЬ
В ПЛОСКОЙ ДЕТАЛИ
Берки [154] методом фотоупругости полу-
чил коэффициенты Kt для случая изгиба плос-
кой пластины (фиг. 77). Соответствующие коэф-
фициенты концентрации напряжений для ци-
линдрического вала должны быть несколько
ниже; их можно оценить, сравнив коэффициен-
ты Нейбера для плоского и объемного напря-
женных состояний стержней с вырезами так,
как это показано в разд. 2.1.12.
3.2.5. СТУПЕНЧАТЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ
СТЕРЖЕНЬ С КОЛЬЦЕВОЙ ГАЛТЕЛЬЮ
Методом фотоупругости были получены дан-
ные о концентрации напряжений в ступенча-
тых цилиндрических стержнях при изменении
rid в диапазоне от 0,03 до 0,3 [139]. Последние
данные по изучению изгиба плоских стержней
[98а] расширяют область изменения rid ниже
0,03. Эти результаты представлены иа фиг. 78а.
Было проведено сравнение с данными дру-
гих фотоупругих экспериментов для цилинд-
рических стержней [155]. При отношениях
ГАЛТЕЛИ
ГЛАВА 3
d/D = 0,6 и 0,8 соответствие вполне хорошее,
однако при d/D = 0,9 результаты работы 1155]
оказались гораздо ниже.
В конструкциях валов машин (где изгиб
и кручение — наиболее важные виды нагру-
жения) часто встречаются небольшие ступеньки
(при отношениях. D/d, близких к 1,0). Для этой
области использовать фиг. 78а не удобно. Поэ-
тому добавлена фиг. 786, на которой все кри-
вые при D/d = 1,0 сходятся к Kt = 1,0.
3. 3. Кручение
3.3.1. ступенчатый цилиндрическии вал
с кольцевой галтелью
Графики, приведенные в предыдущем изда-
нии книги (см. фиг. 67 работы [1]), основыва-
лись на экспериментальных данных Джекоб-
сема 1156] (полученных методом электрической
аналогии) и Вейганда [157] (полученных с по-
мощью тензометрии). Эксперименты Джекоб-
сена охватывают диапазон изменения r/d от
0,02 до 0,12, а эксперименты Вейганда — от
0,12 до 0,25. Несмотря на то что согласие этих
данных при rid = 0,12 было не слишком хоро-
шим, оказалось возможным совместить кривые
таким образом, чтобы получились приемлемые
результаты. Толщина стальной модели в экспе-
риментах Джекобсена изменялась в зависи-
мости от куба расстояния до центра вала. В
случае сплошного вала модель должна была
бы иметь острый край, соответствующий оси
вала. Чтобы иметь с внутренней стороны мо-
дели тонкий плоский край, Джекобсен пред-
полагал наличие у вала осевого отверстия.
В последние годы были выполнены иссле-
дования концентрации напряжений в валах с
галтелями при кручении с помощью поляри-
зационно-оптического метода [137, 138], на
основе электрической аналогии [139] и рас-
четным путем [132]. В работе [132] был исполь-
зован численный метод, основанный на урав-
нениях теории упругости и приближенном удов-
летворении граничных условий в отдельных
точках, который, как полагают, имеет удов-
летворительную точность. Этот метод дает вели-
чины KfS (фиг. 79а), более низкие, чем приве-
денные ранее в книге [1], а в области меньших
значений отношения r/d — более высокие, чем
полученные на основе электрической аналогии
1139].
3.4. Методы снижения концентрации
напряжений в галтелях
Одна из проблем, встречающихся при рас-
чете валов, роторов и других ступенчатых дета-
лей, состоит в снижении концентрации напря-
Авторами работы [137] предложена эмпири-
ческая формула, основанная на анализе опуб-
ликованных данных, включающих результаты
их собственных экспериментов с помощью фо-
тоупругости, которая дает результаты, удов-
летворительно согласующиеся с величинами,
приведенными на фиг. 79а в области, охваты-
ваемой экспериментами работы [137].
В конструкциях валов машин (где основны-
ми видами нагружения являются изгиб и кру-
чение) часто встречаются небольшие утолще-
ния, в которых D/d близко к 1,0; в этой области
использовать фиг. 79а не удобно. Здесь можно
воспользоваться фиг. 796, где кривые при
Did — 1,0 сходятся к Kt = 1,0.
3.3.2. СТУПЕНЧАТЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИИ ВАЛ
с кольцевой галтелью
И ОСЕВЫМ ^ОТВЕРСТИЕМ
Центральные (осевые) отверстия использу-
ются в крупных поковках для контроля, а в
валах — для охлаждения или для подачи жид-
кости.
В случае полого вала целесообразно вос-
пользоваться отношениями величин фиг. 80,
полученных на основе электрической аналогии
[139], к величинам Kt на фиг. 79а.
Отношение прочности к весу вала увели-
чивается с ростом относительного диаметра
внутренней полости. Однако в практических
случаях таким путем не удается получить су-
щественные выгоды вследствие сравнительно
большого веса частей вала с увеличенным диа-
метром. Исключение представляет случай, ког-
да диаметры близки (D/d 1,2).
жений в галтелях при сохранении опорной
поверхности АА и размеров D и d (фиг. 64, а).
Это может быть достигнуто рядом способов;
91
ГЛАВА 3
ГАЛТЕЛИ
некоторые из них иллюстрирует фиг. 64,6 — г
ФИГ. 64. Разгружающие канавки.
Снижение концентрации напряжений
обеспечить
вырезав на торце
ступеньки
можно
галтель
большего радиуса (фиг. 64, б) без увеличения
зоны сопряжения вала с надеваемой на него
деталью. Можно использовать переходное коль-
цо, как на фиг. 64, в, однако в этом случае появ-
ляется дополнительная деталь.
Подобный
результат}может быть получей с помощью ка-
навки, показанной на фиг. 64, г, однако канав-
ку такого профиля трудно изготовить.
Иногда методы, проиллюстрированные на
фиг. 64, б — г, не дают результата, поскольку
слишком мала высота ступеньки (D — d)l2.
В этом случае можно сделать разгружающую ка-
навку (фиг. 64, д, е),если она не нарушает усло-
вий уплотнения и не противоречит другим
требованиям работы вала. Как показывают
г — радиус закругления на валу; rg — радиус канавки.
усталостные испытания, за счет создания таких
канавок может быть достигнуто значительное
повышение прочности [160, 161].
Следует отметить, что в рассматриваемом
случае концентрация напряжений сочетается
с фреттинг-коррозией в месте посадки подшип-
ника (разд. 5.4). Выгода от улучшения формы
галтели в этом случае может быть снижена
разрушением поверхности в месте запрессовки.
Одпако усталостные испытания [161] показы-
вают, что разгружающие канавки повышают
прочность по крайней мере при конкретных
испытанных соотношениях размеров.
ФИГ. 65
ФИГ. 6fi
94
95
ФИГ.68
2
2
.96
j р
ФИГ. 69
J Р. Петерсон
99
ФИГ. 72а
ФИГ. 726
o.i
о.з
0.5
101
ФИГ. 73
102
ФИГ. 75
104
ФИГ. 76
105
ФИГ. 77
ГАЛТЕЛЬ В СТЕРЖНЕ - ИЗГИБ
ФИГ. 786
108
ФИГ. 79а
0.30
0.10
0.25
0.20
ГАЛТЕЛЬ В СТЕРЖНЕ-КРУЧЕНИЕ
г— тттг р- ' —Г—t J -Д7-- й Ей? ; 1'. Ц ' 1 г1-* ттДР й —Ipj-.ЕЕГ ИВИШиЕ IE Ж1(ОТ1ЕЕН 1'и:г jiff ikhn..hrРЕ tin : JR sfe? ——'-I-;- ЙЙ Й = K Й Et J. E? S- □э< Й Cl t= Ж1 Lntt -'Hr HE' s Hl71 Й End KO. IZETL IE n.q — ЫЛ IT:; ; ,•, TTTT i1 'TTTTl: ЕЙ ™ £ ET ml - - :ht r i ZROf IHHbK и о ~q~— : 1’ <01 Kts 1 г ? M ЙТ" 4ПЕНТРУ’ ДЛЯ BA АЛТЕЛЫ этьюза и йй-Дй Ийй- йИ Йй шии ЛА 0 ПРИ Хука 1ZZT’ 1~~ -4- _ - _г — Й САПР! _L КРУЧ 1321) - - 4 N । ..... । .. 1ЖЕНЙП 1 Ь | ЕНИН и -- . -- -
4- _ - ittEApt* ±Гт 14 1 г ’-* at _u_ 3 * ? ,-p jlH I] .": TT1 -;— R iH r- Й Й- . — > T- • . • Ed|E • ; b_ . .1 --- --- Е - -—нр 1 1 Дй it 1 : а - - t - _ - - - . _
ш и-_рЕ1|Д-Й ±L . 1-'Т 1 - -Г- -- -1: Др: ~“-e ’ i; : -4 - i . . .. -—i /т 77*- макс *- - :-. ji; ОМ —I—
—Ll" ' •“•“П . —ТЕЧй г- - Д1 ~, " '. — : E — T HO , “'16 ТА -
L— — U • й —ГГ -‘ ,-i , ...
ti . 1“ Rjil :i —-»-- 4-*- E- _ - ж £1 ~bE — - .... ... . - .-..I’.:: ; Е::: :д: 1 .-: _• 1-
ih ЕЕ- - ТЙЕ! ЕТ IP j-l; :р:‘ ШИШ й 4\ йй; г : i .X_... Й.” 1*. - - —- ESr 1-^6 ir.T Й •111L1 -"Дй 1 - : . !:..’ , г*:!’-: 1 11 11 Й
1±L11111-11 .. НИ-Й wwt 111 J • И" 1 ! 1 inn;: |i । 1 !1| ‘Hl. ;Ц j.‘H - LlE 111 ЙЬ H- XI% ЕШЕЕ - nSw- _L j. - +-•; •- — • -t- r r Рда Е: !Р: : 1Р--’ 0.U- -iqlT : _:: .. J. . .... 5Й ?Й Е нН - i’li. U—’
EITB Р HI ife nng-H- TE-hl-f-'— Г L-- J-_ .- Й1 Й Hr uJl ip itulipi Rill:! Н1Й 4— -ill Й'-Ч : IE ’ Ч: 1. ;: ii'i __ t —— - - • 1т : .: . 1-11- 11’ 11 —-
1М 7-7 Г ~,2Г'-7 П-L, ip' 1! P'i — I'E ::: :: • • / ? ’ :• ..
1 -1.. . - - - . —1—г- --— • r - - - - - .... — - . ..
жп ЙЕ. Ен- -Е1-,—t— -_ri #+Н+++т+ г 1—,- -п ,т --Р I • 1 г ii’ir - 7 r RiiiR Ц !1 E] Ц .1, Hit in ini ii iii.il - . . ! trrrt д । । 1 < » 1 | . , 1 . ; । - l < L ; T — . , ! 1 . 1 . J 1 , h - ЖйЕРЙЙ > • » ; - • 1- :' E й —27^-"-'’' :: ;И: :Н; Ти 11 НЕ li.ll. 1111,111111 1 I • > 1 ! 4 11 1 • ‘ 1 :! :1 ;1| НН Е! ii1: / ННДН Е !}|Д: 1 .11. «ВИ Г^”^= I...:: — —L , j-j-i-L — —-L ц- г-’— ---1Е ЧЕ Ен Ж
0.05
109
ФИГ. 796
ФИГ. 80
Г лава д
ОТВЕРСТИЯ
Примеры деталей машин с поперечными
отверстиями показаны на фиг. 81. Понятиям
«полоса», «пластина» и «плоский брус» в данной
главе соответствует двуосное напряженное со-
стояние, за исключением специально оговорен-
ных случаев.
Большое количество информации, касаю-
щееся распределения напряжений около от-
верстия, опубликовано сравнительно недавно 1).
Этот материал сгруппирован здесь следующим
образом. Сначала рассматриваются различные
типы нагружения (растяжение, изгиб, кручение,
как и в предыдущих главах), затем случаи
двуосного (плоского) и трехосного (объемного)
напряженного состояния, далее исследуется
влияние формы отверстия (круговая, эллип-
тическая и т. д.) и, наконец, анализируются
одиночное отверстие и ряд отверстий. Чтобы
лучше понять построение этой главы и приоб-
рести навык в быстром использовании данных,
полезно изучить в общих чертах содержание
четвертой главы по оглавлению в конце книги.
В литературе встречаются два типа коэф-
фициентов концентрации напряжений, относя-
щихся к элементам конструкции с отверстия-
ми:
(52)
где Ktg — коэффициент концентрации напряже-
ний. отнесенный к напряжению в сечении, уда-
ленном от отверстия («брутто»); пмакс —мак-
симальное напряжение на контуре отверстия;
о — напряжение, имеющее место в сечении
вдали от отверстия («брутто»), и
Большое количество сведений о концентрации
напряжений в элементах с отверстиями содержится
в книге Г. И. Савина «Распределение напряжении около
отверстий», Киев, 1968; коэффициенты концентрации
напряжений около отверстий сложной формы с различ-
ными подкреплениями края приведены в книге Г. Н. Са-
вина и В. И. Тульчия «Справочник по концентрации
напряжений», Киев, 1976.— Прим. ред.
где Ktn — коэффициент концентрации напря
жений по отношению к номинальному, пном -
номинальное напряжение, равное среднему на-
пряжению в сечении, проходящем через отвер-
стие («нетто»),
Оном о/(1— a/w).
Здесь а — диаметр отверстия, w — ширина пл;
стины. Следовательно,
Ktn =
(54]
Смысл этих двух коэффициентов выявляется
из рассмотрения фиг. 112. Коэффициент Kis
характеризует два эффекта: 1) возрастание
напряжений, обусловленное уменьшением попе-
речного сечения, и 2) изменение напряжений
в зависимости от геометрического фактора.
С уменьшением ширины перемычки между от-
верстиями, т. е. при а, Ъ -> Z, коэффициент А(.
возрастает до бесконечности, Ktg -> оо. Ко?$
фициент Ktn учитывает только один эффект!
изменение напряжений в зависимости от гео-
метрического фактора. При бесконечно малой
ширине пер мычки, а/Ъ-*!., элемент испыты-
вает равномерное одноосное растяжение и AJ
равен 1.
Если требуется определить только о I
то самая простая процедура состоит в исполь-
зовании коэффициента Ktg. Если представляет
интерес градиент напряжений, как, например,
в некоторых задачах расчета на выносливость,
то правильнее использовать коэффициент А’(л,
Это может быть проиллюстрировано следую-
щим примером.
На фиг. 119 для одноосного растяжения прв
h R = 0,1 имеем Ktg 10,8 и Ktn = Ktg (h R)=
= 1,08. Различие значений коэффициентов объ-
ясняется тем, что коэффициент Ktg учитыва
уменьшение расчетного сечения. Если ма -
риал —малоуглеродистая сталь, а отверстие
имеет диаметр 1,22 мм, то, обращаясь к фиг. 8.
получим коэффициент чувствительности мате-
112
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
риала к концентрации напряжений q = 0,7.
Предел выносливости материала (образец
без концентратора напряжений) составляет
21 кГ/мм2, предел выносливости элемента с от-
верстием определяется по формуле (12):
Kq = q (Ktn -1) + 1 = 0,7 (1,08 -1) +1 = 1,056,
’»=й=вд=19'9 “гЛ“г-
Это относится к номинальным напряже-
ниям в перемычке и соответствует величине
1,99 кГ/мм2 для напряжений в сечении брутто.
Если расчет выполнять с использованием
то j
Kt{=q(Klg- 1) = 0,7 (10,8-1) +1 = 7,86,
о./’= = 2-68 кГ/мм2.
Это напряжение соответствует сечению брутто;
если пересчитать для сечения нетто, то по-
лучим
. Of 210,0 о „
С" = K^hiR) = “W = 26’8 КГ/ММ *
Очевидно, последние два результата оши-
бочпы, поскольку при использовании q необ-
ходимо применять коэффициент Ktn. Отметим,
что величина 19,9 кГ/мм2 близка к пределу
выносливости материала 21 кГ/мм2. Это свя-
зано с тем, что узкая перемычка подобна об-
разцу при растяжении с малой концентрацией
напряжений.
Максимальные тангенциальные напряжения
в пластине с поперечным отверстием внутри
пластины несколько выше, чем на ее поверх-
ности. Для случая отверстия диаметром D в
пластине толщиной 3/4 D, подверженной одно-
осному растяжению, при коэффициенте Пуас-
сона v = 0,3 максимальные напряжения на
поверхности были на 7 % меньше, чем в тон-
кой полосе с коэффициентом концентрации 3,
тогда как напряжения в срединной плоскости
были приблизительно на 3% более высокими,
чем в тонкой полосе 1162]. Авторы работы [162]
высказали общее предположение, что коэф-
ФИГ. 81. Примеры деталей машин с поперечными от-
верстиями.
а — смазочное отверстие в коленчатом валу (изгиб с кручением);
б — зажим листовой рессоры (изгиб); в — заклепочное соедине-
ние пластин; г — отверстие с кольцевым подкреплением.
фициенты концентрации напряжений для двуос-
ного напряженного состояния довольно близки
к коэффициентам концентрации в пластинах
произвольной толщины.
В более поздней работе [163] для неограни
ченно толстой плиты (математически —полу-
бесконечного тела), подверженной чистому сдви-
гу при v = 0,3, максимальные тангенциальные
напряжения на кромке отверстия оказались на
23% ниже теоретического значения для тон-
кой пластины при коэффициенте концентрации
4, а соответствующее напряжение в глубине
пластины на радиусе отверстия было на 3%
выше теоретического значения.
В итоге представленного выше обсуждения
об изменении напряжений по толщине пласти-
ны с отверстием можно заключить, что обыч-
ные коэффициенты концентрации напряжений,
найденные в плоской задаче, имеют точность,
достаточную для практического расчета плас-
тин произвольной толщины. Изложенное пред-
ставляет интерес также для механики материа-
лов и анализа разрушений, поскольку начало
разрушения следует ожидать в глубине отвер-
стия, а не на поверхности пластины (естествен-
но, в отсутствие других факторов, таких, как
следы механической и технологической обра-
ботки).
! Р. Петеьсон
ИЗ
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
4.1. Одноосное или двуосное
растяжение (сжатие);
внутреннее давление
4.1.1. ОДИНОЧНОЕ КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
И В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Задача для кругового отверстия в беско-
нечной пластине была решена Киршем [164],
который нашел коэффициент концентрации на-
пряжений для этого случая Kt = 3.
Для случая растяжения пластины конеч-
ной ширины с круговым отверстием (фиг. 86)
при alw до 0,5 значения Kt были получены
Хоулендом [165]. Фотоупругие измерения [166,
167] и аналитические результаты [167а —
169] показали хорошее соответствие.
Для ряда отверстий, расположенных в осе-
вом направлении, с Ыа = 3 и alw = i/2 Слот
[95а] получил хорошее совпадение со значе-
нием Kt, найденным Хоулендом (фиг. 86) для
одиночного отверстия с тем же отноше-
нием alw.
Из собственных фотоупругих измерений Ко-
кер и Файлов [169а] сделали вывод, что, когда
alw приближается к единице, напряжение на
внешней стороне стержня стремится к нулю;
этому соответствует — 2. Авторы работ
[167, 169, 170] также получили Kt = 2 при
alw-^i. Валь и Бьюкс [167], отмечая труд-
ности в изучении тонких перемычек методом
фотоупругости, сделали стальную модель ши-
риной 104,9 мм с диаметром кругового отвер-
стия 101,6 мм (alw — 0,97); посредством элек-
тротензоизмерений они получили Kt = 1,92 и
предположили, что при очень малых дефор-
мациях значение Kt будет выше. Они утвер-
ждают, что, «когда диаметр отверстия настоль-
ко приближается к ширине полосы, что мини-
мальное сечение становится бесконечно тонкой
лентой, тогда для любой конечной деформации
достаточно этой ленточной перемычке пере-
меститься внутрь, чтобы сделать распределе-
ние напряжений равномерным с Kt — 1. Од-
нако для деформаций, бесконечно малых по
сравнению с толщиной перемычки, Kt может
еще быть равным 2». Валь и Бьюкс отметили,
что при испытании стальной модели кривая
Kt не обнаруживает такого быстрого падения
до единицы, как это можно было бы заключить
из результатов некоторых фотоупругих изме-
рений [170а]. Поскольку величина поперечного
перемещения перемычки зависит от отношения
о/Е, коэффициент Kt не будет уменьшаться до
114
1 так быстро, как это имело место для пласт-
массовой модели. Модуль упругости Е (отно-
шение п/£) для стальной модели может быть
примерно в 100 (в 10) раз больше соответствую-
щей величины фотоупругой модели. Хотя об-
ласть параметра alw вблизи 1 не имеет боль-
шого значения с точки зрения проектирования,
поведение конструктивных элементов в этой
области представляет интересную проблему.
Данные для предельных значений параметра
alw —>- 1 недавно были опубликованы Бели и
Эпплом [1706].
Хейвуд [170] предложил эмпирическую фор-
мулу для Ktn, которая описывает весь диапа-
зон изменения параметра alw:
Л,„ = 2+(1—i.)3. (54а)
Эта формула хорошо согласуется с резуль-
татами Хоуленда [170] для значений alw <_ 0,3
и дает только на 1,5% меньший результат при
alw = 0,5 (Kt = 2,125 по сравнению с Kt =
— 2,16 по Хоуленду). Формула Хейвуда прием-
лема для обычных проектировочных расчетов,
пока alw меньше 1/3.
Заметим, что эта формула при alw -+ 1 дает
Ktn = 2, что кажется правдоподобным с уче-
том изгиба тонких боковых перемычек. Фор-
мула Хейвуда, если ее выразить через Kig,
имеет вид
(546)
Коэффициенты концентрации напряжений
для кругового отверстия, расположенного вбли-
зи края полубесконечной пластины при рас-
тяжении [171—173], показаны на фиг. 87. На-
грузка, воспринимаемая частью сечеиия между
отверстием и краем пластины, составляет
Р = сгсЬУ1 — (г/с)2, (55)
где и — действующее в пластине напряжение,
с — расстояние от центра отверстия до края
пластины, г — радиус отверстия, h — толщина
пластины.
На фиг. 87 верхняя кривая определяет зна-
чения Ktg = с^/сг, где —максимальное на-
пряжение на контуре отверстия в самой близкой
точке к краю пластины. Хотя коэффициент
Ktg может быть непосредственно использован
в проектировочном расчете, полезно также вы-
числить Ktn на основании известной нагрузки,
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА А
приходящейся на минимальное сечение нетто.
При этом коэффициент Ktn можно было бы
сравнить с коэффициентами концентрации на-
пряжений для других случаев, что представ-
ляется важным для анализа экспериментальных
данных (см. ниже). На основании нагрузки,
действующей в минимальном сечении (в пере-
мычке), получаем следующие выражения для
средних напряжений и коэффициента концент-
рации напряжений в сечении АВ:
п ach. —(r/cj2 _ а УI — (г/с)2
л" ’ (56)
К —(1—г/с) v '
tn о АВ а yi — (г/с)2
Случай растяжения пластины конечной ши-
рины, имеющей эксцентрично расположенное
отверстие, рассмотрен Шёстромом [174]. Зна-
чения коэффициентов для полуплоскости со-
гласуются с данными фиг. 87. Случай централь-
но расположенного отверстия соответствует ре-
шению Хоуленда (фиг. 86). Результаты Шёст-
рома приведены в виде — амакс/а в верхней
части фиг. 88. Эти значения могут быть исполь-
зованы непосредственно в проектировании. По
соображениям, описанным в разд. 4.4 этой
главы, попытаемся дать приближенное выра-
жение для коэффициента Kin, основанного
на сечении нетто. Когда отверстие распо-
ложено центрально (е/с = 1, фиг. 88), на-
грузка, действующая в сечении АВ, равна
стсД. Если е/с увеличивается до бесконечности,
то нагрузка, действующая в сечении АВ, со-
гласно уравнению (55), равна — (г/с)8.
Предполагая линейную связь между указан-
ными выше конечными условиями, получим
следующее выражение для нагрузки, действую-
щей в сечении АВ:
р JChVl —(Г/С)^
АВ l — (1— УI- (г/с)2)’ ' '
Соответствующие обозначения даны на фиг. 88.
Напряжения в сечении нетто АВ будут
______________стсЬ~|/~1 —(г/с)2____
°АВ [4—(с/е) (l-l/l-(r/c)2)] h (с-г)’
__с^макс_Омаке (1 — г/с) у
~ ПЛБ ~ а ^1_(Г/с)2
Х[1 — (с/е)(1— У!. — (г/с)г)|. (58)
В нижней части фиг. 88 видно, что выраже-
ние (58) сводит все кривые К, настолько близко
друг к другу, что для практических целей кри-
вая, соответствующая центрально расположен-
ному отверстию, является достаточно точной
для всех эксцентриситетов.
4.1.2. ОДИНОЧНОЕ КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ДВУОСНО РАСТЯГИВАЕМОЙ
БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
Этот случай получен путем суперпозиции
решений для одноосных растяжений с напря-
жениями <Уг и <у2. Значения коэффициента Kt
показаны на фиг. 132 и 133 при Ыа = 1:
= (59)
Когда оба напряжения равны между собой и
имеют одинаковый знак, Kt = 2. Если и
равны по величине, но имеют противоположные
знаки, то Kt = 4; этот случай эквивалентен
нагружению сдвигом т = а под углом 45°
(Ыа = 1 на фиг. 165).
4.1.3. ОДИНОЧНОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ИЛИ СФЕРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКЕ
4.1.3.1. Круговое отверстие в цилиндрической
оболочке (растяжение или внутреннее
давление)
В последние годы были проведены значи-
тельные теоретические исследования напряже-
ний в цилиндрической оболочке, имеющей кру-
говое отверстие [175—177]. Коэффициенты кон-
центрации напряжений для случая растяжения
представлены на фиг. 89, а для случая внутрен-
него давления — на фиг. 90; на обоих гра-
фиках даны коэффициенты для мембранных
(растягивающих) и для суммарных (мембран-
ные плюс изгибные) напряжений. (Случай кру-
чения рассмотрен в разд. 4.3, фиг. 172.)
При нагружении давлением в расчетах при-
нимают, что на кромку отверстия передается
перерезывающая сила, направленная перпен-
дикулярно поверхности оболочки и соответ-
ствующая давлению, действующему на пло-
щадь отверстия. Это схематически показано
на фиг. 90. Результаты представлены в зависи-
мости от безразмерного параметра 0:
„ ‘/3(1-л*) Г г 1
2---LT^J’ (60)
где R — средний радиус оболочки, I — тол-
щина оболочки, г — радиус отверстия, v —
коэффициент Пуассона.
8*
115
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
На фиг. 89—91, где v = 1/3, параметр р
равен
“ 0,639 [j/ls]' <61>
Будем считать оболочку пологой и тон-
костенной (под этими терминами подразуме-
вается малая величина отношения r/R для обо-
лочки пологой и малое отношение t/R для обо-
лочки тонкостенной). Область справедливости
этих положений показана на фиг. 91.
Физический смысл параметра (> может быть
уяснен с помощью преобразованного выраже-
ния (61):
6 = 0,639-^=. (62)
Например, для цилиндрической оболочки
диаметром 254 мм с отверстием, имеющим диа-
метр 25,4 мм, при толщине t = 2,08 мм пара-
метр р равен 1/2, при толщине t = 0,0508 мм
Р = 1, при толщине t = 0,0127 мм р = 2 и при
толщине t = 0,0033 мм р - 4.
Хотя р = 4 соответствует очень тонкой
оболочке, Линд [178] констатирует, что в авиа-
ционных конструкциях часто встречаются и
большие значения Р; он дает формулу для обо-
лочек с наддувом, когда р велико по сравнению
с единицей.
Большие значения коэффициентов концен-
трации напряжений на фиг. 89 и 90 соответству-
ют большим значениям параметра р, т. е. весь-
ма тонким оболочкам. Из фиг. 91 находим
₽ t/R
4 <0,003
2 <0,007
1 <0,015
*/г <0,025
В области р = */2 коэффициенты Kt не
очень велики.
Теоретические решения [175—177] хорошо
согласуются с экспериментальными результа-
тами, за исключением одного случая. Экспери-
менты были выполнены Хаугтоном и Розвел-
лом [179] и Леккеркеркером [175]. Сравнение
теоретических и экспериментальных данных
проведено в работе [177]; достаточно хорошее
совпадение было получено для случая нагру-
жения внутренним давлением [179]. Плохое соот-
ветствие наблюдалось в случае нагружения рас-
тяжением [179]. С учетом результатов испыта-
ний [180] трубчатых образцов с отверстиями
(фиг. 146) согласие результатов при нагрузке
растяжением для отношения диаметров
djld0 = 0,9 следует считать хорошим г). Для
случая наддува были проведены фотоупругие
измерения [180а]. Данные электротензоизмере-
ний [181], полученные для значений р до 2.
достаточно хорошо согласуются с результатами
расчетов, приведенными на фиг. 89.
Случай двух круговых отверстий исследо-
ван в работах [181а, 1816]. Эффект взаимо-
влияния оказался примерно таким же, как для
бесконечной пластины, хотя коэффициенты кон-
центрации напряжений для оболочки были
выше [1816].
Мембранные и изгибные напряжения для
одиночного отверстия [1816] хорошо соответ-
ствуют результатам работы [177], приведен-
ным на фиг. 89 и 90.
Были получены коэффициенты концентра-
ции напряжений для случая наддува оребрен-
ной оболочки с подкрепленным отверстием,
прерывающим ребро [181в].
Напряжения около эллиптического отвер-
стия в цилиндрической оболочке при растяже-
нии определены в работах [182, 182а, 18261.
4.1.3.2. Круговое или эллиптическое отверстие
в сферической оболочке (внутреннее давление)
Кривые коэффициентов Kt (фиг. 91а) опре-
делялись аналитически [182в] для отверстий,
форма которых изменялась от круговой до эл-
липтической с параметром эллипса Ыа = 2. По
оси абсцисс отложен параметр (6/27?) УRH,
как зто принято авторами работы [182в]. На
оси ординат штриховыми линиями отмечены
величины Kt для четырех значений Ыа, отно-
сящихся к бесконечной пластине при двуосном
напряженном состоянии; по сравнению со зна-
чениями для пластины кривые показывают
увеличение напряжений в оболочке вследствие
изгиба и влияния кривизны. Эксперименталь-
ные данные хорошо согласуются с теоретиче-
скими [182в].
В этой же работе обсуждается применение
вышеизложенных результатов для случая нак-
лонного отверстия.
х) Сравнение экспериментальных и расчетных ре-
зультатов см. также в книге Александрова А. Я.
и Ахметзанова М. X. «Поляризационно-оптические ме-
тоды механики деформируемого тела» (изд.-во «Наука!
М., 1973).— Прим, иерее.
116
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
4.1.4. ОДИНОЧНОЕ СИММЕТРИЧНО
ПОДКРЕПЛЕННОЕ КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ПЛАСТИНЕ ПРИ ОДНООСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Результаты, представляющие наибольший
интерес для проектирования, получены с по-
мощью фотоупругих измерений, выполненных
Сойка и сотр. [183, 184]. В этих испытаниях
пластина толщиной 6 мм с отверстием диамет-
ром 30 мм имела симметрично вклеенное в от-
верстие подкрепляющее кольцо, габариты кото-
рого изменялись по толщине и диаметру цен-
трального отверстия. Ширина пластины также
варьировалась. Постоянным во всех испыта-
ниях было отношение внешнего диаметра коль-
ца к толщине пластины Bit = 5.
Кривые Ktg =оыакс/<т (где <т — напряжение
в сечении, удаленном от отверстия) приведены
иа фиг. 92 —94 для различных значений отно-
шения ширины пластины к внешнему диаметру
кольца w/B. Во всех случаях максимальное
напряжение возникало на поверхности отвер-
стия под углом 90° к направлению одноосного
растяжения. Влияние радиуса галтели было
исследовано (фиг. 94) только для отношения
шВ = 4.
Для значений wIB = 4 и Bit = 5 на фиг. 95
приведены коэффициенты концентрации на-
пряжений, вычисленные для сечения Лотв, про-
ходящего через отверстие, следующим образом:
Р—н4 — ^ном-^отв.
г _ Омаке__Омаке Аотп___^ig-^отв I
Оном СТ A A J ’
к = --------------t-------------J
Ajn — К tg X
рш/П)-1]+[1 - (а/В) ](М) + [(4-л)/5] (r/t)2 j (63)
Отметим, что кривые Ktn на фиг. 95 распо-
ложены ближе друг к другу, чем кривые Ktg.
Также отметим, что при расчете по сечению,
проходящему через отверстие, минимальное
значение Ktn (г~0) получается при hit ~ 1,5,
а в случае радиуса галтели rlt = 0,33 и rlt ~
= 0,83 оптимальным является отношение hit ~
-3.
Значения коэффициентов концентрации нап-
ряжений при wIB = 4 практически можно при-
менять без значительных ошибок для большого
тела плоских задач. Это можно показать,
если нанести значения Ktg на график в зависи-
мости от alw (отношение диаметра отверстия
к ширине пластины) и экстраполировать его
к нулю, что будет соответствовать значениям для
бесконечно широкой пластины (фиг. 96).
Заметим, что самый низкий в этой серии
испытаний коэффициент (фиг. 94) Ktg ~ 1,1 был
получен при подкреплении, имеющем пара-
метры hit 4, а!В = 0,3 и rlt = 0,83.
При увеличении внешнего диаметра коль-
ца В отношение а!В уменьшается и коэффициент
Ktg может быть доведен до 1. В широкой плас-
тине с неподкрепленным отверстием имеем
Ktg = 3; очевидно, чтобы уменьшить Ktg до 1,
надо сделать отношение hit равным 3 или не-
сколько большим г).
Приближенное решение Тимошенко [185],
полученное на основе теории кривого бруса,
сравнивается на фиг. 94 с другими решениями.
4.1.5. ОДИНОЧНОЕ НЕСИММЕТРИЧНО
ПОДКРЕПЛЕННОЕ КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ПЛАСТИНЕ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
(КОЛЬЦО ТОЛЬКО С ОДНОЙ СТОРОНЫ)
Были проведены фотоупругие исследования
[186] с постоянным отношением alt = 1,833.
За исключением одной серии испытаний, объем
подкреплепия был равен объему отверстия.
Эффект изменения высоты кольца (и соответ-
ствующего изменения диаметра) показан на
фиг. 97 для различных отношений alw. Коэф-
фициент Kt достигает минимального значения
при hit = 1,45 и В!а = 1,8.
Это справедливо, как упоминалось выше,
для одинакового объема подкрепления и от-
верстия, VRIVH = 1. Если желательно умень-
шить коэффициент Kt увеличением отношения
Ун/Ун, то при этом необходимо выдерживать
постоянным коэффициент формы (фиг. 82):
с»=-й-=2дарж=3-6в6- <64>
Обозначения поясняются на фиг. 97.
Промежуточные значения Kt для относитель-
но широких пластин можно найти с помощью
ФИГ. 82.
г) См. также статью Вовк Л. М. и Сухарева И. П.
«Исследование напряжений около подкрепленных от-
верстий методом оптически неактивных наклеек» (Изв.
вузов, сер. «Машиностроение», № 3 (1970)).— Прим,
перев.
117
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
экстраполяции кривых фиг. 98, построенных
в координатах Kt и a/w, при а!и>~+- 0. Эти кри-
вые соответствуют нулевому значению радиуса
галтели. Если радиус галтели составляет 0,7
толщины пластины, то К(п уменьшается при-
близительно на 12%. Для меньших радиусов
уменьшение приблизительно линейно зависит
от радиуса; так, для r/t = 0,35 оно составляет
около 6%.
4.1.6. ОДИНОЧНОЕ СИММЕТРИЧНО
ПОДКРЕПЛЕННОЕ ^КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В ШИРОКОЙ ПЛАСТИНЕ
ПРИ ДВУОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Сосуды давления, корпуса турбин, оболоч-
ки глубоководных аппаратов, авиационные и
другие конструкции, подверженные давлению,
должны иметь функциональные отверстия для
заправки рабочей жидкостью и проверки
механизмов, оконные проемы и двери для про-
хода персонала и т. д.
Хотя при конструировании этих устройств
должны учитываться многие сложные факторы,
например такие, как кривизна сосуда и влия-
ние жесткости крышек, некоторая полезная
для такого проектирования (особенно в случае
малых отверстий, включая отверстия в патруб-
ках и топкостенных стержнях) информация
может быть получена при рассмотрении работы
плоских пластин.
Напряженное состояние наддутых сфери-
ческих оболочек является двуосным, причем
= ог2. Для кругового отверстия в пластине
прп двуосном напряженном состоянии Kt — 2.
Напряженное состояние цилиндрической обо-
лочки характеризуется соотношением ст2 —
— с^/2; в этом случае для пластины коэффи-
циент концентрации напряжений Kt = 2,5. При
надлежащем выборе параметров подкрепления
эти коэффициенты концентрации могут быть
уменьшены до 1 с значительным выигрышем в
прочности. Существует длительная практика
конструирования подкреплений около отвер-
стий, однако методы получения заданного зна-
чения Kt и его оптимизации пока отсутствуют.
Подкрепления (бобышки), рассматриваемые
в данном разделе, имеют вид кольца с прямо-
угольным поперечным сечением, симметрично
расположенного относительно срединной плос-
кости пластины (см. фиг. 99). Напомним, что
здесь приводятся результаты для плоских пла-
стин; они могут применяться для сосудов, под-
верженных давлению, лишь в тех случаях,
когда диаметр отверстия мал по сравнению с
диаметром сосуда. Тем не менее эти данные
окажутся полезными при проектировании раз-
нообразных конструкций.
По подкрепленным отверстиям было выпол-
нено значительное число теоретических иссле-
дований [187—196а]. В большинстве этих работ
было принято, что кромка отверстия в неогра-
ниченной оболочке подкреплена тонким обод-
ком (он может иметь круглое или квадратное
поперечное сечение, размеры которого малы
по сравнению с диаметром отверстия). В неко-
торых исследованиях допущения о тонком обод-
ке не делались [187, 188, 196а]. Большинство
теоретических работ касалось определения на-
пряжений в оболочках. Когда рассматривались
напряжения в ободке, они считались постоян-
ными по толщине.
При проектировании сосудов давления под-
крепления в виде тонкого ободка, малого по
сравнению с диаметром отверстия, обычно не-
достаточны. В этой связи представляют боль-
шой интерес данные, полученные в НАСА Кауф-
маном, Байзоном и Морганом [197] при помощи
тензометрических измерений подкрепленных
круговых отверстий с диаметром, в 8 раз пре-
вышающим толщину пластины. Влияние радиу-
са галтели ими не рассматривалось, но следует
заметить, что обычно галтель оказывается бла-
гоприятной и всегда делается на практике.
Авторы работы [197] установили, что соответ-
ствие экспериментальных данных теоретиче-
ским результатам Бескина [188] зависит в зна-
чительной степени от величины параметров
подкреплений. Поскольку при тензометриче-
ских испытаниях ширина пластины в 16 раз
превосходила диаметр отверстия, предполага-
лось, что для практических целей эти условия
соответствовали случаю неограниченной плас-
тины. Результаты представлены в виде Ktg =
= Омаке/0, так как при расчете не были сдела-
ны поправки на ослабление сечения отверстием.
Результаты тензоизмерений представлены на
фиг. 99—102 в форме, наиболее подходящей
для типичных задач, встречающихся при проек-
тировании турбин и сосудов давления [197].
Там же выполнена степенная интерполяция в
области недостаточного количества данных. По-
этому указывается, что графики позволяют
получить лишь приближенные значения коэф-
фициентов концентрации напряжений. Серия
опубликованных позже графиков [197а] осно-
вана на теоретических решениях Гарни [187].
На фиг. 99—104 вместо коэффициента кон-
центрации по эквивалентным напряжениям
= СУМакс/оэкв ЙСПОЛЬЗубтСЯ Коэффициент ~
= аМакс/°1, который более удобен, когда кон-
структор хочет получить омакс возможно более
прямым и простым способом. При Qi = о2 оба
118
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
коэффициента равнозначны. При о3 = 01/2 по-
лучаем Kte = (2/КЗ) Kt = 1,157 Kt.
На фиг. 99—102 принято, что при увеличе-
нии отношения Did кривые приближаются к
следующим постоянным соотношениям: для
О’! = о2 = ^!Kt и для о2 = ^/2 hit =
= 2,5/К/. Также принято, что для относительно
малых значений Did (менее чем 1,7) при уве-
личении hit коэффициент Kt достигает постоян-
ного предельного значения; что касается уда-
ленных от поверхности пластины областей
подкрепления, то при увеличении hit они
становятся свободны от напряжений (см.
фиг. 60).
Графики фиг. 99—102 построены в коор-
динатах Did и fe/Z, т. е. для отношений, опреде-
ляющих геометрию бобышки (см. эскизы на
фигурах). Когда эти отношения немного боль-
ше единицы, то напряжения в кольце превы-
шают напряжения в пластине; когда отношения
велики, то, наоборот, напряжения в пластине
превышают напряжения в кольце. На
фиг. 99—102 также нанесена предельная (штри-
ховая) линия Ktg& 1, разделяющая две области.
В области вправо и вверх от линии максималь-
ные напряжения в бобышке приближенно равны
напряжениям, приложенным вдали от отвер-
стия. В области вниз и влево от указанной
линии напряжения максимальны в кольце, при-
чем увеличение Ktg идет от значения, приб-
лиженно равного 1, по штриховой линии к
максимальным значениям в начале координат
(2 для п1 = ст2 и 2,5 для о2 = ai/2). Удобно
считать, что координатные оси (левая и нижняя
кромки диаграмм) являются линиями макси-
мальных значений для Ktg-, тогда несложно
интерполировать промежуточные кривые, нап-
ример кривую Kt§ = 1,9 на фиг. 99 и 100 или
кривую Ktg = 2,3 на фиг. 101 и 102.
Переменные величины Did и hit, характери-
зующие бобышку, можно использовать для по-
лучения следующих двух безразмерных отно-
шений с целью весового анализа:
Площадь поперечного сечения добавочного
А __материала бобышки
td Площадь поперечного сечения отверстия ’
4=(£=^=(4-i) (I-0, <65)
Vr___Объем добавочного материала бобышки
VH Объем отверстия ’
Vr _(n/^(D^-^)(h-t) {[D \2_ .-] Г h т
vIt ~ wv&t ~i\d)
(66)
Отношение Altd используют при проектиро-
вании сосудов давления [198] в виде
А = Fid, (67)
где F 1. Хотя для некоторых случаев проек-
тирования [198] величина F может быть меньше
1, обычно принимают F = 1; в этом случае
уравнение (67) можно представить в виде
(67а)
Использование отношения Кл/Кя позволяет
оптимизировать конструкцию, когда важней-
шим условием является вес (конструкции ракет,
самолетов, подводных лодок и т. п.).
Для случаев и с2 = Oj/2 семейства
кривых Altd представлены на фиг. 99 и 101
соответственно, а семейства кривых VR/VH —
на фиг. 100 и 102.
Отметим, что там, где на графиках углы
наклона касательных к кривым Altd (или
Рл/Кя) и Ktg одинаковы, имеет место область
оптимальных параметров бобышки. Таким об-
разом для некоторого заданного значения K(g
определяется минимальное отношение площа-
дей поперечного сечения или веса бобышки.
Штрих-пуиктирные кривые являются геомет-
рическим местом точек этих оптимальных пара-
метров. Ясно, что коэффициент Ktg связан не
только с величиной площади сечения А (как
предполагается во многих исследованиях), но
также и с формой сечеиия бобышки (соотно-
шением сторон прямоугольного поперечного
сечения).
На фиг. 103 и 104 значения Ktg, соответ-
ствующие штрих-пунктирной кривой,| одно-
временно определяют оптимальные значения
Altd и VR/VH. Заметим, что самый большой
выигрыш в уменьшении Ktg получается отно-
сительно малой бобышкой, но, чтобы умень-
шить Ktg в области малых величин Ktg, ска-
жем, от 1,2 до 1,0, требуется большой объем
материала.
Результаты расчетов по формуле (67а), при-
веденной в нормах по расчету сосудов давления
[198], могут быть сравнены с данными для сим-
метричных подкреплений кругового отверстия в
пластине (фиг. 99 и 101). Для стх = о2 (фиг.
99) значению Ktg ~ 1 соответствует Altdo^.
~ 1,6; для а2 = G-J2 (фиг. 101) значению
Ktg ~ соответствует Altd сы 3.
Следует учесть, что испытания в работе
[197] были проведены для отношения d/t = 8.
Для сосудов высокого давления величина d/t
может быть меньше 8, а для авиаконструк-
ций — больше 8. При d/t >8 не следует ожи-
дать заметных изменений в распределении нап-
119
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
Тогда при Did = 1,75, hit = 5 и dlt = 8 имеем
С2 = 3,5.
Для dlt < 8 получаем
| = 5, (72а)
ряжений, к тому же эти изменения будут про-
исходить в благоприятном направлении [197].
Однако при существенно меньших значе-
ниях dlt оптимальные размеры, соответствую-
щие dlt = 8, оказываются неудовлетворитель-
ными. Чтобы это проиллюстрировать, возь-
мем с фиг. 99, где dlt — 8, приближенно опти-
мальные соотношения hit = 3 и Did = 1,8
(фиг. 83,с). Если теперь рассмотреть случай,
где dlt = 4 (фиг. 83,6), то увидим, что те же
значения hit = 3 и Did =1,8 дают неудовлет-
ворительное распределение напряжений по тол-
щине бобышки. Для случая Щ = о2 предполо-
жим, что оптимальное значение hit предвари-
тельно определяется по графикам фиг. 99 или
101; тогда, сохранив ту же форму бобышки,
т. е. соотношение [(© — <Z)/2]/[(7z — £)/2], мож-
но определить величину Did. Для щ = о2
напряжения в образце симметричны, а глав-
ные напряжения ориентированы в радиальном
и тангенциальном (окружном) направлениях.
Из фиг. 99 найдем для Ktg ~ 1 приближен-
ные оптимальные соотношения Did = 1,8 и
hit = 3. Определим коэффициент формы в виде
D — d (D/d—1) d /со\
(hTt-iyi- (ЬЙ'
Для значений Did = 1,8, hit = 3 и dlt = 8
коэффициент 'формы Сг равен 3,2.
Для Oj = о2 геометрические характерис-
тики оптимального подкрепления при dlt <
< 8 (фиг. 99—102) определяются в виде
4 = 3, (69)
Приведенные выше формулы основаны на
условии Ktg ~ 1. При использовании более
высоких значений Ktg, например, с целью
обеспечения более благоприятных значений от-
ношения VRIVH (т.е. меньшего веса), таким
же образом можно получить соответствующие
коэффициенты формы.
Для иллюстрации процесса проектирова-
ния рассмотрим такой пример. Если для усло-
вий нагружения о2 = щ/2 отношение толщи
hit = 5 снизить до 4, то коэффициент Ktg уве-
личится с 1 всего до 1,17 (см. фиг. 101); прЯ
этом объем материала бобышки уменьшится,
как это видно из фиг. 104, на 33% (Тя/Тн из-
меняется с 8,4 до 5,55).
Общие формулы для dlt < 8 получаются из
уравнения (72):
D _ 10,5
d d/t ’
(74)
(75
Аналогично для случая щ = <т2, если при-
мем Kt =
1,1 вместо 1,0, то из
фиг.
99 найдем
hit = 2,2 и Did = 1,78; этим значениям пара-
метров соответствует (фиг. 104) уменьшение
объема материала бобышки на 41% (VR/FB
уменьшается с 4,4 до 2,6).
Формулы для этого примера, полученные
из уравнения (70), для dlt <8 имеют вид
d d/t
(70)
4 = 2,2,
D _ 6,25
d d/t
(76
(77
2 = М + 1
d d/t ‘
(71)
Описанная выше процедура может завысить
вес проектируемой конструкции с dlt < 8,
Для dlt = 4 получаем Did = 2,6; бобышка
с такими параметрами показана на фиг. 83,6
штриховыми линиями.
Предположим для сг2 = щ/2 и dlt <8, что
величина отношения D!(h — t), соответствую-
щая dlt = 8, сохраняется неизменной и для
самых малых значений dlt [см. уравнение (64),
одноосное растяжение]:
но напряжения при этом будут более низкими.
Одним из путей, направленных на облегче-
ние бобышки, при значениях dlt >8 является
придание ей вида тонкого кольца (отбортовки).
Однако, чтобы распределение
напряжений
око-
ло отверстий было плоским, не следует реко
г _ D _ D/d
h—t ~(h/t) — i
(4)
(72)
мендовать эту процедуру для относительн#
тонких оболочек с dlt >50, таких, например,
какие используются в авиации. В работа:
[187—196] можно найти дополнительную ии
формацию.
120
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
ФИГ. 84.
Когда вес конструкции является опреде-
ляющим, могут быть рекомендованы некоторые
дополнительные усовершенствования. Посколь-
ку в действительности поток линий тока обхо-
дит угловые области, остающиеся ненапряжен-
ными (фиг. 84, а), идеальный контур конструк-
ции будет подобен изображенному на фиг. 84, б.
Кауфман, Байзон и Морган [199] исследо-
вали подкрепление, имеющее треугольное по-
перечное сечение (фиг. 84, в). Поскольку угло-
вая кромка в точке А (где может находиться
крышка люка или какая-либо другая деталь)
нежелательна, целесообразно использовать
компромиссную конфигурацию, показанную на
фиг. 84, г. Эта конфигурация дает значительную
экономию в весе [199а].
Заслуживает внимания изучение концепций
«нейтрального» отверстия [192] и переменной
толщины оболочки, обеспечивающих равно-
мерные окружные напряжения около отверстия
в двуосно нагруженной пластине [200]. Полу-
ченные результаты могут быть применены при
проектировании, например, литых деталей.
4.1.7. КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ,
НАГРУЖЕННОЕ ДАВЛЕНИЕМ ПО КОНТУРУ
Напряжения на контур отверстия в оболоч-
ке при действии внутреннего давления могут
быть получены путем вычитания давления р
из напряжений, определенных для случая дву-
осного растяжения пластины напряжениями
с=р. Например, для двуосно растягиваемой
бесконечной пластины Kt = 2; следовательно,
при наличии внутреннего давления получаем
Kt = 1, поскольку Омакс = —р.
Для квадратной пластины с центральным
отверстием, нагруженным внутренним давле-
нием, зависимость Kt = оыакс/р представлена
графически на фиг. 104а [201, 202]. Эти данные
могут быть полезны, например, для расчета
трубопровода с таким поперечным сечением.
Отметим, что для очень тонких перемычек
(г'а > 0,67) максимальные напряжения возни-
кают на внешнем контуре в наименьшем сече-
нии; для толстых перемычек (г/а < 0,67) мак-
симальные напряжения возникают на контуре
отверстия в диагональном сечении (по линии,
проведенной через углы). Представляют инте-
рес значения, вычисленные по Ламе, хотя для
г/а > 0,67 они не являются максимальными.
Сравнение экспериментальных данных при
г/а = 0,25 и г/а = 0,5 с аналитическими ре-
зультатами [203] показывает хорошее соответ-
ствие.
Результаты, представленные на фиг. 104а,
согласуются с более поздними вычислениями,
проведенными в широком диапазоне изменения
параметров [204]. Если построить (Kt — 1) (1 —
— г/а) / (г/а) в функции от (г/а), то для больших
и малых значений г/а получается линейная за-
висимость. Экстраполяция выполнена до (Kt —
— 1) (1 — г/а) / (г/а) = 2 при r/a-+ 1, как по-
казывает решение Койтера [1696], и до нуля
при г/а 0.
Верхняя кривая (кривая максимальных зна-
чений) на фиг. 104а достаточно хорошо согласу-
ется с другими более поздними численными
результатами [95а].
Для кругового отверстия, расположенного
вблизи угла большой квадратной пластины,
максимальные значения Kt при внутреннем
давлении очень близки к значениям для квад-
ратной пластины с центральным отверстием
[204а].
Для шестиугольной пластины с централь-
ным отверстием при внутреннем давлении зна-
чения Kt несколько ниже соответствующих
значений на верхней кривой фиг. 104а (вели-
чина 2а определена как расстояние между про-
тивоположными сторонами шестиугольника)
[95а].
Другие случаи отверстия при внутреннем
давлении рассмотрены в разд. 4.1.14 и 4.1.18.
Для эксцентрично расположенного отверс-
тия в круглой пластине результаты приведены
в табл. 4 (разд. 4.1.14) и на фиг. 126.
4.1.8. ДВА КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЯ
ОДИНАКОВОГО ДИАМЕТРА В ПЛАСТИНЕ
(ОДНООСНОЕ И ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ)
Коэффициенты концентрации напряжений
для случая двух круговых отверстий одинако-
вого диаметра [205, 206] приводятся на фиг.
105—108. Соответствующие кривые Ktg и Кщ
даны на фиг. 106 и 108.
Если предположить, что сечение В В (фиг.
106) несет нагрузку, соответствующую расстоя-
нию между центрами отверстий, а именно obit,
то получим
KtnB=^^(l-a/b), (78)
121
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
что показано на фиг. 106 и 108 более тон-
кими линиями KinB. Отметим, что вблизи
значения Ыа = 1 коэффициент К(пВ становится
малым (меньше 1 для двуосного случая). Ис-
пользуя прием, ранее примененный при выводе
формулы (55) (т. е. оперируя нагрузкой, вос-
принимаемой минимальным сечением), получим
тг ' Смаксв (1 e/6) /7qx
—-7^ (79)
Соответствующие кривые показаны на фиг. 106
и 108 жирными линиями.
Отметим, что при Ыа -> 1 значение KtnB
также стремится к 1; таким образом, при Ыа -*
-+ 1 напряжения в перемычке становятся равно-
мерными. Фотоупругие испытания [207] пласти-
ны с двумя отверстиями при соотношении Ыа =
— 1,055 и одноосном растяжении перпендику-
лярно линии отверстий также обнаружили поч-
ти равномерные напряжения в перемычке.
Точки максимальных напряжений (фиг. 105)
расположены под углом 0 = 90° при Ыа = 0
и 0 = 84,4° при Ыа = 1. С дальнейшим увели-
чением отношения Ыа угол приближается
к 90°.
Точки максимальных напряжений для угла
ос — 0° (фиг. 107) расположены так же, как
на фиг. 105 (9 = 84,4° при Ыа = 1,055, 6 =
= 89,8° при Ыа = 6). Точка амакс для ос = 45°
расположена под углом 0 = 171,8° при Ыа =
= 1,055. С увеличением отношения Ыа угол
0 уменьшается до 135°. Точка амакс Для а ~ 90°
расположена под углом 0 = 180°.
Численное определение коэффициента Kt
для двуосно нагруженной пластины с двумя
круговыми отверстиями и отношением Ыа =
— 2 [167а] хорошо согласуется с соответствую-
щими значениями Лина [205] и Хеддона [206].
Случай двух круговых отверстий при сдвиге
рассмотрен в разд. 4.3, фиг. 167.
4.1.9. ДВА НЕОДИНАКОВЫХ КРУГОВЫХ
ОТВЕРСТИЯ В ПЛАСТИНЕ
(ОДНООСНОЕ И ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ)
Значения коэффициента Ktg для одноосного
растяжения бесконечной пластины были полу-
чены Хеддоном [206]; вместе с соответствующи-
ми обозначениями они показаны на фиг. 109
и 110.
Для достаточно точного определения Ktn
(фиг. 109) необходимо знать нагрузки в пере-
мычке от растяжения и изгиба, а также их
соотношение. (При двух одинаковых отверсти-
ях в перемычке имеет место только растяжение,
но величина нагрузки не известна.) Ввиду от-
сутствия указанной информации были опробо-
122
ваны два произвольно выбранных метода вы-
числения приемлемых значений Кщ>
Процедура А. Предполагается (см. фиг. 109),
что воспринимаемая перемычкой s нагрузка на
единицу толщины пластины равна a (R + г 4-
4-s); тогда oneps = о (7? + г + $) и
г,„ = ^ = д^-. (80)
Опер
Процедура В. На основе уравнения (55)
предполагается, что нагрузка на единицу тол-
щины пластины, воспринимаемая перемычкой
s, разбита на две части: доля aq У i — (R/cx)2
для области большого отверстия приложена на
участке cr = Rs! (R 4- г); доля ffc2 j^l — (r/c2)2
для области малого отверстия приложена на
участке cr = rs/ (R 4- г). В приведенных выше
формулах сх = /?4-сд, с2 = г 4- сг. Для ма-
лого отверстия имеем
к ___________________Ktg_________________
‘П fl + Wr)±l\ / 7 (Я/г)4-1
' «/г )У 1 ((B/rl + l + W'-)/
(81)
Обращаясь к фиг. 109, видим, что процеду-
ра А дает неудовлетворительные результаты,
так как для одинаковых отверстий при str <Z 1
величина Ktn меньше 1. При $/г->0 в случае
двух одинаковых отверстий перемычка стано-
вится похожей на растягиваемый плоский об-
разец и напряжения по ширине выравнивают-
ся, т. е. Ktn приближается к 1. Процедура В,
которая также выбрана произвольно, неудов-
летворительна при s/r < 1/2, но обеспечивает
получение величин Ktn > 1 при s/r > 1/2. Эта
кривая имеет приемлемый вид, причем выпол-
няется условие Ktn = 1 при s/r = 0.
На фиг. 110 цма11С обозначает максимальное
растягивающее напряжение; напряжения сжа-
тия, возникающие в точке с угловой координа-
той 0 = 180°, становятся наиболее высокими
для R/r = 5 при s/r < 1 и для R/r = 10 при
s/r = 3.
Точка максимального растягивающего на-
пряжения изменяет свое угловое местораспо-
ложение: при R/r = 5 и s/r = 0,1 0 = 77,8°,
при s/r = 10 0 = 87,5°. Для кривой R/r = 10
угловая координата 0 при s/r = 0,1 равна 134,7°,
при s/r — 1 0 — 90,3°, при s/r = 4 0 = 77,8°,
а при s/r = 10 0 = 84,7°.
Положения точки максимальных напряже-
ний для R/r = 1 описывались при обсуждении
фиг. 107; с учетом s/r = 21 (b/d) —1] для
s/r = 0,1 получаем 0 = 84,4°, для s/r = 10
0 = 89,8°.
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
Для двуосного растяжения при = <?2 зна-
чения Ktg (фиг. 111) были получены Салерно
и Махони [208]. Максимальные напряжения
возникают в перемычке со стороны большего
отверстия.
Вышеприведенные результаты могут быть
использованы для приближенной оценки взаи-
мовлияния отверстий и включений различной
формы.
4.1.10. ОДИНОЧНЫЙ РЯД КРУГОВЫХ
ОТВЕРСТИЙ В РАСТЯГИВАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
В случае неограниченной пластины с оди-
ночным рядом отверстий Хоуленд [209] полу-
чил для поперечного нагружения коэффициент
концентрации напряжений Kt — 1,62 при Ыа =
= 2, а для нагружения в направлении осевой
линии ряда при Ыа = 2 Kt = 2,16 и при Ыа —
= 3,33 Kt = 2,54.
Шульц [111] дополнил исследования Хоу-
ленда и получил для тех же случаев ряд кривых
в зависимости от параметра alb (фиг. 112 и
113). Более поздние численные результаты
Мейджерса [210] согласуются с данными Шуль-
ца. Слот [95а] нашел, что напряжения <7, при-
ложенные на расстоянии 1,5а выше и ниже
осевой линии, проведенной через центры от-
верстий (фиг. 112), вызывают тот же эффект,
что и напряжения <7, приложенные на беско-
нечности.
Для случая растяжения пластины вдоль
ряда отверстий (фиг. ИЗ) при b/а = 1 имеем
аналогию с бесконечным рядом краевых вы-
резов. Эта область кривой (между Ыа — 1 и 0)
согласуется с результатами Ацуми [109] для
краевых вырезов.
Для ряда отверстий в растягиваемой по оси
пластине с Ыа = 3 и alw ~ 0,5 Слот [95а] полу-
чил хорошее совпадение коэффициента Kt со
значениями, вычисленными Хоулендом (фиг. 86)
для одиночного отверстия с alw — 0,5. Значе-
ния Kt, полученные Слотом [95а] для Ыа = 2
и alw = 1/3, совпадают с кривыми Шульца
(фиг. ИЗ).
Данные для двуосного растяжения (фиг. 114)
получены путем аппроксимации результатов
Хюттера [211] в диапазоне средних значений
alb. В случае одноосного нагружения, перпен-
дикулярного ряду отверстий, результаты Хют-
тера были неточными для средних значений а!Ь.
Для пластины конечной ширины Шульц
[111а] получил значения Kt, показанные штри-
ховыми кривыми на фиг. 113. Там же приведены
данные Хоуленда [165] для а!Ъ = 0. Представ-
ленные результаты согласуются с данными
Нишитани [241] для Ыа ~ 1 (фиг. 135).
Коэффициенты Kt для одиночного ряда от-
верстий в бесконечной пластине приведены на
фиг. 161 (поперечный изгиб) и на фиг. 167
(сдвиг).
4.1.11. ДВА РЯДА КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ
В РАСТЯГИВАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Два ряда круговых отверстий, расположен-
ных в шахматном порядке, соответствуют фор-
ме заклепочного или болтового соединения.
Значения Ktg, полученные Шульцем [111], пред-
ставлены на фиг. 115; они согласуются с ре-
зультатами Мейджерса [210].
При увеличении угла 0 (фиг. 115) расстоя-
ние между рядами отверстий увеличивается;
в пределе, при 0 — 90°, имеем два независимых
ряда отверстий, и коэффициент Ktg в этом слу-
чае принимает те же значения, что и для оди-
ночного ряда (фиг. 112).
При другом предельном значении угла
(0 = 0°) возникает одиночный ряд, но шаг
отверстий становится в два раза меньшим (фиг.
115). Кривые для рассмотренных предельных
значений угла 0 одинаковы, за исключением
того, что для одних и тех же значений Ktg
величина отношения Ыа при 0 = 0° в два раза
меньше величины Ыа при 0 = 90°. По графикам,
изображенным на фиг. 115, можно получить
коэффициенты Ktg для промежуточных значе-
ний угла 0 построением зависимости угла от
координаты Ыа при различных значениях
Ktg. Кривая для угла 0 = 60°, показанная
штриховой линией на фиг. 115, получена имен-
но таким образом.
Для вычисления коэффициента Ktn, соот-
ветствующего сечению нетто, необходимы два
уравнения, поскольку для каждого значения
Ыа отношение площадей АА и ВВ зависит от
угла 0 (см. фиг. 116). При 0 < 60° площадь се-
чения АА является минимальной, и тогда ис-
пользуется формула
ЛГ,л=?«(1-4с08е). (82)
При 0 >» 60° минимальной оказывается пло-
щадь сечения ВВ, и формула для Кщ. приобре-
тает вид
= (83)
Для угла 0 == 60° эти формулы дают одина-
ковый результат. Результаты расчетов Kt по
формулам (82) и (83) представлены графически
иа фиг. 116.
123
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
4.1.12. СИММЕТРИЧНАЯ ПЕРФОРАЦИЯ
ПЛАСТИНЫ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
(ОДНООСНОЕ ИЛИ ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ)
Симметричная перфорация круговыми от-
верстиями, центры которых расположены в
вершинах равностороннего треугольника или
квадрата (сотовая и шахматная схемы соответ-
ственно), применяется в конструкциях тепло-
обменников и корпусов ядерных реакторов
[212]. Перфорация по сотовой схеме показана
на фиг. 117; перфорация по шахматной схеме —
на фиг. 119.
Коэффициент перфорации определяется ми-
нимальным расстоянием (27г) между границами
отверстий и шагом (21?) отверстий. Предполага-
ется, что перфорированная пластина является
неограниченной.
Для перфорации по сотовой схеме (фиг. 117)
Хорви [213] получил решение в предположении
тонких и длинных перемычек при растяжении,
изгибе и сдвиге (фиг. 118). Это решение, как
считает Хорви, справедливо для значений
h/R 0,2. Проведены фотоупругие измерения
[214—216] для всего диапазона h/R, представ-
ляющего интерес при проектировании. Расчет-
ные значения [210, 216а, 2166] в основном сов-
падают с экспериментальными и незначительно
различаются лишь в некоторых областях. Для
этих областей на фиг. 117 и 120 используются
расчетные данные. Результаты расчетов работы
[95а] хорошо согласуются с данными работы
[210].
Для перфорации по шахматной схеме Бейли
и Хикс [217] получили решения при двуосном
растяжении в направлении рядов и диагональ-
ном направлении (фиг. 119 и 120). Эти резуль-
таты нашли подтверждение в работах Халбер-
та [218, 223]. Результаты фотоупругих измере-
ний Нуно, Фудже и Окума [219] совпали с тео-
ретическими [217] для направления нагрузки
по рядам отверстий, но оказались заниженны-
ми (как показал О’Доннелл [220]) при средних
значениях h/R для диагонального направле-
ния нагрузки. Контрольные испытания, про-
веденные Левеном [221] для диагонального
случая, дали результаты, совпавшие с ранее
проведенными фотоупругими измерениями [219],
и указали на то, что необходимо проверить
теоретическое решение. Это было сделано Хал-
бертом при поддержке О’Доннелла и фирмы
PVRC. Уточненные результаты приведены в
статье О’Доннелла [222], которая по существу
является откорректированной работой [220].
Позже подтверждающие результаты были полу-
чены Мейджерсом [210]; расчетные данные ра-
бот [95а, 216а] также хорошо согласуются с ре-
зультатами работы [210].
Случай приложения сдвигающих напряже-
ний т = под углом 45° к главным направле-
ниям (Oj = —о2) показан на фиг. 120 [220, 214,
217, 222]. Случай сдвига под углом 0° рассмот-
рен в разд. 4.3, фиг. 168.
Значения коэффициента Ktg были получены
для одноосного растяжения в различных на-
правлениях и с помощью приема суперпозиции
для двуосного растяжения (фиг. 121). Величины
коэффициента Ktg на фиг. 121 являются при-
ближенными. (Отметим, что линии близки к
прямым и могут быть без значительной ошибки
заменены прямыми.)
Для одноосного растяжения на фиг. 122,
122а и 123 приводятся графики для перфорации
по вершинам прямоугольника и ромба [210].
Им соответствуют в разд. 4.3 (фиг. 169 и 170)
графики для сдвига. Имея программу для ЭВМ,
относительно легко вычислить Ktg для других
геометрических схем перфорации и расчетных
случаев.
4.1.13. КРУГЛАЯ ПЛАСТИНА С КОЛЬЦЕВЫМ
РЯДОМ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ
И ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
(ИЛИ БЕЗ НЕГО), НАГРУЖЕННАЯ
В РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ
Для случая шести отверстий в круглой пла-
стине, нагруженной шестью внешними радиаль-
ными силами, максимальные значения Ktg при-
ведены в табл. 2 для четырех комбинаций пара-
метров и нагрузки. Величина Ktg определяется
в виде отношения R0GMaKc/F Для пластины еди-
ничной толщины. Хорошее согласие получено
между максимальными значениями Ktg, вычис-
ленными Халбертом [223], и соответствующими
Таблица 2
Максимальные значения для круглой пластины
с круговыми отверстиями, нагруженной внешними
сосредоточенными радиальными силами
Схема Параметры максимальные Точка Набота
V RJRo~Ofi5 r!Ro~0.2 4,745 A [га, 224]
KlKo=0.7 г/Ко=О.25 5,754 В
^4. r RJRo=Ofi5 r/Ro=O,2 9,909 A а =50° [223,224]
2 /V F F = 0.6 r/Ko = 0.2 7,459 A а = 50° [223,224 225]
124
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
данными фотоупругих [224] и теоретических
[225] исследований Буйвола.
Максимальные значения Kt для случая
круглой пластины с центральным отверстием и
кольцевым рядом из четырех или шести отверс-
тий [226] приведены на фиг. 124. Эти результаты
получены при радиальной нагрузке на контур
пластины в зависимости от параметра г!Ий для
двух случаев: а) все отверстия имеют одинако-
вый диаметр; б) диаметр центрального отверстия
составляет 4/4 диаметра пластины =
= Ч4). Краус [226] указывает, что с соответст-
вующими допущениями, касающимися осевых
напряжений и деформаций, эти результаты при-
менимы для плоского напряженного состояния
(пластина) и для плоской деформации (цилиндр).
Максимальные значения для кольцевого
фланца с отверстиями, расположенными на
среднем радиусе (Я = 0,9Яо), при внутреннем
давлении р [227] показаны на фиг. 125 в зави-
симости от размера центрального отверстия и
от числа отверстий под болты на фланце. Вели-
чина Kt определена как отношение максималь-
ного напряжения амакс к среднему растягиваю-
щему напряжению сгном в радиальном сечении,
проходящем через болтовые отверстия. В рабо-
те [227] приведены коэффициенты Kt также для
других значений R^/R^ и RIR^.
4.1.14. ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ,
НА КОНТУР КОТОРЫХ ДЕЙСТВУЕТ
ВНУТРЕННЕЕ ДАВЛЕНИЕ
Для определения напряжений в случае
внутреннего давления р, действующего на кон-
тур отверстия [223, 228], величину р вычитают
из соответствующих напряжений при двуосном
растяжении, нх = <т2 = —р. Так, для беско-
нечной пластины с одиночным отверстием при
двуосном растяжении имеем Kt = омакс/о = 2;
соответственно для внутреннего давления по-
лучаем Kt = омакс/р = 1.
Для двух отверстий в бесконечной пластине
значения Kt = оМ№С/р при внутреннем давлении
определяются вычитанием 1 из величины Ktg
при двуосном нагружении (фиг. 108). Халберт
1223] получил значения Kt для различных
шагов и схем расположения отверстий (табл. 3),
которые согласуются с указанными выше дан-
ными.
Для неограниченного ряда круговых отверс-
тий значения Kt = сгмакс/р при внутреннем дав-
лении найдены вычитанием 1 из величины Kt
при двуосном растяжении (фиг. 114). Значения
из табл. 3 для соответствующего расположения
отверстий согласуются с результатами, при-
веденными на фиг. 114.
Таблица 3
Максимальные значения Kf для бесконечной
пластины с круговыми отверстиями при внутреннем
давлении
Схема, перфорации. Параметры максималь- ный At Точка Работа
1 о 1,0 Вокруг отверстая [225 228]
2 Ь—-L -Ч-Н-? Ф '’ФРЬ Ь/а^З 1,155 1,524 В А [223]
7 Ь< *4 ^4'*~ О оф оо Ъ/а=2 1,85 А [223]
* о W6tTa ооооо Ь/а=1,5 2,83 А [223]
5 \ R R/r=3 1,16 А, В [223]
e дКу R/r=3 1,658 А [223]
1 R/r=3 1,393 /,249 А В [223]
b'Q-
e-^OO 0О оо ь/ач,5 1,652 1,182 А 6 [223]
д Неограниченная игловая перфорация Ыа=1,5 2,6 В См. текст
Максимальные значения Kt для различных
схем перфорации отверстиями в неограничен-
ной пластине приведены в табл. 3. Характерно,
что даже для большого числа отверстий (напри-
мер, 19 в схеме № 8 табл. 3) значение Kt не
следует ожидать таким же, как для неограни-
ченной рептетки отверстий, поскольку эффек-
тивный модуль Е' перфорации из 19 отверстий
отличается от модуля Е материала, окружаю-
щего перфорированную область. Для перфора-
ции из 19 отверстий Kt = 1,652 в точке А
(табл. 3), тогда как для неограниченной ре-
шетки (сотовая перфорация) Kt = 2,6. Послед-
ний коэффициент определен следующим обра-
зом: из фиг. 117 величине h/R = 1/3 соответ-
ствует Kt = 3,6, тогда для случая внутреннего
давления Kt = 3,6 — 1 = 2,6.
Максимальные значения Kt в круглых плас-
тинах для нескольких вариантов перфорации
приведены в табл. 4, а для одиночного отверс-
тия, расположенного эксцентрично [223, 229] с
r/R0 = 0,5,— на фиг. 126. Эта задача возника-
ет в основном при расчетах нестандартных
трубопроводов с эксцентричным каналом. К со-
125
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
Таблица 4
Максимальные значения К* для круглой пластины
с отверстиями при внутреннем давлении
Схема Параметры ЫМимЛмныО Точна Работа
50* T/R-0,5 См. фиг /26 См фиг /26 (223,228 223]
2 \ £ R/Ra=0.5 г/ЬгО.г Сн.фиг. /27 См. фиг. 127 [230J
5Д\ Г R/Ra=0.5 r/Rt°0,2 См.фиг /27 См фиг 127 (гм)
R/R0=0,5 T/Ra = 0.25 2.45 А 1223)
o\JL R/Re = 0,6 r/R^0.2 2,278, давление на все отверстия А
A VC gVA jo* 1,521, Мление талмо на центральное отверстие в (ггз)
жалению, имеются данные лишь для одного
значения параметра г/Л0 (r/R0 = 0,5, фиг. 126).
В случае отсутствия эксцентриситета справед-
лива формула для кольца [2281 (разд. 5.15,
фиг. 210). Для кольцевого расположения трех
или четырех отверстий в круглой пластине
Краус [2301 получил коэффициент Kt при раз-
личных размерах отверстий (фиг. 127). Резуль-
таты Халберта [223], полученные другим мето-
дом, совпали для г//?0 == 0,2 с данными Крауса.
Халберт также вычислил Kt для случая коль-
цевого расположения четырех отверстий при
г/7?0 = 0,25 (табл. 4).
Величина Kt для пластины с центральным
отверстием и кольцевым рядом из шести от-
верстий с RIRq = 0,6 приведена в табл. 4.
Определяя по фиг. 124 значение Kt для пласти-
ны с шестью отверстиями при R1 = г и вычитая
из этой величины единицу, получим Kt — 2,17.
Полученная величина несколько меньше значе-
ния 2,278 из табл. 4, что можно объяснить раз-
личием значений R/RQ (на фиг. 124 R/Ro ~
= 0,625, а в табл. 4 R/Ro = 0,6).
Имея программы для расчета на ЭВМ, не-
трудно определить напряжения для других
вариантов перфорации.
4.1.15. ОДИНОЧНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ
ОТВЕРСТИЕ! В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
И В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Задача для эллиптического отверстия в рас-
тягиваемой неограниченной пластине при рас-
тяжении была решена аналитически Колосо-
вым [231] и Инглисом [91]. Коэффициент кон-
центрации напряжений
К, = 1 + ~ (84)
в зависимости от размеров эллипса по главным
осям показан на фиг. 128. В формуле (84) b —
ширина эллипса, перпендикулярная действую-
щему напряжению, а —ширина эллипса в
направлении действующего напряжения. Фор-
мула (84) может быть записана в виде
Kt = 11- 2 Ytfr, (85)
где t = Ы2, а г — радиус в точке пересечения
эллипса с осью, перпендикулярной направле-
нию действующего напряжения
Формула (85) используется как приближен-
ная для случая эллиптического выреза с глуби-
ной t и радиусом г. Как видно на фиг. 15, коэф-
фициент Kt больше для выреза, чем для соот-
ветствующего эллиптического отверстия.
Для отверстий, имеющих форму, близкую к
эллипсу, таких, например, как овал или паз
с двумя отверстиями по концам, полезно ввести
понятие «эквивалентный эллипс», который охва-
тывал бы эти фигуры, имея с ними одинаковый
геометрический параметр t/r (см. разд. 4.1.20).
Значения Kt для эллиптического отверстия
в растягиваемой пластине конечной ширины
вычислил Исида [169, 232]; они представлены
на фиг. 129. Другие аналитические результаты
[167а, 233] хорошо согласуются с данными Иси-
ды, за исключением одного случая [233]. Ре-
зультаты фотоупругих измерений [233а] оказы-
ваются несколько ниже. Замечания в разд. 4.1.1,
касающиеся предельно тонких перемычек, сле-
дует рассматривать в связи с условием b/w-^i.
Данные по Kt для эллиптического отверстия,
близко расположенного к кромке полуплоскости
[173], представлены на фиг. 130. Решение част-
ной задачи для туннеля эллиптического сече-
ния, расположенного ниже уровня земли, по-
лучил Исида [234].
4.1.16. ПОПРАВОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ШИРИНЫ
ДЛЯ УЗКОГО ЦЕНТРАЛЬНО
РАСПОЛОЖЕННОГО ПАЗА
В РАСТЯГИВАЕМОЙ ПЛАСТИНЕ
Для очень узкого эллипса, имеющего вид
трещины (фиг. 131), различными авторами были
предложены формулы, учитывающие ограни-
ченную ширину пластины (Диксон [235], Вес-
тергард [100], Ирвин [101], Браун и Сроули
[103], Феддерсен [236] и Койтер [104]). По-
правочные коэффициенты были также вычисле-
ны Исидой [237].
126
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
Формулы для blw <z 0,6, предложенные
Брауном и Сроули [103], имеют вид
к(«, w т \ ш )
Кщ K‘« 11 ь \
К loo Kfoo \ U’ /
Формула Феддерсена [236]
/ л Ъ \ 1/2 Q_
T^=(sec~r-) • (87)
Формула Койтера [104]
х[1-^Г- (88>
Формулы (86) — (88) представляют собой от-
ношения коэффициентов интенсивности напря-
жений; для предельно узкой щели с малым ра-
диусом в вершине эти отношения пригодны для
оценки концентрации напряжений [105, 106].
Формула (88) полностью перекрывает диапа-
зон blw от 0 до 1 (фиг. 131) и имеет корректные
граничные условия. Формула (86) хорошо со-
ответствует значениям для blw < 0,6; для фор-
мулы (87) погрешность в основном диапазоне
составляет менее 1%, а при blw 0,9 — менее
2%. Данные Исиды имеют погрешность до 1%
при blw < 0,8 [238].
Фотоупругие измерения [235, 239[ растяги-
ваемых моделей с поперечным пазом, заканчи-
вающимся двумя малыми отверстиями, пока-
зали приемлемое соответствие с вышеприведен-
ными теоретическими результатами, если при-
нять во внимание невысокую точность таких из-
мерений.
На фиг. 131, кроме того, приведены данные
по коэффициентам для эллиптического и круго-
вого отверстий, перенесенные с фиг. 86 и 129.
Определены также поправочные коэффици-
енты для эксцентрично расположенной трещи-
ны в растягиваемой полосе [240].
4.1.17. ОДИНОЧНОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ
ОТВЕРСТИЕ В ПЛАСТИНЕ
ПРИ ДВУОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
На фиг. 132 напряжение направлено пер-
пендикулярно осевому размеру b эллипса (неза-
висимо от того, какая зто ось эллипса —боль-
шая или малая). По оси абсцисс отношение
о21и1 изменяется от —1 до +1; другими слова-
ми, о8 численно равно или меньше, чем Oj.
Обычно коэффициент концентрации для нор"
мальных напряжений определяется следующим
образом:
= <89>
<9°)
Эти коэффициенты показаны на фиг. 132.
Для стх = Qg имеем
= (92)
Приравнивая выражения (89) и (90), полу-
чим, что напряжения в точках А и В равны при
условии
-а=~. (93)
Для условия (93) тангенциальные напряже-
ния по контуру эллипса равномерны. Уравне-
ние (93) показано штрих-пунктирной кривой
на фиг. 132. Оно реализуется только для значе-
ний Oa/cFi между 0 и 1, когда малая ось эллипса
перпендикулярна наибольшему напряжению ох.
Уравнение (93) позволяет оптимизировать про-
ектирование эллиптических отверстий. Напри-
мер, для о2 = ох/2 напряжения иА и и в равны
при Ыа = 0,5 и коэффициент концентрации^
составляет 1,5. Заметим, что при о2 = —
= const KtB становится меньше 1,5, если отно-
шение Ыа уменьшать, a KtA, наоборот, увели-
чивается выше 1,5; например, при Ыа = 1/4
получаем KtB = 1, a KtA = 3,5. Если отно-
шение Ыа увеличивать, то KtA станет меньше
1,5, но KtB будет больше 1,5; например, для
Ыа = 1 (круговое отверстие) имеем KiA = 0,5,
KtB = 2,5.
Обычно считают, что самую низкую концен-
трацию напряжений дает круговое отверстие,
но это зависит от соотношения напряжений;
так, при о2 = Oj/2 максимальные напряжения
для кругового отверстия значительно (в 2,5/1,5 =
= 1,667 раза) превышают напряжения для оп-
тимального эллипса (&/а = 1/2).
Фюзеляж самолета имеет в своей основе
цилиндрическую оболочку, нагруженную внут-
ренним давлением; при этом о2 = ох/2, где
ох —напряжение окружное, а о2 —осевое на-
пряжение. Этим соотношением определяется
оптимальная форма для окон пассажирского
салона — эллипс с высотой 2 и шириной [1,
как это сделано, например, на самолете «Вис-
каунт». Отношение 2 : 1 справедливо для оди-
ночного отверстия в бесконечной оболочке, но
127
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
следует добавить, что при проектировании,
например, самолета необходимо учитывать и
другие факторы, влияющие на напряженное
состояние, такие, как близость соседних окон,
жесткость подкрепляющих элементов конструк-
ции и др. Круговое отверстие, которое не явля-
ется оптимальным с точки зрения концентра-
ции напряжений, часто используется по техно-
логическим соображениям.
Эстетические соображения также могут ока-
заться в противоречии с требованиями проч-
ности; так, художник-модельер, несомненно,
будет стремиться ориентировать эллиптические
окна длинной осью в горизонтальном направле-
нии, желая создать эффект «обтекания», как
это было сделано с декоративными «амбразу-
рами» на капоте одного из старых автомобилей.
Горизонтальное расположение эллиптических
отверстий на фюзеляже самолета особенно не-
благоприятно с точки зрения концентрации на-
пряжений; в этом случае KtB
для эллипса, ориентированного
К1В = 1,5.
Коэффициент концентрации напряжений,
определенный по максимальным
напряжениям (фиг. 132),
Рмакс/2
т-макс
= 4,5, тогда как
вертикально,
сдвигающим
выражается формулой
Kts =
где
ai — р.з
Щ —
2
Тмакс
Для
тонкого листа
^макс
2
Щ — Иг
2
2 ’
р2 — Р3
2
о3 — 0 и
^2
2 ’
При 0 sC (oa/o-j)
ту Ямакс/2 ту
—-------тт:—' — Ль
18 /2 1
__ ^макс/^ _________Kt
ts~~ (щ—Сг)/2 — 1 —(<т2/щ)
(94)
(95)
Поскольку величина о2 отрицательна, зна-
менатель больше величины щ и Kts меньше Kt,
как это показано на фиг. 132. Для соотношения
<j2 = —щ имеем Kts = Ktl2.
Коэффициент концентрации напряжений,
определяемый по эквивалентному напряжению,
выражается формулой
К ____ рыакс
Одфф ’
где
а:,ФФ = VF (°1 —G2)2+ (<J1—<?з)2+ (°2 —Оз)2.
Для сг3 = О имеем
оафф = V (Oi-o2)2+o? + o| =
= Щ/1 — (о-2/о1)+(а2/о'1)2,
Kte = г К-1 ___= . (96)
1/1-(ог/Щ) + (О2/Щ)2
Данные но Kte приведены на фиг. 133.
Для получения только амакс достаточно са-
мого обычного коэффициента Kt, тогда как для
решения задач механики материалов необходимы
два последних коэффициента, которые связаны
с теорией разрушения.
Условие эквивалентно чистому сдвигу
под углом 45° к осям эллипса; этот случай, а
также случай, когда сдвигающие напряжения
параллельны осям эллипса, рассмотрен в разд.
4.3 (фиг. 165).
Некоторые данные по коэффициенту Kt для
двуосного растяжения пластины конечной ши-
рины с эллиптическим отверстием приведены
в работе [233].
Напряжения около эллиптического отверс-
тия в растягиваемой цилиндрической оболочке
определены в работах [182, 182а, 1826].
Данные для эллиптического отверстия в сфе-
рической оболочке, подверженной внутрен-
нему давлению, представлены на фиг. 91а.
4.1.18. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ОТВЕРСТИЕ,
НАГРУЖЕННОЕ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ
Решение для этого случая получим вычита-
нием 1 из формулы (91):
Я( = 2|-1. (97)1
4.1.19. БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ I
ОТВЕРСТИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
И В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
Результаты Нишитани [241] представлены
на фиг. 134; по оси ординат отложены значения
KtIKt0, где Kt0 = Kt для одиночного отверстия
(фиг. 128). Эти данные согласуются с результа-
тами Шульца [111] для круговых отверстий и
соответствуют результатам Ацуми [109] для
полукруговых вырезов. Влияние конечной ши-
рины [241] показано на фиг. 135 в виде отноше-
ния значений Kt к Kt0 для одиночного отверстия
(фиг. 129); эти результаты согласуются с дан-
ными Шульца [111а] для круговых отверстий!
(фиг. 113). В работе [241] показано, что эффект
взаимовлияния пропорционален квадрату отно-
шения максимальной полуоси эллипса к рас-
стоянию между центрами отверстий.
128
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
Были проведены фотоупругие испытания
1233] моделей размером 508 X 508 мм с двумя
эллиптическими отверстиями, имеющими боль-
шую ось 38 мм и малую ось 19 мм, при двуосном
напряженном состоянии и различных соотноше-
ниях щ и о2. Чтобы определить эффект взаимо-
влияния, варьировали расстояние между эллип-
тическими отверстиями.
Коэффициенты Kt для ряда эллиптических
отверстий в неограниченной пластине при по-
перечном изгибе приведены на фиг.163.
4.1.20. РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ,
ИМЕЮЩЕЙ "ОВАЛЬНОЕ ОТВЕРСТИЕ
(ПАЗ С ПОЛУ КРУГОВЫМИ КОНЦАМИ);
ДВА ОТВЕРСТИЯ, СОЕДИНЕННЫЕ ПАЗОМ;
ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ЭЛЛИПС
Понятие «эквивалентный эллипс» [242 —244]
введено для форм отверстий, у которых наи-
большая ширина Ъ и минимальный радиус г
совпадают с эллипсом, описывающим фигуру
(фиг. 84а). Значения Kt для овала и эквивален-
тного эллипса различаются лишь на ~ 2%.
Величины коэффициента Kt рдя эллипса взяты
из работы [85].
Для двух соприкасающихся круговых от-
верстий (фиг. 106) Kt = 3,869, а для эквива-
лентного эллипса Kt = 3,826. Участки между
эллипсом и вписанной в него фигурой свободны
от напряжений (нулевые области в фотоупру-
гости); подобные же области имеют место в слу-
чае двух отверстий, соединенных пазом.
Квадратное отверстие со скругленными уг-
лами при одноосном нагружении вдоль диаго-
нали [245] приближенно может быть представ-
лено как эквивалентный эллипс.
Значения Kt для паза с полукруговыми
законцовками [246] ниже будут сравнены . со
значениями Kt для эллиптического (фиг. 129)
и для кругового (фиг. 86) отверстий.
Установлено [242], что значения Kt для
эквивалентного эллипса применимы только для
растяжения, но не верны для сдвига.
Фотоупругие исследования [247] паза с
Ъ1а = 3,24 показали, что оптимальной формой
законцовок, паза является эллипс с ale ~ 3
(фиг. 136). В этом случае коэффициент Kt мень-
ше на ~ 22 % значения для полукруговой за-
концовки паза при blw = 0,6 и на 30% при
Ь/w = 0,2, т. е. в среднем на 26%. Авторы ра-
боты'[247] указывают, что эти результаты могут
быть с успехом использованы при проектирова-
нии твердотопливных зарядов. Хотя численные
результаты получены только для соотношения
ФИГ. 84а. Эквивалентный эллипс.
Ь/а = 3,24, этот прием оптимизации может быть
применен с достаточной точностью для других
конфигураций.
4.1.21. РАСТЯНУТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ
ОТВЕРСТИЕМ И ДИАМЕТРАЛЬНЫМИ
ПОЛУКРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ
В ЕГО СТЕНКАХ
Такая геометрия отверстия, с помощью ко-
торой достаточно просто создается концентра-
тор напряжения с минимальным разбросом от
образца к образцу, часто используется при
испытаниях на усталость листовых материалов
[248, 249].
Численные результаты для пластины неогра-
ниченных размеров [250] показаны на фиг. 137
и сравнены с данными для эллипса с той же ши-
риной и минимальным радиусом (эквивалент-
ный эллипс).
Для пластины конечной ширины, подобной
испытательным образцам (фиг. 138), Митчелл
[250] предложил следующую эмпирическую фор-
мулу:
Здесь Ktoa ~ Kt для бесконечной пластины
(см. фиг. 137), Ъ — ширина отверстия с углуб-
лениями, w — ширина пластины.
При w = оо имеем blw = 0 и Kt = Ktoo.
При r/R —> 0 коэффициент Kt те получается
умножением коэффициента Kt = 3 для отверс-
тия на коэффициент Kt — 3,065 для полу-
кругового выреза [90], в результате имеем
S Р. Петерсон
129
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
Kt = 9,195; по формуле Митчелла [250] полу-
чаем Ktcc = 3 • 3,08 - - 9,24.
При r/R >1,5 окружность полностью по-
глощается вырезами, в результате получается
конфигурация отверстия, показанная па фиг.
106 (&/а < 2/3).
При r/R —> оо остается окружность с коэффи-
циентом Kt = 3, а уравнение (98) принимает
вид приближенной формулы Хейвуда [170]:
^<=2+(1-v)3- (")
Фотоупругие измерения Ченга [251] под-
тверждают правильность формулы Митчелла.
Мияо [251а] получил решение для случая
кругового отверстия с одним вырезом. Значения
Kt для этого случая ниже, чем для двух вырезов.
Различие отсутствует при r/R — оо и достигает
10% при r/R = 1,0 (овал, см. фиг. 139). Мияо
[251а] также приводит значения Kt для дву-
осного растяжения.
4,1.22. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОТВЕРСТИЕМ,
ИМЕЮЩИМ СКРУГЛЕННЫЕ УГЛЫ
(ОДНООСНОЕ И ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ)
Прямоугольные вырезы со скругленными
углами часто применяются в конструкциях.
Это, например, корабельные люки и оконные
проемы самолета.
На фиг. 139 направление напряжения ох
выбрано перпендикулярным размеру b незави-
симо от того, какую ось прямоугольника он
характеризует — большую или малую.
Опубликованы [243, 252—254] численные ре-
зультаты, полученные на ЭВМ по специальной
программе (фиг. 139—142). Верхняя штриховая
кривая соответствует овалу (пазу со скруглен-
ными концами). В разд. 4.1.20 было отмечено,
что при одноосном растяжении овал и эквива-
лентный эллипс с одинаковыми t/r имеют прак-
тически одинаковые коэффициенты концентра-
ции напряжений.
В работах [243, 253] значения Kt для овала
близки к значениям для эллипса; последние
использованы на фиг. 139, чтобы построить
более плавную кривую для овала. Кривые [252,
254], построенные на фиг. 139—142 в зависи-
мости от параметра г/b, дают ярко выраженные
минимумы значений коэффициента Kt.
Фотоупругие испытания [255] на растяжение
пластины конечной ширины с параметрами
Ыа = 1/4, г/b = 0,1 и b/w = 1/4 дали значение
Kt — 3,25, которое согласуется с величиной
Kt = 3,38 на фиг. 139, полученной при w/b= оо.
В случае о2 = ох/2 (фиг. 140) коэффициент
концентрации для эквивалентных напряжений
(по Мизесу) определяется величиной Kte =
= (2/]Л3) Kt = 1,157.ЙГ(, а пои о3 = <4 и о3 = О
имеем Kte = Kt.
Отметим, что при ох = о2 (фиг. 141) квад-
ратный вырез имеет самое высокое значение Kt
для соответствующих г/Ь.
Случай о2 — —ох (фиг. 142) соответствует
сдвигу т — о под углом 45°. В этом случае-
коэффициент концентрации напряжений по Ми-
зесу получается равным Kie = (1/1^3) =
= 0,577 Kt. Кривая для овала с г ~~ а!2 не
совпадает с данными для эллиптического от-
верстия; как показал Кокс [242], концепция
эквивалентного эллипса неприменима при сдви-
ге. Случай сдвига вдоль осей эллиптического
отверстия рассмотрен в разд. 4.3, фиг. 166.
Характерно, что при Ыа > 1 на фиг. 139 —
142 как овал (паз с полукруговыми концами),
так и прямоугольное отверстие с 0 <Z г/Ь <1/2
имеют минимальное значение Kt.
Выбор соотношения сторон а и Ъ в прямо-
угольном вырезе для получения минимального
Kt является одной из типичных задач конструи-
рования. На фиг. 143 сравниваются следующие
формы вырезов: эллипс, овал, прямоугольник
со скругленными углами (для радиусов, соот-
ветствующих минимальным значениям Ке). Эти
данные взяты с графиков фиг. 132, 139—141.
При одноосном растяжении (три верхние
штриховые кривые на фиг. 143) овал имеет более-
низкие значения Kif чем эллипс, при Ыа> 1
и более высокие значения при Ыа < 1. Коэффи-
циент Kt для оптимального прямоугольника
не превышает значения Kt для овала и ниже,
чем Kt для эллипса, при Ыа > 0,85, но выше-
при &/а<0,85.
Иногда полагают, что круговое отверстие
в растянутой пластине имеет более низкие мак-
симальные напряжения, чем квадратный вырез
со скругленными углами и стороной, равной
диаметру отверстия. На фиг. 139—143 видно,
что квадратный вырез с радиусом углового скруг-
ления, составляющим около трети1) длины сто-
роны квадрата, имеет более низкие максималь-
ные напряжения, чем круговой вырез того же
размера. Фотоупругие исследования вырезов
и галтелей указывают на аналогичный эффект.
В 1930 г. Ричмонд [255а] провел фотоупру-
гие испытания растянутой пластины с квадрат-
ными вырезами, имеющими скругленные углы,
и пашел минимальное значение Kt несколько
/) Мивимум достигается при г/Ь = 0,37; при этом
коэффициент Kt на 6% ниже, чем для кругового отвер-
стия.
130
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
меньше 3. Испытания проводились в связи с
проектированием туннеля. Мипдлин [25561 ука-
зал на важность результатов Ричмонда, кото-
рые могут быть с пользой применены в других
областях при проектировании и прочностном
расчете.
Предшествующие замечания относились к
случаю одноосного растяжения; они теряют
силу при ох = о2. При о2 = Oj/2 оптимальный
вырез почти не дает выигрыша в Kt.
Сплошные кривые на фиг. 143 относятся к
случаю ст2 = 0^/2 и характеризуют напряжения
в цилиндрических оболочках под давлением;
они показывают, что отверстия в виде овала
и оптимального прямоугольника имеют близкие
значения коэффициентов концентрации, кото-
рые ниже значений для эллипса при Ь/а > 1
и b/а <Z 0,38 и выше значений для эллипса при
Ь/а >• 0,38 и Ыа < 1.
Отметим, что при Ь/а = 1/2 коэффициент Kt
достигает для эллипса предельно низкого зна-
чения 1,5. Это обсуждалось в разд. 4.1.17 в свя-
зи с конструкцией окон самолета. Здесь необ-
ходимо отметить, что эллипс имеет в этом слу-
чае преимущество перед овалом, у которого
Kt - 2,08.
Для случая двуоспого равномерного растя-
жения (ох = о2), которое возникает, например,
в наддутых сферических оболочках, на фиг. 143
приведены штрих-пунктирные кривые, пока-
зывающие, что овал является оптимальным вы-
резом; для него коэффициент Kt ниже, чем для
эллипса, кроме, конечно, случая Ыа = 1, ког-
да оба становятся окружностями.
В некоторых случаях (см. фиг. 143) можно
получить более низкие значения Kt, используя
более совершенную форму выреза (см. фиг. 136);
однако систематических данных такого рода
нет, но определены условия, при которых ми-
нимум достигается [см. штрих-пунктирную
кривую, KtA = KtB, на фнг. 132 и уравнение
(93)].
Хирано [244] показал, что концепция экви-
валентного эллипса применима к квадратному
вырезу со скругленными углами, растягивае-
мому вдоль диагонали.
4.1.23. РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ КОНЕЧНОЙ
ШИРИНЫ С КВАДРАТНЫМ ОТВЕРСТИЕМ,
ИМЕЮЩИМ СКРУГЛЕННЫЕ УГЛЫ
Если сравнить значения Kt, полученные
Исидой [245] для полосы конечной ширины, со
значениями, представленными на фиг. 139, то
получим удовлетворительное совпадение толь-
ко для малых значений отношений b/w. При
увеличении b/w изменение Kt можно приблизи-
тельно охарактеризовать следующим рядом:
Ktg/Ktco = ~ 1,01; 1,03; 1,05; 1,09; 1,13 для
соответственных значений b/w = 0,1; 0,2; 0,3;
0,4; 0,5.
4.1.24. ТРЕУГОЛЬНОЕ РАВНОСТОРОННЕЕ
ОТВЕРСТИЕ СО СКРУГЛЕННЫМИ УГЛАМИ
В РАСТЯГИВАЕМОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ОРИЕНТАЦИЯХ^ТРЕУГОЛЬНИКА
Отверстия в виде равностороннего треуголь-
ника со скругленными углами применялись,
например, для окон самолета и в некоторых ар-
хитектурных сооружениях.
Распределение напряжений около треуголь-
ного отверстия со скругленными углами изуча-
лось Савиным [229].
Значения Kt для одноосного растяжения
(о2 = 0) и для случаев о2 = Oj/2 и о2 = ох,
представленные па фиг. 144, были получены
Виттриком [256] методом комплексных пере-
менных с использованием для отображающих
функций полиномных представлений. Радиусы
в углах треугольника не были постоянными.
Для эквивалентных напряжений (по Мизесу)
при о2 ’ <71/2 имеем Kte = 2/|/^3 Kf = 1,157 К(;
при ог2 = Qi и о2 = 0 имеем Kte = Kt. На
фиг. 145 коэффициенты Kt перестроены в зави-
симости от gJg-l'
4.1.25. ЗАРЯД ТВЕРДОГО ТОПЛИВА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ
Результаты фотоупругих исследований [256а]
моделей твердотопливных зарядов под внешним
давлением приведены на фиг. 145а. Влияние
числа пазов (лучей) п (шесть на фиг. 145а) на
величину максимальных напряжений учиты-
вается множителем у/'и, который включен в шка-
лу ординат. Коэффициент Kt определен в виде
омакс/р. Например, для восьми лучей значения
Kt составляют половину величины ординаты,
показанной на графике.
Указанные выше результаты находятся в
хорошем соответствии с аналитическим реше-
нием Вильсона [2566] для конфигурации с че-
тырьмя лучами. Данные фиг. 145а могут быть
распространены [256в] на случай наличия кор-
пуса и любого внутреннего давления. Фотоупру-
гие измерения [256г] были выполнены для шести-
лучевой модели, подверженной действию дав-
ления или температурного градиента.
Концентрация напряжений может быть сни-
жена путем замены постоянного радиуса г за-
концовки паза пологим эллипсом, как это отме-
чено на фиг. 41 и 136 (разд. 2.2.6).
9*
131
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
ФИГ. 846. Перфорированная отверстиями пластина
активной зоны ядерного реактора.
а —- типовая перфорация; б — точки, где возникает максималь-
ное напряжение (к вычислению коэффициента Kt).
4.1.26. ПЕРФОРАЦИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Фотоупругие измерения [256д] проводились
на пластине с перфорацией, типичной для ядер-
ного реактора (фиг. 846); однако, поскольку в
материале модели имели место краевые эффекты,
измеренные величины Kt нельзя признать на-
дежными.
4.1.27. ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО
СТЕРЖНЯ ИЛИ ТРУБЫ С ПОПЕРЕЧНЫМ
КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
В инженерной практике поперечные отверс-
тия встречаются в конструкциях, где необхо-
дима подводка смазочных или охлаждающих
жидкостей, в каналах, в трубопроводах, в осях
и валах, в соединениях тяг управления или
в трансмиссиях, а также в различного типа
трубчатых каркасных конструкциях.
Коэффициенты концентрации напряжений
Ktg и Кtn для таких элементов приведены на
фиг. 146; для стержня кривые построены по
результатам работ Левена [257] и Тума и Кирм-
сера [258], которые совпадают.
Трубы с поперечными отверстиями доследо-
вались в Великобритании [259, 260]. Коэффи-
циенты концентрации напряжений определя-
лись следующим образом:
iz __ Смакс __ Омаке ______Омаке_____ И 001
о- Р/Аспл-р/[(Я/4)(й2-й?)] ’
• jz Омане ____ Омакс __ 17 -^ОСЛ
Ktn~ “г-----—~рТд----~Kte~A----'• (1UUa)
Г-*HOM * /^±осл лспл
Обозначения поясняются на фиг. 146.
Отношение ^осл/^спл определено ана-
литически [261]. Соответствующие формулы и
графики здесь не приводятся (значения отно-
шения могут быть получены делением коэффи-
циента Ktn на фиг. 146 на коэффициент K(g).
Если отверстие мало по сравнению с диаметром
вала, то его считают в поперечном сечении пря-
моугольным:
Д)СЛ 4л(а/й)[1-(йг/<2)]
Лспл 1-№/й)2 • И '
В нижней части графика фиг. 146 видно,
что ошибка, связанная с этим допущением, ма-
ла при значениях aid ниже 0,3.
Тум и Кирмсер [258] нашли, что максималь-
ные напряжения возникают не на поверхности
вала, а недалеко от нее на стенке отверстия:
позже это было подтверждено другими иссле-
дователями [257, 259]. Значение омакс, исполь-
зованное на фиг. 146, представляет собой макси-
мальное напряжение внутри отверстия. Коэф-
фициенты концентрации напряжений для то-
чек на поверхности вала не приведены; соот-
ветствующая информация имеется в работах
[257 — 259].
4.1.28. ПРОУШИНА, НАГРУЖЕННАЯ БОЛТОМ,
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
Задачу о нагруженном болтом отверстии в
неограниченной пластине решил Бикли [262].
Для пластины конечной ширины решение по-
лучили Найт [263], у которого ширина пластины
w была равна удвоенному диаметру отверстия
а, и Теокарис [263а] (при 0,2 alw 0,5).
Эксперименты (тензометрия или фотоупругость)
проводили Кокер и Файлов [2б4], Штольтен-
берг (см. работу Шехтерле [265] ), Фрохт и
Хилл [266], Джессоп, Снелл и Холистер [266а],
Кокс и Браун [2666].
Коэффициент концентрации напряжений
определялся по номинальным напряжениям
в ослабленном сечении (нетто):
_ Р
(w~a)h’
TZ ___ Омане — (а’—а) 14(¥)\
K-tna---~------Омане р
una *
132
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
и по номинальным напряжениям смятия:
(ЮЗ)
(103а)
Р
Qnb~~ah'
и ^макс _ _ „ ah-
i^tnb— —имакс р •
1Jnb 1
Отметим, что
Ыпа __ |
Кщ> alw
На фиг. 147 кривые в области alw = 0,2 -4-
4- 0,5 соответствуют результатам Теокариса
[263а]. Данные Фрохта и Хилла [266], Кокса
и Брауна [2666] согласуются с этими результа-
тами (хотя они располагались бы несколько
ниже). Продолжение графика до alw = 0,75
выполнено по результатам экспериментов Фрох-
та и Хилла. Обобщенная кривая справедлива
для проушин, имеющих отношение mlw 1;
при mlw = 0,5 коэффициент Ktn оказывается
несколько выше [2666, 266в].
При alw = 0,5 имеем Ktna = Ktnll [см. фор-
мулу (103а) ].
Представляется более логичным использо-
вать нижние ветви кривых (сплошные линии
на фиг. 147); на практике расчет обычно прово-
дят по смятию [формула (ЮЗ)], поскольку
обычно alw < 1/4. Результаты на фиг. 147
справедливы для посадки болта без зазора.
С увеличением зазора значения коэффициентов
А’( возрастают; так, например, при отношении
alw = 0,15 значения Ktnb приблизительно рав-
ны 1,1; 1,3; 1,8 при относительных зазорах
0,7; 1,3; 2,7% соответственно [2666].
Напряженная посадка болта в проушину
уменьшает коэффициент концентрации напря-
жений [266а, 2666].
Соединение, состоящее из неограниченного
ряда болтов, исследовалось в работе [266г].
Предполагалось, что пластина тонкая (двумер-
ный случай), трение в контакте отсутствует
и давление на стенке отверстия распределено
по закону косинуса. Для того чтобы определять
коэффициенты таким же образом, как на фиг.
147, они были пересчитаны из работы [266г]
па номинальное напряжение oHOM = Fla, ко-
торое предпочтительнее, чем распределенное
по окружности давление. На фиг. 147а видно,
что с уменьшением е!а от 1 коэффициент кон-
центрации напряжений ускоренно возрастает.
Также, как и на фиг. 147, увеличение отноше-
ния alb или alw приводит к ускоренному воз-
растанию Kt.
Болты, расположенные у конца ряда, несут
относительно большую долю нагрузки; точное
распределение нагрузки по болтам зависит от
упругих постоянных и геометрии соединения
[267].
4.1.29. НАКЛОННОЕ КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ
В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ РАСТЯЖЕНИЯ
Наклонные отверстия имеют место в косых
соплах и управляющих стержнях, используе-
мых в ядерных реакторах, ракетных двигате-
лях и других сосудах высокого давления.
Кривая для одноосного напряженного со-
стояния при v = 0,5 (вторая сверху на фиг. 148)
с углом наклона отверстия 45° определена по
результатам фотоупругих испытаний Левена
[268], Дениэла [269], Маккензи и Уайта [270]
и тензометрических измерений Эллипа [271].
Коэффициенты Kt [268, 270, 271] получены
отнесением к одному и тому же параметру
(см. следующий раздел) при tla ~ 5 и имеют
хорошее соответствие. Коэффициент Kt из ра-
боты [269] получен при tla = 2,4.
При больших углах наклона коэффициенты
Kt, полученные аналитически [272], значитель-
но выше экспериментальных; тем не менее
теоретическое решение использовалось для оцен-
ки влияния коэффициента Пуассона и характе-
ра распределения напряжений.
При tla-^~ 0 значения Kt соответствуют
величинам Kt для эллипса (фиг. 128).
Для больших значений tla величина Kt х
для срединной плоскости соответствует величи-
не Kt для кругового отверстия (b/а = 1 на
фиг. 132); этот результат является следствием
того, что линии тока в срединной области
толстой плиты направлены перпендикулярно
оси отверстия. При одноосном растяжении в
направлении о2 коэффициент Kt имеет макси-
мальное значение в срединной плоскости; при
одноосном растяжении в направлении Щ коэф-
фициент Kiaa принимает максимальное значе-
ние на поверхности.
При проектировании желательно начинать
с определения коэффициента, соответствующего
неограниченной ширине пластины, а затем уточ-
нить его для отношения blw, заданного при
проектировании (Ь — наибольшая ширина от-
верстия на поверхности, w — ширина пласти-
ны). Для уточнения Kt предлагается следую-
щий прием: некоторому наклону соответствует
эллипс на поверхности с отношением Ыа; на
фиг. 129 находим величины Ktn, Ktg и Кtoo
для интересующего нас отношения blw
определяется при blw—*- 0). Отношения этих
величин были использованы для согласования
экспериментальных данных по Ktoo на фиг. 148
133
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
и 149. В проектировании тот же прием исполь-
зуют для получения из Ktco коэффициента Kt,
соответствующего действительному отношению
b/w.'
На фиг. 149 показано влияние угла наклона
0 на величину KtX1. Кривая для Ktoo основана
на фотоупругих измерениях Маккензи и Уайта
[270], получивших значения Ktg, которые за-
тем были приведены к Kt00, как описано выше.
Кривая построена для отношения На = 0,533,
соответствующего области максимальных зна-
чений напряжений (см. фиг. 148). Влияние
коэффициента Пуассона оценено с помощью
отношения коэффициентов, приведенного на
фиг. 11 (для На = 0,6) работы [272].
Для одноосного растяжения в направле-
нии Qj максимальные значения напряжений
имеют место в точке А (фиг. 148). Попытка
уменьшить эти напряжения скруглением кром-
ки отверстия с радиусом на контуре а/2 при-
вела к неожиданному эффекту [269] увеличе-
ния макспмальных напряжений (при £/а=2,4
на 30% выше для 0 = 45° и на 50% выше для
0 = 60°). Максимальные напряжения имели
место на линии сопряжения скругления и стенок
отверстия. Увеличение напряжений объясня-
лось [269] концентрацией напряжений вслед-
ствие овализации поперечного сечения в гори-
зонтальной плоскости. Для 0 = 75,5° и На =
0,533 было получено [270], что при г/а < 1/9
скругление угла несколько уменьшает напря-
жения, но при г/а > 1/9 напряжения быстро
возрастают, что согласуется с результатами
при а/2 [269].
Эллин и Измироглу [272а] проводили тензо-
метрические измерения при углах наклона
отверстий 45 и 60° в растягиваемой стальной
пластине толщиной 25,4 мм. Были оценены
эффекты, связанные со скруглением угла А
(фиг. 148) и притуплением угла подрезкой
перпендикулярно поверхности пластины. Боль-
шинство испытаний проведено при На = -—0,4.
Для 0 = 45° было получено небольшое умень-
шение максимальных напряжений в области
r/t < 0,2, но при r/t >0,2 скругление увели-
чивало максимальные напряжения.
Трудно сравнить различные исследования
пластин с наклонными отверстиями, имеющими
скругленные углы, так как весьма широко раз-
личие их по параметру На; в то же время
эффект скругления зависит от отношений r/t
и г/а.
Левен [268] получил уменьшение макси-
мальных напряжений на 25% в косом сопле
(наклоненном под углом 45°) модели сосуда под
давлением путем притупления острых кромок
сопла подрезкой, выполненной перпендикуляр-
но выходной поверхности сопла. Рассмотрение
линий тока показало, что траектории напря-
жений при вертикальной подрезке сгущаются
меньше, чем при использовании эквивалент-
ного радиуса.
4.1.30. ПАТРУБКИ СОСУДОВ ДАВЛЕНИЯ
(ПОДКРЕПЛЕННЫЕ ТРУБКОЙ
ОТВЕРСТИЯ)
Выходной патрубок (сопло) сосуда давле-
ния или атомного реактора обычно представляет
собой участок трубы, соединенный со стенкой
ФИГ. 85. Половина сечения оптимизированного выход-
ного патрубка сферического сосуда (по Левену).
сосуда давления (фиг. 85). Большое число тен-
зометрических [2726] п фотоупругих [273, 273а]
измерений было сделано для различных гео-
метрий контурного подкрепления, имеющих
целью снижение концентрации напряжений.
Пример на фиг. 85 является обобщением опыта
проектирования [274], он показывает так назы-
ваемое сбалансированное подкрепление. Имеют-
ся также данные по коэффициентам концентра-
ции напряжений для косых патрубков [275].
4.1.31. СФЕРИЧЕСКАЯ
fljnT ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ ПОЛОСТЬ
Коэффициенты концентрации напряжений
для полости в сплошном материале необходимы
при оценке опасности дефектов [276].
Распределение напряжений около полости,
имеющей форму эллипсоида, для различных
134
ЮТИЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
типов нагружения было получено Нейбером
[277]. Случай растяжения в направлении оси
полости показан на фиг. 150; заметим, что
влияние коэффициента Пуассона v в этом слу-
чае относительно невелико. Как видно на
фиг. 150, высокий коэффициент Kt получается,
когда эллипсовд становится очень . тонким
и приближается по своей форме к дискообраз-
ной поперечной щели.
Случай приложения напряжений перпенди-
кулярно оси полости был псследован для
полости, имеющей форму удлиненного эллип-
соида [278]. На оиг. 151 видно, что для круго-
вого цилиндршеского отверстия (Ь = оо,
а/b = 0) коэффициент Kt равен 3; он умень-
шается до Kt = 2,05 для сферической полости
(а/& = 1). Рассматривая эллиптическую полость
с параметрами Ыа = 3 (t/r = 9) на основании
уравнений (84), (85) и фиг. 128 и 150, найдем
для цилиндрического отверстия эллиптического
поперечного сечения Kt = 7; для круговой
полости эллиптического поперечного сечения
(фиг. 150) = 4,6; для эллипсоидальной
полости (фиг. 151) Kt — 2,69. Такой порядок
величин коэффициентов кажется весьма вероят-
ным, если представать обтекание таких полостей
линиями тока в материале.
Стернберг и Садовски [279] изучали эффект
взаимовлияния двух сферических полостей
в неограниченном теле, подверженном гидро-
статическому растяжению. При расстоянии
между полостями, равном одному диаметру,
коэффициент увеличился менее чем на 5%
(Kt = 1,57 по сравнению с Kt = 1,50 для
одной полости в неограниченном теле). Для
аналогичной плоской задачи соответствующее
увеличение Kt составляет приблизительно 20%
(круговые отверстия в двуосно нагруженной
пластине, фиг. 108).
На фиг. 152 приведены коэффициенты Ktg
и К(п для растяжения кругового циливдра
с центрально расположенной сферической
полостью [280]. Для неограниченного тела
[281] имеем
<104)
где v — коэффициент Пуассона. Для v = 0,3
получаем Kt = 2,045.
Лин показал, что для большой сферической
полости в растягиваемом цилиндряческом
стержне Kt = 1 при a/w —>-1; Койер [1696]
получил следующее уравнение при t/w -> 1:
(104а)
Замечания в разд. 4.1.1, касающиеся пре-
дельно тонких перемычек, необходимо рассмат-
ривать в связи с условием а/и>-+1.
На фиг. 152 приведена кривая Ktg Для дву-
осного напряженного состояния пластины
с центральной сферической полостью [282].
Для пластины неограниченной толщины имеем
[281]
(Ю5)
Такая величина Ktg характерна для точки
полюса на сферической поверхности, соответ-
ствующей нормали к плоскости приложенного
напряжения х).
Кривая на фиг. 152 для пластины вычислена
при v = 0,25; там же показано значение Kt
при a/w = 0 п v — 0,3.
Для соответствующего случая полуограни-
ченного тела [282а] с коэффициентом Пуассона
v = 0,25, радиусом круглой полости г и рас-
стоянием с от центра полости до поверхности
получены следующие коэффициенты:
£( = 2,21 при г/с = 0t5,Kt = 2,32 при г/с = 0,6,
£( = 2,51 при г/с = 0,7,
Kt = 2,76 при г/с = 0,8, £( = 3,3 при г/с = 0,9.
Результаты фотоупругих измерений при одно-
осном растяжении [2826] близки вышеприве-
денным данным.
Были также проведены расчеты для случая
кручения цилиндра с центральной сферической
полостью [283].
Влияние величины шага ряда дискообраз-
ных эллипсоидальных полостей [241] показано
на фиг. 153 в виде отношения KtIKtQ, где
£<0 = Kt для одиночной полости (фиг. 150).
Эти результаты получены при коэффициенте
Пуассона v = 0,3. Нишитани [241] сделал
вывод, что эффект взаимовлияния пропорцио-
нален кубу отношения максимальной полу-
ширины полости к расстоянию между центрами
полостей. В случае отверстий в пластине
(разд. 4.1.19) тот же эффект был пропорциона-
лен квадрату этого отношения.
Результаты для двух полостей [284] (при
v = 0,25) также представлены на фиг. 153.
Некоторые данные для ряда сферических
полостей в растягиваемом цилиндрическом
стержне [284а] приведены на фиг. 152.
Для неограниченного тела, содержащего
цилиндрические полости с длиной, равной диа-
метру. и торцевым скруглением угла (г
В работе [276] значения А’/ определены для пло-
скости приложенных напряжений п не являются мак-
симальными.
135
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
коэффициент Kt оказался примерно равным 2
[2846]. В этом случае растяжение было прило-
жено вдоль оси цилиндра, а максимальные
напряжения возникали в точке с угловой коор-
динатой ~13°, отсчитываемой от начала угло-
вого радиуса на цилиндре.
4.1.32. СФЕРИЧЕСКОЕ
ИЛИ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ
Оценка влияния включений на прочность
материалов, особенно на усталость и хрупкое
разрушение, является важной проблемой для
конструктора.
Напряжения около включений вычисляют,
полагая, что отверстие или полость заполнены
материалом, модуль упругости которого Е'
отличен от модуля упругости основного мате-
риала Е, и что между двумя материалами суще-
ствует идеальная адгезия (сцепление).
Доннелл [285] получил уравнения для пла-
стины с цилиндрическим включением эллипти-
ческого поперечного сечения при различных
значениях отношения ЕЧЕ [от 0 (полость)
до оо («абсолютно жесткое» включение)]. Дон-
нелл нашел, что значения коэффициентов для
плоского напряженного состояния и плоской
деформации при изменении коэффициента Пуас-
сона в пределах v — 0,25 4- 0,3 достаточно
близки, так что можно использовать прибли-
женное решение для этих двух случаев (отли-
чающееся от точных решений не более чем
на 1,5%).
Эдвардс [286] развил результаты Гудьера
и Доннелла на случай включения, имеющего
форму эллипсоида вращения.
Кривые для отношений модулей ЕЧЕ, рав-
ных х/4, х/3 и Ч2, показаны на фиг. 128 и 151;
эти значения находятся в области, представляю-
щей интерес для изучения влияния силикатных
включений в стали. Видно, что отверстие или
полость представляются более опасными, чем
соответствующее включение.
Для жесткого сферического включения
(ЕЧЕ = оо) в неограниченном теле Гудьер
[287] получил следующие уравнения в случае
одноосного растяжения.
Для адгезионных (радиальных) максималь-
ных напряжений в точке полюса
Kt=~—hz \ • (106)
При v = 0,3 получаем Kt — 1,94.
Для тангенциальных напряжений на эква-
торе в положении, перпендикулярном направ-
лению приложенных напряжений,
v 5v
~ l-1-v 8—10v ‘
(106а)
При v = 0,3 получаем Kt = —0,069.
Коэффициент Kt имеет отрицательное значе-
ние при v >0,2, что означает действие сжи-
мающих тангенциальных напряжений; при
v = 0,2 Kt = 0. Такие же результаты были
получены [2846] при использовании другого
метода.
Случай абсолютно жесткого цилиндрическо-
го включения может быть полезен в проектиро-
вании пластмассовых деталей и бетонных кон-
струкций, армированных стальной проволокой
или стержнями. Гудьер [287] получил следую-
щее уравнение для случая плоской деформации
и кругового цилиндрического включения
(ЕЧЕ = со):
f,=^(3-2v+-5Ai7). (14
При v — 0,3 получаем Kt = 1,478.
Также изучались напряжения в неограни-
ченном теле, содержащем круговое цилиндри-
ческое включение с длиной, равной одному или
двум диаметрам, скругленными углами и осью
цилиндра, совпадающей с направлением дейст-
вующего растяжения [2846]. Эти результаты
могут служить некоторым руководством для
расчета и проектирования при условии, что
концы армирующего стержня находятся в задел-
ке. Для отношений длины включения к диа-
метру, равному 2, и радиуса скругления к диа-
метру, равному х/4, получены следующие значе-
ния Eta (коэффициент Kta определялся как
отношение оа/о, где оа — максимальное нор-
мальное напряжение, а о — приложенное на-
пряжение): 2,33 для ЕЧЕ = со; 1,85 для ЕЧЕ =
= 8 и 1,63 для ЕЧЕ = 6.
Для отношения длины к диаметру, равного 1
коэффициент Kta изменяется незначительно при
изменении отношения радиуса скругления
к диаметру в диапазоне от 0,1 до 0,5 (для сфе-
ры Kt — 1,94), но при rid < 0,1 коэффициент
Kta быстро возрастает; так, при rid = 0,05
имеем Kta = 2,85.
Для контактных сдвигающих напряжений,
характеризующихся коэффициентом концентра-
ции Ktb = тмакс/о, были получены следую-
щие значения Ktb-. 2,35 при rid — 0,05; 1,3 при
rid = 0,25 и 1,05 при rid = 0,5 (сфера).
Доннелл [285] получил следующие уравне-
ния для жесткого эллиптического цилиндри-
ческого включения.
136
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
На полюсе (точка В, фиг. 154)
г стмакс В __ 3 / . Ъ \
5 ~ «И. ТГ
В средней точке А
(107)
(108)
тг Чмакс А 3
KtA~ а 16
(5+Ч)-
Эти напряжения являются радиальными
(т. е. направлены по нормали к поверхности
эллипса) и физически означают адгезионное
сцепление (растяжение) в точке В и сжатие
в точке А. Тангенциальные напряжения состав-
ляют 1/3 часть вышеприведенных величин.
Представляется вероятным, что в случае
эллиптического включения с большой осью,
ориентированной в направлении растяжения,
разрушение будет начинаться в полюсе разры-
вом связи, а затем трещина будет развиваться
перпендикулярно приложенным растягиваю-
щим напряжениям.
Для включения с большой осью, ориентиро-
ванной перпендикулярно приложенным растя-
гивающим напряжениям, можно ожидать, что
при alb 0,15 напряжения сжатия на конце
эллипса вызовут пластическую деформацию,
но трещинообразование, вероятнее всего, будет
наблюдаться в точке В в месте разрыва адгезион-
ной связи; последующее развитие трещины
будет происходить перпендикулярно прило-
женному растягивающему напряжению.
Нишитани [241] получил точные решения
для радиальных напряжений в полюсе (точка В,
фиг. 154) жесткого эллиптического цилиндри-
ческого включения в случае плоского напря-
женного состояния
Kt = (т+1) Кт+1Н«/ь)+(т+3)1 (109)
и плоской деформации
= (1—у) [2 (1—у) (д/Ь) + 3—2у] (! до)
Здесь у = 3—4 v для плоской деформации;
у = (3 — v)/(1 v) для плоского напряжен-
ного состояния; а — ширина эллипса, парал-
лельная приложенному напряжению; b — ши-
рина эллипса, перпендикулярная направлению
приложенного напряжения; v — коэффициент
Пуассона.
Формула (НО) для кругового цилиндриче-
ского включения сводится к (106). Поскольку
формулы (109) и (110) достаточно близки выра-
жению (107), для расчета можно использовать
одну кривую (см. фиг. 154).
Подобный случай пластины с круговым
отверстием, в которое вклеена цилиндрическая
вставка (гг7г0 = 0,8) с модулем упругости,
в 11,5 раз большим, чем модуль упругости
пластины, изучался при использовании комби-
нации метода фотоупругости и метода муаровых
полос [287а].
Влияние величины шага для ряда жестких
эллиптических включений [241] показано на
фиг. 155; оно определено как отношение коэф-
фициента Kt для ряда включений к величине Kt
для единичного включения (фиг. 154).
Шиоя [2876] получил коэффициенты Kt
для растянутой бесконечной пластины с двумя
круговыми включениями.
4.1.33. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ТУННЕЛЬ
Миндлин [287в] получил решение для сле-
дующих случаев неограниченно длинного
цилиндрического туннеля: 1) существует гидро-
статическое давление (—civ) в месте размещения
туннеля, где с — расстояние от поверхности до
центра туннеля, w — удельный вес материала;
2) материал не смещается в боковом направле-
нии; 3) боковые напряжения отсутствуют.
Результаты для случая 1 показаны на
фиг. 155а в безразмерной форме омакс/2шг
в зависимости от dr (обозначения см. на
фиг. 155а). Видно, что минимальные величины
окружных! напряжений омакс достигаются при
значениях dr — 1,2, 1,25 и 1,35 для v = 0,.
0,25 и 0,5 соответственно. При самых малых
значениях dr увеличение напряжений происхо-
дит благодаря утонению свода над отверстием,
тогда как для наибольших значений dr повы-
шение напряжений происходит от увеличения
давления, создаваемого весом слоя материала.
Коэффициент концентрации напряжений
может быть определен как отношение Kt =
= Чмакс/Р = Омане/ (—Cw), где р = — CW —
гидростатическое давление. График фиг. 155а
может быть перестроен в координатах Kt. Это
выполнено на фиг. 1556 при помощи деления
величины омакс/2шг ординаты с фиг. 155а на
величину с/2г (половину значения абсциссы
фиг. 155а). На фиг. 1556 видно, что для боль-
ших значений dr коэффициент Kt приближается
к 2 — хорошо известному значению Kt для
отверстия в гидростатическом или двуосном
поле напряжений. «
Для туннеля, удаленного от поверхности,
т. е. для больших значений dr [287в], имеем
Пмакс = — 2сш — rw [ 23(Г—v) ] • (110а)
Записывая rw в виде rw — (r/c) (cw) и деля
137
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
левую н правую части уравнения (110а) на
—cw, получим коэффициент Kt:
g 1 rr3~4v 1 (110б)
1 —cw сfr L 2(1— v) J
Второе слагаемое учитывает влияние на тун-
нель окружающей среды, соответствующее весу
материала, извлеченного из туннеля. При боль-
шом dr это слагаемое становится незначитель-
ным и Kt приближается к 2, как показано
на фиг. 1556.
Решения для удаленных от поверхности
туннелей различных форм (круговой, эллипти-
ческой, с закругленными углами) получены
с учетом жесткой облицовки туннеля и без нее
[287г].
4.1.34. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
ОТВЕРСТИЯ
Цилиндрические отверстия при пересечении
могут иметь форму перекрестия (+), буквы «Т»
или колена со скругленным углом. Рассмотрим
случай, когда одноосное напряжение приложено
перпендикулярно плоскости, проходящей через
оси отверстий; он представляет интерес при
проектировании смазочных каналов, подземных
туннелей и других устройств и сооружений.
Были проведены фотоупругие испытания
[287д] цилиндра при осевом сжатии с указан-
ными выше пересечениями цилиндрических
отверстий, оси которых расположены в средин-
ной плоскости, перпендикулярной приложен-
ному напряжению. Использовался] цилиндр
диаметром 203 мм, а все отверстия в нем имели
диаметр 38,1 мм. Максимальный коэффициент
концентрации напряжений относительно номи-
нальных напряжений в сечении нетто К1п для
рассматриваемых трех форм пересечения отвер-
стий был равен 3,6; он соответствовал макси-
мальному тангенциальному напряжению в точ-
ках пересечения линии сопряжения отверстий
и плоскости, проходящей через оси отверстий.
Полученный коэффициент Ktn = 3,6 пра-
вилен только для цилиндрических образцов.
Более важны значения Ktoo для неограничен-
4.2, Изгиб
В этом разделе рассмотрены два вида изгиба
тонких пластин и балок: изгибу в плоскости
посвящены разд. 4.2.1—4.2.3, поперечный изгиб
описывается в разд. 4.2.4 —4.2.7. Рассмотрены
два случая поперечного изгиба: чистый (простой)
изгиб (ЛГХ = 1, М2 = 0) и цилиндрический изгиб
138
ного тела; попытаемся получи?ь такое значение
следующим образом. Во-первых, заметим,
что Ktn Для цилиндрического отверстия вда-
ли от пересечения равен 2,3; коэффи-
циент концентрации для Т-образного пересе-
чения Ktg = К(п!(А0СЛ1А) =2,3/0,665 = 3,46.
Здесь А — площадь поперечного сечения ци-
линдра, Лосл — площадь сечения в плоскости
осей отверстий. Обращаясь к фиг. 86, видим,
что для a/w ~ 1—0,665 = 0,335 имеем те же
самые значения Ktn = 2,3 и Ktg = 3,46, при-
чем для неограниченной ширины a/w —► 0
К/ж = 3. Для перекрестия иколена возникают
расхождения, но они не превышают 6%.
Теперь предположим, что отношение
Kt<JKtn для объемной детали такое же, как
для плоской пластпны (фиг. 86) с тем же значе-
нием параметра a/w\ тогда Ktix> = 3,6(3/2,3) =
= 4,7. Такая оценка вообще более удобна, чем
оценка по величине К1п ~ 3,6 для образца
сложной геометрии.
В работе [287д] указывается, что максималь-
ные напряжения локализованы в области
пересечения и на расстоянии диаметра от-
верстия уменьшаются до значений Kt м = 3.
Величины осевых напряжений весьма малы.
Экспериментально определить максималь-
ные напряжения с очень высоким градиентом на
острой угловой кромке чрезвычайно трудно,
поэтому может оказаться, что указанные выше
значения напряжений занижены. Например,
коэффициент Kt м для пересечения малого
отверстия с большим теоретически *) может
достигать 9.
Представляется, что притупление угла
в пересечении (в плоскости осей отверстий)
уменьшает коэффициент Kt. Это можно сделать
в случае пересечения туннелей или металли-
ческих литых деталей, но при сверлении отвер-
стий такую операцию практически выполнить
невозможно. В этом отношении будут представ-
лять интерес исследования объемных фотоупру-
гих моделей с различными радиусами скругле-
ния углов.
Случай приложения давления к тонкостен-
ным цилиндрам в виде креста или односторон-
него патрубка рассмотрен в разд. 5.17.
(М,=1, При цилиндрическом изгибе
не возникает антикластическая форма поверх-
ности, вызванная эффектом поперечной дефор-
х) Это связано с перемножением коэффициентов
концентрации напряжений; аналогичный случай рас-
смотрен в разд. 4.1.21 и проиллюстрирован на фиг. 137.
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
мации (эффект Пуассона). В начале приложе-
ния изгибающего момента возникают условия
для простого изгиба. С увеличением прогиба
антикластическая деформация проявляется
лишь в виде слабого искривления кромок пла-
стины. Можно вполне допустить, что в районе
центрального отверстия условия цилиндриче-
ского изгиба осуществляются точно. Для задач
проектирования случай цилиндрического изгиба
обычно более применим, чем случай чистого
изгиба.
Представляется, что скругление кромки от-
верстия и фаска уменьшают коэффициент кон-
центрации напряжений в случае поперечного
изгиба.
При всестороннем поперечном изгибе
(Мг = М2) коэффициент Kt не зависит от отно-
шения диаметра отверстия к толщине пласти-
ны a/h; этот случай соответствует двуосному
растяжению пластины с отверстием.
4.2.1. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БРУСА
С ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Эффективное уменьшение веса изгибаемого
бруса достигается за счет материала, находя-
щегося вблизи нейтральной оси; чаще всего
это осуществляется высверливанием одного или
нескольких отверстий.
Хоуленд и Стевенсон [288] определили зна-
чения Ktg (фиг. 156) в виде
V — амакс
Ki&~ 6M/w2t (Ш)
Обозначения поясняются на фиг. 156. Величина
Ktg представляет собой отношение амакс к нап-
пряжению о на краю бруса в сечении, удален-
ном от отверстия.
Фотоупругие измерения Райяна и Фишера
[289] и Фрохта и Левена [246] хорошо согла-
суются с аналитическими результатами [288].
Коэффициент Ktn определяется по номи-
нальным напряжениям в ослабленном сечении.
Приняв расстояние от нейтральной оси до
кромки отверстия равным а/2, получим
<112>
Можно определить Ktn через поминальное
напряжение на контуре бруса:
г" ______°маис___
in QMw/ (w3 — a3) t '
-Удогути [290] и Хейвуд [290а] отмечают, что
коэффициент K'in линейно зависит от a/w,
К'1п =. 2a/w. Получив1 Ktn = 2, Хейвуд [290а]
отмечает, что )то единственный случай, когда
коэффициент концентрациинапряжений не зави-
сит от относительного размера концентратора
напряжений (в данном случае отверстия).
Отметим (фиг. 156), что при a/w < ~ 0,45
отверстие не ослабляет брус, K(g = 1.
На кромке бруса максимальные напряже-
ния возникают в точках F, но эти напряжения
меньше, чем в точке Е. Установлено, что в иссле-
дованном диапазоне угол а = 30° не зависит
от a/(w — a).
4.2.2. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БРУСА С КРУГОВЫМ
ОТВЕРСТИЕМ, СМЕЩЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО
ЦЕНТРАЛЬНОЙ ОСИ
Результаты расчетов коэффициента Kt по
формуле (111) приведены на фиг. 157 [291].
На линии АА коэффициенты в точках В и С
равны, KtgB = %tgc, и соответствуют макси-
мальным напряжениям (см. фиг. 157). Выше
линии АА коэффициент E'tgB превосходит
по величине KtgCi ниже линии АА, наоборот,
Kigc превосходит KtgB, приближаясь к значе-
нию Kt — 1, т. е. эффект концентрации напря-
жений около отверстия отсутствует.
Коэффициенты для центрального отверстия
(с/е = 1) приведены в предыдущем разделе.
При г/с 0 коэффициент концентрации напря-
жений описывается формулой ’г
Фотоупругие результаты Нисиды [292] соот-
ветствуют величинам, вычисленным Исидой
[291].
4.2.3. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БРУСА
С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ;
ПАЗ С ПОЛУКРУГОВЫМИ КОНЦАМИ (ОВАЛ)
ИЛИ КВАДРАТНОЕ ОТВЕРСТИЕ
СО СКРУГЛЕННЫМИ УГЛАМИ
Коэффициенты Kin-, вычисленные по соот-
ношению (ИЗ) [169], были преобразованы,
согласно уравнениям (111) и (112), в коэффи-
циенты Ktg и Ktn, которые представлены на
фиг. 158.
Фотоупругие измерения Фрохта и Левена
[246] для паза с полукруговыми концами имеют
достаточно хорошее соответствие с данными для
эллипса при том же отношении air.
При значениях a/w, меньших, чем в точках
А, В, С (фиг. 158), соответствующих величи-
нам air = 8 4 и 2, отверстие не ослабляет брус,
^<1.
На внешней кромке максимальные напря-
жения возникают в точках 2* с угловыми коор-
139
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
динатами а = 35, 32,5 и 30° для параметров
air = 8, 4 и 2 соответственно и не зависят от
величины a/(w — а) в исследованном диапазоне
[246]. Но величины этих напряжений ниже, чем
в точке Е; кроме того, в переходной зоне и слева
от нее (в области точек А, В и С) коэффициент Kt
приближается к 1.
Для форм, близких к овалу и квадратному
отверстию со скругленными углами (напряже-
ния параллельны сторонам или под углом 45°
к ним), были получены коэффициенты K'tg
[293] для центрально расположенных отверстий,
малых по сравнению с высотой бруса:
4.2.4. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЫ И ПЛАСТИНЫ КОНЕЧНОЙ
ШИРИНЫ С ОДИНОЧНЫМ КРУГОВЫМ
ОТВЕРСТИЕМ
4.2.5. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ? БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЫ С РЯДОМ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ
Данные Kt для простого изгиба (Мг = 1,
М2 =0) и для цилиндрического изгиба
(А-/а = 1, М2 = v) получил Тамате [299]. Эти
результаты показаны на фиг. 161. Момент
направлен по оси х или у. Как указывалось
выше (см. вводные замечания к разд. 4.2), для
задач проектирования случай цилиндрического
изгиба обычно более применим. Коэффициент
Kt при а/b 0 соответствует одиночному отвер-
стию (фиг. 159). Штриховая кривая построена
для двух отверстий в пластине при простом
изгибе [300].
При изгибающем моменте, действующем
вокруг оси х, используют номинальные напря-
жения, в результате чего с увеличением all
значения Ktn уменьшаются; коэффициент
Ktg — нмакс/о с увеличением а/Ъ также воз-
растает, Ktg = Ktn/(1 — a/b).
Для простого изгиба (Мг = 1, М2 = 0) Рейс-
снер [294] получил значения Kt в зависимости
от a/h (фиг. 159). При a/h -> 0 Kt = 3, при
a/h —>- оо
v 5-b3v
At = ——------.
3-f-v
(116)
При v = 0.3 из формулы (116) получаем Kt =
Для цилиндрического изгиба (ТИ1 = 1,ТИ2=т)
при a/h —0 Kf = 4,1', при a/h —> оо Гудьер
[295] получил формулу
2£t = (5—v)
1+v
3-|-v
(117)
При v = 0,3 отсюда находим Kt = 1,852.
Для задач проектирования обычно более
важен случай цилиндрического изгиба.
Для всестороннего изгиба (Мг = М2) коэф-
фициент не зависит от a/h и соответствует
случаю двуосного растяжения пластины с отвер-
стием
Коэффициенты Kt для пластины конечной
ширины с отверстием даны на фиг. 160, они
получены для различных a/h по кривым, изобра-
женным на фиг. 86 и 159, с использованием
производных от Ktn при a/w = 0 в виде
(И8)
Результаты фотоупругих [296, 297] и тензо-
метрических [298] исследований достаточно
хорошо согласуются с данными фиг. 160.
4.2.6. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ1БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЫ С ОДИНОЧНЫМ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
Коэффициенты концентрации напряжения
для эллиптического отверстия [241, 301] даны
на фиг. 162.
Для простого изгиба (ЛД = 1, М2 =0)
имеем
Kt = l+2(1t7)(b/a), (Н9)
0 -J-'V
где Ъ — ширина эллипса по нормали к направ-
лению изгиба Мг (фиг. 162); а — ширина эллип-
са, перпендикулярная ширине b; v — коэффи-
циент Пуассона.
Для цилиндрического изгиба [241, 295]
(ЛА = 1, М2 = V)
= (l-b’v) [2 (Ь/д.) -}-3—у] (120j
Эта формула в задачах проектирования
используется чаще.
При всестороннем изгибе (Мг = М2) коэф-
фициент Kt не зависит от a/h и соответствуй
случаю двуосного растяжения пластины с отвер-
стием.
4.2.7. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЫ С РЯДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ОТВЕРСТИЙ,
Влияние величины шага на коэффициент
концентрации напряжений для ряда эллиптиче-
140
ОТВЕРСТИЯ
ГЛАВА 4
ских отверстий показано на фиг. 163. Значе-
ния К( представлены в виде отношения к зна-
чению коэффициента для одиночного отверстия
(фиг. 162). Эти относительные значения настоль-
ко близки для простого и цилиндрического
изгибов, что могут быть представлены одним
семейством кривых (фиг. 163). Для случая
изгиба вокруг оси у значения Kt!Kt0 получены
для ряда вырезов на кромке пластины при
b/с^ 1.0. При изгибе вокруг оси х для опре-
деления коэффициента концентрации исполь-
зуются номинальные напряжения, в результате
чего при увеличении отношения Ыс значе-
ния KtrJKtn0 уменьшаются; величина
Ktg = ИмакДи при увеличении отношения Ыс
возрастает, Ktg = Ktn/(1—Ыс).
4.2.8. ВАЛ ИЛИ ТРУБА С ПОПЕРЕЧНЫМ
КРУГОВЫМ |ОТВЕРСТИЕМ,
ОСЬ КОТОРОГО ЛЕЖИТ
В (ПЛОСКОСТИ ИЗГИБА
Зависимости для коэффициента Kt представ-
лены на фиг. 164. Кривая для сплошного вала
основана на результатах Тума и Кирмсера
[2581 и исследованиях английских авторов
1259, 260].
Верхняя, штриховая, часть кривой построе-
на приближенно. Фотоупругие результаты
Фесслера и Робертса [301а] хорошо согла-
суются с данными фиг. 164.
Коэффициенты определяются следующим
образом:
т? __ °макс __ С’манс ___ °макс
/g~ о ' M/Zcnj, ~ ЛМ/2/спл “
°манс
jz °макс = Омане Омане /л оо\
°ном ^/^осл -^с/^осл ’
где
с=-|/>2_(а/2)2 И Ktn = Ktg^-.
^спл
Обозначения поясняются на фиг. 164.
Тум и Кирмсер [258] нашли, что максималь-
ные напряжения возникают не на поверхности
вала, а несколько ниже ее, на поверхности
отверстия. Для построения графиков фиг. 164
использованы максимальные напряжения на
поверхности отверстия. Здесь не даны значения
напряжений на поверхности вала, которые ниже
максимальных; если они представляют интерес,
то могут быть найдены в работе [258].
Отношение Z0CJI/ZcnJI вычислялось по фор-
мулам [261]. Эти формулы здесь не приведены,
но соответствующие значения могут быть полу-
чены делением величины Ktn на Ktg (фиг. 164).
Если отверстие мало по отношению к диаметру
вала, то площадь отверстия в ослабленном
сечении вала может быть вычислена как для
прямоугольника:
2осл ==i (16/Зл) (а/d) [l-№/d)3] (123
^спл 1
Из рассмотрения нижних кривых фиг. 164
видно, что ошибка, вызванная таким допуще-
нием, мала при а/Ь^.0,2.
4.3. Сдвиг и кручение
4.3.1. СДВИГАЮЩИЕ {НАПРЯЖЕНИЯ
В БЕСКОНЕЧНОЙ пластине
С КРУГОВЫМ ИЛИ (ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ
ОТВЕРСТИЕМ
Решение для случая сдвига т = щ получено
путем суперпозиции результатов для одноос-
ных напряжений щ и <г2 = — ffj. Как видно из
фиг. 132 и 165 для Ыа = 1 (круговое отверстие)
и = — 1, в этом случае имеем Kt =
= ^макс/т = 4.
В случае эллиптического отверстия коэффи-
г.иеБТЫ Kt для сдвигающих напряжений, ориен-
тированных параллельно осям эллипса [3016]
и под углом 45° к этим осям, характеризуются
кривыми фиг. 165. Ориентация сдвигающих
напряжений под углом 45° соответствует прило-
жению сг2 = —щ = т, как показано на фиг. 132
и 133.
Случай, когда сдвигающие силы параллель-
ны большой оси эллиптического отверстия, был
рассмотрен Нейбером [301в]; пара сдвигающих
сил при этом уравновешивалась симметрично
расположенной противоположной парой. Коэф-
фициенты Kt Нейбера выше, чем для случая
сдвига параллельно осям эллипса (фиг. 165);
например, для кругового отверстия коэффи-
циент Нейбера Kt = 6 [301в], тогда как по
фиг. 165 Kt = 4.
141
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
4.3.2. СДВИГ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОТВЕРСТИЕМ,
УГЛЫ КОТОРОГО СКРУГЛЕНЫ
Для сдвигающих напряжений, направлен-
ных параллельно осям отверстия [243, 253],
коэффициенты Kt — омакс/т даны на фиг. 166.
Ранее, на фиг. 142, представлен случай дву-
осного нагружения о2 = —который эквива-
лентен приложению сдвигающих напряжений т
под углом 45° к осям отверстия [252, 254].
4.3.3. СДВИГ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
С ДВУМЯ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
ИЛИ РЯДОМ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИИ
Коэффициент Kt = амакс/т для сдвигаю-
щих напряжений, параллельных общей оси
отверстий [210, 302], представлен на фиг. 167.
Расположение точки максимальных напряже-
ний изменяется от 0 = 0° при Ыа —> 1 до
6 = 45° при Ыа оо.
4.3.4. СДВИГ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
с равномерной перфорацией
КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
Коэффициенты Kt = амакс/т для пластины
с перфорацией по шахматной и сотовой схемам
при сдвигающих напряжениях, приложенных
вдоль осей перфорации, представлены на
фиг. 168 [210, 214, 217, 222]. Последующие рас-
четы [95а, 216а] хорошо согласуются с резуль-
татами работы [210]. Отметим, что система
напряжений о2 = —од эквивалентна сдвигу т
под углом 45° к осям перфорации (фиг. 120).
Коэффициенты Kt = ома1<с/т для прямо-
угольной и ромбической (треугольной, неравно-
сторонней) перфораций 1210) даны на фиг. 169
и 170 соответственно.
4.3.5. КРУЧЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Приложение моментов Мх = 1 и Му = — 1
соответствует нагружению пластины кручением
[294]. Коэффициент Kt = амак<А определяется
относительно напряжений изгиба, соответствую-
щих моменту М (фиг. 171). При Ыа-+
—> оо (alh —> 0) получаем Kt — 4. При alh —> оо
коэффициент Kt описывается формулой
= <124>
При v = 0,3 из формулы (124) получаем Kt —
= 1,575.
4.3.6. КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Обсуждение параметров оболочек и отвер-
стий приведено в разд. 4.1.3. Данные по Kt
[177], представленные на фиг. 172, согласуются
с результатами экспериментов [175, 179]. Иссле-
дован также случай эллиптического отверстия
в оболочке [303].
4.3.7. КРУЧЕНИЕ ВАЛА ИЛИ ТРУБЫ
С ПОПЕРЕЧНЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
Коэффициенты концентрации напряжений
для этого случая (фиг. 173) основаны на фото-
упругих [259 , 260] и тензометрических [258]
измерениях. Расчетные формулы имеют вид
zz Пмлкс . Омаке____________Омаке____ И 9R\
tg тсцл “ та/2/сал ~
ts ___ Омакп _ Омакс ___ jz *^осл /4Ой\
Kin--------— ~Td^l-----—
^ОСЛ ^“/^ОСЛ •'СПЛ
Обозначения поясняются на фиг. 173.
Тум и Кирмсер [258] нашли, что максималь-
ные напряжения возникают не на поверхности
бруса, а несколько ниже ее, на поверхности
отверстия. Это было подтверждено более позд-
ними исследованиями [257, 259]. Здесь через
^макс обозначены максимальные напряжения
на поверхности отверстия. Коэффициенты для
напряжений на поверхности вала (несколько
более низких) не приведены, их можно найти
в работах [257, 259].
Отношение /©сл^спл вычисляется по фор-
мулам [261]. Эти формулы здесь не приведены,
но соответствующие значения могут быть полу-
чены делением величины Ktn на Ktg (фиг. 173).
Если отверстие достаточно мало по сравнению
с диаметром вала, то поперечное сечение отвер-
стия в ослабленном сечении вала может быть
вычислено как для прямоугольника:
/осл, 1 (8/Зл) (a/d) {[1 -(dj/d)3] + (a/d)2 (1-dj/d)}
^спл 1 — (df/d)4
(127)
Нижние кривые на фиг. 173 показывают, что
ошибка, вызванная таким допущением, мала
при aid С 0,2.
Максимальные напряжения О’Макс одноосны;
максимальные сдвигающие напряжения тмакс =
— амакс/2 возникают под углом 45° относи-
тельно тангенциального направления омакс.
Максимальные коэффициенты концентрации
142
143
ОТВЕРСТИЕ В ПЛАСТИНЕ-РАСТЯЖЕНИЕ фф
ФИГ. 87
ФИГ. 88
10 Р. Петерсон
145
ОТВЕРСТИЕ В ОБОЛОЧКЕ фф
ФИГ. 89 ФИГ. 90
149
Уплотнение
W2t
КЗдля неограниченном пластины
ДттШпри двуосном нагружении
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ К
|-,Т';/1ЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.,
Ж Л с ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ЛЮЧКОМ, :
-гт~; НАГРУЖЕННОЙ
. ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ
- "Т 7 (данные Лекки, Пейна и Пенни) ' Ьт/ТТл
___/Давление р
П ^--[— Крышка - г-
^показана схематически)
ФИГ.91а
ФИГ. 92
ФИГ. 94
1
2
3
h/t
5
ФИГ. 95
ФИГ. 98
wiHir 4 Площадь сечения подкрепления "^ИНИИ^ОСТОЯННЫХ^ЗНАЧЕНИИ^
td Площадь сечения отверстия
;В КООРДИНАТАХ D,/rf И А
ФИГ. 99
ПОДКРЕПЛЕННОЕ ОТВЕРСТИЕ
. Петерсо!
D
d
2.0
:-::™:““:»т"-т:!:Т-е:готт:тотт-Я!гжТ-тжв=пит T ' ""'Г” " • ’Z' ""’"" ТГГТГ . , , , , । i L. н. j_-1 LI । i_|__u
_1_ I i . J- — _ .4 1_|_ ! 1 1_ . 4_|—L 1- 4—1 I—LI 1 L—I - - . ; j i н t Hi! t-izT 1, LrTjztT л
Til г Hit ЖГгТПТГПТГТ A TU J L V.J Т. LiL IIUXTIJ-Q Д 1-ГТТ 1Ть’Ш1_ГТ1Т 1 .kt.J ..... .. t JJZ. ZlZtl . JZtl t T1 '111 li1
гН 4ti Triti Li ттгг viiHal Li л* ryl KniTTt.TL ч n \ ТП Аг, Г T адктщч П. !. HljZlILТцЛц-НДТ -To .
гтНт ттт+т+нтттОпжН-ННт vtt ir Hnri 1тНтг! t rttTft ттгпТп ; tit! :t±±j_ i^zjz.zz z.-z - J >HPH+4 ini 1 ) СТОЯН НЬХ ЗНАЧЕНИЙ!
txT; liXLUT Г7 . . §.±
tirrnj-U-r-l.nznJ TIM UM /III
-p.lp^-tz lJI if 1 1 I
ГТ1П1 HIT, 1Л-. Г- нт . 1 . V . . . LT.... -X , Д. . J -J 11 run
ггггггН rrrt +rH тттт> ri г г IT IX i 1 Tm t . 1 г lta . Itt1, i 1 . it . . . H111 rl~f~l~l H l~i L111111 г • । т1 ~t r L. и it
L.T1 /г тЩТТШТ
L 11J । Hi- J- Til 1ТГ'4
Итгг и fiTI ‘ i tii I Ttt titiJ Л ET+iTtri jurnJ±Li t цТТФацдтп Tb inti ._zz_ ...... ±.znr_tn*. v и ttttt znjj_L.
ЛТП . л TH - -l.lJ-ltl_.U . L -i-i-i ' n ±Ltt 11TTLJ
”i п I4it ri ~ ~ и т j ' \ т i To i X. г Jz л it 4-iz/ll C-LAl itu. zllz' Ju. d№l —- trrr 1 IMUATAV n/j И i /. Г
A\* । t /Г1/ЛГ
’ T 1 О -.Lt Ll Пт. lUJ к I Ii II
&.:-i It kitimt:'. j'Tit-
-4- Ч 4--T -Th+- тЗДНх f - TA.1 - ; b + 7-Ibt xtt т ПЛ 1ПК-ЛТ1 f Аг-1 Л -L
\V I . I 1 L.1
zi'• T4'•i-Jt'-'T t t- +r'U-r 'l-WVL +-1 ’-г и г ’.br’i . t:::z . zrttlj >
П-ТО-нн bhs^yt -W-bv/o ЙЫ *Vj ’lib'b т ; j ft TT- +тгН-1 |-Ш- r
.JcS-h l~l 11 X D Л ГТ (1 Ж4 Г 1 II A H. 444-H I4-I
•.VN с.,:; к Xn.^' T ”. a\ 4i?r' Jj -t • 1— \ \ 1 J 1 I I.' I / \ 1 1 1/1 MM LlHLiil
bOiioi T To № УйпжТл 4-l ПТП X - it lELiZl 414 1 J1
•A XJl h A Д W
1 1 -Л II 1 r\ т г 1 11/1 Til 1Г1Ы iVi VII I)ГjГ V- I riEjl' l ' ,лнш mmzi.
X 4 1:; jh\ <^&BW'4r! I I. JI
НМЩффЩ 1тн\\ I'! \\ : ir
1 1 . 1 i 1 , M 1 .. _ °2 ' а1 Z4 '
-+-•• 4 tl ГТ \ i I 1 т !Т-ЙТА!, :T T ттг r t ‘ n EE |..:i.:4-. 'i+ .
-Ц--- ГР. 4Ii iT ! Ni T LITAnXrt : LlVrhr. uTeH Td L ni :zz.r 1. 1 rzi.1 (ТР.НЛПИЧМР.ПР.НИЯ
'111,11.11 । . । . .. 1
, 1 _ J ГГТТ. 1 .
;4±;:ffit4 Ш ' HAW f Al+H\d; ’..xr Ixlfc I.-’. T к -! _-Ln от i:z__ h knvrШЯНЯ Няйчпня и Мппгяня!
-ЗД -L-fT-t.Дт?Т - -О idi'ltfk jг", V • 'j । I j\i A 411.1..ЯЖ ’ " [ ’ 1
i: T4 titii zzzrrxii: fe't'i‘ th-t'-ti rii Г-Це L.1' - H 45Ue. X-t-EiTr
llX •: .H ;! iS<-N Д Ц !IW
ДПД Wo Д W Ж S®jfe 4
’ ’ 1. -.' '. X J i'W W# I rFii i и7 . 1 i-itl 1!, Ооочн ! . . Пт. НТГГДГТ---- T 1 ямрния ем
fllfe® tW 44 W 44 x Г” p t ДД; HiftWr T : r ::: 1 1S. booHf iWt№u 4 Pf! Irji j;7T 'tH;: Ина фиг. 99 и 100HHWt
pwsss®v W hS>j* * ’ 1 ‘’। in: tiJ '!;?4|'. 1: i::-\< и|| :iu t;i.T|i; !; bf-IH b it t *:•. W отЛ iAHti 111 'j-.Uii ХхТЖЬЙ
Sf® WWilW 4 ! ‘ ’ sni4 T! iTST Li Th - 1 I - 1 т 1 1 ’ 1 1 1 X
ШВЯ» ВШL । HTS ! H JT Пт тЩ ч :r! ’ ; J11 । । f 1 1 4 т 1 1 I ! . : . ’4 I И ; 1f 4 1 ’ н Ь 1 1 1: ihi 1И1 <|i нН Г 1 •
<4»?Шад 4= Ж MЖ Ж Si. 4i ч Огг тит tttt 74 । pT -x W h{; l?i'iWkii [l|- Ъ hiiiih Д' ! H Л Т" lx. J; Lulii *•' ' Т '
Йр xpoWWpWWix 'lillr O-X W HHHti! tIW И® jjjiT^Si iiiTKiiL • ;i H; ;x ’’S ш. 1: 1 '! । г '! .'1
Til-4 -44b WP.-titt ••rfi.rb! 'ifi ч, - !•.> .-• -Xii+T Ail Ji-44—-? xx+LETs-T-. -mx
4?V“' .. .:,.ТГ~ 7--r;
.J-l . + т +Дг ji \ -Ц-H- T"!J l‘\’ ' И ’ r ?». ~' ' "X ’' 'I 4Д--1 ! --1-Г1 У T| iTv-V!' TVT v; ;; it XW W#!r Xi'bli' It HiTTt.-c .
. Ф .t T.l | . I Jj 14 J-- L-* , Ij J .'-.'111. 1 1 1 <; .... , , .. т± • Ln ’:+X rtf Ж: o- Iti. f J I ;. ,HT :I WWX: T;!‘i : i i!' 1 :: Th- : H_ :::' : T x. ., , ।; Xi Hi Тф|[! !! i X
ф 4 HxffirHH 41-Л-; 1 ,- у,, . . . /X k 1 . lul ’ll' HL.XZL —^L.- _ ii liiz
'Xv _ 1!: < !1: i: , и ;1 -H4 ( .; ' * * < * H *1 --O7 r — ++- !O
W-f Hiff n.-Ty A A i Л.ИЖ:‘. ’ ’ 4 j , •
: Ti -.I’.i ::Ti П --^44 _ :::: : :: Irii x: it"
z fr ! .,i I.: ii til: I i‘i! ii;I Hi Hr “Г . ~r’ - г 1Д
»i ";; liZZiiL4 ;T|ill! !! Их FiT । i ; :::; ' i’|; ; ’ ': .:: . j: : : н ’: ।,
jffl Wiiifeb biivil iiii ii bi! ;y :b^?''W-iW I: :::: : ,:.: :: :.': A •" ' 4; 0 • * — 7-1“— I;;: i:;: iii; ;:'.:Тх if!t HfxTTiW
т’жиbn ibMpblbW/ Ф; 'hi ibi /' •! 'i.: V !L: : I.ii i 1.Д~~
фт Д :iri;i'._ _ ТГ* .“Tt —! —. WjKtH
T‘ IT .IT TI IT IT T. t; у ж Г.М. !:т! н >, . . i । <« • • • • 1 • T. минимальных знач ..:ih|tT;.tT |:i|:: 1 1 • ' j 'НИЯ V /V . 1 • I :. :':ihi!i :i; iiii
Hitt ini it тТт ii - .. . lli . • I -LL'uUki
M1 ± W W zS j±ki .ш! in iiil ж li il L1L ii i L ikl ilW 1- : i i ' i I i i ! 1 - 1 T:|iihh;;i|;; ii 1 H '1 1 1 _ljjZ'. 1 1 i 2LJilu.. WiiiiKiiiilkkkE
ФИГ. 102
1 flMffl^Oi477lil-lrl-rtl Ч'ИГГТГПЛШД
' , „ 1.5 2.0 2.5
Р. Петерсон
475 570 777
3.5 h/t ^-°
ФИГ 103
8
ФИГ. 105
ФИГ. 106
ФИГ. 107 I ФИГ. 188
ФИГ. 109
169
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕН
растяж
/^Для
РАСТЯГИВАЕМОЙ
ак^для меньшего отверстия
для большего отверстия К
БЕСКОНЕЧНОЙ пластины с двумя неравными
КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
(растяжение в направлении линии центров отверстий
аналитическое решение Хеддона)
ФИГ. но
а/Ь
ФИГ. 113
172
ФИГ. 114
173
ПЕРФОРИРОВАННАЯ ПЛАСТИНА
ФИГ. 117
N>
Ч
Л
ПЕРФОРИРОВАННАЯ ПЛАСТИНА
ФИГ. 117
N>
Ч
Л
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1
0.4
0.6
0.7
ФИГ. 129
0
ПРЯЖЕНИИ
диагональное направление
для ортогональных и диагонального направлении)
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ
Ktg ДЛЯ fg
IПЕРФОРАЦИИ ПЛАСТИНЫ
ПО ШАХМАТНОЙ СХЕМЕ
Ер/ВЯв ЗАВИСИМОСТИ ОТ а.../а
. у х
(обозначения см.
на фиг. 120)
-1.0 -0.5 0 ’’у / О’х 0.5
1 .0
ФИГ. 121
4,0
IIIГПЖШ1Ж» I
^КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИИ к
н+rni-ffl-mrrii-rttr
-1.0
-0.5
0
0.5
ттсг
ФИГ. 122
ФИГ. 122а
ФИГ. 123
a/b
ФИГ. 124
2.0
bo
о
184
ФИГ. 126
186
ФИГ. 127
ЭЛ Л1 -3 И 1Г ап II u 0 т 1т ль с 1 р ie ia к - к с Е И’ н т ia l--hHri-HII!Hltlllllllllt It 1ЭФФИПИЕНТ КОНЦЕ HHIIIIIIIIIIIIIIII к, СКОГО ОТВЕРСТИЯ ==ЕЕЕЕЕ бесконечш --- (Колосо ЕЕЕ ьЕЕ:::::: Е:Е:|‘- <овые кривые соответ ному материалом с м< ериал идеально соеди! стины, имеющим мод; _ф:_ ' (решение Донь -u ^ZTZZprTZZEEEJTTIIJ iliniiimiiiTHiiiiiiiiiifc 1ТРАЦИИ НАПРЯЖ Для ^||| || | - В ОДНООСНО РАС ЗЙ П.ЛАСТИНЕД Е в, 1НГЛИС) -Л— ttw 11 и ствуют отверстию, тдулем упругости Е E :t 1 _ Hl я 1f 4 41 3. A 4 M ~^тд 4~+ ffrt~H~t~Ы ' . i--'TTT “I + T --I -+T 4------- 2 ZZ1ZEZEE ЕЕ у EE
/ — ’I П|~ т~Н~ нПТТГ^Т’ j — то т N шн с материалом /ль упругости Е^_ шла)EEE:;tEErtr;. _ — - =— ~-Oj; —Ц-н— I i । 1 -m—ri rt-
J- — к т ж-;=и; -- - 4— С '—_ । - , ' -ГТ ? г I - икЕЯН я 1 ’ - - егЙ?Е::ё"еее1д-ш-4 /^___:::::e:::e.E;j . b'i. ... ;e.. епт:::4и:з-:^е Lp:::l eze e .
—7:::~ " J г;ЕЦ- - -1 [ ш г [ -ШНИ lit ill Hi II И' ggR1!!lji!l..!A!!r* — — — “ 1 ... ' *1' . » ТЕ — - Wirif
С7.ОЗ 0?l Ь/ ’Т '°ю
ФИГ. 128
ФИГ. 129
189
ФИГ. 130
190
ФИГ. 131
191
ФИГ. 132
192
ФИГ. 133
13 Р. Псгйрсоп
193
1
ФИГ. 134
' ' < В. 111ЯНИГ. BE.IJI'IIIIIIJ ИНГ\;В ' !
! J _ и \ 1\О)ФФ11Н||ЕНТ ! - i _
। КоПпГЕИ'П'\llllll II \|1РЯЛГ.1111П 1.1Я I .
; г\( гягпв\емоП i
11ЕОГ1’ МШЧЕНПОП 11.1 \СТ11НЫ < ВЕГКОНЕЧПЫМ
1’Я/Ю\Г).1.1111ГП1'1Е('1\Н\ (ПНЕ1’( Г11Г1 I :
.. llllllBI1T;illll. НЕ.11,11)------------:------
194
ФИГ. 135
13»
195
ФИГ. 136
196
ФИГ. 137
,;, ixl If- BW- -j-i.-_ F±±-|±
hr t-t±x zxiir E#li :||
if 4 ft
1 • xf XE
J-
1 Д±t ±+ —It4—
X J. x4.‘ >x X x
-4 pl
xt XX If
Г 'ГХ
_ 1 X
x^ 'x . * : L. _x
q .1-1 - .-t ?X XX
r' Xx '-t; t - j-r - - — ± ?-+X
- L X
z :
L _± _x 1 -X -
i йг 1 -;' IX ix H If :- 1
I x+is*
'X rxi. HE 7 it Z.
J__ X .z X : X-—
x^T“ 7 X X
— . X-zL’E XX.X-.
--- X ~ X
—r; - _x f, :E XL
— • xx x:
x
- - x LS
• .7 • -” - —v
‘ 1 7
— —
I
XX
+ - Щ
X._ - - 4:r£
i X . X" LL
t - — - --1
__
X й __L ДВЕ -—1—1 . ' ~ .. tj.LL iSS Litjt If “ ЕЕЕх =u х] Эли “_h;: :ГП 1ИП с йп НЕ -l f - —1 гич бол £±11 #ч Lt '-1 П1 — ; :: ±гЫ есь ьш s^sgglOW ±Я КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖ адарЕ^ИВЖ к. ДЛЯ Ь;ЯцйИй| S' РАСТЯГИВАЕМОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАС! ХртД С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ЭЛУКРУГОВЫМИ УГЛУБЛЕНИЯМИ НА ЕГО РАСПОЛОЖЕННЫМИ ДРУГ ПРОТИВ ДРУ1 ; 1.; (данные Митчелла) рх —-— —-—X ±,Н ±—-“Х-х— хНч-4 1 Х--— +Ц.К— irrlf- : ~X.zr Fir ое отверстие: -Х:: f-feb: LX — ~x ОЙ ОСЬЮ Ь j±H±X ХХЙХНЕ- ЧХХЬр 7 xl-L-x ..if- —tj ।. J:f-JJ’S.и.— з--r—>- ЕНИ инь <0Hr "A't t^±-4 _J.t r M±: йЙ? O1W!IS| H-X^Jz Ij. г j-r X -. Xf ±1 IxB «И! [ypEj±iio x^xyl f alllf f X -ttf X- X X fl
Е±£.!7 В? *’ 4' г? W ' " X X И N z.z 1 ИНН -гр ji X к ма ZZ •1 —1- - . л. . 11411 X ЕН ~5xr jlM ilk zsr. рад 1:1 _ _i_. nyc tXf - •-> XI OM 7 -XT r X-LL _j— ... — X- Xi ±E3 £+4~L X- T?-L T-XT <— <T- ~Z a. — —Ч- - T .цГЕ XIX .r:Tt EH Rrf -E± Hl TtR =-—t-* ±fi f+ ff — y-h O' — 1— 4——4- r M X.J макс 1ТГ7 |1 :+£- X IKC Xi X. 1 4—-r x i: iili — _L • ~ »— X till XX —, :r,. 7; rttlS ,!.e 1; -J.itflJ Xi.fri±± ft—.t ХшХл X-XtXX'i fH XX iiX 1 j: X X -it- if XiliXiR iff XBXX teSsisil .J!±tSlX ;.XtX±F:
XIISKS-XII — ’_ X т„: *“- — : 1 ~ -—г— X- f— । •X ТГ-— - iii 7/£ ^7^ — _U—U —1 -I J— X’ZTS Hi г:т.: ; ;x± - ’-1 J—1 |_ --t±4- -u- :t -1 X ±. -^;’J X-X i'l-fHtt: ^xxfe:: -j -Xil .: X ii-l: 'i'J fptGi XiftL Z: --1 x -xx xli O xxxt!Jx 1 xxIlfBa xfxg^t
—— : ~_i_ .1-1X-L RB |:х_- Lrz - :;_x kx HE. X~ в C-'-f ----- •X*. X -__X XL -=•— - XX. Xr_ - IX -. -х-г-гД .л- ЬД( ।;.Д-ШД С -IffнВ
Х-4- X -— 1Г~: - X --. ,x:l 7— F :x XX X. ’ s Ft xx -XiX'xHlfS
197
5
4
3
lft4W, 1ЖН~НтН H+HH'
Oggg||gg|g
K.t
О . 2
0.5
о ц
0-3
ФИГ» 140____________________z/q=J OHQ
5H^^^^IWi3^MAI^^№S§^^XW3^S^^OffKd3^UUMEHt"KbHuiEHfp’AUI>1M НДПРЯ)КЕНИй|)|||||;
H4gll|jgO|-4g^4gg-g . ;4мЛ J};[:I{,.|.tL I;~ nnn irtcd±l4U44 -Л
ФИГ 141
г
202 I 2U3
о 0.0$ о.ю °-15 о.2о 0.25 r/ь о.зо 0.35 оло 0Л5 0.50
ФИГ. 143
ФИГ. 144
204
ФИГ. 145
205
206
207
208
14 р. Петерсон
ФИГ. 147а
210
14*
211
ФИГ. 150
10
70
50
60
40
30
20
212
ФИГ. 151
уассона
70
213
ФИГ. 152
ФИГ. 153
i=:i 70-с .ц117-ЦЕх4гЫт1±-г|d пмяимг ЙгЬмиЙн'кП nr. EptH
:;g g.g: О. 1НДГД ЦД -- F- ; г- E
“TI H±T-nFSEE- 7 ft 7'
-|-is
СО о ттгг о‘й i±g к ОЭФФИПИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НА1П ЯЖЕ11И1 14= Ж
для
тгп 7t.n-7.1:.^гтЬ . ; . : st -gtls 4ШШ
1±т!:-; ,гл4-1..Л1_, _ ' I г ДОТЯГИВАЕМОГО НЕОГРАНИЧЕННОГО ЭДЕМЕ! ПРОКОНЕЧНЫМ РЯДОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ полог
, ; t; 7 77— ; • Н- _>л-т- 1 r 'I'Eiii.i £р11Е1
1’4 S'Li- 7 Sp-ir g (Нишитапи) g! '[TEg FsrEFEEE _l_|. -f-j-jt 4= =
F’fW j rzWFti: z±:”- TtlS г v-vj :::: ’lit -"7 ",Tt ch'' jl,.i T£ _“j.& j-,
’тл: —•: Sbr •g , -r г!; 1: i! ; i,.' EE h7Ct- 'Нет c:.g 277 7- :gn. t .11 ,.p 4: gl± В gg J10 g
шг iS ж Si T—- ital 7 Sg -0 Ert J* . 7 । . .1:1 ;l— -U-i-1 Li.L’.. Й|Й7Ш TttiEr g 7;i
On TgO- i 1., W'iU ;: i# itr,i ;:g; 7’.... irg ±gl ClS 2Ш f gp7 4- rlftlggi ngt
WllWSi "ГГ iiii l: '..:" C.rtr: 1 • rs HJ t±ii .1777 it ±gr *т гЫ 4т1# И- S i
fip'frf HJigtri ;. . 1 О: в • :;te Tgi: Ир ll'.-J jpiB л -gb. S||po
Ф: ' 'ig .!44='::ёГ7 Tg ~F Г TIE £ j-“f i-t- si.:. littF
2 - -.77 ТПТ w Li- :iti 7Д1 17'7 g Sn-tg-j P f-tin 27
»5SS 2'Tl н • 71 iffi n-g jis ;is :r:- Tg; Ft Ж ^uiuMlhtlL т-Вид свер Ti-li it :4H+ii# ikies ,p ху”1Ет ажш
Is t-ta Нт: ЩТ :. -7 SS i'itr Pf >lh Cg 1 Up Г[- tj.’— -t ; fe Й.#йаЕ
ЦО gfgfSr -:t. 1. 7-.17" Si ti;i й t'.i: if f-P B: lii± -Bg ;:t ;-.:.-. .:H WHMtata W
.gSwlFl i^r ±ф: •; rip ttn 'p Eg it - st 1 1 ; Igz feFti E 7.;.:.: s: ;##=:. ж®
:'£H' +Ж- тотЬВ-ЕНГ W :тг-1 SiC 71 H .7Li[ Qe Pt Й 4;хЛ 1 : 1 1 JE£1 Ost itata Ji
tago! ±н[ f-rrt 71-S+l #U Its Pit -P Ц-! Se gj; fitti it г; Igqt№:;J dl4ziUit±ii |W ip-±1.-0 '.T.1'4 1ШШЖМ4М
•SZrB pr ж jiS !; 1 - g tin: tr_i: р-!.: ;}J:t ррШ s (две сферические
Sfoglyai Jfb н? Sffi ±;o it# ПГТ t-i 1. -T-tj 7! [ggfgs rib tT ПОЛОСТИ , :4 i in iferfOnHjP !::|
±±: ±i. ’ г 7: ст" тЦт! i Si 71 H' HH •, •1 JS ^T -T# 4В; Ж ж iti ^(Йиям6то).|11М
: + :::.-:.гф.-т+|7+т‘4 -ft# 4-
KriWrW+plHt -Щ.±Л']-кЛТГ g.p- rii W iLrcT ## ti'fi- ttp Вт дискообразнаяe
*-T’J ’S P: Ц P-Sht nt pt-^ g Hr и i Г-g +tr| PltiSb SSSlr ДДД щель) ) .'.ill
Й_ЕтгН SH.HS crH SHf fp It xU к p'Hi’ 1WFIS TO фд-НН14#:о:#| in-i
OOP i-o iiif Г 11 Ш ЙД pt p IT ‘47 s’ Ш i® J! twlfcf
gtW 7::;. Si' g 1=21 St g ttl 7-fT K§1 M rp TT 11 Ч"Г * 1 1 A J L.UH “IU’-.П ил JL t
-M- Й ПОЛОСТЬ)!$77#
ж®йа Si: mj t W 1 ^rl v-fi Ш1 ;l# T tih-cr.: WtaWB
r!'S iS Й w KJr -i 1 ifio Etn-I tui иной П rlk ОЛС Jatl CTl 1?1t tET st'4 itsFFt Птпta fM 'O
;:;i ! h '-ES tat taPta .T+t-gg S.g. IP-L-4+
ri -I-L+Vi-Li -Lp: :t-!-L S'i-i 1Ш 4-1# #? -1 Fh-‘ h;l P: til: it! it’ M‘- EH iti it
V4 -iip 1 r-H o- i- •-' тгг: S’; -Ex-- g ’-4-1- 7": 1H; 'i'"E. iP -Пр’: В ; w s# tatal
s* !.p-- rtp HJ.i 'its s g i-O. t,.u Hti ;.: 1:; St rht 1-Ltt tpfP iiii jSl ip i; tStfit fjoWWOWt
l#fcOi Sv: #it i;i t: :#-- Sir ii-i.’f Si г’" tfi: i pi til it! it; -r1 tip liff IgiRO
OgOSO О -4: • 1;• 7. H -W lit hi- it it HF 771 Jrrt -pf! t;U ;7f g- fl Silff
ffiii Tii. iO: i’ll tiii ig-t -i-i-i. C’-i si- ti.;; ;7ti gjij-'p t ::;S -. !tr,. .Ui ."W
ff-fДйРрцВ Ur1 t#:i H а Ош Blgl
]_ 1 'LgT .’- -4—L’ nil t-t: : tfi:" 7# .. .* -» -t -Иг #4 -J+H E SJfH
tCHMWf Ж fefr TTt- •-!-*1
I- L7.7Z :;S-L j.i-.;.; T-r-4 th; ip 7J r; XI-p; 727; if - ini
:g igW5S -L,* ti:: . +1-j4- +' Ж4|т:±Вч
"Оспе йк ГГ-Л :7LV7L Si H g В 1 4S- в i ggg flglllgll : щт: о: О ± it г 44
MM L -Hi ±gl ass
215
О
1
9
8
7
6
5
4
3
2
K't
АЧ1И * LI : К 0 Э‘ р< И ШЕеееЕ.ПЖ 1ПИЕ1Т (OHUEHTPA ЙО к< да ВАЕМОГО НЕ0ГРАН1 ГКИМ 11ИЛИНДРИЧЕС ТИЧЕСКОГО ПОПЕР] (Гудьер, Доннел, Н ГТГт TTTTI11П ТПТГПТ ~ ~ 1~п ~~ 4~~ “ 133;:-'= ПИИ НАПРЯЖЕ4И 4 _ Г _ N_ | 1 И | , *| Jjf.L _ I ? I I I fl - Ж-
PACTJ ги 1ЧЕНН0Г0 ЭЛЕМЕН1 ж-
— -1 э, Ж 1 Е 11 С1 1Г КИМ ВКЛЮЧЕНИЕЛ ЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ишитани) ц.:.Д:444 ЯЕ 1 Г-’Х11Г‘П1 W4 й .... 1-
ЩИ! -Wffl ШТН — макс ]] 4 Н Ц|ЩШ ... __у макс 1 >г f4"4
тжш -- ±4 Шш рр, х '-^У+HfflW Радиаль :г:::::ееГ и 4- махе йжд ное ш А- 4— СЖ< хг 1Т не — р» pi __| ..рр... J.44 - Р-Щ н- ———г 1—- йт |щйжР — — — Шг и;iHTIIIгЧ—
Хггг-- -- . +и4 —е- дс Адгезионное’-ЕЕ^^
X ш ж - \ — и — ±i --- -и - . . ... _ ц 4т:- Ъ -:;4‘ - — ра.шальное.
П 4pi шШ ЙЙ ДО^ двиг L в г у в — ''s - - -- 4 _ 1 г .fcaiii ЭЙ -Ч+г -н-н- 3=Е ± 1 1~ 1 _ 1 i 1 1 La ppijpj гор оо 1 i‘! I i i i 1 Ии - — -_. застяжениегк- ррф=—-Рггй — । '441 Сдвиг—о4 - t ВдИ ‘ЖиНШЯ 4Уеш1о1111£н
0.1
0.3
0.2.
0.05
2
.03
э/b
ФИГ. 154
10
ФИГ. 155
217
ФИГ. 155а
218
ФИГ. 1556
219
220
ФИГ. 156
о
£ №
ФИГ. 157
221
ФИГ. 158
О
ол о.г о.З ол . 0.5 о.ь
222
ФИГ. 159
223
ФИГ. 160
НТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИИ jj
ЦИ
да
да
тз
- макс
1.7
г
ЗТ
1 .ь
I
Й1
1 .5
Hl
1.4
да
да-
I
Hi1
да
0.2
Kt
да
да
S
Шда
ш
11 i
:рд-
КОЭФФИ
^ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНЫ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ^
ЕРСТИЕМ
дадада с круговым отв
да даВдададаодадада.
дадададаЕдадатдадаждадайда
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
224
Ж
да
tFH
да
да|^
да
да
да
43
-]~1 - 1г
ЙПЁН-
1
ш
цилиндрический изгиО.
Ш! дашоИШШШШш.
М 11±£ -17' . i: 11 lJ и, i .rUi Г CLi : n.
№
да
111
простои изгибдат
bi* -1'1 дашзтдадаТ!
т I
да
да
да
да
ii
L
да
0.5
да
да
Ж
да
0.6
1.0 1—
О
15 р.
15 Р. Петерсон
225
Ь/а
h‘O
ФИГ. 164
ОТВЕРСТИЕ В СТЕРЖНЕ-ИЗГИБ
I IН Н Н ж н-н-н i t+w-m-i
228
ФИГ. 165
адЖ4 КЕНИИ Д Г ±Нф i-.— .—U- ' 4# ' |k!i -HHflk’ тЦр й+
ЙКОЭФФИЦИЕН! Ы КиНЦЕНТгАЦии HAIlr J1J
ад ±tl -.. .у И: ад Над 'Ж Над
- Л :ад -/[ЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ ^фададОад г ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ЭТО мГц -й ад адг. j-T'.T сад. я Ф.Ф.- iW i+n i ад: :’-Т g ML fl#
liwO ГЕЕР адр ад ‘СТ ИЕ М HI адад эи с ДБ ИГЕ| ад ад Их Mi:- ЙЙ 1Й ЙЙ » Ы Й fi
О? к|| • Й irfl Ц1 П#Г1 Т- ; ; -Ц-н- т+йфт падуг ~у 11 -Н :SI ад ад ГФ И1- к! 4 1 HV "fir На it nr ад Hw ГТ -PI 11 L;?y :адЙ :'адг|? •ЙВ:
я ^Ига зад 1 ададЬ Ж Таду ададад 1-1 ад? ад над ад? ЙИФ ад? ад-'- - Фффффф у—--‘-гЬ j i ад Н ; It Жн4г йад :г фф-адф: - Жад И oil -::ад#Ж хНйгад
те пйШ ЙЫ 'И г L /i-ад ад ад е» * уад- ....... адад yt-p-H фЬффф ФПфГЙ хадад. ti ifp" i; ад ад Г-гНт -Fili 1-L ад# адад лт1± 70?^ адк .lid. yt# -rhtLtL -ij.^4- мад . Нк±й= ададададададад-ададад ад адуаднадад адЙЕжИадЙадННн
ii.r^ro ;н1тцз.: : / . * .. ад. ,. — ,—. 4^- -гад.. -И
-*-1 Т, 1т
p-’-ji ‘Нпуг.-.г’ 1’ ад; .:ад' кад 4? 4- ад _ ~ 1 - Hl .. ад гад: ;.пГ 1 ' ад ад .?.;.-. ::;:Ну .фф ад ад, .. ад ад
гФ --Л Ян ффф фПфф-ф : ф ад .ад
... Ч/Г аддФ -М-Н. -4 Над : ’к; • i ri -адп --U г _ад ’*' и ~ ./ п-г-нададададад
— - т - 11 ри)Т — >-•— —t-h‘ - —. - :- izif:l - : ' ГФ4. ад-
. адт •“ГГ’21 - . 1 = 1:1 ад
Jtrr-4-^Т - IfH ;+-~ ‘ ад rii; -+ г *- Чг “ - ф< ,[\ ' П-' ФИ Т.: ад. КФ,фг
.ад - -ад т т1 - -рад Г ТГУИ \ ад.- V 1 - - :- -'ф-ад
ЩЕфНОад - - : 1.. - ад ад. -ад. . . Ll f Г - • 7 - н\ гад V / Ж1 .|Ии ад у? [у? к
фН.ф1фф ад;-:- ад- -. г • ад -
2_Ж: t7‘tTTT -.. ТТТ7 Рад k-U h±L- - --»i F* ; . ад к -.' _R 4 м В /гад Ф-ji':: / -- ф:ф.:::. , ' : Т- Фф 1 П-. н-
11 тпт ад г -In И чад :i ад. ад над , : Н - з . цл у» . *4-"г7 X. Г ;ад:’ Ji‘ ги Л ЖадйкЙн --ф^фф._ > jjj—фх^ад. тад_адФ4_
адад О t-ад 1-ад ; ад г-; -ад адГГ Г ’’Т" ад-ад мад: 1 ад' ад1 -, ii у г\ ..... ..... -ад ... 4-t г« .-
г [:• -Н: •-Т t ’ г: ад ад 'г ад 1 ’ ‘-’•Pi rS; М;; гад 7 ;/адья/
ад. .-.-{- 1'- ад ; • у ад» ад ад ГЛ "! " ад-ад !'ф‘ адл 4Ж ад#:М О ад ... .. 1 -ададададад
' ПЩ4 'i :: Ж : ; - —... . х, .. . х .,. 1 х -*ад — — --гф' , г [ ад — t г: ..; .::. t? 1 gr 'Jp g hti ili-L-gi
Ж -Ч-У
ШФФад -ад -ад: ; it’-.: Ж ад ад
адад- -- — --•-; - ж?= ф—
•ИЯ (Г- >Я -ад Lid: . . i . - ’ - Т г ад =*4С, ч>ад •:4г. : Ф-. ,; -.-1_Ф^ад
ТР Л ф; мН 'J СТ-! Jti 1 т-r - •-£* Ри/+4 [над f? - -т- ад: М; н[.Е“Т,.фадэм1 - фф .ад ,.ФК: фр.:
Ц-i ILUW : -Т. :~т- 1 . . 1 - ;ад-г-гИ Н ::' ад ад- ад ц ,:7— адм ад • i; :: |р:-
ад±адн ,-адад • ададН I ад-' rfy ►«-у
. т :Ч йтг ..44-- , к, - -• - .! г ,’ ад'. Тад; ад ад —».;. * i_!- 74- чИ: хп: : *л: .:rt: ШададОйНШ
4' ЕЙ: ад 7’1 ад?* • ад е Mir:! т ! *- * ад адад ад М: ад.кж1фад:Ш Ш' '4 В
U -*- ТГ+ LL, t-- 1 Z У -L т: ад адад 4 -Т ад ад Щад гад- адм гад-. Н!: ’- ададададададЯ
ад"ад .... /ад: у л‘- и; 1 ад - ад ’ над ..ад ад.. - • j Г • • , :адгадад;уад у: р ; ;у :р ад ад1ад-. ад лад.-," Фа_ И" "-' .ад адх
||.ад1адЙ-адМ -»4—- -<~-г‘ * . адад ; 111 .' .гад. • •• - Л адГх.». .11.'' ад:. 1лчад :. !ФФ.ФГФ .:ЮфффФффг ,.-Ф 1Ф :4.:1 ау
. -J - _ . —.—~~ —- _— - —. «-
:т 7' ад. ад*т аду Г.. --- г » ,. . . л.... . ад ад . ад ададад -?‘ад- .ад . :: 1:: M;fe:i g НВИад ад#
ЯНН г - т: --.:
Яуу.ад/ад/.... ф '' ’:' J.' I’’** ’М адад Li: 'ЖЖ ж: -tU Hit ; L-y м- у у аду У. I - t у Л i; > t--"].1 . , (! . । ад 't J11?
; t у ; ;
ЖЖ У У адад. * t ♦ -ад 1- Mr jeci Z" >LL : адИ угу- . I .. ;!;: !:# ад I. : i&Н: • .::: g [fii -if!,' .аду/фф ij. g t;;! ад ад:.ад-.ададфад xgg.аддффГаад.адк
—ад .. . 5/ □ Я- ' - - ;м л: Та ГТТТТ ; ::ri rig [# I |!ф- г '112. г Ж t yizi' т -+- 1 гад Ж
Н ад тадад - ад: Lr Г-Г т-*-’ tttl b .J - J 4--h l /?! <т - ад>
йдадад?н:ад; ? ад?адад -.-ад;-.: I . 1 . — 1. X- тадг ад к: •' ~-'4 ад ададт '4 ' аду Жад с □ м 1КС Г 7 Ннадр . 'НИШ? ад ад фи радУ-ад адад+; Л Ну
ад.:адф.ад ; - -ад- . адт ж _Фад — аду Tt+1 ад. - -.адад-' фФт: У! т Над- ад.г г ;1 '1 • !: -.ад.; • : is; 1т.к’’ [ад ФФ- Йй ш.ад..фП гФададхад ад ад паду :фф :1ад-ад.:г! tJ+U-jJi i:tl .:trtФ#:::::
Н+гп 1Ж е м~|: г т'йтг I т , *- । । J-=-rt — —, - . Bffi ГОЖ. .Li-Щ. ц , *1 Т #Т1 Ж I ; , U- - У -1 ч- ТГ - - - -
Ж +т; ^уш ' ; Йр £ кйв# 1 ад , ад g пададад. ададад Ж'Ё ф..,. jyy Тад? ад! 1 . д й
229
ФИГ. 166
io 0.15 0.20 0.25 r/ь 0.30 0.35 0Л0 0Л5 0.50
JI
230
ФИГ. 168
233
ФИГ. 170
234
235
2S6
ОТВЕРСТИЕ В ОБОЛОЧКЕ-КРУЧЕНИЕ
ФИГ. 173
237
ГЛАВА 4
ОТВЕРСТИЯ
сдвигающих напряжений определяются по фор-
мулам
= (128)
= (129)
Если ординаты на графиках фиг. 173 разде-
лить на 2, то полученные значения будут равны
максимальным коэффициентам концентрации
сдвигающих напряжений.
Коэффициент концентрации напряжений мо-
жет быть вычислен также по эквивалентным
напряжениям. Сдвигающие напряжения соот-
ветствуют приложению главных напряжений о
и —о под углом 45° к направлению сдвига,
поэтому эквивалентные напряжения опреде-
ляются выражением оэкв = 1ЛЗо. Тогда коэф-
фициенты концентрации, определенные относи-
тельно эквивалентных напряжений, вычисляют
по формулам
Kten = ^f. (131)
Если ординаты на графиках фиг. 173 разде-
лить на ]/3, то полученные значения будут
характеризовать величины Kte.
Коэффициенты, определяемые формулами
(128)—(131), используются в механике материа-
лов для определения условий начала пластиче-
ской деформации.
Кручение цилиндра с центрально располо-
женной сферической полостью рассмотрено
в работе [283].
Глава 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ДЕТАЛЕЙ МАШИН
5.1. Вал со шпоночной канавкой
В стандарте США [304] для валов диаметром
до 16,51 см установлены средние х) размеры
шпоночных канавок, которые должны удовлет-
ворять соотношениям bld = V* и tld = г/8 (см.
эскиз на фиг. 182). При диаметрах валов более
16,51 см средние размеры канавок должны соот-
ветствовать величинам bld = и tld = 0,09.
Радиусы основания канавок т) должны удовлет-
ворять соотношениям rid = = 0,0208 и
rid = 0,0158 для диаметров соответственно ме-
нее и более 16,51 см.
ФИГ. 174. Два’ типа концевых участков шпоночных
канавок.
а___канавка с острым концевым участком (полукруговым в пла-
не). g .— канавка со сглаженным концевым участком.
При проектировании вала необходимо обра-
щать внимание на очертание концевого участка
шпоночной канавки. Два вида такой конструк-
ции представлены на фиг. 174. Канавка с острым
фрезерованным концевым участком имеет более
широкое применение вследствие ее компакт-
ности и фиксированного положения шпонки
в продольном направлении. Однако очевидно,
что в случае изгиба коэффициент концентрации
напряжений меньше для канавок со сглаженным
концевым участком.
5.1.1. ИЗГИБ
Хетени [305] методом фотоупругости сравнил
поверхностные напряжения при изгибо валов
х) Значения ширины, глубины канавки и радиуса
основания ее концевого участка должны быть кратны-
ми 0,08 см п соответствовать диапазону диаметров
вала
с двумя указанными видами шпоночных кана~
вок. Он определил, что в случае канавок с ост-
рым концевым участком коэффициент концентра-
ции напряжений равен Kt = 1,79, а в случае
канавок со сглаженным концевым участком
Kt ~ 1,38. При испытании на выносливость
[306] аналогичных образцов величины эффек-
тивных коэффициентов концентрации напряже-
ний К] оказались примерно такими же, как
и указанные выше величины Kt.
Недавно были подробно исследованы мето-
дом фотоупругости шпоночные канавки с острым
концевым участком Британского стандарта. Hi
фиг. 182, в соответствии с требованиями стан-
дарта США, используется значение коэффи-
циента поверхностной концентрации напряже
ний KtA = 1,6 из работы [307], поскольку
небольшое различие в значениях отношения
tld между стандартами США и Великобритании,
как предполагается, незначительно влияет на
величины этих коэффициентов [307]. Макси-
мальные напряжения на поверхности вала на-
блюдаются в точке А концевой окружности
шпоночной канавки (фиг. 182), касательная
в которой образует с направляющей канавки
угол, равный —10°. Отметим, что величина KtA
не зависит от значения rid.
Для точки В концевого участка канавки
(фиг. 182) величины коэффициента Kt из
работы [307] были скорректированы для глуби-
ны канавки по стандарту США (стандарт США
tld — Ч3 = 0,125; стандарт Великобритании
tld ~ 1/12 = 0,0833) в соответствии с данными
фиг. 65. Здесь также следует отметить, что
максимальные напряжения наблюдаются в точ-
ке В, в которой угол скругления выточки
в продольной вертикальной плоскости состав-
ляет 15° (фиг. 182).
Изложенное выше относится к валам диа-
метром менее 16,51 см с tld = 0,125. Для валов
больших диаметров, у которых tld = 0,09,
величина коэффициента Kt, по-видимому, отли-
чается незначительно ввиду различных значе-
ний tld и rid. Предполагается, что при проекти-
ровании для всех диаметров валов следует
239
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
использовать значения Kt при tld = 0,125
и rid = 0,0208.
5.1.2. КРУЧЕНИЕ
Для шпоночной канавки с полукруговым
очертанием концевого участка Левеном [308]
и английскими исследователями [307] была
определена величина коэффициента KtA =
= омакс/т ~ 3,4. Максимальные нормальные
напряжения, касательные к полукругу, наблю-
даются па угловом расстоянии 50° от оси вала
и не зависят от отношения rid. Максимальные
касательные напряжения развиваются под
углом 45° к максимальным нормальным напря-
жениям и равны половине их величины Ktsa —
= тмакс/т ~ 1,7. Результаты Левепа [308],
полученные посредством вычислений величины
Kts, соответствуют скруглениям на прямом
участке шпоночной канавки американского
стандарта. Они подтверждены данными фото-
упругих испытаний. Максимальные касатель-
ные напряжения в точке В приведены на
фиг. 183 для продольного и поперечного направ-
лений. Максимальные нормальные напряжения
по величине равны касательным и составляют
с ними угол 45°. Позтому коэффициент KtsB =
= Тмакс/т равен коэффициенту KtB = омакс/о =
= <*мак<А, где т = 1ST Bid?. ГО
Нисида [309] провел фотоупругие испытания
моделей со шпоночными канавками, размеры
которых определялись отношениями tld = 1/8
и bld = 0,3. С учетом различия в размерах
канавок Писиды и Левена (несколько большая
величина отношения bld в первом случае)
согласие между данными по Kt хорошее. Гриф-
фитс и Тейлор [310], а также Окубо [311] полу-
чили результаты для моделей с другими гео-
метрическими пропорциями. Для канавки
с полукруговым очертанием концевого участка
[312] было определено, что при r/d 0 коэффи-
циент Kt равен 2,0. При rid = 0,125 коэффи-
циент Kt, вычисленный по сечению брутто,
должен быть несколько больше приведенной
выше величины, но меньше чем 2,1. Эти данные
хорошо согласуются с результатами экстрапо-
ляции кривых Левена. Результаты недавних
фотоупругих испытаний [307] приемлемо согла-
суются с данными Левена для r/d — 0,0052
и 0,0104. Однако при r/d = 1/48 = 0,0208 вели-
чина коэффициента Kt [307] кажется занижен-
ной по сравнению с вышеупомянутыми резуль-
татами и их экстраполяцией до r/d — 0,125.
Величины коэффициентов Kt для полукру-
говой кромки шпоночной канавки [307], по-
видимому, должны быть несколько меньше
или примерно такие же, как на дне прямого
участка канавки, если считать, что форма
кривой Левена справедлива и для прямого
участка.
5.1.3. ПЕРЕДАЧА КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
ЧЕРЕЗ ШПОПКУ
Напряжения в канавках при передаче кру-
тящего момента через шпонку исследовались
методом фотоупругости на плоских моделях
[313, 314]. Результаты этих работ не могут
быть использованы для проектирования, так
как напряжения вдоль шпонки изменяются.
Штриховая линия, приведенная на фиг. 183,
характеризует значения коэффициента Kt
в скруглениях основания шпоночной канавки
для случая, когда крутящий момент передается
через шпонку длиной 2,5 d. Эта кривая полу-
чена с использованием отношения величин Kt
при наличии шпонки и без нее, определенных
методом гальванических покрытий, причем
канавка имела несколько иные размеры попе-
речного сечения [315]. В испытаниях со шпон-
кой [315] трение вала было сведено до мини-
мума. В технике величина прессовой посадки
шпонки имеет большое значение.
5.1.4. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА
И КРУЧЕНИЯ
В работе [307] была построена диаграмма
для определения коэффициента Kt для случая
совместного действия изгиба и кручения
в валах со шпоночными канавками, имеющими
размеры, соответствующие Британскому стан-
дарту (b/d = 0,25, tld = 1/12 = 0,0833),
и r/d = 1/48 = 0,0208. Номинальные напря-
жения для диаграммы определялись по сле-
дующей формуле:
^з“ Р + l/~l+ (-Jr) J- (131а)
фиг. 183а дает приближенную оценку коэф-
фициентов концентрации напряжений для
шпоночных канавок по стандарту США. Она
основана на прямолинейной аппроксимации
данных диаграммы для Британского стандарта.
Здесь следует принять к сведению, что Kt =
— Омакс/фюм и Kfs — тмакс/оН0Ы. При этом
оном определяется из формулы (131а).
На фиг. 183а приведены данные для валов
с размерами шпоночной канавки rid = 1/48 =
= 0,0208. Для меньших по величине отношений
r/d характерен следующий эффект: две средние
линии фиг. 183а в соответствии с данными, при-
240
АШИН ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
рорма
ямого
кру-
ались
целях
могут
, так
тся.
. 183,
Kt
тавки
.ается
полу-
iH Kt
(ИНЫХ
зияем
попе-
ппон-
чини-
садки
замма
тучая
чения
щими
стан-
1833),
апря-
сле-
:131а)
коэф-
для
. Опа
нации
щрта.
=
этом
валов
/48 =
пений
едние
при-
веденными на фиг. 182 и 183, поднимаются
вверх, тогда как верхняя и нижняя линии не
меняют своего положения.
5.1.5. ЭФФЕКТ ПРИБЛИЖЕНИЯ КАНАВКИ
К УТОЛЩЕННОЙ ЧАСТИ ВАЛА
Были проведены ^фотоупругие испытания
1316] с Did = 1,5 (отношения диаметров утол-
щенной и основной частей вала) и размерами
канавок, соответствующими Британскому стан-
дарту (bid = 0,25, tld = 0,0833, rid = 0,0208).
Когда конец шпоночной канавки находится
у начала галтели вала, как это показано на
фиг. 175,а, максимальные напряжения на
закруглениях основания канавки в пределах
изменения отношения rjd от 0,021 до 0,083
(где rs — радиус галтели вала) практически не
меняются. При кручении максимальные поверх-
ностные напряжения в канавках с полукруго-
вым очертанием концевого участка, заканчи-
вающегося перед началом галтели, были выше
на —10% соответствующих напряжений в валах
постоянного диаметра с такой же канавкой. При
перемещении конца канавки на расстояние <7/10
от начала галтели зта разница исчезала
(фиг. 175, б).
Исследовались также канавки, проникаю-
щие в галтель (фиг. 175, в). При изгибе был
отмечен эффект уменьшения коэффициента Kt
на скруглениях канавки и на плоскостях, а при
кручении — уменьшения коэффициента Kt на
плоскостях. При кручении на скруглениях
канавки также было зафиксировано уменьше-
ние коэффициента Kt, а при положении конца
канавки на расстоянии 0,07 —- 0,025 d от
начала галтели вала было отмечено даже уве-
личение этого же коэффициента.
5.1.6. УСТАЛОСТНОЕ РАЗРУШЕНИЕ
Использование указанных выше коэффи-
циентов концентрации напряжений Kt в рас-
четах с целью предотвратить усталостное раз-
рушение представляет определенный интерес.
Хотя эта проблема очень сложна, некоторые
общие соображения могут быть полезны.
Симптомы усталости появляются от каса-
тельных напряжений, однако образование и
рост трещины обычно происходят под дейст-
вием нормальных напряжений. На фиг. 182 —
183а рассмотрены два наиболее характерных
участка: прямолинейный участок канавки с
малым радиусом скругления и концевой участок
канавки с радиусом, в 3 раза большим
радиуса скругления основания канавки.
а
ФИГ. 175. Положение конца шпоночной канавки отно-
сительно утолщенной части вала. ____
а — канавка доходит до начала галтели; б — канавка не доходит
до начала галтели; в — канавка пересекает начало утолщенной
части вала.
Поскольку как возникновение, так и катастро-
фический рост трещины определяются гра-
диентом напряжений, зависящим в основном
от радиуса «надреза», это обстоятельство необ-
ходимо иметь в виду при попытке прогнозиро-
вать усталостное разрушение. Возможно,
в некоторых случаях малого радиуса скругле-
ния трещина расти не будет.
Анализ данных фиг. 183а позволяет ожидать
для чистого кручения (MIT = 0) начало оаз-
рушепия (сдвиг) в скруглении канавки. Однако
градиент напряжений здесь такой высокий,
что возможно инициирование разрушения на
поверхности вала. Конечное направление тре-
щины определяется поверхностными напряже-
ниями, где нормальные напряжения, соответ-
ствующие коэффициенту Kts, относительно
велики. Для чистого изгиба (Т/М=0) более
вероятно, что разрушение должно начаться на
поверхности вала. Лабораторные испытания
на усталость [306] и случаи разрушения при
эксплуатации [316а, 3166], по-видимому, под-
тверждают приведенные выше рассуждения.
В некоторых случаях усталостные явления
при кручепии начинаются в скруглениях осно-
вания канавки и приводят к отрыву поверх-
ностного слоя материала. Указанный вид раз-
рушения связан с некоторыми типами шпонки
и небольшими радиусами скругления основа-
ния канавки (меньше стандартных). Прогнози-
рование поведения рассматриваемых конструк-
ций затруднено в связи с различной геометрией
канавок и валов, условиями запрессовки
шпонки и ее контакта со шпоночной канавкой.
16 Р Петерсон
241
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ! НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
5.2. Вал со шлицами при кручении
Иошитаки (317] исследовал)? в объемных
фотоупругих испытаниях специальный вал
с восемью шлицами. Радиусы скругления
у основания шлицев были различны во всех
трех проведенных испытаниях. Полученные
зависимости Kts от отношения r/d приведены
на фиг. 184. При испытании вала с максималь-
ным радиусом скругления шлица был получен
минимальный коэффициент концентрации на-
пряжений Kts = 2,8. В этом случае вал испы-
тывался отдельно, без установки намного ответ-
ной детали. £
Были проведены также испытания вала в
соединении; при этом длина шлицевого соеди-
нения была несколько больше диаметра вала по
шлицам. Максимальные продольные изгнбные
напряжения были зафиксированы у основания
шлица; они примерно равнялись максимальным
напряжениям при кручении.
Окубо 1318] провел математический анализ
случая кручения вала с п продольными полукру-
товыми вырезами. Результаты расчета основыва-
лись на деформациях. Было установлено, что
при r/d^-О коэффициент Kts — 2. Это согла-
суется с результатами исследования вала,
имеющего одиночный продольный вырез [312].
5.3. Зубья шестерни
Зуб шестерни — это по существу короткая
консольная балка, у которой максимальные
напряжения развиваются в скруглении осно-
вания. Вследствие наклонного приложения
внешней нагрузки напряжения на противо-
ФИГ. 175а. Конфигурация зуба шестерни.
положных сторонах зуба не одинаковы. Расчет
должен проводиться в первую очередь для
растянутой стороны, поскольку именно здесь
начинается усталостное разрушение. Резуль-
таты фотоупругих испытаний Долана и Брог-
хамера (319] позволили определить допустимые
коэффициенты концентрации напряжений, ко-
торые используются при проектировании
(фиг. 185 и 186). Обозначения размеров зуба
шестерни приведены на фиг. 175а.
Обычно скругление в основании зуба имеет
переменный радиус, связанный с использова-
нием для изготовления шестерни пуансона,
фрезы или резца [320]. Фреза для изготовления
шестерен имеет зубья с прямолинейными боко-
выми сторонами (см. эскиз на фиг. 187). Скруг-
ления вершины зуба имеют радиус г{, который
стандартизован [321]: для угла зацепления
14,5° rt = 0,209/Pd, а для 20° ц = 0.235/Pa
(в обоих случаях зубья нормальной высоты).
Для укороченных зубьев значения rt не стан-
дартизованы, но обычно используется величина
rt =» 0,3/Ра г)- Применение фрезы с радиусом
зуба создает в основании зуба шестерни гал-
тели переменного радиуса; при этом минималь-
ный радиус обозначается rf. Канди [322] пред-
ложил принять следующую зависимость между
Гу и rt:
Г> = А72?й + (Ь-г,) + Г‘' <132>
где Ъ — высота ножки зуба, N — количество
зубьев, Pd — диаметральный шаг (модуль)
зубьев.
Высота ножки нормального зуба b прини-
мается равной 1,157/jPrf, а укороченного i/Pd.
Выражение (132) графически представлено на
фиг. 187. Кривые для укороченного зуба с углом
давления 20° показаны штриховой линией,
так как для данного случая величина rt не
стандартизована и есть сомнение относительно
возможности применения здесь формулы (132).
В работе [319] были получены следующие
эмпирические формулы для определения коэф-
фициентов концентрации напряжений в скруг-
лениях опорной части зуба на его растянутой
стороне:
для угла зацепления 14,5°
^°’22 + <133>
*) Заметим, что сплошные линии, изображенные на
фиг. 185 к 186, приведены для указанных здесь значе-
ний г(; эти результаты приближенные, так как овв
определены посредством интерполяции зависимостей,
полученных в соответствующих фотоупругих испыта-
ниях.
242
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
для угла зацепления 20°
= 034)
В отдельных случаях для создания полу-
круговых радиусов скруглений между зубьями
используется шлифовальный круг специальной
формы. Оценить эффект радиусов скругления
можно по данным, приведенным па фиг. 188,
которые получены посредством вычислений по
формулам (133) и (134). Заметим, что Kt умень-
шается, когда нагрузка прикладывается к вер-
шине зуба. Однако вследствие увеличения плеча
момента при этом развиваются максимальные
напряжения в скруглении опорной части зуба
(здесь не учитывается эффект разделения
нагрузки [3231, который идет в запас; его можно
учесть только для очень точно выполненного
зубчатого зацепления [324]). Принимая во вни-
мание данные, характеризующиеся двумя ниж-
ними кривыми фиг. 188 (h/t = 1), и учитывая,
что значения отношения rf!t для стандартных
зубьев находятся в пределах 0,1 4- 0,2 (в зави-
симости от их количества), можно сделать
вывод, что полукруговые скругления с rflt v 0,3
не уменьшают сколько-нибудь значительно
коэффициент Kt. Хотя уменьшение коэффи-
циента Kt само по себе является благоприятным
фактором, целесообразность использования
отмеченных выше скруглений необходимо рас-
сматривать в совокупности с другими техниче-
скими и экономическими факторами (как,
например, уменьшение толщины обода в шестер-
не с небольшим количеством зубьев [324а],
особенно при наличии шпоночной капавки).
В дополнение к этим фотоупругпм испыта-
ниям моделей зубчатых шестерен Долан и Брог-
хамер [319] также провели исследования прямо-
сторонних коротких консольных балок. Здесь
варьировались как места нагружения образцов,
так и радиусы скруглений (фиг. 189). На осно-
вании полученных данных была предложена
эмпирическая формула, по которой вычисляется
коэффициент Kt для растянутой стороны балки:
*' = 1’25T^WW- <135)
Данные по коэффициенту Kt, соответствую-
щему сжатой стороне (для которой обычно
характерны более высокие значения Хг), также
приведены на фиг. 189. Эмпирическая формула,
ПО которой МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ коэффициент Kt
для сжатой стороны зуба, получена не была.
Для учета влияния радиуса скругления
у основания зуба на величину коэффициента Kt
(см. фиг. 188) целесообразно использовать
уравнения (133)и (134). Приведенные нафиг. 189
данные касаются других случаев. Результаты
исследований Вайбелем [325] и Фрохтом [3261
длинных балок па фиг. 189 относятся к случаям
больших значений отношения h,'t-
Последующие фотоупругие исследования
зубьев шестерни [3271 дали коэффициенты кон-
центрации напряжений, которые хорошо согла-
суются с результатами работы [3'19].
Позже Аида и Тераути [3281 получили сле-
дующую аналитическую зависимость для макси-
мальных напряжений в скруглении растянутой
стороны зуба шестерни:
Омаке = 1 + 0,08 — (0,66(Тл-& -j-0,40 х
х/а^ + 36т^ + 1,15оАС) , (136)
где
6РЛ sin 9 , х . „ г .
aNb — —— (см- Фиг- 175а),
’Р cos 0 6Py’cos 0
ахс= Ы bii ’
__ Р sin 9
TjV — Ы '
Результаты работы [319] и некоторых иссле-
дований методом фотоупругости вполне удовлет-
ворительно согласуются с данными расчета но
формуле (136).
5.4 .Элементы с запрессовкой или горячей|посадкой
Шестерни, шкивы, колеса и другие подобные
Детали часто сажаются па вал по прессовой или
горячей посадке. Были проведены фотоупругие
испытания моделей [329] (фиг. 176) при оН0М+ =
= 1,36, где оно„ — номинальное изгибающее
напряжение, а р — среднее нормальное давле-
ние напряженного элемента на вал. Для глад-
кого элемента было получено Kt = 1,95, а для
элемента с вырезом Kt — 1,34.
Были проведены усталостные испытания
вала диаметром 4,1275 см, выполненного из
среднеуглеродистой (0,42% С) стали, с напрес-
сованной на него втулкой г) (случай объемного
Подсчитанные радиальные напряжения в этом
случае составляли 1017.6 кГ/с.м2 (oII0M+ = 1). Однако
результаты испытаний [329, 330] показывают, что
в пределах широкого диапазона изменения давления
этот параметр не оказывает влияния на Kj (за исключе-
нием очень низких давлений, когда происходит неко-
торое уменьшение Кр.
16*
243
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ПРОЕКТ
ФИГ. 176. Модели с прессовой посадкой (размеры в см).
нагрузка на обойму отсутствовала:
3. Вал пз стали 0,36% С с утолщением Kf
а) с прессовой посадкой обоймы
(г = 0,1016 см, Did = 1,3)..........1,82
б) тот же вал без обоймы ........ 1,64
4. Вал из стали 0,36% С без утолщения
(с прессовой посадкой обоймы)............1,49
5. Вал из стали 1,5% Ni—0,5% Сг с утол-
щением (твердость 236 но Бринеллю)
а) с прессовой посадкой обоймы
(г = 0,1016 см, Did = 1,3)..........2,04
б) тот же вал без обоймы..............182
0,39%
коэффг
моделе
ных иг
фициет
Для в:
маховв
[339 -‘
были Е
Kf, ве.
ОТНОШЕ
образц
напряженного состояния). Пропорции элемен-
тов были приблизительно те же, что и в выше-
упомянутых фотоупругих моделях. В резуль-
тате были получены следующие значения уста-
лостного коэффициента концентрации напря-
жений при изгибе: для гладкого элемента
Kf = 2,0, для элемента с вырезом Kf = 1,7.
Значения коэффициента для гладких элементов
довольно хорошо согласуются, однако это не
имеет особого значения, поскольку усталост-
ные характеристики обусловлены комбина-
цией концентрации напряжений и фреттинг-
коррозии [331—334]. Ослабление всего эле-
мента в результате фреттинг-коррозии может
оказаться определяющим в сравнении с кон-
центрацией напряжений. Отметим, что уста-
лостный коэффициент Kf для элемента с выре-
зом больше, чем коэффициент концентрации
напряжений. Это, несомненно, объясняется
фреттинг-коррозией, роль которой возрастает
в условиях пониженных напряжений. Эффект
фреттинг-коррозии различен для разных мате-
риалов. При усталостном изгибе внутренней
обоймы шарикоподшипника, изготовленной из
закаленной стали Сг—Ni—Мо и напрессованной
на 5,08-сантиметровый вал, были получены
следующие результаты [335]:
1. Внешняя нагрузка на обойму отсутствует Kf
а) вал из стали 0,45% С...................... 2,3
2. Внешняя нагрузка на обойму передается
а) вал пз стали 0,45% С................... 2,9
б) сталь Сг—Ni—Мо, термообработанная
до 310 по Бринеллю...................... 3,9
в) сталь 2,6% Ni с пределом выносливости
3570 кГ/см? 3,3—3,8
г) такая же сталь, термообработанная до
253 по Бринеллю......................... 3,0
Были проведены [161] аналогичные испыта-
ния валов диаметром 1,675 см. Здесь были полу-
чены следующие результаты для случая, когда
В случаях когда нагрузка через внутреннюю
обойму передавалась на вал, были получены
несколько более низкие значения коэффициен-
та Kf.
В некоторых испытаниях валов с выточкой
для снятия концентрации напряжений
(см. разд. 3.4) были также получены понижен-
ные значения Kf.
Другая конструкция для прессовой посадки
с передачей нагрузки [336, 336а] отличается от
конструкции фиг. 177, а тем, что в ней имеется
местное увеличение диаметра вала, на котором
осуществляется посадка (фиг. 177, б). В этом
случае напряжения в точке А (фиг. 177, а),
которая оказывается на выступе (точка В,
фиг. 177, б), понижаются. Результаты фото-
упругих испытаний [336] не дают количествен-
ной информации. Однако ясно, что при значи-
тельном утолщении разрушение может начаться
в галтели, поэтому проектирование ее должно
быть выполнено в соответствии с материалами
гл. 3.
Как указывалось выше, величина коэффи-
циента Kf определяется конфигурацией детали.
Она возрастает (по экспоненте) с увеличением
размеров геометрически подобных элементов.
Для вала диаметром 50 мм, выполненного из
ФИГ. 177. Конструирование прессового соединения де-
талей (линии тока нанесены в иллюстративных целях),
а — гладкий вал; б — вал с утолщением.
5.5. I
Уст
гпения
зом: а
на его
относи
Разруп
ственш
Прт
сеченш
нении
Разруп
Для
Разруп
сообра;
тели в!
Хар
болта
Хетени
при ИС1
ди пени.
Витвор1
резьбы
получи,
НОГО С(
а для ]
нальны
площад
расчете
резьбы)
концеш
ветству
было п
= 2,7,
Поз?
вдвое (
модели.
речного
заключс
коэффит
метру р
244
шин
1РОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ
МАШИН ГЛАВА 5
Ki
1,82
1,64
1,49
2,04
1 82
нюю
гены
иен-
1КОЙ
эний
жен-
адки
я от
:ется
аром
этом
г, а),
i В,
JOTO-
гвен-
[ачи-
1ТЬСЯ
1ЖНО
нами
ффи-
гали.
нием
атов.
’О из
39% С стали [337], была получена величина
юэффициента концентрации Kf = 2,8. Для
вделей диаметром от 8.89 до 11,7 см, выполнен
шх из турбинной стали [338], величины коэф-
мциента концентрации Kf составили от 3 до 4.
(ля выполненных из роторной стали моделей
аховиков диаметром от 17,78 до 24,63 см
339—341] по усталостным характеристикам
шли определены коэффициенты концентрации
величины которых составили от 4 до 5 по
гношению к пределу выносливости обычных
бразцов. При напряжениях, соответствующих
5.5. Болт и гайка
ия де-
,сля.\).
Установлено [342], что усталостные разру-
1ения болта распределяются следующим обра-
ми: а) 15% общего количества приходится
(8 его головную часть, б) 20% разрушений
вносится к конечному участку резьбы и в) 65 %
рзрутпений происходит в резьбе непосред-
твевно у гайки.
При использовании болтов с уменьшенным
:ечением гладкой части (см. фиг. 13, в в срав-
няли с фиг. 13, б) количество усталостных
крушений типа «б» уменьшается [343, 344].
Для уменьшения количества усталостных
1азрушений типа «а» у утоненных болтов целе-
хобразно использовать большой радиус гал-
ит вблизи головки (см. разд. 5.6).
Характер усталостных разрушений резьбы
юлта непосредственно у гайки исследовал
(етени [115] методом объемной фотоупругости
фи использовании различных комбинаций сое-
шевия болт — гайка (фиг. 178). Для резьбы
[пворта (где радиус скругления углубления
«зьбы равен 0,1375 ее шага [345]) Хетени
шутил следующие результаты: для стандарт-
но соединения болта и гайки Ktg — 3,85,
для гайки с заплечиками Ktg = 3,00 (номи-
львые напряжения определялись для полной
пощади поперечного сечения болта). При
асчете по минимальному сечению (с учетом
езьбы), что более реалистично в отношении
шцевтраций напряжений (поскольку соот-
иствует точкам максимальных напряжений),
шю получено для стандартной гайки Ktn =
= 2,7, а для гайки с заплечиками Ktn = 2,1.
Позже Браун и Хиксон [346] использовали
вое большие по размерам фостеритовые
вдели. Для стандартной гайки они получили
и = 9 по полной (без резьбы) площади попе-
того сечения исследуемого злемента (см.
включение авторов [346]). Это соответствует
(вффициенту Ktn = 6,7 при расчете по диа-
втру резьбовых углублений и согласуется со
половине предела выносливости, на напрессо-
ванной детали были обнаружены нерастущие
трещины.
Фотоупругие испытания [341а] вала, имею-
щего 6 посадочных участков с напрессованным
на него кольцом, дали величины коэффициентов
концентрации Kj в пределах от 2 до 4.
Напряженное состояние вала с прессовой
посадкой усложняется одновременным наличием
концентрации напряжений и фреттинг-коррозии.
Механизм фреттинг-коррозии в настоящее
время недостаточно изучен.
значением Ktn — 2,7, полученным Хетени.
Величину коэффициента Ktn — 6,7 следует
использовать в расчетах конструкций, под-
верженных усталости или охрупчиванию, с уче-
том чувствительности к надрезу.
ФИГ. 178. Гайки, испытанные методом фотоупругости
(Хетени) (размеры в см).
При обсуждении результатов работы [346]
Тейлор привел значение усталостного коэффи-
циента концентрации Kfn = 7, полученное для
болта диаметром 7,5 см, у которого отношение
радиуса углубления резьбы к минимальному
диаметру болта (по углублениям резьбы) было
в 2 раза меньше, чем у фотоупругой модели
[346]. Он подсчитал, что если бы в его усталост-
ных испытаниях исследовался болт с геометри-
ческими размерами фотоупругих моделей, то
величина коэффициента Kfn составила бы
около 4,2.
При радиусе скругления углубления резьбы,
равном 0,05842 см, коэффициент чувствитель-
ности к надрезу q для мягкой стали по данным
фиг. 8 составляет ~0,67. Тогда полученный
из фотоупругих испытаний коэффициент
Ktn = 6,7 должен соответствовать коэффи-
циенту Kfn = 4,8. Хотя это согласуется с оцен-
кой Тейлора, некоторые неопределенности
245
ГЛАВА
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
<? 6 6
ФИГ. 179. Гайки, испытанные на усталость (Виганд)
(схематично показаны линии тока).
в методе оценки не позволяют считать эти
результаты надежными.
Фотоупругие испытания [347] элементов
с упорной резьбой показали, что оптимальный
выбор радиуса корня резьбы снижает макси-
мальные напряжения на 22%.
В гайке с заплечиками (фиг. 179, б) макси-
мальные напряжения уменьшены при помощи
утоненного участка гайки, деформирующегося
в том же направлении, что и болт. Усталостные
испытания [344] показали, что гайки с заплечи-
ками по сравнению со стандартными гайками
(фиг. 179, а) прочнее на~30%, что согласуется
с фотоупругими экспериментами [115].
В приведенной на фиг. 179, в конструкции
передаваемая] нагрузка не реверсируется.
Усталостные испытания [344] показали, что
в этом случае предел выносливости конструк-
ции более чем вдвое превосходит соответствую-
щий предел для стандартного соединения болт —
гайка (фиг. 179, а).
Использование для гайки материала, имею-
щего пониженный модуль упругости, полезно
в целях снижения максимальных напряжений
в резьбе болта. Испытания на усталость [344],
[348] показали увеличение предела прочности
конструкции на 35—60% в зависимости от
материала.
Для уменьшения величины коэффициента Kt
в соединении болт — гайка могут быть исполь-
зованы и другие виды резьбы, такие, как конус-
ная резьба или резьба с переменным шагом,
однако они нетехнологичны и используются
редко.
5.6. Головка болта и крепление
лопатки турбины или компрессора
(Т-образный оголовок)
Коренное различие между элементами
с Т-образным оголовком и бруса с утолщением,
имеющего галтельные переходы (гл. 3), заклю-
чается в схеме их нагружения, как это показано
на фиг. 180. Рассматриваемые конструкции
различаются также высотой оголовка т
(фиг. 180, б), которая редко превышает ширину
d узкой части элемента. При уменьшении вели-
чины т изгибные деформации опорных участ-
ков Т-образного оголовка увеличиваются.
На фиг. 190—194 приведены характеристики
определенные Хетени [349] фотоупру-
гим методом. Здесь а есть просто PIA, а нагруз-
ка делится на минимальное поперечное сечение
стержня. Таким образом, величины аМакс/,(Т
определяют характеристику концентрации на-
пряжений, которую легче всего использовать
в проектировании.
Тем не менее полезно видоизменить способы
определения Kt гак, чтобы при сопоставлении
результатов различных усталостных испытаний
получаемые коэффициенты чувствительности
к надрезу были однотипными, как указывалось
во введении к гл. 4. В связи с этим рассмотрим
коэффициент KiA, характеризующий концент-
рацию напряжений при растяжении, и коэф-
фициент X’fs, соответствующий чистому
изгибу:
р
а”ом А ~ Kd ~ а
(размеры приведены на фиг. 190, 194 и 195),
(137)
— М — Pl ( 6 ) — 3Pd ( Д _ 1 \
ffllOM В- J/c — 2 hm2 ) — 4/im2 ( d 1 ) ’
где
d
4 ’
г;__________Омаке______
tB“ гт Г 3(P/d-l) П
L 4 (m/d)2 J
При KtA = KtB
(D/d—1) 4
(m/d)2 3 ’
ИЛИ
Id _ 1
m2 — з •
(138)
(139)
246
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
На фиг. 195 представлены зависимости KtA
и К(В от Idhri-. Участки диаграммы при
Idhn- < 113 и Idlm- >% соответственно харак-
теризуют величины коэффициентов KtA и К[Ъ.
Этот прием подобен использованному для сое-
динения болт — проушина в гл. 4; он позволяет
устранить особенно большие величины коэффи-
циентов концентрации и обеспечивает более
высокую точность экстраполяции (в данном
случае на малые значения mid).
На фиг. 190—193 штриховая линия отражает
условие равенства коэффициентов К1А и KiS
[см. формулы (137) и (138)]. Ниже этой линии
величины Омакс/ст тождественны коэффициенту
KfA. Выше штриховой линии все величины
Омаке/о обычно намного больше соответствую-
щих им коэффициентов KtB, которые в свою
очередь меньше величин KtB, представленных
штриховой линией (эта линия характеризует
максимальные значения К1А и KiB при усло-
вии их равенства, как это показано на фиг. 195).
На фиг. 194 представлено изменение коэф-
фициента концентрации напряжений KtA
в зависимости от места приложения сосредото-
ченной нагрузки. При действии нагрузки
вблизи начала галтели (х -> 0) наблюдается
резкое увеличение коэффициента Kt вследствие
эффекта близости [3491, поскольку номинальные
изгибающие напряжения уменьшаются, а номи-
нальные растягивающие напряжения остаются
без изменения.
Указанные выше коэффициенты для Т-образ-
ной головки могут использоваться и в случае
Т-образного замка лопатки. Для головки круг-
лого болта величины соответствующих коэффи-
циентов должны быть несколько меньшими, как
это показано в гл. 2 и 3. Однако рассматривае-
мые здесь относительные величины не могут
быть непосредственно сравнены с соответствую-
щими коэффициентами гл. 3, поскольку часть
ФИГ. 180. Схемы передачи усилия.
а — брус с утолщением, имеющим галтедьные переходы; б —
элемент с Т-образным оголовком.
коэффициента Kt для Т-образного оголовка
характеризует другое явление. Чтобы обеспе-
чить безопасность в эксплуатации, необходимо
при проектировании головки болта использо-
вать нескорректированные коэффициенты Kt,
полученные для Т-образного оголовка.
Крепления лопаток паровых турбин часто
изготовляются в виде двухрядного Т-образиого
замка. Для крепления лопаток газовых турбин
часто используются замки елочного типа.
Некоторые конструкции такого рода исследо-
ваны методом фотоупругости [350, 351].
5.7. Кривой брус
В кривом брусе при изгибе наибольшие нор-
мальные напряжения возникают на внутренней
поверхности (фиг. 181). Случай кривого бруса
рассматривается в учебниках [352]; формулы
Для Kt в типичных поперечных сечениях бруса
и графический метод для определения Kt
в произвольном поперечном сечении опублико-
ваны [353, 354]. На фиг. 196 приведены данные
по коэффициенту Kt для пяти различных видов
поперечного сечения кривого бруса.
Следующая формула [3531 достаточно точно
определяет величину Kt для обычных попереч-
пых сечений кривого бруса (исключая тре-
ФИГ. 181. Концентрация напряжений в кривом брусе
при изгибе.
247
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ! ДЕТАЛЕЙ МАШИН
угольное):
<М0>
Здесь I — момент инерции поперечного сече-
ния, Ъ — максимальная ширина сечения, с —
расстояние от продольной оси до внутренней
кромки, г — радиус кривизны, В — коэффи-
циент формы (1,05 для круглого или эллиптиче-
ского поперечного сечения, 0,5 для других
поперечных сечений).
Ввиду чувствительности кривого бруса к
надрезу зависимости q от г, приведенные на
фиг. 8, к нему не применимы; в этом случае
следует использовать концепцию градиента
напряжения [40].
5.8. Винтовая пружина
5.8.1. СЖАТАЯ^ ИЛИ РАСТЯНУТАЯ ПРУЖИНА
ИЗ ПРОВОД ОК И’КРУГОВОГО '
ИЛИ КВАДРАТНОГО^СЕЧЕНИЯ
Винтовая пружина может рассматриваться
как кривой брус, подверженный воздействию
крутящего момента и сдвиговой нагрузки [355].
Заключительное указание предыдущего раз-
дела о чувствительности к надрезу справедливо
и для спиральных пружин.
В случае сжатой или растянутой пружины
(с небольшим углом подъема витка), выполнен-
ной из круглой проволоки, при расчетах обычно
используется коэффициент Валя Cw, учиты-
вающий кривизну витка и сдвиговую нагрузку
[355] (фиг. 197).
Для проволоки кругового поперечного сече-
ния
' *^мавс 4с—1 । 0,615
w~ т — 4с—4 ' ~ •
Р (d/2) __ 8Pd _ 8Рс
зи3/16 лс3 па2 ’
(141)
(142)
где Р — осевая нагрузка, с = dJa — параметр
пружины, d — средний диаметр витка, а — диа-
метр проволоки.
Для квадратного поперечного сечения [356]
т !. .‘4,2 . 0,56 . Г0,5'\
^акс = т(1+—+—+—). (143)
Из фиг. 199 имеем а = 0,416, 1/сс = 2,404;
таким образом,
т--^_-^40_4Р^ 2,404Рс „
аа3 а3 а2 ’
где а — толщина проволоки. Коэффициент Cw
определяется формулой]
Cw=^2-. [(145)
Соответствующие коэффициенты концентра-
ции напряжений, которые могут быть исполь-
зованы при расчете прочности пружины, описы-
ваются формулами для проволоки кругового
поперечного сечения
к __ ?тмакс _ (8РД/ла3) [(4с—1)/(4с—4)]-|-4,92Р/ла2
ts тном 8Рй/ла3 + 4Р/ла2
J 2с[(4с-1)/(4с-4)] + 1,23
A /s----------g-p , (14b)
TNaKc = 7\\s^-^2-(2c-(- 1)J ; (147)
для проволоки квадратного поперечного сечения
т7 __ Тмакс___(2,404Р<?/а3) (1-|- 1,2/с-|-0,56/с2-|-0,5/с3)
ts— Твои ~ 2,404М/а3+Р/а2
(148)
к 12,404с (1 + 1,2/с+0,56/с2+0,5/с3) ,,/Q.
fs 2,404с+ 1 1
тмакс — Kts ^^2' (2,404с ~[-1) J. (150)
Зависимости для коэффициентов Cw и Kts при-
ведены на фиг. 197. При этом величина Kt,
меньше соответствующей ей величины Cw.
В проектных расчетах рекомендуется пользо-
ваться простым коэффициентом Валя. Исполь-
зование коэффициентов Cw или Kts дает одина-
ковые значения тмакс.
Эффект угла наклона витка в пружине опре-
делили Анкер и Гудьер [357]. Для углов до 10°
этот эффект незначителен, однако при 20° уве-
личение напряжений было довольно существен-
ным.
5.8.2. СЖАТАЯ ИЛИ РАСТЯНУТАЯ ПРУЖИНА
ИЗ ПРОВОЛОКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Результаты исследований Лизеке [358]
использованы для определения коэффициентов
концентрации напряжений следующим образом.
Номинальные напряжения приняты в виде
суммы максимальных напряжений, развиваю-
щихся в прямом скручиваемом брусе соответ-
ствующего прямоугольного поперечного сече-
ния, и напряжений от поперечной силы:
Pd I Р /АСА\
Тйвом--о I---» (151)
ахул ' ху ' ' '
248
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
где х — большая сторона прямоугольного попе-
речного сечения, у — меньшая сторона прямо-
угольного поперечного сечения.
В соответствии с данными Лизеке [358]
т -
МЭ,!С“^7Л’
(152)
где а — сторона поперечного сечения, перпен-
дикулярная оси; Ъ — сторона сечения, па-
раллельная оси; Р — коэффициент Лизеке,
TZ Тмакс
А ,
Ъюм
Тмакс — Ktt + • (153)
Кривые для Кts и а приведены соответственно
на фиг. 198 и 199.
5.8.3. ВИНТОВАЯ ПРУЖИНА
ПРИ СКРУЧИВАНИИ
Крутящий момент приложен в плоско-
сти, перпендикулярной оси пружины [355]
(см. фиг. 200). При этом
(154)
(155)
2^ __ Смаке
Сном *
где
32FI
ан°м- [гшЗ
для круглой проволоки и
__ eFl
Phom — fl2fe
для прямоугольной проволоки.
Здесь FI — момент (см. фиг. 200), а — сторо-
на поперечного сечения, перпендикулярная оси,
Ъ — сторона поперечного сечения, параллель-
ная оси.
Влияние угла подъема витка пружины оце-
нили Анкер и Гудьер [357]. Установлено, что
для угла подъема 5^15° поправка в напряже-
ниях невелика.
5.9. Коленчатый вал
Максимальные напряжения в галтелях ко-
лен, цапф и шеек коленчатых валов при их
изгибе определял Араи [359] с помощью тен-
зодатчиков сопротивления. Было проведено
178 испытаний образцов, геометрические харак-
теристики которых систематически варьирова-
лись. Коэффициенты концентрации напряже-
ний определялись как отношение огмаЕС/о, где
°макс = А7/(лйя/32). Деформации измерялись
в галтелях в плоскости оси; меньшие по вели-
чине окружные деформации в галтелях не
фиксировались.
Полученные значения коэффициента Kt были
одинаковыми как для распределенного момента,
так и для момента, созданного при помощи
сосредоточенных сил в середине цапфы под-
шипника коленчатого вала.
Величины коэффициентов Kt для галтелей
колен „и шеек коленчатых валов были настолько
близки, что использовались их средние зна-
чения.
Наиболее важными с точки зрения их влия-
ния на концентрацию напряжений являются
относительная толщина щеки tld и радиус
галтели rid (см. фиг. 201 и 202). Было установ-
лено, что коэффициент Kt малочувствителен
к изменениям относительной ширины щеки bid
и эксцентриситету 1) шейки sld в пределах
изменения этих параметров, представляющих
практический интерес. Также было найдено,
что обточка углов колена влияет на величину Kt.
Араи показал, что значительное увеличение
толщины щеки по коэффициенту концентрации
напряжений соответствует «выпрямлевию»
коленчатого вала. Он использовал данные
работы [1] (фиг. 65) и расширил область измене-
ния величины Ud от 1 до 2. Это очень большая
экстраполяция, однако надежность ее еще
нужно подтвердить.
Из фиг. 201 видно, что иногда целесообразно
делать галтельное поднутрение щеки. Установ-
лено, что при увеличении 6 коэффициент Kt
возрастает. Однако при проектировании необ-
ходимо оценить это увеличение с учетом воз-
можности использования галтелей большего
радиуса и увеличения опорной поверхности или
уменьшения длины вала.
х) Когда внутренняя сторона шейки и внешняя сто-
рона цапфы находятся на одной линии, s = 0 (см. схе-
му на фиг. 201). При меньшем (по сравнению с ука-
занным положением) удалении шейки от оси цапф
s > 0, при большем удалении s < 0.
249
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Эмпирическая формула, предложенная
Араи, описывает весь диапазон эксперимен-
тальных данных:
Kt = 4,84С1С2С3С4С5, (156)
где
С( = 0,420 + 0,160 /!1/(г/й)]-6,864,
С2 = 1 + 81 {0,769 —[0,407 - (s,'<Z>]2} (6/r) (r/d)3,
C3 = 0,285 [2,2-(i/d)]3 + 0,785,
С4 = 0,444/(i/d)>,4,
С„ = 1 — [(sld) 4-0,1]2/ [4 (t/d) — 0,7].
Аналогичные результаты исследований ко-
ленчатого вала на кручение отсутствуют.
5.10. Крюк крана
Крюк крана также является одним из видов
кривого бруса. Так как существует значитель-
ное разнообразие форм крюков, для них нет
универсальных зависимостей пли формул. Валь
[360] разработал простой численный метод
п применил его к расчету крюка с приблизи-
тельно трапециевидным поперечным сечением.
Полученная им величина коэффициента Kt рав-
нялась 1,56.
6.11. Конструктивный элемент U-образной формы
Элемент U-образной формы, растягиваемый
и изгибаемый двумя внешними сосредоточен-
ными силами, исследовался методом фотоупру-
гости [361] (фиг. 203, 204).
Положение поперечного сечения, в котором
развиваются максимальные напряжения, зави-
сит от соотношения размеров U-образного эле-
мента и места приложения нагрузки. Макси-
мальные напряжения при различной толщине
основания d, ширине стойки io = г и при рас-
стоянии от места приложения внешней нагрузки
до центра кривизны тп — 1 4- Зг были зафикси-
рованы в точках 1 (для малых d) и 2 (для боль-
ших d), см. фиг. 203. Значения Kt определя-
лись по формулам [361]:
для точки 1
Т7 . Смаке -Р/а1 Омаке — Р/М /4С:17\
п ” 6Р (m-J-r-)-d/2)/irf2 » li,JU
где d — толщина основания элемента, w = г —
ширина стойки, h — толщина, г — внутренний
радиус, тп — расстояние от места приложения
внешней нагрузки до центра кривизны;
для точки 2
Т7 _ Омане _ Омаке
где 12 — момент инерции сечения, проходящего
через точку 2; с2 — расстояние от внутренней
грани элемента до оси сечения 2; Ъ — расстоя-
ние вдоль оси элемента от центра кривой с ра-
диусом г до сечения 2.
Для случая максимальных напряжений
в сечении 2 было определено, что величина
угла 0 (фиг. 203) составляет ~20°.
При постоянных габаритах элемента и изме-
нении id = d и г (фиг. 204) максимальные напря-
жения возникают в сечении 1 (за исключением
очень больших значений отношения r/d). При-
веденные на фиг. 204 кривые для коэффициента
Kf соответствуют условию неизменного места
приложения нагрузки.
5.12. Угловые и коробчатые профили
Значительные исследования были выполне-
ны по различным профилям балок при круче-
нии [362]. На фиг. 205 приведены расчетные
данные Хаса [363] по уголковым и коробчатым
профилям. Для коробчатых профилей приве-
денные данные действительны только в случае,
когда размер а значительно больше размера с
(в 15 4- 20 раз). Приближенные данные для
изгибаемых уголковых профилей могут быть
получены из результатов испытаний Г-образ-
иых рам [364] и данных первоисточников,
использованных в работе [364].
250
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
5.13. Вращающийся диск с отверстием
Для вращающегося диска с центральным
отверстием максимальные окружные напряже-
ния имеют место на контуре отверстия [365]:
(159)
где у — вес элемента на единицу объема
(удельный вес), v — линейная скорость точки
на краю диска, g — ускорение свободного паде-
ния, v — коэффициент Пуассона, —радиус
отверстия, R.y — радиус диска.
При /?г/2?2 = 1 эта формула сводится к цмакс =
= yo2/g.
Величину коэффициента Kt можно опреде-
лить различными методами в зависимости от
выбранного номинального напряжения.
а) В качестве поминального напряжения
выбрано оNa — напряжение в центре диска,
не имеющего отверстия:
0„o=^(i±S). (160)
При использовании этого номинального
напряжения получаем верхнюю кривую, при-
веденную на фиг. 206. Она дает приемлемые
результаты в случае небольших отверстий (при
-> о имеем KfA = 2). Для случая
7?д/7?2 -> 1 (тонкостенное кольцо) определенные
по этой кривой коэффициенты концентрации KiA
слишком велики.
Можно также было бы выбрать в качестве
номинального окружное напряжение в сплош-
ном диске на расстоянии, равном радиусу
отверстия. Поскольку здесь для тонкостенного
кольца величина коэффициента значительно
больше, чем в случае «а», на фиг. 206 она не
показана.
Ь) В качестве номинального выбрано oNb —
среднее окружное напряжение:
'Jv'-(’'Д+Д )• (161)
Использование этого номинального напряжения
позволяет получить более приемлемое соотно-
шение, которое для тонкостенного кольца дает
Kt ~ 1. Однако для диска с небольшим отвер-
стием предпочтительно пользоваться выраже-
нием (160).
с) Кривая b линеаризована с выполнением
граничных условий (а) при Ri/R2 — 0 и усло-
вий (Ь) при RxlR2 = 1,0. В этом случае выраже-
ние для oNb имеет вид
хО-хНО- <162)
В большинстве случаев для центрального отвер-
стия небольшого диаметра уравнение (160)
позволяет получать приемлемые результаты.
Для дисков с отверстиями больших диаметров
и в случаях чувствительности к надрезу
(разд. 1.3) следует пользоваться уравнением
(162).
Для вращающегося диска с асимметрично
расположенным отверстием имеются результаты
исследований напряжений фотоупругим мето-
дом [366]. Рассмотрено различное радиальное
расположение отверстий двух размеров
(фиг. 207). Здесь в качестве номинального
напряжения выбрано окружное напряжение
в точке А сплошного диска, соответствующей
точке па коптуре отверстия, наиболее удаленной
от центра диска (фиг. 207). Поскольку в данном
случае диаметр отверстия мал по отношению
к диаметру диска, выбор такого номинального
напряжения представляется разумным:
В этой же работе [366] исследовались диски,
в которых, кроме центрального, было располо-
жено на общей окружности различное количе-
ство отверстий (от шести до десяти). Хетени
(305] исследовал особые случаи, когда на вра-
щающемся диске с центральным отверстием
предусматривалось также два или восемь сим-
метрично расположенных периферийных от-
верстий.
Были проведены аналогичные исследования
[367—370] дисков с большим количеством
отверстий, равномерно расположенных на
одной окружности. Такие диски используются
для газовых турбин. В этих работах было опре-
делено оптимальное количество отверстий [369]
Для различных геометрических характеристик
диска; также было отмечено, что усиление
отверстий бобышками почти не снижает пиковых
напряжений [370], тогда как применение диска,
утоняемого от центра к периферии, уменьшает
максимальные напряжения на контуре пери-
ферийных отверстий.
251
ГЛАВА 5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
5.14. Кольцо или полый цилиндр
Решения для кольца, нагруженного двумя
сосредоточенными силами по диаметральной
линии (фиг. 209), получили аналитически
Тимошенко [371] при RX!R2 — г/2 и Биллевич
[372] при Rt/R2 = 1/s. Приближенное теорети-
ческое решение получил Кейз [373]. Хорджер
[336] и Левен [374] исследовали напряжения
фотоупругим методом. На фиг. 208 и 209 при-
ведены кривые для коэффициента Kt, являю-
щиеся средними между данными расчетов
и фотоупругих испытаний (результаты расчетов
и экспериментов хорошо согласуются между
собой). При вычислении коэффициента Kt =
— рмякс(рном ® качестве рмзкс было принято
максимальное растягивающее напряжение,
в качестве он0М— основные изгибные и растя-
гивающие составляющие напряжений в тонко-
стенном кольце, которые определил Тимошенко
[375].
Для кольца, нагруженного изнутри
(фиг. 208),
77 ______рмакс А [2^ (Д2— Др] /Щ/л
* рГ, I 3(Дг+Д1)(1-2/л)-1 ’
Р-Г д2_Д1 J
а для кольца, нагруженного снаружи (фиг. 209),
°манс В [nh (Д2-Д1)Д
ЗД(Д2+Д1)
(165)
Сейка [376] исследовал теоретически квадратное
отверстие с закругленными краями, которое
расположено в цилиндре и нагружено противо-
положными сосредоточенными силами.
5.15. Цилиндрический сосуд под давлением
Напряжения в цилиндрическом сосуде под
давлением определяются по формуле Ламе [228]
И
_ Р(Д? + Д|)
Омаке- 7?2-/?2
(166)
__ ^макс
Р ’
где р — давление, Вг — внутренний радиус
цилиндра, В2 — наружный радиус цилиндра.
Для коэффициента Kt имеются две зависи-
мости:
• (Д1/Д2)2+1
® 1 —(Д1/Д2)2 ’
(168)
К ___ рмакс __ рмзкс
рном рср ’
к (Д1/Д2)2+1
11 (Д1/Д2)2+Д1/Д2
Оба соотношения представлены графически на
фиг. 210. При Вг/В2 = l/2 Ktl = Kt2 = 1,666.
Участки кривых, расположенные ниже вели-
чины Kt = 1,666, более значимы при анализе
проблем механики материалов (см. замечания
во введении к гл. 4).
5.16. Цилиндрические сосуды
с торосферическими днищами,
находящиеся под давлением
На фиг. 211 представлены результаты фото-
упругих исследований напряжений, выполнен-
ных Фесслером и Стенли [377]. Поскольку
используемые для определения коэффициента Kt
максимальные напряжения взяты в продольном
(меридиональном) направлении, номинальные
напряжения, выбранные для представления
результатов, равны pd/kt, что соответствует
напряжениям в продольном направлении
цилиндрического сосуда, находящегося под
давлением р. Все обозначения даны на фиг. 211.
Хотя коэффициенты Kt на периферии днища
приведены для отношения tld = 0,05 (или пере-
считаны для этой величины), было установлено
[377], что с увеличением толщины стенки коэф-
фициент Kt возрастает незначительно.
Выше линий АВС и CDE (фиг. 211) макси-
мальные коэффициенты Kt соответствуют центру
днища; между линиями АВС и FC находятся
максимальные коэффициенты Kt, соответст-
вующие периферии днища; наконец, ниже
линии FC максимальными напряжениями
являются кольцевые напряжения в стенках
цилиндрической части сосуда.
252
ин
IKO
гри
64)
>9),
65)
ное
рое
во-
68)
на
66.
ли-
нзе
1ИЯ
!Ре-
ено
эф-
:си-
тру
тся
гот-
ике
тми
ках
253
ФИГ. 183
ШПОНОЧНАЯ КАНАВКА
5.0
4.8
4.(
4.4
4.2
4.0
3.8
3.4
3.4
3.2
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
коэффициентыКОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ К ‘ И1
11Я В\IX < ПО В КРУГОВЫМ I ;
к
““ОЧЕРТАНИЕМ КОНЦЕВОГО УЧАСТКА Т“?
--ШПОНОЧНОЙ КАНАВКИ ПРИ КРУЧЕНИИ (
(данные Левена, Окубо, Хосоно и Сакаки) —
.
- J
БЕЦ: Профиль канавки
увеличенном^
масштабе-:
или
О 0.01 0,02 о.оз r/d Q.04 0.05 0.06 0.07
к..^ /(uWj -
... _____,. ,ЭЦ»«
-ЧЧ—Г"—!'——-1' н-:—: 1—А --— гт~7 ;—
Приближенные значения для сечений, _ [
расположенных в конце шпоночной канавки,'
( при крутящем моменте, ф Г “
передаваемом через шпонку длиной 2,5 rf —(-
^скорректированные данные Окубо и др.)——
Г- ф Ч. ,
г Без шпонки
_ |.1свс,<> /
Ч- ЧВ> к
“Среднее значение г/ </,
: : -Ц::::( реднее значение г/ а,
^приближенно соответствующее^
psfitet стандарту США е-ЦЕЕБеее
|(для 16,51 СМ, СМ. 'текст)-::.
254
ФИГ. 183а
0 0-5 1.0 0.5 0
255
ФИГ. 184
ФИГ. 185
ФИГ. 186
ОЛ 0.5 . /г и.Ь 0.7 0.8 о.у
258
ФИГ. 187
£7
I _:Ш. Ж- В-МИ1- 1E3E-I I i J 1 is L ж в
zlE—Е .2 J. "В : 1 1ИMAJ Dh D1L. ГЛДП?СВ CI\ ДЛЯ ОСНОВAHHS 51 BA ШЕСТЕРНИ 1счет по формуле J 1 -ЛСлП. Г.’-- in ж 1
йВ ж EE иЕг Tttr J- u H :z-:-:rz.:-L ад (p ханди) • . r. lb yfc in J t 7 it в
—В-—;- - If На Т-В ад - 'I ! -1-4.1 2-ijl Irl. .121 1 ГЦ.:. J-в -- ।
ПТ • 1 ' ’ • . -,7- . : ztr; 7-- :E 7717.111177 -Ft
Eil _тр4 г. ЕЕ ii- ।; z -- Ei «модуль шест ерни-= ztiiI.:- В - П
zi_: tn: 2:4 F .: I. 1:Число зубьев : № ®fgf .in: !
т+ЕТтЕ. . :: Х1 ЕЕ 22 у1 Диаметр шестерни t Fil-i ЙЕ Ж
111 :! • ।. • -''1 4 1
|В •: : • r;: , .: 1±7 .. ад 7z_: ii.iT . : • 72. • / 7-2 ..11 Ж
JjE- 7t- If J"“ ;si 1 • 1 iiiijf' -|J- j J: Ph I:
xt: . : —. ТУП. м Ж . 11 -гтг- fir 1EL2 2_|j It в < IF Ht
FfX —:: HUP МЯ TIRU Si :11SI M Be
ZZ! . • ... jH" • flS SL ж Bi радиус гт] niifjF 1 :-7t Z-It|. в ад ж
r-utzi. r.-:: ZZZ :-jp 1 El Id ill ин Illa.
7f( не станд ipTH30 . . '1 ван). -i- :--iz :.J !: ' :. i: Диаметру 1 ff
iSE .•: ' 1 Г7;.: г:: :r;: Etfiiif -71II
iffX 71112 -;т Ж nqi г:.;.? Ш? iz.:±l “ -2 '‘J. J.1: M' 4 b
Г±г i • • 1_2T ж ::r.r j j ил даолспип VKnnnUPUURItl iv5. +И ?-? фр< sa
-1 — .... их :L22t ‘ - L’ M- =E-i Ж Ж ffi 'Ps m LL "TTZTErZ । П 121 w2Г П nn.>4A,.,.rt Oflfl ж Bi Гт EI i ftt-iffi. : :
Г“ г '4tj x: 7- «г i ил давлении i.u "'ноомалкный Tvfi > Jt 74 s- i j Bi
'77T7 — 7 Г<. Sf 4-- W[ Ж W । • 1 feb ..... ПШ
::-t-[--t-t- *—*— 7-77Г : ,. 7 77 7 _-::.z: .. : iiE Ж :1T** 1 . . 4b 'Н ш! jJiiHt .....
W : : zzz . ; , • 77 h zzr: ts :.“Г : П Ж j-17 1771.77. Ь-4- Ff UH- m: jTT 7!!!
1 11.. ZZ.:. ! । Ж i 4 12.2 Ж” HtT J -t ЭЕ.+Н:
: • : . w в nT5 it: i Ж Й 7777 11 If 777 tl-J- ±tt-4#
ад 11 . i zz;: . ад в .... E : • -JI s? ijrui давлении 1Л,э ~-.||ЛПЧО ni-tlt-IM c»vSJ±td_ t-J ±i± ffi ТгЕ
• • w 22 w 2221 ii ЙН 141.77 Bij bi Фреза
EH 4 til •Tti. ж LJ-i is-P : •! :Нт7 77:2 в ад ж ад
“-4 :. • H:: ... .'.el! 7.712 1 1 : 111.’ pzi z 4j Js Iff Fem ж
J.:S.Z77 IS
:i . .... . . ... . ЕЖ ’ • 4-2
. . . ।.. . ?z!±::; j -Ц4- 1
- -f-t-r- H— ... 7772 i— _-z: 7ti: r77.-7 .17. Ш tn i“-;i: E ой ЕЕ
it; i .... :Br . 717" „••s —. zi.-z- .-77..- j: j: 477' Ж St? 11 ПЗЙ si
Ж .7.12. Ж 2J_: 1 li Lpj
lT, i . j . vil . 21 1,1 • Й -Ж ж
7 1 .:.;z ши . . ... .1 -7Г7.- t Fj ж ад 1
:j(; .. . . " ".I . niiini .:— 2227 . _:.: . НЕ Г. . Be j 4 я -
[ дМИИИ. ri.
H .> 1 ... . : . .... iBSSSli
X22tl22. — । 21 11ПИ1
1 ! 1 • ....
— 1. • 2“ 1 : i . > "Фт -its • :t-4--It± lit:
" । 7::z_ _121 -Tti ж ;S1 -t + ±| ±r:
Число зубьев
17*
261
ФИГ. 190
Т-ОБРАЗНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
262
ФИГ. 191
263
ФИГ. 192
264
265
ФИГ. 194
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
266
ФИГ. 195
m2
267
ФИГ. 196
о
о
in
о
rO
4.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
ФИГ. 199
ФИГ. 200
Параметр пружины c = d/a
18 Р. Петерсон
ФИГ. 202
TJ'HI 11 «пФФИпигт KOI П1П + 3UEHTPAL ni: Ml/ ,.:х н АП -• (••. РЯЖЕ! 1
Ж Г ’t-T - rR ЖЖ-Ж j] . к', дл 1 ТВеТ -•
С-41/ й COJ И31 1ЕНЧ 4ВЛ1 АТО ЗМ( го )ГС в/ <л/ - п
йЖЖ Ш tethi z ж( р тенз НВ ом этри Об ззна е dOH 9 аш ИЯ 01 Lie А[ В |П ЕЕ
'"г^- 1 —,_+\ +E лей1 ж / X—L fI и. & _г_- xZ ж :
lOtZ- жЖьь! nt iz лП7 ш т 1 ГВ Р- — - 4~
p-t, * ? Тй“ 4 - - X-T -11. -
-;ttf 4+7It We ж Ж1 —- +-t - -т’ ‘:Н р р it
X, fet Ш+£ it ±Н^ р Ж ж ж ж - пЖ ж ж tn - --
:$-Ы^8:Вй|£ЙШЖ1Ш p ж --иГ ж пн tHtt -Ж ж - Ж ~Lf р л ЕЙ i _ 2_ U#
p t j 5« Ж L1 + J 4 fe W - X
111В жр ж Z Z Z i 4 + гр-4 1 ТГ Жр р -т й 1 - ЖЖ Ц ; : - иж.
OiBZfilWiW ж г пт: it- н 4
r Ht н Г- пц • '-+4 4_ ж "М-Е
Й ж Ж -Ж ж 1 Р ж — t _ 11- - Ei+t _ U
grfsWBSZJ th? ж йж Ж 1 i : Н Г “Н --Ur
ip рм в? ж х\ хЖ JJ Ь’ И 1-т ....
&u Жп^ в Ж 7 p Л ж р Н£Х ХПЁ тх •--ЦТ
ч ж тй Ж ж-ip S ж Хр .;4 JF Ut| В
ж д |ж1 Шр ЖрШо ж R Ж Щ t жIЖ Ж В Ж if- Ж Ж tP Ж Ж 4 +Eit Ж 1 р ч тНг Ж р ’’ЦТ
В Ш Ш Ш Z ШР'средние зн 1ЖЖжЖЖЖ'' для шеек и i4e ца 1ИЯ пф ж . М-. : je ..: Ер ж г;-Ж V ч 7.Р ЕЕ жр ж; ip лт
в Ж- в В в э® Ж Ж п HE ОМ .7 tl рч ж ЕН 4р Ж? Ее р ж?
Д^-Т' S-Z- жж тг::;: ii Ж г г:.,:- ж ;-•; н: *1 pi -IZ-.E ttr р i₽ ж;
wffi ж ж®ж ®жж ж Ж wtt® ж Ж Ж ж в Ж ж 7^3i НрШ ж - -Т. т - pi XX 2т- Pl В ip ж?
ЙЖЖЖЗ!® -Ы 7‘--'Ж л -:::- —- Ж“Е _ г— X--: г!т 1"1
7±“ 22 т~п- --: г~г
‘г: Ц’..; Up жж .iiygg -iiZ IZB'.® ЖЖ- +: -"Р .... рг -т: pi р
j rt-tt n tjt rr.fj К'лтпт; гп., n nrt.,,.r.,~T~Ti,7..i — ' t i.—t . i-1 —.. i —,——।——ь~——1— "—L—
о 0.02 0.04 0.06 r/d 0.08 0.10 0.12 O.1U
274
ФИГ. 203
18*
275
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ к
IS 1'ДЛЯ ЭЛЕМЕНТА ТпгтНгт^тП
1жЖ|±|вЖИЖ™'?и-0БРАЗН0Й ФОРМЫ
(фотоупругость, данные Ментла и Долана) Цц
,- *> ГО W
31 .................... сл_____________________ о ел о
: attmt hw. 1жшаа±№_1амм-1 ;#шл ifi'Ori
ФИГ. 204
277
278
ФИГ. 207
279
280
ФИГ. 209
281
•у/ У
ФИГ. 211
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИИ I ,
ttOwststi; для
-у ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА ПОД ВНУТРЕННИМ^4
ИI ДАВЛЕНИЕМ
! ТОРОСФЕРИЧЕСКИМИ ДНИЩАМИ: ! у
г: ""(данные Фесслера и Стенли) и _я.-737::
141 j . -t fo-ifc:d.bg < fe Ф -t|' t!t I0ЖТ r- 7 (3 7
10
9
8
7
6
К
t
5
3
2
Ж
1
= 11.5
itt:
/‘<o >
Периферия^
-днища
Ь-Ct ,/H ! I . :::-| '
,'.ни1иа
-Давление; Я ,
t
< 6,0(
г;ли
я не рекомендуется
4для проектирования
Ч; do
I j/ >.3 рекоме1'.|\еп'Я
' ' для проектирования
Kt Периферия днища;__';: I : ._у
(Rj/tto > 1.0 11 е рекомендуется г
: :77~7..с для проектирования! I
Lk-iiLt.. . JjiP .. JJt
° ML'.ilЬ'нтр днища
1
О 0.1
°-2 Г /а. о.З
не
рп.-.м рекомендуется
Л^рдля проектирования-
—t—(Тангенциальные напряжения—
Х± в цилиндрической части сосуда
L: rill-- --- -г. - :г .
0.5
rt
1ййет
о Л
283
284
ФИГ. 212
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
ГЛАВА 5
Рекомендации по проектированию указаны
на фиг. 211 [378]. Следует принимать rildo не
менее О,ОС». Rjd0 не более 1.0 и rjt не менее 3.0.
Фесслер и Стенли [379] дали обзор исследо-
ваний напряжений в цилиндрических сосудах
под давлением с торосферическими днищами.
5.17 Л Толстостенный цилиндрический)
сосуд с круглымЦотверстием
в’стенке под давлением
Цилиндрический сосуд с отверстием часто
встречается в системах высокого давления. Ве-
личины коэффициентов Kt, приведенные для
такой конструкции на фиг. 212, определяются
по формуле
Гач-1Г (1б9)
PL (Ь/а)2 —1 J
Знаменатель выражения (169) представляет
обой кольцевые напряжения на внутренней
поверхности цилиндрического сосуда без отвер-
стия, согласно решению Ламе (166).
В работе [380] также приведены величины
коэффициентов К( для цилиндра, напрессован-
ного на сосуд без внутреннего давления с отвер-
стием в стенке.
По результатам тензометрических измерений
[381] в толстостенных цилиндрических сосудах
под давлением, в которых сквозные отверстия
(одинакового диаметра) имели хорошие фаски,
с использованием формулы (169) были опреде-
лены коэффициенты концентрации Kt, которые
оказались минимальными (1,0—1,1). Усталост-
ные разрушения в головке компрессора были
значительно снижены за счет устройства отвер-
стий одного диаметра и использования больших
радиусов пересечения.
Цилиндры с боковыми и сквозными отвер-
стиями, находящиеся под действием осевой
нагрузки, рассмотрены в разд. 4.1.
ЛИТЕРАТУРА
1. R. Е. Peterson, Stress Concentration Design
Factors, Wiley, New York (1953).
2. Proc. Intern. Conference on Fatigue of Metals, Inst.
Meeh. Eng., London (1956), G. A. Cottell, “Les-
sons to be Learnt from Failures in Service”, p. 563;
R. Cazaud, “Fatigue and Service. Experience with
Particular Reference to the Shape of the Part”,
p. 581; T. W. Bunyan, “Service Fatigue Failures
in Marine Machinery”, p. 713.
3. H. J. Grover, Fatigue of Aircraft Structures,
NAVAIR 01-1A-13, U- S. Govt. Printing Office,
Washington, D. C. (1966).
3a. British Engine Technical Reports, British Engine
Boiler and Electrical Insurance Co., Ltd., Long-
ridge House, Manchester 4, England-
4. Oliver Wendell Holmes, “The Deacon’s Masterpiece
or the Wonderful One Hoss Shay”, American
Poetry, Scribner, New York (1924), p- 434, origi-
nally published in Atlantic Monthly (Sept. 1858).
4a.E. Z Stowell, “Stress and Strain Concentration at
a Circular Hole in an Infinite Plate”, Tech. Note
2073, Nat. Advisory Comm, for Aeronautics (now
NASA) (1950). См- также R. E. Peterson,
“Fatigue of Metals in Engineering and Design’’,
Edgar Marburg Lecture, ASTM, Philadelphia
(1962), Fig. 23; also in Materials Research and
Standards, ASTM, Vol. 3 (1963), Fig. 23.
5. Annual Book of Standards, Part 31, ASTM, Phila-
delphia, Pa. (1970). Standard E206-66, Definition
of Terms Relating to Fatigue Testing and the
Statistical Analysis of Fatigue Data, Items 16, 18,
19, 20, p- 572.
6. M. Hetenyi, Ed-, Handbook of Experimental Stress
Analysis, Wiley, New York (1950).
7. S. Timoshenko, Strength of Materials, Part Ц,
3rd cd., Van Nostrand, Princeton, N- J. (1956),
p. 444; имеется перевод,: Тимошенко С. П-, Со-
противление материалов, т. II, изд-во “Наука”,
М., 1965.
8. С. R- Soderberg, “Working Stresses”, Chapter 10
в (6].
9. C. R- Soderberg, “Working Stresses”, Trans. AS ME,
Vol- 52, Part 1 (1930), p. АРМ 52-2.
10. C. R. Soderberg, cm- [8], pp. 449—450.
11. J. O. Draffin and W. L- Collins, “Effect of Size
and Type of Specimens on the Torsional Properties
of Cast Iron”, Proc. ASTM, Vol. 39 (1938), p. 235.
12. J. Marin, Engineering Materials, Prentice-Hall,
Hew York (1952), p. 164.
13. H. J. Gough, “Crystalline Structure in Relation to
Failure of Metals”, Proc. ASTM, Vol. 33, Part 2
(1933), p. 3.
14. R. von Mises, “Mechanik der festen Korper im plas-
tisch deformablen Zustand”, Nachr. Ges. Wtss.,
Gottingen Jahresber. Geschaftsjahr, Math-phys.
Kl. (1913), p. 582; имеется перевод.: Мизес P-,
Механика твердых тел в пластически деформиро-
ванном состоянии. В кн. “Теория пластичности”,
ИЛ, М., 1948.
15. Н. Hencky, “Zur. Theorie plastischer Deformatio-
nen und der hierdurch im Material horvorgerufenen
Nebenspannungen”, Proc. 1st Intern. Congr. Appl.
Meeh., Delft (1924), p. 312; имеется перевод:
Генки Г-, К теории пластических деформации
и вызываемых ими в материале остаточных на-
пряжении. В кп. “Теория пластичности”, ИЛ,
М., 1948.
16. A. Eichinger, “Versucho zur IClarung der Frage der
Bruchgofahr”, Proc. 2nd Intern. Congr. Appl. Meeh.
Zurich (1926), p. 325.
17. A. Nadai, “Plastic Behavior of Metals in the Strain
Hardening Range”, J. Appl. Phys., Vol. 8 (1937),
p. 203.
18. G. Sachs, “Zur Ableitung einor Fliessbedingung”,
Z. VDI, Vol. 72 (1928), p. 734-
19. H. L. Cox and D. G. Sopwith, “The Effect of Orien-
tation on Stress in Single Crystals and of Random
Orientation of the Strength of Polycrystalline Ag-
gregates”, Proc. Phys. Soc. (London). Vol. 49
(1937), p. 134.
20, R. Beeching, Discussion, Proc. Inst. Meek. Engrs.
(London), Vol. 159 (1948), p. 113.
21. R. Hill, The Mathematical Theory of Plasticity,
Oxford University Press (1950); имеется перевод:
Хилл P-, Математическая теория пластичности,
Гостехиздат, М., 1956.
22. W. Prager and Р. G. Hodge, Theory of Perfectly
plastic Solids, Wiley, New York (1951); имеется
перевод: Прагер В., Ходж Ф-, Теория идеально
пластических тел, ИЛ, М., 1956.
23. R. Е. Peterson and А. М. Wahl, Closure to Discus-
sion of “Two and Three Dimensional Cases of
Stress Concentration, and Comparison with Fatigue
Tests,” Trans. ASMS, Vol. 58 (1946), Applied
Mechanics Section, p. A-149.
24. H. Majors, B. D. Mills, and C. W. MacGregor,
“Fatigue under Combined Pulsating Stresses”,
Trans. ASME, Vol. 71 (1949), Applied Mechanics
Section, p. 269.
25. W. Sawert, “Verhaltcn der Baustahle bei wechsel-
nder mechrachsiger Beansprnchung”, Z. J'DI,
Vol. 87 (1943), p. 609.
26. J. Marin, cm. [12], p. 163.
27. P. Ludwik. “Kerb- und Korrosionsdauerfestigkeit”,
Metall, Vol. 10 (1931), p. 705.
28. II. J. Gough and H. V. Pollard, “Strength of Ma-
terials under Combined Alternating Stresses”,
Proc. Inst. Meeh. Engrs. (London), Vol. 1?>1 (1935),
p. 1, Vol. 132 (1935), p. 549.
286
ЛИТЕРАТУРА
29. Т. Nisihara and A. Kawamoto, “The Strength of
Metals under Combined Alternating Stresses”,
Trans. Soc. Meeh. Engrs. Japan, Vol. 6, No. 24
(1940), p. S-2.
30. N- M. Newmark, R. J. Mosborg. W. II. Munse, and
R. E. Eiling, “Fatigue Tests in Axial Compression,”
Proc. ASTM, Vol. 51 (1951), p. 792.
31. T. Nishihara and K. Kojima, “Diagram of Endura-
nce Limit of Duralumin for Repeated Tension and
Compression”, Trans. Soc. Meeh. Engrs. Japan,
Vol. 5, No. 20 (1939), p. 1-1. См. также T. Nishi-
hara and T. Sakurai, “Fatigue Strength for Steel
for Repeated Tension and Compression”, Trans.
Soc. Meeh. Engrs. Japan, Yol. 5, No. 8 (1939),
p. 25.
32. M. Ros. A. Eichinger, “Die Bruchgefahr fester
Korper”, Eidgenbss. Matertalprilf. Ber. 173, Zu-
rich (1950).
33. W. N. Findley, Discussion of “Engineering Steels
under Combined Cyclic and Static Stresses”, by
H. J. Gough, Trans. ASME, Vol. 73 (1951),
Applied Mechanics Section, p. 211. См- также
“Fatigue of 76S-T61 Aluminum Alloy under Com-
bined Bending and Torsion”, Proc. ASTM, Vol. 52
(1953), p. 818.
34. R. E. Peterson, “Stress Concentration Phenomena in
Fatigue of Metals”, Trans. ASME, Vol. 55 (1933),
Applied echanics Section, p. 157, Figs. 6, 7,
and 8. См. также “Model Testing as Applied to
Strength of Materials,” Trans. ASME, Vol. 55
(1933), Applied Mechanics Section, p. 79.
35. R. E. Peterson and A. M. Wahl, “Two and Three
Dimensional Cases of Stress Concentration, and
Comparison with Fatigue Tests”, Trans ASME,
Vol. 57 (1936), Applied Mechanics Sections, p. A-15.
Cm. Figs. 15 and 16.
36. R. E. Peterson, “Application of Stress Concentrati-
on Factors in Design,” Proc. SESA, Vol. 1, No. 1
(1943), p. 118.
37. R. E. Peterson, “Relation between Life Testing and
Conventional Tests of Materials”, ASTM Bull.
(March 1945), p. 13. Cm. Figs. 20, 21.
38. Работа [35], Discussion by Horger and Maulbetsch,
p. A-148.
39. H. Neuber, Kerbspannungslehre, Springer, Berlin
(1937), p. 142; имеется перевод: Нейбер Г..
Концентрация напряжений, Гостехпздат, М.,
1947.
40. R- Е. Peterson, “Methods of Correlating Data from
Fatigue Tests of Stress Concentration Specimens”,
Stephen Timoshenko Anniversary Volume, Macmil-
lan, New York (1938), p. 179.
40a.M- M. Leven, “Stress Gradients in Grooved Bars
and Shafts”, Proc. SESA, Vol. 13, No. 1 (19551,
p. 207.
41. IL A. Von Phillipp, “Einfluss von Querschitts-
grosse und Querschittsfonn auf die Dauerfestig-
fceit bei imgleichmassig verteilten Spannungen”,
Forschung, Vol. 13 (1942), p. 99.
42. Работа [37], Fig. 19.
43. R. E. Peterson, “Relation between Stress Analy-
sis and Fatigue of Metals”, Proc. SESA, Vol. 11,
No. 2 (1950), p. 199. См. также [1], p. 9.
44. R. E. Peterson, “Analytical Approach to Stress
Concentration Effect in Aircraft Materials”,U. S. Air
Force-WADC Symposium on Fatigue of Metals,
Technical Report 59-507, Dayton, Ohio (1959),
p. 273.
45. H. F. Moore and R. L. Jordan, ’’Stress Concentrati-
on in Steel Shafts with Semi-Circular Notches”,
Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Meeh., Wiley, New
York (1939), p. 188.
46. H. F. Moore and D. Morkovin, “Second Progress
Report on the Effect of Size of Specimen on Fati-
gue Strength of Three Types of Steel”, Proc. A S TM,
Vol. 43 (1943), p. 109.
47. II. J. Gough, “Engineering Steels under Combined
Cyclic and Static Stresses", Proc. Inst. Meeh. Engrs.
(London), Vol. 160 (1949), p. 417.
48. M. F. Garwood, II. H. Zurburg, and M. A. Erick-
son, “Correlation of Laboratory Tests and Service
Performance”, in Interpretation of Tests and Cor-
relation with Service, Am. Soc. Metals, Cleveland
(1951), p. 1.
49. W. C. Brueggeman, M. Mayer, and W- H. Smith,
Axial Fatigue Tests at Zero Mean Stress of 24 S-T
Aluminum Alloy Sheet with and without a Circu-
lar Hole”, NACA Tech. Note 955 (1944).
50. W. C. Brueggeman and M. Mayer, “Axial Fatigue
Tests at Zero Mean Stress of 24 S-T Aluminum
Alloy Strips with a Central Circular Hole” NACA
Tech. Note 1611 (1948).
<>1 . H. J. Grover, S. M. Bishop, and L. R. Jackson,
“Fatigue Strengths of Aircraft Materials. Axial
Load Fatigue Tests on Notched Sheet Specimens
of 24 S-T3 and 75 S-T6 Aluminum Alloys and of
SAE 4130 Steel with Stress Concentration Factors
of 2,0 and 4,0", NACA Tech. Note 2389 (1951).
52. W. Illg, “Fatigue Tests on Notched and Unnotched
Sheet Specimens of 2024-T3 and 7075-T6 Aluminum
Alloys and of SAE 4130 Steel with Special Conside-
ration of the Life Range from 2 to 10,000 Cycles”,
NACA Tech. Note 3866 (1956).
53. R. R. Moore, “Effect of Grooves, Threads and
Corrosion upon the Fatigue of Metals”, Proc. ASTM,
Vol. 26 (1926), p. 255.
54. H. F. Moore, “The Effect of Size and Notch Sensi-
tivity on Fatigue Characteristics of Two Metallic
Materials. Part 1—Final Report on Aluminum
Alloy 75 S-T”, AF Tech. Report 5726, USAF Air
Material Command, Wright-Patterson Air Force
Base, Dayton, Ohio (1948).
55. M. Ros, A. Eichinger, “Die Bruchgefahr fester Kor-
per bei wiederholter Beanspruchung-Frmiidung”t
Eidgenbss. Materlalpriifungs und Versuchsan-
stalt fur Industrie, Bauwesen und Gewerbe (EMPA}
Ber. 83, Zurich (1950), p. 71.
56. N. J. F. Gunn, “Fatigue Properties at Low Tempe-
rature on Transverse and Longitudinal Notched
Specimens of DTD363A Aluminum Alloy”, Tech.
Note Met. 163, Royal Aircraft Establishment,
Farnborough, England (1952).
57. B. J. Lazan and A- A. Blatherwick, “Strength Pro-
perties of Rolled Aluminum Alloys under Various
Combinations of Alternating and Mean Axial Stres-
ses”, Proc. ASTM, Vol. 53 (1953), p. 856.
58. B. L. Templin, “Fatigue of Aluminum”, Proc.
ASTM, Vol. 54 (1954), p. 641.
59- R. W. Fralich, “Experimental Investigation of
Effects of Random Loading on the Fatigue Life of
Notched Cantilever Beam Specimens of 7075-T6
Aluminum Alloy”, NASA Memo 4-12-59L (1959).
60. R. E. Peterson, “Design of Parts Subjected to
Variable Stresses”, Soc. Promotion Eng. Educati-
on, June 13, 1941, Ann. Arbor, Mich.
61. H. J. Grover, “Fatigue Notch Sensitivity of Some
Aircraft Materials”, Proc. ASTM, Vol. 50 (1950),
p. 731.
62. P. Kuhn and H- F. Hardrath, “An Engineering
Method for Estimating Notch-Size Effect in Fati-
gue Test of Steel”, NACA Tech. Note 2805 (1952).
287
ЛИТЕРАТУРА
63. С. S. Yen and Т. J. Dolan, “A Critical Review of
the Criteria for Notch-Sensitivity in Fatigue of
Metals”, Univ. Illinois Expt. Sta. Bull. 398 (1952).
64. R. E- Peterson, “Notch Sensitivity”, Chapter 13 in
G- Sines and J. L. Waisman, Metal Fatigue,
McGraw-Hill, New York (1959), p. 293, Formula
13.16, p. 300-
65. R- B. Heywood, “Stress Concentration Factors",
Engineering (London), Vol. 179 (1955), p. 146.
65a.П. Neuber, “Theoretical Determination of Fatigue
Strength at Stress Concentration”, Report AFML-
TR-68-20 Air Force Materials Lab., Wright-Patter-
son Air Force Base, Dayton, Ohio (1968).
66. E- A. Davis and M. J- Manjoine, “Effect of Notch
Geometry on Rupture Strength at Elevated Tem-
perature”, Proc. ASTM, Vol. 52 (1952).
67. G. R. Irwin, “Fracture”, Encyclopedia of Physics,
Vol. 6, Springer, Berlin (1958), p. 551.
68. Fracture Toughness Testing and Its Applications,
STP 381, ASTM, Philadelphia, Pa. (1964).
69. Plane Strain Crack Toughness Testing of High
Strength Metallic Materials, STP 410, ASTM,
Philadelphia, Pa. (1966).
70. J. A. Van Den Broek, Theory of Limit Design,
Wiley, New York (1942). Cm. Timoshenko [7],
Chapter 9.
71. M. C. Steele, С. K. Liu, and J. O- Smith, “Critical
Review and Interpretation of the Literature on
Plastic (Inelastic) Behavior of Engineering Metallic
Materials”, Research Report of Dept, of Theoretical
and Applied Mechanics, Univ, of Illinois, Urbana,
III. (Seprt. 1952).
72. R. J. Roark, R. S. Hartenberg, and R. Z. Willi-
ams, “The Influence of Form and Scale on Strength”
Univ. Wisconsin Expt. Sta. Bull 84 (1938).
73. H. J. Gough and W. J- Clenshaw, “Some Experi-
ments on the Resistance of Metals to Fatigue under
Combined Stresses”, Aeronaut. Research Counc.
Repts. Memoranda 2522 (1951), London: H. M. Sta-
tionery Office.
74. R. Houdremont, H. Bennek, “Federstahle”,
Stahl u- Eisen, Vol. 52 (1932), p. 660. [Включает
данные Шенка.]
75. R. E. Peterson, “Brittle Fracture and Fatigue in
Machinery”, Fatigue and Fracture of Metals, Wiley,
New York (1952), p. 74.
76. R. W. Nichols. Ed., A Manual of Pressure Vessel
Technology, Chapter 3, Elsevier Publishing Co.,
London (1969).
77. B- J. Lazan and A. A. Blatherwick, “Fatigue Pro-
perties of Aluminum Alloys at Various Direct Stress
Ratios”, WADC TR 52-306 Part I, Wright-Patter-
son Air Force Base, Daytou, Ohio (1952).
78. J. 0. Smith, “The Effect of Range of Stress on the
Fatigue Strength of Metals”, Univ. Illinois Expt.
Sta. Bull., 334 (1942).
79. A. Ono, “Fatigue of Steel under Combined Bending
and Torsion”, Mem. Coll. Eng. Kyushu Imp. Univ.,
Vol. 2, No. 2 (1921). См. также A. One, “Some
Results of Fatigue Tests of Metals”, J. Soc. Meeh.
Engrs. Japan (Tokyo), Vol. 32 (1929), p. 331. Cm-
также discussions in Engineering (London), Vol. 123
(1926), p. 222, and Proc. Inst. Meeh. Engrs. (Lon-
don), Vol. 131 (1935), p. 92.
80. F. C. Lea and H. P. Budgen, “Combined Torsional
and Repeated Bending Stresses”, Engineering
(London), Vol. 122 (1926), p. 242.
81. V- C. Davies, discussion based on theses of S. K.
Nimhanmimie and W. J. Huitt (Battersea Poly-
technic), Proc. Inst. Meeh. Engrs. (London),
Vol. 131 (1935), p. 66.
82. K. Hohenemser, W. Prager, “Zur Frage der
Ermiidungsfestigkeit bei mehrachsigen Spannun-
gszustanden”, Metall, Vol. 12 (1933), p. 342.
83. P. C. Paris, “The Fracture Mechanics Approach to
Fatigue”, Fatigue — An Interdisciplinary Appro-
ach, Syracuse University Press, Syracuse, N. Y.
(1964), p. 107.
84. Fatigue Crack Propagation, STP 415, ASTM,
Philadelphia, Pa. (1966).
85. H. Neuber, cm. [39], 1st ed-, p. 6, 2nd ed., p 11,
Translations, 1st ed-, p. 7, 2nd ed., p. 21.
86. Работа [1], p- 136—138 (сводка формул). <
86a.S. I. Sazuki, “Stress Analysis of a Semi-Infinite
Plate Containing a Reinforced Notch Under
Uniform Tension”, Intern. J- Solids and Structures,
Vol. 3 (1967), p. 649-
87. M. Seika, “Stresses in a Semi-Infinite Plate Contai-
ning a U-Type Notch Under Uniform Tension”,
Ingenieur Archiv., Vol. 27 (1960), p. 20.
88. O. L. Bowie, “Analysis of Edge Notches in a Semi-
Infinite Region”, Army Materials and Mechanics
Research Center AMRA TR 66-07 (June 1966).
89- F. I. Barrata and D. M. Neal, “Stress Concentration
Factors in U-Shaped and Semi-Elliptical Shaped
Edge Notches”, J. Strain Anal-, Vol. 5 (1970),
p. 121.
90. Chi-Bing Ling, “On Stress Concentration at Semici-
rcular Notch”, Trans. ASME, Vol. 89, Series E
(1967), Applied Mechanics Section, p. 522; имеется
перевод: Труды Амер, об-ва инж.-мех., сер. Е,
No. 2, стр. 299 (1967).
91. С. Е. Inglis, “Stresses in a Plate due to the Presence
of Cracksand Sharp Corners”, Engineeri ng (London),
Vol. 95 (1913), p. 415.
92. M. Isida, “On the Tension of the Strip with Semi-
Circular Notches”, Trans. Japan Soc. Meeh. Eng.,
Vol. 19 (1953), p. 5.
93. Chi-Bing Ling, “On Stress Concentration Factor in
a Notched Strip”, Trans. ASME, Vol. 90, Appl.
Meeh. (1968), p. 833, Discussion by F. J. Appl,
Trans. ASME, Vol. 91 (1969), Applied Mechanics
Section, p. 654; имеется перевод: Труды Амер, об-
ва инж.-мех-, сер. Е, № 4, стр. 231 (1968).
94. F- J. Appl and D. R. Koerner, “Numerical Analy-
sis of Plane Elasticity Problems”, Proc. Am. Soc.
Civil Eng., Vol. 94, No. EM3 (1968), p. 743.
95. C- J. Hooke, “Numerical Solution of Plane Elastos-
tatic Problems by Point Matching”, J. Strain Anal.,
Vol. 3 (1968), p. 109.
95a. T. Slot, Stress Analysis of Thick Perforated Plates,
Technomic Publ. Co., Westport, Conn. (1972).
96. M. Kikukawa, “Factors of Stress Concentration for
Notched Bars Under Tension and Bending’’, Proc.
10th Intern. Cong. Appl. Meeh., Elsevier, New York
(1962), p. 337.
97. P- D- Flynn and A. A- Roll, “Re-examination of
Stress in a Tension Bar with Symmetrical U-Shaped
Grooves”, Proc. Soc. Exp. Stress Analysis, Vol. 23,
Pt. 1 (1966), p. 93. См. также “A Comparison of
Stress Concentration Factors in Hyperbolic and
U-Shaped Grooves”, Proc. Soc. Exp. Stress Analysis,
Vol. 24, Pt. 1 (1967), p. 272.
98. F. J. Appl and R. D. Koerner, “Stress Concentrati-
on Factors for U-Shaped, Hyperbolic and Rounded
V-Shaped Notches”, ASME Paper 69-DE-2; Eng.
Soc. Library, United Eng. Center, New York
(1969).
98a.I- H. Wilson and D. J. White, “Stress Concentra;
tion Factors for Shoulder Fillets and Grooves in
Plates”, J. Strain Anal., Vol. 8 (1973), p. 43.
288
ЛИТЕРАТУРА
der
mun-
>.
ch to
ppro-
[. Y.
STM,
L H,
inite
Jnder
tares,
ntai-
ion”,
>emi-
anics
966).
ation
laped
970),
mici-
ies E
еется
9. E,
sence
don),
Semi-
Eng.,
;or in
ppi.
kppl,
anics
rj. об-
naly-
Soc.
istos-
inal.,
lates,
972).
>n for
Proc-
York
on of
raped
1. 23,
on of
and
ilysis,
trati-
mded
Eng.
York
itra-
?es in
>. 43.
986.F. I. Barrata, “Comparison of Various Formulae
and Experimental Stress-Concentration Factors for
Symmetrical U-Notched Plates”, J. Strain Anal.,
Vol. 7 (1972), p. 84.
98b.Pl. B. Heywood, Designing by Photoelasticity, Cha-
pman and Hall, London (1952), p. 163.
98r.H. Liebowitz, H. Vandervelt, and R. J. Sanford,
“Stress Concentrations Due to Sharp Notches”,
Exper. Meeh., Vol. 7 (1967), p. 513.
99. J. R. Dixon, “Stress Distribution Around Edge
Slits in a Plate Loaded in Tension — The Effect of
Finite Width of Plate”, J. Royal Aero. Soc., Vol. 66
(1962), p. 320.
100. H. M. Westergaard, “Bearing Pressures and Cracks”,
Trans. ASME, Vol. 61 (1939), Applied Mechanics
Section, p. A-49.
101. G- R. Irwin, Fracture, Vol. 6, Encyclopedia of
Physics, Springer, Berlin (1958), p. 565.
102. O- L- Bowie, “Rectangular Tensile Sheet with
Symmetric Edge Cracks”, Army Materials and Me-
chanics Research Center, AMRA TR 63-22 (Oct.
1963).
103. W. F. Brown and J. E- Strawley, “Plane Strain
Cracks Toughness Testing of High Strength Metallic
Materials”, STP 410, Amer. Soc. Testing Mtls.,
Philadelphia, Pa- (1966), p. 11.
104. W. T- Koiter, “Note on the Stress Intensity Factors
for Sheet Strips with Crack under Tensile Loads”,
Rpt. 314 of Laboratory of Engr. Mechanics, Tech-
nological University, Delft, Holland (1965).
105. R. G. Irwin, “Fracture Mechanics”, in Structural
Mechanics, Pergamon, New York (1960).
106. P. C. Paris and G- О Sih, “Stress Analysis of
Cracks”, ASTM Special Tech- Publ. 381 (1965),
p. 34.
107- M. M. Leven and M. M- Frocht, “Stress Concentra-
tion Factors for a Single Notch in a Flat Plate in
Pure and Central Bending”, Proc. SESA, Vol. 11,
No. 2 (1953), p. 179, См. также Trans. ASME,
Vol. 74 (1952), Applied Mechanics Section, p. 560.
107a.H. Neuber, cm. [39], translation, 2nd ed., p. 69.
108- A. G. Cole and E. F. Brown, “Photoelastic Deter-
mination of Stress Concentrat ion Factors Caused by
a Single U-notch on One Side of a Plate in Tension”,
J. Royal Aero Soc. Vol. 62 (1958), p. 597.
109. A- Atsumi, “Stress Concentrations in a Strip under
Tension and Containing an Infinite Row of Semi-
circular Notches”, Q. J. Meeh, and Appl. Math.,
Vol. 11, Part 4 (1958), p. 478.
110. C. Weber, “Halbebene mit periodish gewelltem
Rand”, Z. angeiv. Math. a. Meeh., Vol. 22 (1942),
p. 29.
111. K. J. Schulz, “Over den Spannungstoestand in do-
orborde Platen” (On the State of Stress in Perfora-
ted Plates), Doctoral Thesis, Techn. Hochschule,
Delft (1941).
llla-K. J. Schulz, “On the State of Stress in Perforated
Strips and Plates”, Proc. Koninklyke Nederlandsche
Akadainie van Wetenschappen (Netherlands Royal
Academy of Science), Amsterdam, Vol. 45 (1942),
p. 233, 341, 457, 524; Vol. 46-48 (1943-1945),
p. 282, 292.
Предыдущие шесть работ подытожены С. В. Bi-
ezeno, “Survey of Papers Elasticity Published in
Holland 1940-1946”, Advances in Applied Mecha-
nics, Vol. 1, Academic Press, New York (1948),
p. 105.
112. H. Neuber, cm. [39], 2nd ed., p. 163.
113. A. J. Durelli, R. L- Lake and E. Phillips, “Stress
Concentrations Produced by Multiple Semi-Circular
Notches in Infinite Plates under Uniaxial States of
Stress”, Proc. SESA, Vol. 10, No. 1 (1952),
p. 53. См- также “Stress Distribution in Plates
under a Uniaxial State of Stress, with Multiple
Semicircular and Flat-Bottom Notches”, Proc.
1st Nat. Congr. Appl. Meeh. (1952), p. 309.
114. A. Atsumi, “Stress Concentrations in a Strip Under
Tension and Containing Two Pairs of Semicircular
Notches Placed on the Edges Symmetrically”^
Trans. ASME, Vol. 79, Series E (1957), Applied
Mechanics Section, p. 565.
115. M. Hetenyi, “The Distribution of Stress in Threa-
ded Connection”, Proc. SESA, Vol. 1, No. 1 (1943),
p. 147. См. также Trans. ASME, Vol. 65 (1943),
Applied Mechanics Section, p. A-93.
116. R. R. Moore, “Effect of Grooves, Threads and
Corrosion upon the Fatigue of Metals”, Proc. ASTM,
Vol. 26, Part 2 (1926), p. 255.
117. R- A. Eubanks, “Stress Concentration Due to
a Hemispherical Pit at a Free Surface”, Trans.
ASME, Vol. 76 (1954), Applied Mechanics Secti-
on, p. 57.
118. В. P. Denardo, “Projectile Shape Effects on Hyper-
velocity Impact Craters in Aluminum”, NASA TN
D-4953, Washington, D. C. (1968).
119. R- E. Reed and P. R. Wilcox, “Stress Concentra-
tion Due to a Hyperboloid Cavity in a Thin Plate”,
NASA TN D-5955, Washington, D. C. (1970).
120- G. R- Cowper, “Stress Concentrations Around Shal-
low Spherical Depressions in a Flat Plate”, Aero
Report LR-340, National Research Laboratories,
Ottawa, Canada (1962).
120a . Y. F. Cheng, “Stress at Notch Root of Shafts under
Axially Symmetric Loading”, Exp. Mechanics,
Vol. 10 (1970), p. 534.
121. M. M. Frocht, “Factors of Stress Concentration
Photoelastically Determined”, Trans. ASME,
Vol. 57 (1935), Applied Mechanics Section, p. A-67.
121a .H. Kitagawa and K. Nakade, “Stress Concentrati-
ons in Notched Strip Subjected to In-Plane Ben-
ding”, Technology Reports of Osaka University,
Vol. 20 (1970), p. 751.
1216. H. Neuber, см- [39], translation, 2nd ed., p. 71.
121b.W. K. Wilson, “Stress Intensity Factors for Deep
Cracks in Bending and Compact Tension Speci-
mens”, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 2,
Pergamon Press, London (1970), p. 169.
122. С. H. Tsao, A. Ching, and S. Okubo, “Stress Con-
centration Factors for Semi-elliptical Notches in
Beams Under Pure Bending”, Exp- Mechanics,
Yol. 5 (1965), p. 19A.
123. K- Nishioka aud N. Hisamitsu, “On the Stress Con-
centration in Multiple Notches”, Trans. ASME,
Vol. 84, Series E (1962), Applied Mechanics Sec-
tion, p. 575,
124. A. Ching, S- Okubo, and С. H. Tsao, “Stress Concen-
tration Factors for Multiple Semi-Elliptical Not-
ches in Beams Under Pure Bending”, Exp. Mecha-
nics., Vol. 8 (1968), p. 19N.
125. H. Neuber, cm. [39], 2nd, ed., p. 84.
126. G. H. Lee, “The Influence of Hyperbolic Notches
on the Transverse Flexure of Elastic Plates”,
Trans. ASME, Vol. 62 (1940), Applied Mechanics
Section, p. A-53.
127. S. Shioya, “The Effect of Square and Triangular
Notches with Fillets on the Transverse Flexure of
Semi-Infinite Plates”, Z. angew. Math. a. Meeh.,
Vol. 39 (1959), p. 300.
128. S. Shioya, “On the Transverse Flexure of a Semi-
Infinite Plate with an Elliptic Notch”, Engenieur-
Archiv, Vol. 29 (1960), p. 93.
19 p. Петерсон
289
ЛИТЕРАТУРА
129. S. Shioya, “The Effect of an Infinite Row of Semi-
Circular Notches on the Transverse Flexure of a Se-
mi-Infinite Plate”, Ingenieur-Archiv, Vol. 32
(1963), p. 143.
130. H. Neuber. cm. [39], 2nd ed., p. 45.
131. R. K. Rushton, “Stress Concentrations Arising in
the Torsion of Grooved Shafts”, J. Meeh. Sci.,
Vol. 9 (1967), p. 697.
132. G. J. Matthews and C. J. Hooke, “Solution of Axi-
symmetric Torsion Problems by Point Matching”,
J. Strain Anal., Vol. 6 (1971), p. 124.
133. M. Hamada and H. Kitagawa, “Elastic Torsion of
Circumferentially Grooved Shafts”, Bull. Japan.
Soc. Meeh. Eng., Vol. 11 (1968), p. 605.
134. M. M. Leven, “Quantitative Three-Dimensional
Photoelasticity”, Proc. SESA, Vol. 12, No. 2
(1955), n. 167.
135. H. Okubo, “Approximate Approach for Torsion
Problem of a Shaft with a Circumferential Notch”,
Trans. ASME, Vol. 74 (1952), Applied Mechanics
Section, p. 436.
136. H. Okubo, “Determination of Surface Stress by
Means of Electroplating”, J. Appl. Physics,
Vol. 24 (1953), p. ИЗО.
137. H. Fessler, С. C. Rogers, and P. Stanley, “Shoul-
dered Plates and Shafts in Tension and Torsion”,
J. Strain Anal., Vol. 4 (1969), p. 169.
138. R. V. Baud, “Study of Stresses by Means of Polari-
zed Light and Transparencies", Proc. Engrs. Soc.
West. Penn., Vol. 44 (1928), p. 199.
139. M. M. Leven and J. B. Hartman, “Factors of Stress
Concentration for Flat Bars with Centrally Enlar-
ged Section”, Proc. SESA, Vol. 9, No. 1 (1951),
p. 53.
140. K. Kumagai and H. Shimada, “The Stress Concen-
tration Produced by a projection under Tensile
Load”, Bull. Japan. Soc. Meeh. Eng., Vol. 11
(1968), p. 739.
141. B. Scheutzel and D. Gross, Konstruktion, Vol. 18
(1966), p. 284.
142. D. Spangenberg, Konstruktion, Vol. 12 (I960), p. 278.
143. A. T. Derecho and W- II. Munse, “Stress Concentra-
tion at External Notches in Members Subjected to
Axial Loading’’, Univ. Illinois Eng. Exp. Eng.
Sta. Bulletin, No. 494 (1968).
144. R. V. Baud, “Beitrage zur Kenntnis der Span-
nungsverteilung in Prismatischen und Keilfonnigen
Konstruktionselementen mit Querschnittsubergan-
gen”, Eidgenoss. Materialprh}. Ber., 83, Zurich
(1934). См. также Product Eng., Vol. 5 (1934), 133.
145. A. Thum and W. Bautz, “Der Entlastungsiiber-
gang — Giinstigste Ausbildung des Uberganges an
abgesetzten Wellen u- dgl.”, Forsch. Ingwes., Vol. 6
(1934), p. 269.
146. K- Lurenbaum, Ges. Vortrage der Ilauptvers. der
TAlienthal Gesell. (1937), p, 296.
147. P. Grodzinski, “Investigations on Shaft Fillets”,
Engineering (London, Vol. 152 (1941), p. 321.
148. W. Morgenhrod, “Die Gestaltfestigkeit von Wal-
zen und Achsen mit Hohlkehlen”, Stahl u. Eisen,
Vol. 49 (1939), p. 511.
149. D. J. McAdam, “Endurance Properties of Steel”,
Proc. ASTM, Vol. 23, Part II (1923), p. 68.
150. R. E. Peterson, “Fatigue Tests of Small Specimens
with Particular Reference to Size Effect”, Proc.
Am- Soc. Steel Treatment, Vol. 18 (1930), p. 1041.
151. L. S. Clock, “Reducing Stress Concentration with
an Elliptical Fillet”, Design News, Rogers Publi-
shing Co., Detroit, Mich. (May 15, 1952).
152. R. B. Heywood, Photoelasticity for Designers,
Pergamon, New York (1969), Chapter 11.
153. I. M. Allison, “The Elastic Concentration Factors
in Shouldered Shafts, Part III: Shafts Subjected to
Axial Load”, Aeronautical Q., Vol. 13 (1962),
p. 129.
153a. D. S. Griffin and A. L. Thurman, “Comparison of
DUZ Solution with Experimental Results for
Uniaxially and Biaxially Loaded Fillets and
Grooves”, WAPD TM-654, Clearinghouse for Scien-
tific and Technical Information, Springfield, Va.
(1967).
1536. D. S. Griffin and R. B. Kellogg, "A Numerical
Solution for Axially Symmetrical and Plane Elasti-
city Problems”, Intern- J. Solids and Structure
Vol. 3 (1967), p. 781.
153в. М. M. Leven, “Stress Distribution in a Cylinder
with an External Circumferential Fillet Subjected
to Internal Pressure”, Res. Memo 65-9D7-520-M1,
Westinghouse Research Lab. (1965).
153r. J. H. Heifetz and I. Berman, “Measurements of
Stress Concentration Factors in the External Fillets
of a Cylindrical Pressure Vessel”, Exp. Mechanics,
Vol. 7 (1967), p. 518.
153д. В. C. Gwaltney, J. M. Corum, and W. L. Greenst-
reet, “Effect of Fillets on Stress Concentration in
Cylindrical Shells with Step Changes in Outside
Diameter”, Trans. ASME, Vol. 93, J- Eng. for
Industry (1971), p. 986; имеется перевод: Труды
Амер, об-ва инж.-мех., серия В, № 4, стр. 20
(1971).
154. D. С. Berkey, “Reducing Stress Concentration with
Elliptical Fillets”, Proc. SESA, Vol. 1, No. 2
(1944), p. 56.
155. I. M. Allison, “The Elastic Concentration Factors in
Shouldered Shafts, Part II: Shafis Subjected to
Bending”, Aeronautical Q-, Vol. 12 (1961), p. 219.
156. L. S. Jacobsen, “Torsional Stress Concentration
in Shafts of Circular Cross-Section and Variable
Diameter”, Trans. ASME, Vol. 47 (1925), p. 619.
157. ДЧ Weigand, “Ermittung der Formziffer der auf
Verdrehung beanspruchten abgesetzten Welle mil
Hilfe von Feindehnungsmessungen”, Luftfahrt-
Forsch., Vol. 20 (1943).
158. I. M. Allison, “The Elastic Stress Concentration
Factors in Shouldered Shafts”, Aeronautical Q.,
Vol. 12 (1961), p. 189.
159. K. R. Rushton, “Elastic Stress Concentrations for
the Torsion of Hollow Shouldered Shafts Determi-
ned by an Electrical Analogue”, Aeronautical Q.,
Vol. 15 (1964), p. 83.
160. H. Oschatz, “Gesetzmassigkeiten des Dauerbruches
und Wege zur Steigerung der Dauerhallbarkeit",
Mitt, der Materialpriifungsanstalt an den Techni-
schen Ilochschule Darmstadt, Vol. 2 (1933).
161. A. Thum and E. Bruder, “Dauerbruchgeiahr an
Hohlkehlen von Wellen und Achsen und ihre
Minderung”, No. 11, Deutsche Kraftfahrforschung
tm Auftrag des Reichs-Verkehrsministeriums, VDI
Verlag, Berlin (1938).
162. E. Sternberg and M. A. Sadowsky, "Three-Dimen-
sional Solution for the Stress Concentration Aro-
und a Circular Hole in a Plate of Arbitrary Thick-
ness”, Trans. ASME, Vol. 71 (1949), Applied
Mechanics Section, p. 27.
163. С. K. Youngdahl and E. Sternberg, “Three-Dimen-
sional Stress Concentration Around a Cylindrical
Hole in a Semi-Infinite Elastic Body”, Trans.
ASME,Ng\. 88, Series E (1966), Applied Mecha-
nics Section, p. 855; имеется перевод: Труды Амер,
об-ва инж.-мех., серия Е, № 4, стр. 149 (1966).
164. В. Kirsch. Z. VDI (July 16, 1898). См. S. Timo-
shenko [7], p. 301.
290
ЛИТЕРАТУРА
165. R. С. J. Howland, “On the Stresses in the Neigh-
borhood of a Circular Hole in a Strip under Tension”,
Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A, Vol. 229
(1929-30), p. 67.
166. Design Data, booklet published by ASME (1939).
См. также G. H. Neugebauer, “Stress Concentration
Factors and Their Effect on Design” Product Eng.,
Vol. 14 (1943), p. 82.
167. A. M. Wahl and R. Beeuwkes, ’’Stress Concentration
Produced by Holes and Notches”, Trans. ASME,
Vol. 56 (1934), Applied Mechanics Section, n. 617.
167a.S. Christiansen, “Numerical Determination of
Stresses in a Finite or Infinite Plate with Several
Holes of Arbitrary Form”, Z. angew. Math. u. Meeh.
Vol. 48 (1968), p. T131.
168. T. Udoguti, “Solutions of Some Plane Elasticity
Problems by Using Dipole Coordinates — Part II”,
Trans. Japan Soc. Meeh. Eng., Vol. 15 (1949),
p. 1—80.
169. M. Isida, “Form Factors of a Strip with an Elliptic
Hole in Tension and Bending”, Scientific Papers of
Faculty of Engineering, Tokushima University,
Vol. 4 (1953), p. 70. Factors for b/w from 0.5 to
1.0 — частное сообщение.
169a.E. G. Coker and L. N. G. Filon, A Treatise on Pho-
toelasticity, Cambridge University Press, Cambri-
dge, England (1931), p. 486; имеется перевод:
Кокер Э., Файлов Л., Оптический метод исследо-
вания напряжений, ОНТИ, Л.-М. 1936.
1696.W. Т. Koiter, “An Elementary Solution of Two
Stress Concentration Problems in the Neighborhood
of a Hole”, Q. Appl. Math., Vol. 15 (1957), p. 303.
170. R. B. Heywood, cm. [98b], p. 268.
170a. A. Hennig, “Polarizationsoptische Spannungsunter-
suchungen am gelochten Zugstab und am Nietloch”,
Forsch. Gebiete Ingenieur, VDI, Vol. 4, No. 2
(1933), p. 53.
1706.R. G. Belie and F. J. Appl, “Stress Concentrations
in Tensile Strips with Large Circular Holes”, Exp.
Mechanics, Vol. 12 (1972), p. 190, Discussion,
Vol. 13 (1973), p. 255.
171. R. D. Mindlin, “Stress Distribution Around a Hole
near the Edge of a Plate in Tension”, Proc. SESA,
Vol. 5, No. 2 (1948), p. 56.
172. T. Udoguti, “Solutions of Some Plane Elasticity
Problems by Using Dipole Coordinates — Part I”,
Trans. Japan Soc. Meeh. Eng., Vol. 13 (1947),
p. 17.
173. M. Isida, “On the Tension of a Semi-Infinite Plate
with an Elliptic Hole”, Scientific Papers of Faculty
of Engineering, Tokushima University, Vol. 5
(1955), p. 75.
174. S. Sjostrom, “On the Stresses at the Edge of an
Eccentrically Located Circular Hole in a Strip
under Tension”, Report No. 36, Aeronaut. Research
Inst. Sweden (Stockholm) (1950).
175. J. G. Lekkerkerker, “Stress Concentration Around
Circular Holes in Cylindrical Shells”, Proc. 11th
Internet. Congr. Appl. Meeh., Springer, Berlin
(1964), p. 283.
176. A. C. Eringen, A. K. Naghdi, and С. C. Thiel,
“State of Stress in a Circular Cylindrical Shell with
a Circular Hole”, Welding Research Council Bul-
letin, 102 (1965).
177. P. Van Dyke, “Stresses about a Circular Hole in
a Cylindrical Shell”, AIAA J., Vol. 3 (1965),
p. 1733; имеется перевод: Ракетная техника
и космонавтика, № 9, стр. 211 (1965).
178. N. С. Lind, “Stress Concentration of Holes in
Pressurized Cylindrical Shells”, AIAA J., Vol. 6
19*
(1968), p. 1397; имеется перевод: Ракетная техни-
ка и космонавтика, № 7, стр. 225 (1968).
179. D. S. Houghton and A. Rothwell, ‘The Effect of
Curvature on the Stress Concentration Around Holes
in Shells”, College of Aeronautics, Cranfield, Eng-
land, Rpt. 156 (1962).
180. J. T. Jessop, C. Snell, and I. M. Allison, “The Stress
Concentration Factors in Cylindrical Tubes with
Transverse Cylindrical Holes”, Aeronautical Q.,
Vol. 10 (1959), p. 326.
180a.A. J. Durelli, C. J. del Rio, V. J. Parks, and
H. Feng, “Stresses in a Pressurized Cylinder with a
Hole”, Proc. Am. Soc. Civil Eng. Vol. 93 (1967),
p. 383.
181. D. N. Pierce and S. I. Chou, “Stress State Around
an Elliptic Hole in a Circular Cylindrical Shell
Subjected to Axial Loads”, Presented at SESA
Meeting, Los Angeles, Cal., May 16, 1973.
181a. H. Hanzawa, M. Kishida, M. Murai, and K. Ta-
kashina, “Stresses in a Circular Cylindrical Shell
Having Two Circular Cutouts”, Bull. Japan. Soc.
Meeh. Eng., Vol. 15 (1972), p. 787.
1816. M. Hamada, K. Yokoya, M. Hamamoto, and T. Ma-
snda, “Stress Concentration of a Cylindrical Shell
with One or Two Circular Holes”, Bull. Japan Soc.
Meeh. Eng., Vol. 15 (1972), p. 907.
181b. A. J. Durelli, et. al., “Stresses in a Pressurized Rib-
bed Cylindrical Shell with a Reinforced Circular
Hole Interrupting a Rib”, Trans. ASME, Vol. 93
(1971) Jl. Eng. for Industry, p. 897; имеется пере-
вод: Труды Амер, об-ва инж.-мех., сер. В, № 4,
стр. 12 (1971).
182. М. V. V. Murthy, “Stresses Around an Elliptic Ho-
le in a Cylindrical Shell”, Trans. ASME, Vol. 91,
Series E (1969), Applied Mechanics Section, p. 39;
имеется перевод: Труды Амер, об-ва инж.-мех.,
сер. Е, № 1, стр. 39 (1969).
182а.М. V. V. Murthy and М. N. Вари Rao, “Stresses in
a Cylindrical Shell Weakened by an Elliptic Hole
with Major Perpendicular to sbell Axis”, Trans.
ASME, Vol. 92, Series E (1970), Applied Mechanics
Section, p. 539; имеется перевод: Труды Амер, об-
ва инж.-мех., сер. Е., № 2, стр. 286 (1970).
1826.0. Tingleff, ’’Stress Concentration in a Cylindrical
Shell with an Elliptical Cutout”, AIAA J., Vol. 9
(1971), p. 2289; имеется перевод: Ракетная тех-
ника и космонавтика, № 11, стр. 210 (1971).
182b.F. A. Leckie, D. J. Paine, and R. К. Penny, “Ellip-
tical Discontinuities in Spherical Shells”, J. Strain
Anal., Vol. 2 (1967), n. 34.
183. M. Seika and M. Ishii, ^‘Photoelastic Investigation
of the Maximum Stress in a Plate with a Reinforced
Circular Hole under Uniaxial Tension”, Trans-
ASME, Vol. 86, Series E (1964), Applied Mechanics
Section, p. 701; имеется перевод: Труды Амер, об-
ва инж.-мех., серия Е, № 4, стр. 143 (1964).
184. М- Seika and A. Amano, “The Maximum Stress in
a Wide Plate with a Reinforced Circular Hole under
Uniaxial Tension — Effects of a Boss with Fillet”,
Trans. ASME, Vol. 89, Series E (1967), Applied
Mechanics Section, p. 232.
185. S. Timoshenko, “On Stresses in a Plate with a Cir-
cnlar Hole", J. Franklin Inst., Vol. 197 (1924),
p. 505.
186. K. Lingaiah, W. p. T. North, and J. B. Mantle.
“Photoelastic Analysis of an Asymmetrically Rein-
forced Circular Cutout in a Flat Plate Subjected
to Uniform Unidirectional Stress”, Proc. SESA.
Vol. 23, No. 2 (1966), p. 617.
187. C. Gurney, “An Analysis of the Stresses in a Flat
Plate with Reinforced Circular Hole under Edge
291
ЛИТЕРАТУРА
Force”, Aeronautical Research Comm. R and M
1834, London (1938).
188. L- Beskin, “Strengthening of Circular Holes in
Plates under Edge Forces”, Trans. ASME, Vol. 66
(1944), Applied Mechanics Section, p. A-140.
189. S. Levy, A- E. McPherson, and F. C. Smith,
“Reinforcement of a Small Circular Hole in a Plane
Sheet under Tension”, Trans. A SME, Vol. 70(1948),
Applied Mechanics Section, p. 160.
190. H. Reissner and M. Morduchow, “Reinforced Circu-
lar Cutouts in Plane Sheets”, NACA TN 1852 (1949).
191. A. A. Wells, “On the Plane Stress Distribution in
an Infinite Plate with Rim-Stiffened Elliptical
Opening”, Q.J. Meeh. Appl. Math., Vol. 2,
Part 1 (1950), p. 23.
192. E. H- Mansfield, “Neutral Holes in Plane Sheet —
Reinforced Holes which are Elastically Equivalent
to the Vncut Sheet”, Q.J. Meeh. Appl. Math.,
Vol. 6 (1953), p. 370.
193. R. Flicks, “Reinforced Elliptical Holes in Stressed
Plates”, J. Royal Aero. Soc., Vol. 61 (1957), p. 688.
194. W. H. Wittrick, “The Stresses Around Reinforced
Elliptical Holes in Plane Sheet”, Aero. Res. Lab.
(Australia) Report 267 (1959).
195. Савин Г. H. Концентрация напряжений около
отверстий, Гостехиздат, М-, 1951.
196. D. S. Houghton and A. Rothwell, “The Analysis of
Reinforced Circular and Ellintical Cutouts under
Various Loading Conditions”, College of Aeronautics
Cranfield, England. Report 151 (1961).
196a G. A. O. Davies, “Plate-Reinforced Holes”, Aerona-
utical Q., Vol 18 (1967), p. 43.
197. A. Kaufman, P- T. Bizon, and W. C. Morgan,
“Investigation of Circular Reinforcements of Rec-
tangular” Cross-Section Around Central Holes in
Flat Sheets under Biaxial Loads in the Elastic
Range”, NASA TN D-1195 (1962).
197a. British Science Data 70005, Engineering Science
Data Unit, 4 Hamilton Pl., London W1 (1970),
p. 15
198- ASME Boiler and Pressure Vessel Code — Pressure
Vessels, Section VIII, ASME, New York (1971),
p. 27.
199. A. Kaufman, P- T. Bizon, and W. C. Morgan,
“Investigation of Tapered Circular Reinforcements
Around Central Holes in Flat Sheets Under Biaxial
Loads in the Elastic Range”, NASA TN D 1101
(1962).
199a.S. K. Dhir and J. S. Brock, “A New Method of
Reinforcing a Hole Effecting Large Weight Savings”,
Intern. J. Solids and Structures, Vol. 6 (1970),
p. 259.
200. E. H- Mansfield, “Analysis of a Class of Variable
Thickness Reinforcement Around a Circular Hole in
a Flat Sheet”, Aeronaut. Q-. Vol. 21 (1970), p. 303.
201. W. F. Riley, A. J. Durelli, and P. S. Theocaris,
“Further Stress Studies on a Square Plate with
Pressurized Central Circular Hole”, Proc. 4th Ann.
Conf, on Solid Mechanics, Univ, of Texas, Austin
(1959).
202. A. J. Durelli and W. F. Riley, Introduction to
Photomechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N.J. (1965), p. 233; имеется перевод: Дюрелли A.,
Райли У., Введение в фотомеханику, изд-во
“Мир”, М., 1970.
203. Т- Sekiya, “An Approximate Solution in the Proble-
ms of Elastic Plates with an Arbitrary External
Form and a Circular Hole”, Proc. 5th Japan Nat.
Congr. Appl. Meeh. (1955), p. 95.
204. G. A. O. Davies, “Stresses in a Square Plate Having
a Central Circular Hole”, J. Royal Aero. Soc ,
Vol. 69 (1965), p. 410.
204a.A. J. Durelli and A. S. Кobayashi, “Stress Distri-
butions around Hydrostatically Loaded Circular
Holes in the Neighborhood of Corners”, Trans.
ASME, Vol. 80, Applied Mechanics Section (1958),
p. 178.
205. Chi-Bing Ling, “On the Stresses in a Plate Contai-
ning Two Circular Holes”, J. Appl. Physics.,
Vol. 19 (1948), p. 77. См. также “The Stresses in
a Plate Containing an Overlapped Circular Hole”,
J. Appl- Physics, Vol. 19 (1948), p. 405.
206. R. A. W. Haddon, “Stresses in an Infinite Plate
with Two Unequal Circular Holes”, Q.J. Meeh.
Math., Vol. 20 (1967), p. 277.
207. W. E. North, “A Photoelastic Study of the Interac-
tion Effect of Two Neighboring Holes in a Plate
Under Tension”, M.S. Thesis, University of Pit-
tsburgh (1965).
208. V- L- Salerno and J. B. Mahoney, “Stress Solution
for an Infinite Plate Containing Two Arbitrary
Circular Holes Under Equal Biaxial Stresses”,
Trans. ASME, Vol. 90, Series В (1968), Industry
Section, p. 656; имеется перевод: Труды Амер. об-
ва инж.-мех., серия В, .№ 4, стр. 149 (1968).
209. R. С. J. Howland, “Stresses in a Plate containing
an Infinite Row of Holes”, Proc. Roy. Soc. (London),
A. Vol. 148 (1935), p. 471.
210. P. Meijers, “Doubly-Periodic Stress Distributions in
Perforated Plates”, Dissertation, Tech. Hochschule
Delft, Netherlands (1967).
211. A. Hiitter, “Die Spannungsspitzen in gelochten
Blechscheiben und Streiften”, Z. angew. Math.
Meeh., Vol. 22 (1942), p. 322.
212. W. J. O’Donnell and B. F. Langer, “Design of
Perforated Plates”, Trans. ASME, Vol. 84, Series В
(1962), Industry Section, p. 307; имеется перевод:
Труды Амер, об-ва инж.-мех., серия В, № 3,
стр. 9 (1962).
213. G. Horvay, “The Plane-Stress Problem of Perfora-
ted Plates”, Trans. ASME, Vol. 74, Series E (1952),
Applied Mechanics Section, p. 355.
214- R. C. Sampson, “Photoelastic Analysis of Stresses
in Perforated Material Subject to Tension or Ben-
ding”, Bettis Technical Review, WAP-BT-18 (April
1960).
215. M. M. Leven, “Effective Elastic Constants in Plane
Stressed Perforated Plates of Low Ligament Effi-
ciency”, Westinghouse Research Report 63-917-
520-R1 (August 28, 1963).
216. M. M. Leven, “Stress Distribution in a Perforated
Plate of 10% Ligament Efficiency Subjected to
Equal Biaxial Stress”, Westinghouse Research
Report 64-917-520-R1 (March 17, 1964).
216а.Григолюк Э. И., Филыптинский Л. А., Перфориро-
ванные пластины и оболочки, изд-во “Наука”,
М., 1970.
2166.J- Е. Goldberg and К. N. Jabbour, “Stresses and
Displacements in Perforated Plates”, Nuclear
Structural Engineering, North Holland Publ. Co.,
Amsterdam (1965), p. 360.
217. R- Bailey and R. Hicks, “Behavior of Perforated
Plates under Plane Stress”, J. Meeh. Eng. Sci.,
Vol. 2, No. 2 (1960), p. 143.
218- L. E. Hulbert and F. W. Niedenfuhr, “Accurate
Calculation of Stress Distributions in Multiholed
Plates”, Trans. ASME, Vol. 87, Series В (1965),
Industry Section, p. 331; имеется перевод: Труды
Амеп. об-ва инж.-мех., серия В, 3, стр. 76 (1965).
219. Н. Nuno, Т. Fujie, and К. Ohkuma, “Experimen-
tal Study on the Elastic Properties of Perforated
2
2.
2-
23
23
23;
292
ЛИТЕРАТУРА
Plates with Circular Holes in Square Patterns”,
MAPI Laboratory Research Report 74, Mitsubishi
Atomic Power Industries Laboratory (March 1964).
220. W. J- O’Donnell, “A Study of Perforated Plates
with Square Penetration Patterns”, WAPD-T-1957,
Bettis Atomic Power Laboratory (August 1966).
221. M. M. Leven, “Photoelastic Analysis of a Plate
Perforated with a Square Pattern of Penetrations”,
Westinghouse Research Memo 67-1D7-T AADS-MI
(January 1967).
222. W. J. O’Donnell, “A Study of Perforated Plates
with Square Penetration Patterns”, Welding Bese-
arch Council Bulletin, 124 (September 1967).
223. L. E. Hulbert, The Numerical Solution of Two-
Dimensional Problems of the Theory of Elasticity,
Ohio State Univ., Eng- Exp. Sta. Bull., 198,
Columbus, Ohio (1965).
224. Буйвол В. H. Экспериментальные исследования
напряженного состояния многосвязиых пластин
(на украинском языке). Прикладная механика,
т. 6, вып. 3, 1960.
225. Буйвол В. Н- Действие сосредоточенных сил на
пластину с отверстиями (на украинском языке),
Прикладная механика, т. 8, вып. 1, 1962.
226. Н. Kraus, “Stress Concentration Factors for Perfo-
rated Annular Bodies Loaded in Their Plane”,
Unpublished Report, Pratt and Whitney Co.,
E. Hartford, Conn. (1963).
227. H. Kraus, P. Rotondo, W. D. Haddon, “Analysis of
Radially Deformed Perforated Flanges”, Trans.
ASME,\<A. 88, Series E (1966), Applied Mechanics
Section, p. 172; имеется перевод: Труды Амер,
об-ва инж.-мех., серия В, № 2, стр. 46 (1966).
228- S. Timoshenko, см. [7], р. 208.
229. Г. Н. Савин, Распределение напряжений около
отверстий, Киев, 1968.
230. Н. Kraus, “Pressure in Multibore Bodies”, Intern.
J. Meeh. Set., Vol. 4 (1962), p. 187.
231. Колосов Г. В. Диссертация, 1910, Петербург; см.
ссылку в книге С. II. Тимошенко [7].
232. М. Isida, “On the Tension of a Strip with a Central
Elliptic Hole”, Trans. Japan Soc. Meeh. Eng-,
Vol. 21 (1955), p. 514.
233. N. Jones and D- Hozos, “A Study of the Stress Aro-
und Elliptical Holes in Flat Plates”, Trans. A SME,
Vol. 93, Series B, J. Eng. for Industry (1971),
p. 688; имеется перевод: Труды Амер, об-ва инж.-
мех., серия В, № 3, стр. 144 (1971).
233а.A. J. Durelli, V. J. Parks, and Н. С. Feng, “Stres-
ses Around an Elliptical Hole in 'a Finite Plate
Subjected to Axial Loading”, Trans. A SME,
Vol. 88, Series E (1966), Applied Mechanics Sec-
tion., p. 192; имеется перевод: Труды Амер, об-ва
инж.-мех., серия Е, № 1 стр. 180 (1966).
234. М. Isida, “On the Stress Distribution around an
Elliptic-sectioned Tunnel Excavated under the
Horizontal Surface”, Trans. Japan Soc. Meeh. Eng.,
Vol. 23 (1957), p. 474.
235. J. R. Dixon, “Stress Distribution around a Central
> Crack in a Plate Loaded in Tension; Effect on Fini-
te Width of Plate”, J. Boyal Aero. Soc., Vol. 64
(1960), p. 141.
236. C. Feddersen, Discussion of “Plane Strain Crack
Toughness Testing”, ASMT Special Tech. Publ.
410 (1967), p. 77.
237. M. Isida, “Crack Tip Intensity Factors for the
Tension of an Eccentrically Cracked Strip”, Lehigh
University, Dept. Mechanics Rpt. (1965).
238. D. P. Rooke, Compendium, Engineering Fracture
Mechanics, Vol. 1 (1970), p. 727.
239. R. Papirno, “Stress Concentrations in Tensile Strips
with Central Notches of Varying End Radii”,
J. Boyal Aero. Soc., Vol. 66 (1962), p. 323.
240. M. Isida, “Stress Intensity Factors for the Tension
of an Eccentrically Cracked Strip”, Trans. AS ME
Vol. 88, Series E (1966), Applied Mechanics Secti-
on, p. 674; имеется перевод: Труды Амер. об-ва
инж.-мех., серия Е, 3, стр. 225 (1966).
241. Н. Nisitani, “Method of Approximate Calculation
for Interference of Notch Effect and its Applicati-
on”, Bull. Japan Soc. Meeh. Eng., Vol. 11 (1968),
p. 725.
242. H- L. Cox, “Four Studies in the Theory of Stress
Concentration”, Aero. Research Council (London),
Rpt. 2704 (1953).
243. A. J. Sobey, “Stress Concentration Factors for
Rounded Rectangular Holes in Infinite Sheets”,
Aero. Bes. Council В and M, 3407, Her Majes-
ty’s Stationary Office, London (1963).
244. F. Hirano, “Study of Shape Coefficients of Two-
Dimensional Elastic Bodies”, Trans. Japan Soc.
Meeh. Eng., Vol. 16, No. 55 (1950), p. 52.
245. M. Isida, “On the Tension of an Infinite Strip Con-
taining a Square Hole with Rounded Corners”,
Bull. Japan Soc. Meeh. Eng , Vol. 3 (I960), p. 254.
246. M. M. Frocht and M. M. Leven, “Factors of Stress
Concentration for Slotted Bars in Tension and
Bending”, Trans. A SME, Vol. 73 (1951), Applied
Mechanics Section, p. 107.
247. A. J. Durelli, V. J . Parks, and S. Uribe, “Optimiza-
tion of a Slot End Configuration in a Finite Plate
Subjected to Uniformly Distributed Load”, Trans.
ASME, Vol. 90, Series E (1968), Applied Mecha-
nics Section, p. 403; имеется перевод: Труды Амер,
об-ва инж.-мех., серия Е, № 2, стр. 81 (1968).
248. Е. Gassner and К. F. Horstmann, “The Effect of
Ground to Air to Ground Cycle on the Life of Trans-
port Aircraft Wings which are Subject to Gust Lo-
ads”, RAE Translation 933 (1961).
249. W. Schutz, “Fatigue Test Specimens”, Tech. Note
TM 10/64, Laboratorium fur Betriebsfestigkeit,
Darmstadt (1964).
250. L. H. Mitchell, “Stress Concentration Factors
at a Doublysymmetric Hole”, Aeronautical Q..
Vol. 17 (1966), p. 177.
251. V. F. Cheng, “A Photoelastic Study of Stress Con-
centration Factors of a Doubly Symmetric Hole in
Finite Strips under Tension”, Trans. ASME,
Vol. 90, Series E (1968), Applied Mechanics Secti-
on, p. 188; имеется перевод: Труды Амер, об-ва
инж.-мех. серия Е, № 1, стр. 116 (1968).
251а.К. Miyao, “Stresses in a Plate Containing a Circu-
lar Hole with a Notch”, Bull. Japan Soc. Meeh.
Eng., Vol. 13 (1970), p. 483.
252. S. R. Heller, J. S. Brock, and R. Bart, “The Stres-
ses Around a Rectangular Opening with Rounded
Corners in a Uniformly Loaded Plate”, Proc. 3rd
U.S. Nat. Congr. Appl. Meeh., publ. by ASME
1958, p. 357.
253. British Engineering Science Data, 70005, Engine-
ering Science Data Unit, 4 Hamilton PI., London
W1 (1970), p. 23.
254. S. R. Heller, “Stress Concentration Factors for
a Rectangular Opening with Rounded Corners in
a Biaxially Loaded Plate”, J. Ship Besearch,
Vol. 13 (1969), p. 178.
255. E. Steneroth, L. Lindau, and B. Onnermark,
“Photoelastic Investigations of Stress Concentrati-
ons at Hatch Corners”, J. Ship Besearch, Vol. 7
(1963), p. 24.
293
ЛИТЕРАТУРА
255а.W. О. Richmond, обсуждение работы 287в,
Proc. ASCE, Vol. 65 (1939), р. 1465.
2556.R. Mindlin, см. [255а], р. 1476.
256. W. Н. Wittrick, “Stress Concentrations for Unifor-
mly Reinforced Equilateral Triangular Holes with
Rounded Corners”, Aeronautic<R Q-, Vol. 14
(1963), p. 254.
256a. M. E. Fourney and R. R. Parmerter, “Photoelastic
Design Data for Pressure Stresses in Slotted Rocket
Grains”, J. AIAA, Vol. 1 (1963), p. 697; имеется
перевод: Ракетная техника и космонавтика,
А» 3, стр. 193 (1963).
2566.11. В. Wilson, “Stresses Owing to Internal Pressu-
re in Solid Propellant Rocket Grains”, 7. ARS,
Vol. 31 (1961). p. 309; имеется перевод: Ракетная
техника, № 3, стр. 31 (1961).
256в.М. Е. Fourney and R. R. Parmerter, “Stress Con-
centrations for internally Perforated Star Grains",
Bur. Naval Weapons, NAVWEPS Rep. 7758
(1961); “Parametric Study of Rocket Grain Confi-
gurations by Photoelastic Analysis”, AFSC Rep.
AFRPL-TR-66-52 (1966).
256r.W. C. Jenkins, “Comparison of Pressure and Tempe-
rature Stress Concentration Factors for Solid Pro-
pellant Grains”, Experimental Mechanics, Vol. 8
(1968), p. 94.
256д.А. Mondina and M. Falco, “Richerche Sperinientali
su Modelli dell’Interno di un Reattore Nuclear
PVVR”, (Experimental Stress Analysis on Models of
PWR Internals), Disegno di macchine, Palermo,
Vol. 3 (1972), p. 77.
257. M. M. Leven, ’‘Quantitative Three-Dimensional
Photoelasticity”, Proc. SESA, Vol. 12, No. 2
(1955), p. 157.
258. A. Thum, K. Kirmser, “(jberlagerte Wechsel-
beanspruchungen, ihre Erzeugung und ihr Einfluss
auf die Dauorbarkeit und Spannungsausbildung qu-
ergebohrten Wellen”, VDI-Forschungsheft, 419,
Vol. 14(b) (1943), p. 1.
259. H. T. Jessop, C. Snell, and I. M. Allison, “The
Stress Concentration Factors in Cylindrical Tubes
with Transverse Circular Holes”, Aeronautical Q.,
Vol. 10 (1959), p. 326.
260. British Engineering Science Data, 65004, Enginee-
ring Science Data Unit, 4 Hamilton Pl., London
W1 (1965), p. 29.
261. R. E. Peterson, “Stress Concentration Factors for
a Round Bar with a Transverse Hole”, Report
68-1D7-TAEUG-R8, Westinghouse Research Labs.,
Pittsburgh, Pa. (1968).
262. W. G. Bickley, “Distribution of Stress Round
a Circular Hole in a Plate”, Phil. Trans. Roy. Soc.
(London), A, Vol. 227 (1928), p. 383.
263. R. C. Knight, “Action of a Rivet in a Plate of
Finite Breadth”, Phil. Mag., Series 7, Vol. 19
(1935), p. 517.
263a.P. S. Theocaris, “The Stress Distribution in a Strip
Loaded in Tension by Means of a Central Pin",
Trans. ASME, Vol. 78 (1956), Applied Mechanics
Section, p. 482.
264. Работа [169a], p. 525.
265. K. Schaechterle, ‘On the Fatigue Strength of Rive-
ted and Welded Joints and the Design of Dynami-
cally Stressed Structural Members based on Con-
clusions Drawn from Fatigue Tests”, Intern. Assn.
Bridge Structural Eng., Vol. 2 (1934), p. 312.
266. M. M. Frocht and H. N. Hill, “Stress Concentration
Factors around a Central Circular Hole in a Plate
Loaded Through a Pin in the Hole”, Trans. ASME,
Vol. 62 (1940), Applied Mechanics Section, p. A-5.
266a.H. T. Jessop, C. Snell and G. S. Holister, “Photo-
elastic Investigation on Plates with Single Inter-
ference-Fit Pins with Load Applied (a) to pin Only
and (b) to Pin and Plate Simultaneously’,
Aeronaut. Q., Vol. 9 (1958), p. 147.
2666. H. L. Cox and A. F. C. Brown, “Stresses Round
Pins in Holes", Aeronaut. Q-, Vol. 15 (1964), p. 357.
266b. British Engineering Science Data, 65004, Engineer-
ing Science Data Unit, 4 Hamilton Pl., London
W1 (1956), p. 51.
266r.A. Mori, “Stress Distributions in a Semi-Infinite
Plate with a Row of Circular Holes”, Bull. Japan
Soc. Meeh., Eng., Vol. 15 (1972), p. 899.
267. W. D. Mitchell and D. Rosenthal, “Influence of
Elastic Constants on the Partition of Load between
Rivets", Proc. SESA, Vol. 7, No. 2 (1949, p. 17).
268. M. M. Leven, “Photoelastic Determination of the
Stresses at Oblique Openings in Plates and Shells”,
Welding Research Council Bulletin, 153 (Angust
1970), p. 52.
269. I. M. Daniel, “Photoelastic Analysis of Stresses
around Oblique Holes”, Experimental Mechanics,
Vol. 10 (1970), p. 467.
270. H. W. McKenzie and D. J. White, “Stress Concen-
tration Caused by an Oblique Round Hole in a Flat
Plate Under Uniaxial Tension”, J- Strain Anal.,
Vol. 3 (1968), p. 98.
271. F. Ellyin, “Experimental Study of Oblique Circular
Cylindrical Apertures in Plates”, Experimental
Mechanics, Vol. 10 (1970), p. 195.
272. F. Ellyin, “Elastic Stresses Near a Skewed Hole in
a Flat Plate and Applications to Oblique Nozzle
Attachments in Shells”, Welding Research Council
Bulletin, 153 (August 1970), p. 32.
272a .F. Ellyin and U. M. Izmiroglu, “Effect of Corner
Shape on Elastic Stress and Strain Concentration in
Plates with an Oblique Hole”, Trans. ASME,
Vol. 95 (1973), JI. of Eng. for Industry, p. 151;
имеется перевод: Труды. Амер, об-ва инж.-мех.
серия В, No. 1, стр. 56 (1973).
2726. D. Е. Hardenberg and S. Y. Zamrik, “Effects of
External Loadings on Large Outlets in a Cylindri-
cal Pressure Vessel", Welding Research Council
Bulletin, 96 (1964).
273. Welding Research Council Bulletin 113 (April 1966).
273a.M. Seika, K. fsogimi, and K. Inoue, “Photoelastic
Study of Stresses in a Cylindrical Pressure Vessel
with a Nozzle”, Bull. Japan. Soc. Meeh. Eng.,
Vol. 14, (1971), p. 1036.
274. M. M. Leven, “Photoelastic Determination of the
Stresses in Reinforced Openings in Pressure Vessels”
Welding Research Council Bulletin, 113 (April 1966),
p. 25 (Fig. 32).
275. Welding Research Council Bulletin, 153 (August
1970).
276. R. E. Peterson, “The Interaction Effect of Neighbo-
ring Holes or Cavities, with Particular Reference to
Pressure Vessels and Rocket Cases”, Trans. ASME,
Vol. 87, Series D (1965), Basic Engineering Section,
p. 879; имеется перевод: Труды Амер, об-ва
инж.-мех., серия D, No. 4 стр. 66 (1965).
277. Н. Neuber, см. [39], translation, 2nd ed., р. 153.
278. М. A. Sadowsky and Е. Sternberg, “Stress Concent-
ration around an Ellipsoidal Cavity in an Infinite
Body under Arbitrary Plane Stress Perpendicular
to the Axis of Revolution of Cavity", Trans. ASME
Vol. 69 (1947), Applied Mechanics Section, p. A-191
279. E. Sternberg and M. A. Sadowsky, “On the Axisym-
raetric Problem of the Theory of Elasticity for an
Infinite Region Containing Two Spherical Cavities",
294
ЛИТЕРАТУРА
Trans. ASME, Vol, 76 (1952), Applied Mechanics
Section, p. 19.
280. Chih-Bing Ling, “Stresses in a Circular Cylinder
Having a Spherical Cavity under Tension”,
Q. Appl. Math., Yol. 13 (1956), p. 381.
281. S. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Ela-
sticity, 3rd ed., McGraw-Hill, New York (1970),
p. 398; имеется перевод: Тимошенко С. IL, Гудь-
ер Дж. Теория упругости, изд-во “Наука”, М.,
1975.
282. Chih-Bing Ling “Stresses in a Stretched Slab Ha-
ving a Spherical Cavity”, Trans. ASME, Vol. 81,
Series E (1959), Applied Mechanics Section, p. 235.
282a.E. Tsuchida and I. Nakahara, “Three-Dimensional
Stress Concentration around a Spherical Cavity in
a Semi-Infinite Elastic Body”, Bull. Japan Soc.
Meeh. Eng., Vol. 13 (1970), p. 499.
2826.G. E. McGinnis, “Stress Concentration at a Spheri-
cal Void Near One Surface on an Infinite Slab in
a Uniaxial Field”, M.S. Thesis, Univ, of Pitts-
burgh (1960).
283. Chih-Bing Ling, “Torsion of a Circular Cylinder
Having a Spherical Cavity”, Q. Appl. Math.,
Vol. 10 (1952), p. 149.
284. H. Miyamoto, “On the Problem of the Theory of
Elasticity for a Region Containing more than Two
Spherical Cavities”, Trans. Japan Soc. Meeh. Eng.,
Vol. 23 (1957), p. 437.
284a. A. Atsumi, “Stresses in a Circular Cylinder Having
an Infinite Row of Spherical Cavities under Tensi-
on”, Trans. ASME, Vol. 82, Series E (1960),
Applied Mechanics Section, p. 87.
2846.W. L. Chu and D. H. Conway, “A Numerical Met-
hod for Computing the Stresses around an Axisym-
metrical Inclusion’, Intern. J. Meeh. Sci., Vol. 12
(1970), p. 575.
285. L. H. Donnell, “Stress Concentrations due to Ellip-
tical Discontinuities in Plates under Edge Forces”,
Von Karman Anniversary Volume, California
Inst, of Tech., Pasadena (1941), p. 293.
286. R. H. Edwards, “Stress Concentrations around
Spheroidal Inclusions and Cavities”, Trans. ASME,
Vol. 75 (1951), Applied Mechanis Section, p. 19.
287. J. N. Goodier, “Concentration of Stress around
Spherical and Cylindrical Inclusions and Flaws”,
Trans. ASME, Vol. 55 (1933), Applied Mechanics
Section, p. A-39.
287a.A. J. Durelli and W. F. Riley, см. [202], p. 245.
2876.S . Shioya, “On the Tension of an Infinite Thin
Plate Containing a Pair of Circular Inclusions”,
Bull. Japan Soc. Meeh. Eng.,No\. 14 (1971), p. 117.
287в.R. Mindlin, “Stress Distribution around a Tunnel”,
Proc. ASCE,No\. 65 (1939), p. 619. См. также [234].
287г. Y. Y. Yu. “Gravitational Stresses on Deep Tunnels”,
Trans. ASME, Vol. 74 (1952), Applied Mechanics
Section, p. 537.
287n.W. F. Riley, “Stresses of Tunnel Intersections”,
Proc. ASCE, Vol. 90, J. Eng. Meeh. Div. (1964),
p. 167.
288. R. C. J. Howland and A. C. Stevenson, “Biharmo-
nic Analysis in a Perforated Strip”, Phil. Trans.
Royal Soc. A, Vol. 232 (1933), p. 155.
289. J. J. Ryan and L. J. Fischer, “Phtoelastic Analysis
of Stress Concentration, for Beams in Pure Bending
with Central Hole”, J. Franklin Inst., Vol. 225
(1938), p. 513.
290. T. Udoguti, см- (1681, p- 1-82.
290a.R. B. Heywood, cm. [986], p. 277.
291. M. Isida, “On the Bending of an Infinite Strip with
an Eccentric Circular Hole”, Proc. 2nd Japan
Congr. Appl. Meeh. (1952), p. 57.
292, M. Nisida, Rep. Set. Res. Inst. Japan, Vol. 28,
No. 1 (1952), p. 30.
293. J- A Joseph and J. S. Brock, “The Stresses around
a Small Opening in a Beam Subjected to Pure
Bending”, Trans. ASME, Vol. 72 (1950), Applied
Mechanics Section, p. 353.
294. E. Reissner, “The Effect of Transverse Shear Defor-
mation on the Bending of Elastic plates”, Trans.
ASME, Vol. 67 (1945), Applied Mechanics Secti-
on, p. A-69.
295. J. N. Goodier, “Influence of Circular and Elliptical
Holes on Transverse Flexure of Elastic Plates”,
Phil. Mag., Vol. 22 (1936), p- 69.
296. J. N. Goodier and G. H. Lee, “An Extension of the
Photoelastic Method of Stress Measurement to
Plates in Transverse Bending”, Trans. ASME,
Vol. 63 (1941), Applied Mechanics Section, p. A-27.
297. D. C. Drucker, “The Photoelastic Analysis of Trans-
verse Bending of Plates in the Standard Transmissi-
on Polariscope”, Trans. ASME, Vol. 64 (1942),
Applied Mechanics Section, p. A-161.
298. C. Dumont, “Stress Concentration around an Open
Circular Hole in a Plate Subjected to Bending Nor-
mal to the Plane of the Plate”, NACA Tech. Note
740 (1939).
299. O. Tamate, “Einfluss einer unendliche Reihe glei-
cher Kreislocher auf die Durchbiegung einer diin-
nen Platte”, Z. angew. Math. u. Meeh., Vol. 37
(1957), p. 431.
300. O. Tamate, “Transverse Flexure of a Thin Plate
Containing Two Holes”, Vol. 80 (1958), Applied
Mechanics Section, p. 1.
301. H. Neuber, см. [39], translation, 2nd ed., p. 113.
301a.H. Fessler and E. A. Roberts, “Bending Stresses in
a Shaft with a Transverse Hole” Selected Papers on
Stress Analysis, Stress Analysis Conference, Delft,
1959, Reinhold Publ. Co., New York (1961), p. 45.
3016.D. E. R- Godfrey, Theoretical Elasticity and Plasti-
city for Engineers, Thames and Hudson, London
(1959), p. 109.
301в.H. Neuber, см. [39], translation, 2nd ed., p. 81.
302. R- F. Barrett, P. R. Seth, and G. C. Patel, “Effect
of Two Circular Holes in a Plate Subjected to Pure
Shear Stress”, Trans. ASME, Vol. 93, Series E
(1971), Applied Mechanics Section, p. 528; имеется
перевод: Труды Амер- об-ва инж.-мех., серия Е,
No 2, стр. 231 (1971).
303. S. I. Chou, “Stress State around a Circular Cylindri-
cal Shell with an Elliptic Hole under Torsion”,
Trans. ASME, Vol. 93, Series E (1971), Applied
Mechanics Section, p. 535; имеется перевод.: Tруды.
Амер, об-ва инж.-мех., серия Е, No 2, стр. 236
(1971).
304. Keys and Keyseats, USA, Standard ANSI B17. 1,
ASME, New York (1967).
305. M. Het6nyi, “The Application of Hardening Resins
in Three-Dimensional Photoelastic Studies”,
J. Appl. Phys., Vol. 10 (1939), n. 295.
306. R. E. Peterson, “Fatigue of Shafts having Keyways”
Proc. ASTM, Vol. 32, Part 2 (1932), p. 413.
307. H. Fessler, С. C. Rogers and P. Stanley, “Stresses
at End-milled Keyways in Plain Shafts Subjected
to Tension, Bending and Torsion”, J. Strain Anal.,
Vol. 4 (1969), p. 180.
308. M. M. Leven, ‘Stresses in Keyways by Photoelas-
tic Methods and Comparison with Numerical So-
lution”, Proc. SESA, Vol. 7, No. 2 (1949), p. 141.
309. M. Nisida, “New Photoelastic Methods for Torsion
Problems”, Symposium on photoelasticity,
M. M. Frocht, Ed., Pergamon, New York (1963),
p. 109.
295
ЛИТЕРАТУРА
310. G. I. Griffith and A. A. Taylor, “Use of Soap Films
in Solving Torsion Problem”, Tech. Rep. Brit. Adv.
Comm- Aeronaut., Vol. 3 (1917-18), p. 910.
311. H. Okubo, “On the Torsion of a Shaft with Keywa-
ys”, Q J. Meeh. Appl. Math., Vol. 3 (1950), p. 162.
312. S. Timoshenko and J. N. Goodier, cm. [281], 3rd
ed., p. 327.
313. A. G. Solakian and G. B. Karelitz, “Photoelastic
Studies of Shearing Stresses in Keys and Keyways”,
Trans. ASME, Vol. 54 (1932), Applied Mechanics
Section, p. 97.
314. W. H. Gibson and P. M. Gilet, “Transmission of
Torque by Keys and Keyways”, J. Inst. Engrs.
Australia, Vol. 10 (1938), p. 393.
315. H. Okubo, K. Hosono, and K. Sakaki, “The Stress
Concentration in Key ways when Torque is Trans-
mitted through Keys”, Experimented Mechanics,
Vol. 8 (1968), p. 375.
316. H. Fessler, С. C. Rogers, and P. Stanley, “Stresses
at Keyway Ends Near Shoulders”, J. Strain Anal.,
Vol. 4 (1969), p. 267.
316a.R. E. Peterson, Chapter 13, “Interpretation of Se-
rvice Fractures”, Handbook of Experimental Stress
Analysis, M. Hetenyi, Ed., Wiley, New York
(1950), p. 603, 608, 613.
316б.Работа [За], а также многочисленные технические
отчеты.
317. Н. Yoshitake, “Photoelastic Stress Analysis of the
Spline Shaft”, Bull. Japan. Soc. Meeh. Eng., Vol. 5
(1962), p. 195.
318. H. Okubo, “Torsion of a Circular Shaft with a Num-
ber of Longitudinal Notches”, Trans. ASME, Vol.
72 (1950), Applied Mechanics Section, p. 359.
319. T. J. Dolan and E. L. Broghamer, “A Photoelastic
Study of Stresses in Gear Tooth Fillets”, Univ.
Illinois Expt. Sta. Bull., 335 (1942).
320. G. W. Michalec, Precision Gearing — Theory and
Practice, Wiley, New York (1966), p. 466.
321. Marks’Standard Handbook for Mechanical Engine-
ers, T- Baumeister, Ed., McGraw-Hill, New York
(1967), p. (8), 133.
322. A. H. Candee, Geometrical Determination of Tooth
Factor, American Gear Manufacturers Assn.,
Pittsburgh, Pa. (1941).
323. R- V. Baud and R. E. Peterson, “Load and Stress
Cycles in Gear Teeth”, Mechanical Engineering,
Vol. 51 (1929), p. 653.
324. R. E. Peterson, “Load and Deflection Cycles in
Gear Teeth”, Proc. 3rd Intern. Appl. Meeh. Congr.
(1930), p. 382.
324a. G. DeGregorio, “Ricerca sul Forzamento dellej Co-
rone Dentate”, Technica Italiana, Trieste, Vol. 33
(1968), p. 1.
325. E. E. Weibel, “Studies in Photoelastic Stress De-
termination”, Trans. ASME, Vol. 56 (1934),
Applied Mechanics Section, p. 637.
326. N. C. Riggs and M. M. Frocht, Strength of Materia-
ls, Ronald Press, New York (1938), p. 389.
327. M. A. Jacobson, “Bending Stresses in Spur Gear
Teeth; Proposed New Design Factors based on a
Photoelastic Investigation”, Proc. Inst. Meeh.
Eng., Vol. 169 (1955), p. 587.
328. T. Aida and Y. Terauch', “On the Bending Stress
in a Spur Gear” 3 reports, Bull. Japanese Soc.
Meeh. Eng., Vol. 5 (1962), p. 161.
329. R. E. Peterson and A. M. Wahl, “Fatigue of Shafts
at Fitted Members, with a Related Photoelastic
Analysis’, Trans. ASME, Vol. 57 (1935), Applied
Mechanics Section, p. A-l.
330. A- Thum and F. Wunderlich, “Der Einfluss von
Einspann-und Kantangriffsstellen auf die Dauer-
haltbarkeit der Konstruktionen”, Z. VDI, Vol. 77
(1933), p. 851.
331. G. A. Tomlinson, “The Rusting of Steel Surface on
Contact”, Proc. Roy. Soc. (London), A., Vol. 115
(1927), p. 472.
332. G. A. Tomlinson, P. L. Thorpe, and H. J. Gough,
“An Investigation of the Fretting Corrosion of
Closely Fitting Surfaces”, Proc. Inst. Meeh. Engrs.
(London), Vol. 141 (1939), p. 223.
333. Symposium on Fretting Corrosion, STP 144, ASTM,
Philadelphia, Pa. (1952).
334. K. Nishioka, S. Nishimura, and K. Hirakawa,
“Fundamental Investigations of Fretting Fatigue”,
Bull. Japan Soc. Meeh. Eng., Vol. 11 (1968),
p. 437; Vol. 12 (1969), p. 180, 397, 408.
335. O. J. Horger and J. L. Maulbetsch, “Increasing the
Fatigue Strength of Press-Fitted Axle Assemblies
by Rolling”, Trans. ASME, Vol. 58 (1936), Appli-
ed Mechanics Section, p. A-91.
336. O.. J. Horger and T. V. Buckwaiter, “Photoelastici-
ty as Applied о Design Problems”, Iron Age,
Vol. 145, Part II, No. 21 (1940), p. 42. См. также
J. Appl. Phys., Vol. 9 (1938), p. 457.
336a.D. J. White and J. Humpherson, “Finite-Element
Analysis of Stresses in Shafts Due to Interference-
Fit Hubs', J. Strain Anal., Vol. 4 (1969), p. 105.
337. K. Nishioka and H. Komatsu, “Researches on
Increasing the Fatigue Strength of Press-Fitted
Shaft Assembly”, Bull. Japan Soc. Meeh. Eng.,
Vol. 10 (1967), p. 880-
338. M. B. Coyle and S. J. Watson, “Fatigue Strength of
Turbine Shafts with Shrunk-on Discs”, Proc. Inst.
Meeh. Eng. (London), Vol. 178 (1963-64), p. 147.
339. O. J. Horger, “Press Fitted Assembly”, ASME Me-
tals Engineering Handbook — Design, McGraw-
Hill, New York (1953), p. 178.
340. Passenger Car Axle Test, Fourth Progress Report,
Assoc. American Railroads (1950), p. 26.
341. O. J. Horger, “Fatigue of Large Shafts by Fretting
Corrosion”, Proc. Int. Conf. Fatigue, Inst. Meeh.
Eng., London (1956), p. 352.
341a.B- Adelfio and F. DiBenedetto, “Forzamento su
Appoggio Discontinue”, Disegnio de Macchine,
Palermo, Vol. 3 (1970), p. 21.
342. L. Martinaglia, “Schraubenverbindungen”, Schweiz.
Bauztg., Vol. 119 (1942), p. 107.
343. W. Staedel, Dauerfestigkeit von Schrauben”, Mitt,
der MaterialprUfungsanstalt an der Technischen
Hochschule Darmstadt, No. 4, VDI Verlag, Ber-
lin (1933).
344. H- Wiegand, “t ber die Dauerfestigkeit von Schrau-
benwerkstoffen und Schraubenverbindungen”,
Thesis, Technische Hochschule Darmstadt (1933);
см. также Wissenschaftliche Veroffentlichungen
der Firma, Bauer and Schaurte A. G., Neuss,
№ 14 (1934).
345. T. Baumeister, Ed., Marks’ Standard Handbook
for Mechanical Engineers, 7th Ed., McGraw-Hill,
New York (1967), p. (8) 20, 21.
346. A. F. C. Brown and V. M. Hickson, “A ,Photo-
elastic Study of Stresses in Screw Threads”, Proc.
I ME, Vol. IB (1952/3), p- 605. Discussion, p. 608.
347. R. L. Marino and W. F. Riley, “Optimizing Thre-
ad-root Contours Using Photoelastic Methods”,
Experimental Mechanics, Vol. 4 (1964), p. 1.
348. F. Kaufmann, W. Janiche, “Beitrag zur Dauer-
haltbarkeit von Schraubenverbindungen”, Tech.
Mitt. Krupp, Forschungsber., Vol. 3 (1940), p. 147.
349. M. Hetenyi, “Some Applications of Photoelasticity
in Turbine-Generator Design”, Trans. ASME,
Vol. 61(1939), Applied Mechanics Section, p. A151.
296
ЛИТЕРАТУРА
350. R. В. Heywood см. [152], р. 326; см. [98в], р. 205.
351. A. J. Durelli and W. F. Riley, см. [202], p. 220.
352. S. Timoshenko, cm. [7], Part I, p. 362.
353. B. J. Wilson and J. F. Quereau, “A Simple Method
of Determining Stress in Curved Flexural Mem-
bers”, Univ. Illinois Expt. Sta. Circ., 16 (1928).
354. R. J. Roark, Formulas for Stress and Strain, 4th
ed., McGraw-Hill, New York (1965), p. 164.
355. A. M. Wahl, Mechanical Springs, 2nd ed., Mc-
Graw-Hill, New York (1963).
356. O. Gohner, “Die Berechnung Zylindrische Schrau-
benfedern”, Z. Ver. Deutsch. Ing.,Vol. 76 (1932),
p. 269.
357. C. J. Ancker and J. N. Goodier, “Pitch and Curva-
ture Corrections for Helical Springs”, Trans. A SME
Vol. 80 (1958), Applied Mechanics Section, p. 466,
471, 484.
358. G. Liesecke, “Berechnung Zylindrischer Schrauben-
federn mit Rechteckigen Drahtquerschnitt”, Z. VDI,
Vol. 77 (1933), p. 425, 892.
359. J. Arai, “The Bending Stress Concentration Factor
of a Solid Crankshaft”, Bull. Japan Soc. Meehan.
Eng., Vol. 8 (1965), p. 322.
360. A. M. Wahl, “Calculation of Stresses in Crane
Hooks”, Trans. ASME, Vol. 68 (1946), Applied
Mechanics Section, p. A-239.
361. J. B. Mantle and T. J- Dolan, “A Photoelastic
Study of Stresses in U-Shaped Members”, Proc.
SESA, Vol. 6, No. 1 (1948), p. 66.
362. I. Lyse and B. G. Johnston, “Structural Beams in
Torsion”, Lehigh University Publication, Vol. 9
(1935), p. 477.
363. J. H. Huth, “Torsional Stress Concentration in
Angle and Square Tube Fillets”, Trans. ASME,
Vol. 72 (1950), Applied Mechanics Section, p. 388.
364. F. E. Richart, T. A. Olson, and T. J. Dolan,
“Tests of Reinforced Concrete Knee Frames and
Bakelite Models”, Univ. Illinois Expt. Sta. Bull.
307 (1938).
365. S. Timoshenko, cm. [7], p. 214. См. также E. L. Ro-
binson, “Bursting Tests of Steam-Turbine Disk
Wheels”, Trans. ASME, Vol. 66, Applied Me-
chanics Section, (1944), p. 380.
366. К. E. Barnhart, A. L. Hale, and J. L. Meriam,
“Stresses in Rotating Disks due to Non-Gentral Ho-
les”, Proc. SESA, Vol. 9, No. 1 (1951), p. 35.
367. K. Leist and J. Weber, “Optical Stress Distributi-
ons in Rotating Discs with Eccentric Holes”, Re-
port No. 57, Institute for Jet Propulsion; German
Research Institute for Aeronautics, Aachen (1956).
368. W. A. Green, G. T. J. Hopper, and R. Hethering-
ton, “Stress Distribution in Rotating Discs with
Non-Central Holes”, Aeronautical Q-, Vol. 15
(1964), p. 107.
369. H. Fessler and T. E. Thorpe, “Optimization of
Stress Concentrations at Holes in Rotating Discs”,
J. Strain Anal., Vol. 2 (1967), p. 152.
370. H. Fessler and T. E. Thorpe, “Reinforcement of
Non-Central Holes in Rotating Discs”, J. Strain
Anal., Vol. 2 (1967), p. 317.
371. S. Timoshenko, “On the Distribution of Stresses
in a Circular Ring Compressed by Two Forces along
a Diameter”, Phil. Mag., Vol. 44 (1922), p. 1014.
Также S. Timoshenko and J. N. Goodier, cm.
[281], p. 136.
372. V. Billevicz, “Analysis of Stress in Circular Rings”,
doctor’s thesis, Univ, of Michigan (1931).
373. J. Case, Strength of Materials, Longmans, Green,
London (1925), p. 291.
374. M. M- Leven, Unpublished data obtained at Carne-
gie Inst, of Technology (1938) and Westinghouse
Research Labs. (1952).
375. S- Timoshenko, cm- [7], Part I, p. 380.
376. M. Seika, “The Stresses in a Thick Cylinder Having
a Square Hole Under Concentrated Loading”,
Trans. ASME, Vol. 80, Series E (1958), Applied
Mechanics Series, p. 571.
377. H. Fessler and P. Stanley, “Stresses in Torispheri-
cal Drumheads: A Photoelastic Investigation”,
J. Strain Anal., Vol. 1 (1965), p. 69.
378. Работа [198], p. 18.
379. H. Fessler and P. Stanley, “Stresses in Torispheri-
cal Drumheads: A Critical Evaluation”, J. Strain
Anal., Vol. 1 (1966), p. 89.
380. J. C. Gerdeen, “Analysis of Stress Concentrations
in Thick Cylinders with Sideholes and Crossholes”,
Trans. ASME, Vol. 94, Series B, J. Eng. for
Industry (1972), p. 815; имеется перевод: Труды
Амер, об-ва инж.-мех., серия В, № 3, стр. 49
(1972).
381. J. С. Gerdeen and R. Е. Smith, “Experimental De-
termination of Stress Concentration Factors in
Thick-walled Cylinders with Crossholes and Sideho-
les”, Experimental Mechanics, Vol. 12 (1972),
p. 530.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Болт 245. 256
Болта головка 256
Брус кривой 247
Вал коленчатый 249
— со шлицами 242
— со шпоночной канавкой 239
Включение сферическое 136
— эллипсоидальное 136
Вырезы 27
— игзиб 33
— кручение 35
— растяжение 28
Выточки 27
— изгиб 35
— кручение 35
— растяжение 32
Гайка 245
Галтели 86
— изгиб 90
— некругового очертания 88
— кручение 91
— параболические 89
— растяжение 87
— эллиптические 89
Галтелей оптимальная форма 88
Головка болта см. Болта головка
Диск вращающийся с отверстиями
251
Дпища сосудов давления 252
Заряд твердого топлива 131
Зуб шестерни 242
Канавка шпоночная 239
Кольцо 252
Корпус реактора ядерного 124
Концентрация напряжений 13
Концепция нейтрального отверстия
121
Коэффициент концентрации на-
пряжений 13
— эффективный 13
— поправочный на ширину плас-
тины с боковой трещиной 30, 33
--------- — с центральной тре-
щиной 126
—--------— с эллиптическим от-
верстием 126
— предельного состояния 20
Крюк крана 250
Лопатка турбины 246
Материалы пластичные 20, 22, 23
— хрупкие 21, 22, 25
Напряжение номинальное 13
Напряжения переменные 13
— — в сочетании со стационар-
ными 23
— стационарные 20
Напряжений концентрация см. Кон-
центрация напряжений
Окна самолетов 127, 130
Отверстие 112
— в оболочке 115
— квадратное 131
— наклонное 133
— одиночное 114
— около края 114
— под давлением 125
— подкрепленное 117
— прямоугольное 130
— треугольное 131
— эллиптическое 128
Отверстий два ряда 123
— один ряд 123
— пересечение 138, 285
Патрубки 134
Полость сферическая 134
— эллипсоидальная 134
Посадка горячая 243
Предел выносливости 22
— прочности 15
• — текучести 16
Предельное число циклов 26
Проушина 132
Профиль угловой 250
— коробчатый 250
Пружина винтовая 248
Разрушение усталостное 241
Реактор ядерный 132
Соединение прессовое 243
Сосудов давления днища см. Дни-
ща сосудов давления
Стержень цилиндрический изгиб
90
--- кручение 91
---растяжение 89
Теория Мизеса 16
— Мора 15
— наибольших касательных на-
пряжений 10
— нормальных напряжений 15
— прочности 14
Теплообменники 124
Туннель цилиндрический 137
Углубление гиперболическое 32
— полусферическое 32
Цилиндр полый 252
Чувствительность к вырезу 18
Шестерни зуб см. Зуб шестерни
Эллипс эквивалентный 129
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции 5
Предисловие 7
Обозначения 9
Глава 1. Определения и расчетные
формулы 13
13. Концентрация напряжении 13
1.2. Теория прочности 14
1.2.1. Теория нормальных напряжений 15
1.2.2. Теория Мора 15
1.2.3. Теория наибольших касательных
напряжений 16
1.2.4. Теория Мизеса 16
1.3. Чувствительность к вырезу 18
1.4. Расчетные формулы для стационарных напря-
жений 20
1.4.1. Пластичные материалы 20
1.4.2. Хрупкие материалы 21
1.5. Расчетные формулы для переменных напря-
жений 22
1.5.1. Пластичные материалы 22
1.5.2. Хрупкие материалы 22
1.6. Расчетные формулы для случая совместного
действия переменных и стационарных на-
пряжений 23
1.6.1. Пластичные материалы 23
1.6.2. Хрупкие материалы 25
1.7. Предельное число циклов изменения на-
пряжений 26
Глава 2. Вырезы и выточки 27
2.1. Растяжение (осевое нагружение) 28
2.1.1. Глубокие гиперболические вырезы на
противоположных сторонах беско-
нечной пластины; мелкий эллиптиче-
ский, полукруговой, П-образный
или замочнообразный вырез в полу-
бесконечной пластине; эквивалент-
ный эллиптический вырез 28
2.1.2. Одиночные противоположные полу-
круговые вырезы в пластине конеч-
ной ширины 29
2.1.3. Одиночные противоположные U-об-
разныо вырезы в пластике конечной
ширины 29
2.1.4. Поправочный коэффициент на ко-
нечную ширину для противополож-
ных одиночных узких эллиптиче-
ских вырезов в пластине конечной
ширины 30
2,1.5. Противоположные одиночные V-об-
разные вырезы в пластине конечной
ширины 30
2.1.6. Односторонний одиночный вырез
в пластине пли полосе 30
2.1.7. Ряд вырезов в пластине 30
2.1.8. Полусферическое углубление на по-
верхности полубесконечного элемен-
та 32
2.1.9. Гиперболическое углубление на по-
верхности пластины конечной тол-
щины 32
2.1.10. Мелкие сферические углубления на
обеих сторонах пластины 32
2.1.11. Глубокая гиперболическая выточка
в бесконечном элементе кругового
поперечного сечения 32
2.1.12. U-образная поверхностная выточка
в цилиндрическом стержне 32
2.2. Изгиб 33
2.2.1. Противоположные глубокие гипер-
болические вырезы в пластине беско-
нечной ширины 33
2.2.2. Противоположные одиночные полу-
круговые вырезы в пластине конеч-
ной ширины 33
2.2.3. Противоположные одиночные U-об-
разные вырезы в пластине конечной
ширины 33
2.2.4. V-образные вырезы в пластине 33
2.2.5. Односторонний одиночный вырез в
пластине или полосе; поправочный
коэффициент на конечную ширину
пластины для односторонней трещины 33
2.2.6. Одиночные или регулярные вырезы
с полукруговым либо полуэллипти-
ческим очертанием в основании 34
299
2.2.7. Различные краевые вырезы в изги-
баемом бесконечном листе
2.2.8. Вырезы при поперечном изгибе поло-
сы конечной ширины
2.2.9. Глубокая гиперболическая выточка
в бесконечном элементе с круговым
поперечным сечением
2.2.10. U-образная круговая выточка
в цилиндрическом стержне
2.3. Кручение (сдвиг)
2.3.1. Глубокие гиперболические вырезы
в бесконечной пластине, испытываю-
щей сдвиг
2.3.2. Глубокая гиперболическая выточка
в бесконечном элементе с круговым
поперечным сечением
2.3.3. U-образная круговая выточка в ци-
линдрическом стержне
2.3.4. V-образные круговые выточки в
цилиндрическом стержне
2.4. Проектирование образцов для получения
максимального значения коэффициента Kt
при заданном rlD
2.5. Пример расчета вала с круговой выточкой
Глава 3. Галтели
3.1. Растяжение (осевая нагрузка)
3.1.1. Симметричные галтели в плоских
стержнях или пластинах
3.1.2. Влияние геометрии галтели в пло-
ских деталях
3.1.3. Влияние трапециевидного выступа
на краю плоского стержня
3.1.4. Галтели некругового очертания в пло-
ском ступенчатом стержне
3.1.5. Ступенчатый цилиндрический стер-
жень с кольцевой галтелью
3.1.6. Нагруженный давлением тонкостен-
ный сосуд, имеющий стенку со ступен
чатым изменением толщины и с осе-
симметричной галтелью
3.2. Изгиб
3.2.1. Симметричные галтели в плоском
стержне или пластине
3.2.2. Влияние геометрии галтели в плоских
деталях
3.2.3. Короткая балка с симметричными
галтелями
3.2.4. Эллиптическая галтель в плоской
детали
3.2.5. Ступенчатый цилиндрический стер-
жень с кольцевой галтелью
3.3. Кручение
3.3.1. Ступенчатый цилиндрический вал с
кольцевой галтелью
3.3 2. Ступенчатый цилиндрический вал с
34 кольцевой галтелью с осевым отвер- стием Методы снижения концентрации напряже- ний в галтелях 91 91
35 3.4.
35 Г лава 4. Отверстия 4.1. Одноосное или двуосное растяжение (ежа- 112
35 35 35 35 35 36 36 36 86 87 87 87 87 88 90 90 90 90 90 90 90 91 91 тие); внутреннее давление 4.1.1. Одиночное круговое отверстие в бес- конечном пластине и в пластине ко- нечной ширины при одноосном рас- тяжении 4.1.2. Одиночное круговое отверстие в дву- • осно растягиваемой бесконечной пластине 4.1.3. Одиночное отверстие в цилиндриче- ской или сферической оболочке 4.1.3.1. Круговое отверстие в ци- линдрической оболочке (рас- тяжение или внутреннее дав- ление) 4.1.3.2. Круговое или эллиптическое отверстие в сферической обо- лочке (внутреннее давле- ние) 4.1.4. Одиночное симметрично подкреплен- ное круговое отверстие в пластине при одноосном напряженном состоя- нии 4.1.5. Одиночное несимметрично под- крепленное круговое отверстие в пластине при одноосном растяже- нии (кольцо только с одной стороны) 4.1.6. Одиночное симметрично подкреплен- ное круговое отверстие в широкой пластине при двуосном растяжении 4.1.7. Круговое отверстие, нагруженное давлением по контуру 4.1.8. Два круговых отверстия одинакового диаметра в пластине (одноосное и двуосное растяжение) 4.1.9. Два неодинаковых круговых отвер- стия в пластине (одноосное и двуос- ное растяжение) 4.1.10. Одиночный ряд круговых отверстий в растягиваемой пластине 4.1.11. Два ряда круговых отверстий в растягиваемой пластине 4.1.12. Симметричная перфорация пластины круговыми отверстиями (одноосное или двуосное растяжение) 4.1.13. Круглая пластина с кольцевым ря- дом круговых отверстий и централь- ным круговым отверстием (или без него), нагруженная в радиальном направлении 114 114 115 115 115 116 117 117 118 121 121 122 123 123 124 124
300
117
117
118
121
121
122
123
123
124
124
4.1.14. Пластина с круговыми отверстиями,
на контур которых действует внут-
реннее давление
4.1.15. Одиночное эллиптическое отверстие
в бесконечной пластине и в пластине
конечной ширины при одноосном
растяжении
4.1.16. Поправочный коэффициент ширины
для узкого центрально расположен-
ного паза в растягиваемой пластине
4.1.17. Одиночное эллиптическое отверстие
в пластине при двуосном растяжении
4.1.18. Эллиптическое отверстие, нагружен-
ное внутренним давлением
4.1.19. Бесконечный ряд эллиптических от-
верстий в бесконечной пластине и в
пластине конечной ширины
4.1.20. Растяжение пластины, имеющей
овальное отверстие (паз с полукру-
говыми концами); два отверстия, сое-
диненные пазом; эквивалентный
эллипс
4.1.21. Растянутая пластина с круговым от-
верстием и диаметральными полу-
круговыми вырезами в его стенках
4.1.22. Бесконечная пластина с прямоуголь-
ным отверстием, имеющим скруглен-
ные углы (одноосное и двуосное
растяжение)
4.1.23. Растяжение пластины конечной ши-
рины с квадратным отверстием, име-
ющим скругленные углы
4.1.24. Треугольное равностороннее отвер-
стие со скругленными углами в рас-
тягиваемой бесконечной пластине
при различных ориентациях тре-
угольника
4.1.25. Заряд твердого топлива под действием
внешнего давления
4.1.26. Перфорация ядерного реактора при
растяжении
4.1.27. Одноосное растяжение цилиндри-
ческого стержня или трубы с попереч-
ным круговым отверстием
4.1.28. Проушина, нагруженная болтом, при
растяжении
4.1.29. Наклонное круговое отверстие в
бесконечной пластине при различ-
ных направлениях растяжения
4.1.30. Патрубки сосудов давления (подкреп-
ленные трубкой отверстия)
4.1.31. Сферическая или эллипсоидальная
полость
4.1.32. Сферическое или эллипсоидальное
включение
4.1.33. Цилиндрический туннель
4.1.34. Пересекающиеся цилиндрические от-
верстия 138
125 126 126 127 128 128 129 129 130 131 131 131 132 132 132 4.2. Изгиб 4.2.1. Плоский изгиб бруса с центральным круговым отверстием 4.2.2. Плоский изгиб бруса с круговым от- верстием, смещенным относительно центральной оси 4.2.3. Плоский изгиб бруса с эллиптическим отверстием; паз с полукруговыми концами (овал) или квадратное отвер- стие со скругленными углами 4.2.4. Поперечный изгиб бесконечной пла- стины и пластины конечной ширины с одиночным круговым отверстием 4.2.5. Поперечный изгиб бесконечной пла- стины с рядом круговых отверстий 4.2.6. Поперечный изгиб бесконечной пла- стины с одиночным эллиптическим отверстием 4.2.7. Поперечный изгиб бесконечной пласти- ны с рядом эллиптических отверстий 4.2.8. Вал или труба с поперечным кру- говым отверстием, ось которого ле- жит в плоскости изгиба 4.3. Сдвиг и кручение 4.3.1. Сдвигающие напряжения в беско- нечной пластине с круговым или эллиптическим отверстием 4.3.2. Сдвиг в бесконечной пластине с пря- моугольным отверстием,углы которого скруглены 4.3.3. Сдвиг в бесконечной пластине с двумя круговыми отверстиями или рядом круговых отверстий 4.3.4. Сдвиг в бесконечной пластине с рав- номерной перфорацией круговыми отверстиями 4.3.5. Кручение бесконечной пластины с круговым отверстием 4.3.6. Кручение цилиндрической оболочки с круговым отверстием 4.3.7. Кручение вала или трубы с попе- речным круговым отверстием Глава 5, Проектирование некоторых элементов деталей машин 138 139 139 139 140 140 140 140 141 141 141 [142 142 142 142 142 142 239
133 134 134 136 137 5.1. Вал со шпоночной канавкой 5.1.1. Изгиб 5.1.2. Кручение 5.1.3. Передача крутящего момента через шпонку 5.1.4. Совместное действие изгиба и круче- ния 5.1.5. Эффект приближения канавки к утол- щенной части вала 239 239 240 240 240 241
301
5.1.6. Усталостное разрушение 241
5.2. Вал со шлицами при кручении 242
5.3. Зубья шестерни 242
5.4. Элементы с запрессовкой или горячей посад-
кой 243
5.5. Болт и гайка 245
5.6. Головка болта и крепление лопатки турби-
ны или компрессора (Т-образный оголовок) 246
5.7. Кривой брус 247
5.8. Винтовая пружина 248
5.8.1. Сжатая или растянутая пружина из
проволоки кругового или квадрат-
ного сечения 248
5.8.2. Сжатая илн растянутая пружина из
проволоки прямоугольного попереч-
ного сечения 248
5.8.3. Винтовая пружина при скручивании 249
5.9. Коленчатый вал 249
5.10. Крюк крана 250
5.11. Конструктивный элемент U-образной фор-
мы 250
5.12. Угловые и коробчатые профили 250
5.13. Вращающийся диск с отверстием 251
5.14. Кольцо или полый цилиндр 252
5.15. Цилиндрический сосуд под давлением 252
5.16. Цилиндрические сосуды с торосфериче-
скими днищами, находящиеся под давле-
нием 252
5.17. Толстостенный цилиндрический сосуд с
круглым отверстием в стенке под давле-
нием 285
Литература 286
Предметный указатель 298
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ
Ваши замечания о содержании книги, се оформле-
нии, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-Рижскии пер., 2,
издательство «Мир».