Методы решения сеточных уравнений - Самарский А.А., Николаев Е.С.

Глава I. Прямые методы решения разностных уравнений
2. Разностные производные и некоторые разностные тождества
4. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений
§ 2. Общая теория линейных разностных уравнений
2. Теоремы о решениях линейного уравнения
§ 3. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 4. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
3. Общее решение неоднородного уравнения
§ 5. Разностные задачи на собственные значения
§ 3. Метод прогонки для пятиточечных уравнений
2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений
3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений
4. Ортогональная прогонка для двухточечных векторных уравнений
5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными коэффициентами
3. Другие краевые задачи для разностных уравнений
4. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности
§ 2. Метод полной редукций для первой краевой задачи
2. Преобразование правой части и обращение матриц
2. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности
§ 4. Метод полной редукции для других краевых задач
2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам
4. Преобразование действительной периодической сеточной функции
5. Преобразование комплексной периодической сеточной функции
§ 2. Решение разностных задач методом Фурье
2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в двойной ряд
2. Решение краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности в прямоугольнике
Глава V. Математический аппарат теории итерационных методов
2. Операторы в линейных нормированных пространствах
3. Операторы в гильбертовом пространстве
5. Операторы в конечномерном пространстве
§ 2. Разностные схемы как операторные уравнения
3. Границы простейших разностных операторов
4. Оценки снизу для некоторых разностных операторов
5. Оценки сверху для разностных операторов
6. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах
7. Разностные схемы для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами
8. Уравнения с переменными коэффициентами и со смешанными производными
§ 3. Основные понятия теории итерационных методов
Глава VI. Двухслойные итерационные методы
5. Построение оптимальной последовательности итерационных параметров
§ 4. Несамосопряженный случай. Метод простой итерации
3. Минимизация нормы разрешающего оператора
§ 5. Примеры применения итерационных методов
2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области
3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами
4. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения со смешанной производной
Глава VII. Трехслойные итерационные методы
3. Алгоритм метода
§ 3. Стационарный трехслойный метод
§ 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов по априорным данным
Глава VIII. Итерационные методы вариационного типа
4. Неулучшаемость оценки в самосопряженном случае
5. Асимптотическое свойство градиентных методов в самосопряженном случае
§ 2. Примеры двухслойных градиентных методов
4. Метод минимальных погрешностей
5. Пример применения двухслойных методов
§ 3. Трехслойные методы сопряженных направлений
2. Формулы для итерационных параметров. Трехслойная итерационная схема
2. Локально оптимальные трехслойные методы
§ 5. Ускорение сходимости двухслойных методов в самосопряженном случае
Глава IX. Треугольные итерационные методы
2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра
4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике
5. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами
4. Оценка скорости сходимости методов Зейделя и релаксации
$3. Метод нахождения исходных величин $\delta$ и $\Delta$$
§ 2. Разностные краевые задачи для эллиптических уравнений в прямоугольнике
2. Модифицированный попеременно-треугольный метод
5. Разностная задача Дирихле для уравнения со смешанными производными
§ 3. Попеременно-треугольный метод для эллиптических уравнений в произвольной области
2. Построение попеременно-треугольного метода
3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области
2. Постановка задачи о выборе параметров
2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения с разделяющимися переменными
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности
§ 3. Метод переменных направлений в общем случае
2. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами
Глава XII. Методы решения уравнений с незнакоопределенными и вырожденными операторами
2. Преобразование оператора в самосопряженном случае
3. Итерационный метод с чебышевскими параметрами
4. Итерационные методы вариационного типа
§ 3. Общие итерационные методы для уравнений с вырожденным оператором
2. Итерационный метод минимальных невязок
3. Итерационные схемы с вырожденным оператором $B$
Глава XIII. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
2. Итерационные методы для случая дифференцируемого оператора
§ 2. Методы решения нелинейных разностных схем
3. Итерационные методы для разностных квазилинейных эллиптических уравнений в прямоугольнике
4. Итерационные методы для слабонелинейных уравнений
Глава XIV. Примеры решения сеточных эллиптических уравнений
2. Итерационные схемы с факторизованным оператором
Глава XV. Методы решения эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных координатах
2. Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе координат
§ 2. Решение разностных задач в цилиндрической системе координат
4. Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра
§ 3. Решение разностных задач в полярной системе координат
2. Разрешимость разностных краевых задач
3. Принцип суперпозиции для задачи в круге
4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце
6. Решение разностных задач в кольцевом секторе
7. Общий случай переменных коэффициентов
Дополнение. Построение полинома, наименее уклоняющегося от нуля
Автор: Самарский А.А. Николаев Е.С.
Теги: математика уравнения дифференциальные уравнения прикладная математика интегральные уравнения вычислительная математика
Год: 1978
Похожие
Численные методы решения обратных задач математической физики
Численные методы решения задач электрофизики
Численные методы в примерах и задачах
Численные методы в механике сплошных сред
Текст
                    А. А. САМАРСКИЙ, Е. С. НИКОЛАЕВ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СЕТОЧНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности ^Прикладная математика».
МОСКВА «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

С17
УДК 518.61
I
Методы решения сеточных уравнений. А. А. Самарски йг Е. С.
Николаев. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва
«Наука», М., 1978.
Книга посвящена методам решения алгебраических систем высокого
порядка, возникающих при применении метода сеток к задачам математической
физики. Наряду с итерационными методами, которые получили наиболее ши*
рокое распространение в вычислительной практике при решении указанных
задач, излагаются и прямые методы.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов факультетов прикладной
математики, а также на инженеров и специалистов, работающих в области
вычислительной математики.
^ 20204— 1 ,^2 ,„ „Л © Главная редакция
^ 'лео/мш г? " 15-78 " физико-математической литературы
\)э6@2)-7Ъ издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие % . . 8
Введение 11
Глава I. Прямые методы решения разностных уравнений 24
§ 1. Сеточные уравнения. Основные понятия 24
1. Сетки и сеточные функции ( 24 ). 2. Разностные производные и некоторые
разностные тождества ( 26 ). 3. Сеточные и разностные уравнения ( 30 ). 4.
Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений ( 33 ).
§ 2. Общая теория линейных разностных уравнений 37
1. Свойства решений однородного уравнения ( 37 ). 2. Теоремы о решениях
линейного уравнения ( 40 ). 3. Метод вариации постоянных ( 41 ). 4. Примеры ( 45 ).
§ 3. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами . . 48
1. Характеристическое уравнение. Случай простых корней ( 48 ). 2. Случай
кратных корней ( 49 ). 3. Примеры ( 52 ).
§ 4. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ... 54
1. Общее решение однородного уравнения ( 54 ). 2. Полиномы Чебышева ( 57 ).
3. Общее решение неоднородного уравнения ( 59 ).
§ 5. Разностные задачи на собственные значения . 63
1. Первая краевая задача на собственные значения ( 63 ). 2. Вторая краевая
задача ( 65 ). 3. Смешанная краевая задача ( 66 ). 4. Периодическая краевая
задача ( 68 ).
Глава II. Метод прогонки . . . • 73
§ 1. Метод прогонки для трехточечных уравнений 73
1. Алгоритм метода ( 73 ). 2. Метод встречных прогонок ( 76 ). 3. Обоснование
метода прогонки ( 78 ). 4. Примеры применения метода прогонки ( 80 ).
§ 2. Варианты метода прогонки 84
1. Потоковый вариант метода прогонки ( 84 ). 2. Метод циклической прогонки
( 86 ). 3. Метод прогонки для сложных систем ( 90 ). 4. Метод немонотонной
прогонки ( 93 ).
§ 3. Метод прогонки для пятиточечных уравнений . 97
1. Алгоритм монотонной прогонки ( 97 ). 2. Обоснование метода ( 100 ). 3. Вариант
немонотонной прогонки ( 101 ).
§ 4. Метод матричной прогонки 103
1. Системы векторных уравнений ( 103 ). 2. Прогонка для трехточечных векторных
уравнений ( 106 ). 3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений ( 109 ).
4. Ортогональная прогонка для двухточечных векторных уравнений ( 112 ).
5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными коэффициентами ( 117 ).
Глава III. Метод полной редукции 121
§ 1. Краевые задачи для трехточечных векторных уравнений .... 121
1. Постановка краевых задач ( 121 ). 2. Первая краевая задача ( 123 ). 3. Другие
краевые задачи для разностных уравнений ( 125 ). 4. Разностная задача Дирихле
повышенного порядка точности ( 128 ).
§ 2. Метод полной редукций для первой краевой задачи 130
1. Процесс нечетно-четного исключения ( 130 ). 2. Преобразование правой части и
обращение матриц ( 133 ). 3. Алгоритм метода ( 136 ). 4. Второй алгоритм
метода ( 139 ).
3

§ 3. Примеры применения метода 144
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 144 ).
2. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности ( 146 ).
§ 4. Метод полной редукции для других краевых задач 149
1. Вторая краевая задача ( 149 ). 2. Периодическая задача ( 154 ). 3. Третья краевая
задача ( 157 ).
Глава IV. Метод разделения переменных 164
§ 1. Алгоритм дискретного преобразования Фурье 164
1. Постановка задачи ( 164 ). 2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам ( 168 ).
3. Разложение по косинусам ( 175 ). 4. Преобразование действительной
периодической сеточной функции ( 178 ). 5. Преобразование комплексной периодической
сеточной функции ( 183 ).
§ 2. Решение разностных задач методом Фурье 185
1. Разностные задачи на собственные значения для оператора Лапласа в
прямоугольнике ( 185 ). 2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в
двойной ряд ( 190 ). 3. Разложение в однократный ряд ( 194 ).
§ 3. Метод неполной редукции 198
1. Комбинация методов Фурье и редукции ( 198 ). 2. Решение краевых задач для
уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 205 ). 3. Разностная задача Дирихле
повышенного порядка точности в прямоугольнике ( 208 ).
Глава V. Математический аппарат теории итерационных методов 212
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа 212
1. Линейные пространства ( 212 ). 2. Операторы в линейных нормированных
пространствах ( 215 ). 3. Операторы в гильбертовом пространстве ( 218 ). 4. Функции
от ограниченного оператора ( 223 ). 5. Операторы в конечномерном пространстве
( 224 ). 6. Разрешимость операторных уравнений ( 227 ).
§ 2. Разностные схемы как операторные уравнения 230
1. Примеры пространств сеточных функций ( 230 ). 2. Некоторые разностные
тождества ( 233 ). 3. Границы простейших разностных операторов ( 235 ). 4. Оценки
снизу для некоторых разностных операторов ( 238 ). 5. Оценки сверху для
разностных операторов ( 246 ). 6. Разностные схемы как операторные уравнения
в абстрактных пространствах ( 247 ). 7. Разностные схемы для эллиптических
уравнений с постоянными коэффициентами ( 251 ). 8. Уравнения с переменными
коэффициентами и со смешанными производными ( 254 ).
§ 3. Основные понятия теории итерационных методов 258
1. Метод установления ( 258 ). 2. Итерационные схемы ( 259 ). 3. Сходимость и
число итераций ( 261 ). 4. Классификация итерационных методов ( 263 ).
Глава VI. Двухслойные итерационные методы 266
§ 1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров 266
1. Исходное семейство итерационных схем ( 266 ). 2. Задача для погрешности ( 267 ).
3. Самосопряженный случай ( 268 ).
§ 2. Чебышевский двухслойный метод 269
1. Построение набора итерационных параметров ( 269 ). 2. О неулучшаемости
априорной оценки ( 271 ). 3. Примеры выбора оператора D ( 272 ). 4. О
вычислительной устойчивости метода ( 275 ). 5. Построение оптимальной последовательности
итерационных параметров ( 280 ).
§ 3. Метод простой итерации 284
1. Выбор итерационного параметра ( 284 ). 2. Оценка нормы оператора
перехода ( 285 ).
§ 4. Несамосопряженный случай. Метод простой итерации 287
1. Постановка задачи ( 287 ). 2. Минимизация нормы оператора перехода ( 288 ).
3. Минимизация нормы разрешающего оператора ( 293 ). 4. Метод
симметризации уравнения ( 297 ).
§ 5. Примеры применения итерационных методов 298
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 298 ).
2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной
области ( 301 ). 3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с
переменными коэффициентами ( 307 ). 4. Разностная задача Дирихле для
эллиптического уравнения со смешанной производной ( 312 ).
А

Глава VII. Трехслойные итерационные методы 351
§ 1. Оценка скорости сходимости 315
1. Исходное семейство итерационных схем ( 315 ). 2. Оценка нормы
погрешности ( 316 ).
§ 2. Полуитерационный метод Чебышева 318
1. Формулы для итерационных параметров ( 318 ). 2. Примеры выбора
оператора D ( 320 ). 3. Алгоритм метода ( 321 ).
§ 3. Стационарный трехслойный метод 321
1. Выбор итерационных параметров ( 321 ). 2. Оценка скорости сходимости ( 322 ).
§ 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов по априорным
данным 324
1. Постановка задачи ( 324 ). 2. Оценки скорости сходимости методов ( 326 ).
Глава VIII. Итерационные методы вариационного типа 331
§ 1. Двухслойные градиентные методы 331
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров ( 331 ). 2. Формула для
итерационных параметров ( 333 ). 3. Оценка скорости сходимости ( 334 ). 4.
Неулучшаемость оценки в самосопряженном случае ( 336 ). 5. Асимптотическое
свойство градиентных методов в самосопряженном случае ( 338 ).
§ 2. Примеры двухслойных градиентных методов 340
1. Метод скорейшего спуска ( 340 ). 2. Метод минимальных невязок ( 341 ). 3. Метод
минимальных поправок ( 343 ). 4. Метод минимальных погрешностей ( 344 ). 5.
Пример применения двухслойных методов ( 344 ).
§ 3. Трехслойные методы сопряженных направлений 347
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров. Оценка скорости
сходимости ( 347 ). 2. Формулы для итерационных параметров. Трехслойная
итерационная схема ( 349 ). 3. Варианты расчетных формул ( 354 ).
§ 4. Примеры трехслойных методов 355
1. Частные случаи методов сопряженных направлений ( 355 ). 2. Локально
оптимальные трехслойные методы ( 356 ).
§ 5. Ускорение сходимости двухслойных методов в самосопряженном
случае 360
1. Алгоритм процесса ускорения ( 360 ). 2. Оценка эффективности ( 361 ). 3.
Пример ( 363 ).
Глава IX. Треугольные итерационные методы 366
§ 1. Метод Зейделя 366
1. Итерационная схема метода ( 366 ). 2. Примеры применения метода ( 369 ). 3.
Достаточные условия сходимости ( 372 ).
§ 2. Метод верхней релаксации 375
1. Итерационная схема. Достаточные условия сходимости ( 375 ). 2. Постановка
задачи о выборе итерационного параметра ( 376 ). 3. Оценка спектрального
радиуса ( 379 ). 4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике ( 380 ). 5. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения
с переменными коэффициентами ( 385 ).
§ 3. Треугольные методы 387
1. Итерационная схема ( 387 ). 2. Оценка скорости сходимости ( 389 ). 3. Выбор
итерационного параметра ( 390 ) 4. Оценка скорости сходимости методов Зейделя
и релаксации ( 391 ).
Глава X. Попеременно-треугольный метод 395
§ 1. Общая теория метода ^ 395
1. Итерационная схема ( 395 ). 2. Выбор итерационных параметров ( 397 ). 3. Метод
нахождения исходных величин 6 и А ( 400 ). 4. Разностная задача Дирихле для
уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 402 ).
§ 2. Разностные краевые задачи для эллиптических уравнений в
прямоугольнике 409
1. Задача Дирихле для уравнения с переменными коэффициентами ( 409 ). 2.
Модифицированный попеременно-треугольный метод ( 411 ). 3. Сравнение вариантов
метода ( 417 ). 4. Третья краевая задача ( 418 ). 5. Разностная задача Дирихле
для уравнения со смешанными производными ( 421 ).
'5

§ 3. Попеременно-треугольный метод для эллиптических уравнений
в произвольной области 423
1. Постановка разностной задачи ( 423 ). 2. Построение попеременно-треугольного
метода ( 425 ). 3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной
области ( 429 ).
Глава XI. Метод переменных направлений 432
§ 1. Метод переменных направлений в коммутативном случае .... 432
1. Итерационная схема метода ( 432 ). 2. Постановка задачи о выборе параметров
( 434 ). 3. Дробно-линейное преобразование ( 436 ). 4. Оптимальный набор
параметров ( 438 ).
§ 2. Примеры применения метода 440
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 440 ).
2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения с разделяющимися
переменными ( 445 ). 3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка
точности ( 449 ).
§ 3. Метод переменных направлений в общем случае 453
1. Случай неперестановочных операторов ( 453 ). 2. Разностная задача Дирихле для
эллиптического уравнения с переменными коэффициентами ( 455 ).
Глава XII. Методы решения уравнений с незнакоопределенными
и вырожденными операторами 459
§ 1. Уравнения с действительным незнакоопределенным оператором 459
1. Итерационная схема. Задача выбора итерационных параметров ( 459 ). 2.
Преобразование оператора в самосопряженном случае ( 462 ). 3. Итерационный
метод с чебышевскими параметрами ( 464 ). 4. Итерационные методы
вариационного типа ( 468 ). 5. Примеры ( 469 ).
§ 2. Уравнения с комплексным оператором 471
1. Метод простой итерации ( 471 ). 2. Метод переменных направлений ( 475 ).
§ 3. Общие итерационные методы для уравнений с вырожденным
оператором 478
1. Итерационные схемы в случае невырожденного оператора В ( 478 ). 2.
Итерационный метод минимальных невязок ( 482 ). 3. Метод с чебышевскими
параметрами ( 485 ).
§ 4. Специальные методы 489
1. Разностная задача Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике ( 489 ).
2. Прямой метод для задачи Неймана ( 493 ). 3. Итерационные схемы с
вырожденным оператором В ( 496 ).
Глава XIII. Итерационные методы решения нелинейных уравнений 500
§ 1. Итерационные методы. Общая теория 500
1. Метод простой итерации для уравнений с монотонным оператором ( 500 ). 2.
Итерационные методы для случая дифференцируемого оператора ( 503 ). 3. Метод
Ньютона —Канторовича ( 505 ). 4. Двухступенчатые итерационные методы ( 509 ).
5. Другие итерационные методы ( 512 ).
§ 2. Методы решения нелинейных разностных схем 514
1. Разностная схема для одномерного эллиптического квазилинейного уравнения
( 514 ). 2. Метод простой итерации ( 522 ). 3. Итерационные методы для
разностных квазилинейных эллиптических уравнений в прямоугольнике ( 524 ). 4.
Итерационные методы для слабонелинейных уравнений ( 529 ).
Глава XIV. Примеры решения сеточных эллиптических уравнений . 532
§ 1. Способы построения неявных итерационных схем 532
1. Принцип регуляризации в общей теории итерационных методов ( 532 ). 2.
Итерационные схемы с факторизованным оператором ( 536 ). 3. Способ неявного
обращения оператора В ( двухступенчатый метод ) ( 540 ).
§ 2. Системы эллиптических уравнений 542
1. Цпдачп Дирихле для системы эллиптических уравнений в р-мерном
параллелепипеде ( 542 ). 2. Система уравнений теории упругости ( 547 ).

Г л а на XV. Методы решения эллиптических уравнений в
криволинейных ортогональных координатах 550
1. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений . . 550
, Эллиптические уравнения в цилиндрической системе координат ( 550 ). 2.
Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе координат ( 553 ).
§ 2. Решение разностных задач в цилиндрической системе координат 556
1. Разностные схемы без смешанных производных в осесимметрическом случае
( 556 ). 2. Прямые методы ( 560 ). 3. Метод переменных направлений ( 561 ). 4.
Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра ( 565 ).
§ 3. Решение разностных задач в полярной системе координат .... 569
1. Разностные схемы для уравнений в круге и кольце ( 569 ). 2. Разрешимость
разностных краевых задач ( 571 ). 3. Принцип суперпозиции для задачи в круге ( 574 ).
4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце ( 575 ). 5. Метод
переменных направлений ( 577 ). 6. Решение разностных задач в кольцевом
секторе ( 580 ). 7. Общий случай переменных коэффициентов ( 582 ).
Дополнение. Построение полинома, наименее уклоняющегося от
нуля 585
Литература ....*.*.* 590
Предметный указатель 591

ПРЕДИСЛОВИЕ
Численное решение дифференциальных уравнений
математической физики методом конечных разностей проводится в два
этапа: 1) разностная аппроксимация дифференциального
уравнения на сетке—написание разностной схемы, 2) решение на ЭВМ
разностных уравнений, представляющих собой системы линейных
алгебраических уравнений высокого порядка специального вида
(плохая обусловленность, ленточная структура матрицы системы).
Применение общих методов линейной алгебры для таких систем
далеко не всегда целесообразно как из-за необходимости
хранения большого объема информации, так и из-за большого объема
вычислительной работы, требуемой этими методами. Для решения
разностных уравнений уже давно разрабатываются специальные
методы, которые в той или иной степени учитывают специфику
задачи и позволяют найти решение с затратой меньшего числа
действий по сравнению с общими методами линейной алгебры.
Данная книга является продолжением книги А. А.
Самарского и В. Б. Андреева «Разностные методы решения
эллиптических уравнений», в которой изучается круг вопросов,
связанных с разностной аппроксимацией, построением разностных
операторов и оценкой скорости сходимости разностных схем для
типичных краевых задач эллиптического типа.
Здесь мы рассматриваем только методы решения разностных
уравнений. Книга фактически состоит из двух частей. Первая
часть (гл. I—IV) посвящена применению прямых методов
решения разностных уравнений, вторая часть (гл. V—XV)—теории
итерационных методов решения сеточных уравнений общего вида
и их применению к разностным уравнениям. При использовании
прямых методов существенную роль играет специальный вид
разностных уравнений. Для решения одномерных трехточечных
уравнений рассматриваются различные варианты метода прогонки
(монотонная, немонотонная, циклическая, потоковая прогонка
и др.).
В главах III и IV излагаются современные экономичные
прямые методы решения разностных уравнений Пуассона в
прямоугольнике с краевыми условиями различного вида. Это—метод
полной редукции и метод разделения переменных, использующий
алгоритм быстрого преобразования Фурье, а также
комбинированные методы.
8

При изучении итерационных методов используется трактовка
итерационного метода как операторно-разностной схемы, развитая
и книгах А. А. Самарского «Введение в теорию разностных схем»
A971) и «Теория разностных схем» A977). Эта концепция
позволяет излагать теорию итерационных методов как раздел общей
теории устойчивости операторно-разностных схем, не прибегая
к предположениям о структуре матрицы системы (см. также
Л. Л. Самарский и А. В. Гулин «Устойчивость разностных схем»
A973)). Запись итерационных схем в канонической форме
позволяет не только выделить операторы, ответственные за
сходимость итераций, но и сравнить различные итерационные методы.
Основное внимание уделяется изучению скорости сходимости
итераций и выбору оптимальных параметров, при которых
скорость сходимости максимальна. Наличие оценок скорости
сходимости, а также исследование характера вычислительной
устойчивости позволяют провести сравнение разных итерационных
методов в конкретных ситуациях и сделать выбор. Хотя читатель,
вероятно, знаком с основами теории разностных схем и
элементами функционального анализа, однако в главе V приводятся
используемые в книге сведения об основах математического
аппарата теории итерационных схем и показано, как разностные
аппроксимации эллиптических уравнений сводятся к операторным
уравнениям первого рода Аи = { с операторами А в
гильбертовом пространстве сеточных функций.
В последующих главах исследуются двухслойная
итерационная схема с чебышевским набором параметров, при котором имеет
место вычислительная устойчивость метода; трехслойная схема;
итерационные методы вариационного типа (методы скорейшего
спуска, минимальных невязок, минимальных поправок,
сопряженных градиентов и др.); итерационные методы для
несамосопряженных уравнений и в случае незнакоопределенного и
вырожденного оператора; методы переменных направлений;
«треугольные» методы (с алгоритмом обращения треугольной матрицы
при определении новой итерации) такие, как метод Зейделя,
метод верхней релаксации и др.; итерационные методы решения
нелинейных разностных уравнений, решение разностных краевых
задач для эллиптических уравнений в криволинейных системах
координат и др.
Особое место в книге занимает предложенный и развитый
авторами в 1964—1977 гг. универсальный
попеременно-треугольный метод, эффективность которого особенно сильно проявляется
при решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона в
произвольной области и задачи Дирихле для уравнения сПу (к §гас1 и) =
= — / (х), л: = (лг3, х2) с сильно меняющимся коэффициентом к(х).
В книге показано, как переходить от общей теории к
конкретным задачам, и приведено большое число итерационных
алгоритмов решения разностных уравнений для эллиптических
уравнений и систем уравнений. Даны оценки числа итераций
9

и проведено сравнение различных методов. Так, в частности,
показано, что для простейшей задачи прямые методы более
экономичны, чем метод переменных направлений. Следует
подчеркнуть, что возникающие на практике все более и более сложные
задачи линейной алгебры требуют как разработки новых методов,
так и расширения области применимости старых методов. При
этом происходит переоценка сравнительных характеристик
разных методов.
При написании книги авторы использовали материалы лекций,
читавшихся ими в период 1961 —1977 гг. на
механико-математическом факультете и на факультете вычислительной математики
и кибернетики МГУ, а также материалы опубликованных работ
авторов.
Авторы пользуются возможностью выразить благодарность
В. Б. Андрееву, И. В. Фрязинову, М. И. Бакировой, А. Б. Ку-
черову, II. И. Капорину за ряд полезных замечаний по
материалу книги.
Авторы благодарны Т. Н. Галишниковой, А. А. Голубевой
и особенно В. М. Марченко за помощь при подготовке рукописи
к печати.
Л. А. Самарский, Е. С. Николаев
Москва, декабрь 1977 г*

ВВЕДЕНИЕ
Применение различных численных методов (разностных,
вариационно-разностных, проекционно-разностных методов, в том
числе метода конечных элементов) для решения
дифференциальных уравнений приводит к системе линейных алгебраических
уравнений специального вида—к разностным уравнениям. Эта
система обладает следующими специфическими чертами: 1) она
имеет высокий порядок, равный числу узлов сетки; 2) система
плохо обусловлена (отношение максимального собственного
значения матрицы системы к минимальному велико; так, для
разностного оператора Лапласа это отношение обратно
пропорционально квадрату шага сетки); 3) матрица системы является
разреженной—в каждой ее строке отлично от нуля несколько
элементов, число которых не зависит от числа узлов; 4) ненулевые
элементы матрицы расположены специальным образом — матрица
является ленточной.
При аппроксимации на сетке интегральных и интегро-диф-
ференциальных уравнений мы получаем систему уравнений
относительно функции, заданной на сетке (сеточной функции).
Такие уравнения естественно называть сеточными уравнениями:
2а(*, 1)уA) = [(х), *€со, A)
где суммирование проводится по всем узлам сетки со, т. е. по
дискретному множеству точек. Матрица (а (ху |)) сеточного
уравнения является, в общем случае, заполненной. Если
перенумеровать узлы сетки, то сеточное уравнение можно записать в виде
N
2 Я//У/ = //, * = 1, 2, ..., АГ, B)
где *, / — номера узлов сетки, N—общее число узлов. Обратный
ход рассуждений очевиден. Таким образом, линейное сеточное
уравнение есть система линейных алгебраических уравнений и,
обратно, любую линейную систему алгебраических уравнений
можно трактовать как линейное сеточное уравнение относительно
сеточной функции, заданной на некоторой сетке с числом узлов,
равным порядку системы. Заметим, что вариационные методы
(Ритца, Галеркина и др.) численного решения дифференциальных
п

уравнений приводят обычно к системам с заполненной
матрицей.
Разностное уравнение есть частный случай сеточного
уравнения, когда матрица (аи) является разреженной. Так, например,
B) представляет собой разностное уравнение т-го порядка, если
в строке номера г имеется лишь т + 1 отличный от нуля
элемент аи при / ■=■--1, Н-1, ..., ь +т.
Из сказанного ясно, что решение сеточных и, в частности,
разностных уравнений является задачей линейной алгебры.
# * *
Для решения задач линейной алгебры существует много
различных численных методов, непрерывно ведется работа по их
усовершенствованию, проводится переоценка методов,
разрабатываются новые методы. В результате оказывается, что
значительная часть имеющихся методов имеет право на существование,
обладает своей областью применимости. Поэтому для решения
конкретной задачи на ЭВМ существует проблема выбора одного
метода на множестве допустимых методов решения данной задачи.
Этот метод должен, очевидно, обладать наилучшими
характеристиками (или, как любят говорить, быть оптимальным методом)
такими, как минимум времени решения задачи на ЭВМ (или ми-"
нимум числа арифметических и логических операций при
отыскании решения), вычислительная устойчивость, т. е.
устойчивость по отношению к ошибкам округления, и др.
Естественно требовать, чтобы любой вычислительный алгоритм
для ЭВМ позволял в принципе получить решение данной задачи
с любой наперед заданной точностью 8 > 0 за конечное число
действий ф(е). Этому требованию удовлетворяет бесчисленное
множество алгоритмов, в котором и следует искать алгоритм с
минимумом <2 (е) для любого е > 0. Такой алгоритм называется
экономичным. Конечно, поиск «оптимального» или «наилучшего»
метода, как правило, проводится на множестве известных (а не
всех допустимых) методов, и сам термин «оптимальный алгоритм»
имеет ограниченный и условный смысл.
* * *
Задача теории численных методов состоит как в отыскании
наилучших алгоритмов для данного класса задач, так и в
установлении иерархии методов. Само понятие наилучшего алгоритма
зависит от цели вычислений.
Возможны две постановки вопроса о выборе наилучшего
метода:
а) требуется решить одну конкретную систему уравнений
Лы = /\ А =ф|7)—матрица;
б) требуется решить несколько вариантов одной и той же
задачи, например, уравнения Аи == / с различными правыми
частями /•
12

При многоварйантном расчете можно уменьшить среднее числе
операций (? (е) для одного варианта, если хранить некоторые
иеличины, а не вычислять их заново для каждого варианта (на-,
пример, хранить обратную матрицу).
Отсюда ясно, что выбор алгоритма должен зависеть от типа
расчета (одновариантного или многовариантного), от возможности
хранения дополнительной информации в памяти ЭВМ, что в свою
очередь связано как с типом ЭВМ, так и с порядком системы
уравнении. При теоретических оценках качества
вычислительного алгоритма обычно ограничиваются подсчетом числа
арифметических операций, которые требуются для отыскания
решения с заданной точностью; при этом вопрос о параметрах ЭВМ,
как правило, не обсуждается.
Бурное развитие в последние годы численных методов
решения разностных уравнений, аппроксимирующих
дифференциальные уравнения эллиптического типа, и появление новых
экономичных алгоритмов привели к необходимости пересмотра
представлений об областях применимости существовавших ранее
методов.
* * *
Содержание данной книги в значительной степени
обусловлено необходимостью дать эффективные методы решения
разностных уравнений, соответствующих краевым задачам для
уравнений эллиптического типа второго порядка. Классификация
разностных краевых задач может быть проведена по следующим
признакам:
1) вид дифференциального оператора Ь в уравнении
/ Ьи = 1(х), х = (х19 х2, .. , хр)€0; C)
2) форма области С, в которой ищется решение;
3) тип краевых условий на границе Г области С;
4) сетка со в области 0 = 0+Г и разностная схема
Л#=— ф(я), *€<*> D)
т. е. вид разностного оператора Л.
Примерами эллиптического оператора второго порядка могут
быть '
Ьи = Ди = ^ -^-—оператор Лапласа, E)
^=%^Ы^^)-Я^)и, F)
а. 0=1 ч р '
13

причем коэффициенты ка$ (х) в каждой точке х = (х1У х^ ...9хр)
удовлетворяют условию сильной эллиптичности
^2 й< 5] К* (хIаЬ <^2 й, ^, С2-СОП5* > 0, G)
а=1 а, 3=1 а=1
где § = E^ ..., 1Р) — произвольный вектор. Если и(х)'^(и1(х)у
и2(х)у ..., ит {х))~- вектор-функция, то C) есть система
уравнений и
т р
/= 1 а,р= 1 ч ! '
а условие сильной эллиптичности имеет вид
т р т р р т
^2 2(Ш2< 2 2 к&(х)Ш<с*2, 2(Ш2,
4=1 а = 1 Л/=1 а, р=1 1=1 а=1
^1, ^2 = СОП51>0.
* * *
Форма области сильно влияет на свойства матрицы
разностных уравнений. Мы будем выделять области, для которых
уравнение Ьи = 0 с однородными краевыми условиями допускает
разделение переменных. Так, например, для уравнения Лапласа
в декартовых координатах (х19 х2) Ьи = Аи = —%--\ \- метод
дх\ дх%
разделения переменных применим в случае, когда С есть
прямоугольник. Аналогичным свойством обладает и разностная схема
на прямоугольной сетке, например, схема «крест»; при этом сетка
может быть неравномерной по каждому направлению.
При сравнении различных численных методов решения систем
алгебраических уравнений будем использовать в качестве
эталонной или модельной задачи следующую разностную краевую
задачу:
уравнение Пуассона, область—квадрат, краевые условия
первого рода, сетка — квадратная с шагами /гх = /г и Н2 = Н по хг и х2У
разностный оператор А — пятиточечный.
Вторая группа разностных краевых задач соответствует
следующим данным: Ь — оператор с переменными коэффициентами
вида F): а) без смешанных производных, б) со смешанными
производными, область 0 = {0^л:а^/а, а=1, 2}— прямоугольник
(параллелепипед при р^З).
Третья группа задач—область сложной формы, а Ь либо
оператор Лапласа, либо оператор общего вида; здесь степень
сложности задачи определяется в первую очередь формой области,
выбором сетки и разностного оператора в окрестности границы.
Для второй и третьей групп задач разностный оператор
обычно выбирается так, чтобы сохранить основные свойства (самосо-
14

мряженность, знакоопределенность и др.) исходной задачи и
удовлетворить требованию аппроксимации с определенным
порядком относительно шага сетки.
* * *
Для решения разностных эллиптических задач применяются
прямые и итерационные методы.
Прямые методы применимы в многомерном случае в основном
для задач первой.группы (Ь—оператор Лапласа, О —
прямоугольник при р = 2 и параллелепипед при р^З, Л—пяти- или
девятиточечная разностная схема при р = 2). Для одномерных задач,
когда разностное уравнение имеет второй порядок (матрица
является трехдиагональной), а коэффициенты уравнения могут
быть переменными, применим метод прогонки, который является
вариантом метода Гаусса (см. гл. II). Существует ряд вариантов
метода прогонки: монотонная прогонка, немонотонная прогонка,
потоковая прогонка, циклическая прогонка и др. (см. гл. II).
Для двумерных задач первой группы (см. выше) эффективен ме-
, тод полной редукции (гл. III), метод разделения переменных
с быстрым преобразованием Фурье, а также комбинация метода
неполной редукции с быстрым преобразованием Фурье (гл. IV).
Во всех случаях по одному из направлений методом прогонки
решается разностное уравнение второго порядка.
Указанные прямые методы в случае разностной задачи
Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике @^л:а^/а,
а=1, 2) на сетке ю = {(*Л» *Л)» *а = 0, 1, ..., #а, Иа = 1а/Ма,
а=1, 2} требуют ф = О(М^21о§2Л/2) арифметических действий,
где Л^2 = 2?, п > 0—целое число.
Прямые методы применимы для весьма специального класса
задач.
* * *
Разностные эллиптические задачи в случае операторов Ь
общего вида или областей сложной формы решаются в основном
при помощи итерационных методов.
Сеточные уравнения можно трактовать как операторные
уравнения первого рода
Аи = 1 (8)
с операторами, заданными на пространствах Я сеточных функций.
В пространстве Я вводятся скалярное произведение (,) и
энергетические нормы \\и\\0 = У(Ои, и)> # = #* >0,#:Я—*Я,где
О —некоторый линейный оператор в Я.
Итерационные методы решения операторного уравнения Л« = /
можно трактовать как операторно-разностные (разностные по
фиктивному времени или по индексу-номеру итерации)
уравнения с операторами в гильбертовом пространстве Я. Если новая
15

итерация ук+1 вычисляется через т предыдущих итераций
Ук> Ук-и •••>Ук-т+1> то итерационный метод (схема) называется
т+1-слойным (т-шаговым). Отсюда видна аналогия
итерационных схем с разностными схемами для нестационарных задач.
Поэтому и теория итерационных методов фактически является
специальным разделом общей теории устойчивости операторно-
разностных схем. Мы ограничиваемся изучением двухслойных
и в меньшей степени трехслойных схем. Переход к
многослойным схемам не дает каких-либо преимуществ (как это и следует
из общей теории устойчивости, см. [10]).
Важную роль играет запись итерационных методов в единой
(канонической) форме, что позволяет выделить оператор
(стабилизатор), ответственный за устойчивость и сходимость итераций
и сравнить различные итерационные методы с единых позиций.
Любой двухслойный (одношаговый) итерационный метод
записывается в следующей канонической форме:
ВУЛ^Ц+А у и * = 0, 1 4г,€Я, (9)
где В: Н—+Н—линейный оператор, имеющий обратный В",
х1У т2, ...—итерационные параметры, к—номер итерации, ук—
итерационное приближение номера к. В общем случае В = Вк+1
зависит от к. В общей теории мы предполагаем, что В не
зависит от к.
Параметры {хк\ и оператор В произвольны, и их следует
выбрать из условия минимума числа итераций п, при котором
решение уп уравнения (9) приближает в Нй точное решение и
уравнения Аи = [ с относительной точностью е > 0:
\\Уп—ыЦлОИУо—и\в. A0)
Для излагаемой в книге общей теории итерационных методов
не требуется никаких предположений о структуре оператора А
(матрицы (ац)). Используются лишь свойства общего вида
Л = Л*>0, В = 5*>0, 71#<Л<?2Я, ?1 >0. (И)
Операторные неравенства означают, что заданы постоянные уи у2
энергетической эквивалентности операторов А и В или границы
спектра оператора А в пространстве Нв {у1—минимальное, у2—
максимальное собственные значения обобщенной задачи на
собственные значения: Аю = %Вю).
* * *
Решение х19 т2, . ..,тя указанной выше задачи о гшп гг0(е)
Т*. Т2, ...» %п
при заданных уи у2 и фиксированном В в случае 0 = АВ~1А
выражается через нули полинома Чебышева /г-го порядка (чебы-
шевский итерационный метод). При этих оптимальных значениях
тх, т2, ..., хп и заданном произвольном е>0 для числа
16

итераций п, вычисляемых по схеме (9), верна оценка
1п B/е) ^ / ч 1п B/е) «, ,
п ^ —тт /-Л / т=тт или п^п0 (е) = —Ц^г , I = ух/То и вы-
полняется неравенство
Иув-/1в-.<еИУо-/Ь-ь
Вычислительная устойчивость чебышевского метода имеет
место при определенном способе нумерации (упорядочивания)
нулей чебышевского полинома и параметров %\, <, ...,т*; этот
способ указан в гл. VI.
При В = Е(Е—единичный оператор) метод (9) называется
явным, а при ВфЕ — неявным. Если параметру выбрать
постоянным, т:к = т:о = 2/(у1 + у2)у к= 1, 2, ..., пу то получим неявную
схему простой итерации, для нее п^п0(г) = \п ( —)/ B|).
Оператор В (стабилизатор) выбирается из условия
экономичности, т. е. минимума вычислительной работы при решении
уравнения Вю = Р с заданной правой частью Р, и, как было уже
сказано, из условия минимума числа итераций и0(е).
Предположим, что мы умеем экономично решать задачу Яу = /
с затратой С1к(г) действий, где
Д: #-*#, Д = #*>0, ^ЖЛОаЯ, сг>0. A2)
Тогда можно положить 5 = /? и найти решение задачи Ли = /
по схеме (9) с параметрами {т*к\ при у1 = с1У у2 = с2 за Фл(8)^
« у У с^сл. 1п B/8) 0.Я (8) действий.
Если, например, Ь— оператор общего вида, О —
прямоугольник, то в качестве /? можно взять пятиточечный разностный
оператор Лапласа и решать уравнение #у = / прямым методом.
Может оказаться, что уравнение #а = / выгодно решать не
прямым, а итерационным методом, тогда В фЯ и не
выписывается в явном виде, а реализуется в результате итерационной
процедуры.
Известные методы Зейделя и верхней релаксации являются
неявными и соответствуют треугольным матрицам (операторам) В.
Сходимость этих методов доказывается на основе общей теории
разностных схем (см. А. А. Самарский, Теория разностных
схем, М., 1977 или А. А. Самарский, А. В. Гулин,
Устойчивость разностных схем, М., 1973). Однако для методов Зейделя
и верхней релаксации оператор В несамосопряжен, и потому
нельзя воспользоваться чебышевским методом (9) с оптимальным
набором итерационных параметров т?, т2, ...,т«, что позволило
бы повысить скорость сходимости итераций. Оператор В можно
17

сделать самосопряженным, если положить его равным
произведению сопряженных друг другу операторов:
В = (Е + <оКг)(Е + (оЪ), #2* = ^, A3)
где со > 0 — параметр. В качестве #х и К2 можно взять
операторы, имеющие треугольные (нижнюю 7?х и верхнюю #2) матрицы,
так что ^1 + /?а=^: И—+НУ /?* = #>0. В частности, можно
положить
Яг + К2 = А, П\ = П±. A4)
Типичным является предположение
#>8Я, ^/?2<А.Л, 6>0, Д>0. A5)
Выбирая затем со = 2Д/"бД из условия ппп/г0(е), находим
параметры уг, у2 и вычисляем параметры {т^}. Определение ук+1
через ук и / сводится к последовательному решению двух систем
уравнений с нижней и верхней треугольными матрицами.
Построенный итерационный метод (9) с факторизованным
оператором В вида A3) назовём попеременно-треугольным
методом (ПТМ). ПТМ, очевидно, является универсальным, так как
представление А в виде суммы /?1 + /?2 = Л, Я1 = Я1 возможно
всегда. В случае разностной эллиптической задачи построение
р У-
/?х и Я2 не представляет труда. Так, например, Нгу—> V -~,
а=1 а
Р ух
%2у —* — V-/р- > если Ау — разностный 2/7 +1-точечный оператор
а=1 а
Р
Лапласа, Л//—* — 2 % * . ^а—шаг сетки по направлению Оха.
сс=1 а а
Этот метод является быстросходящимся. Если взять чебышевский
набор {т1\ и учесть A4), A5), то число итераций для ПТМ
В частности, для модельной задачи имеем п ^п0 (е)=0,3 1п—/ УТ.
Для случая произвольной области и уравнений с
переменными коэффициентами целесообразно пользоваться
модифицированным попеременно-треугольным методом (МПТМ), полагая
В = B» + ю/?1)й>-1(® + ^2). ^2 = /?!, Я> = 3>*>0, A7)
где Й> — произвольный оператор. Если вместо A5) выполнены
4
Я>8^9 ^Я)-1/?^-^-®» б>0> А>°> A8)
то оценка A6) сохраняет силу.
18-

Здесь заданы б и Д, а выбираются оператор @) и параметр со
так, чтобы отношение 1> = у11у2 было максимальным. На
практике в качестве матрицы @) можно брать диагональную матрицу.
Укажем два примера эффективного применения МПТМ.
1) Задача Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной
области сложной формы; основная решетка в плоскости (х1У х2)
равномерна с шагом й, схема пятиточечная. МПТМ при
соответствующем выборе ® требует лишь на 4—5% больше итераций,
чем для той же задачи в квадрате со стороной, равной диаметру
области.
2) Для эллиптических уравнений с сильно меняющимися
коэффициентами (отношение с2/с1 велико) МПТМ с
соответствующим образом выбранным 3) позволяет ослабить зависимость от с2/сг.
На практике, помимо одношаговых (двухслойных) методов (9),
применяются и двухшаговые (трехслойные) итерационные схемы.
При оптимальных итерационных параметрах они по числу
итераций сравнимы с чебышевской схемой с параметрами {т^} при
|—*0, однако более чувствительны по отношению к ошибкам
в определении уг и у2. При условиях (И) целесообразно
пользоваться чебышевской схемой (9) с параметрами {т^}.
Для решения эллиптических задач весьма важную роль
сыграл итерационный метод переменных направлений (МПН),
развивавшийся, начиная с 1955 г., многими авторами. Однако
он оказался экономичным лишь для очень узкого класса
задач первой группы, когда выполнены условия А=А1 + А2У
Аа = А*а^0, а=1, 2, Л = Л*>0, АгА2 = А2Ах. Если Аг и А2
перестановочны, то для МПН можно выбрать оптимальные
итерационные параметры. Для модельной задачи с такими
параметрами число итераций п0(г) =0 Aп-т-1п — ) , а число
действий ф (г) = 0 (та-1п -т-1п —) , в то время как для прямых
методов ($ = 0 (^2п у) . Прямые методы в этом случае более
экономичны, чем МПН. Если Аг и А2 неперестановочны, то МПН
требует СМ-Д-1П— ] итераций, в то время как для ПТМ
достаточно 0(-^=г1п —) итераций. В случае трехмерных задач, когда
А=А1+А2+А3 даже в предположении попарной
перестановочности А19 Л2, А3 МПН требует больше операций, чем ПТМ. Таким
образом, МПН в значительной степени утратил свое значение.
Если оператор А > 0 не является самосопряженным, то не
удается при помощи схемы (9) с набором параметров и
самосопряженным оператором В = В* > 0 построить итерационный
19

процесс с той же скоростью сходимости, что и чебышевский
метод при Л = Л*>0. Все известные методы обладают меньшей
скоростью сходимости. Здесь рассматривается метод простой
итерации (гл. VI) с заданием априорной информации двух типов:
а) заданы параметры у,, уа, входящие в условия (для
простоты считаем В ~ В ~ Е)
у,{хух)^{Ах9х)у (Лх, Ах)^у2(Ах, х), ух > О, у2>0; A9)
б) заданы три параметра у19 у29 у39 где уг и у2 (при 0=В=Е)—
границы симметричной части оператора А:
ухЕ < А < у2Е, \\ Аг (| < у3, уг > 0, Тз > 0, B0)
где Л1 = 0,5(Л — Л*) — кососимметричная часть Л.
Выбирая т из условия минимума нормы оператора перехода
или разрешающего оператора, во всех случаях получаем
увеличение числа итераций по сравнению со случаем Л = Л*.
* * *
Любой двухслойный итерационный метод, построенный на
основе схемы (9), характеризуется операторами В и Л,
энергетическим пространством Нп, в котором доказывается сходимость
метода, и набором параметров. Если оператор В фиксирован,
то основной задачей является отыскание {т^}.
При выборе параметров \тк\ используется априорная
информация об операторах схемы. Вид информации определяется
свойствами операторов Л, В и О. Так, для чебышевской схемы при
0 = АВ~1А, когда Л и В —самосопряженные операторы,
предполагается, что заданы постоянные у19 у2 в A1). В общем
случае, когда ОВ~1А самосопряжен в Я, то вместо A1) достаточно
потребовать, чтобы у1В^Ьв~1А <у2С, уг > 0. В
несамосопряженном случае, когда АфА*, а В = В*>0, используются либо
два числа у19 у2У либо три числа у19 у2 (входящие в A9)) и у3—
постоянная, входящая в оценку кососимметричной части
оператора Л. В ряде случаев нахождение постоянных у1У ?2 и Тз
с достаточной точностью может оказаться сложной
самостоятельной задачей, требующей для своего решения специальных
алгоритмов. Если априорная информация может быть получена ценой
небольших вычислительных затрат или требуются
многовариантные расчеты для уравнения Аа = [ с разными правыми частями,
то целесообразно найти однажды требуемые числа у19 у29 у3 и
затем воспользоваться чебышевским методом или ПТМ. Если
требуется решить лишь одну задачу Аа = [ или если задано
хорошее начальное приближение, а вычисления постоянных у19 у2
являются трудоемкими,—следует воспользоваться итерационными
методами вариационного типа.
20

Для итерационных методов вариационного типа при
вычислении параметров \хк\ не надо знать у19 у2. Эти методы
используют лишь информацию общего вида
А = А* > О, (СВ-М)* - ВВ-^А. B1)
Для определения ук+1 используется та же схема (9), меняется
лишь формула для гк+1. Параметр тк+1 находится из условия
минимума в Нв нормы погрешности гк+1 = ук+1— и, т. е.
минимума функционала 1[у] = @(у—и), у—и). Параметр хк+1
вычисляется через ук. Выбирая Ь = АУ получим метод скорейшего
спуска, а при 0 = А*А—метод минимальных невязок и т. д.
Эти методы имеют ту же скорость сходимости, что и метод простой
итерации (с точными постоянными 71» Тг)- Скорость сходимости
итераций можно повысить, если отказаться от локальной
(пошаговой) минимизации ||г*+1||д и выбирать параметры %к из
условия минимизации нормы погрешности \\гп\\в сразу за п
шагов, т. е. при переходе от у0 к уп. Такой путь приводит
к двухпараметрическим (при каждом к) трехслойным
итерационным схемам сопряженных направлений (сопряженных
градиентов, невязок, поправок или погрешностей), которые обладают
такой же скоростью сходимости, что и чебышевский метод с
параметрами {т^}, вычисленными по точным значениям у19 у2. Если
А=А* > 0, то можно построить процесс ускорения (»в 1,5—2 раза)
сходимости двухслойных градиентных методов.
В общей теории итерационных методов не требуется знания
конкретной структуры операторов задачи — используется лишь
минимум информации общего функционального характера
относительно операторов, например, условия A1). Выбор оператора
В схемы (9) подчинен требованиям: 1) обеспечения наиболее
быстрой сходимости метода (9), 2) экономичности обращения В.
При построении В можно исходить из некоторого оператора
/? = /?* > 0 (регуляризатора), энергетически эквивалентного
Л = А*>0, Я = Я*>0:
сгК < А < сЛ, с, > О, ухВ < Д < у2В, 7х > 0. B2)
Так что у1 = с1у19 Т2 = ^2Т2- Для различных А можно выбрать
один и тот же регуляризатор /?. Наиболее распространен
случай факторизованного оператора В, например,
В = {Е + а>К1)(Е + в>Кй)9 /?х+ /?, = /?, B3)
где
/?: = /?, >0—для ПТМ, B4)
#Г = #1>0, /?; = /?,>0, /?!/?, = /?,/?!—для МПН. B5)
21

Чтобы применить теорию, надо найти ух и у2; параметр со>0
находится из условия т!п (ух (со)/у2 (оэ)). Если уравнение Нхю=Р
может быть решено экономичным прямым методом, то полагаем
В = # (например, в случае когда( /?) — разностный оператор
Лапласа, область — прямоугольник). Оператор В может не
выписываться явно, а рсалнзоьывагься в результате итерационного
решения уравнения Кии г,,, гк Аук—/(двухступенчатый метод).
* * *
Для уравнений с иезиакоопределенными, вырожденными и
комплексными операторами А можно рассматривать те же схемы (9).
Однако, выбор оптимальных параметров усложняется, а скорость
сходимости итераций уменьшается. Применение общей теории
в этих особых случаях требует предварительной «обработки»
исходной задачи. Оказывается возможным построить
модификации как чебышевского метода, так и методов вариационного
типа.
Если А—линейный вырожденный оператор, т. е.
однородное уравнение Аи = О имеет нетривиальное решение, то задача (9)
при В=Е и любых хк всегда разрешима. Пусть Я@)— нулевое
собственное подпространство оператора Л, ЯA)— ортогональное
дополнение Я@) до Я. Любой вектор у^Н{0) удовлетворяет
уравнению Ау = 0. Если /^ЯA) и у0^Н{1\ то и все итерации
ук^Н{1). Если выполнены условия
У1(У>У)<(Ау,У)<Уг(У,У), </€#A\ ъХ),
то можно пользоваться явной схемой (9) с чебышевскими
параметрами {т^}, найденными по у1У у2. При этом ук сходится к
нормальному решению, имеющему минимальную норму.
Если /=/@) + р> и [{0)ф0, то под обобщенным нормальным
решением уравнения Аи — \ будем понимать решение уравнения
Аи{1) = [{1), и{1)^Н{1\ имеющее минимальную норму. Справедлива
оценка
/2-1
если т^, Та, ..., т^х—чебышевские параметры, ат^ = — 2 т/- Ско-
/=1
рость сходимости понижается по сравнению со случаем
невырожденного А с теми же у1У у2. Наряду с указанным
модифицированным чебышевским методом возможны также и методы
вариационного типа.
22

Общая теория позволяет исследовать неявную схему простой
итерации для случая, когда Н—комплексное гильбертово
пространство, А = А + дЕ, А — эрмитов оператор, ц =
с\г-\-Щъ—комплексное число, и выбрать оптимальное значение итерационного
параметра. Переход к методу переменных направлений также не
представляет труда.
* * *
Результаты общей теории нетрудно использовать для решения
разностных уравнений, аппроксимирующих краевые задачи для
уравнений эллиптического типа. При этом легко формулировать
общие правила решения разностных задач. Пусть дано разностное
уравнение Аи = [, где А:Н—+Н—разностный оператор,
определенный в пространстве Н сеточных функций, заданных на
сетке со, Сначала изучаются общие свойства оператора А и
устанавливается, например, его самосопряженность и
положительность, Л = Л*>0, затем строится оператор 5 = В*>0 и
вычисляются постоянные у19 у2 и, наконец, находятся п = п0(г) и
параметры {т^}.
Если речь идет о ПТМ с факторизованным оператором В =
= (<Ю + (оК1)@)~1(@) + (оК2)у то надо выбрать матрицу @) и
постоянные б, А (см. гл. X), зная б и А, определим со, у1У у2 и т. д.
В книге приведено много примеров применения прямых и
итерационных методов для решения конкретных разностных
уравнений. В главе XV, в частности, рассматриваются методы
решения разностных эллиптических уравнений в криволинейных
координатах: в цилиндрической (г, г) и в полярной (г, ф)
системах координат.
В гл. XIV рассматриваются многомерные задачи, схемы
для уравнений теории упругости и др.
Важно отметить, что независимо от метода, который будет
применен для решения данной разностной краевой задачи, ее
предварительная обработка проводится по одному и тому же
рецепту: сначала формируется оператор Л, затем он изучается
как оператор в пространстве Я сеточных функций. После того
как «сбор» информации о задаче закончен, принимается решение
о выборе метода решения задачи с учетом всех обстоятельств,
в том числе типа машины, наличия стандартных программ и др.

ГЛАВА I
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В главе изучаются общая теория линейных разностных уравнений, а
также прямые методы решения уравнений с постоянными коэффициентами,
дающие решение в замкнутом виде. В § 1 приведены общие понятия о
сеточных уравнениях. § 2 посвящен общей теории линейных разностных уравнений
т-го порядка. В § 3 рассмотрены методы решения уравнений с постоянными
коэффициентами, а в § 4 эти методы используются для решения уравнений
второго порядка. Решению сеточных задач на собственные значения для
простейшего разностного оператора посвящен § 5.
§ 1. Сеточные уравнения. Основные понятия
1. Сетки и сеточные функции. Значительное число задач
физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям
в частных производных (уравнениям математической физики).
Установившиеся процессы различной физической природы
описываются уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений
удается получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи
в основном решают приближенно. Одним из наиболее
универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время
широкое распространение для приближенного решения уравнений
математической физики, является метод конечных разностей или
метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного
изменения аргументов (например, отрезок, прямоугольник и т. д.)
заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое
называется сеткой или решеткой. Вместо функций непрерывного
аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента,
определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями.
Производные, входящие в дифференциальное уравнение и
граничные условия, заменяются разностными производными; при
этом краевая задача для дифференциального уравнения
заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических
уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто
называют разностными схемами.
Остановимся более подробно на основных понятиях метода
сеток. Рассмотрим сначала простейшие примеры сеток.
24

Пример 1. Сетка в одномерной области. Пусть область
изменения аргумента х есть отрезок О^л;^/. Разобьем этот
отрезок на N равных частей длины Н = 11Ы точками х1 = гН,
/==0, 1, ..., N. Множество этих точек называется равномерной
сеткой на отрезке [0, /] и обозначается со = {х( = Иг, г = 0, 1, ..., N.
НN = ^}, а число Н—расстояние между точками (узлами) сетки
со — называется шагом сетки. __
Для выделения части сетки со мы будем далее использовать
следующие обозначения:
(л = {х1 = Иг9 1=1,2, ...,N—1, Ш = 1},
®+ = {Х( = И1, 4=1, 2, ..., N. Ш = 1}9
а>-=={Х/==1Аэ / = 0, 1, ...,N—1, N11 = 1},
7 = {*о = 0, х„=1}.
Отрезок [0, /] можно разбить на N частей, вводя произвольные
ТОЧКИ 0 = Х0 < Хг < ... ОС/ < Х1 + 1 < • • • < *Лг-1 < *ЛГ = '• В ЭТОМ
случае получим сетку со={хг-, I = 0, 1, ..., к, х0 = 0, %=/}
с шагом Ъ,{=х{—хь_х в узле #/, 1 = 1, 2, ..., М, который
зависит от номера I узла хь т. е. является сеточной функцией Н1 =Н (*').
Если Н(фН1+1 хотя бы для одного номера I, то сетка со
называется неравномерной. Если Я,- = Н = //Л/, то получим
построенную выше равномерную сетку. Для неравномерной сетки
вводится средний шаг 7г{ = %A) в узЛе х{, ^• = 0,5(/1/ + /г/+1), 1^
<л<;М—1, %0 = 0,5Н1У ^ = 0,5й^. На бесконечной прямой
— сх)<л;<оо можно рассматривать сетки & = {х{ = а + Нг, / = 0,
±1, ±2, ...} с началом в любой точке#=а и шагом Н,
состоящую из бесконечного числа узлов.
Пример 2. Сетка в двумерной области. Пусть область
изменения аргументов х = (хг, х2) есть прямоугольник С = {0 ^ха ^
</а> а = 1, 2} с границей Г. На отрезках 0<л;а</а построим
равномерные сетки соа с шагами На\
а1 = {х1A)=Иг1, ^ = 0, 1, ..., М, ЛХЛ1 = /г},
©• = {*■ (/) = /*■. / = 0, 1, ...,#, Л2Л^ = /2}.
Множество узлов х1/ = (х1A), х2Ц)), имеющих координаты на
плоскости х1(ь) и #8(/), называется сеткой в прямоугольнике О
и обозначается (й = {хи = (Иг1, /Ая), 1=0, 1, ...,М, / = 0, 1, ...
..., N,^^=^^N = 1^.
Сетка со, очевидно, состоит из точек пересечения прямых
#1 = *1@ И *. = *.(/). _
Построенная сетка со равномерна по каждому из переменных
хг и х2. Если хотя бы одна из сеток соа неравномерна, то сетка со
называется неравномерной. Если НХ^=К^ то сетка называется
квадратной^ иначе—прямоугольной.
Точки со, принадлежащие Г, называются граничными и их
объединение образует границу сетки: у = {*;/€ Г)•
25

Чтобы описать структуру сетки со, удобно использовать запись
со = (о1хсо21_т. е. представлять со как топологическое
произведение сеток аI и со2. Используя введенные в примере 1
обозначения со+, со" и со, можно выделить части сетки со в прямоугольнике,
например:
©1Х©? = {л-/у = AЛ1>/Ла), * = 1, 2, ...,Л1 —1, /=1, 2, ..., Щ,
а>;х®ш = {хи = AЬи /Ля), 1-0, 1, ..., уИ — 1, /-0, 1, ..., Щ.
Рассмотрим теперь понятие сеточной функции. Пусть со—сетка,
введенная в одномерной области, а х1— узлы сетки. Функция
У=У(хд дискретного аргумента х1 называется сеточной функцией,
определенной на сетке со. Аналогично определяется сеточная
функция па любой сетке со, введенной в области изменения
непрерывного аргумента. Например, если х^ — узел сетки со в
двумерной области, то у=у(х;;). Очевидно, что сеточные функции
можно рассматривать и как функции целочисленного аргумента,
являющегося номером узла сетки. Так, можно писать у = у (х() =
= #@> У==У(Х1^==У(^ ])» Иногда мы будем использовать для
обозначения сеточных функций следующую запись: у(Х;) = у0
У(хи)=Уи-
Сеточную функцию у{ можно представить в виде вектора,
рассматривая значения функции как компоненты вектора У =
= (Уоу Уху --чУи)- В этом примере у1 задана на сетке Ъ = {хь
;=0, 1, ..., к), содержащей N+1 узел, а вектор У имеет
размерность N+1. Если со—сетка в прямоугольнике (со = {л;1-/ =
= (#4, /Л2), 1 = 0, 1, .^.,/И, / = 0, 1, ..., Л^}), то сеточной
функции уф заданной на со, соответствует вектор У=(у00> .. . ,*/дю>
Уои • • -^Улп* • • •. Ушу -у У мм) размерности (М+\)(И+\). Узлы
сетки со при этом считаются упорядоченными по строкам сетки.
Мы рассмотрели скалярные сеточные функции, т. е. такие
функции, значениями которых в каждом узле сетки являются
числа. Приведем теперь примеры векторных сеточных функций,
значениями которых в узле являются векторы. Если в
рассматриваемом выше примере обозначить через У(х2 (/)) = У;. вектор,
компонентами которого являются значения сеточной функции у(/
в узлах х0/9 х1/у ..., хм/ 1-й строки сетки со: У} == (у0/, у1/9 ..., умХ
/ = 0, 1, ..., N. то мы получим векторную сеточную функцию г},
определенную на сетке <оя=={#я(/)==/А2,./==0, 1, ..., N}.
Если функция, заданная на сетке, принимает комплексные
значения, то такая сеточная функция называется комплексной.
2. Разностные производные и некоторые разностные тождества.
Пусть задана сетка со. Множество всех сеточных функций,
заданных на со, образует векторное пространство с определенным
очевидным образом сложением функций и умножением функции
на число. На пространстве сеточных функций можно определить
разностные или сеточные операторы. Оператор Л, преобразующий
сеточную функцию у в сеточную функцию ? = Ау, называется
разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки,
26

используемое при написании разностного оператора в узле сетки,
называется шаблоном этого оператора.
Простейшим разностным оператором является оператор
разностного дифференцирования сеточной функции, который порождает
разностные производные. Определим разностные производные.
Пусть Й—равномерная сетка с шагом Я, введенная на прямой
— оо<л;<оо: й = {х1 = а-\-Иг9 1 = 0, ±1, ±2, ...}. Разностные
производные первого порядка для сеточной функции у.^у^х^,
х1 € Й определяются формулами
Л^-й.,-2*^. А2у^ух<! = Ш±^Ш A)
и называются левой и правой производными соответственно.
Используется также центральная производная
^У1=У^^У1+^нУ1'1 = 0у5(А1 + А2)у1. B)
Если сетка неравномерна, то для разностных производных
первого порядка применяют следующие обозначения:
,,_ _ У/~~У/-1 „ _ У1 + 1—У1 ,^ _ У1+1 — У! /о\
^'- н~> Ух>1 н~Г9 Гх>1 %—• (с;'
Ух,1 = 0$(Ух,1 + Ух,д> &,- = 0,5(й, + й,+1).
Из определений A) и C) вытекают следующие соотношения:
Ухч(=Ух^ + 1, D)
У*'* = Т^УЬ" E)
а также равенства
У1=У1 + 1 — Ь1 + 1Ух<1^У1-1 + Н1УХ,1- F)
Разностные операторы Л1? Л2 и Л3 имеют шаблоны, состоящие
из двух точек, и используются при аппроксимации первой
производной Ьи = и' функции и = и(х) одного переменного. При этом
операторы Лх и Л2 аппроксимируют оператор Ь на гладких
функциях с погрешностью О (Я), а Л3—с погрешностью О (Я2).
Разностные производные п-го порядка определяются как
сеточные функции, получаемые путем вычисления первой
разностной производной от функции, являющейся разностной
производной п— 1-го порядка. Приведем примеры разностных производных
» второго порядка:
/у.о __У°Х,1 + 1~~УХ, 1~1_ * /„ _0 , , \
Ухх, I— 2Н —4/г2^*" ^У/^г// + 2/»
и--.=-(и-- —и-)--(и и- ) - ' ^'+1~^ У'-У'-Л
Ухх., ъAУх.1+1 Ух.,)-^([Ух,, Ух,,) Ад А/+1 А. ;.
27

которые используются при аппроксимации второй производной
Ьи = и" функции и = и (х). В случае равномерной сетки погрешность
аппроксимации равна О (Л2). Соответствующие разностные
операторы имеют трехточечный шаблон.. При аппроксимации
четвертой производной Ьи = и[У используется разностная производная
четвертого порядка УЫх. {=-&(!/{-*—*У1-1+ 6#,—4у/+1 + у|+1).
Аналогично при аппроксимации производных л-го порядка
используются разностные производные п-го порядка.
Не представляет труда определить разностные производные
от сеточных функций нескольких переменных.
Для преобразования выражений, содержащих разностные
производные сеточных функций, нам потребуются формулы
разностного дифференцирования произведения сеточных функций и
формулы суммирования по частям. Эти формулы являются аналогом
соответствующих формул дифференциального исчисления.
1) Формулы разностного дифференцирования
произведения. Используя определения разностных
производных C), нетрудно проверить, что имеют место тождества:
(И1>)*, I = их, Л-1 + иРх, | = их, Р1 + -105. / =
= и*. р{ + ирх, (—Нръ де, ,,
= "*, Л+ ",»*, / + */ + !«**, Л, />
(даM, / = И$, Л + 1 + М^, / = Щ, />1 + И, + 102, , =
= И* Рг + И/»*. / + Ки2. Рх, г-
Используя D), E), последнее тождество можно записать в виде
(да)*, 1=и% Л + -^7«/+1% /+!• G)
2) Формулы суммирования по частям. УмножаяG)
на %1 и суммируя получаемое соотношение по ь от т+ 1 до л— 1,
находим, что
л-1
2 (МяЛ = ^Л — ^+1^ + 1 =
л-1 я-1
= 2 «5 ^А+. 2, «/+1оЯ/+л+1-
ИСПОЛЬЗУЯ F), ПОЛУЧИМ СООТНОШение 'Отл-1 = 'От^Г^т^лРх,т"==1
=0|Я + йЯ|+105 т+1, которое подставим в найденное выше
равенство. В результате будем иметь
п-\ п—\
«»»» —Ив + 1°* = . 2 , §<оЛ+ 2 И/+Л. Л.Л + 1*
28

Замена индекса суммирования *' = *— 1 во второй сумме правой
части дает следующую формулу суммирования по частям:
я-1 п
2 »»М;=- 2 и/»;, Л+ "»»»—и«+Лг (§)
Используя F), легко получить из (8) еще одну формулу
суммирования по частям
л-1 я-1
2 «г М- = — 2 иря Д4- + «„-Л— «Л- (9)
Из формулы (8) следует, что функция и( должна быть
определена для т-Н^'^я, а функция ^—для га^'^я. Пусть
теперь у{—сеточная функция, заданная для т<л<!п. Тогда
функция и{ = у- . определена для /п + 1<л^я. Подставляя щ
в (8), получим следующее тождество:
п-\ п
,. 2 УТх,Р&1 = — . 2 У-х,с^/г{ + У1 пъп—ух,„рт. A0)
1=т+\ 1=т+1
Имеет место
Лемма 1. Пусть на произвольной неравномерной сетке со =
= {х{, I = 0, 1, ..., Ы, х0 = 0, хм= 1} задана сеточная функция уь
обращающаяся в нуль при 1 = 0> *" = #. Для этой функции имеет
место равенство
N-1 N
Утверждение леммы 1 очевидным образом следует из
тождества A0).
Следствие. Если со—равномерная сетка, у0 = у^ = 0 и
N-1 N
у{&о, то 2 у-хх,!У1н = - 2 у\ ,л < о.
На этом рассмотрение разностных формул мы заканчиваем.
Некоторые другие формулы будут рассмотрены в гл. V.
Полученные тождества используются не только для
преобразования разностных выражений. Они часто применяются,
например, при вычислении различного вида конечных сумм и рядов.
п-\
Приведем пример. Требуется вычислить сумму $„= 2 "*'»
*=1
а =т=1. Введем следующие сеточные функции, заданные на
равномерной сетке (д = {х; = 1, * = 0, 1, ..., Ы, Н=1\:
11 = 1, и1 = (а{—ап)/(а—1). (И)
29

На указанной сетке формула суммирования по частям (8) для
любых сеточных функций имеет вид (т = 0)
л-1 п
1=1 1=1
Учитывая, что для функций A1) верны соотношения V0 = ип = 0>
щ 1^ и и*,/^^» отсюда получим
л~1 л
с „V /,>/- V Д/ —Д" _ ап(п(а—1)— а) + а
Искомая сумма найдена.
3. Сеточные и разностные уравнения. Пусть у.=:уA)
сеточная функция дискретного аргумента г. Значения сеточной
функции у{ь) в свою очередь образуют дискретное множество. На
этом множестве можно определять сеточную функцию,
приравнивая которую нулю получаем уравнение относительно сеточной
функции у @—сеточное уравнение. Специальным случаем
сеточного уравнения является разностное уравнение. Именно
разностные уравнения будут основным объектом исследования в нашей
книге.
Сеточные уравнения получаются при аппроксимации на сетке
интегральных и дифференциальных уравнений.
Приведем сначала примеры разностных аппроксимаций
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так, дифференциальные уравнения первого порядка ~=^/(л;),
х > 0 мы заменяем разностным уравнением первого порядка
У{+1~У{ «/(*/),*/= 171, / = 0,1, ... или У1+1 = У1 + Ь1(х{), где/* —
шаг сетки со = {х; = Иг,-1 = 0, 1, ...}. Искомой функцией является
сеточная функция у{ = уA).
При разностной аппроксимации уравнения второго порядка
--^ггггДх) мы получаем разностное уравнение второго порядка
У1+1 — 2<// + </;-1 = <Рп Ф/ = А7«> // = /Ч*/)> */ = &. Если
аппроксимировать на трехтсучечном шаблоне (*;_;,, хь х{+1) уравнение
общего вида (ки')г~\-ги' — ди = [(х), то получим разностное
уравнение второго порядка с переменными коэффициентами вида
а1у1.1—с1у1-\-Ъ1у1+1 = — ^>1у 1 = 0, 1, ..., где а, с„ Ь0 ср,—
заданные сеточные функции, а у(—искомая сеточная функция.
Аппроксимация на сетке уравнения четвертого порядка
(ки")" = {(х) приводит к разностному уравнению четвертого
порядка; оно имеет вид
а?Уь- 2 + а?}У(-1 + с{у{ + Ь?>у{+1 + Ц2)у1+2 = ср,.
Для разностной аппроксимации производных и\ и\ и'" можно
пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит
к разностным уравнениям более высокого порядка.
30

Линейное уравнение относительно сеточной функции у (*')
(функции целочисленного аргумента I)
ав@У@+а1@Уа + 1)+.-.+а*@У(И-/п)==/@, A2)
где а0A)ф0 и атA)ф0, а /@~заданная сеточная функция,
называется разностным уравнением т-го порядка.
Если A2) не содержит */(/), но содержит г/(*' + 1), то замена
независимого переменного 1 + 1 на V приводит это уравнение
к уравнению порядка т—1.
В этом состоит одно из отличий сеточных уравнений от
дифференциальных, где замена независимого переменного порядка
уравнения не меняет.
Пусть РA,у{1),уA + \), ...,уA+т)) — нелинейная сеточная
функция. Тогда РA, у(ь), у(ь + \), ..., у (ь+т)) =0 является
нелинейным разностным уравнением т-го порядка, если Р явно
зависит от уA) и уA-\-т).
Для удобства сравнения с дифференциальными уравнениями
введем разности (правые) для сеточных функций: Ау( = У;+1—у^
А*уг^А(АУ1), ..., Д^1^-А(А^/), й=1, 2, ...
Тогда A2) можно записать в виде
ао(ОУ@ + а1(ОА^+...+а«(ОАя^ = //, A2')
где ат (*) = ат {I) Ф 0 и, кроме того, коэффициент а0 при у0 также
отличен от нуля.
Разностное уравнение A2') является формальным аналогом
дифференциального уравнения т-го порядка:
, йи . . с1т-1и , йти , , ч
где атф0, сх>и==:ак(х)у й^0» 1» ..., т. Пусть дана сетка со =
•={х|- = 1*Л, / = 0, 1, ...}. Если обозначить
Ух, I = Л » #**, I ~ О/*) *, I, ... , Ух — Ух... X, /I *
/г раз
1 так что ухк) = (у(хк-1))ХУ *>1, УХ°>\ = УAI то г/(г + /г) выразится
через у{ь), ухх\ ...,^), например, |/(* + 3) = |/@+Зй&м +
Тогда уравнение A2) запишется в виде
^0г/@ + М0**@+ • • • +ат-1УГ~1)(П + атУхт) @-//,
где а>т = атФО и а0=^=0. Здесь аналогия с дифференциальным
уравнением т-го порядка очевидна.
Аналогично определяется разностное уравнение относительно
сеточной функции У(и1я = уA19 12) двух дискретных аргументов
и вообще любого числа аргументов. Например, пятиточечная
разностная схема «крест» для уравнения Пуассона Аи =
31

="^+"^=—/4*1»*») насеткесо = {х/=(/1А1§ *У*2), Ч» *2=0> !»•••}
имеет вид
У (И — *» ''2) — 2У (*Т» *2) + У(*1+Ь *2> ,
' Га Г
, У (*1> *'2—О—2У(*1» *2)+ */(*!, *2+0 _д
и представляет собой разностное уравнение второго порядка по
каждому из дискретных аргументов 1± и *2.
Сеточное уравнение общего вида получается при
аппроксимации интегрального уравнения и(х) = \к(х, з) и(з)из + /(х),
__ о
0<#<1, на сетке © = {^==1А, 1 = 0, 1, ..., Л/', йЛ/^1}.
Заменим интеграл суммой
1 N
] К (х, з) и {з) из ж к 2 ^К {х, ]Н) и (/А),
о /=0
где ау.—коэффициент квадратурной формулы, и вместо
интегрального уравнения напишем сеточное уравнение
N
у^Ц^КОК 1И)у,. + [;, * = 0, 1, ..., ЛГ,
/ = 0
где суммирование производится по всем узлам сетки со, а
неизвестной является сеточная функция у(.
Сеточное уравнение можно записать в виде
N
2ЗД = //. * = 0, 1, ..., N. A3)
/=о
Оно содержит все значения у0, у19 ..., ум сеточной функции.
Его можно трактовать как разностное уравнение порядка Ы,
равного числу узлов сетки минус единица.
Разностное уравнение A2) т-го порядка является специальным
видом сеточного уравнения, когда матрица (с/у) имеет отличные
от нуля элементы лишь на т диагоналях, параллельных главной '
диагонали.
В общем случае под * можно понимать не только индекс
1 = 0, 1, ..., но и мультииндекс, т.е. вектор 1 = A19 *2, ..., 1р)
с целочисленными компонентами *а = 0, 1,2, ..., а= 1, 2, ..., р,
причем 1$(о9 где со—сетка.
Линейное сеточное уравнение имеет вид
/€Сй
где суммирование проводится по всем узлам сетки со,
//—заданная, ^—искомая сеточные функции.
32

Если перенумеровать все узлы сетки, то можно писать *//=*/(О»
где ь — номер узла, 1 = 0, 1, 2, ..., N. Тогда сеточное
уравнение A4) примет вид A3).
Очевидно, что это система линейных алгебраических
уравнений порядка N+1 с матрицей (Сц). Таким образом, любую
систему линейных алгебраических уравнений можно трактовать
как сеточное уравнение и обратно.
Если уA) есть векторная сеточная функция, то говорят о
сеточном (разностном) векторном уравнении т-го порядка.
Пусть РA, у0У ух, ..., #дг)—заданная функция (вообще говоря,
нелинейная) N + 2 аргументов *', #0, у19 ..., ум. Приравнивая ее
нулю, получим нелинейное сеточное уравнение Р (/, г/0, у19 ...
•••> #лг) —0» * = 0, 1, ..., N9 решением которого называется
сеточная функция уA)> обращающая это уравнение в тождество.
Рассмотрим сеточную функцию <Г@ = ^(*\ Уо> Уг> •••* ^)>
/ = 0, 1, ..., N. Отсюда видно, что функция ^ задает некоторый
сеточный оператор, который переводит сеточную функцию у{1)
в сеточную функцию <Г@-
Если Р—линейная функция, то мы получаем уравнение A4),
которое, очевидно, можно записать в операторной форме Ау = },
где А—линейный оператор с матрицей (с^), а у—вектор в
пространстве сеточных функций.
Если коэффициенты с{} не зависят от /, то A4) называют
сеточным уравнением с постоянными коэффициентами.
Хотя в этой книге основное внимание уделяется численному
решению разностных уравнений, получающихся при разностной
аппроксимации дифференциальных уравнений эллиптического
типа, итерационные методы применимы для любого линейного
сеточного уравнения, т. е. для любой системы линейных
алгебраических уравнений. Поэтому излагаемая здесь теория
итерационных методов носит общий характер. Специфика сеточных
уравнений в том, что это система высокого порядка, причем
порядок уравнения увеличивается при сгущении сетки (число
неизвестных равно числу N узлов сетки, ^~0\~^\ в р-мерном
случае, Н—шаг сетки).
4. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений.
Приведем некоторые дополнительные примеры разностных
уравнений и остановимся на постановке задач для разностных
уравнений.
Заметим, что простейшими примерами разностных уравнений
первого порядка являются формулы для членов арифметической
и геометрической прогрессий:
У/+1 = У/ + Й> У1+1 = С1У1> ' = 0, 1, ...
Решение уравнения первого порядка может быть найдено,
если задано начальное условие при * = 0 (задача Коши).
2 А. Л. Самарский» В. С. Николаев
33

Решение уA + т) разностного уравнения т-го порядка
определяется полностью значениями */(*), заданными в т
произвольных, но расположенных подряд точках 10, *0 + 1, ...,/0 + т — 1-
В самом деле, так как атA)Ф0, то из A2) находим уA + т)=
=&,»-1 @#(' + "*— !)+••• + М0#@ + ф@- Полагая здесь
последовательно 1 — 10, 10 + 1, •••, найдем значения у (г) при 1^*0.
Аналогично, выражая из A2) у{1) через у(ь-\-\), ...,уA + т)
и полагая последовательно 1 = ь0 — 1, 10 — 2, ..., найдем у(I) для
*^*о—1- Если в уравнении A2) требуется определить уA) при
*^0, то достаточно задать значение в т узлах (начальные
условия) у@) = у09 уA) = у19 ..., У(т—1) = ув.г
Присоединяя эти условия к уравнению A2), получаем задачу
Коши или задачу с начальными данными для разностного
уравнения т-го порядка.
Для уравнений первого порядка (т=1), как мы видели,
достаточно задать одно начальное условие.
Нелинейные разностные уравнения получаются при решении
нелинейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например,
дифференциальное уравнение
-—■ = /(*, и), х>09 и@)«^
(задача Коши). Заменяя его схемой Эйлера (явной схемой),
получим разностное уравнение первого порядка #1-+1=У/+й/:(*/, у()9
Если производную йи/йх при х==х{ = Иг заменить левым
разностным отношением, то получим нелинейное относительно уг
разностное уравнение первого порядка У(:=У(-1 + к[(хо Уду * > 0»
Уо = 1^1' Для определения у1 надо решить нелинейное уравнение
чШ = У1—ЬЦх19 уд=Уг-г.
Рассмотрим теперь пример разностного уравнения второго
порядка. Пусть требуется вычислить интегралы
о
Прежде всего заметим, что /0(ф) = 0, /х (ф) = я. Преобразуем
выражение [соз(й+1)я[)—соз(й+1)ф]+[со5(й—1)г|)—соз(й—1)ф]===
= 2 соз щ соз я|) — 2созйфсозф = 2 (соз /ггр — созйф)созф +
+2(созя|)—созф)созйя|). Используя его, получаем
я
?к+1 (ф) + Ль-1 (ф)=2 соз ф/А (ф)+2 ^ соз Щ А[>==2 соз <р1к (ф), й> 1.
о
Таким образом, вычисление интегралов /й(ф) сводится к решению
задачи Коши для разностного уравнения второго порядка
/Л-ы(ф)-2созФ/,(ф)+/^1(ф)=0, й>1, /в(ф)=0, /1(ф)=я. A5)
34

Рассмотрим еще один пример. Требуется найти решение
краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
%~Аи+/(х), 0<х</, A6)
Ви~^ при #=0, Си = |ш2 при х=1. Здесь и (х) = (щ (х), и2 (х),...
..., ищ (х))—вектор-функция размерности М, А = А
{х)—квадратная матрица размером МхМ> В и С—прямоугольные матрицы
размером Мх х М и М2 х М соответственно, М± + М2 = М. Векторы
/(*)» М-1» (*» заданы и имеют размерности М9 Мг и М2
соответственно. _^
Вводя на отрезке О^л;^/ равномерную сетку со = {лгг. = еЛ,
* = 0, 1, ..., Ы, к = 1/Ы) и определяя на ней сеточную вектор-
функцию ^ = (^@, У2@» •••» УмA))> поставим в соответствие
задаче A6) простейшую разностную схему
Ущ-(Е + НА$)Г^Р{9 0<*<ЛГ-1,
ВГ^ъ, СГ^щ, Ки)
где Р1 = Щ(х^ Это пример линейного векторного разностного
уравнения первого порядка с Мх условиями при 1 = 0 и М2
условиями при 1=Ы. Таким образом, для системы разностных
уравнений первого порядка мы имеем краевую задачу.
Для уравнений второго порядка наиболее типичны краевые
задачи. Рассмотрим, например, первую краевую задачу
^-д(х)и^-Пх)9 0<х<1, и@)=\119 и@=|х1§ я(х)>0. A8)
Выберем сетку ы = {х{ = Нг, 1 = 0, 1, ...,Л\ Н = 1/Ы\ и поставим
задаче A8) в соответствие разностную краевую задачу
Ухы—*а1 = —Ф/> 0<1<Ы, */о = 111, #//=[*2> A9)
где Л/ = ?(*/), Ф/= /(*;) для гладких д(х)9 /(я). Эта задача
является частным случаем краевой задачи для разностного
уравнения второго порядка
—в/^-1 + С,^ — &/&+! = Ф/, 1<*<#—1, ^0 = 1*1э «ЛГ = 1*1 B0)
при а{ = Ь1 = ЦН\ с1 = с11 + 2/Н*.
Разностную задачу B0) можно записать в виде
<АУ=Г9 B1)
где V = (у19 у29 ...,^-1) — неизвестный, Р^^ + ^и Ф2, ...
..., ф^-2» Флг-1 + Т2 И'г)— известный векторы размерности #—1,
2* 35

Л—квадратная трехдиагональная матрица вида
с±
—а%
0
•
0
0
0
-н
С2
— я3
0
0
0
0
-ь2
Сз
0
0
0
0 . .
0 . .
-*а • .
0 . .
0 . .
0 . .
. . 0
. . 0
. . 0
. . с^_
. .—ах-
. . 0
•3
-2
0
0
0
— &ЛГ-8
^N-2
— Я^у-!
0
0
0
0
—•^-2
С^-х
B2)
Отсюда видно, что краевая задача для разностного уравнения
второго порядка B0) представляет собой систему линейных
алгебраических уравнений специального вида. Если задача Коши
для разностного уравнения второго порядка разрешима всегда,
то первая краевая задача B0) разрешима для любой правой
части лишь тогда, когда матрица Л системы B1) не вырождена.
Краевые задачи для разностных уравнений т-го порядка
приводят к системам линейных алгебраических уравнений с
матрицей, имеющей не более т + 1 ненулевых элементов в каждой
строке.
При аппроксимации уравнений в частных производных мы
приходим также к системе разностных или просто
алгебраических уравнений со специальной матрицей. Так как число
неизвестных в такой системе обычно равно числу узлов сетки, то на
практике приходится встречаться с системами очень высокого
порядка (десятки и даже сотни тысяч неизвестных). Другими
особенностями таких систем являются разреженность матрицы
и ленточная структура, т. е. специальное расположение
ненулевых элементов. Эти особенности, с одной стороны, облегчают
решение указанных задач, а с другой стороны, требуют
создания специальных методов решения, которые бы учитывали
специфику задачи. Поэтому нет ничего удивительного в том, что
классические методы линейной алгебры зачастую оказываются
неэффективными при решении разностных уравнений, и не
существует универсального метода, позволяющего эффективно решать
любое разностное уравнение.
В настоящее время используются два типа методов решения
систем линейных алгебраических уравнений: 1) прямые методы;
2) итерационные методы или методы последовательных
приближений. Как правило, прямые методы ориентированы на решение
довольно узкого класса сеточных уравнений, но они позволяют
находить решения с очень малыми затратами вычислительной
работы. Итерационные методы позволяют решать более сложные
уравнения и часто в качестве основного этапа алгоритма
содержат прямые методы решения специальных разностных уравнений.
Тот факт, что разностные уравнения являются плохо
обусловленными, приводит к необходимости разработки быстросходящихся
итерационных процессов и выделению области эффективности
каждого метода.
36

В ряде случаев, например для линейного уравнения с
постоянными коэффициентами относительно сеточной функции
одного аргумента, решение может быть найдено в замкнутом виде.
Такие методы решения сеточных уравнений будут рассмотрены
и § 3 данной главы.
§ 2. Общая теория линейных разностных уравнений
1. Свойства решений однородного уравнения. В данном
параграфе будет рассмотрена общая теория линейных разностных
уравнений т-го порядка с переменными коэффициентами
МО У A + ™)+...+^ (О У @ ===//.
где атA) и а0@ отличны от нуля для любого *'. Займемся
сначала исследованием однородного уравнения
т
атA)уA+т)+... + а0A)уA)= 2 ак(()уA + к) = 0. A)
б=о
Будем считать, что коэффициенты акA)> й = 0, 1, ...,т, имеют
для всех рассматриваемых значений г конечные значения.
Каждое частное решение уравнения A) определяется
значениями функции у (г) в т произвольных, но расположенных
подряд точках *01 10+ 1, ..., 1'р+т —1.
Теорема 1. Если V1(^O уа@, ...,^@—решения
уравнения A), то функция
У @ = <Ух @ + с&2 (I) + ... + срр @, B)
где сг, с2, ..., ср—произвольные постоянные, есть также решение
уравнения A).
Действительно, в силу условия теоремы имеют место равенства
т
2 о* (*)«,(* + *) = 0, /=1,2,...,р. C)
6=0
Подставим B) в A):
т т р
2 М0У (* + *) = 2 МО 2 с^A+к)
6 = 0 6 = 0 /=1
и поменяем порядок суммирования в правой части равенства.
Используя C), получим
т р т
2 акA)уA + к) = 2 */2 М0М* + *) = 0
6 = 0 /=1 6 = 0
и, следовательно, функция у (г), определяемая B), также является
решением уравнения A). Теорема доказана.
37

Введем обозначение Д/{и19 ..., г^) для определителя
МО М*+1).»«.М'+р—1)
МО М*+1)..-.М'+р-1)
А/(^»и •••,0 =
Имеет место
Лемма 2. ПустьV1(^)^V2(^)^.. . ,0Л(О—решения уравнения A).
Определитель А,- (г^, ..., у^) либо равея яг/л/о тождественно по *,
либо отличен от нуля для всех допустимых значений *\
Действительно, так как ух (/),..., ум@—решения
уравнения A), то справедливы следующие равенства:
а0(^)V1(^) + а1(^)V1(^+^)+...+ат_^(^)V1(^+т—\)=:
== —а«@М*'+т),
ав@»1@ + а1@»1(' + 1)+...+«я-1@»1(* + ^—0=
= — аяA)ю%A+т),
ао(^)Vт(^) + а1{^)Vт(^+^) + ...+ат_1(^)Vт{^ + т--^)==
= — атA)ут(ь+т).
Решая эту систему относительно. а0 (I) для фиксированного %
по правилу Крамера, получим
МОМ»* • ••,Ч*) = —МО
^У + т) ^1 (*+ 1) »** »1(/ + т—1)
После соответствующей перестановки столбцов определителя
правой части полученного равенства будем иметь соотношение
МОМ*^ •••»^) = (— 1)^@А/+1(^1, -...»«). Так как а0@
и ал (*') не равны нулю для допустимых значений %у то отсюда
следует утверждение леммы.
Введем теперь понятие линейно независимых решений
уравнения A). Сеточные функции V1(^), у2A), ...,утA) называются
линейно независимыми решениями уравнения A), если: 1) они
принимают конечные значения и удовлетворяют уравнению A);
2) соотношения
*Л @ + *Л @ + • • • + с*Рт @ = 0 D)
при любых постоянных с19 с29 ..., ст, одновременно не равных
нулю, не выполняются хотя бы для одного /.
Для линейно независимых решений справедлива
Лемма 3. Если V1(^)9 0*(О» •••»1'л@—линейно независимые
решения уравнения A), /по определитель Д/@1э ..., уот) отличен
от нуля для всех допустимых значений е. Обратно, если для
решений 1>1 @, • • •, ^ @ уравнения A) определитель А1 (у19 ..., ут)
отличен от нуля хотя бы для одного значения 1%тоъх (*'),..., ът (/)—
линейно независимые решения уравнения A).
38

В силу леммы 2 определитель Д,-^, ..., аот) либо равен нулю
тождественно, либо отличен от нуля для всех /. Пусть ^@,...
. .., от @ — линейно независимые решения уравнения A), и
предположим, что Д/@!, . ..,0Я) = О. Рассмотрим систему
алгебраических уравнений
*А (<о) + «V. ('о) + • • • + СпРт О'о) = 0.
* А ('о + 0 + съуг A0 + 1) + ... + сЛ (|0 + 1) = 0. E)
с1р1A0+т — 1) + с2у2{10+т — 1) + ... + стутA0 + т—1)=-0.
Так как определитель этой системы Д/о@1? ...,уте)» по
предположению, равен нулю, то существует отличное от нуля решение
этой системы с1У с2, ..., ст. Следовательно, для найденных с1$ са,...
..., ст имеют место равенства D) при I = /0, *0 + 1, ...,10+т— 1.
Покажем теперь, что D) будет иметь место и для 1 = 10-{-т. Для
этого, взяв уравнение A) для /=1, 2, . ,.,/я
т
2 а*0'о)^Уо + *) = оэ
умножим его на сх и просуммируем равенства для /— 1, 2, ..., т.
Получим с учетом равенств E)
т т— 1 т
0 = ав(*0) 2 ЗДA0 + /гс) + 2 М'о) 2 ^ ('<> + &) =
т
Таким образом, доказана справедливость равенства D) для I =
= /0 + /п. Идя таким же образом дальше, получим, что для
найденных выше с19 с2, ..., ст соотношение D) выполняется для всех
допустимых *^10. Аналогично доказывается справедливость D)
для 1^10. Следовательно, D) с ненулевыми с±9 с2, ..., ст
выполняются для всех I, что противоречит линейной независимости
V1(^)9 ..., Vт(^). Поэтому предположение, что определитель
Дд. (у1? ..., ут) тождественно по I равен нулю, неверно.
Докажем теперь вторую часть леммы 3. Пусть определитель
Д,. (и19 ..., уте) для некоторого х = 10 отличен от нуля. Тогда
предположим, что V1(^), у2@, • • -I Ут{0—система линейно зависимых
решений уравнения A). Это означает, что найдутся такие
постоянные с19 с29 ..., ст9 одновременно не равные нулю, что
соотношение D) является тождеством по I. Тогда запишем D) для **= *0,
10+ 1, ..., 10+т—1 в виде системы E), причем в силу
предположения леммы определитель этой системы Д/о (и19 ,.., ут) отличен
от нуля. Поэтому все с19 с2> ..., ст должны равняться нулю. Мы
пришли к противоречию. Лемма доказана.
39

2. Теоремы о решениях линейного уравнения. Сначала
докажем теорему об общем решении однородного линейного
уравнения A).
Теорема 2. Если V!(/), VI(*), ..., ът(/) —линейно
независимые решения уравнения A), то общее решение этого уравнения
имеет вид
у (О - срх @ + с2у2 (*)+...+ смья @, F)
где с19 с2, ..., ст—произвольные постоянные.
Действительно, в силу теоремы 1 функция уA), определенная
формулой F), есть решение уравнения A). Покажем теперь, что
все решения уравнения A) содержатся в совокупности функций
у(ь). Действительно, пусть и(ь) — произвольное решение
уравнения A). Оно вполне определяется задан ем начальных значений
в т точках: и(г0)9 и(*0 + 1), . ..,иA'0 + т—1). Выберем из
совокупности функций вида F) такую, которая имеет те же
начальные значения. Для этого достаточно найти такие постоянные
с19 с2У ...,стУ чтобы выполнялись т равенств
* А ('о) + ^2 (*о) + • • • + спРт (*о) = и (* о) >
с^гA0+т—1) + с^2A0 + т—1)+...+стютA0 + т—1)==
= иA0 + т—1).
Так как ьх @, ^2 (О» • • •»'°т (О-линейно независимые решения A),
то в силу леммы 3 определитель этой системы Д/о (ах, ..., ю„)
отличен от нуля. Решив эту систему относительно с1У с2, ..., стУ
получим функцию у (г), имеющую те же начальные значения, что
и иA). Но так как начальные значения определяют однозначно
решение уравнения A), то уA)==-иA). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения
ат<1)уA + т)+... +а0 (ь)у(ь) = Ц1). G)
Имеет место
Теорема 3. Общее решение уравнения G) представляется
в виде суммы частного его решения и общего решения линейного
однородного уравнения A).
Действительно, покажем, что любое решение уравнения G)
может быть' представлено в виде
УA) = УA)+УA), (8)
где у @—какое-то решение уравнения G), а уA) есть общее
решение однородного уравнения A). Пусть
ат{ь)у(ь + т)+... +а0 (г)у(*) =/(*). (9)
40

Подставляя (8) в G) и учитывая (9), будем иметь для #_@ урав-
м< пне йпA)уA + т)+ ... + а0уA) = 0. Следовательно, уA) есть
пГнцсе решение однородного уравнения A). Теорема доказана.
Следствие 1. Из теорем 2 и 3 вытекает, что обще
решение неоднородного уравнения G) имеет вид
У (О =У (О +*Л @ + • • • +с**>т @. (Ю)
где у (I)—частное решение уравнения G), а ух @, ^2 @» • • •»^т @ —
линейно независимые решения однородного уравнения A), с1%..., ст—
произвольные постоянные.
Следствие 2. Используя лемму 3, следствию 1 можно
придать иную формулировку: решение уравнения G) имеет вид
A0), где частные решения ^ (*), ..., ют (*) однородного уравнения
таковы, что А/(ух, ...,О=т^0 хотя бы для одного значения г.
Следствие 3. Если правая часть /(*') уравнения G) есть
сумма двух функций /@ = /A)@ + /B)@» то частное решение
уравнения G) можно представить в виде уA) = уA) @+#B) (О»
где у(а)@ ^тб частное решение уравнения G) с правой частью
^>@,а=1,2.
3. Метод вариации постоянных. Доказанные выше теоремы
дают структуру общего решения линейного неоднородного
разностного уравнения G). Рассмотрим теперь следующие вопросы:
1) как построить линейно независимые решения однородного
уравнения.; 2) как найти частное решение неоднородного
уравнения; 3) каким образом, используя общее решение
неоднородного уравнения, найти единственное решение уравнения G),
удовлетворяющее дополнительным условиям.
Изучим сначала один возможный способ построения линейно
независимых решений однородного уравнения. Так как частное
решение линейного уравнения т-го порядка полностью
определяется заданием начальных значений в т точках, например,
I = {0> 1й + 1, ..., 10 -\- т— 1, то в силу леммы 3 искомые решения
уравнения A) можно построить следующим образом. Пусть А —
невырожденная матрица
11 а11 а12 • * * а\т I
Л #21 #22 • • • #2/п
II ат1 ат2 • • • атт II
Построим т решений уравнения A) ^@» М0> •••>уя>@>
определяемых начальными значениями
ъ1A0 + к~-1) = а1к, I, й=1,2, ...,т. A1)
Тогда А/о (г^, ..., ь„) = сЫ; А Ф 0. Следовательно, задача
построения искомых функций V1(^)^ ...уьтA) решена.
Рассмотрим теперь вопрос о выделении из семейства решений
A0) единственного решения. Из A0) следует, что для этого нужно
41

задать ровно т условий на функцию у {Г), из которых
определятся постоянные с19 с2, ..., ст.
В случае задачи Коши, т. е. когда заданы начальные
условия у{10) = Ь19уA0 + 1) = Ь2$ ...1уA0 + т—1) = Ьп9 определение
постоянных с1$ с2, >..,ст осуществляется просто. Из A0) имеем
систему линейных алгебраических уравнений относительно сг, с2,...
..., ст:
V1(^о)с^ + V2(^0)с2+ ... + УяA0)са = Ьг—уA0)9
= Ь2-уA0 + 1), A2)
V^(^0 + т—^)с1-\-V2(^0 + т—^)с2+ ... +Vп(^(^ + т—^)ст==
= Ьт—уA0 + т—1).
Так как определитель этой системы Д/О@1Э ...,уот) отличен от
нуля, то эта система иМеет единственное решение с1$ с2, ..., ст,
которое полностью определяет единственное решение
неоднородного уравнения G).
В случае краевой задачи, когда т дополнительных условий
для уA) заданы не в подряд расположенных точках, мы снова
придем к системе линейных алгебраических уравнений
относительно с1% с2, ..., ст. Но в этом случае решение такой системы
будет существовать лишь при дополнительных предположениях
относительно коэффициентов разностного уравнения.
Рассмотрим теперь вопрос о решении уравнений A2). Так
как в силу A1) матрицей системы A2) является Лг, то, выбирая
в качестве А единичную матрицу, получим решение системы A2)
в явном виде: с1 = Ь1—]}A0 + 1—1)9 /=1, 2, ...,т. Очевидно,
что среди частных решений неоднородного уравнения G)
целесообразно выбрать такое, для которого у (*0) = у (*0 + 1) = ...
.. и=уA0 + т—1) = 0. Тогда будем иметь ^ = 6^ /= 1, 2, ..., т.
Такому выбору матрицы А соответствуют следующие
начальные значения для ь± (*"), ..., ът (г)\
V^(^^ + ^ — ^) = \, V^(^0 + к—^) = 0^ й=1, 2, ..., т, кф1,
/ = 1, 2, ..., т.
Займемся теперь отысканием частных решений неоднородного
уравнения, если известны т линейно независимых решений
однородного уравнения. Изложим способ нахождения частного
решения вариацией постоянных в общем решении однородного
уравнения.
Ранее было показано, что общее решение однородного
уравнения A) имеет вид у(ь) = схь± (ь) + ... +стьт (*), где V! (*), ...
..., ют(ь)—линейно независимые решения уравнения A), а
с1% с2, ..., ^—произвольные постоянные. Будем теперь считать
42

<сгй> ••••Ял Функциями I и поставим задачу выбрать их так,
•лобы функция
Р @ = МО МО+-••+*. @^0 A3)
оказалась частным решением неоднородного уравнения G).
Заметим, что каждая функция с1 (I) определяется с точностью до
постоянной, так как МО— решение однородного уравнения:
ат(^)V^(^ + т)+...+а0(^)V^(^) = 0, /=1,2, ...,т. A4)
Введем следующее обозначение:
т
М0 = 2[м*>*)—мо]м*+*). *=о, и ...,т.
Подставляя A3) в G), выполняя тождественные преобразования
в полученном выражении и учитывая A4), будем иметь
т т т
№ = 2 «* @* (»'+*) = 2 ч (о 2 сг A+к) ьг A+к) =
к = 0 к=0 1=1
т т т
= 2М0М0+2М0 2М0М*+*Н
&=0 /5 = 0 /=1
т т Г т 1
= 2 ч @ <** @ + 2 ^ @ 2 «А @ щ (I +к)Ы
к = 0 1 = 1 [_к = 0 ^
т т
= 2 М0М0 = 2 МО МО.
/г = 0 /г== 1
так как <20@ = 0- Полученное соотношение будет выполняться
для всех {, если положить
М0 = 0, Л=1, 2, ..., т-1, й.@=/@/ая@. A5)
Итак, задача построения функций МО» ^2 @» •••» МО све*
дена к определению их из условий A5), которые должны
выполняться тождественно по I.
Преобразуем систему уравнений A5). Обозначим МО =
= М' + 1) —МО» / = 1, 2, ..., т. Из определения МО
получим для й= 1, 2, ..., т:
т
4*@-4-1 (' + !)= 2 [с, (* + *)-с, @]V, A + к)-
т т
- 2 [с, (»+ й)-с, (»+1)] о, (I + /г) = Д! &г @ в, (I + /г).
Подставляя сюда A5) и учитывая равенство й0A) = 0, получим
систему линейных алгебраических уравнений относительно 6,A")
443

для фиксированного /:
ь1(^)V1{^ + ^)+ь^(^)V2(^ + ^) + ...+ьт(^)Vа(^ + 1) = о,
К (О »1 (* + 2) + МО «. (»+ 2) + ... + Ья @ 0И (I + 2) = О,
A6)
*>1 @ »1 (* + /П) + &2 @ 02 (' + т) + • • • + Ьт (О 0/я («' + "О
_ /(О
«л» (О'
Определитель системы A6) равен Д/+1(у1, у2, ..., уга) и отличен
от нуля в силу линейной независимости у1( ьг, ..., ьт. Поэтому
система A6) имеет единственное решение
6|@ = С|(*+1)-М0 = (-1)-+';^§$.
где 2>{1) = А1+1&1, у2 ьт), а
|01((+1) ... »,-1 (*+1) Р| + 1(/+1)
Г1(/ + 2) >.. ь,^A+2) кг+1(/+2)
/=1, ...,/и, A7)
о» (/ + 2)
«,@ = ,
'ухОЧ-от—1) ...1»г_1(» + /п— 1H/+1(( + т— 1) ... ют (г + т-1) |
т. е. @>1 (О получается из определителя ^> (О вычеркиванием
/-го столбца и последней строки.
Равенства A7) являются разностными уравнениями первого
порядка относительно функций сг@> / == 1, 2 т. Так как
С[{1) может быть определена с точностью до константы, то из A7)
найдем явное представление для сг(/):
г-1
с т- У ( 1У+' П!) @'(/) /-12 т
СДО-2-^ Ч атиK>(П' 1~1>г т-
Подставляя это выражение в A3) и меняя порядок
суммирования в получаемом представлении, будем иметь для частного
решения у (I) неоднородного уравнения G) следующую формулу:
т
у @ =2 МО »*(*)=*
1=1
-Ж
/(/J(-1)ж+'2>.
<(/)Мо]
/(®(/) а. (/))=«
1-1
= 2 0A, /)/(/),
/=*•
где
0A, /) =
1
®(/)а«(/)
2(-1)и+й®А(/H6(О.
A8)
А=1
Заметим, что сумма, стоящая в A8), легко вычисляется
010+1) М/+1) ...о»С/+1)
Ч(/+2) М/+2) ...р. (/+2)
2(-1)й+^*(/H*(О==
8=1
44
М/ + Ю — 0^2 Ц + т— 1)...»*я(/ + т—1)
»*@ МО «*.^/я@

Эта сумма равна нулю при / = * — 1, г—2, ...,{—т+1. Таким
образом, частное решение уравнения G) имеет следующее
представление:
1-т
1^1 (/+1)
К (/ + "*—1) .
1 VI A)
Ш1+1) ...
К(/+1) ...
.. »*(/+!)
М/ + т)
^(/ + ^)
/(/)
«« (/)
A9)
/0 + т —1 имеем
где г0 произвольно, а для 1 = 10, *0 + 1, .
у@=о.
Для уравнения первого порядка (т=1) формула A9)
принимает следующий вид:
^(О-Х^Г-Д-. у('.)-о. B0)
4. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие
применение общей теории. Пусть требуется найти общее
решение уравнения первого порядка
у {I + 1)—в2/г/ @ = Ы 2е1*+*. B1)
Найдем сначала решение однородного уравнения
уA + 1)-е**у{1) = 0. B2)
Из B2) последовательно получим
уA+1) = е*'уA) = е*'е*"-»уA-
2 у\ь
Полагая здесь г/ A) = 1, найдем частное решение ^(г)
однородного уравнения B2) в виде V1{^) = еи^~1\ Следовательно,
общее решение однородного уравнения имеет вид уA) = се(и'^\
где с—произвольная постоянная.
Построим теперь частное решение неоднородного уравнения
B1), используя формулу B0). Из B0) получим
1-1
У
(о-Е
еЩ-1) вк2ек2+к
*-1
{Ь* ек(к + Х) 1
К —10
Так как *0 может быть выбрано произвольным, то, полагая здесь
*0=1, будем иметь уA) = 1A—1)B1 — \)е(а"). Далее, в силу
теоремы 3 общее решение уравнения B1) записывается в виде
У@ = »@ + У@==[^ + '('-1)B/-1)]в'с/-м.
где с— произвольная постоянная. Задача решена*
85

Найдем теперь общее решение уравнения второго порядка
^)уA + ^)Л-а±A)у{1+\)+а,A)уA) = Ц1), B3)
где * = 0, 1, 2, ...,
а2@ = *2—*+1. сг0A) = а2A + 1) = 1^ + 1+1,
аЛ1) = — а0{1)-а2{1) = -2{!* + 1), B4)
1A) = ЯA*-Ы+\) = 2*[2а2{1)-а,(!I
Так как коэффициенты а2 (*) и а0 (О отличны от нуля, то для
нахождения общего решения уравнения B3) можно применить
общую теорию.
Сначала построим линейно независимые решения однородного
уравнения. Используя B4), его можно записать в следующем
виде:
а2A)уA+2)-[а2A) + а2A + 1)]уA + 1) + а2A + 1)*/@ = 0
или
^@[у(^ + 2)-г/(^ + 1)]-а2(^ + 1)[г/(г+1)-г/@] = 0. B5)
Частные решения г^ @ и V2 (*) однородного уравнения B5)
выделим следующими условиями: V1@) = V1 (I) = 19 V2 @) = 09 V2 (I) = 3.
Так как определитель
д (х), у)==К@) V1A)
*о\Р19 Ъ) 1^@) У2A)
= 3=^=0,
то в силу леммы 3 функции ю± {I) и V2 (*) будут линейно
независимыми решениями уравнения B5).
Найдем явный вид для V^(^) и V2{^). Из B5) сразу следует,
что 1^A) = 1. Построим V2(^). Из B5) последовательно получим
у{1 + 2)-уA + \) = а^±[уA + \)-у{1)] =
Учитывая начальные значения для V2 (/), отсюда найдем
V, (* + 1)-о2 @ = 3ая @=3(^—^ + 1). B6)
Суммируя левую и правую части B6) по / от нуля до к— 1,
будем иметь
Мй) = М0) + 32 (/2-*'+1) = &(&2-3& + 5).
/=о
Итак, частные решения однородного уравнения B5) найдены
у±{к) = 1, ю%{к) = к{к*—Ш + Ь), B7)
и общее решение B5) имеет вид у(к)=^^+с^к(к2—Зк+5).
46

Построим теперь частное решение неоднородного уравнения
B3)'. Подставляя B4) и B7) в формулу A9), получим
77/п —V М0-М&+1) /(*)
'У1 а^«<Н-2)--МН-1) ' М*)
-2 ^+У^ [^+Ч(^)-2Ч(^ + 1)]^
вт2^@-^(* + П][^)-2^]. B8)
Здесь было использовано равенство B6).
Вычислим полученное выражение. Обозначая
запишем B8) следующим образом:
/5 = 0
Используем теперь формулу суммирования по частям (см. (8) § 1)
для случая равномерной сетки с шагом к = 1. Это дает
1-1
у (о=—т Е«(*) [о (*) -у (*- ш+
/ 6 = 0
+ 1[иA-1)оA-1)-а@)о(-1)].
Так как в силу B6), условия у2@) = 0 и определения функций
V (к) и и (к) имеем
ю(к)-ь{к-\) = ю2{к)-ь2{к + \) = — га2{к),
V(^—^)=V2(^)—V2(^) = о,
<Ч-1) = МО-МО) =М0.
то
1-1
6 = 0
Следовательно, частное решение B3) найдено. В силу
теоремы 3 общее решение неоднородного уравнения второго порядка
B3) имеет вид
у @=г/ @+у@ = 2'-1 -1г(г»-зг+5)+с1+^(/«-зг+б)=«
= ^ + 24^(^—3/ +5),
, - 1
= ^ — 1, са = с2—у— произволь
решена.
где с1 = с1—1, с2 = с2—-г-—произвольные постоянные. Задача
47

§ Зе Решение линейных уравнений с постоянными
коэффициентами
1. Характеристическое уравнение. Случай простых корней.
Рассмотрим теперь важный класс разностных
уравнений—линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Для
уравнений этого класса вопрос о нахождении линейно независимых
решений соответствующих однородных уравнений может быть
решен достаточно просто. А к этому, как было показано выше,
сводится задача решения неоднородного разностного уравнения.
Займемся отысканием линейно независимых решений
однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами т-го
порядка
С1туA + т) + ат^1уA + т—\) + ... +а0#@ = 0. A)
Будем искать частные решения A) в виде V(^) = ^^^ где число ц
подлежит определению. Подставляя V (ь) вместо у @ в A),
получим уравнение
Так как ищется не равное тождественно нулю решение A), то,
сокращая на ц\ получим отсюда уравнение для ц\
атЯт + ат-1Чт-1+ • • • +^ + 00 = 0. B)
Уравнение B) называется характеристическим уравнением для
A). Корни уравнения B) д^, <72, ..., цт могут быть как
простыми, так и кратными. Рассмотрим отдельно каждый возможный
случай.
Пусть корни простые. Покажем, что функции
Ч @ = Яи V, @ = <72, ..•,*>« (О = Ят C)
являются линейно независимыми решениями уравнения A).
Действительно, в силу леммы 3 достаточно показать, что
хотя бы для одного I определитель Д,(У|, VI, ..., ют)Ф§.
Полагая * = 0, найдем
1 1
Я\ Я*
2 2
Яг Я*
пт-л пт-г
Яг Я2
" 1 1
••• Ят
»* Ят
• • Ят 1
и, следовательно, Ао(^1, ..., ът) — определитель Вандермонда.
Он отличен от нуля, так как все цк различны. Таким образом,
функции C) действительно являются линейно независимыми
решениями A), и поэтому общее решение однородного уравнения A)
может быть записано в виде
У @ = сгя\ + м{ + ... + стц1т, D)
где съ с2> ..., ^—произвольные постоянные.
48
До (»1. •••> О*
1 41 91
1 Яъ я\
„т—1
Й1
т-1
Я2
1 Ят Ят т Ят

Если корни Цъ д2, ..., дт действительные, то
действительное решение у (*') выделяется выбором постоянных сь с2, . ♦., ст
действительными числами. Рассмотрим теперь вопрос о
выделении действительного решения, если среди корней есть комплексные.
Пусть ^ = р(соз(р + 1*5тф), (** = К—1)—комплексный
корень характеристического уравнения B). Тогда существует
сопряженный к цп корень <75 = р(со5ф — Рзтф) уравнения B).
Рассмотрим часть общего решения D), образуемую линейной
комбинацией ц1п и д\\
У @ = Си<& + Св<А = р' [(Сп + Св) С05 Щ + I* (Сп — Св) 31П *ф].
Функция у (г) будет иметь действительные значения, если
постоянные сп и с, будут комплексно сопряженными. Полагая с„ =
=0,5 (сп — 1*с5), с5 = 0,5(сп + 1*с3), где сп и ^—произвольные
действительные числа, получим у (*) = р1' (сп соз 1ц> + с3 зт щ).
2. Случай кратных корней. Пусть теперь характеристическое
уравнение B) имеет корень <7* кратности пъ #2—кратности п2 и
т. д., т. е. <7*> Я** • • • у Чи — различные корни кратности пъ п2, ..., п8
соответственно, п1 + 'г2+ • • • + я5 = т. Построим линейно
независимые решения однородного уравнения A). Нам потребуется
Л е м м а 4. Если ць—корень характеристического уравнения B),
имеющий кратность п1У то справедливы равенства
т
2а^ = 0, р = 0, 1, .... л,—1. E)
Действительно, так как цг—корень уравнения B) кратности
п1у то имеют место равенства
т
2^=0, F)
т
2й(*-1)...(*-*+1)в*7? = 0, 5=1, 2, .... п,-1, G)
6=0
получаемые из B) дифференцированием 5 раз и дополнительным
умножением результата на <7/- Покажем, что равенство E)
эквивалентно F), G). Очевидно, что нужно доказать эквивалентность
только G) и E) для р > 1.
Так как Р3(к) = к(к—1)...(й—5+1) — полином степени 5
от й, то, умножая E) на соответствующий коэффициент
полинома Рв (к) для р = 1, 2, ..., 5 и складывая получаемые
равенства, будем иметь соотношения G).
Покажем теперь, что из G) следуют равенства E) для
/?=1, 2, ..., щ— 1. Используем разложение для Ъ?\
кр=^к(к— 1)...(к — 5+1К, 1<р<й, (8)
5=1
где а,=а, (р) будет указано ниже. Умножим 5-е равенство G)
49

на а, и просуммируем по 5 от 1 до р. В силу (8) получим
Р / т \
0=2аД2*(*-1)...(*-в+1)а»^Н
8=1 \/г=0 /
т / р \ т
« 2 «|?1 2*(*-1)...(*-Н1)а,Н 2 в^9!.
Л = 0 \5=1 / *=0
Осталось обосновать разложение (8). Заметим, что слева и
справа в (8) стоят полиномы р-й степени от к. Если положить
ая=1, то коэффициенты при старшей степени к слева и справа
в (8) будут равны, коэффициенты при младшей степени равны
нулю. Найдем а19 а2, ..., артт19 приравнивая значения
полиномов в р — 1 различных точках, например, полагая к== 1,2, ...,/?—1.
Для й=1 это дает а4 = 1. При к = п, 2</г</? —1 будем иметь
р п
пр= 2/ф— 1).. .(я—5+1)а,= 2 п(п— 1).. .(/г—5+ 1)а,=
5=1 5=1
я-1
= п!а„ + п!Х(-ЙуТ.
5=1 Ч '
Отсюда можно найти ая, если а^, а2, ..., а,^ уже определены.
Таким образом, получаем следующую рекуррентную формулу
для нахождения коэффициентов ап:
я-1
5=1 Х '
Лемма доказана.
Используя лемму 4, найдем т частных решений однородного
уравнения A). Так как справедливо равенство
то, умножая E) на С#/"~^и суммируя по р от нуля до л <я, —1,
получим, что для любого / имеют место равенства
т
2^(/ + ^+'=0, п = 0, 1, ...,/1,-1.
й = 0
Используя их, легко найдем, что частными решениями
однородного уравнения A) являются сеточные функции
*>п1+«*+...+п1-1+п+1A) = 1пЧ!1> 0<л<л, —1, /=1,2, ...,$, (9)
т. е., если ^—корень характеристического уравнения кратности
Пи то функции
?{> /У/> •••> Л^ ^ = 1. 2, ..., 5
суть решения уравнения A).
50

Осталось показать, что функции V^(^)9 ..., УтЦ),
определенные в (9), являются линейно независимыми решениями. Для
этого вычислим определитель До(^, ..., ит), который в данном
случае имеет вид
М«>1. ••..»•) =
1
0
0
1
0
Я±
Я1
Я1
Яг
Я*
Яг «»•
2Й ...
2»?1 ...
„2
<?2 **.
2?! .**
Яг «*•
Щ\ * * »
ы ..
?2 ...
^| ...
т-1
<71
(т-1)^*-1
(т-1)* 9?1
<?ГХ
(т-1)^т_1
О ^ 2я*-1?! *.. ^~Чз .- (т-!)^-1^-1
Он может быть непосредственно получен из определителя Ван-
дермонда
V/ (#х» ^2» • • • > ^/я/
1 Л*
1 *2
1 *»-!
1 хт
х\
х\
Хщ-1
Хщ
у.т-1
< * 1 Х\
<н Л 2
т-1
* *» *т-1
* *» *т
т-1 т
= П П (*,-*,)
1=1 /=1+1
следующим образом. Возьмем от И? первую производную по х2
и умножим ее на х2. Результат обозначим через №2= х2 -%—.
Далее вычислим
и т. д., пока не получим № . Затем вычислим V?гп +2 — хп +2 ^——,
1 1 С'ХП1 + 2
продолжим процесс дифференцирования, вычисляя М7п +3 =
= *"'+35^К+31^</' П°Ка Не полУчим ^«1+».» и т* д-
В результате получим ^т = ^т(х19 х2, ..., хл). Положим здесь
■^1 = х2 = ... ==хП1 = д19 хП{+1 —хП1+2= ... = хП1+Пя = д2 и т. д.
Легко убедиться в том, что Д0(^, и2, ..., Vа) = VРа, а простые
вычисления дают
-1 8
и * --• 1 = 1 /=1+1
Ь=1 т=1
Отсюда следует, что Д0 (я*, ..., ь^фО, так как Я1Фй( при
/т=/, а поэтому функции 1^(/), V2(^), ..., ол(/), построенные
выше, являются линейно независимыми решениями однородного
51

уравнения A). При этом общее решение уравнения A)
записывается в виде
/=1 п-0
где с^—произвольные постоянные.
3. Примеры. Рассмотрим простейшие примеры нахождения
общего решения однородного разностного уравнения с
постоянными коэффициентами.
1. Требуется найти общее решение уравнения
УA + 2)-у{1 + 1)-2у{() = 0. A0)
Составляем характеристическое уравнение #2—д—2 = 0 и
находим его корни <7! = 2, ?2 = — 1. Так как корни простые, то
общее решение уравнения A0) имеет вид
у{1) = сг2' + съ(-1)'.
2.Найти общее решение уравнения четвертого порядка
у(/ + 4)-2у(/ + 3) + Зу(/ + 2) + 2у(/+1)-4у(/) = 0. A1)
Характеристическое уравнение д4—2<73 + 3<72 + 2^—4 = 0 имеет
два действительных корня ^х = 1, д2=—1 и два комплексно
сопряженных КОрНЯ <7з = 2(с05-^+15т4м И ?4 = 2 ( С05 у— I 51Пу ) ,
1=У"^Л. Следовательно, общее решение уравнения A1),
принимающее действительные значения, имеет вид
»(/) = С1 + ^(— 1)/ + У(сзС08^/+С431п2./.).
3. Найти общее решение уравнения четвертого порядка
»(/ + 4)-7у(/ + 3) + 18у(/ + 2)-20у(/ + 1) + 8у(/) = 0. A2)
Характеристическое уравнение
</4—7^3+18(?2—20? +8 = (9 — 2K(?—1) = 0
имеет корень <71 = 2 кратности 3 и корень <?2=1 кратности 1.
Следовательно, общее решение A2) имеет вид
у(/) = ^ + 2/(с1 + с,/+с4/»)|
а частными линейно независимыми решениями A2) являются
сеточные функции ^(/) = 1, V2(^) = 2^\ 1}г(\)^}2^ а4(/) = /22Л
4. Найти общее решение уравнения четвертого порядка
#(/ + 4) + 8*/(/ + 2) + 16*/(/) = 0. A3)
X арактеристическое уравнение ?4 + 8?а + 16 = (#а + 4J = 0
имеет комплексный корень ^ == 2 Г соз ~ + г з!п у ] кратности 2
62

и сопряженный ему корень <72 = 2(соз~—*зт~Л тоже
кратности 2. Поэтому общее решение уравнения A3), которое при*
нимает действительные значения, имеет вид
У (/) = (Сг + С,]) У С05 % / + (С3 + С,]) 2' 51П 2. /,
Рассмотрим еще два примера. В одном примере мы найдем
решение задачи Коши для неоднородного уравнения первого
порядка, в другом—краевой задачи для однородного уравнения
четвертого порядка.
5. Найти решение следующей задачи:
УA+1)-ау(!) = !(!), 1>0, у@) = у09 A4)
где а = сопз1. Характеристическое уравнение ц—а = 0 имеет
единственный корень д1==а. Поэтому общее решение
однородного уравнения имеет вид у(Ь)=са\ с = соп$1. Частное решение
неоднородного уравнения A4) найдем, используя метод
вариации постоянной. Формула B0) § 2 дает следующее частное
решение уравнения A4):
У(>) = 2 <*'-*-*/(*)= 2 а*1{ь-к-\).
В силу теоремы 3 общее решение неоднородного уравнения A4)
имеет вид
у(ь) = са* + 2 ак!A—к—\).
к-0
Полагая здесь г = 0, получим (сумма при этом исчезает) #е~
:==у@) = с. Таким образом, решение задачи A4) дается формулой
У@=»оО'+2о*/М-1), 1>0.
6=0
6. Найдем теперь решение уравнения четвертого порядка
у{1 + 2)-у(}+1) + 2уф-уи-1) + уA + 2) = 0,
2</<#—2, A5)
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
2у{2)-у{1) + у@)=2,
У@)-у{2)+уA)-у{0) = 0,
2у(ЛГ-2)-у(Л^-1) + у(ЛО = 0.
Характеристическое уравнение
^-^+2^-9+1=(<?8-^ + 1)<<?4 + 1) = 0,
63
A6)

соответствующее A5), имеет простые комплексные корни д±=^
= С05-^ + *51П-у , <72 = С08у—* 51П у , <7з = со8 у + ^1П у ,
<74=созу—г'зшу, / = |/—1. Следовательно, общее решение
однородного уравнения A5), принимающее действительные
значения, имеет вид
У (/) = с1 С08 ^ Щ + С2 51П у Я/ + С3 С05 -^ Я/ + С4 51П у я/. A7)
Выделим теперь из общего решения A7) решение, которое
удовлетворяет краевым условиям A6). Для этого подставим A7)
в A6) и получим следующую систему для постоянных сх, с2,
с3 и с4:
соз-^^ +$т^-с2 —^з—^4 ==2,
ЫЛ . . NЛ | /Л I А А
СОЗ-у^ + 31П-д-а, +0-С3 + 0-С4 =0,
(N—2) л , . (N—2) л ( лЫ . . я#\
СОЗ* ^~^+5Ш^ 2; С2—^С03-у- + 31П—^С3 +
+ ^СОЗ »2 31П -у ^ С4 « 0.
Определитель этой системы равен — 2зт-~соз-~ и отличен от
нуля, если N четно, но не кратно 3.
В этом случае, учитывая четность А1, получим ^ = ^ = 0,
е3 = с4 =—1. Таким образом, если N четно и не кратно 3, то
решение краевой задачи A5), A6) существует и дается формулой
г/(/) = _соз|-зт|, 0</<ЛЛ
Если N нечетно или кратно 3, то решение задачи A5), A6)
либо не существует, либо неединственно. Этот пример
иллюстрирует различие между краевыми задачами, решение которых
существует не всегда, и задачей Коши, обладающей
единственным решением.
§ 4. Уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
1. Общее решение однородного уравнения. Настоящий
параграф посвящен разностным уравнениям второго порядка с
постоянными коэффициентами
«1У(/ + 2) + а1у(/+1) + аву(/) = /г(/), ав, а2ф0. A)
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного
54

уравнения
а2У (/ + 2) + ал (/ + 1) + а0у (/) = 0. B)
Характеристическое уравнение а2д2 + агд + а0 = 0 имеет корни
_ — сц+У а? — 4а0а2 п __ —сц—У а1—4а0а2
41"" 2а2 » ™""" 2а2
Согласно общей теории разностных уравнений с постоянными
коэффициентами, изложенной в § 3, линейно независимыми
решениями уравнения B) являются функции V1(^) = ^^9 V2(^) = ^^,
если а\Ф\аьа2, и V1(^) = ^^ *>а(/) = /?/» если я? = 4а0а2. Для
дальнейшего нам будет удобно использовать другие линейно
независимые решения
принимающие при / = 0 и /=1 следующие значения:
М0) = 1, о1A) = 0, у2@) = 0, V2(^)=\. D)
Очевидно, нужно только показать, что функции C) в случае
а1 = 4а0а2 являются решениями однородного уравнения.
Линейная независимость построенных функций C) следует из условия
Му1> *>*)ф0, где
А°^' **' |,2@) М1)|
Переходя к пределу в C) при #2, стремящемся к ^, получим
функции »!(/) = — (/— 1) ^/, V2(^) = ^^^-1, которые действительно
являются решениями однородного уравнения B). Заметим, что
функции V1(^) и V2(^) из C) принимают действительные
значения и в том случае, когда корни дх и ц2 комплексны. Это
позволяет не рассматривать отдельно случай комплексных корней.
Итак, общее решение однородного уравнения B) может быть
записано в виде
=у{^сМ^сМ1)=схЦ^+с^, E)
где сг и с2—произвольные постоянные. Заметим, что в силу D)
будем иметь у @) = ^, у(\) = с%.
Рассмотрим пример. Требуется найти общее решение
однородного уравнения
Уи + 2)-2ху(] + 1)+уи) = 0, F)
где х—параметр, принимающий любые действительные
значения. В этом случае имеем
Чг = х+у#=19 д% = ±9 ?а_91 = _2/^ГГ. G)
55

Подставляя G) в E), получим общее решение уравнения F) для
любого х в виде
2 ух2 — 1
+ ^т^==т уA)- (8)
В частности, если |я|^1, то формула (8) может быть записана
в виде
/.\_ 51П (/—1) агссоз л: ,^у . зш/агссоз х ,^ ,л^
^''' ~~ зт агссоз х У * ' "■" зт агссоз * ^ * '" ' '
(Для получения (9) было использовано тождество л; = со5(агссо5л:)).
Воспользуемся полученным результатом для решения
поставленной в п. 4 § 1 задачи о вычислении интегралов
/»(Ф)=ГС08*»-С08*Ф*|>, * = 0, 1, ...
V СОЗ 1|) — СОЗф Т
Там было^ показано, что эта задача сводится к решению задачи
Коши для уравнения
/л+1—2созф/л+/^1 = 0, /0 = 0, 1^п. A0)
Это уравнение есть частный случай F) с # = со5(р. Так как
|х|^ 1,то общее решение уравнения A0) дается формулой (9), т. е.
, 51П (к— 1)ф , . ЗШ&р .
к~~ ЗШф ° ' ЗШф 1#
Подставляя сюда начальные данные для /л, получим решение
поставленной задачи
т / \ 31П к(р
лчт/ 31П ф
В качестве второго примера рассмотрим решение краевой
задачи
#(/+1)-у(/)+У(/-1) = 0, 1</<ЛГ-1,
У@)-1, у(А0 = 0. *и'
Уравнение задачи A1) также есть частный случай F),
соответствующий значению я =1/2. Формула (9) дает следующее общее
решение уравнения A1):
У(/) = ^131ПЦ 3 +^51Пу^|51П-5-,
Постоянные ^ и с2 находятся из краевых условий для «/(/).
Если /V не кратно 3, то сг = —1, с2 = вт-тп (#— 1)/зт — яЛ/ и
56

решение задачи A1) имеет вид
Если N кратно 3, то решение краевой задачи A1) не существует,
2. Полиномы Чебышева. Вернемся теперь к уравнению F),
Сначала рассмотрим следующую задачу Коши:
у{п + 2)—2ху(п+1) + у(п) = 0, п>0,
у@) = 1, уA) = *.
A2)
Заметим, что из A2) следует
уB) = 2ху(\)-у@) = 2х*-и
уC) = 2хуB)-уA) = 4х*-3х,
и вообще у(п) есть полином п-и степени от х. Обозначим этот
полином Тп(х). Подставляя ^„(л:) вместо у(п) в A2), получим
рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет этот полином
Тп+2(х) = 2хТп+1(х)-Тп(х), а>0,
Г0(х) = 1, Тг(х) = х, — оо<х<оо.
С другой стороны, общее решение уравнения A2) дается
формулой (8) для любого х. Подставляя в (8) начальные значения
для у(п), будем иметь
ТЛХ)^1±11ЕЩШГ*Е}П. (н)
В частности, если |л:|^1, то, полагая здесь я = соз(агссозл;),
получим
Тп (х) = соз (п агссозл:), | х | ^ 1.
Итак, решение задачи A2) найдено. Решение есть полином Тп(х),
который для любого х определяется формулой A4) или формулой
г„(*)-{
соз (п агссоз х), | х | <; 1,
2
1[(х+У^^)п + (х+У1?=Г1)^1 \х1>и <15)
Полином Тп (х) называется полиномом Чебышева первого рода
степени п.
Рассмотрим теперь другую задачу Коши для уравнения F)
у(п + 2) — 2ху(п+1) + у(п) = 0, п^О,
у@) = 1, 0A) = 2*. 1Ш;
Очевидно, что и здесь у(п) — полином м-й степени от х.
Обозначим его через 11п{х). Получим явный вид для 1/п(х). Подставляя
67

начальные значения для у(п) в (8), будем иметь для любого х:
11 /«л --2*(*+ Ух^1)п-(х+ /^ГГ])" ,
и»М- 2У^Г\ +
= (* + ]/"ггг7)я+1--(*+ 1/"?зт)-(я+»
2 У^д:2— 1
В частности, если |#|^1, то
г г / ч 3111 (л+ Пагссоз я
п х ' 31П агссоз л:
Полином 11п{х) называется полиномом Чебышева второго рода
степени п и определяется формулами
/ 31 п (п4- Пагссоз х . , ^Л
I —^— , \х <1,
ип{х) = 1
31П агссоз х
1
2 ]Ле2 — Г
Из A6) получим для полиномов 11п{х) следующее рекуррентное
соотношение:
^п+ш(х) = 2хия+1(х)-Ця(х)9 я>0,
Формула A7) позволяет получить вместо (8) следующее
представление для общего решения уравнения F):
у(п) = — с1Цп^2 (х)+с2ип^1 (х).
Получим еще одно представление для общего решения
уравнения F). Покажем, что функции V! (п) = Тп (х) и V2 (п) = 1/я-1 (х)
являются линейно независимыми решениями однородного
уравнения F). Действительно, нужно показать лишь их линейную
независимость. Так как определитель]
А (V V) = \То{X) ТЛХ)\ 1Д Х{
!0 1
= 1
отличен от нуля, то утверждение справедливо. Следовательно,
общее решение уравнения F) можно представить в виде
У(п) = сгТя(х) + сшия^(х)9 B0)
где с1 и с2—произвольные постоянные, а функции Тп(х) и 11п{х)
для любых х и п определяются формулами A4) и A7).
В заключение приведем некоторые легко проверяемые
соотношения, выражающие связи между полиномами Чебышева
58

Тп{х) и 11п(х), а также свойства этих полиномов. Имеют
место следующие формулы:
Тп(х) = Т.п(х), [/_„(*) = -*/„-,(*). »>0, B1)
Т1п(х) = Т1(Тя(х)), (/,,-1М = 1/1-.1(Г„М), B2)
Т2п(х) = 2(Тп(х))*-1, B3)
Тп.х (х)-хТп (х) = A -х*) {/„_! (*), B4)
ип-1(х)-х1/п(х) = -Тп+1(х), B5)
. ^И+Л*) + ^П-/(*) = 2Г, (*)[/„(*)• B6)
Из B6) при соответствующей замене индексов I и п получим
Цп+1.± (х) + {/„_,_, (л) = 27\-(х) 1/Л.1 (х), B7)
</»+Л*) + ^«-<-.(*) = 2Г/+1 (*)*/„_!(*). B8)
Полагая в B6) —B8) 1 = п, будем иметь
27\,(*) !/,,(*) = */»,(*)+1. B9)
2Г„ (*)*/„-! (*) = */,„-!(*), C0)
2ГВ+, (*)!/„-, (*) = */., (*)-!• C1)
Здесь были учтены равенства B1) и 1/0(х)=1, 11.1(х) = 0. Если
положить в B6) « = 0, то получим
27-,, (*) = */„ (*)-!/„-,(*). C2)
3. Общее решение неоднородного уравнения. Построим теперь
общее решение неоднородного уравнения A)
а$ (п + 2) + агу (п +1) + а0у («) = / (л). C3)
В силу теоремы 3 общее решение уравнения C3) есть сумма
у(п)=у(п)-\-у(п), где у(п) — общее решение однородного
уравнения B), а у («)—частное решение неоднородного уравнения C3).
Выше было показан©, что линейно независимыми решениями
уравнения B) являются функции
а решение у(п) определяется формулой E):
у(п) = ср±(п) + срш(п).
Для нахождения частного решения у(п) уравнения C3)
воспользуемся методом вариации постоянных, изложенным в п. 3
§ 2. Формула A9) § 2 дает решение у(п) в следующем виде:
1*1 (Л+1) М* + 1)|
1 Р* (&) ^2 (&)
я-1
' («) = Е
к=па
»1<*+1) »1(* + 2)
о»(А+1) Ы*+2)
59

В результате несложных вычислений будем иметь
и • _
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения C3)
имеет вид
я —2
у(п) = с1д#1-«« + с.Я^+У\Я =Ь ^, C5)
где с1 и ^—произвольные постоянные.
Если решается задача Коши, т, е, ищется решение
уравнения C3), удовлетворяющее условиям
У К) = У*> У К + 1) =^Уи C6)
то из C5) и C6) получим следующее представление для
решения этой задачи:
/2—2
~п-пп „ „п-пп „п-пп „п-пл __ п-к-1 „п-к-л
,/^ — П ^1 °— ^1^2 ° , „ ^ ° — <У1 ° , У <?2 — 91 /(*)
C7)
Яъ — Яг г Яг —Яг ^~о Я*—Я± а2
Найдем теперь решение первой краевой задачи для
разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Будет удобно записывать такую задачу & следующем виде:
ад(п+\) + а#(п) + а$(п—\) = — !(п), 1<л<ЛГ—1, C8)
0@) =Ф1» #(Л0=^2-
Эта запись отличается от C3) сдвигом индекса п, поэтому,
используя C5), получим следующую формулу для общего
решения уравнения C8):
*1 ' х Я2 — Я1 2 Я2 — Яг ~*{ Я2 — Я1 «а 1 '
Определим постоянные сг и с2 из условия, чтобы решение C9)
принимало при п = 0 и гс = М заданные значения #@) = ^ и
у№) = \12. Опуская несложные выкладки, получим следующую
60

формулу для решения краевой задачи C8):
„ы (ц*у (я?-п-я?-п) „ , «?-«г „ .
+у ш>)»-ки?-п-<}Гп)и-яЪ т+
& (Я*-Яг)(ч?-Я?)
Заметим, что решение краевой задачи C8) не существует лишь
в случае, когда д^ = д^» но ц^Фц^
Рассмотрим теперь частные случаи использования
формулы D0). Пусть требуется решить первую краевую задачу для
уравнения
у(п+1)-2ху(п) + у(п-1)=:-Нп), 1<д<ЛГ-1,
*@) = 1ч, у(Ю = ^ [ }
Выше были найдены корни цх и ?2 соответствующего D1)
характеристического уравнения
Я^х+Ух*— 1, Я2 = х—Ух2—1 = 1/^.
Подставляя эти значения в D0) и учитывая формулу A7) для
полинома 11п{х), получим решение задачи D1) в следующем
виде:
»(я)-^гйэк+2,:/»-1(*)/(*)|-
|*.+ 2^-*-1^)^йI- <42>
^-1Й
и#-1(х)
1 +
N-1
Решение существует и дается формулой D2), если выполнено
условие х^соз—, й = 1, 2, ..., N—1.
Вернемся к уравнению C8). Если а0а2 > 0, то решение D0)
этой задачи может быть записано в более компактной, чем D0),
форме. Действительно, запишем корни
91=2^[—а1+УаГ=:^ал1 Яг^^—^—Уа^ — 4а0а2]
характеристического уравнения, соответствующего C8), в
следующем виде:
Я1==р(х + Ух^Т)9 я% = р{х-У*=1)9 D3)
81

где
р=-|/|Г, х=- <* . D4)
Подставим D3) в D0) и учтем формулу A7). Получим решение
задачи C8) для случая а0ай > 0 в виде
#(га)-. ^.1(Я) Р [^+2--^т-'^Г] +
"#^-1(*) Р^"
где р и х определены в D4). Решение задачи C8) для случая
а0а2 > 0 существует, если выполнено условие а± + 2 К^Л С03 ^^О»
й=1, 2, ..., #-1.
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для трехточечного
векторного уравнения с постоянными коэффициентами
ГЯ^-СГЯ + ГЯ^^-РЯ9 КЖЛГ-1 D5)
где К„ и /^—векторы, а С—квадратная матрица. Легко
проверить, что общее решение неоднородного уравнения D5) имеет вид
Гй = !/„-, (уС) ^ + ^.х (|с) С.-2 */»-*-1 (т С) П,
где С| и С2—произвольные векторы, а (/„(X) есть матричный
полином от матрицы X, определяемый по рекуррентным
формулам A9).
Если матрица С такова, что (/#-1 (уС) невырожденная
матрица, то решение краевой задачи D5) определяется формулой,
аналогичной формуле D2)
Кя = 1/^ (| С) !/„_„_, (|С) [п +Е С/*-! (-у С) п] +
+ ^1_х(уС)б/п.1Aс) [^лг+Е ^-*-,(-уС)|^]. D6)
Ниже будет показано, что к задаче D5) сводится разностная
задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
В заключение отметим, что условию существования решения
задачи D5) можно придать следующую формулировку: решение
существует и определяется формулой D6), если числа соз-^-,
к = 1, 2, ..., ЛЛ—1, не являются собственными значениями
матрицы С.
62

§ 5. Разностные задачи на собственные значения
1. Первая краевая задача на собственные значения. В главе IV
будет рассмотрен метод разделения переменных, который
используется для нахождения решений сеточных краевых задач для
эллиптических уравнений в прямоугольнике. В связи с этим
возникает необходимость представления искомых сеточных
функций в виде разложения по собственным функциям
соответствующей разностной задачи. В данном параграфе мы рассмотрим
разностные задачи на собственные значения для простейшего
разностного оператора второго порядка, заданного на равномерной сетке.
Сформулируем первую краевую задачу. Пусть на отрезке [0, /]
введена равномерная сетка со = {х/ = й, * = 0, 1, . ..,#, НЫ =1}
с шагом к. Требуется найти такие значения параметра К
(собственные значения), при которых существуют нетривиальные
решения ^ (х,) (собственные функции) следующей разностной
задачи:
УхХ + КУ = °> *€©, </@) = */(/)=0, A)
где
Ухх,1 Р > У\1)—У\хО-
Найдем решение задачи A). Для этого запишем A) в виде
краевой задачи для разностного уравнения второго порядка
у{1+\)-2{\-^)у{1)+у{1-\)^0у 1<;<#_1,
у@) = у(М)=0. B)
В п. 1 § 4 было показано, что общее решение уравнения B)
имеет вид (см. формулу B0) § 4) УA) = сгТ{(г) +с21!;_1(г), где
с± и с2—произвольные постоянные, а через г здесь обозначено
г= 1—Л2Я/2. C)
Постоянные с± и с2 определим из граничных условий
у@) =<*=<>. у(Ю=с2и^^)=о. D)
Здесь и далее мы используем формулы A5) и A8) § 4,
определяющие полиномы Чебышева первого и второго рода, а также
формулы B1) —C2) из того же параграфа.
Так как ищется нетривиальное решение задачи A), тос2^=0,
и из D) будем иметь условие Vлг-1B) = 0, при выполнении
которого решение задачи A) имеет вид У{ = с21/^±(г).
Так как числа (гй = соз~дГ, й=1, 2, ..., #—1, суть корни
полинома ^-1B), то из C) находим собственные значения
задачи A)
Х*ьт*^ = ±зт*^, *=1, 2, ..., АГ-1. E)
63

Каждому собственному значению кк соответствует ненулевое
решение задачи A)
УкA) = с*и1-Лч) =ск&т-]Г = с118т —г^-,
0<*<ЛГ (с2 = с,3т-^). F)
Определим скалярное произведение сеточных функций, заданных
на со, следующим образом:
N-1
(и, у)= 2 и(^)V(^)Н + 0,5I^[и@)V@) + и{N)V(N)^
I 8= 1
Определим теперь постоянную ск в F) так, чтобы функции
укA) имели норму, равную единице, т. е. (ук, ук) = 1.
Несложные_выкладки дают ск —1^2/1. Подставляя найденное
значение для ск в F), получим собственные функции \1кA)
задачи A)
М0= у т зш—== У т 8Ш~г-> G)
* = 0, 1, ..., #, А = 1, 2, ..., Ы— 1.
Итак, задача A) решена и решение дано в E) и G).
Перечислим основные свойства собственных функций и
собственных значений первой краевой задачи A).
1) Собственные функции ортонормированы:
О** Рт) = Ьш> 8кт={ 0^
к= т,
кфт.
2) Для любой^ сеточной функции /(/), заданной во
внутренних узлах сетки со, т. е. для 1 <л ^ N— 1, имеет место разложение
#-1
2 \т* . кт
/@=4Еф*зШ-т-Г, 1-1, 2, .... N-1, (8)
к= 1
где
ЛГ-1
кп1
Ф^Е/@зт^, *«1, 2, ..., N-1. (9)
Поясним это утверждение. Пусть_/(*)—произвольная сеточная
функция, заданная на со (или на со и обращающаяся в нуль
при 1»0и *~Л0- Разложим ее по собственным функциям
N-1 N-1
7@= 2 /*М0 = ЕУт /*81п1Г' <10)
1=1 & я_1
64

где /л—коэффициент Фурье функции /(/). Умножая A0) ска-
лярно на |хда@ И используя ортонормированность собственных
функций, найдем коэффициенты Фурье
N-1 N-1
Л = 1 г = 1
Связь полученных формул с (8) — (9) легко устанавливается,
- УШ
если заметить, что [т = —ц—чт.
Разложение (8), (9) удобно тем, что для вычисления фурье-
образа функции /(*) и для восстановления исходной функции
по ее образу необходимо вычислять однотипную сумму. Алгоритм
быстрого вычисления сумм такого вида будет рассмотрен в
главе IV.
3) Для собственных значений справедливы неравенства
^<~5т2-^==Х1<Хл^^1 = ~соз2^г, 1<А<#—1.
2. Вторая краевая задача. Рассмотрим теперь вторую краевую
задачу на собственные значения
Х#*+*# = 0, х=0, —^-у-+Ху = 09 * = /. * '
Найдем решение задачи A1). Расписывая разностные
производные в A1) по точкам, получим задачу
у{1+1)-2гуA)+уA-1)^09 1<1<ЛГ-1,
уA)-гу@) = 0, у(Ы-1)-гу(Ы)=0, V*'
где 2= 1 —КН2/2. Из общего решения уравнения A2) у (ь)=с1Т1 (г)+
+с2^1-1(г) выделим решение, удовлетворяющее поставленным
краевым условиям. Используя формулу B4) § 4, будем иметь
0A)—гу@)=сгг + ся—^2 = ^ = 0, са = 0,
а также
у(Ы-1)-2У(Ы)=с1(Т^^)-^(г))=с1A-г')и^^
Так как с^фО, то отсюда получим
2а = с°з —, * = 0, 1, .... N.
и, следовательно, собственными значениями задачи A2) являются
К=^5'т2ш=А5'т2^г> к=0> 1 я- A3)
При этом каждому Кк соответствует ненулевое решение задачи A1)
Ук@ = скТ;(гк)^сксо$~^, 0<*^#.
3 А. А. Самарский, Б. С. Николаев 65

Выберем постоянные ск из условия (ук, ук)=\, где скалярное
произведение определено выше. Непосредственные вычисления
показывают, что
сА = 1/2/7, Л5 = 1, 2 ЛГ-1, ск = УЖ к = 0, N.
Таким образом, нормированными собственными функциями
задачи A1) являются функции
,.ч 1 /* 2 кП1 -. / 2 Ляд:; л ^1 аг 1
М0= ]/ уСОЗ—= |/ -С05—^ 1<*<#—1,
/•\ т/ 1 #ш -, / 1 /гзхх/ , л ,,
М0 = У ТС081Г= У ТС08~Г~' &^0' ^
определенные на сетке со. Отметим, что собственной функцией,
соответствующей нулевому собственнохму значению Я0=^0,
является постоянная \х0 (г) = У~\/1.
Сформулируем свойства собственных функций и собственных
значений второй краевой задачи A1).
1) Собственные функции ортонормированы: (\1к, \ит) = &кт.
2). Для любой сеточной функции /(*'), заданной на со, имеет
место разложение
/@=^Х РлФлеоз-^-, *=0, 1, ..., УУ, A5)
где
/г= о
N
Ф* = Ер//@со5-^, й = 0, 1, .... Ы, A6)
[ 1, 1<1<#—1,
р' = 1 0,5, 1 = 0, N. A?)
Формулы A5) и A6) суть модификация традиционного
разложения /(/) по собственным функциям ц^@
N
/@= 2 /*М0. /* = (/. и*)
путем следующей замены:
| -^ф,, 1<*<ЛГ-1,
/л = <
3) Для собственных значений справедливы неравенства
0 = Х0<А*<А^. 0</г<М.
3. Смешанная краевая задача. Рассмотрим теперь задачу на
собственные значения, когда на одной стороне отрезка [0, /] за-
66

дано краевое условие первого рода, а на другой—второго,
например:
у@) = 0, -1У;+Ц = 0, х=1. A8>
Такую задачу мы будем называть смешанной краевой задачей.
Найдем решение задачи A8). Соответствующая A8) задача
для разностного уравнения второго порядка имеет вид
уA + 1)-2гуA)+уA-1) = 0, 1<г<#-1,
У@) = 0, у(Ы-1)-гу{Ы) = 0,
где 2 = 1—0,5М2. Выделим из общего решения этого уравнения
решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям.
Используя B5) § 4, получим
г/@)=^ = 0,
у(М-1)-гу(Ы)=сЛи*-Лг)-ги^1(г))=-с^Аг)=0.
Так как с2ф0, то отсюда найдем 7^(^ = 0, где
г^ = соз-—~^лт , А=1, 2, ..., N и, следовательно,
собственными значениями задачи A8) являются числа
« 4 . „ Bк—\) я 4 . „ Bк—-\)як * 1 о аг /1Л\
^=7?8Ш 4^ = /?зш—Ж—' * = 1' 2' '•■» Ы- A9>
Нормированными собственными функциями задачи A8),
соответствующими собственным значениям %к, являются
/<ч т/Т" . B6—1)ш
/
| 51п B*~ У **/ , 4 = 1, 2, ..., #. B0)
Сформулируем свойства собственных функций и собственных
значений смешанной краевой задачи A8).
1) Собственные функции ортонормированы: (\акУ ^т) = 8кт.
2) Для любой сеточной функции /(/), заданной на о>+ =
= {х/=/А> 1<г^Л/} (или на со, и обращающейся в нуль
при 1 = 0) справедливо разложение
N
/@=4Ефйзш B*Т')лг , 1 = 1,2 Ы, B1)
67

где
Ф»-ЕрЛОзШ Bк7*)п1 , * —1. 2, ..., ЛГ, B2)
2#
* = 1
а р/ определено в A7).
3) Для собственных значений справедливы неравенства
8 ^ 4 . 0 я л ^л ^л 4
^<Рз1п2-^Г==^<^<^==а4со5^, 1<А<ЛГ.
Если для уравнения A8) краевое условие первого рода задано
на правом конце отрезка [0, /], т. е. дана задача
ХУ, + *0 = О, * = 0; уA) = 0, B3)
то собственные значения определяются формулой A9), а
нормированными собственными функциями являются
МО- ]/|зш ^-Цу-0^ = /|зт <"-»»/'-*> ,
А=1, 2, ..., ЛЛ
Имеет место следующее утверждение. Для любой сеточной
функции /(*'),^заданной на со" ={х{ = 1к, г'= 0,1, ..., Л/"—1, НА1 = 1}
(или на со и обращающейся в нуль при 1 = Ы), справедливо
разложение
N
/(ЛГ-0=^Еф*51п B*7л!)Ш" . ' = 1. 2, -.., ЛГ, B4)
Л = 1
где
Ф#-Хр^-//(^-0зШ B*~1)Ш', А^1, 2, ... , ЛГ, B5)
I = 1
а р; определено в A7).
Отметим, что построенные собственные функции задачи B3)
также ортонормированы:
4. Периодическая краевая задача. Пусть на сетке й = {х( = й,
**=0, ±1, ±2, ...}, введенной на прямой — оо<л;<оо,
ищется нетривиальное периодическое с периодом N решение
следующей задачи на собственные значения:
уA + М) = у[!)9 1 = 0, ±1, ±2, ..., А = //#. * '
68

Так как решение периодическое, то его достаточно найти при
1=0, 1, ..., N—1. Расписывая B6) по точкам * =0,1, ..., N—1
и учитывая, что у{— \) = у(Ы— 1), у@) = у(#), получим
следующую задачу:
у([ + 1)-2гуA) + уA-1)=0, 0<*<ЛГ-1,
У@)=у№)9 У(-1) = у(М-1), V*
где 2 = 1— 0,5М2.
Найдем решение задачи B7). Подставим общее решение
уA)=с1Т1{г) + с,и1^{г)
в краевые условия. Учитывая свойства полиномов Чебышева,
получим следующую систему для определения постоянных с^ и с2:
с1A-^(г))-с11/Лг.1(г)=01 я
С1G,ЛГ-1B)-г) + с1A+С/Лг-,B)) = 0. ^
Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда,
когда ее определитель равен нулю. Вычислим его, используя
для преобразований формулы B5), B9) и C1) § 4. Получим
A-Т^2)){1+и^Аг)) + (Т^1(г)-г)Ц^1(г) =
-^(г)^-Л*) = 2[1-7„(г)] = 0.
Отсюда следует, что при г = гк, где
г^соз^-, * = 0, 1, ..., ЛГ-1, B9)
система B8) имеет ненулевое решение. Таким образом,
собственными значениями задачи B6) являются
Хк = ±5т*^ = ±$т*^, й = 0, 1, ..., N-1. C0)
Получим теперь решение системы B8). Так как имеют место
равенства
• -- Тм^{гк)^гк, 0<й<#-1,
Ы— 1, к = 09 N/2,
-\,кфЪ, N12,
N, к = 0,
— N, к = N|2у
0, кфО, N12,
то, подставляя B9) в B8), найдем следующее решение системы B8):
а) для к = 0 и к = Ы/2 имеем с2 = 0, с1 = с[к)=ф0\
б) для кфО, кфN/2, 0<&<М—1, постоянные с1 = с[к\
с2 = 4Л) произвольны, но не равны нулю одновременно. Отсюда
69

получим, что функции
У»(9 = с*соз-чг, * = 0, N/2,
,ь 2Ы . ,ь . 2&ги л^^^х! * и , * N C1)
^)РП5 !-/?<">< * ^- I- ^~ лт л и ,п
являются решениями задачи B7), соответствующими
собственному значению %к. Заметим, что в случае кфО, N/2 формулы
C1) определяют в действительности две линейно независимые
л ,ь. 2кп1 ,ьч . 2кт
функции сг*сов—тт~ и 4 51П—^~, каждая из которых
является решением задачи B7) и соответствует собственному
значению Кк.
Построим теперь нормированные собственные функции
задачи B6). Отметим, что для периодических сеточных функций
введенное ранее скалярное произведение можно записать
следующим образом:
(и> <0г = 2*" (ОХ) Ю н+°>5Н •> @) г)(°)+и ДО * Ш =*
I = 0
Рассмотрим два случая. Пусть сначала N четное. Из C1)
получим, что собственными функциями, соответствующими к0 и А,#/2
являются
Н
(О- ]/|соз-^-, й=0, 4"- C2)
Далее отметим, что из C0) следуют равенства
Л 4 . 2 Ш—к)п 4 . 2 кп л
Л=1, 2, ..., 4-1-
Выбирая в качестве собственной функции, соответствующей
собственному значению Хк, функцию
, .ч ,/Т 2кт , ^ и ^ N <
М0 = у 7С03~1\Г' 1<*<—*
и функцию
Илг-а@ = ]/ у 5Шп^Г' 1<*<1—*•
соответствующую значению ^#-* = ^, получим вместе с C2)
полную систему собственных функций задачи B6). Итак, собствен-
70

ными значениями являются %к, определенные в C0), а
собственные функции задачи B6) задаются формулами
, .ч т / 1 2А'ш и Л N
М0 = У Тсоз~-1Г> к==0> "Г»
М0=]/тсозТ' ККу-1. C3)
для случая четного ЛЛ
Отметим основные свойства собственных функций и
собственных значений периодической краевой задачи B6).
1) Собственные функции ортонормированы.
2) Любая периодическая с периодом N сеточная функция /(*"),
заданная на сетке й, может быть представлена в виде
N/2 Ы-\ ;
,.,., 2 V 2/гш . 2 V4 • 2(Ы—к)т /0/1Ч
/@ = ^2^Р*Ф*СО3 —+ Т 2а Ф*зш л/ ' » C4)
где
#-1
1 = 0 ^ ^
C5)
( = 0
/1, кф09М/2,
Рк~\ \/У2,к = 0, N12. {Щ
Формулы C4) —C6) следуют из разложения функции /(*) по
собственным функциям \ъкA)\
/@= 2 /*М0. /*=(/. и*)
Л = 0
при замене /^ = д, ф&.
3) Для собственных значений справедливы неравенства
0 = Л0<Я/к<^/2=^> 0<*<#—1.
Рассмотрим теперь случай, когда N нечетное. В этом случае
собственные значения задачи B6) определяются формулами C0),
причем ^0 = 0 и имеет место равенство ^_Л = ЯЛ, й=1, 2, . . .
..., (N-1I2.
71

Собственные функции, соответствующие собственным
значениям ХкУ определяются следующими формулами:
мо= Ут* й==0'
РьЮ-Ут^ПГ' 1<й<^±, C7)
/•\ т/" • 2 (М — к)п1 N-{-1 - - ^ ЛГ -
М0 = У у 8Ш N » -5"<*<^—1.
Собственные функции C7) ортонормированы, а собственные
значения кк удовлетворяют неравенствам 0 = А,0 < %к < Я;у/_1=]лС081^ ,
2
0<Ск<Ы—1. Кроме того, любая периодическая с периодом N
(Ы—нечетно) сеточная функция /(*'), заданная на сетке Й, пред-
ставима в виде
(М-1)/2 N-1
г/.ч 2 V1 2кпь | 2 ч^ • 2Ш—к)п1
/@=лГ 2-й Р*ФаС08 —""Г^ 2^ Ф»81П л/ >
&=0 Л=<#+1)/2
где
ЛГ—1
1 = 0
Ф*-Е/@8ш1И^, ^<л<^_1§
1=0
а рА определено выше.

ГЛАВА II
МЕТОД ПРОГОНКИ
В этой главе изучаются различные варианты прямого метода решения
сеточных уравнений — метода прогонки. Рассматривается применение метода
для решения как скалярных, так и векторных уравнений.
В § 1 построен и исследован метод прогонки для скалярных трехточечных
уравнений. § 2 посвящен различным вариантам метода прогонки, здесь
рассмотрены потоковая, циклическая и немонотонная прогонки. В § 3
рассмотрены монотонная и немонотонная прогонки для пятиточечных скалярных
уравнений. В § 4 построены алгоритмы матричной прогонки для двух- и
трехточечных векторных уравнений, метод ортогональной прогонки для
двухточечных уравнений.
§ 1. Метод прогонки для трехточечных уравнений
1. Алгоритм метода. В главе I были изложены методы решения
разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Настоящая глава посвящена построению прямых методов решения
краевых задач для трех- и пятиточечных разностных уравнений
с переменными коэффициентами, а также трехточечных векторных
уравнений. Здесь будут изучены различные варианты метода
прогонки, который представляет собой метод исключения Гаусса,
примененный к специальным системам линейных
алгебраических уравнений и учитывающий ленточную структуру матрицы
системы.
Рассмотрение метода прогонки начнем со случая скалярных
уравнений. Пусть требуется найти решение следующей системы
трехточечных уравнений:
—Я/У/-1 + ЭД/—&/У/+1 = //. 1<*<ЛГ—1, A)
—0*&г-1 + СNУN = Ьь * = #>
или в векторном виде
ЛУ=Г, B)
где У= (у0У уи ..., у„)—вектор неизвестных, Г= (/0, ?и ..., }„) —
73

вектор правых частей, а Л — квадратная (ДО+ 1)х(М+ 1) матрица
Л =
Со — Ь0
0 — а2
• о о о
• о о о
0
с*
0
0
0
0 . . .
0 . .
0 . .
0 . .
0 . .
0
0
0
— Ядг-2
. 0
. 0
0
0
0
0
-2
-1
0
0
0
0
0
, 0
0
См
с действительными или комплексными коэффициентами.
Системы вида A) возникают при трехточечной аппроксимации
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными и переменными коэффициентами,
а также при реализации разностных схем для уравнений в
частных производных. В последнем случае обычно требуется решить
не единичную задачу A), а серию задач с различными правыми
частями, причем число задач в серии может равняться
нескольким десяткам и сотням при числе неизвестных в каждой задаче
#«100. Поэтому необходимо разработать экономичные методы
решения задач вида A), число действий для которых
пропорционально числу неизвестных. Для системы A) таким методом
является метод прогонки.
Возможность построения экономичного метода заключена
в специфике системы A). Соответствующая A) матрица А
принадлежит к классу разреженных матриц—из {Ы+1J элементов
ненулевыми являются не более Ш -\-1 элементов. Кроме того, она имеет
ленточную структуру (является трехдиагональной матрицей).
Такое регулярное расположение ненулевых элементов матрицы Л
позволяет получить очень простые расчетные формулы для
вычисления решения.
Переходим к построению алгоритма решения системы A).
Напомним последовательность действий, которые осуществляются в
методе исключения Гаусса. На первом шаге из всех уравнений
системы A) для I = 1, 2,..., N исключается при помощи первого
уравнения A) неизвестное у09 затем из преобразованных уравнений для I =
= 2,3, ..., N при помощи уравнения, соответствующего I = 1
/исключается неизвестное уг и т. д. В результате получим одно
уравнение относительно у#. На этом прямой ход метода заканчивается.
На обратном ходе для 1 = Ы—1, N—2, ..., 0 находится у1
через уже найденные #/+1, у1+2У ..., у у и преобразованные
правые части.
Следуя идее метода Гаусса, проведем исключение неизвестных
в A). Введем обозначения, полагая ^ = 6^, рх = /0/^о» и
запишем A) в следующем виде:
~Я/0/-1 + ЭД/—&/У/+1 = //, 1 < I < АГ — 1, (Г)
74

Возьмем первые два уравнения системы (Г)
Уо — ЯгУг = Ри —«1Уо + СгУг — ЬгУ* = &.
Умножим первое уравнение на а± и сложим со вторым уравне^
нием. Будем иметь (сг—а1а1)у1—Ь1у2 = ^1-\-а1^ или после
деления на С1—ага±
Все остальные уравнения системы (Г) #0 не содержат, поэтому
на этом первый шаг процесса исключения заканчивается. В
результате получим новую «укороченную» систему
Уг—«202 = Ра. * = 1>
— <*1У1-1 + ЪУ(—^/+1 = //. 2<*<Л7—1, C)
— аNУN-^+СNУN = ^N> 1 = #,
которая не содержит неизвестное у0 и имеет аналогичную (Г)"
структуру. Если эта система будет решена, то неизвестное уо
найдется по формуле у0=а>1у1-{-$1- К системе C) можно снова
применить описанный способ исключения неизвестных. На
втором шаге будет исключено неизвестное уи на третьем у2 и т. д.
В результате /-го шага получим систему для неизвестных у^у^^ ...
•'• ., Уи
У1 а1 + гУ1 + 1 — $1 + 1* 1 = 19
—Я/4//-1 + С/*/,—6/У/+1 = //, /+1<*<# — 1, D)
— ^N-1 + СNУN = /ЛГ. * = ^»
и формулы для нахождения у1 с номерами *<!/—1
»1=а/+1Л+1 + Рл-1. 4 = /— 1, /—2, ..., 0. E)
Коэффициенты щ и р,, очевидно, находятся по формулам
Полагая в D) / = А/"—1, получим систему для у^ и ум-г
УN-1—а^ы = Рлг> — амУы- г + слЛу = /лг>
ИЗ КОТОРОЙ НаЙДеМ УЛг=РЛг+1, УN-1 = аNУN+$N^
Объединяя эти равенства с E) (/ = Л/Г — 1), получим
окончательные формулы для нахождения неизвестных
0/ = ам-1У/+1 + Р/+1, { = N—1, N—2, ..., 0, F)
где а{ и р,- находятся по рекуррентным формулам
*=1, 2, .
*=1, 2, .
N—1 а =^-
N 6 =^.
р*«=ё^вд- *в1-2 ^- р1=^ (8)
75

Итак, формулы F)—(8) описывают метод Гаусса, который вд^ри^
менении к системе A) получил специальное название—-метод
прогонки. Коэффициенты а{ и р,- называют
прогоночцыми^коэффициентами, формулы G), (8) описывают прямой ход прогонки, а
F)—обратный ход. Так как значения у{ находятся здесь
последовательно при переходе от 1 + 1 к [, то формулы F)—(8)
называют иногда формулами правой прогонки.
Элементарный подсчет арифметических действий в F)—(8)
показывает, что реализация метода прогонки по этим формулам
требует выполнения ЗЛ/" умножений, 2М + 1 делений и ЗЫ
сложений и вычитаний. Если не делать различия между
арифметическими операциями, то общее их число для метода прогонки есть
^ = вЛ/' + 1. Из этого числа 3;У—2 операции затрачиваются на
вычисление а1 и 5Ы + 3 операций на вычисление р,- и у(.
Заметим, что коэффициенты а( не зависят от правой части
системы A), а определяются только коэффициентами разностных
уравнений аь Ьь с(. Поэтому, если требуется решить серию задач
A) с различными правыми частями, но с одной и той же
матрицей Л9 то прогоночные коэффициенты а,- вычисляются только при
решении первой задачи из серии. Для каждой последующей
задачи определяются только коэффициенты р,- и решение уь
причем используются найденные ранее а(. Таким образом, на
решение только первой из серии задач тратится число арифметических
действий ф = Ш + 1, на решение каждой следующей задачи будет
затрачиваться уже только бЛ/' + З операции.
В заключение укажем порядок счета по формулам метода
прогонки. Начиная с аг и рх, по формулам G) и (8) определяются
и запоминаются прогоночные коэффициенты а,- и р,-. Затем по
формулам F) находится решение у{.
2. Метод встречных прогонок. Выше были получены формулы
правой прогонки для решения системы A). Аналогично выводятся
формулы левой прогонки:
•" -ёйй- 'а=А'-1' ы~2> •■■• °> ^Н^ A0)
У/+1 = 6/+1У/ + Ч/+1э '=0, 1, ..., N — 1, Уо = Чо- (И)
Здесь значения у{ находятся последовательно при возрастании
индекса г (слева направо).
Иногда оказывается удобным комбинировать правую и левую
прогонки, получая так называемый метод встречных прогонок.
Этот метод целесообразно применять, если надо найти только
одно неизвестное, например ут (О^т^Щ или группу идущих
подряд неизвестных. Получим формулы метода встречных
прогонок. Пусть 1 ^/я ^ N и по формулам G)-—A0) найдены а19 а2,...
• • • 9 ат> Рх» Рг> • • • > Рл И 1лг» 1#-1» • • •» %>т> Лл^» ЧлГ-1» • • • > Цт-
76

A2)
A3)
Выпишем формулы F), A1) для обратного хода правой и левой
прогонок для 1 = т—1. Будем иметь систему
из которой найдем ут\
Ут 1 ь а
1 Ът^т
Используя найденное ут, по формулам F) для *~т—1,
т—2, ..., О найдем последовательно уп_19 ут_2> ..., у0У а по
формулам A1) для 1=т, т + \, ..., // вычислим остальные
Ут + 1> Ут + 2* • • • > #ДГ-
Итак, формулы метода встречных прогонок имеют вид:
а/-1 = с7^' ' = 1. 2, ...,т-1, «!=!;•
Р/+1-^' «-1.2, ...,т-1. &-&,
... /7 + М/ + 1 /_а/ 1 Л/ 9 т « — ^У
для вычисления прогоночных коэффициентов и
У1 =«л-1У/+1 + Р/+1» * = «—1, т—2, ..., О,
У/+1 = 1/+1У/ + Ч|+1. *' = т, « + 1, .... #—1,
Ч/я т
Ут 1 ь «
для определения решения.
Очевидно, что число действий, затрачиваемое на нахождение
решения задачи A) по методу встречных прогонок, такое же, как
и для левой или правой прогонок, т. е. ($ ж 8ЛЛ Заметим, что
для частного случая постоянных коэффициентов а( = Ь(= 1, с( = с
для 1=1, 2, ..., N—1 и Ь0 = ам=- О число действий может быть
уменьшено, если N—нечетное число, следующим образом. Пусть
Ы = 2М— 1. Цоложим в формулах A2), A3) метода встречных
прогонок т = М. Тогда 5лг-/+1 = а/» *=1| 2, ..., УИ.
Следовательно, прогоночный коэффициент 1{ находить не нужно, и фор-
*^лы метода встречных прогонок будут иметь вид
Рт = (Ь + Ь)а*+1. '-1. 2, ..., М-1, & .& ,
П/ =(// + Л/+1)алг-/+1э * = #—1, #—2, ..., М, 4^ = -^,
У/ =а/+1^+1 + Р/+1» « = Л1—1, М—2, ..., О,
У/+1 = а^-/^/ + т1/+1» * = Л!, М + 1, ..., #—1,
где ул = (%+«лРл)/A —ал1)-
77

3. Обоснование метода прогонки. Выше были получены
формулы метода прогонки без каких-либо предположений
относительно коэффициентов системы A). Остановимся здесь на вопросе
о том, каким требованиям должны удовлетворять эти
коэффициенты, чтобы метод мог быть применен и позволял получить
решение задачи с достаточной точностью.
Поясним ситуацию. Так как расчетные формулы F)—(8)
метода прогонки содержат операции деления, то нужно
гарантировать необращение знаменателя с/—а^ в G), (8) в нуль. Будем
говорить, что алгоритм метода правой прогонки корректен, если
с{—а(а;фО при 1 = 1, 2, ..., N. Далее решение у1 находится
по рекуррентной формуле F). Эта формула может порождать
накопление ошибок округления результатов арифметических
операций. Действительно, пусть прогоночные коэффициенты а, и р,.
найдены точно, а при вычислении ум допущена ошибка е^, т. е.
найдено Ум = Уя+&м- Так как решение у{ находится по
формулам F) У/ = а/+1у/+1 + Р/+1, ( = N—1, N—2, ..., О, то
погрешность г{ = у{ — у1 будет, очевидно, удовлетворять однородному
уравнению е/= а/+1е/+1, ^ = N—\, N — 2, ..., О, с заданным е^.
Отсюда следует, что если все а1 по модулю больше единицы, то
может произойти сильное увеличение погрешности е0, и, если N
достаточно велико, то полученное реальное решение у{будет
значительно отличаться от искомого решения у(.
Не имея возможности более детально останавливаться на
обсуждении вопросов вычислительной устойчивости метода и
механизма образования неустойчивости, сформулируем требование,
обычно предъявляемое к алгоритму метода прогонки. Будем
требовать, чтобы прогоночные коэффициенты а( не превосходили по
модулю единицы. Это достаточное условие гарантирует
невозрастание погрешности е,- в рассмотренной выше модельной ситуации.
Если выполнено условие | а( | ^ 1, то будем говорить, что
алгоритм правой прогонки устойчив.
Выясним условия корректности и устойчивости алгоритма
F)—(8). Следующая лемма содержит достаточные условия
корректности и устойчивости алгоритма правой прогонки.
Лемма 1. Пусть коэффициенты системы A) действительны
и удовлетворяют условиям |60|^0, \ам\^0, |с0|>0, |^|>0,
1«/1>0, |6/|>0, * = 1, 2, ..., N-1,
1*/1>1*/1 + 1*/|. < = 1> 2, ..., N-1, A4)
1*.|>|«а Ш>Ш. A5)
причем хотя бы в одном из неравенств A4) или A5) выполняется
строгое неравенство, т. е. матрица Л имеет диагональное
преобладание. Тогда для алгоритма F)—(8) метода прогонки имеют
место неравенства с{—а{а(фО^ |аг|< 1, 1 = 1, 2, ..., N1
гарантирующие корректность и устойчивость метода.
78

Доказательство леммы проведем по индукции. Из условий
леммы и G) следует, что
0<К| = {^<1. A6)
Покажем, что из неравенства |а4.|^1 (*'^Л/'—1) и условий
леммы следуют неравенства
Ъ—амФО, К+1|<1, 1<#—1. A7)
Тогда, учитывая A6), получим, что имеют место неравенства
|а;К1 для *"=1, 2, .. , N и с{—ар,{ф^ для 1 = 1, 2, ...
..., N—1. Для завершения доказательства леммы останется
доказать неравенство см—ам'%мфЪ. Итак, сначала установим A7).
Пусть |а,.|< 1, г<;#—1. Тогда из A4)
\с^а1а{\^\с1\-\а1\\а1\^\ЬА + \а{\A-\а(\)>\Ь{\>09 A8)
и, следовательно, С;—а;а(фО. Далее из G) и A8) получим
|а. |- 1М <г-1А1-1
что и требовалось доказать.
Осталось показать, что см—а^!а1^Ф0. Для этого используем
предположение, что хотя бы в одном из неравенств A4) или A5)
имеет место строгое неравенство. Здесь возможны несколько
случаев. Если |%| > |#лП» то в СИЛУ доказанного |а,у|^1 и,
следовательно, см—амаыфО. Если строгое неравенство достигается
в A4) для некоторого /0, 1<л0<А/— 1, то из A8) получим, что
\с(о—а/0а/о1 > 1^1'о1» и» следовательно, имеет место неравенство
а/о+1| < 1. По индукции далее легко устанавливается неравенство
I а/| < 1 для 1^10+\. Следовательно, в этом случае будем
иметь |а^|<1, и поэтому см—амамфО. Если |с0|>|60|, то
неравенство |а,-|< 1 имеет место, начиная с 1=1. Поэтому снова
получим |а^|< 1 и см—амамФ§. Лемма доказана.
Замечание 1. Условия корректности и устойчивости
алгоритма F)—(8), сформулированные в лемме 1, являются лишь
достаточными условиями. Эти условия можно ослабить, разрешив
некоторым из коэффициентов а( или Ъ1 обращаться в нуль. Так,
например, если при некотором 1^/п^Л/"—1 окажется, что
ат = 0, то система A) распадается на две системы:
стУт~Ьтут+1 = [т9 1=т,
— 0/0/-1 + ОД,—Ы-+1 = //, т + 1<*<#— 1,
—амУм-1 + смУм = !ы* 1==М
для неизвестных уа, ут+1, ..., ум и
с0Уо—ЬоУ1 = !о> 1 = 0,
—с1(У{-1 + с1у(—Ь{уП1 = [1у 1<1</п —2,
йт-\Ут-Ъ\Ст-\Ут-\ = Iт-\ \ *т-\Ут
79

для неизвестных у0, у19 ..., ут^1. К каждой из этих систем
можно применить алгоритм F)—(8), если для них выполнены
условия леммы 1. Но в этом случае формулы F) — (8) можно
использовать для нахождения решения сразу всей распадающейся
системы A), причем алгоритм будет корректен и устойчив.
Замечание 2. Условия леммы 1 обеспечивают
корректность и устойчивость алгоритмов левой и встречных прогонок.
Эти условия сохраняются и для случая системы A) с
комплексными коэффициентами аь Ъ{ и сь.
Покажем теперь, что при выполнении условий леммы 1
система A) имеет единственное решение ^ри любой правой части.
Действительно, учитывая соотношения G), непосредственным
перемножением матриц можно показать, что матрица А системы
A) представляется в виде произведения двух треугольных матриц
Ь к Ц
А = Ш9
где
1 =
с0 0
а± Д*
0 ~а2
0 0
• *
0 0
0 0
0 0
0 0
(/-
| I
0
0
.
0
0
0
0
0
А3
— #з
•
0
0
0
0
— а*
I
0
*
0
0
0
0 ..
0 44
0 ..
Дз ..
• 1 1 1
0 ,,
0 ,..
0 ♦ .
0 „
0
—а2
1 —
.
0
0
0
0
0
а3
*
0
0
0
0
0
0
0
•
^N-3
-ялг-з
0
0
... 0
... 0
... 0
;.. .
... 1 -
... 0
... 0
0
0
0
0
•
0
Адг-ё
— а#„1
0
0
0
0
.
-адг_1
1
0
0
0
0
0
.
0
0
0
0
0
0
.
0
0
^N-1 0
— Я;У
0
0
0
.
0
-а//
1 |
Ддг
и Д/^С/—а,^., 1=1, 2, ..., N. Так как
N
*'= 1
а в силу леммы 1 с0 Ф О и А, =^ 0 для г — 1, 2, ..., Л/', то сИ А Ф 0.
Поэтому система A) в случае выполнения условий леммы 1 имеет
единственное решение, и это решение может быть найдено по
методу прогонки F)—(8).
4. Примеры применений метода прогонки. Рассмотрим
некоторые примеры применения изложенного выше метода прогонки.
80

Пример 1. Первая краевая задача. Пусть требуется решить
следующую задачу:
(к(х)и'(х))'-д(х)и(х) = -{(х), 0<х<1,
и@) = \11, иA)^1х2, к{х)>сг>0, ?(л:)>0. A9)
На отрезке О^л:^/ построим произвольную неравномерную
сетку со = {х;€[О, /], ь = 0у 1, ..., #, х0~О, х1^=1} с шагами
Н( = х1—х^19 1= 1, 2, ..., N и заменим A9) следующей
разностной задачей:
(аУх)х, ь-ЛгУ1 = — Ф/, 1 < I < М- 1, 2
Уо^^и УN==\^29
где A( = д(х{)у ф/ = /(аг/), а для а,, используем простейшую
аппроксимацию коэффициента к(х): а; = к(х(—0,5к;). Расписывая
разностную производную, входящую в B0), по точкам
<а^Ь-1Ла,+1н^—й1~т~ ;•
где Й,- = 0,5 (Л/ + А/+1)—средний шаг в точке х(, получим, что
задача B0) записывается в виде системы
С0Уо — ВоУг = /о» **=0,
-^-х + ^-^т^//, 1<*<ЛГ-1, (Г)
— А-яУм-1-*гСхУн = 1ху I = ЛЛ
Здесь
#о = Л^=0, С0 = Сдг=1, /0 = ^1» /лг=И>2» й==Ф/»
4, = ^-, В1 = ГГ1~> С/ = А/ + В/ + Л/, 1<1<ЛГ-1.
В силу построения разностной схемы B0) для коэффициентов
а^ и й; выполнены следующие условия: а^с± >0, ^>0. Поэтому
из B1) следует, что для (Г) условия леммы 1 выполнены, и эта
задача может быть решена методом прогонки.
Пример 2. Третья краевая задача. Рассмотрим теперь
случай краевых условий третьего рода:
(к(х)и'{х))' — я{х)и{х)^ — /(*), 0<л;</,
й@)и/@) = х1и@)—щ, B2)
—к (/) и! (I) = к2и (/) —-^2.
Будем считать выполненными следующие условия: &(я)^<^>0,
<7(х)^0, хг^0, и3>0, причем, если ^(л:) = 0, то и^ + х^О.
81

На введенной выше неравномерной сетке задача B2)
аппроксимируется следующей разностной схемой:
(аУ1)х, 1~а1У1 = —Ф/. 1 <' < Ы~1 >
^;в1У*.в = D) + ^-»«1)уо—(фо + ^-1**)» ' = 0. B3)
где коэффициенты аь й( и фг- выбраны указанным в примере 1
способом. Расписывая вторую разностную производную (ОД-)-
по точкам, а также первые производные
и — У* + 1 — У! ,,- __У1 — У(-1
Ух>(~ Щ+1 ' У***— }ц
сведем B3) к виду (Г), где
д — ^1 А —2ЛК г — Я -4-Н Л- — м~
Ъ$Ц М/ + 1
Легко проверить, что и в этом случае условия леммы 1 также
выполнены.
Пример 3. Разностные схемы для уравнения
теплопроводности. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности:
ди д2и ~ . . , , . ~
и@, *) = М0, "С, 0 = М0, B4)
и(х, 0) = и0(х).
На плоскости (л:, I) введем сетку (о = {(х1$ ^п), х{ = 1к, 1 = 0,
1, ..., Ы, к = //М, ^п:=пx, п = 0, 1...} с шагом Л по
пространству и т по времени. Аппроксимируем B4) разностной схемой
*"'* л:*, I **, I B5)
где а—вещественный параметр, у? = у{х{, 1п),
У*. I = ]? (У/+1-2У/ + Л-1>, Л. / = ~ (#"-#>- B6)
Известно (см., например, [9]), что схема B5) имеет
аппроксимацию 0(т + /г2) при любом а, 0(т2 + ^2) при а = 0,5 и
аппроксимацию О (т2 + Л4) при а= 1/2—/*2/A2т). Условие устойчивости
82

схемы B5) по начальным данным имеет вид
а>1/2—/*2/Dт). B7)
Обратимся теперь к методу решения уравнений B5)
относительно у?+1. Считая уЧ уже известным, запишем B5) в
следующем виде:
У?+1 = 1*1 ('» + !). ^Лг" = ^2 ('„-ц).
где ф?г=~^ + ( 1) У- .у если от =7^=0. Используя B6),
сведем эту схему к виду (Г'), где В0 = А# = 0, С0=С#=1, /0=
^М'я+х). /*=М'»+1). л/ = Л/ = 7?2 . С'*==Л' + 5' + ^' // = Ч>^
1<*^Л^—1. Найдем условия, при которых построенную
систему A") можно будет решать методом прогонки. Из леммы 1
следует, что должно быть выполнено условие \2/№-{-1/(вх) |^
^2/Л2. Решая это неравенство, найдем достаточное ^условие
применимости прогонки а^ — й2/Dт). Сравнивая это неравенство
с B7), получим, что если для схемы B5) выполнено условие
устойчивости B7), то для нахождения решения на верхнем слое
можно использовать метод прогонки.
Пример 4. Нестационарное уравнение Шредингера.
Рассмотрим нестационарное уравнение Шредингера *'37==,д4>
0<х</, *>0, и@, 1) = и{1, 0 = 0. "(°> х) = и0(х), 1 = У^Т.
Для этого уравнения, так же как и для уравнения
теплопроводности B4), можно построить двухслойную схему с весами
УГ,Л *хх, к ч 'Ухх, /г ^ ^ /28)
Уо=У% = ®> Ук = и0(хк)у
где параметр а = а0 + 1а1 может принимать значения в
комплексной плоскости. Схема B8) имеет погрешность аппроксимации
0(х + Н2) при любом а, при а = 0,5 она равна 0(т2 + /г2) и при
а=1/2 — й2//A2т) погрешность аппроксимации равна 0(т2 + й4).
Условие устойчивости по начальным данным имеет вид
а0 = Кеа> 0,5. B9)
Схема B8) обычным образом сводится к системе (чГ), и условия
леммы 1 принимают следующий вид: |2//г2 + *У@т)| ^2/й2. Решая
это неравенство, получим, что метод прогонки нахождения
решения схемы B8) на верхнем слое при выполнении условия
а1 = 1ша^—й2/Dт) будет корректен.
Таким образом, для рассматриваемого примера условие
применимости метода прогонки не совпадает с условием
устойчивости самой разностной схемы по начальным данным.
83

§ 2. Варианты метода прогонки
1. Потоковый вариант метода прогонки. Рассмотрим вариант
метода прогонки, применяемый при решении разностных задач
с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких
задач являются задачи гидродинамики с теплопроводностью и
магнитной гидродинамики, где коэффициенты теплопроводности,
электропроводности зависят от термодинамических параметров
среды. В случае тепловых задач могут иметь место
адиабатические участки, где теплопроводность отсутствует, а также
изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика.
В магнитных задачах—соответственно идеально проводящие и
неэлектропроводные участки.
Часто в таких задачах, помимо самого решения, требуется
найти еще и поток тепла (тепловая задача). При решении
разностных уравнений второго порядка, к которым сводятся
разностные схемы для этих задач, по формулам обычной прогонки
часто происходит значительная потеря точности. Последующее
использование численного дифференцирования для вычисления
потока приводит к неудовлетворительному результату.
Избавиться от этого недостатка удается путем перехода к так
называемому потоковому варианту метода прогонки. Формулы для
этого варианта прогонки можно получить в результате
преобразования формул обычной прогонки.
Итак, рассмотрим разностную краевую задачу
—<*№-! +ЪУ(—а/+1#т = //» 1<*'<#— 1, ^
У0—К1У11= И1» Ук—%ъУм-1 = ^2>
где
С; = а( + а1+1 + A;, 0<а/<оо, B)
^>0, 1 = 1, 2, ..., ЛГ-1, КК1, К1<1. C)
Формулы правой прогонки (см. F)—(8) § 1) для задачи A)
с учетом B) принимают вид
Л-г|+Л+1 + р|+1. * = ЛГ-1, N-2 О, Ум=^±^, D)
а,+1 = ";+' -ч, » = 1, 2, .... N-1,^ = ^, E)
Введем новую неизвестную сеточную функцию (поток) по
формуле
гю^ — а1(у1—у^1)9 *=1, 2, ..., #, G)
84

и перепишем A) в виде
Щ+г—Щ + йМ^Т» 1<*<ЛГ—1,
У о—х^-Цх, /==0, (8)
Из G) найдем
и/ + 1
и подставим это выражение в D). В результате найдем
соотношение, связывающее #,+1 и о>,+1:
^•+1 + а/+1A— а/+1)У/+1==в/+1Р/+1» ' = 0, 1 #— 1.
Вводя обозначения
«, = 0,A—а,.), Р,==а|р„ 1 = 1, 2, ..., М$
перепишем это соотношение в виде
'^• + а,*/,==|3,, /=1, 2, ...,#. (9)
Заметим, что уравнения (8), (9) образуют алгебраическую
систему, содержащую 2N+^ уравнение относительно 2М+1 не-
извертных у0У у19 ..., ум и иIУ ш2, ..., ^. Структура этой
системы такова, что она распадается на две независимые
системы для неизвестных у0У у1У ..., у# и щ, адя, ..., хюм. Построим
эти системы.
Выразим из (9) у{: */,= (р,—о>,)/а„ 1 = 1, 2, ..., N и
подставим в уравнения системы (8) для 1=1, 2, ..., N. В
результате получим уравнения
'•-&Ч~+'%&1' '-*-»■ *-* I.
N A—и2) а^+а/ух2 '
решая которые последовательно найдем все ш,.
Получим теперь уравнения для у{. Для этого выразим до,
из (9): о>, = —а,#/ + Р/, 1=1, 2, ..., N и подставим в (8) для
1=1, 2, ..., N. В результате получим уравнения
Уо = >«1»1 + |Х1, (П)
^ A— х^адг + ад^а
для последовательного вычисления у,.

Напишем рекуррентные формулы для определения а1 и р,-.
Используя E) и F), найдем
а^-в'+11!-а'+1)-а/+^^ A2)
1=1, 2, ..., М—1, ^ = ^A—х^,
^=а^ = |^' ,=:1' 2' •'- #-1,^ = ^.A3)
Из условий B), C) и формул A2) следует, что а^О. Тогда
коэффициент 0^/@6; + ^) в формуле A0) не превосходит
единицу, что обеспечивает устойчивость алгоритма при вычислении ш(.
Далее, так как из условий а( ^0 и <^>0 следует, что а1+1<,
< #/+1 + оь1- + ^1» то в силу A2) справедливо неравенство а/+1 <
<а/ + ^/. Поэтому коэффициент а|.+1/(а/ + й/) в формуле A1)
всегда меньше единицы, что обеспечивает устойчивость при
вычислении у(. Отметим, что знаменатель в выражениях для ьо1^ и
уи всегда больше нуля.
Итак, алгоритм метода потоковой прогонки описывается
формулами A0)—A3). Отметим, что указанными рекуррентными
формулами для а{ и р,., а также выражениями для ум и ы)#
целесообразно пользоваться, если а/+1<1. Если а(+1^1, то
рекомендуется использовать следующие формулы, получаемые
из A0)—A3) делением числителя и знаменателя дробей на а/+1:
__ щ+Ь о _ // + р|
Подсчитаем число арифметических действий, которое
необходимо затратить для реализации A0)—A3). При разумной
организации вычислений, когда общие для нескольких формул
выражения вычисляются один раз, а общие множители при
нескольких слагаемых выносятся за скобку, число действий для
A0)—A3) составляет 0,=2\Ы-]-\ операций. Это примерно в
2 раза больше того числа действий, которое нужно было бы
затратить, чтобы по формулам обычной прогонки найти
решение у( задачи A), а затем по формуле G) найти поток хю(.
2. Метод циклической прогонки. Рассмотрим теперь
следующую систему:
—ЪУ1-1 + С{У1—&/У/+1 = //. *' = 0, ±1, ±2, ..., A4)
коэффициенты и правая часть которой периодичны с периодом М:
К системам типа A4), A5) мы приходим, например, при
рассмотрении трехточечных разностных схем, предназначенных для
отыскания периодических решений обыкновенных дифференциаль-
86

A7)
A8)
ных уравнений второго порядка, а также при приближенном
решении уравнений с частными производными в цилиндрических
и сферических координатах.
При выполнении условий A5) решение системы A4), если
оно существует, тоже будет периодическим с периодом Ы9 т. е.
У1 = Уг+.М- A6)
Поэтому достаточно найти решение у{, например, при 1 =
=0, 1, ..., N—1. В этом случае задачу A4)—A6) можно
записать так:
—а{у^1 +с(у1—Ь1у1+1 = ^9 1<1'<#— 1,
Уя = Уо-
Условие A8) мы добавили к системе A7), чтобы из уравнения
системы для 1 = Ы—1 не исключать у#, заменяя его на у0. Это
позволяет сохранить единый вид для уравнений A7) при 1 =
= 1, 2, ..., N-1.
Если ввести векторы неизвестных У=(у0, у1У ..., ум^.г) и
правой части Р=([0> К» •••» /^-1)» то A7)> A8) можно
записать в векторном виде ЛУ^Г, где
Л-
— матрица системы A7), A8). Присутствие отличных от нуля
коэффициентов а0 и Ь/^^1 в A7) не позволяет решать эту
систему методом прогонки, описанным в § 1. Для нахождения
решения системы A7), A8) построим вариант метода прогонки,
который называется методом циклической прогонки.
Решение задачи A7), A8) будем искать в виде линейной
комбинации сеточных функций и{ и ю(
У{ = и( + Уо*>и 0<*<#, A9)
где и( есть решение неоднородной трехточечной краевой задачи
—а1и1_х + с{и1—Ь{и{+1 = [0 1 <л ^УУ—1>
Со —Ьо
0 —02
0 0
0 0
0
с2
0
0
0
0 . .
0 . .
-Ъ% . .
0 . . .
0 . .
0 . . .
0
. 0
0
0
3
-2
0
0
0
см-
-3
2
1
—#0
0
0
0
= 0, «^=0
B0)
с однородными краевыми условиями, а у1 — решение однородной
трехточечной краевой задачи
—ар^ + ср{—Ьри1 = 0, 1 < х < #— 1,
с неоднородными краевыми условиями.
87
B1)

Найдем, при каком условии у{ из A9) есть искомое решение.
Умножая B1) на у0, складывая с B0) и учитывая A9),
получим, что уравнения системы A7) для * = 1, 2, ..., N—1 будут
выполнены. Из краевых условий для и{ и ю1 следует, что будет
выполнено соотношение A8). Таким образом, если у0
определяемое по формуле A9), будет удовлетворять оставшемуся
неиспользованным уравнению системы A7) для * = 0, то задача
будет решена. Подставляя A9) в это уравнение, получим
—а0и^1—а0у0у^1 + с^—Ъ^—Ь^^ = /0. B2)
Таким образом, если выбрать у0 по формуле
то равенство B2) будет выполнено, и следовательно, решение
задачи A7), A8) можно найти по формуле A9).
Остановимся теперь на решении систем B0) и B1). Они
являются частными случаями трехточечных систем уравнений,
для которых в § 1 был построен метод прогонки. Для B0) и
B1) формулы прогонки принимают следующий вид:
И/ = а/+1И/+1 + Р/+1, 1 = Ы—\, N—2, ..., 1, *%=0, BА)
0/=а/+1г>/+1 + 7/+1. г = Ы—1, N—2, ..., 1, ^=1, ^
где прогоночные коэффициенты а,, р, и у1 находятся по
следующим формулам:
Ъ{
Р/ + 1
С{—а/а;
// + Д/Р/
1гл
— а/а/
с [—шаг
» = 1, 2, .... Ы, 0^ = 0,
» = 1, 2, .... Ы, р1 = 0,
1 = 1, 2, ..., N. 1?1 = 1-
B5)
B6)
B7)
Преобразуем B3). Из B4) получим ^.1==а^м^+р^=р^,
Ум-1 = Чм~*гам* Подставим эти выражения в B3) и учтем
условия A5), B5) —B7):
Мы построили алгоритм решения задачи A7), A8), который
носит название метода циклической прогонки:
гу - ъ1 ь _//+Д|рг ., „ Д/Т/
1 = 2, 3, ..., Л7;
^-1 = Рлг. »лг-1 = алг+7^ B8)
"/ = «/+!"/+! + Р/+1, »/ = а л-Л+1 + Т/+1,
1 = Ы-2, N-3, ..., 1;
__ Рлг+1 + оцг+з.ц* и^ = и^А-иV^ 1—1 2 М—1

Элементарный подсчет показывает, что для его реализации
требуется 6(Ы—1) умножений, 5Ы — 3 сложений и вычитаний и
ЗЛ^+1 делений. Если не делать различия между
арифметическими операциями, то общее их число есть B = ИМ—8.
Исследуем вопрос о применимости и устойчивости
алгоритма B8). Имеет место
Лемма 2. Пусть коэффициенты системы A4), A5)
удовлетворяют условиям
К1>0, |*,|>°. к/1Ж1 + 1&/1. * = 1, 2, ..., #, B9)
и существует такое 1 < /0 < N. что \ с^ \ > } а^ | +1 Ь1о |. Тогда
Ъ—аыфО, |а,|<1, |а,| + |Т/|<1, * = 2, 3, ..., Ы,
1~ ТАМ-!"^А^О.
Действительно, так как а,, р,- и у( есть прогоночные
коэффициенты метода правой прогонки, примененного к решению
задач B0) и B1), а в силу B9), условия леммы 1 выполнены,
то из леммы 1 следует справедливость неравенств
с{—а(а{^0, |а,|<1, 1 = 2, 3, ..., #,
к/-аЛ|>|с/Ыа/||а||>|6||>0. C0)
Далее, на основании условий леммы 2, [я^ + ^Ккх! и,
следовательно, |а2| + |у2К1- Отсюда методом индукции
получим неравенства
К1 + М<1, * = 2, 3, ..., Ы, C1)
так как
и имеет место C0). Заметим, что |^-|> К| + |&,.| Для * = *0 и,
следовательно, К.0+1| + |у/о+1|< 1. Отсюда следует, что для
I^'0 +1 имеет место строгое неравенство |сс1 \ + \у{| < 1. Так
как 1<*0<#, то |а^+11 + |7^+11< 1.
Нам осталось показать, что 1—Тлн-1—в^+Л^О- На
основании B8) и C1) получим
а далее методом индукции докажем неравенства |&;|^1, 1^*'^
^#—1, так как в силу C1)
1^|<|а/+1||^+1| + |У/+1|<1а/+1| + 1Т/+1|<Ь
89

В частности, ^КЬ Отсюда, с учетом доказанного неравенства
1алм-11 + |Улг+11< !» Делаем вывод, что
11 — Тлг+1—алг+Л I > ! — I Тл-м1 — I <%-м I КI >
>1-а^+1| —1Тлг+11>0-
Лемма 2 полностью доказана.
В заключение заметим, что от правой части Д. зависит про-
гоночный коэффициент р, и, следовательно, и{ и */,♦. Прогоночные
коэффициенты а,, и у/? а также ^ не зависят от /, и при
решении лишь первой задачи из серии вычисляются и запоминаются.
Это позволяет вторую и каждую следующую задачу из серии
решить за <2 = 9М—4 действий.
3. Метод прогонки для сложных систем. Продолжим построение
вариантов метода прогонки для решения систем разностных уравнений с матрицами,
отличными ст трехдиагональпых. В п. 2 метод циклической прогонки
применялся для решения систем, матрицы которых содержали вне главных
диагоналей только два ненулевых элемента. Рассмотрим теперь более общий
случай.
Пусть требуется решить следующую систему уравнений:
N-1
СоУо— 2 <*/У/- — у0уя=?о, * = 0,
/=1
— Ч1Уо — <ЧУ1-1 + сцл—Ь1У1 + 1 — У(ум=[(, 1<*<Л7—1, C2)
— ФЛ^^О— 2 ё;У/ + СхУх=[х, *=#.
/=1
Система вида C2) возникает при аппроксимации обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка в случае связанных краевых
условий, при нахождении решений, удовлетворяющих дополнительным условиям
интегрального типа, и в ряде других случаев. В частности, в таком виде
могут быть записаны все рассмотренные выше системы разностных уравнений.
Например, если в C2) положить
-фо —О, ц)х=см=1, /дг=0,
то мы получим задачу A7), A8).
Если ввести векторы У=(уо»'У1, - •., Уы) и Р = (/0, ..., /л0> то C2)
можно записать в векторном виде АУ—Р, где
«/«=
1 с0
— ф1 — «1
— ф2
— Фз
— ФЛ'-з
— $N-2
— Ф.У-1
1—фл^
-«*!
С1
— а2
0
0
0
0
—Л
— й2
С2
— а3
0
0
0
—#2
-4 ..
0 ..
с3 •
0 ..
0 ..
0 .
—ёз ••
. — Ля-з
0
0
0
. — а^-2
0
• —&У-8
— йх-2
0
0
0
—§N-2
— ^N-1
0
0
0
0
—§N-1
— Фо II
-**
— Фз
— Фл'-з
— Ья-1 — флл-1
^ II
90

C4)
C5)
C6)
Видно, что матрица Л получена окаймлением трехдиагональной матрицы при
помощи столбцов и строк со всех четырех сторон. Заметим, что при другом
упорядочении неизвестных У*=(уь у2, ..., у#9 у0) система C2)
запишется в виде Л*У* — Р*у где матрица <А* получается окаймлением той же
трехдиагональной матрицы, но только при помощи двух столбцов справа и
двух строк снизу.
Переходим к построению метода решения задачи C2). Решение задачи C2)
будем искать в виде линейной комбинации трех сеточных функций щ, о/ и щ:
У1 = щ + у№ + уящ, 0<*<#, C3)
где и/, VI и до/ есть решения следующих трехточечных краевых задач:
—а/и/-1 + с/И/—&/и/+1==//, 1<;<#—1, \
«о = 0, «дг = 0; /
—а/и/_1 + с/0/—6/у/+1 = Ф/, 1<*<#—1, \
»о=1. VN=0; /
—а/о>/_1 + с/а>/—6/ш/ + 1 = 'ф/, 1</<#— 1, 1
щ = 0, до^=1. /
Из C3) — C6) видно, что для 1<л^#—1 уравнения системы C2)
выполняются. Краевые условия для «/, я/ и щ обеспечивают превращение C3)
в тождество при * = 0 и / = #. Таким образом, если будут решены задачи
C4) —C6) и найдены у0 и у#, то формула C3) будет определять решение
исходной задачи C2). Найдем сначала у0 и у^.
Значения для у0 и у^ найдем, используя уравнения системы C2) при
/ = 0 и 1 = Ы. Подставляя в эти уравнения г// из C3), получим систему из
двух уравнений для у0 и у^.
Г N-1 \ / N-1 \ N-1
со— 2 *Р1 )Уо—Ыо+ 2 а/т/)УЯ=:?о+ ДЗ <*/«/>
Если детерминант этой системы
/ N-1 \ / #-1 \ / N-1 \ / //-1
А=и0— 2 й/°/](слг— 2 в/1»/)—(*о+ 2 *1™Л\чя+ 2«/°/
C7)
отличен от нуля, то она имеет единственное решение
ЛГ|-1 ч / N-1 ч
1
у*=т
/=1
/=1
^="д
#-1 ч
C8)
#-1
■2
/=1
ЛГ-1 ч / //-1
+(со~ 21 й^п[ т*+ 2 ^
/=1 /\ /=1
C9)
Рассмотрим теперь метод решения вспомогательных задач C4) — C6).
Так как здесь мы имеем дело с обычными краевыми задачами для трехто-
91

чечных уравнений, то можно использовать метод прогонки, описанный в § I*
Для C4) — C6) формулы алгоритма правой прогонки принимают следующий
вид:
<7 = а/+10/+1 + Т/+1» *=#—1, ..., О, VN = 09 D0)
щ = оь1+1щ+1 + Ьц.ь 1 = ^—1, *.., 0, и;^=1,
где прогоночные коэффициенты а/, р/, у/ и б/ определяются по формулам
_ ь1 о. _// + Д/Р/
ОС/ + 1 — ———— Р| +1= ,
с/ —а/а/ Г1 с/ — а/а/
/=1, 2, ..., #-1, «1 = 0, р! = 0, D1)
„. _Ф/ + о/Т/ А. % + Д/б/
V/ + 1 = , 0/ + 1= - -,
с/—а/«/ с/ —а/а/
*=1, 2, ..., #—1, 71=1» *1 = 0.
Таким образом, для задачи C2) метод прогонки описывается формулами
C3), C7) —D1).
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости и корректности предложен*
ного алгоритма. В силу леммы 1 условия
|я/1>0, |6/|>0, |с/> |а/| + |6/1, 1</<;#-1 D2)
достаточны для устойчивости и корректности метода прогонки D0) — D1)
решения вспомогательных задач C4) — C6). Можно показать, что если исходная
система C2) имеет единственное решение, то детерминант А, определенный
формулой C7), отличен от нуля. В этом случае формулы C8) и C9) для
вычисления у0 и у^ будут корректны. Сформулируем полученный результат
в виде леммы.
Лемма 3. Если система C2) имеет единственное решение и выполнены
условия D2), то алгоритм C3), C7) —D1) метода прогонки для задачи C2)
корректен и устойчив.
Заметим, что формулировка простых и в то же время не слишком
ограничительных достаточных условий разрешимости системы C2) является
сложной задачей. Приведем пример условий, которые обеспечивают корректность
и устойчивость предложенного алгоритма. Пусть матрица системы C2) имеет
диагональное преобладание, т. е. выполнены условия
1*/|^|а/| + |6/| + |Ф/| + |яЬ|, 1<*<ЛГ-1, D3)
N-1 #-1
ы^|*0|+ 2 к-|> 1ы^1<ы+ 2 1*/|. D4)
/=1 /=1
К1>0> 1М > 0, 1<*<#—1, |с0| >0, |с^| >0,
причем, хотя бы в одном из неравенств D3) или D4) выполняется строгое
неравенство.
Укажем основные этапы доказательства. Сначала доказывается, что имеют
место неравенства | а/1 +1 у/1 +1 б/1 ^ 1, 1 <; I < N. Далее доказываются
неравенства |у/| + |^/|^1 для 1 <; I <; УУ, причем, если в D3) хотя бы для
одного I выполняется строгое неравенство, то для всех 1 ^ I <; N верны
неравенства |с/| + |ю/| < 1- Далее имеем
/=1
N-1
^Ы~2 1*/М<71^1+в1 +
N-1 N-1
+ 2 он»у1)М/1^1*в1+ 2 \*>/\\*/\т*
/=1 /=1
/=1
92

и аналогично
N-1
/=1
I ДГ-1
I У=1
причем хотя бы в одном из этих неравенств достигается строгое неравенство.
Отсюда следует, что детерминант А, определенный в C7), отличен от нуля*
Устойчивость и корректность метода прогонки для решения вспомогательных
задач C4) —C6) следуют из D3).
В качестве примера задачи, сводящейся к C2), рассмотрим схему с весами
^=Оо-°>^
К*<#— 1,
Уо—Ук = Н Сл). Уи — Ук = У* (*п)>
D5)
Уь = Щ (XI),
л = 0, 1, ..., 1<#<#—1,
аппроксимирующую уравнение теплопроводности со связанными
(нелокальными) краевыми условиями
§-ш- •<*«■ ->»•
и @, о-и (V (/), 0 = 1*1@-
иA, 1) — и(чA), 0 = М0> « (*» 0) = и0(*)»
где функция я = у(/) принимает значения от 0 до /. Отметим, что в схеме D5)
кривая х = у (I) аппроксимирована ломаной хь = \((п), так что точки (х&, /„)
являются узловыми точками сетки.
Разностная схема D5) записывается в виде системы C2) относительно
У1 = у2+1 при следующих значениях коэффициентов и правой части (а Ф 0):
<?о=1, ^А=1. /о = М'я+1)» ^0 = 0, ^у = 0, /96 Л,
^=1» ^й^1» А#=Р<2(*и + 1)» ФЛ^ = °» §/=°» /9*^1
ф| = #Ф/ = °. а[ = Ь(=1/к2, 01 = 4 + ^+1/@%),
'* ат \а / хх*1
Отсюда получим, что требование \2/Н2+\/(а%)\> 2/Н2 обеспечивает вьь
полнение условий D3), D4). Следовательно, при*а>—Н2/D%) для
нахождения решения схемы D5) на верхнем слое можно использовать описанный
здесь вариант метода прогонки, который будет устойчив и корректен.
4. Метод немонотонной прогонки. Вернемся снова к методу
прогонки решения трехточечных уравнений:
СоУо—&оУ1 = /о» * = 0,
—0/&-1 + С/У/—М/+1==//» *=Ь 2> •••» #—1. D6)
который был построен в § 1. Напомним, что в алгоритме правой
(левой) прогонки неизвестные у{ находятся последовательно при
движении в сторону уменьшения (увеличения) индекса *. При
этом у{ выражается только через соседнее неизвестное. Такая
93

структура алгоритма дает основание назвать построенный метод
методом монотонной прогонки.
Монотонный порядок определения неизвестных у{ на обратном
ходе метода порожден естественным порядком исключения
неизвестных из уравнений на прямом ходе. Таким образом, метод
монотонной прогонки есть метод исключения Гаусса без выбора
главного элемента, примененный к специальной системе
линейных алгебраических уравнений D6) с трехдиагональной матрицей.
Известно, что такой вариант метода исключения Гаусса корректен
для случая систем уравнений с матрицами, имеющими
диагональное преобладание. Для системы D6) это утверждение
доказано в лемме 1.
Остановимся на этом более подробно. Напомним, что в § 1,
п. 1 на 1-й шаге процесса исключения неизвестных в системе D6)
была получена «укороченная» система
(с1—арД у1—Ь1у1ц.1 = и + а$19 I = /,
—ам-г + см—Ь(у(+1 = [0 /+1 <*<#—1, D7)
для неизвестных у19 у1+1, ..., ум. Предполагая, что с1—а1а1
отлично от нуля, мы преобразовывали первое уравнение системы D7)
к виду
& = «/+#1+1 + 01+1, а|+1 = Мс*—ОД) D8)
и использовали его для исключения у1 из уравнения D7) при
1 = 1+1. Лемма 1 утверждает, что если матрица Л системы D6)
имеет диагональное преобладание, то справедливо неравенство
\с1—#л|^|Ь,|. Следовательно, в первом уравнении системы D7)
коэффициент при у1 по модулю больше коэффициента при у1+1.
Поэтому выбор главного элемента по строке осуществлять не
надо, переход к виду D8) корректен и условие устойчивости
|а,+х|<1 автоматически выполняется.
Если же диагональное преобладание не имеет места, то
гарантировать отличие от нуля величины с1—а^, равно как и
неравенство |ат|^1, невозможно. В этом случае алгоритм
монотонной прогонки может породить деление на нуль или
сильную чувствительность к ошибкам округления, и следовательно,
необходимо модифицировать такой алгоритм. Построение
корректного алгоритма метода прогонки для системы D6), имеющей
единственное решение, базируется на использовании выбора
главного элемента по строкам в методе исключения Гаусса. В таком
алгоритме монотонный порядок определения неизвестных у{ может
быть нарушен, и поэтому этот метод будем называть методом
немонотонной прогонки.
Переходим к описанию алгоритма немонотонной прогонки.
Пусть в результате /-го шага процесса исключения Гаусса с
выбором главного элемента по строке, примененного к системе D6),
94

получена следующая «укороченная» система:
Сут-ЬгУ^^Р, 1 = 1, D9)
— Аут1 + с1 + 1у1 + 1—Ь1+1у1+л = Ф9 1 = 1+1, E0)
— ^ + ^ + 1 + ^ + 2^ + 8 — ^ + ^+8=// + 2» 1 = 1 + 2, E1)
-^/-1 + ^/-%/+!==//. / + 3<*<ЛГ-1, E2)
— ^Ум-1 + с^ = /V* 1" = #. E3)
где 171^1. (При / = 0 в D9) — E3) следует положить С = сй9 А=а±у
Р = Г0, Ф = /х и тв = 0).
Опишем (/+ 1)-й шаг процесса исключения. Стратегия выбора
главного элемента по строке приводит нас к двум случаям:
а) Если |С|>|Ь,|, то уравнение D9) преобразуется к виду
Ут1 — (Хч + 1У1+1 =Р/ + 1, &1+1 = Ъг1С, Р/ + 1 = Р/С,
причем |ат|<1, неизвестное с индексом т1 находится через
неизвестное с индексом /+1. Далее, при помощи полученного
уравнения исключается ут из E0). Это дает следующее
уравнение:
Сут1+1 — Ь1+1у1 + 2 = Р, 1 = 1 + 1, E4)
где обозначено т1 + 1 = 1 + 1, С = с1+1 — А<х1+1, Р = Ф + А$1+1.
Уравнение E1) не преобразуется, так как оно не содержит ут, но
переписывается в виде
— АуГП1+1 + С^2у1+2—Ь1+2у1+3^Ф, 1 = 1 + 2, E5)
где полагается А = а1 + 2, Ф = //+2. Объединяя E4) и E5) с E2),
E3), получим новую «укороченную» систему вида D9)—E3),
в которой / заменено на /+1. На этом (/+1)-й шаг
заканчивается.
б) Если \С\<\Ь1\, то D9) преобразуется к виду
&+1—а/+10т, = Рл-1> а1+1 = С/Ь1, $1 + 1 = —Р/Ь19
где снова |а/ + 1|^1, но на этот раз неизвестное с индексом
/ + 1 вычисляется через неизвестное с индексом тг. Полученное
уравнение используется для исключения у1+1 из E0) и E1).
При этом уравнение E0) будет преобразовано к виду E4), где
т1+1=т19 С = с1+1а1+1 — А, Р = Ф—с1+1$1 + 1, а уравнение E1) —
к виду E5), где величины А и Ф переопределяются по формулам
А = а1+2а1+1, Ф = /,+2 + я*+2Р/ + 1' Уравнения E2), E3) не
преобразовываются, так как не содержат у1+1. Снова мы получаем
систему вида D9)—E3). Она отличается от полученной в
первом случае коэффициентами С и А и правыми частями Р и Ф,
вычисленными по другим формулам.
95

Итак, описан один шаг процесса исключения с выбором
главного элемента. Заметим, что если исходная система не
вырождена, то в уравнении D9) коэффициенты С и Ь1 одновременно
в нуль обратиться не могут. Это обеспечивает корректность
формул для прогоночных коэффициентов а1+1 и $1+1. Так как все
вычисляемые а1+1 по модулю не превосходят единицы, то
процесс вычисления неизвестных уь на обратном ходе метода будет
устойчив по отношению к ошибкам округления.
Для предлагаемого алгоритма порядок вычисления
неизвестных может иметь немонотонный характер. Это требует хранения
информации о том, какое неизвестное вычисляется через какое,
уже найденное на предыдущих шагах неизвестное, при помощи
прогоночных коэффициентов а1+1 и $1+1. Эту информацию можно
хранить в виде двух целочисленных множеств индексов 0 их:
6 = {8,., 1^1^Л/), к = {к;у 1^л<#},так что неизвестные
находятся по формулам уЛ=а/+1ул+р/+1, т = в/+1, п = к{+1, * =
= N—1, N—2, ..., 0. Множества 0 и и строятся на прямом
ходе метода.
Полностью алгоритм метода немонотонной прогонки можно
определить следующим образом.
1) Задаются начальные значения для С, Л, Р и Ф: С = с0У
А = аь Р — ?0, Ф==/!1» и формально полагается х0 = 0.
2) Последовательно для ; = 0, 1, ..., N—1 выполняются
в зависимости от ситуации действия, описанные в пп. а) или б):
а) если \С\ >|&/|, то а1+1=-ЬAСу ${+1 = Р/С, С = с/+1 — Ла/+1,
/7 = ф+Лр/+1, е/+1=и„ х/+1 = *+1, Л=а/+а, Ф = //+2;
б) если | С | < | Ь( |, то а1+1=С/Ь19 р/+1= — Р\ЪЬ С=с1+1а(+1 — А,
р = ф_С/+1р.+1, 9/+1 = /+1, и/+1=и„ Л=а,+аа,+1, Ф = //+1 +
+ Я/+2Р/+1- ч
Замечание. Для г = N— 1 переопределение Л и Фв пп. а)
или б) проводить не нужно.
3) Вычисляется сначала неизвестное уп, где п = км по
формуле уп = Р/С у а затем последовательно для ь = N— 1, N—2, ..., 0
вычисляются остальные неизвестные ут=^(+1уп-\-^1+^ т = в/+1,
я = х/+1.
Отметим, что предлагаемый здесь алгоритм переходит в
обычный алгоритм правой прогонки, если выполнены условия леммы 1.
Элементарный подсчет числа арифметических действий для
алгоритма метода немонотонной прогонки показывает, что в
худшем случае, когда для любого г вычисления ведутся по
формулам п. б), требуется ф = \2Ы действий. Это в 1,5 раза больше,
чем в алгоритме монотонной прогонки.
Рассмотрим пример применения ' метода немонотонной
прогонки. Пусть требуется решить следующую разностную
задачу:
96

Задача E6) есть частный случай системы D6), в которой /о^Ь
6в=аЛГ=0,св = сЛГ=1,/ЛГ-0,с/ = а, = 6/=1,// = 0, 1<^<АГ-Ь
Если N не кратно 3, то решение задачи E6) существует и имеет
вид (см. п. 1 § 4 гл. I)
У/ = 31п(^°Л/з1п^» 0<*<ЛГ. E7)
Алгоритмы правой и левой прогонок для E6) некорректны,
так как при вычислении прогоночных коэффициентов а3 для
правой прогонки и 1#-2 для левой прогонки необходимо будет
делить на нулевой знаменатель с2—а2<х2 или с#_2—Ьдг-21лг-1-
Алгоритм немонотонной прогонки позволяет получить точное
решение E7). Приведем для иллюстрации (табл. 1) значения
коэффициентов а/э р/э а также д1 и %( для #=11.
Таблица I
§ 3. Метод прогонки для пятиточечных уравнении
1. Алгоритм монотонной прогонки. Выше мы рассмотрели
различные варианты метода прогонки, который применяется
для нахождения решения трехточечных разностных уравнений. Как
бьцю отмечено ранее, такие разностные уравнения возникают при
аппроксимации краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка.
При нахождении решения краевых задач для уравнений
более высокого порядка можно использовать два способа. Первый
способ состоит в переходе к системе дифференциальных
уравнений первого порядка и построении соответствующей
разностной схемы. В этом случае мы получим краевую задачу для
двухточечных векторных уравнений. Методы решения таких
разностных задач мы рассмотрим в § 4.
Второй способ заключается в непосредственной
аппроксимации исходной дифференциальной задачи. В этом случае мы
приходим к многоточечным разностным уравнениям. Наиболее
часто встречаются системы пятиточечных уравнений следующего
4 А. А. Самарский, Е. С. Николае©
97

вида:
с0Уо—<1оУ1 + еоУ2 = ?о> 1 = ®> 0)
—Ь±у0 + с^—йгУъ + егу3 = /1, 1 = 1, B)
а1У1-2~Ь;у^1 + с1у1--A;у1+1+е1у;+2 = 1;у 2<*<#—2, C)
#^-1^-8 ^-1^-2+%-1^-1 ^М-гУМ^^М-!* * ~ N 1, D)
а>мУм-2—ъмУк-1 + СмУы = /V, * = #- E)
Такого вида системы возникают при аппроксимации краевых
задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
четвертого порядка, а также при реализации разностных схем для
уравнений в частных производных. Матрица Л системы A)—E)
является пятидиагональной квадратной матрицей размерности
(Ы + 1)х(#+1) и имеет не более Ш—\ ненулевых элементов.
Для решения системы A)—E) используем метод исключения
Гаусса. Учитывая структуру системы A)—E), легко получим,
что обратный ход метода Гаусса должен осуществляться по
формулам
У/ = а/ + 1»/ + 1 —Р/ + 1Й + 1 + Т/ + 1. 0<1'<АГ — 2, F)
У*г-1 = *^ + Ую ( = N—1. G)
Для реализации F), G) необходимо задать у#> а также
определить коэффициенты а,., C,-, у(.
Сначала найдем формулы для а,, ${ и у(. Используя F),
выразим */;_! и у;_2 через у( и у{+1. Получим
&-1 = <*/»*—Р/У/+1 + Т/. 1<*<#—1, (8)
для 2<1<#—1.
Подставляя (8) и (9) в C), получим
[*/—0*Р/-1 + а/ (ад-1-^)] 0/ = К + Р/ (в/а*-1—&/)] У/+1—
—е#/+а + [//—в,т,-1—V/ (*№-!—&/)]. 2 < * < N—2-
Сравнивая это выражение с F), видим, что если положить
а/+1 = -^т[^/ + Р/@Л-1—*/)]» Р/+1 = ТГ'
7 ' (Ю)
Т/ + 1="д^[// —«/?/-! —Т/(«/«/-1 —&/)].
где обозначено А/ = с/—а/р/.1 + а/(а/а/_1—6,.), то уравнения
системы A)—E) для 2^л<М — 2 будут удовлетворены.
Рекуррентные соотношения A0) связывают а/+1, |3/+1 и у{+1
с а„ «;_!, Р/, р/_х, V/ и 7/-1- Поэтому, если будут заданы а,,
Р/ и у, для 1=1, 2, то по формулам A0) последовательно можно
найти коэффициенты а,, |3,. и у, для 3<*<#— 1.
98

Найдем а,-, C,- и у, для /==1, 2. Из A) и формулы F) для
* = 0 непосредственно получим
а* = й0/с0, 0! = е0/с0, уг = /0/св. . A1)
Далее, подставляя значение (8) при *=1 в B), получим
(Сг — Ьл) Уг = ((к — ЬА) Уъ — егУэ + Ь+Ь^.
Следовательно, B) будет выполнено, если положить
Итак, используя A0)—A2), можно найти а(у ${ и у,-для 1^*^
^М— 1. Осталось определить о^, у# и Ул^» входящие в
формулу G).
Воспользуемся для этого уравнениями D) и E). Подставляя
(8) и (9) при / = Л^— 1 в D) и сравнивая полученное
выражение с G), найдем, что ам и ум определяются по формулам A0)
для 1 = к— 1. Найдем теперь ум. Для этого подставим F) при
1 = Ы—2 и G) в уравнение E). Получим
или
где улг+1 определяется по формуле A0) при 1 = Ы.
Объединяя полученные выше формулы, запишем алгоритм
правой прогонки для системы A)—E) в следующем виде:
1) по формулам
а/н^^К + Р/М/.!-^ * = 2, 3, ..., #-1, A3)
Т/+1 = ^[//-«/Т/-1—Т/(аЛ-1—6/)], * = 2, 3, ...,#, A4)
Т1вг- т.=-хг(Л+б!Т1).
Р/+1 = ^/д/. * = Ь 2> ••• ^—2> р1 = ^о. A5)
где
А, = с,—Я/Р/-1+«/(«/«;.!—6,), 2<*<#, А1 = с1—6ха1э A6)
находятся прогоночные коэффициенты аь C,- и у,.;
2) неизвестные г/,- находятся последовательно по формулам
У/ = а/ + 1& + 1 —Р/ + 10/ + 2 + Т/ + 1» * = # —2, # —3, ...,0, ^^
#ЛГ-1=аЛ#ЛГ + ТлГ> УN==VN+1^
4* 99

Построенный алгоритм будем также называть алгоритмом
монотонной прогонки.
Замечание. Не представляет труда построить алгоритм
левой прогонки, а также алгоритм встречных прогонок для
системы A)—E).
Подсчитаем число арифметических действий для алгоритма
A3)—A7). Для реализации A3)—A7) потребуется: 8УУ —5
операций сложения и вычитания, 8М— 5 операций умножения и
Ш операций деления. Если не делать различий между
временем выполнения арифметических операций на ЭВМ, то общее
число действий для предложенного алгоритма С1=\9М—10.
2. Обоснование метода. Построенный выше алгоритм
прогонки A3)—A7) будем называть корректным, если для любого
2 ^ I ^ N будет верно неравенство
Д. = с(—а^г + а1 {а1а^1—Ь() ф0, Дх = с1 — а1Ь1 Ф 0.
Следующая лемма дает достаточные условия корректности
алгоритма A3)—A7).
Лемма 4. Пусть коэффициенты системы A)—E)
удовлетворяют условиям
|^|>0, 2<*<#, |6/|>0, 1<1<#,
|Ч|>0, 0<*<# — 1, К|>0, 0^*<# — 2,
и условиям
\С9\>Ш + М \Сг\>\Ьг\ + Ш + \ег\.
ЫЖЖМ, \с^-1\>\^-1\ + \Ьу-г\ + \^х\, A8)
\с,\> |а,| + |М + 1<*/| + к|, 2</<ЛГ-2,
причем хотя бы в одном из неравенств A8) достигается строгое
неравенство. Тогда алгоритм A3)—A7) корректен и, кроме
того, имеют место неравенства
|а/| + |Р/1<1. К'^ЛГ-1,, КУ|<1.
Действительно, в силу условий леммы из A3) и A5)
получим
кжм = Мо||;'|ео|<1-
Далее, используя полученное неравенство 1 — | ах | ^ | р\ |, найдем
\с1-Ь1а1\^\с1\-\Ь1\Ы^\Ь1\A-\а1\) + \с11\ + \е1\>
>\Ь1Ш+\Л1\ + \е1\>\A1-ЬА\ + \е1\>0.
Отсюда и из A3)—A5) следует оценка
\а | + |« . \Л1-ЬЬ1\ + \е1\ <.
[сс2ц-!р2| |С]_б1а1| •**»•
100

Далее доказательство проведем по индукции. Пусть
выполнены, неравенства
Покажем, что тогда будут справедливы неравенства
Ь1 = с1—а$1-1 + а1(ар1-1—ЬйфЪ* |а/+1Ц-|р/+1|<1.
Действительно, из A8) и A9) получим
1ДЛ>к/Н«П1Р/-1|-|а/Ца/-1|1^|-|а;11*/1>
>|«/1A-|Р/-11) + |6/|A-|а/1)-|а/11^-1И^1 + И/| + к||>
>|а/||а/-11A-|«/1) + И/-*/Р|1 + 1в/1>
>|а/||а,.1||М + И/-6А1 + |^|>
>И/+Р/(аЛа/.1—6,I + |^|>0, *<#-2. B0)
Отсюда и из A3), A5) найдем
I ^^/-ьх I -+" I Р/^11 = [д7| ^Ь ^^ *•
Далее, для 4 = Л^ — 1 будем иметь вместо B0) оценку
Кроме того, отсюда получим
|ДлГ-1|>|^-1 + Р*-1 (^-1«ЛГ-1— &^-1)|»
и", следовательно,
I «^Н |А>,Х| I й//-1 + Р^-1 (алг-1алг-2—Ь^-х) К 1.
Осталось показать, что Д^^=0. Будем иметь
1дл1>Ы — |^ИРлг-1| —1алг11а^-1||^| — 1<%НМ**
= 1^Н%|-|^1 + 1^1A-|Р^1|) + 1^1A-|^|)-
— Ы\\^-1ИМ > Ы — 1%ЫЫ +
+ A-|^1)A-|Р^г1I^1 + |^1A-|^|).
В силу предположений леммы легко получить, что хотя бы
в одном из неравенств |сдг|> 1^1 + 1^/1» |ау|<Ь достигается
строгое неравенство. Отсюда следует, что кмф0. Лемма
доказана.
Замечание. Из указанных в лемме 4 оценок |«/|+|Р/|^1
следует, что если при вычислении у# допущена погрешность,
то она не будет расти при счете по формулам A7).
3. Вариант немонотонной прогонки. Приведем теперь алгоритм метода
прогонки, который получается, если искать решение системы A)—E) по
методу Гаусса с выбором главного элемента по строке. Такой алгоритм будет
корректен при единственном условии невырожденности матрицы ^ системы
101

A)—E). Так как прием построения алгоритма аналогичен рассмотренному
в п.4 § 2, то мы ограничимся приведением окончательной формы алгоритма.
1) Задаются начальные значения: С = с0, О = г/0> В = Ъ1У 0, — Сх, 5 = а2,
Т = Ь2, # = 0, Л = а3, Р=[0> Ф = /и 0 = /21 # = /з и полагается %0 = 0, г|0=1.
2) Последовательно для * = 0, 1, ..., N—2 в зависимости от ситуации
выполняются действия, описанные в пп. а), б) или в):
а) если |С|^|0| и |С|^|е/|, то
а/+1 = 0/С, Р/+1 = е//С> у;+1 = Р/С,
С=0. — Вщ+ь 0 = й/+1—Вр/+1, /7 = Ф + 57/+11
В = Г—5а/+1, 0 = ^+2—5Р/+1, Ф = 0—%+1,
5 = Л—Ла/+1, 7, = Ь1-+з—ЯР/+1, е = Я + #у/+1. B1)
/? = 0, Л = а/+4, Я=//+4, ^ ^22)
б) если | Л | > | С | и | й | ^ | е/1, то
а/+1=С/0, р/+1=-е,/Я, ум=—Г/й,
С=<га/+1—^ 0 = СР,-+1 + ^+1. /7 = Ф-С?1+1.
В = Та/+1-5, 0 = ГР,+1 + с/+1, Ф = 7у,+1 + е,
5 = Ла/+1—Л, 7, = Лр|Ч1 + 6/+8, 0 = Я—Лу1Ч1. B3)
# = 0, Л = а/+4, Я = /,-+41 ъ B4)
в) если I в/1 > С и |в/1 > | Я |, то
а/+1=ОА?/, Р/+1 = С/^, у{+1 = Р/е(,
0=0—й/+1а/+1, Б = В —й/+1р/ + 1, /7 = Ф + ^+17/+1*
В = Т — С/ + 2а/ + 1, 0 = 5 — С/ + 2р1 + 1. Ф=0 —С/ + 27/ + 1,
5 = Л-6/+3ал.1, Г = Я-&/+8Р/+1, е = Я+6/+8?/+1, B5)
Л=—С/ + 4а/ + 1, Л =—0/ + 4Р1 + 1» ^ = // + 4 — в/+4У1 + 1» 1 /о^\
Замечание. Для /^Л/"—3 вычислений по формулам B2), B4) или B6)
проводить не нужно, а для ^=N—2 не проводятся вычисления по
формулам B1), B3), B5).
3) Если|С|^|Л|, тос^=Я/С, ум = Р1С, уя+1 = (Ф+Вух)/(B-В*х),
6^ = Х#_1. ^N = ^N-1- Если 1^1 > \С\> то а^=С/Я, уМ=—Р10, улГ+1 =
= (Ф—<2ух)/(С1ах—В)> ^N=^N-1* к^=х^-1.
4) Вычисляются неизвестные уп — ум+1, ут=а^уп-{-у^ т = 8дг, п = х^у
а затем последовательно для *' = М—2, М—3, ..., 0 определяются остальные
неизвестные ут = щ+гуп— Р/+1УЛ+7/+1. т = 9/+1, /1 = «1-+ь Л = т|/ + г.
Рассмотрим 'пример применения метода немонотонной прогонки. В п. 3
§ 3 гл« I была решена следующая разностная краевая задача:
9о—#1+2#2 = 2, *' = 0,
—^о+^1—^2+^з==0, / = 1,
У/-2—У/-1+2У/—У/+1+У/+2 = 0, 2<*<#-2с B7)
2УN-2—УN-^ + УN=0> *' = #.
Если # четно и не кратно 3, то система B7) имеет единственное решение
/я . *я л
^•=— соз-2 81П—» 0<к#. B8).
Несложно убедиться в том, что алгоритм монотонной прогонки для
системы B7) некорректен—при вычислении прогоночных коэффициентов а2, р2 и
72 нужно будет делить на нуль. Алгоритм немонотонной прогонки позволяет
]02

получить точное решение B8). Приведем для иллюстрации этого алгоритма
(табл. 2) значения прогоночных коэффициентов а/, 0/ и у/, а также 6/, щ и
У1 для N=10.
Таблица 2
|ХЧ
щ
Р/
V/
9/
К/
Л/
У'ь
0
— 1
1
1
2
1
2
1
2
1
0
— 1
2
1
2
1
У
1
3
0
1
1
3
1
2
1
"~Т
— 1
4
1
0
1
4
0
1
—2
0
1
5
—1
5
0
— 1
—2
5
1
6
-1
6
0
1
2
6
1
7
1
7
1
2
"~~У
4
3
7
1
8
1
8
1
Т
2
""У
2
3
9
8
1
—1
9
0
1
0
8
1
10
-1
10
1
-2
1
10
1
11
1
Из таблицы видно, что неизвестные у( определяются в следующем
порядке: у10, уъ у8, у9> Ут, у6, уъ, Уо, г/4> Уз> У2> т. е. в немонотонном порядке.
§ 4. Метод матричной прогонки
1. Системы векторных уравнений* Выше было отмечено, что
одним из способов решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений высокого порядка является
сведение к системе уравнений первого порядка с последующей
аппроксимацией этой системы разностной схемой. В результате мы
получим двухточечную векторную систему уравнений с краевыми
условиями первого рода. В общем виде она записывается
следующим образом:
ЛП = ^ ^NVN = ^N+^> (Ч
где К/—вектор неизвестных размерности М, Р/+± и ф, для
0<*<УУ—1 — квадратные матрицы МхМ, Р0 и
(Э^—прямоугольные матрицы соответственно размеров МгхМ и М2хМ>
Мг + М2 = М. Вектор Р1+1 для 0 < г < Ы— 1 имеет размерность М,
а векторы Р0 и />+1—Мг и М2 соответственно.
Заметим, что другим способом решения указанных
дифференциальных уравнений является непосредственная аппроксимация
этих уравнений разностными -схемами. При этом мы получим
систему многоточечных скалярных уравнений. Методы решения
трех- и пятиточечных скалярных уравнений были изучены нами
в § 1—3. Если же аппроксимируется система обыкновенных
дифференциальных уравнений высокого порядка, то возникает
103

система мноГо1чэче*ГныХ векторных уравнений. Однако как
скалярные, так и векторные системы многоточечных уравнений могут
быть сведены к системам вида A). При этом любому методу
решения A) будет соответствовать некоторый метод решения
исходной многоточечной системы. Идею указанного преобразования
поясним на примере системы пятиточечных уравнений,
рассмотренной в § 3 (см. A)—E))* Если обозначить
^в(У/+1» Ун У1-1> #/-2)> 2<*<ЛГ— 1,
^+1 = (Л. О» 0» 0), 2<*<#-2,
то с учетом тождественных соотношений между У1+1 и Уг
указанная система из § 3 запишется в виде
р»у»~Ри ^N-1УN~1—?№ '
где
Ям-
и:-*
0/000
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
<11 =
0
о
— 1
2<*<#—2,
Со
^N-1=
II с^ —Ъх ах 0 И
В данном случае М1 = М2 = 2, М = 4.
Несмотря на то, что многоточечные векторные уравнения можно
свести к виду A) и ограничиться построением метода решения
только системы A), мы рассмотрим отдельно класс трехточечных
векторных уравнений. Более того, в п. 3 мы сведем A) к системе
трехточечных векторных уравнений и получим метод решения
системы A) как вариант метода решения трехточечных уравнений.
Прежде чем описывать общий вид трехточечных уравнений,
рассмотрим пример. Мы покажем, как разностная задача для
простейшего эллиптического уравнения сводится к системе
трехточечных уравнений специального вида.
Пусть на прямоугольной сетке со = {ху= (Ыг^ }Н2) € б, 0<*<Л1,
0</<#, 11==МН1, /а = #Ла} с границей у, введенной в
прямоугольнике О = {0 < ха < 1а, а = 1, 2}, требуется найти решение
разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона
»^+*^--»<*>• *€й)' C)
у(х) = 8(х)9 *€?>
где
^Лв^г[»('+1-Я-2у(^/)+»('-1.Л].
1^ = ^[[У&1 + 1)—2У&П + УA'1 — 1)Ъ #(М) = </(%)•
104

Преобразуем схему C). Для этого умножим C) на (—А!) и
распишем по точкам разностную производную у^ЛХ2* При 1 ^/^#—1
будем иметь:
для 2<1<Л1—2
-У{1, /-1) + [2уA\ /)-*&?!*, (*. /)]-»('. / + 1)-«ф('. /); .
для 2= 1
—У(*. / — 1)+ [2у(«, /)—-^-(У(«+1, Л—2у(*, /))]—У(«. /+1) —
= й1ф(*. /);
для 1 = М—1
-у {и /-1)+[2г/(/, /)--§-(</ ('-1. п-ыи /))]-у('.Ж)в
= *5ф (*, Л.
где
фA,/) = фA,/)+4-^@,/),
Ф (М-1, /) = Ф (М-\ ,})+*§(М, /).
Креме того, для / = 0, # имеем
УA,0) = 8A,0), уA,Ы)=§({,М), 1<*<И*-1.
Обозначим теперь через У} вектор размерности М—1,
компонентами которого являются значения сеточной функции уA, /)
во внутренних узлах сетки о на /-й строке:
У/ = (УУ,]),У&,1) у(М-1,1)), 0</<#,
а через р}—вектор размерности М—1
Ъ = (% A. /). *5<Р B, /) % (М-2, /), Щ (М-1, Л).
1</<#—1,
*} =&(!,/), ^B, /), .... *(Л1-1,/)), / = 0,ЛГ.
Определим также квадратную матрицу С размером (Л4—1)х
Х(М—1) следующим образом:
СУ=(Аи{1), ЛоB), ..., Ло(М—1)),
У=(оA), V B) о(Л1—1)),
где разностный оператор Л есть
Лу @ = 2о @-^-Х1 @, 1 <* <М-1,
г@)=о(М)=0.
105
Л

Легко видеть, что С есть трехдиагональная матрица вида
С =
2(
— а
0
0
0
0
2A+а)
— а
0
0
0
0 ..
— а ..
2A+а) ..
0 .
0 .
0 .
0 0 0
..000
..000
.. 2A+а) — а 0
—а 2A+а) —а
0 —а 2A+а]
D)
где а = НЦН\, причем С является матрицей с диагональным
преобладанием, так как |1+а|>|а|, а>0, и следовательно, не
вырождена.
Используя введенные обозначения, полученные выше
соотношения можно записать в виде следующей системы
трехточечных векторных уравнений:
Это и есть искомая трехточечная система специального вида
с постоянными коэффициентами.
Задача E) является частным случаем следующей общей
задачи: найти векторы Ку (О^/'^Л/), удовлетворяющие
следующей системе:
С0У0—В0Уг = Р0, / = 0,
-А^ + СМ-ВМ+^Гу, 1</<Л^-1, F)
где У у и Ру—векторы размерности Му, Су—квадратная матрица
МуХМу, Ау и В у—прямоугольные матрицы соответственно
размеров М/хМ/^1 и МуХМ/+1.
К системам вида F) сводятся разностные схемы для
эллиптических уравнений второго порядка с переменными
коэффициентами в произвольной области любого числа измерений.
В двумерном случае, как и в разобранном выше примере,
вектор Уу образуют неизвестные на /-ой строке сетки со, а в случае
трех измерений—неизвестные на /-м слое сетки со. В последнем
случае Су—блочно-трехдиагональные матрицы с трехдиагональ-
ными матрицами на главной диагонали.
Для решения системы F) мы рассмотрим метод матричной
прогонки, который аналогичен методу прогонки для скалярных
трехточечных уравнений.
2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений. Построим
метод решения системы трехточечных векторных уравнений F).
Эта система родственна системе скалярных трехточечных
уравнений, метод решения которой был изучен нами в § 1. Поэтому
решение задачи F) будем искать в виде
Ку=а/+1К/+1 + Р/+1, / = #-1, Л7-2, ..., 0, G)
106

где а/+1—неопределенная пока прямоугольная матрица
размеров Му.хМ/+1, а р/+1 —вектор размерности Му. Из формулы G)
и уравнений системы F) для 1</<#— 1 находятся (как и
в случае обычной прогонки) рекуррентные соотношения для
вычисления матриц ау- и векторов ру. Из G) и уравнений F) для
/ = 0, Л/, находятся начальные значения а19 рх и Ую
позволяющие начать счет по рекуррентным соотношениям. Выпишем
окончательные формулы алгоритма предлагаемого метода, который
будем называть методом матричной прогонки:
а^НСу-Л/х,)-^,, /=1, 2, ..., N-1, аг = С?В„ (8)
»/+1 = {С/-А&)-ЧГ/ + АА)> /=1> 2> •••• Н,Ь = С?Р.9 (9)
Г/ = а/+1К/+1 + р/+1, } = Ы-1,Ы-2, ...,0, К„=Р^+1.A0)
Будем говорить, что алгоритм (8) — A0) корректен, если
матрицы С0 и С;- — А/а/ для 1</<Л/г не вырождены. Прежде
чем дать определение устойчивости алгоритма (8)—A0),
напомним некоторые сведения из линейной алгебры.
Пусть А — произвольная прямоугольная тхп матрица.
Пусть ||я||я есть норма вектора х в п-мерном пространстве Нп.
Тогда норма А определяется равенством
Очевидно, что норма А определяется как самой матрицей Л,
так и теми векторными нормами, которые введены вййи Нт.
Для случая евклидовых норм вЯ„и Нт[ ||х|й = 2 А) имеем
||Л|| = |/"р, где р—максимальное по модулю собственное значение
матрицы А*А.
Из определения нормы следует очевидное соотношение
\\Ах1т<\\А\\\\х\\п.
Далее, пусть заданы матрицы Л и В соответственно размеров
тхп и пхк. Вводя в Нт> Нк и Нп векторные нормы и
определяя с их помощью нормы матриц Л, В и Л5, получим
неравенства ||Л5|К|Л||||5||.
Будем говорить, что алгоритм устойчив, если выполняется
оценка ||оь,-1|^ 1 для 1 </<М (предполагается, что в
конечномерных пространствах Нм., которым принадлежат векторы У^
введена однотипная норма, например евклидова).
Лемма 5. Если Су для 0</^УУ—невырожденные матрицы,
а А]- и В;—ненулевые матрицы для 1^/^А/г—1 и выполнены
условия
\С?Вь\<1. ЦС^Л„Ц<1, ЦСгЩ + ЦСТ^Ки 1</<ЛГ-1,
107

причем хотя бы в одном из неравенств имеет место строгое
неравенство, то алгоритм метода матричной прогонки (8)—A0)
устойчив и корректен.
Приведем, только основной этап, оставляя читателю
завершение доказательства леммы. Доказательство использует
известное утверждение: если для квадратной матрицы 5 имеет место
оценка |$К<7<1, то существует обратная к Я—5 матрица,
причем р—5)~1||< 1/A—9).
Предположим теперь, что Цс&уЦ^ 1. Отсюда и из условий леммы
будем иметь
|С71Луо,К||С/-М/К1-||С/-15У1<1.
Так как С^А/Х/ квадратная матрица, то, следовательно,
существуют обратные к Е—С^А/х- и к С^ — А/х, матрицы, причем
||(^—С;-М/ау)-1|К1/||С/-15у||. Отсюда и из (8) сразу получим
Доказательство завершается по индукции.
Применим лемму 5 к системе трехточечных векторных
уравнений E), полученных из разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона в прямоугольнике. Система E) есть частный
случай F), где С^С, В/ = А/ = Е, 1</<Л/—1, С» = СМ^Е,
#0 = Лдг=0, а квадратная матрица С задана в D). Условия
леммы 5 для рассматриваемого примера принимают вид||С||^0,5.
Для случая евклидовой нормы в силу симметрии С имеем
1С-ЧНтах/МС-1)Нт!п|;;й(С)|,
к
где Л,Л(С)—собственное значение матрицы С. Из определения С
получим, что ЯЛ(С) есть собственное значение определенного
выше оператора Л
Ло @-^@ = B-^H@-^^@ = 0,
V{0)=^V(М) = 0, 1<1'<Л1—1.
Эта задача сводится заменой Ял = 2 + Л!|хл к рассмотренной
в п. 1 § 5 гл. I задаче на собственные значения для
простейшего разностного оператора: г>- +\*чР = 0» 1 < * ^ М— 1, V @)=
=0(Л1) = О. Так как эта задача имеет решение, равное
|1* = -^з1п»^>0, *=1, 2, ..., М-1,
то кк = кк(С) = 2 + 141*>ь>2> Следовательно, условие ||С|К0,5
выполнено. Алгоритм (8) — A0) в применении к решению
системы E) корректен и устойчив.
Рассмотрим теперь вопрос об объеме запоминаемой промежуточной ин-.
формации и об оценке числа арифметических действий для алгоритма
(8) — A0), считая для простоты, что в системе F) все матрицы квадратные
108

н имеют размер МхМ, а все векторы V; и ^ имеют размерность М. В этом
случае прогоночные коэффициенты ау- будут квадратными матрицами размера
МхМ, а векторы ру будут иметь размерность М.
Для реализации (8) —A0) необходимо хранить все матрицы ау для
1*^/*^Лг, все векторы Ру для 1^/^#+1 и матрицу (С1у~-А^^)-г9
используемую для вычисления р^у+1- Векторы ру могут быть расположены
на месте, отведенном для векторов неизвестных Уу-1. Для хранения же всех
матриц ау- и матрицы (С^у —Лд/Одг)-1 нужно запомнить М2(М-{-1) элементов
этих матриц, так как в общем случае матрицы а/ являются полными и
несимметричными. Объем дополнительно запоминаемой информации при этом
в М раз превышает общее число неизвестных в задаче, которое равно М {Ы-\-1).
Оценим теперь число арифметических действий для алгоритма (8) — A0),
имея в виду, что для решения серии задач F) с различными правыми
частями Ру прогоночные матрицы а/ и матрица (Сдг — Лд/сх.у)"*1 могут быть
сосчитаны только один раз, в то время как векторы ру и V^ для каждой
новой задачи пересчитываются.
В общем случае матрицы С;- — А;-а/ являются для любого / полными
матрицами. Поэтому для их обращения потребуется О (М3) арифметических
действий. Далее, умножение (С]—Луссу)-1 на матрицу В^ потребует не более
0(МЪ) операций. Поэтому для вычисления ау + 1 при заданном ау по формуле
(8) потребуется О (М3) арифметических действий. Для вычисления всех ау и
матрицы (С/у—Лууадг)" потребуется О (М3^) действий.
Если матрица Лу является полной, то на вычисление Ру + 1 при заданном
ру и вычисленной (С;- — Луау)-1 потребуется: 2М2 операций умножения и
2М2—М операций сложения. Если А/ является диагональной матрицей, то
это число сокращается — потребуется М2-\-М умножений и 2М2—М
сложений. Следовательно, на^вычисление Рудля 2*=^/<;А/-]-1 потребуется в общем
случае 2М2Ы умножений и BМ2 — М) N сложений. Добавляя сюда операции,
затрачиваемые на вычисление р1 при заданной С^1 (М2 умножений и М2—М
сложений), окончательно получим М2BЫ-\-\) умножений и М2 B#+ 1) —
— М (М+ 1) сложений.
Для нахождения всех У^ для 0<;/<;А/—1 при заданном Куу
потребуется М2Ы умножений и М2Ы сложений. Итак, для вычисления ру и V]
потребуется М2(ЗЫ+\) операций умножения и М2 C^ +1)—М (Ы +-1)
операций сложения. Если не делать различия между этими операциями, то это
составит B « §М2Ы действий. Именно такое количество арифметических
операций нужно затратить, чтобы найти решение каждой новой задачи из серии.
Для решения единичной задачи вида F), когда необходимо вычислять и
прогоночные матрицы ау, потребуется ф = 0 (М3Ы-\-М2Ы) действий.
Пусть серия состоит из п задач вида F). Тогда потребуется затратить
(}п = 0 (МгЫ)-\-§пМ2Ы действий. При этом общее число неизвестных в серии
равно пМ(к-\"\). Отсюда следует, что на нахождение одного неизвестного
/ М2\
потребуется ц « О ( 1+6М арифметических операций. Таким образом,
с увеличением п относительное число операций на одно неизвестное
уменьшается, однако оно всегда больше 6М. В этом заключается существенное
отличие метода матричной прогонки от метода скалярной прогонки, где
относительное число действий на одно неизвестное есть конечная величина, не
зависящая от числа неизвестных.
3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений.
Рассмотрим теперь метод решения двухточечных векторных уравнений
р.уй=р0, а*у„=р„+19 к }
где У(—вектор размерности М9 Р1+± и <?, для 0<*^Л/Г—1
квадратные матрицы МхМ, Р0 и ф^—прямоугольные матрицы
109

соответственно размеров МгхМ и М2хМ, М1 + М2 = М. Вектор
Р1+± для О^^А/"—1 имеет размерность М, а р0 и /^+1—М1
и М2 соответственно.
Сначала сведем систему (И) к виду F). Для этого
представим матрицы, входящие в A1), следующим образом:
Рочт-рщ
Р1+1 =
Р11г\
-г1+1
\-рП
-<жш>
а?
A2)
а? \ -<з?1
где Р\1 и С}*1 для 0 < I < N — матрицы размеров Мкх М0 к, I-■
= 1, 2. В соответствии с представлением A2) положим
V,-
/V
4 О»
ГN+^~^N+1^
РМ-
/Ъг
/11
о<;<#— 1,
A3)
где <о\ и /)—векторы размерности Мк, &=1, 2. Используя A2)
и A3), запишем систему A1) в следующем виде:
-я^+а^+РПгяиг-РП&^Лг, 1°<1<"-*' A4)
Введем теперь новые векторы неизвестных, полагая
Ув = < Уы+± = ъ%, К/+1 =
1
Щ+1
0<*<ЛГ — 1,
и матрицы
С0 = Р1\ В0 = \\Р1*\0"
Аг =
п21\\
II О!2
Д — \\Р *
^N—\\"^22
\\РN
Б1 + 1
|РЙ1|0"
1РЙ1|0»»
о"|с?Т
_ \\0}2 \Р11г
4-+1 = ||^п4т|) 1<*<#-1,
||о22|<221||
II Си кт II
где 0*'— нулевая матрица размеров МкхМ19 к, /==1, 2.
В этих обозначениях система A4) будет иметь вид
СоП-ЯоГ^/^, 1 = 0,
— Л^+1У'Лг+СЛг+1КЛг+1 = /7лг+1, 1 = # + 1.
A5)
Итак, система двухточечных векторных уравнений A1) сведена-
к системе трехточечных векторных уравнений вида A5), метод
матричной прогонки для которой построен в п. 2. Для A5)
ПО

алгоритм матричной прогонки имеет следующий вид:
^+1 = (С/-^Л)'% 1 = 1,2, ...,#, а1 = С^В0, A6)
Р/-м-(С/-^Л-)(/7/ + ^Р/), 1=1,2,....,N+1,^ = 0?^, A7)
К/ = а/+1К/+1 + Р,+1, 1 = АГ,ЛГ-19...,09 Г„+1 = $„+„
A8)
причем матрицы аг и ак+1 имеют размер МгхМ и МхМ2
соответственно, а а, для 2<л^А^ являются квадратными
матрицами размера МхМ. Векторы р, для 2<*<А/"+1 имеют
размерность М, а рх и Рлг+2 — размерность Мх и М2.
Преобразуем формулы A6) —A8). Учитывая структуру
матриц Я,, находим, что матрицы а( имеют вид
а*НК|0»Ц. «"+1 = ИН> а/ = |Ешг||- 2<*<ЛГ. A9)
II &ы+1 II IIЩ I и ц
Подставляя A9) в A6) и учитывая определение матриц Аь> В(
и С,-, получим формулы для вычисления а}2 и аР
II 22 II II Л12 ЛЦ 12 I г>11 11-1 || гД2 ||
|«Й1|П|С?^-С^^|я?1|1 |ГрГ]|' 1<1'<Л^' B0)
где а12 = (Р^1)~1/5^2. Далее, представляя вектор р,- в виде
Р* = РЬ РЛг+. = Р^«, Р/ = (^). 2<*<ЛГ+1 B1)
и подставляя это выражение в A7), получим
Рй-1
Р2*+2=II (Ж- ОМ* I (А+1 + ОДРЫ. B3)
где РЫ^ТУТ
Подставим теперь A9) и B1) в A8) и используем введенные
обозначения для К,-. В результате получим следующие формулы
для вычисления компонент вектора неизвестных:
«*-1=оЙ1*1 + К+1. * = ЛГ, ЛГ-1, .... 1, г^ = Р2*+2,
«1 = с#1«? + Р*и. * = ЛГ. ЛГ-1. ..., 0. ^
Итак, алгоритм метода матричной прогонки для системы
двухточечных векторных уравнений A1) описывается формулами B0),
B2)-B4).
Так как эти формулы являются следствием из алгоритма
прогонки решения системы A5), к которой мы свели исходную
систему двухточечных векторных уравнений (И), то достаточные
условия корректности и устойчивости полученного алгоритма
сформулированы в лемме 5, где нужно заменить N на N+1,
а матрицы С,-, А( и В1 определены выше.
111

Используя алгоритм встречных прогонок для системы A5),
можно построить соответствующий алгоритм для исходной
системы двухточечных векторных уравнений A1).
4. Ортогональная прогонка для двухточечных векторных
уравнений. Рассмотрим еще один метод решения системы
двухточечных уравнений (И), известный под названием метода
ортогональной прогонки. Этот метод содержит обращение матриц Р1
для 1^/^^ и ортогонализацию вспомогательных
прямоугольных матриц.
Будем искать решение системы A1) в следующем виде:
У/^Л/Р/Н-К/. 0<*<#, B5)
где В( для любого ^—прямоугольная матрица размера МхМ29
а Р/ и К/—векторы размерности М2 и М соответственно.
Определяя В0 и У0 из условия Р050 = 012, Р0У0 = Р0, где
О12—нулевая матрица размера МгхМ2, получим, что У0
удовлетворяет условию Р0У0 = Р0. Найдем теперь рекуррентные
формулы для последовательного построения, исходя из В0 и У09
матриц В{ и векторов К/.
Подставим B5) в A1). Если Р/+±—невырожденные матрицы,
то будем иметь
В^^^+^+^^+^-Рг^1^^В^^^Рг+\(Р^+^ + ^^У^)9 0<*<#-1,
или
В/+1Р/+1+Г/+1-Л,+1Р/ = Х/+1, 0<*<^-1, B6)
где Ам = Рг11A1Вц */+1-/^Л(^+1 + $^). Матрица Л/+1 имеет
размер МхМ2, а вектор Х(+1 — размерность М.
Определим 5/+1 и У{+1 следующим образом:
^/+1 = #*+1^/+г> У*+1 = ^/+1—-Я/+1Ф/+1> B7)
где Й/+1 и ф/+1—неопределенные пока квадратная матрица
М2хМ2 и вектор 'размерности М2. Подставляя B7) в B6),
получим соотношение В/+1(Р/+1—Я/+1Р;)==В/+1ф/+1, которое
превращается в тождество, если положить
0/+1Р/=Р/+1-Фл-1. 0<*<#-1. B8)
Итак, если заданы невырожденные матрицы й/для 1^С*^Л/
и векторы <р/- для тех же I, то по формулам B7) можно найти,
исходя из В0 и К0, все необходимые матрицы В{ и векторы Уь
для 1 <*'<//.
Осталось определить векторы Р/. Из B5) при 1=Ы и
системы A1) получим два соотношения У^^^ Вы^м-\-Ум, (?#Ку=^+*
с известными Вм и Ум. Отсюда для Рд, найдем уравнение
^NВN$N"=рN+1—(^NVN с квадратной матрицей ($#В# размера
М2хМ2. Это соотношение можно записать в виде B8)
°ЛГ+10* = РаГ+1 — Фл^ + 1» B9)
112

Если матрица Я^+1 не вырождена, по формулам B8), B9)
последовательно, начиная с Рд?+1, найдем все р,- для 0^1'^ЛГ.
Решение системы (П) может быть тогда найдено по формулам B5).
Так как имеется произвол в выборе матриц {^1 и векторов ф1Ч
то приведенные выше формулы описывают скорее принцип
построения методов решения системы (И), нежели конкретный
алгоритм. Выбор определенных й,- и ф; порождает некоторый
метод для системы A1). Такие методы мы будем называть по-
прежнему прогонкой, на прямом ходе которой вычисляются В(
и Уь а на обратном—р/ и решение V/.
Остановимся теперь на одном способе выбора й^ и ф;. Так
как формулы B7) и B8) предполагают обращение матрицы 0,-+1,
то она должна быть достаточно легко обратима.
В рассматриваемом методе ортогональной прогонки матрица
й/+1- и вектор ф/+1 порождаются требованиями: 1) матрица 5/+1
строится путем ортонормирования столбцов матрицы А(+%; 2)
вектор К/+1 должен быть ортогонален столбцам матрицы <3|+1.
Следствием этих требований являются равенства
яг+1Я,+1 = 12», Я?+1Г/+1 = 0, B9')
где В*+1—транспонированная к 5/+1 матрица, а Е22—единичная
матрица размера М2хМ2.
Найдем сначала выражение для <р/+1. Из B7) и B9') получим
О = В1+1Г1+1 = В;+1Х,+1—В?+1В,+1ф/+1« Я;+1ДГ/+1—ф|+1. Итак, век-
тор ф/+1 определен: ф/+1 = 5^1Л'/+1.
Построим теперь матрицы &/+1 и В{+1. Существует несколько
способов ортонормирования столбцов матрицы Л/+1. Мы
рассмотрим метод Грама—Шмидта.
Пусть матрица А1+1 имеет ранг М2. Обозначим через ак и
Ък—/г-е столбцы матриц Л/+1 и В1+1 соответственно, а через
(,)—скалярное произведение векторов. В качестве Ьг возьмем
нормированный столбец аг
61 = л1/о>11, (оп = У(а19 ах). C0)
Далее будем искать столбец Ьк в виде
Ьк^^к[ак-^пфп), 2<Й<Л12, C1)
где коэффициенты <опк находятся из условия ортогональности
вектора Ьк векторам Ъг, Ь2, ..., Ьк_19 а (окк—из условия
нормировки Ьк:
©«* = №„.«*). п=*1,2, ...,&—1,о>^-]/ (ак% а*)—2 ш**.C2)
' /1=1
В силу сделанного предположения о ранге матрицы Л/+1 столбцы
ак для 1 ^.к^М2 линейно независимы, и процесс
ортонормирования протекает без особенностей.

Из C0) —C2) следует, что матрицы А1+1 и В/+1 связаны
соотношением Л|-+1 = Я/+1й|-+1, где й/+1—квадратная
верхнетреугольная матрица размера М2хМ2 с элементами сопк для
1<гс<М2, гс</г<М2, определенными в C0) и C2), и согаЛ = 0
для к<п.
Итак, формулы C0) —C2) определяют матрицы В1+1 и {д1+1.
Несложный подсчет показывает, что построение матриц В(+1 и
Й/+1 можно осуществить, затратив: ММ% +0,5 (М1—М2)
операций умножения, ММ1—М2 операций сложения и вычитания,
ММ2 операций деления и М2 извлечений квадратного корня.
Всю указанную процедуру ортонормирования необходимо
осуществить N раз на прямом ходе метода прогонки. Это потребует
О (МММ1) арифметических операций и ЫМ2 операций извлечения
квадратного корня.
Нам осталось указать, как находятся матрица В0 и вектор У0.
Будем предполагать, что матрицы Р{+1 и С}; для 0<*<#—1
не вырождены. Кроме того, пусть не вырождена матрица Р\х, а
матрица ^ имеет ранг М2.
Построим В0 и У0. Пусть
л 11 №г)-1Р1% Д У-((р?)-*Го\
— прямоугольная матрица размера МхМ2 и вектор
размерности М. Так как размерность квадратной единичной матрицы Е22
есть М2хМ2, то ранг Л0 равен М2. Матрица В0 строится, исходя
из Л0, при помощи процесса ортонормирования C0) —C2), а У0
выбирается по формуле У0 = Х0— 50<р0 из условия
ортогональности столбцам матрицы 50, что дает ф0 = ЯУГ0. Так как
в0 = А^-0\ ^0л0=ц^11—^2иЦ {р%1р1* \\-\\0Ч
то Р050 = 012. Далее имеем
Р0Уо = РоХо-РоВо% = РоХо = Го.
Таким образом, построенные В0 и У0 удовлетворяют требуемым
соотношениям: Р0В0 = 012 и Р0У0 = Р'0.
Заметим, что в силу невырожденности Р1+1 и С1( ранг
матрицы Л/+1 совпадает с рангом В(. Кроме того, в силу
невырожденности Й0 ранг В0 совпадает с рангом Л0 и равен М2. Поэтому
процесс ортонормирования C0) —C2) будет протекать без
осложнений. Далее, так как ранги матриц ф^ и Вм равны М2, то
квадратная матрица ^N+1::=^№N будет невырожденной, что
позволит найти вектор р^.
Таким образом, алгоритм метода ортогональной прогонки имее^
следующий вид:
1) в& = А(9 1 = 0, 1,2, ...,#,
II (р^^р12 II
А^РтЧ^В^, 1<»<#, Л0 = |-^А-|. C3)
114

Матрицы В( и ^й,- для 0^1^# вычисляются по формулам
C0) — C2) и запоминаются. Полагается Флч-1 = ФлгДлг-
2) г{=Х1-вЛ1, ч>,=вд, *=о, 1, ... ы,
Х1=Рг1(г!+B1-1У1-1), к*<*. х0 = ((р11)~1р°). C4)
Вычисляются и запоминаются векторы У1 для О^^Л/" и <рг-
для 1^л^:ЛЛ Полагается Чм+1 = AмУлг-
3) 0/+1Р, = Р/+1-<Р,+1, 1 = М, ЛГ-1, ..., 0, Р„+1 = />+1,
К.^В-р.+ Г,-, 0<*<#. C5)
Замечание. Так как матрицы й,- для 1<*<М являются
верхнетреугольными матрицами размера М2хМ2, то для
нахождения р, по заданным р/+1 и <р/+1 требуется О(Щ) действий.
Для иллюстрации предложенного алгоритма рассмотрим
пример. Пусть требуется решить следующую трехточечную
разностную задачу:
—У1-1 +УI—#/+1 = 0, 1</<#— 1, C6)
Уо = 1, УN = 0^
Эта задача рассматривалась нами ранее в п. 4. § 2, где методом
немонотонной трехточечной прогонки было найдено ее решение
для N9 не кратных 3, а именно,
8111-д-
Сведем систему C6) к системе двухточечных векторных
уравнений вида (И), полагая
У( = (т V 0<*<ЛГ—1.
1 \У1 + 1/
Несложно видеть, что C6) эквивалентна следующей системе:
У1+1-AУ{ = 0, 0<*<ЛГ-2,
где Р0 = 1|1|0[|, С^-1 = Ц0| 11|, С? = \=$г\- Система C7) есть част-
ный случай A1) с М1 = М2 = 1, М = 2.
Для. решения C7) используем алгоритм ортогональной
прогонки C3) — C5). Для рассматриваемого примера матрицы В(
имеют размерность 2x1, О/—размерность 1x1, векторы У(
будут иметь размерность 2, а векторы Р,- и ср* — размерность 1.
В табл. 3 приведены матрицы В{ и &{, а также векторы
Уь Ф/ и Р/ Аля ЛЛ = 11, Применяемый метод ортогональной
прогонки позволяет получить точное решение у( задачи C6).
115

1ем
1с* -Г
1'сч
V
1г, '
I . I
О —« -н О —
I I I
о о
— О ~
Ц.сч
О — о
&
к'
1ея
[1см —н 1см ^ ^ о —<
ь -
1<л
V -1^-1^ ~'~Т
о —• -< о
а э- са
116

5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными
коэффициентами. Обратимся снова к методу матричной прогонки
для трехточечных уравнений и рассмотрим частный случай
таких уравнений, а именно:
-У].^СУ]-У^^Р1, 1</<Л/-1,
V — р V — Р V '
где С—квадратная матрица размера МхМ, а У} и /^ — искомый
,- и заданный векторы размерности М.
В п. 1 было показано, что к системе трехточечных
уравнений вида C8) сводится разностная задача Дирихле для
уравнения Пуассона на прямоугольной сетке, заданной в
прямоугольнике, причем матрица С будет симметричной и трехдиаго-
нальной. Далее, в п. 2 § 4 было показано, что метод матричной
прогонки, имеющий для C8) вид
а/+1=(С—ау)-1, /=1, 2, ..., Ы-\, а^О, C9)
Ру-м^^-мС^ + Ру), /=1, 2, ..., М-\, р1=Гв, D0)
Ку^ау+хКу+х + Ру+1. / = ^-1, Л/-2, ..., 1, У„=Р„, D1)
является корректным и устойчивым. Там же было показано, что
собственные значения матрицы С больше 2:
ЯА = ЯА(С) = 2 + 4-|-з1п«^.>2. D2)
Напомним, что в случае общих трехточечных векторных
уравнений для алгоритма матричной прогонки требуется О (М*М)
арифметических действий для вычисления матриц ау. и О (М2Ы)
действий для вычисления прогоночных векторов ру и решения V^.
Для хранения полных и, вообще говоря, несимметричных
матриц о^ необходимо запомнить Л12(Л^+1) элементов этих матриц.
Уменьшаются ли эти величины, если методом матричной
прогонки решать специальную трехточечную векторную систему C8)
с постоянными коэффициентами?
Для рассматриваемого примера все матрицы а1 будут сйм*
метричными в силу симметрии матрицы С, но хотя С есть трех -
диагональная матрица, все матрицы ау, /^2, будут полными.
Следовательно, можно уменьшить, учитывая симметрию матриц ау,
только объем промежуточной запоминаемой информации, но не
более чем вдвое. Порядок числа арифметических действий по М
и N не изменится.
Построим теперь модификацию алгоритма C9) — D1), которая
не требует дополнительной памяти для хранения промежуточной
информации и реализуется с затратой О (МЫ2) арифметических
действий, если решается задача C8) с трехдиагональной
матрицей С.
Сначала найдем явный вид прогоночных матриц о^ для
любого /. Для этого, используя C9), выразим а, через матрицу С.
117

Замечая, что
0^ = 0, а% = С~*9 ав = (С*-Е)-*С, D3)
будем искать решение нелинейного разностного уравнения C9)
в виде
а, = Р&(С) ?,_,(<:), />2, D4)
где ^У(С)— полином от С степени /. Перепишем C9) в виде
* а/+1(С-ау) = Я, />2,
и подставим сюда D4). Получим рекуррентное соотношение
Р;(С) = СР/_1(С)—Р/-2(С)9 /^2, или после сдвига индекса на
единицу и учета D3)
Р/+1(С) = СР/(С)-Р/.1(С), />1,
Р0(С) = Е, Р1(С) = С. <*°'
Итак, формулы D5) полностью определяют полином Р1 (С) для
любого / ^ 0.
Найдем решение D5). Соответствующий алгебраический
полином удовлетворяет соотношениям
Р/+1@ = ^/@--Р/-1@. />1.
Л, @=1, Л (') = *.
которые представляют собой задачу Коши для трехточечного
разностного уравнения с постоянными коэффициентами. В п. 2
§ 4 гл. I было найдено решение этой задачи Р^(^) = ^^ (-о-),
/^0, где ^Уу- (л:) — полином Чебышева второго рода степени /
{81п((/+1)агосоз*) |х|<1
31П агесоз х * ■ * *
зЬ((/+1)АгсЬ*) , 1
зЬАгсЬ* ' 1*1^*-
Таким образом, явное выражение для прогоночных матриц ау.
найдено:
а/ = ^м(т)(//-2D)' />2' а> = 0- <46>
Это избавляет нас от необходимости проводить вычисления по
формуле C9) прогоночных матриц ссу., на что требуется
основной объем вычислительной работы в алгоритме C9) — D1). Кроме
того, матрицы ау. нет необходимости запоминать.
Рассмотрим теперь формулы D0) и D1). Они содержат
умножение матрицы а/+1 на векторы /^ + Р/ и У}+1. Покажем
сейчас, г как можно, не вычисляя а]- по формуле D6), определить
произведение матрицы а,- на вектор. Для этого нам потребуется
лемма 6, которую мы приведем без доказательства.
118

Лемма 6. Пусть многочлен ?п{х) степени п имеет простые
корни. Отношение многочлена §т (х) степени т к многочлену /л (л:)
степени я > т без общих корней может быть представлено
в виде суммы п элементарных дробей
п
.8т (X) _ V Ч Шт (**)
Чт (х) = V Ч „ = Вт (**)
где х1—корни [п(х), а ?'п(х) — производная полинома [п(х).
Используя лемму 6, найдем разложение на простые дроби
отношения (р(х)= ./ Д , /^2. Так как корни 1},--Лх) есть
У/ — 1 \Х) '
д;й = соз-р-, к=\, 2, ..., } — 1,
31П2 —г—
/
то в силу леммы 6 имеем следующее разложение для <р(я):
.• , . 9 #я
/—1 51П •
•м-^-й-^^-'-т-)"'- D7)
Из D6) и D7) следует еще одно представление для матриц ау,
которым мы и будем пользоваться
а/=Хв*у(С-2со8Т-Б)§ ^/== Г1"' />2' D8)
Используя D8), умножение матрицы ау. на вектор V можно
осуществить по следующему алгоритму: для 6=1, 2, ..., /—1
решаются уравнения
(С-2со5^-Е)ук = ак]У, D9)
где аЬ/- определено в D8), а результат а;У получается
последовательным суммированием векторов Уь
/г=1
Заметим, что в силу D2) матрица С — 2со$-?-Е является
невырожденной и, кроме того, трехдиагональной, если таковой
была матрица С. В этом случае каждое из уравнений D9)
решается за О(М) арифметических действий методом скалярной
119

трехточечной прогонки, описанным в § К Следовательно, на
решение всех задач D9), а также на вычисление суммы E0)
потребуется О (М}) действий. Так как в D0) и D1) умножение мат-
рицы сху на векторы осуществляется для / = 2, 3, ..., Ы, то
модифицированный метод матричной прогонки D0), D1) и D9),
E0) требует О (ММ2) арифметических действий.
Итак, построен модифицированный метод матричной прогонки,
позволяющий найти решение разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона в прямоугольнике с затратой О (ЛШ2)
арифметических действий. Уменьшение числа действий по сравнению
с исходным алгоритмом C9) — D1) достигнуто за счет учета
специфики решаемой задачи.
В последующих двух главах мы рассмотрим другие прямые
методы решения указанной задачи и ей подобных разностных
задач, которые будут требовать еще меньшего числа действий,
чем построенный здесь метод.

ГЛАВА III
МЕТОД ПОЛНОЙ РЕДУКЦИИ
В данной главе изучается метод решения специальных сеточных
эллиптических уравнений—метод полной редукций. Этот прямой метод позволяет
найти решение разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике за О(#21о^2Л0 арифметических действий, где Л"—число узлов
сетки по каждому направлению.
В § 1 дана постановка краевых задач для разностных уравнений, для
решения которых можно использовать метод редукции. В § 2 изложен
алгоритм метода для случая первой краевой задачи, а в § 3 рассмотрены при*
меры применения метода. В § 4 дано обобщение метода на случай общих
краевых условий.
§ 1. Краевые задачи для трехточечных векторных уравнений
1. Постановка краевых задач. В главе II для решения
трехточечных скалярных и векторных уравнений были построены
методы скалярной и матричной прогонок. Метод матричной
прогонки для уравнения с переменными коэффициентами
реализуется с затратой 0(М3Ы) арифметических действий, где N —
число уравнений, а М — размерность векторов неизвестных (число
неизвестных в задаче равно МЫ). Для специальных классов
векторных уравнений, соответствующих, например, разностной
задаче Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике, был
предложен модифицированный алгоритм метода матричной йро-
гонки. Этот алгоритм позволяет сократить число действий
до О (МЫ2).
Данная глава посвящена дальнейшему изучению прямых
методов решения специальных векторных уравнений, к которым
сводятся разностные схемы для простейших эллиптических
уравнений. Будет построен метод полной редукции, позволяющий
решать основные краевые задачи с затратой О (МЫ 1о§2 Ы)
арифметических действий. Если не учитывать слабую логарифмическую
зависимость от Ы, то число действий для этого метода
пропорционально числу неизвестных МЫ. Создание этого метода
является существенным шагом в развитии как прямых, так и
итерационных методов решения сеточных уравнений.
Сформулируем краевые задачи для трехточечных векторных
уравнений, решение которых можно найти по методу полной
редукции. Мы будем рассматривать следующие задачи:
121

1) Первая краевая задача. Требуется найти решение уравнения
-У^^СУ^У^^Р^ 1</<ЛГ-1, A)
удовлетворяющее заданным значениям при / = 0 и / = Л/Г
Здесь У}—вектор неизвестных номера /, /^—заданная правая
часть, а С—заданная квадратная матрица.
2) Вторая и третья краевые задача. Ищется решение
уравнения A), удовлетворяющее следующим краевым условиям
при / = 0 и ] = Ы:
(С + 2аЕ)У0-2У1 = Р0, / = 0, ,„.
-*У^г + <Р + 2$Е)У„=Г„, 1 = АГ9 ™
где а^О, |3^0. При а = |3 = 0 формулы C) задают краевые
условия второго рода. Мы будем также рассматривать
комбинации краевых условий, например, когда при / = 0 задано
краевое условие первого рода, а при \ = Ы—третьего или второго
рода.
3) Периодическая краевая задача. Требуется найти решение
уравнения —У;^1 + СУ;-—У/+1 = Р/9 которое является
периодическим, УМЛ.]=У]. Предполагается, что правая часть Р]- также
периодична, РМ+1 = Р1. Эта задача формулируется в следующей
эквивалентной форме: найти решение уравнения
-У1_1 + СУ]—У;+1 = Р1, 1</<ЛГ-1,
-Г„-г + СГ,-Гг=Р09 У>=Г0. D)
К такого рода уравнениям сводятся разностные схемы для
эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных системах
координат: в цилиндрической, полярной и сферической системах.
Помимо основного векторного уравнения A), содержащего
одну матрицу С, мы будем рассматривать первую краевую задачу
для более общего уравнения
-ВУ1_1 + АУ1-ВУ1+1 = Р1, 1</<ЛГ-1. E)
с квадратными матрицами А и В. Подобного рода задачи
возникают при решении разностной задачи Дирихле повышенного
порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
Сформулируем требования на матрицы С, А и В, которые
обеспечивают возможность применения метода полной редукции
для решения поставленных задач A) — E). Для задач A) — D)
будем предполагать, что для любого вектора У справедливо
неравенство (СУ, У)^2(У, У), а для задачи E) —неравенство
(АУ, К)>2EК, К)>0. Здесь используется обычное скалярное
произведение векторов.
122

2. Первая краевая задача. Изучение метода полной редукции
начнем с описания сеточных краевых задач для эллиптических
уравнений, которые могут быть записаны в виде специальных
векторных уравнений A) — E). Пусть на прямоугольной сетке
© = К/ = AНг> /Л.) € С, 0 < I < М, 0 < / < Ы, Нг == 1г/М9 Н2 = 12/Ы)
с границей у, введенной в прямоугольнике О = {0^л;а^/а,
а=1,2}, требуется найти решение разностной задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
Ух1Х±+Ух2х2=—ф (х), х е со, /6)
У{х) = 8(х), х$у.
В § 4 гл. II было показано, что задача F) может быть
записана в виде A), B), где У1—вектор размерности
М—^компонентами которого являются значения сеточной функции
уA, 1) = у(Хц) во внутренних узлах /-й строки сетки со:
Г/=(#О*/),*/B,/), ...,у(М-1,]))9 0</<ЛГ.
С—квадратная матрица размерности (М—1)х(М—1), которая
соответствует разностному оператору Л, где
Ау = 2у—Ыу-1Х1, их <*!</!—Н19
У = 0, ^ = 0, 1г. G)
Правая часть /^—вектор размерности М—1, определяемый
следующим образом:
1) для /-1,2, ..., Ы— 1
^ = (А5фA.Л,«ФB, /), ...,«Ф(Л1-2, /),«ф(Л1—1, /)), (8)
где
ФA,/) = ФA, /) + 72ёГ@,/),
Ф(Л1-1,/) = ф(Л1-1,/) + 4г(Л1, /);
2) для / = 0, #
/7/ = (§A,/)^B,/), ...,^(УИ-1,/)). (9)
Из G) следует, что для рассматриваемого примера матрица С
является трехдиагональной симметричной матрицей.
Рассмотрим более сложную разностную задачу, которая также
записывается в виде уравнений A), B). Пусть на сетке со
требуется найти решение разностного уравнения Пуассона
, ^л + %,,, = -Ф(*). *€со, A0)
123

удовлетворяющее на сторонах хх = О и х1 = 11 краевым условиям
третьего или второго рода
2
-%+%,* =тгх+1У--Ф«
7*2*2 Ну
^.
A2)
и краевым условиям первого рода па сторонах хг = 0, х.2 = 12:
у(х)=§(х), х2 = 0, 12, 0^.х1^.11. Для того чтобы поставленная
задача могла быть записана в виде A), B) с матрицей С, не
зависящей от /, необходимо предположить выполнение условия
Х±1=С0П51.
Сведем эту задачу к A), B). Для этого умножим A0)—A2)
на (—Л|) и распишем разностную производную у-и по точкам
для всех /=1,2 N—1. Получим следующие уравнения:
1) для 1 = 0
-1/@,/-1) + 2
-У@, / + 1) = %@, /);
2) для 1 = 1,2, ..., М—\
—УA, /—0 + [2г/(г, /)—%;Л(*. /)]—уA, / + 1) = Л|фA, /);
3) ДЛЯ I = М
-у(М, /-1) + 2
A+|-х+1)у(М, /) + |-^(М,/)_
-у{М,1 + 1) = кч(М,!)'
Обозначим
Г/ = (уф,1), УA, /), ...,У(М, /)), 0</<ЛГ,
Г1 = (й|<Р @, /), % A,/),..., Л|Ф<М-1, /), Щц> (М, /)), A3)
1</<ЛГ-1,
/7 = (в@,/), ^A, /), ...,ёГ(М, /)), / = 0, #.
В этих обозначениях полученные уравнения записываются
в виде A), B), где квадратная матрица С размерности (М + 1)х
Х(Ж + 1) соответствует разностному оператору Л:
Лг/={ 2у—Щл, Н^х1^11—Н%, A4)
[2A+|-х+1), + М^ * = /,.
Здесь мы снова имеем дело со случаем, когда С есть трехдиа-
гональная матрица. Задание на сторонах ^ = 0,1Х краевых усло-
124

вий третьего рода A1), A2) вместо условий первого рода
приводит лишь к другому определению оператора Л—вместо G) мы
имеем A4). Вид уравнений A) и краевых условий B) при этом
не меняется. Если при хг = 6 вместо условия (И) задано краевое
условие первого рода у(х)=^§ и), а при х1 = 1Х по-прежнему
задано условие A2), тс такая разностная задача также сводится к A),
B). В этом случае
*}= О/О,/). УB, О, ...,»(Л*,/)), 0</<ЛГ,
17 = (АЙA,/), А1<рB,/), ...,й!ф(Л*-1,/), %(М, /)),
1</<# — 1,
где фA, /) = фA, /L-тг§@, /), ф(УИ, /) — значение в соответ-
1
ствующей точке правой части ф из A2), а квадратная матрица С
соответствует разностному оператору Л, где
и у = 0 при хг^=0.
Если краевое условие первого рода задано при хх~1х, а
краевое условие третьего рода A1) задано при ^==0, то в A), B)
*} = (У@,/), УA,/), ...,у(ЛГ—1,/)). 0</<#,
/7-№ф@,/), «ФA, /). ..-,%(М-2,/), %(М-1,/)),
1</<#_1,
где ф(УИ—1, /)==ф(Л1—1, /)+тг#(М, /), а матрица С соответ-
ствует разностному оператору Л, где
Лу~{2(] + %К-*)у-^У^ Х^°' A6)
[2у—И1у;1Х19 Н^х^^ — Ъ
и у = 0 при х{ ==/,.
Итак, мы показали, что если по направлению х2 заданы
краевые условия первого рода, а по направлению хх—любые
комбинации краевых условий первого, второго или третьего рода,
то разностные схемы для уравнения Пуассона в прямоугольнике
записываются в виде первой краевой задачи для трехточечных
векторных уравнений A), B). Матрица С определяется при
помощи разностного оператора Л, который в зависимости от типа
краевого условия на сторонах ^ = 0 и х1 = 11 задается
формулами G), A4) —A6).
3. Другие краевые задачи для разностных уравнений. Тип
краевых условий для уравнения A) полностью определяется
типом граничных условий для разностного уравнения A0) на
125

сторонах прямоугольника х8 = 0 и х2 = /2. Мы рассмотрели случай,
когда на этих сторонах были заданы краевые условия первого
рода.
Рассмотрим теперь другие краевые задачи для уравнения A0),
которые сводятся к векторным уравнениям A), C). Пусть на
прямоугольной сетке со, определенной выше, требуется найти
решение третьей краевой задачи для разностного уравнения
Пуассона. Разностная схема имеет следующий вид:
^?1*1 + ^.^ = —Ф(*). *€со, A7)
|^*, + ^,, = 7|*-1#-ф. *1 = °. A8)
—ХУ* + У*** = Ъ*+'У~*' *1==/*' А«<дс»</.—*!•
у-^лЪ^т^-^-^ х*=°- A9)
Уь^—Ь^Ть***^' Х*==1*' ^<хх<1!-^- B0)
Аппроксимация в уголках сетки имеет специальный вид:
Ъу** + Ьу*' = [ъ*-1+Ъ*-*)у-^ *' = 0, ^ = 0' <21>
-Т^ЛЬ^^^^^Т^-^У-^ ^ = ^.^ = 0, B2)
Т1У*--Е;У*>={ЬЯ-1+Ьк+*)у-У> *1 = 0' ■*. = /«. B3)
-ХЧ-Т;У*>={х*+* + Ь*+*)у-У' *х = '1> ** = '*• B4)
Здесь предполагается, что выполнены условия и±а = сош*, а = 1,2.
Покажем, что задача A7) —B4) сводится к A), C).
Действительно, обозначая через V; вектор размерности М +1
Гу = 0/@,/), */A,/), ...,у{М,1)), 0</<ЛГ
и определяя правую часть /^ для /=1,2, ..., N—1 по
формулам A3), получим из A7) и A8), как и в предыдущем пункте,
уравнения A) с матрицей С, соответствующей Л из A4). Осталось
показать, что условия A9) — B4) могут быть записаны в виде
краевых условий C).
Умножим A9), B1) и B2) на (— Щ) и распишем входящую
в них разностную производную уХ2 по точкам. Получим:
1) для 1 = 0
2[A+^-х.1)у@.0)-^.@,0)] +
+ 2Лах_2#@, 0)-2г/@, 1) = А?ф@, 0),
126

2) для * = 1, 2, ..., М—1
[2уA, 0)-А|%1^A, 0)] + 2/12х_2у(/, 0)-2#(*, 1) = й]ф(*, 0),
3) ДЛЯ 1 = М
\+^к+1)у(М,0)+^у-Х1(М,0)] +
+ 2к2к_2у(М, 0)-2у(М, 1)=А1ф(А!|0).
Если обозначить а = Л2>с_2, то эти равенства могут быть записаны
в векторном виде
(С + 2аЕ)У0-2У1 = Г0, B5)
где П = (/122ф@, 0), А1фA,0), ...,/г22ф(М, 0)).
Аналогично из B0), B3) и B4) находится уравнение
-2У„_± + {С + 2$Е)У^РЮ
где обозначено |3 = Н2к+2 и Рм= (А1ф @, Л/), й|ф A, Ы), ...
..., Н\у(М, Ы)). Итак, разностная схема A7) — B4) сведена
к задаче A), C).
Рассмотрим теперь случай задания некоторых комбинаций
краевых условий на сторонах прямоугольника О. Как было
отмечено выше, задание отличных от A8) краевых условий на
сторонах хг = 0 и х1 = 11 влияет лишь на определение матрицы С.
Если при л;2 = 0 задано краевое условие первого рода, т. е.
вместо A9), B1) и B2) задано у(х) = §(х), л;2 = 0, то условие
B5) должно быть заменено на условие У0 = (р0, где р0 =
= (Я@> 0)» • • •, §{М, 0)). В этом случае трехточечная векторная
краевая задача имеет вид
-К/_1 + СУ}-У>+1 = 1=>> 1</<ЛГ-1,
Уо = Го> B6)
-2У^1 + (С + ЩЕ)У„=Г„.
К аналогичной системе мы приходим и в случае, когда на
стороне х2 = 12 задано краевое условие первого рода, а на стороне
х2 = 0—~краевое условие третьего рода. В этом случае векторная
краевая задача имеет вид
-У^ + С^-У^^Р^ 1</<ЛГ-1, B7)
(С + 2аЕ)У0-2У1=Р0, УК=РМ.
Мы рассмотрели примеры краевых задач для разностного
уравнения Пуассона в прямоугольнике и показали, что им
соответствуют векторные краевые задачи A), B) или A), C), или B6),
B7) с соответствующей трехдиагональной матрицей С.
К указанным векторным краевым задачам сводятся и
разностные схемы для более сложных эллиптических уравнений как
в декартовой, так и в криволинейных ортогональных системах
127

г дг \Г дг)
координат. Приведем примеры. В декартовой системе это
основные краевые задачи для эллиптического уравнения
коэффициенты которого зависят только от одной переменной.
В этом^случае в прямоугольнике С можно вводить прямоугольную
сетку со с равномерным шагом Н2 по направлению х2 и
произвольными неравномерными шагами по направлению хг.
В цилиндрической системе координат такими примерами
являются краевые задачи для уравнения Пуассона в конечном
круговом цилиндре или трубе при наличии осевой симметрии:
д2и ,, ч
0<г0<г<#, 0<г<1.
В этом случае по направлению г можно вводить
произвольную неравномерную сетку, а по направлению г—сетку с
постоянным шагом Н2.
Если для уравнения Пуассона ставится задача отыскания
решения на поверхности цилиндра, т. е.
ЖЗ^ + Т?^-^ф' 2)' 0<ф<2я, 0<г</,
то соответствующая разностная задача сводится к периодической
векторной краевой задаче D), причем по направлению г
допускается произвольная неравномерная сетка.
В полярной системе координат допустимыми являются
разностные схемы для уравнения Пуассона в круге, кольце и
круговом или кольцевом секторах
Для круга и кольца разностная схема сводится к периодической
задаче D), а для секторов — к задачам A), B) или A), C). Здесь
можно ввести неравномерную сетку по направлению г.
К периодической краевой задаче D) сводится разностная схема
дли уравнения Пуассона, заданного на поверхности сферы
радиуса /?:
1 д ( . ади\ . 1 д2и ., а.
^шт[втвж)+н^^^^~п^^е)-
4. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности.
Рассмотрим теперь пример разностной схемы, которая приводится
к более общему, чем A), векторному уравнению^ E). Запишем
на прямоугольной сетке ш = {х^ = (Иг19 /Л2) € О, 0 ^ I ^ М9
128

0</<М, к1М = 119 к2Ы = 12} разностную задачу Дирихле для
уравнения Пуассона повышенного порядка точности
^1+^2,2+!^^^г^а==-(Р^)' *€«>■ B8)
у(х)=е(х)> х€у-
Решение разностной схемы B8) при соответствующем выборе
правой части ц(х) сходится со скоростью 0(к{-]-к$) к достаточно
гладкому решению дифференциальной задачи, если кгФк2, и со
скоростью О (к6), если к1 = к2 = к.
Сведем B8) к краевой задаче для векторного трехточечного
уравнения
Для этого нужно умножить B8) на (—Щу расписать разностную
производную [у Н ~— УхгХг)- по точкам и использовать
обозначения
У/ = (У0./). УB,/). ...,у(М-1,/)),
1*у = (й1фA,/), Л|фB, /), ...,/122ф(Л1-2,/), Л1ф(А1—1, /)),
1</<#— 1,
ФA, /) = ФA. /) + ^(*(°. /) + %^.*.(°> /)) *
Ф(Л4-1>/) = ф(Л4-Ь/)+-1-(в(Л4| ]) + Щ^§^{М9}))
Ч'
BA,1), ёB,1), ...,8(М-1,П). / = 0,#.
В этом случае матрицы В и А соответствуют разностным
операторам Лх и Л, где
Лу = 2у-^^г/-1Х1, А1<^1</1—Л±,
и у==0 для ^ = 0 и х1 = 11. Эти матрицы являются трехдиаго-
нальными и, как нетрудно проверить, перестановочными.
Краевую задачу B9) можно свести к задаче A), B). Для этого
каждое из уравнений B9) нужно умножить слева на 5, если
существует обратная к 5 матрица. Найдем достаточное условие
5 А. А. Самарский, Е. С. Николаев 129

существования В. Очевидно, что обратная к В матрица
будет существовать, если система линейных алгебраических
уравнений
ВУ=Р C0)
имеет единственное решение для любой правой части Р.
В силу определения матрицы В, C0) может быть записано
в виде разностной схемы
КУ = У + ^2^У-Х1Х1==?, Й1<*1</1—А*. C1)
. У@) = у(/0 = 0.
В § 1 гл. II было показано, что если для схемы C1)
выполнены достаточные условия устойчивости метода прогонки, то
решение уравнения C1) существует и единственно при любой
правой части /, причем оно может быть найдено методом
прогонки. Расписывая разностную производную у- х по точкам,
запишем C1) в виде скалярных трехточечных уравнений
— Ая^ + Сы-Вм+^Р!, 1<1<Л1-1, C2)
1 1 \2Н\ 1 6к\
Напомним, что для C2) достаточные условия устойчивости
метода прогонки имеют вид | С( | ^ | А(| +15,-1, г — 1, 2, ..., М— 1.
Из этих условий найдем, что матрица В имеет обратную, если
шаги сетки со удовлетворяют ограничению Н2^.У2Н1. При
выполнении этого условия задача B9) может быть сведена к
задаче A), B) с С = В-М.
§ 2. Метод полной редукции для первой краевой задачи
1. Процесс нечетно-четного исключения. Переходим теперь
к описанию метода полной редукции. Начнем с первой краевой
задачи для трехточечных векторных уравнений
-У^ + С^-У^^^, 1</<#-1,
Идея метода полной редукции решения задачи A) состоит
в последовательном исключении из уравнений A) неизвестных
Ку- сначала с нечетными номерами /, затем из оставшихся
уравнений с номерами /, кратными 2, затем 4 и т. д. Каждый шаг
процесса исключения уменьшает число неизвестных, и если N
есть степень 2, т. е. N = 2п, то в результате процесса
исключения останется одно уравнение, из которого можно найти К#/2.
Обратный ход метода заключается в последовательном нахожде-
130

кии неизвестных У у сначала с номерами /, кратными N/4, затем
#/8, #/16 и т. д.
Очевидно, что метод полной редукции есть модификация
метода исключения Гаусса, примененного к задаче A), в
котором исключение неизвестных происходит в специальном порядке.
Напомним, что, в отличие от этого метода, в методе матричной
прогонки исключение неизвестных происходит в естественном
порядке.
Итак, пусть N = 2", п > 0. Для удобства введем следующие
обозначения: С0) = С, ГH) = р/9 /=1,2, ..., N—1, используя
которые запишем A) в виде
-Уу^ + С^Уу-Уу+^Г^, 1</<#-1, # = 2»,
Рассмотрим первый шаг процесса исключения. На этом шаге
из уравнений системы (Г) для /, кратных 2, исключим
неизвестные У у с нечетными номерами /. Для этого выпишем три идущие
подряд уравнения (Г):
-К/_1 + С<в>К/_1-У) =Г}%
-Уу^ + С^Уу -Г/ + 1 = Р?\
-У] +С^У/+1-У;-+2=Г?;1, / = 2,4, 6,..., N-2.
Умножим второе уравнение слева на С@) и сложим все три
получившиеся уравнения. В результате будем иметь
-У/-2 + С^У/-У/+2 = Г?\ /-2,4,6 N-2,
У0 — ^о> ^ = Рю
где
СA> = [С@)]2 — 2Е,
Г?> = Ррх + С@)#7» + р<#19 I = 2, 4, 6, ..., N-2.
Система B) содержит неизвестные У у только с четными
номерами /, число неизвестных в B) равно N/2—1, и если эта
система будет решена, то неизвестные У у с нечетными номерами
в силу (Г) могут быть найдены из уравнений
С*>Гу = Г<1»+Гу-1+Г/+1, /=1,3,5, ...,#-1 C)
с уже известными правыми частями.
Итак, исходная задача (Г) эквивалентна системе B) и
уравнениям C), причем по структуре система B) аналогична
исходной системе.
На втором шаге процесса исключения из уравнений
«укороченной» системы B) для /, кратных 4, исключаются неизвестные
с номерами /, кратными 2, но не кратными 4. По аналогии
5* 131
«1

с первым шагом берутся три уравнения системы B):
- Г; +С«1»Гу+2- Г/+4 = ^2, / = 4,8,12 N-4,
второе уравнение умножается на СA) слева, и все три уравнения
складываются. В результате получаем систему из к/4—1
уравнений, содержащую неизвестные У;- с номерами, кратными 4:
-Ку_4 + С<2>У;.-К/+4 = /7\ / = 4,8, 12 N-4,
У о == ^о» ^У — ^у"»
уравнения СA)Ку = 1!,}1)+Ку_2+Ку+Я, /-2,6, 10, ...,#—2 для
нахождения неизвестных с номерами, кратными 2, но не
кратными 4, и уравнения C) для неизвестных с нечетными номерами.
При этом матрица СB) и правые части Р(р определяются по
формулам
СB) = [СA)]2—2Е,
Г?> = ГРш + СЬ>гр + Г%%9 /-4,8, 12, ..., N-4.
Этот процесс исключения может быть продолжен. В
результате /-го шага получим редуцированную систему для неизвестных
с номерами, кратными 21\
-У^ + ОнУу-У^^Гу, } = 2*9 2-2', 3-2*, ..., #-2',
5/о==^го> Уы= ^у> D)
и группы уравнений
/ = 2*-», 3-2*-1, 5-2*~1, ...,Ы—2к~\
E)
решая которые последовательно для к = 1, I—1, ..., 1, найдем
оставшиеся неизвестные. Матрицы С(к) и правые части рр
находятся по рекуррентным формулам
С(Л> = [С(*-1)]2— 2Е,
Р^^Р^г + С^^Р^ +Р{№-„ F)
/ = 2*, 2-2*, 3-2*, ...9Ы—2к,
для &= 1, 2, ...
Из D) следует, что после (п— 1)-го шага исключения A = п—1)
останется одно уравнение для У2п-1= У^/2:
С«»-1> Ку = Я/1' + К/. 2»-1 + Г/+ я»-| = ЯГ1' + ^а + ^ /=2«-V
с известной правой частью. Объединяя это уравнение с E),
получим, что все неизвестные находятся последовательно из
132

уравнений
/ = 2*-1, 3-2^-1, 5- 2*-1, ...,Ы — 2к~\ к=п,п—19...,1. ( '
Итак, формулы F) и G) полностью описывают метод полной
редукции. По формулам F) преобразуются правые части, а из
уравнений G) находится решение исходной задачи A).
Описанный метод мы назовем методом полной редукции, так
как здесь последовательное уменьшение числа уравнений в системе
осуществляется до конца, пока не останется одно уравнение
для Ум/*- В методе неполной редукции, который будет
рассмотрен в главе IV, осуществляется лишь частичное понижение
порядка системы и «укороченная» система решается специальным
методом.
2. Преобразование правой части и обращение матриц.
Вычисление правой части Р]к) по рекуррентным формулам F) может
привести к накоплению погрешностей вычислений, если норма
матрицы С4*"* будет больше единицы. Кроме того, матрицы С{к)
являются, вообще говоря, полными матрицами, даже если
исходная матрица С{0) = С была трехдиагональной. А это
существенным образом влияет на увеличение объема вычислительной работы
при вычислении р)к) по формулам F). Для рассмотренных в § 1
примеров норма матрицы действительно будет значительно
превышать единицу, и такой алгоритм метода будет вычислительно
неустойчив.
Чтобы обойти эту трудность, будем вместо векторов Р)к)
вычислять векторы р(к\ которые связаны с Р(к) следующим
соотношением:
^аЦС"^*, (8)
- 1
причем формально положим Д СЦ) = Е9 так что /?}0) == Г<.0) =/у
Найдем рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют
р(к\ Для этого подставим (8) в F). Считая, что
С{1)—невырожденная матрица для любого /, из F) получим
2 д с^рр=п V» \р1-;и+с<*-»1^-» +<-*-.]
или
2С*-1>#*> =р*:$-х + С*-»р*~» 4УД~ V-.- (9)
Обозначая 81к~1} = 2р<1к>— р(к~г\ из (9) получим, что р{& могут
быть последовательно найдены по следующим формулам:
С,*-1M}А-1> ^М +/,<*;*>_,, рЧ» = 0,5 (/><•*-« + 5}М>),
/ = 2*, 2-2*, 3-2*, ...,#-2\й=1,2, ...,п-\,рГ*=Г,.
133

Рекуррентные соотношения A0) содержат сложение векторов,
умножение вектора на число и обращение матриц С{к~1].
Осталось теперь исключить рФ-** из уравнений G).
Подставляя (8) в G), получим
к- 2
_^° A1)
/ = 2*-*,3.2*-1э ...,Ы—2к~\ й = л, п— 1, ..., 1.
Здесь тоже необходимо обращать матрицы С4*"*, но, кроме того,
в правой части A1) появилось умножение матрицы на вектор.
В рассмотренном ниже алгоритме используемый способ
обращения матрицы С(Л~1) позволяет избежать нежелательной операции
умножения матрицы на вектор и реализацию A1) свести к
обращению матриц и сложению векторов.
Рассмотрим теперь вопрос об обращении матриц С{к'г\
определяемых по рекуррентным формулам F)
С<» = [С<*-1>]*—2Е, й=1,2, ...,С<°> = С. A2)
Из A2) следует, что С(к) есть матричный полином степени 2к
относительно С с единичным коэффициентом при старшей
степени. Этот полином через известные полиномы Чебышева
выражается следующим образом:
С<*>=27>
1с), 6 = 0,1,..., A3)
где Тп(х)—полином Чебышева п-и степени первого рода (см. п. 2
§ 4 гл. 1):
( соз(п агссоз х), |д:|^1,
Действительно, в силу свойств полинома Тп(х)
Т,п(х) = 2[Тп{х)]*-1, Т1(х)=х9
из A2) очевидным образом следует A3).
Далее, используя соотношение
/5-2
П 2Г2ф) = 1/я*-1-1(х),
/=о
связывающее полиномы Чебышева первого рода с полиномом
второго рода 11п{х), где
51П ((я 4-1) агссоз л:) . . ^ «
. 81 п (агссоз д:) ' ' '^ '
2у^_Д(*+^^"+М*Ч4^^)-*+Ч1*|>1,
134

легко вычислить произведение полиномов Сш
к — 2
ДС<г> = ^2Й-_1(|с). A4)
Итак, явное выражение для С{к) и Ц Сш получено,
/ = о
Для дальнейшего нам потребуется лемма 6 (см. п. 5 § 4 гл. II).
Согласно лемме 6 любое отношение §т {х)Цп (х) многочленов без
общих корней в случае п > т и простых корней /я (х)
разлагается следующим образом на элементарные дроби:
п
8т (х) у аг __8т(хд
где х1— корни полинома !п(х).
Используем лемму 6 для разложения отношений \/Тп(х) и
Уц-г {Х)/Тп{х) на элементарные дроби. Корни полинома Тп(х)
известны:
х1 = со5B1~1)п, /=1,2, ...,я, A5)
и в этих точках полином Vп^1 (х) принимает отличные от нуля
значения
п /~\—5{п(п агсС05 *д — (—1У+1 /1 о п
"п-1КХ1)- 81П(аГСС05^) " . B/—1) » 1—1,4,...,П.
V " 81П 1——I я
2п
Поэтому, используя соотношение Т'п(х) = п11 п-1(х), из леммы 6
получим следующие разложения:
/ 14/4.1 • B/—1)я
/=1
72
= ^ *(*-*,)' (П)
Цп-г(х)_
ТпМ ^п(х-Х1)'
где х1 определено в A5). Необходимые разложения найдены.
Получим теперь выражения для матриц [С4*"*]""* и
к-2
[С(Л)]~1П Си) через матрицу С. Из A3) и A4) с учетом раз-
/ = о
ложений алгебраических полиномов A6), A7) получим
[с«-«]-»ДС«'-р^2(с-2сов2Ь^^-
/ = 0
/=1
135

Найденные соотношения позволяют записать в следующем
виде как формулы A0):
5}*-» = 2П«(, м-гСЪ-г (/>№> +/#;г)-.),
р^ = 0,5 (/>?-»+ 5}*»), A8)
/-2*, 2-2*, 3-2*. ...,Ы—2к, й=1,2, ...,п— 1,
так и формулы A1):
Г0 = Г„ УК=РЫ, A9)
/ = 2*, 3-2*-», 5-2*-\ .... ЛГ—2*~»,
к—п, п— 1 1,
где обозначено
с„м=с-«»й=!1-Ч а,„., = Ь^!1пРЬй-». B0,
Итак, получены преобразованные формулы A8), A9),
описывающие метод полной редукции решения задачи A). Эти
формулы содержат только операции сложения векторов, умножения
вектора на число и обращения матриц.
Заметим, что если С—трехдиагональная матрица, то трех-
диагональной будет и любая матрица С/|Л-1- Задача обращения
таких матриц была решена в главе II. Далее, если для
матрицы С выполняется условие (С К, К)^2(К, К), то из B0)
следует, что матрицы Сик будут положительно определенными, и,
следовательно, будут иметь ограниченные обратные. Тогда из
разложения [С4*-1*] получим, что для любого к ^ 1 матрицы С{к)
не вырождены. Напомним, что это предположение
использовалось при получении формул A0).
§ 3. Алгоритм метода. Полученные выше формулы A8), A9)
служат основой для первого алгоритма метода. Рассмотрим
прежде всего, какие промежуточные величины и на каком этапе
должны вычисляться и запоминаться для последующего
использования.
Анализ формул A9) показывает, что при фиксированном к
для вычисления Уу используются векторы р(/*~1) с номерами
] = 2к~1, 3-2*-1, ..., N — 2*-1. Любой вектор р(/у с тем же
номером /, но меньшим, чем к—1, номером /, является
вспомогательным и запоминается временно. Поэтому определяемые на
/г-м шаге по A8) векторы рр могут размещаться на месте р^~х\
равно как и неизвестные У), вычисляемые по A9). Метод не
требует дополнительной памяти ЭВМ — все векторы р(к)
размещаются на том месте, где затем будут размещаться К;.
136

Проиллюстрируем организацию вычислений в
рассматриваемом алгоритме на примере. Пусть N = 16(п = 4). На рис. 1
показана последовательность вычисления и запоминания
векторов р)к). Заштрихованный квадрат означает, что для указанного
V
Г
/
2
5
рУ
р?
Р?
р?
11 г 15 и
\?Л&
I «У и I 7 I 8
5 I Я7 I // \111 /3 1 /4 [ # 1
'Жр^\
Рис. 1.
л ■/
г
г
2
/
Я
Р?
У]
р?
У]
р?
У]
р<0)
Л,.
0
/
1
3
4
5
6
V
8
3
10
11
11
15
/4
15
16 \
1йй1
_
Рис. 2.
значения индекса к запоминается для последующего
использования вектор р(к) с соответствующим номером /. Соответственно,
незаштрихованный квадрат означает, что р{& является
вспомогательным и запоминается на указанном месте временно. Стрелки
указывают, какие векторыр\к~Х) используются при вычислениир(к).
В результате прямого хода метода будут запомнены
следующие векторы р)к):
П@> пA) л@) ЛB) п@) яA) л@) -,C) „(О) -,A) -,@) лB) „@) пA) л@)
/>1 у //2 >^3 )^ > ИЪ у Р% у Р1 у Рв у Ръ » А'Ю » /'11 > />12 » РгЗ У Ри у РхЬ •
Они используются для вычисления У] на обратном ходе метода.
Па рис. 2 показана последовательность вычисления
неизвестных Ку (символическое обозначение о). Стрелками указано,
137

какие Ку, найденные на предыдущих шагах, и какие р^'1)
(символическое обозначение ^ используются для вычисления У*
при заданном к.
Переходим теперь к описанию алгоритма метода полной
редукции. Прямой ход метода, согласно A8), реализуется
следующим образом:
1) Задаются значения для р(^ = р'/9 /=1, 2, ..., Л^— 1.
2) Для каждого фиксированного к= 1, 2, ..., п—1 при
фиксированном / = 2Л, 2-2Л, ..., Ы—2ксначала вычисляются и
запоминаются векторы
Затем для /==1,2, ..., 2*™1 решаются уравнения
С|.*-Л=а!.*-1<Р- B2)
В результате постепенным накоплением результата на месте
р^~1} находится рр
р?} = 0,5 (/>}*-»+ *! + *,+ • • • + 0.М- B3)
Обратный ход метода, согласно A9), реализуется следующим
образом:
1) Задаются значения для У0 и У^. У^ = Р0, у]^=р^
2) Для каждого фиксированного к = п, п—1, ..., 1 при
фиксированном / = 2Л> 3-2*-, 5-2*-1, ..., Ы—2к~1 вычисляются
и запоминаются векторы
ф= К,_2*-1+ К/+а*-., +=р}*-1>. B4)
Затем для /=1,2, ..., 2й решаются уравнения
С/.*-Л = + +а|.*-1ф- B5)
В результате постепенным накоплением значений на месте
р(к-1) находится вектор неизвестных У/
У^юг + ю%+... +*.*-». B6)
Подсчитаем теперь число арифметических действий,
затрачиваемых на реализацию описанного алгоритма. Пусть
размерность вектора неизвестных У]- есть М, а через с\ обозначено
число действий, требуемых для решения уравнения вида B2)
или B5) при заданной правой части. Будем считать, что
величины аи к заранее найдены.
Подсчитаем сначала число действий С}^ затрачиваемых на
прямом ходе. При фиксированных к и / на вычисление
вектора ф по формулам B1) потребуется М операций. Далее, для
каждого / на вычисление правой части в B2) и на решение
уравнения B2) потребуется М + д операций. Поэтому на
нахождение всех Ч)г потребуется 2к~х (М + ф действий. Вычисление/^
по формуле B3) осуществляется с затратой 2кМ + М действий.
138

11так, для вычисления рр для одного к и / нужно затратить
Л1 + 2*-1BМ + <7) операций.
Далее, при каждом фиксированном к нужно вычислять Ы/2к— 1
различных рр. Следовательно, общее количество действий С}19
затрачиваемых на реализацию прямого хода, равно
= (М + 0,5<7)#п—(М + ^М—М(п— 1) + ?- B7)
Подсчитаем теперь число действий С}2, затрачиваемых на
обратном ходе. При фиксированных к и / на вычисление по
формулам B4) потребуется М действий, на нахождение всех ьг
в B5) — BМ + <7J*-1 действий и на вычисление У/ По
формуле B6) — B*—1)Л1 действий. Так как число различных
значений /, для которых при фиксированном к проводятся
указанные вычисления, равно Ы/2к, то С}2 равно
<22 = ^[М+BМ + дJ*-1 + B*-1-1)М]т}; =
= A,5М + 0,5<7)ЛГп. B8)
Складывая B7) и B8) и учитывая, что п = 1о§2М, получим
следующую оценку для числа действий метода полной редукции,
реализуемого по приведенному выше алгоритму
^ = ^1 + ^2 = B,5М + ^)N\оё2N-(М + ^)N-М(п-^) + ^. B9)
Из B9) следует, что если <7 = 0(М), то ($ = 0(ММ\о^2Ы).
4. Второй алгоритм метода. Главным достоинством
построенного алгоритма является минимальное требование к памяти
ЭВМ—он не требует дополнительной памяти для хранения
вспомогательной информации. Это качество достигается ценой
некоторого увеличения объема вычислительной работы, которая
затрачивается на повторное^ вычисление промежуточных
величин. Рассмотрим еще один алгоритм метода, который
характеризуется меньшим объемом вычислительной работы, но который
требует дополнительную память, сравнимую по величине с общим
числом неизвестных в задаче.
Для построения второго алгоритма вернемся к формулам F), G),
описывающим метод полной редукции:
Г? = Г*:$-, + С<*-*> Р^ + Г*;^ , F')
/ = 2*, 2-2*, 3-2*, ...,#—2*, 6=1,2, ...,л—1,
С<*-»> Г, = Р}к-" + V,- 2*-4 + К/+ 2а->,
'о — *о» ^== Ую G')
/«2*-*,3-2*-1,б-2*-\ ...,Ы-2к-\ к = п,п—1 1.
139

Здесь, как и в первом алгоритме, векторы Р(к) непосредственно
не вычисляются, а вместо них определяются векторы р(к} и д(к\
связанные с Р(к) следующим соотношением:
р ф) _ Г(к).пф) _]_ пф)
/ = 2*, 2-2*, 3-2*, ..., Ы—2к, й = 0, 1, ...,л—1. 1 '
Найдем рекуррентные формулы для вычисления векторов р(к) и
д^К Так как вместо одного вектора /^ мы ввели два вектора,
то имеется определенный произвол в определении р{к) и д)к).
Выберем р{р и дH) так, чтобы удовлетворить начальному
условию Р^^Ру. Для этого положим
^о) = 0, дГ = ?}; /=1,2, ...,ЛГ-1. C1)
Далее, подставляя C0) в F'), получим
С<*>рЧ* + 4Г> = С<*-" [д?~» +р*:$-г + С<*-«р}*-*> +/^,1Л +
+ <^-»+*?+".*-- / = 2*,2.2*, ..., Л^—2*,й=1, 2,..., /1-1.
Выбирая
«5») = 2р<*> + ^_-Д>_, + ^., C2)
и учитывая, что С(*) + 2Е = [С(*~1)]а> найдем отсюда
С(*-«р|*) = дФ-^+р^'^ +с<*-1>/,(*-1> +/>}*^. C3)
Здесь мы снова предполагаем, что Сш для любого / есть
невырожденная матрица.
Обозначая 8(к~1)==р(к)—р(к~1\ получим из C1)—C3)
следующие рекуррентные формулы для вычисления векторов р)к> и д)к}:
С^-1M(./г-1) = /7(^-1L-^) А-П^'1)
<- **/ Ч] -ГР1-2к-1-ГР1 + гЬ-1*
рф)^рф~1) + §(к-1)9 V**)
^^г^+^-. + О-»
/ = 2*. 2-2*, 3-2*. ..., #-2\ А=1, 2, ..., л-1.
Осталось исключить /?)*-1) из формулы G'). Подставляя C0)
в G') и обозначая ^~^=,у.—р^\ получим следующие
формулы для вычисления К/
С*-Щ)Ь-ъ = Я<^+ !%,*-.+1%;*-,,
^=рГ1)+^-1),
/ = 2*-», 3-2*-», 5-2*-», .... Ы-2*-\к=*п, л-1 1.
140
C5)

Итак, мы получили формулы C4), C5), на которых
основывается второй алгоритм метода полной редукции. Эти формулы
содержат операции сложения векторов и обращения матриц С{кшт1К
Остановимся теперь на вопросе обращения матриц С(Л_1).
Как было показано выше, матрица С{к) есть полином 2к степени
относительно исходной матрицы С и определяется по формуле
A3) через полином Чебышева первого рода Тп(х):
С<*> = 27>
м-
причем коэффициент при старшей степени равен единице. Так
как корни полинома Тп(х) известны (см. A5)), то Сш можно
представить в следующем факторизованном виде:
Ст-й(С-2со5^ТГЕ} к = *'1' •-
Используя обозначения B0), матрицу С(^) можно записать в
следующем виде:
С,и,= ПСг,и, С|,Л.1 = С-2соз2У^Л. C6)
1=1
2к
Факторизация C6) позволяет легко решать уравнения вида
С(А)гг = ф с заданной правой частью <р. Следующий алгоритм
дает решение этой задачи путем последовательного обращения
множителей в C6):
*о = <Р> Си к-М = *>1-ъ /-1,2,..., 2*,
причем <о = уф-х. Этот алгоритм мы будем использовать для
обращения матриц С{к~х).
Опишем теперь второй алгоритм метода полной редукции.
Прямой ход метода реализуется на основании C4) следующим
образом:
1) Задаются значения для #}0): ф0) = р/9 / = 1, 2, ..., N—1.
2) Первый шаг для к = 1 осуществляется отдельно по
формулам, учитывающим начальные данные р(Р = 0. Решаются
уравнения для р{^ и вычисляются 0}1*:
СРГ = 1?\ 37)
4Г = 2/ф + ф + ф, / = 2,4,6 N-2. *0/'
3) Для каждого фиксированного к = 2, 3, ..., п—1
вычисляются и запоминаются векторы
V^-^^1)+Р%^+Р%-^ /=2*. 2-2*. 3-2*. ..., N-2*. C8)
Затем при фиксированном / = 1, 2, 3, ..., 2к~г для каждого
/ = 2\ 2-2*, 3-2*, ..., Ы — 2к решаются уравнения
Си ы-г*Р = <*!-» C9>
141

с одной и той же матрицей, но разными правыми частями.
В результате будут найдены векторы ю(*к~1) (в формулах C4)
этим векторам соответствуют 5}А;~1)). Векторы р(/° и д}Л)
вычисляются по формулам
*}*> = 2Рр + ф,)и + д%-$_» D0)
/ = 2*. 2-2*, 3-2*, ..., ЛГ—2*.
Обратный ход метода реализуется согласно C5):
1) Задаются значения для У0 и Ум\ У0 = Р01 УМ=РМ.
2) Для каждого фиксированного к = п, п—1, ..., 2
вычисляются и запоминаются векторы
/ = 2*-\ з-2*-\ 5-2*-\ ..., ы-~2к-к D1)
Затем при фиксированном / = 1, 2, ..., 2*-1 для каждого / = 2*,
3-2*"*, 5-2*, ..., Л/ — 2*-1 решаются уравнения
С|1*-1<, = <1)- D2)
В результате находятся векторы ю/2'~1) (в C5) им соответствуют
векторы {1к~1)). Далее вычисляется Ку- по формуле
У/=р(ь-^) + V<}2к-1\ /-2*, 3-2*, 5-2*, ..., ЛГ—2*-».<43)
3) Последний шаг обратного хода для к=1 осуществляется
решением уравнения
СКу = ^°>+Км+К/+1> /=1, 3, 5, ..., N-1. D4)
Замечание к алгоритму. Все вновь определяемые по
формулам C7) и D0) векторы р)к) размещаются на месте р)к~1}.
Все векторы ъI) в формулах C8), C9), D1), D2), вновь
определяемые по формулам C7), D0) векторы <7^\ а также решение У]
из D3) и D4) размещаются на месте д)к'^}. Следовательно, этот
алгоритм требует память ЭВМ в 1,5 раза больше, чем число
неизвестных в задаче.
Уменьшение объема вычислительной работы в данном
алгоритме по сравнению с первым алгоритмом основано на том, что
при решении серий задач C9) и D2) для различных / с
одинаковыми матрицами С1%к_± полный объем работы затрачивается
при решении лишь первой задачи из серии, а при решении
каждой последующей задачи потребуется уже значительно меньше
арифметических действий. Приведем число действий для второго
алгоритма, обозначая, как и раньше через ц—число действий,
затрачиваемых на решение уравнения вида C9) или D2) при
заданной правой части, а через ц—число действий для решения
того же уравнения, но с другой правой частью (?<?)•
142

<г.=^:{^+И^-1)']2,~,}
/г=1
Количество действий, затрачиваемых на реализацию прямого
хода, равно
«.=1;^A~')+['+'№-2)]2*-'}-зм^-1)=
= 0,5^/1 +@,5^—1,5^ + 4,5^)^ —6М/1—(ц—2? + ЗЛ1),
а обратного хода
МЫ ^
2 ^
= 0,5дЛГл + (д—д+2,5М)ЛГ—<7 + д—ЗМ.
Общее число действий для второго алгоритма равно
е = <г1 + <2,=
= 9ЛПо§2# + A,59 — 2,5? + 7ЛГ)# — 6Л4/г—2? + 3? — 6Л1. D5)
Из оценки D5) следует, что если <7 = 0(М), то 9 = 0(Л1) и
ф==О(Л4ЛПо&2Л0, причем здесь коэффициент пр_и главном члене
МЫ\о^2Ы меньше, чем в оценке B9), так как д<9-
Кратко остановимся еще на одной особенности второго
алгоритма. Если в первом алгоритме обращение матриц С(к~1]
осуществлялось обращением множителей Си Л_х и последующим
суммированием результатов, то во втором алгоритме происходит
последовательное обращение множителей и результат получается
после обращения последнего множителя. С точки зрения
реального вычислительного процесса, который учитывает погрешности
округления, порядок обращения множителей Си к_г во втором
алгоритме является существенным. С аналогичной ситуацией мы
встретимся в главе VI при изучении чебышевского итерационного
метода.
Можно рекомендовать следующий порядок обращения матриц
Си Л_г Матрице С{к~1] поставим в соответствие вектор 62/г-1
размерности 2*, компонентами которого являются целые числа от
1 до 2к~1. Пусть
02*-1 = {92л-1A), е2л-1B), ..., 9яа-1 B*-1)},
т.е. 1-й элемент вектора 62*-1 обозначен через 02/г-1(/). Число
02/г-1 (/) определяет очередь обращения матрицы С1%к^г.
Вектор 62/г-1 строится рекуррентно. Пусть 62^={2, 1}. Тогда
процесс удвоения размерности вектора описывается следующими
формулами:
е,.={е..(«-з)=ешB*-1), еад(«-2)=ежB*-1)+т,
в2я(«-1) = ввB0 + /и, 6^D0 = 9,B0,
1=1, 2 т/2}, т = 2, 4, 8, ...
143

Пример: 81в = {2, 10, 14, 6, 8, 16, 12, 4, 3, 11, 15, 7, 5, 13,
9, 1} и, следовательно, матрица С6| 16 будет обращаться
шестнадцатой, а матрица С12ш1в—седьмой.'
§ 3. Примеры применения метода
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. Рассмотрим применение построенного выше
метода полной редукции к нахождению решения разностной задачи
Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Как было
показано ранее, разностная задача
У(х) = е(х)> Х$У>
заданная на прямоугольной сетке со = {х{] = (Нг1У ]'к2), 0 < * <! М,
0^/^.лУ, кхМ~1х% к2М = 12\, записывается в виде первой
краевой задачи для векторных трехточечных уравнений
-У^ + СЪ-У^-Р^ 1</<ЛГ-1, A)
Здесь
У} = (г/A, /), уB, /), ..., у(М-19 /)), 0</<ЛГ,
—вектор неизвестных, компонентами которого являются
значения сеточной функции у{1, /) на /-й строке сетки,
^> = (Л2ФA, /). А1фB, /) Л5ф(Л1-2, /), «ф(М-1, /)),
1</<ЛГ— 1,
Ъ = (ёA, /). 2B, /), •••, ё(М-1, /)), / = 0, Ы,
где
ФA,/) = ФA./) + 4-в@, /),
?(А1—1, /) = ф(Л1 —I, /) + 4гйГ(Л«, /)•

Квадратная матрица С соответствует разностному оператору Л,
где
# = 0, ^ = 0, /1Э
так что
СУ) = (ЛуA, /), Лг/B, /),..., Лг/(М-1,/)).
Задача A) может быть решена любым из двух приведенных выше
алгоритмов метода полной редукции. Основным этапом этих
алгоритмов является решение уравнений вида
Сии-У=Р> С1,к.1 = С-2со5^^Е B)
144

с заданной правой частью Р. Здесь V— вектор неизвестных,
у=фA), VB), ..., ь{М— 1)) размерности М —1 (для
упрощения записи индекс у V VI Р опущен).
Напомним, что число действий, затрачиваемых на решение
задачи A) по первому алгоритму, определяется числом действий с/,
требуемых для решения уравнения B) (см. B9) п. 3 § 2), а по
второму алгоритму—в основном числом дополнительных
действий <7, которое требуется затратить на решение уравнения B),
но с другой правой частью (см. D5) п. 4 § 2).
Для рассматриваемого примера приведем способ решения
уравнения B) и оценим д и д. Из определения матрицы С
следует, что решение уравнения B) эквивалентно нахождению
решения следующей разностной задачи:
2A-соз2^)О-/ф-Л=-/@. 1<*<Л!-1,
V(^)=V(М) = о9
где /(*) = /; — 1-я компонента вектора Р. Расписывая разностную
производную ю-х По точкам, запишем C) в виде обычного
трехточечного разностного уравнения для скалярных неизвестных
V{^) = V^:
—V^-^ + аV^—V^+1 = Ь}^9 1<*<М— 1,
л D)
где а = 2 \1+Ь П—соз( Т» ) » ^ = ~Г' Задача D) является
специальным случаем трехточечных краевых задач, методы
решения которых были изучены в главе П. Было показано, что
эффективным методом решения задач вида D) является метод
прогонки. Приведем расчетные формулы метода прогонки для
задачи D):
а/+1=1/(а—а,), *=1, 2, ..., М — 1, а1 = 0,
Рл.1=0// + Р/)а/+1. '=1.2, ..., М-1, р1=:0,
V^ = а^+1V^+1 + $I+1, ь = М — \> М—2, ..., 1, Vм = 0.
Из этих формул следует, что задача D), следовательно, и
уравнение B), при заданных а и Ь могут быть решены с затратой
с/ = 7(М—1) действий. Для решения уравнения B) с другой
правой частью Р прогоночные коэффициенты а{ пересчитывать
не нужно, и поэтому дополнительное число действий ц равно
<7 = 5G14—1). Эти действия будут затрачены на вычисление C,- и
на нахождение решения *;,.. Отметим, что метод прогонки для
D) будет численно устойчив, так как достаточное условие
устойчивости метода к ошибкам округления, имеющее в данном
случае вид а>2, выполнено.
145

Подставляя *ц в оценку B9) п. 3 § 2 для числа действий
первого алгоритма, получим, удерживая главные члены, фA)^>
»9,5МЛПо§2М— 8МЫ. Для второго алгоритма из оценки D5)
п. 4 § 2 получим следующую оценку для числа действий: ф{2)»
«5Л1ЛПо§2М + 5ЛШ. Итак, для каждого из рассмотренных
алгоритмов число действий метода полной редукции,
применяемого для решения разностной задачи Дирихле для уравнения
Пуассона в прямоугольнике, есть величина порядка О (МЫ 1о§2Л0,
причем для второго алгоритма требуется меньше арифметических
действий. Например, для УИ = М = 64 получим <2Ш« 1,4<2B) и
для Л1 = Л/' = 128 соответственно ^A) ^^ 1,46^B).
Мы не будем приводить расчетные формулы для алгоритмов
решения указанной разностной задачи, так как на векторном
уровне они подробно описаны в § 2.
В п. 2 § 1 были приведены примеры других разностных
краевых задач, которые сводятся к задаче A). Они отличаются от
рассмотренной задачи Дирихле типом краевых условий на
сторонах прямоугольника при х1 = 0 и хг = 11У что приводит к
различным матрицам С. Так для задачи A0) — A2) п. 2 § 1 с
краевыми условиями третьего или второго рода при ^ = 0, 1Х
уравнение B) эквивалентно разностной задаче
«Л • Л* B/ — 1)я\ 2/*| с . А
\ ^ *1 +1 2* / Т /I! Х1 '
Эта задача в обычной трехточечной форме имеет вид
—V^-1 + аV^—V^+1 = Ь[^9 1 <1 <М —1,
0о = ^Л + 1*1. E)
VМ =К,1;л!-1 + |Ха,
где
ц ^ 2 к - 2 ц - */о ц - ЬЫ
** а + 2М-1 ' 2 а + 2М+1 ' Н'1 « + %-! ' ^2"а + 2М+1 •
а а и 6 определены выше.
Так как а > 2 и х± 1 > 0, то 0 < \ < 1 и 0 < к2 < 1, и
метод прогонки решения задачи E) будет также устойчив, а
алгоритмы метода полной редукции и в этом случае будут требовать
0(МЫ\о§21\1) арифметических действий.
2. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности.
В п. 4 § 1 разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона
146

повышенного порядка точности
была сведена к первой краевой задаче для неприведенного
трехточечного векторного уравнения
-ВУ/.1 + АУ/-ВУ;-+1 = Р/, ККМ-1.
Квадратные матрицы В и А размерности (М—1)х(Л1—1)
соответствуют разностным операторам Лх и Л, где
А1У = У + '^±Ух1х^ Л1<л:1</1-/11,
и у = 0 для хг = 0 и л:1 = /1.
Было показано, что если выполнено условие Н2^У2Н19 то
уравнения F) приводятся к стандартному виду
К0=Ф0, Г^Ф^, *''
где С = В-М, Ф. = В-1Р}., 1</<Л/"—1 и Ф^/^для / = 0, ЛГ.
Кроме того, было отмечено, что матрицы А я В перестановочны.
Для решения G) используем первый алгоритм метода. Так
как матрицу С1>к_х можно записать в виде
*' * 2* \ 2* /
то формулы A8), A9) § 2, определяющие первый алгоритм,
принимают следующий вид:
/></> = 0~5(^-1' + 5^-1»),
/ = 2\ 2-2й, .... #—2*. 6=1,2, .... я —1,
1=1 Ч
Л-2соз B/~!)" В)-1 В [/^-Х) +
+ а/. *-1 A7-1*-« + К/+1*-|)],
Г0 = Г0, 1^=/^, / = 2*-1, 3-2*-», .... #—2*-*,
А = 71, 71—1, ..., 1.
147

Чтобы избежать обращения матриц В при задании рH) и
умножения р^~Х)__ на матрицу В при вычислении У}, сделаем
замены, полагая р^ = Вр(;к), 5}Л) = 55/^. Тогда с учетом
перестановочности матриц А и 5, а следовательно, и матриц
(А — 2 соз( ~~ п В \ и Б, написанные выше формулы примут
вид (черта сверху у р)к) и 5(/} опущена):
р5г*> = 0,5 (р}*-1> + 5^~1>). / = 2*. 2 - 2* ЛГ—2*, й = 1, 2, ...,я—1,
Рф) = Р.
Гу = %(А-2сов2Ь^Ву1[рГ»+*1Л-гВ(У;._^+Г;+21<-,I
Г0 = /?0(Г* = /^/ = 2*-1,3.2*-\...,ЛА-2*-1,*==п,п--1)...,1.
Полученные формулы порождают следующие изменения в
первом алгоритме: формула B1) § 2 заменяется на
ф==в(^;*.-,1*)-,+р/*;*-о.
а вместо уравнений B2) решаются уравнения
с вычисленным ф. Аналогично B4) заменяется на
а вместо B5) решаются уравнения
(Л-2со5B/^1)яд)р| = 1|)+а/>^1ф.
Следовательно, для рассматриваемой задачи основным этапом
алгоритма является решение уравнений вида
(Л-2созB/~1)яд) У=Р (8)
с заданной правой частью р. Используя определение матриц А
и В при помощи разностных операторов Л и А19 получим, что
(8) эквивалентно нахождению решения следующей разностной
задачи:
2(,-соз!^)„-(*1^+%1соз<2-1_»)„.,1 = ,, „
ив

Расписывая это уравнение по точкам, получим первую
краевую задачу для скалярного трехточечного уравнения
—0,-1 + ли,—0,+1 = 6//> 1 < * < М—1, ш)
V0 = Vм = 0,
где
.-*[!+» A-»1!^)].
6
6Л?
5Л1—л|+(л!+л|) соз B/")я'
2к
Разностная задача A0) может быть решена методом прогонки,
который будет численно устойчив, если выполнено достаточное
условие |а|>2. Покажем, что для любых Нг и Н2 это условие
выполнено. Действительно, если кг и йя таковы, что выполняется
неравенство
2 ^совР"-')"
^^5+соз^-1)"' (П)
то 0<Ь^оо и, следовательно, а > 2. Заметим, что при
равенстве в A1), коэффициент при х% в (9) обращается в нуль, и V
может быть найдено из (9) по явной формуле.
Если A1) не выполнено, то для Ь верна оценка
Ъ< — 6/[ 1—соз
,B/—1)я
2*
)
и, следовательно, а< —10. Утверждение доказано.
Итак, для решения разностной задачи Дирихле повышенного
порядка точности можно применить метод полной редукции с
оценкой О (МЫ 1о§2 Л0 арифметических действий.
§ 4. Метод полной редукции для других краевых задач
1. Вторая краевая задача. Выше был изучен метод полной
редукции решения первой краевой задачи для трехточечных
векторных уравнений. Изучение метода для более сложных
краевых условий начнем с рассмотрения второй краевой задачи.
Пусть требуется найти решение следующей задачи:
СГ9-2Г1 = Р09 / = 0,
-Г/-1 + СКу-Гу+1 = #^ 1</<#-1, A)
где # = 2", п>0.
149

Процесс последовательного исключения неизвестных в A)
осуществляется так же, как и в случае краевых условий
первого рода. Именно, для четных / будем иметь уравнения
-Г^ + С^-Г^^Гр, / = 2, 4, 6, ..., ЛГ-2, B)
а для нечетных / — уравнения
С(о)Гу==/7(о) + к^1 + Гу+1> /=1,3,5, ..., АГ-1, C)
где, как и раньше, используются обозначения
р^ = /^Л + О0)Р^ + Р$19 СA) = [С<°>]2—2Е,
Непреобразованными остались уравнения системы A) лишь
для /==0 и } = Ы. Исключим из указанных уравнений
неизвестные У/ с нечетными номерами /. Для этого используем два
соседних уравнения. Выпишем уравнения для / = 0 и / = 1:
О0)У0—2У1 = Р@°\ — Г0 + С™Гг— У2==Р[0).
Умножим первое уравнение слева на С@), а второе — на 2,
сложим получающиеся уравнения и найдем
С<1>К0-2К2 = /Т, D)
где Р@1) = С{0)Р@0) + 2Р[0). Аналогично получим уравнение
-2У^2 + 0»У„=Р%\ E)
где Рф^Рф-г + С^Рф.
Объединяя B), D) и E), получим «укороченную» полную
систему уравнений для неизвестных с четными номерами /',
имеющую аналогичную A) структуру:
С™Г0-2ГШ=П\ / = 0,
-У^ + С^Уу-У^^Р^, / = 2, 4, 6, ..., N-2,
-У„-2 + С"У„=Р№, ] = Му
и группу уравнений C) для неизвестных с нечетными номерами /.
Продолжая описанный процесс исключения неизвестных
дальше, после л-го шага исключения получим систему для У0 и, Ум\
С*У0-2У„=Р[п\ —2Г0 + СП)У„=Г№ F)
и уравнения для определения остальных неизвестных:
0*-«Ку = Я*-1) + У/.,*-1+У/+яА-1> G)
/ = 2*-1,3.2*-1, 5-2*-1, .... Ы — 2к'\ к = п, я—1, ..., 1,
150

где Ру и Сш определяются рекуррентно для &=1,2, ...,/г:
р*> = сь-ир?-1* + 2Р[кГ-\\
/ = 2*. 2-2*, 3-2*. ..., #— 2*, (8)
С(*> = [С(*-1>р—2Е.
Итак, нужно решить систему F) и затем последовательно из
уравнений G) найти все остальные неизвестные.
Здесь, как и во втором алгоритме метода полной редукции,
применяемого в случае первой краевой задачи, вместо векторов
Р{к) будем определять векторы р{к) и д^\ связанные с р)к)
соотношением
/ = 0, 2*, 2-2*. 3-2*, .... Ы—2к, Ы, Л = 0, 1, .... п. (9)
Из (8) найдем, как и раньше, что /?<•*> и лF> для /^=0, N могут
быть найдены по формулам
«Г = 2Р<*> + </Д-Д>- + О-» (Ю)
/ = 2*. 2-2*. .... #—2*. /г=1, 2 я —1,
Найдем теперь формулы для /><*> и <7<.*> при / = 0, N.
Подставляя (9) при /==0 в (8) для Р@к\ получим
Выбирая <#|*) = 2/?&*> + 20<Д-11> и учитывая равенство A2) п. 1 § 2,
найдем уравнение для р^
С<*-1>/»{*> = С'*-!^-1' + ^*~и + 2/ф-V.
Итак, векторы р{,*} и д^} могут быть найдены по следующим
рекуррентным формулам:
С,А-1»5<6-1,=^-1,+2;С,(Д-1)(
/,</г)=р(«г-1)+5(*-1>,
< = 2р* + 2^-V, к = 1, 2, ..., п, (И)
яГ~Ро, Р(о0, = 0.
151

Формулы для р$ и ф$ получаются аналогично:
^^К'Н-2^:;^,, /г=1,2 п, О2)
Итак, формулы A0) —A2) позволяют полностью найти все
необходимые нам векторы р^.к) и д^кК Осталось исключить р№ из
F) и G). Подставляя (9) в G), получим следующие формулы
для вычисления К/
К/==/|(*-п + *р-1>. A3)
/ = 2*-*, 3-2*-\ 5-2*, ..., М-2*-1, й = л, л —1, ..., 1.
Осталось найти К0 и У^ из F). Но прежде заметим, что из (И)
и A2) при й = /7 следуют равенства
«Г = 2/С + 2?#-1>, ^ - 2/>#> + 2«фД>,
т. е.
№-д№ = 2(Р™-рМ). A4)
Далее из (9) и A4) получим, что
Н0- *=№ = сы (Р™-/^) + ЯГ-вДО = (С(я) + 2Е) (рГ-р^).
Учитывая формулу A2) п.1 § 2, окончательно будем иметь:
Пп)-Г%) = [С^)]ЧрГ--Р%)). A5)
Воспользуемся полученным соотношением для нахождения У0 и
Ум из F). Вычитая из первого уравнения системы F) второе,
учитывая A5) и равенство A2) п.1 § 2, получим, что
(С<»> + 2Е) (Г.- Г„) = [С<»-»]«(К0- К„) = ГГ-ГУ =
= [с(»-1Т(рГ-д5{|)).
Считая, что С01* — невырожденная матрица, отсюда найдем
Уь-Ум+рГ-Р^- • A6)
Подставляя найденное К0 во второе уравнение системы (9),
получим уравнение для нахождения Ум\
В*» Ум = Г™ + 2 (Р?} -Р№) = ^"^ + < + 2РоАг).
гдеВ(п)=С(я)— 2Е. Следовательно, если обозначить *(я)= У^—рИ,
то Ум можно найти, решая уравнение
Я<«>*<»> = «#> + 2рв™, (Г„=/>#>+ *<">). A7)
152

Из A6) получим, что К0 можно найти по формуле
Го = РГ + *(,|\ A8)
где 1{п) найдено выше.
Итак, формулы A0)-—A2), A7) и A8) описывают метод
полной редукции решения второй краевой задачи для трехточечных
векторных уравнений A).
Замечание. Если У0 задано, т. е. вместо задачи A)
решается задача
то векторы р\р и с$> считать не нужно, а Ут как это следует
из F) и (9), находится решением уравнения
Аналогично, если задано Ую то вычислять векторы рр и #<*>
не нужно, а У0 определяется из уравнения С{пI$1} = 4$1} + 2У#9
Уо=Р(оп) + *Г-
Для завершения описания метода редукции нужно указать
способы обращения матриц С(к) и В{п) = С(п)—2Е. Для
обращения матриц С(*} используется полученная выше (см. C6) § 2)
факторизация
С<*-*>= П Сиы-„ С1%к^^С-2со^^^Е. A9)
Заметим, что при выполнении условия (СК, К)>2(К, К),
все матрицы С1чк-Х не вырождены, и, следовательно, не
вырождена матрица С(Л_1). Остановимся более подробно на вопросе
обращения матрицы Вш.
Из определения В{п) и соотношения A2) п.1 § 2 получим
д<я)=С(я) —2^ = [С(»-1)р—4Я = (С(я-1> + 2Д)(С(я-1)—25) =
==[С(й-я)]я[С(и-1) —2Я] = ... =[С(«-2)С(Я-3)... С@)]2(СA)—2Я) =
= [С(я-2)С(я~3).. .С@)]2 [С@) — 2Е) (С@) + 2Я) =
= ГЦ С*-»\{С—2Е){С + Щ.
Подставляя сюда A9), найдем следующее представление для
матрицы:
В<»>= [ П П Си >-Х(С-2Е) (С + 2Е). B0)
Итак, матрица В{п) факторизована и обращение В{п) может
быть осуществлено последовательным обращением множителей.
153

Замечание1. Можно получить более компактную запись B0):
В(й) = П(С-2соз^я).
Замечание 2. Из B0) следует, что матрица В[п) будет
невырожденной, если выполнено условие (СК, У) > 2 (К, У). Если
же существует такой вектор К*=^0, для которого С У* = 2 К*,
то В(и) вырождена и непосредственное применение метода
редукции невозможно. Это является следствием вырожденности
матрицы системы A) в рассматриваемом случае. Действительно, в этом
случае однородная система A) имеет ненулевое решение У,= К*, и
поэтому система A) разрешима не для любой правой части. Ьсли для
данной правой части решение существует, то оно не
единственно, а определяется с точностью до слагаемого У*. Одно из
возможных решений выделяется на этапе обращения вырожденной
матрицы В{п\ Указанная ситуация имеет место при решении
задачи Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
Более подробно указанные вопросы будут рассмотрены в
главе XII, посвященной решению вырожденных сеточных уравнений.
2. Периодическая задача. Периодические трехточечные
векторные задачи возникают при решении разностными методами
эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных
системах координат — цилиндрической, полярной и сферической
системах. В п. 3 § 1 приведены примеры дифференциальных
задач, разностные схемы для которых могут быть сведены к
следующей задаче: найти решение уравнений
-Г^-х + СГ.-Г^о, / = 0, У„=У0. К^}
Задача B1) также может быть решена методом полной
редукции. Рассмотрим первый шаг процесса исключения
неизвестных. Как и раньше, из уравнений системы B1) для / = 2, 4,
6, ..., N—2 исключим при помощи двух соседних уравнений
неизвестные У} с нечетными номерами /. Получим
-Гу.2+С^Ку-Г/+2 = ^), / = 2, 4, 6 ЛГ-2. B2)
Осталось исключить Уг и Ун-г из уравнения B1) для / = 0.
Для этого выпишем следующие три уравнения си:темы B1):
-У0 + СУг-Уш = Р19 /=1,
-Г^ + СУо-У^Г,, /-0,
— К^-2 + СКдг-!—КЛг = /гЛг_1, / = # — 1,
умножим второе уравнение.слева на С, сложим все три
уравнения и учтем, что У#=У0. В результате получим уравнение
-У„-ш + Сыуй-Уш = Г?9 У*=Г„ . . B3)
154

где
Р™ = Р<» + С™Г?>+Г%119 С@) = С, Г^ = ГГ
Объединяя B2) и B3), получим полную систему для
неизвестных У} с четными номерами /, имеющую аналогичную B1)
структуру. Неизвестные Уу с нечетными номерами / находятся
из обычных уравнений
С^Г/ = Гу+У/-1+У/+1, /=1,3,5, ...,#-1,
Процесс исключения может быть продолжен дальше. После/-го
шага процесса исключения получим систему для неизвестных V*
с номерами /, кратными 2/:
-Г/-2«+С<»Г/-К/+я« = 1=,H, / = 2', 2-2', 3-2' Л7-2',
-Г„_2; + С<<>Г0-Г2/ = /^>, / = 0, У>=Г0,
и группу уравнений
/ = 2*, 3-2*, 5-2*~\ ..., Ы — 2*-\ к = 1% I — 1, ..., 1 ^4>
для последовательного нахождения остальных неизвестных.
Правые части Р^ определяются рекуррентно для й=1, 2, ...
.,., п—1:
/ = 2Л, 2-2*, 3-2*, ..., #—2*, B5)
г*» = рЯг-У+с<*-*> /^+^:аН.» /^в/>.
В результате (п—1)-го шага процесса исключения получим
систему относительно У0 и К2и-» (У# = ^о):
— 2К0 + С(»> ГЯ»-* = 1!,Й-1Л ^
Решив эту систему, найдем К0, К2и-1 и У1^=у^ а остальные
неизвестные в силу B4) будут найдены как решения уравнений
С<*-1> К,- = Р*-ъ + Ъ-ък-* + У;+2ь-ч
1 = 2к-\ 3-2*, 5-2*-1, ..., Ы—2*-1, Л = л —1, п —2, ..., 1.
Прежде чем решать B6), найдем рекуррентные формулы для
векторов рФ и д(к), связанных с /г<*) следующим соотношением:
Р\Ъ = С™1ф + <$\ / = 0, 2*, 2-2*, 3-2*, ..., #-2*.
155

B8)
Используя рекуррентные формулы B5) для Р& , получим
] = 2к, 2-2*, 3-2Й, .... N—2", 6 = 1, 2, ..., п—1,
^'а^рГвО, /=1, 2, .... ЛГ-1,
из которых находятся р/й) и ^}й) для /^0, и формулы
с<*-*> 5.*-»=^*-° +/$--! ч-У^и.
<, = 2^> + ^-_;, + ^Ц. А=1, 2, .... п-1,
для нахождения р@к) и 0(ОА>.
Обратимся теперь к решению системы B6). Из B7) и B8)
для к = п—1 получим соотношения
9Г1' = 2<-» + «&-■.> + «#?&,
из которых найдем
С_1,-02»-) = 2 (рГ1'-/^-1.'). B9)
Вычтем теперь из первого уравнения системы B6) второе.
Получим с учетом B9) и равенства A2) п.1 § 2
(С«"-» + 2Я)(К,— Г2И-.) = [С(п-а)Р(У0-У'2П-.) = /:'о<")—Р%~-?=
=С(»-1, (^п-1)- р<»-_ \>)+<-»- «Й-?» = [С(»-2>р (/>Г1>-/$-)) •
Предполагая, что С(п~2) невырожденная матрица, отсюда
получим соотношение
У*п-г = К.-рГ» +/#^\ C0)
Подставляя C0) в первое уравнение системы B6), получим
(С*-»—2Е) У0 = Пп-»-2 (рУ^—рЦ-У) =
= (С<»-»_2Е)ру-1> + яГ-1> + 2р$-}).
Следовательно, К0 можно найти по формулам
В^-1)^-1) = д^ + 2р[пп-\\ В*»-1) = С(»-1» — 25,
кв=/»{Г1>+*("-1>, ( '
а К2п-1 в силу C0) найдется тогда из соотношения
Г2п-г=Р{Пп-\) + ((п-1\ C2)
156

Остальные неизвестные найдутся последовательно по формулам
Г/^р}к'1) + *?'1\ C3)
1=2*-\ 3-2*-1, 5.2й, ..., Ы—2*-\
к = п—1, п—2, ..., 1.
Итак, формулы B7), B8), C1) —C3) описывают метод полной
редукции решения периодической задачи B1). Для обращения
матриц С*** и Д(и} используются факторизации A9), B0),
причем в B0) нужно только заменить п на п—1.
Приведем оценку для числа арифметических действий ф,
которые требуются для реализации метода полной редукции в
случае периодической задачи. Обозначим, как и раньше, через ц
число действий, затрачиваемых на решение уравненияС1,к_1У=Р,
а через ц—число дополнительных действий для решения того
же уравнения, но с другой правой частью Р. Оценка дается
формулой
^='^N\оё2м+(и5^—2^+7М)N—2^ + 2^—ым.
Сравнение этой оценки с оценкой D5) § 2, полученной для
случая первой краевой задачи, показывает, что затраты на
решение периодической задачи практически равны затратам на решение
первой краевой задачи.
3. Третья краевая задача.
3.1. Процесс исключения неизвестных. Рассмотрим
теперь метод полной редукции решения третьей краевой задачи
для трехточечных векторных уравнений
{с+2аЕ)у0-2гг=р„ / = о,
-Г/_1 + СГ/-Г/+1 = /> 1</<ЛГ-1, C4)
-2У„-г + {С + 2$Е)У„ = Р„, / = ЛЛ
Предполагая, что выполнены условия а^О, Р^О, а2 + р2^=0,
введем следующие обозначения:
С™ = С, С[о) = С+2аЕ, С(» = С + 2$Е, /?}0)='/.
используя которые запишем C4) в виде
С{^У0-2У1 = Р^9 / = 0,
— Г^+С^Ъ-Гу+^Р}», 1</<#-1, C4')
-2Г„-г + СРГ„ = ГЯ>9 } = Ы.
Пусть Ы = 2п. Процесс исключения неизвестных для C4')
осуществляется так же, как и для системы A), которая
соответствует случаю С[0) = ао) = С{0)(а = $ = 0).
157

Выпишем редуцированную систему, получаемую в результате
л-го шага процесса исключения неизвестных
(ТГЛ-2УЯ = Р«\ -2У0-\-О2п>У„ = Р%\ F')
и группы уравнений
С«*-« Г/ = Г}"-1) + У1-*ь-г + К/+1*-,,
/ = 2*, 3-2*, ..., #—2*, к = п, п—\ 1 \ао)
для последовательного нахождения неизвестных У}-. Здесь
правые части р\к) определяются по рекуррентным формулам:
рЧ» = |7|*_-1>_, +С(*-1) Г)*-1) +|^*-Л,, C6)
/ = 2*. 2-2*, .... #—2*, й=1, 2, .... п—1,
/?*) = С»» Я*-» + г/ф-У, Л = 1, 2, ..., п, C7)
/^г/^-.+С1*-1»/^-1', й=1, 2 я, C8)
а матрицы С^>, С^> и С(*> —по формулам:
Сш = гс<*-1>р_2Б, й = 1, 2, .... л—1, С<0) = С,
С<*) = с<*-1'С1*-1>—2Е, к=1, 2,..., /г, С10, = С+ 2ссЯ, C9)
С^ = Ок-1)С1к-1) — 2Е, к=\, 2 п, С1°> = С + 2$Е.
Из системы F') получим уравнения для определения К0 и УК.
Из C9) можно получить, что С[к\ С^> и Сш суть матричные
полиномы степени 2* относительно одной и той же матрицы С.
Следовательно, они перестановочны. Поэтому из F') получим
уравнения
®«»+" К0 = РЬп+1\ СГ У„ = /Т + 2 У0 D0)
и эквивалентные им уравнения
^<"+1>К„=/^«>, СГП^Т + 2}^, D0')
где обозначено
Р™* = ОрЩ» + 2Р№, D1)
РЯ+» = 2Р1Г> + С?>РЯ>, D2)
®<я+1> = СТО» — 4Е = СТО» — 45. D3)
Итак, для нахождения К0 и Уд, можно воспользоваться
уравнениями D0) или D0'). Будем использовать D0).
Вместо векторов Р\к> будем определять векторы рр и др,
связанные с Р\к) следующими соотношениями:
Рр =С[кУк>+д*\ D4)
Р& = Срр%> + <$, к = 0, 1, ..., п, D5)
^Г1' = ®(л+1)К+1) + Я?+и, D6)
Р& =С^рр + яр, D7)
/ = 2*. 2-2* Л/-2А, А = 0, 1, 2 п-1.
158

E1)
Получим рекуррентные формулы для рр и д^\ Если /=^=0, №,
то из C6), C9) и D7) получим, предполагая, как и раньше, не-
нырожденность матриц С(А-1), следующие формулы:
^ = ^-1» + ^*_-Д1, + ^*+-1У-,, D8)
1 = 2", 2-2* ЛГ — 2й, к=\, 2 п— 1,
Найдем формулы для р@к) и д(к> при & = 0, 1 га-И-
Подставляя D4) и D7) в C7), а D4) —D6) в D1), получим для
/г= 1, 2, ..., га
С1*>Ь*>+ «**> =
= С<*~ «(р{-»р$-° + $*-» + г/^-У) + 2$Г-$ D9)
и для & = п + 1
^>(п+1)^+1) + 9(»+» = ад» (СГ'К' + ЙГ + 2рф) + 2д#>. E0)
Выберем ^*> и ^л+1> по формулам
дР = 2/>{*> + 2^/Г-1.», к = 1, 2 га,
<+1> = 4<+1> + 2?#)
и используем вытекающие из C9) и D3) равенства
С?' + 25 = С1*' С**-", ®<»+1) + 45 = СТО0.
Тогда D9) и E0) при условии невырожденности С{к~1) и С|п)
можно записать в виде единого уравнения
С?-1^ = С?-»р*-» + (&-° + 2р$--Ч,
к = \, 2 га+1.
Объединяя эти уравнения с E1), получим окончательные
формулы вычисления рр и д1к):
С$*-«5Л-и = д*-»+2р%~-Ч,
р* =/,<*-ц + 5«»-«, /г = 1,2 га + 1,
д(ак) = Ык> + *Я{№, А = 1, 2, .... я, E2)
0Г» = 4<+»+20#>,
Й0^!7., РТ=0.
Аналогично, используя D5), D7), рекуррентные соотношения C8)
и C9), получим формулы для вычисления р$ и д$:
С|*-1>5#-1> = ^-" + 2/$Г$-,,
«# = Ш + *Я%~-У>, 6=1,2 га,
E3)
159

E6)
Осталось исключить /=}*> из C5) и D0). Подставляя D7) в C5),
а D5) и D6) в D0), получим следующие формулы для
нахождения У/.
ЯН»+1>5«+» = 0{«+», Ко^рГ^ + ^Г1', E4)
а",5^> = ^) + 2Г0, У„=р№ + 8%\ E5)
с<*-1>5<*-1> = ^-1, + у^., + К.+2А_Г)
/ = 2*, 3-2*-1 ЛГ—2*~», й = я, л—1, ..., 1.
Итак, формулы D8), E2)—E6) описывают метод полной
редукции решения третьей краевой задачи C4).
Замечание 1. Если для нахождения У0 и Ум
использовать уравнения D0'), то, вводя вместо р@п+1> и ^"+1) векторы
/>лг+1> и ##+1), связанные с Р(й+1) соотношением
получим из C8), D2), D4) и D7) следующие формулы для
нахождения р§ и д$:
а*-»5Г1,=<$-1,+2/$:^-,,
р®=Р%-1> + 8%-», 6=1, 2, ...,п + \,
дР = 2р® + 2^1 V*-, к = 1, 2, ..., п, E3')
<$> = />, ^' = 0.
Формулы E3') заменяют E3). Так как в этом случае вектор Р@п+1)
и, следовательно, векторы роп+1) и ^о"+1) вычислять не нужно, то
формулы E2) заменяются на следующие:
«.*» = 2/»,* + 2«&-\\ к=\,2, ...,п, E2')
< = /=•». К'=о.
Из C5) и D0') получим формулы для нахождения К0 и У#:
®<"+«55Р+1, = 0ЯГ1>, К^=р#+1) + 5#+1>, E5')
СУ'вУ'^в^ + гКлг, Г0=рГ + 5Г. E4')
Остальные неизвестные находятся согласно E6). Таким образом,
формулы D8), E2')—E5') и E6) также можно использовать для
решения задачи C4).
Замечание 2. Если Ум задано, т. е. вместо C4) нужно
решить краевую задачу
(С + 2аЕ) У0-2У, = Р0, } = 0,
- Ку_х + С У, - К/+1 = /> 1 < / < Я-1,
*"* = />. /=#.
160

т метод полной редукции в этом случае описывается
формулами D8), E2'), E4') и E6). Если же задано К0, т. е. решается
задача
-2Г^1 + (С + 2^Е)Г^Р1/9 / = #, Г0 = Г0,
то метод описывается формулами D8), E3), E5) и E6).
3.2. Факторизация матриц. Из C9) и D3) следует,
что С[к\ С{к) и С(к) являются матричными полиномами степени 2к,
а @>(п+1)—степени 2п+1 относительно матрицы С с
коэффициентом, равным 1 при старшей степени. Имея в виду необходимость
обращения этих матриц, факторизуем их. Для этого получим
явное представление для этих полиномов через известные
полиномы и изучим вопрос о нахождении корней указанных
полиномов.
В п. 2 § 2 было показано, что С{к) выражаются через
полином Чебышева первого рода следующим образом:
С<*> = 27>(д С), й = 0, 1, ... E7)
Далее, из соотношений C9) найдем
С<*>—С(Л) = С(Л-1)[С^-1)—С(*~1)]= ...
6-1 й-1
... = П Сш [С10)—С@)] = 2а П С«\ E8)
/=0 1=0
Так как имеет место равенство
П С«> =Д 2Т21 D С) =[/,*_, D С) ,
где Ип{х) — полином Чебышева второго рода, то из E8)
получим следующее представление для С[к):
С^=2Т2к^С^+2аЦ2к.1^С^> 6 = 0, 1, ... E9)
Аналогично получим представление для С{ку:
С2к) = 27> (± С) + 2р[/ял -х D С) > * = 0, 1, ... F0)
Далее, подставляя E9) и F0) в D3), будем иметь
®(»+1)==4Гт2^1с]12—4Я +
+ 4(а +рO> (|с) (/^(уС) +4сф [Ц^г (|с)]'- F1)
Так как имеет место равенство
1-7\,(*) = */„-х(*)<1-*а). F2)
6 А. А. Самарский* Е. С. Николаев 161

то из F1) получим
+ 4(а+р)Г,«Aс)] .
Итак, представление для С{к\ С[к). С[к) и *3(л+1) через известные
полиномы получено. Так как корни полиномов Чебышева
первого и второго рода известны, то из E7) и F2) получим
B/ —1)я
ил V 2* + *
2«-1
®(П+1,= П (с-2соз-^д) [(С2 + 4сфЯ-4^2„_1Aс) +
+ 4(а + РO,»(уС)].
F3)
Поэтому отсюда и из E9), F0) следует, что нам осталось
найти корни полиномов
^@ = 2Т.D-) + 2аг/„_1D-),
<г-@ = 27'ж(-|-) + 2рС/«.1D).
т = 2*, 6 = 0, 1 я—1,
которые соответствуют матричным полиномам С1*' и С26', и корни
полинома
/?2В + 1 @-(/2 + 4с/.р-4)^/2П_1 (|) + 4(а+РO,2« (у) ,
который порождает полином <2>(п+1).
F4)
Эта задача может быть решена двумя способами. Первый путь состоит
в использовании одного из методов приближенного нахождения корней
полинома, второй путь — в сведении этой задачи к проблеме нахождения всех
собственных значений некоторых трехдиагональных матриц. Остановимся
подробнее на втором способе.
Обозначим через 8к (Я) следующий определитель к-то порядка:
«*(*) =
Х + 2а 20 0..
1 X 1 0 ..
0 1 X 1 ..
,.0000
,.0 0 0 0
..0000
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1X10
0 1 X 1
0 0 1 X
и положим 81(Х)~Х-^-2а. Из определения и структуры соответствующей 8к (X)
матрицы найдем рекуррентные соотношения для 5^ (X):
8к+1(Х) = Х8к(Х)-8к^1(Х)) к^2,
82 (X) = Я$! (X)—2, 5х (X) = X+2а.
F5)
1в2

И пользуя рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева (см. п. 2
'. I гл. I)
Тп+1(х)=2хТп(х)-Тп_1(х), Т1(х)=х, Т0(х) = \,
ип+1(х)=2х[;п(х)-ип-.1(х), ц1(х)=2х, */„(*) = 1
м соотношения F5), получим представление 8т (X) через полиномы Чебышева:
8т (X) = 2Тт (у) + 2а11т _ х ( у1, т ^ 1. Сравнивая это выражение с F3),
находим, что корни полинома Рт (I) совпадают с корнями определителя 8т (Я),
зависящего от X как от параметра.
Задача нахождения корней 8т (X) эквивалентна задаче нахождения таких
значений параметра X, при которых система алгебраических уравнений
У1-1 + ^/ + У/+1 = 0, 1<1'<т— 1,
(X + 2а) у0 + 2*/! = О, 1 = 0, F6)
имеет ненулевое решение. Дадим другую запись для F6). Используя
обозначение для второй разностной производной
перепишем F6) в следующем виде:
Ухх + РУ = °> 1<*<т — 1,
2 . 2а , л • л л F6')
где % и [1 связаны соотношением Л, = р,Л2—2. Итак, для нахождения
корней полинома С[к) достаточно решить задачу F6') для т = 2к, к = 0, 1,...
По аналогии с вышеизложенным можно показать, что корни полинома
(}т (/) находятся из решения задачи
--ЬУ-Х+~^У + № = Ъ> * = Я1, 1/о = 0, ( ^
причем соотношение Х~\л№—2 определяет эти корни.
Для нахождения корней полинома Я2п+1 @> определенного в F4), нужно
решить следующую задачу на собственные значения:
Ухх+№ = °> К*<2«—1,
2 . 2а I л -л
■дУ*+-ЗЕГ* + 1* = 0, 1 = 0, F8)
а корни найти из равенства Х~\1Н2—2.
Отметим, что для решения задач F6)—F8) можно использовать
известный ф#-алгоритм решения полной проблемы собственных значений.

Г Л А В А IV
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
В главе изучаются варианты метода разделения переменных, который
применяется для нахождения решения простейших сеточных эллиптических
уравнений в прямоугольнике. В § 1 излагается алгоритм быстрого
дискретного преобразования Фурье действительных и комплексных функций. В § 2
рассмотрен классический вариант метода разделения переменных,
использующий алгоритм преобразования Фурье. В § 3 построен комбинированный
метод, включающий в себя неполную редукцию и разделение переменных.
Рассмотрено применение этого метода к решению разностных краевых задач для
уравнения Пуассона второго и четвертого порядков точности.
§ 1. Алгоритм дискретного преобразования Фурье
1. Постановка задачи. Одним из методов отыскания решений
сеточных многомерных задач, допускающих разделение
переменных, является разложение искомого решения в конечную сумму
Фурье по собственным функциям соответствующих сеточных
операторов. Эффективность этого метода существенно зависит
от того, как быстро можно вычислить коэффициенты Фурье
заданной сеточной функции* и восстановить искомую функцию по
заданным коэффициентам Фурье.
Если, например, на сетке (о = \х[ = Игу 0<л^А/\ НЫ=1},
содержащей Л/"+1 узел, заданы функция /(/) и система ортонор-
мированных функций \лк{ь), ^ = 0, 1, ..., АГ, а коэффициенты
Фурье функции /(*') вычисляются по формулам
N
Ф*^2/@М0й, к = 0, 1, ...,#, A)
1 = 0
то для вычисления всех коэффициентов срА достаточно (Ы + 1)(^ + 2)
операций умножения и N{N + 1) операций сложения.
В общем случае произвольной системы функций {ц^@} эт°
есть минимально необходимое количество арифметических
операций. В ряде специальных случаев, когда ортонормированная
система функций имеет специальный вид, общее число
арифметических действий, необходимое для вычисления сумм вида A),
может быть значительно сокращено. Мы рассмотрим эти случаи
и приведем алгоритмы, позволяющие вычислять все коэффициенты
Фурье и восстанавливать функцию по заданным коэффициентам
Фурье с затратой О(ЛПпМ) арифметических действий.
164

Переходим к описанию отмеченных случаев.
Задача 1. Разложение по синусам. Пусть на отрезке 0 ^х ^ /
введена равномерная с шагом к сетка со = {ху = /А, 0</^#,
А#=/}. Обозначим через со = {ху = /А, 1^/^Л^—1} множество
внутренних узлов сетки со.
Пусть на со задана действительная сеточная функция /(/)
(или /(/) задана на со, причем /@) =[(Ы) = 0).
В § 5 гл. I было показано, что функция /(/) может быть
представлена в виде разложения
/(/) = 4"*2 Ф*зш^, /=1,2, ...,АГ-1, B)
где коэффициенты ук определяются формулой
Ф* = /(/)з1п-^-, к=1,2 N-1. C)
3= 1
Сравнивая B) и C), находим, что задачи вычисления
коэффициентов фа заданной функции /(/) и восстановления этой
функции по заданным {ср^} сводятся к вычислению N—1 суммы вида
ук = 2 ^зшМ, А=1,2, .... АГ-1. D)
;= 1
Формула D) описывает правило преобразования сеточной
функции а/у 1</<Л/г—1, заданной на сетке со, в сеточную
функцию У], 1 ^ / ^ N— 1. Алгебраическая трактовка D) такова:
если обозначить через а = (а1Уа2, ...9ам-\) вектор размерности
N—1, то D) описывает преобразование вектора а при переходе
от естественного базиса к базису, образованному системой
ортогональных векторов
г„ = (гкA), гкB) гк{М-1)), гк(/) = зш^.
Задача 2. Разложение по сдвинутым синусам. Пусть
сеточная функция /(/), принимающая действительные значения, задана
на множестве со+ = {х; = /А, 1 < / <; Ы) (или на со, причем / @) = 0).
В § 5 гл. I было показано, что такая функция /(/) может быть
представлена в виде
N
/(/) = т2>»8*п B&7д?)Я/ . /=1,2, ...,АГ, E)
к= 1 *
где коэффициенты цк определяются формулой
N
Ф. = Цру/(/MтB^)Я/> * = 1,2 АГ, F)
.7=1
165

р' = \о,5, 1 = 0, N. G)
Если функция /(/) задана на множестве со~ = {х; = ]Н, 0</<Л^—1}
(или на со, причем /(Л0 = 0), то аналогичное E) и F)
разложение имеет вид
N
/0У-/) = |Еф»5Ш {2к~^)п! , /=1,2 N. (8)
/г= 1
N
Ф>=Ерлг-^(^-/)з1п ^^ , *=1,2 ЛГ, (9)
где функция ру. определена в G).
Из E), F), (8) и (9) следует, что здесь возникают задачи
вычисления сумм вида
N
г/,= Х>узт Bк~1)п} , к=1,2,...,Ы, A0)
.7=1
N
У/=Ед*зШ B^)Я/ > /=1,2, ...,ЛГ. A0')
Задача 3. Разложение по косинусам. Пусть действительная
сеточная функция / (/) задана на сетке со. Тогда для функции / (/)
имеет место разложение
N
/(/) = ^Хр*Ф*С05Т> / = 0, 1, ...,АГ9 A1)
где
N
Ф*=Ер//(/)соз-^-, * = 0, 1, ...,Л7, A2)
.7 = 0
а ру определено в G). Из формул A1) и A2) следует задача
вычисления сумм вида
N
%=Ц*/<»з-ТГ. * = °> Ь •••>^- A3)
;=0
Задача 4. Преобразование действительной периодической
сеточной функции. Пусть на оси — оо<х<оо задана
равномерная с шагом Н сетка й = {х/ = /Я, / = 0, ± 1, ± 2, ..., ЫН = 1\.
Пусть на сетке & задана периодическая с периодом N сеточная
функция
/0) = /(/ + Л0. / = 0,±1, ....
166

принимающая действительные значения. В § 5 гл. I было
покапано, что функция /(/) для 0^/^Л^—1 представима в виде
(при четном Ы)
/</Нт
N/2 N/2-1
V4 2#я/ ,47""- 2&я/
2*р*ф*С08-У~+ 1* ф*8Ш-г
, / = 0,1,
где коэффициенты фА и срй определяются формулами
N-1
Фа
2кщ
Фй=2-/(/)з1пГ. /г=1,2,.
*=1
2 *'
ЛГ-1,
A4)
A5)
A6)
а функция рк есть
/ 1, /=^0,
Р*-\0,5, / = 0,
N/2,
N12.
Формулы A4)—A6) приводят нас к задаче вычисления сумм
трех видов:
N/2 N/2-1
>=о
/=1
ЛГ — 1
IX'
26я/
I/*
ЛГ-1
*=1
зш^, А=1,2 ЛГ/2-1,
A8)
причем в суммах A8) коэффициенты а^ одни и те же.
Задача 5. Преобразование комплексной периодической
сеточной функции. Пусть периодическая с периодом N сеточная
функция /(/), заданная на сетке й, принимает теперь комплексные
значения. Тогда функция /(/) для 0</<#—1 может быть
представлена в виде
Л^—1 2&гг/
/(/)=4Е Флв"^"', / = 0,1 М-\,1 = У~; A9)
# = 0
где комплексные коэффициенты ц>к определены формулой
М-1 -2/гя/ .
Ф*=Х/(/)« " '. Л —0. 1 ЛГ—1. B0)
^=0
167

Заметим, что ф0 = флг и, кроме того,
М-1 2кпз .
Ф*-*=Е/(/>* " \ Ь = 0, 1, ...,ЛГ-1.
/=о
Поэтому вычисление коэффициентов фд и восстановление
функции /(/) сводятся к вычислению суммы вида
N—1 2кпэ
Л»!!*/^'. * = 0, 1, .... ЛГ — 1 B1)
с комплексными а^
Итак, нам необходимо построить алгоритмы для вычисления
сумм вида D), A0), A3), A7), A8) и B1), требующие меньшего
чем 0(Ы2) количества арифметических действий. Наиболее просто
конструируются алгоритмы для случая, когда N есть степень
2: N = 2", и мы ограничимся только этим случаем.
2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам. Рассмотрим
подробно алгоритм вычисления сумм D), предполагая, что М = 2".
В этом случае D) имеет вид
2»-1
&= Е^зЦ^'. *=1.2, ...,2»-1, B2)
где введено обозначение а}0) = ау..
Идея метода состоит в том, что в сумме B2) члены с общим
множителем группируются прежде, чем выполняется умножение.
На первом шаге алгоритма члены сумм B2) группируются
с индексами / и 2"—/ для /=1,2, ..., 2"~1—1, причем
используется равенство
5ш^^И-1)*->зт^. B3)
Для этого запишем B2) в виде трех слагаемых
и совершим замену /' = 2Я—/ во второй сумме. Учитывая B3),
получим
2И-.1-1
#* = Е Ив + (-1)"Ч?-/]*«п-^ + ^-»в«п-Т. B4)
Если обозначить
а{21п)ч = аA0) + а{20п)ч> /=1,2, ...,2»-1-1,
168
и2п-1 = и2Л~Ь

то из B4) будем иметь
2/1-1
0.*-1= 2 Д^-узШ B^)Я/ , /г=1,2,..., 2-1, B5)
0а* = Е а^зш-^-, А=1,2 2-х—1. B6)
У=1
Итак, в результате первого шага имеем две суммы вида B5)
и B6), каждая из которых содержит примерно в два раза меньше
слагаемых, чем исходная сумма B2). Кроме того, суммы вида
B6) и исходная сумма имеют аналогичную структуру. Поэтому
к B6) можно применить описанный выше способ группировки
слагаемых.
На втором шаге, как и выше, при помощи разбиения
суммы B6) ня три слагаемых и учета равенства B3), где п
заменено на п — 1, группируются члены суммы B6) с индексами /
и 2п'1 — ] для / = 1,2, ...,2"—1. В результате второго шага
вместо B6) получим
Уш <«*-« = Е <&-»-/ 31п B*~_!1В/ , к = 1, 2 2"-», B7)
2л-2_1
02»= Ц ^2>5т^4-, й=1,2, ...,2»-'-1, B8)
где
/=1
„B)_„A) ЛA)
и/ = и/ —и2л^1-/>
а<яя)-,./ = а}1)+аB«-1-л /=1,2, ...,2«"а-1,
^B) _ЛA)
С^л-а — и2""~2»
Таким образом, исходная задача B2) эквивалентна
вычислению сумм B5), B7), B8). Формула B8) позволяет вычислить
ук для к, кратных 4, B7)—для к, кратных 2, но некратных 4
и формула B5) используется для вычисления ук с нечетным к.
Продолжая процесс преобразования возникающих сумм,
получим в результате р-го шага
V E) . Bк—\) л]
6 = 1,2, ...,2»-*, 5=1,2, ...,р, B9)
У2Рь= Ц а^зш^, *=1,2,...,2»-'-1,
169

где р = 1, 2, ..., п—1, а коэффициенты а}р) определяются рекур-
рентно
а<") = а|р-1>_аГ-У+.-/,
а<р1/,+,_/ = а)р-1) + й^-1Л«-/, /= 1, 2, ..., 2"-?-\, C0)
а{$-р = а1Рп-11), р — 1, 2, ..., п— 1.
Полагая в B9) р = п—\, найдем
^/2„_!=2;а^^'5^п4=«^1,,
C1)
Л
/=1
/=1
для 5=1,2, ..., и—1.
Итак, исходная задача B2) сведена к вычислению. (п-—1)-й
группы сумм C1). Необходимое для этого преобразование
коэффициентов а}0) описывается формулами C0).
Второй этап алгоритма состоит в преобразовании сумм C1),
которые после замены для каждого фиксированного 5
40H) = </2*-ч2*-1), 6=1,2, ...,2*-*,
ЬИ1M* *$-*+'-/• /=1,2, ...,2-*,
1 = п—5, 5= 1, 2, ..., п—1,
записываются в следующем виде:
2*
40,A)-21^0,A)з1п B*7+\)Я/ . *=1.2, ...,У, C2)
/=1
где / = 1, 2, ..., п— 1. Здесь коэффициенты Ь/0)A) и функции
2^0>A) зависят от индекса /, но так как мы будем излагать
способ вычисления суммы C2) для фиксированного /, то этот индекс
всюду опущен.
Займемся преобразованием суммы C2). Представим ее в виде
двух слагаемых, разделив члены с четными и нечетными
индексами /:
гУA)~Б-ЦУ0)з1п B*~<1)Я/
1=1
2'
+ 2бяиA)зш^-1>^-1>. (зз)
Используя равенство
B*-1)B/-2)„ B*-1J/пд
2* + * 2'+*
/=1 24
0л в BЛ—1) п . B6-1)B/-1)я;
: 2 СОЗ —*— 31П — -—
2^+1 2/ + 1
170

шпишем второе слагаемое в виде двух сумм:
2-^,-1A) МП 21 + 1 -0_BЙ-1)ЯХ
Хыу-,AMт (%"*' +'Ё'я)и(')^(г*-');»-"]°
2^+3,
+ ЦУ_1A))з1пB*-^)я/). C4)
Поясним, что во второй сумме, стоящей в квадратных скобках,
была сделана замена индекса / = /' + 1.
Обозначим
^,0) = ^,-1A) + ^1A), / = 1.2, ...,2'-*-1,
^)-,A) = ^)-1A).
Ь?B) = ЬЩA), / = 1,2, ...,2<"»
и подставим C4) в C3). Получим выражение
#>A)~ЕЬУ'BM1ПB*-1)Я/ +
2соз-—гт— /=1 ^
2^+Д.
справедливое для 6= 1, 2, ..., 21. Подставляя сюда вместо к
индекс 21—к+и получим
*?Л*+хО)--Е^B)з1п^Ь^ +
2^-1
1
2 ьГ0)зт-^11^
т~ B6-1) я ^-| "' V/-"* 2,
Следовательно, если обозначить
2*-1
/=1 ^
171

то исходная сумма 40H) может быть вычислена по формулам
4»>A)=41,B)+ (^гтутг^Ш,
2 С05
21 + 1
1
B6—1) п
^)_й+1A) = -41)B)+ (гЬтйГ2^!), *-1. 2, .... 2<-
Итак, первый шаг привели возникновению сумм гф{\) и 41)B)»
каждая из которых содержит в два раза меньше слагаемых, чем
исходная сумма г^0)A), но имеет ту же структуру, что и г^0)A).
В силу этого описанный выше процесс преобразования исходной
суммы может быть применен отдельно к суммам г%}A) и г^1)B).
В результате возникнут суммы г(&2) E), 5= 1, 2, 3, 4, сохраняющие
структуру исходной суммы. Продолжая процесс преобразований,
на т-м шаге получим суммы
21 — тп
^ Bк—\) я/
гТ (*) = 2 ЬТ (*) з*п ~^~ , C5)
й=1,2, ...,2'-», 5 = 1,2, ...,2й
для каждого т = 0, 1, ...,/, где коэффициенты ^т)E)
определяются рекуррентно для 5=1,2, ..., 2т~х по формулам
6У> B5-1) = да> E) + ЫЦ-» E),
/=1,2, ...,2'—-1, т=1,2, ...,/-1,
Ь(Т-шBз— 1) = ЬB?-Д.._1E), т= 1, 2, ..., /, C6)
*></"> B5) = &|7_1) («). /=1,2,..., 2'-»,
т=1,2 /.
При этом суммы т-го шага связаны с суммами, полученными
на (т—1)-м шаге, следующими формулами:
гГ'" (*) = гГ B5) + п\2к_{) гГ B5-1),
21 -т + 2
#-Д»-*+1 («) = - 4ВД B5) + ^П) 4т) B5-1), C7)
2 С05 — '
21-т + 2
й=1,2, ...,2'-*, 5=1,2, ...,2"-*, т= 1,2, ...,/.
Полагая в C5) т = /, получим
г1/>E) = Ь</>E), в—1,2 2*. C8)
Итак, суммы г&0)A) вычисляются следующим образом. Исходя
из заданных коэффициентов 6/0)A)> 1</<2', по формулам C6)
вычисляются в итоге коэффициенты Ь[1) E), 1^5^ 2К Они
используются затем в силу C8) в качестве начальных данных для ре-
172

I уррентных соотношений C7). Полагая в C7) последовательно
/// - /, /— 1, ..., 1, получим в результате 40) 0) и, следовательно,
</а*-МаА-1)«
Таким образом, алгоритм вычисления сумм B2) описывается
формулами C0), C6), C8).
Замечание. В рекуррентных соотношениях C7) можно избежать де-
ления на 2соз- — при помощи замены
21-т+ 2
2^ — т +1
При этом формулы для вычисления а4т) E) принимают вид
4Г1» (з) = 2 соз П-§^- 4т> B5) + 4т> B5-1),
2^ — т + &
Ч?-^-*+1 («)=" 2 "в ^^ «Г (й) + .Г B,- 1), <39>
й=1, 2, ...,2*-'*, 5=1, 2, ..., 2*-1, т = /, / —1, ...,1,
причем ш1/)E)=Ь1й(«). 5=1, 2, ..., 2' и
2<о>A) = 81п&1^40)@, 4=1,2, ...,2'. D0)
Подсчитаем теперь число арифметических действий, которое
нужно выполнить для реализации алгоритма C0), C6) — C8).
Будем предполагать, что значения тригонометрических функций
вычислены заранее.
Элементарный подсчет дает:
1) на реализацию C0) требуется
<2г= 2 2B»-'—1) = 2-2« — 2(п+1)
операций сложения и вычитания;
2) для фиксированного / на реализацию C6) требуется
91=2 B'-"—1)-2я-1 = (/ — 2J'-! + 1
т=1
операций сложения, а на реализацию C7) требуется
= I
Я1= 2 2.2|-*-2"-1 = 2/-2|-»
т=1
операций сложения и
т = 1
9/ = 2, г^-^.г^-1 = 1-21-* D1)
173

операций умножения. Всего же формулы C6) и C7) требуют при
фиксированном /
?1 = ?1+^=C/-2)-2'^ + 1 D2)
операций сложения и ц\ умножений. Для всех / = 1,2, ..., п— 1
затраты составят
л-1 я-1
/=1 /=1
сложений и
я-1 я-1
/ = 1 /=1
умножений.
Таким образом, алгоритм C0), C6) —C8) характеризуется
следующими оценками числа арифметических операций: <3+ =
= ^1 + С2==C/г/2—2J"—п+ 2сложений и <2*=(п/2—1J"+1
умножений. Если не делать различия между операциями сложения и
умножения, то общее число действий есть
Для сравнения приведем оценку числа действий, которое нужно
выполнить, чтобы вычислить все суммы B2) непосредственным
суммированием. Будем иметь Bя—IJ операций умножения и
Bя —2) Bя —1) операций сложения, а всего ф = (М—1)BМ—3).
Например, для N=128 (п=7) получим ^ = 1404 операции (из
них 321 операция умножения) для построенного алгоритма и
<2 = 32131 операция (из них 15 873 операции умножения) для
алгоритма непосредственного суммирования.
Отметим, что использование в алгоритме вместо C7) и C8)
соотношений C9) и D0) приводит к следующим оценкам числа
действий: ф+ = (уЯ—2) 2п — п + 2 сложений и ф* =~2Я — 1
умножений, а всего B = B\оё2Ы — 2) N — 1о§2Л^-г1, N = 2", что
несколько больше, чем в алгоритме C0), C6) — C8).
Итак, поставленная выше задача 1 решена. Рассмотрим
теперь задачу 2 о разложении по сдвинутым синусам. Предполагая,
что N = 2", запишем сумму, фигурирующую в задаче 2, в
следующем виде:
2»
V-, B6—1) я/
Ук^!**1/*1*1—2»+1 » Л=1,2, ...,2я. D3)
/=1
Сравнивая D3) с C2), находим, что вычисление сумм D3) по
сдвинутым синусам является вторым этапом изложенного выше
174

алгоритма вычисления сумм B2), если в C2) положить 1 = п.
Следовательно, если обозначить
40)A) = ^> /г-1,2, ...,2",
Ьу»A)=а/9 /==1,2, ...,2«,
то формулы C6) —C8) при 1 = п описывают алгоритм вычисления
сумм D3). Полагая в формулах D1) и D2) 1 = п9 получим
следующие оценки для построенного алгоритма: B+==^/2 =
= (уд—1}2я+1 операций сложения и ф* = ц\ = ~ 2п операций
умножения, а всего ф = B1о§2N— 1)М+1, Ы = 2п. Таким
образом, суммы D3) вычисляются примерно с такими же затратами
арифметических действий, как и суммы B2).
Напомним, что суммы D3) используются для вычисления
коэффициентов Фурье сеточной функции а,-, заданной при 1 = 1,
2, ..., N. Для восстановления функции по заданным
коэффициентам Фурье необходимо вычислить суммы
2"
Я
'7=Ця*3*
51П
к=\
Bк— 1)я/
2« + 1
/ = 1,2, ...,2я.
Используя для \Ф2п соотношение
51П
B6--1) я/
2« + х
2соз
ГС/
2«+1
51П
(*-
» яу
2»
•31П
#я/
е/1
D3')
получим
У/"
2соз
ГС/
2« + 4
2«
а*51П
(/г- 1) я/
2»
к=\
2"
•И^81п§
^=1
2"-1
2 С05
гс/
2« + 1
X 40M1П§,
/ = 1,2,
6=1
2*-1#
где а^0) вычисляются по формуле а/г0) = аЛ4-^+1,й= 1,2, ..., 2п—1.
Сравнивая полученную сумму с B2), находим, что задача
свелась к решенной ранее задаче 1.
Для вычисления у2п получим формулу
2« 2»
#2«= 2 ак{— !)*-!= 2 (аз*-!—ааЛ).
Л=1
/г=1
Здесь суммирование ведется непосредственно.
Для числа операций изложенного алгоритма верна оценка
^~2N\оё2N-\оё2N.
3. Разложение по косинусам. Рассмотрим теперь алгоритм
решения задачи 3, состоящей в вычислении сумм A3), при N=2".
175

Имеем
#А = Х<со5^, 6 = 0, 1, ...,2«, D4)
/ = 0
где введено обозначение аH) = а/.
Принцип построения алгоритма совершенно такой же, как и
при разложении по синусам, и состоит из двух этапов. На
первом этапе группируются слагаемые сумм сначала с индексами /
и 2п — / для / = 0, 1, ...,2й—1, затем с индексами / и 2""—/,
; = 0, 1, ...,2*-2-1 и т.д.
В результате р-го шага будем иметь
\7 E) B6—1) я/
У-2*-*Bк-1)= 2* 02*-* + '-/СО5 2п-5 + 1 '
* = 1,2, ...,2»-*, 5=1,2, ...,р9 D5)
2п-р
уЛ = 2 ^соз^, к= 0, 1, ...,2-я.
/=о
Эти формулы справедливы для р = 1, 2, ..., я. Коэффициенты а(/7)
определяются рекуррентно
а%Р+1_. = а^-а[рп--%г^ / = 0, 1 2—я_1, D6)
а2п-Р ~'а2п-ру р — 1, А • . . , /I.
Полагая в D5) 5 = /? =/г, найдем
г/о^аГ + яГ, ^«^"'-а'Л у2«-1 = аГ, D7)
а остальные */Л находятся по формулам
V E) B/5— 1) я/
#2*-Ч2б-1) = ^ а2«-* + *-/С05 2Я-Д + 1 >
/' = 0
/г = 1,2, ...,2»-*, 5 = 1,2, ,..,п-1.
Замены для каждого фиксированного 5
гИП = 02*-Ч2*-1>. й = 1,2, ...,2»-*,
Ьу»A) = а(а1Й-*+1-Л / = 0,1, . ..,2*-*— 1,
/ = п—5, 5=1,2, ...,п—1
приводят нас к вычислению следующих сумм:
2*-1
40,A)=Е ЬЧ»A)соа{2к-*1я1, /г=1,2, ...,2',
/.= 1,2, ...,п— 1. D8)
176

Второй этап алгоритма состоит в вычислении сумм D8). Как
и раньше, последовательно разделяя слагаемые с четными и
несчетными индексами /, будем иметь следующие рекуррентные
соотношения:
гГ1' E) = гГ B5) + B\__1)я 4т) B5-1),
21~т + * D9)
Ф$ч_к + 1 (») - &> B5) -^ B[_ 1} ягГ B5-1),
6=1,2, ...,2'-- 5-1,2, ...,2»-1, /и = 1,2, ...,/
для вычисления
*Г(*) = Е *ГE)соз^^/. E0)
6=1,2 2'-*, 5=1, 2 2я
при т = 0, 1, ..., /. Коэффициенты Ь*/** ($) также определяются
рекуррентно для 5 = 1,2, ..., 2т~1, начиная с Ь(/> A), поформулам
бу»> B5—1) = 6^» E) + 6,%?' E),
/=1,2 2'—-1, /л = 1, 2, .... /-1,
Ы B5-1) = 61м-1> E), т = 1, 2 /, E1)
6^)B5) = ^-1,E),
/ = 0, 1, ..., 2'—-1, Л1=1, 2, ...,/.
Полагая в E0) т — 1, найдем начальные данные для
соотношений D9)
2{й(8) = 6^(8), 5=1,2 2'. E2)
Таким образом, алгоритм вычисления сумм D4) описывается
формулами D6), D7), D9), E1) и E2).
Элементарный подсчет числа арифметических действий для
построенного алгоритма дает: ф + = C/2 п—2) 2" + п + 2 операций
сложения и Сн. = (/г/2—1J"+1 операций умножения, а всего
0;=СЭ + + <г* = B1об2#-3)ЛГ + 1о82# + 3, N = 2".
Заметим, что, как и в предыдущем алгоритме, здесь в соотношениях D9)
возможна замена
при этом из E2) следует т{ у(8) = Ь@1)(з), 5=1, 2, ..., 2*.
177

Рекуррентные формулы для ^т) (я) имеют вид
шГ' E) = 2соз B^~1)Я тТ' B5) + шГ B5-1),
/г=1, 2, ..., 2'-*, 5=1, 2, ...,2'*-1, т=1, 2, ..., /.
4. Преобразование действительной периодической сеточной
функции. Задача 4 о преобразовании действительной
периодической сеточной функции состоит в восстановлении функции по
формулам A7) при заданных коэффициентах Фурье а;- и ау и
в нахождении коэффициентов для заданной функции по
формулам A8).
Пусть N = 2" и заданы коэффициенты Фурье. Тогда
необходимо вычислить суммы
г/*=Еа/?,С051?+ Б «^п^г. * = 0,1,..., 2»-1.E3)
/=0 /=1
Построим соответствующий алгоритм. Для этого заменим в E3)
индекс к на 2п — к. Учитывая равенства
2B»-*)я/ 2*я/ 2Bп-к)п1 2кЩ
СОЗ 2« ""сиь 2п ' 2п Ь1П^Г>
получим, что ук можно вычислить по формулам
Ук = Ук + У»
Уъп-к = ук-ук, й=1,2, ...,2»-* —1, E4)
где
&=Е^сов^, * = 0. Ь ..м2»-«, E5)
?*= И ^зШЙ. А=1. 2 2-х—1. E6)
Итак, вычисление сумм E3) сводится к вычислению сумм E5)
и E6) и последующему использованию формул E4).
Сравнивая формулы E5) и E6) с формулами D4) и B2),
находим, что суммы E5) и E6) можно вычислить по алгоритмам
пп. 2 и 3, заменив в них п на п- 1.
Подсчитаем теперь число арифметических операций,
необходимых для вычисления сумм E3) указанным способом. Из оценок
числа операций, найденных для алгоритма п. 2, получим, что
суммы E6) вычисляются с затратой С1+ = C/2/4—7/4) 2п—п + 3
операций сложения и С2# = (я/4—3/4J"+1 операций умножения.
178

Оценки алгоритма п. 3 дают для сумм E5) следующие значения:
<2+ = (Зп/4—7/4) 2п + п+1 операций сложения и <2* = (/г/4—3/4) X
х2"+1 операций умножения. Добавляя сюда <3+=2" — 2
операций сложения, затрачиваемых на реализацию E4), получим для
построенного алгоритма ($+ = (Зп/2—5/2) 2* +2 операций
сложения и ф* = (п/2—3/2) 2"+ 2 операций умножения, а всего ($ =
= B1о§2АГ — 4)# + 4, N = 2».
Обратимся теперь к вычислению коэффициентов Фурье
действительной периодической сеточной функции. Задача состоит
в нахождении сумм
2"-1
й= Е я}0)соз^', /е = 0, 1, ...,2»-«, E7)
/=о
2"-1
#а=Х<^п^г> *=1,2, .... 2-1-1, E8)
где а^—заданная функция.
Алгоритм вычисления E7) и E8) родствен алгоритмам пп. 2
и 3, но отличается некоторыми деталями. Здесь на первом этапе
группируются члены сумм E7) и E8) сначала с индексами / и
2" + / для / = 0, 1, ...,2й-1—1, затем с индексами / и 2я+ /
для / = 0, 1, ..., 2/г~2— 1 и т. д. Приведем более подробно
первый шаг процесса последовательной группировки слагаемых на
примере суммы E7). Преобразование суммы E8) осуществляется
аналогично.
Итак, представим E7) в следующем виде:
2/2-1-! 2"-1
и совершим во второй сумме замену, полагая / = 2"~1 + /'. Это
дает
Уь= 1.'\аГ + (-1)ка^.1+1]сов2-§1, А-0. 1. .... 2-».
Обозначая
а 2п~1 + } — / а2и~1 + /» ' — » 1,...,^
получим вместо E7) следующие суммы:
E9)
оП — 1
У*-1= X а(^-1+/созB^я/, Л=1, 2, .... 2—,
F0)
/=о
о»-1
</а* = Ц ^A)соз^-, * = 0. 1 2»-».
179

Аналогично вместо E8) получим суммы
0П-1
2Л-х-1
F1)
- V п{1) , -1пB^^1)з1/ й-1 2 2"~2
Л*= И С^1Й> *=1, 2, ..., 2»--1,
где а^1} определены в E9). На этом первый шаг закончен. На
втором шаге описанным способом преобразуются суммы F0)
и F1). В результате р-го шага будем иметь
2П~3-1
6=1, 2, ..., 2"-*-\ 5=1, 2, ..., р, F2)
ул= 21 я^созг^?, А = 0, 1, ..., 2»--р-*#
где /?= 1, 2, ..., /г—1 и
"" V E) Bл—-I) я/
Уз*-1(.Л-1)= 2< <*-*+; 51ГП 2Д.; ,
/=1
й=1, 2, ..., 2»-*-*, 5=1, 2, ..., р, F3)
УЛ= X <з1п|§-, й=1, 2, ..., 2»-я-1-1,
где /7= 1, 2, ..., /г — 2. Коэффициенты а<р) находятся рекуррентно
по формулам
ау = ар-1* + <#-У+/, / = 0, 1, ..., 2»-'_ 1,
а
ау-»-а\рп-Ч+г р = 1, 2, ..., п.
F4)
Полагая в F2) /? = м—1 и 5=р=п— 1, получим
F5)
,1 _ ^(/1-1)
180

из F3) при /? = /г — 2 найдем
у2п-2 = ар-» — а5»-2> - а?'1*. F6)
Остальные у^ и #А находятся по формулам
У**'1 BЙ-1) ~" 2-< а2"-^
B6—1) я/
/=о
^2*BЛ-1)— ^ а2и-<У + /-31П «^Г^у—>
й=1, 2, ..., 2"-*-1, 5=1, 2, ..., /г—2.
Совершим здесь замены для фиксированного 5:
4"A)«Уя*-1 <,*-!,. 40)A)-^-1B^1),
*—1. 2, ...,2»-*-*, &И1) = а$-,+/, / = 0, 1, ..., 2»--1,
/ = д—5, 5=1, 2, ..., п—2.
Это приводит нас к вычислению сумм
40)A)= 1>Г A)соз^М,
2*
/=о А
F7)
й=1, 2, ..., 21~\ / = 2, 3, ..., м-1.
На втором этапе алгоритма вычисляются суммы F7). Здесь,
как и в алгоритме п. 2, эти суммы преобразуются путем
разделения слагаемых с четными и нечетными индексами / и
использования равенств
; B*-1)B/-2)я . с1пB*-1J/" =
. 2 со5B^-1>я з!п Р*-1>Р/-'>»
B6-1) B/-2) я . _ Bк— 1) 2/я
С03 '-*-1 \- С05 *—*- :
21-т + 1 ' 21~т + х
21-т+г 21~т+х
181

для т=1, 2, ... Это дает следующие рекуррентные формулы:
4т-1( E) = гТ B5) + 1_1)л гГ B5-1),
2 соз- —
21-м + Х
г^-к+1 (в) = #° B5) ^^ 4т> B5-1),
2соз -—
21-т + Х
ЗГ1} E) = 4т) B5) + щ^ту^ 4т) B5-1), F8)
21-т + Х
?№_к+, (в) = -~гГ B5) + (з^ЛьГ^'B5~ *>•
2 соз- —
21-т + 1
6=1, 2, ..., 2'-"-1, 5=1, 2, ..., 2*-1, /п=1, 2, ..., 1 — 1
для последовательного вычисления сумм
21штт-\
4т,(*) = X бу»)(8)соз^^.
91-т
/=1 ^
F9)
6=1, 2, ..., 2'-*-1, 5 = 1, 2, ..., 2*
при т = 0, 1, ..., /—1.
Коэффициенты Ъ)т) (з) также определяются рекуррентно для
5=1, 2, ..., 2/я~, начиная с заданных ЬH}A), по формулам
брB5-1) = 6^л1,E) + 6я7+11)E), /=1, 2, ..., 2<—-1,
&Г> B5-1) = Ы-* М-Ь^&г^з), G0)
6^г)B5) = 6^)E), / = 0, 1, ..., 2'-*—1,
5=1, 2, ..., 2»-1, т=1, 2, ..., /—1.
Полагая в F9) т = /—1, получим начальные значения для
соотношений F8)
2{/-1>E) = 6^-1>E), 11(/-»E) = 6}/-1>E), 5=1, 2, ..., 2'-1.G1)
Итак, алгоритм одновременного вычисления сумм E7) и E8)
описывается формулами F4)—F6), F8), G0) и G1). Заметим,
что, как и в алгоритмах пп.2 и 3, здесь в соотношениях F8)
возможны замены
гГ(в)=31П^=^а1Г(в)р
5ГE)-5Ш^^^ГE),
которые позволяют избежать деления на 2соз * ~ * •
182

Элементарный подсчет числа арифметических операций для
построенного алгоритма дает: ф + = Зм/2 • 2п—1 операций
сложения и ф* = (п/2—3/2J" + 2 операций умножения, а всего
<г=B1о§2#—3/2) #+1, N = 2».
Таким образом, вычисление коэффициентов Фурье и
восстановление действительной периодической сеточной функции по
предложенному алгоритму требуют 0(ЛПп#) арифметических
действий.
5. Преобразование комплексной периодической сеточной
функции. Рассмотрим теперь задачу 5 о вычислении коэффициентов
Фурье и восстановлении комплексной периодической сеточной
функции. В п. 1 было показано, что эта задача сводится к
вычислению сумм B1), которые в случае N = 2п имеют вид
Уа=ЕяГ*2Л > й = 0, 1, .... 2"-1, G2)
где а{р — комплексные числа.
Алгоритм для вычисления сумм G2) строится так же, как
и алгоритм вычисления коэффициентов Фурье действительной
периодической функции. На первом этапе группируются члены
сумм G2) сначала с индексами / и 2" + / для / = 0, 1, ...
..., 2""*—1, затем с индексами / и 2" + / для / = 0, 1, ...
..., 2п~2—1 и т.д. Учитывая равенство елЫ=(—1)*, получим
в результате /7-го шага следующие суммы:
2п~*-\ B6-1) я/ .
V* E) 2п~*
/ = 0
к = \, 2, ..., 2«-*, 5 = 1, 2, ..., р, G3)
У2Рк=* Е а^е2"'* , й = 0, 1, ..., 2*-'-1,
/=о
где коэффициенты ар* находятся по рекуррентным формулам F4).
Полагая в G3) 8 = р = п, будем иметь
У9=аЬт, У2п-1 = а?\ G4)
а остальные ук находятся по формулам
2п~8-\ B6- 1) я/.
V"* (з) 2п~8
У1*-1Aк-1)в 2- в1»-*+/в »
/г=1, 2, .... 2"-*, 5=1, 2, ..., п—1.
Совершим здесь для фиксированного / замены, полагая
гРA)=у2*-1{2к_1), *=1, 2 2»-*,
/ = п—5, 5=1,2 п—1,
183

перейдем к вычислению сумм
2*-1 B/8-1) я/
40)A)=Ё6/0)A)^ 2* • *=1, 2, .... 21 G5)
/=о
для /= 1, 2, ..., я— 1.
Второй этап алгоритма, заключающийся в вычислении сумм
G5), строится, как и ранее, путем разделения слагаемых с
четными и нечетными индексами / при использовании равенств
B6-1) B/-2) Я B6-1) 2/Я B6-1) B/-1)Я
2«—м + еа«-»+* =2со5B^-1)яе 21~т+1 .
Будем иметь рекуррентные формулы
4Г»E) = гГ B5) + B\_Х)п № B5-1),
2«7--:»+4 E) = гГ B5) ^ГТЙГ г*"" B5 ~1 >•
2 соз- —
G6)
21-т + 1
к=\, 2, ..., 21~т, 5=1, 2, ..,, 2т'\ т = 1, 2 1—1
для вычисления сумм
B6-Пя/^
*=1, 2 2'—, 5 = 1, 2, ..., 2»
G7)
при т = 0, 1, ..., / — 1. Коэффициенты Ъ)т вычисляются по
рекуррентным формулам G0). Осталось указать начальные
значения для G6). Полагая в G7) т = 1—1, получим
г^\8) = Ь$-г>(8)—/61/-1)E), 5=1, 2, ..., 2'-*. ( '
Итак, алгоритм вычисления сумм G2) описывается формулами
F4), G0), G4), G6) и G8). Отметим, что построенный алгоритм
не содержит (за исключением простейшей формулы G8))
операций умножения комплексных чисел. Поэтому в приведенных
формулах легко выделить действительную и мнимую части
вычисляемых величин. Это удобно для реализации алгоритма на ЭВМ,
не имеющей комплексной арифметики. Далее, в соотношениях
G6) может оказаться полезной замена
Подсчитаем теперь число арифметических операций для
построенного алгоритма. Получим ф+ = (З/г/2—1/2J" операций сло-
184

жения комплексных чисел и (?* —(/г/2—3/2) 2п операций
умножения комплексного числа на действительное число. Если выразить
ггги значения в терминах числа операций над действительными
числами, то получим С1+ = (Зп—1J" действительных операций
сложения и B* = (п—3J" действительных операций умножения,
а всего B = D1о§2 N—4) №, N = 2" операций над
действительными числами. Эта оценка в два раза превосходит полученную
в п. 4 оценку для случая действительной периодической
сеточной функции, что является естественным, поскольку в
рассматриваемом комплексном случае обрабатывается в два раза больше
действительных чисел.
На этом мы заканчиваем рассмотрение алгоритмов быстрого
дискретного преобразования Фурье и переходим к
использованию их для решения сеточных эллиптических уравнений.
§ 2. Решение разностных задач методом Фурье
1. Разностные задачи на собственные значения для оператора
Лапласа в прямоугольнике. В § 5 гл. I были рассмотрены
краевые задачи на собственные значения для оператора второй
разностной производной, заданного на равномерной сетке на отрезке.
В двумерном случае аналогами этих задач являются задачи на
собственные значения для разностного оператора Лапласа,
заданного на равномерной прямоугольной сетке в прямоугольнике.
Воспользуемся методом разделения переменных для отыскания
собственных значений %к и собственных функций \лкA, /)
разностного оператора Лапласа
Л = Л± + Л2, А<хУ = УхаХа, а=1, 2.
Пусть в прямоугольнике О = {0<л:а^/а, а = 1, 2} задана
прямоугольная равномерная сетка со с шагами Нх и Н2: со = {х^ =
= AК }Н2) 6 О, 0 < I < АГ19 0 < / < #2, каМа = /а, а = 1, 2}. Через
со обозначим, как обычно, внутренние, а через у—граничные
узлы сетки о.
Простейшая задача на собственные значения для оператора
Лапласа в случае условий Дирихле ставится так: найти такие
значения параметра Я, при которых существуют
нетривиальные решения у (х) следующей задачи:
Ау(х) + ку{х) = 09 х€(о9
у{х) = 0, х$у. A>
Будем искать собственную функцию \лк{г, /) задачи A)
соответствующую собственному значению %к, в виде
I** V, /)=№ @ № (/). *=&. Ю- B)
185

Подставим в A) вместо у(ху)=уA, /) функцию [лл(г, /). Так
как
ЛхУУ* Л = -тт1>(' + 1. /) —2#0\ /) + ^A —1, /)],
то оператор Лх действует лишь на сеточную функцию, зависящую
от аргумента г. Аналогично оператор Л2 действует на функцию,
зависящую от аргумента /. Поэтому после подстановки B) в A)
будем иметь
V® (!) \№ @ + № (О Л,^}» (/) + КА\] (О А? (!) = 0 C)
для 1 < I < Ых — 1, 1 < / < Л^— 1, а также
^,@) = ^)(^1) = 0, |*Й,@) = |*Й)(^ = 0. D)
Из C) находим, что
Л1М'1)@ Л2^'(/)
№ @ № (/)
■**• E)
Так как левая часть не зависит от /, то не зависит от / и правая
часть. С другой стороны, так как правая часть не зависит от /,
то не зависит от ь и левая часть. Тем самым, и левая и правая
части в E) есть постоянные. Положим
Л^кхН*) лA) А2Н]] (/) .B) . __1A) I * (Я) /ЯЧ
и добавим сюда краевые условия D). В результате получим
одномерные сеточные задачи на собственные значения
лД' + а# №= о, кк^,-1,
№@) = №(Хг)=0
И
Решения задач G) и (8) были нами найдены ранее в § 5 гл. I:
^дп _ _4_ . 2 кдпкд
им— 4 п;п2 *«и _ 4 ^П2 ^^« ь — 1 9 N —1
л^ " /,2 8Ш 7ТГ^ ~~ ^Г 8Ш ^ » /га — 1, ^, ..., ^уа 1,
186

Итак, собственные функции и собственные значения разностного
оператора Лапласа Л для случая граничных условий Дирихле
найдены
и* С /) = № @№ (/)=у=Гз1п Т8{п ^7 •
а = 1
где йа=1, 2, ..., #а—1, а=1, 2.
Отметим основные свойства найденных собственных функций
и собственных значений (9). Введем скалярное произведение
сеточных функций, заданных на сетке со, следующим образом:
(и, V) = 2_ и (*) 0 (*) ^1М К (*я)»
#€@
а I Аа. Аа<л:а</а—Аа.
Если обозначить
("э »)„ = 2_«(*)я (*)*<*(*<*). а==1, 2, A0)
где
©1 = К@ = 'А1. 0</<^}, "оJ = М/) = /Л2, 0</<#2},
то, очевидно, что а> = а>1Х(оа и х/у==(д:1@» *2(/))> кроме того,
(и, *) = ((*. *)-. 1к = ((^^ !к- (И)
Напомним, что в § 5 гл. I было отмечено, что сеточные
функции м-ЙЧО и \$1(]) ортонормированы в смысле скалярного
произведения A0), т. е.
Поэтому отсюда и из A1) следует ортонормированность заданной
формулами (9) системы собственных функций \1кA, /):
Так как число собственных функций |алA, /) = И'мЛ1"» /) Равно
(Л/^—1)(Л^а—1) и совпадает с числом внутренних'узлов сетки
со, то-любую сеточную функцию /(*', /), заданную на со (или на
187

о) и обращающуюся в нуль на у), можно представлять в
следующем виде:
/(*•. л=ЛГ§1^1/*,»,1*й)@1*е)(/).
кх = 1 к2 = 1 Л2)
1<1<Л/;—1, 1</<#2— 1,
где коэффициенты Фурье /Ма определяются следующим образом:
к=/*Л=(!, »**) = ' ' / (^. /) № @ \№ (!) АЛ,
« = 1 /
й1=1, 2, .... Л^-1, *,= 1, 2, .... #2— 1.
Для собственных значений ЯА справедлива оценка
где
A3)
^тт
^ /А
а= 1
2
Л1
= ^: —
а = 1 Ла
51П'
СОЗ^
2/а
>8(т+т)>0-
Рассмотрим теперь пример более сложной задачи на
собственные значения для разностного оператора Лапласа. Пусть на
сторонах прямоугольника при хх=^0 и х1 = 11 по-прежнему заданы
условия Дирихле, а при х2 = 0 и х2 = 12—условия Неймана, т. е.
поставлена следующая задача на собственные значения:
Ау (х) + Ху (х) = О, х € <ох X со2,
у (х) = О, ях = 0, хг ~ /1#
Здесь Л = Л1 + Л2, оператор Лх определен ранее, а
л,
Л2у-
"У*,. *2 = 0>
У
хгхг>
Л2^х2^/2—й2,
A4)
A5)
Используя определение операторов Лх и Л2, задачу A4) можно
записать в следующем виде:
Ух^ + Тг-Уъ+^У^0' *2 = 0> 1
2 >*!<*!</! — *!,
г/@, х2)=уA19 %2) = 0, 0<%2</2.
188

Решение задачи A4) находится методом разделения
переменных. Подставляя в A4) вместо у сеточную функцию [1к (I, /) из B),
получим для ръ? (О задачу G), а для \$* (/) будем иметь
следующую краевую задачу:
л*№+№№ = о9 о</<лг,
или в силу A5)
№%Х2+ ХЙЫ'^О, 1</<ЛГ2-1,
т^Ш* +№?=о, / = о, A6)
Задача A6) также была решена нами ранее в § 5 гл. I.
Решение имеет вид
Я12)-* — <ш12-^- = — зт2^2. й =0 1 ЛГ
/12 61\ъ #2 Л»
гё'(У) =
( /Асоз^, 1<Й1<^_1, A7)
Итак, решение задачи A4), A5) найдено:
И* (<. /) = ^' @ ЦЙ} (/). О < *" < ^, 0< / < ЛГ2,
где Х^ и Цк^Ц) определены выше, а Х^ и ц^О) определены
в A7).
Аналогично решаются задачи на собственные значения для
разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае
других комбинаций краевых условий на сторонах
прямоугольника С. Метод разделения переменных позволяет свести их к
одномерным задачам, решения которых получены в § 5 гл. I. Обобщение
на многомерный случай очевидно. Напомним, что аналитическое
решение соответствующих одномерных задач в виде синусов и
косинусов было получено в § 5 гл. I лишь для краевых условий
первого и второго рода, их комбинаций, а также для случая
периодической краевой задачи. Поэтому, если на сторонах
прямоугольника (на гранях прямоугольного параллепипеда в
трехмерном случае) заданы перечисленные краевые условия, то
собственные функции разностного оператора Лапласа представляются
в виде произведения синусов и косинусов.
189

2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в
двойной ряд. Рассмотрим теперь метод разделения переменных
применительно к решению разностной задачи Дирихле для уравнения
Пуассона на равномерной сетке в прямоугольнике:
Ау= — ф(х), х€ы, у(х) = §(х)9 х$у,
Л^ + Л,, Л*У = У;аХа, а-1,2. A8)
Сначала сведем задачу A8) к задаче с однородным граничным
условием путем изменения правой части уравнения в
приграничных узлах. Стандартный прием такого преобразования состоит
в перенесении известных величин в правую часть уравнения,
записанного в приграничном узле. Например, если х = (к19 к2) € со,
то уравнение Пуассона в этой точке записывается в следующем
виде:
■А-[0@. К)-Ъу(к19 Л,) + УBА1, А2)] +
+ -А-ЫА1, 0)-2у(А1,А^ + у(Л1,2А1)] = -Ф(А1, А2).
Так "как у@9 А,) = ^@, А2), у(к19 0) = §(к19 0), то перенося эти
величины из левой в правую часть уравнения, будем иметь
^[-2у(к19 Н2) + уBк19 Н2)] + ±[-2у(Н19 к2)+у(к19 2А2)]^
= -[ф(А1, к2) + ±§@9 к2) + ±ё(к19 0)].
Проведя подобное преобразование для каждой приграничной
точки, получим разностные уравнения, не содержащие значений
у(х) на у в левой части. Правые части уравнений для
приграничных узлов отличаются от правой части ф(я). Если обозначить
через [(х) построенную правую часть, то она определяется
формулами
/(*) = ф(*) + ^ф1(*) + -^Фа(*). *€©. A9)
ПХ /1%
где
!§@9 х2)9 х1 = Н19 ( §(х19 0), х2 = к29
0, 2к1^х1*^11 — 2к19 фя(х)=| 0, 2А2<*2</2—2А2,
§A19 х2)9 хг = 129 ( §(х19 /2), х2 = 12.
Левая часть преобразованных уравнений отличается для
приграничных узлов от записи разностного оператора Лапласа. Однако
190

гели положить у{х) = и(х), х^со, ^(д;)^0, х€у> то уравнения
ио всех узлах сетки со будут записываться одинаково:
Ли = — /(.г), х^со, и(х) = 0, х$у. B0)
Так как и (х) совпадает с у (х) для х^соу то достаточно найти
решение задачи B0).
Найдем решение задачи B0). Так как функция и (х)
обращается в нуль на у, то в силу сказанного выше она может быть
представлена в виде разложения по собственным функциям \1кA9 у)
оператора Лапласа
и{19 /)= 2 2 им№A)№A), B1)
кх = 1 к2 = 1
что справедливо для О^л^Л^, 0^/^Л^2. Далее, сеточная
функция /(х), заданная на со, также допускает представление
№. Л = "^ 2 /мД' (ОиЙЧ/) B2)
для 1 < * < Л^ — 1, 1 < / < #я— 1, где коэффициенты Фурье [Мш
определены в A3). Так как \хк (I, /) = ц^ (/) D^ (/) есть собственная
функция оператора Лапласа, соответствующая собственному
значению кк, т. е.
то после подстановки B1) и B2) в уравнение B0) будем иметь
ли ' *2' D?+4Г) «М1^> (о ^ (/) -
кх = 1 /г2 = 1
= -/(*./) = -^721/:*.».^>@|*Й)(/).
/?! = 1 к2 - 1
1 <*' <#г — 1, 1 </<#2 — 1.
Используя ортонормированность собственных функций \1кA9 /),
отсюда получим следующие равенства:
Подставляя это выражение в B1), получим для решения задачи
B0) следующее представление:
N. - 1 ЛГ2 - 1
0</<Лг1, 0</<#г
Итак, формулы A3) и B3) дают решение задачи B0).
Проанализируем их с вычислительной точки зрения. При вычислении
191
"М. = 771ГТТНГ. Юх^-1, 1</>2<ЛГ2-1.

решения и (*', /) по формулам A3) и B0), где рк (*', /) = \л$ (*) $> (/)
и Кк = К{^ + Л^ определены в (9), целесообразно ввести три
вспомогательные величины: укшA), ч>кгкя и икяA). Тогда
вычислительный процесс можно организовать следующим образом:
1<63<ЛГ2—1, 1 ^(^Л/г1 — 1,
Л', - 1
1=1
1<^1<А/1—1, 1</га<ЛГ2—1,
Л/,-1
,.ч V4 Ф*1*Я • НгШ
B4)
B5)
-31П
л411)+ч:) * ' B6)
1<1<^—1, 1</г2<ЛГ3— 1,
№-1
"(*, /)-^Д^Л0зт^, B?)
1</<Л^1— 1. 1<^'<^1— 1.
Подсчитаем число арифметических действий для алгоритма
B4)—B7), предполагая, что величины {к^+^)'1 заданы, а
суммы B4)—B7) вычисляются с использованием алгоритма
быстрого преобразования Фурье, изложенного в п. 2 § 1. Для того
чтобы применить указанный алгоритм, нужно предположить, что
#! и #2 есть степени 2: Ы1 = 2п, Ы2 = 2т.
Напомним, что суммы вида
</а=Х в/зЬ^, Л=1, 2, ..., 2»-и
/ = 1
вычисляются с затратой С}+ = C/2п — 2Jп—п + 2 операций
сложения и вычитания и С1* = (п/2—1J"+1 операций умножения,
если используется алгоритм из п. 2 § 1.
Элементарный подсчет дает следующие затраты
арифметических действий для вычисления решения и{1, ]) по формулам
B4)-B7):
<2+ - (ад-Л^-ЛГ.) [3108, (N№-8] + (Ы, + 2) 1о§2 Ы2 +
+ (Ы2 + 2)\оё2Ы1-8
операций сложения и вычитания и
0. = (^А^ж—^—АГ.) [1ов. (Л^х^.)—2] + А^х 1ов, А^« + АГХ 1ов, ^ —2
192

операций умножения, Если не делать различия между
арифметическими операциями, то при Ы1 = М2 = М = 2п общее число
действий для алгоритма B4)—B7) составит
С} = (#я— 1,5Л0 (81об. Ы—10) + 5Ы + 41о§2 #—10.
Итак, описанный метод решения задачи B0) может быть
реализован с затратой О (Ы21о§2 Ы) арифметических действий. Такого
типа оценку для числа действий имеет и рассмотренный в главе III
метод полной редукции. Сравнение этих оценок показывает, что
данный алгоритм метода разделения переменных требует
примерно в 1,5 раз больше действий, чем метод полной редукции.
Отметим, что можно построить алгоритм, аналогичный
предложенному выше, и для случая, когда на сторонах
прямоугольника задается любая комбинация из краевых условий первого
или второго рода и условий периодичности, при которых
разностная задача не вырождена. Необходимо лишь подставить в A3)
и B3) соответствующие собственные функции и собственные
значения, согласовать с типом краевых условий пределы
суммирования и использовать соответствующий алгоритм быстрого
преобразования Фурье из § 1 для вычисления возникающих при
этом сумм. Оценка числа действий будет такого же вида, как и
для рассмотренного Ёыше случая задачи Дирихле.
Мы описали простейший вариант метода разделения
переменных. Если же требуется решить более общую разностную краевую
задачу, например уравнение Пуассона в полярной или
цилиндрической системах координат с краевыми условиями, допускающими
разделение переменных, то снова можно использовать
разложения B1) и B2). Но в этом случае по крайней мере одна из
собственных функций [х^ @ или [х^ (/) отлична от синуса или
косинуса. Это не позволяет воспользоваться алгоритмом быстрого
преобразования Фурье при вычислении всех необходимых сумм.
Поэтому для таких задач число арифметических действий будет
того же порядка, что и в случае непосредственного вычисления
сумм без учета вида собственных функций (л^ЧО и Р^Ч/)» т« е-
0(#з).
Следовательно, необходимо модифицировать построенный
метод, чтобы в случае, когда хотя бы одна из функций \$?(ь)
или н422Ч/) есть синус или косинус, число арифметических
действий оставалось величиной порядка О (Ы2\о&2Ы). Разумеется,
что рассмотренные в этом пункте задачи могут быть решены и
модифицированным методом, и, как окажется ниже, с меньшим
числом арифметических действий. Этот метод—разложения в
однократный ряд—будет построен в п. 3. С вычислительной точки
зрения он отличается от построенного здесь метода тем, что две
суммы из B4)—-B7) не вычисляются, а вместо них решается
серия краевых задач для трехточечных разностных уравнений.
7 А. А. Самарский, Е. С. Николаев
т

Зе Разложение в однократный ряд. Вернемся к задаче B0):
Аи = — /(я), х(Ц(й, и(х) = 0, х^у,
Л = Л1 + Ла, Ааи = и- . а=1, 2. <28)
Будем рассматривать искомую функцию и(хц) = иA, /) и
заданную /(*", /) при фиксированном I, 0^/^Л^ как сеточные
функции аргумента /. Так как и (г, /) обращается в нуль при
/ = 0 и / = #2, а /(*, /) задана для 1</<А^2— 1, то они
могут быть представлены в виде сумм по собственным функциям
И'*в) (У) разностного оператора Л2:
и(*\ /) = 2 ^(ОиЙЧ/). 0</<АГ1э 0</<АГ1§ B9)
/С /)= 2 МО^Л/), 1</<ЛГ,-1, К^^-1, C0)
где
^'(/)= ]/|-5т4^-, К=\, 2, .... IV,-1. C1)
Подставим выражения B9) и C0) в B8) и учтем равенства
В результате получим
' [\икг @-Л&Ч @ + />, @]^> (/) = 0
для 1<*'<Л/1 — 1, 1</<Л/г2—1, а также ^2 @) = и*2 (Л^) == 0,
к2=1, 2, ..., ЛГ2-1.
Отсюда, в силу ортогональности системы собственных
функций D^ (/), получим серию краевых задач для определения
функций ик%{1), й2=1, 2, ..., #я—1:
Аг^л, {1)—^икг @ = — /й> @, 1 < I < Л^— 1, , .
иА,@) = ил,(А^1) = 0. ^
Собственные значения ЯдЯ задачи C2) известны
л B) 4 Л2ЗТ
л*. ='лГ5та21у7, й, = 1,2, ...,#,—1, C4)
а коэффициенты Фурье /*Д0 для каждого 1^21'^Л^—1
вычисляются по формулам
Ы0 = (/, Л,= 2 *■/(', /IХЙ>(/), 1<Л,<^-1. C5)
Итак, найденные формулы B9), C1) и C3)—C5) полностью
описывают метод решения задачи B0). По формулам C5) на-
194

ходятся для 1<*<Л^— 1 функции /*2@> затем для 1<&2<Л/2— 1
решаются задачи C3) для определения функций ^2@> а по
формулам B9) вычисляется искомое решение и(/, /).
Рассмотрим теперь алгоритм, реализующий указанный метод.
Вместо иьг{1) и /&2@ удобно ввести новые вспомогательные
функции Vь^{^) и <р*,@ по формулам
ик*® =-нтг**®* Ь® --тф*.^. C6)
Подставим C1) и C6) в B9), C3) и C5), учтем, что к2Ы2 = 12,
и распишем разностный оператор Лх по точкам. В результате
получим
Ф*.@= 2- /(<> Лзш-^, 1<1<Х-1, / C7)
/=1
-га, (е-1) + B +МЯЙ>) ^ @-%, (^ + 1) =Л!ф*. @. I
1^^^-Ь Vкш@) = Vкш(^^1) = 0, 1<62<#2-1,/
АГ2-1
C8)
C9)
где Я,^ определено в C4).
Суммы C7) и C9), очевидно, следует вычислять, используя
алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье, который
изложен в п.2 § 1. Для решения трехточечных краевых
задач C8) целесообразно использовать алгоритм прогонки,
построенный в § 1 гл. II. Для задачи C8) алгоритм прогонки
описывается формулами
«/+1= с а. » ^^Л^— 1, ах = 0,
Р/+1 = [«Ф*.@+Р/]а/+1. 1<^^-1, р1 = 0, D0)
о*. @ =«/+!»*. (* + 0 + Р/+1. 1^^^-и о*,(^1) = 0,
где с^^+к^ и йа=1, 2, ..., ЛГ2—1.
Сравним формулы C7), C9) и D0) с полученными ранее
B4)—B7) для метода разложения в двойной ряд. Здесь вместо
вычисления двух сумм B5) и B6) мы решаем серию краевых
задач C8) методом прогонки D0). Поэтому на вычисление
сумм C7) и C9) будет затрачиваться арифметических действий
примерно в два раза меньше, чем для алгоритма B4)—B7).
Дополнительные затраты на решение задач C8) составят,
очевидно, 0(Ы1Ы2) действий, что не повлияет на главный член
в оценке числа арифметических действий алгоритма C7), C9),
D0). Приведем точные оценки для числа действий для
этого алгоритма. Имеем (для Ы2 = 2т) <2± = [C 1о§2#2 — 1) Ы2—
— 21о§аЛ/га+1](#1—1) операций сложения и вычитания, ф* =
=-[Aо8я#я-|-2)#я—2](Л^—1) операций умножения и (?/ =»
7*
195

*= (Л^—1)(Ы2— 1) операций деления, а всего при Л^=#2=#=2Л
число операций равно
(г = (^-1,5^)D1о§2Л^ + 2)-^ + 21ое2^ + 2.
Мы рассмотрели метод разложения в однократный ряд на
примере разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Существенным моментом является то, что собственные функции
разностного оператора Л2 допускают использование алгоритма
быстрого преобразования Фурье для вычисления соответствующих
сумм. Такая возможность будет иметь место и для случая, когда
на сторонах #2 = 0 и х2 = 12 прямоугольника 0 заданы вместо
краевых условий первого рода условия второго рода или
комбинация условий первого и второго рода, а также для случая
периодических условий.
Рассмотрим для примера следующую краевую задачу для
уравнения Пуассона:
и(х) = 0, *! = (), /1Э 0<л;2</а,
их1Х1 + тги* = ~ч(х)~Ъ8-*(х)' *2==0' D1)
.Схема D1) есть разностная аппроксимация для задачи
и(х) = 09 х1 = 0, 119 0<я2</а,
■^ = _$_,(*), хй = 0,
~ШГ"='~8+2^' Х2 = 12> 0 < ЛГа < /х.
Запишем задачу D1) в другом виде, вводя обозначения:
(■#-"*2, *а = 0,
Лаи = •! Л. К < х2 < 12—к2,
{ ~Т^ах^ Х2 = 12>
ф,(*) =
Т^8-*М> *2 = 0,
О, А2<лг2</2—Аа,
4-8+»(х)> х2 = 12,
! (х) = ф (х) + ф2 (х), Аги = и-^
для Л^ *!<;/!—Нг, 0<х2</2.
196

, В новых обозначениях задача D1) запишется в виде
Аи^(А1 + А2)и— —?{х), их <*!<!!— Нх> 0<х2</2,
ц(х) = 0, ^ = 0, /,, 0<л;а</2.
D2)
Разлагая иA, /) и [(I, /) в суммы по собственным функциям
оператора Л2, будем иметь
иЦ, /)- 2 М0н*22'(/)> 0</<Л^2, 0<^<^,
кг<=0
D3)
/С /)=2 /*.('Ы?(Л. 0</<^2, 1<»<^-1,
/г,=0
где
№(!)-
| у у-соз-д^-, й2 = 0, Л^,
#2
|/АСо5-^-, 1</г2<#2-1
есть собственная функция оператора Л2, соответствующая
собственному значению
^«-ет-эШ'-Йг, *. = 0, 1, .... ЛГ,
2Л/
D4)
Коэффициент Фурье />2@ для каждого 1^*'<М1— 1
вычисляется по формулам
/=1
Подставляя D3) в D2), получим для рассматриваемой
задачи D2) следующий аналог формул C7)—C9):
М2
ф*.@ = 2р//(*. /)С08-жг-'
/=0
0</?2<#2, 1<|<АГ1— 1,
-**. («-1) + B + Л;Л#) %, @-%. (* +1) = Л21фЙ2 @,
1<*<#1-1, Vк2@) = Vк2(N1) = 0, 0</г2<#2,
/г2 = 0
0</<#2, 1^^^—1,
где Я,*, определено в D4), а
/0,5, / = 0, ЛГа,
197

Приведем оценку числа действий для построенного
алгоритма при ^=#,=#=2»: С1±=[C1о§2 Ы2— 1) Ы2 + 21о&Ы2 + 7]х
Х(Л^1—1) операций сложения и вычитания, <2*=[Aо§2М2 + 2)Л/г2+
+ 10](Л/1—1) операций умножения и B, = (М2 + 1)(Л^—1)
операций деления, а всего
^ = (N*-^D^оё2N+2) + ^7N-2\оё2N-^8.
Далее, так как в методе разложения в однократный ряд
собственные функции разностного оператора А1 не используются и
единственное требование к Лх состоит в возможности разделять
переменные, то в качестве Л^ можно взять более общий, чем
мы рассмотрели, оператор. Если ограничиться эллиптическими
уравнениями второго порядка, то наиболее общему случаю
выбора оператора Л^ соответствует разностная аппроксимация для
дифференциального оператора
коэффициенты которого зависят лишь от х±. Краевые же условия
на сторонах хг = О и х1 = /2 прямоугольника С могут быть любой
комбинацией краевых условий первого, второго или третьего
рода (коэффициенты в краевом условии третьего рода должны
быть константами). Это позволяет решать краевые задачи для
уравнения Пуассона в цилиндрической, сферической и полярной
системах координат.
§ 3. Метод неполной редукции
1. Комбинация методов Фурье и редукции. Построенный в п. 3
§ 2 метод разложения в однократный ряд позволил ограничиться
вычислением только двух сумм Фурье с затратой 0(Ы1Ы2\о&2Ы2)
действий и решением серии трехточечных краевых задач за
0(Ы1Ы2) действий. Очевидно, дальнейшее усовершенствование
метода разделения переменных возможно на пути уменьшения
числа слагаемых в вычисляемых суммах при сохранении
возможности использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье.
Мы достигнем этой цели, комбинируя метод разложения
в однократный ряд с изученным в главе III методом редукции.
Построим сначала такой комбинированный метод для простейшей
задачи Дирихле
Ли = — /(*), х^(оу и(х) = 0, х$У,
Л = Л1 + Л1, Лаи = и-а%» а=1,2 0)
на прямоугольной сетке со.
Для упрощения описания метода перейдем от точечной
(скалярной) записи задачи (I) к векторной.
198

Введем вектор неизвестных С/у следующим образом:
ДГу^Ии), и B, /),... 9и(Ых-19 /)), 0</<А^1Э
и определим вектор правых частей Ру формулой
1>у = (А|/A,/), А1/B,/), ...,/^/(^-1,/)), 1</<АГ,-1.
Тогда разностную задачу A) можно записать (см. гл. III,
§ 1) в виде следующей системы векторных уравнений:
-Ц-г + СЦу-иу+^Ру, 1</<Л^2-1,
*70 = ^2=0, К1)
где квадратная трехдиагональная матрица С определяется
равенствами
Щ = (B5-А1Л0 и A,/),..., BЕ-Н1А,) и (Л^-1, /)),
Пусть Ы2 есть степень 2: Ы2 = 2т. Напомним, что первый шаг
процесса исключения в методе полной редукции состоит (см. гл. III,
§ 2) в выделении из B) «укороченной» системы для неизвестных
[/у с четными номерами /
-[/у-2 + С^[/у-Цу+2 = Р?\ / = 2,4,6, ...,#а-2,
17о = 17^ = 0 ^
и уравнений
Щ = Ру + иу-1 + а/ + 1, /=1,3,5, ...,ЛГ,-1 D)
для определения неизвестных с нечетными номерами /. Здесь
обозначено
Рр^Ру^ + СРу + Руы / = 2,4,6, ...,#а-2, E)
С<1> = [С]2—2Е. F)
Займемся системой C). Введем обозначения
К; = И1,#. оB,/) V(N1-^,^)),
% = (% A, /), А!ф B, /), ..., А5ф М-1, /))
и положим
У, = Яф 0</<#2/2, % = Щ, 1</<Лу2-1,
V @, /) = ь{Ы1, /) = 0, 0 < / < #2/2.
G)
Эти обозначения позволяют записать систему C) в виде
-К/.х + С^-У^Ф,, /=1, 2, .... ЛГ,— 1,
где 2УИ2 = ./У2 и в силу E)
^=Ъ/-1+СГу + Г2/+1, / = 1, 2 М2-1. (8)
199

Заметим теперь, что сеточная функция ю{1, /) определена для
О ^ * <; Ы± и 0 < / <1 М2 и обращается в нуль при / = 0 и / = М2.
Функция ф (/, /) определена для 1 <! ь <! Ы±— 1 и 1 ^ / ^ М2— 1.
Поэтому эти функции можно представить в виде однократных
рядов Фурье
м2-\
V </, /) = Д У* @ № (/), 0 < I < Ы±% 0< / < МЖ9
Мш-1 №\
ф(*\ /)= 2 **>>*?(/)>
к2= 1
1<1<Л^ — 1, 1</<М2—1,
где функции
^>(/)=-2=зш^| А, = 1,2 ЛГ, —1 A0)
образуют ортонормированную систему на сетке со в смысле
скалярного произведения
(и. «0= 2 ы(/м/)А..
/=1
Коэффициенты Фурье гЛа@ функции ф(*\/) находятся по
формулам
Л*2-1
**2 (о = (ф, 1АЙ0 = 2{ л2ф р, /) ^ (/),
1<йа<Л1а—1, 1<*<Л^—1.
Из (9) получим для векторов V; и Фу следующие разложения:
Л*8-1
^=2, УиЛ'И)' 0</<М2,
м,:! A2)
Ф, = 2 Л1^:> (/), ! < / < Мй-1,
где
П,= (У*.0). У*B), ...,№,(^-1)),
^а=(г,аA), ^аB), ...,г,а(^-1)).
Подставим A2) в G) и учтем равенства
Получим
2 (сA)-2 соз & 5) Ук^ (/) = Б Л^*Д> </). '
200

пгкуда в силу ортонормированности системы A0) будем иметь
(с<«-2соз^-е) !% = >«**,. 1<&2<М2-1. A3)
Используем соотношение F) и получим
СA)—2соз^Я = [Ср—2A+соз^)я^
-{с-2^Ш1Е){С+2с05Ш1Е)'
Так как матрица СA)—2соз-~ Е факторизована, то для
решения уравнения A3) можно использовать алгоритм
(С-2С032^)^ = ^
(с + 2со8^я)п,= \^а, 1<*2<М2-1, (И)
где вспомогательный вектор Т1^а имеет компоненты мкаA):
ИЪ, = КA), *>ь{2),..., ^а(^-1)),
Необходимые формулы получены. Переходя в D), (8) и A4) от
векторной записи к скалярной и используя соотношение и (I, 2/) =
= V(^,^)^ вытекающее из определения 1/у-, получим следующие
формулы для построенного метода:
Ф(*\ /) = /(*, 2/-1)+2/(*\ 2/) + /(/, 21 + \)-к\\Л{ь, 2/), A5)
1</<АЛ,/2-1, 1<^<^-1, /@,2/) = /(Л^,2/) = 0
для вычисления функции <рA, /); уравнения
2 A -соз М) ШАа (О-ЩА^ @ = К\гкг @,
1 <1<Л^Х— 1,
ш^@) = шЛз(^) = 0,
2 (! +С05Ш у>> (О-'ЧЛхУ*. @ = ^ @, <16)
1</<^—1,
для определения укгA) при й2 = 1,2, ...,М2 — 1 и уравнения
2ы (г, 2/ — 1)—ВДи (г, 2/ — 1) =
=/г1/A, 2/-1) + и(г, 2/-2) + «(/, 2/), A7)
#1^г<#, —1, ы@,2/ —1) = «(Л^1, 2у —1)=:0
201

для нахождения решения при /=1,2, ..., М2. Для
коэффициентов Фурье гк2{ь) имеем формулу A1), а из (9) получим
М2-1
и С. 2/)= 2 ^(ОРЁЧЙ. 1</<Л<1-1. 1<^<^-1. A8)
/г2=1
Итак, формулы A0), A1), A5) —A8) полностью описывают метод
решения задачи A), который является комбинацией методов
разложения в однократный ряд Фурье и редукции.
Переходим теперь к построению алгоритма метода. В
формулах (9), A6) и A8) сделаем_замену укл (I) = аук% ({), хюк> @ = ашк2 (г),
гкА^ = агьЛ^> где а = 2У 12Ш2, а в полученных формулах знак
тильду опустим. Эта замена позволяет избавиться от
нормирующего множителя 2/]/7а, стоящего при собственной функции \1$ (/)
в суммах A1) и A8). Далее, задачи A6) и A7) будем решать
методом прогонки. Легко убедиться в том, что здесь условия
корректности и устойчивости обычного метода прогонки
выполнены. Отметим особенность задач A7). Так как
коэффициенты уравнения A7) не зависят от /, то прогоночные
коэффициенты а,- следует вычислить один раз при решении задачи A7)
для /=1 и далее использовать при решении уравнений A7) для
остальных /.
Приведем сводку расчетных формул. Сначала вычисляются
Ф(/, /) = /(*, 2/-1) + /(», 2/+ 1) +2^1+^/A, 2/)-
-|-[/(;-1,2/) + /('Ч-1, 2/)],
1</<М2—1, 1<1<Л/; — 1, A9)
где /@, 2/) = /(Л/г1, 2/) = 0. Значения ф(г,/) можно разместить
на месте /(*, 2/). Суммы
**,@ = Ё ф(^/Mт^, 1<Й2<М2—1 B0)
для 1 < ^ Мг— 1 вычисляются по алгоритму быстрого
дискретного преобразования Фурье, и гкз (г) размещается на месте ф (*', к2).
Методом прогонки
<*1+1=*1/(Ск%—ад> Э/+1 = [Л1г*я @ + М а/+1.
1=1,2, ...,Л^-1, а1 = рх = 0,
^@=а/+1»*,(Ч-1) + Р,+1, 1 = ^-1, Л^-2, ..., 1, B1)
»* ("*) = <>. ^ = 2 + 2|~2|соз^
202

решается первое из уравнений A6), и аналогично по формулам
• «< + 1-^. Р/ + 1= [-^»* @+Р/]«1 + 1.
г = 1,2, ...,Л?х-1, <»! = ?! = О,
У*,@=а/+1&,(' + 1)+Р/+1. 1=2^-1, #2-1 1, B2)
. Уъ№ = 0. сАа = 2 + 2|-+2|-соз^
решается второе из уравнений A6). Здесь вычисления
проводятся последовательно для к2= 1, 2, ..., М2—1 и результаты
Ы)кгA) и ук%(() размещаются последовательно на месте гклA).
Для вычисления сумм
М2-1
"С 2/) = ^ 2 ^(Озш^р, 1</<М2-1, B3)
2 /г2=1 -, 2
для 1 ^ I < Л/^ — 1 снова используем алгоритм быстрого
преобразования Фурье. Задачи A7) решаются методом прогонки с
учетом отмеченной особенности этих уравнений:
а/+1= 1/(с—а{), 1=1,2, ..., Л^—1, ах = 0,
Р/+1 = [ВД\ 2}-1) + ^(иA, 21-2) + иA9 2/))+р,]а,+1,
1=1,2,*..., ^-1, рх = 0, B4)
иA>2/-1)=а,+1иA + 1,2/-1)+Р,+1,
1 = Ых-1, N,-2, ...,1, и(Л^1,2/-1) = 0,
с = 2A+А5/й!)
для 1^/<!Л42. Решение иA, }) размещается на месте /(*, /),
и, следовательно, алгоритм не требует дополнительной памяти
для промежуточной информации.
Подсчитаем число арифметических действий для алгоритма
A9) —B4). Для вычисления по формулам A9), B1), B2) и B4)
требуется ^± = F,5^2—9) (Л^х— 1) операций сложения и
вычитания, (?* = FЛ/Р2 — 8)(М1— 1) операций умножения и С}, =
= (ЛЛ>—1)(Л^—1) операций деления. Для вычисления сумм B0)
и B3) потребуется
операций сложения и вычитания и
203

операций умножения. Всего же алгоритм A9) — B4) требует при
Ы1 = Ы2 = Ы = 2«
B = (Ы2—2Ы) B1о§2 N + 9)—2Ы + 2 1о§2 Ы + 11 B5)
арифметических операций.
Для сравнения приведем число операций метода разложения
в однократный ряд (см. п. 3 § 2):
<2 = (№-^Ыу4\оё2Ы + 2)-Ы + 2\о$2Ы + 2, B6)
метода разложения в двойной ряд (см. п.2 § 2):
B = ^2 —-| Л^) (81о§2 ЛГ —10) + 5Л^ + 41о§2 Л^—10, B7)
а также число операций для второго алгоритма метода полной
редукции (см. гл. III, § 2, п. 4):
^ = (N*-^NУ)(Ь^о&^N + 5) + N + 6\а&%N+5. B8)
Если сравнить в оценках B5) —B8) константы при главном
члене Л^21о§2 Л/", то получим, что комбинированный метод требует
примерно в 4 раза меньше арифметических операций, чем метод
разложения в двойной ряд. Этот вывод верен при больших N.
Для получения реальных соотношений между рассматриваемыми
методами при допустимых N приведем таблицу, содержащую
значения ф для этих методов.
Таблица 4
"^^Оценка !
32
64
128
B5)
18 383
83 601
371 515
B6)
21496
104 950
485 708
B7)
29 510
152 334
745 582
B8)
28 541
138 537
643 921
Итак, комбинация методов Фурье и редукции позволяет
уменьшить число операций по сравнению с исходным методом
разложения в однократный ряд. Обобщим этот комбинированный
метод, включив в него / шагов исключения метода редукции
перед выполнением разложения в однократный ряд. Тогда метод
из п. 3 § 2 можно трактовать как частный случай такого
обобщенного метода с 1 = 0, а построенный в этом пункте метод
соответствует / = 1. Метод полной редукции можно рассматривать
как метод с / = 1о§2 Ы2.
Данные табл. 4 показывают, что существует оптимальный
с точки зрения затрат арифметических операций обобщенный
метод с 1 ^ /< 1о§2 А12. Анализ оценок для числа действий в методе,
содержащем / шагов редукции, дает оптимальное значение 1=1
или /===2. При этом незначительное преимущество в числе дей-
204

етвий метода для I= 2 может быть утрачено из-за возросшей
сложности алгоритма.
2. Решение краевых задач для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. Рассмотрим теперь применение построенного в п. 1
метода к нахождению решения краевых задач для уравнения
Пуассона в прямоугольнике. Пусть в области б = {0 ^ха </а,
а=1,2} требуется найти решение уравнения
Л • *".--,>(*), х€С B9)
дх\
дх%
удовлетворяющее_следующим краевым условиям на границе Г
прямоугольника О:
до , ч
ЖГ 8-Лхг)>
до , ч
^ = 0,
Х1 = 1и 0<*,</„
х2 = 0,
А2 -^ ^2» ^ ^5 -^1 ^: 'х>
C0)
где к+1>0, х_х>0, н%1 + к11>0.
Будем предполагать, что в условиях C0) к_г и
х+1—постоянные. При этом предположении переменные в задаче B9), C0)
разделяются.
На прямоугольной сетке со = {хA = (/Лх, /й2) ^ С, 0^ I ^ #
0</<#2, АаЛ/Р5 = /а, а=1,2} задаче B9) —C0) соответствует
разностная схема
Ли = (Л1 + Л,)и = — /(*), д:6о)э C1)
где /(л:) = ф(л:) +фх(л:) + ф2 (х),
( Т^Цх~Х-1^' *1 = 0,
*2 = 0,
Л2^:
их2х2>
2
й2<л:2</2—Л2#
='..
а функции фа (л:) определяются соотношением
Фа(*) =
0, /1а<*а</а — йа, |3 = 3—а, а=1,2,
2
505

В главе III было показано, что схема C1) в векторном виде
имеет следующую запись:
-Ц-г + Щ-Ц + ^Р,, 1</<#2-1, C2)
где
О/ = (м@, /), иA, /), ..., «(Л^, /)),
Ъ - № @, /), й22/ A, /), ..., Щ (#19 /)),
^. = (B^-/1^)^@, /), ..., BЕ-Н1А1)и(Ы1, /)), 0</<#2.
Векторная система C2) отличается от рассмотренной ранее
системы B) краевыми условиями и определением матрицы С.
Тем не менее построить аналог метода п. 1 для задачи C2) не
представляет труда. Поскольку вывод основных формул для
этого метода лишь в деталях отличается от приведенного в п. 2,
то мы ограничимся сводкой главных промежуточных и
окончательных формул. Для метода полной редукции необходимые
формулы описаны в § 4 гл. III.
Итак, для векторов Ку = {/2/, 0 <! / ^ Л42, где 2М2 = Ы2, после
шага исключения будем иметь задачу
СA)У 2К =Ф
' -У/.1 + С^У/-У/+1 = Ф/ 1</<М2-1, C3)
где правая часть Фу = Р$, 0 ^ / ^ М2 определяется по формулам
( СР, + 2Ри 1 = 0,
Фу = | Р^ + СР^ + Р^, 1</<М,-1,
\СРКг + 2Р^1, ] = МЛ.
Для векторов V^ и Фу имеем разложения
где
.B)
№A)-
( Л-гов^М Кк <М —I
I т/Т" М2 ' 1^АС2^./К12 1,
Коэффициенты Фурье векторов К;- и Фу- в силу C3) связаны
соотношением
(С*-2 соз ^ Е) П, - Н\2кг, 0 <*, < МШ9
206

а компоненты вектора 2ь% выражаются через компоненты вектора
Фу следующим образом:
**. (О = 2 А.Ф ((, I) № (/) + 0.6А, [Ф (I, 0)|*8? @) +
Неизвестные Цу с нечетными номерами /, как и раньше,
определяются из уравнений D).
В полученных формулах осталось перейти к скалярной
записи и к ненормированной собственной функции \1%> (/) = соз -^—.
В результате получим следующие формулы для метода
решения задачи C1): для каждого О^л^Л^ вычисляются
2[/(*. <>)•+/(*, \)]-Н\^{1у 0), / = 0,
/(*, 2/-1) + /(*. 2/+1) + 2/(*\ 2/)—«Л^^, 2/),
2 [/(*, ^) + Т& Нш-1)]-0\Л19 Лд, ] = М„
решаются уравнения
4 зт»1^ ^а @ -А1ЛЛа @ = Н\хк2 @, 0 < I < ^
4со8»^^@-А8А^@ =^а(о, о<;<^
для 0<й2<М2, где
м2
**а @ = X Р/Ф (*\ /) СОЗ ^ ,
0<й2<Л!2, 0<*<#1-
Решение и(*, /) задачи C1) определяется по формулам
VI я2л;/
и (*'. 2/) = 2- Р*^ @ соз -тт-, 0 < / < Л1„ 0 < / < ЛГ4
и из уравнений
2иA, 2/—1)—/г|Л1ы((, 2/—1) =
= Щ ({, 2]-1) + и (I, 2/—2) + и (I, 2/),
1</<ЛГ2, 0<*<Л^.
Здесь использованы обозначения
Г 1, 1</<М2-1,
Р/ \ 0,5, / = 0, Мг, М2 = 0,5Мй,
207

а оператор Л$ определен выше. Для нахождения щг{1)> #ь3@ и
и (г, 2/ — 1) здесь мы имеем трехточечные уравнения'с краевыми
условиями третьего рода, которые решаются методом прогонки.
Заметим, что приведенные формулы нисколько не изменяются,
если сетка по направлению хх будет неравномерной. Изменится
лишь вид оператора Ах—это будет разностный аналог второй
производной и краевых условий третьего рода на неравномерной
сетке.
Вообще следует отметить, что можно построить
соответствующий вариант метода разделения переменных с оценкой числа
действий 0(М21о§2М) во всех, за исключением одного, случаях,
в которых можно использовать метод полной редукции.
Исключение составляет тот случай, в котором по направлению
исключения неизвестных задано краевое условие третьего рода хотя бы
на одной из сторон прямоугольника.
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности
в прямоугольнике. Рассмотрим еще один пример применения
метода разделения переменных. Пусть на прямоугольной сетке со
требуется найти решение разностной задачи Дирихле повышен-
ного порядка точности для уравнения Пуассона
Аи = {А1 + А2 + -±^А1А2)и = — 1(х), х^со, ^4)
и(х) = 09 х€у,
где Ааи = и- , а= 1, 2.
хах<х
Краевое условие задано однородным для простоты—задача с
неоднородным краевым условием сводится к C4) путем поправки
правой части уравнения в приграничных узлах.
В п. 4 § 1 гл. III была получена векторная запись задачи C4)
в следующем виде:
-ВС/^ + АЦ-ВЦ^Г,., 1</<ЛГ2-1,
#. = 0^ = 0, C5)
где
0, = (иA, /), иB, /), .... «(Л^-1, /)), 0</<ЛГ„
*7=(Ы/A. /), Л1/<2, /), ..., /*!№-!, /)), 1</<#а-1,
а матрицы В и А определяются соотношениями
Щ^-А1)и(Ы1-\,})),
ВП^^Е+Щ^-А^иЦ, /), ...
Л0Г/в(BЕ-^А,)иA, /), ...
.... BЕ-5«=лЦ)и(^-1. /))
Матрицы А и В перестановочны, т. е. АВ = ВА.
208

Построим комбинированный метод разделения переменных для
задачи C4). Сначала совершим первый шаг исключения метода
редукции для системы C5). Дадим независимое от изложения
главы III описание этого шага. Выпишем три подряд идущих
уравнения системы C5) для / = 2, 4, 6, ..., Ы2—2:
-ви/_2+Аа/_1-ва;=р;_1,
-Ва/.1 + А^-ВЦ/+1 = Р/,
-ВЦ + АЦ^-ВЦ^Ъ+ь
умножим слева первое и третье уравнения на В, а среднее—на
А, и сложим их. В силу перестановочности А и В получим
-ВЩ.% + (Л2-2Я2) Ц-В*[/{+2 = #у«,
1 = 2, 4, 6, .... ЛГ.-2,
где Р/^ = В(Р/.1 + Р/+1) + АР/, } = 2, 4, 6 Л^2-2.
Обозначая, как обычно, V) = П2/, 0 < / < М2, Ф/ = Р$, I < / < Мг — 1,
где 2УИ2 = Л^2, запишем эту систему в виде
-В'У/.1 + (А^-2В")У/-В'У/+1 = Ф/, 1</<М2-1, C6)
У0=УМш = 0,
при этом
Ф/ = В(Р2/.1 + Р2/+1) + АР2/, 1</<М2-1. C7)
Остальные неизвестные векторы находятся из уравнений
АРц/-1 = Гш;-1 + ВA7щ/^ + [Гщ), 1</<М?. C8)
«Укороченную» систему C6) будем, как и раньше, решать
методом Фурье. Подставим разложения A2) в C6), где \х(^ (/) опре-
* делены A0). В результате для коэффициентов Фурье КЛа и 2кл
векторов V; и Фу получим соотношение
(А*-4со&-^вА Ук=Н\1^ 1<й2<М2-1, C9)
Ш2и ) '*.-""**>•
являющееся аналогом соотношения A3), причем компоненты
векторов 2кг и Фу связаны формулой A1). Для решения уравнения
C9) можно использовать алгоритм
(
А + 2со51^в)ук1=\Ук1, 1<й<М,-1
D0)
Д ^ V _ II/ 1 <^ Ь <^ М 1
2М2
Итак, метод решения задачи C4) в векторной форме
описывается формулами C7), A1), D0), A2) и C8). Переходник
скалярной записи и к ненормированной собственной функции^ (/)=
> 2.09

= 51П -др- при помощи замены из п. 1, получим следующие
формулы:
Ф(*. /) = (^+%^Л1)[/(/, 2/-1) + /(*\ 2/+1) + 2/(*\ 2/)]-
-ЦА1[A92])9 1</<М2—1, 1<1<Л^1—1, D1)
/(О, /) = 0, 1</<^-1.
для вычисления ср(г, /); уравнения
D2)
для вычисления о>*а@ и
4С052Йг^, @-^(!"Ж0082^Й"^^4^")А^@ = ^@^ <43)
для вычисления ук2(ь), которые решаются при 1<й2<М2— 1,
где
М2-1
**@= Ё Ч>С П*[п^Щ-> »<*1<Л*.-1. 1</<^-1. D4)
Решение и(*', /) задачи C4) определяется по формулам
м2-\
«С2/) = я- Е^ЛО^п^-. 1</<Ма-1, 1<*<^-1,D5)
и из уравнений
2иA\ 2/-~1)-%^Л^A, 2/-1) = **/(*, 2/-1) +
+ (^+%^Л1)[И^, 2/-2) + и(/, 2/)],
1<^<Л^1 — 1, D6)
и (О, 2/—1) = а(^1§ 2/—1) = 0, 1</<М2.
Нам осталось показать, что трехточечные уравнения D2),
D3) и D6) разрешимы. Тогда для нахождения решения можно
воспользоваться методом обычной прогонки или методом
немонотонной прогонки.
Достаточно показать, что для 1^&2<:М2— 1 собственные
значения разностного оператора
51 = ^>Я-A-^142')л1, *Й~^8Ш
2 к**
2#2
210

отличны от нуля. Действительно, при 1</г2<#2/2— 1
оператор к\91 совпадает с оператором задачи D2), а при к2 = Ы2/2—
с оператором задачи D6). Если М2/2 +1 ^ й2 <; Л/^—1, то
оператор к\Э1 имеет вид
А12^-4 51П 2^2 Я2^1 12 д| 8Ш 2Л/2УА1-
Замена к2 = Ы2—к^ дает
/,2 я - 4 соя2 к'2Л к2( 1 А' + ^ — соя2 ^ 1Л
П2^~4С05 2^2 Л2^1 12 ^2 С05 ^щ^Л^,
где 1^/г2^Л^2/2— 1, т.е. в этом случае оператор к\Э{
совпадает с оператором задачи D3).
Найдем теперь собственные значения оператора ей для
фиксированного значения к2. Так как собственными значениями
оператора Лх в случае краевых условий первого рода являются
(см. § 5 гл. I)
а A) = _1_ С21П2 клП к =1 2 N 1
1 к2 2^1 ' ' '" "' х
то собственные значения Я оператора 5? есть
12
Чл = ^, + ^>--5^^Й?- К*1<^1-1. 1<й2<^-1.
Так как имеют место следующие оценки для собственных
значений к% и Х%:
°<^«<^-. «=1,2,
то легко получим для любых кг и к2
* Къ = Ч» A —I М?) + Я^> A -# 4?) > 4 К> + %%) > О,
что и требовалось доказать.
Несложно найти, что для задачи D2) достаточное условие
применимости метода обычной прогонки имеет вид
и, очевидно, выполнено для любого к2. Для задачи D3)
аналогичное условие имеет вид
1 +2^1со82 м 0
2>к\ 2^2 ^
и то же выполнено для всех к2. Задаче D6) соответствует
условие D7) с &2 = 0,5#2. Следовательно, задачи D2), D3) и D6)
можно решить методом обычной прогонки.
* 211

ГЛАВА V
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИЙ
ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Настоящая глава содержит сведения и основные понятия теории
итерационных методов, которые излагаются в последующих главах. В § 1
изложены простейшие понятия функционального анализа, приведены основные
свойства линейных и нелинейных операторов в гильбертовом пространстве,
а также некоторые теоремы о разрешимости операторных уравнений. В § 2
проводится систематическая трактовка разностных схем как операторных
уравнений в абстрактном пространстве и указываются свойства
соответствующих операторов. В § 3 даны основные определения и понятия теории
итерационных процессов, рассмотрен канонический вид итерационных схем,
даны понятия сходимости и числа итераций.
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа
1. Линейные пространства. В предыдущих главах были
изучены основные прямые методы решения простейших разностных
уравнений. Построенные методы характеризуются тем, что с их
помощью принципиально возможно, проделав конечное число
действий, получить точное решение разностной задачи. При этом,
естественно, предполагается, что входная информация задана
точно и все вычисления проводятся без округления.
Эффективность этих методов достаточно высокая, что
достигается учетом структуры матрицы решаемой системы.
Требование выполнения специальных свойств матрицы сужает область
применимости этих методов, ограничивая ее простейшими
задачами.
Для решения сложных и, в частности, нелинейных
разностных задач наибольшее распространение получили
итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении
тем или иным способом сходящейся к решению
последовательности приближений, начиная с некоторого начального
приближения. При этом за приближенное решение задачи принимают
решение, полученное после конечного числа итераций.
Универсальность итерационных методов заключается прежде
всего в том, что они позволяют решать не одну конкретную
задачу, а класс задач, обладающих определенными свойствами.
Эти свойства определяются не структурой сеточных уравнений,
а общими функциональными свойствами. Поскольку в большин-
.212

стве итерационных методов конкретная структура уравнений
не используется, то теорию итерационных методов можно строить
с единой точки зрения, рассматривая в качестве исходного
объекта исследований операторное уравнение первого рода
Ли = /,
где А — оператор, /—заданный, а и — искомый элементы
некоторого пространства Я.
Прежде чем переходить к построению и исследованию
итерационных методов, дадим краткий перечень сведений из
функционального анализа (без доказательств).
Линейным пространством над полем К действительных или
комплексных чисел называется множество Я, для элементов
которого определены операции сложения элементов и умножения
элемента на число из поля /С, причем выполняются следующие
аксиомы (х, у, г—элементы из ЯД и \л — числа из /():
1) обе операции не выводят из Я;
2) х + у = у + х, х + (у + г) = (х + у) + 2 (коммутативность и
ассоциативность сложения);
3) К (\хх) = (Я[х) х (ассоциативность умножения);
4) %(х-\-у)^%х-\-%у, (А, + (х)х = 'кх + [IX (дистрибутивность
умножения относительно сложения);
5) существует однозначно определенный элемент 0 такой, что
х-\-0 = х для любого л;6Я;
6) для каждого х^Н существует однозначно определенный
элемент (—х)^Н такой, что х-\-(—х) = 0;
7) 1-х = х.
В зависимости от того, на какие числа, вещественные или
комплексные, допускается умножение элементов Я, мы получаем
вещественное или комплексное линейное пространство.
В линейных пространствах можно ввести понятие линейной
зависимости и линейной независимости элементов. Элементы
х19 х2, ..., хп линейного пространства Я называются линейно
независимыми, если из равенства
Кгхг + Х2х2 + ... + Кхп = ° 0)
следует, что К1 = Х2= ... =ЯИ = 0. Если, наоборот, найдутся не
все равные нулю К1$ Я2, ..., Хп такие, что имеет место A), то
элементы х19 х2, ..., хп называются линейно зависимыми.
Пространство Я называется п-мерным, если в Я существуют
п линейно независимых элементов, а всякий (п+1)-й элемент
линейно зависим.
Непустое замкнутое множество Нг элементов линейного
пространства Я называется подпространством, если вместе с
элементами хг, хй, ..., хп множество Нг содержит любую линейную
комбинацию Я1х1 + Я1*а+ ... +кпхп этих элементов.
213

Сумма конечного числа подпространств Ях, Я2, ..., Нп есть
множество элементов вида
х = х1 + х2+...+хп, х(^Н(, 1 = 1, 2, ..., д. B)
Пусть Ях, Я2, ..., Я„ — подпространства, принадлежащие
линейному пространству Я. Если каждый элемент л; 6 Я
однозначно представим в виде B), то говорят, что Я есть прямая сумма
подпространств Нг, Я2, ..., Нп, а выражение B) называется
разложением элемента х по элементам из Нг, Я2, ..., Ял.
Будем иметь в этом случае
Н = Н1®Н2®...^Нп.
Нетрудно показать, что если Я = Нг@Н2, то Н1 и Я2 имеют
общим лишь нулевой элемент пространства. Обратно, если любой
элемент х^Н может быть представлен в виде х = хг + х2, х1^Н1,
х2$Н2 и ЯхПЯ2 = 0, то Н = Нх®Н2.
Линейное пространство Я называется нормированным, если
для каждого элемента х^Н определено вещественное число ||#||,
называемое нормой, которое удовлетворяет условиям:
1) ||х ||^0, причем ||х || = 0, если л; = 0;
2) (х + у К || л: || + || у\\ (неравенство треугольника);
3) 1^*11 = 1 Я ||| я||, л—число.
Последовательность {хп\ элементов линейного
нормированного пространства Я называется сходящейся к элементу х^Н,
если \х—хп\\—*0 при м—>оо. Если \\хп—хт\\—*0 при п, т—>оо,
то последовательность {.*;„}• называется фундаментальной.
Линейное нормированное пространство Я называется полным,
если всякая фундаментальная последовательность {хп\ из этого
пространства сходится к некоторому элементу х^Н. Полные
линейные нормированные пространства называются банаховыми
пространствами. Всякое конечномерное линейное нормированное
пространство полно. Подпространства нормированного
пространства нормированы естественным образом.
Одно и то же линейное пространство можно нормировать
бесконечным множеством способов. Пусть в линейном
пространстве двумя различными способами введены нормы Цх^ и ||я||2.
Если существуют такие постоянные 0 <Ст^.М, что для любого
х^Н верны неравенства
то нормы называются эквивалентными. Отметим, что в
конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны.
Если в линейном пространстве введены две эквивалентные
нормы, то из сходимости некоторой последовательности {хп\ в
одной норме следует сходимость и в другой.
Пусть Я—линейное вещественное (комплексное) пространство,
и пусть любым двум элементам х, у из Я сопоставлено
вещественное (комплексное) число (а:, у) такое, что:
214

1) (*• У)=:(Уу х) (симметрия);
2) (х + у, г) = (х, г) + (у, г) (дистрибутивность);
3) (кх, у) = к(х, у) (однородность);
4) (х> х)^0 для любого х$Н, причем (х, х) = 0 тогда и
только тогда, когда х — 0.
Число (л;, у) называется скалярным произведением элементов
х и у. Черта сверху означает переход к комплексно
сопряженному числу.
Линейное нормированное пространство Я, в котором норма
порождена скалярным произведением ||л:|| = |/(л:, л:), называется
унитарным пространством Я. Полное унитарное пространство
называется гильбертовым. Конечномерное унитарное
пространство является полным.
Для скалярного произведения справедливо неравенство Ко-
ши — Буняковского \(ху у)\^\\х\\\\у\\. Элементы х и у унитарного
пространства называются взаимно ортогональными, если (х, у) = 0.
Элемент х^Н называется ортогональным подпространству Нх
пространства Я, если х ортогонален любому элементу у^Нх.
Множество Я2 всех элементов х^Н} ортогональных
подпространству Нг пространства Я, называется ортогональным дополнением
подпространства Нг. Заметим, что ортогональное дополнение
само является подпространством пространства Я.
Пусть Нг — произвольное подпространство пространства Я,
а Я2 — ортогональное дополнение. Тогда Я есть прямая сумма
Нх и Я2, Я = Я1фЯя. Следовательно, каждый элемент х^Н
представляется единственным образом в виде х = х1 + х2, ха^На,
а=1, 2, причем (х19 х2) = 0.
Система х1} х2У ..., хп, ... элементов пространства Я
называется ортогональной системой, если (хт, хп) = 6Ш2, т, п = 1,2, ...,
где Ьтп—символ Кронекера, равный единице при т = п и нулю
при тфп.
Если не существует элемента х€ Я, отличного от нулевого
и ортогонального всем элементам ортонормированной системы
{хп}, то эта система называется полной. Ряд Фурье 2 скхи> гАе
к — 1
ск = {х, хк), к=и 2, ..., построенный для любого х$Н по
полной ортонормированной системе {хп}, сходится к этому
элементу, и для любого х € Я имеет место равенство
00
1*1» = (х, х)= 2^|.
к — 1
2. Операторы в линейных нормированных пространствах.
Пусть X и У—линейные нормированные пространства. Говорят,
что на множестве ^>аХ задан оператор А со значениями в У
(оператор, действующий из 3) в У), если каждому элементу
х^@) поставлен в соответствие элемент у = Ах € У. Множество $Ь
215

называется областью определения оператора А и обозначается
через @)(А). Совокупность всех элементов у€У, представимых
в виде у=Ах (х^&(А)), называется областью значений
оператора А и обозначается шЛ. Если @)(А) = Х, ипЛсгХ, т, е.
оператор А отображает X в себя, то говорят, что А—оператор
в X. Если Й>(Л) = Х, 1т Л = Х, т. е. оператор А отображает X
на себя, то говорят, что А—оператор на X.
Оператор А называется линейным, если 3) (А) — линейное
многообразие в X и для любых х19 х2€@)(А)
А (К^ + %2х2) = 'к1Ах1 + \Ах2%
где %1 и %2—числа из поля /С.
Линейный оператор А называется ограниченным, если
существует такая постоянная М > О, что для любых х 6 @) (А)
\\Ах\\2^М\\х\\19 C)
где || • Ц! норма в X, ([ -1|2—норма в V. Произвольный нелинейный
оператор А называется ограниченным на ^5 (Л), если
зир [|Лх||2<оо.
Для линейного оператора А наименьшая из постоянных М,
удовлетворяющих условию C), называется нормой оператора и
обозначается ||Л||. Из определения нормы следует, что
Л Л || = зир || Ах ||2 или || Л \\ = зир Н*Ц2
0*111=1 хфо || * ^ •
Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный
оператор ограничен. Пусть Л — произвольный оператор,
действующий из X в У. Оператор Л называется непрерывным в точке
х€X, если из условия \хп—х\\г-^0 (хп^Х) следует, что ||Л*„~
— Ах \\2 —* 0 при п —* оо . Линейный ограниченный оператор
непрерывен.
Произвольный оператор Л удовлетворяет условию Липшица
с постоянной ц, если
\\Ахг — Лл;2||2<<7[1*1—х2\\19 х19 х2$@){А). D)
Любой линейный ограниченный оператор Л удовлетворяет
условию Липшица D) с </ = [|Л||.
Пусть Л — произвольный оператор, действующий из X в У.
Линейный ограниченный оператор Л' (х) называется производной
Гато оператора А в точке х пространства X, если для любого
х$Х
,. II А (х + О) — Ах лп \ II л
Пт 1 / А(х)г\\ = 0.
При этом область значений оператора Л' принадлежит У.
Если оператор Л имеет производную Гато в каждой точке
пространства X, то для любых х19 х2$Х справедливо неравен-
216

ствоD), где<7= 5ир \\А'(х1 + {(х2—х^)^ Если Л — линейный опе-
о< /< 1
ратор, то А' = А.
Всевозможные линейные ограниченные операторы, действующие
из X в К, образуют линейное нормированное пространство,
так как норма || А || оператора А удовлетворяет всем аксиомам
нормы. Рассмотрим множество линейных ограниченных
операторов, действующих из X в X. На этом множестве можно
ввести произведение АВ операторов А и В следующим образом:
(АВ)х = А (Вх). Очевидно, что АВ — линейный ограниченный
оператор: \\АВ\\^\\А\\\\В\\.
Если (АВ) х=(ВА) х для всех х € X, то операторы Л и В
называются перестановочными или коммутативными; в этом случае
пишут АВ = ВА.
В связи с решением уравнений вида Ах = у вводится понятие
обратного оператора Л. Пусть Л — оператор из X на У. Если
каждому у ^ У соответствует только один х € X, для которого
Ах^у, то этим соответствием определяется оператор Л",
называемый обратным для Л и имеющий область определения У, а
область значений X.
Для любых х€Х и у^У имеем тождества А~1(Ах) = х,
А(А~1у) = у. Нетрудно показать, что если Л линеен, то и Л
(если он существует; также линеен.
Лемма 1. Для того чтобы линейный оператор А,
отображающий X наУ, имел обратный, необходимо и достаточног чтобы
Ах = 0 только при х = 0.
Теорема 1. Пусть А—линейный оператор из X на У.
Для того чтобы обратный оператор А существовал и был
ограниченным (как оператор из У на X), необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая постоянная б > 0, что для всех х^Х
\\Ах\\^Цх\\,.
При этом справедлива оценка ЦЛ")!^ 1/6. Здесь || • ||х—норма
в X, а || • ||2—норма в У.
Иными словами, для существования обратного оператора Л~*
необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение Ах —О
имело только тривиальное решение.
Йусть Л и В линейные ограниченные операторы, действующие
в X и имеющие обратные. Тогда (АВ)"Х = В"ХА'1.
Если оператор Л обратим, то имеют смысл степени Ан с
любыми (а не только неотрицательными) целыми показателями.
Именно, по определению А^к=(А)к, й=*1, 2, ... Степени
одного и того же оператора коммутируют.
Введем понятие ядра линейного оператора Л. Ядром
линейного оператора А называется множество всех тех элементов х
пространства X, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора Л
обозначается символом кег А.
217

Условие кег Л = О является необходимым и достаточным для
того, чтобы оператор Л имел обратный.
Подпространство Хх пространства X называется инвариантным
подпространством оператора Л, действующего в X, если А не
выводит элементы из Х1У т. е. Ах^Х19 если х^Хг.
Если подпространство Х± инвариантно относительно
обратимого оператора Л, то оно инвариантно относительно
оператора Л.
Примерами инвариантных подпространств оператора Л могут
служить кег Л и 1тЛ. Заметим, что если операторы Л и В
коммутируют, то подпространства кег В и 1тВ инвариантны
относительно оператора Л.
Число '*
Р(Л)=Шп У\Щ
к -* со
называется спектральным радиусом линейного оператора А. Оно
не зависит от определения нормы, причем р(Л) = т1|1 Л ||.
н-11
Для любого линейного ограниченного оператора Л
справедливы неравенства
р(Л)<цл||, р(Л)<*/Й1Г. * = 2, з, ...
Лемма 2. Для того чтобы |]Л|| = р(Л), необходимо и
достаточно, чтобы ||Л*|| = ||Л||л, к = 2, 3, ...
Отметим еще одно свойство спектрального радиуса. Если
операторы Л и В коммутируют, то
р(ЛВ)<р(Л)р(В), р(Л + В)<р(Л) + р(В).
3. Операторы в гильбертовом пространстве. Пусть линейный
ограниченный оператор Л действует в унитарном пространстве Я.
Согласно общему определению нормы оператора имеем
[|Л||= зир |(Лх|| = 5ир1/0КЖ
Ц*|1=1 хеН V (х, х)
и, следовательно, для любого х^Н верно неравенство
(Ах, Ах)^\\А\\2(х, х).
Используя неравенство Коши — Буняковского, отсюда получим
\(Ах, х)]^\\Ах\\\\х\\^\\А\\(х, х). E)
Далее будем рассматривать только ограниченные
операторы.
Оператор Л* называется сопряженным оператору Л, если для
любых х, у^Н выполнено тождество
(Ах, у) = (х, А'у).
218

Для любого линейного ограниченного оператора Л с областью
определения @)(А) = Н существует, причем единственный,
оператор А* с областью определения *2>(Л*) = Я. Оператор Л*
линеен и ограничен, || А* || = || А [|.
Приведем основные свойства операции сопряжения: (Л*)* = Л,
(А + В)* = А* + В*, (ЛВ)* = В*Л*, {ХА)* = %А*. Если операторы
Л и В коммутируют, то коммутируют и сопряженные операторы
Л* и В*. Если Л имеет обратный, то (А'1)* = (А*)Ш,19 т. е.
операций взятия обратного оператора и сопряжения перестановочны.
Лемма 3. Пусть А—линейный оператор в Н. Пространство
Н представимо в виде прямых сумм ортогональных подпространств
# = кегЛ®1тЛ*, # = кегЛ*01тЛ.
Действительно, пусть Нг—ортогональное дополнение ш Л* до
пространства Я, т. е.
Я = Я1фппЛ*, (х19 х2) = 0, ^€#1, *2€ипЛ*.
Покажем, что Нг = кег Л. Пусть хх € кег Л, тогда для любого х € Я
имеем Л*л: € 1т Л* и
(л;^ А*х) = (Ах1, х)=0.
Следовательно, хг ортогонально 1тЛ*, и поэтому х1$Н1. С
другой стороны, пусть х1^Н1 (следовательно, хг ортогонален 1тЛ*).
Тогда для любого х$Н
0 = (х1У А*х) = (Ах1, х).
Так как х—любой элемент Я, то Ахг = 0 и, следовательно,
л^кег А. Первое утверждение леммы доказано. Аналогично
доказывается и второе.
Линейный оператор Л называется самосопряженным в Я,
если Л = Л*. Для самосопряженного оператора (Ах9 у) = (ху Ау)
для всех х, у^Н.
Оператор Л называется нормальным, если он коммутирует со
своим сопряженным, А*А — АА*, и кососимметричным, если
Л* = —Л. Самосопряженные и кососимметричные операторы
нормальны.
Известно, что если Л и В—самосопряженные операторы, то
оператор АВ является самосопряженным тогда и только тогда,
когда Л и В перестановочны.
Если Л—линейный оператор, то А* А и А А*
самосопряженные операторы, причем || Л*Л || = || Л Л* || = || Л||2 и
кег А^А = кег Л, 1ш А^А = ш Л*,
кег ЛЛ* = кег Л*, 1ш АА* = гт Л.
Любой оператор Л можно представить в виде суммы
самосопряженного Л0 и кососимметричного Лх операторов
« = Л0 + Лх,
219

где Л0 = 0,5(Л + Л*), Л1=г= 0,5(Л-—Л*). Если Я—вещественное
пространство, то отсюда вытекают равенства
(Ах, х) = (А0х, х), (Агх, х) = 0.
В комплексном пространстве Я имеет место декартово
представление оператора Л:
А = А0 + 1Аг,
где А0^ЯеА-=^-(А + А*), 42 = 1т Л = ~ (Л —
Л*)—самосопряженные в Я операторы. При этом для любых х^Н справедливы
тождества
Яе(Ах, х) = (А0х, х), 1т (Ах, х) = (А1х, х).
Если Л—самосопряженный в Я оператор, то имеет место
формула
||Л||=5ир1^^1, *€Я.
х ф 0 V*» */
Лемма А. Если А—самосопряженный ограниченный в Я
оператору то при любом целом п > 0 верно равенство || ЛИ[| = ||Л||Л.
Лемма 4 остается справедливой и для нормального оператора.
Из лемм 2 и 4 следует, что для нормального (в частности,
для самосопряженного) оператора Л имеет место равенство
Р(Л)=И||.
Лемма 5. Пусть в линейном пространстве Я двумя
способами введено скалярное произведение элементов х и у: (х, у)г и
(х, уJ. Если оператор А самосопряжен в смысле каждого
скалярного произведения, то || Л ^ = || Л ||2 = р (Л).
Спектральный радиус дает оценку снизу для любой нормы
оператора. Введем числовой радиус оператора, позволяющий
получить двусторонние оценки для нормы.
Числовой радиус оператора Л, действующего в комплексном
пространстве Я, определим следующим образом:
р(Л) = зир \(Ах, х)\у х$Н.
0*11=1
Для любого линейного ограниченного оператора Л справедливы
неравенства: [х(Л)||Л |Кр(Л)<||Л ||, р,(Л)>1/2 и, кроме того,
р(Лл)^[р(Л)]л для любого натурального п. Если оператор Л
самосопряжен, то р (Л) = || Л |]. Отметим еще ряд интересных свойств
числового радиуса. Так, например, р (Л*)~р (Л), р (Л*Л) = || Л ||2.
Кроме того, р (Л)<р (Л), где р(Л) —введенный ранее
спектральный радиус оператора.
Линейный оператор Л, действующий в гильбертовом
пространстве Я, называется положительным (А > 0), если (Ах, х) > О
для всех х^Н, кроме х = 0. В случае комплексного простран-
220

ства Я определение положительности вводится только для
самосопряженных операторов, так как из положительности оператора
в этом случае уже следует его самосопряженность.
Аналогично вводится определение неотрицательности
оператора Л (для всех х€Я (Ах, х)^0) и положительной
определенности (для всех х^Н (Ах, х)^8(х, х), где 8>0).
Нелинейный оператор Л, действующий в Я, называется
монотонным, если
(Ах—Ау, х—у)^0, х, у$Н,
строго монотонным, если
(Ах— Ау, х—у)>0, х, у^Н, хфу,
и сильно монотонным, если для всех х, у^Н имеет место
неравенство
(Ах-Ау, х-у)^Цх-у\\ б>0.
Теорема 2. Пусть нелинейный оператор А имеет
непрерывную в каждой точке х^Н производную Гато. Тогда оператор А
сильно монотонен на Н в том и только в том случае, когда
существует такое б > 0, что
(Аг (х)у, у)>8(у, у), у$Н.
Пусть А — неотрицательный линейный оператор. Число (Ах, х)
назовем энергией оператора. Будем сравнивать операторы А и В
по энергии. Если ((А — В)х, х)^0 для всех х^Н, то будем
писать А ^ В.
Если существуют такие постоянные у2 > уг > 0, что для
линейных операторов А я В верны неравенства у^^Л^у^,
то такие операторы будем называть энергетически
эквивалентными (эн. эк.), а уг и у2 — постоянными энергетической
эквивалентности операторов Л и В. Пусть
8 = 1п1 (Ах, х) и Д = 51др (Ах, х).
11*11=1 11*11=1
Числа б и А называются границами оператора Л
(самосопряженного в случае комплексного Я). Очевидно, что верны неравенства
б (ху х)^(Ах, х)^.А(х, х), х^Н
или
6Я<Л<ДЯ,
где Е — тождественный оператор, Ех = х.
Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве
линейных операторов, действующих в Я, отношение неравенства
обладает следующими свойствами:
1) из Л>В и С^Э следует А + С^В + В,
2) из Л^0иХ>0 следует ЯЛ^О,
221

3) из Л>В и В>С следует А^С,
4) если Л >0 и Л~г существует, то Л~*>0.
Далее очевидно, что А* А и Л Л* — неотрицательные
операторы для любого линейного оператора Л. Эти операторы будут
положительны, если Л — положительный оператор.
Теорема 3. Произведение АВ двух перестановочных
неотрицательных операторов А и В, один из которых самосопряжен,
есть также неотрицательный оператор.
Для любого самосопряженного неотрицательного оператора Л
имеет место обобщенное неравенство Коши—Буняковского
\(Ах, у)\<УЩГ$ У(Ау, у), х, у$Н.
Пусть й—самосопряженный положительный оператор,
действующий в Я. Тогда можно ввести энергетическое
пространство Нв, состоящее из элементов Н, со скалярным
произведением (х, у)о = (Ох, у) и нормой
\х\0~УТЩГЯ.
Отметим, что если О—самосопряженный положительно
определенный и ограниченный в Н оператор, то для любого х^Н в
силу неравенства Коши—Буняковского справедливы оценки
8(х, *)<(Ол;, *)<||0*[||*||<Д(*, х), Д = ||0||, 8 >0.
Эти неравенства можно записать в виде
УвЫ<Ыо<У*Ы>
откуда следует, что обычная норма || • || и энергетическая норма
|| • \\0 эквивалентны.
Заметим, что унитарное энергетическое пространство НП можно
построить, исходя из несамосопряженного положительного
оператора О. Для этого скалярное произведение в Нв определим
следующим образом:
(х, У)в = (Оо*, У), где Д, = 0,5 (Д + О*).
Приведем ряд лемм, содержащих основные неравенства,
необходимые нам для дальнейшего.
Лемма 6. Пусть для линейного оператора выполнено условие
А^ЬЕ, 8 > 0. Тогда для любого х^Н имеет место неравенство
(Ах, Ах)^8(Ах, х).
Если для неотрицательного самосопряженного оператора
выполнено условие А^кЕ, то для любого х^Н имеет место
неравенство
(Ах, Лл:)<Д(Лд:, х).
Лемма 7. Из условия (Ах, Ах) ^. А (Ах, х), х^Н, Д>0
для неотрицательного оператора А следует неравенство
Л<ДЯ,
222

а из условия (Ах, Ах) ^6 (Ах, х), б > 0, для неотрицательного
самосопряженного оператора А следует неравенство
А^8Е.
Следствие 1. Из лемм 6 и 7 вытекает, что для
самосопряженного положительно определенного оператора А неравенства
6Я<Л<Д5, б>0,
и
б (Ах, х)^(Ах, Ах) < А (Ах, х), б>0,
эквивалентны.
Следствие 2. Из E) и леммы 6 следует оценка (Ах, Ах)^.
< || А || (Ах, х), х^Н, для неотрицательного самосопряженного в
Н оператора А.
Лемма 8. Пусть А—положительный ограниченный в Н
самосопряженный оператор А > О, || Ах || ^ Л || х ||. Тогда обратный
оператор А является положительно определенным Л"^-^-Е.
Лемма 9. Пусть А и В—самосопряженные положительно
определенные в Н операторы. Тогда неравенства
7Х5<Л<72Я, Т«>Т1>0
и
ухА-1 < В-* <у2А-\ у2> ух > О
эквивалентны.
Лемма 10. Если А—положительно определенный оператор
Л^б5,б>0, то существует обратный оператор Л и
Доказательство следует из неравенства
6||*||2<(М ,*)<||л*|||И|, б>о
и из теоремы 1.
Замечание. Если А—положительный оператор, то А
существует. В случае комплексного пространства Н для
существования оператора А достаточно положительности
действительной составляющей Л0 = 0,5 (А + А*) или положительности
мнимой составляющей А1 = тг-(А-тА*) оператора Л.
4. Функции от ограниченного оператора. В теории
итерационных методов нам придется иметь дело с функциями от оператора.
Пусть Л—ограниченный линейный оператор, действующий в
нормированном пространстве X. Если /(Я) — целая аналитическая
со
функция переменного К, разлагающаяся в ряд 2 а*^, то можно
к-0
определить функцию / (А) от оператора А с помощью формулы
223

/И)= 2 о,кАк. Оператор /(Л) будет также линейным и ограни-
6 = 0
ченным. В качестве примера приведем экспоненциальную функ-
00
цию оператора еА = 2и~тт • Введенное определение функции от
к = 0
оператора можно распространить на более широкий класс
функций и построить операторное исчисление для ограниченных
операторов. Мы дадим более общее определение лишь для
самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве.
Пусть б и Д—нижняя и верхняя границы
самосопряженного в Я оператора Л. Пусть /(Я) — непрерывная на отрезке
[б, А] функция. Оператор [(А) называется функцией
самосопряженного оператора А.
Соответствие между функциями вещественной переменной
и функциями от оператора обладает следующими свойствами:
1) Если /(Ь) = а/Х(А,) + Р/,(Л), то /(Л)=о/х(Л) + Р/,(Л).
2) Если /(Ь) = ММ/,(А,), то Г(А) = Ш)Ш).
3) Из АВ = ВА следует /(Л)В = 5/(Л) для любого
ограниченного линейного оператора В.
4) Если Ма,Х/(ЛХ/,(Я) для всех к$ [б, Д], то М4)<
</(Л)<М4).
5) ЦДЛ)||< шах |/(Я)|.
_ б< а,< а
6) /(Л) = [/(Л)]*, где черта над функцией означает переход
к комплексно сопряженной функции. Если /(X)—вещественная
функция, то отсюда следует, что оператор /(Л) самосопряжен ё Н.
Из свойства 4) следует, что если /(Я)^0 на [б, Д], то /(Л) —
неотрицательный оператор.
Важным примером функции от оператора является корейь
квадратный из оператора. Оператор В называется квадратным
корнем из оператора Л, если 52 = Л.
Теорема 4. Существует единственный неотрицательный
самосопряженный квадратный корень из любого
неотрицательного самосопряженного оператора А, перестановочный со всяким
оператором, перестановочным с Л.
Квадратный корень из оператора Л будем обозначать Л1/2.
Отметим следующее свойство: ||Л ||=|Л1/2||2, если Л = Л*^0.
Теорема 5. Если А —самосопряженный положительно
определенный оператор, А = А*^8Е, б>0, то существует
^ограниченный самосопряженный оператор Л"а/2, || Л~1/2|^1/Кб.
Доказательство следует из неравенства
б(*, хХ(Л*, х) = (А^х9 Л1/**) = И,/1*Р
и из теоремы 1.
5. Операторы в конечномерном пространстве. Рассмотрим
п-мерное унитарное пространство Я. Пусть элементы х19 х2% ..., хп
т.

образую? ортодармированный базис в Н. По определению
конечномерного пространства любой элемент х^Н можно един*
ственным образом представить в виде линейной комбинации
х - сгхг + сйх2 +•...+ спхп, F)
Из ортонормированности системы х1% х2, ..., хп следует, что
Таким образом, каждому элементу х^Н можно поставить
в соответствие вектор с— (с1У с2, ..., сп)} компонентами
которого являются коэффициенты ск из разложения F).
Пусть Л—линейный оператор, заданный на Я. В базисе
хХУ х2,..., хн ему соответствует матрица Л~(а^ размера
пхпу где а;к = (Ахк, хс). Обратно, всякая матрица Л размера
пхп определяет линейный оператор в Н. При этом элементу Ах
/ п п п \
ставится в соответствие вектор ( ^а1кск, 2#аА> •••» 2алЛ)>
т. е. вектор Лс.
Если оператор А самосопряжен в Я, то соответствующая
ему матрица Л симметрична в любом ортонормированием базисе.
Отметим, что в неортонормированном базисе самосопряженному
оператору А соответствует несимметричная матрица.
Остановимся на свойствах собственных значений и собственных
элементов линейного оператора А. Число к называется
собственным значением оператора Л, если уравнение
Ах^кх G)
имеет ненулевые решения. Элемент хф0, удовлетворяющий G),
называется собственным элементом оператора Л,
соответствующим собственному значению Я. Иначе, собственные значения
оператора А—это те значения Я, для которых кег(Л — ХЕ)Ф0\
собственные элементы, соответствующие собственному
значению Я,—это отличные от нуля элементы подпространства
кег(Л — КЕ). Само это подпространство называется собственным
подпространством, соответствующим собственному значению Я.
Множество а (Л) собственных значений оператора Л называется
спектром оператора А.
1. Самосопряженный оператор Л имеет п ортонормированных
собственных элементов хх> хг, ...> хп~ Соответствующие
собственные значения Ял, й=1, 2, .,., д вещественны. Если все
собственные значения различны, то Л называется оператором с
простым спектром.
2. Для самосопряженного оператора Л имеют место равенства
|Л|| = р(Л)= шах |А*|,
1 < к < п
где р(Л)—спектральный радиус оператора Л. Эти равенства
сохраняются и для нормального оператора Л.
8 А. А. Самарский, Е. С. Николаев
225

3. Если Л —Л* ^ 0, то все собственные значения оператора Л
неотрицательны. При этом для любого х^Н
8(х,- х)^.(Ах9 х)^А(х> х),
где 0<8 = тт?^, Д^тахХл. Для самосопряженного опера-
к к
тора Л отношением Релея называют выражение (Ах, х)/(х, х).
Наибольшее и наименьшее собственные значения оператора Л
определяются с помощью отношения Релея следующим образом:
я . (Ах, х) л (Ах, х)
о = тш~ ~ , А^тах \ / .
хфО \Х, X) хфО \Х* Х)
4. Будем обозначать через X (Л) собственные значения
оператора Л. Пусть /(Л)—функция от самосопряженного оператора Л.
Тогда X ([ (А)) = {(X (А)) (теорема об отображении спектров).
5. Если самосопряженные операторы Л и В перестановочны,
А = А*У В = В*, АВ = ВА> то они имеют общую систему
собственных элементов. При этом операторы АВ и Л + В имеют
ту же систему собственных элементов, что и операторы Л и 5,
и собственные значения
X (АВ) = X (Л) X (В), X (А + В) = Х(А) + Х (В).
6. Произвольный элемент х^Н можно разложить цо
собственным элементам самосопряженного оператора Л
п п
х= 2 скх& ск^(х, хк), причем Ця-Ц2- 2 с\.
к—1 к~I
Число X называется собственным значением оператора А
относительно оператора В, если уравнение
Ах = ХВх (8)
имеет ненулевые решения. Элемент хфО, удовлетворяющий
уравнению (8), называется собственным элементом оператора А
относительно оператора В, соответствующим числу X.
7. Если операторы Л и В самосопряжены в Я, а оператор В,
кроме того, положительно определен, то существует п
собственных элементов хг, х2, ..., хп, ортонормированных в
энергетическом пространстве Нв: (хк, х{) в = бА/, /г, I = 1, 2, ..., п.
Соответствующие собственные значения вещественны и имеют
место неравенства
ух(Вх, х)^(Ах, х)^.у2(Вх, х),
где
. « . (Ах, х)
к хфО \ах> х)
« (Ах, х)
к хфО \ох> х)
226

Следовательно, постоянные эн. эк. самосопряженных операторов
Л и В в случае положительно определенного оператора В
совпадают с минимальным и максимальным собственными значениями
обобщенной задачи (8).
6. Разрешимость операторных уравнений. Пусть требуется
найти решение операторного уравнения первого рода
Ли = /, (9)
где Л— линейный ограниченный оператор в гильбертовом
пространстве Я, /—заданный, а и — искомый элементы Я. Будем
предполагать, что Я конечномерно. Нас будет интересовать
вопрос о разрешимости уравнения (9). Имеет место
Теорема 6. Для того чтобы уравнение (9) было разрешимо
при любой правой части /, необходимо и достаточно, чтобы
соответствующее однородное уравнение Аи = 0 имело только
тривиальное решение и = 0. При этом решение уравнения (9)
единственно.
Доказательство теоремы основано на лемме 1. ...
Формулировке теоремы можно придать иной вид: уравнение
(9). однозначно разрешимо при любой /^ Я тогда и только тогда,
когда кегЛ^О (см. п. 2).
Если кег АфО, то уравнение разрешимо лишь при
дополнительном ограничении на /. Напомним, что в силу леммы 3
пространство Я есть прямая сумма ортогональных подпространств:
Я = кегЛ©ппЛ*, Я-кегЛ*®нпЛ.
Теорема 7. Для разрешимости неоднородного уравнения (9)
необходимо и достаточно, чтобы правая часть / была
ортогональна подпространству кег Л*. В этом случае решение не
единственно и определяется с точностью до произвольного элемента,
принадлежащего кег Л:
и = и + иу м^кегЛ, Аи = {, и^хтА*.
Пусть / ортогонально кег Л*. Нормальным решением уравнения
(9) называется решение, имеющее минимальную норму.
Лемма 11. Нормальное решение единственно и принадлежит
подпространству \т Л* (т.е. ортогонально кег Л).
Действительно, пусть и = и + и, и^кетА, и^ \ш Л*. Тогда
|| и Ц2 = (и, и)==||и|а + !]и||а^||и||а, так как и — произвольный
элемент подпространства кег Л. Следовательно, норма ||и|| будет
минимальной, если и = и^\тА*.
Пусть условие ортогональности / подпространству кег Л*
не выполнено. Тогда решение уравнения (9) в классическом
смысле не существует. Пусть
/ = /+7. /ёкегЛ*, 7ё1тЛ.
Обобщенным решением уравнения (9) называется элемент и^Я,
для которого Аи = [\ обобщенное решение доставляет минимум
8*
227

функционалу ||Дм~/||. Действительно, так как (Аи—У)$\тА
для любого и(*Н, то
цл«-/|М|Л«-лр+Ша>|/>,
причем равенство достигается, если и—обобщенное решение.
Обобщенное решение определяется с точностью до
произвольного элемента из подпространства кегЛ. Назовем
обобщенным нормальным решением уравнения (9) обобщенное решение,
имеющее минимальную норму. Нормальное решение единственно
и принадлежит \т А*.
Введенное здесь понятие нормального решения, очевидно,
полностью согласуется с данным выше. Отметим, что если
существует классическое нормальное решение, то оно совпадает с
обобщенным нормальным решением.
Рассмотрим теперь уравнение (9) с произвольным нелинейным
оператором А, действующим в гильбертовом пространстве Я.
В этом случае для доказательства существования и
единственности решения уравнения (9) часто используют принцип
сжатых отображений С. Банаха.
Теорема 8. Пусть в гильбертовом пространстве Я задан
оператор В, отображающий замкнутое множество Т
пространства Я в себя. Пусть, кроме того, оператор В является
равномерно сжимающим, т. е. удовлетворяет условию Липшица
\Вх—Ву\^Я\х—у1 *. у$Т,
еде д < 1 и не зависит от х и у. Тогда существует одна и только
одна точка х*$Т такая, что х^^Вх*.
Точка х* называется неподвижной точкой оператора В.
Следствие 1. Если оператор В имеет производную Гато
в Я, которая удовлетворяет условию \В' (х)\^д < 1 для любого
х^Н, то уравнение х=^Вх имеет е Я единственное решение.
Следствие 2. Пусть оператор С отображает замкнутое
множество Т в себя и коммутирует с оператором В,
удовлетворяющим условиям принципа сжатых отображений. Тогда
неподвижная точка оператора В является неподвижной точкой
(возможно неединственной) оператора С. В частности, если
некоторая итерация Вп оператора В удовлетворяет принципу
сжатых отображений, то неподвижная точка оператора Вп является
неподвижной точкой (единственной) и оператора В.
Вернемся теперь к решению уравнения (9) с нелинейным
оператором А. Имеет место
Теорема 9. Пусть оператор А имеет в каждой точке
х^Н производную Гато А'(х) и существует т=^0 такое, что
для всех х$Н выполнена оценка \\Е—тА' (я)||<<7 < 1 • Тогда
уравнение (9) имеет в Я единственное решение.
Действительно, уравнение (9) можно записать в следующем
виде:
и = и — хАи + х(, хфО. A0)
228

Определим оператор В: Вх~х—тЛх + т/. Очевидно, что
оператор В имеет производную Гато, равную В'(х)~Е—%А'(х).
В силу условий теоремы имеем || В' (#) || ^ 9 < 1 Для любого х € Н.
Поэтому из следствия 1 теоремы 8 вытекает существование и
единственность решения уравнения A0) и, следовательно,
уравнения (9). Теорема доказана.
Отметим, что в главе VI будут рассмотрены некоторые
способы получения оценок для норм линейных операторов вида
Е—хС, где т—число.
Принципом сжатых отображений не исчерпываются все
случаи, когда решение нелинейного уравнения существует. При
доказательстве разрешимости операторного уравнения (9) можно
использовать один из вариантов теоремы о неподвижной точке—
принцип Браудера.
Теорема 10. Пусть в конечномерном гильбертовом про-
странстве Н непрерывный монотонный {строго монотонный)
оператор В удовлетворяет условию
(Вх, х)>0 для ||*||:=р>0.
Тогда уравнение Вх~0 имеет в шаре \\х\\^.р по крайней мере
одно (соответственно единственное) решение
Воспользуемся этой теоремой и сформулируем условия, при
выполнении которых операторное уравнение (9) однозначно
разрешимо при любой правой части /.
Теорема 11. Пусть в конечномерном гильбертовом
пространстве Н задано уравнение (9) с непрерывным и сильно
монотонным оператором А,
(Ах—Ау, х-у)>Ь\х-у\\ б>0, х, у$Н.
Тогда в шаре |МК-т-|| Л0—/| уравнение (9) имеет единственное
решение.
Действительно, запишем уравнение D) в следующем виде:
Ви = Аи—/ = 0.
Видно, что оператор В непрерывный и сильно монотонный.
Используя условие теоремы и неравенство Коши — Буняковского,
получим
(Вх, х) = (Ах—{, х) = (Ах—А0, х—0) — (/—АО, х)>
>ЧхГ-\\{-А0\\\\х\\ = (Цх\\~\\А0-ПЦх1
Отсюда следует, что на сфере ||^|| = -у||Л0—/|| оператор В
удовлетворяет условию (Вх, х)^0. Поэтому в силу теоремы 10
уравнение Ви = 0 (а вместе с ним и уравнение (9)) имеет
единственное решение в указанном шаре. Теорема 11 доказана.
229

Следствие 1. Если оператор А имеет в Н производную
Гато, являющуюся положительно определенным в Н оператором^
то условия теоремы 11 выполнены.
Действительно, так как в конечномерном пространстве
линейный оператор ограничен, то производная Гато является
непрерывным ограниченным и положительно определенным в Н
оператором. Из теоремы 2 следует, что А—сильно монотонный
оператор. Кроме того, из ограниченности производной Гато
вытекает, что оператор А удовлетворяет условию Липшица и
поэтому непрерывен.
§ 2. Разностные схемы как операторные уравнения
1. Примеры пространств сеточных функций. В § 1 гл. I были
введены основные понятия теории разностных схем: сетки,
сеточные уравнения, сеточные функции, разностные производные и
т. д. Теория формулирует общие принципы и правила построения
разностных схем заданного качества. Характерной чертой этой
теории является возможность сопоставить каждому
дифференциальному уравнению целый класс разностных схем с
требуемыми свойствами. При построении общей теории естественно
освободиться от конкретной структуры и явного вида разностных
уравнений. Это приводит к определению разностных схем как
операторных уравнений с операторами, действующими в
некотором функциональном пространстве, а именно, в пространстве
сеточных функций.
Под пространством сеточных функций понимается множество
функций, заданных на некоторой сетке. Так как каждой
сеточной функции можно поставить в соответствие вектор,
координатами которого являются значения сеточной функции в узлах
сетки, то операции сложения функций и умножения функции
на число определяются так же, как и для векторов.
Пространство сеточных функций линейно, и если сетка
содержит конечное число узлов, то пространство конечномерно.
Размерность его равна числу узлов сетки.
В пространстве сеточных функций можно ввести скалярное
произведение функций, превратив это пространство в гильбертово.
Различные пространства сеточных функций могут отличаться
одно от другого выбором сетки и нормировкой. Приведем
некоторые примеры.
Пример 1. Пусть на отрезке 0<;л;^/ введена
равномерная сетка (о = {х1 = Иг, 0^.^^N, НЫ = 1) с шагом к. Через со,
со+ и со~ обозначим следующие части сетки со:
ю = {*,€<», 1<1<#—1},
©- = {*,.6ю, 0<*<#— 1}.
230

На множестве Н сеточных функций, заданных на со и
принимающих вещественные значения, определим скалярное
произведение и норму следующим образом:
*'=1 0)
||м|| = 1/"(и, и), и{ = и{х{), V^ = V{x^).
Если и{ и VI рассматривать как значения на сетке со функций
и(х) и у(х) непрерывного аргумента #€[0, /], то скалярное
произведение A) представляет собой квадратурную формулу
трапеций для интеграла ^ и (х) V (х) их. Если сеточные функции за-
о
даны на со, со+ или со", то скалярное произведение
вещественных сеточных функций определяется соответственно по формулам
N-1
{и, у)= 2 и*0/й| и, р^#(со),
1 = 1
N-1
(и, р)= 2 ир^ + О^Ни^х, и, V€Н((й+),
1=1
N-1
1=1
Легко проверить, что введенные скалярные произведения
удовлетворяют всем аксиомам скалярного произведения, и поэтому
построенные пространства являются гильбертовыми.
Пример 2. Пусть теперь на отрезке 0 ^х <1 / введена
произвольная неравномерная сетка
© = {дС/€[0, /], *, = */_! +А,, 1<*<#, х0 = 0, .%=/}. B)
Напомним определение среднего шага %{ в узле х(:
^ = 0,5 (Л,- + Л/+1), 1<*<#— 1, А0 = 0,5ЛХ, ^=0,5/^. C)
Отметим, что равномерная сетка есть частный случай
неравномерной сетки B) при к( н== к. При этом имеем %1 = к, 1 ^ ь ^ N— 1,
Ао==^лг=0»5Л.
Обозначим, как и выше, через со, со+ и со"
соответствующие части сетки со. По аналогии с примером 1 определим в
вещественных пространствах сеточных функций, заданных на
231

указанных сетках, скалярное произведение по формулам:
("» у) = 2 ир&ь и, ь$Н(со), D)
1=0
(и, и) = 2 ирА> и> У$Н((й)г E)
(и, у)= 2 и^Д-, «> оёЯ(со+),
1= 1
(и. 0)= 2 И/0 А, и, а€Я(со~).
1 = 0
Построенные пространства сеточных функций являются
гильбертовыми и имеют конечную размерность, равную числу узлов
соответствующей сетки.
Введенные скалярные произведения удобно записать в виде
(и, 0)= 2 и(*/М*/)Й(*/), и, ^еЯ(О),
где под й понимается либо со, либо со, со+ или со"*. Помимо
указанных скалярных произведений часто встречаются суммы
вида
N #-1
(и, *>)<»+= 2 Я/0/Лг, (и, 0)©-= 2 ^Л-+1> F)
* = 1 1 = 0
которые можно использовать в качестве скалярных произведений
в пространствах #(со + ) и Я (со""). Видно, что для скалярного
произведения D) в пространстве Я (со) верно равенство
(и, V) = 0>5[(и, V)(д+ + (и, »)«-], и, V^Н(со).
Пример 3. Пусть в прямоугольнике 0 = {0^ха^/а,
а=1,2} введена произвольная прямоугольная неравномерная
сетка со = оо1х<лJ, где
*«@)~0, ха(Лд = /а}, а =1,2.
Пусть Йа(*а), 0 <*'а<Ма—средний шаг в узле ха(*а) по
направлению ха:
КAа) = 095[НаAа) + НаAа+1I 1<*а<#«—1,
*«@) = 0,бЛаA), *в(^«) = 0,бЛа(^в)| а=1,2.
В пространстве Я (й) сеточных функций, заданных на О, где
^—любая часть сетки со, скалярное произведение определим по
формуле
(и, V) = ^ и {*,) о (х,) &Д, х, = <хх (гх), х2 (*,)).
232

В частности, если сетка равномерна по каждому направлению,
/1а(ц,) = /1а, а= 1, 2, и сеточные функции заданы на со (во
внутренних узлах сетки со), то введенное скалярное произведение
записывается в виде
1± = 1 /2=1
Мы ограничимся здесь приведенными примерами, другие более
сложные примеры будут рассмотрены в последующих главах
при изучении конкретных разностных задач.
2. Некоторые разностные тождества. Переходим теперь к
выводу основных формул, при помощи которых преобразуются
выражения, содержащие сеточные функции. Мы приведем эти
формулы для случая, когда сеточные функции заданы на
неравномерной сетке, определенной в B).
Напомним определение основных разностных производных
сеточной функции:
„ __ У1—У1-1 ,. __„ __ У1+1—У1 __ ус^-т-г
Ух, 1~ }ц * Ух>1—Ух,1+\— ь( + 1 > Ух, (— %. »
Ух. ь= ~Л±^.—~ ' уж, ^ = у™>'"%. (Ух* 1~У*> д'
В п. 2 § 1 гл. I были получены две формулы суммирования
по частям:
2 Ч.М{=— 2 "/^/+№~"^Л' G)
2 "*. Р!н!= ~ 2 и<°* А+"»-Л—"А- <8)
ь-т+1 1=т
Подставляя в эти формулы соотношения
после несложных преобразований получим формулы
2 Ч Р&1 = — 2 иР*> *А/ + 1 + ип-1Ъп — »«Рт> (9)
2 «*./%+!=— 2 "^,Л+"Л—и«+1°». A0)
2 "*, М = — 2 "Л. Л+1+ад,—и»0-- (П)
Подставим в формулы G), (9), A1) /п = 0 и л = Л/" и учтем
определение E) для скалярного произведения в Я (со), а также
233

обозначение F). Получим тождества
(иж> ю) = —(и, V^(о+ + иNVN~-и1V0^ G')
(и-, 0)^+ = —(а, &Лш- + и^—ад, (И')
для сеточных функций и, и о,, заданных на сетке со. Если в G')
положить и~а(у-. для 1^л<;А/г, то получим первую
разностную формулу Грина
((аУх)х> у)=-(а^> ъ^+а^^-а^^. A2)
Аналогично, полагая в (9) и( = а/г/Л.1, для 0 < г < N— 1, получим
Если из A2) вычесть равенство
((</> Иг)=-(^ ^)«,+ + «^.^^-а1^.оУо.
то получим вторую разностную формулу Грина
Отметим, что для функций у( и Я/, обращающихся в нуль при
1 = 0 и *' = # {Уо=::УN==^> Уо = ъм=0), формула A2) имеет вид
((аУх-Ъ> ^) =-(«%• ^)со+>
а вторая формула Грина A3)—вид
((аУх-Ъ> <0 = (^ КО;)-
В общем случае произвольных сеточных функций, заданных
на со, формулы A2) и A3) можно записать в виде
(Л*/, ») = — (<%, ^)а+, (Лу, V) — ^у, Ля) = 0, A4)
где разностный оператор Л, отображающий Я (со) на Я (со),
определяется следующим образом:
Г1{\
ЛУ/ = {
1
Здесь скалярное произведение в Я (со) задано формулой D).
Отметим, что равенство A4) выражает самосопряженность
оператора Л в пространстве Я (со).
234

Мы рассмотрели случай, когда сеточные функции принимают на сетке
вещественные значения. Если они принимают на со комплексные значения,
то вводится комплексное гильбертово пространство Н (со) со скалярным
произведением
м - _
(и, у)= 2И/^/» и> °€#(®)» A5)
1 = 0
где щ—число, комплексно сопряженное V^. Аналогично определяется
скалярное произведение в Н (со)
N-1
(и, о)= 2 и(°$ь и, у^Я(со), A6)
1=1
а также в Н (со+) и Я (со-). При этом формулы суммирования по частям G'),
(9'), AГ) принимают вид
("-» 0) = —("» °-)ю++"^ЛГ—^0.
(и~, у) = — (и, ^)@-+"^-1^—"о^о.
а разностные формулы Грина—вид:
= ((«—а) уу *>]-)<д+ + (аУ^—*У°;)н— (агУх^Щ — агУ^х% 0).
Здесь использовано обозначение A6).
Используя введенный выше оператор Л и обозначение A5) для
скалярного произведения в Я (со), вторую разностную формулу Грина можно
записать в виде
(Лг/, V) — (у, Ау) = ((а—а) г/-, V-)^+ .
Отсюда следует, что в комплексном гильбертовом пространстве Я (со)
оператор Л самосопряжен, если все а,- вещественны.
Соотношения, аналогичные первой и второй разностным
формулам Грина A2), A3), имеют место и для разностного опера-
тора (ау--)-^- Приведем, например, аналог формулы A2)
4 = 2 1=1
2 (аУхх)хЯ, С УА = 2 ^УТх, ь^хх, Л +
3. Границы простейших разностных операторов. При
изучении свойств разностных операторов нам понадобятся
неравенства, дающие оценки для границ операторов и для постоянных
энергетической эквивалентности двух операторов, действующих
в пространстве сеточных функций Я.
*235

Рассмотрим сначала разностные операторы, заданные на
множестве сеточных функций одного аргумента, определенные ка
равномерной сетке со = {х( =* Иг € [0, /], 0<л^#» НМ = 1\. Ниже
будут использованы обозначения
N-1 N
(и, V) = 2 и,0,А + 0,5Л (ад + Ид^дг), (и, у)со+ = 2 ир-к.
1=1 1=1
Имеет место
Лемма 12. Для всякой функции У/ = у(#,), заданной на рае-
номерной сетке со и обращающейся в нуль при * = 0 и 1 = #,
справедливы неравенства
?1 (У, У) < (з& 1)«+ < Т2 (У» У), A7)
где
4 . „ я ^_ 8 4 9 я ^ 4
Действительно, пусть |я#@— ортонормированная собственная
функция задачи
В п. 1 § 5 гл. I было отмечено, что сеточная функция уь
удовлетворяющая условиям леммы, может быть представлена в виде
суммы
N-1
У г = 2 ^*И«* @. Ч = (У» На). A9)
/г= 1
Из A8) и A9) найдем
N-1 ЛГ-1
\Пх. * = 2 сА (ь)ь, ,=— 2 V*»»* @. ! < * < и—1.
&=1 • /г=1
Используя ортонормированность собственных функций уЛ,
получим
(у, у)= 24, -(уь> У)= 2 VI B0)
«=1 к=1
В силу первой разностной формулы Грина A2) будем иметь
~(У-ХХ>У) = (У1Х> 1)в+- B1)
Собственные значения Хк задачи A8) были найдены в п. 1 § 5
гл. I:
236 '

причем
4 _ о я
72 - тах %к =^-г = р соз2 ш
Отсюда и из B0), B1) следуют оценки A7) леммы 12.
Замечание 1. Оценки A7) точны в том смысле, что они
переходят в равенства, если в качестве у[ взять \1гA) и ц^-ЛО-
Отметим, что у^в//2, если Н = 1/2, т. е. при N==2. При Л/= 4
имеем 71 = 32/(/2B + К2)) >8//2.
Замечание 2. Если |// обращается в нуль лишь при * = 0
или * = #, то в A7) имеем
4.2я^ 8 4 „я. 4
Г1 Л2 4М ^/2 B-}-}^2) Г2 Я2 4Л^ /г2
Если же у{—произвольная на <о сеточная функция, то в A7)
имеем 71 = 0 и 72 = 4/Л2. Для доказательства этих утверждений
следует рассмотреть вместо задачи A8) соответствующую задачу
на собственные значения, изученную в § 5 гл. I.
Неравенства A7) можно записать в виде
VI (У> У) < (— АУ> У) < ?2 (</> У)> B2)
если ввести разностный оператор Л по формуле Ау{ = у-Х .,
1 ^л ^ N— 1, на функциях у{, удовлетворяющих условиям
у0 = (/дг = 0. Если сеточная функция у( обращается в нуль лишь
на одном конце сетки ш, то оператор Л следует определить по
формулам
Л*/,-=1 2 B3)
I ~~Т V*. I' * в ^' еСЛИ У» * °«
ИЛИ
1 Уххшр 1<*<#— 1, если удг = (К
Учитывая, что в каждом из этих случаев из первой
разностной формулы Грина следуют равенства (Ау, у) = (у^% 1)ш+,
получим неравенства B2), где уг и у2 указаны в замечании 2, а у1
обращается в нуль на соответствующем конце сетки со.
237

Если у(—произвольная сеточная функцияу то оператор Л
следует определить так:
Лу/ =
1 -о
1г Ух, о» I ^>
2 • кт
В этом случае также верны неравенства B2) и
(—Лу, У) = —(у-х,у) + у^нУ„—ух,оУо-(у-х, 1)ш+.
Постоянные ух и у2 указаны в замечании 2.
Итак, мы нашли границы для простейших разностных
операторов. Покажем теперь, что для всех введенных в этом пункте
операторов Л справедливо неравенство
|(—Ли, V) |< (—Ли, иу'Ц— Ли, 1>I/2. B4)
Идею получения неравенства B4) проиллюстрируем на примере
оператора Ау = у-Х. Введем пространство Я (со) сеточных
функций, заданных на со, со скалярным произведением (и, V) =
N — 1
— 2 ир(Н$ и, 1>€Я(со). Разностному оператору Л в простран-
I— 1
стве Я (со) соответствует линейный оператор Л, определяемый
равенством
Ау( = -Ау;, 1<*<ЛГ-1,
где у € Я (со), У( = У1 для 1</<Л^—1 и у0 = у1^ = 0. Оператор Л
отображает Я (со) на Я (со).
В силу равенства (и,р) = (и, х>), имеем (Аи, у) =— (Аи, V),
где и0=:^ = 0, <50=Удг = 0. Из B2) следует, что (Аи, и)^у1(их и),
VI > 0. Таким образом, оператор Л положительно определен
в Я (со).
Докажем, что он самосопряжен в Я (со). Действительно, из
второй разностной формулы Грина A3) будем иметь
{Аи, 0) = —(Ли, о) = — (иь, у) = — (и, 0^) = (и, Ла).
Так как для неотрицательного самосопряженного оператора
справедливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского
\(Аи, у)|^(Ли, иI/2(АVу уI/2, то отсюда получим
|(—Ли, о")|< (—Ли, иI1*(— Л», уI/2,
что и требовалось доказать.
4. Оценки снизу для некоторых разностных операторов.
В лемме 12 фактически найдены постоянные энергетической
эквивалентности единичного оператора Е и оператора Л, кото-
238

рый соответствует разностному оператору —Ау = — у-х на
функциях, обращающихся в нуль на концах сетки со, т. е. уг и у2
из Неравенств угЕ ^ А <; у2Е.
Получим теперь неравенство, связывающее операторы Ли/),
где Оу1 = р(Ур 1^1^Ы—1 и р,^0. Для этого нам
необходимо определить разностную функцию Грина оператора Л.
Пусть на сетке со, введенной выше, требуется найти решение
разностной задачи
Сеточную функцию 0/А, которая при фиксированном й= 1, 2, ...
..., N—1 удовлетворяет условиям
где б/А—символ Кронекера:
с A, 1=к,
I 0, *=^й,
назовем функцией Грина разностного оператора Л.
Приведем основные свойства функции Грина:
1) функция Грина симметрична, С1к = 0к1 и, кроме того, 6(к
как функция к при фиксированном 1 = 1, 2, ..., Л^—: 1
удовлетворяет условиям
2) функция Грина положительна, С/Л > 0 при I, й^=0, ЛЛ
3) для любой сеточной функции у(, удовлетворяющей
условиям г/0 = ^/^ = 0, верно представление
N-1
у/ = -2о,*ЛуЛ B6)
к — 1
так что решение задачи B5) представимо в виде
к — 1
Это утверждение доказывается при помощи второй разностной
формулы Грина A3) и свойства 1).
Лемма 13. Пусть р/^0—сеточная функция, заданная на
со и не равная тождественно нулю. Для всякой сеточной функ-
239

циа у^ заданной на ш и удотттортощй условиям #0=##=*=О,
верна оценка
Уг(РУ,у)<(у1> 1)ю+, B7)
где 1/71=* тах 1'1> а г}1 есть Решение краевой задачи
Действительно, пусть г/0 = ^ = 0. Используя B6), получим
N-1 N-1 /N-1 \
(ру> у)= 2 р^л = — 2 р/М( 2 вцАУкн)~
(=1 1=1 \й= 1 у
= —2 АЛ^»( 2 Р/&С/*Л ) = — (Лг/, ю),
где обозначено юк = 2 Р^О/^, 0<6<#. Применяя неравен-
1= 1
ство B4), отсюда найдем
(РУ. У)<(—Лу, УI/М— Ли;, ш)^
или в силу B1)
(РУ> УУ < D 1 )ш+ (~ Л®, ха>). B9)
Воспользуемся свойством 1) функции Грина 01к. Получим
— Ащ = — 2 Лр^/ЛСи = 2 Р/У А* = Р*</а
и, следовательно,
ЛГ-1 /#-1 \ ЛГ-1ЛГ-1
(— Лш, ф) - % йр^ ^ ^ йр<&Сл ) - ^ Д а/лУ/Л,
где обозначено а1к = Н2р^к01кУ !<*', &<#— 1. Используя
неравенство 2у(Ук^у1 + у\, а также симметрию и положительность
функции Грина С/А, отсюда найдем
Ы-\ Ы-\ #-1 N-1
(-Ли», и»)< 2 0,5^? 2 а1к+ 2,0.%1 2 <*« =
1 = 1 &=1 **=1 е«1
#-1 ЛГ-1 ЛГ-1 /N-1 \
*= 2 #1 2^= 2 р#?а( 2р*о/лл).
1=1 Ь=1 1=1 \й=1 /
В силу свойстаа 3) решение задачи B8) записывается в виде
^2р*М>о> К'<*-1.
240

Следовательно,
(— Лш, и)) = 2 Р/^Л < тах о, (р#, */)*=-- (р#, #).
Отсюда и из B9) следует оценка B7) леммы.
Замечание 1. Можно показать, что функция ю( =
= 0,5*1 (/—*/)> гДе X/ =*= *Л 6 [0» 1\ есть решение задачи B8) при
р,. = 1. Отсюда следует оценка
?1 &.»)<(& 1)«+. 7х = 8//а, у9~у„**0. C0)
Замечание 2. Лемма 13 обобщается на случай, когда уг
обращается в нуль лишь на одном конце сетки со. Например,
если у0 = 0, то в B7) имеем 1/у^тах V;, где ^.—решение
1 < I < N
задачи Л^—л-р,, 1 ^1<1#, уо=0с разностцым оператором Л,
определенным в B3),
Лемма 14. Пусть р/^0, й^О заданы на со, а функция
а^с1>0 задана на со4". Для всякой функции у;, заданной на
со и удовлетворяющей условиям Уь~Ум~^ верна оценка
Ух (РУ> У) < Ыу\г 1 )п+ + №/> У\ 1/71 = шах V»
где VI—решение краевой задачи
Аю1^(ах)-)х.—йр~ — р1> 1<*<#— 1, ^=,^=0.
Замечание 1. Если ^ обращается в нуль лишь на одном
конце сетки со, например */дг = 0, то верна оценка
Ух (РУ. У) < (<Ч& 1 )ш+ + (Ф> У) + *•& C1)
где 1/71= тах ^х» а функция ^ есть решение задачи
0<;<АГ-1
Л^.== —р., 0<*<#—1, % = 0,
А (| (а^, о — **Уо)—<кУо> ь - 0. C2)
1К*)*./-^ 1<*<ЛГ-1, х0>0.
Замечание 2. Для произвольной сеточной функции #,-,
заданной на *со, можно получить оценку
Ух {РУ> У) < (аУ1> 1 )ш + + (<^> У) + хоУа+ *10&. C8)
где х0 > 0, «! ^ 0, Ко + хх + (й, 1) > 0, а сеточные функций р,-> 0,
^у>0 заданы на со. Здесь 1/71= тах г)и гАе ^-—решение
' о < с < N
241

краевой задачи
Ло, = — р„ 0<1<#,
| -ъ^Ух,,,—■*&„)—й»Уо, 1=0,
Лу, = | ("У;)Х,-*1У1, 1<«ЛГ-1. C4)
2
Доказательство леммы 14 и замечаний 1 и 2 проводится так
же, как и леммы 13. Здесь используется функция Грина
указанных разностных операторов Л, которая удовлетворяет
перечисленным выше свойствам 1) — 4).
Лемма 15. Для сеточной функции у{у обращающейся в нуль
при Ь = Ы, верна оценка
^<й(е/)[е(у,у) + 1(^| 1)ш + ], е>0. C5)
Аналогичная оценка
У%<1ЬB1)[г(у,у) + 1(у1, 1)в + ], е>0,
верна для случая, когда у0=_0. Для произвольной сеточной
функции у;, заданной на сетке со, имеет место оценка
у1+у%<71ТШТЖ*[е{у'у)+т(& О.о+]. «>о. C6)
Сначала докажем справедливость оценки C5). Для этого воспользуемся
замечанием 1 к лемме 14. Положим в C2) а/~1/е, Д/еэе, х0 = 0 ир0 = 2/Л,
Р|- = 0, 1</<#--1. Тогда из C1) получим оценку
у\< тах у{\е(у,у)-]г1(у1, \) 1
где у,-—решение следующей вспомогательной задачи:
АV;=—V;x . — е»,- = 0, 1</<#—1,
л 2 2 C7)
0 =^ **' о—вуо = — "^ . ^=0.
C8)
Запишем C7) по точкам
V^-.1—2аV^ + V^+^ = 09 1</<#—1,
Ух—ау0 = —ей, у#=0,
где а=1+0,5е2Ая>1.
Мы получили краевую задачу для разностного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Используя общую теорию, развитую в п. 1 § 4 гл. I, а также свойства
полиномов Чебышева (см. п. 2 там же), найдем, что функция
еАЕ/уу./.хМ
/дг(а)
242

является решением задачи C8). Здесь
, , * , . г г , ч «Ь ((л-4-1) АгсЬа) . ._ ,
Г„(а) = сЬ(/гАгсЬа), Е/»(а) = 5Ь(АгсЬа) ' |а|^1#
— полиномы Чебышева степени п первого и второго рода»
Так как а^ 1, то
шах 0, = ^=!«^М
Итак, получена оценка
для сеточной функции у;9 удовлетворяющей условию */лг=0. Эта оценка
точна в том смысле, что она переходит в равенство, если в качестве у( взять
функцию у/.
Оценим теперь р0 сверху для любого Н. Если обозначить сЬ2г = а, то
г^О и
Поэтому
еЛ = 2 8Ьг, # = //А = е//BзЬг),
Тх (а) = сЬ 2Мг = сЬ да (г),
ГГ , ч зЬ2Мг зЬ да (г) , ч е/г
зЬ да (г)
C9)
0 сЬ г сп да (г) '
Так как при фиксированном е
бш е/ (зп г—гсЬ г)
*57~ зЬ2! <0»
то
. сЬг-т зЬгзпдасЬда
4г сЬ2гсЬ2ш ^ '
Следовательно, о0 максимально при 2 = 0. Это дает оценку V0^^Ъ(е^).
Неравенство C5) доказано.
Пусть теперь у( — произвольная сеточная функция. Из замечания' 2
к лемме 14 при а/=1/8, 4/^е, х0 = х1 = 0, р0 = р^=2//г, р,- = 0 для
1 <; I <: Л/— 1 получим оценку
у\ +У%< тах ^ Р/ [в (у, у)+± (у1, 1 )в+-] „ ■
где у/-—решение краевой задачи
~^е. —е^-0, 1</<Л(-1,
|^.в-^.=—|. -я°г.лг-е^в-Т
D0)
Решением задачи D0) является функция
где а определено выше.
243

Отсюда находим, что
^^.^„-ф^^щ^у D1)
Оценим это выражение сверху для любого к. Используя C9), получим
1+сЬИг) СЬТ^2> ^с14^г> „
"о^сЫзЫК»)** . . 1 /ч^ ь 1 ',, = ф(*)*
ч/ спгзп-^-о>(г) 5Ь-~шB)
Так как
<** $па 0,5ш д* ^ '
то функция ф (г) максимальна при максимальном г = г0, которое находится
из соотношения ся 2г0 = 1 + е2/2/8 (к ^ //2). Из C9) получим, что ю (г0) = 4г0.
Следовательно,
сп2г0 _^ 1+е2/2/8 = 8 + е»/»
ф ™ — $п 2г0 уге2/2/8 + 84^4/64~"8/ уПб+е1/2 *
Оценка C6) получена.
Леммы 13 и 14 без затруднения обобщаются на случай про-
извольной неравномерной сетки со. В этом случае для скалярных
произведений используются обозначения D), F), а разностные
операторы Л заменяются соответствующими операторами на
неравномерной сетке.
Лемма 16. Пусть р/>0, й(^0 заданы на произвольной
неравномерной сетке со, Р/^0 и а^сг > 0 задано на со+. Пусть
х0^0, х1^0—произвольные числа и выполнено условие к0 + к1 +
+(й, 1)>0. Для любой сеточной функции у0 заданной на со,
справедливо неравенство C3), где 1/у1= тах я,, а у,—решение
задачи Ле^-^Р/, 0<л^#. Здгсь оператор Л определяется
формулами
Луг-
*%- (Й1Ух.*—*1>Уо) — <к1/*> * -= О,
И;Ь. ,-*/У/. 1<*<ЛГ-1, D2)
Лемма 16 доказывается так же, как и предыдущие леммы.
Замечание 1. Если Я/=1, <^ = 0, р/=1, то
неравенство C3) принимает вид
У г (У, 1/) < (& 1 )ш+ + н.|й + к^Аг. D3)
где
8(х04хх + ^1J .
Тх / B +^о) B + /*1) B*о + 2*1 + 4*1) *
244

Если, кроме того,- у0==у^=0, то неравенство D3) переходит
в неравенство C0). Если у{ обращается в нуль лишь на одном
конце, например при 1 = Ы> то, полагая в D3) ум = 0 и
переходя к пределу при кг—>оо, получим оценку
ъ<**)<(й. 1).++*.а, *=■$$$•
Замечание 2. Из определения D2) разностного
Оператора Л и первой разностной формулы Грина следует, что
(— Лу, у) = (ш/1, 1 )в+ + (Лу, у) + к0у20+ к1У%.
Поэтому неравенство C3) леммы 16 может быть записано в виде
уЛру* у)<—№> у)-
Перейдем к выводу оценки D3). Найдем решение задачи Лу/ = — р/,
0^*<;М, при указанных в замечании 1 предположениях. Имеем
разностную краевую задачу
=—1. 1<*<#—1, D4)
V-
XX* I
1}х, о = Иоуо—^о> *,===0» D5)
— 0- ^ = 5*1^-^*^. *=#. D6)
^Умножим уравнение D4) на &/, просуммируем по I от / до N—1 и учтем
*" краевое условие D6). Получим
М-\ N-1
А. хх, I 1~~ А \ "х, 1 + 1 х, IV"~ х, *т "~ '""
<=7 ""'• <Ч "'- ""■ *'
= —х^лг+^лг—^/ = — 2 **=*/—0,бЛу—/ + *лг-
Отсюда следует, что
у- . = /—х^дН-О.бЛу—дгу, 1</<#. D7)
Полагая в D7) /=1 и учитывая равенства %ь~0,Ъкъ у- , =^, о=Ио1'о—&о>
получим соотношение между V^ и с^у
ХоИо + к^лг-*- <48)
Умножая D7) на йу и суммируя по / от 1 до I, найдем
2 V-1Ч=*Щ — *>*-{1—*1^) 2 Л/—2 (*/ —°«5Л/)Л/.
/=1 *'У / = 1 / = 1
Так как Ду = *у —- #у _ 1, #у — 0,5 Лу = 0,5 (лгу + #у _ х), то
2 */ = *'• 2 (^/—0,5^)^ = 0,5 2 (*}-*Ы«0,5*&.
Таким образом, имеем
0/«е^+х/(^*10#)—0,5*? =
= у0+0,5(/-х1уЛгJ-0,5(д:/-/+^1^)§э 0<1<#. D9)
245

Полагая здесь * = #, найдем второе соотношение для VI) и удг
■ом^х}о^1 (/—хх^^) — 0,5/а. E0)
Из D8), E0) получим
-, - 1& + 1*1) /B + 4) ' Г5П
°~-~2(щ + щ + к0щ1)' ™ 2(к0 + к1 + щк11У к }
Так как 0<:/—*ВДдг < *> то из D9), E1) найдем, что
Отсюда и из леммы 16 следует оценка D3). Если ^о — ^Л"— 0» то, полагая
в C3) а/=1, ^/^0, р/=1 и переходя в D3) к пределу при щ—»■ оо и
кх—►оо, получим оценку C0) с у1 = 8//2.
5. Оценки сверху для разностных операторов. Получим теперь
оценки сверху для некоторых разностных операторов.
Лемма 17. Для произвольной сеточной функции у,-, заданной
на неравномерной сетке оо, справедлива оценка
(ау1 1)а+<Тя(#, у) у E2)
где
'401 ±ам 2 / 01 , а/+0
-ТГ > ТТ"' таХ ТТГ" + ЕТ~
72=тах
Если сетка равномерна, то
у2-=ТГтах \а1УаМу тах (Д/+9Д/+1I
П I 1< 1< N-1 V ^ / ^
Если г/0 = ^ = 0, то у2= тах АЛ^ + <!Ш\
Действительно, имеем
.V
ЛГ-1 ЛГ
Ы, 1)(о+-Еа'(^'-гJ=
Используя неравенство 2^^ < у\ + у\-^ получим при а1 > 0, что
246

Так как ^0 = 0,5/11Э ^=0,5/1^ и (у, у) = 2 ?Й,у, то отсюда сле-
1 = 0
дует оценка E2) с указанным значением для у2. Лемма 17
доказана.
Лемма 18. Пусть а{ > 0, Ъ{ ^0, а в0 и аг — неотрицательны,
причем (Ьу 1) + о0 + а1ф0. Для произвольной сеточной функции
у1у заданной на неравномерной сетке со, справедлива оценка
(ау-ХУ 1)в>+ + (Ьу, у) + о0у1 + о1у%^:у2(у, у), E3)
где Тг = Тг+ A + Т2) тах у/» 7г определено в лемме A7), а V—ре-
шение краевой задачи
^•-^. = -*«-^.' = 0. E4)
Действительно, из леммы 16 при Р( = Ь^ для 1<л<Л/'—1,
Ро = Ь0+00/Я09 РN:::=ЬN+а1/^N и >«о = х1:=0, Й;=1 ПОЛУЧИМ
оценку
фу у у)+о0у1 + а1у% = (руу у)< тах ^.[(ш/|, 1)«+ + (у, у)],
. 0 < I < Л'
где у,-—решение вспомогательной задачи E4). Используя
лемму 17, будем иметь
{ауъ 1 )©+ + Фу, у) + о-0г/20 + агу% < A + с) (ш/|, 1 )©+ +
+ с(У* УХ[У* + A+У*)с](У> У)> с= тах ь(.
Лемма 18 доказана.
6. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных
пространствах. После "замены производных, входящих в
дифференциальное уравнение и краевые условия, разностными
отношениями на некоторой сетке со мы получаем разностную схему.
Разностные уравнения, связывая искомые значения сеточной
функции в узлах со, образуют систему алгебраических
уравнений. Эта система линейная, если исходная задача была линейной.
Разностная схема определяется разностным оператором,
задающим структуру разностных уравнений в узлах сетки, где
ищется искомое решение, и краевыми условиями в граничных
узлах. Разностный оператор действует в пространстве сеточных
функций, заданных на со.
247

Рассмотрим пример. Пусть на отрезке 0<#</ требуется
цайти решение задачи
и" = — у(х), 0<х<19
и'{0) = *0и@)—р19 и{1) = р%9 «0>0. E5)
На равномерной сетке со = {#/=//1, / = 0, 1, ..., Л/\ кЫ~1)
задаче E5) поставим в соответствие разностную схему
АУ( = Ухх,1 = — <Р1> 1<*'<#— 1,
Л#о = х ^*- о—КоУо) = — (фв + ^Л > E6)
Разностный оператор Л Определен на (Л/"+1)-мерном
множестве сеточных функций, заданных на со, и отображает его на
АЛ-мерное множество функций, заданных на со~ = {.*;;€ со, 4 = 0,
1, ..., Ы— 1}. Видно, что область определения и область
значений оператора Л не совпадают.
Рассмотрим теперь пространство Я (со") сеточных функций,
заданных на со". Скалярное произведение в Я(со~) определим,
как в примере 1 из п. 1 § 2:
(и, 1>=*) 2 Ы/0/Л + О,5/шй»а, и, абЯ(со-).
Определим теперь линейный оператор А следующим образом:
Ау1 = — Ау(9 в0<*'<#—1, где у €Н ((*-)> у,- = У( для
0 < I < Ы— 1 и у^= 0. Используя это определение, дадим
подробную запись оператора А:
Ау(
-Чь.» ККХ-2, E7)
Оператор Л отображает Я (со"") на Я (со") и является линейным.
Преобразуем разностную схему B). Учитывая условие #лг=Ф2,
запишем E6) в виде
— х(&,о — *о*/о) = /о = (фо +х^) '
-Йм^/^Ф/» К'<^-2, E8)
Bу^_х —^-8)=/^-1==(ф^.1+да|А,).
248

Сравнивая E7) и E8), найдем» что разностная схема E6)
записывается в виде операторного уравнения первого рода
А» = и E9)
где у—искомый, /—заданный элементы пространства #(со~),
а Л—-оператор, действующий в Н(&>~)> определен выше.
Укажем основные свойства оператора Л.
Оператор Л самосопряжен в #(о)~), т.е.
(Аи, V) = (и, АV)^ и, V^Н((о^').
Действительно, (Аи, V) = — (Аиу у), причем ^==^ = 0. Шш^
зуясь второй разностной формулой Грина A3), получим
(Ли, V) = 2 и-х> р}\ + (иХш0 — х0ы0) з0 =
1=1
N-1
N-1
+ {ихи — и«И1>H = 2 ^„.^(^Л*^ Аз).
Утверждение доказано.
Оператор А положительно определен, т. е.
(Аи, и)^ух(иу и), и^Н((о")9
8 A+/к0J - 2 . А ^
где У*888 /2B+/х0J ^12">°- Эт0 утверждение следует из
замечаний 1 и 2 к лемме 16. Оператор Л в силу леммы 10 имеет
ограниченный обратный оператор Л. Поэтому решение
уравнения E9) существует и единственно.
Для оператора Л имеет место оценка сверху
(Аи> и)^у2(и, и), и^Н(@"),
гДе Т2 = ^A+>со4) ' так как ?лгв0 и
Последнее неравенство следует из леммы 17.
В качестве второго примера рассмотрим на неравномерной сетке
<«> = {*/€ [О, /], */ = */_! +Л/, 1 <1<#, х0 = 0, %=/}
разностную схему
Лу, = (а^к,—4,у, = — ф|э 1 < * < М-1,
249

Схема F0) аппроксимирует третью краевую задачу для
уравнения с переменными коэффициентами
(ки')' — ди =— ф(*)> 0< х< /,
ки' = к0и— \11У х = 0,
— ки' = к1и—112, х~1
при соответствующем выборе коэффициентов а( и й{, например
при а{ = к(х;—0,511;) и й; = д(х{).
Если в пространстве Я(о>") сеточных функций, заданных
на со, со скалярным произведением
N
(и, *>)= 2 ир;%{9 Й0 = 0,5/1!, 1ьм=0,ЪНю
определим оператор Л = — Л и сеточную функцию /,- = ф,-,
1</<#—1, /0 = Фо + И'1/^о. /лг=Флг+ИчАу, то разностная
схема F0) запишется в виде операторного уравнения E9)._
Самосопряженность оператора Л, отображающего Я (со) на
Я (со), следует из второй разностной формулы Грина.
Если выполнены условия а^^уО, й^О, х0^0, хх^0,
ко + к1 + (^» 1)>0, то оператор А положительно определен
в Я((о), и верна оценка (Аи, и)^уг(и, и), 1/71— тах у*>
о < * < #
где у,- —решение задачи Лу,.——1, 0<л^Л/\ Заметим, что
положительность V; следует из принципа максимума,
справедливого для оператора Л при указанных условиях.
Если й/ = 0, то грубую оценку для ух можно получить
следующим образом. Из первой разностной формулы Грина получим
(Ау, у) = (—Ау, у) = (ау% 1)ю+ + ио0о + И10?-
В силу условий аг>^>0, 1<л^Л/', отсюда найдем
(Ау, у)>сх[(у\, 1)о)++х0г/02 + х1^],
гдес1х0 = х0> с1х1 = х1. Так как х0 + х1>0, то из замечания 1
к лемме 16 получим оценку
(у\, !)<»+ + КоУ1 + к1У1>'у1(у, У),
ГДе - = & &ь+К1 + ЫъК1)*
Уг ~~ I B +/ко) B + ббх) Bх0 + 2щ-{ Ы0кг)
Подставляя сюда к0 и хх, найдем, что (Аи, и)'^у1(и> и), где
V =Г V == 8с1(С1Х0 + С1Х1 + /Х0Х1)а
VI б1У1 / BС3 + /И0) BС! + /X!) B^0 + 2^*! + /х0Х1) *
Для оператора А имеет место оценка сверху (Аи, и)^.у2(и, и),
где у2 определено в лемме 18, так как
(Ау, у)=--(ау1, 1)<о++ЙЛ 1) + Ио#о + ><1^.
250

В рассматриваемом примере оператор А и разностный
оператор Л определены в одном и том же пространстве сеточных
функций Я (со) и отличаются лишь знаком. В отличие от
первого примера, правые части разностной схемы F0) и
операторного уравнения E9) совпадают.
Мы ограничились здесь простейшими примерами. В
следующем пункте разностные схемы, аппроксимирующие
эллиптические краевые задачи в пространстве нескольких измерений,
аналогичным способом будут сводиться к операторным уравнениям
в соответствующих конечномерных гильбертовых пространствах
сеточных функций. Будут также изучены основные свойства
таких операторов.
Из приведенных примеров видно, что разностные схемы можно
трактовать как операторные уравнения с операторами в
линейном нормированном конечномерном пространстве. Для этих
операторов характерно то, что они отображают все пространство
в себя.
7. Разностные схемы для эллиптических уравнений с
постоянными коэффициентами. Пусть 0 = {0^л:а^/а, а= 1, 2}—
прямоугольник, © = {Х/у=(Й1, /Й2)СО, Ог^л'г^Л^, О^/^Л^,
НаМа — 1а; а=1, 2}—сетка в С, у — множество граничных узлов
сетки со. Сетка равномерна по каждому направлению ха с
шагом На. Обозначим через со множество внутренних узлов сетки.
Введем пространство сеточных функций # = #(со), заданных
на со. Определим в Н скалярное произведение
(и, »)= 2 2 иA9 ])V(^, /)АД-*
1=. 1 /= 1
Рассмотрим разностную задачу Дирихле для уравнения Пуассона
на сетке со
2
Лу= 2 Ку = — Ф(*), *€<*>, /АП
а=1 (Ы)
У(*) = 8(х)> Х$У>
где Л«У = Ухаха, а=1, 2.
Разностную схему F1) можно записать в виде операторного
уравнения E9). Для этого определим оператор А пэ формуле
Ау-^ — Ау, х^со, где #<Е#, у^Н и у(х) = у(х) для х$.со. Здесь
Н—множество сеточных функций, заданных на со и
обращающихся в нуль на 7- Правая часть / уравнения E9) отличается
от правой части <р разностной схемы F1) лишь в приграничных
узлах
251

где
!2@. х2), х1 = Н1,
О, 2й1<х1< К—^Ку
8A19 хъ)9 х1==1х—Нг9
!8(х19 0), х2 = Н29
О, 2Аа<ха</а — 2А2,
#(*1, ;2)> х2 = 12—Н2.
Исследуем свойства оператора Л, действующего из Я (о) в Я (о).
1. Оператор А самосопряжен:
(Аи9 и)=*(и, Ао)% и9 о€#(ш). F2)
Для доказательства учтем, что
(Аги9 ») = (—АЯ ») = — 2 Ля 2 М^А/^
/=1 1=1
«- Е А2 2 кх(и\у)и^ — {и> \р)*=*(и9А&)9
/?? 1 ;= 1
так как разностный оператор А! в силу второй разностной
формулы Грина на сетке о>х = \хг (ь) = ^1Э 0 ^ I ^ Лг1, Л^ = 1Х)
удовлетворяет равенству
X М»ЛА/* 2 М^ЛА/
1 = 1 1«= 1
и, кроме того, можно менять порядок суммирования по I и /.
Аналогично находим, что (Ам, V) = (и,А2V). Отсюда
следует F2).
2. Оператор А положительно определен, и для него
справедливы оценки
8Е<Л<ДЯ, 6>0, F3)
где
а=1Л* а а=1 '« а=1 Ла а а=1 л«
Заметим, что б и А являются минимальным и максимальным
собственными значениями разностного оператора Лапласа А (см.
п. 1, §2 гл. IV).
Это утверждение доказывается так же, как и лемма 12.
Таким образом, мы установили, что в Я = Я(со)
А = А*9 8Я<Л<АЯ, б>0.
Если на части у0 сеточной границы у задано краевое условие
первого рода у(х) = §(х), л: €у0, а на остальной части—краевые
252

условия второго или третьего рода, то оператор А определяется
описанным выше методом, причем Я—множество функций,
обращающихся в нуль лишь на 7о» а Я = Я(оH) —пространство
сеточных функций, заданных на со0 = со С! (т\То)- Например, пусть
То — ^/^ю, 1^0, 0</<Л^2}, а на 7\7о заданы краевые
условия второго рода, Тогда разностная схема записывается в виде
Ку = (Лх + Л2) у = — ф (х), х 6 со0,
У(х) = в(*)> *€?<,.
Здесь
А,У*»'
\у=< т^
\Тгу'Х1'
а оператор Лх задается формул
(У*,*,>
Л1#Н 2 „
Л,
#а^о,
Л2<х2</2 — Ая,
#2 ^ ^2» *Ч ^ "^1 ^ ^1»
ами
Скалярное произведение в пространстве Я = Я (со0) определяется
по формуле
с=\/=о
где
гШ \ 0,5йа> / = 0, N..
Можно показать, что оператор А = А1 + А2, соответствующий
разностному оператору Л, самосопряжен в Я, и для него верны
оценки F3) с 6 = 6! 4А> Д = Д1 + Да, 6Х =-1" 8'па Ш-- ^"'тгХ
хсоз2^, 62 = 0, Да = -Т. Здесь ба и Да—минимальное и
максимальное собственные значения разностного оператора Ла,
а-1, 2.
Заметим, что операторы А± и Л2 являются перестановочными
как для первой, так и для второй краевых задач. Поэтому, в силу
общей теории (см. п. 5 § 1 гл. V), собственные значения
оператора А являются суммой собственных значений операторов Лх
и А2: к(А)^К(А1)^К{А2).
253

8. Уравнения с переменными коэффициентами и со
смешанными производными. Рассмотрим задачу Дирихле для
эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в
прямоугольнике С = {0< ха < /а, а = 1, 2}:
2
1Н = И ^ (Йа (*}^0 -^ ^ а = - * <*>• * € С' F5)
и(л:) = #(*), *€Г,
где ка(х) и д(д;)—достаточно гладкие функции, удовлетворяющие
условиям 0 < с1 ^ ка (х) < с2, О ^ йг ^ д (х) ^ ^2. Обозначим
через @ = 0L-7 сетку с шагами Н1 и /г2, введенную в п. 7.
Задаче F5) поставим в соответствие разностную задачу
Дирихле на сетке со:
Ау = (А1 + А*)у—Aу = — Ф (х), л: € со,
У(х) = 8(х)> *€7»
где АаУ = {ааУха)*а> а = 1, 2, а яа (л;) и й(я) выбираются,
например, так:
а2 (л?!, а-2) = й2 (х1У х2—0,5/г2), й(х) = д (х).
Тогда коэффициенты разностной схемы удовлетворяют условиям
О < ^ <аа(*) <сг, 0<^<<*<<*2. F7)
Обозначим через Я = Я(со) пространство сеточных функций,
введенное в предыдущем пункте, а через Я — множество сеточных
функций, обращающихся в нуль на у.
Запишем разностную схему F6) в виде операторного
уравнения E9), где оператор А определим обычным образом: Ау = — Лу,
где у$Н, у^Й и у(х) = у(х) для х^ы.
Обозначим через 51 = 9{х 4- ^2» гДе &аУ — Ух х у а = 1, 2,
разностный оператор Лапласа и определим соответствующий ему
в Я оператор /?: Ку = — 91у, у^Н/у^Е и у(х) = у(х) дляяёю.
Лемма 19. Оператор А самосопряжен в Я', и для яего верны
(сг + а±1А) (#и, и) < (Ла, а) < (с, 4- <*8/6) (#и, а), F8)
(схб 4- <^) (и, м) < {Аи, и) < (с2Д 4- ^2) (а» и), F9)
где Ь и А определены в F4).
В самом деле, из условий F7) и оценок, полученных в
предыдущем пункте
ЬЕ < Я < ЬЕ, * G0)
254

следует, что для любого и^Н верны неравенства
^{Яиу и)^йг{и, и)<(Л*, и)^A2(и,и)<^^(Ки, и). G1)
Далее, первая разностная формула Грина дает
Л'2-1 Ы*
(Ахи, и) = — (ЛЯ и) = 2 2 (<Ц*\)цКК
{Кхи, и) = — (Э1хи% и) = 2 2 (^1)/ААв.
/=1 1=1
В силу F7) отсюда получим неравенства
^1 (/?1«1 «) < И^, И) < С2 (/?!«, «).
Аналогично найдем, что
с1{К2и, и)^(А2и, и)<<:2(#2а, и).
Отсюда и из G0) вытекают неравенства
сх8(иу и)^с1(#и, и)^((А1лгА2) и, и)^с2(#и, «)<с2А(м, и),
складывая которые с неравенствами G1) будем иметь F8) и F9).
Самосопряженность оператора А доказывается по аналогии
с предыдущим пунктом.
Отметим, что в неравенствах F8) указаны постоянные
энергетической эквивалентности операторов /? и Л, причем, так как
й^О и 8^8/11 + 8/11, то эти операторы эквивалентны с
постоянными, не зависящими от числа узлов сетки.
Рассмотрим теперь задачу Дирихле для эллиптического
уравнения, содержащего смешанные производные
2
*-»=вЕ;Ж7(й«э(х)щ)=-ч(х), х$о, G2)
и(х) = е(х), х$Т.
Предполагается, что выполнены условия эллиптичности
2 2 2
Сг 2 II < 2 *аЭ (*) &«*Э < С2 2 Й, * € О, G3)
а=1 а,р=1 а=1
где с2'^с1>0, а 1 = (^1, |2)— произвольный вектор.
На прямоугольной сетке со задаче G2) можно поставить в
соответствие разностную схему
2
Л*/= 0,5 2 [(^Ух^а+^УчЬа]^— Ф(*)» *€<»>,
а, 0=1
*/(*) = §"(*), Х$У- G4)
Запишем G4) в виде операторного уравнения E9), определяя
255

оператор А обычным образом: Ау — — Ау, где у$Н(ш), у$Н и
у(х)=у(х) для х€^>. При этом правая часть / отличается от
правой части ср уравнения G4) лишь в приграничных узлах. Для
нахождения явного вида / следует записать разностное
уравнение в приграничном узле, воспользоваться краевым условием и
перенести в правую часть уравнения известные значения у(х)
на у.
Покажем теперь, что при выполнении условия симметрии
к12 (х) = к21 (х) оператор А самосопряжен в пространстве Н = Я (о),
определенном выше. Для этого запишем оператор Л в виде сумм![
Л = (Л1 + Л*)/2, где
КУ = {кааУха + *а0#^)*а + (К*Уха + К^Ух^х*
Р = 3—а, а = 1, 2.
Используя формулы суммирования по частям G') и (9'), получим
для любых и, Ь^Н
/=1 1*5=1
Учитывая, что щх и уХх равны нулю соответственно при / = Л^2
и /==0, полученное равенство можно записать в виде
- |о 2 [(*и«*1+*1,«*,ЯЛ*ЛА»- <75)
Аналогично найдем
1«1 /е=1
Л^1-1ЛГ2-1
— 2о ^К^+^^^Мг Gб)
Складывая G5) и G6), получаем
(Ли, о) - - 0,5 2 2 *Л 2 К* как, -
*=1/=1 \а. 0=1 * Р//у
Л^1-1^2-1 /2 \
-0,5 2 2 АЛ( 2 *аЯЛ6 . G7)
1 = 0 / = 0 \а, р=1 а &/1/
Отсюда следует, что при условии к12 = к21 выполняется равенство
(Ли, а) = (&, А&).
АО*)

В силу равенства (Ли, у) =— (Лы, 6) оператор А
самосопряжен в Н.
Найдем границы оператора Л. Подставим в G7) вместо Ь
сеточную функцию а, учтем условия эллиптичности G3) и условие
и(х) = 0 для х^У- Получим
^ /=1 Ь^=1 1=0 ^
Л^-1 Г Л^2 #2-1 ~П
[ЛГ2-1 Ыг о Л^-1 Ы* -1
2 2 (кх)ЬКК +22 (их2)ЬнА = ^ (— яи, и),
/=1 1=1 1=1 /=1 ^]
где 91—разностный оператор Лапласа. Аналогично найдем
— (Ли, и)^с2(—Яи, и).
Учитывая оценку G0), получаем следующие неравенства для
оператора Л:
сг (Киу и) <; (Аи, и) <1с2 (Яиу и),
G8)
^8 (и, и)^(Аи9 и)^с2А(и, и),
где 8 и А определены в F4). Следовательно, оператор Л,
соответствующий разностному эллиптическому оператору со
смешанными производными, и оператор #, соответствующий разностному
оператору Лапласа, энергетически эквивалентны с постоянными
, сх и с2, не зависящими от числа узлов сетки. Оператор Л имеет
границы ^8 = 0A) и с2А = 0A/Н2)(Н2 = Н1 + Н1)9 и если число
узлов сетки велико, то оператор Л плохо обусловлен.
Отметим, что неравенства G8) остаются верными и в случае,
когда для аппроксимации дифференциального оператора Ь
используются разностные операторы
2 1 — 2
А» = тХ1 [^ааУха)ха + (каауХа)ха]+ у 21 [(кос$Ух$)хл + (&сф% Ь ]
а=1 аФ& Р «
ИЛИ
2
Л^/ = тЕ [{К*Ух^ха + (*««»*«)**] +
а=1
1^2
+ {Е [(й«Ййр)*а + (к*$Ухр)ха + (*аЙ%Ъа + (*аЭЙэ)^I-
9 А. А. Самарский, Б. С. Николаев 257

§ 3. Основные понятия теории итерационных методов
1. Метод установления.. Выше было показано, что разностные
схемы для эллиптических уравнений естественным образом
записываются в виде операторного уравнения первого рода
Ли = / A)
с оператором Л, действующим в гильбертовом пространстве Я
конечной размерности. Линейным эллиптическим уравнениям
соответствуют линейные операторы Л, а
квазилинейным—нелинейные операторы Л.
Теория итерационных методов для операторного уравнения A)
может быть изложена как один из разделов общей теории
устойчивости разностных схем. Итерационные схемы можно трактовать
как методы установления для соответствующего нестационарного
уравнения. Поясним это на примере уравнения с
самосопряженным положительно определенным и ограниченным оператором Л,
Л = Л*>65, 6>0.
Пусты; = у (/) абстрактная функция I со значениями в Я, т. е.
ьA) при каждом фиксированном I есть элемент пространства Я.
Рассмотрим абстрактную задачу Коши:
% + Аю = Ъ <>0, V@) = V0(ЕН. B)
Покажем, что Нт ||р(/) — и [|= 0, где и — решение уравнения A),
т. е. решение V(^) нестационарного уравнения B) с ростом /
стремится к решению и стационарного (не зависящего от /)
уравнения A) {имеет место «установление» или «выход на стационарный
режим»). Для погрешности г{^) = V{^) — и имеем однородное
уравнение
*1 + Л г = О, I > О, г @) = V @) — и.
Умножая это уравнение скалярно на г: (-^ , г ) + (Лг, г) = 0 и
(—
. (И
учитывая, что
Ж г)=^(г, г)=\^\\г\\ {Аг,г)>Цг\^
получим
4|И0!2 + 28])г@|Р<0.
После умножения этого неравенства на еш > 0 имеем
откуда следует е2б'||г@|12^||г@)||2 или
И') — и||<е-в'|М0) — и[-+0 при /—>оо.
258

Таким образом, решая уравнение B) с любым Ь0^Н, мы при
достаточно большом I получаем приближенное решение
исходного уравнения A) с любой заданной точностью. Такой метод
получения решения называют методом установления.
Аналогичным свойством затухания начальных данных обладают и
разностные аналоги уравнения B).
2. Итерационные схемы. Остановимся сначала на общей
характеристике понятия итерационной схемы. Пусть требуется
найти решение уравнения A). Будем сначала предполагать,
что А—линейный оператор, заданный в Я.
В любом итерационном методе решения уравнения A) исходят
из некоторого начального приближения #0 € Я и последовательно
определяют приближенные решения у19 у2, ..., укУ ук+1, ...,
где к—номер итерации. Приближение ук+1 выражается через
известные предыдущие приближения по рекуррентной формуле
Ук+1 = рк(Уо> Л, .... Ук)>
где Рк—некоторая функция, зависящая, вообще говоря, от
оператора Л, правой части /, номера итерации к.
Говорят, что итерационный метод имеет порядок т, если
•каждое последующее приближение зависит лишь от т
предыдущих, т. е.
Ук+1 — Рк\Ук-т±1> Ук-т+2' • •» Ук)-
Итерационные схемы высокого порядка при своей реализации
требуют запоминания большого объема промежуточной
информации и поэтому на практике обычно ограничиваются
значениями т=\ или т = 2.
От выбора функции Рк зависит структура итерационной схемы.
Если функция линейная, то итерационный метод тоже
называется линейным. Если Рк не зависит от номера итерации к,
то итерационный метод называется стационарным.
Рассмотрим общий вид линейной итерационной схемы
первого порядка. Любая такая схема, в соответствии с
определением, может быть записана в виде
Уа+1 = 5л+1^ + тл+1фл+1, й = 0, 1, ..., C)
где $а—линейные операторы, заданные на Я, %к—некоторые
числовые параметры.
Обычно к итерационным схемам предъявляется естественное
требование: решение и = А~1$%Н уравнения A) для любого /
должно быть неподвижной точкой процесса последовательных
приближений C), т. е.
А-Ч = 8к+1А-Ч + тк+1ук+1. D)
Отсюда следует, что если положить
8к+г = Е—хн+1ВЦ1А9 Фа+х^ДЙх/, E)
9*
259

где Вк+1—линейный обратимый оператор, действующий в Я,
то условие D) будет выполнено. Подставляя E) в C), получим
в результате несложных преобразований
Вк+1Ук+х1~Ук+АУк = Г, к = 0, 1 у0$Н. F)
^к + 1
Сохраняя терминологию теории разностных схем (см. А. А.
Самарский, Теория разностных схем, 1977, гл. V), назовем F)
каноническим видом двухслойной итерационной схемы. Итак,
любой линейный итерационный процесс первого порядка может
быть записан в виде F). Если Вк+1 = Е, то итерационная схема
называется явной, так как в этом случае приближение ук+1
находится по явной формуле
Ук+г^Ук—^к+ЛАУк—!)* Ь = °> Ь •••
Если Вк хотя бы для одного к отлично от единичного
оператора, то схема называется неявной. Числа хк называются
итерационными параметрами. Если хк+1 зависит от итерационного
приближения ук, то итерационный процесс будет нелинейным.
Очевидно, что в стационарном итерационном процессе
операторы Вк и параметры хк (точнее, Вк/хк+1) не должны зависеть'
от номера итераций к.
Отметим, что схему F) можно трактовать как неявную
двухслойную схему для нестационарного уравнения
5@$-+^ = /, *>0, 1>@) = ув,
более общего, чем рассмотренное выше уравнение B). При этом
параметр хк+1 можно рассматривать как шаг по фиктивному
времени.
Различие между итерационными схемами и схемами для
нестационарных задач вида B) заключается в следующем:
1) при любых Вк+1 и хк+1 решение и исходного уравнения A)
удовлетворяет F);
2) выбор параметров хк+1 и операторов Вк+1 следует
подчинить лишь требованиям сходимости итераций и минимума
арифметических действий, необходимых для нахождения
решения уравнения A) с заданной точностью (для нестационарных
задач выбор шага подчинен прежде всего требованию
аппроксимации).
Выше предполагалось, что оператор А линеен. Очевидно,
схема F) может быть использована для нахождения
приближенного решения уравнения A) и в случае нелинейного
оператора Л. При этом обычно оператор Вк+1 выбирается линейным.
Двухслойные итерационные схемы F) являются наиболее
употребительными. Однако при решении уравнения A)
используют и трехслойные схемы, которые описывают итерационные
260

процессы второго порядка. Наиболее исследованными являются
трехслойные схемы «стандартного» типа. Они записываются в виде
G)
для &=1, 2, ... Здесь используются две последовательности
итерационных параметров {тЛ| и \ак\. Для реализации схемы G)
необходимо, помимо начального приближения у0, задать еще
приближение у±. Обычно оно находится по у0 с использованием
двухслойной схемы F), т. е.
В& = (В.-^А) у0 + тх/, у0 € Я. (8)
Можно показать, что для G), (8) решение и уравнения A)
является неподвижной точкой.
Если Вк^Е для всех /г=1, 2 ..., то схема G) называется
явной:
ук+х^ак+1(Е —%к+1А)ук + A — аЛ+1)^-х + аЛ+Л+1/.
В противном случае схема G) неявная.
3. Сходимость и число итераций. Основное отличие
итерационных методов от прямых заключается в том, что
итерационные методы дают точное решение уравнения A) лишь как
предел последовательности итерационных приближений {ук\ при
к—►оо. Исключение составляют методы «конечных» итераций,
к которым относятся методы сопряженных направлений,
теоретически позволяющие найти точное решение при любом
начальном приближении за конечное число действий, если А—линейный
оператор в конечномерном пространстве.
Для характеристики отклонения итерационного
приближения ук от точного решения и задачи A) вводится погрешность
гк = ук—и. Итерационный процесс называется сходящимся в
энергетическом пространстве Нв, если |гй||0—*0 при /г—>оо. Здесь
Нв—пространство, порожденное самосопряженным положительно
определенным в Я оператором Б.
Смысл введения энергетического пространства Нв
заключается в следующем. Как мы знаем, последовательность
элементов Я, сходящаяся в одной норме, сходится и в
эквивалентной норме. Поэтому при исследовании конкретной
итерационной схемы удобно выбрать такое энергетическое пространство
Яд, в котором операторы итерационной схемы А и Вк обладали
бы заданными свойствами, например были самосопряжены и
положительно определены.
Одной из важных количественных характеристик
итерационного метода является число итераций. Обычно задается
некоторая точность е > 0, с которой надо найти приближенное
решение уравнения A). Если |М1я = 0A), то требуется, чтобы
выполнялось условие
\\Уп-~и\\о<Е ПР1' О МО- (9)
261

Здесь л0(е)—минимальное число итераций, гарантирующее
заданную точность е. Это число зависит от того, какое взято
начальное приближение. Условием (9) можно пользоваться для
определения момента окончания итераций, если указанная норма
может быть эффективно вычислена в процессе итераций.
Например, если оператор А невырожден и положительно определен,
то, выбирая в качестве О оператор А* А, получим из (9)
\\Уп—и|1яН%1—ЛЮ>
так как
{уп—и> Уп—и)о=(А*А(Уп—и)> Уп—и)^
= (Ауп-Аи, Ауп-Аи) = \\Ауп-Ц\
Для сравнения качества различных методов в общем случае
используется число итераций, определяемое из условия
\Уп—и|1я^е!#о — и||о при /1>л0(е). A0)
Это число указывает, сколько итераций достаточно выполнить,
чтобы при любом начальном приближении у0 норма начальной
погрешности в Нв была уменьшена в 1/е раз. Условие A0)
также можно использовать в качестве критерия для окончания
процесса итераций.
Уравнению A) можно поставить в соответствие большое число
итерационных схем F) или G), (8) с любыми Вк и %к, ак. Между
тем при решении конкретной задачи возникает проблема выбора
одной схемы. С точки зрения вычислительной математики
наиболее важным является построение таких итерационных
методов, которые позволяют получить решение A) с заданной
точностью за минимальное машинное время. Это требование
экономичности метода является естественным. При теоретических
оценках качества метода оно часто заменяется требованием
минимума числа арифметических действий ф (е), достаточных
для получения решения с заданной точностью.
п
Общий объем вычислений (}(&) равен ф(е)= 2 <7й» гДО Ян —
к= 1
число действий для вычисления итерации номера ку а п—число
итераций, п^п0(&). Задача построения итерационного метода
ставится так (для двухслойной схемы F)): оператор А
фиксирован, а параметры {хк, к=\, 2, ..., п\ и операторы 5^ нужно
выбрать из условия минимума ф(е).
В такой общей постановке эта задача вряд ли имеет
решение. Обычно набор операторов Вк задается априори, и если
число действий, необходимое для обращения оператора Вк, не
зависит от к, то цн^ц и ф (е) = <7ло(8)- В этом случае задача
о минимуме ф (е) сводится к задаче выбора итерационных
параметров хк из условия минимума числа итераций п0(&).
262

Чтобы установить иерархию методов, надо сравнить их по
каким-либо характеристикам. Иногда используются
асимптотические оценки для числа действий или для числа итераций при
стремлении числа неизвестных в разностной схеме к
бесконечности. Однако существует фактическое ограничение на число
неизвестных при решении эллиптических многомерных
уравнений методом сеток. Так, например, для трехмерного уравнения
Пуассона среднее число узлов по каждому переменному #«100
приводит нас к системе линейных алгебраических уравнений
с Л1 = 10е неизвестными. Вряд ли целесообразно увеличение
, числа узлов. Поэтому надо сравнивать методы прежде всего
на реальных сетках.
4. Классификация итерационных методов. Итерационные
методы характеризуются структурой итерационной схемы,
энергетическим пространством Нв, в котором исследуется
сходимость метода, типом итерационного метода, условием окончания
процесса итераций, а также алгоритмом реализации одного
итерационного шага.
Мы будем рассматривать только двухслойные и трехслойные
итерационные схемы, явные и неявные, для которых условием
окончания процесса итераций будет условие
\\Уп—и|1о<вЦу0 — и\\й, е>0.
В общей теории итерационных методов рассматриваются
методы двух типов: использующие априорную информацию об
операторах итерационной схемы и не использующие (методы
вариационного типа). В первом случае итерационные
параметры чк для схемы F) и %к, ак для схемы G), (8) выбираются
из условия минимума либо нормы разрешающего оператора
(оператора, связывающего начальное и конечное приближения),
либо нормы оператора перехода от итерации к итерации. При
4 этом итерационные параметры выбираются так, чтобы
обеспечить наивысшую скорость сходимости при самом плохом
начальном приближении. В методах этого типа качество начального
- приближения не используется.
В методах вариационного типа итерационные параметры
выбираются из условия минимума некоторых функционалов,
связанных с исходным уравнением. Например, в качестве
функционала берется энергетическая норма погрешности к-й итерации.
В этом случае итерационные параметры зависят от предыдущих
итерационных приближений и обладают свойством учитывать
качество начального приближения.
В общей теории итерационных методов мы отказываемся- от
изучения конкретной структуры операторов итерационной
схемы—теория использует минимум информации общега
функционального характера относительно операторов. Это позволяет
достичь главной цели —указать общие принципы
конструирования оптимальных итерационных методов в зависимости от
263

характера и вида априорной информации о задаче, а также от
тех требований, которые предъявляются к способу решения этой
задачи. Эти дополнительные требования могут, например,
состоять в том, что нужно построить метод оптимальный не
на одной задаче, а на серии задач с одним и тем же оператором Л,
но с различными правыми частями.
Несомненно, что учет структуры оператора решаемой задачи
позволяет построить специальные итерационные методы, которые
обладают более высокой скоростью сходимости, чем методы из
общей теории. Это достигается особым выбором операторов Вк
и итерационных параметров. Специальные методы имеют узкую
область применения.
Остановимся теперь на роли операторов Вк. Для неявных
итерационнных схем выбор операторов Вм должен быть
подчинен двум требованиям: обеспечению наиболее быстрой
сходимости метода и требованию простоты и экономичности
обращения этих операторов. Эти требования противоречивы.
Действительно, если в схеме F) взять Вг = А и ^=1, то при любом
начальном приближении решение уравнения A) может быть
получено за одну итерацию. В этом случае скорость сходимости
максимальна, однако обращение такого оператора Вг
эквивалентно решению исходной задачи.
Оказывается, и это будет показано ниже, что нет
необходимости выбирать оператор Вк равным оператору Л. Достаточно,
чтобы были близки энергии этих операторов. Это требование
открывает возможность выбирать из класса операторов 5,
близких по энергии к оператору Л, легко обратимые операторы.
В настоящее время наиболее часто используется следующий
подход при построении неявных итерационных методов. Оператор
Вк+1 задается либо конструктивно в явном виде, либо
итерационное приближение ук+1 находится в результате некоторой
вспомогательной вычислительной процедуры, которую можно
трактовать как неявное обращение оператора Вк+1.
В первом случае оператор Вк+1 обычно выбирают в виде
произведения некоторого числа легко обратимых операторов
так, чтобы оператор Вк+1 в некотором смысле был близок к
оператору Л. При этом операторы, входящие в произведение, сами
могут зависеть от параметров, которые можно рассматривать
как дополнительные итерационные параметры. Например, если
Вк={Е-\-(х}кАг){Е-\-(икА^у где Ла—операторы, то о>к—числа,
являющиеся параметрами. В этом случае переменность
оператора Вк проявляется лишь в зависимости указанных
параметров ык от номера итерации к. При такой конструкции
оператора Вк обеспечивается единообразие вычислительного процесса
нахождения приближенного решения на каждой итерации.
Остановимся на двух алгоритмах нахождения нового
приближения ук+1 в случае, когда оператор Вк+1 имеет фактори-
зованный вид. Пусть Вк+Х = Вк+1Вк+1... В%+1 и ук+1 находится
264

по двухслойной итерационной схеме F). В первом алгоритме
решается последовательность уравнений
В\+^ = Рк+и В^,1ра = Ьа'19 а = 2, 3, ..., р, A1)
где Рк+± = Вк+1ук—%к+1(Аук—[). Видно, что ук+^ = VР. Каждое
из уравнений A1) должно легко решаться. Алгоритм не требует
запоминания промежуточной информации, будучи полученной,
она тут же используется. Недостаток алгоритма заключается
в необходимости вычислять элемент Вк+1укУ что может оказаться
сложной процедурой.
Второй алгоритм имеет вид схемы с поправкой:
Ук+1 = Ук—*к+1Ур> A2)
&*,!& = Ауь-Т, В&.1»а = »а. а = 2, 3, .... р.
В этом случае требуется дополнительно запоминать предыдущее
итерационное приближение ук и хранить его до тех пор, пока
не будет найдена поправка V?.
Во втором способе построения неявного итерационного
метода исходят, например, из схемы для поправки A2), а
поправку V? находят как приближенное решение вспомогательного
уравнения
Кк+^ = гк, гк = Ауъ-[. A3)
Пусть A3) решается при помощи какой-либо двухслойной
итерационной схемы. Тогда погрешность гт = ьт—V удовлетворяет
однородному уравнению
г"+х = 5я+1г», /п = 0, 1, ..., р—1, г° = &>^,
где 8т+1—оператор перехода от т-й к (т+ 1)-й итерации. Отсюда
найдем
*> = ©*-* = 5,5,^ ... Зг29^Тр(х^-о)9 Тр = П 5Я,
Ш = 1
где Тр—разрешающий оператор. Подставляя сюда ю — ЯкХ^н и
выбирая V0 = 0У получим
ЬР^(Е—Тр)ЯнУк или ъР = Вк\хгъ A4)
где через Вк+1 обозначен оператор Кк+1(Е—Тр)'-1.
Подставим A4) в A2) и найдем, что ук+1 удовлетворяет
двухслойной схеме F) с указанным оператором Вк+1. Если норма
оператора Тр мала, то оператор Вк+1 «близок» к оператору Кк+г-
Поэтому в качестве оператора Кк+1 естественно выбирать
близкий к А оператор.

ГЛАВА VI
ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В главе рассматриваются двухслойные итерационные методы решения
операторного уравнения Аи~}. Итерационные параметры выбираются с
использованием априорной информации об операторах итерационной схемы.
В § 1 ставится задача о выборе параметров для двухслойной схемы. В §§ 2 и 3
эта задача решается для самосопряженного случая. Здесь построены чебы-
шевский метод и метод простой итерации. В § 4 изучено несколько способов
выбора итерационного параметра в несамосопряженном случае в зависимости
от объема априорной информации. В § 5 рассмотрены некоторые примеры
применения построенных методов для решения сеточных уравнений.
§ 1. Постановка задачи о выборе итерационных
параметров
1. Исходное семейство итерационных схем. В главе V было
показано, что разностные краевые задачи для эллиптических
уравнений представляют собой специальные системы
алгебраических уравнений, которые можно трактовать как операторные
уравнения первого рода
Л« = / A)
в вещественном гильбертовом пространстве Я. В некоторых
частных случаях такие системы могут быть эффективно решены
прямыми методами, изученными в главах I—IV. В общем случае
одним из приближенных методов решения сеточных
эллиптических уравнений является метод итераций. Изучение
итерационных методов начнем с простейших двухслойных методов—чебы-
шевского метода и метода простой итерации.
Для приближенного решения уравнения A) с линейным
невырожденным оператором А, заданным в Я, рассмотрим неявную
двухслойную итерационную схему
ВУк+*-у*+АУк = !, Л = 0, 1, ... B)
с произвольным начальным приближением у0$Н. Здесь {хк\ —
последовательность итерационных параметров, а
В—произвольный линейный невырожденный оператор, действующий в Н.
Вопрос о наилучшем выборе оператора В будет изучен отдельно,
266

здесь же только отметим, что оператор В должен быть легко
обратимым.
Сходимость итерационной схемы B) будем исследовать в
энергетическом пространстве НВу порождаемом произвольным
самосопряженным положительно определенным в Н оператором Б.
Так как оператор В не фиксирован, то B) порождает
семейство итерационных схем, которое будем называть исходным
семейством.
В главе V было показано, что для изучения сходимости
итерационного метода необходимо исследовать поведение нормы
в Нв погрешности гк = ук—и при к —>оо, где ук—итерационное
приближение, получаемое по схеме B), а и — решение уравнения
A). Итерационный метод сходится в Нв, если норма
погрешности гк в Нв стремится к нулю, когда к стремится в
бесконечность.
Так как скорость сходимости зависит от выбора
итерационных параметров хк, то их следует выбирать так, чтобы скорость
сходимости была максимальной.
2. Задача для погрешности. Исследуем сначала сходимость
двухслойных итерационных схем B). Для этого получим
уравнение, которому удовлетворяет погрешность гк.
Подставляя ук=гк + и для к = 0у 1, ... в B) и учитывая
уравнение A), найдем
В2к+'~Ч +Агк = 0, к = 0, 1, ..., г0=у0-и9
т. е. погрешность гк удовлетворяет однородному уравнению.
Разрешая это уравнение относительно гк+1:
гк+1 = (Е—гк+1В~1А)гк
и полагая гк = 0-1^хкУ перейдем к уравнению для
эквивалентной погрешности хк, которое будет содержать один оператор.
Уравнение для хк будет иметь вид
хк + 1=$к + 1Хк> Зк+1 — Е — ТЛ + 1С, & = 0, 1, ..., C)
где С = 01/2В~1Л1)-1/2. В силу сделанной замены справедливо
равенство
поэтому задача исследования сходимости итерационного метода
B) в Нв сводится к изучению числовой последовательности
\\хк\\, к=\, 2, ..., где хк определено в C).
Найдем решение уравнения C). Из C) получим
к
хк=2Тк10х0, Тк,© = ^15/ = 5Л5л.1... 5$.
а»?

Отсюда вытекает следующая оценка для нормы погрешности гк
вН0:
Ы=Ы<\\тк,о\\\Ы\=\\тк,ЛШо. D)
Оператор Тк% 0 называется разрешающим оператором для к-я
итерации, а 5к — оператором перехода от (к—1)-й итерации к к-й
итерации.
Из оценки D) следует, что итерационный метод B) сходится
в Нп, если норма разрешающего оператора Ткщ 0 стремится к нулю,
когда к стремится к бесконечности.
Таким образом, задача исследования сходимости итерационной
схемы B) в Нв сведена к изучению поведения нормы
разрешающего оператора Тк% 0 в пространстве Н в зависимости от
номера итерации к.
Разрешающий оператор Ткщ 0 определяется оператором С и
итерационными параметрами т^, т2, ..., хк.
Считая оператор С фиксированным, поставим задачу
выбрать параметры {т^} так, чтобы итерационный метод сходился.
Среди сходящихся итерационных методов оптимальным методом
будет, очевидно, тот, параметры %к которого обеспечивают
достижение заданной точности 8 > 0 за минимальное число
итераций. Этому требованию в силу оценки D) можно придать
следующую эквивалентную форму: для заданного п построить
набор итерационных параметров т19 т2, ..., тЛ, для которого
норма оператора Тп% 0 была бы минимальной.
3. Самосопряженный случай. Дадим теперь строгую
постановку задачи о наилучшем выборе итерационных параметров
для двухслойной схемы B). Эга задача будет иметь решение
при определенных предположениях относительно операторов Л,
В и О. Сформулируем эти предположения.
1) Будем предполагать, что операторы Л, В и О таковы,
что оператор Ьв~гА самосопряжен в Н. Если это
предположение выполнено, то будем гозорить, что рассматривается
самосопряженный случай.
2) Пусть заданы у± и у2—постоянные энергетической
эквивалентности операторов В и ОВ~1А, т. е. постоянные из
неравенств
угО <ОЯ-М < у20, уг > О, ОВ^А = (ОЯ-М)*. E)
Второе предположение определяет тип априорной информации
об операторах итерационной схемы; эта информация
используется при построении формул для итерационных параметров в
самосопряженном случае. Простейший пример, для которого
предположение о самосопряженности оператора ОВ~1А
выполняется, следующий: А = А*У 0 = В = Е, т.е. рассматривается
явная схема в исходном пространстве Н для уравнения A) с
самосопряженным оператором Л. В этом случае априорная ин-
268

формация состоит в задании границ оператора А. Более сложные
примеры выбора оператора О будут рассмотрены ниже.
Итак, пусть выполнены условия E). Из E) следует, что
оператор С = б-1^ (ОВЛH-1/2 самосопряжен в Я, а VI и у2 —
его границы, т. е.
7!Е<;С<ТаЯ. VI >0. С = С* = 0-1/2(ОВ-МH-1/2. F)
Действительно, полагая в неравенствах
угфху х)^(ОВ~1Аху х)^у2(Рх, х)
х = Р~1/2у9 получим неравенства F). Таким образом, сделанные
выше предположения относительно операторов А, В и О
эквивалентны условиям F).
Сформулируем теперь задачу об оптимальном выборе
итерационных параметров для схемы B). Из определения
разрешающего оператора Тк% 0 и условий F) следует, что оператор
ТНщ й = ^H (С) самосопряжен в Я и норма операторного
полинома Тп%1(С) оценивается следующим образом:
^„.оК тах
II О-V)
к= 1
Из оценки D) следует, что в самосопряженном случае
итерационные параметры тх, т2, ..., тя должны быть выбраны так,
п
чтобы максимум модуля полинома РпA)= Д A—%к1)у постро-
к = 1
енного по этим параметрам, на отрезке [у19 у2] был
минимальным, т. е. нужно найти параметры из условия
П О-***)
тш тах
{хк} Уг<*<У*
к= 1
= тах |Р„@1
Тогда для погрешности метода B) будет верна оценка |г„Цо^
<1п\\го\\о, где
Яп= тах 1ЛЛ01-
VI < I < V2
Сформулированная выше задача является классической
задачей минимакса. В § 2 будет приведено решение этой задачи и
будет построен набор итерационных параметров тх, т2, ..., хп.
Итерационный метод с этим набором параметров называется
чебышевским методом. В литературе этот метод называют также
методом Ричардсона.
§ 2. Чебышевский двухслойный метод
1. Построение набора итерационных параметров. В § 1 было
показано, что построение оптимального набора итерационных
параметров тх, та, ..., хп сводится к нахождению полинома
269

п
РпУ) вида РпУ)= Ц A— V), максимум модуля которого на
к — 1
отрезке [у19 у2] минимален.
Решим эту задачу. Так как вид полинома определяется
условием нормировки Р„@)=1, то указанная задача формулируется
следующим образом: среди всех полиномов степени п,
принимающих в точке / = 0 значение 1, найти полином, наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [у19 у2], не содержащем точку 0.
Решение этой задачи было получено русским математиком
В. А. Марковым в 1892 г. и приведено в дополнении. Искомый
полином РпУ) имеет вид
Рп(()=с,пТп(^), <7„ = -7Ту 0>
где Тп (х) — полином Чебышева первого рода степени п,
{ соз (п агссозх), | х | ^ 1,
Тп^==\с\\(пАгсЪх), |*|>1,
а =-М- г - 2 р -2=1 о -1-У% г!& B)
Яп 1 + р? ' 0~У1-\У2> 9°- 1+1' р1"+1Л|,е""у«' {)
При этом тах |ЯП(/)| = ^П. Отсюда следует оценка для
нормы- погрешности гп в #г>:
Ы^^Ык C)
где цп определено в B).
Получим формулы для итерационных параметров. Так как
полиномы, стоящие в левой и правой частях A), принимают
при * = 0 одно и то же значение, равное 1, то тождество в A)
будет иметь место лишь в том случае, когда множества корней
полиномов Рп{1) и Тп ( ~~Т°Ч совпадают. Полином Рп{1) имеет
корни 1/тЛ, к=1, 2, ..., п, а полином Тп(х) имеет корни,
равные — соз ( *^ я) 1^=1.2, ..., п. Если обозначить через Шп
множество корней полинома Чебышева ^„(л;):
шя
:| —со5--^--л;, *=1, 2, ..., л>, D)
то получим следующую формулу для итерационных параметров:
^ = то/A+Ро[Н)> И*€ЗЛИ. *=1, 2, ..., п. E)
Здесь 11к$Шп означает, что в качестве \хк должны выбираться
последовательно все элементы множества Шп.
Из полученной формулы для параметров хк видно, что для
вычисления итерационных параметров требуется задать число
270

итераций п. Поэтому оценим число итераций. Обычно в качестве
условия окончания процесса итераций берется неравенство
\\гп\\о<ФАо
и числом итераций называют наименьшее целое я, для которого
это неравенство выполняется.
Из C) следует, что для рассматриваемого метода число
итераций находится из неравенства <7„^е. Используя B), решим
это неравенство. Получим
п > п0 (е), п0 (е) = 1п (^ + у ^— 1)/ 1п ~-.
Обычно исцользуют более простую формулу для я0(е)
п^п0(г), п0(е) = 1п|-/1п^-. F)
После того как найдено требуемое число итераций п, по
формулам E) можно построить набор итерационных параметров.
Итак, для неявной двухслойной схемы
вп±1=Ш + Ау ^ &==0,1, ..., у0еН, G)
доказана
Теорема 1. Пусть выполнены условия
V1^<^^5-1Л<V2^, 71>0> ОВ-1А = (ОВ-1А)*, О=О*>0. (8)
Тогда чебышевский итерационный процесс G), D), E), B) сходится
в Нв и для погрешности гп имеет место оценка C). Для числа
итераций справедлива оценка F).
Из полученных оценок следует, что в самосопряженном
случае скорость сходимости чебышевского метода зависит от
отношения 1 = 7x772» причем скорость сходимости будет тем выше,
чем больше I.
2. О неулучшаемости априорной оценки. Покажем теперь, что
на классе произвольных начальных приближений у0 оценка для
погрешности чебышевского метода, полученная в теореме 1,
является неулучшаемой в случае конечномерного пространства Н.
Достаточно указать такое начальное приближение у0> при
котором для нормы эквивалентной погрешности хк будет иметь место
равенство |*,,|| = <7п||*о1- Мы найдем начальную погрешность х0,
которая обеспечивает выполнение этого равенства, а начальное
приближение у0 в силу связи между погрешностью гк и хк9
гк = 0~1/2хк9 определится тогда по формуле у0 = и + б-1'*х0.
Найдем искомое х0. Пусть Я—конечномерное пространство
(Н = НМ). Так как оператор С самосопряжен в Я, то существует
полная система собственных функций V1^ V21 ..., у^ оператора С.
Обозначим через %к собственное значение оператора С,
соответствующее собственной функции VII- Пусть собственные значения
271

упорядочены %1 ^ К2 ^С ... ^С к#. Тогда в качестве границ
оператора С можно взять 71 = ^1 и У2 = ^^
В качестве начальной погрешности х0 возьмем собственную
функцию V!. Из уравнения для погрешности хк:
хк+1 = (Е — гк+1С)хк, к = 0у 1, ..., х0 = уг
и равенства №к = Хкик последовательно получим
хг = (Е—х.С) х0 = A — т^) V1 = (^ — т^) х0У
х2 = (Е—х2С)х1 = A—х1у1)(Е—х2С)х0=A—т1у1)A—т2у1)х0,
п
хп = П A — ЧУ1) хо = ^„ G0 (*.)•
й = 1
Подставляя в A) 1 = у± и учитывая равенство 1—тоу1 = р0,
вычислим Рп(у1) = ЯпТпA) = дп и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Итак, показано, что полученная в теореме 1 априорная оценка
неулучшаема на классе произвольных начальных приближений.
3. Примеры выбора оператора /). Приведем некоторые
примеры выбора оператора О. Напомним, что чебышевский метод
рассматривается в предположении самосопряженности оператора
Д5~М. Ниже будут указаны требования на операторы А и 5,
при которых это предположение выполняется для выбранного
оператора /). Для каждого конкретного выбора оператора В
будут приведены неравенства, задающие априорную информацию
об операторах итерационной схемы. Эта информация
используется для построения набора итерационных параметров в чебы-
шевском методе.
Рассмотрим первый пример. Пусть операторы А и
В самосопряжены и положительно определены в Я. Тогда в
качестве оператора Б можно взять один из следующих операторов:
А или 5. Если, кроме того, оператор В ограничен в Я, то
можно взять 0= АВ~1А. При этом априорная информация
сводится к заданию постоянных энергетической эквивалентности
операторов А и В:
Т15<Л<725, VI > О, В>0. (9)
Действительно, нужно показать, что выполнены следующие
условия: выбранный оператор О самосопряжен и положительно
определен в Я, оператор ОВ~гА самосопряжен в Я, а
неравенства (8) и (9) эквивалентны.
Самосопряженность операторов О и ВВ~ХА для всех
рассматриваемых случаев следует из самосопряженности операторов
А и В. Для случая, когда 0 = А или В = 5, положительная
определенность В вытекает из положительной определенности
272

операторов А и 5. Покажем теперь, что оператор 0 = АВ~%А
также положительно определен в Я.
Действительно, пусть выполнены сформулированные выше
условия на операторы А и В: А = А*^аЕ, В = В*^$Е,
||ВхКМ|||л;||, а, р>0, М<оо. Из этих условий и лемм 6 и 8
из § 1 гл. V получим, что В~г^-^Е и (Ах, Ах) > а (Ах, х)^
^а2(х, х). Отсюда найдем для энергии оператора И оценку
снизу
(их, х) = (АВ-гАх, х) = (В'1Ах, А*)>
>±(Ах, Ах)>^(х9 х), т.е. 0>^-Е.
Следовательно, положительная определенность оператора 1)=
= АВ~1А доказана.
Покажем теперь, что неравенства (8) и (9) эквивалентны
для рассматриваемого примера. Действительно, пусть выполнены
неравенства (9):
у, (Вх, х) < (Ах, х) < у2 (Вх, х), 71 > О- (Ю)
Если 0 = В, то ОВ'1А = А, и следовательно, неравенства
A0) и (8) совпадают. Пусть теперь 1) = АВ~гА. В этом случае
ОВ"'1А = АВ^1АВА и, полагая в A0) х = В~1Ау, получим
У1{АВ-1Ау, у)<(АВ-*Ау9 В-1Ау)^у2(АВ-1Ау, у)
или
71 (ОУ, У) < (РВ-'Ау, у) < у2 (Ву, у),
т. е. получим неравенства (8). Обратный переход от (8) к A0)
очевиден.
Пусть В=-А, тогда ОВ~1А = АВ-1А. Из леммы 9 § 1 гл. V
следует, что для самосопряженных и положительно
определенных операторов А и В неравенства A0) и неравенства
7х (А-1*, х) < (В~*х, х) < у2 (А*, х)9 уг > 0
эквивалентны. Полагая здесь х = Ау, получим неравенства (8).
Обратный переход очевиден.
Это неравенство позволяет сразу доказать положительную
определенность И\
(Ох, х)^ауг(х, х).
В самом деле, (Их, х) = (В'1Ах, Ах)^у1(А~1Ах, Ах)=
= уг(Ах, х)^уга(х, х).
Второй пример. Пусть операторы А и В самосопряжены,
положительно определены в Я и перестановочны: А = А* > 0,
5 = #*>0, АВ = ВА. Если в качестве оператора О взять
оператор А2, то априорная информация может быть задана в виде
неравенств (9).
273

Действительно, самосопряженность и положительная
определенность оператора Б следуют из самосопряженности и
невырожденности оператора Л. Далее, ИВ^А = А (АВ) Л, а так
как операторы А и В перестановочны, то перестановочны и
операторы А и В'1. Отсюда и из самосопряженности операторов А
и В следует самосопряженность оператора ОВ~1А.
Неравенства (8) в данном случае имеют вид
уг(Ах, Ах)^(АВ~1Ах, Ах)^у2(Ах, Ах), у± > 0.
Полагая здесь х = А~1В1/2у и используя перестановочность корня
из оператора В с оператором Л, найдем
УЛВу, у)<(Ау, у)<у2(Ву, у),
т. е. получим неравенство (9). Обратный переход от (9) к (8)
очевиден.
Рассмотрим еще один пример. Пусть Л и
В—произвольные невырожденные операторы, удовлетворяющие условию
В*А=--А*В. A1)
Если в качестве Б выбрать оператор А*АУ то априорная
информация может быть задана в виде неравенств
уг{Вх, Вх)^(Ах, Вх)^у2(Вх, Вх), уг > 0. A2)
Самосопряженность оператора Б очевидна, а положительная
определенность следует из невырожденности оператора Л. Так
как оператор В невырожден, то условия A1) могут быть
записаны в виде условий АВ~1 = (В*)-1А*, которые выражают
самосопряженность оператора АВ. Отсюда получим, что оператор
#В~1Л = Л*ЛВ~М самосопряжен в Я. Далее, полагая в A2)
х = В'1Ауу получим
уг(Ау, Ау)^(АВ-*Ау9 Ау)^у2{Ау, Ау)
или
ЧгФУ* уХфВ-^Ау, у)<:У%(Пу, У)-
Таким образом, из неравенств A2) следуют неравенства (8).
Обратный переход от (8) к A2) очевиден.
В заключение отметим, что для случая самосопряженных
положительно определенных и ограниченных в Н операторов Л
и В чебышевский итерационный метод сходится в Нв> где
1> = Л, В или АВ~~1А (а если, кроме того, Л и В перестановочны,
то и для Д = Л2), с одинаковой скоростью, определяемой
отношением постоянных уг и у2 из неравенств (9).
Особо отметим случаи Э^АВ^А и 0 = А*А. При таком
выборе оператора Э норма погрешности в Нв может быть
вычислена в процессе итераций. Действительно, для 0 = АВ~1А
получим
|гп||Ь = (Я2„, гя) = {В-*Агп9 Агп) = (В^гп9 г„) = К, гп\
274

а для 0 = А*А:
\\гп1Ь = {Агп, Агп) = {гп, гп),
где гп = Агп = Ауп — Аи = Ауп—[~ невязка п-й итераций, а
ы)п = Вгп—поправка. Эти величины можно найти в процессе
итераций.
4. О вычислительной устойчивости метода. При изучении
сходимости чебышевского метода предполагалось, что
вычислительный процесс является идеальным, т. е. вычисления ведутся с
бесконечным числом знаков. В реальном вычислительном
процессе все вычисления осуществляются с конечным числом знаков,
и на каждом этапе счета появляются ошибки округления.
Ошибки округления результатов арифметических операций
порождают вычислительную погрешность метода.
В итерационных методах вычислительная погрешность метода
образуется из погрешностей, допускаемых на каждой итерации.
Если число итераций достаточно велико, а итерационный метод
обладает свойством накапливать погрешности округления
каждого итерационного шага, то вычислительная погрешность такого
метода может оказаться настолько большой, что произойдет
полная потеря точности и итерационное приближение уп будет сильно
отличаться от искомого решения. Поэтому для итерационных
методов важно изучить механизм возникновения вычислительной
погрешности и найти те этапы алгоритма, на которых
происходит рост вычислительной погрешности метода. В ряде случаев
некоторые изменения в процессе вычислений позволяют
существенно уменьшить рост вычислительной погрешности и сделать
метод пригодным для практического использования.
Другая особенность реального вычислительного процесса
связана с наличием на ЭВМ «машинного нуля» и «машинной
бесконечности». Эти понятия характеризуют допустимый
порядок чисел, которые могут быть представлены в ЭВМ. Например,
в ЭВМ БЭСМ-6 в режиме однократной точности могут быть
представлены действительные числа, абсолютная величина
которых принадлежит диапазону от 10~19 до 1019. Это и есть гра-
' ницы для «машинного нуля» и «машинной бесконечности». Если
в результате вычислений на ЭВМ появляется величина, не
принадлежащая этому интервалу, то вычисления прекращаются и
происходит так называемый «аварийный останов» (авост). Поэтому
требование «безавостности» итерационного процесса является
естественным.
Итак, итерационные методы должны быть «безавостными» и
/ устойчивыми по отношению к ошибкам округления.
В п. 1 § 2 был построен чебышевский двухслойный метод.
В теореме 1 доказано, что если выполнить п итераций с
параметрами Ч = х0/A + р0\хк), \ьк€Шп, 6=1, 2, ..., п, то для
погрешности гп будет справедлива оценка и^^^^И^Ц^. В
275

качестве \хк выбираются последовательно все элементы
множества ШпУ причем порядок выбора произвольный.
Изучим вычислительную устойчивость чебышевского метода.
Будем для определенности считать, что \\,к есть к-и элемент
множества Шп. Тогда различные упорядочения множества Шп будут
порождать различные последовательности {\хк} и, следовательно,
различные последовательности итерационных параметров {тк}.
С точки зрения идеального вычислительного процесса все
последовательности чебышевских итерационных параметров
эквивалентны, т. е. каждая последовательность должна обеспечивать
получение одного и того же приближения уп и, следовательно,
одной точности после выполнения п итераций. Наличие ошибок
округления в реальном вычислительном процессе приводит к
неэквивалентности последовательностей итерационных
параметров.
Проиллюстрируем это утверждение на примере. Пусть на
сетке а> = {х1 = Иг, 0</<Л/', /г = 1 /Л/^} требуется найти решение
следующей разностной задачи:
АУ = У7Х—ЛУ = —Ф (*). х € о,
у@) = 0, уA)=1, й = сопз1>0.
В § 2 гл. V было показано, что разностная задача может быть
сведена к операторному уравнению
АУ = Г, A3)
оператор А в котором определяется следующим образом:
Ау~—Ку, где у€Н, у€Н, у(х) = у(х) для_ х$(о. Здесь Я—
множество сеточных функций, заданных на со и обращающихся
в нуль при л; = 0 и х= 1, а Я—пространство сеточных функций,
заданных на со, со скалярным произведением (и, Ь)= ^и(x)V (х)Н.
Х6(д
Правая часть / уравнения A3) отличается от правой части <р
разностной схемы лишь в приграничных узлах сетки: /(л:) = ф(л:),
А<*<1 — 2/г, /A_А) = фA_Н)+1/Н\
Для приближенного решения уравнения A3) рассмотрим
явный чебышевский метод
У*+*-У* + Аук = Г> к = 09 1, ..., УоеН. A4)
Ья + 1
Так как операторы А и В = Е самосопряжены в Я, то из
рассмотренных в п. 3 § 2 примеров следует, что в качестве
априорной информации для чебышевского метода A4) достаточно задать
границы оператора А: УхЕ^А^УъЕ, уг > 0, если в качестве
оператора Б взять оператор В = Е. Очевидно, что 71 и 72 сов"
падают с минимальным и максимальным собственными значениями
276

разностного оператора Л, т. е.
4 . о пк , , 4 2 л;& , 1
71 = Д2 5Ш2-Т + Й, ?2 = ~С052Т- + ^.
Итерационные параметры хк вычисляются по формулам
^^т0/A+р0[хА), |^€9ЯЛ, й=1, 2, ..., л,
*о = 2/(т1 + ъ)> Ро = G2—ъУС^ + ъ). A5)
Рассматривались три последовательности итерационных
параметров, определяемые следующими упорядочениями Шп:
1) «прямая» последовательность
ЗКя = 9Кп)==К. <*2> •■•><*«}> т- е. !** = <** *= 1.2, ..., л;
2) «обратная» последовательность
Шп = Ш™ = {опУоп_1У ...,0!}, т.е. |г* = ая_л+11й=1|2, ..., л;
3) «чередующаяся» последовательность
аЛ„ = ЗИ{?) = {а1, а„, а2, а^, ...}, т.е. |г,л.1 = аЛэ
|*я* = ^»-.*+1э й=1,2, ...,/г/2.
Здесь обозначено ал =— соз 2~ я.
Вычисления проводились следующим образом: задавалось
число итераций л и по схеме A4), A5) для каждой
последовательности итерационных параметров проводилось п итераций.
Реальная точность, которая достигалась после выполнения п
итераций, определялась по формуле
р _ И у»—ц II
Ьреал ||уо_и|| '
Для сравнения вычислялось значение цп, где
определяющее теоретическую точность метода, когда число
итераций равно л. Во всех расчетах начальное приближение у0
бралось равным нулю на со. Точное решение разностной задачи
у(х) = х соответствует правой части у(х) = Aх. Коэффициент й
выбирался так, чтобы уг было равно 0,1:
71 = °Л, 72 = 0,1 Н-^созя/г, ^ = ■^^созпН + ^.
Результаты вычислений для М= 10 приведены в табл. 5. В этой
таблице, помимо указанных последовательностей параметров,
приведены результаты для оптимального упорядочения
множества Шп> которое будет описано ниже.
277

Таблица 5
п
16
24
32
40
48
56
64
72
80
256
512
Ч
8,79.Ю-1
7,58-Ю-1
6,30.Ю-1
5,09.Ю-1
4,04-Ю-1
3,17-Ю-1
2,47.Ю-1
1,92-Ю-1
1,49-Ю-1
4,97'.10-4
1,23Л0-7
<>
8,14.Ю-1
9,62-Ю-1
3,38-103
3,07-107
авост
—
—
—
—
—
—
8реал
<2>
8,14.Ю-1
7,11.10-!
3,55-102
2,44.10е
3,46-1010
1,02.1016
авост
—
—
—
—
<3)
8,14-Ю-1
7.1Ы0-1
5,63-Ю-1
5,03-10-1
2,47-10°
2,29.102
1,87-104
1,73-10е
авост
—
—
8,14.Ю-1
7,11.Ю-1
5,63.Ю-1
4,85.Ю-1
3,64-Ю-1
3,10.Ю-1
2,23-Ю-1
1,72.10-1
1,44-10-1
4,80*10-4
1,15л6-7
Проведенные расчеты показывают, что для реального
вычислительного процесса рассмотренные последовательности
итерационных параметров действительно не являются эквивалентными.
Расчеты продемонстрировали две характерные особенности
реального вычислительного процесса: возможность «авоста»,
вызываемого ростом промежуточных итерационных решений, и
возможность потери окончательной точности в безавостной ситуации,
вызываемой накоплением погрешностей округления.
Причиной такой вычислительной неустойчивости метода для
некоторых последовательностей итерационных параметров
является тот факт, что норма оператора перехода от итерации
к итерации 8к = Е—хкС для некоторых значений к больше
единицы.
Действительно, так как 5—самосопряженный в Я оператор,
то II«5*11= зир |E^лг, х) |. Используя границы у19 у2 оператора С
И х Ц= 1
найдем
Подставим сюда хк из A5) и учтем равенства 1— р0 = т071,
1+р0 = т0у2. Получим
РоП— У>к) е ^^ ^РоA+Ып
1+Ро[Ай ^ Л^ 1+р0|лЛ
и, следовательно,
/ РоA + Ц») ^ 1 >0
278

Отсюда следует, что |5Л[> 1 при цй< — A— р0)/Bр0). Так как
1**€ЗИ„, то
—со5-^<^<—соз-^^-^^соз-^, 6=1,2, ...,п,
и, следовательно, для большого числа номеров к норма ||5А|]>1
(число таких номеров к примерно равно п/2). Поэтому, если
использовать подряд слишком много параметров хк9 для которых
норма оператора 5Л больше единицы, то может произойти
накопление вычислительной погрешности и рост итерационных
приближений, что служит причиной вычислительной
неустойчивости метода.
Теорема 1 фактически выражает устойчивость итерационной
схемы по начальным данным. В случае реального
вычислительного процесса необходимо исследовать устойчивость
итерационной схемы и по правой части, поскольку ошибки округления
можно трактовать как возмущение правой части итерационной
схемы на каждой итерации.
Если учесть погрешность округления, то вместо однородного
уравнения для эквивалентной погрешности хк получим
неоднородное уравнение
хк+1 = 8к+1хк + хк+1щ+и 6 = 0, 1, ... A6)
Здесь хк = 01/2(ук—и), где ук—реальное итерационное
приближение.
п
Решая уравнение A6), найдем хп = ТПл 0х0 + 2 уТ„9/ч/9 где
п
Тп,/ = П 5Л Тп,п = Е. Отсюда получим следующую оценку:
1 = 1+1
|1*Л<||7\,..11*.Н-2*/0Гя,/||тах ||Ф/||. A7)
Оценка нормы оператора Тп%0 не зависит от упорядочения
множества Шп, и для любой последовательности чебышевских
п
параметров хк имеем 1|7"Л10|К<7Й. Оценка для ^г-\\ТП1Л зави-
/-1
сит от упорядочения множества Шп. Из A7) следует, что
множество Шп должно быть упорядочено так, чтобы указанная
сумма принимала минимальное значение.
Следующая лемма указывает минимально возможное значение
этой суммы.
Лемма 1. Если уг и у2—точные границы оператора С, то
для любого упорядочения множества Шп имеет место оценка
279

Действительно, из определения оператора Тп>} получим
Ътп,1МТ„.,-Тп,^)С-\ %ЬТп^ = (Е-Т„,0)С-*.
Так как
иЕ-тп,0)с-ц=\ 2 т,^, ]< 2 Мтп.Л>
II/=1 II /=1
то достаточно оценить норму оператора (Е—Т'„,0)С. Этот
оператор самосопряжен в Я, и если уъ и у2—границы
оператора С, то
1(^-Т„,0)С-М1< тах
Ро
1_а Г П—1^1\
Таким образом, показано, что для любого х^Н имеет место
оценка
иЕ-Тн,0)С-*х^!=2*1х\. A8)
Так как VI есть точная граница самосопряженного оператора С,
то 71 совпадает с минимальным собственным значением
оператора С. Подставляя в A8) вместо х собственную функцию,
соответствующую минимальному собственному значению
оператора С, получим, что в A8) достигается равенство. Следовательно,
получена оценка \\(Е—ГПэ0)С|| = A—<7я)/?1- Лемма доказана.
5. Построение оптимальной последовательности
итерационных параметров*).
5.1. Случай п = 2р. Порядок использования итерационных
параметров хк в чебышевском методе существенно влияет на
сходимость метода. Поэтому возникает задача построения
наилучшей последовательности итерационных параметров,
обеспечивающей минимальное влияние вычислительной погрешности метода.
Так как последовательность параметров определяется
упорядочением множества Шю то необходимо построить оптимальное
упорядочение множества Шп.
Приведем решение этой задачи. Пусть сначала число итераций
есть степень 2: п = 2р. Обозначим через 0^ множество,
состоящее из т целых чисел:
А __ 1Шт) Шт) С)(т)\
°/я — 1°1 ) °2 » • • • » °т /•
*) Способ упорядочения итерационных параметров дан по работам: см.
Е. С. Николаев, А. А. Самарский (ЖВМ и МФ, 12, № 4, 1972) для любого
п и [8] для п = 2Р.
280

- Исходя из множества 9Х = {1}, построим множество 02/? по
следующему правилу. Пусть множество вт построено. Тогда
множество 82/я определим по формулам
вЯЛ = {вяГ° = 4т-вГ, 8|И = вГ, г= 1,2 т},
/11=1,2,4, ...,2*-*. A9)
Нетрудно убедиться, что множество 92/г состоит из нечетных
чисел от 1 до 2к+1 — 1.
Используя построенное множество 92/?, упорядочим множество
Ш2р следующим образом:
ак«={—созрг, Р/^еу», 1 = 1,2, ..., п}, >г=2/>. B0)
Это и есть искомое упорядочение множества Шп в случае, когда
п = 2р. Для соответствующей этому упорядочению
последовательности итерационных параметров доказана оценка
Сравнивая эту оценку с оценкой леммы 1, убеждаемся, что
построенное упорядочение множества Шп действительно
обеспечивает минимальное влияние вычислительной погрешности на
сходимость чебышевского метода.
Приведем некоторые примеры построения множества 0П.
1) л = 8.
в1 = {1Ь в2={1, 3}, 94 = {1,7,3,5},
98 = {1, 15,7,9,3, 13,5,11}.
Множество 68 построено. По формуле B0) упорядочивается
множество ЗКд.
2) л=16.
Используя найденное выше множество 98, построим по формулам
A9) множество 616:
Э1в = {1,31, 15, 17,7,25,9,23,3,29, 13, 19,5,27, 11,21}.
3) п = 32.
ваа = {1, 63, 31, 33, 15, 49, 17, 47, 7, 57, 25, 39, 9, 55, 23, 41, 3, 61,
29, 35, 13, 51, 19, 45, 5, 59, 27, 37, II, 53, 21, 43}.
Из формул A9) следует простое правило перехода от
множества 0т к множеству 92/8: 62^ = 0<т) и сумма двух соседних
чисел равна 4т:
6^1) + е<Г) = 4т, *=1,2, ...,т.
Аналогичное правило перехода применяется и в общем
случае, к рассмотрению которого мы переходим.
5.2. Общий случай. Пусть число итераций п есть любое
целое число. Опишем процесс построения множества 0„.
Элементарными этапами этого процесса являются переходы от
281

множества Вт к множеству 02от и от множества в2т к множеству
Э2|Я+1, где т — произвольное целое число.
Сформулируем правила перехода от множества к множеству.
1) Переход от 02/Л к ®2т+1 состоит в добавлении к элементам
множества 02/й нечетного числа 2т-\-\.
2) Переход от 6^ к 02т осуществляется следующим образом.
Если за этим переходом следует переход от $2т к 04от или
переход от $т к 02от есть последний шаг в процессе построения
множества 0Л, то используются формулы, приведенные выше:
6<2ш) = 0<т,> 9с2,*> + 9с2т) _ 4т, * = 1, 2, —, т. B1)
Если за переходом от 0ОТ к 02/л следует переход от 02/я к Э2Я|+1,
то используются формулы
9<^> = вр», 0^{ + 9Йт) = 4т + 2, I = 1, 2, ..., т. B2)
Используя эти правила и чередуя должным образом переходы
от множества с четным числом элементов к множеству с
нечетным числом элементов и от множества из т элементов к
множеству из 2т элементов, можно, исходя из Эх = {1}, построить
множество 9га для любого п.
Приведем некоторые примеры.
1) п = 15. В этом случае переход от 0Х к 0„ осуществляется
по следующей цепочке:
0Х —► 02 —> 03 -^ 06 —> 07 —► 014 —> 015.
Согласно изложенным правилам переходы от 0Х к 02, от 03 к 0б
и от 07 к 014 осуществляются по формулам B2), а при переходе
от 02 к 03, от 0б к 07 и от 014 к 015 нужно добавить
соответствующее нечетное число к исходному множеству. Это дает:
в1 = {1}, Э2 = {1, 5}, 03 = {1, 5, 3}.
вв = {1, 13,5,9,3,11}, в7 = {1, 13,5,9,3, 11,7},
314 = {1, 29, 13, 17,5,25,9,21,3,27, 11, 19,7,23},
315 = {1, 29, 13, 17, 5,25,9,21,3,27, 11, 19,7,23, 15}.
Множество Ш1Ъ упорядочивается по формуле B0).
2) п — 25. Этому случаю соответствует цепочка
и переходы от 0Х к 02 и от 012 к 024 выполняются по
формулам B2), переходы от 03 к 06 и от 06 к 012 — по формулам B1),
переходы от 02 к 03 и от 024 к 025 осуществляются добавлением
нечетного числа. Получим
01 = {1}> 81={1,б}> 03 = {1,5,3}, 0б = {1, 11,5,7,3,9},
012 = {1, 23, 11, 13,5, 19,7, 17,3,21,9, 15},
924={1,49, 23, 27, 11,39, 13,37,5,45, 19,31,7,43, 17,
33,3,47,21,29,9,41, 15,35},
282

925 = {1, 49, 23, 27, 11, 39, 13, 37, 5, 45, 19, 31, 7, 43, 17,
33, 3, 47, 21, 29, 9, 41, 15, 35, 25}.
Изложенная выше процедура построения множества % для
произвольного п может быть формализована. Для этого
представим п в виде разложения по степеням 2 с целыми
показателями к/,
"/1 = 2*1 + 2*» + ...+24 йу<*,-!—1, / = 2,3, ..., 5.
Образуем следующие величины:
яу=2^Л /=1,2, ...,5,
и положим /г5+1 = 2я + 1. По формулам B3) строим
множество 9 •
0„; = { е^> = в;"'-1\ 6^ = пу, / = 1, 2, ..., п,-1}, B3)
для /=1 выбираем 91 = {1}. Затем по формуле B4) строятся
множества
%т = {^Г = 4/п —ер, 9Н = ВГ, «=1,2 т} B4)
для т = Пу, 2лу, 4пу, ..., [(^/+1—1)/4], где [а]—целая часть а.
Если [(Яу+1—1)/4]< Лу, то вычисления по формуле B4) не
проводятся, выполняется переход к следующему этапу. Если / = 5,
то необходимое множество 9Л уже построено. Иначе полагаем
т = (п;+1 —1)/2 и строим множество
92„ = {9Йт) = 4т + 2 — ер, 933 = вр, 1=1,2, ...,т}. B5)
Затем / увеличивается на единицу и процесс повторяется,
начиная с формулы B3). В результате будет построено множество 9„.
Множество Шп упорядочивается согласно формуле B0).
Для случая п = 2р алгоритм B3) —B5) упрощается и
переходит в алгоритм, описываемый формулой A9). Действительно,
для п = 2р получим 5=1, к^ = ру лх=1, яу+1 = 2'7+1— 1.
Следовательно, в алгоритме B3) — B5) / принимает единственное
значение, равное единице, и вычисления ведутся по формуле B4)
для 01=1, 2, 4, ..., 2р~\
Проиллюстрируем качество построенного здесь упорядочения
множества Шп на примере, рассмотренном в п. 4 § 2. Задаваемое
число итераций п изменялось от 16 до 512 с шагом 8. Для
каждого п реальная точность, достигнутая после выполнения п
итераций, не превосходила теоретическую точность Чп(Чыг —
= 1,23• 10"-7), и процесс был «безавостным» (см. табл. 5).
283

§ 3. Метод простой итерации
1. Выбор итерационного параметра. В § 2 была решена задачи
о построении оптимального набора итерационных параметров хк
для двухслойной схемы
Вун±р)ь+Ау и й = 0,1, .... у,€#
в предположении, что оператор #5~М самосопряжен в Я и
заданы VI и ?2—постоянные энергетической эквивалентности
операторов Г> и /M-М:
710<05-М<у20, VI >0. A)
Получим теперь решение этой задачи при дополнительном
ограничении тЛ==т, т. е. в предположении, что итерационные
параметры хк не зависят от номера итерации к. Эта задача возникает
при нахождении итерационного параметра т для стационарной
двухслойной схемы
Вум-у*+Ауы = Г> * = 0,1, ... B)
Напомним формулировку указанной выше задачи: среди поли-
п
номов степени п вида ФЛО^ПО—тЛ) найти полином, наиме-
/=1
нее уклоняющийся от нуля на отрезке [у19 у2]. В силу
сделанного ограничения полином Рп{1) имеет вид
Рй@ = A-^)я.
Поэтому поставленная выше задача эквивалентна следующей:
среди полиномов первой степени, принимающих в точке * = 0
значение единица, найти полином наименее уклоняющийся от
нуля на отрезке [у1У у2].
Эта задача является частным случаем рассмотренной в § 2
задачи. В данном случае л=1, и из результатов п. 1 § 2
следует, что искомый полином имеет вид
где
Здесь Т1(х)—полином Чебышева первого рода. Так как 7\ (х) = х,
то полином СМО имеет вид
<?! (/) = 1 — V, тах | фх (/) | = ^ = р0,
284

поэтому
РЛО-О-ТоО».
Таким образом, оптимальное значение параметра т для схемы
B) найдено:
т = тв = 2/(у1 + ?1). C)
Так как норма разрешающего оператора ТПш0 для схемы B)
(см. п. 3 § 1) оценивается следующим образом':
||гя,о||< тах 1М01.
то при т = т0 получим оценку ||7\,,о|^Ро- Отсюда следует
оценка для погрешности гп в Нв\
\гАо<&\гЛп- D)
Итерационный метод B), C) называется методом простой
итерации.
Итак, доказана
Теорема 2. Пусть самосопряженный оператор ЮВ"-1А
удовлетворяет условиям A). Метод простой итерации B), C)
сходится в Н0, и для погрешности имеет место оценка D). Для
числа итераций верна оценка п^п0(г), где п0(е) = 1пе/\пр0.
Замечание. Как и для чебышевского метода, априорная
оценка погрешности для метода простой итерации является не-
улучшаемой в случае конечномерного пространства.
Сравним число итераций для чебышевского метода и метода
простой итерации. Из теоремы 1 в случае малых Е- имеем следующую
оценку для числа итераций чебышевского метода:
■^ / ч / \ 1п 0,5е 1 ! 2
п^п.(г), пЛг) = -. « —-==.1x1 — .
Из теоремы 2 получим оценку для числа итераций метода
простой итерации
•^ / \ / \ 1п 8 1 1 1
п>п0(г), л0(е) = ПГй;»щ1пт.
Из этих оценок следует, что для |<^1 число итераций
чебышевского метода существенно меньше числа итераций метода
простой итерации. Например, для ^ = 0,01 число итераций для
метода простой итерации примерно в 10 раз больше, чем для
чебышевского метода.
2. Оценка нормы оператора перехода. В п. 1 § 3 была
исследована скорость сходимости метода простой итерации. При этом
метод простой итерации рассматривался как частный случай
чебышевского метода. Из методических соображений будет
полезно изучить сходимость метода простой итерации независимо
от чебышевского метода.
285

Итак, пусть для нахождения приближенного решения
уравнения
Аи = !
используется двухслойная схема B)
вУ*±1=Ун + Аук=гГ9 Л==0,1, .... Уо€#. E)
Для изучения сходимости схемы E) перейдем к задаче для
эквивалентной погрешности хк = Ог/*гк:
хк+1 = 5хк, й = 0, 1, . ..,5 = Я—тС, F)
где С = ВХ1*В~1АВ-Х1*. Используя F), найдем явное выражение
для хп через х0: хп = Зпх0, из которого следует оценка для нормы
погрешности гп в Нй
\^-ип\<\8п\\хЛ^\8п\\^^ G)
Будем предполагать, что оператор ИВ^А самосопряжен в Н
и заданы постоянные ух и у2 в неравенствах A). При этих
предположениях оператор С, а вместе с ним и оператор 5,
самосопряжены в Н и уг и у2 — границы оператора С:
7^<С<72^, ух > О, С = С*. (8)
В силу самосопряженности опере»гора 5 имеет место равенство
II 5я 1 = || 5 Iя. Поэтому из оценки G) следует, что итерационный
параметр т нужно выбирать из условия минимума по т нормы
оператора перехода 8 — Е—тС.
Имеет место
Лемма 2. Пусть 8 = Е—%С и выполнены условия (8). Норма
оператора 3 минимальна при т = т0 = 2/G1 + 72), и имеет место
оценка
|15|Н|Я-т0СНРо, Ро = A-Б)/0 + Б), Б = ?!/?..
Действительно, так как 5 самосопряженный в Н оператор,
то из определения нормы получим
1 E*, х) 1
Г (у у\ ~~Г
(Сх, х)
5||=аир1^^1 = зир 1-т^ - шах |1—^
(ХуХ)
У1<^<7а
Так как ф (^) = 1—%1—линейная функция, то максимальное по
модулю значение ф(^) на отрезке [7Х, 72] может достигаться
лишь на концах отрезка. Непосредственные вычисления дают
[ф1(т)=1—ту19 О^т^
]5|| = тах(| 1— ту, I, 11— гу2\)== < /ч , .
«'О'
где т0 указано в лемме. Так как функция ф^т) убывает на
отрезке [0, т0], а ф2(т) возрастает прит^т0, то минимум нормы
286

оператора 5 достигается при т = т0 и равен р0 = 1 — х0уг = т0у2— 1 =
=A — 1)/A+Ъ), Б = ?!/?!• Лемма доказана.
Из леммы 2 и оценки G) следует, что при т = т0 для
погрешности итерационной схемы E) верна оценка
||2и|1а<Ро||20||о.
Таким образом, получено еще одно доказательство
сформулированной выше теоремы 2 о сходимости метода простой
итерации. Примеры выбора оператора #, для которого выполнено
условие самосопряженности оператора О В'1 А, рассмотрены в
п. 3 § 2.
§ 4. Несамосопряженный случай. Метод простой итерации
1. Постановка задачи. В §§ 2, 3 были построены
двухслойные итерационные методы для приближенного решения
линейного операторного уравнения
Аи = Г A)
с невырожденным оператором Л, заданным в вещественном
гильбертовом пространстве Н. Предполагалось, что операторы Л, В
и й таковы, что оператор ОВ~гА самосопряжен в Я, и заданы
постоянные энергетической эквивалентности уг и у2 операторов
В и 05~М, причем уг > 0.
При этих предположениях задача оптимального выбора
итерационных параметров была решена и были построены чебышев-
ский метод и метод простой итерации. В п. 3 § 2 были
рассмотрены некоторые примеры выбора оператора В и найдены
условия самосопряженности оператора ВВ~ХА для каждого
конкретного выбора оператора В.
Очевидно, что если заданы операторы А и В, то не всегда
можно указать такой оператор О, для которого оператор йВ~1А
будет самосопряжен в Н. Следовательно, необходимо изучить
итерационные методы и в несамосопряженном случае.
В данном параграфе изучается метод простой итерации для
несамосопряженного случая. Будут рассмотрены некоторые
способы выбора итерационного параметра в зависимости от объема
априорной информации об операторах итерационной схемы.
Итак, пусть оператор ОВ~1А несамосопряжен в Н. Для
приближенного решения уравнения A) рассмотрим неявную
двухслойную итерационную схему
вУ*±1^ + Ауш = !% й==0, 1, ..., #0€#. B)
Для исследования сходимости схемы B), как обычно,
перейдем к задаче для эквивалентной погрешности хк — П^гк
х*+1 = 8*к> * = 0, 1 8 = Е-тС, C)
287

где С = 01/*В~1АО~~1/*. В силу сделанных выше предположений,
оператор С несамосопряжен в Н. Из сделанной замены и
уравнения C) получим
хп = 8"ха, ||^|| = !|2„|!/)<||5"||||х0|1 = ||5''||||2о|!0. D)
Следовательно, итерационный параметр т должен быть выбран
из условия минимума по т нормы разрешающего оператора 5".
2. Минимизация нормы оператора перехода.
2.1. Первый случай. Получим оценку для нормы
оператора 8п. Так как для любого оператора имеет место оценка
||5"|| ^ Ц5 Л", то первый способ выбора параметра т состоит в
нахождении параметра т из условия минимума нормы
оператора перехода 5. Получим два типа оценок нормы оператора 5
в зависимости от объема априорной информации относительно
оператора С.
В первом случае предполагается, что априорная
информация состоит в задании постоянных уг и у2 из неравенств
уг(х, х)^(Сх, х)у (Сху Сх)^у2(Сх, х), уг > 0. E)
Если С = С*, то уг и у2—границы оператора С.
Лемма 3. Пусть в неравенствах E) заданы уг и у2, тогда
для нормы оператора 8~Е—%С при т=1/у2 справедлива оценка
|]5||<р, р = УТ=Т, Б = Т1/Тг
Действительно, используя E), получим
||5*||* = ||х—тСх\* = (х, х)—2т(Сх, х) + т2(Сх, Сл;)<
< (х, х) — 2т (Сх, х) + т2у 2 (Сх, х) = \\х ||2 — т B—ху2) (Сх, х).
Отсюда следует, что если выполнено условие тB—ху2) > 0, т. е.
0 < т < 2/у2, то норма оператора 5 будет меньше единицы. Пусть
это условие выполнено, тогда, используя E), получим
|15х1Р<[1-тУ1B-ту2)][И*
и, следовательно,
Функция ф(т) = 1—Т7ХB — %у2) в точке т=1/у2 имеет минимум,
равный фA/72)== 1—^, где Е^Ух/Уа- Поэтому для указанного
значения параметра т для нормы оператора 5 справедлива оценка
||5||^|А — I. Лемма доказана.
Подставляя в E) оператор С = О"*/* (ОВ~1А) й/*, получим,
что неравенства E) эквивалентны следующим неравенствам:
у1(Рх, х)^(ОВ~1Ах, х),
фВ^Ах, В-1Ах)^у2(йВ-1Ах, х), %>0. F)
288

Подставляя в D) оценку для нормы оператора 5, полученную
в лемме 3, найдем
ияь><рпЫх» р=У"^Т- G)
Теорема 3. Пусть уг и у2—постоянные из неравенств F).
Метод простой итерации B) при значении итерационного
параметра х=\/у2 сходится в Нв, и для погрешности гп имеет
место оценка G). Для числа итераций верна оценка п~^п0(е),
где л0(е) = 1пе/1пр, р = У1 — I, 1 = Ух1Уъ-
Приведем примеры выбора оператора В и конкретный вид
неравенств F). В табл. 6 приведены: предположения относительно
операторов А и В, указан оператор й и вид неравенств F). При
получении конкретного вида неравенств F) мы исходим как из
самих неравенств (б), так и из эквивалентных им неравенств
ЪфЛ-1^*, А'1Вх)^(ОА'1Вх9 х), (их, х)^у2(ОВ~1Ах, х), (8)
получающихся из F) при помощи замены х=А~1Ву.
Таблица б
А и В
1) А = А*> 0,
В ф В* > 0
2) А Ф А* > 0,
В = В*> 0
3) А ф А* > 0,
В ф В* > 0
4) А = А*, В = В*,
АВфВА .
и
А или В*А-1 В
А2 или В*В
В или А*В~!А
В2 илщА*А
А*А или В*В
А2 или В2
Неравенства
7х (Вх, А~гВх) < (Вх, х),
(Ах, х) <: у2 (Вх, х)
Ух(Вх, Вх)^(Ах, Вх),
(Ах, Ах) ^ у2 (Ах, Вх)
Ух (Вх, х)^ (Ах, х),
(Ах, В-1 Ах) ^ у2 (Ах, х)
ух (Вх, Вх) <; (Ах, Вх),
(Ах, Ах) ^ у2 (Ах, Вх)
ух (Вх, Вх}^ (Ах, Вх),
(Ах, Ах) < у2 (Ах, Вх)
ух (Вх, Вх)*^ (Ах, Вх),
(Ах, Ах) ^ у2 (Ах, Вх)
Отметим неравенства
уг (Вх, Вх) < (Ах, Вх), (Ах, Л#Х у2 (Ах, Вх), уг > 0.
Если эти условия выполнены, то для рассмотренных в табл. 6
частных случаев в качестве оператора В можно взять либо
оператор А2, если А = А*, либо оператор А*А. При таком выборе
оператора й норма погрешности гп в Нв может быть вычислена
в процессе итераций
|| гп \\Ь = (Бгп, гп) = (Агп, Агп) = || гп||2, гп = Ауп-[.
10 А. А. Самарский, Б. С. Николаев
289

Вернемся к оценке нормы оператора 5. Если оператор С
самосопряжен в Я, то в силу E) он положительно определен,
и следовательно, существует корень квадратный из оператора С.
Полагая во втором из неравенств E) х = С~1/гуу получим, что
неравенства E) эквивалентны неравенствам
Из леммы 2 при этих предположениях вытекает следующая
оценка для нормы оператора 5: ||5||^р01 Ро^О — 5)/0+5)»
Сравнивая эту оценку с полученной в лемме 3, убеждаемся,
что оценка леммы 3 является грубой и не переходит в оценку
леммы 2, когда оператор С является самосопряженным в Н.
2.2. Второй случай. Получим теперь другую оценку для
нормы оператора перехода 5, которая будет переходить в
оценку леммы 2, когда С является самосопряженным в Н
оператором. Для этого увеличим объем априорной информации
относительно оператора С, предполагая, что заданы три числа у19
Т2 и Уз-
Т1Я<С<у2Я, Ц^Ктз, VI > 0, у3>0, (9)
где С1 = 0,5(С—С*) — несамосопряженная часть оператора С.
Имеет место
Лемма 4. Пусть в неравенствах (9) заданы у1У у2 и у3.
Тогда для нормы оператора 8 = Е — тС при т = т0 = т0 A — хр0)
справедлива оценка
где
;Ро> Рв = A-1)/A + Б). (9')
6 1+хЧ.'
Т1 + Т2' Уу1У* + У1 ' 1+* У*'
Приведем доказательство леммы 4. Пусть 0 —произвольное число из
интервала @, 1). Представим оператор 5 в следующем виде:
5 = Д —тС=[вД —тС01 + [A—6)Я—тСхЬ
тде С0 = 0,5 (С + С*) — самосопряженная часть оператора С. Используя
неравенство треугольника, получим оценку для нормы оператора 5:
||5||<||вЕ-тС0|| + 11A-в)^-^1||. A0)
Оценим отдельно норму каждого оператора. Из (9) и равенства (С0х, х)=
=0,5 (С*, л;)+ 0,5 (С*х, х) = (Сх, х) получим, что уг и у2 — границы
самосопряженного оператора С0:
угЕ < С0 < у2Е, VI > 0.
> <
9—тух, О<:т<:0то,
По аналогии с леммой 2 получим следующую оценку для нормы
оператора дЕ—тС0:
||0Е-тСоЦ<тах(|0--тТ1|, |0-хТ2|) . а .
I т^г—"» т^0то.
290

Оценим норму оператора A — 0)/Г —тСх. Так как {Схх> л:) = 0, то для
всех х^Н получим
0(A—е)^—тс1)^1Р = A—е)л^ЧР+^211с1^||2<(A—е^+т^о^иу^уз.
Отсюда и из (9) следует оценка (] A— 6) Е — тС1||< [A—вJ+т2у1]1/2.
Подставляя полученные оценки в A0), будем иметь
т)==е-тТ1 + |/'A-еJ + т2у|, О<т<то0,
( ф2 (в.
Выберем теперь параметры т и 0 из условия минимума оценки для нормы
оператора 5. Заметим, что функция ф2 @, т) монотонно возрастает по т.
Поэтому для минимизации нормы оператора 5 достаточно рассмотреть область
О<т^то0, 0 < 0 < 1. В этой области ||5||<ф1@, т).
Исследуем функцию фх@, т). Эта функция монотонно возрастает по 0,
следовательно, минимум достигается при т = то0. При этом значении
параметра т будем иметь
В ^ 1К Ф (в)=Ф1 (в, т0в) =
= вA-тву1)+КA-в)« + т27»в» = вро+|/"A-в)» + т;?1в>.
Итак, нужно показать, что гсип ф@) = Ро- Найдем минимум функции ф@).
о<0< 1
Сделаем замену переменной, полагая
0 = A-х)/A+а2),*€(-а2, 1),а2 = То^-
Функция ф @) запишется в виде
'ГО^-ТтЫ'^П^О+т^- (,1)
Отсюда видно, что достаточно найти минимум функции
V (х) = У~х* + а* — р0*/ 1/Т+о»
в области —а2 < х < 1. Вычисляя производные функции V (х)
^(х) = —^=г . Ро , *"(*) = ^ТТГ>09
Ух* + а* ]Л+а2 (*2 + а2)8/г
находим, что уравнение V' (л:) = 0 дает точку минимума функции V(x). Решая
уравнение
V-
A2)
1 + а2 ро
найдем искомую точку минимума функции V (х):
*о = ар0/|Л+а2-р2 € @, 1), в0 = A-*в)/A+а»).
Подставляя A2) в A1), найдем минимальное значение функции ф@):
Осталось выразить х0 и 0О через известные величины. Используя
обозначения леммы 4, получим
1— ро = Тоу1у2. *о = М8Ро/К1""Ро + ^ = >Фо- A4)
10* 291

Из A2) найдем
«■ = *8A-р5)/(р8-*}). 1+«2 = Р2A-*2о)/(Р20-*2).
Поэтому
Подставим A4) и A5) в A3):
т«П-1С1 РоО-*2) ..* + Ро _A+х)-ЕA-х) 1-1 - ....
'^-^-г+^г -т+^-A+я)+1A-х)-т-ро- A6)
Найдем теперь выражение для параметра т = то0о. Сравнивая A5) и A6),
получим
6оРо = р"о—и- A7)
С другой стороны, из A6) можно выразить р0 через р0 и и:
Ро=(Ро — и)/0--иРо)-
Подставляя р0 в A7), находим
в0=1 —ир> т=т0A — кро).
Лемма доказана.
Неравенства (9) могут быть записаны в следующем виде:
уг (х, х) < (Сх, х) < у2 (х, х), (Сгх9 Сгх) < у\ (х, х) уг > 0.
Подставляя сюда С-О/2 фВ'М)!)-1/2 и С1 = 0,5О~1/2Х
Х(ОВ'1А — (РВ'1А)*)й-1^9 получим неравенства
уф<05^Л<720, VI > 0,
(^-* ^ '-х, ^ — я^ТвФ*. х).
Подставляя в D) оценку (9') для нормы оператора 5, найдем
Шо<92\\г0\\о' A9)
Теорема 4. Пусть у1У у2 и ун — постоянные в
неравенствах A8). Метод простой итерации B) при значении
итерационного параметра т = т0 = т0A—хр0) сходится в НПу и для
погрешности гп имеет место оценка A9). Для числа итераций
верна оценка п^п0(&)> где п0 (е) = 1пе/1пр0,
_ 2 - __1— 5 ё_ 1-х Ух __ уз
Т«-*+Т|' Р'-ЙТ* ^Ч-**»' Х~1^и^*
Замечание. Так как число итераций определяется
величиной |, которую можно записать в виде
1= (\/Гу1/у2+(Уз1У2J—у3/т2J>
то оператор В следует выбрать так, чтобы отношение !■ = у1/у2
было максимальным, а 73/Тг минимальным.
292

Приведем примеры выбора оператора ^. Если в качестве В
выбрать оператор А*А или В* В, то неравенства A8) можно
записать в виде
уг{Вху Вх)^(Ах, Вх)^у2(Вх, Вх)>
|| 0,5 (ЛЯ—(Я*)-*Л*)||< Те- <2°)
Действительно, для случая 0 = В*В это утверждение
очевидно, а если 0 = А*А, то в A8) нужно сделать замену х — А~1Ву
и получить неравенства B0).
Если оператор В является самосопряженным положительно
определенным и ограниченным в Я, то в качестве оператора й
можно взять оператор В или А*В~1А. В этом случае
неравенства A8) эквивалентны следующим неравенствам:
Т1Я<Л<у2В, VI > 0, Г2П
(В^А.х, А^^уЦВх, х), Л1 = 0,5(Л —Л*). 1 '
Действительно, для Б = В неравенства A8) и B1) совпадают,
а для 0 = А*ВА неравенства B1) следуют из неравенств A8)
после замены х = А~1 Ву в A8).
3. Минимизация нормы разрешающего оператора.
3.1. Первый случай. В п. 2 § 4 были получены оценки для нормы
оператора 5", основанные на неравенстве ||5Я||<||5||И. Рассмотрим теперь
другой способ получения оценки для ||5"||. Этот способ основан на оценке
числового радиуса оператора.
Напомним (см. § 1 гл. V), что числовым радиусом оператора Т,
действующего в комплексном гильбертовом пространстве Я, называется величина
р(Г)= зир ЦТг9 2)|, г$Н.
112A=1
Для линейного ограниченного оператора Т числовой радиус удовлетворяет
неравенствам
И (Т) || Г | < р (Т) < || Т ||, р (Т") < [р (Г)]*, B2)
где п—натуральное число, а \л (Т) ^ 1/2.
Используя понятие числового радиуса оператора, получим две оценки
для нормы оператора 5" в зависимости от типа априорной информации
относительно оператора С.
Рассмотрим случай, когда априорная информация задана в виде
постоянных у19 72 и у3:
71Я<С<Т2Я, || Сх* || < 7з II* II. У1>0,х$Н> B3)
Комплексное пространство Н определим следующим образом: оно состоит
из элементов вида г = х-{-1у, где х, у^Н. Скалярное произведение в Н
определяется формулой
(г, о>) = (*, и) + 1{у, и) — Цх, Ь) + (у, V),
г = х-\-1у, ни —и-{-IV.
Линейный оператор С, заданный на Я, определим на Н следующим образом:
Сг = Сх + 1Су.
293

~\ 1~B
В силу свойств B2) для любого целого п верна оценка
|[5»11<|Г^рE")<2[рE)]»,
поэтому достаточно оценить числовой радиус оператора 5.
Имеет место
Лемма 5. Пусть в неравенствах B3) заданы уг, у2 и у3. Тогда для
нормы оператора 8 = Е — %С в Н при т = гшп(т0, хт0) справедлива оценка
||5я||<2р»,
где
A — РоЬ 0<х<1, ух (У1-4-У2)
-B —1/х) A—р0). х^1, 2(у| + уй '
ъ=*Щу1+у*)> Ро = A — Е)/A + Б). Е = У1/У1-
Для доказательства леммы представим оператор С в виде суммы С =
= Со + Сх, С0 = 0,5 (С + С*), Сх = 0,5 (С—С*). Оценим числовой радиус
оператора 5 = 2:—тС. Для любого г^Н получим
Eг, г) = (г, 2)—т(С02, г) — т(С1г, г).
В силу самосопряженности оператора С0 скалярное произведение (С0г, г)
есть действительное число. Так как Сг = —С1, то (Сгг, г)—мнимое число.
Поэтому
|E2, 2)|2=[B, 2)-~т(С0г, 2)]2 + т2|(Сх2, г)|«. B4)
Из неравенств B3) получим
ух (г, г)<(С0г, 2)<у2B, г), ОС^КузИ. B5)
Пусть || 2I=1. Из B5) найдем
|B, 2)-т(С02,2)|<тах(|1-тух|, |1-ту,|)=Л |~Т^ ^1**"
^ Ту2—1» Т ^ Т0,
|(С,г,г)|<|С1г||Вг||<т»-
Подставляя эти оценки в B4), получим
РМ5)=8ир|Eг,г)р<] ^(х) = A-гу^ + ^у! 0<т<т„
1*11=1 I Ф.(г) = A-ту,IЧ-т,тз. т^т0.
Выберем параметр т из условия минимума оценки для числового радиуса
оператора 5. Так как функция <р2 (т) возрастает по т при т^т0:
щ (т)=2[т(У1+Т1)-Тз]^2 V» <*-*>+2у1 > 0>
У1 "Г" ?2
то минимум р E) по т следует искать в области т^т0, где для р E)
выполняется оценка р2 E) ^ фх (т).
Исследуем функцию фх(т). Так как
фГ(т) = 2(у? + у5)>0.
то, приравнивая производную
Я>1(т) = 2[т(у!+у1)-у1]
нулю, найдем точку экстремума функции фх (т)
Т = Т!= 271 2 = Т0Ц.
У1 + уз
294

При х^Т! функция ср1(т) убывает, а при т^Тх—возрастает. Поэтому
минимальное значение фх (т) достигается в точке т=Тх, если Тх^т0, и в точке
т = т0, если Т!^т0. Итак, оптимальное значение параметрах найдено т =
= ппп(т0, т0и). При этом
■!■"««{ 5$: ?««..
Вычислим ф! (т0) и фх (Тх). Из определения к и равенства 1—-т0у1 = Ро
получим
ТоТ1 + тоТз и к
Далее,
ф1(т0)^A~ТоТ1J+т^з==Ро + A-Ро)/>с~A-РоJ==1---B-1/х)A~р0),
Ф1(Т1) = A-Т1?1)ЧТ;?8=1-2Т171 + Т;(?1 + Т8) =
= 1—Т1у1==1_ хт0у1=1— кA — р0).
Итак, числовой радиус оценен. Оценка леммы следует из неравенства
||5п||<2[рE)]Л. Лемма доказана.
Используя лемму 5, получим оценку для нормы погрешности гп:
Цг«1Ь<2р«||г0|Ь. B6)
Теорема 5. Пусть у±, у2 и ?з—постоянные в неравенствах A8). Метод
простой итерации B) при значении итерационного параметра т=пнп (т0, кт0)
сходится в Н^, и для погрешности гп имеет место оценка B6). Для числа
итераций верна оценка п^п0(г), где п0 (е) = \п @,5е)/1п р, а к и р определены
в лемме 5.
Примеры выбора оператора И и конкретный вид неравенств A8)
.приведены в п. 2.2.
3.2. Второй случай. Используя понятие числового радиуса
оператора, получим еще одну оценку для нормы оператора 5". Будем
предполагать, что априорная информация задана в виде постоянных у±, у2 и ув в
неравенствах
угЕ < С < у2Е, (Сх*, Схх) < у3 (Сх, х), у^> О* B7)
Имеет место
Лемма 6. Пусть в неравенствах B7) заданы -у!» 72 и У в- Тогда для
нормы оператора 5 = 2?—тС в Н при т=пнп(то\ кто) справедлива оценка
«5»1<2р»,
где
V и/ 1+Ро
То* = 2/(Тх + Т2 + ?з), Рв = A — Б)/A + Б). 6 = ?!/?••
Действительно, представляя оператор С в виде С = С0 + Сх, где С0 =
= 0,5(С + С*) и Сх = 0,5(С — С*), получим
|Eг, г) |2 = [(*,**)-т(С0г, г)]2 + т21 (Схг, г) |2.
Из неравенства Коши—Буняковского и из условий леммы найдем
| (Сх2, г) |2^ (Сх2, Сгг) (г, г)<у3 (С0г, г) (г, г).
295

Так как для любого г^Н имеют место неравенства
VI (г> г) < (О)*, *) < у2 (г, г), у* > °»
то из трех предыдущих соотношений получим следующую оценку для
числового радиуса оператора 5:
р2E)< тах <р@> где ф @= О—т^ + т^-
Исследуем функцию ф (/). Эта функция может принимать максимальное
значение только на концах отрезка [у1$ у2]. Поэтому
Р2E)<| Ф1(т)==A~тТ1>2 + т2Т1Тз» 0<т<т0\
~1 ф2(т) = A—Т72)а + т272Тз» т^гто-
Выберем параметр т из условия минимума оценки для р E). Так как
функция Ф2С1О возрастает по т при т^т^:
Ф^(т) = 2Т2 [т (?2 + Тз)- П ^2Т2 ^Т!1!!3 > °>
72~{-Т1т-Тз
то минимум р E) следует искать в области т^То, где для р E) выполняется
оценка р2 ($)*^Фх (тО-
Функция ф! (т) при т = т1= 1/(у1 + уз) — >ст0 достигает минимального
значения^ причем дри т^Тх функция фх (т) убывает, а при т^тх—возрастает.
Поэтому минимальное значение фг (т) на отрезке [0, т0] достигается в точке
т=Тх, если Тх^т&, и в точке т = тЛ, если. %г^%*&.
Итак, найдено оптимальное значение параметра т:
т^=га1п(тЛ, хто)*
При этом
т I ф1(тх), х<1.
гшг
Вычислим фх (хЛ) и ф!(тх). Несложные вычисления дают тЗ=B— 1/и)/уа»
у3=1/(хт0) — 71* Используя эти соотношения, получим
ф1(т!) = A— т;71)я + @27178=1— 2т?у1+т;у!/х =
= 1 — B— 1/хJ Тх/Та = 1 — B— 1/хJ A — Ро)/A +р0).
Далее
ф1 О*) = 0 — ^0><Т1J + ( ТоJ Х2Т1ТЗ = 1 — Т?Х^1 =
= 1 —Bх—1) 71/72=1 —Bх—1) A _Ро)/A+Ро).
Итак, числовой радиус оценен. Оценка леммы следует из неравенства
||5п||<2[рE)]и. Лемма доказана.
Подставляя в неравенства B7) С=Я"~1/2 (йВ-1А) 0~1/2 и С1=0,5^"'1/2х
Х{рВ-гА — (ХЭЯ-М)*) ^~1/2, получим неравенства
^вд-Ц-рв-м)^ вв-ч-ув-*лг х)<1а@В.1Ах,х). {Щ
Теорема 6-. Пусть уг> уа и у3— постоянные в неравенствах B8).
Метод простой итерации B) при значении итерационного параметра т =
296*

= гшп(т©, %%1) сходится в Н& и для погрешности гп имеет место оценка
B6). Для числа итераций верна оценка /г^л0(е), где
щ (е) = 1пО,5е/1пр,
а х, р и т* определены в лемме 6.
Приведем вид неравенств B8) для некоторых примеров выбора
оператора О. Если в качестве оператора В взять оператор А* А или В*В, то
неравенства B8) можно записать в следующем виде:
V! (Вх, Вх) < (Ах, Вх) < 72 (Я*, Вх), у± > О,
Ц0,5 (ЛВ-*—(Д*)-М*) *||2< уз (А*** В*)-
Действительно, неравенства B9) следуют непосредственно из B8) после
подстановки 0 — В*В в B9). Для случая Ь — А*А в Bв) достаточно сделать
замену х=А~1Ву.
Если оператор В самосопряжен положительно определен в Н и
ограничен, то в качестве оператора В можно взять операторы В или А*В~1А.
В атом случае неравенства B8) будут иметь вид
Т1ЖЛ<72Д> VI >Р, ,ят
(В - Мх*, Агх) < у3 (Ах, х), Аг = 0,5 (А — А*). 1 и'
Отметим, что в случае # = Л*В-М неравенства C0) следуют из B8)
после указанной выше замены.
4. Метод симметризации уравнения. При решении уравнения
Аи = ( с несамосопряженным оператором Л используют хорошо
известный прием симметризации уравнения. Вместо исходного
уравнений рассматривается симметризованное уравнение
Ли = /, Л = Л*Л, / = Л*/, C1)
которое получается из исходного уравнения умножением слева
на сопряженный к Л оператор. В алгебре такое
преобразование уравнения называется первой трансформацией Гаусса.
Для приближенного решения уравнения C1) рассмотрим
неявную двухслойную схему
вЩ^ + Аук=], к = 0,1,...,ул$Н, C2)
с самосопряженным положительно определенным оператором В.
В качестве оператора В выберем операторы В или А = А*А.
В этом случае оператор ОВ~1А самосопряжен в Я, поэтому
итерационные параметры тк могут быть выбраны по формулам
чебышевского метода, исследованного в § 2. Априорная
информация для этого метода в случае указанных операторов В имеет
вид постоянных энергетической эквивалентности операторов В
и А = А*А
У1В^А*А^у2В, VI >0.
Оценка скорости сходимости чебышевского метода C2) и
формулы для итерационных параметров даны в теореме 1.
397

§ 5. Примеры применения итерационных методов
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. Для иллюстрации применения построенных в этой
главе двухслойных итерационных методов рассмотрим решение
разностной задачи Дирихле для линейных эллиптических
уравнений второго порядка. Разностную задачу будем трактовать
как операторное уравнение
Ли = / A)
в конечномерном пространстве сеточных функций. Будут
рассмотрены явный и неявный чебышевский методы, а также метод
простой итерации.
Рассмотрение примеров начнем с задачи Дирихле для
уравнения Пуассона в прямоугольнике. Пусть в прямоугольнике С ==
= {0^л:а^/а, а=1, 2} с границей Г требуется найти решение
уравнения Пуассона
1и = ?т + Т7 = -Т(х), х=(х1Ух2)$0, B)
принимающее на границе Г заданные значения
и(х) = §(х), х$Г. C)
Соответствующая B), C) разностная задача Дирихле на
прямоугольной сетке
© = {% = (*Й1. /А«) €0, 0<г<^, 0</<Лг2, й«=/а/#а1а=1,2}
имеет вид
2
Лу=2 у- х = — <р(*), х^со, У(х) = ё(х)> *€У> D)
а=1 а а
где 7 = {%€П — граница сетки со, а
В § 2 гл. V было показано, что разностная задача D) может
быть сведена к операторному уравнению A), для которого
оператор А определяется следующим образом: Ау=—Ау, где
у€Н> у^Н и у(х) = у(х) для х^со. Здесь Я—множество
сеточных функций, заданных на со и обращающихся в нуль на у,
а Н—пространство сеточных функций, заданных на со, со
скалярным произведением (и, и) = 2 и(х)у(х)к1кг Правая часть /
Х€@
298

уравнения A) отличается от правой части ср разностного
уравнения D) лишь в приграничных узлах: 1
/ (*) = ф (*) + Ф1 (хIк\ + Ф2 (х)/к229
г @, х2), х1^Н19
ц>1{х)=\ О, 2Н1^х1^11—2Ни
§ \^19 Х2I Х1 = 1^ /11,
е{хх, о), лг2=л2,
&Л^1» ^2/> *^2 == ^2 ^2'
Итак, разностная краевая задача D) сведена к операторному
уравнению A) в конечномерном гильбертовом пространстве Н.
Для приближенного решения уравнения A) рассмотрим
явный чебышевский метод (В = Е):
вУ^М + Аук^и й = 0, 1, ..„#о€#, E)
** = 7+^ГА. 1**€9К; = {-соз^^, 1 = 1, 2, ...,«}, F)
/г>д0(е), /г0(е) = 1п@,5е)/1пр1. G)
В § 2 гл. V было показано, что определенный здесь
оператор А является самосопряженным в Я и его границы 71 и 7г
совпадают с минимальным и максимальным собственными
значениями разностного оператора Л, т. е.
Т1Я<Л<та5, 71 > 0, (8)
где
Операторы А и В = Е самосопряжены и положительно
определены в Н. Поэтому из рассмотренных в п. 3 § 2 примеров
следует, что у19 у2 из (8) являются постоянными для чебышев-
ского метода E) — G), если в качестве О выбран один из
операторов Е, А или Л2. Тогда в формулах F), G)
%—*— о-^1 0=1=У1 Е-а
где 71 и Тг определены в (9).
Так как 7г = 0A), а 72=0A//12+1//11), то^==Ор|2), где|/1|а-
~Н1 + Щ. Следовательно, для рассматриваемого примера
асимптотическая оценка числа итераций п0 (г) имеет вид
«•<в)-0(-рПпт)'
299

В частном случае, когда О есть квадрат со стороной I AХ=^1^1)
и сетка со квадратная (Н1==Н2 = Н = 1/Ы), имеем
VI
V
8
~~ Л2
~~ 4 '
51П2
п0
21 '
(8)«
?2
Ро
/
пН
8
~~ Л2
= соз
1 2
8
С05*ж>
лН
"Т%
1=
Р* =
«0,32ЛПп-
' е
ё 21 »
1-зт-р
СОЗ-р
A0)
Таким образом, число итераций п пропорционально числу узлов N
по одному направлению. Отметим, что число неизвестных в
задаче D) равно Л1 = (Л/Г — IJ, т. е. число итераций
пропорционально квадратному корню из числа неизвестных.
Итерационную операторную схему E) при В=Е можно
записать, используя определение оператора А и правой части /,
в виде следующей разностной схемы:
Ун-г^Ук + Ъ+ЛЛУк + ч)' *€со, Уь\у=8> к=°> !»•••
Подставляя сюда D), получим расчетные формулы
, т [ УкA+и ]) + УкA—и /) , УА»(^» /+1)+У^0'» /—1) ,„/; л|
+ Т**Ч л! + Я +ф ('■/)].
1<*<#х— 1, 1</<#а—1.
Начальное приближение у0 есть произвольная сеточная функция
на со, принимающая на границе у заданные значения у0(х)=д(х)
для х€у.
Оценим число арифметических действий ф(е), которое
необходимо затратить, чтобы получить приближенное решение
разностной задачи D) с точностью е по чебышевскому методу E)—G).
Считая заданными итерационные параметры тА, получим, что
для вычисления ук+1 в одном узле сетки со потребуется девять
арифметических операций. Так как число внутренних узлов
сетки со равно М = (А^—1)(М2 — 1), то на реализацию одного
итерационного шага потребуется (^«ЭЛ^А^ действий. Поэтому
(}(е) = пB0ж9пЫ1М2> где п—число итераций.
Для рассмотренного выше частного случая число итераций п
определено в A0), и следовательно, для этого примера получим
^(г)&2,9N*Щ2|в).
Для решения уравнения A) рассмотрим теперь метод
простой итерации. Итерационная схема метода простой итера-
300

ции имеет вид E), а итерационные параметры хк и число
итераций п определяются по формулам теоремы 2:
где 71 и 72 заданы в (9). Из (9) и (И) получим асимптотическую
по к оценку числа итераций для метода простой итерации
па(е)= О [-ггуь 1п —) . Для рассмотренного выше частного
случая найдем
^о(е)«^1п}«0,2^Чп1, A2)
т. е. число итераций для метода простой итерации
пропорционально квадрату числа узлов N по одному направлению (или
пропорционально числу неизвестных в уравнении).
Сравнивая оценки для числа итераций чебышевского метода
A0) и метода простой итерации A2), получим, что метод
простой итерации требует значительно большего числа итераций,
чем чебышевский метод. Для сравнения этих методов на реалы
ных сетках приведем точное значение числа итераций для
указанного частного случая в зависимости от числа узлов N по
одному направлению для е = Ю-4 (первым указано число
итераций для чебышевского метода):
# = 32 /1 = 101 д = 1909
N = 64 м = 202 я = 7642
N=128 я = 404 п = 30577.
Приведем расчетные формулы метода простой итерации для
рассматриваемого частного случая:
Ук+Л*> /) = т[У*(^ + 1. 1)+УьA — 1> 1)+УьA,1 + 1)+Ук(*> 1 — 1)]+
, /I2 ,. .ч
Очень сильная зависимость числа итераций метода простой
итерации от числа узлов сетки N является причиной того, что
в настоящее время этот метод почти не используется для
решения сеточных эллиптических уравнений.
2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
произвольной области. Пусть в произвольной ограниченной области
С с границей Г требуется найти решение уравнения Пуассона
1а = -4 + -4 = — /(*), х = (х19 х2)€0, A3)
принимающее на границе Г заданные значения
"(*)=«(*). *€Г. A4)
301

Для простоты рассмотрим случай, когда пересечение
области О с прямой, проходящей через точку ^Си параллельной
оси координат, состоит из одного интервала.
Покроем плоскость решеткой, образованной пересечением
прямых, параллельных осям координат и проведенных на
одинаковом расстоянии к друг от друга.
Точки решетки х^, принадлежащие С, назовем узлами сетки
со =={%€ 0\. Через Да(#/у.) обозначим интервал, образующийся
при пересечении С с прямой, проведенной через точку Ху€<о
параллельно оси координат 0ха, а=1, 2. Концы этого
интервала назовем граничными узлами по направлению ха. Множество
всех граничных узлов по направлению ха обозначим через уа,
а через у^у^Уг обозначим границу сеточной области.
Множества внутренних и граничных узлов образуют сетку со = со II у
в области О.
Рассмотрим один из интервалов Да. Множество узлов Ху€®>
лежащих на этом интервале, обозначим через соа(л:р), C = 3 — а,
а= 1, 2. Через (оа(х$) обозначим множество, состоящее из узлов
а>а(*э) и правого конца интервала Да. Определим (йа(х$) как
множество, состоящее из узлов (йа{х$) и концов интервала Да.
Обозначим через х[1~1а) и х\71(д узлы, ближайшие к точке
Ху€®а(х$) соответственно справа и слева и принадлежащие
©а(*р).
Шагами На (х{/) сетки со в точке х(}- ^ со будем называть
расстояние между узлами х^- и лК^^^со. Отметим, что если все
четыре соседних к х{/ узла л^1*) принадлежат со, то шаги На
равны основному шагу решетки к. В приграничных узлах ка ^к.
Между шагами к^ и кй имеет место соотношение
Л5(%)=ЛаD+1а))-
Задаче A3), A4) поставим в соответствие на сетке со
разностную краевую задачу
2
Л*/ = 2 Угхг = — Ф (х), х € со, у (х) = § (*), * € У, A5)
а = 1 а а
где
1/±1а=*/(*(±1а)). а=1,2.
302

Разностная задача A5) сводится к операторному уравнению A)
и оператор Л определяется таким же образом, как и в п. 1.
Скалярное произведение в Н задается следующим образом:
(а, а)= 2 и(х)у(х)№-
хеоу
Введем некоторые обозначения, которыми будем пользоваться
в дальнейшем. Определим для сеточных функций, заданных
на со, скалярные произведения по формулам:
(и, ^)соа= 2 и{x)V(x)И,
ха*<»а(х$)
ха € ©а (*р)
(и, у)а =({и, у)^ 1Ц, р-3 — а, а=1, 2.
Используя эти обозначения, скалярное произведение в Я
можно записать в виде
(а, у) = ((и, ю)их, 1)©2 = ((и, у)со2, 1)®,. A6)
Из определения оператора Л получим, что
(Аи, V) = —(Аи, V) =
а так как в силу разностных формул Грина имеет место
равенство (см. п. 3 § 2 гл. V)
V х*ха' ><°а V х* *а'«>а * ' хахаЫа*
то отсюда вытекают равенства
(Аи, V) = (и, Лу),
2
(Ли, и) = 2(а, 1)а, "€Я, ^ёЯ. A7)
Первое из этих равенств доказывает самосопряженность в Н
оператора Л.
Для приближенного решения уравнения A) рассмотрим
неявный чебышевский метод
ВУк+гх~Ук + АУк = 1, Л = 0, 1 у0$Н,
где в качестве оператора 5 возьмем легко обратимый
диагональный оператор
Ву = ф1 + Ь,)у, 6„М-4(^+-^), «=1.2. A8)
303

Поясним выбор оператора В. Если трактовать уравнение A)
как систему линейных алгебраических уравнений с матрицей Л,
соответствующей оператору Л, то матрица ЗВУ соответствующая
оператору Б, есть диагональная часть матрицы Л.
Так как операторы А и В являются самосопряженными и
положительно определенными в Я, то уг и у2, входящие в
условия F), G), являются постоянными энергетической
эквивалентности операторов А и В:
71^<Л<Т25, 71 > О,
если в качестве О выбран один из операторов Л, Вили АВ~гА.
Найдем оценки для уг и у2. Сначала покажем, что имеет
место равенство
Т1 + У2 = 2. A9)
Действительно, пусть и(х) — произвольная сеточная функция
из Я. Рассмотрим функцию ь(х), которую определим
следующим образом:
»(*//) = (—!)'+/ "(*//). *//€«>.
Вычислим значение разностного оператора Аю в точке Хц.
Получим
1 / * +1а
о -1С
2
= -(-1)^Ет
1 / " +1а ° в * ~1с
\ и а — и и —и с
а=1
- 2 (-1)'+'(М%)+М*//)) «(*/,)•
Следовательно,
А,(;, /) = _Лу(/, /) = (-1)<+/BЯ-Л)и(*, /).
Далее, так как
Т1 = т1пЙ77р (Лу> у) = 2{Ви, и) — (Аи, и), (Во^) = (Ви%и)%
иф 0\ои> ">
ТО
(Ли, у) л . (Ли, и) 0
72 = П1ах7Б—( = 2 —тт — т = 2—уг.
Утверждение доказано.
Используя соотношение A9), получим, что в формулах F)
^0 = 2/(Т1 + У2)= 1, Ро = (Т«—Т1)/(Т2 + Т1)=1—?1-
Следовательно, для вычисления итерационных параметров тк
достаточно найти оценку для у^ Из леммы 13 § 2 гл. V полу-
304

чим, что для любой сеточной функции у€Н имеет место
неравенство
(ЬаУ, У)соа < "а {у\а, 1)«+, а = 1, 2, B0)
где иа = ха(#р) = тах Vе* (х), а уа(х) есть решение СЛедуЮ-
щей трехточечной краевой задачи:
а а B1)
Разделив неравенство B0) на ка и суммируя по о^, получим
(■*г* *)<((Н,. 0* О.,-^1).. —ь2-
Складывая эти неравенства, найдем
а=1 а / а=1
Из A7), A8) и B2) следует, что в качестве уг можно взять
величину
Ъ = Т„ ьл*IьЛх) 2^Й' <23>
Осталось вычислить ха. Для этого найдем решение задачи B1).
Пусть концы интервала Да, на котором расположены узлы
сетки (да(х$)> есть 1а (х$) и Ьа{х$). В силу построения решетки
на плоскости шаги Л± отличны от к лишь для приграничных
узлов (см. рис. 3).
47 * Ль
■ ^ I I I , Г 1 I
Рис. 3.
Поэтому на сетке соа (х$) разностная производная у~- и
правая часть уравнения B1) записываются в виде
^;а=-~г(^+1а-2о + у-1а)> 6а = 4"' 1« + н*<х«<1*«—й«»
305

Непосредственная проверка показывает, что сеточная функция
для ха^соа(хз) есть решение задачи B1). Так как
V* (X) <1^{Ха — 1а){1а — Ха) + 1 ,
то
ка= тах ^М<4(Ц^У + 1. B4)
Подставляя A8) и B4) в B3), найдем оценку для уг.
Грубую оценку для уг можно получить следующим образом.
Пусть рассматриваемая область С вписана в квадрат со
стороной /. Тогда Ьа — 1а^1 для любого а и, следовательно, ха<!
^ /2/D/г2) +1, а=1,2. Подставляя эту оценку в B3), получим
у1>4/г7(/2 + 4Л2), т.е. 7х^4/12//2. Так как ?а = 2 — ух, то !■ =
= у1/у2ж2к2/12. Следовательно, из оценки G) для числа
итераций получим
п (8) ~ _^и 1П1 ~ о,35 Л/ 1п- , B5)
где Л/ есть максимальное число узлов по каждому направлению.
Итак, для рассмотренного здесь неявного чебышевского
метода число итераций зависит только от основного шага сетки Н
и не зависит от неравномерных шагов Л± в приграничных узлах.
Сравнивая оценку B5) с полученной ранее оценкой A0),
находим, что число итераций для случая произвольной области О,
вписанной в квадрат со стороной /, такое же, как и для случая,
когда область О есть указанный квадрат.
Приведем расчетные формулы для чебышевского
итерационного метода решения разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона в произвольной области О:
Ук+1 (*//) = 0 — Ч+г)Ук (*!/) +
, т»*1 [1 /У1* , У1* , У+и , У~и\ , т]
^ Ьг(хи) + Ьл(хи) [к{ к+ "Г ЛГ ^ Л+ "*■ Л2" У^Ф];
х/у€со, ук{х)-=ё{х), х 6 у.
=**/
Заметим, что в главе X для рассматриваемой задачи будет
построен другой неявный чебышевский метод
(попеременно-треугольный итерационный метод), для которого число
арифметических действий, затрачиваемых на реализацию одного
итерационного шага, несколько больше, чем для рассмотренного здесь
метода, а число итераций значительно меньше, что и
обеспечивает эффективность указанного метода.
306

3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения
с переменными коэффициентами.
3.1. Явный чебышевский метод. Рассмотрим задачу
Дирихле для эллиптического уравнения второго_порядка с
переменными коэффициентами в прямоугольнике С = {0 ^ ха ^ /а>
а=1,2}:
^=Е^(*-м^-)-«ми--/м. ^°- B6)
и(х)=§(х), хёГ.
, '"а
На прямоугольной сетке
о"=Ку = AЛ1>/А,)€0> 0<*<#1§ 0</<#2,
к« = 1а/Ма, а=1,2}
дифференциальной задаче B6) соответствует разностная задача
2
Л# = Д (аа (*) Уха)х^—а (*) У = — Ф (*)■ х € со, B7)
Если коэффициенты йа(х), д(#) и/(х) являются достаточно
гладкими функциями, то коэффициенты аа(х), й(х) и у(х) разностной
схемы B7) можно, например, определить следующим образом:
аг (Ху) = кг № — 0,5) АХ1 /А2), а2 (х/у) = &2 {гН19 (/—0, 5) Л,),
^ (*,у) = ? (*,,), Ф (хи) = / (х/у).
Будем предполагать, что коэффициенты разностной схемы B7)
удовлетворяют условиям
0<^<йа(х)<с2, х€ы,
0<1й1^й(х)^аш9 х$в>, а=1,2. ( '
Эти условия обеспечивают существование и единственность
решения задачи B7).
Разностная схема B7) сводится к операторному уравнению A)
обычным образом: Ау =—Ау> где у^Ну °у^Ну а
Н—пространство сеточных функций, заданных на со, со скалярным
произведением
(и, *>)= 2 и(х)у(х)Н1Н29
Х€@
правая часть / уравнения A) отличается от правой части ф
схемы B7) лишь в приграничных узлах.
Для приближенного решения уравнения A) применим явный
чебышевский метод E) — G)(В = Е). В § 2 гл. V было показано,
что определенный здесь оператор А является самосопряженным
в Я. Поэтому априорная информация для чебышевского метода
307

имеет вид постоянных VI и Тг из неравенств ^Я < Л <72^>
7Г>0, если в качестве Б выбран один из операторов Е, А
или Л2. Найдем эти постоянные. Для этого введем оператор Л,
соответствующий разностному оператору Л, где ^у — у^х Л-у^х*
и определим следующие скалярные произведения для сеточных
функций, заданных на со:
(и, 0)Ша= 2 и (х)у (*) А«> ("» у)со+ = 2 и (х) V (х) Н<*>
(и, ^)а = ((", *>)©+, 1Ц, р-=3—а, а=1, 2.
Здесь
Введенные здесь скалярные произведения являются аналогом
скалярных произведений, определенных в п. 2.
Из определения операторов А и А и разностных формул
Грина (см. п. 2 § 2 гл. V) получим
(Ли, и)=: — (Ли, и) = — ((а^^, и)^ , 1)©, —((а2м5Л, а)©,, 1)^ +
2
+ (Ж/, и)= 2 (ааи| , 1) + (Л/, а), B9)
2
(Аи, и)=—(ки, и)= 2 (и| • О > ^€#, и€/?.
а= 1 \ а 'а
Учитывая неравенства B8), отсюда получим операторные
неравенства вида
сгА + й1Е^А^с2А + й2Е. C0)
В п. 1 § 5 было показано, что оператор А имеет границы
2 2
Тх= 2^-аг^2^, т2= 2^жсоз2Г"'
т. е. имеют место неравенства
Т^<Д<^. C1)
Из C0) и C1) найдем, что оператор А имеет границы уг = с1у1+A19
Итак, постоянные ух и у2 найдены. Используя их, вычислим
по формулам F) итерационные параметры тА, а по формулам G)
найдем оценку для числа итераций п.
Так как 1 = у1/у2 = 0(\к\2), то | = 71/72 = 0(|А|2) и для числа
итераций рассматриваемого метода имеет место следующая
асимптотическая оценка:
по^=°{-щыт)'
308

а константа в оценке зависит от экстремальных характеристик
коэффициентов а(Х(х) и й(х), т. е. от с^ и с1а, а= 1, 2.
В частном случае, когда область О есть квадрат со стороной
Ц11^12==1)9 сетка со квадратная (А1 = Л2 = Л = //Л^) и й=0,
получим
и, следовательно,
Сравнивая полученную здесь оценку для числа итераций явного
чебышевского метода решения разностного уравнения B7) с
переменными коэффициентами с оценкой A0), находим, что для
рассматриваемого примера число итераций в Ус2/сг раз больше
числа итераций для случая постоянных коэффициентов.
Приведем расчетные формулы для явного чебышевского
метода E) — G), используемого для решения разностного
уравнения B7). Эти формулы имеют вид:
Ук+Л1> 1) =
= <*к+Л1>1)УкA> /) + **+! {т^1>1(* + 1> /)&(*+!•/) +
+ М*. ПУЛ*— Ь /)] + -тг[я.(*. 1 + *)уА1> 1 + 1) +
+ аг{1, 1)ун(и /—1)] + ф(/, /)},
1^'^Л^— 1, 1</<Л/2—1,
где обозначено
= 1—ть+
ц + ц +*('• /)]»
а начальное приближение #0 есть произвольная на со сеточная
функция, принимающая на у заданные значения: у(х)={*(х)
для х$у.
3.2. Неявный чебышевский метод. Для
приближенного решения построенного в предыдущем пункте уравнения A),
соответствующего разностной схеме B7), рассмотрим теперь
простейший неявный чебышевский метод E) —G). В качестве
оператора В, как и в п. 2, снова возьмем диагональную часть
оператора А
Ву = Ьу,
М* + 1> 1) + а1A9 /I +-щ\а2{1, ]+\) + а2A, /I +
+ AA,1). C2)
309
ЬA> /) = тт
Ч

Так как операторы А и В самосопряжены в Я и
положительно определены, то априорная информация для неявного че-
бышевского метода E) — G) имеет вид постоянных
энергетической эквивалентности операторов у^^Л^^В, уг > 0, если
в качестве й выбран один из операторов Л, В или АВ~1А.
Найдем постоянные уг и у2. Точно так же, как и в п. 2,
доказывается, что имеет место равенство у1 + у2==^- Поэтому
в формулах F) для итерационных параметров %к имеем т0 =
= 2/(т1 + т») = 1. Ро = (Тя —Т1)/(Т1 + Т1) = 1—Тг
Оценим ух. Из леммы 14 § 2 гл. V следует, что для любой
сеточной функции у^Н имеет место неравенство
(Ьу, у)щ, < ха [ (аау^ 1) + ^ D> У )а>а] . а = 1, 2, C3)
где иа = иа(хр)= шах ьа{х), а ьа(х) есть решение следующей
трехточечной краевой задачи:
Vа(x)=-0^ ха = 0,1а> йэ<^</э—ЛЭ, р = 3—а, а=1,2.
Из неравенств C3) делением на ка и последующим
суммированием по сор получим
(^У'У)^(а°У1а> 1)+Т^'^' а=1,2.
Складывая эти неравенства и учитывая B9), получим
(Е ^ь^) < Е (а«М,' 1) + D, у)=Иу. у).
\а=1 / а=1
Следовательно, в качестве 71 можно взять
2
Ух^пппУ], — = гшп—т—г+ тт „ { \ • C5)
Итак, для нахождения ух нужно решить уравнения C4),
найти ха(л:р) и по формуле C5) вычислить уг. Постоянная у2
находится по формуле у2 = 2— уг
Получим оценку для числа итераций рассматриваемого
неявного чебышевского метода. Из теории разностных схем следует,
что разностная схема C4) устойчива по правой части в
равномерной метрике, т. е. существует такая постоянная М, не
зависящая от шагов сетки Нх и й2, что для решения уравнения C4)
имеет место оценка
тах Vа{x)^М(Ь\ 1)Ц2 .
*аесоа а
310

Так как Ь(х) = 0 (-^) , Н~т'тНа для х^со, то отсюда получим,
что
ка= шах Vа(x) = 0(-тТ)
и, следовательно, у1 = 0(Н2) и у2 = 0A). Поэтому 1 = у1/у2==
= 0(к2), а для числа итераций имеет место такая же
асимптотическая по Н оценка, как и для явного метода
"о(е) = о(±1п|).
В чем же преимущество неявного итерационного метода по
сравнению с рассмотренным выше явным чебышевским методом? Ответ
на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы приведем
без доказательства.
Теорема 7*}. Для итерационной схемы E)—G) с
оператором А, соответствующим разностной схеме B7), наилучшим
в классе диагональных операторов В (т. е. для которого
отношение I максимально) является оператор, определенный
формулами C2).
Из теоремы 7 следует, что если в качестве оператора В
выбрать диагональную часть оператора А, то отношение I = 71/72
постоянных энергетической эквивалентности 71 и у2 операторов А
и В будет максимальным и, следовательно, число итераций
п — минимальным.
Проиллюстрируем преимущество неявного метода на
следующем модельном примере. Пусть разностная схема B7) задана на
квадратной сетке в единичном квадрате Л1=ЛЯ=А= 1/Л^, /1=-/а=1.
Коэффициенты а^х), а2(х) и й(х) выберем следующим
образом:
ах(х) = \ + с[(*1-0,5)я + (ха-0,5)*],
а*(х)=1+с[095-(х1-0,5)*—(хЛ-095)*1
а(х) = о, о о.
При этом в неравенствах B8) имеем ^=1, с2=1+0,5с, ^=^=0.
Меняя параметр с> мы будем получать коэффициенты разностной
схемы B7) с различными экстремальными характеристиками.
Для явного метода было показано, что число итераций
зависит от отношения с21сг. Для неявного метода число итераций
зависит не от максимального и минимального значений
коэффициентов аа(х)9 а от некоторых интегральных характеристик этих
коэффициентов.
В табл. 7 приведено число итераций для явного и неявного
методов в зависимости от отношения с2/сг и от числа узлов N
*) Эта теорема есть частный случай более общей теоремы, доказанной
в работе: С. Рогзу1Ье, Е. О. 5 I г а и з, Оп Ьез! сопс!Шопес1 та1псез, Ргос.
Атег. Ма1Ь. 5ос. 6A955), 340—345.
311

по одному направлению. Расчеты проведены для е = 10~4. Для
случая, когда параметр с=0> т. е. аа(лг) = 1, и рассматривается
уравнение Пуассона, число итераций для явного и неявного
метода одинаково и приведено в п. 1.
Из таблицы следует, что для рассматриваемого примера число
итераций для неявного метода значительно меньше, чем для
явного метода. Зависимость числа итераций от отношения с2/сг
более слабая для неявного метода, чем для явного.
Таблица 7
с*
2
8
32
128
512
N = 32
неявный
123
149
175
192
202
явный
143
286
571
1141
2281
N = 64
неявный
246
305
365
409
436
явный
286
571
1142
2283
4565
N=128
неявный
494
616
749
856
926
явный
571
1142 ;
2283
4565
9130
В заключение приведем расчетные формулы для неявного
чебышевского метода:
0*+1(*\ /) = 0— *к + г)УкA> !) +
1<1<Л^1—1 1</<#2—1,
где ЬA, /) определено в C2), а начальное приближение у0 есть
произвольная на со сеточная функция, принимающая на границе
7 заданные значения: у0(х)=§(х)> х$У-
Из сравнения расчетных формул для явного и неявного чебы-
шевских методов следует, что число арифметических действий для
вычисления ук+1 по заданному ук для обоих методов практически
одинаково. Так как число итераций для неявного метода
значительно меньше, чем для явного, то следует отдать предпочтение
неявному методу.
4. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения со
смешанной производной. В прямоугольнике О = {0<л:а</а, а—1,2}
с границей Г требуется решить задачу Дирихле для
эллиптического уравнения со смешанными производными
2
си$=1 дх<* \ дх$ /
и(х)=§(х), х$Г.
312

Предполагается, что выполнены условия симметрии
к12(х) = ки(х), х$0, C6)
и эллиптичности
Сг 2 II < 2 ба^арЕр < ^ 2 II, Сг > 0, C7)
а=1 а,0=1 а=1
где 1=(|!, ?2) — произвольный вектор.
На прямоугольной сетке
ю = {*// = AЙ1, /й2)€С, 0<1<^, 0</<^2,
Ьа = 1а/Ма, а=1, 2}
дифференциальной задаче соответствует разностная задача
Дирихле
2
Л*/=0,5 2 [(Аа^^а + ^а^р)^]"—ф(^ *€*>, C8)
где у — граница сетки со.
В § 2 гл. V было показано, что разностная задача C8)
сводится^ операторному уравнению A) обычным образом: Ау=—Ау,
где у$Н, у$Н и у(х) = у(х) для х^оэ. Здесь Я—множество
сеточных функций, заданных на со и обращающихся в нуль на у,
а Я—пространство сеточных функций, заданных на со, со
скалярным произведением
(и, V)= ^и(х)ю(я) А^.
Там же было показано, что при выполнении условия C6)
построенный оператор А самосопряжен в Я и, если выполнены
условия C7), имеет границы 71 и у2, равные
2 2
Уг = ^Ъ тг31П 1Г' 72 = ^2 2-ТГС032—^, C9)
а=1 Ла а а - 1 #а *'а
т. е.
715<Л<72^- D0)
Для приближенного решения уравнения A),
соответствующего разностной схеме C8), рассмотрим явный чебышевский
метод E)—G) (В = Е). Так как операторы А и В самосопряжены
и положительно определены в Я, то априорная информация
• имеет вид постоянных ^ и у2 в неравенствах D0), и метод
сходится в Яд, где Г> = Л, В или ЛВ~М.
Из C9) получим
Уг-0(С1), Ъ = о(|§-), ^ = ^- = °(|-Л2). Ь? = Ы + к\.
313

Следовательно, для рассматриваемого примера
асимптотическая по к оценка числа итераций п0 (г) имеет вид
Ме) = 0(|/-^.11п4)
В частном случае, когда О есть квадрат со стороной / и сетка со
квадратная (/гх = /г2 = Д = //Л^), получим
8сх . 2 пН 8с2 «пк «. сг , о пН
п>п.(е)« /^^1п4 = 0,32/|:^1п4,
т. е. число итераций так же пропорционально числу узлов N
по одному направлению, как и в случае уравнения без
смешанных производных.
На этом мы закончим рассмотрение примеров применения
двухслойных итерационных методов к решению эллиптических
уравнений. Более сложные примеры будут рассмотрены в
главе XIV.

ГЛАВА VII
ТРЕХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В главе изучаются трехслойные итерационные методы решения
операторного уравнения Аи — [. Итерационные параметры выбираются с учетом
априорной информации об операторах схемы. В § 1 дается оценка скорости
сходимости для трехслойных схем стандартного типа. В §§ 2, 3 рассмотрены
полуитерационный метод Чебышева и стационарный трехслойный метод. § 4
посвящен исследованию устойчивости двухслойных и трехслойных методов
относительно возмущения априорных данных.
§ 1. Оценка скорости сходимости
1. Исходное семейство итерационных схем. В главе VI для
нахождения приближенного решения линейного операторного
уравнения
Аи = ! A)
с невырожденным оператором Л, действующим в вещественном
гильбертовом пространстве Я, были построены двухслойные
итерационные методы. В этих методах двухслойная схема
связывает два итерационных приближения ук+1 и ук.
В данной главе будут изучены трехслойные итерационные
схемы. Трехслойная итерационная схема для уравнения
A)связывает три итерационных приближения ук+1, ук и ук_19 так что
Ук+1 определяется через ук и ук_г. Для реализации трехслойной
схемы должны быть заданы два начальных приближения у0 и уг.
Обычно при произвольном у0 приближение #х находится по
двухслойной схеме.
Ограничимся изучением трехслойных схем стандартного типа.
Неявная стандартная трехслойная итерационная схема имеет
вид
Вук+1 = ак+ЛВ—тк+1А) ук + A —ак+1) Вук_г + ал+1тл+1/,
Ву1 = (В-х1А)у0+х1!9 /5=1, 2, ..., у0$Н, B>
где у0— произвольное начальное приближение, В—линейный
невырожденный оператор, действующий в Я, ак и
%к—итерационные параметры. Формулами B) определяется исходное семейство
трехслойных итерационных схем.
315

Нахождение нового приближения ук+1 можно трактовать
следующим образом. Пусть у—промежуточное итерационное
приближение, которое находится по неявной двухслойной схеме
ВЬ1± + Аук=1.
Тогда из B) следует, что ук+1 есть линейная комбинация
приближений у и ук-х
Ук+1 = Яь+гУ + (! —<*к+1) ук-±.
Таким образом, приближение ук+1 есть линейная экстраполяция
по приближениям у и ук_х.
Если положить в B) сск= 1, то трехслойная схема B)
перейдет в двухслойную схему, сходимость которой была изучена
в главе VI. Поэтому введение итерационных параметров ак
позволяет рассчитывать на то, что сходимость схемы B) будет не
хуже сходимости двухслойной схемы.
Отметим, что, в отличие от двухслойной итерационной схемы,
реализация трехслойной схемы требует запоминания не одного,
а двух итерационных приближений ук и ук-г.
2. Оценка нормы погрешности. Займемся теперь исследованием
сходимости трехслойной схемы B) в энергетическом
пространстве Н0, порождаемом самосопряженным и положительно
определенным в Я оператором Р. Для этого изучим поведение нормы
в Нв погрешности гк = ук — и при к-^оо.
Подставляя ук — гк + и для к = 0, 1, ... в B) и учитывая
уравнение A), найдем уравнение для погрешности гк\
Вгк+1 = сск+1(В — хк+1А)гк + A—ак+1)Вгк^ й=1, 2, ...,
Вгх = (В—т1А)г0, г0 = у0 — и.
Разрешим это уравнение относительно гк+1 и, полагая гк =
= 0-1/*хк, перейдем к уравнению для эквивалентной
погрешности хк. Уравнение для хк будет иметь следующий вид:
хк+1= ак + 1^к + 1Хк~^~ 0 ак + 1)Хк-1> Л = 1, 2, ..., '
Х\ :г::=О].л/0, &к'==11 ^к »
где С = 01'2В-1АО-1!*.
В силу сделанной замены гк = В'1!2хк справедливо равенство
II**I — \ги 1Ь» и» следовательно, сходимость схемы B) в Нв будет
иметь место, если ||*Л||--*0 при к—*оо.
Изучим поведение нормы хк в Н прий—*оо. Для этого
найдем явный вид решения уравнения (9). Используя формулы (9),
316

последовательно получим
X} = (х2 Т^С ) Х0 = г± (С ; Х0 9
х2 = <х2 E-т2С) хх + A —а2) х0 = [а2 (Е-х2С) Р1 (С) +
+ (\-а2)Е]х0=Р2(С)х0,
хк+1 = ак+1 (Е—т^+1С) Рк (С) х0 + A — ак+1) Рк_х (С) х0 =*
= Лт(С)*о
и т. д.
Следовательно, решение уравнения (9) для любого к имеет вид
хк = Рк(С)х0, /е = 0, 1, ..., D)
где Рк(С)—операторный полином степени к относительно
оператора С. В силу произвольности х0У соответствующий
алгебраический полином РкA) удовлетворяет следующим рекуррентным
соотношениям:
Л@ =1-^, Л @ = 1. Л=1, 2, ... E)
Из E) следует, что полином РкA) для любого к
удовлетворяет условию нормировки РЛ@) = 1.
Оценим теперь норму хк. Из D) получим
\ЫЧ\РЛС)х01<:\\Рк(С)\\\\х01 к = 0, 1, ...
или, в силу сделанной замены гк = 0~1/2хк>
Шо<\\Рк(С)\\\\гМ. F)
Итак, оценка нормы погрешности гк получена. Из F) следует,
что метод будет обладать наибольшей скоростью сходимости,
если норма полинома Рк(С) будет стремиться к нулю при к—*оо
наиболее быстро. Так как полином Рк(С) есть функция
итерационных параметров тх, т2, ..., %к и а2, а3, ..., ак, то эти
параметры должны быть выбраны из условия минимума нормы
операторного полинома Рк(С). Другими словами, нужно
построить полином степени к, нормированный условием Рк@) = Е9
который имеет минимальную норму.
В главе VI при изучении чебышевского двухслойного метода
эта задача была решена в предположении, что оператор йВ~1А
самосопряжен в Я и заданы постоянные энергетической
эквивалентности 71 и 72 самосопряженных операторов X) и ВВ~гА\
7хО <ОЯ-М < у20, 7з > 0, ВВ-^А = фВ~М)*. G)
При построении трехслойных итерационных методов будем
рассматривать только самосопряженный случай, т. е. будем
предполагать, что выполнены условия G).
Пусть выполнены условия G). Укажем оптимальный
оператор Рк(С) и получим априорную оценку для погрешности гк<
317

Так как С = 01/аВ-1ЛО-1^ = Ь-1/а (йВ-1АH-1?2, то из G)
следует, что оператор С самосопряжен в Я, а у1 и у2—его
границы:
угЕ < С < у2Е, Тх > О, С = С*. (8)
Тогда в силу (8) для нормы оператора Рк(С) справедлива
оценка
\\Рк(С)\\< тах \РкA)\.
Следовательно, оптимальный полином РкA) выделяется
следующим условием: максимум модуля этого полинома на отрезке
[?1» чА минимален. Из § 2 гл. VI следует, что при условии
нормировки РЛ@) = 1 искомый полином имеет вид
*.<0 = <ЬТ%(^). ^-Л-Т. (9)
где Тн(х) — полином Чебышева 1-го рода степени к:
соз(йагссозл:), |х|^1,
сЬ(^АгсЬлг), \х\^>1,
Т >(*) = {
2_ п-к=1 п - 2Р* п - 1~УЪ г_У1
При этом имеет место оценка
|РЙ(С)|< тах |РЙ@1 = <7*. Л = 0, 1, ...
Подставляя эту оценку в F), получим
Таким образом, скорость сходимости трехслойного
итерационного метода B), параметры тк и ак которого выбираются из
условия минимума нормы разрешающего оператора, равна
скорости сходимости чебышевского двухслойного итерационного
метода.
Формулы (9) дают решение задачи о построении наиболее
быстро сходящегося трехслойного итерационного метода. В § 2
будут получены формулы для итерационных параметров %к и ак
этого метода, который называется полуитерационным методом
Чебышева.
§ 2. Полуитерационный метод Чебышева
1. Формулы для итерационных параметров. Найдем теперь
формулы для итерационных параметров ак и хк полуитера-
ционного метода Чебышева. В § 1, используя трехслойную
318

A)
B)
итерационную схему метода
Ву1^--(В — х1А)у0 + т1[9 А=1,2, ..., у0$Н,
мы получили уравнение для эквивалентной погрешности
хк + г ~ак+1 \Е т*+1О*Л+0 ак+1)хк-1> #=1, 2, ..
Хл — ^.С Т ]С> ) >^о*
Было показано, что для любого к решение этого уравнения
имеет вид
хк = Рк{С)хй9 й = 0, 1, ..., C)
а оптимальный полином Рк(С) определяется формулами
Я.@-,Л(^). ,»=-^ = ^. D)
Для того чтобы получить формулы для итерационных
параметров ак и тк> найдем рекуррентные соотношения, которым
удовлетворяет полином Рй@-
Известно, что для любого х полиномы Чебышева первого
рода Тк(х) удовлетворяют следующим рекуррентным
соотношениям (см. § 4 гл. I):
Тк+1(х) = 2хТ1((х)-Тк.1(х), й=1, 2, ....
7\ (*) = *, Т0(х)^1. {Ь>
Используя D) и E), получим
Рк+АП^2A^ЩР±(й_Рк-г^) к=1 2 шш F)
Як+1 \ Ро ) Як Як-г ■ » • V /
Л@/?1 = A-^)/Рв, Л@/?о=1. G)
Из определения D) и соотношений E) следует
• 1/Чк+1 = 2ЦроЯя) — 1/Як-1> <71 = Ро. ?о = 1. (8)
Отсюда найдем
Яыч/Як-г^Яь+гКРоЯк) — !* /5=1,2, ... (9)
Подставляя (8), (9) в F) и G), получим рекуррентные формулы
для полиномов Рк{1)\
Отсюда и из C) следуют рекуррентные соотношения для хк
Х1 — \П Т0С) -^о*
319

Сравнивая эти формулы с B), получим
а*+1 = 2^+1/(р0?*), ^ = т0=2/G1 + у,), *=1, 2, ... A0)
Итак, формулы для итерационных параметров хк и ак
получены. Преобразуем формулу для параметров ак. Для этого
вычислим, используя (8), выражение
^к+1—1= 4 Л 1_\ = 4 Л ро дк \
<х>к<х>к+1 ак V а/г+1/ а* V 2 <7*+1/
А Г 1 __^_Ро_ ^_2 Як_
аа ^ V Ро <7л
т)
2ро <?& = 2
а/г <7*-1 Ро'
Отсюда получим аЛ+1 = 4/D—р§аЛ), й=1, 2, ... Полагая в A0)
й = 0 и учитывая (8), найдем, что ах=:2.
Итак, доказана
Теорема 1. Пусть выполнены условия
угй < ИВ-1 А < у20, VI > 0. ОВ-М = фВ~М)*.
Полуитерационный метод Чебышева B) с итерационными
параметрами
хк^2/(уг + у2), а,+1 = 4/D-р20од, *=1, 2, ..., а1 = 2, A1)
сходится в Нг>1 и для погрешности гк справедлива оценка
Для </исла итераций п имеет место оценка п^п0(е)> где
п (Л 1п °>5е о -!=! о - *-^" а - 2р" Е-Й
По1^- 1пр1 , Ро —1+Е. Р1— 1+|^|- ' *_ 1 + ЙЛ • ?!'
Замечание. Сравнение полуитерационного метода
Чебышева с чебышевским двухслойным методом показывает, что для
этих методов имеет место одна и та же оценка Цгп\\1)^дп\\г01П9
если выполнено п итераций. Однако для двухслойного метода
эта оценка верна лишь после выполнения всех итераций, в то
время как для трехслойного метода такого вида оценка имеет
место для любых промежуточных итераций. В отличие от
двухслойного метода в трехслойном методе нормы погрешностей на
промежуточных итерациях монотонно убывают, и это
обеспечивает вычислительную устойчивость трехслойного метода.
2. Примеры выбора оператора О. Приведем теперь примеры
выбора оператора О и требования, налагаемые на операторы А
и В, для которых условия теоремы 1 будут выполнены.
В п. 3 § 2 гл. VI были рассмотрены некоторые случаи выбора
оператора Ъ в зависимости от свойств операторов А и В.
Приведем эти результаты.
1) Если операторы А и В самосопряжены и положительно
определены в Я, то в качестве О можно выбрать один из сле-
320

дующих операторов: Л, В или АВ~1А. При этом априорная
информация может быть задана в виде
?1В<Л<у2В, ?1 >0. A2)
2) Если операторы А я В самосопряжены положительно
определены и перестановочны А = Л* > О, В = В* > О, ЛВ = ВЛ,
то в качестве В можно взять оператор А*А. В этом случае
априорная информация имеет вид неравенств A2).
3) Если Л и В—-невырожденные операторы, удовлетворяющие
условию В* А — А*ВГ то в качестве /} можно также взять
оператор А*А. В этом случае априорная информация задается в виде
неравенств
ух(Вх, Вх)<(Лдг, Вх)^у,(Вху Вх), уг > 0.
При выполнении этих предположений для трехслойного
полуитерационного метода Чебышева верна теорема 1.
3. Алгоритм метода. Рассмотрим вопрос о реализации
трехслойной схемы A). Алгоритм метода может быть описан
следующим образом:
1) по значению параметра а*к и заданным приближениям ук„±
и ук находим ак+1 и гк+1 по формулам A1) и вычисляем
Ф = Я (ак+1ук + A —ак+1)ук_1)—ак+1гк+1 (Аук—{).
Вычисленное ф может быть размещено на месте ук-19 которое
для дальнейших итераций уже не нужно;
2) для "нахождения нового приближения ук+1 решаем
уравнение Вук+1 = у. Приближение ул находится из уравнения Вул = ф,
где ц = Ву0—ъг(Ау0—/). Такой алгоритм решения может быть
рекомендован в случае, когда требуется экономить память ЭВМ.
Если на вычисление значения оператора В требуется большое
количество арифметических действий, а ограничений на память
нет, то целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом:
1)-По заданному ук вычисляется невязка гк = Аук—/;
2) решается уравнение для поправки хюк. Вшк = гк;
3) по заданному ак вычисляется ак+1 по формуле A1) и новое
приближение находится по формуле
где тй+1 определяется по формуле A1).
Описанный алгоритм не содержит вычисления значения
оператора В, но требует дополнительную память для хранения гн
и щ.
§ 3. Стационарный трехслойный метод
1. Выбор итерационных параметров. Вернемся теперь к
формулам для итерационных параметров ак и тк полуитерационного
метода Чебышева. В § 1 были получены следующие выражения
11 А. А. Самарский, Е. С. Николаев
321

для ак+1 и тй+1:
<**+! = 2<7й+1/(р„<7А)> гк = х0 = 2/(у1 + у2), 6 = 1, 2 A)
где
ч*-7+&' Р1-1+/Г' р0_Щ' |_^' {)
Значение итерационного параметра хк не зависит от номера
итерации ку в то время как параметр ак изменяется, начиная
с 0^—2. Найдем предельное значение для ак, когда к стремится
к бесконечности. Из A), B) получим
«*+1 = 2Р1A+Р?*)/(РоA+р!*+2)).
Так как рх < 1 и р0 = ^х = 2рх/( 1 + р!), то а = Нтад = 1 +р\, и
к-+ со
при достаточно больших к имеем а*&а. Поэтому естественно
изучить стационарный итерационный трехслойный метод
Вук+1 = сс(В—хА)ук + A—а)Вук-1 + ах{, 6=1,2, ...,
Вуг = (В-хА)у0+х{, у^Н ()
с постоянными (стационарными) параметрами
а=1+р!, т = т0 = -?-, р1 = ^Л, 1 = У19 {4)
71+ Та 1+У1 72
где 71 и 7г — постоянные энергетической эквивалентности
самосопряженных операторов Э и ИВ А:
7хО < ОВ-М < у%Б, 71>0, С5-М = фЯ-М)*. E)
2. Оценка скорости сходимости. Для получения оценки
скорости сходимости стационарного трехслойного метода перейдем
от C) к схеме для эквивалентной погрешности хк^=01^гк:
хк+1 = а(Е—хС)хк + A—а)хк_1, 6=1, 2, ...,
хг = {Е—хС) х0, С = О^в-МО-1/..
Отсюда следует, что хк для любого 6^*0 выражается через х0
следующим образом:
хк = Рк(С)х0, F)
где соответствующий Рк(С) алгебраический полином Рк@
определяется рекуррентными соотношениями
Р*+г(*) = *A-*)Рш(*) + A-*)Рь-г(*)> 6=1,2,...,
Л @ = 1-^ Л @ = 1. 1 ]
Из F) следует оценка для нормы погрешности гк в Нв:
1!^^==11^11<11^(СI11^о1==1^(С)||«г0|Ь. (8)
322

Поэтому необходимо оценить норму операторного полинома Рк (С)
для случая, когда параметры а и т выбраны по формулам D).
Из условий E) следует, что С—самосопряженный в Н оператор,
а 71 и 7г—его границы, следовательно,
«Р,(С)||< шах \Рк{1)\.
Оценим максимум модуля полинома Рк(() на отрезке [у19 у2].
Для этого выразим полином Рк{1) через полиномы Чебышева.
Нам будет удобнее рассматривать РкA) не на отрезке [у19 у2],
а на стандартном отрезке [—1, 1]. Полагая
'""" то ' Т*-уг + у%9 Рв-1 + Е' Ь"*'
отобразим отрезок [у1У у2] на [—1, 1]. Тогда
ЛЛО = <?*(*), *€Г-1,1],
тах \Рк(()\= тах |Ф*(л:)|.
Учитывая выбор параметров а и т согласно D), из G) получим
следующие рекуррентные соотношения для полиномов Як{х):
<?, (х) - р0л:, <30 (х) = 1.
Отсюда при помощи замены
(?* = Р?/?Л(*) (9)
легко получим стандартное рекуррентное соотношение
Кк+1{х) = 2хКк{х)-Як-г(х)> *=1э 2
Л1(х) = р0х/р1, /?0(х)в1. ии)
Этому соотношению удовлетворяют полином Чебышева первого
рода ТЛ(х) с начальными условиями Тк{х)==х> Т0(л:)е==1 и
полином Чебышева второго рода Ик(х):
(81П(F + 1)аГСС08*) . |<[
31П (агееоз л:) ' ' ' ^ *
зЬ(F+1)АгсМ . ,
зЬ(АгсЬл:) * |*|^Ь
с начальными условиями 1!1(х) = 2х, Ц0(х) = \. Используя
указанные свойства полиномов Тк(х) и Vк(х) и равенство р0 = ^1==
=2р1/A+рх), из A0) найдем выражение для полинома Як(х)
через полиномы Чебышева
11* 323

Далее, используя известные оценки
тах\Тк(х)\ = Тк(\) = 1,
тах]ин(х)\ = 1!кA) = к+19
получим
тах \Як(х)\ = ЯкA)=1+кA-Р1)/A+р1).
Отсюда, учитывая сделанные выше замены, найдем следующую
оценку для нормы операторного полинома Рк(С):
||^(С)||<р?A+/еA-ра1)/A+р?)). ' A1)
Подставляя A1) в (8), получим оценку для нормы погрешности
гк в Нв\
Л**1Ь<й1*о!о. ^ = Р1 (! + ^ (! —Р?)/A + Р?)),
причем цк—^0 при к—юо и дк+1 < цк. Итак, доказана
Теорема 2. Стационарный трехслойный итерационный
метод C) — E) сходится в Нв, и для погрешности гк справедлива
оценка
Ыо^ьЫо* 9* = Р?A+ЛA-р!)/A+Й))-
Замечание. Можно показать, что Нт цк1цк= Нт ?^/ро = 0,
к -*- со к -* оо
где ?* определено в теореме 1. Поэтому стационарный
трехслойный метод сходится быстрее метода простой итерации, но
медленнее чебышевского двухслойного метода и полуитерационного
метода Чебышева.
§ 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов
по априорным данным
1. Постановка задачи. Для приближенного решения
операторного уравнения Ла = / в главе VI были изучены
двухслойные методы простой итерации и чебышевский метод, а в §§ 2, 3
гл. VII построены полуитерационный метод Чебышева и
трехслойный стационарный метод.
Напомним, что для вычисления итерационных параметров
в этих методах используется определенная априорная
информация об операторах итерационной схемы. В случае
самосопряженного оператора ОВ~гА эта информация имеет вид
постоянных энергетической эквивалентности уг и у2 операторов В и
ИВ-1А:
у^йх, х)<фЯ-М*, *)<Т.(Л*. х), VI >0. A)
В ряде случаев постоянные уг и у2 могут быть найдены точно,
т.е. существуют такие элементы х$Н, для которых в A) до-
324

стигается равенство. В других случаях для нахождения VI и у2
используются вспомогательные процессы и эти постоянные
находятся приближенно.
Использование неточной априорной информации приводит
к уменьшению скорости сходимости, а в некоторых случаях и
к расходимости метода. Целью настоящего параграфа является
изучение влияния неточного задания априорной информации на
скорость сходимости перечисленных выше итерационных методов.
Ограничимся рассмотрением самосопряженного случая, т. е.
предположим, что оператор йВ'1А самосопряжен в Я. Пусть
вместо точных значений 71 и у2 в неравенствах A) заданы
некоторые приближенные значения уг и у2. Рассмотрим двухслойные
и трехслойные методы, итерационные параметры для которых
будем выбирать по заданным уг и у2. Напомним формулы для
итерационных параметров.
Для двухслойной схемы
ВУь+1-Ук + Аук = {, к = 0, 1, ..., B)
параметры метода простой итерации определяются по формуле
т, = т0 = 2/G]+72), й=1, 2, ..., C)
а параметры чебышевского метода строятся по формуле
^^о/О+РоН*)» И*л€Ж*, й=1, 2, ..., п9
Ро*A-1)/A+1), I = ?!/?*.
Для трехслойной итерационной схемы
Вук+1 = ак+1 (В—гк+1А) ук + {\ — ак+1) Вугк^ +ак+1тк+1?,
*=1, 2, ..., E)
Ву1 = (В-х1А)у0 + г1!
параметры полуитерационного метода Чебышева определяются
по формулам
** = ^о. а*+1 = 4/D — РЮ> &=1, 2, ..., а1==2, F)
а параметры стационарного трехслойного метода задаются
формулами
т, = т0, а*=1+р?, *=1, 2, ..., р^О-Кр/О+Кр^Т)
Из общей теории итерационных методов, изложенной выше,
следует, что для погрешности гк = ук—и рассматриваемых
методов справедливы оценки:
1) для метода простой итерации
Н.1Ь<( тах Ц-^ГИгойз; (8)
ЗЯ5

2) для чебышевского двухслойного метода и
полуитерационного метода Чебышева
к|о<<7й тах
1— т0<
Ро
|20|1о.
(9)
где 7„=2р?/A+рП;
3) для стационарного трехслойного метода
|2„11о<Рх тах
2~р!
71<*<7*1 1+Р*
1—т0г
Ро
1-й
1 + Й
— О. *-' г
1—т0/
Ро
1^о1о.(Ю)
Здесь Тп{х) и (/„(л:)—полиномы Чебышева первого и второго
рода, 71 и у2—точные значения постоянных из A).
Приведенные оценки определяют скорость сходимости
рассматриваемых методов в случае, когда итерационные параметры
вычисляются по неточной априорной информации.
2. Оценки скорости сходимости методов. Оценим теперь
максимумы модулей полиномов, входящих в оценки (8) — A0). Для
этого сделаем в (8) — A0) замену, полагая х = (\—т0/)/р0, и
обозначим а = A— т0у2)/р0> 6 = A— г0у1)/р0. Тогда оценки (8) —A0)
будут иметь вид
|гяЬ><й( шах ,МУ1*о1о>
\а < х < Ь I
\гЛо<Лп тах IТ„(хI1|г0Цд,
(И)
||г„|Ь<Р" тах
1+Р1 1+Р1
с*ш-
Рассмотрим сначала случай, когда ух и Тг являются
приближениями для уг и у2 соответственно снизу и сверху, т. ё.
Т1<71<72<72.
A2)
В этом случае, как легко проверить, будут выполняться
неравенства — 1^а<Ь^1. Из (И) получим, что скорость
сходимости метода простой итерации будет определяться величиной
р^, чебышевского двухслойного метода и полуитерационного
метода Чебышева — величиной цп, а стационарного трехслойного
метода —величиной р?A + п(\ — р|)/( 1 +р?)). Итерационные
методы будут сходиться, но скорость сходимости уменьшится.
Рассмотрим пример, для которого выполняются условия A2). Пусть
Т1 = ?1A — <*)> 72 = 72» 0<а<1.
326

В этом случае а = — 1, Ъ < 1. Поэтому для погрешности рассматриваемых
методов из A1) получим следующие оценки:
!ЫЬ<Р?||г0||о,
1|2„[Ь<^„||20|Ь,
II*пЬ<9\ A +п A —р!)/A + р!)) || *о 1Ь-
Из соответствующих формул для числа итераций получим, что для метода
простой итерации в случае неточного задания у1 число итераций
увеличивается примерно в 1/A—а) раз по сравнению с точным заданием 71» в то
время как для чебышевского двухслойного метода и полуитерационного
метода Чебышева число итераций увеличивается лишь в 1/}^1—а раз.
Пусть теперь условия A2) не выполнены. В этом случае тах (| а |, | Ь |) > 1.
Введем следующие обозначения:
-^-=тах(|а|, \Ъ\),
Ро
* _ 2Р1Д Ро
^ 1+рГ"' " 1+КГГр0-
[ения, а
о рода
*/„(*) = G1+1 (*)-01/2/G1(*)-1I/2, |*|>1,
Используя эти обозначения, а также соотношение между полиномами
Чебышева первого и второго рода
тах |*| = —, тах | Тп (х) \ = Тп (-^ )=_<-_,
а < * < 6 ро а < * < & \Ро/ Яп р1
тах \Цп (Х)\ = ЦП(—) = ^Г^ щ<-^г •
*<*<* \ро / Р1 A—Р1 ) Р1
Подставляя эти оценки в A1), найдем
11^Ь<^У||г0|Ь, A3)
КЬ<-%||*о1Ь, (Н)
Яп
II 2„Ь< (Р1/Р?)я A +п A—р!)/A +р20) ||20 Ь. A5)
Заметим, что если Я—-конечномерное пространство, то можно указать
такое ^'начальное приближение у0, для которого в оценках A3), A4) будут
достигаться равенства.
Найдем теперь условие, при выполнении которого можно гарантировать
сходимость рассматриваемых итерационных методов, построенных по неточной
априорной информации. Так как отношение Яп/Яп стремится к нулю при
п -► оо лишь при условии р1 > рх, а это условие эквивалентно требованию
ро > Ро> то из A3) — A5) следует, что итерационные методы будут сходиться,
если выполняется неравенство
Ро < Ро- (Щ
Используя определения ро, а и Ь, получим, что A6) будет иметь место, если
1 1—-ГоТх! < 1, I 1 — ТоТа | < 1.
327

Решая эти неравенства^ найдем
У1-тЪ>У2- A7)
Итак, если выполнено условие A7), то итерационные методы,
построенные по неточной априорной информации, будут сходиться. Из сказанного
выше следует, что в случае конечномерного пространства Н условие A7)
является и необходимым для сходимости методов.
Оценим теперь реальное число итераций, достаточных для
достижения заданной точности е. Будем, как и раньше, через п
обозначать число итераций для случая точного задания
априорной информации, через м обозначим теоретическое число
итераций, вычисленное по формулам соответствующих теорем по
неточной априорной информации, а через п* обозначим реальное
число итераций, которое достаточно для достижения точности е.
Из формул A3) — A5) следует, что реальное число итераций п*
должно определяться из условий:
1) для метода простой итерации из условия р?^ероп;
2) для чебышевского двухслойного метода и
полуитерационного метода Чебышева из условия <7»^ЭДп-
Легко убедиться в том, что имеют место неравенства п*^п,
п* ^ /г, причем число итераций п может быть больше или меньше п.
Так как единственной количественной характеристикой
итерационного метода, которая может быть заранее вычислена,
является теоретическое число итераций п, то с точки зрения
реализации методов Еажно оценить, во сколько раз реальное число
итераций п* будет больше п. Для теоретического сравнения
качества итерационных методов нужно оценить отношение п*/п.
Получим требуемые оценки для одного примера. Пусть 71 и 72 —
приближения для 71 и у2 соответственно сверху и снизу
71 = 0+а) 71, Уя = A—а) 72» а^О. A8)
Из условия A7) и естественного требования 71^ Та получим, что методы
будут сходиться, если выполнено условие
а<т!п(Е/A-Б). A-Б)/A + Й). Е-?!/?«■
Для рассматриваемого примера будут иметь место неравенства п*^п^п.
Действительно, из A8) получим
72 1—а
Пу следовательно,
Ро<Ро=A—Б)/A + Б). Р1<Р1=0-"К1)/A+/1). Ь<дл.
Отсюда следует, что п^п. Оценим теперь величины, входящие в
неравенства A3) —A4). Так как
т=2/G1 + 7»)=т0/A— ар0) < т0, т0 = 2/G1 + 72)»
328

то
, 1/р; = тах(|а|, | Ь |) = | а |= (т<>72 — 1)/Ро-
Опуская несложные выкладки, получим
Р°~ 1 + 1_1—«ро1
-Ео хоУ«—1 —1 р^ A—р0)=1 г^— A —Ре).
р0 1_га I—ар0
1 + К1 1—ар0 + КA—ее2) A + р1) '
Л-=1 /*/— о-Ь)-
рГ A+а) /5+/1-а2
A+а)/Е+/1-ая--^-)/"-|-[1"A+а)Е]
0-Р1).
1-а4-A+а)Е + 2 1/"A-а»)Е
Рассмотрим сначала метод простой итерации. Из теоремы 2 § 3 гл. VI и из
A3) получим для числа итераций я*, п и п метода простой итерации
следующие оценки:
= 1пб 1пA/е) ~_ 1пб 1п A/е)
~~ 1пр0 ~ 1—р0 ' ~~ 1пр0 ~ 1—р0 '
П*=: 1П8 = 1ПA/8) .
1п(р0/ро) 1—Ро/Ро*
Подставляя сюда полученные выше выражения, найдем
п* ^ 1 + а /г* ^ 1—ар0
п ~ 1—1A_|) ' п ~ 1_|A_|)'
Если а^с§, где с < 1, то отсюда получим
л*«л/A— с), п*&п/A—с).
Итак, если а«с!-, то реальное число итераций п* для
метода простой итерации в 1/A— с) раз больше теоретического числа
итераций п, которое вычисляется по неточной априорной
информации.
Рассмотрим теперь чебышевский метод и полуитерационный
метод Чебышева. Из определения цп и ц*п получим
дп ... рГ . 1+й!1 < ^(рх/рУ
Цп Р1 1+Р1 1 + (р1/р1)
Поэтому для числа итераций п* найдем следующую оценку:
«_ 1п@,5е) _ 1п B/е)
1п(Р1/Р1) 1 — рх/рг
329

Далее, из теоремы 1 § 2 гл. VI и теоремы 1 § 2 гл. VII получим
оценки для п и и:
п 1п @,5е) _ 1п B/е) Г_1п@,58) _ 1п B/е)
1пр! 1—Рх 1пр1 1—р!
Подставляя сюда полученные выше выражения для отношения-
рх/р1 и предполагая, что а&с%, найдем
п*/п&1/A — Ус)9 л*//1«1/A — 1/с).
Таким образом, если а«с^, где с<1, то реальное число
итераций п* для чебышевского метода и полуитерационного
метода Чебышева примерно в 1/A —Ус) раз больше
теоретического числа итераций п, вычисленного по неточной априорной
информации.

ГЛАВА VIII
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ТИПА
В главе рассматриваются двухслойные и трехслойные итерационные
методы вариационного типа. Для реализации этих методов не требуется
никакой априорной информации об операторах итерационной схемы. В §§ 1, 2
изучаются двухслойные градиентные методы, в §§ 3, 4—трехслойные методы
сопряженных направлений. Ускорению сходимости двухслойных методов
в самосопряженном случае посвящен § 5.
§ 1. Двухслойные градиентные методы
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров.
Для нахождения приближенного решения линейного
операторного уравнения
Аи = 1 A)
с невырожденным оператором Л, заданным в вещественном
гильбертовом пространстве Я, рассмотрим неявную двухслойную
итерационную схему
вУЛ±^М+Ауи = !9 й = 0, 1, ..., B)
с произвольным начальным приближением у0^Н и
невырожденным оператором В.
Итерационная схема B) изучалась нами ранее в главе VI,
где были построены наборы итерационных параметров {т^} и
даны оценки скорости сходимости соответствующих
итерационных методов (чебышевского метода и метода простой итерации);
Любой двухслойный итерационный метод, построенный на
основе схемы B), характеризуется операторами Л и В,
энергетическим пространством Нп, в котором доказывается сходимость
метода, и набором итерационных параметров тк. Основным
вопросом теории итерационных методов является вопрос об
оптимальном выборе параметров тк.
В главе VI были построены итерационные методы,
параметры хк в которых выбирались из условия минимума в Нв
либо нормы оператора перехода от итерации к итерации, либо
нормы разрешающего оператора. Отличительной чертой
построенных на таком принципе итерационных методов является
331

использование для вычисления параметров хк определенной
априорной информации об операторах итерационной схемы.
Вид требуемой априорной информации определяется
свойствами операторов Л, В и О. Так, в случае, когда оператор
ОВ"гА самосопряжен в пространстве Я, эта информация
означает задание постоянных энергетической эквивалентности
операторов Э и ОВ~1Ау т.е. постоянных уг и у2 из неравенств
угй < йВ-^А < у20, VI > 0, C)
или границ оператора БВ~1А в Нп.
В несамосопряженном случае используются либо два числа
уг и у2 из неравенств
7гО<1M-1Л, (ОЯ-Мх, В-1Ах)^у2(ОВ-1Ах, х), Ух>0, D)
либо три числа—у19 у2 и у3, где ух и у2—постоянные из
неравенств C), а у3 — постоянная либо из неравенства
|0|б(ОВ-М-А*(В*)-^)х|^_1<т1A)х| х), (б;
либо из неравенства
ИО.бфЯ-М — Л*E*)-10)х,,|^-1<7з фЯ-Мх, х). F)
В ряде случаев нахождение постоянных у1? у2 и у3 с
достаточной точностью может оказаться сложной самостоятельной
задачей, требующей для своего решения использования
специальных вычислительных методов. Если априорная информация
может быть получена ценою небольших вычислительных затрат
или если требуется решить серию задач A) с различными правыми
частями, то целесообразно найти однажды необходимую
априорную информацию и затем воспользоваться итерационными
методами, построенными в главе VI. Такой путь можно
рекомендовать, если дополнительное время, затрачиваемое на получение
априорной информации, существенно меньше времени решения
всей серии задач A).
В тех случаях, когда требуется решить лишь одну задачу A),
или когда задано хорошее начальное приближение, а
вычисление постоянных Ух, у2 и Уз является трудоемким процессом,
следует воспользоваться итерационными методами вариационного
типа, к рассмотрению которых мы переходим.
В двухслойных итерационных методах вариационного типа
для вычисления параметров хк не требуется никакой априорной
информации сб операторах схемы B) (кроме условий общего
вида Л = Л*>0, фВ"Л)* = ОЯ~1Л и т. д.), и построение этих
методов основано на следующем принципе. Если задано
приближение ук, а ук+1 находится по схеме B), то итерационный
параметр хк+1 выбирается из условия минимума в Нв нормы
погрешности гк+1 = ук+г—и, где и—решение уравнения A).
332

Название методов связано с тем, что последовательность ук,
построенная по формуле B), в которой параметры хк выбираются
из указанного выше условия, является минимизирующей
последовательностью для квадратичного функционала
Цу) = @(у—и), у—и).
Этот функционал в силу положительной определенности
оператора Ь ограничен снизу и достигает минимума, равного нулю,
на решении уравнения A), т. е. при у= и. Выбор параметра тк+1 из
указанного условия обеспечивает локальную минимизацию
функционала / (у) при переходе от ук к ук+1> т. е. за один
итерационный шаг. В случае явной схемы (В = Е) переход от ук к ук+^
осуществляется по формуле
Ук + 1 — У к гк + 1Гк> Гк ~ Щк /.
Отметим, что для самосопряженного положительно
определенного оператора А переход от ук к ук+1 происходит по
направлению —гЛ, которое совпадает с направлением
антиградиента для функционала (А (у—и), у—и) в точке ук. Известно,
что по направлению антиградиента происходит наибольшее
убывание значения функционала. Поэтому такие методы
называют иногда методами градиентного спуска или просто
градиентными методами. Мы сохраним это название и для неявных
двухслойных методов вариационного типа.
Нашей ближайшей задачей является нахождение параметра
ть+1 из условия минимума в Н0 нормы погрешности гк+1 =
= $/*+1 — и-
2. Формула для итерационных параметров. Найдем теперь
формулу для вычисления итерационного параметра тЛ+1,
предполагая, что оператор А не вырожден. Выпишем сначала
уравнение для погрешности гк = ук—и, к = 0, 1, ... Подставляя
ук = гк + и в схему B), получим
гк+1 = (Е—гк+1В~гА)гк> й==0> 1> •••> г0=у0 — и.
Замена гк = й-1^хк позволяет перейти к уравнению,
содержащему только один оператор
хк + 1 — ^к + 1Хк> Зк^Е ТкС,
С = 0-1/*(ОВ-1АH-1'*. [ }
Используя равенство ||2*|Ь=Н1ха11» поставленную выше задачу
о выборе параметра гк+1 можно сформулировать следующим
образом: выбрать параметр тк+1 из условия минимума нормы
хк+1 в пространстве Я.
Решим эту задачу. Вычислим норму хк+1:
\\Хк+1Т = ((Е—гк+Лхк> (Е—гк+1С)хк) =
= Ыа-2тЛ+1(С*Л, хк)+х%+1(СхкУ Схк)= (8)
- (Сх Сх \ Гт (Схку Хк) 12 4- Ч х II2 (С*Ь ХкJ
"" [СХ*' С**' [Х*+1 (Схк, Схк)\ +^*11 (Сх* Схк) •
333

Так как оператор А не вырожден, то не вырожден и оператор С.
Поэтому для любого хк имеем (Схк, Схк) > 0, и минимум нормы
хк+1 достигается при
_ (Схк, хк) т.
Тк+г-~(Схк,Схк)- ^>
Подставляя (9) в (8), получим
К + 11 = Р* + 1|*Л. (Ю)
где
п2 1 (СХк* Хк) /11\
Р^1 {Схк, Схк) (хк, хк)' <П'
Итак, формула (9) определяет оптимальное значение
итерационного параметра тЛ+1. Подставляя в (9) хк^В1^гкУ получим
_ (РВ-Мга, гк) , п ,
ТЬ+1~(ОВ-1Агк, В-1Агк)> /г"~^, *' '"
Учитывая, что Агк = Аук—Аи = Аук — ( = гк—невязка, а В-1/у=
=ы)к—поправка, формулу для параметра тк+1 можно записать
в следующем виде:
а итерационную схему B) —в виде явной формулы для
вычисления ук+1:
Уь+1 = Ук—хк+1*>к> Ь = °> 1. ••• A3)
Алгоритм, реализующий построенный метод, можно описать
следующим образом:
1) по заданному ук вычисляется невязка гк — Аук—/,
2) решается уравнение для поправки Вхюк = гкУ
3) по формуле A2) вычисляется параметр тЛ+1,
4) по формуле A3) находится новое приближение ук+1.
Формулы A2) еще не пригодны для вычислений, так как
наряду с известными в процессе итераций величинами гк и хюк
содержат неизвестную погрешность гк. В § 2, выбирая
конкретный оператор I), мы получим формулы для параметров т6,
которые будут содержать только известные величины. А сейчас
мы переходим к получению оценки скорости сходимости
построенного итерационного метода.
3. Оценка скорости сходимости. Оценим теперь скорость
сходимости двухслойных градиентных методов. Так как
итерационный параметр тк+1 выбирается из условия минимума в Нв нормы
погрешности гк+1, которое эквивалентно условию минимума в Н
нормы хк+1, то из G) получим
1!**+1|Н тт||5Л+1хй|<тт||5Л+1||||^|Н
= 1Шп||5-тСЦ1хй|| = рЦхД р = ппп||Я-тС1.
334

Сравнивая эту оценку с равенством A0), находим
рА<р<1, *=1, 2, ... A4)
Из A0), A4) следует оценка Цл^-иКрЦяД а в силу
сделанной замены хк = 0{/2гк, отсюда вытекает оценка для нормы
погрешности гп в энергетическом пространстве Нв:
Шо<Рп\Ы\о, р = тщ|Я-тС|]. A5)
Если выполнено условие р < 1, то двухслойный градиентный
метод сходится в Нв. Из оценки A5) следует, что для
уменьшения нормы в Н0 начальной погрешности в 1/е раз достаточно
выполнить п^п0(е) итераций, где
/г0(е) = 1пе/1пр. A6)
Итак, скорость сходимости двухслойного градиентного метода
определяется величиной р. Напомним, что в главе VI при
изучении метода простой итерации при различных предположениях
относительно оператора С были получены оценки для р.
Величина р определяет скорость сходимости метода простой итерации.
Поэтому из полученной здесь оценки A5) следует, что любой
двухслойный градиентный метод сходится не медленнее
соответствующего метода простой итерации.
Приведем оценки для р, полученные в §§ 3, 4 главы VI при
различных предположениях относительно операторов Л, В и Ь.
1. Если оператор ИВ А самосопряжен в Я, а ух и у2 —
постоянные из неравенств C), то
р = A-В/A + 6), 6 = 71/?.. A7)
2. Пусть оператор ИВ~'1А несамосопряжен в Н\
а) если выполнены условия D), то
р=УТ=!, 6=?!/?.; A8)
б) если выполнены условия C), E), то
Итак, доказана
Теорема 1. Если для схемы B) метод простой итерации
сходится, то сходится двухслойный градиентный метод B), A2).
При этом для погрешности гп справедлива оценка
1К1Ь<р12о1Ь,
где р определено в A7), если оператор ОВ~гА самосопряжен в Н
и выполнены условия C), р определено в A8), если для
несамосопряженного оператора ОВ~1А выполнены условия D), и в A9),
если выполнены условия C), A5). Оценка для числа итераций
дана в A6).
335

Замечание. Если уравнение A) рассматривается в
комплексном гильбертовом пространстве, то итерационный параметр
тк+1 должен быть выбран по формуле /
_ Не (Ртк, гк) < _ п «
Теорема 1 сохраняет силу, только условия C), D) должны
быть заменены на неравенства
VIФ** хХКефЯ-Мх, хХуяФх» х)>
у^Их, хХКеф5-Мл:, *),
(ОД-Мх, Я-МхХуаКефВ-Мл:, х),
где Кег—действительная часть комплексного числа г.
4. Неулучшаемость оценки в самосопряженном случае.
Покажем, что на классе произвольных начальных приближений у$ в
случае самосопряженного оператора ИВ'1 А в конечномерном
пространстве Н априорная оценка погрешности итерационного
метода B), A2), полученная в теореме 1, является неулучшае-
мой. Для этого достаточно указать такое начальное
приближение лг0, при котором для решения уравнения G) имеет место
равенство ||л;л+1|| = р||хл||| где р определено в A7).
Найдем искомое начальное приближение х0. Пусть
Н—конечномерное пространство (Н = Н^. Так как оператор ВВ~ХА
самосопряжен в Н, то оператор С = 0~1^(ОВА) й^1^2 также
самосопряжен в Я. Следовательно, существует полная система
собственных функций ь1ч V2, ..., % оператора С. Обозначим
через кк собственное значение оператора С, соответствующее
собственной функции Vк, так что Сюк=^%^к, к=1, 2, ..., N.
Пусть ?4^^Х- • Х^у- Так как неравенства C) эквивалентны
неравенствам
Т1г<С<72Я, Т1 > 0,
то в C) в качестве уг и у2 можно взять \ и %м. При этом р,
определенное в A7), можно записать в следующем виде;
р = (А,дг—ЮК^я+Ю- Выберем начальное приближение
Яо^К^ + К^лг- B0)
Тогда Сх0 = X1УXNV1 + гк1У'к1 VN. Используя ортонормирован-
ность системы собственных функций юг, ра, ..., VN, получим
(Х0, Х0) = %1-\- Лдг,
(СЛГ0, Х0) = 2А1Лдг,
(Сх0, Сх0) = Хг%х (к14- Ядг).
Подставляя эти значения в (9), A1), получим т1 = 2/(к1 + к#),
р1 = (^—^)/(^ + ^1) = р. Из A0) следует равенство ||^|| = р||х01|,
а из G) найдем хх\
Ч = Р (У^Уг — УК VN).
336

Дальнейшие вычисления дают
(Х1, Хх) = р (#<ь Х0),
(Сх3, X}) = р (Сх0, Хо)>
(С^, С^-р^Схо, Сх0).
Поэтому
__ (СхцХг) __ (Схр,х0) _
Тз"" (Схъ Схх) - (Сх0, Схь)"" х**
л2 — 1 (С*1, лгхJ __ , (С*0, *0J 2 _ .
Ра - (СлгьС^) (^, Х1)~~ (С*0, С*0) (*в, *„) Р1 ~" И "
Следовательно, ||*4| = р||*1||. Кроме того, х2^=х1—т2Сх1 = р*|^,
т. е. х2 пропорционально х0. Отсюда сразу следует, чтот8=&т2 = т1Э
р3 = р и х3=р2х1. Поэтому для любого к:
Ч « 2/(Лх + А^), рЛ = р = (^- Х1)/(А*Г+ Я,),
К-ыНрКИ-
Утверждение доказано.
Итак, мы показали, что если начальное приближение выбрано
по формуле B0), то в двухслойном градиентном методе все
параметры тк одинаковы и совпадают с параметром метода простой
итерации (см. § 3 гл. VI), погрешности через одну итерацию
пропорциональны, а скорость сходимости самая медленная.
Отметим, что такая медленная сходимость метода имеет место
лишь для специального «плохого» начального приближения.
В случае же «хорошего» начального приближения скорость
сходимости метода может быть значительно большей. Более
детальное изучение характера изменения скорости сходимости метода
будет проведено в следующем пункте, а здесь мы рассмотрим
один пример, иллюстрирующий приведенное выше замечание.
Покажем, что если в качестве начального приближения х$
взять любую собственную функцию ют, то двухслойный
градиентный метод сойдется за одну итерацию.
Действительно, пусть х9=ут. Тогда несложные вычисления
дают
Сх0 = к„рт = \тх0, (Сх09 х0) = Хя (х0, *0),
(Сх0УСх0) = К^{х01 х0), т1=1/Х|В, р! = 0,
т. е. хг = 0 или у1 = и.
Это качественно новое свойство двухслойных градиентных
методов—возможность увеличивать скорость сходимости в случае,
когда задано «хорошее» начальное приближение,—отличает эти
методы от рассмотренных в главе VI двухслойных итерационных
методов, жестко ориентированных на самое плохое начальное
приближение.
337

5. Асимптотическое свойство градиентных методов в
самосопряженном случае. Рассмотрим теперь асимптотическое свойство
двухслойных градиентных методов, которым они обладают в
случае самосопряженного оператора ОВ~1А. Это свойство
заключается в том, что последовательность {рЛ}, определенная в A1),
является возрастающей. Так как величина рк определяет скорость
убывания нормы погрешности при переходе от к к (к+1)-й
итерации, то наличие указанного свойства приводит к уменьшению
скорости убывания нормы погрешностей гп для больших п по
сравнению с началом процесса итераций. Причем для достаточно
больших п скорость сходимости градиентных методов становится
практически такой же, как и для метода простой итерации.
Будет показано, что для больших номеров итераций
погрешности, рассматриваемые через одну итерацию, становятся почти
пропорциональными. Используя этот факт, мы построим
приближенный метод нахождения постоянных уг и у2 для неравенств C),
а в § 5 построим процесс ускорения сходимости двухслойных
градиентных методов.
Итак, пусть оператор ОЯ~М, а вместе с ним и оператор С
самосопряжены в Я. Покажем, что последовательность {рк}
является возрастающей. Из A0) следуют равенства
1** + 21=Р* + 1||*А + 1||. \\Хк + 1! = Рк + 1\\Хк1
Вычислим норму разности хк+2— Ра+2Р*+Л:
1хк + 2— Рк + 2Рк + 1ХЛ2 ==1хк + 21 2>Рк + 2рк + 1(хк + 2> •**) +
+ р1+2р1+1||^Г = 2(||^+2||2—рЛ+2рЛ+1(*Л+2, хк)). B1)
Вычислим отдельно скалярное произведение (хк+2> хк). Из
уравнения G) найдем
хк + 2==Хк + 1 Хк + 2^Хк + И Хк ===Хк+1 +ТЛ + 1^*А' B2)
Умножая последнее равенство скалярно на Схк и учитывая (9),
получим
(Схк9 хк) = (хкл1, Схк) + тк+1 (СхкУ Схк) = (хк+1, Схк) + (Схк, хк).
Следовательно, для любого к имеет место равенство
(**+1. С*л) = 0, B3)
а в силу самосопряженности оператора С—равенство {Схк+1, хк)=0.
Из B2) и B3) получим
\хк+21 хк) ^ \хк+1 гк+2^хк+и хк) == \хк+1> хк) ^
==(*Л + 1» хк + 1^"хк + 1^хк) !==1хк+11Г-
Подставляя полученное равенство в B1), найдем
1^+а-РА+Л+1^|а = 2 A_^)||*й+2||*. B4)
338

Из B4) следует, что либо рк+2>Рк+и либо рй+1 = рА+2 = ри
хк+2 = р2хк. В последнем случае, очевидно, что для всех п^к
будут выполняться равенства
Р» + 1 = Р> *я + 1 = РЧ» B5)
т. е. последовательность рк выходит на предельное значение.
Итак, показано, что последовательность \рк} действительно
является возрастающей. В п. 3 этого параграфа было показано,
что эта последоватательность ограничена сверху и, следовательно,
имеет предел. Поэтому для достаточно больших номеров к
будет иметь место приближенное равенство рк+1&рк+2 и,
следовательно, хк+2&рк+2рк+1хк, т. е. погрешности будут почти
пропорциональны через одну итерацию.
Рассмотрим, что следует из выхода последовательности рк
на предельное значение. В этом случае выполняются равенства
B5), т. е. хп+2 = р2хп. Пусть пространство Н конечномерно, а
V!, V2^ ..., у#—система собственных функций оператора С.
Разложим хп по собственным функциям
%=2 4Ч B6)
к— 1
Из уравнения G) получим
N
= 2 A-тп+2Я,) A -тп+1Я,) «Г*»
/г= 1
Так как хп+2 = р2хп, то это означает, что для всех номеров к,
для которых а^фО, должно выполняться равенство
A— тп+2Хк)A — т„+15д = р2.
Отсюда следует, что в разложении B6) присутствуют собственные
функции, соответствующие только двум различным (каждое из
которых может быть кратным) собственным значениям. Пусть
это будут %( и Ау. Тогда К{ и ^к^ есть корни уравнения
A-тл+1Я)A-тя+1Я) = <^ B7)
Зная тя+1> тп+2 и р, из этого уравнения можно найти
собственные значения %г и ^..
Не останавливаясь на деталях, отметим, что если в
разложении начальной погрешности х0 присутствуют собственные
функции, соответствующие минимальному собственному
значению %1 оператора С и максимальному—%#, то в случае выхода
на предельное значение последовательности рк в разложении B6)
останутся только эти собственные функции. Поэтому, решая
уравнение B7), мы найдем Х± и Х#.
Выход последовательности {рк{ на предельное значение при
конечном п является исключительным случаем. В общем же
339

случае можно лишь утверждать, что при достаточно большом п
Ри+1 ^ Рл+г и хп+% ~ Рп+гРп+гхп-
Наличие приближенного равенства позволяет рассчитывать
на то, что для достаточно большого п корни уравнения
О —^ + 2М 0 —*„ + !&) = Р„+2Рп+1 B8)
будут являться хорошими приближениями для кх и А,^, а
следовательно, и для 71 и у2 из неравенств C).
Опишем этот метод нахождения приближенных значений для
V! и у2. По итерационной схеме B) с / = 0 проводится я+ 2
итерации с параметрами тЛ+1, определенными в A2). Так как
при / = 0 решение уравнения A) есть нуль (и = 0), то гк = ук и,
следовательно, рк+1 можно найти по формуле
п __ 11 *н+11Ь_ \\уь+1 Пр
Вычислив тЛ+1, тп+2, ри+1 и рл+2, решают уравнение B8).
Корни этого уравнения являются приближениями для уг сверху
и для у2 снизу.
В § 5 будет приведен пример, иллюстрирующий
предложенный метод нахождения уг и у2.
§ 2. Примеры двухслойных градиентных методов
1. Метод скорейшего спуска. В § 1 были изучены общие
свойства двухслойных итерационных методов вариационного типа,
используемых для нахождения приближенного решения
линейного операторного уравнения
Ли = / A)
с невырожденным оператором А. Итерационные приближения
вычисляются по двухслойной схеме
ВУк:*~Ук + Аук = Г9 Л = 0, 1 *0€#, B)
а итерационные параметры тк находятся по формуле
Т*+*^(Ш^7)> й = 0, 1. .-., C)
где щ^Вт'1гк— поправка, гк~Аук—/—-невязка, а гк~ук—и —
погрешность. Выбор параметра тк+1 по формуле C) обеспечивает
минимум нормы погрешности гк+1 в Нв при переходе от ук к ук+1.
Рассмотрим теперь частные случаи двухслойных градиентных
методов. Каждый конкретный метод определяется выбором
оператора О и имеет свою область применимости. Оператор й
будет выбираться так, чтобы в формулу C) для итерационного
параметра тк+1 входили только известные в процессе итераций
величины.
340

Рассмотрение примеров начнем с метода скорейшего спуска.
Этот метод можно применять лишь в случае самосопряженного
и положительно определенного оператора Л.
Пусть оператор А самосопряжен и положительно определи
в Н. Метод скорейшего спуска характеризуется следующим
выбором оператора ^: 0 = А. Оператор В должен быть
положительно определен в Я. Учитывая соотношения Агк = Аук—!—гк
и А = Л*, из C) получим формулу для итерационного параметра
хк+1 в неявном методе скорейшего спуска
Для случая явной двухслойной схемы B) (В = Е) получим щ =
=В-1гк = гк, и формула для гк+1 принимает вид
__ ('*» гк) к__0 1
В методе скорейшего спуска минимизируется норма
погрешности гк+1 в энергетическом пространстве НА: \гк\А = (Агк> г*I/2.
Условия сходимости метода сформулированы в теореме 1, из
которой следуют оценки
II *„ 1а < Р* II го 1л» *>> п0{г) = 1п е/1п р.
Значение величины р определяется свойствами операторов Л
и В и объемом априорной информации относительно их.
Заметим, что требование самосопряженности оператора ОВ'1А =
= АВ~'1А для данного метода эквивалентно требованию
самосопряженности оператора В. Поэтому
1) если В = В* и выполнены условия C) § 1 или эквивалентные
им условия (см. гл. VI, § 2, п. 3)
то
р = A—Е)/A + 6). 6 = ?!/?.;
2) если В фВ* и выполнены условия D) § 1 или эквивалентные
им условия (см. гл. VI, § 4, п. 2)
уг (Вх, А~1Вх) <*(Вх, х), (Аху х) < у2 (Вх, х), уг > О,
то
р = к 1—Б. Б = ?!/?..
Отметим, что если В —В*, то метод скорейшего спуска
обладает асимптотическим свойством.
2. Метод минимальных невязок. Этот метод можно применять
в случае любого несамосопряженного невырожденного
оператора Л. Положительная определенность каждого в отдельности
341

операторов А и В не предполагается, требуется лишь
положительная определенность оператора В*А. Метод минимальных
невязок определяется следующим выбором оператора Р: й = А*А.
Формула C) для итерационного параметра тЛ+1 в методе
минимальных невязок имеет вид
(Ащ, гк) , 0 -
т*+1- (Ащ9 Атк ' Л-и» ь •"•
В случае явной схемы B) (В = Е) требуется положительная
определенность оператора Л, а формула для тА+1 имеет вид
_ (Лгк9гк) к_0 1
Название метода связано с тем, что в нем минимизируется
норма невязки. Действительно, для указанного оператора О имеем
||гл|Ь = фгА) гк) = (А*Агк, гк) = \\Агк\* = \гк\\
Следовательно, для рассматриваемого метода норма погрешности
в Нп равна норме невязки, которую можно вычислить в
процессе итераций и использовать для контроля окончания итераций.
Из теоремы 1 следуют оценки сходимости метода
1кЛ<Рки|], п>п0(е)==1пе/1пр.
Оператор 05"М = ЛМВ~М будет самосопряжен в Я, если
самосопряжен оператор АВ, что эквивалентно требованию
самосопряженности оператора В*А. Если это требование выполнено,
то из условий C) § 1, которые в данном случае имеют вид
у, (Ау, Ау) < (АВ-*Ау, Ау) < у2 (Ау, Ау), V* > О,
или после замены у = А'1Вх
у, (Вху Вх) < (Ах9 Вх) < у2 (Вх, Вх), уг > 0, D)
и теоремы 1 следует, что
р = A_6)/A + Б), Б-Т1/Т..
Отметим, что условие 71 > 0 будет выполнено, если
выполнено указанное выше требование положительной определенности
оператора В*А. Условия самосопряженности и положительной
определенности оператора В*А будут выполнены, например, при
следующих предположениях: Л = Л*>0, # = В*>0, АВ = ВА.
В этом случае неравенства D) эквивалентны более простым.
Действительно, полагая в D) х = В~1/2у и используя
перестановочность операторов А и 5, получим
Т15<Л<у25, Т1 >0. E)
Условия самосопряженности и положительной определенности
оператора В*А будут автоматически выполняться и в том случае,
когда оператор В имеет вид В-=(А*)В09 где В0—самосопря-
342

женный и положительно определенный оператор. В этом случае
вместо неравенств E) нужно использовать неравенства
Т150<ЛМ<7250, ?!>0, F)
а в формуле для параметра гк+1 поправку тк можно находить
из уравнения Вох0к = Л%.
Если оператор В*А несамосопряжен в Н, то из условий D)
§ 1 или эквивалентных им условий
уг (Вх, Вх) < (Ах, Вх), (Ах, Ах) < у2 (Ах, Вх), уг > О
и теоремы 1 следует, что р = |/*1 — I, 1 = у1/у2-.
3. Метод минимальных поправок. Этот метод можно
применять для решения уравнения A) с несамосопряженным, но
положительно определенным оператором А. Требуется, чтобы
оператор В был самосопряженным положительно определенным и
ограниченным оператором. Метод минимальных поправок
определяется следующим выбором оператора О: й = А*В~1А.
Формула C) для итерационного параметра гк+1 в методе
минимальных поправок имеет вид
_ (Ащ, щ) ,__ п 1
т*+*~ (В-*Ащ9 Ащ)' я — и, 1, ...
В случае явной схемы B) (В~Е) методы минимальных
поправок и минимальных невязок совпадают.
В методе минимальных поправок минимизируется норма
поправки в Нв. Действительно, для выбранного оператора О
получаем
1 гк ||Ь = (О*,, гк) = (А*В^Агк, гк) = (щ, гк) = (Вщ, щ) = || щ ||.
Норма поправки в Нв может быть вычислена в процессе
итераций и использована для контроля окончания итераций.
Из теоремы 1 следуют оценки сходимости метода
I»п\в < Ря II ^о 1д. " > "о (в) = 1п е/1п р.
Оператор йВ~гА = А*В~1АВ~1А самосопряжен в Н
одновременно с оператором Л. Поэтому:
1) если Л = Л* и выполнены условия C) § 1 или
эквивалентные им условия (см. гл. VI, § 2, п. 3)
?15<Л<у25, Т1 > 0,
то
р = A-Щ1 + 1), | = У1/Т2;
2) если Л Ф А* и выполнены условия D) § 1 или эквивалентные
им условия (см. гл. VI, § 4, п. 2)
угВ^А9 (Ах,В~1Ах)^у2(Ах, х), у1>0,
343

то
Отметим, что по сравнению с методами скорейшего спуска и
минимальных невязок в методе минимальных поправок требуется
не один раз обращать оператор Я, а дважды, сначала для
вычисления поправки щ, а затем для вычисления В~1Ахюк.
Отметим также, что если А = Л*, то метод минимальных
поправок обладает асимптотическим свойством.
4. Метод минимальных погрешностей. Этот метод можно
применять, как и метод минимальных невязок, в случае любого
несамосопряженного и невырожденного оператора А. Метод
минимальных погрешностей определяется следующим выбором
операторов В и О:
В^(АТ1В0, # = Д>,
где В0-—самосопряженный положительно определенный в Я
оператор.
Подставляя в формулу C) для итерационного параметра тк+1
выбранный оператор В и учитывая, что хюк--^В~1гк = В^ЛА*гкч
получим формулу для тк+1 в методе минимальных погрешностей
(Г^, Тк) 4 А I
Поправка шк находится из уравнения В0шк = А*гк.
В случае явной схемы (В0 = Е) формула для гк+1 имеет вид
т — (гь> ги) Ь —о 1
4+1— (А*Гк} Л*Гк), * —^ 1, ...
В методе минимальных погрешностей минимизируется норма
погрешности в НВо. Для этого метода оператор ОВ~1Аг=л*А
является самосопряженным в Я, а условия C) § 1 принимают вид
неравенств F). Из теоремы 1 следует оценка сходимости метода
II *Ав9 < Рга11 *ок> п > по (е) = 1п в/1п р,
где р = A —1)/A + 5), Е = ?1/Т2» а ?1 и 72 определены в F).
Метод минимальных погрешностей всегда обладает
асимптотическим свойством.
5. Пример применения двухслойных методов. Для
иллюстрации применения построенных двухслойных градиентных методов
рассмотрим решение модельной задачи явным методом
скорейшего спуска. В качестве примера возьмем разностную задачу
Дирихле для уравнения Пуассона на квадратной сетке (о = {хц=
=(Нг, ]к)у 0</<#, 0</<Л^, Л=1/#} в единичном квадрате
Аи = ихл + и~х>х^-Ч> *€*>, и\у = §. G)
344

Введем пространство Н> состоящее из сеточных функций,
заданных на со, со скалярным произведением (и, ^)= 2 и(х)&(х)кг.
Оператор Л на Я определим следующим образом: Ау= — Аи9
у€Н, где у(х) = у(х) для х^а> и у|т=0. Задачу G) запишем
в виде операторного уравнения
Аи = и (8)
где / отличается от <р лишь в приграничных узлах
1 = 4 + %+%
!8(®> х*)> х^к, (§(*1, 0), х2 = к,
0, 2Л<^<1—2А, фа = {0, 2Л<*2<1-2й,
§A, х%), хг=1 — кг [&(Хц 1)* **=1—А.
Оператор А является самосопряженным и положительно
определенным в Я. Поэтому для решения уравнения (8) можно
применить метод скорейшего спуска. Явная итерационная схема
имеет вид
Ук + 1—Ук
МУ* = / или ук+1 = ук—г4к+1гк, к = 09 1,
а итерационные параметры хк находятся по формуле
Приведем расчетные формулы и подсчитаем число
арифметических действий, затрачиваемых на одну итерацию.
Учитывая определение оператора А и правой части [%
расчетные формулы можно записать в следующем виде:
1) '*(*//) = — (И^л—Ыад—Ф(*//)> К*> /<^—1,
2) (г„ г,)=2 ^гК^Л2,
МгЛ> гк) = - 2 2 /* (*„) [(г^ + (г,)-8Х8]Л2, гк\у = 0,
- __ ('*» гк) .
Гк+1~~ (Агк,гк) '
3) Л+1 (*//) = &(*//)— ^+х^(%). *<*. /<#—1.
Начальное приближение //0 есть произвольная сеточная
функция в со, принимающая на у заданные значения у0| =^г.
Подсчитаем число арифметических действий. Если вычисление
разностных производных проводить по формуле
игЛ+и*.,.=р(и^
345

то для вычисления гк потребуется 6 (Ы— IJ сложений и 2 (Ы— IJ
умножений и делений. Для вычисления (/"д,гА)— (Ы—IJ
сложений и (Ы—IJ умножений, (Агк, гк) — 6(к—IJ сложений и
2(Ы— IJ умножений, ук+1 — (Ы — IJ сложений и (М— IJ
умножений. Всего потребуется 14(М — IJ сложений и 6(М—IJ
умножений и делений. Ровно половина от этого общего числа
действий требуется для вычисления скалярных произведений,
т. е. для вычисления итерационного параметра тЛ+1.
Следовательно, один шаг метода скорейшего спуска примерно вдвое
более трудоемок по сравнению с шагом метода простой итерации
или чебышевского метода, где параметры гк+1 известны априори.
Для неявных методов это различие будет меньшим, так как для
вычисления скалярных произведений потребуется такое же число
действий, как и для явного метода, а к общему числу действий
добавятся арифметические операции, затрачиваемые на
обращение оператора В.
Подсчитаем теперь общее число арифметических действий
<2 (е), которое нужно выполнить, чтобы получить относительную
точность е. Для этого нужно оценить число итераций п0(г).
В п. 1 была получена следующая оценка:
где уг и у2 в случае явной схемы есть границы оператора А:
угЕ^А^у2Е.
Для рассматриваемого примера уг и у2 совпадают с
минимальным б и максимальным А собственными значениями
разностного оператора Лапласа Л. Известно, что
я 8 . 9 пк А 8 о пН
6вА»згаТ' А = ;рсо5— •
Поэтому
>-6 1_281п»#, б-х-**^.
к~1 + 1
и, следовательно, если /г<^1, то
21п— .
Если считать эквивалентными операции сложения, умножения
и деления, то на одну итерацию затрачивается примерно 20ЛР
действий. Поэтому для общего числа арифметических операций
будет справедлива оценка (? (е) « 4#Чц—.
346

§ 3. Трехслойные методы сопряженных направлений
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров.
Оценка скорости сходимости. Для нахождения приближенного
решения линейного операторного уравнения
Аи = { A)
с невырожденным оператором А в § 1 мы рассмотрели
двухслойные итерационные методы вариационного типа. Итерационная
схема для этих методов имеет вид
дУь^Мь + Ау г§ к==оу 1, ...,Уо€#, B)
а итерационные параметры гк+1 выбираются из условия
минимума нормы погрешности гк+1 в энергетическом пространстве Нп.
Напомним, что на последовательности ук> построенной по
формуле B), осуществляется пошаговая минимизация функционала
1(у) = (Ь(у—и), у—и)у минимум которого достигается на
решении уравнения A), т. е. при у = и.
Такая стратегия локальной минимизации, однако, не является
оптимальной, так как в конечном счете нас интересует
глобальный минимум функционала I (у), и, если задано некоторое
значение этого функционала, достичь искомого минимума мы должны
за минимальное число итераций. Локальная же минимизация на
каждом итерационном шаге приводит к решению этой задачи
не самым коротким путем.
Естественно попытаться выбрать параметры хк из условия
минимума нормы погрешности гп в Нв сразу за п шагов, т. е.
при переходе от у0 к уп. С аналогичной ситуацией мы уже
встречались в главе VI при изучении чебышевского метода и метода
простой итерации. Оказалось, что более быстро сходится тот
метод, итерационные параметры для которого выбираются из
условия минимума нормы разрешающего оператора, а не
оператора перехода от итерации к итерации. Это свойство имеет
место и для итерационных методов вариационного типа. Будет
показано, что рассматриваемые в этом параграфе итерационные
методы, параметры хк для которых выбираются из указанного
выше условия, сходятся значительно быстрее, чем двухслойные
градиентные методы. Более того, в случае конечномерного
пространства Н эти методы являются методами конечных итераций
при любом начальном приближении, т. е. точное решение
уравнения A) может быть получено за конечное число итераций.
Переходим к построению метода сопряженных направлений.
Будем предполагать, что оператор ИВ'1А самосопряжен и
положительно определен в Я. Выполним по схеме B) п итераций.
Переходя от задачи для погрешности гк = ук—и к задаче для
347

хк = 01/2гк, получим, как и раньше,
хк+1==^к+1Хк* Й—0, 1, ...,П—1,
5* = Е—%кС, С - О^'В^АР-^.
Отсюда найдем
п
хп = Тпх0, Тп^Л{Е-х]€). C)
Разрешающий оператор Тп представляет собой операторный
полином степени п относительно оператора С с коэффициентами,
зависящими от параметров т1Э т2, ..., хп
Тп = Рп(С)=Е+%а<Г&, а^фО. D)
В силу равенства ||яп|| = ||2я|1я поставленная выше задача о
выборе итерационных параметров хк формулируется следующим
образом: среди всех полиномов вида D) выбрать тот, для
которого норма хп = Рп(С)х0 минимальна, другими словами—выбрать
коэффициенты а[п\ аBп\ ...,^П) полинома Рп(С) из условия
минимума нормы хп в Я.
Эта задача будет решена в следующем пункте, а сначала
получим оценку скорости сходимости метода сопряженных
направлений, построенного на основе сформулированного выше
принципа выбора параметров. Эту оценку получим, используя
априорную информацию об операторах схемы в виде ух и у2—
постоянных энергетической эквивалентности самосопряженных
операторов И и О В'1 А:
7хО < ЭВ^А < у2И, уг > 0, йВ^А = фВ^А)*. E)
Пусть Рп(С) является искомым полиномом. Тогда из C), D)
следует оценка для хп:
1^1=|Рп(С)^о11=тщ1СЛС)хо11<тщ||(ЗЛ011[1^о11,
где минимум ищется среди полиномов ($п(С), нормированных
в силу D) условием ($п@)=Е.
Оценим минимум нормы полинома С?п(С). Из E) следует, что
оператор С^О/2 @5"МH/2 самосопряжен в Я, а ^ и у2 —
его границы: С = С*> у^^С^у^, уг > 0. Поэтому имеет место
оценка
ттШОИ<П1Щ тах \Яп(*)\-
Из результатов § 2 гл. VI следует, что задачу о построении
нормированного условием С}п@)=:1 полинома,.максимум модуля
348

которого на отрезке [у1У у2] минимален, решает полином Чебы-
шева 1-го рода, для которого
шах |<гл(')| = <7я. Яп^т^п, Р1 = ТП7Т' 6 = 2-
У1<^<72 1+Р1 1 + У I Vа
Следовательно, для хп имеет место оценка ||#Л ^?„|!#0|1-
Итак, доказана
Теорема 2. Если выполнены условия E), то итерационный
метод сопряженных направлений сходится в Нв, и для
погрешности гп при любом п справедлива оценка ||2и[|д^9л1го1Ь- При
этом оценка для числа итераций имеет вид
п > по (е) = 1п @,5е)/1п рг,
где Р1«A-1/1)/A+]/!), 6 = Тх/Т..
2. Формулы для итерационных параметров. Трехслойная
итерационная схема. Переходим теперь к построению полинома
Рп(С). Используя C) и D), вычислим норму хп:
Ы* = (Рп(С)х09 Рп(С)Хо) =
= II** II2 + 2 2 аГ (С'*в, *„) + 2 2 а<»аР (С'хв, С'*в).
/=1 /=11=1
Норма хп есть функция параметров а[п\ аBп\ ..., <4П>.
Приравнивая частные производные от ||яп||а по ау°
п
^# = 2X^(^0, С%) + 2(С'х0,х,)9 /—1,2 л,
оа/ 1= 1
нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений
п
2 ар (С'х9, С%) + (С%, х0) = 0, /-1,2,...,». F)
1=1
Для самосопряженного и положительно определенного в Н
оператора С система F) дает условия минимума нормы хп в Я.
Итак, задача построения оптимального полинома Рп (С) в
принципе решена. Коэффициенты полинома а[п\ а{"\ ...,а(^ найдем,
решая систему F). Но сначала построим формулы для
вычисления итерационного приближения уп. Первый путь состоит в
использовании итерационной схемы B). Однако для этого
потребуется найти корни полинома РпЦ) и затем в качестве тЛ взять
обратные к корням значения. Такой способ не является
экономичным.
Второй путь заключается в использовании для вычисления уп
коэффициентов полинома. Из C), D) и замены хк==01^гк9 где
гк = ук—и, получим
уп-и = О-^Рп(С)О^(у0-и). G)
349

Используя D)-и равенство 0^^2СФ1^ = (В-'1АУ> найдем
0-^Рп (С) О1/2 - Е + в2 <> (В-М)Л
Подставляя это равенство в G), получим
Уп=Уо + 11^(В^АУ(у0-и)^у0+^ар(В^Ау^щ9 (8)
где ш0—поправка, хдH = В'т1А(у0~и) = В''1г09 г0 = Ау0—{.
Этот путь также является не оптимальным. Для каждого
нового п приходится заново решать систему F).
Сейчас мы покажем, что последовательность у19 у2, ..., у& ...,
Построенная согласно F), (8) для п= 1, 2, ..., может быть
найдена по следующей трехслойной схеме:
%1 = %1E-тН1Л)й + A-аН1)%1 + аН1т6+1/,
к=19 2, ..., (9)
Вуг = (В—г.А) у0 -1-т^, у0 € Я.
Для этого нужно указать набор параметров {хк\ и {ак\, при
котором норма эквивалентной погрешности х-к была бы
минимальной для любого к. Действительно, из уравнения для
погрешности хк в случае схемы (9)
Хк + 1==ак+1(^ ТЛ+1.О**+0 ак + 1)Хк-1* &=1,2, •••, / |0ч
Х1 = \П ^1^*/ Х0>
получим, что хк = Рк(С)х0, где полином Рк(С) имеет вид D)
(п = к). Поэтому, если параметры {тк\ и {ак\ в (9) будут выбраны
так, чтобы для любого л=1, 2, ... выполнялись условия F),
то построенные согласно (9) итерационные приближения уп будут
совпадать с приближениями, построенными по формулам F), (8)
для любого п.
Построим искомый набор параметров {хк\ и {ак}. Для этого
нам потребуется
Лемма. Необходимыми и достаточными условиями мини-
мужа нормы хп в Н для любого п ^ 1 являются условия
(Сх/9 хп) = 0, / = 0, 1, ..., л—1. A1)
Действительно, из D), F) следует, что условия F),
являющиеся условиями минимума нормы хп, эквивалентны следующим:
(С'*0, *я) = 0, /=1, 2 л, A2)
для любого л=1, 2, ... Отсюда получим для /<!п—1
{Сх09 хп) + 2 аЩг {С%, хп) = (Сх/9 хп) = О,
1 = 2 '
т.е. условия (И) необходимы.
350

Докажем теперь достаточность условий A1). Пусть
выполнены условия A1). Покажем, что тогда выполнены и условия A2).
Из A1) при / = 0 получаем, что равенства A2) верны для /=1.
Справедливость A2) для /^2 докажем по индукции. Пусть для
/ <& условия A2) уже выполнены, т. е. (&х0, хп)=0, /=1, 2, ..., к.
Покажем, что они выполнены и при / = &+1, если выполнены
условия A1).
Действительно,-из A1) при \ = к получим
0 = (Схк9 хп) = (СРк(С)х0, хп) =
к
= (Сх0, хп)+ 2 а}*> (С'+%, хп) = а[к) (С*+%, хп).
Следовательно, (Ск+1х0, хп) = 0. Лемма доказана.
Воспользуемся теперь леммой для построения набора
параметров {хк\ и \ак\ для схемы (9). Для сокращения выкладок
будем считать, что ух в схеме (9) находится по общей формуле (9)
при ах = 1.
Рассмотрим схему A0). Так как хг находится по двухслойной
схеме, то из § 1 следует выбор оптимального параметра хх по
формуле
Т1 (Сх0,Сх0)-
Построение параметров т2, т3, ... и а2, а3, ... будем
осуществлять постепенно. Пусть итерационные параметры т1э т2, ...,
тк и а19 а2, .. ., ак уже выбраны оптимальным образом. Так как
эти параметры определяют приближения у1У у2У ..., ук, то из
леммы следует, что выполнены условия
(С*,, *,) = (>, / = 0, 1, ...,*—1, * = 1, 2, ..., к. A3)
Выберем теперь параметры тк+1 и оск+1, определяющие
приближение ук+1. Из леммы следует, что норма хк+1 будет
минимальна, если выполнены условия
(Схр хк+1) = 0, / = 0, 1, ...,/е. A4)
Из этих условий найдем параметры тк+1 и ак+1. Покажем
сначала, что из A3) следует выполнение условий A4) для /^й—2,
а затем из оставшихся двух условий A4) для } = к—1 и ] = к
получим формулы для тк+1 и осл+1.
Итак, пусть /<!&—2. Из A0) и A3) найдем
\хл+1> СХ;-) = о^+1 (хк, Сх;) ал+1тл+1 (Схк> Сх^) +
+ A — ак+1) (хк_19 Сх;) ^ — ак+1тк+1 (Схк, Ох,).
Покажем, что (Схк, Сх/) = 0 для /<&—2. Действительно, из A0)
351

при &=| получим
Сх/^Ч^Х/-у^7г^ + 1~{1~а^1)Х^' />0, A5)
Используя самосопряженность оператора С и условия A3),
отсюда получим для /<Г&—2
{Схк,Сх,) =
=^(Сх'' х*)~у+!а/+1№х/+*> х*)-A— а/+1)(с*у-1.
**)]последовательно, (хк+1, Сх/) = 0 для /<& —2.
Найдем теперь тй+г и ак+1. Полагая в A4) /=*&—1 и / = 6,
получим из A0) и A3)
0 = (Сл;А_1)^+1) =
=—а*+Л+1(Сх4, С^_1) + A-ай+1)(Сх/Ь_1, ^_г), A6)
0 = (Сх*, хк+1) =ай+1 [(С*А, хА) —тй+1 (С**, Схь)].
Из второго уравнения сразу найдем параметр тА+1:
(Слгй, хк)
"^-(Схк,Схк)-
A7)
Из первого уравнения исключим выражение (Схк, Схк^г). Для
этого положим в A5) ]' = к—1 и умножим скалярно левую и
правую части A5) на Схк.
Учитывая самосопряженность оператора С из условия A3),
получим
(Схп, Схк-1)^^(Схи_1,хк)-^(Схк,хк) + ^ хк} =
Подставляя это выражение в A6), получим
Из этого равенства найдем рекуррентную формулу для
параметра ак+1:
а —(\ т*+* (С**> **> 1 V1 пя\
а*+1-[1 ч (сх^х^ч;) • A8)
Итак, предполагая, что итерационные параметры тг, т2, ...,тл
и оц, ая, ..., ак были уже выбраны ранее, мы получим
формулы для параметров хк+1 и ак+1. Так как а^1 и т1= /Р^*о) ?
то формулы A7), A8) определяют параметры тл+1 и ак+1 для
любого &.
Подставляя хк = Э11*гк в A7) и A8) и учитывая, что
С^Я-'/^ЯД-М)!)-1/* и Агк = гкг В~*гк = щу
352

получим следующие формулы для итерационных параметров тА+1
и ак+1:
6=1,2,..., 0^=1.
Итак, метод сопряженных направлений описывается
трехслойной схемой (9), итерационные параметры хк+1 и ак+1 для
которой выбираются по формулам A9), B0). Для этого метода
справедлива доказанная ранее теорема 2.
Из формул A9), B0) следует, что итерационные параметры
тЛ+1 в методе сопряженных направлений и в двухслойных
градиентных методах выбираются по одним и тем же формулам,
а для вычисления параметров ак+1 никаких дополнительных
скалярных произведений считать не нужно. Поэтому на
вычисление итерационных параметров в двухслойных и трехслойных
методах вариационного типа затрачивается практически
одинаковое число арифметических операций. В то же время из
теорем 1 и 2 следует, что методы сопряженных направлений
сходятся существенно быстрее, чем градиентные методы.
Покажем теперь, что если Н—конечномерное пространство
(Я==Я//), то методы сопряженных направлений сходятся за
конечное число итераций, не превышающее размерность
пространства. Действительно, из леммы следует, что для
эквивалентных погрешностей хк метода сопряженных направлений должны
выполняться равенства (Слу, хп) = (#у, хп)с = 0у / = 0, 1, ...,п.
Следовательно, система векторов х0,х19...,хп для любого п
должна быть ортогональной системой в Яс. А так как в Н#
нельзя построить больше чем N ортогональных векторов, то
отсюда следует, что х#=0 и г/^=у/^—и = 0. Таким образом,
на классе произвольных начальных приближений у0 методы
сопряженных направлений сходятся за N итераций к точному
решению уравнения A).
Для специальных начальных приближений у0 эти методы
сходятся за меньшее число итераций. Действительно, пусть у0
таково, что в разложении х0 по собственным функциям
оператора С присутствуют Л^0 < N функций, т. е. х0 принадлежит
инвариантному относительно оператора С подпространству #лг0.
Тогда очевидно, что и все хк (Е ##0. Поэтому в этом случае
итерационный процесс сойдется за Ы0 итераций.
Из сказанного выше не следует, что оценка сходимости метода,
полученная в теореме 2, является очень грубой и равенство
|| 2„||/) = 9»IIгоIIо никогда не достигается. Можно построить
пример уравнения A) и указать для любого п < N такое
начальное приближение у0, что указанное равенство будет выполняться.
12 А. А. Самарский, В. С. Николаев
353

3. Варианты расчетных формул. Приведем теперь некоторые способы
реализации трехслойных методов сопряженных направлений. Из (9), A9) и B0)
получим следующий алгоритм:
1) по заданному у0 вычисляется невязка г0—Ау0—/;
2) решается уравнение для поправки Вш0=г0;
3) вычисляется параметр хг по формуле A9);
4) приближение уг находится по формуле Уг = у0—ТхШ0.
Далее для &=1,2, ... последовательно выполняются следующие
действия:
5) вычисляется невязка гк—Аук—/ и решается уравнение для поправки
Вщ = гк;
6) по формулам A9), B0) вычисляются параметры тк+х и <хк+г;
7) приближение ук+г находится по формуле
Таким образом, в описанном алгоритме для нахождения ук+г
используются ук-ъ у^ и шк, которые необходимо запоминать. Ниже будет указан
вид формул A9) и B0) для некоторых конкретных выборов оператора Г).
Здесь мы ограничимся замечанием, что в эти формулы, помимо хранимой
величины тк, может входить невязка гк, которую мы не запоминаем. Для ее
вычисления можно воспользоваться либо равенством гк — Ви)к, если
вычисление значения Вхюк не является трудоемким процессом, либо определением
невязки тк — Аук—/.
На практике встречаются и другие алгоритмы реализации метода
сопряженных направлений. Приведем один из них. Для этого будем трактовать
схему (9) как схему с поправкой. Из (9) получим
Ук+1 = Ук—ак+1Ч> 8к+1 = щ+1 + Ьк+15к, Ь = 0, 1, ...,я0 = а/0, B1)
где тк-=Вгк, гк = Аук— /, а параметры ак + 1 и Ък связаны с ак+1 и %ь+г
следующими формулами:
С1к+1 = ак+1^к+и Ьк= (ак+1—1) акхк/{ак+1хк+1)ь
Получим выражения для Ьк и ак + 1. Из A9), B0) найдем
Ьк= {йщ, гк)№щ-19 гк-г), *=1, 2, ... B2)
Для ак + 1 из этих же формул легко получить рекуррентные соотношения,
однако можно найти явное выражение для ак+1\
*+ (Рь Рк) Фч> **) '
Формулы B1), B2) и B3) описывают второй алгоритм метода сопряженных
направлений. Здесь вычисления проводятся в следующем порядке:
1) по заданному у0 вычисляется невязка г0 = Ау0 — /, решается
уравнение В№0 = г0 для поправки щ и полагается 50 —ш0;
2) по формуле B3) находится параметр ах и вычисляется у^ = Уо —ах30.
Далее для к=1, 2, ... последовательно выполняются действия:
3) вычисляется невязка гк — Аук — / и решается уравнение для
поправки Вщ = гк;
4) по формуле B2) вычисляется параметр Ък и находится зк по формуле
5^ = Шк -\- Ьк8к __ 1;
5) по формуле B3) определяется параметр ак+± и приближение ук+\
вычисляется по формуле
Ук+1 = Ук — ак + 18к-
Отметим, что в приведенном алгоритме необходимо хранить ук, тк и 5*,
т. е. такой же объем промежуточной информации, как и в первом алгоритме.
354

§ 4. Примеры трехслойных методов
1. Частные случаи методов сопряженных направлений. В § 3
были построены трехслойные итерационные методы
сопряженных направлений, используемые для решения линейного
уравнения
Аи = ?. A)
Итерационные приближения вычисляются до трехслрйной схеме
Вук+1 = «А+1 {В—хк+1А) ук + {\ —ак+1) Вук^ + ак+1хк+1^
к = 1, 2, ..., B)
Вуг = (В—хгА) у0 + хг[, у0 € Я,
а итерационные параметры ай+1 и тл+1 находятся по формулам
- -С^ьМ й = 0,1,...,
а _Л та+1 (Шь г,) 1 \-х а-19 а-1
где и)к = В^1гк—поправка, гк=^Аук—\—невязка, гк — ук—и —
погрешность.
Выбор параметров ак и хк по формулам C) обеспечивает
в случае самосопряженного и положительно определенного
оператора ВВ~ХА минимум для любого п нормы погрешности гп
в Нв при переходе от у0 к уп.
Рассмотрим теперь частные случаи методов сопряженных
направлений, определяемые выбором оператора О. В § 2 были
рассмотрены четыре примера двухслойных градиентных методов.
Каждому из этих двуслойных методов соответствует
определенный трехслойный метод сопряженных направлений. Мы
перечислим эти методы с указанием условий на операторы А и В,
которые обеспечивают самосопряженность оператора ОВ~1А.
Для этих методов имеет место теорема 2, а вид неравенств,
которые определяют постоянные 71 и Тг> будет указан в
описании соответствующего метода.
1) Метод сопряженных градиентов.
Оператор й: 0 = А.
Условия: 71^<^<Т2^. VI>°» А = А*>0, Я = В*>0.
Формулы для итерационных параметров:
_ (гк,1Юк) _Л ТЛ+1 (Гк, Шк) _\_\~*
2) Метод сопряженных невязок.
Оператор й: Р=А*А.
Условия: ух (Вх, Вх) < (Ля;, Вх) <у2 0&С, #*)> Ъ > О»
ВМ = Л*В.
12* 355

Если выполнены предположения А = Л* > О, В = В* > О,
Л/? = БЛ, то условия имеют вид
715<Л<725, 71 >0.
Формулы для итерационных параметров:
_ (Ашк, гк) __ /« тк+1 {Ашк, гк) 1 \-д
ТЛ+1-(ЛшъЛш,)' а*+1""^ т, (Л^_1? ,*_,)" ак) *
3) Метод сопряженных поправок.
Оператор О: 0 = ЛВ-М.
Условия: 715<Л<^25, уг > О, Л=Л*>0, В = 5*>0.
Формулы для итерационных параметров:
_ (Ла^, ш/г) __ Л т/,+1 (Ашк, иок) _±_\"г
4) Метод сопряженных погрешностей.
Оператор й: О = В0.
Условия: 5 = (Л*)50, 71В0<Л*Л<72В0, В0 = В0*>0.
Формулы для итерационных параметров:
ТЬ+1-(Ащ, гк)> аЬ+1-[' Тк (гн-игк-г)т ак) '
2. Локально оптимальные трехслойные методы. Вернемся
теперь к рассмотренному в § 3 способу построения
итерационных параметров ак+1 и хк+1 для трехслойной схемы метода
сопряженных направлений. Напомним, что параметры ак+1 и
тй+1 были выбраны из условий (Схк-г, хк+1) = 0 и {Схк, хк+1)=0
в предположении, что итерационные приближения у19 у2, ...,ук
обеспечивают выполнение условий
(Сху, *,) = <>, / = 0, 1, ...,*—1, / = 1,2,...,*. D)
Для идеального вычислительного процесса условия D)
выполнены, поэтому выбор параметров ан+1 и тк+1 по полученным
в § 3 формулам действительно обеспечивает минимум нормы
погрешности гк+1 в НП при переходе от у0 к ук+1. В реальном
вычислительном. процессе, который учитывает наличие ошибок
округления, итерационные приближения у19 у2, ..., ук будут
вычислены неточно, и, следовательно, условия D) не будут
выполняться. В ряде случаев это может привести к
уменьшению скорости сходимости метода, а иногда и к его
расходимости.
Построим сейчас одну модификацию метода сопряженных
направлений, не обладающую указанным недостатком. Для
приближенного решения уравнения Аи = [ рассмотрим трехслойную
итерационную схему
Вук+г*=ак+1(В—чк+1А)ук + (\ — ал+1) %^1+ал+1тл+1/, E)
6=1,2,...
356

с произвольными приближениями у0 и ух^Н. Считая^ и ук-±
заданными, выберем параметры ка+1 и хк+1 из условия
минимума нормы погрешности гк+1 в НйУ т. е. из условия локальной
оптимизации за один шаг по трехслойной схеме.
Эту задачу решим при единственном предположении о
положительной определенности оператора ОВ~1А. Для этого
перейдем к уравнению для эквивалентной погрешности хк = 01/*гк:
хк+1 = ак+1(Е-хк+1С)хк + A-ак+1)х^19 С^В^В^АЭ^. F)
Для сокращения выкладок введем обозначения
1— аА+1 = а, тЛ+1аЛ+1 = 6 G)
и перепишем F) в следующем виде:
хк+1 = хк—а(хк—хк^1) — ЬСхк. (8)
Задача ставится так: выбрать а и Ь из условия минимума нормы
хк+1 в Н. Вычислим норму хк+1. Из (8) получим
1^А^1хк^ + аЦхк-хк^1% + ЬЧСхк^-
— 2а(хк, хк—хк_1) — 2Ь{Схк, хк) + 2аЬ(Схк, хк—хк_х).
Приравнивая частные производные по а и Ь нулю, получим
систему относительно параметров а и Ь
\\Хк хк-Л2а~~\~(Схк, Хк Хк^1)Ь = (хк9 Хк Л^-х), /дч
(Схк, хк—хк_1)а + \\Схк1*Ь = (Схк, хк). К }
Определитель системы равен Д хк—хк_х [|2 [| Схк ||2—(Схк, хк—хк^J
и в силу неравенства Коши — Буняковского обращается в нуль
лишь тогда, когда хк—хк_г пропорционально Схк: хк—хк_г=
=йСхк. В этом случае уравнения системы пропорциональны,
и она сводится к одному уравнению
(Ь + ас1)\\Схк\\* = (Схк,хк). A0)
Так как при этом (8) имеет вид хк+1 = хк—(Ь + ай)Схк> то,
полагая в A0) а = 0, получим из G), A0)
а*+1=1> тк + 1==(Схк,'схк)- <П)
Если определитель не равен нулю, то, решая систему (9), получим
\\Схк\\2 (хк, хк—хк-1) — (Схк, хк) (Схк, хк—хк-1)
Ий-^-1|12||С^||2-(С^, хк-хк-г)*
Ь __ (Схк, хк) , 1 _ , , (Схк, хк-г)
°-(Схк,Схк)^ а)~^ (Схк, Схк) а'
Отсюда, используя обозначения G), найдем формулы для
параметров ак+1 и тЛ+1:
_ (Схк, хк—хк-х) {Схк,хк-1) — (хк-.19хк—*&-!) (Схк, Схк)
осьл.л=-
'Л + 1 {Схк, Схк)(хк—хк-1у хк—хк.1) — (Схк9 хк—хк-х)г
_ (Схк, хк) \ — ак+1 (Схк, хк-д ,_« 9
Т*+* (Схк,Схк)^ ак+1 (Схк9 Схк) > *-'>*>
A2)
357

Полученные ранее формулы A1) можно рассматривать как
частный случай общих формул A2), полагая аЛ+1 = 1, если
знаменатель в выражении для ак+1 обращается в нуль.
Формулы A2) сложнее формул для параметров ак+1 и тк+1
метода сопряженных направлений, полученных в § 3. Здесь
требуется вычислять дополнительные скалярные произведения.
Однако построенный здесь итерационный процесс E), A2) менее
подвержен влиянию ошибок округления, погрешности,
допущенные на предыдущих шагах, затухают.
Связь между локально оптимальными трехслойными методами
и методами сопряженных направлений устанавливает
Теорема 3. Если для метода E), A2) начальное
приближение ух выбрано следующим образом:
Ву^В-ьАК. + ь!, ^ = ^^у A3)
то в случае самосопряженного оператора И В'1 А метод E), A2)
совпадает с методом сопряженных направлений.
Доказательство проведем по индукции. Из условия теоремы
следует, что приближения у19 полученные здесь и в методе
сопряженных направлений, совпадают. Пусть совпадают приближения
Ун У2> - - •> Ук- Докажем, что ук+1, построенное по формулам
E), A2), совпадает с приближением ук+1 метода сопряженных
направлений.
Из сделанных предположений следует, что итерационные
параметры тх, т2, ..., тк и а2, а3, ..., ай обоих методов также
совпадают. Если будет показано, что совпадают и параметры
т*+1 и ак+\ в этих методах, то утверждение теоремы 3 будет
доказано.
Так как уг, у2, ..., ук—итерационные приближения метода
сопряженных направлений, то в силу леммы выполнены условия
(Сху, *,) = (), / = 0, 1, ...,* — 1, *=1,2,...,й. A4)
Подставляя A4) с / = й—1 и 1 = к в A2) и используя
самосопряженность оператора С, получим
„ (хн-Ь хк—хк^г) (Схк, Схк) _ (Схк, хк) пг-.
а*+* -(СхьхьУ-ЪСхьЩхь-хь-гР ' Т*+1~(С**, Схк)• <10>
Итак, параметры тк+1 локально оптимального метода и метода
сопряженных направлений совпадают. Осталось показать, что
совпадают параметры аЛ+1.
Из F) и A3) получим
Хк—хк-1~\ак Ч\хк-1 хк-2/ ак%к^Хк-и К — 2,3, ..., ^
358

Из A6) следует, что разность хк—хк_1 есть линейная
комбинация Сх0, Сх19 ...9Схк_г и имеет следующий вид:
х1 х0 = тхс х0,
где коэффициенты ру- выражаются через х19 т2, ..., хк^ и
а2,а3, ..., аА-1. Умножая левую и правую части A7) скалярно
на хк_х и хк—хк_г и учитывая A4), получим
\хк-1> хк хк-1)=- акХк\Схк-1> Хк-1)> п§\
\\Хк Хк-Л ~акТк\Схк-1> Хк-\)-
Подставляя A8) в выражение A5) для ак+1 и учитывая формулу
для параметра тл+1, получим
актк(Схк-ъ хк-г) (Схк, Схк)
а
к+1 ак%к (Схк-1, хк-{) (Схк, Схк) — (Схку хкJ
— A 1к + \{Схь хк) в _1\ -1
что совпадает с формулой для параметра ак+1 в методе
сопряженных направлений. Теорема доказана.
Подставляя хк = 01^гк и С = 0-1/2 (ОВ~1А)й~1^ в A2),
получим следующий вид формул для параметров ак+1 и тк+1:
__(Ря!к*гк—гк-1)(Р®к> гк-1) — (Ргк^ъ ук—ук.1) (Ршк, шк)
к + 1 (йщ, Ык)№(*к — **-!), Ук — Ук-д—ф^к* Ч — Ч-Л)* ' /19Ч
_^ фц/&, 2&) . 1—^ + 1 (РЮЬ> Ч-\) К '
*+1 фи;*, а/А) "*" ал+1 (ША, щ) '
Если ввести обозначения для скалярных произведений
^ = Ф^, **)> Ьк = (Оы>к, гк^)9 ск = {Огк, Ук—Ук_1)^
Лк = (&гк-1> Ук—Ук-г)> ек = (Эшк9 ®к)>
то формулы A9) перепишутся в виде
п — как—Ьк)Ьк — &кек 1,— 1 9 о, — 1
а*+1~(**-адг*-<ал-*л)» ' * ' ' "м а1"~1>
т =^ + ±=^±1.^, й==0, 1, ...
Приведем выражения для аъ 6Л, сА, <4 и еА для конкретных
выборов оператора В\
1) # = Л, А^А\
<>к = (Мк> гк), Ьк = (и>к9 гк_г)9 ск = (гк, ук—ук-г)9
4 = (^-1, Ук—Ук-гЬ ^ = (М. Щ)-
2) Й = А*Л.
<*к = (Ах»к9 гк)9 Ък = {АхюкУ гк_г)9 ск = (гк, гк—гк.1)9
4* = ('*-!> >**—>**-!)> ек = (Ащ9 Ащ)>
359

3) 0 = А*В~1А, В = В*.
(*ь = (Ащ> Щ)> Ьк = (Ащ, щ^), ск={хюк> гк—гк^.1)9
4*=К-1. гк—гк-г)9 ек = (В-*Ащ> Ащ).
§ 5. Ускорение сходимости двухслойных методов
в самосопряженном случае
1. Алгоритм процесса ускорения. В п. 5 § 1 было установлено,
что в случае самосопряженного оператора О В А двухслойные
градиентные методы обладают асимптотическим свойством. Оно
проявляется в том, что для больших номеров итераций скорость
сходимости метода существенно понижается по сравнению с
началом итераций. Было также показано, что для больших
номеров итераций погрешности, рассматриваемые через одну
итерацию, становятся почти пропорциональными.
Используя это свойство, построим сейчас процесс ускорения
сходимости двухслойных градиентных методов.
Для решения уравнения
Аи = ! A)
рассмотрим двухслойный градиентный итерационный метод
в Уы-У*+Аук = и * = 0, 1, .... у^Н, B)
(Ра,к, гк) , 0 1 C)
Пусть оператор И В'1 А самосопряжен в Я. Тогда
итерационный метод обладает асимптотическим свойством, и при
достаточно большом номере итераций к имеет место приближенное
равенство
2*+2^рЧ> гк = ук—и. D)
Рассмотрим сначала случай, когда в D) выполняется строгое
равенство, т. е. гк+2 = р*гк. Построим по найденным уже
приближениям ук и ук+2 новое приближение по формуле
# = <%+2 + A— а)ук, а=1/A— р2). E)
Для погрешности г = у—и получим
г = агк+2 + (\—а)гк = (ар*+1 — а)гк==[\—аA—р2)]гк==0.
Следовательно, в случае выполнения строгого равенства D)
линейная комбинация E) приближений ук и ук+2 дает точное
решение уравнения A).
Как было отмечено в § 1, выполнение точного равенства в D)
является исключительным случаем, имеющим место лишь для
специального начального приближения. В общем случае имеет
место приближенное равенство D), а приведенные выше рас-
360

суждения позволяют надеяться, что некоторая линейная
комбинация ук и ук+2 будет давать хорошее приближение к решению
исходной задачи.
Найдем наилучшую среди таких линейных комбинаций. Пусть
Ук> Уь+1 и Ун+2 — итерационные приближения, полученные по
формулам B), C). Будем искать новое приближение у по формуле
У = Щк+2 + A—а)ук. F)
Поставим задачу выбрать параметр а так, чтобы норма
погрешности г = у—и в Нв была минимальной.
Сначала, используя схему B), исключим из F) ук+2. Получим
Вук+2 = (В—хк+2А) ук+1 + хк+2{
и после подстановки ук+2 в F) будем иметь
Ву = а(В—гк+2А)ук+1 + A— а)Вук + атк+2{, G)
где ук+1 находится по двухслойной схеме
Вук+1 = (В-тк+1А)ук + тк+1Г. (8)
Если считать, что ук—заданное начальное приближение, то
схема G), (8) совпадает со схемой метода сопряженных
направлений, причем параметры хк+1 и хк+2 совпадают с такими же
параметрами метода сопряженных направлений. Из теории этого
метода следует (п. 1 § 4, формула C)), что оптимальное
значение параметра а определяется формулой
а = 7^— г. (9)
1 Хк+2 (Р^к + Ъ гк + 1) V '
хн+1 (Ои>к, гк)
, Итак, поставленная задача о наилучшем выборе параметра а
решена. Формулы F), (9) определяют ускоряющую процедуру.
Заметим, что для нахождения у можно пользоваться не
формулой F), а вычислять у по следующей двухслойной схеме:
Ву=(В—хк+2А)ук+1 + хк+21,
гДе хк+г и гк+2 — корни уравнения
*2—а(т*+1 + тЛ+я)т + атЛ+1тА+2 = 0.
В качестве тк+1 следует взять минимальный корень.
Использование A0) вместо F) позволяет не увеличивать объем
запоминаемой промежуточной информации.
2. Оценка эффективности. Оценим теперь эффективность
способа ускорения. Прежде чем вычислять норму погрешности
г = у~и в #0, преобразуем выражение (9) для а.
Замена гк = 0-1^хк в (9) дает
V Тк + 1 (Схк, Хк) ) ' 1 ;
361

Из A0) и A1) § 1 имеем
К + хНр^К
Из формулы (9) § 1 получим
Хн+Л-Рк+гЫ Р1+1-1 (Схк9СхкЦхк? # ^
__ (Схк, хк)
т^+1- (Схк,Схк) • A3)
Используя A2) и A3), найдем
Тк + 2 (Схк + и Хк + 1) ^ Рл?+2 2
тк+1 (Схк, хк) 1-р|+1 Р*+*в
Подставляя это выражение в A1), получим
а== 1 9о2 Т7J п2 • A^)
Вычислим теперь норму погрешности г = у—и в Нп. Из F)
получим
г = агк+2 + A— а)гк.
Отсюда для эквивалентной погрешности гк — 01/2хк и х = Ох12г
будем иметь х = ахк+2 + (\—а)хк. Вычислим норму х в Н.
Получим
И2 = а2|1**+2|12 + 2аA-а)(*Л+я, х,) + A-аJК!12.
Из доказанного в п. 5 § 1 равенства (хк+2, хк) = 1хк+1\\2 следует
1к112 = ^11^ + 2||2 + 2аA-а)||л:,+1|12+A-схJ||л:,||2.
Подставляя сюда выражение A4) для а и используя A2),
получим
ИР= р2 П-Х~% р* Ах^Г< \\Ч+А* • A5)
Так как рА+1<РА+2<Р< 1, то
1-2р1+1 + р!+1р1+2>A-р2J,
следовательно, для нормы х имеет место оценка
В силу асимптотического свойства для достаточно больших
номеров к имеем р^+1^Рл+2> поэтому эффект ускоряющей
процедуры будет значителен.
Отметим, что хотя эффективное ускорение сходимости имеет
место для больших номеров итераций к, этим способом
можно пользоваться и для любого номера итераций.
Рекомендуется время от времени прерывать процесс итераций, прово-
362

димый по двухслойной схеме B), C), и вычислять новое
приближение по предлагаемому способу. Процесс итераций можно
закончить на вычислении такого приближения, если для
найденного ук+2 будет выполняться неравенство
Р6+2~~Р&+1 И- ||2 <* „Чу I!2
Р^+111 ^Рл+1 Т-Ра+1 Р/г+2/
Действительно, в этом случае получим в силу A5) \у—и||/>^
^81#о— и||я> т- е- требуемая точность е будет достигнута.
3. Пример. Для иллюстрации эффективности предлагаемого
способа ускорения сходимости двухслойных градиентных методов
рассмотрим решение модельной задачи неявным методом
скорейшего спуска. В качестве примера возьмем разностную задачу
Дирихле для уравнения Лапласа на квадратной сетке со =
= \хц = №, /Л), 0^ I ^ N. 0 ^ / ^ N. к = 1/Щ в единичном
квадрате
Ли = Л1и + Л2м = 0, х€®, и|7=0,
Ааи = и- х , а=1, 2. * '
Введем пространство Я, состоящее из сеточных функций,
заданных на со, со скалярным произведением
(и, V)= 2 и(х)и (х) к2.
хесл
Оператор А определим следующим образом: А = Аг + А2, Аау=*
= —Лау, #€Я, где V(x) = у(x) для х^со и а|7 = 0.
Задачу A6) запишем в виде операторного уравнения
Ли = Д / = 0. A7)
В качестве оператора В выберем следующий факторизованный
оператор: В = (Е + (дА1)(Е+ а)А2), со > 0, где со — итерационный
параметр.
Так как операторы А1 и А2 самосопряжены и перестановочны
в Я, то операторы А и В являются самосопряженными в Я.
Кроме того, легко показать, что операторы А и В являются
положительно определенными в Я. Следовательно, для решения
уравнения A7) можно использовать неявный метод скорейшего
спуска
вЛ^ + ^-'- *••■-•!&&■ * = ».'■••• 0«)
В этом методе Р = А и ОВ~1А = АВ~1А. Так как оператор
ИВ'1 А самосопряжен в Я, то для рассматриваемого метода имеет
место асимптотическое свойство. Из теории метода скорейшего
спуска (см. п. 1 § 2) следует, что скорость сходимости метода
в данном случае определяется отношением ^ = 71/72» гДе VI и
363

у0 — постоянные энергетической эквивалентности операторов А
и В: 71Я<Л<7»Я. 7х > °-
Поэтому итерационный параметр со выбирается из условия
максимальности |. В § 2 гл. XI будет показано, что
оптимальное значение со определяется по формуле
со:
-7=» $ = тг$'ш'
пк
л 4 э як
к2 2 !
при этом
26
„ = (АН 6)}^
Для рассматриваемого примера
к2 2 51П пк
СО :
2 14
1 + г]
51П Пк
_5_
" 2 5111 Я/2 '
/г2 1 + 81ПЯЛ ' ^2 /I2 1+51П лЛ
| = 31ПЯЙ.
Приведем результаты расчетов, когда начальное приближение
#0 выбиралось равным у0(х) = е^~Х2) для *(Е со, у0 |т= 0.
Требуемая точность е бралась равной 10~4, Л/' = 40.
В табл. 8 для некоторых номеров итераций к приводятся:
— относительная точность к-и итерации, рЛ =
^-хКд—величина, характеризующая уменьшение нормы
= \\ч\У\\ . .... _ _
погрешности при переходе от (к—1)-й итерации к /г-й итерации,
у[к) и 72*° — приближения для ух и у2, которые находятся как
корни квадратного уравнения
С1 —тл7) A —^*-1Т) = РлРа-1. к==2> 3» ••••
и итерационные параметры хк.
Таблица 8
к
1
4
26
27
28
29
46
47
48
49 |
МЫЫНя
3,6-Ю-1
2,3-10-]
1,8-Ю-1
1,4-Ю-1
3,9- Ю-3
3,4-Ю-3
2,9-Ю-3
2,4-Ю-3
1,6- Ю-4 1
1,4.Ю-4
1,2.Ю-4 !
9,9-Ю-5
?к
0,36203
0,63810
0,76998
0,81178
0,85175
0,85178
0,85183
0,85186
0,85226 1
0,85227
0,85229
0,85230
у[к)
77,31858
40,59796
26,87824
18,27141
18,26983
18,27026
18,26895
18,26677
18,26632
18,26664
18,26623
УBк)
236,1883
232,1435
233,4976
230,5962
230,6607
230,7191
230,7771
231,4121
231,4375
231,4612
231,4849
Ч
5,392-Ю-3
7,809-Ю-3
6,911-Ю-3
8,644-Ю-3
8,876-Ю-3
7,338-Ю-3
8,872-Ю-3
7,335-Ю
8,845-Ю-3
7,318-Ю-3
8,843-Ю-3
7,317-Ю-3
364

Заданная точность е была достигнута после выполнения 49^
итераций по схеме A8). Для е = 10~4 теоретическое число
итераций равно 59. Приведенные в таблице значения для рк хорошо
иллюстрируют асимптотическое свойство метода. Видно, что с
ростом номера итераций происходит замедление скорости
сходимости метода. Точность 4-Ю была достигнута за 26 итераций, а
на увеличение точности еще в 40 раз потребовалось провести
дополнительно 23 итерации. Величина рк монотонно возрастает
и для к = 26 имеем рк+1 — рк «3-10~5. Итерационные параметры
хк и тк+2 становятся почти равными.
Для сравнения приближенных значений у[к) и у{к) с точными
приведем уг и у2:
71=18,26556, у2 = 232,8036.
После выполнения 49 итераций ух было найдено с точностью
0,004%, а у2 — с точностью 0,6%.
Для ускорения сходимости метода была применена описанная
в п. 1 процедура ускорения. По приближениям у26 и у28,
найденным по схеме A8), было построено по формулам F), (9) новое
приближение у. Заданная точность е=10~4 была достигнута.
Применение построенного в этом параграфе способа ускорения
сходимости двухслойных градиентных методов позволило
уменьшить число требуемых итераций для рассматриваемого примера
приблизительно в 1,8 раза.

ГЛАВА IX
ТРЕУГОЛЬНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В главе изучаются неявные двухслойные итерационные методы,
оператору В в которых соответствуют треугольные матрицы. В § 1 рассматривается
метод Зейделя, для которого формулируются достаточные условия сходимости.
В § 2 исследуется метод верхней релаксации. Здесь дан выбор итерационного
параметра и получена оценка для спектрального радиуса оператора перехода.
В § 3 рассмотрена общая итерационная схема треугольных методов, указан
выбор итерационного параметра и доказана сходимость метода в норме Ид.
§ 1. Метод Зейделя
1. Итерационная схема метода. В предыдущих главах была
изложена общая теория двухслойных и трехслойных
итерационных методов, применяемых для нахождения приближенного
решения линейного операторного уравнения первого рода
Аи^1 A)
Эта теория указывает выбор итерационных параметров и дает
оценку для числа итераций соответствующих методов, причем
теория использует минимум информации общего характера
относительно операторов итерационной схемы. Отказ от изучения
конкретной структуры операторов итерационной схемы позволяет
развивать теорию с единой точки зрения и конструировать
неявные итерационные методы, оптимальные на классе операторов В.
В общей теории итерационных методов было показано, что
эффективность метода существенным образом зависит от выбора
оператора В. От выбора оператора В зависят как число
итераций, которое нужно выполнить для достижения заданной
точности е, так и число арифметических действий, требующихся на
реализацию одного итерационного шага. Каждая из этих величин
в отдельности не может служить критерием эффективности
итерационного метода. Поясним это утверждение. Пусть операторы
А я В самосопряжены и положительно определены в Я. Из теории
итерационных методов следует, что если в качестве оператора Э
взять один из операторов Л, В или АВ~1А, то число итераций
для рассмотренных в гл. VI—VIII итерационных методов (чебы-
шевского, простой итерации, методов вариационного типа и т. д.)
определяется отношением Ь — У\1у^ гДе VI и 7г — постоянные
энергетической эквивалентности операторов А и В: угВ ^ А ^ у25.
366

Поэтому, если выбрать В = Л, то получим максимально
возможное значение 1=1, и итерационцые методы дадут точное
решение уравнения A) за одну итерацию при любом начальном
приближении. Следовательно, указанный выбор оператора В
минимизирует число итераций. Однако для реализации этого
единственного итерационного шага.требуется обратить оператор
Ву т. е. оператор А. Очевидно, что при этом число
арифметических действий будет максимальным.
С другой стороны, для явных схем с В = Е требуется
минимальное число арифметических действий на одну итерацию, но
при этом число итераций становится слишком большим.
Итак, возникает задача оптимального выбора оператора В из
условия минимизации общего объема вычислительной работы,
которая должна быть-выполнена для получения решения с
заданной точностью.
Естественно, что в такой общей постановке эта задача не
может быть решена. В настоящее время развитие итерационных
методов идет по пути конструирования легко обратимых
операторов 5, среди которых выбирают операторы с наилучшим
отношением Ух/Уа- К легко обратимым или экономичным операторам
обычно относят такие операторы, обращение которых
осуществляется за число арифметических действий, пропорциональное
или почти пропорциональное числу неизвестных. Примерами
таких операторов являются операторы, которым соответствуют
диагональная, трехдиагональная, треугольные матрицы, а также
их произведения. В качестве более сложного примера приведем
разностный оператор Лапласа в прямоугольнике, который, как
было показано в главе IV, можно обратить прямыми методами
с малыми затратами арифметических операций.
Следует отметить, что использование в качестве оператора В
диагональных операторов позволяет уменьшить число итераций
по сравнению со случаем явной итерационной схемы. Однако
асимптотический порядок зависимости числа итераций от числа
неизвестных задачи остается таким же, как и для явной схемы.
Более перспективным направлением является использование
треугольных операторов В.
В настоящей главе и главе X будут рассмотрены
универсальные двухслойные неявные итерационные методы, оператору В
в которых соответствуют треугольные матрицы (треугольные
методы) или произведение треугольных матриц
(попеременно-треугольный метод).
Рассмотрение этих методов начнем с простейшего—с метода
Зейделя.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений A)
или в развернутом виде
м
.2 Я/уИу = й, 1 = 1, 2, ..., М.
367

о
В данном случае мы имеем дело с уравнением A), заданным
в конечномерном пространстве Н = НМ.
Итерационный метод Зейделя в предположении, что
диагональные элементы матрицы А = (а^) отличны от нуля (аафО),
записывается в следующем виде:
I М
2а,^*+»+ 2 ац№ = 11, '=1.2 М, B)
У = 1 / = I + 1
где у}к)— /-я компонента итерационного приближения номера к.
В качестве начального приближения выбирается произвольный
вектор.
Определение (&+1)-й итерации начинаем с *'=1:
м
аиУAк+1) = - 2 ОчУР + Ь-
/ = 2
Так как апФ0, то отсюда найдем у[к+1). Для 1 = 2 получим
м
/ = з
Пусть уже найдены у[к+1\ у{к+1\ • • •, г/й1'. Тогда у{к+1) находится
из уравнения
й^•I•^+1) = -2а,7У<^x,- 2 аиу^ + !,. C)
/=1 1=1+1
Из формулы C) видно, что алгоритм метода Зейделя является
чрезвычайно простым. Найденное по формуле C) значение у1к+1)
размещается на месте у{к\
Оценим число арифметических действий, которое требуется
для реализации одного итерационного шага. Если все а/у- не
равны нулю, то вычисления по формуле C) требуют М—1
операций сложения, М—1 операций умножения и одного деления.
Поэтому реализация одного итерационного шага осуществляется
за 2УИ2 — М арифметических действий.
Если в каждой строке матрицы А отлично от нуля лишь т
элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных
эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага
потребуется 2тМ — М действий, т. е. число действий,
пропорциональное числу неизвестных М.
Запишем теперь итерационный метод Зейделя B) в матричной
форме. Для этого представим матрицу А в виде суммы
диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц
А = ® + Ь + У, D)
36$

где
1 =
О
а21 О
#31 #32 О
ОД11 аЛ12 •"• аММ-1 О
, с/ =
«12
О
«
О
«13
«23
•
• * *
•
О
а2м
«
•
*
аМ-1М
О
Й>:
аММ
Обозначим через ук=--(у[к\ у{*\ ..., у(м) — вектор й-го
итерационного приближения.
Пользуясь этими обозначениями, запишем метод Зейделя
в виде
(® + Ь)ук+1 + Уук = Т, к = 0, 1, ...
Приведем эту итерационную схему к каноническому виду
двухслойных схем
(Я+ЩУм-у^ + Ау^Г, к = 0, 1,
Сравнив E) с каноническим видом
В
Ук+1—Ук
Т&+1
•АУк = ?> к==0> *>
У^Н. E)
Уо€Я,
находим, что В = @) + Ь, т^==1. Схема E) неявная, оператор В
является треугольной матрицей и, следовательно,
несамосопряжен в Н.
Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный
метод Зейделя, предполагая, что элементы а/у. матрицы А есть
числа. Аналогично строится блочный или векторный метод
Зейделя для случая, когда аи есть квадратные матрицы, вообще
говоря, различной размерности, а а/у- для [ Ф /— прямоугольные
матрицы. В этом случае у{ и /,- есть векторы, размерность
которых соответствует размерности матрицы аи.
В предположении невырожденности матриц аа блочный метод
Зейделя записывается в виде B) или в каноническом виде E).
2. Примеры применения метода. Рассмотрим применение
метода Зейделя для нахождения приближенного решения
разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона и эллиптического
уравнения с переменными коэффициентами в прямоугольнике.
Пусть на прямоугольной сетке со = {ху = (Иг19 /Л2) ^ О, 0 < *<
<Л^, 0^/^Л^2, На=1а/Ма, а=1, 2}, введенной в прямоуголь-
369

нике С = {0<л:а^/а, а=1, 2}, требуется найти решение
разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона
2
Л(/= 2 ух х = — <р(х), *€со, У(х) = 8(х), *€у, F)
а=1 а а
где ?={*//€ Г} — граница сетки со.
В данном примере неизвестными являются уAу ]) = у(х(/) во
внутренних узлах сетки. Если упорядочить неизвестные
естественным образом по строкам сетки со, начиная с нижней строки,
то разностная схема F) может быть записана в виде следующей
системы алгебраических уравнений:
-^('-1. »-ДгУ(*> 1-1) + (ъ + -$г)уA, /)-
—4?УA+1> 1)—7гУA> /+0 = ф('\ /)
для 1 = 1, 2, ..., Л^—1, /=1, 2, ..., #а—1 и у(х) = §(х) для *€?.
При этом неизвестные #(* —1, /) и у(/, / —1) предшествуют
*/(*, /), а #(* + 1, /) и уA, ] + 1) следуют за уA, /). Так как
в каждом уравнении связаны не более пяти неизвестных, то
в каждой строке матрицы А отличны от нуля не более пяти
элементов.
Для рассматриваемой системы точечный метод Зейделя будет
иметь следующий вид:
+ ^Ук^ + 1^) + -^Ук(^ /+1) + Ф(/, /),
1</<Л^1—1, 1</<#2— 1,
причем ук(х) = §(х), х^У Для любого &>0.
Вычисления начинаются с точки / = 1, / = 1 и
продолжаются либо по строкам, либо по столбцам сетки 0. Для
нахождения ук+1A, /) требуется 7 арифметических операций, а всего
на реализацию итерационного шага потребуется 7М операций,
где М = (Ы1—1) (Л/,—-1) —число неизвестных в задаче.
Для рассматриваемого примера оператор В в конечномерном
пространстве Н сеточных функций, заданных на со, со скалярным
произведением (и, V) =2 и>(х)у(х)кгкг, и, у^Н определяется
лге©
следующим образом:
Ву = (®+Цу=(^-+^уA, 1)-±уA-1, П—^гУа, /-1)=
370

где у €#, у^Н и у(х) — у(х) дл_я х^со. Здесь Я—множество
сеточных функций, заданных на со и обращающихся в нуль на у.
Рассмотрим теперь блочный метод Зейделя. Если обозначить
через У) = (#A» /), #B, /), ..., у(Ы1—11 /)) вектор, состоящий
из неиавестных на / строке сетки, то, как было показано в § 1
гл. I, разностная задача F) может быть записана в виде
трехточечной системы векторных уравнений:
-Г/_1 + СК,— К/+1 = /7> /=1, 2, ..., N.,-1,
где С—квадратная трехдиагональная матрица размерности
(Ыг—1)х(Л^—1), определяемая следующим образом:
(СУ,); = {2у-Н\у-Х1Х)и, у0/ = у„и. = 0.
Правые части Р} определяются формулами
#=> = (ЛЗфA, /)+|"Я@, /), Л1ФB, /), .... А&М-2, /),
/ЙФ^-1, /) + |-Я(^1( /)) для ] = 1, 2 ЛГ2-1,
/=} = &(!, /). §B. У). •••- 2(^-1, /)) для / = 0, ЛГа.
Блочный метод Зейделя для системы G) имеет вид
Су}*+1>= у<»+1)+ у$1 + Гр /= 1, 2 ЛГ.-1,
У^^Г; У%1 = Рыш, * = 0, 1, ....
(8)
и для нахождения у^к+1) требуется обращать трехдиагональную
матрицу С.
Если расписать схему (8) по точкам сетки, то получим
следующие формулы:
— -^Ун+Л*— М) + (|г + -^г) </*+!(*> /)—-^г»*+!('+1,/)=*
= ^Ук+Л*> 1 — 1)+4гУк(*> /+0 + ф(*\/), (9)
1<*<Л^—1, 1</<#2 — 1,
причем ук(х) = §(х), х^у для любого 6>0. Для нахождения
ук+1 на /-й строке нужно решить трехточечную краевую задачу
(9) с известной правой частью, например методом прогонки, и
полученное решение разместить на месте ук в /-й строке.
Блочному методу Зейделя соответствует следующий
оператор В:
371

Пусть теперь на сетке со требуется найти решение разностной
задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами
2
Ау = 2 (аа(х)у- ) — й(х)у = — <р(х), хбсо,
# (*) = &(*). хб7,
0<с1<аа(л:)^с2, я^со, а=1,2, О^^^^Х^, х^со.
Для рассматриваемой задачи точечный метод Зейделя при
упорядочении неизвестных по строкам сетки будет иметь
следующий вид:
для 1 = 1, 2, ..., Л^—1 и /=1, 2, ..., #2— 1, причем ук(х) =
= §■ (х) при я € V Для любого 6 > 0.
Оператор В в канонической форме итерационной схемы для
данного примера определяется следующим образом:
в»ы=(^^+'-^^+<т. 1))!т. я +
где пространство Н и множество Я определены выше.
3. Достаточные условия сходимости. Сформулируем теперь
некоторые достаточные условия сходимости метода Зейделя. Нам
потребуется следующая
Теорема 1. Пусть в уравнении A) оператор А
самосопряжен и положительно определен в И, Тогда двухслойный
итерационный процесс
ВУк+1х~Ук + Аук = [, Л = 0, 1, ..., */0<Е#, т>0, A1)
сходится в НА, если оператор В — 0,5тЛ положительно
определен в Я, т. е. выполнено условие
В>\А. A2)
Действительно, из A1) получим для погрешности гк = ук—и
следующую задачу:
В*&^ + Агк = 09 й = 0, 1, .... г0 = &-и. A3)
372

Установим для гк основное энергетическое тождество.
Подставим в A3) гк в виде г^у (з*+1 + г&) — у(~+1т ) и получим
^В~^А)^^ + ^А(гк+1 + гк)==0.
Умножим левую и правую части этого равенства скалярно на
2(гк+1 — гк) и учтем, что для самосопряженного оператора А
имеет место равенство (А(гк+1+гк), гк+1 — гк) = (Агк+19 гк+1) —
—(Агк9 гк). В результате получим основное энергетическое
тождество
Отсюда и из неравенств В — 0,5тЛ > 0, т>0 вытекает, что
||^+1||л <|гЛ||л, т. е. последовательность {ЦгЛ|д} не возрастает,
ограничена снизу нулем и является сходящейся. Тогда из
энергетического тождества следует, что
Ит((д—-Л) **+'"** , 1*Ц=**)=о. A4)
Далее, из неравенства В— 0,5тЛ > 0 вытекает, что |гЛ+1 — гЛ||->0
при к->оо. Замечая из A3), что А1^гк = — А~Х1*В (гк+1—гк)/т,
получим \\гк\\\^\\А-1\\\\В\\2\\2к+1 — гк\\2/х2-^0 при к->оо.
Сформулируем достаточное условие сходимости метода Зей-
деля.
Теорема 2. Если оператор А самосопряжен и положительно
определен в Я, то метод Зейделя D), E) сходится в НА.
Действительно, из E) и теоремы 1 следует, что достаточно
проверить неравенство @) + Ь—0,5Л > 0. Так как А = А*, то в
D) имеем II =Ь* и
(C>+Ь—0М)х9 х) = 095((@>+Ь—1Г)х, х) = 0,5(@)х, х).
Так как А положительно определенный оператор, то для
точечного метода Зейделя имеем ац>09 1^'^М, а для
блочного метода Зейделя матрицы а(~а*1>0. Следовательно,
®=Й>* >0. Таким образом, @) + Ь — 0,5Л > 0.
Приведем без доказательства еще одно условие сходимости
метода Зейделя.
Теорема 3. Если оператор А самосопряжен и не вырожден,
а все аИ > 0, то метод Зейделя сходится при любом начальном
приближении тогда и только тогда, когда А — положительно
определенный оператор.
Чтобы оценить скорость сходимости метода Зейделя,
используют различного рода предположения.
373

Например, если выполнено условие
2 КК?К|> '=1. 2, ..., М, ?<1, A5)
то метод Зейделя сходится со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем д, и для погрешности гп имеет место
оценка |гп\<цп||г0Ц, где ||гп\ = тах |#<я>—щ\.
1 < I < М
Действительно, из C) получим для погрешности г{^) = у^)—щ
однородное уравнение
1-1 М
аиг^ = - 2 ацг^ « - 2 а^\
Отсюда найдем
|2Л+1)
/=Г
Из A5) получим
м
/=1
М
/ = 4+1
|2^|+ Е
/=« + 1
1-1
**/
»<*> I
<
/=1
2И
м
♦.1+Е,|Т5г|||гЛ- С6)
/ = 1+1
^г у
/=1' "п I \ /=1
Подставляя эту оценку в A6), получим следующее неравенство:
1-1
1^+1>1<И
/=1
*и
~к+1
1-Х
а//
\ЧЬ
A7)
и1 + * 1-Х
/=1
Пусть тах|г^+1)| достигается при некотором 1~10> так что
1**+11 = 1^о+1I- Из (I7) при 1 = 10 получим
■1. ,\ / *0-1
>-?; = к.к« 1-2
д/в/
^о'о
с*11>
/=1 ' '°1° V \ /=1
отсюда следует оценка ||гл+1|К<7||гл||<.. .<^+1||г0||.
Утверждение доказано.
Условие A5) означает, что А является матрицей с
диагональным преобладанием. Для рассмотренных в п. 2 примеров
применения метода Зейделя условие A5) не выполняется (д= 1).
В этих примерах оператор А самосопряжен и положительно
определен в Н. Поэтому в силу теоремы 2 можно лишь
утверждать, что метод сходится в НА. Оценка скорости сходимости
в НА будет дана ниже после рассмотрения общей схемы
треугольных итерационных методов.
374

§ 2. Метод верхней релаксации
1. Итерационная схема. Достаточные условия сходимости.
Для ускорения сходимости метода Зейделя его модифицируют,
вводя в итерационную схему итерационный параметр со, так что
(в + Со1)гьь1=Й + ЛЛ = Л й = 0, 1, ..., у0€Н9 A)
где, как и раньше, матрица А представлена в виде суммы
А = 3>+Ь+Ц. B) *
Метод Зейделя соответствует значению со == 1.
Сравнивая A) с каноническим видом двухслойных
итерационных схем, находим, что
В=*3+со1, тл==со.
Как и для метода Зейделя, для рассматриваемого метода
оператору В соответствует нижняя треугольная матрица, так что
введение параметра со не выводит нас из класса треугольных
итерационных методов. Новым является вопрос о выборе
параметра со.
Если расписать итерационную схему A) по компонентам
вектора ук+1, то получим следующие формулы:
1-1 М
а/,^+1) = A-«)й,-^)-«2%^+1>-0) 2 ацУр + пГ, C)
У=1 1=1+1
для * = 1, 2, ..., М (найденное у1к+1) размещается на месте у(;к)).
Реализация одного итерационного шага осуществляется
примерно с такими же затратами арифметических действий, как и
в методе Зейделя.
Итерационный метод A) при со > 1 называется методом
верхней релаксации, при со = 1—полной релаксации и при со < 1 —
нижней релаксации.
В § 1 было доказано, что метод Зейделя сходится в НА для
случая самосопряженного и положительно определенного
оператора А. Для сходимости метода релаксации, помимо этих
требований, требуется дополнительное условие на итерационный
параметр со. Сформулируем достаточные условия сходимости
метода релаксации.
Теорема 4. Если оператор А самосопряжен и положительно
определен в Я, а параметр со удовлетворяет условию 0 < со < 2,
то метод релаксации A) сходится в НЛ.
Действительно, из теоремы 1 следует, что достаточно
проверить выполнение неравенства ^> + (оЬуО,5(дА при со > 0. Так
как Л = Л*>0, то оператор 3> самосопряжен и положительно
375

определен в Я и 1?=Ь*. Поэтому, используя равенство A4) § 1,
получим
((® + со1)л;, *) = A —0,5©)(й>*, *) + 0,5со (C>+Щх, х) =
= A — 0,5(о) (®л:, *) + 0,5со(Лл;, х).
При со < 2 отсюда следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 4 справедлива как для точечного
метода релаксации, когда в C) а{/—числа, так и для блочного
или векторного метода релаксации, когда в C) а/у-—матрицы
соответствующей размерности.
2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра.
Теорема 4 дает достаточные условия сходимости метода
релаксации, оставляя открытым вопрос об оптимальном выборе
параметра со. Особенность рассматриваемого итерационного
процесса A) состоит в том, что итерационный параметр со входит в
оператор 5=*3 + соЬ, который является несамосопряженным в Н
оператором. С несамосопряженным случаем мы уже имели дело
в § 4 гл. VI, где был рассмотрен метод простой итерации,
итерационный параметр для которого выбирался из различных
условий, например из условия минимума нормы оператора
перехода от итерации к итерации. Здесь же необходимо учесть
указанную выше особенность итерационной схемы. Выбор
параметра со из условия минимума нормы в НА оператора перехода
от итерации к итерации будет сделан в § 3 этой главы, где
будет рассмотрена общая схема треугольных итерационных
методов. В данном пункте параметр со для метода релаксации
будет выбираться из условия минимума спектрального радиуса
оператора перехода от итерации к итерации.
Напомним определение спектрального радиуса оператора
рE)= Нт {/|5^тах[^|, D)
п -> да к
где %к—собственные значения оператора 5. Спектральный
радиус обладает следующими свойствами:
рEя) = р»E), рE)<||5[ E)
и рE)=|5||, если 5—самосопряженный в Н оператор. Из E)
для произвольного оператора 5 получим ряE) = рEл)^||5Л||.
С другой стороны, из D) при достаточно большом п будем иметь
Переходим теперь к постановке задачи об оптимальном
выборе параметра со для итерационной схемы A). Получим сначала
задачу для погрешности гк = ук — и. Из A) найдем
C> + <оЦгк+1~гк+Агк = 09 к = 0у 1, ..., г0 = у0-и
или
2А+1 = 5гА, й==0> 1, ..., 5 = Я—со(^> + со1)-М. F)
376

Используя F), выразим г„ через г0:
гл = 5»г01 ||2„1<||5»|||2о||. G)
Оператор 5 является несамосопряженным в Н оператором,
зависящим от параметра со. Задачу об оптимальном выборе
параметра со сформулируем следующим образом: найти со из
условия минимума спектрального радиуса оператора 5.
Следует отметить, что мы не минимизируем норму
разрешающего оператора 5", как это следовало бы делать в силу
оценки G), а минимизируем спектральный радиус рE)
оператора перехода 5, для которого имеет место оценка ряE)^||5л||.
Однако в силу приближенного равенства ри E) «|| 5я || можно
ожидать, что для достаточно большого п указанный способ
выбора со окажется удачным.
Решение сформулированной выше задачи является сложной
проблемой, однако при некоторых дополнительных
предположениях относительно оператора А эта задача может быть
успешно решена.
Предположение 1. Оператор А самосопряжен и
положительно определен в Н{II = /,*, &> = &>* >0).
Предположение 2. Оператор А такой, что для любого
комплексного гфО собственные значения ц, обобщенной задачи
на собственные значения (гЬ + — 1/) х—\а@)х = 0 не зависят от г.
Используя эти предположения, докажем следующее утверждение, которое
нам понадобится в дальнейшем.
Лемма 1. Если оператор А удовлетворяет предположениям 1 и 2, то
все собственные значения задачи
Ах—Х&х^О (8)
действительны, положительны и, если X—собственное значение, то 2—Я —
тоже собственное значение.
В самом деле, положительность и вещественность собственных значений
Я следует из самосопряженности и положительной определенности оператора Л.
Далее, пусть К—собственное значение задачи (8), т. е.
Ах—Х&х= A+ Ц) х—(К— 1) @)х=:0, хф 0.
В силу предположения 2 будет иметь место равенство
(-1-*/)у-(к-1K)у = 0 или Ау-B-%)&у = 0.
Отсюда следует утверждение леммы.
Переходим теперь к решению задачи об оптимальном выборе
параметра со. Для этого необходимо оценить спектральный
радиус оператора перехода 8 = Е—со(© + со!)~М, т. е. оценить
собственные значения (я оператора 5:
5*—\1х = 0. (9)
Будем считать, что предположения 1 и 2 выполнены.
Следующая лемма устанавливает соотношение между собственными
значениями (л Задачи (9) и собственными значениями X задачи (8).
377

Лемма 2. Для ыф\ собственные значения задач (8) и (9)
связаны соотношением
(|Л_|-со--1J = со2|лA — Х)\ A0)
Действительно, пусть (и и А—собственные значения задач (9) и (8). Из
определения оператора 5 и разложения Л~*2) + /- + с7 следует, что (9)
может быть записано в виде
* —^—Цфх—^ + Щ * = 0, х 5*0. A1)
Покажем сначала, что при со Ф 1 все \1 отличны от нуля. В самом деле,
предположим, что |д, = 0. Тогда A1) принимает вид
со
Так как V — верхняя треугольная матрица, а ^)—диагональная (блочно-
диагональная) матрица, которая положительно определена в силу
предположения 1, то последнее равенство может иметь место для х Ф 0 тогда и только
тогда, когда со=1. Следовательно, мы пришли к противоречию,
предположив, что при со Ф 1 имеем |ы = 0.
Разделив левую и правую части A1) на У~р, получим
1^^^х-(у^+^и)х==о.
со у \1 \ У V )
Отсюда в силу предположения 2 находим
со У II
или
Лу-A+1=^)а>у = 0.
\ со У II )
Сравнивая это равенство с (8), получим соотношение
со У [х
Этим доказательство леммы 2 заканчивается.
Замечание. При доказательстве леммы 2
самосопряженность оператора А не использовалась. Соотношение A0) имеет
место и для случая любого несамосопряженного оператора А
в предположении невырожденности оператора *2>.
Из леммы 1 следует, что собственные значения А
расположены на действительной оси симметрично относительно точки
Л=1, причем ^€1Лтп> 2— Ятш], ?ЧтП>0. Поэтому из леммы 2
получим, что при со=й= 1 каждому Я;= 1 соответствует \х1= 1—со,
каждой паре %; и 2—%( соответствует пара ненулевых \1;,
получаемых решением уравнения A0) с % — к{. Следовательно, все
[X/ могут быть найдены как корни квадратного уравнения A0),
в котором в качестве К берутся все Я,., расположенные на
отрезке [Ят1п, 1].
378

3. Оценка спектрального радиуса. Найдем теперь
оптимальное значение параметра со и оценим спектральный радиус
оператора 5. Для этого исследуем уравнение A0):
»ха + [2 (со — 1) — со2 A — ^J] !^ + (« — 1 J = 0, A2)
где Ят1п<^<1 и 0<со<2.
Решая уравнение A2), найдем два корня
/соA-Я)+^соМ1 —^J-4(со-1)\а
МЛ, ю) = 1 2 ; >
' A3)
щ <*, со) = (М1-^)-/соМ21-^-4(со-1)^
Исследование дискриминанта уравнения A2) дает, что при о > со0 > 1,
где
0H ^1+тЛ ^Ъ Г=Т €A' 2)' {И)
корни (Ых и (и2 для любого Я^[Ат1П, 1] являются комплексными, причем
1^1 = 1(^2 1 = 0)—1. Поэтому спектральный радиус оператора 5 при со > со0
равен рE) —со—1 и возрастает по со. Если со = со0, то
М^плт <00) = 112 (^ПИШ С00) = С00—1,
и для Хт\п < А,^ 1 корни |1х и [12 снова будут комплексными и |м-1 | = ||И,21=
==оH— 1. Следовательно, в области со^=со0 оптимальным является значение
со = со0, которому соответствует р E) = со0 — 1.
Пусть теперь 1 < со < со0. Исследуем поведение корней щ и (и2,
определяемых формулой A3), как функций переменной X при фиксированном со.
Если X принадлежит отрезку [Хт\п, Л0],
^пнп <^ ^ <^ ^о — 1—2 - < 1,
то дискриминант со2 A —ЯJ—4 (со— 1 K неотрицателен и, следовательно, корни
Их и \12 действительны, причем максимальным является корень цг.
Покажем, что ^ (Я, со) есть убывающая функция X на отрезке [Хт[п, Х0].
Действительно, дифференцируя A2) по X и учитывая A3), получим
д\и__ 2Щ1 < 0
дХ 1/"со2 A—Л,J — 4 (со— 1)
Следовательно, корень цг (X, со) при 1 < со < со0 убывает при изменении X от
Хт\п до Х0, принимая следующие значения:
п ,л /^ со A—Ят1п) + Т^со2 A — Лт1пJ —4 (со— 1) \2
М^гтш Ю) = 1 2 ) '
\1г(Х0, со)=со—1.
Далее, если X меняется от Х0 до 1, то корни (и* и (ы2 комплексны и равны
по модулю: 11*11 = | |хг | = со— 1. Следовательно, если 1 < со < со0, то
Л/^ „ п п\ ( Ю ° ~Хт[п) + ^ A -^шJ-4 (со-1) V
Если со < 1, то все корни уравнения A2) действительны, максимальным
является корень ^, значения которого убывают нри изменении X от Хтщ
379

до 1. Следовательно, при © < 1 спектральный радиус оператора 5
определяется формулой A5). Так как при со = 1 ненулевые ць удовлетворяют
уравнению A2), то A5) имеет место и при со=1.
Итак, если 0 < со < со0, то спектральный радиус оператора 5 определяется
формулой A5). Покажем, что ^ (Хт-1П, со) убывает по со в интервале 0 < со < со0-
Действительно, так как при со < со0 корень ^ убывает по X для Я,^Я,0)
а [X! (О, со) = 1, то цг (Ят1п, со) < 1.
Далее, из A5) получим
ам*п,ш, со)^- Л_гш1я+_^(»-^.)'-2 \
^ ^ V ""П^^шМ1-Яп,1пJ-4(со-1)У
^/ц1[(о2A-Ят!пJ-2(Ц>-1)+A-Ят1П)(о^шЧ'-^т1пJ-4(а)-1)-2]
© /(о2A_Хт1пJ_4(о)-1)
Подставляя сюда A3), окончательно найдем
д|*1 2 У^ЦхСц] —1) <0
5@ и /(оМ1-^тшJ-4(о)-1)
Утверждение доказано. Следовательно, в области <й=Ссо0 оптимальным
является значение <в = со0, которому соответствует
(р5) Юо~^ттп~^~г-^тт7^; * л-^
пип
Заметим, что из проведенных выше исследований вытекает, что если б —
оценка для Хт\п снизу, т. е. б =<^т1п» а °> выбрано по формуле A4) при
замене Хт-т на 6, то со0^со, р(^) ^ I * ~ У ^ ) , г] = 5—^
\1+/л'
Итак, доказана следующая
Теорема 5. Пусть выполнены предположения 1 и 2 и б—
постоянная из неравенства
6®<Л, б>0. A6)
Тогда для спектрального радиуса оператора перехода 8
итерационной схемы A) я/ш оптимальном значении параметра со,
со = со0 = _ A7)
0 1+1/6B—6)' '
справедлива оценка
рE)<(ттй)',,|=^' A8)
причем, если в A6) достигается равенство, то равенство имеет
место и в формуле A8).
Итерационный метод A), A7) является методом верхней
релаксации, так как со0 > 1.
4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. Рассмотрим применение метода верхней
релаксации для нахождения приближенного решения разностной
задачи Дирихле для уравнения Пуассона, заданной на прямо-
380

угольной сетке <о = {хц=Aк19 /й2)€ 0^ 0<*<Л^, 0</<#8,
Ла = /а/^а,ос= 1, 2} в прямоугольнике 0 = {0^лга<!/а, а=1, 2}:
.2
А#= 2 У^* = —ф(*)> *€<*, у (*) = *(*), *€?. A9)
а= 1 а а
Оператор А в пространстве Я сеточных функций, заданных
т со со скалярным произведением
(и. 0)= 2 и(*Ж*)АЛ
определяется обычным способом: Л*/ =—Лу, у 6 Я, */€#. Как
мы уже знаем, оператор Л, соответствующий задаче A9),
является самосопряженным и положительно определенным в Н.
Следовательно, предположение 1 выполняется.
Рассмотрим сначала точечный метод верхней релаксации.
Если неизвестнее упорядочены по строкам сетки со, то
разностная схема A9) может быть записана в виде следующей
системы алгебраических уравнений:
— /^(Ч-М)—т||0A\/+1) = ФA\ /)
для * = 1, 2, ..., Л^—1, /=1, 2, ..., #2— 1 и у(х) = §(х),
Такой записи оператора А соответствует представление А в
виде суммы А = @>+Ь-} II, где
&У = (ц + ц)у>
1у(*\/) = — ТлУУ— 1> /) —Т5У(*./—1).
Ъ*у\* *> и н*1
УуA,1) =—т*уA+1> 0—Т2УA>1 + 1)-
Н\*^ ' ' " Н\1
Для рассматриваемой системы точечный метод верхней
релаксации в соответствии с формулой C) будет иметь следующий
вид:
РУа+10—1. /) +
+ цУк+Л1> 1—1) + цУкA+1* П + цУкA> /+1) + Ф0. /I
для I = 1, 2, ..., Л^— 1, /=1,2,..., #а— 1, причем ук (х) = §■ (л;)
при лг^Т Аля любого й^О.
381

Вычисления, как и в методе Зейделя, начинаются с точки
*= 1, у= 1 и продолжаются либо по строкам, либо по столбцам
сетки со. Найденное ук+1{ь, /) размещается на месте укA9 /).
Докажем теперь, что для рассматриваемого примера
предположение 2 выполняется. Для этого нужно показать, что для
любого комплексного гфЬ собственные значения \х задачи
у(х) = 0$ х$у
не зависят от г.
Действительно, полагая здесь
уA, /) = г'+'я (*,/), 0<*<ЛГ1э 0</<#2,
получим
±1,(;-1, 1) + ^A9 /_1) + ±*(* + 1, П + ^A, 1 + 1) +
1<*<#!—1, 1</<#, —1, 1>(х) = 0, х€у.
Следовательно, \1 не зависит от г.
Осталось найти оптимальное значение параметра со. Для
этого необходимо найти или оценить снизу минимальное
собственное значение задачи (8), которая для данного случая
записывается в виде
Уы+УхЛ+х(ц+ц)у=0' х$<»> у(*)=о, х$у.
Так как собственные значения разностного оператора Лапласа
АУ = УхЛ + У*л известны
то
К=
К
•ц**Ф
=4{ц+
+ А»!
ч)=
51п-2/г-
2Н\ . ,
к<х —
■1,2,.
2к\
81Г1
2 #2Я^2
21ш '
Следовательно,
2Н\ 2я^ 2к\ . 2пк2
382

и параметр со0 находится по формуле A4). В частном случае,
когда О—квадрат со стороной / (^1 = '2~0 и сетка квадратная
№1 = М2 = М), имеем
Хт1п = 2зт2^, со0 = -, *1 = *ё2^,
- . Я
1—5111 —
1+5111-^
Заметим, что спектральный радиус оператора перехода
соответствующего точечного метода Зейделя оценивается по
формуле A5), в которой следует положить со = 1. Это дает рE) =
= A — ^ш1пJ = с°з2 "^г» что значительно хуже, чем для метода
верхней релаксации.
Рассмотрим теперь блочный метод верхней релаксации. Если
в блок объединить неизвестные */(/, /) на /-й строке сетки, то
блочной записи оператора А соответствует следующее
представление А = @> + Ь+0, где
^(<> /) = — «»('»/—О. ^0". /) = —мУО". /+ О-
 ™2
Расчетные формулы для блочного метода верхней релаксации
имеют вид
— щУк+г 0" — 1. /) + (л| + л|)у*+1 <*• Я—ЩУь+1 (' +]> /) =
1<^<Л^1— 1, 1</<#,—1,
причем ук(х)=8(х), х$у для всех &>0. Для нахождения г/й+1
на /-й строке необходимо решать, например, методом прогонки
трехточечную краевую задачу.
Покажем, что для рассматриваемого примера предположение
2 выполнено, т. е. собственные значения \х задачи
1
383

не зависят от г. Это легко устанавливается при помощи замены
Найдем теперь оптимальное значение параметра со.
Соответствующая задача (8) имеет вид
Йл+^+^^-Йл). *€©. B0)
у(х) = 0, х^у.
Несложно проверить, что собственными функциями задачи
B0) являются
УьМ^зт-^вт-^. B1)
Подставляя B1) в B0), найдем
^л=="у—Г2-» ^сс =1,2, ..., Ыа — 1, к = (к1,к2),
Т& + Х*
где
\^=±з1п"^, йа = 1, 2 ^а —1. а-1,2.
а
Отсюда получим
2Я2 81ПЯ —-+2Л]. 51П2 —-^
Для рассмотренного выше частного случая будем иметь
Ц-2зт^ A+/281п^)
, . ■ У2 51П 77x7 \
Ч = 2зШ^. р<5)-( __Н. «1_2УТ^
^ 1 1+ /25111^. ' "
Сравнивая оценки спектрального радиуса блочного и
точечного методов верхней релаксации, находим, что блочный метод
будет сходиться в У 2 раз быстрее, чем точечный метод. С
другой стороны, блочный метод требует большего числа
арифметических действий, затрачиваемых на реализацию одного
итерационного шага, чем точечный метод.
В заключение приведем число итераций для точечного метода
верхней релаксации в зависимости от числа узлов N по одному
направлению для е= 10~4. В качестве модельной задачи возьмем
384

разностную схему A9) на квадратной сетке с Ы1 = М2 = М и
ф(л;) = 0, ^(х) = 0. Начальное приближение у0 (х) выберем
следующим образом: у0{х)~ 1, л; €<*>,, у0(х) — 0, х^у.
Процесс итераций будем оканчивать, если выполняется
условие
КЩОКЦд. B2)
Из теории метода следует, что для погрешности гп имеет
место оценка |]2п||л<||5ге||л||20||л, и так как спектральный радиус
оператора меньше либо равен любой нормы оператора, то ргеE)^
^||5га||л. Поэтому условие ргаE)^е нельзя использовать для
оценки требуемого числа итераций.
Приведем число итераций п, определяемое из условия B2),
и для сравнения найдем число итераций п*, которое следует
из неравенства р"E)^е:
# = 32 п= 65 п*= 47
Ы = 64 п-128 п*= 94
#=128 я = 257 п* = 187
Сравнение числа итераций для метода верхней релаксации и
явного чебышевского метода, рассмотренного для задачи A9) в
п. 1 § 5 гл. VI, показывает, что метод верхней релаксации
требует примерно в 1,6 раза меньше итераций, чем явный че-
бышевский метод. Число арифметических действий,
затрачиваемых на одну итерацию, в этих методах практически одинаково.
5. Разностная задача Дирихле для эллиптического
уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим теперь
применение метода верхней релаксации для нахождения
приближенного решения разностной задачи Дирихле для уравнения с
переменными коэффициентами в прямоугольнике
2
Л*/= 2 (аа(х)у )Ха—<1(х)У = —Ч>(х), х€ы,
у(х) = §(х), х$у, B3)
считая, что выполнены следующие условия:
О <^1^^а(^Хс2, х^(о, а=1, 2,
0<^<й(л;Хй2, х$<о.
Для задачи B3) точечный метод верхней релаксаций при
упорядочении неизвестных по строкам сетки со описывается
формулой
+со р^^'-1' я+^и^е. /-1)+
+ ЬЙ+^^ + 1| 1)+5^кПу\{1ш / + 1) + ф(,, /)] ,
1</<ЛГ1— 1, 1</<#а — 1, B5)
13 А. А. Самарский, Е. С. Николаев 38&
B4)

где
ЬA, /) = ММ) + МИ-1./) + МЛ/)+М*,/+1) +а(/> /}
и ^/л(л;)==^(л:)» -^€7 Для любого &^0.
Для рассматриваемого примера операторы 3>9 Ь и I/
определяются следующим образом:
Щ = Ь#.
Предположения 1 и 2 выполняются, что доказывается так же,
как и для примера из п. 4.
Для того чтобы найти параметр со, необходимо оценить
постоянную б в неравенстве Л^б<2). Эта задача была решена
ранее в п. 3 § 5 гл. VI, где рассматривался простейший
неявный чебышевский метод для разностной задачи B3). Приведем
оценку для б:
б= гаш гт—г+ ппп
0<л:2</2>С1(Х2) о<*х< 1х**(хт) *
где иа(*р) = тах Уа{х)> C = 3—а, а= 1, 2, а уа(л:) есть решение
°<*а</а
следующей трехточечной краевой задачи:
(а^а)ха—2 ^ = —Ь(х), К < *а < /а — К>
юа(х) = 0, ха = 0, /а,
йэ<хр</р—Ар, р = 3 —а, а=1, 2.
Итерационный параметр со находится по формуле A7):
2
со = соп =
1+ /6B-6)
Для сравнения описанного метода верхней релаксации с
простейшим неявным чебышевским методом, рассмотренным в
п. 3 § 5 гл. VI, приведем число итераций метода верхней
релаксации для следующего модельного примера. Пусть
разностная схема B3) задана на квадратной сетке с Ы1 = М2 = Ы и
ф(х) = 0, §(х) = 0. Коэффициенты аг(х), а2(х) и й(х) выберем
следующим образом:
аг (х) = 1 +с[(х1-0,5у + (х2-0,5J],
аг(х) = 1+с[095-(х1—0,5у—(хж-0,5)*]9
й(х)зО, с>0.
386

При этом в неравенствах B4) сг = 1, с2 = 1 + 0,5с, Л1 = A2 = 0.
Начальное приближение для итерационного метода верхней
релаксации B5) выберем следующим образом: у0(х)=1, х^ы,
у0(х) = 0, х$у, и процесс итераций будем оканчивать при
выполнении условия B2).
В табл. 9 приведено число итераций для метода релаксации
в зависимости от отношения с2/с1 и от числа узлов N по одному
направлению для 8 = 10~4. Для случая, когда аа{х)==\ и
й(х) = 0, число итераций метода верхней релаксации приведено
в п. 4 настоящего параграфа.
Таблица 9
С1/Съ
N = 32
N=.64
2 8 32 128 512
65 81 95 96 98
129 164 192 193 195 |
Из табл. 9 следует, что число итераций метода верхней
релаксации для модельного примера примерно в два раза меньше
числа итераций простейшего неявного чебышевского метода.
Так как число арифметических действий, затрачиваемых на
реализацию одного итерационного шага, для указанных методов
одинаково, то метод верхней релаксации примерно в два раза
эффективнее простейшего неявного чебышевского метода.
§ 3. Треугольные методы
1. Итерационная схема. В §§ 1, 2 были изучены два
метода— метод Зейделя и метод релаксации. Эти методы
принадлежат классу неявных двухслойных методов, оператору В в
которых соответствует треугольная или блочно треугольная матрица.
В каноническом виде итерационная схема методов имеет
следующий вид:
(® + со1)^±^ + Лг/л = /, Л = 0, 1 #0€#, A)
где 3) и Ь—операторы из разложения А на сумму
диагональной, нижней и верхней треугольных матриц
Л = ®+1 + 1/. B)
Методу Зейделя соответствует значение параметра со = 1.
Для случая самосопряженного и положительно определенного
в Н оператора А достаточное условие сходимости в НА
итерационного метода A) имеет вид,
0 < со < 2. C)
13* 387

В § 2 мы рассмотрели вопрос об оптимальном выборе
итерационного параметра со. Считая, что выполнены предположения
1 и 2 и априорная информация задана в виде постоянной б из
неравенства
6®<Л, 8>0, D)
мы доказали, что оптимальное значение со, при котором
минимизируется спектральный радиус оператора перехода 5 схемы A),
определяется формулой
2
со = со0 = г . E)
0 1+/6B — 6) Ч '
В пп. 4, 5 § 2 были рассмотрены примеры задач, для которых
предположения 1 и 2 выполнены. Эти предположения выполнены
и для более сложных задач, например для пятиточечной
разностной схемы, аппроксимирующей на неравномерной сетке
в произвольной области задачу Дирихле для эллиптического
уравнения с переменными коэффициентами.
Существуют, однако, примеры задач, для которых
предположение 2 не выполняется. К ним относятся разностная задача
Дирихле для эллиптического уравнения со смешанными
производными, разностная задача Дирихле повышенного порядка
точности и другие.
Неуниверсальность способа выбора итерационного параметра со
и отсутствие оценок скорости сходимости метода в какой-либо
норме являются основными недостатками теории, развитой в § 2.
В настоящем параграфе будет рассмотрена общая схема
треугольных итерационных методов, для которых итерационный
параметр со выбирается из условия минимизации в НА нормы
оператора перехода. Здесь же будет найдена оценка скорости
сходимости метода в НА в предположении самосопряженности
и положительной определенности оператора А.
Рассмотрение треугольных методов начнем с преобразования
итерационной схемы A). Введем операторы Яг и Я2 следующим
образом:
Тогда разложение B) будет иметь вид
А = Кг+Кш, F)
и если А—самосопряженный в Н оператор, то операторы /?х
и К2 сопряжены друг другу
*!«/«. G)
Подставляя Ь = К1—-^^ в A) и обозначая
т = 2со/B—со), (8)

запишем итерационную схему A) в эквивалентной форме
(& + хКг)У1*^ + Аук = 19 * = 0, 1 г/0€Я, (9)
причем в силу C), (8) т>0.
Схему (9) можно рассматривать независимо от схемы A).
Именно, пусть самосопряженный в Я оператор А представлен
по формуле F) в виде суммы сопряженных друг другу
операторов /?! и ^?2, а <2>— произвольный самосопряженный
положительно определенный в Я оператор. Итерационную схему (9)
будем называть каноническим видом треугольных итерационных
методов. Мы сохраняем название треугольные методы и в том
случае, когда матрицы, соответствующие операторам Ях и #2,
не являются треугольными, а матрица, соответствующая
оператору *2>, не есть диагональная матрица.
Из теоремы 1 следует, что для положительно определенного
оператора А итерационный метод (9) при т > 0 сходится в НЛ.
Действительно, для этого достаточно установить справедливость
неравенства ^>+гЯг > 0,5тЛ. Из G) получим
(Ах, х) = (Я1х, х) + (К2х9 х) = 2(Ягх, х) = 2(#2#, х) A0)
и, следовательно,
((Ф + хК^х, х) = C)х9 *) + 0,5т(Лл;, х) > 0,5т (Лл:, х),
что и требовалось доказать.
В заключение отметим, что методу Зейделя в схеме (9)
соответствует значение т = 2, а методу верхней релаксации—
т= 2/1/8B—6).
2. Оценка скорости сходимости. Оценим теперь скорость
сходимости итерационной схемы (9) в Ял, предполагая, что
А—самосопряженный положительно определенный в Я оператор.
Переход в (9) к погрешности гк = ук—и дает однородную
схему для гк
Вгк+*-гк+Агк = 0, к = 0, 1, ..., г0=у0-ы, В = 3> + %Я±>
т
откуда получим
гй+1 = 5г„ 6 = 0,1 8 = Е-хВ^А,
\\гк+1\\л<\\8\\АШл. { '
Оценим норму оператора перехода 5 в Ял. Из определения
нормы оператора получим
-;з[1-»й^+*'""%Г*,1- <12>
389

Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках.
Используя A0) и определение оператора В, получим^
(Ву, у) = C>у, */)+т (/?!*/, у) = (®у, у) + 0,5т (Лу, у).
Отсюда найдем т2(Л#, у) = 2т(Вуу у)—2%(&)у, у) или после
замены у = ВАх
т2(ЛВ-Мл;, В-1Ах) = 2т(В~1Ах, Ах) — 2% {ФВ'1Ах, В'1 Ах).
Подставляя это выражение в A2), будем иметь
Проведем дальнейшие преобразования. Полагая х=(В*)~1@I/2у,
получим
Так как оператор С самосопряжен и положительно определен
в Ну то, полагая у = С-1/*@)-1/*В^> найдем
(@>В-1Ах, В-1 Ах) (Ау, у)
(Ах, х) ~~ (Вт~^В*у, у) *
Итак, окончательно будем иметь
Отсюда получим, если уг—величина из неравенства
у1ВЗ>^1В*^А9 A3)
то
||5||л<A-2тТ1Г/,. A4)
Так как VI зависит от параметра т, то оптимальное значение
для т можно будет найти, получив при некоторых
дополнительных предположениях относительно операторов ^), /?х и /?2
выражение для уг.
3. Выбор итерационного параметра. Выберем теперь
параметр т. Нам потребуется
Лемма 3. Пусть б и А—постоянные в неравенствах
63><Л, ЯгФ-Ч}*^ А, 6>0. A5)
Тогда в неравенстве A3)
Т1 = 6/A+тб + т2-^). A6)
390

Действительно, так как В* =@>+т#2, то
= ^> + тЛ+т2#1^)-1#а.
Используя предположения A5), отсюда получим
В®-*В* < A/6 +т+т2Д/4) А.
Лемма доказана.
Итак, если априорная информация имеет вид постоянных б
и Д в неравенствах A5), то уг оценивается формулой A6).
Подставляя A6) в A4), получим
||5||2л<ф(т) = 1-2тб/A+т6+т2-^).
Осталось минимизировать функцию ф(т). Приравнивая
производную ф' (т) нулю, найдем
»("-т-')
Так как при т < т0 производная ф' (т) < 0, а при т > т0
производная ф' (т) > 0, то при т = т0_функция_ф(т) достигает мини- .
мума, равного ф (*о) = 0-]А])/A+]Л]), Ч = 6/Д. Итак,
доказана
Теорема 6. Пусть А и <2)—самосопряженные
положительно определенные в Н операторы, а б и Д—постоянные в A5).
Треугольный итерационный метод (9), F) при т = т0 = 2/|/бД
сходится в НА, и для погрешности гп справедлива оценка ||г„||л<:
^Ря11го1и- Яля числа итераций п справедлива оценка п^п0(е),
л0(е) = 1пе/1пр,
гдеНттШ'''ц=-*-'
4. Оценка скорости сходимости методов Зеиделя и релаксации*
Доказанная теорема 6 позволяет получить оценки скорости
сходимости в НА рассмотренных ранее методов Зейделя и
верхней релаксации. В п. 2 § 1 и п. 4 § 2 указанные методы были
применены для нахождения приближенного решения разностной
задачи Дирихле для уравнения Пуассона на прямоугольной
сетке
©Н*/у = (**!, №*), 0<4<^, 0</<#2, йа = /а/Ма, а=1,2}
&У = Ух1Х1+У12х2 ==— <р(х), *€со,
391

Итерационная схема этих методов имела вид A)г где
*•«/('. /)= —цУ('—1. })—цУA> I— 1).
^0(*\ /) = — ^(' + 1,/)—И У С/ +1)-
Для метода Зейделя в> = 1,а для метода верхней релаксации со
находилось по формуле E), где б из неравенства D) оценено
следующим образом:
в-/5+Ч8Ш,^+я|+чзш V- A7)
Приведем схему A) для рассматриваемого примера к виду (9).
Для этого определим операторы Ях и 7?а:
К1У= (^&+1}у=±#1+^уъ.
Очевидно, что
(Кг + К^У^Ау^ — Ау*= — #гл — Ух2х2.
Сопряженность операторов /?х и Я2 друг другу легко устанав-
ливается при помощи разностной формулы Грина. Как было
отмечено выше, методу Зейделя в схеме (9) соответствует
значение т = 2, а методу верхней релаксации—значениет=2/]/бB—6),
где б определено в A7).
Из A1), A4) и леммы 3 следует, что для получения оценок
скорости сходимости этих методов в НА требуется найти б и А
из неравенств A5). Постоянная б уже найдена. Найдем Д. Из
определения операторов @), Кг и #2 получим
(Я^-^, у) = 0,5—^(К& П2у). A8)
Далее,
(#2#, %М) = -щ (Ун , 0 — й"й7 Цхг, Ух.) +-ц (у1„ 1) <
(^)[(У^ 1)Му1,,1)]<Н^(Ау, у).
Подставляя эту оценку в A8), получим
(Я^-%*/, у)<±(Ау9у)
и, следовательно, в неравенстве A5) А = 2.

Оценим теперь скорость сходимости метода Зейделя и метода
верхней релаксации.
Из A1) получим
Ша<\№Ы\а
и, следовательно, для достижения точности е достаточно
выполнить п^пд(е) итераций, где п0 (е) = 1пе/1п||5||л. Из A4)
найдем
п0 (е) = 21п е/1п || 5 \\ > 1п ~/(т71). A9)
Для метода Зейделя из A6) получим (т = 2)
т?! = 26/A+48) B0)
и в частном случае, когда N1 = N3^ = N, 1г — 12~1, будем иметь
из A7), A9) и B0)
п0(е)«-^-1п}«0,1Л^Мп|.
В п. 1 § 5 гл. VI для явного метода простой итерации,
примененного для рассматриваемого частного случая, была
получена следующая оценка числа итераций: п0 (е) «0,2ЛР1п —.
Сравнивая эти оценки, находим, что для метода Зейделя
требуется примерно в два раза меньше итераций, чем для метода
простой итерации. Характер зависимости числа итераций от
числа узлов N по одному направлению для этих методов
одинаков— число итераций пропорционально Л/2.
Рассмотрим теперь метод верхней релаксации. Подставляя
в A6)
8 = 25Ш2-^, Д = 2 и т= , 2 ■ = ——,
2М /6B-6) 8,п.*_'
получим
т?1 = п т **^-т**-т-
24-21ег — Ир2 —
Из A9) найдем следующую оценку числа итераций для метода
верхней релаксации:
п0(е)«^1п4~0,64ЛПп1, B1)
т. е. число итераций для метода верхней релаксации
пропорционально числу узлов N по одному направлению.
393

В заключение приведем оценку для числа итераций, которая
следует из теоремы 6. При значении параметра т
2 1
т = т0 = _— =
У 8Ш2ЛГ
для числа итераций будет справедлива оценка
п^п0 (г) = 1п — /31П-т^г»0,64Л/" 1п —.
Заметим, что оценка B1) несколько завышена. Для того чтобы
убедиться в этом, нужно сравнить значения п0 (е), вычисляемые
по формуле B1), с числом итераций, приведенным в Л. 4 § 2.
Это связано с тем, что здесь число итераций оценивалось из
неравенства ||5[|л^е, а в п. 4 § 2 итерации проводились до
выполнения условия ||5я||д^е.

ГЛАВАХ
ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД
В главе изучается попеременно-треугольный итерационный метод *) решения
операторного уравнения с самосопряженным оператором. В § 1 излагается
общая теория метода, описана конструкция итерационной схемы и указан
набор итерационных параметров. Иллюстрируется метод на примере разностной
задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. В § 2 этот метод
Применяется к решению разностных эллиптических уравнений с переменными
коэффициентами и смешанными производными в прямоугольнике. Для
решения эллиптического уравнения с переменными коэффициентами на
неравномерной сетке в произвольной области в § 3 построен вариант
попеременно-треугольного метода.
§ 1. Общая теория метода
1. Итерационная схема. В § 3 гл. IX был изучен
треугольный итерационный метод решения уравнения
Аи = 1. A)
Итерационная схема этого метода имеет вид
ВУк^~Ук+Аук = Г, * = 0,1 */„€#, B)
1к+1
где тл = т, а оператор В = В1 = @)+тК1 определяется следующим
разложением оператора А на сумму операторов:
А =/^+#2, ^ = #2*, Л = Л*>0. C)
Относительно оператора 3> предполагается, что он
самосопряжен и положительно определен в Я, т. е.
® = ^)*>0. D)
Треугольный итерационный метод относится к классу методов,
итерационные параметры для которых выбираются с учетом
априорной информации об операторах итерационной схемы. Для
*) Метод предложен А. А. Самарским в 1964 г* (см. ЖВМ и МФ,
4, № 3, 1964) и усовершенствован в [8].
395

треугольного метода первичная информация состоит в задании
постоянных б и А из неравенств
6®<Л, Я^-^^Ал, 6>0. E)
Найденный в п. 3 § 3 гл. IX параметр т позволяет получить
точность е за /г0 = О AпA/е) Т^т}) итераций, где г) = б/А.
Отметим, что несамосопряженность оператора Я не позволяет
использовать в итерационной схеме B) набор параметров %к
и увеличить тем самым скорость сходимости метода. Однако
простота конструкции оператора В и возможность
разложения C) для операторов А любой структуры стимулировали
изучение возможных видоизменений треугольного метода. В
результате был построен попеременно-треугольный метод, сочетающий
универсальность построения оператора В с возможностью
выбора в схеме B) набора параметров тк.
Приступаем к изучению попеременно-треугольного метода.
Итерационная схема метода имеет вид B), где оператор В
определяется следующим образом:
В = C) + (оК1)9>-1(в> + (оЯш), ш>0. F)
Здесь со —итерационный параметр, подлежащий определению.
Будем далее предполагать, что для схемы B), F) выполнены
условия C), D) и заданы б и Д в неравенствах E).
Отметим некоторые свойства оператора В, определяемого
соотношением F). Если оператору 3>~\-а>Яг соответствует
треугольная матрица, а ^—диагональная, то В соответствует
произведение двух треугольных и диагональной матриц. В этом
случае обращение оператора В не является сложной задачей.
Покажем, что оператор В самосопряжен в Я, и если
оператор @) ограничен, то В положительно определен. Действительно,
в силу C) имеем равенства
(Ли, и) = 2 (Д,и, и) = 2 (#аи, и) > 0.
Отсюда и из D) следует, что операторы В1 = Я> + ©/?1 и В2 =*
= © + а>#2 являются сопряженными и положительно
определенными: В1 = (&+<оК1)*=& + (оК% = Вш, Ва>@>>0, 06=1,2,
поэтому
в* = (в^-1^)* = в;я>-*в; - вга>^в% - в.
Далее, так как 3) есть самосопряженный ограниченный и
положительно определенный оператор, то обратный оператор *Э~1
будет положительно определен в Н. Следовательно, используя
неравенство C>~хх, х)^й (х9 х), й > 0, выражающее
положительную определенность оператора ®, имеем
(Ви, и) = (&-*Вли, В2и)^й\В%и||2 > 0.
396

Из B), F) видно, что для определения ук+1 при заданном ук
надо решать уравнение
где ук~Вук—ък+1(Аук—/). Оно сводится к решению двух
уравнений
(® + ©/?!> V = фА, (® + со#2) уЛ+1 = ®о.
Возможен второй алгоритм реализации схемы B), F),
основанный на записи ее в виде схемы с поправкой
Ук+1 = Ук—*к+1и>к* Ви>к = гк,
где гк = Аук—/—невязка. Поправка шк находится решением
двух уравнений
(® + (оЦг) Щ - гк9 C> + со#2) хюк = вйок.
В этом алгоритме мы избавлены от необходимости вычислять Вук,
но обязаны хранить одновременно и ук, и промежуточные
величины ГЛ, ШЛ, ДОЛ.
2. Выбор итерационных параметров. Займемся теперь
исследованием сходимости итерационной схемы B), F). Так как
операторы А и В самосопряжены и положительно определены
в Я, то можно изучать сходимость в Я0, где в качестве О взят
один из операторов Л, В или АВ~гА (в последнем случае В
должен быть ограниченным оператором). Для указанного
оператора О оператор БВ~1А будет, очевидно, самосопряжен в Я и,
следовательно, согласно классификации главы VI, мы имеем
итерационную схему в самосопряженном случае.
Используя результаты § 2 гл. VI, мы можем сразу указать
для схемы B), F) оптимальный набор итерационных
параметров хк. Пусть 71 и Т2 взяты из неравенств
ТхВ^Л^т.Я. ?1>0. G)
Тогда чебышевский набор параметров {хк\ определяется
формулами
т*=т+к-' ^ад={со5^^^=^>^1> !<*<*}. кк«, я
_ 2 _ 1—6 ^ / ч_ 1п@,5е) % __ у± *°'
т°~уГРуГ' Ро-тнТ' п^по\г)- 1ПР1 . &-^г»
и для погрешности гп~уп—и итерационного метода B), F),
(8) имеет место оценка
2р« 1 т/ТГ
Это результат общей теории итерационных двухслойных
методов. Для схемы B), F) априорной информацией являются
397

постоянные б и Д в неравенствах E). Поэтому одной из задач
является получение выражений для уг и у2 через б и Д. Далее,
поскольку оператор В зависит от итерационного параметра со,
то 71 и у2 являются функциями со: у^уЛсо), 72 = 72(о:))- Так
как из оценки (9) следует, что максимальная скорость
сходимости будет тогда, когда отношение Б = ?1/?2 максимально, то
мы приходим к задаче о выборе параметра со из условия
максимума |. Сформулированные задачи решает
Лемма 1. Пусть выполнены условия C), D), оператор В
определен по формуле F) и в неравенствах E) заданы постоянные
б и Д. Тогда в неравенствах G) имеем
?1 = б/A+(об+1со2бД), Та=1/Bсо). A0)
Отношение ^ = 71/72 максимально, если
со = оH = 2/1/бД, A1)
при этом
^ = ШТъ' Та=77Г' |=ТТ7Г' " = т-<12>
Действительно, запишем оператор 5 в виде
В = (<2> + юДл) й) (Я) + ©/?,) = 3) + со (/?! + Д2) + (о2/?^/?,.
A3)
Учитывая, что Л^/^ + Т^^б^) или ^)^-^Л, получаем для В
оценку сверху
т. е. А^угВ, гДе ?1 определено в A0).
Преобразуем теперь формулу A3):
= C> — со/?!) й)-1 (Я) — ©/?,) + 2о>Л.
Отсюда следует
(Вг/, г/) = 2о>(Л*/, ^) + (®-1(®—о/?,)^ (Я)—©/?,)у).
Используя положительную определенность оператора Я),
получаем (Вг/, #)!>2св(Л#, у), т. е. Л ^7г^- Итак, уг и 72 найдены.
Рассмотрим далее отношение
| = |(со) = Т1/?а = 2соб/A+соб + -^-).
398

Приравнивая производную
26A—ш26А/4)
?(<»)■
нулю, находим со = со0 = 2/"^бА. В этой точке достигается
максимум ?(со), так как ^'(оH)<0. Подставляя найденное со в A0),
получаем A2). Покажем, что б^А, г]^ 1. Действительно, исгголь-
зуя равенство (Ах, х) = 2(#2х, х) и неравенство Коши—Буня-
ковского, из E) получим
8(®х, *)<(Ае, *) = 1^Ц1 = 4-^Ц1 =
V » / \ \ > / ^дх^ ^ ^дх^ ^
^<ДЛ?> X) у/\Ху X)
что и требовалось доказать. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда для
попеременно-треугольного метода B), F), A1) с чебышевскими
параметрами тд, определяемыми формулами (8) и A2), справедлива
оценка (9). Для выполнения неравенства |] гп Цд ^ е || г01|0 достаточно
п итераций, где п^п0(е)> п0 (е) = 1п— д2]/2^/г]), ту=6/Д. Здесь
Д = Л, В или АВ^А.
Для доказательства теоремы следует использовать лемму 1
и формулы (8) для итерационных параметров и числа итераций.
Рассмотрим теперь один прием, который используется при
построении неявных итерационных схем. Пусть в Н задан
самосопряженный и положительно определенный оператор /?,
энергетически эквивалентный оператору А с постоянными сг и с2:
^<Л<^/?, сг>0, A4)
и оператору В с постоянными уг и у2:
71В</?<725, тх>0. A5)
Предположим, что операторы А и В самосопряжены. Из A4)
и A5) для них получим следующие неравенства: у^^Л^Уг^»
71 = ^71» Тг3^?^- Изложенный прием позволяет при построении
оператора В исходить не из разложения C) оператора Л, а из
разложения оператора /?, который может быть выбран для
большого класса различных операторов Л одним и тем же. При
этом постоянные 71 и 7г в A5) могут быть найдены один раз,
и вся задача получения априорной информации для метода
ис2в A4).
399

Итак, пусть оператор # представлен в виде суммы
сопряженных операторов /?х и 7?2:
и вместо E) имеют место неравенства
4
б®<#, ^©-^2<А^, б>0. A7)
Оператор В для схемы B) построим по формуле F). Тогда
в силу леммы 1 при со =ч= со0 = 2/]/гбА в неравенствах A5) имеем
• __ 6 ° __ б I __ VI __ 2 У~г\ __ _6_ ,« «х
*~ 2A+1^)' Т2~4^' ё_^_1+^' ^-Д'1^
Отсюда следует
Теорема 2. Пусть А = А* > О, Й> == *3* > 0, выполнены
условия A6) и заданы сг и с2 в A4) и б, А в A7). Тогда 5ля
попеременно-треугольного метода B), F), (8), A1) с чебышевскими
параметрами 1ск, где у1 = с1у1 и Тг — ^Тг» а У± и ?2 определены
в A.8), справедлива оценка (9). Для выполнения неравенства ||гя||о^
^е||г0||^ достаточно п итераций, где
3. Метод нахождения исходных величин 8 и А. Из теорем 1
и 2 следует, что для применения попеременно-треугольного
метода требуется задать два числа б и А в неравенствах E)
или A7). В рассмотренных ниже примерах сеточных
эллиптических уравнений эти постоянные будут найдены в явном виде
или будут указаны алгоритмы для их вычисления. При этом,
естественно, используется структура операторов А, /?1Э /?2 и @).
Для общей теории итерационных методов, которая не учитывает
конкретную структуру операторов, необходимо предложить
общий способ нахождения априорной информации, требуемой для
реализации метода.
Этот способ может быть основан на использовании
асимптотического свойства итерационных методов вариационного типа
(см. п. 5 § 1 гл. VIII). Пусть операторы А и В самосопряжены
и положительно определены в Я. Если в итерационной схеме
В1!Ш=!!*+А, =о, й«0, 1,..., V0фО A9)
выбрать параметры хк+1 по формуле метода скорейшего спуска
т*+1= 12[,% » к = °> 1> •••> '* = *>» Вт* = гк, B0)
400

и для достаточно большого номера итераций п найти корни
*1^#2 уравнения
A-тпх)(\-гп^х) = рпр^19 рй = т|^э B1)
где \\-\\А—норма в НА, то хг к х2 будут приближениями к VI
.и у2 в неравенствах G) соответственно сверху и снизу.
Воспользуемся описанным способом. Рассмотрим
итерационную схему B), C), F). Заметим, что в силу леммы 1 для
неравенства G) у2 = 1/{2(о), а от априорных данных зависит лишь уг.
Мы попытаемся, не находя отдельно б и А для неравенств E),
сразу найти выражение для уг как функции итерационного
параметра со. Этому выражению мы придадим вид A0), указав
соответствующие 8 и Д значения. Тогда из леммы 1 найдем со0 по
формуле A1) и уг и у2, соответствующие со0, по формуле A2).
Для набора параметров хк используем (8).
Найдем искомое выражение для 71- Возьмем со = 0 и по
методу A9)—B1) найдем хх. Считая, что в A9), B0) проделано
достаточное количество итераций, и учитывая, что при со=*0
оператор 5 = ®, получим приближенное неравенство
х^^А, хг>0. B2)
Далее, возьмем ш^со^О и по методу A9)—B1) найдем х19
так что хг> 0 и
*1В<А или х1C> + &1А + ^К1а>'т1Ц^)^А9 B3)
причем видно, что хг(ог < 1. Запишем B3) в виде
ИХЯ> +х1ю?/?1®7?2<A — х^) А
и сложим с B2), которое предварительно умножим на
некоторый неопределенный пока коэффициент а > 0. Получим
(ахг +хг) й> + ^ю!/?!®-!/?, < A —ххщ +а) А. B4)
Разделим это неравенство на ахг + х19 добавим к правой и
левой частям слагаемое юА и выберем а из условия
х^\ = со3 (ах1 + х%); B5)
тогда преобразованное неравенство будет иметь вид
где
® + шЛ+со2/?1^-1#2=Я< — А,
1 1 Ш+1-*1*1!*. B6)
Из B5) найдем а:
а = хг (со2—со2)/^2^),
401

Так как а должно быть Положительным, то выражение B6)
будет иметь место для 0< со < со^ Подставляя найденное а в B6),
получим
— = —+ аЧ—1 2 <° •
XI Х1 #1*10I
Сравнивая это выражение с A0), получим, что в качестве б
и Д можно взять
б = л:1, Д = 4
#1*10I
Отметим, что со0, найденное по указанным б и А согласно A1),
будет принадлежать ^интервалу @, сох), если выполнено
неравенство 2х1^х1A—х1®1). Если это неравенство не выполняется,
то следует увеличить сох и провести указанные расчеты заново
(рекомендуется брать со1 = 2/х1).
4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. Проиллюстрируем попеременно-треугольный метод
на примере разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона
в прямоугольнике 0 = {0^ха</а, а=1, 2}:
АУ = У71Х1+Ух2х2 = -Ф (*)■ *€ю,
У(х)=В(х)> Х$У
на сетке со = {хи = (Нг^ /Ая) € 0, 0 < ь < ЛГ19 0 < /< Ы2, На = /а/#а,
а=1, 2} с границей у.
Для данного примера Я—пространство сеточных функций,
заданных на со, со скалярным произведением
(и, V) = 2 и (х) V (х) НгН2.
хесо
Оператор А определяется равенством Ау=—Ау, где у€Н9
у€Н и у(х)=у(х), х^со, а у(х) = 0 для х$у. Правую часть /
определим обычным образом: / (х) = ср (х) +-^"ф1(х) +-дгф2(л:)> ГДО
(#@, х2), ^ = А1Э
0, 2Л<^1</1-2А1,
( #(*1, 0), хя = А11
ср2(х)={ 0. 2/12<*2</2-2А2,
( 8(Хц Уэ х2 = 12—Н2.
Тогда задача B7) записывается в виде уравнения A).
Оператор Л самосопряжен и положительно определен в Я,
так как он соответствует разностному оператору Лапласа при
краевых условиях Дирихле.
402

Займемся теперь конструированием ©ператора В. Будем
рассматривать классический вариант попеременно-треугольного
метода, для которого в F) положим
® = Е. B8)
Определим теперь разностные операторы 5?х и 5?2, которые
действуют на сеточные функции, заданные на со, следующим
образом:
2 1 2 1
а=1 а=1
Очевидно, что 911+Э12 = А. Используя разностные формулы
Грина, легко получим, что для сеточных функций у(х)$Н,
и(х)€Н, т. е. заданных на со и обращающихся в нуль на у,
имеет место равенство
{ЯгУ, и) = (у, ЭД. B9)
Определим на Н операторы ^ и Я2 следующим образом:
ЯаУ=-—91аУ, а=1, 2, где у^Ну у^Н и у(х)=у(х), #€со.
Тогда в силу определения разностных операторов 5$а и
равенства B9) выполнены условия C), т.е. А = Я1 + К2, %1 = К1.
Учитывая B8), из F) получим следующий вид оператора В:
В = (Е + (дЯ1)(Е+^2).
Найдем теперь необходимую для реализации
попеременно-треугольного метода априорную информацию. В данном случае
она имеет вид постоянных б и А в неравенствах б/:<!Л,
/?1/?2^(А/4)Л. Очевидно, что в качестве б можно взять
минимальное собственное значение разностного оператора Лапласа
с 4 . о пНг , 4 . о пИ2
Оценка для А найдена в п. 4 § 3 гл. IX (операторы #х и /?а,
определенные здесь и там, совпадают). Имеем & = 4/к1 + 4/Н1.
Итак, необходимая информация о б и А получена. Из леммы 1
найдем оптимальное значение для параметра со0, а также VI и у2.
Итерационные параметры %к вычисляются по формулам (8).
В частном случае, когда N1 = N2 = N, /! = /2 = /, получим
г>8.9я А 8 б . 9 я
* 2 у Г] от/"" о • п Я
403

Из теоремы 1 для числа итераций п в этом случае будем
иметь п^п0(в), где
т. е. число итераций пропорционально корню четвертой степени
от числа неизвестных в задаче.
В п. 4 § 3 гл. IX для метода верхней релаксации,
примененного к решению разностной задачи B7), была получена
следующая оценка числа итераций:
п > п0 (е)^0,64# 1п A/е), (М = 1/Н).
Сравнение метода релаксации с попеременно-треугольным
методом показывает явное преимущество последнего. Хотя на
реализацию одного итерационного шага в
попеременно-треугольном методе нужно затратить вдвое больше арифметических
действий, чем в методе релаксации, он имеет существенный
выигрыш в числе итераций, что и обеспечивает общую
эффективность этого метода.
Приведем теперь число итераций для
попеременно-треугольного метода с чебышевскими параметрами, рассмотренного здесь
для разностной задачи B7), в зависимости от числа узлов N
по одному направлению квадратной сетки со для е= 10*:
# = 32 /г=16
#= 64 гг = 23
#=128 м = 32
Сравнение с числом итераций метода верхней релаксации,
которое приведено в п. 4 § 2 гл. IX, показывает, что метод
релаксации требует примерно в 3,5—7,5 раза больше итераций, чем
попеременно-треугольный метод. _
Замечание 1. Если вместо прямоугольника С рассмотреть
р-мерный параллелепипед О = {0<ха</а, а=1,2, ..., /?}, а
в нем разностную задачу Дирихле для уравнения Пуассона
р
л#=2 у-х х ~-ф(*), *€*>,
на прямоугольной сетке со = {х{ = A^ 12к2, ..., 1рНр) ^ О,
0<*а<ЛАа, йа#а = /а, а=1,2, ..., /?}, то разностные
операторы Шх и Я2 определятся следующим образом:
р 1 р 1
а=1 а=1
404

В этом случае в неравенствах E) для @) = Е следует
положить
так как
а.= 1
<
а = 1 а = 1 \а = 1
с /
При этом в случае ^ = #2= ... =Л^ = #, 1г = 12= ... =1р = 1
для числа итераций имеем оценку
л>Ло(е), гг0(е)«-^1п|«0,281/^1п1,
2 У 71 ь 8
которая не зависит от числа измерений /7.
Рассмотрим теперь вопросы, связанные с реализацией
попеременно-треугольного метода для задачи B7). В п. 1 были
приведены два алгоритма для нахождения ук+1 по заданному ук
для итерационной схемы метода. Рассмотрим сначала второй
алгоритм. Для @) = Е он имеет следующий вид:
Гн = АУь—и
(Е + со^) щ = гк9 (Е + б>0#2) шк = & к9 C0)
Ук+1 = Ук—*к+1и>кг * = 0, 1, •••
Этим алгоритмом следует пользоваться, когда параметры тЛ
выбираются не по формулам (8), а по формулам итерационных
методов вариационного типа.
Используя определение операторов Л, /?х и /?2 посредством
разностных операторов Л, Э1г и 5?2, формулы C0) можно
записать в следующем виде:
-ТТ-ЫЬ /-1)+ **(*. /+1)]—ФО*, /), C1)
»*(*, /)=<ив*(^ —1./) + Р»*С, У— 1) + хгА(», /),
1 = 1,2, ....Л^-1, /_= 1, 2, ...,ЛГ,-1, C2)
»*@, /) = 0, 1</<#,-1, в»4(*,0) = 0, К^Л^-1.
405

Здесь счет ведется, начиная с точки /'=1, /= 1 либо по строкам
сетки со, т. е. при возрастании г для фиксированного /, либо
по столбцам при возрастании / для фиксированного ь.
ЩЦ* /)=<*«'*('+*. /)+ра;ЛA, ] + \)+ш)к{1у /),
1 = ^-1, Л^-2, ..., 1, / = #2-1, #2-2, ...,1, C3)
Здесь счет ведется, начиная с точки ь = Ы1—1, / = А^2—1, либо
по строкам, либо по столбцам сетки при убывании
соответствующего индекса I или /. В результате ук+1 определяется по
формулам
Ук+Л*> /) = Ул(^ /)—**+!«>* (*. /)>
1<^^-1, 1</<#2-1, C4)
Ук+1\у=±ё-
Здесь использованы следующие обозначения:
,2
«Л а ОоЛх
л1/а+со0(л1+л!) ' р Л12я1+со0(^+/122) •
, н\н1 C5)
Так как а, р, и > О и а + E + х = 1, то счет по формулам C2)
и C3) устойчив. Элементарный подсчет арифметических
операций для алгоритма C1) —C5) дает <3+ = Ю(М1—1)(М2—1)
операций сложения и вычитания и С}* = B+ операций умножения,
а всего (} = 20(М1—1){Ы2-1).
Учитывая найденную ранее оценку для числа итераций,
получим, что для вычисления решения разностной задачи B7) по
алгоритму C1) —C5) с точностью е следует затратить в случае
^ = ЛА2 = ^, /х = /2 = /
$(е)«5,6#2]/"ЛПпB/е)
арифметических действий.
Рассмотрим теперь первый алгоритм, который имеет в данном
случае вид
Чк = (Е + ®*К1)(Е + (х>9112)ук—тк+1(Аук—П9 C6)
(^ + со0/?1)у = фЛ, (Е + (>HК2)ук+1 = V.
В этом алгоритме при переходе к разностной его записи нам
будет удобно работать с сеточными функциями, заданными на ю
и обращающимися в нуль на у. Эти функции совпадают с укУ
V и ук+1 на о и, как обычно, обозначаются укУ 6 и ук+1. Чтобы
получить приближение к решению задачи B7), его следует
определить так: ук(х)=ук(х) для аг^со и ук(х) = §(х), х$у.
406

Для того чтобы осуществить в C6) переход к разностной
(поточечной) записи, необходимо определить разностный
оператор Э1У который соответствует произведению операторов КГК^.
Заметим, что в силу определения операторы Цх и /?а
записываются следующим образом:
#1</ =
ТГУ~*+ТГУ*>> 2<*<^-*> 2</<ЛГа-1,
1 ■ 1
1 = 1, 2</<ЛГа-1,
#2# =
•±Ух--ГУ*.> 1<«<АГ1-2, К/<ЛГ,-2,
н\ у л2 У*»>
1_ , _1_
Н Ух'+ Н\ У'
а+-к)у>
1 = Ы1-\, 1</<^-2,
1<»<ЛГ,-2, / = ЛГ2-1,
1 = ^-1, / = #а-1.
Выкладки показывают, что если оператор 31 определить
следующим образом:
_ г 1
а=1
где
О,
2</<^—1, 2</<АГ,—1,
4-, 1 = 1, 2</<#а-1,
А{ *
<7(». /)Н -1
Л$ '
2</<ЛГх—1, /=1,
то ^1/?2у = —^, где #€#, #€# и у(х) = у(х) для л^со.
Используем определение операторов Л, Я± и #2, а также
полученное выражение для Я^ и запишем алгоритм C6) в виде
+ й('-1./)]+6*+1[У*(^/+1) + Л('./-1)] +
+ с[уЛа-1,/+1) + Л(< + 1,/-1)]+т1к+1/(^Я. C7)
407

где обозначено
Далее,
»(*» /) = ауA —1, /)+01>D /— 1) + иф*D /).
«=1,2, ....Л^-1, /=1,2, ...,ЛГ2-1, C8)
о@,/) = 0, 1</<#2-1, у(*,0) = 0, 1</<^-1,
У*+1 D /) = Щк+1 A + 1. /) + Ру*+1 D / + 1) + ^ D /),
1 = ^-1, Д^-2, ..., 1, / = ЛГ,-1, ЛГ.-2, ..., 1, C9)
где а, E и х определены в C5). Подсчет числа арифметических
действий дает <2+ = 11Л4А^—\0(Ы1 + Ы2) + Ю операций
сложения и вычитания и (}* = {}+ операций умножения, а всего
B = 22^^2—20(^ + ^2L-20. Это примерно в 1,1 раза больше,
чем в алгоритме C1)—C4). Преимущество же алгоритма C7)—C9)
заключается в том, что здесь не требуется дополнительная
память для хранения промежуточной информации <$к{ь, /), а D /),
и вновь определяемое ук+1{1, /) располагаются последовательно
на месте, которое занимало ук{г, /).
Замечание 2. В случае р измерений оператор 5$ имеет вид
р р \~р
&У= Е -З-ЙсА + Е Е МГVа + ?^/,
где
Замечание 3. Блочному попеременно-треугольному методу
соответствует следующее определение разностных операторов
5?1 И ^2'
В этом случае для обращения оператора В необходимо
использовать метод трехточечной прогонки. Это приводит к увеличению
вычислительной работы на одной итерации, что не
компенсируется небольшим уменьшением числа итераций (примерно
в 1,2 раза).
408

§ 2. Разностные краевые задачи для эллиптических
уравнений в прямоугольнике
1. Задача Дирихле для уравнения с переменными
коэффициентами. Рассмотрим теперь применение
попеременно-треугольного метода к нахождению решения разностной задачи Дирихле
для эллиптического уравнения без смешанных производных
2
<х=1 A;
0(*)=2(*). *€?,
в прямоугольнике, где_ © = © и у —прямоугольная равномерная
сетка с шагами кх и Н2: со = {х|7 = A*Л1, //г2), 0 < I < А^, 0 ^ / ^#2,
НаЫ(Х = 1(Х, а= 1, 2}. Будем предполагать, что коэффициенты аа(х)
удовлетворяют условиям
0<с1<йа(^Кг2, а=1,2. B)
Потребуем также, чтобы при фиксированном /, 1^/<#2—1,
число узлов сетки со, в которых (а1)^1=0(Аг1), было конечным
и не зависело от Нг. Это означает, что соответствующий
коэффициент в дифференциальном уравнении при каждом
фиксированном х2 имеет конечное число точек разрыва по
направлению хг. Аналогичное требование должно быть выполнено и
Для (а2Ц.
Разностная задача A) сводится к операторному уравнению
Ли = / C)
обычным образом. Здесь Н — пространство сеточных функций,
заданных на со, со скалярным произведением
(и, о)= 2 и(х)и(х)Н1Н29
Ау-—Ау, у€Я, у$Н и у(х) = у(х) для х$(*;
/ (х) = Ф(х) +-!■ фх (х) +4- Ф2 (а:),
«1 А12
где
«10!, Х2)§@, Х2), Х^Й,,
<р4(х)={ 0, 2Н1^х1^11—2Н1,
а2(х1,Н2)§(х1,0), х2=й2,
Ф,(х)Н 0, Йй.^*^/,—2А„
403

Используя разностные формулы Грина, найдем, что оператор А
самосопряжен в Я и имеет место равенство
{Ау,у) = -{Лу.у)='Е (ааУ],*) , D)
а=1 \ *а /а
где
'« 'е-
(и,Ь)а= 2 2 и(х)V(х)какр, C = 3—а, а=1,2.
Для приближенного решения уравнения рассмотрим
попеременно-треугольный метод, построенный на использовании регуля-
ризатора КфА:
Ву-*±^ + Аук = {, * = 0,1, ...,г/0€Я, E)
Регуляризатор /? выберем следующим образом:
Ку = —Яу, &У = У;1Х1 + У-Х2Хг> УеН9 F)
а операторы #х и Я2 определим по формулам
2 2
Я«У = -Я*У, ^ = -2^, ^2У=И^Уха- G)
<х=1 а а а=1 а
В п. 4 § 1 было показано, что для определенных здесь
операторов Кг и #2 имеют место неравенства
6Я<#, /?!/?,< (А/4)/?,
а=1 Па **а а==1 па
Далее, используя разностные формулы Грина, получим
(Я^У) = -(Я».»Н2 (й , П . (8)
а=1V а /а
Следовательно, из B), D) и (8) вытекают неравенства ^7?^
<Л^с2/?, ^>0. Так как оператор # самосопряжен и
положительно определен в Я, то для рассматриваемого метода имеет
место теорема 2с@) = Е, в которой указан выбор итерационных
параметров со и {гк\. Из этой теоремы получим оценку для
погрешности
Ш\о<(!п1гЛо> 0 = А> В или АВ^А,
4 ГО

где
При малом т] получим оценку для числа итераций:
5Г 1пB/е) „__л1
п>п0(г), л0(е)= ]/
Отсюда следует, что число итераций пропорционально У^/^ и
методом E), G) целесообразно пользоваться, когда это
отношение не слишком велико.
2. Модифицированный попеременно-треугольный метод*).
Продолжим. изучение попеременно-треугольного метода для
разностной задачи A) в случае, когда коэффициенты аа(х) сильно
меняются, т. е. отношение с2/с1 велико.
Рассмотрим теперь для уравнения C) модифицированный
вариант попеременно-треугольного метода
вУ^М+Аук = и Л-0, 1 : (9)
где положим @)у = A(х)у, х^со. Здесь й(х) — некоторая
положительная на со сеточная функция, подлежащая определению. В этом
случае 3)—самосопряженный и положительно определенный в
Н оператор. Сеточная функция й(х) играет в (9) роль
дополнительного итерационного параметра и позволяет учесть
особенности оператора А в каждом узле х сетки со.
Определим теперь операторы /?а следующим образом: ЯаУ=^
= — ®аУ, У$Н и #€#, где
а=1 \ а « /
A0)
и а^1(х) = а1(х1±Н1, х2), а2±1(х) = а2(х1, х2±Н2).
Покажем, что операторы #х и Я2 сопряжены в Я. Для этого
достаточно показать, что имеет место равенство (&1ху, V) = (у, Э12Ь)%
у^Ну Ь^Н. Из разностных формул Грина для функций,
обращающихся в нуль на у, и формулы разностного дифференци-
*) См. А. Б. Кучеров и Е. С. Николаев (ЖВМ и МФ, 16, № 5, 197$;
17, № 3, 1977).
411

рования произведения сеточных функций (уу)Ха=у+^Ха+уХау
следует, что
2
а=1 а а=1 а
2
а=1 Ь « а ^
2
Утверждение доказано.
Так как Я1 + Я2:=:А, то в силу теоремы 1 априорная
информация для попеременно-треугбльного метода (9) имеет вид
постоянных 8 и А из неравенств
6®<Л, ^]?2<А^ б>0. A1)
Так как отношение г| = 6/Д определяет число итераций, то
сеточная функция й(х) должна быть выбрана из условия
максимальности этого отношения.
Займемся теперь выбором функции й(х) и оценками б и Л.
Докажем сначала одно неравенство.
Лемма 2. Пусть ра (х), да(х), иа(х) и V(X>(x)^ а=1, 2 —
сеточные функции, заданные на со. Тогда для любого х^а> имеет
место неравенство
2 (р*ыа + ^а) <
<A+*)(\Р1\+Кг\Чг\)(\Р1\и1+^1) +
+ 1^(\Рш\+*ЛЧш\){\р№ + ^*)> A2)
где г(х), х^х) и к2(х)~-произвольные положительные на со
сеточные функции.
Действительно, используя е—неравенство 2аЬ ^ еаа +62/е,
8 > 0, получим
23 (РаНа + Я^од
= (Рг»! + <?ЛJ + 2 {рхих + (/л) (р2и2 + д2ю2) + (р2и2 + до,I <
<A+е)(РЛ + ?ЛI + ^(РЛ + ^^. A3)
412

Снова пользуясь указанным неравенством, найдем
(РаЫа + ЯаРаУ = РсМа + ^РаЯа^аРа + ЙЙ <
<рЪ»>1+\ Ра 11 <7а | ЫаЦ%. + — VЪ\+^^V^>=x
= (|ра| + >са|?а|)(|ра|4 + ^-^), ха>0, а-1,2.
Подставляя полученное неравенство в A3), будем иметь A2).
Лемма доказана.
Воспользуемся неравенством A2), а также определением
операторов %х и Я2 и найдем, что
\ /г ~ I* ■ 2/г ~ у ' / "^
а=1
0,5/гх / а1дГ1
Отметим, что в A2) вместо ра, ?а, иа и аа мы подставили
ра = -у-, Gа = 0,5аа^а, иа = уХа, 1>а = —-у, а=1, 2. Будем тре-
а а
бовать, чтобы в полученном неравенстве хх была функцией
только х2> а х2—только х1% т. е. положим
*« = **(*&). р = 3—а, а«1§ 2. A4)
Положим
а+Ч-0.5/г2к2|д2ха| > Л& &)
а2^ + ОЯк&г | «1Х11 $$! (х2)
е = е(х) = ^ , Ае. . • .,- ,„ч A5)
и определим й(х) следующим образом:
е.
й (X) = X № + 0,5/1аХа | Яа*а |) ТГ , A6)
а=1 Ла
где ва = ва(лгр), |3 = 3—а, а=1, 2,— положительные на со
сеточные функции, подлежащие определению.
Подставляя A5) и A6) в полученное ранее неравенство, будем
иметь
<*»»-** *)< 2D^,. 0+ЕСЙ* *• О*
а=1\ * / а=1 \ а а в /
413

Так как 0а не зависит от ха, то, используя введенное ранее
скалярное произведение ( , )а, получим, что
Следовательно,
№~^*<ш%У1+иш-^ ■)• (,7>
Выберем теперь Эа и ха. Обозначим
©1 = {х1 = 1Й1, 1 <*<Л^ — 1, ^1Л^1 = /1},
®+= {хг = 1Н19 1 </<Л^1, /1^1 = ^}
и определим
(", »)% = 2 и{х)ь{х)Ни
(«.»)«*= 2 ы(х)у(х)^.
1 +
Аналогично вводятся со2 и со^, а также (и, я)^ и (и, ц)а+. Тогда
легко видеть, что имеют место соотношения
(и, о)а = ((и, »)«+. 1Ц, Р = 3—а, а=1, 2.
A8)
Пусть теперь 6а(*р) = тахаа(;с), а=1, 2, х$€®$, где аа(л;) для
*а€а)а
фиксированного х$ есть решение следующей трехточечной
краевой задачи:
Й1
(аоР-х )*» = ГГ ' ^а < %а < /« — &«,
а "а
уа(%) = 0, ха = 0, &, хэ€юр. A9)
Тогда в силу леммы 13 из п. 4 § 2 гл. V получим
D"^' 1)а<ьЛч)(<Ь&*>1)<> «=1,2.
Умножим это неравенство на 0а(лгр) и просуммируем скалярно
по (о^. Тогда в силу A8) будем иметь
(^Г"^ 1)<(ь^е*Уг*'1)«* а==1>2-
B0)
Пусть са(х$)= тахша(лг), а=1, 2, Хрб^р, где хюа(х) для фик-
сированного л^ есть решение следующей трехточечной краевой
414

задачи:
(ваО#в)*а = — 2Н ' Й<* < *<* < /а —Аа|
а B1)
Аналогично тому, как были получены неравенства B0), в силу
A4) будем иметь следующие неравенства:
( "•"^"'■| !,', 1)* («А, <•*,&, 0*. о-1, 2, B2)
(^' 'К^И.-"-1'2- B3>
Сложим теперь неравенства B0) и B2) и просуммируем их по а.
Тогда в силу A6) получим
{йу\ 1) = (®у, г/)<((хаса + 6аHааа^а, 1)а.
Выбирая 0а по формуле
е«^ = Ьа(х,и\)«а(Х,)> Р-3-«,«-1.2, B4)
и учитывая D), найдем отсюда, что (<2)у, у)^.(Ау, у).
Следовательно, в A1) можно положить 6 = 1.
Оценим теперь Д. Для этого подставим B3) в A7) и учтем
выбор Эа по формуле B4). В результате получим следующую
оценку:
2
(Т?!®-1/?^, у)<%({1+са/ка)(Ьа + сака)аау-Ха> 1)а.
Выберем теперь оптимальное ха из условия минимума
выражения A+са/ха)(&а + саиа) по ка. Получим х>а(хь) = УЬа{хь),
Р = 3—а, а=1, 2, и при этом
2
{кг®-^у, У)< 2 ((*«+КО'асД,, 0.
а=1
Сравнивая эту оценку с D), найдем, что в неравенствах (И)
можно положить
А = 4тах ( тах (са1(х^) + У'Ьа(х^У\ , р = 3—а. B5)
а=1, 2 \*р е (Ор /
' Подставляя в A6) найденные выражения для ха и Эа, получим
для функции Л(х) представление вида
й(х)==5л^х 2л« к+к^'ж€<о- {26)
4-15

Итак, функция й(х) и постоянные б и А найдены. Теперь оста-
лось применить теорему 1. Отметим, что так как 6=1, то
а>0 = 2/КЛ, и ддя числа итераций верна оценка
п>п0(е), п0(е) = у 2 !. .
Далее, в силу условий B) из A9) и B1) получим, что Ьа =
х=0(\/к2а) и са = 0A/На), если число точек, в которых Яа*а =
= 0(/1аХ), конечно. Отсюда следует, что п0(е) = 0(|/*ЛПпB/е)).
Остановимся теперь на реализации построенного варианта
попеременно-треугольного метода (9). Сначала для
фиксированного яр, й|з<л:р</р—к$ решаются методом прогонки
трехточечные краевые задачи A9) и B1) и находятся значения 6а(%)
и са(х$)> а=1, 2. Эти четыре одномерные сеточные функции
запоминаются и используются в процессе итераций для
вычисления й(х) по формуле B6). Простота формулы B6) позволяет
не хранить двумерную сеточную функцию й(х)% а вычислять ее
по мере необходимости заново.
Далее по формуле B5) находится Д и полагается 6=1.
Значения итерационных параметров со и хк для схемы (9)
определяются согласно теореме 1.
Для нахождения-'г/Л+1 по заданному ук используется первый
из алгоритмов, описанных для попеременно-треугольного метода
в п. 1 § 1:
(® + сОоЯЛ V = <рЛ, C> + со0/?2) ук+1 = &о9
ц>к = (» + со#Л1)в-Чв + <о<Л) Уь-Ч+ЛАУы-!)* К '
Не останавливаясь на деталях, приведем разностный вид
алгоритма B7):
«С /) = а1(^ 1)яA — 1,/) + МмХ*\/— !) + *(*./)<Р* (*./).
1 = 1,2, ...,#,-1, /-1,2, ...,ЛГ,-1, .B8)
»@,/) = 0, 1</<#2—1, а(*\ 0) = 0, 1<*<Л^—1.
*•«(*> !)=я*ш&1)У*+1A+1* /) + ?■(*. 1)Ук+гA> / + 0 +
+ хA, /)€«(«, />A, /), 1 = ^-1, .... 1, / = #2-1, ..., 1, B9)
где
#ш

Правая часть фА(*, /) вычисляется по формулам
+ ^1(»./)^*(* + 1, /)+/?!('-1, /)#*('-1. /) +
+ /?•(», Л У* С./ + 1)+ /?,(»', / —1)У*(». /-!) +
+ С(/-1,/)^(*-1. / + 1) + СA, /-1)^A + 1, /-!) +
+ т*+1/0'. Л,
1^1-^Л^— 1, 1</<#2 —1, C0)
где
причем Р@,/) = 0, 1</<ЛГ,—1, С (», 0) = 0, 1<1<^— 1.
Заметим, что в силу B5) и B6) верны оценки
" а=1 а
Отсюда получим
1 , , V аа +аа ^ V4
— = а + са0 >, г-2-^со0 V
а=1 ^Ла а=1\ « а
_й),(гаах(^,|.)+тах(^,^))
ИЛИ
тах (а1э а2) + тах ф1э р2) < 1.
Отсюда следует, что а1 + р1^1 и а2+р2^1. Поэтому счет по
формулам B8), C0) устойчив.
3. Сравнение вариантов метода. Выше для решения
разностной задачи A) были построены два варианта
попеременно-треугольного метода. Вариант E), G) построен на основе регуля-
ризатора Я, а вариант (9), A0) использует оператор *2>,
который выбирается специальным образом. Эти варианты
характеризуются одной и той же асимптотической зависимостью числа
итераций от числа узлов сетки. Однако оценка числа итераций
для первого варианта зависит от экстремальных характеристик
коэффициентов аа(х)у а= 1, 2, разностного уравнения A),
тогда как для второго варианта она определяется их
интегральными характеристиками.
Сравним эти варианты метода на следующем традиционном
модельном примере. Пусть на квадратной сетке с Л^1 = Лга = Л^,
14 А. А. Самарский, Е. С. Николаев 417

введенной в единичном квадрате (^ = ^=1), задано разностное
уравнение A), в котором
а1(х) = 1+с[(х1-0,5у + (х2-0у5П
а2(х) = \+с[0,5—(хг — 0,5J — (х2 — 0,5J], х€со.
Тогда в неравенствах B) имеем сх=\, с2=\+0,5с. Меняя
параметр с> будем получать коэффициенты аа(х) с различными
экстремальными свойствами.
Таблица 10
с%/сх
2
32
128
512
N = 32
E), G)
23
46
92
184
367
(9), (Ю)
18
21
23
24
24
N = 64
E), G)
32
64
128
256
512
(9), A0)
26
30
34
36
36
N=128
E), G)
45
90
180
360
720
(9), (Ю)
36
43
49
53
54 1
В табл. 10 приведено число итераций для указанных
вариантов в зависимости от числа узлов N по одному направлению
и от отношения с2/с1 для е = 10~4. Видно, что для случая
больших значений с2/сг модифицированный попеременно-треугольный
метод требует меньшего числа итераций, причем число итераций
слабо зависит от этого отношения.
4. Третья краевая задача. Рассмотрим
попеременно-треугольный метод решения третьей краевой задачи для эллиптического
уравнения в прямоугольнике С=={0^л;а^/а, а=1, 2}:
2
ка-^-==К-а(х)и-- 2-а(*), *а = 0, C1)
— #сс 7ГГ" — К + а,(Х) и ^+а(#)» #а ~ *а>
На прямоугольной сетке со = {х(;- = Aк1% /й2) 6 О, 0 ^ I < Ы19
0</^Л^2, ЛаА^^/а, а=1,2} задаче C1) соответствует
разностная задача
Лу = — /(*), х€«, C2)
Л = Л1 + Ла, 1(х) = ^(х) + ^ц>1(х)+^ц>2(х)9
418

где
7^- {(&Уха—К-аУ), ха = О,
Ку = {(а«У;аК• н« < *<* < 1« - н«•
#-а(*а), *а = 0,
4>а(х) = { 0, Йа<Ха</а — Ла,
Будем предполагать, что коэффициенты аа (х) удовлетворяют
условиям B) и имеют конечное число точек, в которых ааха = О (кй1).
Также будем считать, что х_а(*р) и х+а(л;р) для каждого
фиксированного х$ одновременно в нуль не обращаются (х_а^0,
х+а>0, х_а + х+а>0).
Разностную задачу C2) удобно предварительно свести к
задаче Дирихле в расширенной области ю* = {х{/ = (Иг19 ]к2)9
— 1<*<;Л^1+1, —1^/^#2+1}, для которой сетка со
является внутренней. Обозначим через у* границу сетки со* и
доопределим сеточную функцию у(х) нулем на у*. Если
обозначить
(р(*|з)М-а(*р), *а = 0,
р(х$)аа(х), /1а<ха</а,
р(^)М+а(^э), ха = 1а + 1га9 О<ЛГ0</3,
}(х) = р(х1)р(х2)}(х), х$Ъ,
. 10,5, *р = 0, /р,
Р(*э) = \1, Ар<д:з</э-Лэ.
р = 3—а, а=1, 2,
то задача C2) может быть записана в виде
а = 1 а .
у(х) = 0, х$у*.
C3)
Напомним, что для разностной задачи вида C3) в п. 2 был
построен модифицированный попеременно-треугольный метод
(9) — A0). Следовательно, в формулах я. 2 необходимо лишь
заменить аа(х) на аа(х), и мы получим метод решения третьей
краевой задачи для эллиптического уравнения в
прямоугольнике.
14*
419

Для рассматриваемого случая трехточечная краевая задача
A9) записывается в виде
й1
V а *аЛъ /^ — а^ «' C4)
уа(х)-0, *а = —йа, /а + Аа.
Используя введенные выше обозначения для #а, получим, что
C4) можно придать другой вид
+1
(аУх )х = - -^-, Ла<х«< 1а-ка,
\ (X / СХ, 1\(х
C5)
/у+1г»а V Г)а —
ааихи ^-аи -
«(Л
а« •
= ^+а»
*а = 0,
■^а == *»•
В силу сделанных предположений относительно аа(х)> х_а и х+в6,
разностная задача разрешима. При этом
&а(*э)= тах ^(я^оЛ^Л, 0<г3</3.
О < *а < /а \ па /
Аналогично задача B1), которая в данном случае имеет вид
в силу обозначений сводится к третьей краевой задаче
1аа*,
(^К"^' *.<*</.-*..
К
-&аИ-«1
я«а -*-с^а - - '"* 2^-в> , *а = 0, C6)
Отсюда получим, что
са (*э) = тах а/* (*) = О ( —) ,
и следовательно,
Д = 4 тах / тах
а=1, 2 \ 0 <
.ах^^Ы + ^^^О^)
Поэтому для модифицированного попеременно-треугольного
метода, примененного к нахождению решения третьей краевой за-
420

дачи C2), число итераций зависит от числа узлов так же, как
и в случае первой краевой задачи.
Очевидно, что описанный выше прием сведения к задаче
Дирихле можно использовать и в том случае, когда на каждой
стороне прямоугольника задано одно из краевых условий
первого, второго или третьего рода.
5. Разностная задача Дирихле для уравнения со смешанными
производными. Пусть в прямоугольнике О = {0 < ха < /а, а= 1, 2}
с границей Г требуется найти решение задачи Дирихле для
уравнения эллиптического типа со смешанными производными
2
I* = аЕ Д (*«» <*) щ) = - <Р (*). * € 0, C7)
и(х)--=в(х), х^Т, кав(х)*=к$а(х).
Будем требовать выполнения условий
каа(х)>с> 0, Щ.г(х)<ргкп(х)к2г(х), х$а,
0<р<1. C8)
Отметим, что условия C8) обеспечивают равномерную
эллиптичность уравнения C7). В самом деле, рассмотрим для
фиксированного х^О задачу на собственные значения для пучка матриц
1*11 к12
| #12 &22
1—А,
*1* 0 1
0 А-22 1
Для к имеем квадратное уравнение (I—ЯJйи&22—&|2 = 0. Отсюда
найдем
|1_Я[~-Ш-<р, 1-р<Я<1+р.
У «Ц#22
Следовательно, имеет место неравенство
2 2 2
СХ 2 *аа (*) Й < 2 *с* (*) &»&» < С2 2 *«« (*) II, C9)
<х=1 а, 0= 1 а= 1
^=1—р, с2=1+Р,
где 5 = E1, ^ — произвольный вектор. Отсюда в силу условия
&аа(*)^с>0 следует равномерная эллиптичность оператора Ь.
На прямоугольной сетке со = {л:^. = (/А1, /йа) € О, 0 *0* ^ А^,
0^/^#2, ЛаЛ^а = /а, ос = 1, 2} задаче C7), C8) поставим в
соответствие разностную задачу Дирихле
2
Л^ = У иЕ ([(й«Р^э)*а + {к^У^)иа\ = ~ Я> (*)• * ^ ®» D0)
у(х) = §(х), х$у.
421

В пространстве Н сеточных функций, заданных на со, со
скалярным произведением
(и> я) = 2 и (х) V (х) КК
хеы
определим оператор А следующим образом: Ау = — Ау, у€Н
и у(х)=у(х) для х6со, у(х) = 0 для х^У, а также оператор
К\Ку= — 91у, где
2 _х
Тогда задачу D0) можно записать в виде уравнения C), где [(х)
отличается от ф (л:) лишь в приграничных узлах. Так как ка$(х) =
= к$<х(х), то операторы А и # самосопряжены. Покажем, что
имеют место неравенства
^/?<Л<с2/?, сх= 1—р, с2=1+р9 D1)
где р задано в C8). Действительно, из разностных формул Грина
получим
2-
(Ау, у) = — (Ау, У)= X 2"[(*аЭ^э. Уха)а+а(каЫ/х^ Уха)],
а, 0=1
где скалярное произведение (и, V) определено в п. 1 § 2, а
•а(а, у)= 2 2 "М^ММг. р = 3—а4 • а=1,2.
*а=0 х$=кр
Заметим, что если одна из функций и (х) или V (х) обращается
в нуль при х$ = 0 (или при л:р = /р), то
а(и, V) = [и^ у)= 2 2 и (х) V (х) Н^,
хх= 0 *2= 0
/4 /2
(и, У)а = (и> у]= 2 2 и (х) V (х) кгк2, а =1,2.
Это сразу дает ,
2
И</, */) = Ц |{(*<*е% Ьв] +1>аЭ^р. **«)}' D2)
а, 0=1
Далее, так как 91у можно записать в виде
2
а = 1 а
422

то
2
(КУ, У) = — (Яу, У)=Х т((^«Ьа- Уха)а+а(кааУха, Уха)} =
2
Из D2), D3) и неравенств C9) получим
1!>каау\, 1 <( 2 Ктж , 1 <^2( 2 *ааА&. 1
а=1 « ^ \а, 0=1 & а ] \а=1 а .1
ЮГИЧНО
1 2 КаУ\ , 0 < 2 Ъ*ьУхаУха, 1 ) < С2 | 2 ^ааЙа, ! ) »
|_а = 1 а / 1_а, 0=1 н / |_а=1 /
и аналогично
с
и следовательно, оценки D1) доказаны.
Таким образом, оператор /?, определенный выше, можно
использовать в качестве регуляризатора в
попеременно-треугольном методе
В^=^ + Аук = Г, й = 0, 1, ....
в=(®+©до а-1 (®+«>/?,), #1=#:, ^1+/?2-/?,
где операторы /?1> /?2 и 3) определены в п. 2 § 2. Там же были
, найдены постоянные б и А для неравенств 6*2) ^ Я, Нх&^Я^-тК,
б > 0. Применение теоремы 2 завершает построение
попеременно-треугольного метода для разностной задачи D0).
§ 3. Попеременно-треугольный метод для эллиптических
уравнений в произвольной области
1. Постановка разностной задачи. Построим
модифицированный попеременно-треугольный метод для решения задачи
Дирихле в произвольной ограниченной области О с границей Г
в случае эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами
2
Х^М^^—фМ. *€С A)
и(х) = 8(х)> *€Г, ка(х)'^с1>0, а=1, 2.
Предположим, что граница Г достаточно гладкая. Кроме того,
для простоты изложения будем считать, что пересечение
области с прямой, проходящей через любую точку х 6 О параллельно
оси координат Оха, а=1, 2, состоит из одного интервала.
423

В области 0 построим неравномерную сетку со следующим
образом. Проведем семейство прямых ха = хаAаI *а = 0, ± 1,
±2,..., а=1, 2. Тогда точки х{ = (х1A1), х^A^)$ ^(ц, *а)
образуют основную решетку на плоскости. Точку х1 решетки,
принадлежащую О, назовем внутренним узлом сетки со.
Множество всех внутренних узлов, как сбычно, обозначим через ш.
Пересечением любой прямой, проведенной через точку */€<*)
параллельно оси Оха, с областью С является интервал Аа(*д-
Концы этого интервала назовем граничными узлами по
направлению ха. Множество всех граничных узлов по ха обозначим
через 7а- Граница сетки со есть ^у^Уг» так что со=сои у.
Сетка со построена.
Введем ряд обозначений. Обозначим через соа(л:р), Р = 3—а,
а=1, 2 — множество узлов сетки со, лежащих на интервале Да;
Юа(*0)—множество, состоящее из соа(л:э) и правого конца
интервала Да; соа(л:з) состоит из соа (лг^) и концов интервала Да,
Обозначим х(+1а) и х(~1а) узлы, соседние сх6©а(^)справа
и слева и принадлежащие (оа(х^). Заметим, что если, например,
х(+1а) ^уа> то этот узел может не совпадать с узлом основной
решетки.
Определим НЦх) — х^1^—х, кй{х) — х—х(~1а\ х$(оа,
дс(±1а)^соа. Во всех внутренних узлах сетки со определим также
средние шаги ^а(ха) = 0,5(хаAа+1)—ха(/а—1)) как
расстояние между соответствующими прямыми основной решетки.
Задаче A) на сетке со поставим в соответствие разностную
задачу
2
Л|/=21(а0«/-а)-а = -ф(х), *€*>, B)
у(х) = е(х), х$у.
Здесь использованы следующие обозначения:
(«а^в).;а = ^ (а«^а—а^а), а? = аа (х(+1«>),
уХа=-±г(у(х(+1«))-у(х)), у.хс1=^.(у(х)-у(х(-1«)).
Коэффициенты аа(х) и ср(л;) выбраны так, чтобы схема B) на
равномерной сетке имела локальный второй порядок
аппроксимации.
Введем теперь Я—пространство сеточных функций, заданных
на ш, со скалярным произведением (и> <?) = 2 и(х)о(х)х
дгесо
X Аг (хг) %% (л:а). Оператор А определим обычным образом: А#=-—А#,
424

у€Н и у(х)~у(х) для х€ю, у(х)^=0 для х$у. Тогда
разностная задача B) запишется & виде уравнения
Ли = /. C)
где /(х) отличается от у(х) лишь в приграничных узлах.
2. Построение попеременно-треугольного метода. Для
уравнения C) рассмотрим модифицированный
попеременно-треугольный метод
Определим операторы /?х, /?2 и ®. Как и в случае
прямоугольника, выберем простейший оператор ®:
@)у=:с1(х)у, й(х)>0 для х^со, E)
и положим КаУ = — 31>аУ, #€# и у(х) = у(х), х€<о, где
2
F)
Так как ^Х + 5?8 = Л, то получим, что К1 + Кг — А.
Покажем, что операторы #х и #2 сопряжены. Сначала
введем обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определим следующие суммы:
(и,о)и , ,= 2 и(х)ь(х)%а(ха),
(и>ук±(Хл\= 2 и(х)и(х)ка(х),
(И, »).= ((«. 0)^^,, 1)-Э(-а) =
= 22 и(*Ж*)А5(*)М**).
Р = 3—а, а=1, 2,
Используя введенные обозначения, скалярное произведение в Н
можно записать следующим образом:
(и, ») = ((«, »)«,(*,), 1 )*,(!,) = ((". »)«,(*,). !)«>><*,)• G)
Сначала докажем одно вспомогательное утверждение. Пусть у,-
и V/—сеточные функции, заданные для О^л^М, причем
425

Уо = У/*==® и Уо = ^=®- Пусть щ — сеточная функция, заданная
для 1^/^Л^. Тогда имеет место равенство
ы-\ ы-\ ы-\
.2 (и/+1—и,-)ул=— 2 (»/+!—^)^+1»/— 2 (у/—л-х)^,. (8)
* = 1 1=1 г = 1
Действительно, имеем
N-1
2 [(и,-+1—и*) */Л + ^1+1—у() щ+м + ^г-у^) и&] =8
1'= 1
//-1
= 2 (^+Л+1»/ —«ЛУ/-1) = и^л«лг-1—«ЛУв = 0.
I = 1
Утверждение (8) доказано. Используя (8)^ легко показать, что
для функций у(х) и V(x), заданных на со и обращающихся в
нуль на у, имеет место равенство
(•^к--Н«*ч)^-(^г),.- <»
Здесь использованы обозначения
Подставляя в (9) выражение ы (х) = аа (х)/Нй (х) и учитывая
равенство ка(х(+1а)) = к5(х), получим
Умножая это соотношение на ^(.Хр), суммируя по сор и
учитывая G), найдем
Докажем теперь, что операторы #г и /?2 сопряжены. Из F)
и A0) получим
".?,[(^К*(*-^>;)]-
= —(у, ЗД = (#, Яа1>).
Утверждение доказано. Отсюда, кстати, следует и
самосопряженность оператора А.
426

Нам осталось построить функцию й(х), определяющую
оператор ё&, найти постоянные б и А в неравенствах
6®<Л, Н^-1^^ А, 6>0
(И)
и воспользоваться теоремой 1. Все это мы сделаем так же, как
и в п. 2 § 2, где была рассмотрена задача Дирихле для
эллиптического уравнения в прямоугольнике на равномерной сетке.
Сначала отметим, что в силу разностных формул Грина имеет
место равенство
2
(Ау, У) = 2 (а*у\ , 1) , у(х) = 0, х$у.
а = 1 V а У а
Далее, из E) и F) найдем
1
х<х 2%
„+1
Ясс
,1
Используем теперь лемму 2, полагая
♦% а л
Ра = -Г— , 9а =
К
иа
а / а
#Л
2&а V иъ Но
1
:#*а» Уа = —Гу, а=1, 2.
«а
В результате получим неравенство
, 1
+1 . М?
„+1
«1
аг
ЛГ
2^/1^
1НН4 >Н!
0+е)
хайа"
Л2+
*0
XI
Положим здесь
е = е (х) =а
1^1 Н 1-?
[ 2^т 2и2/*2+
0,2* + 0,5^2"
«2
«2
аГ + О.бххЛ?
2
л2+
01
АГ
Л2+
&Л+ е2
х
, 1.
пх е*
и определим й(х) следующим образом:
0=1 \
+1 , а а | О-а "а
КК
, х$(о.
427

Здесь предполагается, что ха = иа (хр) > 0, 9а = 6а (х$) > О,
р==3—а, а=1, 2. В результате получим неравенство
Ж^С^' 0+.?.(ДалГ
*г
<л 1
Так как 0а не зависит от ха, то
Следовательно,
^И^»2 1 \<( —«/.2 1
еа ^ »*а» ЧМ о„ уха< '
и поэтому окончательно имеем
<т
ау1
.1+1
а = 1 \ °« 5«' /а а = 1 \2Маха
а а
*а
У2» 1
Дальнейшие выкладки являются полным аналогом
преобразований и оценок, полученных в п. 2 § 2. Приведем итог: в
неравенствах A1)
6=1, А —4тах / тах (са(х^) + \/ГЬа(х^)У\ р = 3—а,
"Г^
где
М*р)= ™зх *>а(*), са(*э) = тах ша(х), хр €<*>&;
функция ьа(х) есть решение трехточечной краевой задачи
1>а (X) = 0, Ха € Та,
а функция ы)а(х) — решение задачи
A2)
ха/ ха
2&„
«21
а
Ла
, ха е «>а (хр),
A3)
а>а(л:) = 0, ха€Га,
Функция <*(*) при этом вычисляется по формуле
ед-Ё
«+1
~Д *«''*/*« 2М *«
На
<*+УЪ'
==-, л: 6 со.
428

Итерационные параметры со и {гк} вычисляются по формулам
теоремы 1. Для нахождения ук+1 можно воспользоваться
алгоритмом
V (х) = аг (х) Ы-1*) + рх (х) VI-1*) +х (х) ц)к (х), х 6 о),
1>(*) = 0, х$у,
Уь+1 (х) = а2 (х)у[+Л1) + р2 (х) у№ + у.(х)й(х) ь(х), х 6 со,
ук+1(х) = 09 *€т,
где
Следует отметить, что в подобных случаях, когда
вычисление значения Вук требует больших затрат вычислительной работы,
а ограничений на объем запоминаемой промежуточной
информации нет, целесообразно использовать второй алгоритм,
описанный в п. 1 § 1.
3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной
области. Рассмотрим в качестве примера применения
построенного метода задачу Дирихле для уравнения Пуассона
|^ + |4=— Ф(*). *€0, и(х) = 8(х)9 х$Г.
Предположим, что решетка квадратная, т.е. ха — хаAа), хаAл+
+ 1) = хаAа)+к, 1а = 0, ±1, ±2, ..., и
@=={л:/ = A1/1| 12к)€0, 1а = 0> ±1, ±2, ...}.
При этом Йа = Л, а шаги На (х) отличны от Н только в
приграничных узлах сетки со.
Воспользуемся разностной схемой B), в которой положим
аа(х)=\ и %а = к. Чтобы применить построенный в п. 2 § 3
попеременно-треугольный метод, надо найти решения
одномерных трехточечных краевых задач A2) и A3), которые в данном
случае имеют вид
АаV(X = V*^ = !г,
Ааы)а = ш-
л:а€соа(л:|з), ыа(х) = 0, ха$Ч*
Рассмотрим интервал Да, содержащий о)а(#р)> и "обозначим
через 1а{ц) и Ьа(х$) его левый и правый концы. Тогда кй(х)^к,
если х—ближайший к /а узел сетки соа, и Н^(х)^.Н9 если х—
429
*а€«>а(*0). Vа(x) = 0,
1
1 1 1
Л« Ьа\'
%а С Та»
A4)
A5)

ближайший к Ьа узел сетки соа. Все остальные шаги А* равны
основному шагу решетки А.
При этом оператор Ла на сетке соа подробно записывается
следующим образом:
Ла# =
[ 1 (у+1«-у у-у~1(Х\ , , -
(у+1а—2у + у'^)9 /а + Ла + А<Ха<1а —/Й —А,
+ 1а
У —У
/4
, ЛГа — 1>а А1а.
Решения уравнений A4), A5) можно найти в явном виде.
Для этого подставим краевые условия в уравнения, записанные
в точках ха = 1а + ка' и ха = Ьа—К,- Эти уравнения
преобразуются, они станут двухточечными, и их можно рассматривать как
новые краевые условия для трехточечных уравнений с
постоянными коэффициентами, записанными для 1а + ка + к^ха^.Ьа—
— ка—к. Следовательно, будем иметь следующие задачи для
у(х) и хю(х) (верхний индекс ауниш временно опущен):
V+^<X—2V + V~1<* = —1,
/а+Аа+А<Ха<1а — А+ — А,
(^+—)V = V+1<*+ 1, ха = 1а + кй, ,щ
и>+1а—2а;+а'~1а=0, 1а + ка + к^ха^Ьа—А+—А,
^1+^^^^а_^1_^, ха^/а + А«, A?)
Используя методы решения разностных уравнений с
постоянными коэффициентами, изложенные в § 4 гл. I, найдем явный
вид решения краевых задач A6) и A7):
— "о/Тг! \*^а 'а/ ( *^а %а~
2Н*-(кЬ + Н*)(к%+Н-к*)'
+ Л«(/1 —Ла)
для /а +й-<;*„</:„—Л$. Так как Ла<Л, то
(К + Ю (** +А-й;) > А; (А-Й5),
430

поэтому
V*(х)<-±?(ха-1а)(Ьа-ха) + 1 < 2Р"(Ц^5J + 1.
аЛ(х)<-1, а=1, 2.
Следовательно,
6а (хэ) = тах У« (х) < 2Р" (Ц^У + 1.
са (хр) = тах оЛ (х) < у
*аесоа
Следовательно, Д = 0(/о/Аа), где /0—диаметр области 0. Поэтому
в силу теоремы 1 для числа итераций верна оценка
где Л/'—максимальное число узлов по направлению хх или л:а.
Таким образом, число итераций для рассматриваемого
модельного примера зависит лишь от основного шага к решетки и не
зависит от шагов в приграничных узлах сетки со.
Сравним оценку A8) с оценкой числа итераций для случая
задачи Дирихле в квадрате со стороной /0 и числом узлов N
по каждому направлению для квадратной сетки со.
Соответствующая оценка для числа итераций была получена в ц. 4 § 1,
она имеет вид
п>Ме) = 0,28/771пB/е).
Отсюда следует, что для произвольной области 0 число
итераций модифицированного попеременно-треугольного метода
практически такое же, как и число итераций для той же задачи
Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате, сторона которого
равна диаметру области С.
Замечание 1. Изложенный здесь способ построения
попеременно-треугольного метода можно, очевидно, использовать и
для случая, когда требуется решить эллиптическое уравнение в
прямоугольнике, но на неравномерной сетке.
Замечание 2. Построение метода для случая уравнения
со смешанными производными можно осуществить при помощи
выбора регуляризатора /?, подобно тому, как это было сделано
в п. 5 § 2.

ГЛАВА XI
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
В главе рассматриваются специальные итерационные методы решения
сеточных эллиптических уравнений Аи — }, оператор А в которых обладает
определенной структурой. В § 1 изучен метод переменных направлений для
коммутативного случая; построен оптимальный набор параметров. В § 2 метод
иллюстрируется на примерах решения краевых задач для эллиптических
уравнений с разделяющимися переменными. § 3 посвящен методу переменных
направлений в некоммутативном случае.
§ 1. Метод переменных направлений в коммутативном случае
1. Итерационная схема метода. В главе X был изучен
универсальный попеременно-треугольный итерационный метод,
оператор В в которда выбирался с учетом разложения оператора
А на сумму двух сопряженных друг другу операторов.
Наиболее часто используется разложение А на сумму треугольных
операторов, при этом В есть произведение треугольных
операторов, зависящих от дополнительного итерационного параметра.
Учет структуры оператора В позволяет оптимально выбрать
итерационные параметры и построить метод, который сходится
существенно быстрее явного метода. В применении к решению
сеточных эллиптических уравнений этот метод является и
экономичным, так как на реализацию одного итерационного шага
требуется число арифметических действий, пропорциональное
числу неизвестных в задаче.
Как мы знаем, операторы Л, соответствующие сеточным
эллиптическим уравнениям, имеют специфическую структуру.
Поэтому при выборе операторов В в неявных итерационных схемах
естественно попытаться использовать эту особенность оператора Л.
Очевидно, что такие итерационные методы не будут
универсальными, однако сужение класса исходных задач требованием
определенной структуры оператора А позволяет построить
быстросходящиеся итерационные методы, ориентированные
на решение именно сеточных уравнений.
В настоящей главе будет изучен специальный
метод—итерационный метод переменных направлений. Сначала дается
описание этого метода в операторном виде, а затем на примерах
будет продемонстрировано применение этого метода к нахожде-
432

нию йриближенного решения различных сеточных эллиптических
уравнений.
Описание метода начнем с итерационной схемы. Пусть
требуется найти решение линейного операторного уравнения
Аи = 1 A)
с невырожденным оператором Л, заданным в гильбертовом
пространстве Н. Пусть оператор А представлен в виде суммы двух
операторов Аг и Л2, т. е. А = А1 + А2. Для приближенного
решения уравнения A) рассмотрим неявную двухслойную
итерационную схему
Вк+1У^^+Аук = ^ * = 0. 1 у0$Н, B)
Вк = ($Е + Аг)(арЕ + Аш), т, == о#> + <\ C)
в которой оператор Вк+1 на верхнем слое зависит от номера
итерации к. Здесь со*,1* и со^2>—итерационные параметры,
также зависящие от номера итерации к и подлежащие
определению.
Остановимся сначала на способах нахождения ук+± при
заданном ук. Одним из возможных алгоритмов реализации схемы
B) является следующий:
(п^Е + А^уь+у, ={^\1Е-А2)ук+1,
(<о%1Е + А2)ук+1 = (^11Е~А1)ук+г/2 + !, *~0, 1, ..., D)
где ук+у9—промежуточное итерационное приближение.
Покажем, что система D) алгебраически эквивалентна
схеме B). Для этого исключим */а>+1/2из D). Учитывая, что А = Аг+А2,
перепишем D) в следующем виде:
{^11Е + А1)(ук+Чг-ук) + Аук = 1У
(со<^ + Л2)(^+1-^^ E)
и из первого равенства вычтем второе. Получим
иьл.и — */ь = (о)<2) ЕА-А } Ук+1—Ук =/о)B) Е4-А )^±Л^1±
Подставляя это выражение в E), получим схему B). Обратный
переход очевиден.
Для нахождения ук+1 можно использовать и другой алгоритм,
трактуя B) как схему с поправкой шк>
{^1ХЕ + Ах^^гку тк = Ауь-и
(с»$1Е + А2)^Vк = Vу
Ук+г^Ук—Ч+^к* к = ®, 1, .-
433

Этот алгоритм более экономичен по сравнению с D), однако
требует запоминать больше промежуточной информации, т. е.
требует дополнительной памяти ЭВМ, что не всегда удобно.
Отметим, что как при построении итерационной схемы C),
так и при конструировании алгоритмов никакие условия, кроме
естественного предположения о невырожденности операторов
со<,а)-Е+Ла, а=1, 2, на операторы Аг и Л2 не накладывались.
Все дополнительные требования на операторы Аг и А2 связаны
с задачей об оптимальном выборе параметров со^1* и со^.
2. Постановка задачи о выборе параметров. В методе
переменных направлений мы имеем дело с двумя
последовательностями параметров {со!1*} и {со!2)}, которые будем
выбирать из условия минимума нормы разрешающего оператора в
исходном пространстве Н.
Для решения задачи о выборе итерационных параметров
необходимо сделать определенные предположения относительно
операторов А1 и Л2, которые имеют функциональный характер,
а также задать некоторую априорную информацию.
Сформулируем эти предположения.
Будем предполагать, что оператор А можно представить в
виде суммы двух самосопряженных и перестановочных
операторов Лх и Л2:
А^А^А,, А1 = А*и А2 = А*2, АгА2 = А2АХ. F)
Пусть априорная информация задана в виде границ ба и Да
оператора Ла, а=1, 2, т. е.
б^^Л^А^, 62Я<Л2<Д2Я, G)
причем выполнено условие
б1 + б2>0. (8)
Заметим, что из F) —(8) следует самосопряженность и
положительная определенность оператора Л.
Если предположение о перестановочности операторов Аг и Л2
выполнено, то будем говорить, что рассматривается
коммутативный случай, иначе—общий случай. Условия F) обеспечивают
самосопряженность операторов Вн для любого &. Действительно,
в силу F) операторы (о^Е + А1 и А2 + (о^Е самосопряжены и
перестановочны, а произведение самосопряженных и
перестановочных операторов есть самосопряженный оператор.
Переходим к изучению сходимости итерационной схемы B).
Подставляя ук:=гк + и> гДе гк—погрешность, а и — решение
уравнения A), в B), получим для гк однородное уравнение
2*+1 = 5л+1гл, й = 0, 1, ..., г0 = у0—и9 (9)
434

где
8^Е-ткВ^А=(^)Е+А2)^((о^Е+А1)-^)Е-А1)((о^Е-А2).
A0)
Используя (9), выразим гп через г0. Получим
п
гп~ТПу 0г0, ТПу 0 = II5у. = 5П5П_1.. .5-,;, A1)
где Тп%0 — разрешающий оператор. Так как операторы Аг и Л2
перестановочны, то порядок сомножителей в A0) безразличен,
все операторы 5^ самосопряжены и попарно перестановочны и,
следовательно, оператор ТПщ0 самосопряжен в Н: Тп^ = Яп{А1,
Л2), где Яп(х, у) есть произведение дробно-рациональных
функций от х и у:
Из A1) получим
Ы<1та,ЛЫ • A3)
В силу самосопряженности оператора ТПу 0 имеем || Т„, 0||==
= тах|ЯЛG,Л10)|, где ЯЛ(ГИ 0)— собственные'значения операто-
к
ра Т„,0. Далее, в силу условий F) (см. п. 5 § 1 гл. V)
операторы А19 Л2 и Тп,0 имеют общую систему собственных функций.
Поэтому
МП,, о) = #„D?- ЧУ>
где К^ и Х<,2>—собственные значения операторов Лх и А2
соответственно, причем в силу G) имеем б^^1^^» 62<^2>^Д2.
Следовательно,
|| Т„г о I = гаах | Яп (^>, А#>) | < тах | #„ (х, у) |.
62<г/<Аа
Подставляя эту оценку в A3), получим
1г„||0< тах \Кп(х, у)\\\г0\\о, A4)
61<лг<А1
62<*/<А2
где Яп(х, у) определено в A2), а й = Е. Заметим, что в силу
перестановочности операторов Аг и Л2 оператор ТПщ0 будет
самосопряжен и в энергетическом пространстве Нв для С = Л,
Л2. Поэтому в силу леммы 5 § 1 гл. V будем иметь ||ГЛ10||=
=1|7,я,о1и==||7,|1 оЦл», и> следовательно, оценка A4) верна для
0 = Л, Д-Л2/
Итак, задача оценки погрешности итерационной схемы B)
сведена к задаче об оценке максимума модуля функции двух
) 435

переменных #п (х, у) в прямоугольнике 0 = {бх ^ х^ Ах, б2^г/^Л2}
и выборе итерационных параметров из условия минимума
максимума модуля этой функции. Поставленная задача является
достаточно сложной и в п. 3 она будет сведена к более простой
задаче о нахождении дробно-рациональной функции одной
переменной, наименее уклоняющейся от нуля на отрезке.
3. Дробно-линейное преобразование. Изучим функцию /? (лг, у). При помощи
дробно-линейного преобразования неизвестных отобразим прямоугольник О
на квадрат {ц*^и*^\, Г]<;у^1, т) > 0}, причем преобразование выберем
таким образом, чтобы оно не меняло вида функции Яп{х>у). Искомое
преобразование имеет вид
где постоянные г, 5, I и г\ подлежат определению.
Подставляя A5) в A2) и вводя новые параметры х*1* и х}2\
0)A)__5 шB)+5
получим
ГЛх^ + и х}2)-
Из A6) найдем соотношения, при помощи которых параметры со*1* и
со}.2) выражаются через введенные параметры х*-1* и х}2):
/•К^+5 ГХ<.2)-5
и^7Т^р ^"Т^р '=■.*.-.«• <17>
Итак, если будут найдены параметры х*.1* и х|2\ то по формулам A7)
определятся параметры со*1* и со*-2*.
В силу замены A5) мы приходим к задаче отыскания таких значений
параметров х].1* и Ху2\ при которых достигается
йнп тах \Рп(и> V) |.
хA),хB) Л<«, У< 1
Заметим, что если наложить некоторые ограничения на выбор параметров
1 и х*.2\ например э
увеличиться. Поэтому
х*1* и х|2\ например х^^х^^—ху, то, очевидно, что минимум может только
гшп тах Рп(и, V)\^т\п тах
Д_ ху —и ху-
11 Ху + И Ху +1
л Ху—-И
= тт тах \гп(и, х)|2, М". *) = Д :ГГГ^-
Итак, поставленная выше задача об оптимальном выборе итерационных
параметров с^1* и со^а* сведена к нахождению дробно-рациональной функции
436

гп(и>к)* которая наименее уклоняется от нуля на отрезке [г\, 1]. Иначе, нужно
найти такие х*., при которых
тах \гп(и, х*)| = тт тах \гп(и, и) [ — р.
11<и< I х Т|<:и< 1
Если такие параметры найдены, то для погрешности гп из A4) будет
следовать оценка ||г„|)#<: р2||20[|д, и точность е будет достигнута, если положить
р2 = 8.
Искомый выбор итерационных параметров будет дан в п. 4, а здесь мы
найдем постоянные г, 5, / и х\ преобразования A5).
Если г ф /5, то преобразование A5) монотонно по и и V, а,
следовательно, обратное преобразование ы = (я + 5)/(г + /дс), V = (у — з)/(г — /*/) будет
монотонно по х и у. Поэтому для отображения прямоугольника {бх^я^Дх,
б2^#^А2} на квадрат {г)*^и, у^1} достаточно, чтобы концы отрезка
[6а, Аа] переходили в концы отрезка [т|, 1]. Это дает четыре соотношения
для определения постоянных преобразования A5):
„ ГЦ — 8 « ГЦ + 8 Г —8 Г + 5 /10ч
Ь=ТГЩ- **=Т+Ц' А1 = Т^7' Д2=ТТТ- (,8)
Найдем решение нелинейной системы A8). Заметим сначала, что в силу
предположения (8) справедливы неравенства
Д2 + б1^е1 + б!1>0> Д1 + б2^б1 + б2>0. A9)
Далее, из A81 получим
(\-Г))(г-8() A-Г))(/--50
Отсюда найдем
B0)
1+чУ (Д1+е4)(Д2+б1)< 1>
и так как в силу A9) знаменатель в нуль не обращается, то
\—а -ш / (Ьл —61) (Аз — б») „,. ,,
ч-т+Б- в= К (дТ+ЩдТШ• ч€№.1]. B1)
Найдем теперь I. Из B0) получим
Аа + З^+т) Х^±^^Л±
Дх—бх 1—1] 1 + * а 1 + *#
- Отсюда будем иметь
'ЩЗ' 6==д^б1а- <22>
Из двух последних уравнений системы A8) найдем
г=1[Д1A-0 + А.A+0] = Ц-<[А>+А1»]=А,^У . B3)
«=4[А,A+°~А1A+0]=,Ц"/1А,~А1Ь1дА,й-У • B4)
Так как
Г"^»* ■"<'•
437

то преобразование A5) действительно монотонно. В п. 4 будет показано, что
ц < иуз=и^з==и^ < 1. Поэтому в A7) знаменатели в нуль не обращаются.
Рассмотрим некоторые примеры. Пусть б^ба —б и А1 = А2 = А, т. е.
границы операторов Аг и Л2 одинаковы. Тогда т] = б/А, / = 5 = 0, г = А,
ю^^со^^Аху. Пусть теперь 61 = 0, б2 = б, А1 = А2 = А, т. е. оператор Лг
вырожденный. Тогда
т] = б/(А+/А2 —б2), ^ = т|, 5 = Дт|, г = Д,
A) Аху+Аг] B) Аху—Дт| .
1 1+Т)Ху ' 1—Т]Ху '
4. Оптимальный набор параметров. Приведем решение задачи
об оптимальном выборе итерационных параметров. В отличие от
случая нахождения полинома, наименее уклоняющегося от нуля,
который был рассмотрен в § 2 гл. VI, здесь итерационные параметры
ну. выражаются не через тригонометрические функции, а при
помощи эллиптических функций Якоби.
Напомним некоторые определения. Определенный интеграл
Я/2
' 3 /1-^25Ш2ф
называется полным эллиптическим интегралом первого рода,
число к—модулем этого интеграла, а число й' = ]/1—№
—дополнительным модулем. Принято обозначать /((&') = /('(&).
Если обозначить через и (г, /г) функцию
Л /0-*я)(Уя
-*«):
то функция г = Aп(и, &')» обратная к и(г,к)> называется
эллиптической функцией Якоби аргумента и и модуля й'.
Используя эти обозначения, точное решение задачи об
оптимальном выборе итерационных интегральных параметров ху.
можно записать в следующем виде:
ну€аЯя = {|х/ = ап(^/Г'(л),л'). ' = 1. 2, ..., /г},B5)
/ = 1, 2, ..., я,
где число итераций /г, достаточное для достижения точности е,
оценивается по формуле
п^п0(г)- 4 ХоТГХТ^Г' ( Ь)
Здесь, как и в чебышевском методе, в качестве Ху
последовательно выбираются все элементы множества Я№л.
Сформулируем полученные результаты для метода переменных
направлений в коммутативном случае в виде теоремы.
438

Теорема 1. Пусть выполнены условия F) — (8), а
параметры со!1* и оо^) выбраны по формулам
где Ху и п определены в B5), B6), а г, зу I и х\—в B1)—B4).
Метод переменных направлений B), C) сходится в Нв, и после
выполнения п итераций для погрешности гп — уп—и будет верна
оценка \гп \\0 < е|| г01|0, где # = 5, А или А2, а п определяется
согласно B6).
Обратимся теперь к вычислительной стороне вопроса реализации метода
переменных направлений с оптимальным набором параметров. Найдем
приближенные формулы вычисления и/ или укажем порядок, в котором следует
выбирать параметры ху из множества 9Л„.
Используя асимптотическое представление для полных эллиптических
интегралов при малых значениях к:
из B6) получим следующую приближенную формулу для числа итераций п:
л^Мг)=^1п~1п~. B8)
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении щ. Функция дп (и, к') монотонно
убывает по и, принимая следующие значения: с!п @, к')=], йп(К' (к), к')—К.
Поэтому ц < \1п < [г„_! < ... <|и1 < 1. Далее, из свойства эллиптической
функции <3п (и, к'):
к
<3п(и, к')= , ,„, ... туг
4 ' <3п (К (к) —и, к)
следует, что имеет место равенство
Ц/ = 'П/|Ая + 1-1. *=1> 2> ••• B9)
Поэтому достаточно найти половину значений щ, а остальные определить из
соотношения B9).
Приближенную формулу для щ получим, используя разложение функции
(Зп (и, к') по степеням к. Для этого выразим функцию дп (а/С (т]), ц') через
тета-функции Якоби, а эти функции представим рядами. Получим
Отсюда находим
__ 2(Т~1 1 I Л1-ог1/71+ст
4п(аК'(П). П')=/Ч? 4 .+ а , 2-а + ° (Я' <30>
439

где
4+5а, 0 < сг < 1/2,
8—За, 1/2<а< 1.
<7 = Л20+Т12/2)/16, V-/
При а ^1/2 порядок остаточного члена в C0) равномерно по а равен 5,
а при а < 1/2 порядок равен 4. Поэтому приближенная формула для
Aп(а/С'(т)), т}') будет более точна для а^ 1/2, чем для 0 < 1/2.
Из B5), B9) н C0) получим следующие формулы для вычисления ц;:
2аг * , . 1-<т- , 1+<ь
|1/ду-^^Г + ^ + ? , (л/2] + К*<л.
^•=т)/|%+1-м 1<*<[я/2], а,= B1 —1)/Bл),
G-г]2A + Л2/2)/1б,
где [а] — целая часть а.
Рассмотрим теперь вопрос о порядке выбора X/ из множества *ШЛ. Из
определения оператора перехода 8/ в схеме B) и свойств F), <7) получим
В 5У || *=тах|М5у) |< тах
6а < */ < Д2
или в силу замены A5)
1 Н/ — И
0)р_Л Ш^_^
^1)+*«>Р+</
||5у1|<гаах '
Т1< «< 1
Ху + И
Так как все Ху принадлежат интервалу (г), 1), то отсюда следует, что
||5/|| < 1 для любого /. Поэтому итерационный метод B), C) будет устойчив
к ошибкам округления при любом порядке выбора х/ из множества Ш1„,
например, к; = {х/, /=1, 2, ..., п.
В заключение этого пункта покажем, что для построенного набора
параметров со/1* и со/2) операторы а)/а)^ + Ла> а=1, 2, для любого /
положительно определены в Я. Действительно, из B7) получим
дку "" A + /хуJ ^ ' дху "~ A - Ы;)* ^
Так как знаменатели в B7) не обращаются в нуль и г) < х,у < 1, то отсюда
и из A8) найдем
& ГГ\-]~8 _ A) Г+5 А « ГЦ — 8 _ B) Г — 5 . /01,
Следовательно, в силу предположения G) из C1) получим
®{рЕ + Ах ^ (&! + <52) Е, со(/2)Е -Ь Л2 ^ FХ + 62) Я,
и так как 6г + 62 > 0 по предположению (8), то утверждение доказано.
§ 2. Примеры применения метода
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона
в прямоугольнике. Рассмотрение примеров применения метода
переменных направлений начнем с решения разностной задачи
Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
440

Пусть на прямоугольной сетке ы = {х(/ = (Н11, }Н2)^0,
0<*"<Л^, 0</ <М2, На = 1а№а>а=: 1,2},введенной в
прямоугольнике О = {0 ^ ха ^ /а, а = 1, 2}, требуется найти решение задачи
Ау^(А1 + А2)у = —^(х)9 *€©> у(х) = 8(*)> *€?, ш
А*У = !Гхаха, а=1, 2. '
Обозначим через Я пространство сеточных функций, заданных
на со, со скалярным произведением
(и, V) = 2 и (х) V (х) ^2*
Операторы А, Аг и А2 определим на Я следующим образом:
Ау = — Ау, Аау = — Аау, а=1, 2, где */€Я, #6Я, У(*) = #(*)
для л:^о>, а Я—множество сеточных функций, заданных на со
и обращающихся в нуль на у.
Разностная задача A) может быть тогда записана в виде
операторного уравнения Аи = /, где А = А1 + А2.
Как мы знаем (см. п. 5 § 1 гл, V), операторы Аа
самосопряжены в Я и имеют границы 8а и Да:
6а = ^5И1*^, Да 4С082§*, а=1, 2,
которые совпадают с минимальным и максимальным собственными
значениями разностных операторов Ла. Осталось проверить
выполнение условия перестановочности операторов Ах и Л2.
Используя определение операторов Аа и разностных операторов Ла,
получим
о о
АгАгУ = УхххСхгХ2 == Ухгхгхххх ^ ^2^1*/>
что и требовалось доказать.
Ита]к, условия, требуемые для применения метода
переменных направлений в коммутативном случае, для
рассматриваемого примера выполнены.
Используя определение операторов Аг и Л2, алгоритм метода
переменных направлений для рассматриваемого примера можно
записать в следующем виде:
«Й10*+1/*—Л1*/*+1/2 = а>&1 Ук + \ук + Ч>, А1<л:1</1—к» B>
Ук+г/г(х) = ё(х)у х1 = 0, 119 й2<*2</2—А2,
<*$1Ук + 1 — А2Ук+1 = ©8+1УЛ+1/2 +Л1уЛ+1/, + ф, Л2 < ^2 < ^"М^)
причем Ук(х) = §(х) при х€? для любого &>0. Таким образом*
алгоритм метода состоит в последовательном решении для каж-
441

дого фиксированного х2 трехточечных краевых задач B) по
направлению хх для определения уи+х/г на со и решении для
каждого хг краевых задач C) по направлению х2 для определения
нового итерационного приближения ук+1 на со. Чередование
направлений, по которым решаются краевые задачи B), C),
дало название метода—метод переменных направлений.
Для нахождения решения задач B), C) можно
воспользоваться методом прогонки. Запишем уравнения B), C) в виде
трехточечной системы и проверим выполнение достаточных
условий устойчивости метода прогонки. Уравнения будут иметь
вид
— Ук+1/2 A+1, /)+ B+/^#1)УА+1/2 У, 1)—Ук + 1/2 (* ~ 1 , /) =
= ф1A\ /), 1</<Л^-1, D)
У*+1/2@, /) = «Г @, /), ^+1/а(Л^1, 1) = 8(М19 /),
где
фЛ'. /) = 4ы*\ /+1)-B + «шЙ1)лС, /) +
+#*('» /—1) + Л!ф(*\ /)];
— Ук+Л{> /+1) + B + Л2<оЙ1)у*+1^, /) —г/л+1(/, /—1)=Ф2(^, /),
1</<*,-1, E)
Л+хС 0)=вгA, 0), л+1(/, #я)=$(*\ Ы2), 1^-^Л^—1,
где
/г2
Фа С /) = Тг[^+1/2(^+1, /) —
«1
— B + И1(о$1)ук+1/2{1, 1) + Ук+1/2A—1, /)+Л?ф(*\ /)]•
Так как для данного примера бх > 0, б2 > 0, то в силу
неравенств C1) п. 4 § 1 параметры со^ и со^2) положительны.
Поэтому в трехточечных уравнениях D) и E) коэффициенты при
Ук+1/2 (ь, /) и ук+1A, /) преобладают над остальными
коэффициентами. Следовательно, метод прогонки, примененный к задачам
D), E), будет устойчив по отношению к ошибкам округления.
Подсчитаем число арифметических действий, которое нужно
затратить на реализацию одного итерационного шага в методе
B), C) для рассматриваемого примера. Достаточно подсчитать
число действий для задачи D), для задачи E) подсчет
проводится аналогично.
442

Формулы метода прогонки для задачи D) имеют вид (/
фиксировано):
#6 + 1/2 (*, /)=<*/№+1/2 (* + 1, /)+Р/, 1<*<Л^ — 1,
У*+1/2(#1, /)=г(^1. /).
а/+1=1/(С-а/), 1 = 1, 2, ..., Л^-1, 0^ = 0, С = 2 + «1э
Рл-1 = а/+1(ф1(^ /) + Р/)>
4=1, 2, ..., Л^-1, $г = 8@> /)•
Заметим, что прогоночные коэффициенты а, не зависят от /
и поэтому могут быть вычислены один раз с затратой 2(ЫХ—1)
арифметических операций. Далее, на вычисление ф1(^', /) на
сетке со потребуется 6(Л^—1)(Л^2—1) арифметических операций.
Прогоночные коэффициенты р,- и решение уь+1/2 нужно считать
заново при каждом /. Для эгого потребуется 4 (Л^—1)(М2—1)
действий. Всего для нахождения уи+гц на сетке со при
заданном ук потребуется С = 10(^—1) (Л^2—1)+ 2(^—1)
арифметических действий. Для нахождения ук+1 из A5) по
вычисленному ук+1/2 потребуется <32=Ю(М1—1)(М2—1) + 2(М2—1)
действий. Итак, для рассматриваемого примера реализация одного
* итерационного шага в методе переменных направлений
осуществляется за
д = 20(Лг1-1)(^1-1) + 2(^1-1) + 2(^1-1) F)
арифметических действий.
Оценим теперь число итераций п9 достаточное для получения
решения с заданной точностью е. В частном случае, когда
область С есть квадрат со стороной /(/1 = /а = /) и сетка со
квадратная с ^5= Л/га = Л/г(А1 = Аа = //Л^), будем иметь
Из B1) и B8) § 1 получим следующую оценку для числа
итераций:
п>я0(е) = 0,11п^1п4, ц = 8/А = 1^^
или для малых к
п0 (г) = 0,2 1п DЛ7я) 1п D/е), G)
т. е. число итераций пропорционально логарифму от числа
неизвестных N по одному направлению.
Из F), G) получим следующую оценку для числа
арифметических действий (?(е), затрачиваемых на нахождение решения
разностной задачи A) методом переменных направлений с
точностью е:
<Э (г) = п(} - 4Л'21п D#/л) 1п D/е). (8)
443

Чтобы сравнить этот метод с прямым методом полной
редукции (см. § 3 гл. III), перейдем в (8) от натуральных
логарифмов к логарифмам по основанию 2.
Получим
<2 (е) « 2,12 #21о& DВД 1оба D/е).
Так как погрешность аппроксимации разностной схемы A)
есть 0(/12), то е целесообразно выбирать равным О (Л2).
Если взять е = 4/#а, то получим
^(8)^4,24^21о22^V1о§2D^/я).
При # = 64 получим е^ 10~3 и
(? (е)« 27,6^106,^.
Сравнение с оценкой числа действий для метода полной
редукции показывает, что для указанной сетки метод
переменных направлений требует примерно в 5,5. раза больше
арифметических действий, чем метод полной редукции. С увеличением
N и уменьшением е это различие увеличивается.
Для рассматриваемого частного случая приведем число
итераций п в зависимости от числа узлов N по одному
направлению для е= 10.
Для сравнения приведем и число итераций дли других
рассмотренных выше методов.
Таблица 11
N
32
64
128
Метод простой
итерации
1909
7642
30577
Явный
чебышевский
метод
101
202
404
Метод
верхней
релаксации
65
128
257
Попеременно-
треугольный
метод
16
23
32
Метод
переменных
направлений
8
10 1
11
Из таблицы следует, что наименьшее число итераций
требуется для метода переменных направлений. По числу
итераций ему уступает попеременно-треугольный метод с чебышевскими
параметрами, который был рассмотрен в главе X.
Замечание. Если для рассматриваемой задачи A)
рассмотреть метод переменных направлений с постоянными
параметрами, т.е. <д}Х)=Е5й>A\ соJ) = (оB>, Ту = соA)+соB), то из формулы
B5) § 1 получим в силу равенства йп(-?К' (к), к'\=У"ку что
параметр иу = Уч- В частном случае, когда б1 = б2 = б, Дх—
444

= Д2 = Д, ранее в п. 3 § 1 было получено следующее
соотношение между параметрами со*-1*, со}2) и ху: со}1) = (о}2) = Дху. Так как
при этом т] = б/А, то отсюда находим соA) = соB) = |/ЛбД.
2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения
с разделяющимися переменными. Пусть в прямоугольнике
0 = |0<4</а, а=1, 2} требуется найти решение следующей
краевой задачи:
2
а=1 а \ а /
Я//
*« (*а) ж- = х-«"—#-« (*) • *« = °» (9)
а
Л//
— Ы^а)^ «Х+.И — #+а(*)> *«=«/«, а«1, 2.
а
Будем предполагать, что выполнены следующие условия:
0<с1>в<*аЫ<с2,а, х±сс=:соп51>0, а=1, 2, A0)
2
<7 = сопз1>0, 2 ** +<?2^0.
Краевая задача Неймана (х±сс = 0) для случая д^=0 будет
рассмотрена отдельно в главе XII. Условия A0) обеспечивают
существование и единственность решения задачи (9).
На прямоугольной сетке <о = \х{/ = (Иг19 /Л2)(*0, 0^*^ЛГх,
0</<УУ2, йа = /а/#а, а= 1, 2} задаче (9) соответствует
разностная краевая задача
Ау = (А1 + А2)у = — <р(*), лг^о),
(И)
где разностные операторы Л! и Л2 и правая часть ф
определяются следующим образом:
| -|- а« (Лв) Уха — @,5(? + — и.») #, #а = 0,
Ла*/=] (аа(ха)у-Ха)Ха — 0,5ду, /»«<*«</«—А»,
Г-ааA*)У'х„ — (®,5д+ -?-*■+*) У> ха = 1а
\ Ьа а \ ''а 1
для 0<д:р</р, р = 3 —а, а=1, 2 и Ф = / + Ф1+Ф»,
( 2
Фа (*):
к0
о,
"а ^ -^а ^ *а " "а§
445

Обозначим через Н пространство сеточных функций,
заданных на со, скалярное произведение в котором определено
формулой
(и, V) = 2_ и (х) V (х) %г (хг) %2 (х2),
хе<д
■к /г \~1 0»5/1<*' ** = 0,
Операторы Л, Аги А2 определим на Я соотношениями Ау=—Лу,
Лаг/ =— Лаг/, а = 1, 2. В § 2 гл. V было показано, что так
определенные операторы Аг и А2 самосопряжены и
перестановочны. Кроме того, в силу условий A0) оператор А
положительно определен в Н (т.е. 61 + ба>0). Осталось найти
границы операторов Аг и А2У т. е. постоянные ба и Аа в
неравенствах 8аЕ<Ла<ДаЯ, а=1, 2.
Найдем сначала ба. Из определения операторов Аа и
разностных формул Грина получим
(АаУ, У) = — 2 2^ [(а*У1)ха — 0,5ду]ук1/12—
— ^2о [^«(Ла)^а--(х.а + ^-G)ф|%==о^ +
= 22 а*!%ьА+
+ ^(Х-а^^^о + ^а^^^^ + О.б?^, 1).
Отсюда найдем, что если д = к_о, = к+а = 0, то 6а = 0. Если
хотя бы одна из величин ц, х_а или н+а отлична от нуля, то ба
молено найти следующим образом. В силу леммы 16 § 2 гл. V
будем иметь
(у\ 1)- < тах 0а(хв)(Лау, уу , A2)
*****
где Vа(x(X) есть решение трехточечной краевой задачи
(а*(х*)и? \ — 0,5^ =—1, йа<*а^/а—/*а,
^аа(ка)V« -@,5^ + -^7^ЛV« = -^9 *а = 0, .A3)
«а а \ а /
—-и-ааA*)хР — (о,5д + — х+а)иа = — 1, ха = /а,
446

а скалярное произведение определяется следующим образом:
(ы. у)ш = 2 и>(х)у(х)%а(ха).
а *а=°
Умножая A2) на ^р(хр) и суммируя по лгр от 0 до /р, получим
(г/2, 1)< тах Vа(xа)(Аау^ у)
и, следовательно,
ба = ^—-, а=1, 2.
таху (ха)
*а6с0а
Найдем теперь Да. Оператору Ла соответствует трехдиаго-
нальная матрица аа. Обозначим через 3> диагональную часть
матрицы Аа, т. е. @>у=-&ъ(Хи)у,
0,5G 4"/ГХ-« + ТГ ^а (*(*)• *сс = 0,
4(*а) = -!
ос а
°>5<7 + тг («а (*а) + «а (*сс + К)), К <*а <^а —Ла,
/г а
0,5<7+-Г-Х+а + ТГЯа(/а), *а = /а.
'а па
Рассмотрим задачу на собственные значения
АаУ—Ь2>У = 0, х$ы. A4)
Легко показать, что если К есть собственное значение задачи
A4), то 2 — К—тоже собственное значение. Следовательно,
или
(Аау, у)<B—К\п)(®У> У)<B—Кт) та_х й*(ха){у9 у).
Поэтому в качестве Аа можно взять
Да = B — Кт1п) тах йа(ха).
Осталось найти ЯЫп. Если ^ = х_а =х+а =0, то оператор Аа
вырожденный и ктт = 0. Иначе, в силу замечания 2 леммы
14 § 2 гл. V, будем иметь
D*0, */)«а<_таЗ ^(*«) (А*У> У)^ A5)
447

где ша (ха) есть решение следующей краевой задачи:
(аа&* \ — 0,5<?ша = — йа(ха)9 йа<л:а</а—На9
-^а« (А«) и>\ — @,5G + -^>с-а) ша = — 4 @), ха = 0, A6)
— ■^"аа(/а)«^в — @»5G + "^Х+сс)^а = — 4('а), Ха = /а-
Умножая A5) на Йр(л;р) и суммируя по х$ от 0 до /р, получим
(®У, У) < тах ша (*а) (Лаг/, г/)
и, следовательно,
1
Л-ТП1Т1 ^
тш^ тах а>а(*а) *
Итак, если 9 = х.а = х+С6 = 0, то
6а = 0, Да = 2 тах йа(ха),
иначе
е.- ■
а тах Уа (ха) *
Д« = B ~ шах 1«(* Л та* <*« <*«)'
где 1>а(#а) и доа(л;а)—решения задач A3) и A6). Вся
необходимая для применения метода переменных направлений
априорная информация найдена. Используя формулы теоремы 1,
найдем итерационные параметры метода и оценим требуемое число
итераций.
Приведем теперь формулы алгоритма метода переменных
направлений для рассматриваемого примера. Учитывая
определение операторов А19 А% и правой части ф, получим
в>л+10*+»/в—А^л+^/.^^+^+А^ + Ф»
(><*!</!, 0<*2</2,
0<л:2</2, О^х^^.
Здесь, в отличие от задачи Дирихле, трехточечные краевые
задачи должны решаться и по границе сетки со, а начальное
приближение у0 есть произвольная сеточная функция, заданная
на всей сетке ш.
44*

Используя условия A0), можно показать, что для
рассматриваемого примера, как и для случая задачи Дирихле, для
числа итераций п справедлива следующая асимптотическая по к
оценка:
п>/г0(е) = ОAп|А|1пе), |А| я = й? + й5.
Отметим, что все проведенные здесь рассмотрения сохраняют
силу и в случае, когда со—произвольная неравномерная прямо~
угольная сетка в области О. Нужно лишь заменить введенные
здесь операторы Ла операторами на неравномерной сетке.
Подчеркнем, что предположения постоянства <7, я± а и
зависимости коэффициентов аа только от ха существенны. Если не
выполнено хотя бы одно из этих предположений, то условие
коммутативности операторов Аг и А2 не будет выполнено.
В заключение отметим, что метод переменных направлений
можно применять для решения разностных аналогов
уравнения (9) и при других краевых условиях. В частности, на
каждой стороне прямоугольника С может быть задано одно из
краевых условий первого, второго или третьего рода с
постоянными х±а.
3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности.
Рассмотрим еще один пример применения метода переменных
направлений. Пусть на прямоугольной сетке со = {х^=(Иг19 $Н2) € О»
0^л<Л^, 0</^Л^2, /1а = /а/Л/а, а=1,2}, введенной в
прямоугольнике & = {0^л;а^:/а, а=1,2}, требуется найти решение
разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности для
уравнения Пуассона
Ау = (А1 + А2 + (к1 + к2)А1А2)у = — <р(*), *€о>,
У(*) = 8(х), *€Т, * '
где Ку = Ухаха> ** = *&/12, а=1,2.
Здесь
где ?(х)-~ правая часть исходного дифференциального уравнения
1и=^ + -4" = — /(*), х^О, и(х)=г(х), х$Г.
Разностная схема A7) при указанном выборе ср(л;) имеет
точность 0(|/1|4), \к\2 = к\ + к1, а на квадратной сетке (й1=А,=А)
при соответствующем выборе ф (х)
Ф = / + ^-(Л1+Л2)/ + ^(Л? + 4Л1Л2 + Л1)/
имеет точность О (к6).
15 А. А. Самарский, Е. С. Николаев -449

Вводя операторы Лау = — Лау, где у € Я, у^Я и
Я—пространство сеточных функций, заданных на со, со скалярным
произведением
(И. Я)= 2 и(*H(*)Ма.
а Я—множество сеточных функций, обращающихся в нуль на
у, запишем A7) в операторном виде
Аи = и A8)
где А = А1 + А2—(к1 + щ)А1А2,
Как было неоднократно показано, операторы Аг и А2
обладают следующими свойствами: Ах и Л2 самосопряжены в Я и
перестановочны
Да —/1а> а=1,2, Л1Л2 = Л2Л1, AУ)
оператор Ла имеет границы ба и Аа, где
0а-^-51П 2/а, Аа-^С052/а, B())
6аЯ<Ла<ДаЯ, ба>0, а=1,2.
Имеет место
Лемма 1. ^ли выполнены условия A9), B0) а иаДа < 1, то
операторы
1а=(Я—иаЛа)-Ма, а=1",2, B1)
самосопряжены в Я, перестановочны и имеют границы ба а Да,
т. е.
6аЯ<Ла<Д"аЕ, ба>0, а=1,2,
где ба и Да определяются формулами
б<* = 1_^ба ' Да= 1_ХаАа # ^
Действительно, существование оператора Ла следует из
положительной определенности оператора Е—хаЛа^если выполнено
условиеиаДа < 1. Далее, представляя Лав виде А(Х=(А^1—КаЩ'1
и учитывая самосопряженность операторов Ла, Ли1 и Л^1—иа^*
получим
(■5Г-Х«) * <№-Ха^)< (-5Г-*») 5-
Отсюда следует утверждение леммы. Перестановочность
операторов Аг и А2 следует из перестановочности Лх и Л2. Лемма
доказана.
Для рассматриваемого примера условия леммы 1 выполнены,
так как иаДа< 1/3.
450

Преобразуем теперь уравнение A8). Для этого запишем A8)
в виде
Ах (Е—к2А2) и + А2 {Е—к^) и = {. B3)
Применяя к B3) оператор (Е—к1А1)(Е—у^2А2) и учитывая
перестановочность всех операторов, получим из B3)
эквивалентное A8) уравнение
Аи = (А1+^)и = Т, B4)
где ~Аг и А2 определены в B1), а ^(Е—к1А1)-1(Е—к2А2)~1{.
Итак, решение уравнения A8) сведено к решению уравнения B4)
с самосопряженными перестановочными операторами 'А1 и Л2,
границы которых заданы в B2).
Для нахождения приближенного' решения уравнения B4)
воспользуемся методом переменных направлений
Вк+1у-^^ + Аук = Ъ * = 0, 1, ...,*/0<Е#, B5)
где _
Вк = «Я + Аг) (сорЯ + А2\ гк = сор + сор.
Итерационные параметры сор и сор находятся по формулам
теоремы 1, в которых ба и Аа заменены на ба и Аа. Все
необходимые условия применимости метода переменных направлений
здесь выполнены.
Осталось рассмотреть алгоритм, реализующий итерационный
метод B5). Перепишем B5) в виде
(©Й1Д + ЛЛ(©Й1Я+^^^ + тк+1Г.
B6)
В п. 4 § 1 было показано, что итерационные параметры а#
и ©й* для любого к удовлетворяют неравенствам б^^Юй'^Д,,
Так как для рассматриваемого примера ба > 0, то, деля
левую и правую части B6) на ЮйДюа+1 и обозначая 4+х=1/юа+1,
■4+1=1/<4+1, получим
=(Д-т#1Л1)(Д-тЙ1Л0 + (х#1 + т&O-
Применим к обеим частям этого равенства оператор
(Е-х1А1)(Е-к2А,)
и учтем, что все операторы перестановочны и
(Е-каАа) (Е + тЙ'Да) = Е + (Т&-хв) Аа,
Ш-наАл) (Е-т&А*) = Е- (т& + к«) Аа,
0 = 3—а, а=1, 2.
1У 451

В результате получим
(Е + (Т&-Х0 Аг) (Е + (т^-х.) Л,) ук+1 =
= (^-(т^1 + х1) Л1)(Я-(т& + х1) Л0у» + (тЙ1+т©1)Л B7)
Итерационная схема B7) эквивалентна следующей схеме:
(Е + (Т&-Х,) Л,) у*+.,, = (Б - (тйх + х2) Л а) у, + (тЙ1- »0 /, B8)
(Е + (тйх-х.) Л,) у,+1 = (^-(тЙх + х,) Лх) уА+1/2 + (Т& + х,)/.
B9)
Эквивалентность B7) и B8), B9) доказывается следующим
образом. Умножая B8) на т^1 + ^1> B9) на — (т$1—их) и
складывая результаты, получим
(«1 + ТЙ0 №+1/. = (ТЙ1-*!) (Е + (Т^-Х.) Л2) У, + 1 +
+ (тих + *г) № - (тих + к.) ^.) У*. C0)
Подставляя C0) в B8), получим после несложных
преобразований B7). Обратный ход рассуждений очевиден.
Учитывая определение операторов Аг и Л2, схему B8) и B9)
можно записать в виде обычной разностной схемы
(Е- (хЙ1- "Л А,) ул+./§ = (Е + (гЙ1 + *■) Л2) у, + (т^-^) Ф
для йх ^ л:х ^ /х—й1э C1)
#Н-У2 = ^(*) + К + ^)Л2^(*), ^ = 0, /1#
Краевую задачу C1) нужно последовательно решать для й2^
^#2^/2—й2. В результате будет найдено ун+*/ш для 0^^^^,
А2<а:2</2—Ля. Далее,
(Е-(Т&-И.)Л2)л+1 = (Е + (т^Л+к,)Ах)уА+./§ + (тЙ! + *г) Ф C2)
для Аа^#а^/2—К>
Л+1 = 2(*). *1 = 0, /,.
Краевую задачу C2) нужно последовательно решать для Лх^
^*1^*1—К- В результате будет найдено #Л+1.
Если сравнить числа итераций метода переменных
направлений для разностной схемы второго порядка точности,
рассмотренной в п. 1 § 2, и для схемы повышенного порядка точности,
то в последнем случае число итераций будет несколько
большим. В частном случае 1г = 12 = 19 М1 = М2 = Ы для N=10 это
увеличение происходит на 1%, а для N=100 на 4%. Объем
вычислений на каждую итерацию для обеих схем практически
одинаков, а различие в числе итераций незначительно. Так как
схема повышенного порядка точности позволяет пользоваться
более грубой сеткой для достижения заданной точности
решения дифференциальной задачи, то ее применение особенно
выгодно в тех случаях, когда решение дифференциальной задачи
обладает достаточной гладкостью.
452

Напомним, что в § 3 гл. III для решения задачи A7) мы
рассмотрели прямой метод—метод редукции. Как для схемы
второго порядка точности, так и для рассматриваемой здесь
схемы, прямой метод будет требовать меньшего числа
арифметических действий, чем метод переменных направлений с
оптимальными параметрами.
§ 3. Метод переменных направлений в общем случае
1. Случай неперестановочных операторов. Пусть требуется
найти решение линейного операторного уравнения
Аи = ! A)
с невырожденным оператором Л, который представим в виде
суммы двух самосопряженных неперестановочных операторов
А± и А2 с границами бх, Ах и б2, Д2:
Аа = А*а, 8аЯ<Ла<ДаЯ, а=1,2,61 + 62>0,
А~Аг + А2. B)
Для приближенного решения уравнения A) рассмотрим
двухслойную схему метода переменных направлений с двумя
итерационными параметрами соA) и соB):
ВУк+1-ук + Аук = Т, А = 0, 1, ..>,#0€#, C)
В = (соA)Я + Аг) (соB)Я + Л2), т == соA) + соB).
Здесь итерационные параметры и оператор В не зависят от
номера итерации к.
Как и в случае перестановочных операторов Аг и Л2,
итерационное приближение ук+1 для схемы C) может быть найдено
по следующему алгоритму:
(®™Е + А2)ук+1 -(со<2>Я-Л>)*/*+!/, + /, * = 0, 1, ...
Исследуем сходимость итерационной схемы C) и найдем
оптимальные значения параметров ооA) и соB). Предполагая, что
оператор (о{2)Е + А2 не вырожден, изучим сходимость C) в
энергетическом пространстве Яд, где # = (соB)^ + Л2J. В силу B)
оператор О самосопряжен в Я, а из указанного выше
предположения следует, что й положительно определен в Я.
Для погрешности гк = Ук—и получим из C) однородное
уравнение
%к + л =о2д, к = 0, 1, ..., 20 = */0 II, ...
8 = («>тЕ + Л,)~» (соA>Е + Л^ (&™Е—Ах) (ашЕ—Аг). к '
Перейдем в D) к задаче для эквивалентной погрешности
х^{^Е + А,)г„. E)
453

Получим
^к+1==^^к* Й = 0, 1» •••» 0=0102»
5Х =(соA>Я +Л^-1 {<*™Е—Аг), F)
82 = (а>™Е + А2)-Н<»{1)Е-А2).
Так как в силу сделанной замены E) имеет место равенство
11^1 = 1^11^, то достаточно исследовать поведение нормы
эквивалентной погрешности хк в пространстве Я. Из F) найдем
||*,т11<1|5||1Ы<!|5Л!52|1К||, 6 = 0, 1, ...
и, следовательно,
Иг,,Ь = КК1|5[«ККA511[51Г|гв1д. G)
Оценим норму операторов 5Х и 52. Предположим, что
операторы (д{(Х)Е + Аа, а=1,2, неотрицательны. Тогда из п. 4 § 1
гл. V в силу B) получим
б!<д:< А4 I <°**'-1-* I " "' ^62<#<Д2
(*<*)+у
и, следовательно,
||5-|Р2||<в1 тдх^ \Хг(х,у)\, ХЛх,у) = ^^.
62 < у < А2
Учитывая оценку G), поставим задачу выбрать параметры
^A) и ^(г) из условия
гшп тах \Я1(х9у)\.
вA)§й)(Я) б1<д:<Д1
62 < # < Д2
Эта задача является частным случаем задачи, решенной в § 1
настоящей главы. При помощи дробно-линейного
преобразования переменных х и у (см. A5), B1)—B4) в § 1) поставленная
задача сводится к задаче нахождения параметра и* из условия
|х*—и\
-5ГГ7, =тш тах
.. ^ „ ^ - * "Ги I х Г1< и < 1
X— И
х + ы
(8)
При этом параметры соA) и соB) выражаются через и* по формулам
Мч ГХ* + 5
(оA)= ,,!., о)
1 + /х*' ш ~ 1 —*х* '
а для погрешности г„ имеет место оценка
1|2„||0<Р2П||20||0.
Кроме того, в п. 4 § 1 было показано, что при оптимальном
выборе х* операторы ау(а)Е + Аа положительно определены, если
^1 + ^2 > 0- Следовательно, в силу B) наши предположения
454

о неотрицательности операторов со(а)^ + Ла, а=1, 2, будут
заведомо выполнены.
Приведем решение задачи (8) независимо от результатов
п. 4 § 1. Рассмотрим функцию ц)(и) = (к—и)/(к-\-и) на отрезке
0<т1^^^1 ПРИ ^ > 0. Эта функция монотонно убывает по и
и, следовательно,
тах |ф(и)| = тах (иЦ^ , г-г^ ) •
Отсюда легко получить, что минимум по к этого выражения
достигается для и*, которое определяется из равенства
х*—т] 1—х*
и*+т]""~ 1+х*"
Отсюда найдем
1-УГ
и* = ]Лг) , гит тах
к Т) < и <
и + и
1+/т|'
Итак, доказана
Теорема 2. Пусть выполнены условия B), а параметры
соA) а шB) выбраны по формулам
юн) = гУ^Г+1 ^B) = ' Ул-«
где г, 5, I и х\ определены в B1) — B4) § 1. Метод переменных
направлений C) сходится в НВУ и для погрешности гп имеет
место оценка
1г„Ь<р*1г0||о, Р = ^у|,
еде 0 = ((йB)Е-\-А2J. Для числа итераций п справедлива оценка
л = л0(е) = 1пе/B1пр)«1п-^/D1/т|).
2. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения
с переменными коэффициентами. Рассмотрим пример применения
метода переменных направлений в некоммутативном случае.
Пусть на прямоугольной сетке со = {х{] = (Иг19 ]Н2) € О, 0<^" ^ Л^,
0^/<Л/'2, И(Х = 1а/Ыа, а=1,2}, введенной в прямоугольнике
0 = {0<л;а</а, а=1,2}, требуется найти решение следующей
разностной задачи:
2
Л#= 2 {аА*)У-х„)х —Ч(х)У=* — Ч{*)9 *€*>, /9ч
а= 1 а а \^/
где коэффициенты разностной схемы удовлетворяют условиям
0<с1<аа(х)<с2, 0<^<?(л;Х^2- (Ю)
455

. В пространстве Н сеточных функций, заданных на ю, со
скалярным произведением (и, V) = 2 и (х)Х) {ХЖК* операторы
Аг и А 2 определим следующим образом; Ла# =— Аа# =
5?=—(ааУ;)х +0&Ч9* а—1,2, у€Н, у$Н, где, как обычно,
у(х) = 0 на у.
Введенные операторы Ла являются самосопряженными в Я,
и если аа(х) зависит только от переменной ха и д(х) есть
постоянная, то операторы Аг и А2 будут перестановочны. В общем
же случае перестановочность не будет иметь место, и для
решения уравнения A), соответствующего разностной задаче (9),
можно применить рассмотренный в п. 1 § 3 метод переменных
направлений C).
Алгоритм метода имеет простой вид
соA)^+1/в—Л1г/А+1/8 = ш^)^ + Ла^ + ф, *!<*!</!—&!,
Ук+*/Лх) = е(х)> *1-0, к* йа<хя</а—й2,
Осталось найти границы ба и Аа операторов Аа, а=1, 2.
Так как условия A0) выполнены, то из леммы 14 § 2 гл. V
получим
(*Л 1)*а<Ка(х$)(Аау,у)ша, Р-3—а, а=1,2, A1)
где иа(хр)= тах V00 (х), а ьа(х) есть решение следующей трех*
точечной краевой задачи:
(аар* \ —0,5даа=—1, йа^ха</а—йЛЭ
V" (Х) = 0, Хи = 0, /а, Й$ < Хр < /^ — ^Э-
Скалярное произведение по <аа определяется следующим образом:
(а, а)©а = 2 й (х) V (х) Ъа = 2 ы (х) у (х) Аа.
Умножая A1) на к$ и суммируя по л;р, получим
(-^уМ)<ИаУ,1/), а=1,2.
Следовательно, в качестве ба можно взять
456

Найдем теперь Да. Будем поступать по аналогии с п. 2 § 2.
Обозначим через @) диагональную часть матрицы Аа,
соответствующей оператору Ла:
Тогда имеет место неравенство
(Аау, У) < B—Кап) (&>У> У) < B-Лшы) тах 4 (*) (у, у),
#есо
гДе ^тт—постоянная из операторного неравенства А,т1п®^Ла,
Найдем А,т1п. Из леммы 14 § 2 гл. V получим
{й*У\ 1)а)а< ра (*р) (АаУ% у)Ша, A2)
где ра (^э) — тах ^а(*)э а №а(х) есть решение следующей
трехточечной краевой задачи:
(ааш* \ — 0,5^ша = — <1а(х), Аа<#а</а—Аа,
V *а /*а
ша(;с) = 0, ха = 0, /а, Аэ<гр</р—Ар.
Умножая A2) на Ар и суммируя по сор, получим
(~У\ 1)<(Аау9у), а=1,2.
Следовательно, в качестве Яш1п можно взять
л . 1
поэтому Аа есть
\тахйа(я), а=1,2.
тахРа(*р) ) хы
Итак, априорная информация, требуемая для применения
метода переменных направлений, найдена. Используя условия A0),
можно показать, что величина т], определяющая скорость
сходимости метода, для рассматриваемого примера есть 0(|А|2),
где |А|а = А| + А!. Поэтому в силу теоремы 2 для числа итераций
будет справедлива оценка
п-°{щыт)-
Рассмотрим модельную задачу. Пусть разностная схема (9)
задана на квадратной сетке в единичном квадрате (ДО^ДО^ ДО,
457

^ = /2 = 1). Коэффициенты аг(х), а2(х) и ^{x) выберем
следующим образом:
а1(х)=\+с[(х1-0>5у + (х2-01Ь)%
а2(х)=1+с[095-(х1-095Г-(х2-0,5П
Я(х) = 0, с>0.
В этом случае в неравенствах A0) сг= 1, с2= 1 + 0,5с, с11 = й2 = 0,
меняя параметр с, будем получать коэффициенты разностной
схемы (9) с различными экстремальными характеристиками.
Приведем число итераций для рассмотренного метода
переменных направлений в зависимости от отношения с2/сг и от числа
узлов N по одному направлению для 8= Ю-4.
Таблица 12
с%1сх
2
8
32
128
512
# = 32
65
90
ПО
122
128
#=64
132
187
233
264
282
#=128
264
380 1
482
556
603
Сравним этот метод с методом верхней релаксации (см. § 2
гл. IX), попеременно-треугольным методом (см. § 2 гл. X) и
неявным чебышевским методом (см. п. 3 § 2 гл. VI). По числу
итераций рассмотренный метод переменных направлений
уступает методу верхней релаксации и попеременно-треугольному
методу, но превосходит неявный чебышевский метод в 1,5—2 раза.
Однако по объему вычислительной работы метод переменных
направлений будет уступать и неявному чебышевскому методу.

ГЛАВА XII
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С НЕЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ
В главе изучаются прямые и итерационные методы решения уравнений
с невырожденным и незнакоопределенным оператором, с комплексным
оператором, а также с вырожденным оператором. В § 1 для уравнения с
незнакоопределенным оператором рассмотрены метод с чебышевскими параметрами
и метод вариационного типа. В § 2 для уравнения с комплексным оператором
специального вида построены методы простой итерации и переменных
направлений с комплексными итерационными параметрами. В § 3 изучены общие
итерационные методы решения уравнений с вырожденным оператором, когда
оператор на верхнем слое невырожден. Параграф 4 посвящен построению
специальных прямых и итерационных методов для уравнений с вырожденным
оператором.
§ 1. Уравнения с действительным незнакоопределенным
оператором
1. Итерационная схема. Задача выбора итерационных
параметров. Пусть в гильбертовом пространстве Н дано уравнение
Ли = / A)
с линейным невырожденным оператором Л. Для решения
уравнения A) рассмотрим неявную двухслойную итерационную схему
вё*ч5г + АУь = *' * = 0, 1, .... B)
с невырожденным оператором В и произвольным у0$Н.
Итерационные схемы вида B) изучались в главах VI, VIII,
где были предложены некоторые способы выбора итерационных
параметров тк в зависимости от свойств операторов Л, В и Э.
Напомним, что й есть самосопряженный положительно
определенный оператор, который порождает энергетическое
пространство Нв. Было показано, что для сходимости в Н0
рассмотренных итерационных методов требуется положительная
определенность оператора
С^Я-^фВ-^О-1/,. C)
Для конкретных операторов О это требование приводит к
следующим условиям на операторы А и В:
459

1) оператор А должен быть положительно определен в Я,
если й = А, В или Л*Б"М;
2) оператор В*А должен быть положительно определен в Я,
если й = А*А или В*В.
Существуют задачи, для которых эти требования не
выполнены, т. е. либо оператор А не является знакоопределенным,
либо трудно найти такой оператор В, чтобы В*А был
положительно определенным оператором. В качестве примера таких
задач можно привести задачу Дирихле для уравнения Гельм-
гольца в прямоугольнике
У(х) = 8(*)> *€Т,
где т2 > 0.
Данный параграф посвящен построению неявных двухслойных
итерационных методов для случая, когда оператор С является
невырожденным незнакоопределенным в Я оператором. Здесь
мы будем рассматривать только действительные операторы С,
комплексный случай изучается в § 2.
Переходим к построению итерационных методов. В уравнении
гк+1 = (Е—тк+1В~1А)гк, к = 0у 1, ...,2л— 1,
для погрешности гк = ук—и итерационной схемы B) сделаем
замену гк = 0'1/^к и перейдем к уравнению для зквивалентной
погрешности хк:
хк+1^{Е—хи+1С)хкУ * = 0, 1, ...,2л— 1, D)
где оператор С определен в C). Так как оператор С незнако-
определен, то очевидно, что норма оператора Е — тк+1С будет
больше либо равна единице для любого %к+1.
Рассмотрим теперь уравнение, связывающее погрешности на
четных итерациях. Из D) получим
**к + * = (Е — Т2к + 2С)(Е — Т*к + 1С)Х2к> к^0> 1> -..Л— 1. E)
Если обозначить
^Л + 1^ Т2к + 2Т2к + 1* Й = 0, 1, . . . , Л I, F)
и потребовать, чтобы итерационные параметры т2А+2 и т,А+1 для
любого к удовлетворяли соотношению
1/т2*+а+1/т2*+1-2а, 6 = 0, 1, ...,п— 1, G)
где а—неопределенная пока постоянная, то E) можно записать
в виде
*!А+2=(Я-©*+10*.*, * = 0, 1, ...,С-С2-2оС. (8)
460

Если (ок+1 и а найдены, то параметры т2Л+2 и т2Л+1 в силу F) и
G) определятся по формулам
т^+1 = —асо^+1—|/а2(о|+1 + со7^,
т2*+3 = — асо*+1 + Ка2Ц+1 + (ок+1, (9)
к = 0, 1, ..., п— 1.
Из (8) получим
*1» = П(Я—<о/?)*о.
/=1
1<П(^я
A0)
Так как оператор С зависит от ос, то требование положительной
определенности оператора С будет одним из условий, которым
подчинен выбор параметра ос. Кроме того, из A0) следует, что
параметры со-, 1 ^ / О, и параметр а нужно выбрать из условия
п
минимума нормы разрешающего оператора 11E—со С).
/=1
Эта задача о наилучшем выборе итерационных параметров а>у
и а, а следовательно, и параметров хк для схемы B) будет
решена ниже. Сначала установим связь предлагаемого способа
построения итерационного метода со способом, основанным на
трансформации Гаусса, для случая самосопряженного
оператора С.
Заметим, что замена и = 1>-,/*я, р^ВО-1/^ позволяет записать
исходное уравнение A) в следующем виде:
Сх = ф, A1)
где оператор С определен в C). Используя A1), получим
Сх=-С2х—2аСх = (С—2аЕ)у = у. A2)
Далее, если обозначить Vк~^1^ук^ где ук—итерационное
приближение в схеме B), то легко найдем
хк = ОЧ*гк = Вх1*ук—&1ш = ьк—х.
Подставляя хк в (8) и учитывая A2), получим итерационную
схему
"^-"'ЧСоц-Ф, А-0,1. ... A3)
Итак, схема A3) есть явная двухслойная схема для
преобразованного уравнения A2).
Пусть С = С*. Напомним, что в этом случае первая
трансформация Гаусса состоит в переходе от уравнения A1) к
уравнению С# = С2# = Сф = ф. Так как С—невырожденный оператор,
461

то оператор С2 будет положительно определенным в #. Поэтому
указанное преобразование приводит нас к случаю знакоопреде-
ленного оператора. Для решения уравнения с таким оператором
можно_ использовать двухслойную схему вида A3), заменив
С на С и ф на ф. Очевидно, что такой метод есть частный
случай (при ос = 0) рассматриваемого нами метода.
2. Преобразование оператора в самосопряженном случае. Будем
предполагать, что оператор С самосопряжен в Н. Тогда
оператор С = С2—аС также самосопряжен в Н. Нашей ближайшей
целью будет выбрать параметр а так, чтобы оператор С был
положительно определен, и найти границы у1 = У1(ос) и Тг — 7г(а)
этого оператора, т. е. величины из неравенств
Т1Я<С<72Я, VI >0. (И)
Если указанное значение для а существует, то в силу оценки
|] п __ II I п
П(Я—©уС) < шах Д О —<*>у0
I /= 1 II VI < * < 7г
/=1
С00
* 1 + РоМ-А
задача нахождения параметров со,, /= 1, 2, ..., п, сведется к
построению полинома Рп{1) степени п, нормированного условием
Рп @) = 1 и наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [у1У у2]
положительной полуоси. Эта задача была изучена нами ранее
в главе VI при построении чебышевского метода. Решение имеет
вид
, Иа€ЭЙя=|—соз^^я, 1 = 1, 2, ...,/г|,
где 6=1, 2, ...,я,
При этом в силу A0) для погрешности х2п будет справедлива
оценка
1КК<7*1кП, <7„ = 2р?/A+рГ).
Отсюда следует, что выбор параметра а должен быть подчинен
условию максимума отношения уг1у2.
Найдем оптимальное значение для параметра а. Пусть
собственные значения [х оператора С заключены на отрезках [у19 у2]
и [у3, 74]- Так как оператор С незнакоопределен и невырожден, то
Т1<72<0<78<'У4. A5)
462

Найдем собственные значения Я оператора С = С2—2аС. Легко
видеть, что собственные значения операторов С и С связаны
соотношением
Ь = |х2—2оца, [х€&, A6)
где й состоит из двух отрезков [у19 у2] и [-у3, у*].
Найдем сначала ограничения на а, которые обеспечивают
положительность собственных значений к, т. е. положительную
определенность оператора С. Анализируя неравенство^2—2а[х>0,
находим, что оно имеет место для \1, меняющегося вне интервала
[О, 2а]. Поэтому это неравенство будет выполнено для \1$&,
если а удовлетворяет условию
72<2а<73. A7)
Будем считать, что A7) выполнено. Из A6) получим, что
преобразование К = Х(\1) = \12— 2а^х отображает отрезок [у19 у2]
на отрезок [Я2, Хг]9 а отрезок [73, ?4] на отрезок [к3, Я4], где
^/ = МТ/)> _1^*^4. Таким образом, все собственные значения
оператора С положительны и расположены на отрезках [Я2, кх][}
1)[Х3, Я4]. Поэтому в неравенствах A4) следует положить
уг = тш(к2, Я3), у2 = тах (Х19 Я4). A8)
Выберем теперь 2ос^(у2, у3) из условия максимума
отношения ух1у2. Из A8) получим
72 =
Введем следующие обозначения: Д1 = у2— ух, А2 = у4—у3, и
рассмотрим два случая.
1) Пусть сначала Д1<Д2, т. е. у2 + у3<71 + 74- в этом
случае для Ь> = уг1у2 получим следующее выражение:
о о
о У2"~ а), у2 < 2а < у2 + у39 возрастает по а,
?4(Т4—2а)
!«&(«) = { !8 !3~^, У2 + 7з<2а<71 + 74, убывает по а,
У*(П—2«)
• о
Уз Уз— а*, 71+74<2а» убывает по а.
VI (VI—2а)
Следовательно, в этом случае оптимальное значение а есть
а = а0 = G2 + 7з)/2, A9^
463
*. = ?•(?.—2а).
^з = Уз (Тз—2а),
^4 = у4(Т1—2а),
^1 = 71 (к —2а),
Т.<2а<?1 + У1.
Т1+Т.<2а<т„
2а < 71 + 74»
Т1 + Т*4<2а.

причем условие A7) выполнено. При а = а0 имеем
у1 = Х2 = К3= — у2у3, B0)
Т. = ^-Т4(А.-А1)-Т1Т4>^. B1)
2) Пусть теперь Дх> Д2, т. е. у2 + 7з^ 71 + 74- В этом
случае будем иметь
Уз G2— ) ^ 2а< ух+ 74» возрастает по а,
74(У4—2а)
|=и*)=
Уз (Уз— «) ^ VI + 74 ^ 2а < у2 + 7з ♦ возрастает по а,
VI (VI—2а)
? |У3~~!;а?, 72 + 7з < 2а < 7з, убывает по а.
V! (VI—2а)
Следовательно, и в этом случае оптимальное значение
параметра а определяется формулой A9), значение Ух дано в B0), а
72 = ^1 = 71 (Ла-Л1)-7174> К- B2)
Итак, доказана
Лемма 1. Пусть собственные значения оператора С
заключены на отрезках \уг, у2] и [у9, 74]> 7о2<°<7з- Тогда для
оператора С = С2—аС при а = а0 = (у2+7з)/2 справедливы
неравенства
угЕ^С^у2Е, VI > 0,
где
71 = — 727з, 72 = та*[у4 (А2—Дх), уг (Л2—Дх)]—^у 4.
Для указанного значения а отношение ух/у2 максимально.
Утверждения леммы следуют из A9) — B2). Отметим, что
а0 —0 лишь в случае, когда у2 = —-7з-
3. Итерационный метод с чебышевскими параметрами. Выше
мы рассмотрели двухслойную итерационную схему B),
параметры тй, &=1, 2, ..., 2/г, которой выражаются через соА,
1^/г^п и а по формулам (9). При этом параметры соЛ
являются итерационными параметрами чебышевского метода и
определяются соответствующими формулами, а необходимая для
этого априорная информация и оптимальное значение
параметра а даны в лемме 1.
Заметим, что мы предполагали принадлежность собственных
значений [х самосопряженного оператора С отрезкам [ух, у2] и
[7з> 74]- И3 определения C) оператора С следует, что собственные
значения оператора С одновременно являются и собственными
значениями следующей задачи:
Аи—|х5й = 0. B3)
464

Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить это уравнение
слева на оператор О'^В'1 и сделать замену, полагая и = 0-1*п).
Заметим, что оператор С будет самосопряжен в Я, если
самосопряжен оператор ОВ~1А.
Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть оператор О В'1 А самосопряжен в Н и
собственные значения задача B3) принадлежат отрезкам [у19 у2]
и [?з> У*]* ?1^ 7г < 0< 7з^Т4- Для итерационного процесса B)
с параметрами
й=1, 2, ..., /г,
справедлива оценка
где
* Н-РоИ* Гк
6ЭЛ^ = {—соз^^", 1<*<я}, 1<й<л,
_ 2 _1 — Е _ 1-/1 _ 2р? ?__71
ао=в0,5Gя + Тз)»вТ1 = — Т27з, ^
у2 = тах [у4 (Д, — Л^, Ъ (Д2—Ах)]—^у 4|
АХ = 72— ?1. Д1 = ?4 — V»-
Итерационный метод B) с указанными параметрами тл будем
называть чебышевским методом.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть А1 = Аа, т. е.
длины отрезков [у19 у2] и [у3, у4] одинаковы. В этом случае имеем
о о
?1 = — Г27з, 72 = — ?1?4, |=-НР.
VI ?4
Покажем, что в рассматриваемом случае построенный набор
параметров т4 наилучший. Это утверждение нужно доказывать,
поскольку при построении параметров тк для схемы B) мы
наложили п условий G), следовательно, выбор параметров был
подчинен дополнительным ограничениям.
Из E) и (8) найдем, что
Х2п —Чъп \Р) Х0 == *п \Р) *0»
где
<2*п(С) = П (Е-т/7) = Рп(С) = П(Е-^С). B4)
Рассмотрим соответствующие алгебраические полиномы ^2„(^>0
и ЛЛ^) (^ = |*2—2сф,). Если параметры соу выбраны указанным
465

в теореме 1 образом, то полином Р„ (А) следующим образом
выражается через полином Чебышева 1-го рода Тп(к) (см. гл. VI,
§ 2, п. 1):
Рп(Ь) = %Тп(±=^), Р„@) = 1,
шах \Рп(Щ = Яп-
Заметим, что в точках VI = ^о < ^ < • • • < К = Уг> гАе
кк
1_р0соз —
ЯЛ = — , /г = 0, 1, ..., тг,
полином Рп(к) достигает экстремальных на [у19 у2] значений:
^(Ч) = (-1)Ч, * = 0, 1, ..., п. B5)
Так как в силу B4) имеет место равенство О^Н^ЛЛ^)» гДе
I и |1 связаны соотношением Х = [х2 — 2ос[1, то из B5) найдем
<1*№ = <!шпЫ) = (-1)*Чп> Л = 0, 1 л, B6)
где |х^ и [4 —корни квадратного уравнения
14—20^—^ = 0, й = 0, 1, ..., п. B7)
Далее, для рассматриваемого случая преобразование Я = Я([х) =
= [х2—2а|А отображает каждый из отрезков [ух, у2] и [у3, 74] на
один отрезок [у19 у2]. При этом точкам |х = 72, И'==Тз
соответствует ^ = 71» а И' = 'У1 и И'==Т4 соответствует Я = у2. Поэтому
корни уравнения B7) расположены следующим образом:
Уг = № < Рп-г < • • • < № = 72» Тз = И* < На < • • • < К = ?4-
Предположим теперь, что построенный в теореме 1 набор
параметров %к не наилучший. Это означает, что существует
другой полином степени не выше 2/г вида
_ 2п _
0.»(|*) = ПA—Т/1*).
для которого
тах | <J„ (|а) | < цп9 Й = [у„ у2] У &, 74].
|А€Й
Рассмотрим разность #2л(!х):=Ф2л(!х) — ФгЛИ')» которая есть
полином степени не выше 2/г. Доказательство существования 2/г+ 2
корней у полинома Я2п (\*>) приведет нас к выводу о неверности
сделанного выше предположения.
466

Для доказательства рассмотрим значения Я2п (\1)_ в точках
№> 0</г</г. Так как, по предположению, — <7„ < СаЛиО < <7я>
|х(Е&, то
Я2п Ы = <22п (№)-$*, Ш = (- 1)* <7„-<2». (№)
и /?2„(|1^)<0, если к—нечетное, К2п(\1~к)>0, если к—четное.
Следовательно, при переходе от \х1 к ^+1, 0^/г^я—1,
полином /?2Л2 (|л) меняет знак. Поэтому на отрезке [у19 у2] существует
п корней этого полинома. Аналогично, рассматривая значения
/?2„(|л) в точках [4, 0^/г^/г, докажем существование п корней
и на отрезке [у3, у4]. Далее, так как
Я2п (т.) = Я2п Ы > 0, Я2п Gз) = Я2п 04) > О,
Я2*@) = 0,
то в интервале (у2, у3) есть ли^о два различных (один из
которых нуль) корня полинома #2пA1)> либо нуль есть кратный
корень. Следовательно, на отрезке [у19 у4] полином /?2„([г) имеет
2/г + 2 корня, что невозможно.
Итак, для случая Д1 = ДЯ построенный в теореме 1 набор
параметров тй наилучший.
Пусть теперь ДХ<!Д2. В этом случае имеем уг = — 7г7з>
72=7 74^2 — Ах) —?1?4- ТаК ^К Т1=Т4в(Д1 — АО —71?4 =
= 74G4 — 7з — 72)> то 71 и 7г не зависят от уг. Следовательно,
для любого VI из интервала 72 + 7з~~74^71^72 имеем один и
тот же набор параметров тЛ, и итерационный метод B) сходится
с одинаковой скоростью для любого уг из указанного интервала.
В заключение заметим, что построенный в теореме 1 набор
параметров хк будет наилучшим и для случая, когда п= 1, а Д^
и Д2 не обязательно равны. Это есть случай циклического
метода простой итерации, для которого в схеме B) %2к_1===%1,
т^ = т2, к== 1, 2, ..., а тх и т2 находятся по формулам
теоремы 1 для /Г= 1 (со1 = со0)
т1 = —а0со0—]/"а^ + со0, т2 = — ао0о + Уа;©5 + <оо,
где со0 = 2/G1+72)- Так как в этом случае имеем '
п
*2п = П(Я-со0С)х0 = (-Е—со0С)»х0,
то для погрешности г2п итерационной схемы B) будем иметь
оценку
1^»Ь<роЦ201Ь.
467

Так как в силу F) и G) два параметра тг и т2 заменяются на
параметры сох и ос, а последние выбираются оптимальным
образом ((о1 = (о0, ос = а0), то, действительно, параметры тх и т2 для
метода простой итерации выбраны наилучшими.
4. Итерационные методы вариационного типа. Выше мы
рассмотрели итерационные методы для случая самосопряженного
оператора Б В Л, когда не все собственные значения задачи B3)
одного знака. При этом сходимость итерационного метода B)
обеспечивалась построением специального набора итерационных
параметров. Рассмотрим теперь итерационные методы вида B),
сходимость которых при обычном выборе итерационных
параметров обеспечивается структурой оператора В. С таким
способом построения итерационных схем мы имели дело в методе
симметризации уравнения (см. гл. VI, § 4, п. 4) и при изучении
методов минимальных погрешностей и сопряженных
погрешностей в главе VIII.
Пусть оператор В имеет вид
В^=(А")-1В9 B8)
где В — произвольный самосопряженный и положительно
определенный оператор. В качестве оператора И возьмем Л. Тогда
д#-1Л = ЛМ, С = В-1/*А*АЁ-1/*. Если оператор В не вырожден
и незнакоопределен, то оператор С все равно положительно
определен. Кроме того, оператор С самосопряжен в Я. Поэтому,
если заданы ух и у2 в неравенствах ^Я^С^Ту^, ух > О или
в эквивалентных им неравенствах
^В^ЛМ^Я, 71 > 0, B9)
то параметры гк в B) можно выбрать по формулам чебышев-
ского двухслойного метода (см. гл. VI, § 2> п. 1)
т, = т^-, ^€ад^-со5^^-\ !<*<
ь*-1+Р0[Ха'
Тп =
71 + ?2
^€ЯЯ* = {-
6=1, 2,
Ро 1 + |.
-СОВ*—0 '
2п
.... П,
6 = 21.
Та
"},
C0)
Итак, имеет место
Теорема 2. Пусть А невырожденный оператор. Для
итерационного метода B), B8) с параметрами C0), где уг и у2
заданы в B9), имеет место оценка
2рх п ^ 1-/1
1+рГ ' Р1 1+/"Г
Если постоянные уг и у2 в B9) либо неизвестны, либо могут
быть оценены слишком грубо, можно воспользоваться
рассмотренными в главе VIII итерационными методами вариационного
типл.
115<0и11го1|Я' 9"= 1 , „2И > Р1
468

Если для схемы B), B8) параметры хк выбирать по формулам
где гк = Аук—/—невязка, а хюк—поправка, определяемая из
уравнения Втк = А*гк, то получим метод минимальных
погрешностей (см. гл. VIII, § 2, п. 4). Как известно, для погрешности
гп этого метода имеет место оценка | гп \% < р? || г0||5 ? где р0
определено в C0).
Если рассмотреть трехслойную итерационную схему
Вук+1 = ак+1(В—тк+1А)ук + A— ак+1)Вук_х + тк+1ак+Л9 *>1,
Ву1 = (В—х1А)у0+х^ у0€Я,
где оператор В определен в B8), и выбрать итерационные
параметры ак+1 и %к+1 по формулам
то получим метод сопряженных погрешностей (см. гл. VIII, § 4,
п. 1). Для погрешности этого метода верна оценка
Ш§<ЯпШ\в-
5. Примеры. Рассмотрим применение построенных выше
методов к нахождению решения разностной задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца в прямоугольнике
Ухл + Ухл+^У = -?(*)* *€*>,
У(х) = 8(х), х$уу ^
где со = {хи = (/*!, /й,М) < * < АГ19 0 < / < #2, НаЫа = /а, а = 1,2},
а V — граница сетки со.
Сведем задачу C1) к операторному уравнению A). В данном
случае Н—пространство сеточных функций, заданных на ы со
скалярным произведением
(и, V) = 2 и (х) V (х) КК* и 6 Я, у 6 Н.
*€Сй
Определим оператор /? следующим образом: /?*/ = —Л#, у^Н,
у€Н и у(х)==у(х), х^оъ, где Я—множество сеточных функций,
заданных на со и обращающихся в нуль на у, а Л есть
разностный оператор Лапласа Лу = Ух1Х1 + Ухх2- Тогда оператор А
определится равенством А = Н—т?Е. Так как оператор /?
самосопряжен в Я и имеет собственные значения
469

то оператор А также самосопряжен в Я, и его собственные
значения \лк выражаются через Кк по формуле
У>ь = К—т%> Ь = (к19кш), 1<Ла<#а—1. сс=1, 2. C2)
Пусть т2 не совпадает ни с одним %к. Обозначим через %т и
%тг ближайшие к т2 собственные значения %к соответственно
снизу и сверху, т. е.
*..<«'<*.,. * (зз)
В этом случае оператор А не вырожден и незнакоопределен.
Для решения уравнения A) с указанным оператором А
рассмотрим явную итерационную схему B) (&=Е). Если положить
й = Е9 то оператор ОВ~1А совпадает с Л и является
самосопряженным в Я. Выбор итерационных параметров в этом случае
можно осуществить, используя теорему 1. Из B3) получим, что
необходимая априорная информация задается границами
отрезков [уг, у2], [у3, у4] положительной и отрицательной полуосей,
на которых расположены собственные значения оператора Л.
Из C2) и C3) найдем у1 = 8—т2, у2 = %тх—т2, уа = 'ктл—т29
у4 = Д—/п2, где
2 2
к ~х й« 21<* к аГ7 Ла 2'«
Найдем теперь ух, у2 и величину 1/~|, которая определяет число
итераций для рассматриваемого метода, так что п^п0(г) =
= 1пB/е)/B}/'5). Из формул теоремы 1 найдем
у1 = (тг—%т1)^т,—т^,
\ (Д_т»)(А + т,-Х.1-Л.1), Я^ + Я^Д + б),
Ъ \(т«_в)(Я,-1 + Л1,1-т«-б), ХШ1+ЯЯ]>(А + 8).
Отношение 1 = ^1/72 зависит от т2. Чтобы получить
представление о качестве рассматриваемого итерационного метода,
найдем значение т2 из интервала (%тх, ЯЛа), при котором |
максимально. Получим
т* = 0,5(ЬЯ1 + ЬЯш)9
при этом
/А'/ла—^т\\2
* = {—?—)>
\ (А—ту, 2та<Д + б,
Та~1 (т*—бL, 2та>Д+б.
470

Если т2 мало, т. е. %тх и %т2 близки к б, то 71 = 0A),
а -у2 = (А—т*J = 0 (тттг) • В этом случае наилучшее !•=?
= 0(|/г|4). Если %тх и Кт^ близки к А, то снова получим
| = О (| А |4). Лишь для случая, когда Хт% и %т% близки к 0,5 (Д+б),
получим
так что
г=о(\н\%
Заметим, что разностная задача C1) может быть решена
одним из прямых методов, рассмотренных нами в главах III, IV:
либо методом полной редукции, либо методом разделения
переменных. Возникающие при этом трехточечные краевые задачи
следует решать, в отличие от случая т = 0, методом
немонотонной прогонки.
§ 2. Уравнения с комплексным оператором
1. Метод простой итерации. Пусть в комплексном
гильбертовом пространстве Н дано уравнение
Лы + <7И = /, A)
где А—эрмитов оператор, а 9 = ^1 + ^2—комплексное число.
Для приближенного решения уравнения A) рассмотрим явную
двухслойную схему
УШ=У* + (А + ЧЕ)ук = Г, [к = 0, 1, .... у0$Н, B)
где т = т1 + п;2—комплексный итерационный параметр.
Будем предполагать, что ягф§, а ^ и у2—постоянные
в неравенствах
Т15<Л<т2Я. C)
Исследуем сходимость итерационной схемы B) в
энергетическом пространстве Н@ = Е) и найдем оптимальное значение
для итерационного параметра т. Используя A) и B), запишем
уравнение для погрешности хк = ук—и в виде:
**+1 = 5*л, к = 0, 1, ..., 5 = Я-тС, D)
где
С = Л + <7#.
Из D) найдем
*„=$%, 1Ы<11$й1111*о1|. E)
471

Изучим оператор перехода от итерации к итерации. Так как
оператор А эрмитов, то
С* = А + дЕ% С*С^СС*$
т. е. оператор С является нормальным оператором. Поэтому
нормальным является и оператор 5. Известно (см. гл. V, § 1,
п. 2), что для нормального оператора 5 справедливы
следующие соотношения:
|5»|| = |15Г, 151 = зиро1^1.
Поэтому из E) следует, что задача выбора итерационного
параметра т сводится к нахождению его из условия минимума нормы
оператора 5.
Решим эту задачу. Из C) будет следовать, что
„__(Сх, х) ^
(х, х)
0^={г = г1 + аB2—21)г 0<а<1, г^ъ + Я, г^Ъ + я}*
где й—отрезок в комплексной плоскости, соединяющий точки
гх и г2. Поэтому
«5Ц = 5ир1^|1 = 5ир|1-т2|
и параметр т ищется, исходя из условия ттшах|1—тг\.
х г = Й
Исследуем функцию ф(г) = |1—тг|. Так как линии уровня
|1—тг| = р0 есть концентрические окружности с центром в точке
1/т и радиуса # = р0/|т|, то для оптимального значения
параметра т = т0 точки гх и г2 должны лежать на одной линии уровня.
Следовательно, должны выполняться равенства
[1— *А1 = Ро> И—^2| = Ро.
причем |1— уКр,, для г€&.
Запишем эти равенства в эквивалентном виде
1—Тв2а
1—То?!
= 1. Ро=-
\г2-
\*1\
2% I — То^2
%х 1—То?!
Так как в силу первого равенства при изменении т0
комплексное число
г^ 1—т0г2
* — ЧЧ
472

пробегает единичную окружность в комплексной плоскости
с центром в начале координат, то рй будет минимально, если
выполняется равенство
1 — То*! ?1 1 22 1 *
Это условие дает следующее значение т(
_ __ 122|/г2 + 1гг|/г1 ,
Т°~~ МхЖг,! # ^
При этом значении т = т0 для нормы оператора «5 верна оценка
используя которую, получим для погрешности хп итерационной
схемы B) оценку
Ы1з<Р?1*о|1в. (8)
Найдем теперь условия, при выполнении которых р0<1.
Так как справедливо неравенство
|^-^1=1^||Т|1—Т^Г|<|г1|A+||[)=|г1| + |г2|,
причем здесь достигается равенство лишь при выполнении условия
?1 Н \г1 I г2 /Сч
1*1 I ~" 1^] |г2| ~ |г2| ' <У)
то рФ< I, если (9) не имеет места.
В рассматриваемом нами случае гх = уг + д и г2 = у2 + д*
Из {9) легко находим, что в двух случаях рв < 1: либо я2Ф0
и VI и Та любые, либо 92 = °» но VI и ?2 подчинены условию
(?1 + 01)(ъ + 41)>0- БУАем считать далее эти условия
выполненными. Тогда итерационный процесс B) будет сходящимся.
Теорема 3. Пусть А—эрмитов оператор и выполнены
неравенства C). Итерационный процесс B) с параметром
1Т1 + <?ЖТ2 + ?1 \ У1 + Я ~Г У2 + Я )
сходится в Я, и для погрешности имеет место оценка (8), где
Замечание. Выше была решена задача о нахождении
оптимального параметра т из условия пнптах{ 1— тг|, где й —
х гьО.
отрезок комплексной плоскости, соединяющий две точки гх и г2.
Легко найти решение этой задачи и в случае, когда Й есть
473

круг с центром в точке г0 радиуса г0 < | г0 [, т. е. не
включающий в себя начало координат. Решение поставленной задачи
имеет вид
т0 = ~, 8ир|1—т02| = р0 = т5у<1.
Рассмотрим теперь использование построенного метода для
нахождения решения следующей разностной задачи:
Ли—ци = — ф(#), #€@,
и(х) = е(х)9 х$у, 9 = 91 + ^2» 0°)
Л = ЛХ + Л2, Ааи = (ааи^а)Ха9 а =1,2,
где ю = {*// = (*А11 УЛЯ) € О, 0<*<#1Э 0</<#2, каЫа = 1а,
а=1,2} — сетка в прямоугольнике 0 = {0^л;а^/а, а=1, 2},
а коэффициенты аа(#) вещественны и удовлетворяют условиям
0<^<йа(х)<с2, х€<>>- (П)
В рассматриваемом случае Я—пространство комплекснознач-
ных сеточных функций, заданных на со, со скалярным
произведением
(и, V) = 2 и (%) V (х) НХН2.
хеоа
Задача A0) записывается в виде уравнения A), где
оператор А определяется обычным образом: Ау =— Ау, где у$Н,
у(х) = у(х) для х^о), у(х) = 0, *€?.
Для решения построенного уравнения A) рассмотрим явную
итерационную схему B).
Используя разностные формулы Грина для комплекснознач-
ных функций, а также неравенства (И), убедимся в том, что
оператор А является эрмитовым в Я, а в неравенствах C)
*.-^х:1тчг«,й-
а=1
2
Если выбрать итерационный параметр т согласно теореме 3,
то для погрешности хп = уп — и будет иметь место оценка (8),
где р0 определено в теореме 3.
В частном случае, когда /1=/2=/, Мг = Ы2 = N и ^=0A),
G2 = 0A), получим р0 = 1—0(М~2). Следовательно, для
достижения заданной точности е потребуется выполнить п0(е)=
= о(м21п~) итераций.
474

2. Метод переменных направлений. Рассмотрим снова
уравнение A) и предположим, что оператор А можно представить
в виде суммы двух эрмитовых перестановочных операторов Ах
и Л2:
А = А1 + А2, А1А2 = АЛА19 Аа==А*а, а=1, 2. A2)
Пусть б и А—границы операторов А1 и Л2, т. е.
8Я<Ла<ДЯ, а=1,2. A3)
Для решения уравнения A) рассмотрим неявную
двухслойную итерационную схему B), в которой оператор В задан
следующим образом:
В = (о>Е + А1 + д0Е)(®Е + А% + д0Е), <7о = 0,5</, A4)
а параметры т и со связаны соотношением т = 2со. Аналогичную
итерационную схему мы получили в главе XI при построении
метода переменных направлений. Заметим, что для нахождения
ук+1 в схеме B), A4) можно воспользоваться следующим
алгоритмом:
(<дЕ + С1)ук+ч2=(а>Е—С2)ук + [,
(®Е + С%)ук+1 = (<о—Сг)ук+1/я + Т, й = 0, 1, ...,
где для сокращения обозначений Са= Аа + д0Е, а=1, 2.
Переходим к исследованию сходимости схемы B), A4) в норме
Я. Воспользовавшись перестановочностью операторов Аг и Л2,
получим уравнение для погрешности гк
Ч+1 = 5,82гк, к = 0, 1, .... A5)
8а = ((оЕ + Са)-1(<дЕ-Са), а=1, 2, A6)
причем операторы 5! и 52 перестановочны. Из A5) найдем
г„ = 5?52%, 12яК|5г»5гЦЫ. A7)
Оценим норму оператора 55, а=1, 2. Поскольку
Са—нормальный оператор (СаСа^СаС*^ а=1, 2), то нормальным будет и
оператор 5а. Поэтому || 8% || = || 5а \п и достаточно оценить норму
самого оператора 5а.
Так как норма нормального оператора равна его
спектральному радиусу (см. гл. V, § 1, п. 2), то из A6) получим
1 со—%
||5а|| = тах
<*+К
A8)
где Яа—собственные значения оператора Са. В силу сделанных
475

предположений A2) и A3) относительно операторов Аа
получим, что к(х^0.^{г = г1 + а(г2—г1), 0<а<1, ^ = б+^0, г2 =
= А + 90} для а=1, 2. Следовательно, из A8) получим, что
II 5а
Ктах
2€Й
о—г I
а=1, 2.
A9)
Поставим теперь задачу выбрать параметр со из условия
минимума правой части неравенства A9).
Рассмотрим дробно-линейное отображение
ш = (со — г)/(со + г), со =^ О,
B0)
устанавливающее соотношение между точками г-плоскости и
точками хю-плоскости. Из свойств преобразования B0) следует,
что окружностям |до| = р0 в до-плоскости при $Ф\
соответствуют окружности в г-плоскости, а единичной окружности
соответствует в г-плоскости прямая, проходящая через начало
координат. Точки указанной прямой имеют аргумент, отличающийся
от аргумента со на ± я/2.
Найдем в г-плоскости центр и радиус окружности,
соответствующей окружности |до| = р0=^1 в ш-плоскости. Для этого
выразим из B0) г через хю\
г = соA— т)\{\ +о>),
и, используя это соотношение, вычислим
1 + Ма,
1-|ш|2
1 + М2
со-
1 — т
• со
_ 21<а| [ю+|ш|8)
~ |1-|ю|М |1+ю|
1 —|ш'|я ад#" 1+ш
Так как
|а> + |а> |2 | = |ш + адо| = |а>||— 1 +а>| = |до||1+ш|,
то окончательно получим
1 +
Т—
хю
С0-
_ 2|а>||до|
~ И~М21
Отсюда следует, что окружностям |до| = р0<1
соответствуют окружности в г-плоскости с центром в точке г0
радиуса #, где
у -Ч+Ро гл ^ _ 2р0 | со |
г0—~ Г00» **~~ * 2~
1—ро 1— Ро
B1)
Заметим, кроме того, что в силу взаимной однозначности
отображения B0), равенства
I со — г
| со+ 2
= Ро< 1» |*о —2| = #
B2)
эквивалентны.
476

Вернемся к поставленной задаче. Рассмотрим функцию
Из сказанного выше следует, что линии уровня ф(г) = р0 при
р0 < 1 есть окружности с центром в точке г0 радиуса /?, где
г0 и /? определены в B1). Для разных р0 эти окружности не
пересекаются, причем окружность, соответствующая меньшему
значению р0, лежит внутри окружности, соответствующей
большему значению р0. Отсюда получим, что для оптимального
значения со =
уровня:
со0 точки гх и 2а должны лежать на одной линии
©о-
= Ро < 1»
Щ—г2
со0 + г2
СОо + 21
при этом будет выполняться равенство
|со0—г
= Ро< 1»
B3)
тах
2€^
щ + г
Параметр со0 должен быть выбран из условия минимума р0.
Найдем оптимальное со0 и вычислим р0. Из B3) в силу B2
получим
_1+Ро.
1 —ро
р 2ро1соо|
А о ;—~Г~
1—Ро
или
20— 2Х
-1,
2ро
1+Ро1'
20|
1*11
ч—ч\
г0 — г2
"г0 —2Х
Заметим, что р0 минимально, когда минимально
2р0
имеет место, если потребовать выполнения равенства
2р — 2г 2г_ I 21 |
20 — 2! 21 |22|
Подставляя это выражение в B4), получим
2р0 __ 1*2 — *з|
1+Ро2'
B4)
а это
B5)
1+Ро
|2х1
«I
Отсюда легко найдем
A-Р«)а |г11 + |га|-|г2-г1)
Уг = -
1+Ро
I «11+1 г*
A+РоJ |г1| + |г»| + |г1-гг1 ь=Л=1A-^У
1*-~Г+Ц йП+Ы ' 5 V* ^1+РоУ
B6)
477

Следовательно,
и, кроме того,
1—VI" 1-Ро
'1+УЪ ' 1+Ро"
1 I 2
__1+рп __ со0
-2<0о
1 —Ро V 7172
Подставляя это выражение в B5), найдем оптимальное
значение параметра о0:
0)п
1*1| + |г,1
I 21 1/21+1 2а |/22
КтЛ- B7)
Итак, для оптимального со = со0 получена оценка нормы
оператора 5а: ||5а|Кр0, а=1, 2. Подставляя ее в A7), найдем
оценку для погрешности гп:
И^КрГЫ, р»=Г77Г» ?=§• B8)
Рассуждая, как и в методе простой итерации, найдем, что
неравенство ух > 0, а вместе с ним и неравенство р0 < 1 будут
иметь место в двух случаях: либо при д2ф0, либо при <72 = 0,
но(б + 0,5?1)(А + 0,5?1)>0.
Итак, доказана следующая
Теорема 4. Пусть выполнены условия A2), заданы б и А
из неравенств A3) и либо д2ф0,либо <72=0 и (б+0,591)(А+0,5^1)>0.
Для метода переменных направлений B), A4), в котором
итерационный параметр со = со0 выбран по формуле B7), а т = 2со0,
справедлива оценка B8), где ух и у2 определены в B6), а ^=8 + 0,5<7
и г2 = Д + 0,5<7.
Замечание 1. Решение задачи тщтахР^ч
0) 2€Й 1®Н-2|
круг с центром в точке г0 радиуса г0 < | г0 | имеет вид
где Й —
1/ I © — 2Г| 1—У% о VI
2€
где Т!=1—гв/|г0|, т1=1+г0/|г0|.
Замечание 2. Если вместо неравенств A3) заданы
неравенства 8а2?^ Ла<Да/:, а=1, 2, то в теореме 4 следует
положить б = тщ(б1, б2), Д = тах(Д1, Д2).
§ 3. Общие итерационные методы для уравнений
с вырожденным оператором
1. Итерационные схемы в случае невырожденного оператора В.
Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве Н = Нм
дано уравнение
Ли=/ A)
478

с линейным вырожденным оператором Л. Последнее означает,
что равенство Аи = 0 имеет место для некоторого и^О.
Напомним (см. гл. V, § 2, п. 2) сведения, относящиеся к проблеме
решения уравнения A).
Пусть кегЛ— ядро оператора Л, т.е. множество элементов
и^Н, для которых Аи^=0. Через 1тЛ — образ оператора Л —
обозначим множество элементов вида у = Аи, где и^Н. Известно,
что имеют место следующие ортогональные разложения
пространства // в прямые суммы двух подпространств:
# = кегЛ®1тЛ*, # = кегЛ*01тЛ. B)
Это означает, что любой элемент и $ Н можно представить в виде
и = и + и, где и^'гтА* и и^кегА, причем (и, и) = 0.
Аналогично и = и + и, где и^\тА и и^кегЛ*, (и, и) = 0.
Пусть в уравнении A) / = / + /, где /€1тЛ, /бкегЛ*.
Обобщенным решением A) называется элемент и^Н, для которого
Аи = }\ оно доставляет минимум функционалу \\Аи—/||.
Обобщенное решение не единственно и определяется с точностью до
элемента из кегЛ. Нормальное решение—обобщенное решение,
имеющее минимальную норму. Нормальное решение единственно
и принадлежит шЛ*.
Нашей задачей является построение методов, позволяющих
приближенно находить нормальное решение уравнения A). При
этом будем требовать, чтобы приближенное решение, так же
как и точное нормальное решение, принадлежало
подпространству ил Л*.
Для решения поставленной задачи будем использовать
неявную двухслойную схему
Ву-^^ + Аук = [, к = 0,\,...,ув$Н. C)
Сначала изучим случай невырожденного в Н оператора В.
Общие требования к итерационному процессу таковы:
а) итерации проводятся по схеме C), приближение уп€ ш Л*,
в то время как промежуточные приближения ук могут
принадлежать Н\
б) конкретная структура подпространств кегЛ, кегЛ*, \тА
и 1т Л* в процессе итераций не используется.
Найдем условия на оператор В, начальное приближение у0
и параметры хкг к= 1, 2, ..., п, которые обеспечивают
выполнение сформулированных выше требований.
Условия 1. Пусть оператор В такой, что
Ви $кег А*, если и € кет А, D)
Ви^хтА, если и^хтА*. E)
Имеет место
479

Лемма 2. Если для операторов А и В справедливы равенства
А*В = СА, ВА* = АО, F)
где С и О—некоторые операторы, то условия D) и E)
выполнены.
Действительно, пусть выполнены равенства F). Если и € кег Л,
то Аи = 0 и, следовательно, А*Ви = СЛа = 0. Поэтому /&г € кег Л*,
и D) выполнено. Пусть теперь и (Е ш Л*, т. е. ^ = Л*у, где у^Я.
Тогда 5^ = 5Л*у = ЛО^€ 1гп Л. Следовательно, условие E)
выполнено. Лемма доказана.
Следствие. Для случая А = А* условия леммы 2 будут
выполнены, если операторы А и В перестановочны: АВ = ВА.
Приведем еще ряд утверждений, вытекающих из D) и E).
Лемма 3. Пусть выполнены условия D) и E). Тогда
В-^ёкегЛ, если и € кег Л*, G)
В'хи^\тА*% если и^хтА, (8)
и оператор АВ~г не вырожден на \т Л.
Действительно, пусть и € кег Л* и и Ф 0. Обозначим V^В~1и
и предположим, что ю^гтА*. Тогда в силу E) и^=ВV^^тА.
Но так как ифО, а пространства 1т А и кег Л* ортогональны,
то сделанное предположение неверно. Следовательно, V =
=Я~1а€кег Л, и G) доказано. Аналогично доказывается (8).
Докажем теперь невырожденность А В на подпространстве
\т А. Действительно, пусть и 61т Л. Тогда в силу (8) В-1а € ш Л*
и, следовательно, В~ги ^кег Л. Отсюда получим, что АВ~гифО,
и поэтому (ЛВ~*и, Л5~1^)>0. Лемма доказана.
Вернемся теперь к схеме C) и посмотрим, что дает условие 1.
В соответствии с разложением Н в виде B) представим / и^
для любого к в виде
/ = ? + /•_ _/€1тЛ, /€кегЛ*,
Уь = У* + Ук> </*€1тЛ*, ул€кегЛ.
Используя (9), запишем схему C) следующим образом:
В ~УХ7?к +В "%7хк +АУ>=вГ + ?> *-0,1.... (Ю)
Из D) и E) получим, что первое слагаемое левой части A0)
принадлежит пи Л, а второе—кег Л*. Поэтому из A0) найдем
уравнение
в*к%\~?* +АУьЧ> * = 0, 1 л€1тАв A1)
для компоненты ук^\тА* и уравнение
в ум-Ун вд А = 0. 1, .... ув€кегА A2)
для компоненты #л€кегЛ.
480

Найдем условия, при выполнении хготорых уп^тА*. Из (9)
следует, что если дп = 0> то //„ = */„€ та Л*. Найдем из A2) явное
выражение для уп и приравняем его нулю. Тогда
сформулированное требование а) будет выполнено.
Из A2) получим
к+х
Уи+1 =-у^+^к+1в'11==-- =у*+ 2 туВ?.
Отсюда следуют
Условия 2. Пусть у0 —Л*ср, где ц>€Н, а параметры^,
&** 1,3, , д, удовлетворяют требованию
2ту-0, A3)
если /€Я. Если /__[_кег Л*, то ограничение на параметры хк не
накладывается.
Поясним выбор начального приближения у0. Так как для
любого (р^Л имеем, что ^ = Л*ф (Е ш Л*, то в разложении (9)
уо = 0 и у0 = у0. В частности, выбирая ф = 0, получим начальное
приближение у0 = 0.
Итак, если выполнены условия 2, то уп = уп. Поэтому
итерационный процесс C) будет сходиться и давать приближенное
нормальное решение уравнения A), если сходатся итерационный
процесс {И)» т- е- есЛЙ прследовательность ук сходится к
нормальному решению и.
Замечание 1. Условия 2 позволяют выделить из
итерационного приближения уп его проекцию на шЛ*, т.е. найти
уп без использования самих подпространств кег Л, 1тЛ, кегЛ*
п
или 1тЛ*. Далее^ если известно, что 2Т/|1^~ХЛ1 мала, т.е.
мала \уп% то в силу равенства \уп^и\ = \уп—и\ + \уп\ в
качестве приближенного решения можно взять у^ и отказаться
от ограничения A3). В этом случае уп € кп Л*.
Замечание 2. При условии, что все элементы
подпространства кегЛ* известны, можно ограничиться рассмотрением
случая /_]_кегЛ*, вычитая при необходимости из / его проекцию
на кегЛ*. Если рассмотреть нестационарный итерационный
процесс
ВЙ+1М^ + Л^ = /, *-0, 1 у0 = А*ъ
й потребовать выполнения условий 1, где В заменено на Вк9
к= 1, 2, ..., то все ук € 1т Л"* и никаких дополнительных
ограничений на %к накладывать не нужно.
16 А. А. Самарский, Е. С. Николаев
481

2. Итерационный метод минимальных невязок. Рассмотрим
теперь задачу о выборе итерационных параметров т^для схемы C).
Будем предполагать, что оператор В удовлетворяет условиям 1,
а ограничения на выбор начального приближения у0 и на
параметры хк задаются условиями 2.
Выше было показано, что параметры хк следует выбирать
из условия сходимости итерационного процесса A1) к
нормальному решению и уравнения A).
Изучим итерационную схему A1). Сначала заметим, что
оператор й = А*А является положительно определенным на ипЛ*.
Действительно, пусть и^'хтА* и ифО. Так как и ^\_кег А, то
АифО и, следовательно, фи, и) = || Аи\2 > 0. Оператор О
порождает энергетическое пространство Нэ, состоящее из
элементов 1тЛ*, скалярное произведение в котором определяется
обычным образом: (и, V)^ = (^иу а), и^'хтА*, ю^хтА*.
Поставим теперь задачу выбрать параметры тк+1 в схеме A1)
из_условия минимума ||гл+1||о, где гк+1 — погрешность: гк+1 =
=ук+1—и, Аи = ] и и—нормальное решение уравнения A).
Для погрешности гк^хшА* из A1) получим следующее
уравнение:
гк+1 = (Е-тк+1В-1А)-гк. A4)
Отсюда найдем
IIгк+1 ||Ь = \\Ч!Ъ-2тк+1 (АВ~>А\, Агк) + т|+11|АВ^Агк\\
Заметим, что в силу леммы 3 || АВ'гАгк\ > 0, (Агк € хт Л). Поэтому
минимум И^+ЛЬ достигается при
х == (АВ-\Агк, Агк) ^
*+1 (АВ-Чгь, АВ-*Агк) К }
и равен
\Ч+№ = ?ЪЛч\Ъ> ^^^/лв-ыйцХ?' °6)
Формула A5) еще непригодна для вычислений, так как
содержит неизвестные величины. Преобразуем ее. Используя
разложение (9), получим
Агк = Аук-!= Аук-?= гк + /, A7)
где гк = Аук—\— невязка. Так как /ёкег Л*, то в силу леммы 3
В'1!^. кег Л и, следовательно, АВ~1Ахк = АВ~1гк. Подставляя
это выражение, а также A7) в A5) и учитывая равенство Л*/ = 0,
получим
,_ _ (ЛВ-У&, гк) (Ашк, гк) п9.
Т*+1"- (АВ-*гк, АВ-*гк) ~ (Аа>к, Ашк) ' ^10'
где поправка хюк находится из уравнения Вщ~гк.
482

Отметим, что A8) совпадает с формулой для итерационного
параметра тк+1 метода минимальных невязок, рассмотренного
в главе VIII для уравнения с невырожденным оператором Л.
Получим теперь оценку скорости сходимости для
построенного метода. Умножим A4) слева на Л, вычислим норму левой
и правой частей и, учитывая, что 1|Лгл|| = |гл|д, получим
следующую оценку:
\\^+г\\о<\\Е-Ч+1АВ-Ц1тА\\гк\\0 A9)
для любого хк+1. Из A6) и A9) получим для любого %к+1
Рк+1<\\Е-хк+1АВ-1\\1тА. B0)
Если обозначить
р0 = Ш1П || Е—хАВ -* ||1ш л,
т
то из A6) и B0) будет следовать оценка для погрешности
\\Ч+Ло<РА~*Ло- B1)
Здесь обозначение |5||1тл используется для обозначения нормы
оператора 5 в подпространстве \тА.
Если р0<1, то итерационный метод A1), A8) будет
сходиться в Нв и из B1) получим, что
1№<Ро1ЫЬ, 6 = 0,1,... B2)
Осталось только подчинить выбор параметров %к условию A3),
если /=7^=0. Для этого поступим следующим образом. Выполним
по схеме C) (п—1) итерацию, выбирая у0 = А*<р, где ф€#,
используя для параметров хк+1У к = 0, 1, ..., п—2 формулу A8).
Выполним еще одну итерацию, выбирая
п-\
Тогда условие A3) будет выполнено и, следовательно, уп = уп.
Оценим теперь норму погрешности гп = уп—и в Н0. Так как
уп = уп, то из A1) получим
Уп = Уп-1—\В^{Ауп^—Ъ=Уп-1—*пВ~гАгп-1-
Отсюда
2„ = 2П.1—т„В-Мг11.1
и после умножения на Л будем иметь
Агп = (Е-хпАВ^)Агп^.
Вычисляя норму, получаем оценку
1гяЪ>^Е-хяАВ-^тлГгя-1Ъ>.
16* 483

Подставляя сюда B2) и учитывая, что в силу выбора у0 имеем
равенство у0 = у0, найдем
Ьп-ик<№-*«АВ-Ч1тл&-Чу.--иЪ)- B3)
Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть В = Я, а оператор А самосопряжен в Я. Пусть уг
и у2—постоянные в неравенствах
VI (х, х) < (Ах, х) < у2 (х, х), VI > 0, Ахф 0. B4)
В этом случае условия 1 выполнены.
Найдем р0 и оценим норму оператора в B3). Так как
оператор А самосопряжен в Я, то, используя B4), получим
II5 — тЛ||1тл= зир 1— х /"'"* 1< тах II—тП.
С вычислением указанного максимума и выбором т из условия
его минимума мы встречались в главе VI при изучении метода
простой итерации. Там было найдено, что
ппп шах |1—т*| = р*«7^|, ^Т"-
Ита&, р0 найдено. Далее, при В = Е формула A5) для
параметра хк+1 записывается в виде
**+!= (Ах!Ах) * х^Агк$\тА.
Так как А = А* и уг > 0, то неравенства B4) эквивалентны
следующим неравенствам (см. гл. V, § 1, п. 3):
уг(Ах, х)^.(Ах, Ах)*^у2(Ах> х), АхфО.
Поэтому параметры тк для &^Ся—1 удовлетворяют неравенствам
1/?2^т*^ 1/Т1- Отсюда найдем оценку
Оценим норму оператора в B3). Учитывая B4) и B5), получим
\\Е—хпА\\-шА<: тах |1— хп1\ =
-1-т„71<И-(п-1)?=1+(л-1)-
+ Ро
Подставим эту оценку в B3) и найдем
|уя-й||в<рГ[1 + (п-1)-}^][у,-ЙВ1,. B6)
484

2) Пусть В = 5*, А = А* и АВ^ВА. Пусть ?1 и 72~посто-
янные в неравенствах
Уг(Вх, *)<(Лх, *)^.(#*. х), тх>0, Лх^О. B7)
В этом случае условия 1 выполнены, оператор АВ
самосопряжен в Я и можно показать, что для погрешности метода C),
A8) будет верна оценка B6).
3) Пусть операторы В*Л и ЛВ* самосопряжены в Я, а уг
и у2 — постоянные в B7). В этом случае в силу леммы 2
условия 1 выполнены. Кроме того, оператор АВ будет
самосопряжен в 11. Можно показать, что и в этом случае оценка B6)
имеет место.
3. Метод с чебышевскими параметрами. Рассмотрим теперь
итерационные методы C), параметры хк для которых выбираются
с использованием априорной информации об операторах. Л и 5.
Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения,
необходимые нам для дальнейшего изложения.
Лемма 4. Пусть выполнены условия
А = А*^0, Д = Я*>0, АВ==ВА B8)
и заданы постоянные уг и у2 в неравенствах
у1 (Вх> х) < (Ах} х) < у2 (Вх, х), VI > 0> Ах фО. B9)
Обозначим через О один из операторов Л, В или АВ~1А и
определим на подпространстве от Л оператор С
С = 0-1/2@5-1ЛH/2.
Оператор С самосопряжен в от Л и удовлетворяет неравенствам
О < VI (х, х) < (Сх, х) < V2 (х, х), х $ от Л. C0)
Действительно, из B8) и следствия к лемме 2 вытекает
выполнение условий 1. Далее, оператор О самосопряжен в Я и
положительно определен на \т Л. Для примера докажем
положительную определенность оператора О = ЛЛ~М. Пусть и^'ш А
и иФ$. Так как (Эй, и) = {В^1Аи1 Аи), а оператор В'1
положительно определен в силу ограниченности и положительной
определенности оператора В, то (Ои, и)^0, причем равенство
нулю возможно лишь при выполнении условия Аи = 0. Но это
противоречит сделанным предположениям.
Оператор И отображает ппЛ на 1тЛ, поэтому существует
I)-1/2, который также отображает это подпространство на себя.
Следовательно, на от Л можно определить указанный в лемме
оператор С. Переход от B9) к C0) доказывается так же, как
это было сделано в гл. VI, § 2, п. 3. Лемма доказана. .
Лемма 5. Пусть выполнены условия
В*А = А*В, АВ* = ВА* C1)
485

и заданы у± и у2 в B9). Обозначим Сг = АВ~г иС2 = В А.
Операторы Сг и С2 самосопряжены в Н и удовлетворяют неравенствам
Уг(х, х)^(Сгх, х)^у2(х, х), 7х > 0» х^хтА, C2)
?1 (*• х) < (С2х, х) < у2 (*. х)9 VI > О, * € ш Л*. C3)
Самосопряженность операторов Сх и С2 непосредственно
следует из C1). Докажем для примера C2). Рассмотрим задачу на
собственные значения
АВ~Ч—Ъ = 0, у$Н. C4)
Так как оператор АВ~г самосопряжен в Я, то существует орто-
нормированная система собственных функций задачи C4) {ю1У
ъ2, ..., V,, ур+1, ..., у^. Пусть ^, ...,1^—функции,
соответствующие собственному значению Х = 0, а Ур+1,
...^^соответствуют ненулевым К. Легко видеть, что ъ{(ЕкегЛ*, 1^1^/7,
V^€^тА, р + 1^.1^.Ы9 и в силу разложения Н на
подпространства B), функции ур+1, ..., Ух образуют в шЛ базис. Тогда
для х € 1т Л имеем
*= 2%^, ^=2 Мл.
л=р+1 &=р + 1
и в силу ортогональности собственных функций
N N
(х9х)= 2 я*, (С^, *) = 2 V*-
й=р+1 к-р+1
Отсюда получим неравенства
пнп кк(х, ^^(С^, х)^ тах кк(х, х).
р+1<6<# р+1</г<ЛГ
Осталось найти минимальное и максимальное собственные
значения, соответствующие собственным функциям задачи C4),
принадлежащим 1т Л. Запишем C4) в виде
Аик—ХкВик = 0, р+1</г<М, C5)
где ик=В~1Ук€ 1тЛ* последовательно, АикФО. Умножая C5)
скалярно на ик и используя B9), получим, что
ГП1П ^ = 71» тах ^ = ?2-
р+ 1 < /г< // р+1<6<ЛГ
Неравенства C2) доказаны. Справедливость C3) устанавливается
аналогично. Лемма доказана.
Обратимся теперь к задаче выбора итерационных параметров
для схемы C). С учетом условий 2 запишем ее в следующем
виде:
В^=^ + Аук^!9 у0€Л*ф, 2ту = 0. C6)
486

Если условия 1 будут выполнены, то параметры хк нужно
выбрать из условия сходимости схемы A1) при указанном выше
ограничении на сумму ту..
Рассмотрим уравнение A4) для погрешности схемы A1). Если
выполнены условия леммы 4, то, полагая в A4) гк = 0~1/2хк,
где О—один из операторов леммы 4, получим следующее
уравнение для эквивалентной погрешности:
хк+1 = (Е—%к+1С)хк, /г = 0, 1, .м.^шА C7)
Оператор С также определен в лемме 4.
Если выполнены условия леммы 5, то обозначая Вгк = хк или
Агк = хк, получим уравнение
хк+1 = (Е—хк+1С1)хк, й = 0, 1, ..., хк€'\тА. C8)
В этом случае \хк\ = 1гк\\0, где 0 = В*В или А*А. Если
обозначить гк = хку то получим уравнение
хк+1 = (Е—%к+1С2)хк9 й = 0, 1, ..., хк$\тА\ C9)
и в этом случае ||#д|| = |г*1/>» ГДе Е> = Е. Операторы Сх и С2
определены в лемме 5.
Итак, во всех рассматриваемых случаях мы получили
уравнение вида
**+1 = (Я—**+!<?)**. & = 0, 1, ..., хк$Н± D0)
в Подпространстве Н1У причем в силу лемм 4 и 5 оператор С
самосопряжен в Н19 действует в Нг и удовлетворяет неравенствам
УЛх> *Х(С*, х)^у2(х, х), Т!>0, х€Н19 D1)
где 71 и у2 взяты из неравенств B9).
Из D0) найдем
п
х„= ^(Е—хр)х„ D2)
|*„К!Р„ (С)Цх01 рп (С) = П (Е-^с).
Учитывая самосопряженность С и неравенства D1), получим
1РЯ(С)К тах \Ра({)\.
Легко видеть, что
Дт^-РЛО),
поэтому полином РпA) нормирован двумя условиями
ЛД0)=1, Рп@) = 0. D3)
487

СЩFЪ2№еЯшо, Ш приходйй Ж ззд&че иое^р&ения полинома
степей! П, ^ДбвМтёа|)яющёг<?) уыюййям D3) и наименее
уклоняющегося от нуля на отрезке 0<7з,<^Т^ Построение такого
йолнжШ йЬлийСгъ^ рёШёт Щв&Мму выбора итерационных
н#ракёт*ре>в хк для схемы C).
Точнее рёШнйе этой задачи нам неизвестно, и 1мы приведем
иное решение проблемы. Как и в рассмотренном выше мётоДе
минимальных невязок, оставим произвол в выборе параметров
п
т1э т2, ..., тп_19 а условие 2 Ту = 0 удовлетворим за счет
выбора тп нб 'формуй
4* = — ^ т/-
/ = 1
Из 'D2) 'йолучтйм с^йукйцукз ошейку:
1хя№*«*1ФП№--хя<:ЦхЛ рп.-ЛС) = Н(е-ьс). D4)
/ = 1
Выберем Тейёръ 'йарямётры тх, т2, ...., %н_г из условия м&нёкуШ
нормы операторного полинома Р„_а(С). Так как на Р^^С^нй-
каких дбполнитей'ьнкйс Ъгр&нйчёййй не Мтслйдыв^ся, то
решение поставленной задачи имеет вид (см. гл. VI, § 2):
Т* = й^' ^^ = {003!^, 1<1-<п-1},D5)
Й=1, 2, ..., /1—1, :Где приняты обозначения
При этом
Рп-гЮ-Яп-гТп^1^) . (^(СЖ?,,.,, D6)
где Г^.^д;) —полином Чебышева 1-го рода степени п— 1,
Осталось найти -явное выражение .для %п. Из D6) найдем
*--2)Ч-«*«о)-~4=а*»„«/« (±). D7)
где ^/п_2 (д;) — полином Чебышева 2-го рода степени п—2. Здесь
было использовано соотношение Тг1п(^с)=тЦт^1(х). Вычислим
^л-2A/Ро). Так как Ро<1> то иЗ явного вида для Цп-2(х)
(см. гл. I, § 4, п. 2):
[7 М - (*+ /*=!)"-*-(*+ Т^^Т)-^-^ .

получим в результате: несложных выкладок
2 (П-1)
-ро
Подставим это выражение в D7) и найдем
D8)
(«-От, 1-е!'""»
Учитывая самосопряженность С и неравенства D1), формулу
D8) и равенство т0у2 = 1+р0, получим
||Б-тпС|< тах Ц_тп^^1-^-гл^
Л (П-1)
= 1+(п-1)/^1^Р<1+(п-1)/|±^. D9)
Подставляя D9) и D6>) в D4), получцм следующую оценку для
нормы эквивалентной погрешности- хп:
К!<A+(п-1) уГЩ*)яп-гЫ
при условии, что параметра ^ т3, ..., хп выбрады по
формулам D5) и D8).
Теорема 5. Пусть итерационные параметры тк, к= 1, ...,п,
для схемы C) выбраны по формулам D5) и D8) и у0 = А*у.
Тогда для погрешности верна оценка
где и—нормальное решение уравнения (\)% а Г> определяется
следующим образом; В=^А> В или АВг~%АУ если выполнены условия
леммы 4; Г) = В*В, А*А или Еу если выполнены условия леммы 5.
Априорной информацией для метода с чебышевскши шартшрмт
являются постоянные уг и у2 из неравенств B.9).
§ 4. Специальные методы
1. Разностная задача Неймана для уравнения Пуассона в
прямоугольнике. На примере указанной задачи пршшлюезрцруем
применение итерационной схемы с переменным аператорсщ &к
к решению уравее^ия с, вырожденным оператором Л.
Пусть в прямоугольнике б%={0^д:а^/а, а=1, 2} требуется
цайта решение уравнения Пуассона
^Г+М-^(х)' .*«<>• С1)
489

удовлетворяющее следующим краевым условиям:
д" I ч / 1 о ^
~Ш^==~ё+а^9 *«=='»» а=1,2.
На прямоугольной сетке ы = {х;;=(Иг19 /Я2)€0, 0^1'^Л^,
0</<М2, НаЫа = 1а9 а=1, 2} задаче A), B) соответствует
следующая разностная задача:
Л# = —/(*), *€©,
2 2 C)
Л = ^4-Л., /(Х) = ф(^)+-г^ф1(^) + -йрф2(х),
где
ГёГ-а(*р), *а = 0,
Пространство Я состоит из сеточных функций, заданных на
сетке со, со скалярным произведением (и^)= ^и(x)V(x)%1(x1)%2{х2),
- *€©
где 7ьа(ха)—средний шаг,
а (*а)" \0,5/1а, *а = 0, /а, а = 1, 2.
Оператор Л определим как сумму операторов Ах и Л2, где
Ла =— Аа,'-а=1, 2. Тогда задачу C) можно записать в виде
операторного уравнения
Аи = ! E)
с указанным оператором Л.
Отметим следующие свойства операторов Лх и Л2. Операторы
Аг и Л2 самосопряжены в Я и перестановочны, т. е.
Ла=Ла, сс=1, 2, /11Л2=:=Л2Л1.
Эти свойства позволяют, используя метод разделения
переменных, решить задачу на собственные значения для оператора Л:
Аи = ки. Действуя по аналогии со случаем задачи Дирихле, под-
490

робно рассмотренным в п. 1 § 2 гл. IV, получим решение задачи
в виде
4*.= ^ + №, ^«>=4-81п»-^, К = 0, 1 Ыа,
Им.С /) = 1*Й) (ОиЙ} (/). 0<*а<ЛГа, а=1, 2,
[]/^со5^, 6а = 0, Л/а, а=1, 2.
При этом имеем
Отсюда следует, что оператор А имеет простое собственное
значение, равное нулю, которому соответствует собственная
функция [а00(/, ])=Е-\\У111г. Эта функция образует базис в
подпространстве кет А. Функции \хк1к%(ьу /) при 0 <йа<Л/"а и кг + к2ф0
образуют базис в подпространстве ипЛ.
Для решения уравнения E) рассмотрим итерационную схему
метода переменных направлений
В^пРЕ + АЛиРЕ + АХ т^ш^ + о)^.
Чтобы не накладывать на {хк} и операторы {Вк} дополнительных
ограничений, связанных с выделением компоненты уп ^ 1Ш А,
потребуем, чтобы правая часть / была ортогональна кегЛ. Если
заданное / не удовлетворяет этому условию, то заменим его в F)
на /! = /—(/, Иоо)Иоо-
Заметим, что операторы Вки А для любого к перестановочны.
Поэтому в силу следствия к лемме 2 условия 1 будут выполнены
(в них В нужно заменить на оператор Вк). Кроме того в силу
леммы 3 оператор Вкг отображает шА на \тА.
Воспользуемся установленными фактами для изуче'ния
сходимости схемы F). Так как /€ 1т Л, то, предполагая, что ук^ \ш Л,
получим из F), что
Ук+г = Ук—Ъ+гВь+ЛАУк—/)€1тЛ.
Поэтому, если выбрать у0 = 0, то у0^шА, следовательно,
для любого к^О итерационные приближения ук^'\тА.
Следовательно, схема F) может рассматриваться только на
подпространстве 1Ш Л.
Исследуем сходимость схемы F) в ипЛ по норме
пространства НВу в качестве Б можно взять один из операторов Е, А
или Л2. Каждый из этих операторов будет положительно опре-
491

тмп и Ш А. Сйособ изучения сходимости схемы F) точно такой,
какой был использован в главе XI при построении метода
переменных направлений в невырожденном случае. Поэтому
ограничимся лишь формулировкой задачи о наилучшем выборе
параметров, опуская все необходимые для этого выкладки.
Наилучшие параметры сю}1* и ш^ для схемы F) должны быть
выбраны из условия
Ш1П Шах П ■ 7Л " 77Г—Ч^Рл»
{^} х% **о|/=1 ©}1)+* ^]+У\ П
где 0 = 0^0^0., 01={я?><х<^11, Я?> <*<*$},
При этом дли погрешности гп — уп—и, где и—нормальное
решение уравнения E), будет верна оценка
\\*п\\о<9пШв-
Отметим, что для рассматриваемого примера условие
ортогональности и к кет А записывается в виде (и, 1) = 0. Любое
другое решение уравнения E) отличается От нормального
решения и на функцию, равную постоянной на Сегке <&*. Поэтому
ОДно из возможных решений задачи C) можно выделить,
фиксируя значение итого решения в одном узле сетки &к
Сформулированная выше задача для параметров отличается
ОТ рш^мотренной нами В § 1 ГЛ. XI, но м<;>чет быть к ней
сведена путем некоторых упрощений и ценою \ ..ъньшетнй возмож-
№& скорости еходимосги итерационного мето;л. Обозначим
в = тш^> Д = тахЛ^, Ч«А,
а а А
Используя эти Обозначений и Структуру области Й, задачу
выбора параметров можно сформулировать так: выбрать х^
1*^/0, ИЗ условий
пни шах \гп(и9 к)|*рЛ. гп{и, я)'
{ку.} Т1< и < 1
При этом, очевидно* рн > рп>
Именно такая задача и была рассмотрена в § 1 гл. XI* На*
помним, что там были получены формулы для %$ й Числа
итераций п —*%(&)) которые гарантировали выполнение неравенства
р„<8. Так как здесь нам нужно обеспечить оценку рл<8» ^о
в формулы для к^ и щ(ъ) гл» XI нужно вместо е нодста&йть е2.
492

Тогда для погрешности метода F) будет выполняться оценка
[кЛя<8Нго1Ь- Приведем вид оценки для числа итераций:
п>я0(е), мй(8) = ^1п ~-1п~ . Для примера, если /1 = /1 = / и
Л1 = Л2 = /1, то
6=-~5т2^-, А = ^2, т] = ^п2Т, /10(е) = ОAпЛ1пе).
Следовательно, для задачи Неймана метод переменных
направлений, имея такую же по порядку оценку числа итераций, как
и для случая задачи Дирихле, требует фактически в два раза
больше итераций.
Заметим, что так как итерационные параметры %;
удовлетворяют оценке (см. § 1, гл. XI) т] < Ху < 1, то параметры со}1}
и Ц-2) принадлежат интервалу F, А). Поэтому операторы
ы^Е + Аъ положительно определены в Я, и для их обращения
можно использовать алгоритм обычной трехточечной прогонки.
2. Прямой метод для задачи Неймана. Рассмотрим теперь
прямой метод—комбинацию метода разделения переменных и
метода редукции—для решения разностной задачи C).
Напомним, что такой метод был построен в п. 2 § 3 гл. IV для
следующей краевой задачи: в области О задано уравнение A), на
сторонах х2~0 и х2 = 12 заданы краевые условия B), а на
сторонах хг— О и х1^11 вместо условий второго рода B) были
заданы краевые условия третьего рода
^ =^1и—ё^± Ю, хг -= О,
<кл . V 1
5^Г"~Х + 1^ ё + 1\Х\)> #1 — *1>
причем и_1 и х+± неотрицательные константы, одновременно не
равные нулю. Соответствующая разностная задача отличается
от задачи C) лишь определением оператора Л1# Там мы имели
дело с оператором Лх:
лху=
Требование ^обращения одновременно в нульх.^ и %+1
гарантировало разрешимость разностной задачи и единственность
решения. В алгоритме же метода это требование использовалось
лишь при решении трехточечных краевых задач для
коэффициентов Фурье искомого решения. Поэтому для решения*
задачи C) формально можно воспользоваться алгоритмом,
приведенным в п. 2 § 3 гл. IV, полагая в нем х.1 = х+1 = 0, и
493

отдельно обсудить вопрос о решении возникающих
трехточечных краевых задач.
Вернемся к задаче C). Будем считать, что /_]_кегЛ, т. е.
есть (/, 1) = 0. Тогда задача разрешима, нормальное решение
и ортогонально кегЛ, а одно из возможных решений можно
выделить, фиксируя его значение в одном узле сетки о. В
рассматриваемом алгоритме выделение одного из возможных
решений удобно осуществить, фиксируя не само решение в узле, а
один из коэффициентов Фурье. Пусть у (г, ])—решение
задачи C). Тогда нормальное решение и можно найти по формуле
"=У—(У> Роо)Роо> |*оо С /) = 1/К/1/.. G)
Приведем теперь алгоритм прямого метода решения задачи
Неймана C) для уравнения Пуассона в прямоугольнике.
1) Для О^л^Л^ вычисляются значения функции
Ф(*\ /) =
( 2 [[(I, 0) + /(/, 1)]-К&1№, 0), / = 0,
/(*, 2/-1) + /(/, 2/ + 1) + 2/(*\ 2])-Н1АЛ1у21)9
1</<М2-1,
^ 2[/(г, ыш)+гу, ы2-1)]-Н1АгП1у лд, /=м2,
Л_ ^ == /С I * V/.
2) По алгоритму быстрого преобразования Фурье
вычисляются коэффициенты Фурье функции ср(/, /):
^,@=Цруф('. /)соз^, о<*2<м2, о<г<^|в
3) Решаются трехточечные краевые задачи
4 8'п2 Щ ть @—^лЛа @ = *•**, @. 0 < I < Ми
4сО82ж^@-^л1УАа @=ю*,@. о</<^
(8)
для 0^й2^УИ2, в результате находятся коэффициенты Фурье
УнЛ1) Функции уA, /).
4) По алгоритму быстрого преобразования Фурье находится
решение задачи на четных строках сетки со
м2
У((, 2/)=ЁрЛ@соз^,
/?2 = 0 2
494

и решаются трехточечные краевые задачи
2уA, 21-1)-Н1А1УA, 2/-1) =
= А5/(г, 2]-1) + иA, 2/-2) + ыA, 2/),
для нахождения решения на нечетных строках.
Здесь использованы обозначения
( 1 , 1</<А!1—1,
Л1.-0.6ЛГ,, Р/ = ( о,б, /-0, А4„
оператор Л3 определен в D), и предполагается, что Ы2 есть
степень 2. Число действий описанного метода будет равно
0(Ы2\оё2Ы) для Л^Л^ЛЛ
Выделение одного решения из совокупности решений
задачи C) в приведенном алгоритме .осуществляется следующим
образом. Из всех трехточечных краевых задач, которые
требуется решить, лишь одна задача (8) при к2 = 0 имеет
неединственное решение. Выделение здесь одного из решений
обеспечит решение поставленной задачи. Разностная задача (8) при
к2 = 0 имеет вид
Л^о @ = — г0 (*), 0 < I < Ы19
или
<ш°)зд = —*о @. 1 < * < Л^— 1,
^(щ)Х1=-гй@)9 * = 0, (9)
Несложно показать, используя ортогональность /(*', /) к
Ич>о(*» /)> ч2? сеточная функция г0(*) ортогональна функции
[Л0(*)= 1/1/^1 в смысле скалярного произведения
(и, VI= 2 и(х1)У(х1)%1(х1).
А так как [х0(*) является базисом в подпространстве кегЛ^ то
задача (9) имеет решения. Выделим одно из решений, фиксируя
значение о>0@ ПРИ каком-либо г, 0^/^Л^. Положим,
например, ^0(^1) = 0 и исключим из (9) краевое условие при / = Л^.
Полученная в результате такой замены разностная задача легко
решается методом прогонки.
После того как одно из решений у(ь, ]) задачи C) будет
найдено по описанному выше алгоритму, нормальное реше-
шение и, если в нем есть необходимость, определяется по
формуле G).
495

В заключение отметим, что аналогичная процедура
выделения одного из возможных решений может быть использована и
в методе полной редукции, когда он используется для решения
разностной задачи Неймана.
3. Итерационные схемы е вырожденным оператором В. Наличие
прямых методов обращения оператора Лапласа в
прямоугольнике в случае краевых условий Неймана позволяет
использовать такие операторы в качестве оператора В в неявных
итерационных схемах решения вырожденных уравнений. Так как в
этом случае оператор В вырожден, то необходимо заново
изучить проблему выбора итерационных параметров.
Рассмотрим итерационные методы решения уравнения: E)
ттри следующих предположениях: 1) оператор А
самосопряжен и вырожден; 2) известно ядро оператора А> т. е. задан
базис в кет А; 3) правая часть } уравнения E) принадлежит
ни Л, т. е. / = /^1тЛ. Этому условию легко удовлетворить,
так как известен базис в ЬегЛ. При этом нормальное решение
а уравнения E) является классическим, оно удовлетворяет
соотношению
Аи = [. A0)
Отметим, что в силу самосопряженности оператора А имеет
место следующее ортогональное разложение пространства Н:
Я-кегЛфшЛ. (И)
Для решения уравнения E) рассмотрим неявную двухслойную
схему
ВУк+х[-ук+Ауъ = 1, 6 = 0,1,..., у0€#, A2)
с вырожденным оператором В. Ставится задача найти при
помощи A2) приближение к одному из решений уравнения E).
Сформулируем теперь дополнительные предположения
относительно операторов А м В. Пусть В—самосопряженный в Н
оператор и кегВ = кегЛ. Кроме того, пусть для любого
х € ил А выполняются неравенства
уг(Вх, х)^(Ах, *)<у,(В*, х), 71>0> Ахфй, A3)
(Вх, х) > 0.
Заметим, что из условий В = В*У кег# = кегЛ и A1) следует
совпадение 1т Л и 1га В.
Изучим схему A2). В соответствии с A1) представим ук
в виде суммы
Уь=^к + Уь> У*€1тЛ, ук$кегА.
496

Из A2) получим следующее уравжешге для уЛ+1:
где чк = Вук—гк+1{А1ь—р).
Так как /^1шЛ и шВ^тА, то фЛ(ЕнпЛ прк
любом ук. Следовательно, фЛ1_кегВ, и уравнение (Н) имеет
совокупность решений в обычном смысле, а нормальное ег©
решение ук+1 удовлетворяет уравнению
ДЙН-1 = Ф*« A5)
Заметим, что в силу равенств Вук^Аук^й цмеем
цк = В];к-тк+1(Аук-П. (Щ
Поэтому компонента ук итерационного приближенияу& ук € кег Л,
не оказывает никакого влияния на ук+1- Отсюда следует
вывод— при решении уравнения A4) достаточно найти какое-либо
его решение и лишь после окончания процесса итераций
вычислить проекцию уп на ил Л, т. е. найти уп*
Рассмотрим теперь вопрос о выборе итерационного
параметра гк. В силу сказанного выше его следует выбрать так, чтобы
последовательность ук стремилась к нормальному решению и
уравнения E). Из_(Ш)> A5) и A6) получим следующую задачу
для погрешности гк = ук—&:
в!к+1 = (В-1к+гАIк9 6^0, I, ..., A7)
где гк^\шА для любого к^О.
Так как в подпространства 1т Л операторы Л и В в силу A3)
положительно определены, то схему A7) можно обычным
образом исследовать на сходимость по норме энергетического
пространства #0, где 0 = А, В или АВ~ХА. Так как в этом случае
оператор 05"*Л самосопряжен, то параметры т^ можно выбрать
по формулам чебышевского итерационного метода (см. § 2
гл. VI)
Т* = ТТЖ' ^^«={со$ТГ1 1<|-<*}.К*<*.
^ _ 2 _1-Б „ __1-УТ * V! /,оч
°~тГТт;* р0~~7+Г ^"+/|- > 5~^' и '
п ^ п0 (е) = 1п @,5е)/1п ри
используя ^1 и Тг из неравенств A3). Тогда для погрешности
га после п итераций будет верна оценка
Смысл рассмотрения итерационных методов с вырожденным
оператором В заключается в следующем. Если оператор В таков,
497

что нахождение решения уравнения A4) осуществляется
значительно проще, чем исходного уравнения E), а отношение I
не слишком мало, то такой способ приближенного решения
уравнения E) может оказаться целесообразным.
Приведем пример одной разностной задачи, на которой
проиллюстрируем предложенный метод. Пусть на прямоугольной
сетке
5 = {*// = (**!. /Л2)€б, 0<^<^, 0</<#2,
М^ = /а, а=1, 2},
введенной в прямоугольнике 0, требуется найти решение задачи
Неймана для эллиптического уравнения с переменными
коэффициентами
Л*/= — /(*), *€ю,
A9)
где
Л = Л1 + Л2, !(х) = ср(х)+^цI(х) + ^ср2{х)9
ЛаУ= \ (а*Уха)**> Ла<Ха</а—йа,
2 _
Фа(*а) = { °' Аа<^а</а — К>
Предполагается, что коэффициенты аг(х) и а2(х)
удовлетворяют условиям
0<^<йаD<с2, а = 1, 2, *€<». B0)
Схема A9) есть разностный аналог задачи Неймана для
эллиптического уравнения
^(М4&) + ^(М*)^)--Ф<*). *€0.
ОБ
ха = 09 р = 3—а,
Пространство Я определено в п. 1. Вводя оператор А = —Л,
запишем разностную задачу A9) в виде уравнения E). Легко
проверить, что А = А*> а разностные формулы Грина дают
(Ау,у)=2(аау1а, 1)в. B1)
498

где использованы следующие обозначения:
(и, о)а= 2 2 и(х)и (х)%$(х$)ка, р = 3—а, а=1,2.
Нетрудно показать, что оператор А вырожден и для любых
коэффициентов аа(х), удовлетворяющих B0), ядро оператора_Л
составляют сеточные функции, являющиеся постоянными на со.
Поэтому в качестве базиса в кегЛ может быть взята известная
нам функция |л00(/, }) = 1[У1112.
Определим теперь оператор В= — А, где А = А1+А2,
2
Ку =
— ТГУ-Х » *а = 'а, а=1, 2.
Оператор В самосопряжен в Я, а в п. 1 было отмечено, что
базис в кег5 образует именно функция (л00(/, /). Следовательно,
кегЛ известно и кегЛ = кегБ. Если к тому же взять проекцию
/ на 1шЛ и заменить ею в случае необходимости правую часть
в схеме A9), то все требования, предъявляемые к схеме A2) и
уравнению E), будут выполнены.
Для применения итерационного метода A2), A8) осталось
указать уг и у2 в неравенствах A3). Так как
(^-^О^1).' B2)
а подпространства \тА и гтВ совпадают и состоят из
сеточных функций, не являющихся постоянными на сетке со, то из
B0) —B2) получим, что у1=с1, у2 = с2. Необходимая априорная
информация найдена.
Из оценки A8) для числа итераций видно, что оно не
зависит от "числа неизвестных в задаче, а определяется лишь
отношением сг/сл. Далее, в силу выбора оператора В уравнение A4)
для ук+1 есть разностная задача Неймана для уравнения
Пуассона в прямоугольнике. Решение ее можно найти прямым
методом, изложенным в п. 2 с затратой 0(Ы2\о&2Ы)
арифметических действий. Тогда общее число действий для
предлагаемого метода, которое следует затратить для получения
решения A9) с точностью е, будет равно ф (е) = 0(М21о§2Лфпе|).

ГЛАВА ХШ
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В главе изучаются итерационные методы решения нелинейных разностных
схем. В § 1 изчагается общая теория итерационных методов для абстрактного
нелинейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве при
различных предположениях относительно оператора. В § 2 рассматривается
применение общей теории к решению разностных аналогов краевых задач для
квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка.
§ 1* Итерационные методы. Общая теория
1, Метод простой итерации для уравнений с монотонным
оператором. В предыдущих главах были изучены итерационные
методы решения линейного операторного уравнения первого рода
заданного в гильбертовом пространстве Н. Большинство
построенных методов были Линейными и сходились со скоростью
геометриче;кой прогрессии.
Перейдем теперь к изучению методов решения уравнения A)
в случае, когда А—произвольный нелинейный оператор,
действующий в Н, Э?& глава посвящена конструированию
итерационных методов для решения нелинейных уравнений A). Построение
таких методов основано, кйк правило, на использовании в не-
явшх итерационных схемах линейного оператора В, близкого
ъ некотором смысле к нелинейному оператору Л. Ниже при
различных предположениях относительно оператора© Л, & н В
буку? доказана оК&ть теорема сходимости в Нв решения
неявной двухслойной итерационной схемы
В^+1^Ук+Ау^1, й = 0, 1, ..., УоеН. B)
Изучение итерационной схемы B) начнем со случая
монотонного оператора Л. Напомним, что оператор Л, заданный в
вещественном гильбертовом пространстве, называется монотонным,
если
(Аи — АV, и—у)^0, и, V^Н9
500

и сильно монотонным, если существует такое число 6 > 0, что
для любых и, #€#
{Аи — Аю, и—V)> б ||и^||2. C)
Из теоремы 11 главы V следует существование и единственность
в шаре ||и||^-тН|-Д0—/| решения уравнения A) с сильно
монотонным оператором, являющимся непрерывным в конечномерном
Пространстве Я.
Будем предполагать, *гто В— линейный ограниченный м
положительно определенный в Н оператор, а й—самосопряженный
положительно определенный в // оператор. Пусть, кроме того,
заданы постоянные уг й у2 в неравенствах
(ОВ-ЦАи — Ао), В-НАи — Аь^^ЧъфВ-^Аи—Аь), а—V), D)
(ОВ~1(Аи— Ад), й—ъ)^чх{0{и—у), «—у), E)
причем 7х > 0-
Лемма 1. Пусть выполнены условия D), E). Тогда
уравнение A) однозначно разрешимо при любой правой части.
В самом деле, запишем уравнение A) в эквивалентном виде
и = 8и, (б)
где нелинейный оператор 5 определяется следующим образом:
8и = и—тД-Ми + тД/, т > 0,
Покажем, что в Мв оператор 5 при т < 2/72 является
равномерно сжимающим, т. е. для любых и, ь^И справедлива оценка
\\&и~-$ю\\ьК'р{Щи^\йч р{т)<1, G)
причем р (т) не зависит от и и у. Тогда утверждение леммы
будет следовать из т*еоремы 8 главы V О сжатых отображениях.
Имеем
\\$а—5о||Ь = A>(Зи—$0), Eи—Щ=1и^&—
-2^(^В~1(Аи—АV)у и—у) + х*{ОВ^ (Ли—Ж0, В^(/1й--Л0)).
Из D), (б) найдем при т<2/72
II5и—5о||Ь<||и—у||Ь— тB—туаХОД-ЧАи —А©), и—я)<
где
Так как т<2/72, то р(т)< 1. Лемма доказана.
Исследуем ^нерь сходимость итерационно* сшмы B) в
предположений, что услоййя D), E) выполнены*
Из B) найдем
У*+1 = У*-*В-*Аук + гВ-Ч«±Зу» Щ

где нелинейный оператор 5 определен выше. Так как решение и
уравнения A) удовлетворяет соотношению F), то из F) — (9)
получим
Ук+1—и = 8ук—8и, к = 0, 1, ...,
где р2(т) определено в (8). Нетрудно видеть, что наилучшая
оценка скорости сходимости достигается, когда р(т) минимально,
т. е. при т = т0 = 1/7г При этом р0 = р(т0) = Уг1 —&• & = Тх/Гг-
Итак, доказана
Теорема 1. Пусть выполнены условия D), E).
Итерационный метод B) с т = т0=:1/уя сходится в Яд, и для погрешности
имеет место оценка
IIуп—и|Ь< Ро IIг/о—"II/» р0=VI—Ъ, I=уг1у„
где и—решение уравнения A). Для числа итераций верна оценка
я>м0(е) = 1пе/1пр0.
Заметим, что для линейного оператора А условия D), E)
можно записать в виде
(ЮВ-1Ау9 В-1Ау)^у%(ОВ-1Ау, у), (ОВ^Ау, у)>угфу, У):
Следовательно, в этом случае они совпадают с условиями,
налагаемыми на операторы Л, В и В, когда оператор йВ~1А
является несамосопряженным в Я. При этом построенный здесь
метод переходит в первый вариант метода простой итерации для
несамосопряженного случая (см. п. 2 § 4 гл. VI).
Отметим, что вместо D) можно потребовать выполнения
условия
№-^(Аи-АV)|^<уш^и-VЪ>9 A0)
которое при И~В = Е является условием Липшица для
оператора А. Из A0) и E) следует неравенство D) с у2 = у1/У1-
Если оператор В самосопряжен и положительно определен
в Я, то в качестве оператора й можно взять В. Тогда условия
D), E) будут иметь вид
(В-ЦАи — Ао), Аи—АV)^у1{(Аи — АV)^ и—V)9
(Аи—Ао, и—V)^у1{В(и—у), и—V), 7х>0.
Если В несамосопряжен и невырожден, то при 0 = В*В
условия D), E) имеют вид
(Аи—АV, Аи—АV)^у2(Аи—АV, В(и—V))9
(Аи—АV^ В^^^^у^В^—у), В(и—у)), уг > 0.
При 0 = В = Е условие E) означает, что оператор А должен
быть сильно монотонным в Я.
602

2. Итерационные методы для случая дифференцируемого
оператора. Улучшение оценки скорости сходимости метода простой
итерации для уравнения A) может быть достигнуто за счет более
сильных ограничений на оператор Л. Именно, будем считать,
что оператор Л имеет производную Гато. Напомним, что
линейный оператор А'(и) называется производной Гато оператора А
в точке и^Н, если для любого а€Я справедливо соотношение
А(и + ^-А(и) -А'(и)у\\
Ит
= 0.
Если оператор А имеет производную Гато в каждой точке
пространства Я, то справедливо неравенство Лагранжа
\\Аи—ЛоК зир \\ А' {и + 1 (V—и))\\\\и—VI и, V € Я,
0<*< 1
и для любых и, V и хю^Н существует 1^[0, 1] такое, что
(Аи — Ла, хю) = (А' (и + 1(у—и))г, хю)у г = а—у. A1)
Вернемся к исследованию сходимости итерационной схемы B).
Имеет место
Теорема 2. Пусть оператор А имеет в шаре й(г) =
= {V:\\и—V\\^^:^} производную Гато Л'(у), которая при любом
V € Й (г) удовлетворяет неравенствам
(ОВ-*А'&)у, В-^А'Му^уЛОВ-^А'Му, у),
фВ-*А'ф)у9 у)>уЛОу> у), Уг>0 (и)
для любого у^Н. Итерационный метод B) с т=1/у2 иу0^(г)
сходится в Нй, и для погрешности верна оценка
\\Уп-»\\о<Рп\\Уо-и!о, A3)
где и—решение уравнения A), а рп=]/ — §, 1^=у1/у2. Если
оператор ВВ~ХА' (о) самосопряжен в Я при V^^(^) и выполнены
неравенства
Уг (ОУ, У) < №-*А' (V) у, у) < у2 {Иуу у), уг > 0 A4)
для любого V^^(^) и у€Н, то при х = т0 = 2/(у1 + у2) для
итерационного процесса B) верна оценка A3) с р = р0 = A — ^)/A -{-1).
Действительно, из уравнения для погрешности
ук+1—и = 8ук—8и, 8V = V—хВ-1Ау + хВ~11
и неравенства Лагранжа получим
У*+г-*и = №Уь-ЗиЪ>< 8иР 15#(»*)к11й-и||о, A5)
0< I < 1
где ък = ук-\-1{и—у^$.&(г), если ук$а(г). Так как 5' (ул) =
= ^—тЯ'М'(ал), то задача сводится к оценке в Н0 нормы ли-
503

нейного оператора Е~~тВг*А' (®к). Из определения &арш
оператора имеем
где С (рк)=*0-*?* (йВ-'-А' фк)H~*ь и была сделана замена у =*
Подставляя найденное соотношение в. A5), получим
О < *< 1
Из A2) найдем, что оператор С(^ при любом юк$&(г)
удовлетворяет неравенствам
(с{ък)у, у)>уАу> у).
Нашмнш* что трзбузмая оценка дая нормы литейного
оператора Е—тС(ук) при указанны* иреддодоженшга быда
получена в п. 2§ 4 гд. VI. Именно, цри х^\/\г имеем \[Е—тС(зЛ)|^р,
где р = К1—1> ? —Т^Ь* Первое утверждение теоремы доказано.
Аналогично доказывается и второе. В этом елучае оператор С^к)
самосопряжен в Я, и оценка для нормы, оператора Е—тС{ик)
была ранее получена н п* 2 § 3 гл. VI* Теорема 2, доказана.
В главе VI, помимо использованной здесь оценки для нормы
оператора Е—тС(ик) в несамосопряженном случае, была
получена другая оценка в предположении, что заданы три числа ух,
^ и ^з в неравенствах
где ^ = 0,5^—С*)—кососимметрическая часть оператора С.
В этом случае дри т~таA-—-ир) верна оценка |Я—тСA^|Кр,
где
Теорема 3. Пусть оператор А имеет е шащ й(г)
производную* Гатр Л'(а), которая при любом у^й(г) удовлетворяет
неравенствам
ъ№у, »)<(Ов'М' (я) я, у)<у*{Ру* у)*_У1>о, П7)
504

Тогда при т='1г0A— ър) 'и д0^%й(г) мт&рЩЫФшют метод B)
сходится ъ Нй, и для погрешности верна оценка A3), где р = ^
определено в 'A6).
Покажем теперь, что если оператор Л'(ш) при ш€& (г)
удовлетворяет условиям A7), то для любых и^'^{г) вътшшеш
неравенства D), E.) с постоянными у1=у±> #2 = Gа+*^/^[.
Тогда из леммы 1 будет следовать однозначная разрешимость
уравнения A).
В силу A1) имеем для и, у^&{г) и '^€[0* 1]
(ОВ-^Аи—ОВ^Аъ, и—х))^{Ку,$), Я^Ш^А/Щ^
гяе_у = и—V, ю = и + 1^—и)%:&(г). Из A7) полупим (#|/,$)>
^у1{Оу^ у), т. е. выполнено неравенство E) с У,1 = Ъ-
Далее Шеем (БВ^1Аи^^ЮВ^1Ау, *) = (%, Щ, Подставим
оператор # в виде суммы % = К0 + К19 где #0 = 0,5 (# + #*) —
сим^межая, а $г ** 0Ч5 (Я ■— «•) = О/в^ОЯ^Л" Щ —
— А'*ЩХ^^Щ^кососшт№грн%ёскт ^а&тй *<Ш5§&Фо|>& Я
В 'Силу неравенства Кошм—- Буняковского и ушшя ^1^)
Получим
Из обобщенного неравенства Коши—Буняковского найдем
(До*. *К(#оУ. уУы(К*> *I/2 =
Итак,, мы получим неравенство
Полагая г = В~1(Аи—Аи) и используя E), будем име!ъ
фВ'^Аи—Аь), В'1(Ай'^Ао))<
Утверждение доказано.
3* Метод Ньютона---•Канторовича. В теоремах 2 и 3 мы
предполагали, что производная Гато А' (©?) существует и удовлетво-
р&етсоотаетствующим неравенствам для V €:0 (г)=*={0:|| и—1>Л&^ г},
где и>*-:решение уравнения A).
Из доказательства теорем следует, что достаточно
потребовать на каждой итерации й = 0, 1, .... выполнения этих
неравенств лишь для V€&(?&)> где гк=±\и—уь§р.
В этом слу<&е у^ й у2 \(а также -и ^ у* и ?з) могут
зависеть от номера итераций й. Если выбирать итерационный
параметр т 'йо 'форт^ула^ *1^йрем 2 и 3, Го поручим несгаЦи'ояаргньй
итерационный процесс B) с т = тл+1.
1Й5

Более того, можно рассмотреть итерационный процесс
Вь+1**%=Ц + Ауь = 1, к = 0, 1 УоеН, A8)
оператор В = Вк+1, в котором также зависит от номера
итераций. Как выбрать операторы Вк? Если оператор А линеен, то
А' {р) = А для любого V ^ Я. Тогда из теорем 2 и 3 следует, что
при В== А' (у) = А скорость сходимости итерационного метода B)
максимальна. Именно, при любом начальном приближении у0
получим, что у1 = и.
Выберем теперь оператор Вк+1 в случае нелинейного
оператора А следующим образом: Вк+1 = А' (ук). Получим
итерационную схему
Л'Ы^Р^+^* = Л к = 0, 1 уЛН. A9)
В соответствии с принятой терминологией итерационный
процесс A9) является нелинейным. При т^=1 он называется
методом Ньютона—Канторовича. Для оценки скорости сходимости
итерационного процесса A9) можно воспользоваться теоремами
2 и 3, в которых В следует заменить на Л' (ук). В частности,
для случая й = Е при тл+1=1/у2 имеет место оценка
|%+1-иКр1й-Ч Р = К1-ТЛ.<1, B°)
где у± и у2 взяты из неравенств A2) теоремы 2
II (А' ЫГ А'ф)у||2 < 7. ((А' (У,))-1 А' (V) у, у),
((А'(ук))-1А'ф)у, у)>чЛУ, У)> VI > О
при у 6 Я, я €&(>-*) и гл = ||и—#л||. Из B0) следует, что гк+1 =
= \\ук+1—и\\^.ргк<,гк и, следовательно, гк—^0 при к—+оо.
Поэтому, если производная А' (р) как функция от V со
значениями в пространстве линейных операторов непрерывна в
окрестности решения, то при к—+оо имеем, что ух —»-1 и ^2—*■ 1- ^то
приведет к ускорению сходимости итерационного метода A9) при
увеличении номера итерации к.
Приведенные рассуждения показывают, что методы вида A9)
имеют при некоторых дополнительных предположениях о
гладкости оператора А' (у) более высокую скорость сходимости, чем
скорость сходимости геометрической прогрессии.
Рассмотрим метод Ньютона — Канторовича A9)стл=== 1.
Исследуем сходимость этого метода при следующих предположениях:
1) выполнены неравенства
||Л'(г;) —Л'(ю)||<сф—ш||, а>0, B1)
\\А'(Ъ)У\\>^\\У\\, У$Н, р>0 B2)
для^у, хю§&(г)\ 2) начальное приближениеу0 принадлежит шару
Й(г), где г = Пип (г, 1/(<хр)).
506

Теорема 4. Если выполнены предположения 1) и 2), то для
погрешности итерационного метода A9) с т^=1 верна оценка
\Уп-»К-ъ$(Щу*-»Ъ%п- B3)
Действительно, из A9) получим следующее соотношение:
А9 {у^{ук^—и)^А' [ук){ук—и) — (Аук—Аи)^Тук—Ти9
Ти = А' (ук)и — Аи,
где и — решение уравнения A). Отсюда в силу неравенства Лаг-
ранжа для нелинейного оператора Т получим
\\А'(ук)(ук+1-иЦ = 1ТУк-Ти\\^ 8ир ЦТ' Ы\\\ук-и\\,
0< *< 1
где Vк = ук+^(и—ук). Из определения оператора Т будем иметь
ГЫ = Л'Ы-Л>,).
Предположим, что ук^О>(г). Так как г <г, то ук^й{г), и,
следовательно, Vк$^(^). Из неравенства B1) будем иметь
|Г'(»»)в=1^Ы-^ЫК«Рл-»*И«Ф*-и||,
зир \\Т'^Ц^а\\ук-и\\.
0< *< 1
Таким образом, найдена оценка
\\А' (ук)(ук+1-и)\\^а\\ук-и\\\
Используя неравенство B2), отсюда получим
Ук+1-и^а$1ук-и1\ B4)
Заметим, что так как \\ук—и\\^.г и офг<1, то
1»*+1—и\КФ\\Ук—иКЫ—и||<7.
Следовательно, из условия ук^^{г) вытекает, что ук+1^^(г).
Так как у0€&(г), то гго индукции находим, что ук^&(г) для
любого к^О. Поэтому оценка B4) верна для любого к^О.
Решим неравенство B4). Умножим его на а$ и обозначим
?А = аР11#*—м1-Для <7* получим неравенство G/г+1<^ь^ = 0,1, ...
По индукции легко доказать, что его решение имеет вид ?й<^о »
д^О. Следовательно, имеем оценку,
*ИУп-и\\<№\\Уо---и\\JП.
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Замечание 1. Если начальное приближение у0 выбрано
так, что г^р/(ар), р< 1, то из B3) следует оценка
\Уп-*1<р%я~1№*-и1
507

и оценка
п>п0 (г) =. 1о§2 Aп в/1п р + 1)
для числа итераций,
Замечание 2. Если вместо условия B1) выполнено
неравенство
ЦЛ'^-^'ИКаЦ^^, Р€@, 1],
то Зля погрешности верна оценка
№„_«!<' (^№в_И0)о»+1>»,
При доказательстве теоремы 4 мы получили оценку для
погрешности B3). Эта оценка бесполезна с течки зрения
практического ее применения, но она важна для теории метода, поскольку
показывает, как осуществляется сходимость вблизи решения а.
Теорема 4 позволяет находить области несуществования
решения. Действительно, теорема утверждает, что ук сходится к и,
если \\у0—и||^г. Поэтому, если итерации не сходятся, то в шаре
11#о-—^И^ с центром в точке г/0 решений уравнения A) нет.
Отметим, что если оператор А ^еет в шаре й(г) вторую
производную Гато, то в неравенстве х21)
а= зир |А"(V + ^(®--V))\\.
При реализации итерационной схемы A9) для каждого к
нужно решать линейное операторное уравнение
А'Ш» = ?Ш. B5)
где
Р Ы - А' (ук) %-*л+1 Мй-/). B6)
Если V—точное решение уравнения B5), то в A9) */*„и = а.
Оператор А1 (ук) необходимо вычислять на каждой итерации,
и это может потребовать больших вычислительных затрат.
Рассмотрим пример. Пусть оператор А соответствует системе
нелинейных уравнений
Ф/(а) = 0, 1 = 1, 2, ..., т, и=*(и19 и2, ..., ит).
Производная Гато А'(у) в точке у^(у±, /,я, ..., ум) есть
квадратная матрица с элементами а1/(у)9 где
508

Следовательно, на каждой итерации нужно вычислять тг
элементов матрицы А'{у), тогда как число неизвестных в задаче
равно т.
Чтобы избежать вычисления производной А' (ук) на каждой
итерации, используют следующую модификацию схемы A9):
Л/ /,. \ Укт + 1 + 1 Укт + 1 \ А1. г
(Укт) —-г:—г— г АУ*1я+г —/»
1 = 0, 1, ..., т—1, & = 0, 1, ...
Здесь производная Л' вычисляется через каждые т итераций и
используется для нахождения промежуточных приближений укт+19
Укт+*> •••> Ут+ит- ПРИ т=1 получим итерационную схему A9).
4. Двухступенчатые итерационные методы. Итерационную
схему A9) целесообразно использовать в случае, когда оператор
Л' (ук) легко обратим. При этом точное решение V уравнения B5)
принимается за новое итерационное приближение ук+19 которое
удовлетворяет схеме A9). Таким образом, мы получаем
итерационную схему, оператор Вк+1 в которой задан в явном виде:
Вк+1 = А'(ук).
Если уравнение B5) решается приближенно, например при
помощи вспомогательного (внутреннего) итерационного метода и
в качестве ук+1 берется /л-е итерационное приближение ут, то
Ук+1 удовлетворяет общей схеме A8) с некоторым Вк+1ФА' (ук).
В этом случае явный вид оператора Вк+1 не используется, а
знание его структуры необходимо лишь для исследования
сходимости итерационной схемы A8). Построенные таким способом
итерационные методы иногда называют двухступенчатыми,
подразумевая под этим специальный алгоритм обращения
оператора Вк+1.
Опишем более подробно общую схему построения
двухступенчатых методов. Пусть для решения линейного уравнения B5)
используется какой-либо неявный двухслойный итерационный
метод
5««!т?+4'^0»Я!^»)' п==0- ] т~1' <27>
где Р(ук) определено в B6), {со„} — набор итерационных
параметров, Вп+г — операторы в Я, которые могут зависеть от ук9 а
0о = У*-
Выразим ют через ук. Сначала найдем уравнение для
погрешности гп = уп—V, где V—решение уравнения B5). Из B5) и B7)
найдем
*п+1 = 8п+1гп, п = 0, 1, ..., 5Л = Е~©Л5«М'Ы
и, следовательно,
гт==Х)т — V = Тт20 = Тт (у0 — V), Тт = 8т8т-х ... 5Х, ^оч
509

Из B5), B6) получим
V = [А' Ы]-> Р Ы = ук-хк+1 [А' Ы]-1 (Аук-Г).
Подставляя найденное у в B8), будем иметь
й+1 = "т = ук-тк+1 (Е-Тт)[А'(ук)]~1 (Аук~Г).
Отсюда следует, что ук+1 удовлетворяет итерационной схеме A8),
если обозначить
Вк+1 = А'(ук)(Е-Тт)-*. B9)
Итак, реализация одного шага двухступенчатого метода состоит
в вычислении Р(ук) по формуле B6) и выполнении т итераций
по схеме B7) с начальным приближением у0 = ук. Полученное
приближение ут берется в качестве ук+1.
Рассмотрим итерационную схему A8), B9). Для оценки
скорости сходимости можно использовать теоремы 2 и 3, в которых
В заменено на Вк+1, а т на хк+1. Недостатком такого выбора
параметра т является то, что нужно достаточно точно оценить
Отметим, что при построении двухступенчатого метода можно
было бы исходить не из уравнения B5), а из «близкого» к нему
уравнения
№ = Р(ук),
где линейный оператор # в некотором смысле эквивалентен
оператору А'(ук). В этом случае в итерационной схеме A8) имеем
Вк+1^В = К{Е-Тту\
Исследуем этот случай более подробно. Пусть выполнены
условия
# = Я*> 0, Т*тК = КТт, C0)
|Г.к<9<1- C1)
Лемма 2. Пусть выполнены условия C0), C1). Тогда
оператор В = К{Е—Тт)~1 самосопряжен и положительно определен
в Н, и справедливы неравенства
A-?)В</?<A+?)В. C2)
Рассмотрим оператор В-1 = (Е—Тт)К~1. Из C0) найдем
(Е-Т*т)К = ЩЕ-ТЛ или К-ЧЕ-Т*т) = (Е-Тт)К-К
Следовательно, оператор В'1 самосопряжен в Н.
Так как в силу C0) оператор Тт самосопряжен в Н%% то
||т || - сио К71»*'*»*' - сир \&Т*Х> ХН <а ^ 1
\Тяу-*ир (Х9 хЫ -^зир {КХш х) ^? < 1.
Следовательно, для любого х^Н имеем неравенство
\(ЯТтх, *I <?(**> х).
510

Полагая здесь х = К~1у, получим
\(тяк-% у)\<ч&-гу, у)>
поэтому для у ^ Н найдем
A-д)(К-гу, у)<^({Е-Тт)К-1у, у)<{1+я№-1у, У).
Итак, получена оценка
A-9) I?-1 < В-1 <A+ ?)/?-». C3)
Так как /?-* и В"—самосопряженные в Н операторы и д< 1,
то из леммы 9 § 1 гл. V следует, что неравенства C3) и C2)
эквивалентны. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть оператор А имеет в шаре й(г)
производную Гато А'(V), которая при любом V^^(^) удовлетворяет
неравенствам
Сг Ш У)<(Л' (V) У, У)^С2 (Ку, у), С, > О, C4)
||0,5[Л'(^)-(Л'^))^||1-<4(/?У, У), Ь>0. C5)
и пусть выполнены условия C0), C1). Т<*гда выполнены неравен-
ства A7) теоремы 3, где
71 = ^A — Я), Уш^сшA+д)9 Тз^СЦ-?I,
0 = В = ЩЕ-Тп).
Действительно, в силу леммы 2 оператор О самосопряжен и
положительно определен в Н. Кроме того, неравенства A7) при
й = В имеют вид
71 {Ву, у) < (Л' (V) у, у) < <у2 (Ву, У), C6)
10ЫА'(*)-(АШЫ-*<У\{Ву9 у). C7)
Неравенства C6) с указанными в лемме 3 уг и у2 следуют из
C2) и C4), а C7) вытекает из C2), C3) и C5), так как
1*||Ь-1 = (Д-Ч г)<A+?)(/?-Ч г) = A+?)||г|Й.1|
(Яг, г) <A+?)(&, г).
Используя лемму 3, можно доказать аналог теоремы 3 для
двухступенчатого метода.
Теорема 5. Пусть выполнены условия леммы 3, и
двухступенчатый метод построен на основе уравнения № = Р(у$ с
использованием разрешающего оператора Тт. Если в итерационной
схеме A8) с Вк+1^В = 1^(Е—Тт)'-1, опитвающей этот
двухступенчатый метод, выбрать %к==т0A — хр) и у0$&(г), то для
погрешности будет верна оценка
\\Уп—и|1я<>1</о—иЦ»
511

еде и—решение уравнения A), ,р, к и %$ определенны в A6) с уй,
"у2 и Тз» указанными в лемме 3.
5- Другие итерационные методы. В этотм пункте мы приведем
краткое описание некоторых итерационных методов., также
используемых для решения уравнения A) с нелинейным
оператором Л.
Пусть Ф(и) —дифференцируемый по Гато функционал,
заданный в Я. Оператор А, действующий в Я, называется
потенциальным, если существует дифференцируемый функционал Ф(^)
т&йой, чю Жа**}ра&Ф{и) для всех и. Здесь
градиеот-функционала Ф\и) определяется равенством^Ф (и + Щ\*=ъ = (цгаёФ (и), V).
Примером потеьщм«ального оператора может служить
ограниченный линейный самосопряженный оператор А, действующий в
гильбертовом пространстве Я. Он порождается фудадионалом
Ф (л) = 0,5 (Ли, и).
Т1усть оператор А непрерывно дифференцируем в Я.
Оператор А является потенциальным 'шгда и только тогда,, когда
производная Гаю Л'(V) есть самосопряженный в Я оператор.
Если ше^атор А потенциален, то формула
1
Ф<«)= $(Л(«0 + ф—и0)), и — и,)<Й,
О
где и0 — произвольный, но фиксированный элемент Я, дает
способ Построения функционала Ф(и) по оператору А.
Если оператор А порожден градиентом строго выпуклого
функционала, то производная Л' (у) является положительно оп-
!ределенным ,в Я оператором для любого ъ^Я, В этом случае
для приближенного решения уравнения B5) можно использовать
итерационные методы вариационного типа, например в B7)
итерационные параметры сои+й выбирать по формулам методов
скорейшего спуска, минимальных невязок и т. д.
Рассмотрим для примера двухступенчатый метод \Щ, B9),
для которого 1^+1а=1, а в схеме B7) т = 1 и Вг = Е. Тогда
Вк+1 = Е/(й1. Если для вотомогагельйого итерационного
процесса B7) параметр сох выбрать по формулам метода минимальных
«невязок (ила минимальных поправ©к|, то получим (ом. п. 2, 3
§ 2 гл. VIII)
В этом случае двухступенчатый итерационный метод описывается
формулой
У-М^Ш + АУк = !, *-0, 1 C9)
где 0Х определено в {$8}.
512

В ситуации, когда оператор А не является потенциальным,
параметр сох можно выбрать по формулам метода минимальных
погрешностей, полагая в B7) Вг = [(А' {у^)*] и
^К^Г" гл = АУь-Г. D0)
В этом случае двухступенчатый метод имеет вид
УЛ*^ + {А'(у№Ауш = (А'(уЛГГ, Л = 0, 1 D1)
где о^ определено в D0).
Легко видеть, что в методе C8), C9) параметр сох выбирается
из условия минимума || Л' {ук)(ук+1—ук) + Аук—/|], а в методе D0),
D1)—из условия минимума нормы ||*/й+1 — */й +[Л' (ук)]~1(Аук—/)||.
Задача решения уравнения Аи = $ в случае потенциального
оператора иногда может быть заменена задачей минимизации
функционала, порождающего этот оператор. Заметим, что всегда
имеется простой способ преобразовать задачу решения
уравнения A) в задачу минимизации, даже если оператор Л не
является потенциальным.
Действительно, пусть Ф(и)—функционал, заданный в Я и
имеющий единственную точку минимума и = 0. В качестве
примера такого функционала можно привести Ф(и) = фиу и), где
О—самосопряженный положительно определенный в Н оператор.
Далее, для заданного уравнения A) рассмотрим функционал
Р(и) = Ф(Аи—[), и$Н.
Если уравнение A) имеет решение и, то, очевидно, оно
доставляет минимум функционалу Р(и).
Опишем метод минимизации функционала (метод спуска).
Пусть уравнение A) порождено градиентом строго выпуклого
функционала Ф{и). Пусть минимизирующая последовательность
строится согласно итерационной схеме A9), т. е. по формуле
Уш+1 = У*-Ъ+ЛА' Ш]-ЧАУ*-П, * = 0, 1, ... D2)
Обозначим
Щ = [А'(ук)]-^таАФ(ук), D3)
где в силу сделанных предположений §гас! Ф (ук) = Аук—/.
Запишем D2) в виде
Ук+1 = Ук—*к+1и>к-
Отметим, что оператор Л' (ук) положительно определен и
самосопряжен в Я. Далее, из определения производной Гато
функционала имеем
Нт ГФ (ц-ту) -Ф Ы1 + (§гаё ф ( }> } а а
17 А. А. Самарский, Е. С. Николаев
513

Так как А' (укI0к = &га<1Ф(ук), то
(вгаё Ф (*/*), щ) = (А' (ук) щ, щ) > 0.
Следовательно, существует такое тк+1 > 0, что Ф(ук+1) будет
строго меньше Ф(ук).
Если минимизирующая последовательность {ук\ строится по
явной схеме A8) (Вк = Е), т. е. по формулам
Уи+^Ук—Чк+ЛАУк—П*
то переход от ук к ук+1 осуществляется по направлению
градиента функционала Ф(и) в точке ук. Такие методы принято
называть методами градиентного спуска. Существуют некоторые
алгоритмы выбора итерационных параметров тЛ, но на этих
вопросах мы не будем здесь останавливаться.
Приведем в заключение обобщение явного метода
сопряженных градиентов, который используется для минимизации
функционала при указанных выше предположениях. Формулы
алгоритма Флетчера — Ривса имеют вид:
Ук+г^Ук — аь + гЮ^ Й = 0, 1, ...,
о>л = 8гаёФ(ул)+Ьла>А-1э *=1, 2, ...,
ау0 = 2гаAФ(*/0),
где
(егасю^.!)!»
а параметра^+1 выбирается из условия минимума Ф(ук—Яь+1шк)-
Эта задача об отыскании минимума функции одной переменной
решается одним из методов численного анализа."
§ 2. Методы решения нелинейных разностных схем
1. Разностная схема для одномерного эллиптического
квазилинейного уравнения. Изложенную в § 1 общую теорию
итерационных методов будем применять для нахождения
приближенного решения нелинейных эллиптических разностных схем.
Начнем с простейших примеров.
Рассмотрим третью краевую задачу для одномерного
квазилинейного уравнения в дивергентном виде
К (*. *> -з"--) = и0 (и) — \10, х = 0, A)
514

ф@ +т^1> 1 = ы-
Будем предполагать, что функции кг(х, /?0, рг), к0(х, /?0, рг),
х0 (р0) и хх (р0) непрерывны по р0 и р2 и выполнены условия
сильной эллиптичности
1 1
2 [ка(х9 р09 Рг)-~ка(х9 <70, д1)](Ра — да)>С1 2 (ра —<7аJ, B)
а=0 а=0
[Ха(Ро) — Ка(Чо)](Ро — Яо)>0><* = Ъ> *. C)
где сг > 0—положительная постоянная, О^л:^/, |р0|, |^0|,
\Рг1 \Яг\<°°'
На равномерной сетке а> = {х1 = Иг9 1 = 0, 1, ..., Ы, НЫ = 1}
задаче A) поставим в соответствие разностную схему
Л*/,— -//, 0<1<#, D)
где
ф@) + Х^о> * = 0,
!~\ ф(*,), 1<*<ЛГ-1,
Т
Разностный оператор Л определяется формулами:
Лг//=тр1^ у. */*)]-+[М*> у, у-)]х —
—М*> уу ух)—к0(х, у, у-)}{9 1<1<#—1,
А0о = х[М°» #о> Ух<о)+ЬЛн> У» У-,)] —
— *0@. Уо> ^о)—иоЫ, 1 = 0,
л^=—д-[*!(/—л, г/л.-!, ^.лг-О+м*. ^ ^^)] —
— й0 (;> #*> %. *) — х х1 Ы> * = ^-
Если в пространстве Н = Н (со) определить нелинейный оператор Л
соотношением Л = —Л, то разностная схема D) запишется в виде
операторного уравнения Аи = [.
Исследуем свойства нелинейного оператора Л, действующего
из Я в Я. Напомним, что скалярное произведение в Я (со)
определяется по формуле
N-1
(и, V) = 2 и{о(Н + 0,5й {и^0 + и^ом),
а через (и, V)(^)+ и (иу ю)ф- обозначаются суммы
N N-1
(и, 0)©+ == 2 И/0/й, (и, у)о)- = 2 ^Л,
*=1 1=0
17* 515

так что
(и, V)=т[(и^ а)о)++(«, я)©-].
Покажем, что при выполнении условий B), C) оператор А
является сильно монотонным в Я (со), т. е. выполнено
неравенство
(Аи—АV^ и—V)'^с1\\и—V\\2,щ сг > 0, E)
где сг определено в B).
Обозначим Ро = р0 = и{, </о=^ = 0„ р1 = их^9 р[ = и^ь, цх =
= ух, /» Ч1 = Ух.1- Используя определение оператора Л, формулы
суммирования по частям (см. G), (9) § 2 гл. V) и условия B),
C), получим
(Аи—Ао, и—V) = (АV—Аи, и—у) =
N-1A }
+ Т X 42. [М*. Ро. Рх) — М*. ?е> ^)](Ра— <7а)[ +
1=0 1а=0 ^ /
+ КМ-Ъ(Яо)](Ро — Чо)\ /=^+К (Ро) —*о (<7о)] (Ро — Яо) I »=о >
# 1 N-1 1
>|Е Л Е б5«-?«)! + ^ Е * Е (Рос-9а)?.
1=1 а=0 1=0 а=0
Учитывая равенство их , = и-.+ 1, запишем полученную оценку
в виде
(Аи — АV, и—V)^^[(и—V^ и—V)(^^+ + (и—V, и—V)(^^- +
1=1 ' 1=0
= с1[\\и-ю\\^ + ((и^I 1)„+]>С1||и-ор.
Из замечания 2 к лемме 12 главы V следует, что эта оценка
не может быть улучшена.
Итак, установлена сильная монотонность оператора А. В силу
непрерывности функций ка(х, р0, рг) и ха(р0), оператор А
непрерывен в Н. Поэтому из теоремы 11 главы V следует
существование и единственность в шаре ||и||^ —1| АО—/|| решения урав-
нения Аи = [ и, следовательно, разностной задачи D).
Если ка(х, р0) рг) и ка(р0), сб = 0, 1—непрерывно
дифференцируемые функции своих аргументов, то вместо B), C) можно
516

использовать другие достаточные условия, обеспечивающие
сильную монотонность оператора А.
Будем предполагать, что выполняются условия
11 1
Сг 2 а< 2 аа$(х, Ро, Рг) 1*Ъ$<С2 2 й» Сг > О, F)
а=0 а,0=О а=0
0<аа(р0)<с3( а=1, 2, G)
где | = (|0, 1Х) — произвольный вектор и
аа*(х, р., Р1)=дк«{%Р;'Р1), оМ = ^-, «, р-0, 1.
Покажем, что из условий F), G) следуют B), C). Действительно,
имеют место равенства
М*. А» Л) —М*. <7о> Яг) =
1
= ^М*. <Ро + A-0<7о. ^, + A-0^)* =
о
о о
1 »
= 2 (Рр — <7э) \ ЯаЭ (*, «о» 51) Л. « = 0, 1.
где ^^{Ро + Ц — ^Яоу 81==*Р1 + A—*)с11- Умножая это равенство
на Ра — Яа и суммируя его по а от 0 до 1, получим с учетом F)
1
2 [ка (X, р0, рг)—ка (X, (/в> ^)] (Ра — Яа) =
а=0
I 1
= 5 2 «ар (*. «о. 51> (Ра — 9а) (Рр — <7р) Л >
О а, 3=0
1 1 1
>Сг) 2 (Ра-9аIЛ = С1 2 (Ра-?аJ.
0 а=0 а=0
Итак, неравенство B) получено. Аналогично из G) получим
неравенство C)
1
[*а (Р,)-*а («7»)] (Ро- <7о) = ^Щ^* (Ро-<7оJ >0.
о
Таким образом, условия F), G) гарантируют существование и
единственность решения разностной задачи #D).
Найдем теперь производную Гато оператора Л, предполагая,
что функции ка{хур0Урх) и ха(ро),а = 0, 1, имеют ограниченные
производные по р0 и рх нужного порядка.
517

Из определения производной Гато нелинейного оператора
будем иметь
А' (и) у1 = — у {[ап (х, и, их) ух\ . + [ап (х, и,и-)у-]х,( +
+ [а10 (х, и, их) у]^ . + [а10 (х, и, и-) у]Ху,} +
+ [а00(х, и, их) + а00(х, и, и-)] у,}, 1<*<ЛГ—1.
При * = 0 получим
Л' («О Уо = — ^ [«п @, "о и*, о) + «и (Л, ии и- х) —
—На01 (О, ив, иж, 0)+Наи (^.и^и- 1)]ух^0 + т[а0(и0) —
— у а10 @, и0, иХч о)—-2"аю (й> их, «2.1) + >2 «оо @» и0. и*. о)]?о»
а при 1 = Л/" будем иметь
А' (и)Ум=-н [дп (/—Л' "л^-1» и*. л^-1) + «и (и и& и- ^) +
+ На91 (/, ию и- „)—ка10 (/—А, и„_19 иХч АГ.1)] у- м +-| [^ (и^) +
+  «ю С» "^» И- л/) + Т «ю ('—Л» иМ-иих, М-г) +
Отметим, что при вычислении А' (и)у0 и А' (и)ум были
использованы соотношения
Уг = Уо+ЬУх, о» Ум-1=Ум—НУх, лг (8)
Исследуем свойства производной Гато А' (и) оператора А.
Лемма 4. Если выполнены условия
дкг (*, р0, рг) __ д&р (*, р0, Ы /0,
^Ро ~ дР1 ' ^
то Л'(и)—самосопряженный в Н оператор. При выполнении
условий F), G) он положительно определен в Н.
518

В самом деле, используя формулы суммирования по частям,
а также соотношения (8), получим
N-1
(А' {и)у, г) = у^ Н[ап(х, и, их)ухгх+а10(х, и, их)угх +
1 = 0
+ а01 (х, и, их) ухг +а00 (х, и, их) уг]{ +
N
+ уХАК(^ ы. и-)у-г- + а10(ху и, и-)уг- +
1= 1
+ а01 {х, и, и-) у-г +а00 (х, и, их) уг\ +а0 (и0) у0г0 +аг (и„) умг^
A0)
Сравнивая это выражение с выражением для (у, А9 (и) г),
получим, что при условии а10(х, р0, р1) = а01(х, р0, рг), которое
является другой формой записи для (9), оператор Л' (и) для
любого и € Н самосопряжен в Н.
Пусть теперь выполнены условия F), G). Полагая в A0)
г( = у0 получим
ГЛ/-1 N
(А'(и)у,у)^-%-
&(«/Ну1,)+1>(</Н</1()
1=0 1=1
= с1[(у,у) + (у2х, \)«>+]>с1(у,у), (И)
т. е. оператор А' (и) положительно определен в Н. Лемма
доказана.
Заметим, что в силу теоремы 2 главы V из положительной
определенности производной Гато непрерывного оператора А
следует, что он является сильно монотонным. Таким
образом, при выполнении условий F), G) оператор А сильно
монотонный.
Полагая в A0) г^у{, получим в силу условий F), G)
оценку сверху
[//-1 N и
Ем</?+</1 <)+2>@?+*1() 1+
+с,№ + УЪ)=с%[(у, У) + (у1 1)в+] + с,(л8 + ^).
Из неравенства C6) леммы 15 главы V при е=1 найдем, что
у1 + у1/<с,[(у,у) + (у1 1)щ+], са = 1 ^щ-,-. A2)
Следовательно, имеем
(А'(и)у,у)^у,[{у,у) + (у1,1>)т+1 у, = с3 + с3с,. A3)
519

Определим в пространстве # = //(со) линейный оператор /?,
отображающий Н на Я, по формулам
(— -ьУх.о+Уо> * = 0,
[ ^Ух, ыЛ-Ум 1==М-
Из первой разностной формулы Грина найдем
(КУ,У) = (У,У) + (У-Х>1)„+. (Н)
Тогда из A1), A3), A4) легко следует, что при выполнении
условий F), G) для производной Гато А'{и) оператора Л
справедливы неравенства
Уг(Ку,УХ(А'У,УХУ2(Ку>У)> A5)
где 71 = с1>0, у2 = с2 + с3с^ т.е. операторы # и А'
энергетически эквивалентны с постоянными, не зависящими от шага
сетки к.
Напомним, что выше было получено неравенство
(Аи—Ау, и—у)^сг\\\и—у12 + ((и—уI, 1 )*>+]>
если выполнены условия B), C). Отсюда и из A4) следует, что
при выполнении условий B), C) имеет место оценка
(Ай — Ао, и —ю) >7х(/?(^—у), и—у), У1 = с1 > 0. A6)
Покажем теперь, что для любых и, ь^Н верна оценка
(Я"г(Аи — Ао), Аи — Ау)^у2(Аи — Ау, и—у), A7)
где у2 = с2A +сА), если выполнены условия
1
2 [ка(х, />о> Рг)—Ь*(х, 9о. Ъ)? <
а=0
1
<^2 2 [Ьа(х, р0. Рг) — К{х, ?о» ЯгШРа — Я*)* О8)
а=0
К (Ро) — *а (?о)? < С2 [Ха (р0) —Ха (<70)](р0 — Gо).
Действительно, для доказательства A7) достаточно получить
для любых и, у, г^Я оценку
(Аи — Аь, г)*^у2(Аи — Ау, и—ь^Яг, г). A9)
Тогда, полагая здесь г = Я~1(Аи — Ау), будем иметь A7).
Обозначим:
Ро:=Ро = ^п 9о==^о=г;/» 5о = 5о = */,_
8г = 2Х> ,, $х — 2~Кг (.
520

Используя определение оператора А и формулы
суммирования по частям, получим
(Аи—Аю, гJ = (Лг;—Ли, гJ =
= \ Т Ш([к*(х> Ро, Р1)—К(Х, <70, 91)]. *Л>- +
I а=0
1
+ У Е ([**(*. Ро> Р1) — Ь*(Х, Яо> ЯЛ^а)** +
а=0
+ К (Л)—*! (?о)К М +К (Ре)"*0 (<7о)>0 1^0}2.
Используя неравенство Коши — Буняковского, последовательно
найдем
{Аи—Аь, гJ<
( 1
< ] У Е ([*«(*. Ро> Р1>-*«(^ <7о> 91)?. I)-1 (*. № +
\ а=0
+ у Ё ([*«(*, Ро. Л)—й«(*, ?„. *)]\ 1)& D, 1)& +
+ [*1 (Ро)—*1 (?о)] *0 |/=* +[Х0 (р0) — Х0 (</в)] 50 |/«0 Г <
< 1 Т Е ([**(*. Ро. Р1) —М*> <?о> <7х)Р. 1)со- +
I а=0
1
+  Е ([*«(*. Ро» р1)—ка(х9 ?0> ^Р» 1)со+ +
а = 0
+к (Ро)—*1 (?о)]2^+к (р0) — *„ (чо)]и \ х
Х1 уЕ[E'«> *)«>- +($а, 1)со+] + 520|,=Л/ + 5оио^
V а=о ;
Учитывая, что верно равенство
(Аи — Ау, и—у) =
1
= 1" Е(ГМ*. Ро» Р1)—М*. <7о> 91)](Р«—9а). 1)©- +
а=0
1
+ У ЕРа (*, Ро. р1) — ка(Х, Я09 ^)](Ра — ?а). 1)а> + +
а=0
+ К (Ро)—«1Ы](Рв—9о)|^^ + К(р0) — Х0((/0)](Ро —9в)|^0 ,
521

а также что в силу A2), A4) и введенных обозначений
1
а = 0
=4[(*2, 1)со+ + (г2, 1)в- + (г!, 1)^ + (г2, 1)„-] + г2„ + г2 =
= (г2, 1) + (г!, 1)(й+ + г2у + г20<A+^4)(/?г, г),
получим оценку A9), если выполнены условия A8).
Утверждение доказано.
2. Метод простой итерации. Рассмотрим теперь итерационные
методы решения построенной нелинейной разностной схемы D).
Предположим сначала, что выполнены условия B), C) и A8).
Для решения уравнения D) воспользуемся неявным методом
простой итерации
ВУн+1-ук+Аук = Г, Л = 0, 1 у0бЯ, B0)
где А = — Л, В = Н и оператор 7? определен выше. Из B0)
следует, что для нахождения ук+1 при заданном ук требуется
решить линейное уравнение
Вук+1 = Ф, у = Вук—т(Аук—[)
или в развернутом виде
-0*+1A — П+^*+1@—У*+1(' + 0 = Ляф@. 1<*<#—1,
^+1@)-2Л+1A) = Л»ф@), * = 0,
-2^+1(^^1)+^+1(^) = /12ф(Л^), 1 = Ы,
где с = 2 + й2. Так как с>2, то разностная краевая задача
может быть решена методом монотонной прогонки с затратой
О (Л') арифметических операций.
Осталось указать значение итерационного параметра т и дать
оценку для числа требуемых итераций. Так как выполнены
условия B), C) и A8), то имеют место оценки A6) и A7),
которые можно записать в виде
(Аи — Ау, и—у)^у1(В(и—у), и—ь)% 71 = с1 > °»
(В-1(Аи—АЬ), Аи — Ау)^у2(Аи — Ауу и—у), у% = с%A+сА)9
B1)
где сх задано в B), с2—в A8) и с4 — в A2).
Так как оператор В является самосопряженным и
положительно определенным, то сходимость метода B0) исследуем
в энергетическом пространстве Нв, где 0 = В. Для указанного
выбора оператора й неравенства B1) совпадают с
неравенствами D), E). Поэтому для выбора итерационного параметра т
можно воспользоваться теоремой 1. Получим, что при т= 1/72 =
522

= 1/(с2 A+с4)) итерационный метод B0) сходится в #0, и для
погрешности верна оценка \\уп—и|д<р"||#0 — и\\в, р = ]/1—^
% = у1/у2 при любом начальном приближении у0.
Итак, если выполнены условия B), C), A8), то
итерационный метод простой итерации B0) с указанным значением
параметра т позволяет получить решение нелинейной разностной
схемы D) с точностью е за п^п0(г) итераций, где
/ ч 1пе 21пв
по (8) =  = 7 Г .
\ М1+с4)У
Так как постоянные с1У с2 и с4 не зависят от шага сетки Ну
то число итераций п0 (г) зависит лишь от е и не меняется с
измельчением сетки.
Рассмотрим теперь итерационный метод B0) в
предположении, что выполнены F), G) для производных аа$ = дка/дрр и
в(х = дка/др0У а также условия симметрии (9). Тогда для
производной Гато оператора А будут справедливы неравенства A5),
которые в силу выбора В = К можно записать в виде
71 (Ву, У)<(А' (V)у, у)<72(Ву, У), V^у€Н, B2)
где у1 = с1, у2 = с2 + с3с^9 с19 с2и с3 определены в F), G), а с4—
в A2).
Пусть Б = 5. Тогда оператор ОВ~1А' (и) = Л' (у) в силу
леммы 4 будет самосопряжен в Я, и, следовательно, выполнены
условия теоремы 2, а неравенства B2) совпадают с
неравенствами A4). Поэтому параметр т в схеме B0) следует взять
равным т = т0 = 2/(у1 + 72)- При этом для погрешности уп—и и для
числа итераций будут верны оценки
\\Уп-и\\в<(>ПУо-и\\, Ро = 4т!' |==1?Г = ^Г<
п>и0(е) = 1пе/1пр0.
Здесь, так же как и для предыдущего метода, число итераций
не зависит от шага сетки к. Для выбранного оператора В в силу
первой разностной формулы Грина будем иметь следующие пред-«
ставления для нормы ||г||в:
|гЦ-(г.г) + D.1).+
Мы рассмотрели методы решения нелинейной разностной
схемы, аппроксимирующей квазилинейное одномерное
уравнение на равномерной сетке. Не представляет труда перенести
эти рассмотрения на случай произвольной неравномерной сетки,
а также на разностные схемы, аппроксимирующие основные
граничные задачи для квазилинейного эллиптического
уравнения второго порядка в прямоугольнике.
523

3. Итерационные методы для разностных квазилинейных
эллиптических уравнений в прямоугольнике. В прямоугольнике С = {0 ^
^ха^/а, а= 1, 2} с границей Г требуется найти решение
уравнения
2
B3)
удовлетворяющее краевым условиям третьего рода
ка (*• "• ^'"Э^)""*"6^' ")—#-а(х), *а = 0,
— *а (*, и, -|~, |~^=х+а(х, м) —г+а(х), х* = 1а> а=1, 2.
Предположим, как и в одномерном случае, что выполнены
следующие условия. Функции ка(х, р) и к±а(р0) непрерывны по
Р = (Ро> Ри Р2) и Ро и> кРоме того»
2 2
2 [Ьа(Х, р) — ка(х, Я)](Ра — да)>С1 2 {Ра — ЯаУ, Сг > О,
а=0 а=0
2 2
2 [М*. Р)—ка(Х, Я)]2<С2 2 [М*. Р) — К(Х, Я)](Ра — Яа),
а=0 а=0
[*±а (Ро) ^ *±а (<?о)Р < ^2 [>в±о (Ро) — *±а (<?о)](Ро ~ Я о)» «=1,2,
где с, > 0 и с2 > 0, х 6_б и | р |, | ^ | < оо.
Введем в области О прямоугольную равномерную сетку
и = {хи = Aк19 /А,), 0<1<Л1Э 0</<Л^,М7в = /в, а=1, 2}.
Простейшая разностная схема, соответствующая задаче B3),
B4), имеет вид
Лу=— /, хбсо,
Л = Л1 + Л2, / = 9 + 29^ + 29,^
где
!8-а(х), Ха = 0,
О, ка>^ха^1а—ка9
§+а,{х)> Ха = 1а9 0 ^Х3-а ^ *з-а>
а операторы Ла, а=1,2, определены формулами:
524
B5)

1) для Лз^яр^/р—Лр имеем
ЛаУ=-)г{[М*, У, УХ1, У-Хг)]Ха+[^(х,у,уХ1, {/*,)]_ | —
—4 [М*> У, УХ1>У-Хг)+Ь0(х, у, уХг, «/,,)], ЬаКха<1а—К\
КУ =т^ Г^а1а(х, у, у-Х1, У-Х) + К (х, у, уХх, уХг)} —
1 2
—2к0(х>У<Ухк Ух>)——*-а(х,у), ха=0;
КУ = — "Г-ра (*> У, У~Хх1 УХг) + к~аа(Х^ У' У*1> Ух,)\ —
а
—2-К(х, У, УХ1, Ух,)~—*+а(х, у), ха = 1а;
2) для хр = 0 имеем
КУ = [Ь*(Х, У, Ухо Ух,)Ь— тМ*. У, УХ1, Ухг)
Аау = -г-ка(х, у, уХ1, уХ1)—к0(х, у, ух%, Ухг)——Х-а(х, у)
а ос
при йа<л;а</а—Аа;
при л;а = 0;
"а "а
3) для лгр = /з имеем
При Йа<^а</а — Йа;
АаУ=-^к+а1а (х> у> у-Х1> Ух2)—^х-а(*' у)' Ха==0;
А*У=—Т-к*{х> У> Ухг> Ух2) — ко(х> У> У;х* Уъ)—^*+а(х, у)
при л;а = /а.
Здесь C = 3—а, а=1, 2 и использованы обозначения
*1+1Ч*' У>Уъ> %,)к/ =
а также аналогичные обозначения для к'1* и /г±Ч
625

В пространстве Н сеточных функций, заданных на (о,
определим скалярное произведение
(и, 0)=2 2 К @^2(/) и (I, />(*, /),
I = 0 / = О
и операторы Аа= — Ла, а=1, 2, А = А1 + Аа, Я^Т^ + ^2, где
Яа</ =
Т~Уха+1;У> *<* = '<%> а=1, 2,
и О^хр^/р. Тогда разностная схема B5) запишется в виде
операторного уравнения
Аи = [ B6)
с нелинейным оператором А.
Используя сделанные выше предположения относительно
коэффициентов ка(х, р) и и±а(р0)» как и в одномерном случае,
получим, что имеют место неравенства A6) и A7), где с± —
постоянная из неравенства
/=0 1=0
^2 2^. /) К @ К (/) + 22 КК (/) <4 (*". /)+
1_1=о/=о /=о/=о *
+ 2 .2 КA)КУ-Х1A, /)
B7)
Покажем, что
с4 = 1/2A6 + /2)/(/1/324Т2), / = тш(/1, /2). B8)
Действительно, из неравенства C6) леммы 15 главы V при е=
=}/2 получим
уЧО, п+?№г, /)<
<
A6+/!) У2
2X^A, Я+уЦ&ЛОг/Ч'. /)
1=1 (=0
Отметим, что если здесь заменить 1Х на /, то неравенство лишь
усилится. Умножим теперь левую и правую части полученного
526

неравенства на %2(]) и просуммируем по / от 0 до #2. Будем
иметь
1к(!)№@, П + уЧ^г, /Ж
/=о
<с4[2 2 кК®у\ а. /)+т 2 2 у*а, пКмки)], B9)
где с4 определено в B8). Аналогично найдем
1=0
<^4
2 ЯКтУ^ц* /)+4Х2>(*\ /)*1(о*.(/)
/=0/=1 ** ^ /=0/ = 0
C0)
Складывая B9), C0), получим неравенство B7).
Для решения уравнения B6) можно воспользоваться
неявным методом простой итерации B0), где В = 7? и т=1/у2 =
= 1/(с2A-\-с4)). Тогда в силу теоремы 1 итерационный метод
B0) будет сходиться в Нв и для погрешности будет верна оценка
\Уп—1*<Рк —"Ив, Р = УТ^1, 1 = У1/Уъ = с1/(с%A+сА))и
Следовательно, число итераций п0(е), которое следует
выполнить для достижения относительной точности е, не будет
зависеть от числа узлов сетки (о.
Для нахождения ук+1 имеем задачу
#У*+1 = Ф. Ф = %Ук—т (АУь—И-
Так как оператор 7? соответствует второй краевой задаче для
разностного уравнения с постоянными коэффициентами, то
указанная задача может быть решена прямыми методами,
описанными в главах III и IV, с затратой 0(А12\о&2А1) арифметических
действий (Л/г1 = Л/2 = Л^ = 2/г). Если функции ка(х, р) и х±а(х, р0)
дифференцируемы, то оператор А имеет производную Гато,
которая является самосопряженным в Н оператором, если
выполнены условия
яар(*> р) = а$а(х, /?), а, 0 = 0, 1, 2, C1)
дк (л:, р)
где аар(*> р)=—■= . Можно показать, что если кроме C1)
выполнены условия
2 2 2
Сг 2 1« < 2 «ар (X, Р) 1аЬ <С2 2 II, С, > 0,
а = 0 а, 0=0 а=0
527

то верны неравенства A5), где уг = с1У у2 = с2 + сэс4> а с4
определено в B8). Тогда в итерационном методе B0) с В = ]?
параметр т можно выбрать равным т0 = 2/G1 + 72)- В силу теоремы 4
для погрешности будет верна оценка
\\Уп-»\\в<Рпо\\Уо-и\\в> Рв = A-6)/A + 6). Б = Т,/Т,.
Пусть теперь требуется найти решение первой краевой задачи
в прямоугольнике О
2 '
хгл д * / ди ди \ и ( ди ди \ , ч
*€0, C2)
а (х) = О, а: € Г.
Предположим, что функции ка(х, р) непрерывны по р = (р0У рх,
р2) и выполнены условия
2 2
2 [М*. Р) — Ьа(х, Я)]{Ра — Яа)>С1 2 (/?а —?аJ, ^>0,
[М*. р)-й0(*. 9)](Рв-9о)>0, C3)
2 2
2 [М*. Р) — ка(х, Я)]*<С% 2 [М*.Р)~М*.?)](Ах —9а).
а=0 а=0
где сг > 0, с2 > 0 для х 6 О и | р |, | ^ | < оо.
Задаче C2) на прямоугольной равномерной сетке со = со у у,
введенной ранее, поставим в соответствие разностную схему
Л#=—Д л:€со, */(*) = О, л: €?» C4)
где / = ф, а разностный оператор Л определен следующим
образом:
Ау = А'у = ^{[к1(х9 уу у^у Ух2)]Х1 + [кЛх> У, Ух19 Ух2)]^ +
+ [к*(*> У> У** %,)]*, + [*.(*. У> Ухч У*г)Ъ —
— Мх» У, У-Хх, %,) —М*. У> Ухг, Ух2)}.
Приведем еще две возможные аппроксимации:
Л0 = Л+0 = 1{[М*, У> ^> У,,)к + [М*. У* У**> УхЖ +
+ [*.(*• у, уХ19 Уъ)\хя + \к*(х> У> К* У**)\х —
— к0(х, у, у-, уХя)—к0(х9 уу уХ1У */-)}
и А = 4-(А-+А+).
528

Длд данного примера Я—пространство сеточных функций,
заданных на со, скалярное произведение в котором определено
формулой
(и, »)= 2 2 АЛиС Л»С. /)•
Если в уравнения схемы C4) подставить */|7 = 0, то получим
разностную схему Ау=—/\ Определяя оператор А = —Л,
запишем полученную схему в цнт операторного уравнения B6)
в пространстве Н.
Используя условия C3), далучнм для всех трех
аппроксимаций, что соответствующий оператор А удовлетворяет
неравенствам A6), A7):
(Аи — Лу, и—V)'^у1(%(и—V), и—у), у1 = с1>0,
^Я'1(Аи — АV)9 Аи — АV)^V2(Аи—АV, и—V), Т, = саA+с4),
где
1 с 4 , а яМл , 4 , „ пк2 -^8.8
а оператор 7? соответствует разностному оператору Лапласа
Ку=—Яу, у(х) = у(х) для х$<о и ^(х) = 0 для *€?, <5йи=
х%х± * х^х^
Для решения уравнения B6) воспользуемся методом простой
итерации B0) с 5 = 7? и т=1/^, В силу теоремы 1 будем иметь
оценку
\}Уп—и\\в<Рп\\Уо — *1в, Р = У1 — Ъ, 6 = ?!/?!.
Как и раньше, для решения уравнения Кук+1^=Яук—х{Аук—^)
можно использовать прямые методы полной редукции или
разделения переменных, предложенные в главах III и IV.
4. Итерационные методы для адайанедацейиых уравнений.
В прямоугольнике 0 = {0 ^ ха < 1а% а = 1, 2} рассмотрим
слабонелинейное эллиптическое уравнение второго порядка
с краевыми условиями первого рода
и(х) = 0, х$Т. C6)
Слаёонелцнейность уравнения ^35) означает, что функция к0 (х,
Роу Рг, Р2) определена при х^Ъ и |р0|, \р1\9 \р±\<оо и
непрерывна по х при фиксированных /?0, р19 р2, а также существуют
18 А. А. Самарский, Е. С. Николаев 529

производные от функции к0(х, р0, р1У р2) по р0, рх и р2У
которые удовлетворяют условиям
С^М±>09 \р>.\<^м, а=1,2. C7)
2 ^ др0 ^ ' I дра | "^ К '
На прямоугольной равномерной сетке со = со IIV, введенной
ранее, разностная схема, соответствующая задаче C5), C6),
имеет вид
Л# = 0, хёсо, #(*) = 0, *€т>
1 C8)
Ау=Яу— т[к0(ху у, у-х> У„2) + к0(х, у, уХх9 уХг)\>
где Э1у = у% + ^—разностный оператор Лапласа.
Определим теперь разностный оператор Л' (у), зависящий от V:
&'№)у = Яу~[а01(х, V, г-, ^,)^ +
+ а01(х, V, VX^, Vx^)уx^ + а^2(xу V, сь., ъ7>IЪг +
+ а02(х, V, VX^^ VX2)уXг + (а00(x, V, V-1, V7^) + а00(x, V, Vx^у VXг))у\>
где
сЫх, Л, р19 Р2) = дк°(*>Р*>^>Р*)9 а==0, 1, 2.
В пространстве Я сеточных функций, заданных на со, определим
операторы:
Ау = —Ау, Ку= —Яу9 А' (о)у= —Л' ф)у,
где
У(х) = у(х), V(X)=V(X) ДЛЯ Х$@
и
у(х) = 0, у(л:) = 0 для х$у.
Оператор А' (V)—производная Гато оператора А. Используя эти
обозначения, разностную схему запишем в виде операторного
уравнения B6).
Если к0(х, р0, р19 р2) не зависит от рх и р29 т. е.
М*, Ро> Р1> ЛНМ*» р0),
то
^оА^р) = а02(х9 Р) = 0.
В этом случае оператор Л' (и) самосопряжен в Я.
Используя оценку снизу для разностного оператора (—Я)
(-Яу, у)=-(^л + ^§, у)>8(у, у),
530

где
условия C7) при М = 0 и равенства
— (Л'(»)»\ у)=—(Яу, у) + (а00(х,Ь)у, у),
получим
где
Следовательно, если для рассматриваемого
«самосопряженного» случая использовать итерационный метод B0) с 5 = /)==/?
и т = т0 = 2/(у1 + у«)| то в силу теоремы 2 для погрешности будет
верна оценка
\\Уп-и\\в<Рпо\\Уо-и\\в> Рв = 0 — Б)/0+ Е). Б^Тх/Т,-
Оператор У? в схеме B0) можно обращать одним из прямых
методов.

ГЛАВА XIV
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В § 1 рассмотрены некоторые способы построения неявных итерационных
схем, в частности, основанных на выделении регуляризатора. Методам
решения систем эллиптических уравнений посвящен § 2. Здесь
рассмотрено применение общей теории для решения некоторых задач теории
упругости.
§ 1. Способы построения неявных итерационных схем
1. Принцип регуляризации в общей теории итерационных
методов. В главах VI — VIII, XII, XIII была изложена общая
теория итерационных методов, используемых для решения
операторного уравнения
Аи = {. A)
В общей теории итерационных методов мы не используем
конкретную структуру операторов итерационной схемы—теория
использует минимум информации общего функционального
характера относительно операторов. Это позволяет указать (при
фиксированных операторах схемы) общие принципы
конструирования оптимальных итерационных методов. Например, если
операторы А и В двухслойной итерационной схемы
вУ1&-У* + Ау ^ Л —0, 1 УоеН B)
удовлетворяют условиям
В = Я*>0, Л = Л*>0, (З)
Т1В<Л<72Я, VI > 0, D)
то набор чебышевских итерационных параметров тк:
где
Т°~У1+7а' Ро~1 + 1' 6~Т*
является наилучшим.
532

Какими требованиями следует руководствоваться при выборе
оператора 5? В § 3 главы V отмечалось, что выбор В должен
быть подчинен двум требованиям: 1) обеспечению наиболее
быстрой сходимости метода; 2) экономичности обращения этого
оператора.
Для приведенного выше примера первое требование
выполнено, если энергия оператора В будет близка к энергии
оператора Л, т. е. в неравенствах D) близки 71 и Тг- Чтобы
удовлетворить второму требованию, нужно из класса операторов В,
близких по энергии к оператору Л, выбрать наиболее легко
обратимый.
Как конструировать легко обратимые операторы? Очевидно,
что если В1, В3, ..., Вр—легко обратимые операторы, то
оператор В = ВХВ%.. .Вр, являющийся их произведением, также
легко обратим.
Отметим, что, в отличие от множителей, сам оператор В может
иметь сложную структуру. Например, пусть Ва=5 + ю/?а*с&~1,2,
где Ка—оператор, соответствующий разностному оператору
(—5^): Л<х.у = у- х , а=1, 2. Оператору В* соответствует
трехточечный разностный оператор, который обращается методом
прогонки с затратой числа арифметических действий,
пропорционального числу неизвестных в задаче. Оператор В = В1В2
имеет девятиточечный шаблон и ему соответствует разностный
оператор 3&\
2
Усложнение структуры оператора В позволяет увеличить
отношение | «в 71/?2> что приводит к увеличению скорости сходимости
итерационного метода.
При построении оператора В можно исходить из некоторого
оператора #^#*> 0 (регуляризатора), энергетически эквиаа*
лентного А и В:
с1/?<А<(?1/?, о, ><?!><>, E)
УгВ^ЖушВ, Ъ>Ъ>0. F)
Тогда ^ справедливы неравенства D) с постоянными Уг — с^
Уг — с2Чъ> причем
1 = У%1Уш^{с1/сшI9 | = Т1/7а-
В чем состоит смысл введения регуляризатора /?? Для
сеточных эллиптических краевых задач оператор # обычно
выбирается так, чтобы постоянные с± и с2 в неравенствах E) не
зависели от параметров сетки (от числа узлов сетки). Например,
533

если оператор А соответствует разностному оператору с
переменными коэффициентами
АУ = (а1УхХг + (а*У~*Х • ° < с1 < а« < с»
заданному на равномерной сетке (о = {х(/ = (Иг19 ]к2), О^'з^Л^,
C^/^М2, НаЫа = 1ау а=1,2}, введенной в прямоугольнике
0 = {0<л;а</а, а =1,2}, так что Ау = —Ау, где у(х)=у(х)
для лг^со и у(х) = 0 для х$У, то в качестве К можно взять
оператор, соответствующий разностному оператору Лапласа
«% = E?! + ^)У = У'ХхХ1 + УхгХг» %У = — <%> гДе операторы 5?а
определены выше.
Пользуясь разностными формулами Грина, легко показать
(см. п. 8 § 2 гл. V), что операторы А и В самосопряжены в Н
и выполнены неравенства E). Здесь Н—пространство сеточных
функций, заданных на со, скалярное произведение в котором
определяется формулой (и, у)= 2 и (х) V (х) Н^.
хе&
Пусть теперь оператор А соответствует разностному
эллиптическому оператору, содержащему смешанные производные
А»- 2
■Х«*[(**г,),а+(***>),.].
и выполнены условия сильной эллиптичности:
2 2 2
а=1 а, 0=1 а=1
Возьмем в качестве регуляризатора определенный выше
оператор /?. В п. 8 § 2 гл. V было показано, что для рассматриваемых
операторов Ли/? выполнены неравенства E).
Приведем еще один пример. Пусть оператор А соответствует
разностному оператору Лапласа повышенного порядка точности
л — -и , ь\+ь1
АУ ~ УХххх ~Т~Ух2хг1 12 Ух1х1хгхг •
Покажем, что если в качестве оператора # выбрать указанный
выше оператор, то верны неравенства E) с постоянными ^=2/3,
Действительно, используя первую разностную формулу Грина
и равенство у-ХХх;шХ% = Уъ^&х^ справедливое для сеточных
функций, заданных на прямоугольной сетке со, получим
-(^й-(^.I + (^1),-4#(%..)„. '
534

Здесь обозначено
Ъ ЛГ.-1
(и, VI= 2 .2 иA> /)*>('. /) КК
(и, V), = 2 2 и (*• /)о («I /) НА>
1=1 /=1
(и, »I1=2 2 и&^&Пк^.
1=1/=1
Из G) следует оценка Л<#, т. е. в E) с2 = 1. Далее, учитывая,
что #- (л;) = 0 при ^ = 0, 1Х и у- = 0 при х2 = 0, /2, из леммы 12
главы V получим оценку
и аналогичным образом
(%*•')..-(•=«■ ')..<=*&■ О." (9)
Умножая (8) на А1/12, а (9)—на Л|/12 и складывая полученные
неравенства, будем иметь
Отсюда и из G) следует оценка А > 2#/3. Утверждение доказано.
Рассмотренные примеры показывают, что для различных
операторов А в качестве регуляризатора может быть выбран
один и тот же оператор #. Поэтому задача построения
оператора В для неявной итерационной схемы упрощается. Оператор В
строится из условия близости по энергии к регуляризатору /?.
Класс регуляризаторов существенно более узкий, чем класс,
содержащий операторы А. Если оператор В уже выбран и,
следовательно, постоянные ^1 и 72 в неравенствах F) найдены, то
для каждого конкретного оператора А останется найти лишь
постоянные сх и с2 в неравенствах E).
Основная трудность при использовании регуляризатора
переносится на получение оценок для у± и уя. Наиболее часто
оператор В имеет факторизованный вид, причем множители зависят
от некоторых итерационных параметров. Тем самым задается
семейство операторов В определенной структуры,
характеризуемое указанными параметрами. Эти параметры следует выбирать
из условия максимума |. Некоторые примеры, в которых
изучаются факторизованные операторы, будут рассмотрены в
следующем пункте. Здесь же отметим, что в качестве оператора В
иногда можно взять регуляризатор /? (^± = >у2= 1)„
535

2. Итерационные схемы с факторизованным оператором. В п. 1
принцип регуляризации был проиллюстрирован на примере
самосопряженного оператора Л. В этом случае неравенства D)
являются следствием неравенств E) и F).
В главе VI было показано, что если оператор Л
несамосопряжен в Я, а энергетическое пространство Нв порождается
самосопряженным положительно определенным оператором О,
где О есть либо В, либо А*В~*АУ то неравенства D) следует
заменить неравенствами
у1(Вх9х)^(Ах, х), (В-1 Ах, Ах)^у2{Ах, х), Тх>0 A0)
или неравенствами
71В<Л<у2В, (В-М^, А^^уЦВх, х), VI > 0, A1)
где А1 = 0У5(А — Л*)— несамосопряженная часть оператора Л.
Пусть оператор В=В* > 0 построен, исходя из регуляризатора /?,
и выполнены неравенства F). Тогда, если оператор /?
удовлетворяет условиям
сг(Нх, х)^(Ах, х), (Я Ах, Ах)^с2{Аху х), сг > 0, A0')
то имеют место неравенства A0) с постоянными уг=с^уг, у2=с2у2.
Действительно, из леммы 9 главы V й неравенства F)
следует, что верны неравенства у1/?~1^В~1^72'^~- Отсюда
получим
(В Ах, Ах)^у2{Н^хАх, Ах)^с2у2(Ах, х).
Аналогично доказывается, что если Оператор Н удовлетворяет
условиям
^Ж Л <<?./?, (К~*Агх9 А^^сЦКх, х), сг>09 (IV)
то верны неравенства A1) с постоянными ух =с1у1, Уа^^зТг»
Таким образом, и в случае несамосопряженного оператора А
необходимо уметь получать сценки для уг и у2, входящих в
неравенства F).
Займемся теперь получением неравенств F) для
самосопряженных операторов ^иВ, Рассмотрим два случая:
1) Оператор /? представлен в виде суммы 7? = ^ + #2
сопряженных друг другу операторов Кг и К%:
я,-*;, A2)
так что (^я, х) = (%ъХ, х)*=0$(#х, х), х€Н, а оператор В
имеет вид
В = {Е + ^Н1)(Е + (о^2), A3)
где со >0—параметр.

2) Оператор # представим в виде суммы 7?=^1+/?2+.. .+КР,
р>2, самосопряженных попарно перестановочных операторов
#а, а=1, 2, ..., р, так что
Ка = К, адз = ЗД*, а,|3=1, 2, ...,/>, A4)
а оператор В факторизован и имеет вид
Я=П(Я + <о#а), A5)
а=1
где со > 0—параметр.
В каждом из случаев оператор В является самосопряженным
в Н. Особо подчеркнем универсальность выбора оператора В
в виде A3), где операторы /?х и К2 удовлетворяю^ условию A2).
Наша задача состоит в получении оценок для у^ и у2,
содержащихся в F), и выборе итерационного параметра со из условия
максимума отношения | = 71/,у2.
Каждый случай исследуем отдельно. Первый случай был
подробно изучен в главе X, посвященной
попеременно-треугольному методу. Поэтому ограничимся здесь лишь формулировкой
результатов.
Теорема 1. Пусть выполнены условия A2) и в неравенствах
Я>ЬЕ, (Я2л;, ЗД<|(#*, х), б>0 A6)
заданы постоянные 8 к А. Тогда при оптимальном значении
параметра со = оо0^2/КбА оператор В, определенный равен-
ством A3), удовлетворяет неравенствам F) с постоянными
• 6 ° б б
Отметим, что можно рассмотреть более общий, нежели A3),
вид оператора В, а именно:
5-(^> + со/?х) ^)-1 (® + со/?2),
где й) =ч 3>* > 0. Из леммы 1 главы X следует, что теорема 1
остается справедливой, необходимо лишь заменить A6)
следующими неравенствами:
#>6®, (З)-1^*, ВД<-§" (**'*)•
Здесь оператор ® играет роль дополнительного итерационного
параметра.
Оператор 5 легко обратим, например, в случае, когда
оператору /?х соответствует нижняя треугольная матрица, /?2*—
верхняя треугольная матрица, ®—диагональная матрица. Если
оператор 7? соответствует разностному эллиптическому
оператору, то указанные треугольные матрицы в каждой строке будут
иметь конечное, не зависящее от числа узлор сетки число нену-
№

левых элементов. Поэтому обращение каждого множителя,
входящего в оператор В, может быть осуществлено с затратой числа
действий, пропорционального числу неизвестных в задаче.
Рассмотрим теперь второй случай.
Теорема 2. Пусть оператор В имеет вид A5), выполнены
условия A4) и заданы границы операторов /?а:
8«Я<#а<ДаЕ, 6а>0, а=1,2, ...$р.
Тогда при оптимальном значении параметра со
1 1-ц1/*
С0 = 0)п
Д 1,1/Р — ,!
оператор В удовлетворяет неравенствам F) с постоянными
У
где
рА • __ • р—к A —х\) __ б
A + ШоА)^ ' Т2~Т1 -^Щ> » Ч — д-э
б = тщба, А = тахДа, й=|^-г^],
[а]—целая часть числа а.
Ввиду громоздкости доказательства мы его не приводим.
Отметим лишь, что в силу условий A4) оператор В перестано*
вочен с операторами Яа, а= 1, 2, ..., /?, и поэтому
ух= тщ —- Ч т,= тах — .
а=1 а=1
Отметим частные случаи теоремы 2. Если р = 2, то
, _ 1 • __ 26 • б 1+л
Если /7 = 3, то
/е = 2, «0 = ^- , ^ = 36^^-^;,
/6А(^+^)
• _бA + 2ц)/1-^
72 ^~V 1
Для случая р = 2 можно получить лучшие оценки для VI и
у29 вводя в оператор
В = (Е + (*1К1)(Е + о>2К2) A7)
два параметра (ог и со2, которые учитывают, что границы
операторов /?! и #2 различны. Имеет место
Теорема 3. Пусть оператор В имеет вид A7), выполнены
условия
Яа — Яа* а=1,2, КХ#2 = Я2Н1,
538

и заданы границы операторов К1 и /?2:
6аЯ</?а<ДаЯ, а=1,2, б1 + вя>0.
' Тогда при оптимальных значениях параметров о;^ и со2
1 + *У"г\ 1 — *У~*\
выполнены неравенства F) с постоянными
• __ 4]Лп • _^ 2A+л)
?1~ (сох + со2)A+/лJ ' 72~ (со1 + со2)A+/^а"'
202
_Д2+_М ,_А2—Аг6 ,1 — 6 1—а
— 1 + 6 ' ь~~ 1+6 ' '-~1+&' !| 1+а'
1/(Д1~б1)(А2-б2) |._Д»+б1/,
У (Дх+ад
(А2 + б!)' " А1-61 '
Для доказательства теоремы выполним замену, полагая
Я1 = (гК1-8Е)(Е-т1Г\ Н2^(гК2 + 8Е)(Е + т2)~*
с указанными значениями для г, 5, I. Можно показать, что
определяемые таким образом операторы
#х = (#1 + вЯ) (гД + /Я^, _Я2 = (/гя-5Я)(гЕ-//г,2"^
удовлетворяют условиям Яа = ^» а = 1, 2, Т?^ = Я2Яг и
имеют одинаковые границы_г]Я < На <^> Ч > О, а = 1, 2. Далее,
так как операторы Е—1Яг и Е-\-1Я2 самосопряжены и поло-
, жительно определены, то существуют перестановочные операторы
(Е — №гу/* и (Е + Ш%I/%. Положим
х^(Е-т1)^ЦЕ + ^2I^у.
Получим
(Вх9 х) = A -о>15) A +со25) Eу, у), A8)
(Д*, х) = (г-8Ц(Яу,у)9 A9)
где 5 = E+юЛ1)(Е + ©^1), Д^ + Я,,
а = ^^ = ^1Н. B0)
1—©Х5 1 +С025 Ч '
Из B0) найдем
О^==0>1/' —^ | С02Г + ^ ^ (г — 5р(СР1 + 02)
1—%$ ' 1+Ю28 A— ©!§) A + С025) #
Отсюда и из A8), A9) получим
(Кх, х) = 2ш G?у, у) B1,
(Вх, х) Щ+®2(Ву,у)' К '
53Э

Используя теорему 2, получим, что при
« = ш0-1/Кл B2)
имеют место неравенства
ъ(Ку> уХФу, уХъ(Ъ> у), B3)
где
V -_ - 2т< $ _/лО+т|)
Т1 A+/ЛJ' Т2~A+^J'
Следовательно, из B0) и B2) получим оптимальные
значения для параметров сох и со2:
1 ' У1|+5 ' 2 Г /Т|— 5 '
а из B1) и B3) следуют неравенства F) с постоянными уг и
7а, указанными в формулировке теоремы 3. Теорема 3 доказана.
3. Способ неявного обращения оператора В (двухступенчатый
метод). В п. 2 мы изучили способ построения неявных
итерационных схем, характеризующийся тем, что оператор В задается
конструктивно в виде произведения легко обратимых операторов.
Рассмотрим еще один способ, в котором итерационное
приближение ук+1 находится в результате вспомогательной процедуры,
которую можно трактовать как неявное обращение некоторого
оператора В.
напомним, что общая идея такого способа рассмотрена ш
п. 4 § 3 гл. V. В п. 4 § 1 гл. XIII этот способ использовался
При построении итерационного метода решения уравнения с
нелинейным оператором А. Там же были сформулированы
условия, позволяющие получить оценки для 71 и у°2, входящих в
неравенства F).
Изложим полученные результаты. Пусть итерационное при-
ближение ук+1 находится по формуле схемы с поправкой:
]вк+х==Ук—хк+*№ръ * поправка ш? есть приближенное решение
вспомогательного уравнения
Ки>**гк9 гк~Ау%-~1. B4)
Здесь 7? — регуляризатор, удовлетворяющий неравенствам E) для
случая самосопряженного оператора А и удовлетворяющий
неравенствам A0') или AГ) для несамосопряженного А.
Пусть уравнение B4) решается при помощи Какой-либо
двухслойной итерационной схемы, так что погрешность гда =
= оР—хю удовлетворяет уравнению
2я+1==5|Я+12Я1, т = 0, 1, ..., р—I, г°^&>°—и%
где 8т+1—оператор перехода от т-& к (тгс+1)-й итерации.
€40

Выбирая й}° — 0, из равенств
/71= 1
будем иметь
шР = В-1гкУ где В = К(Е—Тр)-К
Подставляя найденное для шр выражение в B3), получим
неявную итерационную схему B) с указанным оператором В.
Теорема 4. Пусть выполнены условия
#=#*>о, т;к = ятру \тр\к<я<1-
Тогда оператор 5 = /? (Е—Тр)-г самосопряжен и положительно
определен в Н и верны неравенства F) с постоянными ух == 1—#,
Для доказательства см. лемму 2 главы XIII.
Замечание. Если операторы К и Тр самосопряжены и
перестановочны и Ц Т^ !| < <? < 1, то справедливы утверждения
теоремы 4.
Описанным выше способом мы построили неявную
двухслойную итерационную схему. Если же исходить из формул
Ук+1 = ак+1ук + A — ак+1)ук^—гк+1ак+М> к**19 2, ,,,,
а поправку \ю\ для любого & = 0, 1, ... находить как
приближенное решение уравнения B4), то мы получим неявную
трехслойную итерационную схему
ВУк+г^ам+^В—т*+1Л)#* + A— а^г)Ву^г+(хк+1гк^9 B5)
Ву1^(В^х1А)у6 + г11.
В заключение отметим, что итерационные параметры хк для
схемы B) и хк9 ак для схемы B5) выбираются согласно общей
теории итерационных методов. Здесь возникает задача выбора
оптимального числа итераций р для вспомогательного
итерационного процесса. Поясним ситуацию. Пусть для простоты
вспомогательный процесс является стационарным Eт = 5),
операторы й и 5 самосопряжены и перестановочны и выполнено
условие Ц5|Кр. Тогда д = р^, т. е.
р=*1п4/1пр. B6)
Операторы А и В удовлетворяют неравенствам D) с
постоянными
уг**сг A—9), ?•-*•(!+«)•
641

Если итерационные параметры хк в схеме B) выбраны по
формулам чебышевского метода, то для числа итераций верна
оценка
п > п0 (е), п0 (е) = 1п @,5е)/1п р19
?2
где р1 = р1(д)=-
I = ^ = — 1-г-^. Тогда общее число ите-
ъ " с2 1 + Я
раций к = рп оценивается величиной
к>к (г) к (с\ 1п0,5в 1пд
Отсюда следует, что величина #, определяющая, согласно B6),
число внутренних итераций, должна быть выбрана из условия
минимума функции ф(9) = 1п9/1пр1(9)> Эта задача может быть
решена численно.
§ 2. Системы эллиптических уравнений
1. Задача Дирихле для системы эллиптических уравнений в
р-мерном параллелепипеде. Пусть и = (и1(х), и2(х), ..., ит*(х))
и /=([1(х), }2(х), ..., /Ло(л:))—векторы размерности /п0, х =
= (#1, х2У ..., л:^)—точка р-мерного пространства, к = (ка$) —
клеточная матрица размера рхр, так что клетка ка$~(к%$(х))
является матрицей размера т0хт0:
к =
В /?-мерном параллелепипеде О = {0 ^ ха ^ /а, а = 1, 2, ..., /?}
с границей Г рассмотрим задачу Дирихле для системы
эллиптических уравнений:
р
&21 &23 •
]^/?1 Кр2 •
• • &2р
. . 6^
> &аЗ =
*аЗ *аЗ •
«,21 1,22
*оф ЛаЗ •
*ЭХ *Э" •
■ К?
Ь*п0т
•* ЛаЗ
^ = а^Д(^^)=-/(^ *€С
A)
*(х) = 8(х), х$Т.
Если перейти от векторной к скалярной записи, то задача A)
запишется в виде системы
"'(*) = «*(*), *€Г, 5=1, 2,
т{
о#
где
542
/По
а, 3=1т = 1 «
(чм^)
B)

Будем предполагать, что выполнено условие сильной
эллиптичности
Ч 2 Иа|2< 2 (Ьа*Ъ*> Ь)<*. 2 |1а|2, C)
а=1 а, 0=1 а=1
где ^>0, с2 > 0—постоянные, не зависящие от х, ?а = (^а>
1а> •••, К?0)» а=1, 2, ..., /7, — произвольные векторы,
5=1 з, т=1
Отметим, что левое неравенство C) означает положительную
определенность матрицы к.
Построим разностную схему, аппроксимирующую задачу A).
Для этого в области О введем прямоугольную равномерную
сетку
М^а = *а, «=1, 2, ..., р}
с границей 7» так что © = (*I| У- На сетке со будем
рассматривать векторные сеточные функции, компонентами которых
являются сеточные функции р дискретных переменных, например
У = (У\ У2> •••> Ут°)> причем у^ = уЦх() = у8A19 *2, ..., гр).
Разностная задача Дирихле для системы A) на сетке со в
векторной записи имеет вид
р
А'У= 2 0,5[FаЭд>- ),а+(*а&У*ЙЬ ] = — ф(*), *€<»,
а, C=1 Р Р а
У(*) = «Г(*). *€?•
Переходя к скалярной записи, получим систему
(А-уу = — <р*(х), х€«>, D)
04*) = «*(*). *€?, 5 = 1, 2, ..., т0,
где
Р т0
а, 0=1 т=1 х$ к а
Оператор Л", как и в случае скалярного эллиптического
уравнения, допускает другую запись, именно:
р
А-^ = 2 095[(каау-)Ха + (каауХа)-] +
а=1 а а
1^-Р
+ 2 о,5[(*айу-)*а+(*«йУ^)гаЬ
а =р^Р Р га
543

Отметим, что для аппроксимации дифференциального
оператора Ь можно также использовать и другие, отличные от А~
разностные операторы, например
Л+У = 2 09Ъ[ка^)Ха + (кааух^1 +
а*»1 а а
+ ? 0,5 [(ка&х$хл + (*«рУ5вЬ 3
СС=р р р а
или
Л°<у = 0,5(Л-+Л+)^ =
= 2 0,5[(*«^;ж)»а + (*вчуЖа); ]+ 2 (^.Ь •
Введем пространство Я векторных сеточных функций, задан*
ных на со, и определим в нем скалярное произведение
(а,V) = 2 («*, »*). ("*> »*) = 2 и*(*)о*(ж)КК••■К'
5=1 ДС€@
Определим разностный оператор Лапласа:
а= 1 а а= 1 %#а
В пространстве Я обычным образом определим операторы Л
и К:
Ау=-А-у9 Ку = — Яу. у$Н,
где у (х) = у (х) для х € со и$ (х) = 0, если х € у.
Используя введенные обозначения и подправляя очевидным
образом правую часть ф уравнения D) в приграничных узлах,
запишем разностную задачу D) в виде операторного уравнения
Аа=/, E)
заданного в гильбертовом пространстве Я.
Пользуясь разностной формулой Грина для скалярных
сеточных функций, условиями C) и предполагая, что выполнены
условия симметрии
Щ = к$1 а, р = 1, 2, ..., р, 5, т~1, 2, ,.., т0, F)
получим, что операторы К и А самосопряжены в Я и
энергетически эквивалентны с постоянными ег и с2, т, е. имеют мзсто
операторные неравенства
сх#<Л<с8#, сг>0. G)
544

Для нахождения приближенного решения уравнения E)
воспользуемся неявным двухслойным итерационным методом а че-
бышевскими параметрами
где
д2Ш=л+дЛ«/, *=о, 1, .... Л€Я, (8)
т=-*- о =Ы о =Д~УТ Е = й
0 71+72' Ро 1+5' р1 И- У\> 6 72*
п^п0 (е) = 1п @„5е)/1п рх,
а ?1 и Тг — постоянные энергетической эквивалентности
самосопряженных операторов А и В:
Т15<Л<Т2^. У1>°> Л* Л*, #=В*. (9)
Если в качестве оператора В выбрать определенный выше
оператор #, то из G) получим, что в неравенствах (9) т****?*
и 72 = съ- Следовательно, число итераций метода (8) не зависит
в рассматриваемом случае от числа узлов сетки: п = 0AпB/е)).
Из определения операторов Л и В следует, что для
нахождения ук+1 по известному предыдущему приближению ук
необходимо решить- следующую разностную задачу:
В скалярном виде эта задача записывается в виде системы
Уш{х) = ёЧх)* *€7, 5=^1, 2, ...,тв.
Так как каждое уравнение системы A0) может быть решено
независимо от других уравнений, то нахождение
приближения ук+1 сводится к решению т0 разностных задач Дирихле
в р-мерном параллелепипеде на равномерной прямоугольной
сетке со.
Если для решения р-мерной разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона использовать метод разделения переменных
с алгоритмом быстрого дискретного преобразования Фурье, то
можно показать, что потребуется #я#4рЛ/> 1о§2 N (Д/\ = ДО, = ... =
=» #^Л/г = 2/2°) арифметических действий. Следовательно, для
решения системы A0) потребуется ($то~т0д действий, а всего
для нахождения решения разностной задачи D) с точностью е
545

необходимо затратить ф = пС1то = пт^ = О (т0рЫ? 1п ~ 1о§2 лЛ
арифметических операций.
Рассмотрим теперь попеременно-треугольный итерационный
метод. Итерационная схема имеет вид (8), где В есть фактори-
зованный оператор В = (Е + со/?!) (Е + со#2), /?4 = /?2, #1 + К2 = Я.
Операторы /?х и /?2 определяются при помощи разностных
операторов 5?! и 5?2 следующим образом: НаУ=—Э1аУ, а=1, 2,
.У (а:) =3^ (л:) для л; € ю и ^ (х) = 0 для х € V» гДе
а=1 а=1
Так же, как и в скалярном случае, доказывается, что
выполнены неравенства /?>6Я, /^/^^-т-/?, где
Из общей теории попеременно-треугольного метода (см. § 1
главы X) следует, что при оптимальном значении параметра
со = со0 = 2/]/бД имеют место операторные неравенства
?1В</?<Т.В1 уг > 0, A1)
б • б б
где^=2A+^Г)'У2=77Г' ч=*'
Сравнивая G), (9) и (И), находим, что операторы А и В
удовлетворяют неравенствам (9) с Уг^с^ и у2 = с2у2.
Используя для схемы (8) чебышевский набор параметров тк,
получим, что построенный попеременно-треугольный
итерационный метод требует п = о( . ■ у — 1п—) итераций, где
| А |2 = А?+А1 -Ь ... + Лр. Так как переход от ук к ук+1
осуществляется по явным формулам с затратой О(ш0Ы1Ы2.. .Ыр)
арифметических действий, то общее число действий, требуемое для
нахождения решения задачи D) с точностью е, оценивается
величиной
<1 = о(т,ЫР+*'* ]/-|1п4)>
если /х = /2 = ... = 1р9 Ыг = Ы2 ==...= Ыр = N.
В заключение отметим, что рассмотренные выше
итерационные методы сходятся в энергетическом пространстве Нв, где
в качестве оператора Б можно взять один из операторов Л, В
или АВ~1А.
546

2. Система уравнений теории упругости. Рассмотрим систему
уравнений стационарной теории упругости (уравнений Ламэ)
Ьи = цДа + (А, + ц) егас1сНуа=—/(х)9 A2)
где а = (и\ и\ ..., иг), /=(/х, /2, ..., 1Р), х = (х19 х%% ..., хр)9
X > 0 и у, > 0—постоянные Ламэ.
Напишем уравнение A2) в виде системы
(^ = ^^ + (И^^- = -^, «-1.2 р. A3)
а=1 а р*=1 Р
При р = 2 систему A3) можно записать в виде
Эта система описывает равновесие однородного изотропного
упругого твердого тела в случае плоской деформации.
Неизвестные функции иг(х19 х2) и и2(х19х2) имеют смысл перемещений
точки по направлениям осей Охх и Ох2 соответственно.
Для системы A2) может быть поставлена задача отыскания
вектора а{х)9 удовлетворяющего уравнению A2) в области О
и принимающего на границе Г заданные значения
*(*) = *(*). *€Г. A4)
Сравнивая A3) с B), находим, что система A2), A4) может
быть записана в виде A), где т0 = р9
Щ = |*М«п + (Я +1*) [6ба8брт + A -0) батбЭ5], A5)
а 8—произвольная постоянная, 6ц=<ф* ^ 3_ у . Действительно,
подставляя A5) в B), будем иметь
а, р=1т=1 ч н/ а,Р=1/п = 1 н
+(х+|»)[е 21 1Хбзтетг+A-е) 2 Ев-л-ет1=
=,|-+(,+A)[в|^+A_в)|^.]_
Утверждение доказано.
647

Найдем теперь постоянные сх и с± в неравенствах C)»
Покажем, *гго сг=^\1. Имеем
2 2 «$11? =ф 2 (Ш2 +
з# тзг\ а, 0=1 а, 5=1
1_ а, 5=1 а, 5=1 Л
-(* 2 (&)а + (Я + И)К2 йУ + О-в) 2 &Е?1. A6)
а, 5=1 I \а=1 / а, 5=1 ^
Полагая здесь 9=1, найдем
2 (М«.Ь)-1* 11^Г+(^+юB ц)">(* 2 1Ы2.
а, 0=1 а*=1 \а=1 / а=1
Нетрудно показать также, что сй = к + 2\1. Полагая в A6) 0 = 0
и используя неравенство Коши — Буняковского, получим
2 (^^У-^2иа|а+(я+|х) 2 БК?<
а» #=! а=1 а, 5=1
а-1 »*а, 5«1 а, 5=1 л
-Ц^ЦаР + ^ + И) 1 (Ш2 = (^ + 2^J||аР.
Построим теперь разностную схему, аппроксимирующую
задачу A2), A4). Подставляя A5) в разностную схему D), будем
иметь
(А'уу = (I $ й- + 0,6 (А, + Ю 1; (У1 +у* Л = - ф», х € со,
а=1 *а*а 3=1 Ч *{3*5 х^х5/
A7)
*/*(*) = ^(*), *€?, 5-1, 2, ..., р,
где ш = соIIу—сетка, введенная в п. 1.
Остается определять операторы А и /?, как это было
сделано в п. 1. Условие симметрии F) выполнено, поэтому,
пользуясь первой разностной формулой Грина, находим, что
операторы Ли/? самосопряжены в Я и имеют место неравенства
СхЖА^Я, где сх = ^, г2 = Я+2(х.
Здесь дальнейшие рассуждения совпадают с теми, которые
проводились в п. 1. Так, итерационный метод (8) с 5 = # и
чебышевскйми параметрами хк характеризуется следующей
оценкой для числа итераций:
548

а попеременно-треугольный метод, построенный на основе регу-
ляризатора Я, характеризуется этой же оценкой, где
•. У> 2 Уц 6
6-У—зп1а-^- ^у!
о=1 а а=1 а
Таким образом, для попеременно-треугольного метода число
итераций пропорционально у А±?Я ~ у 2 + А:
я. (в) =1^2+1^F),
где п^(в) — число итераций для решения /7-мерного разностного
уравнения Пуассона попеременно-треугольным методом.

ГЛАВА XV
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
В этой главе рассматриваются примеры решения разностных задач,
аппроксимирующих краевые задачи для эллиптических уравнений в
криволинейных системах координат. Для задач в цилиндрической и полярной системах
координат выясняются условия применимости прямых и итерационных
методов, в частности метода переменных направлений.
В § 1 приведена постановка краевых задач для дифференциальных
уравнений. Параграф 2 посвящен изложению прямых и итерационных методов
решения разностных задач в (г, г) — геометрии, а также задач на поверхности
цилиндра. В § 3 рассмотрены методы решения разностных задач в круге,
кольце и кольцевом секторе.
§ 1. Постановка краевых задач для дифференциальных
уравнений
1. Эллиптические уравнения в цилиндрической системе
координат. Пусть задано уравнение Пуассона
т д2и , д2и , д2и г/ ч , ч /1Ч
1 2 §
Если для этого уравнения ставится задача отыскания решения
в конечном круговом цилиндре или в кольцевой трубе, то его
естественно рассматривать в цилиндрических координатах. В этой
системе координат уравнение Пуассона A) имеет вид
, 1 д ( ди \ , 1 д2и , д2и , , ч /оч
где г=]/х1 + х1, 1ёч> = х2/х1У г = х3.
Уравнение A) описывает, например, стационарное
распределение температуры и = и(х1У х2, х3) в однородной среде. Если
среда неоднородна, но изотропна, то вместо A) следует
рассмотреть уравнение
з
1« = д1у(йёгаA«) = Х1 ^(М*)-^) = -/(*), C)
которому в (г, ф, г)-системе соответствует уравнение
Б50

Если среда анизотропна, т. е. коэффициент
теплопроводности зависит не только от точки, но и от направления, то
вместо C) будем иметь уравнение со смешанными производными
^ = ^Д(^-|г) = -/(*). E)
Уравнению E) в цилиндрической системе координат соответствует
уравнение
Ь*-7Тг['(Ь*+^$+*.*)] +
, 1 д (т ди , к22 ди . -г ди \
I д (т ди . к32 ди . т- ди\ с, ч ,~ч
+ ж{к*^+^1%+к™ж) = -1(г> ф- гЬ F)
где коэффициенты ка$ выражаются через ка$ по формулам:
Кг = ^11 С082 Ф + (^12 + Кг) 8*П ф С05 ф + Й22 51П2 ф,
к12 = &12 С052 ф + (Й22 — ЙХ1) 51П ф СОЗ ф — к21 ЗШ2 ф,
к21 = к21 С052 ф + (к22 — &п) 31П ф СОЗ ф — Й1Я 31П2 ф,
^22 = Кг 51П2 Ф — (*1Я + Кг) 51П Ф С08 Ф +^22 С082 Ф»
^13 = &13 С08 Ф + &23 8*П Ф» ^23= ^23 С08 Ф~^13 8^ Ф»
Кг = *31 С08 Ф + Кг 8!п Ф» &з2 = К2 С08 Ф — Кг 8*П ф»
к =к
Кзз — №зз •
Уравнение F) называется уравнением со смешанными
производными в цилиндрической системе координат. Если йаз = 0 для
а=^р, то F) принимает вид
Т 1 д ( -г ди\ , 1 д (-г ди\ . д (т ди\ , ,„,
где Ъа~каа> а=1, 2, 3, и называется уравнением без
смешанных производных.
Отметим, что если ка$ = к$а, то &аз = &за и наоборот.
Приведенные выше уравнения B) и D)^вляются_частными случаями
уравнения G), соответствующими ка= 1 и йа = й.
Уравнение E) будет сильно эллиптично, если существует
постоянная сг > О такая, что для любых 51э Бя и ^3
справедливо неравенство
2 к^(хIаЬ>с1^1%. (8)
а. 3=1 «=1
Если в (8) сделать замену, полагая
^=1^08 9—185Шф, Б,=!1з1п<р +1«со8 Ф» ^з=1з.
551

то неравенство (8) примет вид
Э 3
2 ^рГ«Гр>сх 2 а. (9)
а, 3=1 а=1
На практике наиболее часто встречаются два случая.
А) В осесимметрическом случае коэффициенты и правая часть
уравнения, а также само решение не зависят от угла <р. При
этом уравнение F) упрощается:
а в отсутствие смешанных производных уравнение,
соответствующее G), имеет вид
^-М{гЩ^{Щ—!(г,г). A1)
Б) В плоском случае коэффициенты, правая часть и
решение уравнения F) не зависят от г, и, следовательно,
уравнение F) принимает вид
A2)
Если смешанные производные отсутствуют, то уравнение имеет
вид
1гфГ*^(г^у)+^(^)«^/(г,Ф). A3)
В плоском случае говорят, что A2) и A3) есть эллиптические
уравнения в полярной системе координат.
Отметим, что при"йаз=1, сс=1, 2, 3 формулы A1) и A3)
описывают уравнение Пуассона в (г, г)- и (г, (р)-системах
координат.
Иногда требуется решить уравнение Пуассона или более
общее эллиптическое уравнение на поверхности цилиндра
радиуса Л. В этом случае
^-иФч+ь=)+к(н+*-в)--«* «»■ <14>
а уравнение G) без смешанных производных принимает вид
Отметим, что замена ф'=**#ф позволяет свести эти
уравнения к обычным эллиптическим уравнениям с переменными
коэффициентами.
552

2. Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе
координат. Рассмотрим сначала осесимметрический случай* Так
как решение не зависит от угла ф, то в цилиндрических
координатах (г, г) область, где ищется решение, есть прямоугольник
0"={/1^г<11, /3<г<13, /х>0}. Если исходная область
представляет собой кольцевой (полый) цилиндр, то 1г > 0.
Поставим краевые задачи для уравнения A0) в
прямоугольнике (Г. В области О задается уравнение A0), на сторонах г*&Ьх,
г = 13 и г = Ь3 задается одно из краевых условий первого, вто*
рого или третьего рода. Например, краевые условия третьего
рода имеют вид
7" ди т ди . _+ / \ т
^3137 + ^зз ^ = «з и—&~(г). 2 = /3, A5)
-*»у-й. й = х»+"-#(г). г = 18.
При 1г = 0 уравнение A0) имеет особенность на оси г=*0.
В этом случае обычно интересуются ограниченным решением.
Если 1г > 0, то на стороне г = 1г может быть задано одно из
краевых условий первого, второго или третьего рода.
Например, краевое условие третьего рода имеет вид
к^г+к^щ=ъи-&(г), г = 1%>$. A6)
Если ^ = 0, то ограниченное решение выделяется условием
Нтг(^+^|)=0. A7)
В условиях A5), A6) х± (г) и и± (г) неотрицательные функции.
Если на границе прямоугольника О заданы краевые условия
второго рода (х±=0), то задача {10), A5), A6) разрешима лишь
при выполнении условия
] $ г/ (г, г) йг йг + $ [Ь1ёГ (г) +1& (г)] йг +
В этом случае решение не единственно и определяется с
точностью до постоянной, т. е. и (г, г) = и0 (г, г) + соп§1, где иЛ{г9 г)—
какое-либо решение.
Рассмотрим теперь уравнение A4) на поверхности цилиндра.
В координатах (ср, г) область, где ищется решение, есть
прямоугольник С = {/2<ф<1а, /8<г<18, 1а—/а^2д}.
553

На сторонах г = /3 и г = Ь3 могут быть заданы краевые
условия первого, второго или третьего рода, например
1 -г ди , т- да _ _, ч ,
1 -г ди -г ди + „+ / \ т
Ж 82дФ 33дг~~К~и 8$ №'* 2 — ^з*
Такого рода краевые условия могут быть заданы на сторонах
Ф = /2 и ф = ^2, если поверхность не замкнута (Ь2— /2<2л;).
Например, краевые условия третьего рода имеют вид
1 т ди . 1 -г ди _ - / \ /
1 г ди 1 -г ди + + / \ т
^2*22^—Ж 23дг~~К*и ^2 '2*» ф —ь2.
Здесь и± (г) > О и- х± (ф) > 0.
Условие разрешимости задачи A4), A9), B0) при и± = 0
имеет вид
$5/(ф,г)йф^+5[^^) + ^(г)]йг+$[^(ф)+ёГз:(ф)]йф = 0.
Если поверхность замкнута (Ь2—/2 = 2я), то стороны ф = /2
и ф = 12 отождествляются и ставится задача отыскания
периодического с периодом 2я решения уравнения A4),
удовлетворяющего на сторонах г = 13 и г = Ь3 одному из перечисленных выше
условий. Если при этом в условиях A9) х*==0, то условие
разрешимости (с точностью до постоянной) указанной задачи имеет
вид
Сформулируем теперь постановки краевых задач для
уравнения A2), заданного в полярной системе координат, в случае,
когда рассматриваемая область в декартовых переменных есть
круг, кольцо или кольцевой сектор. Указанным областям в
(г, ф)---координатах соответствует прямоугольник 0=1^ ^ г ^Ьг,
/2<Ф<^2, /,><), 12-/2<2я}.
Пусть сначала исходная область есть круг. Уравнение A2)
задается в 0; при г = Ьг ставится одно из краевых условий
первого, второго или третьего рода. Например, краевое условие
третьего рода имеет вид
тг ди #12 ди
-554
-Ъ%-^% = «1и-й(Ч>). г = Ь. B1)

Для корректности задачи A2), B1) необходимо наложить
дополнительное условие в центре круга. Обычно ищут ограниченное
при г = 0 решение. Это решение удовлетворяет условию
!Ь'(ьг+>$)-»- <22>
Ввиду того, что в полярной системе координат точка г = 0
плоскости (х19 х2) имеет произвольную координату ф, то все точки
стороны прямоугольника О при г = 0 отождествляются. При этом
и (О, ф) = и0 = сопз1 для 12 ^ ф ^ Ь2 в силу непрерывности решения.
Далее, стороны ф = /2 и у = Ь2 отождествляются и ставится
задача отыскания периодического с периодом 2я решения
уравнения A2), удовлетворяющего перечисленным выше условиям.
В случае, когда при г = Ьг задано краевое условие второго
рода B1) с х^(ф)==0, то решение задачи существует, если
выполнено условие
2л 1,1 2я
5 $г/(г,ф)^ф + 11$#Нф)Жр = 0. B3)
0 0 0
Решение при этом не единственно и определено с точностью до
постоянной.
Пусть теперь исходная область есть кольцо, т. е. 1г >0.
В этом случае ищется периодическое с периодом 2я решение
уравнения A2), удовлетворяющее на сторонах г = 11 и г = Ьх
одному из краевых условий первого, второго или третьего рода.
Приведем вид краевого условия третьего рода на внутренней
стороне кольца
*иу + ^=*Г"-*Г(ф). г==/1> B4)
где хг(ф)>0.
Если заданы краевые условия второго рода B1), B4) с х± (ф)=0,
то решение поставленной задачи существует, если выполнено
условие
2л I! 2л
$ 5 г/ (г, Ф) Лг Ар + $ [Ьа! (Ф) + Кёг (Ф)] <*Ф = 0. B5)
0 1Х 0
В этом случае решение определено с точностью до постоянной.
Если область есть кольцевой сектор Aг > 0, Ь2—/2<2я), то
ставится задача о* нахождении решения уравнения A2),
удовлетворяющего на сторонах прямоугольника О одному из
условий первого, второго или третьего рода, в частности условиям
555

B1), B4) при г = 1х и г = 1г и краевым условиям третьего рода
при ф = /2 и ф = 12, х±(г)>0.
Если заданы краевые условия второго рода B1), B4), B6) с
х±(ф)=зО, к±(г)^0, то решение задачи существует, если
выполнено условие
\ \ г/(г,ф)Лгйф+и^18? + /хвгг)йф+$^ + 8?)^ = 0, B7)
/• к 1% к
При этом решение не единственно и определяется с точностью
до постоянной.
§ 2. Решение разностных задач в цилиндрической
системе координат
1. Разностные схемы без смешанных производных в осесим-
метрическом случае. Рассмотрим краевые задачи для
эллиптических уравнений, не содержащих смешанные производные,
в цилиндрической системе координат в случае осевой симметрии.
В прямоугольнике С = {/1<г<1х, /а <;*<{,„ /х>0}
требуется найти решение уравнения
7|(^)+|(*4"Н"-~^*>' <'.*>«О- A)
удовлетворяющее на границе прямоугольника 5 следующим
краевым условиям:
1) на стороне г = /х, /3<2<Ь3>
и (г, г) = Ё1 (*). если 1Х > 0, B)
или
*ха? — хГы—ЯГ (*), если 1г > О,
/5//
Нт гкг ^- = 0, если 1г = 0;
C)
2) на стороне г = Ьг, 1$<^г^.Ь3,
и{г,г) = ^х{г) D)
или
-*1 !?•-*?«—в? (г); (б)
556

3) на стороне г = 13> 11^г^Ь19
и(г,г) = 8;(г) F)
или
Ь*% = **и—&{ГУ> G)
4) на стороне г = 13, ^^г^^,
*{г9г) = $(г) (8)
ИЛИ
-й,Я = х|и-й*М. (9)
Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям
Л1(г,г)>с1>0, А, (г, 2)>с1>0, ?(г, г)>0,
х±(г)>0, х±(г)>0.
В случае, когда (/ = 0 нх^О в краевых условиях C), E),
G), (9) или ^ ж 0 и заданы краевые условия второго рода E),
G), (9), требуем выполнения условия разрешимости (см. A8) § 1).
Будем рассматривать любые комбинации краевых условий
B) — (9). Построим разностные схемы, соответствующие
указанным краевым задачам.
Введем в области 0 произвольную неравномерную
прямоугольную сетку
определим средние шаги
Г0,5ЛаA), т = 0,
^а(т)-|0,5[Ла(т) + йа(т + 1)], 1<т<#а-1,
|^0,5/1а(^а), т = #а, а=1, 3,
и сеточную функцию одного переменного
1
р @ = г/§ 1<*<.
:м19 Р@)-/тМ1). 'х-0*
Ц, /х>о.
В простейшем случае непрерывных коэффициентов к19 к3, ц
и / коэффициенты разностной схемы будем определять по
формулам
аг (*\ к) = г>х G„ агА), а3 (/, й) = к3 (г,, 1к)9
AA, к) = ц(ги гы), фA, к) = }(г19 гЛ),
где 71 = г1—0,5ЛХ@, 7* = **—0,бА,(й),
557

Используя введенные обозначения, аппроксимируем A)
разностным уравнением
7(я10гЪ+(оу/;)г— Лу = —<Р, 1</<#х— 1,
1<&<#8— 1. ( '
Краевые условия первого рода B), D), F), (8)
аппроксимируем точно:
у@,к) = ёТ(ч)> 0<й<ЛГ3, A1)
У (#х, к) = &{гк), 0О<#3, A2)
У С 0) = ёв(г{), 0<1<#г, A3)
УA,Щ) = ^(г{), 0<1<^. A4)
Разностный аналог краевых условий C) имеет вид
^г/г + (а3^-(^ + ^)у = -ф~^-, 1 = 0, A5)
где 1<&<М3—-1 и хг=§Г = 0, если 1г = 0. Краевые условия
E), G), (9) аппроксимируются следующим образом:
где 1</г<#3—1,
|««*>? + ^-Л-(«1+^I-—»-^. *-0. 07)
где 1^ I ^ Ых—1. Здесь использованы обозначения а$1=а1A+1 %к)А
а$1 = а8A,к+1)-
Если на пересекающихся сторонах прямоугольника О заданы
краевые условия третьего рода, то в угловых узлах сетки со
ставятся краевые условия
B0)
1 = 0, к = И„ B1)
* = #1( /г = Л^8. B2)
558

Как и раньше, если 1г = 0, то в A9) и B1) следует положить
Заметим, что разностная задача A0), A5) — B2) с краевыми
условиями третьего рода на каждой стороне прямоугольника О
может быть записана в компактном виде
Ау = — /, 0<;<#1( 0<й<ЛГ8,
Л = Л1 + Л3, / = ф + фА + Ф3/4|>
B3)
где
ф1 (г, й)={ 0, 1<1<^!—1, Фз(»Д) = {
( 8Г. * = 0,
О, 1-<й<#, — 1,
B4)
а разностные операторы Лх и Л3 задаются формулами
Ку=\ |(ад-)?-^, 1<;<^-1, B5)
А3у = \ (а3у-),-<13у, 1<й<ЛГ,-1, B6)
Здесь йг+йз^й, ^>0 и йз>0.
Найдем условия разрешимости разностной схемы B3) в
случае й = 0 и х„ ==0, а=1, 2.
В пространстве Я сеточных функций, заданных на <о,
определим скалярное произведение по формуле
ы1 N.
(и.»)=2 2«М)»М)р@Й!@К (к). B7)
Определим операторы Аг и А3, действующие в Я, полагая
Аа = — Ла, а = 1, 3. Тогда разностную схему B3) можно
записать в виде операторного уравнения
Ли = /, А = АХ + АЬ.
B8)
559

Используя первую разностную формулу Грина, найдем для
случая ^ = 0 и %а е==0, что
(Аиъ V) ~ 2 2 К @ К (к) (ам>Л{к +
+ 2 2^ @ К (к) р @ (а%ил Iк = (и, АЬ).
Следовательно, оператор А самосопряжен в Я и неотрицателен,
причем {Аиу и) = 0 лишь в случае, когда «(/, й) = сопз1 ита
иA, /г) ^= 0. Отсюда в силу неравенства Коши—Буняковского
(Аи, ыJ<(Ли, Аи)(и, и)
следует, что Аи^О для ифО, если и есть константа на со.
Таким образом, ядро оператора А состоит из сеточных
функций, равных постоянным на сетке со. Поэтому задача B8)
разрешима, если выполнено условие (/, 1)^=0 или, в силу
определения /,—условие
2 2 рф*А + 2 ** (Рвг+р&+) + 2 *1р Ш+ёП - о. B9)
Условие B9) есть разностный аналог условия A8)
разрешимости дифференциальной задачи, соответствующей разностной
задаче B3).
Если условие B9) выполнено, то решение задачи B3) в
случае ^=0 и Иа=0 существует, но не единственно, два любых
решения отличаются на постоянную. Поэтому одно из
возможных решений можно выделить, фиксируя значение у(ь>к) в
каком-либо узле сетки со.
2. Прямые методы. Рассмотрим случай, для которого
разностные задачи A0)—B2) могут быть решены одним из прямых
методов, изложенных в главах III и IV.
Пусть коэффициенты к1У к3 и ц уравнения A) не зависят
от г, т. е. к = кх(г)у к9 = к$(г), <7 = <?@» в краевых условиях
третьего рода C), E) коэффициенты х? и хг постоянны, а в
условиях G), (9) х3- = х3+ —°.
Допускаются любые комбинации краевых условий B) — (9).
Предполагается, что сетка со равномерна по г, т. е, к9(к)=-=к99
и может быть неравномерной по г. При указанных
предположениях разностные задачи A0) — B2) могут быть решены либо
методом полной редукции, яибр комбинированным методом
неполной редукции и разделения переменных.
Проиллюстрируем возможность применения прямых методов
на примере, в котором на сторонах г = 1г и г = Ьг заданы крае-
Ш« условия третьего (второго) рода C), E), а при г = /8 и
т

г==Ь3— второго рода. Другие комбинации краевых условий
рассматриваются аналогично.
Разностная схема, соответствующая поставленной задаче,
имеет вид B3). В силу сделанных выше предположений
коэффициенты разностной схемы определяются по формулам (ср. п. 1)
а1 = а1@=='ГЛ(^)» Я8 = в8@ = Мг/)» <* = <*@ = 9 (О). так ЧТ0
а%1 = а3. В определении B5) разностного оператора Лх выберем
й1 = с1, а в формулах B6), задающих оператор Л3, положим
>к- = к$ = 01 с13 = 0. Так как сетка со равномерна по г, то в B6)
разностное выражение (а3Уг)я слеДУет заменить на а3у-г.
Сведем теперь разностную задачу B3) к системе
трехточечных векторных уравнений. Для этого введем вектор неизвестных
Гк = (у@, к), у(\9 к), ..., у(Ы19 к)), 0<й<#3,
содержащий значения искомой сеточной функции на /г-й строке
сетки со, и вектор правых частей
^* = (во/@, к), &Л1, к), ..., ЬыЛР» *)), 0</г<#3,
где Э/ = А|/а8@» О^л^Л/^. Определим квадратную матрицу С,
полагая
СГ, = (BЯ-еАЖ0, Л), .... BЕ-вМ1А1)у(М1> к)).
Используя эти обозначения, разностную задачу B3) запишем
в векторном виде
СГ0-2Уг = Р09 * = 0,
-Уш^+СУк-Ук+1 = РН9 1<*<АГ1-1§ C0)
2Г^-1+СГъ = Р^, * = ЛГ*.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить
каждое уравнение схемы B3) на (—0;) и перейти к векторной
записи.
Напомним, что метод полной редукции для системы C0) был
построен в п. 1 § 4 гл. III. Комбинированный метод неполной
редукции и разделения переменных был рассмотрен в п. 2 § 3
гл. IV. Здесь отличие от рассмотренных в главах III и IV
примеров заключается в ином определении оператора Лх. Но так
как разностный оператор Лх по-прежнему трехточечный, то это
отличие не влияет ни на конструкцию этих методов, ни на
характер зависимости числа арифметических операций от числа
узлов сетки со. Если Ы3 = 2пг то число арифметических операций
для указанных методов оценивается величиной О (М1М3\о^2М8).
В заключение отметим, что применение комбинированного
метода с выделением одного из решений в вырожденном случае
(й = 0, хг = х;|" = 0) подробно описано в п. 2 § 4 гл. XII для
декартовой системы координат.
3. Метод переменных направлений. Рассмотрим теперь
частный случай задачи A) — (9), для которого к1 = к1(г), к3 = к3(г),
<7 = соп51, к^ = сопз1, а=1, 3, а на сторонах прямоугольника С
19 А. А. Самарский, Е. С. Николаев 861

задана любая комбинация краевых условий B) — (9). В этом
случае переменные в задаче A) — (9) разделяются.
Предполагается, что сетка со — произвольная, неравномерная
по каждому направлению. При сделанных предположениях
разностные задачи A0) — B2) могут быть решены методом
переменных направлений с оптимальным набором итерационных
параметров, который приведен в главе XI для случая декартовой
системы координат.
Проиллюстрируем применение этого метода на примере, в
котором на сторонах прямоугольника С заданы краевые условия
третьего рода C), E), G), (9). Разностная схема,
соответствующая задаче A), C), E), G), (9), имеет вид B3), где операторы
Лх и Л3 определены в B5), B6),_а коэффициенты а19 а3, йг и й3
задаются формулами «1@==ГА (г/)» л8(й) = й8(гЛ), ^ = ^ = 0,5^,
В п. 1 было показано, что разностная задача B3) может быть
записана в виде операторного уравнения B8)
Аи = и А = А1 + А8
в гильбертовом пространстве Н сеточных функций, заданных на со.
Укажем основные свойства операторов Аг и А3\
1) операторы Аг и А3 перестановочны, А1А9 = А9А1\
2) Аг и А3 — самосопряженные операторы, (Ааи, V) = (и, Аар);
3) операторы А± и А3— неотрицательные ограниченные
операторы, т. е. для любого и^Н выполнены неравенства
Ми. «)<D"| и)<Да(и, и),
6а>0, Да>0, а=1, 3. C1)
Действительно, перестановочность операторов Ах и А3
следует из структуры операторов Аг и А3 и предположения
относительно коэффициентов к19 к3, ц и %±.
Далее, используя определение B7) скалярного произведения
в Я и разностные формулы Грина, получим для Аг и любых
и, ю^Н равенство
(Аги9 *>)= 2 2 Й1@*8(*)(«1^^)/А + ^1(^, ^) +
N.
+ 2 К (к) [нгрда |/=0 + к+рот |,=^1] C2)
&=0
и аналогичное равенство для А3
(А3и, Ь)= 2 2 Р(ОМОМ*)(Я8И;0;)/А +
+а3(и, V) + 2р@К@[и;™и=о + **м\ынш]. (зз)
1 = 0
662

Меняя местами и и я, убеждаемся в самосопряженности
операторов А1 и А3.
Если положить здесь и=я и учесть условия Л^^Х),
й3^^>0> <7^0» Иа^О, а=1, 3, то найдем, что операторы А%
и А3 неотрицательны, т. е. (Ааи, и)>0. Если выполнено
условие
4 + ("а)а + «J ФО, а = 1, 3, C4)
то соответствующее ба положительно. Пусть C4) выполнено.
Дадим оценку для ба снизу*
Из леммы 16 главы V для фиксированного 4, 0^1 <Л^, получим оценку
Л'* ий
в» 2 *• (*)  С *) < 2 *« (*) «з (*) «; (/. *) +
+ <*з 2 *з № и2 (/. 6) + *з" (/, 0)+к?и* (/, #3), C5)
где 1/ба= П1ах а(#), V(к) есть решение краевой задачи
C6)
Так как выполнено условие C4), то решение вадачи C6) существует и
единственно. Умножая теперь C5) на р (/) %\ (I) и суммируя по Ь от 0 до Ы^
получим неравенство 63(и, и)<,(А8и, и). Решая численно задачу C6),
определим 83. Итак, постоянная_63 найдена. Аналогично оценивается постоянная
6*: 1/бх= тах V @, где о(*)—- решение краевой задачи
О < I < Л/,
-^^~^1 + ^-^ = -1. ' = 0, C7)
Получим теперь оценки для Д$ и Д§* Из C3) при и — ь найдем
Май. «)= 2Р (/)** @ 2 Н*(к) аз(*>м- ('• *)+
-Из 2 *•(*)«"('. *) + Кз~«2('. 0)+х2"«1« (*я #з) .
*=о ^
19* 563

Оценим шражение, стоящее в квадратных скобках* Из леммы 16 главы V
получим
N.
[М* 2 *%
2 а3 (к) и- (*, к) к3 {к)+ 2 &з (*) «а (*, Л)], C8)
/г=1 г /г=0
где ^1= тах до(/г)> а до (#)—решение краевой задачи
(а3до-)~ — до = — ^з» 1 «^ 6 < Л^з—1»
C9)
*3
Используя лемму 17 главы V, будем иметь
2 «з (««- (/. к) Н3 (к) < т2 ^ *• <*)  </. *). D0)
где
У Д»М) Д»A) тяу 2 Гд3(*) , М*+1I\
§~ V «(^ ' й(о> * 1<Г^1^(^)^м^)+мгрг)^^•
Из C8) и D0) следует оценка
2 м*)м*)и-(*\ ^)+^з 2 *» (*)"*('• ^)+>«^2(^ о)+
#з
+и?ия(*, Л'з)<Д3 2 Ь*{Ь)и*A9 к), Д3 = ет1 + т2 A + тг).
Умножая полученное неравенство на р @ &1 (г) и суммируя его по г от 0
до #1, будем иметь оценку (А3и, и)«^Д3(м, и)-
Аналогичным образом находится Д?: Д$ = т! +т2 A +т^, где
т±= тах до (/)> ДО @ —решение краевой задачи
р-(«1*0';); —»*= — *. 1<*<Л^ —1,
Р
D1)
причем
« / «1(^1) «1A)
ЫЛ1)**(ЛЮ р@)М@)
1<*<лг,-1 р (/)*! (О К I')" Й1 (»+») V
664

Решая численно задачу D1), определим /я* и, следовательно, Д*. Таким
образом, постоянные ба и Да, а=1, 3, фигурирующие в неравенствах C1),
найдены.
Напомним, что итерационная схема метода переменных
направлений для операторного уравнения B8) имеет вид (см. гл. XI)
В^Е^Г + АУ^^ *-«>, 1 Л€Я,
Вк = «Я + Аг) №>Е + А9), тк = о#> + 43).
В п. 4 § 1 гл. XI для итерационной схемы D2), операторы А1
и А3 которой удовлетворяют перечисленным выше свойствам
1)—3), был построен оптимальный набор параметров сор и со^2),
&=1, 2, ..., п. При использовании этого набора параметров
относительная точность е>0 Цуп—иЦоОЦ^/о—и\\в, Д = Л, Е)
достигается, если выполнить п^п0(е) итераций, где
По(е) = ^г1п-1пт, Ч-1тр5. «-У (Д1+б8)(Дз+ад-
Набор оптимальных параметров оэр и со^2> для случая второй
краевой задачи (^=0, и« = 0) был построен в п. 1 §4 гл. XII.
4. Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра.
Рассмотрим теперь метод решения разностных аналогов
краевых задач для эллиптического уравнения без смешанных
производных, заданного на поверхности цилиндра радиуса /?.
Ограничимся рассмотрением замкнутой по ср поверхности цилиндра,
так как методы решения задач в случае незамкнутой поверхности
ничем не отличаются от методов решения плоских задач в
декартовых переменных.
Итак, в области 0 = {/2<ф<12, /3<г<^$ Ь2—/а = 2я}
ищется решение уравнения
^(^ЙНя^!)-^"-^ *). <Ф. *)€0. D3)
периодическое по ф с периодом 2я, удовлетворяющее на
сторонах г = /8 и г = 2,з либо краевым условиям первого рода
и(ф. *) = & (ф) ПРИ « — 'и Иф> г)=вв«(ф) ПРИ 2==^8> либо
второго или третьего рода
^"ЗГ^ЧГИ—&Г(ф), 2==/й1
Г D4)
либо любой их комбинации. Предполагается, что коэффициенты
удовлетворяют условиям
*|(фэ *)><*> 0, й3(ф, г)>сх>0, ?(ф, г)>0, х?(ф)>0.
565

В области О введем прозвольную неравномерную сетку
ю = {(<Р/> *&)€0, Ф/ = Фу-.1+Л2(/), 1</<#2, ф0 = /2,
и определим средний шаг
* т_1 0,5[М1)+МВД / = 0,
*«1"-\ 0,5[А1(/) + М/+1)], 1</<^§-1. ^
Средний шаг %3 (к) определен выше.
Уравнение D3) с учетом условия периодичности
аппроксимируем следующим образом:
(я2Уф)ф+(Яз#;)—^ = -Ч>> 0</<ЛГ2-1, 1<&<#3-1, D6)
где использованы соотношения у(], к) = у(Ы2 + ]\ к), / = 0, —1,
а2@, к) = а2(Ы2, к), КФ) = К{^^^ являющиеся следствием
условия периодичности. В случае гладких коэффициентов к2,
к3, 9 и / коэффициенты в уравнении D6) можно выбрать,
например, так:
М/. *) = т^*.(фу —0.5Л.(/), Ч)> <*(/. *) = ?(ф/. **).
М/. *) = МФ/. гЛ—О.БЛ, (Л)), Ч>(/, й)-=/(ф,, гА).
Краевые условия первого рода аппроксимируются точно
»(/. 0) = Л-(Ф/)| * = 0, */(/, ЛГ3) = 2з+(<Р/)> * = ЛГ, D7)
для 0^/<М2—1, а разностный аналог краевых условий D4)
третьего рода имеет вид для 0^/^#2 — 1:
D8)
В задаче D6), D7) неизвестными являются значения у (/, к) для
0</<#,—1, 1<6<#з— 1, а в задаче D6), D8)—для тех
же значений / и 0^/г^Л^3.
Найдем условие разрешимости разностной задачи D6), D8)
в случае, когда е( = 0, х* = 0. Сначала запишем схему D6),
D8) в виде
Л0 = -Л 0</<ЛГ2-1, 0<й<#3,
л=л2+л3, /=1|5+^А, К '
где разностный оператор Л3 определен в B6) с й3 = й, оператор
Ла задается формулой Л2г/ = (а2«/-)-, 0</<#а— 1,
(&-(ф/), Ь = Э,
»,(/, *)={ 0, Ю<Л7а-1,
1Й(Фу). * = #..
566

Пусть теперь ^=0 и х^^О. Обозначим через Я
пространство сеточных функций, заданных на со* = {(сру, гл)(=со, 0</<
^Л/^—1, О^й^Л/'з}, скалярное произведение в котором
определим формулой
{и, 0)= 2 2 и(\9 к).*(/, *)*,(/)*,(*)•
/=о &=о
Определим операторы Л2 и А3, действующие в Я, равенствами:
А3 = —Л3, А2у = — А2у, где */(/, к) = у{и к) для 0</<ЛГ, — 1,
О^й^Л^з и у удовлетворяет условию периодичности уЦ,к)=*
= */(#2 + /, й), / = 0,-1.
Используя введенные обозначения, запишем разностную
схему D9) в виде операторного уравнения
Аи = и А = А2 + А3. E0)
Учитывая условия периодичности, при помощи разностной
формулы Грина получим
(Аи9 V) = — (Ли, у) = 2 2 ^3 (й) /12 (/) (а, а^р-)у* +
&=0 /=0 х ^ ^
#3 Ы2-\
+ 2 2 ^(/)Лв(Л)(ав^)уЛ=(и, Ао).
&= 1 /=0
Следовательно, оператор А самосопряжен в Я. Кроме того,
рассматривая значения (Аиу и), найдем, что ядро оператора А
состоит из сеточных функций, принимающих на сетке со*
постоянные значения. Поэтому решение разностной задачи D9)
существует, если выполнено условие (/, 1) = 0. Подставляя сюда /
из D9), получим
2 2*. (Л *.(*)* (/.*)+ 2 *.(/)[вг.-(Ф/)+й-(ф/)] = о.
/=0 к=0 /=0
При выполнении этого условия решение разностной задачи D6),
D8) при A=0 и из" = 0 существует и два любых ее решения
отличаются на постоянную.
Рассмотрим случаи, когда решение разностных задач D6)—D8)
может быть найдено прямыми методами, изложенными в главах
III и IV.
Первый случай. Коэффициенты к2, к3 и ц уравнения D3)
зависят только от ср, х* = соп51 и сетка со равномерна по г.
Разностная задача D6), D8) может быть записана в виде системы
трехточечных векторных уравнений
(С + 2аЕ) У0-2У1 = Р'0, 6 = 0,
-Г^г + СГк-Гк+1^Рк9 Ю<ЛГа-1, E1)
~2К„8-1 + (С + 2р5)Г„8 = /х, к = Ы3,
567

где #з = 2", д>0—целое число,
Ук=(у@,к)> уA, к), ..., у(Ы2-\у к))у
П = (9о/@, Л), 9^A, /г), ..., 6^/(^-1, к)),
СУк = (BЕ-Ъ0А2)у@, к), ..., BЕ-ЪЫл-1^)у(Ы%-\9к))
для 0<&<М3. Оператор Л2 определен выше, /(/, к) задано
в D9) и в/^НЦйъЦ), а = к3щ9 Р = Мз-
Напомним, что в п. 3 § 4 гл. III для решения задачи E1)
при условии а2+р2=^=0 был построен метод полной редукции.
Если а = E = 0, но йщкО, то алгоритм метода изложен в п.1§4
гл. III. Для последнего случая в п. 2 § 3 гл. IV был построен
комбинированный метод неполной редукции и разделения
переменных.
Второй случай. Коэффициенты к29 к3 и ц зависят только
от г, хз"==сопз1: и сетка со равномерна по ср. Разностная задача
D6), D8) записывается в виде системы трехточечных векторных
уравнений
-УМ^1+СУ0-Г1 = Р09 / = 0,
-У^1 + СУ;—У],1 = Р1У 1</<ЛГ,-2, E2)
— Уыг-ъ+СУыг-1—Уо = /7^2-1, / = Л^2—!•
Здесь Ы2 = 2п9 д>0—целое число,
У;=(УA, 0), */(/, 1). ..- У (и *.)),
/=> = (9о/(/, 0), в./у, 1), ..., ЭлтЛЬ М9))9
сг/=(Bе-ввля)у(/1 о), ..., (гя-влАЖ/.лг.)).
где О^/^Л/^—1. Разностный оператор Л3 определен в B6)
с й3 = A и ®к = НЦа2 (к), 0^й^Л?3. Задача E2) может быть
решена методом полной редукции, построенным в п. 2 § 4 гл. III
или комбинированным методом, использующим алгоритм быстрого
дискретного преобразования Фурье действительной
периодической функции. Этот алгоритм построен в п. 4 § 1 гл. IV.
В каждом из рассмотренных случаев прямые методы
реализуются с затратой О (Л^Л/дЯ) действий.
В заключение отметим, что если коэффициенты удовлетворяют
условиям кш = к%(у)9 к3 = к3(г), # = соп51, хз:=сопз1> а сетка
неравномерна по каждому направлению, то для нахождения решения
задачи D6), D8) можно использовать метод переменных
направлений с оптимальным набором параметров:
В^Щ^+Ау^}, *~0, 1, .... Уо$Н,
Вк = Н*Е + А2)Н*>Е + А3), тЛ = юр + ©р.
Здесь оператор А3 = — Л3, А2у = — А2у9 где разностный
оператор Л3 определен в B6) сйд = 0,5й, аЛ2у=(а2^-0,5ф.
Постоянные 8а и Да, являющиеся границами оператора Ла,
668

оцениваются следующим образом: б3 и А3 найдены в п. 3 § 2,
постоянная б2 находится точно: б2 = 0,5с?, а в качестве Д2 можно
взять
Д - шах Г 2 Л*2(/) 1 М/+1)\ , <П
§ 3. Решение разностных задач в полярной системе
координат
1. Разностные схемы для уравнений в круге и кольце.
Рассмотрим методы решения разностных схем для эллиптических
уравнений без смешанных производных в полярной системе
координат. Сначала изучим случай, когда область, где ищется
решение, есть круг или кольцо в декартовой системе координат.
В полярной системе координат указанным областям соответствует
прямоугольник С = {/1<г^Ь1, /2^<р<^2, /^0, Ь2 — /2 = 2л}.
Требуется найти решение уравнения
Т^-К^)+^^М")-^ = -/. (г, „)€<?. A)
являющееся периодическим по (р с периодом 2я и
удовлетворяющее на границе прямоугольника С условиям:
1) при г = Ь19 /2^ф</,2 либо краевым условиям первого
рода
* (г, Ф)=#1+(Ф), B)
либо второго или третьего рода
— *1-дг==*?и—бГ(ф); C)
2) при г = /х > 0, /2^Ф^^2 либо краевым условиям первого
рода
и (г, ф)=ЙГ(ф). D)
либо второго или третьего рода
*1^виги—вГ(ф); E)
при г = 1± = 0 ставится условие
НшгА^-О, F)
выделяющее ограниченное решение.
Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям
М'. 4>)>с1>0, к2(г, ф)>с1>0> <7(/\ ф)>0, >с1±(Ф)>0.
Будем рассматривать любые комбинации краевых условий
B)—E). Построим разностные схемы, соответствующие
указанным краевым задачам.
569

В области О введем произвольную неравномерную
прямоугольную сетку
юН(г/. Ф/)€0, /•, = /•,_!+МО. 1<«<^1, г, = /1#
Гы^Ьц <Р/ = фу-1+Л2(/). 1</<^2, Фо = /2, Флг, = 1а}.
Средний шаг ^B) определен в п. 1 § 2, а шаг &,(/)—в п. 4 § 2
формулой D5). Определим сеточную функцию р(*):
р@Ч
к + ^КМ, ( = 0,
П + т [К С + 1)-К (I)], 1 < / < ЛГХ_1, G)
^-тМ^х). »' = #х-
В простейшем случае непрерывных коэффициентов к19 к2, ц
и / коэффициенты разностной схемы будем определять по
формулам
М'. 1) = Пкг(г(, Фу), а2Aу }) = к2(г19 фу),
<*('. /) = ?(^» Фу). ♦(*. /) = /@. Фу).
где ?,==/•,—0,5/^@, Фу = Фу — 0,5Ла (/).
Используя введенные обозначения, аппроксимируем A)
разностным уравнением
Лу = ~ (а^;)? +^ (а2у-)$ -йу = - г|),
1<г<А^1— 1, 0</<#,— 1.
Здесь для компактности записи использованы соотношения
УA* 1)=У(*> ^2 + /), / = 0,—1, а2(/, 0) = а1A, #2),
Л.@) = Л1(^1), ^
являющиеся следствием условия периодичности.
Краевые условия B), D) аппроксимируются точно
У(Н19 /) = «?(Фу), У@, /) = вГ(Фу), 0</<ЛГ2-1. A0)
Разностный аналог краевых условий третьего рода C), E) имеет
вид (для О^/^Л^— 1)
*-&*+?<'«а~('+$)»--'»-ЗЬ '-0- <12>
Здесь использованы соотношения (9).
Осталось построить разностное краевое условие на стороне
г = 1г для случая, когда 1г = 0. Так как все узлы, лежащие на
570

стороне г = 0, отождествляются, то
У@, /) = Л, 0</<ЛГ1-1. A3)
Далее, так как начало координат является внутренней точкой
круга, то, записывая уравнение A) в декартовой системе
координат и аппроксимируя его на радиально-кольцевой сетке при
условии F), получим
Л^=^ X ^уАш-ъ—ъ '-о, A4)
<*@, /) = <*„, »@, /)==г|>0, 0</<#а-1.
Здесь у0> ^о и г|э0— значения соответствующих сеточных функций
в центре круга.
Итак, в случае круга имеем нелокальное краевое условие
A3), A4) на стороне г = 0 прямоугольника С. Разностные схемы
построены.
Для разностной аппроксимации уравнения A) в окрестности г = 0 часто
используется другая сетка по г, в которой точка г = 0 не содержится;
ю = {(Ч. Фу)€С, Г1=A + 0,Ь)к19 0</<Л/х, г^-1*,
ф/ = Ф/-1+М/)> 1</<#а» Фо = 'я> ФЛГ| = ^2}
(для простоты предполагаем, что сетка по г равномерна).
Тогда агA, /)=7^1(г/, фу), д2 (*• /НМ^*» фу) и т. д., где п^гНр
Уравнения (8) остаются без изменений, а при * = 0 пишется следующее
разностное уравнение:
(здесь г0 = 0,5/11, П.:=Н1)9 которое является аналогом краевого условия
третьего рода.
Условие при г = 0 отсутствует; определить значение у при г«0 из
написанных разностных уравнений нельзя.
2. Разрешимость разностных краевых задач. В п. 1 были
построены разностные схемы, аппроксимирующие задачи A)—F).
Для круга схема задана формулами (8), A0), A1), A4), для
кольца—формулами (8), A0), A2). Исследуем вопрос о
разрешимости указанных схем. _ _
Обозначим через со* часть сетки со: со* = {(г/э фу) 6 ю, 0 ^ I ^ Ыи
0</<Л/'2—1}. Пространство Н состоит из сеточных функций,
заданных на со* и удовлетворяющих дополнительному условию
^@, /) = сопз1, 0</<#2— 1, если /х = 0. Скалярное
произведение в Н определим формулой
(и. <0- %  иA9 1HA. I) Р @ К @ *• (/)•
Б71

Можно показать, что если функция р (I) определена
формулами G), то верно равенство
A, 1) = 0,6A}-/;) (!,-/,) = я («-©• A5)
т. е. квадрат нормы функции, тождественно равной единице на
со*, равен площади круга (/1 = 0) или кольца Aг > 0). Кроме
того, если рассматриваемая область есть круг, то, используя
постоянство по / при I = 0 сеточных функции из Я и равенство
2 Ъ2и) = Ь2—/2 = 2я, можно получить следующее выражение
/=о
для введенного выше скалярного произведения:
ЛГ4 N2-1
(и9у) = р@)Ьх@Jпи&й+'21 % иA, />(/, /)р@**@ *,(/)• A6)
где ио = и@, /), у0 = я@, /).
Исследуем разрешимость разностных задач (8), A1I_A3),
A4) при /х = 0и (8), A1), A2) при/х > 0, если Л = 0, х+=>сг^0.
Запишем указанные выше разностные задачи в виде
операторного уравнения
Аи = 1, A7)
где оператор А определим следующим образом: Ау^ — Лу]
У(*> /) = #('> /)для О^^Л^, 0</<М2— 1 и ~у удовлетворяет
условиям периодичности (9), кроме того, #@, /) = */@,/) = сош1:.
Рассмотрим сначала оператор Л, соответствующий
разностному оператору Л задачи (8), (И), A3), A4). Учитывая, что
первая разностная формула Грина для функций,
удовлетворяющих условию периодичности (9), принимает вид
будем иметь с учетом A6)
{Аи9 и)=—(Ли, V) =*
«= 2 М 2 Ка1и'^7 + 2 рА1ЙИ«Г+ ™Г« V \ыъ ) +
+ 2-Т- ЕЛА^- — («, Л^)*=(и, Л»).
Следовательно, оператор А самосопряжен в Я.
672

Для оператора Л, соответствующего разностному
оператору Л задачи (8), A1), A2), получим аналогичное равенство
(Аи, V) =
= 2 К[ 2 Ка\и^7 + 2 рЪ1йиЪ+г*.1иЪ\ыь + гкХио\ын1 ) +
1 = 0 ^ /=*0
из которого следует самосопряженность оператора А.
Если й = 0, х± = 0, то из самосопряженности оператора А,
неравенства Коши—Буняковского (Аи9 и)^\\Аи\\\\и\\ следует,
что ядро оператора А состоит из сеточных функций, равных
постоянной на сетке со*. Поэтому условие существования
решения операторного уравнения A7) имеет вид (/, 1) = 0. Для
задачи (8), A1), A3), A4) ему соответствует условие
2 2 Ф ('. /) Р @ К @ К (/) +1*1 2 К (/) А (Фу) - 0, A8)
являющееся разностным аналогом условия B3) § Ь Для
задачи (8), A1), A2) условие разрешимости имеет вид
2Л21*(^/)р@*1@*.(/)+ 2 А.(/)[^^(Фу)+/1вг(ФУ)]=о
1=0 /=0 / = 0 '
и является аналогом условия B5) § 1, обеспечивающего
разрешимость соответствующей дифференциальной задачи для
кольца.
Если указанные условия выполнены, то решения
рассмотренных задач существуют и любые два решения отличаются
на постоянную. Нормальное решение этих задач удовлетворяет
условию (у9 1) = 0.
Пусть у—одно из решений, которое можно найти,
например, фиксируя искомое решение в одном узле сетки. Тогда,
учитывая равенство A5), получим, что функция
У У пAА-И) У A, 0
является нормальным решением.
Замечание. Если определить сеточную функцию р(*)
формулами
Р(«)-Г1, КК^. р@) = | ^ /1>0>
673

то изменится лишь равенство A5) для случая, когда ^ = 0.
В этом случае будем иметь
A, П-^+^й „-„(« + %).'
3* Принцип суперпозиции для задачи в круге. Решение
разностных задач в круге осложнено наличием нелокального краевого
условия A4), задаваемого при 1 = 0. Заметим, что если задача
вырождена, а условие разрешимости A8) выполнено, то одно
из решений удобно выделять, фиксируя его значение в центре
круга, т.е. задавая у@, /) = у0> 0^/^ДО2— 1. В этом случае
условие A4) не используется, и полученная задача с
заданным у0 аналогична задаче, поставленной для кольца с краевым
условием первого рода на внутренней окружности. Пусть теперь
разностная задача (8), (И), A3), A4) не вырождена. Покажем,
что ее решение можно найти, решая две вспомогательные задачи
с локальными краевыми условиями первого рода при 1 = 0,
0</<#2— 1.
Будем искать решение задачи (8), A1), A3), A4) в виде
У((, 1)^A, 1) + у0и)A,1)9 0</<^, 0</<#2-1, A9)
где г/0 — значение искомого решения в центре круга, а V(^^])
и т (*• /) удовлетворяют условиям периодичности
VII, 1)^A, Ыл+]), »(*./) = »('.*,+ /), / = 0,-1
и являются решениями следующих краевых задач:
0</<#я— 1,
о@. Л«= 0, 1 = 0,
B0)
Лву = ±(аф)? + ^ («у»-) - —Жю = 0, 1 <I<Ых-1,
0</'<#2— 1,
ш@,/) = 1, / = 0,
B1)
Очевидно, что функция у, определяемая согласно A9),
удовлетворяет уравнению (8) и условиям A1), A3). Осталось
определить у0. Подставляя A9) в неиспользованное еще условие A4)
674

и учитывая краевые условия для V и до, получим
#2-1 1
1 /=о ]
#2-1
/=0
/=0
1 = 0
Покажем, что знаменатель в B2) отличен от нуля. Для этого
умножим уравнение B1) скалярно на до. Используя краевые
условия для до, соотношения периодичности и разностные
формулы Грина, получим
N1-\N2-1 N2-1
о==22 (л^) щКК = — 2 К №4 к=о+^до* \ымд—
1=1 /=0 /=0
Ых N2-1 N^ N2-1
51 /=о ЙГ? /=о 1 р ф -•
Так как функция до отлична от постоянной, с/^0, аа^^>0,
а=1, 2, и х^>0, причем # + (х1)а=^0, то отсюда получим,
что
N2-1
2 а}^|м<0
/=о
и, следовательно, знаменатель в формуле B2) отличен от нуля.
Итак, решение исходной задачи (8), A1), A3), A4) сведено
к решению двух задач B0) и B1) с локальными краевыми
условиями и нахождению у0 по формуле B2). Искомое решение у
находится по формуле A9).
Отметим, что если на стороне г = Ьг задано краевое условие
первого рода у(Ы1У /) =^+(еру), то для функций о и до вместо
условий третьего рода в B0) и B1) следует положить V(N1У /)==
= 21 (Фу) и И#!,/) = 0 для 0</<#а—1. Формула B2) для
у0 сохраняется. Если коэффициенты к1У к2У д и х[ не зависят
от ф, то не зависит от ср и решение до задачи B1). В этом
случае для функции до мы имеем одномерную задачу
±(а1м7уг-(Ь = 0, К^Л^-1,
до@, /) = 1, 1 = 0,
которая решается методом прогонки.
4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце. Из
сказанного выше следует, что достаточно ограничиться
рассмотрением методов решения разностных задач (8), A0)—-A2).
575

Сначала изучим случай, для которого указанные разностные
задачи могут быть решены одним из прямых методов,
изложенных в главах III и IV.
Пусть коэффициенты к19 к2 и # уравнения A) не зависят
от ф: к1 = к1(г), к2 = к2(г), ^ = ^(г). Такая ситуация имеет место
для уравнения Пуассона в полярной системе координат. Пусть,
кроме того, в краевых условиях третьего рода A1), A2) х^ и
х^—постоянные. Предполагается, что сетка со равномерна по ф,
т. е. /12(/) = /12, и может быть неравномерной по г. При
указанных предположениях разностное уравнение (8) с любой
комбинацией краевых условий A0) — A2) может быть решено либо
методом полной редукции, либо комбинированным методом
неполной редукции и разделения переменных.
Проиллюстрируем возможность применения прямых методов
на примере, в котором на сторонах г = /х и г = Ьг заданы
краевые условия третьего (второго) рода A1), A2). Другие
комбинации краевых условий рассматриваются аналогично.
В силу сделанных предположений коэффициенты разностной
схемы определяются по формулам
аг @ = г>х (г,), а2 @ = к2 (г,), й(I) = ц (г,.),
и так как сетка со равномерна по ф, то разностный оператор
(<У/ф)ф заменяется на а2#-ф.
Сведем разностную задачу (8), A1), A2) к системе
трехточечных векторных уравнений
-Кл^+СКо-П^, / = 0,
-Г^+СЪ-Ъ+^Г,, 1</<ЛГ,-2, B3)
— Уи%-г + С Уы2-1 — У а = /^2-1, / = М2 — 1 •
Здесь для О^/^Л/'з—1 использованы обозначения:
Ъ = {у@,1),уA,1),...9у(Н1,1)),
/7 = (9о/@,/), 9^A,/), ...,9м/(^,/)),
СГу = (B5-ввЛ1)у@| /), ..., BЕ-в/,1А1)у(Ы19 /)),
где
/ ('• /) = ^
Р @) Й1 @)
Ф('./). 1<^<^-1, B4)
Р М) ГЬ\ №)
576

разностный оператор Л1 действует следующим образом:
Л2г/ =
| ±(а#уг-Ау, 1««№х-1, B5)
и, наконец, 0г. = р2@/г!/а2(О, 0</<Л^1.
Система B3) получается из (8), A1) и A2) умножением
каждого уравнения на соответствующее 6,- и переходом к векторной
записи.
Напомним, что алгоритм метода полной редукции для
системы B3) описан в п. 2 § 4 гл. III. В комбинированном методе
используется алгоритм быстрого дискретного преобразования
Фурье, который приведен в п. 4 § 1 гл. IV. Эти методы
характеризуются оценкой О (Л^Л^ 1о§2 #2) арифметических действий
при Ы2 = 2п.
5, Метод переменных направлений. Пусть теперь
коэффициенты в уравнении A) и краевых условиях C), E)
удовлетворяют условиям к1 = к1(г)9 к2 = к2((рI ^ = соп51, х* = соп54, т.е.
для задачи A), C), E) применим метод разделения переменных.
Предполагается, что сетка со неравномерна по каждому
направлению. Рассмотрим разностное уравнение (8) с любой
комбинацией краевых условий A0)—A2). При сделанных
предположениях переменные в разностной схеме разделяются, и ее
приближенное решение может быть найдено при помощи метода
переменных направлений с оптимальным набором итерационных
параметров.
Для примера рассмотрим задачу (8), A1), A2) с краевыми
условиями третьего рода при г = 1± и г =Ьг. Запишем эту задачу
в виде
Ау=— /, СХл^Л^, 0</<#а — 1,
_ _ _ B6)
Л-^ + Л,, / = р»/,
где Л1==р2Л1, оператор Лх определен в B5), оператор Л2 задается
равенством \2у = (а2у-)~, причем выполнены соотношения (9),
а правая часть / определена в B4). Уравнение B6) получено
из (8), A1) и A2) умножением на р2.
В силу сделанных предположений коэффициенты разностной
схемы B6) выбираются по формулам ах (ь) = г(кх (г,-), й2 (/) = &2 (еру),
й = <7 = соп51.
577

первого рода. Постоянные 8а и Ай оцениваются так же, как
в рассмотренном ранее случае, только в C0) и C2) краевые
условия третьего рода следует заменить на условия а@) = 0,
V(N1) = 0 и и;@) = 0, ИЛ^НО.
В заключение отметим, что при ^ = 0, х^^О задача (8), A1),
A2) вырождена, и если выполнено условие разрешимости
то задача имеет неединственное решение. Для этого случая
набор параметров а>#} и со^2) для метода переменных
направлений B9) построен в п. 1 § 4 гл. XII.
6. Решение разностных задач в кольцевом секторе.
Рассмотрим методы решения разностных краевых задач для
эллиптического уравнения без смешанных производных, заданного
в кольцевом секторе.
В области 0 = {/1<г<11, /2<ф<12, 1г > 0, Ь%—/2<2я}
требуется найти решение уравнений A), удовлетворяющее на
сторонах г = 1г и г = Ьг одному из краевых условий B)—E), а
на сторонах ф = /2 и ф=/,2 одному из условий
И ('. ф) "-«"(О. Ф = /1 C4)
или
•^-Э^-хГи—в?(г). ф«/„ C5)
и(',ф)-8*@. Ф = ^> C6)
или
Предполагается, что коэффициенты удовлетворяют условиям
^(г, ф)>с1>0, А1(г,ф)>с1>0, <?(г, ср)>0, х?(ф)>0,
к?(г)>0. _
В области 0 вводится произвольная неравномерная
прямоугольная сетка со (см. п. 1 § 3):
а - {(г„ Фу) € 8Г. О =* 0-1 +МО. 1<1<ЛГг, г0 = /1,
^, = ^. Ф/ = Ф/-1+М/). К/<А(|. Фо = '». Ф*,=М
и определяются средние шаги %гA) и &,(/):
( 0,бЛ«A), т = 0,
*•(«)-{ 0,5[Ла(т)+Ла(/п + 1)], 1<т<АГ«-1,
1о,5Лв(#«). т = #а, а = 1, 2.
680 '

Уравнение A) аппроксимируется разностным уравнением
| {*&)? +р (в^)ф-*—- ♦. C8)
1<1<^—1, 1</<^-1.
Краевые условия первого рода B), D), C4), C6)
аппроксимируются точно:
1^1. /)-#<Ф/). У@, Л"вГ(фу). 0</<ЛГв, C9)
УК, *Г%)=8ЦГ1)9 у(', 0)=&-(г,), 0<*<Л^. D0)
Условия третьего рода C) и E), заданные при г***Ьх и г=*119
заменяются для 1</<Л/г2—1 условиями A1) и A2).
Разностный аналог краевых условий C5) и C7) имеет вид
7<'«>+Д*-(,'+^)'--*-& '-°- D1)
7<-°^~&,»~(*+Ж>~*-Х- '-"' <42)
Если на пересекающихся сторонах прямоугольника заданы
краевые условия третьего рода, то в угловых узлах сетки со
ставятся следующие краевые условия:
Зг*+&*-('+3+ЗЬ)'--»-2№ D3)
если * = / = 0;
-й*+д*-('+#+Ф'--*-&-& <44>
если 1* = ^, /==0;
если 1 = 0, / = Л^2; и, наконец,
если 1 — Ыг, / = М2.
Если рассматривается разностная задача C8), A1), A2),
D1)—D6) с й=0 и Иа=0, а=1, 2, то решение существует,
если выполнено условие
2 2 р*1*,* + 2 К №+кет)+2 К (я +§1) - о,
/=(Н=0 /=0 <=0
являющееся разностным аналогом условия B7) § 1
разрешимости соответствующей задачи для дифференциального уравнения.
681

В пространстве Н сеточных функций, заданных на со*,
определим скалярное произведение
<«.*)- 2 2* Щш^»с /) ° с /)• B7)
/=о /=о Н1'
Операторы А1 и Л^, действующие^ в Я, определим обычным
образом: Аау=_—Аау9 где */(*, /) = */(*, /) для О^О'^Л^, 0<
^ / ^ Л^2— 1 и у удовлетворяет соотношениям периодичности (9).
Тогда схема B6) может быть записана в виде операторного
уравнения
Аи = [у А = А1 + А2 B8)
в пространстве Я.
Для решения уравнения B8) используем метод переменных
направлений, итерационная схема которого имеет вид
Вк+1 Ук+т^/к +Аук = 1 А = 0, 1, ..., у0€Н9
Вк = №Е + А№?Е + А2), хк = сор + сор.
Самосопряженность операторов Лх и Л2 в пространстве Я
устанавливается при помощи разностной формулы Грина, а
перестановочность их проверяется непосредственно.
Найдем теперь границы операторов А± и А2, т. е. постоянные ба и Ла,
а=1, 2, в неравенствах
ба(«, и)<(Лаи, ы)<Да(и, и).
Найдем сначала б2 и А2. Так как для функции и (*, /), удовлетворяющей
условию периодичности (9), имеем
1==о /=о
то
л п л ™, ГДа(/+1) 1 М/I 2
б2 = 0, Д2 = тах + , .
0</< АГ.-1 I М/ + 1) Л2(у) ]Ы/)
Здесь были учтены соотношения (9) для а2 и Л2.
Далее, используя аналог леммы 16 главы V, найдем, что бх можно
оценить следующим образом: 1/61= тах ^(^)у где V (*) — решение краевой
о < I < #1
задачи
р^!^)?— ^Р2у=— 1, К* <Л^1—1,
-^1»,-(.<+-2|-)р%--1. 1-0.
C0)
Задача C0) решается методом прогонки.
578

Получим теперь оценку для Д|. Используя первую разностную формулу
Грина и определение B7) для скалярного произведения, найдем
(ЛхИ, и) = — (\ги, и) =»
#,-1 , Г^1 о *! _,
** 2 ^ (/) 2 л* (о а1 о ^ <'• п+а 2 ** (о р ои% <'• /)+
/=0 Ь = 1 1=0
+ №^@, /) +^51(ЛГ,, /)].
Оценим выражение, стоящее в квадратных скобках. Из аналога леммы 16
главы V получим оценку
й 2 *1 № р @ "а ('■ Л+№2 @, /)+!**№ м /) <
; т*
4=1 *=0 А
где /П1= тах а>@, а ш@ есть решение задачи
Р (^1 ®~) ~ —ш = —• ф1, 1 < / < #х —1#
4*'-—D+г>'' '-"•
п г \ Фи
C2)
Далее, из аналога леммы 17 главы V получим оценку
4=1 {«О
где
2 * (о 4(/> л н и < «• 2 ~§ «2 р. я. (зз)
/т№р№ сцA)р@) тяу 2р(/)Гд1@ , МН-1I\
Из C1) и C3) следует оценка
^» . ** _ — _
*- 1 Г 4=0
4 = 0 Р
Умножая это неравенство на %2 (/) и суммируя по / от 0 до #а—-1,
получим (Ахи> и)<А1(«, и)*
Итак, постоянные ба и Аа, а=1, 2, найдены. Напомним,
что формулы для итерационных параметров со^1} и D2) были
получены в п. 4 § 1 гл. XI.
Аналогичным образом строится метод переменных
направлений для разностной задачи (8), A0) с краевыми условиями
679

При этом любые два решения указанной задачи отличаются на
постоянную.
Приведенное утверждение доказывается почти так же, как
это было сделано в п. 2 § 3, для случая круга и кольца. Здесь
скалярное произведение в пространстве Н сеточных функций,
заданных на со, определяется формулой
(и, V) - 2 2 и (I, /) V (I, /) р @ \ (О %2 (/). D7)
1= 0 /= О
Отметим, что коэффициенты а1( а2, ? и функция р{1) в данном
пункте определяются, как и в п. 1 § 3.
Сделаем замечание относительно методов решения
построенных разностных задач. Если коэффициенты к19 к2У ц зависят
только от г, х^ — постоянные, а х^ = 0, если заданы краевые
условия C), E), C5), C7), и сетка со равномерна по ф, то
соответствующие разностные задачи могут быть решены прямыми
методами, построенными в главах III и IV.
Если выполнены^ условия к1 = к1(г), к2 = к2(<р), д = соп$1,
Иа =сопз1 и сетка со неравномерна по каждому из направлений,
то для решения разностных задач можно использовать метод
переменных направлений с оптимальным набором параметров.
В этом случае, так же как было сделано в предыдущем пункте,
разностные уравнения следует предварительно умножить на р2(г).
7. Общий случай переменных коэффициентов. Рассмотрим
теперь случай, когда переменные не разделяются и решение
разностной краевой задачи находится итерационным методом.
Пусть, например, требуется найти решение задачи Дирихле
для уравнения (I) на сетке со в предположениях, что сетка со
равномерна по ф(Л2 (/) = Л2), <7 = 0» а коэффициенты кг и к2
удовлетворяют условиям
0<^<йа(г, ф)<с2, а«1, 2. D8)
При этих предположениях разностная задача записывается
в виде
Лг/ = ~(^7);+^(^ф)(Р«-^ (г, Ф)€©,в D9)
У(г, фНя^ф). ('.ф)€?»
где
<к (*. /) = иК ('„ Ф/). «2 С /) - К (Г{, Фу), E0)
Г/=Г/—0,5/11 @, фу = ф/ — 0,5/!2.
В пространстве Н сеточных функций, заданных на со,
определим скалярное произведение
(«,»)-. 2 2 и(ижи)р(о*1(о*.
<» 1 |= I
58*

и операторы А и #, действующие в Я, Ау =— Ау, #у^ — *ду%
где у (г, у) = у\г, ф) для (г, ф)€со и г/(г, ф) = 0 для (г, ф)€7*
Здесь разностный оператор 5$ определяется соотношением
Используя разностные формулы Грина, можно проверить,
что операторы А и Я самосопряжены в Я и, кроме того, для
любого у$Н имеют место равенства
1=1 /=1 / = 1 *=1 р
ЛГ4 #2-1 #8 N,-1
1=1 /=1 / = 1 1=1 Н
Отсюда и из D8), E0) следует, что операторы Ли/?
энергетически эквивалентны с постоянными у1 = с1 и у2 = с2:
У1ШуХ(Ау>У)<УшШу), ?1>0. E1)
Разностная задача D9) может быть записана в виде
операторного уравнения
с определенным выше оператором А. Для ее решения
используем неявную итерационную схему
ВУк+1-у*+Ауь = Г, к = 0, 1,..., у0$Н, E2)
где В = #.
Из общей теории итерационных методов, изложенной в
главе VI, следует, что если параметры хк+1 в схеме E2) выбрать
по формулам чебышевского метода
т - т°
то для погрешности гп = уп—и будет верна оценка
№я —И|1о<в||Уо —«к.
где Б —А или 2) = 5, 0 = АВ~1А, а число итераций
удовлетворяет оценке
п > п0 (е) = 1п @,5е)/1п рх.
Здесь
Т°~ 71 + 72' Ро~1+|' Р1_ 1+К1" * Т2#
583

Так как 71 и ?2 не зависят от шагов сетки со, то число
итераций пропорционально |1п0,5е| и не меняется при измельчении
сетки.
Для нахождения ук+1 получим разностнУю задачу
Я0*+1 = — Р* (г» Ф) € со, ук+1 = #, (г, ф) € со
с известной правой частью Р = — 5&уЛ + тЛ+1(Л#Л + 1|>). Отметим,
что эта задача удовлетворяет всем условиям, позволяющим
находить ее решение одним из прямых методов, например
методом полной редукции с затратой О (ЫгЫ21о§2 Ы2)
арифметических действий при Ы2 = 2п. Таким образом, общее число
действий, которое необходимо затратить для нахождения
решения рассмотренной разностной задачи с точностью е,
оценивается величиной 0(Л^М21о§2М21пB/е)).
Аналогичным образом могут быть построены, при
соответствующих предположениях, итерационные методы решения
поставленных в предыдущих параграфах разностных краевых задач
в цилиндрической и полярной системах координат.

ДОПОЛНЕНИЕ
Построение полинома, наименее уклоняющегося от нуля
1. В § 2 гл. VI при рассмотрении двухслойных итерационных схем
была сформулирована задача: построить полином степени п, принимающий
в нуле значение 1, максимум модуля которого на отрезке [у19 у2]
минимален.
Решим эту задачу. Нам будет удобно проводить все исследования не на
отрезке [уъ у2]> а на отрезке [—1, 1]. Для этого сделаем линейную замену
переменной, переводящую отрезок у^*^^^у2 в отрезок —1<;х<1, а
точку -у! в точку 1. Эта замена имеет вид
1-Ро* т _ 2 ^1^1 1=11
То ' ° 71 + 72* 1+6* у%*
При такой замене точке / = 0 соответствует точка *=1/р0 > 1.
Таким образом, сформулированная выше задача эквивалентна задаче:
среди всех полиномов степени я, принимающих в точке *=1/ро > 1
значение 1, найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [—1, 1].
Это классическая чебышевская задача теории аппроксимации функций,
решение которой хорошо известно, но нам полезно будет это решение найти
заново. Для этого нам понадобится
Теорема 1. Каковы бы ни были непрерывные на [—1, 1] функции
@(х) > 0 и /(*), существует единственный полином Рп (х) степени не выше п
такой, что
<7Й= шах ц (х) | / (х)~Рп (х)\= пип тах е (х) | / (*) —Кн (х)\.
\ к < п |
Этот полином вполне характеризуется следующим свойством: число
последовательных точек отрезка [—1, 1], в которых функция §(х)(/(х)—Рп{х))
принимает с чередующимися знаками значение </„, не меньше я+2.
Преобразуем поставленную задачу к задаче, фигурирующей в теореме 1.
Учитывая, что искомый полином принимает значение I в точке *=1/ро>
представим его в виде
где Я/1-1 (*) — полином степени не выше л—1.
Отсюда следует, что наша задача сводится к задаче отыскания полинома
#и-1 (х) степени не выше п—1, дающего наилучшее равномерное
приближение свесом #(*) = A— р0*)/Ро > 0 функции / (*) = Ро/A—Ро*) на отрезке [—1,1].
Именно эта задача и фигурирует в теореме 1.
Поэтому на основании теоремы 1 существует по меньшей мере п-\-\ точек
#1» #2» *••» хп + 1 отрезка [—1, 1], в которых искомый полином Рп(х)
принимает с чередующимися знаками значение да.
585

Покажем сначала, что таких точек должно быть ровно л+1.
Действительно, для того чтобы непрерывная функция более чем вп+1
последовательных точках отрезка [—1, 1] могла принимать отличные от нуля
значения цп с чередующимися знаками, она должна обратиться на этом отрезке
в нуль не меньше чем в п точках.
Так как полином Рп(х) отличен от тождественно нулевого, то на
отрезке [—1, 1] он может обратиться в нуль не более чем в п точках. Тем
самым, искомый многочлен Рп(х) на [—1, 1] значение цп с чередующимися
знаками принимает ровно я+1 раз.
Охарактеризуем эти точки. Если полином Рп(х) во внутренней точке
отрезка [—1, 1] принимает максимальное значение, то производная Рп(х)
в этой точке обращается в нуль. Но степень Р'п (х) равна л—1 и,
следовательно, производная искомого полинома может обратиться в нуль лишь
в п—1 точках. Поэтому искомый полином имеет п—1 внутренних
экстремальных точек на [—1, 1] и следовательно, два краевых экстремума, т. е.
|Р„(-1)ЫРЙAI = <7Л.
Итак, мы имеем
^п(ю/) = 0» /=1, 2, ,п л, \Рп{Х;)\ = Яю /=Ь 2» •»*» я + 1§
где 0у—корни полинома, а x^—экстремальные точки
— \=Хп + 1< (йп< Хп< *.. < Ю2 < Х2 < ©1 < *1=1.
Кроме того, так как Р„A/р0) = 1 и все корни полинома Рп (х) лежат на
отрезке [—1, 1], то РпA) = ап и, следовательно, справедливы равенства
Л.(*/) = (-1)/-1*,.. /=1. 2, .... я+1- 0)
Имеет место
Лемма 1. Полином Рп (х), который среди всех многочленов п-й степени,
принимающих значение 1 при #=1/р0, наименее уклоняется от нуля на от-
резкг [—1, 1], удовлетворяет дифференциальному уравнению
A-х2) (Р'J = п2 (я^-Р*). B)
Действительно, по доказанному точки х2, х3, ..., хп есть простые нули
полинома Рп(х). Очевидно, что эти точки являются двукратными нулями
полинома а\—Рп(х)> а по доказанному точки хп+1= — 1 и *1 = 1 являются
простыми нулями этого полинома. Поэтому полиномы A— х2)(Р'п(х)J и
Я\—Р2г(х) степени 2 имеют одни и те же нули. Следовательно, они
пропорциональны, т. е.
A-х*)(Р^=с(д1-Р%(х)).
Приравнивая коэффициенты при старших степенях х у обоих полиномов,
находим с = п2. Лемма доказана.
2. Переходим к построению полинома Рп(х)> используя уравнение B).
Это уравнение, помимо неизвестной функции Рп(х), содержит еще
неизвестный параметр цп. Мы не будем отдельно фиксировать дополнительные
условия, которые однозначно определяют решение уравнения B), а будем
пользоваться всей известной информацией относительно Рп(х).
Рассмотрим сначала уравнение B) на отрезке [—1, 1]. В этом случае
1^вМ|<^п» и» следовательно, из левой и правой частей уравнения B)
можно извлечь корень
± г аР =п /* , 0<*<1. C)
Исследуем левую часть C). Если Рл (л:у + 1) = <7„, то ПРИ изменении х от л;у + 1
586

до X; функция Рп (х) убывает от цп до — цп. При этом дифференциал аР
отрицателен, и поэтому в левой части уравнения C) следует взять знак минус»
Аналогично находим, что если Р„(д:у+1)= ~^л» то следует взять энак плюс*
Учитывая A), получим, что на отрезке [*/+!, ху] уравнение C) должно быть
записано в виде
Г—п'-*
ар их
(-1)/-1-р====л—===-. *€[*/+Ь Х/Ь /-Ь 2, .... л, D)
Получим теперь выражение для Рп(х) на отрезке [—1, 1]. Пусть * —
любая точка отрезка [—1, 1], и для определенности пусть х принадлежит,
например, отрезку [хк+1, хк].
Проинтегрируем правую часть уравнения D) по х от х до 1. Получим
1
Ох
п \ — = яагсз1п#
= п агосов *,
Проинтегрируем левую часть уравнения D). Когда х меняется от Ху+%
до *у, функция Р (х) меняется от Р ^ + 1) = (—1у'дп &о Р (х^ = (— 1у-*<7Л.
Поэтому
Р <*у) щп щп
/ 1ч/ 1 Г йР с ар . р '
(_1)/-1) I -- I -а аГС51П —
=я«
Далее, при интегрировании левой части D) от Р (х) до Р(хь) получим
( — 1)*-* I , = \ -7===г = агосоз( — 1)*-*—ЬЛ,
Р(*) (~1)*-1Р{х)
Так как
1 ** 6-1 */
Г Л* __ Г ах у^ Г ах
) УТ=Т* ) УТ=1? & ) УТ=1? *
X X /-1 *у+1
то окончательно получим
/гагссозл;=F — 1)я + агосоз(— I)*-1 —— .
Яп
E)
Отсюда найдем
Рл (*) = <?* соз(лагосоз*)» |*|<1, F)
Полагая в E) *=@й€ [*&+*> хь], найдем корни полинома Рп(х)
ю* = соз->—2п~, *=Ь 2 п.
Формула F) определяет полином Рп(х) для х$[—1, 1]. Найдем вид
полинома Р„ (л) для | * | ^== 1 и определим цп. Для этого заметим, что
( 2Л—1 \ , , Л
юй-*+1 = соз ( я ^— я] = —©Л, *=1, 2, *.♦, л,
бп7

Поэтому Ря(—*)=я(—1)я/>п(*) и» следовательно, достаточно определить Рп(х)
для х^ 1.
Исследуем уравнение B) при х^\. В этом случае его следует
переписать следующим образом:
(*Я—1)(Р')Я = л» (?■—?«), *^ 1.
Так как х^Л, то Р(х)^дп и функция возрастает. Поэтому, извлекая
корень, получим
йР их
При интегрировании правой части этого уравнения от 1 до х левая часть
будет интегрироваться от цп до Рп(х). Поэтому
Рп (ж)
Яп
X
*=п \ —т^ **п\п(х + У^2—1) «лагссЬ*. G)
1
Отсюда получим
Рп(*) = 0псп (яагссЬл:), х^г 1.
Так как Рп(*) = (—1)й^п (--*)» то Для *<* найдем
рп (*) = (— 1)* ?„ сЬ (л агосЬ (—*)) = ?„ сЬ (п агссЬ *), *<— 1.
Таким образом, для | х | ^ 1 получим следующее выражение для полинома
Рп(*У-
Рп(х) = дпсЪ(пагссЬх), |*|^1. (8)
Найдем теперь ?„. Полагая в (8) дс= 1/р0, и учитывая, чтоР„ A/р0) = 1, получим
дп= 1/сп (п агссЬ A/р0))*
С другой стороны, полагая в G) *= 1/р0, найдем
1П ,. д.8й1п : -»л1п — §
0* Ро 91 *
где
Следовательно.
1-/Г г^Ч1 0 __ 2Р!
6- — , р0~ Ц-р|
1 2Р?
сп( яагссп — ) 1 + р1
688

Объединяя F) и (8), получим
Р» (*> = ЯпТп (*) - Тп (х)/Тп A/рв), A0)
где
/ С08 (л агссо8 *)» |*|<1
"Мг= \ сп(лагсспх), |*|^Ь
Полином Гп(^) называется полиномом Чебышева первого рода степени п.
Итак, поставленная задача полностью решена. Ее решение дается форму,
лами (9), A0). Возвращаясь к переменной /, получим искомый полином
«,<0-я„(^)-,Л(^1).
который наименее уклоняется от нуля на отрезке [у*, у2]*

ЛИТЕРАТУРА
1. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ., 1963.
2. Г е л ь ф о н д А. О. Исчисление конечных разностей.— М.: Наука, 1967.
3. КарчевскийМ. М.,ЛяшкоА. Д. Разностные схемы для нелинейных
задач математической физики,— Казань: Ротапринт, изд. Каз. гос. ун., 1976.
4. Красносельский М. А., ВайниккоГ. М. и др. Приближенное
решение операторных уравнений.— М.: Наука, 1969.
5. М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики.—Новосибирск:
Наука, 1973.
6. О г а н е с я н Л. А., Р и в к и н д В. Я., Р у х о в в ц Л. А. Вариационно-
разностные методы решения эллиптических уравнений, ч. 1 и 2.— В сб.:
Дифференциальные уравнения и их применение, вып. 5, Вильнюс, Пяргале,
1973, вып. 8, Вильнюс, Пяргале, 1974.
7. О р т е г а Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения
нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.— М.: Мир, 1975.
8. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем,— М.: Наука,
1971 (имеется библиография до 1971 г.).
9. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977.
10. Самарский А. А.* Г у л и н А, В. Устойчивость разностных схем.—
М.: Наука, 1973.
11. Самарский А. А., А н д р е е в В. Б, Разностные методы для
эллиптических уравнений.— М.: Наука, 1976,
12. С а м а р с к и й А. А,, К а р а м з и н Ю, Н0 Разностные уравнения,—
М.: Знание, 1978.
13. Ф а д д е е в Д, К., Ф а д д е е в а В. Н. Вычислительные методы линейной
Алгебры.— М.: Физматгиз, 1963.
14. Уоипб О. М. ИегаИуе боКШоп о\ 1аг§е Нпеаг зузктз:— 1^,— V,} Ь,:
Асао\ Ргезз,* 1971.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм дискретного преобразования
Фурье 164
Асимптотическое свойство 338
Задача на собственные значения 63
Итерационные методы вариационного типа
332
— — двухступенчатые 509 , 540
— — с факторизованным оператором 536
— — треугольные 389
Итерационный метод верхней релаксации 375
— — градиентного спуска 514
— — Зейделя 369
— — минимальных невязок 342 , 482
______ погрешностей 344 , 469
— — — поправок 343
— — Ньютона — Канторовича 506
— — переменных направлений 432 , 453 ,
— — попеременно*треугольный 396 , 411
— — простой итерации 285
— — скорейшего спуска 341
— — сопряженных градиентов 355
— — — направлений 353
~ — — невязок 355
______ погрешностей 356 , 469
— — — поправок 356
— — стационарный трехслойный 322
— — чебышевский ( Ричардсона ) 269 , 465
Канонический вид итерационной схемы
двухслойной 260
261 , 315
трехслойной стандартного типа
Метод вариации постоянных 42
— прогонки 76
— — матричной 107
— — немонотонной 94
— — ортогональной 112
— — , потоковый вариант 84
— — циклической 87
— разделения переменных 190
— редукции 136
— установления 259
Обобщенное решение 227 , 479
Оператор монотонный 221 , 501
— непрерывный 216
— нормальный 219
— перехода 265 , 268
— положительно определенный 221
— потенциальный 512
— разрешающий 265 , 268
— самосопряженный 219
— сильно монотонный 221 , 501
— сопряженный 218
Операторы коммутативные 217
— энергетически эквивалентные 221
Полином Чебышева I рода 57
— — II рода 58
Полуитерационный метод Чебышева 318
Поправка 265 , 275
Принцип сжатых отображений 228
— регуляризации 532
Производная Гато 216 , 503
Разностная схема 24
Разностные производные 27
— тождества 233
— формулы Грина 234
Разностный оператор 26
Регуляризатор 533
Сетка 24
Сеточная функция 26
— — векторная 26
Сеточное уравнение 30
Собственное значение оператора 225 , 226
Собственный элемент оператора 225 , 227
Спектральный радиус 218 , 376
Упорядоченный чебышевский набор
параметров 270 , 280
Ускорение сходимости 360
Устойчивость вычислительная 275
•— по априорным данным 324
Функция Грина разностного оператора 239
Числовой радиус оператора 220 , 293
Невязка 275
Нормальное решение 227 , 479
Ядро оператора 217

*
Александр Андреевич Самарский,
Евгений Сергеевич Николаев
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
М., 1978 г., 592 стр. с илл.
Редактор Г. Н. Галишникова.
Техн. редактор С. /Г. Шкляр.
Корректор Н. Д. Дорохова.
ИБ № 2049
Сдано в набор 24.03.78. Подписано к печати 16.08.78.
Бумага бОхЭО1/^» тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 37. Уч.-изд. л. 36,37.
Тираж 18 000 экз. Заказ № 2566. Цена книги 1 р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28