Автор: Кострикина Н.П.
Теги: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика алгебра
ISBN: 5-09-002714-5
Год: 1991
Текст
КП.КОСТРИКИНА
повышенной
трудности
вкурсе
алгебры
классов
ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
у=|х2-4х+3|
у=х2—4|х|+3
3-2-10
ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ ЗАВИСИМОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
Н.П.КОСТРИКИНА
Задачи
повышенной
трудности
вкурсе
алгебры
7-9
классов
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
МОСКВА
„ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1991
ББК 74.265.1
К72
е полки сообщества
Рецензенты:
кандидат педагогических наук Ю. Н. Макарычев;
учитель-методист школы № 67 Москвы Л. И. Звавич
Кострикина Н. П.
К72 Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7—9
классов: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1991.—239 с—
ISBN 5-09-002714-5.
В книге раскрывается роль задач повышенной трудности в обучении
математике, приведены решения указанных задач из действующих
учебников алгебры для 7—9 классов.
., 4306010000—629
103(03)—91
ISBN 5-09-002714-5
КБ—25—93—1991 ББК 74.265.1
© Кострикина Н. П., 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Воспитание творческой активности учащихся в процессе
изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих
перед преподавателями математики в современной школе.
Основным средством такого воспитания и развития математических
способностей учащихся являются задачи. Умением решать задачи
характеризуется в первую очередь состояние математической
подготовки учащихся, глубина усвоения учебного материала. Не
случайно известный современный методист и математик Д. Пойа
пишет: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать
задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной
независимости мышления, здравого смысла, оригинальности,
изобретател ьности »'.
Поэтому вполне оправдано то повышенное внимание, которое
уделяется решению задач при обучении математике. К сожалению,
часто самым распространенным методом обучения решению задач
является показ способов решения определенных видов задач и
значительная практика по овладению ими. И в школьных учебниках,
и во многих пособиях для учащихся задачи распределены по
группам в соответствии с используемым для их решения
математическим аппаратом. Такие задачи учащиеся, как правило, решают
неплохо, если указывается, какая теория необходима для их
решения. Если же учащиеся лишены такого ориентира, то испытывают
затруднения при решении даже несложных задач.
В ныне действующих учебниках алгебры есть специальные
разделы с задачами повышенной трудности, для решения которых
ученик сам, без подсказки названием главы или параграфа учебника
должен определить, какой математический аппарат необходимо
применить. Большинство из задач этих разделов нестандартные,
требующие от учащихся изобретательности, смекалки.
Цель настоящего пособия — оказать конкретную помощь
учителю в решении важнейшей задачи преподавания математики —
развитии математического мышления и творческой активности
учащихся.
Пособие состоит из двух частей — теоретической и
практической. В теоретической части (§ 1—6) раскрывается роль и
показывается место задач повышенной трудности в курсе алгебры
VII—IX классов, приводятся методические рекомендации по их
использованию. Здесь же рассматривается методика обучения
решению нестандартных задач, роль наблюдений и индукции при
решении задач повышенной трудности, на примерах задач из школьных
учебников алгебры обосновывается необходимость решения задач
несколькими способами.
Во второй части пособия (§ 7—9) содержатся алгебраические
задачи для VII—IX классов, способствующие развитию твор-
П о й а Д Математическое открытие — М , Наука, 1970 — С 16
ческого мышления учащихся, их интереса к математике. В данном
пособии рассмотрены задачи повышенной трудности из настоящих
и ранее действовавших учебников алгебры для VII—IX классов
под редакцией С. А. Теляковского, задачи для внеклассной
работы из пробных учебников алгебры для VII—IX классов,
написанных под научным руководством А. Н. Тихонова, а также задачи
из различных сборников задач и журналов «Квант» и
«Математика в школе». К одним задачам дается решение, к другим краткие
указания к решению, к третьим, наиболее простым — лишь ответы.
В тексте пособия число в квадратных скобках (например,
[3]) соответствует номеру учебника в приведенном ниже списке.
1. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А.
Теляковского.— 9-е изд.— М.: Просвещение, 1987.
2. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А.
Теляковского.— 8-е изд.— М.: Просвещение, 1987.
3. Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А.
Теляковского.— 7-е изд.— М.: Просвещение, 1988.
4. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1991.
5. Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1991.
6. Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы / Ю. Н. Ма-
карычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1990.
7. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы
/Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин.—
6-е изд.— М.: Просвещение, 1987.
8. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы
/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин.—
5-е изд.— М.: Просвещение, 1988.
9. Алгебра: Пробный учебник для 8 класса средней школы
/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин.—
3-е изд.—М.: Просвещение, 1987.
Настоящее пособие написано на основе опыта работы учителей
школ г. Караганды и Карагандинской области. Его материалы
успешно использовались студентами и преподавателями
Карагандинского государственного университета при проведении ими в
школах внеклассной работы по математике с учащимися VII—
IX классов.
Автор выражает благодарность рецензентам и старшему
лаборанту кафедры методики математики Карагандинского
государственного университета Ш. К. Ахметовой.
§ 1. ЗАЧЕМ РЕШАЮТ ЗАДАЧИ В ШКОЛЕ
(к вопросу о функциях задач в обучении математике)
При обучении математике на решение задач отводится
большая часть учебного времени. Подсчитано, что за период обучения
в школе учащиеся на уроках и при выполнении домашних заданий
решают несколько десятков тысяч задач. Однако навыки
решения учащимися задач оставляют желать лучшего, о чем
свидетельствуют результаты вступительных экзаменов в вузы и техникумы.
Часто выпускник школы обнаруживает, казалось бы, хорошие
знания в области теории, знает все требуемые определения, аксиомы и
теоремы, но затрудняется при решении весьма несложных задач, с
которыми он легко справлялся в школе, когда решали задачи при
изучении, закреплении и повторении той или иной темы. Отсюда
напрашивается вывод, что учебное время, отводимое на
решение задач в школе, используется неэффективно, а это
отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом.
Одна из главных причин затруднений учащихся,
испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что
математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных
учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение
требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь
одному вопросу программного материала и не предусматривает
широких связей между различными разделами школьного курса
математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в
течение того непродолжительного периода, который отводится на
изучение (повторение) того или иного вопроса программы.
Функция таких задач чаще всего сводится к иллюстрации изучаемого
теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому
учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот
метод иногда подсказывается названием раздела учебника или
задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д.
Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь
минимален. При решении задач на повторение, требующих знаний
нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают
определенные трудности.
К сожалению, в практике обучения математике решение задач
чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного
усвоения школьниками программного материала. И даже задачи
повышенной трудности специальных сборников, предназначенных
для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление
5
умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач
определенного типа. А между тем функции задач очень
разнообразны. Обучающие, развивающие, воспитывающие,
контролирующие — таковы функции задач, довольно подробно описанные в
современной методической литературе.
Общепризнано, что решение задач является важнейшим
средством формирования у школьников системы основных
математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной
деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из
основных средств их математического развития. От эффективности
использования задач в обучении математике в значительной мере
зависит не только качество обучения, воспитания и развития
учащихся средней школы, но и степень их практической
подготовленности к последующей деятельности в любой сфере народного
хозяйства и культуры.
При решении задач в процессе обучения математике наряду
с реализацией одной из основных целей обучения математике —
формированием предусмотренной программой системы
математических знаний, умений и навыков — возможно и необходимо
самым естественным образом эффективно использовать задачи для
реализации целей воспитания учащихся.
В практике обучения математике воспитывающие функции
задач редко выступают в качестве ведущих (в отличие от функций
обучающих или контролирующих). Однако тот или иной элемент
воспитания может и должен быть осуществлен через каждую
задачу: либо через ее фабулу, либо в процессе ее решения, либо в
процессе изучения результатов решения.
Одной из важнейших воспитывающих функций задач
является формирование у школьников диалектико-материалистическо-
го мировоззрения. В процессе решения задач имеется возможность
наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический
характер математики, ее прикладную направленность.
Иллюстрируя применение математики к решению практических задач,
можно показать, что математика, отражая явления реальной
действительности, является мощным средством ее познания.
Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных
решений математических задач, учитель тем самым способствует
эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической
культуры.
Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может
служить многим конкретным целям обучения. И все же главная
цель задач — развить творческое и математическое мышление
учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию»
математических фактов.
Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач
невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны и
необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Следует
избегать большого числа стандартных задач как на уроке, так и во
внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могут
потерять интерес к математике и даже испытать отвращение к ней.
Ознакомление учащихся лишь со специальными способами
решения отдельных типов задач создает реальную опасность того,
что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и
не приобретут умение самостоятельно решать незнакомые задачи
(«Мы такие задачи не решали»,— часто заявляют учащиеся,
встретившись с задачей незнакомого типа).
В системе задач школьного курса математики, безусловно,
необходимы задачи, направленные на отработку того или иного
математического навыка, задачи иллюстративного характера,
тренировочные упражнения, выполняемые по образцу.
Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание
у учащихся устойчивого интереса к изучению математики,
творческого отношения к учебной деятельности математического
характера. Необходимы специальные упражнения для обучения
школьников способам самостоятельной деятельности, общим
приемам решения задач, для овладения ими методами научного
познания реальной действительности и приемами умственной
деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или
иную задачу.
Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению
задач с помощью специально подобранных упражнений, следует
учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией,
сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо прививать
учащимся навыки не только логического рассуждения, но и
прочные навыки эвристического мышления.
С этой целью на уроках математики в VI или VII классе
можно предложить учащимся следующие упражнения:
1. Понаблюдайте за равенствами:
11+1,1 = 11.1,1, 3,5+1,4=3,5.1,4.
Как записать в общем виде закон, который в них проявляется?
(a + b=a-by где а>0 и Ь>0.)
Как найти другие пары чисел, обладающие этим свойством?
(Выбрать произвольно одно число, а другое находить из
полученного уравнения.)
2. Понаблюдайте за равенствами:
1-9 + 2=11,
12-9 + 3=111,
123.9 + 4=1111.
Как записать в общем виде подмеченную закономерность?
к +\ ра »
Докажите ее.
С помощью специально подобранных задач учитель должен о«*
ратить внимание учащихся на роль наблюдений и неполной иилук
ции при «открытии» математических закономерностей (см. ниже,
§3).
В школьных учебниках математики (и не только ныне дейп
вующих) мало задач, с помощью которых можно показать y«i;i
щимся роль наблюдения, аналогии, индукции, эксперимента.
Несмотря на ошибочные гипотезы, которые можно получить и
результате наблюдений и неполной индукции, учитель должен
использовать все предоставляемые ему программой и учебниками (и
том числе и ранее действующими, и пробными,
экспериментальными) возможности, чтобы развивать у учащихся навыки
эвристического мышления. С этой целью полезно предложить, например,
следующую задачу: «Может ли: а) сумма пяти последовательных
натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти
последовательных натуральных чисел быть простым числом?»
([1], № 1168, см. § 7, задача 64.)
Иногда для развития навыков эвристического мышления
целесообразно несколько изменить условия задач, встречающихся в
школьных и других учебниках. Так, вместо задачи «Докажите, что
сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не
может быть квадратом натурального числа» ([4],№ 1269) полезно
предложить учащимся следующую: «Может ли сумма квадратов
пяти последовательных натуральных чисел быть квадратом
натурального числа?» В таком случае учащиеся индуктивным путем
должны сами сформулировать соответствующую гипотезу и
только после этого ее доказывать. Аналогичным образом можно
изменить условие задачи № 843 из [4].
Вместо задачи «Докажите, что многочлен Xs + л:6 — 4л:4 + х2 + 1
не принимает отрицательных значений» ([6], № 1140) полезнее
для развития навыков эвристического мышления учащихся
предложить следующую: «Может ли многочлен xs + x6 — 4x4-|-jr+ 1
принимать отрицательные значения?»
Прежде чем решать с учащимися задачу «Докажите, что числа,
запись которых состоит из трех одинаковых цифр, делятся на 3 и
на 37», целесообразно предложить им установить, какие общие
простые делители имеют, например, числа 333, 444, 888, а уж потом
сформулировать и решить задачу в общем виде. Перед решением
задачи «Доказать, что если из трехзначного числа вычесть
трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое,
но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет
делиться на 9 и 11» ([7], № 949) целесообразно для
математического развития учащихся предложить им установить (с помощью
индукции), каким свойством обладает рассматриваемая разность
(делится на 9, 11, 99), и только после этого доказать
подмеченную на частных примерах закономерность в общем виде.
Аналогично вместо задач «Написали подряд два раза
трехзначное число. Докажите, что полученное число делится на 7, 11 и 13»
и «Написали подряд три раза двузначное число. Докажите,
что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37» можно предложить
учащимся на частных примерах самим обнаружить
соответствующую закономерность, сформулировать ее и доказать.
Задача «Докажите, что для того, чтобы найти квадрат
двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 и имеющего п десятков,
достаточно число десятков п умножить на /г+1 и к результату
приписать 25» ([2], №969) безусловно имеет определенную
познавательную ценность: учащиеся знакомятся с правилом возведения
в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. Но роль
этой задачи возрастет, если ее сформулировать так: «Найдите
и обоснуйте правило возведения в квадрат двузначных чисел,
оканчивающихся цифрой 5».
Эту задачу следует предложить всем учащимся, а не только
хорошо успевающим, как это обычно делается. Решившие ее (а
при правильной организации работы это будут необязательно
лучшие «математики» в классе) испытают радость открытия,
почувствуют вкус к выполнению работы исследовательского
характера.
Разбор решения задачи даст возможность познакомить
учащихся с ролью наблюдений и неполной индукции,
используемых учеными-математиками при открытии многих
математических фактов, а также с методом полной индукции, широко
применяемым при решении многих математических задач.
(Возведение в квадрат всех двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5,
и рассмотрение каждого из девяти полученных результатов
являются доказательством установленной на нескольких
примерах закономерности.)
Также можно предложить учащимся установить и доказать
правило умножения двузначных чисел на 11.
Полезно предложить учащимся VII—VIII классов самим
установить с помощью наблюдений и индукции следующие формулы
для подсчета сумм:
1+3 + 5 + ...
Учащиеся, не знакомые с методом математической индукции,
используемым для доказательства этих формул, с помощью
такого рода задач поймут необходимость изучения этого метода в
дальнейшем.
Приведенные задачи целесообразно решать со всеми
учащимися на уроках, в процессе изучения или повторения программного
материала, а не только с отдельными, хорошо успевающими
учениками во внеурочное время.
Необходимо на уроках систематически использовать задачи,
способствующие целенаправленному развитию творческих
способностей учащихся, их математическому развитию, формированию у
9
них познавательного интереса и самостоятельности. Такие
задачи требуют от школьников наблюдательности, творчества и
оригинальности.
• Отметим также, что эффективное развитие математических
способностей учащихся невозможно без использования в учебном
процессе задач на сообразительность, задач-шуток,
математических ребусов, софизмов.
К сожалению, достаточно распространено мнение, что
занимательные задачи учащийся может решать только дома, в кружке,
но не на уроке. Однако такая точка зрения вряд ли может быть
педагогически оправдана: слабый учащийся будет лишен интересных
задач, так как кружки он не посещает, а дома у него обычно
остается мало времени. Поэтому занимательные задачи, задачи-шутки,
математические софизмы ([5], № 1086) должны найти место и на
уроке.
Рассмотрение на уроке математического софизма, для
разгадки которого недостаточно известного учащимся материала,
вызовет естественный интерес к новой теме, осознание
необходимости ее изучения и соответствующий настрой к преодолению
предстоящих на пути приобретения новых знаний трудностей.
Перед учителями и методистами стоит много проблем,
связанных с методикой применения задач в обучении математике. Одной
из таких проблем является определение системы задач,
реализующей идею развивающего и воспитывающего обучения математике,
и прежде всего определение системы задач, направленных на
формирование у учащихся умения самостоятельно и творчески изучать
математику, тем самым создавать предпосылки активному
применению математических знаний в дальнейшем.
Следует хорошо осознавать тот факт, что любая
математическая задача, решаемая на уроках, на внеклассных занятиях или
дома, должна обязательно чему-нибудь научить учащихся.
Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии
математических знаний, умений и навыков учащихся, в воспитании
диалектико-материалистического мировоззрения, должно
обогащать их знания и опыт, учить их ориентироваться в различных
задачных ситуациях.
Учитель, предлагая школьникам задачу, должен четко
представлять, зачем ее решают, какова ее функция в обучении, какие
мыслительные умения могут и должны быть сформированы у
учащихся в процессе решения той или иной задачи.
Конечно, надо научить школьников применять к решению
задач различные математические методы (метод уравнений,
векторный и координатный методы, метод геометрических
преобразований). Но также необходимо на каждом этапе обучения
математике учить школьников решать задачу вообще, формировать у
них умения и навыки, нужные для решения любой математической
задачи, прививать им вкус и навыки к выполнению работы
исследовательского характера. При этом школьников следует научить
Ю
отдавать себе отчет в том, какой навык они приобрели, решая ту
или иную задачу, что (наиболее важное и полезное) имеет смысл
сохранить в памяти, а что можно забыть.
§ 2. О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Задачи повышенной трудности, имеющиеся в специальных
разделах школьных учебников алгебры VII—IX классов и в
настоящем пособии, довольно разнообразны и по тематике, и по форме, в
которой они поставлены, и по способам их решения, и по
возлагаемым на них учебно-воспитательным функциям. Из этих задач
легко выделить те, решения которых способствуют закреплению
знаний, умений и навыков, приобретаемых учащимися в процессе
изучения той или иной темы. Например, решения задач № 1283—
1287 из [4] и задач №1096, 1097, 1100, 1109, 1110 из [5] призваны
закрепить умения учащихся решать задачи с помощью
составления и решения системы уравнений. Решения задач № 1257—1259
из [4], задач № 1113—1120 из [5] и задач № 1136, 1146 из
[6] способствуют закреплению у учащихся умений и навыков
построения графиков функций и зависимостей и т. д. Условия многих
задач повышенной трудности позволяют и учителю, и ученику
довольно легко определить, какой математический аппарат
необходимо применить при их решении, закреплению каких знаний,
умений и навыков, предусмотренных обязательной программой
школьного курса математики, способствует решение этих задач.
Наибольшие затруднения у учащихся, как правило, вызывают
решения так называемых нестандартных задач, которые занимают
значительное место среди задач повышенной трудности в
школьных учебниках и в настоящем пособии.
Какая же задача называется нестандартной? «Нестандартные
задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется
общих правил и положений, определяющих точную программу
их решения» (Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как
научиться решать задачи.—М.: Просвещение, 1989.—С. 48).
Однако следует заметить, что понятие «нестандартная
задача» является относительным. Одна и та же задача может быть
стандартной или нестандартной в зависимости от того, знаком
решающий задачу со способами решения задач такого типа или
нет. Например, задача «Представьте выражение 2х2-}-2у2 в виде
суммы двух квадратов» ([4], № 1264) является для учащихся
нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со
способами решения таких задач. Но если после решения этой
задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такие
задачи становятся для учащихся стандартными. Аналогично задача
«При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3jc +
-|-7f/ = 23?» ([4], № 1278) является нестандартной для учащихся
VII класса до тех пор, пока учитель не познакомит их со спо-
п
собом решения таких задач (что, кстати, можно сделать при
обучении учащихся математике уже в VI классе).
Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм
решения которой учащимся неизвестен, т. е. учащиеся не знают
заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный
материал опирается решение.
К сожалению, иногда учителя единственным методом обучения
решению задач считают показ способов решения определенных
видов задач, после чего следует порой изнурительная практика по
овладению ими. Нельзя не согласиться с высказыванием
известного американского математика и методиста Д. Пойа, что,
если преподаватель математики «заполнит отведенное ему
учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных
упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие
и упустит свои возможности» (Пойа Д. Как решать задачу.—
М., 1961.-С. 5).
Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные
задачи?
Универсального метода, позволяющего решить любую
нестандартную задачу, к сожалению, нет, так как нестандартные
задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт работы многих
передовых учителей, добивающихся хороших результатов в
математическом развитии учащихся как у нас в стране, так и за
рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы
обучения учащихся способам решения нестандартных задач.
В литературе (отечественной и зарубежной) методические
принципы обучения учащихся умениям решать нестандартные
задачи описаны неплохо. Наиболее удачными, на наш взгляд, в
этом отношении являются книги Д. Пойа «Как решать задачу»,
«Математическое открытие», «Математика и правдоподобные
рассуждения», Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться
решать задачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись
решать задачи». И хотя некоторые из них адресованы учащимся,
желающим научиться решать задачи, они, без сомнения, могут
быть использованы учителями при обучении школьников умениям
решать нестандартные задачи.
Рассмотрим отдельные методические приемы обучения
учащихся VII—IX классов умениям решать нестандартные
алгебраические задачи.
Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи
(в том числе и нестандартные) можно только в том случае,
если у учащихся будет желание их решать, т. е. если задачи
будут содержательными и интересными с точки зрения ученика.
Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед
учителем,— вызвать у учащихся интерес к решению той или иной
задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и
делать их привлекательными для учащихся. Как это сделать —
решать самому учителю. Одно бесспорно: наибольший интерес вызы-
12
вают у учащихся задачи, взятые из окружающей их жизни,
задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся
вещами, опытом, служащие понятной ученику цели.
Учитель должен уметь находить интересные для учащихся
задачи и своевременно предлагать их. Приведем примеры.
Как-то учительница СШ № 3 г. Караганды Э. Я. Пыркова
обратила внимание учащихся, что в фильме «Возвращение с
орбиты», показанном накануне по телевизору, главный герой, узнав,
что его невесте 24 года, говорит ей: «Когда тебе будет столько
лет, сколько мне сейчас, мне будет 60». Вопрос учительницы
«Сколько лет герою фильма?» вызвал у всех учащихся VII—VIII
классов желание решить предложенную задачу, хотя от
некоторых из них она потребовала настоящего усилия.
Другой пример. Учитель, желающий научить учащихся решать
в натуральных числах уравнения вида ax-}-by = cy может,
конечно, предложить учащимся выполнить упражнение № 1278 из [4].
Но, как показывают наблюдения, учащиеся легче и с большим
интересом учатся способам решения таких уравнений, если им
предложить, например, следующую задачу:
«Чтобы купить вещь, нужно уплатить 19 р. У покупателя
только трехрублевые купюры, у кассира только десятирублевые.
Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у кассира
только пятирублевые купюры?»
Большой интерес, являющийся для учащихся стимулом для
приобретения умений и навыков решения неопределенных
уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных и
целых числах, вызывает, как правило, у учащихся VI—VII
классов следующая задача:
«В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой
табуретки три ножки, у каждого стула четыре ножки. Когда на всех
стульях и табуретках сидят люди, в комнате 39 «ног». Сколько
стульев и табуреток в комнате?» (Если стульев х, табуреток у,
то имеем уравнение 4x + 3y + 2 (jc-ff/) = 39, откуда 5*/ = 39—- 6jc,
jc=4, y = 3.) Много интересных задач на соответствующую
тематику имеется в журнале «Квант».
Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи,
которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что
такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению
одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести
и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого
предмета, в том числе и математики.
Таким образом, учитель, желающий научить школьников
решать задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедить, что
от решения математической задачи можно получить такое же
удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.
Далее, задачи не должны быть слишком легкими, но и не
должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу
или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут
13
потерять веру в свои силы. Поэтому не следует предлагать
учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить.
Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи,
если интерес к решению задач у него есть и трудности решения
его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя
ученику, не сумевшему решить интересную для него задачу? Как
эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося
самостоятельно начать или продолжить решение задачи?
Прежде всего, не следует идти по самому легкому в этом
случае пути — познакомить ученика с готовым решением. Не
следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса
математики относится предложенная задача, какие известные учащимся
свойства и теоремы нужно применить при решении.
Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для
успешного осуществления которого учащийся должен уметь
думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание
фактического материала, владение общими подходами к решению
задач, опыт в решении нестандартных задач.
В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему
задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно
четко различать четыре ступени: 1) изучение условия задачи;
2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление
плана, т. е. оформление найденного решения; 4) изучение
полученного решения — критический анализ результата решения и
отбор полезной информации.
Наблюдения показывают, что даже при решении несложной
задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждения
о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь
учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь
поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и
понять источник его возможных затруднений, направить его
усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику,
оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы,
позволит учащемуся развить математические способности, накопить
опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению
новых задач.
В чем же должна заключаться помощь учителя, чтобы
обеспечить максимальную самостоятельность учащегося при решении им
задачи?
«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит
в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему
блестящую идею... Хорошие идеи имеют своим источником прошлый
опыт и ранее приобретенные знания... Часто оказывается уместным
начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь
родственная задача?» (П о й а Д. Как решать задачу.— М., 1961.—
С. 19). Таким образом, хорошим средством обучения решению
задач, средством для нахождения плана решения являются
вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи
14
свидетельствует о том, что учащийся уже владеет
определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас
не велик (что вполне естественно для учащихся VII—VIII
классов), то учитель, видя затруднения учащегося, должен сам
предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные наводящие
вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных
задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к
тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной
для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач
или наводящих вопросов, предложенных учителем.
Так, если учащиеся затрудняются в решении задачи «Найдите
все решения уравнения х2 + 5у2 + 4ху + 2у + 1 =0» ([3],№ 1186),
то можно предложить следующие вспомогательные задачи:
Решите уравнения:
а) (x+lf+y2 = 0 (x=-l,y = 0);
б) *2-10*+25 + y2 = 0 (jc = 5, y=0);
в) х2-4х+у* + 2у + 5 = 0 (х = 2, у=-\).
Если учащиеся затрудняются при решении задачи «Найдите
значение выражения
V1 + V2 \/2+>/3 V3+V4
([3], № 1189), то в качестве задачи, призванной подвести
учащихся к методу решения, может быть предложено упражнение
№ 1271 из [4] (при условии, конечно, что оно решалось
учащимися): «Упростите выражение
В случае затруднения при решении этих задач можно
подсказать учащимся, что для их решения достаточно воспользоваться
формулой (а+ 6) {a — b) = a2 — b2.
Учитель, подсказав, какой формулой нужно воспользоваться
для решения задачи, на долю ученика оставляет очень мало.
И все же эта подсказка гораздо полезнее для учащихся, чем
ознакомление с готовым решением: она может создать у ученика
иллюзию того, что он сам решил предложенную учителем задачу;
это даст ему возможность поверить в свои силы, укрепит
его желание решать задачи.
Другой пример. Если учащиеся затрудняются решить с
помощью составления уравнения задачу «К некоторому
двузначному числу слева и справа приписали по единице. В
результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите
это двузначное число» ([4], № 1254), то в качестве
вспомогательных задач им целесообразно предложить следующие:
1. К числу х приписали справа цифру 4. Представьте
полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число;
б) трехзначное число.
15
2. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте
полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число;
б) трехзначное число.
Еще пример. Пусть учащимся IX класса предложена задача:
«Дано многозначное число abc.kxyz. Отделив от него
трехзначное число, образованное тремя последними цифрами, получим
два числа: abc.k и xyz. Докажите, что если разность
полученных чисел делится на 7 (или на 11, или на 13), то и данное число
делится на 7 (или на 11, или на 13)» (см. § 9, задача 70).
Если учащиеся затрудняются в решении этой задачи, не знают,
с чего начать, то в качестве вспомогательных задач им можно
предложить следующие:
1. На какие числа делятся числа вида abcabc (см. § 7,
задача 3)?
2. Докажите равенство:
Обе эти задачи призваны оказать существенную помощь
учащимся в поиске путей решения предложенной (основной) задачи.
Конечно, думающий ученик задастся вопросом: как самому,
без помощи учителя, находить вспомогательные задачи?
Безусловно, учащихся следует приучать самим составлять
вспомогательные задачи или упрощать условия предложенных
задач так, чтобы без помощи учителя найти способы их решения.
Умение находить вспомогательные задачи, как и вообще
умение решать задачи, приобретается практикой. Предлагая
учащимся задачу, следует посоветовать выяснить, нельзя ли найти связь
между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным
решением или с задачей, решающейся проще.
Пусть, например, учащиеся VIII класса затрудняются при
решении задачи «Имеется 4 шарика различной массы. С помощью
скольких взвешиваний на рычажных весах без гирь можно
расположить эти шарики в порядке убывания массы?» (§ 8, задача 55).
В этом случае можно рекомендовать упростить данную задачу,
взяв вместо четырех шариков три. Решив эту упрощенную
вспомогательную задачу, учащиеся легче найдут способ решения
основной.
Для приобретения навыков решения довольно сложных задач
следует приучать школьников больше внимания уделять изучению
полученного решения. Для этого весьма полезно предлагать
учащимся видоизменять условие задачи, чтобы закрепить способ ее
решения, придумывать задачи, аналогичные решенным, более
или менее трудные, с использованием найденного при решении
основной задачи способа решения.
Проиллюстрируем сказанное примерами. Решив задачу «Дока-
16
жите, что значение выражения 116+146—133 кратно 10» (§ 7,
задача 58), можно для закрепления способа решения предложить
учащимся следующие задачи:
1. В выражении аь-\-Ь4— с6 вместо а, Ь и с подберите
трехзначные числа, чтобы значение полученного выражения было:
а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно 10. Можно ли, основываясь
на применяемом способе решения, подобрать а, Ь и с такие,
чтобы получилось выражение, кратное трем? Почему?
2. В выражении 215Х + 342*/— 113г подберите ху у и z такие,
чтобы значение полученного выражения было: а) кратно 2;
б) кратно 5; в) кратно 10.
Решив задачу «В двух бочках было воды поровну.
Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а
затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке
сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой
бочке стало больше воды?» ([4], № 1245), целесообразно
учащимся задать вопросы: как изменится ответ задачи, если вместо 10%
взять 20%, 30%, а%? Какой вывод можно сделать?
Решив задачу «Имеется лист бумаги. Его разрезают на 4
части, затем некоторые (или все) полученные куски снова
разрезают на 4 части и т. д. Докажите, что при этом нельзя
получить 50 частей листа» (§ 8, задача 60), полезно изменить ее
условие так: «Лист бумаги разрезали на 5 частей, на 7 частей, ...,
на п частей. Можно ли при этом получить 50 частей листа?
100 частей? ... k частей?»
Систематическая работа по изучению способов решения
задач поможет учащимся не только научиться решать задачи, но
и самим их составлять.
Так, рассмотрев с учащимися способ решения задачи «Шести-
десятизначное число написано с помощью 30 нулей и 30 единиц.
Докажите, что оно не может быть квадратом натурального числа»
(§ 8, задача № 50), учитель (при соответствующей подготовке
учащихся) может предложить им составить аналогичную задачу с
использованием примененного способа решения и признаков
делимости чисел на 2 и 4. Такой задачей может быть, например,
следующая: «Докажите, что не может быть квадратом
натурального числа число, записанное: а) только одними двойками;
б) одними шестерками; в) только двойками и шестерками».
После решения задачи «Докажите, что уравнение х —у2 = 30
не имеет решений в целых числах» ([4], № 1272) полезно
предложить учащимся попытаться сформулировать рассмотренную
задачу в общем виде. Это будет выглядеть так: «Докажите, что
уравнение х2 — у2 = 4р + 2 (р — простое число) не имеет решения
в целых числах».
После решения задачи «Я задумал целое число, не
превышающее 1000. Как, задав не более 10 вопросов, на которые я буду
отвечать только «да» или «нет», можно узнать, какое число я
задумал?» (§ 7, задача 53) для закрепления способа решения мож-
2 Заказ 942 17
но предложить учащимся придумать аналогичную задачу или
самому учителю сформулировать задачу, например такую: «Сколько
достаточно вопросов, на которые отвечают только «да» или «нет»,
ч*гобы по ответам узнать пятизначный номер телефона?»
Решение. Вопросы, как и при решении предыдущей задачи,
надо задавать так, чтобы каждый последующий вопрос уменьшал
вдвое количество остающихся возможных вариантов. Таким
образом, чтобы угадать один из 2п вариантов, достаточно п
вопросов.
Так как всего имеется 10 цифр (0, 1, 2, ..., 9), то возможных
телефонных номеров будет 105. Но 105>(23)5, т. е. 105>215;
105<с217, т. е. достаточно 17 вопросов, которые можно
задавать, как и при решении задачи 53, § 7: «Верно ли, что ваш
номер больше 30 000?» Если ответили «да», то второй вопрос
может быть таким: «Больше ли он 45 000?» И т. д.
Иногда полезно составить и решить задачи более общие, чем
данная, такие, чтобы данная задача была частным случаем
составленной и ее решение следовало из решения более общей задачи.
Пусть, например, учащимся предложена задача: «Делятся ли
числа 123 123, 482 482, 647 647, 872 872, 265 265, ... на 13?»
Многие учащиеся начинают ее решение с получения частного
от деления каждого данного числа на 13. Однако задача решается
быстрее, если составить и решить более общую задачу:
«Делятся ли числа вида abcabc на 13?»^
Решение, abcabc = 1 OOOabc + abc = 1001 abc.
Так как число 1001 делится на 13, то произведение 1001 на
любое число также делится на 13.
Можно предложить более общую задачу: «На какие числа
делятся числа вида abcabc?» (Для ответа достаточно разложить
1001 на множители.)
Эту задачу полезно предложить учащимся в качестве
вспомогательной при решении задачи 70 из § 9.
Конструирование задач — интересное занятие, один из верных
способов научиться решать задачи.
Умение учащихся составлять нестандартные задачи,
решаемые нестандартными способами, свидетельствует о культуре их
мышления, хорошо развитых математических способностях.
При анализе решения задачи полезно сопоставить решение
данной задачи с ранее решенными, установить возможность ее
обобщения.
Учитель должен постоянно помнить, что решение задач
является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение
найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в
памяти тех приемов, которые были использованы, выявление
условий возможности применения этих приемов, обобщение данной
задачи — все это дает возможность школьникам учиться на
задаче. Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить
18
новые математические факты, овладеть новыми математическими
методами, накопить определенный опыт, сформировать умения
самостоятельно и творчески применять полученные знания.
При решении задач следует уделить должное внимание
оформлению записи найденного решения. Запись решения должна
быть четкой и достаточно полной, чтобы, заглянув в нее, можно
было восстановить то, что может ученику пригодиться при
дальнейшем обучении математике.
В заключение отметим, что решение задачи крайне сложный
процесс, при описании которого невозможно исчерпать все
многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие
решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо
нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а
универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению,
нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование
советам учителя не сможет творческий процесс отыскания
решений нестандартных задач уложить в определенные схемы.
Вся совокупность изложенных здесь рекомендаций имеет целью
облегчить поиски того пути, который приведет к решению задачи,
уменьшив число бесплодных блужданий, неизбежных для каждого
учащегося, опыт которого в решении задач невелик.
§ 3. О РОЛИ НАБЛЮДЕНИЙ И ИНДУКЦИИ
ПРИ НАХОЖДЕНИИ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ
НЕСТАНДАРТНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Общеизвестна роль, которая отводится индукции и
наблюдениям при обучении математике учащихся младших классов.
Позднее индуктивный метод уступает место дедуктивному. При этом
часто индуктивный поиск способа решения задачи не проводится,
решение выполняется дедуктивным способом. В результате от
учащихся ускользают пути поиска решения задачи, что отрицательно
сказывается на их математическом развитии.
Изучение опыта работы учителей убеждает, что при обучении
учащихся математике (в частности, при обучении учащихся
способам решения нестандартных задач) наблюдение и индукция (в
том числе и полная) не заняли еще должного места. А между тем
учитель должен знать и по возможности довести до сознания
учащихся тот факт, что математика является
экспериментальной, индуктивной наукой, что наблюдения и индукция играли
и играют большую роль при открытии многих математических
фактов. Еще Л. Эйлер писал, что свойства чисел, известные
сегодня, по большей части были открыты путем наблюдения и
открыты задолго до того, как их истинность была
подтверждена строгими доказательствами.
Поэтому уже в младших классах школы при обучении
математике (да и другим предметам) надо учить школьников наблю-
2* 19
дениям, прививать им навыки исследовательской работы, которые
могут пригодиться в дальнейшем, какой бы вид деятельности
они ни избрали после окончания школы.
Этой цели может служить, например, такое задание: «Число
6 представимо в виде суммы всех его делителей, исключая из
их состава само число (6=1+2 + 3). Установите, сколько в
первых двух десятках натуральных чисел (1, 2, 3, ..., 20) существует
чисел, равных сумме всех своих делителей (такие числа
называются совершенными)». Учащиеся путем перебора получают
ответ. При этом следует добиваться от них понимания того, что
полученный вывод (в первых двух десятках натуральных чисел
содержится одно «совершенное» число — число 6, ближайшим
следующим «совершенным» числом, которое также можно
обнаружить путем проб, является 28: 28=1+2 + 4 + 7+14) является
строго (научно) обоснованным, так как примененный метод полной
индукции (так называемый метод перебора) является научным
и широко применяется в математике при доказательстве теорем и
решении задач.
Методом полной индукции (рассмотрением всех возможных
случаев) может быть уже в младших классах школы доказана
теорема: «В первой сотне натуральных чисел содержится 25
простых чисел».
Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (доказательств
в общем виде), учитель должен обратить внимание учащихся на
роль наблюдений и неполной индукции при «открытии»
математических закономерностей, при нахождении способа решения
самых разнообразных математических задач, на роль полной
индукции при обосновании найденных индуктивным путем
закономерностей.
Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:
«Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных
чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти
последовательных натуральных чисел быть простым числом?» (§ 7, задача
64).
Прежде чем решать эту задачу в общем виде,
целесообразно на нескольких частных примерах выяснить, каким числом
(простым или составным) могут быть указанные в задаче суммы.
С помощью примеров можно получить гипотезы: а) сумма пяти
последовательных натуральных чисел — число составное; б)
сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число
составное.
Полученные на примерах (с помощью неполной индукции)
гипотезы легко доказываются в общем виде (см. § 7, с. 68).
Другая задача: «Может ли разность двух трехзначных чисел,
из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в
обратном порядке, быть квадратом натурального числа?» (§ 7,
задача 59).
Прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся должен
20
на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить
предполагаемый ответ (высказать гипотезу): рассматриваемая
разность не может быть равна квадрату какого-либо
натурального числа. Дедуктивное обоснование этой гипотезы, как
правило, не вызывает у учащихся затруднений (см. § 7, с. 66).
Учащиеся должны понимать, что на частных примерах
никакого утверждения доказать нельзя. Частный пример ничего не
доказывает в математике, но он может подвести к правильному
выводу.
Так, прежде чем предлагать учащимся задачу «Докажите, что
из всех прямоугольников, имеющих данный периметр, квадрат
имеет наибольшую площадь» (§8, задача 63), целесообразно
рекомендовать им установить, как в зависимости от длин сторон
изменяется площадь прямоугольника данного периметра. Пусть,
например, периметр прямоугольника 40 см, длина одной из его
сторон принимает (последовательно) значения 18, 16, 14, 10 см.
Тогда длина другой стороны прямоугольника соответственно
равна 2, 4, 6, 10 см, а его площадь — 36, 64, 84, 100 см2. Таким
образом, из всех рассмотренных прямоугольников с периметром 40 см
наибольшую площадь имеет прямоугольник с равными сторонами,
т. е. квадрат (со стороной 10 см).
Случайно ли это? Можно взять другие прямоугольники с
заданными периметрами и рассмотреть аналогичные задачи. В
результате появляется гипотеза: из всех прямоугольников, имеющих
данный периметр, квадрат имеет наибольшую площадь.
Дедуктивное обоснование этой гипотезы дано ниже (см. § 8, с. 128).
Наряду с рассмотренной задачей полезно для
математического развития учащихся предложить следующую: «Найдите
наименьшее значение периметра прямоугольника с заданной
площадью».
Как и при решении предыдущей задачи, целесообразно с
помощью частных примеров, проведя небольшое исследование,
получить гипотезу: из всех прямоугольников данной площади
квадрат имеет наименьший периметр. (Несколько способов решения
этой задачи приведено в книге Ю. М. Колягина и В. А.
Оганесяна «Учись решать задачи» — М., 1980.—С. 10—11.)
Отмечая роль наблюдений и индукции при получении
математических гипотез, при установлении новых математических
фактов, необходимо, чтобы учащиеся осознали, что неполная
индукция доказательной силы не имеет, т. е. по неполной индукции
можно получить как правильные, так и ошибочные выводы. Так,
легко получаемые с помощью неполной индукции формулы п-го
члена арифметической и геометрической прогрессий, а также
формула суммы п первых нечетных чисел натурального ряда (Sn = n2)
оказываются верными (что легко доказывается методом
математической индукции). А широко известные «формулы простых чисел»
/ (/г) =/I2 + /i-|- 17, / (jc) = jc2 + jc + 41, несмотря на то что первая
формула дает простые числа для я 6{0, 1,2, ..., 15}, а вторая фор-
21
мула дает простые числа при всех целых х в пределах от —40 до
39, для любых натуральных п и х оказываются ошибочными.
В отличие от неполной индукции полная индукция имеет
доказательную силу, и ее роль при решении многих алгебраических
задач (прежде всего на делимость) трудно переоценить.
Приведем примеры.
Пусть учащимся предложена задача: «Докажите, что любую
сумму, большую 7 к., можно уплатить трехкопеечными и
пятикопеечными монетами, не получая сдачи» (§ 7, задача 51).
Для решения этой задачи достаточно проверить, что трех- и
пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5,
9 = 3 —|- 3 —|-3, 10 = 5 —|— 5), а затем добавлять монеты по 3 к.
Решив таким способом задачу, следует добиться от
учащихся ясного понимания того, что задача решена с помощью
полной индукции: все числа, большие 7, разбили на три
непересекающихся класса — 8-f3£, 9-f3£, lO-f-3/г, где k£N, в каждом
из которых решение задачи существует.
Можно оформить решение задачи несколько иначе,
представив любое натуральное число /г, большее 7, в одном из
следующих видов:
дг = 3/г, где
n = 3k+l, где
я = ЗА! + 2, где
Доказав в каждом из трех случаев возможность
представления числа п требуемым образом, решим задачу методом полной
индукции.
Для закрепления способа решения подобных задач методом
полной индукции полезно рассматриваемую задачу решить
другим способом, разбив натуральные числа не на 3, а на 5
классов (см. § 7, с. 62).
Учащиеся должны понимать, что метод полной индукции
является научно-обоснованным методом и им можно
пользоваться наряду с другими.
Рассмотрим задачу: «Докажите, что для того, чтобы найти
квадрат двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 и
имеющего п десятков, достаточно число десятков п умножить на Аг —|— 1 и
к результату приписать 25» (§ 8, задача 47).
Можно эту задачу решить в общем виде, возведя
двузначное число 10а-|-5 в квадрат (см. § 8, с. 122), а можно
возвести в квадрат все двузначные числа, оканчивающиеся
цифрой 5 (15, 25, 35, ..., 95), и установить указанную
закономерность для каждого из девяти случаев. Учащиеся должны
понимать, что и второе решение также является
математически обоснованным.
Безусловно, решение этой задачи в общем виде значительно
короче, но и решение методом полной индукции имеет
определенную ценность для математического развития учащихся.
22
Двумя способами — в общем виде и методом полной иидук
ции — можно решить и следующую задачу: «В двузначном числе
число десятков в два раза меньше числа единиц. Если к нему
прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифр;|
ми, но в обратном порядке. Найдите это число».
Задачу можно решить с помощью составления уравнения
Юа + Ь + 36 = ЮЬ + ау откуда (так как b = 2a) а = 4, b = 8.
Но можно решить и «перебором», т. е. методом полной
индукции. Существует всего четыре двузначных числа, у которых
цифра десятков в два раза меньше цифры единиц: 12, 24, 36, 48.
Прибавив к каждому из них 36, найдем, что из полученных
четырех чисел (48, 60, 72, 84) только 84 удовлетворяет указанному
в задаче условию. Следовательно, искомое число 48.
Ясно, что применять метод полной индукции можно лишь
тогда, когда число рассматриваемых в задаче случаев конечно и
не слишком велико. Иногда этим методом задачу можно решить
проще, чем другим.
Рассмотрим задачу: «Найдите трехзначное число, которое
равно квадрату двузначного и кубу однозначного числа» ([14],
№ 1280).
Выписав все кубы однозначных чисел (I3, 23, З3, ..., 93),
выбираем те из них, которые, являясь трехзначными числами,
равны квадрату двузначного числа. Такое число единственное:
729 = 272 = 93. Задача решена методом полной индукции.
Другой пример: «Докажите, что сумма кубов трех
последовательных натуральных чисел делится на 9» (§ 9, задача 71).
Эта задача легко решается методом математической индукции.
Но можно решить ее и другим способом.
Представив три последовательных натуральных числа в виде
а—1, а и а+1, где a£Ny a>\, сведем задачу к доказательству
делимости произведения а (а2 + 2) на 3.
При соответствующем навыке тождественных
преобразований учащиеся могут это сделать, разложив произведение
а (а2 + 2) на множители: а (а2 + 2) = а (а2— 1 +3) = а (а*— 1) З
)) З
()()
Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, поэтому
и выражение а(а2 + 2) кратно трем.
Доказать делимость выражения а (а2 + 1) на 3 можно и по
шаблону, с помощью метода полной индукции, разбив множество
натуральных чисел а на 3 класса: a = 3ky a = 3k+\y a = 3k + 2y
где k£N (см. § 9, с. 192).
Иногда метод полной индукции может оказать учащимся
неоценимую услугу, являясь при решении некоторых задач для
них единственной палочкой-выручалочкой.
Рассмотрим задачу: «Докажите, что р2 — 1 кратно 24, если
р — простое число, большее 3» ([4], № 1268).
Можно решить задачу, доказав делимость р2—1 на 3 и на
8 (см. § 7, с. 50). Но для обоснования решения этим спо-
23
собом необходимо знание соответствующей теоремы о
делимости натурального числа на произведение, с которой
семиклассники, как правило, не знакомы. Можно решить задачу и вторым
способом, разбив множество натуральных чисел на 6 классов:
6я, бя-fl, 6/г + 2, 6/г + З, 6/г + 4, бдг Ч-5, где AigZo, из которых
простыми могут быть только числа вида 6/г + 1 и 6/г + 5, т. е.
числа вида 6п±1 (см. § 7, с. 50).
Но как прийти к такому решению? Конечно, для успешного
решения любой нестандартной задачи нужно уметь думать,
догадываться. Но этого мало. Нужны и знания, и опыт в решении
задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к
решению таких задач. В данном случае решить предлагаемую
нестандартную задачу можно стандартным методом — методом
полной индукции: так как требуется доказать делимость данного
выражения на 24, то разобьем все натуральные числа на 24
класса: 24/г, 24/2 —|— 1, 24/г+2, ..., 24/г+ 23, az£Zo, из которых простыми
могут быть только числа вида 24/г±1, 24/г±5, 24/г±7, 24/г±11.
Для всех этих случаев легко доказать делимость выражения
р2 — 1 (где р — простое число) на 24.
Конечно, рассмотренный способ решения задачи не является
рациональным, но для учащихся он может оказаться
единственным и уже поэтому ценным.
§ 4. О НАХОЖДЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ
СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Огромная значимость нахождения школьниками различных
способов решения задач по математике не раз отмечалась на
страницах методической литературы. Однако наблюдения
показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из
способов решения задачи, причем не всегда наиболее
рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде
отсутствия достаточного количества времени на решение одной
задачи различными способами не имеет под собой основы: для
математического развития учащихся гораздо полезнее одну задачу
решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть
на это времени, чем несколько однотипных задач одним
способом. Из различных способов решения одной и той же задачи надо
предложить учащимся выбрать наиболее рациональный,
красивый.
При отыскании различных способов решения задач у
школьников формируется познавательный интерес, развиваются
творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки.
После нахождения очередного метода решения задачи учащийся,
как правило, получает большое моральное удовлетворение.
Поэтому учителю важно поощрять поиск различных способов
решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие
методы решения задач должны стать прочным достоянием уча-
24
щихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение
использовать индивидуальные особенности каждой задачи,
позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона,
конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее
решения.
Особое внимание следует обращать на решение задач
арифметическим способом, так как именно решение задач
арифметическим способом способствует развитию оригинальности
мышления, изобретательности.
Наблюдения показывают, что учащиеся, ознакомившись со
способом решения задач с помощью уравнения, не обременяют
себя глубоким анализом условия задачи, стараются побыстрее
составить уравнение и перейти к его решению. При этом и
введение обозначений, и схема решений, как правило,
соответствуют определенному шаблону.
В этом случае задача учителя — показать учащимся на
примерах, что решение задач по шаблону часто приводит к
значительному увеличению объема работы, а иногда и к усложнению
решения, в результате чего увеличивается возможность
появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить, прежде
чем составлять уравнение для решения задачи, внимательно
изучить условие задачи, подумать над тем, какой способ
решения наиболее соответствует ее условию, попытаться решить
задачу без использования уравнений, арифметическим способом.
К сожалению, довольно широко распространено мнение, что
решение задач повышенной трудности арифметическими методами
излишне ввиду существования более сильного метода решения
задач с помощью составления уравнения.
Существует и другое мнение, опирающееся на наблюдения за
учащимися, согласно которому решение задач только
алгебраическим методом ведет к одностороннему математическому
развитию учащихся. Следует учитывать и то, что для составления
уравнения требуются определенные арифметические навыки,
понимание зависимостей между величинами. Кроме того, существует
ряд задач, решение которых чисто арифметическими методами
изящнее и проще, чем с помощью уравнений.
В качестве примера рассмотрим задачу: «Два мотоциклиста
выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу
и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункты А и В,
мотоциклисты сразу же повернули назад и встретились вновь в 25 км
от А. Сколько километров между А и В?»
Решение этой задачи с помощью уравнения представляет
для учащихся определенные трудности: не случайно в школьном
учебнике [5] аналогичная задача помещена в разделе «Задачи
повышенной трудности» (§ 8, № 27).
Гораздо легче решить эту задачу, не составляя уравнения,
а рассуждая так. От начала движения до первой встречи оба
мотоциклиста проехали вместе расстояние, равное АВУ а к моменту
25
второй встречи проехали вместе втрое большее расстояние. Та
ким образом, каждый их них до второй встречи проехал
втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из
пункта В, до первой встречи проехал 50 км. Следовательно, до
второй встречи он проехал 150 км (50-3=150). Поэтому
расстояние от Л до В равно 125 км (150 — 25=125).
При таком подходе эту задачу могут решить учащиеся не
только VIII, но и V класса.
Арифметический способ решения задач, когда шаблонный
метод не легко приводит к результату, является одним из
лучших средств развития самостоятельного, творческого
мышления учащихся. С помощью специально подобранных задач,
которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся
простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно
показать учащимся красоту, простоту и изящество логического
рассуждения, приводящего к решению задачи. Иллюстрацией
сказанному служит задача № 1287 из [4] (см. § 7, задача 45).
Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель
на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать
учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель
будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и
повышению их математической культуры.
Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен
стремиться к достижению двух целей. Первая — помочь ученику
решить именно данную задачу, научить его решать задачи,
аналогичные рассматриваемой; вторая — так развить способности
ученика, чтобы он в будущем смог решить любую задачу
школьного курса самостоятельно. Эти две цели, безусловно, связаны
между собой, так как, справившись с заданной
достаточно трудной для него задачей, учащийся несколько развивает
свои способности к решению задач вообще.
Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач
несколькими способами следует обращать внимание учащихся не
только на наиболее рациональный, красивый способ решения
данной задачи, но и на те способы, которые широко
применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются
единственными. Поясним сказанное примерами.
Рассмотрим задачу: «Докажите, что при любых значениях
х и у верно неравенство:
а) (*-3*/)2+10(jt/) +
б) \ху + 2\х — Юу — 5х2—у2 — 30<0» (§ 9, задача 89).
Такой порядок расположения неравенств подсказывает метод
доказательства второго неравенства: умножив обе части данного
неравенства на (—1) и выполнив тождественные
преобразования, будем иметь
26
Получили неравенство, аналогичное первому. Аналогичен и
способ его доказательства (см. § 9, с. 203).
Однако второе неравенство целесообразно доказать и более
естественным путем, который применяется при доказательстве
любых неравенств подобного типа: рассмотрев данный
квадратный (относительно х) трехчлен —Ьх2-\-(Ау-\-2А) х— у2—10*/—
— 30, найдем, что его дискриминант при любых у
отрицательный (D = — {2y + 2f — 20). А так как коэффициент при х2 тоже
меньше нуля, то данное неравенство справедливо при любых
значениях х и у.
Этот метод можно применить и при решении следующей
задачи:
«При каких значениях х и у выражение z = x2-\-2xy-\-2у2: +
-\-2x-\-ty-\-3 имеет наименьшее значение? Найдите это
наименьшее значение» (§ 9, задача 113).
Действительно, квадратный (относительно х) трехчлен х2-\-
-\-х(2у-\-2)-\-2у2-\-Ау-\-Ъ имеет наименьшее значение при
2а 2 *
Это наименьшее значение равно, как легко подсчитать,
()2
(
Таким образом, данный квадратный трехчлен принимает
наименьшее значение, равное 1, при у= — 1 и а: = 0 (х=—у—1 =
= 1-1=0).
Другой пример. При решении задачи «Что больше: —it-1-- или
1°12~^1 ?» ([4], № 1263) учащиеся, как правило, применяют
наиболее естественный в данном случае способ решения —
приведение дробей к общему знаменателю и сравнение их числителей
(см. § 7, с. 48).
Учащихся целесообразно познакомить и с другими
способами решения этой задачи, которые могут оказаться
полезными при решении других задач.
Так, вычтя от обеих дробей по 0,1, мы получим дроби с
одинаковыми числителями, которые сравним устно:
Так как
1ак как
Можно сравнить данные дроби и другим способом:
умножив каждую из дробей на 10 и выделив единицу, будем иметь
27
Так как —рр—>>—~— , то первая из данных дробей больше
второй.
Решив задачу «Разложите на множители многочлен
jc8 + jc4 —2» ([4], № 1267) наиболее часто применяемым
способом — выделением квадрата двучлена и выполнением
соответствующих тождественных преобразований (см. § 7, с. 49), следует
предложить учащимся попытаться отыскать способ решения
более экономичный, чем найденный, более общий, более изящный.
Таким способом при решении данной задачи может быть
следующий:
x* + x4-2 = xs- 1 +х4- 1 ={х4- 1) (х4+ \) + {хА- \) =
44 22*
Задача «Найдите все простые числа р и qy для которых
р2— 2<72=1» ([4], № 1275) вызывает, как правило, у учащихся
затруднения. Наряду с нестандартным решением, до которого
могут додуматься далеко не все семиклассники (см. § 7, с. 52),
можно предложить следующее решение.
Так как р2= 1 +2^2, то р2, а следовательно, и р нечетно. А так
как 2q2 = (p—1)(р+1) и р нечетно, то q четно. Значит, q = 2
(единственное четное простое число 2). Следовательно, р = 3.
Этот способ решения задачи открывает перед учащимися
новый путь решения аналогичных задач, поэтому заслуживает
особого внимания.
Рассмотрим задачу: «Докажите, что уравнение х2 — у2 = 30
не имеет решений в целых числах» ([4], № 1272).
Способ решения, примененный в предыдущей задаче, может
пригодиться и здесь. Действительно, числа х — у и х-{-у
одинаковой четности, поэтому их произведение либо делится на 4 (если
эти числа оба четные), либо не делится на 2 (если оба нечетные).
Таким образом, х2 — у2 не может равняться 30. Этот способ
решения позволит учителю предложить учащимся более общую
задачу: «Докажите, что уравнение х2 — */* = 4р + 2 (р — число простое)
не имеет решения в целых числах».
Иногда бывает целесообразным решить задачу в общем
виде, хотя, как правило, числовые данные призваны упрощать
решение задачи.
Пусть семиклассникам предложена задача: «Докажите, что не
существует целых коэффициентов а, Ьу с и d, таких, что значение
многочлена ах3-\-bx2 + cx + d равно 1 при jc=19 и равно 2 при
jc = 62» ([4], № 1273).
Наряду с решением этой задачи с помощью составления сис-
28
темы уравнений для заданных числовых значений (см. § 7,
с. 52) целесообразно дать решение задачи в общем виде. Из
системы
( ах] + bx2
\ % 2
получаем а (х3 — xl)-\-b (х2 — х\)-\-с (х\ — х2) = А— В, откуда
следует, что для целых a, by су х\у х2у Ау В выражение А— В всегда
кратно х\— х2. Подставив Jti=62, jt2= 19, Л =2, В=1, получим, что
А — В не делится на Х\—х2 (1 не делится на 43).
Следовательно, утверждение задачи доказано.
Такой способ решения позволит учителю (и ученикам)
варьировать условие этой задачи, импровизировать на ее тему.
Например, можно предложить учащимся заполнить
недостающие данные в условиях следующих задач:
1. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, Ьу с и
dy таких, что значение многочлена ах3 + Ьх2 + сх + d равно 1 при
х = ... и равно 2 при х = ... .
2. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, Ьу с и
d, таких, что значение многочлена ах3 -\-Ьх2 -\-cx-\-d равно ... при
х=\9 и равно ... при х = 2.
Полезно также предложить учащимся составить и решить
другие задачи на данную тему, основываясь на решении задачи в
общем виде.
В общем виде целесообразно решить и следующую задачу:
«Представьте выражение 24ху в виде разности квадратов двух
многочленов» (§ 7, задача 74).
Заметив, что (ах + byf — {ах — by)2 = 4abxyy приходим к выводу,
что а и Ь — любые числа, произведение которых равно 6. Таким
образом, из приведенного способа решения следует, что задача
имеет бесконечное множество решений (сравните с решением,
приведенным в § 7, с. 74).
Заметим, что частое использование одного и того же метода при
решении задач иногда приводит к привычке, которая
становится вредной. У решающего задачу вырабатывается
склонность к так называемой психологической инерции. Поэтому, как
бы ни казался учащимся простым найденный способ решения
задачи, всегда полезно попытаться найти другой способ решения,
который обогатит опыт решающего задачу. Кроме того, в
некоторых случаях получение того же результата другим способом
служит лучшей проверкой правильности результата.
Так, наряду с решением задачи «Докажите, что разность
между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом
1 кратна 3» ([4], № 1270) методом полной индукции (см. § 7,
с. 51) полезно рассмотреть и следующий способ решения.
Пусть п — натуральное число, не кратное 3. Рассмотрим три
последовательных числа: п— 1, п и л + 1, одно из которых
кратно 3. Так как по условию п не делится на 3, то на 3 делится
29
п—\ или я+1, т. е. их произведение п2 — 1, что и требовалось
доказать.
Рассмотрим задачу: «Какая из дробей ближе к единице:
правильная или обратная ей неправильная?» (§ 9, задача 66).
Наряду с наиболее естественным способом решения задачи —
сравнением разностей 1—j- и 1 (см. § 9, с. 189) — можно
предложить и более красивое решение. Рассмотрим среднее
арифметическое двух заданных дробей (середину определяемого
ими отрезка) и сравним его с единицей. Имеем:
Таким образом, единица ближе к левому концу отрезка, т. е.
к правильной дроби.
Решая задачи на доказательства неравенств, полезно
наряду с аналитическим способом доказательства неравенств
познакомить учащихся и с применением синтетического метода.
Рассмотрим задачу: «Докажите неравенство (д/я + V^)8 ^ 64а6(а + bf,
если а>0, 6^0» (§ 9, задача 132).
Наряду с доказательством этого неравенства методом
восходящего (совершенного) анализа, наиболее естественном для
учащихся (см. § 9, с. 228), доказательство можно записать проще,
используя синтетический метод.
Так как а-\-Ь^2л[аЬ, то
Отметим, что в настоящем пособии мы не ставим своей
целью привести все возможные способы решения содержащихся
в нем задач. Учащиеся могут предложить свои способы,
отличные от рассмотренных, и тогда учителю необходимо рассмотреть
предложенные учениками способы, оценить их и похвалить за
самостоятельность творческой мысли.
§ 5. О ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
И ЗАВИСИМОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
Среди задач повышенной трудности, рассматриваемых при
изучении курса алгебры, значительное место занимают задачи
на построение графиков функций и зависимостей, содержащих
знак модуля. И хотя в методической литературе этому
вопросу уделяется немало внимания, наблюдения показывают, что
такие задачи вызывают у учащихся затруднения и они допускают
ошибки при построении указанных выше графиков.
30
Одна из причин таких ошибок кроется, на наш взгляд, в
непонимании учащимися определения модуля числа:
ху если
— ху если
При работе над определением модуля числа учитель должен
обратить внимание учащихся на то, что число — х может
быть как отрицательным (при х>0), так и положительным (при
jc<<0). (Учащиеся нередко считают, что число —х всегда
отрицательное.)
В курсе алгебры неполной средней школы (на уроках и в
период проведения внеклассной работы) целесообразно
рассмотреть, прежде всего, построение графиков трех видов:
y = f(\x\), y=\f(x)\ и \y\=f(x).
Для закрепления навыков построения таких графиков при
соответствующей подготовке учащихся можно рекомендовать и
построение графиков вида y=\f(\x\)\y |у|=/(|*|) и \у\ = \f (\x\)\.
Для построения всех таких графиков учащимся достаточно
хорошо понимать определение модуля и знать вид графиков
простейших функций, изучаемых в школе.
Так, для построения графика функции y = f(\x\) на
основании определения модуля имеем:
/ (jc), если Jt^O, /тч
/( — х), если х<0. {i)
Следовательно, график функции y = f(\x\) состоит из двух
графиков: графика y = f(x) в правой полуплоскости и графика
y = f( — x) в левой полуплоскости.
Пусть, например, требуется построить график функции
На основании определения модуля имеем:
х2 — Зл; + 2, если
у = х —
График изображен на рисунке 1.
После того как учащиеся
познакомятся с определениями четной и
нечетной функций, их можно
познакомить со следующим правилом 1:
Функция y = f(\x\) четная,
поэтому для построения ее графика
достаточно построить график
функции y = f(x) для всех jc^O из
области ее определения и отразить
полученную часть графика
симметрично оси ординат.
t если х<0.
Рис 1
31
y=x2-|xl-2
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
, , \ \
-2\-/\
\
\
\
У)
4
2-
\
' y=x2+
/
/
I
/
/1 2
/
ixi-z
X
Рис 2
Рис З
Знание этого правила облегчает построение графиков
функций вида y = f (\x\). Во избежание формализма в умениях
учащихся строить графики функций вида y = f (\х\) целесообразно
предлагать им строить графики двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правила 1.
После знакомства учащихся с графиком квадратичной
функции весьма интересным и полезным является построение
графиков функций у=х2 — 31jc| +2 (рис. \)у у = х2— \х\— 2 (рис. 2),
у = х2+\х\-2 (рис. 3).
В старших классах школы
после знакомства учащихся с
графиками тригонометрических функций
полезно построить графики
функций y = sm(\x\)9 y = cos(\x\)y y =
= tg(|jt|), обратив внимание
учащихся, что график функции у =
= cos (I jc |) совпадает с графиком
y = cos xy и выяснив причину этого
(функция y = cosx является
четной).
Знакомство учащихся с
построением графиков функций
вида у= \f (а:)|, как и графиков
функций y = f{\x\), можно провести
сразу же, как только они хорошо
усвоят определение модуля. На
основании определения модуля имеем:
Рис. 4
32
y=\f{x)\-{Lf(
f (jc), если /
" jc), если /(jc)<0.
(П)
Формула II позволяет сформулировать правило 2:
Для построения графика функции y=\f(x)\ достаточно
построить график функции y = f(x) для всех х из области ее
определения и ту часть графика функции y = f (x), которая
расположена ниже оси абсцисс (/(х)<0), отразить симметрично этой оси.
(Предварительно следует добиться от учащихся ясного
понимания того, что графики функций y = f (x) и у= —\ (х) расположены
симметрично оси абсцисс.)
Таким образом, график функции у== \f (x)\ расположен только в
верхней полуплоскости.
Так, для построения графика функции у=\х2 — 4| достаточно
построить график функции у = х2 — 4 для всех х и ту часть
графика, которая расположена в нижней полуплоскости (при —2<С
<jc<2), отобразить симметрично оси абсцисс (рис. 4).
Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения
графика функции y=\f (х)\. С помощью нескольких задач можно
навыки учащихся в построении таких графиков легко довести до
автоматизма. При этом учащиеся перестают задумываться, почему
именно так строятся графики функций, содержащих знак модуля.
Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся
необходимо чередовать построение графиков функций вида y = f (\х\) и
y=\f(x)\ (см. [4], № 1259 (а, б); [5], № 1114 (в, г), [6],
№ 1136 (а)).
С построением графиков зависимостей вида \у\ =f (x)
учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо построения
таких графиков вызывают у учащихся наибольшие затруднения.
Учитывая, что в формуле \y\=f(x) f (x)^0 и на основании
определения модуля
У "
Рис 5
Рис. 6
3 Заказ 942
33
| =Хг-5х+б
-6
/
0
-С
о
\
\
\
\
\
1
1
1
1
1
1
1
1
/
1
1
\ j
\ /
л
4
\
\
\
\
\
\
[
|у|=-
X
\
Рис. 7
Рис 8
={
уу если
— у, если
перепишем формулу \y\=f(x) в виде
y=±f(x), где /(
(Ш)
Формула III позволяет сформулировать правило 3:
Для построения графика зависимости \у\ =f (x) достаточно
построить график функции y = f(x) для тех х из области ее
определения, при которых / (jc)^O, и отразить полученную часть
графика симметрично оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости \у\ =f (х) состоит из
графиков двух функций: y = f(x) и y=—f(x), где f (х)^0.
В соответствии с этим правилом учащимся можно предложить
построить графики функций \у\=х (рис. 5), \у\=хг (рис. 6),
\у\=х2 — 5jc + 6 (рис. 7), \у\ = — х'2 + 5х — б (рис. 8).
Конечно, совершенно нет необходимости требовать от
учащихся запоминания правил построения графиков функций и
зависимостей, содержащих знак модуля: для построения таких графиков
достаточно понимания определения модуля. Понимания
определения модуля достаточно и для построения графиков, содержащих
знак модуля и отличных от каждого из трех рассмотренных выше
видов (см. § 7, задача 17, § 8, задача 37, § 9, задача 8, б).
34
§ 6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ
Задачи повышенной трудности, имеющиеся в специальных
разделах школьных учебников алгебры и в настоящем пособии,
довольно разнообразны и по содержанию, и по форме, и по
способам решения, и по возлагаемой на них учебно-воспитательной
функции. Задачи расположены здесь без какой-либо видимой
системы. Однако именно в этом «беспорядке» заложена
определенная система обучения решению задач.
Разнообразие задач не исключает необходимости их
систематизации. Все задачи в соответствии с используемым для их
решения математическим аппаратом можно разбить на две группы:
1) задачи, решение которых не требует знаний программного
материала соответствующего класса; 2) задачи, тесно связанные
с изучаемым на уроках алгебры материалом. Задачи первой
группы могут быть решены в любое время учебного года,
задачи второй группы могут быть использованы по мере изучения
соответствующего программного материала.
К задачам первой группы для VII класса относятся задачи
из [4] № 1242, 1244—1256, 1260—1263, 1278, 1280—1282, 1287—
1289. К задачам первой группы для VIII класса следует отнести
задачи на использование свойств натуральных чисел и сведений
из теории делимости ([5], № 1081, 1082, 1090), задачи, решаемые
с помощью составления уравнений и систем уравнений ([5],
№ 1099—1110), задачи на тождественные преобразования ([5],
№ 1077, 1078, 1080, 1083, 1085, 1087—1089) и построение
графиков функций ([5], № 1113—1120).
Из задач первой группы для IX класса можно выделить
задачи на использование свойств натуральных чисел и сведений
из теории делимости ([6], №1129, 1131, 1151, 1181, 1188—1192),
на тождественные преобразования ([6], №1140, 1163, 1164, 1166),
задачи на доказательство и решение неравенств, уравнений и
систем уравнений ([6],№ 1045, 1047—1049, 1067, 1082—1084),
задачи, решаемые с помощью составления уравнений и систем
уравнений ([6], № 1050, 1051).
Из задач второй группы, тесно связанных с изучением на
уроке алгебры в VII классе материалом, следует выделить
системы уравнений ([4], № 1279) и задачи, решаемые с помощью
составления систем уравнений ([4], № 1283—1286), задачи на
использование формул сокращенного умножения ([4], № 1264—
1277), задачи на использование определения модуля и на
построение графиков функций и уравнений ([4], № 1243, 1257—1259).
В курсе алгебры VIII класса по мере изучения программного
материала можно предложить задачи, решаемые с помощью
составления уравнений и систем уравнений, требующих от учащихся
умения решать квадратные уравнения ([5], № 1100, 1104—1108),
3* 35
задачи на применение теоремы Виета ([5], № 1095—1097) и
доказательство неравенств ([5], № 1092), на использование тождества
^/x2=\x\ ([5], № 1085, 1086, 1098).
Из задач второй группы в IX классе можно выделить
задачи на закрепление темы «Квадратичная функция» ([6], № 1132—
1139, 1141, 1144), задачи на закрепление темы
«Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии» ([6],
№ 1053—1062, 1086, 1087), задачи, требующие от учащихся знаний
начальных сведений по тригонометрии ([6], № 1070—1079).
Применение задач повышенной трудности довольно
разнообразно. Они могут быть использованы при введении к изучению
новой темы (например, математический софизм из [5] № 1086
может быть использован при введении формулы ^х>2=\х\), для
самостоятельного установления и доказательства школьниками
какого-либо математического факта (например, задача 1289 из [3],
задачи 1042, 1063, 1068 из [6]), для более глубокого
усвоения теоретического материала, для возбуждения и развития
интереса к математике, для приобщения учащихся к
деятельности творческого характера, развития у них математического
мышления, а также в целях воспитания таких нравственных
качеств личности, как трудолюбие, упорство в достижении
цели и др.
Когда, где (на уроке или во внеклассной работе) и с какой
целью можно использовать ту или иную алгебраическую
задачу настоящего пособия? Каждый учитель, безусловно, сам может
продумать и определить пути (время и место) использования
каждой задачи, исходя из индивидуальных особенностей
учащихся классов, в которых он работает. Опытный учитель легко
определит, где (на уроке или во внеурочное время) можно
использовать ту или иную задачу, какими знаниями должны при
этом обладать учащиеся, какой материал необходимо
предварительно повторить, какие задачи полезно рассмотреть в качестве
вспомогательных. Приведенные ниже рекомендации
предназначены, главным образом, для начинающего учителя.
Разделим задачи настоящего пособия по способу их
использования на три группы: 1) задачи, которые целесообразно
решить со всеми учащимися (задачи этой группы обозначены
знаком Л); 2) задачи, которые полезно задать на дом в качестве
необязательного задания, а решение их рассмотреть вне урока
с теми учащимися, которых они заинтересуют; при наличии
времени решения отдельных задач этой группы полезно разобрать
со всеми учащимися (задачи этой группы обозначены знаком □);
3) задачи, предназначенные для внеклассной работы или для
дополнительного задания наиболее способным по математике
учащимся как в школе, на уроке, так и дома (задач этой группы в
этом пособии большинство, и поэтому они не обозначены
никаким знаком).
Отметим, что проведенное нами деление задач на группы весь-
36
ма условно и всецело зависит от уровня подготовки учащихся,
от их интересов.
Пути использования задач первой группы довольно
разнообразны. Одни из них могут быть предложены для устного
решения в конце или в начале урока с целью активизации
познавательной деятельности учащихся \лк использованы для
математических викторин (например, задачи № 1271, 1280 из [4], № 1116
из [5], № 1047 из [6]). Другие полезно разобрать со всеми
учащимися, чтобы познакомить их с некоторыми приемами устного
счета (§ 8, задача 47), с ролью наблюдений, индукции
(неполной и полной) при решении математических задач. Третьи могут
быть решены в классе со всеми учащимися или заданы в
качестве обязательного домашнего задания (с последующей
проверкой их решений в классе), при повторении программного
материала предшествующих классов или при изучении курса алгебры
соответствующего класса.
Многие из задач первой группы нестандартны по содержанию и
по способам решения и потому в школьных учебниках алгебры
помещены в разделах «Задачи повышенной трудности».
Трудность многих из них определяется лишь новизной и необычностью
математической ситуации, в них рассматриваемой. Ввиду
простоты решения таких задач следует добиваться, чтобы учащиеся
хорошо усвоили способы их решения и смогли использовать при
решении более трудных задач.
Решение нестандартных задач со всеми учащимися
способствует пробуждению и развитию у них устойчивого интереса к
математике и ее приложениям, расширению и углублению их знаний
по программному материалу, оптимальному развитию
способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.
Задавая в качестве обязательного домашнего задания
задачи повышенной трудности, учитель должен быть особенно
внимателен: отдельные учащиеся, не справившиеся с домашним
заданием, могут потерять веру в свои силы. С такими учащимися
нужна индивидуальная работа, которая позволит учителю
выяснить, какие затруднения испытывали они при решении
задач, и наметить пути их преодоления.
К задачам второй группы отнесены такие, которые, как
правило, доступны пониманию почти всех учащихся, но требуют
довольно много времени на осмысление их условия: иногда в
виду их громоздкости (например, задачи, решаемые с помощью
составления систем уравнений), иногда из-за их нестандартности.
Те из них, которые для оформления решения на доске требуют
мало времени, целесообразно проверить на уроке (например,
задачи № 1244—1246 из [4]). Решения других задач в классе,
на уроке, могут быть проверены лишь частично (например,
достаточно записать на доске уравнение или систему
уравнений, составленных для решения задач). Третьи задачи
могут быть проверены лишь во внеурочное время (например, из-за
37
полнейшего отсутствия связи между материалом, используемым
при решении задачи, и материалом, изучаемым на уроках в
соответствии с программой).
Учащиеся, которых привлекла интересная задача, всегда
останутся после уроков, чтобы убедиться в правильности (или
ошибочности) найденных ими решений.
Целесообразно также решение некоторых задач, заданных в
качестве необязательного домашнего задания, вывешивать в классе
на специальном стенде после того, как истек срок, на который
задавались задачи (они могут быть заданы учителем на один или
несколько дней — смотря по количеству задач и по их сложности).
Успехи отдельных учащихся в решении задач повышенной
трудности должны быть отмечены на уроке перед всем классом.
При этом оценки за успешно решенные задачи, задаваемые
учителем в качестве необязательного домашнего задания, могут быть в
порядке поощрения выставлены в журнале, что для учащихся
может явиться дополнительным стимулом при решении таких задач
(в том числе и для тех, кто не решил и не решал
необязательные задачи). И нет ничего плохого в том, что при решении
задач повышенной трудности, заданных в качестве
необязательного домашнего задания, ученик обратится к кому-либо за
помощью. В любом случае решение задач повышенной трудности
самим учащимся или изучение способа решения, предложенного кем-
либо другим, будет способствовать накоплению определенного
запаса математических фактов и сведений, углублению знаний,
приобретаемых на уроках, развитию у учащихся интереса к
предмету. А степень самостоятельности, проявленной отдельными
учащимися при решении задач, задаваемых в качестве
необязательного домашнего задания, учитель при желании всегда
может определить.
Недопустимо задавать в качестве необязательного домашнего
задания задачи повышенной трудности отдельным хорошо
успевающим учащимся (всегда одним и тем же). Особенно этого
нельзя делать в младших и средних классах, когда интересы учащихся
еще не определились, так как учитель может не заметить
способных, оттолкнуть остальных от занятий математикой. Кроме того,
у отдельных учащихся, постоянно выделяемых и восхваляемых
учителем на уроке, может возникнуть зазнайство, сознание
собственной «элитарности», что может оказать отрицательное влияние
на развитие личности.
Успехи школьников в решении задач повышенной трудности во
многом зависят от педагогического мастерства учителя.
Доброжелательность, педагогический такт, внимание учителя, его умение
радоваться каждому, даже незначительному успеху школьников
способствуют развитию их интереса к решению задач, а вместе
с ним интереса к самой математике. Формальное же отношение
учителя к решению задач учащимися, к их успехам или неудачам
может отпугнуть учащихся от занятий математикой, оказать вред-
38
ное влияние на математическое развитие школьников. Поэтому
вовсе нет надобности заставлять каждого ученика решать все
задачи, отнесенные ко второй группе. Пусть каждый решает
столько задач, сколько сможет, и те задачи, которые ему
представляются интересными. При внимательном отношении учителя к
результатам труда школьников этого будет вполне достаточно
для математического развития каждого учащегося в
отдельности и всего класса в целом.
За неумение решать нестандартные задачи, какими бы
простыми они ни казались учителю, оценка учащихся не должна
снижаться. И уж совсем недопустимо выставление отрицательных
оценок в журнал за невыполнение упражнений, заданных в
качестве необязательного домашнего задания.
На ранней и средней ступенях обучения очень важно
воспитывать у учеников веру в свои силы. Поэтому, задавая в
качестве домашнего задания задачи повышенной трудности, учитель
должен стремиться к тому, чтобы большинство учащихся смогло
их решить. При возникших у учащихся затруднениях учитель
может предложить решить в классе вспомогательную задачу или
систему вспомогательных задач. Можно расчленить трудную
задачу на более простые или несколько упростить условие задачи.
Однако торопиться с этим не следует, так как вспомогательные
задачи, наводящие вопросы или чрезмерно полные разъяснения
учителя, используемые постоянно, могут помешать развитию
творческих способностей учащихся, самостоятельности их мышления.
Многие задачи, отнесенные по нашему разбиению ко второй
группе, можно было бы при наличии времени решить в классе: они
полезны для развития математических способностей учащихся и не
слишком сложны. Однако они требуют много времени даже для
того, чтобы осмыслить содержание задачи. Задавая задачу на дом,
учитель дает ученику возможность лучше понять условие задачи,
решить ее не торопясь, не соревнуясь с другими в скорости
решения (что иногда приводит к ошибкам).
Задачи третьей группы предназначены в основном для
внеклассной работы. Их решают на занятиях математического
кружка, при проведении олимпиад, конкурсов. Это наиболее трудные
задачи, к которым относятся логические задачи, а также
задачи, тесно связанные с обязательным материалом, но
требующие определенного творческого подхода к их решению, умения
самостоятельно мыслить, применять полученные знания.
Однако следует заметить, что, предлагая для решения в классе
или дома трудную задачу отдельным, хорошо успевающим
учащимся, учитель должен выяснить, нет ли в классе других
учеников, желающих ее решить. Может случиться так, что ученик
занимался самостоятельно (в заочной физико-математической
школе, с родственниками), поэтому достиг определенных успехов
в решении задач.
Ни в коем случае не следует говорить ученику: «Тебе этой за-
39
дачи не решить». Пусть каждый желающий пробует свои силы. И
если он добьется успеха при решении трудной задачи, радость
этого успеха должны разделить с ним и учитель, и
одноклассники. А ведь успех является психологическим стимулом
возникновения, поддержания и укрепления познавательных интересов
школьников.
Если уровень математической подготовки учащихся
недостаточно высок, то для внеклассной работы можно использовать
часть задач второй группы.
В заключение еще раз подчеркнем, что задачи повышенной
трудности школьных учебников и настоящего пособия — это не
задачи для внеклассной работы с отдельными, хорошо
успевающими и интересующимися математикой учениками. Конечно,
многие из этих задач учитель может использовать и на занятиях
кружка, и при проведении олимпиад, выпуске стенгазет и т. д.
И все же учитель должен стремиться к тому, чтобы использовать
как можно больше интересных, нестандартных задач в работе со
всеми учащимися. При этом следует обязательно отметить и
похвалить (и не скупиться на оценки) тех учащихся, которые
добиваются успехов в решении задач. В этом случае многие
учащиеся (а не только те, кто посещает занятия математического
кружка) могут всерьез заинтересоваться математикой, полюбить ее и
избрать в будущем своей специальностью.
Таким образом, задачи повышенной трудности служат
переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат
хорошим материалом для выявления наиболее способных к
математике учащихся, для дополнительных заданий как в школе, так и
дома.
Последовательное осуществление органической связи между
повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой
с помощью задач повышенной трудности позволит учителю
добиться больших успехов в развитии математических способностей
отдельных учащихся и всего класса в целом.
§ 7. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VII КЛАССА
Л 1(1242)'. Найдите все натуральные значения а, при
которых корень уравнения (а— 1) л: = 12 является натуральным
числом.
Решение. Так как а и х должны быть натуральными
числами, то а— 1 их — делители числа 12. Представим число 12 в
виде произведения двух натуральных чисел: 12= 1 • 12 = 2-6 = 3-4.
Возможны следующие случаи:
1 У задач 1—47 в скобках указаны номера упражнений в учебнике |4|
40
x=l,
x=2,
x=4,
*=I2,
a —
a —
a —
a —
a —
a —
= 12,
= 6,
= 4,
= 3,
= 2,
= 1,
o = 5;
a = 2.
Ответ: 2; 3; 4; 5; 7; 13.
□ 2 (1243). Решите уравнение:
a) |jc — 3|=7; в) |4 — jc| = 1.5;
6) |jc + 2|=9; r) |6 — jc| =7,3.
Решение. I способ, а) На основании определения
модуля числа имеем:
: —3, если jc^3,
если х<3.
I о| Г -^г — 3,
'* 61~\3-ху
Поэтому имеем: х — 3 = 7 или 3 — jc = 7, откуда х= 10 или х= —4.
Аналогично решаем остальные,
б) |jc + 2|=9. Имеем:
= 9 или —jc — 2 = 9,
= 7 или х= — 11.
в) |4 — jc| = 1.5.
4 — jc= 1,5 или х — 4=1,5,
jc = 2,5 или Jt = 5,5.
г) |6 — jc| =7.3.
6 —jc = 7,3 или х — 6 = 7,3,
jc= — 1,3 или Jt= 13,3.
II способ (графический), а) Уравнение \х — 3|=7 можно
записать в виде системы двух уравнений:
_7 (•)
Построим графики у=\х — 3\ и у = 7 (рис. 9). Абсциссы
точек пересечения этих графиков
являются решением системы
уравнений (1), а следовательно, и
решением исходного уравнения: х\ = — 4,
JC2= Ю.
Остальные уравнения решаются
аналогично.
Ответ: а) -4; 10; б) —11; 7;
в) 2,5; 5,5; г) -1,3; 13,3.
Ч
41
Замечание. Предварительно в качестве вспомогательных
задач целесообразно решить задачи 215, 217 и 234 из учебника [4].
□ 3(1244). В шестизначном числе первая цифра совпадает с
четвертой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что
это число кратно 7, 11, 13.
Решение. Обозначим первую цифру числа буквой а,
вторую — буквой Ь, третью — буквой с. Тогда данное число
запишется так: abcabc. Имеем:
abcabc==l000abc + 'abc=lO0\abc = 7-11 -\3abc.
Утверждение доказано.
Замечание. Предварительно целесообразно решить
задачи 800—802, 832 из учебника [4].
□ 4(1245). В двух бочках было воды поровну. Количество
воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем
увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала
увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке
стало больше воды?
Решение. Обозначим первоначальное количество воды в
каждой из двух бочек через а. В первой бочке после уменьшения
количества воды на 10% ее стало 0,9а; после увеличения на
10% воды стало 0,9а + 0,09а = 0,99а.
Во второй бочке после увеличения количества воды на 10%
ее стало а + 0,1а= 1,1а; после уменьшения на 10% воды стало
1,1а-0,11а = 0,99а.
Ответ: в бочках осталось воды поровну.
□ 5(1246). На сколько процентов увеличится площадь
прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину — на
Ю%
%
Решение. Пусть длина прямоугольника была ху а ширина
у> тогда его площадь равна ху. После увеличения длины и
ширины прямоугольника соответственно на 20% и 10% его площадь
стала равна 1,2л> 1,1*/= 1,32jm/, т. е. площадь прямоугольника
увеличилась на 0,32ди/, что составляет 32% от ху.
Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 32%.
□ 6(1247). Три ящика наполнены орехами. Во втором
ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем
в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на
80 орехов больше, чем в третьем?
Решение. Пусть в первом ящике было х орехов, в третьем —
у. Тогда во втором ящике было jc + 0,1jc = 1,1 jc или f/ + 0,3t/= 1,3у.
Учитывая, что в первом ящике было на 80 орехов больше, чем
в третьем, составляем систему уравнений:
1,1*= l,3f/,
х —1/ = 80,
откуда у=440, Jt = 520, 1,1* = 572.
42
Замечание. Можно эту задачу решить, не составляя
системы уравнений. Пусть в первом ящике было х орехов, тогда в
третьем — х — 80, во втором ящике— 1,1л:, или 1,3 (х— 80).
Имеем уравнение: 1,1jc= 1,3 (х — 80), откуда х = 520.
Ответ: в первом ящике было 520 орехов, во втором — 572,
в третьем — 440.
□ 7(1248). Число а составляет 80% числа 6, а число с
составляет 140% числа 6. Найдите числа а, 6 и с, если известно,
что с больше а на 72.
Решение. По условию задачи имеем а = 0,86, с =1,46,
с — а = 72у откуда с — а = 1,46 — 0,86 = 0,66,
0,66 = 72, 6=120, а = 0,86=96, с= 1,46= 168.
Ответ: а = 96, 6= 120, с= 168.
□ 8(1249). Число а составляет 75% числа 6 и 40%
числа с. Число с на 42 больше, чем 6. Найдите числа а и 6.
Решение. По условию задачи имеем а = 0,756, а = 0,4с,
с —6 = 42. Выразим бис через а: 6= — а, с = — а, откуда с — Ь =
о А
=\а—А-а=-^-ау -±-а = 42, а = 36, 6=-|-а = 48.
Ответ: а = 36, 6 = 48.
9(1250). При делении натурального числа а на натуральное
число 6 в частном получили сив остатке d. Выясните, могут ли
все числа а, 6, с и d оказаться нечетными.
Решение. По условию задачи имеем a = bc-\-d.
Предположим, что все числа а, 6, с, d нечетны. Тогда число
be — нечетное число (произведение двух нечетных чисел есть
число нечетное), число bc + d — четное число (сумма двух
нечетных чисел есть число четное). Получили, что число a = bc-{-d
есть число четное, т. е. наше предположение ошибочно.
Ответ: все числа а, 6, с и d оказаться нечетными не
могут.
Замечание. Перед решением этой задачи полезно
предложить учащимся следующие вопросы:
1. Число а делится на 6 без остатка. В частном получается
с. Как записать число а? (а = Ьс.)
2. При делении числа а на 6 получили частное с и остаток d.
Чему равно число a? (a = 6c+d.)
П 10(1251). Найдите двузначное число, которое в четыре
раза больше суммы его цифр.
Решение. Пусть искомое число a6 = 10a + 6, где а£#,
66Z0, 0<a<9, 0<6<9.
По условию задачи составим уравнение:
10a + 6 = 4a + 46, откуда 2а = 6.
Уравнение 2а = 6 решаем подбором, учитывая, что а и 6 —
цифры десятичной системы счисления.
43
Если а=1, то 6 = 2,^6 = 12;
если а = 2, то 6 = 4, а6 = 24;
если а = 3, то 6 = 6, а6 = 36;
если а = 4, то 6=8, а6=48;
если а = 5, то 6 = 10, чего быть не может.
Ответ: искомым двузначным числом может быть любое из
чисел: 12, 24, 36, 48.
11(1252). Делится ли число 111...1 на 81?
81 раз
Решение. I способ. Представим данное число в виде
суммы 9 слагаемых:
81 раз 9 раз 9 раз
Ш...Ы054 + ...+ Ш...Ы09 + Ш...
9 раз 9 раз 9 раз
9 раз
Первый множитель делится на 9, так как на 9 делится сумма
его цифр, равная 9. Сумма цифр второго множителя, равная
9 (числу слагаемых), также делится на 9, следовательно, и сам
множитель делится на 9. Поэтому данное число, представленное
в виде произведения двух множителей, каждое из которых
делится на 9, делится на 81.
II с п о с о б. Заметим, что по признаку делимости на 9 данное
число делится на 9. Если это число разделить на 9, то в частном
получится число 1234567901234... . Легко понять, что в частном
будет число, в котором каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
повторяется 9 раз (цифра 0 повторяется 8 раз: в конце числа ее не
будет). Поэтому сумма цифр этого числа, равная 45-9 (1+2 +
+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 45), делится на 9. Следовательно, частное
1234567901234... делится на 9, а данное число делится на 81.
12(1253). Докажите, что остаток от деления простого числа
на 30 есть простое число или единица.
Решение. Пусть при делении простого числа а на 30
получается частное q и остаток г. Тогда а = ЗО<7 + г, где r£N, r<C30,
т. е. a = 2-3-5q + ry г£{1; 2; 3; 4; 5; ...; 29}. Если а<30, то
а = 30-0 + г, т. е. r = a. Значит, г — простое число. Пусть а>30.
В этом случае остаток г не может быть равным 2, 3 или 5, так как в
противном случае число а было бы составным (если каждое
слагаемое делится на какое-нибудь число, то и сумма делится на это
число). Каждое из составных чисел 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и 28 кратно либо 2, либо 3, либо 5.
Поэтому если бы г равнялось какому-нибудь из них, то число a
было бы составным. Но а — простое число. Следовательно,
г£{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, что и требовалось доказать.
44
Л 13(1254). К некоторому двузначному числу слева и
справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза
большее первоначального. Найдите это двузначное число.
Решение. Пусть искомое двузначное число ab. По
условию задачи составим уравнение: labl=23-ab. Имеем 1000 +
+ l0ab+\=23-aby откуда 13 - об = 1001, аЬ = 77.
Ответ: 77.
Замечание 1. Неизвестное двузначное число можно найти
и подбором его цифр, если учесть, что только при умножении
на 7 числа 3 получается число, оканчивающееся единицей.
Замечание 2. Одновременно с этой задачей
целесообразно рассмотреть задачи 805—808 из учебника [4].
Л 14(1255). В двузначном числе зачеркнули одну цифру.
Получилось число в 31 раз меньшее первоначального. Какую цифру
и в каком числе зачеркнули?
Решение. Из двузначных чисел, кратных 31 (31, 62, 93),
выбираем числа, удовлетворяющие условию задачи: после
зачеркивания одной цифры числа получаем число в 31 раз меньшее
первоначального. Этому условию удовлетворяют все двузначные
числа, кратные 31. Действительно, зачеркнув в них цифру
десятков, будем иметь числа 1, 2 и 3, которые в 31 раз меньше чисел 31,
62 и 93 соответственно.
Ответ: 31, 62, 93; зачеркнуть нужно первую цифру.
□ 15(1256). Первая цифра трехзначного числа 8. Если эту
цифру переставить на последнее место, то число увеличится на
18. Найдите первоначальное число.
Решение. I способ. Пусть а — цифра десятков
искомого числа, b — цифра его единиц. Тогда по условию задачи
имеем:
аЬ8 — 8а6 = 18, откуда \0ab + 8 — 800 — ab= 18,
первоначальное число 890.
II способ. Задачу легко можно решить подбором цифр,
перефразировав ее следующим образом: узнайте, какие цифры
обозначены буквами, если каждая буква означает лишь одну цифру:
_АВ8 8АВ
8АВ или J[ [8
18 АВ8У
откуда В = 0, А =9.
Замечание. Прежде чем с помощью уравнений решать
задачи 13, 15, целесообразно предложить учащимся
нижеприведенные вспомогательные задачи.
1. К числу х приписали справа цифру 4. Представьте
полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число;
б) трехзначное число. Ответ: a) 10х + 4; б) 10х + 4.
45
2. К числу у приписали слева цифру 5. Представьте
полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число; б)
трехзначное число. Ответ: а) 500 + */; б) 5000 + */.
3. Если к задуманному числу приписать справа нуль и
результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное
число. Какое число задумано?
Решение. Пусть задумано число х. Имеем уравнение
143— 10jc = 3jc, откуда jt=ll. Ответ: 11.
4. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к
полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет
равна 633. Найдите данное число.
Решение. Задача сводится к решению уравнения 10* +
Н-9Н-2л: = 633, где х— данное число; х = 52. Ответ: 52.
5. Если к данному трехзначному числу слева приписать цифру
8 и к полученному четырехзначному числу прибавить 619, то
сумма будет в 40 раз больше данного трехзначного числа. Найдите
это число. Ответ: 221.
□ 16(1257). Постройте график уравнения:
а) (х-2)(у + 3) = 0; б) х2 + ху = 0.
Решение, а) Так как произведение равно нулю, когда
хотя бы один из множителей равен нулю, то уравнению (х — 2)Х
Х(*/ + 3) = 0 удовлетворяют пары чисел а: = 2, у — любое число или
х — любое число, */=—3. Следовательно, график уравнения
(х — 2)(*/ + 3) = 0 состоит из двух прямых х = 2 и у= —3 (рис. 10).
б) Разложим левую часть уравнения х'2-}-ху = 0 на множители.
( С
откуда х = 0 или у= —х. Следовательно,
0 состоит из двух прямых х = 0 и
Будем иметь х (jt + f/) =
график уравнения 2
у= —х (рис. И).
Замечание. Одновременно с этой задачей целесообразно
решить задачи 1200, 1209, 1210 из учебника [4].
□ 17(1258). Постройте график уравнения:
а) у+ \у\ =*; б) у=х\у\.
Решение, а) По определению модуля числа имеем:
Рис 10
Рис 11
46
Рис 12
Рис. 13
, если */<0.
График уравнения х = у-{-\у\ изображен на рисунке 12.
б) Выразим из данного уравнения х и воспользуемся
определением модуля числа. Имеем:
Х=Л_=( 1, если у>0,
\у\ { — 1, если */<0,
jc —любое, если у = 0. График изображен на рисунке 13.
□ 18(1259). Постройте график функции:
a) £/=|jc| —3; б) у = 4-\х\.
Решение, а) По определению модуля числа имеем:
х — 3, если х
— х — 3, если
График функции у=\х\—3 изображен на рисунке 14.
б) По определению модуля числа имеем:
4-х, если
4-х, если
Рис 15
47
График функции у = 4— \х\ изображен на рисунке 15.
Замечание. В качестве вспомогательной задачи полезно
решить задачу 1211 из учебника [4].
□ 19(1260). Найдите наименьшее натуральное число, которое
после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на
3 — кубом натурального числа.
Решение. Пусть х — наименьшее натуральное число,
такое, что 2х = Ь2, Зх = с3, где Ь и с — натуральные числа. Из
равенства 2х = Ь2 следует, что х кратно 2. А так как Зх = с3у
то х кратно 23 = 8и кратно 32 = 9, т. е. jc = 23.32a6 = 72a6, где
а — любое натуральное число. Наименьшее х получаем при а= 1.
Ответ: 72.
□ 20(1261). Докажите, что значение выражения 967 —225 —
-~486 кратно 10.
Решение. Определим, какой цифрой оканчивается каждая
степень данного выражения.
Так как б7 оканчивается цифрой 6, то и 967 оканчивается
цифрой 6. 25 оканчивается цифрой 2, следовательно, 225 также
оканчивается цифрой 2. 486, как и 86, оканчивается цифрой 4.
Учитывая знаки выражения, найдем, что цифра единиц равна
нулю (6 — 2 — 4 = 0). Следовательно, значение данного
выражения кратно 10.
Замечание. В качестве вспомогательных задач
целесообразно рассмотреть задачи 547, 586 из учебника [4].
Одновременно полезно рассмотреть задачу 587.
21(1263). Что больше: -jj£±} или -jg^j-?
Решение. Для облегчения вычислений сделаем замену
Ю10 = а. Тогда получим:
10"+ 1 __ IOfl+1
10l2+l 100a+l '
Сравнение данных дробей свелось к сравнению дробей
10а+1
100a+1 '
Приведем дроби к общему знаменателю:
(lOOa-f l)(10a+l)
Сравним числители дробей. Имеем:
(a+l)(100a+l)=100a2+101a+l,
(10a+l)(10a+l)=100a2 + 20a+l.
Так как 101a>20a (a=1010), то числитель первой дроби больше
числителя второй дроби, а поскольку знаменатели у них равны, то
48
T. e.
Два других способа решения этой задачи приведены в § 4.
Ответ: первая дробь больше второй.
□ 22(1264). Представьте выражение 2х2-\-2у2 в виде суммы
двух квадратов.
Решение.
23(1265). Если афО или ЬфО, то значение выражения
5а2 — 6ab + 5b2 положительно. Докажите.
Доказательство. Преобразуем данное выражение:
5a2-6ab+5b2 = 4a2-8a
= (2a-2bf
При данном условии и при аф ±Ь каждое слагаемое
полученной суммы положительно. При а = Ь второе слагаемое (а + 6) >0,
при а = —Ь первое слагаемое (2а — 2Ь)2>0. Таким образом, в
любом случае значение выражения (2а — 2Ь)2 + (а-(- Ь)2 положительно.
Утверждение доказано.
Замечание. Представить выражение 5а2 —бай+ 5й2 в виде
суммы положительных (неотрицательных) выражений можно и
другими способами:
+ 2Ь2>0.
2
24(1266). Докажите, что при любом значении х значение
выражения (jc — 3)(х — 5)+ 2 — положительное число.
Доказательство. Раскроем в данном выражении
скобки и приведем подобные члены:
(3)(5) 2 28
Выделим полный квадрат:
х'2-8х+ 17 = (jc-4)2+
Так как (jc — 4)2>0, to (jc —4)2+1>0. Утверждение доказано.
□ 25(1267). Разложите на множители многочлен:
а) jc8 + a:4-2; в) аИ + 4;
б) а5 —а2 —а—1; г) п4 + п2+1.
Решение.
a) j84 2
4 Заказ 942 49
Другой способ разложения этого трехчлена на множители
приведен в § 4, с. 28.
б) аъ-а2-а- 1 = (аь-а)-(а2 + 1) = а (а4- 1)-(а2+ 1) =
= а(а2 Л. 1)(а2 ,)_(?2+1) (а2 . ,)(аЗ_а ,);
в) п4 + 4 = (п2 + 2Y -(2п)2 = (п* -2п + 2) (п2
Г) Al4+Al2+1==(^+1)2_Al2=(Al2_Al+1)(Al
26(1268). Докажите, что р2—1 кратно 24, если р — простое
число, большее 3.
Доказательство. I способ, р2— 1=(р— 1)(р+1).
Так как 24 = 3-8, где 3 и 8 — взаимно простые числа, то для
доказательства делимости р2— 1 на 24 достаточно доказать его
делимость: а) на 3 и б) на 8 (соответствующую теорему
целесообразно рассмотреть на кружковых занятиях).
а) Для доказательства делимости р2 — 1 на 3 рассмотрим три
последовательных натуральных числа: р— 1, р, р+1. Так как из
трех последовательных натуральных чисел одно всегда делится на
3, а р — число простое и большее 3 (по условию), то на 3
делится одно из чисел: р—1 или р+1. Следовательно, р2—1
делится на 3.
Замечание. Доказать делимость р2 — 1 на 3 можно и
методом полной индукции (см. решение задачи 1270).
б) Так как р простое, большее 3, то р — число нечетное.
Следовательно, р— 1 и р-\- 1 — числа четные. Пусть р — 1 =2/, тогда
+12/ 2 2(/1)
Так как из двух последовательных натуральных чисел / и /+1
одно число четное, то число 4/(/+1), равное р2 — 1, делится на
8. Следовательно, р2—1 делится на 24.
II способ. Множество натуральных чисел исчерпывается
формулами 6/г, 6/г+ 1, б/г+ 2, 6/г + З, бдг + 4, б/г+ 5 или
формулами 6/г, 6/г± 1, 6/г±2, б/г + 3, где /г = 0, 1, 2, 3 ... . Из них простыми
числами, большими 3, могут быть только числа вида 6/гч=1.
Имеем:
р2- 1 =(6л± I)2— 1 =36п2± \2п= \2п (Зл± 1).
Так как числа /г и 3/г±1 разной четности, то м • (Здг ± 1)
делится на 2, а значение выражения \2п (3/г±1), равное р2— 1,
кратно 24 при любом простом числе р>3. Утверждение доказано.
Замечание. Предварительно целесообразно решить
задачи 825, 830, 831, 833, 840, 843 из учебника [4].
27(1269). Докажите, что сумма квадратов пяти
последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального
числа.
Доказательство. Пусть п — 2, п — 1, /г, /г + 1, /г + 2, где
N n>2,— пять последовательных натуральных чисел.
Рассмотрим сумму их квадратов:
50
Чтобы выражение 5 (я2+ 2) было квадратом натурального
числа, необходимо, чтобы двучлен п2 + 2 был кратен пяти,
т. е. должен оканчиваться цифрой 5 или нулем. Тогда п2
должен оканчиваться цифрой 3 или цифрой 8, чего быть не может,
так как квадрат любого натурального числа может
оканчиваться лишь одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6, 9. Утверждение доказано.
Замечание. Целесообразно вместо этой задачи учащимся
предложить следующую: «Может ли сумма квадратов пяти
последовательных натуральных чисел быть квадратом натурального
числа?» В этом случае учащиеся индуктивным путем должны
получить сформулированную в задаче 27 гипотезу и только после
этого ее доказывать.
28(1270). Докажите, что разность между квадратом
натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Доказательство. Натуральное число, не кратное 3,
может быть одного из двух видов: а) /г = 3£+1; б) /г = 3£ 2
где k = 0y 1, 2, 3, ... .
В случае а) по условию задачи имеем (ЗА+ I)2— 1 =
В случае б) имеем (3fc + 2)2- I =9k2+ 12£ + 3.
В обоих случаях получили числа, кратные 3.
Л 29(1271). Упростите выражение
Решение. Чтобы воспользоваться формулой разности
квадратов, умножим данное выражение на единицу (1 =2 — 1). Имеем:
-1) = 22-1; (22-
4 8 8
(21)(2+1) = 21; (21)(2+1) = 21;
(216- 1) (216+ 1) = 232- 1; (232- 1) (232+ 1) = 264- 1.
Ответ: 264—1.
30(1272). Докажите, что уравнение х2 — у2 = 30 не имеет
решений в целых числах (т. е. когда х и у оба целые).
Доказательство. Разложив левую и правую часть
уравнения на множители, будем иметь (х — у) (х-{-у) = ab> где а и b —
целые числа, в произведении дающие 30 (а=±1, Ь = ±30;
а=±2, &=±15; а=±3, 6=±10; а=±5, Ь=±6). Из
уравнения следует система
\
откуда 2х = а-|-Ь, где 2х — число четное, а число а + 6, в чем легко
убедиться перебором,— число нечетное. Следовательно, данное
уравнение не имеет решения в целых числах.
Замечание. Другой способ решения этой задачи см. в § 4.
31(1273). Докажите, что не существует целых
коэффициентов а, 6, с и d, таких, что значение многочлена ахъ -\-Ьх -\-cx-\-d
равно 1 при х=\9 и равно 2 при jc = 62.
4* 51
Доказательство. Допустим, что существуют такие
коэффициенты а, Ь, с и d, что верны равенства
Вычтя из второго равенства первое, будем иметь:
а-(623-193) + М622-192) + с(62-19)=1,
а-43-(622 + 62-19+ 192) + Ь- 43-81 + с-43 = 1,
откуда
а-(622 + 62-19+192) + &-81+с=-к
43
При целых а, Ь и с в левой части последнего равенства получим
целое число (а не —) . Пришли к противоречию.
Замечание. По поводу способа решения этой задачи см.
§ 4, с. 29.
32(1274). Докажите, что если у есть среднее арифметическое
х и 2, то jr + 2x3z — 2xz3 — z4 — 4x22 22
Доказательство. Так как по условию у= x~^~z , то
4*/2 = (* + <z)2- Сделав в данном выражении подстановку 4у2 =
= (x-fz)2, будем иметь:
Х4 + 2jc32 _ 2xz3 -z4- Ах2 у2 + 4y2z2 =
=х4 -f 2jc3z — 2xz3 — z4 — x2(x + zf + (x + zfz2 =
23234423V A2 3 4 0
что и требовалось доказать.
33(1275). Найдите все простые числа р и q, для которых р2 —
-2</2=1.
Решение. Из равенства p2 — 2q2= 1 имеем р2— 1 =2q2y
откуда ^~1)^+1) = ^.^. Так как в правой части равенства имеем
произведение равных простых чисел (q не имеет других
делителей, кроме q и 1), то и в левой части равенства имеем произведение
равных чисел, т. е. р— l = £ii, откуда р = 3. Следовательно,
9-2</2=1, </2 = 4, q = 2. Ответ: р = 3, q = 2.
Замечание. Еще один способ решения этой задачи см.
в § 4, с. 28.
34(1276). При каких значениях а, Ьу с и d равенство
5x3-32x2 + 75x-7l=a(x-2f + b{x-2)2 + c{x-2) + d
является тождеством?
Решение. Раскроем скобки в правой части равенства и
приведем подобные члены:
a {x-2f + b (x-2)2
3 2 2
52
Для того чтобы равенство
(
+ 4b-2c
было тождеством, необходимо, чтобы коэффициенты при
одинаковых степенях совпадали. Приравнивая их, получим систему
уравнений:
Решив ее, получим, что при а = 5, Ь= — 2, с = 7, d= — 9 данное
равенство будет тождеством.
Ответ: а = 5, Ь= — 2, с = 7у d= — 9.
Замечание. Одновременно целесообразно решить задачи
1073, 1074 из [4].
35(1277). Представьте многочлен 3jc3 + 7jc2-|-9jc-|-6 в виде
многочлена ay -\-by2-\-cy-{-d, где у = х-\-\.
Решение. I способ. Из равенства у = х+1 выразим
х и подставим значение х = у— 1 в данный многочлен:
Получили Зу3 — 2у2 + 4у+ 1 =ay3 + by2 + cy + dy т. е. а = 3, Ь= —2,
с = 4у d=\.
И с п о с о б. Необходимо найти такие значения a, ft, с и d,
чтобы равенство
являлось тождеством.
Решаем способом, примененным при решении задачи 34:
a(x+\f f 3 2
Получили
a
Имеем систему уравнений:
53
откуда а = 3, b=— 2, с = 4, d=l.
Ответ: 3jc3 + 7jc2 + 9jc+6 = 3 (jc + I)3 —2 (jc+ l)2 + 4 {x+ 1)+ 1.
П 36(1278). При каких натуральных значениях х и у верно
равенство 3jc + 7*/ = 23?
Решение. Выразим из данного уравнения одно из
неизвестных, например у:
23-3* = 21+2-Зл =р . 2-Зл
У 7 ? ^-Г ? •
Подбором находим наименьшее натуральное значение х, при
котором у — натуральное число: а: = 3, откуда у = 2.
Это значение */ единственное, так как при х>3 (х —
натуральное число) получаем y^N.
Ответ: х = Зу у = 2.
Замечание. Наряду с решением уравнений вида ах +
+ Ьу = с в натуральных (или целых) числах целесообразно
предложить учащимся задачи с практическим содержанием,
приводящие к решению таких уравнений. Приведем примеры.
□ Задача 1. Кусок проволоки длиной 102 см нужно
разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы была использована
вся проволока. Как это сделать?
Решение. Пусть х — число частей проволоки длиной 15 см,
у — число частей проволоки длиной 12 см. Имеем уравнение
15jc+ 12у= 102, или 5jc + 4(/ = 34, откуда
Имеем f/i = l, jci = 6; #2 = 6, х2 = 2.
Задача имеет два решения:
1) 102=15.6+12.1;
2) 102=15.2+12.6.
Задача 2. Пете в 1987 г. было столько лет, какова сумма
цифр года его рождения. В каком году он родился?
Решение. Пусть Петя родился в \9ху году. Тогда в 1987
году ему было 1987 — 19jm/, или (l+9 + x + y) лет. Имеем
уравнение:
87 — (10х + у)=10 + х + у, или 77— \\х = 2уу
откуда
77-lU 1U-1
-2 О О
Учитывая, что х и у — цифры десятичной системы счисления,
подбором находим jc = 7, y = 0.
Ответ. Петя родился в 1970 году.
54
Замечание. Целесообразно решить одновременно задачи
1197, 1198 из [4].
Л 37(1279). Решите систему:
Решение, а) Сложив почленно три уравнения системы,
найдем, что х = 3. Подставим вместо х число 3 в первое и третье
уравнения. Получим # = 4, 2 = 5.
Ответ: Jt = 3, */ = 4, 2 = 5.
б) I способ. Сложим все уравнения системы почленно.
Будем иметь 2 (jt + y + z) = 4, откуда (jt + y + z) = 2. Подставив в
это уравнение последовательно вместо сумм х + У,У + гиг-\-хих
значения из уравнений, найдем: 2 = 5, х=—4, у=1.
II способ. Умножим обе части второго уравнения на —1.
Будем иметь:
— у — 2= —6,
2+Jt=l.
Сложив все уравнения, получим 2х=—8, или х=—4.
Подставив найденное значение х в первое и третье уравнения, найдем
значения у и 2.
Ответ: х=— 4, у=\У 2 = 5.
38(1280). Найдите трехзначное число, которое равно квадрату
двузначного и кубу однозначного числа.
Решение. Выпишем все кубы однозначных чисел:
I3, 23, З3, 43, 53, б3, 73, 83, 93.
Рассмотрим те из них, которые, являясь трехзначными
числами, могут быть равны квадрату двузначных. Очевидно, что
53 и 73 не могут быть квадратами двузначных чисел (5 и 7 —
числа простые).
Разложим на простые множители оставшиеся составные числа:
Искомое число 729 = 272 = 93.
Ответ: 729.
39(1281). Найдите два натуральных числа, сумма которых
равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
Решение. Пусть а и Ь — два таких натуральных числа,
что а + 6 = 168, а = 24/2i, 6 = 24/г2, где п\ и п2 — натуральные
числа. Тогда имеем 24aii + 24ai2= 168, откуда Mi + n2 = 7. Учитывая,
что Aii и п2 — натуральные числа, в сумме равные 7, легко находим
числа а и Ь:
55
a = 24 (ni = l), 6 = 144 (п2 = 6);
а = 48 (л 1=2), 6 = 120 (л2 = 5);
а = 72 (л |=3), 6 = 96 (л2 = 4).
Ответ: 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
40(1282). У школьника было несколько монет достоинством
в 15 к. и 20 к., причем двадцатикопеечных монет было больше, чем
пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил,
отдав две монеты за билеты в кино. Половину оставшихся денег
он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет
каждого достоинства было у школьника вначале?
Решение. Задача сводится к решению в натуральных
числах уравнения 20jc+ \5у = пу где х — число двадцатикопеечных
монет, у — число пятнадцатикопеечных монет, причем х>у\
натуральное число п определяется из условия задачи.
Так как пятая часть всех денег была уплачена двумя
монетами, то пятая часть денег равна либо 40 к. (две монеты по 20 к.),
либо 30 к. (две монеты по 15 к.), либо 35 к. (20к. + 15 к.). Тогда
всего денег у школьника было либо 200 к., либо 150 к., либо 175 к.
Половина оставшихся после кино денег либо 80 к. f ° ~4 j ,
либо 60 к. (■&=&-) , либо 70 к.
Легко установить, что половина оставшихся денег составляет
60 к. (70 к. и 80 к. нельзя оплатить тремя монетами достоинством
в 15 к. и 20 к.), а все деньги — 150 к.
Решая уравнение 20jc+ \5y= 150 при х>у в натуральных
числах, найдем jc = 6, y = 2.
Ответ: у школьника было 6 двадцатикопеечных монет
и 2 пятнадцатикопеечные.
41(1283). Путь от А до В идет 3 км в гору, 6 км под гору
и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за
1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость
мотоциклиста в гору и скорость под гору, если на ровном месте
его скорость была 18 км/ч. (При решении необходимо заметить,
что и в гору, и под гору мотоциклист ехал с постоянными
скоростями как на пути АВУ так и на обратном пути.)
Решение. I способ. На ровном месте в одном направ-
2 / 9 \
лении мотоциклист ехал — ч ( 12:18=—) , или 40 мин. Тогда
3 км в гору и 6 км под гору мотоциклист ехал 27 мин, а 6 км в гору
и 3 км под гору мотоциклист ехал 36 мин. Если обозначить скорость
мотоциклиста в гору и под гору соответственно за v\ (км/мин) и
v2 (км/мин), то будем иметь систему уравнений:
[ —+-$-= 36,
56
откуда v\=—км/мин, или 12 км/ч, у2=—км/мин, или 30 км/ч.
О £
II с п о с о б. Можно решить эту задачу и не составляя системы
уравнений.
Действительно, если 3 км в гору и б км под гору мотоциклист
ехал 27 мин, то, удвоив путь, найдем, что на путь длиной 6 км в
гору и 12 км под гору мотоциклисту понадобилось бы 54 мин.
Поскольку на 6 км в гору и 3 км под гору мотоциклист по условию
задачи затратил 36 мин, то на 9 км (12 — 3 = 9) под гору
мотоциклисту понадобилось бы 18 мин (54 — 36=18). Следовательно,
скорость мотоциклиста под гору равна -^-=-i- км/мин, или
1о 2
30 км/ч.
Аналогично найдем, что на путь длиной 12 км в гору и 6 км
под гору мотоциклисту понадобилось бы 72 мин (36-2 = 72). Тогда
на путь 9 км в гору ему понадобилось бы 45 мин (72 — 27 = 45).
Следовательно, скорость мотоциклиста в гору равна —=
=— км/мин, или 12 км/ч.
5
Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.
□ 42(1284). Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2
года назад брат был старше сестры в два раза, а 8 лет назад — в
пять раз?
Решение. I способ. Пусть в настоящее время сестре
х лет, брату у лет. По условию задачи составляем систему
уравнений:
<у-2 = 2(х-2),
откуда находим х=10, #=18.
II способ. Пусть 2 года назад сестре было х лет, брату —
2х лет. Восемь лет назад сестре было (х — 6) лет, брату — (2х — 6)
лет. По условию задачи имеем:
2х — 6 = 5 (х — 6), откуда х = 8, 2х=16.
Следовательно, в настоящее время сестре 10 лет (8 + 2=10),
брату 18 лет (16 + 2=18).
Ответ: 18 лет, 10 лет.
43(1285). Из двух городов А и В, расстояние между которыми
180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и
легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы
автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на
15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость
автобуса и легкового автомобиля?
Решение. Пусть скорость автобуса v\ км/ч, скорость
легкового автомобиля V2 км/ч. Так как их встреча произошла через
1,5 ч, то имеем уравнение:
57
Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, то он был бы
в пути 2 ч 30 мин (7 ч 35 мин — 5 ч 5 мин = 2 ч 30 мин).
Если бы легковой автомобиль вышел на 15 мин позже, то он
был бы в пути 1 ч (7 ч 35 мин — б ч 35 мин = 1 ч).
Получаем уравнение:
, + t>2=
Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
,5у| + 1,5у2= 180,
откуда ^1=40 км/ч, 1^ = 80 км/ч.
Ответ: 40 км/ч, 80 км/ч.
44(1286). Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два
автобуса. В то же время из города В в город А выехал
велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в
10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите
скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1— раза
больше скорости другого.
Решение. Пусть скорость одного автобуса v\ км/ч,
скорость другого автобуса— v\ км/ч, скорость велосипедиста ^гкм/ч.
Так как автобус с большей скоростью встретил велосипедиста
через — ч (10 ч 10 мин — 8 ч 50 мин=1 ч 20 мин), а другой
автобус встретил велосипедиста через 2 ч (10 ч 50 мин —
— 8 ч 50 мин = 2 ч), то имеем систему уравнений:
Решив систему уравнений, найдем ^i =35 км/ч, у2 = 15 км/ч.
Скорость второго автобуса —^, =60 км/ч.
Ответ: скорость велосипедиста 15 км/ч.
45(1287). Всадник и пешеход одновременно отправились из
пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в В на 50 мин раньше
пешехода, возвратился обратно в А. На обратном пути он встретился с
пешеходом в двух километрах от В. На весь путь всадник затратил
1 ч 40 мин. Найдите расстояние от Л до В и скорость всадника и
пешехода.
Решение. Так как на весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин,
то на путь из А в В он затратил 50 мин (1 ч 40 мин:2 = 50 мин).
Тогда пешеход на путь из А в В затратил 1 ч 40 мин, поскольку
он прибыл в В на 50 мин позже всадника. Следовательно,
скорость пешехода вдвое меньше скорости всадника. Значит, когда
58
всадник был в В, пешеход был на середине пути. Так как на обрат
ном пути они встретились в 2 км от В, то пешеход за это время про
шел от середины пути 1 км (2 км:2=1 км). Следовательно, от
середины пути до В 3 км, а все расстояние между А и В 6 км.
Так как это расстояние всадник проехал за 50 мин (--J- ч J ,
то его скорость 7,2 км/ч (б:—=7,2 j ; скорость пешехода в два
раза меньше: 7,2:2 = 3,6 км/ч.
Ответ: 6 км; 7,2 км/ч; 3,6 км/ч.
46 (1288). Только что добытый каменный уголь содержит
2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он
содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса
добытой тонны угля после того, как уголь две недели пролежал на
воздухе?
Решение. Так как только что добытый уголь содержит
2% воды, то в тонне такого угля содержится 20 кг воды и 980 кг
сухого вещества.
После двухнедельного пребывания на воздухе 980 кг сухого
вещества составляют 88% (100% —12% =88%), т. е. всего угля
будет около 1114 кг ( 980;о100 ^1114) .
\ оо /
Таким образом, масса добытой тонны угля увеличилась
примерно на 114 кг.
Ответ: на 114 кг.
47(1289). Два брата ходят вместе из школы домой с
одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из
школы первый побежал в школу и, добежав до нее, немедленно
бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти
домой в два раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они
пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин
позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата
больше обычной скорости ходьбы братьев?
Решение. Обозначим первоначальную скорость братьев
через v (м/мин), а отрезок пути, который прошел второй брат со
скоростью —, через s. На этот отрезок пути он затратил — мин
(5:~5~) » что по условию больше обычно затрачиваемого
времени (со скоростью v) на 6 мин. Имеем уравнение:
—-=6, т. е. —=6, s =
V V
Первый брат за это же время (— = 2*6г; == 12 мин)
пробежал путь 15у+ 15v-}-s = 30v-{-6v = 36v. Скорость бега его равна
36у:12 = Зу, т. е. в три раза больше обычной скорости ходьбы
братьев.
Ответ: в три раза.
59
□ 48(1134)'. В школьной математической олимпиаде
принимали участие 9 учеников шестого класса. За каждую решенную
задачу ученик получил 2 очка, а за каждую нерешенную задачу с
него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач.
Докажите, что среди участников олимпиады из шестого класса было по
крайней мере 2 ученика, набравших одинаковое число очков.
(Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем
зачетных, набрал нуль очков.)
Решение. Для доказательства составим таблицу
зависимости числа набранных очков от числа решенных задач.
Число решенных задач
Число набранных очков
10
20
9
17
8
14
7
11
6
8
5
5
4
2
3
0
2
0
1
0
Из таблицы видно, что существует только 8 различных
возможностей получения очков. Так как учеников было 9, то по
крайней мере двое из них получили одинаковое число очков.
49(1135). Два туриста, имея один велосипед, должны за
полтора часа проделать путь в 12 км. На велосипеде каждый из
них может развить скорость 20 км/ч, а пешком 5 км/ч. Смогут ли
туристы проделать весь путь без опоздания, если на велосипеде
одновременно два человека ехать не могут? (Велосипед можно
оставлять без присмотра.)
Решение. Пусть первый турист проедет на велосипеде х км,
а пешком пройдет 12 — х (км). Тогда второй турист проедет на
велосипеде 12 — х (км), а пешком пройдет х км. Так как
наибольший выигрыш времени туристы получат в том случае, если в
конечный пункт маршрута придут одновременно, то имеем уравнение:
Таким образом, туристы смогут проделать весь путь без
опоздания, если половину пути (6 км) каждый из них проедет на
велосипеде, а другую половину пройдет пешком. При этом менять
способ передвижения туристы могут, например, через
каждые 100 м.
50(1136). Перед соревнованиями по плаванию каждого из
четырех участников А, Б, В и Г спросили, на какое место он
рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду
последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним»
и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что
только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из
пловцов ошибся?
У задач 48—79 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [1|
60
Решение. Составим таблицу, в которой знаком «плюс»
укажем предполагаемые результаты.
Пловец
А
Б
В
Г
Места
1
+
+
2
+
3
+
+
4
+
Предположим, что ошибся А. Тогда он мог занять 2-е или 3-е
место (4-е место занял пловец Г, который, если ошибся Л,
правильно предсказал свой результат: по условию ошибся только один
пловец). В этом случае возможны следующие варианты
распределения мест:
а) А —2, Б— 1, В — 3, Г — 4;
б) Л—3, Б— 1, В —2, Г —4.
Докажем, что задача имеет один ответ (ошибся пловец А).
Действительно, если бы ошибся Б (занял 4-е место), то ошибся бы
и пловец Г, что противоречит условию задачи. Если бы ошибся В,
тогда он должен быть или первым или последним. В таком случае
ошибся бы еще один пловец — А или Г. Если бы ошибся Г, то
ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место
не занял бы никто. Так как по условию задачи мог ошибиться
только один пловец, то Г не ошибся.
Ответ: ошибся пловец А.
51 (1137). Докажите, что любую сумму, большую семи копеек,
можно уплатить трехкопеечными и пятикопеечными
монетами, не получая сдачи.
Решение. I способ. Достаточно проверить, что
трехкопеечными и пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к.
(8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты
по 3 к.
II способ. Любое натуральное число /л, большее 7, можно
представить в одном из следующих видов:
т = 3/г, где
61
где
где
Если m = 3n, то, очевидно, сумму можно уплатить
трехкопеечными монетами.
Если т = Зя+1, то т = 3(л — 3)+3-3+1 =3 (л — 3) + 5-2,
где п — 3gZo (так как п^З), т. е. данную сумму можно уплатить
трехкопеечными и двумя пятикопеечными монетами.
Если т = Зя + 2, то т = 3 (п— 1) + 3 + 2 = 3 (п— 1) + 5, где
п — 1 £ N, т. е. данную сумму можно уплатить трехкопеечными и
одной пятикопеечной монетами.
Замечание. Для закрепления способа решения подобных
задач полезно данную задачу решить другим способом,
представив натуральное число, большее 7, в одном из следующих
видов:
/п = 5/г, где n£Ny n
т = 5п + 1, где
т = 5л + 2, где
т = 5/г-(-3, где /г
т = Ъп + 4, где /г £ W, /г ^ 1.
Очевидно, что в случае т = 5п сумму можно уплатить
пятикопеечными монетами, а в случае /л = 5/г + 3 сумму можно уплатить
пятикопеечными и одной трехкопеечной монетами.
Приведенные ниже преобразования доказывают возможность
представления суммы трехкопеечными и пятикопеечными
монетами в каждом из оставшихся трех случаев:
m = 5п-|- 1 = 5 (п — 1) + 5+1=5(л — 1) + 2-3; п —
так как п^2,
= 5 (л — 2) + 5-2 + 2 = 5 (лг —2) + 4-3; Ai-
так как /г^2,
5(лг — 1)Н-5-|-4 = 5(лг— 1) + 3-3; п— lgZo,
так как я^ 1.
52(1138). В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых,
12 красных и 20 черных. Какое наименьшее число шариков надо
вынуть из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди них
оказалось обязательно: а) хотя бы по одному шарику всех указанных
цветов; б) 10 шариков одного цвета?
Решение, а) В самом неблагоприятном случае могут быть
вынуты 20 черных и 12 красных шариков, затем следующий
вынутый шарик (белый) обеспечит наличие шариков трех указанных
цветов. Следовательно, достаточно вынуть 33 шарика (20+12 +
+ 1 =33), чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы по
одному шарику всех указанных цветов.
б) В самом неблагоприятном случае могут быть вынуты все
белые шарики (5), 9 красных и 9 черных, затем любой вытянутый
шарик (красный или черный) обеспечит наличие 10 шариков
одного цвета (красного или черного). Следовательно, достаточно
вынуть 24 шарика, чтобы среди вынутых шариков оказалось 10
шариков одного цвета.
62
256 320 512 210
l288' № ' '
Рис. 16
53(1139). Я задумал целое число, не превышающее 1000. Как,
задав не более 10 вопросов, на которые я буду отвечать только
«да» или «нет», можно узнать, какое число я задумал?
Решение. При решении задачи удобно пользоваться
таблицей степеней с основанием 2, так как число, не превышающее
1000, находится в числовом промежутке [2°, 210). Вопросы следует
задавать так, чтобы после каждого ответа промежуток
уменьшался бы в два раза. (Найденные промежутки отметим на
рисунке 16.)
Пусть, например, задумано число 300 (х = 300).
Вопрос 1. Больше ли число jc, чем 512? (512 = 29.)
Ответ. Нет.
Вопрос 2. Больше ли число jc, чем 256? (256 = 29:2 = 28.)
Ответ. Да.
Вопрос 3. Больше ли число jc, чем 384? (384 = 28 + 29 \
Ответ. Нет.
Вопрос 4. Больше ли число jc, чем 320? (320 = 256 + 384 \
Ответ. Нет.
Вопрос 5. Больше ли число jc, чем 288? (288= 256 + 320 \
Ответ. Да.
Вопрос 6. Больше ли число jc, чем 304? (304 =
Ответ. Нет.
Вопрос 7. Больше ли число jc, чем 296? (296 =
Ответ. Да.
Вопрос 8. Больше ли число jc, чем 300? (зОО=296 + 304 . \
Ответ. Нет.
Вопрос 9. Больше ли число jc, чем 298? (298=296+300 Л
Ответ. Да.
Вопрос 10. Больше ли число jc, чем 299? (299 =
Ответ. Да.
Следовательно, задумано число 300 (только единственное целое
число 300 больше 299, но не больше 300).
□ 54(1140). Через 5 лет возраст брата будет относиться к
возрасту сестры как 7:5. Сколько лет каждому из них в настоя-
63
щее время, если год назад брат был вдвое старше сестры •>
Решение. I способ. Пусть год назад сестре было х лег,
а брату — 2х лет. Через 5 лет сестре будет (х + 6) лет, брату
2 6) лет. По условию задачи имеем:
7
лг + 6 5 '
откуда jc=4, 2jc = 8, т. е. сейчас сестре 5 лет, брату 9 лет.
II способ. Пусть через 5 лет брату будет 7х лет, а его
сестре — 5л: лет. Год назад им было соответственно (7л: — 6) лет
и (5л: — 6) лет. По условию задачи имеем уравнение:
7jc-6 = 2(5jc-6),
откуда х = 2.
Сейчас брату 9 лет (7х — 6 + 1), сестре 5 лет (Ьх — 6 + 1).
III способ. Пусть в настоящее время сестре х лет, брату
у лет. По условию задачи составляем систему уравнений:
из которой находим jc = 5, у = 9.
Ответ: в настоящее время сестре 5 лет, брату 9 лет.
□ 55(1150). Первая цифра четырехзначного числа 7. Если
эту цифру переставить на последнее место, то получится число
меньше первоначального на 864. Найдите первоначальное число.
Решение. I способ. Пусть искомое число labc. По
условию задачи имеем:
labc-abcl = 864.
Если abc = xy то имеем уравнение:
откуда Jt=681, искомое число 7681.
II с п о с о б. Задачу легко можно решить подбором цифр,
перефразировав ее следующим образом: узнайте, какие цифры
обозначены буквами, если каждая буква означает лишь цифру.
_7abc \ubcl
abcl или т" 864
864 labcy
откуда с=1, 6 = 8, а = 6.
Ответ: искомое число 7681.
□ 56(1151). Первая слева цифра шестизначного числа 1.
Если эту цифру переставить на последнее место, то получится
64
число в 3 раза больше первоначального. Найдите первоначальное
число.
Решение. Пусть искомое число \abcde. По условию задачи
имеем abcdel = 3- \abcde.
Если abcde=x, то имеем уравнение:
Юл;+1=3(100 000 + *),
откуда jc=42 857, искомое число 142 857.
II способ. Задача легко решается подбором цифр, если ее
перефразировать: «Узнайте, какие цифры обозначены буквами,
если каждая буква означает лишь одну цифру».
v\abcde
Х3
abcdel,
откуда е=7, d = 5, c = 8, 6 = 2, а = 4.
Ответ: искомое число 142 857.
□ 57(1152). Если между цифрами двузначного числа вписать
это же двузначное число, то полученное четырехзначное число
будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
Решение. I способ. Пусть искомое число ab= Юа-\-Ь.
По условию задачи имеем aabb = 77аб, т. е.
1000а+100а + 106 + 6 = 77 (Юа + 6),
откуда 5а = 6. Так как а и b — цифры, то a£Ny b£N и 6< 10,
следовательно, 5а<<10, т. е. а=1, 6 = 5. Искомое число 15.
II способ. Задачу можно решить и подбором цифр,
перефразировав ее следующим образом: «Узнайте, какие цифры
обозначены буквами, если каждая буква означает лишь одну цифру,
а звездочками обозначены промежуточные слагаемые
(неполные произведения), причем каждая звездочка означает одну
или две цифры (в зависимости от цифр первого множителя)».
wab
Х77
+ **
**
аабб
Учитывая правила умножения многозначных чисел, замечаем,
что число 6, будучи умножено на 7, дает число,
оканчивающееся на 6. (Последняя цифра первого промежуточного слагаемого,
как и последняя цифра произведения, 6.) Это могло быть лишь при
6=0 или 6 = 5. В данном случае 6 =5 (произведение не кратно 10).
Имеем:
аЪ
х77
аа55
5 Заказ 942 65
По правилу умножения многозначных чисел имеем: число
7а+ 3 должно оканчиваться нулем (так как вторая цифра
первого промежуточного слагаемого нуль), откуда число 1а должно
оканчиваться цифрой 7, т. е. а=1:
15
х77
+ 105
ТШ
105
Ответ: искомое число 15.
Л 58(1154). Докажите, что значение выражения 116+146 —
—133 кратно 10.
Решение. Число 116 оканчивается цифрой 1. Число 146
оканчивается цифрой 6, так как 146 = (142)3, а 142 оканчивается
цифрой 6. Число 133 оканчивается цифрой 7. Следовательно,
число 116+146 — 133 оканчивается цифрой 0, т. е. кратно 10.
59(1158). Может ли разность двух трехзначных чисел, из
которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в
обратном порядке, быть квадратом натурального числа?
Решение. Пусть abc= 100а + 106 + с — трехзначное число,
где а, Ьу с — цифры, причем афО и сФО. Тогда abc— cba =
= 100а + ЮЬ + с — (100с + ЮЬ + а) = 99а — 99с = 99 (а - с) =
=32-11 (а —с).
Для того чтобы рассматриваемая разность была квадратом
натуральное числа, необходимо, чтобы а — с было кратно 11,
но а— с<10, поэтому разность abc— cba не может быть равна
квадрату какого-либо натурального числа.
□ 60(1159). Докажите, что значение выражения Зп+2 —
_2n + 2-f3n — 2л при любом натуральном значении п кратно 10.
Решение. 3n+2-2"+2 + 3n-2n = 3n (32+ l)-2n (22+ 1) =
= 3П-10 —2".5 = 3Я-10 —2П-' • 10 = 10-(Зп —2П-1).
Значение выражения 3" — 2п~1 при любом n£N есть
натуральное число, значит, значение выражения 3n+2 — 2n+2-f3n — 2n
кратно 10 при любом натуральном значении п.
61(1161). При умножении многочлена 2л:3 — 5jc2 + 7х — 8 на
многочлен ajc2 + fejc-|-ll в произведении получился многочлен, не
содержащий ни х\ ни х3. Найдите коэффициенты а и Ь и узнайте,
какой многочлен получился в результате умножения.
Решение. Перемножим данные многочлены, записав их
произведение (как и множители) в стандартном виде:
( + )( + +)
= 2a*5 — 5a*4 + 7a*3 — 8ax2 + 2bx4 - 5bx3 +
+ 7bx2 — 8b x + 22jc3 - 55jc2 + 77* — 88 =
= 2ojc5 + (26 - 5a) xA + (7a - 5b + 22) x3 +
- 8a - 55) Jt2 + (77 - 8fc) Jt - 88.
66
По условию коэффициенты при х4 и г* равны 0, т. е. имеем
систему уравнений:
г26-5а = 0,
\7а-56 + 22 = 0,
откуда a = 4, 6=10.
Ответ: а=4, 6=10; произведение 8л:5 — 1 7а:2 — 3jc — 88.
62(1162). Ученик сообщил своему товарищу, что задумал
двузначное число, вычел из него число, написанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, и получил квадрат четного числа.
Товарищ после некоторого размышления заявил, что полученная
разность равна 36. Прав ли он? Найдите все двузначные числа,
обладающие свойством, которое подметил ученик.
Решение. Пусть задуманное число ab. Тогда
ab — 6a=10a + 6 — (106 + a) = 9(a — 6).
Число 9 (а — 6) может быть квадратом четного числа только
при условии, что а — 6— квадрат четного числа. Но а — 6<10
(а и 6— цифры), а единственный квадрат четного числа
меньше 10, это число 4. Значит, полученная разность двузначных
чисел равна 36. Товарищ оказался прав.
Из условия а— 6=4 подбором находим a = 9, 6 = 5; a = 8,
6 = 4; a = 7, 6 = 3; a=6, 6 = 2; a = 5, 6 = 1.
Таким образом, задуманным могло быть одно из следующих
чисел: 95; 84; 73; 62; 51.
63(1166). Сколько делителей у числа 1010?
Решение. Ю10=(2• 5)10 = 2Го• i
=(2-5)10 = 2 °-510. Делители данного
произведения имеют вид 2*-5", где k и п — целые неотрицательные
числа, не большие 10. Среди них имеется 11 делителей,
содержащих только степени 2:
2° 21 22 210
и столько же делителей, содержащих только степени 5:
5°, 5\ 52, .... 510.
Все делители данного числа получим, если каждый из
делителей первого вида (степени числа 2) умножим на каждый из
делителей второго вида (степени числа 5). Всего имеем 11-11 = 121
делитель.
□ 64(1168). Может ли: а) сумма пяти последовательных
натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов
пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Решение, а) Проверим на частных примерах, каким числом
является сумма пяти последовательных натуральных чисел —
простым или составным: 1+2 + 3 + 4 + 5=15; 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
= 20; 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25; ...; 10+11 + 12+13+14 = 60.
Числа 15, 20, 25, 60 — составные числа. Получаем гипоте-
5* 67
зу: сумма пяти последовательных натуральных чисел — число
составное. Докажем ее. Имеем:
Так как по условию n£N, то n-\-2£N и 5(n-{-2)£Ny причем
5(я + 2)>5. Следовательно, указанная сумма кратна 5, но не
равна 5, т. е. А — число составное.
б) На частных примерах убедимся, что сумма квадратов пяти
последовательных натуральных чисел есть число составное:
, + + + + 62 = 90,
102+112+122+132+142 =
Числа 55, 90, 135, 730 составные.
Для доказательства этого факта в общем виде запишем пять
последовательных натуральных чисел так: п — 2, п—1, /г, дг + 1,
я-Ь2, где п—любое натуральное число, большее 2. Тогда имеем:
Так как n£N, то 5(/г2 + 2)6# и 5(/г2 + 2)>5. Следовательно,
число В кратно 5, но не равно 5, т. е. В — число составное.
□ 65(1181). Если задуманное число разделить на сумму
его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же из
задуманного числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то
получится 25. Какое число задумано?
Решение. Пусть искомое число ab = 10а+ 6. По условию
задачи составим систему уравнений:
которая после упрощения имеет вид:
(2а-Ь = 1у
\8а-Ь=25у
откуда а = 4, Ь = 7.
Ответ: искомое число 47.
66(1182). В двух сосудах емкостью 144 л и 100 л
содержится некоторое количество воды. Если больший сосуд долить
доверху водой из меньшего, то в последнем останется -^- перво-
начального количества воды. Если же долить меньший сосуд
доверху из большего, то в большем останется — первоначального
количества воды. Сколько литров воды содержится в каждом
сосуде?
Решение. I способ. Пусть в большем сосуде было х
литров воды, в меньшем — у литров. По условию в больший со-
68
суд доливается —у и он заполняется полностью, т. е.
о
х+—у=144.
о
В меньший сосуд доливается доверху -j-x, следовательно,
y+-Lx=l00.
Имеем систему уравнений:
5
Решив систему, найдем х = 96, у = 60.
II способ. Пусть в большем сосуде содержится х литров,
в меньшем — у литров. Если в первый сосуд долить (144 — х)
литров, то во втором останется (# — (144 —Jt)) литров, что по
условию равно -^-у.
о
Имеем уравнение х-\-у— 144=—у.
о
Если же из первого перелить во второй (100 — у) литров, то
в первом останется (х — (100 — у)) литров, т. е. (х-\-у— 100) литров.
По условию х-\-у— 100=—х.
Получим систему уравнений:
откуда Jt = 96, # = 60.
Ответ: 96 л, 60 л.
67(1183). В одном сосуде 49 л воды, а в другом 56 л.
Если долить первый сосуд доверху водой из второго сосуда, то
второй сосуд окажется наполненным только наполовину. Если же
долить второй сосуд доверху водой из первого, то первый
окажется наполненным только на одну треть. Какова вместимость
каждого сосуда?
Решение. I способ. Пусть емкость первого сосуда
(49 -\-х) литров, емкость второго сосуда (56 + */) литров. Если в
первый сосуд из второго долить х литров, то во втором
останется (56 — х) литров, или —(56-|-#). Имеем уравнение:
69
49
56
Если во второй сосуд из первого долить у литров, то в
первом сосуде останется (49 —у) литров. По условию 49 — £/=
=-±-(49 + *).
Получим систему уравнений:
После упрощений имеем:
откуда х=14, # = 28.
Емкость первого сосуда 63 л, емкость второго сосуда 84 л.
II способ. Пусть емкость первого сосуда х литров,
емкость второго сосуда у литров. Если первый сосуд долить доверху,
т. е. долить (jc — 49) литров, то во втором останется (56 — (* — 49))
литров, т. е. (105 —Jt) литров. По условию 105 — *=■£■•
—49
49
/ — 56
56 л
Если второй сосуд долить доверху, т. е. долить (у —56)
литров, то в первом сосуде останется (49 — (у — 56)) литров, т. е.
(105 — у) литров. По условию 105 —*/ = -^--
Имеем систему уравнений:
■105-*=-*-,
откуда лг = 63, £/ = 84.
Ответ: 63 л, 84 л.
□ 68(1184). Автобус и маршрутное такси, выходящие
навстречу друг другу по расписанию в 8 ч 40 мин из М и /С, обычно встре-
70
чаются в 8 ч 52 мин. Однажды маршрутное такси отправилось
в рейс с опозданием на 8 мин и встретилось с автобусом в
8 ч 57 мин. Найдите скорость автобуса и такси, если известно,
что расстояние от М до К равно 24 км.
Решение. Пусть скорость автобуса v\ км/мин, скорость
такси v2 км/мин. Так как обычно автобус и маршрутное такси
встречались через 12 мин (8 ч 52 мин — 8 ч 40 мин=12 мин),
то имеем уравнение 12yi + 12у2 = 24.
В случае, когда маршрутное такси отправилось в рейс с
опозданием, оно до встречи с автобусом шло 9 мин (8 ч 57 мин —
— 8 ч 48 мин = 9 мин), а автобус до встречи с такси шел 17 мин
(8 ч 57 мин —8 ч 40 мин = 17 мин). По условию 2
Получаем систему уравнений:
12^1 + 12^2 = 24,
Q Г
откуда v\=— км/мин, или 45 км/ч; v2 =— км/мин, или 75 км/ч.
Замечание. Если скорость автобуса v\ и скорость такси
v2 выразить в километрах в час, то решение задачи сведется к
системе:
Ответ: скорость автобуса 45 км/ч, скорость такси 75 км/ч.
69(1185). Из А в В, расстояние между которыми 37 км, в
7 ч 18 мин и в 7 ч 48 мин вышли два автобуса с одной и той же
скоростью. Велосипедист, выехавший из В в А в 7 ч 28 мин,
встретил первый автобус в 7 ч 58 мин, а второй — в 8 ч 19 мин. Найдите
скорости велосипедиста и автобусов.
Решение. Обозначим скорость автобусов через v\ км/мин,
скорость велосипедиста через v2 км/мин. Так как первый
автобус шел до встречи с велосипедистом 40 мин (7 ч 58 мин —
— 7 ч 18 мин = 40 мин), второй автобус — 31 мин (8 ч 19 мин —
— 7ч 48 мин = 31 мин), а велосипедист до встречи с автобусами
затратил соответственно 30 мин (7 ч 58 мин — 7 ч 28 мин = 30 мин)
и 51 мин (8 ч 19 мин — 7 ч 28 мин = 51 мин), то имеем систему
уравнений:
40^1+30^2 = 37,
откуда ^1=0,7 км/мин, или 42 км/ч; у2 = 0,3 км/мин, или 18 км/ч.
Замечание. Если скорость автобусов v\ и скорость
велосипедиста v2 выразить в километрах в час, то решение задачи
сведется к системе:
71
— 0 +— 0 =37
Очевидно, что числовые данные этой системы затрудняют ее
решение.
Ответ: скорость автобуса 42 км/ч, скорость велосипедиста
18 км/ч.
70(1186). Из пунктов М и /С, расстояние между которыми
70 км, одновременно выехали навстречу друг другу автобус и
велосипедист. Они встретились через 1 ч 24 мин. Продолжая
движение с той же скоростью, автобус прибыл в К и после
20-минутной стоянки отправился обратно. Найдите скорости автобуса и
велосипедиста, если известно, что автобус обогнал велосипедиста
через 2 ч 41 мин после первой встречи.
Решение. Пусть скорость автобуса 0i км/ч, скорость
велосипедиста 02 км/ч. Автобус и велосипедист встретились
через 1 ч 24 мин, т. е. через -^- ч, поэтому имеем уравнение
5 5
Так как велосипедист до того, как его обогнал автобус,
ехал 4-^т ч (1 ч 24 мин + 2 ч 41 мин = 4 ч 5 мин), а автобус на 20 мин
о
меньше, т. е. 3— ч, то, учитывая, что автобус за это время
прошел на 70 км больше, чем велосипедист, имеем второе уравнение:
— 01-——02-~ •
Получаем систему уравнений:
7 „. | 7 тш 7Л
После упрощений имеем:
Г 01+02 = 50,
(4501-4902=840.
Отсюда 01=35 км/ч, и2=15 км/ч.
Ответ: скорость автобуса 35 км/ч, скорость велосипедиста
15 км/ч.
71 (1187). Из А в В вышел турист. Через 1 ч 20 мин из Л в том
же направлении выехал велосипедист, который обогнал туриста
через 30 мин. Прибыв в В, велосипедист, не останавливаясь,
повернул назад и встретил туриста через полтора часа после
первой встречи. Найдите скорости туриста и велосипедиста, если
известно, что расстояние АВ равно 24 км.
72
Решение. Пусть скорость велосипедиста v\ км/ч, а туриста
V2 км/ч. Так как велосипедист обогнал туриста через 30 мин
-у ч ) после отправления и при этом проехал -\-v\ км, а турист
шел на 1 ч 20 мин больше, чем велосипедист (1 — ч-| ч=1 — ч ),
и прошел за это время путь — £>2 км, то имеем уравнение
До второй встречи турист шел З-^- ч (1-|" ч+1~4~ ч==
3 \ о 2
= 3— ч j , а велосипедист — 2 ч (-^- ч+ly ч = 2 ч). Так как
сумма расстояний, пройденных туристом и велосипедистом до
второй встречи равна 48 км (24*2 = 48), то имеем уравнение 2v\-\-
Получаем систему уравнений:
Умножив обе части второго уравнения на 4, легко решим данную
систему:
откуда — у2 = 48, т. е. у2 = 4,5 км/ч, у, = 16,5 км/ч.
о
Ответ: скорость велосипедиста 16,5 км/ч, скорость туриста
4,5 км/ч.
Л 72 (1192). Поезд из А в В шел со скоростью 60 км/ч, а
возвращался из В в Л со скоростью, на 20 км/ч меньшей. Какова
средняя скорость поезда?
Решение. Обозначим путь от А до В через s километров.
Тогда из А в В поезд шел -г- часов, а из S в Л -£- часов. По-
60 40
скольку средняя скорость равна частному от деления пути на
время, будем иметь:
^=48 (км/ч).
60^40
73
Замечание. Обратить внимание учащихся, что средняя
скорость не равна среднему арифметическому скоростей на
различных участках движения.
Ответ: 48 км/ч.
73(1193). Наименьшее общее кратное двух чисел, не
делящихся друг на друга, равно 90, а их наибольший общий делитель
равен 6. Найдите эти числа.
Решение. Зная правило нахождения НОК и НОД чисел с
помощью разложения их на простые множители, легко находим
способ решения:
1) Представим НОК — число 90 — в виде произведения
простых множителей: 90 = 2-3-3-5.
2) Так как НОД искомых чисел равен 6, а друг на друга они
не делятся (ни одно из чисел не равно 6), то одно из них равно
6-3=18, другое — 6-5 = 30.
Ответ: 18 и 30.
74(1195). Представьте выражение 24ху в виде разности
квадратов двух многочленов.
Решение. Представим выражение 24ху в виде суммы двух
тождественно равных одночленов:
24ху=\2ху-\- \2ху.
Затем одночлен \2ху представим как удвоенное произведение
одного числа на другое. Будем иметь:
у( + у)(у) ( + у)(у)
= (Зх + 2у)2 - (Зх - 2у)2 = (2х + 3yf- (2х - Зу)2 =
-(ху-6)2, и т. д.
Замечание. Целесообразно доказать, что задача имеет
бесконечное множество решений. Действительно, 12ху = 2*ахХ
X— у = 2>аху>—, где а — любое действительное число, не равное
нулю. Тогда
Замечание по гюводу решения этой задачи см. в § 4.
75(1196). Представьте выражение 2а(а2-\-ЗЬ2) в виде суммы
кубов двух многочленов.
Решение.
= (а3 + ЗаЬ2 + За2Ь + Ь*) + (а3 + ЗаЬ2 - За2Ь -Ь3) =
74
76(1197). Представьте выражение 2b-(За2 + b2) в виде
разности кубов двух многочленов.
Решение.
□ 77(1198). Найдите коэффициенты a, b и с многочлена
ах2-\-Ьх-{-с, зная, что равенство
является тождеством.
Решение. Приравняв коэффициенты при четвертой и
третьей степенях х левой и правой частей данного равенства, будем
иметь а = 2, 4а + /? = 1, откуда Ь=—7.
Приравняв свободные члены, найдем с: —45=—9с, с = 5.
Ответ: а = 2, Ь=— 7, с==5.
Л 78(1199). Составьте многочлен шестой степени с
переменной jc, зная, что при любых значениях х его значение: а)
положительно; б) отрицательно.
Решение, а) Условию задачи удовлетворяет, например,
многочлен х6-\-х4 + х2+1 или двучлен jc6 + 0,1.
б) Условию задачи удовлетворяет, например, двучлен —х6— 1.
79(1200). Найдите все пары натуральных чисел,
удовлетворяющих уравнению 11х-\-8у = 104.
Решение. Выразим из данного уравнения одно из
неизвестных, например х:
х—-
Подбором находим наименьшее натуральное число у, при
котором х — число натуральное: у = 2, тогда jc = 8. Это значение у
единственное, так как при у>2 (у — натуральное число) x£N.
Ответ: (8; 2).
Л 80(949)'. Доказать, что если из трехзначного числа
вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и
первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности
будет делиться на 9 и 11.
Решение. Пусть abc — трехзначное число. Тогда abc —
(
= 9-11 (а-с).
Так как модуль полученной разности делится на 9 и 11, то
утверждение доказано.
Замечание. В условии задачи вместо модуля
полученной разности можно рассматривать разность данных чисел, так как
1 У задач 80—120 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [7].
75
мри и>с получим натуральное число, делящееся на 9 и 11, а при
</ -^г получим целое отрицательное число, также делящееся на
\) и 11.
Л 81(950). Доказать, что модуль разности квадратов двух
последовательных нечетных натуральных чисел равен удвоенной
сумме этих чисел.
Решение. Пусть 2п— 1 и 2п-\- 1 — два последовательных
нечетных натуральных числа. Имеем:
|(2м-1)2-(2а1+1)2| = |-8а1|=8а1,
2 ((2/i-l) +(2/I + 1)) = 8п.
Утверждение доказано.
□ 82(951). Если между цифрами двузначного числа х
вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет
в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.
Решение. Пусть jc = afe= 10a + 6. По условию имеем:
aabb = 66 «аб,
или
1000a+100a+ 106 + 6 = 66 (10a + 6),
откуда 440a = 556, 8a = 6, a=l, 6=8, a6=18.
Ответ: jc= 18.
Замечание. Задача аналогична задаче 1152 из [1],
поэтому одну из них можно решать в классе, а другую задать на
дом.
□ 83(952). Доказать, что значение выражения 165 + 215
делится на 33.
Решение. 165 + 2|5 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215 (25+ 1) =
=33-215.
Замечание. Непосредственный подсчет значения
выражения 165 + 215 (например, с помощью калькулятора) и получение
целого числа в результате деления суммы 166 + 215 на 33 также
являются доказательством.
□ 84(953). Доказать, что значение выражения 333555 + 555333
делится на 37.
Решение.
ЗЗЗ555 + 555333 = З555 • 111555 + 5333 • 111333 =
= 111333(3555-111222 + 5333).
Так как 111=3.37, то утверждение доказано.
Замечание. Целесообразно обратить внимание учащихся
на то, что из приведенного способа доказательства следует
делимость выражения на 111, на 111333, на З333, на 37333.
85(954). Доказать, что значение числового выражения 11П +
+ 1212+1313 делится на 10.
Решение. Достаточно доказать, что значение числового вы-
76
ражения оканчивается нулем. Действительно, число II11
оканчивается цифрой 1. Чтобы определить, какой цифрой оканчивается
число 1212, целесообразно 1212 представить как (124)3 и учесть, что
124 оканчивается цифрой 6. Следовательно, число 1212
оканчивается также цифрой 6. Подсчитаем, какой цифрой
оканчивается число 1313. Число 132 оканчивается цифрой 9, число 134 —
цифрой 1, число 1313 оканчивается цифрой 3, так как 1313 =
= 134 3-13. Следовательно, сумма 1 Iй + 1212+1313 оканчивается
цифрой 0.
П 86(955). Доказать, что значение выражения /г3-|-3/г2 +
5лг +3 делится на 3 при любом натуральном п.
Решение. I способ.
= (п- 1) п (п + 1) + Зл (п
Так как каждое из трех слагаемых делится на 3 (первое
слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных
чисел), то и сумма делится на 3.
II способ. ai3 + 3ai2 + 5ai + 3 = ai(az2 + 5) + 3(ai2+1). Так как
второе слагаемое кратно трем, то остается доказать делимость
на 3 значения выражения п (я2+ 5). Докажем это методом полной
индукции, разбив множество натуральных чисел на 3 класса:
1) n = 3fe; 2) n = 3k+l; 3) n = 3k + 2, где k£N.
Если n — 3k, делимость значения выражения /г(/г2 + 5) на
3 очевидна. (Если один из множителей делится на какое-нибудь
число, то на это число делится и произведение.)
Если /г = 3£+1, то Ai2 + 5 = 9fc2-)-6fc + 6, T. е. значение
выражения п2 + 5, а следовательно, и выражения п (/г2-|-5) кратно трем.
Аналогично доказывается делимость на 3 значения выражения
п(п2 + 5) при n = 3k + 2.
Так как делимость на 3 значения выражения п (я2+ 5)
доказана в каждом из трех возможных случаев, то утверждение
доказано для любого натурального п.
Л 87(956). Какой цифрой оканчивается число 19821982?
Решение. Установим закономерность, с которой
повторяются цифры на конце натуральных степеней числа 1982. Число
1982 оканчивается цифрой 2, число 19822 оканчивается цифрой
4, 19823 — цифрой 8, 19824 — цифрой 6, 19825 — цифрой 2.
Очевидно, последняя цифра натуральных степеней числа 1982 будет
повторяться через каждые четыре степени. Так как 1982 =
= 19824954+2, то 19821982, как и 19822, оканчивается цифрой 4.
Ответ: цифрой 4.
□ 88(957). Найти пятизначное число, если известно, что
при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Решени е. Пусть abcde — искомое пятизначное число. По
условию имеем abcde-9 = edcba.
77
Решим задачу методом подбора цифр. Очевидно, что а= 1, так
как в противном случае при умножении пятизначного числа на
9 не получилось бы пятизначное число. Значит, е = 9. Имеем:
X
9dcbl
Далее подбором найдем, что 6 = 0. Получаем:
v Wcd9
X о
9dc0l
Следовательно, d или 2, или 8. Если d = 2, то проверкой
убеждаемся, что ни одна из оставшихся цифр (3, 4, 5, 6, 7, 8) для
с не подходит. Остается d = 8. Имеем:
Следовательно, с = 9\ abcde=lO989.
Ответ: 10 989.
89(958). Доказать, что:
\\ 171 717 = 1717 = 17 . 2) 313 131 __ 3131 _ 31
' 252 525 2525 25 ' ' 757 575 ~" 7575 "" 75 '
Решение.
171 717 __ 17-104+17-102 + 17 _ 17 (104+Ю2+D ^17 .
252525 25-104 + 25-102+25 25 (104+Ю2+1) 25'
1717 __ 17-100+17 _ 17-101 _ 17
2525 25-100 + 25 ~~ 25-101 "~ 25 '
Следовательно,
Аналогично доказывается второе равенство.
90(959). Верно ли равенство
2ЬЪ + (а4 + a3b + a2b2 + ab3 + bA) {a-b)=
=(а4 -a3b + a2b2 -ab3
Решение.
3b2 + a2b3 + ab4 - a4b -a3b2- a2b3 -аЬА-Ьъ =
(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4)(a + b)=a5- a4b + a3b2 - a2b3
+ ab4 + a4b - a3b2 + а V - ab4 + b5 = b5 + a5.
Ответ: равенство верно.
78
•И ('•<)()). Доказать справедливость равенства:
И {п -2){n-l)n(n+l)+\={n2-n-lf-y
■' + 1)( 2)( 3)1(2 )2
I' о in с н и е.
1) (н-2)(п)( + )+()( + )()
(n'-n-2)(n2-n)+\=(n2-nf-2(n2-n)+\ =
(,г-л-1)2
2) „(п+\)(
Замечание. Целесообразно обратить внимание учащихся
на то, что из доказанных равенств следует теорема: произведение
четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на
единицу, равно квадрату некоторого натурального числа.
92(961). Доказать, что число 1980-1981 • 1982-1983+1
является квадратом некоторого натурального числа х, и найти х.
Решение. I способ. Можно воспользоваться
тождеством, доказанным в предыдущей задаче.
Из тождества задачи 91 (1) следует, что 1980-1981 • 1982 X
X 1983+1 =(19822- 1982- 1)2 = 3 926 3412.
Из тождества задачи 91(2) следует, что
1980-1981 • 1982-1983+1 =(19802 + 3-1980+ 1)2 = 3926 3412.
II способ. Не используя тождества предыдущей задачи,
преобразуем данное выражение. Пусть л=1980. Тогда
1980-1981 • 1982-1983+ 1 =п (п + \)(п + 2)(п + 3)+1 =(п24-Зп)Х
X(/i2 + 3n+2)+l=(rt2 + 3/i+l)2 = (19802 + 3-1980 + l)2 =
= 3 926 3412.
Ответ: л: = 3 926 341.
□ 93(962). Разложить на множители:
1)-а2-2а-3; 2) <Ь2-7Ь + 12; 3) а3 + а2-12;
4) г5—7х + 6; 5) п2 — 7л + 10; 6) п2 — п— 2.
Решение.
( + )()
2) b2-7b + l2 = b2-3b
= (Ь-3)(Ь-4).
3) а3 + а2-12=(а3-8) + (а2-4) = (а-
+()(
=(а-2)(а2
4) а;3-7л:+ () + ()(++)
-7 (х- 1)=(х- 1) (х2+х-6)=(х-1)((х2-4)+(х-2)) =
()(2)(3)
5) п2 —
=(п-2)(п-5).
79
6) n2 — n — 2=(n2-l)-n— i=(n—
94(963). Сократить дробь:
1) a2-3a + 2 . 9ч (4х-у)(2х+у)+(4х + 2у)2 .
а>+а-2 ' ^ 4х2 + ух
а3-1 ' ; 2a2-ab-3b2 '
; а2-62-с2-2^
Решение.
j4 а2-За + 2 = (а2-1)-За + 3 __ (а- 1) (а+ 1)-3 (а- 1) __
^ а2 + а-2 (а2-1) + а-1 (а-
_ (а—1)(а-2) ^а-2
Ответ: ^|.
2//)2== (Ах- у) (2x + j/) + 4 (2x+ j/)2 =
х(4х + у) х(Ах + у)
Ответ: 3(2*+^> .
а3-1 (а-\)(
2 2 1)(а2 + 3) = а'2
(а—\)(а2 + а+\) (а — 1) (.
Ответ: -*!±!.
а—1
2а(а —&) —36(а —6)
4
' 2a2-ab-3b2 2a'2 + 2ab-3ab-3b2 2a (a + b)-3b (a + b)
_ (a-b)(2a-3b) _а — Ь
(a + b) {2a —3b) a + b '
Ответ: ±
гч а2 + Ь2 + с2 + 2ab +2Ьс + 2са =(а2 + 2ab + Ь2) + 2с (а + Ь) + с2_
> a*-b2-c2-2bc а'2-(Ь + с)2 ~
= (a + b + c)2 = a + ft + c
(a + ft + c)(a — b— с) a — b—c
Ответ:
a — b— с
80
□ 95(964). Упростить выражение и найти его числовое
значение при данных значениях входящих в него букв:
хл-4ху2
х2-2ху-\-у2 1_ ,. _е.
х2у ' Х~ 2 > У~ D'
х(х-2у) + у2 х-2у ' Х 2
9) a2 + ab + b2 . b— a a a I J_
' a* + 2a2b+ab2 ' {a + b)2 ' a-b a'2 + ab ' ~~ 3 '
3
y V m1 — n2 2n-2m ) 2n 2
4)^т±5^/ m ^\ m = 3 I _ I
7 m —« \ m + « m—n2 ) 2 2
Ответ: 1) -5; 2) 0,21; 3) 2; 4) 8,75.
Выполните действия (96—101).
4p2 + 4pq + q'2 / Л <?2-4p2 ~ 2p — q / '
D97(966). I)
_2Д V \./ 2q . 1_\ .
p + 2q p2 + 4pq + 4q2 / Л p2-4q2 ~ 2q-p / '
Ответ: 1) 2а^ , ^ ; 2) ? ^f* ; 3) а ; 4)
2-p
П 98(967). 1) 2 fl+ ^-1,2+ 2Л~Л|>2+- 2а
v 7 7 а2— 2ab + b2 a2-\-^"h-^hi
а —5 5 —За . 1314-2а
а2-18а + 81 18а-81-а2 "* (9-а)2
Ответ- П Sab'2 2) 131
Ответ. 1) {a_b?{a + bf , ^) (fl_9
П 99(968). 1) 8уз+!4+ -
2y-\ , 7 9j/2
^
1 3jc —2 1 18*
' 9^ + 6x44 "*
1
3jc-2 ' 9^ + 6x4-4 * 8-27JC1 '
. 4jc-1 , 3
"^ 4jc2 + 2jc+1 ' 1 2
6 Заказ 942 81
Ответ: 1) '« ~i^J ; 2)0; 3) 9/ ~х 4 ; 4)
□ 100(969). 1) Т'+71ГГ~71Т;
_2 з . |_.
х+\ х + 2 х — 3 '
х 1 , 2х .
' Х2-\
4)4" '
х2 \+х2 (1+а:2)2
Ответ: 1) Зх~\
4)
х2(\+х2)2 '
101(970). 1)
\+хА \+х2 ' 1+х ' 1 -х '
2) (а^~^с) + (^2с~аа^}+- "2
Решение.
П 4 I 2 I [ 4- * - 4 I 2 1
1-JC2 1+*4 ' 1-JC4 1-JC8 '
Ответ: 1) у^г; 2) 0.
Л 102(971). Пусть ABCD — квадрат. Определить
координаты двух его вершин, если:
1) Л(0; 1), В(0; -2); 2) В (3; -3), С (6; -3);
3) С(5;0), D(5; -5); 4) Л(-4;0), D(l;0).
Ответ: 1) С(3;-2), D(3;l) или С(-3;-2), D(-3;l);
2) Л (3; 0), D (6; 0) или А (3; -6), D (6; -6);
3) Л(0; -5), В(0;0) или Л (10; -5), В(10;0);
4) В( — 4; 5), С(1;5) или В (-4; -5), С(1; -5).
П 103(972). Через точку Л (3; 4) проведены прямая,
проходящая через начало координат, и окружность с центром в
начале координат. Определить координаты второй точки пересечения
прямой и окружности.
Ответ: ( — 3; —4).
Замечание. Для обоснования использовать признак
равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому
углу.
□ 104(973). Найти координаты точки пересечения прямых
ЛВ и CD, если Л (-5; 2), В (7; 2), С(1; -6), D(l;5).
Ответ: (1; 2).
82
Л 105(974). Определить значение Ьу если через точку с
координатами (3; 10) проходит график функции, заданной
формулой:
2) у = Зх + Ь; 3) y=—Lx + b', 4) y=—L
Ответ: 1) 6 = 7; 2) 6=1; 3) 6=11; 4) 6 = 11,5.
106(975). Задать формулой функцию, графиком которой
является прямая, проходящая через точки А и В:
1) А (-6; -3), 5(2; -3); 2) Л (-4; -4), В (3, 3);
3) Л (2; 2), Я (0; 4); 4) А (3; -8), В (-5; 32).
Ответ: 1) i/= —3; 2) </ = *; 3) */=-л; + 4;4) */=-5л: + 7.
Замечание. На кружковых занятиях учащихся можно
познакомить с уравнением прямой, проходящей через две точки
с заданными координатами. В противном случае решение такого
типа задач сводится к решению системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными, которую получим, подставив
координаты заданных точек в уравнение прямой y = kx-\-b. Так, при
решении задачи (4) получаем систему:
решив которую найдем k=— 5, 6 = 7, откуда у=—5jc + 7.
Л 107(976). Из стальной проволоки диаметром 5 мм следует
изготовить винтовую цилиндрическую пружину высотой 122 мм.
Найти количество витков пружины, если зазор между витками
ненагруженнои пружины должен равняться 8 мм.
Решение. Пусть х — количество витков пружины.
Учитывая, что зазоров в пружине на один меньше, чем витков, по
условию задачи составим уравнение 5jc + 8 (х— 1)= 122, откуда х= 10.
Ответ: 10 витков.
108(977). Некто, живя на даче близ станции железной дороги,
успевает обычно дойти от дачи до станции к отходу поезда за
18 мин. Однажды этот человек задержался перед выходом из
дома на несколько минут. Хотя после этого шел в 1,2 раза быстрее
обычного, он все-таки опоздал на поезд на 2 мин. На сколько
минут он задержался дома перед выходом?
Решение. Если обычная скорость дачника v м/мин, то путь
от дачи до станции 18у метров. Когда дачник шел со скоростью
1,2у м/мин, то затратил на путь от дома до дачи 15 мин
(18^:1,2^=15). Так как дачник опоздал на 2 мин, то,
следовательно, поезд ушел через 13 мин (15 — 2=13) после ухода дачника
из дома. Значит, он задержался дома перед выходом на 5 мин
(18-13 = 5).
Ответ: на 5 мин.
Л 109(978). В 13 ч в бассейн начали наливать воду из одной
трубы для того, чтобы заполнить его к 16 ч следующего дня. Через
6* 83
некоторое время включили еще одну такую же трубу, так как
потребовалось заполнить бассейн к 12 ч дня. Во сколько часов
включили вторую трубу?
Решение. Так как потребовалось заполнить бассейн на 4 ч
раньше (16—12 = 4), то вторая труба (одинаковая с первой)
была включена на 4 ч. Следовательно, вторую трубу включили
в 8 ч утра (12 — 4 = 8).
Ответ: в8ч утра.
Л 110(979). Электропоезд проехал мимо светофора за 5 с,
а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Какова длина
электропоезда и его скорость?
Решение, (способ. Пусть скорость электропоезда х м/с.
Тогда длина поезда Ъх метров. За 15 с электропоезд проходит
расстояние 15л: метров, или (150 + 5аг) метров. Имеем уравнение
15х= 150 + 5*, откуда х=15, т. е. скорость электропоезда 15 м/с,
его длина 75 м.
II способ. Так как время, за которое проходит платформу
любая точка поезда, равно 10 с (15 — 5=10), то скорость поезда
15 м/с (150:10=15), а его длина 75 м (15-5 = 75).
Ответ: 75 м; 15 м/с.
□ 111(980). Путь от колхоза до города идет сначала
горизонтально, а затем в гору. Колхозник проехал на велосипеде
горизонтальную часть пути со скоростью 10 км/ч, а в гору шел
пешком со скоростью 3 км/ч и прибыл в город через 1 ч 40 мин
после выезда из колхоза. Обратно он проехал путь под гору со
скоростью 15 км/ч, а горизонтальную часть пути со скоростью
12 км/ч и прибыл в колхоз через 58 мин после выезда из города.
Сколько километров от колхоза до города?
Решение. Пусть S\ (км) —горизонтальная часть пути, а
путь в гору (и под гору) — S2 (км). Тогда, выразив время
движения колхозника от колхоза до города и обратно (в часах), будем
иметь систему уравнений:
1 10 •"- 3 ~~ 3 '
12 "* 15 30 '
откуда найдем S2 = 2, Si = 10. Следовательно, весь путь равен
12 км (10 + 2=12).
Ответ: 12 км.
112(981). Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Спустя
1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист,
и через час он был на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще
через час велосипедисту оставалось до В расстояние вдвое
меньшее, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велосипедиста,
если известно, что расстояние АВ равно 27 км.
Решение. Пусть скорость пешехода v\ километров в час,
скорость велосипедиста v2 километров в час. Так как за 2 ч 24 мин
84
(— ч j пешеход прошел на 1 км больше, чем велосипедист проехал
за 1 ч, то имеем уравнение
Поскольку через 2 ч пути велосипедисту оставалось пройти
до пункта В расстояние (27 — 2v2) километров, вдвое
меньшее расстояния, которое осталось пройти до пункта В
пешеходу (27—— v\ J , то имеем уравнение
27—— у,=2 (27— 2у2), или 4у2 = 27+— v{.
5 5
Таким образом, имеем систему уравнений:
откуда найдем v\=b, У2=11.
Ответ: скорость пешехода 5 км/ч, скорость велосипедиста
11 км/ч.
113(982). Велосипедист прибыл из пункта А в пункт В в
назначенное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы он
увеличил эту скорость на 3 км/ч, то прибыл бы на место
назначения на час раньше срока, а если бы он проезжал в час на 2 км
меньше, чем в действительности, то он опоздал бы на час. Определить
расстояние между пунктами А и В, скорость велосипедиста и
время его движения.
Решение. Пусть велосипедист, прибыв из пункта А в пункт
В в назначенное время, двигался со скоростью v километров
в час и затратил на весь путь / часов. Тогда расстояние между
пунктами А и В равно vt километрам, что согласно условию
задачи равно (v + 3) (/ — 1) или (v —2) (/ + 1) км.
Имеем систему уравнений:
\(v-2)(t+l) = vt,
откуда / = 5 (ч), v = 12 (км/ч), расстояние от А до В 60 км.
Ответ: 60 км, 12 км/ч, 5 ч.
114(983). Для содержания лошадей был сделан запас сена
на некоторое время. Если бы лошадей было на две меньше, то
этого запаса сена хватило бы еще на 10 дней; если бы лошадей
было на две больше, то запаса сена хватило бы на 6 дней меньше
намеченного срока. Сколько было лошадей и на сколько дней был
сделан запас сена?
Решение. Пусть было х лошадей и запас сена был сделан
85
на у дней. Если бы лошадей было х — 2, то запаса сена хватило бы
на (//+10) дней. Если бы лошадей было х + 2, то запаса сена
хватило бы на {у — 6) дней. Если обозначим массу запасенного
сена через т (в кг), то одной лошади на один день требуется
fy килограммов, или {х_2)т(у+Ю) , или ^
Имеем систему уравнений:
откуда х = 8, £/ = 30.
Ответ: 8 лошадей, на 30 дней.
□ 115(984). Первая труба наполняет бассейн за половину
того времени, за которое вторая труба наполняет — этого бас-
о
сейна. Вторая труба отдельно наполняет бассейн на 6 ч дольше,
чем одна первая труба. Сколько времени наполняет бассейн
каждая труба отдельно?
Решение. Пусть первая труба наполняет бассейн за х
часов, тогда вторая труба — за (х + 6) часов; — бассейна вторая
труба заполнит за — (jc + 6) часов.
о
По условию задачи имеем уравнение
откуда х=3, jt + 6 = 9.
Ответ: первая труба наполняет бассейн за 3 ч, вторая —
за 9 ч.
□ 116(985). Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г
больше, чем цинка. После того как из сплава выделили —
содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась
равной 200 г. Сколько весил сплав первоначально?
Решение. Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г
меди. Так как в сплаве осталась — часть содержащейся в нем
2
меди и — части цинка, то имеем уравнение
5
откуда Jt = 200.
Таким образом, в сплаве первоначально цинка было 200 г,
меди —840 г (200 + 640 = 840), сплав весил 1040 г (200 +
+ 840=1040), или 1 кг 40 г.
Ответ: 1 кг 40 г.
86
□ 117(986). Из пункта А вышел пешеход, а из пункта В
навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их
встречи пешеход продолжал идти в В, а велосипедист повернул
назад и тоже поехал в В. Известно, что пешеход пришел в В на 2 ч
позже велосипедиста, а скорость пешехода в 3 раза меньше
скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала
движения до встречи пешехода и велосипедиста?
Решение. Пусть скорость пешехода v (в км/ч). Тогда
скорость велосипедиста 3v (в км/ч). Если от начала движения
до встречи пешехода и велосипедиста прошло / часов, то
пешеходу осталось пройти расстояние 3vt километров, на которое он
затратит 3/ часов (3vt :v = 3t). Так как после встречи велосипедист
ехал столько же времени, что и до встречи, а пешеход затратил
времени на 2 ч больше, то имеем уравнение 3/ — / = 2, откуда /= 1.
Ответ: 1 ч.
118(987). Пловец плывет против течения реки и встречает
плывущую по течению пустую лодку. Продолжая плыть против
течения еще / минут после момента встречи, он затем
поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти
скорость течения реки.
Решение. Пусть скорость пловца в стоячей воде v\ метров
в минуту, скорость лодки (скорость течения реки) v2 метров в
минуту. Тогда скорость пловца по течению {v\-\-v2) метров в
минуту, его скорость против течения (v\ — v2) метров в минуту.
За / минут после момента встречи пловец против течения
проплыл расстояние, равное (v\—v2)t метрам, а по течению —
расстояние, равное (v\ — v2) t + s метрам. По течению пловец плыл
(vl—v2)t + s МИНуТ а всего (от момента встречи лодки до того
V\V2
момента, когда он лодку догнал) (U|~i;2)/ + S -\-t минут, что рав-
V\ -\-V2
но времени движения лодки ( —) •
Имеем уравнение
{vl—v2)t + s | ^_ s
V\ -\-V2 V2
откуда
V\t — V2t -\-S-\-V\t-\- V2t _S_
V1
__ SV\ __ S
2 2i/,/ 2/ '
Ответ: скорость течения реки равна -ф- метров в минуту.
87
119(988). В колбе имеется раствор поваренной соли. Из
колбы в пробирку отливают -^- часть раствора и выпаривают до
тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не
повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают
обратно в колбу. В результате содержания соли в колбе повышается на
3%. Определить исходное процентное содержание соли.
Решение. Прежде чем решать задачу, целесообразно
выяснить, как следует понимать выражение «процентное
содержание соли» (это — отношение массы соли к массе раствора,
выраженное в процентах).
Пусть первоначальная масса раствора в колбе т граммов,
масса соли в нем тс граммов, исходное процентное содержание
соли jc%, т. е.
jc = -^.1OO. (1)
т
По условию из колбы отлили -\- часть раствора, т. е. -^- грам-
о 5
мов, следовательно, осталось -^-т граммов. Так как при вы-
о
паривании количество соли не меняется, то, чтобы процентное
содержание соли в пробирке повысилось вдвое, раствора после
выпаривания должно остаться — граммов, а всего — граммов
Так как процентное содержание соли увеличилось на 3%,
то имеем:
Tom
(2)
Из равенств (1) и (2) получим уравнение
=-yJC' откуда Jt = 27.
Ответ: 27%.
120 (989). Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идет
сначала в гору, затем по равнине и наконец под гору. Пешеход
на путь от А до В затратил 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу —
3 ч 6 мин. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на
равнине — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Сколько километров
составляет та часть дороги, которая идет по равнине?
Решение. Пусть длина дороги в гору х километров, а по
равнине у километров, длина дороги под гору z километров. По
условию составим систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными:
88
=\l,5.
Сложив первые два уравнения системы, получим уравнение
Подставив в это уравнение значение x-\-z из третьего
уравнения системы, получим уравнение
15\ 2 у /^ 2 '
откуда у = 4.
Замечание. Можно решение задачи свести к составлению
и решению системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными, если длину дороги по равнине выразить как разность длины
всей дороги (11,5 км) и длин дорог в гору и под гору.
О т в ет: 4 км.
121. Найдите нечетное четырехзначное число, две средние
цифры которого образуют число, в 5 раз большее числа тысяч
и в 3 раза большее числа единиц этого числа.
Ответ: 3155.
122. Может ли выражение а~*~ (а — целое) быть целым
числом? Если да, то при каких значениях а?
Ответ: ( — 3, —5, —7, —9).
Л123. В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной
комнаты вышло 30, а из второй 40 человек, то людей в комнатах
осталось поровну. Сколько человек было в каждой комнате
первоначально?
Ответ: 33, 43.
Л124. Найдите два таких числа, чтобы их сумма,
произведение и частное от деления одного из них на другое были равны.
Ответ: -у и — 1.
□ 125. Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от
Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько
времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно
расстояние от Киева до Херсона разделить на скорость течения
Днепра. Если s — расстояние от Киева до Херсона, то скорость
теплохода по течению — (км/сут), скорость теплохода против
о
течения — (км/сут). Тогда скорость течения Днепра, равная
полуразности скоростей по течению и против течения, равна
89
4
(4 г):^=="й" (КМ/СУТ)- Таким образом, искомое время —
s:™24 (сут).
Ответ: 24 сут.
Л 126. Брат говорит сестре: «Когда тете Кате было столько
лет, сколько теперь нам с тобой вместе, то тебе было столько лет,
сколько мне сейчас. А вот когда тете Кате было столько лет,
сколько тебе сейчас, то тебе тогда было .... Сколько лет было тогда
сестре?
Ответ: в тот год сестра родилась.
□ 127. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их
влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до
98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?
Решение. По условию в 100 кг грибов содержится 1 кг
сухого вещества (100 — 0,99-100 = 1). Так как масса сухого
вещества в общей массе грибов постоянна (1 кг) и стала после
подсушивания составлять 2% (100 — 98 = 2), то масса грибов
после подсушивания стала равной 50 кг (если 2% — 1 кг, то
100% —50 кг).
Ответ: 50 кг.
Замечание. Эту задачу целесообразно решить
одновременно с задачей 1188 из [1].
Л 128. Сколькими способами можно составить список из
9 учеников?
Ответ: 9!
Л 129. В VI классе 35 учащихся. Они обменялись друг с
другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
Ответ: 35.34 = 1190.
130. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр
0, 1,2, 3, 4, 5, если числа должны быть нечетными и цифры могут
повторяться?
Решение. На первое место можно выбрать любую из пяти
цифр (кроме нуля). На второе и третье места можно выбрать
любую из шести цифр, так как цифры могут повторяться. На
последнее место можно выбрать любую из трех нечетных цифр.
Таким образом, общее количество четырехзначных чисел будет
5.6-6.3 = 540.
Ответ: 540.
131. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими
способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за
каждым вагоном закрепляется один проводник?
Ответ: 14!
Л 132. Как сложить из шести спичек четыре одинаковых
равносторонних треугольника?
Ответ: сложить тетраэдр.
□ 133. Длины двух сторон треугольника равны 5 и 1. Найдите
90
длину третьей стороны этого треугольника, если она выражается
целым числом.
Ответ: 5.
134. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков.
Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага, а один
кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Догонит
ли кошка мышку?
Ответ: нет.
135. Все натуральные числа от 1 до 100 разбиты на две
группы: четные и нечетные числа. Определите, в какой из групп сумма
всех цифр, использованных для записи чисел, больше и на сколько.
Ответ: сумма цифр нечетных чисел больше на 49.
□ 136. Даны два последовательных натуральных числа а
и Ьу а также их произведение с. Докажите, что число jc = a2 + 62 +
2 всегда является квадратом некоторого нечетного числа.
Доказательство. 6 = а+1, с = а-(а+1), тогда х =
(a2 + a+lf
Л 137. Когда отцу было 27 лет, то сыну было только 3 года,
а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет
сейчас каждому из них?
Решение. Пусть сейчас сыну х лет, тогда отцу Зх лет.
Поскольку разность возрастов отца и сына постоянна и равна по
условию 24 годам (27 — 3 = 24), то имеем уравнение Зх — jc = 24,
откуда Jt= 12, 3jc = 36.
138. Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у
которых сумма цифр равна 25.
Решение. ~abc=\00a+Wb + c = 99a + a+lib — b + c =
= 99a+\lb+(a + c — b).
По условию a + b + c = 25y поэтому a + c — b = 25 — 2b.
Чтобы число abc делилось на 11, необходимо и достаточно
(по признаку делимости суммы), чтобы на 11 делилась разность
25 — 26, откуда следует, что b = 7 (b — цифра). Так как а-\-b-\-
+ с = 25, то а + с=18, откуда а = с = 9.
Ответ: 979.
139. На лугу растет трава. Пустили на луг 9 коров, они
опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то
они съели бы всю траву за б дней. Сколько коров могут
кормиться на лугу все время, пока растет трава?
Решение. Пусть на лугу за день нарастает травы х
килограммов, одна корова за день съедает травы у килограммов.
Имеем систему уравнений:
г а + 4х — 9-4у = 0у
\а + 6х — 8.6f/ = 0,
где а — количество травы, которое росло на лугу до того, как
туда пустили коров. Вычтя из второго уравнения первое, найдем
х=6у. Если искомое число коров /г, то пу = ху откуда /г=—=6.
У
91
Замечание. Можно решить эту задачу и не составляя
системы уравнений. Действительно, если а килограммов —
первоначальное количество травы, х килограммов — количество
травы, нарастающее на лугу за день, то за один день одна корова
съедает травы а+4* или а+8* килограммов. Имеем уравне-
36 48
ние
а-\-4х __ а + 8х
36 — 48 '
откуда a = 2jt. Следовательно, одна корова за день съедает
-|- килограммов травы, где х килограммов — количество травы,
нарастающее на лугу за день. Следовательно, на лугу могут
кормиться 6 коров.
Ответ: 6 коров.
140. Справедливо равенство (р-|-о-|-м-|-а)4 = рома.
Определите число рома.
Ответ: 2401.
141. Имеется кусок бумаги. Его можно разрезать на 8 или
на 12 частей, каждый новый кусок также можно разрезать на
8 или на 12 частей или оставить целыми и т. д. Можно ли
получить таким образом 60 кусков? Докажите, что можно получить
любое число кусков, большее 60.
Указание. См. решение задачи 60 (983) из § 8.
142. Говорят, что в XIX в. каждый десятый мужчина на Руси
был Иван, а каждый двадцатый — Петр. Если это верно, то кого
на Руси было больше: Иванов Петровичей или Петров
Ивановичей?
Решение. Подсчитаем сначала, сколько было Иванов
Петровичей. Согласно условию задачи число Иванов на Руси
составляло -j- часть всех мужчин. Их отцы тоже составляли
j- всех мужчин, так как у каждого Ивана один отец. Поскольку
Петром назывался каждый двадцатый мужчина, то среди
мужчин, сыновья которых назывались Иванами, Петров у- часть.
Таким образом, от общей численности мужского населения Иваны
Петровичи составляли -^-—-i—=^~тг часть.
Аналогично можно подсчитать, что Петры Ивановичи
составляли также 7^r(i77--^r) часть мужского населения.
Следовательно, число Иванов Петровичей и Петров
Ивановичей одинаково.
□ 143. Из цилиндрического бревна надо вырезать
прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть
сечение этого бруса?
92
Ответ: квадратным.
144. Магическим квадратом называется квадратная таблица
целых положительных чисел, в которой суммы чисел, стоящих
в каждом столбце, в каждой строке и на диагонали, равны. Сама
эта сумма называется суммой магического квадрата. Докажите,
что сумма магического квадрата размером 3X3 всегда делится
на 3.
Указание. Обозначим первые два числа, стоящие в первой
строке квадрата, через а и Ь, а первое число во второй строке
через с, сумму магического квадрата через s. После этого можно
найти все остальные числа в квадрате и доказать, что 5 делится
на 3.
□ 145. Найдите пять чисел, зная, что их суммы по три
соответственно равны 3, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 16 и 17.
Ответ: — 2, 2, 3, 5, 9.
□ 146. Могут ли три человека, имея один двухместный
мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за 3 ч? Скорость пешехода
равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) —
50 км/ч.
Ответ: могут.
147. Поставьте знак « + » между некоторыми цифрами числа
987 654 321, чтобы в сумме получилось 99. Сколько решений
имеет задача?
Ответ: 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2+1=99; 9 + 8 + 7 + 6 + 5 +
+ 43 + 21=99.
Л 148. Запишите в строчку одно за другим 10 первых
простых чисел в возрастающем порядке. В полученном многозначном
числе зачеркните половину цифр так, чтобы число,
образованное оставшимися цифрами, было: а) наименьшим; б) наибольшим.
Ответ: 11 111 229; 77 192 329.
149. В системе равенств
ПРУТ -КАМА = КУРА
ТУР- РАК= КОМ
ТИП- РОК= АУТ
цифры зашифрованы буквами. Попробуйте восстановить
первоначальный вид системы.
Ответ: 7194-3282 = 3912;
491— 123= 368;
457- 163= 294.
150. Расшифруйте:
ИН = ДИЯ
ЯП°=НИЯ
АНГ = ОЛА
СЕН=ЕГАЛ
МЕКС = ИКА
93
Ответ: 27 = 128, 19s»361, 289 = 172, 872 = 7569, 6084 = 782.
151. Найдите наибольший ЗНАМЕНАТЕЛЬ, если ЗНА +
+МЕНА = ТЕЛЬ.
О т в е т: 98 643 865 372.
152. Найдите наименьшую и наибольшую СКОРОСТЬ
в следующих ребусах:
СКО-Р=ОСТЬ (428-5=2410; 986-7 = 6902);
С-КОР=ОСТЬ (2-615 = 1230; 9-768 = 6912);
СКОР:О = СТЬ (1078:7=154; 2184:8 = 278);
СКОР:ОСТ=Ь (1248:416=3; 6083:869 = 7);
С = КОРО:СТЬ (4 = 1636:409; 9 = 8424:936).
153. Расшифруйте следующие ребусы:
4-ОКУНЯ = ТУНЕЦ (4-18324 = 73 296);
ТРЕСКА:7=ОСЕТР (561092:7 = 80 156);
ОКУНЬ-8 = СУДАК (10 295-8 = 82 360);
ВОБЛА + ВОБЛА = ПЛОТВА (69 730 + 69 730=139 460);
( ЩУКА- 6 = АКУЛ А (6804-6 = 40 824);
\ ЩУКА:36 = СУП (6804:36=189);
/ЩУКА-6=АКУЛА (3612-6 = 21672);
\ЩУКА:6 = УХА (3612:6=602);
г ЛЕЩ-22 = ЩУКА (408-22 = 8976);
\ЩУКА-2=ОКУНЬ (8976-2=17 952);
(СИГ)2 = СЕМГА ((128)2 = 16384).
154. Решите систему:
= ОЛ-Я, (а) КОЛЯ=1974;б) КОЛЯ=4827).
155. Решите уравнение:
а) ААН=АННА (113 = 1331); б) (ПС)И = ИКС (162 = 256).
156. Найдите два таких двузначных числа БА и ЭТ, что
БА2 = БЭТА, а ЭТ3 = БЭАТ
(БА=96, ЭТ=21; 962=9216; 213 = 9261).
П 157. Докажите, что при любом натуральном п число
6*<»+'>—2"+3.3"+2 + 36 делится на 900.
Решение.
62(л + 1)_2'Ч-з.з«+2_|_зб = 36(62'1 —2-2n-3'I + l)=36(6'1—1)2.
Разность 6"~' делится на 5, поэтому произведение 36-(6n —1)2
делится на 900 (36-5-5=900), что и требовалось доказать.
158. Известно, что число а больше числа b в п раз, а сумма
чисел а и b больше их разности в т раз. Найдите сумму чисел
тип, если шип — натуральные числа.
94
Решение. По условию задачи составим систему уравнений:
Из второго уравнения выразим -^-. Имеем:
= та — mb, а(\—т)=—Ь{т-\-\),
а _ т+\ т— 1+2
т—\ т—\ т— 1
Следовательно,
Ь 1 т-\'
Так как т и п — натуральные числа, то п = 3 при m = 2, n = 2
При /71 = 3, /72 —|— /2 = 5.
Ответ: т-\-п=Ъ.
А 159. Обоснуйте правило умножения двузначных чисел
на 11.
Решение.
где а — цифра сотен, а-\-Ь — цифра десятков, Ь — цифра
единиц.
□ 160. Что больше: 515 или З23?
Решение. 323 = 9(33)7, 515 = 5(52)7, поэтому 323>515.
□ 161. Сумма двух чисел равна 386. Одно из них
оканчивается единицей. Если эту единицу в записи числа зачеркнуть, то
получится второе число. Найти эти числа.
Ответ: 351; 35.
162. Если бы ученик купил 9 ручек, то у него осталось бы
76 к., а если бы 13 ручек, то не хватило бы 64 к. Сколько денег
у ученика?
Отв ет: 3 р. 91 к.
163. 9 учеников из четырех различных классов принесли в
библиотеку 15 книг, причем ученики одного класса принесли
одинаковое число книг, а разных — разное. Сколько учеников
принесло по одной книге?
Ответ: 6 учеников.
Л 164. Расшифровать запись **.**= 1 +** (10-10= 1 +99).
165. Бактерия, помещенная в колбу, за секунду делится на
две бактерии, каждая из которых в свою очередь через секунду
делится на две и т. д. Через 2 мин колба заполняется полностью
бактериями. Сколько времени потребуется для заполнения колбы,
если вначале поместить две бактерии?
Ответ: 1 мин 59 с.
95
166. Можно ли разменять 25 р. на рублевые, трехрублевые
и пятирублевые купюры, чтобы получить 10 купюр?
Ответ: нет, четное число купюр нечетного достоинства даст
в сумме четную сумму.
167. Какой цифрой оканчивается сумма всех двузначных
чисел, в записи которых имеется хотя бы одна цифра 3?
Ответ: цифрой 9.
168. Пусть А — натуральное число. Обозначим через Ь число,
образованное двумя последними цифрами числа Л, через а число,
образованное остальными цифрами числа А. Докажите, что
число А делится на 7 тогда и только тогда, когда:
а) 2а-\-Ь делится на 7; б) 5а — Ь делится на 7.
Указание, а) Следует из равенства 2а-\-Ь=(Ю0а + Ь) —
— 98а; б) следует из равенства 5а — 6 = 105а — (ЮОа + б).
169. Найдите наименьшую пару натуральных чисел а и 6,
удовлетворяющих условию 5а2 = 2Ь5.
Ответ: 200 и 10.
□ 170. Женя за весну похудел на 20%, потом за лето
поправился на 30%, за осень опять похудел на 20%, а за зиму
поправился на 10%. Поправился или похудел Женя за год?
Решение. Пусть масса Жени была равна 100 (ед. массы).
Тогда после весны его масса стала 100 — 20 = 80 (ед. массы),
после лета — 80-f = 104 (ед. массы), после осени— 104 —
1UU
— 20'104 = 104 — 20,8 = 83,2 (ед. массы). После зимы масса
Жени стала равна 83,2 + 8,32 = 91,52 (ед. массы).
Ответ: Женя похудел.
171. У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант,
в результате стоимость его снизилась на 32%. Какая часть
бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна
квадрату его массы?
Решение. Пусть бриллиант массой р во время шлифовки
раскололся на две части: массой р\ и массой р2. Поскольку
стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его массы, то
имеем систему уравнений:
где k — коэффициент пропорциональности. После сокращения
второго уравнения на k получим:
Г р\
Для решения этой системы возведем первое уравнение в
квадрат:
96
Вычтя из первого уравнения системы второе, будем иметь:
откуда р{=-^-ру p2=-Lp. Следовательно, от бриллианта от-
о о
кололась — часть.
о
Ответ: -i- часть.
о
П 172. В магазине есть на равную сумму конфеты по цене
2 р. за килограмм и по цене 3 р. за килограмм. По какой цене надо
продавать смесь из этих конфет?
Решение. Пусть стоимость конфет каждого сорта s рублей.
Тогда конфет по цене 2 р. за килограмм —килограммов, а по цене
3 р. за килограмм -^- килограммов. Следовательно, цена смеси —
-^_=2,4 р.
Ответ: 2,4 р.
173. В олимпиаде участвовало 55 школьников. Все они сдали
свои работы. При проверке каждой задачи ставилась одна из
трех оценок: «-)-» — задача решена, «—» — задача решалась,
«О» — задача не решалась. После проверки всех работ оказалось,
что ни в каких двух работах не совпало одновременно количество
оценок « + » и оценок « —». Какое наименьшее число задач могло
быть предложено на олимпиаде?
Указание. Если задач было а, то
Ответ: 9 задач.
174. Два человека, у которых есть один велосипед, должны
попасть из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 40 км
от А. Первый передвигается пешком со скоростью 4 км/ч, на
велосипеде — 30 км/ч. Второй — пешком со скоростью б км/ч, на
велосипеде — 20 км/ч. За какое наименьшее время они могут
добраться в пункт В (велосипед можно оставлять без присмотра)?
Решение. Пусть первый человек пешком пройдет х
километров, а на велосипеде проедет (40 — х) километров. Тогда
7 Заказ 942 97
второй человек пешком пройдет (40 — х) километров, а на
велосипеде проедет х километров. Учитывая, что наименьшее время
они затратят, если придут в пункт В одновременно, составим
уравнение
_х , 40 —л: 40 — х . х
4 "* 30 ~~ 6 "* 20 '
откуда х= 16 км.
Искомое время f+^=JJ>+J°^L=4-j- ч.
О т в ет: 4 ч 48 мин.
175. Я задумал два двузначных числа, начинающихся с
цифры 6, причем другие цифры этих чисел не равны 6. Если
переставить местами цифры в каждом из задуманных чисел, то
значение произведения двузначных чисел не изменится. Какие числа
я задумал?
Решение. I способ. Пусть цифры единиц задуманных
двузначных_чисел х и */, причем хфб и уфб. По условию
§х*§у=х§'у§, т. е. имеем уравнение
Решая это уравнение, получим:
36- 102 + 60jt + 60f/ + jn/= W2xy + 60л
откуда 99 jo/= 36-99, jo/= 36.
Учитывая, что х и у — натуральные числа, меньшие 10 (х и
у— цифры) и не равные по условию 6, получаем jc = 9, y = 4 или
х = 4, у = 9. Задуманные числа 69 и 64.
II способ. По условию имеем 6х-6у = х6-у6.
Так как произведение 6-6 оканчивается цифрой 6, то и
произведение Х'у должно оканчиваться цифрой 6. Выпишем все пары
однозначных чисел, произведение которых оканчивается цифрой 6:
(3;2), (4; 4), (2; 8), (9; 4), (6; 6), (7; 8).
Проверим теперь, какие из двузначных чисел удовлетворяют
условию задачи (пару (6; 6) можно не проверять, так как по
условию хфб, уФ 6):
1) 63-62^36.26;
2) 64-64^46.46;
3) 62-68=^26.86;
4) 69.64 = 96-46;
5) 67.68=^76.86.
В результате проверки мы установили, что из всех пар условию
задачи удовлетворяет лишь пара (9; 4). Следовательно,
задуманные числа 69 и 64.
О т в е т: 69 и 64.
176. Среди 150 школьников марки собирают только мальчики.
67 человек собирают марки СССР, 48 человек — Африки и 32 че-
98
ловека — Америки, 11 человек —
только СССР, 7 человек — только
Африки, 4 человека — только
Америки и только Иванов собирал
марки СССР, Африки, Америки.
Найдите максимальное число девочек.
Решение. Изобразим с
помощью кругов Эйлера условие задачи
(рис. 17).
Имеем систему трех уравнений:
= 56 (56 = 67-11),
= 41 (41=48-7),
= 28 (28 = 32-4),
Рис 17
откуда 2(x + y + z)=l22, т. е.
Следовательно, марки собирают 84 мальчика (61 + 11+7 +
+ 4+1), максимальное число девочек 66 (150 — 84 = 66).
Ответ: 66 девочек.
Замечание. Из полученной при решении задачи системы
уравнений легко найти х, у и z (х = 34, # = 21, z = 6), но для
решения задачи достаточно найти сумму x + y + z. Для закрепления
способов решения систем уравнений учащимся целесообразно
предложить решить полученную систему, а также задачу 1279
из [4].
177. Двадцать учеников из пяти различных классов собрали
гербарий из 30 растений. Ученики одного класса принесли
одинаковое число растений, а из разных — разное. Сколько учеников
принесло по два растения?
Решение. Если взять по одному ученику из каждого
класса (их будет 5), то всего они принесли 15 растений (1+2 + 3 + 4 +
+ 5=15). Следовательно, оставшиеся 15 растений (30—15=15)
принесли остальные 15 учеников (20 —5= 15), т. е. по одному
растению каждый. Таким образом, два растения принес один ученик.
§ 8. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VIII КЛАССА
Л 1(1077)'. Докажите, что при положительных значениях
2 >
х и у (хФу) значение дроби ——iL- больше соответственного
..2 i ..2
значения дроби
У задач 1—46 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [5].
99
Доказательство. Рассмотрим разность
х\ц ^ 2ху
х+у х+у х + у х + у
+
> * +* . Утверждение доказано.
х+у v
П 2(1078). Сократите дробь:
Так как лг>0 и #>0, то -^->0. Следовательно, Х ~
* + </ JC £
Решение.
2 + a2 —ax)
бч 8an+2-fQn~' ^ an-'(8a4l) = (2a+ I)(4a2-2a-f 1
; 16an + 4 + 4an + 2 + an an (16a4 + 4a2+1) a ((4a2 + I)2-4a2)
_ (2a+l)(4a2-2a+l) __ 2a+l
a(4a2-2a+l)(4a2-f2a+l) a(4
Ответ- а) х2 + а2 + ах . б) 2а+1
итвет. а) ^+а , 0) fl(4fl2+2fl+|) •
)
П 3(1079). Решите систему уравнений:
Решение. Сложим все уравнения системы. Получим:
)=12, или
(1).
Подставляя теперь последовательно значение суммы четырех
слагаемых из каждого уравнения данной системы в уравнение (1),
найдем значения всех пяти неизвестных: v=— 2, jc = 2, y=l,
2 = 3, и=-1.
Ответ: *=2, у=1, 2 = 3, и= — 1, у=—2.
П 4(1080). Докажите, что уравнение л:4 — 5л:3 — Ах2 — 7х-\-
—|- 4 = 0 не имеет отрицательных корней.
Доказательство. Преобразуем левую часть уравнения:
100
= (jc2-2)2-jc(5jc2
Чтобы данное уравнение имело хотя бы один отрицательный
корень, необходимо, чтобы имело место тождество (л:2 — 2)2 =
=х(Ьх*-\-7), где jc<0, чего быть не может, так как при jc<()
х(5лг + 7)<0, а (х2 — 2)2^0. Утверждение доказано.
Замечание. В качестве вспомогательных задач
предварительно целесообразно решить следующие:
1. Докажите, что уравнение jc4 -^j- 3jc3 —|-2jc2 —|— jc —|— 6 = 0 не имеет
положительных корней ([4], № 563).
2. Имеет ли уравнение хь — хъ + хА — х3-\-х2 — х+ 1 =0
отрицательные корни ([4], № 564)?
□ 5(1081). Найдите обыкновенную дробь со
знаменателем 21, заключенную между дробями j- и j-.
Решение. Приведем данные дроби к общему знаменателю:
"и==
Между дробями ^г н Щ- находятся дроби -—-> -—, |^-, —-, из
84 84 84 84 84 84
которых только одна дробь — удовлетворяет условию задачи:
ь
2-7
5
2-6
Ь-
2-7
5-
2-6
6
•6
7
•7
30
84
35
84
О
т
в
ет:
21 '
32
84
8
21
•4
•4
8
21
Замечание. Целесообразно перед учащимися поставить
вопрос: существуют ли другие дроби со знаменателем 21,
удовлетворяющие условию задачи? Если нет, то почему? Полезно также
видоизменить условие задачи: найдите обыкновенные дроби
с другими знаменателями (22, 23, ...), заключенные между
данными Дробями jr И jt- .
□ 6(1082). Какой цифрой оканчивается сумма 5435 + 2821?
Решение. Установим, какой цифрой оканчивается 5435.
541 оканчивается цифрой 4,
542 оканчивается цифрой 6,
543 оканчивается цифрой 4,
544 оканчивается цифрой 6.
Легко устанавливается закономерность: четная степень числа
54 оканчивается цифрой 6, нечетная — цифрой 4. Следовательно,
5435 оканчивается цифрой 4.
Установим, какой цифрой оканчивается 2821.
101
28' оканчивается цифрой 8,
282 оканчивается цифрой 4,
283 оканчивается цифрой 2,
284 оканчивается цифрой 6,
285 оканчивается цифрой 8.
Замечаем, что цифры на конце степеней числа 28 повторяются
через каждые четыре степени. Значит, 282|=284 5+|, как и 28',
оканчивается цифрой 8. Таким образом, 5435 + 2821 оканчивается
цифрой 2 (4 + 8=12).
Ответ: цифрой 2.
□ 7(1083). Решите уравнение х2 — 2х + у2 — 4у + 5 = 0.
Решение.
Так как квадрат любого числа есть число неотрицательное,
а сумма квадратов по условию равна нулю, то имеем:
(л: — 1 )2 = 0 и (*/-2)2 = 0,
т. е. х= 1, у = 2.
Ответ: х= 1, у = 2.
8(1084). Найдите корни уравнения х2 — 2х—£-+-L— 13 = 0.
Решение. * *
Пусть х-\—-=у. Тогда у2 = х2 + -^~\-2, откуда х2-\—\-=у2 — 2.
Подставляя значения х-\ и х2 + \ в данное уравнение,
получим: х х
г/2 — 2г/— 15 = 0, у\ = — 3, £/2 = 5.
Имеем х +—=— 3, или Jt2 + 3x+l=0;
X
х +—=5, или х2 — 5х+1=0.
Решив полученные вспомогательные уравнения, найдем
решения данного уравнения.
9(1085). Упростите выражение:
a) V* + 2V*— I +V*-"2V*— !> если
б)
102
Решение, а) I способ. Пусть
— 2^/x—\ =A. Тогда
*— 1
(Так как
jc-2| =2x + 2 (2 —jc) = 4.
, то |х — 2| =2 — х.) Л2 = 4. Следовательно,
II способ. Чтобы извлечь квадратные корни, преобразуем
подкоренные выражения: вычтем и прибавим по единице. Будем
иметь:
— 2 У*— 1 =
= ^|x^\ +2 У*— 1 + 1 + У*—1—2 У*—1 + 1 =
:гГ+1И '
-1-1)2=
JC-1-1| =
(Так как 1<л:<2, то 1У*— 1 + 11 =У*— 1 + 1, \^x— I — 1| =
б) I способ. Перемножим подкоренные выражения
числителя данной дроби и второго множителя. Будем иметь:
__ У14-8/3+7УЗ-12 __ У2-УЗ = J
II способ.
/7^4
2-УЗ
У2-УЗ
У2-УЗ
От в ет: 1.
Л 10(1086). Найдите ошибку в доказательстве:
16-36 = 25-45; 16-36 + -^-=25-45 + -^-;
4 4
103
Решение. Ошибка заключается в том, что в приведенном
доказательстве из истинного равенства (4——) =(^— )
следует равенство 4—5~==5—I" (вместо истинного равенства
= I 5—2-1 V (Эту задачу целесообразно решить перед
задачей 9.)
□ 11(1087). Представьте многочлен х8-\-х4-\-1 в виде
произведения четырех многочленов ненулевой степени.
Решение.
4—|-
= (x4 + 1 - x2) (x4 + 1 + x2) = ((x4 + 2jc2 + 1) - 3x2) (x4 + 2x2 +
+1)-*2)=((*2+ i)2-(V3x)2) ((x2+i)2-x2)=(x2+1 -V3x)x
X(x2+ 1 +V3^) (^2+ 1 -x) (x2+l +x) =
12(1088). Упростите выражение
Укажите допустимые значения переменных.
Решение.
( 1 \р/ , i\'Y 1\v я
y-j) {r+j) \"-т)
(f) (f)
Ответ: (-
104
13(1089). Функция у от х задана формулой у = ах+ь где
ad — ЬсФО. Пусть значениям аргумента х\, х2, х$ и х4
соответствуют значения функции у\, у2, уз и #4. Докажите, что
3—Х2 Х\ — Х2
Доказательство.
— асхъхх — Ьсхъ — adxx — bd_
(cx.i+d)(cx{
— xl) _ (Xi—xx)(ad —
(cx3 + d)(c
Аналогично
и _„ = (x*-x{)(ad-bc)
УА УХ (cx4+d)(cxl+d)
(*4— х2) [ad —be)
У4 У2~ (cx<+d)(cx2 + d)
Имеем:
УЛ — У-2 У4-У2
be) (x4—X\)(ad — t
A + d)(cxl+d) =
(схл + d) {cx2 + d) (ex, + d) {cx2 + d)
X.i — X\ , X\ — X\
X$ — X2 X\ — X2
Утверждение доказано.
Д 14(1090). Найдите все пары натуральных чисел,
удовлетворяющие уравнению х2 — у2 = 69.
Решение. Разложим левые и правые части данного
уравнения на множители:
(Х-£/).(* + !/) =1-3-23.
Так как x£N, y£Ny x-\-y£Ny x — y£N (правая часть
уравнения — положительное число) и в множестве натуральных
чисел х-\-у>х — у, то решение данного уравнения сводится к
решению в натуральных числах двух систем:
х-у=1у гх —1/ =
+ = 69 и \ +
Ответ: (35; 34), (13; 10).
105
□ 15(1091). Докажите, что значение выражения д/l 1 +6 д/2 +
+ V'1 —6 У2 есть натуральное число.
Доказательство. I способ. Пусть
д/l 1 +6 V2 +V11 -6 V2 =А.
Тогда
Л2= 11 -h6 V2+ !! — 6 л/2 + 2 л/121 — 72 =36,
откуда
г^1= \А\ =6, т. е.
Так как под знаком модуля находится сумма двух
радикалов, каждый из которых число положительное, то
1^11+672+УП-6У21 =
Поскольку 6£Af, то утверждение доказано.
II способ. Так как 11 +6 72 =
11 —6 V2=(3 —V2)2, то д/11 +6 V2 +V1 • -6 V2 =л/(3 +V2)2+
Замечание. Получить равенства 11 +6 У2 = (3 + д/2)2 и
11 — 6 V2 = (3 — V2)2 можно и с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Действительно, если 11+6 -^/2 = (а + 6 V2)2>
где a£N и Ь £ЛГ, то из равенства (a2 + 2b2)+2ab л[2= 11 +6 л/2
заключаем, что a2 + 2ft2=ll, afe = 3, откуда a = 3, fc=l, т. е.
11 +6 V2 = (3 + -\/2)2. Аналогично устанавливается, что 11 —
V (V)
16 (1092). Докажите, что при a>0, fc>0, c>0, d>0 верно
неравенство
Решение. Сравним квадраты данных неотрицательных
выражений:
ab + ad + cb + cd V ab + cd + 2^Jabcd.
Вычтем из обеих частей неравенства сумму ab-\-cd:
bc + ad V 2 Va&cd,
bc + ad — 2^abcd V 0.
Так как bc + ad — 2^JaJ^ = {^[bc — ^[adf^0, то (a +
>(л/аЬ-\-л[Ы)2. Извлекая квадратный корень из обеих частей
неравенства, получим -V(a + c)(fe + d)>Vafe + Vcd, что и требовалось
доказать.
Замечание. Доказать истинность неравенства bc-\-ad^
^2 ^Jabcd можно и на основании соотношения между средним
арифметическим и средним геометрическим: среднее арифмети-
106
ческое двух неотрицательных чисел be и ad не меньше их среднего
геометрического, т. е.
17(1093). Докажите, что сумма, разность, произведение
и частное чисел вида а-\-Ь -д/2, где а и b — рациональные числа,
также могут быть представлены в таком же виде.
Решение. Пусть x = a\+b\^[2, y = a2 + b2^f2. Тогда
j2, где
x = a,+6, л/2 __ (a,
a102 — 2^i^2-h(^iQ2 — a162) л/2
Утверждение доказано.
18(1094). Пара чисел х = 3, f/ = 2 является решением
уравнения (х + у-\/2)(х — у-у/2)=1. Покажите, что существует сколько
угодно других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому
уравнению.
Решение. Если пара (3; 2) является решением уравнения
(х+у -у/2)(х — у -у/2)= 1 или равносильного ему уравнения х2 —
— 2у2=\ (*), то равенство (3 + 2 V2)(3 — 2 У2)= 1 является
истинным. Возведем это равенство почленно в квадрат (для нахождения
других решений данного уравнения). Имеем:
(9 + 8+ 12 V2)(9 + 8- 12 V2)= I,
(17+12 V2)(17—12 V2) = 1,
172 — 2 -122 = 1.
Следовательно, пара (17; 12) является корнем уравнения
(*), т. е. корнем данного уравнения.
Далее, возводя почленно в квадрат истинное равенство
(17+12 V2) (17— 12 л/2)= 1, получим новую пару чисел (577; 408),
являющуюся решением данного уравнения. Очевидно, такой
процесс нахождения решений данного уравнения может быть
продолжен бесконечно.
Аналогично можно доказать, что если какая-то пара (ati; у\\
где x\£Ny y\£Ny является решением данного уравнения, то
существует сколь угодно много других пар натуральных чисел,
107
удовлетворяющих этому уравнению. Действительно, из истинного
равенства (х\-\-у\ л[2){х\ — ух л/2)= 1 почленным возведением его
в квадрат получаем:
или (х2-\-2у2)2 — 2 {2х\у\)2= 1. Учитывая (*), можно утверждать,
что пара {х2\ у2), где х2 = х2-\-2у2, у2 = 2х\у\, является решением
данного уравнения, причем x2£N, y2£N.
Л 19(1095). При каком значении т сумма квадратов корней
уравнения х2-\-х-\-т = 0 равна 13?
Решение. Согласно теореме Виета х\-\-х2= — 1, х\х2 = т.
Имеем:
— 2х{х2 = ( — I)2 — 2т= 1 — 2т.
По условию 1—2т =13, откуда т =—6.
Замечание. Целесообразно сделать проверку. При т = —6
имеем уравнение х2-\-х — 6 = 0, корни которого х\ = — 3, лг2 = 2.
Тогда jcf+^2 = 4 + 9= 13, что соответствует условию.
Ответ: т= —6.
□ 20(1096). Сумма квадратов корней уравнения jc2 + pjc+1 =
= 0 равна 254. Найдите коэффициент р.
Решение. Для нахождения коэффициента р воспользуемся
теоремой Виета: р= —(х\-\-х2) и Х[Х2=\. Решив систему
f*i+X2
\ *iX2=l
найдем х? + 2jtiJt2+ Jti = 256, т. е. (jc, +jc2)2 = 256, xi +лг2= ± 16,
Проверкой можно убедиться, что оба значения р
удовлетворяют условию задачи. Но проверку можно и не делать, если
предварительно учесть, что данное уравнение имеет корни лишь
при условии р2 — 4>0(D>0), т. е. при |р|>2.
Ответ: р= ± 16.
□ 21(1097). При каком значении а сумма квадратов корней
уравнения х2-\-{а— 1)х — 2а = 0 равна 9?
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Имеем
систему уравнений:
= —2а.
Так как х\ + х\ = (х\ -\-х2)2 — 2х{х2у то 9=(1 — а)2-|-4а, откуда
а2 + 2а — 8 = 0, ai=2, a2=— 4. Условию задачи удовлетворяет
только a = 2, так как уравнение х2-\-(а— \)х— 2а = 0 имеет корни
лишь при условии (a— l)2 + 8a>0 (D>0). (При а=— 4
дискриминант данного уравнения отрицателен.)
Ответ: а = 2.
108
□ 22(1098). Докажите, что функция
где —V2<jc<V2, линейная.
Доказательство.
V
\
-Яг
-2
У/
2
/■
0
2\fZ
1
У
/
Я?
2 X
Л) — * V^- Рис 18
(При — V2<*<V2 1* + л/2|=* + У2, U —У2| =У2 —х.)
Замечание 1. Целесообразно доказать, что функция
будет линейной и при х£ (—оо; — -yJ2\ и при *6(У2; +°°)-
Действительно, при х>-\[2 имеем:
у=\х + ^[2\ + \х — V2|=i
= — 2л:.
При — -\/2<лс<д/2 У = ^л/2 (доказано выше).
Замечание 2. Эту задачу уместно решить одновременно
с задачами 9(1085) и 15(1091).
Замечание 3. Полезно предложить учащимся построить
график заданной функции для всех х£(—оо; +оо) (рис. 18).
□ 23(1099). Из города М в город N вышел автобус со
скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из
города N легковую автомашину. Эта машина доехала до
города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала
автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами
М и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.
Решение. Так как за четверть часа автобус прошел 10 км
(40:4=10), то автобус встретил легковую автомашину в 10 км
от города М. Если расстояние между городами s километров, то
к моменту, когда легковая автомашина обогнала автобус, автобус
прошел от момента встречи (s — 30) километров, затратив на это
5-30
40
часов. К тому моменту легковая машина проехала на 20 км
больше, т. е. (s— 10) километров, затратив на весь путь (от
момента встречи)
5-10
50
часов. Учитывая, что машина стояла в городе
М 15 мин (-j- ч j , получим уравнение
s—10 | 1 _ s-30
50 ' 4 40
109
откуда s= 160 км.
Ответ: 160 км.
24(1100). Два мальчика стартовали по беговой дорожке
длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым,
догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки
и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии
от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно,
что эта встреча произошла через 10 с после старта первого
мальчика?
Решение. Пусть скорость мальчика, стартовавшего первым,
v\ метров в секунду, скорость мальчика, стартовавшего вторым,
v2 метров в секунду {v2>v\). Расстояние, равное 10 м, каждый
из стартовавших пробежал соответственно за — секунд и —
секунд. Так как один мальчик догнал второго в 10 м от линии старта,
а стартовали они с интервалом в 1 с, то имеем уравнение
Поскольку по условию мальчики встретились через 10 с после
старта первого мальчика (через 9 с после старта второго) и к
моменту встречи оба пробегут расстояние, равное удвоенной длине
беговой дорожки (50-2 = 100), то имеем уравнение
10^1+9^2=100.
Таким образом, имеем систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
10у,+9у2=100.
Из первого уравнения выразим одно из неизвестных
(например, v2) и подставим его значение во второе уравнение. Имеем
v2= ^l , v\ — 29ui + 100 = 0, откуда v\=4 м/с, v'{ = 25 м/с.
Очевидно, условию задачи удовлетворяет один корень v\ =
= 4 м/с.
Таким образом, скорость первого мальчика 4 м/с. Второй
мальчик встретил первого на расстоянии, равном 10 м от конца
дорожки (10 = 50—10-4).
Замечание. Для проверки целесообразно найти скорость
второго мальчика (v2=.™Vl =-1^1.= б-|- м/с) и вычислить
\ 1U —1)\ 1U — 4 о /
искомое расстояние другим путем:
9^2-50 = 9.-^-50=10 м.
о
Ответ: Юм.
ПО
□ 25(1101). Расстояние между пристанями А и В теплоход
проходит по течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько
часов проплывет по течению это расстояние плот?
Решение. I способ. Чтобы ответить на вопрос задачи,
нужно расстояние АВ разделить на скорость течения. Пусть
AB = s километрам. Тогда скорость теплохода по течению равна
-~ километрам в час, скорость против течения — километрам
в час, скорость течения— f-| -М:2 = -|- километрам в час.
Искомое время — s:— =60 ч.
о и
II способ. Пусть скорость теплохода в стоячей воде v\
километров в час, скорость течения v2 километров в час. Тогда
по условию расстояние АВ равно 5(v\-\-V2) километрам, или
6(У| — V2) километрам. Из уравнения 5(v\-\-V2) = 6(v[ — v2)
находим У| = 11у2. Тогда расстояние АВ равно 60v2 километрам,
искомое время — 60^2^2 = 60 ч.
Ответ: 60 ч.
□ 26(1102). Катер прошел по течению 90 км за некоторое
время. За то же время он прошел бы против течения 70 км. Какое
расстояние за это время проплывет плот?
I с п о с о б. Пусть / часов — время, за которое катер проходит
90 км по течению (а также 70 км против течения). Тогда скорость
90
катера по течению — километров в час, скорость против течения
— километров в час, скорость течения (———J:2 = —
километров в час, искомое расстояние —-/=10 км.
II способ. Пусть v километров в час — собственная
скорость катера, v\ километров в час — скорость течения. Тогда
(v-\-v\) километров в час — скорость катера по течению, (v — v\)
километров в час — скорость катера против течения.
По течению путь, равный 90 км, катер проходит за часов.
V -\-V\
На путь, равный 70 км, против течения катеру необходимо
часов.
V — V\
По условию имеем —: =—-—, откуда у = 8у|.
V-\-V\ V — U\
Таким образом, скорость течения в 9 раз меньше скорости
катера по течению (v-\-v\ =8v\ -\-v\=9v\). Значит, за одно и то же
время плот проплывет расстояние в 9 раз меньшее, чем катер по
течению. Таким образом, искомое расстояние равно 10 км (90:9 =
= 10).
Ответ: 10 км.
□ 27(1103). Из пунктов А и В одновременно навстречу
друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от В.
in
Прибыв в Л и В, они повернули обратно. Вторая встреча
произошла в 18 км от Л. Найдите расстояние между А и В.
Решение. I способ. Нетрудно понять, что от начала
движения до первой встречи оба велосипедиста проехали вместе
расстояние, равное АВ, а к моменту второй встречи проехали
вместе втрое большее расстояние (3 АВ). Таким образом, каждый
из них до второй встречи проехал втрое больше, чем до первой.
Велосипедист, выехавший из В, до первой встречи проехал 30 км.
Следовательно, до второй встречи он проехал 90 км (30-3 = 90).
Поэтому расстояние от Л до В равно 72 км (90—18 = 72).
II способ. Пусть AB = s (в км). Поскольку скорости обоих
велосипедистов постоянны, то равны отношения расстояний,
пройденных велосипедистами до первой и второй встреч. Таким
образом, имеем уравнение
s-30 2s-18
30 s+18 '
откуда s = 72 км.
Ответ: 72 км.
□ 28(1104). ИзЛвВиизВвЛ выехали одновременно два
мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а
второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был
в пути каждый мотоциклист?
Решение. Пусть AB = s (в км), время до встречи
мотоциклистов— t (в ч). Тогда время движения первого мотоциклиста
(из А в В) (/ + 2,5) часов, его скорость —^—километров в час,
/ + z,5
время движения второго мотоциклиста (/+1,6) часов, его
скорость * километров в час.
Выразив расстояние от места встречи мотоциклистов до В,
будем иметь уравнение
/+2,5 ' /+1,6 '
Поскольку s#0, то 2<5 =—г— , откуда /2 = 4, / = 2.
/ + 2,5 /+ 1,о
Замечание. Можно выразить расстояние от места встречи
мотоциклистов до Л (а не до В) или определить все расстояние АВ.
В первом случае получаем уравнение —^— ■< = Д • 1,6, во
/ + z,5
втором s=—?—-t-\ Vr#'* Разделив обе части уравнений на
/ + 2,5 / + 1 ,Ь
и решив полученные уравнения, найдем значение t (t = 2).
Время движения первого мотоциклиста 4,5 ч (2 + 2,5 = 4,5),
время движения второго мотоциклиста 3,6 ч (2+1,6 = 3,6).
Ответ: 4,5 ч; 3,6 ч.
112
□ 29(1105). ИзЛвВиизйвЛ выехали одновременно два
автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришел
в В на 1,1 ч позже, чем второй в Л. Во сколько раз скорость второго
автомобиля больше скорости первого?
Решение. Пусть скорость первого автомобиля v\
километров в час, скорость второго V2 километров в час. Первый
автомобиль до встречи прошел 3vi километров, второй 3v2 километров.
После встречи первый автомобиль шел — часов, второй —
часов.
По условию имеем:
ЗУ* За, = 11
V\ V2 10
Для решения этого уравнения введем обозначение —-=х. Тогда
—=—, Зл:—-=-^, или 30л:2— 11л: — 30 = 0. Условию задачи
V2 X X 10
удовлетворяет лишь положительный корень х =—, — = —
Ответ: в 1,2 раза.
Замечание 1. Вопрос к задаче лучше сформулировать так:
«Найдите отношение скоростей автомобилей».
Замечание 2. После задачи 29(1105) целесообразно
решить задачу 1005 из [2].
30(1106). Заготовленную в карьере руду первый самосвал
может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды
вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй,
то будет затрачено на 7 — ч больше, чем при одновременной
о
работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду
каждый самосвал?
Решение. Пусть первый самосвал может вывезти руду за /
часов, тогда второй самосвал — за (/ + 3) часов. За 1 ч первый
самосвал может перевезти — часть, второй за 1 ч —J— часть за-
готовленной в карьере руды. При одновременной работе за 1 ч
2/-4-3 / 1 1 2/-4-3 \
самосвалы могут перевезти 7_ I-—^-—-== /_ J часть руды,
затратив на всю работу 0/~Г~ часов ( I: „Т»ч = 0/Tq ) •
Первый самосвал — часть руды может перевезти за —часов,
3 3
оставшуюся часть (-тг) второй самосвал может перевезти за
2/+6 / 2 1 2/ + 6 \
8 Заказ 942 113
По условию задачи составляем уравнение:
_/ | 2/+6 /(/+3) | 22
3 ' 3 ~~ 2/ + 3 ' 3 '
откуда З/2 — 32/ — 48 = 0, /| = 12, /2= . Условию задачи
удовлетворяет лишь положительный корень уравнения: / = 12,
/ + 3=15.
О т в ет: за 12 ч и 15 ч.
Примечание. Полезно сделать проверку решения по
условию задачи.
31(1107). Два слесаря получили задание. Для его
выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму.
После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу
пришлось заканчивать одному второму слесарю и поэтому задание
было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они
выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание
каждый слесарь?
Решение. Пусть первому слесарю для выполнения задания
требуется / часов, второму (/ — 7) часов. За 1 ч первый слесарь
может выполнить — часть задания, второй —х— часть. При одно-
временной работе за 1 ч оба слесаря могут выполнить
часть задания (-—| !—= 2t~*'7 J , затратив на всю работу
часов
На половину задания оба слесаря при совместной работе
затратили /(/~~7) часов, на оставшуюся половину задания
второй слесарь затратил -^р- часов.
По условию задачи составляем уравнение:
/(/-7)
2 (2/-7)
откуда
/2 —32/+112 = 0, /i =28, /2 = 4.
Корень /2 = 4 не удовлетворяет условию задачи, так как /2 —7<0.
Значит, первый слесарь может выполнить задание за 28 ч,
второй—за 21 ч (28-7 = 21).
О т в ет: за 28 ч и 21 ч.
Замечание. Целесообразно сделать проверку решения по
условию задачи.
□ 32(1108). Дано двузначное число. Число его единиц на
3 меньше числа десятков. Произведение этого числа на число,
114
записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 574.
Найдите данное число.
Решение. Пусть число единиц искомого числа х, число
десятков лс+З. Тогда искомое число равно 10 (х-\-3)-\-х. По
условию имеем:
= 574, или х2 + Зх — 4 = 0,
откуда х=\. (Отрицательный корень х=—4 не удовлетворяет
условию задачи.) Искомое число 41 (10-4+1=41).
Проверкой легко убеждаемся, что задача решена верно:
41-14 = 574.
Ответ: 41.
33(1109). Найдите члены пропорции ati:лг2 = аг3:аг4, в которой
первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвертого.
Сумма квадратов всех членов равна 793.
Решение. По условию х\=х2-\-6, x3 = *4 + 5, (x2 + 6):x2 =
(
(jc4 + 5):jc4.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
г (х2 + б)2 + xl + (х, + 5)2 + х\ = 793,
откуда
( xl + 6х2 + х\ + 5х4 — 366 = 0,
\ 6*4 = 5*2.
Подставляя значение лг4=— из второго уравнения системы
в первое, получим:
JC2+6JC2 — 216 = 0,
*£= —18, Jt'2'=12.
Так как Х| = a:2 + 6, то х\= — 12, лг1г = 18.
Получили две пропорции:
(— 12):(— 18) = (— 10):(— 15) и 18:12=15:10.
Ответ: 18:12 = 15:10; (-12):(-18) = (-10):(-15).
Л 34(1110). Из города по двум взаимно перпендикулярным
дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость одного
из них 4 км/ч, а другого 5 км/ч. Сейчас пешеход, идущий со
скоростью 4 км/ч, находится в семи километрах от города, а
второй — в десяти. Через сколько часов расстояние между
пешеходами будет 25 км?
Решение. Пусть расстояние 25 км между пешеходами
будет через / часов. Тогда на основании теоремы Пифагора можно
115
2 = 252, откуда
составить уравнение
4Н2Н- 156/ —476 = 0, t = 2.
Проверкой легко убеждаемся, что задача решена верно.
Действительно, через 2 ч первый пешеход находился на расстоянии
15 км от города (7 + 2-4= 15), второй — на расстоянии 20 км от
города (10 + 2-5 = 20). Расстояние между пешеходами Vl52 + 202=
= -\/625 = 25, что соответствует условию задачи.
Ответ: через 2 ч.
Замечание. После этой задачи целесообразно решить
задачу 69 § 8 (№ 1003 из [2]).
□ 35(1111). Докажите, что если z=-
(аф0у ЬфО,
то
1
_J__J I L
г—Ь а ' b '
Доказательство. Преобразуем данное выражение z:
2 =2ab
1 , 1 a+b'
Подставим значение z=
тождества. Будем иметь:
a + b
в левую часть доказываемого
J
1
1
z-a ' г—Ь
2ab
2ab
a + b a + b
a + b a + b
-Ъ
a{b-a)
a + b
b(a — b) a(b — a)
b'2-a2
ab(b-a)
_ b + a_ 1 | 1_
ab (b — a) ab a b
Получили выражение, стоящее в правой части тождества.
Утверждение доказано.
□ 36(1112). Докажите, что если а + с = 2Ь и 2bd = c(b + d),
причем ЬфО и ёфО, то Jr = sr.
b a
Доказательство. Умножим обе части данного
тождества а-\-с = 2Ь на d (d^=0). Будем иметь 2bd = ad-\-cd.
Поскольку левая часть полученного тождества равна левой
части данного тождества 2bd = c(b + d\ то равны и их правые
части: с (b-\-d) = ad-\-cd, или cb = ad, откуда путем деления
обеих частей тождества на bdФ0 получим -j-=-^-1 что и
требовалось доказать.
116
Л
-3 -2 -7 О
1 2 3 X
Рис. 19
/234
Рис. 20
-2 -/
0 I 2 х
37(1113). Постройте график функции, заданной формулой:
а) У = тт\ б) у= -; в) у = х \х\.
1*1 V*
Решение, а) На основании определения модуля числа
имеем:
—
\х\
— при х>0,
при jc<0.
Поэтому при положительных значениях х имеем ветвь
гиперболы у =—, расположенную в первой четверти, а при х<сО —
ветвь гиперболы у =—, отраженную симметрично относительно
оси абсцисс (рис. 19). (Графики функций y = f(x) и y=—f(x)
расположены симметрично оси абсцисс.)
б) Учитывая, что область определения функции у=—'
V*
множество положительных чисел, строим график по точкам
(рис. 20).
{х2 при
-х2 при х<0.
Графиком функции при х>0 будет часть параболы у = х2,
расположенная в первой координатной четверти, а при х<0 —
часть параболы у = х2у симметрично отраженная относительно
оси абсцисс (рис. 21). (Целесообразно сравнить график этой
функции с графиком функции у = 77.)
117
-* -3 -2 -/
Рис 23
□ 38(1114). Постройте график функции, заданной формулой:
а) и = л/х^-\-х' в) и = Iх-\-21 *
б) у = ^-Х\ г) у=\х-\\.
Решение.
гт ( 2л:, при
/ У \Х I X— \Х\ ~\ X — 1 г\ 1-ц-к.ж
* ^ и, при
График изображен на рисунке 22.
гт /О ПРИ
б) У = Л1Х —х= \х\ —^=| —2л: при
График изображен на рисунке 23.
г х-\-2 при х> —2,
График изображен на рисунке 24.
( х— 1, если х^1,
г) «/=1*-1|=|1_Х1если*<1.
График изображен на рисунке 25.
□ 39(1115). Постройте график функции, заданной формулой
. 1
Решение. Область определения функции — множество всех
действительных чисел, отличных от нуля. Очевидно, что при
х>0 график функции расположен выше прямой у = х (так как
х-\-—>дм, а при х<0 ниже этой прямой (х-\—-<х). Так
как при х>0 х-\—->2, а при л:<0 х-\—-< — 2, то график
функции при х>0 {хф\) расположен выше прямой у = 2, а при
х<0(хФ — 1) — ниже прямой у= —2. При х= 1 и х= — 1 значе-
118
-5 -5 -4 -3 -2 -/ О
Рис. 24
/ 2 3
-3 -2 Ч 0 1 2 3 4 X
Рис. 25
ния функции равны
соответственно 2 и —2. График изображен
на рисунке 26.
□ 40 (1116). Пересекает ли
график функции у —
прямую:
a) jt=O; б) у=0; в) х = 3;
г) </=3?
Решение. Icnoco б.
Ответим на вопрос задачи, не прибегая
к ее графической иллюстрации.
а) Так как в уравнении
j/= *+ знаменатель не может
равняться нулю (хФ0\ то график
заданной функции прямую jc=O
(ось у) пересечь не может.
б) При у=0 имеем jc=—}-.
з
Следовательно, график данной
функции пересекается с прямой у = 0 (ось х) в точке с
координатами ( —i-; 0] .
в) При jc = 3 получим у = 3^-. Следовательно, график
данной функции пересекает прямую jc=3 в точке с координатами
Рис. 26
т)
г) При (/ = 3 получим 1=0, чего быть не может.
Следовательно, прямая у=3 и график данной функции не пересекаются.
II способ. Так как j/=3*+1 =ЗН—-, то график заданной
X X
функции получается из графика гиперболы у=— смещением
с помощью параллельного переноса на 3 единицы вверх. Асимпто-
119
Рис. 27
О 1
Рис. 28
тами этой гиперболы являются ось у (* = 0) и прямая #=3, с
которыми график данной функции не пересекается. Легко видеть,
что прямая у = 0 (ось абсцисс) и прямая х = 3 график данной
функции пересекают (рис. 27).
□ 41(1117). Постройте график функции:
а) у =
б) у =
X
4-5х .
х
В) У =
12
х — 4
г) У= —
Решение, а) Так как у=
=2 +—, то графиком
функции будет гипербола у =—, смещенная с помощью
параллельного переноса по оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 28).
б) f/= 4~5*=J—5. Графиком функции будет гипербола
у =—, смещенная с помощью параллельного переноса вниз по
оси у на 5 единиц.
в) Графиком функции у = —^-- будет гипербола у =—> сме-
X — 4 X
щенная с помощью параллельного переноса по оси абсцисс на
4 единицы вправо.
г) Графиком функции у =
/>
будет гипербола у=^—,
X
т уд р у
X ~\~ о X
смещенная с помощью параллельного переноса по оси х на 3
единицы влево.
□ 42(1118). Докажите, что графиком уравнения ху — 2х+
+ 3у — 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.
120
Доказательство. Представим левую часть уравнения
в виде произведения двух множителей. Имеем:
Графиком уравнения (х-\-3)(у — 2) = 0 является пара
пересекающихся прямых х=— 3 и у = 2.
□ 43(1119). Докажите, что графиком уравнения (у — 2)Х
Х(*/ + 3)=0 является пара параллельных прямых.
Доказательство. Произведение равно нулю, когда хотя
бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет
смысл.
Если j/—2 = 0, то у = 2.
Если [/-(-3 = 0, то (/=—3.
Графиком данного уравнения является пара параллельных
прямых у = 2 и у=—3.
□ 44(1120). Постройте график уравнения:
а) ди/ + 3* = 0; г) (x-yf + (x-lf = O;
б) (х-у)(у-5) = 0; д) *2-4 = 0;
в) (ху-6)(у-3) = 0-у е) */2-9 = 0.
Р е ш е н и е. а) Имеем х(у-\-3) = 0. График уравнения состоит
из двух пересекающихся прямых х = 0 и у=—3.
б) Графиком уравнения является пара пересекающихся
прямых х = (/ и у = Ь.
в) Имеем г/ — 3 = 0, ху — 6 = 0, или # = 3, у=—. Графиком
уравнения являются гипербола у = — и прямая у = 3,
пересекающая ветвь гиперболы # =—, расположенную в первой
четверти, в точке с координатами х = 2, у = 3.
г) Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, когда
каждое слагаемое равно нулю. Поэтому имеем:
(х — у)2 = 0 и (х— 1)2 = 0, откуда х = уу х=1.
Графиком данного уравнения является точка пересечения
прямых х = у и лг=1, т. е. точка с координатами х=1, у=\.
д) Разложив левую часть уравнения на множители, будем
иметь (х — 2)(х + 2) = 0. Следовательно, графиком уравнения
является пара параллельных прямых х = 2 и х=— 2.
е) Так как у2 — 9 = (у — 3)(# + 3), то графиком уравнения
у2 — 9 = 0 является пара параллельных прямых у = 3 и у=—3.
45(1121). Докажите, что если числа а, Ь и с таковы, что
, то при
x u z
a+b ' у b+c '
верно равенство (1 +x)(l +y)(\ +z) = (l — jc)(1 — у)(I — z).
121
Доказательство.
I I Y 1 I a — b a + b+a — b 2a
T ^~ a + b a + b a + by
-1 I b~c = 2b
b + c b+c '
- 1 I c — a_ 2c
' c + a ~~ c + a '
a-\-b a-\-b
c-\-a
§£^£(2)
Так как правые части равенств (1) и (2) равны, то равны и их
левые части:
Утверждение доказано.
□ 46(1122). На плоскости отмечено несколько точек,
никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые
две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на
плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?
Решение. Задача сводится к решению в натуральных
числах уравнения *(*~|)=45, где х — число отмеченных на
плоскости точек. Имеем х2 — х — 90 = 0, откуда х, = 10, х2=— 9.
Условию задачи удовлетворяет лишь один корень х=Ю.
Ответ: 10 точек.
Л 47(969)'. Докажите, что, для того чтобы найти квадрат
двузначного числа, оканчивающегося цифрой 5 и имеющего п
десятков, достаточно число десятков п умножить на лг -|- 1 и к
результату приписать 25 (см. задачу 1091 из [4]).
Решение. Возведем двузначное число а5= 10а+ 5 в
квадрат. Имеем:
(10а + 5)2= 100а2+ 100а + 25= 100а
Получили, что квадрат числа а5 оканчивается числом 25,
а число его сотен равно a(a-|-l), что и требовалось доказать.
Замечание. Одновременно целесообразно решить задачу
856 из [4].
1 У задач 47—77 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [2]
122
Л 48(970). Найдите двузначное число, квадрат которого
записан цифрами 0; 2; 3 и 5.
Решение. Так как ни цифрой 2, ни цифрой 3, ни
единственным нулем квадрат целого числа оканчиваться не может, то из
четырех данных цифр квадрат целого числа может оканчиваться
только цифрой 5. Тогда предпоследняя цифра 2. Учитывая, что
первая цифра не может быть нулем, устанавливаем, что квадрат
двузначного числа 3025, искомое число 55. (Для нахождения
искомого числа полезно воспользоваться предыдущей задачей.)
□ 49(971). Двузначное число в сумме с числом, записанным
теми же цифрами, но в обратном порядке, дает квадрат
натурального числа. Найдите все такие двузначные числа.
Решение. Пусть имеем двузначное число ab=Wa-\-b.
Тогда по условию ab-\-ba = \0a-\-b-\- \0b-\-a = 11 (a-\-b). Так
как 11 — число простое, то число 11 (а + b) может быть квадратом
натурального числа только в том случае, когда а-\-Ь= 11.
Учитывая, что а и b — цифры, из условия а-\-Ь=\\ легко находим
все двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
50(973). Шестидесятизначное число написано с помощью
30 нулей и 30 единиц. Докажите, что оно не может быть квадратом
натурального числа.
Решение. Сумма цифр данного числа 30, поэтому оно
делится на 3 и не делится на 9 (согласно признакам делимости
на 3 и на 9). Так как натуральное число, большее 1, может быть
квадратом натурального числа только в том случае, когда в его
каноническое разложение входят простые множители только с
четными показателями, то данное число не может быть квадратом
натурального числа (его каноническое разложение содержит
число 3, но не содержит З2).
□ 51 (974). Какой цифрой оканчивается разность 4343— 1717?
Решение. Установим, какими цифрами оканчиваются
различные степени чисел 43 и 17. Число 43 оканчивается цифрой
3, 432 —цифрой 9, 433 —цифрой 7, 434 — цифрой 1.
Следовательно, последние цифры в последующих степенях числа 43 будут
повторяться: 3, 9, 7, 1 и т. д. Так как 4343 = 43410+3 = (434)10-433,
а (434)10 оканчивается единицей, то 4343, как и 433, оканчивается
цифрой 7.
Аналогично устанавливаем, что последние цифры степеней
171, 172, 173, 174 равны соответственно 7, 9, 3, 1, т. е. последние
цифры последовательных степеней числа 17 будут также
повторяться через каждые четыре степени. Так как 17|7=1744 + | =
(174)4.17!, то число 1717, как и 17\ оканчивается цифрой 7 (как и
число 4343). Следовательно, разность 4343—1717 оканчивается
нулем.
52(975). Найдите двузначное число, удвоенная сумма цифр
которого равна их произведению.
123
Решение. Пусть искомое двузначное число ab = \0a-\-b.
По условию 2(a-\-b) = ab. Для решения этого уравнения выразим
одно из неизвестных (например, а) через другое (Ь). Будем иметь:
2a-ab=-2b, a(2-b)=-2b,
а= ^b =2(6-2) + 4=o ,
Ь 2 Ь 2 *
Ь — 2 Ь — 2 ' Ь-2
Число bФ2 (иначе из уравнения 2(a-\-b) = ab следовало бы,
что 4=0). Подбором находим те значения Й6{1, 3, 4,..., 9}, при
которых дробь —^-—— целое число, большее чем —2 (в противном
о — 2
случае а<0). Получаем fti=3, 62 = 4, ft3 = 6. Откуда аи =6,
Ответ: 63, 44, 36.
53 (976). Существует ли обыкновенная дробь со знаменателем
20, принадлежащая промежутку ( —; —) ?
\ 1 о \ о /
Решение. Допустим, что ^<"577<тт> гДе я£ЛЛ Приведя
дроби к общему знаменателю, будем иметь:
4-20 ^ д.13 ^ 5-20
13-20 20-13 13-20 '
откуда получаем неравенство 80<13а<100, которое имеет
единственное натуральное решение а = 7. Таким образом, со
знаменателем 20 существует единственная обыкновенная дробь
—-, принадлежащая промежутку (-—; -М .
20 \ \о 13/
Л 54(977). Имеется 6 замков и 6 ключей к ним. Сколькими
испытаниями можно установить соответствие между ключами и
замками?
Решение. Первый ключ в самом худшем случае придется
проверить 5 раз (если он не подошел к каждому из пяти замков,
значит, он соответствует шестому). Второй ключ в самом худшем
случае испытывается 4 раза, третий — 3 раза и т. д. Всего, таким
образом, в наименее благоприятном случае для установления
соответствия между 6 ключами и 6 замками потребуется 15
испытаний (5 + 4 + 3 + 2+1 = 15).
Ответ: 15 испытаний.
55(978). Имеется 4 шарика различной массы. С помощью
скольких взвешиваний на рычажных весах без гирь можно
расположить эти шарики в порядке убывания массы?
Решение. Пусть тА, тв, то mD — массы четырех
различных шариков. Покажем с помощью графа, как выполняются
взвешивания (стрелка направлена от более тяжелого шарика
к более легкому).
Пусть, например, после двух взвешиваний, будем иметь
тА>тв и mc>mD (рис. 29, а). Далее с помощью двух взвешива-
124
т
ний сравним тА и тс (два более тяжелых шарика) и тв и mD
(два более легких шарика). При этом возможны два случая
(рис. 29, б, в).
В первом случае (когда меньшая из тА и тс масса шарика
оказалась больше большей из тв и mD масс, рис. 29, б) других
взвешиваний не понадобится: если тА>тСу a mc>mDy то тА>
>mD\ если mc>mD, a mD>mBy то тс>тв (по свойству
транзитивности неравенств). Следовательно, mA>mc>mD>mB.
Во втором случае (когда меньшая из тА и тс масса оказалась
больше меньшей из mD и тв масс шарика, рис. 29, в) нужно еще
одно взвешивание, чтобы сравнить массы тА и mD (mc и тп легко
сравнить, используя закон транзитивности неравенств). (На
рисунке штриховыми стрелками показаны соотношения между
массами шариков, установленные без взвешиваний, на основании
свойств транзитивности неравенств.)
Ответ: не более 5 взвешиваний.
56(979). Написав контрольную работу, ученики Володя,
Саша и Петя сообщили дома:
Володя: «Я написал на «5».
Саша: «Я написал на «3».
Петя: «Я написал не на «5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил
оценку «4», другой «3», третий «5». Какую оценку получил
каждый, если известно, что двое верно назвали свою оценку, а один
ошибся?
Решение. Если бы ошибся Володя (получил не «5»), а
остальные правильно назвали свои оценки, то Саша получил бы
«3», Петя — «4». Получается, что Володя получил одинаковую
оценку с Сашей или Петей, что противоречит условию задачи:
все получили различные оценки. Следовательно, Володя не
ошибся. Если бы ошибся один Петя, тогда бы он получил
одинаковую оценку с Володей (что противоречит условию задачи).
Значит, Петя ошибиться не мог: он получил «3» или «4». Остается
принять, что ошибся один Саша и, следовательно, он получил «4»,
Володя — «5», Петя — «3».
57(980). Двое играют в такую игру: первый называет какое-
нибудь целое число от 1 до 10 включительно, второй мысленно
125
прибавляет к этому числу еще какое-нибудь число из первого
десятка и называет сумму. К этой сумме первый прибавляет снова
какое-нибудь число из первого десятка и опять называет сумму
и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 100. Как нужно играть,
чтобы выиграть? Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто
начинает, или партнер?
Решение. Чтобы выиграть (назвать число 100), нужно
заставить противника назвать натуральное число из промежутка
[90; 99]. Для этого нужно самому назвать число 89. Чтобы самому
иметь возможность назвать число 89, нужно заставить
противника назвать какое-нибудь натуральное число из промежутка
[79; 88], для чего самому нужно назвать число 78. Рассуждая
аналогично, найдем, что при правильной игре начинающий всегда
может выиграть, если он будет называть следующие числа: 1,12,
23, 34, 45, 56, 67, 78, 89. Если же начинающий назовет какое-
нибудь другое число, то выигрывает партнер, назвав число из
указанной последовательности. (Это число по правилам игры
получается прибавлением к числу, названному начинающим,
какого-нибудь числа из первого десятка.)
58(981). В нижнем левом углу шахматной доски стоит фигура.
Одним ходом ее разрешается переставить на одно из трех соседних
полей: вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Выигрывает
тот из двух играющих, кто займет верхний правый угол (ходы
делаются по очереди). Кто выигрывает при правильной игре: тот,
кто начинает, или партнер?
Решение. Задача сводится к тому, чтобы фигуру из клетки
с нечетными координатами (1; 1) заданным способом
передвинуть на клетку с четными координатами (8; 8). Так как с
любой клетки ходом вправо, вверх или по диагонали вправо-
вверх можно увеличить одну из координат или обе на единицу, то
начинающий игру всегда может выиграть: для этого ему
необходимо первым ходом занять клетку с обеими четными
координатами (ход по диагонали вправо-вверх). Тогда противник
очередным ходом обязательно займет клетку, у которой одна из
координат нечетная. Если же начинающий займет клетку, у которой
одна из координат нечетная (ход вправо или вверх), то при
правильной игре выигрывает противник, занимая очередным ходом
клетку с четными координатами.
□ 59(982). В шкафу стоят книги, которые нужно
упаковать. Если их связать в пачки по 4, по 5 или по 6, то каждый раз
останется одна лишняя, а если связывать по 7 книг в пачку, то
лишних книг не останется. Каково число книг в шкафу, если
известно, что в нем не более 400 книг?
Решение. Задача сводится к отысканию натурального
числа, кратного семи, не превосходящего 400, которое при
делении на 4, 5 и 6 дает остаток 1. Это число, очевидно, имеет вид
60/2-1- 1, где 60 — наименьшее общее кратное чисел 4, 5, 6, n
n<J. Подбором находим л = 5. Ответ: 301.
126
□ 60(983). Имеется лист бумаги. Его разрезают на 4 части,
затем некоторые (или все) полученные куски снова разрезают на
4 части и т. д. Докажите, что при этом нельзя получить 50 частей
листа.
Решение. Легко понять, что после каждого разрезания
число частей листа увеличивается на 3. Таким образом, после
т разрезаний число кусков будет равно 1+Зт, где m£N. Так
как \+Зтф5О, то указанным в задаче способом получить 50
частей листа нельзя.
□ 61(984). а) Сколько существует четырехзначных чисел,
записанных только: 1) нечетными цифрами; 2) четными цифрами?
б) Сколько четырехзначных чисел содержат в записи как
четные, так и нечетные цифры?
Решение, а) 1) Каждый разряд четырехзначного числа
может быть записан любой из пяти нечетных цифр, т. е. пятью
способами. Следовательно, однозначных чисел, записанных
нечетными цифрами, существует 5, двузначных — 52 = 25,
трехзначных — 53 = 125, четырехзначных — 54 = 625.
2) Так как цифра нуль в начале числа стоять не может, то
наиболее высокий разряд числа может быть записан любой из
четырех четных цифр — 2, 4, 6, 8, а остальные разряды — любой
из пяти четных цифр. Таким образом, однозначных чисел,
записанных четными цифрами, 5, двузначных — 4-5 = 20, трехзначных —
4-5-5= 100, четырехзначных — 4-5-5*5 = 500 чисел.
б) Для решения задачи из общего числа четырехзначных
чисел необходимо вычесть число четырехзначных чисел,
записанных только нечетными цифрами (их 625) и только четными
цифрами (их 500). Так как однозначных чисел всего 10, двузначных —
9-10 = 90 (цифра нуль не может стоять на первом месте),
трехзначных — 9-102=900, четырехзначных — 9-103 = 9000, то число
четырехзначных чисел, содержащих в записи как четные, так
и нечетные цифры, равно 9000 — 625 — 500 = 7875.
62(985). В шахматном турнире участвовало более 9, но менее
25 шахматистов — гроссмейстеров и мастеров. По окончании
турнира выяснилось, что каждый участник набрал против
гроссмейстеров половину своих очков. Сколько человек участвовало
в турнире? Сколько среди них было мастеров?
Решение. Пусть в турнире участвовало п шахматистов,
из них гроссмейстеров т, следовательно, мастеров п — т. Таким
образом, всеми участниками турнира было сыграно п\п~х) партий
и набрано п(п~~{) очков (как партия, так очко), из них
гроссмейстеры между собой сыграли т{т~{) партий (и столько же очков
набрали), а мастера между собой сыграли ("~m)(" — m~*) пар.
127
тий и набрали, играя между собой, -^—2^—-—-1 очков.
Так как по условию каждый участник набрал против
гроссмейстеров половину своих очков, то и гроссмейстеры против
гроссмейстеров набрали половину своих очков, т. е. всего
гроссмейстеры набрали т{т—1) очков.
Поскольку мастера половину своих очков набрали, играя
против гроссмейстеров, то, играя между собой, они также набрали
половину своих очков, т. е. всего они набрали 2-fo~mH"~m~1) =
=(п — т)(п — т— 1) очков. Общее количество очков, набранных
участниками, равно т(т — \)-\-(п — т)(п — т—1), или п\п~ ).
Имеем уравнение
т (т — 1) + (п — т)(п — т — 1)=п(п-{) .
После упрощений получаем:
п2 — 4пт -\- 4т2 = п,
откуда (п — 2т)2 = п, т. е. п является квадратом натурального
числа. Но так как 9<Ся<с25, то п =16. Решив уравнение
(16 — 2т)2 = 16, получим т\ =6, т2= 10. Следовательно, в турнире
участвовало 16 человек, среди которых 6 или 10 гроссмейстеров.
63(996). Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих
данный периметр, квадрат имеет наибольшую площадь.
Решение. I способ. Пусть периметр прямоугольника р,
длина одной из его сторон а. Тогда длина другой стороны, не
равной первой, -^—а, площадь прямоугольника равна a("f" —а) •
Если прямоугольник с периметром р — квадрат, то длина его
2
стороны равна -£-, площадь равна ^-. Требуется доказать, что
при аф-Р- ~h;>a(~%—a) • Имеем:
так как -^-фа. Утверждение доказано.
II способ. Доказать, что выражение а(-£—а) имеет
наибольшее значение при а=-^-, можно по-другому. Так как
выражение я(-^—а) относительно переменной а есть
квадратичная функция — а2-{--£-а, графиком которой является парабола
с ветвями, направленными вниз, то наибольшее значение такая
128
функция достигает в вершине параболы, т. е. при а=——=-£-.
III способ. Пусть периметр прямоугольника равен 4а,
стороны прямоугольника а — х и а-\-х. Тогда площадь
прямоугольника S = (a-\-x)(a — х) = а2 — х2 и наибольшее значение S
будет иметь при х = 0.
□ 64(997). Катер проходит расстояние между пристанями
Л и В по течению за 8 ч, а против течения за 10 ч. Сколько часов
понадобится, чтобы проплыть из Л в В на плоту?
Указание. См. решение задачи 25 на с. 111.
Ответ: 80 ч.
65(998). Сплав состоит из цинка и меди, входящих в него
в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в
отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить
третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
Решение. Пусть третий сплав содержит х кг первого сплава
и у кг второго сплава. Требуется найти отношение —. Так как
в первый сплав цинк и медь входят в отношении 1:2, а во второй —
в отношении 2:3, то х кг первого сплава содержит -\-х (кг) цинка
о
и —х (кг) меди, у кг второго сплава содержит -f-# (кг) цинка и
о 5
-|-j/ (кг) меди. Всего в третьем сплаве цинка(4-* + -|-# ) кг, меди
5 \ <3 5 /
~У) кг.
По условию
\7_
27
откуда 35х = 9#, —=-^, т. е. третий сплав можно получить из
9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.
66(1000). Из М в N, расстояние между которыми 41 км, вышел
турист, проходящий в час 5 км. Спустя 2 ч вслед за ним выехал
всадник, который, обогнав туриста, прибыл в N и сразу же
повернул назад. Найдите скорость движения всадника, если
известно, что он встретил туриста через 2 ч 45 мин, после того как
обогнал его.
Решение. Пусть скорость всадника v километров в час.
Всадник догнал туриста (наверстал 10 км) за счет разности
скоростей (v — 5) километров в час, затратив на то, чтобы догнать
туриста, —^- часов.
v — 5
9 Заказ 942 129
К моменту встречи всадник был в пути (———1-2—) часов и
проехал за это время ( —^-+2 —) v километров. Турист же к мо-
\ V — 5 4 /
менту встречи был в пути на 2 ч больше (( *~1~4—) часа] и
прошел за это время (—-—1-4—)-5 километров.
\ v — 5 4 /
Так как сумма пройденных к моменту встречи туристом и
всадником расстояний равна удвоенному расстоянию MNy то имеем
уравнение
^+т)5+(?+т
у —5 4 / \ у —5 4
которое сводится к квадратному 1 It;2 — 248^+ 1365 = 0.
Корни уравнения i>i = 13 и ^2 = 9—. Оба корня
удовлетворяют условию задачи (v>5).
Ответ: 13 км/ч или 9 -j км/ч.
67(1001). Из Л в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя
час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час
5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав
одного туриста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость
велосипедиста.
Решение. Пусть скорость велосипедиста v километров в час.
Тогда первого туриста, прошедшего за 2 ч 8 км, велосипедист
догонит за —— часов. Второго туриста велосипедист догонит
за часов. Если велосипедист вначале обогнал второго ту-
V — 5 r J
риста, то имеем уравнение
§ —= —, или у2-27и+ 140 = 0.
у5 6
v — 4 у—5 6
Условию задачи (v>5) удовлетворяют оба корня уравнения:
у, =20, v2 = 7.
Если велосипедист вначале обогнал первого туриста, то имеем
уравнение
—5-г —=-4", или v2 + 9v- 100 = 0.
у —5 v — 4 6
Условию задачи (v>5) удовлетворяет один корень
v=
«6,5.
Ответ: «6,5 км/ч, или 7 км/ч, или 20 км/ч.
130
68(1002). На тренировке два конькобежца стартовали
одновременно на дистанции 10 000 м. Первый, двигаясь со скоростью,
превышающей скорость второго на -— м/с, пробегал каждый круг
о
на 2 с быстрее второго и через 10 мин обогнал его на полкруга.
Найдите скорости этих конькобежцев и вычислите время, за
которое каждый из них пробежал всю дистанцию.
Решение. Пусть скорость второго, конькобежца v метров
в секунду, тогда скорость первого (v-\—М метров в секунду.
Так как за 10 мин (600 с) первый обогнал второго на полкруга, то
половина длины окружности круга равна 200 м (— 600] , т. е.
длина окружности круга равна 400 м.
Поскольку первый конькобежец пробегал каждый круг на 2 с
быстрее второго, то 2=-^- 12L_? откуда 3v2-\-v — 200 = 0.
Условию задачи удовлетворяет один (положительный) корень
уравнения: v = 8 (м/с).
Имеем: скорость второго конькобежца — 8 м/с, скорость
первого конькобежца — 8 — м/с, время, за которое первый конько-
бежец пробежал всю дистанцию:
10 000:8 4"= 1200 с = 20 мин,
время, за которое второй пробежал всю дистанцию:
10 000:8=1250 с = 20 мин 50 с.
Ответ: 8 -^- м/с, 8 м/с; 20 мин, 20 мин 50 с.
□ 69(1003). По двум взаимно перпендикулярным дорогам
движутся в направлении перекрестка велосипедист и
мотоциклист. В некоторый момент времени велосипедист находился на
расстоянии 8 км, а мотоциклист — на расстоянии 15 км от
перекрестка. Через сколько минут после этого расстояние между ними
будет равно 5 км, если скорость
велосипедиста — км/мин, а мотоцик- л
листа 1 км/мин?
Решение. Пусть ОА = 8 км,
ОВ=15 км (рис. 30). Если расстоя- А1
ние 5 км между мотоциклистом и
велосипедистом будет через t мин
(Л,В,=5 км), то AAx=-jt (км), -
ВВ,=/ (км). Тогда ОЛ,=ОЛ—1-/= Рис 30
з • *"""" О В1 В
131
= 8—-t, OB i = OB — /=15 — t. По теореме Пифагора из
о
AOAiB\ имеем:
После преобразований получаем:
5/2 — 159/ Ч- 1188 = О,
Л = 12 (мин), /2= 19,8 (мин).
Оба корня удовлетворяют условию задачи: в первом случае
(/=12 мин) мотоциклист и велосипедист еще не достигнут
перекрестка, во втором случае (/= 19,8 мин) мотоциклист перекресток
переедет.
70(1004). Из двух населенных пунктов А и В одновременно
навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече
оказывается, что турист, вышедший из Л, прошел на 2 км больше, чем второй
турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист
прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй — в А через 2 ч 30 мин
после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого
туриста.
Решение. Пусть первый турист (вышедший из А) прошел
до встречи s километров, тогда второй турист прошел до встречи
(s — 2) километров. Так как после встречи до пункта В первый
турист прошел (5 — 2) километров за 1,6 ч, то его скорость равна
s~ километров в минуту, скорость второго туриста — километ-
Уи 1 эк)
ров в минуту. Так как до встречи туристы шли одно и то же время,
имеем уравнение
5:^-=(s-2):T|5, т. е. 9s2- 100s + 100 = 0,
откуда Si = 10 (км), 52 = -~ (км). Условию задачи (s>2)
удовлетворяет лишь первый корень.
Таким образом, расстояние АВ равно 18 км (10 + (10 — 2)),
скорость первого туриста — -^-=-~ км/мин, или 5 км/ч, скорость
9и 12
второго туриста -=— км/мин, или 4 км/ч.
1 ок) 1 о
Ответ: 18 км, 5 км/ч, 4 км/ч.
71(1005). Два пешехода вышли одновременно навстречу
друг другу из пунктов А и В и встретились через 2 ч. Сколько
времени затратил на путь А В каждый из пешеходов, если первый,
вышедший из Л, пришел в пункт В на 1 ч 40 мин позже, чем второй
пришел в пункт Л?
Решение. I способ. Пусть скорость первого пешехода
(вышедшего из Л) v\ километров в час, скорость второго v2
километров в час. Тогда до встречи первый пешеход прошел 2v\ кило-
132
метров, второй 2v2 километров, а после встречи наоборот. Так
как после встречи первый пешеход затратил времени на 1 ч 40 мин
больше второго, имеем уравнение
2v2 _2yj_ _5_
V\ V-2 3
Для решения этого уравнения обозначим — = /. Тогда
з
3 ,
Условию задачи удовлетворяет лишь положительный корень
'-■§■■
Имеем — = -^-У 2u2 = 3ui. Так как AB = 2v\-\-2v2 = 5v\ =
v | 2
=—v2i то первый турист затратил на весь путь 5 ч (5v\:v\=5),
а второй 3 ч 20 мин (^-v2:v2 = 3 -М .
II способ. Пусть второй пешеход затратил на весь путь
t часов, тогда первый затратил И + 1-ir) часов. Если
обозначить расстояние А В через s километров, то скорость первого
пешехода равна —^—- километров в час, а скорость второго
-j- километров в час.
За 2 ч пешеходы прошли (—^—-—|-—) километров, или s
километров. 3
Имеем уравнение
9с 9с
-4 '
Разделив почленно на s#0 и упростив, получим:
З/2 —7/— 10 = 0,
откуда /i=3^-, /2<0 (не удовлетворяет условию задачи),
/4-1 —=5
От в ет: 5 ч, 3 ч 20 мин.
72(1006). От причала N вниз по течению реки отошел плот.
Через 3 ч от пристани М, отстоящей от N на 60 км, вверх по течению
133
отправился теплоход, который прибыл в N через час после встречи
с плотом. Найдите скорость течения реки, зная, что скорость
теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.
Решение. Пусть скорость течения реки (скорость движения
плота) v километров в час, тогда скорость теплохода (24 — v)
километров в час, скорость сближения плота и теплохода
и+(24 — и) = 24 км/ч.
Так как за 3 ч плот прошел 3v километров, то теплоход до
встречи шел 60~3v == 20~v часов, а весь путь (60 км) теплоход
шел ——— часов.
24-у
Учитывая, что на весь путь теплоход затратил на 1 ч больше,
чем на путь до встречи с плотом, составляем уравнение:
60 20-v _ t
24-и 8
После упрощений получаем:
и2 —52г;+192 = 0,
откуда fli =4, 02 = 48. Условию задачи (60 — 3v>0) удовлетворяет
лишь корень 0 = 4.
Ответ: 4 км/ч.
73(1007). Мастер и его ученик должны были выполнить
работу к определенному сроку. Однако когда была выполнена
половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один,
закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мог бы
выполнить всю работу каждый из них, работая один, если мастеру
на это потребовалось бы на 5 дней меньше, чем ученику?
Решение. Пусть мастер мог выполнить всю работу за х дней,
тогда ученик — за (х + 5) дней. За 1 день мастер выполнял — часть
работы, ученик выполнял —!— часть работы; при совместной
х-\-Ъ
работе мастер и ученик выполняли за один день 2*+5 часть
работы f -—| х— = 2*+^ ) • На половину работы мастер и
ученик затрачивали *(*+5) дней (—: 2*+5 ) что на 2 дня
2(2*+ 5) \ 2 х{х+5)/
меньше времени, затраченного одним мастером на половину
работы.
Учитывая, что мастер, работая один, на половину работы
затратил -~ дней, составляем уравнение
2
134
х х(х + Ь) _р
После упрощений получаем:
х2—8д: —20 = 0,
лг, = 10, х2= — 2.
Условию задачи удовлетворяет лишь положительный корень:
мастер мог выполнить работу за 10 дней; следовательно, ученик
за 15 дней.
Ответ: 10 дней, 15 дней.
74(1008). Турист, вышедший из Л в В, прошел полпути со
скоростью v\, а вторую половину со скоростью v2 (v\=£v2).
Возвращаясь обратно, он половину всего затраченного на обратный
путь времени шел со скоростью vu а другую половину — со
скоростью v2. В каком случае турист затратил больше времени:
когда шел из Л в В или когда шел из В в Л?
Решение. I способ. Пусть время, затраченное туристом
на путь из В в Л, равно 2/. Тогда половину времени (/) он шел со
скоростью v\, а вторую половину времени — со скоростью v2.
Весь путь, таким образом, равен v\t-\-v2t, половина пути —
2
На половину пути со скоростью v\ турист затратил
/ i Vot
= -рН~ о единиц времени, на вторую половину пути со скоростью
2 2v\
v2 турист затратил V[t + V2t = JL,}. .gii.. Всего на путь из Л в В
2v2 2 2v-2
турист затратил
/ i vit | / | y\t _f I t / v2 i Vi\
2 ^ 2y, ^ 2 ^ 2v2 ^TV Vi ^ u2 ) '
что больше 2/, так как i^--|-i^>2 при
У\ У2 Г
Таким образом, на путь из Л в В турист затратил больше
времени, чем на путь из В в Л.
II способ. Обозначим расстояние АВ через s. Тогда время,
затраченное туристом на путь из Л в В, равно /i=~—Ьтг~=
2v\ 2v-2
=_i_._Ei±£*_ Если обозначить время, затраченное туристом на
обратный путь, через t2, то s = v\— -\-v2—, откуда t2 =
2 2 У\-\~Уч
Сравним t\ и t2.
135
Так как s>0, то, сократив на s, получим:
^1 + ^2 W _
2У|Уг V
(Vl+V2?V
Следовательно, t\ > /2.
Ответ: на путь из Л в В турист затратил больше времени,
чем на путь из В в Л.
Замечание. Эту задачу можно дать в более общей
формулировке: что быстрее—половину пути идти со скоростью v\,
а другую половину пути со скоростью V2 (v\=^=V2) или половину
всего затраченного времени идти со скоростью v\, а вторую
половину со скоростью и2?
75(1009). Один самосвал может перевезти стройматериалы
на 24 ч скорее, чем другой. Если сначала две трети всех
материалов перевезет первый самосвал, а затем оставшуюся часть —
второй, то понадобится на 33 ч больше, чем при одновременной
работе обоих самосвалов. За сколько часов может перевезти
стройматериалы каждый самосвал?
Решение. Пусть первый самосвал может перевезти
стройматериалы за t часов, тогда второй — за (/ + 24) часов. За 1 ч
первый самосвал может перевезти — часть стройматериалов,
второй за 1 ч -£— часть. При одновременной работе за 1 ч
самосвалы могут перевезти / t^n часть стройматериалов
(——| ■—) , затратив на всю работу ^/ + 24) часов (1: 2/ + 24 =
\ / / + 24/ к к J 2Z + 24 \ /(/ + 24)
/ + 24/' ~-г—-»' г j 2/ + 24 \" /(/ + 24)
_/(/ + 24)\
2Z + 24 / '
Первый самосвал -|- всех стройматериалов может перевезти
о
за Ц- часов (-?-:—=-?-/j э оставшуюся часть (-М второй само-
свал может перевезти за Ц^— часов (-^-:-T-r--=/'t ) . По уело-
вию задачи составляем уравнение
2/ | / + 24 дЗ= /(/ + 24)
3 "•" 3 2/ + 24 '
откуда
(/-25) (2/ + 24)=/(/ + 24),
/2- 50/ -600 = 0,
/,=60, /2=-10.
136
Условию задачи удовлетворяет лишь положительный корень
уравнения / = 60. Следовательно, первый самосвал может
перевезти стройматериалы за 60 ч, второр— за 84 ч (60 + 24 = 84).
О тв ет: 60 ч, 84 ч.
76(1010). Колхозная бригада должна убрать урожай
картофеля в определенный срок. После того как было убрано 60%
всего картофеля, в помощь бригаде был направлен комбайн, что
сократило срок уборки на 5 дней. Сколько дней понадобилось
бы на уборку картофеля без помощи комбайна, если известно, что
комбайн мог бы выполнить всю работу на 8 дней скорее, чем
бригада?
Решение. Пусть бригаде на уборку картофеля без помощи
комбайна необходимо t дней, тогда комбайну для выполнения всей
работы необходимо (/ — 8) дней.
За 1 день бригада может выполнить -у- часть всей работы,
комбайн за 1 день —!— часть всей работы. С помощью комбайна
/ — 8
су i о / | I
бригада за 1 день выполняла часть работы ( 1 ■—=
/ (/ —8) \ / / — 8
О/ ft \ / *Х \ Q/
=———) . 60% ( —) всего картофеля бригада убрала за —дней
/(/ — 8)/ \ 5 / 5
(-^:—=Ц-) , оставшиеся 40% (-f-) всего картофеля бригада
с помощью комбайна убрала за 1^~8] дней (-■■-: 2/~^ =
5 (/ — 4) \ о / (/ — 8)
= t{it~S4 . По условию имеем:
откуда
t2-25t+ 100 = 0,
/,=20, /2 = 5.
Условию задачи (/>5) удовлетворяет один корень / = 20.
Ответ: 20 дней.
□ 77(1011). Два всадника выезжают одновременно из А
и В навстречу друг другу, и один прибывает в В через 27 мин, а
другой в А через 12 мин после встречи. За сколько минут проехал
каждый всадник путь АВ?
Решение. Пусть AB = s (в м), время до встречи всадников
/ (в мин). Тогда решение задачи сведется к решению одного из
трех уравнений (см. решение задачи 28, с. 112):
•27 =
/ + 27 /+12 '
-J t=— 12
/ + 27 /+12
137
Ответ: первый всадник проехал путь АВ за 45 мин, второй —
за 30 мин.
Л 78. Упростите выражение
Решение. Обозначим число 71 для краткости через а. Тогда
+ а7 + ... + а2 + а
+ fl3 + fl2 + fl)_(fl9
2 + а+1)+1=а10.
Следовательно, данное выражение равно 7110.
79. Вычислите сумму
92- 1002+ 1012.
Решение. Имеем:
I2 —22Н-32 —42
= 201+ 197+ ...
^ 1)-51 = 101-51=5151.
Ответ: 5151.
80. Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до 1000
делится на 143.
Решение. Сумму первых 1000 натуральных чисел можно
записать в виде (1 + 1000) + (2 + 999) + ...+ (500 + 501). Каждое
слагаемое этой суммы равно 1001 = 143- 7, т. е. делится на 143,
и поэтому вся сумма делится на 143.
81. Докажите, что сумма 2 + 22 + 23 + ... + 2" + 2100 делится
на 3.
Решение. Сгруппировав слагаемые данной суммы по два,
будем иметь:
Следовательно, данная сумма делится на 3, что и
требовалось доказать.
□ 82. Докажите неравенство
У6+л/6+л/6+--+л/б+л/б<з.
Решение. Если последнюю цифру 6 в левой части данного
неравенства заменить на 9, то после извлечения всех корней мы
получим число 3. Следовательно, левая часть меньше 3, что и
требовалось доказать.
83. Доказать, что если а-\—\-=Ь-\—-=с + —, то a2b2c2=\
оса
или а = Ь = с.
138
Решение. Из условия следует, что
be ' ас ' аб
Перемножая полученные равенства, получим:
(а-Ь)(Ь-с)(с-а)=Р-сНс2
Если афЬфс, то a2b2c2=l.
Если а2Ь2с2ф\, то (a — ft)(ft — с)(с — а) = 0, т. е. хотя бы два
из чисел а, Ь, с равны между собой; но тогда из условия сразу же
вытекает, что и третье число совпадает с ними, что и требовалось
доказать.
84. Девять одинаковых книг стоят 11 р. с копейками, а
13 таких же книг стоят 15 р. с копейками. Определите точную
стоимость одной книги.
Решение. Очевидно, что каждая книга стоит 1 р. т к., где
т — целое число, причем т<100. Из первого условия задачи
следует, что 200<9т<300, т. е. 23<т<33. Из второго условия
200<13т<300, т. е. 16<т<23. Следовательно, т = 23.
Ответ: 1 р. 23 к.
85. Процент учеников VII класса, занимающихся в секции
гимнастики, заключен в пределах от 2,9 до 3,1%. Определите
наименьшее возможное число учеников в этом классе.
Решение. Если в классе х учеников и у из них занимаются
гимнастикой, то по условию 2,9< 100--^-<3,1, или 29* < 1000#<
<31х. Если х<32, то 31х<992<1000(/, поэтому х>33.
Поскольку 29-33< 1000-(/<31-33, то искомое число учащихся
равно 33.
86. Пусть А=5х + 4уу В = Зх-\-7уу где х и у — целые числа.
Докажите, что А делится на 23 в том и только в том случае, когда
В делится на 23.
Решение. Заметим, что 5В = ЗА-\-23у. Поэтому если А
делится на 23, то 5В, следовательно, и В делится на 23.
С другой стороны, если В делится на 23, то ЗЛ, а
следовательно, и А делится на 23. Утверждение доказано.
87. Докажите, что сумма всех натуральных чисел, в записи
которых каждая из цифр от 1 до 9 встречается ровно один раз,
делится на 999 999 999.
Решение. Так как все цифры от 1 до 9 в данной задаче
равноправны, то в каждом разряде любая из цифр встречается
одинаковое число раз; обозначим это число через k. Тогда сумма
цифр, стоящих в каждом разряде, равна k (1 +2 + 3 + ...+9} =
= 45Л, а сумма всех чисел равна поэтому 45& (1 +10+10 +
Ю8) 5£999 999 999
88. Докажите, что л3 + Зл2 + 8я при любом натуральном п
делится на 6.
139
Решение. Данное выражение можно представить в виде
суммы (п3 + Зп2 + 2п) + 6п=п(п+1)(п + 2) + 6л.
Первое слагаемое представляет собой произведение трех
последовательных натуральных чисел, которое делится на 6.
Второе слагаемое, очевидно, также делится на 6, поэтому на 6
делится и рассматриваемая сумма. Утверждение доказано.
□ 89. Вычислите значение выражения 2а~1! + 1?6~? * если
За — b За -+- о
известно, что 10а2 — ЗЬ2 + 5аЬ = 0 и 9а2 — Ь2 фО.
Решение. Так как ЪаЬ = ЗЬ2 — 1 Оа2, то
2а-Ь | bb-a = U2+\5ab-6b2 = За2+3 (362-10а2)--662 =
За — Ь ' За + 6 9а2 — Ь2 9а2-Ь*
_ -3(9а2-62) ___ _3
Ответ: -3. 9fl2-*2
90. Если первую цифру четырехзначного числа, являющегося
полным квадратом, уменьшить на 3, а последнюю увеличить на 3,
то получится также полный квадрат. Найдите это число.
Решение. Пусть данное число равно а2, а измененное число
Ь2, тогда а2-3000 + 3 = Ь2, или а2-Ь2 = 2997, откуда (а-Ь)Х
Х(а + 6) = 2997 = 3-3-3-3-37. Ясно, что а + b больше 37, а из
условия задачи следует, что а-\-Ь меньше 200 (аи b — двузначные
числа). Следовательно, а + Ь = 3-37= 111, а — 6 = 3-3-3 = 27.
Тогда 2а=138, а = 69, а2 = 4761.
Ответ: 4761.
91. Докажите неравенство
JL.J-.A. 120^ 1
3*5*7 *'"* 121 11 '
Решение. Пусть * = -|- - -j- - j- - ... -
а У
V-5-. .iii Так как -2-^-L- J_^i_- -L^A- • 1^^119
X 6 ... 120. 1 ак как 3 > 2 , 5 ^> 4 , 7 ^> 6 , ..., |21 ^> 120,
то jc>>(/ и jc2>>jc(/. Имеем:
jr J-.-2-.JL.-L. 119 | 120 _ 1
У 2*3*4*5 '"'* 120 * 121 121 '
Таким образом, *2>т^7» откуда х>тг •
92. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на я,
а вторую и третью цифры уменьшить на я, то полученное число
будет в п раз больше исходного. Найдите число п и исходное
число.
Решение. Пусть 100jc+ \0y-\-z — исходное число. По
условию имеем равенство
140
откуда
П — 1
Так как 89— простое число, то либо п— 1 должно быть
равно 1, либо п должно делиться на п— 1. В обоих случаях мы
приходим к равенству дг = 2, а тогда искомое число равно 178.
Ответ: 178.
□ 93. Докажите, что при любых целых тип
делится на 16.
Решение. Если числа тип имеют одинаковую
четность, то (Зт + л + 4) — четное число, и, следовательно, число
(Злп-|-лг + 4)4 делится на 16. Если тип имеют разную
четность, то 5т + Здг +1 — четное число, и, следовательно, число
(5т + Зя + 1)4 делится на 16. Следовательно, данное выражение
при любых целых тип делится на 16.
94. Докажите, что не существует целых чисел х и уу для
которых справедливо равенство
+л/у2-у+1=П.
Решение. Так как для любого целого числа х числа х2
и х либо оба четны, либо оба нечетны, то сумма х2-\-х всегда
четна. Поэтому выражение под первым знаком корня является
нечетным числом, а следовательно, и корень из него — нечетное
число.
Аналогично можно доказать, что второе слагаемое в левой
части данного равенства является нечетным числом. Но сумма
двух нечетных чисел не может быть равна 11, откуда и следует
требуемое утверждение.
95. Может ли число вида я2 + 9л+12, где n£N, делиться
на 121?
Решение. Запишем равенство дг2 + 9дг + 12 = (дг—1)Х
X(az + 10) + 22. Если п—\ не делится на 11, то и /х+10 (дг+10 =
= п— 1 + 11) не делится на И. Тогда правая часть полученного
равенства не делится на 11 и тем более на 121. Если же п — \
делится на И, то дг+10 также делится на 11, а произведение
этих чисел делится на 121. В этом случае правая часть
рассматриваемого равенства делится на И, но не делится на 121
(так как на 121 не делится число 22).
Таким образом, число вида дг2 + 9дг+12 при любом n£N не
делится на 121.
□ 96. Число 392 разделили на натуральное число а и от
частного отняли а, с полученной разностью проделали то же
самое и с новым результатом проделали то же самое. В ответе
получилось число —а. Чему равно а?
141
Решение. По условию задачи составим уравнение
откуда
-392 = 0, а2(а+1) = 392, где
Получили, что 392 делится на квадрат натурального числа а.
Так как 392 = 72-23, то 392 делится только на квадраты чисел
2, 7 и 14. Ясно тогда, что а = 7.
Ответ: а = 7.
97. Найдите правильную дробь, которая увеличится в 3 раза,
если ее числитель возвести в куб, а к знаменателю прибавить 3.
Решение. Пусть — правильная дробь (а и b —
натуральные числа, а<6), такая, что --^—=3~, откуда -гЦг=~Г'
o-f-o о о -\-о о
a2b = 3b-\-9, ft(a2 —3) = 9. Отсюда видно, что число b должно
быть делителем числа 9, т. е. b равно либо 1, либо 3, либо 9.
Проверим эти значения:
1) если fe = l, то а = [
2) если fc = 3, то a = V6;
3) если b = 9, то a = 2.
Так как а — натуральное число, то первые два случая не
подходят.
9
Ответ: —.
98. Найдите значение дроби iL±Af если 2a2-\-2b2 = 5aby
b>a>0. a~h
Решение. По условию 2a2 — 5аЬ-\-2Ь2 = 0. Но 2а2 — ЬаЬ +
2b2 = (2a2-4ab)-(ab-2b2) = {2a-b){a-2b). Тогда a-2fc = 0
или 2а — Ь = 0. Но ft>a>0, поэтому Ь = 2а (а не а = 2Ь).
Следовательно, £±^=£±2£=_з.
а — Ь а —2а
Ответ: —3.
99. При делении пятизначного числа, состоящего из
одинаковых цифр, на четырехзначное число, также состоящее из
одинаковых цифр, получилось частное 16 и некоторый остаток. После
отбрасывания в делимом и в делителе по одной цифре частное
не изменилось, а остаток уменьшился на 2000. Найдите эти числа.
Решение. Пусть искомые числа равны ааааа и bbbb. По
условию задачи
aaaaa = bbbb-16 +г,
где г — остаток от деления ааааа на bbbb. После вычитания
второго равенства из первого получаем:
a.l04 = fc.l03-16 + 2000, т. е. 5a
142
Так как а и Ь — однозначные числа и правая часть
последнего равенства есть нечетное число, то а — нечетное число. При
а=1, 3, 7, 9 получаем, что b — не целое число (Ь — цифра),
а при а = 5 получаем ft = 3, поэтому искомыми числами являются
55 555 и 3333.
Ответ: 55 555 и 3333.
100. Решите систему уравнений:
4х — у2 = 4у — z2 = \z — х2 = 1.
Решение. Из данных уравнений следует, что х>0, у>0у
z>0. Докажем, что x = y = z. Пусть, например, х>у. Тогда
из уравнения 4х — у2 = 4у — г2 следует, что y2>z2 и у>г (так
как у>0у z>0). Но тогда из уравнения \у — z2 = 4z — x2 следует,
что z2>x2 и z>x. Получаем противоречивую систему неравенств
*>У> y>z, z>x. Аналогичные противоречия получим и в других
случаях. Из равенства x = y = z имеем х2 — 4х-|-1=0, откуда
2УЗ Следовательно, система имеет два решения: х\ =
2 V§ 2V
/ V, 2 /2 2 V
101. Даны два квадратных уравнения х2 — х + т = 0, х2 — х-\-
-|-Зт=0, тфО. Найдите значение m, при котором один из
корней второго уравнения равен удвоенному корню первого
уравнения.
Решение. Пусть х0 — корень первого уравнения, 2х0 —
корень второго. Тогда верны числовые равенства:
лго —
4x1 —
Вычтя почленно из утроенного первого равенства второе, получим
— х1 — *о = О, откуда хо = О или лго = — 1. Если хо = О, то из первого
равенства следует, что т = 0, а это противоречит условию. Если
хо= — 1, то получаем т= — 2. (Проверка показывает, что
значение т=— 2 действительно удовлетворяет условию задачи.)
Ответ: т= —2.
Л 102. На окружности отмечено 6 точек. Сколько хорд они
определяют?
Ответ: 15.
Л 103. На плоскости даны 5 точек, из которых никакие три
не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых
определяют пары этих точек?
Ответ: 10.
□ 104. Сколько диагоналей у пятиугольника? у дг-угольника?
Ответ: 5; "("-')-„.
□ 105. В первенстве по футболу участвовали 16 команд.
За победу команда получает 2 очка; в случае ничейного исхода
в основное время обе команды пробивают серию пенальти, и
забившая больше голов получает одно очко. После 16 туров все
143
команды набрали 222 очка. Сколько матчей закончилось в
основное время вничью?
Решение. В каждом туре играется 8 матчей, поэтому после
16 туров было сыграно 128 матчей (8-16=128). Если бы все
матчи заканчивались победами в основное время, то все команды
набрали бы 256 очков (128-2 = 256). Следовательно, в результате
ничьих были потеряны 34 очка (256 — 222), т. е. 34 матча
закончились в основное время вничью.
Ответ: 34 матча.
106. Несколько шахматистов провели между собой матч-
турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим
несколько партий. Во сколько кругов прошло это соревнование,
если всего было сыграно 224 партии?
Решение. Пусть х — число участников соревнования,
у — число кругов. В одном круге каждый шахматист играет
(х — 1) партию, а всеми участниками сыграно х (* ~{) партий.
Поэтому общее число сыгранных в соревновании партий равно
х^х~ *У. Следовательно, х (х— 1) (/ = 448. Выписав делители
числа 448, замечаем, что только два из них (7 и 8) отличаются
друг от друга на 1, а тогда из полученного равенства легко
находим х = 8, у = 8.
Ответ: матч-турнир проходил в 8 кругов.
107. Кассир Аэрофлота должен доставить билеты пяти
группам туристов. Три из этих групп живут в гостиницах «Дружба»,
«Россия» и «Минск». Адрес четвертой группы кассиру скажут
туристы из «России», адрес пятой скажут туристы из «Минска».
Сколькими способами кассир может выбрать порядок объезда
гостиниц, чтобы вручить билеты?
Решение. Подсчитаем сначала, сколько существует
способов объезда гостиниц, если на порядок объезда не наложено
никаких ограничений. Тогда первую гостиницу можно выбрать
5 способами, вторую — 4, так что первые две гостиницы можно
выбрать 20 способами; третью гостиницу можно выбрать 3
способами, поэтому для выбора первых трех гостиниц имеется 60
(5-4-3 = 60) способов. Наконец, четвертую гостиницу можно
выбрать 2 способами. Таким образом, всего возможно 120
способов (5-4-3-2=120) объезда всех гостиниц.
Условие задачи обязывает кассира ехать в «Россию» раньше,
чем в четвертую гостиницу; это сокращает число способов ровно
в два раза, так как, очевидно, способов, в которых «Россия»
посещается раньше, ровно столько же, сколько способов, в
которых она посещается позже. Аналогично в два раза сокращает
число возможных способов второе ограничение задачи. Поэтому
кассир имеет 30 способов (120:2:2 = 30) объезда.
Ответ: 30 способов.
144
108. Автобусные билеты имеют номера от 000 001 до 999 999.
Номер считается счастливым, если три первые его цифры
нечетны и различны, вторые три цифры четны, причем 7 и 8 не стоят
рядом. Сколько существует различных счастливых номеров?
Решение. Число номеров, удовлетворяющих первым двум
условиям задачи (но, быть может, не удовлетворяющих третьему
условию), можно подсчитать следующим образом: первую цифру
такого номера можно выбрать пятью способами, вторую —
четырьмя, третью — тремя, каждую последующую — пятью
способами, поэтому общее число таких билетов равно 7500
(5.4.3.5.5.5 = 7500).
Из рассмотренных номеров третьему условию задачи не
удовлетворяют номера, в которых третья цифра 7, а четвертая 8,
число таких номеров подсчитывается так же, как и выше: оно
равно 300 (4.3.5-5 = 300).
Следовательно, число различных счастливых номеров равно
7200 (7500-300 = 7200).
Ответ: 7200.
109. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляются всевозможные
положительные десятичные дроби с одним, двумя или тремя десятичными
знаками, содержащие каждую из этих цифр по одному разу.
Найдите сумму указанных дробей.
Решение. Из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 целых
числа с различными цифрами (4«3-2 = 24); в этих числах в каждом
разряде любая из данных цифр встречается 6 раз (24:4 = 6).
Поэтому сумма цифр каждого разряда равна 60 ((1+2 + 3 +
+ 4)«6 = 60). Следовательно, сумма всех этих 24 чисел равна
60 + 600 + 6000 + 60 000 = 66 660.
Отсюда ясно, что искомая сумма равна
6666 + 666,6 + 66,66 = 7399,26.
Ответ: 7399,26.
ПО. Каждый из 9 нападающих и полузащитников футбольной
команды «Динамо» забил в чемпионате хотя бы один гол, а все
вместе — 47 голов. Докажите, что хотя бы двое из них забили
одинаковое число голов, если известно, что самый
результативный нападающий забил 12 голов.
Решение. Предположим, что все полузащитники и
нападающие команды забили разное число голов. В этом случае
8 из них забили 35 голов (47— 12 = 35), но если даже они забили по
наименьшему возможному числу голов, то общее число забитых
ими голов 36 (1+2+ ... + 8 = 36), т. е. больше 35. Мы пришли
к противоречию, откуда и следует доказываемое утверждение.
111. Можно ли разрезать квадрат размером 6x6 на
прямоугольники размером 1 Х4 со сторонами, параллельными сторонам
квадрата?
10 Заказ 942 145
Решение. Пусть данный квадрат разрезан на требуемые
прямоугольники, и пусть у «а» из них меньшая сторона, а у «ft»
большая сторона параллельна фиксированной стороне квадрата.
Тогда а+ 46 = 6, 4a + ft = 6. После сложения этих равенств
получим 5а4-5ft =12, 5 (а + ft) =12. Получили, что а-\-Ь—дробное
число, чего быть не может, так как a£N и b£N. Следовательно,
разрезать квадрат требуемым образом невозможно.
112. Докажите, что
1-2 ' 2-3 ' 3-4 ' ' {п—\)п п
Решение. Заменим каждое из слагаемых левой части
равенства, равное произведению двух дробей, разностью этих
дробей. Будем иметь:
1 О • О О • О /I 1***1
1-2 ' 2-3 ' 3-4 ' ' (п-\)п
= |._L . _L._L . _L._L . j ! L
2 ' 2 3 ' 3 4 ' '" ' (л —1) n
= | 1 _ я-1
п п
Замечание. Перед решением этой задачи следует найти
закономерность получения таких дробей, разность которых равна
их произведению, т. е. выяснить, при каком условии
а с _а с_
Ь ' d ~" Ь d '
Отсюда будем иметь ac = ad — bc, или 1= — —. Получили,
что разность дробей, обратных данным, должна равняться
единице. Например:
1) 5 — 4=1, — и искомые дроби;
2) -~ !г=1> -|" и "I искомые дроби.
«3 о 5 2
В результате проведенных рассуждений замечаем, что
числители интересующих нас дробей равны, а знаменатель одной из
них больше знаменателя другой на величину числителя, т. е.
произведение дробей — и т равно их разности.
113. При каком наименьшем натуральном п каждая из дробей
7 8 31
несократима?
146
Решение. Все данные дроби имеют вид , а та-
л-Нл-f 2)
кая дробь будет несократимой, если числа k и п-\-2 не имеют
общих делителей. Таким образом, п-\-2 должно быть взаимно
просто с числами 7, 8, ..., 31, а наименьшее натуральное число,
обладающее этим свойством, 37. Следовательно, искомое число п
равно 35.
О т в е т: 35.
114. При каких x£Z выражение I* , является целым числом?
эх -\~ 1
Решение. Обозначим рассматриваемую дробь через у, тогда
и, следовательно, Ъу может быть целым числом только в случае,
когда 13 делится на 5х+1, т. е. когда 5х+1£{1, — 1, 13, —13).
Проверив все эти случаи, получаем, что Ъу^1 только при х = 0,
поэтому решением задачи является число х = 0.
115. Найдите наименьшее значение выражения
где х — положительное число.
Решение. Поскольку
а —+ -^->2 (при с>0 истинно неравенство с + —>2, т. е.
2 — наименьшее значение суммы двух взаимно обратных чисел
(см. 627 из [2])), то выражение 2( —+ -§■)+5 принимает
наименьшее значение, равное 9 (2-2 + 5 = 9).
Ответ: 9.
"2 о у I О
116. Найдите наименьшее значение дроби ■———, если
х<\.
Решение. I способ. Данную дробь можно представить в
2
виде 1-3. При x<il первое слагаемое неотрицательно и
равно 0 только при х = 0. Поскольку 0 входит в рассматриваемое
множество значений х, то при х = 0 данная дробь и принимает
наименьшее значение, равное 3.
II способ. Представив данную дробь в виде суммы
+ 1
1 —х
и воспользовавшись тем, что сумма взаимно обратных
положительных чисел не меньше двух, получим, что данная дробь не
меньше 3, т. е. ее наименьшее значение равно 3.
Ответ: 3.
10* 147
117. Найдите наименьшее значение выражения
(х —5)(х—1)(х —6)(х —2) + 9.
Решение. Имеем:
X (х2 - 7х + 6)+9 = (х2 - 7х)2 + 16 (х2 - 7х) + 69 =
=(jc2-7jc+8)2 + 5.
Отсюда у „„„ = 5, когда х2— 7х + 8 = 0, т. е. при
2 ч "
Ответ: 5.
118. Какое самое большое и какое самое маленькое значение
принимает отношение двузначного числа к сумме его цифр?
Решение. Пусть ху у соответственно первая и вторая цифры
двузначного числа. Так как хфО, то, обозначив через /
рассматриваемое отношение, будем иметь:
__ 1 | 9л: _ | | 9
х + у х + у у '
Отсюда видно, что t тем больше, чем меньше отношение -^-.
х
Поэтому самое большое значение / = 10 получается при (/ = 0
и любом х, а самое маленькое t= 1,9 — при -^-=9, т. е. при х= 1,
У = 9. х
Ответ: 10; 1,9.
119. При каких значениях п сумма п2-\-(п-\-1)2-\-(п-\-2)2-\-
+ (дг + 3)2 кратна 10 (п — натуральное число)?
Решение. I способ. Имеем:
Следовательно, 2/г2 + 6/г + 7 = 5&. Решая это квадратное
уравнение, находим:
— 3=Ь ч/5 (2Лг— 1)
2
Число п будет натуральным тогда и только тогда, когда
2£-1=5(2/+1)2. Итак, n=-iz±±*A±L±lLt Или n = 5t+l (t—
целое неотрицательное число).
II способ. Так как п2-\-(п-\- 1)2 + (я + 2)2 + (я + 3)2 =
=(2м-|-3)2-|-5, то последней цифрой числа 2/1 + 3 должна быть 5
(чтобы данная сумма была кратна 10). Следовательно,
= 10/ + 5, откуда л = 5/+1.
148
Ill способ. Выпишем последние цифры квадратов
последовательных натуральных чисел:
О, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1.
В этом ряду имеются лишь две последовательные четверки
чисел, сумма которых кратна 10:
1+4 + 9 + 6 = 6 + 9 + 4+1=20.
Поэтому последней цифрой числа п должны быть 1 или 6. Таким
образом, п = 5/+ 1.
От в ет: n = 5t-\- 1.
120. Найдите все целые числа х и у, удовлетворяющие
уравнению (2x + 5(/+l)(2ul + Jt2 + Ar + (/)=105.
Решение. Так как 105 — число нечетное, то числа 2х + 5(/ +
+ 1 и 2ui + jc2 + a: + (/ также нечетные. Отсюда у — число четное,
и поскольку число х2-\-х при любом х четно, то число 2lJfl должно
быть нечетным, а это возможно лишь при х = 0.
Теперь получаем равенство (5#+ 1) (у+ 1)= 105, т. е. число 105
представлено в виде произведения двух множителей, разность
которых делится на 4. Простым перебором можно убедиться,
что это возможно лишь при у = 4 (105 = 5-21).
Итак, условию задачи удовлетворяют числа х = 0 и # = 4.
121. Найдите, чему равна разность
Л=Л/| 12 л/5 —29| — Vl2 V5 + 29.
Решение. Заметив, что 112 л/5 — 29| =29— 12 -д/5, получаем:
А =У29- 12 V5-V29+ 12 V§.
Так как
29- 12 V5 = 20— 12 V5+9=(2 л/5-3)2
и 29+12V5=(2V5+3)2, получаем, что
А = 2 V5-3-(2 V5 + 3)= -6.
Ответ: —6.
□ 122. Освободитесь от иррациональности в знаменателе
дроби
2 + УЗ
Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на 2,
будем иметь:
149
□ 123. Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины
сторон которых выражаются целыми числами, если один из
катетов этих треугольников равен 15?
Решение. Если х — гипотенуза, у — неизвестный катет
прямоугольного треугольника, то х2— у2=152\ (х — */)(* + */) =
= 3.3-5-5.
Так как (х — у) и (х + у) — натуральные числа, причем х-\-у>
— у, то возможны лишь 4 случая:
(х — у=\, (х — # = 3, (х — # = 5, ( х — # = 9,
U + 225 \ + 75 [ + 45 \ + 25
= 225; \
Решив эти 4 системы уравнений, найдем, что имеется 4
прямоугольных треугольника, удовлетворяющие указанному
свойству. Их стороны равны: 1) 15; 112; 113; 2) 15; 36; 39; 3) 15; 20;
25; 4) 15; 8; 17.
Ответ: 4 треугольника.
124. Найдите все прямоугольные треугольники, длины сторон
которых являются целыми числами, а периметр каждого из них
численно равен площади.
Решение. Пусть ху у — длины катетов треугольника, удов-
летворяющего условию задачи. Тогда ху = 2 (х + у + V*2 + У2),
или —2 л\х2 -\-у2 — 2 (х-\-у) — ху. После возведения в квадрат и
последующих упрощений получаем:
(х — 4)у = 4х — 8 = 4 (х — 4) + 8.
Из полученного равенства следует, что 4х — 8 = 4 (х—4) + 8
делится на х — 4, а тогда и 8 делится на х — 4. Следовательно,
* —4€{±1, ±2, ±4, ±8}, jc6{5,6, 8, 12,3,2}.
Из этих значений х к решению задачи приводят только
первые 4, причем двум из них соответствуют равные треугольники.
Окончательно получаем, что условию задачи удовлетворяют
только треугольники со сторонами 5, 12, 13 и 6,8, 10.
125. Решите в натуральных числах систему уравнений:
( 2х2 + ЗОу2 + 3z2 + 12ху + 12yz = 308,
\ 2х2 + 6у2 - 3z2 + 12ху - 12yz = 92.
Решение. Сложив уравнения системы, после сокращения
на 4 получим уравнение
откуда, поскольку x£Ny y£N, имеем:
х + Зу=\0.
После вычитания второго уравнения из первого, получим:
откуда 2y-\-z = 6.
150
Решениями этого уравнения (в натуральных числах) являются
пары (1,4) и (2, 2). При у = 1 и при у = 2 из уравнения х+3у = 10
получим соответственно х = 7 и лс = 4.
Таким образом, решением системы являются две тройки
натуральных чисел (7, 1,4) и (4,2,2).
Ответ: {(7,1,4), (4,2,2)}.
126. Докажите, что &2+llfe — 22 ни при каком натуральном
k не делится на 361.
Решение. Предположим, что при некотором k£N число
k2+\\k — 22 делится на 361. Поскольку k2 + 1 Ik — 22 = (fc+ 15)X
X(k — 4) + 38 и 38 делится на 19, то произведение (k-\-l5)(k — 4)
делится на 19. Тогда один из множителей делится на 19. Так
как разность этих множителей равна 19, то и второй множитель
делится на 19. Следовательно, произведение (k-\- \5)(k — 4)
делится на 192, т. е. на 361. Но тогда 38 делится на 361, что неверно.
Наше предположение ошибочно.
127. Докажите, что т3-\-\\т делится на 6, где m£N.
Решение. I способ. Преобразуем данный двучлен:
т3 + 11 т = т3 — т + 12т = т (т2 — 1) + 12т =
Первое слагаемое полученной суммы — произведение трех
последовательных натуральных чисел, из которых одно делится
на 3 и хотя бы одно делится на 2. Следовательно, т(т — 1) (т+ 1)
делится на 6. Так как второе слагаемое (12т) при всех m£N
также делится на 6, то утверждение доказано.
II способ. При делении числа m на 6 могут получиться
остатки 0, 1,2, 3, 4, 5, поэтому число m может быть представлено
в виде 6а, 6а ± 1, 6а±2, 6а±3. Проверив делимость на 6 данного
выражения т3+ 1 \т = т {т2-\-11) в каждом из четырех случаев,
тем самым докажем его делимость на 6 при любом натуральном т.
III способ. Так как 6 = 2«3, где 2 и 3—взаимно простые
числа, то вопрос о делимости выражения т3+ 11т = т (т2+ 11)
на 6 сводится к вопросу о делимости его на 2 и 3.
Выражение т(пг + 11) при любом m£N делится на 2, так
как при т = 2а первый множитель делится на 2, а при т = 2а— 1
второй множитель делится на 2. Представив число m в виде
т = ЗЬ и m = 3fe±l, легко доказать, что выражение т(т2-\-11)
делится на 3. Следовательно, выражение m3+llm при любом
m£N делится и на 2, и на 3, поэтому оно делится на 6.
128. Найдите цифры лг, уу 2, при которых выполнялось бы
равенство xyz = x-yz.
Решение. Поскольку xyz> lOOx, a x-yz^.99x, то цифр,
удовлетворяющих требуемому условию, не существует.
129. Найдите цифры лг, у, z, при которых выполняется
равенство xyz = y-xz.
Решение. Так как y-xz = y (\0x-\-z)<: \0xy-\- 10#, a xyz^
151
^ 100jc+ 10(/, то данное равенство будет выполняться при
условии, что Юху> IOOjc, но это невозможно. Таким образом, цифр,
удовлетворяющих требуемому условию, не существует.
130. Найдите наименьшее значение выражения |36Ш —5Л|,
где тип — натуральные числа.
Решение. Разность 36Ш— 5п оканчивается цифрой 1, а
разность 5П — 36m — цифрой 9. Докажем, что |36Ш —5Л| не может
быть равным ни 1, ни 9.
Из равенства 36Ш — 5" = 1 следует, что (6Ш— 1)(6Ш + 1) = 5Л,
а тогда степень числа 5 делится на число 6Ш+ 1, оканчивающееся
цифрой 7, чего не может быть. Из равенства 5Л —36Ш = 9 следует,
что 5Л делится на 9, что неверно.
Поскольку 36 — 52=11, то 11 и есть наименьшее значение
рассматриваемого выражения.
Ответ: 11.
131. Натуральное число п является произведением четырех
последовательных натуральных чисел, больших 5. Укажите
возможно большее число последних цифр числа я, если известно,
что его последняя цифра отлична от 0.
Решение. Среди четырех последовательных чисел,
произведение которых равно п, имеется два четных, и поэтому само
число п четное. Следовательно, ни одно из этих чисел не делится
на 5 — в противном случае число п оканчивалось бы цифрой 0.
Тогда имеем:
= (50m + 4) (50m + 6),
где m = k{k+l) — целое число. Отсюда
n = 2500m2 + 500m + 24 = 2000m2 + 500m (m+l) + 24 =
= 1000(2m2 + p) + 24,
где p=m(m+l) — целое число.
Таким образом, в числе п определяются три последние
цифры — это 024. Четвертая от конца цифра числа однозначно
не определяется; так, 6-7.8-9 = 3024, 11-12-13-14 = 24 024.
□ 132. При каких х и у число ххуу является квадратом
натурального числа?
_Решение. Число ххуу можно представить в виде 11-хОу
(ххуу== 1000x+ 100jc+ 10(/ + (/= 1 100jc+ 1 \у= 11 (100х + у)= 11 X
ХхОу). Поэтому оно будет являться квадратом только в том
случае, когда хОу делится на 11 и частное также является
квадратом натурального числа. Но л%= \00х-\-у = (х-\-у)-\-99х,
152
так что сумма х-\-у должна делиться на 11, т. е. х-\-у= 11.
Простым перебором получаем решение: х = 7, у = 4.
Ответ: число 7744 является квадратом натурального числа.
133. Докажите, что если равенство хп-\-уп = ап-\-Ьп
выполняется при п=\ и при дг = 2, то оно выполняется при любом n£Z.
Решение. Из равенств x-\-y = a-\-by x2-\-y*=a2-\-b2
получаем, что xy = ab, и, следовательно, х и у являются корнями
квадратного уравнения z2 — (а + b) z + ab = 0. Но тогда один из них
равен а, а другой равен ft, откуда следует доказываемое
утверждение.
□ 134. Решите уравнение
Решение. Прибавив к обеим частям уравнения 4а2*2,
получим:
(Х2 - а2)2 + 4аУ = 4а V + \ах + 1,
или
Отсюда: 1) х2-\-а2 = 2ах-\-\у т. е. (х — а)2=1, и, следовательно,
\ + , 2 ;
2) л;2 + а2=— 2ах—1, т. е. (х-\-а)2= — 1. В этом случае
решений нет.
Следовательно, исходное уравнение имеет корни х\ = а-\-\ и
х2 = а — 1.
□ 135. Решите уравнение
Решение. Вычислив произведение первого и четвертого,
второго и третьего множителей левой части уравнения, будем
иметь:
Пусть х2 + 3х = уу тогда у2 + 2у — 5040 = 0 и у\ = — 72, у2 = 70.
Отсюда х2-\-Зх=— 72 или *2 + Зх = 70. В первом случае
уравнение действительных корней не имеет, корнями второго уравнения
являются числа —10 и 7.
Ответ: х\ = — 10, х2 = 7.
136. Найдите значение / (2), если для любого хФО выполняется
равенство
Решение. Подставив в данное равенство х = 2 и * = 4-,
будем иметь:
153
Вычтя теперь из первого равенства второе, умноженное на 3,
получим /(2)=—1|.
Ответ:/(2)=—g.
□ 137. Постройте график функции y = f (f (f (*))), если / (х) =
\—х
Решение. Область определения функции / (х) — все
действительные числа, кроме 1. Далее,
/(/(*)) = -
х-\
\—х
Область определения полученной
функции состоит из всех
действительных чисел, кроме 1 и 0. Наконец,
/(/(/«))=-
1-
X— 1
-=Х.
Рис 31
Следовательно, рассматриваемая
функция во всей области
определения совпадает с функцией у=х.
Таким образом, графиком заданной функции является график
функции у = х(хфО, хф\) (рис. 31).
138. Докажите, что если a, ft, с — длины сторон некоторого
треугольника, то существует треугольник, длины сторон которого
равны Уа, -\[by -\fc. Верно ли обратное утверждение?
Решение. Если с — наибольшая сторона данного
треугольника, то выполняется неравенство а-\-Ь>с.
Так как (-\[a-\-^[b)2 = a-\-b-\-2^ab>a-\-b>c, то по свойству
транзитивности неравенств имеем (л[о>-\-л[Ь)2>с, откуда -\[а-\-
-\-^[b>^[c. Поэтому существует треугольник со сторонами Уа,
Обратное утверждение равносильно тому, что для
треугольника со сторонами а, Ь, с существует треугольник со сторонами
а2, Ь2, с2. Но, взяв равнобедренный прямоугольный треугольник
с катетом 1, мы получили бы, что существует треугольник со
сторонами 1,1,2, чего быть не может. Следовательно, обратное
утверждение неверно.
□ 139. Можно ли с помощью двух сосудов емкостью 9 и 11 л
набрать из крана 10 л воды?
Решение. Наполним сосуд емкостью 11 л (сосуд Л), этой
водой наполним сосуд емкостью 9 л (сосуд В), выльем воду из
В и перельем из Л в В оставшиеся 2 л. После этого сосуд А
окажется пустым, а в сосуде В будет 2 л. Проведя эти же операции еще
154
три раза, мы получим пустой сосуд Л и 8 л в сосуде В. Теперь
из крана наполним сосуд Л и из него дополним сосуд В, в сосуде А
останется 10 л воды.
□ 140. Найдите наибольший общий делитель всех
девятизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без
повторений).
Решение. Каждое из 9! таких чисел делится на 9, так как
сумма цифр каждого числа, равная 45, делится на 9. Докажем,
что 9 — наибольший общий делитель этих чисел.
Пусть наибольший общий делитель рассматриваемых чисел
больше 9. Обозначим его d. Тогда разность любых двух
рассматриваемых чисел должна делиться на d. Однако разность
чисел 123 456 798 и 123 456 789, равная 9, не делится на d.
Следовательно, 9 — наибольший общий делитель этих чисел.
141. Найдите наибольший общий делитель всех шестизначных
чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).
Решение. Каждое из рассматриваемых 6! чисел делится на
3 (так как сумма цифр равна 21). Покажем, что 3 — наибольший
общий делитель этих чисел.
Используя признаки делимости чисел, легко показать, что
наибольший общий делитель рассматриваемых шестизначных
чисел не может быть равен 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как среди этих
чисел есть хотя бы одно число, не делящееся на эти числа (на 9
не делится ни одно из рассматриваемых чисел). Докажем, что
рассматриваемые числа не имеют наибольшего общего делителя,
большего 9. Действительно, если d — наибольший общий делитель
этих чисел, больший 9, то разность любых двух из них делится
на d. Однако разность чисел 123 465 и 123 456, равная 9, не делится
на d. Следовательно, наибольший общий делитель
рассматриваемых чисел равен 3.
142. Какое из чисел больше: 2з2 или
Решение. Поскольку, с одной стороны, 2з8>23? 2=4з7>33?,
а с другой стороны, З7 > 3\> 729 > 29, то 33?>329. Следовательно,
первое из данных в задаче чисел больше второго.
143(1171)'. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге
с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются
рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями
в противоположных направлениях автомобили встречаются через
каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу
каждый автомобиль?
Решение. Пусть 5 (м)—длина кольцевой дороги,
^1 (м/мин) —скорость первого автомобиля, и2 (м/мин)
—скорость второго автомобиля. По условию задачи составим систему
уравнений:
2з2 З23 ?
1 У чадач 143—146 в скобках указаны номера упражнений в учебнике |8|.
155
(
откуда v\=-fj (м/мин), V2 = J^ (м/мин).
Тогда первый автомобиль проедет всю кольцевую трассу за
14 мин (s:-~-=14) , а второй — за 18 мин 40 с (s:-^= 18^-) •
\ 14 / \ 1 1 z о /
Ответ: 14 мин; 18 мин 40 с.
144(1172). Два спортсмена бегают по одной замкнутой
дорожке. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки
один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег
с общего старта одновременно и в одном направлении, то
окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если
побегут одновременно с общей линии старта в противоположных
направлениях?
Решение. Пусть s (м) — длина замкнутой дорожки, t (с) —
время, за которое пробегает всю дорожку первый спортсмен.
Тогда скорость первого спортсмена — (м/с), скорость второго
спортсмена —-— (м/с).
/ -J-5
По условию задачи составим уравнение
откуда t2-\-5t— 150 = 0, /=10 с. Следовательно, скорость
спортсменов равна соответственно ~- м/с и -—■ м/с, а искомое время —
Ответ: 6 с.
145(1173). Пешеход и велосипедист отправляются из пункта А
в пункт В одновременно. В пункте В велосипедист поворачивает
обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала
движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта Л,
поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после
первой встречи. За какое время пешеход пройдет путь от А до В?
Решение. Пусть скорость пешехода v\ метров в минуту,
скорость велосипедиста и2 метров в минуту, t минут — время,
которое затратил пешеход от момента второй встречи с
велосипедистом до прибытия в пункт В.
По условию задачи составим систему уравнений:
-\0ul+tvl = 2D
V-2
■Z-f- 1UU| jq.
V'2
156
откуда / = 30.
Следовательно, искомое время (время, за которое пешеход
пройдет путь от А до В) равно 1 ч (20+10 + 30 = 60 (мин)).
От в ет: 1 ч.
□ 146(1174). Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и
одновременно навстречу ему из пункта В в пункт А выехал
велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи
с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч
после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути
мотоциклист и велосипедист?
Решение. Пусть мотоциклист и велосипедист до встречи
были в пути t часов. Если v\ километров в час — скорость
мотоциклиста, a V2 километров в час — скорость велосипедиста, то
имеем систему уравнений:
откуда /2=9, / = 3.
Тогда время движения мотоциклиста 5 ч (3 + 2 = 5), время
движения велосипедиста 7,5 ч (3 + 4,5 = 7,5).
Ответ: 5 ч; 7,5 ч.
§ 9. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ IX КЛАССА
Л 1(1129)'. Найдите корни многочлена 2х5-\-х4—Юх3 —
— 5х2 + 8х + 4. (Корнем многочлена с одной переменной
называется значение переменной, при котором значение многочлена
равно нулю.)
Решение. Разложим данный многочлен на множители:
= х4 (2х+ 1)-5х2 (2х + 1) + 4 (2х+ 1) = (2х+ 1) (х4-Ъх2 + 4).
Приравняем каждый множитель к нулю. Имеем 2х+1=0,
откуда х\ = —~, или х4 — 5х2 + 4 = 0, откуда Jt2=l, *2 = 4, т. е.
*2=1, хз= — 1, *4 = 2, лг5= —2.
Ответ: —i-; -1; -2; 1; 2.
2(1130). Если в многочлен ax3-\-bx2-\-cx-\-d вместо а, Ь, с и d
подставлять числа —7, 4, —3 и 6 в каком угодно порядке, будут
У задач 1—64 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [6].
157
получаться многочлены с одной переменной, например: — 7х3-\-
+4jc2 — 3jc + 6, 4jc3—-7jc2 + 6jc —3 и т. д. Докажите, что все такие
многочлены имеют общий корень.
Доказательство. Все многочлены, о которых идет речь
в задаче, имеют общий корень х=\. Действительно, при х=1
значение данного многочлена равно a-\-b-\-c-\-d, что при
заданных значениях а, Ь, с и d тождественно равно нулю ( — 7 + 4 —
— 3 + 6 = 0) независимо от порядка расположения коэффициентов
многочлена. Утверждение доказано.
□ 3(1131). Докажите, что многочлен х4 — 4х3 — бх2 — Зх + 9
не имеет отрицательных корней.
Доказательство, х4 — 4х3 — 6х2 — Злг + 9 = (лг4 — 6х2 +
+9) - х (4х2 + 3)=(х2 - З)2 - х (4х2 + 3).
Если jco — корень многочлена, то (xl — З)2 — х0 (4x1 + 3) = 0,
т. е. справедливо тождество (jcjj — З)2 = х0 (4x1 + 3).
При jco<CO левая часть этого тождества неотрицательна,
а правая — отрицательна, чего быть не может. Утверждение
доказано.
4(1132). При каких значениях а квадратные трехчлены х2 +
-\-ax-\-\ и х*-\-х-\-а имеют общий корень?
Решение. Пусть х = х\ — общий корень данных
квадратных трехчленов. Тогда х2 + ах\ +1 =0 и х2-\-х\-\-а = 0, т. е.
x2 + axi + \=x2 + Xi + a, а-(хх — 1) = х, — 1, (х, — 1)-(а— 1) = 0.
Отсюда а=\ или jci = 1.
При а=1 каждый из данных квадратных трехчленов имеет
вид jc2 + jc+1, который на множестве действительных чисел не
имеет решений. Следовательно, данные квадратные трехчлены
имеют общий корень х= 1. Найдем значение а, при котором х=1.
При х=\ имеем 1+а+1=0, откуда а=— 2.
Ответ: а= —2.
Замечание. Целесообразно сделать проверку. При а= —2
имеем квадратные трехчлены х2 — 2х-\-\ и х2 + х — 2у которые
имеют общий корень х=\.
О 5(1133). При каком значении а сумма квадратов корней
квадратного трехчлена х2 — (а — 2)х—а— 1 принимает
наименьшее значение?
Решение. На основании теоремы Виета имеем х\-\-х2 =
= а — 2, х\-х2=—а—1. Тогда
Так как (а—1)2^0, то х2-\-х1 принимает наименьшее
значение при а=1.
Замечание 1. Решить эту задачу можно и без
использования теоремы Виета, вычислив корни данного квадратного
трехчлена по формулам. Имеем
158
g-2—^<?"
2
а-2-Уа'
Замечание 2. Найти значение а, при котором полученный
в процессе решения квадратный трехчлен а2— 2а+ 6 принимает
наименьшее значение, можно и по-другому, вычислив абсциссу
вершины соответствующей параболы по известной формуле.
В нашем случае а = — =1.
6(1134). Докажите, что квадратный трехчлен / (х) = ах2-\-
-\-bx-\-c имеет два различных корня, если существует такое
число а, что а/(а)<0. При этом один из корней меньше числа а,
а другой больше.
Доказательство. По условию а/ (а)<0. Возможны два
случая:
1) а>0, /
2) а<0, /
В первом случае (при а>0) ветви параболы, заданной
формулой f (x) = ax2-\-bx-\-c, направлены вверх. Чтобы /(а) было
отрицательным, необходимо, чтобы парабола пересекала ось х
в двух точках, т. е. трехчлен / (х) имел два различных корня, один
из которых меньше числа а, а другой больше.
Во втором случае (при а<сО) ветви параболы f (х) = ах2-\-
+ Ьх+с направлены вниз. Чтобы f(a) было положительным,
необходимо, чтобы парабола пересекала ось х в двух точках х\
и х2, где *i<a, *2>а. Таким образом, трехчлен f (х) и в этом
случае должен иметь два различных корня: /(х,) = 0 и f (х2) = 0.
Утверждение доказано.
7 (1135). Докажите, что при любых значениях а, Ь и с график
функции у = (х — а)(х — Ь) — с2 имеет хотя бы одну общую точку
с осью х.
Доказательство. Формулу заданной функции
перепишем в следующем виде: у = х2—(a-\-b) x-\-ab — с2. Получили
квадратный трехчлен. Вычислим его дискриминант:
При любых значениях аи b и сфО имеем D>0. В этом случае
данный квадратный трехчлен имеет два различных корня и его
график имеет две точки пересечения с осью х.
При а = Ь и с = 0 имеем D = 0. В этом случае квадратный
трехчлен имеет два равных корня и его график имеет одну общую
точку с осью х.
Утверждение доказано.
159
Д 8(1136). Постройте график
функции:
а) у=2х2-3 \x\-2;
б) у=\±х'2-х\ -4.
Решение.
4
a) */ = 2*2-
2jc — Зх — 2
—2
при
при
Рис. 32
б) у=Иг* -* -4 =
—~л:2 + л:—4 при 0<х<2.
Таким образом, график функции
у = 2х2 — 3 \х\—2 состоит из частей
двух парабол: у = 2х2 — Зх — 2 при
х>0 и у = 2х2-\-Зх — 2 при х<0.
Замечание. График этой
функции можно построить и на
основании правила 1 (см. § 5, с. 31).
±х2-х-4 при -±х2-1
т. е. при
~2
График изображен на рисунке 32. Можно построить график
функции у=\ -^-х2 — х\ и сместить его вниз с помощью
параллельного переноса на 4 единицы (сместить ось х на 4 единицы
вверх).
Л 9 (1137). Найдите координаты общих точек графика
функции у = х — 4х-\- |2а: — 8| и оси х.
Решение. Так как ось х задается уравнением # = 0, то
задача сводится к решению уравнения х2 — 4л:+ |2х—8|=0.
При 2х — 8^0, т. е. при х^4, имеем уравнение х2 — 4х-\-2х — 8 =
= 0, или jc2 — 2jc — 8 = 0, корни которого jci = — 2, *2 = 4. Условию
х^4 удовлетворяет один корень х = 4.
При 2х — 8<0, т. е. при х<4, имеем уравнение х2 — 4х—2х+
-|-8 = 0, или л:2 — 6х-|-8 = 0. Из двух корней этого уравнения
х\=2у *2 = 4 условию х<4 удовлетворяет один корень х = 2.
Таким образом, график заданной функции пересекается с осью
х в двух точках, координаты которых (2; 0) и (4; 0).
Ответ: (2;0), (4;0).
10(1138). При каком значении а графики функций у = х2 —
— 7лг-|-а и (/= — Зх2 + 5х — 6 имеют единственную общую точку?
Найдите ее координаты.
Решение. Чтобы графики заданных функций имели общую
точку, необходимо, чтобы имело место уравнение х2 — 7х+а =
= —Ъх2-\-Ьх — 6, откуда 4х2—12х-|-(а-|-6) = 0.
Чтобы полученный квадратный трехчлен имел один корень
160
(два равных корня), а графики заданных функций —
единственную общую точку, необходимо, чтобы дискриминант
квадратного трехчлена Ах2 — 12х + (а + 6) был равен нулю. Имеем
D=144 — 16(а+6)=0, откуда а = 3.
Подставив в уравнение 4л:2 — 12х+(а+6) = 0 вместо а число 3,
получим уравнение Ах2 — 12*+ 9=0, которое имеет единственный
корень х=1,5. Следовательно, графики данных функций
пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 1,5. Подставив
значение х=1,5 в формулу данной функции у — х2 — 7jc + 3 или
в формулу у= — Зг-\-5х — 6, найдем ординату искомой точки:
у=-5,25.
Ответ: а = 3, х=1,5, (/=—5,25.
Д 11(1139). Решите неравенство:
Решение, а) 3^+^~4 -КО,
г — 4— jc2 — jc— 1 ^А 2л:2Ч-Зл: — 5
Так как х2-\-х-\-1 >>0 при всех действительных значениях
х, то 2х2 + ?>х — 5<0; 2 (jc— 1)(л:+-|-)<0 ПРИ —^
Так какл:2 — jc+1 >0, то 2(л: + 2)(л:—5")>°» откуда х<— 2
или х>-~-.
Ответ: а) —|-<л:<1; б) х<— 2, ^>-у.
Д 12(1140). Докажите, что многочлен jc8 + jc6 —4jc4+jc2+1
не принимает отрицательных значений.
Доказательство.
Так как каждое из двух слагаемых полученной суммы
неотрицательно, то утверждение доказано.
Д 13(1141). При каких значениях т квадратный трехчлен
тх2-\-(т — 1) х-\-т— 1 принимает лишь отрицательные значения?
1 1 Заказ 942 |gj
Решение. Чтобы данный квадратный трехчлен принимал
лишь отрицательные значения, необходимо, чтобы выполнялись
два условия: 1) т<0; 2) дискриминант трехчлена был
отрицательным. Имеем:
D = (m— If — 4m (m — 1)=— 3m2 + 2m+l,
— 3m2 + 2m+l<0 при m< —1— или m> 1.
Учитывая, что m<0, заключаем, что условию задачи
удовлетворяют все значения тц — оо; —
Ответ: т< —-.
о
14 (1142). Докажите, что если уравнение /2-й степени с целыми
коэффициентами имеет целый корень, отличный от нуля, то он
является делителем свободного члена.
Доказательство. Пусть axn-\-bxn~x -\-... + kx + l = 0 —
уравнение /2-й степени с целыми коэффициентами, имеющее
целый корень х0. Тогда справедливо тождество
-/. (1)
Так как левая часть тождества (1) делится на х0
(ахо~] -\-bxo~2-{-cxo~3-{-...-\-k — целое число), то и его правая
часть делится на х0, т. е. х0 является делителем свободного
члена /. Утверждение доказано.
15(1143). Найдите целые корни уравнения:
a) 2*3 —Эх2—11х + 6 = 0; б) х4 + 4х3-9х2- 16х + 20 = 0.
Решение, а) Согласно утверждению, доказанному в
предыдущей задаче, целые корни данного уравнения находятся
среди делителей числа 6, т. е. среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6.
Методом проб убеждаемся, что х=— 2 и х = 3 являются
корнями данного уравнения и что других целых корней это уравнение
не имеет.
Замечание. Найдя один целый корень уравнения путем
подстановки (вместо х) делителей свободного члена в левую
часть уравнения, остальные корни (и не только целые) можно
найти, понизив степень уравнения путем деления его левой
части на х—х\у где х\ — корень уравнения. Так, разделив
многочлен 2х3 — Зх2— 11х + 6 на х — 3, где 3 — корень данного
уравнения, получим 2х3 — Зх2 — 11 х + 6 = (х — 3) (2л:2 — Зх — 2) = 0,
откуда х2=— 2, *з = -^-.
б) Среди делителей числа 20 (±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20)
методом проб находим корни данного уравнения: *i = l, *2 = 2,
лгз = — 2, х4=— 5.
162
Можно, как и при решении уравнения а), найдя один корень
х\, понизить степень данного уравнения делением его левой части
на х — х\ (например, на х— 1) и затем искать целые корни среди
делителей свободного члена полученного кубического уравнения.
Можно разделить левую часть уравнения на (х — х\)(х — х2)
(например, на (х—2)(х-\-2) = х2 — 4) и найти корни
полученного квадратного уравнения (х2-\-4х — 5 = 0).
Ответ: а) -2; 3; б) 1; 2; -2; -5.
16(1144). При каких значениях а биквадратное уравнение
хА-\-аг-\-а— 1 =0 имеет лишь два различных корня?
Решение. Чтобы данное биквадратное уравнение имело
лишь два различных корня, необходимо, чтобы квадратное
уравнение у2-\-ау-\-а— 1 =0, получаемое из данного уравнения
путем замены г на у, имело лишь один положительный корень (или
два равных). Имеем:
-а±у/а'2-4(а-\) __ -а±У(а-2)2 = — аЧ= 1а —21
У 2 2 2
Если дискриминант равен нулю, т. е. а = 2, то у = — =
= — 1<:0 и данное уравнение действительных корней не имеет
(при а = 2 получаем биквадратное уравнение х+2л:2+1=0,
или (*2 + 1)2 = 0).
При а>2 уравнение у2-\-ау-\-а— 1 =0 имеет два
отрицательных корня (у\ = — 1, У2= — а+1).
При а<2 уравнение у2 + ау + а— 1 =0 имеет один
положительный корень, как и требовалось условием задачи:
( <,
откуда а<1. Решая систему неравенств | а<2,найдем ответ.
Ответ: а<С 1.
Л 17(1145). Решите систему уравнений:
[2х-\у+\\=5.
Решение. 1) При х+1>0 и (/+1>0, т. е. при х> — 1,
— 1, имеем:
+/
\ 2jc — £/— 1 =5;
откуда х=4, у = 2.
2) При х+ 1 <0 и у-\-1 <0, т. е. при х< — 1 и #< — 1, имеем:
( —1 — х — у— 1=8, г — jc — (/=10,
откуда лг= 14, [/=—24.
Корень х= 14 не удовлетворяет условию х< — 1.
11* 163
3) При jc< — 1 и у> — 1 имеем:
[2х — у-1=5;
откуда х=14, £/ = 22.
Корень л:= 14 не удовлетворяет условию х< — 1.
4) При х> — 1 и у< — 1 имеем:
гх+1-*/-1=8, (Х-у = Ъ,
(2* + */+1=5; \2х + у = 4у
откуда х=4, (/=—4.
Ответ: (4; 2), (4; -4).
Л 18(1146). Сколько решений имеет система уравнений
Решение. Представим данную систему в следующем виде:
= х2 — х — 6.
Графиком уравнения у2-\-х2 = 25 является окружность,
радиус которой равен 5, а центр находится в начале координат.
Графиком уравнения у = х2 — х — 6 является парабола,
пересекающая ось х в точках, абсциссы которых х\ = — 2, х2 = 3.
Координаты вершины параболы х = 0,5, у=—6,25. Таким
образом, парабола и окружность пересекаются в четырех точках:
система имеет 4 решения.
Ответ: 4 решения.
Л 19(1147). Решите систему уравнений:
()( )
\(у+1)(2у-х) = 0.
Решение. Произведение равно нулю, когда хотя бы один
из множителей равен нулю, а другой имеет смысл. Поэтому
имеем четыре системы уравнений:
f х- 1 =0, ( 2х + # = 0, г х- 1 =0, Г
((/+1=0; ((/+1=0; [2 0 \
Ответ: (1; -1),(-^, - 1 ) , ( 1; -£) , (0; 0).
Л 20(1148). Решите систему уравнений:
a) (W=15, б) (jo/=-12,
\ х* + у2 + х + у= 12; ( х^ 2
-у= 18.
Решение, а) Умножим первое уравнение на 2 и сложим
его со вторым. Получим:
откуда лс+(/=—7 или х-\-у =
164
Таким образом, имеем две системы:
-7, (1) р + */ = 6, (2)
которые не имеют действительных решений.
б) Сложив второе уравнение с первым, умноженным на —2,
будем иметь:
откуда х—у=—7 или х — у = 6.
Имеем две системы:
*-*/=-7, (3) (х-у = 6, (4)
*(-£/)= 12; [х(-у)=12,
последняя из них не имеет действительных решений.
Замечание. Для решения систем (1), (2), (3), (4)
целесообразно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета.
Так, решение системы (3) сводится к решению квадратного
уравнения z2 + 7z+12 = 0, корни которого Zi = — 3, z2=—4,
причем z\=x, Z2=—у или Z2 = xy zi = —у. Следовательно, х=—3,
у = 4 или х=—4, у = 3.
Ответ: а) нет решений; б) (— 3; 4), (— 4; 3).
Л 21(1149). Решите систему уравнений:
+ </) (8-*)= 10,
)
Решение. Из условия следует, что хФ —у, хф8, уФ — 5.
Разделив второе уравнение системы на первое (хф8, хФ —у),
будем иметь:
4^ = 2, откуда у=11—2х.
о — X
Подставим значение #=11—2х в одно из уравнений
системы (например, в первое):
(jc+11—2х)(8 —х)=10,
откуда
х2— 19х + 78 = 0, хх =6, лг2= 13,
(/1 = 11—2лг| = —1, £/2=11 —2лг2= — 15.
Ответ: (6; -1), (13; -15).
□ 22(1150). За сколько часов может выполнить работу
каждый из трех рабочих, если производительность труда
третьего рабочего равна полусумме производительностей труда
первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий
проработал 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы
10 ч, а второму —15 ч.
165
Решение. Обозначим всю работу за Л, производительность
труда первого рабочего за х\, второго — за х2. Тогда по условию
производительность третьего рабочего равна *'~t*2 и Юх\ =
= 15х2, т. е. х\=-^-х2у х2 = ^-
Первый рабочий может выполнить всю работу за — часов,
Х\
вый рабочий может выполнить всю работу за
или за
48
= Ш± =50 (ч).
Х
Х\
Второй рабочий может выполнить всю работу за — часов,
Х-2
или за
= ^^ =75 (ч).
Х2
Х-2 Х-2 Х-2
Третий рабочий может выполнить всю работу за
А А А
Хл Xj+X-2 __ _ _
2 2 \5б т 75
Ответ: 50 ч, 75 ч, 60 ч.
= 60 (ч).
□ 23(1151). Существует ли такое двузначное число,
которое при делении на сумму квадратов его цифр дает в частном 2
и в остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в
частном 4 и в остатке 6?
Решение. Пусть ху= \0x-\-y — искомое двузначное число,
тогда из условия задачи имеем систему уравнений:
откуда (х2-\-у2)-2 = 4ху, х*-\-у2 = 2хуу т. е. (х — #)2 = 0, откуда
Подставив значение х = у в одно из уравнений системы (1),
получим уравнение 4х2— 11х + 6 = 0, откуда х = 2(х=— не
удовлетворяет условию задачи). Получили число jo/= 22,
которое не удовлетворяет второму условию задачи.
Замечание. Получив х=уу искомое двузначное число
можно искать и другим способом: выбрать из чисел 11, 22, 33, ..., 99
те, которые удовлетворяют условию задачи. Таких чисел нет.
Ответ: не существует.
166
24(1152). Последовательности (хп) и (уп) заданы формулами
лгЛ=2/1 — 1 и уп = п2. Если выписать в порядке возрастания все
общие члены этих последовательностей, то получится
последовательность (crt). Напишите формулу дг-го члена
последовательности (сл).
Решение. Запишем последовательности (хп\ (уп) и (сп):
(хя) 1, 3, 5, 7, 9, ...;
(уп) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...;
(ся) 1, 9, 25, 49, ... .
Таким образом, членами последовательности (сп) являются
члены последовательности уп с нечетными номерами, т. е. сп =
=(2п-1)2.
Замечай ; е. Формулу сп можно получить и с помощью
других рассуждений. Имеем:
Таким образом, сп=(п-\-(п— 1 ))2 = (2дг — I)2. (Полученную
формулу для Сп целесообразно доказать методом
математической индукции.)
Ответ: (2п — I)2.
□ 25(1153). При каких значениях п члены
последовательности, заданной формулой хп = (п-\-4) (п — 5), удовлетворяют
условию — 18<х„<360?
Решение. Так как хп = п2 — п — 20 и — 18<лгл<360, то
задача сводится к решению системы неравенств:
лг2 —лг —20<360, г лг2 — п — 380<0,
дг2-дг-20>-18; ( 2
Решая первое неравенство системы, найдем — 19<дг<20,
при этом условию задачи (n£N) удовлетворяют значения
[ 20] (♦).
Решением второго неравенства являются значения п,
удовлетворяющие неравенству дг< —1 или неравенству я>2,
из которых условию задачи (n£N) удовлетворяют лишь
дг6[2; +оо) (♦♦).
Учитывая решения (*) и (* *), найдем ответ к задаче.
Ответ: 2<дг<20, n£N.
Замечание. Целесообразно сделать проверку.
При п = 2 хп = — ! 8; при дг = 20 лгл = 360. Так как хп = п2 — п —
— 20 —непрерывная функция, то при 2<дг<20 имеем
8
Л 26(1154). Найдите сумму п первых членов последова-
тельности (хД если ^-(2я_|)'(2я + |)-
167
Решение. X|=-i-. x,=-5^ = ■!-, x.^-gL--JL
7-9 ' ~° 9-11 e
с __ J i_ i I i i i _|_ 1 _|_ j !
п 3 ' 3-5 ' 5.7 ' 7-9 ' 9-11 ' '" ' (2/2-1)(2/2 +1)
==J__(_J_ /J l\ , J_# /J 1\ -L-L. (J Ц 4. 4.
3 ' 2 "\3 5/ ' 2 "\ 5 7/ ^ 2 \ 9 ll/"1"'"'
+ J_ /1 1 Л 1 ■ 1 1 _J 1
2 V 2/2 — 1 2/2 + 1 / 3 ' 6 2(2/2+1) 2
= 2/2+1—1 _ 2/2 _ /2
2(2/2+1) 2(2/2+1) 2/2 + 1
Ответ: " t .
Замечание 1. Если учащиеся затрудняются решить эту
задачу, то в качестве вспомогательной задачи им целесообразно
предложить следующую: «Найдите значение выражения
I _! |
' 23 ~
|+ I
1-2 ' 2-3 3-4 — 19-20
Решение.
. ! . ! I j
23 34 '•••'
1-2 2-3 3-4 '•••' 19-20
= 1—L+J L+X_ +J _L =
2 ' 2 3 ' 3 " 19 20
= 1—!—i»-.
20 20
Замечание 2. Целесообразно сделать проверку, вычислив
несколько значений Sn по формуле и непосредственным
сложением п первых членов. Так, при п=\ по формуле получаем
Si=^-. По условию *i=-^-, Si=X|.
3 3
При п = 2 x\+x2 = -^-+j^=-^-. По формуле S2 = -|-.
При п = 3 х1+х2 + х3 = ^-+±- = ^-.По формуле S3 = -f--
27(1155). В последовательности (хп) каждый член с
нечетным номером равен 2а, а с четным 2ft. Напишите формулу дг-го
члена этой последовательности.
Решение. Данная последовательность имеет вид 2а, 2ft, 2а,
2ft, ... . Формулу дг-го члена этой последовательности можно
задать несколькими способами.
I способ. Покажем, что последовательность (хп) можно
задать формулой хп = с-\-(—l)nd, где с и d — некоторые числа.
Тогда по условию имеем:
168
откуда c=a-\-by d = b — a. Следовательно,
Замечание. Получив формулу xn=(a-\-b) + (— \)n (b — a),
целесообразно предложить учащимся записать ее другим
способом, используя сведения из тригонометрии. Получим:
а) Xn = (b-a)s\
б) xn=(b — a) cos nn-\-(a-\-b\ n
II способ. Если учащиеся знакомы с понятием дробной
части числа, то формулу я-го члена заданной
последовательности они могут записать, например, так:
где \-^\ — дробная часть числа --р
| п~^~ | — дробная часть числа п^~ .
Действительно, имеем:
+4b {1}=4а.^-
+\} = 4a~
28(1156). Известно, что y = f(x) — линейная функция и
хи Х2, *3, ... — арифметическая прогрессия. Докажите, что
последовательность /(jci), f {х2)У f (хз) также является арифметической
прогрессией.
Доказательство. I способ. Из определения
арифметической прогрессии следует, что при любом натуральном п
верно равенство хп + \— xn = d, где d — разность данной
арифметической прогрессии (хп). Если / (х) — линейная функция,
заданная формулой f (x) = kx-\-b, где х — независимая переменная,
k и b — числа, то
f(xn + \) — ${xn) =
169
Таким образом, для любого натурального п выполняется
условие f(xn + \) = f(xn) + d\J где d\ — некоторое число, т. е.
последовательность / (jci), / (лг2), / (хз) — арифметическая прогрессия.
II способ. Предварительно целесообразно доказать
теорему: чтобы последовательность х\, *2, ..., хп, ... была
арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый ее
член, начиная со второго, был средним арифметическим между
предыдущим и последующим членами. Так как х\у хч, х3 ... —
арифметическая прогрессия, то хп= Хп~ '1~*м ' ■
Пусть линейная функция \(х) выражается формулой f (х) =
= kx-\-b. Чтобы доказать, что последовательность /(*i), /(-^2),
/(*з), ... является арифметической прогрессией, достаточно
доказать, что
Действительно, / (xn) = k
I {*n l) + /(*/H-l) __
2
что и требовалось доказать.
III способ. Для доказательства используем теорему: для
того чтобы последовательность (ап) была арифметической
прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (ап)
могла быть задана формулой вида an = kn-\-b, где k и b —
некоторые числа.
Поэтому арифметическая прогрессия (хп) может быть задана
формулой xn = kn-\-b, где k и b — некоторые числа.
Чтобы доказать, что последовательность f {x\\ f (лг2), / (*з), •••
является арифметической прогрессией, достаточно показать, что
эта последовательность может быть задана формулой f (хп) =
= сп-\-1у где с и I — некоторые числа.
Так как по условию / — линейная функция, то (по
определению линейной функции) ее можно задать формулой f(x) = k\x-\-
+ fei, где х—независимая переменная, k\ и Ь\—числа. Тогда
где c = k\k, l = k\b-\-b\, т. е. с и / — некоторые числа (что и
требовалось доказать).
29(1157). В арифметической прогрессии а\, а2, а3, а4,
состоящей из целых чисел, больший член равен сумме квадратов
остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.
Решение. Пусть d>0. Тогда а4 — больший член. По
условию а4 = а? + аг + аз, или
170
Имеем уравнение
3a2 + (6d-l)a,+5d2-3d = 0,
откуда
6 6
Очевидно, что d=\ (при d>\ дискриминант квадратного
трехчлена отрицателен).
Таким образом, ai=1~f~1 = —1 ( а\ ==i^±i- = —\- не
о \ 6 3
удовлетворяет условию задачи).
Члены искомой прогрессии — 1,0, 1,2 удовлетворяют условию
задачи: 2=(— 1)2 + 02+ I2.
Если d<0, то а\—больший член. По условию а\ =
о . о
, или
Получили квадратное уравнение
Q __ \-\2d±/\-24d-24d'2
Подбором находим d= — 1. Тогда а\= l + 1A2~ l, а\ =2(а\ =2-\-
и \ о
не удовлетворяет условию задачи). Таким образом, имеем
прогрессию 2, 1, 0, —1, удовлетворяющую условию: 2=12 + 0 -\-
(1)2
+ ()
Ответ. -1, 0, 1, 2 и 2, 1, 0, -1.
30(1158). Пусть а\у п2, ... — арифметическая прогрессия с
положительными членами. Докажите, что сумма п первых членов
последовательности (хп), если хп= ——, равна .
Доказательство.
xi= г { г = Vfl»-Vfl» = ^-V*. t где d- разность
данной арифметической прогрессии,
х2= 1 Удз —Уд2
V2 + V3 fl3 —«2 d
X = J __ л/в4 — Vfl3 __ УД4 — л/дз
Vfl3+Vfl4 fl4 —fl3 ^
171
Утверждение доказано.
Л 31(1159). Докажите, что если стороны треугольника
образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также
образуют геометрическую прогрессию.
Доказательство. Пусь одна сторона треугольника
равна а. Тогда две другие — aq и а^2.
Из формулы S =—aha найдем высоты треугольника: они рав-
ны -=-, -^, -=^- и, очевидно, образуют геометрическую прогрес-
сию, первый член которой — , а знаменатель равен —.
Утверждение доказано.
□ 32(1160). Три различных целых числа составляют
геометрическую прогрессию с целым знаменателем. Их сумма равна
— 3. Найдите эти числа.
Решение. Пусть b, bq, bq2 — искомые числа (b£Z, ЬфОу
qф±\). Тогда по условию имеем b-\-bq-\-bq2=—3, или
+ 2)3(l)
(
Так как \-\-q-{-q2>0 при любом q, то имеем для решения
уравнения (1) в целых числах две системы уравнений:
Первая система имеет решения q= — 1, b= —3 (корень ^ = 0 не
удовлетворяет условию задачи). В этом случае имеем
геометрическую прогрессию —3, 3, —3, первый и третий члены которой
равны (что противоречит условию). Вторая система имеет
решение q=— 2, Ь= — \ (корень q=l не подходит). В этом случае
имеем искомую геометрическую прогрессию —1, 2, —4.
Ответ: —1, 2, —4.
33(1161). В бесконечной геометрической прогрессии выделили
по порядку от ее начала группы членов, по п членов в каждой
группе. Докажите, что суммы членов этих групп образуют
геометрическую прогрессию.
172
Доказательство. Пусть by bqy bq2, ..., bqn~x\
bq\ bqn + \ ..., bq2n~x\ bq2\ bq2n+l, bq2n+2, ..., Ьд3п~1;...—
данная геометрическая прогрессия и (сп) — последовательность сумм
членов групп данной геометрической прогрессии, выделенных по
порядку от начала по п членов в каждой группе. Тогда
п-\) Ьх(дп-\) _
;—1 »—■—«— —
д—\ д—\ д—\
— Q с — М<73п-1) 6,(^п-1) _
з ^1 J1 -
д-\
bx{gni+n-\)
Для того чтобы доказать, что последовательность (сп)
является геометрической прогрессией, достаточно доказать, что
Сп+| есть постоянная величина, отличная от нуля.
Действительно, crt+1: сп = qn (qn — знаменатель прогрессии
(сп)). Утверждение доказано.
Л 34(1162). Три целых числа составляют арифметическую
прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену
прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая
прогрессия. Найдите эти числа.
Решение. Пусть 1; \-\-d\ \-\-2d — искомые числа (d —
целое число). По условию 1; d + 4; l-\-4d-\-4d2 — геометрическая
прогрессия. Так как в геометрической прогрессии каждый член,
начиная со второго, является средним геометрическим между
двумя соседними с ним членами, то имеем:
или 3d2 — Ad— 15 = 0, di=3, d2=—|- (не удовлетворяет уело-
о
вию задачи).
Искомые числа 1; 4; 7.
173
Целесообразно сделать проверку. Прибавив ко второму
числу 3 (4 + 3 = 7) и возведя третье число в квадрат (72 = 49),
получим (с учетом первого члена) числа 1; 7; 49, которые составляют
геометрическую прогрессию (что соответствует условию задачи).
О т в ет: 1; 4; 7.
□ 35(1163). Докажите, что при а>0, ft>0, a2>b верно
равенство:
Доказательство, а) Возведем обе части
предполагаемого равенства (с положительными членами) в квадрат:
Квадрат левой части равен квадрату правой части.
Утверждение доказано.
б) Доказывается аналогично возведением обеих частей
равенства в квадрат.
Замечание. Учащимся может показаться (и не без
основания), что указанные в тождестве преобразования усложняют, а не
упрощают вычисления сложных радикалов, так как левая часть
равенства содержит только один сложный радикал, а правая —
два. Однако с помощью примеров (см. следующее упражнение)
следует убедить учащихся, что в тех случаях, когда выражение
а2 — Ь есть точный квадрат, имеет смысл пользоваться доказанным
тождеством.
□ 36(1164). Упростите выражение:
а) Уи+4Уб; б) У9-6л/2-
Решение. I способ по формуле а) задачи 35 имеем:
+4 л/6 =
Для проверки возведем полученное равенство в квадрат:
Ц+4Уб = 8 + 4Уб + 3=11+4Уб.
Следовательно, вычисления выполнены верно.
174
б) По формуле б) задачи 35 имеем:
э-6 72=79=772 = -JIШШ
V
Возведя полученное равенство в квадрат (9 — 6^/2 = 9 —
— 2 V18 = 9 — 6 V2), убедимся в правильности выполненных
вычислений.
II способ (без применения формул сложных радикалов).
а) л/и+47б == V8 + 2.2V2V3 + 3 = У(2 У2)
б) V9-6V2 = л/б-бл/2+з = У(7б)2-2У(Гз+(Уз)2 =
Ответ: а) 2->/2 + V3; б) д/б — л/3.
37(1165). Докажите, что при любом натуральном дг> 1 верно
неравенство
J_ П /ЬЗ.5.....(2/1—1)
2 ^ V 2.4.6....-2/1
Доказательство. Так как все члены неравенства
положительны, то, возведя неравенство в дг-ю степень, получим:
1 ^ ЬЗ.5»....(2/1-1) ^j /jx
2П 2-4-6-...-2/г ' * '
Имеем, с одной стороны,
1-3-5-...-(2/1-1) --1,35 2/1-1 ^t
2-4-6-...-2/1 2*4*6 *'"" 2/г
(так как каждый множитель меньше единицы, то и произведение
меньше единицы).
С другой стороны,
1-3-5-...-(2/1-1) _ 1-3-5-...-(2/1-1) =
2-4-6-...-2/г 2п(1-2-3-...-/г)
== j_ . i'3-5-...-(2/i-i) = _L . Л .А.А. . 2^-j>\ -> _L
2n " 1-2-3-...-/г 2П \ #2#3#"" п ) Т
(так как каждый множитель произведения, стоящего в скобках,
больше единицы (кроме первого), то и само это произведение
больше единицы).
Неравенство (1) доказано. Извлекая корень я-й степени из
всех членов неравенства (1), установим справедливость данного
неравенства.
38(1166). Упростите выражение
3/2-л/5.
Решение. Пусть У2 + ^ + л/2 — л/5 = а, где a£R. Тогда
175
Таким образом, а3 = 4—За, или а3 + За — 4 = 0, откуда ai = l,
fl аз£Л, так как a3 + 3a — 4=(а— 1)(а2 + а + 4).
Таким образом, y2 + ^j5 + -yj2—y/5=l.
Ответ: 1.
Замечание. Одновременно с этой задачей целесообразно
предложить учащимся следующую: извлечь кубический корень
(см. ниже, задача 144).
□ 39(1167). Решите уравнение
У(65 + х)2 + 4 У(65 - х)2 - 5 Уб52- х2 = 0.
Решение. Так как Уб52 — х2Ф0 (что следует из данного
уравнения), разделим все члены уравнения на У(65 — х)(65 + х).
Будем иметь:
з
Пусть
65-л:
— 5 = 0, или у2 —
Если
— 5 = 0.
=-L. Имеем
У
= 1, ТО
Если -\/ оо^х =4, то DD~rx =64, откуда х = 63.
V 65 — х 65 — х J
Очевидно, что х = 0 удовлетворяет данному уравнению.
Проверим, удовлетворяет ли данному уравнению х = 63. Имеем
VVV
Ответ: jci=O, jc2=63.
40(1168). Пусть функция y = f(x) определена для всех х.
Докажите, что функция y\=fW+/(~х) четная, а функция у2 =
нечетная.
Доказательство.
У1 (-X)=f (-
176
Так как ух ( — х) = ух {х\ у2( — х) = —у2 (х) и функции ух и у2
определены для всех ху то функция у\ четная, а функция у2 нечетная.
Утверждение доказано.
□ 41(1169). Докажите, что любую функцию с областью
определения (—оо; + оо) можно представить в виде суммы
четной и нечетной функций. Представьте функцию f (х) =
= —^— в виде суммы четной и нечетной функций.
Доказательство. Так как
f (X}= J(x) + f(-x) + f(x)-f(-x) = /(д) + /(-д) _|_ f(X)-f(-X) ^
а функция 1ух/~т1\х1 четная, функция ' М~1 \~х) нечетная (см.
решение задачи 40), то утверждение доказано.
21 , J
где /i (х)= —^ +дс ^ -дс— = ^4^_^, четная функция,
1 1
f2 (х)= —х ~^~х—х ~х— = —г~й нечетная функция.
f (y\— Х — *2 _L —х
1К } х'2 + х х*-х2 ^ х*-х2 '
Л 42(1170). Докажите, что если 0<а<-^-, то sina +
+ cos a> 1.
Доказательство. I способ. При данных значениях a
sin a и cos a можно рассматривать как катеты прямоугольного
треугольника с гипотенузой, равной единице, и острым углом а.
Тогда по неравенству треугольника имеем, sin a + cos a> 1, что и
требовалось доказать.
II способ. При 0<а<-^- имеем:
sin a > sin2 а, (1)
cos a > cos2 а. (2)
Сложив неравенства (1) и (2), получим sin a + cos a> 1,
что и требовалось доказать.
III способ. Чтобы доказать справедливость неравенства
sin a + cos a>l, достаточно доказать, что
(sin a + cos a)2>l, (3)
12 Заказ 942 177
так как при 0<а<-~- sin а>0, cos а>0 и sin а + cos а>0.
Неравенство (3) справедливо, так как
(sin a + cos a)2 = sin2 a + cos2 a+2 sin acos a =
= 1 +2 sin a cos a> 1.
IV способ, sin a + cos a = sin a + sin f-2— a J =
Если 0<a<-£-, то —7-<a—t<JT- Так как
2 4 4 4
cos(a—J-) >cos^-=^ , то
л _ V2
= 1,
что и требовалось доказать.
□ 43(1171). Докажите, что верно равенство
Доказательство. Воспользуемся формулами
приведения и формулами синуса двойного аргумента. Будем иметь:
2л 6л 2л / i л \
COS —«COS — = COS — «COS ( П-]——I =
5 5 5 \ 5/
2л л о . л
— cos — • cos — 2 sin —
x boo
2л . 2л .4л
— 2 cos—«sin— sin —
5 5 о
2«2sin— 4 sin-r-
5 Ь
•(-t)
sin( л—^-) —sin —
. . л . . л 4
4 sin -=- 4 sin —
о о
Замечание. Целесообразно предварительно решить
задачу 45.
□ 44(1172). Упростите выражение
а при
178
Решение.
Ответ: cos —.
4
Замечание. При извлечении квадратных корней
учитываем, что по условию 0<а<-^-, в результате чего корни
извлекаются из неотрицательных выражений.
Л 45(1173). Найдите значение выражения
8 cos 20° cos 40° cos 80°.
Решение. I способ. Воспользуемся формулой синуса
двойного угла, для чего левую часть равенства умножим и
разделим на недостающий множитель (sin 20°). Будем иметь:
8 cos 20° cos 40° cos 80° = 4'2 sin 20°cos 20° cos 40°cos 8(y
sin 20°
2-2 sin 40° cos 40° cos 80° 2 sin 80° cos 80° sin 160°
sin 20° sin 20° sin 20°
II способ.
= 1.
8 cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20°~(cos 120° + cos 40°) =
12* 179
= 4 cos 20° ( cos 40° —±) = 4 cos 20° cos 40° - 2 cos 20° =
= 4._L(COS 60°+cos 20°)-2 cos 20° =
= 2 (-i-+ cos 20° ) - 2 cos 20° = 1.
Ответ: 1.
П 46(1174). Докажите, что наибольшее значение
выражения sin x-\-^/2 cos х равно -д/3.
Решение. Вынесем в данном выражении за скобки -д/3.
Будем иметь:
sin x + -\/2 cos х = д/з(— sin лг + у ^-cos x) .
^ уЗ V о /
Так как (—) + (~\Нг) =1. то найдется такой угол а, что
1 /Т
cosa = —; sina=~y—. Поэтому
\/3 * ''
sin jc-|--\/2 cos x = ^/3 (sin jc cos a + cos jc sin а) = л/3 sin (x-|-a),
V2 1
—, а косинус равен —.
^3
Так как sin(jc + a)<l, то sin x-\--\j2 cos лс< д/З, что и
требовалось доказать.
Замечание 1. Можно ввести и другие обозначения: sin a =
=—, cosa=-\/—. Тогда
>/з v 3
sin jc + -\/2-cos jc = V3 (sin a sin jc + cos a cos jc) =
= V3cos(a — РХл/3.
Замечание 2. После решения этой задачи целесообразно
(на внеклассных занятиях) рассмотреть вопрос о
преобразовании суммы a sin x -\- b cos x:
a sin x-\-b cos х = д/а2 + ^( ^—sin л:Н ь- cos х ) =
(cos a sin jr + sin a cos jc) = Va2 + ^2 sin (je + a),
где a — угол, тангенс которого равен —.
Л 47(1175). Зная, что tga + ctga = 5, найдите значение
выражения tg2 а-\ '— • —' hctg2 a.
sin a cos a &
Решение. Возведем равенство tg a + ctg a = 5 в квадрат:
tg2 a + ctg2 a + 2 tg a ctg a = 25,
180
откуда tg2 a + ctg2 a = 23.
Найдем значение произведения —^— • —'—. ^
sin a cos a
. = =: ! = \CF Ot
sin a cos a sin a cos a sin a cos a
Следовательно,
a =
= (tg2 a + ctg2 a) + (tg a + ctg a) = 23 + 5 = 28.
Ответ: 28.
Л 48(1176). Докажите, что если в треугольнике с углами
a, р и у угол у тупой, то произведение тангенсов углов аир
меньше 1.
Доказательство. По условию a+ 0 + 7=180°,
7>90°. Следовательно, а + р<90°, т. е. а<90° — р, откуда
tga<tg(90° — p). Имеем:
tg a tg p<tg (90°-p) tg p = ctg p tg p= 1.
Утверждение доказано.
49(1177). Докажите тождество
+2 cos 2a + 2 cos 4a + ... + 2 cos 2/ux =
Доказательство. Умножим и разделим левую часть
тождества на sin a (такой метод доказательства следует из
рассмотрения дроби, стоящей в правой части тождества).
Воспользуемся формулой
sin a cos p=~-(sin (a + P) + sin (a —P)),
которую легко получить сложением формул sin(a + P) и
sin (a —P). Имеем:
2 sin a cos 2a = sin 3a — sin a,
2 sin a cos 4a = sin 5a — sin 3a,
2 sin a cos 6a = sin 7a — sin 5a,
2 sin a cos 2na = sin (a + 2na) — sin (2na— 1).
Таким образом, в левой части тождества имеем дробь
sin a+sin 3a —sin a-f-sin 5a —sin 3a -f. -j- sin (2n-\- 1) a — sin (2n — 1) a
sin a
которая после приведения подобных членов даст дробь sin ( "+ )a
Тождество доказано.
181
50 (1178). Упростите выражение
sin 2a + sin 4a + ... + sin 2na.
Решение. Умножим и разделим данное выражение на sin a
и воспользуемся формулой преобразования произведения
синусов. Будем иметь:
sin 2a + sin 4a + ... + sin 2na =
__. sin a (sin 2a-h sin 4a-fsin 6a-f... + sin {2nd))
sin a
sin a sin 2a-t-sin a sin 4a-t-sin a sin 6a + .. + sin a sin (2ка)
sin a
!((cos a —cos 3a) + (cos 3a — cos 5a) +
.. + (cos ((2n — 1) a) — cos ((
-(cos a — cos ((2/x+l) a)) =
+ (cos 5a — cos 7a) +... + (cos ((2n — 1) a) — cos ((2/i + 1 )a)) =
2 sin a
2 sin ((л + 1) a) sin (na)= ^" «" + ')<»)sin (««)
2 sin a
Ответ* sin(("+ l)a)sm jna)
sin a
51 (1179). Докажите, что если a, p и у — углы треугольника,
то верно равенство
tgf tg-f-Mg-f-tgJL+tgJL tgf =1.
Доказательство. Так как y=180°—(а + Р) и -^-=
= 90°-(f+f), то имеем:
tgftg-f-Mg-f-tgJ-MgJ-tgf-
= tgf tgJ-+tg(90°-(f +1)) (tgf+tgf) ,
-н =1.
Утверждение доказано.
182
52 (1180). Найдите наибольшее значение функции у=-
х + 4
Решение. I способ. Областью определения заданной
функции является множество всех действительных чисел. Так как
при х<0 имеем #<0, а при х>0 имеем #>0, то наибольшее
значение функция у может достигнуть только при х>0.
Найдем промежутки монотонности заданной функции. Пусть
хх<х2. Тогда
у(х\)—у(х9) =
— JC?X2 —4X2
— X|)— 4 (X2 —X|) (X2 — X|)(X|X2 — 4)
Имеем i/ (Jd) — y(x2)<0 (функция у (х) возрастает), когда
x\x2 — 4<0, т. е. когда х2 — 4<0; у (*i) — j/ (jc2)>0 (функция
y(jc) убывает), когда х2 — 4>0.
Таким образом, функция # (jcj возрастает на промежутке
[—2; 2], убывает на промежутках (— оо; — 2] и [2; + °°)-
Наибольшее значение функция принимает при х = 2.
II способ. Будем искать наибольшее значение функции у
экспериментальным путем. Найдем несколько значений заданной
функции при х>0 (так как наибольшее значение функция у
достигает при >0)
*/(0) = 0, у(1) = ± У(2)~ У&) = ^ ^(4) = Т-
Среди найденных значений у наибольшим является -£-.
Докажем, что -j- является наибольшим значением функции на всей
области ее определения, т. е. докажем, что для всех х будет
справедливо неравенство -~— <—•
х + 4 4
Имеем 4х<*2 + 4, откуда х2 — 4х + 4>0. Получили очевидное
неравенство (х — 2)2^0. Утверждение доказано.
Ответ: —.
4
Замечание. Рассмотренный способ не является
универсальным и, безусловно, далеко не всегда может привести к успеху.
Но все же в некоторых случаях он может оказаться полезным и,
прежде всего, для развития эвристического мышления учащихся.
□ 53(1181). Докажите, что если x2-\-y2-\-z2 = xy-\-yz-\-zxy
то x=y = z.
Доказательство. По условию имеем х2-\-у2-\-z2 — ху —
— yz — zx = 0, или 2 (x2-\-y*-\-z — ху — yz — zx) = 0, откуда
183
(x-yf+(x-zf+(y-z)2 = 0.
Так как сумма неотрицательных выражений равна нулю тогда,
когда каждое слагаемое равно нулю, то имеем x = y = z.
Утверждение доказано.
Л 54(1182). Решите уравнение с двумя переменными
Решение. Имеем:
или
откуда
х=—УЗ, У*/ = 2, У = 4.
Ответ: ( — УЗ; 4).
Л 55(1183). Решите систему уравнений:
Решение. Подставим значение —z =ху из третьего
уравнения в первое. Получим (х-\-у)2=^0у т. е. х=—уу поэтому z=8
(из второго уравнения). Подставив значения jc=—у и z = 8 в
третье уравнение системы, найдем л:2 = 64, т. е. *i=8, лг2 = — 8.
Ответ: {(8; -8; 8), (-8; 8; 8)).
□ 56(1184). Решите в натуральных числах систему
уравнений:
[x+yz=l9.
Решение. Вычтем из второго уравнения системы первое.
Будем иметь yz — у — 2 = 5, откуда y(z— l) = 5
Так как y£N, z£N, то из (1) следует
z,=2, i/i=7; z2 = 3y </2 = 4; 23 = 4, £/3 = 3; z4 = 7, (/4==2.
Подставляя значения у и z в одно из уравнений данной
системы, найдем соответствующие значения х.
Ответ: {(5; 7; 2), (7; 4; 3), (7; 3; 4), (5; 2; 7)}.
57(1185). Докажите, что при положительных значениях а, Ь и
с верно неравенство
аЬс
184
Доказательство. I способ. Чтобы доказать данное
неравенство, достаточно доказать, что
_ 1
с
Так как при положительных а, Ь и с а-\ ^2, Ь-\ ^2, с-\-
-\—->2, то неравенства (1), (2) и (3) очевидны. Следовательно,
данное неравенство доказано.
Замечание. Доказать неравенства (1), (2), (3) можно и
другим способом.
Чтобы доказать справедливость неравенства а + fl+* ^3,
достаточно доказать, что а2-\-а-\-\^За, т. е. а2 — 2а +1 ^0.
Так как (а—1)2^0, то последнее неравенство справедливо.
Следовательно, неравенства (1), (2), (3) доказаны.
II способ. На основании соотношения между средним
арифметическим и средним геометрическим для трех чисел а2, а
и 1 имеем:
Аналогично
^±^>ш^т=&,
откуда (после перемножения трех неравенств с положительными
членами) будем иметь:
27
ИЛИ
—\—X 1л—JL. 1Л—IL 1— ^27.
аЬс
Утверждение доказано.
□ 58(1186). Найдите при любом натуральном п значение
выражения
з .
/1 -2-4 +2- 4-8 + . .. + к -2/1-4/1
V 1-3-9+2-6.18+...+л-Зл-9л '
Решение.
з
V
l-2-4 + 2-4-8+... + ft-2tt-4tt __
185
27.(1+2:Ч.. + л3) V27 3'
Ответ: —.
«з
59(1187). Докажите, что значение выражения
при любом натуральном п можно представить в виде квадрата
натурального числа.
Доказательство. По формуле суммы членов
геометрической прогрессии найдем, что
Тогда
-10" + '—5+9
__ /10я+|+2\2
где 1Q +2 6# (согласно признаку делимости на 3). Утвержде-
з
ние доказано.
60(1188). Найдите наименьшее четырехзначное число,
которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.
Решение. Так как 21=3-7 (3 и 7 — простые числа), то,
чтобы произведение 21т (т— искомое число) удовлетворяло
условию задачи, необходимо, чтобы выполнялось равенство
21т = 21 «21а, где а — квадрат такого наименьшего натурального
числа, что 21а — число четырехзначное. Перебором находим
а: а = 72; m найдем из равенства т = 21а.
Ответ: 1029.
Замечание. После решения этой задачи целесообразно
предложить более общую: «Произведение 21т, в котором
множитель m — четырехзначное число, можно представить в виде
квадрата натурального числа. Найдите т».
Ответ: т6{21-72; 21 -82; 2Ь92; ...; 21-212}.
61 (1189). Трехзначное число х, кратное 5, можно представить
в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального
числа. Найдите число х.
Решение. Пусть п — такое натуральное число, что х = пг-{-
+ п2 = п2(п+1).
Так как по условию х кратно 5, то х должно оканчиваться
нулем или 5. Из равенства х=п2 (я+ 1) заключаем, что х оканчива-
186
ется нулем. (Произведение п2 (п-\- 1) при п= 1, 2, 6, 7
оканчивается цифрой 2, при лг = 3, 8 — цифрой 6, при л = 4, 5, 9, 10 —
нулем.) Условию задачи удовлетворяет лишь п = 5 и дг = 9, так
как при дг = 4 число х двузначное, при дг> 10 х — число
четырехзначное.
Следовательно, л:=52 (5-|- 1)= 150 или х = 92 (9+ 1) = 810.
Действительно, 150 = 53 + 52; 810=93 + 92.
Ответ: 150; 810.
62(1190). Взяли два различных натуральных числа. Эти
числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа
меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что
сумма всех четырех результатов равна 441. Найдите эти числа.
Решение. Пусть а — меньшее число, па — большее. По
условию имеем уравнение
(а + па) + па2 + (па-а) + ^- =441,
откуда
2па + лга2 + лг = 441,
дг(а2 + 2а+1)=441,
)2 = 441 =32-72.
Задача сводится к решению в натуральных числах систем
уравнений:
{"о+31)2 = 72 или {>
откуда
Ответ: 6 и 54; 2 и 98.
Л 63(1191). Найдите два натуральных числа, разность
квадратов которых равна 45.
Решение. По условию х2 — и2 = 45, где х и у — искомые
натуральные числа. Так как х2 — у =45, а 45= 1-45 = 3-15 = 5-9,
то задача сводится к решению в натуральных числах следующих
систем уравнений:
[х — у=\\ (Х — у = Ъу (Х — у = Ь,
( + 45 ( + 15; [х+у = 9.
Ответ: {(23; 22), (9; 6), (7; 2)}.
Л 64(1192). Докажите, что не существует натурального
числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа
увеличилось бы в 5 раз.
Доказательство. Так как по условию количество цифр
натурального числа не изменяется, а увеличиться оно должно в 5
раз, то натуральное число, о котором говорится в задаче, должно
187
начинаться с цифры 1. (В любом другом случае произведение
натурального числа на 5 содержит на одну цифру больше, чем
само натуральное число.) При перенесении этой цифры в конец
числа получается число, оканчивающееся цифрой 1. Но такое
число не может делиться на 5. Утверждение доказано.
65(1175)'. Между числами — и -|- найдите какое-либо число,
являющееся квадратом рационального числа. Сколько решений
имеет эта задача?
Решение. I способ. Пусть -|—рациональное число,
А / \2 ^
удовлетворяющее условию —< I -j4 <у- Чтобы число было
квадратом дроби, необходимо, чтобы его числитель и
знаменатель являлись квадратами натуральных чисел. На основании
основного свойства дроби имеем:
_L= 4-7 =28_ _5_= 5-7 =35_
7 7-7 49' 7 7-7 49 ' ' *
§<fr<f • где «€*
Так как среди натуральных чисел 29, 30, 31, 32, 33, 34 нет
чисел, являющихся квадратом натурального числа, то, используя
* 4 28 28-49 1372 5
основное свойство дроби, имеем: —=—=—— = —5-, — =
_ 35 _ 35-49 _ 1715 т Л 1372 ^ а1 ^ 1715
~ 49 ~~ 49-49 ~~ 492 э * С' 49' ^ 492 ^ 492
Между числами 1372 и 1715 найдем числа, являющиеся
квадратами натуральных чисел. Таких чисел четыре: 1444 (382),
1521 (392), 1600 (402), 1681 (412).
Таким образом, имеем:
^ 7' 7^449/ ^ 7Э
< A JL ()2
Легко понять, что, умножая знаменатели (и соответственно
числители) данных дробей на х2*-72*+|, где k=l, 2, 3, ...,
х=2, 3, ..., мы получим бесконечное множество решений.
Замечание. Задачу можно решить и методом подбора:
у-<*2< у-, 4<7jc2<5. Отсюда х = 0,8; ... .
II способ. Найдем приближенные значения квадратных
корней из чисел -у и -у с точностью до 0,01:
1 У задач 65—107 в скобках указаны номера упражнений в учебнике [3).
188
= ^р-жО,76 (с избытком), -y-f-= -^-«0,84 (с
недостатком).
Так как 0,76 > -^i- и 0,84 < д^, то [0,76; 0,84]cz[^^; -у-Ц
и всякое число из промежутка [0,76; 0,84] принадлежит и
промежутку у-у-;
Например, число 0,8, удовлетворяющее условию 0,76 <С 0,8 <С
<0,84, удовлетворяет и условию "д/^-<0,8< ~\J-y-
Так как функция f(x) = x2 при х>0 монотонно возрастает,
то 4"<0,82< —. Следовательно, число 0,64 (^f-) удовлетворяет
условию задачи.
Так как существует сколько угодно рациональных чисел,
принадлежащих промежутку [0,76; 0,84], а следовательно, и
промежутку ГдАу-; ~д/"|г то в пРомежУтке v~; vi содержится
сколько угодно рациональных чисел, квадраты которых
принадлежат промежутку М-; -|- , т. е. задача имеет бесконечное
множество решений.
П 66(1176). Какая из дробей ближе к единице: правильная
или обратная ей неправильная?
Решение. Сначала выдвинем гипотезу, рассмотрев
несколько примеров. Так, дробь — меньше единицы на -^-, а дробь ~-
3 о 2
1 9
больше единицы на —. Таким образом, правильная дробь — бли-
2 о
же к единице, чем обратная ей неправильная дробь. Аналогично
установим, что дробь -|~ ближе к единице, чем дробь -|"
о о
( 1 ——< —— 1 ) . Получаем гипотезу: правильная дробь ближе
к единице, чем обратная ей неправильная дробь. Докажем ее.
Пусть -j-— правильная дробь (т. е. a<ib, а и Ь —
натуральные числа). Имеем:
I а_ Ь — а . _а i b — a
ь
Сравним дроби —7-^- и а
b a '
Так как из двух дробей с равными числителями та меньше,
189
у которой знаменатель больше, то ь ь° < ь Qa (b>a поусло-
ловию), т. е. 1——< ——1, что и требовалось доказать.
Ответ: правильная дробь ближе к единице, чем обратная ей
неправильная.
Замечание. Другой способ решения этой задачи см. § 4,
с. 30.
□ 67(1177). Если четное число оканчивается цифрой,
отличной от нуля, то четвертая степень этого числа оканчивается
цифрой 6. Докажите это.
Решение. Четное число может оканчиваться цифрами 0, 2,
4, 6, 8. Если четное число оканчивается цифрой 2, 4, 6 или 8, то
четвертая степень этого числа оканчивается цифрой 6, так как
числа 2\ 4\ б4 и 84 оканчиваются цифрой 6. Утверждение
доказано.
□ 68(1178). Какой цифрой оканчивается число: а) 21000;
б) З1000; в) 71000?
Решение. I способ, а) Определим, какой цифрой
оканчиваются числа вида 2" при п= 1, 2, 3, ... . Имеем: 21
оканчивается цифрой 2, 22 оканчивается цифрой 4, 23 — цифрой 8, 24 —
цифрой 6, 25 — цифрой 2 (как и 21). Следовательно, цифры 2, 4, 8, 6
на конце чисел вида 2п будут повторяться через каждые четыре
степени. Так как 2|000 = 24 25(), то 21000, как и 2\ оканчивается
цифрой 6.
б) Степени З1, З2, З3, 3\ З5 оканчиваются цифрами 3, 9, 7, 1, 3.
Следовательно, число З1000, как и число 3\ оканчивается цифрой 1
(так как цифры на конце чисел вида 3" повторяются через
каждые четыре степени, а 1000 = 4-250).
в) Аналогично установим, что цифры 7, 9, 3, 1 на конце чисел
вида 7п повторяются через каждые четыре степени. Поэтому
71000, как и 74, оканчивается цифрой 1.
II способ, а) Так как 21000 = (2250)4, а число 2250 — четное
число, не кратное 10 (оканчивается цифрой, отличной от нуля),
то его четвертая степень оканчивается цифрой 6. (Используем
результат, полученный при решении задачи 67.)
б) Так как 34 = 81, 31000 = (34)250 = 81250, а число,
оканчивающееся цифрой 1, при возведении в любую натуральную степень
будет давать число, оканчивающееся 1, то З1000 оканчивается
цифрой 1.
в) Так как 7|000=(74)250, а число 74 оканчивается цифрой 1,
то число 71000 также будет оканчиваться цифрой 1.
69(1179). Докажите, что ни при каком натуральном п
значение выражения дг2 + 5дг-|-16 не делится на 169.
Решение. Предположим противное: пусть уравнение
п2-\-Ьп + 16= 169&, где k и п — натуральные числа, имеет
решение. Имеем л2 + 5л+16— 169£ = 0,
190
D = 25-4 (16- 169Л) = 4-1696-39 = 13-(52Л —3).
Очевидно, что D не является квадратом натурального числа,
поскольку D кратно 13, но не кратно 132(52& — 3 не делится
на 13). Следовательно, уравнение /г2 -|-5/г -|- 16 = 169/г не имеет
не только натуральных, но и рациональных решений ни при
каких натуральных п и к. Получили противоречие с
предположением. Следовательно, утверждение задачи доказано.
Замечание. При решении задач на делимость чисел
необходимо добиваться от учащихся знания следующих теорем,
выражающих признаки делимости суммы, разности и произведения:
Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на
какое-нибудь число, то и их сумма делится на то же число.
Теорема 2. Если каждое слагаемое суммы, кроме одного,
делится на какое-нибудь число, а это слагаемое на него не
делится, то и сумма всех этих слагаемых на него не разделится.
Теорема 3. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на
какое-нибудь число, то на это число делится и их разность.
Теорема 4. Произведение делится на данное число, если
хотя бы один из множителей на него делится (т. е. для делимости
произведения достаточно, чтобы делился на это число по крайней
мере один из множителей).
Теорема 5. Если а делится на т и Ь делится на л, то ab
делится на тп.
□ 70(1180). Дано многозначное число abc.kxyz. Отделив
от него трехзначное число, образованное тремя последними
цифрами, получим два числа: abc.k и xyz. Докажите, что если
разность полученных чисел делится на 7 (или на 11, или на 13), то и
данное число делится на 7 (или на 11, или на 13).
Решение. Имеем:
abc...kxyz = 1000 abc.k -\-xyz =
= 1001 abc...k — abc...k+~xyz =
= 1001 abc...k + {xyz — abc...k).
Так как число 1001 делится на 7, 11 и 13, то, используя признак
делимости суммы (если каждое слагаемое делится на какое-либо
число, то и сумма делится на это число), легко докажем
сформулированный в задаче общий признак делимости чисел на 7, 11 и 13.
□ 71(1181). Докажите, что сумма кубов трех
последовательных натуральных чисел делится на 9.
Решение. Пусть а— 1, а, а+1 — три последовательных
натуральных числа, где a£N, a>\. Имеем (а— 1)3 + а3 +
+(а+ 1)3 = За(а2 + 2). Докажем, что произведение а(а2 + 2)
кратно 3.
I способ, а (а2+ 2) = а (а2— 1+3) = а(а2 — 1) + За =
= (а—1) а (а+1)-(-За. Так как произведение трех
последовательных чисел делится на 3 и За кратно 3, то а (а2-\-2) кратно 3.
191
II способ. Разобьем множество натуральных чисел а на три
класса: а = 3&, а = 3&+1, а = 3& + 2.
1) Если а = 3&, то очевидно, что а (а2+ 2) кратно 3.
2) Если а = ЗЛ+1, то а (а2 + 2)=(3£ + 1) (9/г2+ 6/г + 3)
кратно 3.
3) Если а = 3£ + 2, то a(a2 + 2) = (3k + 2)(9k2+l2k + 6)
кратно 3.
Поскольку произведение а(а2 + 2) кратно 3, то За(а2
кратно 9, что и требовалось доказать.
Л 72(1182). Докажите, что значение выражения п5 — 5
-\-4п делится на 120 при любых натуральных п.
Решение.
/г5 —5лг3 + 4дг = Аг (лг4 — 5/г2 + 4) = п (лг2 —4)(лг2— 1) =
Мы получили произведение пяти последовательных
натуральных чисел, которое всегда кратно 120(120= 1-2-3-4-5).
Утверждение доказано.
73(1183). Докажите, что если в прямоугольном треугольнике
длины сторон — целые числа, то его площадь также выражается
целым числом.
Решение. Пусть а, Ь и с соответственно катеты и
гипотенуза прямоугольного треугольника, которые выражаются целыми
числами. Тогда площадь треугольника S=^-.
Ясно, что если длина хотя бы одного из катетов — число
четное, то площадь треугольника выражается целым числом.
Покажем, что длины обоих катетов не могут быть выражены
нечетными числами. Предположим противное. Пусть а = 2л4-1,
b = 2k + 1. Тогда по теореме Пифагора имеем (2л + 1 )2 + (2k + 1) —
= с\ или 4n2 + 4k2 + 4n + 4k + 2 = c*, т. е. 4 (п2+ k2 + + k) + 2
2
с.
Из последнего равенства следует, что с2 — число четное.
Следовательно, оно не может быть квадратом нечетного числа, так
как квадрат нечетного числа — число нечетное. Но с2 не может
быть и квадратом четного числа, так как не делится на 4 (все
квадраты четных чисел делятся на 4). Полученное противоречие
опровергает предположение, что длины обоих катетов могут быть
выражены нечетными числами. Утверждение доказано.
□ 74(1184). Найдите все пары натуральных чисел,
удовлетворяющие уравнению: а) х2 — у*=105; б) 2х2 + Ьху— 12(/2 = 28.
Решение, а) Разложим правую и левую части уравнения
на множители. Имеем (х — у)(х-\-у)=: 1 • 105 = 3-35 = 5-21 =7-15.
Так как при натуральных значениях х и у х — у<х-\-уу то
решение данного уравнения сводится к нахождению натуральных
решений следующих четырех систем уравнений:
192
(х — (/ =
Ответ: (53; 52), (19; 16), (13; 8), (11; 4).
б) Разложим левую часть уравнения на множители:
I способ.
2л:2 + Ъху — 12у2 = 2х2 + 8ху — Ъху — 12у2 =
= 2х{х + 4у)-3у(х + 4у)=(х + 4у)(2х-3у).
II способ. Решим уравнение 2х2-\-5ху — 12г/2 = 0
относиьно х, считая у постоянным числом. Имеем х\ = — 4(/, *2 =
тельно х
Разложив правую часть уравнения на два натуральных
множителя (28= 1 -28 = 2-14 = 4-7) и учитывая, что при натуральных
х и у х-)-4у^5, решение данного уравнения сведем к решению
в натуральных числах следующих систем уравнений:
( х + 4(/=28, ( х + 4у= 14, <х + 4у = 7,
\2х-Ъу=\\ \2х-Ъу = 2\ \2х-3(/=4.
Из этих систем уравнений только первая имеет решение в
натуральных числах: jc = 8, у = 5.
Ответ: (8; 5).
75(1185). Докажите, что выражение (d2-\-b2f может быть
представлено в виде суммы квадратов двух целых выражений.
Решение.
Л 76(1186). Найдите все решения уравнения
х2 + 5у2 + 4ху + 2у+ 1 =0.
Решение.
Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то
(учитывая равенство суммы квадратов нулю) имеем систему:
W откуда * = 2.у=-1.
Ответ: (2; -1).
Замечание. В случае затруднения учащимся можно
предложить вспомогательные задачи (см. § 2, с. 15).
13 Заказ 942 193
77(1187). Найдите все пары (х\ у) целых чисел, которые
являются решениями уравнения
Решение. Из условия следует, что х^ — и у^-—, значит,
о о
х и у — натуральные числа.
Приведем подкоренные выражения в левой части уравнения к
общему знаменателю. Будем иметь:
5 ■ v s =V§.
Умножив обе части этого уравнения на д/5, получим
равносильное ему уравнение
^Л = 5.
Так как левая часть этого уравнения — сумма неотрицатель-
ных слагаемых, то каждое слагаемое не больше 5. Из условия
л!Ъх — 1^5 и У5(/ — 1^5 найдем, что х^5 и у^Ъ.
Таким образом, х и у — натуральные числа, каждое из
которых не больше 5.
Подбором находим две пары натуральных чисел (1;2) и
(2; 1), которые удовлетворяют данному уравнению.
Ответ: (1;2), (2; 1).
□ 78(1188). Проверьте, что верно равенство:
Укажите условие, при котором выполняется подмеченная
закономерность. Приведите примеры.
Решение, а) I способ. Преобразуем левую часть
равенства:
II способ. Преобразуем правую часть равенства:
III способ. Возведем обе части равенства в квадрат:
= 4~; '
б) I способ, -л/5£=V^r = -
194
и
III способ. 5£-2S.i; в£—s£.
Выведем условие, при котором
А=ЛЛ/а> т. е.
п V п
I способ. Возведем полученное равенство в квадрат:
kn + k k^
п п
откуда М"+1) =*1 т. е. дг+1=£2, *=V^+T.
Таким образом, если дг+1=/г2, то ^\//г— = /j^v/—. Напри-
мер, при дг = 15 получим fe = 4 и "у 4— = 4 у—, при дг = 80 по-
V 15 V 15
лучим fc = 9 и V9— = 9 V— •
J V 80 V 80
II способ. Пусть целая часть числа а равна х([а]=х),
дробная часть числа а равна у ({а}=у). Найдем зависимость между
целой и дробной частями числа а, при которой
УМ+й=М-л/!4 (1)
Возведем равенство (1) в квадрат:
откуда [а]={а).([а]2-1), т. е. {а}=^.
Например, если [а]=6, то {а}= б = -$-. Имеем -д/6^-=
Если [а]= 10, то И= ^ = £. Имеем V^l= l0 VI1
Л 79(1189). Найдите значение выражения
V2 + V3 V3+V4 V99+V100
Решение. I способ.
1 I 1 . 1 . , 1 _
v'l+\/2 V2+V3 V3 + V4 л/9*9+ \Д00
= 2-1 , 3-2 | 4-3 | , 100-99 =
л/2+\Д л/З + л/2 л/4+\/3 VlOO + ^9
13* 195
II способ. Освободившись от иррациональности в
знаменателе каждой дроби, получим, что знаменатель каждой дроби будет
равен единице, и задача сведется к сложению числителей:
80(1190). Из первых ста натуральных чисел произвольно
взято 51 число. Докажите, что среди взятых чисел наверняка есть
два таких числа, из которых одно кратно другому.
Решение. Любое натуральное число можно представить в
виде 2п«р, где п — целое неотрицательное число, а р—
нечетное число. Представим каждое из первых ста натуральных
чисел в виде 2"-р, где п — целое неотрицательное число, ар —
нечетное число (для нечетных чисел дг = 0). Например: 15 =
= 2°. 15; 8 = 23-1; 24 = 23-3; 98 = 2-49.
Очевидно, что из двух чисел 2" -р и 2" -р, имеющих один и
тот же множитель р, одно кратно другому. Действительно,
так как в первой сотне содержится 50 нечетных чисел, то
множитель р в выражении 2п-р для чисел первой сотни может принимать
только 50 различных значений. Поэтому если из первой сотни
возьмем 51 число, то по крайней мере два из них будут иметь
один и тот же множитель р, а значит, одно из них кратно другому.
81 (1191). Имеется 13 монет одного достоинства, среди которых
одна фальшивая, отличающаяся массой от остальных. Можно
ли с помощью трех взвешиваний на рычажных весах без гирь
обнаружить фальшивую монету?
Решение. Разложим монеты на три кучки: две кучки по 4
монеты и одна кучка из 5 монет.
С помощью первого взвешивания сравним кучки, содержащие
по 4 монеты, положив их на разные чашки весов. При этом
возможны два случая: а) весы находятся в равновесии; б) одна
чашка весов перевесила другую. В случае а) фальшивая
монета находится в кучке из 5 монет. В случае б) фальшивая
монета — на одной из чашек весов.
Для обнаружения фальшивой монеты в случае а) возьмем для
второго взвешивания 3 монеты из третьей кучки (из 5 монет)
и 3 монеты нормальной массы (из любой из первых двух кучек) и
положим их на разные чашки весов. Если при этом весы находятся
в равновесии, то фальшивая монета среди двух оставшихся монет
из третьей кучки. Для обнаружения фальшивой монеты в этом
случае используем третье взвешивание. Возьмем одну монету из этих
двух монет и одну из первой или второй кучки (с нормальной
массой) и положим их на разные чашки весов. Если весы в
равновесии, то фальшивая монета не на весах. В противном случае
(если равновесия не будет) фальшивая монета на одной из чашек
весов.
196
Если же при сравнении трех монет нормальной массы и трех
монет из третьей кучки весы не будут в равновесии, то фальшивая
монета среди взятых трех монет из третьей кучки, при этом
узнаем, легче она или тяжелее нормальной (смотря по тому,
поднимается или опускается чашка весов, на которую положены
монеты из третьей кучки). Теперь с помощью третьего, последнего
взвешивания определим, какая из трех монет третьей кучки,
находящихся на весах, фальшивая. Для этого положим по одной
из этих монет на разные чашки весов, а третью монету отложим
в сторону. Если весы в равновесии, то фальшивая монета не на
весах. Если равновесия не будет, то, зная (по второму
взвешиванию), как отличается масса фальшивой монеты от массы
нормальной, определим фальшивую.
В случае б), когда фальшивая монета находится в одной из
первых двух кучек, с помощью второго взвешивания сравним
массы двух четверок монет, составленных следующим образом:
на одну чашку весов положим 3 монеты из той четверки, которая
оказалась тяжелее (каждую такую монету обозначим буквой 71),
и одну монету из той четверки, которая оказалась легче (каждую
такую монету обозначим буквой Л); таким образом, на одной
чашке весов будет четверка 7T7V7; на другую чашку весов
положим три монеты из третьей кучки (с нормальной массой;
обозначим каждую из таких монет буквой Н) и одну из более тяжелой
четверки, т. е. на другой чашке весов будет четверка НННТ. При
этом возможны три случая:
1) Весы находятся в равновесии. В этом случае фальшивая
монета находится среди трех оставшихся после первого
взвешивания более легкой четверки (ЛЛЛ) (поскольку монета Т или
нормальная, или тяжелее ее, а монета Л или нормальная, или
легче ее). С помощью третьего взвешивания, положив на чашки
весов по одной из этих трех монет, определим фальшивую: если
весы в равновесии, то фальшивая монета не на весах; если
равновесия не будет, то фальшивая монета на поднятой чашке весов
(более легкая).
2) Перевесила чашка с монетами ТТТЛ. Тогда фальшивая
монета среди монет ТТТ. Ее находим третьим взвешиванием,
положив на чашки весов по одной из монет: в случае равновесия
фальшивая монета не на весах; в противном случае фальшивая
монета на опущенной чашке весов (более тяжелая).
3) Перевесила чашка весов с монетами НННТ. В этом случае
фальшивой монетой является или монета Т перевесившей чашки
весов, или монета Л другой чашки (с монетами ТТТЛ). Третьим
взвешиванием сравниваем одну из них с нормальной монетой
(в данном случае из третьей кучки), положив их на разные чашки
весов: если весы в равновесии, то фальшивая монета не на
весах; если равновесия не будет, то фальшивая монета на весах
(фальшивая монета легче или тяжелее нормальной).
Таким образом, и в случае а), и в случае б) для определения
монет достаточно трех взвешиваний.
82 (1192). Расстояние между пунктами А и В 60 км. Из А в В
выходит автомобиль, а из в в том же направлении одновременно
с первым автомобилем выходит второй. Если скорость первого
автомобиля увеличить на 10 км/ч, а второго — на 8 км/ч, то
первый автомобиль догонит второй в том же месте, но на час
раньше. Какова скорость каждого автомобиля?
Решение. Icnoco б. Пусть t часов — время, в течение
которого один автомобиль догонит другой, когда они едут с обычной
скоростью. Тогда скорость их сближения — километров в час.
Если же скорость одного увеличится на 10 км/ч, а другого —
на 8 км/ч, то их скорость сближения увеличится на 2 км/ч
(10 — 8 = 2) и будет равна —— километров в час.
Имеем уравнение
-Ж--^. = 2, откуда / = 6.
Если скорость первого автомобиля v\ километров в час, то за
6 ч он пройдет расстояние 6v\ километров. На это же расстояние
с увеличенной на 10 км/ч скоростью этот автомобиль
затрачивает времени на 1 ч меньше, т. е. имеем уравнение
6yi=5(yi+ 10), откуда v\=50.
Аналогично если 02 — скорость второго автомобиля, то имеем
уравнение 602 = 6(02 + 8), откуда 02 = 4О.
II способ. Пусть разность скоростей автомобилей v
километров в час. Если скорость автомобилей увеличить на 10 км/ч и
на 8 км/ч, то разность скоростей будет (v + 2) километров в час.
Так как с увеличенными скоростями один автомобиль догонит
другой на 1 ч раньше, то имеем уравнение
-22 2!L = 1, откуда 0=10.
v v + 2 J
Так как разность скоростей автомобилей 10 км/ч, то один
автомобиль должен догнать другой за 6 ч (60:10 = 6), а при
увеличении скоростей — за 5 ч (60: (10+ 2) = 5). Так как первый
автомобиль догонит второй в том же месте, то имеем уравнение
6ui =5 (ui + 10), где 0i — скорость движения первого автомобиля.
Отсюда 0,=5О. 50—10 = 40 км/ч — скорость движения второго
автомобиля.
Ответ: 50 км/ч; 40 км/ч.
□ 83(1193). Постройте график уравнения:
а) \х\ + \у\=4; б) \х\-\у\=4.
Решение, а) I способ. На основании определения
модуля числа имеем:
198
Рис. 34
Рис 35
1) При х>0, #>0 имеем уравнение х-\-у = 4.
2) При х>0, #<0 имеем уравнение х — у = 4.
3) При х<0, #>0 имеем уравнение — х-\-у = 4.
4) При х<0, #<0 имеем уравнение — х — у = 4.
Строим графики четырех полученных уравнений в
соответствующих четвертях (рис. 33).
II способ. Перенесем в данном уравнении \х\ в правую
часть, получим \у\=4—|jc|. График данного уравнения будем
строить в такой последовательности:
1) у = 4-х (рис. 34);
2) у=4—\х\ (рис. 35);
3) ||,|=4-|х| (рис. 33).
Замечание. Предварительно учащимся целесообразно
объяснить правило построения графиков функций у = ( (\х\) и
графиков зависимостей \y\=f(x).
б) I с п о с о б. На основании определения модуля числа имеем
четыре уравнения:
1) х—у = 4 при
2) х-\-у = 4 при
3) —х — у = 4 при х<0,
4) —х + у = 4 при х<0, у<0.
У*
-*/
Рис. 36
Рис 37
Рис 38
199
Построив график каждого из четырех уравнений для
соответствующих четвертей, получим график данного уравнения
(рис. 36).
II способ. График уравнения \у\ = \х\ — 4 будем строить в
такой последовательности:
1) у = х-А (рис. 37);
2) £/= |jc| —4 (рис. 38);
3) \у\ = \х\-А (рис. 36).
84(1194). а) Найдите сумму кубов корней уравнения 2х2 —
— 5х+1=0.
б) Найдите значение выражения — + —, где х\ и х2 —
Х2 Х\
корни уравнения 2х2— 11х+ 13 = 0.
Решение, а) Убедившись в существовании корней данного
квадратного уравнения (D>0\ выполним преобразования:
(Х\ +Х2).
На основании теоремы Виета имеем х\-\-х2=-у, х\х2=-]-.
Тогда
Замечание. Можно найти сумму кубов корней данного
уравнения другим способом: определить корни данного
квадратного уравнения по формулам, возвести их в куб и сложить.
Указанный выше способ короче и, главное, дает возможность
показать учащимся красоту и изящество рациональных способов
решения задачи.
б) Так как дискриминант данного квадратного уравнения
положителен (D = 17), то уравнение имеет два действительных
корня и можно выполнить преобразования:
£| |_£2___ *Т+*2 __ (*1 +Х2)2 — 2Х\Х'2
Х-2 Х\ Х\Х-2 Х\Хч
На основании теоремы Виета имеем:
2 '
121 io\ . 13 _017
Ответ: a) 11-L; б) 2^-.
П 85(1195). Длины сторон треугольника ABC равны а см,
b см и с см. Зная, что а3 = 63 + с3, определите, является ли угол А
острым, прямым или тупым.
200
Решение. Воспользуемся теоремой косинусов, так как по
знаку косинуса можем ответить на вопрос задачи. Имеем:
a2 = b2+c2-2bc-cosAy
откуда
=*^. (I)
Чтобы использовать данные задачи (а3 = b3-f- с3), умножим
числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части
равенства (1), на а (аФО). Будем иметь:
— Ь2а + с2а-с? __ Ь2а + с2а-Ь3-с> _ Ь2(а-Ь)+с2(а-с)
— 2abc "" 2abc ~ 2abc ' W
Так как а3 = Ь3 + с3, то а>Ь и а>с. Следовательно, числитель
и знаменатель дроби, стоящей в правой части равенства (2),
положительны, т. е. cos>4>0 и угол А острый.
Ответ: угол А острый.
□ 86 (1196). Докажите, что при всех положительных
значениях а, Ь и с верно неравенство
(с + а).
Решение. I способ. Воспользуемся известным соотноше-
нкем между средним арифметическим и средним геометрическим
двух положительных чисел (неравенство Коши). Имеем
^ откуда
Аналогично установим, что b + c^2^fbc, c + a^2^Jca.
Перемножив три полученных неравенства с положительными
членами, найдем:
(а + Ь) (Ь + с) (с + а) > 8 -\Ja2b2c2.
Поскольку а, Ь и с — положительные числа, то ~\ja2b2c2 = \abc\ =
= abc, поэтому 8а6с<(а + 6)(6 + с)(с + а), что и требовалось
доказать.
Замечание. Учащимся полезно напомнить вывод
соотношения между средним арифметическим и средним
геометрическим двух положительных чисел. Оно следует из очевидного
неравенства (V**—У^)2^0, которое после возведения в квадрат
дает неравенство а-\-Ь — 2л(аЬ^0у т. е. ^
II способ. Перемножим двучлены, находящиеся в правой
части неравенства. Будем иметь:
8abc ^2abc + a2b + а2 с + Ь2с + Ь2а + ас2 + be2,
откуда
6abc^ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c\
201
' ; '—, т. e. o^ i -^H ) + l т
с ft a \ с a/ \ с ft/
Поскольку для положительных чисел справедливо неравенство
—^2, то каждое из трех слагаемых, находящихся в скобках
в правой части неравенства, не меньше двух, а вся правая часть
не меньше шести. Неравенство доказано.
Замечание. Учащимся необходимо обосновать
справедливость неравенства а-\——^2 для положительных чисел и
рекомендовать его запомнить. Это неравенство следует из очевидного
неравенства (а—1)2^0, или а2 — 2а-fl^O, откуда а2 + 1^2а
и а + — ^2 (при делении на положительное число а знак
неравенства не меняется).
□ 87(1197). Докажите, что если x + y + z = 7 и х^О, у^О,
2>0, то V^+V^ + V^<5.
Решение. I способ. Возведем выражение л[х-\-л[у-\-л[г
в квадрат:
Поскольку 2-у/ху^х + у; 2^yz^y + z\ 2-yfxz^.x + z
(неравенство Коши), то х + у + г + 2 л[ху + 2 -yfyz + 2 -ylxz^.x + y-{'Z-\-
()( ( ) = 2l (так как по условию
y + )
Извлекая из обеих частей полученного неравенства
V^ V^ квадратный корень, получим V* + Vy +
^/ т. е. л/^ + л/у + л/^<5 (по закону
транзитивности), что и требовалось доказать.
II способ. Воспользуемся неравенством Коши для
неравных неотрицательных чисел:
х+1>2у*Л~, (1)
y+l>2-y/yl9 (2)
z+l>2VaM> (3)
откуда
Подставив в это неравенство вместо x-\-y-\-z число 7 и
разделив обе части полученного неравенства на 2, будем иметь
V^+V^+V^<5, что и требовалось доказать.
Замечание. Необходимо обратить внимание на то, что
значения переменных х, у и z не могут быть одновременно равны 1
202
(иначе сумма их не была бы равна 7). В случае равенства
значений одного или двух переменных (например, х и у) единице
строгие неравенства (1) и (2) заменяются нестрогими
х+1 >2 -фс (I') и у+ 1 ^2 V*/ (2'), но так как неравенство (3) в
этом случае обязательно строгое {гФ\\ то при сложении
неравенств (Г), (2') и (3) получим строгое неравенство.
□ 88(1198). Докажите, что если а + 6^1, то верно
неравенство а + 6>
8
Решение. Заметим, что оба слагаемых суммы а + b не могут
быть отрицательными, так как а-\-Ь^\. Если одно из слагаемых
суммы а-\-Ь отрицательно, то модуль другого больше единицы
(так как а + 6>1). Тогда аА + Ь4> 1>4"-
8
Если оба слагаемых положительны, то имеем
(неравенство Коши), т. е. (a + 6)2>4aft, откуда
Поэтому a2 + b2=(a + bf-
a2 + b2^Aa±bf
Аналогично
bf_^±_ (так как а
=Х, т. е.
> > Ц =, т. е. S + b^-L,
что и требовалось доказать.
□ 89(1199). Докажите, что при любых значениях х и у верно
неравенство:
а) (л:-3(/)2+10(х-3(/) + 26>0;
б) 4ху + 24х— Юу — Ъх2 — у2 — 30<0.
Решение, а) Пусть х — Ъу = г. Тогда данное неравенство
примет вид:
Так как дискриминант квадратного трехчлена z2 + 1 Oz + 26
отрицателен (D=— 4), а коэффициент при г2 положителен, то
квадратный трехчлен положителен при всех значениях
переменной z, а следовательно, и при всех значениях хну.
б) Умножим обе части данного неравенства на —1. Будем
иметь:
у2 — 4jo/ + 4jc2 + a:2 — 24x+
Так как (х—2)2^0 при любых значениях дс, то остается до-
203
казать, что (у — 2х)2 + 10 (у — 2x)-f26>0 при любых значениях х
и у. А это действительно так (доказательство аналогично
приведенному в случае а)).
Замечание. Другой способ решения этого неравенства
приведен в § 4, с. 27.
90(1200). Докажите, что если а, Ь и с — длины сторон
некоторого треугольника, то при любом значении х верно
неравенство
Решение. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена,
содержащегося в левой части неравенства:
D={Ь2 + с2 — a2}2 -4ft V = (b2 + с2 -а2 -2Ьс) (Ь2 + с2 -а2 + 2Ьс) =
Так как а>0, 6>0, с>0 и в треугольнике каждая сторона
меньше суммы двух других сторон, то
Ь + а — с>0,
— а>0,
Поэтому дискриминант меньше нуля при любых допустимых
значениях a, b и с.
Поскольку первый коэффициент квадратного трехчлена
положителен и D<0, то данный трехчлен при любом значении х
принимает только положительные значения. Неравенство
доказано.
91 (1201). Найдите наименьшее целое число, которое надо
прибавить к выражению (a-f 2) (а+ 5) (а+ 8) (а + 11), чтобы
полученная сумма была положительной при любом значении а.
Решение. Пусть b — наименьшее целое число, такое, что
выражение (а + 2) (а + 5) (а + 8) (а + 11) + b положительно при
любом значении а. Преобразуем полученное выражение в
квадратный трехчлен:
) где с = а2
Найдем дискриминант трехчлена c2-\-l8c-\-b: D = 324—4b.
Так как квадратный трехчлен с2-\-\8с-\-Ьу у которого
коэффициент при старшем члене положителен, принимает положительные
значения при любом значении переменной с только в том случае,
если его дискриминант отрицателен, потребуем, чтобы
выполнялось неравенство 324 — 46 <0, откуда 46 > 324, 6>81.
Наименьшим целым числом, удовлетворяющим условию
81 является число 82. Следовательно, 6 = 82 — наименьшее
204
целое число, при котором трехчлен с2+18с + 6 принимает
положительные значения при любом с, и, таким образом, выражение
(а + 2)(а + 5)(а + 8)(а+11) + 82 положительно при любом
значении а.
Решение задачи несколько упростится, если в качестве с
выбрать выражение а2 + 1 За + 31. Тогда (а2 + 1 За + 22) X
□ 92(1202). Докажите, что если а>0 и &>0, то
-5 |
\+а + Ь \+а
Решение. , ? + ** . = . ,° , .И . , Ь , .. Так как при
а>0 и Ь>0 1 +а + й> 1 +6, 1 +а + Ь> 1 +а и из двух дробей с
одинаковыми числителями больше та, у которой меньше
знаменатель, то имеем:
а < а
\+а + Ь \+Ь
Следовательно,
\+а + Ь
что и требовалось доказать.
П 93(1203). Постройте график функции:
а) £/=U2 —4х|; в) г/= Ijc2 — 5л: + 6|;
б) у=х2-А \х\\ г) у=х2-5 |х|+6.
Решение, а) По определению модуля числа имеем:
2—4л:, если jc2—4jc>0, т. е. л:б(— оо; 0]U[4; +oo),
х2 + 4л:, если х2 — 4jc<0, т. е. л:б(О; 4).
Построив часть параболы (/=лг — 4jc для xg(— оо; 0]U[4; + оо)
и часть параболы у=—х2-\-4х для jc^(O; 4), получим график
функции £/ = |jc2 — 4х\ (рис. 39).
Замечание. Можно построить график функции у= \х2—4х\
и другим способом: построить график у=х2 — 4х для всех
х£(— оо; +оо) и ту часть графика у = х2 — 4ху которая
расположена ниже оси абсцисс, отразить симметрично этой оси.
б) На основании определения модуля числа имеем:
2 — 4ху если ^,
= х —4 1*1 = \л:2 + 4л:, если л:<0.
Построив часть параболы у = х2 — 4х для всех х£[0\ +оо) и
часть параболы у = х2 + 4х для всех х£(— оо; 0), получим график
функции у = х2 — 4 \х\ (рис. 40).
205
Рис 39
Рис. 40
Замечание. Поскольку функция у = х2 — 4 \х\ четная, то ее
график можно построить и другим способом: построить часть
графика у = х2— \х для всех х^О и отразить полученную часть
графика симметрично оси ординат.
в) у- \х -Ьх + Ь\ | '
График изображен на рисунке 41.
г) у=х2-5\х\+6=
х2 —
если
если
График изображен на рисунке 42.
94(1204). Решите систему уравнений:
Па) <х2 + ху + х=\4, б) 3+33 +
2
2 3
Рис. 41
2—3 X
Рис. 42
206
Решение, а) I способ. Имеем:
(х(х+у+\)=\4,
\у(х+у+1) = 28.
Разделив почленно второе уравнение на первое, получим систему:
откуда х\ = —р х2 = 2\ (/, = —-!|-, */2 = 4.
II способ. После сложения обоих уравнений системы и
группировки слагаемых получаем:
откуда х-\-у = 6 или х-\-у=—7.
В первом случае подставляем у = 6 — х в первое уравнение
системы и получаем лг = 2, тогда у = 4.
I 9
Во втором случае у=—7 — х, тогда х=— 2—, у=—4—.
о о
Ответ: (-24-; -4-|"). (2> 4)-
б) Имеем* •* л/
{
Поскольку х3 + у* = (х + у)3 — Зху (х + у), то
Для упрощения записи решения этой системы введем
обозначения: х-\-у = и, xy = v. Имеем:
и3 —
= 5 — v.
Подставив значение и = 5 — v в первое уравнение системы,
получим квадратное уравнение v2—-5^ + 6 = 0, откуда ui=2, ^2 = 3.
Следовательно, wi = 3, w2 = 2 и для определения х и у имеем две
системы:
Первая из этих систем имеет два решения: х\ = 1, у\=2\
2 = 2, 1/2=1. Вторая система действительных решений не имеет.
Ответ: (1;2), (2; 1).
95(1205). Решите уравнение
207
Решение. I способ. Имеем:
Введем новое неизвестное -^Ц- =(/. Тогда имеем систему:
Умножив обе части второго уравнения на —2 и сложив его с
первым, получим уравнение
откуда л:—г/= —5 или х — у=1.
Для нахождения х и у имеем две системы:
аг£/= — 10; ' \ху = 2.
Первая система не имеет действительных решений, вторая
имеет два решения: Х\ = — 1, у\ = —2; *2 = 2, t/2=l.
Следовательно, данное уравнение имеет два решения: х\ = — 1, дс2 = 2.
II способ.
=0, (jc+ 1) (
лгЧ-1 =0, лг2 = — 1.
Уравнение х2 + 5дс-|- 10 = 0 действительных корней не имеет.
Ответ: — 1; 2.
□ 96(1206). Постройте график функции:
а) у=
Реше
а) У-
б)уу
Решение.
2 дг) _ (дг —2)(дг —3)(1—дг)
)+ 2 при
Графиком заданной функции является график квадратного
трехчлена (/= —х2-{-Зх — 2= —(х—^-J H с «выколотой»
точкой при лг = 3 (рис. 43).
б) </= ^-1
при \х\Ф2.
208
-31 -
Рис. 43
Рис. 44
Графиком заданной функции является парабола у = 9 — х2
с «выколотыми» точками при х = 2 и х=—2 (рис. 44).
97(1207). Существует ли равносторонний треугольник,
вершины которого на координатной плоскости находятся в точках с
целыми координатами?
Решение. I способ. Допустим, что вершины
равностороннего треугольника ABC на координатной плоскости находятся
в точках с целыми координатами, т. е. х\у у\, х2, #2, *з, Уз — целые
числа (рис. 45,а). Через одну из вершин треугольника,
например С, проведем прямую, параллельную оси дс, и вычислим tg a
и tg р, где аир — углы, образующие вместе с углом С А АВС
развернутый угол. Имеем:
tgoc =
Тогда
У\—Ул
ч— У л
Х.\ — Х\ Х'2 — Х\\
I-
{У\—У л) {У'2 —У л)
= (1/1—Уз)(*2 —
(JC3 —
— ХЛ) — (уХ —уЛ) {У> —
Получим, что tg(a-hP) выражается рациональным числом,
чего быть не может, так как tg(a + p) = tg(180° — 60°) = tg 120° =
= —V3 (л/3 — иррациональное число).
Следовательно, наше допущение ошибочно, т. е.
равностороннего треугольника, вершины которого на координатной плоскости
находятся в точках с целыми координатами, не существует.
*ъ QA9 209
14
yj
A(x,;
2;y2)
D C(x3;y3)E
Рис. 45
Замечание. Решение задачи показывает, что не
существует равностороннего треугольника, вершины которого на
координатной плоскости находятся в точках с рациональными
координатами.
II способ. Допустим, что равносторонний треугольник с
целочисленными координатами вершин существует. Опишем около
такого треугольника прямоугольник со сторонами,
параллельными координатным осям (рис. 45,6). Очевидно, что координаты
вершин прямоугольника, а следовательно, и его площадь
выражаются целыми числами. Равносторонний треугольник отсекает
от прямоугольника прямоугольные треугольники, катеты которых
выражаются целыми числами, а площади — числами
рациональными. Следовательно, площадь равностороннего треугольника как
разность площади прямоугольника и трех прямоугольных
треугольников с целочисленными катетами выражается
рациональным числом. С другой стороны, площадь равностороннего тре-
угольника, как известно, равна
и в нашем случае
выражается числом иррациональным, так как а2 — целое число. (По
теореме Пифагора найдем, что а2 = т2-\-п2у где тип —длины
целочисленных катетов прямоугольных треугольников,
отсекаемых равносторонним треугольником от прямоугольника.)
Получили противоречие, которое доказывает, что
предположение о существовании равностороннего треугольника с
целочисленными координатами вершин ошибочно.
III способ. Площадь треугольника ABC можно
рассматривать как разность площади трапеции DABE и площадей двух
треугольников ADC и СВЕ (рис. 45, а). Очевидно, площадь
трапеции DABE с основаниями AD и BE и высотой DE выражается
рациональным числом, так как длины AD, BE и DE выражаются
целыми числами. Аналогично площади треугольников ADC и СВЕ
также выражаются рациональными числами, так как длины AD,
DC, СЕ, BE выражаются целыми числами. Поэтому площадь
треугольника ABC выражается разностью двух рациональных чисел,
т. е. числом рациональным. Однако площадь любого
равностороннего треугольника равна *3 . Так как в нашем случае а2 —
210
число целое, то -=-т* число иррациональное, это доказывает,
что не существует равностороннего треугольника с
целочисленными координатами вершин.
98(1208). Найдется ли в арифметической прогрессии 2; 5; 8; ...
такой член, который равен квадрату натурального числа?
Решение. В данной арифметической прогрессии имеем
а,=2, с/ = 3. Тогда ak = a{ +d (k- 1) = 2 + 3 {k- 1) = 3й- 1.
Если 3k — 1 = я2, где п — натуральное число, то 3k = п2 + 1 (1).
Левая часть равенства (1) кратна трем. Убедимся, что правая
часть этого равенства ни при каком натуральном п не можт быть
кратна трем.
Разобьем множество натуральных чисел п на три класса:
а) п = 31\ б) п = 31+\\ в) п = 31-\-2. В каждом из этих случаев
выражение п2-\-\ не делится на 3.
Действительно,
в случае а) дг2+1 =9/2+1;
в случае б) п2 + 1 = 9/2 + 6/ + 2;
в случае в) п2+ 1 = 9/2 + 12/ + 5.
Следовательно, в данной арифметической прогрессии не
найдется член, равный квадрату натурального числа.
□ 99(1209). Сколько последовательных натуральных чисел,
начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число,
записываемое одинаковыми цифрами?
Решение. Пусть 1 +2 + 3 + ... + п=Ш. Тогда Sn =
= <1+2/I)-/I . Имеем M" + i) =ioob+Wb + b, откуда
л(я+1) = 2.111Ьэ дг (л + 1) = 2-3-37fe = 66-37,
где дг<45(111&<1000, 2226<2000, дг<45).
Так как в левой части равенства произведение двух
последовательных натуральных чисел, то и в правой части равенства
должно быть произведение двух последовательных натуральных
чисел. Одно из них простое (37), а другое кратно 6, следовательно,
оно равно 36. Имеем п (п-\-1) = 36-37, я =36.
Целесообразно сделать проверку:
6?36 =666.
Ответ: нужно сложить 36 чисел.
100(1210). Найдите сумму всех несократимых дробей
вида —, где п — натуральное число, n ^ 50.
Решение. Искомую сумму найдем как разность суммы всех
бей вида -£-, где п <
бей указанного вида.
дробей вида —, где n£N и /i^50, и суммы всех сократимых дро
5
211
Сумму всех дробей вида -£-, где n£N и я<50, найдем как
J_. _2_. _3_. . 50_
12 3 50
сумму 50 членов арифметической прогрессии —; —; —; ...; —:
_1_ 50
5 2 5 .50 = 255.
Среди дробей рассматриваемого вида сократимыми являются
дроби, в числителе которых числа, кратные 5 (5, 10, ..., 50).
Значения дробей, в числителях которых содержатся эти числа,
составляют арифметическую прогрессию 1, 2, 3, ..., 10. Найдем
сумму ее десяти членов:
S2=i-±i2- -10 = 55.
Теперь легко найдем искомую сумму:
С С О££ ££ ОПП
— О | — О2 — £ОО — ОО — ZUU.
Ответ: 200.
101(1211). Имеются две арифметические прогрессии —
(ап): 1; 5; 9; 13; 17; ... и (Ьп): 2; 5; 8; 11; 14; ... . Докажите, что
если выписать все одинаковые члены обеих прогрессий, то
полученная последовательность также будет арифметической
прогрессией. Чему равна разность этой прогрессии?
Решение. I способ. Найдем дг-й и й-й члены данных
арифметических прогрессий. Имеем:
(/i— 1) = 4az — 3,
{k-\) = 3k-\.
Найдем все такие я, чтобы an = bk, т. е. An — 3 = 3й — 1, откуда
Потребуем, чтобы п — 2 было кратно трем, т. е. п — 2 = 3т, где
т = 0, 1, 2, ... . Отсюда я = Зт + 2.
Таким образом, одинаковые члены обеих прогрессий — это
те члены прогрессии (а„), которые имеют номера п = Зт-\-2, где
т = 0, 1, 2, ..., т. е. а2, as, а^У аи, ..., или 5, 17, 29, 41, ... .
Очевидно, одинаковые члены обеих прогрессий составляют
арифметическую прогрессию, первый член которой равен 5, а
разность —12.
II способ. Имеем:
Тогда
an + \=an + d = an + 4 = 5 + 4(n— 1),
212
Следовательно, 4 (n — 1) = 3 (n— 1), отсюда получаем, что п — 1
кратно 4 и кратно 3, т. е. п— 1 кратно 12.
л—1 = 12 (Л—1); с* = 5+12(Л—1).
102(1212). Докажите, что если длины
сторон прямоугольного треугольника
образуют арифметическую прогрессию, то
разность этой прогрессии равна радиусу
вписанного в этот треугольник круга.
Решение. Пусть ААВС
прямоугольный (рис. 46), в котором ВС = а,
AC=a+d, AB=a+2d. Тогда a2+(a+df =
=(a + 2d)2, или a2 — 2ad — 3d2 = 0, откуда
a=3d (a>0). Поэтому BC = 3d, AC = 4dy
AB = 5d. Имеем (см. рис. 46):
Рис 46
AB=AK+MB=(4d-r)+(3d-r)=7d-2r,
откуда d = r, что и требовалось доказать.
Замечание. Полезно обратить внимание учащихся на то,
что в ходе решения этой задачи были найдены все прямоугольные
треугольники, стороны которых составляют арифметическую
прогрессию.
103(1213). Могут ли длины сторон прямоугольного
треугольника образовывать геометрическую прогрессию? Если могут, то
найдите величины углов этого треугольника.
Решение. Пусть длины сторон прямоугольного
треугольника образуют геометрическую прогрессию. Если а и Ь —
катеты прямоугольного треугольника (Ь — меньший катет), с —
гипотенуза, то а2 = Ьс (каждый член геометрической прогрессии,
начиная со второго, является средним геометрическим между
предыдущим и последующим членами).
По теореме Пифагора имеем c2 = a2-\-b2 = bc + b2, или
-Ьс-Ь2 = 0. Так как с>0, то c=
с2 —
in-
.; А=90°-В.
Можно найти угол А другим способом, если предварительно
найти знаменатель прогрессии. Так как c = bq2, то Q=~y—=
213
. Тогда
D 104(1214). В арифметической прогрессии Sm = Sn, причем
тфп. Докажите, что Sm+n = 0.
Решение. Имеем:
Sm=
Так как по условию Sm = Sn, то
2ai+d(m-\) 2ax+d(n—\)
2 2
откуда
2a\m-\-dm2 — dm = 2a\n-\-dn2—dny
2a,(m-/z) + d(m2-n2)—rf(m— я)=0,
(m — Az)(2a,+d(m+Ai— l)) = 0.
Так как тфпу т. е. т — пфО, то 2a\-\-d (т + п — 1) = 0.
Поэтому Sm+n = 0 (см. формулу 1), что и требовалось
доказать.
105(1215). В треугольной таблице помещены
последовательные нечетные числа так, что в первой строке находится одно
число, во второй — два, в третьей — три и т. д.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
Докажите, что сумма чисел в я-й строке равна я3.
Решение. I способ. Найдем первый член заданной
арифметической прогрессии в я-й строке по формуле ak = a\-\-d(k—1),
где ai = l, d = 2, ft—1 — количество чисел в (я— 1) первых
строках.
Количество чисел в (я—1) первых строках равно
Тогда первый член в я-й строке
214
^) =n2-n+\.
Поэтому если Sn — сумма п чисел в я-й строке, то
II с п о с о б. Если имеется п строк, то в п строках согласно
условию содержится 1+2 + 3+ —+ я= '+" п= п ~}~п нечетных
чисел. Их сумма равна (" j~" ) • В первых (п— I) строках
находится
1+2 + 3+... + (л —1) = 1+(^~1? (л—1)= п^п- нечетных
чисел (количество чисел в первых (п— 1) строках можно подсчитать
как разность ?-^- —п= !^±\ Их сумма (iI-y^) • Тогда
искомая сумма
что и требовалось доказать.
Замечание. Предварительно нужно доказать, что сумма п
последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ..., (2п— I) равна п2.
Действительно, по формуле суммы п членов арифметической
прогрессии имеем:
106(1218). Дана последовательность (а„), в которой ап= — 4
при нечетном я и ап=7 при четном п. Напишите формулу дг-го
члена.
Решение. I способ. Покажем, что последовательность
(а„) можно задать формулой ап = Ь + (— 1)пс, где Ь и с —
некоторые числа. Тогда
откуда ft = 1,5, с = 5,5. Следовательно, ап = 1,5 + (— 1 )п • 5,5.
Замечание. Получив формулу ап= 1,5 + ( — 1)п-5,5,
целесообразно предложить учащимся записать ее другим способом,
используя сведения из тригонометрии:
а) an = 5,5-sin-2.(2/1 + 1)+1,5;
б) ап = 5,5 • cos пп + 1,5.
II способ. Если учащиеся знакомы с понятием дробной
части числа, то формулу дг-го члена заданной
последовательности они могут записать, например, так:
215
а„ = 7 —22-{-||, где |-|| — дробная часть числа -р
Действительно,
а2 = 7-22.{1}=7-22.0 = 7,
аз = 7-22.{|}=7-22-1>=-4,
а4 = 7-22.{2}=7-22.0 = 7,
К этой формуле учащиеся могут прийти самостоятельно, если
предварительно учитель обратит внимание учащихся на тот факт,
что
(дробная часть любого четного числа, разделенного на 2, равна
нулю; дробная часть всякого нечетного числа, разделенного на 2,
равна -I-).
□ 107(1224). Докажите, что из всех прямоугольников с
данной диагональю наибольшую площадь имеет квадрат.
Решение. I способ. Пусть диагональ АС
прямоугольника ABCD (рис. 47) образует с большей стороной
прямоугольника угол а. Если AC = dy S — площадь прямоугольника, то
S = d sin a-d cos a= d* ™2a ,
где 0°<a<90°, 0°<2a<180°.
Так как sin 2a принимает максимальное значение при 2a = 90°,
т. е. при a = 45°, то прямоугольник будет иметь наибольшую
площадь при а = 45°. Если Z.Ci4D = 45°, то Z.ACD = 45°y
следовательно, AACD равнобедренный: AD — CD, т. е. ABCD — квадрат.
Утверждение доказано.
II способ. Обозначим одну из сторон прямоугольника с
заданной диагональю d через х. Пусть CD = x (рис. 47). Тогда
Чтобы найти максимальное значение S, найдем (для удобства
вычислений) максимальное значение S2.
Рассмотрим S2 как квадратный трехчлен относительно х2. Так
как квадратный трехчлен у = ах2 + Ьх + с при а<0 принимает
максимальное значение в точке дсо= — ^-, то S2 принимает
максимальное значение при хо = —. Следовательно, S принимает макси-
216
Рис 47
Рис. 48
мальное значение при х=—. Если CD = xy то
V2
Таким образом, CD=AD, т. е. прямоугольник ABCD с данной
диагональю d будет иметь наибольшую площадь в том случае,
когда ABCD — квадрат.
III способ. Так как всякий прямоугольник диагональю
разбивается на два равных прямоугольных треугольника, то
задачу можно свести к следующей: доказать, что из всех
прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую
площадь имеет равнобедренный треугольник. Докажем это.
Заметим, что если около прямоугольного треугольника
описать окружность, то заданной гипотенузой этого треугольника
будет диаметр окружности (рис. 48). Если гипотенуза АС —
основание треугольника ABC, BD — его высота, S — площадь, то
y
Очевидно, что площадь S вписанных в окружность
треугольников с заданной гипотенузой будет наибольшей при
максимальном значении высоты Л, опущенной на гипотенузу. Если точка D
не совпадает с точкой О, то из AOBD найдем:
h = BD = R sin Z.BOD<R
(R — радиус описанной окружности, ЛBOD<90°).
В противном случае h = BD = BO = R. Следовательно,
значение h максимально, когда высота треугольника проходит через
середину гипотенузы (центр окружности). В этом случае АВ = ВС,
т. е. ААВС равнобедренный.
□ 108. Разложите на множители:
a) (x2 + j02 + 4(x2 + j0-12; б) (х2 + х+ 1) (х2 + х+2)- 12.
Решение.а) Найдем корни квадратного трехчлена у2 + 4у —
— 12, где у=х2 + х:
217
/-12 = 0, yi = 2, у2 = -6;
у* +
Тогда
Замечание. Можно разложить данный квадратный
(относительно х2-\-х) трехчлен на множители, не находя его корней:
б)
Найдем корни квадратного трехчлена у2-\-Зу—10, где у
2 + х: ^ + 3(7-10 = 0, у, =2, у2=-Ь\ у2
. Тогда
П 109. В уравнении х2 — 2х-\-а = 0 квадрат разности корней
равен 20. Найдите а.
Решение. Если х\ и х2 — корни данного квадратного
уравнения, то имеем систему уравнений:
Возведя второе уравнение в квадрат, получим:
\ х2-
откуда \х\Хъ= — 16; а = х\Х2=—4.
Ответ: а= —4.
110. Пусть di, d2, ^з, .., dN—все делители числа п. Дока-
N
жите, что di-d2-d3-...-dN=n2.
Решение. По условию известно, что d,- (где /= 1, 2, ..., N)
является делителем числа я, отсюда —тоже делитель числа п.
а,
Таким образом, произведение всех делителей равно
—.—..... — , т. е.
d\ d2 dN '
218
d\d2-...dN=
ИЛИ
{di.d2-...-dN)2
откуда
111. Даны два последовательных натуральных числа а и ft,
а также их произведение с. Докажите, что число х = а2-\-Ь2-\-с2
всегда является квадратом некоторого нечетного числа.
Решение. Пусть а = п, Ь = п-\- 1, с = п (п-\- 1). Тогда
Так как из двух последовательных натуральных чисел п и
п-\-1 одно число четное, то произведение п (п+ 1) — число четное.
Следовательно, п (п-\-1)+ 1 — число нечетное. Утверждение
доказано.
112. Проверьте, что (32 + 52)2= 162 + 302.
Докажите, что квадрат суммы двух квадратов различных
чисел является суммой двух квадратов.
Решение.
= 342=1156,
= 1156.
Докажем, что (a2 + b2f = c2 + d2. Действительно,
следовательно, с = а2 — b2y d = 2ab. Так, если a = 2, ft = 6, то
) + (-6)2, т. е. (
402= 1024 + 576, т. е. 1600=1600.
Замечание. Эту задачу целесообразно решить
одновременно с задачей 1185 из [3].
113. При каких значениях х и у выражение z = х2-\-2xy + 2у2 +
+ 2х-\-4у-\-3 имеет наименьшее значение? Найдите это
наименьшее значение.
Решение. Преобразуем данный многочлен:
219
Отсюда следует, что z принимает наименьшее значение,
равное 1, при х-\-у-\-1 =у+ 1 =0, т. е. при лг = О, у= — 1.
Ответ: наименьшее значение z принимает при лг = О, у= — 1.
Другой способ решения этой задачи приведен в § 4, с. 27.
114. Докажите, что число 3 не является дискриминантом
квадратного уравнения ax2-\-bx + c = 0 ни при каких целых a, ft, с.
Решение. Пусть для некоторых целых а, ft, с справедливо
равенство ft2 — 4ас = 3. Имеем ft2—1=4ас + 2, откуда
= 2(2ac+l). (1)
Если ft четно (ft = 2fe), то в левой части равенства (1) нечетное
число (4ft2—1), а в правой — четное.
Если ft нечетно (ft = 2fe+l), то в левой части равенства (1)
число, делящееся на 4 (4ft2+ 4), а в правой — число, не делящееся
на 4.
В обоих случаях получили противоречие. Следовательно, число
3 ни при каких целых a, ft, с не является дискриминантом
данного квадратного уравнения.
□ 115. Решите уравнение:
а) г3 — Зх — 2 = 0;
б) х3— \9х — 30 = 0;
в) 3 2
Решение, а) Разложим левую часть уравнения на
множители:
Имеем (х-2)(х2 + 2х+ 1) = 0, откуда Х|=2, х2 = хз= — 1.
б) л:3—19а: — 30 = х3-25л: + 6х-30=х (х2-25) + 6 (х-5) =
2
()( )
Имеем (х-5)(дс2 + 5л: + 6) = 0, откуда jci=5, *2 = 2, лг3 = 3.
в)
( ) ( ) ( + ) ( + )( +
Имеем (х+2)(л:2 + 2л: + 2) = 0, откуда х=— 2.
Ответ: а) 2, —1; б) 5, 2, 3; в) —2.
□ 116. Решите уравнение:
а) (х-
б) 3 (
в) (a-
220
Решение, а) Разложив левую и правую части уравнения
как сумму кубов, будем иметь:
(За:+2) (Зл;2+9* +13)=(Зл;+2) (9л;2—6х+4),
откуда
(3jc+2)(—6jc2+15jc+9)=0, -3(3jc+2)(2jc2—5*—3)=0,
3*+2=0, jc. = -4v
2х2-5х-3 = 0, *2=—^ *3=3'
б) Преобразуем левую часть уравнения:
= (х + а)(х2-ах+1).
Имеем (х + а)(х2 — ах-{-1) = 0. Решая уравнением2 — ах + 1 =0,
находим D=a2 — 4. Если D<0 (т. е. — 2<а<2), то это
уравнение корней не имеет.
Если D=0 (т. е. а= ±2), то уравнение имеет один корень -|-.
Если D>0 (т. е. а<—2 или а>2), то уравнение имеет два
корня:
„ Х2=
Таким образом, данное уравнение имеет один, два или три
корня в зависимости от а.
в) Так как а + Ь — 2лг=(а — х) + (Ь — х), то имеем уравнение
откуда
(a-xf+(b-xf-(a-xf-3(a-x)2(b-x)-3(a-x)(b-x)2-
т. е.
3(a-x)(b-x)(a-x + b — x) = 0, 3(a-x)(b—x)(a + b — 2x) = 0.
Приравняв каждый из трех множителей, содержащих дс, к
нулю, найдем решения данного уравнения.
Ответ: а) —~, —^-, 3; б) уравнение имеет три корня
о 2
' ~а' если а<~2 или
-|-и —а, если а= —2 или а=2; один корень, равный —а, если
-2<а<2; в) хх=а, х2 = Ь, х3=2±±.
221
117. Решите уравнение:
а)
б)
Решение, а) Сгруппируем первый и четвертый, второй и
третий множители левой части уравнения. Будем иметь:
Если х2 + 5ах = у, то имеем (у + 4а2)(у + 6а2) = За\ откуда у2 +
+ 10а2</ + 21а4 = 0, (/, = -За2, у2=-7а2.
Для определения х имеем два квадратных уравнения х2-\-Ьах-\-
-|-За2 = 0 и х2 + 5ах + 7а2=0у второе из которых не имеет
действительных корней.
б) Если х-\ =у, то х2-\——=у2 — 4. Имеем уравнение у2-\-
— 27=0, откуда t/i=3, t/2=—9. Поэтому х+-^-=3,
Решив квадратные уравнения х2 — Зх+2=0 и x2-f9jc+2 = 0,
найдем значения х.
в) Пусть у=гл1——-. Тогда имеем уравнение у-\ =-9"»
или 2у2 —5у + 2=0, откуда у,=~-, |/2 = 2. Следовательно,
Ответ: а)
-9-V73 . _ч
а)
б)
2 ' "'
118. Решите
ху + Зх — Ьу--
у'
16л: 1 1 .
х-\ 32' * 511 '
16ДС of) .. г)
X— 1
— 5a + aVl3 —5а —ал/13 <\
2 э 2 ' '
511 '
в целых числах уравнение:
= -3;
1;2; -
-9+л/73 .
2
Решение, а) Чтобы разложить левую часть уравнения на
множители, вычтем из обеих частей уравнения по 15. Будем иметь:
ху+Зх — Ьу— 15= —3—15,
(х —5)(£/ + 3)= —18.
222
Теперь получим следующие 12 систем уравнений:
f а: — 5= — 1, (х — 5= — 2, (х — 5= — 3,
( + 3=18; (# + 3 = 9; ( + 3 6
гл: —5=1, гл: —5 = 2, гл: — 5 = 3,
(# + 3=-18; (# + 3=-9; ( + 3
г л: —5= — 18, (х — 5=— 9, гл: — 5=— 6,
( =1; (# + 3 = 2; (# + 3 = 3;
г л: — 5= 18, (х — 5 = 9, гл: —5 = 6,
( + 31 ( + 3=-2; (</ + 3=-3.
Решив каждую из этих систем уравнений, получим 12 решений.
Ответ: (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12),
(-4; -1), (3;6), (14; -5), (8; -9), (-1;0), (2; 3), (11; -б).
б) Имеем у(х — у) = х, или ху—у2 = х, т. е. х(у— 1) = # , отку-
2
да х = -£— .
2
По условию —* целое число, следовательно #— 1 = ± 1.
(Числа # и #—1 взаимно простые, что легко доказывается
методом от противного: если бы числа # и #— 1 имели общий делитель
dy отличный от 1, то на d делилась бы их разность, равная едини-
це, что невозможно, так как йф\. Поэтому дробь —■*—
несократима.)
Таким образом, у = 2 (уфО по условию), х = 4.
Ответ: (4; 2).
119. Решите систему уравнений:
D а) (у* + ху2-2х2 = 0, А б)
\ 6
(JT + УЧ
[ху=1Ь;
в) (yz =
{yz = ах,
zx = by,
xy = cz\
Решение, а) Имеем:
у<+ху2-2х2=у<+ху2-х2-х2 =
=(у2-х)(у2+х)+х(у2-х)=
= (у2-х)(у2
Таким образом, первое из уравнений системы распадается на два
уравнения: #2 — л: = 0 и #2 + 2л: = 0.
223
Решение данной системы уравнений найдем, решая следующие
две системы:
Ответ: (4; 2), (9; -3).
б) Умножив обе части второго уравнения на 2 и сложив его
с первым, получим систему уравнений:
((х + у)2+(х+у)=72,
\ху=\5.
Если x+y = t, то t2 + t — 72 = 0, откуда /, = —9, /2 = 8.
Для нахождения х и у имеем две системы уравнений:
<х + у=— 9, (Х+у=8,
\ху=15; \ху = 15.
-9-У2Г . -
■)•
2 ' 2
в) Очевидно, что x = y = z = 0 является решением данной
системы уравнений.
Если хФО, уф0, 2=5^0, то, перемножив все три уравнения,
получим x2y2z2 = abcxyzy т. е. xyz = abc. Подставив в левую часть
этого уравнения значения yz, zx и ху из данных уравнений
системы, будем иметь:
' = abcy
т. е. х —Ьс> у ==асу z ==ab.
Поскольку из данных уравнений следует, что а, Ь, с — числа
одного знака, то be, ас, ab — положительные числа и х =
у= ±л[ас, 2=
Ответ: (0; 0; 0), (У^с; ±л[ас\ ±л[аЬ\ {—yfbc; ±л/ас\
если а>0, 6>0, с>0, или (0; 0; 0), (-yfbc;
( — л/Ьс\ ±л[ас\ ±л[аЬ\ если а<0, 6<0, с<0.
120. Выясните, имеет ли уравнение
корни, удовлетворяющие неравенству ^
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
224
Очевидно, что при лг>2 выражение, стоящее в левой части
уравнения, положительно, поэтому данное уравнение не имеет
корней jc>2.
D 121. Найдите все целочисленные решения уравнения
р (х-\-у) = хуу где р — данное простое число.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
т. е. уравнению у (х — р) — р (х — р) = р2у или (х — р)(у — р) = р2.
Произведение двух целых чисел х — р и у — р равно квадрату
простого числа р лишь в том случае, когда:
1) х — р = ру у — р = ру
2) х-р=-р у-р=-р-
3) х —р=1, у-р = р2-
4) х-р=-1, у-р=-р2у
5) х — р = р2у у — р=1у
6) х-р=-р2 у-р=-\.
Соответственно этим случаям получаем шесть решений
данного уравнения.
Ответ: *i = 2p, у\=2р\ х2 = 0, */2 = 0; *3=Р+1. Уг = Р + р2\
хА=р—1, у4=р — р2\ х5 = р + р2, уь = р+\\ хе=р—р2, уь = р—\.
122. Решите уравнение
4х4+ 12х3 + 5х2—6х— 15 = 0.
Решение. Имеем:
= (4х4 + 1 2jc3 + 9jc2) - (4 jt2 + 6* + 15) =
2 2 2 )- 15 =
Поскольку дискриминант трехчлена 2jc2 + 3jc + 3 отрицателен,
то множество решений данного уравнения совпадает с множеством
решений уравнения 2лг2-|-Зл: — 5 = 0.
Ответ: *i = l, x2= — 2,5.
123. Решите уравнение
Решение. Так как дискриминант квадратного трехчлена
jt2 + д/2лс-f 2 отрицателен, то трехчлен положителен при любом х.
Следовательно, х* + х2 + ^/2х + 2>0, откуда ясно, что данное
уравнение не имеет решений.
124. Докажите, что если a2 + ab+ac<0y то Ь2>4ас.
Решение. Положив/ (х) = х2-\-Ьх-\-асу получим, что/ (а)<сО,
и поскольку старший коэффициент квадратного трехчлена f (х)
положителен, то трехчлен имеет различные корни, так что его
15 Заказ 942 225
дискриминант положителен (b2 — 4ac>0), т. е. Ь2>4ас, что и
требовалось доказать.
125. При каких целых х выражение д/х2 — х+ 1 представляет
собой целое число?
Решение. Данное выражение является целым числом, если
х2 — х+ 1 = п2 (1), где п — натуральное число. Умножив
равенство (1) на 4, будем иметь:
= 4дг2, т. е. {2х- 1 )2 = (2дг)2 — 3.
Получили, что квадраты натуральных чисел
4л:2 — 4х+1=(2х— I)2 и 4л:2 — 4л: + 4 = (2я)2
отличаются на 3. Следовательно, первый из них равен 1. Отсюда
АГ = О ИЛИ Х= 1.
Ответ: х = 0у х= 1.
126. Докажите, что из неравенства (l-\-qf<:p2 вытекает, что
уравнение x2-\-px + q = 0 имеет на отрезке х£[— 1; 1] ровно
один корень.
Решение. Пусть f (x) = x'2 + px + q. Тогда
Значит значения /(—1) и /(1) разных знаков: одно
положительно, а другое отрицательно. Следовательно, существует
единственное значение л:0, при котором /(л:0) = 0. Утверждение доказано.
127. Постройте график уравнения
Решение. Перенеся все члены уравнения в одну часть и
сделав приведение подобных членов, получим уравнение
х2 + у2 — 2ху + 2х2у2 — х3у — ху* = О,
или
(х — у)2 — ху(х2 — 2ху + у2) = 0, (x — yf(l—xy) = 0.
Отсюда х = у или ху=\.
Следовательно, график данного уравнения является
объединением прямой у — х и гиперболы у = —.
128. Сколько решений в целых числах имеет уравнение
Решение. Перенеся V* в правую часть и возведя обе части
уравнения в квадрат, получим равенство (/ = 90002— 18 000 -\[х-\-х,
откуда следует, что л[х — рациональное число. Однако если корень
квадратный из целого числа рационален, то само число является
точным квадратом. Следовательно, х — точный квадрат. Ана-
226
логично можно показать, что точным квадратом является и
число у.
Значит, данное уравнение имеет столько решений в целых
числах, сколькими способами может быть представлено число 9000
в виде суммы двух слагаемых (с учетом порядка). Поскольку
таких способов 9001, то данное уравнение имеет 9001 решение.
Ответ: 9001.
129. Докажите, что система
не имеет целочисленных решений.
Решение. Допустим, что данная система имеет
целочисленные решения. Тогда из второго уравнения следует, что z нечетно.
Пусть z = 2k+l. Тогда z2-2y2 = 4k2 + 4k + I -2y2 = 4k (k+ 1) +
+1 — 2у2. Поэтому из второго уравнения следует, что 2k (k+ 1) —
—у2 = 0. Следовательно, у четное. Пусть у = 2т. Тогда из первого
уравнения системы следует, что х— нечетное число. Если х =
2 + 1, то имеем:
2 +(2т)5= 11,
325= 10.
Так как значение выражения, стоящего в левой части, делится
на 4, а 10 на 4 не делится, то целочисленных решений данная
система не имеет.
130. Докажите, что если
Решение. Так как 2(Ь2 + с2)^(Ь + с)2, то имеем:
2
откуда 4 + 2(х + у)^4 + 4ау т. е. х + у^2а, что и требовалось
доказать.
Замечание. Неравенство 2(Ь2 + с2)^(Ь + с)2 следует из
следующих очевидных преобразований:
2 (Ь2 + с2
131. Докажите неравенство
( + +
F + Г +•••+ Г=)> 1989-
15* 227
Решение. Поскольку 4=" ^ 1 при k= 1, 2, ..., 1989, то
имеем:
L + -L + -L +...+
l л/2 л/3
Утверждение доказано.
132. Докажите неравенство (^/a + ^fbf^64ab (a + bf, если
Решение. Если данное неравенство справедливо, то,
извлекая дважды квадратные корни из обеих частей неравенства, будем
иметь:
т. е.
2
Последнее неравенство справедливо (неравенство Коши для чисел
(а + б) и 2^[ab)y поэтому справедливо и данное неравенство.
Решение этой задачи можно записать по-другому, используя
синтетический метод (см. § 4, с. 30).
133. Найдите все арифметические прогрессии, у которых суммы
п\ и «2 {п\Фп2) первых членов равны п\ и п\ соответственно.
Р е ш е н и е. По формуле суммы п первых членов
арифметической прогрессии Sn =(ai + -~-(дг — 1))п имеем:
откуда a.—-f—ni(l—|). a.--f=n2( 1 —5). т. е.
-(■-■e—о-а-
следовательно, (лг2 — «1)Г 1 —^ =0. Поскольку п\Фп2, то
1—^-=0, d = 2. Из равенства а\—9"=0 найдем а\ = \.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, ... .
228
134. Три числа являются последовательными членами
некоторой геометрической прогрессии. Если ко второму числу
прибавить 2, то они будут образовывать арифметическую прогрессию.
Если после этого к третьему числу прибавить 16, то они снова
будут образовывать геометрическую прогрессию. Найдите эти
числа.
Решение. Пусть Ь\, Ьч, Ъъ — последовательные члены
геометрической прогрессии. Тогда по условию числа Ь\у ft2 + 2, ft3
образуют арифметическую прогрессию, а числа 6Ь Ь2 + 2У Ь3+ 16—
геометрическую. На основании свойств арифметической и
геометрической прогрессии составим систему уравнений:
Решив эту систему, найдем Ь\= 1 или Ь\=—, Ь2 = 3 или Ь2= ——,
йз = 9 или Ьз =—.
Ответ: 1; 3; 9 или -±-, — -|-, 21.
135. Найдите все прогрессии, являющиеся одновременно и
арифметическими и геометрическими.
Решение. Пусть аи а2, аз, ..., а„, ... — геометрическая
прогрессия, тогда an = a\qn~\ Поскольку последовательность аи а2,
аз, ..., аПу ... одновременно является и арифметической
прогрессией, то а„ + | + ая + з = 2ая + 2. Таким образом, a\qn-\-a\qn + 2 =
= 2a\qn + \ откуда 1 -\-q'2 = 2q, или (q— l)2 = 0, q=\.
Следовательно, данная прогрессия есть последовательность
равных чисел а\, аь а\, ..., аи ... , т. е. только последовательность
равных чисел является одновременно и геометрической (q=l) и
арифметической (d = 0) прогрессией.
136. Докажите, что в геометрической прогрессии отношение
разности суммы п ее первых членов и ее rz-ro члена к разности
той же суммы и ее первого члена равно числу, обратному
знаменателю этой прогрессии.
Решение. Имеем:
Sn — Ьп
Sn — b\
bnq — b\
q-\
bnq — ft.
и
ft.
q(bn—b\
если q¥=\ (иначе делить на q—1 нельзя).
Если q=l, то Sn = nb\, bn = b\y поэтому
229
□ 137. Зная, что cos6 x + sin6 x = а, найдите cos4 Jt-fsin4 x.
Решение. Преобразуем выражение cos4 jc + sin4 x:
cos4 лг-fsin4 x=(cos2 лг + sin2 xf — 2 cos2 x sin2 x= 1 — 2 cos2* sin2*.
Найдем значение произведения cos2 x sin2 x из заданного
уравнения, для чего преобразуем его левую часть:
cos6 х + sin6 x = (cos2 xf + (sin2 xf =
=(cos2 Jt + sin2 x) (cos4 x — cos2 x sin2 jt + sin4 x) =
= (cos2 x + sin2*)2 — 3 cos2 x sin2 x=l — 3 cos2 x sin2 x.
Имеем 1 — 3 cos2 x sin2 x = a, откуда cos2 x sin2 jt=-!-^-. Сле-
довательно,
cos4 x + sin4 x= 1 — 2 cos2 jc sin2 jc= 1 — 2- -Ц^- = Ц-^ .
Ответ: 1±2«.
Л 138. Вычислите при любом а сумму
Решение. Объединяя первое слагаемое с девяносто первым,
второе с девяносто вторым и т. д. и пользуясь формулой
приведения, получим:
+ (sin2 (a + 89°) + sin2 (a+ 179°)) = (sin2 a + cos2 a
+ (sin2 (a + 89°) + cos2 (a + 89°)) = 90.
Ответ: 90.
139. Докажите, что a cos A +b cos В <с, где a, b, с — стороны
треугольника, А и В — углы, противолежащие сторонам а и ft
соответственно.
Решение. Заметим, что с = а cos B + b cos А. Таким
образом,
a cos A + b cos В — с = a cos A + b cos В — a cos В — b cos A =
= cosA {a — b) — cos В (a — b)=(a — b){cosA— cos В).
Пусть а>6, тогда Л>В и cos Л<cos В, а значит,
a cos A + b cos B — c = (a — b) (cos Л — cos B) < 0,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается справедливость этого неравенства
при a<Cb.
230
□ 140. Найдите наибольшее значение функции
у (jc) = 3 sin jc-f-4 cos x.
Решение, у (jt) = 5(-|-sin x-f-^cos xj. Так как (—) +
-И—) = U то найдется такой угол х0, что —=cos хОу —=sin x0.
Тогда у(х) = 5 sin (x-\-x0). Очевидно, наибольшее значение у (х)
равно 5.
Ответ: 5.
□ 141. Докажите тождество
cos 25° + cos 47° = cos 1 Г + cos 61° + sin 7°.
Решение. I способ. Домножим обе части тождества
на 2 cos 18°. В левой части будем иметь:
2 cos 18° (cos 25° +cos 47°) = cos 43° + cos 7° + cos 65° + cos 29°.
В правой части получим:
2 cos 18° (cos llo + cos61° + sin7o) =
= cos29° + cos7° + cos 79° +cos 43° +sin 25° —sin 11°.
Так как cos 79° = sin 11°, a sin 25° = cos 65°, то тождество
доказано.
II способ. Применим формулу суммы косинусов двух углов
для левой части тождества и для суммы cos 61° +cos 83° (sin 7° =
= cos83°) правой части тождества. Будем иметь:
2 cos 36° cos ll° = cos llo + 2cos72°cos Ц°.
Перенесем произведение 2 cos 72° cos 11° в левую часть и
разделим левую и правую части полученного тождества на cos 11°^=0.
Получим тождество
2 cos 36° —2 cos 72° = 1,
2-2sin 54° sin 18°=1. (1)
Для доказательства полученного тождества (1) умножим и
разделим его левую часть на cos 18° (чтобы использовать
формулу синуса двойного аргумента). Будем иметь:
2-2 sin 54° sin 18°= 2'2 sin 54°sin 18° cos 18° =
cos 18°
= 2 sin 54° sin 36° = 2 cos 36° sin 36° __
cos 18° ~~
cos 18°
sin 72°
cos 18°
231
Тождество (1), а вместе с ним и данное тождество доказано.
Замечание. Эту задачу целесообразно решить
одновременно с задачами 1217 и 1223 из [3].
142. Вычислите, не прибегая к таблицам, следующие
произведения:
а) А = cos 4° cos 8°... cos 84° cos 88°;
б) B = cos 12° cos 24°... cos 72° cos 84°;
в) C = cos 1° cos 3°... cos 87° cos 89°;
r) D = cos 5° cos 15°... cos 87° cos 89°.
Решение, а) Умножим и разделим данное выражение на
2 sin 4°:
д__ 2 sin 4° cos 4° cos 8°...cos 84° cos 88°
~~ 2 sin 4° —
= 2 sin 8° cos 8° cos 16° ..cos 88° =
2-2 sin 4°
22
2 sin 16° cos 16°...cos 88° sin 176'
4° V 2/
2-2-2 sin 4° 222sin
б) Аналогично
в= 2 sin 12° cos 12° cos 24°...cos 84° = sin 168° = /_l\7
2 sin 12° 27sin 12° \ 2/ '
в) Перемножим почленно равенства:
cos 1° cos 89° =—cos 88°,
2
cos 3° cos 87° = ^-cos 84°,
cos 89° cos lo=-±-cos88°.
Получим:
C2 = (cos 1° cos 3° ... cos 89°)2 =
88ocos84°...cos4°)2=(-^
г) Имеем:
cos 5° cos 85° =y cos 80°,
cos 15ocos75o=ycos60°'
232
cos 85° cos 5°=-~cos 80°.
Отсюда
D2 = (cos 5° cos 15°...cos 85°)2= (-I-) .(cos80°cos60°cos40°cos20°f.
Так как cos 80° cos 60° cos 40° cos 20° = (^ , то
Ответ: a) (-1)"; 6) (-i-)'; в) (-f)"^; г) (-i-)'V2.
143. При каких n^N выполняется равенство
Vl7 л^+38 +Vl7 л/5-38=^0?
Решение. Обозначив первое слагаемое через а, будем иметь
а +—=л/20» откуда а = д/5 + 2. Поскольку (д/5 + 2)3= 17
a
(V + ), то лг = 3.
Ответ: я = 3.
144. Извлеките кубический корень '-yj
Решение. Будем искать рациональные числа а и Ь, такие,
что V V V
Возведя полученное равенство в куб и приравняв
коэффициенты при V& и рациональные слагаемые в обеих частях, получим
систему:
2 3
Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2,
получим, что a3 — 6a2b + \ЪаЬ2— 1063 = 0. Поскольку ЬФ0у то имеем:
(f)3-6(f)'+l5(f)-|0=0'
т. е. число -^- является корнем уравнения х3 — 6х2-|-15л:—10 = 0.
Легко установить, что одним из корней этого уравнения является
1, а других действительных корней оно не имеет, так как дс3 — 6х2-\-
-\-15х—10 = (дс—1)(*2 — 5дс+10) и дискриминант трехчлена х2 —
— 5jc+10 меньше нуля.
Таким образом, —= 1, т. е. а = Ьу и из написанной выше систе-
ь
мы получаем, что а = Ь = -^-.
Ответ: ^ + ^ ^
233
145. Докажите, что если числа а, Ь, с положительны, то хотя бы
одно из чисел (а + Ь + с)2- 8ас, (а + Ь + с)2-8Ьс, (а + Ь + с)2-8аЬ
положительно.
Решение. Сумма данных чисел равна
2 2 2 + 6ac-8ac-8ab-8bc =
2 2 2 2
Значение этого выражения положительно, так как по условию
а, Ьу с положительны. Поэтому хотя бы одно из слагаемых
положительно, что и требовалось доказать.
146. Докажите, что если x + y = z-\-t (x, у, z, t£Z\ то число
х1-\-у2-\-z2-\-t2 является суммой квадратов трех целых чисел.
Решение. Действительно,
147. Какие простые числа могут быть делителями чисел
вида 111...11?
Решение. Ясно, что числа рассматриваемого вида не
делятся на 2 и на 5. Пусть р — простое число, отличное от 2 и 5.
Рассмотрим р+1 число: 1, 11, 111, ..., 111...11.
По крайней мере два из них дают при делении на р одинаковые
остатки. Тогда их разность 11...1100...О делится на р. Но поскольку
р отлично от 2 и 5, то 11...11 делится на р. Таким образом,
делителями рассматриваемых чисел могут быть все простые числа,
кроме 2 и 5.
148. Может ли сумма цифр натурального числа, являющегося
точным квадратом, равняться 1991?
Решение. Если сумма цифр числа п2 (п£Ы) равна 1991, то
она не делится на 3, следовательно, и число п не делится на 3, т. е.
при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2. Но тогда п2 при делении
на 3 дает остаток 1. Однако остаток от деления на 3 числа 1991
равен 2. Следовательно, сумма цифр числа, являющегося точным
квадратом, не может равняться 1991.
149. Докажите, что сумма двух простых чисел делится на 12,
если их разность равна 2, а меньшее число больше 3.
Решение. Пусть р и q — данные простые числа, причем
p — q = 2. Тогда p + q = 2 (q-\-1). Отсюда следует, что р-\- q делится
на 4, так как q нечетно (<7+1 четно). При делении на 3 число q
может давать остатки 1 или 2, т. е. q = 3k-\-\ или q = 3k-\-2.
Первое невозможно, иначе p = q + 2 = 3k + 3y т. е. р не является
простым. Следовательно, q = 3k + 2> p-\-q = 2 (3fe-f 3) = 2-3 {k-\-1),
т. е. p-\-q делится на 3 и на 12 (так как p-\-q делится и на 4).
Д 150. Докажите, что при любом n£N число пъ — п делится
на 10.
Решение. пъ — п = п (п*—\) = п (п2+ 1) (п+ \)(п— 1) =
= AZ(2 + 54)(l)(l) 5(+l)(l) + (l)
234
Х(я + 1)(я — 2)(я-|-2). Второе слагаемое является произведением
пяти последовательных натуральных чисел, поэтому делится на 5.
Так как первое слагаемое, очевидно, делится на 5, то пъ — п
кратно 5.
Кроме того, пъ — п — четное число, поэтому оно делится на 10
(так как делится и на 2, и на 5).
□ 151. Может ли число 5я + 1 делиться на число 5*— 1 (я, k —
натуральные числа)?
Решение. При п>\ и k>\ число 5я+1 оканчивается
числом 26, т. е. не делится на 4, тогда как число 5*— 1
оканчивается числом 24 и поэтому делится на 4. Отсюда следует, что 5"+ 1
не делится на 5*— 1.
При п=\ и k= 1 получаем числа 6 и 4, причем 6 на 4 не
делится.
Таким образом, ни при каких п и k число 5я+• не делится на
число 5*— 1.
152. Может ли число вида 5п — 1 делиться на 4"—1?
Решение. Если п четное, то число 4" оканчивается цифрой 6,
поэтому число 4п—1 оканчивается цифрой 5, т. е. делится на 5.
Если п нечетное, то 4" — 1 делится на 3 (3 = 4! — 1).
Так как число 5" — 1 не делится ни на 5, ни на 3, то 5" — 1 не
делится на 4" — 1.
□ 153. Сколько всего пятизначных чисел, у которых все цифры
нечетные, если:
а) каждая цифра в записи числа используется только один раз;
б) цифры могут повторяться?
Ответ: а) 120; б) 3125.
□ 154. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если:
а) цифры не повторяются;
б) цифры могут повторяться;
в) числа должны делиться на 5 (все цифры различны);
г) числа должны быть четными (цифры могут повторяться)?
Ответ: а) 294; б) 448; в) 98; г) 224.
Л 155. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и
еще шести человек. Сколькими способами члены комиссии могут
распределить между собой обязанности?
Ответ: 56.
Л 156. На прямой отмечены 5 точек: Л, В, С, D, Е. Сколько
оказалось при этом отмеченных отрезков?
Ответ: 10.
Л 157. Из вершины прямого угла внутри его проведено 5
лучей. Сколько острых углов при этом образовалось?
Ответ: 20.
158. Ученик забыл номер квартирного телефона своего друга,
состоящий из шести различных цифр, но помнит первые четыре
цифры этого телефона (24—56). а) Какое наименьшее число проб
нужно ему сделать, чтобы дозвониться до друга? б) Сколько
235
проб пришлось бы ему сделать, если бы он забыл три последние
цифры (три первые цифры)?
Ответ: а) 30; б) 210.
159. В подразделении 30 солдат и 3 офицера, а) Сколькими
способами можно выделить караул, состоящий из двух солдат и
одного офицера? б) Сколько среди этих способов таких, при
которых в караул обязательно попадет рядовой Иванов?
Ответ: а) 1305; б) 87.
Л 160. На окружности отмечено 6 различных точек, а)
Сколько хорд можно провести, соединяя любые две из этих точек?
б) Сколько различных треугольников с вершинами в данных
точках можно построить? в) Сколько выпуклых
четырехугольников с вершинами в данных точках можно построить?
Ответ: а) 15; б) 20; в) 15.
161. Существует ли натуральное число, представляющее собой
полный квадрат и содержащее лишь шестерки и нули?
Решение. Если натуральное число представляет полный
квадрат, то оно оканчивается четным числом нулей. После их
отбрасывания останется полный квадрат, оканчивающийся на 06
или 66, который в обоих случаях делится на 2, но не делится на 4.
Следовательно, искомого натурального числа не существует.
Л 162. 1989 человек выстроены в шеренгу. Всегда ли можно
расставить их по росту, если разрешается переставлять любых
двух людей, стоящих только через одного?
Решение. Очевидно, если самый низкий и самый высокий
стоят на четных местах, то ни один из них не будет первым,
поскольку при указанных в условии перестановках четность
сохраняется.
Ответ: не всегда.
□ 163. Пройдя половину пути, теплоход увеличил скорость в 2
раза, благодаря чему прибыл в конечный пункт на час раньше
срока. Сколько времени плыл теплоход?
Ответ: 3 ч.
□ 164. Поверхность пруда постепенно зарастает ряской.
Площадь поверхности, занимаемой ряской, с каждым днем
увеличивается в 2 раза. Весь пруд зарастает ряской в течение 100 дней.
За сколько дней зарастает ряской половина пруда?
Ответ: за 99 дней.
Л 165. Известно, что каждая бактерия за 1 с производит себе
подобную. Если одну бактерию поместить в банку, то она
заполнится бактериями за 1 ч. За какое время заполнится такая же
банка, если в нее поместить 2 бактерии?
Решение. Если в банке 1 бактерия, то через 1 с их будет 2.
Следовательно, если в банку поместить 2 бактерии, то она
заполнится за 59 мин 59 с (1 ч — 1 с = 59 мин 59 с).
Ответ: за 59 мин 59 с.
166. Прямоугольная картина вставлена в прямоугольную
рамку из планок одинаковой ширины. Площадь картины равна пло-
236
щади рамки. Каково отношение длины к ширине у картины в
рамке, если без рамки отношение длины картины к ее ширине равно
2:3?
Решение. Пусть х — длина картины без рамки. Тогда
Ц- — ее ширина. Если / — ширина планок, из которых сделана
картина, то площадь картины в рамке {х-\-21)(Ц--\-21 j .
Приравняв эту площадь к удвоенной площади картины без рамки, т. е.
к Зх2(2-х~ = 3х2 V придем к уравнению Зх2— 10дс/ = 8/2, откуда
о
8 0
следует уравнение з(у-) —10-у—8 = 0, -р=4,
) =3:4.
(Утвет: 3:4.
167. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое
затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности
дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше,
чем предполагалось, поэтому было дополнительно затребовано
4 машины. Какое количество автомашин было затребовано
первоначально?
Решение. Пусть х — первоначальное количество машин.
Тогда на каждой из машин предполагалось перевезти — тонн
груза, а перевозили по ( 0,5] тонн. Так как с помощью
добавочных четырех машин были погружены все 60 т, то имеем
уравнение
) = 60, или jc2 — 4jc —480 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, найдем х\=— 24,
х2 = 20.
Так как условию задачи удовлетворяет лишь положительный
корень, то jc = 20.
Ответ: 20 машин.
168. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу:
первый из пункта Л, второй из пункта В. Первый пешеход до
встречи прошел на 1 км больше, чем второй. Через 45 мин после
встречи первый пешеход пришел в пункт В. Второй пешеход
прибыл в пункт А через 1 ч 20 мин после встречи. Найдите расстояние
от А до В.
Решение. Пусть скорость первого пешехода, вышедшего из
пункта Л, v\ километров в час, скорость второго пешехода v2
километров в час. Так как после встречи первый пешеход прошел
— v\ километров, а второй v2 километров и при этом первый
4 о
237
пешеход прошел на 1 км меньше, чем второй, то имеем
уравнение
Поскольку до встречи пешеходы затратили одинаковое
количество времени, то
4 3
Таким образом, имеем систему уравнений:
TVi TVl
ИЛИ
V'2
откуда 7v\ — 24^1 — 16 = 0, У|=4. Следовательно, расстояние от
Л до В равно 7 км (2-4~+1=
Ответ: 7 км.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
§ 1. Зачем решают задачи в школе (к вопросу о функциях задач в
обучении математике) 5
§ 2. О методике обучения учащихся решению нестандартных
алгебраических задач 11
§ 3. О роли наблюдений и индукции при нахождении способов решения
нестандартных алгебраических задач 19
§ 4. О нахождении различных способов решения задач 24
§ 5. О построении графиков функций и зависимостей, содержащих знак
модуля 30
§ 6. Методические рекомендации по использованию задач повышенной
трудности в процессе обучения алгебре 35
§ 7. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры VII класса ... 40
§ 8. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры VIII класса ... 99
§ 9. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры IX класса ... 157
Учебное издание
Кострикина Нина Петровна
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7—9 классов
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. М. Котова
Младший редактор Л. И. Заседателева
Художники Л. Б. Николаев, В. В. Костин
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор Н. Т. Рудникова
Корректор М. Ю. Сергеева
ИБ № 12 646
Сдано в набор 25.12. 90. Подписано к печати с диапозитивов 12. 08. 91. Формат 60x90V16. Бум. офсетная
Гарнит. литер. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15+0,25 ф. Усл. кр.-отт. 15,75. Уч.-изд. л. 13,34+0,34 ф
Цена 1 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и массовой ин
формации РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Диапозитивы изготовлены Саратовским ордена Трудового Красного Знамени полиграфическим комби
натом Министерства печати и массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Отпечатано при посредстве В/О «Внешторгиздат»
Отпечатано Графишер Гросбетриб Пёснек ГмбХ • Эйн Мондрук-Бетриб
Gedruckt bei Graphischer GroBbetrieb PoBneck GmbH • Ein Mohndruck-Betrieb
НЕКОТОРЫЕ "ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ" РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА
ПРИМЕРЫ ПРАВИЛ УСТНОГО СЧЕТА
1) ab . 11 = 100a+10(a+b)+b
36 • 11 = 100 • 3 + 10(3 + 6) + l
= 391
abc- 11 = 1000a+100(a+b) + 10(b + c) + c
243 • 11 = 1000 • 2 + 100(2 + 4) H
2)a52 = a(a+l) • 100 + 25
652 = 6 • 7 • 100 + 25 = 4225
3) Если b + с = 10 , то ab • ac
H0(4 + 3)+3 = 2673
= 100a(a+l)+bc
38 • 32 = 3 • 4 • 100 + 8 • 2 = 1216
4) (a+b)(a-b) = a2-b2
71 . 69 = (70 + 1) (70-1) =
= 4900-1 = 4899
111 • 89 = (100+ 11) (100-11) =
= 10000-121 = 9879
5) a2 = a2-b2+b2 = (a+b)(a-b)+b2
272 = (27 + 3)(27-3) + 32 = 729