М. к. ГАВУРИН, В. Н. МАЛОЗЕМОВ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ
С ЛИНЕЙНЫМИ
ОГРАНИЧЕНИЯМИ
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА
М. к. ГАВУРИН, В. Н. МАЛОЗЕМОВ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Учебное пособие
ШУ1 
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЛЕНИНГРАД
!984
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...	.	5
Основные обозначения .	7
Глава I. Линейное программирование. Основы теории .	8
§ 1.	Введение.................................................. —
§ 2.	Векторы и матрицы......................................... 9
§ 3.	Постановка задачи линейного программирования	.	10
§ 4.	Теорема существования решения ....	.13
§ 5.	Строгая отделимость выпуклых множеств .	.	.16
§ 6.	Линейные неравенства.................................... .22
§ 7.	Критерий оптимальности.................................. .26
§ 8.	Седловая точка функции Лагранжа ...	.28
§ 9.	Теоремы двойственности.................................. .30
§ 10.	Матричные игры......................................... .35
§ 11.	Линейные чебышевские приближения .	.38
Глава II. Линейное программирование.	Дальнейшие результаты «	43
§ 1.	Введение.................................................. —
§ 2.	Структура выпуклого многогранного множества .	.	45
§ 3.	Конус рецессивных направлений и опорный	конус	.	52
§ 4.	Геометрия линейного программирования	....	55
§ 5.	Метод последовательного улучшения плана.	Общая	схема	.	58
§ 6.	Симплекс-метод............................................67
§ 7.	Устойчивость в линейном программировании .	.	.	71
§ 8.	Задача линейного программирования с параметром в целе-
вой функции.................................................. .72
§ 9.	Задача линейного программирования с параметром в пра-
вой части ограничений..........................................77
§ 10.	Общая параметрическая задача линейного программирова-
ния ...........................................................82
Глава III. Выпуклые экстремальные задачи с линейными ограниче-
ниями ..........	85
§ 1.	Введение...................................................—
3
§ 2.	Необходимое условие минимума..........................
§ 3.	Критерий оптимальности для гладких выпуклых функций .
§ 4.	Общая теорема отделимости и выпуклые оболочки
§ 5.	Критерий оптимальности для произвольных выпуклых функ-
ций .......................................................
§ 6.	Критерий оптимальности для линейной задачи чебышевско-
го приближения.............................................
§ 7.	Оценка размерности множества решений линейной задачи
чебышевского приближения...................................
§ 8.	Квадратичная функция..................................
§ 9.	Квадратичное программирование.........................
§ 10.	Двойственность в квадратичном программировании
§ 11.	Приложения двойственности............................
§ 12.	Стационарные и ’нестационарные точки .	.	.	.
§ 13.	Билинейное программирование . •	/	.
Глава IV. Дробно-линейное программирование .
§ 1.	Введение..............................................
§ 2.	Постановка задачи. Критерий оптимальности
§ 3.	Теорема существования решения.........................
§ 4.	Случай наличия минимума...............................
t § 5. Сведение к задаче линейного программирования .
§ о.	Теорема двойственности................................
§ 7.	Реализация инфимума...................................
§ 8.	Дробно-рациональные чебышевские приближения
Добавление. Теорема существования решения для задачи кубиче-
ского программирования...........................................
Ответы к упражнениям.............................................
Комментарии......................................................
Указатель литературы.............................................
86
89
93
96
ЮГ
104
108
111
113
117
120
123
126
127
129
132
134
137
138
144
149
153
170
173
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эту книгу можно рассматривать как начальный математи-
ческий курс по теории конечномерной оптимизации. Основное
внимание уделяется в ней линейным экстремальным задачам,
или, как чаще говорят, линейному программированию. Из не-
линейных задач затрагиваются лишь те, которые тесно связаны
с линейными. Однако и их круг достаточно широк. В него вхо-
дят, например, задачи квадратичного, билинейного и дробно-
линейного программирования, линейных и дробно-рациональ-
ных чебышевских приближений.
Применительно к указанным задачам обсуждаются тради-
ционные математические вопросы: существование решения, при-
знаки оптимальности, теоремы двойственности, влияние пара-
метров и т. д. Исследование этих вопросов, важное само по
себе, играет существенную роль при обосновании свойств алго-
ритмов.
Значительную часть книги занимает изложение материала,
явно недостаточно представленного в учебной и даже моногра-
фической литературе. Это прежде всего теоремы существова-
ния решения в квадратичном, дробно-линейном и кубическом
программировании; теория линейных и дробно-рациональных
чебышевских приближений с точки зрения негладкой оптимиза-
ции; геометрический анализ вырожденных вершин выпуклого
многогранного множества; дробно-линейное программирование
па неограниченных множествах.
Алгоритмы решения задач линейного, параметрического и
дробно-линейного программирования описаны на содержатель-
ном уровне. Авторы стремились возможно более выпукло пока-
зать существо рассматриваемых методов, но не имели в виду
научить читателя их эффективному применению.
Для общей задачи выпуклой оптимизации и для задачи
квадратичного программирования алгоритмы не приводятся.
Причиной является то обстоятельство, что в этих областях си-
туация еще не определилась, и пока трудно выделить методы,
которым бы следовало отдать предпочтение.
5
В каждом параграфе авторы ставили четкую цель и стре-
мились достичь ее наиболее коротким путем. Некоторые допол-
нительные вопросы оформлены в виде упражнений, к которым,
как правило, даются сжатые ответы. Эти упражнения значи-
тельно расширяют содержание книги.
Для записи действий с матрицами и векторами широко ис-
пользуется система обозначений, заимствованная из языка
АЛГОЛ-60. Эта система, первоначально созданная для приме-
нения в программах для ЭВМ, оказалась чрезвычайно удобной
в тех случаях, когда приходится рассматривать части массивов.
В математической литературе ее впервые широко применил
И. В. Романовский [34].
Полная ссылка на теоремы и формулы состоит из трех чисел
Первое число указывает номер главы, второе и третье — но-
мер теоремы или формулы в параграфе. При ссылках внутри
главы номер главы опускается.
С известной степенью условности вклад каждого из авторов
можно определить следующим образом: М. К. Гавурину при-
надлежат вводные параграфы ко всем главам, § 11.10, III.13,
IV.4—IV.7 и Добавление; В. Н. Малозёмову — § 1.2—1.11,
Ш.2—III.12, IV.2, IV.3 и IV.8. Особое место занимает в книге
глава II. В ней рассматриваются наиболее тонкие вопросы:
структура выпуклых многогранных множеств, общая схема ме-
тода последовательного улучшения плана, параметрическое ли-
нейное программирование. Эта глава (за исключением § II.1 и
11.10) написана совместно обоими авторами и В. А. Даугавет.
Общее редактирование книги и окончательная подготовка ее
текста осуществлены В. Н. Малоземовым.
В заключение авторы приносят глубокую благодарность
В. А. Даугавет за сотрудничество и Т. В. Малоземовой за по-
мощь в работе над рукописью.
Июнь 1983 г.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
: =	— равно по определению;
1: п — множество целых чисел от 1 до п включительно;
М, N	— конечные индексные множества;
| М |	— количество элементов, содержащихся в Af;
0	— пустое множество;
—линейное пространство векторов x = x[/V] с компонентами
R^ — совокупность векторов из R^ с неотрицательными компонен-
тами;
[•*о» -^i]	— отрезок, соединяющий точки xQ и xt (множество векторов
вида х (/) = -Hl — t) х0, tе [0, 1]);
0 = 0 [N] —нулевой вектор пространства R^;
£ = 2[Af] —вектор, все компоненты которого равны единице;
eek [ЛГ], где k£Nt — Л-й орт (вектор, у которого ek [fc] = 1 и (/] =0
при остальных /(Af);
<х, У> = х^]Ху[Л^]=2уеЛ-л(Л X У [ j] — скалярное произведение век-
торов х и у;
А = А[М, AfJ —матрица с элементами А [/, /], ZfAf,
АТ ~ AT[N, Af] — транспонированная матрица;
А[Ми AfJ, где Mi С Af, С N, —подматрица матрицы А[М, АГ];
v = Ax = A[M, АГ] X х [Af] — вектор с компонентами v [/] = А [/, N] X
Хл^], zeAf;
У = иА = и (Al 1 X A [Mt Af] — вектор с компонентами y[/] = ^[Af] X
X А [М, у], /ем
Е = Е [Af, М] — единичная матрица.
ГЛАВА I
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В том круге вопросов, которому посвящена данная книга,
видное место занимает линейное программирование. Оно имеет
многочисленные практические приложения и играет важную
роль при исследовании нелинейных экстремальных задач.
В настоящей главе линейное программирование рассматри-
вается в основном с точки зрения теории линейных неравенств.
В § 2, 5 приведены вспомогательные понятия и факты алгеб-
раического и геометрического характера. Собственно теории
линейного программирования посвящены § 3, 4, 7—9. Ключе-
выми Являются § 4 и 7, где доказана теорема существования
решения и установлен критерий оптимальности.
Теорема существования нетривиальна лишь в случае, когда
минимум ищется на неограниченном множестве, т. е. когда не
применима теорема Вейерштрасса. В § 4 показано, что задача
линейного программирования разрешима тогда и только тогда,
когда множество ее планов Q непусто и целевая функция огра-
ничена снизу на Q. Более того, если ограничения имеют кано-
ническую форму, то существует оптимальный базисный план.
Этим открывается, по крайней мере, в принципе, путь к разы-
сканию минимума с помощью полного перебора базисных пла-
нов, число которых конечно.
В § 6 получен критерий разрешимости системы линейных
неравенств. Руководящей здесь является идея о связи между
свойствами линейных комбинаций Ах столбцов матрицы А и
линейных комбинаций иА ее строк. Классический результат та-
кого рода —теорема об условиях разрешимости системы линей-
ных уравнений. Она приведена в § 6 в качестве следствия из
теоремы 6.3. Читателю рекомендуется сравнить ее с леммой 6.3.
Критерий оптимальности для задачи линейного программи-
рования установлен в § 7. Он имеет следующую структуру: для
того чтобы минимум достигался в точке х*, необходимо и до-
статочно, чтобы существовал вектор и*, удовлетворяющий не-
которой системе линейных равенств и неравенств. Таким обра-
8
зом, в принципе решение задачи линейного программирования
сводится к решению системы линейных равенств и неравенств
относительно х* и и*. В § 8 критерий оптимальности перефор-
мулирован в терминах седловой точки функции Лагранжа.
Анализ критерия оптимальности приводит к понятию двой-
ственной задачи. В § 9 изучаются пары двойственных задач
линейного программирования. Показывается, что двойственные
задачи разрешимы лишь одновременно и минимум в прямой
задаче совпадает с максимумом в двойственной. Далее уста-
навливаются соотношения «дополняющей нежесткости», кото
рые позволяют по решению одной из двойственных задач вос-
становить решение другой. В частности, появляется возмож-
ность выбрать для решения более простую из них. Этим далеко
не исчерпываются многообразные применения теории двойст-
венности.
§ 10, 11 посвящены приложениям.
В § 10 рассматриваются простейшие игры — матричные.
С помощью теоремы двойственности в линейном программиро-
вании получен основной результант теории матричных игр — су-
ществование ситуации равновесия.
В § 11 изучается широко распространенная и важная экс-
тремальная задача наилучшего равномерного (чебышевского)
приближения непрерывной функции обобщенными полиномами
при наличии линейных ограничений на коэффициенты. Доказа-
на теорема существования полинома наилучшего приближения.
Вначале это сделано для случая приближения на конечном
множестве точек, когда исходная задача сводится к задаче ли-
нейного программирования. Введение понятия базисного поли-
нома и обычная техника математического анализа позволяют
получить теорему существования в общем случае, когда при-
ближение осуществляется на произвольном компактном множе-
стве евклидова пространства. Попутно установлена сходимость
сеточного метода.
§ 2.	ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Приведем некоторые свойства векторов и матриц, которые
в дальнейшем будут систематически использоваться.
1.	Пусть	и M2 = N\W1. Тогда
с [N] хх[ЛГ]=г [VJXxf.VJ +с [ЛГ2] Хх^2].
Это непосредственно следует из определения скалярного произ-
ведения.
2.	Если	и	то
А[М, 2V] xx[/V]=A[Af, М] Хл[М]4-А[Л1, М]Хх|У2].
Аналогично, если Af, с /И и =	то
9
и [Af] X A [Af, N] = и рих] X А [Мъ /V] + и [М2] X A [ AL, /V].
Доказательство основывается на определении векторов Ах и
и А и свойстве 1.
Как следствие получаем соотношения
Ах = 2 j £ дг I А/, j j X х [ jr], и A =	и [ i ] X A [ z, Al ].
(2.1)
3.	Справедливо равенство
zz[AI] x (A [M, 2V] X at [2V]) = (« [Al] x A [Af, /V]) X x [/V],
которое коротко можно записать так: <zz, Ах> — <иА, х>.
4.	Пусть Nic:N, MiCzM. Тогда
E[Nb ЛПХхИ]=хИ1],
zz[/Vf] ХЕ[М, М1]=и[Л11].
Неравенства между векторами понимаются как покомпо-
нентные отношения. Таким образом, запись x[W] ^y[N] озна-
чает, что х[/] ^y[j] при всех j^N.
§ 3.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Линейная экстремальная задача, или, как чаще говорят, об-
щая задача линейного программирования, ставится следую-
щим образом: минимизировать линейную форму f(x) =
= c|W]Xx[Af] на множестве Qc=RN, определяемом линейными
соотношениями
ДШЬ У] Хх[ЛГ]>&ГА11],
А[М2, ^]Xxp] = fe[Af2l,
где NiC^N и Afi, М2 — непересекающиеся индексные множества.
На матрицу А и векторы cf b не накладывается никаких огра-
ничений. В принятых обозначениях задачу можно записать так;
/(*)-> min.	(3.1)
Любой вектор х, принадлежащий Й, называется планом,
функция f — целевой функцией, а план, на котором достигается
минимум целевой функции, — оптимальным планом. Оптималь-
ный план не всегда существует. Это видно на примере функ-
ции одного аргумента f(x)=x, когда в качестве й берется вся
вещественная прямая. Если же оптимальный план существует,
то исходная задача называется разрешимой.
Среди линейных экстремальных задач выделяют задачу с
ограничениями в канонической форме записи:
10
c[Af] Xx|W]->min,
A[M, tf]Xx[An=ft[Af],
х[ЛГ]>О[ЛГ].
Нашей ближайшей целью является доказательство того, что
любую линейную экстремальную задачу можно свести к анало-
гичной задаче с ограничениями в канонической форме записи.
Предварительно введем общее понятие эквивалентных экс-
тремальных задач. Пусть F, G — произвольные функции, задан-
ные на произвольных множествах Р, Q соответственно. Экстре-
мальные задачи
F(u) -> min, G(v) -> min	(3.2)
иеР
называются эквивалентными, если существуют отображения
Ф : P-+Q и ф : Q-+P, такие, что
о (? («)) < F (и) при всех и £ Р,
F(<{> (v)) G (v) при всех vfzQ.
Другими словами, две задачи на минимум эквивалентны, если
любому плану одной из них можно сопоставить план другой
с равным или меньшим значением целевой функции.
Лемма 3.1. Экстремальные задачи (3.2) эквивалентны тогда
и только тогда, когда
inf F(u) = inf G (v)	(3.4)
и^Р	v£Q
и когда обе эти задачи одновременно либо разрешимы, либо
нет.
Доказательство. Введем обозначения
р,= inf F(tf)t х= inf G(v).
uf*P	vEQ
Допустим, что задачи (3.2) эквивалентны. Тогда
F(zz) О(® (я)) ^>х при всех и ЕР,
G(f)Iх при всех vEQ.
Отсюда следуют неравенства [i^x, x>ji, приводящие к (3.4).
Если и*£Р— точка минимума функции F, то -у*: = <р(а#) при-
надлежит Q и
х < G (г»*) < F(u*) — ft = х,
т. е. я* доставляет минимум функции О. Столь же очевидно,
что точке минимума v*EQ функции О соответствует точка
«# = ф(г>#) из Р, доставляющая минимум функции F. Тем самым
показано, что задачи 13.2) одновременно либо разрешимы, либо
нет.
Переходим к обратному утверждению. Если задачи (3.2)
разрешимы и и., v* — их оптимальные планы, то можно поло-
11
жить ф(и) = при всех и^Р, ty(y) = u* при всех v^Q. В силу
(3.4) задачи (3.2) будут эквивалентными. Допустим, что зада-
чи (3.2) не имеют решений. Зафиксируем и^Р. Поскольку
F(u)>tu=x, то найдется элемент ueQ, на котором F(u)^G(y).
Его и возьмем в качестве ф(и). Аналогичным образом опреде-
ляется отображение ф. В этом случае выполняются соотноше-
ния (3.3), гарантирующие эквивалентность задач (3.2). Лемма
доказана.
Замечание. Введенное определение эквивалентности не
следует абсолютизировать. С одной стороны, оно слишком ши-
рокое, так как формулируется в терминах произвольных ото-
бражений ф, ф. С другой — узкое, поскольку не включает, на-
пример, содержательно эквивалентные экстремальные задачй,
различающиеся лишь постоянным слагаемым или положитель-
ным постоянным множителем в целевой функции. Однако ука-
занного определения достаточно для наших целей.
Вернемся к линейной экстремальной задаче (3.1). Обозна-
чим A^2==-A^\Af=AfiUAf2 и возьмем произвольный план xQ.
Имеем. ХоИ2]=Уо[^2]-z0[AM,	где Vo[/]=max{xo[/T 0}>
Zc[/] = max{—x0[j], 0} при /еАМ Очевидно, что
^0[У2], Zo[AM0[УУ2]. Положим далее
w0[M1]=A[Afb У] Хх0[У]-
Тогда справедливы следующие соотношения:
А [Мъ NJ X х0 [М] + А [Al„ AM X Vo [AM ~
-А[МЬ ^]X^[^l-w0[A41] = 6[A41],
А[М2, ДМ X х0 [7VJ + А [А42. М] X Л[^2]-
-А[МЪ N2] X z0[AM = b [А42],
x0 [AM > 0 [AM, yQ [AM > 0 [AM, zQ [AM > 0 [AM,
w0[A4,] >0[MJ.
Введем матрицу
/А[А4Ь AM А[МЬ AM -A[Mu AM	AfJ \
Ло~\А[М2, AM A[M2, AM -A[M2, AM 0[A/2, A1J /
и вектор c0=(c[AM, CPM, — c[AM> °[Ali]). Матрицу Ao
можно представить в более компактном виде:
А0 = (А[А4, AM, А[А4, ДМ, -А[М, ДМ, -5[Af, A4J).
Теорема 3.1. Линейная экстремальная задача (3.1) эквива-
лентна следующей задаче линейного программирования с огра-
ничениями в канонической форме записи:
<г0, v> -> min,
AQv = b, г/>0.
(3.5)
Доказательство. Плану Xq задачи (3.1) сопоставим
]2
вектор Vo=(xo[WiL УорУгЬ Z0PV2]» ®>o[Afi]). По построению t’j
является планом задачи (3.5) и
<с0, v0> = с [2V,] X х0 pVJ + с [Л'2] X (Л, [М>] — z0 [TV,]) =
=с|У]Хх0^].
Обратно, возьмем план Vo=(fo[^i], yoPVzL Zol^], a»o[Afi])
задачи (3.5). Сопоставим ему вектор Xo=xo[/V] с компонентами
Хо[/] = М/] ПРИ i^Nb хо[/]=Уар]— Zop] при jf=N2. Нетрудно
понять, что х0 является планом задачи (3.1) и c[2V] Xx0[7V] =
= <Cq, v0>. Теорема доказана.
Из леммы 3.1 следует, в частности, что задачи (3.1) и (3.5)
одновременно либо разрешимы, либо нет.
Упражнения
3.1.	Доказать, что минимаксная задача
Ф (х): = щах /\(х) min
i 6 /	х G Р
эквивалентна задаче
и -> min,
F((x)<e, х£Р.
3.2.	Доказать, что экстремальная задача
I/Л*) Hmin
С	XQP
эквивалентна задаче
+ -* min-
/Дх) = «, — •»/, «,>0, ^>0, IQ1- х£Р.
3.3.	Проверить, что у экстремальных задач
F (х) -> max, — F (х) -* min
ХЕР	ХЕР
множества оптимальных планов совпадают, а экстремальные
значения целевых функций различаются лишь знаком.
§ 4. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
Вначале рассмотрим задачу линейного программирования
с ограничениями в канонической форме записи:
/(х) : = c[2V]	min,
А[М, /V] XxpV] = 6 [Af],
13
Множество ее планов Q может быть неограниченным. Выделив
в Q наиболее существенные планы.
Определение. План х с носителем
N+M = {]^N\x[i]>0}
называется базисным, если столбцы А/=А[М, /] при j^N+(x)
линейно независимы.
При 6 = 0 вектор х=0 является планом. Нулевой план пс
определений считается базисным.
Ненулевой базисный план х с носителем ЛГ+=ЛГ+(х) соглас-
но (2.1) удовлетворяет соотношениям
-*[71 > о, /€^+; л[/] = о, /6ЛГ\у+,
и линейная однородная система
2да/1Л4=О.
которую можно переписать в виде
А[М, Л<+] Xz[ V+]=0[M],	(4.2)
имеет только нулевое решение.
Тедрема 4.1. Если множество планов Q задачи (4.1) непусто
и целевая функция ограничена снизу на Q, то существует опти-
мальный базисный план.
Доказательство опирается на следующую лемму.
Лемма 4.1. Пусть выполнены условия теоремы, 6=#0
и х0 — некоторый план. Тогда существует базисный план у0,
такой, что <с, xQ> > <с, _у0>.
Доказательство. Поскольку 6=/=0, то хо=/=О. Поло-
жим N+=N+(xq) и рассмотрим систему (4.2). Если она имеет
только нулевое решение, то лемма тривиальна — достаточно
положить yQ=Xo. Поэтому предположим, что система (4.2)
имеет ненулевое решение га[У+]. Доопределив z0[W\Af+] =
=O[AT\Af+], получим ненулевой вектор z0=z0[JV], удовлетво-
ряющий условию, Лго=О.	х
Возможны два случая.
I. cpV] XZo[Af] =0. В силу однородности условий МОЖНО!
считать, что хотя бы одна компонента вектора z0 положитель-;
на (иначе Z6 следует заменить на —z0). Введем новый вектор’
Х1=Хо—to, где
£0: = min (х0 [j]/z0 [у] |/£7V+, г0[/1 >0} > 0.	(4.3)
Нетрудно проверить, что хА — план задачи (4.1), <с, х,> = <с, х0>
и количество ненулевых компонент у меньше, чем у х0.
II. с [/V] X z0 [/V] у= 0. Можно считать, что <с, z0> > 0. Тогда
у z0 хотя бы одна компонента необходимо положительна. Дейст-
14
вительно, в противном случае вектор x(t) — xQ — tzQ при любом
/ > О будет планом, а поскольку
<с, х (t)> = <с, х0> - / <с, zQ>,
то целевая функция окажется неограниченной снизу на Q.
Положив х!=х(/0), где tQ определяется формулой (4.3),
получим, что Х\ — план задачи (4.1), у которого количество
положительных компонент меньше, чем у х0, и <r, хх> < <с, х0>.
Таким образом, наличие ненулевого решения у системы
(4.2) дает возможность построить новый план хь такой, что
<с,	х0> и носитель W+(,Vi) строго содержится в
iV+(x0).
К Xi можно применить те же рассуждения, что и к х0. По-
вторив эту процедуру конечное число раз, придем к требуемому
базисному плану уо. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Если Ь = 0, то <с, х>>0
при всех в силу ограниченности снизу целевой функции.
В этом случае оптимальным базисным планом является х* = 0.
Пусть &У=0. По лемме 4.1 хотя бы один базисный план
существует. Покажем, что их может быть лишь конечное число.
Для этого достаточно проверить, что различным базисным пла-
нам соответствуют различные носители. Допустим, вопреки
утверждению, что найдутся два базисных плана с оди;
паковыми носителями W+(t/o) ==AM#i) =^+. Тогда
Syeiv+J'o [/] Л у = b)	У1 [У] ^4/
откуда следует, что
2/ел,+ (у017] — л [/]Му=0-
Но это противоречит определению базисного плана, поскольку
не все коэффициенты z[/] =у0[/]—*л[/], /еЛГ+, равны нулю.
Показано, что множество Q содержит лишь конечное число
базисных планов у^, у\, ур. Обозначим х* тот из них, на
котором
<с, хЛ> = min <cf уЛ>.
лео:р
Согласно лемме 4.1 <с, х> > <с, хф> при всех х£2, так что
х*—оптимальный базисный план. Теорема доказана.
Более того, установлено, что решение задачи (4.1) можно
искать только среди базисных планов; базисный план с наи-
меньшим значением целевой функции является оптимальным.
Дальнейшему развитию этой идеи посвящен § II.6.
Обратимся к общей задаче линейного программирования
15
с [/V] х х [TV] -> mu!,
Л[Л/Ъ TV]XX[7V]>MM11.	z44x
A [M2, V] X x [TV] = b [7И,],	1 ’
x[M] >0[tv,].
Теорема 4.2. Задача (4.4) разрешима тогда и только тогда,
когда множество ее планов Q непусто и целевая функция огра-
ничена снизу на Q.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Доста-
точность следует из теорем 3.1 и 4.1.
Упражнения
4.1. Пусть х — базисный план задачи (4.1) и М+(х)—его
носитель. Показать, что |TV+(x) | ^ |ТИ|.
4.2. Решить линейную экстремальную задачу
— х [1] + х [2] — х [3] -> min ,
х [1] + х [2] + 2х[3] = 2,
2х [1 j — х [2] + х [3] = 1,
х[1]>0, х[2] >0, х[3]>0.
§ 5.	СТРОГАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
Наша очередная цель — получить критерий непустоты мно-
жества планов общей задачи линейного программирования.
Для этого потребуются некоторые вспомогательные сведения.
Обозначим ||х|| евклидову норму вектора х=х[АТ]. Таким
образом,
|| х || = <х, х>* = (2уе„ х [/] х х [/])*
Напомним основные свойства евклидовой нормы:
I.	Ц х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
II.	Д£х|| = |£|-||х|| при любом вещественном t;
III.	<х, у> <||х|| -llj/J;
IV.	||x+j||<||x«4-h«.
Неравенства III, IV называются соответственно неравенст-
вом Коши и неравенством треугольника. Полезно отметить, что
при ненулевых х, у они обращаются в равенства лишь тогда,
когда x/|lx|j = r//||r/||, т. е. когда х и у лежат на одном луче,
выходящем из начала координат. Проверим это.
В случае ||х|1 = ||#|| — 1 имеем
fix — y|j2 = <x — у, х— j/> = 2—2<х, у>,
откуда
<x, j> = 1 —|х —у|,3/2.	(5.1)
Пусть х, у — произвольные ненулевые векторы. Тогда, заменив
в (5.1) х на х/||х|| и у на у/||у||, получим
<х, у> = (1 —||x/||xj—_y/||y||82/2)kH,IIJ'll«	(5.2)
Из (5.2) следует как неравенство Коши, так и условие обра-
щения его в равенство.
Что касается неравенства треугольника, то после возведения
в квадрат оно становится эквивалентным неравенству Коши.
Сделаем два замечания. Во-первых,
— <х, _у>‘= <—X, — x||-||,v|| = ||x|l-||y||.
Объединяя это с III, получаем
|<х, j*>|<||x||-|!j/||.	(5.3)
Во-вторых,
k»=lly + k-y)Kbll+k-yll.
Пу = II * 4- О'—Х)К к в+к—х!.
откуда следует, что
IIJxll- llyll К ||х—1/||.	(5.4)
Говорят, что последовательность Xi, Хг, ..., х*, векторов
из RN сходится к вектору ueRx, если имеет место покоорди-
натная сходимость, т. е. х*[/]->-и[/] при всех j^N. Это экви-
валентно условию ||Хд—и||-*-0.
Допустим, что уъг+v. Тогда
<хк, Уь> -* <". v>-
(5.5)
Действительно,
I <х*, ук> -<и, v> I = I <ХЛ, у„ — V> + <хк — и, v> I <
< k* II •" у*— v II4- liv II • к*—и И •
Остается заметить, что, числовая последовательность {||х^||)
ограничена. Соотношение (5.5) характеризует непрерывность
скалярного произведения.
•Множество QcR^ называется замкнутым, если любой век-
тор, являющийся предельным для некоторой последовательности
векторов из Q, принадлежит Q. Множество HczRN называется
ограниченным, если существует постоянная С > 0, такая, что
I х || < С для всех х £ Н. Множество Р С RA называется выпук-
лым, если вместе с любыми своими точками х0, хх оно содержит
отрезок [хо, Xi], их соединяющий. Напомним, что отрезок
l*o, *i] определяется как совокупность точек, допускающих
представление х(/) = /*14-(1—/)хо=*о+^(*1—*о), где /е[0, 1].
2 Заказ № 66
17
Введем функцию г (х) = ||х||. Согласно (5.4) она непрерывна
на RA- Возьмем непустое множество Deи рассмотрим задачу
r(x)->min.	(5.6)
X6D
Лемма 5.1. Если D — замкнутое выпуклое множество, то
решение задачи (5.6) существует и единственно.
Доказательство. Зафиксируем x0^D. Множество
D0=DQB, где B={xeRn| ||х||^||хо11}, является ограниченным
и замкнутым. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция
г достигает на D минимального значения. Обозначим точку
минимума х*. Тогда г(х)^г(х*) при всех x^.DftB. Вместе с
тем г(х) >г(х0) ^r(x!|t) при х В. Значит, г(х)^г(хИ1) при всех
хе£), так что х* — решение задачи (5.6).
Положим р. = min г (х) и допустим, что г(х1) = г (х.,) = р.
в некоторых точках Xi, х% из D. Покажем, что xi=x2.
Если р,=0, то утверждение тривиально, ибо в этом случае
Xi=x2=0. Предположим, что ц.>0. Поскольку D — выпуклое
множество, то точка (х>+х2)/2 принадлежит D. Учитывая
определение функции г и неравенство треугольника, получаем
< II (х, + х4)/2| < | xt |/2 +' x2 J/2 = и-
Отсюда^ следует равенство ||xi+x2|| = ||xil| + ||x2[|, которое воз-
можно лишь в случае X|/||xi|| =х2/Цх2||. Но ||xill = ||x2||=p,
поэтому xi=x2. Лемма доказана.
Решение х* задачи (5.6) характеризуется тем, что среди
всех точек из D оно имеет наименьшую норму. В связи с этим
х* иногда называют ближайшей к началу координат точкой
множества D.
Лемма 5.2. Пусть DcRK— замкнутое выпуклое множество
и х* — единственная (по лемме 5.1) точка из О с наименьшей
нормой. Тогда
<х#, х>^><х#, х*> VxfD.	(5.7)
Доказательство. По определению х*
<х, х>^<х*, x#> Vx£D.	(5.8)
Зафиксируем x^D. В силу (5.8) и выпуклости D при любых
/е (0,1) имеем
<х* + t (х — х#), х* 4-1 (х — х#)> > <хв, х*>.
Отсюда следует, что 2£ <х#, х — х*> -М21 х — х# Ц2 > 0 и
<х#, х — х#>4-/|х — xsJ2/2>0 V££(0, 1).
Переходя в последнем неравенстве к пределу при t -> 4- О,
получаем <х#, х — x#>i>0, что равносильно (5.7). Лемма дока-
зана.
18
Теорема 5.1 (о строгой отделимости). Пусть Р и Q — замк-
нутые выпуклые множества в RN, не имеющие общих точек,
и пусть хотя бы одно из них ограничено. Тогда найдутся век-
тор aeRw, ||a|j = 1, и число Д>0, такие, что
<а,	у> —Д	Vy£Q	(5.9)
(рис. 1).
Доказательство. Положим
D=P—Q={z=x—y\x^P, y^Q}.
Нетрудно проверить, что D — замкнутое выпуклое множество
Выпуклость D непосредственно следует из выпуклости Р и Q
Установим замкнутость D.
Пусть Zk-+w, причем
Zh^D при всех 6=1, 2,
Требуется показать, что
w^D. По определению D
имеем zk—xh—yht где
Xk^P,	Будем счи-
тать, что ограниченным мно-
жеством является Р. Тогда
последовательность {хн}
ограничена и из нее можно
выделить сходящуюся под-
последовательность Xks~>lL
Поскольку Р — замкнутое
множество, то и^Р.
Рис. 1.
Далее,	=	Отсюда следует,
что yks-> и—w' В силу замкнутости Q имеем и —
Введем обозначение ® = и— w. Тогда w—u — v, причем и.(?Р,
v£Q. Значит, и замкнутость D доказана.
Обозначим г, ближайшую к началу координат точку мно-
жества D. Поскольку РП<2 = 0» то ОфО и, следовательно,
z, #=0. Воспользуемся неравенством (5.7), которое в данном
случае примет вид <z*, z>^<z$, z*> для всех z£D. Положив
а = — z„/|z#|, Д =к*|, получим
<а, z>^ — Д Vzf£>.
(5.10)
Но D=P—Q, поэтому (5.10) эквивалентно (5.9). Теорема до-
казана.
Замечание. Так как z* принадлежит D, то z# = лг* — у*,
где jc# £ Р, у* 6 Q- Введем обозначения ze = (х* + у»)/2, Л =
= <а, z0> и покажем, что гиперплоскость <а, х> = h строго раз-
деляет множества Р и Q, точнее:
<а, «><Л V«^P; <а, -у> > й V«d£Q.
Действительно (см. рис. 1), вектор z0 допускает представление
3o=J« + Учитывая (5.10), при всех и£Р получаем
2*
Г19
<a, u> — h = <a, и — z0> = <a, и—у*> — <а, x*>/2^
<-A + |z*|/2=-A/2<0.
Шри v^Q нужно' воспользоваться другим представлением
г0=х*—ZJ2. Тогда
<-а, v> — h = <a, v — z0> = — <а, x# — v> 4- <a, z*>/2 > Д/2 > 0.
Утверждение доказано.
Для линейных экстремальных задач наиболее интересным
является случай, когда в качестве одного из множеств Р или Q
берется замкнутый выпуклый конус. Напомним, что множество
называется конусом (с вершиной в нуле), если из усло-
вия хеК следует, что tx^K при всех />0.
Теорема 5.2. Пусть Рек —ограниченное замкнутое
выпуклое множество и К С к — замкнутый выпуклый конус,
причем Р П К = 0. Тогда найдутся вектор a G Rw и число Д > О,
такие, что
<а, jc>< —Л Vx£P,	(5.И)
<а, у>>0 VytK.	(5.12)
Доказательство. По теореме 5.1 при некоторых
и Д > 0 выполняется неравенство
\	<а,	<а, у> — Д Ух£Р, Чу£К. (5.13)
Покажем, что в данном случае из (5.13) следуют соотношения
(5.11) и (5.12).
Пусть х0 — некоторый элемент из Р и у^.К. Тогда ty^K
при всех />0. Согласно (5.13)
<а, ty> <а, х0> + Д,
откуда следует, что <а, у> '^[<а, х0>Ц-Д]/Л Переходя в по-
следнем неравенстве к пределу при
/	f->-+oo, получаем (5.12).
f	Теперь заметим, что ОеК. Дейст-
I	витель.но, если уа — некоторый элё-
/	4	мент из К, то ty^K при всех />0.
/	*	Поскольку tky<r*Q при th-*- +0 и X —
/ s	замкнутое множество, то 0£/(. Под-
/	ставляя в (5.13) у—0, получаем (5.11).
Теорема доказана.
9	Пусть	— произвольный ко-
\	нус. Положим
'v/	У>>0
\	Нетрудно проверить, что К+ является
Y	замкнутым выпуклым конусом. Его
называют конусом, сопряженным К.
С помощью понятия сопряженного
?ис. 2.	конуса заключение теоремы 5.2 можно
20’
переформулировать так: найдутся вектор аеК+ и число Д>0,
такие, что <а, х>^—А при всех хеР.
На рис. 2 изображен простейший конус К и сопряженный
ему конус /С+. Общий результат о представлении конуса, со-
пряженного многогранному конусу /(= (х£к|<а{, д>^0>
ifAf], будет получен в следующем параграфе (теорема Фар-
каша). А пока рассмотрим частный случай.
Теорема 5.3. Пусть iV=A^iU^2U^3 — разбиение индексного
множества N на три попарно не пересекающихся подмножества.
Если
/С=(х=х|А||х[^1>0[^|,
х pv2) — 0 [Afa], х [2v3J произволен],
то	®РЧ1®|ЛМ>0[ЛМ,
т’]^] произволен, <и [Л/з1 = 0[Агз]|-	(5.14)
Доказательство. Обозначим Q множество, стоящее в
правой части (5.14). Утверждается, что K+ = Q. Включение
Qc/(+ очевидно. Проверим обратное включение.
Пусть ,t>o€A’+. Орт ej—e}[N} при любомУЕМ принадлежит
К, поэтому <-п0,	Отсюда следует, что ®0 |Л/,] ^OJM]-
Далее, возьмем вектор х}— — т>0[у] ej. При j£N3 он принад-
лежит Л, поэтому <.г’о, xpJ>0, или — (т'о [7])2> 0. Значит,
[N3] = 0 [7V3]. Получили, что f06Q- Теорема доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство (КЛ)г={0).
Следствие 2. Положим R+ = {xERN|x [Af] >0[N]%
Тогда (R?)+ = R^.
Конус, сопряженный сопряженному конусу К+, называется
вторым сопряженным конусом л обозначается К++.
Теорема 5.4. Если RA — замкнутый выпуклый конус, то
А++ = К.
Доказательство. Включение /<сК++ следует из опре-
делений. Проверим обратное включение.
Допустим, что существует вектор х0^К++, не принадлежа-
щий К. К одноточечному множеству Р={х0} и конусу К мож-
но применить "Теорему 5.3, согласно которой найдется вектор
ае/С+, такой, что <а, х0><0. Но это противоречит условию
А'оеКт+. Теорема доказана.
Упражнения
5.1.	Проверить, что шар Ut = {<£RAr||]x|| <8), где 8 > 0,
является выпуклым множеством.
5.2.	Показать на примерах, что в теореме о строгой отдели-
мости все предположения о множествах Р и Q существенны.
5.3.	Привести пример двух замкнутых конусов Къ Къ алгеб-
раическая сумма которых Ki + Ka не замкнута.
21
5.4.	Доказать, что если Ki, ..., Кр — замкнутые конусы
» RN, то либо X1.-I- +Кр— замкнутый конус, либо сущест-
вует нетривиальное представление нуля. Последнее означает,
что найдутся x^Ki, такие, что Xi+ +хр=0, причем не все
Xi равны нулю.
5.5.	Пусть К„ .... Кр — замкнутые выпуклые конусы в «
я конус Г — К\ +... + Кр также замкнут. Доказать справед-
ливость равенства (П^К/)+^'=Г.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В исследовании линейных неравенств важную роль играют
выпуклые конические оболочки.
Пусть ' Q — конечное множество произвольных точек at,
из RN. Выпуклая коническая оболочка множества Q опре-
деляется следующим образом:
cone Q = (у =	«[/] at | и [ Af] > О (Л4 ]}.
Теорема 6Л. Множество T=coneQ является замкнутым вы-
пуклым конусом.
Доказательство. То, что Г — выпуклый конус, очевид-
но. Проверим его замкнутость. Для этого нам понадобятся два
вспомогательных утверждения.
Лёмма 6.Г. Любой ненулевой вектор f/оеГ допускает пред-
ставление
аь	(6.1)
где АГоСзЛГг >O[Afo] и векторы аг, линейно неза-
висимы.
Доказательство. По условию
Л = 2(6м«Шв(.	(6.2)
Из всех представлений у0 в виде (6.2) выберем то, у которого
наименьшее число слагаемых с положительными коэффициен-
тами. Пусть это будет (6.1)., Покажем, что векторы аг, 1^М0,
линейно независимы.
При |М0 =1 утверждение тривиально, ибо t/o#=O. Рассмот-
рим случай Мо | > 1. Допустим, что система
z 1И = ®
имеет ненулевое решение Zo=zo[Afo]. Можно считать, что хотя
бы одна компонента у z0 положительна. Введем новый вектор
коэффициентов ui = uo—A)Zo, где
t9: = min [Z]/z0 [Z] |Z£Af0, *o 1Л >0} >0.
Нетрудно проверить, что
Уо = 2/е.мЛ11/1а<> ^ИМХНМ]
и рф']=О при некотором ieAfo- Но это противоречит мини-
мальности представления (6.1). Лемма доказана.
Лемма 6.2. Если у матрицы А—А[М, ДО] строки линейно
независимы, то матрица ААТ обратима.
Доказательство. Учитывая (2.1), заключаем, что
иА#=0 при любом и=^=0. Поэтому
<иААт, и> — <иА, Ати> = <иА, иА> —1| tiA j2 > 0 Уи =И= 0.
Теперь очевидно, что система иААт=0 имеет только нулевое
решение, откуда и следует обратимость матрицы ААТ. Лемма
доказана.
Вернемся к доказательству замкнутости множества Г =
= coneQ. Допустим, что .У*-* У*, причем .у» 6 Г при всех
k— 1, 2,... Требуется установить, что у* («Г.
В случае _у*=0 это тривиально. Поэтому будем считать,
что у*, а значит, и yk при достаточно больших k отличны от
нуля. По лемме 6.1 существует представление
У* = Pl
где MkCzM, Vh[Mfc]>O[Afh]-H векторы at, ieAfh, линейно неза-
висимы. Среди индексных множеств Мь имеется по крайней
ме|ре одно, которое повторяется бесконечное число раз. Обозна-
чим его Л1#. Тогда
У Us = “V/ts Pl ai‘	(6-3)
Введем матрицу А* со строками ah i^M*. Это дает воз-
можность переписать (6.3) в виде j^ = tAjA*. Умножив послед-
нее равенство справа на А,, получим
(6-4)
Строки матрицы А* линейно независимы, поэтому согласно
лемме 6.2 матрица A^Af обратима. Теперь из (6.4) следует
представление
которое позволяет сделать вывод о том, что последователь-
ность имеет предел =j*A^(A*A^)-1. Перейдем к пре-
делу в равенстве (6.3). Получим
У* — PJ O’h
причем [Af#] > 0 [AfJ. Значит, _У*£Г. Теорема доказана.
Следующий результат принадлежит Фаркашу.
23
Теорема 6.2. Если конус К определяется системой линей-
ных однородных неравенств
АГ=	х>>0, /£Л1}
и Q — множество векторов i^M, то
/(;+=: cone Q.
Доказательство. Введем обозначение Г=cone Q и по-
кажем вначале, что
ДО=Г+.	(6.5}
Пусть Лоб АГ- Тогда <ai9 х0>Г>0 при всех IQM, откуда
следует, что <у, х0>^0 при всех у f Г. Значит, х0СГ+, и вклю?
чение /С с Г+ доказано.
Пусть теперь х0^Г+. Это означает, что <у, х0>>0 при
всех Г. В частности, <ah х0>^0 при всех так что
•Хо€Л\ Доказано включение Г+сЛТ, а с ним и равенство (6.5).
Перейдем в (6.5) к сопряженным конусам: /<+ = Г-н". Со-
гласно теореме 6.1 Г — замкнутый выпуклый конус, поэтому
с учетом теоремы 5.4 получаем Г++=Г. Таким образом,
К+ = Г++=Г, что и требовалось доказать.
Замечание. Обозначим А матрицу со строками аи
Тогда орпе Q—{y=uA |u^0}. Это дает возможность так пере-
формулировать теорему Фаркаша: если /<= {х|Дх^0}, то
К+={у—иА |а^0}.
Переходим к линейным неравенствам.
Лемма 6.3. Пусть А=А[М, ДО]— произвольная матрица.
Система Ах=Ь имеет неотрицательное решение х^О тогда и
только тогда, когда для любого и, удовлетворяющего условию
цД^О, выполняется неравенство <и, b>^Q.
Доказательство. Обозначим Q конечное множество,
состоящее из столбцов Aj=A[M, /], матрицы А, и пусть
r=coneQ. Нетрудно проверить, опираясь на (2.1), что нали-
чие у системы Ах=Ь неотрицательного решения эквивалентно
включению Ь^Г.
Введем конус
№={a€RMMy, и>>0, /СЛ/} = {и\иА >0}.
По теореме Фаркаша
ДО+=Г.	(6.6)
Теперь доказательство леммы заканчивается так. Если система
Ах=Ь, х;>0,	(6.7)
совместна, то ЬеГ и в силу (6.6) ЬеДО+. Последнее означает,
что <и, для всех ие/С
Обратно, пусть	Тогда 6еГ, откуда следует, что си-
стема (6.7) совместна. Лемма доказана.*
24
Замечание. Лемму 6.3 можно переформулировать ина-
че: система (6.7) совместна тогда и только тогда, когда для
любого и, удовлетворяющего условию иД^О, выполняется не-
равенство <и, Ь>^0.
Теорема 6.3. Для того чтобы система
A [Af,, N]Xx[N]>b[M^
А[М2, N]Xx\N]=b[M2],	(6.8)
хМИМ
была совместной, необходимо и достаточно, чтобы для любого
w=u[A4], такого, что
X А |Ж,
и[М]хА[М. N2]=0[V2],	(6.9)
и[Л41]>0[Л11],
выполнялось неравенство <b, zz>^0. Напомним, что М =
Доказательство. Согласно теореме 3.1 совместность
системы (6.8) эквивалентна совместности следующей системы;
A$v = b,	(6.10)
где Д0=(Д[М, tfj], Д[М, N2], —Д[М, N2], —Е[М, MJ). Вме-
сте с тем по замечанию к лемме 6.3 система (6.10) совместна
тогда й только тогда, когда для любого и=и[М], удовлетво-
ряющего условию иДо^О, выполняется неравенство <и, Ь>^0.
Нетрудно проверить, что соотношение иДо^О равносильно
(6.9). Теорема доказана.
Тем самым установлен критерий непустоты множества пла-
нов общей задачи линейного программирования.
Следствие 1. Система линейных уравнений Ах=Ь со-
вместна тогда и только тогда, когда любое решение и одно-
родной сопряженной системы иД = 0 ортогонально Ь, т. е.
<b, и>—0. (Учесть, что вместе с и решением системы иА=0
является и —и.)
Следствие 2 (теорема Фань-Цзы). Система линейных
неравенств Ах^Ь совместна тогда и только тогда, когда лю-
бое неотрицательное решение и системы уравнений иД=0
удовлетворяет условию <b, и>^0.
Упражнения
6.1.	Доказать, что для совместности системы строгих нера-
венств Ах>Ь необходимо и достаточно, чтобы любое ненулевое
решение и системы иД = 0,	удовлетворяло условию
<Ь, и><0 (теорема Карвера).
6.2.	Доказать, что система однородных соотношений
25
A [Afe, AT] XxMXHAU
A [Afo Д'] XxfN]>O[Al1],
A[M2, N|Xx[N1=0(M21
несовместна тогда н только тогда, когда система уравнений
«[Л!] к А[М, W]=O[ATJ, где М = Мо U Mt (J Aft,
имеет решение, удовлетворяющее условиям
«ЬИо]>О[Л*оЬ «kW0]¥=0[Afo], >О[ЛМ
(теорема Г. Ф. Вороного).
6.3.	Пусть Л=Л[М, IV]— кососимметричная матрица, т. е.
Ат= —А. Установить наличие у системы линейных однородных
неравенств Ах^О, х^О такого решения х0, что Ах0+Хо>0.
$ 7. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Начнем с одного вспомогательного утверждения, которое
можно назвать основной леммой линейного программирования.
Лемма 7.1. Допустим, что система
«?, х> = р,	.
Ах = Ь, х>0,	v u
где А=;А[Л1, Д]—произвольная матрица, имеет решение,
однако если заменить в ней ц на ц—X, то при любом Х>0 она
становится несовместной. Тогда совместна следующая система:
аА^.с, <Ь, «> = р.	(7.2)
Доказательство. Покажем, что система
<с, х> — /р — ~ 1»
Ах — tb — 0,	(7.3)
х > О, f > О
несовместна. Действительно, допустим, вопреки утверждению,
что найдется пара {хв, /о}, удовлетворяющая (7.3). Возможны
два случая.
I. ^о = 0. Тогда <с, х0>=—1, Ахо=О, х0>0. Если у0 —
одно из решений системы (7.1), то вектор Xi— у04- х0 удовле-
творяет соотношениям
<с, хр =р— 1,
AXi=b, Хх^О,
что противоречит условию леммы.
II. fo>0. В этом случае, положив xi=xo//o, получим
<?, Х1> = |1 — 1/^о,
Axt = b, Хх>0,
что также невозможно.
26
Итак, система (7.3) несовместна. По лемме 6.3 найдется
лара {уо, «о}, где уо — вещественное число и uo=«oRf|, со
свойствами
УоС4-аоА>О, — lol* —<и0, &>>0, — ъ<0-
Поскольку система (7.1) совместна и уоС+иоА^О, то согласно
той же лемме 6.3
7о’Л + <«о. &>>0.
Теперь очевидно, что вектор и*=—«о/уо удовлетворяет (7.2).
Лемма доказана.
Рассмотрим общую задачу линейного программирования
с Xx[JV|
А[Ч,	,74.
Л 1Л12, х jc
Теорема 7.1 (критерий оптимальности). Для того чтобы план
задачи (7.4) был оптимальным, необходимо и до-
статочно, чтобы нашелся вектор м#=ы,.[Л!], такой, что
<b, и*> - <с, ле>, х
«#[Af]XApW, MKcpVJ,	(7.у
м* |Л1] X A [Af, M) = c[2V2],	' ’ ’
и* [тИИ >0рИ,].
Доказательство. Необходимость. Как известно
(теорема 3 1), общая задача линейного программирования (7.4)
эквивалентна аналогичной задаче с ограничениями в канони-
ческой форме записи
< с0,	-* min,	fi.
Aov = b, v>0,
где Co=(c[JVi], c[JV2], — c[tf2], O[AfJ) и A0=(A[M, Nt].
A[Af, ЛГ2], —A[M, iV2], —E[M, Afj]). Поскольку первая задача
имеет оптимальный план л*, то существует оптимальный план
я, и у второй, при этом <с, л#> = <с0, v*>.
По определению оптимального плана имеем Aov* = b, t»#>0 и
m’n <с0, v> = <с0, v*> = : р.
Теперь замечаем, что система
<с0, О> = }1,
Aov = b, ^>0
имеет решение, однако если заменить в ней р. на р.—X, то при
любом Х>0 она становится несовместной. По лемме 7.1 най-
дется вектор и^=и^ [Af] со свойствами
27
a*A0^c0, <b,	=	(7.7)
Нетрудно проверить, что соотношения (7.7) равносильны (7.5).
Необходимость доказана.
Достаточность. Возьмем. произвольный план х задачи
(7.4). Согласно (7.5) имеем
<с, х> = <?[#!} X х[Л44 c[/Vt] Xx[/V2] > («* [Af] X
X А [М, М]) X х [М] 4-(и* [М] X A [Af, N2]) хх [TV2] =
= и# [АГ] X (A [Af, М] X х [N,] 4- А [М. ЛГ2] X х [ЛГ2]) =
= [Af] X (А [М, JV] X х [АГ])> й< [Afх] X b [ATJ 4-
4 и* [АГ,] Х Ь ри2] = <а#, Ь> = <с, х#>.	(7.8)
Таким образом, х*— оптимальный план задачи (7.4). Теорема
доказана.
Замечание. Из (7.5) при условии, что х, удовлетворяет
ограничениям задачи (7.4), следуют равенства
<м*, Ь — Ах#> =0, <«*А — с, л*> = 0.	(7.9)
Проверим, например, первое из них. Имеем
<«*, Ь — Ах,>-«П^>] Х(&[Л1,]-А[Л1„ ЛГ]Хх,]ЛП)<0.
Вместе с тем
<«*, b — Ах*> — <и*, Ь> — <«*, Ах#> — <с,	— <и*А, х#> =
= <с — «*А, х*> = (с[^] — zz*[Af] X А [М, ЛМ) Хх* ['Vi] >0.
Объединяя полученные неравенства, приходим к требуемому
равенству. Утверждение доказано.
Упражнение
7.1. Показать, что решение общей задачи линейного про-
граммирования (7.4) сводится к решению системы линейных
неравенств и равенств.
§ 8. СЕДЛОВАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
Критерию оптимальности, установленному в теореме 7.1 i
можно придать другую форму. Для этого введем функцию
Лагранжа
£(х, и) — <с, х>4<«. Ь—Ах>
и рассмотрим ее на прямом произведении конусов
A'=={x=rx[yV||x[M]>0[N,]|,
Г = (я = и [Af] | и [MJ > О М]}.
Определение. Пара {х#, а#) называется седловой точкой
функции Лагранжа, если х*^/С, и
28
L(x*, u)^L(x^ u*)t^L(x, ut) Vx£K, V«£r. (8.1)
Теорема 8.1. Для того чтобы вектор xt = xe[7V] был опти-
мальным планом задачи (7.4), необходимо и достаточно, чтобы
нашелся вектор =	[JW], такой, что пара (х#, и*} являлась
бы седловой точкой функции Лагранжа.
Доказательство. Необходимость. Пусть х*— оп-
тимальный план задачи (7.4). По теореме 7'.1 найдется вектор
и* со свойствами (7.5). Покажем, что пара [х#, и#| является
седловой точкой функции Лагранжа.
Прежде всего отметим, что х*£К, «»£Г. Перепишем (8.1)
в развернутом виде:
<с, х^> + <«, b — Ахр < <с, х#> 4- <«#, b — Ах*> <
< <с, х>4-<«#, b—Ax> VxQK,	(8.2)
Первое из этих неравенств в.силу (7.9) равносильно следую-
щему:
<«, b — Ах#>^0 У«фГ.	(8.3)
Справедливость же (8.3) очевидна, ибо
<«, b - Ах<> = а[Л1|] х (Ь [AfJ - A [Af„ ;V] X х* [NJ) <0.
Второе из неравенств (8.2) с учетом (7.9) и равенства <с, х*> =
= <Ь, и*> перепишется так:
<с, х> — <«*, Ах> О 0 Vx 6 К-
Но	<с, х>—<«*, Ах>-=<с — и*А, х> —
=х(с[^]-«е[Л4] X А{М, ^|)Хх[^|>0.
Необходимость. доказана.
Достаточность. Допустим, что при некоторых х* £К,
выполняются неравенства (8.2). Их можно переписать
в виде
<«, Ь— Ах*»<(<«*, b — Ах#> Уц(.Г, (8.4)
<с, х> — <с, х*>^<и*, 6 — Ах^> — Ь— Ах> Ух£К.
..к:.;
Покажем, что х* —решение задачи (7.4)’.
Вначале проверим, что х# —плэн задачи (7.4). По условию
х* [AM O0[A/j]. Далее, вектор,и = Cet |7И],	при любом
С>0 принадлежит Г. Поэтому согласно (8.4)
£[/] — А [/, WJ X [W] < <«*, b — Ах^у/С
Переходя в этом Неравенстве к пределу при С -> + оо, полу-
чаем b [г] — A [Z, TVj	при всех так что
А|Л4, У] х х* [/V] > b [Л4].
Отметим, что конусу Г принадлежит также вектор и= — Се( [Л4],
29
Z(- ЛГ2, где С — любое положительное число. Аналогично пре-
дыдущему приходим к неравенству
А[Л42,
Теперь очевидно, что х* удовлетворяет всем ограничениям'
задачи (7.4), т. е. является ее планом.
Покажем, что х# — оптимальный план. Имеем
<а„ b — Ax*> = 0.	(8.6)>
Действительно, поскольку Е Г, то <м», Ь — Ах*> < 0. Под-
ставляя «= 0 в (8.4), приходим к обратному неравенству
<а*, Ь — Ах*>>0, а вместе с ним — и к (8.6).
Возьмем теперь любой план х задачи (7.4). Тогда
<а*, Ь — Ах><0.	(8.7)
На основании (8.5) — (8.7) получаем «?, х> > <с, х*>, что и>
доказывает оптимальность плана хш.
Замечание. При доказательстве достаточности мы ни-
где не пользовались конкретным видом целевой функции. По-
этому наличие седловой точки у функции Лагранжа
3?(х, и)=/(х)+<«, Ь — Ах>
является достаточным условием оптимальности при минимиза-
ции произвольной функции f на многогранном множестве О.
Упражнения
8.1.	Показать, что условие (8.1), определяющее седловую
точку функции Лагранжа, выполняется тогда и только тогда,
когда
minsup£(x, «) = тах inf L (х, и)
хек ибг	«ег хек
и внешний минимум достигается на х#, а внешний максимум —
на а».
8.2.	Проверить справедливость равенства
, .	.	( <с, х>, если xFS,
sup£(x, «) = (
вег	( -f- со, если х£К\2.
8.3.	Найти 1п!жедг2,(х, и) при и 6 Г.
$ 9. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
По-прежнему рассматриваем общую задачу линейного про-
граммирования
/(<): =	х>-+ min.	(9.1)
30
Введем множество AczRM векторов, удовлетворяющих ограни-
чениям
u[M]xA\Mt	и[М]хА[М. JV2]=c{/Vf],
и функцию g(u) = <b, и>. Тогда теорему 7.1 можно перефор-
мулировать так: для того чтобы план х* задачи (9.1) был
оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор
Л, такой, что /(х*) = £(«*)• Выкладка (7.8) делает очевид-
ным также следующее утверждение.
Лемма 9.1. Если х, и — произвольные векторы, принадле-
жащие S, Л соответственно, то /(х)^>£(и).
Допустим, что задача (9 1) разрешима и х„ —ее оптималь-
ный план. По теореме 7.1 и лемме 9.1 найдется вектор Л,
на котором
£(«*)=/(**)>£(«) V«6A
Таким образом, и* доставляет максимум функции g на А,
т. е. является решением экстремальной задачи
g(«): = <b, и> -> шах.	(9.2)
Задача (9.2) называется двойственной к (9.1). Запишем ее
в развернутом виде:
b рИ] х и [М] -> max,
и [Af] X А]Ж,
и|Л!]ХАрИ, ЛГ2] = с|ЛГ2],
и\М^{Мх\.
Очевидно, что это тоже задача линейного программирования.
По существу, установлено, что из разрешимости задачи (9.1)
Следуют разрешимость двойственной задачи (9.2) и равен-
ство
min/(х) = max g (а).	(9.4)
jr€6
Докажем обратное утверждение.
Допустим, что задача (9.2), (9.3) разрешима и ы* — ее оп-
тимальный план. Приведем (9.3) к виду (9.1):
— b [ Af) X «[Af ] -»min,
-аг[лгь Л1) х«ри]>-НЛМ, (95)
- Ат [N2, МI X «[Af] = - с pv2],
«РЧ1 >0[М,].
Нетрудно понять, что и* является решением последней задачи.
По теореме 7.1 найдется вектор	со свойствами
31
— <с, х*> — — <b, «#>,
х АГ[Ч —
- х# [ЛГ] X Ат [N, М2] = —b [Af,],
** МХНЛМ.
Замечаем, что	и
<с, х*> = <Ь, и*>.	(9.6)
Согласно теореме 7.1 х* является оптимальным планом задачи
(9.1). Тем самым установлена разрешимость этой задачи. Ра-
венство же (9.6) равносильно (9.4).
Полученный результат называют первой теоремой двойст-
венности. Приведем ее формулировку.
Теорема 9.1. Если одна из двойственных задач (9.1), (9.2)
разрешима, то разрешима и другая. При этом выполняется
равенство (9.4).
Продолжим изучение пары двойственных задач.
Теорема 9.2. Двойственные задачи (9.1), (9.2) одновремен-
но разрешимы тогда и только тогда, когда множества их пла-
нов Q и Л непусты.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность. Возьмем «о^Л. Согласно лемме 9.1
f(x)^£(wo) при всех хей. Таким образом, множество планов
й задачи (9.1) непусто и целевая функция f ограничена снизу
на й. По теореме 4.2 задача (9.1) разрешима. На основании
теоремы 9.1 разрешима и двойственная задача. Теорема дока-
зана.
Очередное утверждение является естественным дополнением
к первой теореме двойственности.
Теорема 9.3. Пусть й^=0. Тогда
inf /(х) = — оо
в том и только том случае, когда Л”=0. Еслй 0, то
sup# (я) — + 00
тогда и только тогда, когда Q = 0.
Докажем, например, вторую часть теоремы.
Необходимость. Допустив, что	придем к про-
тиворечию с теоремой 9.2. :	:
Достаточность. Предположим, что g (и) С при всех
t/еЛ. В этом случае согласно теореме 4.2 разрешима задача
(9.5), а значит, и (9.3). По теореме 9.1 разрешима прямая за-
дача (9.1), что противоречит условию Q = 0. Теорема дока-
зана.
Используя двойственную задачу, легко указать условия, га-
рантирующие выполнение неравенства
32
miti/(x)>a.	(9.7)
Теорема 9.4. Пусть Q=#0. Для того чтобы выполнялось не-
равенство (9.7), необходимо и достаточно, чтобы нашелся план
двойственной задачи и0, такой, что <6, u0>^a.
Доказательство. Необходимость. По теореме 4.2
задача (9.1) разрешима. Обозначим х* ее оптимальный план.
В качестве uQ возьмем оптимальный план двойственной задачи,
которая разрешима в силу теоремы 9.1. Имеем <bt uQ> =
— <с, *«> a, что и требовалось доказать.
Достаточность. Согласно лемме 9.1
<t?, х>><£, «0>> а Vx£2,
откуда и следует неравенство (9.7). Теорема доказана.
Закончим этот параграф второй теоремой двойственности,
которая представляет собой новую форму критерия оптималь-
ности.
Теорема 9.5. Для того чтобы планы двойственных за-
дач были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялись условия «дополняющей нежесткости»
(Ь И - А [/, NJ X ХО |Лф х и, [/] =о V/G Ми (9.8)
(а0 [М ] X А |М, J\ - с (у]) X х9 [у] = 0 V/ (-	(9.9)
Доказательство. Необходимость. Аналогично
(7.8) получаем
<с, л0> <и0А, л0> = <м0. Ах0> <и9, Ь>.
По первой теореме двойственности <с, х0> = <и0, Ь>, так что
<Ь — Ах9, ио> = 0, <и0А — с, л0> = 0.	(9.10)
Перепишем последние соотношения в развернутом виде:
2,.бЛ11(^И-Ди v]xxoW)x«#m=o,
2Уб„;(«й[М] 'XA[M,j] -c[j\)Xx9{j\=0. Г
Поскольку все слагаемые в обеих суммах неположительны, то
Из (9.11) следуют (9.8) и (9.9).
Достаточность. В этом случае выполняются соотно-
шения (9.11), а значит, и (9.10). Согласно (9.10)
<&, я0> = <я0, Дх0> = <uQAt — Xq>.
По теореме 7.1 xq — оптимальный план задачи (9.1). По тео-
реме 9.1 «о — оптимальный план двойственной задачи (9.2).
Теорема доказана.
Условия (9.8), (9.9) нужно понимать так, что
А [/, 7V| X х$ [ЛГ] = &[/], если д0 U1 > 0,
& Заказ № 66
33
*0[У’1 =°, если и0[УИ]ХА[УИ, у] < с [у], /GM,
и WO[A1]X А[ж, у] = с[у]э если х0[/]>0, J^NX,
нор]=О, если A [Z, N] X х0 [TV] > Ь [/], ifAfp
Здесь равенства являются следствием строгих неравенств («до-
полняющая нежесткость»). При этом не исключается, что в
(9.8), (9.9) оба сомножителя могут обратиться в нуль.
В заключение сделаем важное замечание. Двойственная за-
дача была введена нами формально, на основе анализа крите-
рия оптимальности. Однако если прямая задача носит эконо-
мический характер, то двойственная допускает содержатель-
ную экономическую интерпретацию. На этом вопросе мы не
останавливаемся, отсылая читателя к соответствующей лите-
ратуре [1, 3, 13, 18, 27].
Упражнения
9.1. Записать задачу, двойственную к задаче линейного про-
граммирования с двусторонними ограничениями:
<с, л> -> mln,
Ax = b.
9.2^	Линейная экстремальная задача вида
R» У] X X [Л У| min,
2<еЛ1^Ц, Л1=а[ЛП,
/] = *ЬИ].
W]>0[ И, Л']
называется транспортной задачей. Записать к ней двойствен-
ную.
9.3.	Привести пример пары двойственных задач линейного
программирования с пустыми множествами планов.
9.4.	Рассмотреть пару экстремальных задач
<с, х> -> min, <&,«>-> max,	...
Ax — b, х£К, с-иА£К\
где А — конус, а /С- сопряженный ему конус. Доказать сле-
дующее утверждение: если существуют планы xQ, и9 этих
задач, такие, что <с, х0> — <Ь, «0>, то х0, «0— оптимальные
планы.
Отметим, что при A" = R+ согласно следствию 2 из теоре-
мы 5.3 задачи (9.12) принимают вид
<с, х> -► mln, <b, и> -> max,
Ах = Ь, л	О, иА с.
9.5.	Допустив, что множества планов двойственных задач
34
(9.1), (9.2) непусты, доказать существование оптимальных пла-
нов х*, и*, удовлетворяющих условиям «сильной, дополняю-
щей нежесткости»:
Af] Хл* [Л/] ~ b 1^]) + u* [7WJ >O[Aft],
(с [ЛЛХ] - и*[М] X А [Af, М]) + х* [/VJ > О [Щ.
§ 10. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
В этом параграфе дается изящное приложение первой тео-
ремы двойственности к матричным играм.
Матричная игра заключается в следующем. Имеются два
игрока и произвольная матрица А—A[M, Af], которая назы-
вается матрицей платежей. Первый игрок выбирает номер стро-
ки а второй, независимо,—номер столбца j^Nt после
чего второй игрок выплачивает первому сумму А [г, /] (если
А [С /] <0, то первый игрок выплачивает второму сумму
—A[i, /])• Игра повторяется бесконечное число раз.
Стратегия первого игрока в этой бесконечной игре опреде-
ляется вектором р=р[М] со свойствами
Величина р[г] есть вероятность выбора f-й строки. В дальней-
шем для простоты сам вектор р будем называть стратегией
первого игрока. Множество таких стратегий обозначим ,Р. Ана-
логично вектор q=q[N] со свойствами
(10.2$
называется стратегией второго игрока. Величина q[j] есть ве-
роятность выбора /-го столбца. Множество стратегий второго
игрока обозначим Q. Векторы ei=±ei[Af], е;=е/[У] называ-
ются чистыми стратегиями.
Если игроки используют чистые стратегии е$, ej, то очевид-
но, что среднее значение платежа в каждой партии равно
А[(, /]. Допустим, что первый игрок использует чистую стра-
тегию е<, а второй — смешанную стратегию q. Тогда среднее
значение платежа станет равным
2уе„А [/, /] Xq[J] = A [/, N]Xq (N).
В общем случае, когда оба игрока используют смешанные стра-
тегии р, q, математическое ожидание платежа вычисляется по
формуле
а (Р, Я) = 1цемР Ш X (A [Z, yV] X q [Лф =
=p[MI X АрИ, N\ X [ЛЛ|.
Правила игры побуждают первого игрока максимизировать ве-
35
3*
личину а по р&Р, а второго—минимизировать ее же по q^Q.
Как согласовать эти противоположные Интересы?
Если первый игрок применяет стратегию р, то среднее зна-
чение его выигрыша в каждой партии не меньше
Ф (/>) = min а (р, q).
Представляется естественным выбрать />*£Ртак, чтобы
? (/>*) = max ? (/>).
рея
Аналогично второй игрок может выбрать стратегию q*^Q, на
которой величина
Ф(^) = таха(р, q)
яринимает "наименьшее значение
Ф (<*) — mln ф (q).
«60
Справедлива следующая замечательная теорема, установ-
ленная Дж. фон Нейманом.
Теорема 10.1. Стратегии р*, q* существуют, а их пара
образует ситуацию равновесия, т. ё.
а(р, q»Xa(.P*, Ч*Ха(р*, q) Vp£P, Vq£Q. (10.3)
Таким образом, когда второй игрок применяет стратегию
q*, наилучшей стратегией для первого является р*, и наоборот,
когда первый игрок применяет стратегию р9, наилучшей стра-
тегией для второго является q*.
Доказательство. Прежде всего заметим, что
ф(р) — minа{р, е,) Чр£Р,	(10.4)
/e-v
ф (9) = таха(е<, q) Vq£Q.	(10.5)
i£M
Действительно, неравенстйа
mtna(/>, 7)<т1па(/>, е,); таха(/?, ?)>таха(е/( q)
q^Q	PQP
тривиальны. Обратные неравенства получим, используя (10.1),
(10.2) и равенства
а(р, е,) —р[М] X А \М, /], л[е„ q] = A [Z, JV] X ?.[N|.
Например,
mlna(/?, <7) = mln ^jeN(р[Af] X А [Л/, у]) X q [j] >
«GQ	«со 7
> min p [Af| X A [M, /1 = min a(p, eA
yew	i^N
3fi
Рассмотрим экстремальную задачу
max a (ez, q) -* min.	(10.6)
1ем	яеа
Она эквивалентна задаче линейного программирования
t -> min,
-лр, ЛЛХ?РИ+/>О,
( ’
?[7V]>0[NJ.
Матрица ограничений в (10.7) имеет вид
1
- А \М, N]
1
0
Аналогично экстремальная задача
minа(р, е,) -> max
tcN	pep
эквивалентна задаче
s -> max,
-р[М] ХД [Af, y] + s<0, /G V,
^iqmP R1= Ъ
p[AfJ>O[M].
(10.»)
(10.S#
Нетрудно проверить (и это основной момент доказательств^),
что задачи (10.7), (10.9) образуют пару двойственных задан
линейного программирования. Так как множества их планов
непусты, то по теореме 9.2 они разрешимы. Оптимальные пла-
ны обозначим |<7*. t*\ и (/»*, $*}. По первой теореме двой-
ственности t* = s#, а поскольку
= max А [/, 7V| X q* [W], s* = minp* [Af ] X A [Af, /],
TO И
max a(ez, ^Hi) = mina(p#, e.).	(10.10)
i£M	j€N
Учитывая определение функций <p и ф, а также формулы (10.4),
(10.5), (10.10), получаем
а(р*, max а(р, ^) = <b(^) = maxa(ez, ?.„) =
pep	ieM
= mina(p*, ey) = <p(^) = mina(/>#, g)< «(/>*, q^).
jeN	q£Q
37
Отсюда следуют соотношения
maxafp, </*)== а (/>*, ^;,) = mina(p*, q).	(10.11)
PGP	4GQ
равносильные (10.3).
То, что доставляет максимум функции <р на Р, связано
с эквивалентностью задач (10.8) и (10.9). Можно дать неза-
висимое доказательство; опирающееся на (10.11).
Действительно, при любом реР имеем
<Р (р) — min а (р, q}^a(p, qj^a-kp*, q*) =
<1GQ
= mina(p#, q) = <?(p*).
qGQ
Аналогично проверяется, что	ПРИ всех 4&Q*
Теорема доказана.
Упражнения
ЮЛ. Показать, что
maxmina(/?, q) = min max a(p9 q).
pep <№Q	<ieQ pqp
1B.2. Пусть A=A[M, Af]—произвольная матрица. Прове-
рить справедливость неравенства
max min A [Z, у] <min max A [i, у].	(10.12)
i£M JQN	JQN i£M
Привести пример, когда в (10.12) неравенство строгое.
§ 11. ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕБЫШЕВСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Задача наилучшего равномерного приближения непрерыв-
ной функции обобщенными полиномами, к которой мы перехо-
дим, имеет многочисленные приложения. Ее формальная по-
становка такова:
max
t£Q 1	7
•*|/]«/0—/(0 ->min,

/] Xx[j\=d [0,
Z G1 -m,,
i £ тл 4- 1 : /n.
(ПЛ)
(П.2)
Здесь Qc Rs - ограниченное замкнутое (компактное) множе-
ство; ... , f—непрерывные на Q функции. Знаковые
ограничения на х [ /] обычно не выделяются. Таким образом,
ищется обобщенный полином 2^=1 •*[/!#/(С с коэффициента-
ми, удовлетворяющими соотношениям (11.2), максимальное
уклонение которого от функции f на множество Q мини-
мально. Наша цель ~ доказать разрешимость этой задачи в
случае непротиворечивости ограничений.
Прежде всего приведем задачу (11.1), (11.2) к канониче-
ской форме. В качестве первого шага положим
up(/)=^—f(/), C[i, р]= —dp], tel : m.
Тогда исходную задачу можно записать в виде
шах 2/
/ес? ‘
х [у] Uj (t) I -> min.
S/_( C [i, J] X x I/]> 0, iG 1: mt,
ДХлИ=0,
x[p] = l.
i + 1: m,
После этого, как обычно (см. § 3), заменим на х[/]—
—х[р+/], где х[/]^0, x[p+/]>0, /е!:р—4, и вычтем из
левой части i-ro ограничения-неравенства переменную х[2р—
—l + i]^0, iel : mi, превратив его в равенство. Положим
п=2р+т\, N—l:n—1,
“р+ДО= —«ДО. /el:p—1; u2M+i(0=0, 1е1:/пь
Теперь исходная задача приобретает каноническую форму
max
/е<?
Ml И/(О
-+ min,
А[м, Л'|Х4У]=НЧ х[Л’]>о[лг],
(11.3)
где Ь — (0,	, 0, 1),
С С[\'.т, р] —С —£[1 :/n, 1: mJ \
0...0	1	0...0 о	о )
и C — C[lzm, 1:р — 1]. Поскольку 6=И=0, то вектор х=0
не может быть планом последней задачи.
Множество планов задачи (11.3) обозначим £2. Если хеЙ,
то полином
Р(х, t)=’^lJeNx[J]uJ(t)
называется допустимым, а если х*— оптимальный план, то
полином Р(х*> t) называется наименее уклоняющимся от нуля
на Q. Как обычно, Л^+(х) обозначает носитель плана х, а Д,—
/-й столбец матрицы А.
Определение. Допустимый полином Р(х, i) называется
базисным, если система
39
^ч/с-лг+['l —Q ^GQ»
' +	.	(11.4
“JGN^ (r) Z Ml — 0
имеет только нулевое решение.
Понятие базисного полинома связано с понятием базисного
плана. Чтобы разобраться в этом, допустим, что Q — конечное
множество, т. е. Q={/i, .... tg}. Тогда задача (11.3) эквива-
лентна задаче линейного программирования, ограничения кото-
рой мы сразу приведем к канонической форме
х [л] -♦ min,
- S"ZiI 1/1 «уМ») + •«I«] —	=0, Af 1 zq,
Sjl! I/]	+ Л [л] “ х[«4-9’ + А]=°, k^lzq,
^4i~\x\j\A}=bx х (7| > 0, /61:л4-2?.
Возьмем базисный план х0[ 1 : л+2 ?] последней задачи и по-
ложим х0=хо[1:п—1]. Тогда полином Р(х0, t) будет базис-
ным. Действительно, допустив, что система (11.4) при х=хе
имеет нетривиальное решение, получим, что столбцы матрицы
ограничений задачи (11.5) с номерами j^N+(xQ) линейно зави-
симы. Но это противоречит определению базисного плана. Итак,
базисной план задачи (11.5) порождает базисный полином.
Лемма 11.1. Если множество планов Q задачи (11.3) непу-
сто и Q — конечное множество, то существует базисный поли-
ном, наименее уклоняющийся от нуля на Q.
Доказательство. В силу эквивалентности задач
(11.3) и (11.5) множество планов последней будет непустым.
К тому же целевая функция ограничена снизу (х[п]^0). По
теореме 4.1 задача (11.5) имеет оптимальный базисный план.
Остается снова воспользоваться эквивалентностью задач (11.3)
и (11.5) и замечанием о связи между базисным планом и ба-
зисным полиномом. Лемма доказана.
Переходим к общему случаю, когда Q — произвольное ком-
пактное множество в Rs.
Теорема 11.1. Если й=/=0, то у задачи (11.3) существует
базисный полином, наименее уклоняющийся от нуля на Q.
Доказательство. Возьмем последовательность поло-
жительных чисел {ел}, стремящуюся к нулю. При каждом кв
множестве Q имеется конечная еь-сеть Qk, обладающая тем
свойством, что для любого t^Q найдется точка из Q*, расстоя-
ние которой до t меньше е&. Действительно, совокупность от-
крытых шаров {zeRs | || z—11| <е*}» порожденных всеми точ-
ками teQ, образует открытое покрытие компактного множест-
ва Q. По лемме Бореля существует конечное покрытие. Множе-
ство центров тех шаров, которые входят в конечное покрытие,
и является еь-сетью. Условие	гарантирует, что для лю-
40
бого t^Q найдется последовательность t^Qk, сходящая-
ся к t.
По лемме 11.1 задача (11.3) при Q=Qk имеет базисный
полином P(xh, t), наименее уклоняющийся от нуля на Q*. По-
ложим
Р = inf max I Р(х, t) I.
лее tea
Тогда при всех k= 1, 2,...
|р(х*,	(и.6)
Это следует из очевидного неравенства
max |Р(х, tk) 1С тах|Р(х, 01,
/4еоЛ	/е<?
если в нем сначала слева, а затем справа перейти к инфимуму
по xeQ.
Среди носителей Л^+(лА) по крайней мере один повторяется
бесконечное число раз. Пусть М,(хй) = ЛГ+ при всех / =
= 1, 2, Покажем, что последовательность векторов
ограничена. В противном случае числовая последовательность
;4, = У. л, хк, будет неограниченной. Переходя; если нужно,
к подпоследовательности, добьемся того, что 74 -> + ос. Введем
векторы Z4 =X4 /74 . На основании (11.6) и определения мно-
жества 2 имеем
|	**/ М (iki) I < ^*1 Nt*i€
2,еЛг/‘Д71Л>=&/Ч’	(11.7)
XeZV M =1, Z^IJVJXJPVJ.
c • ▼ 1	*	*
Из ограниченной последовательности (zk \ можно выделить
сходящуюся подпоследовательность. Для простоты будем счи-
тать, что £4-» г*. Зафиксируем t£Q и возьмем последова-
тельность {^4Z}» 0Z€Q»Z' сходящуюся к t. Тогда
при всех /6^ + в силу непрерывности функций Uj на Q. Пере-
ходя в (11.7) к пределу при fcz-»co, получаем
S,6„ гЯ/1«/(0=0 V^Q,
2/еЛ/* ИЛ/ = 0’
2уеЛ,/Л/1 = 1- *ЛЛГ+1>О[ЛМ.
Отсюда следует, вопреки условию, что Р(х^9 О не являются
базисными полиномами на Q^.
4)
Итак, последовательность (х*) ограничена. Из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность. Не умаляя общ-
ности, будем считать, что xk.-+х*. Очевидно, что х»£2 и
N+(х*) С N+. Снова зафиксируем t£Q и возьмем последова-
тельность	сходящуюся к I. Переходя в (11.6)
к пределу по подпоследовательности индексов (Л,}, получаем
I/>(**, ОКр v*GQ,
так что maxze<?|P(x#, /)|^и. Обратное неравенство справед-
ливо в силу определения j*. Таким образом, Р(х#, t) — поли-
ном, наименее уклоняющийся от нуля и.а Q. Поскольку
УДх*) с AZ+, то Р(х*, t)—базисный полином. Теорема дока-
зана.
Попутно установлена сходимость сеточного метода. Сфор-
мулируем этот результат.
Теорема 11.2. Пусть Qk— конечная ед-сеть компактного
множества Q и Р(хд, t) —базисный полином, наименее укло-
няющийся от нуля на Qk. Тогда при 8д—>-0 из последователь-
ности {хд} можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Хд,->х#. Полином Р(х*, 0 будет базисным и наименее укло-
няющимся от нуля на Q.
Закончим параграф теоремой существования решения для
общей ^инейной задачи чебышевского приближения.
Теорема 11.3. В случае непротиворечивости ограничений
(11.2) задача (11.1), (11.2) разрешима.
Это утверждение является очевидным следствием эквива-
лентности задач (11.1), (11.2) и (11.3) и теоремы 11.1.
В § II 1.6 будет.получен критерий оптимальности для задачи
(П.1), (11.2).
Упражнение
11.1.	Показать, что экстремальная задача
max I	— g(0|-* min,
<6МГ Jt	1 хеял'
где g и Vj — непрерывные на [а, р] комплекснозначные функ-
ции, сводится к линейной вещественной задаче чебышевского
приближения.
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНОЕ программирование,
дальнейшие результаты
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В иредыдущей главе заметную роль играла теория линей-
ных неравенств. В этой главе на передний план выходит гео-
метрия выпуклых многогранных множеств. Задача читателя за-
ключается в том, чтобы, с одной стороны, приобрести некото-
рую «многомерную» интуицию, а с другой — овладеть алгеб-
раическим языком, используемым для описания геометрических
объектов.
В § 2 вводятся понятия грани, вершины и ребра выпуклого
многогранного множества. Основной результат этого парагра-
фа— теорема 2.3 о представлении: если выпуклое многогран-
ное множество Q непусто и не содержит прямых, то любую его
точку можно представить в виде суммы двух слагаемых, из
которых первое принадлежит выпуклой оболочке множества
вершин Q, а второе — выпуклой конической оболочке множе-
ства направляющих векторов неограниченных ребер ££.
В § 3 доказаны еще две теоремы о представлении — для ко-
нуса рецессивных направлений и опорного конуса.
В § 4 мы возвращаемся к задаче линейного программиро-
вания и вводим понятие оценки ребра множества планов Q.
Показывается, что вершина Q оптимальна тогда и только тог-
да, когда оценки всех ребер, выходящих из этой вершины, не-
отрицательны. Если же существует ребро с отрицательной
оценкой, то при движении плана вдоль такого ребра целевая
функция строго убывает. С использованием понятия оценки
ребра получено представление множества оптимальных планов
(теорема 4.2) и установлен критерий единственности решения
(теорема 4.4).
В § 5 изучается метод последовательного улучшения плана
для решения общей задачи линейного программирования. Опи-
сание метода в геометрических терминах просто и наглядно.
Однако для практического применения нужно перевести это
описание на алгебраический язык. В невырожденном случае
перевод осуществляется элементарно в связи с тем, что на-
43
правляющими векторами ребер, выходящих из невырожденной
вершины Q, служат столбцы обратной базисной матрицы. Серь
езные трудности возникают при наличии вырожденных вершим
Их удается преодолеть в результате тщательного и непростого
анализа.
В § 6 дано опирание метода последовательного улучшения
плана применительно к задаче с ограничениями в канониче-
ской форме записи. К такому виду часто сводят произвольную
задачу линейного программирования для ее решения.
Вторая половина главы (§ 7—10) посвящена параметриче-
скому линейному программированию. В § 7 рассмотрен вопрос
об устойчивости. Основной результат здесь лежит на поверх-
ности и имеет качественный характер. Показано, что устойчив
вым объектом является строго оптимальный невырожденный
бцзцс.
В § 8 изучается задача со скалярным параметром 6, линей-
но входящим в целевую функцию. Установлено, что множество
Т значений параметра, при которых исходная задача имеет
решение, есть замкнутый промежуток и существует разбиение
этого промежутка, такое, что в интервалах между соседними
точками разбиения множество оптимальных базисов не меня-
ется. Отмечается также, что графиком функции
p.(0) = min,e2<c(9), х>
является непрерывная вогнутая ломаная. Описывается метод
решения рассматриваемой задачи при всех 0еТ.
Аналогичные результаты для задачи с параметром 0, линей-
но входящим в правые части ограничений, получены в § 9.
Читателю полезно разобраться в различии механизмов сме*
ны оптимальных базисов в последних двух задачах. Если сме-
на происходит при значении параметра 0=0о, то оба базиса —
сменяемый и сменяющий — оказываются оптимальными при
0=0О. В задаче с параметром в целевой функции опорная ги-
перплоскость <с(0), х> = const, соответствующая минималь-
ному значению целевой функции, перекатывается по (неизмен-
ному) множеству планов £2. Переход с одной вершины на дру-
гую совершается тогда, когда обе вершины и соединяющий их
отрезок лежат в опорной гиперплоскости. При этом упомяну-
тые оптимальные базисы отвечают двум разным вершинам.
В задаче с параметром в правых частях ограничений про-
исходит параллельное перемещение гиперплоскостей A[i, 2V]X
на пересечении которых лежит множество
планов £2(0). Если два базиса допустимы при изменении пара-
метра 0 в некотором промежутке, то отрезок, соединяющий со-
ответствующие вершины, передвигается параллельно самому
себе. Поэтому две вершины, оптимальные при каком-нибудь
значении 0, при других значениях 0 могут быть оптимальными
лишь одновременно. Перекатывание здесь невозможно. Пере-
44
ключение с одного оптимального базиса на другой происходит,
как правило, тогда, когда опорная гиперплоскость касается
Й(0) в одной вырожденной вершине, которой соответствуют оба
базиса.
Общей параметрической задаче с параметром во всех дан-
ных посвйщен § 10. Получённые здесь результаты довольно
скромны: доказано наличие конечного числа точек «переклю-
чения» и выяснены свойст&а функции
®(e) = min>eO(9)<c(0), х>.
Достаточно эффективного метода для решения общей парамет-
рической задачи линейного программирования пока нет.
§ 2. СТРУКТУРА ВЫПУКЛОГО МНОГОГРАННОГО МНОЖЕСТВА
Рассмотрим выпуклое многогранное множество
2 = х € R А {Л12, V] х х [А/] = о (Af,J
Знаковые ограничения на переменные включены в общие огра-
ничения-неравенства. С геометрической точки зрения множест-
во Q является пересечением конечного числа полупространств и
гиперплоскостей. Оказывается, что для Й существует другое
представление, использующее более тонкие геометрические по-
нятия. К изучению этого вопроса мы и переходим. В дальней-
шем предполагается, что Q непусто.
Обозначим Aj=AfiUAf2. Возьмем произвольное индексное
множество I, такое, что	(при Л42=0 допускается
/=0). Множество
огл-кср" АИ. N]XXM = *[/|	| ,22>
2(/)_д [Л1\/, /V] Xx[W] >d[M\Z] /	<2-2>
называется гранью Q. Для получения грани нужно в формуле
(2.1) каждое неравенство заменить, равенством или строгим
неравенством. Таким образом, общее количество граней равно
21I Среди них могут быть и пустые. Очевидно, что
Q(/)czQ и
2= и 2(/).	(2.3)
л2с /с м
Из определения также следует, что при разных / грани не пе-
ресекаются.
Приведем пример. У треугольника, задаваемого неравенст-
вами
— х[1] -х[2]> — 1, х [1] > 0, х [2] > 0,
имеется восемь граней: его внутренность, три вершины, три
открытых стороны и пустая грань, которая появляется прй за-
мене всех трех неравенств равенствами.
45
Наряду с непустой гранью будем рассматривать ее аф-
финную оболочку
aff ЩГ) = {хб R"l А [/, NJ Xx[N] = *[/]}.
Напомним, что множество PczQ называется открытым в Q
(относительно открытым), если для каждой точки х^Р найдет-
ся ее окрестность U(x) = {#eR*| || у—х || <б}, где д>0 за-
висит от х, такая, что U (x)HQczP. Открытое в множество
является открытым в обычном смысле. Нетрудно проверить,
что любая непустая грань открыта в своей аффинной оболочке.
При 1=0 грань Й(/) открыта в обычном смысле. Если она*
непустая, то естественно считать, что ее аффинная оболочка
совпадает с RN-_
Обозначим Р замыкание множества Р, т. е. совокупность
всех предельных точек для последовательностей из Р, Положим
также
Т) (х) [Af] = A [Af, М] X x(MJ—b[AfJ.
Лемма 2.1. Если Q(/)	0, то
q z/\ — f r p-'"	® 1^1	I /n xl
Доказательство. Множество, стоящее в правой части
формулы (2.4), обозначим £). Нужно показать, что Q(f) — D4
Включение 2 (/) С D очевидно. Проверим обратное включение.
Пусть x0QD, но х0([2(/). Возьмем x,(Q7) и рассмотрим
интервал (х0, xt), состоящий из точек x(t) = txx -f- (1 — чхм
^((0, О- Имеем
(х (/)) =/тДх,) + (1 — 0 W-
Учитывая определение 2(/) и О (см. (2.2) и (2.4)), получаем
(х0, х,)с2(7). Значит, точка х0 является предельной для то-
чек из 2(/), т. е. х0£2(/). Лемма доказана.
Из леммы следует, что
2(7)= U 2(7).	(2.5)'
jo I
Множество <?2 (/) = 2(/)\2 (/) называется относительной
границей грани 2 (/). Согласно (2.5) при 2 (/)=?<= 0 справед-
лива формула
<?2(/) = U 2(/).	(2.6)
J D Л /=£/
Лемма 2.2. Если 2(/)^0 и 2 (/) aff Q(/), TodQ^J^O*
Доказательство. Возьмем x06affs2(Z)\2(/),
46
и покажем, что на отрезке (х0, л-J найдется точка х(1) — хй +
л0), принадлежащая d2(7). Прежде всего отметим,
что *j(-«o)UI=^O ПРИ некотором	Далее, t\(x(t)) —
= т|(х0) + 7^(х1) —т)(х0)]. Положим
t0 .=	max - .. ГЛ(Xfl) .	(2.7)
{(еж v | ч (хо) Ш<о) 1 (-*i) PJ — 1 (-го) 1'1
В этом случае. 7о6[О, 1), ^(x(Z0)) (/] = 0[7|, ij(x(f0)) [M\/j >
^>0[М\1] и существует индекс i£Л1\/ (на нем достигается
максимум в (2.7)), такой, что тДх(/0)) [i] =0. Согласно (2.6)
x(t0)^dQ(/). Лемма доказана.
Введем понятие размерности грани. Напомним, что размер-
ностью выпуклого множества GcRx (она обозначается dimG)
называется число, равное максимальному количеству линейно
независимых векторов вида z=Xi—х2, где Xi, х2 принадлежат
G. Пустое множество размерности не имеет. Размерность одно-
точечного множества равна нулю.
Легко определить размерность аффинной оболочки affQ (7).
Она совпадает с максимальным числом линейно независимых
решений однородной системы
А[/, ЛГ]Х2[ЛГ]=0(/].	(28)
Из линейной алгебры известно, что это число равно разности
между количеством переменных и рангом матрицы A[l, Af].
Таким образом,
dim (aff £2 (I)) = | N | —rank A [/, Af].	(2.9)
Линейно независимые решения системы (2.8) обозначим
Z1...г».
Пусть Xi — произвольная точка из Q(I). Тогда aff Q(I) до-
пускает представление
aff2 (/) = (х = %!4-2/^1м [/]zj — oo<«[Z]<oo, Z£1 :s|. (2.10)
Учитывая (2.10) и открытость £2(7) в aff£2(7), нетрудно пока-
зать, что размерности £2(7) и aff£2(7) совпадают.
Лемма 2.3. Если £2(7J и Q(I2) — непустые грани £2, причем
7i<=72, /1^/2, то dim £2(7])>dim £2(72).
Д о ка за те л ь ство. Согласно (2.9) dim £2(7t)^dim £2(72).
Допустим, что dim £2(7i) =dim £2(72). Тогда гапкЛ[71, Af] =
=гапк Л[/2, АГ]. При ioe72\7i имеем
А [4. Af]=S/e/i4ijXA[Z, Af].
После умножения этого равенства справа на х0^й(/2) полу-
чим
47
ММ»2,е/.Ч‘1Х*И-
Значит, для
А 1А>, ^]Хх1^]=2<е/, 4*]XM'] = *IU
что противоречит определению Й(Л). Лемма доказана.
Объединяя леммы 2.2 и 2.3, приходим к следующему резуль-
тату.
Теорема 2.1. Если Q(I)^0 и й(/) y=aff Й (/), то относи-
тельная граница дй(7) непуста и все непустые слагаемые в ее
представлении (2.6) имеют размерность меньшую, чем размер-
ность й(7).
Рассмотрим грань нулевой размерности й(/). Для нее
гапкЛ[/, АГ]= | N |, и потому й(7) состоит из одной точки.
Грань нулевой размерности называется вершиной многогран-
ного множества. Если |7| = |JV|, то вершина называется невы-
рожденной. В противном случае говорят о вырожденной вер-
шине. Легко видеть, что для вершины й(/) справедливы равен-
ства
2 (/) = Щ7) = aff 2 (/).
Не всякое многогранное множество имеет вершины. Напри-
мер, у полуплоскости их нет. В следующей теореме указано
условие, гарантирующее существование хотя бы одной вер-
шины.
Теорема .2.2. Для того чтобы непустое многогранное мно-
жество имело хотя бы одну вершину, необходимо и достаточ-
но, чтобы оно не содержало прямых.
Вначале докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 2.4. Многогранное множество Й вида (2.1) не содер-
жит прямых тогда и только тогда, когда rank Л [Af, Af] = |JV|.
Доказательство. Если rankу4[Л1,2V]<|], то Суще-
ствует ненулевой вектор z[JV], такой, что Л[М, Af]Xz|W] =
=0[М]. В этом случае прямая x=Xq+/z, где х0 — произволь-
ная точка из В и —оо</<оо, содержится в Й. Обратно, пусть
прямая x=xo+/z, где и z=/=0, содержится в й. Если до-
пустить, что Л[го, /V] Xz[jV]#=0 при некотором то найдет-
ся точка x(/o)=*o+/oz на указанной прямой, в которой5 огра-
ничение с номером fo будет‘ нарушаться. Значит, Az=0. По-
скольку z=^0, то rank Д[Л1, У] < |Af|. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Необходимость легко
следует из определения вершины и леммы 2.4. Проверим доста-
точность.
Возьмем какую-нибудь непустую грань й(/). Ее размер-
ность может оказаться нулевой. Тогда она и будет вершиной.
Допустим, что dimQ(/)>0. Поскольку й не содержит прямых,
48
то £2(7) =/= aff £2(7). Это связано с тем, что согласно (2.10) аф-
финная оболочка содержит прямую. На основании теоремы 2.1
в относительной границе dQ(l) найдется грань Q(J) меньшей
размерности. К £2(7) применяем те же рассуждения. Через ко-
нечное число шагов придем к вершине. Теорема доказана.
Напомним, что многогранное множество имеет лишь конеч-
ное число граней, поэтому конечным же будет и число его вер-
шин.
Грань £2(7) размерности 1 называется ребром £2. Аффинная
оболочка ребра согласно (2.10) имеет вид
aff £2(7) = {x=x\+uz} |—oo<u<oo},
где Xi^£2(7). Если £2(7)= aff £2(7), то прямая aff £2 (7) является
гранью £2.
Допустим, что 2 (7)=^ aff 2(7). Тогда согласно теореме 2.1
относительная граница ребра 2(7) содержит грань нулевой
размерности 2(70), где /()Э7, 70=А7. Грань 2(70) состоит
из единственной точки хп, которая является вершиной 2. Эта
вершина называется концом ребра. Очевидно, что х0(£2(7),
но х0€2(7).
Поскольку Xo^aff £2(7), то Xq=Xi+uqZi. Если и0>0, то за-
меним 21 на —21; иначе оставим без изменения. Тогда
Xi=Xo+toZif где /о=|«о|>0. Вектор Z\ называется направля-
ющим вектором ребра £2(7). Нетрудно проверить, что он удов-
летворяет соотношениям
ЛИ, AqxAPV|=O[/J,	,21П
А Но\л /V] X г, [Л/J > 0 Ио\/].	' - '
Действительно, равенство следует из определения 2Ь а стро-
гое неравенство — из -выкладки
Ь [70\/] < А Ио\Л X X, [/V] = л [/,\/. JVJ х х0 [ЛГ] +
+ 4 А [/о\/. W] X z, [2V] = b +10 А [/0\/, /V] X z. [ЛГ].
Чтобы подчеркнуть связь между Z\ и х0, будем говорить, что
ребро &(/) с направляющим вектором Zi выходит из верши-
ны Хо.
По определению х0 имеем
A [M\I0, 2V] X х0 [JV] > b |/И\/0].
Если наряду с (2.11) выполняется неравенство
А /V] X г, [/V] > О [М\/о].	(2.12)
то ребро й(/) совпадает с лучом x—xo+tzi, />0, и потому
называется неограниченным ребром Q. При нарушении усло-
вия (2.12) ребро оказывается ограниченным. Проверим это.
4 Заказ № 66
49
Введем обозначения x(t)=x0-\-tZ\, а>1=Дз1 и отметим, что
T|(x(/))=r](xo)-Ha’i- По условию у вектора wt существует от-
рицательная компонента Uh[i] при ieAf\/o. Положив
: = min ^(х0) w, [Z]) > 0,
{'бЛ\/0|№, щ<0)
х2 = х0 + Л
получим (хо, х2)с:й(7), Хг^д&(1). В силу выпуклости Й(/)
имеем (х0, х2)=й(/). Точка х2 является вершиной й и вто<
рым концом ребра й(/). Само ребро Й(/) можно считать вы-
ходящим из вершины х2, если в качестве его направляющего
вектора взять z2=—Z\.
На этом мы заканчиваем техническую подготовку и перехо-
дим к вопросу о структуре выпуклого многогранного множест-
ва Й вида (2.1). Допустим, что Й не содержит прямых. Соглас-
но предыдущему у Й имеется конечное число вершин х0,
..., хр (р^О) и не более чем конечное число неограниченных
ребер с направляющими векторами ..., zq (#^0). Обозна-
чим L выпуклую оболочку, натянутую на вершины, т. е.
L = {* = [ZJ xt |а [/] > О; ХоМЛ = О-
Нетрудно показать, что L — ограниченное замкнутое выпуклое
множество. Обозначим К выпуклую коническую оболочку, на-
тянутую на направляющие векторы неограниченных ребер, т.е
к=U=р [у । Zj । р [/j > о, j е 1 4
При 9=0 полагаем Д={0}. По теореме 1.6.1 К — замкнутый'
выпуклый конус. Сформулируем основной результат этого пара-
графа.
Теорема 2.3. Если выпуклое многогранное множество Й не
содержит прямых, то Й = £+К.
Доказательство. Справедливость включения Л+КсЙ
следует из определения вершины и (2.11), (2.12). Проверим
обратное включение.
Возьмем	Согласно (2.3) у0 принадлежит некоторой
грани 2(/). В случае dim2(/) = 0 соотношение
тривиально, поэтому считаем, что dim 2(/)>0. Если dim 2 (/)==!>
то 2 (/) является ребром, так что у^ — х* 4- t^z** /0>0, гдО
х* — вершина 2, a z* — направляющий вектор ребра. Ребро
2(/) может быть неограниченным. Тогда + Если ж(
ребро 2 (/) ограничено, то yQ лежит на отрезке, соединяюще#
две вершины — концы ребра. В этом случае также у0££с£+$
Предположим, что dim Й (7)^2, или, что равносильно
rank Л [7, jV]^|7V|—2. По условию теоремы и лемме 21
гапк4[Л4, 7V]= ЛГ|. Поэтому у матрицы А найдутся две стро*
ки Л[и, ЛГ] и A]i2f W], и, i2 принадлежат М\1, такие, что сЯг
стема уравнений
50
A[I, N]Xz[N]=O[I],
A[ii, N]Xz[N] = l,
A[i2t N]Xz[N]= — 1
будет иметь решение z0=z0[Af]. Для нас важно, что у вектора
Wq=Azq существуют как положительные, так и отрицательные
компоненты.
Рассмотрим прямую, проходящую через точку уо с направ-
ляющим вектором Zq: y=yo+tzQi —oo<t<<x). Положим
ft : =	min . rt (y0) [Z]/w0 [/] > 0,
t2: =	min 7) (_y0) [t]/(— w0 UJ) > 0,
{iG-MX/l w„Pl<0}
У1==У0 —Mo. Л = Уо + Мо.
Как обычно, проверяется, что (уь У:)С2(/), У16<?2(/)» Угб
Кроме того,
л=т^л + отг;л.-
Получили, что уо лежит на отрезке [i/b у2], концы которого
принадлежат граням меньшей размерности.
К у\ и у2 можно применить те же рассуждения. Через конеч-
ное число шагов придем к представлению
где все оф] и £[/] неотрицательны и	= Значит..
у0££ + К. Теорема доказана.
Ограниченное многогранное множество называется много-
гранником. Из теоремы 2.3 следует, что для выпуклого много-
гранника Q справедлива формула Q=L.
Упражнения
2.1.	Пусть многогранное множество Й задано в канониче-
ской форме
s~	x[W]>0[W]	)•
Показать, что для Q понятия базисного плана и вершины сов-
падают.
2.2.	Доказать, что непустое многогранное множество, за-
данное в канонической форме, имеет хотя бы одну вершину.
2.3.	Точка выпуклого множества, которую нельзя предста-
вить в виде полусуммы двух различных точек того же множест-
ва, называется его крайней точкой. Проверить, что для выпук-
лого многогранного множества Q вида (2.1) понятия вершины
и крайней точки совпадают.
Ы
4*
2.4.	Пусть матрица А=А[М, W], где M=Af1|JM2, входящая
в описание (2.1) множества Q, имеет ранг г. Показать, что уй
существует грань размерности |ДО|—г.
$ X КОНУС РЕЦЕССИВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ И ОПОРНЫЙ КОНУС
По-прежнему рассматриваем непустое многогранное множе
ство вида
2 =
A [Af„ JV] X х (N| > b [MJ |
А[Л12, N| X*[/Vj — й[Л12| J
Ненулевой вектор /ieRN называется рецессивным направ-
лением множества Я, если при любом хоеЯ луч х=х0+//н
/>0, принадлежит Я. Совокупность всех рецессивных направо
леиий обозначим Ко. Очевидно, что Ко — конус.
Теорема 3.1. Справедливо представление
А [7И., У] X й [2V/ =0 |2И2],
М
Доказательство. Множество, стоящее в правой частй
(33), обозначим D. Включение DcKo очевидно. Проверим об*
ратное включение.
Пусть йеКо- Зафиксируем хоеЯ. По определению реце<3
еивнопо направления при всех />0 имеем
А[Ми AJ xa-JAJJ-MIM,, JVJ XA[/V]>ft']Mt],
А [М>. ..V] X х0 [2V] J- М [M2, 2VJ X й [/V] =6 [AfJ.
Поделив эти соотношения на и устремив t к + оо, получиЦ
А[М„ AqxMW|>0PU
А[М2, АГ) X Й(ЛГ] =O[Af,].
Значит, h^D. Теорема доказана.
Попутно установлено, что ненулевой вектор й будет рецес*
сивным направлением множества Я, когда луч x=x0+th, />0,
принадлежит Я хотя бы при одном
Конус Ко называется конусом рецессивных направлений. Ой
обладает тем свойством, что хо+Ко<=Й при всех xqgQ (рис. 3).
Рис. 3.
Лемма 3.1. Для того чтобы многогранное множество Q было
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы До=0.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность.
Допустим, рассуждая от противного, что Q не ограничено.
Тогда найдется бесконечная последовательность попарно раз-
личных точек х0, Хь ., Хь, . из й, такая, что ||х*—х0||-^оо
при А->оо. Имеем xfe=x0-Hftftfe, Л=1, 2, .., где ^=||xfe—хьИ,
hk=(xk—x0)/l|xft—х0||. Последовательность {hh} ограничена, по-
этому из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность. Можно считать, что вся последовательность {hk} сходит-
ся:	Покажем, что Л* — рецессивное направление.
Зафиксируем />0 и положим Xk(t) =х04-/йй. При больших
k точка Xk(t) лежит на отрезке [х0, *л]. В силу выпуклости Q
имеем х*(0^й. Далее, хЛ(/)->х0-Ь/Л* при £->оо. Учитывая
замкнутость £2, получаем Хо+М*ей при любом />0. Значит,
й*^До, что противоречит условию До=0. Лемма доказана.
Теорема 3.2. Если й — неограниченное многогранное мно-
жество, не содержащее прямых, то KoU{®} = ^» где К — вы-
пуклая коническая оболочка,- натя-
нутая на направляющие векторы
всех неограниченных ребер й.
Доказательство. Включе-
ние /fc/<oU{O} следует из соотно-
шений (2.11), (2.12), определения
выпуклой конической оболочки и
теоремы 3.1. Проверим обратное
включение.
Пусть — рецессивное на-
правление и Хо — точка из Й. Тогда
луч х=х0 + /й, />0, принадлежит
Й. По теореме 2.3
х0 th = и (О + v (t)
V/>0, (3.2)
где u(QeL,	Предполо-	Рис. 4.
жим, что h (р Д'. Поскольку Д —
замкнутый выпуклый конус, то по теореме о строгой от-
делимости найдется вектор а, такой, что <и, Л>>0 и <а, и> ^0
при всех уеД. Умножая (3.2) скалярно на а и учитывая огра-
ниченность множества L, получаем
t<a, h>^<a9 u(t) — xQ>
(ll«(OII + koll) W>(1
Но это невозможно. Теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы 3.2
A^=[/zeRA
А|2И„ /V] X A|Aq>O|M|l
А [Жг, /V] X А[ЛА] = 0(Л12|/’
53
так что К есть выпуклый многЪгранный конус.
Переходим к изучению понятия опорного конуса. Пуст^'
х* — вершина Q. Это значит, что {х#}=£2(/*), rank А [/*, AZ]
= |М| и
А [Л4\/Ф, У] X х* [/V] > b	।
A[l*, N]Xxt[N]=l>[lt]:
х* ограничения, определим
Отбрасывая неактивные в точке
множество (рис. 4)
У| X х[Л7]
ДГ] х x[/V] = b [M2] J
Очевидно, что 2 С Г (х*). Поскольку
Г/г г -fxCR"	^|ХхЬУ]>0(Л\М2П
1 (х«) — х* — \ A fc K Л [М2, /V] х-ИЛЛ =0 M2] J’
то Г(л#) есть выпуклый многогранный конус.с вершиной в
точке л*. Он называется конусом, опорным к множеству 2
в точке х#.
Теорема 3. 3. Справедливо представление
r(xJ=={x = x*4-Sy'=Ip[/]z?|H/]><). /61 -f},
где.гр zr — направляющие векторы всех реэер 2, вы хо-
дящих ИЗ
Доказательство. Нетрудно понять,, что многогранное
множество Г(х*) имеет единственную вершину х*. Поэтому
все его ребра, если они существуют, не ограничены. Заклю-
чение теоремы будет следовать из теоремы 2.3, если удастся
установить, что ... , zr— направляющие векторы всех ре-
бер Г(л*).
Возьмем ребро lj множества Г(х*) с направляющим векто-
ром ftj. Согласно (-2.11) hj является единственным с точностью
до положительного множителя решением системы вида
Л [/,. ЛГ] х Z [У|= 0 [/,.],
Л [АЛЛ АГ] X z [V] > о [/#\ль
где
ЛГ2С/ус:/*, rank A [Zy, /V] = | /V | — 1.
(3.5)
Учитывая это, а также (3.3), замечаем, что вектор х = х*4- thj
при малых t > 0 принадлежит грани 2 (/,) множества 2. В силу
(3.5) грань 2 (/р будет ребром 2, а поскольку удовлетво-
ряет (3.4), то это ребро выходит из вершины х* и имеет hj
своим направляющим вектором. Таким образом, h} с точностью
дс положительного множителя совпадает с одним из векторов
... , Z/T.
Наоборот, направчл.ощял вектор Zj ребра 2(Zy), выходя-
щего из вершины л* множества 2, удовлетворяет условиям
(3.4), (3.5). Отсюда следует, что z7- является направляющим
вектором одного из ребер Г(х«). Теорема доказана.
Упражнение
3.1.	Описать множество всех решений однородной системы
~ А [УИХ, N] X х JN] >0 [AJJ,
А [М2, N] X x[NJ=0[Ms]
в случае, когда rank А [Л1 iUAf2, N] = | N |.
§ 4.	ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Рассмотрим задачу линейногопрограммирования
/(х): = <с, х> -> min,
AlMlt	(4.1)
А[М2, N] X х ]N] = & ]/И2].
Предположим, что множество ее планов Q непусто и не содер-
жит прямых. Согласно лемме 2.4 последнее условие выполня-
ется тогда и только тогда, когда rank А [Л4, Af]=|AT|.
Введем важное понятие оценки ребра Q. Пусть zx —Направ-
ляющий вектор ребра Й(/), выходящего из вершины xq. В этом
случае справедливы соотношения (2.11). До сих пор нам была
безразлична длина направляющих векторов. Теперь будем счи-
тать, что все они нормированы, т. е. имеют единичную длину.
Величина A(zi) = <c, Zi> называется оценкой ребра Q(/)
относительно вершины х0. Поскольку A(z1) = <f,(x0), z{>, то
A(zi) есть производная целевой функции f в точке х0 по на-
правлению 21.
Лемма 4.1. Допустим, что множество Q либо ограничено,
либо не ограничено, но оценки всех егр неограниченных ребер
неотрицательны. Тогда задача (4.1) разрешима. Более того,
min/(x) = /(xz),
где Xi — одна из вершин Q.
Доказательство. Обозначим xQ, Xi, .., хр все верши-
ны Q, а 21, . zq — направляющие векторы всех неограничен-
ных ребер. Согласно теореме 2.3 для произвольного xeQ имеем
х = а И xt + 5’-i ? 1/1 zi>	(<2)
a[z]>0, И/1>°- 2,Р_оа [«] = !•
Умножая (4.2) скалярно на с и учитывая неотрицательность
оценок ±fzj), получаем
55
/(•*)> Xoa HI№) > min/(л,).
iGO’.p
Отсюда очевидным образом следует заключение леммы. Лемма
доказана.
Теорема 4.1. Задача (4.1) разрешима тогда и только тогда»
когда все неограниченные ребра Q, если они существуют, имеют
неотрицательные оценки.
Доказательство. Допустим, рассуждая от противного,
что задача (4.1) разрешима, но нашлось неограниченное ребро
Q(/j), состоящее из точек x(t)—Xi + tZj, />0, оценка которого
A(zj) = <G zj> отрицательна. Поскольку
/(*(/) )=/(хО-НД(г3),
то Iimt-»|.oof=— оо, что противоречит разрешимости за-
дачи (4.1). Таким образом, из разрешимости задачи (4.1) сле-
дует неотрицательность оценок всех неограниченных ребер Л
Справедливость обратного утверждения установлена в лем-
ме 4.1. Теорема доказана.	'
Предположим, что задача (4.1) разрешима. Введем обозна-
чение у. = min/(л). Выделим х,, /fc/*,—оптимальные вер-
шины Й и Zj, — направляющие векторы неограниченных
ребер,Яэртогональные с. В этом случае
/ (-fy)== щ G /(-^z) > Р-» ^60	/л
Д(гу) = О, /64; Д(г7)>0,
Теорема 4. 2. Множество решений S* задачи (4.1) допу-
скает представление
= {* = а И х< + X ? 1/1 z; Iа [i] > °.
Х/е/фоф] = 1).	(4.4)
Доказательство. Обозначим Q* множество, стоящее
в правой части (4.4). Включение Q*czQ* очевидно. Проверим
обратное включение.
Пусть т. е. xefi и f(x)=p. Как всякий план, х мож-
но представить в виде (4.2). Умножая (4.2) скалярно на
получаем
Хоа и - р)+ил д =°-
Согласно (4.3) все слагаемые в левой части этого равенства
неотрицательны и, значит, равны нулю. Отсюда следует, что
a[Z] = O, если /(xz) > н
v 171 = О, если Д (zy) > 0.
Выбрасывая из правой части (4.2) слагаемые с нулевыми ко
56
эффициентами, приходим к требуемому представлению для х.
Теорема доказана.
Установим критерий оптимальности вершины.
Теорема 4.3. Для того чтобы вершина х* множества Q была
оптимальным планом задачи (4.1), необходимо и - достаточно,
чтобы все ребра Q, выходящие из х*у имели неотрицательные
оценки.
Доказательство. Необходимость очевидна. Проверим
достаточность.
Возьмем произвольный план х. Поскольку Q содержится в
опорном конусе Г(х*), то по теореме 3.3 вектор х можно пред-
ставить в виде\
х = +	(4-5>
где z1?..., zr — направляющие векторы всех ребер 2, выхо-
дящих из вершины х#. Умножая (4.5) скалярно на с и учи-
тывая неотрицательность оценок Д (zy), получаем f (x)>f(x*).
Значит, х* — оптимальный план. Теорема доказана.
Теорема 4.4 (критерий единственности). Для того чтобы
вершина х* была единственным решением задачи (4.1), необ-
ходимо и достаточно, чтобы все ребра 2, выходящие из
имели положительные оценки.
Доказательство. Необходимость. Согласно тео-
реме 4.3 оценки Д(?у) всех ребер 2, выходящих из х#, неот-
рицательны. Допустим, что A(zy) = 0 при некотором у С 1 :г.
Тогда при малых t > О
Но это противоречит единственности решения.
Достаточность. Возьмем х£2, х=#х*. В этом случае
в представлении (4.5) не все р [у] равны нулю. Умножая (4.5)
скалярно на с и учитывая положительность всех оценок А (?Д
получаем /(х) >/(хД Таким образом, х*— единственное
решение задачи (4.1). Теорема доказана.
Замечание. В данном параграфе направляющие векторы
Zj ребер 2 считались нормированными, что позволяло интерпре-
тировать оценки A(zj) как производные целевой функции по
направлениям. Однако в лемме 4.1 и теоремах 4.1, 4.3, 4.4 учи-
тывались не конкретные значения оценок A(zj), а только их
знаки. В дальнейшем мы будем использовать другие норми-
ровки направляющих векторов. Знаки оценок A(z}) = <c, Zj>
от этого не изменятся.
Упражнения
4.1.	Предположим, что множество О- содержит прямые. До-
казать, что в этом случае задача (4.1) разрешима тогда и толь-
ко тогда, когда вектор с принадлежит конусу, сопряженному
конусу рецессивных направлений Q.
57
4.2.	Доказать следующее утверждение о строгой единствен-
ности: если все ребра Й, выходящие из вершины х*, имеют по-
ложительные оценки, то найдется у>0, такое, что
§ 5.	МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ ПЛАНА.
ОБЩАЯ СХЕМА
Обратимся к методу решения задачи линейного программи-
рования (4.1). Предположение о том, что множество планов й
непусто и не содержит прямых, остается в силе.
Суть метода заключается в последовательном переходе от
одной вершины й к соседней по ребру, вдоль которого целевая
функция убывает. Иногда этот метод называют методом сосед-
них вершин. Опишем его подробнее.
Возьмем вершину х0. Если среди ребер, выходящих из х0,
нет ребра с отрицательной оценкой, то согласно теореме 4.3
Хо — решение задачи (4.1). В противном случае находим ребро
с отрицательной оценкой. Если оно не ограничено, то задача
(4.1) не имеет решения pnf /(х) = — ooj. Допустим, что реб-
ро с отрицательной оценкой ограничено. Тогда второй его конец
Xi берем в качестве очередного приближения. Точка xj является
вершиной й, и /(xj <f(x0). С вершиной Xi поступаем анало-
гично, и т. д.
Этот метод конечен, поскольку конечно -число вершины Й
и целевая функция на последовательных приближениях строго
убывает. Через конечное число шагов либо придем к оптималь-
ной вершине, либо установим неограниченность снизу целевой
функции на множестве планов.
Реализация указанного метода связана с нахождением на-
правляющих векторов ребер, выходящих из заданной верши-
ны й. Получим для них явную формулу.
Допустим сначала, что {%*]=: 2 (/*)— невырожденная вер-
шина. Имеем
М2С/#СЯ 141 = 1^1, rank А [4, Af] = |,V|.
В частности, А [/*. N]—квадратная неособенная матрица.
Направляющие векторы всех ребер, выходящих из х*, опре-
деляются как решение системы
Л[/, ^Хг[Л’] = 0[/|,	п
7V] X Z I/VJ > 0 [4\/]	1 '
при различных /, таких, что
Л12с/С/*, гапкД[/, А/] ='А'| - 1.
В данном случае / необходимо имеют вид / =	где
/64\Л42.
58
Заменим строгое неравенство в (5.1) равенством
Л[/, N] x'z[/V] = l.	(5.2)
Тогда систему (5.1) можно переписать в виде
А[Ц, W] X г[/V]=e,•[/*].
решение этой системы Zj существует и единственно. Если
обозначить B[N, /*] матрицу,, обратную к Д [7*, 7V], то
Таким образом, из невырожденной вершины х# выходит
|| — 17И21 = | N | — |	| ребер, направляющие векторы кото-
рых совпадают со столбцами матрицы. В [N, /#\Л42]- Усло-
вие (5.2) можно воспринимать как новую нормирэвку направ -
ляющих векторов.
Рассмотрим теперь общий случай |/*| > |N|.
Определение, Строчным базисом вершины х* называ-
ется индексное множество У, такое, что
Af2cJc/^ |/| = [У|, rank4[J, W] = |/V|.	(5.3)
Для существования строчного базиса необходимо и доста-
точно, чтобы
гапкА[7И2, /V] = | М2|.	(5А)
В дальнейшем это условие считается выполненным.
Важна отметить, что у невырожденной вершины строчный
базис единствен. Он совпадает с /*.
Возьмем один из строчных базисов J вершины х*. Мат-
рицу A [J, /V] называют базисной, а обратную к ней матрицу
B[N, J] = (А [У, V])"1 — обратной базисной. Напомним, что
в случае невырожденной вершины х* столбцы обратной ба-
зисной матрицы В[/У, у],	являлись направляющими
векторами всех ребер, выходящих из х*. Выясним геометри-
ческий смысл столбцов матрицы В [М, /\Л12] в случае вырож-
денной вершины х*.
Если из ограничений
A[Afi, N]Xx[N]^b[Mx]9
А[М2, N]Xx[N]=b[M2]
исключить неравенства с индексами	то оставшиеся
ограничения определят множество 2/. Очевидно, что 2 С 2j
и х* — невырожденная вершина 2У. Столбцы матрицы
^\Af2] являются направляющими векторами всех ребер 2/,
выходящих из х#.
Лемма 5.1. Пусть	Для того чтобы столбец
B[N, /о] был направляющим вектором ребра 2, выходящего
из х*, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нера-
венство
59
w (4\Л : = A ЛП X В [Л\ /0] > О [Z*Vb (5.5)
Доказательство. Необходимость очевидным образом
следует из (2.11). Проверим достаточность. Введем индексное
множество
2V]xBpv,/ol=O).
Поскольку
Л[Л хВ[М/о1 = еЛИ,
(5.6)
то J\{y0) С/о- В частности, Л/2 с/© Си rank Л [Ао, /V] >
>|2V| — 1. Согласно определению /0 rank А |/0, У] < | N\. Зна-
чит, rank А [/0, Л'] = | N | — ).
Объединив (5.5) и (5.6), придем к соотношению А [/*, 7V]X
XB[N, /о] >0(41. которое с учетом определения /0 можно
переписать в виде
А
А
14, N]XB[N, /о]=О[/о],
[4Vo, Я] х Л] >O[/*\/ob
Получили, что В[Л/, /о]—направляющий вектор ребра Й(/о),
выходящего из вершины х*. Лемма доказана.
У Qj могут появиться ребра, внешние к й. Поясним это на
примере.
На pile. 5 изображена пирамида Й с вырожденной вершиной
х*. Боковые двумерные грани помечены номерами ограничений,
их определяющих. Очевидно, что индексы активных в точке х*
ограничений образуют множество /* = 1 :4, и любой из наборов
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} будет строчным базисом
вершины х*.
Возьмем /={1, 2, 3}. Исключив из плоскостей, ограничи-
вающих Й, плоскость с номером 4, получим многопранное мно-
жество й/, изображенное на рис. 6. Точка х* стала невырожден-
Рис. 5.
Рис. 6.
ной вершиной ftj. Из нее выходят три ребра с направляющими
векторами z2, 2з- Ребра, соответствующие z3, совпадают с
60
ребрами й, а ребро с направляющим вектором будет внеш-
ним к Й.
Следующее утверждение является в определенном смысле
обратным к лемме 5.1.
Лемма 5.2. Для каждого ребра й(/), выходящего из вер-
шины х*, найдется строчный базис J (вообще говоря, не един-
ственный), такой, что один из столбцов В [ДО, /0], /0eJ\Af2,
обратной базисной матрицы будет направляющим вектором
этого ребра.
Доказательство. Поскольку гапкА[/, ДО] = |ДО|— 1 и
выполнено условие (5.4), то существует индексное множество
/ocz/ со свойствами
Af2C/0. |/о1 = |ЛД| — h rankA[/0, ДО]=|ДО|-1
(может оказаться, что /0 = /). Положим J=/o(J{/oh где /0 —
индекс из /#\/, обеспечивающий равенство rank A [J, ДО| = |ДО|.
По построению J—строчный базис вершины х#. Покажем,
что столбец В [ДО, /0] обратной базисной матрицы В [ДО, J]
является направляющим вектором ребра 2(/).
Для этого заметим, что B[N, /0] удовлетворяет, системе
уравнений
А По. ^Хг^]=О[/о],
Д[/о. N]X2^] = 1.
Направляющий вектор z0 ребра й(/) после соответствующей
нормировки также удовлетворяет этой системе. Учитывая, что
матрица A [J, ДО] системы (5.7) неособенная, получаем
<о [ДО] = В [ДО, /о]. Лемма доказана.
Из леммы 5.2 и теоремы 4.3 следует, что в процессе пере-
бора строчных базисов неоптимальной вырожденной вершины
й будет найдено ребро Й с отрицательной оценкой. Полного
перебора базисов, вообще говоря, не потребуется. Покажем,
что и при проверке вырожденной вершины на оптимальность,
как правило, можно избежать полного перебора базисов.
Назовем строчный базис J вершины х* оптимальным, если
А [^\/И2]: = с [ДО] X В [ДО. J\M2] > 0 [/\MJ.	(5.8)
Лемма 5в3. Если у вершины х* множества 2 существует
оптимальный строчный базис J, то она является оптимальной,
т. е. доставляет минимум функции <с, х> на 2.
Доказательство. Как уже отмечалось, — невырож-
денная вершина множества 2У. Согласно (5.8) все ребра 2у,
выходящие из х*, имеют неотрицательные оценки. Значит,
х* — оптимальный план задачи
f (х): = <с, х> -> min.
Имеем /(x)J>/(х#) при любом 2/. Поскольку 2 с 2у,
61
то /(*)>/(**) при всех Получили, что х* — оптимальг
ный план исходной задачи (4.1). Лемма доказана.
Лемма 5.4. У оптимальной вершины существует оптималь-
ный строчный базис.
Доказательство. Для невырожденной вершины утвер-
ждение очевидно, поэтому считаем, что оптимальная вершина
л* является вырожденной.
Рассмотрим опорный конус
г (xj={х е к"
Из оптимальности х*
решение задачи
Д [Л\/И2, /V] X х [/V] > Ь [/*\ЛГ2] 1
А [М,, ЛГ] X х [WJ = b [М2]	|
и теорем 3.3, 4.3 следует, что х* есть
<с, х> -> min .
-ver (**)
(5.9)
t
Введем еще одну задачу линейного программирования
<с, х>
min,
(5Л0)
где

А \1*\МЪ NJ X х [/VI > Ь,
А [М2, /V] Xx[V] = i,
Вектор bi [/*] определим следующим образом. Пусть /#\/И2 =
= 1/!.	и a.[jpls=e₽	а.[/] = 0, i£M2. Тогда
bt [/«.] = b [/*j — at [/*]. Отметим, что bt [/И2] = b [M
При е>0 справедливо включение Г(х#)сГ„ В частности,
Г,— непустое множество. Далее, rank А [/#, /V| = |/V|, так как
х* — вершина 2. Отсюда следует, что и Г, имеет хотя бы
одну вершину. Покажем, что существует е > 0, при котором
все вершины Ге будут невырожденными.
* Зафиксируем индексное множество J, удовлетворяющее
условиям (5.3). Возьмем ik^I^\J и рассмотрим алгебраиче-
ский полином
Рк (е) = е* — А [/*, /V] X в [У, J\M2] х а. [ J\M2] =
= t»-	2 dip] е₽.
Поскольку	то коэффициент при е* равен 1. Для нас
важно, что Рл(е) не равен тождественно нулю. Обозначим-е*
наименьший положительный корень Р*(е) (если положитель-
ных корней нет, то еА==н-со). В этом случае Рк (е)	0 при
е £ (0, ей). Пусть e(J) = min eft и е. — минимум e(J) по
{M^e/.xj}
всем J, удовлетворяющим условиям (5.3). Тогда в качестве
требуемого е можно выбрать любое число из интервала (0, е*).
Проверим это.
62
Возьмем вершину xt множества Ге. Она имеет строчный
базис J, который удовлетворяет условиям (5.3). Учитывая ра-
венство
A [J, NJ X хс [Л’] = &.[/],	(5.11>
получаем
xe[/V]=fi [N, J] X МЛ=В|Л\ J] X b [j] - В [АГ, J]xa.[Z]=
= х* [N] - В [2V, /\УИ2] X а. [У\Ж2].
Отсюда следует, что при
A [iA, N] X хс IN] - b. [Z*] = е* — Л [Zft, JV] X В [N, /\Д].Х
Xat[J\A42] = Pt(4
В силу выбора е имеем Р»(е)>0. Таким образом,
л[4\Л
(5.12)
На основании (5.11) и (5.12) заключаем, что xt— невырожден-
ная вершина 1\. Тем самым доказано, что при е£ (0, е*) лю-
бая вершина Ге является невырожденной. На рис. 7 иллю-
стрируется связь между множествами 2, Г(х#) и Ге.
Рис. 7.
Вернемся к задачам (5.9), (5.10). Согласно теореме 3.1 мно-
жества их планов ивдеют один и тот же конус рецессивных на-
правлений. Поскольку первая из этих задач разрешима, то по
теореме 4.1 разрешима и вторая. Обозначим xt ее оптималь-
ную вершину. Как и все вершины Г8, она невырожденная.
Единственный строчный базис J вершины хе удовлетворяет
условиям (5.3). Кроме того, в силу оптимальности х. выпол-
няется неравенство
с [Л7] X В [N, J\M2] > 0
Но это, с другой стороны, означает, что J есть" оптимальный-
строчный базис вершины х* множества Q. Лемма доказана.
63
Теперь методу последовательного улучшения плана решения
задачи (4.1) можно придать более конструктивную форму. Ме-
тод сводится к частичному перебору строчных базисов вершин
£2 до появления либо оптимального строчного базиса, либо не--
ограниченного ребра Q с отрицательной оценкой. Перебор ба-
зисов осуществляется так, что каждый новый базис Л+i отли-
чается от предыдущего Л лишь одним индексом. Опишем де-
тально одну итерацию метода.
Исходными данными итерации являются: вершина Xk, ее
строчный базис Л и обратная базисная матрица Bk[N, Л].
Итерация разбивается на ряд элементарных шагов.
I.	Базис Jh проверяется на оптимальность. Для §того вы-
числяется вектор оценок
А» = с [/V] X Вк [/V,
Если МЛ\Л1,]>0[Л\Ли то Jk—оптимальный строчный
базис. По лемме 5.3 хк— решение исходной задачи. Процесс
закончен.
В противном случае выбирается один-из индексов Л\тИ2,
на котором Д* Г/Л] < 0.
II.	Вычисляется вектор
wk [Л1 \4] = А	/V] X в* [V, /*],
где Af=AfiUAf2. Предположим, что	А] >0[Л4\/лК
Тогда на основании леммы 5.1 и соответствующих определений
из § 2 столбец Bk[N, jk] является направляющим вектором не-
ограниченного ребра Й, выходящего из вершины Поскольку
оценка этого ребра Д&[/&] отрицательна, то исходная задача не
имеет решения. Процесс закончен.
Остается рассмотреть случай, когда у вектора
есть отрицательные компоненты.
III.	Находим величину
min {-------------- 771----->.
{/ел!\/Л| №Лш<о) (	-	J
Очевидно, что Обозначим Ik один из индексов, на кото-
ром достигается указанный минимум.
IV.	Определяем xk¥i = xk+tkBk[N, /*],	=Л\{/л) U{/*)
Нужно проверить, что хк+У — вершина 2, а Л+1 — ее строч-
ный базис.
Возможны два случая.
1. 7ft=0. Имеем
А[1к, 2V]	= Ш
®И41<0, Хк+Х=хк.
Ограничения в точке Xk на индексном множестве Jh+i активны
64
(выполняются как равенства). Покажем, что матрица
Д[Л+1, Af] неособенная. Допустив противное, придем к пред-
ставлению
A\lk, ЛА] =	2	®[1]ХЛ[/, ЛА]. (5.13)
<е/Л\{4} w
Поскольку
A[Jk, N}y.Bh[N, А]=е,ДЛ],	(5.14)
то после скалярного умножения (5.13) на Bk[N, /*] получим
№л[/а]=О, что противоречит условию а»л[Ал]<0. Таким обра-
зом, rank Л[Д+ь ЛА] = |JVJ.
В рассматриваемом случае осуществляется переход к дру-
гому базису той же вершины.
2. Л>0. Согласно определению th имеем и>л[1]^0 при
всех	соответствующих активным в точке Xk ограни-
чениям. По лемме 5.1 столбец Bh[N, /\] будет направляющим
вектором ребра й, выходящего из вершины хк. Это ребро огра-
ничено, поскольку шл[Л]<0. Точка xk+i является вторым его
концом. Учитывая (5.14) и определение Ik, замечаем, что огра-
ничения в точке Xk+i на индексном множестве Jkn активны.
Выполнение же условия w[4]^0, как и в предыдущем слу-
чае, гарантирует неособенность матрицы Л[Л+], ЛА]. Установ-
лено, что Xk+i есть новая вершина й со строчным базисом Jk+i-
Более того, f (хк+\) =f (*л) + ЛДь[/л] < f(xk).
V. Строим обратную базисную матрицу В^л [ЛА, УА>1]. Пусть
Л == | ЛА |, Jk == (Л, ... , Jk-\, jk, jk+\ * ••• i Л) > Ли == {Ji > • • • > Ли»
/*, Ли, • ♦ • , ЛЬ Вычисляем
«ИЛ1=Л[/*, ЛА] X в*[ЛА, 4Г.
Поскольку ал[Л] ХЛ [Д, ЛА}=Л [/л, ЛА], то а&[/.] есть коэффи-
циенты разложения новой строки Л.[4, ЛА] по старому базису
Л[/5, ЛА], sel:n. Отметим, что ал[Д] =ш[М<0. *
Введем вектор Рл[Л+1] с компонентами
МЛ1 — ^/аи [/*]>
[Л] = - «* [Л1/«а [ЛЬ $6 1: «\М,
и матрицу Lk[Jk, Л+i], отличающуюся от единичной только
/л-й строкой:
(1	000	0 \
МЛ]’ ..МЛ-d МЛ] МЛн]’--МЛ] .
о	ООО	1 /
Покажем, что
В^ [ЛА, Ли] = Bb [.V, х Lk [Л, Ли]. (5.15)
5 Заказ № 66
65
При st 1 :п\{Л) имеем
Д \js, TV] X В„ |4 J»] х L„ [/*, A,J =
=	Х^л1*Д, А+1] == l^A+lJ*
о	z о
Далее,
А [/*, N] X В„ [N, JJ х Lk [Д, Л+1] =
== l/л] X Lk [</д,	[‘/fe+ij*
Таким образом, Л[Л+ь N] X (Bk[N, Л] X Lk[Jk, Л+i])^
~E[h+], Л+i]- Формула (5.15) доказана.
Матрица Lk[Jk, A+i] называется мультипликатором.
На этом описание одной итерации метода последовательного
улучшения плана завершается.
Вопрос о нахождении начальной вершины х0, ее строчного
базиса JQ и обратной базисной матрицы BQ[N, /о] в общем
случае не является простым. Мы на нем не будем останавли-
ваться.
Замечание. В приведенном выше описании допускаются
два неоднозначных выбора.^ Первый — это выбор индекса Д
с отрицательной оценкой Дл[Д]; втогрой — выбор индекса /д,
на котором достигается минимум при вычислении th- Имеются
различные правила однозначного выбора Д и /А. По существу,
эти правила определяют политику перебора базисов вершин и,
в частности, политику перебора базисов одной и той же вырож-
денной вершины.
При некоторых правилах однозначного выбора, принятых,
на практике, возможен повторный выход на уже проверенный
базис. Это приводит к повторению вычислений и называется
зацикливанием. Однако, как показывает опыт, зацикливание-
встречается крайне редко.
Разумеется, существуют такие правила выбора индексов Д
и /д, которые исключают зацикливание. Они несколько услож-
няют алгоритм и потому используются лишь в тех случаях,
когда это необходимо.
Важно понять, что зацикливание может происходить только
от несовершенства алгоритма перебора базисов вырожденной
вершины.
Из описанной в этом параграфе общей схемы следуют все
численные реализации метода последовательного улучшения
плана для решения задач линейного программирования с раз-
личными ограничениями.
Упражнения
5.1.	Привести пример, когда ни одно ребро Qj не совпадает
с ребром Q.
5.2.	Привести пример, когда оптимальная вырожденная вер*
шина имеет неоптимальный строчный базис.
66
5.3.	Пусть G — совокупность всех строчных базисов вер-
шины х*. Показать, что S = f)
*	JGO
§ в. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Применим метод последовательного улучшения плава к ре-
шению задачи линейного программирования с ограничениями
в канонической форме записи
f(x): = <с, х> -> min,
А [Af, N] X х [N] = b [М|,	(6.И
х [N] >0 [NJ.
Множество планов й этой задачи можно представить в виде
(2Л):
« — {JCfcK Д [Af, N] X х [N] =/> [Af[[ ’
Будем считать, что й непусто и
rankA[Af, N]=|Af|.
(6.2>
Поскольку QczR+, то й не содержит прямых. Условие же
(6.2), аналогичное (5.4), гарантирует наличие у каждой -вер-
шины й хотя бы одного строчного базиса.
Возьмем вершину х* множества 2 и один из ее строчных
базисов J = M{JN0. Имеем х* [2V0] = O[No| и |N|=|J|=
= |М|4-1No|. •
Определение. Индексное множество N* — назы-
вается столбцовым базисом вершины х*.
Отметим, что | N* | = | N | — | No | = | М|. В частности, мат-
рица A [At, N*] является квадратной.
Запишем базисную матрицу. После соответствующей пере-
становки строк и столбцов она примет вид
(А \М, NJ A IM, No!)
(О |N0, N*] £[N0, Nop-
По определению эта матрица неособенная. Неособенной же
будет и матрица А [М, N*]. Обозначим
D[Ne, А1] = (Д[/И, NJH.
Покажем, что для обратной базисной матрицы справедлив»
представление
5*
RIN Л =
1 ’J| Ц) [,VO,
Af
М
- Y\N^ No!)
Е ЬЧ. No]/’
6?
где ИМ*, No] =D[N*, М] X А [Ж, NJ. Действительно,
(D[N*, ЛЛ - K[N*, Noh v М (-М, NJ А\М, No]\
\0 ]N0, М\ £[N0, NJJ х(д |N„ NJ £[Ne, No )~
N*, NJ 0 (N#, Ne] ।
No, NJ £]N0, No]/'
‘Отсюда следует, что направляющими векторами всех ребер 2
выходящих из х*, являются столбцы
Найдем вектор оценок. Имеем
А (No]: = с (N] X В |N, No] =с [No] - с (NJ X Y [N„ NJ.
Если A[No] >O(No], то столбцовый базис N# называется.оп>
тимальным.. Согласно лемме 5.3 вершина х*, у которой суще*
ствует оптимальный столбцовый базис, является решением
задачи (6.1).
Пусть /eNo. При проверке ребра с направляющим вектором
B[N, /] на неограниченность используется вектор w. В данном
случае он будет таким:
® (Vj : = Е (N*, N| X В [N, j\ = В (N*, у] = - У [N*, /].
Теперь метод последовательного улучшения плана решения
задачи (6.1) можно свести к частичному перебору столбцовых
базисов вершин й. Опишем одну итерацию метода.
Исходными данными итерации являются: вершина х>, ее
столбцовый базис и обратная матрица Dk [ Af], =й
= (А (Л4, Л^Л)]Г* Итерация разбивается на следующие эле*
ментарные шаги.
I. Базис проверяется на оптимальность. Для этого вы*
числяется вектор оценок
А4^Ч=с[М‘Ч-ст X y>W>, мч.
где Nr = N\Ni” и У(№>, М“]=ОА[N<*>, /И]х A [W.-N^J*
Если Д*[No0] >О [MMJ, то N*ft) — оптимальный столбцовый
базис. Вершина х*есть решение задачи (6.1). Процесс закончен*
В противном случае выбирается один из индексов AGN^-
на котором ДА (/*] < 0.
И. При выполнении неравенства
Л[<ч1 : = r.lM*’.
заключаем, что задача (6.1) не имеет решения (infx6Qf(x)=—со).
Процесс закончен.
68
Допустим, что у вектора yk [jV*ft)] хотя бы одна компонента
положительна.
III.	Находим величину
Л = min {-М/Ш1/1)-
Обозначим lh один из индексов, на котором достигается ука-
занный минимум.
IV.	В качестве очередного приближения берем х*+1=
^Xk + tkBktN, Д]. Учитывая (6.3) и определение tk9 получаем
[•/]=**И - tkyk[у], /€ М'ХЛ); хм
х*+1[/]=0, /еМ*\(Л}и{/*}.
Поскольку A+1 = 4\{/*)U</*|, то
М‘+1) =Л\Ли = A‘fc)\|/*}-U Ш.
V.	Строим обратную матрицу
pv<*+l>, М] = (А [Л!,
Пусть т = \М I, №» = (/„ ... , /*.„ /*, /ЙИ, ... , ZJ, №?+’» =
= (Zf, ., Z*.1( jh, 1к+„ .... 1т]. Заметим, что
Dk [М‘>, М]ХА [М, Л] = Y„ [М"’, /*] = У* Ю-.
Таким образом, ук [Z^.] есть коэффициенты разложения нового
столбца А [М, /А] по старому базису А [М, ZJ, sQ\:m.
Введем вектор [М*+1)] с компонентами
ЫЛ1 = 1/УлНйЬ
М^ = --МЫ/уЛ'*Ь 1 :/n\W,
и матрицу Lk [Л^к), Л^к+1)], отличающуюся от единичной
только /Л-й строкой:
/ 1	0	0	0	0 \
Lk[N^\ М4+1)] Ц мм...м4л мА]'ы4+й.• • мм I.
\ О ООО	I /
Как и в предыдущем параграфе, показывается, что
[МЛ+П. AZ] = Ll [Mft+n, М*Ч X Dk [N^\ Ж]. (6.4)
На этом описание одной итерации метода завершается.
Вопрос о нахождении начальной вершины х0, ее столб-
цового базиса 7Vi°} и обратной матрицы £)0 [Л/*(0\ А1] хорошо
освещен в литературе. Мы не будем на нем останавливаться.
Приведенный вариант метода последовательного улучшения
плана решения задачи линейного программирования с ограни-
69
ченнями в канонической форме записи* называется симплекс
методом. Иногда для краткости и общую схему метода после
довательного улучшения плана называют симплекс-методом.
В§ 8 нам понадобятся формулы преобразования векторг
оценок Д* в ДАИ [М‘+1)] • Получим их.
Прежде всего отметим, что М*+” = Аг\Лг?+1> = М*’\{/А) Ц
U {/>|. Согласно (6.4) имеем
А»+1 И+”] =с [*ГП] - С [леЧ х Dt+i [лё”, м] X
X А[Ж, М*+”] =с [Mh+1)] -с[М.*+1>] X LTk [/<*+’>, tfW] х
X Dk [У?’, М] X А [Ж, МА+,)].
Но
c[v<?+,4 xzJpv?+” МА,]=4^?’] +
+ (с х МлГЧ г,Х’|.
При этом
С pv?+”] X ₽» [ле+1)] - ° [4] = (- 2U С X ук [4] +
+ С 17*1 - с (/*] X у* [/*])/№ [/*] = (с [Л1 - С pv?>] X
X Yk [/v<*>. /*])/Л [/»] = л» (л]/уА [/*].
Значит,
[М>‘+”1 = € [<+”] - (с [МЧ 4- (Д* Ы/уА [4]) е1к [М‘Ч) X
X Dk [М*\ Af] X А [м, М*+Ч-
Пусть /бМЛ)\(Л). Тогда
Д*+1 [У1 = с [/1 - с [Л^] X Yk [М% 7] -
- (Л*\Jk\lyk [lk\)elk [Мл)] X Yk [2V?’, у] =
= А» 1/1 - А* [/»] Yk [1к, j]/yk [/»]•	(6-5)
Кроме того,
Д*Ч	= с [/*] - с pv?’] X е1к [У?’] -
- Д* (7* ]/у* [41 = - Дй I/к\!ук [41 •	(6-6)
Формулы (6.5), (6.6) и есть требуемые формулы пересчета.
Упражнения
6.1. Пусть у квадратной неособенной матрицы А [Л4, А41
столбец с номером равен Показать, что у обрат-
ной матрицы DIN*, М] столбец с номером i равен
6.2. Найти матрицу, обратную к У-ДМ?’, Л7?+1’]-
ТО
§ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Понятие столбцового базиса, введенное в предыдущем па-
раграфе, можно расширить, не связывая его непосредственно
с понятием вершины. Будем называть столбцовым базисом лю-
бое индексное множество Af*cz/V, такое, что
|АЩ = |А1|, det.4[Af,
(det Л [Af, обозначает определитель матрицы А [М, Л/#]).
Пусть D[N*, Ж]=(А[Л1, V*])-1. Если
D[N*, М] ХММ]>0]ЛМ,	(7.1)
то базис W* называется допустимым. Допустимому базису N*
соответствует вершина х* множества 2 с компонентами
м]хф<|,	,79.
При этом N* — столбцовый базис х* (может быть, не единст-
венный).
Допустимый базис N* называется невырожденным, если не
равенство (7.1) выполняется как строгое. Невырожденному ба-
зису соответствует невырожденная вершина Й, для которой он
является единственным столбцовым базисом.
Допустимый базис 7V* называется оптимальным, если
A [W\N*]: = с [N\N*j - c[N*] X D [N^ M] X
XA[M, N\N^>0[N\N*],
и строго оптимальным, если Д	> О [Л/\Л#]. Опти-
мальный базис порождает оптимальную вершину Q, а строго
оптимальный базис — единственное решение задачи (6.1) (см.
лемму 5.3 и теорему 4.4).
Строго оптимальный невырожденный базис в случае его
существования единствен.
Наряду с задачей (6.1) рассмотрим возмущенную задачу
<с, х> -> min,
А[М, W] Xx[N\^b[MY	(7.3)
х [М] >0 [/V].
Теорема 7.1 (об устойчивости). Предположим, что задача
(6.1) имеет строго оптимальный невырожденный базис /V*.
Если данные А, Ь, с задачи (7.3) достаточно близки к соот-
ветствующим данным Д, Ь, с задачи (6.1), то /V*— строго оп-
тимальный невырожденный базис и в возмущенной задаче (7.3).
Доказательство. Поскольку /V* — строго оптимальный
невырожденный базис, то
71
det A [M, NJ * О, (A [Af, NJ)’1 X b [A1J > 0 [NJ.
c \N\N*] - c [N.J X (А [7И, NJ)"1 X	(7.4)"
ХЛ[МЛ\^1 >0[N\NJ.
Остается заметить, что при малом изменении элементов матри-.
цы А и компонент векторов Ь, с соотношения (7,4) не нару<
шатся. Теорема доказана.
На -практике редко оценивают близость А, Ь, с к А, Ь, с-.
Если есть основания на нее рассчитывать, поступают так.-Про-
веряют справедливость соотношений типа (7.4) с заменой АЛ
Ь, с на А, Ь, с. При их выполнении заключают, что N* яв<
ляется строго оптимальным невырожденным базисом задачи?
(7.3). Единственное решение х* возмущенной задачи (7.3) на-
ходят по формулам, аналогичным (7.2):
** [Af*] =И [Af, NJ)"1 X b [Ж],
x*]Af\AfJ=O[N\NJ.
Упражнения
7.1. Привести’ Пример, когда у задачи (6.1) имеется несколь-
ко строго оптимальных базисов.
7.2. Привести пример, когда у задачи (6.1) существует
единственный невырожденный оптимальный базис, который,
однако, не будет строго оптимальным.
§ 8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
В ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Пусть с(0) =с0+ОСоо, где Соо=Н=0 и 0 —любое
ное число. Рассмотрим параметрическую задачу
<с (0), х> -» min,
A[Af, N] XxlA] = f>[Af],
x [N] > 0 [N].
веществен-
но
Предполагаем, что множество ее планов й непусто и
rank A [Af, Af] = |A1|. При 0=0О задача (8.1) разрешима в том
и только том случае, когда целевая функция <с(0о),
ограничена снизу на й.
Запишем ограничения двойственной к (8.1) задачи (см.
§ 19):'
- и [.И] X A [Af, N] < с0 [NJ + 0rm [N].
Их можно представить в виде
72
AT[N, M]Xu [Л1] ~6ст [Л7] <с01Л'].	(8-2>
Обозначим Т множество тех 6, при которых задача (8.1) имеет
решение, a W — множество пар {и, 0}, удовлетворяющих (8.2).
Согласно теоремам 1.9.1 и 1.9.2 Г#=0 тогда и только тогда,
когда 1Г^=0. Учитывая это замечание и теорему Фань-Цзы
(следствие 2 из теоремы 1.6.3), получаем такой результат.
Лемма 8.1. Для того чтобы ~Т=/=0, необходимо и доста-
точно, чтобы для любого неотрицательного решения h системы
ЛА = О, <^00, А>=0 выполнялось неравенство А>^>0.
Другими словами, 0 в том и только том случае, когда
скалярное произведение <с0, А> неотрицательно на любом ре-
цессивном направлении А множества 2, ортогональном
В дальнейшем считаем, что Т=#0. Условие 0оеТ‘выполня-
ется тогда и только тогда, когда найдется вектор ц0, такой, что
{u0> Оо}^ IV’. Поскольку W— выпуклое множество, то выпуклым
является и 1.
Введем две вспомогательные задачи линейного програм_ми-
рования:
6 -> min,	6-> max,
Ати —	Ат и — 9соо<с0.
кстремальные значения их целевых функций обозначим соот-
ветственно 0* и 6*. Если 9* и 9* конечны, то они принадле-
жат Т. Более того, в силу определения 9*, 9* и выпуклости Т
имеем Т=[9#, 0*]. Далее, Г=(—оо, 9*] при 9* = —оо„
9* < +. °о; Т = [9*, 4“ оо) при 9# > — оо, 9* — 4" оо; Т = ( — оо, оо)
при 9* = — оо, 9* = 4-оо. Таким образом, во всех случаях
множество Т является замкнутым промежутком. Точки 6*
назовем концами этого промежутка.
Приведем пример, показывающий, что возможно равенство
0* = 0*. Параметрическая задача
х[1]—0х[2] + 0x[3]->min,
х[1] = 1,
х[1]>0, х[2]>0, х[3]>0
разрешима при 0—0. При 0>О ее целевая функция не ограни-
чена снизу на планах х=(1, х[2], 0), а при 0<О— на планах
а = (1, 0, х[3]). Это значит, что у рассматриваемой задачи
Т={0} или 0* = 0* = О.
Дальнейший анализ связан с предположением 0*<0*. Обо-
значим //(0) совокупность оптимальных столбцовых базисов
задачи (8.1) при фиксированном 0еТ.
Теорема 8.1. Существует конечное разбиение промежутка Т
z=z Ту *4	.. • <	~~ ® »
такое, что на каждом интервале (ть Ti+i) множество Я(0) не
меняется.
75
Доказательство. Зафиксируем допустимый базис Af*
и положим, как и раньше, Л/о=У\?/#, KpV#, N0]=D [TV*, AfjX
X Л [Af, iV0]. Для вектора оценок A (6) [TV0[ справедливо пред-
ставление
A(0)pVo[ = C(6) [\1-с(0)[^]ХГ[У„ tfol=MW0l-
-MtfJxriN,. AM F НМ AM-МАМ х г [V*. Уо]) =
= До [TV0]-j-6Дт [TV0[.	(8-3)
Каждая компонента Д(0) [/] является линейной по 0 функцией
и потому имеет не более одной перемены знака. Отсюда сле-
дует, что неравенство А (0) [АГо] ^О(М)] либо вообще не выпол-
няется ни при каком 0, либо выполняется на некотором замкну-
том (ограниченном или неограниченном) промежутке TfAf#).
содержащемся в Т. Этот промежуток естественно назвать про-
межутком оптимальности базиса N*. Концы T(N*) обозначим
0o(^),0[(ATJ.
Рассмотрим все точки 60(^)t	соответствующие раз-
личным допустимым базисам /V* с непустым T(N*). Упоря-
дочим их по возрастанию,’ предварительно объединив совпав-
шие точки. В результате придем к требуемому разбиению
промежутка Г. Теорема доказана.
Множество оптимальных базисов Я(0) при 0е(тг, Тг+i) не
-зависит Vt 0, поэтому его можно обозначить Hi. Согласно (8.3)
имеем
^иЯмС//(тД Z61:A	zR4x
//осЯ(ед /fpc//(0*).	{ ’
Вместе с Я(0) при 0е(тг-, т/н) не меняется и множество опти-
мальных вершив задачи (8.1).
Определим на Т функцию р. (в) = min <г(6), х>.
Теорема 8.2. График функции ц является непрерывной ло-
маной с узлами в точках ц, tel : р. Кроме того, ц — вогнутая
функция, т. е. при всех 0О, 01 из Т и te[0, 1] выполняется
неравенство
Р (^01 4- (1 — 0 ®о) > (61) + (1 -	(во)-	(8.5)
Доказательство. Возьмем	и найдем оптималь-
ную вершину множества 2, соответствующую
[М/>] = (А [М, ДГ<°] )-1 х b [AfI,
*1° [^\Л^’] = 0 [N\y‘z’].
Л
'Выше отмечалось, что вершина является оптимальной при
всех 6£(т0 t(+1), поэтому при указанных 0
(1(9) = <с(в), ХУ’> = <с0, х^> -j- 6 <сда, л<°>.
74
Установлено, что функция ц линейна на (ть тг+1)» 4^0 : р. Из
(8.4) следует ее непрерывность в точках ть teO:p+L
Проверим вогнутость ц. Зафиксируем 0О, 01 из Т и /е[0, I].
При любом ХЕЙ имеем
<с(^ +(1 — х> = /<с(Ох), х> 4-(1 — 0 <£(%)» х>^
ММ + (1-Он(во)>
а это немедленно приводит
На рис. 8 демонстри-
руется типичное поведе-
ние функции ц.
Переходим к методу
решения параметрической
задачи (8.1). Наша цель—
найти оптимальный базис
при каждом 0еГ. Чтобы
выдел ить п ара метр иче-
ский эффект в чистом ви-
де, сделаем дополнитель-
ные предложения, обеспе-
к (8.5). Теорема доказана.
Рис. 8.
чивающие в первую очередь то, что множество //(0) при каж-
дом 0еТ состоит из минимально возможного количества бази-
сов:
1)	iQO:р, прячем является строго опти-
мальным базисом при всех 0 (:(•<> x/+t);
2)
Возьмем ®*) и решим симплекс-методом задачу (8.1)
при О = 0о. В частности, найдем оптимальный базис /V*. Поло-
жим Nt = /V\N*. Возможны два случая.
I.	Д(0О) ['Vo] > O[2Vo]. Согласно (8.3) имеем
Д (0) [Уо] = Д (0о) |ЛГ0] -f- (0 - 0о) Д„ [2V0],	(8.6)
Отсюда следует, что Д(0) [Vo] >O[Vo] в некоторой окрестности
47 точки 0о, т. е. N* — строго оптимальный базис при всех
0е47. Учитывая условие 2), заключаем, что 0о не совпадает ни
с одной точкой переключения т». Значит, 0ое(ть, тл+i) при не-
котором ЛеО: р.
Будем искать решение задачи (8.1) при 0>0о. Случай 0<0о
рассматривается аналогично.
1.1.	Обозначим Л»={/еЛ7о|Доо[/]<0}. Если /«,=0, то
Д(0) [TVo] >O[7Vo] при всех 0>0о. Таким образом, V* является
строго оптимальным базисом при 0е[0О, + сю). Процесс за-
кончен.
75
Предположим, что Л»=/=0.
1.2.	Опираясь на (8.6), определим правый конец тл+i про-
межутка оптимальности базиса Л^:
'ли = е0 4- min |Д (М [У]/( — Д» [/])1.
Обозначим jk один из индексов, на которых достигается по-
следний минимум. Имеем	А (тл+i) [/л] =0 и Д(0)[Д]<О
при всех 0>тл+ь Заметим также, что в соответствии с условием
1) будет 7V* = 7V^).
1.3.	Вычислим вектор
=	X A(Af. Л1.
где Dk [N™, М] = (A [Af,	Если у„ [/V<*>] <0 [М*>], то
при 6 > Ъ+i задача (8.1) не имеет решения. Это значит, что
т4+1 = 0*. Процесс закончен.
Допустим, что у вектора ук хотя бы одна компонента'
положите льна.
1.4.	Обозначим 1к один из индексов, на которых достига-
ется следующий минимум:
min {Dk Af] X b [Af ]/yA [у]}.
Как установлено в § 6, индексное множество W»=Wi*)\[/*)U
U {У*} является допустимым базисом.
Согласно (8.4) JV,—оптимальный базис при 0 = тА+1. По-
кажем, что при том же 6 оптимальным будет и базис N*.
Воспользуемся формулами (6.5), (6.6) для пересчета вектора
оценок Д (тА+1, N™) [jV\MA)] в Д(Чн» W*)[N\N*L Учитывая
равенство Д(тА+1, N^) [уА] = 0, получаем
Д(^+1, л/*)[у] = Д(тА+1, МЛ))[/]>о, /бЛГхл^МЛ),
Л (^, N*) [/А] = — д(^. л^>) [ /Ж [ZJ = 0.
Таким образом, Д(тА+1, N*) [W\2V*]>0 [N\N,], т. е. действи-
тельно М,. —оптимальный при 0 = tA+] базис.
Согласно условию 3) тА+1<6* (множество /7(6*) состоит
из единственного оптимального базиса) и —
1.5.	В силу условия 1) базис N,*+1) —строго оптимальный
на (т*+1» хл+2)- Полржим MA+,, = 7V\‘M*41) и запишем равен-
ство, аналогичное-(8.6):
Д|«, N?*'1)	<V^'W‘+,’] +
+ (6-M+,'L
76
Отметим, что Ata-i, п) I/] > 0 на тех индексах /бМ*+1.\
на которых А» (Л^"+,)) |_/] <0.
Теперь, по существу, цикл повторяется, начиная с п. 1.1.
Осталось рассмотреть второй случай.
И. Д(«о) [Wo] >O[Wol и множество J9 — {/GAUД(ММ =0}
непусто. Согласно условию 1) 0о=тйи при некотором k£O:p— 1.
Нужно выяснить, какое из равенств/V* == или 2V# = M#*+,)
имеет место.
Если Ди Ро] >0 [Jo], то Д'* =Л^*+1), и следует перейти
к п. 1.5. В противном случае /V* = N, , причем существует
индекс/* такой, что Д (tft+1) [у;] = 0 и Д (0) [/Л] <0 при
всех 0 > тй+1. Переходим к п. 1.3.
Описание метода решения параметрической задачи (8.1)
при-выполнении условий 1) — 3) завершено. Его основная осо-
бенность состоит в'"том, что при 9 = переход от оптималь-
ного базиса 2V‘k) к оптимальному базису Л^*+1) осуществляется
с помощью одного шага симплекс-метода.
Упражнения
8.1.	Привести пример, когда у задачи (8.1) Т=0.
8.2.	Привести призер, когда у задачи (8.1) Т= (—оо, +<ю).
8.3.	Пусть Т^0. Показать, что 0#= — со при Соо^О
и 0#=4-оо при Соо^О.
8.4.	Построить график функции
р (9) = mln (1 + 9) х [2] + (1 - 9) х [3]],
Х62
где множество Q определяется неравенствами
х[1]+х[2]^1,
0^х[1]<1, 0<х[3]^1.
§ 9. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
В ПРАВОЙ ЧАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ-
/
Пусть Ь(О) =b0+Qboo, где 6оо=/=0 и 0 — любое веществен-
ное число. Рассмотрим параметрическую задачу
<с, х> -> min,
А[М, NJ Xx[/V]=^(9)fA1],
x[?V]>0[/V].
(9.1)
Запишем к ней двойственную:
<Ь (9), и> -+ max,
«[М] ХЛ [Л4, ЛГ]<с[?У].
(9.2)
77
Обозначим Q(0) и Л множества планов задач (9.1) и (9.2)
соответственно. Предполагаем, что rankA[A4, Af]= | М | и Л=#0.
Согласно теореме 1.9.2 задача (9.1) при 0 = 0О разрешима в том
и только том случае, когда Q(0O)=#0.
Представим ограничения задачи (9.1) в виде
Ах—Qb^=bQi х^О.	(9.3)
Множество тех 0, при которых задача (9.1) имеет решение,
обозначим Г, а множество пар {х, 0}, удовлетворяющих
(9.3), — V. Очевидно, что Т=/=0 тогда и только тогда, когда
V=/=0. Учитывая теорему 1.6.3, получаем следующий результат
Лемма 9.1. Для того чтобы Г =£ 0, необходимо и доста-
точно, чтобы для любого решения h сйстемы йА ^0, <йот, й>=0
выполнялось неравенство <й0, й> < 0.
В дальнейшем считаем, что	Введем две вспомога-
тельные задачи линейного программирования:
0 -> min,	0 max,
Ах — 0^ = bQt Ах — ЬЬт = Ь^	(9.4)
х > О,	х > 0.
Экстремальные значения их целевых функций обозначим* соот-
ветственно 6* и 6*. Нетрудно понять, что Г= [в*, 0*] при ко-
нечных 6*, О*; Г = ( — оо, 0*] при 0* = — оо, 0* < 4- со; Г =
= [0«., -fic°) при 0* > — 00,0* = 4-0° и Т = (-*- оо, 4“ 00) При
0* = — оо, 9*= + оо. Таким образом, во всех случаях множе-
ство Т является замкнутым промежутком с концами в точках
в., е*.
Предположим, что 0#<0*, и обозначим Я(0) совокупность
оптимальных столбцовых базисов задачи (9.1) при фиксирован-
ном 0еТ.
Теорема 9.1. Существует конечное разбиение промежутка Т
9* = °0 < °1 < • • • < аг < °г+1 =е*.
такое, что на каждом интервале (а;, аг+1) множество Я(0) не
меняется.
Доказательство. Введем множество Р столбцовых ба-
зисов Л^, удовлетворяющих условию
с [К\Я*] - С [2VJ х D [N*, М] X А [М, V\7V*J > О
где, как обычно, D[N*, 7И] = (А[уИ, /V»])-1. Оптимальные
базисы принадлежат Р.
Зафиксируем	и сопоставим ему вектор
х* (9)	= D [W*. М] X b (0) [М] = D \N„ М} X Ь, [/И] +
+ 90 [У*, М\ X ba [ЛГ] = х*й [ЛЦ •+ 9< PVJ. (9.5)
Каждая компонента х* (9) [у] является линейной по 9 функцией
и потому имеет не более одной перемены знака. Отсюда сле-
дует, что неравенство хДб) [V,] >-0 [TV*] либо вообще не
78
выполняется ни при каком 0, либо выполняется на некотором
замкнутом промежутке 7’(jV<) с концами	0i(/V*), со-
держащемся в Т. Этот промежуток есть промежуток опти-
мальности базиса Н*.
Рассмотрим все точки 0o(N#), 9, (Л'#), соответствующие
различным с непустым Г(А/*). Упорядочим их по воз-
растанию, предварительно объединив совпавшие точки. В ре-
зультате придем к требуемому разбиению промежутка Т. Тео-
рема доказана.
Множество оптимальных базисов Я(0) при 0e(a;, <Jl+i) не
зависит от 0, поэтому его можно обозначить Н{. Согласно
(9.5) имеем
Hi U /Л-1 С Н(а,), /61:''!
явся(ед н,сн(*}.
Определим на Т функцию х(0) = min <с, х>.
Теорема 9.2. График функции-х является непрерывной ло-
маной с узлами в точках о», iel : г. Кроме того, х— выпуклая
функция, т. е. при всех 0о, 01 из Т и /е[0, 1] выполняется не-
равенство
x(^0i+ (1—O0o)^/x(9i) + (1—/)х(0о).
Доказательство. Возьмем базис	Тогда вектор
х* (8) [W] с компонентами
**(8)[V\W»]=0[N\NJ
будет оптимальной вершиной для задачи (9.1) при всех 0(-
€(°z, ®/+i). При указанных 0 имеем
X (9) = <с, х* (0)> = с [N*] х х; [MJ + 0с [NJ X< [ЛГ*].
Это значит, что функция х линейна на (ао <з/+1), /(-О: г. Из (9.6)
следует ее непрерывность в точках <зь ZfO:r-f-l.
Проверим выпуклость х. Зафиксируем 0О, 6, из Т, [0,1]
и положим 0(0 = Z6j -|- (1 — 00о. Обозначим х*(0о), x*(8i) оп-
тимальные вершины задачи (9.1) при 0 = 9О и 0 = 0] соответ-
ственно. Отметим, что вектор х— tfx*(0i) 4- (1—0 л* (0О) при-
надлежит 2(0(0), поэтому
х(0.(0) = min «?, х> <с, х> = t <с, х* (0,)> 4-
хеа(9(О)
4- (1 - 0 <с, ** (0О)> = Н (0.) 4- (1 - 0 х (0О).
Теорема доказана.
На рис. 9 демонстрируется типичное поведение функции х.
Обратимся к методу решения параметрической задачи (9.1).
79
В отличие от предыдущего параграфа не будем делать никаких
дополнительных предположений.
Прежде всего вычислим
0* и 0*. Для этого необхо-
димо решить задачи линей-
ного программирования (9.4).
Если 0*=0*, то процесс .за-
канчивается решением зада-
чи (9.1) при 0=0*.
Пусть 0*<0*. Возьмем
0ое(0*, 0*) и решим зада-
чу (9.1) при 0=0о. В част-
ности, найдем оптимальный
базис ЛГ* и соответствующий
оптимальный план х*(0о)
с неотрицательными компо-
нентами. Дальнейшее описание проведем для 0>0О. Случай
0<0о рассматривается аналогично.
1.	Согласно (9.5) имеем
*.(«) |^«1 = •**(%) [/V*] +(6-М<	. (9-7)
Обозначим Уа,= |у €Л/*|л^[у] <0). Если /„=0, то Л* —
оптимальный базис при всех 0 > 0о. Процесс закончен.
Предположим, что Уоо¥=0-
2.	Опираясь на (9г7), определим правый конец ол+i проме-
жутка оптимальности базиса ЛГ*:
°л+1 = + min к*(М [/]/(—< |/])|.	(9.8)
Если оЛ+1 = 6*, то процесс закончен.
Допустим, что аЛМ < 0*. Обозначим jk один из индексов,
на которых достигается минимум в (9.8). Имеем
•*» (°*«) М»1 = 0 и х* (0ИЛ1 < 0 при всех 0 > aft+1. Для удоб-
ства ПОЛОЖИМ
3.	Рассмотрим задачу -
<6 (6), «>-*пнп,
AT[ti, М] х u|2W]>-c[?V],
очевидным образом связанную с (9.2). Множество ее планов
Ло совпадает с —Л. Нетрудно проверить, что точка
ик[М ] = -Dl [Ж,	• X с [М*>],
где Dk[N{k\ 7И] = (Д[Л4,	является вершиной -Ло, а
индексное множество N\k) — ее строчным базисом. Обратная
базисная матрица имеет вид Вк [ЛГ, = Dk [М,
Применим метод последовательного улучшения плана из
§ 5 к задаче (9.9) при в = аь+1. В качестве исходных данных
возьмем uk, N(tk\ Вк М, /V***].
80
3.1.	Найдем вектор оценок
А* [А?1 = b М [Л1| X Вк [М, N <‘>] =
= Dk [/VIй’, М] X b (али) [Af ] = х* (aftn)
По построению х* (з*и) О [Л^й>], поэтому вершина ик
является оптимальной. Тем не менее продолжим вычисления.
3.2.	Найдем вектор
w* [ЛГ\7<ЙЧ = Ат {N\N?\ М] X Вк [М, Д] =
= Я,1Л. ЛЛХЛ[М, N\X*>]
(индекс /а определен в п. 2). Покажем, что у этого вектора
хотя бы одна компонента отрицательна. Допустим противное:
]. Поскольку оценка х*(0)[/\] при
6>Фн4 отрицательна, то целевая функция задачи (9.9) при ука-
занных 0 не ограничена снизу на Ло- Согласно теореме 1.9.3
множество планов Й(0) задачи (9.1) при 0>oa+i пусто, что
противоречит неравенству oa+i<0*. Таким образом, действи-
тельно вектор Wk[N] имеет по крайней мере одну отри-
цательную компоненту.
3.3.	Обозначим Ik один из индексов, на которых достига-
ется следующий минимум:
min aT[j'- ха>[М| ч-сl/l _
{j£NxN^ | w, (/I <o)	*
= min {(с [y] - с [M/>J X D„ [2VM M] X
[д <o}
XA[M, /])/(-wk [/])}.
Положим AZ'ft+1)=/V^)\(/ftJ U{/*|. Нетрудно понять, что Л,*й+1) —
другой строчный базис оптимальной вершины ик. В частности,
с [W\Mfc+1)] -с [Мй+1>] х DM [N?+'\ М] х
х А [М, N\N^+i)\ 0 [л^\Мй+1)].	(9.10)
Найдем новый вектор оценок. Учитывая (5.15), запишем
X* ки, М*+,)) 1М‘+0] =*(^м) [М] X Вк+А [М, 2V<*+I>] =
= b (аЛн) bWJ X Вк [М, N\k}] X Lk [^к}, Мй+Ч =
лл wxijer”].
Но х*(ак¥1, /У‘Й)) [Л] =0, поэтому
M4+,,)[/J=^hn>	[у]>0. /елемль
6 Заказ № 66
81
Поскольку
^*+п) [Л?+1)] >0[Л’Г4>J,	(9.11)
то Л^*+1) — оптимальный строчный базис вершины и*. Вместе
с тем на основании (9.10), (9.11) заключаем, что Л, °—опти-
мальный столбцовый базис для задачи (9.1) при 9 = aft+t.
Теперь цикл повторяется. Следует перейти к п. 1, пред-
варительно заменив 0о на и N* на
Описание метода решения параметрической задачи (9.1);
завершено?
Замечание. При реализации этого метода необходимо:
учитывать возможность зацикливания, так как в точках пере-
ключения происходит перебор оптимальных базисов вырожден-
ной оптимальной вершины задачи (9.9).
Упражнение
9.1. Привести примеры, когда у задачи (9.1) Т=0; Т со-
стоит из одной точки; Т=(—оо, + оо).
§ 10. ОБЩАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
_ . линейного программирования
Рассмотрим вкратце тот общий случай, когда все данные;
задачи линейного программирования
<с, х> -► min,
А[М, Af] Xx|/V]=^[41],	(10.1)
x[A]>0 [Af]
линейно зависят от параметра 9, т. е. c = c(9) = c0-f-9c00,
b = Ь(в) = д0 + ^<». А — А(9) = A0-j-0^®, и 6 пробегает всю
вещественную ось.
Обозначим О совокупность индексных множеств N*, таких,
что Af*C-Af, |Af*|=.|Al|. Положим, далее,
7(0, Af J = det А (0)	, /V*].
Так как 7(9, А7*) есть полином от 6 при каждом N*£G, то
либо 7(6, Af*) = O, либо 7(9, Af*) имеет конечное число кор-
ней. Обозначим О0 множество тех Af*, для которых 7(6, Af*)s0,
a G,— разность G\G0. Предположим, чю Gt #= 0. Ясно, что
столбцовым базисом в задаче (10.1) при каком-нибудь значе-
нии 9 может быть лишь
В силу конечности G( существует конечная последователь-
ность чисел
— оо =7о < Т1 <	< ъ< 7i+1 = + ОО,
82
обладающая тем свойством, что в каждом интервале (ъ, 1м).
i£0:s, при всех ЛЛ^С, полином <?(9, N*) отличен от нуля.
Обозначим D(9, N*) [Л1*, /И| = (А(9)[М, Тогда для О,
не принадлежащих последовательности ?i,каждое
множество Gj является столбцовым базисом и определены,
векторы	•
х(9, AU [Л*] = D (0. N«)[/V*, Ж]Х&(0)1Л«Ь	(Ю2)
А|Д Л'*) [2V\AU = с(9) l/V\AU - с(9) [Л?-,] X
X D (9, NJ [ЛГ*, М] X Л (9) [М, ЛГ\Ли> (Ю.З)
Дальнейший анализ основан на том, что для любого вещест-
венного 0 имеется следующий полный набор альтернатив:
I)	множество £2(0) планов задачи (10.1) пусто; -
II)	множество £2(0) непусто и задача (10.1) разрешима;
III)	множество £2(6) непусто, но задача (10.1) не разреши-
ма, т. е.
infjr€2<e> <с(6), Х> = — СО.
Теорема 10.1. Существует конечное разбиение вещественно*
оси
СО —	< Х1 < . . . <С тг < хг+1 — + 00»
такое, что на каждом интервале (т/, т»+0 реализуется лишь
одна из альтернатив I)—III). Если это альтернатива II), то
набор оптимальных базисов одинаков для всех бе (я, т<+1).
Доказательство. Будем рассматривать значения 0, не
принадлежащие последовательности уь ..., у». Для них выясне-
ние вопроса о том, какая из альтернатив I)—III) имеет ме-
сто, сводится к анализу знаков компонент векторов
х(9. ЛГ*) [W*] и А (9,	при N^eGy Альтернати-
ва I) характеризуется тем, что у вектора х(0, N*) при всех
хотя бы одна компонента отрицательна; альтернатива
П) —тем, что векторы х(0, N*) и Д(0, N*) неотрицательны при
некотором JV*eGi; альтернатива III) имеет место во всех
остальных случаях, т. е^ когда х(0, AU>0 при некотором
N*^Gi и для,всех таких N, хотя бы одна компонента вектора
Л(0, N*) отрицательна.
Согласно (10.2), (10.3) каждая компонента векторов
х(0, Л*) и Д(0, N*) есть дробь, знаменателем которой служит
<?(0,Л*), а числителем — некоторый полином от 0. Зафиксиру-
ем /V*eGi и рассмотрим компоненту х(0, AU [/], /еЛ1ф. Ей со-
ответствует разбиение вещественной оси, такое, что в интерва-
лах между соседними точками разбиения дробь х(0, N*) [/] со-
храняет знак (в число точек разбиения включим все вещест-
венные корни полинома q(Q, Л*)). Аналогичные разбиения по-
рождаются компонентами Д(0, AU [/]>
Теперь можно выделить интервалы, в которых при всех
с*	ф
AT^eGi хотя бы одна компонента вектора х(0, N*) отрицатель,
на, и интервалы с одинаковым (непустым) набором оптималь»
ных базисов N*^G\. Концы этих интервалов вместе с. у>, .
..ys упорядочим по возрастанию, предварительно объедини*
совпавшие точки. В результате придем к требуемому разбиений)
вещественной оси. Теорема доказана.
Введем функцию <р(9).= min <с(9), х> и предположим, что
<62 (в)
на некотором интервале (т«, Ti+i) реализуется альтернатива II),
Обозначим Hi совокупность оптимальных при 0е(тг-, т»+1) ба>
знсов.
Теорема 10.2. Функция ср на (т,, т/+1) является непрерывной
дробно*рациональной функцией. При этом она непрерывна
справа в точка 6 = ^, если q(tt, при некотором
н непрерывна слева в точке 0 = т,и, если ^(у+1, М,)=И=0 при
некотором /V* Е
Доказательство. Возьмем произвольный базис N* из
Ht. При 96(т/. ^+t) имеем
?(9) = c(0)|/VJxD(0, NJ\N*, М] X b (0) [Af], (10.4)
1ак что действительно <р — непрерывная дробно-рациональная
на (и, т<+|) функция. Утверждения о непрерывности <р в кон*
цевых точках 9=т, и 0=т<+1 очевидным образом следуют из
формуй (10.2) — (10.4). Теорема доказана.
Упражнение
10.1.	Проверить, что теоремы 10.1, 10.2 остаются справедли-
выми и в том случае, когда данные задачи (10.1) есть полино-
мы от 0:
ГЛАВА III
ВЫПУКЛЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
При исследовании нелинейных эстремальных задач основной
интерес представляют те же вопросы, что и для задач линей-
ных— существование минимума, критерий оптимальности. Од-
нако ситуация здесь значительно сложнее.
Ограничиваясь предположением о дифференцируемости целе-
вой функции й не требуя от нее каких-либо специальных
свойств, можно указать лишь необходимые условия миниму-
ма. (Аналогичным образом обстоит дело и в классическом ана-
лизе.) Для задач с линейными ограничениями вывод необходи-
мых условий минимума основан на том, что точка минимума
является решением некоторой задачи линейного программиро-
вания (§ 2).
В § 3—11 рассматриваются экстремальные задачи с вы-
пуклой целевой функцией. Для них удается получить необходи-
мые и достаточные условия оптимальности как при условии
дифференцируемости (§ 3), так и без него (§ 5). В последнем
случае используются важные понятия субградиента и субдиф-
ференциала выпуклой функции. Критерий оптимальности мож-
но переформулировать и в терминах седловой точки функции
Лагранжа. Это позволяет обосновать применение негладкой
штрафной функции для сведения выпуклой экстремальной за-
дачи с линейными ограничениями к выпуклой же задаче безус-
ловной оптимизации (см. конец § 5).
В § 6 продолжается изучение линейной задачи чебышевского
приближения, начатое в § 1.11. Там была доказана теорема
существования решения; здесь выводится критерий оптимально-
сти. Прежде всего отмечается, что целевая функция рассматри-
ваемой задачи является выпуклой. Для нее устанавливается
вид субдифференциала, после чего критерий оптимальности сле-
дует из общей теоремы 5.2. В § 7 дана оценка размерности мно-
жества решений задачи. безусловного чебышевского приближе-
ния. При некоторых предположениях доказана теорема о стро-
гой единственности.
85
Среди нелинейных эстремальных задач сравнительно про.
етыми, но исключительно важными являются задачи квадра.
тичноГо программирования. Им посвящены § 8—11. Матрица Д
входящая в определение квадратичной функции, предполагает,
ся неотрицательно определенной. Только при выполнении этого
условия целевая функция будет выпуклой. В § 9 доказана тео-
рема существования решения для задачи квадратичного про.
граммированияи установлен критерий оптимальности. В § 10
развевается теория двойственности квадратичного программиро-
вания, а в § 11 указываются некоторые приложения этой те>
рии.
В § 12 мы возвращаемся к задаче нелинейного программиро*
вания с гладкой, но невыпуклой целевой функцией. Вводится по-
нятие стационарной точки как точки, удовлетворяющей необхо-
димому условию минимума. (Следует отметить некоторое рассо-
гласование в терминологии: термин «стационарная точка» в
теории экстремальных задач соответствует термину «точка, ш>
дозрительная на минимум» в математическом анализе.) С по-
мощью вспомогательной задачи квадратичного программиро
вания выясняется содержательный смысл понятия стационар-
ности. Для нестационарных точек определяется направление
убывания целевой функции. Теорема 12.2 открывает путь в
построению эффективных алгоритмов минимизации. Однако это)
вопрм выходит за рамки данной книги.
В § 13 рассматривается задача билинейного программиро-
вания. Она -легко сводится к разысканию минимума квадратич-
ной функции, но матрица последней может не быть неотрица-
тельно определенной. Это является причиной относительной
трудности задачи — приходится считаться с возможностью по?
явления многих локальных минимумов. Тем не менее теорема
существования решения для задачи билинейного программиро-
вания получается в таком же виде, как и для задачи линейного
программирования.
§ 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ МИНИМУМА
Напомним некоторые определения. Функция f, заданная на
открытом множестве QczR\ называется дифференцируемой в
точке xeQ, если найдется вектор aeRw, такой, что
f {х 4- h) = f (л) 4- <а, h> 4- о (»||Л||),
где р(|ЛИ)/11ЛЦ->0 при Л->0. Вектор а единствен — его j-Я
компонента необходимо равна частной производной df(xjf
A*[7L /еN. Этот единственный вектор называется градиентом
функции f в точке х и обозначается f'(х)=/'(х) [ДО]. Функцию»
дифференцируемую в каждой точке xeQ, называют дифферен-
цируемой на Q.
96
Выпуклое многогранное множество ftczRN, определяемое со-
отношениями
A [Af„ АГ] /x\N\'^b\M{\,
А [М», N] X х [ЛГ] = b [№>},
х[ЛМ>0[М],
является замкнутым множеством. Рассмотрим функцию f, за-
данную на некотором открытом множестве, содержащем ft, и
дифференцируемую на ft. В-этом случае при всех хей спра-
ведлива формула
f(x + A) =f(x) + </' (х), й> +- о (|| h ||).	(2.1)
Наша цель — получить необходимое условие оптимальности
для задачи
/(x)-*min.	(2.2)
Лемма 2.1. Если x^eft — решение задачи (2.2), то
</' (х*), х — х*> > О Vx £ 2.
Доказательство. При х = х# утверждение тривиально,
поэтому рассмотрим точку х£2 отличную от х*. Поскольку
2—выпуклое множество, то отрезок [х, х*} принадлежит 2.
Учитывая оптимальность х* и формулу (2.1), при 1)
получаем
0</(х* + Цх—х*))—/(х*)=^</'(х#), х—х*>+о(р (х—х*)||).
Отсюда следует, что
</' (хД X - х,> + И X - X, II	> о.
Остается в последнем неравенстве перейти к пределу при /->4-0.
Лемма доказана.
Теорема 2.1. Для того чтобы точка х*е2 была оптимальной
в задаче (2.2), необходимо, чтобы нашелся вектор «* = «#[^1]
со свойствами
<Ь, и*> = <f (хД х*>,
«ЛЖ| х А [м,м] </'(**) ГМ,	,9~
«♦ [/И] х A [Af, .Ml .=/' (X,) [Ml,	U
При всей значимости этого результата он имеет простое до-
казательство. Действительно, согласно лемме 2.1 х* является
оптимальным планом задачи линейного программирования
</'(ХД x> т*п.
ХС2
87
Существование требуемого вектора и* следует теперь из теоре-
мы 1.7.1.
Важно отметить, что матрица А и вектор Ь, входящие в оп-
ределение Q, могли быть совершенно произвольными.
Рассмотрим два частных случая.
Теорема 2.2. Для того чтобы точка х* была оптимальной в
задаче (2.2), когда
9={х6ЯЛГ|Л[Л1, N] X х [Лг] = b [/И]},
необходимо, чтобы градиент /'(х*) допускал представление
f С^*)== л.
Доказательство.-По теореме 2.1 найдется вектор «*,
такой, что <b, и*> = </' (х»), •**>» «* Л =/'(х#). Первое равен-
ство является избыточным, так как
</'(•**). •**> = <“* Л, хд <и*,-Лх*> = <и#, Ь>.
Второе равенство — требуемое. Теорема доказана.
Теорема 2.3. Для того чтобы точка х* была оптимальной в
задаче (2.2), когда
Л [М., У] X х [AJ > b [AfJ 1
А[М2, /V] xx[JV]=£ [M2] J ’
2 = (xCRyv
необходимо, чтобы нашелся вектор и* = м* [М] со свойствами
f'(x*) = u* Л,
(£[/]-Л[/, ЛГ]Хх*[У])ХМП=О V/СЛ!,,	'(2.4)
Равенства (2.4) — это известные условия дополняющей нежест-
кости (см. § 1.9).
Доказательство. Соотношения (2.3) в данном случае
примут вид
<b, и*> = </' (хД х*>,
и*Л==/'(хД «* [MJ >0 [Л4Х].
Таким образом, в проверке нуждаются только равенства (2.4).
Имеем
<и*, b> = <f'(x*), х*> = <«#Л, х*> —<«#, Лхр.
Отсюда следует, что <и*, b— Лх*> = 0. Теперь переход к (2.4)
осуществляется так же, как в теореме 1.9.5. Теорема доказана.
Упражнения
2.1.	Показать, что функция f, непрерывная на замкнутом
множестве QcRN, имеет там точку минимума, если при неко-
тором хоей множество {xeQ | f(x)^f(xo)} ограничено.
88
2.2.	Доказать следующее утверждение: если х* — решение
задачи (2.2) в случае
S = (xGR"|XyeA,x[7] = l, X[N]>O[W]},
то найдется число X, такое, что
т?/(хЛ)/^х [/] = X при х* [/] > О,
д/(х*);дх [j ] > X при х* [/] = О
(лемма Гиббса).
2.3.	Исследовать экстремальную задачу
'£iJeNa 1/1 X ехр(- b [/] Хх[/]) -> min,
2д^-*М = 1’
где «[W]>O[JV], Ь[ЛГ]>О[ЛГ].
§ 3. КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ГЛАДКИХ
ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Выясним, когда необходимое условие оптимальности, уста-
новленное в теореме 2.1, является и достаточным. Для этого
нам._ понадобится понятие выпуклой функции.
Функция f, заданная на выпуклом множестве Р, называется
выпуклой, если при любых хь, Xj из Р и всех /е [О, 1] выполня-
ется неравенство
/(/xt + (1 - О*о) <if(xt)4-(1 — t)f(x0),	(3.1)
или, что то же самое,
Л*о + t(xl- л0)) < / (х0) +1 [/(Xj) - / (Хе)].	(3.2)
Простейшими функциями одной переменной, выпуклыми на
(—оо, оо), являются у=хл и у=|х]. Для них при /е[0, Г]
имеем
(/X, + (1 - t) Хо)2 - tx\ - (1 - t) X2 = - / (1 - t) (Xj - x0)2 < 0,
+(1 —O*ol<
Учитывая нашу цель, рас-
смотрим вначале гладкие
выпуклые функции.
Лемма 3.1. Пусть PczRv
— выпуклое множество и
f — функция, дифференци-
руемая на Р (если множе-
ство Р не является откры-
тым, то предполагается, что
f задана на некотором от-
крытом множестве, содер-
Рис. 10.
89
жащем Р). Для того чтобы функция f была выпуклой на Р.
необходимо и достаточно, чтобы при любых х0, Х\ из Р выпол?
нялось неравенство
f (*i) — fM > <f (x0), Xi - x0>	(3.3)
(рис. 10).
Доказательство. Необходимость. В случае.
Х]=хо утверждение тривиально, поэтому считаем, что х1=#=х(>.
При /е=(0, 1) неравенство (3.2) можно переписать в виде
/(•*1) —/(х0) > [/(х0-Н (Xt — х0)) —/(х0)]//.
На основании (2.1) получаем
/(Хг) —/(-^о) > </' (*о). *1 — -*о> + О ( к (*1 — Хо) || )/t.
Остается в последнем неравенстве перейти к пределу при
/ —> +0.
Достаточность. Зафиксируем Xq, Х\ из Р,./е[0, 1] и по-
ложим x(0=^Xi + (l—/)х0. Поскольку Р— выпуклое множест-
во, то х(/)еР. Согласно (3.3)
f (-«1) —	(О) > </' (х (/)), х, — х (<)>,
/(*о) — Лх (О) > </' (х (О), х0 — х (/)>.
Умножая первое неравенство на t, второе — на 1—t и склады-
вая их, Получаем tf(xi) + (1—t)f(xo)— f(x(t))^O. Но это равно-
сильно (3.1). Лемма доказана.
Обозначим Q множество планов экстремальной задачи
/(х) -+ mln,
A[Af„ NJXxl/VJ^fAf,],	(3.4)
Д|М2, х-И/У1 = *[Л12],
х (ЛМ > О [М]
и допустим, что целевая функция f является выпуклой и диффе-
ренцируемой на й.
Теорема 3.1. Для того чтобы-план х* задачи (3.4) был опти-
мальным, необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор
и^.=и#[Л1] со свойствами (2.3).
Необходимость уже доказана (см. теорему 2.1). Проверим
достаточность. Возьмем произвольный план х задачи (3.4). На
основании (3.3) и (2.3) получаем
/(х) —/(•**) > </' (**). х — х*> = </' (х*). х> — <Ь, и*>
^<а*А, д> — <«*, 6> = <и*, Ах — Ь>^0.
Значит, f(x) (х*), что и требовалось доказать.
Аналогично устанавливается справедливость двух следующих
теорем.
Теорема 3.2. Для того чтобы план х* задачи (3.4) при
Mi=0, Ni = 0, Mz=M был оптимальным, необходимо и до-
90
статочно, чтобы градиент /'(**) допускал представление
Теорема 3.3. Для того чтобы план х* задачи (3.4) при
/У,=0 был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы на-
шелся вектор м* = и*[Л4] со свойствами
Г (**) = а* Д,
- A [i, ЛПХл*[ЛфХМ4=0
«* (Af,J >0 [AfJ.
Необходимость условий этих теорем уже известна (см. тео-
ремы 2.2 и 2.3). Для доказательства достаточности возьмем
произвольный план х и заметим, что в условиях теоремы 3.2
/(*) —/(х*)></'(х*), х — х*> = <и*А, х — х*> =
== <«*,. Ах — Ах*> = О,
а в условиях теоремы 3.3
j (х) — f(x*)	<и* А, х — хф> = <и„„, Ах — b(Ь — Ах^)>—
— <.и*- Ах—Ь>^0.
Таким образом, f (х) ^f(x#), что и доказывает оптималь-
ность х*.	—
В заключение этого параграфа получим практически важ-
ный критерий выпуклости для дважды непрерывно дифференци-
руемых функций. Пусть QczRN — открытое выпуклое множест-
во. Функция f, дифференцируемая на Q, называется дважды
дифференцируемой в точке xeQ, если существует матрица
D=D[N, АГ], такая, что
/(х+А) =f’{x) + Dh + o(||AJ),
где ||o(||/i||) ||/||/i||-*-0 при /i—>0. Матрица D единственна — ее
элементы D[t, /1 равны частным производным второго порядка
<52П*)/(дх[чдх[/]), i, je.N. Эта единственная матрица назы-
вается матрицей вторых производных или матрицей Гессе функ-
ции f в точке х и обозначается f"(x).
Если функция дважды дифференцируема в каждой точке
xeQ и все элементы ее матрицы Гесее непрерывны на Q, то
функция называется дважды непрерывно дифференцируемой на
Q. Пространство таких функций обозначается C2(Q).
Справедливы следующие утверждения.
1.	Для того чтобы функция f принадлежала C2(Q), необхо-
димо и достаточно, чтобы у нее существовали и были непрерыв-
ными на Q все частные производные первого и второго поряд-
ков. Собственно, содержательной здесь является только доста-
точность.
2.	У функции f из C2(Q) матрица Гессе f"(x) при всех xeQ
симметрична, т. е. [f"(x)]T=±f"(x).
91
3.	Пусть feC2(Q). Если х и x+h, принадлежат Q,
то
f(x + h)=.j(x) + <f'(x), А>4-1/2</"(г»)Л, Л>,	(§.5)
где v — некоторая точка из интервала (х, x+h).
Теорема 3.4. Для того чтобы функция f, дважды непрерывно
дифференцируемая на открытом выпуклом множестве Q, была
выпуклой на Q, необходимо и достаточно, чтобы при всех
xeQ и fteRw выполнялось неравенство
<f"(x)h, Л>>0.	(3.6)
Доказательство. Необходимость. Зафиксируем
xeQ и AeRw, Л=#0. При малых />0 точка x(t)=x+th при-
надлежит Q, поэтому согласно (3.5)
Г(х + ^)-/(г)-</'(*), th> = ^<f”^(t))h, h>.
Здесь о(/)е(х, x+th). На основании леммы 3.1 получаем
<f'(v(t))h, Л>>0.
Остается в последнем неравенстве перейти к пределу при М-4-0.
Достаточность. Возьмем точки Хо, х, из Q, x0=/=Xi, и по-
ложим h—X\—Xq. В силу (3.5)
/(*')—	— </'(*о). х, — хв> = ,.;2</"(г>)А, й>,
где ve(xo, Xi). В частности, ysQ. Учитывая (3.6), получаем
/ (*i) — f М > <f (х0), X, — х0>.
Выпуклость функции f на Q следует теперь из леммы 3.1. Тео-
рема доказана.
Полезно иметь в виду, что функция, выпуклая на Q, явля-
ется выпуклой и на любом выпуклом подмножестве этого мно-
жества.
Упражнения
3.1.	Функция f, заданная на выпуклом множестве Р, называ-
ется строго выпуклой, если при любых Хо, Xi из Р, Хот^Хь и
всех /е(0, 1) выполняется неравенство
f(/xi + (l—Oxo)<7f(x!) + (1— t)f(x0).
Показать, что у строго выпуклой функции не может быть двух
различных точек минимума на Р.
3.2.	Доказать следующее утверждение: для того чтобы функ-
ция f, дифференцируемая на выпуклом множестве PcRN, была
там строго выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы при лю-
бых Хо, X] из Р, Хо¥=хь выполнялось неравенство
/(-*1) —/(•*<») > </' (*0), х, — х0>.
92
3.3.	Пусть QcRw — открытое выпуклое множество и
Проверить, что функция f строго выпукла на Q, если
</"(х)й, Л>>0 при всех x£Q и h£RN, h=£0. Привести при-
мер, показывающий, что это условие, вообще говоря, не явля-
ется необходимым.
3.4.	Привести пример функции одной переменной, строго вы-
пуклой и ограниченной снизу на (—оо, оо), у которой, однако,
не существует точки минимума.
3.5.	Показать, что функция одной переменной
v=_/xlnx, х > О,
у I 0	х=0,
является строго выпуклой на [0, оо).
§ 4. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА ОТДЕЛИМОСТИ И ВЫПУКЛЫЕ
ОБОЛОЧКИ
*Геперь мы хотим получить критерий оптимальности в слу-
чае минимизации на многогранном множестве произвольной
выпуклой функции. Для этого понадобятся некоторые вспомо-
гательные сведения.
Точка х0 называется граничной точкой множества
если любая ее окрестность U(х0) = |х|||х— х0||<В), 8>0,
имеет непустое пересечение как с Р, так и с R^XP.
Лемма 4.1. Пусть PczRN— замкнутое выпуклое множество
и Хо — его граничная точка. Тогда существует единичный век-
тор а0, такой, что
^<а0, х —х0>>0 Vх£Р.	(4.1)
Доказательство. Очевидно, что хо^Р. Возьмем после-
довательность точек {yk}, yk^P при всех й=1, 2, ..., сходящу-
юся к х0. По теореме 1.5.1 найдутся векторы аь, 1|ал11 = 1, строго
отделяющие одноточечные множества [уь] от Р, т. е.
<Дл» Уь> < <ak, х> V х^ Р.	(4.2)
Ограниченная последовательность {аь} имеет предельную точку.
Пусть	По непрерывности нормы ||а0|| = 1. Переходя в
(4.2) к пределу по подпоследовательности индексов {йв}, полу-
чаем
<а0, х0>	<а0, х> V х £ Р,
что равносильно (4.1). Лемма доказана.
Теорема 4.1. Произвольные выпуклые множества Р и Q в
Rv, не имеющие общих точек, могут быть отделены. Это зна-
чит, что найдется единичный вектор а, такой, что
<а, а> <<(7, у> VxgP, Vy£Q.	(4.3)
93
Дока'зательство. Обозначим G замыкание множества
G=Q—Р. Очевидно, что G— замкнутое выпуклое множество.
Возможны два случая.
I. 0$ G. По теореме о строгой отделимости найдется вектор
а, ||а|| = Г, со свойством <а, z>^0 при всех zeG. Тем более
<а, 2>^0 при всех zeG. Отсюда очевидным образом следу-
ет (4.3). _
II. OeG. Прежде всего покажем, что нуль является гранич-
ной точкой множества G. В противном случае найдется замкну-
тый шар Ве={х| ||х||^б}, б>0, целиком содержащийся в G.
Образуем покрытие множества В« открытыми_шарами. Для это-
го рассмотрим произвольную точку zeB^cG и найдем точку
z*eG, такую, что ||z—z*||<6/2. Тогда открытый шар G«/2(Z*)
с радиусом д/2 и центром в z* содержит г. Совокупность всех
таких шаров, соответствующих различным образует по-
крытие Вб. По лемме Бореля существует конечное покрытие о.
Обозначим zb ..., zs центры шаров, входящих в о. По построе-
нию Zi^G при всех iel:s. Натянем на zt, zt выпуклую
оболочку
L	Х-i“И = ]}-
Множество L является ограниченным замкнутым и выпуклым.
Кроме того, в силу выпуклости G имеем Lc.G. По условию тео-
ремы 0 (£ G. Значит, 0 (f L. На основании теоремы о строгой от-
делимости существует вектор с, ||с||=1, такой, что <с, z>^0
при всех zeL. В частности,
<с, z;>>0,	1 :s.	(4.4)
Но тогда а не может быть покрытием В«. Действительно, рас-
смотрим точку а>=—дсеВв- Согласно (4.4) при всех tel:s
получим
II w - Zt II2 = II w II2 — 2 <w, zt> + II z, II2 =
= 82 4-28<f, 2i>4-|z/|2>8\
так что w не принадлежит ни одному шару Ge/2 (.?,•)• Тем_самым
показано, что 0 является граничной точкой множества G.
По лемме 4.1 найдется вектор а, ||а|| = 1, со свойством
<а, 2>^0 при всех zeG. Отсюда, как и в случае I, следует
(4.3). Теорема доказана.	_
Замечание. Выполнение условий O(JG, OeG еще не га-
рантирует, что 0 будет граничной точкой множества G при лю-
бом GczRN. Чтобы понять это, достаточно в качестве G рас-
смотреть все пространство Rw, проколотое в нуле. При доказа-
тельстве теоремы существенно использовалась выпуклость G.
До сих пор нам встречались выпуклые оболочки', натянутые
94
на конечное множество точек. Определим выпуклую оболочку
произвольного множества PczRN. Она состоит из точек вида
х = Хо “ 14 а 14 > °> Х-о а И = b (4-5>
где х,еР и р — произвольное целое неотрицательное число.
Выпуклая оболочка множества Р обозначается convP.
Лемма 4.2. Любая точка хе con v Р допускает представление
вида (4.5) с р= |АГ|.
Доказательство. Положим n = |2V|. Если в (4.5) р<п,
то к сумме а 14 xi можн° добавить с нулевыми коэф-
фициентами произвольные точки хрИ,..., хп из Р (например,
хрИ = ... — хп = •*₽)• Допустим, что р> п. Тогда однородная
система
Хо « 14 xi = 0. Хо и 14 = 0	(4.6)
имеет ненулевое решение мо=ц0[0:р], поскольку в (4.6)
число уравнений меньше числа неизвестных. Условие
S£=oUo[4=0 гарантирует, что у вектора и0хотя бы одна компо-
нента положительна. На основании (4.5), (4.6) при всех
л=Хо(®14 — *«о14М/.
Хо (Ч4-*«о[4) = 1.
Положим <zi = a—toiio, где
t0=min{a [i] /uo[41 ieO: P> “o [i]> 0).
Тогда
x = Xoe‘W^’ «‘14 >0, Xo«d4 = l. (4-7)
и хотя бы одна компонента вектора щ обращается в нуль. Вы-
брасывая из (4.7) слагаемое с нулевым коэффициентом, прихо-
дим к представлению вида (4.5)., в котором количество слагае-
мых на единицу меньше. После конечного числа таких преобра-
зований получим представление вида (4.5) с р—п. Лемма дока-
зана.
Теорема 4.2. Если PcRN —ограниченное замкнутое множе-
ство, то его выпуклая оболочка convP ограничена, замкнута и
выпукла.
Доказательство. Ограниченность множества convР оче-
видна. Проверим .его выпуклость. Пусть
л(О)=Хоа«14^О). «о14>о, 2;.о«о14 = 1,
^Хо^И”, «114>о, X=oa<14 = h
где n = |W| и все л*0*, лр> принадлежат Р. Тогда
95
Л(П + (!-/) xW = з;=о	р] л<‘> -Ь 2"^ (1 - оа« и 4°’•
При /е [О, 1] все коэффициенты в правой части последнего ра-
венства' неотрицательны и в сумме равны единице. Значит,
/хО>+(1—/)x<°’econv Р, что и доказывает выпуклость convP.
Проверим замкнутость выпуклой оболочки. Пусть
где все лДО принадлежат conv Р. По лемме 4.2
•*<*>€/>, о, =
Поскольку все последовательности {xW, *60; п, точек из Р
ограничены и все числовые последовательности {a^p]}, ie0:n,
также ограничены, то найдется подпоследовательность индексов
{£,}> такая, что
*(**)-> xj, а* pH а* Р). *60:«.
В силу замкнутости множества Р имеем х* 6 Р, i £ 0: п. В пре-
деле получаем
x*=Xoa*l‘l*;;	<чр]>о, 2"_оа*И = 1.
Это означает, что x*econv Р. Теорема доказана.
Упражнения
4.1.	Пусть — замкнутый выпуклый конус и Хо— его
граничная точка. Доказать, что существует ненулевой вектор
Uq^K+, ортогональный х0.
4.2.	Привести пример замкнутого множества на плоскости,
выпуклая оболочка которого не является замкнутой.
§ 5. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть f — функция, выпуклая на открытом выпуклом мно-
жестве QczR^ и Р — произвольное выпуклое подмножество Q.
Рассмотрим экстремальную задачу
/(x)^min.	(5.1)
Х^Р
Теорема 5.1. Для того чтобы минимум функции f на Р до-
стигался в точке х*, необходимо и достаточно, чтобы нашелся
вектор cgRjV, такой, что
/(*)—/(•**)>«?. х—х*> V.t£Q(	(5.2)
<с, х — х*>^0 Ух^Р.	(5.3)
96
Доказательство. Необходимость. Положим у*=
с^{х*). и введем два множества (рис. II)
V2={z={x, y}\xt=Q, y>f(x)}.
Нетрудно проверить, что Vb V2— выпуклые' множества и
|/.пу2=0. Действительно, выпуклость V1 следует из выпукло-
сти Р. Пусть г0={хо, Уо} и
Z1={xb yi} принадлежат V2. 1
Тогда в силу выпуклости функ-
ции f при 7е [О, 1] имеем
tyl+(l— t)y0>tf(Xi) 4-
+ (1-Of(*b)>f(^i+ (1-t)x0).
Значит, точка z(t) = tzi +
+ (1—t)z0 принадлежит V2,
что доказывает выпуклость V2.
Если допустить, что точка
г—{х, у*}, х(=Р, из Vi при-
надлежит V2, ТО получим
y*>f(x). Это противоречит
Рис. 11.
оптимальности х*. Таким образом, У1П^2=0.
По теореме 4.1 найдется ненулевой вектор а={и, у) со свой-
ством
<«, х3 — хр + лСУ —
при всех xieP, x2eQ и y>f(x2). Отсюда при хг=х, х1=х*
следует неравенство
<и, х — х*>-Н(У — J*)>0 VxGQ, (5.4)
где y>f(x), а при х2=х*, хх—х
— <«, х— x*>-H(j—_у»)>0 VxGP, (5.5
где у >У(х#). Подставив в (5.4) х — х*, получим у 0. Но у
не может равняться нулю, ибо' в противном случае согласно
(5.4) и вектор и окажется нулевым, что противоречит условию
о#=0. Итак, у>0.
Покажем, что вектор с=—и/у требуемый. Для этого перепи-
шем неравенства (5.4), (5.5) в виде
У — У*><^, х — х*> Vx£Q,	(5.6)
<с, х — х*> 4-у— _у*>0 Ух^Р.	(5.7)
Переходя к пределу в (5.6) при y-*-f (х) +0 и в (5.7) при
+0, получаем (5.2), (5.3).
Достаточность очевидна. Теорема доказана.
Пусть xoeQ. Совокупность векторов с, для которых
/(х) —/(х0) > <с, х — х0> V х С Q,
7 Заказ № 66
97
называется субдифференциалом выпуклой функции f в точке
хо и обозначается д/(хь). Элементы субдифференциала называ-.
ются субградиентами. Используя понятие субдифференциала;
теорему 5.1 можно переформулировать так: для того чтобы ми-
нимум функций f на Р достигался в точке х*, необходимо и до-
статочно, чтобы нашелся вектор сед/(х.) со, свойством (5.3).
Как обычно, обозначим Q множество планов экстремальной,
задачи
/(л) -> mln,
А (7И„ ЛЛхл^^РИ»],
Д [Мг, N]xx[N] = b [Л12j,	1 '
X )М]>О)М)
и предположим, что целевая функция f является выпуклой на
некотором открытом выпуклом множестве Q, содержащем Q.
Теорема 5.2. Для того чтобы план х* задачи (5.8) был
оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашлись век-
торы c^df(x*} и «* = «„. [2И], такие, что
<д, а.> = <с, х#>,
и. [Af} X А[М, М)<с)МЬ
\ uJM] х А]М, М2]=<ЧМ],
Доказательство. Необходимость. По теореме 5Л
найдется субградиент с функции f в точке х* со свойством
<с, х>^<с, л*> при всех л С 2. Таким образом, л* будет оп-
тимальным планом задачи линейного программирования
<с, л> -* min.	(5.9)
Существование требуемого и. следует теперь из теоремы I.7.E
Достаточность. По теореме 1.7.1 вектор х* будет опти-
мальным планом задачи (5.9). Остается воспользоваться тео-
ремой 5.1. Теорема доказана.
В случае, когда целевая функция f является выпуклой на
всем пространстве Rv (при (?=К*), критерию оптимальности,
установленному в теореме 5.2, можно придать другую форму.
Для этого введем функцию Лагранжа
I
S (х, «)=/(л) + <«, Ь — Дл>.
Будем рассматривать ее на прямом произведении конусов
K=|x = x[N]|	>0 [Л\]),
Гг=(и = ^[Л1]| ч [MJ >0[Mj]}.
Теорема 5.3. Для того чтобы вектор х* был оптимальным
планом задачи (3.8) при Q = RA, необходимо и достаточно,
98
чтобы нашелся вектор и*, такой, что пара |х#, и*} является
седловой точкой функции Лагранжа, т. е. х*£К, и
^(**» «Х#(*=н	tf*) Ух£К, Ум £ Г. (5.10)
Доказательство. *То что наличие седловой точки у функ-
ции Лагранжа гарантирует оптимальность х#, отмечалось в
конце § 1.8. Проверим необходимость этого условия.
По теореме 5.2 х*—оптимальный план задачи линейного
программирования (5.9), в которой c£df(xj. Согласно тео-
реме I. 8.1 функция L (х, и) — <с, х><и, b— Ах> имеет сед-
ловую точку |х*, м*] на прямом произведении конусов К и Г.
Таким образом, и
<с,	4- <м, Ь — ,Ах#> < <с, хр 4- <«*, Ь Ах#> Va£ Г, (5.11)
«?, х*>4-<«*, Ь— Ах#> <<с, х>4*<«», b — Ax> Ух£К. (5.12)
Заменив в обеих частях неравенства (5.11) (с, х*) на /(х*),
получим
/(**) + <«. Ь — Ах*> ^/(х*) 4-<«*, b — Ах*> Vw^r. (5.13)
Далее, из условия c£df(x*) и (5.12) следует, что при всех
х£К
f(x) — /(х*) > <с, х> — <с, х*> > <м», b — Ах*> — <м*. b — Ах>.
Значит,
/(х*)4-<«*, £ —Ах*></(х)4-<и*. Ь — Ах> Ух£К. (5.14)
Объединяя (5.13) и (5.14), приходим к (5.10). Теорема дока-
зана.
Укажем одно применение теоремы 5.3. Для этого рассмот-
рим задачу
/(x)->min,	41S
A [Af, N] X х [ЛП > b [М],	'	'
где f — выпуклая на RN функция. Положим
F(x)=max{0; 6[i]—A[i, N]X x[Af], feM}-
Очевидно, что F(x)^0 при всех xeRw и Г(х)=0 тогда и толь-
ко тогда, когда х является планом задачи (5.15). Введем еще
одну экстремальную задачу
/(х) 4- CF(x) -+ mln .	(5.16)
jt6Rv
Теорема 5.4. Если задача (5.15) разрешима, то существует
постоянная С>0, при которой задача (5.16) также разрешима.
Более того, множества оптимальных планов этих задач будут
совпадать.
Доказательство. По теореме 5 3 функция Лагранжа
W
у*
S (x, tt)=f(x'}-\-<u,,b — Ax> имеет седловую точку {x*> й<|
на прямом произведении конусов /С=ЦЛ и r=-R+. В каад.
стве С можно, взять любую константу, удовлетворяющую
неравенству
/ем
Учитывая определение седловой точки и равенство <и*, b—
— Ах#> = 0, при любом x£R* получаем
f(x*H CF(x*) =f (х*) </(х) + <«*, b-Ак>^f(x)+CF(х).
Таким образом, х* является решением задачи (5.16).
Обозначим 2* и Х*(С) множества оптимальных планов
рассматриваемых задач. По существу доказано, что 2# С
С А'* (С), ибо /(xo)=/(xj, F(xe) = 0 для любого х0£2*.
Проверим обратное включение. Пусть х0£ А-* (С). Тогда
f(xa) + CF(x0) </(х*) </(х0)	<ц*, b — Ах0> <
< f (хо) + F(хв) 2 «* И-
i£M
Отсюда в силу (5.17) следует, что /г(хо) = О, т. е. х0 —план
задачи (5.15). Так как /(х0) = /(хН!), то х0£2<:. Теорема до-
казан!.
Смысл этой теоремы заключается в том, что она сводит за-
дачу (5.15) к минимизации выпуклой функции на всем прост-
ранстве RN.
Замечание. Включение 2* сX*(С) имеет место при
С? 4^1	U1* Для справедливости же обратного включения
существенно выполнение строгого неравенства (5.17).
Пример. Рассмотрим одномерную задачу x-nnin, х>0,
с единственным решением х* =0. Единственной седловой точ-
кой функции Лагранжа S(x, и) = х (1 — и) на (— оо, оо ) X |0, оо)
является пара jx*> аж| = (0, 1[, для которой S(х*, «) = 0
при всех и ^(х, «*)-=-0 при всех вещественных X.
Возьмем С = ц* = 1. В этом случае
/(х) 4- CF(x) = x-f- max {0, —x|=max{0, x(,
так что A'*(C) = (—оо, 0]7401=2*. При С>1 справедливо ра-
венство Л* (С) = 2*.
Упражнения
5.1.	Показать, что функция, выпуклая на открытом выпук-
лом множестве QczRN, является непрерывной на Q.
5.2.	Пусть f — функция, выпуклая на открытом выпуклом
множестве Qc:RJv. Проверить, что субдифференциал df(xg) при
ам
любом xosQ есть непустое ограниченное замкнутое выпуклое
множество.
5.3.	Показать, что в условиях предыдущего упражнения вы-
полнение неравенства
/(*) —	x — xj Vx£U(x9),
где U(x0) ={х I ||х—х011 <6}g:Q.	гарантирует включение
c.edf(xo).
5.4.	Привести пример выпуклой на отрезке [0, 1] функции, у
которой нет точки минимума.
5.5,	При Q — Rn наряду с (5.8) рассматривают двойствен *
ную задачу
inf SE(x, и) -» шах.
хек	«ег
Доказать следующее утверждение: если разрешима прямая за-
дача, то разрешима и двойственная; при этом
min/(x) = max inf S’(х, и).
иег х$К
§ 6. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
ЧЕБЫШЕВСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Напомним (см. § 1.11), что целевая функция линейной зада-
чи чебышевского приближения имеет вид
ф (X) — шах Ур“’ х [у] Uj (t) —f(t) I,
teq	ь
где QczRs — компактное множество и	f — непрерыв-
ные на Q функции. Функция Ф является выпуклой на
Действительно, при ае[0, 1]
Ф + (1 — а)х0) = шах
a(SZix* м —/ (0)4-
+ (!-«) «/(')-/('))

Введем обозначения
Р(х., 1) = ^'\х[1]и}а), F(x, t) = P(x,
Тогда Ф (х) == max | F(x, /)|. Зафиксируем х и обозначим Q(x)
teQ
множество точек t£Q, в которых F(x, t) достигает макси-
мального ло модулю значения, т. е.
Q(x) = |/£Q| |F(x, О|.= Ф(х)}.
Положим, наконец, |(х, /)=signF(x, /),. U=(ub ...«р-О. Сле-
дующая лемма — ключевая. В ней дается представление для
субдифференциала функции Ф в фиксированной точке х»
10?
Лемма J1.1. Если Ф(хо)>О, то
дФ(хо) =conv{g=4(x0, 01/(0 |^Q(x0)}.	(6.1)
Доказательство. Обозначим G(х®) множество, стоящее
в правой части формулы (6.1), и покажем вначале, что
(?(хв)с<?Ф(хо). Возьмем вектор g=g(x0, t)U(t), где /eQ(xo).
Учитывая равенство х> —Р(х, t), получаем
<g, х — х0> = е(хф, <)[Р(х, £) —P(xe, 01 =
= Цх0. t)F(x, t)—\F(x9, /)|<Ф(х) — Ф(х0).
Значит, ^едФ(хо). Отсюда следует, что G(x0) сгдФ(хо).
Обратное включение будем доказывать от противного. Допу*
стим, что существует вектор седф(хо), не принадлежащий
G(x«). Введем обозначения
Q. (*«) = € QIФ (Хо) - I F(X0, t) I < s),
G. (x0) = conv (g = 5 (x0, t) U(t) 11 £ QJx0) |
я покажем, что c(fGe(x0) при некотором е из интервала
(О, Ф(х0)). Снова допустим противное и возьмем произвольную
последовательность (sA| чисел из (0, Ф(х0)), стремящуюся
к нулю. Имеем с£О< (х0) при всех Л=1, 2, По лемме 4.2
с=KL’я* и5 и	(6-1 2 * * * * * В>'
А	/=0
где <F€Q.,(x®). «»И>0, 2f~4Pl = l. Можно считать, что
№ -> th а* [/] -> а 11|. Поскол ьку Ф (х0) — | F (х0,	| < е*. ТО
в пределе получаем ®(x0)=|F(x0, ^)|, так что tt £ Q(х0). Прг
этом ?(х0,	-► £ (х0, ft), ибо F(x0, t^^Q. Предельный пере-
ход в (6.2) приводит к представлению
1 “'V
где 6 € Q (х®). «(/] > 0,	а [/] = 1. Значит, с £ G (х0), что
противоречит выбору с. Итак, c(£GE(x0) при некотором s(*
f(0, Ф(х0)). Зафиксируем это е.
Отметим, что функция 5(х0, t) непрерывна на Q< (хД так
как |F(x0, /)|>Ф(х0) — е>0 при всех <€Qe(x0). По теореме
4.2 множество G«(x0) является ограниченным, замкнутым и
выпуклым как выпуклая оболочка ограниченного замкнутого
множества. К тому же c$Gs(x0). По теореме о строгой отде-
лимости найдутся ненулевой вектор а и положительное число
Д > 0, такие, что <g, а> < <с, а> — Д при всех g £ Gs (xf).
В частности,
<(х0, /) Р (a, t)=<a, 5 (х0, t) U	а> — Д Vt € Q, (х0). (6.3)
Пусть т = тах|Р(а, /Д. Введем вектор Х! = х04-ра, где 3 —
/ео
положительное число, удовлетворяющее неравенствам
Ю2
Рт < Ф (*.) ~ «.	(614)
Ph+д-<с> а>]<г>	(6.5)
и покажем, что
*(Xi)<«(x0)+<c, Xi— х0> — рД.	(6.6)
Возьмем t(:Qe(x0). Поскольку F(x]t t) = F(xt, t)-{-$P(a, t)
и в силу (6.4) |F(x0, 01 > P|£*(«, 0|. то t) = t(x0, t).
С учетом (6.3) получим
|F(xlt 01 = ^^. t)l(x0, t) = \F(x(l, 01 + РЧхо, t)P(a, i)<
< Ф (x0) + Р [<с, а> — Д] = Ф (х0) -f- <£, xt — х0> — рд.
Пусть /£Q\Q, (х0). Тогда согласно определению Qs(x0) и (6.5)
имеем
I^Ui, ОI I F(x6, о| + Рт<Ф(хо) —s + Py<
< Ф (х0) 4- р [<с, а> — Д] = Ф (х,) 4- <с, х( — х0> — рд.
/
Таким образом,
IH*i, О1<Ф(*о) + <с, *1—х0>—рД Vt£Q,
что равносильно (6.6). Но неравенство (6.6) противоречит усло-
вию седф(хо). Тем самым доказано включение дФ(хо)сб(хо),
а вместе с ним и лемма.
Обратимся к линейной задаче чебышевского приближения
Ф (х): = max |	* [/] «у (0 —/ (0 | —> min,
Xi с IO Л X * [/] > d р], i 6 1: т1г	(6.7)
IjyZi С I*’ /1 X X [ /] =d [/], i£ mt 4-1: m.
Будем считать, что множество ее планов й непусто. Согласно
теореме 1.11.3 задача (6.7) разрешима. Предположим, что
тш{Ф(х) |хей}>0.	(6.8)
Введем обозначение Ci=C[i, 1 :р—1], fel :т.
Теорема 6.1. Для того чтобы план х* задачи (6.7) был оп-
тимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашлись точки
tu	из Q(x*) и векторы а* — а* [1 :/>], X* [ 1 :/и],
такие, что
Xj а* И ?	= X> к* Ш Ci’
(d [i] — <Ch x*>) X [/] =0, /61: /nn
= t (6-9)
a* [zj > 0, iQi.p; X*pJ>0,
Доказательство. Необходимость. По теореме 5.2
ЮЗ
найдутся векторы яЕ’дФ(^и>) и ~ 11: т] со свойствами
<d, \*> = <g, х*>, l*C — g, k*[l: mJ >0[l :z»i]-	(6.10)
Имеем <.d — Cx*, /.*> = 0, так что
(d [Z] — <Ch x*>) x X* [Z] =0,
Остается учесть, что в силу (6.8) Ф(х#)>0, и воспользоваться
леммами 6.1 и 4.2.
Достаточность. Согласно (6.9) существуют векторы
§е5Ф(х*) и X*, удовлетворяющие соотношениям (6.10). Опта?
мальность х* следует теперь из теоремы 5.2. Теорема доказана.
Упражнение
6.1. Указать вид субдифференциала дФ(хо) при Ф(хо)=О.
§ 7. ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЯ
линейной задачи чебышевского приближения
Будем рассматривать одномерную задачу чебышевского при-
ближения без ограничений на Коэффициенты
Ф(^):==тах|У х (/] и, (Z) — f(t) I -> min, (7.1)
\	/ео	1	,6R/v
где Qcz(—оо, оо) —компактное множество, содержащее не ме-
нее |ЛГ| +1 точек,-и f, Uj — непрерывные на Q функции. Задача
(7.1) разрешима. Считаем, что гп1п{Ф(х) |xeRN}>0. В дальней-
шем используются обозначения Р(х, /), F(x, /), Q(x), g(x, t),
U(t) — их смысл такой же, как в предыдущем параграфе. До-
полнительно полагаем n=|Af|.
Теорема 7.1. Для того чтобы вектор х$е^ был решением
задачи (7.4), необходимо и достаточно, чтобы нашлись точки
to, t\, ..., tn из Q(x*) и неотрицательные числа a*[i], ieO:n,
в сумме равные единице, такие, что
Q U(t,) = O.	(7.2)
Доказательство. Необходимость. По теореме5.1
найдется субградиент с функции Ф в точке х*, удовлетворяю-
щий условию <с, х — х*> >0 при всех xeRw. Подставив в по-
следнее неравенство х=х*—с, получим с=0.3начит, Оедф(х#).
Формула (7.2) следует теперь из лемм 6.1 и 4.2.
Достаточность. По условию Оедф(х#). Это означает,
что Ф(х)—Ф(х*)^0 или Ф(х)>Ф(х*) при всех xeRw. Тео-
рема доказана.
Обозначим X*(f) множество .решений задачи (7.1). Нетруд-
но проверить, что X*(f)—замкнутое выпуклое множество в
Rw. Замкнутость следует из непрерывности функции Ф на RN,
104
а выпуклость — из того, что для выпуклой функции Ф любое
множество вида {x^RAr| Ф(х) C|i} выпукло.
Напомним, что размерностью выпуклого множества Х#(/)
называется максимальное число линейно независимых векторов
вида z=x\—х2, где хь х2 принадлежат X*(f). Она обозначает-
ся dim Л* (f). Наша цель — оценить сверху размерность
Для этого понадобится понятие чебышевского ранга системы
функций.
Чебышевским рангом системы непрерывных на Q функций
Uj, называется максимальное целое число rt такое, что для
любых попарно различных точек t\, tr из Q векторы
(7(Л), ..., U(tr) линейно независимы.
Очевидно, что 0<г<|Л/|. При этом г = 0 тогда и только
тогда, когда существует точка t^Q, в которой все функции щ,
l^N, обращаются в нуль. Если г=|ЛГ|, то система функций
{Uj} называется чебышевской на Q.
Следующая теорема принадлежит Г. Ш. Рубинштейну.
Теорема 7.2. Справедливо неравенство
<hmX*(f)^\N\-r.	(7.3)
Более того, существует непрерывная на Q функция f*, для ко-
торой dim X* (fj = | N | —r.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь решение х* за-
дачи (7.1) и соответствующее ему представление нуля (7.2)..
Преобразуем (7.2) к виду
=	(7.4)
где Е, ==? (х*, /р, а р| >0, И = 1 и точки */6Q(x*>
попарно различны. По определению чебышевскогоранга|/|>-
г 4" 1.
Если х— любой вектор из X*(f)> то
EzF(x, ^)<^(х„
Отсюда следует, что li[P(x,ti)—Р(х*, М] <1 0, или
Ь <U(i^ х —х*> < 0,
Умножим равенство (7.4) скалярно на х—х*. Получим
2;е/а И х—х#> = 0.
Сравнивая два последних соотношения и учитывая положитель-
ность всех a[i], приходим к выводу, что £$< [/(/;), х—х*>=(>
при i^I. Значит, для всех xeX*(f)
Р(х, Ц)=Р(х*> ti).
Теперь нетрудно понять, что векторы вида z=X\—х2, где
Х\, х2 принадлежат X*(f), удовлетворяют системе линейных
однородных уравнений
105
<U(ti),z>=O,it=I,	(7.5)
поэтому размерность X*(f) не превосходит числа линейно неза*
внсимых решений этой системы. Поскольку количество неизве-
стных в (7.5) равно |ЛГ|, а ранг матрицы не менее t, то
dim X*	| Л/1 —л Проверим точность этой оценки.
По определению чебышевского ранга существуют точки
..<tT в Q, такие, что векторы 1/(/0), 1/(Л), U(tr)
линейно зависимы:
(7.6)
Здесь не все р [Z] равны нулю. Так как любые Л векторов из
системы {£/(£<)), i£0:r, линейно независимы, то все [/|
отличны от нуля. Положим 5f = sign?[i], а[/] = |р|<]|/
Si-о I ИЛ I и перепишем (7.6) в виде
=	(7.7)
Построим непрерывную на Q функцию для которой
dimX# (f#) = |AI|—г. Прежде всего заметим, что система
<(/(/<), z>=0,'te0:r, имеет A:=|Af|—г линейно независимых
решений. Обозначим их Х\, ..., хь. Введем функцию
|Ео. — 00 < i < to',
) (t 1„ )/(^ -	),
ti-.<t<ti, ZG1 :г;
е,, tr < t < оо.
Положим, наконец,
„ Л(О=-НО	лп,
где 7 > max У , I P(xh t) |. Для любого а =	. еху при
| |	1 имеем
Р(а,
\Р(а, Л-Д(ЛК1Р(«, 01 + 1А(0	|Р(ху,01 +
+	Л1]=Ъ <£Q.
Отсюда следует, что функция F* (a, t) — P(a, t)—f*(t) в
точках tt достигает максимального по модулю значения на Q,
— sign F* (a, t') и
Ф* (а) : = max | F* (а, t) | = 7 > 0.
/е<?
Согласно (7.7) 0£дФ#(а), поэтому Ф* (х) > Ф* (а) при всех
x(j R\ В частности, mln {Ф* (х) | х£ R^} > 0.
(06
множеству X* (f *).
Рис. 12.
Все векторы а указанного выше вида являются решениями
задачи (7.1) при /=/*, т. е. принадлежат
Среди них хь ..Xk и хо=0. По-
скольку разности Zj—Xj—Xq, /el : k,
линейно независимы, то dim X* (/*)
—г. Учитывая (7.3), по-
лучаем dimX*(f*) = |JV|—г. Теоре-
ма доказана.
В случае, когда чебышевский
ранг системы {«J равен |М|, зада-
ча (7.1) имеет единственное реше-
ние. На самом деле справедлив бо-
лее сильный результат.
Теорема 7.3 (о строгой единственности). Пусть {и}}, jeN,—
чебышевская система непрерывных на Q функций их* — един-
ственное решение задачи (7.1). Тогда существует постоянная
т)>0, такая, что
Ф(х)

(7.8)
(рис. 12).
Доказательство. По теореме 7.1 решению задачи (7.1)
х* соответствует представление нуля
S?-o“*Un,^(M = O,	(7.9)
где |i=B(x*, ti) и ^eQ(x*). Так как {Uj} — чебышевская систе-
ма, то в (7.9) a*[i] необходимо положительны и ti попарно
различны. Умножим (7.9) скалярно на произвольный единичный
вектор g. Получим
g> = 0.	(7.10)
Покажем, что
® (g) : = max К, <U (ft), g> > 0.	(7.11)
/60 : л
В противном случае согласно (7.10) и положительности а*[1]
имеем li<U(ti), g>=0, i^0:n. Значит,
g>=0, teO:«.	(7.12)
Рассмотрим (7.12) как систему линейных однородных уравне-
ний относительно g. У нее п переменных и ранг ее матрицы то-
же равен п. Поэтому (7.12) имеет единственное — нулевое—ре-
шение, что противоречит условию ||g|| = l. Справедливость нера-
венства (7.11) установлена.
Функция <p(g) непрерывна на единичной сфере
S={geR"|||g||=l}.
По теореме Вейерштрасса она достигает минимального на S
значения и
107
V : = min max <U (t,), g> > 0.
yes <eo:n
Проверим, что постоянная t] — требуемая. При х=х* неравен-
ство (7.8) тривиально. Возьмем х=£х*. Имеем
Ф(х)— Ф(х#)>тах [$fF(x,^)—Ф(х#)] = тах?,-[/:'(х, <<)—в
/60:л	* /ео:п
= max <U (t{), x — x*-> = |x — x#||max (tt\ (x — x*)>
ZGO :n	/£0 : n
/||x — X*j|> > ^||x —xjf.
Теорема доказана.
Упражнения
7.1.	Показать, что система непрерывных на Q функций
«ь ...» un линейно независима тогда и только тогда, когда
найдутся попарно различные точки ti, ...» tn из Q, такие, что
векторы U{ti), .... U(tn) линейно независимы (ср. с определе-
нием чебышевской системы).
7.2.	Пусть а < z, < ... < zm < b и t" =|max {0,£} I"- Най-
ти чебышевский ранг системы функций 1,	, tn, (t —
— ?m)+ на [a, *].
7.3.	Доказать следующее утверждение: если ии ... ня—чебы-
шевская Система на отрезке [а, 6], то существует полином
P(xQt 0=У]л ! л0 [Z] Ui (/), положительный на [а, Ь].
§ 8. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Напомним, что квадратная матрица D = D[N,N] называется
симметричной, если DT = D. Для того чтобы матрица D была
симметричной, необходимо и достаточно, чтобы при всех х и у
из R2^ выполнялось равенство
<х, Dy> = <Dx, у>.	(8.1)
Действительно, при DT = D имеем
<х, Dy> = <xD, у> = <DTx, y> = <Dx, у>.
Наоборот, подставляя в (8.1) х = ег-, y=ejt получаем =
=D[j,i] при всех i, так что DT — D,
Функция вида
f (-^)	/2 х> х^> Н- ос,
где D — симметричная матрица, называется квадратичной функ-
цией. С точки зрения оптимизации постоянная величина а не
играет существенной роли, поэтому обычно ее отбрасывают.
В дальнейшем будем считать, что квадратичная функция имеет
вид
108
/(*) = '12<Вх,х> + <с, х>.
Учитывая (8.1), получаем разложение
/ (х -|-Л)=1/2 <D (х 4- Л), x+h>+<c,x + h> = /(х)-{- <Dx-\-c, h> +
+ 1/2 <Dlt, Л>.	(8.2)
Поскольку | <Dh, h> |/||Л||<||£>Л||->-0 при то из (8.2),
в частности, следует, что квадратичная функция / дифференци-
руема в каждой точке xeRv и f'(x) =£>х+с. Далее,
f'(x+h) =D(x+h) +c=f'(x) +Dh.
Значит, квадратичная функция дважды дифференцируема на
RJV и f"(x) =D.
Согласно теореме 3.4 квадратичная функция выпукла на R*v
тогда и только тогда, когда <Dh, h>>0 при всех fteRN.
Матрица, удовлетворяющая последнему условию, называется
неотрицательно определенной.
Рассмотрим экстремальную задачу
/(х): — ’/г <Dx, х> -|- <с, -х> -> min,	(8.3)
где D — неотрицательно определенная симметричная матрица.
Лемма 8.1. Для того чтобы вектор хж был решением задачи
(8.3), необходимо и достаточно, чтобы Dx* =—с.
Доказательство. Необходимость. Так же, как в
лемме 2.1, показывается, что </'(**), х—х*>>0 при всех
xeRN, Подставляя в это неравенство х=х*—/'(**)» получаем
Г(х*)=0. Остается заметить, что f'(x^) =Dx* + c.
Достаточность. Согласно лемме 3.1 f(x)—f(x*)>0,
или f(x)>f(x*), при всех xeRN. Лемма доказана.
По существу установлено, что минимизация выпуклой квад-
ратичной функции равносильна решению системы линейных
уравнений.
Следствие. Пусть D — неотрицательно определенная сим-
метричная матрица. Если <£>Хо, хо> = О, то £>Хо=0.
Действительно, в точке Хо квадратичная функция g(x) —
=’/2 <Dx, х> достигает минимального на RN значения. По-
этому g'(x0)-: =£>Хо=0.
Лемма 8.2. Для разрешимости задачи (8.3) необходимо и
достаточно, чтобы целевая функция была ограниченной снизу
на Rv.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность. Допустив противное, получим в силу лем-
мы 8.1, что система линейных уравнений Dx=—с несовместна.
По следствию 1 из теоремы 1.6.3 найдется вектор Uq со свой-
ствами Duo=O, <с, «о>¥=О. Зафиксируем произвольную точку
Xo^RJV, Согласно (8.2) при любом вещественном t имеем
f (х0 + /а0) — f (х0> = t <Dx0 + с, и0> 4-	<Du0, а0> = t <с, а0>+
+ t <х0, Duq> = t <с, ir0>.
109
Отсюда следует, вопреки условию леммы, что целевая функция
f не ограничена снизу на RN. Демма доказана.
Обратимся к задаче
/.(л) : = ',2	•*> + х> min,
Л[Л1, /V] X x[;V] = £ [Л1|,	(8.4)
где матрица D по-прежнему считается неотрицательно опреде-
ленной и симметричной. Множество планов этой задачи обо-
значим (0.
Лемма 8.3. Для того чтобы план х* задачи (8.4) был опти-
мальным, необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор
i/* = и* [М], такой, что
Dx* + с — Ат и*.	(8.5)
Доказательство немедленно следует из теоремы 3.2.
Условия (8.5) линейны относительно х* и и*. Это позволяет
установить критерий разрешимости задачи (8.4).
Лемма 8.4. Задача (8.4) разрешима тогда и только тогда,
когда множество ее планов ® непусто и целевая функция f огра-
ничена снизу на со.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность. Допустив противное, на основании леммы
8.3 подучим, что система линейных уравнений
Dx — Ати — —с,
Ах = Ь
несовместна. По следствию 1 из теоремы 1.6.3 найдутся векторы
Po=fo[^]. Ио=Ио[Л4] со свойствами	/
I ^qA — 0, Дг>0 — 0,	zg
<с, v0> — <b, и0>=£0.	' ‘ '
Зафиксируем х0е<о. Вектор x(t) =Xo+tvo при любом веществен-
ном t принадлежит <о. Согласно (8.2) и (8.6) имеем
f (х (t)) — f (х0) = t <Dx0 + с, v0> + <Dv0, v0> = t <c, v0> +
4-1 <x0, Dvq> — <«0Д, u0>=Z <c, v0> — t <x0, и0Д>—у <и0, Дг»0> =
= t [<с, vlt~> — <b, «0>].
Отсюда следует, вопреки условию леммы, что целевая функ-
ция f не ограничена снизу на со. Лемма доказана.
Упражнения
8.1.	Привести пример неотрицательно определенной несим-
метричной матрицы.
110
8.2.	Пусть D=D[N, N]—симметричная матрица, Xi =
=1ГПП||Ж||=1 <Dx,x> и xi — единичный вектор, на котором
<Dx1,Xi>=Xi. Показать, что Dxi = Mxi.
8.3.	Решить экстремальную задачу
’/гр —-* mln,
А \М, АГ] X л[ЛП=0(Л1],
где — фиксированная точка и А=А[М, N]—матрица
с линейно независимыми строками.
§ 9. КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Экстремальная задача вида
f (х): = >/а <Dx, х> <с, х> -> min,
N] X х
А[М,, N] X х [N] = b [УИ2],
х^х]>0[^],	(9.1)
где D—D[N, ЛГ]—неотрицательно определенная симметричная
матрица, называется задачей выпуклого квадратичного про*
граммирования.
Теорема 9.1. Задача (9.1) разрешима тогда и только тогда,
когда множество ее планов Q непусто и целевая функция f
ограничена снизу на Q.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность. Предварительно включим знаковые ограни-
чения на переменные в общие ограничения-неравенства. Для
этого положим
»!*,]=(ОД).
Тогда 2 = {x6R"|^ ЭДхдеХ'Г
Пусть Af = A43UA42 и p = infxe2/(х). Обозначим Т конечную
совокупность индексных множеств I, Af2 С I С At, порожда-
ющих непустые грани 2 (/) многогранного множества 2 (см.
§ П.2). Учитывая формулу (11.2.3), получаем
р.= min inf /(х).	(9.2)
/6 г хев (/)
Очевидно, что минимум в правой части (9.2) достигается. Сре-
ди оптимальных I выберем такое /*, которому соответствует
грань й(/#) наименьшей размерности. Обозначим
ш (/*) : = aff 2 (/*) = (xGR* | А [/*, АГ] X х [N] = b [/*]}.
Возможны два случая.
111
I. 9 (!*) = <» (/»). Имеем
inf f (x).
JTC® (/,)
Согласно лемме 8.4 (или лемме 8.2 при ©(/#) = R-V) последний
инфнмум достигается, т. е. существует точка x^ewf/^cQ,
такая, что /(х*)=|х. По определению р. точка х* является ре-
шением исходной задачи.
II. П(/») ¥=©(/#)• Согласно теореме П.2.1 относительная
граница dQ(/*) грани £!(/*) непуста и состоит из граней, раз-
мерность которых меньше размерности й(/#). Учитывая опре-
деление 1*, заключаем, что
Hi: = inf f (х) > р.	(Э.ЗГ
хе^в(/*)
Далее,
inf /(х) = р,	(9.4)
JT60 (/.)
поэтому существует точка XieQ(/#), на которой f(*i)^jitb
Покажем, что
f(x)>p, Vxeo(4)\Q(/J.	Ф5)
Зафиксируем Хое<о(/*)\Q(/*). На отрезке [x0, xj най-
дется точка x(7o)=/oXi+(1—/о)хо, ^о^[О, 1), принадлежащая
dQ(I*) (см. доказательство леммы II.2.2). В силу выпуклости?
функции f и (9.3) имеем
Hi (/о)) fojii + (1—(o)f(xo).
Отсюда следует требуемое неравенство f(x0)^pi.
Объединяя (9.3) — (9.5), приходим к соотношению
inf /(х) = н-
('♦)
Согласно лемме 8.4 (или лемме 8.2 при ©(/*) = RN) последний
инфнмум достигается, т. е. существует точка х,ещ(/,), на ко-
торой f(x#)=p. С учетом (9.5), (9.3) получаем х, €&(/*)-<=&,
поэтому х* является решением исходной задачи. Теорема дока-
зана.
Попутно установлено, что при 1=1* любое решение задачи;
f(x) =I/2<Dx, х> + <с, x>->min,
(9.6)
A\I, JV]Xx[JV] = &[7]
будет решением задачи (9.1). Чтобы придать этому замечанию
более конструктивный характер, обозначим Т\ совокупность тех
1^Т, при которых задача (9.6) разрешима и оптимальный план"
х(/) принадлежит □ (/), т. е. удовлетворяет строгому неравен-
ству Л[Л4\/, ЛГ]Хх(/)[ЛГ]>й[М\/]. Тогда х(7), 7е=Ть с наи-
меньшим значением f является оптимальным планом исходной
задачи.
112
Теорема 9.2. Для того чтобы план я* задачи (9.1) был
оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор
я* =.-и* [Af ] со свойствами
<b, и*> = <Dx* + с, х*>,
X О [ЛА, 2VJ 4- «* [Al] X А [Ж, ЛА,[ CcpVJ,
- х* [ЛАJ X D [ЛА, N2\ + и* [Af[ X А [Л/, ЛАг[ =с [/V2[, (9.7)
«» [Л1,| > 0 [AfJ.
Доказательство немедленно следует из теоремы 3.1
а формулы f'(x*) =Dx* + c.
Упражнения
9.1.	Записать критерий оптимальности для задачи выпукло-
го квадратичного программирования в случае, когда Q=R+.
9.2.	Решить экстремальную задачу
V21X — с I2 -> min,
|х[/]|<1 Y/ТЛА,
где с — фиксированная точка из RN.
9.3.	Свести (9.1) к эквивалентной задаче квадратичного
программирования с ограничениями в канонической форме
записи.
§ 10. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В КВАДРАТИЧНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ
Займемся анализом критерия оптимальности, установленно-
го в теореме 9.2. Обозначим Р множество пар z={v, и}, удо-
влетворяющих ограничениям
-v [ЛА] X D [N, Ni]+u [Af] X A [Af, AAJ < с [Л\],
-v [ЛА| X D [.V, ЛА2] -[-/г [Л4] X А [At, ЛА2] =с [ЛАа],
« [Af, J > 0 рИ,].
Первое из соотношений (9.7) перепишем в виде
— V2 %*> + <£, z^> = 1/2 <Ох*,х*> + <с, х*>=/(хД
Введем функцию g(z) =—*/2<Dv, v> + <b, и>. Тогда теоре-
му 9.2 можно переформулировать так: для того чтобы план х*
задачи (9.1) был оптимальным, необходимо и достаточно, что-
бы нашелся вектор и*, такой, что z*={x*, и*}^Р и §(г*) =
Лемма 10.1. Для любых z^P и хей справедливо неравен-
ство g(z)^f(x).
Доказательство. Имеем
<b, и> <и, Ах> = <иА, х> < <Dv + с, х> = <с, х> -[- <Dv, х>.
8 Заказ № 66
113
Поскольку
О < <D (х — х>), х — v> — <Dx, х> + <Du, v> — 2 <Dv, x>, (10.1)
to <b, u> <c, x>4-V2 <Dx9 x>-{-1/2 <Dv, v>.
Отсюда очевидным образом следует требуемое. Лемма дока-
зана.
Допустим, что задача (9.1) разрешима и х* — ее оптималь-
ный план. Согласно теореме 9.2 и лемме 10.1 найдется вектор
и*, такой, что z*={x#, и*}^Р и
(*♦)=£(**) V zeP.
Значит, z„ доставляет максимум функции g на Р, т. е. является
решением экстремальной задачи
g (z): = - >/2 <Dv, v>-\-<.b, и> -* max. (10.2)
Задача (10.2) называется двойственной к (9.1). Запишем ее в
развернутом виде:
—1 /2 <Dv, v> 4- <b, и> -> max,
- v [NJ X D [N, NJ + и [Al] X A [Af, AJ < c [AJ,
-®[A]XD[A, AM + u[Af]XA[M,	(10.3)
По существу, установлено, что из разрешимости задачи (9.1)
следуют разрешимость двойственной задачи (10.2) и равенство
min/(x) = max g (z).	(10.4)
лее
Докажем обратное утверждение.
Положим
&о=(О[ЛГ], Ь[М]),
D = [D[N,N] 0[N, Af] \
° \о[Л4, ЛГ] 0[М Af] )
и заметим, что g(z) =— 1/2<DoZ, z> +<Ь», z>. Пусть z*=
= {v#,	—оптимальный план задачи (10.2). Тогда г* явля-
ется решением задачи выпуклого квадратичного программиро-
вания
*/г ^Doz, z>— <b$, z> -» min.	(10.5)
z^P
Ограничения этой задачи перепишем в виде
D [М, AJ X ® [М] -Ат [N„ М\ X « [Af] > - с [М],
D [N2, ЛГ] X. v [N] - Ат [Л7, М] X « [Af] = - с [N,],
« [Af,] > 0 [Л4Х]..
По теореме 9.2 найдется вектор x#=x*[N] со свойствами
114
— <c, x^ — iDv*,	u*>,
x* |7V] X D[H, jV] = D]/V, TV] X.% [/V],
-x, [/V] X AT [/V, Mj] < -b ] Л4,],	(10.6)
-x* |.V] X AT [TV, M8] = -ДД],
x* [A\l > 0[M],
В частности, x#£S. Поскольку £h>*==Dxe, то
<Dv*, v*>~<Dx*, t>*> = <x#, Dv#> = <£>*#. •**>.
Учитывая это равенство и первое из соотношений (10.6), по-
лучаем g (г*)=f(x*). Согласно лемме 10.1
/(*)>£(**) = /(**) Vx<=Q,
т. е. х* — оптимальный план задачи (9.1). Доказано, что и>
разрешимости задачи (10.2) следуют разрешимость задача
(9.1) и равенство (10.4).
Полученный результат называется первой теоремой двойст-
венности. Приведем ее формулировку.
Теорема 10.1. Если одна из двойственных задач выпуклого
квадратичного программирования разрешима, то разрешима в
другая. При этом справедливо равенство (10.4).
Продолжим изучение пары двойственных задач.
Теорема 10.2. Двойственные задачи (9.1), (10.2) одновре-
менно разрешимы тогда и только тогда, когда множества их
планов Q и Р непусты.
Доказательство. Необходимость тривиальна. Прове-
рим достаточность. Пусть zoeP. Согласно лемме 10.1 Дх)^
^g(zo) при всех хеЙ. Значит, множество планов Q задаче
(9.1) непусто и целевая функция f ограничена снизу на Q. По
теореме 9.1 задача (9.1) разрешима. На основании теоремы
10.1 разрешима и двойственная задача. Теорема доказана.
Следующее утверждение является естественным дополне-
нием к первой теореме двойственности.
Теорема 10.3. Пусть Q^0. Тогда
inf Дх) = — оо
в том и только в том случае, когда Р=0. Если Р=^0, то
= 4-оо
ZQP
тогда и только тогда, когда Q=0.
Докажем, например, вторую часть теоремы.
Необходимость. Допустив, что Q=£0, придем к про-
тиворечию с теоремой 10.2.
Достаточность. Предположим, что g(z)^C при всех
z^P. Тогда разрешима задача (10.5), откуда, как отмечалось,
следует непустота множества Q. Теорема доказана.
11S
sup g (z)
8*
Переходим ко второй теореме двойственности, представляю,
щей собой новую форму критерия оптимальности.
Теорема 10.4. Пусть х0 и 20={уо, «о}—планы задач (9.1)
a (10.2) соответственно. Для того чтобы эти планы были опти-
мальными, необходимо и достаточно, чтобы
(&[<] —A[t, ЛГ]Ххо[У])Хио[«]=° V 1еЛ<1,	(10.7)
(-е.И]ХД[ЛС /] + «о[Л1] ХА[М, /]- 4/J) Ххо[/]=О VjeNt,
(Ю.8)
D (x9—v0) =0.	(10.9)
Доказательство. Необходимость.	Учитывая
(10.1)	, имеем
<й, и^> < <а0, Ах0> == <и0А, х0> <Dv0 + с, ха> — <с, х0> +
-+-<£>v0, х0><«\ х0>4-у<£)х0, х0>+ у <Dv0,v0>.
Поскольку Хо и До — оптимальные планы, то согласно теореме
10.1 первое и последнее выражения в этой цепочке соотноше-
ний равны. Отсюда следует, что
<Ь — Дхв, и„> = 0, < — и0А — с, х0>=0,
V <О©0, х0>=у<Охо, х0> + у<О‘П0, v0>.	(10.10)
Перепишем равенства (10.10) в виде
S/ем	R. Af] Хх0^|)Х«оШ=0, (10.11)
S/cnr(-ve^] XD[N, y]+z/o (-Ml ХА [M, /]-с |у])Хх0 [у]=0,
(10.12)
<D (х0 — v9), х0 — v0> — 0.	(10.13)
В (10.11), (10.12) все слагаемые неположительны и потому
равны нулю. В частности, выполнены условия дополняющей
нежесткости (10.7), (10.8). Равенство (10.9) получим на осно-
вании (10.13) и следствия из леммы 8.1.
Достаточность. Условия теоремы легко преобразуются
к виду (10.10). Это, в свою очередь, приводит к равенству
<b, и0> — <с, x0> + y<Dx0, x0>4-y<D»0, t)0>.
Значит, g(zo)=f(xo). Оптимальность планов х0 и Zo следует
теперь из леммы 10.1. Теорема доказана.
Упражнение
10.1. Записать двойственную к экстремальной задаче
*/2 ИSyeлл х [/] cij — с ||2 min,

S,-e;v* 1/1 = 1. X[JV]>OPV],.
где с и а, — произвольные точки из RM.
§ 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Начнем с задачи Сильвестра, сыгравшей существенную роль
в истории нелинейного программирования. Она ставится так.
Даны произвольные точки	в пространстве R*. Найти
наименьший шар, содержащий эти точки. Формально задачу
Сильвестра можно записать в виде
ф (х) =шах Р/2||*Ъ — *J2] niin. (11.1)
/см	jcexN
Здесь x — центр искомого шара.
Лемма 11.1. Решение задачи (11.1) существует и единст-
венно.
Доказательство. Зафиксируем	и пусть
ф(х)Сф^о). Тогда \\йг—х|1С(2<р(хо)),/2 при всех Значит;
|х|<ш1пЫ + (Ш),й.
i£M
Получили, что множество {х|ф(х)^ф(х0} ограничено. Отсюда
и из непрерывности функции ф следует, разрешимость задачи
(111)-
Положим |1=т1п{ф(х) |x^RN} и допустим, что ф(л*)=
=ф(Х])=ц. Введем обозначения иг=аг‘—х0» Vi=at—х^
Тогда Ui = V{ хотя бы при одном Z&VL Действительно, в про-
тивном случае
II1 /2 (И/ + ^) II2 -1 /2II и, ||2 - ’/2II vt II2 = - 4II«<-«,!••< о.
так что при всех i£M
II '/2 («/ + Ч) ||2 < >/21| и{ ||2 + */21| vt Г < 2р.
Значит,
шах
/е.и
2	| )
Но это противоречит определению р. Получили, что Ui=ui при
некотором ieM, откуда следует равенство Хо=*ь Лемма до-
казана.
Имеем ф (x) = max { — <ait х> +72.11 Д/ll2)
i 6/И
Теперь нетрудно проверить, что задача (11.1) эквивалентна
задаче квадратичного пропрамирования
’/г <Ех, х> + t -> min,
- <ah x> + \/21| аД2 < t, i6 M .	(11.2J
{cm. § 1.3). Из строк at составим матрицу А и обозначим ъ
вектор с компонентами &[i] = ||a,||2/2, ieM. Это дает возмож-
ость переписать (11.2) в виде
*/2 <£х, x>-b-t -* min.
A [i, ATJ х x[W] + / >b |«|,	(Ц.З)
Неизвестной в (11.3) является пара у—{х, t}. Положив
с=(ОИ], 1),
n =	(V, N) О |V]\
\(0[У])г О Г
придем к следующей форме задачи Сильвестра:
/ (J) : = у + <е’	•* n’in,
А (/, N] X x[N|-H > b Id.	(11.4)
Запишем двойственную задачу:
g (z) := —1/г <®. v> + <^> а> тах,
+ X АрИ, N]=0[/V|,	(11.5)
1^1 == 1’ и 0.
На самом деле z={w, и}, где u/={u{W], s), однако перемен-
ная s явно в (11.5) не входит. Вектор v из (11.5) можно исклю*
чип»:
о=1/А=2/ем«Иа«,
осле чего двойственная задача приводится к виду
1/г |2<е.м « Ш О/И2 — <*, «> -» mln,
2,eM«Rl-l. а>0.	(11.6)
Очевидно, что задача (11.6) разрешима. Обозначим ее опти*
мальный план.
Теорема 11.1. Вектор
х*
является решением исходной задачи (11.1).
Доказательство. Положим 1>#=нфА и в качестве s#
возьмем любое вещественное число. Тогда вектор
=s{o4, s#, и*} будет оптимальным планом задачи (11.5). Обо*
значям единственное решение задачи (11.1). Пусть
1*—max ,ел(—А [А М] Хжф [2V]-bb[*J}. В этом случае
= {*♦» !«} — оптимальный план задачи (11.4). На основании
второй теоремы двойственности (точнее, согласно (10.9)) полу*
чимх#=о*. Теорема доказана.
118
Таким образом, задача Сильвестра сведена к задаче ква-
дратичного программирования (11.6), имеющей простые огра-
ничения.
Для дальнейшего нам понадобится одно новое понятие. Мат-
рица D=D[N, Af] называется положительно определенной,
если <Dh, h> >0 при всех ненулевых fteRN.
Лемма 11.2. Пусть D — положительно определенная симмет-
ричная матрица. Тогда она обратима и обратная матрица D~l
является положительно определенной и симметричной.
Доказательство. Из положительной определенности D
следует, что система £>х=0 имеет только нулевое решение.
Значит, матрица D обратима. Далее,
<DHx, у> = <D_,x, DD~'y> = <x,D~'y>,
так что D-1 — симметричная матрица. Наконец, при й=А0
<D~lh, h> = <D~xh, D(£H/i)> >0,
поскольку Д_|Л=#0. Получили, что О~1— положительно опре-
деленная матрица. Лемма доказана.
Рассмотрим задачу квадратичного программирования
f (х): = 1/2 <Dx, х> -f- <с, х> -> min,
A Af] X x[W]	(11.7)
A [M>, TV] X	[Afs]
с положительно определенной симметричной матрицей D. Пред-
положим, что множество ее планов Q непусто. Поскольку целе-
вая функция f является выпуклой и система f'(x) : ==Dx+c=0
имеет решение х0= —Р_,с, то согласно лемме 8.1 f(x)^f(x0)
при всех xeR2*. В частности, f ограничена снизу на £2, откуда
следует разрешимость задачи (11.7).
Запишем к ней двойственную:
— '/2 <Dv, v> 4- <b, и > —> max,
(П-8)
—Dv+ATu=c, u[Mi]
Вектор v из (11.8) можно исключить:
Dv=ATu—с, v=D~l(ATu—с).
При этом целевая функция примет вид
— ’ 2 <Ати — с, £>-1 (Ати — с)>+<Ь, и> = — 1 2 <AD~' А7 м, и>+
4- <AD~'c + b, и> — V, (D-* с, с>.
Теперь очевидно, что (11.8) сводится к следующей задаче:
у <AD 'ATu, и> — <AD~'c 4- b, и> -> min, (И .9)
и[М,] > 0 [Afj].
По первой теореме двойственности задача (11.8), а значит, и
119
(11.9) разрешимы. Обозначим и* оптимальный план задач»
(11.9).
Теорема 11.2. Вектор х*=И~1 (Ати1).—с) является решением
исходной задачи (11.7).
Доказательство. Положим	(Ати*—с). Тогда
пара {о*, и*} будет оптимальной для задачи (11.8). Обозначим
х* оптимальный план задачи (11.7). По второй теореме двой-
ственности D(x#—о») = 0, откуда следует, что х*= и*. Теорема
доказана.
Таким образом, задача (11.7) сведена к задаче (11.9),
имеющей только знаковые ограничения на часть переменных.
Согласно лемме 11.2 матрица D0=AD~lAT неотрицательно
определена и симметрична. Значит, (11.9)—задача выпуклого
квадратичного программирования. Нетрудно также проверить,
что в случае линейной независимости строк матрицы А матри-
ца Do положительно определена.
Упражнения
11.1. Показать, что задача (11.7) имеет единственное ре-
шение.
11.2. Пусть f — произвольная квадратичная функция с сим-
метричной матрицей D и л = т1Пцхц=1<Дх, х>. Доказать, что
при /е(0, 1] справедливо неравенство
f (tx, 4- (1 -1) хо) < tf (х,)+(1 - t)f (x0) - у M (1 - 01| Xt - x0 F-
§ 12. СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ
Вернемся к задаче, рассмотренной в § 2:
f(x) min,
A [Aflt NJ X х [TV] > b JAIJ,
A [M2, N] X x [N] — b pW2J-
Предположим, что множество ее планов Q непусто. Считаем
также, что целевая функция f определена на некотором откры-
том множестве, содержащем Q, и дифференцируема на Q.
Определение. План, удовлетворяющий необходимому
условию минимума (теорема 2.3), называется стационарной
точкой функции f на й.
Таким образом, точка является стационарной тогда
и только тогда, когда найдется вектор ио=«о[Л4] со свойст-
вами
f (х0) — и0А,
(b [i] - A li, N] X х0 JNJ) х «о ]Л =0 V/e
«о ИЛ] >0(^1.	(12.1)
120
Чтобы выяснить смысл этого определения, введем линеаризо-
ванную задачу
/(Л): =г/(х0) + </' (х0), Л>-> min.	(12.2)
х0+Л62
Стационарная точка х0 характеризуется тем, что функция / на
множестве {h | Xq+h^Q} не может принять значение меньше
1(0). Разберемся в этом. Обозначим т)О=Л*о—b и рассмотрим
более общую, чем (12.2), задачу
q (h) : = </' (х0), А> + 4- < JA, й> min,
А \М„ X] X Л [/V] >-т2о [MJ,	(12.3>
А [/И2, N] X A [2V] =0 [М2].
Здесь D — произвольная неотрицательно определенная симмет-
ричная матрица. Если в (12.2) отбросить постоянную величину
f(x0), а в (12.3) положить D=0, то получим одинаковые
задачи.
Теорема 12.1. План хо является стационарной точкой функ-
ции f на Q тогда и только тогда, когда вектор Ао=О— решение
задачи (12.3).
Доказательство. Запишем критерий оптимальности
для задачи выпуклого квадратичного программирования (12.3)
(см. теорему 3.3): для того чтобы план й0 был оптимальным,
необходимо и достаточно, чтобы нашелся вектор и0=ц0[Л1] со
свойствами
D+ f' (Xq) = UqA ,
(7)0 [i] + A [i, N] x А0[Лф X «оИ=О	(12.4)
«о [Л111 > 0 [AfJ.
При ho=0 условия (12.1) и (12.4) совпадают. Отсюда очевид-
ным образом следует заключение теоремы.
Лемма 12.1. Пусть D — положительно определенная сим-
метричная матрица. Тогда при любом Хо^й решение задачи
(12.3) существует и единственно.
Доказательство. Множество планов задачи (12.3)
обозначим Н. Оно непусто, поскольку содержит нулевой век-
тор. Согласно леммам 8.1 и 11.2 целевая функция q имеет точ-
ку минимума на всем R2^. В частности, она ограничена снизу
на Н. По теореме 9.1 задача (12.3) разрешима. Единственность
решения следует из строгой выпуклости функции q на RN (см.
упражнения 3.3 и 3.1). Можно привести и непосредственное
доказательство.
Положим 9о=пиплвЫ7(Л) и допустим, что q(hi) = q(h2) =q&
на некоторых Ль h2 из Н. Имеем
qQ Я ((Aj + A2), 2)=</ (A,);2 + q (A2W2 — <D(h2 — ZtJ), h2 — Л1>/8 =
= qQ — <D (h2 — AJ, h2 — At> 8.
121?
Значит, <D(/i2—hi), Л2—Л(>^0. В силу положительной опре.
деленности матрицы D получаем Л2=ЛЬ Лемма доказана.
Случай, когда матрица D в (12.3) положительно определе-
на, наиболее интересен. Рассмотрим его подробнее. Обозначим
Ло единственное решение задачи (12.3). Как отмечалось в пре-
дыдущем параграфе,
Ло=Р-1[Лгио-Г(хо)],
где «о — оптимальный план задачи
<А£>-1 Ати, и> — <AD~1f (х9) —г*, и> -> min,
и > О [7WJ.
Для минимального значения qo функции q на Н справедливо
неравенство <7о^О. Это следует из очевидных соотношений
ОеЯ, «/(О) =0. Покажем, что условия <7о=О и Ло=0 равно-
сильны. Пусть qo=O. Тогда q(0)=qo, а так как решение за-
дачи (12.3) единственно, то Ло=О. Обратное тривиально. Со-
гласно теореме 12.1 выполнение любого из условий <7о=О,
Ло=О гарантирует стационарность точки х0.
Допустим, что Ло=/=0, q0<Q. Величина | <?о I характеризует
меру нестационарности точки хог£2. Что касается вектора Ло,
ю он указывает направление строгого убывания функции / из
точки Хп. Точнее, справедливо следующее утверждение.
Теорема 12.2. Если Ло#=0, то вектор x(t)=x0+th0 при ма-
лых />0 принадлежит £2 и
f(x(t))^f(x0)~ /[Ы + ‘М 11Ло112],
где X : =пмпцл||=,1 <Dh, Л>>0.
Доказательство. Точки х0 и х0+Л0 принадлежат выпук-
лому множеству £2, поэтому x(t)^Q при всех /az [О, 1]. Далее,
имеем
/(х0 + *Л0) — f (хв) = t <f (х0), h0> + о (|| th9 J)=tq9 -xj2t <Dh0, Ло> 4-
+ о ( рЛ.
Учитывая неравенство <Dh.f h.> ^MIAoll2, при малых />0
получаем
/ (л (t)) - / (х0) < tq. -1| th. И ‘/2 М Ao II - <Mll || )/1! th. ||]
<-t I I (?o| + 1/<4 A0H.
Теорема доказана.
В задаче (12.3) часто берут D=yE, где у — положительное
•число.
Упражнения
В приводимых ниже упражнениях матрица D считается по-
ложительно определенной и симметричной.
122
12.1.	Для векторов х, у из Rv положим
<х, y>D — < Ох, у>, II X = < к, Х>В2.
Показать, что ||х||д обладает всеми свойствами нормы, указан-
ными в § 1.5.
12.2.	Решить экстремальную задачу
<с, х> min,
<Dx, л> — 1.
12.3.	Решить экстремальную задачу
<с, х> -> min,
<ah х> = 0,
<Dx, х> = 1
при условии, что векторы а, линейно независимы.
12.4.	Рассмотрим экстремальную задачу
<с, х> -+ mln,
<at, х> 0, i 6 М,
<Dx, х> = 1.
Обозначим К выпуклую коническую оболочку, натянутую на
векторы a,, i&M, и предположим, что с $ К. Показать, что в
этом случае исходная задача сводится к задаче квадратичного
программирования.
§ 13. БИЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В этом параграфе рассматривается экстремальная задача,
в которой целевая функция линейно зависит от каждой из
двух векторных переменных х=х[Р],	При этом
х и у независимо друг от друга меняются в двух выпуклых
многогранных множествах Qi<z:Rp, Q2czR^, определяемых с
помощью конечного числа линейных неравенств и равенств.
Таким образом, исходная задача может быть записана в виде
f(x, у): =х [Р] X L [Р, Q] Xj[Q|+a[P] Xx[P] + HQ]X
X у ]Q] — <х, Ly> -f- <а, х> -f- <r, у> -* min. (13.1)
xeai, yee,
Положим z=(x, _у), 2 = 2, х
D = 1P[Q?P] 0 [Q, Q ) ’ C = (a 1^1’r
Нетрудно проверить, что
f (x, у) <Dz, Z> + «?, Z>.
Значит, задача (13.1) эквивалентна задаче квадратичного про-
граммирования
123
f (z): = ,/2 <Dz, z> + <c, z> -> min.	(13.2)
Однако в данном случае матрица D, как правило, не будет не-
отрицательно определенной, т. е. функция f не будет выпуклой.
Это приводит к тому, что у функции f могут появиться локаль-
ные минимумы, не являющиеся глобальными.
Пример. Пусть f(x, у) = ху, £2j = {х|— 1^х^2},
й2={(/|—	Имеем f(—1, 1)=—1 и f(x,y)^—l
при |х|^1, |у|^1. Таким образом, в точке z0= (—1, 1>
достигается локальный минимум функции f на £21Х£2г. По-
скольку f(2, —2)= —4, то Zq не является точкой глобального
минимума.
Несмотря на это, теорема существования решения в били-
нейном программировании получается в таком же виде, как и
в линейном.
Теорема 13.1. Допустим, что выпуклые многогранные мно-
жества Qi, Q2 не пусты и не содержат прямых и инфимум би-
линейной функции f на Q=QiXQ2 конечен:
inf / (х, у) —р- > — оо.
Тогда в Q найдется точка z#={x#, у*}, такая, что f(z#)=g.
Более того, в качестве х*, у* можно выбрать вершины мно-
жеств Qi^i Qj соответственно.
Доказательство. Возьмем минимизирующую последо-
вательность {хь, yk}, k=l, 2, По определению Ха^й,,
Уа<=й2 И f(xk, Уа)->|1.
Для каждого k решим задачу линейного программирования
f(x, у„) -> min.	(13.3)
Так как f(x, Ук)^ц при всех то задача (13.3) имеет
решение, причем в качестве оптимального плана может быть
выбрана вершина х* множества йь Из неравенств
/(*а. Л) >/(-**, Ул) >1*
следует, что последовательность {ха, ук), k=l, 2, также
является минимизирующей.
Поскольку £21 имеет лишь конечное число вершин, то в по-
следовательности {х^} одна из вершин встретится бесконечное
множество раз. Пусть это будет х*. Разредив, если нужно, по-
следовательность {хь}> получим x*k=x* для всех k. При этом
последовательность {х*, уь}, Л=1, 2, остается минимизи-
рующей.
Решим задачу линейного программирования
/ (х*, у) -> min
yes.
124
Обозначим у* вершину Q2> в которой достигается минимум.
Тогда
Так как, *м)->11, то/(х*, (/*) = ц. Теорема доказана.
При попытке применить к задаче билинейного программиро-
вания симплекс-метод первой приходит в голову мысль о по-
очередной минимизации по каждой переменной. Такой процесс
будет сходиться за конечное число шагов к точке, в которой f
достигает локального минимума. Поиск глобального минимума
значительно труднее. Никакой процесс типа симплекс-метода
не дает возможности продвинуться из точки локального мини-
мума, как показывает приведенный выше пример.
Поэтому известные алгоритмы нахождения глобального
минимума чаще всего основаны на идее перебора. В простей-
шем виде это полный перебор всех пар вершин с вычислениеАм
значения целевой функции в каждой паре. В такой форме алго-
ритм чрезвычайно трудоемок. Вопросы сокращения перебора
в книге не рассматриваются.
Замечание. Пониманию особенностей задачи (13.1) и
вообще задач невыпуклого программирования может помочь
следующее соображение. Запишем задачу в форме (13.2). Вы-
берем в й точку Zo и возможное направление h (направление h
называется возможным или допустимым в точке z0, если
z^+th^Q при малых 7>0). Очевидно, что ф(/) = f(z0+/A)
есть квадратичная функция действительной переменной t
В зависимости от знака числа <Dh, h> эта функция может
быть выпуклой или вогнутой. Если Zq — точка локального ми-
нимума, то ф при малых t>0 не убывает. Если ф выпукла, то
неубывание сохранится при всех t>0. В противном случае
неубывание сменится убыванием. Однако это может произойти
как на множестве Q, так и за его пределами. Разобраться в
этой ситуации, используя лишь сведения о структуре Q в
окрестности точки Zo, невозможно.
Упражнения
13.1. Пусть f — билинейная функция и
? (y) = min/(x, j/', _у€22.
Проверить, что функция ф вогнута на Й2.
13.2. Доказать следующее утверждение: если у#еЙ2—
точка глобального минимума ф на й2 и	— точка гло-
бального минимума f(x, у*) на йь то {х#, у*} —точка глобаль-
ного минимума f най1ХЙ2-
125
ГЛАВА IV
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Задача дробно-линейного программирования, заключающая-
ся в минимизации дробно-линейной функции вида
/w=
<с, х> +1
<e, х> 4- Р
на выпуклом многогранном множестве QcRw, в некоторых от-
ношениях близка к задаче линейного программирования: ло-
кальный минимум является и глобальным, среди точек, в кото-
рых достигается минимум, обязательно имеются вершины й.
Близость этих двух задач сказывается и в том, что поверхно-
стями уровня для каждой из них служат гиперплоскости. В ли-
нейной задаче семейство поверхностей уровня состоит из па-
раллельных гиперплоскостей, в дробно-линейной — из гипер-
плоскостей, вращающихся вокруг особого аффинного многооб-
разия коразмерности 2, задаваемого уравнениями <с, x>+g=0,
<а, х> + ₽=0.
Существенное различие между рассматриваемыми классами
задач проявляется, когда множество й не ограничено. Это
связано с тем, что в задаче дробно-линейного программирова-
ния инфимум f на й может реализовываться как в конечной
точке й, так и в некотором рецессивном направлении й. По-
следнее означает, что существует рецессивное направление Л
(которое полезно интерпретировать как бесконечно удаленную
точку й), такое, что при всех лей
11m f(x -I- th) = inf f(x).
f->+oo
В первом случае величина infree f(x) конечна, во втором—*
конечна или равна — оо.
Мы несколько упрощаем ситуацию, предполагая, что й
отстоит на положительное расстояние от гиперплоскости
<а, х> + р=О. Иногда исследователи допускают наличие то-
чек указанной гиперплоскости на границе й. Это создает неко-
126
торые осложнения, которые имеют, однако, не очень глубокий
характер. Авторы сочли возможным оставить соответствую-
щий круг вопросов без рассмотрения.
В § 2 указан критерий оптимальности для задачи дробно-
линейного программирования. Он формулируется в терминах
линейных равенств и неравенств. Это дает возможность устано-
вить теорему существования решения (§ 3). Результаты § 4 и 7
связаны со свойством строгой квазимонотонности дробно-ли-
нейной функции. В § 5 показано, что задача дробно-линейного
программирования в определенном смысле сводится к задаче
линейного программирования. Установленная в § 6 теорема
двойственности вновь свидетельствует о родстве задач линей-
ного и дробно-линейного программирования — задача линей-
ного программирования оказывается двойственной к задаче
дробно-линейного программирования.
В § 8 рассматривается более сложная задача дробно-рацио-
нального чебышевского приближения на дискретном множестве
точек. Для нее получен критерий оптимальности и указан чис-
ленный метод решения.
§ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Дробно-линейной называется функция вида
xeR" <21>
Будем считать, что векторы а и с линейно независимы. В’.ча-
стности, они ненулевые. С точки зрения экстремальных задач
это наиболее интересный случай.
Обозначим Яоо={хеЯк| <а, х> + р=0}. Поверхностью
уровня f(x)=p функции (2.1) является гиперплоскость
Яр={хеЯлг| <с—ра, х> -| 5— рр=О).
Однако из этой поверхности следует исключить пересечение
Нр с Их, в точках которого f теряет смысл. Отметим, что все
гиперплоскости Нр пересекаются по особому аффинному много-
образию коразмерности 2, определяемому соотношениями
< с, х>-Н=О, <а, х>+р=0.
Желая иметь дело только с такими значениями аргумента,
при которых дробно-линейная функция f определена и конеч-
на, будем рассматривать ее лишь в полупространстве
Q={xeRN| <а, х> + р>0).
Нетрудно проверить, что f непрерывно дифференцируема на Q и
_ |<Д. *> + Р] с — [<<?,	+ £] а _ с—/(х)а
J —	(<а, х> +	~ <а, л> + р *
127
Лемма 2Л. При любых х и Xq из Q справедлива формула
fix) — f (х0) = Р(х, х0) <f (х0), X - х0>,	(2.3)
где р(х, х0): = [<а, х0> + В] /{<а, х> -|- > 0.
Доказательство. Имеем
f( ч	f (v \ 1<с- х> + Е] 1<а- хо> + 31 — [<с- хп> + £| 1<д. х> + й|  
' J\ о)	[<д.	х0>4-р]
_ <с, х — х0> _/(х0)<д, х — х„> _ <с—/(х0)д, X — х„>
<Д, х> + ?	<Д, х> + В	<д, х> + 3	’	' ' '
Вместе с тем согласно (2.2)
Сравнивая (2.4) и (2.5), приходим к (2.3). Лемма доказана.
Задача минимизации дробно-линейной функции f на выпук-
лом многогранном множестве й называется задачей дробно-
линейного программирования. В дальнейшем для простоты бу-
дем считать, что множество й определяется с помощью конеч-
ного числа линейных неравенств
А[М, ЛГ]Хх[ЛГ]>Ь[Л1].
Кроме того, предположим, что й непусто и лежит внутри Q.
Таким образом,
<а, х> +р>0 Ухей.	(2.6)
Лемма 2.2. Условие (2.6) выполняется тогда и только то-
гда, когда существует вектор ыо=«о[Л4], такой, что иоА=а,
и <b, и0> 4-р>0.
Доказательство. Рассмотрим задачу линейного про-
граммирования
< а, х>	(2.7)
Ax^b.
Множество ее планов й непусто, и при выполнении условия
(2.6) целевая функция ограничена снизу на Й. По теореме
1.4.2 задача (2.7) разрешима. Пусть Хо — ее оптимальный план.
На основании теоремы 1.7.1 найдется вектор и0=«о[М], такой,
что <Ь, и0> = <а, х0>, ийА = а, и0^>0. Поскольку <Ь, w0> + 3=
— <а, л0> -|- р > 0, то вектор w0 —требуемый.
Наоборот, допустив существование вектора и0 с указанными
свойствами, при всех хей получим
<а, л>4-р = <ы04, х>4-р = <«0, Ах> <u0,
Лемма доказана.
Теорема 2.1 (критерий оптимальности). Для того чтобы
план задачи дробно-линейного программирования
J28
/(x):<c’ x>t.Umin,
<Л, Х> + р	(2.8)
Ах b
был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы нашелся
вектор и*=v* [A1J со свойствами
<&,	=	— la. х*>,
v*A—<a, х*>с-\-<с, х*>а = $с— la,	(2.9)
Доказательство. Необходимость. Согласно тео-
реме Ш.2.1 существует вектор «*, такой, что
==	(х*), **><
ц#Л=/'(хД «*>0.	'	'
Отсюда следует требуемое, если воспользоваться формулой
(2.2) и положить о$ = м*[ < а, х*> 4-0]2.
Достаточность. Можно считать, что выполнены соот-
ношения (2.10). Возьмем любой план х. Согласно (2.3) получим
(/(х)—/(х*))/р(х, х<!.) = <//(хН!), х —х*> =
= <«*, Ах>— <Ь, и*> = <и*, Ах — Ь>^0.
Теорема доказана.
Упражнения
2.1.	Привести задачу (2.8) к виду
<с, z>/<a, z>->mln,
Az > b0.
2.2.	Показать, что в случае линейной зависимости векторов
а. и с задача (2.8) сводится к задаче линейного программиро-
вания.
2.3.	Исследовать задачу дробно-линейного программирова-
ния, заменив условие (2.6) двумя:
I)	< а, х> +₽>0 V xefi;
II)	< с, х> + 5 и <в, х> +р одновременно не обращаются
в нуль на й.
§ 3. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ
Введем матрицу B=B[N, jV] с элементами В [С /] =
= с[/]а[/]—л[(]с[/] и заметим, что
< а, х>с—< с, х>а=Вх.
Положим, далее,	—£а. Покажем, что соотношения (2.9)
можно представить в эквивалентной форме
9 Заказ № 66
129
<b, v*> — <.g, X*> >0,	(3.1)
ATv*—Bx^—g, v^O.
Действительно, (3.1) из (2.9) следует очевидным образом.
Для доказательства обратного возьмем пару {о*, х*}, удовлет-
воряющую (3.1). По определению матрица В является косо-
симметричной, т. е. Вт= —В. В частности, <Вх, х>=0 при
всех xeRN. Учитывая (3.1), получаем
<g,	=	х»> = <т>#, Лхж>><Ь, !»«>><£, л*>.
Значит, <Ь,	= <g, jc*>. Утверждение доказано.
Соотношения (3.1) линейны относительно о* и х*. Тем са-
мым вопрос о разрешимости задачи дробно-линейного програм-
мирования (2.8) сводится к вопросу о совместности системы
линейных неравенств и равенств
<b, v> — <g, х>>0,
-A^+Bx = -g.	(3.2>
Ах > b,	' г
На основании теоремы 1.6.3 система (3.2) совместна тогда
и только тогда, когда для любой тройки {у, z[AT], w [ЛШ>
такой, что
\	т
lb — zAT^0,
— ig -f- zB + wA = 0,	(3.3)
7 > 0, w 0,
выполняется неравенство — <g, z> + <b, -а»	0. С учетом
кососимметричности матрицы В условия (3.3) можно перепи-
сать в виде
Bz-j-ig— ATw,	(3.4)
7^0, w >0.
Теорема 3.1. Для того чтобы задача дробно-линейного про-
граммирования (2.8) была разрешимой, необходимо и доста-
точно, чтобы для любой пары {z, w}, такой, что
Дг>0, z#=0,	„
Bz — A Tw,	(• )
выполнялось неравенство <_g, z>^<b, w>.
Другими словами, неравенство <g, z>^<b, w> должно
выполняться для любого рецессивного направления г, такого,
что вектор Bz допускает представление Bz=ATw, w^O.
Доказательство. Необходимость очевидна, ибо любой
паре {z, w}, удовлетворяющей (3.5), соответствует тройка
{0, г, о>}, удовлетворяющая (3.4).
130
Достаточность. Возьмем произвольную тройку f»B z,
а»}, удовлетворяющую (3.4), и покажем, что <g, 2>
Возможны три случая:
1) у>0. Согласно (3.4) имеем
7 <g, z> = <Д Tke, z> = <‘W, Az> 7 <w, b>.
откуда и следует требуемое;
2) y=0, z=0. Поскольку Лти»=0,	то, взяв про-
извольный план Xq, получим
<b,w> < <Ajc0, w> = <xe, ATw> — Q— <g, z>.
что и требовалось доказать;
3) у—0, z=/=0. В этом случае неравенство <g, z>^
> <b, w> выполняется по условию теоремы.
Теорема доказана.
Приведем пример, иллюстриру-
ющий содержание теоремы 3.1.
Рассмотрим задачу
x[2]/x[l]->min,
x[lj>l, х[2]></.
Из геометрических соображений яс-
но, что эта задача разрешима при
9^0 и не имеет решения при q>0
(рис. 13). Получим ,тот же резуль-
тат, опираясь на теорему 3.1. Имеем
С=(о, 1), а=(1,о), е=₽=о, g=0,
Запишем систему (3.5):
0,
- z [2] = w[l],
w [ 1 ]	0,
z=£0,
z [1] = w[2],
w [2] > 0.
Она эквивалентна соотношениям
z[2]=a>[l]=0, z[l]=w(2]>0.
Неравенство <g, z> >• < b, w> принимает вид <?и>[2]^0. Она
выполняется при всех ш[2]>0 тогда и только тогда, когда
9^0.
Отметим, что при q>0 задача не имеет решения, хотя неле-
вая функция ограничена снизу (положительна) на мвожеспе
планов. Именно возможность такой ситуации отличает задачу
дробно-линейного программирования от задачи линейного про-
граммирования.
9*
ил
Упражнения
3.1. Исследовать поведение дробно-линейной функции
f(*)=x[2]/x[l] в окрестности начала координат.
3.2. Указать, при каких значениях параметра q задача
х [2] /л [1] —> min,
лф] > 1,
+х[2| > 1 — ?
f
имеет решение, а цри каких — нет.
§ 4. СЛУЧАЯ НАЛИЧИЯ МИНИМУМА
Возьмем две точки Хо, х\ из полупространства Q и рассмот*
рнм отрезок, их соединяющий. Он состоит из точек х(/)»
=*о+/Л, где Xq и /е[0, 1]. На этом отрезке дробно-
линейная функция f вида (2.1) превращается в дробно-линей-
ную функцию действительного аргумента t
8(/j: = W)) =
t <с, h> + <с.	4- 6
t <а, Л> 4- <я, х0> + ₽
*
которая, как известно, либо строго монотонна, либо постоянна.
Из сказанного вытекает, что при всех х0, Xi из Q и fe[0, 1]
справедливы неравенства
f(tX' 4-(1 — O*o)<max {/(х0), /(xi)),	.. n
f(ixt + (\ — 0 x0) > min {/(x0),
причем если f(xo)^f(xi) и /е(0, 1), то неравенства (4.1)
выполняются как строгие. Функции, удовлетворяющие этим
условиям, называются строго квазимонотонными. Таким обра-
зом, дробно-линейная функция f является строго квазимоно-
тонной на полупространстве Q.
Вернемся к задаче дробно-линейного программирования
f: - <в, л> + ? ”* min’	(4.2)
Ах Ь.
Как и раньше, будем предполагать, что множество ее планов Q
непусто и QczQ, т: е. < а, х> +р>0 при всех xeQ.
Теорема 4.1. Если £2 не содержит прямых и существует
min/(x)— i|t,
леи
то найдется вершина Q, в которой f принимает значение р.
Доказательство. Воспользуемся представлением Q в
виде объединения конечного числа попарно непересекающихсЯ
граней (см. § П.2):
*32
Q=UQ(/).
Оптимальный план принадлежит какой-нибудь грани. Следо-
вательно, существуют грани £2(7), на которых
min /(х) = |а.
.ves(')
Среди них выберем грань минимальной размерности. Пусть это
будет £2(7*). Покажем, что dim £2(7*) =0.
Допустим, рассуждая от противного, что dim £2 (7*) >0.
Возьмем точку Xje£2(7*), в которой f(xi)=p, и проведем через
нее прямую x=xi + tei, —оо</<оо, лежащую в aff £2(7*).
В силу относительной открытости £2(7*) в aff £2(7*) некоторый
отрезок этой прямой, содержащий внутри себя точку хь будет
лежать в £2(7*). На нем дробно-линейная функция f должна
быть постоянной (иначе нашлись бы точки хе£2, в которых
f(x)<p). Но тогда f постоянна на всем пересечении рассмат-
риваемой прямой с £2.
По условию £2 не содержит прямых, поэтому* на указанной
прямой найдется точка х0, не принадлежащая £2 й', тем самым,
не принадлежащая £2(7*). В этом случае на отрезке [х0, xj
имеется точка х* из д£2(7*) (см. доказательство леммы П.2.2).
Согласно (II.2.6) х* принадлежит грани £2(7), размерность
которой меньше размерности £2(7*). К тому же f(x*)=f (xi)=p-
Значит,
min /(%)-р.
Но это противоречит определению £2(7*).
Получили, что грань £2(7*) является вершиной £2 и на ней
значение функции f равно ц. Теорема доказана.
Замечание. Если множество £2 ограничено, то по теоре-
ме Вейерштрасса функция f достигает минимального на £2 зна-
чения. Теорема 4.1 позволяет сделать важное дополнение:
среди точек минимума имеются вершины £2.
В связи с теоремой 4.1 приобретает интерес следующее
утверждение. Рассмотрим вершину х* множества £2, и пусть
Xi, ..., zr —направляющие векторы всех ребер £2, выходящих
из х*.
Теорема 4.2. Для того чтобы вершина х* была оптималь-
ным планом задачи (4.2), необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялись неравенства
8*: = <с,	—/(г*) «2, г‘> >0,	/ 6 1: г.
Доказательство. Необходимость. Согласно (2.5)
</'(<Л	о*/(<а, х.й> + ?)-	(4.3>
Таким образом, 6* лишь положительным множителем отлича-
133
егся от производной функции f по допустимому направлению
£//|z/|. Поскольку х*— точка минимума функции f на Q, то
се*/ должны быть неотрицательными.
Достаточность. Возьмем произвольный план х. По
теореме П.3.2 его можно представить в виде
*=•*• + х 1/1 г*,
где	/€=1 : г. Учитывая (2.3) и (4.3), получаем
(/(Х)—/(•**))/?(*, •**) = </'(**). X —-Ч> =
=	* Т/1 </' (*Д **> = (2/=1 X И 8‘)/ (<а, х*> + ?) >0.
Теорема доказана.
Упражнения
4.1. Функция F, заданная на выпуклом множестве QczRN,
называется квазивыпуклой, если при всех х0, xi из Q и
1] выполняется неравенство
F(txi+ (1—t)xo) sg:max{F(x0), F(xi)}.
Доказать, что функция F квазивыпукла на Q тогда и только
тогда, когда множество Сд,= {хей|Г(х)^Х} выпукло при
всех вещественных X.
42. Квазивыпуклая функция F называется строго квазивы-
куклой, если из условий F(xo) =#F(xi), t&(0, 1) следует, что
F(fXf+(l—/)х0) <max{F(xo), F(Xi)}.	(4.4)
Построить пример квазивыпуклой функции, не являющейся
строго квазивыпуклой. Построить пример функции, удовлетво-
ряницей условию (4.4), но не являющейся квазивыпуклой.
4Л. Доказать, что локальный минимум строго квазивыпук-
лой функций будет и глобальным. Показать на примере, что
дин квазивыпуклой функции подобное утверждение, вообще
говоря, неверно.
$ &. СВЕДЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Перейдем в задаче (4.2) к новым переменным, полагая
х=®/у, у>0. После умножения числителя и знаменателя функ-
ция f, а также всех ограничений на у получим задачу
F(w, у):
<с, у» 4- бу
«г, w> + рт
-+ min,
Aw — \b 0, у > 0.
(5.1)
Множество планов {w, у} задачи (5.1) обозначим &о. Очевид-
но, что Qq — конус и целевая функция F постоянна вдоль каж-
134
дого из лучей {tw, /у}, />0. Поэтому множество значений функ-
ции F, а следовательно, и ее минимум не изменяется, если за-
менить конус Йо таким его сечением гиперплоскостью, которое
пересекает каждый луч конуса.
Согласно условию (2.6)
<а,ад> + ру>0 V {ад, у}ей0.
Для любой точки {ад0, уо} из Йо найдется такое О0, что точка
{ад, у}={/ад0, /у0} будет удовлетворять уравнению
<а, ад> + ру=1.
Значит, гиперплоскость, определяемая этим уравнением, пере-
секает каждый луч конуса Йо. В результате (5.1) преобразу-
ется к виду
/ (-ад,	: == «?, ад> + min,
<а,	= 1,	(5.2)
Aw —	0, 7 > 0.
Множество планов задачи (5.2) обозначим йь
Лемма 5.1. Задачи (4.2) и (5.2) эквивалентны.
Доказательство. Возьмем хей и положим
ау=х/(<а, х> + р),
у=1/(<а, х> + р).
Пара {ад, у} принадлежит Й1 и /(ад, y)=f(x). Наоборот, плану
{ад, у} задачи (5.2) соответствует план х=ад/у задачи (4.2),
причем f(x)=l(w9 у). Лемма доказана.
Задача (5.2) напоминает задачу линейного программирова-
ния, но не является таковой, поскольку неравенство в послед-
нем ограничении строгое.
Лемма 5.2. В случае, когда й ограничено, множество пла-
нов задачи (5.2) не изменится, если неравенство у>0 заменить
на у^О.
Доказательство. Следует установить, что условия
<а, a» + pY=l,
Aw—y6>0, Y=0	1 }
несовместны. Допустим, рассуждая от противного, что пара
{ад0, 0} удовлетворяет (5.3). Тогда адо=/=О и Ладо^О. Получи-
ли, что Wo — рецессивное направление множества й. Но суще-
ствование рецессивного направления противоречит ограничен-
ности Й. Лемма доказана.
Таким образом, при ограниченном Й исходная задача (4.2)
сводится к задаче линейного программирования
/(ад, у): = <с, ад> + $7->т1п,
<а, ад> + ^7 = 1,	(5.4)
Aw —	7>0.
135
Обратимся к случаю, когда множество Q не ограничено.
Тогда задача (5.4) является расширением задачи (5.2) за счет
пар, удовлетворяющих условиям (5.3). Это соответствует до-
бавлению к Q его «несобственных элементов» — рецессивных
направлений w, для которых <а, w> = l.
Обозначим Й2 множество планов задачи (5.4).
Лемма 5.3. Справедливо равенство
inf f(x) — inf /(w, 7).	(5.5)
xefi	{w, 7}
Доказательство. Неравенство
p.:=lnf/(x)> inf /(®>, 7)
xe2	{w. 7} 62.
следует из леммы 5.1. Проверим обратное неравенство. Возь-
мем пару {wo, уо}. принадлежащую Qj- Если уо>О. т°. поло-
жив Х1=о>о/уо, получим и /(а>о, Yo) =f(*i)
Пусть уо=О. Тогда <а, «?0> = 1 и Ло»о^0. Возьмем любой
план Хо задачи (4.2). Заметим, что
lim f(x0 + tw0) = lim
t—>~f*co	or»
t <c, Wo> + <f, x0> 4- 5
t <a, w0> 4- <a, x0> + ₽
= «?, w0> = Z(w0, Yo).
(5.6>
Поскольку вектор Xo+fa>o принадлежит Й при всех /^0, то
l(w0, Уо)г>р- Таким образом,
inf l(w,
(w. 7} 621.
Лемма доказана.
Замечание. Если доопределить f на несобственных эле-
ментах Wq множества Q, положив f(w0) = <c, о>о>, то полу-
чим, что так расширенная задача (4.2) эквивалентна задаче
(5.4).
Теперь можно сделать основные выводы. Поскольку Q#=0>
то и	Допустим, что функция / ограничена снизу на Й2-
Тогда задача (5.4) разрешима. Пусть у*} — ее оптималь-
ный план. Если у*>0, то вектор =	— решение задачи
(4.2) и пппхеа/(х) = l(w*> у*)- Предположим, что у*=0 и не
существует другого решения {w*9 у*} задачи (5.4) с у*>0.
Тогда функция f не достигает минимального на Q значения,
вектор w* является рецессивным направлением множества Q и
согласно (5.5), (5.6) при всех хеQ
lim /(х + ^»)=/(го„ 7*) = inf/(х).
/->-r-00
Если inf{Wi	7) = —c°. то и infxee/(x) = — co.
Итак, в общем случае решение задачи дробно-линейного
программирования (4.2) требует решения задачи линейного
136
программирования (5.4) и последующей интерпретации полу-
ченных результатов.
Упражнения
5.1. Обозначим конус рецессивных направлений множе-
ства Й2. Доказать, что
ЛТ = [{й, 0) |Дй>0, й=0О, <а, й> = 0).
5.2. Доказать, что еслй Q не содержит прямых, то и Q2 не
содержит прямых.
§ 6. ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
Результаты предыдущего параграфа открывают путь к по-
лучению теоремы двойственности в дробно-линейном програм-
мировании.
В силу леммы 5.3 инфимумы (конечные или равные —оо)
в задачах (4.2) и (5.4) совпадают. Построим для задачи линей-
ного программирования (5.4) двойственную задачу
а -+ шах,
aa[2VJ Ч-и [АГ] X Л [УИ, ЛГ]==с [7V],
а? — и[/И] ХЬ\М\ <5,	'
Множество ее планов {и, а} обозначим G. Считаем, что
тогда и Qi^0. На основании теорем 1.9.1 и 1.9.3 заключаем,
что имеет место одна из двух возможностей:
1)0^0, — со < max a— min g(w, 7) < 4~
{а, а) £0	(w, 7} £2t
11)0=0, inf g(w, 1) = — 00.
Заменяя в этой формулировке inf g (или min g) на равную
величину inf f, получаем следующий результат.
Теорема 6.1. Имеет место одна из двух возможностей:
1) 0=0=0, —со < max а — inf / (х) <С + °°;
{и, а} GG XGS
11)0=0, inf/(x) = — 00.
Задача (6.1) называется двойственной к задаче (4.2), а тео-
рема 6.1 — терремой двойственности в дробно-линейном про-
граммировании. Следует учесть, что форма, в которой приве-
дена теорема двойственности, связана с предположением о це-
пу стоте Q.
137
Упражнение
6.1. Показать, что в задаче
х[2]/(х[ 1] + х[2]) ->min,
х[1]>0, х[1]+х[2]>1
целевая функция не ограничена снизу на множестве планов.
§ 7. РЕАЛИЗАЦИЯ ИН ФИ МУ МА
По-прежнему рассматриваем задачу дробно-линейного про-
граммирования
<с, х> 4- 5
: = -----—т- -► min,
(7j)
Ах> Ь.
Считаем, что множество ее планов Q непусто и содержится в
полупространстве Q= {х|<а, х> + ₽>0}.
В этом параграфе проводится более тщательный анализ за-
дачи (7.1) при следующих дополнительных предположениях:
(/) множество Й не ограничено и не содержит прямых;
(И) при любом h из конуса рецессивных направлений
7<o={ft|Aft^O, А=/=0} скалярные произведения <с, h> и
<а, ft> одновременно в нуль не обращаются;
(Ш) в Kq имеется вектор ft, на котором <а, Л>>0.
Выясним/что дают эти предположения.
Лемма 7.1. Конус Ко является непустым и выпуклым.
Доказательство. В проверке нуждается только такой
факт: если ft0, fti принадлежат Ко, то вектор Zfti+(1—t)hQ при
всех /е(0, 1) отличен от нуля. Допустим, рассуждая от про-
тивного, что М1+(1—Zo)fto=O при некотором /о^(О, 1). Тогда
fti = — ((1—to)/to) ho.
Согласно определению Ко имеем A(/Ai)^0 при t^O. При
/<0 имеем A(th{)= — (/(1—to) /to)Aho^O. Таким образом,
A (th\) >0 Vfe (—00,00).	(7.2)
Возьмем любую точку Xi^Q. На основании (7.2) получим,
что прямая x=Xi+/A], —оо</<оо, принадлежит Q. Но это про-
тиворечит условию (/).
Лемма доказана.
В силу леммй 2.2 существует вектор и0, такой, что uQA = af
#о>О. Отсюда следует, что
<а, ft> = <UoA, ft>= <u0, Aft>^0 V h^Ko- (7 3)
Введем выпуклые конусы
={А6/со|<а, А> > 0},
Г}>+)=(йЕ/Со|<а, й> = 0, <с, й>>0],
138
Го } = (ft f /<01 <д, ft> = 0, <с, А> < 0,.
Лемма 7.2. Справедливо представление
/<0 = Г, и ri+)UTo'\
(7.4)
причем Г+=/= 0, а Го+) и rj~) не могут быть непустыми одно-
временно.
Доказательство. Само представление (7.4) очевидно
в силу (7.3) и условия (н). Условие (ш) гарантирует непустоту
Г-ь Что же касается конусов Го+) и Го-) , то пустота одного из них
легко проверяется от противного. Действительно, если АоеГо+\
/цеГоЛ то на отрезке [й0, М найдется вектор Л2, принадлежа-
щий и удовлетворяющий равенствам <а, й2>=0, /с, Л2>=0.
Но это противоречит условию (и). Лемма доказана.
При любых xeQ и существует предел
который не зависит от х. Обозначим его <р(Л). Имеем
<Р (л) =
' <с, h>/<a, h>, А£Г+,
+ оо, /ге4+),
. — оо, h £
В силу леммы 7.2 функция ф может принимать бесконечное
значение только одного знака. Отметим также, что
ф(/й)=ф(/г) Vf>0.	(7.5)
Определение строгой квазимонотонности, введенное в § 4,
сохраняет силу для функций, допускающих бесконечные зна-
чения определенного знака.
Лемма 7.3. Функция ф является строго квазимонотонной
на Ко-
Доказательство. Изучим поведение ф на отрезке
[fto.ftjJcKo- Положим h(t) =th\+ (1—t)h0, /е[0,1]. Если
а, Ло> >0, а, Л, > > 0, то
e	_. <с- hf> +1 <С' ~.Л||>
' v "	<а, Л„> + I <а, Л, - Ло> ’
Отсюда следует, что ф на [ho, fti] либо строго монотонна, ли-
бо постоянна. Пусть <а, А0>>0, <а, Aj> = 0. Тогда при
*е[0, 1)
? (Л (Л) =---(1-с<а, Ло>----= ? <Ло) + —f ^5
и lim ф(й(/ч > =ф(Л1). Получили, что qp строго монотонна
/-*1-0
139
на [ft0, Л>]. Если, наконец, <а, А0> = <а, hi>=G, то соглас-
но (И) скалярное произведение <с, й(/)> сохраняет знак и
потому ф(Л(/)) = + оо или <р (&(/))=—оо на [0, 1]. Лемма до-
казана.
Из нее следует, в частности, что
ф(/й1+(1—/)й0)>пип{ф(й0),
при всех й0, hi из Ко и /е[0, 1]. По индукции легко проверя-
ется справедливость неравенства
V (2j=iх 1/1 Лу) > min <Р (А,)	(7.6)
для любых hj из Ко и неотрицательных А[/], в сумме равных
единице. Согласно (7.5) можно утверждать, что (7.6) имеет ме-
сто, когда коэффициенты Х[/] неотрицательны и не все равны
нулю.
Введем множество {%,}, *<=/, всех вершин Q и множество
{Zj}, j^J, направляющих векторов всех неограниченных ребер.
Положим
/0 = min/(xz), <р0= min<p(?y).
Имеем fo>—°° и <ро2&—<», так как не исключено, что <p(zz) =
=—оо при некотором /е/.
Обозначим £20 выпуклую оболочку, натянутую на вершины
Xi, iel.
Лемма 7.4. Справедливы равенства
/0 = min/(x), ?0 = min<?(A).
лгб»0	ле*.
Доказательство. Достаточно проверить, что
Vx620.	<р(А)><₽0 VAt^o-
Возьмем 20. Тогда
х — ^2/^/ 1^1	® Р]	а *
Учитывая строгую квазимонотонность f на Q, получаем
/(*) =/(2/е/а И min/(%,)=/0.
L	«с/
Возьмем h£Ko- Согласно теореме П.3.1
А = 2/е/Ч/1гу, Ч/]>0. £,.е/ЧЛ>0.
Отсюда с учетом (7.6) следует, что
<? (А) = С2уеЛ [/] Zj} min ф (Zj) = ф0-
Лемма доказана.
140
Лемма 7.5. Справедливо равенство
min у (А) = inf <р (А).	(7.7)
Доказательство. Воспользуемся леммой 7.2. Если
= 0, то (7.7) очевидно, поскольку <? (А) = + оо при Л Г^+).
Пусть rj-’ =/= 0. Тогда minfteK<? (Л) = — оо. Возьмем й0£ Г+,
и положим Л(^) = /Л14-(1—0ЛО, t£(0, 1). Имеем
<а, А(0>>0, так что	Далее,
Значит,	<р (Л (0) — — оо. Получили, что lnfAer ? (Л) =
= — оо. Лемма доказана.
Лемма 7.6. Величина фо равна экстремальному значению
целевой функции в задаче линейного программирования
<с, h> -> min,	_
<а, Л>=1, АЛ>0.	' ’
Доказательство немедленно следует из лемм 7.4 и 7.5.
Допустим, что фо — конечная величина. Введем в рассмот-
рение задачу
/(*)-► min,
Ax^b,	„	(7.9)
<с, х> +; < ср0 [<а, х> + р].
Множество ее планов обозначим
Лемма 7.7. Если Qi?*=0, то /о^фо и минимум в задаче (7.9)
равен f0-
Доказательство. Покажем, что
/о^/(х)^фо VxeQj.	(7.10)
Правое неравенство очевидно в силу определения Qj. Прове-
рим левое.
Возьмем xeQ], Если хейо, то согласно лемме 7.4 f(x)^fo.
Пусть xeQi\Qo- Воспользуемся представлением x=Xo+h0,
где хо^йо, ЛоеКо- Учитывая лемму 7.4, получаем
lim f(x0 + th0) = ф (й0) > ф0 >/(х) =/(х0 4- й0).
t-t’+'CO
Значит, функция 0(/) =f(x0 + /A0) не убывает на [0, оо). В ча-
стности,
fo^f(^o)Cf(^o4-Ao)=f(x).
Соотношения (7.10) установлены.
141
Из них следует прежде всего, что /о^фо- Далее, обозначим
точку из Йо, в которой f принимает минимальное на й0 зна-
чение. Поскольку /(х#) =fo^<po, то x*eQj. На основании (7.10)
заключаем, что min^ge, Z(x)=fo- Лемма доказана.
Переходим к выводам. Положим p=min{fo, фо}- Очевидно,
что	—оо.
Теорема 7.1. Справедливо равенство
inf /(х) =р..
При этом, если р=/о, то
min/(x) = /0 = /(х,)	(7.11)
при некотором 7е/. Если же ц=фо</о, то инфимум' f на й не
достигается и
inf/(х) = <р0 = ?(£,)	(7.12)
Л 6 2
при некотором /е/.
Доказательство. Пусть xeQ. Воспользуемся пред-
ставлением x=Xo+tohQf где хоейо, ho^Ko и
С ^0»
° I 1,
Функция 0(/) —f(хо+/Ло) монотонна на [0, оо), следовательно,
/(x)>min (/(х0), <?(*«))> min {/0, Ф0) = н- (7.13)
Если р=/о^фо, то f(x)^f0=f(Xi) при некотором te/. Учиты-
вая произвольность плана х, приходим к (7.11).
Пусть |л=фо</о. Тогда при некотором /е/ и произвольном
Х]ей
?о = <?(гу)— Ит f(x[ + tzj).
/-►4-со
Вектор X\ + tZj принадлежит й при всех />0. Значит,
infree f(x). Обратное неравенство следует из (7.13).
Получили (7.12).
Если фо=—оо, то очевидно, что инфимум f на й не дости-
гается. Не достигается он и тогда, когда }о>Фо>—оо. Действи-
тельно, в противном случае на основании теоремы 4.1 нашлась
бы вершина Х{, в которой [(Х{)=ц,—<ро. Но это противоречит
неравенству /о>фо-
Теорема доказана.
Теорема 7.1 позволяет утверждать, что задача дробно-ли-
нейного программирования (7.1) при выполнении условий (t) —
(Hi) в определенном смысле всегда имеет решение. Это либо
вершина й, либо направляющий вектор неограниченного ребра.
142
Опишем схему решения задачи (7.1), основанную на пре-
дыдущих рассмотрениях. Вначале находим <р0 как экстремаль-
ное значение целевой функции в задаче линейного программи-
рования (7.8). Множество планов этой задачи согласна
(Hi) непусто. Если фо=—то infxge f(x) ——оо.
Допустим, что фо — конечная величина. Тогда обращаемся
к задаче (7.9). Если множество ее планов Й1 пусто, то /о>фо-
В этом случае согласно теореме 7.1 инфимум f на Q не дости-
гается и inf^eef (х) =фо-
Предположим, что Q^0. Согласно лемме 7.7 ^о^фо» а тог-
да по теореме 7.1 выполняются соотношения (7.11). Как найт»
оптимальную вершину?
Попытаемся применить к задаче (7.9) симплекс-метод. На-
помним, что алгоритм симплекс-метода в линейном программи-
ровании разбивается на три этапа:
А)	разыскание начальной вершины в множестве планов за-
дачи;
В)	повторяемый несколько раз переход из одной вершины я
другую с уменьшением всякий раз значения целевой функции;
С) завершение работы алгоритма при достижении такой
вершины х*, что целевая функция не убывает вдоль каждого
ребра, выходящего из х*.
Этап А) не связан с характером целевой функции и может
быть осуществлен для задачи (7.9) так же, как для задач»
линейного программирования.
Этап В) сводится к последовательному повторению следую-
щего шага: среди ребер, выходящих из текущей вершины х,-,
выбрать такое, вдоль которого целевая функция убывает. В ли-
нейном программировании с этой целью вычислялись оценки
ребер Д;=<с, zj>. Оценка Aj являлась производной целевой
функции по вектору z>. В случае дробно-линейной функции f
можно использовать аналогичные оценки (см. (2.5)):
8/: — </' (•*/). г? («*, xi> + ?) = «?. zj> —f(x{) <а, Zj>.
Если то f убывает при движении из вершины х< вдоль
ребра lj с направляющим вектором zj. Допустим, что ребро lj,
ограничено. Тогда по нему так же, как в линейном программи-
ровании, придем к соседней вершине с меньшим значением це-
левой функции.
Неприятности могли бы возникнуть, когда dj<0 и ребро
lj не ограничено. Но в задаче (7.9) такая ситуация исключена.
Действительно, в противном случае получили бы противоречи-
вую цепочку соотношений
f (Xi) >(f(Zj)	(Xi).
При достижении вершины х#, такой, что все ребра, выходя-
щие из нее, имеют неотрицательные оценки, алгоритм заверша-
143;
ет свою работу (этап С)). Согласно теореме 4.2 вершина
х* — оптимальный план задачи (7.9).
Покажем, что х# — вершина й и оптимальный план зада-
чи (7.1). В силу леммы 7.7 и теоремы 7.1 имеем
/(*#) =/0 = mln/(x).
хе с
Кроме того, х* принадлежит й, значит, х* — оптимальный план
задачи (7.1).
По условию х* — вершина йь Если /о<фо, то очевидно, что
х* — также вершина й. Рассмотрим случай /о=фо и допустим,
рассуждая от противного, что х* не является вершиной й.
Тогда хж есть точка пересечения гиперплоскости <с, х> + £==
=<ро[<в, х> + р] с некоторым ребром й. При этом ребро не
лежит в гиперплоскости, так что функция f на нем строго моно-
тонна. Поскольку х* есть относительно внутренняя точка ребра,
то на ребре найдутся точки хеЙ, в которых^(х) <f(x*) =<ро=
= р. Но это противоречит теореме 7.1. Таким образом, дейст-
вительно х* является вершиной й.
Упражнения
7.1.	Показать, что при выполнении условия (i) проверка
условия» (И) сводится к задаче линейного программирования.
7.2.	Привести пример, показывающий, что задача (7.9) мо-
жет иметь неограниченное множество планов.
7.3.	Описать симплекс-метод решения задачи дробно-линей-
ного программирования в случае ограниченного множества
планов.
§ 8. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧЕБЫШЕВСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Пусть п и т — натуральные числа; T={ti, ..., /,}— конеч-
ное множество точек из Rs; «i ..., ап, ..., vm — функции,
заданные на Т. Введем дробно-рациональную функцию
Положим z={x, у} и рассмотрим экстремальную задачу
iq (г): = max | H[z. t) —f (t) | -► min,
/е т
hl!a,:= max |y [/]| — 1,	(8.1)
D(y, t)>0 Vt£T.
Если обозначить Gi сферу {у | l!ylloo=l}, a G — множество всех
тех z/eGb которые порождают положительный на Т полином
144
D(y, t), то множество планов задачи (8.1) можно представить
в виде £2 = RNXG, где jV=1 : п.
Будем считать, что выполнены следующие два условия:
I) G=/=0;
II) t)(z)>0 при всех гей.
'Последнее означает, что f(t) не совпадает тождественно с
H(z, t) на Т ни при каком гей.
Задача (8.1) называется дискретной чебышевской задачей
дробно-рационального приближения. Получим для нее критерий
оптимальности.
Возьмем z0={xq, Уо) из Й, обозначим t]o=ti(zo) и введем вспо-
могательную задачу
|С(х.	Ol-VXy. О _^min
’ (8.2)'
До (г): = max
re т
Множество ее планов имеет вид £21 = 1^x01.
Лемма 8.1. Задача (8.2) эквивалентна задаче линейного
программирования
w -> min,
D(y0, ti) w + C (x, t^ -J- (т)0 — f(tt)) D(y, tt) 0,
D(y0, t^w-Cix, /i) + (7,04-/(^))D(y) ^)>o,
W.q,
(8.3)
Доказательство. Если z — план задачи (8.2), то пара
(z, te>), где а>=До(г), является планом задачи (8.3) и значения
целевых функций на этих планах равны.
Наоборот, возьмем план {г, а») задачи (8.3). В случае
w^O ему можно сопоставить план г0 задачи (8.2), на котором
До(2о)=О. Пусть w<0. Тогда «/^=0. Подберем постоянную
у^1 так, чтобы ||у«/|| оо — 1 • Рассмотрим вектор Zi=yz. Он
удовлетворяет ограничению задачи (8.2) и
До(£1)
Лемма доказана.
Лемма 8.2. Задача (8.2) имеет решение.
Доказательство. Очевидно, что множество планов
Qi задачи (8.2) непусто. Проверим, что целевая функция До (г)
ограничена снизу на £2ь
Положим р= шах 27-11^/(01’ Тогда
z- *7*
|О(У,	VyGGv V/GT.	(8.4)
Согласно определению До для всех имеем
Ю Заказ № 66
145
Д0(г)>тах I—7ioD(y, t)/D(y0, 01 > — 7j0P'e0,
re г
где e0: = min/6r Щ.Уо»	Ограниченность снизу A0(z) на
2t установлена.
На основании леммы 8.1 получаем, что множество планов
Qo задачи линейного программирования (8.3) непусто и целе-
вая функция ограничена снизу на й0. По теореме 1.4.2 задача
(8.3) разрешима. Значит, разрешима и задача (8.2). Лемма
доказан^.
Введем обозначение До = minz62j A0(z). Очевидно, что До <
< (z0) = 0.
Теорема 8.1. Для того чтобы план z0 задачи (8.1) был опти-
мальным, необходимо и достаточно, чтобы До =0.
Доказательство. Необходимость. Возьмем опти-
мальный план z* = (x*, у*} задачи (8.2) и допустим, рассуждая
от противного, что До (^о) = До < 0- Тогда тем более
max{-^0O(y0*, t)/D(yLi ^)}<0,
откуда с учетом условия II) следует, что D(y*, f)>0 при
всех Равенство = 1 также выполнено. Значит, z*
прин длежит 2.
Вернемся к неравенству Д0(г*)<0 и перепишем его в эк-
вивалентном виде
/)-/(^)|-^0<0 wer
Получили, что ^(^о) < ^о- Но это противоречит оптималь-
ности z0.
Достаточность. Допустим, вопреки утверждению, что
существует вектор z* = {x*, у*} из Q, на котором r| (z*) <тю-
В этом случае |//(^г*, t)—f (t) |—т|0<0 при всех t^T, Согласно
определению Q имеем
A0(z*) = max([|//(z*, 0~/(01 ~^о] тСп) <0-
Тем более До<О, что противоречит условию теоремы. Теорема
доказана.
Опишем метод решения задачи (8.1). Пусть имеется £-е
приближение zfe={xfe, yh} из Q. Положим т)л=т) (z&) и рассмот-
рим вспомогательную задачу
(2): = max	т1п>
1x1.-I.’
146
Согласно лемме 8.2 эта задача имеет решение. Обозначим
его zj, и пусть Д* = ДЛ(з1). Если ДА = 0, то по теореме 8.1
вектор zk является оптимальным планом задачи (8.1). Процесс
заканчивается. В противном случае (когда Д* < 0) переходим
к очередному приближению z^+1=z*. Так же, как при дока-
зательстве необходимости в теореме 8.1, проверяется, что z*41
принадлежит 2 и : =т](гл+1) <
Выбрав в качестве начального приближения произвольный
вектор z0 из Q, построим описанным методом последователь’
яость {zk}. Если она конечная, то последний ее элемент по по-
строению является оптимальным планом задачи (8.1). Пред-
положим, что последовательность {Zk} бесконечная. Введем
обозначение
= inf 7](z).
Теорема 8.2 (о сходимости метода). Справедливо предель-
ное соотношение
lim т,к = Ti*.
k-+co
Доказательство. Последовательность {т)л} монотонно
убывает и ограничена снизу числом т]*^0, поэтому она имеет
предел т]*. Требуется установить, что л*='П*-
Допустим, рассуждая от противного, что ^*>14*. Тогда
пРи всех k=09 1, 2, ..., и существует вектор z+={x+>
у+} из Й, на котором : =г](г+)<т]*.
Согласно (8.4) имеем
Д» (z+) = max [ IН	t) - f (t) | - т)*] ^7771 <
< —K —V4 min |D(X. t)ID(yk, 0) < — е+(тй —
tbT
где e+ = mlnteTD(y+, t). Поскольку zk+t = z*t to
max|ii//(zt+1,0 -f(t) 1 -	DD\y;^]=AZ <
<Дл(г*)<-е+(ъ ->)♦)/?.	(8.5)
В частности, — >j*D(y4tl, t)/D(yk, t) < — e+ (fy — *)*)/?, откуда
следует, что
D(yM, t) > к (i - d (л, t) Nt e t.
Положив a = min(l/2, e+(l — iq+/iq*)/?|, получим
D (л+1. 0 >	(yk, t)	Nt 6 T.	(8.6)
Вернемся к неравенству (8.5) и заметим, что при всех 1^,7
;о*
147
I н(zk¥X, t) - f ю I - rlk < - e+ (rj* -	 min O (^ °
t€T u М+i»
Значит,
Vk — Ш >e+ (vi* — VT?-min |Dtyk, t).D(yft+1, f)}.	(8.7)
<e т
Обозначим tk точку из T, в которой отношение
&(уку t)/D(yin.i, t) достигает минимального значения. Поскольку
*)» — т)ди-> О, то согласно (8.7) при больших k
О(ук, tk)/D(yk^, tk)^a<i	(8.8)
(напомним, что 7 = |Г|). Объединяя (8.6) и (8.8), имеем
ti) — В(ук+ъ	(ft)	>
Xl/ajnt.D^, tl)>2Hl-xD(yk, tt).
Получили, что числовая последовательность dk=I[<>i=iD(yk, ({),
fe=0, 1, 2, ..., стремится к +оо. Но это противоречит неравен-
ству dk^pq. Теорема доказана.
Согласно лемме 8.1 реализация данного метода сводится к
решению последовательности задач линейного программиро-
вания.
Упражнения
8.1. Указать критерий непустоты множества G.
8.2. Привести пример дискретной чебышевской задачи дроб-
но-рационального приближения, не имеющей решения.
ДОБАВЛЕНИЕ
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ
КУБИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Исследование любой -математической задачи, в которой ищется какой-то
объект, нельзя считать законченным, если не доказано существование реше-
ния. Такое доказательство может служить подтверждением основательности
математической модели, достаточного ее соответствия действительности. Ска-
занное остается верным, даже если в реальной задаче, послужившей источ-
ником для математической, существование решения представляется очевид-
ным из «физических соображений».
В данной книге теоремы существования минимума установлены для всех
классов экстремальных задач, которые в ней рассматриваются. В качестве
добавления приведем один новый результат о существовании решения
экстремальной задачи в евклидовом пространстве при линейных ограничениях.
Теорема. Пусть f(x) есть полином степени г<3 в RN, Q — непустое вы-
пуклое многогранное множество в R-v и ц =	f(x). Тогда справедливо
одно из следующих двух утверждений:
1) р>—оо ив Й существует такая точка х*, что f(x*)«=p;
2) ц=—оо и существует такой луч x=xQ+th, содержащийся в Q,
что limz^+ra f(xB+th)=—оо = |1.
Перед тем как перейти к доказательству, сделаем несколько замечаний.
При г=1 первое утверждение теоремы содержится в теореме 1.4.2. При г=2
первое утверждение при дополнительном предположении выпуклости [ дока-
зано в теореме III.9.1. Таким образом, сформулированная теорема даже для
полиномов второй степени существенно дополняет результаты, приведенные
в книге.
Совсем иная ситуация имеет место при г>4, о чем свидетельствует сле-
дующий пример.
Пример. Пусть Q={x=(x[l], х [2]) |х [1]>0, х [2]>0) и
f(x) = (l-х[1]х[2])*+(х[1])'.
Ясно, что f(x)>0 в Й. Вместе с тем infxe2 f(x)=O. Действительно*
f(x) = (x[l])r при х[1]>0, х[2]=1/х[1], а величину (х[1])г можно сделать
сколь угодно малой за счет малости х [1]. Значит, утверждение 1) ложно
для данных, приведенных в настоящем примере. Утверждение 2) также лож-
но, поскольку |1 = 0>—оо.
Таким образом, случай г=3 является в некотором смысле пограничным,
что повышает интерес к доказываемой теореме.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по размерности Q.
При dim Q=1 теорема очевидным образом верна. Пусть ее справедливость
установлена при dimQcn—1.
Рассмотрим выпуклое многогранное множество Q, для которого dimQ=n.
Не нарушая общности, будем считать, что OeQ. Тогда aff Q есть подпро-
149
странство RN, и, снова не нарушая общности, можно принять, тто affL
совпадает с RN.
Лемма. Если в й существует минимизирующая последовательность {хА}
для f, принадлежащая дЙ, то верно одно из двух утверждений 1) или 2).
Доказательство леммы. Так как граница й совпадает с отно-
сительной границей, то в соответствии с формулой (11.2.6)
dQ=U<Oi,
где объединяются непустые грани Й с размерностями dimfi)t<dimQ. В силу
замкнутости дЙ справедлива также формула
дЙ=Цой,
где (О; есть замыкание cot. Каждое является выпуклым многогранным
множеством. Рассуждая от противного, нетрудно доказать, что dim сог —dim
и потому dim w><dim Q = n.
Из последовательности {хА} можно выделить частичную подпоследова-
тельность {хлр, принадлежащую одному из множеств со», скажем, (Оо- По
индуктивному предположению справедливо утверждение 1) или 2) с заменой
2 на j»o- Остается заметить, что если хф то х*еЙ; если луч содержит-
ся в (Оо, то он содержится и в й. Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть {хА} — минимизирующая по-
следовательность для f в Й. Если f(O) = p, то справедливо утверждение 1)
при хф =0. Поэтому дальше предполагаем, что f(O)>pL. Тогда для k доста-
точно боЛЬШИХ f(O)>f(xA).
Введем множества
ВА=(хей | f(x)<f(xA)}.
Это непустые замкнутые множества, не содержащие точки 0. У каждого из
них существует точка у к, ближайшая к нулю. Поскольку f (уь) (хА), то
последовательность {уь) также минимизирующая. Чтобы упростить обозначе-
ния, предположим, что последовательность {уь} совпадает с {хА}. В этом слу-
чае из условий хей, ||х||<ЦхА|| следует строгое неравенство f(x)>f(Xh);
Если последовательность {хА} ограничена, то, не теряя общности, можно
предположить, что существует предел x* = limxA. В силу непрерывности f
получим f (х*) = lim f(xA) =ц, т. е. справедливо утверждение 1). Аналогичная
ситуация возникает, когда {хА} содержит ограниченную подпоследователь-
ность. Поэтому в дальнейшем предполагается, что lim ||хА|| = Ч-оо.
Если среди элементов последовательности {хА} имеется бесконечно много
принадлежащих дЙ, то, как показывает лемма, верно утверждение 1) или 2).
Остается рассмотреть случай, когда, начиная с некоторого места, все точки
хА являются внутренними для Й.
Можно считать, что f(xA)>f(xA+l) при k=l, 2, ... Не нарушая общно-
сти, допускаем также, что векторы ЛА=хА/||хА|| сходятся, т. е. существует
предел ft*=lim/iA, II h* || = 1.
Проведенный анализ дает возможность продолжить доказательство тео-
ремы при следующих предположениях:
все точки Xk, 1, 2, ... , лежат внутри й;
xk = I hk = 1, tk + oo,
f (**) > f	k ==± i » 2, . . . , f (XA) —> (-L,
из условий хёй, j|x||<||xA|| следует f(x)>f(xA).	(1)
Так как хА — внутренняя точка Й, то найдется тАе(0, /А), такое, что
хА—тл^ей. Имеем оценку
И	1| == т- zkh* < (tk - тл) || hk ’• +
+ Л* -М < (Z*—	+ тл==^ = 11**11-
150
В силу (1) получаем
f(xh—Tkh*)>f(xk).	(2)
Докажем, что h* есть рецессивное направление для Q. Достаточно уста-
новить, что при любом />0 точка th* принадлежит Q. Зафиксируем />0.
При k достаточно большом /<4, и потому //iaeQ. Переходя к пределу при
^->Н-оо и учитывая замкнутость Q, получаем требуемое включение th* eQ.
Таким образом, при каждом k луч х—хк + th*, />0, содержится в Q.
Рассмотрим функцию
qh(t)=f(xk + th*); —оо</< + оо.
Согласно (2) эта функция (полином степени не выше трех) не является
постоянной, и, следовательно, при М-Ч-оо ее значение стремится к бесконеч-
ному пределу того или иного знака. Если	фл(/)=—оо хотя бы
при одном значении k, то справедливо утверждение 2). Поэтому в дальней-
шем предполагается, что
Пт/^+оо?*(О = + 00	(3)
при всех k= 1,2, ...
Согласно (3) найдется такое положительное число X*, что
f(XK + hhh*)=<pk(Kk)>f(Xh).	(4)
Зафиксируем на время k и положим
gmk = (хт - хь)1,\ хт — xk ||, т > k\
^m^)=f(xk + tgmk)t _oo<z<+oo.
Луч х = Xk + tgmk» > О, может не содержаться в 2.
Имеем
Ihnm-C0 gmk = lim,л*m/il хт II =
Учитывая (2; и (4), получаем
т-1Поо	f (Xk	z==f(Xk “	>	(0)’
lim (\k> =/(** +	> f(xk) = ^rn (O'.
m->oo
‘Вместе с тем
(K - xk II) =/(*m) </(^ -	0).
Отметим, что при достаточно большом т выполняется неравенство
хт "• xk || > Х>.
Таким образом, при т достаточно большом —т* < 0 < К* < || хт —
и Фт< — Ч) > Фт<0). Фт (Ал) > Фт (°). Фт ( II *т - Xk И ) .< фт (0). Полином
третьей степени имеет локальный минимум в интервале (—X*) и ло-
кальный максимум в ^0, ||xm -хл||). Более двух стационарных точек поли-
ном третьей степени иметь не может, и потому (/) при t > || хт — х^ ||
строго убывает. Отсюда следует, что lim^.^ <ЬОТ (t)	— ос.
Зафиксируем достаточно большое /п = /пл> k. Если луч х = х^ + tgmk^
t > 0, содержится в £2, то справедливо утверждение 2). Предположим, что
этот луч пересекается с 02 при / —7/г- Так как точка xmk— Xk +1| xmk —
— xk\\gmkk принадлежит 2, то > [|	~II• Значит,
(xk + tkgmkk) ~ ^т^ (7А?)	( II xmk xk ||)	^т^ (0) =/(^/г)«
Получили минимизирующую последовательность Zk ~ х^ + 7kgmkk> h =
= 1, 2, ... Поскольку все принадлежат 02, то применима лемма., Теорема
доказана.
151
Замечание. Анализ приведенного доказательства показывает, что
в нем используются лишь следующие свойства полинома третьей степени f(x):
а)	функция f(x) непрерывна в RN;
б)	при любых Хо, Xi из R* функция одной переменной <?(/)"•
=f(xo+t(xi—хо)) либо постоянна на (—оо, 4-00), либо имеет на (—оо, 4-00)
не более двух локальных экстремумов, и существует lim/_> + oo<p(0, рав-
ный 4-оо или —оо.
Таким образом, теорема остается справедливой, если полином степени
г<3 заменить произвольной функцией f, обладающей свойствами а), б).
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава 1
3.1. Возьмем план первой задачи xq£P и положим a0=max/ez
Тогда {х0, п0} — план второй задачи и Ф(хо) = «о.
Возьмем план второй задачи (х0, к0}* Очевидно, что х0—план первой
задачи и Ф (х0)! = max Ft (х0) < «о-
/е/
Полезно отметить, что для оптимального плана второй задачи {х*, и*}
выполняется соотношение и* = max F{ (х*).
/6/
3.2. Пусть х£Р. Положим W/ = //(х), «/= (| wj + W/)/2,	(| wj —
— W/)/2. Очевидно, что fi (х) =Н/ — vit > О, V/ > 0 и
Хе/(и, + Г/)=2/е/|^(*)1-
Наоборот, если {х, {и^}, {vj} — план второй задачи, то х — план первой и
4.2. Имеются лишь два базисных плана Xi=(l, 1, 0) и %2=(0, 0, 1).
Оптимальным является второй.
5.1. Пусть ||х0||<б, 1|Х1П<6. Тогда при te[0, 1]
II/X! + (1-0Xoll <dlXiII + (1 -0 ||Хо11 <6,
что и доказывает выпуклость 1)^
5.3.	Рассмотреть конусы
K1={w=(x, у, г) | х=0, #<0, z=0),
/(2={w=(x, у, z) |x2+z2<2z#, i/<0}
и показать, что
Л1+Л2={^|z>0}U{w|x=0, z=0}.
5.4г	Допустим, что конус K=Ki + ...4-КР не является замкнутым. Тогда
существует нетривиальное представление нуля. Действительно, по условию
найдется последовательность {z*} точек из К, сходящаяся к z* j К. Имеем
«л = У\} + • • • + Ур}.	(!)
где g JQ. Покажем, что числовая последовательность = Sf-.ltf’
но ограничена. В противном случае, переходя к сходящимся подпоследова-
тельностям у\*^ -> у*, получаем z*=y*4- ... 4-у*€К, ибо y^Ki в силу
гамкнутости Kt* Но это противоречит условию Итак {?л) —неогра-
153
ниченная последовательность. Пусть для простоты 7^->оо. Положим xj*1 ==
= у<.лу*^. Согласно (1)
Х<Л) + ... + х™ = Zulik,	(2)
причем	2^=11| Х/А* || =1 •	О!
„ <*,->
Переходя к сходящимся подпоследовательностям xi J -> на основании
(2), (3) получаем
х1 + ... + хр = О, || xt В = 1.
Остается отметить, что Xi^Ki при всех Zgl ip.
5.5.	Нетрудно проверить, опираясь на теорему 5.4, что
(2£.1К/)+=--ГИ=1*<-
Поэтому (nf=1 К,у = (2f_ 1 Kt)++ = 2f-i V-
6.1.	Пусть при некотором х0 выполняется неравенство Лх0>Ь. Возьмем
любой ненулевой вектор и, удовлетворяющий условиям «Л=0, ц>0 (если
таких векторов не существует, то доказывать нечего). В этом случае
<и, Ь> < <п, Лх0> = <«Л, х0>=0.
Предположим теперь, что система Ах>Ь несовместна. Тогда при всех на-
туральных k несовместна система Ax^b+t/k, где е=е[М]— вектор, все ком-
поненты которого равны единице. По теореме Фань-Цзы найдутся неотрица-
тельные векторы иь, удовлетворяющие системе линейных уравнений иЛ—О
и такие, что <«ь Ы-е/Л>>0. Можно считать, что ||ил11 = 1 при всех
Л=1, 2, . Д Выделяя из {иь} сходящуюся подпоследовательность Uks-*u*,
в пределе получаем мфЛ=0,	||«* Ц«1 и 5>>0, что противо-
речит исходному условию.
6.2.	Если исходная система несовместна, то несовместна и такая система:
Л[Л40,	X х [N] > е [AfoL
Л[МЬ	х x[N] >0[М,].
A[M2t W]XxW=O[M],
где e[Af0] — вектор, все компоненты которого равны единице. Существование
требуемого и[М] следует теперь из теоремы 6.3.
Достаточность легко доказывается от противного. Действительно, если
х0 удовлетворяет исходной системе и существует вектор uQ со свойствами
и0А = 0, ц0 [М0]>0 [AfoL «о [Afo]^O [Мо], u0 [AfJ>0 [MJ, то
0= <u0Ay x0> = <h0. Axq> = Uq (Мо] X (Л [Mo, W] X xQ [Af]) +
+ «о [Afi] X (A [Mb TV] X xQ [7VJ) > 0,
что невозможно.
6.3.	Рассмотрим систему
Лх>еь х>0,	(4)
где е< — i-й орт, i^N. Возможны два случая.
I. Система (4) имеет решение у г. Тогда Ayi+y^ti.
II. Система (4) несовместна. По теореме 6.3 найдется вектор у^ удовле-
творяющий условиям //гЛ<0, */г>0, <уй е»> > 0. В силу кососимметрично-
сти матрицы Л неравенство	эквивалентно Л#, >0. Поэтому Л«/, 4-£/$>0,
причем t-я компонента вектора, стоящего слева, положительна.
Нетрудно понять, что вектор xo=Sf е &yi является требуемым.
154
7.1. Решение задачи (7.4) можно заменить решением* системы
<с, х> — <Ь, и> = О,
А [Л4Ь ЛП X х [ATJ > b [М,].
А[М2. N}Xx[N] = b[M2],
и [Af] X А [Af. JVH < с [ДМ,
и [МJ X A [Af. ЛГ2] = с [N.,],
Ф'11 >О[М1,- и[М ] >O[AJ,1.
8.1. Необходимость. Имеем
sup L (х*, и) = L (х*, и») = in f L (х. и*).	(5)
«61'	х 6 К
Согласно (5) при любом xg/<
sup L (х, и) > L (х, и*] > L(x*. и*) = sup L (x*, и),
«6Г	«ег
поэтому	min sup£(x, и) — sup L (х*. и),
хек «61’	«ег
Аналогично показываем, что
max inf L (х, и) = inf L (х, и*).
«6Г хек	хек
Остается воспользоваться равенством
sup L (х*, и)— inf L (х, и*).
«6г	хек
Достаточность. Поскольку
L (г*, и*) < sup L (х#, и) = min sup L (х, и', =
«бг	хек «er
= max inf L (х, и) = inf L (х, ы*) < L (х*, и*),
«бг хек	хек
то справедливы соотношения (о), равносильные (8.1).
8.3. Имеем
inf £(х, ы)= Inf {<Ь, и> + <с — иА, х>) =
хек	хек
( <b, и>, если и £Л,
= <&, п> 4- inf <с — иА, х> = {	х._. .
хек	I —оо, еслни(«1\Л,
где множество' Л определяется соотношениями
a [Af] ХА[М, MJ <c[2V]],
п[М] X A[Mt Ml==c^2b
и [AfJ > 0 [yWtJ.
9.1.	Двойственная задача имеет вид
<b, u> + <d, v>—<h, w>-*max,
uA + v—w=0, y>0, w>0.
9.2.	Положим для простоты Af=l:m, Л'=1:п и запишем матрицы
С и X в виде одномерных массивов
c = <C’ll, 1], р С[Ъ «Ь С(2, 1J....С[2, /г), С[т, 1|, С [т.п])
* = (-¥[1, 1J..X[l, п], X[2t 1J,..., X[2t nJ..Х[т. I).	, Л [m, гф.
Тогда транспортная задача примет вид
155
<с, х> -> min,
Ах = ht х > О,
(Ь>
гдей = (а[1].........а [л], b [1]........ b	[/и]) и
1 1
11... 1
(в матрице А выписаны только ненулевые элементы). Легко видеть, что за-
дачей, двойственной к (6), является следующая задача:
а [АГ] X v [ATJ + b [Af] X и [AlJ -> шах,
v[JJ + я [Z] < C[it /1 Vi£M,
Этот результат справедлив и для произвольных индексных множеств М, N.
9.3.	У пары двойственных задач
— * [1] -> min>
х [1] + х [2] > 1,
- х [2] > 1,
х [1] > 0, л [2] >0,
и П1 + я [2] -» max,
я[1]	<-1,
я[1] - я [2] <0,
ц[1] > 0, w[2J > 0
множества планов пусты.
9.4.	Положим	По определению сопряженного конуса
<и0, х>>0 при всех хеК. Возьмем любой план х первой задачи. Тогда
<с, х> = <о0+яоЛ, х>Х«о, Лх> = <и0, Ь>=<с, х0>,
что доказывает оптимальность Хо. Возьмем теперь любой план и второй за-
дачи. Положив v=c—иА^К+, получим
<bt и> = <и, Лх0>=<яЛ, х0> = <с—у, х0>«с, х0> = <6, я0>,
что доказывает оптимальность и0.
9.5.	Для простоты рассмотрим пару двойственных задач вида
<с, х> -> min,
Ах > Ь. х > О,
<b,	-> max,
нА < с, и > 0.
Общий случай сводится к этому. Как отмечалось в упражнении 6.3, система
линейных однородных неравенств
Ах — tb >0,	и > 0,
— Ати + tc > 0,	х > 0,
<Ь, и> — <с, х> > 0,	t > 0
с кососимметричной матрицей имеет решение {uq, х& /о}> удовлетворяющее
условиям
156
Axq — tQb + Uq >0,
— A ^Uq -|- t^C -f- Xq > 0,
<b, UQ> — <c, Xq> 4- tQ > 0.
Покажем, что fo>O. В противном случае выполняются неравенства
Лх0>0, UqA<0, х0>0, ио^-О, <b, и0> > <с, х0>.
Возьмем некоторые планы хь th двойственных задач. С их помощью полу-
чаем
<с, х0> > <utAt Xq> = <ub Ах0> > 0,
<b> uQ> < <uo, Ax[> = <UqA, xt> < 0,
что противоречит неравенству <b, и0> > <c, x0>.
Итак, Zo>O. Теперь нетрудно проверить, что х* = хо//о, «*=«оЛо — опти-
мальные планы и
(Лх*—д)+а*>0, (с—Д)4-х<:>0.
Замечание. Поскольку для х*, и* выполняются и обычные условия
дополняющей нежесткости, то во всех парах
A [Z, N] X х* [АГ] - b [ZJ, [Z];
х* [Л с [у] - и* [МJ х А [/И, у]
одно число равно нулю, а второе положительно.
10.2. Пусть
.: = max min A [Z, у] = min Л [Zx, у] = А [Zb у\],
i£M j£N	>e<v
р: = min max A [Z, y] == max A [Z, y2] = A [Z2, /2b
7GZV i£M	i£M
Поскольку A [Zb /1]<Л [Zb /УсЛ [Z2, /2], то хер- Для единичной матрицы
E=E[N, JV] при |N|>1 имеем х=0<1=ц.
11.1. Заметим, что для любого комплексного числа z^u-^lv справедлива
формула
|z|= max I Re {z exp (—Z<p)}|= max | и cos у + v sin <p |.
<pe[o, к]	’pGh',«]
Поэтому исходную задачу можно заменить линейной вещественной задачей
чебышевского приближения
тах |2(сл/х(Л“/(Л ?)—/(<- ?)|-+ min ,
<g(«, ₽], »е[о.п| 1^елг 1	1 x6Rw
где «у (Л ^) = Re Vj{t) cos + Im Vj(t) sin и
<?) = Re g (t) cos у + Im g (t) sin <p.
Глава II
2.1.	Отметим, что ограничения, описывающие Q, можно представить
в виде
А[М» N\X x[N] = b[M],
Е [Nt N] X х [У] > 0 [АГ].
Пусть {xo}=Q (/о)—-вершина О. Очевидно, что Zo^MUAfo. где N0(=N. Поло-
жим М + = A?\/Vo. Тогда х0 удовлетворяет соотношениям
157
A [M„ ЛЦ х х0 [У+] + И [Я ЛГ0] X 1М>] = Ъ [Af ],
О М, tf+] X хо [AM + Е [No, NQ\ X хо [ЛГ0] = О [ЛГ0],
х0[^1 >О[ЛГ+],
причем столбцы матрицы.
М [Af, ЛМ	Д[Я ЛГ0]\
\О [/Vo. Я-1	E[NQt Na])
линейно независимы. В частности, линейно независимы столбцы матрицы
А [Я А+]. По определению план х0 является базисным. Столь же очевидно
и обратное утверждение.
2.2.	Учесть, что в данном случае полная матрица ограничений имеет
максимальный ранг.
2.3.	Крайняя точка х0 множества Q не может принадлежать грани поло-
жительной размерности. Действительно, допустим, вопреки утверждению, что
xoefi(Z), dimQ(Z)>0. Тогда aff Q(Z) содержит прямую /, проходящую через
точку хо. Поскольку грань открыта в своей аффинной оболочке, то найдется
окрестность х0, пересечение которой с I принадлежит Q(Z). Но это противо-
речит определению крайней точки. Значит, крайняя точка является верши-
ной О.
Докажем обратное утверждение. Пусть {xo}=Q(Zo)—вершина Й и
*о= (*i+*г)/2, где хь х2еЙ. Нужно проверить, что xi=x2. Имеем
А [/о, N]Xx{ [N]—A [Zo, Af]Xx2 [N]=b [Zo].
Отсюда следует, что А [Zo, Л^Х(х2[ЛГ|—Xi [АГ]) = 0 [/0], а поскольку
rank 4 [Zo, A]=|Af|, то Xj=x2.
2.4.	Существование грани нулевой размерности при г=|А| установлено
в теореме 2.2. Пусть г< |ЛГ|. Возьмем непустую грань Q(Z). Согласно (2.9)
dim Q(Z)> |А |—г. Если dimQ(/) = |N|—г, то грань Q(Z)—требуемая. Пред-
положим, что dim Q(Z)> |Af |—г. Покажем, что в этом случае Q(Z)^aff Q(Z).
Рассмотрим две системы уравнений
А [Я Af]Xz[A]=O[Af],	(1)
A [I, tf]Xz[tf]=0[/].	(2)
Система (1) имеет &=|А|—г линейно независимых решений. Обозначим их
Zi, ..., Zk. Очевидно, что z< удовлетворяют и (2). По условию
rank А [/, А]<г, поэтому у (2) существует по крайней мере еще одно реше-
ние zk+b линейно независимое с zb Zk. Возьмем x0^Q(Z). Прямая
/ = {х = х0 4- ^Л+11 — оо < t < оо}
содержится в aff Q(Z;. Однако она не содержится в Q, поскольку A [Af, W] X
X Zfc+i [АГ] 0 [Af]. Тем более I (Д Q (/). Показано, что О (/) #= aff Q (7).
По теореме 2.1 у Й существует грань, размерность которой меньше
dimQ(Z). Продолжая аналогично, придем к грани размерности |ЛГ|—г,
3.1. Рассмотрим систему вида
Л [Л A]xz[Af]=O[Z],
A [Af\ Z, N]Xz [А]>0 [Af \Z],
где Af=AfiUAi2, M2<=ZczAf и rank4[Z, AT]=|Af|—1. Эта система может не
иметь решения. Если же решение существует, то оно единственно с точ-
ностью до положительного множителя. Обозначим zit ..., zr решения всех
таких систем (при различных Z). Тогда множество решений К исходной си-
стемы совпадает с выпуклой конической оболочкой, натянутой на векторы
zb ..., zr. При г=0 будет К={0}.
4.1. Если задача (4.1) разрешима, то включение ceZ<o+ легко доказыва-
ется от противного.
Пусть теперь сеКо+. По теореме 3.1 <с, h>>0 при всех h, удовлетво-
ряющих соотношениям
158
A [Mh NlXhlNJ^OlM,],
A [M2, А]х/г [W]=O [M2J.
Согласно теореме 1.6.2 (Фаркаша) вектор с допускает представление
c[7V]=w [Л4]хЛ [М, Af], где и [Mi]>0 [AfJ. Это значит, что множество планов
двойственной к (4.1) задачи непусто, а тогда по теореме 1.9.2 задача (4.1)
разрешима.
4.2. Зафиксируем xeQ. Поскольку
где МЛ > 0 и 11^/11 =*• то II х ~ х* II < 2/=1 ₽ И- Положим т« =
: = min j е j.т <с, zf> > 0. Тогда
/(*)—/(**' = S/-12 * <с’ г1> > 12j/=i ? 1/J > 7 IIх - х* II-
5.1. Неравенства
2x[l]-*l2J>0,
-х[11+х[2] >0,
х [1] >0, х[2] >0
определяют множество Q, изображенное на
рис. 14. Начало координат является вырож-
денной вершиной Q.
Возьмем /={3, 4]. В этом случае Qj=
={х|х[1]>0, х[2]>0}, и ни одно ребро Qj
не совпадает с ребром Q.
5.2. Рассмотрим задачу линейного про-
граммирования
— х [1] +2х[2] -► min,
хе®
Рис. 14.
где Q— множество из ответа к предыдущему
упражнению. Очевидно, что вершина х*=0
оптимальна. Она имеет три оптимальных ба-
зиса {1, 2], {2, 3], {2, 4} и три неоптимальных
{1, 3], {1, 4], {3, 4).
5.3. Включение	очевидно. Проверим обратное включение.
Пусть xoeQj при всех 7, удовлетворяющих условиям (5.3). Имеем
A N] X хо [Af] > b [Af\/J,
Л[Л12, АП Хх0[ЛП = ММ2].
<3 А
Покажем, что
Л[7*\М2, А]Хх0 [7*\AfeJ.	(4>
Зафиксируем z0^7#\ Af2. Если строка A[t0, N] линейно независима со*
строками матрицы А [М2, АГ], то i0 принадлежит некоторому строчному бази-
су /. Поскольку xoeQj, то A [i0, А]Хх0 [fo].
Предположим, что
Л [io. ЛГ] = У- «ИХЛ[/. JV|.
С -гИ1
Множество Q непусто, поэтому согласно теореме 1.6.3 выполняется неравен-
ство
Но тогда
159»
A [/„, ЛГ] X х0	и [/] X (Л [Z, ЛГ] Х х0 [tf]) =
=2/еЛ(1«шхял>*[/01.
Неравенство (4) установлено.
Из (3) и (4) следует требуемое включение x0^Q.
6.2. Матрица	отличается от единичной только
строкой с номером Jk. А эта строка равна yk •
7.1.	У задачи линейного программирования
— х [1] + 2х [2] -+ min,
2х [1] — х [2] - х [3]	=0,
— х[1]4- х [2]	-х[4]=0,
х [1:4] > 0 [1 • 4]
столбцовые базисы {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} являются строго оптимальными.
7.2.	Рассмотрим задачу
х [2] -► min,
х[2] = 1,
х[1]>0, х [2] > 0.
Ее единственный столбцовый базис {2} невырожден и оптимален, но не стро-
го оптимален. Этот пример показывает, что единственная оптимальная вер-
шина может не быть единственным оптимальным планом. В данном случае
множество^ оптимальных планов имеет вид Й* ® {х | х[1]>0, х[2]=1).
8.1.	У параметрической задачи
— х [1] 4- Ох [2] -> min,
х[2] = 1,
х[1] >0, х [2] > 0
множество Т пусто.
8.2.	Если множество планов Q задачи (8.1) ограничено, то Т=(—оо, оо).
Последнее равенство возможно и в случае неограниченного Q, о чем свиде-
тельствует следующий пример:
х [1 ] + Ох [2] -* min,
x[2J=1,
x[lj >0, х[2]>0.
и -
8.3.	Допустим, что пара {и& 0о} удовлетворяет неравенству А1
— ©Сею < с0- Если Со, < 0, то этому неравенству удовлетворяет также пара
{«о, 0} при любом 0 < 0О, откуда следует, что
= — оо. Аналогично показывается, что
0* = 4- оо при Саз > 0.
8.4.	Функция р конечна лишь при
0е[—1, 4-оо). Ее график изображен на
рис. 15.
При 6=г— 1 имеются две оптимальные
вершины %1=(1, 0, 0) и х2=(0, 1, 0). Инте-
ресно отметить, что вершина Xi не будет опти-
мальной ни при каком другом 0.
9.1. Соотношения Т—0, Т={0}, Т=(—
4-оо) выполняются соответственно для пара-
мегрических задач со следующими ограниче-
ниями:
160
- x HI — x[2] = l,
x [2) =«,
x [I] >0, x[2[ >0;
x[l]+x[2|=0,
x[lj—х[2] = в,
x[lj >0, x[2) >0;
x[l] -x|2] = fl,
x [1] > 0, x [2[ >0.
Г л а &a III
2.2.	По теореме 2.1 найдется число X со свойствами
</' (хД х*> =* К
X<df(x^dx[f], j^N.
В частности, df(x^ldx[J\ при х*[/]=0. Поскольку
1/1 “М XX. [/| = </' (х.), х.> - X = О,
го (df(x*)ldx [у] — X) х х* [/j — 0 прн всех Отсюда следует, что
df(x*)ldx [у] = X прн х* [у] S 0.
2.3.	См. [12, с. 22—24]. Очевидно, что эта задача имеет решение х*. По
лемме Гиббса найдется число X, такое, что
«[Л X b [у] X exp (- b [/] X X* [у]) *= X при х:, [у] > 0,
а [Л X b [у]	< X при х* [у] = 0.
Значит,
^[/J^ln+(a[y]xi[yi/X)/^[y], у6М	(1)
(In «, если и > 1,
0, если и < 1.
Число X определяется из уравнения 2jyeyvx* [у]== Покажем, что это урав-
нение имеет единственное решение. Введем обозначения Ху == а [у] X Ь |у],
X* шахуем Ху. Поскольку функция
Л(х>=2У6л'1п^	171
является непрерывной и строго убывающей от +оо до 0 на (0, X*], то инте-
ресующее нас уравнение Л(Х) = 1 действительно имеет единственное решение.
Найдя его и подставив в (1), получим единственное реШёйие исходной за-
дачи.
3.2.	Необходимость. Возьмем две различные точки Хо, Х[ из Р.
По лемме 3.1
f(Xo)Xf'(Xo), Х[—х0>.
Допустим, что f(xi)—f(xo) = <f'(x0), Xj— х0>. Зафиксируем te(0, 1) и поло-
жим x(t) =Xo+/(xi—х0). В силу строгой выпуклости функции f имеем
f (х (0) — f (Хо) </ И (Х1) — f (х0)1=«Г (Хо), Х1—Хо>.
С другой стороны, по лемме 3.1
f(x(<))— f(x0)>t<f'(x0), Х1—Хо>:
Полученные неравенства противоречат друг другу.
Достаточность доказывается так же, как в лемме 3.1.
3.3.	Строгая выпуклость функции f следует из формулы (3.5) и преды-
дущего упражнения.
Функция одной переменной t/=x4 является строго выпуклой на (—оо, оо),
однако #"(0)=0.
{1 Заказ № 66
161
3.4.	У функции t/=exp (х) нет точки минимума, хотя она строго выпук-
ла и ограничена снизу на (—оо, оо).
3.5.	При х>0 имеем у" (х) = 1/х>0, поэтому функция у строго выпукла
на (0, оо). Остается заметить, что в случае Хо=О, xi>0, /е(0, 1) неравен*
ство t/(/Xi+(l—t)xQ)<ty(Xi) 4- (1—t)y(x0) сводится к очевидному неравенству
4.1. По лемме 4.1 найдется ненулевой вектор uQ, такой, что
<u0, x»<u0, х0> Vxe/C	(2>
Отсюда так же, как при доказательстве теоремы 1.5.2, следует, что
<Ио, х>>0 при всех хеК и <uQ, х£><0. Подставляя в (2) х=2х0, полу-
чаем <и0, х0>>0. Таким образом, и <uQ, х0>==0, т. е. uQ — требуе-
мый вектор.
4.2. Рассмотрим множество на плоскости
*’={(*,у) |—оо<х<°о, у=ехр(— |х|)}.
Оно замкнутое, однако его выпуклая оболочка
convP={(x, у) |— оо<х<оо, 0<t/<l} U {(0, 1)}
замкнутой не является.
5.1.	Считаем для простоты, что W=1 : я. Пусть xoeQ. Тогда при. некото-
ром 0>О имеем xQ±hi<=Qt где = tel : п. Любая точка xgQ допускает
представление
X — х0 4- 2/11и 1'1 hi<
где = —Л/ и min {и [Z], и [п + Z]} =0 при всех in. Если х -> х0, то
Sfli а 1Л ** 0* Действительно, х [/] — х0 [Z] = (и [Z] — и [п + Z]) 3, а поскольку
один из ^коэффициентов и [Z], и [и 4- Z] равен нулю, то все и [Z], i^\*.<lnt,
стремятся к нулю. Допустим, что 2 •1,“ 1'1 < 1- в этом случае
х=(1 — 2’11 “ и) хо + 2/” 1и и+
причем все коэффициенты в правой части неотрицательны и в сумме равны
единице. Опираясь на выпуклость функции f на Q, нетрудно проверить, что
f (X) - f (Ха) < 2?i 1« U1 (f (Хо + ftp - f (Xo)).	(3>
Введем точку у = x0 — (x — x0) = 2x0 — x. Имеем
у—x0 = — 2<=i" и h> =—M и hi — S=«+iм i'i hi=
=2/-Л+1« u - «1 л< + 2"=i«p + n] л,=2,11 v hi л,,
...	( uU + nl, Zfl tn,
1де	V 1	I u[i — л], iQn -f- 1 •.‘In.
Очевидно, что v [Z] > 0 и 2?-lv И = 2*=1 u lгТ Аналогично предыдущему
получаем
f O') ~ f (хо) < 2?-1v 1'1	+ ~ /(x0>).
Поскольку Xo = (y + x /2, to /(x0) < [/(у) +/(x)]/2. Значит,
f (xo) - f (x) < f (y) - f (xc) < 2/" 1v U) (/(хо + Л/) - /(x0>).	(4)
Положим C = max/el:2я (/(x0 + hi) — /(x0)). Из (3) и (4) следует не*
равенство
162
I/U) - /(x0) | < и [/],
гарантирующее непрерывность функции f в точке Хр.
5.2.	Точка Zq*={xq> уо), где !/o=f(xo), не принадлежит выпуклому мно-
жеству V2={z={x, y)\x^Q, y>f(x)}. По теореме 4.1 найдется ненулевой
вектор а—{и, у), отделяющий {z0} от V2:
<и, х—х0> + у (у—Уо) >0
при всех xeQ и y>fM. Нетрудно проверить, что у>0 и что вектор
с=—и/у принадлежит df(x0). Тем самым установлена нёпустога Вы-
пуклость и замкнутость суб дифференциал а следуют из его определения»
а ограниченность — из непрерывности выпуклой функции f на Q.
5.3.	Возьмем x^Q. При малом />0 точка Xi=Xo+ /(х—х0) принадлежит
С/(х0), поэтому
f(xi)—f(x0)^<cf Xi—х0>.
В силу выпуклости функции f на Q
f(xl)<f(xo)+t[f(x)-f(x.)].
Значит,
f(x)~f(xo)>[f(xi)~f(xo)llt><c, Xi—Хо> !t—<c, х—х0>»
что и требовалось доказать.
5.4.	Выпуклая функция
/х, 0<х<1,
11 ~ U, х=0,
не имеет точки минимума на [0, 1J.
5.5.	По теореме 5.3 у функции Лагранжа задачи (5.8) существует седло-
вая точка. Это гарантирует разрешимость двойственной задачи и равенство
mln supg^x, ц) == max inf g?(x, u)
лек uer	иег хек
(см. упражнение 1.8.1). Поскольку
( f(x), если xf 2,
sup Ф (x, u) = {
I +oo, если x£K№,
го	min /(x) = max inf g7 (x, iz).
xes «егхек
6.1. При Ф(хо) = О справедлива формула
дФ(х0) = сопу {g= i U(0| *£(?}.
7.1. Достаточность очевидна. Проверим необходимость. Обозначим й
максимальный ранг матриц, составленных из столбцов U(t\)9 ...,
где ti — попарно различные точки из Q, и допустим вопреки утверждению,
что k<n. Выделим отличный от нуля определитель й-го порядка. Пусть эте
будет
Uj (Л) ... «1 (4)
Д =
иьЩ) uk(tk)
Зафиксируем s^>k и t£Q. Определитель			«1 (И
	«1 (Л)	И1 < tk)	
	«л'М	(tk)	Uk(t)
	(Л)	и# (tk)	Us (0
Равен нулю. Разложим его по элементам последнего столбца. Получим
II*
1 мл «/ (О - о,
причем коэффициенты 0[Г) не зависят от t. Это значит, что функция
«ь	иа линейно зависимы на Q, хотя по условию они должны быть
лннеино независимыми.
7J2. Чебышевский ранг указанной системы равен п4-1. Действительно
векторы (/(6), ..., J/(/n+i) линейно независимы за счет первых «4-1 компов
неят. Если же взять a<t^<... <tn+2<Z\t то векторы ...» U(tn^2) бу.
дут линейно зависимыми.
73. При л= 1 утверждение тривиально. Пусть п>2. Введем множество
G=cofiv {ff=U(OI [a, fej) и покажем, что О ( G. В противном случае
найдутся точки . .<tn из [а, 6] и положительные числа a[i], teO:nt
такие, что
О-
Перепишем это равенство в виде
2"=, » И и = - а [01 и (t0).
По формуле Крамера
а И« (—1) {а [0]	1 : п,	(5)
где Ль — определитель матрицы, составленной из столбцов
U(tn). Используя чебышевские свойства си*
«темы нь ...» Un на [а, 6], нетрудно проверить, что все определители
Ль ..., Ап отличны от нуля и одного знака. Но тогда (5) противоречит
положительности а И, teO: п. Значит, действительно, 0(6.
По теореме о строгой отделимости найдется вектор xoeRn, такой, что
<>^>0 при всех В частности, Р(х0, /)>0 при всех t^[a, 6].
Обобщение этого результата имеется в [54].
8.1. Неотрицательно'определенной и несимметричной является, например,
(2 з \
1 2 /
8J2. Нетрудно проверить, что матрица DX = D—неотрицательно опре-
делена и симметрична. Кроме того, <D1xbXi>=0. По следствию из лем-
мы 8.1 О1Х[=0, или Dx1 = X[X1.
83. Поскольку
1/з1|х —с||2 = 1/2<Ех, х> — <с, х> + Ч2\\с II2,
то исходную задачу можно заменить следующей:
<Ех, х> — <с, х> -> min, Ах =0.
По лемме 8.4 эта задача разрешима. Запишем для нее критерий оптималь-
ности
х — с = Аги, Лх = 0.
Умножив первое равенство слева на Л, получим ААТ и. =— Ас. По лем-
ме 1.6.2 матрица ААТ обратима. Значит, и* = —	Ас и
х* = (Е-Лг {ААТ)~' А) с.
9.1	Критерий оптимальности плана х* можно записать в виде
Dx* 4- с = и*, «*>0,
[/1 X х* [/1=0 V j ( М
9.2.	Решение этой задачи существует и единственно, поскольку множест-
ва
во планов компактно, а целевая функция строго выпукла. Запишем критерий
оптимальности
х — с = н — v, а > 0, и > О,
и l/J X (1 + х [/]) =0, v [/] Х(1 -х[/]) = 0 V/6M.
Нетрудно проверить, что план х* с компонентами
**[/]=« (с [/]),
где
«,) = (
I sign t, |/|>!,
удовлетворяет критерию оптимальности и потому является единственным ре-
шением исходной задачи.
9.3.	Задача (9.1) эквивалентна следующей задаче квадратичного про-
граммирования:
где
А>= (Л [Af, N],
/ D [У, АГ]
Do=	Af]
\ O[Aflt iV]
i/2 <DQz, zy + <c0, z> -> min,
Ло z = b, z > 0,
=	om,
- A [Af, MJ, - E[Mt All]),
- D(M M21
D [M2, M2|
0[Л1Р M2]
0[М
0[Я2,
ОЙь
М,] .
мл)
Если z*~(z*[N\, v* [M2b u* IM । J) — оптимальный план .последней задачи
то х* » (z* (Mi], z* (MJ — v* [М2|) ~ оптимальный план задачи (9Л>.
10.1. Составим матрицу И из столбцов hj—aj—с, j^N, и положим
D—HTH. Тогда исходную задачу можно переписать так:
1/2 <Dx, х> -* min,	де.
<е. х> = 1, х > О,
где е=е[ЛП — вектор, все компоненты которого равны единице. Двойствен-
ной к (6) будет следующая задача:
— 1/2 <Dvt v> + X -*> max,
— Dv + Хе < 0.
Она эквивалентна экстремальной задаче без ограничений
— l/2 <Dvt v> 4- min D [g M] X v [M] max .
«GW	V^N
11.1.	Единственность решения следует из строгой выпуклости целевой
функции f на R-v (см. упражнения 3.3. и 3.1).
11.2.	Учесть формулу
f(txx + (1 — t)xQ) - tf(Xi) - (1 — /)/(х0\ =
= — V2* (1 ~ О <D ~ *о). *1 - Хд>,
12.2.	Считаем, что с#=0. Положим a^D-1 с. Имеем
- <С, Л> = - <Da, х> '-= — <at х>D < Ц a ||D• || х ||р = || а
причем равенство в неравенстве Коши достигается только прил=® —
о»
Таким образом, единственным решением исходной задачи будет вектор
х*. — — D 1 с] <£> 1 с, с>1/4*.

12.3.	Обозначим А матрицу, составленную из строк ait а 2^
множество планов данной задачи. Если вектор с допускает представление
с = Лгп. то любой план х будет оптимальным, ибо <с, х>~<Ат и, ху^
= <и, Ах> = 0. Поэтому считаем, что Лгн=#с при всех	Возьмем
матрицу Ф = £)~1 Ат (AD~X Аг)~1. Для нее АФА — А и (ФЛ£)”!)Г = ФАй~\
Положим a=aD~1 с. При любом xfQ имеем
<с, х> ~ '£>а, х> = <Da, (Е — ФЛ) х> = (Da, (Е — ФЛ) D"1 Dx> ==
= <(Е — ФЛ) a, Dx> = <(Е — ФЛ) a, x>D > — || (£ — ФЛ) а ||р*
Поскольку (Е — ФЛ) а = D”1 с — (ФЛО-1) с == О’1 (с — АТ(ФТс)) =£ 0, то
равенство в последнем неравенстве достигается только при
х = х*. = —(Е-ФЛ)«/||(Е —ФЛ)аЦ0
Учитывая соотношение Лх* = 0, заключаем, что х* является единственным
решением исходной задачи.
12.4.	Рассмотрим вспомогательную задачу
*/s||О'* (Хс.м и И ai ~ с) lip-* min>	(7)
и[М] > 0[Л1].
Обозначим Л матрицу, составленную из строк ait Тогда (7) сводится
к задаче квадратичного программирования
1/2<ЛР-1Лги, «> — <AD~l с,
и > 0.
Эта задача разрешима, ибо целевая функция ограничена снизу величиной
— <D-1c, с>/2. Обозначим и* ее решение. Тогда (см. упражнение 9.1)
vt: = AD~l (Аг и* — с)> О,	(9)
M'l X“*lz)=0 Vi£M.
Введем ненулевой вектор zf, = D~l (A~ и* — с) и покажем, что x.s =
= z./Jz. L будет единственным решением исходной задачи. Согласно ^)
Лх* = Лг*/Й z. |о = V./Ц Z* ||о > 0.
Значит, х* — план исходной задачи. Кроме того,
<z*. Ати*> = <Az*, а*> = <«», а*> = 0.
Найдем значение целевой функции на плане л*. Для этого заметим, что
<с, z*> = — <АТ и* - с, z*> = — II z* ||р.
Значит, «г, х, > = —1| z. |
Возьмем любой план х, отличный от х*. Получим
<с, х> = <4ru* — £>z*. х> — <«*, Ах> — <z., х>о >
> - II г. Цд x>D > - II z* ||D = <с, х*>,
что м требовалось доказать. По существу, решение исходной задачи в случае
с4К сведено к решению задачи квадратичного программирования (8).
166
13.1. См. теорему 11.8.2.
13.2. Учесть, что
/(-«*. ^)==min f(x, ?„)==? y.f) < <f (y) = min/(x, у) f (x, у)
.re®!
при всех 2i, yf22-
Глава IV
2.1.	Имеем
<с, х —	+ <с, х0> 4- с
<а, х — х0> 4- <а, х0> + 3 '
Поскольку векторы а и с линейно независимы, то можно выбрать х0 так,
чтобы <с, х0> + £=0, <а, Хо> + ₽=О. Ограничения перепишем в виде
А(х—л0)>Ь—Ах0= Ьо, Сделав замену переменной z=x—х0, придем к задаче
<с, z>l<a) z> — min,
Az > bQ.
2.2.	Если а=0, то утверждение тривиально. Пусть и с=ка. Тогда
,, . _ ч<д. .*> + ?] + е-лэ _, е —
'	<л, х> 4- fl	+ <а, л> 4- р ’
Исходная задача свелась к максимизации или минимизации (в зависимости
ют знака £—ip) линейной функции <а, х> на Й.
2.3.	. Интересен лишь случай, когда пересечение P=Qf\H & непусто. В си-
лу условия II) числитель <с, х>4-| сохраняет знак на Р. Если этот знак
«4-», то согласно условию I) f(x)->4-oo при приближении плана х к Нт.
Ипфимум f достигается «вдали от Нт », так что картина получается такой
же, как и при выполнении условия (2.6). Если же <с, x>4-f<0 на Р, то
/(*)->—оо при приближении плана х к Я®, u inf /(х) = —оо
леа
Функция f не определена на Р, поэтому, строго говоря, надо принять,
что ипфимум f ищется на
3.1.	Линиями уровня функции f(x) = х[2]/х[1] являются прямые, вращаю-
щиеся вокруг начала координат. В окрестности начала координат функция f
принимает любые вещественные значения.
3.2.	При </>1 задача разрешима, а при q<\ — нет.
4.1.	Пусть функция F квазивыпукла на Q. Зададимся 1, точками х0, Xi
из 6Х и te [0, 1]. Тогда точка x(t) = tx\ + {\—t)xQ принадлежит Q и
F(x(/))cmax {F(xo), P(Xi)}<X, т. е. x(/)eGz.
Наоборот, пусть все множества 6Х выпуклые. Выберем х0, Xi из Й и
te [0, 1]. Обозначим X=max {/?(х0), F(x\)}. Множество Сх содержит точки
Xq, хь а вместе с ними и точку txx 4- (1—Z)x0. Поэтому F(tvi4-(1—/)х0)с
cmax{F(x0), F(xi)}.
4.2.	Функция
( t, если 111	1,
s t) — |
I sign t, если 111 > 1,
является квазивыпуклой, но не строго квазивыпуклой на вещественной оси.
Функция
z(0=|l при ^ = 0,
I 0 при t 0
удовлетворяет условию (4.4), но не является квазивыпуклой.
167
4.3.	Допустим, что х0^Й — точка локального минимума строго квазн»
выпуклой функции Г, и существует точка jqeQ, в которой F(xj) <F(xq}.
При te(0, 1) имеем
F(txi + (1—О*о) <max {F(x0),F(Xi)}=F(x0),
что противоречит определению х0.
У функции s из ответа к предыдущему упражнению любая точка
есть точка локального, но не глобального минимума.
5.1.	Конус Kq) состоит из пар {h, Л), удовлетворяющих условиям
<а, Л> 4- Хр = О,
Ah — Хр > О, X О,
{Л, X) 0.
Допустив, что Х>0, получим вектор x=h!\ из Й, на котором <а, х>+₽=0.
Но это противоречит (2.6). Таким образом, необходимо 1=0, откуда и сле-
дует требуемое.
5.2.	Ранг матрицы ограничений задачи (5.4) максимален, что следует
из максимальности ранга матрицы А и условий
A w —	> 0,
7 > 0.
6.1.	Запишем ограничения двойственной задачи:
« + "[П + ^[2]==0,
а 4- и [2J = 1,
и [1] >0, и [2] > 0.
Очевидно, что они несовместны. По теореме 6.1 целевая функция исходной
задачи не Ограничена снизу на множестве планов.
7.1. В силу (0 существует вектор /н^О, такой, что ЛЛ>0, Л/руМ). Рас-
смотрим экстремальную задачу
Tj (Л): — | <(?, Л> ] 4- |<я, Л> [ min,
Ah > 0,	(1)
(2,ел1» !'• лп)хл[лг] = 1.
Она эквивалентна задаче линейного программирования (см. упражнение
1.3.2). Последняя разрешима, поскольку имеет непустое множество планов н
неотрицательную целевую функцию. Значит, разрешима и задача (1). Обозна-
чим h* ее оптимальный план. Тогда условие (it) выполняется, если т](Л*)>0,
и не выполняется, если T](/i*)=0.
7.2. Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования
х [2J/x (1 ] —> min,
л[1]> 1, х [21 > 0.
Нетрудно проверить, что в данном случае условия (0—(и’0 выполнены,
Фо=О и Qi={х|х [ 1]> 1, х[2] = 0}.
8.1. Обозначим А матрицу, составленную из строк V< = (oi(f<), ...
..., tel : <7- Нужно указать критерий совместности системы линейных
однородных неравенств Ау>0. Нетрудно проверить, что эта система сов-
местна тогда и только тогда, когда 0 (f conv {Уь	(см. упражнения
1.6.2 и II1.7.3).
8.2. На отрезке [—1, 1] введем сетку
Т = {/f=—1 + (i—l)/s | tel : <7, q = 2s 4-1, s>2).
Отметим, что tj+i = O. Положим
x[tj
n(z,	f_y[2p-
168
и рассмотрим задачу (8.1) наилучшего равномерного приближения следующей
функция:
Очевидно, что условия I), II) в данном случае выполнены.
При 0<е< 1 имеем
max
1 : q s + //
шах ---------------7 < е$2.
*61:	(•*+1} s +
Отсюда следует, что ?}*: ® inf 7}(z)=0. Однако не существует допустимой
дтюби И (z, /), тождественно равной / (/) на 7.
КОММЕНТАРИИ
К главе I
Основы линейного программирования были заложены в работе Л. В. Кан-
торовича [17] и нескольких статьях Дж. Данцига конца 40-х — начала 50-х
годов. Популяризации этой науки в нашей стране способствовали моногра-
фии [9, 11, 13, 39]. Из последних книг, посвященных линейному программи-
рованию, отметим [3, 5, 8].
С теорией линейных неравенств более подробно можно ознакомиться по
сборнику [23] и монографии [36].
Матричные игры и их связь с линейным программированием обсуждают-
ся в книгах [19, 23, 26].
Классическим руководством по теории линейных чебышевских приближе-
ний является монография [31].
Наряду с алгебраическим доказательствОхМ основной леммы линейного
программирования имеется геометрическое доказательство [57].
Приведенные в данной главе доказательства теоремы 4.1 о существова-
нии решения в задаче линейного программирования и теоремы 11.1 о сущест-
вовании решения в линейней задаче чебышевского приближения предложены
В. Н. Малоземовым. Некоторым обобщениям линейной чебышевской задачи
посвящены работы [56, 66].
К г л а в е II
Первые результаты о структуре выпуклых многогранных множеств были
получены Минковским, Вейлем, Фаркашем и Моцкином. Современное состоя-
ние этого вопроса применительно к задачам оптимизации представлено в
^сборнике [23] и монографии [32].
Первый алгоритм линейного программирования разработал Л. В. Канто-
рович [17]. Несколько позже Дж. Данциг изобрел свой симплекс-метод. Мо-
нография Дж. Данцига [13] и сейчас представляет несомненный интерес.
Для дальнейшего знакомства с методами линейного программирования
рекомендуются книги [5, 34, 35] и задачник [16].
Вопрос о борьбе с зацикливанием обсуждается практически во всех ру-
ководствах по линейному программированию. Из недавних работ на эту тему
отметим [62].
Первые работы по параметрическому линейному программированию по-
явились в 50-е годы. При этом вначале рассматривались простейшие случаи,
разобранные нами в § 8 и 9 (см. также [1, 7, 11, 22]).
Современное состояние параметрического программирования отражено
в монографиях [40, 42].
Представляет интерес работа [59], в которой идея доказательства теоре-
мы 10.1 использована в гораздо более общей ситуации.
170
К главе III
Теория нелинейных экстремальных задач развивалась вместе с математи-
ческим анализом. Для гладких задач без ограничений дело сводилось к ре-
шению системы уравнений. При наличии ограничений-равенств вступал в
действие метод множителей Лагранжа. Этот метод обобщается и совершен-
ствуется до настоящего времени.
Литература по нелинейному и, в частности, выпуклому программирова-
нию обширна. Упомянем лишь недавние монографии [2, 4, 6, 15, 20, 25, 28,
29, 41], непосредственно примыкающий к данной главе сборник [38] и обзор-
ные статьи [72, 74].
Теория двойственности в математическом программировании рассматри-
вается в книгах [10, 33].
Исследования по выпуклым экстремальным задачам способствовали ста-
новлению новой дисциплины — выпуклого анализа. Ему посвящены моногра-
фии [14, 30, 32].
В связи с чебышевскими приближениями отметим статьи [52, 53].
Основы квадратичного программирования были заложены в работах [68,
70, 71] (см. также [50, 51]). Дальнейшие результаты представлены в [13, 21,
29, 43].
Более трудная задача невыпуклого квадратичного программирования
изучается в статьях [48, 67].
Специальный класс невыпуклых квадратичных задач образуют задачи
билинейного программирования. Алгоритмы решения таких задач построены
в [58, 60].
К главе IV
Первые работы по дробно-линейному программированию появились в
конце 50-х — начале 60-х годов. В них для решения исходной задачи приспо-
сабливались различные варианты симплекс-метода (см., например, [73]). Ме-
тод сведения к задаче линейного программирования был предложен в ста-
тье [64].
В работе [75] замечено, что один из вариантов симплекс-метода выдает
ту же последовательность вершин Q, что и метод сведения к линейному про-
граммированию.
Во всех этих работах авторы ограничивались разысканием точки мини-
мума при условии, что она существует. В такой постановке методы решения
приведены в книгах [4, 24, 37].
Методы решения задачи дробно-линейного программирования на неогра-
ниченном выпуклом многогранном множестве, когда минимум целевой функ-
ции может и не достигаться, с достаточной полнотой разработаны в статьях
[45, 49).
Теорема 3.1 об условиях разрешимости задачи дробно-линейного про-
граммирования доказана В. Н. Малоземовым и публикуется впервые.
Метод решения задачи дробно-рационального чебышевского приближе-
ния, описанный в § 8. называется методом дифференциальной коррекции.
Он был предложен в [65]. В [61] установлено, что при выполнении некото-
рых условий этот метод имеет квадратичную скорость сходимости.
По поводу дальнейших результатов о дробно-рациональных чебышевских
приближениях см. статьи [46, 47, 55, 63].
»	К Добавлению
Теорема существования минимума на выпуклом многогранном множест-
ве Q для ограниченного снизу полинома степени г=1 известна давно, и ее
автора указать трудно (см., в частности, [23, с. 176—180]). При г=2 и поло-
жительно определенной квадратичной части полинома f(x) она тривиальна —
171
легко проверить, что f(x) равномерно стремится к 4-оо при ||х||а это
позволяет свести дело к минимизации /(х) на компакте. Случай неотрица-
тельно определенной главной части сложнее, в чем можно убедиться по до-
казательству теоремы II 1.9.1. На сходных идеях строится доказательство
существования минимума для произвольного ограниченного снизу на Q поли-
нома второй степени. Справедливость этого факта, по-видимому, впервые бы-
ла установлена в статье [70] (см. также [69]).
Изящная теорема из Добавления опубликована в заметке [44]. Первое
утверждение этой теоремы одновременно и независимо доказал М. К. Га-
вурин.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебные пособия, монографии, сборники
1.	Абрамов А. М., Капустин В. Ф. Математическое программиро-
вание. Л., 1976. 183 с.
2.	А ок и М. Введение в методы оптимизации. М.» 1977. 343 с.
3.	Ашманов С. А. Линейное программирование. М., 1981. 304 с.
4.	Б а з а р а М., Ш е т т и К. Нелинейное программирование. Теория и
алгоритмы. М., 1982. 583 с.
5.	Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные
методы линейного программирования. М., 1977. 367 с.
6.	Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.
М., 1980. 518 с.
7.	В и л ь я м с Н. Н. Параметрическое программирование в экономике.
М„ 1976. 95 с.
8.	Габасов Р.» Кириллова Ф. М. Методы линейного программи-
рования. Ч. 3. Специальные задачи. Минск, 1980. 368 с.
Я Гасс С. Линейное программирование. Методы и приложения. М.,
1961. 303 с.
10.	Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом про-
граммировании и ее приложения. М., 1971. 351 с.
11.	Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном
программировании. М., 1966. 524 с.
12.	Д а н с к и и Дж. М. Теория максимина. М., 1970. 200 с.
13.	Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обоб-
щения. М., 1966. 600 с.
14.	Д е м ь я и о в В. Ф., Васильев. Л. В. Недифференцируемая опти-
мизация. М., 1981. 384 с.
15.	Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного
и выпуклого программирования. М., 1976. 191 с.
16.	Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программирова-
нию. М., 1969. 256 с.
17.	Канторович Л.’ В. Математические методы организации и плани-
рования производства. Л., 1939. 64 с.
18.	Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использо-
вания ресурсов. М., 1959. 344 с.
19.	Карлин С. Математические методы в теории игр, программирова-
нии и экономике. М., 1964. 838 с.
20.	К а р м а н о в В. Г. Математическое программирование. М., 1980.
21.	Кюнци Г. П., Крелле В. Нелинейное программирование. М., 1965.
303 с.
22.	Линейное и нелинейное программирование / Под ред И. Н. Ля-
шенко. Киев, 1975. 371 с.
173
23.	Линейные неравенства и смежные вопросы / Под ред. Г. Куна
и А. Таккера. М.% 1959. 470 с.
24.	Лэсдон Л. С. Оптимизация больших систем. М., 1975. 431 с.
25.	Моисеев Н. Н., И в а н и л о в Ю. П., Столярова Е. М. Методы
оптимизации. М., 1978. 351 с.
26.	Оуэн Г. Теория игр. М., 1971. 230 с.
27.	П и н с к е р А. Г., Б р ы ж и н а Э. Ф. Основы оптимального програм-
мирования. Л., 1974. 188 с.
28.	Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М., 1983. 226 с.
29.	Пшеничный Б?Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экс-
тремальных задачах. М., 1975. 319 с.
30.	П ш е н и ч н ы й Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи
М., 1980. 319 с.
31.	Ремез Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближе-
ния. Киев, 1969. 624 с.
32.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973. 469 с.
33.	Рубинштейн Г. Ш. Конечномерные модели оптимизации. Курс
лекций. Новосибирск, 1970. 228 с.
34.	Р о м а н о в с к и й И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач.
М., 1977. 352 с.
35.	X у Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М., 1974.
519 с.
36.	Черников С. Н. Линейные неравенства. М., 1968. 488 с.
37.	Чернов Ю. П., Ланге Э. Г. Задачи нелинейного программирова-
ния с удельными экономическими показателями. Методы и приложения.
Фрунзе, 1978. 290 с.
38.	Численные методы условной оптимизации / Под ред. Ф. Гилла
и У. Мюррея. М., 1977. 290 с.
39.	Ю д и н Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование.
Теория и конечные методы. М, 1963. 775 с.
40.	Bank В., G u d d a t J. е. a. Non-linear parametric optimization. Ber-
lin, 1982. 228 p.
41.	Martos B. Nonlinear programming. Theory and methods. Budapest»
1975. 279 p.
42.	N о z i ё k a F., G u d d a t J. e. a. Theorie der linearen parametrischen
Optimierung. Berlin, 1974. 312 S.
43.	Panne C. van de. Methods for linear and quadratic programming.
Amsterdam, 1975. 477 p.
Статьи
44.	Андронов В. Г., Белоусов Е. Г., Ш и р о н и н В. М. О разре-
шимости задачи полиномиального программирования. — Изв. АН СССР. Техн,
кибернетика, 1982, № 4, с. 194—197.
45.	Белых В. М., Г а в у р и н М. К'. Алгоритм минимизации дробно-ли-
нейной функции. — Вести. Ленингр. ун-та, 1980, № 19, с. 10—15.
46.	Белых В. М., М а л о з е м о в В. Н. Наилучшая дробно-рациональ-
ная аппроксимация иа системе отрезков. — Вести. Ленингр. ун-та, 1978, № 7,
с. 5—8.
47.	Белых В. М., М а л о з е м о в В. Н. О размерности множества ре-
шений задачи наилучшей дробно-рациональной аппроксимации. — Вести. Ле-
нингр. ун-та, 1979, № 1, с. 21—27.
48.	Г а в у р и н М. К. Развитие метода Тейла и Ван де Панне в выпук-
лом и невыпуклом квадратичном программировании. — В кн.: Исследование
операций и статистическое моделирование. Вып. 5. Л., 1979, с. 3—27.
49.	Г а в у р и н М. К. Дробно-линейное программирование на неограни-
ченных множествах. — Вести. Ленингр. ун-та, 1982, № 19, с. 12—16.
50.	Г а в у р и н М. К., Малоземов В. Н. Основы теории квадратич-
ного программирования. — Вести. Ленингр. ун-та, 1980, № 1, с. 9—16.
174
51.	Даугавет В. А. Модификация метода Вулфа.—Жури, вычисл^
мат. и мат. физ., 1981, т. 21, № 2, с. 504—508.
52.	Д а у г а в е т В. А., М а л о з е м о в В. Н. О характеристических мно-
жествах.— Вести. Ленингр. ун-та, 1978, № 7, с. 9—14.
53.	Д а у г а в е т В. А., М а л о з е м о в В. Н. Нелинейные задачи аппро-
ксимации. — В кн.: Современное состояние теории исследования операций.
М., 1979, с. 336—363.
54.	М а л о з е м о в В. Н. О положительных полиномах. — В кн.: Вопро-
сы теории и элементы программного обеспечения минимаксных задач. Л.,
1977, с. 100—103.
55.	М а л о з е м о в В. Н. Задача синтеза многополосного электрического
фильтра. — Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1979, т. 19, № 3, с. 601—609.
56.	М а л о з е м о в а Л. К. Совместное приближение нескольких функ-
ций при наличии ограничений. — Вести. Ленингр. ун-та, 1977, № 7, с. 52—56.
57.	М а л о з е м о в а Л. К., М а л о з е м о в В. Н. О седловой точке
функции Лагранжа. — В кн.: Исследование операций. Вып. 5. М., 1976,.
с. 23—28.
58.	М у х а м е д и е в Б. М. О решении задачи билинейного программиро-
вания и отыскания всех ситуаций равновесия в биматричных играх. — Журн.
вычисл. мат. и мат. физ., 1978, т. 18, № 2, с. 351—359.
59.	П и н с к е р А. Г., Кузьмина В. В., Б р ы ж и н а Э. Ф. Полиноми-
альная динамическая задача линейного программирования. Деп. ВИНИТИ от
2 июля 1981, № 3284—81.
60.	С оки~р янская Е. Н. Некоторые алгоритмы билинейного програм-
мирования.— Кибернетика, 1974, №4, с. 106—112.
61.	Barrod ale I., Powell M. J. D., Roberts F. D. K. The diffe-
rential correction algorithm for rational -approximation. — SIAM J. Numer.
Anal., 1972, vol. 9, N 3, p. 493—504.
62.	Bland R. G. New finite pivoting rules for the simplex method. —
Math, of Oper. Res., 1977, vol. 2, N 2, p. 103—107.
63.	В г о s о w s k i B. Uber die Eindeutigkeit der rationalen Tschebyscheff-
Approximationen. — Numer. Math., 1965, Bd. 7, H. 2, S. 176—186.
64.	C h a r n e s A., Cooper W. W. Programming with linear fractional
functionals. — Naval Res. Legist Quart., 1962, vol. 9, N 3—4, p. 181—186.
65.	Cheney E. W., Loeb H. L. Two new algorithms for rational appro-
ximation.— Numer. Math., 1961, vol. 3, N 1, p. 72—75.
66.	С 1 a s h о f f K., R о 1 e f f K. A new method for Chebyshev approxima-
tion of complex-valued functions. — Math. Comput., 1981, vol. 36, N 153,
p. 233—239.
67.	Cottle R. W., M у 1 a n d e r W. C. Ritter’s cutting plane method for
nonconvex quadratic programming. — In: Integer and nonlinear programming
/ Ed. J. Abadie. Amsterdam, 1970, p. 257—283.
68.	Dorn W. S. Duality in quadratic programming. — Quart. Appl. Math.,
1960, vol. 18, N 2, p. 155—162.
69.	Eaves В. C. On quadratic programming. — Manag. Sci., 1971, vol. 17,
N 11, p. 698—711.
70.	Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming. —
Naval Res. Legist. Quart, 1956, vol. 3, N 1—2, p. 95—110.	\
71.	Hildreth C. A quadratic programming procedure. — Naval Res. to*
gist. Quart., 1957, vol. 14, N 1, p. 79—85.
72.	Kuhn H. W. Nonlinear programming: A historical view. — In: Non-
linear programming. SIAM-AMS Proceedings. Vol. IX / Ed. R. W. Cottle
and С. E. Lemke. Providence, 1976, p. 1—26.
73.	M a г t о s B. Hyperbolic programming. — Naval Res. Legist. Quart,
1964, vol. 11, N 2—3, p. 135—156.
74.	Powell M. J. D. Optimization algorithms in 1979. — Lecture Notes
in Control and Inf. Sci., 1980, N 22, p. 83—98.
75.	Wagner H. M., Yuan J. S. C. Algorithmic equivalence in linear
fractional programming. — Manag. Sci., 1968, vol. 14, N 5, p. 301—306.
175
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
УДК 519.85(07)
Г а в у р и н М. К., Малоземов В. Н. Экстремальные задачи с ли-
нейными ограничениями: Учеб, пособие. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1984.
176 с.
Учебное пособие написано на основе курса лекций, который авторы в те-
чение многих лет читали в Ленинградском университете на математическом
отделении факультета повышения квалификации преподавателей вузов. Оно
посвящено линейному, квадратичному и дробно-линейному программирова-
нию, простейшим задачам выпуклого программирования, линейным и дробно-
рациональным чебышевским приближениям. Значительную часть книги занИ'
мает изложение материала, недостаточно представленного в учебной и даже
монографической литературе.
Пособие предназначено для слушателей ФПК, студентов и аспирантов
математических специальностей, инженерно-технических работников, интере-
сующихся теоретическими вопросами математического программирования
Библиогр. 75 назв. Ил. 15.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук И. В. Романовский (Ленингр.
ун-т), канд. физ.-мат. наук А. А. Корбут (Ин-т
соц.-эконом. проблем АН СССР)
г 1502000000-122
076(02)-84
Издательство
© Ленинградского
университета, 1984 г.
ИБ № 1959
Марк Константинович Гавурин
Василий Николаевич Малоземов
Экстремальные задачи с линейными ограничениями
Редактор Г. И. Чередниченко
Художественный редактор О. Н. Советникова
Технический редактор Е. Г. Учаева
Корректоры Е. К. Терентьева, М. В. 'Унковская
Сдано в набор 04.01.84. Подписано в печать 19.06.84. М-11109. Формат бум. 60х90’Л«.
Бумага тип. Ns 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 11.
Усл. кр.-отт. 11,19. Уч.-изд. л. 9,68. Тираж 3466 экз. Заказ № 66. Цена 30 коп.
Издательство ЛГУ имени А. А. Жданова. 199164, Ленинград, Университетская наб., 7/9.
Типография Издательства ЛГУ имени А. А. Жданова. 199164, Ленинград,
Университетская наб., 7/9.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА