ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ
ВЕТВЯЩИЕСЯ
ПРОЦЕССЫ
*
Интенсивно развивающаяся
в настоящее время теория вет-
вящихся процессов описывает
процессы размножения и пре-
вращения частиц в предполо-
жении, что частицы эволюцио-
нируют независимо друг от
друга.
В книге цется системати-
ческое изложение теории вет-
вящихся процессов. Основное
внимание уделяется марков-
ским моделям с конечным чи-
слом типов частиц и моделям
ветвящихся процессов с пре-
вращениями, зависящими от
возраста частиц. Эти модели
ветвящихся процессов имеют
многочисленные применения в
физике, химии, биологии, тех-
нике. Изложение доступно чи-
тателям, знакомым с обычным
курсом теории вероятностей.
НА СЕВАСТЬЯНОВ
ВЕТВЯЩИЕСЯ
ПРОЦЕССЫ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ
ВЕТВЯЩИЕСЯ
ПРОЦЕССЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1971
517.8
С 28
УДК 519.2
Ветвящиеся процессы. Б. А. Севастьянов. Главная ре-
дакция физико-математической литературы, изд-во «Наука», 1971.
Дается систематическое изложение интенсивно развивающейся
в течение последних 25 лет теории ветвящихся процессов, описываю-
щей процессы размножения и превращения частиц в предположе-
нии, что частицы эволюционируют независимо друг от друга. Раз-
личные модели ветвящихся процессов имеют применения в физике,
химии, биологии, технике. В книге отражены результаты, относя-
щиеся к разным моделям ветвящихся процессов.
Библ.— 76 назв.
Борис Александрович Севастьянов
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
(Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»)
М., 1971 г., 436 стр.
Редактор В. П. Чистяков
Техн, редактор Л. А. Пыжева	Корректор Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 2/VI 1971 г.	Подписано к печати 11/XI 1971 г. Бумага
84х108у82. Физ. печ. л. 13,625 Условн. печ. л. 22,89 Уч.-изд. л. 20 98
Тираж 8500 экз. Т-16853. Цена книги 1 р. 58 к. Заказ № 2608
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства-«>|аука». Москва, Шубинсрий пер., 10
2-2-3
61-71 '
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................. ?
Глава I. Марковские ветвящиеся процессы с одним типом
частиц............................................. Н
§ 1.	Определение ветвящегося процесса......... И
§ 2.	Интерпретация ветвящихся процессов...... 13
§ 3.	Производящие функции.................... 15
§ 4.	Уравнения для производящих функций...... 24
§ 5.	Теоремы существования и единственности	....	28
§ 6.	Моменты. Критичность.................... 32
§ 7.	Неоднородные во времени ветвящиеся	процессы	36
§ 8.	Частные случаи ................................ 41
Глава II. Асимптотические свойства ветвящихся про-
цессов с одним типом частиц............................ 49
§ 1.	Вероятности вырождения......................... 49
§ 2.	Асимптотика вероятности продолжения процесса	54
§ 3.	Математические ожидания функций от случайного
числа слагаемых.................................... 60
§ 4.	Предельные теоремы для докритических процессов	67
§ 5.	Предельные теоремы для критических процессов	72
§ 6.	Предельные теоремы для надкритических процессов	75
§ 7.	Условия вырождения неоднородных во времени
ветвящихся процессов............................... 83
Глава	III. Переходные явления....................... 87
§ 1.	Постановка задачи.............................. 87
§ 2.	Переходные явления в процессах с непрерывным
временем........................................... 88
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Переходные’ явления в процессах, начинающихся
с большого числа частиц.............................. 96
§ 4.	Переходные явления в процессах с дискретным
временем....................................... 103
Глава IV. Марковские ветвящиеся процессы с конечным
числом типов частиц.............................. 108
§ 1.	Многомерные производящие функции.......... 108
§ 2.	Определение процесса...................... 115
§ 3.	Уравнения для производящих функций........ 117
§ 4.	Математические ожидания................... 122
§ 5.	Несколько свойств неотрицательных матриц	.	.	124
§ 6.	Классификация типов частиц................ 133
§ 7.	Моменты. Критичность...................... 143
Глава V. Вероятности вырождения и финальные вероят-
ности ........................................... 155
§ 1.	Вероятности вырождения.................... 155
§ 2.	Финальные вероятности..................... 164
§ 3.	Метод введения финальных типов........... 168
§ 4.	Асимптотические свойства финальных	вероятно-
стей 	 173
§ 5.	Предельные теоремы для числа финальных	частиц	182
Глава VI. Предельные теоремы для ветвящихся про-
цессов с конечным числом типов частиц . .	191
§ 1.	’Предварительные замечания..................... 191
§ 2.	Докритические процессы......................... 196
§ 3.	Критические процессы........................... 210
§ 4.	Надкритические процессы........................ 215
Глава	VII. Ветвящиеся процессы с иммиграцией . . .	217
§ 1.	Описание модели................................ 217
§ 2.	Моменты........................................ 220
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 3.	Докритический процесс............................ 222
§ 4.	Критический процесс.............................. 224
§ 5.	Надкритический процесс........................... 226
Глава VIII» Ветвящиеся процессы с превращениями,
зависящими от возраста........................... 229
§ 1.	Описание моделей................................. 229
§ 2.	Достаточные условия существования и единственно-
сти решения в модели 1............................. 233
§ 3.	Вероятности вырождения........................... 236
§ 4.	Существование и единственность решения	в модели 3	239
§ 5.	Условия регулярности............................. 244
§ 6.	Моменты.......................................... 264
§ 7.	Уравнения восстановления......................... 268
§ 8.	Асимптотика первых и вторых моментов	в модели 2	282
§ 9.	Уравнения многомерного восстановления.......	295
§ 10.	Асимптотика первых и вторых моментов в моде-
ли 1 .............................................. 309
Глава IX. Предельные теоремы для ветвящихся процес-
сов, зависящих от возраста частиц ....	316
§ 1.	Асимптотическое поведение вероятности продол-
жения критического процесса........................ 316
§ 2.	Предельная теорема для критических процессов . . .	332
§ 3.	Асимптотические свойства докритических и над-
критических процессов.............................. 350
Глава X. Ветвящиеся процессы с диффузией ....	354
§ 1.	Описание модели.................................. 354
§ 2.	Уравнения для производящих функций............... 359
§ 3.	Математические ожидания.......................... 362
§ 4.	Вероятности вырождения........................... 368
§ 5.	Финальные вероятности............................ 374
Глава XI. Ветвящиеся процессы для частиц с энергией 383
§ 1.	Общее описание модели............................ 383
§ 2.	Бинарная модель.................................. 385
§ 3.	Асимптотика бинарной модели...................... 387
6	ОГЛАЁЛЁЙЙЁ
Глава XII. Общее описание ветвящихся случайных про-
цессов ........................................ 393
§ 1.	Случайные меры в измеримых пространствах . . .	393
§ 2.	Интеграл по случайной мере................. 402
§ 3.	Моменты.................................... 408
§ 4.	Функционалы и их свойства.................. 414
§ 5.	Описание модели общего ветвящегося процесса 422
§ 6.	Условия вырождения в общих ветвящихся про-
цессах с дискретным временем.................... 426
Литературные указания................................ 429
Литература........................................... 431
Предметный указатель................................. 435
Посвящаю моим дочерям
Наташе и Светлане
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1946/47 учебном году на механико-математическом
факультете Московского университета работал семинар по
теории вероятностей под руководством А. Н. Колмого-
рова. В течение года участниками семинара (А. Н. Кол-
могоровым, Н. А. Дмитриевым, А. М. Ягломом, Б. А. Се-
вастьяновым) было опубликовано несколько работ, в ко-
торых описывался и изучался новый класс марковских
процессов, служащих моделью многих реальных явлений
размножения и превращения частиц в физике, химии,
технике, биологии и т. п. Эти процессы получили название
ветвящихся процессов. В 1948 г. в США также появилось
несколько работ, посвященных ветвящимся процессам.
В частности, Р. Веллман и Т. Е. Харрис ввели новую
модель ветвящихся процессов с зависимостью от возраста
частиц.
Таким образом, возникновение теории ветвящихся
процессов надо отнести к концу сороковых годов, хотя
отдельные задачи, которые мы теперь относим к этой
теории, рассматривались в литературе и раньше (напри-
мер, в последней четверти XIX века английские стати-
стики Гальтон и Ватсон рассматривали задачу о вырож-
дении фамилии).
За прошедшие 25 лет появилась обширная литература
по ветвящимся процессам. Особенно интенсивный поток
статей по ветвящимся процессам в научных журналах
наблюдается в последнее десятилетие. Ориентироваться
в этой литературе, особенно новичку, становится затруд-
нительно.
В переведенной на русский язык в 1966 г. монографии
Т. Е. Харриса «Теория ветвящихся случайных процес-
сов» дается описание многих типов ветвящихся процес-
сов и приводятся многочисленные примеры их приложе-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
ний. Однако монография Т. Е. Харриса, отразившая
в свое время обширную литературу как теоретического, так
и прикладного характера, носит в значительной степени
обзорный характер.
В настоящей книге, имеющей мало пересечений с кни-
гой Харриса, дается систематическое изложение теории
ветвящихся процессов, вернее той классической части
теории, которая относится к марковским моделям с ко-
нечным числом типов частиц и к моделям ветвящихся
процессов с зависимостью от возраста частиц.
В последних главах дается менее детальное изложение
моделей ветвящихся процессов с диффузией частиц, вет-
вящихся процессов для частиц с энергией. В конце книги
намечен подход к описанию общего ветвящегося процесса.
В настоящее время начинается интенсивная разработка
теории общих ветвящихся процессов как марковских
процессов в достаточно общих фазовых пространствах.
Особенно здесь стоит упомянуть активную работу группы
японских математиков (Н. Икеда, М. Нагасава, С. Ва-
танабе и др.). Этот аспект теории ветвящихся процессов
в книге не затрагивается. Не включил я в книгу также
вопросы о сходимости ветвящихся процессов к диффузион-
ным процессам (работы Дж. Ламперти, П. Нея и др.) и
модели ветвящихся процессов с непрерывным множеством
состояний, введенные М. Иржиной. Все эти направления,
конечно, заслуживают отдельных монографий, которые,
несомненно, должны появиться в ближайшем будущем.
Интенсивное развитие, которое получила теория вет-
вящихся процессов в последние годы, объясняется, с
одной стороны, прикладным и наглядным характером ре-
шаемых ею задач и изучаемых моделей, и, с другой сто-
роны, возможностью применять мощный математический
аппарат производящих функций и производящих функ-
ционалов. В теории ветвящихся процессов изучаются
такие процессы размножения и превращения частиц, в
которых отдельные частицы размножаются и эволюцио-
нируют независимо друг от друга. Именно это основное
условие и позволяет успешно использовать аппарат про-
изводящих функций и построить красивую математиче-
скую теорию ветвящихся случайных процессов. Многие
прикладные задачи можно решать с помощью той или
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
иной модели ветвящихся процессов. Однако остается
большой круг интересных прикладных задач, которые
выходят за рамки моделей ветвящихся процессов. Я имею
в виду такие процессы, как, например, биологические
процессы размножения в популяциях с двумя полами,
процессы эпидемии или процессы борьбы за существова-
ние, в которых появление новых частиц обусловливается
взаимодействием нескольких существующих в данный
момент частиц. В этом случае аппарат производящих
функций становится, как правило, неприменимым. Хотя
и имеется ряд работ, в которых решаются отдельные зада-
чи для процессов с существенным взаимодействием ча-
стиц, общая математическая теория таких процессов
пока еще не построена. Поэтому часто в прикладных ра-
ботах отдельные стадии процессов с взаимодействием
частиц иногда приходится рассчитывать также с помощью
теории ветвящихся процессов. Например, начальную ста-
дию многих химических реакций, когда число «активных»
молекул или ионов малб можно с довольно хорошим при-
ближением считать ветвящимся процессом.
Значительная часть книги доступна читателям, знако-
мым с обычными курсами математического анализа и тео-
рии вероятностей. Некоторые необходимые дополнительные
сведения даются по ходу изложения либо с доказа-
тельствами (например, в гл. IV § 5, где приводятся свой-
ства неотрицательных матриц), либо без доказательств, но
со ссылками, в основном на монографии (например, в § 7
гл. VIII, где излагаются результаты, относящиеся к
уравнениям восстановления).
В тексте обычно не даются ссылки на литературу.
Литературные указания, отнюдь не претендующие на пол-
ноту, даются в конце книги. В них указаны основные ра-
боты, из которых заимствованы те или иные результаты
или способы доказательств. Даются также некоторые све-
дения о работах, где можно найти дальнейшее развитие
тех или иных разделов теории.
Обзор литературы по ветвящимся процессам до 1967 г.
можно найти в моей статье [35], изданной ВИНИТИ в се-
рии «Итоги науки».
В книге принята следующая нумерация параграфов,
формул, теорем, лемм, следствий, определений, замечаний
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
и примеров. В каждой главе имеется своя нумерация па-
раграфов, в каждом параграфе имеется своя нумерация
формул, теорем и т. п. При ссылке внутри одного пара-
графа называется только этот номер, при ссылке внутри
одной главы на формулу, теорему и т. п. другого парагра-
фа к соответствующему номеру добавляется номер па-
раграфа. При ссылке на параграф, теорему, формулу
и т. д. другой главы добавляется еще номер главы. На-
пример, § 2.3 означает § 3 гл. II; формула (3.5) означает
формулу (5) в § 3 той же главы, где дается ссылка; фор-
мула (8.3.5) означает формулу (5) в § 3 гл. VIII. Аналогич-
но на теорему 2 из § 7 гл. VIII мы будем ссылаться как на
теорему 2 в том же параграфе, как на теорему 7.2 в дру-
гом параграфе той же главы и как на теорему 8.7.2 в дру-
гой главе.
Москва, 3 июля 1970 г.
В. А. Севастьянов
ГЛАВА I
МАРКОВСКИЕ ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ
§ 1. Определение ветвящегося процесса
Мы начнем изложение с наиболее простого случая
марковских ветвящихся процессов с одним типом частиц.
В этой главе мы будем рассматривать однородный во време-
ни марковский процесс в фазовом пространстве N == {0,1,
2,...}. Переходные вероятности Рц (t), t ЕЕ Т марков-
ского процесса, как известно, удовлетворяют следующим
условиям:
Рц (0 > 0	(1)
при всех £, / GE Г (условие неотрицательности);
оо
(2)
/=о
при любом i s N9 t ЕЕ Т (условие нормированности);
оо
Рц (О = 2! P^R Prj и)	(3)
к=о
для любых i, j ЕЕ N и 0 и t, и, t ЕЕ Т (условие
марковости);
i
i
Определение 1. Марковский процесс на N
будем называть ветвящимся, если Рц (t) есть 1-кратная
PjH0)=Si,.= P’
. . (начальное условие). (4)
12 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
свертка распределения Рц (t), т. е.
=	3	(5)
Л+Л+ •••
(условие ветвления), в частности, при i = 0 условие (5)
означает
Ро,(О = Рц(О = 6о,-.
Под множеством Т будем понимать либо множество целых
неотрицательных чисел {0, 1, 2, либо [0, оо). В пер-
вом случае мы будем говорить о ветвящемся процессе с
дискретным временем, во втором — с непрерывным вре-
менем.
В случае непрерывного времени t е= [0, оо) обычно на-
лагается еще условие непрерывности
limPH(0=l.	(6)
цо
Из условий (6), (1) и (2) сразу следует, что для каждого i
равномерно по всем / =£= I
limPo(0 = 0,	(7)
цо
а из условия (3) вытекает непрерывность всех переходных
вероятностей Ptj (t) при любом t 0.
Условие ветвления (5) выделяет из рассматриваемых
марковских процессов класс ветвящихся процессов. Это
выделение частного случая оправдывается с двух точек
зрения. С одной стороны, ветвящиеся процессы описывают
достаточно широкий класс реальных явлений в физике,
химии, биологии, технике, демографии и т. п. С другой
стороны, имеется очень удобный математический аппарат
производящих функций, который позволяет глубоко
изучать ветвящиеся процессы. В теории ветвящихся про-
цессов естественным образом выделяются свои специфи-
ческие постановки задач и методы их решения.
$ 21 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ 13
§ 2. Интерпретация ветвящихся процессов
В дальнейшем мы будем придерживаться наглядной
терминологии, отражающей реальное содержание ветвя-
щихся процессов применительно к физическим и хими-
ческим явлениям. Пусть имеются некоторые однотипные
частицы. Состояние системы определяется числом частиц.
Обозначим |х (t) число частиц в момент t. Предположим,
что за время t одна частица, независимо от ее происхож-
дения и наличия других частиц, с вероятностью Pln (t)
оо
превращается в п частиц, причем 3 Ры (О = Тогда, если
п=ю
в начальный момент существует к частиц, то за время t
они превращаются в р/1) (t) + Н(9) (0 + ••• + Н(к) (О
частиц, где p(i) (t) — численность потомства i-й частицы,
все рЯ (t), i = 1, ..., fc, независимы и имеют одно и то же
распределение Pln (t) = Р (0 = п}. Таким обра-
зом, вероятность перехода Pfcn (t) от к частиц к п частицам
за время t равна fc-кратной композиции Р1п (0, т. е.
Р]сп (0 ~ Рщ (0 =	2	Рini (0 ••• Pink (0*
П1+ ...
Далее, поскольку мы предположили, что превращение
частиц не зависит от предыстории, то процесс р, (0 есть
марковский, т. е. переходные вероятности РЛп(0 удовлет-
воряют условию (1.3).
Ветвящийся процесс с дискретным временем назы-
вается иногда процессом Гальтона — Ватсона по именам
английских статистиков, которые в конце XIX века
впервые рассматривали задачу о вырождении фамилии.
Эта задача состоит в следующем. Пусть установлено, что
в некотором обществе у одного отца число сыновей (ко-
торые в дальнейшем носят его фамилию) есть случайная
<30
величина с распределениеи {Рп}, 2<Рп = 1- Предпола-
П==о
гается, что численности сыновей разных отцов независи-
мы между собой. Сыновья, ставшие в дальнейшем отцами,
с теми же вероятностями Рп имеют собственных сыновей и
14 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
т. д. Пусть имеется один предок, который составляет ну-
левое поколение. Первое поколение составляют его сы-
новья. Его внуки, т. е. сыновья его сыновей, составляют
второе поколение и т. д. Предполагаем, что в любом по-
колении вероятности не меняются. Обозначим р (0#
t — 0, 1, 2, ..., численность £-го поколения. Тогда р (0) ==
= 1, |х (1) имеет распределение Рп = Р {р (1) = п}.
Последовательность р (t) образует ветвящийся процесс
с дискретным временем. Переходные вероятности
Ркп (0 = Р {р (« + о = П | и (и) = к}
определяются равенствами (1.3), (1.4) и Р1п (1) = Рп.
Вероятность вырождения фамилии за t поколений равна
Р {р (t) — 0}, т. е. вероятности того, что в Z-м поколении
не будет ни одного носителя фамилии общего предка. Пре-
дел этой вероятности lim Р {p,f = 0), называемый в дальней-
1-+ОО
шем вероятностью вырождения, есть вероятность того, что
фамилия выродится в каком-либо поколении. Если ве-
роятность вырождения равна 1, мы будем называть про-
цесс вырождающимся, если она меньше 1,— невырож-
дающимся. Ниже (см. § 2.1) мы установим, что для того
чтобы процесс был вырождающимся, необходимо и доста-
точно, чтобы среднее число сыновей у одного отца было не
более 1 и Рх< 1.
Другим примером ветвящегося процесса может слу-
жить электронный умножитель, в котором р (t) означает
число электронов, возникающих при прохождении потока
электронов через 2-й слой. Если предположить, что каж-
дый электрон, проходящий очередной слой, порождает
независимо от других электронов и от своего происхожде-
ния случайное число электронов, то мы опять получаем
процесс Гальтона — Ватсона.
Ветвящиеся процессы с непрерывным временем мо-
гут в некоторых случаях хорошо описывать начальные
стадии химических цепных реакций. Пусть в некоторой
среде имеется небольшое число активных частиц (напри-
мер, молекул, ионов, отдельных атомов и т. п.). Предпо-
ложим, что реакция происходит при столкновении актив-
ных частиц с частицами среды. Пусть в результате каж-
дого такого столкновения с некоторой вероятностью мо-
§ 31	ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ	15
гут появиться две активные частицы или может произойти
поглощение. Поскольку в начальной стадии реакции
активных частиц мало, то мы можем пренебречь их столк-
новениями между собой. Тогда каждая из активных ча-
стиц порождает новые активные частицы независимо от
других. Поэтому такую реакцию можно достаточно хо-
рошо описывать соответствующим ветвящимся процес-
сом с непрерывным временем.
В дальнейшем в качестве иллюстрации мы будем при-
водить различные примеры возможных применений вет-
вящихся процессов. В частности, для описания цепных
химических реакций в большей степени пригодны вет-
вящиеся процессы с несколькими типами частиц, посколь-
ку в реакции обычно участвуют несколько типов молекул
или их частей.
§ 3. Производящие функции
Производящие функции представляют собой основной
аппарат исследования ветвящихся процессов. Поэтому
мы изложим здесь необходимые для дальнейшего сведе-
ния о производящих функциях.
Производящей функцией G (s) числовой последователь-
ности g0,	g2, ... называется сумма ряда
оо
б(в)=3^п»п.	(1)
п==0
В дальнейшем всегда предполагается, что ряд (1) имеет
ненулевой радиус сходимости.
Определение 1. Мы будем называть производя-
щую функцию (1) положительной, если все gn > 0, ква-
зиположителъной, если лишь конечное число gn отрица-
тельно. Положительную производящую функцию G (s)
будем называть вероятностной, если G (1) = 1.
В дальнейшем мы чаще всего будем иметь дело с ве-
роятностными производящими функциями
со
Р (8) = S РП8П,
ПавО
е
16 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I е
которые определяются вероятностями {рп} закона рас-
пределения какой-нибудь целочисленной неотрицатель-
ной случайной величины £. Иногда нам будет удобно от-
мечать связь производящей функции F (s) со случайной
величиной £, используя обозначение F^s). Нетрудно' ви-
деть, что F^ (s) можно определить как математическое
ожидание
Далее для краткости мы часто будем вероятностные про-
изводящие функции называть просто производящими
функциями. Перечислим свойства вероятностных произ-
водящих функций, которыми мы в дальнейшем все время
будем пользоваться.
1°. Производящая функция F (s) определена при всех
s из единичного круга |s|	1 комплексной плоскости,
причем при |s| < 1 она аналитична.
2°.
Р (1) = 1.	(2)
3°. Каждому распределению вероятностей {р0,
р2, ...} соответствует одна и только одна производящая
функция F (а); каждой функции F ($), аналитичной в
|s| < 1, имеющей при разложении в ряд по степеням а
неотрицательные коэффициенты и удовлетворяющей ус-
ловию 2°, соответствует одно и только одно распределение
вероятностей {р0, Pi» Ра» • ••}» причем
=	п = 0,1,2,... .	(3)
4°. F (s) и все ее производные (а), к — 1, 2,...,
неотрицательны, не убывают и выпуклы в интервале
0 s 1.
1° и 2° следуют из свойств неотрицательности
со
Рп и 2 Рп = 1; 3° следует из аналитичности F (а); 4°выте-
п=о
кает из неотрицательности членов ряда производной
/г(Ю ($) = (п — 1) ... (п — к + l)sn~kpn в 0 s 1 при
п
любом к = 0, 1, 2, ... .
о § з]	ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ	17
В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием
। ? факториальных моментов.
;	Определение 2. Математическое ожидание
+ 1) называется fc-м факториалъ-
I ным моментом или факториальным моментом fc-ro по-
' рядка.
i	Для неотрицательных целочисленных | факториаль-
ные моменты, конечные или бесконечные, всегда суще-
i ствуют. Между факториальными моментами и производ-
ными производящей функции существует простая связь.
5°. При любом натуральном к
+ =	(4)
/ в частности,
М£ = ^(1).	(5)
Пользуясь равенством Dg = Mg (£ — 1) + Mg — (Mg)2,
получаем выражение для дисперсии
Dg = FUl) + ^(l)-[^(Dl2-	(6)
Поскольку функция (з) может быть не определена при
s^> 1, ее производные в точке з = 1 мы будем понимать
вал 1 • W —	(1)
как левые производные (1) — lim ----------—т-------
•ti *	1
или, что в данном случае равнозначно, как limZ'W(s) =
8fl
= 2?(Ю(1). Для доказательства (5) и (6) надо воспользо-
ваться тем, что при з < 1
($) = 2 п (п — 1)... (и — к + 1) pnsn~* (7)
п
И
Mg (g - 1)... (g - к +1) = (n - 1)... (п - к + 1) рп.
п
(8)
По теореме Абеля при s f 1 сумма ряда в (7) стремится
к пределу (8). Равенство (4) справедливо при всех fc, од-
нако больший интерес представляет случай конечных fc-x
факториальных моментов*
18
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. 1
Следующее свойство производящих функций выделим в
виде теоремы.
6°. Теорема 1. Пусть к-й факториальный момент
£ конечен. Тогда имеет место следующее разложение произ-
водящей функции
fc-i
р (®) = S F" (1) <4^ + R* (S)	,	(9)
Г=о
причем Иц ($) при действительных 0 s 1 не убы-
вает по s,
О(s)<FW (1),	(10)
а при комплексных | s |	1
|*Н*)1</™(1)	(11)
и при S-+1 Пк ($)->fW(l).
Доказательство. Оценка (10) сразу полу-
чается из выражения остаточного члена разложения Тей-
лора (9) через значения производной (s) в промежу-
точной точке
7?H^) = ^(fe)(^0s + i-es),	(12)
где 0 0S 1. Из (12) и свойства 4° вытекает (10). Для
доказательства остальных утверждений теоремы покажем,
что функция Qr (s) = Rrr^" представима при 1 г < к
в виде
оо	п—Г+1
<?г(«)=2рп 2	(13)
п=0	<х=1
При к — 1 (13) следует из (9), так как
П=о
= 2рп(1 + « + ..- + *п-1)-
п=0
§ 3]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
19
Предположим, что мы доказали представление (13) для
г — 1, 2,	— 1. Выпишем разложение (9) для к и к— 1
и вычтем из одного другое. Получаем
Q*-i Ф	<*) (s “
ИЛИ
1) ц\
откуда, воспользовавшись (13) при г = fc-1 и -тг—т—г =
(л — 1) 1
со
“ 3 Сп_1Рп’ имеем
п=к-1
Т1—
00	3
Q* (3) = 2 Рп а=* — ,---------------,	(14)
71=0
так как
П— fc+2
Сп-1 = 3 С^.	(15)
а=1
Тождество (15) вытекает из известного равенства
/ча-1_______________________ z^a	zna
— ^n-fc+i — Ьть-к*
Далее, перепишем (14) в виде
со	n—k+2
<?*(«)= Зрп 3 ^(i+»+... + *“-’) =
n=o а=2
оо П—	TV—fc—|-*2	со	71—— fc—|—1
= 2 Рп 2	3	& =	2 р» 2	(16)
п=о а=1	Э=14-а	п=о	а=1
последнее равенство в (16) вытекает из (15). Все переста-
новки в (15) законны, так как по условию теоремы &-й
факториальный момент конечен и, следовательно, полу-
чающиеся ряды абсолютно сходятся. Равенство (16)
20 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
доказывает (13) при г — к. Отсюда уже нетрудно полу-
чить (11), если при оценке с помощью (13)
п—R4-1
I Qk (s) I 3 Рп 3	“ 3 Рт£п
п а-1	п
воспользоваться опять (15). Теорема доказана.
Следующее свойство производящих функций связано
с суммированием независимых случайных величин.
7°. Если ...,	— независимые случайные вели-
чины, то производящая функция их суммы равна произ-
ведению производящих функций слагаемых, т. е.
=	(17)
Доказательство 7° вытекает из представления произ-
водящих функций в виде математических ожиданий, так
как из независимости 5i> ..., 5П следует независимость
«Ц ..., /п, и поэтому
п	п
Л1+...+£п(«) = мЛ+-+5«= ПмА= 1Рч(4
fc=l	К=1
Следующее свойство производящих функций особенно
часто используется в ветвящихся процессах.
8°. Пусть целочисленные неотрицательные случай-
ные величины 51» Бг» •••» Бп» ••• и v независимы, и 5ь i =
= 1,2,..., имеют одно и то же распределение вероятно-
стей. Тогда производящая функция суммы £v = Si +
+ g2 + ... + £v» Бе = 0, случайного числа v слагаемых
5< связана с производящими функциями (5) и (s) сле-
дующим образом;
^(s)=^,(F51(S)).	(18)
Для доказательства (18) воспользуемся свойством 7°.
Вычислим математическое ожидание М& сначала при
условии v = п, а затем осредним по этому условию.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
21
§ 3]
Получаем
(s) = Ms^ = М (М|v)) =
оо
= S р {* =	=/чл, GO).
П==0
так как, в силу 7°, F^ (a) = F^ (s).
9°. Последнее, что мы здесь отметим — это свойство
непрерывности соответствия множества производящих
функций множеству распределений. Докажем две тео-
ремы.
Теорема 2. Пусть имеется последовательность
Рг (Л), n = 1, 2,..., распределений вероятностей (рг (п) >
оо
>0, 2 Рг(п)= !)• Для того чтобы при каждом фикси-
те
рованном г
lim рг(п) = рг,	(19)
TW-OO
достаточно, чтобы при любом s из какого-нибудь множест-
ва Е из единичного круга | s| < 1, имеющего точку накоп-
ления внутри этого круга,
limFn(s) = F(s),	(20)
П-*оо
где
оо	со
Fn (*) = 2 Рг (n) s', F (s) = 2 Pr»r»
r=o	r=o
и необходимо, чтобы (20) выполнялось в любой точке
И |<1.
Замечание 1. Так как 0 pr (п)	1, то и их
N	N
пределы 0 <: pr 1. Однако, так как 1 > 2 Рг (п)	3 Рг»
г=0	г—0
то мы, вообще говоря, можем лишь утверждать, что
22 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ ГЛ. I
оо
2 Pr 1 • Для справедливости равенства
г=о
оо
1	(21)
г=о
надо дополнительно потребовать, чтобы F (1) = 1, или,
что равносильно, чтобы равенство (20) выполнялось также
в точке s = 1.
Замечание 2. В применениях теоремы 2 за мно-
жество Е часто удобно выбирать полуинтервал [0,1), так
как в точках этого полуинтервала производящие функ-
ции Fn (s) и F (s) действительны и неотрицательны.
Доказательство теоремы 2. Пусть (19)
выполнено и пусть |s| < 1 фиксировано. Выберем N так,
g' Is lN	8
чтобы	<-о-.
1 — |* |	3
Тогда
N—1	оо
|Fn(s) - F(s)|< 3 |pr(»)-Prl + 2S
r=0	r=N
N—1
<3 I Pt (n) - Pr I + 2e/3.
r=o
N-l
Выбирая n0 так, что при n > л0 сумма 2 I Pr (и) — pr | < у,
r=o
получаем |Fn (5) — F (s) | < e при n > n0. Достаточность
докажем от противного. Предположим, что (19) не вы-
полняется. Так как 0 pr (n)	1, то тогда существуют
две подпоследовательности п' и п", переходя к пределу
по которым, получаем
iim pr(n'fc) = p’r,
пк^°°
lim p^rQ = p’r,
П, —*OO
к
причем {pr} и {pr} не совпадают. А это противоречит
§ 3]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
23
предположению (20), так как по первой части доказатель-
ства теоремы в любой точке | $ | < 1
оо
limF (в) = /?'(«) = ЗрХ,
п^-*оо	Г=о
lim Fn,(s) = F"(s)= SpX
n”-»oo к	r=0
и F’ (s) ф F" (s) в | s | < 1, но в силу (20) на множестве
Е должно соблюдаться равенство F' (s) = F" (s), а тогда,
так как F' (s) и F" (s) аналитичны в | $ | < 1, то F' (s) s
= F* (s) ъ | s| < 1, и мы приходим к противоречию. Тео-
рема доказана.
оо	оо
Теорема 3.ПустьF(s) = 2 Рп$пuG(s)=^ qnsn —
П=0	п=о
производящие функции двух распределений вероятностей
{Рп} и {qn}. Тогда
sup | рп - qn К sup | F (s) - G(s) |.
П	|8|<1
(22)
Доказательство. Пользуясь формулой Коши
получаем
n _J_ С F(s)^G(s)
Рп	Чп — 2ni	J gn+l
18|=1
ds,
|p„-?nl<^r $ |F(s)-G(s)|.|ds|,
|S|=1
откуда сразу следует (22).
Замечание 3. Как нетрудно видеть, большин-
ство перечисленных выше свойств справедливы, хотя
иногда и в несколько измененном виде, для положитель-
ных и квазиположительных производящих функций. Этим
мы будем в дальнейшем неоднократно пользоваться.
24 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
§ 4. Уравнения для производящих функций
Пусть имеется ветвящийся процесс р (t). Мы будем
предполагать, что р (0) = 1, т. е. процесс начинается в
начальный момент t = 0 с одной частицы. Введем специ-
альные обозначения для вероятностей
Рп (0 = Р {р (0 = п} = Р {р (t + т) = п | р (т) = 1}
и производящие функции для этих вероятностей
оо
SpnG)s"	(1)
n=0
Теорема 1. Производящая функция F (/; s) ветвя-
щегося процесса удовлетворяет при любых t, т > 0 основ-
ному функциональному уравнению
О 4- т; s) - F (/; F (т; 5))	(2)
и начальному условию
F (0; s) - $.	(3)
Доказательство. Начальное условие выте-
кает из нашего предположения р (0) = 1. Для вывода
уравнения (2) воспользуемся свойствами марковости
(1.3) и ветвления (1.5). Пусть в момент t число частиц рав-
но р (t). Пусть г-я частица из этих частиц (в какой-либо
нумерации) за последующий промежуток времени (Z, t 4~
4- т] независимо от других превращается в р<*> (т)
частиц. По условиям (1.3) и (1.5) случайные величины
p(i) (т), 4 = 1,2, ..., независимы и все имеют то же самое
распределение, что и р (т). Следовательно, р (t + т) =
= Р(1) (т) 4- ••• + р(и(0) (т), т. е. р (t 4- т) представима
в виде суммы р (t) независимых слагаемых, имеющих
распределение р (т). Уравнение (2) вытекает тогда из свой-
ства производящих функции 8° в § 3.
Все характеристики дискретного ветвящегося про-
цесса, т. е. процесса Гальтона — Ватсона, определяются
оо
производящей функцией F(l; s) = 2 ^п(1)$п Для Рас"
{ 4] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ	25
пределения р (1) числа потомков одной частицы за еди-
ничное время, т. е. за одно поколение. Для простоты
мы будем в дальнейшем обозначать Рп (1) = Рп и
и F (1; a) = F (а), так что
оо
^)=2V-	(4)
П=о
Полагая в (2) т = 1, получаем
F(2 + l;a) = P(2;P(a)),	(5)
или F (0; а) = a, F(l;a) = F (s), F (2; a) = F(F (a)),
F (3; a) = F(F (F (а))) и т. д.Таким образом, производящая
функция F (t; а) получается при любом целом t как
2-кратная итерация производящей функции F (а).
Для ветвящихся процессов с непрерывным временем
мы предполагаем выполненным условие (1.6), которое
в нашем случае сводится к условию
limP1(2) = l.	(6)
Теорема 2. Если выполнено условие (6), то равно-
мерно для всех | s |	1
lim F (£;$) = $.	(7)
Доказательство. Из равенства
F(t-,8)-s^s(P1(t)-i) + %Pn(t)sn
п#=1
вытекает
| F (t; a) - a | < 1 - Px (t) + 2 Pn (2) = 2 (1 - Px (2))^ 0. (8)
n^l
Теорема 3. Производящем функция F (2; а) непре-
рывна no t равномерно no | a |	1 и no t €= 10, oo).
Доказательство. Из (2) и (8) вытекает
| F (2 + т; a) - F (2; a) | = | F (r; F (2; a)) - F (2; a) | <
<2(1-Рх(т))
26 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
и
| F (t; s) — F (t — т, s) | —
= | F (т; F (t - t; s)) - F (t - r; s) |< 2 (1 - P, (t)),
поэтому левые части этих неравенств стремятся к нулю при
т -> 0.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что при
t -> 0 вероятности Рп (t) представимы в виде
Pi (0=1 + P1t + о (0,	(9)
Рп (0 = Рп* + О (0» П =М-	(10)
Плотности вероятностей перехода рп > 0 при л 1 и
рх 0. Будем всегда предполагать, что
оо
2рп = о.	(Н)
п=0
Введем производящую функцию
оо
/(«)=-(12)
71=0
Теорема 4. Если выполнены условия (9), (10) и (11),
то равномерно по | а |	1 имеет место следующее асимп-
тотическое при t | 0 выражение:
F (t; s) = s + tf (s) + о (t).	(13)
Доказательство. В неравенстве

последнее слагаемое можно сделать малым, выбирая боль-
шим N. Зафиксировав это ЛГ, мы можем сделать малыми
§ 41
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
27
первые два слагаемых, выбирая малым t. Остается оценить
третье слагаемое. Так как имеет место (И), то при t —> О
2 р* ®	~	__ 2 Р]е
k>N *	1	*
k^N
-Pi - S Pk =
= S Pfc»
k>N
поэтому и третье слагаемое можно сделать малым.
Теорема 5. Производящая функция F (t, s) вет-
вящегося процесса с непрерывным временем удовлетворяет
при | 5 |	1 обыкновенному дифференциальному урав-
нению
=	(14)
с начальным условием
F (0; 5) = 5	(15)
и линейному уравнению в частных производных
dF 4 z ч dF	/Лдч
с тем же начальным условием (15).
Доказательство. Применим основное функ-
циональное уравнение (2) и формулу (13). Пусть Д£ > 0.
Для доказательства (14) применим (13) к
F (Z + з) = F (ДО F (0 s)) =
= F (t; s) + / (F (0 s))M + о (Ы)
n
F (t; s) = F (Д0 F(t - &t; s)) =
= F (t —	s) + / (F (t —	s)) M + о (Д0,
а для доказательства (16) применим (13) к
F(t + Д/; $) = F(t, F(AZ; s)) = F(t; s + f(s)Д« + о(Д0) =
= F (Z; s) + f (s) AZ + о (AZ)
28 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДЙИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
и
F (t; s) — F(t — М; F (Д/; «)) =
= F(t-M;s + f(s)M + o(M)) =
= F(t- At; s) +	f (s) At + о (ДО.
Начальное условие (15) следует из (7).
§ 5. Теоремы существования и единственности
Из теории дифференциальных уравнений вытекает, что
решения уравнений (4.14) и (4.16) совпадают. Мы в даль-
нейшем будем исследовать только уравнение (4.14) с ус-
ловием (4.15). Уравнение (4.14) имеет при любом | $ | < 1
единственное решение F (t; $), удовлетворяющее (4.15)
и функциональному уравнению (4.2). Это вытекает из
классической теоремы существования и единственности
в теории дифференциальных уравнений. Однако нам нуж-
но еще установить, что это решение по аргументу 5 пред-
ставляет собой производящую функцию распределения
вероятностей. Для этой цели более пригодно получаемое
ниже интегральное уравнение, равносильное первона-
чальному дифференциальному.
Теорема 1. Уравнение (4.14) с начальным услови-
ем (4.15) эквивалентно нелинейному интегральному урав-
нению
t
F(t; s)= §h(F(t — u; s))dG(u) + s(l(1)
о
где
G(0=|1“e4	(2)
u
=	=_	(3)
~*8 *
Доказательство. Используя равенство (3),
запишем уравнение (4.14) в следующем виде;
^ = P1F-P1h(F).	(4)
§ 5] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Й ЕДИНСТВЕННОСТИ 29
Считая в (4) функцию pji (F) известной и решая (4) как
линейное дифференциальное уравнение, получаем (1).
С другой стороны, дифференцируя обе части (1) по по-
лучаем (4.14). Полагая в (1) £->0, получаем начальное
условие (4.15).
Замечание 1. Производящую функцию h (s) мож-
но интерпретировать как производящую функцию услов-
ного распределения вероятностей |—^|того, что частица
превращается в п частиц, п =/= 1, при условии, что какое-
нибудь превращение произошло.
Показательную функцию распределения G (t) можно
интерпретировать как функцию распределения времени
жизни частицы, считая это время жизни равным времени,
прошедшему от ее рождения до первого превращения
в 0, 2, 3, ... частиц»
Теорема 2. При любом | $ | < 1 существует ре-
шение F (t\s) уравнения (1), которое является аналитиче-
ской функцией в |s| < 1 и разлагается в ряд по степеням
s с неотрицательными коэффициентами.
Доказательство. Это решение получается
как предел F s) = lim Fn (t; s) последовательности
n-*oo
Fn $)> задаваемой рекуррентными соотношениями
t
^n+1 (t; S) = J h (Fn (t — u\ s)) dG (u) + s (1 — G (£)),
°	(5)
Fo (t; s) = 0.
Нетрудно видеть, что Fn (t; s) при любом n аналитичны
в | s| < 1, разлагаются в ряд по степеням а с неотрица-
тельными коэффициентами, и при 0 s < 1 последова-
тельность Fn (t; s) удовлетворяет условиям
0 < Fn (t; s) < Fn+1 (/; s) < 1.
Следовательно, при	существует предел F(t\ s) =
= lim Fn (t; s), который по теореме 3.2 и замечанию 3.3
n-*oo
co
разлагается в ряд F(t; s) =	(/) sn с неотрицательными
n=0
Pn (Q. Переходя в (5) к пределу по п ->• оо при 0 s < 1
30 ЁЕТВЯЩЙЕСЯ ЙРОЦЕССЫ С ОДЙИМ ФИПОМ ЧАСФИЦ [М. I
сначала справа, а потом слева, мы получаем
t
F(f, s)^h{F(t — u, s))dG(u) + s(l
0
Противоположное неравенство получается, если в (5)
перейти к пределу сначала слева, а потом справа. Отсю-
да вытекает, что F ($; $) удовлетворяет (3).
Замечание 2. Найденное решение единственно и
при s | 1 имеет, вообще говоря, предел 1. Для того
чтобы
$) = 1	(6)
8)1
(такие процессы мы будем называть регулярными) необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого е 0 интеграл
1
расходился. Однако ниже мы докажем более простую тео-
рему единственности, откладывая полное исследование
этого вопроса до § 4 гл. VIII, где оно будет проведено
в более общем случае.
Теорема 3« Если а — f (1) < сю, то имеется
единственное при | s |	1 решение F (t; s) уравнения
(1), которое удовлетворяет условиям | F (t\ s) |	1 и
F(l; 1) = 1.
Доказательство. Пусть имеется два таких
решения Fx (t; s) и F2 (t\ s), которые на отрезке [0,
отличны друг от друга. Подставляя	и F2(l\s)
в (1) и вычитая полученные равенства друг из друга,
получим
(£> S) — ^2 (^9 $) =
t
= J (Л (Л (t - u; s)) - h (F2 (t - u\ s))J dG (u).	(8)
0
Так как при	|p|s^l | h (в) — h (i>)|
A | и — в|, где A = h' (1) = 1 — a/px по условию
$ 5] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
31
конечно, то из (8) вытекает
| Л (t; a) - F2 (t; a) IС AG (t) sup | Ft (u; a) - F2 (u; a) |. (9)
0<U<t
Пусть l0 > О таково, что AG (t0) < 1. Обозначим
M (ta) = sup |	(t; s) — F2 (t; s) |.
I»I<1
Из (9) имеем M (t0)	AG (t0) М (t0), следовательно,
М (t0) = 0 и Fj (I; s) — F2(i; s) на отрезке 0 I
Пусть теперь t0 t 2<0. Докажем, что они должны
совпадать и на Uo, 2t0], Подставим Fx(t;a) и F2(t;a)
в уравнение (1) и вычтем их друг из друга.
Получаем
Л (*! S) — ^2 (*5 S) =
t
= J (h(Fx(t - щ s)) — h(F2(t - u; s)))dG(u). (10)
0
По доказанному выше все решения на отрезке [0, $0J сов-
падают, поэтому в правой части (10) при lo<Zt< 2tn верх-
ний предел интеграла можно заменить на I — iQ. Итак,
имеем
1Л(*;	$)|<
t—
< J \h(F1(t-u;s))-h(F2(l-u-,s))\dG(u)
о
и
sup I Fi (Z; s) — F2 (Г, s) I <
|e|<i
< AG (te) sup | /?! (t; s) - F2 (t; s) I,
|«|^1
откуда вытекает Fj(t;s) = F2(t;s) на [t0, 22в]. Следова-
тельно, Ft (I; s) == F2 (t; s) при всех 0 t< оо. При
s=l имеет место решение (1), тождественно равное 1,
следовательно, lim F (t; а) = 1.
32 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ (ГЛ. I
§ 6. Моменты. Критичность
Обозначим
МИО =	(t) (и (0 - 1)... (|Х (0 - к + I)
Л-й факториальный момент. Согласно свойству 5° из § 3
ЛМО-^L-
Первые три момента будем обозначать еще следующим
образом:
4(о = Мц(0, В(/) = Мр(0(р(0-1),
С(4) = Мр(9(и(О-1) (И (0 — 2).
В процессах с дискретным временем обозначим (1) =
= Мк и А = М19 В = ЛГ2, С = ЛГ3; в процессах с непре-
рывным временем будем обозначать /<*> (1) = тк и т1 =
= а, т2 = Ь, т3 = с.
Теорема!. Если в ветвящемся процессе с дискрет-
ным временем конечен момент Мк, то конечен момент
Мк (<) при любом I, Момент Mk (I) находится из рекур-
рентного соотношения, которое получается из равенства
(4.5), если продифференцировать его к раз по s в точке
5=1.
Доказательство. Дифференцируя (4.5) один
раз, получаем
Г(/ + 1; з) = Г(1;Г(з))Г(5).	(1^
Полагая в (1)5 = 1, приходим к рекуррентному соотно-
шению
А (<+!) = А (1)А.	(2)
Далее рассуждаем по индукции. Пусть для п < к
F<"> (I + 1; 5) = F<ri (/; F (5)) (Ff (5))” + Rn (t- 5),
где Rn (£; s) — многочлен от производных (J; F (s))
и FM (5) для m n — 1. Дифференцируя (3) no 5, полу-
чаем аналогичное выражение для п + 1. Полагая в
(3) 5 = 1, получаем
Мп (I + 1) = Мп (l)A* + Rn (<; 1),	(4)
где (<; 1) зависит от МИО» i < п — 1. Подставляя
$ в]
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
33
в (4) решение аналогичных уравнений для Мг(1), М2 (t), ...
Мп-! (I), решаем уравнение (4) и находим Мп (I).
В частности, первые два момента А (t) и В (t) находятся
из рекуррентных соотношений (2) и
2?(«+ 1) = В(«)Л’ + А (1)В,	(5)
откуда получаем	A(t) = А*,	(6)
в(0 =	В А* (А* — 1)	... ’ еСЛИ Bt,	если А = 1.	(7)
Формула (7) получается подстановкой в (5) В (I) =
= X (tyA2* и A (I) = А1, что дает
X (t + 1) = X (0 + В А-'-*,
откуда
у (л - в V 1 -
( ~ А* Й, А* ~	*
С помощью (6), (7) и (3.6) получаем дисперсию
О|Л(0 =1 ВА(А-^ Л'М'- *)> если	(8)
I Bt,	если А = 1.
Теорема 2. Если в ветвящемся процессе с непре-
рывным временем коэффициент тк —	(1) конечен, то
конечен факториальный момент Mk (t). Момент Mk (t)
находится из дифференциального уравнения, которое по-
лучается из уравнения (4.14), если его продифференци-
ровать к раз по з в точке s = 1.
Доказательство. Мы здесь не будем доказы-
вать, что из конечности вытекает конечность Mk ($),
поскольку в более общей обстановке этот факт будет до-
казан ниже в § 2.3 (теорема 2.3.7) и в гл. VIII (§ 5). Вместо
уравнения (4.14) обратимся к эквивалентному ему урав-
нению (5.1). Это уравнение можно дифференцировать
любое число раз по s в любой точке 0 s < 1. Если мы
продифференцируем его к раз и перейдем к пределу по
2 Б. А. Севастьянов
34 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
s f 1, то мы получаем интегральное уравнение для Мк (I),
которое, как нетрудно видеть, эквивалентно дифферен-
циальным уравнениям, получаемым из (4.14) дифферен-
цированием по s. В частности, для моментов А (0 и В(1)
имеем уравнения
4г = *Л’	(9)
-^-=аВ + Ы2,	(10)
решая которые, получаем
Л(0 = е“',	(11)
5(0=	если а^0’	(12)
I Ы, если а = 0.
С помощью (11) и (12) получаем дисперсию
оИ(0 = ((т-1)-1)’ есл“ “*“ (13)
I bt,	если , а = 0.
Полученные выражения для Мр, (I) и Du (О позволяют
подразделить ветвящиеся процессы на докритические,
критические и надкритические.
Определение 1. Ветвящийся процесс с дискрет-
ным (соответственно непрерывным) временем будем назы-
вать докритическим, если А < 1 (соответственно а < 0),
критическим, если А = 1, В 0 (соответственно а = 0,
Ъ 0), и надкритическим, если А 1 (соответственно
а>0).
Из (6) и (11) видно, что в критических процессах
Мр(/) постоянно, в докритических— экспоненциально
убывает и в надкритических — экспоненциально возра-
стает. Из (8) и (13) вытекает, что при оо асимптотика
Dp (i) в процессах с дискретным временем дается форму-
лами (здесь и в дальнейшем всегда предполагается, что
а ~ Р означает а/Р 1)
Рр(0
В + А — А2 At
А(1-А)
Bt
В -f- А — A2
А(А-1)
при
при
при
Л<1,
А = 1,
(14)
А > 1,
§ 61
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
35
а в процессах с непрерывным временем —
при
при а = О,
при а 0.
Dji(Z)
1 — —j eui
bt
— — 11 е2а'
(15)
Из (6), (11), (14), (15) получаем асимптотическое пове-
хх	Mu(t)
дение коэффициента изменчивости -р==- в разных слу-
чаях. В процессах с дискретным временем
А (4 — 1)
В + А — 42
Мр(0
/Dp(t)
при
при
при
Л<1,
А = 1,
А>1.
В процессах с непрерывным временем
Мр (0
/Dp (t)
при
при
при
а<0,
а — 0,
а^> 0.
Таким образом, коэффициент изменчивости убывает эк-
споненциально для докритических процессов, убывает как
1/у t для критических процессов и имеет конечный предел
для надкритических процессов.
Замечание 1. В определении критических про-
цессов кроме условия А = 1 и а = 0 мы еще потребовали
В 0 и Ъ > 0. Это дополнительное требование позволит
нам в дальнейшем упростить формулировки результатов,
так как случаи А = 1, В = 0 и а = 0, Ь = 0 связаны
с равенствами F (х) = х и f (х) =0 и приводят к
2*
36 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
тривиальным процессам р, (t) = 1, которые можно наз-
вать детерминированными.
Замечание 2. Понятие критических, докрити-
ческих и надкритических процессов в дальнейшем будет
распространено на более сложные модели. Как мы уви-
дим, при t -> оо в докритических процессах Мр, (/) всегда
убывает экспоненциально, в надкритических — растет
экспоненциально, а в критических — ограничено и не
стремится к нулю в одних случаях или растет степенным
образом — в других случаях.
§ 7. Неоднородные во времени ветвящиеся процессы
Большинство результатов в теории ветвящихся про-
цессов относятся к однородным во времени процессам,
поэтому в этой книге мы будем говорить в основном имен-
но о них. Однако в этом параграфе мы в краткой форме
изложим некоторые факты, относящиеся к ветвящимся
процессам с неоднородным временем.
Будем опять рассматривать систему, характеризу-
ющуюся числом частиц 0, 1, 2, ... Обозначим Prn (t19 t2).
t± t2 вероятность того, что г частиц, существующих
в момент к моменту t2 превращаются в п частиц. Эти
вероятности удовлетворяют следующим условиям:
Prn (^i> h) > 0 (условие неотрицательности),	(1)
оо
2 РГп (^i, М = 1 (условие нормированное™!.),	(2)
п*=0
оо
^з) “	^2)^fcn(^2> ^з)>	(3)
К=о
h (условие марковости),
Ргп G» 0 = вгп (начальное условие). (4)
Р тп(^Ъ М = Лп(*1, ^2) “	(5)
=	2	P^(h. ^•••Р\п (tu *а) (условие ветвления).
«14-... 4-«г=«
в частности, при г = 0 условие (5) означает
РQn (^1> ^2) = Рщ G1» ^2) = ^ОП*
J ?]	НЕОДНОРОДНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ ПРОЦЕССЫ	3?
Таким образом, все переходные вероятности Ртп (tt, i2)
определяются через вероятности Рп tt) — Pln (tlt ta).
Обозначим р (tlt t2) число частиц в момент t2, которое
получается из одной частицы, существующей в момент
tY < /2. Тогда Р {р («х, <2) = п} = Рп (tlt t2) есть рас-
пределение вероятностей р (tv <2), а
оо
(6)
П=0
— производящая функция этого распределения, которую
будем называть производящей функцией ветвящегося
процесса. Если моменты времени tx t2 принимают
только целые неотрицательные значения, то мы имеем
процесс с дискретным временем. В ветвящемся процессе
с непрерывным временем моменты t2 принимают
любые неотрицательные значения.
Теорема 1. Производящая функция F (£х, t2\ s)
при любых tr t2 t3 и | 5 |	1 удовлетворяет основ-
ному функциональному уравнению
F (^1> ^3> $) — & (^1>	& (^2»	$))	(7)
и начальному условию
F (/, t; s) = 5.	(8)
Доказательство проводится аналогично теореме 4.1.
В ветвящихся процессах, однородных во времени,
вероятности Prn (fx, t2), а следовательно, и F (t19 t2\ s)
зависят от разности t2 — tv Поэтому в однородном случае
(7) и (8) переходят в (4.2) и (4.3).
В ветвящихся процессах с дискретным временем урав-
нение (7) сводится к итерациям функций F (£, t + 1; 5):
F (t, t + л; 5) = F (t, t + n — 1; F (t + n — 1, t + n; $)) =
= F (t, t + 1; F (t + 1, t + n; 5)). (9)
Дифференцируя (9) no s в точке s = 1, мы можем полу-
чать выражения для факториальных моментов р (tlt ^).
В частности,
МН (Z, t + п) = Af+14t+2 ... Л<+п,	(10)
38 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ (ГЛ. 1
где
Л = ми(;-1,,)=	|ц1.
В ветвящемся процессе с непрерывным временем мы
предполагаем, что имеет место непрерывность
lim P^t, t -J- т) — 1, limPx (t — т, t) = 1.	(11)
tJo
Теорема2. Если выполнено условие (11), то в круге
| $ | < 1 производящая функция F (tt, f2; s) непрерывна
по каждому аргументу и t2.
Доказательство. Аналогично (4.8) получаем
оценки
I F (t,t + т; s) - s | < 2 (1 - Рх (М + т)),
|F (t - т, t; s) - s К 2 (1 - P± (t - т, «)),	(12)
откуда вытекает непрерывность Fit^, t2;s) в точках = /2-
Используя дважды (7) и оценки (12), имеем при т | О
I F 01 + т, t2- s) — F (Z1? t2; s) | =
= | F (^ + t, t2; s) — F (tlf + x; F (tx + t, t2; s)) | <
< 2 (1 - Л (tvti + t)) -> 0,
I F (/x — t, t2, s) — F (tlf t2; s) | =
— I F (fx t, fjj F (ix, t2\ s)) F (ix, t2, s) |
< 2 (1 - Л (t. - t, ZJ) -> 0,
откуда вытекает непрерывность F (tlt t2, s) по аргументу
tv Непрерывность по аргументу t2 вытекает из равенств
(т>0)
F («!, t2 + т; s) = F (tt, t2; F (t2, t2 + t; s)),	(13)
F (Jp t2; s) = F (tu <2 — t; F (t2 — r, t2; s)). (14)
Если т | 0, то в (13) надо воспользоваться тем, что
lim F(t2t t2 + t; s) = s и функция F (tlf t2; s) непрерыв-
но
на по аргументу s.
Пусть s фиксировано и пусть | s | < 1. Так как
lim F (t2 — t; t2\ s)= s, то существует такое г < 1, что при
•Цо
§ 7]	НЕОДНОРОДНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ ПРОЦЕССЫ	39
достаточно малых т одновременно выполнены неравенства
| s | г и | F (t2 — т, t2; s) | sC г. Из равенства (14) по-
лучаем
F (/х, s) — F (tv t2 — т; s) =
= F t2 — t; F (t2 t, t2\ $)) F t2 t, $)>
откуда следует при т | О
| F (^1> ^2» 5)	& (^1> ^2 ^» $) |
< 3 Лг«-. I F (I. - г,	| =	.
k=o	'	'
Далее будем полагать, что существуют плотности ве-
роятностей перехода, т. е. при т | 0 имеют место следую-
щие асимптотические формулы:
Рп (*> t + т) = рп (t) Т + О (т), n=f=i,
Рп (t — Т, t) = рп (t)r + О (т), Я =М,
Pi (t, t + т) = 1 + Pi (0 т + о (т),	(15)
Pi (t — Т, 0 = 1 + Pi (0 т + о (т),
причем
со
Зрп(0^О.	(16)
п=0
Аналогично теореме 4.4 доказывается
Т е о р е м а 3. При условиях (15) и (16) равномерно по
| s |	1 имеем при т | О
F (t, t + т; s) = s + / (t\ s) т + о (t),
(17)
F (t — t, t\ s) = s + / (t\ s) т + о (t).
Далее из (17) просто получается теорема, аналогичная
теореме 4.5.
Теорема 4. В условиях теоремы 3 производящая
функция F (^, т; s), t т, | s | < 1 ветвящегося процесса
с непрерывным временем удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению
t;S))
40 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
с начальным условием
F (т, т; s) = s	(19)
и линейному уравнению в частных производных
dF (^Т: Ж)- = / (т; s)	(20)
с начальным условием
Fit, t; s) = s.	(21)
Замечание 1. Уравнение (18), в которое входит
производная по начальному моменту времени £, назы-
вается обратным уравнением, а уравнение (20) — пря-
мым уравнением. Применяя в (7) асимптотические фор-
мулы (17), мы убеждаемся, что уравнение (18) справедливо
во всех точках | $ | ^ 1 замкнутого единичного круга.
Замечание 2. Мы не будем проводить исследова-
ние условий существования и единственности решения
уравнений в теореме 5. Заметим лишь, что уравнение (18)
с начальным условием (19) имеет единственное в | s |	1
решение F (£, т; 5), являющееся производящей функцией
распределения вероятностей, если предположить, что
а (и) =	конечно при всех 0 и < оо. Доказа-
тельство аналогично тому, которое мы приводили в теоре-
мах 5.2, 5.3, 5.4.
-	лт /,	(*» т; *) I
Факториальные моменты	Мк (I, т) =--------
0s |8=1
можно находить из дифференциальных уравнений, кото-
рые получаются, если продифференцировать к раз урав-
нение (18) в точке s = 1. В частности, математическое
ожидание A (t, т) = М р (t. т) находится из уравнения
^>=-в(0Л(1,т),	(22)
где a (t) =	| х ’ с начальным условием
А (т, т) = 1.	(23)
Решая (22), (23), получаем
т
A (t, т) = exp a (u) du}.	(24)
' t
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
41
§ 8]
Из (24) видно, что в неоднородном во времени случае ма-
тематическое ожидание A (t, т) при т -> оо может иметь
самое разнообразное поведение. Следовательно, свойства
неоднородных ветвящихся процессов, которые, кстати
сказать, исследованы довольно слабо, гораздо более
разнообразны и их нельзя описать в жесткой схеме деле-
ния всех процессов на докритические, критические и
надкритические процессы, как это делается в однородном
случае.
§ 8. Частные случаи
При изучении ветвящихся процессов мы обычно пола-
гаем, что заданы их локальные характеристики и нужно
исследовать свойства этих процессов для конечных и
больших моментов времени t. Локальными характери-
стиками являются производящие функции F (s) в процес-
сах с дискретным временем и / ($) — в процессах с не-
прерывным временем. Как мы уже знаем, производящие
функции F (t; s) получаются с помощью итераций или
дифференциальных уравнений. Как правило, в том и в
другома случае F (/; з) не представляется в виде явных
формул даже в случае достаточно простых F (s) и / (5).
Поэтому имеющиеся немногочисленные исключения из
этого правила очень интересны с различных точек зре-
ния. В этом параграфе мы приведем ряд примеров вет-
вящихся процессов, в которых имеются достаточно про-
стые явные формулы для F (t; s).
Пример 1. Пусть
(к
Поскольку итерации дробно-линейной функции также
дробно-линейны, мы имеем при любом t = 1, 2, ...
Найдем в (2) явную зависимость коэффициентов от t. Для
этого запишем (1) в более удобном виде, выражая коэф-
фициенты через более подходящие параметры. Прежде
42 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
всего заметим, что в (1) можно положить у = 1. Далее,
поскольку при | s | < 1 F ($) аналитична и при разложе-
нии (1) по степеням s коэффициенты должны быть неотри-
цательны, мы можем в общем случае записать
где 0 б < 1. Далее, уравнение F(s) = s всегда имеет
два корня: 1 и другой корень, который мы обозначим К.
Таким образом, остается два независимых коэффициента,
которые мы выразим через К и А == F' (1).
Получаем при А =/= 1
F(s)=l------------
i + Т—Td-’)
(3)
Поскольку t-я итерация имеет тот же самый корень
К = F (Z; К) и F' (t; 1) = А‘, то из (3) получаем
. (4;
1 + к___1
В случае А = 1 и К = 1 представим F (s) в виде
В
1 + -т,- (1 — $)
где В = F" (1). Поскольку F" (f; 1) = Bt (см. (6.7)),
то при А — 1
Разлагая (4) и (5) в ряд по степеням 5, получаем выраже-
ния для вероятностей
Р* (О —
1-
А* (K — i)
К —А1
при А =у= 1,
1-
при А = 1
(6)
§ 8]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
43
и при п О
Пример 2. Пусть в ветвящемся процессе с непре-
рывным временем f(s) = pQ + p^s + №• Выразим / (s)
через а = /'(1) и b = /" (1)
/(S) = a(S-l) + |(S-l)\	(8)
Уравнение
=	+	F(0-,s) = s, (9)
1
просто решается. Если положить v —	, то из (9)
получаем
tZv	, Ь /АЧ 1
- = _а»+-,	v(0) = y—-у
и при а =/=0
т. е.
р (*; *) = 1 - -ь—.	(Ю)
(!-»)+1
Если а = 0, то
. (11)
2 (1 — *) + 1
1А ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
Разлагая (10) и (11) в ряд по степеням а, получаем
е0<
1 ----------------
2 +1
а =/= 0
а= 0
(12)
и при п О
Pn(t) = <
г ъ
_______1___________27
ci=l= о,
(13)
а = 0.
Пример 3. Мы получим ветвящийся процесс
с бесконечным вторым моментом, если положим / (s) =
= a (s — 1) + % (1 — s)1+a, 0 < a < 1, X > max {a, 0}.
Уравнение
^. = a(F-l)4-X(l-F)1+a
в этом случае приводится к линейному подстановкой
— = — aav + Ха.
dt
(14)
Л(0 = <
1
v =---------------:
Решая (14), приходим к
F (t; s) = 1 - [А (1 —	+ e^at (1 —	’ (15)
если а =1= 0, и
F (Z; s) = 1 — [aXi + (1 — в)-*]"1/”,	(16)
если а = 0.
§ 8]	ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ	45
Пример 4. Пусть /($) = %($ — sfc+1), X > О, где
к — целое положительное число. Уравнение
= XF —
dt
приводим к линейному заменой р = 1/Ffe. Решая его, по-
лучаем
F (t; s) = 5	— (е™ — 1)	(17)
Пример 5. Пусть / ($) = А (1 — 5) [1 + log (1 — 5)].
Уравнение
^- = X(1-F)[log(l-F)4-1]
приводится к линейному подстановкой v = log (1 — F).
Окончательное решение имеет вид
F (£;$) = 1 — exp {er™ — 1 е~и log (1 — 5)}.	(18)
Пример 6. Пусть / (s) = А [1 — $ — (1 — $)а1, где
А > О, 0 < а < 1. Уравнение
приводится к линейному подстановкой v = (1 —- F)1-*.
Решение имеет вид
1
F (t\s) = 1 — [1 — er<i-a>w +	(1 - s)i-a]i-a. (19)
Здесь мы имеем пример процесса, в котором при t > О
1
F(f, 1) = limF (£; $) = 1 — (1 —	< 1ф (20)
•ti
В этом случае не выполняется критерий (5.7) регуляр-
ности процесса.
Пример 7. Пусть F (t\ s) есть производящая функ-
ция регулярного ветвящегося процесса с непрерывным
временем. Полагая F (s) = F (1; s) и ведя счет по момен-
там времени t = 0, 1, 2, ..., мы получаем отсюда пример
ветвящегося Процесса с дискретным временем. Если для
46 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ с ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. I
F (t\ s) имеется явная формула, то при целых t эта фор-
мула будет давать итерации функции F ($). Таким обра-
зом, из примеров 2—5 мы получаем соответствующие при-
меры для ветвящихся процессов с дискретным временем.
В частности, пример 2 в этом случае дает F (t; s), полу-
ченную в примере 1.
Пример 8. Пусть F ($) — вероятностная произво-
дящая функция и h (s) — такая функция, что G (s) —
= Л_х (F (h ($))), где (s) — функция, обратная h ($),—
также является вероятностной производящей функцией.
Тогда, если F (t, s) есть t-я итерация функции F (s), то
G (/; 5) = h_r (F (t; h ($)))	(21)
является t-я итерацией производящей функции G ($).
Если же F (£; $) есть производящая функция ветвящегося
процесса с непрерывным временем и если функция h ($)
такова, что G (Z; $), определенная формулой (21), при лю-
бом t также является вероятностной производящей функ-
цией, то имеет место функциональное уравнение
G (t + т; s) = G (t\ G (т; $))
при любых t, т > 0. Пусть, например, / (s) == p^s +
-f-PaS2 + •••> h (s) = sk, к 2 — целое, и G (t; s) есть
производящая функция. Тогда при 11 0
G (t; s) = s + t-g (s) + о (0,
где
g («) = 4- s1-*/ (sk)=4- (pi?+p^+i+№it+i+-)•
Таким образом, из примера 2 с pQ = 0 можно получить
пример 4.
Пример 9. Рассмотрим пример неоднородного во
времени ветвящегося процесса с / (/; $) = р0 (t) +
+ Pi (t)s + р2 (t) s2. Запишем / (t; s) в виде
=	+	(22)
S 8]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЙ
47
где
«(О =	|,=1 = Pi (О + 2pz (О = Р2 (О - Р0 (О,
b(t)	=
Подставляя R (t, т; s) = 1 — F (t, т; s) и (22) в диф-
ференциальное уравнение (7.18), получаем
-^- = -a(t)n + b-^-R2,	(23)
R (т, т; s) — 1 — s. Разделим (23) на — R2 и положим
w = 1/R
^=,a(t)w-b-^-.	(24)
Линейное уравнение (24) с начальным условием
ш (т, т; s) = (1 — s)-1 имеет следующее решение:
w (t, т; $) = ехр ^a(u) du|^^-^exp| ^a(v)di?|du +
t	t	u
+ (1-8Г].	(25)
Из (25) получаем
т
(1 — s) ехр | J a (u)
R (t, t; s) =------------5—------:------.	(26)
p	[ p	'I
1 + —2— \ (u) exP J	du
t	u
Полагая в (26) 5 = 0, имеем следующее выражение для
вероятности вырождения:
ехр | J a (u) du}
Р0(^т) = 1 — Я(/,т;0) = 1-----------?--;---------,
С & (и) Г С I
1 + \ • 2 ехР ] \ а (v) dv г du
t	и
(27)
48 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ОДНИМ ТИПОМ ЧАСТИЦ [ГЛ. т
Пользуясь тем, что
= Рг («) = « (w) + Ро {и)
И
1 + ^^-^exp|^a(p)dp|du =
t	и
= 14- а (и) ехр | а (у)	du
t
u
и
= exp | a (u) di
перепишем (27) в виде
PoM = l-------------
t
1______
и
(28)
du
t	t
Легко видеть, что для того чтобы при т —оо
lim P0(t, т) = 1,
необходимо и достаточно, чтобы интеграл
оо	и
J Ро (и) ехр {— J о (v) dv] du
t	t
расходился. Используя формулу (7.23) для математиче-
ского ожидания A (t, и), запишем это условие в виде
^P^du==oc.
J A (t, u)
t
(29)
ГЛАВА II
‘	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
,	ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С ОДНИМ
'	ТИПОМ ЧАСТИЦ
i	§ 1. Вероятности вырождения
Простейшим поглощающим состоянием любого ветвя-
щегося процесса р (t) является состояние р (/) = 0.
Определение 1. Если в ветвящемся процессе
1 Н (0 = 0, то мы будем говорить, что он выродился к мо-
менту t. Вероятность Ро (t) = Р {р (t) — 0} будем назы-
вать вероятностью вырождения к моменту t.
?	Определение 2. Если в ветвящемся процессе
при некотором конечном t число частиц р (t) обращается
в нуль, мы будем говорить, что процесс вырождается.
Вероятность этого события будем называть вероятностью
} вырождения.
Определение 3. Ветвящийся процесс, вероят-
ность вырождения которого равна единице, будем назы-
вать вырождающимся. Если вероятность вырождения
меньше единицы, то ветвящийся процесс будем называть
невырождающимся.
Теорема!. Вероятность вырождения q ветвя-
щегося процесса равна пределу
’	g = limP0(f).	(1)
I	f~*OO
Доказательство. Обозначим At событие, со-
стоящее в том, что р. (£) = 0, т. е. ветвящийся процесс
1 выродился к моменту t. Так как для всех т > t из р (/) = 0
вытекает р (т) = 0, то А( АТ и Р(А,)^Р(АТ).
50
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
Событие А, обозначающее вырождение ветвящегося про-
цесса, есть сумма событий Ап
А =
U А,
поэтому вероятность вырождения q = Р (Л) = lim Р (Лп) =
П—>30
= lim P{p.(Z) = 0}. Теорема доказана.
Далее нам будут полезны следующие леммы.
Лемма 1. Пусть F (s) s — вероятностная произ-
водящая функция. Если А — F' (1) <1 1, то F (s) > s
при всех 0	5 < 1. Если А = F' (1) > 1, то существует
такое s0 < 1, что F (s0) = s0, F s при О $ <$0
и F (s) < $ при $0 < 5 < !•
Доказательство. Функция <р (s) — F ($) — 5
имеет производную <р' ($) = F' ($) — 1, которая не убы-
вает по 5 в сегменте 01. Если А 1, то ф' (1) О
и, следовательно, ф' (5) < 0 при 0 s < 1; так как
Ф (1) = 0, то ф (s)	0 при 0	< 1. Если А 1, то
ф' (1) >0 иф($)<0 в точках s< 1 и близких к $ = 1.
С другой стороны, ф (0) > 0, поэтому найдется точка
О $0 < 1, для которой ф ($0) = 0- Двух таких точек
быть не может, так как ф (s) — выпуклая функция и не
может пересечь отрезок [0,1] в трех точках.
Лемма 2. Пусть / ($) ф О — производящая функция
плотностей вероятностей перехода ветвящегося процесса
с непрерывным временем. Если а = /' (1)	0, то / ($) > О
при всех 0	< 1. Если а = f (1) 0, то существует
такое 0 $0< 1, что f (s0) = 0, / (s) 0 при 0 5 < $0
и f (s) < О пРи so < 5 < !•
Доказательство. С помощью (1.5.1) введем
вероятностную производящую функцию h (s) = s — p±1f(s),
к которой применяем лемму 1. При этом надо учесть связь
А = 1 — apt1*
Л е м м а 3. Пусть F (I; s) ф s - производящая функ-
ция ветвящегося процесса, определенного при t ЕЕ Т, где Т
либо [0, оо), либо {0, 1, 2, ...}. Существует такое число
О s0 1» что пРи всех * > 0, / Е 71,
F (*; s0) = $0,	(2)
§ 11
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
51
F (Z; s) s, если 0 s < s0, и F (t\ s) <; s, если
Замечание 1. Число $0 является наименьшим не-
отрицательным корнем уравнения (2). Если s0 = 0, то
F (t, s) <Zs при всех 0 < s < 1; если s0 = 1, то F (Z; 5) > $
при всех О s < 1.
Доказательство леммы 3. Исключим из
рассмотрения сразу тривиальный случай F (t; s) = 1.
При каждом t 0, t ЕЕ Т разобьем множество 0^
s < 1 на сумму трех непересекающихся подмножеств
30 (О»	(t) и S2 (Z), некоторые из которых могут оказаться
пустыми. Мы положим s Е (Z), если F (t\ s) = 5,
«Е (t), если/* (t; s) s, и s GE S2 (Z), если F (Z; s) < s.
Покажем, что при любом т > 0 из s ЕЕ Sk (t) вытекает
F (т; s) е Sk (t). В самом деле, пусть, например з ЕЕ Зх (Z).
Тогда
F (t; F (т; s)) = F (t + т; 5) = F (т; F (Z; з)) > F (т; з),
и F (т; з) также принадлежит Si (Z). Аналогично рас-
сматриваются 30(Z) и S2 (Z). Далее устанавливаем, что
при любом натуральном п
Sk (Z) о Sk (nt), к = 0, 1, 2.	(3)
Докажем это по индукции. Предположим опять к — 1,
остальные случаи аналогичны. Пусть з ЕЕ Зх (Z) EZ (nt).
Тогда
F ((п + 1) Z; s) = F (Z; F (nt\ $)) > F (Z; s) s,
следовательно, s СЕ 3^ ((п + 1) t). Так как (3) справед-
ливо при п = 1, то оно справедливо при любом п. По-
скольку
So W + Зг (nt) + 32 (nt) - [0, 1)	(4)
и имеют место включения (3), то
3* (Z) = Sk (nt), к = 0, 1, 2, п = 1, 2, ... (5)
Для процессов с дискретным временем таким образом
устанавливается, что все определяется функцией
F (1; s) = F (s), к которой применяем лемму 1.
Для доказательства в случае процессов с непрерывным
временем заметим, что из (5) вытекает, что
Sk(t)^Sk(t/n}, * = 0,1,2; и = 1,2,....	(6)
52
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
Согласно лемме 2 имеется такое 0 s0 1, что / (s0) = О
и / (s) > 0 для O^s<so и / (s) < О для s0<s<l.
Докажем, что при любом t (t) = [0, s0),	(t) =
= (s0, 1),	(0 = {s0} (Si (0 пусто, если $0 = 0, и 5а (<)
пусто, если s0 — 1). Пусть s < s0; тогда / (s) > 0. Возь-
мем t произвольным и п достаточно большим.
Имеем
₽(-М=*+4-/<»)+»Ш>!'	(’>
следовательно, $Е (£/л), а по (6) — и s Е (t). Ана-
логично доказывается, что ($0, 1) CZ S2 (t). Обратные
включения также легко вытекают из (7) и (6). Таким об-
разом, 5, (0 = [0, s0), S2 (0 = (s0, 1) и So (0 = Оо}-
Лемма доказана.
Замечание 2. Из доказательства леммы 3 сле-
дует, что для s < s0 (s }> $0) при всех t > 0 имеет место
неравенство F (J; s) < s0, (F (/; s) $0). Отсюда, в свою
очередь, вытекает, что при s < s0 (s^> so) функция F (t; s)
возрастает (убывает) по t.
Теорема 2. Вероятность вырождения q равна
наименьшему неотрицательному корню $0 уравнения
F(s) = з	(8)
в процессе с дискретным временем и уравнения
/(s) = 0	(9)
в процессе с непрерывным временем.
Доказательство. Как доказано в теореме 1,
вероятность вырождения q равна пределу Ро (!) при
t оо. Перейдем в уравнении
F (t + т; 0) = F (t\ F (т; 0))	(10)
к пределу по т оо. Так как Ро (t) = F (t\ 0), то из (10)
вытекает
F(t;q) = q	(11)
при любом t 0. Если F (t; 0) = 0, то q = 0, и теорема
доказана. Если F (t; 0)>0, то из замечания 2 видно, что
при любом t F (t; 0) < $0, где s0 — наименьший корень
уравнений (8) или (9), поэтому в пределе q^sQ, т. е.
q =	_
§ и
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
53
Нам еще пригодится в § 6 следующее предельное свой-
ство F (/; 5).
Теорема 3. При всех | s | < 1
limF(J; s) = д,	(12)
причем эта сходимость равномерна в | s | г для любого
фиксированного г < 1.
Доказательство. Из замечания 2 видно, что
F (t\ з) при любом 0 s < q возрастает, а при любом
q < s < 1 убывает по t. Следовательно, существует
limF(t\з) при любом действительном «ЕЙ, 1). Этот
I—>оо
предел, в силу соотношения
F (t + т; s) = F F (т; $)),
удовлетворяет уравнению (2). Если д< 1,то limF(T, s)
как корень уравнения (2), меньший 1, совпадает с q.
Если q = 1, то из F (Z; 0) F з) 1 и F (t; 0) -> 1
также следует (12).
Таким образом, при 0 s < 1
lim [F (Г, 5) — F(t-> 0)] = 0.
(13)
Если |s| < 1, то
|F (t- s) - F (*; 0) К F (V, | 5 I) - F (Z; 0)	0
при *->oo. Равномерность сходимости вытекает из
F (t; O)^F(Z; s) ^ZF (t; г) для всех	и F(t; 0) f q
и F (t\ r) | q при r > q.
Теорема 4. Для того чтобы ветвящийся процесс
был вырождающимся, необходимо и достаточно, чтобы он
был докритическим или критическим.
Доказательство. Если процесс вырождаю-
щийся, то уравнение (8) или (9) имеет единственный ко-
рень в [0, 11 q = 1, а тогда по леммам 1 и 2 А 1 или, со-
ответственно, а 0. Наоборот, если А 1 или а 0,
то по тем же леммам в отрезке [0,1 ] имеется единственный
корень 1 уравнений (8) и (9), следовательно, по теорёме 2,
вероятность вырождения q = 1.
54
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
§ 2. Асимптотика вероятности продолжения процесса
Как мы установили в § 1, в критических и д©критиче-
ских ветвящихся процессах при t -> оо вероятность
Ро (0 -*• 1- Следовательно, вероятность Q (t) = 1 —
— Ро (t) = Р {р, (0 > 0} продолжения процесса при
t -> оо стремится к нулю. Вероятность Q (t), как правило,
в явном виде найти нельзя, однако главный член Q (!) при
t —оо имеет довольно простой вид.
Теорема 1. Пусть имеется докритический вет-
вящийся процесс с непрерывным временем с производящей
функцией / (а). Для того чтобы при Z -> оо имела место
асимптотическая формула
Q (t) = Keat (1 + о (1)),	(1)
необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл
С аи -J- / (1 — и)
j и/ (1 — и)
о
du.
Интеграл (2) равен — 1п К.
Доказательство. Полагая в уравнении (1.4.14)
s = 0 и заменяя F (t; 0) на 1 — Q (£)> имеем
_/(!_(? (Z)), (2(0) = 1.	(3)
Уравнение (3) решается квадратурой, задающей Q (!) в
неявной форме
Равенство (4) нетрудно преобразовать к виду
"“J,!1!;,"1
Q(0
из которого очевидным образом следует заключение тео
ремы.
§ 2] АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ	55
Для того чтобы доказать аналогичный результат для
процессов с дискретным временем, установим следующую
лемму.
оо
Л е м м а 1. Пусть А(з) = 2 ansn — вероятностная про-
71=0
изводящая функция и пусть б — число из (0,1). Ряд
оо
2 [1-4(1-в«)]	(5)
71=0
сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
со
3 On 1П П.	(6)
п=1
Доказательство. Так как 1 — Л (1 — бп) >
> 1 - А (1 - бп+1), то
оо	оо
0< 2 I1 — А С1 —6")] — j [1 - Л (1 — e-“)| dx с
71=1	1
<1 _ Л(1 -б),
где б = в'а. Таким образом, ряд (5) сходится и расхо-
дится одновременно с интегралом
оо	1
Cll_4(l_r«)](fe = lC	(7)
1	1—е—а
где произведена подстановка у = 1 — е~Лх. Функция
оо
1 ~~~ -^4 Ст/)
—.	- является производящей функцией хвостов >, ак
у	к=п-ы
распределения {аЛ}. Интегрируя справа в (7) эту произ-
водящую функцию почленно, мы заключаем, что интеграл
оо	оо
(7) и ряд 2	2 ак сходятся или расходятся одно-
n=0	' fc=m+l
временно. Последний ряд преобразуется в ряд вида
71=1 fc=0
56
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. И
который сходится и расходится одновременно с (6), так
как
п
к='о
Лемма доказана.
Следствие 1. Из леммы 1 вытекает, что ряд (5)
сходится сразу при всех 0 < S < 1 или не сходится ни
при одном 0 < S < 1.
Теорема 2. Пусть имеется докритический вет-
вящийся процесс с дискретным временем. Для того чтобы
при £ оо имела место асимптотическая формула
Q (t) = КА1 (1 + о (1)), 0 < К < оо, (8)
необходимо и достаточно, чтобы было конечно математи-
ческое ожидание
Мр, (1) in р, (1) <; оо.	(9)
Доказательство. Полагая в (1.4.5) s = 0 и
заменяя 1 — F (t; 0) на Q (t), получаем
Q (t + 1) = 1 - F (F (t; 0)).	(10)
Вводя вероятностную производящую функцию B(s) =
= Дг7т—и обозначая Kt = -, мы можем записать
Л(1—s)	а1
(10) в виде
Kt+1 = В (F (t; 0)) Kt,
откуда получаем
t-i
К'~ЦВ(Р(п;0))
n=0
и
оо
К = lim Kt = П В (F (п; 0)).	(И)
п=0
Бесконечное произведение в (11) сходится тогда и только
тогда, когда сходится ряд
2[1-5(/?(п;0))].	(12)
п
f 2] АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ	57
По теореме о среднем при 0 s 1
1 - F (2; з) = 1 - F (F (s)) = F' (9 (s)) [1 - F (з)], (13)
где F(0) < F (з)< 9 (з) < 1. Так как 0 < р = Г (F(0)) <
«С Г (9 (з)) <4, то из (13) получаем
р (1 - F (з))< 1 - F (2; s)< А (1 - F (з)). (14)
Заменяя в (14) з на F(s) и действуя аналогично несколько
раз, получаем
pi-i(1 _р(s))< 1 -F(Z; з)<	(1 — F(з)).	(15)
Из (15) получаем, что
В (1 — К1Ап~1') ^B(F (п; 0)) < (1 - Опч),
где = 1 — F (0). Поэтому ряд (12) сходится одновре-
менно с рядом У [1 — В (1 — б”)] при некотором 0 <
п
< б < 1 (см. следствие 1). Применяя лемму 1, устанав-
ливаем, что для сходимости (12) необходима и достаточна
сходимость ряда
г fc=r+l
(16)
так как В ($) — производящая функция распределения
оо
вероятностей 3 Сходимость (16), как нетруд-
К=г-Н
но видеть, эквивалентна условию (9). Теорема доказана.
Замечание 1. С помощью теоремы 2 можно ут-
верждать, что асимптотическая формула (1) справедлива
тогда и только тогда, когда при любом t > 0 конечно ма-
тематическое ожидание Мр (0 In р (t). Кроме того, усло-
вие (2) равносильно сходимости ряда
оо
(17)
п=1
В самом деле, согласно доказательству теоремы 1,3.1 и
58
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
замечанию 1.3.3 / (s) представимо в виде
/(S) = a(s-1) + ±W(S_ 1)2,
(18)
где
5(s) = 2 2(1 + (1+s) + (1 + S4-s2) + ...+
+ (! + «+... + s"^))p„.
Сходимость интеграла, (2) равносильна сходимости ин-
теграла
J 5(s)ds — 2 2 [1 + (1 + “2~) + fl + “2“ + -%-} + • • • +
О	n=2 L	'	'
+ (4 + 4" + • • • + т=т)] Рп'
т. е. равносильна сходимости ряда (17).
В критических процессах поведение Q (t) носит совсем
иной характер.
Теорема 3. В критическом ветвящемся процес-
се с непрерывным временем и конечным b = /" (1) при
t —> оо
Q (!) = -2.(1 +0(1)).
(19)
Доказательство. В уравнении (3) разложим
правую часть по формуле (18)
d<?(t) = _ fr(l-QW) ла
di	2 v
(20)
Так как b (1 - Q (0) = f (в (0), где 1 - Q (t) < 9 (t) <
< 1 и Q (0	0, то 5 (1 — Q (0) = b + <р (0, ср (t) -+ 0.
Перепишем (20) в виде
4_(b + (p(Z)) Q4t),
и?	л
§ 21 АСИМПТОТИКА ёерояТйости продолжения '59
Отсюда следует:
<2(0--------г2------“4 +’(-г)-
bt -{-* J* <р (u) du -{-* 2
о
Теорема 4. В критическом ветвящемся процессе
с дискретным временем и с конечным В = F" (1) при
= (21>
Доказательство. В уравнении (10) разложим
F(s) по формуле
F (a) = 1 + A (s - 1) + (s - I)4 = s + (s - 1)«
и получим
Q (t +-1) = Q (t) -	Q2 (/).	(22)
Так как Q (t) — О, то В (1 — Q (t)) = В + ф (/), где
Ф (t) —0, и (22) запишется в виде
^(i + i) = <2(0-^^^(0,	(23)
откуда при t -> оо
Q^+1L = 1_^+±(O <2(0-1.	(24)
Равенство (23) перепишем в виде
Q (t + 1) = Q(t) -	(0 Q (t + 1) + ф(0,	(25)
где
(0 = _	(0 - 4<2 (01<2 (0 - Q (t + 1)1.
или, используя еще раз (23),
Ф(0 = -	(0 - 4 •	<23	<26>
60	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 11
Из (26) и (24) следует, что lira (-ф (f)/Q(t) Q (t -|- 1)] = 0,
/-*<50
поэтому из (25) вытекает
Q(tH-l)' = “Q(tj" + ~ + X (0»	(27)
где % (0 -> 0, t -> оо. Из (27) следует
+ "2“ + 2 X (w)
x '	n=0
И (21).
§ 3. Математические ожидания функций
от случайного числа слагаемых
В теореме 2.2 в качестве критерия доказываемого свой-
ства фигурирует условие Мр (1) In р (1) < оо. Условия
вида Mg (р (1)) <; оо, где функция g (х) имеет вид
яа1пя, неоднократно возникают при исследовании асим-
птотических свойств ветвящихся процессов. В этом пара-
графе мы изучим вопрос о том, в каких случаях из усло-
вия Mg (р (1)) < оо следует Mg (р (£)) <; оо, где р (t) —
число частиц в £-м поколении. Аналогичная задача в
процессах с непрерывным временем состоит в том, чтобы
выяснить, в каких случаях из условия (п)Рп < 00 вы-
текает Mg (р (t)) < оо при любых t 0.
Мы исследуем сначала более общую задачу, состоящую
в следующем. Пусть £2,... — независимые, неотри-
цательные и одинаково распределенные случайные вели-
чины и пусть v — независимая от них целочисленная
неотрицательная случайная величина.
Обозначим = 0, gn = £i+ ••• + л > 1- Далее
будем изучать сумму случайного числа v случайных
величин В/. Ниже все рассматриваемые функцйи, опреде-
ленные на действительной прямой, предполагаются изме-
римыми. Мы не будем каждый раз этого оговаривать.
Определение 1. Мы будем говорить, что функ-
ция g (я), определенная на [0, оо), удовлетворяет условию
Л (или принадлежит множеству Л, g ЕЕ Л), если из
существования и конечности математических ожиданий
§ 3]	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ФУНКЦИЙ	61
Mg (gf) и Mg (v) вытекает существование и конечность
математического ожидания Mg (£v).
Из свойств производящих функций 5° и 8° в § 1.3
следует, что Муг оо и М£[ оо при целом г 0 влечет
за собой M£v<oo, причем величина М£у является функ-
цией величин Mv*\ Mg*1 для целых rlt 0<^гг^г, на-
пример, M£v = Mv-M|b Mg* = Mv -Dli + (М£|)2 -Mv2 и т. д.
Поэтому степенные функции хг ЕЕ Л для всех г = 1,2,....
Очевидно, ограниченные функции g(x) также удовлетво-
ряют условию Л. Ниже мы установим достаточно широ-
кие условия принадлежности g к Л.
Определение 2. Мы будем говорить, что функ-
ция g (х) определенная на [0, оо), удовлетворяет условию
S3 (или принадлежит множеству g ЕЕ S3), если g (х)
неотрицательна и найдется такое С 0, что для любых
ж, у>0
g (ху) < Cg (х) g (у).	(1)
Определение 3. Мы будем говорить, что функ-
ция g (х), определенная на [0, оо], удовлетворяет усло-
вию % (или принадлежит множеству % gEE^o), если она
неотрицательна, не убывает и выпукла.
Имеет место
Теорема 1. Если ge33fi$, то g е Л.
Доказательство. Покажем, что в условиях
теоремы из (1) вытекает неравенство
Mg^XCMg^Mg^).	(2)
В силу выпуклости g (х) и (1)
g + • • • + k) = g P1V + 'V'+—) C v S g (k v) <
i=»l
i=l
Беря от левой и правой частей условное математическое
ожидание при условии v = п, получаем
MU(k)|v = n}<Cg(n)Mg&).	(3)
62
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
Осредняя (3) по распределению случайной величины v,
приходим к неравенству (2). Теорема доказана.
Покажем теперь, что эта теорема довольно точно вы-
деляет класс функций, удовлетворяющих условию Л.
Теорема2. Если g (х) не убывает и удовлетворяет
условию S, то g (х) .= О (хп) при х оо для некоторого
п > 0.
Доказательство. Из (1) вытекает, чТо g (1)
и
g(2r)<±Cr[g(2)]r = ^.2rlos;’Cg(2).
Так как Cg (2) > Cg (1) > 1, то log Cg (2) > 0.
Пусть п > log2Cg (2) и 2Г“1 < х 2Г. Тогда
g < g (2r) < Cg (2).g (2-i)(2).2(-»"<g(2) x\
Теорема доказана.
Итак, g (x) в теореме 1 растет не быстрее степенной
функции. Построим два примера, которые показывают, что
такое ограничение на рост функции, а также условие
выпуклости существенны в теореме 1.
Пример 1. Положим g (х) = х\ 0 < % < 1. Функ-
ция g (х) вогнута. Пусть е > 0 таково, что % (А + в)2.
Пусть случайные величины имеют характеристическую
„	-11	4i)
функцию е	устойчивого распределения с па-
раметрами а = 1 + в и Р = 1.
Пусть случайная величина v такова, что Mvx<oo и
Mvx+e — оо. Известно, что момент конечен, а =
=	+ ... + In имеет такое же распределение, как и
случайная величина	Поэтому при фиксирован-
ном v g = Ci имеет то же самое распределение, что
и случайная величина vx^x+s) • Ci- Переходя к услов-
ным математическим ожиданиям, получаем
М {£х | v = »} = «х/(х+е) • М&х > их+'М^.
Осредняя по V, имеем М£х Mvx+eM^-
Пример 2. Пусть случайные величины и v име-
ют целочисленные геометрические распределения с
$ 3]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ФУНКЦИЙ
63
производящей функцией
F(s) = Fv(3) = ^j(3) = T4F.
Тогда £» = £1 + ... +lv (см. (1.3.18)) будет иметь цело-
численное распределение с производящей функцией
Пусть g (х) =	(1 — pq)^ . Показательная функция g (х)
не удовлетворяет условию S3. Легко видеть, что g (х) не
удовлетворяет и условию Л, так как
Mg (V) = Mg (&) =	(| (1 - pq)) = 1,
'г7	г
Mg (Cv) = FKv (у (1 — pq) = оо.
Теорема 3. Если g±EE Л и при всех х ЕЕ [0, оо)
О < CiSi (ж) <£(*)<	U),	'	(4)
то g ЕЕ Л.
Доказательство. Если Mg (gf) <; оо, Mg (v) <
< оо, то, в силу (4) Mgx (g*) < оо и Mgx (v) < оо. Так
как gx ЕЕ Л, то отсюда вытаекает Mgx (gv) <; оо, а тогда
из (4) следует Mg(fv) <оо, т. е. gE Л.
Определение 4. Мы будем говорить, что функ-
ция g (я), определенная на [ж0, оо), удовлетворяет усло-
вию <@Хо (или принадлежит множеству %с0, gEE^xJ»
если она при х > х0 неотрицательна, не убывает и вы-
пукла.
Определение 5. Мы будем говорить, что функ-
ция g (я), определенная на [#0, оо), удовлетворяет условию
ffix* (или принадлежит множеству g ЕЕ Мс0), если
существует такое С, что для любых х > х0, у > х0 вы-
полняется неравенство (1).
Теорема 4. Пусть функция g (х), определенная на
[О, оо), неотрицательна и ограничена на любом конечном
интервале. Если существует такое х0 > 0, что g Е:
е П ^х0, то g ЕЕ Л.
Доказательство. Случай ограниченных g (х)
тривиален. Предположим, что g (х) -> оо. Точку х0 можно
64
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ [ГЛ. II
выбрать так, что g (а:0) >0, g (аг) > g (ж0) для всех х
> ж0 и g (х) g (z0) для всех х х0. Функция

£(*о).
£(*)>
если х^х$,
если x^xQ,
как нетрудно видеть, удовлетворяет условиям теоремы 1,
значит, gr (х) е= Кроме того, при всех х > 0
gi (®) < g (ж) + g (а?0) < 2#1 (®),
поэтому, в силу теоремы 3, g (х) + g Uo) €= Л, следова-
тельно, g (х) е Jb.
Л е м м а 1. Пусть g^ g2 G 53. Если g = gr + g2, или
g =	или g (x) = gi (g2 (x)), или 0 <	(x) <
g U)	G#i U)> где Cr и C2 — константы, mo g ЕЕ Зй.
Доказательство, очевидно, следует из определения
свойства 53.
Л е м м а 2. функция <р (х) = 1 + log (1 + х) удовлет-
воряет свойству SS.
Доказательство. Так как
Ф Uy) = 1 + log (1 + ху) <
< 1 + log (1 + х) (1 + у)< ф (х) ф (у),
то фЕ®.
Обозначим <р* (х) = (Pas—j (ф U)), Ф1 U) = ф U) и
log(ft) х = log(fc-D (logx), log(1) (x) = log x. Функции ср* (x)
определены на [0, оо), а функции log(fc) x определены при
x Хк, где xjJ — некоторые положительные числа. Из
лемм 1 и 2 вытекает, что все фл (х) е 3&-
Л е м м а 3. При любом к = 1,2, ... существует такое
xk 0, что log(fc) х е
Доказательство. Заметим прежде всего, что
при любом а > 0 имеет место неравенство
у Ф UX 1°§ ах	(5)
для всех х > хх, где хг — некоторое положительное число
(зависящее от а). В самом деле, в силу определения функ-
ции ф U) неравенство (5) равносильно неравенству
(1 + х) е х2а2, которое всегда выполнено при х >
> U) = а’2 (е +	+ 4еа*). Кроме того, при всех
§ з]	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ ФУНКЦИЙ	65

logw*<q>fc(*).
(6)
Докажем по индукции, что при любом к > 1 найдутся
такие хк > 0, что при х > хк
(7)
Неравенство (7) при к = 1 следует из (5). Предположим,
что неравенство (7) справедливо при всех к п. Пока-
жем, что тогда оно справедливо при к = п + 1. Из пред-
положения индукции и из монотонности log х вытекает
Мтфп («))<log(n+1)«.	(8)
1
Подставляя в неравенство (5) у вместо а и <рп (х) вместо х,
получаем
(9)
(1 \
у). Из (8) и (9) вытекает, что (7) спра-
ведливо при к= п + 1 и х > жп+1, где <pn (хп+1) =	•
Из неравенств (6) и (7) и леммы 1 вытекает, что log(k) х GE
Теорема 5. Пусть х я0, где х0 — некоторое по-
г
ложительное число, большее xr, g(x) = х&> JJ log^x, а
fc=i
в отрезке [0, ж0] функция g (х) ограничена. Если 0О> 1 или
Ро = Р1 = 02 ” ••• = Ре-1 = 0, Ре О, 1 з г,
то g (х) е Л.
Доказательство. Из лемм 1 и 3 следует, что
g (х) ЕЕ при некотором z > 0. Нетрудно показать, что
g (х) ЕЕ если z выбрать достаточно большим. Утвер-
ждение следует из теоремы 4.
К ветвящимся процессам доказанные выше теоремы
применяются следующим образом.
3 Б. А. Севастьянов
I
66
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
Теорема 6. Пусть р (t) есть число частиц в момент
времени t в ветвящемся процессе с дискретным временем,
р (0) = 1. Тогда, если g (x)G= <Л, то иг Mg (р (1)) < оо
вытекает Mg (р (£)) < оо при всех t — 1, 2, ... .
Доказательство. Доказательство проводится по
индукции. Пусть Mg (р (£ — 1)) < оо. Так как р (0 пред-
ставляется в виде суммы случайного числа р (t — 1) незави-
симых случайных величин р* (1), имеющих распределение,
совпадающее с р (1), то, в силу ge= Л, Mg(p(«))< оо.
Теорема 7. Пусть р (i) есть число частиц в вет-
вящемся процессе с непрерывным временем и производящей
функцией f ($). Если g(x) удовлетворяет условию теоре-
мы 1, то из
оо
S £(п)р„<°°
71=0
вытекает конечность момента Mg (р (t)) при любом t > 0.
Доказательство. Уравнение (1.4.14) равно-
сильно следующим уравнениям для вероятностей Рп (t):
оо
- Ро + рЛ (0 + S ркро (0,	(10)
09
^- = рЛ(о+ЗркЗ’р„1(0-- р"к(О. п=^о, (И)
А=2
где S' —- суммирование по + ... + nk = п, щ > 0. Ум-
ножим (10) на g (0) и (11) на g (и) и сложим левые и правые
части этих уравнений с п = 0, 1, ..., АГ,
N	N
рп (t) = Pog (0) + Pi S g (») pn (0 +
71=0
CO N
+ Sp*
k=2 n=o
N	co
Обозначая 2 g («) Pn (0 = &n (<)» F= 3 # (n) Pn и поль~
n=0	n=2
зуясь свойствами функции g (и), получаем так же, как
$ 4]	ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДОКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ	67
в теореме 1,
4tGN (t)^Pog (0) + CgGN (t),	(12)
где С > 0 — константа иэ неравенства (1). Из (12) сле-
дует, что при любом N функция Gn (t) мажорируется свер-
ху некоторой конечной функцией t, не зависящей от N.
Следовательно, момент Mg(p(t)) = lim^(i) конечен. Тео-
2V-»>oo
рема]доказана.
З’а мечание 1. Среди функций g ЕЕ Л находится,
в силу теоремы 5, функция g (х) — х log х, которая фигу-
рировала в теореме 2.2.
Замечание 2. Для ветвящихся процессов с не-
прерывным временем можно также получить утверждения,
аналогичные тем, которые вытекают из теорем 3, 4 и 5
в случае процессов с дискретным временем.
§ 4. Предельные теоремы для докритических
процессов
В § 2 мы установили, что в докритических и критиче-
ских процессах для п = 1, 2, ...
о<р„(о<^(О-о.
Докажем, что в докритических процессах существуют
пределы
lim — р*
<?(0 п’
(1)
причем предельные вероятности Pj, Р,, ... образуют рас-
оо
пределение вероятностей, 2 Рп = 1.
п=»1
Теорема 1. Пусть р (£) есть докритический вет-
вящийся процесс с непрерывным временем и производящей
функцией^ ($).
При любом п > 1 существуют пределы
limP{p(Z) = n|p(t)>O} = P;.	(2)
з*
68
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
(гл. п
Производящая функция
со
Г (а)- 3 pnsn
имеет следующий вид:
8
(3)
о
Доказательство. Производящая функция
F* (t; s) условных вероятностей Р{р ($) = п | р (t) > 0}
имеет вид
~	3 рп(0»п
г (*; S) = з Р {И (0 = » I н (0 > 0} *n = "~г Q,rt =
П=1	v'
_ F (t‘, s) — F (Г, 0) _ . __ R (t: s)	,
Q(0	<2(0 ’
rjift R (t; s) = 1 — F (t; s), Q (t) = R (t; 0). Из уравнения
(1.4.14) получаем
С du
J / (1 — w)
R («; в)
(5)
Из (5) и (2.4) имеем
du
ИЛИ
B(G8)
du
/(1-и)
du
Tw
Q(0
R (tl«)
du
/(!-«)•
(6)
1
QW
Пусть 0 s < 1. Поскольку R (t; s) ^.Q (t) -> 0, мм
можем / (1 — и) представить в виде
/ (1 — и) = — аи (1 + е (и)),
где функция в (и) непрерывна и 8 (и) -> 0 при и -> 0.
141 Теоремы для докритических процессов 69
Применяя к правой части (6) теорему о среднем, имеем
Р du _______	1	, R (t; s)
.)/(«) -а(1 + 8(0))1П <2(0 ’
о
(7)
где R(t;s)^.Qs^ Q (t). Из (7) получаем
lim
f-*oo
Д(е;»)
<?W
= exp
du 1
/(Й) J ’
откуда и вытекает (2). Заметим, что F* (1) = 1, так как
Теорема 2. Если сходится интеграл (2.2) в теореме
2.1, то предельное распределение F* ($) имеет конеч-
ное математическое ожидание F*'(l) = 1/К, где К оп-
ределяется теоремой 2.1, и условное математическое
ожидание
М{И(О|И(0>О}^	(8)
при t -+ оо.
Доказательство. Так как
м(н(о1нт>о)=РП£^ = <,
то в силу Q (t) ~ Keai получаем (8). Далее, математиче-
ское ожидание предельного распределения равно
lim F*' (s) = lim
«П	»ti
Г	( C du 1 1 1
L —аехР{а J/(«).] ’
О
(9)
так как / (s) ~ — а (1 — s) при s -> 1, то из (9) следует:
lim Г (s) - lim.хр{« j.	(10)
I
Предел справа существует и равен в силу условия (2.2).
70
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
1ГЛ. И
Докажем аналогичные теоремы для процессов с ди-
скретным временем.
Теорема 3. В докритическом ветвящемся процессе
с дискретным временем и производящей функцией F(syсуще-
ствуют пределы
ИтР{и(0 = п|и(0>0} = Рп,	2^ = 1- (Н)
Г*00	п~-1
Производящая функция
F*($) — 2 P'nsn
n=l
удовлетворяет функциональному уравнению
1 - F* (F (s)) = А (1 — F* (з)).	(12)
Доказательство. Функция В(s) =
есть вероятностная производящая функция. В силу
(4), нам надо доказать сходимость при всех 0 s < 1
функции пРи * “* 00 к пределу 1 — F* (з). Обозна-
чим X (<; з) =	и Докажем, что X (t; з) схо-
дится при t -> оо. В самом деле, из B(t + l;s) =
= R (F (Г; з)), R (з) = В (1; s), F (t; 0) = 1 - Q («) сле-
дует
<13>
Так как F (t — 1; s) > F (t — 1; 0), то из (13) вытекает
Г^7>Х(<; з)>Х(«-1;з),
поэтому существует предел limXs) =	> а сле"
t-»oo	1	9
довательно, lim F* (t, s) = F* (s). Из (13) вытекает
?(0;») = s.
$ 4] ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДОКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ	71
Отсюда
(14)
Так как F (t; s) -> 1, t -* оо, то полагая в (14) t -> оо,
получаем уравнение
! — /•(/?(«)) 1 ! — /*(«)
1 — F (t)	~ B(s)' 1—я ’
равносильное (12). Полагая в (12) sf 1, получаем уравне-
ние для F* (1) = lim‘F*(s)
•ti
1 - F* (1) = А (1 - F* (1)),
откуда следует F* (1) = 1.
Теорема 4. Предельное распределение F* (s) в тео-
реме 3 имеет конечное математическое ожидание, равное
где К определяется теоремой 2.2, тогда и только тогда,
когда конечен момент Мр (1) log р (1).
Доказательство. Из уравнения (12) нетруд-
но получить
1 - F* (F (/; s)) = 4‘(1 - F*(s))	(15)
при любом целом t. Полагая в (15) s = О, запишем
l-F*(f(t;0))	Л*
1 — F(t;O)	Q(t) •
По теореме 2.2 правая часть (16) стремится к где
К > 0 тогда и только тогда, когда Мр (1) log р (1) < оо.
Левая часть (16) представима в виде F*’ (0 (£)), где
F (t; 0) ^0 (t)	1, и при t->oo сходится к jP*'(l) =
= limF*'(s)« Теорема доказана.
Теорема 5. Если Мр (1) log р (1)< оо, то урав-
нение
1 — <р (F («)) = Л (1 — Ф (s))	(17)
имеет единственное в 0 s 1 решение в классе функций,
имеющих в точке s = 1 конечную производную.
72	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ [ГЛ. II
(18)
Доказательство. Представим
<р (s) == 1 4- (s — 1) 0 (s),
Где lim0(s) = 0(l) конечен. Из теоремы 4 следует, что
,П 1
обязательно ф' (1) =0 (1) При любом целом t 1
из (17) и (18) получаем
1 — F (t; *) _ 1 — q> (s)
A* 6(F(i;s)) •
При t оо левая часть стремится к К (1 — F* (s)) (тео-
ремы 3 и 2.2), а правая к —откуда следует q> (s) =
= F* (а).
(19)
§ 5. Предельные теоремы для критических
процессов
Критические ветвящиеся процессы обладают тем свой-
ством, что при оо распределение р, (t) асимптотически
зависит лишь от первых двух моментов. Это свойство уже
проявилось в теоремах 2.3 и 2.4 при изучении асимптотики
вероятности Р {р, (t) > 0}. Рассмотрим условный закон
распределения
(1)
Условное математическое ожидание
м{И(оъ(о>:о}=^
ы
асимптотически равно в критическом случае для про-
Bt
цессов с непрерывным временем и у для процессов с ди-
скретным временем.
Докажем следующую предельную теорему.
Теорема 1. При t -*• оо условное распределение
S^(x) критического процесса с конечным вторым моментом
сходится к предельному показательному распределению
S (х) = 1 — е~ж, х > 0. Утверждение справедливо для
§ 5]	ТЕОРЕМЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ	73
процессов с непрерывным и дискретным временем (в по-
следнем случае t пробегает целые значения).
Доказательство. Характеристическая функ-
ция условного распределения (1) равна
<pf (X) = М (О Q (О | р (t) > 0} =
_ F (t;	<*>) — F (Г, 0)	. R № <*>)	m
Q(0	<2(0	’	()
где R (t\ s) = 1 — F (t; s). Рассмотрим сначала непре-
рывное время. В этом случае R (t; s) удовлетворяет урав-
нению
^• = -/(1-Я),	R(0-s) = i-s. (3)
Поскольку а = 0 и конечен второй момент Ь, то, в силу
теоремы 1.3.1,
/(s) = *gL(s-l)«,	(4)
где | Ъ (а) | Ь, и Ъ при s-> 1. Подставляя разло-
жение (4) в (3), имеем
s) Я2,	(5)
где b (1 — R (t; s)) = b + е (t\ s), e (Z; s) -► 0 при t -* oo
равномерно в | a |	1, так как | R (£; s) | 2Q (t) -► 0.
Решаем (5):
t
fl^j“T^7 = K^ + S8(w; S)du)’
о
откуда
S) =	1-8----(* +	«))’	(S) 6)
•у (!-«) + !
где a (t; s) -+ 0 при f-»-oo равномерно в |$|^1.
Положим теперь в (6) s = &W> и подставим полученное вы-
ражение в (2):
<pt(%) = l
1 —eixQ(*>
-----гТГ—--------------+
(7)
74	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ [ГЛ. и
Полагая в (7) t -> оо и пользуясь асимптотикой (2.19)
для Q (t), получаем сходимость <р( (X) к характеристиче-
ской функции показательного распределения S (х):
11т:Ф,(Ч = 14т1-	(8)
<—*ОО
В случае дискретного времени мы докажем представ-
ление R (t; s), аналогичное (6),
R & «) = вГ1^— С1 + а	<9)
Т(1-8)+1
где а ($; $) -> 0 при t -* оо равномерно в | s | <1 1.
Перепишем рекуррентное соотношение (1.4.5) в виде
R (t + 1; s) = 1 - F (1 — R (t; s))	(10)
и воспользуемся разложением
^(а) = Ц-Л(а-1) + 4(»-1)а.	(И)
где | 2? | В и В-*• В при s->l. Подставляя (11) в
(10), имеем
R (t + 1; s) = R (t; а) - g + ^(t;s) да (t; s),	(12)
где | В + е (t; s)| < В и е (/; s)->0 при t -> оо равно-
мерно в | s |	1. Из (12) легко следует
| R(t + 1; s) — R(t, з)|<4|Д2(*; «)1
И
R(t + 1; s) = R(t; s) — £-R(f, s)B(< + l; s) +
+ П(<; s)R(t; s)R(t+ 1; s), (13)
где т) (t; s) —> 0 при t -> оо равномерно в | s |	1.
Деля правую и левую части (13) на R (Z; s) R (t 4- 1; s),
получаем
1	1	, В ....
Я(« + 1;«) ~	2	tl(»»s),
1
$ 6]
ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НАДКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
75
откуда
^=Л+“-2ч(*;.>.	(14)
' '	Ъ>—л
Из (14) вытекает (9) и, следовательно, доказательство
теоремы.
Теорема 2. Если в теореме 1 потребовать допол-
нительно конечность третьего момента, то в асимпто-
тических формулах (6) и (9) имеет место следующая
равномерная по | 51	1 оценка остаточных членов:
«(<;») = О (’i-').
(15)
Доказательство. Рассмотрим процесс с не-
прерывным временем. Если с = /”(1) конечно, то в
уравнении (5) остаточный член можно записать в виде
e(t; s) = у Я (t; s), где | Ъ | с. Тогда | в ($; в) |
s) (?(*)< frpj ПР® некотором 0<
< < оо. Отсюда вытекает (15), так как в формуле (6)
(I	\
у 8 (и; s) du j = О (-у-) •
о	/
Аналогично рассматривается дискретный случай.
§ 6. Предельные теоремы для надкритических
процессов
Теорема 1. Если в надкритическом ветвящемся
процессе с дискретным временем В < оо, то |n = р. (п)Мп
сходится в среднем квадратическом и с вероятностью 1
при п-> оо к случайной величине £, для которой
АЦ-1,	=	(1)
Доказательство. Из определения ветвяще-
гося процесса вытекает для к > О
М{р(п + Л)|р(«)} = А*р(п)	(2)
76	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ (ГЛ. II
ИЛИ
M{U*IW-U.	(3)
Из (3) и (1.6.6), (1.6.7) получаем при й>0
Mt t /Л?2 В В + А^А»
•™ьп	А (А — 1)	АпА (А —«1)
И
М (U* - U2 = М^+к + М& - 2Mgn+l£gn =
А (А — 1) Ап А* ) •	>
Из (4) вытекает, что М (£n+k — |п)2	0 при п -> оо
равномерно по к 0. Поэтому существует такая случай-
ная величина §, что
limM (£п — £)а = 0.	(5)
П-W
Таким образом, £п сходится в среднем квадратическом к
Из (5) следует
Mg = limMgn=l И Dg= liraDgn= lim Mg» -1=	.
n-*oo	r^-»oo	n-tco	A	4
Далее, переходя в (4) к пределу по оо, получаем
М (g- gn)2 = В + А-А»	(6
кь Ьп/ Л(Л—1)ЛП	v'
откуда вытекает конечность математического ожидания
суммы ряда
оо	оо
М з(!-£„)’= 3M(g-gn)«<00.
71«®1	71=1
Следовательно, ряд^(£ — gn)J сходится с вероятностью
1 и Р {|n->£} = 1?
Теорема 2. Характеристическая функция <р (X) =
«Ме4*^ предельной случайной величины удовлетворяет
уравнению
<р (АХ) = F (ч> (%)).
(7)
t 6]
ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НАДКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
77
Уравнение (7) имеет единственное решение <p (X) в классе
характеристических функций с первым моментом, рав-
ным единице, и конечным вторым моментом.
Доказательство. Из сходимости к £, дока-
занной в предыдущей теореме, вытекает сходимость законов
распределения, поэтому сходятся их характеристические
функции <pn (X) = Me1*6** = F (п, еР-А~п) -* <p (X). Из ос-
новного функционального уравнения
F (п + 1; s) = F (F (п; «))
следует
Фп+1 MX) ~ F (фп (М)»
откуда при п -* оо получаем (7). Любые два решения
<Р1 (X), Фа (X) рассматриваемого типа можно записать в виде
<pr (X) = 1 + iX - X2pr (X), г = 1, 2;
Фо (М = Ф1 (М - Фа № = *2₽ (М,
где р (X) = р2 (X) — Р, (X) — ограниченная функция при
X —> 0. Тогда из (7) имеем
Фо (АХ) = А2Х2Р (АХ) = F (Ф1 (X)) - F (Фа (X)),
А2Х2 | р (АХ) | < А | Ф1 (X) — ф2 (X) | = АХ21 р (X) |,
^|Р(Х)|< |р(А)|, откуда А‘|Р(Х)|<|р(^| и,
следовательно, р (X) может быть ограниченной в нуле
лишь в случае р (X) = 0.
Теорема 3. Если Dp (1) = В + А — А2 >• 0, то
функция распределения предельной случайной величины |
К (х) = Р {£ х) имеет скачок в нуле q = Р {| = 0).
Условная функция распределения
К.(х) = P{g<x| £>0} =
абсолютно непрерывна и условная дисперсия D {| | £	0}
положительна.
Доказательство. Как видно из доказательства
теоремы 2, преобразование Лапласа = ф (и) удов-
летворяет уравнению
ф(Аи) = Р(ф(и)),	(8)
78
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
аналогичному (7). Так как случайная величина £ неотри-
цательна, то P{g = 0} »Итф(и). Переходя в (8) к пре-
W-*OO
делу по zz—>оо, получаем
P{g = O} = F(P{g = O}).	(9)
Так как Mg = 1, то Р {g = 0} < 1, поэтому Р {g = 0} =
= q — другому корню уравнения (9), равному вероятно-
сти вырождения. Характеристическая функция <р0 (к) ус-
ловного распределения Ко (х) равна
<Ро(М = ^^-	(Ю)
и удовлетворяет, как нетрудно видеть, уравнению
Ф0(ЛХ) = С(<р0(Х)),	(И)
где
G ($) =	.	(12)
Условная дисперсия D {g | g > 0} равна
D{g|g>0} = M{g*|g>0} — (AA{g|g>0})* =
_ М£а	(М£)2 _ В	1
1 — q 1 — q “ А (А — 1) (1 — q)	(1 — д)2
__ (1 — д) в — А (А — 1)
Л (Л1) (1 — д)2	’
Функция G (s) есть некоторая вероятностная производя-
щая функция, G' (1) = A, Gw (1) = (1 — q)B, a Gw (1) +
+ G' (1) — [G' (I)]2 = (1 — q) В + A — Л2 является дис-
персией соответствующей случайной величины. Эта дис-
персия может равняться нулю лишь тогда, когда G (s) = sn
при некотором целом п. Так как G' (1) = п = Л > 1, то
п > 2. Случай G (L) = sn, п > 2, невозможен. Действи-
тельно, из (12) следует F (s (1 — q) + q) = q + (1 — q)sn
и F (s) = q 4- (1 — q)	что невозможно, так как
при q = 0 противоречит условию Dp, (1) > 0, а при
q 0 F(s) не разлагается в ряд по степеням s с неотрица-
тельными коэффициентами. Следовательно, D | > 0}
положительна. Поэтому найдется такое X, что | q>0 (МI < 1«
$ «]	ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НАДКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 79
Из уравнения (И) следует при любом целом t
<р0 (А‘Х) = G (/; <Ро (X)),	(13)
где G (t\ s) = —Я • По теореме 1.3
Gr (t\ <p0 (X)) -> 0 при t -> оо, следовательно, ф0 (Л*Х) О,
а это означает, что функция распределения Ко (х) не-
прерывна. Для доказательства абсолютной непрерывности
предельного закона KQ (х) достаточно установить, что
при X -> оо
фо(Х) = O(X-v), фДХ) = О^1), фо(Х) = О(Х^2), (14)
где y — любое число из интервала 0<^т< —
a ft = G' (0) = F' (g). По лемме 1.3 при всех £ = 1,2, ...
и 0 < $ < 1 имеем G (£; s) < s. Обозначим g2 = G' (s).
При всех £ = 1,2, ... и 0 < s < 1 имеют место неравенства
<?(М<0». <?'(^)<<?2,	(15)
Это вытекает из неравенств G (s) G' (s)s, G (£; s) s,
рекуррентного соотношения G (£ + 1; s) = G (t\ G (s)) и ра-
венств, которые получаются его дифференцированием nos:
G' (£ + 1; s) = G' (£; G ($)) G' (s),
G" (£ +!;$) = G" (£; G ($)) (G' (s))2 + G' (£, G ($)) Gff (s).
Из последних равенств получаем
G' (t + 1; s)< G' (t; s) qa < ^+1,
G" (t + 1; s) < G" (t; s)gl + G" (s)qi
откуда нетрудно вывести доказываемые неравенства (15).
Применим теперь (15) к правой части (13) и к равен-
ствам, которые получаются дифференцированием (13)
по 1. Имеем:
| ср. (ХЛ‘) | = | G (*; Фо (X)) | < G («; | Фо W |) < ?2,
1 А; (Л'Х) | = | G' (*; фо (X)) Ф; (X) |<
G' (Z; | Фо (%) |) | фо (X) |	1 фо (X) |,
I Л’Ч; (Я'Х) | = IG" (/; Фо (X)) [ф; (Х)Г + G' (/; Фо (X)) ф0' (X) | <
< G' (t; I Фо (*) I) IФ; (X) I2 + G' (,; | Фо (X) |) • | (X) | = О (?^).
80 асимптотические свойства процессов [гл. it
Если выбрать X таким, чтобы <р0 (X) было достаточно
близко к нулю, то g2 = (I Фо (X) 1) можно сделать
как угодно близким к qr = G' (0). Тогда из полученных
выше неравенств нетрудно вывести оценки (14). Напри-
мер, полагая А*Х0 = X, получаем
| Фо (М | < = g<toX-lnX")/lnA =	• д~ = о
и т. д. Из оценок (14) абсолютная непрерывность закона
KQ (х) получается так же, как в теореме 5, которую мы
доказываем ниже для непрерывного времени.
Теорема 4. В надкритическом ветвящемся про-
цессе с непрерывным временем и Ъ < оо случайная величина
Bt = Н (Ле~а* сходится при t -> оо в среднем квадрати-
ческом к случайной величине £, характеристическая функ-
ция которой ср (X) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
dk ka ’ т'
решение которого можно записать следующим образом
в неявном виде:
Ф(Х)
1 -fW- -люр{ J	<17>
Доказательство. Аналогично доказательству
теоремы 1 имеем при т 0
М{^||,} = 5„ м&‘ = А + (1_2_)в-а«,
М (U< - ItY =	- Mg = (А -1) e~at (1 - егах) 0
равномерно по т 0, следовательно, существует случай-
ная величина к которой стремится в среднем квадра-
тическом. Из этой сходимости вытекает сходимость ха-
рактеристических функций
<р( (&) = MeiX£< = F(t; eiXe-ai) —> <р (X) = MeiX4
В уравнение F (t + т; s) = F (т; F (t; $)) подставим
s = exp {/Xe“a(f+x>}.
$ 6]	ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НАДКРИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 81
Получаем
<₽1+т (X.) = F (т; Фг (Хв"от)),
откуда при t -> оо имеем
Ф (X) = F (т; ф (Хе'^)).
Полагая теперь т -> 0, получаем
Ф (X) = Ф (Хе~лх) + т/ (ф (Хе~ат)) + о (т),
откуда и вытекает уравнение (16). Равенство (17) полу-
чается из уравнения (1.4.14), которое можно представить
в виде
l-F(f;s) = (l-a)^exp{ J	(18)
Для этого нужно использовать другую форму записи
этого уравнения
dF f(F) — a(F — i) пЛ.
/(/)(/•_!) aai
и проинтегрировать это выражение по t от 0 до t. Под-
ставляя в (18) s = exp {iXe-°*}, получим
= (1_е—)еа(ехр{ J	(19)
1 eiXe~°*	J
переходя в (19) к пределу по £->оо, приходим к (17).
Функция распределения предельного закона К (х) =
— Р {£ х} имеет скачок в нуле q = Р {£ = 0}. Это
доказывается так же, как в теореме 3. Аналогично слу-
чаю с дискретным временем доказывается непрерывность
условного закона распределения
*o(*) = P{£<*IE>0}=	(20)
Абсолютная непрерывность К$(х) доказывается для
процессов с непрерывным временем проще.
82
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
Теорема 5. Условное распределение KQ (х) имеет
плотность kQ (х), непрерывную при х^> 0.
Доказательство. Характеристическая функ-
ция ф0 (X) распределения Кь (х) равна <р0 (^) =	и
удовлетворяет уравнению
с?фо(Х)_ $(фо(1))	/ЛМ
dl Ki •	v21'
z ч / (s (1 — g) + q) Q
где g (s) = 	• ^T0 получается подстановкой
Ф W = Фо W (1 — q) + Q B уравнение (16). Поскольку
Фо (^)	0 при X -> оо и g (0) = 0, из (21) вытекает
<*фо(Х)	/ 1 \
Дифференцируя обе части (21) по X, получаем при 1 -> оо
^о(Х) _$'(фо(М)	^(фо(Х)) _ / 1 \
-----™-------------№--------0 (|Тр/ ’
Из конечности а и Ь вытекает конечность Mg, Mg2 и огра-
ниченность производных q?o (X) и фо (^)- Покажем, что
функция	4
т
M«)»ST J	(24)
—т
при Т -> оо сходится равномерно в любом интервале ’
ОС^^ж^Са^оок предельной функции Ао (#), кото- j
рая является непрерывной в х =f= 0 плотностью распре- ’
деления Ко (х\ Интегрируя (24) дважды по частям, имеем:	,
= - 2^ I*» (Г)	~ Ф» (“ Г) e<T’l +	j
. 1 Г<й|>о (X) {Xxl |т_1_ Г	лх <^фо(Х) &	/25)
+ 2Я®2 Ldk	J |-т 2ла;а JT	{	/
В силу (22) и (23) первые два слагаемых при Т -> оо рав-
номерно по сх х с2 стремятся к нулю, а третье схо-
дится к пределу
4.(х)-11тйт W=

$ 7] УСЛОВИЯ ВЫРОЖДЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 83
Покажем, что кь (х) — плотность распределения Ко (х).
По формуле обращения имеем для xt<Z ъ
т
Р л—iXxi  iXx»
Кй (ха) - Ко (Xi) = lim -----------<Р,(Х) dX,
но
J -----2S3C---Фо (*)<**= J kT(y)dy.
—Т	Xi
Следовательно, в силу равномерной сходимости кт (у) к
*о (у),
Хе
Ко (х2) — Ко (хх) = lim j kT (у | dy) = j fc0 (y) dyt
T“*°® Xi	Xi
что и требовалось доказать.
§ 7. Условия вырождения неоднородных во времени
ветвящихся процессов
В § 1.8 (пример 9) мы нашли необходимое и достаточное
условие вырождения неоднородного во времени ветвя-
щегося процесса рождения и гибели, т. е. такого процесса,
в котором частица может лишь погибнуть или разделиться
на две новых. Это условие, выражающееся в расходимо-
сти интеграла (1.8.24), оказывается достаточным в общем
случае и необходимым в широком классе случаев.
Мы будем пользоваться обозначениями § 1.7. Пусть
задана / (t; s), имеющая производную a (t) =	, ко-
торая интегрируема по Риману в любом конечном интер-
вале (Z, т) €= [0, оо).
Процесс называется вырождающимся, если lim Ро (t, т) =
Т >•0
= Ро (О — 1. Этот предел существует всегда, так как
Ро (Л Ti) Ро та) при гС та. Докажем, что либо
Ро (0 = 1, либо при всех t Ро (0 < 1. В самом деле,
пусть t0 <Z t. Тогда
оо
Ро(*о)= S Pfc(*o,0P?(0	(1)
к==о
84
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. II
и, если Ро (£) = 1, то и P0(t0) = 1. Так Как
t
f Pi(u)du
PiM>& >0,
то при Ро (t) < 1 из (1) следует Р9 (Zo) < 1.
Теорема 1. Если
со	ъ
J Ро (») ехР {— У в (“) du} d® = оо,	(2)
t	t
то ветвящийся процесс будет вырождающимся.
Доказательство. Пользуясь разложением
/ (®; з) = a (v) (з - 1) + (з - 1)»,
где b (®, з) — монотонно возрастающая функция по з, мы
можем уравнение (1.7.17)
4г—мп
записать в виде
&R   _ (л\ п  Ъ (Г, 1 •—« /?) 02
где R (£, т; s) = 1 —JF (t, т; $).
Считая функцию b известной, запишем решение (3) в
виде
$) =-----
(3)
1 — S
(4)
i
г
трр р (t, т) = J а (и) du (см. §1.8). Полагая в (4) з = 0, по-
лучаем
1-Р0(«, т) =
е-₽(*л)+ 1
1
(5)
$ 7] УСЛОВИЯ ВЫРОЖДЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 85
Так как ь (у, Ро (у, т)) > ь (», 0) — 2 (р0 (») + а (»)), то
из (5) следует
1 - Ро (t, т) <---------------------------*--------------.	(6)
е-₽«л) + j [ро („) _|_ e (p)] e-^’^dv
t
Учитывая J а (») erX^dv = 1 — «-₽(*>’>, получаем из (6)
1 - Ро (t, t) <--------------------------- ,
1 + f ро (v) e~p^t,v^dv
откуда вытекает утверждение теоремы.
Теорема 2. Если f (Z; 5) является многочленом по а,
то условие (2) является необходимым для того, чтобы
процесс был вырождающимся.
Доказательство. В равенстве (5) заменим &
на большее число b(v) = ? ^2^ Получим
1 - Ро (/, т) >------.	(7)
Если limP0(i, т) = 1, то из (7) следует
т->оо
lim	J Ъ (г) е-рС'-’М»! = оо.	(8)
Если lim I b (v) e-^^dv = оо, то и
т->оо f
lim j (а (у) 4- ро (»)) «-₽('•»> dp = оо,
т-*оо
так как
п
«(») + Ро(»)= S (* — 1)Рк(»)>
п
> V 3 * (Л -1) Р» (V) = ± b (р).	(9)
К-=2
86
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ
(ГЛ. И
А тогда из тождества
14- J р0 (v) «-**»•> dv =	+ J (v) + p0 (y)l	dv
(10)
следует (2). Если же lim J b(v)er*№dv< °°» то из (7)
т—*ao f
следует lijn errtrt = оо, а тогда из (10) опять вытекает
т—>со
(2), так как в силу (9) а (я) + р0 (у) неотрицательно. Тео-
рема доказана.
Таким образом, условие (2) необходимо и достаточно
для того, чтобы процесс, функция f (Z; $) которого есть
многочлен, вырождался с вероятностью 1. Можно по-
строить пример, показывающий, что условие (2) не яв-
ляется необходимым для вырождения в общем случае.


ГЛАВА III
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
$ 1. Постановка задачи
В предыдущей главе были изучены асимптотические
свойства ветвящихся процессов. Мы установили, что эти
свойства существенно зависят от критичности процесса.
Например, вероятность Q (t) — Р {|i (t) > 0} выжива-
ния потомства одной частицы ко времени t записывается
в процессах с непрерывным временем с конечными
а = f (1) и Ь = f” (1) при t -> оо с помощью следующих
асимптотических формул:
Ке*,
а 0,
<2(0-
а = 0, Ь>0,
2
Ы ’
0,
где К — положительная константа, a q < 1 — неотри-
цательный корень уравнения / (а) = 0. Для условного
математического ожидания
лг(о = м{И(о|н(О>О} = -^
при t -> оо имеют место следующие асимптотические фор-
мулы:
11
К 9
Ы
—’
1 —? ’
а<0,
а = 0,
а^>0.
88
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. III
Условный закон распределения
при t -> оо слабо сходится к предельному распределению
lim 5; (х) = S (х).
При а < 0 и а > 0 предельное распределение S (х) суще-
ственно зависит от вида производящей функции / ($), при-
чем в докритическом случае оно дискретно, а в надкрити-
ческом — абсолютно непрерывно. В критическом случае
5(ж) =
О,
1 — е~х,
х <0,
х>0.
(2)
Таким образом, критический ветвящийся процесс
имеет явный вид предельного распределения, не завися-
щий от частного вида производящей функции / (5), причем
нормировка р (Z) определяется параметром Ь. Интересен
вопрос о том, сохраняются ли зти особенности асимптоти-
ческого поведения процесса, когда а не точно равно
нулю, а близко к нему. Явления, возникающие при t оо,
а->0, т. е. асимптотические свойства процессов, близких
к критическим, будем называть переходными.
§ 2. Переходные явления в процессах
с непрерывным временем
В этом и следующем параграфах мы будем всегда пред-
полагать, не оговаривая этого специально каждый раз,
что производящая функция / ($) принадлежит классу
Ж (Ьо, с0), определяемому ниже.
Определение 1. Будем говорить, что произво-
дящая функция (или соответствующий ветвящийся про-
цесс) принадлежит классу с0), гДе 0<^Ь0<^ оо,
0 с0 < оо, если /" (1) = Ъ > Ьо и f" (1) — с с0.
Найдем асимптотическую при оо, а -> 0 формулу
для R (t; s) = 1 —' F (t; s). Соответствующая формула для
Q (t) будет частным случаем, так как Q (t) = R (t; 0).
$ 2]
ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
89
Функция R (i; з) удовлетворяет уравнению
R (0; з) = 1— s.
(1)
(2)
Решение задачи (1), (2) в частном случае / (s) = a (з —1)+
4- (s — I)2 обозначим г (<; з). Как
(пример 2),
мы нашли в § 1.8
eat(i — s)
при а=£0,
r(Z; s) =
_____1 —- S____
bi л
-y-(l-S) + l
при а = 0.
(3)
Покажем, что г (t, з) будет искомой асимптотической фор-
мулой для R (t; $). Имеет место следующая
Теорема 1. Выполняется равенство
R (е; з) = г (£; s) (1 + ц (*; з)),	(4)
где г (t; з) определяется формулой (3), а т)(£; з)-► 0 при
i —> оо, а->0 равномерно по всем f(s)^W(b0, с0) и
| з |	1.
Докажем предварительно несколько лемм.
Лемма 1. Если f (з)& Ж (Ьо, с0), то пРи
O^A^min-l-^-, 1У, |в|<'-7г-, 0<з<1 — h
'	[ Zco J 1 о
имеет место неравенство
Доказательство. Разлагая функцию / ($) по
формуле Тейлора в точке s = 1, получим
/ (3) = а (8 - 1) +	(8 -1)2 + -1 (3 - 1)3,
90
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. III
где 0^с =/"(в)Ссо» так как «<0<1. Пусть
min , 1} • Тогда
/(1 — А)-аЛ + -|-Л2--|-А’>
>(4-тА)А’-1»1-‘>тл’-
Если \a\^~h, то /(1 -A)>±-A2. При
имеем
/(«)>/(!-А)>±-Л2.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если f ($) е Ж (Ьо, с0), то при
1^,	•	( З&о bo "I	«,	«х
mm	наименьший неотрицательный ко-
рень q уравнения f (s) = 0 удовлетворяет неравенству
д>1 -
8|а|
Ьо
Доказательство. Известно, что при а^О q = l.
Пусть а > 0. Положим в лемме 1 h =	. Тогда из
следует	и в
силу леммы 1 при 0 s 1 — h имеет место неравенство
f(s)>-^-A2. Так как /(а)>0 при Os^.s<q и /(s)<0
при <7<s< 1, то отсюда следует, что q>i — h = i —
Лемма 2. При t оо, а -+ 0 равномерно для всех
ветвящихся процессов с f (s) е &£(!)$, с о) вероятность Q (£)
стремится к нулю.
Доказательство. Нам нужно доказать, что
для всех а и t, удовлетворяющих неравенствам | а | а0
и t t0, и для всех f (s) е Ж (Ьо, со)
Q (0 < 8.
Предположим, что это не так. Тогда существует такое
е0 > 0 и такие сколь угодно малые' а0 и сколь угодно боль-
s 2]	ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ	91
шие £0, что для некоторой / (s) ЕЕ ^*(Ь0» со) с f (1) = ао
имеет место неравенство Q (£0) > 80. Покажем, что этого
не может быть.
Пусть 0<во<шт|~,1}и |а0|<-^-8о,Г0>^^^
Так как Q(t) убывает при росте t, то из @($о)>во сле-
дует, что при	также Q(t)>e0. Рассмотрим
уравнение
с начальным условием Q (0) = 1. Так как 1 — Q (t)
1 — е0 при t £0» то по лемме 1 имеем
Интегрируя обе части неравенства по промежутку (0, $0)>
получаем
ЬпЕ2
Н) 1 —Со/2  со
& &o8jJ/8	2 ’
а это противоречит неравенству Q (i0) > 8®. Лемма до-
казана.
Лемма 3. При любых | 51	1 и t > 0 справедливо
неравенство | R (t; 2Q (t).
Доказательство. Утверждение вытекает из
следующего неравенства
оо
|Я(Г;s)|<l -P0(t) + 2 Pk(0|s|k<2^(t),
так как 1 — P0(t) = 2 ^t(0 — Q (0»
k=i
Лемма 4. Функция
е°*-1
a •
a=^>0,
a — 0,
(5)
g(a,t) =
92	Переходные явления	[гЛ. ш
определенная для действительных а и положительных t,
возрастает по каждому аргументу при фиксированном
другом аргументе. Кроме того, g (a, t) -+• оо, когда t ->оо, i
а-> 0.
Доказательство. Возрастание по t при фик- ।
сированном а очевидно. Если t > 0 фиксировано, то, как
нетрудно видеть,
dg __ ateat —	+ 1	|
да	&
при всех а. Далее, в силу доказанной монотонности,
g(a, g(—\a\,t) — —г—:—. Если |а| / > 1, то g(a, £)>
>-^“1—. Пусть |а|£е^1. Тогда, как легко видеть,
1 _ e-iait | а| j(1 — е-i), откуда g(а, I) >(1 — е”1) t. Сле-
довательно,
_ Г 1	1
,g(a,Z)>(1 — е	—г-, t\—>оо,
I I а I	J
если t -> оо, а 0. Лемма доказана.	j
Доказательство теоремы 1. Разложим ’
правую часть дифференциального уравнения (1) по фор-
муле Тейлора в точке R = 0
В силу теоремы 1.3.1 имеем оценку | с | с с0. Считая
4-—^-Н известной функцией, мы можем, разделив (61
Z о
на R2 и сделав замену w =	, привести (6) к линейному
уравнению
dw	t Ъ с D\
которое решается стандартным способом. Таким образом,
мы можем записать решение (6) в виде
eat
R (i; а) ---------,	(7)
(l-sH + — g(a,*) + ₽(»;«)
I 21
процессы с непрерывным временем
93
где
t
Р (t; s) =	cR (и; s) e““du.	(8)
о
Пусть 8 < -у. Выберем tx н Oj такими, чтобы для всех
f (s) е ЛГ(&0, «о). | а | «И и t > tx выполнялось нера-
венство Q (t) в (это можно сделать по лемме 2). Тогда,
используя неравенство | R (t; s) | 2Q (t), получаем при
| а | < о, и / >
t,	а
0	t.
+иг (* <«» о - г («. 11)) <	+-Т * <«» Ъ <9>
где (\ — некоторая константа, зависящая от ах и tt.
Из (7) получаем, что функция tj (t; з), введенная равенством
(4), представима в виде
Ч«; з) ---------.
(1 — «)-х+-у g (в, t) + р (г,»)
Отсюда, в силу (9), при всех | s |	1, | а | alt £ > tx
Ci + -я- eg (a, t)	Ci + eg (a, t)
| T) (t; s) | < -j---<-r--------------------------,
1 1' ’ '1 do	„ co	bo
—	—Cl g-8g(a,t)	—g(e>0 —Cl
(10)
так как црж |^|<1 Re(l —5)“х>-у и
I (1 - з)-1 + ±-g(a, 0 + Р («; 3) | > Re(l -s)"» + ^g(a,t)-
-13е;«)1>-у?(о,0-|Р.(«;з)|.
Выберем теперь и ^такими, чтобы выражение, стоящее
справа в (10), при t t% и | а | было меньше е.
Это всегда можно сделать, так как g(a, t) -> оо по лемме 4.
94
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. Ш
Таким образом, |т,(i;s)|<ПРИ всех IаI t t2>
| s |	1. Отсюда, в силу произвольной малости е, сле-
дует утверждение теоремы.
Следствие 2. При t ->• оо, а -> 0 равномерно
для всех f (s) G= Л*(Ьо, с0)
f eat
з 	> ® =£ О»
27(ео,-1) + 1
2 !	(Н)
~bi ~ ’ а ~ °-
2 +1

Формула (11) получается из теоремы 1, если положить
з = 0.
Далее нам понадобится следующая лемма 5, носящая
вспомогательный характер.
Лемма 5. Пусть Fo (х) — непрерывная функция рас-
пределения и фо — ее характеристическая функция, и
пусть Кп з Кп+1 — такая убывающая последовательность
семейств распределений вероятностей, задаваемых функ-
цией распределения F (х) или характеристической функцией
Ф (т), что для любых Т 0 при п-*~ оо
sup sup |ф(т) — ф0(т)|—>0.
♦екп I т |<т
Тогда при и -> оо
sup sup | F (ж)--Fo (ж) |-> 0.
гек* х
Доказательство. Пусть найдется такое
8 > 0, и такая последовательность функции Fn (х) €= Кп
и точек хп, что при всех п
I Рп	^0 (жп) |
Обозначим фп (т) характеристическую функцию, соответ-
ствующую Fn (х). По условию теоремы
Iim<pn(T) = <PoW,
П-*оо
J 2]
ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
95
поэтому lim Fn(x) = Р$(х) равномерно по х, так как Fo (х)
Л-*со
непрерывна. Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть функция распределения St (х)
определена формулой (1.1) и показательная функция рас-
пределения S (х) формулой (1.2). При tсо, а->0
max | St (х) — S (х) | —» О
X
равномерно по всем f (s) GE X (b0, c0).
Доказательство. Характеристическая функ-
ция <pt (т) распределения St (х) равна
тНЛ_1 Л(«ехр{К2(*)Г*})
<Pi (Т) — 1-------.
По теореме 1
Ф( (х) = 1----(l-expUTQffle^})^---------- (1 +
Q (О [1 + — g («, 0 (1 - ехр {iTQ (t) е^})]
По следствию 2 и лемме 4
e-^tQ (f) = l-yfr»0)---->0
при а -► 0, t -* оо равномерно для всех f (з)ееХ (Ьо, с0).
Поэтому для любых в > 0 и Т > 0 найдутся такие а0 > 0
и t0 > 0, что для всех | а | ао и £	£0 и для всех
|т|<Т
Нт)-Т=М<8
равномерно по всем / (s) е X (Ьо, с0). Отсюда с помощью
леммы 5 следует утверждение теоремы 2. За семейства
распределений Кп в лемме 5 надо принять St (х) для всех
/ (х) е X (Ьо, с0) с | а К ап и t > tn, vjifi ап, tn — по-
следовательности, для которых ап -> 0, tn -> оо.
96
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
(ГЛ. Ш
§ 3. Переходные явления в процессах,
начинающихся с большого числа частиц
Пусть в начале процесса имеется п частиц. Обозначим
v число частиц к моменту времени если процесс начался
с п частиц. В этом случае
V = 1*1 (0 + ... + |ХП (<),	(1)
где р. (t) — число частиц, произведенное г-й частицей за
время t. Пусть случайная величина р означает число поло-
жительных слагаемых в (1) в момент времени t. Случай-
ная величина р имеет биномиальное распределение
Р{р = г} = CrnQr(l — <2)п-г, Q = Q (О,
с математическим ожиданием Мр = nQ. В силу (2.11)
имеем при t —> оо, а —> О
|пеа*	, п
----5-------- при а=/=0,
п	(2)
----w	при а = 0.
1+“2~
Обозначим
Q = P{V >0} = 1 - (1 - Q)n,
М = Mv = nea(,
= M{v|v>0} =
neo<
l-(l-Q)"
Будем изучать условный закон распределения
Я1(ж)=Р{^<ж|5>0}	(3)
случайной величины £ = ПРИ условии, что £ > 0.
Характеристическая функция распределения (ж) равна
[/ (<;ир |-=Ж-И(<:0)1"
. 6 3)	ПРОЦЕССЫ с БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ	97
С помощью (2.12) функцию ф1( (т) можно записать сле-
дующим образом:
feW =
Г	/ 1 _ (1 _ п)" \]п
[1-(2 + 0<рДт-----
1 - (1 - Q)n
(4)
Вычисляя производные фц (т) по т в точке т = 0, мы
находим, что математическое ожидание (х) равно 1,
а дисперсия
„ _	_(1 _0.	(5)
Далее будем изучать предельные свойства закона
(ж) при и -> оо, а -> О, £ оо. При этом будет удобно
пользоваться параметром у, введенным равенством (2).
Теорема 1. Если п -> оо, а -> 0, t -> оо так,
что Т постоянно и 0 < у < оо, то равномерно для всех
с.)
sup | Н1 (х) — hr (ж, т) | —> О,
х
где
а	(4г)3+-2кНг)6+ • • • ~
Бесселя. При этом дисперсия закона Н1 (х) в пределе
равна дисперсии
=	(7)
закона hr (х, 'f).
Доказательство. Так как при t -► оо, а О
4 В. А. Севастьянов
98
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. III
а по условию nQ -► у, то (1 — Q)n и
Ф.. W (т, Т) - 1ехр |Т “ -	- rY”'11 -11 	(8)
Покажем, что (т, у) является характеристической функ-
цией распределения (х, у). В самом деле, так как
g”~ •	«у”*
Ф1 (Т, Г) =	’
а /	. 1 _ e-v
11 — i% —-— I есть характеристическая функция ком-
п '	•	'
озиции т показательных распределении, которая имеет
плотность
1 / Y \т	(
-----7\Г I ’ 1 хт~1 ехР I
(т — 1)Ц1_е- /
ж О,
то предельное распределение (8) имеет плотность
h’ (г г\ =	е~* У Т2”1^1	. ехр {—дгу (1 — е-7)-1} _
,Т'	1— e"Y т!(т—1)1
_ ехр {— уу (1 —	/оу1/ Х
(1 — e't) Ух Ц ‘ Г 1 —в-т ,
Вычисляя производные предельной характеристической
функции фх (т, т), найдем, что дисперсия предельного рас-
пределения равна о2, определенному равенством (7). Со-
отношение о? -> о2 также легко проверить. Доказатель-
ство завершается применением леммы 2.5.
Можно доказать более сильное утверждение, которое
состоит в следующем. Центрируем и нормируем предельное
распределение hr (х, т). Тогда получим функцию распре-
деления
(я, Г) — th. (ха + 1, т)
с характеристической функцией
(\ __
V’T)e ’ •
§ з]	ПРОЦЕССЫ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ	99
Проведем аналогичное преобразование с допредель-
ным законом распределения Нг (ж), обозначив
Я(ж) = Я1(ж31 + 1),	=	(-£•)* ’*•
Имеет место следующая
Теорема 2. При п -> оо, а -> 0, t -> оо равномер-
но по всем	(b0, с0)
sup | Я (х) — h (а:, у) | —> 0.	(9)
X
Прежде чем доказывать теорему 2, докажем три
леммы.
Лемма 1. Пусть Fo (х, 0) — зависящее от параме-
тра 0, компактное в смысле равномерной по х сходимо-
сти семейство непрерывных функций распределения, а
Фо (т, 0) — соответствующие характеристические функ-
ции. Пусть далее Кп э — такая убывающая по-
следовательность зависящих от параметра 0 семейств
распределений вероятностей, что при любом Т > 0 и
п -> ОО
sup sup sup |<р(т, 0) — ф0 (т, 0)1^0.	(10)
• Ф(т,в)екп|т|<т
Тогда при п—> оо
sup sup sup IF (ж, 0) — Р<Лх, 0)|->О	(11)
о F(x,o)eKn x
(здесь F (x, Q) и ф (т, 0) — соответствующие друг другу
функция распределения и характеристическая функция).
Доказательство. Предположим, что (11) не
выполняется. Тогда найдутся такое в > 0 и такие после-
довательности 0n, Fn (х, 0) EzKn и хп, что при любом п
I Fп (хп, 0 n) Fo (хп, 0 п) |	8.	(12)
Из компактности {Fo (х, 0)} вытекает существование такой
непрерывной функции распределения F* (х), что при
nfc -> оо, где Пц — некоторая подпоследовательность п,
supjF‘(x)-Fo(x,0nk)HO.	(13)
х
4*
100
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЙ
1гл. ш
Из (12) и (13) следует, что при достаточно больших пк
IFПК (ЖПЦ» Onfc)	F (a-njf) |	~2“ •	(14:)
Из (10) и (13) нетрудно заключить, что при любом Т > 0
lim sup | <р (т, enk) — <р* (т) | = 0,	(15)
fc-*co I т |<Т
где Фи (т, On) и ф* (т) — характеристические функции,
соответствующие Fn(x, 0П) и F* (х). Поскольку (14) и
(15) противоречат друг другу, наше первоначальное пред-
положение несправедливо. Лемма доказана.
Лемма 2. Семейство функций распределения
{Fq (х9 0)} будет обладать свойством компактности в
смысле равномерной сходимости, если оно компактно
в смысле слабой сходимости и (х, 0) имеет плотность,
ограниченную равномерно при всех х ид.
Доказательство. Из компактности {Fo (х, 0)}
в смысле слабой сходимости вытекает, что из любой по-
следовательности Fo (х, 0 п) можно выбрать сходящуюся на
любом конечном множестве точек х1, ..., xn подпос де дова-
тельность. Из равномерной ограниченности плотностей
Fx (х, 0) нетрудно получить, что отсюда следует равно-
мерная сходимость.
Лемма 3. Плотность h' (х, т) равномерно для всех
0 Т 00 ограничена. Кроме того, равномерно по х
[0,	-1,
lim Л (х, г)х>_1,
Я	-Ц,2
(W)
Доказательство. Будем доказывать равно-
мерную ограниченность плотности для функции распре-
деления h2 (х, y) = h (ха, у), которая отличается от
(х, т) только сдвигом. Так как
М*, т) =
Те”7 ехр {—у ах (1—-f f 2<зх \
(1 — е~у	Y xs	1 \	'	1 _	’
$ з!	ПРОЦЕССЫ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ	101
a Д (х) -тг- е* при всех х > 0, то
£л
^^r)<7r5vexp{_rl1_^i^r}' (17)
Из (7) вытекает or 1, поэтому при 0 т То имеем
из (17)
<18>
1 — в-2
С другой стороны, пусть Xq = —. Тогда при х х0,
Т>2
б®	Хо __ 1
1-е^	~
и из (17) получаем
_______________________Y.
(Я,Т)-У2*..Л-<  16 2-.	(19)
2'	'	(1_е-у)2 (е — I)2	v '
Теперь воспользуемся асимптотической при х -> оо
еа
формулойЛ (х)-----г__ (см. [18]). Пусть xt > 0таково, что
У 2ла?
ех
Л (х) <С —т=" ПРИ х > х1- Обозначим
у х
и 4 fA J
То = max[fe) ’2Ь
Так как при т > 2 из (7) имеем or2 > — , то при т > То и
X Xq
2Т VТ^7 > 2Т*	> 2^‘ /«о >
r 1 — е т
Поэтому при я > #0» Y > То справедливо неравенство
-о/--	1 / аж г
УТбехр< — т 11— у - И
41 <*•г)«------’ 
102
ПЕРЕХОДНЫЙ ДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. ш
Отсюда получаем при бх>——
. 1 -e“Y
а при <зх < ——
т,лХ' - (т)''^'
(20)
(21)
КЦ'4(1—е^»)*'4 "" /2(1 —	'
Из неравенств (18) — (21) вытекает равномерная огра-
ниченность fe2 (х, т), а следовательно, и h’ (х, т). Пределы
(16) получаются из легко проверяемых соотношений
limi|>(T,T) = / , •, limi|)(T, у) = е 2.	(22)
Y—*0	1 — 11. Y->oo
Доказательство теоремы 2. Для того
чтобы доказать теорему,	нужно	показать, что	для любых
е >• 0, Т 0 найдутся	такие	а0	>0, tQ >	0,	п0 > 0,
что для всех | а |	а0,	t Zo,	п	> п0, | |	Г и для
всех / (s) е Ж (bQ, cQ) и	0 Т	оо
I (т) - ф (Т, Т) | < 8.
Предположим, что это уже доказано. Поскольку семейство
распределений h (х, т) по лемме 3 имеет ограниченную
плотность и компактно (так как математическое ожидание
каждого распределения семейства равно нулю, а диспер-
сия — единице), то можно применить леммы 1 и 2, а это
доказывает (9).
Соотношение (23) доказывается следующим образом.
Нетрудно видеть, что стремление к пределу в теореме 1
о? -> о2 и г|)п (т) — гр! (т, у) происходит равномерно в лю-
бом конечном интервале 0 < Ti Т Тг < °°- С другой
стороны, если n->oo,a->0,Z->- оо, f->0,TOi|)t (т)—> . __-г- ,
S 4]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
103
а если п->оо, а—>0, £->оо, у->оо, то (0 -> е 2
равномерно по всем	с0). Из этого следует
утверждение (23), если учесть еще соотношение (22).
§ 4. Переходные явления в процессах
с дискретным временем
В ветвящихся процессах с дискретным временем кри-
тическим значением среднего является А = 1. Поэтому
переходные явления возникают при А -> 1, t -> оо. В этом
случае асимптотика ветвящегося процесса определяется
процессом с дробно-линейной производящей функцией
F(s) = i-----,	(1)
1 + ‘2Т<* 1 —
где А = F' (1), В = F” (1). Формулу (1) нетрудно полу-
чить из (1.8.3), если выразить К через В, Для производя-
щей функции (1) итерации F (t; s) находятся в виде явного
выражения
В (t; s) = 1 - F (f; ,) =-»	(2)
1+2Т А — 1 <1 —’)
которое при А = 1 определяется по непрерывности, как
R (t, s) =--вГ~----‘ Выражение, стоящее справа, при
1 + —(!-«)
А 1, t ->• оо эквивалентно
Bt ’
1 + -2~(1-*)
(3)
А = 1.
Аналогично определению 2.1 введем класс УС (Во, Со)
вероятностных производящих функций F (s), для которых
Г(1) = Я>В9>0 и Fm (1) = С<С0<оо,
104
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. Ш
Мы докажем здесь теорему, аналогичную теореме 2.1,
из которой вытекают все остальные результаты, установ-
ленные в §§ 2, 3.
Сначала мы докажем две вспомогательные леммы.
Введем функцию
£ к Л‘-1
С(«,Л)=3 Ак = 4^-,	(4)
к=о
определенную для целых i >2 и положительных А.
Лемма 1. Функция G(t, А) возрастает по каждому
аргументу при фиксированном втором 'аргументе. При
всех t и А имеет место неравенство
G (t, Л) >	min р, л| } •
Доказательство. Докажем только (5), так
как остальные утверждения тривиальны. При А > 1
всегда G (£, А) > t. Предположим теперь А < 1. Из оп-
ределения (4) следует, что при 6г(£,4)> 2(Г=ГА)Л1 ^"2’
и G(t, 4)> —при 4* > у . Лемма доказана.
Лемма 2. При t оо, 4 -> 1 вероятность продол-
жения процесса Q (t) стремится к нулю равномерно по
всем F (s) GE ^о)*
Доказательство. Так как
со
k—N+l
00
то можно выбрать такое N, что 2 k (k — 1)Рк<^-у-
*=w+i
для всех F (s) GE X (Во, Со). Тогда
N
(6)
Л=2
N
И 3 рк> 2^» откуда
fr=2
р <г 4 — B(i
2/V2 *
§ 4]
ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
105
Из этого неравенства и неравенства
2 р» <4-3
к=2	»=а
получаем
4 р _ У р Л + Р1 <-A±_L в°
1 *о — ZJ	2	2	4№
*=1
Поэтому при А < 1 4- получаем
Р
о
для всех F (s) GE ^*(Ро. Со)- Далее, из равенства
F (t + 1; 0) = F (F (t; 0))
и разложения F (а) = 1 + A (s — 1) + у (s — I)8, где
В = F" (0), s<0	1, вытекает
Q(t + l) = AQ(t)-^Q^t),	(8)
где В = Р"(0), Ро(/)<9<1. Так как 0>Ро(«)>Ро>
то Б > F” (у^-) • Из неравенства (6) выте-
кает, что
г > 2 * (* -1) ₽. (^Г > (- °-
поэтому для всех F (s) X (Во, Со)
(9)
Деля обе части (8) на AQ (t)Q (t + 1), получаем
«’(< + 1)-4г-+и---5^1)-.	(10)
где w (/) =	. Из соотношений (9), (10) и неравенства
106	ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	(ГЛ. Ill
Q(t) > С (^ +1) имеем
f. , 4 ч W (0 D
w (t 4-1) >	4- 2^-.
откуда вытекает
At+1w (14- 1) > А‘и>(I) 4- 4 А‘> A'w (0 > 4- G (*»л) +1
w^-^G^A-1).	(Н)
Из (11) и леммы 1 следует, что w(f)->oc при£-><*>, Л-> 1
равномерно по всем F (s) ЕЕ Я? (Z?o, Со), откуда и вытекает
утверждение леммы.
Теорема 1. Выполняется равенство
R ((; 5) = г s) (1 + я (Z; $)),	(12)
где г (t; s) определяется формулой (3), а т] (Z; s) -> 0 при
А —> 1 равномерно по всем F ($) & X (Во, Со)
и | $ | ^ 1.
Доказательство. Разлагая F ($) в соотноше-
нии F (t + 1; s) = F (F (t\ $)) по формуле F (s) = 1 +
4- A (s - 1) 4- 4 (« ~ *)a + 4 (4 s * * * * * * * - !)’> r«e I C I <
получаем для R (t; s) = 1 — F (t; s) рекуррентную формулу
R (t 4-1; s) = AR (<; s) - ~ R* (f; s) 4- 4 R9 «)• <13)
Из (13) и леммы 2.3 вытекает
।	- л | < м w, |	-41 сади,
(14)
где и С2 — некоторые константы. Ниже мы будем через
Ci обозначать положительные константы. Обозначим
w (t; s) =	. Делим (13) на АВ (t; s)R (t + 1; s)
w(t 4- l;s) =
__* w (t* I • R _______________ . R2	fl51
__Я(е + 1;в) 6Л Я(г + 1;0 •
§ 4]	ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ	107
Используя (14), мы можем записать (15) в виде
A,+1w(t + 1; s) = A*w (f, s) + -^A* + X(<; a),	(16)
где
| X (t; s) | < C3A* Q (t).	(17)
Из (16) получаем
4‘w(t; S) =	+ £ G(t, 4) + A(Z;a),	(18)
f—1
где N.(t\s) = 2	s)* По лемме 2, для любого e^> 0 най-
k=o	w
дутся такие £о>0иб)>0, что для всех t > t0,
| Л — 1 |	6 и F (s) €Е «ЯГ (Во, Со) имеем Q (Z) е. Поль-
зуясь оценкой (17), получаем отсюда
*0—1	f—1
I л (*; S) I < 3 Iх (*; s) I + 2C8ec4+ eCaAhG (t-ta, A).
k=O	k=i.
Поэтому при i —>• оо, A -> 1
A(f;a) = o(G(t,A))
(19)
равномерно no | a |	1 и F (s) ЕЕ Л* (Bo, Co). Из (18) и
(19) получаем утверждение (12).
Следствие 1. При t -* оо, А -► 1 равномерно для
всех F (s) €= Ж (Во, Со)
<?(<)~9(<)= '
1+»4=*
2 А — 1
1
, Bt ’
4+ 2
A=hU
(20)
4 = 1.
Формула (20) получается, если в (12) положить а — 0.
Из теоремы 1 и следствия 1 получаются предельные
теоремы в переходных явлениях ветвящихся процессов
с дискретным временем таким же методом, как аналогич-
ные теоремы для непрерывного времени в §§ 2 и 3.
ГЛАВА IV
МАРКОВСКИЕ ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ
§ 1. Многомерные производящие функции
Как мы уже видели в гл. I, аппарат производящих
функций играет основную роль при изучении ветвящихся
процессов с одним типом частиц. В ветвящихся процессах
с конечным числом типов частиц аналогичную роль игра-
ют многомерные производящие функции, которым и посвя-
щен этот параграф.
Обозначим ТУ = {0, 1, 2, ...} множество всех целых
неотрицательных чисел и 7F1 — множество всех векторов
а = (а1? ..., ап) с целочисленными неотрицательными ком-
понентами.
Обозначим ga значение в точке а числовой функции,
определенной на
Многомерной производящей функцией или просто
производящей функцией G(s),s = (s1, ..., sn), соответствую-
щей {ga}, называется сумма ряда
G(s) = S	(1)
a&in
В дальнейшем будем применять сокращенную запись
s® = (s1)0^ ... (sn)an, s° = 1, а суммирование 3 обозна-
aeNn
чать просто J!. Тогда (1) можно переписать в следующем
a
виде:
G(s) = S^s“.	(2)
9
§ 1]	МНОГОМЕРНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ	109
Для векторов s= (s1,..., sn) мы будем употреблять обо-
значение 0, если все компоненты равны нулю, и 1, если все
= 1. Мы будем писатьа1< s2i если все sj < sj, и sx $2»
если все $1 sj. Через | 51 будем обозначать вектор с ком-
понентами | s11.
Пусть а, Р Ё Л71, G ($) — многомерная производящая
функция. Далее будем обозначать
й = aj + ... + аЛ, а! = ах!... ап!, а1^ = ax3J... а^п\ (3)
где а?**1 = оц (оц — 1) ... (а< — ₽< + 1),
G М =	(4)
Если ряд (2) сходится в точке =^=0, то, как известно,
он сходится при всех | $ | < а его сумма G ($) в этой
области является аналитической функцией по всем пере-
менным а1, ..., sn. Мы будем говорить, чЪо в этом случае
область сходимости (2). нетривиальна.
Определение 1. Мы будем называть произво-
дящую функцию G(s) положительной, если все ga > 0,
квазиположительной,— если лишь конечное число ga < 0,
а остальные ga > 0. Положительную производящую функ-
цию будем называть вероятностной, если G (1) = 1.
Если ряд (2) имеет нетривиальную область сходимости,
то по функции G ($) однозначно определяются коэффициен-
ты ga, так как
ga=4G“(°>-	<5)
В дальнейшем, не оговаривая этого каждый раз, мы всегда
будем иметь дело с производящими функциями G ($),
имеющими нетривиальную область сходимости. Таким об-
разом, между {ga} и производящими функциями G (s)
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Пусть
Р е N*1. Если G ($) есть производящая функция для {ga},
то Gp (s) есть производящая функция {a[Wga}.
Если производящая функция G (s) положительна, то
все Gp (s) также являются положительными производя-
щими функциями. При 0 положительные производя-
НО ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
щие функции G (s) и все их производные Gp (s) неотрица-
тельны.
Вероятностная производящая функция G (з) соответ-
ствует n-мерному распределению вероятностей {ga} ца
ЛГ1. Иногда нам удобно будет относить вероятностную про-
изводящую функцию G (s) не к распределению вероятно-
стей {ga}, а к какому-нибудь случайному вектору
£ = (£п •••> 5п), имеющему {ga} своим распределением
вероятностей. С помощью случайного вектора 5 мы можем
дать другое эквивалентное определение вероятностной
производящей функции
G(s) = Ms*.	(6)
Понятие факториального момента следующим образом
распространяется на случайные векторы.
Определение 2. Математическое ожидание
М£№] называется факториальным моментом порядка
Р = Pi + ... + рп. Иногда мы будем называть MgtW
^-моментом.
Аналогично тому, как мы это делали в § 1.3, в много-
мерном случае устанавливается равенство
M|(M = G3(1),	(7)
где производная Gp (1) в точке s = 1 понимается как соот-
ветствующая производная слева по всем координатам з* или,
что в данном случае равносильно, как limGp(l) = Gp(l).
•t i
Для доказательства аналога теоремы 1.3.1 пона-
добится
Лемма 1. Пусть г, к — натуральные и гц, ..., пг —
целые неотрицательные числа. Тогда остаточный член
П* (пи •••» пг)> определенный равенством
1ц»
+ R* (ПР • • • 9 Пг)> (в)
$ 11	МНОГОМЕРНЫЕ! ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ	111
представим в виде
Лк(га1,...,пг) =
=	2	(9)
kj>o
где 8fc,„. sr при 0 yi^y’i^ i, i — i, ..., n, удовлетво-
ряют соотношениям
О<. пг; у') <ек1..Лг («ь ..., пг; г/)<
и	<<%...(%	(Ю)
к *
lim efcl. > (!Ч,. ..,пг; у) = Сп\ ...Спг.
vlo	г
а при | 1 — yi |	1, г = 1,	п,— неравенствам
I cki...kr (^i, . . . , Пг\ у) |	. Спгг. (11)
Доказательство. Если ki = i — 1, г,
или кх + ... + кТ Пг + ... + пГ, то проверка соотно-
шений (10) и (И) тривиальна, так как в этих случаях
еЛ1...кг Oh, -м пг\ У) = 1 и ekl...kr (иь иГ; у) = 0
соответственно. Далее проведем индукцию по п19 ..., пг.
Пусть при заданных ..., кг и заданных пп ..., пг спра-
ведливы соотношения (10) и (11). Покажем, что они будут
верны и при ih + 1, Hg, пг. Умножим (8) слева и справа
на 1 — уг. Используя тождество
(12)
мы можем записать полученный после умножения резуль-
тат в виде
(1 - у^ (1 - г/а)«*... (1 - уг)пг =
= S Сп*.+1<£ • • • Cnrr (- l)**+-+kr	. . . ykr +
ki+...+kr<fc
+ z?fc (nb ...,nr)(l — У1) +
+ S ... drr (- !)* г/J*... y*r,
Ki4".«.4-fcr=k
Л£>о
112 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
откуда вытекает
Як(Их + 1, п2,..., пг) = (пь ..., nr)(l — ft) +
+	3	Сте...С^(-1)’еу*‘...^г. (13)
KH-...+kr=fc
kj^o
Используя справа в (13) выражение (9), мы можем вывести
аналогичное представление для 2?^ (nx + 1, и2, пг),
полагая
+ 1, «2,..., пг; у) =
= е»,..лг (пх,..., пг; у) (1 - ух) +<%?(%... С*;. (14)
Оценивая правую часть (14) с помощью (10) или (И) и
используя опять равенство (12), мы получаем неравенства,
аналогичные (10) и (11), в которых заменено на п± + 1.
Таким же образом можно заменять п2 на п2 + 1 и т. д.
Теорема 1. Пусть
ед=2Р{£=«}за	(15)
— вероятностная производящая функция случайного век-
тора £ = (Sit --«t Sn) со значениями us N*. Предположим,
что все ^-моменты
<Рз = М^
k-го порядка (т, е. с 0 —	+ ... + 0П = Л) конечны.
Тогда имеет место разложение
G (®) = 3 тг (s1 - I)31 • • • («п - 1)₽п + Лк, (16)
0<к
в котором остаточный член R^ представим в виде
Л» = 3 (- 1)Ч(*)(1 - s1)”*... (1 - «П)Ч (17)
$ 1]	МНОГОМЕРНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 113
, причем при 0 S $'	1
О<вд(а)<в0(а')<^-, ИтвДв) =	(18)
1 а при | s |	1
(19)
t	Доказательство. Положим s* = 1 — yt и в каж-
п
дом члене ряда (15) представим произведение JJ (1 - у<)“<
г=1
в виде суммы (8) с остаточным членом (9). Тогда G (s) запи-
шется в виде
ед=2^(-1)Ы*...^+Яь
₽<»
I	где
’ Як = 2 (- 1)*2?{£ =	• • •» an; У)У^1-• • /*•
p=k	“
<	(20)
Сравнивая (17) и (20), получаем
8и (») = 3р & = а>	(ai> •••»«»»; У)-	(21)
а
1	Свойства (18) и (19) получаем из (21), применяя к
8д,.„ an (oci, ..., an; у) неравенства (10) и (11) в лемме 1
Замечание 1. Из теоремы 1 вытекает, что остаточ-
' 1 ный член Як, определенный равенством (16), удовлетроря-
I ет неравенству
,	0<(-1)кЯк< 3^(1-а»)*.. Д1-«»)*«	(22)
при 0	1 и неравенству
|Хк 3 %-|1 - 81 р* •.. и - иРп (23)
при I S |	1.
114 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Замечание 2. Мы доказали теорему 1 для веро-
ятностных производящих функций. Нетрудно видеть, что
она справедлива и для положительных G (s), если в (16),
(18) и (19) положить фр = Gp (1). В такой форме теорема
верна и для квазиположительныхG(s) = ^gaSa, если все
_____	а
ga с а > к неотрицательны.
Замечание 3. Пусть у G TV™ и f = к. Дифферен-
цируя (16), получаем при любом 0 s 1 Gv (s) —
= Rkv(s), откуда при sf 1 следует (1) = Rk v (1).
Докажем еще одно простое утверждение, которое нам
впоследствии понадобится.
Теорема 2. Если G ($) — вероятностная производя-
щая функция и все	Ai конечны, то для любых
I«х|1, |$21<; 1
п
|G(S1).-G(s2)|<S ^i|4-4|.	(24)
i=l
Доказательство. Неравенство (24) получа-
ется из тождества
= s [вй......4.4й......•:> -
К=1
/TF	ft-1! fc	n41
6r($i, . . . , 51 , $2, • • • > $2)L
неравенства | xn — yn| n | x — y|, справедливого для
любых | x | < 1 и | у |	1, и неравенства | I
справедливого при | s |	1.
В теореме 1 мы выделили свойство, которое является
обобщением свойства 6° из § 1.3 для одномерных произво-
дящих функций. Это, пожалуй, единственное нетривиаль-
ное обобщение свойств 1° — 9° из § 1.3. Остальные свойства
переносятся на многомерный случай почти дословно.
Сформулируем еще только следующее обобщение свойства
8° из § 1.3. Пусть (к) = (Й (к), ...» & (к)), г = 1,2, ...,п,
§ 2]	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА	115
к = 1, 2, ...,— случайные векторы с целочисленными не-
отрицательными компонентами (Л), независимые в сово-
купности по всем индексам i и к и одинаково рас-
пределенные при фиксированном индексе i. Пусть
v = (vlt ..., vn) также — n-мерный случайный вектор
с целочисленными неотрицательными компонентами, неза-
висимый от совокупности векторов {£* (&)}. Определим
£v = (£i,	£п) следующим образом: $ = О,
'-1....."
г=1 К=1
О
Здесь при vr = 0 сумма 3 полагается равной нулю.
Обозначим F^v(s), A (s1, ...,sn), F (s) = ^(1)(5) ^-мерные
производящие функции случайных векторов g1 (1).
Имеет место равенство
которое получается, если при вычислении	сначала вы-
числить условное математическое ожидание при фикси-
рованном v, а затем осреднить по v.
§ 2. Определение процесса
Как мы указывали в гл. I, ветвящиеся процессы с од-
ним типом частиц являются частным случаем марковских
процессов со счетным множеством состояний. Аналогично,
ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц
также представляют собой частный случай марковских
процессов со счетным числом состояний. Однако если
в первом случае естественную нумерацию состояний да-
вали неотрицательные целые числа п = 0, 1, ..., указы-
вающие общее число частиц, то в более общем втором
случае мы будем нумеровать состояния векторами
а == (ccx, ..., ап) с целочисленными неотрицательными ко-
ординатами.
Пусть имеются частицы п типов
Т1, ..., Тп.
116 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Если имеется совокупность частиц, состоящая из ча-
стиц типа Tt1 а2 частиц типа Т2, ..., ап частиц типа Тп,
то мы будем считать, что наш ветвящийся процесс находит-
ся в состоянии а = (а1? а2, ..., ап). Ветвящийся процесс
будет задаваться вероятностями перехода Р* (0> равными
вероятностям того, что одна частица типа за время t
переходит в совокупность частиц, соответствующую век-
тору а = (аг, ..., ап) ЕЕ ^л. Введем для вероятностей
Ра (t) многомерные производящие функции
$) =	(г) Л
а
(1)
где 5 = (s1, ..., sn) — вектор с компонентами | s* |	1,
а обозначение (и другие сокращенные обозначения ни-
же) определено в §1. Введем также векторную производя-
щую функцию с компонентами F* (t; s)
F (f, s) = (P1 (t; 5), ..., F* (t; $)).	(2)
Основное свойство, выделяющее из марковских про-
цессов ветвящиеся, состоит в том, что частицы, сущест-
вующие в момент в любой следующий момент tx + t,
t^> 0, дают потомство независимо друг от друга. Таким
образом, если в некоторый момент имеется совокуп-
ность частиц р, то многомерное распределение вероятно-
стей чисел частиц типов Т19 ..., Тп в момент + ^, f >0,
имеет производящую функцию
F”(*; s) = (F1 (i; s))₽*s)f*.	(3)
Состояние ветвящегося процесса описывается случайным
вектором р (t) = (pi ($), ...,	(0), fc-я компонента кото-
рого pfc (t) показывает, что в момент t имеется pfc (t) ча-
стиц типа Г». Случайный вектор р (t) представляет собой
ветвящийся процесс, если это марковский процесс, пере-
ходные вероятности которого
Р$(0= P{pGi + 0 = 3li*(fi) = a}
удовлетворяют условиям, аналогичным (1.1.1) — (1.1.6),
§ 3] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 117
т. е.
Рр(0>0, ЗР?(0 = 1;	(4)
Р₽ (* + т) = 2 Р? (Z) Р$ (т), t, т > 0;	(5)
Y
если время t GE [0, оо), то
limPg(0 = Pg(0) = 6? = P’ еСЛИ *7j’	(6)
Цо	[0, если а=/=р,
и условию ветвления
& *
р₽ (о=(оЛ* * № (оЛ *... * и»: (0)п,	(7)
эквивалентному соотношению (3). Смысл равенства (7)
состоит в том, что распределение {Ра (t)} представляет
собой композицию рх распределений {Р\ (t)}> р2 распре-
делений {Ра (0Рп распределений {Р" (/)}•
§ 3. Уравнения для производящих функций
Производящие функции F (t; s) удовлетворяют урав-
нениям, аналогичным тем, которые мы вывели в § 1.4.
Теорема 1. Производящая функция F (i; з) ветвя-
щегося процесса удовлетворяет при любых t, т> 0 основному
функциональному уравнению
F(t + т; s) = F (J; F (т; s))	(1)
и начальному условию
F (0; в) = s.	(2)
Доказательство. Умножаем (2.5) на в® и
суммируем по а. Получаем, учитывая (2.3)
F‘(f + т; s) = 2 Р\ (0 Рч (*; s) = F\t-, F (т; «));
Y
начальное условие (2) вытекает из (2.6).
118 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
В случае дискретного времени ветвящийся процесс за-
дается вероятностями Р\ (1) = Р'л или соответствующими
производящими функциями
=	(3)
а
Уравнение (1) сводится в этом случае к итерациям
F (t + 1; s) = F (t; F («)), |
F (t + 1; s) = F (F (t; s)), J
где
^(з) = (Я(з), ...» P*(S)).
В случае непрерывного времени из (2.6) вытекает, что
limF(£; 5) — 5
Цо
и что F (t, з) непрерывна по t равномерно в | s| 1 и
0</<со. Доказательство аналогично теоремам 1.4.2
и 1.4.3.
Далее, в случае непрерывного времени, мы будем все-
гда предполагать, что при t | О
Ра (0 == 6а + Pat + О (£),	(5)
где 6§ определено в (2.6), ej = (6|, ..., 6?), 6{ — символ
Кронекера (б) = 1, i = 7, б{ = 0, г =£= /; в дальнейшем
мы будем иногда обозначать символ Кронекера также через
бо- и 6ij). Всегда будем предполагать, что
2;4=о.	(в)
а
Введем производящие функции для плотностей вероят»
ностей перехода
/‘(») = 3р1»в
$ з1 Уравнения для производящих функций 119
и их векторную запись
/(S) = (/1(S), ...,/"(«))•	(8)
Имеет место
Теорема 2. Если выполнены условия (5) и (6), то
равномерно по | 51	1 имеет место следующее асимптоти-
ческое при t | 0 выражение
F{t\ s) = s + tf (s) + о (t).	(9)
Доказательство аналогично теореме 1.4.4.
Теорема 3. Производящая функция F (t\ s) ветвя-
щегося процесса с непрерывным временем удовлетворяет
при I 51	1 системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
™VpL = f(F(t-,S))	"	(10)
с начальными условиями
F (0; 5) = 5	(И)
и уравнениям в частных производных
(12)
с теми же начальными условиями.
Доказательство. Аналогично тому, как мы
это делали в теореме 1.4.5, воспользуемся уравнением (1),
полагая в нем один раз т -> 0, а другой раз t 0 и заме-
няя F (Z; з) при малых t выражением по формуле (9).
Мы определили однородные во времени ветвящиеся
процессы, которыми и будем в дальнейшем заниматься.
Однако так же, как и в § 1.7, можно ввести неоднородные
во времени ветвящиеся процессы. Они задаются вероят-
ностями
(«!, t2)	(13)
того, что одна частица типа Tiy существующая в момент t19
ко времени t2 t± превращается в совокупность а частиц.
Распределению вероятностей {Р^ (^, £2)} соответствует
120 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
производящая функция /а, | s |	1)
Р (^1» ^2» S) = 3 Р& (^1« ^2) ® •	(14)
а
Вместо (1) мы имеем в этом случае более общее уравнение'
Р (^l> S) = F (Zj, £29 F (^2»	$))»	^2	^3>	(15)
и начальное условие
F (Z, /; $) = S.	(16)
В процессах с непрерывным временем вместо (5) и (6)
предполагаем, что при | 0
Pl (t, t + Д0 = б? + р\ (0 А* + о (Ы),	(17)
Р\ (t — Ы, t) = & + pl (0 М + о (At),	(18)
причем
Зр‘(0 = 0, 1-1,..., л.	(19)
а
Введем производящие функции
/*(*; «) = 2 р! (*)»“•
а
Из (17) и (18) следует, что при Д$ 10 равномерно по
|з|<1
F (t, t + Д«; з) = з + / (/, з)Д/ + о (Ы),	(20)
F (t — Д<, f; з) = з + / (t, s)\t 4- о (Дг).	(21)
Из (20) и (21) легко получается следующая теорема.
Теорема 4. В ветвящихся процессах с непрерывным
временем производящая функция F (t, т; з) удовлетворяет
системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dF{lT,S} =-f(t-,F(t, т;з))	(22)
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
121
с начальными условиями
F (т, т; s) = s	(23)
и линейным уравнениям в частных производных
= 2 /* (Т, а)	(24)
«Г	к=1	де*
с начальными условиями
F (t, t; s) = s.	(25)
Доказательство аналогично теореме 1.7.4 и использует
уравнения (15) и соотношения (20) и (21).
Вернемся опять к однородному времени. Введем веро-
ятностные производящие функции
/* (s) —
hl (S) =-----, i = 1,..., n, (26)
~Pei
и функции распределения
G‘(/) = l-еРЧ <>0.	<27>
Теорема 5. Система обыкновенных дифференци-
альных уравнений (10) с начальными условиями (11) равно-
сильна следующей системе нелинейных интегральных урав-
нений
Fi (f; s) = j hl (F (t - щ s))dG* (») + ? (1 - 6* (/)),
i = 1,..., n.
Доказательство. Пользуясь (26), запишем
(10) в следующем виде:
^^L=.pieF{t,S)-p^{F(f,S)), i = l,...,n. (29)
Считая справа h* (F (Z; $)) известной функцией и решая
(29) как линейное дифференциальное уравнение, полу-
чаем (28), эквивадентное (10).
122 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Исследование условий существования и единственности
системы (28) мы отложим до гл. VIII, где этот вопрос будет
изучен при произвольных функциях распределения G*(0.
Отметим лишь, что при условии, что все производные
/ \ .
(и, следовательно, и в точке 5=1 конечны, система
(28), а следовательно, и система (10) с начальными усло-
виями (11) имеет единственное в | 51	решение
F (f; 5), координаты которого Fl (t; s), t = 1,	и, явля-
ются вероятностными производящими функциями.
§ 4. Математические ожидания
Начиная с этого параграфа, мы часто будем использо-
вать при записи формул следующее соглашение, принятое
в тензорном исчислении. Выражение, состоящее из произ-
ведения функций от верхних и нижних индексов, ниже
всегда, если не оговорено противное, понимается как сум-
ма этих произведений по всем значениям совпадающих
нижних и верхних индексов. Например,
flfcbi = 3	= 2	== 2
i	lc	i
и т. д. Символы Кронекера будем записывать в одном из
следующих видов:	6^, д). В случае, когда нам нужно
будет аналогичное обозначение без суммирования, будем
употреблять следующие скобки: <а<>, и т. д.
Обозначим jiJ (Z) число частиц типа Tj в момент вре-
мени t, если в начальный момент 0 была одна частица
типа Обозначим ее математическое ожидание A} (t) —
= М р} (£). Эти математические ожидания равны произ-
водным F1 (/; $) в точке 5=1
= • <*)
ds 8=1
В процессах с дискретным временем будем обозначать
через А — ||А$| матрицу математических ожидании
А$ = 4) (1) за одно поколение,
§ 41	математические ожидайия	123
Дифференцируя равенства (3.4) по s* в точке s = 1,
получаем
л)(«+1) = 4(о4,	(2)
^(t+i)=44(«),	(3)
откуда следует, что матрица A (t) = |Л} (£) || является
t-й степенью матрицы А:
А (0 = А*.	(4)
В ветвящихся процессах с непрерывным временем мы
-	.	i df* (s)
будем предполагать, что все а,- = — \ 	, составляющие
9а1	з=1
матрицу а = j а} |, конечны. В разложении fi(s) = ^lpia$a
а
все коэффициенты ргл, кроме коэффициента при первой
степени $*, неотрицательны, поэтому все элементы матри-
цы а неотрицательны, за исключением, быть может, диа-
гональных элементов.
Теорема 1. Пусть все а] конечны. Тогда все мате-
матические ожидания A] (Z) в ветвящемся процессе с непре-
рывным временем конечны и удовлетворяют двум системам
линейных дифференциальных уравнений
(5)
at
U
rfXf (*) t „
(6)
и начальным условиям
4(O)=Sj.	(7)
Доказательство. Конечность A* (t) мы дока-
зывать не будем, так как она следует из более общей тео-
ремы 8.6.1, доказываемой в гл. VIII. Уравнение (3.28),
равносильное уравнению (3.10), можно дифференцировать
по s’ в точке $ = 1, если а[ конечны. Результат такого
1 24 процессы с йонечЬым числом *гийоЬ частиц trrt. iV
дифференцирования приводит к интегральному уравнению,
эквивалентному (5) и начальному условию (7). Из (5)
и (7) вытекает при Д< | О
4 (ДО = S1 + а‘кД< + о (ДО.	(8)
Далее продифференцируем уравнение (2.1) по s’ в точке
s = 1 и воспользуемся (1)
4g + t) = 4(04(*).	(9)
Полагая в (9) т | 0 и используя (8), получаем уравнение (6).
Уравнения (5) и (6) с начальными условиями (7) можно
записать в матричной форме
= аА (0 = А (0 а, А (0) = Е, (10)
где Е = || 6} || — единичная матрица. Решение (10) можно
записать в следующем виде:
А (0 = eai,	(И)
оо
где eat понимается как сумма ряда \ -^—(сходимость
п=о
поэлементная).
Во второй главе мы видели, что асимптотические свой-
ства ветвящегося процесса в значительной степени предоп-
ределяются асимптотическим поведением математических
ожиданий. Однако наличие нескольких типов частиц вно-
сит в асимптотику процессов довольно значительное раз-
нообразие.
Поэтому в § 6 мы произведем классификацию ветвя-
щихся процессов с несколькими типами частиц. Предвари-
тельно изложим некоторые свойства матриц А и а, необ-
ходимые для дальнейшего.
§ 5. Несколько свойств неотрицательных матриц
Как мы установили в предыдущем параграфе, матема-
тические ожидания М|л) (t) определяются матрицей
А = I А}; || в процессах с дискретным временем и матрицей
а = || a* J в процессах с непрерывным временем. Элемен-
$ 6] йесйолЪко свойств Неотрицательных матриц 125
ты А} матрицы А неотрицательны. Матрица а имеет неот-
рицательные иедиагональные элементы. Матрицы Айа
обладают рядом специфических свойств, от которых за-
висит асимптотика ветвящихся процессов. В дальнейшем
мы неоднократно будем пользоваться этими свойствами,
поэтому целесообразно изложить их в отдельном параграфе.
Матрицу А с элементами A} (i — номер строки,
/ — номер столбца) будем обозначать иногда || Л* ||.
Под | А} | понимается соответствующий определитель. Еди-
ничная матрица будет обозначаться Е = |] й} ||.
Определение 1. Матрица А = || A] J называет-
ся положительной, если все ее элементы А] 0, и неот-
рицательной, если все А} > 0. В первом случае мы будем
писать А > 0, во втором — А > 0.
Замечание 1. Вектор-столбец X = (X1, ..., Хп)
и вектор-строка Y = (Уп ..., Уп) представляют собой
частный случай прямоугольной матрицы, поэтому мы будем
также говорить о положительных и неотрицательных
векторах и писать X > 0, X > 0 и т. д.
Замечание 2. Мы будем писать А > В или
Л > В, если матрицы Л = || Л| Ц и В = [| В/ || — одного
порядка и для всех г, / Л} > В] или А} > В} соответст-
венно.
Определение 2. Квадратная матрица Л = |Л}|
будет называться разложимой, если множество индексов
{1, 2, ..., п}, которыми занумерованы столбцы и строки,
можно разбить на два таких непустых непересекающихся
множества 5Х и S2, что Л/ = 0 для всех i Е и / Е S2.
Матрица Л == Ц Л} |, не удовлетворяющая этому свойству,
называется неразложимой.
Определение 3. Квадратная матрица Л = Ц Л} ]
называется вполне разложимой, если индексы {1, 2, ..., п}
можно разбить на два таких непересекающихся множества
и 52, что А} = А{ = 0 для всех i ЕЕ 5Х, / GE S2.
Ниже мы всегда будем предполагать, не оговаривая
этого каждый раз, что матрицы Л = || Л} || и а = || а} ] —
квадратные.
126 процессы с конечным числом типов частиц [гл. IV
Лемма 1. Если матрица А = || Л^|| разложима
(вполне разложима) > то любая ее степень А1 = || A} Q) ||
также разложима (вполне разложима).
Доказательство. Пусть 5Х и S2 — множества,
введенные в определении 2. Докажем лемму по индукции.
Пусть Aj (t) = 0 для всех i е Sx, ] G S2. Тогда для
i GE 5Х, / GE S2
4(< + 1) = 4(0Л- = о. (i)
так как справа в каждом слагаемом либо A'k (t) — 0,
либо А* = 0.
Из леммы сразу вытекает
Следствие 1. Если при некотором натуральном t
А1 0, то матрица А неразложима.
Теорема 1 (теорема Перрона). Положительная
матрица А = || А} || всегда имеет положительное характе-
ристическое число П9 которое является простым корнем
характеристического уравнения
|	Л|| = 0.	(2)
Все остальные корни X уравнения (2) по модулю меньше R.
Правый и левый собственные векторы и = (и1, ...» ип) и
v = (рх, ..., ип), соответствующие R, могут быть выбраны
положительными.
Доказательство. Если число X неотрицатель-
но и существует такой неотрицательный вектор х =
= (я1, ..., хп) =/= 0, что при всех i
(3)
мы будем полагать, что X Е S. Из (3) нетрудно заключить,
что множество S ограничено, так как
3
I, ;=1	k=i
Кроме того, S содержит положительные X, например
X = min А; > 0. Обозначим R = sup X. Найдутся такие
ij	*es
$ 5] НЕСКОЛЬКО СВОЙСТВ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ 127
последовательности чисел X f R и неотрицательных век-
п
торов ж* = (xr, ..а:»), 2	=1» 4X0 ПРИ всех i = 1,—, и,
i=i
к =1,2,...
Aj&k	(^)
п
Так как > 0 и 2 х* = 1» то из xk можно выбрать под-
2=1
последовательность, сходящуюся к ненулевому неотрица-
тельному вектору и = (и1, ип). Для предельных зна-
чений Лии выполняется неравенство
Л)иу>Ли\	(5)
Докажем, что в (5) на самом деле имеет место равенство.
Предположим, что вектор Ь = А и — Ru > 0 не равен ну-
лю. Тогда для вектора у = и 4-	0 выполняется
неравенство
Ау > Ry-	(6)
В самом деле,
Л у	Ry = Ли +	— Ru — у =	+ у > О,
так как из Ь > О следует ЛЬ > 0. Неравенство (6) проти-
воречит тому, что R есть верхняя грань множества S.
Таким образом, R есть положительное характеристическое
число
Ли = Ли,	(7)
и собственный вектор и положителен.
Предположим, что % — такое характеристическое чис-
ло, что 1X | R. Пусть z — (z1,	&п) — соответствую-
щий X собственный вектор; тогда
Лу? = Iz1,	(8)
рткуда, переходя к абсолютным величинам, получаем
4i?i>%i. |?|.	(9)
128 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Следовательно, | X | S S, поэтому | X | R. Итак,
11 | = R, и (9) можно записать в виде
где | z* | не все равны нулю. Отсюда, как мы это уже дока
зали, вытекает
4}|?|== Я |/|,	(10)
а из (8) и (10) следует | Ajz* | = А; |z^|, т. е. вектор z
только скалярным множителем отличается от положи-
тельного вектора. Поэтому == Rz* и, в силу (8),
к = R. Итак, мы показали, что единственным характери-
стическим числом к с | к | > R является к — R. Попутно
мы установили, что любой собственный вектор z, соответ-
ствующий Я, отличается только скалярным множителем
от положительного вектора. Покажем теперь, что характе-
ристическому числу R соответствует только один правый
и один левый собственный векторы. Предположим, имеет-
ся два положительных не пропорциональных друг другу
собственных вектора и и z: Аи = Як, Az = Rz. Пусть
действительное число е > 0 таково, что вектор и — &z
неотрицателен и имеет нулевые компоненты. Это невоз-
можно, так как
0 А (и — sz) = R (и — sz).
Те же самые рассуждения можно провести с левым собст-
венным вектором и.
Докажем теперь простоту корня R. Обозначим D*
минор, соответствующий элементу Я61 — 41 матрицы
ЦЯ61-41[. Обозначим А (1) = | Xfil — Al |. Нетрудно
видеть, что при любом фиксированном /
(М-4)Р| = о
И
D’k(7?6?-4) = 0.
Из единственности левого и и правого v собственных век-
торов следует Di — Cu'v*, где С =£ 0. Таким образом, все
$ 5] НЕСКОЛЬКО СВОЙСТВ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ 129
миноры имеют один и тот же знак, поэтому А' (7?) =
== D\ =f= 0, т. е. корень R — простой. Теорема доказана.
Покажем теперь, что неразложимые неотрицательные
матрицы в значительной степени обладают теми же свой-
ствами, что и положительные матрицы. _
Лемма 2. Если неотрицательная матрица А не-
разложима, то для любых i и j найдется такое t О,
что A} (t) > 0.
Доказательство. Пусть имеются такие не-
равные друг другу i и j, что A} (t) = 0 при любом
£ = 1,2, ... . Включим в множество 52 все те индексы к,
для которых А % (£) = 0 при любом t > 0; все остальные
индексы объединим в множество Множество S2 не пу-
сто, так как содержит /. Первоначальный индекс i войдет
в множество S2, если при любом t > 0	(£)> = 0; если
же при некотором t > 0	(£)> >0, то i Е 8г. Если
множество пусто, то матрица А — нулевая и поэтому
не может быть неразложимой. Предположим, что не
пусто. Покажем, что для любых k & 8г и I е= S2 и любого
£ >0
4 (О = о.	(Н)
В самом деле, если это не так, то найдется такое t± > 0,
что А*(£х)>-0. С другой стороны, так как к е то
А* (*») > 0 при некотором £2 > 0. Следовательно,
4 & + *,)> <4 (*«) 4 ft)» о,
а это противоречит тому, что I €Е S2. Итак, (11) выполня-
ется, а это противоречит неразложимости матрицы.
Лемма доказана.
Лемма 3. Если неотрицательная матрица нераз-
ложима, то при любом е^>0 найдется такое £ > 0, что
(еЕ + А? > 0.	(12)
Доказательство. В лемме 2 мы установили,
что для любых £, / существует целое £^ > 0 такое, что
А * (£jj) 0. Для £ == max £о- (12) выполняется, так как
5 Б. А. Севастьянов
130 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [гл. IV
элемент, стоящий’ на месте (i, /) матрицы (&Е + Л)*
fc=l
состоит из неотрицательных слагаемых, среди которых
имеется хотя бы одно положительное.
^(Теорема 2 (теорема Фробениуса). Неотрица-
тельная неразложимая матрица А = || Л^|| всегда имеет
простое положительное характеристическое число R.
Все остальные характеристические корни X лежат в круге
|% |Правый и левый собственные векторы и = (а1,...
ип) и v = (pj, ..., vn), соответствующие В9 могут быть
выбраны положительными.
Доказательство. Пусть матрица Л > 0 та-
кова, что Л* > 0 при некотором t > 0. Если X есть ха-
рактеристическое число Л, а х — собственный вектор
Ах = tar,	(13)
то %* будет характеристическим числом Л*, а х — соответ-
ствующим собственным вектором
А*х = rfx.
Так как Л* > 0, то по теореме 1 имеется 2?* > 0 такое, что
Л*и = В*щ
и > 0 и | А/ |	Я*. Отсюда вытекает | X | R. Если
| А/| = R\ то V = R* и х в (13) можно выбрать положи-
тельным (по теореме 1). Поэтому % = R > 0. Итак, в слу-
чае Л* > 0 существует простой характеристический ко-
рень R > 0, а остальные корни X лежат в круге | % | < R.
Предположим теперь, что не существует такого t > 0,
что Л* 0. Тогда по лемме 3 при е 0 найдется такое
t 0, что (ьЕ + А)1 > 0. Пусть — характеристический
корень ъЕ + Л, х — собственный вектор
(е6’+ Л))?=	(14)
Из (14) вытекает, что К =	— е есть характеристический
§ 5] НЕСКОЛЬКО СВОЙСТВ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ 131
корень А, х — соответствующий собственный вектор

(15)
По доказанному выше существует простое характеристи-
ческое число Rt матрицы еЕ + А с положительным соб-
ственным вектором и такое, что
(efij 4- и1 = Я.г?
и |	| < Яе для всех остальных характеристических чи-
сел матрицы ъЕ + А. В силу (15) характеристическому
числу соответствует характеристическое число
R — Rt — в матрицы А с собственным вектором и
AljUj = Ru.
(16)
Из (16) и и > 0 следует R 0. Итак, мы получили, что
существует простое характеристическое число R 0 ма-
трицы А, а все остальные характеристические числа %
удовлетворяют при любом е > 0 неравенству
| К + е | < R + в,
следовательно, в пределе при 8 -> 0 получаем
| % К Л.
Возможен случай | % | = R и % =£* R.
Определение 4. Назовем максимальный по
модулю действительный характеристический корень
неразложимой неотрицательной матрицы перроновым
корнем.
Теорема 3. Пусть А — неразложимая неотрица-
тельная матрица, a R — ее перронов корень. Для того
чтобы К R, необходимо, чтобы существовал такой век-
тор х > 0, что Ах tar, и достаточно, чтобы существо-
вал такой ненулевой вектор х > 0, что
Ах Кх, Ах =/= Кх.
(17)
Доказательство. Пусть К < R; возьмем соб-
ственный вектор и 0, соответствующий R. Имеем
Аи = Ru> Хи.
5*
132 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Для случая А 0 обратное утверждение содержится
в доказательстве теоремы 1. Если 4* > О при некотором
t 0, то из (17) вытекает
А*х> Мх,
и тогда аналогичным образом X* < 7?*, т. е. X < R.
Пусть (&Е + АУ > 0. Из (17) следует
(4 + еЕ)х > (X + ъ)х
(4 + гЕУх > (X + ъУх.
Из теоремы 1 имеем (% + s)*< (R 4- в)*» откуда вьГтекает
% < R. Теорема доказана.
Определение 5. Квадратную матрицу а =- || ау||
с вещественными элементами будем называть квазиполо-
жителъной (квазинеотрицательной), если все ее недиаго-
нальные элементы положительны (неотрицательны).
Теорема 4. Квазинеотрицательная неразложимая
матрица имеет такой вещественный характеристический
корень г, что для всех остальных характеристических кор-
ней X имеет место неравенство ReX<r. Соответствую-
щие собственные правый и = (ю1, ...» ип) и левый v =
= (plt vn) векторы положительны, если выбрать
пг> 0,	> 0.
Док азательство. Если взять max <| б4|>,
то матрица А — а + кЕ будет неотрицательной. Из не-
разложимости а следует неразложимость 4. Характери-
стические корни А матрицы 4 и характеристические корни
X матрицы а связаны соотношениями А = X + к. По тео-
реме 2 существует характеристический корень R > 0
матрицы 4, для которого |A | R. Поэтому имеется
характеристический корень г = R — к матрицы а такой,
что | X + к | г + к. Отсюда вытекает Re X < г. Соб-
ственные векторы и и v матрицы 4, соответствующие R,
положительны и являются также собственными векторами
матрицы а, соответствующими г. Теорема доказана.
Определение 6. Назовем характеристический
корень неразложимой квазинеотрицательной матрицы с
максимальной действительной частью перроновым корнем.
§ в]	КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ ЧАСТИЦ
133
Теорема 5. Пусть] а — неразложимая квазинеот-
рицателъная матрица, аг — ее перронов корень. Для того
чтобы % < г, необходимо, чтобы существовал такой вектор
х 0, что ах > Кх, и достаточно, чтобы существовал
такой ненулевой х > 0, что ах Кх, ах =/= Кх,
Доказательство. Утверждение сразу выте-
кает из теоремы 3, если ее применить к А = а + кЕ, так
как перроиовы корни Лиг матриц А и а связаны соотно-
шениями R = г + к, неравенства % < г, К к < R
равносильны, и
ах > кх <=> Ах > (% + к)х.
§ 6. Классификация типов частиц
Предлагаемая ниже классификация типов частиц в из-
вестной мере аналогична известной классификации
А. Н. Колмогорова состояний цепей Маркова, однако об-
ладает некоторыми специфическими особенностями.
Определение 1. Мы будем говорить, что тип
следует за типом Ti, а тип предшествует типу
и писать Ti -> если существует такое t 0, что
1°.	Р{ц<(0>0}>0.	(1)
Определение 2. Если Tt -► Т* и Тк -* Tt, то
мы будем называть типы Tt и сообщающимися, или
эквивалентными, и писать Tt Тц.
Лемма 1. Если Tt Tj и Tj-*- Т*, mo Tt -* Т*.
Доказательство. Из Tt-*- Tj и Tj-*-j\
вытекает, что найдутся такие tx >• 0 и t2 0, что
P^G1)>0}>0, PH(Q>0}>0.
Тогда
рМ(*1+и>°} >
со
>	3 Р Н Ш = «}(!- Р” Н (^) = 0}) >
со
>	3 Р (\) = П} (1 - Р {|4 И) = 0}) «
П=1
= РЖ»°}РШа)>°}>0
134 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Условие (1), определяющее отношение Тг -> эквива-
лентно каждому из следующих двух условий: найдется
такое t 0, что
2°, производящая функция Fi (t; з) зависит от пере-
менной
3°. математическое ожидание
Мр1(«) = 4(о>о.
(2)
Лемма 2. В ветвящемся процессе с дискретным вре-
менем Ti Т]с тогда и только тогда, когда найдется та-
кая цепочка индексов iQ — i, ix, i2> •••>	что при лю-
бом I = 1, ..., m Fll~r (s) зависит от переменной sil или,
что равносильно,
4^>0.	(3)
Доказательство. Если F* (s) зависит от s\
то А] > 0, и наоборот. Поэтому докажем утверждение
в терминах математических ожиданий А[.
Так как Al (t) есть элемент матрицы А*, то
4(0 = 44... 4-1> о
тогда и только тогда, когда найдется цепочка, описанная
в формулировке леммы.
Лемма 3. В процессах с непрерывным временем
Tt Тк тогда и только тогда, когда при любом t > 0
производящая функция Fl (Z; з) зависит от sk или, что рав-
носильно, Al (t)	0.
Доказательство. Проведем доказательство
для Al (t). Если Ti -> 7\, то согласно определению 1 най-
дется такое tQ > 0, что Al (£о) >• 0. Поскольку в процес-
сах с непрерывным временем при любом t > 0
<4(0»e'k<‘ >0,	(4)
где ki = —	= (6х,..б"), то для любого t > <0
4 (0> <4 (*-*<>) 4(М»0.
| 6]	КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ ЧАСТИЦ
135
Остается показать, что найдутся как угодно малые t > О,
для которых	и i=f=k. В самом деле, рассмот-
рим вложенный ветвящийся процесс с единицей времени
. Тогда по лемме 2 найдется такая последовательность
io = i» ii, • • •» in-ь г’п = к, что А?~1	> 0. Среди n + 1
индексов ti, I = 0,..., n, найдется хотя бы два совпа-
дающих. Пусть imi = imt, т1 < т2. Тогда последовательность
i0 = i(b Ч =	• • •> im, = imp im,+i = imt+h • • •> in^(mr-mI) = in
также обладает свойством
(А) > о,
i' \ п /
откуда вытекает
(fr (n — m2 + rni) j > q
Отсюда нетрудно заключить, что Ai (t) > 0 при любом
t >0.
Обозначим множество всех типов которые пред-
шествуют 7\, 5/2 — множество всех типов 2\, которые
следуют за Ть и 5го = fl Si2.
Лемма 4. Если Tt -> Тк, mo Stl £ 5fcl, 5fc2 Si^
а если Ti TK, mo Sir = Skr, r = 0, 1, 2.
Доказательство. Пусть Ti G Stl\ тогда
Ti -> Tt- Так как Ti -> Tk, то по лемме 1 Ti -> 7\, сле-
довательно Ti EE SitV Аналогично доказывается cz Si2.
Если Ti 7\, то, как мы только что установили, Sir С2 Skr
и Skj. Sir, г = 1, 2. Поэтому Sir = 8кГ, г = 0, 1, 2.
Лемма 5. Если Тк ЕЕ и Ti ЕЕ	^1*
Если Тк Ti и Тк mo Ti GE SiQ.
Доказательство. Согласно определению мно-
жества дУ/0 в него входят те и только те типы, которые эк-
вивалентны Ть поэтому из Тк SiQ вытекает Тк <-► Tt.
А из Тк Tt и Ti <-► Ti вытекает Tk <-> Тг. Наоборот,
если Тк ЕЕ Sщ и Тк Th то Ti Th т. е. Ti ЕЕ Sjo*
Лемма 6. Любые два непустых множества Si0u Sk0
либо совпадают^ либо не пересекаются. Если не пусто,
то Ti G~ Si9.
136 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Доказательство. Пусть Tj е П Sk0.
Тогда Tj Тк и Tj <-> Тх и по леммам 1 и 4 Tt <-► Тк и
SiQ = SkQ. Далее, пусть Тк G SiQ; тогда Тк -> Tt и
Ti -> Г», и следовательно, ++ Т^ т. е. 7\ G 5i0.
Определение. 3. Если множество SiQ пусто,
мы будем говорить, что тип Tt — особый или, что тип Тг
образует особый класс {7\}.
Определение 4. Если множество SiQ не пусто,
то мы его называем классом сообщающихся типов, или про-
сто классом. В дальнейшем особый класс также будем
иногда называть просто классом.
Таким образом, в любом ветвящемся процессе типы
Tv ..., Тп разбиваются на классы. Из неравенства (4) вы-
текает, что в процессах с непрерывным временем отсут-
ствуют особые классы, так как T^Ti, т. е. для каждого i
Ti ЕВ SiQ. В процессах с дискретным временем могут быть
особые классы. Вот пример:
F'(s) =	+	, /(.)- I-V1 ,
А	и
Fs (s) = s‘, F* (s) = s>, F* (s) =	(5)
F.(s)=^+i, f>(s) =<+?£..
Здесь множество всех типов Т19 ..., разбивается на сле-
дующие классы:
- {Ti}, К2 = {Тг}, К3 = {Г8, Г4},
ЛГ4 = {Тв,Т7},^ = {7-6}.	(6)
Класс Къ — особый. Множество всех классов типов
ЛГ == {Кц ..., Kn} можно частично упорядочить следую-
щим образом.
Определение 5. Мы будем говорить, что класс
Ка предшествует классу (или следует за Ка), и пи-
сать Ка -< Ка, если Ка =/= К л и найдутся такие Tt €= Ка
nTjEB Кь, что Ti Tj.
Л е м м а 7. Если Ка-^ Кто из Tt ЕВ Ка и Tj ЕВ К
вытекает Tt -> Tj.
Доказательство. По определению 5 найдутся
Ti9 €= Ка и TjQ^K^, для которых Tio-* Tjo. Так как
Ti Tio hl Tj Tj9, то Ti -> Tj.
$ 61
КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ ЧАСТИЦ	137
Определение 6. Множество $ типов назовем
замкнутым, если из ES вытекает S/, S. Класс Ка,
являющийся замкнутым множеством, будем называть зам-
кнутым классом.
Определение 7. Мы будем говорить, что все
замкнутые классы имеют ранг 0. Пусть уже определены
все классы рангов — 1. Класс Ка назовем классом
ранга г, если из Ка -< К$ следует, что ранг не выше
г — 1, и найдется такой класс Ку ранга г — 1, что
Ка<Ку.
Таким образом, каждому классу из X приписывается
ранг. В примере (5), (6) мы имеем
Кх Кя, Кг -< Кя, К, г< К6 •< К<,
поэтому классы Кя, Кя и Kt имеют ранг 0, Ks — ранг 1
и Кх — ранг 2.
Определение 8. Класс К = {Tiv Tim}
назовем финальным, если он непустой и найдется такое
t 0, что для любого Тц е К производящая функция
(t; s) есть линейная форма относительно переменных
.s4*, s<ra, т. е.
т
P4(f,s)=2^(t‘,s)siic,	(7)
fc=l
где функции (pik (t\ s) не зависят от s\ ..., s'm.
Теорема 1. Пусть К = {Tiv ..., Tim} — финаль-
ный класс. Тогда (7) выполняется для любого t 0.
Доказательство. Поскольку К — финальный
класс, (7) выполняется при некотором t = tQ > 0. Из оп-
ределений ясно, что коэффициенты ф^ (£; в) не зависят
не только от а*1, ..., но и от тех которые соответству-
ют типам Tj е -< К. Поэтому, если проитерировать
функцию F (£0; $), то мы получим выражение
ш
Ft{(2to-,S)= 2<hk(2*.;s)A	(8)
К=1
138 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
в котором фис (2/0; s) опять не зависит от s*1,s'm. По ин-
дукции получаем, что (7) справедливо для любого t = п£0,
п = 1, 2, .... Отсюда от противного нетрудно заключить,
что (7) справедливо и для t = ~, п = 1, 2, .... Таким об-
разом, в процессах с дискретным временем (7) справед-
ливо для t — 1, и следовательно, и для всех целых /,
а в процессах с непрерывным временем — для всех рацио-
нальных Z, и, по непрерывности, вообще для всех t > 0.
В примере (5); (6) К± есть финальный класс ранга 2,
а К3 и К* — замкнутые финальные классы.
Определение 9. Ветвящийся процесс, в кото-
ром все типы Т19 ..., Тп образуют один класс сообщаю-
щихся типов, называется неразложимым. Остальные про-
цессы будем называть разложимыми. Ветвящийся процесс
назовем вполне разложимым, если множество всех типов
можно разбить на два непустых замкнутых подмножества.
Лемма 8. Ветвящийся процесс с непрерывным вре-
менем неразложим тогда и только тогда, когда матрица
математических ожиданий A (t) = || Al (t) J неразложима
при любом t 0.
Доказательство. Если ветвящийся процесс
неразложим, то Tt <-> Tk для любых Tt и и по лемме 3
для процессов с непрерывным временем Al(t)>0 при
любом t 0, следовательно, A (t) > 0 и A(t) неразложи-
ма (следствие 5.1). Так же легко доказывается обратное
заключение.
Определение 10. Неразложимый ветвящийся
процесс с дискретным временем называется периодическим
с периодом d, если общий наибольший делитель для всех
тех t, для которых (£)>	0, равен d. Если d = 1, то
процесс будем называть непериодическим.
Мы не будем здесь проводить детальный анализ перио-
дических процессов, так как он вполне аналогичен тому,
который имеет место в цепях Маркова. Укажем лишь, что
в периодическом ветвящемся процессе множество всех
типов Tlt ..., Тп разбивается на d подклассов Ь19 ..., Ld,
так что из частицы типа ЕЕ La за время t = Р —
— a (mod d) получаются только частицы, тип которых
принадлежит подклассу
{ в]	КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ ЧАСТИЦ
139
Теорема 2. Для неразложимости ветвящегося про-
цесса с непрерывным временем необходимо и достаточно,
чтобы матрица а = Ц а) | была неразложимой.
Доказательство. Воспользуемся матричной
формулой
°° т.т
А(1) = еа‘=	(9)
171=0
Если матрица а разложима, то найдется такое разбиение
{1, .... п} на и S2, что al = 0 для всех i 6= и к G=
Тогда при любом т = 1, 2... в матрице ат = I al (m)Ц
также al (т) — 0, поэтому из (9) вытекает, что Al (<) = 0,
т. е. A (t) разложима. Если же а неразложима, то неразло-
жима и А (Д<) при малом Дг > 0, так как каждому
al > 0, i к, соответствует Al (Д0 = а^Д< + о (Д£) > 0.
Для завершения доказательства надо воспользоваться лем-
мой 8.
Ветвящийся процесс описывается, как мы знаем, слу-
чайным вектором
Н (0 = (Hi (0» •••» Нп (0),	(Ю)
где ру (0 есть число частиц типа Гу в момент t. Если мы из
компонент вектора (10) образуем вектор меньшей размер-
ности
н(0 = (МО.---, МО)»	(И)
фиксируя лишь численности частиц типов Т{1, ...,
то мы получим некоторый случайный процесс, который,
вообще говоря, не обязан быть ветвящимся. Однако при
некоторых подмножествах S = {Tiv ..., Tir} выделенных
типов мы опять получаем ветвящийся процесс.
Определение 11. Множество 5 = {Th, ..., 7\г},
являющееся подмножеством типов 7\, ..., Тп ветвящегося
процесса, назовем правильным, если из Ть TjES и
Ti-+ Tj вытекает TkES. (Иначе это свойство
множества S формулируется так» из Г, е S и -> Г/
вытекает П £ S.)
140 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Лемма 9. Если S — правильное множество, то:
1°. Из Tt ЕЕ S вытекает, что S содержит целиком тот
класс, в который входит Tf,
2°. Если классы Ка £ S и S, Ка -< К$, то S
содержит все такие классы Ку, что Ка Ку -< К$.
Доказательство. 1°. Если входит в неосо-
бый класс, то Ti +-> Ti, а тогда в силу определения 11
A Si2 £ S.
2°. Если Ti(=Ka, Tj^Kp и Ka^Kr^Kfi, то,
как нетрудно видеть,	Г1 Si2.
Правильными являются например, множества S, со-
стоящие, в частности, из одного класса Ка или из несколь-
ких классов -< kas -< ... -< Кат, между которыми не
содержится никакого другого класса.
Теорема 3. Пусть S = {Тц, ..., Т1г} — правиль-
ное множество типов ветвящегося процесса, описываемого
векторами (10). Тогда случайный процесс, описываемый
случайными векторами (И), также будет ветвящимся.
Доказательство. В ветвящемся процессе (10)
переходные вероятности
Pg (0 = Р {р & + 0 = рIИ (^) = a}, а, р е Nn (12)
удовлетворяют условиям (2.4) — (2.7). Векторы а ЕЕ Nn
представим в виде а = (а', а"), где а' = {ah, ..., а<г),
а а* = (ад, ..., а^г), где пробегают все значения из
{1, 2, ..., п} —	..., ir}. Введем переходные вероят-
ности
Ру (0 = Р {р (* + *i) = Р' IИ М « «'}.
Эти переходные вероятности выражаются следующим об-
разом через вероятности (12):
?£(*) = S	(13)
v&fn-r
Нам нужно доказать, что переходные вероятности JPp'(f)
удовлетворяют условиям (2.4) — (2.7). Выполнение усло-
вий (2.4), (2.6) и (2.7) проверяется просто. Несколько
сложнее проверяется условие (2.5). Именно в этом месте
$ в]	КЛАССИФИКАЦИЯ ТИПОВ ЧАСТИЦ	141
мы используем условие, что множество S — правильное.
Суммируя
<,0) <)=S (о р1 (*)
Y
по Р* = Аг"~г, получаем
%+<)-2 р?'м (о S	(14)
т	3*
Далее, так как множество S — правильное, то сумма
не зависит от т* в множестве тех значений
а* ’	,
Т = (/, т'), для которых Р?,0) (0>О. Поэтому в (14)
мы можем в Р(р», р«)(0 заменить т на (т7, 0). Получаем
^:(1 + г)= 2
Y’, Y*	3*	Y*
что и требовалось доказать.
Определение 12. Пусть имеется ветвящийся
процесс с типами частиц 7\, ..., Тп и пусть S — правиль-
ное множество типов. Ветвящийся процесс, образованный
из первоначального частицами, типы которых принадле-
жат 5, будем называть S-под процессом заданного ветвя-
щегося процесса.
Производящие функции
=	s),...,FV(r,7))
5-подпроцесса, где S = {Тй, ..., Tir}> получаются
из производящих функций F (t\ s) первоначального про-
цесса следующим образом. Обозначим а =	..., s*1*),
F =	s^r), s = (s1, ..., sn) = (5, s), где все
{1, 2, ...» л} — {in ..., ir}. Тогда при всех Tik е S
Аналогично, для процессов с непрерывным временем про-
изводящие функции f 0 = (Л 0,	получаются
из / («) с помощью равенств f1* (s) =	1)).
142 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Т е о р е м а 4. Пусть в ветвящемся процессе все типы
..., Тп образуют один финальный класс. Тогда при
любом i и любом t О
п
р{ S и/(0 = 1) = 1,
У=1
и состояние процесса в момент t определяется тем номером
типа /, для которого |ij (t) = 1. Получающийся процесс
с состояниями (1, 2, ..., п) является марковским с вероят-
ностями перехода
pj(O=P{p)(t)=i}.
Доказательство. Согласно (7) в нашем слу-
чае имеем
F1 (<; s) = pl (t) sk, i = 1,n,
n
где P {[Ak (t) = 1} = pl (t) и 3 Pfc(0 = Из основного
k=l
функционального уравнения (3.1) вытекает уравнение для
переходных вероятностей марковских процессов
(* + *) = Pi СО-
Теорема доказана.
Следствие 1. Если К — финальный класс вет-
вящегося процесса, то К-подпроцесс сводится к марковскому
процессу в пространстве типов из класса К.
Разбиение типов частиц на классы можно связать со
свойствами матриц А и а. Из леммы 8 и теоремы 2 вытекает,
что каждому неособому классу К v соответствуют неразло-
жимые подматрицы А ? и а? матриц А на, в которые вклю-
чаются лишь элементы, стоящие на пересечении строк и
столбцов с номерами типов из Kv. Соответствующая под-
матрица A v (t) матрицы A (t) при всех t 0 будет также
неразложима в процессах с непрерывным временем и не-
периодических процессах с дискретным временем. Далее
мы будем исключать периодические ветвящиеся процессы
и говорить про свойства матрицы A (t) при любом t > 0.
Нетрудно видеть, что теми же самыми свойствами будут
обладать матрицы Айа.
§ 7]
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
143
Пусть имеется два различных класса и Ку. Обозна-
чим A^(t) подматрицу A(t), состоящую из элементов,
стоящих на пересечении строк из К а и столбцов из Ку.
Если К$ -< Ку. то подматрица A (t) — нулевая, а под-
матрица A$y(t)— ненулевая. Если не имеет места ни
К^-^Ку, ни	то обе подматрицы Л?э(£) и
(t) — нулевые.
Если класс Ку — особый, то подматрица A v (t) со-
стоит из одного нулевого диагонального элемента A (Z).
Итак, матрицу A (t) всегда можно разбить на квадратные
неразложимые подматрицы, соответствующие классам ти-
пов Ку. Можно так перенумеровать типы частиц ..., Тп,
чтобы снизу от подматриц A v (t) стояли только нули.’
Матрица Л, относящаяся к примеру (5), имеет следующий
вид:
111 1	1/2	1/2	0	1/2	0	0
pi	1	1 0 .1		0	0	0	0
0	б	i °	Т	"|0	0	0
0	0	11	0	io	0	0
0	0	0	0	i о	>1	0
0	0	0	0	0	i 3/4	1/4
0	0	0	0	0	i i/з	2/3
§ 7. Моменты. Критичность
Будем придерживаться следующих обозначений. Пусть
£ = (£п ..., £п) — случайный вектор, а = (ах, ..., ап)—
фиксированный вектор с целочисленными неотрицательны-
ми компонентами и а = ах + ... + Обозначим
(1)
где = х (х — 1)... (х — а — 1). Математическое ожи-
дание MgW будем называть факториальным моментом g
порядка а или, более подробно, а-моментом £.
Обозначим М* (t) = М (р* (0)[а] а-момент вектора pl (t) =
= (pi(0> • • • ♦ Рп (0)- В дальнейшем, кроме обозначения
144 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ 1ГЛ. IV
Мга(£), В некоторых случаях удобно употреблять другое
обозначение M„(i) =	где среди /провно
ак индексов равны к, к = 1, 2,...,«. Выражение	(t)
симметрично относительно fa, j2,...	в частности, фак-
ториальные моменты первого порядка, равные математи-
ческим ожиданиям Мц}(£), мы будем еще обозначать так
же, как в § 4, A}(t) — Mj(t). Для факториальных момен-
тов второго порядка введем обозначения 4 (t) — М}* (t).
Таким образом, B}j (t) = Мц) (t) (ц) (t) — 1) и при j=/=k
Bjk (0 =	(i) p,k (t).
Согласно (1.7)
=	(2)
Для процессов с дискретным временем будем обозна-
чать
м*(1) - Mi, <..,_(!) =	л)(1) = 4 4(1) = 4.
Иногда мы будем употреблять матричное обозначение
M(i,a) = JM‘(0| = |lM.../5(0l»	(3)
где М (t, ос) — матрица факториальных моментов порядка
6с, состоящая из л строк, занумерованных индексами i,
и из столбцов, занумерованных векторами а с фик-
сированной суммой а или занумерованных неупорядочен-
ными совокупностями/х, ..., /а, где каждое из /к принима-
ет значения от 1 до л. Аналогично введем матрицы A (t) =
= || А] (0 Ц, А = А (1), В (Z) = || В^ (0 ||, В = В (1),
М (a) = М (1, а).
Матрица А (0) = ||6}|| — единичная матрица, а при
ос > 1 все матрицы М (0, 6с) — нулевые.
Введем для процессов с непрерывным временем плот-
ности факториальных моментов л£ = 3 которые
3
$ 7]
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
145
равны производным производящей функции
(4)
♦	л® (s']
где /1(1) = ---——------. Будем также использовать
м ' ' '	(ds1)®1... (д«п) ап
обозначения т}^^ определяемые через тгл так же, как
-У-» и = fyk = ^tyk*
Рассмотрим сначала процессы с дискретным временем.
Как мы уже показали в § 4, A (t) ~ А1. Старшие фактори-
альные моменты М\ (/) с а > 1 находятся из уравнения
в конечных разностях, которое получается после дифферен-
цирования 3 раз (3.4) в точке s = 1.
Теорема 1. Пусть при некотором а > 0 матрица
М (а) = || М\ || конечна. Тогда при любом целом t > О
матрицы М (Z, а) конечны и их элементы удовлетворяют
уравнению
м\ (* + !)= Л} Mi (0 4- zl (0, t > 1,	(5)
где (0 — сумма конечного числа слагаемых (может быть,
совпадающих) вида <МрМ^1(0 ••• (t)y
1<^Р^а, у14- ... +	= а, у*=^=а, Л = 1,...,р,
(6)
Доказательство. Продифференцируем рекур-
рентное уравнение (3.4) а раз в точке s < 1. Предположим,
что для всех a c i < m мы получаем
F\ (t 4- 1; 0 = F} (F (t; 0) M (i; 0 4- W*a (0 0,	(7)
где Wl (t; s) — сумма конечного числа слагаемых вида
<4(F(00)Fi*.(00.../J(00>,	(8)
где индексы удовлетворяют условию (6). (Некоторые из
слагаемых (8) могут входить в сумму W& (0 0 несколько
146 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
раз.) Докажем, что представление вида (7) справедливо
и для а' = а + е\ где ек = (6*, .... dk). Для этого про-
дифференцируем равенство (7) по зк. Получаем
F^(t + 1; а) = F)(F(t; s))F^(<; з) + W^V, з),
где выражение И'!* (£;, $) будет состоять из слагаемых
вида
<4(F(f; s))F^ s)... F^k(t; з)... F^t; s)>
И
<F (*;«)) (*;s) • • • F J (*;»)	(*; *)>»
получаемых от дифференцирования по з произведения (8),
и из суммы
Fp(F{t-, з))^0;з)4(«;з),
получаемой от дифференцирования F} (F (t\ s)) F3a (t; s) в
(7)< Нетрудно видеть, что все эти слагаемые удовлетворяют
условию (6) с а' вместо а иа' = а + 1. Таким образом,
(7) доказано при любом а. Полагая в (7) 5 = 1, получаем
уравнение (5), из которого по индукции нетрудно устано-
вить конечность матрицы М (t9 а).
Теорема 2. Пусть матрица М (&), к > 2, конеч-
на. Тогда факториальные моменты МгЛ (t) для всех а с
а = к выражаются формулой
t
м1а (0 = 2 Л) (t - т) Z{ (т - 1),	(9)
Т=1
где Za (0) = М}а, a Z\ (0 при t > 1 определены, в теореме 1.
Доказательство. Докажем справедливость
формулы (9) по индукции. Пусть (9) выполняется для t.
Подставив (9) в правую часть (5), убеждаемся, что (9)
справедлива и при t + 1. При t = 0 (5) выполняется в силу
определения Z}a (0) = М3а.
$ 7]
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
147
П р и м е р 1. Применяя теоремы 1 и 2 к факториаль-
ным моментам В}* второго порядка, получаем уравнение
В}* (< + !)= АВ1» (0 + В\тА1} (0 Л” (0	(10)
и его решение
i
-x^A^x-iyA^x- 1). (11)
т<=1
Рассмотрим теперь ветвящиеся процессы с непрерыв-
ным временем.
ТеоремаЗ. Если в ветвящемся процессе с непрерыв-
ным временем все тЛ с в — к, где к >2, конечны, то фак-
ториальные моменты М\ (t) также конечны и удовлетворя-
ют уравнению
(0 + 4(0, * = 1,...,п,	(12)
tt начальным условиям
Х(О) = о,	(13)
где zxa (t) определяется как сумма конечного числа слагаемых
. г	ip
вида <тпрЛ/у1(0 ... М Yg(0>> индексы которых подчиняются
условиям (6). Решение (12) представимо в виде
t
М1а (0 = У Л) (t - т) £ (т) dx.	(14)
о
Доказательство. Конечность (Z) вытекает
из более общей теоремы 8.6.1, и мы ее здесь доказывать не
будем. Уравнение (12) и условия (13) получаются, если
в точке s = 1 формально продифференцировать уравнения
(3.10) и (3.11) а раз. Законность такого дифференциро-
148 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
вания обосновывается с помощью интегрального уравне-
ния (3.28). Это уравнение можно дифференцировать в точ-
ке $ < 1. После дифференцирования полагаем s f 1. По-
лученное интегральное уравнение, как нетрудно видеть,
равносильно уравнению (12) и условию (13). Дифференци-
руя (14) по t и используя (4.5), убеждаемся, что выражение
(14) дает решение (12) с условием (13).
Пр и м е р 2. Применяя теорему 3 к факториальным
моментам второго порядка, получаем уравнение
4	(0 =	(0 + (О А™ (*)	(15)
и его решение
t
В}к (0 = J Л) (t - т) (Т) 4 (т) dr. (16)
о
Установим теперь асимптотическое при t -> оо поведе-
ние первых A^t) и вторых (t) моментов неразложимых
ветвящихся процессов. Как мы показали в § 4, математи-
ческие ожидания A*G) в процессах с дискретным временем
удовлетворяют системе линейных уравнений в конечных
разностях
4(t+i) = 44(«),	(17)
а в процессах с непрерывным временем — системе линей-
ных дифференциальных уравнений

(18)
Обозначим R и г перроновы корни матриц А = Ц Л) Ц и
а = | а} Ц соответственно, а через и — (и1, ип) и
v = (vlt vn) соответствующие правый и левый соб-
ственные векторы, так что
Apif = Ru*, ViA1; = Rv}, = ru*, = rv/.
§ 7]
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
149
Нормируем эти векторы так, чтобы = 1. Если все
характеристические корни hi матрицы А различны, то
решение уравнения (17) можно записать в виде
п
4(0=2	(19)
1=1
Аналогично решение (18) представимо в виде
п
4(0= 2	(20)
1=1
Если же некоторые из характеристических корней крат-
ны, то соответствующие слагаемые в (19) и (20) заменяются
на ф (tjh* или ф (0вх<, где Ф (0 — многочлен степени не
выше к — 1 (к — кратность корня X). Поскольку в нераз-
ложимых непериодических процессах с дискретным вре-
менем все характеристические корни %, кроме перронова
корня Л, по модулю меньше Я, то из сказанного выше
вытекает, что при i оо
4(t)-4«* + ®(«b»
(21)
где Rt <Z R. Аналогично, в неразложимых ветвящихся
процессах с непрерывным временем при t -► оо
4(0 = а^ 4-о(ег*‘),	(22)
где т\ < г. Покажем теперь, что в формулах (21) и (22)
а} = ulVj. Воспользуемся тем, что в процессах с дискрет-
ным временем при любом натуральном t перронов корень
матрицы || 4}(£) || равен 7?*, а в процессах с непрерывным
временем при любом t 0 перронов корень той же мат-
рицы равен ё*. При этом правые и левые собственные
векторы и hlv при всех t равны собственным векторам мат-
риц А и а.
В равенстве
4 («+<) = 4(0 4 (4
150 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
положим один раз t -> оо, а другой раз т оо. Восполь-
зовавшись (21) и (22), получаем в первом случае
а)Я,+’ = а‘кТ?‘4 (т) 4- о (Я‘)
для процессов с дискретным временем и
<х}ет (<+•') = а^'Л* (т) + о (ег()
для процессов с непрерывным временем. Во втором слу-
чае имеем соответственно
о4Я,+т = Ак 0) а,-^ + о (/?’)
И
а) • ег<<+'с> = A* (t) а*егт + о (е”).
Из этих соотношений получаем
а)7Г = aUJ (т),	(t) а* (23)
ИЛИ
= 4 Л* (т), а>ег/ = Л» (t) а*.	(24)
Так как при любом t 0 матрица || A; (t) || неразложима,
R* и являются ее перроновыми корнями для процес-
сов с дискретным и непрерывным временем, то из (23) и
(24) вытекает, что a) = Culv}. Умножая равенство
А^)СиЧ>}П1 + о(11()
на vt и суммируя по i, получаем
VjR* =	(0 = CviiAvjR* + о (Rf) = Cv}R* -f- о (Я‘),
откуда вытекает С = 1. То же самое рассуждение можно
провести и в случае непрерывного времени. Итак, мы до-
казали следующие теоремы.
Теорема 4. В неразложимых непериодических
ветвящихся процессах с дискретным временем при Z -> оо
Ai}(fy = u4}jRtA-o(R{),	(25)
где Rj.< R, R — перронов корень матрицы А, а м*, v} —
§ 7]	МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
151
компоненты соответствующих R правого и левого собствен-
ных векторов.
Теорема 5. В неразложимых ветвящихся процес-
сах с непрерывным временем при t оо
4(i) = и^ег‘ + о	(26)
где rj <Сг, г — перронов корень матрицы а, и*, vj — ком-
поненты соответствующих г правого и левого собственных
векторов.
Определение 1. Неразложимый ветвящийся
процесс с дискретным временем называется докритическим,
если перронов корень R матрицы А меньше единицы,
надкритическим, если R 1, и критическим, если R == 1
и В = ViB^u^u^ > 0.
Определение 2. Неразложимый ветвящийся
процесс с непрерывным временем называется докритиче-
ским, еъля перронов корень г матрицы а меньше нуля,
надкритическим, если г > 0, и критическим, если г = 0
и Ъ = v^uhi^ 0.
Соответствующие определения для разложимых про-
цессов используют разбиение всех типов на классы К и по-
нятие /Г-подпроцесса из § 6.
Определение 3. Ветвящийся процесс называет-
ся докритическим, если для любого нефинального класса
К соответствующий ЛГ-подпроцесс является докритиче-
ским. Ветвящийся процесс называется критическим, если
для любого нефинального класса К соответствующие
ЛГ-подпроцессы будут докритическими или критическими
и хотя бы для одного нефинального класса /^-подпроцесс
будет критическим. Ветвящийся процесс называется над-
критическим, если существует надкритический ЛГ-подпро-
цесс, где К — нефинальный класс.
Таким образом, из теорем 4 и 5 вытекает, что в нераз-
ложимых ветвящихся процессах математические ожидания
A} (t) при t -> оо экспоненциально убывают в докритиче-
ском случае, экспоненциально возрастают в надкритиче-
ском случае и стремятся к конечным положительным пре-
делам в критическом случае. В разложимых ветвящихся
процессах эта асимптотика усложняется, так как в глав-
ном чле не может появиться степенной множитель tm
152 ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
т < л. Особенно большое влияние этот множитель может
оказать на поведение Aj (t) в критическом случае, так как
тогда некоторые из Л} (t) будут неограниченно расти при
t —> оо.
ПримерЗ. Зададим ветвящийся процесс с дискрет-
ным временем с двумя типами частиц производящими
функциями


а
ее степень А1 =
Тогда матрица математических ожиданий А =
f И *11	1
ее степень А = II, так что Л2 (£) = £—> оо при t-+ оо.
Теорема 6. В неразложимых ветвящихся процессах
с непрерывным временем вторые факториальные моменты
(i) при t со имеют следующее асимптотическое по-
ведение:
в
докритическом случае
^(0 = *И (1+0(1));
(27)
в критическом случае
(28)
в надкритическом случае
ni,9 I m
в^(о= \^аи Тгеаг<<1+°(1»’	<29>
|Л-03 —ар|
где Sfit >0 — некоторые константы, Ъ = и^и^и11 и
Di — алгебраическое дополнение к элементу 2гб| — а*
в детерминанте | 2гб£ — а£|.
Доказательство. Для доказательства (27) и
(28) воспользуемся формулами (16) и (26). В докритическом
и критическом случаях имеем
t
Bjk (t) = ert J uiviblmiumu‘vjVker"1 (1 + о (1)) dr. (30)
0
§ 71
МОМЕНТЫ. КРИТИЧНОСТЬ
153
Если г < 0, то интеграл справа в (30) сходится к некоторой
положительной константе Вг^. Если г = 0, то правая
часть (30) представима в виде u^v^t + о (t). Докажем
теперь (29). Так как Aj (t) представляет собой конечную
сумму показательных функций (20) или сумму произведе-
ний показательных и степенных функций (причем глав-
ный член равен и1и^)9 то из формулы (16) можно заклю-
чить, что вторые моменты также представимы в виде
конечной суммы произведений степенных и показатель-
ных функций, причем главный член В^ (t) равен z^e*4,
где — некоторые константы. Для определения этих
констант воспользуемся (15). Как нетрудно видеть, равен-
ства в (15) должны сохраниться, если вместо B# (t) и
Aj (t) подставить их главные члены Zjn^rl и uivjerl. По-
этому zjfc должны удовлетворять системе линейных урав-
нений
2rz}k =	4- bimU^ViVt,
решая которую, получаем
i D»bimulum Vit
*	|2г6“-а«|	•
Теорема доказана.
Аналогичное утверждение имеет место для неразло-
жимых процессов с дискретным временем и даже для более
общих моделей ветвящихся процессов, в которых продол-
жительность жизни имеет произвольную функцию распре-
деления (см. § 8.10).
В главе VI нам понадобятся вторые моменты
Мц} (0р,£(1 + т) ПРИ т 0. Докажем две теоремы, в кото-
рых находится точное и асимптотическое выражение этих
моментов.
Теорема 7. При любом т 0 имеет место равен-
ство
Mpj(0 р‘ (Z + т) = в\(t) А\ (т) + <Aj(0 4 (*)>. (32)
Доказательство. Вычислим сначала условное
математическое ожидание М {р} (/)р£ (t -|- т) | р‘ («)},
фиксируя вектор р* (t).
154 ПРОЦЕССЫ с КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV
Получаем
м $ (0 pl (t + т) I и4 (0) = (0н* (0 А (т).	(33)
В (32) мы воспользовались тем, что при фиксированном
значении р* (t) случайная величина р4 (t + т) является
суммой независимых случайных величин, в которую вхо-
дит |х) (0 слагаемых, имеющих распределение вероятно-
стей случайной величины р,^ (т) с Mp4 (т) = А к (т),
2 = 1,..., п. Осредняя условное математическое ожида-
ние (33) по условию, получаем
+ *) - 4(т)м	(0 - бя) +	1 =
= Д(т)4(0 + бя4(т)4(0;
полученная формула совпадает с формулой (32), так
как dji-dfc (т)Л) (I) —	(т)> (здесь треугольные
скобки < > означают, как мы условились ранее, отсут-
ствие суммирования по индексу у).
Теорема 8. В неразложимом надкритическом про-
цессе с непрерывным временем при t -*• оо равномерно пл
т 0 имеет место следующая асимптотическая формула*.
|*t(t + т) = z4ker(2t+x) (1 + 0 (1))>	(34)
где Zjjt определяются формулой (31).
Доказательство. Из теоремы 5 вытекает, что
при t -> оо в правой части формулы (32) слагаемое
<4} (2)4£ (т)> имеет порядок О (ег<1+т>), поэтому асимп
тотика момента MpJ (£)р£ (t + т) определяется выраже-
нием Вд (1)А1к (т) в (32). Применяя теорему 6, имеем при
t -> оо равномерно по т > 0
(0 pl (t + т) =	(т) (1 4- о (1)).	(35)
С помощью (31) и vtAl (т) = формулу (35) можно
свести к виду (34). Теорема доказана.
ГЛАВА V
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
И ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
§ 1. Вероятности вырождения
Определение 1. Мы будем говорить, что вет-
вящийся процесс выродился к моменту t, если |л (/) — 0.
Вероятности Pq (Z), i = 1, п, будем называть вероятно-
стями вырождения к моменту t.
Определение 2. Если в ветвящемся процессе
р (t) обращается в нуль при некотором конечном t, то мы
будем говорить, что процесс выродился. Вероятности q*
этого события, при условии, что при t = 0 была одна ча-
стица типа будем называть вероятностями вырожде-
ния. Далее для краткости мы будем называть вероятно-
стью вырождения вектор q = (g1, ..., gn).
Определение 3. Ветвящийся процесс, для кото-
рого q1 = ... = qn — 1, будем называть вырождающимся.
Если хотя бы при одном i вероятность вырождения ql < 1,
то процесс будем называть невырождающимся.
Теорема 1. Вероятности вырождения q* ветвя-
щегося процесса равны пределам
lim Pj («) = «*.	(1)
t—>оо
Доказательство аналогично теореме 2.1.
Теорема 2. Вероятность вырождения q при лю-
бом t 0 удовлетворяет уравнению
s = F (t; s).
(2)
156
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[гл.у
Д ок а з ат е л ь с т в о. Полагая в основном функ-
циональном уравнении (4.3.1) s = 0, имеем
F (t + т; 0) = F (Z; F (т; 0)).	(3)
Устремим в (3) т -> оо и воспользуемся теоремой 1 и не-
прерывностью F (t; $) по а; тогда из (3) мы получаем урав-
нение
q = Р (t; q).	(4)
Уравнение (2) всегда имеет корень s = 1. Если в
0 < $	1 других корней нет, то из теоремы 2 вытекает,
что q — 1 и соответствующий ветвящийся процесс вырож-
дается с вероятностью единица. Если же в области
0 < s < 1 существуют корни (2), отличные от 1, то для
выяснения вопроса, какой из корней равен д, требует-
ся дополнительное исследование, которое мы сейчас про-
ведем.
Из теоремы 2 вытекают два следствия.
Следствие 1. Вероятность вырождения q ветвя-
щегося процесса с дискретным временем удовлетворяет
уравнению
s = F (S).	(5)
Следствие 2. Вероятность вырождения q вет-
вящегося процесса с непрерывным временем удовлетворяет
уравнению
Ш = 0.	(6)
Первое следствие очевидно, так как множество корней
уравнения (5) и множество корней уравнений (2) при вс х
t = 1, 2, ... в силу (4.3.4) совпадает. Второе следствие
доказывается с помощью теоремы 4.3.3. В самом деле, по
теореме 2 F (/; q) = q при всех t > 0, поэтому из уравне-
ния (4.3.10) вытекает / (д) = 0.
Сначала рассмотрим случай дискретного времени.
Пусть F (s) = (F1 (5), ..., F* (5)) — вектор производящих
функций, задающий распределение численности потомства
одной частицы каждого типа в следующем поколении.
Лемма 1. Если х^уи для некоторого 1 к п
x*>F*(x), y*>F*(y),
£ 1]
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
157
то для всех z = х + (у — ж) 0, 0 < 9 «С 1, выполняется
неравенство zk > Fk (z).
Доказательство. Обозначим ф(0) = Fk (z) — z*.
Имеем <р (0)	0, ф (1) < 0, причем ф' (0) не убывает.
Поэтому ф (0) < 0 при 0 < 0 < 1.
Лемма 2. Если х^у, х =4=у,
ж*>/?*(ж), y*>F*(y)
и F* (х) нелинейна, то для всех z = х + 0 (у — х),
0< 0< 1,
(z).
Доказательство аналогично доказательству леммы 1;
надо лишь воспользоваться дополнительно тем, что
Ф' (0)^0.
Лемма 3. Если Т\, Тп образуют один нефиналь-
ный класс, то уравнение (5), кроме решения 5=1, может
иметь в кубе 0	5	1 не более одного решения 50. Если
это решение существует, то 50 < 1 и для любой точки 5Х,
отличной от 1 и лежащей вне параллелепипеда
0	5	50,
(7)
найдется такое 1 к п, что
s^>F\Si).
(8)
Доказательство. Пусть функции F (в) все
линейны, т. е. F* (з) = Л$ + Л^з*. Так как класс нефи-
нален, то не все Л* равны нулю. В этом случае нет корня
в 0 < з < 1, отличного от з = 1. В самом деле, пусть
такой корень з0 есть. Тогда имеем Л * = Л(з£ — sjj, к = 1,...
..., п, или, обозначая ик = 1 — з*, и* = Л*и*, к = 1,...
..., п. Пусть иТ = max и* > 0. Так как 2	= 1, то из

if = А\и1 и иг > а* > 0 вытекает Л£ = 0, и* — ит для
всех тех индексов I, для которых Л[ > 0. Поскольку ма-
трица || Л{ | неразложима, для любого / найдутся такие
158	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	[ГЛ. V
...» 1Ъ что все коэффициенты 4^, 4*‘, ..., положи-
тельны. Тогда из доказанного выше вытекает, что все и?
равны друг другу и все 4J равны нулю, т. е. мы пришли
к противоречию. Предположим теперь, что не все функции
F*(s) линейны и что существует точка O^so 1, для ко-
торой sQ = F ($0). Так как процесс неразложим, то s0 < 1.
В самом деле, если $£ = 1, то из равенства s* = F* ($)
вытекает, что равны 1 все те sj, от которых зависит Fk (s).
Поэтому если бы = 1, то $0 = 1. Но мы предположили,
что s0 =^s 1, поэтому $0 < 1.
Рассмотрим точку sx, лежащую вне параллелепипеда
О $0 и отличную от 1. Рассмотрим точку $2 с коор-
динатами «2 = min {5о, 51}« Для индексов к, удовлетво-
k к
ряющих условию «2 = $0, имеют место неравенства
4 >**(*)•	(9)
Через точки sx и s2 проведем прямую s = sa 4- 0 (sx — sa).
Поскольку sx s2> то ПРИ некотором 0 > 1 эта прямая
пересечет грань куба в точке s3, у которой существует
координата s8 = 1. Очевидно, что sa sx s8 и
4=4<4<4»i,	(Ю)
поэтому неравенство (9) выполняется при к = I. Из (10)
вытекает
Возможны два случая. Если $8 = 1, то s2 <; s3 = 1. Выбе-
рем нелинейную функцию Fl (s) и применим к неравенству
(Н)
и равенству s8 = F1 ($8) лемму 2. Получаем
4>F'(Sx).	(12)
Если s9 =j= 1, то найдется такое Z, что
1 = 8‘>^(«8).	(13)
Применяя к (11) и (13) лемму 1, получаем опять (12)
$ 1]
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
159
Итак, мы * доказали, что если имеются две точки s'
и s", удовлетворяющие (5) и отличные от 1, то s'^s" и
s"<s', т. е. s' = s". Лемма доказана.
Теорема 3. Вероятность вырождения q неразло-
жимого ветвящегося процесса с дискретным временем рав-
на ближайшему к 0 корню уравнения (5) в кубе 0 s 1.
Доказательство. Если типы Т19 ..., Тп со-
ставляют финальный класс, то уравнение (5) имеет реше-
ние 0, и вероятность вырождения также равна нулю, так
как F (t; 0) = 0. Если (5) имеет единственный корень 1,
то q = 1. Предположим, что (5) имеет корень s0 < 1.
Так как F1 (г; 0) не убывают по t9 то при любом t
F (t; Q)^F (F(t\ 0)),
поэтому по лемме 3 F (t; 0) ^s0 и, в пределе q = lim F (t; 0)^
f—►оо
^s0, откуда q = s0. Теорема доказана.
Для анализа случая разложимых процессов нам еще
нужна
Лемма 4. Пусть типы Тг, ..., Тт, т < п, обра-
зуют класс и пусть остальные типы Тт^ ..., Тп следуют
за этим классом. Тогда при 0 s* < 1, i = т + 1» •••>
уравнения
sk = Fk(s), k = 1, . . ., тп,
имеют единственное решение (s1, ..., sm), удовлетворяющее
условию 0 sft 1, причем все sk <Z 1.
Доказательство. Обозначим 7 = (s1, ..., sm),
S= (sm+1, sn) и F (?,s) = (F1 (s),	F™(s)), где
s = (s1,	8я) = (s,s). Пусть 0 s< 1 фиксировано. Не-
прерывное отображение
? = F
(14)
переводит куб 0 s 1 в себя. По теореме Брауэра о не-
подвижной точке при непрерывном отображении выпукло-
го компактного множества евклидова пространства в себя
существует хотя бы одна неподвижная точка. Пусть точка
160
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
$0 будет неподвижной при отображении (14), т. е.
$о = Р ($о, $).
(15)
Так как s< 1, то из (15) вытекает s0 < 1. Далее рассуж-
дения аналогичны тем, которые мы проводили при дока-
зательстве леммы 3. Пусть точка 0	1 лежит вне
параллелепипеда 0	s0. Образуем точку с коорди-
натами^ == min{sj, $i}, к = 1, т. Тогда для номеров
к с выполняются неравенства (9), где $2 = ($2> Ъ-
Через точки $х и s2 проведем прямую s = s2 + 9 (sx — s2)
и продолжим ее до пересечения при некотором 0 > 1
в точке s^, грани куба 0	7^ 1. Тогда найдется такой
индекс Z, для которого будут справедливы неравенства
(11) и (13), в которых s2 = (s2, s), s3 = (s8, s). Применяя
к этим неравенствам лемму 1, получаем sx > Fl (sx, sj.
Отсюда следует единственность корня
Лемма 5. В условиях леммы 4 корень $0 уравнения
(15) не убывает по компонентам вектора $.
Доказательство. Будем использовать обо-
значения, введенные нами при доказательстве леммы 4.
Пусть 0 Р ? < 1, ?=£= 'в*. Полагая в (15) последова-
тельно $ равным и?, обозначим соответствующие кор-
ни Sq и $ о- Заменяя в равенстве s“0 = F(s^ s*) $*на«',
получаем
$ о ^Р ($ о» $ )>
(16)
причем в (16) исключается равенство. Из (16) вытекает, что
непрерывное отображение F ($, 7') переводит параллеле-
пипед 0 Го в себя. Значит, по теореме Брауэра су-
ществует неподвижная точка $о = F(s^ s'), удовлетворяю-
щая неравенствам 0 s^o По лемме 4 точка^ един-
ственна. Из (16) следует, что^0 =/=Sq.
§ 1]	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	161
Теорема 4. Вероятность вырождения q ветвяще-
гося процесса с дискретным временем равна ближайшему
к 0 корню уравнения (5) в кубе 0 s 1.
Доказательство. По теореме 2 и следствию 1
вероятность вырождения q удовлетворяет (5). Далее дока-
зательство основывается на теореме 3, относящейся к не-
разложимым процессам, и на разбиении всех типов частиц
на классы сообщающихся типов. Пусть класс К замкнут.
Рассмотрим А-подпроцесс. К нему можно применить тео-
рему 3. Таким образом, мы установили справедливость
теоремы для любого ЛГ-подпроцесса, если К — замкнутый
класс. Далее доказываем по индукции. Предположим^ что
утверждение теоремы справедливо для S ^-подпроцесса,
где Sr^ — объединение всех типов, входящих в классы
рангов г — 1. Докажем, что теорема справедлива и для
Sr. Пусть К — класс ранга г и Sr — множество всех ти-
пов, входящих в класс К и в классы К', следующие за К.
Рассмотрим 5>-подпроцесс. По индукционному предполо-
жению все д*, соответствующие типам из Sr рангов
г — 1, уже определены. Если все они равны 1, то
к уравнениям s = F (s), относящимся к типам из К,
применяются лемма 3 и теорема 3, по которым вероятно-
сти вырождения равны корню, ближайшему к началу
координат. Если же среди q* из Sr рангов г — 1 имеют-
ся отличные от 1, то по лемме 4 вероятности д*, относящие-
ся к типам ранга г в Sr, определяются как корни s = F (s)
однозначно. Таким образом последовательно определяются
все д*. Из проведенной конструкции и леммы 5 вытекает,
что вероятность вырождения g равна ближайшему к О
корню уравнения (5) в кубе 0 s 1.
Теорема 5. Для того чтобы ветвящийся процесс
с дискретным временем был вырождающимся, необходимо
и достаточно, чтобы: а) не было финальных классов, б) пер-
ронов корень матрицы математических ожиданий R 1.
Доказательство. Если в ветвящемся процес-
се имеется хотя бы один финальный класс К, то все соот-
ветствующие вероятности вырождения ql = 0, так как для
ЕЕ К все F* (t; 0) = 0. Предположим теперь, что нет
ни одного финального класса. Из доказательства теоремы 4
следует, что ветвящийся процесс будет невырождающимся
6 Б. А. Севастьянов
162	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	[ГЛ. V
тогда и только тогда, когда хотя бы один ЛГ-подпроцесс,
где К — класс сообщающихся типов, будет невырождаю-
щимся. С другой стороны, перронов корень R всего процес-
са равен R = max 7?fc — максимальному значению среди
к
перроновых корней R^ относящихся к АГ-подпроцессам,
где К — всевозможные классы сообщающихся типов.
Поэтому достаточно доказать теорему для неразложимых
процессов. Предположим, что процесс неразложим и его
типы образуют нефинальный класс. Пусть перронов ко-
рень R > 1. Пусть и = (а1, ..., ип) — соответствующий R
положительный правый собственный вектор. При малых
0	0 имеем
Fl (1 - 0u) = 1 -	+ о (0) =
= 1 — 0м* — (Я — 1) 0м* (1 + о (1)) < 1 — 0м‘.
Таким образом, отображение s' = F (s) переводит выпук-
лое множество 0 s 1 — Ом в себя. По теореме Брау-
эра в этом множестве существует корень s0 уравнения
s — F (з). Из теоремы 3 следует, что q = з0 < 1. Из ра-
венств q = F (q) и 1 = F (1) и лемм 1 и 2 следует, что при
О < 0 < 1
F (1 — 0м>)< 1 — 0м>	(17)
где w = 1 — q > О, причем в (17) имеется хотя бы для
одной координаты строгое неравенство. Так как
Fl (1 — 0w) > 1 — 0Л>>,	(18)
то из (17) и (18) имеем
и А}и^фю\	(19)
Из (19) и теоремы 4.5.3 следует, что Я > 1. Теорема до-
казана.
Теорема 6. Вероятность вырождения q ветвяще-
гося процесса с непрерывным временем равна ближайшему
к 0 корню уравнения (6) в кубе 0 з 1.
Док азательство. Вероятность вырождения q
удовлетворяет уравнению (6) (см. следствие 2). Применяя
к производящим функциям h' ($) = (р4)”1 Г ($) + Л где
§ 11
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
163
р1 = — <Pq>,	= (6|,	6Г), лемму 3, получаем,
что в неразложимом процессе, когда типы частиц образу-
ют не финальный класс, уравнение (6) может иметь в
О 1 не более одного корня $0, отличного от 1. Если
$0 — корень (6), то для любого лежащего вне
0 s $0, не выполняется неравенство / ($х)	0. Отсюда
следует, что в таких процессах q = $0, если s0 < 1, и
q — 1 в остальных случаях. В самом деле, так как
F (t; 0) не убывает по t, то в силу уравнения (4.3.10)
/ (F (t; 0)) >0, а тогда из вышесказанного следует
F (Z; 0)	$0, откуда q $0 и q = $0. Дальнейший ход
доказательства аналогичен теореме 4. При этом исполь-
зуются утверждения относительно / ($), которые получа-
ются, если применить к h' (s) леммы 4 и 5.
Теорема 7. Ветвящийся процесс с непрерывным
временем будет вырождающимся тогда и только тогда,
когда он не имеет финальных классов и когда перронов ко-
рень г матрицы а = ||а}|| неположителен.
Доказательство. Как следует из доказатель-
ства теоремы 6, ветвящийся процесс с непрерывным
временем с производящими функциями f (s) будет вырож-
дающимся тогда и только тогда, когда ветвящийся про-
цесс с дискретным временем с соответствующими произ-
водящими функциями Лг (5) вырождается с вероятностью 1.
Поскольку финальные классы этих двух процессов соот-
ветствуют друг другу, то достаточно рассмотреть процес-
сы без финальных классов. Матрица А = Ц ЛМ математи-
ческих ожиданий в процессе с функциями Л1 (s) связана
с матрицей а = [ а} ||, а} = 4 (1), в первоначальном про-
цессе следующим образом:
Л‘ = ^(1)=(р<)-1а‘+6‘.	(20)
Перронов кЬрень г матрицы а положителен тогда и только
тогда, когда существует вектор х = (ж1, хп) такой, что
ж > 0, х =j= 0,
ах 0, ах =/= 0	(21)
(теорема 4.5.5). Из (21) и (20) вытекает
Ах > ж, Ах =/= х,	(22)
6*
164
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
а из (22) и теоремы 4.5.3 следует, что перронов корень R
матрицы А больше единицы. Наоборот, из Я > 1 следует
(22), а из (22) и (20) вытекает (21), поэтому г > 0.
Итак, мы установили, что критические и докритиче-
ские процессы вырождаются с вероятностью 1, а надкри-
тические процессы с положительной вероятностью про-
должаются неограниченно долго.
Как мы знаем (см. § 4.7), в разложимых критических
процессах возможен степенной рост математических ожи-
даний числа частиц. Но критические ветвящиеся процессы
без финальных классов вырождаются, поэтому математи-
ческие ожидания в этом случае не дают правильного пред-
ставления о ходе процесса.
§ 2. Финальные вероятности
Пусть ветвящийся процесс имеет т замкнутых финаль-
ных классов, которые мы обозначим Къ ..., Кт. Предполо-
жим, что все остальные типы входят в незамкнутые клас-
сы; объединим их все в множество KQ. Из определения фи-
нальных замкнутых классов вытекает, что число частиц
в каждом из этих классов не убывает со временем и не
влияет на числа частиц вне этих классов. Если число ча-
стиц из Ко обращается в нуль, то число частиц внутри
каждого замкнутого финального класса стабилизируется.
При этом согласно теореме 4.6.6 внутри каждого финаль-
ного класса частицы распределяются по типам, блуждая
независимо друг от друга по номерам типов из класса по
закону марковской цепной зависимости.
Обозначим q^t) вероятность того, что за время t
из одной частицы типа Тг получится 0г финальных частиц
из класса Кь I = 1, ..., тп, 0 = (0Х, ..., 0т) (при этом мо-
гут получаться частицы других типов, которые мы не
учитываем). Введем производящие функции
Ф (Z; и) = (ф* (t; и), фп (/; и)),
где и = (и1,	«”*), а обозначения Nm и определены
§ 2]	’ ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ	165
в § 4.1. Нетрудно видеть, что
Ф* (Z; и) = и* для i К;, ] = 1, ..., т. (1)
Производящие функции ф* (/; и) получатся из F1 (£; 5),
определенных (4.2.1), если мы положим в них sl = 1 для
I GE KQ и sl — и* для I е= Kj. Сделав в функциональном
уравнении (4.3.1) указанную выше замену s на и, прихо-
дим к следующему утверждению.
Теорема 1. При любых /, т О имеет место функ-
циональное уравнение
ф (t + т; и) = F (I*, ф (т; и)).	(2)
В процессах с дискретным временем из (2) получаем
рекуррентное соотношение
Ф (t + 1; и) = F (ф (Z; и)), t = 1, 2,	(3)
где ф (1; и) — F (5), если справа положить sl = 1 для i ЕЕ Kq
и sl — и* для i ЕЕ Kj. В процессах с непрерывным време-
нем получаем, полагая в (2) t -> 0, следующее дифферен-
циальное уравнение.
Теорема 2. Производящая функция ф (Z; и) удовле-
творяет дифференциальному уравнению
5--/(Т)	(4)
и начальным условиям
фг (0; и) = и? для i GE Kj, ф* (0; и) = 1 для i ЕЕ Ко. (5)
Суммы	3 0т(О Равны вероятностям того,
что за время t из одной частицы типа Tt получается не
менее 0,- частиц из класса Kj, j = 1, ..., т. Поскольку
число частиц в каждом классе Kj не убывает со временем,
то при t2 имеем (4) Q\ (Z2). Поэтому при t -> оо
существуют lim Q\(t), а следовательно, существуют пре-
t->со
делы
= lim (t).	(6)
t—» оо
166	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	[ГЛ. V
Определение 1. Назовем предельные вероятно-
сти q\ финальными, а суммы^г = 2?р— полными фи-
3
нальными вероятностями.
Введем производящие функции
ф‘(«)= 3	ф(“) = (ф1 (“)»••-.ф" (и)),	(7)
которые являются пределами ф* (/; и) при t-^ оо.
Т е о р е м а 3. Производящая функция ф (и) удовле-
творяет при любом t 0 уравнению
ф = ф)	(8)
и условию
ф*(гг) = гг; для i ЕЕ Kj, / = 1, тп, | и |	1. (9)
Доказательство. Уравнение (8) получается из
(2), если положить в нем т -> оо, а (9) — из (1), если там
t —> оо.
Теорема 4. В процессах с непрерывным временем
производящая функция ф (и) удовлетворяет уравнению
/ (Ф) = 0	(10)
и условию (9).
Доказательство. Полагая в (8) t -> 0, полу-
чаем
Ф = ф + tf (ф) + о (0,
откуда вытекает / (ф) + о (1) = 0 и (10). Условие (9)
получается так же, как в теореме 3.
В процессах с дискретным временем достаточно рас-
сматривать уравнение
Ф = F (Ф),	(П)
которое является частным случаем (8) при t = 1. К урав-
нению типа (11) сводится также уравнение (10), так как
его можно записать в виде
Ф = Л (ф),
где
(5) - (- р'Г1 Г (*) + Л h (з) = (А1 (з), . . hn (з)).
$ 2]	ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ	167
Поэтому мы можем ограничиться далее исследованием
существования и единственности решения уравнения (11).
Теорема 5. Уравнение (11) с начальными условиями
(9) имеет при 0 и < 1 единственное решение <р (и),
удовлетворяющее условию 0 ф (и) < 1.
Доказательство. Теорема доказывается по
индукции по рангам классов с помощью леммы 1.4. Если
К — класс типов ранга 1, то функции Fk (s) с ЕЕ К
зависят лишь от переменных, соответствующих типам
из К, и от переменных, соответствующих типам из классов
Ки ..., Кт. Эти последние переменные получают согласно
условию (9) фиксированные неотрицательные значения,
меньшие единицы. Тогда по лемме 1.4 для типов Тк из
класса К уравнение (И) имеет единственное решение
(w) < 1. Если для всех классов ранга г — 1 уже
определены с помощью (11) единственным образом функ-
ции ф* (и) < 1, то опять по лемме 1.4 для типов клас-
сов ранга г определяются единственным образом
Фк (и) < 1. Теорема доказана.
Поскольку производящая функция ф (и) для финаль-
ных вероятностей удовлетворяет уравнению (И) и усло-
виям (9), единственное решение, существующее согласно
теореме 5, совпадает с этой производящей функцией.
Если в производящих функциях ф* (и) мы положим
и | 1, то получим полные финальные вероятности
Ит<р‘(м)= 2
“ti	рекда
(12)
т. е. вероятности того, что рано или поздно процесс за-
канчивается тем, что остаются лишь частицы из замкну-
тых финальных классов. В ветвящемся подпроцессе,
в котором не учитываются частицы всех финальных зам-
кнутых классов, вероятности Q\ определенные (12), пред-
ставляют собой вероятности вырождения. Если этот
подпроцесс — вырождающийся, т. е. все Ql = 1, то
<р* (а) представляют собой вероятностные производящие
функции. Если же некоторые < 1, то 1> исо-
вокупность {др} можно представлять себе как распреде-
ление вероятностей обобщенной векторной случайной
168
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
величины, у которой с положительной вероятностью
1 — 2 некоторые компоненты бесконечны. В случае
Q1 = 1, i = 1, л, мы можем вычислять моменты рас-
пределения {^з}> дифференцируя уравнение (11) в точке
» = 1 и решая получающиеся линейные уравнения.
§ 3. Метод введения финальных типов
Многие задачи теории ветвящихся процессов можно
решить, рассматривая вспомогательные ветвящиеся про-
цессы, в которых введены дополнительные финальные
типы. Проиллюстрируем сначала предлагаемый метод
следующими примерами.
Пример 1. Пусть F (з) — производящая функция
ветвящегося процесса с дискретным временем с одним
типом частиц, р (t) — число частиц в Z-м поколении. Обо-
значим v (t) число частиц, живших во всех поколениях
до t — 1-го поколения включительно. Поскольку в про-
цессах с дискретным временем частицы живут лишь еди-
ницу времени, мы имеем v (t) = р (0) + р (1) + ... 4-
+ р (t — 1). Общее число частиц, существовавших в про-
цессе за все время 0 t < оо его эволюции, равно
оо
v = lim v(t) = 2 И W- Случайные величины v (t) и v мож-
fc=o
но изучать с помощью следующего вспомогательного вет-
вящегося процесса с двумя типами частиц. Частицы пер-
воначального процесса назовем частицами типа Тг. Пред-
положим, что при каждом превращении частиц типа Тг
помимо частиц’ типа которые возникают по закону
первоначального процесса, всегда образуется одна ча-
стица вспомогательного финального типа Т2> которая
в дальнейшем никак не изменяется. Производящие функ-
ции вспомогательного процесса выражаются через F (s)
следующим образом:
F1 (s1, s>) = s»F (s’),	(1)
F2 (s’, s») = s».
В этом процессе р} (t) = р (0, р* (0 = v (0. Производя-
§ з]	МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ФИНАЛЬНЫХ ТИПОВ	169
щая функция F1 (t\ s1, s2) совместного распределения полу-
чается итерациями
F1 {t + 1; s1, s’) = F1 s?F (s1), s’).
Производящая функция ф (а) случайной величины v яв-
ляется решением уравнения
ф (и) = uF (ф (и)),	(2)
т. е. вероятности Р {v = п} = qn есть финальные вероят-
оо
ности вспомогательного процесса и 2 9пиП = ф (и).
п=0
Пусть, например,
F (в) = q + Р^,	(3)
где q 4- р = 1. В атом случае из уравнения (2) получаем
и
Пользуясь разложением
2 4^-“.	(5)
имеем
<6>
и
J	1 \
Р {v = 2п - 1} = &„-!= _1_-LL (4pq)n, Р {V = 2п} = 0.
2 2р
(7)
Пользуясь формулой Стирлинга для гамма-функции
Г (р) = У^яр р'р-1ё~р (1 + о (1)), р -> оо, мы можем по-
лучить из (7) следующую асимптотическую формулу:
?2п-1 ~ "2	(8)
170
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
В критическом процессе, т* е. в случае р — q = ~ и
F' (1) — 1, формула (8) имеет вид
?2п-1 -2 у\п,1г . П-^ОО.	(9)
оо
Пример 2. Пусть по-прежнему F ($) = S -
к=о
производящая функция первоначального ветвящегося про-
цесса с одним типом частиц. Обозначим v0 (t) число частиц
в t — 1-м поколении, не дающих потомства, и v0 (t) =
t
~ 2 vo (&), Vo (0) = 0. Опять построим вспомогательный
fc=i
ветвящийся процесс с двумя типами частиц Т19 Т2, в ко-
тором (t) = р (0 и р2 (0 =	(0- Частицы первоначаль-
ного процесса будем считать частицами типа Тг. Кроме
того, мы будем полагать, что исчезающие без потомства
частицы на самом деле производят частицу финального
типа В этом случае производящие функции вспомо-
гательного процесса определяются такз
р (A s’) = F (s1) + Ро (s’ - 1), F2 (s’) = s’.
Производящая функция <р (и) = 2 9пиП Для вероятностей
п=О
qn = P{v0 = n}, где v0 = limv0(/,), определяется из урав-
нения
ф (и) = F (ф (и)) + Ро (а — 1).	(10)
В частности, в случае
F(s) = Ро +	+ PJ, P0 + Pi + PZ = 1, Р0 > 0. (Н)
уравнение (10) дает
ф(„) _	(( _ /1		(12)
$ з]
МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ФИНАЛЬНЫХ ТИПОВ
171
Используя разложение (5), имеем
и

2 /л л!
/ 4РоРа \п
(Ро + Рг)« )
ип, (13)
Qn = P{v = n} =
Р0 + Р2
2Р2
2 Ул п\
[(P0+P2Y
При л —> оо имеем асимптотику
_ Р0+Р2.
Чп 2Р2
1	/ 4РоР2 \п
’ гуйи/А^о + Ра)2/ ’
которая в случае критического процесса, когда
А = F' (1) = 1 и, следовательно, Ро = Р2, превращает-
ся в
ГгЬ7’	(IS>
Рассмотренные примеры представляют собой частные
случаи следующей общей процедуры. Пусть Л1, ..., Аг —
конечное число подмножеств прямого произведения
{1, 2, л) X Л71. Таким образом, любое Л* состоит из
точек вида (Z, а), где i е {1, ...» л}, а = (ах, ..., аДеДР1.
Если в (t — 1)-м поколении существует частица типа Tt
и если она в f-м поколении производит такую совокуп-
ность частиц, характеризующуюся вектором а, что
(Z, а) ЕЕ Л\ мы будем говорить, что произошел переход
Z-ro типа. Общее число переходов Z-го типа в £-м поколении
(т. е. переходов Z-ro типа из частиц (t — 1)-го поколения
в частицы Z-го поколения) обозначим (t). Тогда случай-
t
ная величина Vi (t) = 3 (&) равна числу таких пре-
r=i
вращений частиц типа Tt в совокупность а за поколения
О, 1, ..., /, для которых (i, а) ЕЕ А1. Число всех таких
превращений за все время эволюции процесса обозначим
оо
vj = 2(*)=lim vi (О-
Ь-1	1~°°
172
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
В рассмотренных выше примерах п = г = 1. В пер-
вом примере А1 = {1} х N; во втором — А1 = {1} х {0}.
Для исследования распределения случайных величин
v{ (t) и построим вспомогательный ветвящийся про-
цесс, в котором к типам частиц Tv ..., Тп первоначаль-
ного процесса добавляются финальные типы Tn+i, i — 1,...
г, так, чтобы для j = п + I, I = 1, ..., г, р} (t) =
= Vi (t), а р} (t) для i, / = 1, ..., n остаются прежними.
Производящие функции F* (з1, .... sn, sn+1, ..., sn+r) но-
вого процесса следующим образом связаны с производя-
щими функциями F* (s1, ..., зп) первоначального процесса.
Обозначим А**"'** = Аг‘ f~] ... f| АХ Тогда полагаем при
1 i sgC п
^(з1,..., s’H-’-) = F^s1,..., sn) +
Г
+ 2.2 S pl^ • • • **** - i). (16)
k=1*’....(i,a)sAil ""‘К
s“ = (s1)«*...(sn)4
и при n <Z i n + r
Fl (s1,..., sn+r) = sl.
Производящие функции <p* (и1, ..., if) для распределения
вероятностей случайных величин vlt ..., vr
<р* (и) = ф1 (и1,	=
==3p<vA = ₽b 1, • • • > г| р(0) = е{} и»
Р
являются решением = ф* (и) системы уравнений
? = F1 (s1,..., sn, и\ ..., ur). i = 1,..., п.	(17)
Описанную выше схему введения дополнительных фи-
нальных типов частиц можно несколько обобщить, счи-
тая вклад некоторых переходов Tt -> а в окончательное
значение случайных величин (t) равным не только нулю
или единице, но и другим целым неотрицательным чис-
$ 4]	СВОЙСТВА ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	173
лам. Соответствующая конструкция вспомогательных
процессов приведет к тому, что в формуле (16) справа
вместо произведения sn+<1... sn+lfc появятся выражения
вида (sn+ii)Yi... (^крк, Где Xi > 1.
$ 4. Асимптотические свойства финальных
вероятностей
В примерах предыдущего параграфа мы получили
асимптотические формулы (3.8), (3.9), (3.15) для финаль-
ных вероятностей qn при п оо.
Покажем, что асимптотические формулы такого же
типа имеют место в общем случае. Рассмотрим сначала
ветвящийся процесс с о^ним финальным типом То и одним
нефинальным типом Тг частиц. Мы будем здесь исследо-
вать процессы с дискретным временем. Случай непрерыв-
ного времени анализируется аналогично (вместо уравне-
ний s = F (а) надо изучать уравнения / (5) = 0). Итак,
процесс с двумя типами частиц с дискретным временем
задается производящими функциями
(s°, а1) == s°, F1 (s°, s1).
Ниже мы будем обозначать s° = и, s1 = s и F1 (и, з) =
= F (и, s). Мы будем всегда предполагать, что финальный
тип TQ следует за нефинальным типов! 7\ (т. е. F (и; з)
зависит всегда от и и 5). Для простоты мы ограничиваем-
ся дальше случаем, когда производящая функция F (и; з)
аналитична по своим аргументам при всех и, з.
Производящая функция
оо
ф(») = S 9nUn	(1)
п=0
финальных вероятностей qn удовлетворяет согласно (2.11)
уравнению
s = F (и, з).	(2)
Обозначим радиус сходимости ряда (1) через г и положим
R = <р (г). Поскольку ряд (1) имеет неотрицательные
коэффициенты qn, точка и = г — особая для функции
174
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
ф (и). Финальные вероятности выражаются через интеграл

(3)
по замкнутому контуру вокруг начала координат. Асимпто-
тические свойства этого интеграла в значительной степе-
ни определяются особыми точками функции <р (и) на гра-
нице круга сходимости. Поэтому сначала исследуем эти
особые точки.
д F
Лемма 1. Если F (и, я) нелинейна по з, О
и F (1, 0) > 0, то г и R конечны и
dF (и, s)
ds
- 1
|u=r,s—H
(4)
Доказательство. Пусть в разложении
F (и, з) = 2 р(^оиа>$а'
abai
— вероятность Р&м > 0 для некоторого (Ро, 0Х) с рх > 2.
Тогда ив
Ф (и) = F (и, ф («))	(5)
вытекает при 0 < и 1
ф(«)>^<з.,з.)м₽’[ф(“)131-	(6)
Так как F (1, 0) > 0, то ф (и) > 0, 0 < и 1, и из (6)
следует
Ф(ы)<
1	-11/31-1
р(3,.з1)“₽0]
(7)
Полагая в (7) и f г, устанавливаем конечность г и R.
По теореме о неявной функции в окрестности точки
(alt $г) существует единственное аналитическое реше-
ние $ = ф (и) уравнения (2), если —g2-2-g g =/=1.
Так как точка и = г — особая для ф (и), получаем равен-
ство (4). Лемма доказана.
§ 4]	СВОЙСТВА ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ	175
Лемма 2. В условиях леммы 1 из | н| < г следует,
что
££^11	=/=i.	(8)
&S |8=ф(К.)
Доказательство. Так как при |и|< г вы-
полняется неравенство | ф (и) | < 2?, то
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь точки окружности | и | = г. Если
|и| == г, то | ф (и) | ф (|н|) = ф (г) = R. Легко ви-
деть, что для всех точек окружности | и | = г, для кото-
рых |ф (и)| <2?, также имеет место неравенство (8).
Найдем теперь все точки (и9 s) вида
и = re2nit°, s = Re2ni\	(9)
для которых выполняется равенство (2). Подставим в (2)
выражения (9). Получаем
jRe«’W‘ = 2 Р(а0,а1)Га»Яа‘ехр {2лг («0а0 4-<!«!)}
(ао.аО
ИЛИ
R = 3 ^(а,,а1)га’7г<11 ехР {2лг(<0а0 + h(«1 -- !))}• (10)
(ao,ai)
Так как (2) выполнено при и = г, $ = 2?, т. е. имеет место
равенство
то равенство (10) справедливо только при таких t0, tlt
для которых
<Wo + («1 — l)*i ss 0 (mod 1)	(11)
для всех а — (а0, аг) с > 0. Непосредственно из
вида производной
^7=2 а1Р(«о.«д“а^а*-1
(а0,а!)
176
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
видно, что в тех точках вида (9), в которых выполняется
равенство (2), производная по 5 обращается в единицу,
откуда следует, что точки и = с /0, удовлетворяю-
щим (11),— особые для функции q> (и). Следовательно, для
того чтобы определить все особые точки функции ф (и)
на окружности |и| = г, надо найти все решения систе-
мы уравнений (11). Решением (11) естественно считать
(^о> ^i)» где и h — классы вычетов по модулю единица.
Обозначим через S множество всех точек плоскости с це-
лочисленными координатами (л0, лг), для которых
^(п®,п1+1) > 0 или л0 =	= 0. Обозначим Sl такую ре-
шетку целочисленных точек плоскости, которая содержит
множество S и не содержит никакой подрешетки, удовле-
творяющей этому же свойству. Координаты всех точек
решетки Sl можно получить, составляя всевозможные
линейные комбинации с целыми коэффициентами из ко-
ординат точек множества S. Отсюда нетрудно заключить,
что, уравнение
л0£0 + п^ = 0 (mod 1)	(12)
должно выполняться не только для всех (л0, лх) S,
но и для всех (л0, л^ е Sl.
Лемма 3. Если выполнены условия леммы 1, то ре-
щетка Sl двумерна.
Доказательство. Из условий, которым удо-
влетворяет F (и, 5), следует, что существуют вероятности
^(«0,0)	0» ^(Ро.01) ^>0 С Р1 2 И -P(Y0,Yi)> 0 с То > 0.
Таким образом, в S входят точки (0, 0), (а0, — 1), (£0, ₽г“1)
и (у0, Yi —- 1), т. е. 5, а следовательно и Sl, двумерны.
Лемма доказана.
Как известно, в основании каждой двумерной решетки
лежит параллелограмм, порождающий эту решетку. Пло-
щадь этого параллелограмма d есть целое число и является
существенной характеристикой решетки.
Лемма 4. Пусть в основании решетки Sl лежит
параллелограмм площади d. Если ^>0, то система
уравнений (12) имеет d решений
v = 0,1,..., d — 1. (13)
§ 4]
СВОЙСТВА ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
177
Доказательство. Число d является общим
наибольшим делителем удвоенных площадей треуголь-
ников, вершины которых находятся в точках S. Ввиду
того, что точки (0, 0) и (Z, —1) входят в S, а площадь
лежащего в основании решетки Sl параллелограмма рав-
на d, точка (d, О)ЕЕ Sl> Уравнения (12) для точек (Z, —1)
и (d, 0) можно записать в следующем виде:
d-t0 = т0, lta —	= mv	(14)
где m0 и т1 — любые целые числа. Отсюда получаем
«0 = -^,	«1=-^ + ^, me,ml = 0,±l,±2,...
(15)
Из того, что точка (/0, удовлетворяет (14), следует,
что она удовлетворяет уравнениям (12) для всех точек
решетки Sl. С другой стороны, множество решений (13)
исчерпывает все решения (15), принадлежащие разным
классам вычетов по модулю 1.
Теорема 1. Если F (и, s) аналитична при всех и, з,
в = g)I >0, F(l,0)>0,
OS2 |u=e=l	v	’
то при n->- oo
Air \‘/«
—M Г-’
2n.B /
• n’/«4-O(r-nn-,/«),
n==/(modd),
n^Z(mod d),
гдеВ = ™^\	,	=	, a обо.
ds2 |u=r>8=H	du |u=r,8=ft ’
значения I и d взяты из леммы i.
Доказательство. Обозначим
ич = re2""»*, s, = Яег*и»,
где tOv, tlv определяются равенствами (13). Из условий
теоремы и из предшествующих лемм следует, что при
178
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
U Uy, S 5 у
—4=1;
ds ’
следовательно, во всех точках окружности | и | = г, от-
личных от d точек Uy, функция s = ф (и), являющаяся
решением (2), аналитична. С другой стороны, в точках
(и, s) = (uv, sv)
dF (и, S)
ди
поэтому в этих точках существует аналитическое решение
и — фт (s) уравнения (2). Определим, дифференцируя (2),
du	d2u	v	ч
первую и вторую производные функции и = ф»г (s)
в точках s = $уЗ
dF . dF ди ____ . ди I _______q
ds * du ds ’ ds |8=8v	’
? d2F . du_ .dF_ d2u _ 0
ds2 dsdu ds ’ du ds2 ’
d2“|	= _	/ dF (“vA) = _ S p2««ov-2<lv) Л 0
ds2 |8=8v	ds2 j du	‘	*
(17)
Последнее равенство вытекает из соотношений в точках
(йу, Sy)
= 2аоР(а„,аОга»-1Я«-ехр {2лг [(а0 — 1) tQ, + a^lv]} =
а
= 3 «1 (а1 — 1)	ехр {2ni [	+
а
+ (а1-2)гь]}=Яе-2я4Ч
Таким образом, ф (и) в окрестности точки uv являет-
ся аналитической функцией от (и — uv)t/2- Функцию
5 =z= ф (а) можно аналитически продолжить за границу
круга сходимости | и | = г в область 2), которая ограни-
. v
2лг —
чена окружностью | и | = р > г и разрезами и = 0е а,
$ 4]
СВОЙСТВА ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
179
г sSZ 6 р, v = 0, 1, d — 1. Обозначим границу
области D через Г. Часть границы Г, расположенную в
секторе
обозначим yv. Часть у0, идущую от р к г по нижней сто-
роне разреза и от г к р по верхней стороне разреза, обо-
значим через уо- Возьмем в формуле Коши (3) интеграл
по контуру Г
<18>
Из леммы 4 вытекает ср (iz/™ d)== е2™ d ср (и), поэтому (18)
можно представить в виде
d—1
а _ _L у Сф(ц)
Чп 2ni J Un+1
V=O Yv
du =
где
—Zitivn
e d du —
d—1	2лг
1 у (* <P («е d )
2ni J un+i
V=0 Yv
К P (p (u) du
2nl J Un+1
Yo
d—1
К = 2 exP|2niZv| =
v=0
(19)
n=jhZ(mod d),
n~l (mod d).
Рассмотрим теперь интеграл
j ______________________	1 (* ф (и) du
Yo
Представим ф (и) в виде
<p (м) = c0 + Ci (a — r)'/« + C2 (и — r) -I- (u — г)’Л R(u),
(20)
180
ВЕРОЯТНОСТЩВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
где функция R (и), входящая в остаточный член, анали-
тична в D и ограничена на границе Г. Обозначим
J' =	*> + M“-r)1/‘ + M*-r) du (21)
2m J	u"+i	v 4
Yo
и J” = J — J'. Обозначим 1\ контур, образованный ок-
ружностью | и | = р с разрезом, идущим от точки и = г
к точке и = р. Из (21) нетрудно получить
=	du + О (р-“),
откуда при л 1 имеем
Jf= + 0
В силу разложения
г-	/ и \
(и - г)Ъ = i/r 2 (- 1)П L. \г-пип
п=0	\ /2 /
получаем отсюда при п оо
Г = ici /F(-1)” ( " ) r-i + О(р-«).	(22)
Далее, в силу ограниченности R (и) на уф, получаем
=	(23)
Подстановкой = v получаем
f {u~^f ‘du = r’A-n f(l -	.
j w"*1	J	rn 1 Г (n +1)
(24)
Применяя формулу Стирлинга для гамма-функции
§
СВОЙСТВА ФИНАЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
181
Г (р) = рр-1е'р (1 + о (1)), получаем
Для того чтобы из формул (22) — (24) с помощью толь-
ко что установленной асимптотики вывести (16), нам надо
определить коэффициент сх. Он определяется из (17) и
обращения ряда
и-г=(з-Я) ^«) + -1_(s_jR)2£^) + ...==
= (25)
Выражая в 5 — R = q (u — r)V« + c2 (u — r) + ... раз-
ность и — г с помощью (25), получаем
Теорема доказана.
Следствие 1. Если в теореме 1 ветвящийся
-	dF\	А
процесс — критический, т. е. = д-1	= 1, то
°s |и=зд=1
(16) имеет вид
Дп-’/’ + О^/.),
n^Z(modd),
О,	пф1 (mod d).
Доказательство. Так как в критическом слу-
чае равенства F (и, s) = s и = 1 справедливы при
и = s = 1, то г = 7? = 1, и (26) вытекает из (16).
182	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	[ГЛ. V
§ 5. Предельные теоремы для числа
финальных частиц
Рассмотрим модель ветвящегося процесса предыдущего
параграфа. Пусть в начальный момент времени имелось п
частиц нефинального типа Tv Обозначим число финаль-
ных частиц, которое останется после того, как среди по-
томства f-й первоначальной частицы типа Т\ (в какой-
либо нумерации) останутся только частицы финального
типа То. Случайные величины	независимы и
имеют одно и то же распределение
P{^ = w} = gm,	(1)
где вероятности qm определяются с помощью ряда
оо
<Р(«)=	(2)
7П=0
а <р (и) есть решение 5 — ф (и) уравнения
s = F (а, $).	(3)
Общее число финальных частиц цп, порожденное всеми п
первоначальными частицами, равно сумме
и» = 11 + — + 5п.	(4)
Мы можем использовать (4) и применить теорию предель-
ных теорем для сумм независимых случайных величин
для изучения распределения т]п при больших п. При этом
надо иметь в виду, что вероятности (1) образуют распре-
деление вероятностей в докритическом и критическом слу-
чаях, т. е. если А =	1. Если же А > 1 (надкри-
оо
тический случай), то 2 поэтому можно счи-
тать случайной величиной, принимающей с положитель-
оо
ной вероятностью 1 — 2 Qm бесконечное значение = оо.
В надкритическом случае содержательные результаты
можно получить относительно условного распределения
§ 5]
ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ФИНАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
183
Т]л при условии т)п < оо. В этом случае надо рассматри-
вать условные распределения
P{li = /n|Bi<oo}= -f’
где q — 2 Полная финальная вероятность q равна
т=о
корню 0 < $ < 1 уравнения
s = F (1, а).
(5)
В докритических процессах а — М£ь о8 = D£; можно
получить, если продифференцировать (3), в котором
s = <р (и), по и в точке s = и — 1. Обозначим <р' = <р' (1),
Y	\ /t fa ]8=m=1 ’ V и Qu |8=W=1
5 = 5,, = ^!	, В00 = Й1 .
11 ds2 |s=u=i 00	5u2|s=u=i ’
П -
01 dsdu |e=u=i
Имеем
ф' = Ло 4- <р'Л,
ф' = Воо 4- 2В01ф' 4- В (ф')8 4- 4ф",
откуда получаем
а =	= ф' ~	,
О2 = ов. = ф'4_ф'_[ф']2== rj^4-2-/°-1^ 4-
I О Л0 ।	А0	/пч
(1 — Л)3 *" 1 — А (1 — Л)2 •	W
Мы будем всегда предполагать здесь, что F (к, $) удо-
влетворяет условиям теоремы 4.1. В этом случае все про-
изводные F (и\ s) в точке и — s == 1 конечны, поэтому
и D|$ в (5) также конечны.
184
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
Т е о р е м а 1. В докритическом процессе, удовлетво-
ряющем условиям теоремы 4.1,
(Ti — ал
lim Р
п—оо 1 (5 V П
du,
еде а и а2 определены формулами (6).
Доказательство вытекает из центральной предельной
теоремы, применяемой к сумме (4).
Рассмотрим надкритический процесс. Обозначим А =
dF I	т dF I	« d'F I
=	» Ао =	, В = з-г	И т. П.
08 |8=q,u==1	и ди [8=зд,и=1	ds* ]8=q,u=l
После дифференцирования (3) в точке s = q, и = 1 по-
лучаем
Ф' = Ао + Лф',
Ф* = Яоо + 2Л01ф' + В (ф')2 + Лф".
Так как Л<1, М{^<оо}=	0{^|^<оо} =
ф" . ф' /ф'\2
=	4- ---(-М , то из выписанных выше равенств
следует
а1 = М{^|^<оо}=	(7)
g (1 — Л)
б? = D I	< оо} = - g°°~ 4- 25°<° +
*“	f	?(1 —Л) ‘ g2(l—Л)2~
 ВА*	Лр_________-^о
д8(1 —2)»	д(1 —Л) д2(1 — З)3 *
Условные математическое ожидание и дисперсия, опреде-
ленные (7), конечны.
Теорема 2. В надкритическом процессе, удовле-
творяющем условиям теоремы 4.1,
lim р
П—>оо
4>~а1№
. <51
Ж|Пп<
оо
ц8
2 du.
X
fе
§ 5]
ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ФИНАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
185
Доказательство, так же как и в теореме 1, следует из
центральной предельной теоремы.
Наиболее интересен случай критического процесса.
В этом случае = оо и имеет место следующая предель-
ная теорема.
Теорема 3. Если процесс — критический и
F (и; $) аналитична в области | и | < 1 + в , | 5 | < 1 + 6
при некотором б > 0, то
= ->»• <8>
Доказательство. Предельный закон (8) —
это устойчивый закон распределения, характеристиче-
ская функция которого равна
(9)
Из асимптотической формулы
(4.26) следует, что при
х -> оо
р {li > X} - S 9т ~ ]/^° х-К
т>х
(10)
Формула (4.26) является следствием теоремы 4.1, которая
доказана при более ограничительном условии аналитич-
ности F (w, s) при всех и, s. Нетрудно видеть, что в случае
критических процессов утверждение теоремы 4.1 справед-
ливо также в случае, когда F (в, s) удовлетворяет условию
теоремы 3.) Согласно теории предельных теорем сумм не-
зависимых слагаемых из (10) следует, что распределение
случайной величины & принадлежит к области притяже-
ния устойчивого закона распределения с характеристиче-
ской функцией (9), и справедливо утверждение (8) (см.,
например, [9], теорема 5, § 35). Это же утверждение можно
получить более непосредственным способом. Характери-
стическая функция случайной величины равна <pn (eiT).
ЕГсилу формулы (4.20)
<р (u) = 1 + сх (в - iy/з + сДи - 1) 4- О ((и - 1R, (11)
186
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ.У
где = i Т/ ^-° . Характеристическая функция
г •О	Мл^т,0
равна фп (ехр	. Пользуясь (И), получаем в пре-
деле выражение
lim <pn (exp = lim ехр {ncj jAl — ехр {ixB/n2AQ}} =
П-*оо \ I п j / П-*оо
= ехр { - /2?г} = ехр {- | т |?« (1 — i ,
равное характеристической функции (9). Отсюда вытекает
утверждение теоремы.
Результат, доказанный в теореме 3, довольно любопы-
тен. Представим себе ветвящийся процесс как некоторую,
например, химическую реакцию, в которой имеются ак-
тивные нефинальные частицы и финальные частицы, яв-
ляющиеся конечным продуктом реакции. Поскольку в
нашей модели частицы производят другие частицы незави-
симо друг от друга, то естественно ожидать, что количе-
ство конечного продукта реакции пропорционально пер-
воначальному количеству активных частиц. Это действи-
тельно так в случае, когда процесс некритический (см.
теоремы 1 и 2). Если же процесс — критический, то, как
показывает теорема 3, возникает удивительное явление,
согласно которому количество конечного продукта ре-
акции растет пропорционально квадрату количества пер-
воначальных активных частиц (но коэффициент пропор-
циональности при этом является случайной величиной,
имеющей устойчивое распределение (8)).
Рассмотрим еще один специальный случай, когда
F (a, s) = и F (а). Как было показано в примере 4.1, про-
изводящая функция (2) в этом случае определяет распре-
деление вероятностей {qm} общего числа частиц, которые
были во всех поколениях процесса вплоть до его вырож-
оо
дения. В докритических и критических процессах 2 Qm = 1
т=1
и {qm} представляет собой обычное распределение веро-
<30
ятвостей. В надкритических процессах 2 Qm = Q< 1, по~
771=1
ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ФИНАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
187
§ 5]
этому общее число частиц в процессе v может с ве-
роятностью 1 — q равняться бесконечности.
Если число частиц в начале процесса было равно л,
то вероятность qm (л) того, что общее число частиц в про-
цессе равно /л, определяется из разложения
со
ФП(М)= 3 9m («>”*.
m=n
(12)
Теорема 4. Если F (и, s) = uF (s) и F (0) > 0, то
9m(«)=	+••• + Im = ™ — п},
п = 1, 2,..тга — п, п + 1,..(13)
где — независимые случайные величины, для которых
со
F(s)= S P{li = «}«”•
n=0
Доказательство. Записывая вероятности
qm (л) в виде интеграла Коши, получаем из (12)
9m («) =
1
2rti
<РП(и)
Mm+i
du;
(14)
интегрирование в (14) производится по достаточно малому
контуру вокруг начала координат. Сделаем в (14) под ин-
5
тегралом замену и =
Л*)
, которая в окрестности нуля
представляет собой аналитическую функцию и переводит
контур вокруг нуля в другой контур, также обходящий
нуль. Так как
dl,_.	sF'js) ,
~ F(s) F2(s) a
и s = ср (л), to
П (n\- 1 & snF™*(S) ( ds sF'(s)ds\_
4m W 2л/ У sm+l \F (s) F* (s) ) ~
_ 1 £ Fm (s) ds _ 1 £ mF^(s) F'(s) ,
2Л/ J sm-n+i 2л/ J Ansrn'~ru-1+1	'	'
188
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
[ГЛ. V
Формула (13) получается из (15), поскольку
„т . ч
1 X Л F J т — * о ft I	?	1
-2ЙГ $--^ra-ds = -^Г- р{^1 + • • • -Н™ = т~ «}•
Теорема доказана.
Полагая в (13) п = 1, получаем
чт=4-р^+---+^=те-1ь	<16>
Формула (16) позволяет в некоторых случаях вычислить
финальные вероятности qm в явном виде.
Пример 1. Пусть F ($) = т. е. число непо-
средственных потомков каждой частицы имеет пуассонов-
ское распределение. В этом случае сумма 5Х + ... + 5m
также имеет пуассоновское распределение, но уже с па-
раметром поэтому (16) дает следующее выражение
для qm•
gm = (^P-g-XOT. m = l,2,...	(17)
При %	1 вероятности (17) дают так называемое распре-
деление Бореля — Таннера. Это распределение имеет ин-
тересное применение в теории массового обслуживания.
Предположим, имеется система обслуживания с одним
прибором и неограниченной очередью. Если входящий
поток требований есть простейший пуассоновский поток
с параметром X, а время обслуживания постоянно и
равно 1, то распределение Бореля — Таннера (12) дает
распределение вероятностей длительности непрерывной
занятости прибора. В самом деле, пусть прибор свободен,
и в некоторый момент поступил вызов, который сразу
начал обслуживаться. За время его обслуживания посту-
пает случайное число вызовов 5» распределение которого
подчиняется, в силу наших предположений, пуассонов-
скому закону
рй = г»} = ^-е-\
Первоначальный вызов будем интерпретировать как пер-
§ 5] ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ФИНАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ 189
воначальную частицу (нулевого поколения) ветвящегося
процесса с F (s) = eX(s”1). Каждый из вызовов, появив-
шихся во время обслуживания первоначального вызова,
будем интерпретировать как частицу первого поколения,
порожденную частицей нулевого поколения. Каждый из
вызовов первого поколения будет обслуживаться едини-
цу времени, в течение которой могут появиться новые
вызовы, которые интерпретируются тоже как частицы
второго поколения, порожденные данной частицей перво-
го поколения, и т. д. Поскольку числа вызовов на непере-
секающихся интервалах времени независимы, мы полу-
чаем ветвящийся процесс. Вырождение этого ветвящегося
процесса соответствует рассасыванию очереди и освобож-
дению прибора.
Общее количество частиц в рассматриваемом ветвя-
щемся процессе равно длительности цикла, в течение ко-
торого прибор непрерывно был занят. При % < 1, как из-
вестно, имеется стационарное распределение состояний
системы, и закон Бореля — Таннера (17) дает распреде-
ления цикла занятости в этом стационарном распреде-
лении. При % = 1 стационарного распределения не суще-
ствует, однако длина цикла занятости прибора есть обычная
конечная с вероятностью 1 случайная величина с рас-
пределением (17). При 1 > 1 с положительной вероят-
ностью цикл занятости прибора может быть бесконечен.
Пример 2. Если F (s) = (q + ps)\ то сумма т
слагаемых будет иметь распределение с производящей
функцией F”1 (5) = (q + ps)m\ поэтому (16) приводит
к формуле
а — (кт)\Dm-Ir77n(fc-1)+1
Формула (13) позволяет довольно просто получать ло-
кальные предельные теоремы для вероятностей qm (л).
Теорема 5. Пусть F (w, s) — uF (s), F (0)	0 u
F (5) соответствует арифметическому распределению с ша-
гом 1. Если А — F' (1) — 1 и В = F” (1)	0 конечно^ то
1
[„2	4	-1
~s'9m(n)~7T^'e 2Х] = 0’	(18)
где т = и х 0.
190	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	[ГЛ. V
Доказательство. Так как .... %т в теоре-
ме 4 одинаково распределены на решетке целых чисел и
так как = 1, D£z = В, то имеет место локальная пре-
дельная теорема
_ уг
y^BP{g1 + ... + U = m - yV^B}-yL-e 2 -* 0
(19)
при тп->оо и уУ тВ целом. Обозначим п— уУ Вт;
если положить х —	, то отсюда вытекает т =	.
Из (13) и (19) нетрудно получить утверждение теоремы (18).
ГЛАВА VI
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ВЕТВЯЩИХСЯ
ПРОЦЕССОВ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТИПОВ
ЧАСТИЦ
§ 1. Предварительные замечания
В этой главе мы будем предполагать, что матрица ма-
тематических ожиданий A (t) конечна и при некотором
t > 0 положительна. Последнее условие означает, как
мы знаем, неразложимость ветвящегося процесса, | а в
случае дискретного времени еще и его непериодичность.
Периодические процессы мы не будем рассматривать, а
приведем лишь некоторые примеры, иллюстрирующие
возникающие здесь эффекты. В разложимых ветвящихся
процессах проявляются новые предельные свойства. Эти
свойства существенно зависят от структуры этих процес-
сов. До сих пор нет хорошего единого описания асимпто-
тических свойств разложимых ветвящихся процессов в
зависимости от их структуры. Некоторые частные ^слу-
чаи будут отмечены в конце этой главы. В следующей
главе описывается важный случай разложимых процессов,
который интерпретируется как ветвящийся процесс с им-
миграцией.
Итак, мы будем предполагать, если нет оговорок, что
матрицы А = ||А}|| и а = ||а}|| неразложимы, причем
А также предполагается непериодической.
Обозначим R и г перроновы корни матриц Айа соот-
ветственно. Соответствующие правый и = (а1, ..., ип) и
левый v = (рх, ..., vn) собственные векторы
Ayr? = Яи1, Ау = Яг?,, а}и? = гаг, vtA] = rVj
192	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	[ГЛ. VI
выберем так, чтобы
2^=1, Sui=1-	(О
г=1
Известно, что в процессах с дискретным временем
lim Лу (г)Я_/ = и\	(2)
t-*oo
и в процессах с непрерывным временем
lim A] (t)e~rt — uvj.	(3)
>оо
В дальнейшем мы будем также пользоваться обозначе-
ниями
Rl (f, s) = 1 - F1 (t; s)	(4)
R (t; s) = (R1 (t; s), .... Rn (t; s))	(5)
7?O;O) = ^(0 = «2‘(0. •••» <?n (0)-	(6)
Так же, как в случае п = 1, легко устанавливаются не-
равенства
О < Л1 (Г, з) <	(0 при 0 < s < 1	(7)
И
| Rl (£; s) I < 2(Г (0 при I 5 К 1.	(8)
Из неравенства (8) следует, что в вырождающихся ветвя-
щихся процессах Rl (t\ s) -> 0 равномерно по | s |	1.
Докажем более сильное утверждение относительно
убывания R (t\ з) в вырождающихся ветвящихся процес-
сах. Рассмотрим непериодический неразложимый вырож-
дающийся ветвящийся процесс с дискретным временем,
т. е. процесс, удовлетворяющий следующим условиям:
А* > 0 при некотором t О
R <1 или R = 1 и Г (t- з) А^.
Теорема 1. В условиях (9), (10)
О)
(Ю)
(11)
§ 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
193
равномерно по всем $ =/= 1 и 0	1, где и и v — соб-
ственные векторы, удовлетворяющие условиям (1).
При доказательстве теоремы 1 мы используем одну лем-
му. Пусть С = || с} || Z> 0 — неразложимая непериодиче-
ская матрица, перронов корень которой равен 1, а левый
v и правый и собственные векторы удовлетворяют усло-
вию (1). Пусть Ак — последовательность матриц, удовле-
творяющих условию 0 Ак С.
Определим произведения
BN = (C —Ллг)(С-7V>1.
Пусть я > 0—такой вектор, что	при всех
АГ>1.
Лемма 1. В описанных выше условиях относительно
С, AN, Bn и х имеем*
В
1° если lim AN = 0, то lim — = и\
N-*x "	N^x»BNX
2° предел lim Bn% существует всегда; он не равен
N-+CO	со
нулю тогда и только тогда, когда ряд 3 сходится.
К=1
Доказательство. Согласно (2)
lim С* = D = ||	|| > О,
поэтому существует такая последовательность б^ -> О,
б^ > 0, что
(1+6N)^, N>i.
Так как A N -> 0, то существует такая последовательность
cln > 0, а2у -> 0, что
О An	N 1.
Поскольку CD — DC = D = Р2, то для любых неотри-
цательных [J*, k = 1, ..., N,
N	N	1\
n(C-3kD)=CN-{l- П(1 -M}d>Cn ~^kD.
k=l	fc=l	K=l
7 Б. Д. Серастьяцор
194
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
Комбинируя это тождество с приведенными выше нера-
венствами, получаем при любых N > т > 1
N	N
(1 бт 2	П (С—
k=N—т-Ы	k=N—m-^i
< (С - Ля) (С - AN_i) ...(С- AN_m+1)<Cm < 1 4- 5тА
(12)
Обозначим ip = BN„mx и применим (12) к
ВцХ — (С AN)...{C	Ля~т+1)1Р
и к vBn х. Получаем
N
1- У ак-бт
т-ц_____________ . Dw nNx
1 + dm	vDw vBNx
______1 +\п_____ . Dw
Заметим, что из (1) вытекает = и при любых w.
’	х 7	vDw r
Принимая за норму || || матрицы максимум абсолютных
значений ее элементов, имеем
(13)
Полагая в (13) сначала N -> оо, а затем т -> оо, получаем
доказательство первой части леммы. Итак, мы доказали,
что при условии An 0 вектор В^х представим в виде
BNx = vBnx(u + бяИ),	(14)
где lim бдг (х) = 0. Доказательство второй части леммы
N-^co
проведем сначала в предположении А # -> 0. Обозначая
§ ii
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ^ЗАМЕЧАНИЯ
195
An = vB^x, используя равенство = (C — An+1)Bn
и (14), получаем
An+i = v(C — An+1) Bnx — An — vAn+iBn^ —
= An (1 — iMn+i (u +	(я))).
Таким образом,
N
Д№ П (1 ~	(» + 8*-1 (*))) Др (15)
к=2
Так как и > 0, то из (15) вытекает, что при достаточно
больших N последовательность Ддг не возрастает и, следо-
вательно, имеет предел L > 0. Этот предел будет поло-
жителен тогда и только тогда, когда
2 рАц (и + 6к_х (х)) < оо.
fc=2
Так как u>0, v > 0, то это условие эквивалентно схо-
оо
димости ряда 2 Предположим теперь, что 0 Лк С
к=1
и lim At не существует или не равен нулю. Тогда обя-
R-*co
зательно 2^fc = o°- Покажем, что в этом случае всегда
к
BNx-+0. Мы можем выбрать последовательность матриц
оо
А’к таким образом, чтобы 0	Л k	Лк, Лк —► 0 и 2	=
к=1
— оо. Если обозначить
2?n = (С — .An) (С — ^n-i) ... (С — Лх),
то из Лк Лк следует BNx BNx 0. Но по доказан-
ному выше lim В^х = 0, поэтому и lim В^х = 0.
ЛГ-*оо	№-»>ео
Доказательство теоремы 1. Из теоремы
4.1.1 следует
1 - F (з) = [А - Е (з)] (1 - з),	(16)
7»
196	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	[ГЛ. VI
где матрица Е (s) при 0	s	s' 1 удовлетворяет усло-
виям 0 sC E(s') Е (s) гС А и lim Е (s) = 0. Исполь-	К
st1
зуя (16) и полагая Et (s) = Е (F (t — 1; s)), мы можем
записать R (t; s) в следующем виде:
R (Z; s) = [А - Et (s)] [Л - Е^ (s)]...[4 - (s)J (1-s).	1
(17)
Деля (17) на и полагая С =	=	».
Bt (а) = (С - At (s)) (С -	(s)) ... (С - A (s)), по- |
лучаем	I
vR (t; s) vB. (s) (1 — s)	' '
i r<
К правой части (18) можно применить лемму 1, так как
выполнены все условия (в частности, Bt (s) (1 —$)=/= О
при s =/= 1 и всех t = 1, 2, ..., так как из неразложимости
процесса вытекает R (£; s) = 1 — F (/; s) 0 при
1, s =/= 1). Получаем
lim-Snrk = u’ °<s<1> ®=Н-	(19)
f->oo vn V» S)	i
Для доказательства равномерности сходимости (19) в об-
ласти О 1, $ =/= 1, обратимся к оценке (13) в лемме 1,
которую мы здесь применили. Применим эту оценку при
s = 0. Она действует равномерно по ж > 0. Так как при
О 1 и любом t 0 At (s) sgZ At (0), то эта оценка f
в нашем случае будет равномерна по 0	1, «=/=!.
Доказательство завершено.
§ 2. Докритические процессы
Рассмотрим сначала докритические непериодические
ветвящиеся процессы с дискретным временем.
Теорема 1. Если R < 1, то существует такая
монотонно невозрастающая по каждой из координат 8х
в 0	5	1 действительная функция К ($), что
| (S) > 0 при >оо, O^s^l, (1)
lim = K(s)u, 0<s<1.	(2) g
t-+CX> Rl	(
J
$ 2]	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	197
Доказательство. Обозначим
At(s) = _^V; <	0<s<l.
Используя (1.16) и vfAlj = Rvh получаем
Д<+1 (8) =	-VE (F («; 3))	< Д, (а),	(3)
/I	Л
откуда вытекает монотонная сходимость (5) к предель-
ной функции К (s). Свойства неотрицательности и моно-
тонности К ($) следуют из аналогичных свойств ($).
Утверждение (2) вытекает из (1) и теоремы 1.1.
Теорема 2. Вероятность Ql (t) продолжения про-
цесса асимптотически при £ оо равна
Q' («) = К (Q)uiR‘ (1 + о (1)), i = 1, ...» п; (4)
вероятность продолжения процесса, начавшегося с р,(0)=а,
равна при £ —> оо
Р {И (0 =1= ОI р. (0) = а} = К (о) u^R' (1 + о (1)).	(5)
Доказательство. Формула (4) следует из (2)
при s = 0. Далее, из независимости потомства разных
частиц имеем
п
Р{И(0 = 0||*(0) = а}=1- П(1 —	(6)
fc=l
В силу (4) при К (0) >• 0 все Q1* (t) стремятся к нулю
с одинаковой скоростью, поэтому из (6) следует
Р {JX (0 ¥= 01И (0) = а} =	(0 (1 + о (1)).	(7)
Применяя к правой части (7) формулу (4), получаем (5).
Теорема 3. Условное распределение
Р {И (0 = а | и (0 =h 0, И (о) = ₽}, Р ± 0,	(8)
при Z-> оо сходится к предельному распределению {Ра},
производящая функция которого
П‘) = 2^‘	(9)
198
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
удовлетворяет уравнению
1 _ f*(F ($)) = R (1 - F*(s)).	(10)
Предельное распределение не зависит от начального со-
стояния р, (0) = р =/= 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала слу-
чай р = т. е. случай, когда при t = 0 была одна ча-
стица типа Ti, Производящая функция Фг (Z; s) для ус-
ловного распределения (8) в этом случае равна
ф{ s) = F<(r;..)-/.-(,O) = 4 _	.	(И)
V 1	1 — F1 (Z; 0)	Вг (/; 0) V '
Нам надо доказать, что при любом 0	1 отношение,
стоящее справа в (И), имеет предел при t оо. В силу
равенства (1.11) в теореме 1.1 имеет место равенство
,. Вг (t\ s) ..	s)
lim —r= lim u------------------------,
z->oo R'(t\ 0)	(«; 0)
(12)
справедливое, если существует хотя бы один из имеющих-
ся там пределов. Ниже мы докажем, что существует пре-
дел, стоящий справа в (12). Докажем сначала, что при
любом фиксированном 0	< 1 существует такая после-
довательность индексов 1 it п, что отношение
R1* (/; а)
(13)
при росте t монотонно не убывает. Для этого воспользу-
емся следующим неравенством. Пусть 0 Ьк а» 1,
к = 1, ..., п. Тогда
1 — а}а3.
. min .	>
КгСп * "г
(14)
Для доказательства (14) достаточно показать,
1— а-2	1 — лх
> "JTT57 спРавеДливо неравенство
1 — Л1Л2
i—bibi
1 — ai
1-61
что при
(15)
§ 21	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	199
Неравенство (15) равносильно очевидному неравенству
1 — az_____	1 — <И
а1 1—6.  °1 1 — bi '
Построим теперь искомую последовательность г(. Пусть
= min 1-^»,.	(1б)
1 _ Fxt (/; о) к«п 1 — f («; 0)
Тогда из (16) и (14) следует при любом а — (ап ап) =/= 0
неравенство
l — Fa(V,s)	1 — Flf (t; s)
1 — (ft 0)	1 _ ph (t; 0) ’
которое можно переписать иначе:
1 - Fa (<; s) > 1~#/ (<: s) (1 - Fa (f; 0)).	(17)
1 — F t (t; 0)
В этом виде оно справедливо и при а = 0. Умножая (17)
справа и слева на Ргл и суммируя по всем а, получаем при
любом i
1 -Fl(t + 1;	(1 -F‘(f + 1; 0))
1 — F t («; 0)
ИЛИ
№ »)	fl8x
1-Г(г+1;0)	‘	'
Выбирая	аналогичным образом	ll+1,	при котором	левая
часть (18) минимальна, имеем
я*(+10 + 1;з) > я*' (ft *) .	(19)
Я*,+1 (t + 1; s) Ril (f, 0)
Искомая последовательность it, таким образом, построена.
Из (19) следует существование предела
=<p(s)t	(20)
/г ' («; о	'
200
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
Покажем, что правая часть (12) имеет этот же предел
Ф ($). В самом деле, в равенстве
(<; S) = ”кд1с (<; *) Rif (<; 0)	R*‘ (f; s)
Pl(fl*(«;0)	‘ »кЯк(«;0) ’ д^-о)
при t -> оо произведение первых двух отношений стре-
мится к 1’в силу (1.11), а последнее^ отношение сходится
к ф (s) в силу (20). Итак мы показали, что при любом
0<$<1
lim Ф»(Z; s) = 1 - lim = F (s) = 1 - Ф (8).
t—*оо	t—>оо Л (Г, Ц)
Отсюда следует сходимость к тому же пределу F* (з) про-
изводящих функций
Ф№ s, Ц)_ 1	-
1 —/!*(*; 0)	0)
— lim ----------------
f->co v.R (t + 1; 0)
условных распределений (8). Уравнение (10) получается
из равенств
v.R* (г, F is))	I
1 - F (F (s)) = lim -i-4----— =
Pjfl* (t; 0)	.
+1; 0)	j
, - ___________— li in__-_________X	1
(t; 0)	t_«, ViRl (t + 1; 0)
v. (1 _ f1 (1 — R If, 0)))
X lim -11-----V . 7’	= (1 — F* (8)) R.	(22)
(_<x	Р.Я1 (t; 0)
Из уравнения (10) легко получить
1 - F* (F (<; 8)) = /?'(!- P* («))•	(23)	|
Полагая в (23) t оо, имеем lim [1 — F*(F (t; 8))] — 0,
f—»OG
t. e. limF*(s) = 1. Утверждение теоремы следует теперь
etl	х -
из теоремы непрерывности производящих функции.	;
Теорема 4. Предельное распределение в теореме 3
имеет конечные математические ожидания Ai == Fi (1) =?
$ 21	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	201
r — -ffiF* (s) |8=1 тогда и только\ тогда, когда К (0)
в теореме 2 положительно. Если А, конечны, то они вы-
ражаются формулами
Л-:=О>-	<24>
Доказательство. Предположим, At* конечны.
Продифференцируем уравнение (10) в точке з<4
Х(7?(з))Д(з) = Я^(з).	(25)
Полагая в (25) s f 1, получаем
Д4 = ЯД,	(26)
откуда, в силу теоремы 4.5.2 (Фробениуса), следует А* =
= Cvjc, С<^оо. Полагая в (23) 5 = 0, имеем
(	R* = 1 - F* (F {t- 0)).
Так как 1 — F* А* (1 — $*), то отсюда получаем
7?‘ < АгД' (/; 0) = CvtR1 (<; 0)
и
—1— = Пш —у--------< С < оо. (27)
'	*(°)	(-»«> г><Я‘(г,0)	k '
Пусть, наоборот, К (0) > 0. Заменяя в разложении F* (з)
степени s“ с а N на 1, получаем вероятностную про-
изводящую функцию (з), которая является много-
1 членом. Нетрудно видеть, что при 0 s 1 F* (з)
и
» «...
Ат sg; Ait lim — Ait
N-^CO
I где Ajvi = Fjvi(l) = —-1	. Из (27) получаем
!	as |e=i
R* > 1 - F*n (F (t; 0)) =	(t) Ri (t; 0),	(28)

202
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГД. VI
где 0 СТт (О =С *4*\ч и lim A*Nt (0 — Ам (теорема 4.1.1).
Z—>оо
Из (28) получаем (теорема 2)
Ати1К (0) = lim (t) lim —0) < 1.	(29)
t—*oo	t->oo R
Полагая в (29) N -> оо, приходим к неравенству
4^(0)<1,	(30)
откуда следует конечность Ai. Полагая теперь в (30)
= Cvb получаем неравенство СК (0)^1, которое
вместе с (27) доказывает (29).
Теорема 5. Константа К (0) > 0 тогда и только
тогда, когда при всех 1 i, j п
Mp,j.log|?.< оо.	(31)
Доказательство. При доказательстве теоре-
мы 1 мы пользовались утверждением 1° леммы 1.1. Сейчас
мы воспользуемся утверждением 2° той же леммы. Исполь-
зуя представление (17) для R (Z; 5) и лемму 1.1, получаем,
что для того чтобы »
Пт = к (0) и > 0,	(32)
t-+co R
необходимо и достаточно
^E(F(t; 0))<оо,	(33)
t
где матрица Е (s) определяется формулой (16).
Если К (0) > 0, то из (32) вытекает существование
такого 0 < 0	1, что для достаточно больших t
1 — F (t; 0) > jR‘0.1,	(34)
где 1 = (1, ••., 1). В силу монотонной зависимости F (s)
от $ из (33) и (34) заключаем
2Е(1-Л'0.1)<оо.	(35).
§ 21	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	203
Если же	0)) = оо, то lim — 0. Тогда су-
ществует такое 0	0	1, что R (t; 0)	0 • R1 • 1, t tQ и
2#(1-7Г0-1) = оо.	(36)
t
Нетрудно видеть, что (35) выполняется одновременно со
сходимостью ряда
SZ(1 - #0)<оо,	(37)
t
п
где Z (0) = 3 Г{^--(0-1). Обратимся к формуле (16), оп-
7=1
ределяющей E(s). Нетрудно видеть, что Z(0) можно пред-
ставить в виде
Z (0) = 1 - В (0),
где
«- *-Ф(6) ф7flx _ У**84)
В “ R (1 - 0) ’ Ф (°) п
R—1
— одномерные вероятностные производящие функции.
Таким образом, условие (37) можно записать в виде
2 [1 — В (1 - flf9)l< оо.	(38)
Как мы доказали в теореме 2.2.2, условие (38) эквивалент-
но Mg log В <С °о> где g имеет распределение вероятнос-
тей, соответствующее производящей функции Ф (9). Функ-
ция Ф (9) является производящей для распределения вэ-
роятностей
п
31*/(0
7=1
п
в предположении, что 2 Ну (0) = 1 и начальное распре-
7=1
деление вероятностей типа частиц пропорционально ком-
понентам вектора v.
204
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
Итак, (38) равносильно
3	21*| 1о§ 3 Ну < °°»
i j	j
что, в свою очередь, равносильно (31). Теорема доказана.
Теорема 6. Если выполнены условия (31), то урав-
нение
1 — Ф (Я (а)) = Я (1 — ф (а))	(39)
имеет единственное решение в классе функций, дифферен-
цируемых в точке s = 1.
Доказательство. Пусть ф (а) — решение (39),
удовлетворяющее условию
Ф (а) = 1 - 2 0i (s) ($* -1), Ии» (*) = 0i < оо- (40)
i=i	»ti
Итерация уравнения (39) приводит к уравнению
1 - Ф (Р (t; *)) = Я' (1 - <р«
которое можно записать с помощью (40) в виде
*^е4(Я(*;а)) = 1-ф(а).	(41)
Полагая в (41) t -> оо, получаем
(1 - F* (s)]u'K (0) 0, = 1 - ф(а).	(42)
Из доказательства теоремы 4 следует 0| =	, поэтому
из (42) вытекает ф (s) = F* (а). Теорема доказана.
Если неразложимый докритический ветвящийся про-
цесс имеет периодическую матрицу моментов А, то теоре-
мы 2 и 3 могут не выполняться. Иллюстрируем это двумя
примерами.
Пример 1. Пусть Ф (а) — одномерная производя-
щая функция с Ф' (1) = А < 1 и Ф' (1) < оо. Опреде-
лим ветвящийся процесс с двумя типами частиц. Пусть
= (а1, а2) и
у*(а) = ф^а2), ^(а) = Ф/а1),
§ 2]	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
205
Матрица А = |^^| этого процесса периодична и нераз-
ложима. Нетрудно видеть, что вероятности Q1 (i) = Q2 (t)
И совпадают с соответствующей вероятностью Q(t) одно-
мерного ветвящегося процесса с производящей функцией
Ф(«). Поэтому (У(!)~КА‘, но предельная теорема 3
не выполняется, так как потомство частицы типа Ti в
четные моменты времени состоит из частиц лишь того же
типа, а в нечетные — из частиц другого типа.
Пример 2. Пусть s = (s1, з*) и
F1 (з) = Ф (s3), F2 (s) = з»,
где Ф ($) — производящая функция из примера 1. Матрица
I 0 Л I
А — L 0 этого процесса периодична, неразложима и
имеет перронов корень R =	< 1. Нетрудно видеть,
что в этом случае Q1 (2t — 1) = Q1 (2i) = Q (t) — KR3t,
где Q (i) определено в примере 1. Отсюда вытекает, что
Q1 (2t) R2t -+KmQl(2t- l)R-<^ KR, т. e. предел
lim Ql (t) R~* не существует.
f-*oo
Результаты, относящиеся к докритическим процессам
с дискретным временем, нетрудно перенести на случай
непрерывного времени. Для этого надо использовать тех-
нику вложенных ветвящихся процессов. Пусть F s) —
производящая функция ветвящегося процесса с непрерыв-
ным временем и An = N = 1, 2, ... . Обозначим
Fn (&; s) = F(k&N; s) производящую функцию вложенного
ветвящегося процесса, в котором время t пробегает ариф-
метическую решетку A:An, k = 0, 1, .... Если г — перро-
нов корень матрицы а первоначального ветвящегося про-
цесса, то будет перроновым корнем матрицы матема-
тических ожиданий А (0 этого процесса. Поэтому матрица
математических ожиданий An — AN (1) = А (An) вло-
женного процесса имеет перронов корень RN —
и неравенство г<0 равносильно неравенству RN <С 1 при
любом N. Таким образом, вложенный ветвящийся процесс
докритического процесса также будет докритцчещда^

206
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
J
[ГЛ. VI
Теорема 7. В докритическом неразложимом вет-
вящемся процессе с непрерывным временем
lim = Ки\ i = 1,..и,	(43)
где К > 0 — некоторая константа. Константа К поло-
жительна тогда и только тогда, когда при любом t>0
Mp*(J)log p,j(O< ©о, i, j = 1,..п. (44)
Доказательство. При любом целом N > 0
для вложенного ветвящегося процесса имеет место равен-
ство (см. теорему 2)
lim
lim
k-*oo
<?*(*AW) _
erls^N
Ku\
(45)
^г=
где, как нетрудно видеть, константа К > 0 не зависит
от значения N. Пусть (к — l)Aw	Aw. Из монотон-
ности Q* (Z) имеем
*?Л (*) riiN	Q* (t)	Qn (к ~ -rAN.
ТА е	Tt	як-1
nN	е	nN
отсюда и из (45) следует при любом N
Ки1ег^к lim inf	lim sup 0-^	Ки^^.	(46)
t—*х>	€	f—*<x> в
Так как AN можно сделать как угодно малым, из (46)
следует (43). В силу теоремы 5, константа К в (45) поло-
жительна тогда и только тогда, когда условие (44) выпол- *
няется для t = kAN> k = 1, 2, ..., N — 0, 1, .... Покажем,
что отсюда следует конечность	этих моментов при всех	<
t > 0.	।
Обозначим	j
& (0 = Mg (р< (0) = 3 g («) р {н‘ (0 = a}	.j
момент случайной величины g (р* (О), где g (а) > 0 при
всех а G и g (а) > g (₽)» если а > 0. Функция
§2J
ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
207
g (а) = a,j log ay, очевидно, удовлетворяет этим условиям.
Из основного функционального уравнения для ветвя-
щихся процессов вытекает при любых t, т 0
п
X (« + *) =	3 П П^«,л(0. (47)
3	n	i=l j~l
3 2Y(i’?)==a
i=l, 7=1
Умножая (47) слева на g (а) и справа* на g (г (к, 1))
g (а) и суммируя слева и справа по всем a 6= 2V71,
получаем
С{(« + т)>2'р| (1)^(0,	(48)
где S' означает суммирование по всем таким 0 ЕЕ ЛГ1,
для которых 0к > 0. Неравенство (48) иначе можно за-
писать так:
& (t + т) > <Р{И1 (т) > 0} G* (*)>.	(49)
Из (49) и конечности G* (t + т) следует конечность
Gk (2), так как в неразложимых процессах с непрерыв-
ным временем при любом т > 0 Р {[4 (т) > 0} > 0.
G помощью (49) мы устанавливаем справедливость (44)
при любых 2, если за t + т возьмем любое число вида
kkN > t.
Теорема 8. В докрипгическом неразложимом вет-
вящемся процессе с непрерывным временем условное распре-
деление
Р{р(0=а|М*)=/=0, р(О) = 0}, Р=/=0,
сходится при t->oo к предельному распределению {Р«},
производящая функция которого
P’(S)
a
(50)
не зависит от начального состояния р (0) = 0 =/= 0 и
208	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	[ГЛ. VI
удовлетворяет дифференциальному уравнению
/й(«)^ = -г(1 -F‘(s))	(51)
и начальному условию F* (0) = 0.
Доказательство. Применяя теорему 3 к
вложенным процессам FN (к-, в), мы получаем, что при
любом N и любом i имеет место сходимость к предельной
функции
lim -----------
fc-*oo Rtf (к\ 0)
я*^;®)
11Ш	-----
л-» waw;0)
= R* (s) = 1 - F*
(s)
(52)
равномерно в | s |	1. Зафиксируем N и при каждом t
выберем к таким, чтобы t = k&N + т> 0 т < AN. Тогда
при t -*• оо будет к-*- со и 0 С* С Д^у. Применяя к от-
ношению
R^t; s) = В1(к&я; F(r; з))
Я‘(<; 0) ~	F (т; 0))
предельное соотношение (52), имеем
Пт Г £(*_!)_ gV.fr -))|=о.
<_>«, L/?*(*; 0) я(Я(г. 0))J
(53)
„	Я* (F (т; s))	. л
Покажем, что д* (г"оУ)не зависит от т > 0 и все время
равно 1 — F* ($). В самом деле, так как (52) справедливо
при любом N, то Л* (s) при любом N удовлетворяет урав-
нению
R*(F(kbN-, в)) = егк^(в).	(54)
Пусть Ni велико и т = АД^у, + где 0 тх < Д^.
Применяя (54) к отношению R* (F (т; s))/R* (F (т; 0)),
получаем
Я*	(F (т; s))	R*	(F (*AW1:	F (п;	«)))	Д»	(/-	(Ti; s))
Я*	(F (т; 0))	“	Я‘	(F	F (тг.	0)))	“	Я*	(F	(п; 0))'
гт	*т	/ес\	п	Я* (F (т;	s))
Полагая АГх —>	оо, имеем	в	(55)	тх	—>	О	и	д« (г	6)) =
§ 2]	ДОКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	209
= lim	= R* (s), так как limFfa; s) = s,
-₽r->0 n VI» U))	T1_>0
R* (0) = 1 и R* (s) непрерывна. Таким образом, в (53)
мы фактически установили, что Пт \	* = 1 — F* (а),
а отсюда так же, как в теореме 3, вытекают все основ-
ные утверждения теоремы. Уравнение (51) получается из
уравнения
1 - F* (F (/; a)) = ert (1 - F* (а)),	(56)
справедливого при всех t 0 (в силу уравнения (10)).
Полагая в (56) t -> 0, получаем
1 - F* (®) -	4 («) t + о (0 = (1 + rt + о (0) (1 - F*(а))
uS
и (51).
Теорема 9. Если выполнено условие (44), то урав-
нение
<р(0) = 0,	(57)
имеет единственное решение в классе вероятностных про-
изводящих функций, имеющих в точке s = 1 конечные
первые производные.
Доказательство. Из теоремы 4.3.3 и заме-
чания к ней следует, что (t; з) = ф (F (t; s)) удовлетворя-
ет уравнению
(*)	’ ♦ (°;	= ф (*)•	<58)
Подставляя в (57) вместо <p (а) функцию <p (F (t; s)) и поль-
зуясь (58), получаем
=-r(l-q>(F(<; а))),
откуда имеем
d in (1-<р (/(*; «))1 _ r	-Q,
--------di-----------г-	(ау)
216	предедьйь!е ^еорвмь!	trji.vi
Решение (59) дает
1 — Ф (F (t, s)) = ert (1 — ф ($)).	(60)
Таким образом, уравнения (57) и (60) равносильны*
Применяя к уравнению (60) теорему 6, получаем требуе-
мое утверждение.
§ 3. Критические процессы
При исследовании критических процессов мы будем
пользоваться следующим вытекающим из теоремы 6.1.1
разложением производящей функции:
1 - F* (s) = В* (s) =
= 4 (1 - ?) - i (Бу - E$ (s)) (1 - ?) (1 - ?), (1)
где 0 < Eij (s) C Bij, при 0 < <2 s2 1 Eij (s2) «С E*j (sx)
и lim£y(s) = 0. Сначала рассмотрим случай дискретного
«И
времени. Будем предполагать, не оговаривая этого каж-
дый раз, что рассматриваемые критические процессы нераз-
ложимы и непериодичны. Из определения критичности
вытекает, что типы частиц не составляют финальный класс.
Теорема 1. В критическом неразложимом и не-
периодическом ветвящемся процессе с дискретным временем
и с конечными вторыми моментами при t-+~ оо равномерно
в 0 <2 s 1, $ =Д 1,
Л* --------В? (1~ 6-т (1 + ° (1))’	(2)
где В = vkB*mulum > 0.
Доказательство. В силу теоремы 1.1 формула
(2) будет справедлива, если мы покажем, что равномерно
по O^s^l, $=£=!,
1.	1 Г 1	111?	/П\
lim — ---г------------ь- = -у- •	(о)
f-оо t L (*> s) vk — s*) j 2
Умножим равенство (1) на и просуммируем по к. Полу-
чаем
ркЯк(а)=Ук(1-8к)-4^(^-4(5))(1 -?)(1 - А (4)
§ 3]	КРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	211
Обозначим
Ро (*) = »к (! — sk)> Р («) = V*R* (s)»
6 (») = -4т —4 + з (*)•
v ' po (s) P (s) 1 r ' '
Деля (4) на p0(s)p(s), получаем = у — j (3 — e) или
6<s) = ij-7 + ₽ = ^‘-7‘<|i-,	<5>
Подставляя в правую часть (5)
Р = Ро - Ро (₽ - е),
приходим к выражению
6(з) = 8(ж)~р(s)Р°(s)(Р(s)~8 (8)1, 0^з<1, s=/=l.	(6)
Пользуясь тем, что в (з)	0 (з), мы можем получить
следующие оценки для д (з):
- 02 (з)рв (з) < в (з) - 0 (з)Рв (з) [0 (з) - е (s)J <
<д(з)<е(з).	(7)
Подставляя в д (з) вместо s F(k; s) и беря среднее ариф-
метическое, получаем
1 3 »(* »)) = 1	+ 3 Р (4; »))]
Л—U	л—U
(8)
При к-+<х> F(к; з)—>1, O^s^l, и по теореме 1.1
/?* (А; s)/p0 (F (к; з)) —» и1 равномерно по 0<3<1, 3=М.
Поэтому lim0(F(A:; з)) = 4 и lim е (F (&; з)) = 0 также
к-*ЗО	fc-*oo
равномерно по 0 s 1, s 1. Из оценок (7) вытекает
lim6(F(fe; з)) = 0 равномерно по O^s^l, s=j=i,
k-*oo
212
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
поэтому соотношение (8) доказывает соотношение (3). Тео-
рема доказана.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 вероятность
Q* (О продолжения процесса при £ -> оо асимптотически
равна
(9)
вероятность продолжения процесса, начавшегося с р, (0) = а,
равна при < оо
Р {р (0 =f= 01 р (0) = а} = ^-(1 + о (1)).	(10)
Доказательство. Формула (9) получается
при s = 0 из (2). Формула (10) выводится из (9) так же,
как в теореме 2.2.
Теорема 3. В условиях теоремы 1 условное рас-
пределение случайных векторов %* (t) = (gj (£), ..., gn (0)>
k = 1, ..., л, с компонентами
при условии =/= 0 сходится при t~+ <х> по распреде-
лению к случайному вектору g = (gx, ..., gn), не завися-
щему от к. При этом
= 1ж>0,	(11)
и с вероятностью 1 gx = ga = ... = gn-
Доказательство. Преобразование Лапласа
Ф? (т) = М {ехр {- I (0 > 0}, т = (т1, ..т«) > 0
может быть представлено с помощью формулы 2.11 в сле-
дующем виде:
Як(Мт(<))	z._4
(12)
(—2 <Т1г?71>1
где$? (t) ведтор с компонентами (0 == ехр у —.
$ 31
КРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
213
Так как при t -► оо
vt (1 - 3* (0) ==	Т (1 + о (1)), х = Т1 + ... + тп,
то из (2) получаем
— Г
R* (Z;	ziJ1 + ° (1»-	(13)
1 + X (1 + о (1))
Подставляя (13) и (9) в (12), имеем
limq>?(T) = I4^,
t—*oo	1 i T
откуда и вытекают все утверждения теоремы.
С помощью метода вложенных ветвящихся процессов,
примененного в § 2, утверждения теорем 2 и 3 нетрудно
перенести на процессы с непрерывным временем.
Теорема 4. В неразложимом критическом вет-
вящемся процессе с непрерывным временем и конечными
вероятность продолжения процесса при t со представи-
ма в виде
<?г(0 = %-(! +0(1)), i = l,...,n,	(14)
еде Ъ — Vib^u^u^. Вероятность продолжения процесса,
начавшегося с р (0) == а, равна при t -> оо
Р {р (0 + о I р (0) = а} =	(1 + о (1)).	(15)
Доказательство. Так же, как в § 2, рассмо-
трим вложенные процессы FN (k; s) = F(kAN; s), An = 2~N.
Пусть kkN < t (k + 1)An- Тогда
<? ((k + 1)An) < Qi (0 < Ql (kbN). (16)
Применяя (9) к Q (k&N), получаем
+ <17>
Ив (4,745) рдедует Д (An) = (>Длг U + о (Я)> У <*>;
214
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
отсюда с помощью (16) и (17) следует (14). Формула (15)
выводится из (14) так же, как в теореме 2.2.
Теорема 5. В условиях теоремы 4 условное рас-
пределение случайных векторов (t) = (£j (t), ...,	(<)),
k = 1, ..., п, с компонентами
k	(I) гГ1
^•(0=	7 = 1..
П,
при условии В* (7) =j= 0 сходится при со по распреде-
лению к случайному вектору | = (|х, ..., £п), не зависяще-
му от к. При атом
р{£1О} = 1 — е-*» я>0,
и с вероятностью 1 £х — ... = £п-
Доказательство. Обратимся опять к вложен-
ному процессу FN(k; з). Выбирая сначала N достаточно
большим, представим F (t; з) в виде F (k&N; F (б; з)),
где t = &Ату-|- б, 0 < б < Дк. Преобразование Лапласа
условного распределения (7) представимо в виде (12),
только в зт (t) вместо В надо поставить Ь. Представим от-
ношение в (12) в виде
Я‘(«;»т(0.)	/’(6; sT(t)))
R' (t; 0) R* (k&N; F (S; 0))
Полагая в (18) fc->oo, воспользуемся асимптотической
формулой (2). Если N было выбрано так, что мало,
то в результате мы получим, что рассматриваемое преоб-
разование Лапласа при t —> оо можно сделать как угодно
1
близким к предельному значению —что и доказывает
1+т
теорему.
Замечание 1. Как в теореме 3, так и в теореме 5
предельное распределение не зависит от типа начальной
частицы. Нетрудно показать, что предельное распреде-
ление в этих случаях остается тем же самым при любом
фиксированном начальном векторе р, (0) = а, отличном
от нуля. Это можно доказать так же, как в теореме 2.3»
S 41
‘ НАДКРИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
215
§ 4. Надкритические процессы
В самых разнообразных моделях надкритических про-
цессов с конечными вторыми моментами имеет место при
t-+- оо сходимость в среднем квадратическом числа ча-
стиц, нормированных показательно растущим коэффици-
ентом, к некоторой предельной случайной величине. Соот-
ветствующие теоремы для марковских процессов с одним
типом частиц были нами доказаны в § 2.6. Здесь мы огра-
ничимся лишь доказательством предельной теоремы в про-
цессах с непрерывным временем.
Теорема 1. В надкритическом неразложимом вет-
вящемся процессе с непрерывным временем с конечными
вторыми моментами случайные величины^™(t) = u™(t)Vjle~rt
сходятся при любом т в среднем квадратическом при
t-+oo к некоторой предельной случайной величине, одной
и той же при j = 1, ..., п.
Доказательство. Сходимость %™ (t) в среднем
квадратическом вытекает.из выполнения критерия Коши.
В самом деле, при t -> оо равномерно по т > О
M(grw-S7G + T))2^o,
так как в силу теоремы 4.7.8
+ (1)
где определены формулой (4.7.31). Независимость
предельной случайной величины от индекса / (почти на-
верное, т. е. с точностью до события нулевой вероятности)
вытекает из соотношения
liinM(gf(0-^(0)2==0,
/-♦оо
которое выполняется, так как наряду с соотношениями (1)
из теоремы 4.7.8 следует, что
а из (4.7.31) вытекает, что коэффициенты	не за-
висят от индексов / и к. Теорема доказана.
216
ПРЕ ДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. VI
Теорема 2. В условиях теоремы 1 характеристи-
ческая функция	тп) предельного для (/),
/ = 1, п, распределения имеет вид <рт (т1, тп) =
= фт (т), где т = т1 + ... + т", причем фт (т), т = 1, ..., л,
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
фт(0) = 1.	(2)
dx ГХ
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что
характеристическая функция М ехр	равная
F(i; ехр	..., exp{i <тп1?п1>е~г'}),при t->oo
сходится к характеристической функции фт (т1, .... т”)
предельного распределения, которая имеет вид фт (т),
где т =тх+ ••• + tn. Положим в основном функциональ-
ном уравнении F (t + Т; s) = F (t; F (Т; s))
sk = exp {i e~rT}, k — 1,..., n,
и устремим T -► оо. Получаем
Ф(Ь") = F(t-, ф(т)),	(3)
где ф (т) — (ф1 (т), ..., ф” (г)). Записывая (3) в виде
Ф (тгг<) — Ф (т) . ert — i = F (t; ф (?)) — <р (т)
ег^ — 1
и полагая в (4) £	0, получаем (2).
Теорема доказана.
Аналогичные утверждения имеют место и для надкри-
тических ветвящихся процессов с дискретным временем.
ГЛАВА VII
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ
§ 1. Описание модели
Под схему ветвящихся процессов подходят также про-
цессы с иммиграцией, в которых наряду с размножением
и превращением частиц имеется еще постоянный приток
частиц извне, управляемый случайным механизмом, не
зависящим от числа существующих частиц. Рассмотрим
следующую модель такого процесса с иммиграцией. Пусть
имеются частицы одного типа. Каждая существующая
в данный момент частица независимо от своего происхож-
дения и возраста и независимо от судьбы других частиц
с вероятностью 6fcl +	+ о (А£) превращается за
А£ -> 0 в к частиц. Кроме того, независимо от наличия
какого-либо числа частиц, с вероятностью dfc0 +	+
+ о (АО за промежуток AZ -> 0 возникают к частиц. Эти
вновь возникшие частицы в дальнейшем претерпевают
превращения по описанному выше ветвящемуся процессу.
Символ 6^- = 0, если i =/= j9 и = 1, если i = /. Мы пред-
полагаем, что плотности p/f, g/с удовлетворяют следующим
условиям:
со
Р1<0» Pk>0, k^i, Зрк = °>
fc=o
~ (1)
9о<О.	*>0, 2^ = °-
к=о
Введем производящие функции
оо	со	оо
/(*)= S *(*) = S р& *) =	(2)
fc=0	fc=o	к=о
................................................  I..................
218 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ	11JJ. Л11
Где pk до — вероятность того, что число частиц p, (t)
в момент времени t равно к, если при t = 0 частиц не было.
Из условия (1) вытекает / (1) = g (1) = 0. Наша задача
состоит в том, чтобы по заданным / (s) и g (s) найти рас-
пределение случайной величины |х (t) и определить пре-
дельное поведение этого распределения при t -> оо.
Покажем прежде всего, что описанная выше схема
есть частный случай ветвящегося процесса с двумя типами
частиц. Для этого, кроме изучаемых частиц, которые мы
назовем частицами типа Тъ введем еще одну фиктивную
частицу типа То. Зададим вероятности превращения частиц
за время Д$ -> 0 следующим образом:
Р {Го	Го} = 1 4- Qb&t + о (Д0,
р {Го Го + кТг} = q^t + о (ДО, к =/= 0,
Р{Т1^>Т1} = 1 + Р1Д^4-о(Д0,
Р{Т1^»А:Г1} = рйД^ + о(ДО, к=^1.
Обозначим P(aCoat) (О вероятность того, что одна частица
типа Ti за время t превращается в совокупность а0 частиц
типа То и ах частиц типа Пусть при Д$ 0
pU aj) (ДО = С, ai) + PU, «>) м + О (ДО,
где 6(1,о) — 1, 6?о,1) = 1, а остальные S^.a,) равны нулю.
Введем производящие функции
Р4(0 Л^)= 2
а«, а,
„	(3)
« « <а°» а0 4
а0, а.
Нетрудно видеть, что производящие функции (2) и (3)
связаны между собой следующим образом:
f (s°,	= s°g (s1), f (s°, s1) = / (s1),	(4)
F° (f, s°, s1) = sPF (/; s1).	(5)
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
219
§ и
Таким образом, иммиграцию можно представить про-
исходящей за счет размножения фиктивной частицы То,
которая, произведя новые частицы типа Т19 сама не исче-
зает и не размножается. В построенном ветвящемся про-
цессе типы То и Тг составляют классы сообщающихся
типов, {Ti} — замкнутый класс, а {Го} — незамкнутый
финальный класс.
Для этого процесса с двумя типами частиц 70,
имеет место система дифференциальных уравнений (см.
теорему 4.2.3)
= /(F0, F1), i = 0, 1,	(6)
с начальными условиями
F1 (0, s®, s1) = Д i = 0, 1,	(7)
или уравнения в частных производных
=	+	(8)
с теми же начальными условиями. В нашем случае система
(6) запишется в виде
= F‘S(F>),	(9)
(Ю)
а уравнения в частных производных (8) имеют следующий
вид:
dF1 п , dF1 . dF1
+ /(S1)_, (11)
Из (5) и (11) получаем уравнение для F s)
9^ = g(s)F + f(S)^,	•	(12)
которое нужно решать при начальном условии
F (0; s) = 1.	(13)
220 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ [ГЛ. VI
С другой стороны, можно получить удобное выражение
для F (t; з) с помощью системы уравнений (9), (10). Урав-
нение (10) с начальным условием (7) решается отдельно.
Обозначим его решение через Ф (/; з) (полагая з* = з).
Тогда из (9), (7) и (5) можно получить
t
F (t; s) = ехр {J g (Ф (u; s)) duj.	(14)
Эта формула выражает производящую . функцию
F (t; з) ветвящегося процесса с иммиграцией через произ-
водящую функцию Ф (/; з) ветвящегося процесса без
иммиграции.
§ 2.	Моменты
Обозначим производные производящих функций / (з)
и g(s)
Г (1) = «1. Г (1) = Ьп t (1) = «2, g" (1) = ь2- (1)
Через эти параметры выражаются первые и вторые мо-
менты Р (0.
Заметим прежде всего, что из § 4.6 вытекает, что при
конечных аь Ъь i — 1, 2, конечны Мр, (t) и Dp, (t). Из ра-
венства (1.14) можно получить дифференцированием мате-
матическое ожидание и дисперсию р, (t). При ^0
**!•«) = *"‘У |„=	-1).	(2)
Г>„ (t\ -	0 I dinF (У, 3)1 ]	_
(О — [ aS2 + as J |s=i
==^+огЬ1(е2а1,_1)_ ^gl-l)(^-l);	(3)
при ах = 0
Мр (0 = a2t, Dp (0 = (b2 + a2) t +	t*.	(4)
Из (2) и (3) видно, что при ах < 0 существуют пределы
ПтМи(1)--?1,	=	+	(5)
МОМЕНТЫ
221
$ 21
а при ах > О Мр (t) и Dp (0 асимптотически имеют пока-
зательный рост
мИ(<)-а^,	(в)
В формулах (6) и ниже мы всегда будем предполагать, что
«а > 0. Случай аг = 0 соответствует ветвящемуся про-
цессу без иммиграции, так как тогда g (s) s 0. В формуле
(6) для Dp (0 коэффициент	0, так как по
предположению «а^-Ои^^О, а при аг > 0 обязатель-
но и > 0. В случае — 0 Мр (0 растет линейно, а
/DM0 — асимптотически линейно.
Вычислим еще ковариацию между |Л (/) и р (t + h).
Для этого воспользуемся производящей функцией
F (t, t -j- Л; Sj, s2) = 3p{l*(0 = fe» P(t + h) = 1} s*s\.
и, i
Используя определение процесса с иммиграцией и фор-
мулу (1.14), можно получить равенство
logF(£, t -f-Л;	s2) =
t	h
= У g (ф $1<D (Л; S2))) du+ J g (Ф (u; s2)) du. (7)
о	0
Из равенства
Cov (НИ, И« + *)) =	"'I
v r	osidsz	|81=s2=i
и соотношения (7) при аг =f= 0 получаем
Cov {р (0, р (/ + h)} = е»*Л (е^ - 1) + ^ еа^ х
х — 1) -	(е“«г — 1) е°*Л +	e°*h (е“«< - 1).	(8)
ах	“1
Если Oi = 0, то
Cov {р (0, р(* + h)} = (аа + Ь2) t +
222 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ [гл. VII
Так как при а = 0 Cov {р (О, Н (* + Л)} = Dp (/), то
случайные величины р (t) и р (t + h) — р (t) некоррели-
рованы.
В соответствии с общей классификацией ветвящихся
процессов мы будем называть процесс с иммиграцией
докритическим, если а1 < 0, критическим,— если =
= О, Ьх > О, и надкритическим,— если ах > 0. Случай
аг = 0, Ьг = 0 тривиален, так как тогда, как легко видеть
из (1.14), F (V, s) = е^\
Докажем теперь три предельные теоремы, относящиеся к
докритическим, критическим и надкритическим процессам.
§ 3. Докритическим процесс
Теорема 1. Если аг<^0 и а2<^оо, то существуют
пределы linaPle(t) = Р^. Производящая функция F (s) =
QO	Л-*ЭО
= 3 рата
k=o
F(s) = exp{^dx}.	(1)
8
Доказательство. Докажем, что при а± О,
а2 00 существует предел
s) = ехр f g(<D(u; s))du,	(2)
f-oo	"
причем сходимость к пределу (2) равномерна по |s|	1.
Для этого нужно доказать, что несобственный интеграл
J g(<D(u; s))du	(3)
О
сходится равномерно по |s|	1. Так как при |s|	1
|g(s)|^a2|s- 11, |d>(n;s)-l|<e»*«|s-l|,
то
|£(Ф(м; 8))|<вге«*«|а-1|
(4)
$ 3]
ДОКРИТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
223
и, следовательно, интеграл (3) сходится равномерно по з
в круге |s| < 1. Таким образом, существует предельное
распределение с производящей функцией
оо	оо
F(s) = '2iPkS't= ехр J ?(ф(и; s))du.
к=о	о
Для завершения доказательства покажем, что
оо	1
fg(O(u; s))du=^dx.
О	8
Для этого продифференцируем несобственный интеграл
(3) по параметру 5
4^(Ф(и; S))du = $*<^>	=
О	о
f dg (Ф) дФ du __ 1 С dg (Ф (и; 5))
“ J dФ ' си f (s)	/ (s) ) ди aU~
0 0
g (Ф (°°; *)) — g (Ф (0; «)) __ g (s)
/(*) /(*) ’
Здесь мы воспользовались тем, что Ф (и; s) удовлетворяет
уравнению
ЭФ (u; s) 4 z ч ЭФ (и; $)
the J d~s
и начальному условию Ф (0; s) = s. Кроме того, как видно
из (4),
Ит#(Ф(г; 5)) = 0
f—»оо
(<;*))
/«
равномерно по |s|	1; сходимость lim
f-HX>
= 0 также
равномерна по |s|	1, $=/= 1. Поэтому дифференцирова-
ние по параметру интеграла (3) законно.
Заметим, что предельное распределение (1) стационар-
но, т. е. производящая функция (1) удовлетворяет урав-
Э
ценило (1.12), если положить в нем = 0t
224
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ
[ГЛ. VII
§ 4. Критический процесс
Теорема 1. Если а1 = 0, Ъг > 0, а2 > 0 и все они
конечны, то при 4 -► оо
ад=р{^< 4-*S(x) =
°,
х О,
Доказательство. Докажем, что характери-
стическая функция
случайной величины 2р при t -> оо имеет преде-
лом характеристическую функцию для распределения
S (я), равную (1 — гг)”2аг/Ь1.
При доказательстве теоремы 2.5.1 мы получили форму-
лу (2.5.6), согласно которой при = Ои конечном Ъг > О
имеет место асимптотическая формула
1 -Ф(t,в) = -	---(1 + a(t; S)),
(2)
где а (t; s) 0 при t -> оо равномерно в |s|	1. Пока-
жем, что
lim f £(Ф(и; exp{2iT/&x4}))du = —	1п(1 — 4т).	(3)
(-мо i	°*-
Для этого разобьем интеграл I g (Ф(м; ехр {24т/Ьх4})) du
на четыре слагаемых (ниже полагаем везде $ = e2i^bJ и
4>Т)
<	Т	'	1 _ S
j g (Ф (и; s)) du = j g (Ф (u; s)) du — a2 f---------du —
1 + — (I-®)
5 4
критический ПРОЦВСС
225
t
-«2 f
1 — s 1
1 — Ф (и; s) —-------'-fa------- du 4-
•4* f [g(Ф(w;s)) — ®2(Ф(**»— ^)]— Л-Ь Л'ЬЛ’ЬЛ’
T
(4)
При любом конечном T > 0 и t —оо
Л = - ^-[log (1 + -^-(1 -	-
- log (1 +	(1 - в»**))]	log (1 - lx). (5)
Из (3.4) следует, что при любом Т > 0 и t -> оо
О	о
Далее,
t
J11 —	| • | а (и; eiiT/b^) | du
<-^^(*-r)maxlo4u;e*W)|_>O	(7)
T<u^t
при t > T -> оо. Здесь мы воспользовались тем, что
Re (1 — ei<₽)-1> 0 и 11 — ei<₽| «С | <р | при действительных <р.
Наконец, при |s|	1 мы можем представить g (s)
в виде
g (s) = Oj (s — 1) + 8 (s) (s — 1),
где 8 (s) -> 0 при s —>• 1. Отсюда следует
•t	t
IЛ К J |К(Ф) ] • | Ф -11 du < | е«{W — 11 j | в (Ф) | dw <
sup |8(Ф(«;«))|^0	(8)
°1С	Т<и<1
1«1<1
при	оо.
8 Б. А. Севастьянов
226 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ [ГЛ. VII
Равенство (3) получается из (4) — (8). Сначала надо
выбрать Т так, чтобы J3 и J4 были малы. Зафиксировав
это Т и полагая t —> оо, получим, что разность между левой
и правой частью (3) может быть сделана как угодно малой.
§ 5. Надкритический процесс
Рассмотрим надкритический случай. Обозначим
Si = и (0
Теорема 1. Если О, Ьх, а^, Ь2 конечны, то
при t -> оо случайная величина сходится в среднем ква-
дратическом к случайной величине £.
Доказательство. Покажем, что равномерно
по h > О
АМи*-Ы’-*0.	(1)
Так как
M|[&+h - Id2 = Dp (t + h) + e^'Dp (t) -
_ 2e-«.(2<+h) Cov (и (t), p (* 4- h)) 4-
4- [Mp (t 4- h) — Mp (t) e-"1*]*,
то (1) вытекает из формул (2.2) и (2.8), поскольку при
t —»- оо
Mp (t 4* h) e-°»<t+h> — Mp (t) в-0** =	er01* (1 — e“°‘k) —> О,
e-2“«'Dp (0  b2ai-+£a^_
«-“><«+*> Cov (p (f), p («4- h)) ->	.	(2)
Так как выполнен критерий Коши (1), то существует та-
кая случайная величина £, что М [gf — £]2 -> 0.
Следствие 1. Функция распределения S (х) =
= F х) является пределом £для££/(ж) = Р {|t х}
при t -> оо.
Теорема 2. Характеристическая функция ф (т)
предельного распределения S (х) равна
ф(т) = ехр[А|-*4^))_(Ц,
о
где ф (и) определяется из соотношения (2.6.16),
(3)
5 5i
НАДКРИТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
227
Доказательство. Из следствия 1 вытекает,
что характеристическая функция F (<; ехр	слу-
чайной величины р (t) е-а,/ при t оо сходится к предель-
ной характеристической функции ф (т). Покажем, что
ф (т) определяется формулой (3). Для этого в функцио-
нальном уравнении
F° (t + Т; s°, s1) = F° (£; F° (Т; з°, s1), F1 (Г; з°, з1)), (4)
относящемся к производящим функциям (1.3), положим
3° = 1, з1 = ехр {4те~“*<<+т)}. Пользуясь нашими обозначе-
ниями
F° (f, 1, s) = F (t\ з) и F1 (/; з°, з) = Ф (*; з),
имеем отсюда
F (t + Т; ехр ((+т)}) =
= F(T\ ехр {гте-*1* <<+т)}) F (t; Ф (Т; ехр’{гте~°* <,+т>})).	(5)
Полагая в (5) Т -> оо, получаем
ф (т) = ф (те-"1') F (/; <р (те-01')),	(6)
где <р (z) — функция, определенная в (2.6.16). При t -> 0
из (6) вытекает
ф (т) = ф (те-0»') (1 4-1 •	(тег®*')) + о («))	(7)
(так как в силу (1.4) и теоремы 1.4.4 F (t; з) = 1 +
+	(s) + о (f) при <->0). Из (7) получаем
ф(т)—фСге-"1')	фете"®*1)*	. .	.	...	/о.
~ ~ =	ё(ф(Те~	+ °(1>-	(8>
Переходя в (8) к пределу по t 0, приходим к дифферен-
циальному уравнению
(»)
решение которого с начальным условием (0) = 1 при-
водит к формуле (3). Теорема доказана.
Если при t = 0 было некоторое начальное распреде-
ление вероятностей числа частиц с производящей функ-
цией Fo ($), то равенство (1.14), определяющее F (t; s),
8*
228 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ИММИГРАЦИЕЙ [ГЛ. VII
перейдет в
t
F (t\ s) = Fo (Ф (t\ s)) exp J g (Ф'(и; $)) du.
о
При этом предельные теоремы в докритическом и кри-
тическом процессах остаются без изменения, а в надкри-
тическом процессе характеристическая функция предель-
ного распределения будет иметь вид
Ф (т) = Ро (<Р (*)) ехр ± J *(^(Z)) dz.
О
ГЛАВА VIII
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ПРЕВРАЩЕНИЯМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВОЗРАСТА
§ 1. Описание моделей
Мы будем иметь дело с тремя моделями ветвящихся
процессов, в которых превращения частиц зависят от их
возраста. В самой общей модели, которую мы в дальней-
шем будем называть моделью 1, участвуют частицы п типов
Тг, Т2, ..., Тп. Каждая из частиц типа имеет случай-
ную продолжительность жизни х1 с функцией распреде-
ления
Р{т<<О = С<(0» #(-0)=^ ^(+°)<1. (1)
Частица в конце своей жизни превращается в какую-либо
совокупность (в том числе и пустую) частиц типов Т^...
..., Тп нулевого возраста. Условную вероятность превра-
щения частицы типа (при условии, что превращение
произошло, причем частица в момент превращения до-
стигла возраста и) в совокупность частиц, состоящую
иэ aj частиц типа j = 1,..., п, обозначим рга (и), где
a = (аь ап) 6= Nn. Каждая из вновь образованных
частиц эволюционирует аналогичным образом. Для крат-
кости будем называть реализацию времени жизни и со-
става непосредственного потомства частицы эвоЛюцией
данной частицы. Эволюция данной частицы типа Tt опре-
деляется совместным распределением ее времени жизни
хг и векторной величины у' = (vj, Vn), характеризую-
щей состав ее потомства. Это распределение записывается
с помощью введенных выше (t) и р\ (и) следующим
230 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ.ВОЗРАСТА [ГЛ.VIII
образом:
Р {V е В. vl = а} = J рга (и) dG* (и),
в
(2)
где а GE Nn и В — борелевское множество на прямой.
Можно естественным образом определить поколения час-
тиц. Первоначальная частица типа с которой начи-
нается процесс, образует нулевое поколение. Мы будем
предполагать, что в момент t = 0 эта частица имеет нуле-
вой возраст. В конце своей жизни эта частица порождает
новые частицы, составляющие первое поколение. Непо-
средственные потомки первого поколения образуют второе
поколение и т. д. Если какое-либо поколение пусто, то
и все последующие поколения пусты, т. е. процесс вырож-
дается. Основным предположением, характеризующим
ветвящийся процесс данной модели, является предполо-
жение о независимости эволюции различных частиц.
Говоря точнее, мы будем предполагать, что эволюции
всех частиц любого данного фиксированного поколения
независимы между собой, а условное распределение эво-
люций всех частиц данного поколения при заданных эво-
люциях всех частиц предыдущих поколений зависит лишь
от состава данного поколения. Если данное поколение
имеет состав £ = (£х, ..., £п), то распределение эволюций
всех частиц этого поколения определяется как совокуп-
ность независимых распределений Р {т1 ЕЕ В, v* = а),
определяемых равенством (2).
Для математического описания таких процессов можно
построить пространство элементарных событий, состоя-
щее из генеалогических деревьев частиц, задающих эво-
люции всех частиц в процессе. Мы не будем здесь этого
делать и ограничимся лишь проведенным выше наглядным
описанием процесса.
Введем производящие функции
(3)
A,(u;s) = 3p:(u)»“-
а
Пусть вектор
означает, что в момент t существует (0 частиц типа Т$
$ 1]
ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ
231
в предположении, что в начальный момент t = 0 была
одна частица типа Tt. Случайные векторы р,1 (t) будем
предполагать с вероятностью 1 непрерывными справа.
Введем производящие функции
/'’‘(f; а) = 2^{Н*(0 = *}*“» i = !,...»«•	(4)
а
Иногда будем записывать эти производящие функции
в векторной форме
F (t; s) = (F1 (t; 5), ..., Fn (t; s)),
h(u; s) = (h1 (u; s), hn (u; $)).
В дальнейшем мы будем предполагать, что вероятности
pi (и) измеримы по и и удовлетворяют условию 2	(и) ®
а€=Лп
= 1. Поэтому функции h* (и; $) измеримы по и и являются
многомерными вероятностными производящими функциями
по $ = (а1, sn).
Производящие функции F (t; s) удовлетворяют нели-
нейным интегральным уравнениям, которые мы сейчас
выведем. Условимся, что во всех встречающихся ниже
1 г
интегралах J точки 0 и t включаются в промежуток ин-
о
t
тегрирования, а в интегралах J , t0 > 0, точка t вклю-
чается, a tQ не включается в промежуток интегрирования.
Теорема 1. Производящие функции Fl (t\ s) моде-
ли 1 удовлетворяют при |s|	1 и t > 0 следующей систе-
ме нелинейных интегральных уравнений:
t
Fl (/; s) = f h' (u; F (t - u; s)) dGl (u) + ? (1 - 6* («)),	...
o	W
i = 1,... ,n.
Доказательство. Для доказательства (5) вычислим
В *•♦(«;«) = Ms1*0 сначала условное математическое ожи-
дание	|т, v}, где (т, v)— эволюция первоначальной
частицы, распределение которой определяется формулой
232 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ* ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
(2). Если t < т, то pJ(O|= /:= 1, • •., и; если t, то
П
Ц*(0= 2 S И*’1 (* — *)» гДе	т), / = l,...,vK,
/£=1 1=1
к = 1,..., п, — независимые в совокупности случайные
векторы. Вектор — т) при любом I = 1,..., vk имеет
распределение вероятностей, совпадающее’с распределением
вектора р? (t — т). Поэтому
М {Z<() | т > О = ?, М{s^(,) IV, т<0 = F4(t — т; s). (6)
Осредняя условные математические ожидания (6) по рас-
пределению (т, v), получаем (5).
Вообще говоря, мы не исключаем случай G* (0)	0,
когда частицы могут иметь нулевую продолжительность
жизни, т. е. родившись, сейчас же умереть, оставив после
себя потомство. Поэтому функции F* (t\ s) при t = 0
могут иметь разрыв по t. Мы будем полагать предел слева
равным
lim F (£;$) = $.	/74
Ио	v'
Предельные значения	в нуле справа, равные,
11°	.
в силу непрерывности процесса справа, F (0; 5), будут
определяться из уравнений (5), рассматриваемых в точке
t = 0:
F1 (0; s) = h* (0; F (0; $)) G* (0) + ? (1 - G* (0)), i = 1,..., n,
(8)
которые при G* (0) > 0 и h* (0; s) ф sz будут иметь реше-
ние Fl (0; s) ф s*. Таким образом, предположение о том,
что процесс начался с одной частицы типа Ть будет озна-
чать, что limр}(t) — б), / =	Это обстоятельство
Ио	.
выражается равенством (7). Случайный вектор limp*(£)
i	f 1°
имеет производящие функции F (0; $), являющиеся ре-
шением уравнения (8). Если G* (0) = 0, то F1 (0; 5) = s\
$ 2]	ДОСТАТОЧНЫЕ условия ДЛЯ МОДЕЛИ 1	233
Заметим, что вероятности ргл (и) существенно опреде-
лять только почти всюду относительно меры, порождае-
мой функцией распределения G1 (£)• Любое изменение ргл (и)
в точках и нулевой ё^-меры не меняет вероятностных ха-
рактеристик процесса.
Частный случай модели 1, когда п = 1, т. е. когда
имеются частицы лишь одного типа, мы назовем моделью 2.
В этом случае вместо р*Л (и), Л*(и; s), F* (t\ s), pj (t), G\t) будем
писать pn (u), h (u; s), F (t\ s)9 |x (i), G (/). Уравнение (5)
в этом случае запишется так:
t
F (<; s)> j h (u; F (t — u; s)) dG (w) 4- s (1 - G (t)).	(9)
0
Дальнейшее упрощение модели (модель 3) получается,
если предположить, что вероятностирп (и) не зависят от и.
оэ
Обозначая тогда рп (и) и h (и; s) через рп и h (а) = 2 Рп«п»
п=о
мы получаем вместо (9) уравнение
t
F(t;s) = §h (F (t — u\ s)) dG (u)+s(l-~G (t)).	(10)
0
§ 2. Достаточные условия существования
и единственности решения в модели 1
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существо-
вании решения уравнения (1.5) и его частных случаев
(1.9) и (1.10) и дадим некоторые достаточные условия
единственности этого решения. Для формулировки и до-
казательства этих результатов нам понадобятся некоторые
обозначения и определения.
Обозначим
<4(u) = fej(u;l) =	4) = Ja)(u)dG‘(u).	(1)
Здесь Aj обозначает математическое ожидание числа
частиц типа Tj, которые возникли в следующем поколении
234 ВЕТВЯЩИЕСЯ1ПРОПЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. V1II
из одной частицы типа Ть а а, (и) — то же самое матема-
тическое ожидание при условии, что частица Tt испытала
превращение в возрасте и.
Обозначим St, О <С Т < оо, полное метрическое про-
странство векторных функций g (t; s) = (g1 (t; s), ...
...,gn (*; $)),$ =	•••> $n), с компонентами£*(£;$), опреде-
ленными в	Г, |s|	1, измеримыми no t и пред-
ставляющими собой многомерные вероятностные произ-
водящие функции по 5. Расстояние между g и g* е= St
определим равенством
рт(?,^) = 2 sup Is (*;«)-£*(МI-	(2)
|»|<1
Теорема 1. Если G' (0) =0, i = 1, п, и А*,
i,/= 1, п, конечны, то система интегральных уравне-
ний (1.5) в |$ | ^ 1 имеет единственное решение F (t; $),
которое при 0 f Т принадлежит St для любого
Т>°
Доказательство. Рассмотрим оператор g »
= Hrg, который функцию
g = (g1 (t; а), gn (t; s)) e ST
переводит в
? = (g1 (ti S), .... gn (ti S)),
где
t
g* (t; s) =' J h*(u; g(t — u; $)) dGl (w)’+ s1 (1 — Gl (t)).	(3)
0
Нетрудно видеть, что оператор Нт при каждом Т > 0
осуществляет отображение St в себя. Покажем, что при
некотором £0 > 0 оператор Hto осуществляет сжатое
отображение Sto в себя. Для любых |s |	1, |s*|	1
имеет место неравенство (см. теорему 4.1.2)
п
| h1 (и; s) — h* (и; s*) I 3 (и) Is< — s*^ I-
(4)
§2]
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ 1
235
Ив (3) и (4) следует
«) —g4(«; s)| =
t
= | J [h* (и; g(t — и; s)) — h* (u, g* (t — u\ s))] dG* (u) |
о
n t
< 2 j ai (u) I g} (* — «)’— g*} G — s) | л?’ (m).
i=i о
Пользуясь определением расстояния (2), получаем отсюда
п п t
pt (g, ТХ 2 3 J <4	(м) • Pt te- £*)•
i==l ;=1 0
Так как А} конечны, a Gl (f) непрерывны в нуле, то су-
ществует такое i0 > 0, что
Таким образом, оператор Я/о осуществляет сжатое ото-
бражение в себя. Следовательно, в St9 существует
единственная неподвижная точка оператора которая
является решением (1.5) при 0 t t0. Рассмотрим
теперь подпространство 52/0 пространства S2t0, состоящее
из векторных функций, которые в отрезке [О, £0] совпада-
ют! с неподвижной точкой^ оператора Нц. Поскольку
g (и; s) = g* (и; s) при 0< и < tQ для любых g, g* s S2*o,
то для всех	2t0
t-t0
^*G;s) — g‘ty;s)| = I J [hl(u;g(t — u-,s)) —
0
— h1 (u; g* (t — u- $))] dGl (u) |;
отсюда следует, что для любых g, g* G= S^,, также
P»t. (Яit<g, H^g*) < Xp2<, (g, g‘),
т. e. Нц, является сжатым отображением в себя.
Поэтому в 3^, также существует единственная неподвиж-
236 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
ная точка. Пусть мы уже доказали, что оператор HNt9
имеет в пространстве $м0 единственную неподвижную точ-
ку. Введем подпространство S*N+1)to пространства 5(n+d/0,
состоящее из векторных функций, которые в интервале
[О, Nt0] совпадают с неподвижной точкой оператора HNto-
Применяя те же рассуждения, что и при N = 1, полу-
чаем, что для любых g, g* е S(\+1)fo,
P(N+1) /о (#(ЛГ+1) *<£, #(IV+1)*O в*) < \°(ЛГ+1Хо (gf g'Y
т. e. Я(л+1)е0 является сжатым отображением S^+d^b себя и
в £(л+1До существует единственная неподвижная точка опе-
ратора Я(2у+1)/0. Утверждение теоремы следует из принципа
математической индукции.
§ 3. Вероятности вырождения
Если в производящих функциях (1.4). положить S = О,
то мы получим вероятности Р4($) = Fl (t; 0) того, что
к моменту времени t не останется ни одной частицы. При
увеличении t эти вероятности не убывают. Пределы
Р4 = lim Р4 (0, Р = (Р1,..., Рп) (1)
/-♦оо	' '
равны вероятностям вырождения процесса. Как и раньше,
процесс будем называть вырождающимся, если все Р4 =
= 1; если хотя бы одна вероятность Р1 1, процесс на-
зовем невырождйющимся.
В этом параграфе мы будем всегда предполагать, что
выполняются условия теоремы 2.1, так что уравнение (1.5)
всегда имеет единственное решение F (t; s).
Введем обозначения
h* (s);= J h* (щ s) dG1 (u); h (s) = (A1 (s),(s)).	(2)
0
Так как А* конечны (см. обозначения (2.1)), то равенство
(2) можно дифференцировать под знаком интеграла при
|s|< 1. Получаем
IjrL = А =
§ 3]
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
237
Теорема 1. Вероятности вырождения (1) удовлет-
воряют системе уравнений
s = h(s)	(3)
и равны координатам ближайшего к началу координат
корня системы (3) в кубе 0	1.
Доказательство. Полагая в (1.5) s = О,
получаем
t
=	—	(4)
О
где
Р (<) = (Я (0, ...» Рп (0).	(5)
Полагая в (4) < ->- оо, получаем Р = h (Р). В самом деле,
вероятности P\t) по t не убывают. Поэтому P\t) Р*
и из очевидного неравенства
t	оо
Р* (0 < j h* (u; Р) dG1 (u) < J hl (щ P) dGl (w) = A1 (P)
0	0
следует P4 fe4(P). Противоположное неравенство
P4 > h* (P) получается, если в
т
Pl > Р‘ (0 > j V (u; Р (t - и)) dG* (и),
О
где t > Т, перейти справа к пределу сначала по t -> оо,
а затем по Т -> оо. Вероятности Р* (t) можно получить
как пределы lim Pn (t) = Р4 (t) последовательности
N—*oo
Pn (0 = (Pn (0» •••»	(0)» определенной рекуррент-
ными соотношениями
t
Pn+1 (0 = j	PN (t - u)) dGl (u), Po (t) = 0.	(6)
О
238 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
По индукции нетрудно доказывается, что


Обовначим
Pj, = lim PlN (О, PN = PnN).
t-*oo
Тогда вероятности вырождения Р* совпадают с пределами
lim PlN- Рассуждая аналогично тому, как это мы делали
N-ию
выше, можно перейти к пределу по t -> оо в (6) и по-
лучить
Pn+i = А (Рдг), Ро = 0.
(7)
Теперь надо применить теорему 5.1.4, чтобы доказать
оставшееся утверждение теоремы, так как последователь-
ность Рдг, определяемая (7), совпадает с вероятностями
вырождения за N шагов в ветвящемся процессе с дискрет-
ным временем и с производящими функциями h (s).
Та же самая редукция к (7) позволяет применить
теорему 5.1.5 для того, чтобы получить следующий ре-
зультат.
Теорема 2. Ветвящийся процесс является вырож-
дающимся тогда и только тогда, когда: 1) перронов корень
R матрицы ||Л}|| не больше 1; 2) система типов Т19 ...
..., Тп не содержит финальных классов.
Результаты гл. V,* ^относящиеся к финальным ве-
роятностям, очевидным образом переносятся и на слу-
чай ветвящихся процессов,^ рассматриваемых в этой
главе.
Так же, как в гл. IV, в рассматриваемом случае можно
провести классификацию типов частиц. Величина перро-
нова корня R матрицы А = ||4}|| определяет критичность
процесса. Если R < 1, мьГбудем называть процесс докри-
тическим, если R > 1 — надкритическим. Критическим мы
назовем такой процесс, в котором в подпроцессе, определяе-
мым всеми нефинальными типами, перронов корень равен 1»
§ 4] G УЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
239
§ 4. Существование и единственность
решения в модели 3
Здесь мы докажем, что в модели 3 уравнение (1.10)
без всяких дополнительных предположений (кроме
G (+0) < 1) всегда имеет решение F (t; s), являющееся по
s положительной производящей функцией, которая, во-
обще говоря, может быть не вероятностной, так как для
нее можно лишь утверждать справедливость неравенства
F(M)==limF(/;s)<l.
•П
Вначале исследуем уравнение
t
z(t) = J h(z(t — и)) dG (u),	(1)
о
которое получается из (1.10), если положить s = 0.
Мы будем рассматривать лишь такие измеримые ре-
шения z (t) этого уравнения, которые удовлетворяют
неравенствам
0 < z (0 < 1.	(2)
Далее всегда предполагаем G (0) < 1, A (s) ф 1.
Пусть q — наименьший неотрицательный корень урав-
нения h (s) = s. Как мы установили в лемме 2.1.1, имеют
место неравенства
s <^h (s) при всех 0	< д,	(3)
s h ($) при всех д<^5<^1.	(4)
Лемма 1. Любое us рассматриваемых решений z (t)
уравнения (1) удовлетворяет при всех 0 t оо нера-
венству
z (0 < q,	(5)
если q > 0, и z (t) = 0, если q = 0.
Доказательство. Пусть q > 0 и Т > 0 таково,
что G (Т) < 1. Обозначим
г?г = sup z (t).
0<t<T
Из уравнения (1) получаем при любом 0 t Т
Z (0 С л W G (Г).	(6)
240 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Найдется последовательность {tn}, 0 tn Т, для ко-
торой z (<n) -> vlt поэтому из (6) имеем
v^h^GiT^h^.	(7)
Из (7) и (3) следует рх < q, т. е. (5) справедливо. Таким
образом, утверждение доказано, если G (Г) < 1 при
любом Т 0. Если это не так, то выберем опять Т так,
чтобы G (Г) < 1. Обозначим Тп = пТ и
vn= sup z(t).
0<«nT
Мы уже доказали, что рх < q. Докажем по индукции, что
рп < ? ПРИ всех »♦ Пусть рп_х <q и	t «С Тк,
1 «С к ^.п. Из уравнения
t
z(t) = Л (z (i — u))dG(u) =
о
t-T*-!	t
= J h(z(t — u))dG(u) f h (z (t — u)) dG (u)
°	T it-i
вытекает неравенство
z (0< h (pk) G (t - Т»-,) + h (ib-0 (1 - G (t - 7\-x)).
Так как p* > и iE [Гк_х, Гц], отсюда следует
НО С Л (Pk) G (T) + h (p*_x) (1 - G (f)).	(8)
Из неравенств р» pn, p^ pn_i вытекает h (p»)
СЛ (vn), h (Ри-i) h (pn), поэтому из (8) имеем
z (0 < A (Pn) G (T) + h (рЛ_х) (1 - G (Г))-	(9)
Нетрудно видеть, что (9) справедливо при всех 0 t
Тп, поэтому переходя слева к верхней грани, получаем
р» < h (р„) G (Г) + h М (1 - G (Т)).	(10)
По индукционному предположению pn_x q, поэтому
h (i>n-i) < ? и в силу (10)
pn<fe(Pn)G(T)+g(l-G(f)). (И)
$ 41 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 241
Предположим vn > q. Тогда h (vn) ^vn и (И) перейдет в
vn<vnG(T) + ?(1 -G(T)),
откуда получаем противоречие. Следовательно, vn q.
Случай д = 0 доказывается проще, так как предположение
щ > 0 сразу приводит к противоречию с (7). Лемма до-
казана.
Лемма 2. Уравнение (1) имеет единственное решение
z (0> удовлетворяющее условию 0 z (t)	1.
Доказательство. Положим z0 (t) — О,
t
zM(t) = $h(zn(t-u))dG(u), n = 0,1,... .	(12)
о
Нетрудно видеть, что zn (i) zn+1 (<) Поэтому существует
z (f) = limzn(«).	(13)
n-*oo
Переходя в (12) к пределу по п -> сю, получаем, что пре-
дельная функция z (i) удовлетворяет уравнению (1).
Покажем, что уравнение (1) не может иметь два решения.
Пусть z (Z) и z* (0 — два решения (1). По лемме 1 при
любом Т > О
2(«)<?т<д и г’(0<?т<д
для всех 0 t Т. Подставляя в (1) z (t) и z* (t) и вычи-
тая полученные равенства, имеем
t
z(i) — z* (/) = J [h(z (t — u)) — h(z* (t — it))] dG (u). (14)
о
Если 0 Xi qT, O^x^^qr, то |/i (zx) — h (x2)|
h' (<?т) I Xa|. Используя это неравенство в правой части
(14), получаем
| z (t) — z* (01 < h' (gT) Рт («, «*),	(15)
где рт (z, z*) = sup | z (u) — z* (u) | и t T. Из (15) вытекает
Ku<T
pT (z, z*) < h’ (qT) pT (z, z‘),
242 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
а так как h' (gy) < 1, то отсюда следует рт (z, z*) = О,
т. е. z (t) = z* (£), так как Т > 0 — любое.
Лемма 3. Решение z (t) уравнения (1) не убывает not.
Доказательство. Пусть решение z (£) опре-
деляется пределом (13) последовательности (12). По ин»
дукции просто доказывается, что члены последователь-
ности zn (/) не убывают по t, а тогда и предельная функ-
ция (13) также не убывает.
Теперь исследуем уравнение
t
F(t;s) = $h(F(t — u;s))dG(u) + s(1 - G(*)) (16)
0
Построим две последовательности функций
Fо (^> $) = О,
t
l^n+i (t; s) = j h (Fn (t — u; s)) dG (u) +s(i — G (*)) (17)
0
и
F'0(t;s)= 1,
t
K+1 (t; S) = j h (X (t - w; s)) dG (u) + s (1 - G («)). (18)
о
Нетрудно видеть, что при 0 s 1
О < Fn (t; s)< Fn+l (t; s)< X+1 (t- s)< F*n (Z; s)< 1,
откуда следует существование пределов
F (t; s) = lim Fn (t; s), F* (t; s) = lim Fn (t; s),
П—*oo	n-*0O
причем
0 < F (^; 5) < F* (t; s) < 1.	(19)
Кроме того, из определения (17) и (18) следует, что
Fn (t;s) и Fn (t\ s) при любом п аналитичны по $ в круге
|$| <1 и разлагаются в точке $ = 0 в ряд с неотрицатель-
ными коэффициентами; следовательно, предельные функции
F (t\ s) и F* (J, s) также обладают этими свойствами. Пере-
§ 4] СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 243
ходя в рекуррентных соотношениях (17) и (18) к пределу
по п -> оо, получаем, что функции F (t*, s) и F* (t; s)
удовлетворяют уравнению (16). Уравнение (1) есть част-
ный случай уравнения (16) при 5 = 0. Поэтому из леммы 2
вытекает, что F (t; 0) = F* 0) = z (t), где z (t) — реше-
ние уравнения (1). Так как F* (t; s) выпукла по s в 0<
^5^1, то
F* fa s) < F* (Z; 0) + * И?* (*; 1) - F* (*; 0)] =
= z(0+*(l-z(0). (20)
Теорема 1. Лри0<з<1 существует единствен-
ное решение F (Z; s) уравнения (16), удовлетворяющее при
0 < 5 < 1 неравенствам
0 < F (Z; $)< 1.	(21)
Доказательство. Любое решение F (Z; 5),
удовлетворяющее условию (21), будет заключено между
F (£; s) и F* (J; $), определенными выше, т. е.
F0;$)<? (t; s) <F* (t;s).	(22)
Покажем, что при 0<s<^ 1	(i; s) е F* (t; s). Сначала
предположим g <1; тогда h' (g) < 1. Из (20) вытекает
F* (<; s) < g + s.	(23)
Пусть 0 e 1 — g таково, что h! (g 4- e) 1. Тогда
из (23) при 0 < в имеем
F* (t; s) F* (t; e) < g 4- e.
Далее, при 0 s в
0<F*(Z; s) — F(t; s) =
t
= §[h(F*(t — u‘, s)) — h (F (t — w, s))] dG (u) <
0
t
/г' (q + 8) J [F* (t — щ s) — F (t — u; $)] dG (u).	(24)
о
Положим
Af (st T) = sup [F* (t; s) — F («; $)].
0<t<T
244 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Тогда из (24)
М (s, Т) < h' (q + е) М (5, Т),
откуда М (s, Т) =0 при всех Т. Так как функции F (i; s) и
F* (/; s) аналитичны в |$|<1, то они совпадают в |$|<Ч.
Если q = 1, то в силу (20) при любом Т > 0 найдутся
такие 8 < 1 и 6 > 0, что при всех
F* (t; s)^z (Т) + е (1 - z (Т)) = 1 - 6.
Далее проводится то же рассуждение, только вместо
К (<1 + е) надо брать h' (1 — 6) < 1. Теорема доказана.
Полученное решение F ($; з) является положительной
производящей функцией по 5, однако в общем случае
можно лишь утверждать, что
limF (t; s) ^1.	(25)
• t х
В следующем параграфе мы изучим условия, при которых
в (25) имеет место равенство.
§ 5. Условия регулярности
Мы будем здесь рассматривать лишь модель 3. Как мы
установили в § 4, интегральное уравнение (4.16) имеет при
И < 1 единственное решение F (t; s), представляющее
собой по s положительную производящую функцию, ана-
литическую в |s| < 1 и непрерывную на границе |s| = 1.
Это решение можно получить как предел последователь-
ности Fn (t; s), определенной рекуррентными соотноше-
ниями (4.17). В общем случае можно лишь утверждать,
что
ПтВД<1.	(1)
«11
Мы здесь получим ряд достаточно общих условий, при
которых в (1) имеет место равенство.
Определение 1. Ветвящийся процесс, задава-
емый с помощью функции распределения G (t) и произво-
дящей функции h (s), будем называть (G, ИУпроцессом.
Определение! ((?, Л)-процесс будем называть
регулярным (нерегулярным), если limF(l; s) а 1, f>0,
•t 1
$ 5]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
245
(lim F (t; s) < 1, t > 0), где F (t; s') — решение уравнения
(1.16).
оо
Так как F (Z; 1) = lim F (t; s) = 2 P{И (0 e гаЬ т0 РегУ-
•t1	n==0
лярность процесса означает, что Р {р (t)	°°) == 1,
а нерегулярность — Р {р (t) < 00} < 1. Вопрос о регу-
лярности ветвящегося процесса сводится к вопросу о
единственности решения уравнения
t
ф (j) = J h (ф (t — и)) dG (и) + 1 — G (t).	(2)
о
Теорема 1. (G, Н)-процесс будет регулярным тогда
и только тогда, когда уравнение (2) имеет единственное
решение в классе измеримых функций ф (t), удовлетворя-
ющих неравенствам 0 ф (t)	1.
Доказательство. Пусть 0 ф (t)	1 и
ф (t) удовлетворяет уравнению (2). Нетрудно видеть, что
при любых 0 s 1 последовательность Fn (£; 5), опре-
деленная (4.17), удовлетворяет неравенству Fn (t; s)
Ф (t). Следовательно, lim Fn (t; s) = F	(t) и
n—*00
lim F (t; s) = F (t; 1)^ф(£). Кроме того, этот предел
в 11
F (*; 1) удовлетворяет уравнению (2). Уравнение (2) все-
гда имеет решение ф (0 = 1. Если это решение единствен-
но в классе рассматриваемых функций, то limF(£; s) = 1,
8fl
т. е. процесс регулярен. Если же существует решение
Ф (£), которое при каком-либо t 0 меньше единицы,
то процесс будет нерегулярным, так как из вышесказан-
ного вытекает, что lim F (Z; s) <р (t) < 1.
«ti
Определение 3. Назовем решение ф (t) урав-
нения (2), которое получается как предел lim фп (i) = ф (t)
П—*ОО
функций фп (t), определенных равенствами
Фо (0 = 0»
t
фп+i (0 = J A (<pn (t — и)) dG (и) + 1 - G (0,	(3)
О
246 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
минимальным. Последовательность фп (/) также будем
называть минимальной.
Лемма 1. Минимальное решение ср (0 не возрастает
по t и удовлетворяет неравенству 0 <1 <р (t) ф (/), где
Ф (0 — любое неотрицательное решение уравнения (2).
Доказательство. Члены минимальной пос-
ледовательности фп (t) при любом п не возрастают по t.
В самом деле, ф0 (t) == 0 не возрастает по t. Предположим,
что фп (t) не возрастает по t. Пусть t2 Тогда
G+o
фп+i (^i) фп+i (^2) = J [фп (^i	W)1
— Л [фп (^2 — u)]}dG(u) +
G+o
+ J {1 — h (фп (t2 — и))} dG (и) > 0,
Gt-o
так как h (фп — и)) > h (фп («2 — и)) и lj> h (фп (t2 — и)).
Отсюда вытекает, что ф(^) = Птфп(^1)>Итфп(^2) = ф(£а).
П—»оо	П—>о©
Кроме того, нетрудно по индукции показать, что 0^
^Фп(О^Ф(О- Отсюда следует О^ф(0^ф(0.
Лемма 2. Пусть ф (t) — минимальное решение (2).
Тогда либо ф (t) = 1, либо ф (t)	1 при любом t^> 0.
Доказательство. Пусть ф (Zo) = 1 при неко-
тором tQ 0. Тогда по лемме 1 ф (t) = 1 для всех 0
^t^t0. Покажем, что тогда ф (t) = 1 и для всех tQ^t
2^0. В силу леммы 1, ф (1) = 1 является единственным
решением уравнения (2) в отрезке 0 t Zo. Продолжим
решение ф (0 на отрезок [О, 2Z0]. Нетрудно видеть, что
функция ф (t) = ф (t + to) также является решением
уравнения (2) в отрезке О £0, а так как в этом от-
резке единственным решением является ф (t) = 1, то мы
установили, что ф (i) = 1 в [0, 2г0]. Отсюда следует, что
<р (0 = 1.
Замечание 1. Из теоремы 1 и леммы 1 следует, что
limF(Z, s) = F{(t; 1) совпадает с минимальным решением
«ti
ф (0 уравнения (2). В силу леммы 2, регулярность ф (0 =
= 1 или нерегулярность ф (0 < 1, t 0, процесса опре-
деляется по сколь угодно малой окрестности (0, 0.
§ 5]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
247
Лемма 3. Если неубывающие функции Kh Lb
таковы, что Kt (—0) = Lt (—0) =0 и Kt (х) Lt (х).
i = 1, 2, 0 х х0, то их композиции К = * 7£2,
L = Lr ♦ L2 удовлетворяют неравенству К (х) L (х),
0 х
Доказательство. Пусть 0	х^. ж0. Тогда
х+о	«4-о
*(*) = f Ki(x-y)dKi{y)> J Ьг(х-у)йК1(у) =
Х-ho	х-Н
= j ^1(«-y)dL2(y)> j Lx(x — y)dLb(y) = L(x).
Лемма 4. Пусть функции распределения G (t) и
G* (0 таковы, что G (t) > G* (t) в промежутке 0 t tQ.
Тогда минимальные решения ср (t) и ср* (t) уравнения (2) и
уравнения ф* (Z) = h (ср* (t — и)) clG* (и) + 1 — G* (t)
о
удовлетворяют неравенству <р (О Ф* (*)> 0^2^ £0.
Доказательство. Пусть фп (i) и фп(0 —
минимальные последовательности, имеющие пределами
<р (t) и ф* (Z) соответственно. Предположим, что фп (t)
фп (0> 0	*0* Докажем, что тогда фп+1 (t) фп+i (t),
О t £0. Если обозначить фп (£) = ! — фп (£),ф* (0 =
— 1 — фп (О» т0 можно вместо (3) написать
t
^п+1 (0 = J [1 — h (1 — 1|>„ (t - w))] dG (и),	1|>о (0=1,
О
t
^1(0 = J [1 — Й(1 — ^n(t — w))] dG*(u\ фо(0 = 1.
О
Из доказательства леммы 1 видно, что функции фп (t).
фп(0> а следовательно, и функции 1—Л(1—фп(0),
1 — h (1 — фп (0) не убывают. Доопределим эти функции,
полагая фп (f) = фп (0 = 0 при t 0, и применим лем-
му 3, полагая Кг = 1 — h (1 — фп (t)), К2 = G (t).
Lr = 1 - h (1 - ф^(0), L2 = G* (t).
248 ЁЕТВяЩИЕСЙ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА (ГЛ. VIII
Из леммы 3 следует фп+1 (t) фп+i (t), 0 t < tQ. Отсю-
да получаем ф (£) ^ ф* (t), 0 t t0.
Лемма 5. Если G (0) = 0 и h (s) > fe* (5) в некото-
ром отрезке 0 <^s0 s i, то минимальное решение ф (t)
уравнения (2) и минимальное решение ф* (t) уравнения
t
Ф* (t) = J Л* (ф* (t — и)) dG (и) + 1 — G (t)	(4)
о
связаны неравенством ф (t) ф* (0 в некотором о трезке
0 < t С t0, t0 > 0.
Доказательство. Если функция ф (t) > 0
такова, что в отрезке 0 t t0
t
ip(Z)>J/i(t|>(i-u))dG(u)+l-G(O,	(5)
о
то ф (t)	(t). Это вытекает из неравенств фп (t)
которые доказываются по индукции с помощью (3)
и (5). Далее, так как ф* (0) = 1 и ф* (t) непрерывна в
t = 0 (поскольку G (t) непрерывна в t = 0), то при заме-
не в (4) Л* на h получаем при достаточно малых t0 > 0
и 0 < t < t0
t
Ф* (t) > J h (ф* (t - u)) dG (u) + 1 — G (t),
0
следовательно, ф* (t) > ф (t), 0 t t0.
Докажем теперь две теоремы сравнения.
Теорема 2. Пусть Gr (t) G2 (t) в 0 t t0.
Если (Gx, hyпроцесс нерегулярен, то (G2, Купроцесс также
нерегулярен. Если (G2, hyпроцесс регулярен, то (Gx, h)-
процесс также регулярен.
Доказательство. Пусть ф< (t) — минимальное
решение уравнения
t
<Pi(0=	+ l-Gt(0, i = l,2.
0
По лемме 4 <рг (t) > <ра (f) в 0 t t0. Если (Glt h)-
§ 5]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
249
процесс нерегулярен, то <Pi (О <Г 1, и следовательно,
Фз (О <С 1» т. е. (б?2, Л)-процесс также нерегулярен. Ана-
логично доказывается и второе утверждение теоремы.
Теорема 3. Пусть G (0) = 0 и (s) Л2 (5) в
некотором отрезке s0 s 1, s0 1. Если (G, h^)-npo-
цесс регулярен, то (G, Л2)~процесс также регулярен. Если
(G, h^-процесс нерегулярен, то (G, h^-процесс также
нерегулярен.
Доказательство этой теоремы вытекает из леммы 5
так же, как доказательство теоремы 2 вытекало из леммы 4.
Теоремы сравнения позволят нам определить критерии
регулярности сразу для целых классов функций распре-
деления G (t). Поскольку вопрос о регулярности процес-
са зависит от поведения G (t) только в окрестности t — 0,
а исследование единственности решения иногда проще
проводить для дифференциального уравнения, то нам по-
лезна будет следующая
Теорема 4. Пусть в некотором интервале (0, /0)
tn
G (t) —	, где п — натуральное число. Тогда при 0 < t
<^о уравнение (2) равносильно дифференциальному урав-
нению
(6)
с начальными условиями
ср (0) = 1, <р(г)(0) = 0, г = 1,... ,n —1.
Доказательство. В условиях теоремы урав-
нение (2) запишется в следующем виде:
МП'"1	tn
<р(<) = ^/г(ф(^ —и)) .-._1)|(ги+ 1 - —, 0<Z<#0.
Производя в интеграле замену t — и на и, получаем

(7)
250 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Дифференцируя обе части (7) г раз по Z,	— 1,
имеем
О
откуда вытекает ф(Г) (0) = 0, г = 1, ..., п — 1. После диф-
ференцирования (7) л раз мы приходим к уравнению (6).
Теорема доказана.
В дальнейшем мы будем говорить о (G, й)-процессе
также в том случае, когда G (t) совпадает с функцией рас-
пределения неотрицательной случайной величины лишь
в некотором интервале 0 t tQ. Рассматривать такой
(6?, й)-процесс мы будем также в этом же интервале 0
до-
определение 4. Мы будем говорить, что функ-
ция G (t) принадлежит классу Га, а > 0, если существуют
такие положительные числа сх, Сз, tQ, что для всех t из
0 < t < Zo
cxt* ^G(t) < c2ta.
(8)
Теорема 5. Если G(t) принадлежит классу Гп,
где п — натуральное число, то для регулярности (&, й)-
процесса необходимо и достаточно, чтобы в некотором
интервале (0, £0) дифференциальное уравнение (6) имело
единственное решение, удовлетворяющее условиям
Ф (0) = 1, Ф<г>(0) = 0, г=1, ..., п - 1, 0<ф(0<1. (9)
Доказательство. По теореме 2 (G, й)-процесс
будет регулярным тогда и только тогда, когда будет ре-
гулярным (tnln\, й)-процесс. А для (tn/nl, й)-процесса во-
прос регулярности по теореме 4 сводится к единственности
решения уравнений (6) с условиями (9).
Так как при п = 1 и п — 2 решение ф (t) < 1 задачи
(6) и (9), если оно существует, можно записать с помощью
квадратур
t
С dx
)	1 — h(x)
ф(0
1
$ 51
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
251
то из теоремы 5 в этих случаях вытекают следующие кри-
терии регулярности.
Если G (t) GE Г1} то для регулярности (G, Л)-процесса
необходимо и достаточно, чтобы при любом е > О
dx
1 — h (х)
оо.
(10)
Если G (/) G Га, то для регулярности (G, Л)-процесса
необходимо и достаточно, чтобы при любом е > 0
h (и)) du
оо.
(11)
Показательная функция распределения принадлежит
классу Гх, поэтому критерий (10) является, в частности,
критерием регулярности марковского ветвящегося про-
цесса с непрерывным временем и с одним типом частиц.
Так как функция 1 — h (s) не возрастает, а функция
- 7^ не убывает в 0 s <51, то в этом интервале
(1 — &($))(! — $)> J [1 — h(u)] du =
s
- ---- -(i — ujau	1_s •	—
8
Используя эти неравенства, мы можем записать оба кри-
терия (10) и (11) в едином виде. Обозначим
1 — h (1 — у) = yw (у).
(12)
Тогда критерием регулярности (G, Л)-нроцесса для G (t) GE
е Гп, я = 1,2, будет расходимость при любом в > 0 инте-
грала
С dy
J ytyw(y)
— оо.
(13)
252 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ от возраста [гл. till
Ниже мы покажем, что условие (13) является необ-
ходимым и достаточным для регулярности (G, Л)-процесса
в случае, когда G (0 ЕЕ Гп при любом натуральном п.
Доказательство достаточности условия (13) основы-
вается на следующих двух леммах.
Лемма 6. Пусть функция у (t) на отрезке [0, 1]
имеет n-j-l производных, y(n+1) (t)	0 при всех 0 < t 1
и у (0) = /(0) == /(0) = ... - у<^ (0) = 0. Тогда для
всех r,s >1, г + $ п — 1
М0МО< ^Г+8 (0, 0<«<1,	(14)
где
Уи(1) = (п — к)\ y<V(t), k = lt...,n.
Доказательство. При любом 1 к п
имеет место равенство
t
У к (0 = J г/(п+1> (я) (t — xy^dx.	(15)
о
Неравенство (14) будет доказано, если мы установим, что
при любых l^r^s<^n — 1
ZT (0 Z9 if) <С ZF-1 (0 ZS+1 (0*
Последнее неравенство равносильно неравенству
Ут (0 у№) < уг-1 (0 ув+1(0	(16)
для 2 г s < п, а (16) доказывается с помощью соот-
ношений
Уг-i У»
Ут У»+1
Уг-1У.+1 — yrya =
t t 2
= J J П 3/(n+1) (жк) {t -
о о k=i
(i — ж1)*-г+2 t -
(t-x^ 1 dx^~
о о k=i	1
t — xt
dx-^ dx2 0,
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
253
§ 5]
так как
(®2 - *1) 10 - *1ГГ+1 - О - ^Гг+11 > о
при всех —j— х^»
Л е м м а 7. В условиях леммы 6 существует такая
константа С 0* зависящая только от п, что при всех
0 < х 1
(17)
dy 1
Доказательство. Так как при любых т п,
к < п — 1
И
zk (ж) = C2zfc+1 (ж) -Ь C3zk (х) zx (ж),
где Ct — константы, зависящие от к и т, то при т+к^...
... -}- кг = л, кг > 1,
г+1
(у')тZk,• • • z*r= 2 S С(1^ц...zlv,	(18)
где суммирование ведется по индексам Z х > 1, удовлет-
воряющим равенству Zx + ... + Z, = kt + ... + kr +
+ 1, а Ср > — константы. Применяя равенство (18) по-
следовательно, получаем
jn-l
-7-^Г<У')п = У' S3 ... zlv, (19)
V=1
где А^,,,^ — константы, а суммирование У прово-
дится по всем Zj > 1, удовлетворяющим равенству Zx+...
... + Zv = п — 1. Отбросим справа в (19) все отрица-
тельные слагаемые. Из неравенств (14) вытекает, что
г/<п>
zh • • • zi* < 2h+... +i* = zn^ = у— .	(20)
254 В ЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Применяя к оставшимся слагаемым (19) неравенства (20),
получаем (17). Лемма доказана.
Теорема 6. Если. G е= Гп, где п — натуральное
число, то условие (13) достаточно для регулярности
(G, ^-процесса.
Доказательство. Предположим, что (G, h)-
процесс нерегулярен. Тогда по теореме 5 существует ре-
шение <р (t)	1, t 0, уравнения (6) с начальными усло-
виями (9). Обозначим у (t) = 1 — ф (0. Используя обо-
значение (12), мы можем записать уравнение (6) в виде
(Ту
аг
= У™ Wfi
(21)
начальные условия (9) запишутся тогда так:
y(0) = у' (0) == ... = у<”> (0) = 0.
(22)
Так как yw (у) возрастает по у, то из (21) вытекает, что
^>0 , t 0. Поэтому к функции у (t) можно приме-
нить лемму 7. Получаем
\У' (01п < Су™ (0 = Cyw (у).	(23)
at/
Интегрируя п — 1 раз обе части (23) и принимая во вни-
мание начальные условия (22), получим
V XI	Хп—2
I у' (0 ]п < С § j ... J xn-iW (Xn-i) dxl... dxn^ < Cynw (y)
0 0	0
в силу монотонного роста yw (у). Извлекая корень п-й
г
степени и деля на yw п (у) обе части неравенства, получаем
после интегрирования
у &	.	1
$ ----------<С« (Z-8),
V(') yWn (у)
что и доказывает теорему при в -> 0.
$ 5]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
255
Необходимость условия (13) будет вытекать из более
общей теоремы 12. Предварительно докажем несколько
теорем о регулярности (G, /^-процессов, в которых G (t)
может иметь скачок в нуле. В условиях этих теорем боль-
шую роль будет играть параметр А = h' (1).
Теорема 7. Если AG (0) < 1, то (G, 1ъ)-процесс
регулярен.
Доказательство. Пусть St обозначает пол-
ное метрическое пространство измеримых функций <р (t)
на отрезке^Ю, Г], удовлетворяющих неравенствам 0
<ф (0 < !•
Расстояние между фх, <р2 S St определим как
Р (<Р1, Фг) = sup I <Pj (0 - ф2 («) |.
<к«т
Рассмотрим отображение
t
К<р = J /г(<р(£ — u))dG(u) + 1 — G(t)
о
St в St. Покажем, что это отображение имеет единствен-
ную неподвижную точку ф = Кф. Тогда, в силу теоремы 1,
(G, Л)-процесс регулярен. Пусть Т > 0 таково, что
AG (Т)	1. Тогда Л’ф является сжатым отображением
в St, так как, в силу неравенств | h (фх) — h (ф2) |
<4 | Фх — ф2 | и
t
| Афх (t) — K<f2 (t) | sC J 41 фх (t — u) — ф2 (t — u) | dG (u)
о
< 4G (7) Р(фх,ф2),
имеем
p (Axpi, Яф2) < AG (Г) p (ф1, ф2).
Теорема доказана.
Теорема 8. Если AG (0) > 1, mo (G, Ку-процесс
нерегулярен.
Доказательство. Наличие скачка в нуле
у функции распределения G (t) означает, что в ветвящемся
процессе частицы могут иметь нулевую продолжительность
жизни, т. е. родившись, сейчас же умереть, оставив после
256 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
себя потомство. Рассмотрим уравнение (2) в точке t = О
Ф (0) = А (ф (0)) G (0) + 1 -G(0).
Нетрудно видеть, что это уравнение имеет корень ф (0) <
1, так как функция h (s) G (0) 4-1 — G (0) имеет в точке
s = 1 производную h' (1) G (0) > 1. В силу теоремы 1,
процесс нерегулярен.
Теорема 9. Если AG (0) = 1 и G(t) — G (0) ЕЕ Г1}
то для регулярности (G, h)-npoqecca необходимо и доста-
точно, чтобы интеграл
l-h'(s)G(P) ,
1 — s
(24)
расходился при любом г > 0.
Доказательство. По теореме 2 данный про-
цесс и (G (0) + t, Л)-процесс регулярны одновременно.
Для (G (0) + Z, Л)-процесса уравнение (2) можно записать
так:
t
ф (0 = h (ф (0) G (0) + У h (ф (u)) du + 1 — G (0) — t. (25)
о
Дифференцируя (25) по t, получаем
Ф' (0 [1 - h' (ф) G (0)] = h (ф) - 1.
Полагая в (25) Ц 0, мы находим, что начальное условие
Ф (0) решения должно удовлетворять уравнению ф (0)=
= h (ф (0)) G (0) + 1 — G (0), которое имеет единствен-
ное решение ф (0) = 1, так (как h' (1) G (0) = 1. Итак,
(G, А)-процесс будет нерегулярным тогда и только тогда,
когда уравнение
ф'(а =
Ф W 4 _ h' (ф) g (0)
имеет решение ф (t), удовлетворяющее условиям ф (0) =
= 1, 0 ф (£) < 1, t > 0. Такое решение, если оно су-
ществует, можно записать с помощью квадратуры
f 1— h'(x)G(0)
А 4-Л(г)
dx = t.
f 51
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
257
Итак, сходимость при некотором в > 0 интеграла
С 1 — л'(*)б(°)
.)	1 — h(x)
(26)
равносильна нерегулярности (б?, Л)-процесса. Так как
при s f 1 1 — h (s) — А (1 — 5), то интегралы (24) и (26)
сходятся и расходятся при достаточно малых 8 > О
одновременно. Теорема доказана.
Отметим в связи с критерием (24) один неожиданный
факт. Интеграл (24) сходится, если конечна вторая про-
изводная h" (1), т. е. конечен второй факториальный мо-
мент У л (л — 1) рп. Таким образом, все (G, Л)-процессы
п
с конечным вторым моментом Л* (1), для которых выпол-
нено равенство AG (0) = 1, нерегулярны. Регулярными
в этом случае могут быть только те процессы, для которых
h” (1) = оо.
Теорема 10. Для того чтобы (G, 1г)-процесс был
регулярным при любом G (t), необходимо и достаточно,
чтобы Л < 1.
Доказательство. Необходимость следует из
теоремы 8, а достаточность из теоремы 7.
Теорема 11. Для того чтобы (G, h)-процесс был
регулярным при любой производящей функции h ($), необ-
ходимо и достаточно, чтобы существовало такое £0 > 0,
что G (f0) = 0.
Доказательство. Достаточность доказывается три-
виально, так как уравнение (2) при t^tQ превращается
в равенство ф(£)==1. Докажем необходимость. Пусть
G(t)>$ при любом	Возьмем h(s)= 2 2”*$%
1 n2 < . . . . Пусть числа 0 < < 1 таковы,
оо
чтоII Обозначим G (2~*) = > 0. Пусть
Подберем числа л2, . . . так, чтобы при к = 2, 3...
9 Б. А. Севастьянов
258 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Так как с вероятностью 1 число частиц р (t) не убывает,
мы имеем
Р{И(1 - 2-*)>nk}>
> Р {|Х (1 - 2_fc) > пк | |А (1 -	И,-!} X
X Р{р(1 -2-^)>nR-1}>[l-(l—
Поэтому
Р{р,(1) =<*>} = lim Р{|1(1)>М>П ^>0,
к-*°°	fc=l
т. е. (G, Л)-процесс нерегулярен. Теорема доказана.
Теперь докажем одно достаточно общее необходимое
условие регулярности процесса. Для любой функции рас-
пределения G (0 неотрицательной случайной величины
определим обратную функцию G_r (у) как наибольшее чис-
ло t, удовлетворяющее неравенствам
G (t - 0)< у < G (t + 0) = G (0;
если у > 1, то положим G_x (у) = оо.
Теорема 12. Если существуют такие
е > 0, что
{г (l + Q\dv
Г"1' w (у) I у
о
0	0 а
(27)
оо,
то (бг, К)-процесс нерегулярен (h и w связаны равенством
Д ок азательство. Функция w (у) при у | 0
монотонно возрастает и в пределе равна А — h'(i) — сред-
нему числу потомков частицы. В теоремах 7 и 8 доказано,
что процесс будет регулярным, если AG (0) < 1, и нере-
гулярным, если AG (0) > 1. Поэтому при G (0)	0
$ 51
(УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
259
утверждение теоремы будет справедливым, если мы пока-
жем, что при AG (0)	1 интеграл
L	(JWfr	(28)
J -1 \ W (у) 1 у	4 '
о
расходится при любых е )> 0 и в > 0. В самом деле, пусть
в [0, £01
G (0 = G (0) + Ъ (0,
где b (t) > 0 и limb (£) = Ъ (0) = 0. Тогда (у) =
11	о
= b-i(y — G (0)), где (у) — функция, обратная b (f),
причем b-i (у) > 0 при любом у 0. Так как w (у) А
при у > 0 и -j > G (0), то
(14-0)6 (°)
w (у) A 4	1	'
И
>^.1(06(О))^ = оо,
о
Далее будем считать G (0) = 0. Если А конечно, то также
нетрудно доказать, что интеграл (28) расходится. Поэтому
в дальнейшем полагаем А = оо, т. е. lim w(y) = оо.
V I о
Доказательство проведем в несколько этапов.
1°. Обозначим а = 1 -|- 0 > 1. Установим сначала,
®	со
что интеграл G_x (-^-) ^-и ряд £ G_x (^-), где
о	П=0
8
Уп ==	, сходятся или расходятся одновременно.
В самом деле,
\а { а \лу — С а ( a\dv
J -1 \ w (у) / у 2л \	A\w(y)) у
°	n=!0Vn+l
9*
260 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
И
лП
GLX \ш7й Г" ) а \ ^-1 (—ГТ j	G-1 (—7~т)	а,
/ ь J 1\w(y)f у 1\w(yn) 1
Уп+1
поэтому
оо	/	е
10g а 2 G-1 (w(2/w+1) ) < $ G-1 tip) V <
п=о	О
ос
log а 2 G-! (j^j)
П=0	4	7
Далее вместо условия (27) будем использовать эквивалент-
ное ему условие
(29)
п
2 . Пусть t0 t1 Z2 ... tn Тп — 2 и
к=о
оо
Тп—>Т — 2 Предположим сначала, что число частиц
к=о
р, (Z) с вероятностью 1 не убывает, т. е. h (0) = 0. Оценим
снизу р, (Тп) случайными величинами которые состав-
ляют неоднородный ветвящийся процесс с дискретным
временем. Для этого будем учитывать только некоторые
частицы первоначального процесса. Начальная частица
р, (0) = 1 — это частица нулевого поколения. Положим
^0 = 1. Если частица нулевого поколения имела время
жизни т0 Zo, то мы всех ее непосредственных потомков
включаем в новый процесс, обозначая их число Если
т0 *о» мы считаем, что частица погибает бесплодной.
Потомство любой из отобранных частиц первого поколения
также включается в новый процесс, если эта частица-роди-
тель имеет время жизни Ti tx. Все частицы первого по-
коления с	считаются погибшими. Продолжая это
построение, получаем — число отобранных частиц
n-го поколения. Каждая из частиц л-го поколения счи-
тается погибшей, если ее время жизни тп tn\ если же
тп tn> то все потомство этой частицы включается в
§ б]	УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ	264
(п + 1)-е поколение нового процесса. Итак, мы постро-
или последовательность случайных величин £0,	£2,
...» In, •••, причем |п < н (Тп) < Ji (Г). Обозначим про-
изводящую функцию через Нп ($) = М$^п. Обозначим
G (tn) = рп. Вычислим сначала условное математическое
ожидание
м {**" IU1} = (Рп h (s) + 1 - рп)^-\
а затем осредним его по |n-i* Получаем
Нп (s) = Яп_х (Pnh (s) + 1 - рп).	(30)
Обозначим Wn (у) = 1 — Нп (1 — у).' Тогда (30) запи-
шется в виде
^п(?/) = W^tpnyu^y)), n = 1, 2,	(31)
где Wo (у) = у. Всегда можно выбрать последователь-
ность /г;; —► оо так, что lim Hn]z (s) = Н (s) и, следовательно,
Пк-ОО
limRzn|[(y) = W (у),
"и—°°
где 1 — Н (1 — у) = W (у). Так как по построению £п
sCp (Т), то Нп (s) > F (Т; s) и, следовательно, в пределе
также Н (s) > F (Т\ s), 0 s 1. Если мы докажем, что
lim H(s)<^l или, что равносильно, limiy(y)^>0, то
в t 1	v I о
получим F (Т; 1) < 1, т. е. установим нерегулярность
ветвящегося процесса.
3°. Построим описанным в 2° методом следующий про-
цесс £п. Пусть у — фиксированное достаточно малое по-
ложительное число. Положим ук =	, к — 0, 1,
Рк = Р* = G(M’ т- °- = G1 (в)- Если Рк =
= G (t) не имеет решения, т. е. существует такое
что G (tk — 0) <	<; G (ifc + 0) = G (£fc), то приведен'
ное в 2° построение проводится аналогичным обра-
зом, только в случае = tk проводится независи
мая рандомизация, по которой с вероятностью (рк —
— G (tk — 0))/(G (Zfc) — G (tk — 0)) частица включается
262 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIH
в новый процесс и с дополнительной вероятностью — не
включается. Из условия (29) вытекает сходимость ряда
оо
Т = 2 Применяя рекуррентную формулу в нашем
к=о
случае, имеем
WM = Wn-r (РпУп* (yn)) - Wn^ayn) = W^y^). (32)
Итак, из (32) вытекает Wn = У ПРИ всех
п = 0,1, 2,... . При п^ш .~п > поэтому
^„(^-)>^n(j-) = y.	(33)
Переходя слева в (33) к пределу по подпоследовательности
-> оо, получаем

(34)
Полагая теперь в (34) m -> оо, имеем
lim W (jr) > у > 0,
Ш-* ОО
следовательно, процесс нерегулярен. Нам остается только
избавиться от ограничения h (0) = 0. Докажем для этого
предварительно лемму.
Лемма 8. Пусть h(s) — такая вероятностная про-
изводящая функция, что h (0) > 0 и h' (1) = оо. Тогда
найдется производящая функция h* (s), обладающая свой-
ствами
Л* (0) = 0,	(35)
(у) < w (у) < (1 + 61) W* (у)
(36)
для 0 < у уо» где 1 — Л* (1 — у) = yw* (у), у0 и 0! —
достаточно малые положительные числа.
§ 5]
УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ
263
Доказательство. Таккак^пРп = 00, т0 найдет-
п
ся конечная сумма
У, пРп>2(Ро + 1), ^1>0.
n=Ni
Возьмем
Nt
h*(s) = h(s) + p0(s — 1)+ 2 Pn(s — s").
n=W,
Тогда h* (0) = 0 и при у < у0, где у0 > 0 достаточно мало,
W* (у) = W (у) 4- Ро + 2 Р„ (i +	<
П—N,
К / п \
<и>(У)+Ро+ 2 Рп(1 —-2“)<^(У)-
С другой стороны,
N*
W* (у) > W (у) + Ро + 2 Рп С1 ~ ”) = w ~ т»
где Г > 0, поэтому существуют такие у0 0 и 9Х > 0,
что при всех у у0
(1 + 0J w* (у) w (у).
Лемма доказана.
Завершим теперь доказательство теоремы 12. Пусть
имеется производящая функция h ($), удовлетворяющая
(27). По лемме 8 построим функцию Л* ($), удовлетворя-
ющую условиям (35) и (36). Из (36) вытекает, что А* ($)>
> h (s) в некотором отрезке s0 s 1 и
(37)
при некоторых 02 > 0 и е > 0. Из (35) и (37) следует, что
(G, Л*)-процесс нерегулярен. А тогда по теореме 3 (G, h)-
процесс также нерегулярен. Теорема доказана.
264 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Следствие 1. Если G (0 Е Га, а > 0, то не-
обходимым условием регулярности (G, К)-процесса является
£ y[^(2/)]Va
(38)
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что
регулярность (G, Л)-процесса равносильна регулярности
(Za, Л)-процесса. В этом случае G_x (0 = tVa, поэтому усло-
вие (27) превращается в условие (38).
Следствие 2. Условие (13) необходимо и достаточ-
но для регулярности (G, h)-процесса, когда G (0 ЕЕ Гп,
п = 1, 2, ... .
Это следствие вытекает из теоремы 6 и следствия 1»
§ 6.	Моменты
В этом параграфе мы выведем уравнения и установим
конечность моментов чисел частиц в модели 1. Используя
обозначения^ 4.7
(<) = м (н< (0)1“1, м-„..(0, (0,	(О,
мы введем еще аналогичные обозначения для производных
hl (и; s) и их интегралов
та (и) =	(u)	(и).
“	ds 8=1
о
В некоторых случаях мы будем также употреблять обо-
значения
оо
Ч(«) = Ч.,.= \ти...га^№
б
где множество {j19 j2,..., /-} содержит ровно по afc индек-
сов, равных к, к = 1,... , п, и a — ax + ... + ап.
В частности, будем обозначать т\ (и) = а\ (и)9 т*К (и) =
-Ь‘,(и) и М< = Л<,
$ в]
МОМЕНТЫ
265
Теорема 1. Предположим, что все G' (0) == 0. Тогда,
если все М* с а — к, i = 1, ..., п конечны, то конечны при
любых t^O все моментыМа (0 с а = к. Моменты
удовлетворяют уравнениям, которые получаются после
дифференцирования а раз интегрального уравнения (1.5)
по з в точке s = 1.
Доказательство. В любой точке | 5 | < 1
уравнение (1.5) можно дифференцировать любое число раз
по переменным s. Для того чтобы в получаемых при этом
равенствах можно было переходить к пределу по s f 1, надо
убедиться, что моменты МгЛ (t) конечны. Докажем это по
индукции по а = к. Обозначая Р*(1,\8) = 'dF^—n >
h\(u\ s) =	» продифференцируем (1.5) по s?
t
F\ (t; s) =	(u; F (t — u; s)) F^ (t — u\ s) dGl (u) +
о
+ 6}(1 — 6?i(0).	(1)
Обозначим при 0 < $ < 1
Ly(l;s) = sup F4t;s).
3
Из (1) получаем
n T
Lj (1; s) < L,- (1; s) 3 ( a< (u)	(u) + 1.	(2)
i, /f=l q
Если Aj. конечны, то можно выбирать Т 0 таким,
п С
чтобы 2 \ «к(и)dG*(и) = 6 было меньше!. Запишем (2)
i, о
в виде
(3)
Переходя в (3) к пределу по sf 1, убеждаемся в конеч-
ности первых моментов Aj (t) в промежутке 0 t Т.
266 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII I
Далее обозначим	*
£y(m;s) = sup F^(t;s),	0<s<l,
(m-l)T<T<mT
KfcCn
и будем доказывать конечность A}(t) по индукции по
t е [(тп — 1) Г, тТ\. Пусть в (1) (т — 1) Т < t < тТ.
Разбивая промежуток интегрирования в (1) на \ и
и предполагая, что конечность (t) при t
f-(m-l)T
(т — 1) Т уже доказана, получаем
1>} (т; s) Lj (т; з) б 4- Kj,	(4)
где
(m-l) Т
Я, = 1-|-тах С а* (и)Л*(г — «)Л?‘(иХоо,
l^i<n J	’
откуда
и lim F} (t; s) = A} (t) < оо при t тТ. Таким образом, мы
•ti
доказали, что при конечных А] первые моменты A) (t)
конечны при всех t > 0. Предположим, мы уже доказали,
что из конечности всех М\ с а = к — 1 вытекает конеч-
ность Ma (f) для а = к — 1 и всех t > 0. Покажем, что
то же самое заключение можно сделать для М1Л и Ml (t)
с а = к. Пусть Т 0 выбрано так же, как в начале дока-	j
зательства. Дифференцируем (1.5) при 0	< Г в точке	I
0 < s < 1 а раз с а = к. Получаем	|
t
F*a (f; s) = hlk (щ F(t — u; s)) F* (t — щ s) dG1 (it) + Я‘ (/; s),
о
(5)
где Я* (£; s) выражается через h1^ (w; s) и F$ (t; s) c p < k,
§ в]
МОМЕНТЫ
267
поэтому (t\ s) Н1л (t) <Z при всех 0	1 и t^O.
Из (5) получаем неравенство
($)
max H\(t)
l^i<n
1 —d
(6)
где Z/a(s) = sup 2*1 (£; s). Полагая в (6) st 1, доказываем
KiCn
конечность момента Ma (t) при 0 t T. Далее, рас-
суждая так же, как и в случае a = 1, по индукции по
(т — 1) Т t ^ZmT, доказываем конечность М* (0 при
всех t 0. Теорема доказана.
В заключение выпишем уравнения для первых и вто-
рых моментов.
Дифференцируя согласно теореме 1, уравнение (1.5)
в точке s=l, получаем в модели 1
(П - 5 4 («) A* (t - и) d& (и) + 6) (1 - G* (0),	(7)
о
t
(0 = 5 B'jk (t - и) dG' (и) +
о
t
+ J blmK“)(Z — «) Ак (Z — »)	(»)•
о
(8)
Как частный случай (7) и (8), получаем в модели 2
t
A (t) = а (и) A (t — и) dG (и) + 1 — G (£),	(9)
о
t	t
B(t) = ^a(u)B(t-u)dG(u) + ^b(u)A2(t-u)dG(u). (10)
о	о
268 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Здесь мы обозначили А (£) = Aj (t), В (t) = Вц (t), i
а (и) = aj (a), b (и) = b}i (и). В модели 3 уравнения (9)
и (10) превращаются в
t
A(t) = Aj A(t-u)dG(u) + i —G(t),	(И)
о
t	t
B(t) = A$B(t-u)dG(u) + B^ A*(t-u)dG(u), (12)
0	0
где A =h' (1), В = h" (1).
§ 7. Уравнения восстановления
Уравнения для факториальных моментов ветвящихся
процессов представляют собой частный случай так назы-
ваемых уравнений восстановления. Поэтому для иссле-
дования асимптотики моментов ветвящихся процессов нам
понадобятся некоторые свойства решений этих уравнений.
Здесь мы изложим ту часть теории восстановления, кото-
рая будет использоваться в дальнейшем. Мы не будем <
здесь приводить доказательства всех формулируемых тео-
рем, так как это слишком увело бы нас в сторону от ос-
новного содержания книги. Поэтому мы будем иногда
давать лишь формулировки тех теорем, доказательства
которых можно найти в других монографиях (например,
в книге Феллера [41]).
Пусть F (t) — непрерывная справа функция распре-
деления неотрицательной случайной величины, F (0) < 1,
К (^—неотрицательная измеримая ограниченная функция,
для которой существует конечный предел ИтА?(£)=А\
f ~*ео
со
Обозначим mr = J tr dF (t) моменты распределения F (t);
в силу условия F	(0)	1	всегда	>	0. Уравнением вое-	|
становления будем	называть	уравнение	|
t	*
X (0 = К (0 + J X (t - и) dF {и).	(1)
О	I
УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
269
§ 7]
Решение Н (t) очень важного частного случая уравне-
ния восстановления
t
H(t) = F(t) + J H(t — u)dF(u)	(2)
О
представимо в виде ряда
оо
(3)
п=1
где
t
Fi (0 = Р (0, Рп+1 (0 = f Fn (t — и) dF (и).
о
Функция Н (0 называется функцией восстановления.
Уравнение восстановления (1) всегда имеет единственное
решение X (I), которое неотрицательно и представимо
в виде
t
X(t) = K(t) + К (t — и) dH (и).	(4)
О
Формула (4) позволяет, зная асимптотические свойства
функции восстановления Н (£), находить асимптотику ре-
шения уравнения (1).
Теорема!. (Элементарная теорема восстановле-
ния). При t-> оо
1. Н (0	1
lim—=—•	(5)
t mi	' '
Доказательство см. [13J, стр. 161.
В дальнейшем будем придерживаться следующей тер-
минологии.
Определение 1. Мы будем называть функцию
распределения F (t) l-арифметической, если 1^>0 — наи-
большее из чисел, для которых
оо
3 (F(nl + 0)-F(nl- 0)) = 1.
n—О
270 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Величину I будем называть шагом распределения. Если
такого I 0 не существует, то распределение F (t) будем
называть неарифметическим.
i Т е о р е м a)2f (теорема Б лекуэлла). Если F (t) —
неарифметическая г функция распределения, то при лю-
бом а
Ит[Я(* + а)-Я(01==^.	(6)
«-►оо
Доказательство см. в [41], стр. 424, т. 2.
Теорема 3 (теорема Эрдеша, Феллера и Полларда).
Для l-арифметического распределения F (t)
(7)
Доказательство см. [41], стр. 331, т. 1.
Теорем а 4 (узловая теорема восстановления). Если
F (t) — неарифметическая, а функция К (t) не возрастает
и принадлежит (0, оо), то
t	J К (и) du
lim J/£(« — u)dH(u) =	----- (8)
Доказательство см. в [41], стр. 427, т. 2.
Равенство (8) может нарушаться, если К (t) не моно-
тонна и К (t) Er (0, оо).
Следствие 1. Утверждение теоремы 4 справед-
ливо, если К (t) представляет собой линейную комбинацию
невозрастающих неотрицательных функций, принадле-
жащих (0, оо).
Дискретный аналог теоремы 4 не требует монотонно-
сти К (t).
Теорема 5. Для l-арифметической F (t) и неотри-
цательной К (t) Er (0, оо) имеет место равенство
nl
lim f К (nl — u)dH (и) =
n-ooj'
оо
Z2^(»Z)
n=Q
mi
(9)
Доказательство см. в [41], стр. 315 т 1.
8 Я
УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
271
Из формулы (4) и теорем 4 и 5 сразу вытекает
Теорема 6. Решение X (t) уравнения (1) с монотон-
ной функцией К (t) GE (0, оо) при t-*oo ведет себя
следующим образом', если F (t) — неарифметическая, то
J К (t) dt
(W)
если F (t) — l-арифметическая, mo
*2*(«0
limX(nZ) = -=£--------.	(H)
Замечание 1. Из следствия 1 вытекает, что ут-
верждение (10) справедливо для функции К (0, предста-
вимых в виде линейной комбинации конечного числа не-
возрастающих неотрицательных функций из L± (0, оо).
Теорема 7. Пусть limК(t) = К. Решение X (t)
t—*ОО
уравнения (1) при £ оо представимо в виде
X(t) = -^t + o(t).	(12)
Д ок аз ат е л ь с т в о. Воспользуемся формулой
(4). Пусть | К (0 — К | Кг при всех t, и пусть та-
ково, что | К (t) — К | < е при t > tv Тогда при In t > tx
t	t— Int
|$[K(t-u)-K]dH(u)\^ J \K(t-u)-K\dH(u) +
о	0
t
+ f \K(t-u)-K\dH(u)^
t—lnt
< 'еЯ (t — In t) + Kt [H (t) — Я (t - In 01.	(13)
Из теорем 1 и 2 следует, что Н (t) — Н (t — In t)
Р [In t -f- И и Я (t — In t) pt при некотором р > 0.
Поэтому правая часть (13) не превосходит ept + Яхр In t.
272 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Так как е О может быть выбрано как угодно малым, то
правая часть (13) есть о (t). Отсюда с помощью (4) полу-
чаем (12). Теорема доказана.
В дальнейшем мы будем часто предполагать, что функ-
ция распределения F (t) принадлежит некоторому классу,
который определяется ниже.
Определение 2. Функцию распределения F (t)
будем называть функцией абсолютно непрерывного типа
если ее к-я свертка самой с собой при некотором к > 1
содержит абсолютно непрерывную компоненту.
Это определение позволяет дать другой вариант тео-
ремы 4*
Теорема 8. Если F (t) — функция абсолютно не-
прерывного типа uK(t)E Lr (0, оо), то справедливо пре-
дельное соотношение (8).
Доказательство имеется в [74].
[ Отсюда сразу получается некоторое усиление теоремы 6.
Теорем aj). Если F (t) — функция абсолютно не-
прерывного типа, К (t) GE L± (0, оо) и lim К (t) = 0, то
решение X (t) уравнения (1) удовлетворяет условию (10).
Для того чтобы оценить остаточные члены в соотно-
шениях (10), (11) и (12), нам нужны некоторые уточнения
теорем 2—5.
Теорема 10. Если F (t) — неарифметическая и
конечны mt и т2, то при t -> оо
— +	— i + о(1).	(14)
Доказательство см. в [411, стр. 437, т. 2.
Теорема 11. Если F (t) — l-арифметическая функ-
ция распределения с конечными тг и т2, то при п-*- оо
Н(п1) — — -^-^ + А-1,	(15)
Н((n + 1)0 -н(nl) =	(16)
и сходится ряд
2| Н «п + 1) /) - Н (nl) -	|< оо. (17)
$ 7)
УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЙ
273
!	Если еще предположить, что т3 < оо, то сходится ряд
2п|я((п + DO-Н(п1) — ±-|< оо.
Доказательство следует из теорем 2, 3, 4 статьи
/ Феллера [55].
j	Т е о р е м а 12. Если F (t) — функция абсолютно не-
прерывного^ типа с конечным моментом тГ, то при г —
(	= 2 и 3 конечен интеграл
оо
(«)_£]< оо.	(18)
Ч	0
Доказательство. Проведем доказательство
; при г = 3. Для г = 2 применим тот же метод и само дока-
зательство проще.
Пусть W (ж) — функция ограниченной вариации на [0, оо].
оо
Через 1У*($) = J e-^dW (ж) будем обозначать ее преобразо-
' f~	о
оо
। ванне Лапласа — Стильтьеса, а через W (i) = j eitxdW (х) —
о
ее преобразование Фурье — Стильтьеса. Из уравне-
. ния (2) вытекает, что
Продифференцировав равенство
«•(.)—«-[ЛЯМ-3	(19)
О
по $, запишем его в следующем виде:
Г(«) =	(20)
о
274 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТАНИЯ. VIIГ
где
(21)
X
7(х) = Р[йЯ(«)-^].	(22).
Мы докажем утверждение (18) при г = 3, если покажем,
что функция V(x) имеет ограниченную вариацию на (0, оо).
Для этого установим, что V (t) является преобразованием
Фурье — Стильтьеса функции ограниченной вариации.
Введем сначала несколько обозначений. При конечном
тх > О
<23>
есть характеристическая функция неотрицательной слу-
чайной величины с плотностью
Если тп2 конечна, то эта случайная величина имеет сред-
нее значение	Аналогично, если тА и т2 конечны,
то подставляя в правую часть (23) Fx (t) вместо F (t) и
т212т1 вместо т19 получаем, что
?2 (0 = 2.71!--= 2	(24)
2 4 '	1	— 1Ш2	— m-it2
также является характеристической функцией некоторой
неотрицательной случайной величины с абсолютно непре-
рывным распределением. Далее, если т1 < оо и
то Fq (0 является характеристической функцией распре-
деления
X
^-JudF(u.	(25)
О
$ 7]
УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
275
Если т2 оо, то среднее значение этого распределения
конечно и равно т^/тх. Если тп8 <С оо, то второй момент
т3/тх распределения (25) также конечен. Далее, введем
функцию
М) =
1,
9	1*1
Z	D ’
о,
0<|«|<2Л,
2D<|t|,
(26)
которая является преобразованием Фурье функции из
класса £х. Теперь запишем функцию V* (а), определенную
равенством (21), в виде V* (—it) = V (<)»
v (°	=(,)+(0,	(27)
где
Т>1(О = Ьд(<)
п/ ди (i-Ао)2
= $D(0------—-------7---- -\5 ~<2---♦	(28)
v ’	/1 - F (t) У	v '
mi \ — miit )
V (t) = (1 - bD (0)-^(t)-(A(t))2—	(2 9)
Функция Vr (t) представляет собой отношение преобра-
зовании Фурье функций из класса L*, причем числитель
обращается в нуль вне конечного интервала, а знамена-
тель не обращается в нуль нигде. Следовательно, по теоре-
ме Винера (см. [76], стр. 207) отсюда следует, что (t)
является преобразованием Фурье функции класса L± и,
следовательно, преобразованием Фурье — Стильтьеса функ-
ции ограниченной вариации. Для того чтобы показать, что
V2 (I) также является преобразованием Фурье — Стиль-
тьеса функции ограниченной вариации, достаточно уста-
новить, что функция
E(t) = l-P(i)(t-SD/O(I))	(30'
276 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
удовлетворяет условию теоремы Винера—Питта (см. [5], стр.
213, теорема4), т. е. надо показать, что a) inf | Ё (t) | > О
—оо<£<оо
и б) норма || Ев || сингулярной составляющей Е (х)
меньше inf | Ed (t) |, где Ег1 (/) — преобразование
—oc<f<oo
Фурье — Стильтьеса дискретной составляющей Ed(x)
функции Е (х). Условие а) справедливо из-за того, что
Ё (t) = 1 в 0 < f < D/2, а так как F (х) — функция аб-
солютно непрерывного типа, то для любого tQ > 0 най-
дется б > 0 такое, что | F (t) | < 1 — б для всех t > t0.
Для доказательства б) заметим, что сингулярные состав-
ляющие Ё8 (0 и F9 (s) и дискретные составляющие Ed (0
и Xt(f) в (30) связаны соотношениями
Es (0 = - Fs (0, Ed (0 = 1- Fd (0.	(31)
Предположим сначала, что F (х) содержит абсолютно не-
прерывную компоненту. Тогда сумма норм сингулярной
|| Fs ||! и дискретной || Fd || составляющих F (х) меньше
единицы. В этом случае имеем, в силу (31),
inf	=
-<*></< оо
Если же только тп-кратная свертка F (х) содержит абсо-
лютно непрерывную компоненту, то воспользуемся тож-
деством
т—1
_2_ = fe-o -------------- (32)
E(t) 1 - Fm (1 - bDl2(t))m
и применим те же самые рассуждения к знаменателю, сто-
ящему справа в (32). Так завершается доказательство тео-
ремы.
Теорема 13. Если F (0 — функция абсолютно
непрерывного типа, то при t -> оо
t	°\K(u)du
\K(t-u)dH (и) - ° да1 = о (4).	С33)
О
§ 7]	УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ	277
при условии, что конечны mlt т2, т3, функция К (t) моно-
тонна и сходится интеграл
uK(u)du<^oo.	(34)
о
Доказательство. Представим разность в (33)
в виде суммы трех слагаемых А + /2 + А, гДе
t/2
О
J2= \K(t-u)[dH(u)-
</2
Js=--^K(u)du.
t
Так как К (t) не возрастает, то
0^^ К (и) du uK(u)du,
t	t
К (2t) J udu J uK (u) du^.§ uK (u) du.
t	t	t
Отсюда, в силу (34), следует
^(u)du = o(4), К(0 = о(4-)-	(35)
t
Из (35) и неравенства Н (t) fit, р 0, вытекает
1ЛI «г К (4) [я (4) + ^_] < к (4) (₽ + А) ± =
/.-»(4).
278 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
В силу теоремы 12, имеет место оценка
оо
I;,|СХ(О) 5
t/2
t/2
Теорема доказана.
Теорема 14. Если функция распределения F (t) —
Арифметическая, моменты тг и т2 конечны, К (t) моно-
тонна и
%nK(nl)<oo,	(36)
п=0
то
т	I У К (п.1)
$ К (п1- и) dH (и) =	--+ о (-L).	(37)
О
Доказательство. Запишем интеграл справа
в (37) в виде суммы
K(nl-u)dH(u)= 2 К((п- 7с)/)Лк,	(38)
О	К=о
где = H(kl) - H((k - 1) I), k = 1, 2, .... h0 - H (0).
Разобьем сумму (38) на две:
[т]
3 K((n-*)Z)^=Jn	2 K((n-k)l)hK = J2.
Из (36) имеем К (nl) = о (1/п2), поэтому

п
§ ?)	УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ	279
В сумме J2 оценим hh по формуле (16). Тогда
-га+*
=-s-i*w+»(v).
n=0
со
так как, в силу (36), К (kl) — о . Теорема до-
к=п
казана.
Теорема 15. В условиях теоремы 13 решение X (t)
уравнения (1) при £ оо представимо в виде
J К (и) du
Х^ = ^Г~ +’(т)-	<38>
Доказательство вытекает из (4) и теоремы 13.
Теорема 16. В условиях теоремы 14 решение X (t)
уравнения (1) при п -> оо представимо в виде
I К(п1)
х^ = “к +°(4-)-	(«)
Доказательство следует из (4) и теоремы 14.
Теорема 17. Пусть F (Z) — функция распределе-
ния абсолютно непрерывного типа с конечными т^и т2,
а функция К (t) такова, что lim К (t) = К и сходится
f-*>OO
интеграл
Ко =	(41)
О
Тогда решение X (t) уравнения (1) при Z -> оо представимо
в виде
Х(0 = -^-+—+-^- + о(1).	(42)
' ' ту 1 mi 1 2m^	' '	v '
280 ВЕТВЯЩИЕСЯ процессы, зависящие от ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Доказательство. Представим X (t) по формуле
(4) и запишем результат в виде
X(t)= К (t) + К + А + А + А»
где
== ^[К (t — и) — К],
о
t
Ja = ^[K(t — и) — К]. рЯ(«)- -^].
о
t
В силу (41) Л = J {К (и) - К} — ->	. С помощью
о
(14) получаем /2-> К ^“~"2	* Далее» пусть /3 = J'3 +
Ч2
$ [K(t-u)-K]-[dH(u)--^\,
о
j; = j [я а - и) - я]. [ан («) -	.
Применяя теорему 12 с г = 2, имеем при t -> оо
|j;i< sup	fldtf(u)- — I—>0,
0<U<f/2	JI	mi ।
sup K(t) + K] C |dH(u)--^-|->0,
откуда и вытекает утверждение теоремы. Аналогично
доказывается следующий дискретный аналог теоремы 17.
§ 7]
УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
281
Теорема 18. Пусть F (t) — l-арифметическая с ко-
нечными mt и тп,, а функция К (t) такова, что К (nl) ->
-*• К и сходится ряд
#0= 3 [К(п1)-К].
п=о
Тогда решение X (t) уравнения (1) при п-> оо представимо
в виде
X(nl) = — nl+ +	+ -^ + 0(1).
Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение
t
X(t) = K(t) + m§X(t-u)dF(u), (43)
0
в котором m 1. Это уравнение также имеет единствен-
ное решение. Его можно представить в виде
t
X(t) = K(t) + m$K(t-u)dH(m,u), (44)
о
где
Я(т,«) = 3
Асимптотика решения X (/) уравнения (43) определя-
ется следующей теоремой.
Теорема 19. Если lim К (t) — К	оо ][и т < 1,
>оо
то решение X (t) уравнения (43) удовлетворяет условию
Г—*оо
Доказательство легко получается из (44) и равенства
lim Н (т, t) = -г-^-—.
282 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
§ 8. Асимптотика первых и вторых
моментов в модели 2
Будем здесь пользоваться обозначениями первых и вто-
рых моментов из § 6. В § 3 мы определили понятие критич-
ности процесса в модели 1. Это определение в модели 2
превращается в следующее. Ветвящийся процесс называ-
ется докритическим,, если А < 1, надкритическим, если
А 1, и критическим, если А = 1,	0. Случай А = 1,
В = 0 тривиален, так как при этом а (и) = 1, Ъ (и) = 0,
h (и; s) == s почти всюду относительно G-меры, т. е. мы
имеем простой процесс восстановления и Р {р (0 = 1} =
= 1. Определим действительное число а как корень урав-
нения
оо
1 = J е~аиа (и) dG (и).
о
(1)
Если А > 1, то такое а всегда существует и единственно,
причем а = 0, если А = 1, и а > 0, если А > 1. Если
A <Z 1, то уравнение (1) может не иметь корня. Если же
корень а существует, то он отрицателен. В дальнейшем мы
будем всегда предполагать, что А конечно и существует
корень уравнения (1) (для этого при А < 1 надо предпо-
оо
лагать достаточно быстрое убывание а (и) dG (и) при
t
t оо). Введем еще обозначения, которые нам будут
удобны ниже. Пусть % (и) — неотрицательная измеримая
функция, ₽ — действительное число. Предположим, что
интеграл
оо
У К (и) e-^dG (и)
о
конечен и не равен нулю. Обозначим
t
G^>(t) = ^(u)e-^dG(u)	(2)
О
$ 8]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2
283
и
оо
М% = juWkw(u), Gko)(0 = Gx(0, М(& = мм,
О
оо
М^ = М?\ МХ1 = Ж, м1к = Мк = У ukdG (и).
О
Представим A (t) в виде
4(0 = Л	(3)
где а — корень уравнения (1). Подставляя (3) в уравне-
ние (6.9), получаем
t
Ло (0 = J Ло (t - и) ма) (u) +	(1 - G (0).	(4)
о
Уравнение (4) есть уравнение восстановления. Вопросы
существования и единственности решения таких уравне-
ний, а также асимптотические их свойства разобраны
в предыдущем параграфе.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть G (Z) — функция рас-
пределения неотрицательной случайной величины. Бу-
дем обозначать G (Z) ступенчатую функцию распределения,
определяемую равенствами
G (0 = G (nl) для nl t < (п + 1) I. (5)
Соответствующее математическое ожидание будем обо-
оо
значать М = J udG(u).
о
Теорема 1. Если функция Ga (t)—неарифметическая, а
оо	оо
М = J udG(u) и Ма = иа(и) dG(u) конечны, то длякри-
0	о
тического ветвя осяЫгэ процесса
lim4(0 = -f-.	(6)
f->oo	а
Доказательство. Утверждение (6) вытекает
из теоремы 7.6, так как уравнение (6.9) является
284 В ЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
уравнением восстановления типа (7.1), в котором роль
F (t) играет Ga (0» а АГ (f) = 1 — G (О-
Теорема 2. Если процесс критический, функция
ОО	оо
Ga (0 — 1-арифметическая, М = J udG(u) и Ма = §udGa(u)
о	о
конечны, то
limA(nl) = JL.	(7)
п-*оо	а
Доказательство утверждения (7) также вытекает из
теоремы 7.6.
Теорема 3. Рассмотрим надкритический ветвя-
щийся процесс. Если функция распределения (t) — не-
арифметическая, то
lim A (t) erat = Ао,	(8)
/—♦со
где
J «-“"(1 —G(u))du
Если бда) (0 — 1-арифметическая, то
lim A (nl) e~*nl = 40,	(10)
П->ОО
где
I J <-“”* (1 — G (nl))
Ао =	.	(11)
0	М<а>	' ’
а
Доказательство. В силу равенства (1),
б?£а) (t) есть функция распределения. Выражая A (t) через
Ло (Z) по формуле (3), получаем уравнение восстановле-
ния (4), к которому можно применить теорему 7.6. Так
как a j> 0, то функция e~at (1—G (£)) не возрастает по t,
оо
а Маа) и J е~аи (1 — G (и)) du ъсетда конечны,
о
§ 8]	АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2	285
Теорема 4. Пусть ветвящийся процесс — докри-
тический. Если существует корень а уравнения (1) и
интегралы
J teratdG (<), J te-^a (Z) dG (t)
О	о
сходятся, то также справедливы формулы (8) — (И).
Доказател ь~с т в о. Можно показать, что в урав-
нении (4) слагаемое e~at (1 — G (t)) представимо в виде
разности двух монотонных функций, принадлежащих
£1 (0, оо). В самом деле, так как а О, то
е~“‘ (1 - G (0) < j eraudG(u),
поэтому (1 — G (0) -> 0 при оо. Кроме того, так
как интеграл
оо	оо	со	оо	со	оо
J dt J eraudG (и) = er*udG (и) | + J te~atdt = J ter^dt
0	t	t	0	0	0
конечен, то — G (t)) EE £r (0, оо). Интегрируя по
частям, получаем
т	т т
J e~audG (и) = — (1 — G (и)) (r^u I — a J е~аи (1 — G (и)) du.
t	'tt
Полагая Т оо, приходим к равенству
(1 — G (t)) е^1 = J e~*udG (и) a J е~ли (1 — G (u)) du,
t	t
в котором левая часть и первое слагаемое в правой
части принадлежат £г (0, оо). Следовательно, функция
e~at (1 — G (t)) представима в виде разности двух монотон-
ных функций, принадлежащих £х (0, оо). Учитывая замеча-
ние 7.1 к теореме 7.6, можно доказать эту теорему также,
как и предыдущую.
Следующие две теоремы устанавливают скорость схо-
димости к пределу в критическом случае.
286 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Теорема 5. Если процесс — критический^ Ga (/) —
l-арифметическая функция распределения и конечны вто-
оо	оо
рые моменты J u2dG (и) и §u2dGa(u), то при п —> оо
о	о
+	(12)
Доказательство. Утверждение вытекает из тео-
оо
ремы 7.16. Из сходимости J f2dG(£) вытекает сходимость
о
оо
ряда	т- е- условие (7.36) в теоремах
п=0
7.14 и 7.16.
Теорема 6. Если процесс — критический и Ga (t) —
функция распределения абсолютно непрерывного типа и
оо	ОС
если конечны J u2dG (и) и J и3а(и) dG (и), то при t -> оо
о	о
= + (13)
а \	/
Доказательство. Утверждение вытекает из тео-
оо
ремы 3.15. Из условия J u2dG(u) оо следует сходимость
о
оо
интеграла J u(l — G(u))du, которая предполагается в тео-
о
реме 3.15.
Замечание 1. Если а (и) = 1 = А. то, как не-
трудно видеть, уравнение (6.11) имеет решение A (t) s 1.
В этом случае теоремы 5 и 6 справедливы без каких-либо
дополнительных условий, налагаемых на G (Z).
Исследуем теперь асимптотику вторых моментов.
При этом мы будем предполагать, что в уравнение
(6.10) вместо A (t) подставлено решение уравнения (6.9).
§ 8]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2
287
Уравнение (6.10) либо само является уравнением восста-
новления, либо просто сводится к нему, поэтому решение
(6.10) всегда существует и единственно.
Теорема 7. Если процесс—критический t М =
оо	оо
= J udG(u), Ма= J ua(u)dG(u) и В конечны, aGt(t) -не-
о	о
арифметическая, или Ga(t) и G(t) — o6e 1-арифметичес-
кие, то
где
В (0 = Btt + о (t),
(14)
1
Доказательство. В уравнении (6.10), кото-
рое можно переписать в виде
i	t
B(t)=^B(t- u)dGa(u) + J b(u) Az(t - u)dG(u), (15)
0	0
t
при t -> оо интеграл J b (u) A2 (t — u) dG (и) сходится к
о
(M \2
I В по теореме 1, когда Ga (t) — неарифметическая,
л /
и по теореме 2, когда G (t) и Ga (t) — обе /-арифметиче-
ские. Утверждение (14) получаем, применяя к уравнению
(15) теорему 7.7.
Теорема 8. Если процесс — надкритический, ин-
теграл
00
J b (u) er^dG (и)
о
конечен и G(a\t) — неарифметическая, то
V\mB(t)e-^1 = Во,
(16)
288 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
где
b(u)e~20LUdG (и)
в9=------,	(17)
1—J a(u')eJ>audG(u)
О
и Ао определено формулой (9).
Доказательство. Полагая в (15) В (t) =
= Bq (/) е2а*, получаем
t
Во (t)=^b (и) А20 (t - и) e-^dG (и) +
О
С	dG^ (и)
+ т B0(t —	,	(18)
О
оо
где т = J а (и) e~2audG (и) < 1, а А0 (Z) определяется фор-
о
мулой (13). Утверждение (16), (17) вытекает из теоремы
7.19, если ее применить к уравнению (18).
Теорема 9. Если процесс — надкритический и
G^ (t) и G (t) — l-арифметические, то
lim	= So,
П—>оо
где Во определяется (17), в которой вместо Ао надо под-
ставить выражение (11).
Доказательство аналогично.
Теорема 10. Если процесс — докритический, вы-
полнены условия теоремы 4 и сходятся интегралы
СО	оо
J b (и) e~audG (и), J ub (и) e^dG (и),
о	о
то для Ga“) (t) абсолютно непрерывного типа
lim В (t) e~at = Bq,
t-*oo
а для случая, когда Gav(t) и G (t) — одновременно
§ 8] АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2	289
1-арифметические,
lim В (nl) еглп1 = Во,
71-*оо
где Bq и BQ — некоторые положительные константы.
Доказательство. Полагая В (/) = BQ (t) еЛ\
мы можем записать уравнение (15) в виде
t	t
Во (0 = J во (t - и) dG™ (u) +	J 4 (t - и) е~гли dGb (и),
О	о
(19)
где Aq (/) = А (0 e~ai. В силу теоремы 4 Ло (t) сходится
к пределу при £->оо, следовательно, (t — и) в (19)
ограничено. Для того чтобы иметь возможность приме-
нить к уравнению (19) теорему 7.9, нам надо доказать, что
слагаемое
t
J 4 (t- и)е-2““dGb (и)	(20)
о
в (19) принадлежит (0, оо). Выражение (20) неотрица-
тельно и мажорируется константой, умноженной на
t
ел> § e~*audGb(u).	(21)
а
Так как а 0, то (21) не превосходит
t	со
Веа«/з J eraudGb (и) < ВеаЧ3 + J	(и).
t/3	t/3
Слагаемое BePI3 принадлежит Lx (0, оо). Рассуждая так
же, как в теореме 4, нетрудно получить, что, в силу ко-
со	оо
вечности J ter^dGb (0, функция J e^audGb (и) также при-
0	t/3
надлежит (0, оо). Применяя теперь к (19) теорему 7.9,
получаем утверждение теоремы.
Для надкритического процесса найдем еще асимпто-
тику смешанного момента В (£, т) = Mp(i)p, (t + т).
ТО Б. А. Севастьянов
290 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Для производящей функции
М^(0^(Г+т) = ^(/,т;51,52)
можно получить интегральное уравнение,аналогичное (1.9):
<+о
F (t, т; s2) = J h (u; F (t — и, т; s2)) dG (и) +
о
Ж+о
+ J h (Щ Р (t + Т — Щ s2)) dG (и) + $г$2 (1 — G (t + т)).
(22)
Дифференцируя (22) последовательно по и $2 в точке
sr = s2 = 1, получаем
4°
В(^т)= j	— и, r)dG(u) +
о
+ J b(u) A(t — и) A(t -{- т — u)dG(u) 4-
о
4- J а (и) A (t 4- т — u)dG(u) + 1 — G(t 4- т). (23)
Теорема 11. В условиях теоремы 8 при t -► оо
В(«,т)~В0е<2'+т)“	(24)
равномерно по т > 0, где Во определяется формулой (17).
Доказательство. Полагая в (23) В (t, т) =
= В9 (/,т) e2at, получаем
Во (£, т) = j* а (и) er*auB0 (t — u,r)dG (и) 4-
о
<Ч-о
4- еат У Ъ (и)е~2яи Ло (t — й) 40 (t 4- т — и) dG (и) 4-
о
<4-т+о
4-	e~at J а(и)е~ли A0(t 4- т — u)dG(u) 4-
<+°	+е-2«'(1 -G(«4-t)).	(25)
। g] АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2	291
Уравнение (25), так же как и уравнение (18), удовлетворяет
условию теоремы 7.19, откуда и следует утверждение (24).
Равномерность сходимости по т в (24) следует из равномер-
ности сходимости по т в соответствующих членах правой
части (25).
Теорема 12. В условиях теоремы 9 при п—* оо
В (nl, ml) ~ BQeal	(26)
равномерно по m > О, где Во определяется в теореме 9.
Доказательство аналогично.
Дадим теперь уточнение остаточного члена в теореме 7.
Теорема 13. Если процесс — критический, функ-
ция Ga (/) — абсолютно непрерывного типа и интегралы
J u3dGa(и), J u*dG(и), В = j b(u)dG(w), Ju2b(и)dG(и)
о	оо
сходятся, то при t -> оо
В (0 = BJ + В2 + о (1),	(27)
где Вх — В, В2 — некоторая константа.
Доказательство. Докажем, что к уравнению
(15) можно применить теорему 7.17. Для этого надо пока-
зать, что сходимость
t
K(t)= §b(u)A*(t-u)dG(u)-*-^ = K (28)
0
такова, что интеграл
J [K(t)-K]dt
о
сходится. Полагая A (t) — Ао + гь Ло = -2L-, мы перепи-
/И д
сываем интеграл в (28) следующим образом:
t
K(t) = ^b(u)[A9 + ^dG(u)
о
1G*
292 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
и
оо	I
К (0 - К = 4 J Ь (и) dG (и) + 2 Ао J b (u) 8(_и dG (и) +
t	о
t
+ $elJ>(u)dG(u). (29)
О
оо	оо
Так как J и2Ь (и) dG (и) < оо, то J Ь (u)dG(u) = о .
о	t
Поэтому первое слагаемое справа в (29) имеет порядок
при t —>оо, и интеграл от него сходится. В силу
теоремы 6 8f = о (у), поэтому
t	Г/2	t
J	Ъ (и) dG(u)= j 8?_u Ъ (и) dG (и) + J e?_u Ь (и) dG(u)^
О	О	7/2
оо
< sup 8?_us + sup el'u f b(u)dG(u) = o(4~)	(30)
0<u^Z/2	Z/2<u« fa
и интеграл от третьего слагаемого в (29) также сходится.
Второе слагаемое в (29) справа кратно выражению
t
^e^dGb(u).	(31)
О
Аналогично тому, как это делалось в (30), оценивается
t
et-udGb(u) =	'
</2
Остается оценить
j et-udGb(u).	(32)
о
Для этого обратимся к уравнению
t
А (0 = J A (t - u)dGa (и) + 1 - G (t).
о
§ 81 АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 2	293
Используя формулу (7.4), мы можем представить решение
А (0 этого уравнения в виде
t
Л (0 = 1 -G(t) + J [1 — G(t — u)]dH (и),	(33)
о
где
Н (t) — 2 @ап (0>	= Ga* Ga, n+1 = Gan * Gal.
n=l
Выражая с помощью (33), получаем
Бг = л(о-л0 = 1-б(о +
t	co
+ $ [1 - G(t - M)J [dH(u) -<-]-$(! -<?(«)) -%- . (34)
oo
Так как интеграл^ u3dG(u) оо, то 1 — G(t) — о и
о
ОО
(1 — G(u))du — о . Среднее слагаемое в (34) опять
разбиваем на два
Ч2
О
t
t/2	“
Имеем:
оо
I Ji 1 < (1 - G (t/2)) $ | dtf (u) -	| = о (^-),
о
в силу теоремы 7.12, и
оо
|/2|< $|йЯ(„)_ *f-l = v-v(<),	(35)
</2	“
294 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВОЗРАСТА (ГЛ. VIII
где
оо	t/2
о	о
со	оо
В силу той же теоремы 7.12 J (7 — V (t)) dt = J tdV (t)<^oo.
о	0
/44 V ~ V (0
Обозначим v (t) = ---------—--- плотность неотрицатель-
о
ной случайной величины. Обращаясь к (34) и (35), оце-
ним последнее оставшееся слагаемое в (31) с помощью
//2	t
j v (t — и) dGb (и)	J v (i — и) dGb (и).	(36)
о	о
Правая часть (36) кратна плотности распределения веро-
ятностей, являющейся композицией плотности v (t) и
функции распределения B“xGb(^). Таким образом, мы
показали, что интеграл от (32) в пределах от 0 до оо ко-
нечен. Теперь для завершения доказательства можно при-
менить теорему 7.15.
Теорема 14. Если процесс — критический, функ-
ции распределения G (t) и Ga (0 — l-арифметические и
интегралы
Ju3dG(u), ]u*dGa(u), B = ]b(u)dG(u), Ju2b (u) dG(u)
0	0	0	0
сходятся, то при n —> oo
В (nl) = B^l + B2 + о (1),	(37)
M2
где Br = —— В, a B2 — некоторая константа.
Ma
Доказательство проводится аналогично предыдущему,
только вместо теоремы 7.17 надо использовать теорему
7.18, а в конце доказательства вместо теоремы 7.12 надо
применить теорему 7.11.
§ 9] УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ 295
Замечание 2. Если а (и) = 1 = А, Ъ (и) = В >0,
то A (/) = 1 и уравнение для В (t) приобретает вид
t
B(t) = BG(t) + f — dG (u).
Если положить В (t) = BH(t), G (t) = F (t), то это урав-
нение сводится к уравнению восстановления (7.2). Если
конечны М и Л/2, то согласно теоремам 7.10 и 7.11 для не-
арифметических G (t)
и для /-арифметических G (/)
§ 9. Уравнения многомерного восстановления
Исследование асимптотического поведения при t -> оо
моментов ветвящихся процессов в модели 1 мы будем про-
водить с помощью уравнений многомерного восстановле-
ния. Под уравнением многомерного восстановления мы
будем понимать систему уравнений
х
Xlm (х) = Xlm (X) + J	(X - и)ЛР1л (и),
о
I = 1,. . ., и, тп = 1,..АГ,	(1)
где Flm (х) — неубывающие, непрерывные справа, неотри-
цательные функции ограниченной вариации, Flm (0) = 0,
Z, т = 1, ..., n, a	I = 1, ...» n, т — 1, ..., ДГ, —
измеримые ограниченные в каждом конечном интервале
функции, подчиняющиеся тем или иным условиям. (В
формуле (1) и ниже, как всегда в аналогичных случаях,
мы предполагаем, что верхний предел включается в про-
межуток интегрирования.)
296 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Уравнение (1) можно записать в матричной форме
Х(х) = K(x) + $dF(u)X(x -и),	(2)
О
где X (х) = J XI (х) К (х) = || Ki (х) || - п X N-
матрицы и F (х) = || F& (х) || — п X «-матрица.
Если для матриц А (х) = Ц Лр (х) Ц и В (х) = || В% (х) ||
ввести операцию матричной свертки С (х) = А*В (х), где
с(Ж)=цедци
С? (ж) = J В* (х - u)d^(u),
О
то уравнение (2) запишется в виде
X (х) = К (х) + F*X (х).	(3)
Далее мы будем придерживаться следующих обозна-
чений. Пусть матрица L (х) = || Lp (х) ||, определенная
при х > 0, имеет элементы являющиеся в каждом
ограниченном интервале [О, Т] действительными измери-
мыми функциями ограниченной вариации. Будем обозна-
чать
L^(t)— eiix dL^(x)	(4)
О
и L(t) = || Ll (t) || соответствующую матрицу. Условимся
также обозначать
L5 = Z§(oo) = £j(0), £ =	(5)
Поскольку операции матричной свертки А * В (х) соот-
ветствует умножение матриц A (t) В (£), то из уравнения
(3) получается следующее уравнение для X(t)\
X(t) = £(t) +F(t)X(t),	(6)
откуда получаем решение
X{t) = [Е - F(t)]~l K(t),	(7)
§ 91 УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ
297
если существует обратная матрица [Е — F (здесь
Е — единичная п X n-матрица). Полагая в (3) и (6)
К (х) = F (х) и X (х) = Н (х), приходим к важному част-
ному случаю:
Н (х) = F (х) + F*H (х),	(8)
H(t) = F(t) +F(t)H(t),	(9)
Н (t) = [Е - F (г)]"1 F (0 = F (О IE - F (*)]-1. (Ю
Матрицу Н (х) Ъуррм называть матрицей восстановления.
Поскольку
[Я-ЛО]’1 = Е + [£ - F(z)]-1 ?(«),	(И)
то из (7) вытекает
X(t) = k(t) +H(t) K(t),	(12)
откуда, в свою очередь, следует
X (х) - К (х) + Н * К (х)	(13)
или, иначе,
Х(х) = K(x)+]dH(u)K(x-u).	(14)
В координатной форме (14) запишется так:
X
Xlm (х) = К1т (х) + f Кат (х - и) dHla (и),
о	(15)
I = 1,..., и; т = 1,. .., N.
Асимптотическое поведение при х оо решений X (х)
и Н (х) уравнений (1) и (8) в значительной степени опре-
деляется свойствами матрицы F (х) = || F* (х) ||. В даль-
нейшем мы всегда будем предполагать, что матрица F=
= || F||| неразложима. Обозначим R перронов корень мат-
рицы F. Уравнение восстановления (3) или (8) будем назы-
вать критическим, если R = 1, докритическим, если
R < 1, и надкритическим, если R > 1. Ниже мы всегда
будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что
все функции Flm (х) абсолютно непрерывны.
298 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIH
Рассмотрим сначала критический случай 7? = 1.
В этом случае детерминант Д (i) = | Е — F (t) | матрицы
Е — F (0 обращается в нуль при действительных t лишь
в точке t = 0. Это следует из того, что при любом действи-
тельном Z =^= 0 | Fl (t) | < Fp (0), так как Fl (t) — преоб-
разование Фурье — Стильтьеса абсолютно непрерывной
функции Fl (я). Поэтому все характеристические корни
матрицы || Fl (t) || меньше по абсолютной величине перро-
нова корня матрицы ||Fp|| (см. лемму 2, гл. XIII в [4]).
Обозначим Dk (t) алгебраическое дополнение в матрице
Е — F (0 к элементу Sj — F* положим (0) =
D (t) = || D} (0||, D = ||Dj||. Обозначим также
оо
M^ = ^xrdF{(x)^-^
о
dTP{ (0
dtT
>
f=0

Очевидно, Mo — F. В этих обозначениях функция Н (t),
определенная формулой (10), представима в виде
ы/л_ ^(0^(0 _
Hl -----да)	_	д(о
(16)
так как матрица jD? (Z)/A(Z)|| является обратной к матрице
Е — F («). В силу (11) Hi (i) можно записать еще иначе
-О?(0 „к
(17)
Далее мы будем опираться на следующие четыре леммы.
Лемма 1. Пусть L (t) и К (Z) есть преобразования
Фурье — Стильтьеса функций ограниченных вариаций
L (х) и К (х), определенных на [0, оо), и пусть функция
со
L (х) абсолютно непрерывна, L (0) = 0. Если J х (dK (х) |
о
со
и J х\dL (х) ( конечны, L (0) */= 0 и L (t) =f= L (0) при £ =/= 0,
о
§ 9] УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ
299
то
?(0 =
£(0)-£(0
(18)
есть преобразование Фурье — Стилътъеса функции
V (х) ограниченной вариации.
Доказательство. Рассуждения аналогичны
тем, которые мы делали при доказательстве теоремы 7.12.
Воспользовавшись обозначением Ьр (t) из (7.26), запишем
F (0 = Ух (0 + V2 (0,
где
М) =
Sp(t)(£(O)-£(<))
£(0)-£(t)
F2(t) = (1 - SD(0)• -f—.
Записывая Vt (0 в виде
8 ifcAw
- £|о,-гМ
— it
— it
заключаем, как ив теореме 7.12, что Vr (0 является пре-
образованием Фурье функции из класса L± и, следователь-
но, преобразованием Фурье — Стильтьеса функции огра-
ниченной вариации. (Представляя L (х) = L* (х) —	(х)
в виде разности двух возрастающих функций ограниченной
оо
вариации, заключаем, в силу J х | dL (х) |	оо, что
о
оо	оо
j* [/Л — L± (ж)] dx оо. Поэтому J | L — L (х) | dx оо, и
о	о
£(0)^/(° = J I1 - L № eitx dx
о
есть преобразование Фурье функции из класса Lv Ана-
логичное утверждение справедливо относительно К (х), а
далее, как и в теореме 7.12, применяем теорему Винера.)
300 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. V JII
Далее, функция
2(f) =2,(0)-1(0 (1-^(0)
удовлетворяет условию теоремы Винера — Питта (см.
теорему 7.12), так как inf | Ё (t) | > 0, L (0) =/= 0 явля-
—co<f<oo
ется преобразованием Фурье — Стильтьеса дискретной
составляющей Е (ж), а сингулярной составляющей, по
предположению, Е (х) не содержит. Поэтому [Ё (0]"1 так-
же является преобразованием Фурье — Стильтьеса функ-
ции ограниченной вариации. Тогда то же самое заключе-
ние можно сделать относительно и V(t).
Лемма 2. Пусть h (t) и К (0 удовлетворяют уело-
виям леммы 1, и Y (х) есть функция, преобразование
Фурье — Стильтьеса которой Y (t) равно
<19>
оо	оо
Если J х3 | dL (х) | конечен и = § xdL(x)=f= 0, то
о	о
^|dy(x)-—-dx|<oo,	(20)
о
со
где Ко = J dK (х). Если еще дополнительно предполо-
о
оо	оо
жить, что конечны J х3 | dK (х) | и J х31 dL (х) |, то
о	о
^x|dr(a:)--g-da:|<oo.	(21)
о
Доказательство. Функция
£(0)—£(0_.
К (t)	. Ко ___ К (t) — Ко	ULi_____ (22)
£(0) —Z(t) +	- £(0) —£(/) — °’ £(0)—£(t)	'
§ УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ 301
является преобразованием Фурье — Стильтьеса функции
У (я) — ^-х. Применяя к правой части (22) лемму 1,
\	1	v. ч Ко
приходим к заключению, что i (х) —х имеет конеч-
ную вариацию. Для доказательства утверждения (21)
надо действовать аналогично теореме 7.12 и воспользо-
ваться леммой 1. Мы не будем проводить здесь этого до-
казательства.
Нетрудно видеть, что определенная формулой (19)
функция (0 представляет собой преобразование Фурье —
Стильтьеса функции У (ж), которая является решением
уравнений
X
L^Y (х) == К(х) + Y (х — y)dL(y), х>0.	(23)
о
Обозначим W (х) решение частного случая уравнения (23)
X
L0W(x) = 1 + J W (х - y)dL(y), ж>0,	(24)
о
~ 1
для которого W (t) =  --------—. Поскольку Y (£) =
Lq — L (i)
=£ («)$•(«), то
X
Y(x)=$K(x-y)dW(y).	(25)
о
Если L (х) удовлетворяет условиям лемм 1 или 2, то ре-
шение (24) W (х) обладает свойствами, доказываемыми в
этих леммах, в частности, свойствами (20) и (21), в кото-
рых надо положить Кь = 1. Докажем еще две леммы.
Лемма 3. Пусть Цх) удовлетворяет условиям
оо
леммы 1 и J х21 dL (х) К оо. Если ограниченная функция
о
оо
К (х) такова, что К (х) —► 0 при х	оо и J | К (х) | dx оо,
о
302 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
то
X	СО
lim — y)dW (у) = -1-Л K(x)dx. (26)
х-оо J	1 J
Доказательств о. Рассмотрим разность
\к(х - y)dW(у) - -ц\к(у)Лу =
о	о
X
= ^(x-p)[dty(p)--g],
о
Разобьем интеграл справа на сумму двух и оценим каж-
дый из них отдельно. Получаем
х/2
о
оо
< sup I К(у)\\IdPF(y)--g-
x
J K(x — y) [йИЧг/)-
x/2
sup
y>0
co
x/2
Так как К (x) ограничено, К (х) -> 0 при х -* оо и
ео'

сю, то полученные оценки можно сде-
лать как угодно малыми. Лемма доказана.
Лемма 4. В условиях леммы 2 (в которых справед-
лива формула (20)) для функции Y (ж), имеющей преобра-
зование Фурье — Стильтьеса (19), справедлива при ж -> оо
§я]
УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ 303
асимптотическая формула
r(l)=-g-x+^-^ + <>(l),	(27)
где К,- p'dXW, Z.r=
О	о
Доказательство. В силу тождества
Ьйх = j(Lo — L(y))dy + J(x - y)dL(y)
0	0
и уравнения (23) разность
Z(x)= Y(x)-%-x
удовлетворяет уравнению
Z0Z(x)= K(x)-~^-^(L0 — L(y))dy + ^Z (x — y) dL(y),
0	0
поэтому (см. формулу (25))
X	v
Z (or) = $ [tf (X - y) - % 5 (Lo - L (u)) du\ dW (y).
0	0
По лемме 3
oo	X
lim Z (x) = -A. Г/f (x) - -g- (Lo ~ L (»)) dv\ dx,	(28)
x“*°°	о	0
если интеграл справа абсолютно сходится. Покажем снача-
ла, что выражение, стоящее справа в (28), равно
В самом деле, запишем интеграл в (28) в виде
J (Д) — L (у)) dy
о
^(K(x)-KQ)dx + K^
о	0
Li
dx. (29)
304 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. Vl11
Первое слагаемое в (29) равно— j хаК(х) = —К^ а для
о
вычисления второго воспользуемся тождествами
X	X
У [Zo- Ь (у)] dy = X (Lo - L (х)) + §ydL (у),
о	о
х
оо У у dL (у)	оо
5 1-2—Li	dx = У1 (У) =-ц-,
о	о
(30)
ОО	оо
С x(L0-L(x))dx = 4S x*dL(x) = ~-.
t)	« J
о	0
Подставляя все эти равенства в (29), получаем утвержде-
ние леммы. Абсолютная сходимость интеграла в (28) вы-
текает из условий леммы, которые обеспечивают абсолют-
ную сходимость интегралов (29) и (30).
С помощью этих лемм доказываются следующие свой-
ства матрицы восстановления Н (х) в критическом случае.
Обозначим
fe? = -2L_,	= И? II = т-^-пГ»	(31)
Л/Lp?	11 11 tr (M1D) '	' '
1л I
где tr || ф}|| = <р- — след матрицы || ф$ ||. Напоминаем,
что запись С < оо у нас обозначает, что все элементы
матрицы С конечны.
Теорема 1. Если М± < оо, М2 < оо, то в крити-
ческом случае
оо
J | dH* (и) — К <х>;
о
(32)
если дополнительно предположить М3 < оо, то
со
J и | dH* (и) — hi du | < оо.	(33)
о
4
л
J
§ 9] УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ 305
Доказательство. Применим к (17) лемму 2,
положив А (£) = 1 — L (/) и К (t) = Di (t) — A (t) ft*.
При этом надо воспользоваться тем, что в этих обозначе-
ниях Ко = D*, Lo = 1 — A (0) = 1,	= iA'(O) =
= MlnD* = tr (MrD).
Обозначим
D«t =	д2Д(0	= r>lfc
mT^’ dF^dF^)' тГ тГ^'‘
Теорема 2. Если <Z оо, M2 < оо, M3 < oo, mo
при а?-»- оо в критическом случае
Н* (x) = xhi + b* + о (1),	(34)
где
- «?• <35>
Доказательство. Так же, как и в теореме 1,
используем формулу (17). Полагая в ней опять А (/) =
= 1 - £ (0 и К (t) = Di (t) — A (t) б?, применяем лем-
му 4. При этом, кроме приведенных в доказательстве пре-
дыдущей теоремы выражений KQ, LQi нам еще понадо-
бятся следующие выражения:
Докажем еще несколько теорем, устанавливающих
асимптотику решения X (х) уравнения (2) в критическом
случае.
Теорема 3. Если	К1т(х)^
оо
еЛ (0, оо), lim Klm(x) = 0 и ^к1т (х) dx = klm, то в
ж-*°°	о
критическом случае
lim Х}(х) = h\ klh i = 1,. . щ j = 1,..N. (36)
306 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Доказательство. Рассуждения аналогичны
тем, которые были в лемме 3. Надо воспользоваться пред-
ставлением (15) решения X} (х) и теоремой 1.
Теорема 4. Если в критическом уравнении (1)
Мг < оо, М2 < оо, М3 < оо, а функции К1т (х) неотри-
оо
цательны, не возрастают и интегралы J xKlm (х) dx схо-
о
дятся, то
Х)(Ж) = Л^+о(±).	(37)
Доказательство. С помощью (15) предста-
вим разность X} (х) — h}klj в следующем виде:
x^xj-hik^^+^+i,,
где
х/2
Л = j (dHi (и) - hl du) К* (х - и),
о
/2 = J (dHl (и) - hla du) К* (х - и),
х/2
/8 = К}{х) - ] KJ (и) h\ du.
X
Так как функции К](х) не возрастают, то
2Х
хК](2х)^ § K}(u)du^
X
< J К • (и) du^±^ uKj (и) du = о (-J-),
X	X
поэтому /3 = о (. Далее,
§ 9] УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ 307
так как из (34) следует, что Я» (х) = О (х) при х -► оо.
И, наконец, ч
|72|<Я£(0) J |</Я‘а(и)-/£du|<
X/2
u\dHla(u) — hladu\ = o(-j-).
х/2
Теорема доказана.
Теорема 5. Если М^со, М2 < оо, lim К (х) =
_____	_ X—>оо
где К = || Klj || < оо, то при х —оо
Х}(х) = к1к}х + О(х).	(38)
Доказательство. Мы получим (38), если в
интеграле (15) положим
Я“ (х - и) = Кап + (Я^(х - и) - Я“)
и воспользуемся теоремой 2.
Уточнение асимптотической формулы (38) дает
Теорема 6. Если М1<^оо, М2<^оо, Л/8<^оо,
ПтХ(ж)=^ и f [Я(х)— dx = & = ||А:*|К оо, то
Х-00
при х —> оо
X] (х) = Ък'р + h}kl} + biKlj + К} + о (1),	(39)
где М определены формулой (35).
Доказательство. Решение X} (t) уравнения
(2) запишем в виде
х‘(0 =	(0 + hlify + А + /2 4- 73,
где
А = J ]Klj(x -и)- JTj] fidu,
А=я|(Я|(х)-^х),
А = J (dHl (и) — h\ du) (К} (х - u) - К}).
О
308 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА (ГЛ. VIII
Из условий теоремы вытекает Ir k\h\, а из (34) полу-
чаем Z2 Kjb*. Далее, представляем /3 в виде Ц =
= 4 + 4, где
х/2
4 = J (dHi (и) - hi du) {К\ (х - и) - ^), 13 = 13- 13.
О
Используя (32), имеем при оо
|7iK sup \к}(х-и)-к}\1(ан1(и)-^аи\->о,
O^uCx/2	q
оо
|4к sup (|tf)(y)| + |Z;.|) f (dHi (и)-hi du RO,
0^1/<oo
откуда и вытекает утверждение теоремы.
Для изучения асимптотических свойств докритиче-
ских и надкритических уравнений восстановления исполь-
зуется следующий метод, позволяющий во многих случа-
ях применить доказанные выше теоремы для критических
уравнений. Подставим в уравнение (1) вместо функций
Х1т (х) и К1т (х) выражения
Х1т(х) = Х1ат (х) ехр ах, К1т (х) — К1ат(х) ехр ах,	(40)
где а — некоторый действительный параметр. Получаем
X
х1ат (х) = К1лт (х) + J Х*ат (х - и) dFlai (U),	(41)
о
где
Flai (х) = j ехр {—аи} d F\ (и).	(42)
о
Матрица Fa — || Flai ||, где Fh = Flai (оо), так же, как и
матрица F, неразложима и неотрицательна. Обозначим
Ra ее перронов корень. Функция Ra убывает по а. Вы-
берем а таким, чтобы
Да = 1.
(43)
§ 10]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 1
309
Для критических уравнений восстановления а = 0, для
надкритических а > 0. В докритическом случае корень
уравнения (43) не всегда существует. Если он существует
(а это мы всегда будем предполагать), то а<0. Таким
образом, при а, определяемом уравнением (43), система
(41) представляет собой критическое уравнение восстанов-
ления.
Отметим еще один результат, относящийся к докрити-
ческому случаю.
Теорема 7. Если в докритическом случае в урав-
нении (1) существуют пределы limК}(х) = К\ то суще-
Х-»СО
ствуют пределы lim Х}(х) = X} , которые определяются
X—*оо
формулой
=	i =	7 = 1,...,АГ. (44)
Доказательство. Из формулы (7) имеем

Д(0
Так как в докритическом случае A (t) не обращается в
нуль при действительных t, то lim А (0 = А (0)^=0 и
*->о
limXj(x) = limXj(0 = -Ar.
X—>оо	/->0	а
Теорема доказана.
§ 10. Асимптотика первых и вторых
моментов в модели 1
В этом параграфе мы будем предполагать, что функции
t
<.(O = Jaj(u)dGi(u)	(1)
о
абсолютно непрерывны. Тогда функции
t
Gla*j (0 = j* ехр {— аи} dG^ (и)	(2)
о
310 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
тоже абсолютно непрерывны. Будем предполагать, не
оо
оговаривая этого каждый раз, что всеЛ}= J а} (и) dG1 (и)
о
конечны. Обозначим Ra перронов корень матрицы
Ga,a = || Gat a, j |], ГД6 Ga, a, j = Ga, a, j (оо). ДвЙСТВИТвЛЬ-
ное число a в (2) выберем так, чтобы Ra = 1. Для крити-
ческого ветвящегося процесса a = 0, для надкритиче-
ского a > 0. В докритическом случае такое а может не
существовать. Если же такое а существует (это мы всегда
будем предполагать), то a < 0.
Ниже мы будем пользоваться следующими обозначе-
ниями:
оо	оо
М* = J w'dG* (u), Mlrj = j urdGlaj (и),
о	о
оо
М1т} = J	м{ = м1, м1а1} = М^,
о
М1	— м' .
ш аау
Займемся сначала математическими ожиданиями A*; (t).
Уравнение (6.7) можно с помощью обозначения (1) запи-
сать так:
t
4 (о = J 4 (t - и)deb («) + (1 - (О)-	(3)
о
Это уравнение восстановления такого же типа, как и
(9.1). Поэтому к нему можно применить теоремы, дока-
занные в § 9.
Рассмотрим сначала критический процесс. В этом слу-
оо
чае матрица А = || А} ||, А} = J a*-(u)dGl(u), имеет пер-
о
роиов корень R = 1 (напоминаем, что мы все время рас-
сматриваем неразложимые процессы). Обозначим в*, Vj
компоненты правого и левого собственных векторов, со-
ответствующих перронову корню R = 1. Имеем
А& = и\ = г>	(4)
§ 10]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 1
311
Выберем эти векторы положительными и нормируем так,
чтобы
uV = 1,	= 1.	(5)
Теорема 1. Если процесс — критический и
М1г < оо, М.г+1»; < °О, h j = 1, •••, n,
то при t -> оо
4(0 = 4+°(«1_г).
где г = 1 ила г = 2, а
"31 _
(6)
Доказательство. Уравнение (3) получается
из (9.1), если положить F* (х) =	(х), К} (х) = 6} (1 —
— Gx (х)). Утверждение теоремы следует из (9.36), (9.37)
и формулы (9.31), в которой DtK можно выразить через
собственные векторы (и1, ...» ип) и (рх, ..., ип). Это дела-
ется так же, как в конце доказательства теоремы 4.5.1.
Таким образом, подставляя в (9.31)D} = получаем
м._ “Ч
1 M'atu\
Используя еще равенство
(7)
оо
= J 6^ (1 — Cf* (0) =
о
завершаем доказательство.
Для исследования надкритического и докритического
случаев введем функции Alaj (t), положив
A] (t) = Aaj (t) ехр at,
где а выбирается указанным выше способом так, что
7?а = 1. Используя (2) и (3), получаем
t
(0 = J A*, (t - и) dG^ (и) +	(1 - G1 (0).	(8)
о
312 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Алгебраические дополнения в матрице Е — Gaa обозна-
чим Dai» Соответствующие правый и левый собственные
векторы обозначим ula, vaj. Мы будем предполагать, что
для них выполняются условия нормировки, аналогичные
(5). Применяя к уравнению (8) теорему 9.3, получаем сле-
дующие утверждения.
Теорема 2. Если процесс — надкритический, то
при t оо
Aj (t) — Aaj ехр xt,	(9)
где
J ехр {— au} [1 —	(u)] du
Aaj = ^UaVaj • -	—j	%	•	(10)
Теорема 3. Если процесс — докритический,
Ma*2j< оо и интегралы
со
J ter^df? (t), i = i,. •п,
о
сходятся, то справедливы формулы (9) и (10).
При доказательстве теоремы 3 надо провести рассуж-
дения, аналогичные тем, которыми мы пользовались в
доказательстве теоремы 8.4.
Перейдем к исследованию вторых моментов (/).
Далее^ мы] будем всегда предполагать, что все Вг^ =
оо
— J bjfc(u) dG1 (и) конечны. Уравнение^.8) для вторых мо-
0
ментов можно записать как уравнение восстановления сле-
дующим образом:
t
B}k (t) = J BljK (t - u) dG\i (u) + K}k (0,	(H)
0
где
t
(t) = J («) л* (Z - u) Al (t - u) dG* (u).	(12)
0

§ 10]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ 1
313
 Предполагается, что в (12) подставлены математические
ожидания Aj (t), найденные из уравнения (3).
Теорема 4. Если процесс — критический и все М\,
М\, Mali, конечны, то при t -> оо
В* (t) = B^t + о (<),
(13)
где
Di
В j* — о-----------------------
(Ма-г“Ту₽)3
В = BkmViU^u”*.
(14)
Доказательство. Уравнение (И) получает-
ся как частный случай уравнения (9.1), если положить
там В; (ж) = Gaj (ж). В уравнении (11) нижний индекс
у В^ (t) и Kjn (t) обозначен двумя переменными /, к в
отличие от (9.1), где индекс обозначался одной перемен-
ной. В силу теоремы 1, имеем
j к
Согласно теореме 9.5
«“Ч)2
1-014^(0=^,
4 i-*oo 1
где h\ определены в (7). Теорема доказана. Уточнением
теоремы 4 служит
Теорема 5. Если процесс — критический, все Мгг,
Mlarj для г = 1, 2, 3 конечны, и если сходятся интегралы
(u)dG' (и),
о
то при £ оо
(0 =	+ 0 (1),	(15)
где определяются в (14), а Вг^ — некоторые конс-
танты.
314 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА [ГЛ. VIII
Доказательство этой теоремы основывается на теореме
9.6 и теореме 1. Используются рассуждения из доказа-
тельства теоремы 8.10. Мы не будем их здесь повторять.
Для исследования надкритического случая положим
в (11)
(0	(0 ехр {2а0
и используем обозначение Azaj (0. Получаем
®2aJ,fc (0 “ J В 2а, j,lc (Z	и) dGa,2a,l (и) -J- K-ajk (16)
0
где
t
Ka& (0 = У Ь8ТИ (u) (t — и) Aak (t — u) exp {— 2au} dG1 (u).
0
Теорема 6. Для надкритического процесса
lim В}к (0 ехр {— 2a0 =
f—*oo
где
Ща.1 J tn (“) еХ₽ <- 2«“>	(“)
________0_____________________________
IЕ - ваЛа |
Aaj определены в (10), D2a,z — алгебраическое дополне-
ние к элементу, стоящему на месте (Z, 0 в детерминанте
| Е — Ga,za |» G‘at2a == || ^a,2a,j||» ^a,2aj = Ga,2aj(°°)«	|
Для доказательства этой теоремы используются тео-
ремы 2 и 9.7. (Надо использовать тот факт, что уравнение
восстановления (16) —- докритическое.)
И, наконец, в докритическом случае имеет место
Теорем а 7. Если в докритическом процессе конечны все
Ма1=У uer*u dG'(u), Маагр Г= 1,2,
о
У Ъ\ (и) er*udGl (и), Уubft (и) er*udGl (и),
о	о
§ 10]
АСИМПТОТИКА МОМЕНТОВ В МОДЕЛИ I
315
то
lim	= %,
f—>оо
где Sft — некоторые положительные константы.
Для доказательства подставляем в (И) B}k (0 =
= Bajk (О ехр {а/} и получаем уравнение восстанов-
ления
t
Baft (0 = J B^fa (t — U) dGal (U) + A'ajk (0,	(17)
0
где
^(0 =
t
=exp {at} Jb\m(u) Atj(t — u) A™k (t — u)exp {— 2au} dG1 (u).
о
К уравнению (17) применяем теорему 9.3. При этом при-
меняются рассуждения, аналогичные тем, которые были в
теореме 8.10.
Аналогичные результаты можно получить в случае,
когда функции Сщ (t) — /-арифметические.
ГЛАВА IX
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ВЕТВЯЩИХСЯ
ПРОЦЕССОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВОЗРАСТА ЧАСТИЦ
§ 1. Асимптотическое поведение вероятности
продолжения критического процесса
В этой главе мы будем изучать асимптотические свой-
ства модели 2, т. е. ветвящегося процесса с одним типом
частиц и с производящей функцией h (и; s) и функцией
распределения времени жизни G (Z). В этом случае, как
мы установили в § 8.1, производящая функция F (t\ s)
удовлетворяет уравнению
t
F (f; s) = J h(w, F (t - w; s))dG(u) + s(l -G(Z)).	(1)
0
Мы будем всегда предполагать, что G (+ 0) = 0. В соот-
ветствии с § 8.8 будем обозначать
Ь(«) = ^Й±) I
' '	US& ||
о
со
МЬп = § ипЬ (и) dG (и),
о
оо
= J undG (и),
о
' ' ds
z 4	d9h (u; s) I
c<“)=—
oo	oo	oo
A = J a {u) dG (u), В — J b (u) dG (и), C = J c{u) dG {u),
0	0“
oo
Man = j* a (u) undG (u),
0
oo
Mcn= Junc(u)dG(u), M,
Ma = Mal, M =
$ 11 АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЙ 317
Очевидно, что Ма0 = А, МЬй = В, Мсй = С. Мы будем
рассматривать здесь критический процесс, т. е. процесс
с 4 = 1, В > 0. В§ 8.3 было доказано, что такой процесс
вырождается с вероятностью 1. Найдем асимптотиче-
скую формулу для вероятности
Q (!) = р {р (0 > 0} = 1 - F (Г; 0)	(2)
продолжения процесса. Имеет место
Теорема 1. Если М3, С, Мъз и Мс2 конечны,
А — 1, В 0, то при t -> оо
е (0 =-ж5-(1 + о(1))-
(3)
Доказательство теоремы будет следовать из ряда лемм.
Заметим прежде всего, что из условий теоремы вытекает,
что Мп, Мап, МЪп все конечны при п — 0, 1, 2, 3 и Мсп
конечны при п = 0, 1, 2. Это следует из неравенств
Ъ (и) + 1 > а (и), с (и) + 2 > Ъ (и).
Ниже мы будем пользоваться тем, что согласно § 1.3
функцию h (и; s) можно представить в виде
Л(и; s) = 1 + а (и)(»-!) +	- I)2,	(4)
где 5 (и) при любом 0	1 удовлетворяет неравен-
ствам
0<Ь(и)-Б(и)<-ф-(1 -$).	(5)
Из (1), (2) и (4) получаем
t
Q (t)== Q (t—-и)а (и) dG (и) —
о
t
--|-p(u)e2(f-n)dG(u) + 1	(6)
о
где функция 5 (и) определяется формулой (4) при
s = 1 — Q (t — и).
318
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Сначала докажем вспомогательную лемму, к которой
в дальнейшем мы будем неоднократно обращаться.
Лемма 1. Если £ — неотрицательная целочислен-
ная случайная величина с двумя конечными положителъ-
ними моментами Mg ц Mg2, то
?!£><>}>		(Ч
Доказательство. Обозначим ЗРаЬ совокуп-
ность всех неотрицательных целочисленных случайных
величин с фиксированными первыми двумя моментами
М£ = а, Mg* = Ь.
Обозначим
ф(а, Ь) = inf Р{В>0}.	(8)
Пусть £ s SPab, Р {£ = лх) > 0 и Р {£ = Ла} > 0, где
лх > О, л2 > 0, Ла — лх > 1. Покажем, что тогда
Р {£ > 0} > <р (а, Ъ).
Обозначим рп = Р = л}. Введем случайную величи-
ну у которой р'п= Р {£' = л} = рп для л =£= лх,
Ла, лх + 1, Ла — 1 и
Рп, = Рп, 8» Pnt ~ Рт ®» Рп,+1 ~ Рп,+1 4” ®>
Pnt-1 = Рпг-1 + 8»	(9)
где в > 0 и достаточно мало. Нетрудно видеть, что М% —
= М$п
Mg'8 - Mg8 = - 28 (ла - П1 - 1) < 0.	(10)
Очевидно,
Р{£'>0} = Р{£>0}.	(11)
Далее, образуем случайную величину 5", У которой
Рп = р R" = п} = Рп ДЛЯ л =/= 0, лх, 2лх
и
Ро = Ро + б, Рп, = Рп, - 26, pan, = Ргп, + б,
§ 1]
АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ
319
где 6 > 0 выбрано так, чтобы Ъ,” ЕЕ SPab. Такое б можно
выбрать, если е в (9) достаточно мало, так как
Mg'2 - Mg'2 = 26nf.	(12)
Выбирая 6 = ?-^—21—1), получаем из (10) и (12)
ni
Mg'2 = Mg2 = b.
Таким образом, мы показали, что нижняя грань в (8)
может достигаться только для тех случайных величин g,
для которых
Ро + Рп + Рп'1 = 1
для некоторого целого п > 0. Для таких случайных ве-
личин первые два момента равны следующим выражениям:
d МРп ~Ь “1“ 1) Рп+1»	(13)
Ь = п2рп + (л + I)2 рп+1.
Обозначая q = рп + pn+1 = Р {g > 0}, мы можем пере-
писать (13) в следующем виде:
а = rtq -J- Pn+i»	(14)
Ь = n2q + (2л + 1) рп+1.
Решая систему (14) относительно q и рп+1 при фиксиро-
ванных а, b и л, получаем
& ““ ЛП	/л
Рп+1 = 7+Г’	(15)
„ _ а~рп-н _ (2* + 1)а-Ь _ ( 1	1 \ Ъ ,fi.
Ч~ п	л(» + 1)	— \ п	п +1 У~п(п+1) ‘ I1 4
Определим теперь п. Так как рп+1	0, то из (15) выте-
кает — . Так как рп+1 < q, то из (15) и (16) вытекает
п (Ь — an) <_ (2п + 1) а — Ь,
(п + 1) b < а (п + 1) а,
т. е. п + 1 > 4. Поэтому п =Г—1. Так так Ь > а,
320
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
то п > 1. Итак, вероятность
дает значение функции ф (а, Ъ) в формуле (8). Так как
+1, то из (17) получаем
а
1Г~
а "
откуда и вытекает оценка (7). Заметим еще, что оценку
(7) можно записать в другом эквивалентном виде
Г(Е>О1>4-м6К-1)	•	<18>
-2МГ +1
который и будет нами использоваться чаще всего.
Лемма 2. Если А = 1, 0 < В<оо, М и Ма конечны,
то существует такая константа сх > 0, что при всех
Q(t)>
Cl
*4-1
(19)
Доказательство. Пользуясь оценкой (18) в
лемме 1, получаем
w > 4-•—•	<20>
24(t) +1
В силу теоремы 8.7 существуют такие tQ > 0 и с2 > 0,
что В (t) c2t при всех £ > £0. Поэтому существует
с3 > 0 такое, что В (/) c2t + с3 при всех t > 0. Далее,
из теорем 8.1. и 8.2 вытекает, что A (t) с4 для неко-
торой константы с4 > 0, если t пробегает некоторую ре-
шетку nl, Z 0. Отсюда заключаем, что из неравенства
(20) вытекает неравенство (19), если t пробегает некото-
рую решетку nl. Так как Q (t) не возрастает по t, то (19)
справедливо (с несколько меньшей константой сх) при всех
t > 0. Лемма доказана.
$ 1] АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ 321
Представим теперь Q (t) в виде
^(<) = ^T-.	(2D
где т = 2^-. Подставляя (21) в уравнение (6), полу-
чаем
t
а (0 = Ро (0 + j (и) + Pi (*, и)] а (i - и) dG (и) —
о
t
— J Р2 (*> и)«2 (t — u)dG (и),	(22)
о
где
Ро («) = Tt(1 - C(t)) + j (а (и) - l)dG(u) +
О
t	t
. С ua(u)dG(u) Т<+ 1 f rhA dG{u)
+ rjT(«-«)+l	2 yW (T(t-u) + l)2 ’
0	0
Pl & u) = T(tLau)“+i - (T (t 2t) +1)25 (“)»	(24)
p2 (*’ “) = 2(Ut-u) + ly> •	C25)
Для оценки этих и аналогичных функций дальше нам
понадобятся следующие леммы.
со
Л е м м а 3. Если J ипк (и) dG (и) оо, где к (и) изме-
о
рима и неотрицательна, то при к п и оо
Ju4(u)dG(u)=o/-^T-'
11 Б. А. Севастьянов
322
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Доказательство. Утверждение следует из не-
равенства
оо	ОО
ип (и) dG (и) <\ ип% (и) dG (и) = о(-М.
t	t	'	'
со	оо
Лемма 4. Пусть J (и) dG (и) и J % (и) dG (и),
о	о
где X (и) измерима и неотрицательна, конечны,
s>°- (26)
J (б (* — и) + 1)
Если | <р (i) | L при всех 0 t < оо, то при t со
равномерно по 0 < б б0
*= ° (ет)+° ЬН 	(27)
Если кроме того, ф (i) -> 0 при t-+ оо, то равномерно по
О<б<бо
(4	\	/	1	\
5^) +’(-ft)-	<28>
Если еще предположить, что при t -> оо ф (t) = О (yj,
то равномерно по 0 < б б0
^’-Ч-^й+Ч-М	<29)
Доказательство. Для доказательства (27) ра-
зобьем (0 на два слагаемых и воспользуемся ограни-
ченностью ф(£)
Г (u) dG (и) I С (и) dG (и)
J (б(«-и)+ 1)т +	J2 (d (t-u) + 1)w
В первом слагаемом (30) воспользуемся неравенством

; 1] АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ 323
6 (t — и) + 1 > i (6f + 1) и тем, что при 0 к п
Сл
t/2	со	оо
j u*X(u)dG (u)< J X(u)dG(u) + junX(u)dG (u),
0	0	0
а во втором — неравенством 6 (Z — u) + 1 > 1 и лем-
мой 3.
Для доказательства (28) надо использовать тот же
прием, только при оценке интеграла
t/2
J икк (и) ф (t — и) dG (и)	(31)
о
надо воспользоваться тем, что ф (t) -+• 0 при £->оо.
Для доказательства (29) используем то, что интеграл (31)
можно оценить сверху как О (у). Остальные рассужде-
ния остаются без изменений.
Лемма 5. Если М2 и МЬ2 конечны, А = 1, 0 < В <
<оо, то справедливы следующие оценки при £->оо:
p.(<)=»(-f-)-
S|p.(».u) - ’У |дс(ц)= 0(4).-
о
S|p.(»,»)~ 2(Х) 1<ге(“>-°(-Н
о
(32)
Доказательство. Заметим прежде всего, что
из условий леммы вытекает, что все Мп, Мап, МЪп ко-
нечны при п = О, 1, 2. Первые два слагаемых в формуле
(23) легко оцениваются с помощью леммы 3, если при этом
учесть равенство
t	60
J (а (и) — 1) dG (u) = J (1 — а (и)) dG (и).
О	t
11*
324
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТВОРЕНЫ
[ГЛ. IX
Остальные слагаемые в (23) представим в виде
/	Ь (и)	\
Миа(и)--±-Мо)
J Т (< — ») + !	(“) +
О
+SHnr- >+<>dG <"> ~ -И «» ”<“) <33>
о	о
Так как
1	--	1	।_________Iff_____ (ЗАч
7(t-u) + l v + 1 UT«+l)(T(t-«O + l) ’ k '
то первое слагаемое в (33) можно записать в виде следую-
щего выражения:
^-Tj(ua(u)--^-3fe)dG(u) +
О
t ulua (и) — 2Иа)	~
+ ТТЛ J----7 («-») + !-<“) = тГП) (ua (w) “
А/\	\	va ' и2«(м)—-^иЬ(и) Л^а
- ма)dG(и) + -U J--------T(t-u)+l-----dG(u),
'	О
которое оценивается с помощью лемм 3 и 4 как о (у).
Далее, так как 5 (и) b (и), то второе слагаемое в (33)
неотрицательно. Кроме того, при t — и->- оо b (и) —
— Ь (и)	0, так как 5 (и) определяется формулой (4)
при s = 1 — Q (t — и), a Q (t) -► 0 при t -► оо. Поэтому
в правой части неравенства
t	<А_
А С Ь(И)— &(“)	С 6 (“) — Ь<“) Л/5/.А I
о <	+1^(ЦХ T(f_B) + rdG(“) +
0	О
( f Ь (и) dG (u)
+ J
t/2
$ 1]
АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ
325
первое слагаемое оценивается как
//2
о < С У
J т(« — к) 4-1	'
о
«/«
-------------------\ (b(U)-5(u))dG(u) = 0(l),
Ту + 1 о
а второе как
t/2	t/2
Последнее слагаемое в (33) с помощью леммы 4 оцени-
вается как о (у). Таким образом, мы доказали, что
р0(^)=оуу). Для доказательства следующей оценки
(32) представим выражение рх (t, и), определенное форму-
лой (24), в следующем виде:
п 7.\ __ W(“) — ь (и) ._____Tu2fl (и)___
РИ ’ и> Tt + 1	' (Т* + 1)(Т(*-и) + 1)
________V*b (и)______Ь(и)—Ъ (и) __ rub (и)
(T« + l)(T(t~u)+l) -ГТ(*-и) + 1	(Т(« —м) + 1)2 *
В силу (35), оценка интеграла
S]p.o. «>- т“*у(1,) |дсм
О
сводится к оценке четырех интегралов, каждый из
которых оценивается так же, как и выше, величиной
о (у). Для последней оценки (32) представим р2 (t, и)
из формулы (25) в виде
о а и\ _ *(ц) ।	Т (“)*(“)_____I
^’“'"гижг 2 (rt 4- 1)(т (t - u) +1) +
I ь (Ц) — ь (и)	| yub(u)
т2(Т((-и)'+1)Г2(т((-и)+1Г
326
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Тогда оценка интеграла
t
| Рг и) 2 (yt + 1) |
о
/ 1 \
равная о (— \, получается опять тем же путем, что и
выше.
Лемма 6. Пусть F (t) — функция распределения
неотрицательной случайной величины, а ф (t), ф (£),
X (и, t), 0	и^. t,— измеримые неотрицательные функции,
со
Ф (t) -> 0 при £->oo,	ty(u)dF(u) = ф < оо,
о
1 (u,t) > X > О при всех ОО t < оо. Пусть
ф (и, t) ^Сф (и). Тогда для любой измеримой / (/), удовле-
творяющей условию | / (i) | К, имеем
J (X (и, t) — ф (t) ф (и, t)) f (и) dF (и)
о
t
< К J (X (и, t) — ф (t) ф (и, t)) dF (и) -|- о (К<р (/)).
о
Доказательство. Обозначим множество
St = {и: X (и, t) < ф (t) ф (и, t), 0 и t}.
Тогда
t
У (X(u, t) — ф (t) ф (и, t))f(u)dP(u) =
о
t
= К У (X (и, t) — ф (t) ф (и, t)) dG (и) —
о
t
— У (X (и, t) — ф (0 ф (и, t))[K — f (u)] dF (и)
о
t
/С У (X (u, 0 — ф (0 ф (и, t)) dF (и) —
о
— 2К J (X (и, t) — ф (t) ф (и, t)) dF (и).
§ 1]
АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ
327
Утверждение леммы вытекает из неравенства
0>J (X(u, t) — <p(0i|>(u,	— <P(0 f $(“) dF (u),
st	S(
(37)
так как
5(G{w:
0J ip(u)dF(u)J ty(u)dF(u) = o(l).
Лемма 7. В условиях леммы 5 существует такая
конечная постоянная с2 0, что при всех t > О
<>(‘)<7$Г.	(38)
Доказательство. Утверждение (38) равно-
сильно тому, что в формуле (21)
lim зирофХ оо.
f—>о©
Предположим, что это не так. Пусть tn = пТ, Т > 0.
Обозначим Кп = sup a (£). Тогда найдется бесконеч-
ное число таких номеров п, что
Кп = max Km = sup a(i).
l<m<n
В силу определения Kh для любого 6 > 0 найдется такая
точка тп = тп (б), tn-! < тп < tn, что а (тп) > Кп — б.
Подставляя в (22) t = тп и пользуясь тем, что р2 (t, и) >
> 0, получаем
хп
кп—8<a(Tn)C f [a(w)-|-pi(Tn, «)]а(тп-и)Л2(и)+р0(тп).
о
(39)
Поскольку при 0 и тп справедливы неравенства
— 1 < а (тп — и)< Кп, интеграл в (39) можно с
328
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
помощью (32) записать в следующем виде:
Цр. (т.. «) - -g-.gb-/». ] «(т. - и)<Ю м +
о
+ $ [® (w) +	]а(тл - и) dG (и) =
О
= (tfn + l)0(±)+ j[a(u) 4-
О
(40)
Интеграл справа в (40) можно представить в виде
тп /	Ь(и)
Ц1 +	+ P ) а (тп ~ и) dGa (и),	(41)
о х	/
где dGa (и) = а (и) dG (и). К (41) можно применить лем-
му 6, если положить к (t, u) = 1, ip (t, и) = ip (и) =
= rw - 4^- > Ф(О = VTT > F w = G“ (0- Имеем
।[« (и) + ТМ7^УТ~~]а(т« “	(«)<
О
<К» '^[.(.| + ^W-ibW]jg(a)+„(_bT). (42)
О
Из (39), (40) и (42) получаем
ЯП-6<ЯП [а(и) +	+
О
+ 0(^т) + 0(<)- <43>
Нетрудно видеть, что соотношение (43) останется справед-
ливым, если в нем заменить справа тп везде на tn. Но в
этом случае правая часть не будет зависеть от S, поэтому
$ il
АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ
329
мы получаем неравенство
Кп С кп [а (и) +	dG (и) +
О
откуда в свою очередь, представляя интеграл в виде раз-
°° °°
С	С	С	в
ности \ = \ — \ и используя определение т = 2М -, по-
°	О	t„
лучаем 
или
что противоречит предположению безграничного возра-
стания Кп по некоторой подпоследовательности. Лемма
доказана.
Л е м м а 8. В условиях теоремы 1 оценки о в
(32) можно заменить на О
Доказательство. Метод доказательства тот
же, что и в лемме 5. Оценки слагаемых в (33) и интегралов
от слагаемых в (35) и (36) проводятся также с помощью
лемм 3 и 4, но при этом учитывается конечность моментов
более высокого порядка. Отличие состоит только в дока-
зательстве того, что
(«>
О
В силу (4) — (6)
О < b (и) — 5 (и) с (и) Q (t — и).	(45)
поэтому
t	_	t
о <<* С (u)	(и) х/г» /п\ С с (и) Q(* — u) J/» / \.
0<)H7-.UT+-1*G	J TG-iij + i
о	о
330
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
неравенство (38), доказанное в лемме 7, позволяет приме-
нить при оценке правой части (45) оценку (29) леммы 4,
которая дает О Лемма доказана.
Из лемм 7 и 8 вытекает, что в условиях теоремы 1 урав-
нение (22) можно записать в следующем виде:
«(0 = $ (а (»)+ —	)«(t - и) dG (и) -
О
-27Frnr$b(w)aa(<“M)dG(w) + °(^)- (46)
о
Доказательство теоремы 1. Предста-
вим а (/) в виде
<47>
и докажем, что (J (t) ограничено. Подставляя (47) в (45),
получаем неравенство
P(O<$[a(») +	X
о
(48)
Отношение логарифмов lOg (^(t —+ 2) можно представить
в виде
log (Т< + 2)_, .________уи_____„ . . ,,д.
log (Т (t - и) + 2) - + (Tt + 2)log (Tt + 2)
где /?,(м)>0 и при
Rt (и) = О ( (Tt + 2)2 iog (Tt + 2) ) ,
а при у и t
Rt (и) = О (log (yt + 2)).
§ 1] АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ 331
Отсюда следует, что при t -> оо
^t(u)(«(«) + T,{aff ~!&(Ц) )rfG (») -	• (5°)
о
Подставляя (49) в (48), получаем
№<$(«(«> + +
+ «1 («))?('-“) <»(*) + о	(51)
Пусть tn = пТ, Т > 0. Обозначим Кп = sup 0(0.
Предположим, что найдется такая последовательность
номеров п, что Кп ->оо. Тогда найдутся такие как угодно
большие п, что Кп = max Km. Применяя рассуждения,
КтпСп
аналогичные тем, какие были в лемме 7, и учитывая (50),
получаем из (51)
к- <	(‘ - Sirica) + »(£)) + ° (-^) 
откуда
jfw(l+o(l))<0(-^),
что противоречит нашему предположению.
Обозначим теперь
-Ln= inf 3(0
*П-1^«Я
и предположим опять, что для бесконечного числа номе-
ров п Ln = max Lm и Ln -> оо. С помощью (47) и (48) еле-
дующим образом преобразуем (46):
Р (1) = <„)+х
о
X [‘ + W + 2)£(t, + 2) + л.(ф<-«)да(и)+0(!Я .
332	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	8(ГЛ. IX
Из леммы 2 вытекает, что при всех i > О а (/) > —. 1 -]-6
для некоторого 6 > 0. Поэтому тот же прием рассуждений
приводит к неравенству
- Ln > - Ln(l - 2(T<n + 1) + (1 - б) 2(Ttn + 1) +
+ <>(£)) +°(^)
£n(6+o(l))<0(-^),
t. e. Ln не может стремиться к бесконечности. Таким
образом, р (t) ограничено. Итак, при t -> оо
9(i) = ^ + 0(TI^_),	(52)
т. е. мы доказали утверждение, более сильное, чем (3).
§ 2. Предельная теорема для критических процессов
Обозначим St (у) условную функцию распределения
( Ц, (t)	1
В этом параграфе с помощью некоторого усложнения ме-
тода доказательства теоремы 1.1 мы докажем следующие
предельные теоремы для распределения St (у) при t -> оо.
Теорема 1. Если М3, С и Мс3 конечны, А = 1,
В^>0 и если факториальные моменты А (0 = Mp (t)
и В (t) = Мр (/) (р(£) — 1) при / оо удовлетворяют
условиям
^(О-^ + Чт). В(<)-В^-< + В'+0(1), (2)
где В9 — некоторая константа, то
,lim5t(y) =	у>0.	.	(3)
•	t-*O0
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
333
I 2]
Теорема 2. Если Ма, С и Мс9 конечны, А = 1,
В 0 и если G (t) и Ga (t) — l-арифметические, то
при п -> оо
lim Sni (у) = 1 — е-«, г/ > 0.	(4)
П-мзо
Замечание 1. Для доказательства этих теорем
нужно условие (2) или аналогичное ему условие (8.8.12)
и (8.8.37) для Z-арифметических G(t)nGa(t). Однако в теореме
2 условия (8.8.12) и (8.8.37) не надо формулировать от-
дельно, так как они вытекают из условий теоремы 2
(в силу теорем 8.8.5 и 8.8.14). В случае, когда Ga (t) —
неарифметическая, для выполнения условия (2) надо по-
требовать еще, например, чтобы функция Ga (t) была
функцией абсолютно непрерывного типа (см. теоремы
8.8.6 и 8.8.13). Если а (и) = Л = 1 и Ь (и) = В, то А (/) s
= 1 и В (t) =	— 1 + о (1) и условие (2) выпол-
няется без каких-либо добавочных предположений (см.
замечание 8.8.2).
Замечание 2. Из условий теорем 1 и 2 вытекает,
что конечны Мп, Млп, МЪп, Мсп при п = 0, 1, 2, 3.
Для доказательства теорем 1 и 2 нам придется прове-
сти оценки, аналогичные тем, которые были в предыдущем
параграфе, но в более сложной схеме. Введем функцию
R (<; у) = 1 - F 0; 1 - у),	(5)
которая удовлетворяет уравнению
t
ЩИ у) = J (1 - h(u; 1 — R(t — и; y)))dG(u) + у(1 - G (0)
о
(б)
(для получения (6) надо подставить (5) в (1.1)). Далее,
представляя h (и; s) в виде (1.4), получаем из (6) урав-
нение
t
R(t*y) =J a(u)R(t y)dG(u) —
о
t
—5 («)/?* (i — w; y)dG(u) + y(i— G(t)),	(7)
0
334
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
в котором Ъ (и) удовлетворяет при 0 у 1, в силу
(1.5), неравенствам
О < b (и) - Ь-(и)	R(t-и; у).	(8)
Нетрудно видеть, что R (/; 1)= Q (t) и уравнение (7) пе-
реходит в уравнение (1.6), если у = 1.
Докажем сначала несколько лемм.
Лемма 1. При всех Z > О	1 имеет место
неравенство
<9)
где обозначено
2,г<у^ = у^г + '-	<10>
Доказательство. Пусть 0у1 фиксирова-
но. Нетрудно видеть, что функция
Ф (z) = F (Z; 1 — у + zy)
является по z производящей функцией распределения ве-
роятностей некоторой целочисленной случайной величи-
ны причем
М| = Ф'(2)Ь=1 = уЛ(0,
Р {^ > 0} = /?(/; у).		(12)
Применяя к g лемму 1.1 в форме оценки (1.18) и поль-
зуясь равенствами (11), (12), получаем (9).
Лемма 2. В условиях теоремы 1.1 существует та-
кое q < оо, что при 0 у 1 имеет место неравенство
R(f, у)<
ciA (t)y
(13)
которое выполняется при всех t 0, если Ga (t) — не-
арифметическая, и при t = nl, если Ga (t) — l-арифме-
тическая.
$ 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
335
Доказательство. Так как при 0 s 1
1 - Fit-	Pn(0s”<i - Ро (0 = <2(0
и
то
1 - F (t; s)< (1 - s) A (t),
R (<; у) < min {уA (0, Q («)}.
Пусть у = 2^~- Если yty 1, то
А а} и
( 'У yty + 1 •
(14)
(15)
(16)
Если xty > 1, то
A(t)y A(t)	1
yty 4-1 2yt -f-1 "" 2 т» 4- 1 ’
где c2 = 2 inf 4(0 ^>O. Как показано в теореме 1.1,
0С^<<»
неравенство
при t —> ОО. Поэтому из (16)
вытекает
Q(Ос3 ,
v \	3 т«у4- ! ,
которое вместе с (15) можно записать так:
min {у /1(0, g(0)<C4	>
где с4 = max {2, с3}. Из (14) и (17) вытекает
P(i; у)<с4	.
Пусть Ga (0 — неарифметическая. Тогда lim
i-*OO
=	0, откуда заключаем, что существует такое с5
что при всех t 0
^•«tcW + D.
(17)
(18)
W)
24 (J) t
о;
(19)
336
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Из (10) и (19) следует, что при всех 0<: у 1, /
Z (t; у) < (с5 + 2) (xty + 1),
откуда, в силу (18), вытекает (13).
Выразим R (t; у) через функцию a (t, у) следующим ра-
венством:
Щ У)=уЛ(0^+у“(<’у)).	(20)
Ниже, не оговаривая этого каждый раз, мы будем пред-
полагать в этом параграфе всегда, что 0 у < 1. Даль-
нейшие выкладки и рассуждения мы будем проводить
для неарифметической Ga (t). Случай /-арифметической
Ga (О рассматривается аналогично.
Л е м м а 3. В условиях теоремы 1.1 функция a (t, у),
определенная формулой (20), при всех f > 0 и 0 < i/ < 1
удовлетворяет неравенствам
где сх — некоторая конечная константа.
Доказательство. Утверждение следует не-
посредственно из лемм 1 и 2.
Подставляя (20) в уравнение (7), мы получаем
t
л (!• у) = Ро (t, У) + f Pl (t, и, y)a(t- и, у) dG (u) —
о
t
— J p2 (t, и, у) a2 (t — и, у) dG (и),	(21)
о
где
р-(^) - -1+^ <* -е (<»+тИ -
о
<22>
о
_ (f п iA — Z0;y)	— уй (и) (t — и) 1
Р1(*»М»У) Titfl Z(t — и.-,у)	Z»(t-u;y) J’
о (t и v}- Z{t'V) . to „ А'Ч-»)	f24)
Ра(Ь“»У)—	2 У Z»(t —»',») ’
§ 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
337
Лемма 4. Если при t -> оо имеют место соотно-
шения
Л(0 = л+о(4),
в (0 = BJ + в2 + о (1),	(25)
где At =	В, то при t —► оо и 0 jC и 4-
4w~^^ = l^-u + o(i);	(26)
zi {I) л (г — и)
кроме того, существуют такие конечные q, с2 > 0, что
для всех 0 и t
(27)
Доказательство. Первое соотношение до-
казывается просто. Второе получается из первого, если
О и . Если и > у , то воспользуемся тем, что
при всех t О
Л (0 > X > О,	В (0 < B[t + X
и
I B(t) _ B(t — u) I	( В (О B(t~u)\
|А(0 A(f — и)	t Л(0 ♦ А(« —
+д
А1 А1 А1
Лемма 5. В условиях теоремы 1 при t^-oo равномер-
но по 0 < у < 1 имеют место следующие оценки’.
Ро У) = О (	.
$ | Pi (t, и, у)-а (и) - (J^M) —
_____У Г 'а (“) л н ,д ( в W В (t - и) \
H(t)Z(t;y)L 2 71 “Ц Л(0 ~ A(t-u))~
- Ь (и) Л2 (t - w)] pG(u) = О ( (yf j) )
338
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
И
Яр2^’ и, у) - у 2(J(i)Z((t;	(u) = О((уД1)а ).
О
Доказательство. Ниже мы неоднократно бу-
дем использовать равенство
1_________1	 Z (С у) — Z (* -- и\ у)
Z(t-u;y)“ Z(Cy) Z(t\y)Z(t-u\y) ’
в котором
<29>
Пользуясь (28), запишем р0 (£, у), определенное равен-
ством (22), в виде следующей суммы:
5
Ро (О у) = Poi (0 + 2 Рок (О У),
к=2
где	,
Poi (0 = — 1 + 1	+ -Що"5 а	А^ — и)dG <“)’
Р02 (t,y) = у^ (1-G (0)4-
+ 2А (t)Z(f, у) 5 ("Щ" ~ A (t - u)’) а	Л^~ U)dG “
О
о
p..(<,rt=	^\7ZZ„( -° (“)л - “) (“>
О
’> = 2Л(02 (<: siS6 W Л!(‘ - “>[2 z’(?S)Z(!-«;'S?-
(Z(« —u; у)У J *
роь^’ ^)= 4щтг$(Ь(ц)~5(и))
$ 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
339
Выражение, стоящее справа в равенстве (22), представ-
лено в виде четырех слагаемых. Сначала разобьем чет-
вертое слагаемое на два, представив 5 (и) в виде суммы
& (и) + (5 (и) — Ъ (и)). Далее преобразовываем третье и
часть четвертого слагаемого с помощью формулы (28).
В р01 (t) входит первое слагаемое, часть второго и часть
третьего, которые не зависят от у. В р02 (t, у) входит часть
второго слагаемого, часть третьего и часть четвертого.
В р03 (t, у) входит оставшаяся часть третьего слагаемого;
Ро4 (*» У) и Роб (*, У) составляются из частей четвертого
слагаемого. Из уравнения (8.6.9) вытекает, что р01 (t) =
= 0. Запишем роа (/, у) в виде
Ро2^, у) = г/(!-<?(*)) +
t
о
t	t
- 24(t)Z(t;y) В (*“«)«(«)	(«) + $ Ь (u)A\t—u) dG(u)].
о	о
Воспользовавшись уравнением (8.6.9) для A(t), по-
лучаем отсюда
Рог(*, У) — У • 24» (t) ’ Z(t;y) +
t
+ алюгс;,)[я(0- $в(‘ - “)»(“><“) -
О
t
- Jb(u)A2(Z-u)dG(u)].
О
Выражение, стоящее в квадратной скобке, обращается в
нуль в силу уравнения (8.6.10) для В (t). Таким образом,
о гЛ — г/2	®	®	(30\
Рог(Ь У)— У |2А8(0 Z(i; у) ’
Так как 0 < Аг A (t) А2 < оо, 0 B^t В (t)
B2t + Ва < оо, Вх > 0, при всех t > 0, то найдутся
340
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
такие Cj, с2 > 0, что
(yt + 1)< z (0 у) < с2 (yt + 1)	(31)	'
при всех 0 у 1, J 0. Поэтому оценка
следует из (30), так как 1 — G (0 = о (Z-3) и t"1 =
= О ((yt + I)-1) при t-*- со. Оценки	4
Роэ(0 У) = (уД 1)2 )>	Р04 (*» у) = 0 ( (# + 1)2 )
получаем с помощью (29), (26) и леммы 1.3. Оценку
Ро8(0 У) = ^(-(5ГТ1?)
получаем также с помощью леммы 1.3, применяя предва-
рительно оценку (8).
Заменяя в (23) Z"1 (t — и; у) с помощью (28) и пред-
ставляя b (и) в виде b (и) + (Ь (и) — Ъ (и)), мы можем	•
записать рх (£, и, у) как сумму пяти слагаемых	«
4
Pi(0 и, у)= 2 Put (*»	У)>
к=о
где
Рю (0 и, у) = а (и) -%-~ц) +
+ у 1 1 A(t)Z(f,y)\		Га(u) A (t — и) .В (t) L 2 Uw		
Р11	«» у) =	tfa (и) A(t — и)	Г В(t)	B(t — и) 12	
		4A(t)Z(t; y)Z(t — u; у)	|.4(t)	4(t-u)J ’	
Р12 (*>	и, У) =	у2Ъ (и) A(t — и)	Г A(l)Z(f, y)Z(t — u; у) [	• B(t)	B(t — и) 1 .4(0	4(t-u)J’	4
Р13 (^»	и, у) =	tfA2 (* -— и)	[ 44(*)Z(«2/)Z(t- и; у) 1	- B(Q	B(t —и) 12 A (t)	A (t — и) J »	
Р14 (*»	и, У) —	&(«)—Ь(и) „ .	. A^jt — u)	.л», Z2 (t - и; у)	У> A (t)	•	.		У '
I 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
341
Оценки О	j для интегралов
J I p2fc (*> У)|Л?(И)»
О
А: = 1,2, 3, 4,
получаются аналогично тому,
для рОк(£, у). Из этих оценок
дение леммы, так как
как это делалось выше
вытекает второе утверж-
4
J I Pi & У) - Pio & u, y)\dG(u)^%§\plfc (t, u, y) | dG(u).
0	fc=10
Аналогичным образом p2 (t, u9 у) представляем в виде
суммы
3
Рг (*, и, у) = 3 Рал (*» «» У)>
fc=O
где
р2о(*, «» У)~
Рм(*, и, у) =
yb (и) A2 (t — и)
2A(t)Z(f,y) ’
^b(u)A2(t^u)
2A (t) Z (t; у) Z (t — и; у)
y*b(u) A2(t-u)
р22 и, у) - 8Л (е) z (f. 2й (t — и\ у)
\	&(«)—& (и)
р2з(*» у) b2A (t)
В — и) 1
A (t — и) J
В (t — и) I2
A (t — и) J

(33)
Далее получаем аналогичным приемом оценки
t
Г2 \
У*
I Ргк (?> У) I (и) — 0'(	1)2 ) » — ч
о
Последнее утверждение леммы вытекает из неравенства
t	з t
f I Pa & u9 y) - p20 (t, щ y)| dG (u)< 2 JI P2fc (*, u9 y) | dG(u).
342
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Лемма 6. В условиях теоремы 1 при t оо равно-
мерно по 0 < у 1
t
а (Л у) = J Рю м» у)а {t — V)dG (и) —
о
-	5 Рг» (*, У) G - «» У) dG (и) + О ((у<^1)2), (34)
О
еде Рю У) и Р20 (*> У) определены формулами (32)
и (33).
Доказательство. Уравнение (21) можно пе-
реписать в форме (34), пользуясь доказанной в лемме 3
ограниченностью a (t, у) и оценками леммы 5.
Далее нам удобно будет заменить a (t, у) на новую
функцию
₽(*, У) у) log W (t; у).	(35)
где
W(t-, y) = t + А.	(36)
Из (34) получаем
t
₽ (t, у) = 5 Рю (t, и, у)	3 (t - w; у) dG (u) -
О
-	J P20 (t, u, y)a(t — u, y) \Og	I*(Z-W’ У>> dG
0
Лемма 7. В условиях теоремы 1 существует такие
О < q < с2 < оо, что при всех t > 0 и 0 <Zy 1
ctW(f, y)^^L^c2W^ у).	(38)
Доказательство. Ив теорем 8.8.1 и 8.8.7 вы-
текает существование таких положительных конечных
констант Alt Aa, Blt В2, В3, t0, что при всех t > О
Ai < A (t) < А2, О^В (t) < B2t 4- В3 (39)
$ 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
343
и при всех t > t0
В J В (t).
(40)
Неравенства (38) получаются элементарным путем из
определения функций Z (t; у) и W (/; у) и неравенств
(39), (40).
Лемма 8. Если и W (t; у)/2, то
и
logW(t; у) _ 1 I____________“_________। r (и i v\ /л 4 \
logW (t- u; у) ~ 1 + W(t; y)logW(t; у)	’ yh
где 0 r (u, t, y) c^/W2 (J; y) log2 W (t; y), ct^> 0.
Если 0 и t, mo
n log W(t; y)	log W (<; y)	.,
log W (t - u; y) log 2	•
Доказательство. Отношение (41) можно пе-
реписать в виде
log W (Г. у) __________1____
log W (t — и; у)	1	( и \ ’
*+ bgw М1- W~)
и 1
где W = W (I; у). Разлагая при jy у логарифм,
получаем
log W(t; у) ______1________
log W (t — и; у)	1	/ и \ ’	' '
1 ~ log W \ W + Г1)
где 0 rx (^j2- Далее разлагая правую часть (43)
по формуле = 1 + х + О (х2)при х =	+ гх)’
получаем (41). Неравенство (42) тривиально.
Лемма 9. В условиях теоремы 1 функция 0 (Z, у),
определенная равенством (35), ограничена при всех t > 0,
0 < у < 1.
Доказательство. Пусть tn = пТ, Г > 0.
Обозначим 8 достаточно малую положительную величи-
ну. Обозначим уп ближайший к нулю положительный
корень уравнения

(44)
344
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Ниже мы будем пользоваться тем, что уп -> 0, и сущест-
вует такое > 0, что при всех п 1 справедливо нера-
венство
В силу теоремы 1.3.1 при любых < > 0 и	1	।
имеет место разложение	I
Я(С у)=1М(0--£в(О + ^у3,	(46)
где 0 < О (0 С (0, а С (t) —третий факториальный мо-
мент р(0. Согласно § 8.6 С (t) удовлетворяет уравнению
восстановления	;
t
С (t) = J С (t — и) а (и) dG (и) 4-
о
t	t
+ 3 J b (и) A(t — и) В (t — u)dG(u) -}- J c (u) A* (t—u)dG(u).
о	о
Поскольку B(t) = О (0, то в силу § 8.7 получаем отсюда i
С (t) = О (Р), <-*• оо. Поэтому (46) мы можем записать
следующим образом:
В («; у) = уА (0 -	4- О (уЧ*).	(47)
Если е в формуле (44) достаточно мало, то при всех у уп
и t tn имеет место разложение	?
—f#2— = уА & -	+ 0	<48>
. . п	в а) 1
(8	0 выбираем, например, таким, чтобы у
при у уп, t tn; это всегда можно сделать, так как
в силу (39)	= (9(0). Из (20), (35), (47) и (48) сле-
дует, что при t < tn, у ^уп
2	*
₽ (0 У) = О {уЧ^ log W (t-, у)) = О (уЧ^ log ±) = О (1),
$ 2]
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
345
2
так как у2/2 log — ограничено при у <2 уп, t ^tn п
при всех п в силу выбора уп.
Разберем теперь случай t tn и у > уп. Обозначим
Кп = sup |р (t, у) |.
Уп<У<1
Предположим, что вопреки утверждению леммы найдется
такая последовательность чисел п, что Кп -> оо. Тогда
найдется такая бесконечная последовательность чисел
п -> оо, что
кп = max Кт	(49)
и либо при всех таких п
Кп — sup Р(«, у),	(49')
vn<v<l
либо при всех таких п
Кп=- inf ₽(<,?).	(49")
Предположим, что осуществляются соотношения (49) и
(49'). Отбрасывая в (37) отрицательное слагаемое, имеем
неравенство
t
₽(«, !/)<$ Рю(*. и. У)	3(< -	у) dG(u) 4-
О
+»(W W
Пусть б >• 0. Тогда при каждом п существуют такие
t’n = tn (6) и Уп = Уп (б)> ЧТО tn-i < tn < tn, уп^у'п<
<1 и
3 (^п, Уп) Кп — б.
(51)
346
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Из (50) и (51) вытекает
г f
Рю (*п, и> Уп) aWr/t' —?(^» ~ w» Уп) dG (и)
J	log PF (tn — и; уп)
1о«<)	/52)
. (И^ Г
где
W'n=W(tn, у’п).
В силу (49) и (49') при всех 0 и tn
Р (^п ~ W» Уп) А-п*
Разобьем интеграл в (52) на сумму двух интегралов
Г	*	f
*П	*П	*П
i =i + j =л+л»
о	о	*
fn
где
*п = min | tn,	.
Так как
£»
то в интеграле Л мы можем воспользоваться соотно-
шением (41) в лемме 8 и получить
i .	.	.	,	f к X
= \ Рю (^п» и, уп) 3 (<п — и> Уп) dG (и) О I ,	—г | .
’J	V^n^K^n/
(53)
§ 2]	ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
347
Далее в J2 воспользуемся оценкой (42) и леммой 4. Полу-
чаем
Р10 (^п» W» Уп) 3 (tn — ut Уп) (w) + О	—
*п
(54)
(эта оценка тривиальна при t* — tn).
Из (53) и (54) вытекает
4
Л4*Л = Рю(*п» «, УпУМ'п — U, y'n)dG(u) +
о
+0 ( ,	. (55)
Подставляя в (52) оценку (55), имеем
, , 4	,	, ,
Кп -- б 3 (£П, Уп) J Рю (^п, Ul Уп) Р (^П — и9 Уп) 3G (и) +
О
4-о( ,Кп ,) 4-Ор-^^)- (56)
\irniogirnM \№п)Ч v
К интегралу в правой части (56) применяем лемму 1.6,
t
полагая в ней F (t) = С а (и) dG (и), X (u, t) —
о
1|> (и) = (\и + С2, <р (t) =	,
4b /и п = 1 ГЛ (t ~ ц) (В^ — g ft ~ “)) _ ь(“) Л2 (#—и\1
1*5' ’ ' A (t) [ 2 \^4(t) A(t—и)) а (и) ( W'J*
Получаем
4	, ,к
С Р1о(<п» w, yn)dG(u) -|- о I Г " —) 4-
0	\ " Ип’ Уп> '
+ О ( -7-2—4- о . (57)
\WnloglTn/T кОГ^/ v
348
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Обращаясь к (26), (27) и (32), имеем
п
5 Рю(*п, и,
О
а(И)Л(*;-ц) /B(tJ _ B(tn-U)\
2 М(О Л0п~ «)/
— Ъ (и) A2 (tn — и)I dG (и)
yj
Уп / ВМ*
A(t^Z(t'n;V'n) \ 2М1
(58)
Из (57) и (58) следует
л	уп I вм* , ,.Л .
1-----; — I------— 4- О (1) I 4-
Z(tn; у„) \ 2Ml	'7
+ О —--------г ) + О ( -А-2
\TFnloglFn/J	\
В силу леммы 7 (59) эквивалентно неравенству
п
Кп-8^Кп 1
_ Со 'j । о (logTF"^
К Г \ W'n? '
(59)
•	2
где с0 > 0. Так как /п_, + 2 Wn^tn + — t то пра-
Уп
вую часть можно оценить независимо от б, поэтому и слева
можно положить 6 = 0. Таким образом, имеем
' [а____Со
п I *	О
I ‘-+т
log(Vx+2)
(^1 + 2)3
откуда следует (см. (45))
что противоречит предложению Кп 00 •
S 21
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
349
Предположим теперь, что Кп —оо и выполняются ус-
ловия (49) и (49"). Перепишем уравнение (37) в виде
№ = [р»«, ».	х
О
X ‘у;» 3 (| _ „) во („)+о
log W (t — u\ у) r'	7 v 1 1	\ VP (t; y) f
Производя аналогичные оценки, мы приходим сначала к
неравенству
Рю (^n, и, Ур) —
о L
Уп b (и) а (4 — и) А* (tn — и)
y^A(Q
(и) -|-

(61)
где £n-i tn tn, уп уп 1, И» — И (in> Уп)« Де-
лее поступаем так же, как мы это делали, получая из (57)
оценку (60). Единственным новым моментом в этих оцен-
ках является то, что мы должны пользоваться неравенст-
вом a (t, у) > —из леммы 3. Таким образом, от (61)
мы приходим к неравенству
-*п + 6>
МВуп
2MaZ(t'n, уп)
ВМуп
4MaZ(tn, уп)
log^n \.
(Ю« У
Отсюда получаем
0<Cotfn<o(12p),
т. е. Кп не может стремиться к бесконечности. Лемма до-
казана»
350
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
Доказательство теоремы 1. Преобразо-
вание Лапласа закона распределения (1) равно
тЛ\-> Л («; 1 - ехр {- KQ (*) 4-1 (t)})
<Р< W “ 1---------Q(Tj-------•
Из леммы 9 вытекает, что при всех t >0, 0 < у 1
л« •’) = втт	(1+°(—Г-пи-П•
Полагая у = 1 — ехр{— KQ (Z) A-1 (t)} и пользуясь асимп-
тотическими формулами (1.52) и (2), получаем при всех
%>0
11шФе(Л)= *-1^,
1
что и доказывает теорему, так как есть преобразо-
вание Лапласа показательного распределения.
§ 3. Асимптотические свойства д ©критических
и надкритических процессов
В этом параграфе мы будем всегда предполагать, что
существует решение а уравнения (8.8.1). Как известно,
если это решение существует, то в докритических процес-
сах, т. е. при А < 1, оно отрицательно.
Теорема 1. Пусть ветвящийся процесс — докри-
тический. Если Ga (t) — функция распределения абсолют-
но непрерывного типа и интегралы
] te~atdG(t), J ta(t)e~atdG(t),
о	о
J b(i)e-“'dG(O, J tb(t)e~atdG(t)
о	о
сходятся, то при t -> оо вероятность продолжения процес-
са представима в виде
l^(0=P{p(O>O}~^oe“/,	(1)
где Qq — некоторая положительная константа.
§ з] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ	351
Доказательство. Вероятность Q (t) удовлет-
воряет уравнению (1.6). Полагая в нем Q (t) =	(t)
получаем
t
@о(О= J “ u)a(u)er*udG(u) —
о
t
“"Г S 6в(t)). (2)
6
Из общих теорем § 8.2 следует существование и единст-
венность решения @о(0 уравнения (2). Подставляя это ре-
шение во второе слагаемое правой части (2), получим урав-
нение восстановления
t
(?o(O“J Qo “ U) dGat а (и) + L (£),	(3)
о
где
t
Gata(t)= § e~aua(u)dG(u),
о
t
L(t) = -	eat^b (u) Q* (t-u) e~™ dG (u) + <r“' (1 —G («)).
0
(4)
Покажем, что L (i) €E (О, со). В теореме 8.8 доказано,
что e~at (1 — G (0) G= (0, oo). Кроме того, из той же
теоремы и неравенства Q (t) A (t) вытекает ограничен-
ность Qo (<)• Так как 0< b (н)< Ь (и), то первое слагаемое
в правой части равенства (4) не превосходит
t
Keat j e-2“«b(u)dG(u),	(5)
о
где К 0 — некоторая константа. В теореме 8.8.4 до-
казано, что функция (5) также принадлежит £х (0, оо).
Таким образом, к уравнению (3) можно применить теорему
8.7.8, из которой вытекает (t) -> Qq при оо. Для
352
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. IX
того чтобы показать, что Qo 0, воспользуемся неравен-
ством (1.20), в котором A (t) и В (t) асимптотически оце-
ним по теоремам 8.8.1 и 8.8.7. Получаем
240
Теорема доказана.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 условный закон
распределения
R {р (<) = к | р (0 >0}	(6)
при / оо сходится к предельному.
Доказательство. Доказательство аналогично
предыдущему. Сначала, сводя уравнение (2.7) для R {t\ у)=
= 1 — F (t; 1 — у) к уравнению восстановления, можно
показать, что при t -> оо равномерно по 0 < у 1
R(K у) = Яо (у) е®'(1 4-о (1)),	(7)
где R. (у) > 0, 0 < у 1. Для доказательства положи-
тельности 7?0 (у) надо использовать неравенство (2.9} и
теоремы 8.8.1 и 8.8.7. Производящая функция распреде-
ления (6) равна
, /?(<; 1-»)
<?(0
и, в силу (1) и (7), сходится равномерно по 0	1 к
предельной производящей функций
. _ Яо(1-з)
<?0	•
Теорема доказана.
В случае, когда G (t) и Ga (/) — обе /-арифметические,
имеют место утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2.
В надкритическом случае имеет место следующая
Теорема 3. Если процесс — надкритический, Ga (t) —
оо
неарифметическая, интеграл Jb(u) е~2ам<М1(и) коне-
о
§ з] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОЦЕССОВ	353
чем, то случайная величина = ц (О е~а< сходится при
t -> оо в среднем квадратическом к пределу. Преобразова-
ние Лапласа ср (1) закона распределения предельной случай-
ной величины удовлетворяет уравнению
<р (А>) = J h (и; ф (Ле-“«)) dG (и).	(8)
о
Доказательство. С помощью теорем 8.8 и 8.11
получаем, что при t -* оо равномерно по т > О
М(В(+т-^г->о.
Отсюда следует сходимость в среднем квадратическом
Полагая в уравнении (8.1.9) а = e*Xe~“t и переходя к
пределу по t -> оо, получаем (8), так как из только что
доказанной сходимости в среднем квадратическом следует
F (t; е-^^фСХ), Х>0.
Теорема доказана.
Аналогичный результат имеет место для случая, когда
Ga (0 и G (0 — /-арифметические.
12 Б. А. Севастьянов
ГЛАВА X
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
§ 1. Описание модели
Пусть частицы л типов ..., Тп диффундируют в од-
носвязной ограниченной открытой области G г-мерного
евклидова пространства с достаточно гладкой поглоща-
ющей границей dG. Для точек из G мы будем применять
векторное обозначение х = (х19 ..., хг). Предположим, что
плотность вероятности р* (х, у, t) положения частицы ти-
па Ti в момент t, если она начинает свое блуждание в мо-
мент 0 в точке х, удовлетворяет уравнению
= D1 + ... + —= Z/Ap1	(1)
с начальными и граничными условиями
Р* (*, У, 0) = 8 (у - х), р* (х, у, t) = 0,	(2)
где 6 (х) — дельта-функция. Мы будем предполагать, что
все коэффициенты диффузии D1 положительны.
Далее из этого процесса блуждания получим новый
процесс, сократив время жизни каждой частицы. Предпо-
ложим, что каждая из частиц независимо от своего
положения" внутри (?, происхождения/возраста и других
частиц за время &t -> 0 с вероятностью к1 At + о (А£)
превращается в совокупность других частиц или исчезает.
Таким образом, время жизни Txi частицы типа Ti9 начина-
ющей свое блуждание из точки з: G С, равно
т^== щт{т^,	(3)
§ 1]	ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ	355
где случайные величины и независимы, причем
имеет плотность t > 0, a xXi — это время блужда-
ния частицы из точки х & G до поглощения на границе в
первоначальном процессе.
Обозначим Ра, а = (ах, ...» ап), условную вероятность
того, что частица типа Ti превращается в совокупность ча-
стиц, состоящую из ахчастиц типа 7\,..., ап частиц типа Тп
при условии, что какое-либо превращение совершено. Мы
будем предполагать, что вероятности Рга не зависят от
времени, происхождения, возраста и положения превра-
щающейся частицы и от наличия других частиц. Будем
предполагать, также, что все вновь образуемые частицы на-
чинают независимо друг от друга эволюционировать по
описанному выше закону из той точки, в которой произош-
ло превращение.
Введем производящие функции
A1(s) = 3p>,	(4)
а
/1(s) = A‘(Zii(S)^?),	(5)
где s = («*, .... ?”)•
Функции	hl(s)	являются производящими функциями
многомерных	распределений вероятностей,	а	функции
f(s) представляют собой производящие функции для плот-
ностей вероятностей перехода (если а =/= (6J, ..., й„), то
за время AZ 0 частица типа Г/ с вероятностью 4-
+ о (AZ) переходит в совокупность частиц, характеризу-
емую вектором а).
Поскольку в этой главе мы будем изучать главным об-
разом условия вырождения процессов, нам удобно будет
вести счет времени по поколениям частиц. Первоначальная
частица составляет нулевое поколение. Все частицы, по-
явившиеся в конце жизни частицы нулевого поколения,
составляют первое поколение. Положением частиц первого
поколения будем считать место их рождения. Предполо-
жим, мы уже определили частицы m-го поколения. Каждая
из этих частиц начинает свое блуждание из точки, где она
родилась, по описанному выше закону. В конце своей
жизни она производит частицы (т + 1)-го поколения или
12*
356
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
погибает (в частности, поглощается] на границе dG). Поло-
жением частиц (т + 1)-го поколения будем считать место
их рождения. Обозначим Ргта (х) вероятность того, что
частица типа Ть находящаяся в начальный момент в точке
ж G G, через т поколений превратится в совокупность
частиц, характеризующуюся вектором а. Введем произво-
дящие функции
Fm (#» $) = 2 Fт* (*^)	& == 4, . . . , Ю, (6)
а
которые иногда будем записывать в векторной форме
Fm(x\ s)^{F1m(x; $),..., П(*; ^)).
Ниже мы получим рекуррентные формулы для произво-
дящих функций (6). Предварительно, однако, нам нужны
будут некоторые понятия и обозначения, относящиеся к
блужданию частиц без ветвления. Обозначим
К1 (х, у) = ]pl (х, у, t) к1е-^ dt.	(7)
О
Функция у) является плотностью точки 2/ G G, в
которой происходит превращение частицы типа на-
ходившейся в момент своего рождения в точке х G G.
Так как J i/)dy<l, то
G
gi{x)=i — ^Ki(x1y)dy	(8)
G
равно вероятности того, что частица типа находившаяся
в начале своей жизни в точке ж G G, поглотится на грани-
це dG, не успев превратится в другие частицы внутри обла-
сти G.
Решая уравнение (1) с условиями (2) методом Фурье,
получаем
со
р1 (*, У, 0 = 3 e~D^mt Фт И Фт (J/)»	(9)
т=1
§ 11
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
357
где <pm (х) — нормированные ортогональные собственные
функции (Jq>m (х)	(х) dx == 6mA) и 0 <	< Х3 <...
'ь
— собственные значения следующей задачи на собствен-
ные значения:
Д» + Ь = о, V |^0о = о.	(10)
Мы предполагаем, что область G такова, что задача (10)
имеет решение. Известно, что в этом случае первая собст-
венная функция ФхСгг) положительна в области G.
Подставляя в интеграл (7) ряд (9) и интегрируя его
формально почленно, получим для К*(х, у) следующее
формальное разложение:
J2 лЧЖГ<Рт (х) (₽’п (г/)’	(11 >
Пример 1. В случае г — 1 область G есть интервал
(0, Z), а граница dG состоит из двух точек ж = 0иж=/.
Задача на собственные значения (10) превращается в за-
дачу
g + b = o, p(O) = v(Z) = O, (12)
решением которой будет
л л- л ? к ч 2 • лл
к = ^г«2» фп(я) = )/ -j-sin-j-
Формула (9) для плотности р' (х, у, t) запишется в виде
р* (х, у, t) = У ехр/ — Dl »»2j|ysin^xsiny^y. (13)
В формуле (7) для К1 (х, у) мы можем заменить р* (х, у, t)
на ряд (13) и почленно проинтегрировать. Полученный ряд
°°	i
х V &	2	. тл	. тл	/у|/ч
К У) — 2л----------•----• “т sin -г- х sm -т- у (14)
m=l	i Dn*mi	1	1 I
k +	/5
абсолютно сходится.
358
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
Обозначим расстояние между точками л и у
/ г
р (•*»у) = У 3 (xt - у У •
Имеет место
Теорема 1.
1)	При г = 1 К1 (х, у) непрерывна при х, у е G + dG.
Каково бы ни было 6	0, функция Кг (х, у) непрерывна
для тех х, у EzG, для которых р (х, у) S.
2)	Имеют место следующие оценки;
„i	(O(|logp(a:, у)|)	при г = 2,
у) — 10 (р2_г	у}}	при г з
3)	Ряд (11) является рядом Фуръе для К1 (х, у) по сис-
теме собственных функций {<рп (х)}.
Доказательство. Случай г = 1 вытекает из
формулы (14) в примере 1. Непрерывность при р (х, у) > д
и оценки 2) можно получить, оценивая в (7) подынтег-
ральную функцию р* (х, у, 0 с помощью неравенства
Р* (X, у)
р1(х, УЛ<-(п£Ч}ф с Dit , x,y^G.
Справа в этом неравенстве стоит плотность координаты
частицы типа блуждающей в евклидовом г-мерном
пространстве. Утверждение 3) получается из равенств
У X1 (ж, у) фга (у) dy = J <рт (у) dy J р1 (х, у, t) k'e~*4 dt =
G	GO
оо
= У к'е'*'* dt У р* (ж, у, t) фто (у) dy =
О	G
= С /cte“('£i+cixn»)' dt • ф (х) = —:—— ф (х).	(15)
J	' к1 + DlXm m v
(Перестановка порядка интегрирования здесь возможна
по теореме Фубини.)
s 2] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 359
Замечание 1. Из равенства (15) следует, что ин-
тегральное уравнение
<р(х) = А Ja‘(x, у)ч(у)Лу	(16)
имеет собственные функции фт (х) и собственные значения
(17)
Замечание 2. В силу теоремы 1 вероятность g* (х)
поглощения частицы на границе, определенная формулой
(8), непрерывно зависит от я е G.
§ 2. Уравнения для производящих функции
Производящие функции Fm (ж; 5), определенные фор-
мулой (1.6), удовлетворяют следующим рекуррентным соот-
ношениям!
f’k+i(«; s) = J А* (ж, у) hl (Fm (у; $)) dy + g1 (х),	(1)
G
Fz0 (х; s) = s\ х& G,	(2)
где К'(х, у) и g*(x) определены формулами (1.7) и (1.8)
Рекуррентные соотношения (1) получаются с помощью
условных математических ожиданий. В силу формулы
(1.3.18), дающей производящую функцию суммы случай-
ного числа независимых случайных величин, hl (Fm (у; $))
есть производящая функция числа частиц (т + 1)-го по-
коления при условии, что первоначальная частица не по-
глотилась на границе, а испытала превращение в точке
у EzG. Если же первоначальная частица поглотилась на
границе dG, то в любом последующем поколении частиц нет
и соответствующая условная производящая функция равна
1. Осредняя эту условную производящую функцию по
распределению координаты первоначальной частицы в
момент ее превращения в области G (плотность этого рас-
пределения равна К1 (ж, у)) и по вероятности поглощения
g\x), приходим к равенству (1). Равенство (2) вытекает
из начального условия.
360
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
В случае, когда имеются частицы лишь одного типа,
мы не будем писать индекс i в производящих функциях
(х\ s),h (s), в плотности К (ж, у) и в вероятности погло-
щения g (х). Обозначение 5 в этом случае относится к ска-
лярной, а не векторной величине. В этом случае (1) и (2)
записываются в следующем виде:
Fm+1 (х; s) = J К (х, у) h (Fm (у)) dy + g (х),	(3)
G
FQ s) = s, x^G.	(4)
Выведем еще уравнения для производящих функций
tfS)	О А	(5)
а
F (ж, t; s) = (F1 (ж, t\ s), ..., Fn (ж, t; s))	(6)
вероятностей Рга (x, t) того, что частица типа находя-
щаяся в момент времени 0 в точке ж Е G, к моменту вре-
мени t превращается в совокупность частиц, характери-
зуемую вектором а. Эти производящие функции удовлет-
воряют системе нелинейных интегральных уравнений
t
Fx (х, t\ s) = J du J p1 (x, y, u) k'er^h' (F (y, t — u\ s)) dy +
0 G
+ J px (ж, у, t) dy + 1 —	1 J pl (x, y, I) dy —
G	G
t
— J du j px (x, y, u) kxe~*iudy, (7)
о G
где pl (x, y9 t) — плотность координат диффундирующей
частицы типа Ть удовлетворяющая уравнениям (1.1), (1.2).
Уравнение (7) также выводится с помощью формулы пол-
ной вероятности. Первоначальная частица за промежуток
времени [0, d может иметь следующую судьбу. С плот-
ностью вероятности р*(х, у, и)№е-*ги в момент времени
0 < и <С t в точке y EzG частица испытает превращение;
§ 2] УРАВЙЕЙИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ 361
с вероятностью J У. t)dy за промежуток [0, d
G
частица не испытает превращения и не поглотится на гра-
нице dG, т. е. частица будет продолжать в момент времени
t блуждать в области G и, наконец, с вероятностью
t
1 _ e-k1» J pi (xt у, t'j dy — J du j pi (x, y, u) rfer*** dy
G	0 G
частица за промежуток времени [О, d поглотится на гра-
нице dG. В первом случае условная производящая функ-
ция равна Л1 (Р (у9 t —	$)), во втором случае — s , и,
наконец, в третьем случае — 1. Осредняя эти условные
производящие функции по описанному выше распределе-
нию, получаем уравнение (7). «й
Из уравнения (7) можно получить уравнение в частных
производных
(х, t, s) + f (F)	(8)
с начальными и граничными условиями
F (х9 0; 5) = s, F (xt t\ s) = 1.	(9)
Уравнение (8) получается из уравнения (7) следующим об-
разом. Сначала в первом и последнем слагаемых справа в
(7) заменим переменную интегрирования и на t — и. Далее
дифференцируем получающееся уравнение по t. Слева
получаем а справа у нас будет дифференцирование
по t трех видов. Во-первых, в каждом слагаемом, от-
личном от константы, надо дифференцировать либо
р* (ж, у ,$)• либо р\х9 у, t — и). В результате этого диффе-
ренцирования, в силу уравнения (1.1), получаем слагаемое
г
D'&F(х, t; s), где Д = 2 “а ~ оператор Лапласа. Далее, в
k=idxk
каждом слагаемом, кроме 1, имеется множитель
Соответствующее дифференцирование дает слагаемое
—Л» (F* — 1). И, наконец, в двух слагаемых надо продиф-
362
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
(ГЛ.Х
ференцировать интегралы по верхнему пределу. Получаем,
учитывая (1.2), в одном случае kV (F (х, t', $)) и в другом
случае — к*. Сумма всех этих членов справа дает урав-
нение (8), если воспользоваться еще соотношением (1.5).
В частном случае, когда все частицы однотипны, урав-
нение (8) записывается без индексов
(х, t; s) + f (F),	(10)
а начальные и граничные условия можно записать так же,
как в (9), понимая при этом s и F s) скалярио, а не век-
торно.
§ 3. Математические ожидания
Обозначим А} (х, t) =	- математическое ожи-
ds? f=si
дание числа частиц типа Г; в момент времени t, если в на-
чальный момент времени была одна частица типа в
точке х G= G. В дальнейшем мы будем предполагать, что
производящие функции f ($) имеют конечные производные
в точке 5=1

8=1
и что матрица а = ||aj || неразложима. По свойству разло-
жимости или неразложимости матрицы а можно класси-
фицировать типы так же, как мы это делали в § 4.6 . Не-
разложимые матрицы а соответствуют неразложимым
ветвящимся процессам, т. е. таким процессам, в которых
потомство частицы любого типа содержит с положитель-
ной вероятностью частицы любого типа Tj.
Математические ожидания А} (ж, t) удовлетворяют сле-
дующим уравнениям:
° = р'д 4 (х, t) + 44 (х, t) (i)
г
—— оператор Лапласа) и начальным и граничным
К=1 dZfc
§ 3]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
363
условиям
Л’(^О) = б), 40M)Uc = 0.	(2)
Уравнение (1) для математических ожиданий в вет-
вящихся процессах с одним типом частиц имеет вид
^ = РД4 4-аЛ	(3)
с условиями
Л(»,О) = 1, Л(11()ио-0.	(4)
Здесь
Уравнение (1) получается, если продифференцировать
уравнение (8) по s$ в точке $ = 1. Законность этого диффе-
ренцирования можно установить следующим образом.
Прежде всего из конечности элементов матрицы || а} || за-
ключаем, что все математические ожидания А} (х, t) при
любых ж ее G и £ > 0 также конечны, так как они мажо-
рируются соответствующими математическими ожидания-
ми в ветвящемся процессе без поглощающих границ, а эти
математические ожидания конечны (см. теорему 4.4.1).
Поскольку все А} (х, t) конечны, мы можем дифференциро-
вать в точке 5=1 уравнение (2.7). Получаем интеграль-
ное уравнение для А} (ж, t)\
t
А] (х, t) = J du J р* (x, у, и) к*е-^и АгтА™ (у, t — u)dy +
о G
+ Sye-kl< J р‘(ж, у, t)dy, (5)
G
.i dhl (s)
где Am = —~
. Уравнение (1) получается после диф-
s=l
ференцирования по t уравнения (5). Начальные и гранич-
ные условия (2) также следуют из (5).
Решение системы (1) можно искать в виде ряда
оо
(6)
m=l
364	ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ [гл. X
по собственным функциям <рт (х) задачи (1.10). Подставляя
(6) в (1), приравниваем коэффициенты слева и справа, сто-
ящие при одной и той же функции <рт (ж),
= (Ч - тА» W-
(7)
Обозначим 9т1, ..., 9тп характеристические корни мат-
рицы || а[ — Dl %m6fc||. Пусть 9m = 9ml является перро-
новым корнем этой матрицы. Известно, что решение
системы (7) представимо в виде
п
(8)
/с=1
где (0 — многочлен степени не выше zmls — 1,
где zmle — кратность корня 9mfc. Поскольку перронов ко-
рень 9т — простой, коэффициенты ф]т1 являются кон-
стантами; далее будем обозначать = ф}. Таким об-
разом, решение уравнения (1) с условиями (2) равно ряду
(6), в котором функции (0 определяются формулой (8).
Асимптотическое при t -> оо поведение математических
ожиданий А} (ж, 0 определяется перроновыми корнями
9т и даже, как мы сейчас установим, перроновым корнем
9Х, который больше всех остальных корней 9т.
Лемма 1. Пусть квазинеотрицателъная матрица
||а}|| неразложима и вектор Ь = (Ь1, ..., Ьп) неотрицате-
лен. Тогда перроновы корни г матрицы || а} || и г' матрицы
|| а)—связаны неравенством г^г'\ если при этом
Ъ =£= 0, то г > г'.
Доказательство. Обозначим с) = а} — Ъ*Ь}-
Пусть и = (а1, ..., ип) > 0 — собственный правый вектор
||с}||, соответствующий перронову корню г'
с}и’ = г'и.	(9)
Из (9) получаем

(Ю)
§ 3]
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
365
откуда по теореме 4.5.5 вытекает г > г', а если Ь =/= О,
то г >• г'. Лемма доказана.
Лемма 2. Имеют место неравенства
91 > 0g 0з^ ••• 0m ®т+1	•••
Доказательство. Применяя лемму 1 к матри-
цам | а} — В’Хщй} || и У а; — £>гХт+1б} Ц, получаем 0т >
> 0то+1» так как Xm %m+i. Поскольку Р* > 0 и <
< Х2, по той ясе лемме 1 имеем 0Х 02. Лемма доказана.
Пусть 0О — перронов корень матрицы || а| и D =
= min О1.
i
Л е м м а 3. При любом т имеет место неравенство
®т 00	(И)
Доказательство. Применяем лемму 1 к мат-
рицам || а} — РХт6) || и || а} — D1 кт 6} ||; получаем (11), так
как 90 — Dkm — перронов корень первой матрицы, а 0то —
перронов корень второй матрицы. Лемма доказана.
Эти леммы позволяют нам найти асимптотическое при
t -> оо поведение математических ожиданий А} (ж, t).
В силу леммы 3 ряды (6) сходятся при t равномерно по
ж Е С, так как собственные значения %т достаточно быстро
стремятся к бесконечности, а абсолютные значения соб-
ственных функций |фто (х)\ оцениваются сверху степенной
функцией от (см., например, [49]). В силу леммы 1 член
(t) фх (х) ряда (6) является главным асимптотическим
членом математического ожидания А} (ж, t) при t -> оо.
Имеет место
Теорема 1. Если матрица || а) || неразложима, тпо
при t -> оо
(12)
где ф) > 0 при всех I и j.
Доказательство. Как мы только что отметили
выше, главные члены математических ожиданий определя-
ются выражениями, стоящими справа в (12). Нам надо лишь
доказать положительность коэффициентов ф). Ряды (6)
366
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
можно почленно дифференцировать. Поскольку при этом
главные члены все будут иметь порядок е9*', функции
ф)е9*'ф1(«) удовлетворяют уравнению (1) так же, как и
Aj (х, t). Получаем
=	(13)
Все ф) > 0; если хотя бы одно из них ф}1	0, то все
> 0, ...,	> 0, так как ф* при фиксированном /
являются компонентами правого собственного вектора
матрицы |]<я£ —	||, соответствующего перронову кор-
ню 0г Докажем сначала, что найдется такая хотя бы одна
пара индексов f, /, что ф} > 0. Математические ожидания
А} (ж, t) можно представить в виде интеграла
Л} (х, t) = J Л) (х, у, t) dy,	(14)
G
где А) (х, г/, t) удовлетворяет также уравнению (1) с на-
чальными и граничными условиями
4 (X, у, 0) = 6)6 (у - х), л) (х, у, t) 1^ = 0. (15)
Решая уравнение (1) с условиями (2) методом Фурье, полу-
чаем ряд
ОО П
Л) (х, у, t)= 2 3 г^тк (0 евт1с1<Рт (®) фт (у).	(16)
ТП=1 М
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что урав-
нение (1) имеет решение
Х*(х, I) = Cle9it ф!(х), i = 1,..., п, (17)
где все С1 0. Далее, любая линейная комбинация реше-
ний (16) также удовлетворяет уравнению (1) и граничным
условиям. В частности, за такую линейную ^комбинацию
можно взять
Г‘ (х, t) = J С’Л) (х, у, t) фх (у) dy.	(18)
S 3J
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
367
Из начальных условий (15) следует
X1 (х, 0) = С'ф! (х) = J С}А} (х, у, 0) Ф1 (у) dy = Y* (х, 0),
поэтому, в силу единственности решения (1) с фиксирован-
ными начальными и краевыми условиями, при любом t > 0
имеем
Х\х, t)	i — i,.. .,п.	(19)
Поскольку левая часть (19) растет как е91', то и в пра-
вой части имеется такой же рост, поэтому из (18) следует
существование такого индекса /, что А] (х, у, t) имеет
рост такой же, как е91'. В силу (14) для этого индекса j
имеем тогда ф) > 0. Поскольку при любом > О и
у G все Л* (у, <0) > 0, то очевидное неравенство
Х(х, 0 > J	У> * — *•) Л(?/» М dy,
Gi
где G± — часть области G, в которой, например, <рх (х)
8 при некотором малом е > 0, приводит нас к заключению
что ipfc > 0 при любых i и к. Теорема доказана.
В дальнейшем мы будем называть ветвящийся про-
цесс с диффузией докритическим, если 0Х < 0, критическим,
если 01 = 0, и надкритическим, если 0Х > 0. Таким
образом, асимптотическая формула (12) в теореме 1 уста-
навливает, что математические ожидания А] (х, t) в нераз-
ложимых ветвящихся процессах с диффузией экспо-
ненциально убывают в докритическом случае, экспонен-
циально возрастают в надкритическом случае и стремятся
к положительному пределу в критическом случае. В раз-
ложимых ветвящихся процессах критичность можно ввести
так же, как мы это делали в гл. IV. Характер асимптотики
математических ожиданий в этом случае в основном оста-
ется прежним, однако при этом в главном члене могут
появиться растущие степенным образом множители.
Пример 1. Пусть ветвящийся процесс состоит только
из частиц одного типа. Тогда для А (х, у, t) =	(х, у, t),
368 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ с; ДИФФУЗИЕЙ	(ГЛ. X
А (х, t) = Лх (х, t) имеем следующие формулы: '
оо
А (X, у, о = е“'р (ж, у, I) = S е(а-ВХп) *<РП (х) <рп (у),
п=1
ао
А (х, t) = j А (х, у, t)dy= % e{a^D^>1J <pn (у) dy -Фп(х),
G	n=l	G
где a = /'(s)|e==i- Процесс будет докритическим, если
а < а0, критическим, если а — а0, и надкритическим,
если а а^, где а^ ===
§ 4. Вероятности вырождения
Вероятность Рт (х)\= Рто (х) того, что процесс, начав-
шийся с одной частицы типа Tt в точке хЕЕ G, выродится
к m-му поколению (т. е. все частицы одного из предыдущих
поколений погибнут без потомства или поглотятся на гра-
нице), равна
Рк(®) = П(х;0).	(1)
Эти вероятности удовлетворяют, в силу (2.1), рекуррент-
ным соотношениям
Р™ (*) = | ^ (*, У) hl (Рт (у)) dy + (X),	(2)
где обозначено
Pm^ = (PU4.-.,^(4
При т — 0 имеем начальные условия
Р*0(х) = 0, i = 1,..., п, х е G.	(3)
При т -> оо существуют пределы
Р4(х) = ИтР^(ж),
т-*оо
равные вероятностям того, что процесс рано или поздно
выродится. Назовем Р* (х) вероятностями вырождения.

£ 4]	ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ	369
Если Pi (х) = 1, i = 1, п, х ЕЕ G, то процесс назовем
вырождающимся. Полагая в (2) т -► оо, получаем для ве-
роятностей вырождения
Р (х) = (Р1 (х).Рп (х))
систему нелинейных интегральных уравнений
Р1 (х) = J К1 (х, у)К(Р (у)) dy + (ж).	(4)
G
Система (4) всегда имеет корень Рг (х) = 1, i = 1, ..., п.
Если других корней 0 Р* (я)	1 не существует, то
Р (х) = 1, и процесс будет вырождающимся. В этом пара-
графе мы найдем необходимые и достаточные условия вы-
рождения процесса. Эти условия, как и во всех рассмот-
ренных ранее моделях ветвящихся процессов, определяются
критичностью процесса, т. е. зависят от асимптотическо-
го проведения математических ожиданий. Условия вы-
рождения будут следовать из серии доказываемых ниже
теорем.
Теорема 1. Ветвящийся процесс будет невырожда-
ющимся тогда и только тогда, когда система
и1 (х) -- J К1 (х, у) hl (и {у)) dy -ь gl (х)	(5)
имеет корень и (х) = (и1 (х), ип (ж)), удовлетворяющий
условиям
О и (х)	1, и (х) ф 1.
Доказательство. Пусть существует такой ко-
рень и (х). Из (2), (3) и (5) по индукции следует и (х) >
> Рт (х) при любом т, откуда имеем и (ж) > Р (х). Сле-
довательно, Р (ж) ф 1. Необходимость была доказана
выше.
Теорема 2. В банаховом пространстве непрерыв-
ных в G + dG векторных функций с метрикой
р (a, v) = max max | v* (х) — и* (х) |
i xsCr-f-dG
отображение
vl(x) = § К*(х, y)hl(u(y))dy+gi(x), i =	(6)
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
переводит ограниченное семейство непрерывных функций
| и (х) |	1 в компактное семейство функций.
Доказательство. Так как hl (и (у))	1 при
(у)1	1> т<> семейство {у(х)} ограничено. В силу тео-
ремы 1.1 функции v'(x) равностепенно непрерывны, если
|и (у)| < 1- Следовательно, семейство {у («)} компактно.
Теорема 3. Если все Л1 ($) линейны, то процесс вы-
рождается.
Доказательство. Пусть Л‘(5) = А10 + А}&, где
п
2 Д = 1.Тогда (4) превращается в
i=o
(ж) = | К* (х, у) [ Д + ДР’’ (у)] dy -ь gl (х).	(7)
Пусть min min Р|(л:) = б<^1. Обозначим
l<i<n xsG+dG
6' = min min gl (x) > 0.
l<i<n x&r
Из (7) следует
Pl (x) > 6 J K* (x, y) dy + gi (x) = 6 + g* (x) (1 - 6) >
>6 +У (1-6),
откуда получаем противоречие б б + б'(1 — б).
Лемма 1. Пусть (ж), w2 (х) — непрерывные век-
торные функции на G, 0 и± (х) < и2 (х)	1. Если h* (s)
нелинейна и для х ЕЕ G
ик (ж) > J (ж» у)(“t (?/)) &У + 8* (x), k = 1, 2,
G
то для всех v (аг) = их (ж) + 0 («а (а?) — «х (ж)), 0 < 0 < 1,
J G G,
(х) > j А4 (х, у) hl (v (у)) dy + g* (х).	(8)
G
Доказательство. Функция
ф (0) = J Л4 (х, у) hl (v (у)) dy + gl (х) - V* (х)
§ 4]
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
371
при О < 0 < 1 строго выпукла (<р" (0)	0); так как <р (0)
0, <р (1)	0, то при 0 < 0 < 1 имеет место неравенство
<р (0) < 0, эквивалентное (8).
Теорема 4. Для того чтобы процесс с неразложимой
матрицей ||а}|| был невырождающимся, необходимо и до-
статочно^ чтобы существовала непрерывная в G -\-dG
векторная функция 0 (ж), 0 < 0 (х)	1, что для всех
х S G, i = 1, ..., л,
1 - 3* (*) > J Г (х, у) hl (1 - 3 (у)) dy + gl (х),	(9)
и хотя бы при одном индексе i в (9) было строгое неравен-
ство»
Доказательство. Пусть процесс не вырожда-
ется. Тогда существуют два решения (5) иг (х) — Р (х)
и и2 (х) = 1. В силу теоремы 3 не все (s) линейны. Из
неразложимости || aj || нетрудно получить, что Р (х) < 1
для всех xeG. Применяя к функциям (х) < и2 (х)
лемму 1, получаем для 0 (х) = (1 — в) (1 — иг (ж))
неравенства (9), причем для нелинейных h* (s) эти неравен-
ства строгие. Докажем достаточность. Если выполняется
(9), то выпуклое ограниченное множество 0 и (ж)
1 — 0 (ж) отображением (6) переводится в свою часть.
В силу теоремы 2 рассматриваемый оператор на этом множе-
стве вполне непрерывен в соответствующем банаховом про-
странстве. Поэтому по принципу Шаудера (см. [12]) су-
ществует неподвижная точка и (ж), удовлетворяющая не-
равенству 0 и (ж)	1 — 0 (ж), а тогда по теореме 1
процесс не вырождается с положительной вероятностью.
Среднее число частиц типа Tj, получающееся за одно
превращение из частицы типа Tt (при условии, что это
превращение произошло), равно A] = ^Lr .Всилу(1.5)
US3	S=1
А} =
(10)
Л е м м а 2. Если перронов корень 0г неразложимой мат-
рицы | a?j — неположителен, то перронов корень
матрицы || Aj (Ai)-11|, где AJ определено формулой
(1.17), не превосходит единицы, и наоборот.
372
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
Доказательство. По теореме 4.5.5	> 0 тог-
да и только тогда, когда существует такой вектор и О,
что
(a)-Di6X)“/>0-	(11)
Подставляя в (И) а) = (Л*- — б‘) к1 из (10) и XjP’ =
= (AJ — 1) А* из (1.17), получаем
(Л|-61А*1)^>О
или, что равносильно,
Л}(А1)“М>и<.	(12)
Условие (12) по теореме 4.5.3 необходимо и достаточно для
того, чтобы > 1. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть ||а}|| неразложима. Для того чтобы
существовала такая векторная непрерывная функция Р(я),
для которой при всех х€И G, Р(я) 0 и
₽*(*)< \к^х,у)А^(у)с1у, i =	(13)
G
причем в (13) знак неравенства нельзя заменить на знак
тождества = при всех i, необходимо и достаточно, чтобы
01 >1.
Доказательство. Очевидно, что неразложимость
матрицы || a} j влечет за собой неразложимость || А} (А1)’"1||.
Пусть 0Х >• 1. Тогда существуют такие и1 > 0, t = 1, ...
..., п, что
0^= Л^Л!)"1»'.	(14)
Положим
Р* (ж) = «* q>! (ж), i = 1, ...» п.	(15)
В силу (14) и (1.15)
(х) = [ К* (X, у) (y)dy, i = 1,..., п. (16)
Отсюда следует (13), так как <рх (х) > 0 при i Е G. Пусть
теперь Р (®) > 0 и выполнены неравенства (13). Умножая
$ 4]
ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ
373
их на (я) и интегрируя по я GE G, мы получаем
р1 А/ vj (Aj)-1, i = 1,..., п,
где	р1 (х) <Pi (я) dx > 0 и имеется хотя бы одно строгое
неравенство. Отсюда по теореме 4.5.3 следует > 1.
Лемма доказана.
Т^е орема 5. Ветвящийся'процесс с диффузией явля-
ется'вырождающимся тогда и только тогда, когда перро-
нов корень 0Х матрицы || а} — S} || неположителен.
Доказательство. Докажем сначала теорему для
неразложимой матрицы ЦаХ Пусть процесс — невырожда-
ющийся. Тогда по теореме 4 существует вектор Р(я) > О,
х S G, для которого выполняются неравенства (9). Усили-
вая (9) с помощью неравенств

получаем (13). Поэтому 0Х> 1 по лемме 3, а тогда в силу
леммы 2 0г > 0. Предположим теперь, что > 0. Тогда
©i > 1. Покажем, что процесс в этом случае будет невырож-
дающимся. Функции (15) удовлетворяют системе уравне-
нии (16). Выберем число 0Х таким, чтобы 0i > ©i > 1,
и обозначим А} = Л}/01. Равенства (16) можно записать
в виде
Р<(Х)-\кЦх,у)3$(у)Лу = - (-|1— 1}р<(я). (17)-
Правая часть (17) отрицательна при xBG, i = 1, ..., п
Выбирая е > 0 таким, чтобы
Ml — ер (?/))< 1 — у £<?,
получаем из (17) и (1.8)
1 — ер1 (ж) > J К\х, у) Л<(1 — еР (у)) dy -f- g^x), i = 1,..., n.
Отсюда по теореме 4 следует невырожденность процесса
374
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
Доказательство в общем случае разложимой матрицы || а* ||
сводится к случаю неразложимых матриц! || а* || так же,
как и в теореме 5.1.5 (типы частиц разбиваются на классы
сообщающихся типов; каждому классу соответствует не-
разложимая подматрица || aj ||; приведенное выше доказа-
тельство применяется последовательно к этим классам).
Теорема доказана.
Из этой теоремы и из теоремы 3.1 вытекает, что процесс
вырождается тогда и только тогда, когда при любом ? О
математические ожидания Л/ (х, t) = о (eyt) при t -> оо.
В частном случае для процессов с одним типом частиц
теорема 5 превращается в следующую теорему.
Теорема 6. Для того чтобы ветвящийся процесс
с одним типом частиц был вырождающимся, необходимо
и достаточно, чтобы
а Dkv
Таким образом, если в обычном марковском ветвящемся
процессе с одним типом частиц и непрерывным временем
критическим значением параметра а, отделяющим вы-
рождающиеся и невырождающиеся процессы, является О,
то в случае ветвящегося процесса с диффузией и поглоще-
нием на границе таким критическим значением является
положительная величина а0 = Повышенная интен-
сивность размножения в данном случае компенсирует до-
полнительные потери частиц, поглощающихся на границе.
§ 5. Финальные вероятности
Рассмотрим ветвящийся процесс с диффузией с одним
нефинальным типом Т± и одним финальным типом Т2 ча-
стиц. Таким образом, мы рассматриваем некоторую модифи-
кацию модели, описанной в § 1 с п = 2. Единственное от-
личие этой модификации от первоначальной модели состо-
ит в том, что частицы типа Т\ подвергаются диффузии, раз-
множаются (в частности, производят частицы финального
типа Т2) и поглощаются на границе, а части финального
типа Та не размножаются, не погибают и не поглощаются на
границе. Таким образом, финальные частицы представляют
собой конечный продукт реакции.
$ 51
Финальные вероятности
375
Пусть в начальный момент была одна нефинальная
частица в точке z Е G. Обозначим qk (х, т) вероятность
того, что в тп-м поколении имеется к финальных частиц.
Пределы qk (х) = lim qk (х, т) равны вероятностям того, что
т-*оо
после окончания процесса (когда исчезают все нефиналь-
ные частицы).остается к финальных частиц. Будем называть
вероятности qk (х) финальными.
Введем производящие функции
(я; и) = 2 Чк (*, ”*) Uk,
Л=0
Ф («;'«)= S ?*(*)“*•
fc=o
Эти производящие функции удовлетворяют уравнениям
Фт+1 (ж; и) = \К(х, у)h(Фт(у; и), и)dy+ g(х),Фо(х; u) = 1,
Ф(х;и) = j К (х, у) h (Ф (у; и), u)dy + g (х),
(1)
(2)
аналогичным (2.3) и (4.4). Здесь К (х, у) = К1 (х, у),
g (х) = g1 (х), h (s1, s2) = h1 (?, s2), где К1, gl и h1 опреде-
лены формулами (1.4) и (1.8).
Теорема 1. Интегральное уравнение (2) при
а DXi имеет единственное аналитическое в круге | и | < 1
решение Ф(х; и).
Доказательство. Из определения финальных
вероятностей очевидно следует, что Ф (х, и) = lim Фт (ж; и)
т-м»
при 0 и 1. Следовательно, Ф (х, и) аналитична при
|u| < 1 и удовлетворяет уравнению (2). Предположим,
что существуют два разных решения Ф (х; и) и Т (х; и).
Образуем функцию
М (х) = sup | Ф («; и) — Т (х; и) I.
|и|<1
376
ВЕТЬЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
В силу теоремы 4.2 функция М(х) непрерывно зависит от
х. По нашему предположению М (ж) ф 0. Так как при
К1<1, k|<l, |u|< 1
|Л ($ь и) — h (&., и)К A |Si — s2|,
(3)
где
dh (s, и) |
0s |8=1
ТО
А =
М (х) = max | Ф (х; и) — Т (х\ и) | = | Ф (х; и0) — Т (х; и0) |=
|н|<1
= | J К (х, у) [h (Ф (у; и0), и0) — h (V (у; и0), и0)] dy | <
< А \к (x9y)M(y)dy. (4)
Пусть в (4) имеет место тождественное равенство. Это может
быть только в том случае, когда в (3) имеет место равенство,
т. е. в случае, когда функция h (s9 и) линейна по 5. В этом
случае, как легко видеть, А 1.>Но тогда А < Ах =
= 1 +	а это неравенство противоречит равенству
в (4), так как Ах есть наименьшее собственное число интег-
рального уравнения
<₽(*)== А ^К(х9 y)y(y)dy
(см. замечание 1.1). Если же в (4) нет тождественного ра-
венства, то опять приходим к противоречию с'предположе-
нием М (х)	0, так как тогда соотношение (4) невозможно
для вырождающихся ветвящихся процессов в силу теоре-
мы 4.5 и леммы 4.3.
Изучим теперь асимптотическое поведение при к -> оо
финальных вероятностей qk (х) в критическом процессе.
Мы будем пользоваться следующей теоремой ветвления
решения интегрального уравнения (2).
Теорема 2. Еслипри и = и0 интегральное уравнение (2)
имеет изолированное решение Ф (ж; и0) и 1 есть собственное
значение ядра
К(х,у) I	(5)
'	’ ds |»=ф(у;и.)
§ б]
ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
377
кратности 1, то всякое непрерывно зависящее от и решение
Ф (х\ и) уравнения (2), стремящееся к Ф и0) при и ->
представимо в виде сходящегося ряда
Ф (х, и) = Ф (х, и0) + 2 ₽* (х) (u “ u0)^w,
м
где т — целое, т 1. Если же 1 не есть собственное зна-
чение ядра (5), то Ф(ж; и) — аналитическая функция от и
в окрестности и — и0.
Мы сформулировали эту теорему в той форме, которая
нам нужна. Справедливость этой теоремы следует из об-
щей теории ветвления решения нелинейных интегральных
уравнений (см., например, [2], [22]).
Рассмотрим критический* ветвящийся процесс/т. е.
процесс, в котором а = а0 = или, что равносильно
Л = -^Ц^-|8=1 = Л1=1+ПХ1Л-1 = 1 + -^-= Ло. (6)
Теорема 3. Пусть имеется критический ветвящий,
ся процесс, функция h (s, и) аналитична в области |s| < R.
| и\ < R, где R^> 1 и h (1, и) =/= 1 при | и |	1 и и =/= 1
Тогда решение Ф(я, и) уравнения (2) аналитично в не-
котором круге | и\ < р, р /> 1, с разрезом вдоль дейст-
вительной оси от и = 1 до и = р. В окрестности точки
и = 1 функция Ф (х*, и) разлагается в ряд
оо
Ф (х; и) = 1 + iLq?! (ж) (и — 1)*/’ 4- 3 ?k («) (u — I)**8,	(7)
k*=2
где
/ 2А* J <р (у) dy
Л=1/	,	(8)
|/ В Ф» (у) dy
А1 =	(s'I В = ц) I
2	фи |s*=u=l *	ds% |s*ue“j
378
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ
[ГЛ. X
Доказательство. При А = Ао по теореме 2 в
окрестности точки и = 1 решение (2) должно иметь вид
со	£
Ф(г;в) = 1+2₽Н»)(в-1)».	(9)
К=1
Требуемая в теореме 2 изолированность решения v (х) = 1
уравнения (2) при и = 1 в этом случае устанавливается
следующим образом. В силу теорем 4.1 и 4.5 при А = Ао
решений 0 v (х)	1 и v (х) ф 1 вообще нет. Пусть
v — решение (2). Если предположить, что имеются точ-
ки я е б?, в которых v (х) > 1, и точки х €= G, в которых
v (х) <С 1, то функция
w (х) = min {у (ж), 1}
удовлетворяет неравенству
w(х) >	(х, y)h(w(y)-,i)dy + g(ж),
а это противоречит вырожденности процесса. Предположим
теперь, что v(x) = 1 + а (ж) > 1, а (ж) фО. Из (2) сле-
дует
а (х) = Ло К (х. у) dy + gr (ж),	(10)
где gi (ж) = J К (ж, у) \h (у (у), 1) —	(у)] dy> 0. Из теории
линейных интегральных уравнений следует, что уравнение
(10) не имеет решений, так как Ао — собственное значение
ядра К (х, у) и J <рх (х) gi (х) dx > 0 (см. [21]). Подставляя
разложение (9) в уравнение (2) и приравнивая коэффициен-
ты при одинаковых степенях (и — 1)^, получим т = 2
и равенство (8). В самом деле,
1 + Pl (*) {и - 1)1М + 2	(ж) (и - 1)W« =
fc=2
= (К(Ж, y)U0(31(^)(tt-l)Vm + P2(j,)(u_l)2/m+ ...) +
G	L
+ Al(u - 1) +	- l)2/m + ...]dy + 1.
ФИЙАЛЬЙЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
379
S 51
откуда при т — 1
?! («) = аАк(х, у) ?! (y)dy 4-	J К(х, у) dy
G	G
и при т>1
?! (х) = Ао j К (х, у) ?! (у) dy.
G
Первое уравнение неразрешимо, а второе имеет решение
pi (х) = ZZ(pi (х)> следовательно, т > 1. Предположим
L =/= 0. Тогда при т 2 получаем уравнение
Ра (ж) = Ао J К (х, у) р2 (у) dy —	( К (х, у) <р? (у) dy,
G	G
которое неразрешимо, так как Ло — собственное значение
ядра К (х, у). При т = 2 получаем уравнение
Ра (•*) = Л J К (х, у) ?2 (y)dy +
+ J К (х, у) Г— ЛАр? (у) + Al 1 dy.
G	L
Это уравнение имеет решение, если
£ Фх (х) dx J К (х, у) [—	£2<р? (у) + Л2] dy =
= =0’
G	G
откуда следует (8). Можно показать, что предположение
L =j= 0 не влияет на результат (при L — 0 мы получаем
т = 2/^, Шг 0, но в разложении (9) ненулевыми будут
лишь члены, соответствующие к = так что-^- =	.
Покажем теперь, что функция Ф (ж; и) аналитична в
окрестности любой точки и =/=» 1 с |u| = 1. Пусть u0=£ 1,
|u0| = 1, Ф (х; и0) — решение уравнения (2). Согласно
теореме 2 надо показать, что ядро
К(х, у) ЭЛ^Ио) I
7 ds |в=ф(«; и.)
380	ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИФФУЗИЕЙ	[ГЛ. X
не имеет 1 собственным значением. Это равносильно тому,
ЧТО
(*> Цр) |	л
ds |8=<х>(и; ч>) '	°*
Легко видеть, что
|^р>.|<А при |«|<1.
Рассмотрим решение (2), удовлетворяющее условию
|Ф (у; и0) | = 1. Такие решения, по модулю равные единице,
определяются корнями $ уравнения h (s, и) — 1. Таким
образом, для того чтобы решение $ = Ф (ж; и0) давало ядро
с единичным собственным значением, нужно потребовать,
чтобы в точках вида 5 = e2niti и и = e2nit* выполнялись
равенства
=	=	(И)
Рассмотрим те пары целых чисел (аь а2), для которых веро-
ятности Р(апа8) в разложении
Л(а,и)= 2 Ла*,
а,,а,
положительны. Уравнения (И) будут выполняться для
тех tlt t2, которые удовлетворяют для всех упомянутых вы-
ше пар (ах, a8) сравнениям
+ ^2aas 0 (mod 1),
(12)
h (ai — 1) + М2 s 0 (mod 1).
Из (12) сразу следует tv = 0, а из условия h (1, w) =/= 1 при
и |u| = 1 следует t2 = 0. Поэтому во всех точках
и =f= 1 единичной окружности |u| = 1 Ф (х; и) анали-
тична. Теорема доказана.
Теорема 4. В условиях теоремы 3 при п-^оо
^=-Т^г+0^-	(<3)
$ 5]
ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
381
Доказательство основано на разложении (7) и на уста-
новленной в теореме 3 аналитичности функции Ф (ж; и) в
области |u| < р, р > 1 с разрезом по действительной оси.
Мы не приводим здесь этого доказательства, так как оно
совпадает с доказательством теоремы 5.4.1.
Замечание 1. Если предположить, что существует
такое целое число d^> 1, что в разложение функции h (s, и)
входят только степени s и ud, причем никакое число d' > d
не обладает этим свойством, то тогда существуют такие
и =)= | и | = 1, что h (1, u) = 1. Такими значениями и
будут все корни уравнения ud = 1. В этом случае Ф (х\ и)
будет, если выполнены остальные условия теоремы 3,
аналитична в круге |u| < р, р > 1 cd разрезами по ра-
диусам от точки ехр	до точки р ехр
к = 0, 1, ..., d — 1. В точках ик = ехр функ-
ция Ф (х; и) разлагается в ряд по степеням (и — Uh)4*-
Вместо формулы (13) теоремы 4 в этом случае справедлива
следующая асимптотическая при п -> оо формула
£п(*) =
 	+ О(п-№), если п е 0 (modd)
2 У л
О	, если ифО (modd).
Дальнейшее изложение справедливо при d > 1.
Пусть в начальный момент в точке х G= G имелось N
частиц типа Тг. Обозначим Zn число частиц типа Т2, про-
исшедших в конце концов от этих N частиц. Если обозна-
чить число частиц типа Т2, получающихся из i-й части-
цы (в какой-либо нумерации) типа Ти имеющейся вначале
в точке х ЕЕ G, то можно представить в виде суммы не-
зависимых одинаково распределенных случайных величин
= £1 + ••• + &V-
(14)
Каждая из случайных величин имеет закон распределе-
ния {qn (ж)}. Этот закон распределения принадлежит об-
«* 1
ласти притяжения устойчивого закона с а = -к-, так как
&
382 ВЕТВЯЩИЕСЯ процессы с диффузией [гл. X
в силу теоремы 4 при X -> оо
(см. теорему 5 в § 35 в [9]). При нормировке £дг/-^2ф1 (х) А2
предельным законом будет устойчивый закон с параметра-
ми а = у, р = 1
—<Х
£2ф2(а:)№
1 С —-
>—7=\е «1~3ЪИ.
2 /nJ
О
ГЛАВА XI
ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ
С ЭНЕРГИЕЙ
§ 1. Общее описание модели
В приложениях большой интерес представляют ветвя-
щиеся процессы, в которых частицы характеризуются ка-
ким-либо положительным параметром. При делении час-
тиц значение параметра материнской частицы распределя-
ется случайным образом между дочерними частицами.
В реальных процессах таким параметром может быть на-
пример, размер частиц, масса частиц или энергия частиц.
Размер или масса частиц являются основными характери-
стиками технических процессов дробления частиц. Энергия
характеризует частицы в таких физических процессах, как
каскадные процессы в космических лучах. Поскольку в ли-
тературе встречаются чаще всего ветвящиеся процессы,
описывающие те или иные реальные физические процессы,
в которых основной характеристикой частиц является энер-
гия, мы будем здесь все такие процессы называть ветвящи-
мися процессами для частиц с энергией или просто ветвя-
щимися процессами с энергией.
Несмотря на то что имеется обширная литература, в ко-
торой строятся модели различных каскадных процессов,
математическое изучение этих моделей пока еще продви-
нулось не очень далеко (особенно по сравнению с ветвя-
щимися процессами других типов). Это объясняется прежде
всего сложностью получающихся уравнений. Кроме того,
многочисленные частичные результаты, относящиеся к
конкретным моделям, трудно вписать в общую схему, так
как^своцства ветрящихся процессов с энергией и методы
384 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ для ЧАСТИЦ С ЭНЕРГИЕЙ [ГЛ. XI
исследования очень сильно зависят от вида конкретной мо-
дели.
Самое общее описание ветвящегося процесса с энергией
состоит в следующем. Каждая частица обладает некоторой
энергией. Энергия частицы может рассеиваться, т. е. умень-
шаться по некоторому случайному закону. Кроме того,
каждая частица может независимо от количества других
частиц и от их энергий разделиться на несколько новых
частиц (в частности, исчезнуть). Количество новых частиц
задается законом распределения, который, вообще говоря,
может зависеть от энергии делящейся частицы. Далее для
частицы, разделившейся на п частиц, задается закон рас-
пределения, по которому энергия материнской частицы
делится между дочерними частицами. Если энергия мате-
ринской частицы равнялась 5 и частица разделилась на п
новых частиц, то энергии новых частиц gx, ... £п, вообще
говоря, удовлетворяют условию
+ ... + < 5.	(1)
т. е. суммарная энергия дочерних частиц может быть мень-
ше первоначальной энергии материнской частицы. При
математическом изучении таких процессов, по-видимому,
существенно, имеет ли место в (1) всегда равенство или
нет. В процессах дробления частиц неравенство в (1) от-
ражает явление распыления массы. Возможно, что случай
обратного неравенства в (1) также может быть интересен
(например, когда в процессе дробления частиц возможно
явление налипания массы на частицы из пылевой среды).
Таким образом, уже при задании условных законов рас-
пределения |х, ..., при фиксированном 5 имеется очень
много различных возможностей, существенно влияю-
щих на свойства изучаемого процесса. Обычно считают
условие (1) выполненным и предполагают, что
(Хл	X \
—	(2)
т. е. независимо от энергии материнской частицы 5 дочер-
ние частицы получают свои доли от первоначаль-
ной энергии в соответствии с n-мерным распределением
§ 2]
БИНАРНАЯ МОДЕЛЬ
385
Нп(у !>•••<, Уп)* В дальнейшем мы будем рассматривать лишь
частный случай, в котором не происходит рассеивания
энергии и каждая частица делится ровно на две новые
частицы.
§ 2.	Бинарная модель
Рассмотрим следующую модель. Каждая из частиц,
независимо от своей энергии и от других частиц, за время
-> 0 с вероятностью AAf + о (ДО делится ровно на две
новые частицы. Энергия делится между этими новыми час-
тицами согласно следующему двумерному распределению:
Р & <	1 £ = *} = Я (-7-, -7-) •	(1)
Мы будем предполагать, что двумерная функция распреде-
ления (1) симметрична Н (ylt у2) = Н (у2, yj. Будем пред-
полагать также, что выполнено условие (1.1). Одномерное
распределение, соответствующее Н (ylt у2), будем обозна-
чать Н (у) = Н (у, 1) = Н (1, у). Новые частицы эволю-
ционируют аналогичным образом.
Обозначим р (ж, t) число частиц в момент энергия
которых не меньше х. Пусть в начальный момент времени
была одна частица энергии хъ. Обозначим рп (х, £|я0) ве-
роятность того, что процесс, начавшийся с одной частицы
с энергией xQ, через время t будет иметь ровно п частиц,
энергия каждой из которых не меньше х. Нетрудно видеть,
что в нашем случае
Рп (#>	— Рп (я/#о»^И)‘	(2)
Обозначим рп (х, f) = рп (х, t | 1). Из определения процес-
са по формуле полной вероятности получаем
Рп (я, О ==	te-*vdy Н (duu du2) X
О	XX
fc==0	'	'	'
(3)
Для получения (3) надо вычислить сначала вероятность
события {р (я, t) = п} при условии, что деление первр-
Б. Д. Севастьянов
386 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ С ЭНЕРГИЕ Й [ГЛ. XI
начальной частицы произошло в момент времени у и новые
частицы получили энергии и2, а затем, воспользовав-
шись соотношением (2), осреднить полученную вероятность
по у, щ и и2. Из (3) обычным путем получаем уравнение
для производящей функции
оо
F (х, t-,s) = 2 Рп. (х> О s”	(4)
п=о
Для этого надо умножить левую и правую части (3) на
sn и просуммировать по п. Получаем при 0 х 1
F(x, t\ s) +
t	ii
H(duu du2) , t— y;sjF , t — y, s) .
0	xx
(5)
Если справа в (5) под интегралом сделать замену у ->
-> t — у и продифференцировать полученное равенство
по /, то мы получим другое уравнение
aF(g/-;>)- + ^(g, t;s) =
= X Я (dult du2) F^,t;s)F^,t-,s).	(6)
X X
Поскольку при каждом превращении энергия не может
возрастать, общая сумма всех энергий, существующих
в любой данный момент частиц не больше единицы. Поэтому
рп (х, t) = 0 для и > —. Отсюда следует, что конечны
все моменты случайной величины р (я, 0, в частности,
конечны первые два момента
А (х, t) = Мр (х. t), B(x,t) = Мр(я, 0[p(x, 0 — 1]. (7)
Дифференцируя уравнение (5) по $ в точке $ = 1, получаем
уравнение для А (ж, 02
t	1
А (х, 0 = е~и + 2 Ъе-^dy А ,t — y\dH (и). (8)
9
АСИМПТОТИКА БИНАРНОЙ модели
387
§ 3]
Если продифференцировать (5) по s два раза в точке s = 1,
то можно получить уравнение для В (х, t):
t	i
В (х, t) = 2 Ke-^dy В , t — у j dH (и) +
О	х .
t	11
+ 2	Л (£, i - у) Л (-J-, f - у) Я (dux, du2). (9)
О	XX
Решение уравнения (8) можно представить в виде
оо
А (х, 0 = ег™ 3	(1 - Gn (х)),	(10)
n=0
где Gn (t) — функция распределения произведения п не-
зависимых случайных величин, каждая из которых имеет
распределение Н(х). Ряд (10) можно записать в другой
форме:
со
А (х, 0 =	2 л„ (2М) (1 - <?п(*)),	(11)
п=о
• если положить
zn
яп(г) = ^-е-	(12)
Заметим еще, что конечность моментов для р (х, t)
вытекает также из конечности моментов р (0, Z), так как
р (х, t) р (0, Z), а производящая функция р (0, t) легко
находится (см. пример 1.8.4)
= <»)
§ 3. Асимптотика бинарной модели
В рассматриваемой бинарной модели при t -> оо энер-
гии частиц становятся очень маленькими и с вероятностью,
приближающейся к единице, не остается частиц с энергией
> х при любом фиксированном х. Для того чтобы получить
более глубокий результат, найдем такую функцию Xt -> 0,
14 Б. А. Севастьянов
388 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ С ЭНЕРГИЕЙ [ГЛ. XI
чтобы (хь t) при больших t составляла долю от общего
числа частиц р (0, t), стремящуюся к пределу, строго боль-
шему нуля и меньшему единицы. Обозначим
а = Jlog-i-dtf(w),	(1)
О
1
b = Jlog2-i-dtf(u)	(2)
О
и положим
xt = ехр {— 2X,af — z У(3)
Прежде чем формулировать основной результат, уста-
новим некоторые факты, относящиеся к асимптотическому
поведению моментов. Обозначим
* — х*
\ е 2 dxt <р (z) = ф' (z).
Лемма!, При < оо
e~uA (xt,t) —> Ф (z).	(4)
Доказательство. Положим
1 - Gn (х) = Кп (- log х),
где Кп (®) — распределение суммы п независимых слу-
чайных величин, каждая из которых имеет распределение
log где — энергия дочерней частицы с функцией
распределения Н (х). Тогда из (2.11) и (3) имеем
A (xlt t) =	2J яп (2X0 Kn (2^at + z /2Xi&).
n=o
Обозначим 2kt = 7\ Нам надо доказать, что
lim S «п (Г) Кп (аТ + z ]/ТГ) = Ф (z).	(6)
Т-°°п=-0
§ з]	АСИМПТОТИКА БИНАРНОЙ МОДЕЛИ
389
Это утверждение следует из того, что при Т -* оо слева
бесконечный ряд можно как угодно точно приблизить ко-
нечными суммами, в которых
|п-Т|<р/Т.	(7)
Далее при условии (7) надо воспользоваться локальной тео-
ремой для пуассоновской вероятности, по которой
(п-тр
я"'2'>~тЬг	(8>
и интегральной предельной теоремой для Кп, по которой
Kn(aT + z VbT) ~ Ф ( а(Г~п)^г^) ,	(9)
где а2 = Ь — а2. Заменяя в выбранной конечной сумме лп
и Кп по формулам (8) и (9), мы получаем интегральную
сумму следующего интеграла:
£	/ г- \
Ф (v) Ф г *b~--av J dv,
Л
который при достаточно больших 0 сколь угодно мало от-
личается от Ф (z).
Лемма 2. При Z->oo
(Ю)
Доказательство. Обозначим
b (xj) == е~2 и В (х, t)
и положим
t
₽ (ж, t) = 2e~2Xf	X
о
11
X JJ^(du!,du2) A — y)A^,t — у).	(11)
X X
По лемме 1
Hmpto,*) = 4-Ф2(г).	(12)
14*
390 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ С ЭНЕРГИЕЙ [ГЛ. XI
Подставляя (И) в (2.9), получаем
Ь (х, t) = 3 (*, 0 + 4 j & (у) j b (-£-, t - у) dH (и),	(13)
0	X
где V (у) = 1 — е-ЗХу, у > 0.
шать последовательными
&0 (ж, 0 = р (ж, о,
Уравнение (13) можно ре-
приближениями, полагая
t	1
ЬА+1 (Ж, 0 = 3(х, 0 + 4	W \bA^,t-y)dH (и).
О	х
(14)
Обычными методами доказывается сходимость (ж, t) при
к -> оо к решению Ъ (ж, t) и единственность этого решения.
По индукции из (14) получаем
к	t	1
ь* (х, 0=2 (4)п 5 dvn (у) 5 dGn (и) р , t - у) , (15)
о	х
где Vn (0 — n-кратная свертка V (0. Из (15) имеем
°о	2 п *	1
Ь(*,0- 2Mn\dVn(y)^(-^,t-y)dGn(u),	(16)
n=s0 о	х
причем ряд (16) сходится равномерно по t > 0, х xt.
Полагая в (16) х = xt и устремляя t оо, получаем
оо
Ь(ХЬ 0->4ф2(2) 2 (4Г =2ф2 (Z)-
п=0 '	'
Найдем еще асимптотику смешанного второго момента
В (х, t, £+т) = М|х (х, t) р (0, t + т), где т 0. Произво-
дящая функция
оо
F (х, t, t + т; sx, s2) = 2 Р{|Х (хг t) = т,\к (0,14- т) = п} s™s2
тп, П=о
§ з]
АСИМПТОТИКА БИНАРНОЙ МОДЕЛИ
391
, t - у, t + х - у, slt з2) х
удовлетворяет уравнению
F(x, t, t + т; s2) =
= s1s2e-'x<z+T> + J F (0, t + t— y, s2)dy +
t
t	i i
+
0	XX
X F ^ — y^ + x — y-Sb s2jdH (duu du2), (17)
где F (0, t + t—у; s2) можно определить равенством (2.13).
Вычисляя вторую смешанную производную (17) по и s2
в точке $г = $2 = 1, получаем уравнение для В (х, t, t + т)
У
В (х,1, t + т) =е~х (*+т) + J Ке^А (0, t + т — у) dy +
t
t	1
+ 2 J tarx?' dy J В [, t — у, t + т — y) dH (u) +
о	X	'
t	1	\
+ 2\\e-^dy J a(^ ,t - y\ A(Q,t + x - y)dH (u). (18)
0	X	X	7
Подставляя в (18) A (0, t) = ex<, можно записать его так:
В (x, t, t + T) = e-^ e Y------------+
t	1
2ex J Xe~2Xy dy J A
0	x
^,t-yjdH(u) +
+ 2 JKe-^vdy В , t - y, t + x - уjdH (u).	(19)
OX-
Лемма 3. При t -> oo
В (xt, t, 14- т) e~x <2'+T> -> 2Ф (z)
(20)
равномерно no т > 0.
Доказательство проводится с помощью уравнения
(19) аналогично лемме 2. Обозначая b (х, t, t + т) =
392 ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ С ЭНЕРГИЕЙ 1ГЛ. XI
= В (ж, i, t + т) е-х(2<+т>, находим из (19), что
b (ж, t, t + т) = р (ж, t, i+.т) 4-
t	t
+4 J dV (у) J b (-J-, t - y, t + t - y) dH (w),
где V (у) = 1 —	, и
-Кт . -Хт
3 (я, М + т) = е~х <3f+T> -— -1-
t	1
+ 2 J Хет3*' dy J А (-J-, t - y\dH(u).
О	х 4	1
Сначала с помощью леммы 1 устанавливаем, что
2
Р (ж, t,	Ф (z), а затем рассуждаем как в лемме 2.
Теорема 1. Отношение
НС*,,»)
И (О, О
сходится при t-> со по вероятности к Ф(г).
Доказательство. По теоремам 2.6.4 и 2.6.5
р (0, t) e~xt сходится в среднем квадратическом к случай-
ной величине имеющей абсолютно непрерывное рас-
пределение. Покажем, что р (ж{, t) e~xt сходится в среднем
квадратическом к £Ф (z). Так как р (0, t) e~ft -► £ и
М (е~Х(р (ж,, t) - е-х <'+’> р (0, t + т) Ф (z)) -> О
при t —* оо, то нам достаточно доказать, что
М (e-x|i р (ж(, t) — е-МСН”) р (0, t 4- т) Ф (г))2 -► 0.	(21)
Но левая часть (21) равна
е^и t) -j- A (xt, t)) — 2Ф (z) е~х <2i+T> В (xt, f,£4-*)4-
+ е-2Х((+т)[5(0^)4-Л(0,0]Ф2(г).	(22)
Первые два слагаемых по леммам 1—3 сходятся к
2Ф® (z) и — 4Ф* (z), а последнее слагаемое сходится к
2Ф2 (z) (это устанавливается с помощью формулы (2.13)).
Итак, (21) доказано. Деля р (ж», i)e^xi на р (0, t) е~*‘,
получаем утверждение теоремы.
ГЛАВА XII
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ
ВЕТВЯЩИХСЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Случайные меры в измеримых пространствах
Пусть имеются вероятностное пространство (Q, 53, Р),
где Q —[пространство элементарных событий, ЗВ — а-
алгебра множеств из Q, Р — вероятностная мера на 53
и измеримое пространство (X, Л) с о-кольцом Л множеств
из X. Обозначим через R действительную прямую, а через
Л расширенную действительную прямую, в которой к точ-
кам из R добавлены еще точки — оо и оо. Пусть 2) и 2D —<т-
алгебры борелевских множеств на R и Л соответственно.
Измеримые функции] £ = £ (со), отображающие (Q, 53) в
(Я, 2)), будем называть случайными величинами. Случай-
ную величину £ будет называть конечной, если события
{| = оо} и {t = —оо} имеют вероятности, равные нулю.
Определение 1. Случайной мерой р в измеримом
пространстве (X, А) назовем совокупность случайных ве-
личии р (А) = р (А, со), определенных для всех А ЕЕЛ и
удовлетворяющих почти наверное (п.н.) следующим свой-
ствам:
1°. р (А) > 0 для всех А е Л и р (Ф) = 0, где Ф —
пустое множество (свойство неотрицательности).
2°. Если Ai ее Л, At f| Aj = Ф, i =/= j, то
n
н (А + • • • + А) = 2 н (А)	(1)
fc=l
(свойство конечной аддитивности).
394
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
3е Если лпе Л, АП\Ф и Р{р,(41Х оо} >о, то
Р{И(Лп)-*0|р(41)<оо} = 1;	(2)
если Ап^Л, Ап f А и Р{р(Л) = оо}^>0, то
P{P(^nH>оо||л(А) = оо} = 1	(3)
(свойство непрерывности).
В этом определении свойство непрерывности 3° означает,
что в первом случае (формула (2)) р (Ап) -► 0 п.н. на мно-
жестве^ (Лх)<оо}, а во втором случае р(Лп)^>оо п.н. на
множестве {р (А) = оо}. Нетрудно видеть, что соотноше-
ния (2) и (3) равносильны соответственно следующим:
Р{ П (p(4fc)<e] |р(Лх)<оо}—>1
»П
при любом е > 0 и п-> оо;
Р{ П [р(Л)>ЛГ]|р(Л)=оо}->1	(5)
К>п
при любом N > 0 и п -> оо.
Определение 2. Мы будем говорить, что две слу-
чайные меры щ и р2 равны, и писать рх = р2, если они
определены на одном и том же измеримом пространстве
(X, Л) и щ (Л) = р2 (Л) п.н. для любого А^Л.
В дальнейшем без особых оговорок мы будем пред-
полагать, что все свойства, относящиеся к значениям р (Л)
случайной меры р, выполняются п.н.
Покажем, что если выполнены свойства 1° и 2°, то свой-
ство непрерывности 3° эквивалентно следующему свойству
о-аддитивности:
4°. Если At П Лу = 0, i =/= /, то
оо
и( и л) = S нл) п.н.	(в)
П=1
Теорема 1. Случайная мера о-аддитивна. Наобо-
рот, если семейство случайных величин р (Л) удовлетворяет >
условиям 1°, 2° и 4°, то оно удовлетворяет также условию 3°.
Ъ67
§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ В ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 395
Доказательство. Пусть р — случайная мера. Пусть
А{ еА, Ai П А, = ф, i=£j,A= U Ап, Вп = U А- Тогда
п=1	1с=1
Вп t А и А — Вп I ф. Используя (2) и (3), получаем
ОО
Р|р(Л)=3 р(Лп)| = Р{р(5п)->р(Л)} =
-	п=1
= Р{р(^п)^°°|Р-И) = оо}Р{р(Л)=оо} +
-j-Р{р(Л — Вп)—>0|р(Л)<оо}Р{р(Л)< оо} =^= 1Г
т. е. свойство 4° о-аддитивности р выполняется. Пусть,
наоборот, выполнено 4°. Пусть А п | ф и Р{р(Лх)<^ °° } > 0.
Так ^как Лх = J С^п “ Лп+1), где Ai—Ai+1 при разных
п=1
ОО
i не пересекаются, то р(Лх) — S Н(^п~ Лп+1)7 п- н-
п=1
В частности,
Р{р(Лх) = lim [р (Лх) ~ р (Лп)] | р(Лх)< оо} = 1,
1Ъ-*ео
откуда следует (2). ЕслиЛп f Л, то Л = Лх+(Л2 —Лх) +
4- (Л3 — Ла) + ..., где Лг+1 — At не пересекаются при
разных t.J В силу а-аддитивности р(Л) = 11тр(Лп), по-
П—*0О
этому выполнено условие (3).
Можно показать, что в условии 3° вместо сходимости
п.н. (4) и (5) можно потребовать выполнения более слабой
сходимости по вероятности, т. е. заменить соотношения
(4) и (5) следующими: при п ->• оо и любых 8 > 0 и Аг > 0
Р{р(Лп)<8|р(Лх)<с>о}->1,	(7)
P{p^)>AT|p^) = oo}->l.	(8)
Т е о р е м а 2. Если в определении 1 вместо условий
(2) и (3) выполнены соответственно условия (7) и (8), то р бу-
дет случайной мерой.
Доказательство. В силу свойств 1° и 2° слу-
чайная мера монотонна, т. е. если Л cz В, то р (Л) р (В)
396 общее описание ветвящихся процвааов [гл.хн
п.н. Следовательно, если 4П | ф, то
П {р (40 < «} = {М- (Л) < «} п. н.,	(9)
к>п
а если Ап | Л, то
П {р (40 > N} = {р (40 > ;V} п. н;	(10)
&>П
Таким образом, из (7) и (9) вытекает (4), а из (8) и (10) вы-
текает (5). Теорема доказана.
При любых А ЕЕ «4, Df е= п = 1, 2,... обозначим
Р (4Х,. .., 4n; Du ... ,Dn)= Р{р (4Х) е £>i,... ,р (4n)eZ)n}
(И)
распределение вероятностей случайного вектора (р (4Х), ...
р (4П)). Распределения вероятностей (11) должны удов-
летворять известным условиям согласованности'.
Р (4j, • • , 4П, 4п+х,..., 4n+p,	, 2)п,	. • •, R) =
= Р (41,...» 4n; Z?i,..., Da), (12)
p(4jl,...,4in;Dil,...,Din) =
= Р (4i,...» 4n; Dx,..., Dn) (13)
для любой перестановки ix, ia, ..., in чисел 1, 2, ..., п.
Из определения 1 вытекает, что распределения (11)
должны также удовлетворять следующим условиям;
1°.	р(4;Я+) = 1,р(0; {0}) = 1,	(14)
где Л+ — расширенная полупрямая, состоящая из точек
I > 0 и точки оо (неотрицательность).
2°. Если At П 4; = ф, i =/= /, i, j — 1, 2,..., п, то
P (4i,..., 4n, 4X -|- ... -|- 4n; Z)xl..., Dnt D) =
=P •••»4n; DltDn), (15),
где Dj e i = 1, ..., n, a D состоит из точек вида
х=хл + ...+а:п, где Xi^Dt, i = 1, ...» л (аддитивность).
3°. Если Ап | ф, то при п оо
р (Ап, 4Х; [0, х), [0, оо)) -> р (4Х; [0, оо)) (16)
§ и СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ В ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 397
при любом х > 0; если Ап j А, то при л->- оо
р (Ап, A; (N, оо], {оо})	(Л; {оо})	(17)
при любом N > 0 (непрерывность).
Определение 3. Набор распределений
р (Ах,..., An; D±, ...,Dn), n=l, 2, ..., AхЕЬЛ, удов-
летворяющих условиям согласованности (12), (13) и пе-
речисленным выше условиям 1°, 2°, 3° (формулы (14) —
(17)), будем называть распределением вероятностей случай-
ной меры.
Нетрудно видеть, что каждой случайной мере соответ-
ствует некоторое распределение. Верно и обратное.
Теорема 3. Если набор конечномерных распределе-
ний р (Ах, ..., Ап; D19 ..., Dn) удовлетворяет условиям
определения 3, то можно построить такую случайную ме-
ру, для которой этот набор является распределением ве-
роятностей.
Доказательство. Так как распределения
р (Ах,..., An;D19 ..., Dn) удовлетворяют условиям согласо-
ванности, то по теореме А. Н. Колмогорова (см., например,
(8], гл. III § 2, теорема 3) можно построить такие случай-
ные величины р (А) на некотором вероятностном простран-
стве (Q,	Р), что справедливы равенства (И). Из условия
(14) вытекает, что р, (А) > 0 и ц (ф) = 0. Из условия
(15) следует свойство конечной аддитивности 2° в определе-
нии 1. Из условий (16) и (17) вытекают соотношения (7)
и (8), поэтому, в силу теоремы 2, построенные случайные
величины р, (А) образуют случайную меру.
Определение 4. Случайную меру р, будем назы-
вать конечной, если все случайные величины р, (А), А Е
конечны. Если X ЕЕ. Л, т. е. Л является о-алгеброй и р, (X)
конечна, то случайную меру р, назовем вполне конечной.
Определение 5. Случайную меру р, будем назы-
вать а-конечной, если любое А ее Л можно представить в
виде объединения А = U Ап не более чем счетного числа
п
таких Ап е Л, что р, (Ап) все конечны. Если Л — а-ал-
<30
гебра и X = 2 Ап, гДе И Мп) все конечны, то случайную
п=1
меру р будем называть вполне о-конечной.
398
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
С каждой случайной мерой jx можно связать следующую
функцию множеств А ЕЕ Л, В ЕЕ S3:
Q (А, В) = j р(А,©)Р(&о).	(18)
В
Функцию Q (Л, В) можно записать с помощью условного
математического ожидания
<?(Л,В) = М{И(Л)|1?}Р(В).	(19)
В частности,
(2(Л,Й) = МИ(Л).	(20)
Определение 6. Пусть (X, Л) и (У, S3) — два
измеримых пространства. Функцию Q (А, В), определен-
ную для всех А ЕЕ Л, В ЕЕ S3, назовем бивариантной ме-
рой, если Q (А, В) при любом фиксированном А ЕЕ Л
является мерой по 5 Е а при любом фиксированном
В ЕЕ S3 является мерой по А ЕЕ Л.
Теорема 4. Функция Q (А, В), определенная форму-
лой (18), является бивариантной мерой, причем при каж-
дом фиксированном А Ei Л мера Q (А, В) абсолютно не-
прерывна относительно Р(В). Наоборот, если Q (А, В) есть
бивариантная мера, определенная на измеримых простран-
ствах (X, Л), (Q, S3), и ecnuQ (Л, В) при любом А ЕЕ Л
абсолютно непрерывна относительно Р (В), то существует
случайная мера |1 (Л, со), связанная cQ (Л, В) соотношением
(18). Любые две случайные меры, удовлетворяющие (18),
равны друг другу.
Доказательство. Неотрицательность и ко-
нечная аддитивность по каждому аргументу вытекает не-
посредственно из формулы (18). Счетная аддитивность по
Л ЕЕ Л и по В е= S3 вытекает из теоремы о переходе к пре-
делу под знаком интеграла (см. [8], гл. II, § 5, теорема 1).
Далее из определения (18) вытекает абсолютная не-
прерывность Q (Л, В) относительно Р (В) при любом Л ЕЕЛ.
Пусть теперь, наоборот, нам задана бивариантная
мера Q (А, В), абсолютно непрерывная относительно Р (В)
при любом Л ее Л. Тогда при любом Л Е J по теореме
Радона — Никодима существует такая измеримая относи-
тельно S3 функция |х (Л, со), что для всех В ЕЕ S3 выполне-
§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ В ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВАМ 399
но равенство (18) (см. [43], стр. 131, упр. 7). Надо доказать,
что |х (Л, <о) удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3° определения 1.
Проверка условий 1° и 2° тривиальна. Докажем выпол-
нение условия 3°. Для этого покажем, что для Ап \ ф
выполняется условие (7), а для Ап j А выполняется усло-
вие (8). Пусть Ап | ф и В — (р, (Л^ < оо}, Р (В) > 0.
Покажем, что при любом п = 1, 2,... мера Q (Лп, В) мно-
жества В о-конечна, т. е. существует такая последова-
оо
тельность Вт е что В = U Вт, Q (4П, В) = 2 Q (Дм Вт)
т	т=1
и Q (А п, Вт) конечны. Положим Вт = {т — 1
«С р (Лх) < т}. Тогда	и в силу (18)
<? (Лх, Вт)^тР (Вт)<оо. Так как р (Лп) < р (Лх) п. н.,
то Q (Лп, 2?m) Q (Лх, 2?т) < оо. Покажем, что каковы
бы ни были 8 0, б 0, найдется такое и0, что при всех
п > п0
Р{р(Лп)>8|В}<б.	(21)
оо
Так как2 Р(Дв|В)я 1> то существует такое N, что
И1=1
2 Р (Вт | В) . Далее можно выбрать такое п0, что
m>N
для всех и > и0 и m^N
Q (Лп, Вт) = М {р (Лп) | Вт} Р(Вт) < -^Р(В). (22)
Это неравенство вытекает из того, что Ап | 0,
Q {A^Bn^coKQ (Л, Вт) является мерой поЛ Е Л. Из
(22) с помощью неравенства Чебышева получаем
Р{р (Лп) >81 Вт} Р(Вт) < —Р(В),
если п > n0, m^N. Итак, при п тг0
N
Р{р(Лп)>в|В}= 2 PM„>8|Sm}P{Sm|5} +
m=l
оо
+	2	P{^n>8|Bm}P(Bm|S)<2V^r+A = 6(
7П=ЛЧ-1
т. е. условие (7) выполняется.
400 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
Пусть теперь Ап | /1 Е Ап е Л. Обозначим
Во = {р. (Л) = оо}. Для любого В <= Вй, В <= 93 с
Р (В) >• 0 имеем Q (А, В) — оо. Так как Q (Ап, В) —>
—> Q (Л, В), то отсюда следует, что при п —> оо
Q (Лп, В) оо.	(23)
Пусть N > 0 и В= П {р. (Лп) < N} П Во. Тогда из (18)
п
вытекает, что при любом п
Q (Лп, В) < NP (В),
а так как, в силу (23), при Р (S)>0 (Лп, В) -> оо, то
Р (В) — 0; в самом деле, при любом N > 0 и п —>• оо
Р{р(Лп)>ДГ|В0} -р{и PM„)>^V|BOU
= 1-р(п {|*(Лп)<ЛГ}1Вв| = 1-4^Ь = 1,
'п—1	J	г ("О)
т. е. выполнено соотношение (8). Однозначность определе-
ния р (Л, а>) вытекает из теоремы Радона — Никодима.
Теорема доказана.
Таким образом, мы показали, что по любой случай-
ной мере р можно построить бивариантную меру
причем из рх = р2 вытекает	Наоборот, по би-
вариантной мере Q, удовлетворяющей'условию теоремы 4,
можно построить случайную меру pq, причем все слу-
чайные меры, построенные таким образом по данной би-
вариантной мере Q, равны друг другу. Отображения
Н “* (?н и Q Pq являются взаимно обратными, т. е.
Qv-q = Q, = и-
Определим некоторые частные классы случайных мер
и приведем некоторые примеры.
Определение 7. Случайная мера р называется
целочисленной, если случайные величины р (Л), Л ЕЕ
принимают только целые значения или оо.
Замечание!. Закон распределения целочисленной
случайной меры можно задать с помощью вероятностей
Р{р (Лх) = р (Л,) = А2, .., р (Лп) = fcn}«
{ 1] СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ В ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 401
Определение 8. Мы будем называть р случай-
ной мерой с независимыми значениями, если случайные
величины р (А{) для любых непересекающихся измери-
мых Лъ Л2, Ап независимы.
Замечание 2. Закон распределения случайной меры
с независимыми значениями однозначно определяется
одномерными распределениями Р {р (Л) ЕЕ D} = р (Л; D).
Вообще, можно показать, что закон распределения слу-
чайной меры однозначно определяется по конечномерным
распределениям р (Лх, ..., Лп; Dlt ... Dn) для попарно
непересекающихся Лъ..., Лп, п = 1,2,....
Пример 1. Пуассоновская мера. Пусть т(Л) — не-
которая мера в измеримом пространстве (X, Л). С помощью
закона распределения
к
Р{р(Л) = к} =	е-НА), если тп(Л)<оо,
Р{р,(Л) = оо} = 1,	если т (Л) = оо,
можно определить целочисленную случайную меру с не-
зависимыми значениями. Мы будем называть эту меру
пуассоновской.
Пуассоновская мера (вполне) (о)-конечна тогда и толь-
ко тогда, когда мера т(А) = Мр,(Л) (вполне) (сг)-конечна.
П р и м е р 2. Гамма-мера. Пусть опять т (А) — мера
в измеримом пространстве (Xt Л). С помощью одномерных
функции распределения
Р{Н (^) <®} = г(т(Л)) jum(A)-1 если 0<ти(Л)<оо, :
Р{р(Л)«оо) = 1,	если т (Л) = оо,
Р{р(Л)»0}=1,	если /и(Л) = 0,
(25)
можно определить случайную меру с независимыми значе-
ниями. Мы будем называть ее гамма-мерой. (Вполне) (о)-
конечность гамма-меры определяется тоже (вполне) (о)-
конечностью меры т (Л) = Мр (Л).
ПримерЗ. Случайная мера, порожденная конечным
числом мер и случайных величин. Пусть ...,	— неотри-
402 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
дательные случайные величины, а т1 (Л), ..., тг (Л) —
меры в (X, Л). С их помощью можно построить случайную
меру в (X, *Л)
И (А) =	(Л) + ... + Ьтг (А).	(26)
§ 2. Интеграл по случайной мере
Определим интеграл от измеримой функции / (ж), оп-
ределенной на измеримом пространстве (X, <Л), по случай-
ной мере Для простоты мы будем считать, что X Е Л
т. е. «Л представляет собой о-алгебру.
Определение 1. Измеримую функцию f (х)
назовем простой, если она представима в виде
п
/(«)= 2 CfcXAfcW,	(1)
R=1
где Ак е Л, к = 1, ..., п, At f] Л,- = ф, i =/= /, %А — ин-
дикатор множества Л, т. е. Ха (я) = 1, если жеЛ, и
Ха (ж) = 0, если х Л, cfe, к = 1, 2, ..., и,—конечные дей-
ствительные числа.
Определение 2. Пусть простая неотрицатель-
ная функция/ (ж) представима в виде (1). Случайную вели-
п
чину 2	(А) назовем интегралом от функции f (г)
»=1
по случайной мере р и будем обозначать j f (х) р (dx),
J/(a:)dp или J/dp.
Определение 3. Интегралом J/dp от изме-
римой неотрицательной функции / назовем предел п.н.
lim С fndp = f fdp,
П-*оо j	J
(2)
где /п — простые неотрицательные функции и /п f /.
Замечание 1. В определении 3 достаточно потре-
бовать, чтобы сходимость в (2) была по вероятности.
$ 2]
ИНТЕГРАЛ ПО СЛУЧАЙНОЙ МЕРЕ
403
Определение 4. Интеграл от измеримой функции
/ (х) определяется как
j / (ж) р (dx) = j Л (®) Р (dx) — j f~ (х) р (dx),	(3)
если правая часть (3) п.н. существует (т. е. не имеет
вид оо — оо), а /+ (х) = max {/ (х), 0} и f~(x) =
= max {0,—/ (ж)}.
Определение 5. Интеграл У/dp от / (ж) по
А
множеству А Л определяется как
J / (ж) Ха (х) р (dx) = У / (ж) р (dx).	(4)
А
Определение 6. Измеримая функция / называ-
ется интегрируемой по случайной мере р, если интеграл
j/ dp существует и п.н. конечен.
Совсем просто проверяется корректность определения
интеграла для простых функций (при этом мы считаем
две случайные величины | и ц равными, если | = ц п.н.).
Нетрудно также установить, что для простых функций вы-
полняются следующие свойства:
1е.	У(/ + g) dp = У f_dp 4- У g dp,	(5)
если существуют обе части равенства (5).
2е.	У/dp = У/dp 4-У/dp,	(6)
А+В	А	В
если А.ВеЛ, А П В = ф и существует по крайней
мере одна сторона равенства (6).
3°.	j* с/ dp = с J /dp.	(7)
4°а Если / (х) > 0, то п.н,
y/dp>0,	(8)
404 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
Прежде чем сформулировать следующее свойство, да-
дим
Определение 7. Пусть на измеримом простран-
стве (X, Л,) задана случайная мера р. Множество А ,А
мы будем называть ^-нулевым, если р (А) = 0 п.н. Класс
всех p-нулевых множеств, как нетрудно видеть, образует
о-кольцо ъ40, являющееся подкольцом о-кольца Л.
Определение 8. Мы будем говорить, что функ-
ция / (х) удовлетворяет некоторому условию p-почти всю-
ду (р-п.в.), если множество А, на котором это условие на-
рушается, является р-нулевым.
5°, Если / (#)> 0 и J/ dp = 0, то / (х) — 0 р-почти
всюду.
Корректность определения 3 вытекает из того, что для
любых двух последовательностей неотрицательных функ-
ций {/n}, {gn}, сходящихся к /, имеет место равенство
lim С /ndp = lim С gndp.
n—МО J	П—*oo J
Этот факт доказывается почти так же, как лемма 2 в [8],
гл. II, § 4. Корректность определения 4 вытекает из един-
ственности разложения f = /+ —- Нетрудно проверить,
что свойства 1°—5° справедливы для любых измеримых
функций / (х).
Приведем другой подход к определению интеграла
J/ dp. Как мы установили в § 1, с каждой случайной ме-
рой р можно связать бивариантную меру Q (А, В), которая
при каждом фиксированном А е= Л абсолютно непрерывна
относительно Р (В). Зафиксируем В ЕЕ 53 и определим ин-
теграл от измеримой функции / (х) по Q (А, В)
Qf(B) = j f(x)Q (dx, В).	(9)
При фиксированной измеримой функции / функция мно-
жеств Qf (В) является зарядом (т. е. разностью двух мер),
абсолютно непрерывным относительно Р (В). Поэтому по
теореме Радона — Никодима существует такая случайная
величина (т. е. ^-измеримая функция) <р (®), что
(2Д5) = J<p((o)P(d©).	(Ю)
в
$ 2]	ИНТЕГРАЛ ПО СЛУЧАЙНОЙ МЕРЕ	405
Эту случайную функцию и назовем интегралом / по рл
j/d|* = <p.	(И)
Теорема 1. Интеграл, определенный с помощью
равенств (9) — (И), равен интегралу, данному в определе-
ниях 2, 3 и 4.
Доказательство. Пусть / — неотрицательная
простая функция, заданная формулой (1). Тогда по опре-
делению 2
п
]*/Ф= 3 <W(A).
it=i
С другой стороны, из (1) и (9) следует
п
k=i
Так как
В
то
п
<2/ (#) = J 2 (ль ®)р (<М»
В S=1
откуда и вытекает утверждение для простых функций.
Так как интегралы j / ф и	определяются с
помощью интегралов для простых функций одинаковым
образом, то мы приходим к одному и тому же интегралу
j/Ф во всех остальных случаях.
Теорема 2. Для того чтобы измеримая функция f
была интегрируемой по случайной мере |1, необходимо и до-
статочно, чтобы заряд Qf (В), определенный формулой
(9), был а-конечным.
Доказательство. Достаточность вытекает из
теоремы Радона — Никодима ([43], § 31, теорема 2).
15 БЛА. Севастьянов
406 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
Докажем необходимость. Пусть интеграл J / dp, = ф яв-
ляется конечной случайной величиной. Тогда, обозначая
= {©з п — 1 < <р < л},
00
получаем из формулы (10), что (),(□)= 2	где
П=—00
(и - 1) Р (Bn) < Qt (Вп) < пР (Вп).
Теорема доказана.
Исходя из определения интеграла по случайной мере,
можно доказать следующие предельные свойства, анало-
гичные известным свойствам интеграла по неслучайной
мере (см. (5] гл. 1, § 5, теоремы 1, 3, 4):
1.	Если 0 /п (я) J / (я), то п.н.
lim f/ndp,= (7 dp.
n-»oo J	J
2.	Если lim fn(x) = f(x) и J fn(x)|<s(я), где s(x)
П-*<х>
интегрируема по мере jx, to
lim ffndp = [/dp.
n—»O0 V	J
3.	Функция
<pM)= jfdp
счетно-аддитивна no A ЕЕ Л.
Интеграл J / dp по случайной мере p для комплексных
измеримых функций / (я) определяется стандартным обра-
зом через интегралы действительной и мнимой части / (я).
Дадим один пример случайной меры, для построения кото-
рой используется понятие случайного интеграла.
Пример 1. Пусть имеется вероятностное простран-
ство (Q, 53, Р) и измеримые пространства (X, Л) и (У, $).
Пусть в измеримом пространстве (У, $) задана случайная
мера т) (С), С Е=<ё, и кроме того, пусть задана функция
т (А, у), А е	которая при фиксированном А ЕЕ
ЕЕ Л является ^-измеримой функцией у, а при фиксирован-
JJ2]	инФегрАл по случайной мере
407
ном}?/ ЕЕ Y является’мерой по А Е X Определим функцию
множеств р (Л) с помощью интеграла
р (Л) = | т (Л, у) ц (dy).	(12)
Нетрудно видеть, что р’(Л) является случайной мерой.
Нетрудно также, исходя из определения случайного ин-
теграла, получить следующее соотношение;
£ / (ж) р (dx) = f (х) т (dx, ?/)j ц (dy),	(13)
где / (ж)’— ^-измеримая4 функция, и равенство (13) имеет
место, если интегралы, входящие в него, имеют смысл.
Определение 9. Пусть р — случайная мера.
Обозначим S3}*. GC S3 о-алгебру, порожденную событиями
И (Л) Е Г, Л е Л, D ^35.
Теорема 3. Если интеграл ^fdp существует, то
он ИВ^-измерим.
Доказательство. Поскольку случайные величи-
ны р(А) для любых Ле<Л ^-измеримы, то ин-
теграл J/dp, измерим для/=Ха, А^Л. Так как сум-
ма измеримых функций измерима, то интеграл J /dp
^-измерим для простых функций /. Интеграл J / dp, от
неотрицательной «^-измеримой функции определяется
как п. н. предел J /п dp для простых fn | /; поэтому J fdp
также ^-измерим. Отсюда следует ^-измеримость ин-
теграла j / dp в общем случае (см. определение 4).
Определение 10. Случайные меры р19 ..., рп
будем называть независимыми, если при любых ЕЕ
события В19 ..., Вп независимы.
Теорема 4. Пусть случайные меры рп ..., рп незави-
симы, функции Л-измеримы и интегралы J /kdp&,
к = 1,..., п, существуют. Тогда J/х dpb ...,J fnd^ue-
зависимы.
15*
408 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
Доказательство. В силу теоремы 3 случайная
величина j/kdpk -измерима, а по определению 10 о-ал-
гебры к = 1, п, независимы. Отсюда следует
утверждение.
§ 3. Моменты
Как мы уже доказали в теореме 1.4, функция мно-
жеств
/и(Л) = Мр(Л), А^Л,	(1)
является мерой на (X, Л). Нетрудно видеть, что из (впол-
не) конечности или (вполне) а-конечности меры т (Л) вы-
текает соответственно (вполне) конечность и (вполне)
о-конечность случайной меры р.
Пусть функция f (ж) Л-измерима и интеграл J / dp
имеет смысл. Если существует математическое ожидание
этого интеграла М J f dp, то, как нетрудно видеть,
М J /р (dx) = f(x)m (dx).	(2)
Равенство (2) справедливо для простых функций, для мо-
нотонных пределов последовательностей простых функ-
ций и линейно относительно / (ж), следовательно, оно спра-
ведливо всегда, когда одна из его частей имеет смысл.
Определим теперь старшие моменты случайных мер.
Определение 1. Функцию множеств Q (Л1(...ЛП),
определенную на измеримых пространствах (Хк, «Лк),
Ак (=Лк, к = 1, 2, ..., п, назовем п-вариантмой
мерой, если при любых фиксированных Ак ее Лк, к=/= т,
она является мерой по Ат€ЕЛт в (Хт, Лт), ти=1, 2, ... п.
Пусть в измеримом пространстве (Xfc, Лк) задана слу-
чайная мера рк, к = 1, ..., п. Обозначим Q (Лх, ..., Лп)
математическое ожидание
Мр! (Лх).. .. pn (Лп) = Q (Ль ..., Ап), Л е^к, к= 1,...,п.
(3)
Как нетрудно видеть, справедлива следующая
МОМЕНТЫ
409
f 31
Теорема 1. Функция Q (Л1} Лп), определенная
формулой (3), является п-вариантной мерой.
Если все рк определены в одном и том ясе измеримом
пространстве (X, .А) и совпадают друг с другом, рх = ...
...= рп = р, то мы будем обозначать
»г„(Лх,..., Л„) = Мр(Лх)... р(Л„), Лк еХ (4)
В дальнейшем мы будем называть тп (Av ..., Лп) просто
п-м моментом случайной меры р (Л), а тх (Л) = т (Л) —
математическим оясиданием случайной меры р (Л).
Для целочисленных случайных мер представляет ин-
терес введение понятия факториальных моментов. Пусть
р — целочисленная мера. Дадим определение фактори-
альных моментов фп (^i> •••> -4п) сначала для случая,
когда тп (Лх, ..., Лп) оо. Первый факториальный мо-
мент фх (Л) определим как Мр (Л):
ФХ(Л) = Мр(Л) = т(А), Ае=.А.	(5)
Пусть уясе определены k-е факториальные моменты
Фк(Лх,..., Лк), Л|Е Л, i = l, ..., к, 1 к < п. Тогдаи-й
факториальный момент фп (Лх, ..., Лп), At G= А, опреде-
ляется из равенства
Мр(Лх).. .р(Л„) = фп(Лх, ...,ЛП) +
+ 22<риДг1}...,Дгк),	(6)
k=i sk
где Jx,..., /к — подмножества, на которые разбивается
мноясество индексов {1,2, ...,п} (т. е. Ji с{1,2,..., п},
к
Ji=h&, и и ={1,2,... , и}, Js f] Ji = ф, s=£t), Bj =
i=i
= fl Ait суммирование 2 распространяется на всевозмож-
<6=J	8)с
ные разбиения Jx,..., Jk множества {1,2, ...,га} (раз-
биения, отличающиеся только порядком, считаются
410 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. ХП
одинаковыми). Из данного выше определения вытекает, что
<р2 (Лх, At) = Мр (Лх) р (Л2) - Мр (Лх f| Л2) =
= ш2 (Лх, Л2) — т (Лх П Л2), (7)
Фз (^1» Л2, -^з) = т3 (-^1» -42, Л) “ т (^1» -^2 А Л8) —’
~ т2(Л2, Лх |"| Л8) ти2 (Л8, Лх |"| Л2) 4~ 2zzi (Л । f"| Л2 f| Л8).
(8)
Ниже мы будем пользоваться обозначением х№ =
= х (х—1) ... (х — а + 1), если а — 1, 2, ..., и ж!01 = 1.
Определение 2. Систему множеств Лх, ..., Лп,
Л4 (= «Л, i — 1, 2, ..., п, назовем С-системой, если имеется
такая система множеств^ — (Сх,..., Cr), С| е- «4,1 = 1, ...
...»г, что Ct П С] = ф, i =f= j, л каждое At совпадает с
одним из С}. Если среди множеств Лх, ..., Ап множество
Ct встречается ровно пг раз, i — 1,2, ..., г, п = пх 4- ...
... 4- пг, то мы будем говорить, что ^-система {Лх,..., Лп)
имеет характеристику (пх, ..., л,).
Лемма 1. Если система множеств Лх, ..., Ап явля-
ется ^-системой характеристики ...» «,), то
Фп (Лх,..., Лп) = Мр[М (С\)р[М (С2)... р[п'] (Сг). (9)
Доказательство. Будем рассуждать по индукции
по п. Для п = 1 лемма очевидна. Предположим, что (9)
справедливо для всех <pft ck п — 1. Докажем ее справед-
ливость для <рп. Обозначим а* числа Стирлинга 1-го рода.
Как известно (см. [6]), эти числа обладают следующими
тремя интересующими нас свойствами:
!)	хп = 2 а^хЮ, п = 1,2,....
fc=l
2) ал равно числу способов разбить множество мощно-
сти п на к непустых подмножеств (разбиения, отличаю-
щиеся только порядком подмножеств, считаются тожде-
ственными).
3)	= I.
13]
МОМЕНТЫ
411
Пользуясь предположением индукции и свойством 2)
чисел Стирлинга, получаем из (6)
Мр»*(Q... рпг (Сг) = Фп (А,..Ап) +
+	2	(10)
ki+...+kr< п
Далее, используя свойства 1) и 3), получаем
р». (Q... p"r (С) = pt-J (Q... plnrl (Q +
+ 3 С1 •. •	• • • Н[М (Q-	(Н)
Беря от обеих частей (11) математическое ожидание и срав-
нивая полученное равенство с (10), получаем равенство
(9). Лемма доказана.
Определение факториальной меры фп(Л1(..., Ап) при
помощи формулы (6) годится только в случае, когда
Mp^j)... р (Ап) < оо. Если Мр (Л2) ... р (Лп) = оо, то
будем определять фп следующим образом. Если Av ..., Ап
образуют ^-систему характеристики (лх, ..., пг), то мы
определим фп (Лх, ..., Лп) с помощью формулы (9). Во всех
остальных случаях можно найти такие Сг, ..., Сг 6= <4,
Ct П С, = ф, что каждое Ak представляет собой сумму
некоторых С{. Определим
ф„ (А,.... Апу= 2 ... 2 фп (Сй........Cin), (12)
ineJn
где Ju — такое подмножество индексов (1, 2, ..., г), что
2 Ci = Ак, а фл (Ctl, ..., С<п) уже определены формулой
(9), так как Cti, ..., Cin является ^-системой.
Лемма 2. Пусть имеются множества Съ ..., СГЕЕ-Л
и С^ f]	t=j=j. Если Cx= (J Clt,C1;[inC2k>=0,
412 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. ХП
&Х=/=Л2, то
п11+-««+пц=п1	14
Пц>0
X М|*[п*«] (Си)... pfrMl (Си) (Q... н[Пг1 {Сг). (13)
Доказательство. Формула (13) вытекает из
равенства
И[п.] (Q =	2	Н[П1П Рп)... Н[П1!1 (Си).
^н+...+п1^П1
Теорема 2. Определение (12) факториального мо-
мента корректно.
Доказательство. Пусть имеются две системы
непересекающихся множеств Ci, ...» Сг> и Сх, ..., С^, с по-
мощью которых можно по формуле (12) определить
<рп (4Х, Лп). Построим третью систему С< = С/П Ск, I —
1, 2,... г, которая также обладает свойствами, необхо-
димыми для применения формулы (12). Кроме того, каждое
С,- и каждое Ск представимы в виде суммы некоторых Ср
Записав определение фп (Ах, ..., Лп) с помощью формулы
(12) через множества Ср мы можем затем, пользуясь лем-
мой 2, произвести суммирования в правой части, приво-
дящие к определению фп (4Х, ..., Ап) через системы мно-
жеств Ci и Ci соответственно. Мы получаем, что значение
Фп (Яр ..., Л„) не зависит от системы множеств Сх, ..., Сг
с указанными выше свойствами, через которую по формуле
(12) определяется фп (Ах, ..., Л„).
Теорема 3. Факториальный момент фп (4Х, ..., Ап)
представляет собой п-вариантную меру.
Доказательство. В случае, когда значения
Мр,(Ах) ... р (Лп) конечны, доказательство получается
очень просто по индукции с помощью формулы (6). В об-
щем случае воспользуемся определением фп (4Х, ..., Ап) с
помощью формул (12) и (9). Неотрицательность и конеч-
ная аддитивность фп (Ах, ..., Лп) по каждому из аргумен-
тов легко вытекают из определения. Докажем о-аддитив-
ность. Пусть Aj е-Л, Aik е= Л, I = 1,2,..., n,k— 1, 2,...,
МОМЕНТЫ
413
S 31
Alkt П А1кг = ф,	Аг = U А*- Докажем, что
И
00
<Рп(-^Ь •	-^п) = S *Pn(^lfc> *^2> • • •! ^п)*	(14)
fc=l
В силу определения (12), равенство (14) достаточно до-
казать для ^-системы Лх, ..., Ап. Пусть характеристика
этой ^-системы равна (лх, пг), а $ = (Сх, ...» Сг).
Предположим, что Ах = Сх. Тогда при любом к Alk cz С1
и П Cj = ф, / = 2, ..., г. Обозначим Blk — Аг — Alk.
Докажем, что
ФпМш ^2> • • м -4п) =
= МИ (Ли) [р (G) - 1 l^ilptn,] (Q... рЫ (сг). (15)
Если Alt Ап является ^-системой, то нетрудно видеть,
что А1к, А2, ..., Ап является ^-системой, где] <@к = {А1к,
В1к, ..., Сг}. Определяя с помощью этой *ёк-системы
фп (А1к, Л2, Лп) по формуле (12), получаем
ФпС-^Цс» Ait • . ., Лп) =
= 2 W’l(4lfc) pl«-’l (Blk) рГМ (Q... р["Л (Сг) =
8=1
= Мр(Л1к)рМ(С2)...рЫ(Сг)х
П1
X s СГД [И (Л1к) -11 l-и р[">-»] (В11с).
»=1
Свертывая последнюю сумму, получаем (15). Из того, что
ОО
Р(Л) = 2 Н(Ак) п- н.» и из (15) вытекает (14), так как
1с=1
<р„ (4Ь .... Л) = М»М (Сх)... pl”*-] (Сг).
Теорема 4. Момент тп (Лх, ..., 4П) и факториаль-
ный момент <рп (Аь ..., Ап) симметричны относительно
сеоих аргументов Лх, Ап.
Доказательство легко следует из определения тп и фп.
414
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. ХП
Теорема 5. Пусть функции fk (х) Л-измери-
мы и пусть случайные интегралы /*dp существуют,
k = 1, 2, ..., п. Тогда
п
м IП J/кф] = j • • • Jh(*i) • • • /п(*п)	(Л?1, • • •» dxn),
fc®=l
(16)
если существует хотя бы одна из частей этого равенства.
В частности,
м [ J/ ^]n= $•••$/ (*i) ••♦/(*«) »»n <dxbdxn). (17)
Докавательство. Легко проверить справедли-
вость (16) сначала для простых функций, а затем для по-
ложительных измеримых и произвольных измеримых функ-
ций. Интегралы справа в (16) и (17) можно строить либо
покоординатно, либо сразу в произведении (Хп, Лп), поль-
зуясь тем, что n-вариантная мера тп является конечно-
аддитивной функцией множеств на кольце множеств в
Хп, порожденном измеримыми прямоугольниками
ЛдХ ... X А„, Ak е Jb, к = 1, 2, ..., п.
§ 4. Функционалы и их свойства
При изучении случайных мер большую роль играет
аппарат функционалов Лапласа, характеристических и
производящих функционалов. Ниже мы будем предпола-
гать, что случайные меры заданы на измеримом простран-
стве (X, Л), а функции / (х), $ (х) Л-измеримы.
Определение!. Функционал
£(/(•)) = L(/) = Mexp{-J/(x)p(dx)}	(1)
мы будем называть функционалом Лапласа случайной ме-
ры р. Функционал Лапласа L (/) определен всегда, когда
Re / (х) > 0 и интеграл f dp существует. Как правило,
мы будем аргумент f в L (/) предполагать действительным
и / (х) > О (тогда J /dp всегда существует).
5 41
ФУНКЦИОНАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
415
Определение 2. Функционал
С(/ (•)) = С (f) = М ехр{ф(х)р (ds)}	(2)
будем называть характеристическом функционалом слу-
чайной меры р. Характеристический функционал С (f)
определен всегда, когда Im f (ж) >> 0 и интеграл dp су-
ществует. Как правило, мы будем считать, что аргумент
/ в С (/) есть действительная функция.
Определение 3. Функционал
F (s (•)) = F (s) = М ехр |
log $ (ж) р (da:)}
(3)
будем называть производящим функционалом случайной
меры р. Производящий функционал существует, когда
| з (ж) |	1 и log 5 (х) р (dx) существует. Нетрудно ви-
деть, что эти функционалы выражаются друг через друга
следующим образом:
С (/) = L (- i/), F (з) = L (- log s), L (f) = С (if).
(4)
F (з) = С (- i log з), L (/) = F (e-0, C (/) = F (&).
Замечание 1. В дальнейшем производящий функ-
ционал мы будем определять только для целочисленных
случайных мер. В этом случае производящий функционал
F(s) всегда существует для | з (х) |	1, так как для та-
ких з (х) интеграл от Be {log3(x)} всегда существует, а
Im з (х) можно определять в интервале [0, 2л].
Приведем несколько примеров.
Пример! (см. пример 1.1). Вычислим производящий
функционал пуассоновской меры р в измеримом простран-
стве (X. Л) с математическим ожиданием Мр (А) = т (Л),
Если з (х) — простая функция
г
»(«)= S «richer),
k—1
416
ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
где П А} = ф, t =f= j, то
=	.	»(АГ) = Ц MsW =
к=1
г
= ехр2 (sk - 1)п»(4л) = exp|^[s(x) — l]m(dx)}. (5)
Используя теперь определение и свойства интегралов, вхо-
дящих в (5), получаем, что при всех измеримых | s (х)	1
F (з) = ехр | (s (х) — 1) т '(dx) }.	(6)
Пример 2 (см. пример 1.2). Вычислим функционал
Лапласа для гамма-меры р с математическим ожиданием
Мр, (4) = т (4). Пусть / (х) — неотрицательная простая
функция
Г
/(*)= S /kXAk(-r),
fc=l
где
П Aj = 0, i =/=f,
тогда
г	г
L (/) = М ехр |	П Мехр{-/»р(41с)} =
|г
= П	= ехр { - С log (1 + / (х)) т (dx)}.	(7)
k=i(l + /k)
Опять нетрудно получить, что формула (7) задает функцио-
нал Лапласа для всех неотрицательных измеримых / (х).
Пример 3. Построим характеристический функцио-
нал случайной меры р, представимой в виде (1.26) в при-
мере 1.3. Из (1.26) получаем
Г
j/(x)dp= 3 j/<х)тк (dx),
К=1
ФУНКЦИОНАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
417
5 41
поэтому
С (/) =	= cr ...........^fdmr),	(8)
1 2 ’fcl'k
где Сг(тх, ..., тг) = Me n=1	— характеристическая функ-
ция совместного распределения случайных величин
£1, •••» Br*
П р и и е р 4. Пусть в измеримых пространствах (X, Л)
и {У,*®) имеются случайные меры р (Л) и т] (С) соответст-
венно, связанные между собой соотношением (2.12) в
примере 2.1. Тогда в силу равенства (2.13) характеристи-
ческие функционалы Су. и Съ должны быть связаны сле-
дующим соотношением!
Cy.(f(-)) = cJ\f(x)m(dx,.)\-	(9)
Теорема 1. Функционал Лапласа L (f) случайной
меры р в измеримом пространстве (X, Л) определен для
всех неотрицательных Л-ивмеримых функций f (х) и удо-
влетворяет неравенству 0 Z (/) ^ 1. Знамения L (/) на
простых неотрицательных функциях f (х) однозначно опре-
деляют распределение вероятностей р.
Доказат ельство. Интеграл по случайной мере
\ /dp имеет смысл для любой измеримой / (ж) > 0. Так как
\/ dp есть неотрицательная случайная величина, то сущест-
вует и конечен функционал Лапласа (1), причем 0^
^Ме“ ^1. Далее, если
t (х)	(*)+••• + /пХа„ (х), > 0,
то
—	^(Ак)
L(/) = Me *=i
т. е. L (/) есть преобразование Лапласа n-мерного случай-
ного вектора (р (Лх),..., р (Ля)), которое однозначно оп-
ределяет распределение этого вектора, Теорема доказана.
418 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ
Теорема 2. Пусть L(f), f > 0, — функционал Лап-
ласа случайной меры р. Тогда	\
lim L (0%л (•)) = Р {р (Л) < оо},
в I о
Ит£(0Хд()) = Р{р(Л) = О}.
• t оо
Доказательство очевидно.
Теорема 3. Пусть р — вполне конечная случайная
мера на измеримом пространстве (X, Л). Характеристи-
ческий функционал	определенный по формуле (2),
существует для любых действительных ограниченных из-
меримых функций f (х). Распределение вероятностей меры
р однозначно определяется значениями С (/) на простых
функциях.
Доказательство. Если / (х) ограничена, а
мера р вполне конечна, то интеграл J / (х) dp всегда су-
ществует и представляет собой конечную случайную вели-
чину, характеристическая функция которой в точке 1 равна
С (/). Значение С (/) на простой функции / =	+ •••
... + /п%ап является характеристической функцией случай-
ного вектора р (Ах), ..., р (4П) и однозначно определяет
распределение вероятностей этого вектора. Отсюда следует
второе утверждение теоремы.
Теорема 4. Характеристический функционал С (/)
вполне конечной случайной меры р обладает следующими
свойствами!
1. с (0) = 1, I С (f) I < 1, С (- /) = о (/).
2- С (А) — С (/2) -*• 0 равномерно по всем ограничен-
ным flt f2, когда sup | А (ж) — А (х) | = || А — А1 -> 0.
х&Х
Доказательство. Свойства 1 следуют непо-
средственно из аналогичных свойств характеристических
функций. Свойство 2 доказывается следующим образом;
IС (А) - С (А) К М | е1 № -	I =
= М {| е1 № - е{ $11 р (X) < L} Р {р(Х)^А} +
+ М{|е‘^^-е^^||р(Х)>£}Р{р(Х)>£}<
<sup | А(х) - А(х) | LP{р(X) <L} + 2Р{р(X) > L}.
хеХ
I
$ 4]
ФУНКЦИОНАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
419
Выбирая сначала L таким, чтобы Р {р (X) > L} ,а
/х(х) и /2(х) такими, что sup|/х(х) — /2 (я) |< от-, полу-
чаем |C(/j) — C(/t)|<e.
Теорема 5. Пусть р есть целочисленная случайная
мера. Производящий функционал F (з) существует для
всех измеримых з (х) с | 5 (х) |	1. Значения производящего
функционала F (s) на простых функциях 0	5 (х)	1
однозначно определяют распределение вероятностей
меры р.
Доказательство. Если | s (х) j 1, а р — цело-
численная случайная мера, то log dp, всегда существу-
ет, так как log 5 = log | s | + & arg s и log| «К 0, 0
arg]s 2л. Поэтому по определению 3 существует F(s( •)).
п	п
Далее, еслиs(х)= 2 s*%Ak(*), то logs	2 loS** -%лк(®)
fc=l	И=1
И
F («(•)) = Ms?Al)...s*An),
r.e.F(s(-)) является производящей функцией целочислен-
ного неотрицательного вектора (р (Лх), ..., р (Лп)). Рас-
пределение этого вектора определяется значениями про-
изводящей функции F ($). Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть р — целочисленная случайная
мера. Если | s (ж) |	1, то | F (s (•)) |	1; если 0
$ (®)	1, то 0 F (а (•))	1. Далее,
limF(0XA)= Р{р(Л) = 0},
е |о
limF(0XA)= Р{р,(Л)<оо}.
eti
Доказательство. Нетрудно видеть, что F (9х а)
есть производящая функция М0н(А)в Отсюда получаем ут-
верждение теоремы.
Теорема 7. Пусть случайные меры р19 ..., рп не-
зависимы и р0 = рг + ... + рп. Тогда функционалы L^,k (/),
420 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ, (ГЛ. ХП
C^k (/), F{Xk (s) связаны следующими соотношениями:
п
L^(f) = П ЬИк(/),
fc=l
п
GUf)= П^(д
к=1
п
^(») = П ^(4
fc=l
Доказательство. Если щ независимы, то в
силу теоремы 2.4 случайные величины	к—1,2, ...п,
п
независимы. Так как J /ф0 = S J МНь то утверж-
fc=i
дение теоремы следует из соответствующих свойств ха-
рактеристических и производящих функцией и преобразо-
ваний Лапласа для случайных величин.
Установим теперь связь между производящими функ-
ционалами целочисленных случайных мер и факториаль-
ными моментами. Докажем сначала лемму.
Л е м м а 1. Пусть р( А) — целочисленная случайная мера,
г
£(4 = 3 Si'lAi (4 — простая функция, Ai (\А;^ф,1=^ j,
i=l
<Pfc,.Kr = MpM ... pfM (Лг), <pfc (X,..., X) -факта-
риальная k-вариантная мера. Имеет место равенство
2
Ki-h..-Hr==k
=	... ^g (Xi) ...g (xk) <ps (dXi,.... dxk). (10)
Доказательство. Если простую функцию
г
g (xk) ...g (xk) =	2 ёй • • •	щ Uk)
l'....Ъг=1

§4]
ФУНКЦИОНАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
421
проинтегрировать по <рА, то мы получим
J . • § £ (*i) • • • ё («к) фк (dxlt ...,dxk) =
= S &1---£<к<Рк(Л..-.»А)с). (Н)
**.*k=1
Система множеств Л	A {fc в каждом слагаемом справа в
(И) является ^-системой, где $ = (Лх, ..., Лг) (см. опре-
деление 3.2). Если характеристика ^-системы Лп, ..., Л<к
равна (Лх, ..., кг), то в силу леммы 3.1
Фк(Л„ ..., Лк) = (Лх)... (Лг) = Фк1... к|>. (12)
Отсюда получаем (10), так как среди слагаемых правой
части (11) имеется ровно ki fcl к t таких, для которых A tl,...
..., Aik является ^-системой характеристики (kv ..., кг).
Теорема 8. Пусть случайная целочисленная мера
(1 имеет для к^. t конечные факториальные моменты
<р* (Лх, ...» At). Тогда. производящий функционал F (з (•))
можно представить в виде
F(S(.))=1 +
t—1	р р
+ 2 Цйг •• V(«1)- .g(x1e)(f1c(dx1,...,dx}c)+Ri, (13)
k=l v “
где g (x) = 1 — s (as) и
0<7?((-l)'<-^-J...Jg (xj) ...g (xt) q>( (dxlt..., dr(),
(14)
если	и
I Rt К 4" J • • • $ I g (*x) |. • • I g (^t) | Ф/ (dxlt..., dxt), (15)
если | 5 (x) I < 1.
Доказательство. Утверждение теоремы спра-
ведливо для простых функций $ (х). Это следует из теоремы
422 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. X I
4.1.1, замечания 4.1.1 и леммы 1. Пусть теперь sn (х)
11 ёп (я) — такие простые функции, которые сходятся со-
ответственно к s (х) и g (ж), $ (х) + g (х) = 1. Поскольку
по условию теоремы функции 5 (х) и g (х) ограничены, а
меры ф£, а следовательно, и случайная мера р, конечны, то
в равенстве (13) и неравенствах (14) и (15) можно вместо
g и s подставить gn и sn и затем перейти к пределу по п оо.
В результате получим утверждение теоремы.
§ 5. Описание модели общего ветвящегося процесса
Все рассматриваемые в предыдущих главах модели
можно считать частными случаями следующего общего
ветвящегося процесса. Пусть в фазовом измеримом про-
странстве (X, JL) задан необрывающийся однородный мар-
ковский процесс с переходной вероятностью Р (t, х^ А).
Рассматривая каждую траекторию этого процесса как тра-
екторию блуждающей частицы, мы можем интерпретиро-
вать Р х, А) как вероятность того, что частица, начав-
шая свое блуждание из точки х Е X, через время t
попадает в множество A ЕЕ Л. Предположим, что в про-
странстве X имеется некоторое количество однотипных
частиц, блуждающих независимо друг от друга по траекто-
риям заданного выше марковского процесса. Каждая из
этих частиц имеет случайное время жизни т, зависящее
только от траектории соответствующей частицы. Мы будем
предполагать, что при любых 0	5 t условная вероят-
ность определяется формулой
Р{Т>*|Т>$} = е"а*,
где <4 — неотрицательный аддитивный функционал от
траектории частицы. Наиболее часто встречается случай,
когда
t
0t8 = J ф (#и)
8
где ф (я) > 0 — неотрицательная функция от ж Е X,
хи — положение частицы в момент и. Частица в конце своей
жизни производит некоторое случайное число новых час-
тиц, начальные положения которых распределены каким-
5] ОПИСАНИЕ ОБЩЕГО ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА 423
либо случайным образом по пространству X. Количество
и положения этих частиц зависят только от положения
частицы-предка в момент превращения. В дальнейшем каж-
дая новая частица независимо от других частиц эволюцио-
нирует аналогичным образом.
Обозначим такую случайную меру, что (А)
для каждого А ЕЕ Л равно числу частиц”в момент времени
£, находящихся в множестве А, если в начальный момент
времени была одна частица в точке х €= X. Через % обо-
значим такую случайную меру, значение которой т]у (А)
для любого А Е равно числу частиц-потомков в множе-
стве А в момент превращения, если частица-предок в
момент превращения находилась в точке у е X.
Пусть qx (i, А) обозначает вероятность того, что части-
ца, начавшая свое блуждание из точки хЕ^Х, за проме-
жуток времени [0, t) не испытает превращения и в мо-
мент t будет находиться в множестве Aez<A. Через Кх (В,А),
где х ЕЕ X, В — измеримое множество на оси времени,
А ЕЕ еА, обозначим условную вероятность того, что время
жизни частицы т содержится в В, а точка, в которой^нахо-
дится частица-предок, в момент превращения содержится
в А (при условии, что в начальный момент эта частица
находилась в точке х s X).
Обозначим F (х. t; s (•)) производящий функционал
меры fixe
F (#3; «(•))= Мехр
1о?«(г)Нх< (<&)}
и
Л (у> ^ (•))—производящий функционал меры
Му; «(•)) = м ехР
log s.(x) T)j, (dx)
(1)
(2)
Мы будем предполагать, что производящий функционал
(2) «А-измеримпо у. Из данного выше определения ветвя-
щегося процесса вытекает, что производящий функционал
(1) удовлетворяет следующему интегральному уравнению;
F(x,t;s(-)) = ^s(y)qx(t,dy) +
X
t
+ J j кх(du, dy)h(y,F(-,t-u-,s(-))),	(3)
0 X
424 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
которое получается, если при вычислении математического
ожидания в (1) сначала вычислить условное математиче-
ское ожидание, зафиксировав время жизни первоначаль-
ной частицы и место, в котором опа испытала превращение
в конце своей жизни. Первое слагаемое в (3) соответствует
случаю, когда время жизни т > t. Во втором слагаемом
сначала вычисляется условный производящий функционал
для при условии, что зафиксирован момент т = и и
место у превращения первоначальной частицы. Если при
этом зафиксировать число п потомков и их первоначальное
положение х19 ..., яп, то согласно теореме 4.7 этот услов-
ный функционал будет равен
F (xv t — и; $ (•))... F — u; a (•))•	(4)
Поскольку в атом случае мера t]!Z (Л) = (жх) 4- ...
... +Ха (®п), где ха(®)—индикатор множества Л, (4) можно
записать также следующим образом:
ехр log F (х, t — и; s (•))	(dx).	(5)
х
Беря от выражения (5) математическое ожидание, имеем
h (у; F (♦, t — и, s (•))). Осредняя затем по мере Кк, по-
лучаем второе слагаемое в (3).
В случае, когда время t пробегает лишь целые значе-
ния 0, 1, 2, ..., мы будем говорить о ветвящихся процес-
сах с дискретным временем. В таких процессах положим
qx (t, Л) = 0, а вероятностную меру Кх (В, Л) будем по-
лагать сосредоточенной в точке (1, ж). Тогда уравнение (3)
будет иметь вид
F (х, t + 1; а (•)) = h (®, F (-, t; s (•))), t = 0,1. 2, .... (6)
где
F(x,0; s (.)) = a(«).	(7)
Рекуррентное соотношение (6) носит характер обобщения
итерации функций. Из (6) нетрудно заключить, что спра-
ведливы также следующие соотношения:
F(x,t+ !;«(•)) = F(®, «; h (•, а (•))), « = 0,1,2, ... (8)
$ 5]
ОПИСАНИЕ ОБЩЕГО^ВЕТВЯЩЕГОСЯ ПРОЦЕССА
425
и при любых т = О, 1, 2, ...
F (x,t + т; S (•)) = F (х, t; F (., т; $ (•))).	(9)
Следует отметить, что ветвящиеся процессы часто рассмат-
риваются в редуцированном пространстве состояний (на-
пример, за состояние процесса принимается общее число
частиц безотносительно к их положению в Д В этом слу-
чае многие ветвящиеся процессы становятся] немарков-
скими.
Отметим некоторые важные частные случаи общего
ветвящегося процесса.
1)	Точка х интерпретируется как положение частицы в
некотором пространстве X. Частицы, возникающие после
превращения данной частицы в точке у Е X, все начинают
независимо от друг от друга свое блуждание из этой точ-
ки у. Это означает, что мера % вся сосредоточена в точ-
ке у. Частным случаем таких процессов являются вет-
вящиеся процессы с диффузией, о которых шла речь
в гл. X.
2)	Пусть X — множество всех неотрицательных чисел
[О, оо), и точка х е= X означает возраст частицы. Возраст
частицы меняется так, что Дх — At Время жизни части-
цы задается некоторой функцией распределения G (х).
Частицы порождают частицы нулевого возраста, поэтому
все меры т]у сосредоточены в точке х = 0. Изучаемые в
главах VIII и IX модели 2 и 3 относятся к ветвящимся
процессам рассматриваемого вида.
3)	Пространство X состоит из конечного числа точек
хх, ...» хп. Блуждание задается тривиально X/ = const, а
меры t]v произвольны. Так получаются обычные ветвящие-
ся процессы с несколькими типами частиц.
4)	Пространство X — положительная действительная
полуось. Точки х ЕЕ X интерпретируются как энергия или
размер частицы. Блуждание и превращение задаются ка-
ким-либо способом, отражающим то или иное реальное
явление (каскад космических лучей, дробление частиц
и т. п.)<
Представляют также интерес ветвящиеся процессы,
в которых сочетаются какие-либо из характеристик четырех
перечисленных выше типов.
426 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. XII
§ 6. Условия вырождения в общих ветвящихся
процессах с дискретным временем
Рассмотрим общий ветвящийся процесс с дискретным
временем, производящий функционал F(x, t;s («)) которого
удовлетворяет соотношениям (5.6) — (5.9). Обозначим
A(x,t,E) = H^xt(E),
В (х, t, Е1г Е2) = Мр-х< (Et) рх( (Е2) — Мрх/ (Z?x f") Е2),
где Е, Elt Е2 е Л, первый и второй факториальные
моменты. Обозначим также
А (х, 1, Е) = А (х, Е), А (х, X) = А (я),
В (ж, 1, Ev Е2) = В (х, Elt Е2), В (ж, X, X) = В (х).
Нетрудно видеть, что А (х) — Мрх, В (х) = Мр,х (рх — 1),
где рх = pxi (X) — случайная величина, равная общему
числу частиц, возникающих из одной частицы, распо-
ложенной в точке х S X в следующем поколении. Если
взять за функцию $ (у) константу s, то при каждом х Е= X
функция
h(x’,s) =	(1)
является производящей функцией для и А (х) =
= L’ В =	1,=1 • Из уравнения (5.9) мож-
но получить уравнение
А (х, t + т, Е) = А (х, t, dz) A (z, т, Е)
х
для математических ожиданий и соответствующие уравне-
ния для вторых факториальных моментов В (ж, t, Еи Е2).
Мы не будем здесь на этом подробно останавливаться, а
установим некоторые условия вырождения процесса.
Вероятность вырождения q (х) ветвящегося процесса,
начавшегося с одной частицы в точке х^Х, определяется
как предел
д(ж) = limF(x, I; 0)
t-*oo
$ в] условия вырождения в общих процессах 427
вероятностей вырождения F (х, I; 0) процесса к /-му по-
колению. Из (5.6) и (5.7) по индукции нетрудно получить,
что F (х, 0; 0) = 0 и F (х, t; 0) не убывает по t. Полагая в
(5.6) s = 0 и переходя к пределу по t -> оо, получаем, что
вероятность вырождения q (х) удовлетворяет уравнению
д(ж) = Л(ж;д(.)).	(2)
Теорема!. Если функция v (х) удовлетворяет усло-
виям 0 v (ж)	1 и
h (х; v (•)) v (ж)	(3)
при всех х е X, то q (х) v (ж).
Доказател ь с т в о. Обозначим qt {x)—F (х, t; 0).
Из (5.6) получаем
qt+1 (ж) = h (х-, qt (•))•	(4)
Из (3) и (4) по индукции получаем qt (х) v (х), следо-
вательно, q (х) = lim qt (х) v (х).
Теорема 2. Если Л = sup А (ж) < 1, то q (ж) = 1.
X
Доказательство. Уравнение (2) всегда имеет
решение, тождественно равное единице. Теорема будет
доказана, если мы установим, что любое другое решение
уравнения, удовлетворяющее условию 0 q (х)	1, обя-
зательно будет тождественно равно 1, q (х) з 1. Пусть
q(x) удовлетворяет (2). Тогда
l-q(x) = 1 — А(ж; <?(•))•	(5)
Правую часть (5) оценим по теореме 4.8
1 — h(x; q)^ А (х, dy) [ 1 — q (у)].
х
Получаем отсюда
0<1 — q(x)^ Jsup(l — q(y)) = Я||1 — tf||,	(6)
vex
где || v || = sup | v (x) |. Из (6) имеем
x&X
Il - gl<Jll - gj,
откуда вытекает q (x)	1, так как A < 1.
428 ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ [ГЛ.'.ХИ
Теорема 3. Если А = inf А (я) > 1 и В = sup В (х) <f
хеХ	хеХ
<оо, то supg(£)<l.
хех
Доказательство. Поскольку при каждом х GE X
производящая функция h, (х, s), определенная равенством
(1), имеет производную А(х) = dh > А > 1, то
уравнение
s = h (х; s)	(7)
имеет корень v = v (х)	1. Подставляя s = v (х) в раз-
ложение функции h (х‘, s)
i-h(x;s)= 4(x)(l-s)-^-(l -s)2,	(8)
где В (х) В (ж) S, получаем
1 — v (х) = 1 — h {х, v (х))=
= А (х) (1 - v («)) -	(1 - v (х))2,
откуда следует
1>4 -4(1 -
(9)
Из (9) имеем || v || 1-^==—- . Для v (х) s < 1
имеют место неравенства h(x,s)^.s и v (х)^. || р|| < 1, по-
этому h (х, ||р||) ^||р||, и по теореме 1 g (ж) <; || и||< 1.
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Глава I
В §§ 1, 2, 4 и 7 изложение следует работам А. Н. Колмогорова
и Н. А. Дмитриева [16] и автора [23]. В § 3 использован материал
книги Феллера [41]. Примеры в § 8 заимствованы из работ Харри-
са [45], В. М. Золотарева [11], Кендалла [66].
Глава II
Асимптотика вероятности продолжения процесса для дискрет-
ного времени установлена А. Н. Колмогоровым [14], для непрерыв-
ного времени автором [23]. Уточнение этих результатов имеется
в работах В. М. Золотарева [11], А. В. Нагаева и И. Бадалдаева [19],
Хиткот, Сенета и Вир-Джонса [57]. Их результаты использованы
в §§ 2, 4 и 5. § 3 построен по статье автора [34]. Предельные теоремы
для процессов с дискретным временем доказаны в работах А. М. Яг-
лома [50], Харриса [58], с непрерывным временем — в моей работе
[23]. В § 6 использованы работы Харриса [45, 58]. В § 7 использова-
на статья В. П. Чистякова и Н. П. Марковой [48]. Локальные пре-
дельные теоремы можно найти в работах В. П. Чистякова [46] и
Кестена, Нея и Спицера [67].
Глава III
Глава написана по материалам статьи автора [27]. В § 4 исполь-
зована работа С. В. Нагаева и Р. Мухамедхановой [20]. Переход-
ные явления в процессах с несколькими типами частиц изучал '
В. П. Чистяков [47].
Глава IV
В §§ 2, 3 использованы работы А. Н. Колмогорова, Н. А. Дми-
триева [16], автора [23]. В § 4 использована книга Р. Веллмана [1].
§ 6 основан на работе автора [23], в § 7 использован материал статьи
Иржины [10].
Глава V
§§1,2 основаны на работах А. Н. Колмогорова и автора [17],
[23]. В §§ 3, 4, 5 использованы работы автора [26], Оттера [73] и
О. В. Вискова [3].
430
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Глава VI
§§ 1, 2 основаны на работах Кестена и Стигума [68] и Иржи-
ны [10]. В § 3 использованы работы Эверетта и Улама [54] и Харри-
са [45].
Глава VII
Изложение основано на статье автора [24]. Процессы с имми-
грацией с дискретным временем рассматривал также Хиткот [56].
Глава VIII
Впервые описание ветвящихся процессов с зависимостью от воз-
раста дано Веллманом и Харрисом [51, 52]. В §§ 1—4 использованы
[заботы Харриса [45] и автора [30]. § 5 основан на работах автора
32, 37] и А. О. Гельфонда [7]. Доказательство теоремы 11 принад-
лежит немецким математикам Бюлеру и Кренгелю (устное сообще-
ние получено автором от них во время симпозиума по ветвящимся
процессам в Обервольфахе в июне 1967 г.). В §§ 7 и 8, помимо имею-
щихся там ссылок, использована статья автора [33]. §§ 9 и 10 осно-
ваны на работе автора и В. П. Чистякова [38].
Глава IX
Изложение основано на статьях автора [30, 31, 35]. Другим
методом асимптотика вероятности продолжения критического про-
цесса в модели 3 получена Човером и Неем [53].
Глава X
Использованы материалы статей автора [25, 28]. Дальнейшее
развитие теории ветвящихся процессов с диффузией можно найти
в работах А. В. Скорохода [39, 40], Ватанабе [75].
Глава XI
Изложение § 3 основано на статье Нея [72]. См. также работы
А. Н. Колмогорова [151, А. Ф. Филиппова [42], Харриса [45, 59]
и Нея [71].
Глава XII
В $ 5 использована заметка автора [29], в $ 6 — работа Мойала
[69]. Различные направления теории общих ветвящихся процессов
развиваются в работах А. В. Скорохода [39, 40], Мулликина [70],
Б. П. Харламова [44], Иржины [65], Икеда, Нагасава, Ватанабе
[60-641.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Р. Веллман, Введение в теорию матриц (перев. с англ.)*
«Наука», М., 1969.
2.	Вайнберг М. М., Тревогин В. А., Теория ветвле-
ния решений нелинейных уравнений, «Наука», М., 1969.
3.	Висков О.В., Несколько замечаний о ветвящихся процес-
сах, Матем. заметки 8, № 4 (1970), 409—418.
4.	Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, Гостехиздат, М., 1953.
5.	Гельфанд И. М„ Райков Д. А., Шилов Г. Е.,
Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, М., 1960.
6.	Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, Гостех-
издат, М.— Л., 1952.
7.	Гельфонд А. О., Об одной теореме единственности, Ма-
тем. заметки 1, № 3 (1967), 321—324.
8.	Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию
случайных процессов, «Наука», М., 1965.
9.	Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные
распределения для сумм независимых случайных величин,
Гостехиздат, М.— Л., 1949.
10.	ИржинаМ., Асимптотическое поведение ветвящихся случай-
ных процессов, Чехосл. матем. журнал 7, К® 1 (1957), 130—153.
11.	Золотарев В. М., Уточнение ряда теорем теории ветвя-
щихся случайных процессов/ Теория вероятн. и ее примен. 2,
№ 2 (1957), 256—266.
12.	Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный
анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, М., 1959.
13.	Кокс Д. Р., Смит В. Л., Теория восстановления (перев.
с англ.), «Сов. радио», М., 1967.
14.	Колмогоров А. Н., К решению одной биологической
задачи, Изв. НИИ матем. и мех. Томского ун-та 2 (1938), 7—12.
15.	Колмогоров А. Н., О логарифмически нормальном зако-
не распределения размеров частиц при дроблении, ДАН 31,
(1941), 99—101.
16.	Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А., Ветвящиеся
случайные процессы, ДАН 56, № 1 (1947), 7—10.
17.	Колмогоров А. Н., Севастьянов Б. А., Вычис-
ление финальных вероятностей для ветвящихся случайных про-
цессов, ДАН 56, № 8 (1947), 783—786.
18.	Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 2-е изд., 1935.
19.	Нагаев А. В., Бадалбаев И., Уточнение некоторых
теорем о ветвящихся случайных процессах, Литов, матем. со. 7,
№ 1 (1967), 129-136.
432
ЛИТЕРАТУРА
20.	Н а г а е в С. B.t М у х аме д х анова Р., Переходные
явления в ветвящихся случайных процессах с дискретным вре-
менем, сб. «Предельные теоремы и статистич. выводы», Ташкент,
«Фан», 1966, 83—89.
21.	ПетровскийИ. Г., Лекции по теории интегральных урав-
нений, Гостехиздат, М., 1948.
22.	Покорный В. В., Об аналитичности решений некоторых
нелинейных уравнений, Тр. семинара по функц. анализу Воро-
нежского ун-та, вып. 2 (1956), 39—45.
23.	Севастьянов Б. А., Теория ветвящихся случайных
процессов, УМН 6, № 6 (1951), 47—99.
24.	Севастьянов Б. А., Предельные теоремы для ветвя-
щихся случайных процессов специального вида, Теория веро-
ятн. и ее примен. 2, № 2 (1957), 339—348.
25.	Севастьянов Б. А., Ветвящиеся случайные процессы
для частиц, диффундирующих в ограниченной области с погло-
щающими границами, Теория вероятн. и ее примен. 3, № 2
(1958), 121-136.
26.	Севастьянов Б. А., Финальные вероятности ветвящих-
ся случайных процессов, Теория вероятн. и ее примен. 2, № 1
(1957), 140-141.
27.	Севастьянов Б. А., Переходные явления в ветвящихся
случайных процессах, Теория вероятн. и ее примен. 4, № 2
(1959), 121—135.
28.	Севастьянов Б. А., Условия вырождения ветвящихся
процессов с диффузией, Теория вероятн. и ее примен. 6, № 3
(1961), 276—286.
29.	Севастьянов Б. А., Об общем определении ветвящихся
случайных процессов, «Зимняя школа по теории вероятностей
и матем. статистике, Ужгород, 1964», Киев, 1964, 217—220.
30.	Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы с превраще-
ниями, зависящими от возраста частиц, Теория вероятн. и ее
примен. 9, № 4 (1964), 577—594; письмо в редакцию, там же 11,
№ 2 (1966), 363—364.
31.	Севастьянов Б. А., Асимптотика вероятности продол-
жения критического ветвящегося процесса, Теория вероятн. и
ее примен. 12, № 1 Ц967), 179—183.
32.	Севастьянов Б. А., О регулярности ветвящихся про-
цессов, Матем. заметки 1, № 1 (1967), 53—62.
33.	Севастьянов Б. А., Уравнения типа восстановления и
момен'^ы ветвящихся процессов, Матем. заметки 3, № 1 (1968),
3-14.
34.	С е в а с т ь я н о в Б. А., Математические ожидания функций
от сумм случайного числа независимых слагаемых, Матем.
заметки 3, № 4 (1968), 387—394.
35.	С е в а с т ь я н о в Б. А., Предельные теоремы для ветвя-
щихся процессов с превращениями, зависящими от возраста
частиц, Теория вероятн. и ее примен. 13, № 2 (1968), 243—265.
36.	Севастьянов Б. А., Теория ветвящихся процессов,
Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика.
Теоретическая кибернетика. 1967, 5—46, ВИНИТИ, 1968.
ЛИТЕРАТУРА
433
37.	Севастьянов Б. А., Необходимое условие регулярности
ветвящихся процессов, Матем. заметки 7, № 4 (1970), 389—396.
38.	Севастьянов Б. А., Чистяков В. IL, Уравнения
многомерного восстановления и моменты ветвящихся процес-
сов, Теория вероятн. и ее примен. 16, № 2 (1971), 201—217.
39.	Скороход А. В., Ветвящиеся диффузионные процессы,
Теория вероятн. и ее примен. 9, № 3 (1964), 492—497.
40.	С к о р о х о д А. В., Построение марковских процессов с по-
мощью мультипликативных функционалов, «Зимняя школа по
теории вероятностей и матем. статистике, Ужгород, 1964»,
Киев, 1964, 191—216.
41.	Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее прило-
жения, «Мир», М., т. 1, 1964; т. 2, 1967 (перёв. с англ.).
42.	Филиппов А. Ф.| О распределении размеров частиц при
дроблении, Теория вероятн. и ее примен. 6, № 3 (1961), 299—
318.
43.	X а л м о ш П., Теория меры (перев. с англ.), ИЛ, М., 1953.
44.	Харламов В. П., О некоторых свойствах ветвящихся
процессов с произвольным множеством типов частиц, Теория
вероятн. и ее примен. 13, № 1 (1968), 82—95.
45.	Харрис Т. Е., Теория ветвящихся случайных процессов
(перев. с англ.), «Мир», М., 1966.
46.	Чистяков В. П., Локальные предельные теоремы теории
ветвящихся случайных процессов, Теория вероятн. и ее примен.
2, № 3 (1957), 360-374; 10, № 3 (1965), 597-598.
47.	Чистяков В. П., Переходные явления в ветвящихся про-
цессах с п типами частиц, Теория вероятн. и ее примен. 6, № 1
(1961), 31—46.
48.	Чистяков В. П., Маркова Н. П., О некоторых тео-
ремах для неоднородных ветвящихся процессов, ДАН 147,
№ 2 (1962), 317—320.
49.	Эйдус Д. М., Некоторые неравенства для собственных
функций, ДАН 107, № 6 (1956), 796—798.
50.	Я г л о м А. М., Некоторые предельные теоремы теории вет-
вящихся случайных процессов, ДАН 56, № 8 (1947), 795—798.
51.	Bellman R., Harris Т. Е., On the theory of age-depen-
dent stochastic branching processes, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.
34, № 12 (1948), 601—604.
52.	Bellman R., Harris T. E., One age-dependent binary
branching processes, Ann. of Math. 55, № 2 (1952), 280—295.
53.	Cho ver J., Ney P.E., A non-linear integral equation and
its application to critical branching processes, J. Math, and Meeh.
14, № 5 (1965), 723—735.
54.	Everett C., U lam S., Multiplicative systems, I, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A. 34, Кг 8 (1948), 403—405.
55.	Feller W., Fluctuation theory of recurrent events, Trans.
Amer. Math. Soc. 67, № 1 (1949), 98—119.
56.	Heathcote C. R., A branching process allowing immigra-
tion, J. Roy. Statist. Soc. 27, № 1 (1965), 138—143; corrections
28, № 1 (1966), 213-217.
434
ЛИТЕРАТУРА
57.	Heathcote С. R., S е и е t а Е., Vere-Jones Ь.,
A refinement of two theorems in the theory of branching processes,
Теория вероятн. и ее примен. 12, № 2 (1967), 341—346.
58.	Н а г г i s Т. Е., Branching processes, Ann. Math. Statistics 19,
№ 4 (1948), 474—494.
59.	H a r r i s T. E., The random functions of cosmic-ray cascades,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 43, № 6 (1957), 509—512.
60.	Ikeda N., N agasawa M., Watanabe S., On bran-
ching Markov processes, Proc. Japan Acad. 41, № 9 (1965).
61.	Ikeda N., Nagasawa M., Watanabe S., Funda-
mental equations of branching Markov processes, Proc. Japan
Acad. 42, № 3 (1966), 252—257.
62.	Ikeda N., Nagasawa M., Watanabe S., A con-
struction of branching Markov processes, Proc. Japan Acad. 42,
№ 4 (1966), 380—384.
63.	I к e da N., Nagasawa M., Watanabe S., Trans-
formation of branching Markov processes, Proc. Japan Acad. 42,
№ 7(1966), 719—724.
64.	Ikeda N., Nagasawa M., Watanabe S., On bran-
ching semi-groups I, II, Proc. Japan Acad. 42, № 9 (1966), 1016—
1021; 1022-1026.
65.	J i r i n a M., General braching processes with continuous time
parameter, Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on
Math. Statist, and Probability, 1965, Berkeley — Los Angeles,
Univ. California Press, 1967, vol. 2, part 1, 389—399.
66.	Kendall D. G., On the generalized birth-and-death process,
Ann. Math. Statistics 19, № 1 (1948), 1—15.
67.	К e s t e n H., Ney P., Spitzer F., The Galton — Wat-
son process with mean one and finite variance, Теория вероятн.
и ее примен. 11, № 4 (1966), 579—611.
68.	К е s t е n Н., S t i g u m В. P., A limit theorem for multi-
dimensional Galton — Watson processes, Ann. Math. Statistics
37, № 5 (1966), 1211—1223.
69.	Moyal J. E., Multiplicative population chains, Proc. Roy.
Soc. A266, № 1327 (1962), 518-526.
70.	M u 11 i к i n T. W., Limiting distributions for critical multi-
type branching processes with discreate time, Trans. Amer. Math.
Soc. 106, № 3 (1963), 469—494.
71.	Ney P. E., Ratio Limit theorems for cascade processes, Z.Wahr-
scheinlichkeitstheor. und verw. Geb. 3, № 1 (1964), 32—49.
72.	Ney P. E., The limit distribution of a binary cascade process,
J. Math. Analysis and Applic. 10, № 1 (1965), 30—36.
73.	Otter R., The multiplicative process, Ann. Math. Statistics
20, № 2 (1949), 206-224.
74.	S m i t h W. L., Asymptotic renewal theorems, Proc. Roy. Soc.
Edinburgh A64 (1953—1954), 9—48.
75.	Watanabe S., On the branching process for brownian par-
ticles with an absorbing boundary, J. Math. Kyoto Univ. 4, № 2
(1965), 385—398.
76.	W id d er N., The Laplace transform, Princeton University
Press, 1941.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотика вероятности про-
должения процесса 54, 316,
350
Бинарная модель 385
0-момент 110
Вероятности вырождения 49,
155, 368
— финальные 166, 374
----полные 166
Ветвящийся процесс вполне
разложимый 138
— — вырождающийся 49, 155,
236, 369
----детерминированный 36
----для частиц с энергией 383
----докритический 34, 151,
222, 282, 368
----критический 34, 151, 222,
282, 368
----марковский с одним ти-
пом частиц 11
—------с конечным числом
частиц 108
----надкритический 34, 151,
222, 282, 368
----невырождающиися 49,
155, 236
— — неоднородный во времени
36
----непериодический 138
—	— неразложимый 138
----нерегулярный 244
—	— периодический 138 •
—	— разложимый 138
—	— регулярный 244
*— — с дискретным временем 12
— — с диффузией 354
Со) 103
136
Ветвящийся процесс с иммиг-
рацией 217
-----с непрерывным временем
12
— — с превращениями, зави-
сящими от возраста 229
Гамма-мера 401
Дисперсия числа частиц 33
(G, Л)-процесс 244
Интеграл по случайной мере
402
Класс замкнутый 137
~ X (50. с0) 88
- X (Во,
— особый
— сообщающихся типов 136
— финальный 137
— функций распределения Га
Классификация типов частиц 133
Критичность 32, 133
Математические ожидания чис-
ла частиц 33, 122, 362
Матрица вполне разложимая 125
— квазинеотрицательная 132
— квазиположительная 132
— неотрицательная 125
— неразложимая 125
— положительная 125
— разложимая 125
Мера бивариантная 398
— п-вариантная 408
Минимальная последователь-
ность 246
436
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Минимальное решение 246
Множество ц-нулевое 404
Модель 1 229
— 2 233
— 3 233
Моменты числа частиц 32, 143,
220, 264, 408
Переходные явления 87
— — в процессах, начинаю-
щихся с большого числа час-
тиц 96
— — — — с дискретным вре-
менем 103
----------с непрерывным
временем 88
Перронов корень 131, 132
Правильное множество типов
частиц 139
Предельная теорема для докри-
тических процессов 67, 196,
222, 352
— — — критических процес-
сов 72, 210, 224, 332
— — — надкритических про-
цессов 75, 215, 226, 352
Производящая функция 15
— — вероятностная 15
— — дробно-линейная 41
— — квазиположительная 15
— — многомерная 108
-----— вероятностная 109
— — — квазиположительная
109
— — — положительная 109
— — положительная 15
Простая функция 402
Пуассоновская мера 401
Распределение Бореля — Тан-
нера 188
— вероятностей случайной ме-
ры 397
Случайная мера в измеримом
пространстве 393
— — вполне конечная 397
— — — о-конечная 397
— — конечная 397
— — а-конечная^ЗЭ?
Случайная мера с независимыми
значениями 401
— — целочисленная 400
Собственный вектор левый 126
-----правый 126
S’-подпроцесс ветвящегося про-
цесса 141
Теорема Блекуэлла 270
— Перрона 126
— Фробениуса 130
— Эрдеша, Феллера и Пол-
ларда 270
Типы частиц сообщающиеся 133
— — эквивалентные 133
Узловая теорема восстановле-
ния 270
Уравнение восстановления 268
— многомерного восстановле-
ния 295
--------докритическое 297
— — — критическое 297
--------надкритическое 297
Уравнения для производящих
функций 24, 117, 219, 231,
233, 359
Условие 60
- & 61
—	61
— <#хо63
- ^Хо 63
— p-почти всюду (ц-п.в.) 404
Условия согласованности слу-
чайных мер 396
Факториальный момент 17
— — порядка 0 110
Функционал Лапласа 414
— производящий 415
— характеристический 415
Функция распределения абсо-
лютно непрерывного типа 272
— — /-арифметическая 269
— — неарифметическая 270
^-система 410
Шаг распределения 270
Элементарная теорема восста-
новления|(269

Цена 1 р. 58 к
Быстрое развитие теория
вероятностей и математиче-
ской статистики, а также рас-
ширение применений вероят-
ностно-статистических методе*
в различных областях науки и
производства вызывают необ-
ходимость увеличить выпуск
литературы по этим матема-
тическим дисциплинам.
С этой целью Издательстве
выпускает серию «Теория ве
роятностей и математическая
статистика», составленную и;
оригинальных монографий, на
писанных видными советски
мп специалистами.
Книги этой серии посвящеd
ны наиболее актуальным для!
теории и практики областям
современной теории вероятно-,
стей и математической ста-]
тпетики.
ЗБе
С.-2.80