Текст
УДК 512.24.001
Эедгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для ис-
исследования многокомпонентных систем. М., «Наука», 1976,
стр. 390.
Предлагаются современные методы планирования экспери-
эксперимента, применяемые для исследования и оптимизации много-
многокомпонентных систем.
Для систем, зависящих от количественных факторов, рас-
рассматриваются отсеивающие эксперименты, факторные планы,
алгоритмы достижения почти стационарной области, планы вто-
второго и третьего порядка для описания почти стяггилнат>.™>-и- обла-
области. ИЯЛПЖОНЧ n/w."
„...„шияп почти стационарной области, плань
рого и третьего порядка для описания почти стационарной
сти. Изложены вопросы планирования эксперимента при нали-
наличии качественных факторов. Детально now——
ПИЙ г>т*«"~-
«.u4MunajJHOIi ООЛЭ-
„и™/»™ы «опросы планирования эксперимента при нали-
наличии качественных факторов. Детально рассмотрено планирова-
планирование эксперимента на диаграммах состав—свойство.
Книга представляет интерес для широкого круга чита-
читателей: специалистов ио математической статистике, металлур-
металлургов, химиков, физиков-экспериментаторов, технологов разного
профиля, специалистов но автоматизации.
Табл. 102, ил. 73, список лит. 289 назв.
Ответственные редакторы:
кандидат технических наук Ю. П. АДЛЕР,
кандидат технических наук Т. А.
, 30502-222
1 055@2)-76 731~76
©
Издательство «Наука», 1976 г
Предисловие
За последние годы коренным образом изменился подход к эк-
экспериментально-статистическому исследованию и оптимизации
сложных многокомпонентных систем. В различных областях на-
научно-технических исследований успешно стали применяться
методы математического планирования эксперимента. Широкое
применение этих, существенно повышающих эффективность
исследований, методов обусловила также их универсальность,
пригодность в большинстве областей исследования — в химии, ме-
металлургии, промышленности строительных материалов, медицине,
бицЦ^йй,5 электронике, автоматике, вычислительной технике
"Отсутствие нгцаусском языке систематического изложения ме-
тодоЯ^Ш мщщрШки планирования эксперимента для исследова-
исследования СйрЙВИхсистем, зависящих от многих разнородных факторов,
побудило автора написать эту книгу. При подготовке данной руко-
рукописи сделана попытка систематизировать многочисленные мате-
материалы по математическому планированию эксперимента для ис-
исследования многокомпонентных систем, хотя автор отдает себе отчет
в том, что такая систематизация не является полной. В моногра-
монографии изложены вопросы планирования эксперимента для систем
с независимыми количественными и качественными факторами.
Основное внимание уделено планированию эксперимента на диа-
диаграммах состав—свойство. Кроме описания известных методи-
методических приемов, в книге содержится ряд разделов, относящихся
к оригинальным разработкам автора.
Книга рассчитана на читателей, знакомых с элементами теории
вероятностей, математической статистики и основами линейной ал-
алгебры.
При изложении материала использовался опыт, накопленный
группой планирования эксперимента в Грузинском политехни-
политехническом институте им. В. И. Ленина, а также опыт чтения лекций
на факультете автоматики и вычислительной техники ГПИ и спе-
специальных курсах для аспирантов.
Автор благодарит В. В. Налимова, Е. В. Маркову, Т. А. Чем-
леву и Ф. С. Новика за советы и помощь и сотрудников кафед-
кафедры информационно-измерительной техники ГПИ, принимавших
участие в обсуждении книги. Автор признателен рецензентам
А. Г. Чачашвили и Н. В. Гогоберидзе за ценные замечания и пред-
предложения, учтенные при окончательной подготовке рукописи к пе-
печати.
Все высказанные читателями пожелания и замечания будут
с признательностью приняты автором.
Введение
Подавляющее большинство изучаемых объектов относится к
классу сложных систем, характеризующихся значительным чис-
числом взаимосвязанных параметров. Задача исследования таких си-
систем заключается в установлении зависимости между входными
параметрами — факторами и выходными параметрами — показа-
показателями качества функционирования системы и определении уров-
уровней факторов, оптимизирующих выходные параметры системы.
В настоящее время сформировались два подхода к решению
задач идентификации и оптимизации сложных систем: детермини-
детерминистический и стохастический.
При детерминистическом подходе решению экстремальных
задач предшествует всестороннее исследование механизма явления,
на основании чего система задается строго детерминистической
моделью (обычно в виде системы дифференциальных уравнений).
В этом случае для решения задачи оптимизации может быть исполь-
использован хорошо развитый математический аппарат современной тео-
теории управления. Однако сложные системы ввиду трудности все-
всестороннего исследования механизма явления не поддаются
полному математическому описанию в разумные сроки, что огра-
ограничивает применение детерминистического подхода.
В условиях неполного знания механизма явлений задачи
идентификации и оптимизации, т. е. отыскания оптимальных ус-
условий протекания процессов или оптимальный выбор состава мно-
многокомпонентных систем, решаются с помощью экспериментально-
статистических методов. В этом случае модель объекта иссле-
исследования удобно представить в виде кибернетической системы
с к + п + I входами и т выходами (рисУ\^/ V ¦-—s^Ar^wi
Каждый из выходных параметров зависит от состояния контро-
контролируемой управляемой части входов, определяемой А-мерньш век-
вектором х = (хъ x2,.-.,xh), контролируемой неуправляемой части
входов, определяемой га-мерным вектором z = (zx, z2,...,zn), и не-
неконтролируемой части, определяемой ^-мерным вектором Е =
= (ех, е2, ..., е,) у = F (x, z, E).
Действие неконтролируемых возмущающих параметров прояв-
проявляется в том, что выходной параметр системы при известной сово-
совокупности управляемых и неуправляемых контролируемых входных
параметров характеризуется неоднозначно. Для изучения стоха-
стохастических объектов, т. е. объектов, в которых влияние случайных
возмущающих параметров велико, используется обычно математи-
математический аппарат теории вероятностей.
Если помеха аддитивно накладывается на показатель качества
и является реализацией случайного процесса с математическим
ожиданием б, то для среднего значения исследуемой величины у
получим 8 (у) = -ф (х, г) + е.
При экспериментально-статистическом исследовании объекта
связь между входными и выходными параметрами системы описы-
описывается обычно полиномом. Для оценки коэффициентов полинома,
Обьект
исследования
?„
7
Рис. 1. Модель объекта
дования
иссле-
исслеаппроксимирующего действительную зависимость (фу*
клика ф), необходимо располагать статистически
характеризующим состояние системы в проце^
вания. Эта информация может быть получена дЙШДпутем ill
ного наблюдения за системой (пассивный экспемндою}^ ^6fiL||jJf6M
активного вмешательства в функционированидаямйИШ^Шдаста-
новки опытов в определенных точках хи (х1и,^2^№шш1^Жи =
= 1,2, ...,7V) допустимой области пространства управдаШЩрвход-
ных параметров. При незначительном влиянии неуправляемых
входных параметров по сравнению с вводимыми возмущениями
управляемых систему можно описать моделью
8 (у) = Ф (*) + е'.
Пассивный эксперимент не нашел широкого применения для
математического описания, оптимального управления и оптими-
оптимизации сложных систем. В то же самое время известен целый ряд
алгоритмов, основанных на реализации активного эксперимента,
эффективных при поиске экстремума.
За последние годы интенсивно развивается новое направление
экспериментально-статистических исследований — математиче-
математическое планирование эксперимента. Математическое планирование
эксперимента — это процедура выбора числа и условий постанов-
постановки ойнтов, необходимых и достаточных для решения данной за-
задачи с требуемой точностью, методов математической обработки
их результатов и принятия решений.
В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривает-
рассматривается как объект исследования и оптимизации. Здесь осуществляется
оптимальное управление ведением эксперимента — в зависимости
6
От информации об изучаемой системе осуществляется изменение
стратегии исследования с выбором оптимальной стратегии для
каждого данного этапа. Таким образом, планирование экспери-
эксперимента есть новый кибернетический подход к организации и прове-
проведению экспериментальных исследований сложных систем.
Планирование эксперимента—мощный инструмент эксперимен-
экспериментально-статистического исследования и оптимизации сложных си-
систем. Исключая слепой поиск, оно значительно сокращает число
опытов, следовательно, затраты и сроки проведения эксперимен-
эксперимента, дает возможность получить количественные оценки влияния
факторов, математические модели. Как показывает опыт отече-
отечественных и зарубежных работ, применение методов планирования
аксперимента по сравнению с традиционными методами позволя-
позволяет ловысить эффективность научных исследований в 2—10 раз.
Важным достоинством методов планирования эксперимента
является их универсальность, пригодность в большинстве обла-
областей исследования — в химии и химической технологии, металло-
металловедении и металлургии, промышленности строительных материа-
материалов, медицине, биологии, сельском хозяйстве, в радиотехнике,
электронике, автоматике, вычислительной технике и др.
Возникновение современных статистических методов планиро-
планирования ащшеримента связано с первой работой Р. Фишера [1],
0Щ пятидесяти лет тому назад.
монография Р. Фишера по планированию эк-
esign of Experiments» [2], давшая название
Этой работой были заложены основы методов
римента, которые, успешно развиваясь [3—
, щ0 под общим названием дисперсионного анализа,
и к гадйдесятым годам уже совершенно четко были сформулиро-
сформулированы и практически широко опробованы.
Строгая теория дисперсионного анализа дана в [10], подробное
и вполне доступное изложение этого метода имеется в [11—13],
а в [14] приведены примеры применения дисперсионного ана-
анализа.
Планирование эксперимента в дисперсионном анализе состо-
состоит в выборе в соответствии с условиями проведения наблюдений та-
такого способа группировки наблюдений, который позволил бы найти
оценки и проверить гипотезы относительно некоторых контрастов:
Классификация планов дисперсионного анализа дана в [10, 66],
неполноблочные планы систематизированы в [15], а латинские
планы — в [16].
Разработанный Фишером метод факторного эксперимента [2]
для исследования одновременного воздействия многих переменных
(многофакторный эксперимент) ознаменовал начало важного эта-
этапа развития планирования эксперимента — этапа, связанного
с оптимальным использованием факторного пространства. Широ-
Широкое практическое применение метод факторного планирования
эксперимента нашел после разработки Иетсом [17] простой вы.
числительной схемы для этого метода, введения Финни дробных
реплик от факторного эксперимента [18J иПлакеттомиБерманом —
насыщенных факторных планов [19J.
Эффективность многофакторного эксперимента объясняется
известным свойством многомерного пространства: радиус сферы,
описанной вокруг куба, которым задаются границы обследуемого
пространства, растет вместе с ростом числа независимых пере-
переменных, включаемых в задачу. Увеличение области исследуемого
пространства при сохранении неизменными границ варьирования
по каждой независимой переменной х повышает точность в оценке
коэффициентов регрессии [20J.
Следующий этап развития планирования эксперимента связан
с опубликованной в 1951 г. работой Бокса иУилсона [21J, в которой
рассмотрена методология исследования многофакторных экстре-
экстремальных задач. Эта работа в определенной степени подытожила
предыдущие. В ней ясно сформулирована и доведена до практиче-
практических рекомендаций высказанная в [22J идея последовательного
экспериментального определения оптимальных условий. Процесс
оптимизации разбит на отдельные этапы, на каждом из которых
принимается решение, основанное на результатах, полученных
на предыдущих этапах. Исследователь вначале ставит небольшую
серию опытов (дробный факторный эксперимент [18J) для локаль-
локального линейного описания малого участка поверхности отклика.
Далее он движется в направлении градиента линейного прибли-
приближения. Если это движение не приводит к близлежащей к экстре-
экстремуму области, то реализуют новую серию опытов и находят новое
направление движения. Такой шаговый процесс продолжается до
тех пор, пока исследователь не попадет в «почти стационарную»
область; здесь ставится большая серия опытов, поверхность от-
отклика описывается полиномом второй или более высокой степени,
производится анализ этого полиномиального описания и, при не-
необходимости,— «выползание» из минимакса и т. д. При таком под-
подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов
в той части поверхности отклика, которая преимущественно ин-
интересует исследователя.
Далее в [23J был сформулирован принцип ротатабельности для
описания почти стационарной области, развивающийся к настоя-
настоящему времени в важную ветвь теории планирования эксперимента;
в [23, 24J показана возможность планирования с разбиением на ор-
ортогональные блоки.
1 Если каждая из к переменных варьируется на двух уровнях, а именно: — 1
и -}-1, то объем исследуемого пространства ограничен гиперкубом, коорди-
координаты вершин которого задаются перестановкой чисел (±1, ±1, j_. ., ±1);
радиус обследуемой гиперсферы при этом, очевидно, равен р — У к. В одно-
факторных экспериментах границы варьирования независимых переменных
задаются тем же гиперкубом, но в этом случае опыты ставятся не в верши-
вершинах гиперкуба, поэтому радиус обследуемой гиперсферы не растет с увели-
увеличением числа независимых переменных.
Четкая логика изложения сделала эти методы легко доступны-
доступными для экспериментатора. Появилось множество примеров удач-
удачного решения сложных задач. Это послужило толчком к интен-
интенсивному развитию работ данного направления. Возникло много
новых постановок задач: планирование отсеивающих эксперимен-
экспериментов в задачах с большим числом независимых переменных, плани-
планирование экспериментов, направленных на изучение механизма
явлений, планирование эксперимента при изучении диаграмм
состав—свойство, планирование эксперимента в задачах слеже-
слежения за неконтролируемым временным дрейфом технологических
процессов и др. [14, 25, 26].
С 1959 г. развивается концепция совместных эффективных
оценок Кифера [27]. В этом подходе, являющемся, в отличие от
эмпирико-интуитивного подхода Бокса, логическим развитием
центральной идеи математической статистики, эффективность обус-
обусловливается как оптимальным расположением точек в простран-
пространстве независимых переменных (D-оптимальные планы), так и оп-
оптимальным способом обработки результатов наблюдений. Работы
этого направления долгое время не получали практического откли-
отклика, так как для построения D-оптимальных планов потребова-
потребовалось число опытов, примерно на два порядка большее, чем в ро-
татабельных планах Бокса. Лишь в результате усилий по объеди-
объединению подхода Бокса и Кифера, проводимых у нас в стране под
руководством В. В. Налимова, с помощью ЭЦВМ были получе-
получены квази-?)-оптимальные планы [28], по числу опытов близкие
к насыщенным.
Следует отметить также ряд работ, направленных на фор-
формализацию процесса принятия решений [29, 30],— одной из са-
самых трудных процедур в деятельности исследователя.
Современное состояние планирования эксперимента и разви-
развитие этого направления в СССР рассмотрено в своеобразном путе-
путеводителе по идеям математической статистики [26].
Планированием эксперимента в пашей стране начали зани-
заниматься с 1950 г. Первые обзорные работы появились в 1960—
1963 гг. [31, 32], а первые экспериментальные — в 1963 г.
В настоящее время четвертая часть всех прикладных работ,
выполняемых в разных странах с использованием методов плани-
планирования, приходится на долю СССР, где только за последние годы
было опубликовано около тысячи прикладных работ [33—37].
Значительно растет и число теоретических работ. В области
планирования эксперимента сейчас имеется по крайней мере
несколько сотен публикаций чисто теоретического характера,
значительная часть которых нашла отражение в библиографии
[38, 39].
Большая потребность в теоретических и методологических ра-
работах остро стала ощущаться в связи с выделением и быстрым раз-
развитием отдельных направлений в планировании эксперимента [40].
В настоящее время подавляющее большинство работ посвя-
0
щено вопросам планирования эксперимента для систем с незави-
независимыми как количественными, так и качественными переменными.
Существенно меньшее внимание в современной литературе уде-
уделено планированию эксперимента для исследования и оптимизации
сложных систем с к переменными, на все или часть из которых на-
наложены ограничения типа равенств
2 Xj = const
l«j
согласий
В
Ограничения такого типа особенно характерны для систем, содер-
содержащих смеси различных q компонентов. Сумма компонентов
смеси обычно нормируется и вышеприведенное соотношение имеет
вид
2 «» = 1 (*{>0),
где Xi — относительное содержание i-ro компонента смеси. Для
простоты здесь и в дальнейшем будем считать, что компонентам
смеси соответствуют первые q из исследуемых к переменных х-,.
С такими системами повсеместно приходится сталкиваться при
решении различных задач химии, химической технологии, метал-
металлургии, промышленности строительных материалов и др. Боль-
Большинство из окружающих нас в природе и применяемых в технике
веществ являются смесями разнообразных компонентов. Таковы,
например, горные породы, руды и минералы, стекла, технические
сплавы, строительные материалы и др. Естественно, что свойства
подлежащих обработке смесей будут зависеть не только от природы
и относительного содержания составляющих смесь компонентов,
но и от условий обработки — температуры, давления, физического
состояния веществ, наконец, от наличия растворителей и приме-
примесей. Изменением пропорций (относительных содержаний) отдель-
отдельных компонентов, т. е. изменением состава многокомпонентной
системы, а также режима обработки, можно придать смеси желае-
желаемые свойства.
Целью исследования сложных многокомпонентных систем
обычно является построение зависимостей свойств от состава
и режима обработки, нахождение оптимального состава и режима,
удовлетворяющих требованиям по одному или нескольким выход-
выходным параметрам (свойствам системы).
Ввиду того, что переменные в сложных системах, содержащих
смеси, не являются независимыми, невозможной оказывается
оценка коэффициентов модели
У = Ь0+ 2 biXi + У' Ь,;Х.:Г.: 4- '
+ 2 Ku.-i
(матрица ХТХ вырождена). Требуется специфический подхбд
к решению таких задач.
Задача исследования таких систем может быть решена двумя
путями.
Основываясь на том, что независимо могут варьироваться
лишь g — 1 смесевых переменных (содержание последнего g-ro
компонента смеси определится как остаток от общей суммы),
исключается из рассмотрения один смесевой компонент и для
оставшихся независимых q — 1 смесевых переменных и А- — q
режимных факторов (процесс-переменных) строится полином вы-
вышеприведенного вида. При этом эффект влияния су-го компонен-
компонента на исследуемое свойство будет каким-то образом распределен
по коэффициентам полинома.
В тех случаях, когда желательно иметь зависимость свойств
от состава в широком диапазоне изменения всех q смесевых пере-
переменных (область определения смесевых переменных представляет
собой симплекс с вершинами в (д — 1)-мерном пространстве) и
к — g режимных факторов, следует пользоваться иными моделя-
моделями, построенными с учетом условия 2 «i = 1, и строить для оцен-
оценка
ки коэффициентов этих полиномов оптимальные планы в области
определения всех к переменных (областью определения А- исследуе-
исследуемых переменных будет многогранник, высекаемый в А-мерном
факторном пространстве двухсторонними ограничениями на к — g
режимных переменных и условиями 2 xi = !)•
Имеющаяся литература в основном касается лишь одного ас-
аспекта этого нового быстроразвивающегося направления в теории
эксперимента — планирования эксперимента для исследования
и оптимизации сложных систем с ограничениями на переменные —
так называемого планирования эксперимента на диаграммах со-
состав—свойство. Но даже планированию эксперимента на диаграм-
диаграммах состав—свойство, связанному с именем Шеффе [41, 42], посвя-
посвящено еще крайне ограниченное количество исследований, особен-
особенно теоретических и методологических. Первая попытка обобщения
работ этого направления предпринята в монографии 143].
За последнее время появились новые постановки задач плани-
планирования эксперимента для исследования сложных систем, содер-
содержащих смеси, и оригинальные методы их решения [288]. Необхо-
Необходимость обобщения новых материалов по теории и методологии
планирования эксперимента для исследования и оптимизации
сложных систем обусловила появление настоящей монографии.
B *,-=")
10
Глава i
Основные понятия
математического планирования
эксперимента
В связи с тем, что математические методы планирования эк-
эксперимента основаны на кибернетическом представлении об объ-
объекте исследования, наиболее подходящей моделью последнего
является кибернетическая система, схематически изображенная
на рис. 2 и называемая «черным ящиком».
При рассмотрении такой кибернетической системы различают
входы — управляемые факторы хх, х%, ..., х^, соответствующие
воздействиям на систему, и выходы (численные характеристики
целей исследования) — параметры (критерии) оптимизации ух,
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких
значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уров-
уровней факторов определяет одно из возможных состояний киберне-
кибернетической системы. Одновременно этот набор представляет условия
проведения одного из возможных опытов.
Каждому фиксированному набору уровней факторов соответ-
соответствует определенная точка в многомерном пространстве факторов,
Рис. 2. Схема кибернетической
системы
называемом факторным пространством. Опыты не могут быть реа-
реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в точ-
точках, принадлежащих допустимой области факторного простран-
пространства G (рис. 3, а).
На различные наборы уровней факторов система реагирует по-
разному. Однако существует вполне определенная связь-между
уровнями факторов и реакцией (откликом) системы. Эта связь
характеризуется математическими моделями
У1 = % (*1. x2,...,xh) (I = 1, 2,...,т).
Функцию т}>, связывающую параметр оптимизации с факторами, на-
называют функцией отклика, а геометрический образ, соответствую-
соответствующий функции отклика,— поверхностью отклика (рис. 3, б).
12
Исследователю не известен заранее вид зависимостей г|>. Ему
приходится получать приближенные уравнения
У1 = Фг (xv Х2, ¦¦¦, *н) (I = 1, 2,..., т)
по данным эксперимента. Эксперимент необходимо поставить так»
чтобы при минимальном количестве опытов, варьируя значения
_L
n т @) "V,
'V xi x(
Рис. З. Факторное пространство (а) и поверхность отклика (б)
независимых переменных по специально сформулированным прави-
правилам, построить математическую модель системы и найти оптима~
льные значения свойств системы.
§ 1.1. Факторы, параметры оптимизации и модели
Выбор факторов, параметров оптимизации и моделей осуще-
осуществляется с учетом цели исследований и имеющихся условий для
проведения эксперимента.
Факторами называются переменные величины, принимающие
в некоторый момент времени определенное значение и соответ-
соответствующие способам воздействия на объект. Они определяют как
сам объект, так и его состояние.
Факторы могут быть количественными и качественными. Коли-
Количественными факторами являются переменные величины, которые
можно оценивать количественно — измерять, взвешивать и т. д.,
качественными — переменные, характеризующиеся качественными
свойствами (разные вещества, аппараты, исполнители и т. п.).
Качественным факторам, в отличие от количественных, не соответ-
соответствует числовая шкала. Однако и для них можно построить услов-
условную порядковую шкалу, которая производит кодирование, уста-
устанавливая соответствие между уровнями качественного фактора
и числами натурального ряда.
Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, яв-
являются управляемость и требование непосредственного воздей-
воздействия на объект.
Под управляемостью фактора подразумевается возможность
установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора
13
постоянным в течение всего опыта или его изменение по заданной
программе.
Требование непосредственного воздействия на объект имеет
большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором,
если он является функцией других факторов. Для полного опре-
определения фактора нужно указать последовательность операций, с по-
помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое
определение фактора в [44] названо операциональным. С таким оп-
определением связаны выбор размерности фактора и точность его
фиксирования.
Так как при планировании эксперимента обычно одновремен-
одновременно изменяются несколько факторов, то необходимо сформули-
сформулировать и требования, предъявляемые к совокупности факторов.
Среди этих требований особо следует отметить совместимость и
независимость факторов. Под совместимостью факторов подра-
подразумевается осуществимость и безопасность всех запланирован-
запланированных комбинаций, факторов, а под независимостью факторов —
возможность установления факторов на любом уровне вне зависи-
зависимости от уровней других факторов. Реакция (отклик) системы на
воздействия факторов может быть весьма многогранна. Среди мно-
множества выходных параметров исследователь должен уметь выде-
выделить параметр, который нужно оптимизировать. Цель исследова-
исследования должна быть сформулирована очень четко и допускать
количественную оценку. Характеристику цели, заданную
количественно, называют параметром оптимизации (критерием
оптимизации, целевой функцией).
Параметры оптимизации бывают [44] экономическими (при-
(прибыль, себестоимость, рентабельность, затраты на эксперимент
и др.), технико-экономическими (производительность, стабиль-
стабильность, надежность, коэффициент полезного действия, долговеч-
долговечность и др.), технико-технологическими (выход продукта, физиче-
физические характеристики продукта, механические характеристики
продукта, физико-химические характеристики продукта, медико-
биологические характеристики продукта и др.), статистическими,
психологическими, эстетическими и т. д.
К параметру оптимизации предъявляется ряд требований [44]:
эффективность с точки зрения достижения цели, универсальность,
количественное выражение одним числом, статистическая эффек-
эффективность, физический смысл, простота и доступность вычисления,
существование для всех различных состояний.
Главным, определяющим корректность постановки задачи,
является требование эффективности с точки зрения достижения
конечной цели. Параметр оптимизации должен оценивать функцио-
функционирование системы в целом, а не отдельных ее подсистем.
Под универсальностью параметра оптимизации понимают его
способность всесторонней характеристики объекта исследования.
Параметр оптимизации должен быть количественным, зада-
задаваться числом. Множество значений, которые может принимать
14
параметр оптимизации, назовем областью его определения. Эти
области могут быть непрерывными и дискретными, ограничен-
ограниченными и неограниченными. Исследователь должен уметь измерять
параметр оптимизации при любой возможной комбинации выбран-
выбранных уровней факторов. В тех случаях, когда возникают трудности
с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится
обращаться к ранговому подходу; параметрам присваиваются
оценки — ранги по выбранной заранее шкале. С количественной
природой параметра оптимизации связаны требования его выра-
выражения одним числом, а также однозначность в статистическом
смысле (заданному набору значений факторов должно соответ-
соответствовать одно с точностью ошибки эксперимента значение пара-
параметра оптимизации).
Требование статистической эффективности сводится фактиче-
фактически к выбору параметра оптимизации, определяемого с наиболь-
наибольшей возможной точностью.
Требование физического смысла, связанное с последующей ин-
интерпретацией результатов эксперимента, а также требования
простоты и легкости вычисления часто также оказываются весьма
существенными.
В ходе исследования могут меняться априорные представле-
представления об объекте исследования, что приводит к последовательному
подходу при выборе параметра. Например, если на первом эта-
этапе исследования в качестве параметра оптимизации был выбран
выход продукта, то, по мере исчерпания возможности повыше-
повышения выхода, исследователя могут начать интересовать другие
параметры, такие, как себестоимость, рентабельность и т. д.
Из многих параметров, характеризующих объект исследова-
исследования, только один может служить параметром оптимизации.
Остальные же рассматриваются как ограничения.
Свойства системы можно описывать различными моделями,
одновременно имеющими право на существование. Однако можно
говорить о том, что одни из этих моделей в каком-то смысле хоро-
хороши, другие — плохи.
Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать
конкретные требования. К ним относятся адекватность, содержа-
содержательность, простота и др. Под адекватностью понимается способ-
способность модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой
области с требуемой точностью. Как указывает В. В. Налимов,
модель должна быть содержательна — она должна хорошо объ-
объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые, неза-
незамеченные явления, в какой-то степени предсказывать их даль-
дальнейшее развитие и, что, вероятно, имеет наибольшее значение,
должна выдвигать перед исследователями новые проблемы. Од-
Одним из главных достоинств модели должна быть ее простота.
В зависимости от постановки задачи могут применяться раз-
различные полиномиальные, неполипомиалыгыо модели, модели
дисперсионного анализа и др.
15
Для экстремального планирования эксперимента наибольшее
применение нашли модели в виде алгебраических полиномов.
Допустим, что изучается влияние к количественных факторов
Хх, x-i, ..., xh на некоторый отклик т) в отведенной для эксперимен-
экспериментирования локальной области факторного пространства. Положим
далее, что функцию отклика
1р (Хи X2,...,Xh) A.1)
можно с достаточной точностью представить в виде полинома сте-
степени d от к переменных
2
A.2)
содержащего
ниях,
где
коэффициентов, или, в матричных обозна
че-
чеA.3)
2
Xfr' X
X2, . . ., Xk-
— вектор с элементами/а (х), а
ми в исходный полином;
= 0, 1, ..., к' =
входящи-
входящи— вектор коэффициентов.
Ограничиваясь рассмотрением уравнения регрессии не выше
d-то порядка, введем фиктивную переменную х0 = 1, а также пе-
переменные xh+1, xh+z, xh' следующим образом:
д ф
xh+1, xh+z, ....
= %
= X2, . . .,
. ., xk. =
-Уравнение A.2) тогда
¦ гтат/ict
нение
= fT(x)B=
запишется как однородное линейное урав-
к'
а =0
гдр ^о '-' bo< ^i — ^11 •••! ^л — ^fti Sfebi - ^m •••> S2/c+] 5hft;
й-^чг " 5l2, •••, Si- = 5[fe-c(-u]...(ft-i)s-
Для оценки коэффициентов S' в A.5) можно применить хорошо
разработанные методы линейной регрессии [53, 54].
§ 1.2. Планирование эксперимента
Если выбрана модель — выбран вид функции т) — ф (х^, хг, •••
..., Xk) и записано ее уравнение, то остается в отведенной для ис-
исследования области факторного пространства спланировать и про-
провести эксперимент для оценки численных значений констант (ко-
(коэффициентов) этого уравнения.
Поскольку полином A.3) (а, следовательно, и A.5)) содержит
d+d коэффициентов, подлежащих определению, план D должен
содержать по крайней мере Ck+d различных экспериментальных
точек х„ = {хы, х2и, ..., хк„), и --= 1, 2, ..., N > CUd
1)
¦'¦и
Х-п
\n
где xiu — значения, которые принимает i-я переменная в м-м опы-
опыте (/ - 1,2, ..., к; и - 1,2,..., N).
Реализовав опыты в N точках отведенной для эксперимента
области факторного пространства, получим вектор наблюдений,
имеющий следующий вид
гДе Уч. — отклик, соответствующий и-Ш точке плана xu = (xUl,
xZm •¦•, Xhv).
С учетом гипотезы о линейности статистической связи между
уровнями переменных х и соответствующим им экспериментально
наблюденным откликом в и-й точке, согласно A.5), должно удов-
удовлетворяться равенство
У и = Кх0а + ЬхХ1и + . . • + bkXku -f bk+1Xk+iu + • • •
• • • + bk'Xk-u + eu, и = 1,2, . .., TV,
г те ri; — независимые случайные величины
= 0
V2 = а2.
17
Выписав аналогичные соотношения для всех и — 1,2 N то-
точек плана, можно выделить матрицу размера N X (к' + 1)
11 1 Х\1 Х1\ , . . Хи
X =
xkl
xk'i
xk'2
¦ ¦ • x
'UN Xk+1N ¦ • ¦ xb'
'k'N
называемую матрицей планирования.
Критерии оптимальности. Одна из основных задач планирова-
планирования эксперимента заключается в расположении эксперименталь-
экспериментальных точек в отведенной для исследования области факторного про-
пространства некоторым оптимальным образом.
Однако в планировании эксперимента можно указать на су-
существование более 20 различных критериев оптимальности. Эти
критерии в целях наглядности интерпретации можно разбить на
две большие группы. К первой группе относятся критерии, свя-
связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии, а ко вто-
второй — критерии и свойства планов, связанные с ошибкой в оцен-
оценке поверхности отклика.
Приведем перечень основных критериев оптимальности и
свойств планов [45, 46].
Критерии первой группы фактически сводятся - к некоторым
требованиям, предъявляемым к виду ковариационной (а, следо-
следовательно, и информационной) матрицы.
D-оптималъность. /)-оптимальным планам соответствует ин-
информационная матрица M = 1/A^-XTX с наибольшим определите-
определителем (или, что то же, ковариационная матрица Й^оЧЯг1 с наи-
наименьшим значением определителя) на всем возможном множестве
планов. /)-оптимальный план минимизирует обобщенную диспер-
дисперсию или объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов рег-
регрессии.
Е-оптималъностъ. ^-оптимальным планам соответствует
наименьшее максимальное собственное значение ковариационной
матрицы, ^-оптимальный план минимизирует максимальную ось
эллипсоида рассеяния. Для многих моделей построение ^"-опти-
^"-оптимальных планов связано с большими трудностями, поэтому иногда
используют следующий близкий по смыслу критерий оптималь-
оптимальности.
Минимум суммы квадратов уклонений собственных значений
ковариационной матрицы оценок от их среднего.
А-оптималъность. Этому критерию отвечают планы с мини-
минимальной средней дисперсией оценок коэффициентов или с наи-
наименьшим значением следа ковариационной матрицы. А -оптималь-
-оптимальный план минимизирует сумму квадратов главных полуосей эл-
эллипсоида рассеяния оценок.
Отметим также следующие критерии, относящиеся к первой
группе.
Минимум максимальной дисперсии оценки коэффициентов. Гео-
Геометрически это означает минимум максимальной из проекций осей
|1]липсоида рассеяния на координатные оси в пространстве пара-
параметров.
Минимум суммы относительных ошибок оценок.
Ортогональность плана. Ортогональные планы с диагональной
ковариационной (информационной) матрицей обеспечивают пэлуче-
кие независимых оценок коэффициентов регрессии. Эллипсоид рас-
рассеяния ориентирован таким образом, что направления его главных
осей совпадают с направлениями координатных осей в простран-
пространстве параметров Ь.
Среди критериев второй группы, связанных с ошибкой оценки
поверхности отклика, отметим следующие.
G-оптималъностъ. G-оптимальные планы обеспечивают наи-
наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии пред-
предсказанных значений в области планирования.
Минимум средней дисперсии оценки поверхности отклика.
Ротатабельность плана. Ротатабельные планы, имеющие ко-
ковариационную матрицу, инвариантную относительно ортогональ-
ортогонального вращения координат, позволяют получить одинаковую дис-
дисперсию предсказанных значений функции отклика во всех равно-
равноудаленных от центра эксперимента точках. Выполнение этого
условия делает любое направление от центра эксперимента равно-
равнозначным в смысле точности оценки поверхности отклика. Если
«информационные контуры» плана представить как поверхности
с равными значениями дисперсии оценки поверхности отклика,
то для ротатабельного плана эти поверхности будут представлять
собой сферы.
Максимальная точность оценки координат экстремума.
Минимум общего (случайного и систематического) среднего квад-
ратического отклонения оценки модели от поверхности отклика.
Кроме вышеприведенных критериев, отражающих наиболее
существенные требования, следует отметить и другие важные прак-
практические критерии (достаточно полный их список приведен в [47]).
Композиционностъ планов. Композиционность плана обеспечи-
обеспечивает возможность использования точек плана, построенного для
представления результатов полиномами степени d, в качестве под-
подмножества точек для оптимального плана порядка d + 1; такая
задача возникает, когда полином степени d неадекватно представ-
представляет результаты наблюдений. Постепенный переход от простых
моделей к более сложным, используя предыдущие наблюдения,
соответствует последовательной стратегии экспериментирования.
Возможность разбиения плана на ортогональные блоки для
исключения влияния неоднородности в условиях проведения эк-
эксперимента и для оценки этого влияния. Этот критерий имеет не-
непосредственную связь с композиционностыо планов. Например, на
ортогональные блоки легко разбиваются композиционные ротата-
ротатабельные планы второго порядка.
19
Близость плана к насыщенному — близость числа опыто|
к числу неизвестных коэффициентов.
'. Униформностъ. Этот критерий требует, чтобы дисперсия оцен
ки модели в некоторой области вокруг центра эксперимента оста
валась практически постоянной. Данное свойство обычно связы
вается со свойством ротатабельности. i
Рассмотрим также некоторые свойства планов, которые, може;
быть, нельзя рассматривать как основные критерии оптимально!
сти, но, как показывает практика, выполнение которых весьм^
желательно.
Простота вычислений и наглядность представления резулъта
тов. С точки зрения данного критерия целесообразно применен»
таких планов, для которых вся обработка может проводиться m
простым формулам. Получение упрощенных формул для оцепои
коэффициентов регрессии является важной задачей, возможное^
решения которой для большинства планов, удовлетворяющие
вышеприведенным критериям оптимальности, вытекает из блочной
структуры соответствующих им информационных матриц и нали|
чия большого числа нулевых элементов.
Нечувствительность к ошибкам в независимых переменных
Нечувствительность к грубым ошибкам в результатах на-
наблюдений.
Возможность преобразования независимых переменных, сохра*
няющего оптимальность плана.
Вышеприведенный перечень можно расширить, включив кри-
критерии оптимальности планов дискриминирующих экспериментов
[48], планов дисперсионного анализа [49—51], планирования от-
отсеивающих экспериментов, планирования при прослеживании за
неконтролируемым временным дрейфом исследуемых систем и др.
В общем случае критерии задаются депосредственно постановкой
задачи, а так как до сих пор не исчерпаны все возможности по-
постановки задач, количество критериев можно значительно увели-
увеличить.
Вследствие взаимной противоречивости ряда критериев в об-
общем случае не удается строить планы, удовлетворяющие одновре-
одновременно всем критериям, и поэтому приходится ограничиться постро-
построением планов, отвечающих отдельным из них. В связи с этим
необходимым оказывается какому-либо из критериев отдать пред-
предпочтение.
Несмотря на то, что некоторые критерии оптимальности пред-
представляются более общими и важными по сравнению с другими, ли-
либо наиболее тесно связанными с существующей математической
теорией статистических решений, с практической точки зрения
вряд ли имеет смысл отдавать безусловное предпочтение одному
из них. В зависимости от постановки задачи любой из критериев
может оказаться заслуживающим внимания.
Однако одной и той же постановке задачи может соответство-
соответствовать несколько критериев; выбор среди них какого-либо одного,
20
20
|аиТ1учшим образом соответствующего поставленной задаче,
¦ожет оказаться затруднительным. Справедливости ради следует
¦тметить, что трудности, связанные с многообразием критериев,
[е поддающихся логическому упорядочению, доставляют беспо-
ойство прежде всего специалистам по математической статистике,
анимающимся разработкой общетеоретических и методологиче-
ких вопросов. На практике задачу выбора можно решить чисто
«числительными средствами — из множества соответствующих дан-
;ой постановке задачи критериев следует выбрать тот, при котором
ютери в оптимальности со стороны остальных критериев этого
иножества (либо со стороны какого-нибудь другого критерия)
минимальны.
Исходя из важности концепции D-оптимальности в [26,45, 52],
реддагается среди множества планов, отвечающих выбранному
ритерию, искать план, наиболее близкий к ?)-оптимальному, или
¦проверять, насколько значение определителя информационной
матрицы данного плана близко к оптимальному значению опре-
определителя.
Планирование эксперимента для линейного приближения по-
поверхности отклика. Построению плана первой серии эксперимента
предшествует этап неформализованных решений, направленных на
выбор локальной области факторного пространства.
Вначале следует оценить границы областей определения фак-
факторов, задаваемые либо принципиальными ограничениями (огра-
(ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких об-
обстоятельствах), либо технико-экономическими соображениями (сто-
(стоимость сырья, время ведения процесса и др.), либо конкретными
условиями проведения процесса (существующая аппаратура, тех-
технология и др.). Установление области определения связано
с тщательным анализом априорной информации об изменении па-
параметра оптимизации и о кривизне поверхности отклика.
После выбора области определения G (рис. 3,а) необходимо
найти локальную подобласть для планирования эксперимента.
Процедура выбора этой подобласти включает выбор основного
(нулевого) уровня и интервалов варьирования.
В качестве исходной точки обычно выбирают точку, соответст-
соответствующую наилучшим условиям, определенным из анализа априор-
априорной информации. Если эта точка лежит на границе (или близко
к границе) области определения факторов, то приходится основ-
основной уровень выбирать с определенным сдвигом от наилучших ус-
условий.
На выбор интервалов варьирования накладываются естествен-
естественные ограничения снизу (он не может быть меньше ошибки фикси-
фиксирования уровня фактора — иначе верхний и нижний уровни ока-
окажутся неразличимыми) и сверху (верхний или нижний уровни
не должны выходить за область определения). При выборе интер-
интервалов варьирования внутри этих ограничений должна быть ис-
использована априорная информация о точности фиксирования фак-
21
торов (определяется точностью приборов и стабильностью уровй|
в ходе опыта), кривизне поверхности отклика (определяется i
графикам однофакторных зависимостей, табличным данным,
также исходя из теоретических предположений) и диапазоне изм
нения параметра оптимизации (разность между наибольшим
наименьшим значениями параметра оптимизации, определенна
по данным некоторого множества опытов). Естественно, что че
ниже точность фиксирования факторов, меньше кривизна поверг
ности отклика и уже диапазон изменения параметра оптимизации
тем большим может быть интервал варьирования. Точных указа
ний о выборе интервалов варьирования в общем случае, естестве!
но, не может быть дано, однако ориентировочные блок-схемы npi
нятия решений даны в [44].
Выбрав основной уровень и интервалы варьирования факторо!
можно приступить к построению плана проведения эксперимент*
Первый этап планирования эксперимента для получения л!
нейной модели основан на варьировании факторов на двух уровня:
х^ и Xi , симметрично расположенных относительно нулевого (ос
новного) уровня х\ (рис. 4, а). Так как каждый фактор принимав
лишь два значения х| = xf -j- Pi и х| = xf — pit для стандарта
зации, упрощения записи условий эксперимента и обработки эк
спериментальных данных удобно закодировать их символам^
+ 1 и —1. С этой целью масштабы по осям выбираем так, 4to6i|
верхний уровень соответствовал +1, нижний —1, а основной ну
лю (рис. 4, б).
Переход от исходных (натуральных) переменных xt к безраз
мерным кодированным ?,, в которых верхнему уровню факторе
соответствует символ +1, а нижнему —1, осуществим по формуле
X -Ж<0)
• ' (* = 1,2,..., к), A.6]
Pi
варьирова-
варьировагде xt — значение натуральной независимой переменной;
нулевой уровень; pt = (х-в> — х?н))/2 — интервал
ния.
Экспериментальные точки с координатами +1 и —1 при пол-j
ном факторном эксперименте (ПФЭ), в котором реализуются все]
возможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов (а их
в двухуровневом планировании N = 2к), расположены в верши-]
нах гиперкуба. Такие планирования называются планированиями
типа 2к. В ПФЭ экспериментальные точки с координатами ±1,
±1, •••; ±1 расположены в вершинах квадрата к = 2, куба к = 3
или гиперкуба к J> 3. ¦
Расположение точек для двух исследуемых факторов приве-
приведено на рис. 4, а для трех — на рис. 5.
Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспе-
экспериментальной точки квадрата, изображенного на рис. 4, б, полу-
получим план D полного факторного эксперимента типа 22 (табл. 1.1)
22
z
X
0
9
3
ну
Y+/
Рис. 4. Геометрическая ин-
интерпретация полного фактор-
факторного эксперимента 22
Рис. 5. Геометрическая интер-
интерпретация полного факторного
эксперимента 23
и для куба — план D полного факторного эксперимента типа 23
(рис. 5, табл. 1.2). Анализ полученных планов показывает общую
структуру построения планов типа 2к — частота смены знаков
каждого последующего фактора вдвое больше, чем предыдущего.
Планы можно записывать сокращенно с помощью условных
буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фак-
фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита:
х1 — а, х2 — Ъ, х3 — си т. д. Затем для каждой строки плана вы-
выписывают латинские буквы только для факторов, находящихся
па верхних уровнях. Опыт со всеми факторами на нижних уров-
уровнях обозначают A). Запись планов 22 и 2я в буквенных обозначе-
обозначениях приведена в соответствующих столбцах табл. 1.1 и 1.2.
ПФЭ типа 24 в буквенных обозначениях запишется следующим
образом:
A), d, с, cd, Ъ, bd, be, bed, a, ad, ас, acd, ab, abd, abc, abed.
Полный факторный эксперимент дает возможность раздельно
определить не только коэффициенты регрессии, соответствующие
линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствую-
соответствующие всем эффектам взаимодействия1.
Для оценки свободного члена Ьо (ожидаемого отклика в центре
плана) и определения эффектов взаимодействия b12, b13, ..., Ь123, ...
план эксперимента D расширяют до так называемой матрицы
Эффект взаимодействия двух или нескольких факторов появляется при од-
одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них
на выход зависит от уровней, на которых находятся другие факторы.
План полного факторного эксперимента
Таблица 1.1
План полного факторного эксперимента 2;
Таблица 1.2
Номер
опыта
1
2
3
4
XI
—1
-1
—1
—1
ж,
л
—1
+1
+1
^
+1
—1
+1
Обозначе
ние строк
A)
с
Ъ
be
т
-
5
6
7
~xt
+1
+1
+1
+1
Xj
\
-1
+1
+1
Хз
л
+1
—1
+1
Обозначе
ние строй
а
ас
аЪ
abc
планирования X добавлением соответствующего «фиктивной т
ременной» единичного столбца f0 и столбцов произведений х^.
?гх3, ..., х^2х3, ... (см., например, табл. 1.3).
Двухуровневые полные факторные эксперименты требуют по
становки числа опытов N = 2к, значительно превышающего числ|
оцениваемых линейных эффектов к, т. е. ПФЭ обладает болъшо!
Таблица 1.3
Матрица полного факторного эксперимента 23
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
Хо
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Xi
-1
-1
—1
-1
+1
+1
+1
+1
План
Хг
— 1
^
+ 1
+ 1
1
у
+ 1
+ 1
Хз
—1
+1
+1
^
+1
+1
Убыточностью опытов А = N — к — 2к — к. Например, при
; К) избыточными оказываются уже А = 21" — 10 — 1024—
^]0 - 1014 опытов.
Значительно меньшей избыточностью обладают дробные фак-
орНые эксперименты (ДФЭ). ДФЭ представляют собой опреде-
[енную часть полного факторного эксперимента — опыты здесь
реализуются не во всех 2к вершинах гиперкуба, а лишь в неко-
орых из них. Вследствие этого часть информации теряется, одна-
{о путем рационального выбора остающихся вершин гиперкуба
сдается получить оценку линейных эффектов и некоторых эффек-
ов взаимодействия с достаточной для первого этапа исследования
очностью.
Для определения эффектов к + р независимых переменных
а N — 2к опытов (к -f- p <^ N) необходимо составить ПФЭ для к
факторов и линейные эффекты оставшихся р независимых пере-
переменных приравнять к р эффектам взаимодействия наивысшего
T В
юрядка:
xh, xk+2 =
k.t и т. д. В таком
рд m j
ij-чае при реализации плана уровни последних/? факторов долж-
должны меняться согласно знаковым комбинациям столбцов соответ-
соответствующих взаимодействий. ДФЭ, полученный таким путем, пред-
представляет собой V2p-pemniKy (часть) от ПФЭ типа 2'1+р. Для обоз-
обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов при-
приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться услов-
условным обозначением 2к~р. Предельное число факторов для N =
2к'р опытов к = N — 1 = 2к-р— 1 (А = N — к = 1 сте-
степень свободы необходима для оценки Ьо). План с предельным чис-
числом факторов для данного числа опытов и заданной модели назы-
называется насыщенным.
В качестве примера образуем насыщенные планы с N — 2к~р =
2я =-8из ненасыщенного ПФЭтипа 23,план которого обведенжир-
ной чертой в табл. 1.3.
Если, например, мы приравняем тройное взаимодействие
(табл. 1.3) к четвертому фактору, т. е. будем варьировать в эк-
экспериментах этот фактор согласно уровням столбца х1;Т2х3,
получим Уг-решгаку от ПФЭ типа 24, т. е. ДФЭ типа 24 с избы-
избыточностью А = 23 — 4 = 4. Если мы приравняем линейный эф-
эффект еще одного фактора, например пятого, к какому-нибудь
незначимому (согласно априорным данным) эффекту взаимодей-
взаимодействия, например к хгх2, получим план типа 26^2 с избыточностью
А = 23—5 — 3. Аналогично, варьируя шестой фактор согласно
Уровням столбца ххх3, а седьмой — х2%3, получим полностью на-
насыщенный план — ДФЭ типа 27~4 с избыточностью А = N — к =
= 23 — 7 = 1. Эта одна степень свободы необходима для оценки
свободного члена Ьо.
При применении дробных реплик линейные эффекты смеши-
смешиваются с эффектами взаимодействий. Для определения системы
смешивания нужно знать определяющие контрасты и генерирую-
генерирующие соотношения.
25
Генерирующим называется Соотношение, показывающ
с каким из эффектов смешан данный эффект. Привышеприведени
выборе V2-penflHKH 24-1 генерирующим является соотношеи
?4 = x^2f3. Это значит, что линейный эффект четвертого факто
смешан с трехфакторным взаимодействием, т. е. коэффициент
линейного уравнения будет оценкой ft4 ->- Ъл -f- 5123. При при»
нении Уг-реплики 24, заданной генерирующим соотношени
?4 = xtx2$3, и другие линейные эффекты оказываются сь
шанными с определенными эффектами взаимодействия. Для onj
деления системы смешивания эффектов образуем определяют,]
контраст. Для этого умножим обе части генерирующего соотнош
ния на ?4 :х\ = xtx2S3f4. Столбец «1x2S3xi (как и х\) состоит
+1. Поэтому можно записать I = хх12%ъХц.
Символическое обозначение произведения столбцов, равн|
+1 (или —1), называют определяющим контрастом. Чтобы onpi
делить, какой эффокт смешан с данным, нужно умножить обе час!
определяющего контраста на столбец, соответствующий данном
эффекту. Так, если I = f1f2x3?4, то для 3!1 получим хг
= f\xix3ii = ?2?3f4, так как всегда i\ = 1.
Для х2, $g, xi соответственно находим
3
Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут
ками
>fti + ft234, аналогично получим
> ft2 + *134»
h + ftl24>
Ь34,
3
b-L — bu,
I == X-jX
i =
6-
-23.
ft2 ftl234>
Ь3 — ftl4.
ft4 — fti3.
,f4 = —
\ = —
ft»
ft
ft1
l34>
26
I ft4—>ft4 — ftl23-
Из приведенных выше решений наиболее эффективными яв-
являются реплики, заданные определяющими контрастами I =
= + x1x2xsXi и I = — T1x2X3Xi. В этих ^-репликах в отличие от
остальных все линейные эффекты смешаны лишь с тройными
взаимодействиями, а тройные взаимодействия обычно менее
важны, чем парные.
В общем случае смешивание основных эффектов с парными
взаимодействиями, когда существуют эффекты взаимодействия
более высокого порядка, нельзя признать наилучшим. Наиболее
эффективными являются реплики, у которых линейные эффекты
смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка. Про такие
реплики говорят, что они обладают максимальной разрешающей
способностью. Разрешающая способность задается системой сме-
смешивания данной реплики.
Реплики, в которых главные эффекты смешаны с двухфактор-
ыыми взаимодействиями, носят название планов с разрешающей
способностью III (по наибольшему числу факторов в определяю-
определяющем контрасте). Реплики, в которых нет ни одного главного эф-
эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным
взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с дру-
другом, носят название планов с разрешающей способностью IV (по
наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Решш-^
ки, в которых главные эффекты смешаны с тройными взаимо-
взаимодействиями, а парные взаимодействия — с тройными, носят на-
название планов с разрешающей способностью V (по наибольшему
числу факторов в определяющем контрасте).
27
Исходя из вышесказанного, 7г-реплика 24, задаваемая ош
деляющими контрастами I = -srx1i2x3Ti и I = —х1х2х3т4, явля|
ся Va-репликой с разрешающей способностью JV и обозначает!
2*Гу- Остальные шесть 72-реплик будут Уг-репликами с разрешг
щей способностью III Bш). i
При выборе У^реплики 25 генерирующими были соотношен
?4 = XjX2x3 я is = !-$2. Тогда определяющими контрастами у
ляются I = *1*2*з*4 и I = хххгхь. Для того, чтобы определить (
стему смешивания эффектов, необходимо записать так называем]
обобщающий определяющий контраст. В данном случае он вкл|
чает в себя указанные выше определяющие контрасты, а так;
их произведение I = fxx2fЗх4 = ххх2хь = x3f4f5. Система Ы
Шивания определяется умножением обобщающего определяюща
контраста послелоиятйпт-нг. т* # ~ ~ ~ -
рдя умножением о
контраста последовательно на хг, f 2, х
2, х3 и т. д.
h = Ьг + b23i -f ,
^2 = h + ь134 + i
Ья ^ 63 + fela4 +
ь2Ъ
-f- 6
23451
эффектов от парных взаимодействий — метод «пере-
Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки ко-
'о'рой противоположны исходной реплике. В этом случае в обоб-
дающем определяющем контрасте тройные произведения будут
меть знак, противоположный их знаку в первой ]/4-решшке.
"¦ройные произведения определяют парные взаимодействия в
овместных оценках для линейных эффектов. Усредняя резуль-
аты обеих Vj-pemiHK, можно получить линейные эффекты, не
мешанные с парными взаимодействиями.
Выше была рассмотрена Vj-penflHKa, заданная обобщающим
пределяющим контрастом I -- x1X2T3xi — хгх2хь = х3х4х5.
Для освобождения линейных эффектов от парных взаимодей-
твий возьмем вторую У^реплику с обобщающим контрастом,
котором два тройных произведения имеют отрицательный знак,
бобщающим контрастом в этом случае является I = S1x2x3xi ¦=¦
= —XjXoX = —х3х4х5. Система смешивания будет
Х\ = 2*2*3*4 == -Т2*5 = XjX3X4X5,
4 ~ УЛ' = Х^Х^ = Т^ b^b*+ *и. + ^,45 + Ьзъ; ,4 = ,lfA = _
«ь = ххх2х3х,хь = х,Т2 = х3х4, Ъь = Ъъ ¦+ 612315 + Ь12 + b3i. *5 = *&*?& = - *1%°. = - *з*4-
случае /4-реплики 2б 2 в отличие от предыдущего случа При слол;ении двух У^реплик получается следующая картина:
возможны уже двенадцать решений: -
__ ' ?i = х2х3х4, Ьг -> &i + *284;
х4 = X!X2x3, f. = jf^,: r, = v^ ¦ * __ * „ * _
Х4 = Х]Х2Х3,
Х'5 — Х\Хъ', Х5 — Х]Х3\ Х4 — — ^1?2^3!
*5 = *2*3'
х6 — х2х3,
*б = — ^г^з!
Х5 = — Х2Х3.
всех этих решениях получается довольно сложная систем
смешивания линейных эффектов с двух-, трех-, четырех- и пяти
факторными эффектами взаимодействия. Эффектами взаимодей
хтвия, лачиная с тройных, можно пренебречь. Однако такая Ж1
операция может оказаться неправомерной относительно парны:
взаимодействий. Если априори имеются сведения о существен
ности тех или иных эффектов взаимодействия, то подбираете^
такая система смешивания, при которой эти эффекты не былЯ
бы смешаны с линейными эффектами. Так как подобная информа1
ция обычно отсутствует, был разработан метод для освобождения
28
Х3 =
Х4 =rr
X5 =
21!
—> bi -f
f 5,
^12345-
Таким образом получен план с разрешающей способностью
IV и линейные эффекты освобождены от смешивания с парными
взаимодействиями.
В случае Vie-реплики 27~4 генерирующими соотношениями
нами были избраны х4 = х^Хд, Тъ = хгх2, хв = Ягх3 и х7 = *2х3.
Определяющими контрастами в данном случае являются I =
=- x1x2f3x4, I = XiX2x5, I = XjXgX,, и I = x2fЗх7.
Обобщающий определяющий контраст включает в себя все указан-
указанные определяющие контрасты, а также их произведения вначале
по два, а затем по три, по четыре
1 — XiX2X3X4 = Х1Х2Х5 = XiX3Xg = Х2Х3Х7 = Х3Х4Х5 = X2X4Xf =
29
Система смешивания здесь весьма сдожна:
h = ^1 + ^234 + Ь2Ь + *3в + ^1237 + ^1343 + ^1246 + &17 + ^12366 4
~Ь ^357 + ^267 + ^456 4" ^12457 + ^13467 + ^1567 4~ ^234667»
1>1 = *2 + ^134 4- ^15 + ^1236 + *37 + ^2345 + *46 + ^1247 + ^366 +
+ &12357 + ^167 + ^12466 + ^467 + ^23467 + ^2867 + ^134667!
*3 == ^3 + ^124 + ^1236 + ^16 + *27 + bib + &2346 + ^1347 + ^256 + ¦
4~ ^157 + ^12367 4" ^13466 4" ^23407 + ^467 + ^3667 4" ^124667!
^4 ~ bi + Ь123 + ^1246 4" ^1346 4- ^317 4" Ьзь + Ь2в + ^17 4" &23456 +
4" ^13467 4" ^12467 4" ^156 4" ^257 +Аб7 + ft4567 + ^1236671
Ь& = Ьь -{- b12Sib 4" ^12 + ^1356 + ^2357 4" ^34 4" ^2156 4" ^1457 4" ^236
+ ^137 4" ^12567 + ^146 4" ^247 4" ^34567 4" ^67 + ^1234671
Ьв ~ Ьв -\- &12346 4" ^1256 + ^13 + ^2367 4" ^3456 4" ^24 + ^1467 4" ^285
4" ^13567 4" ^127 + ^146 4-^24567 Ч" ^347 + Ьь7 + ^1234571
bl = Ь7 ~\~ bl23i7 -f- 61257 + ^1367 4" ^23 4" ^3457 + ^246? + Ьи -\- ^23667 "
4" ^135 4" Ьг2в -\- ^14567 4" ^245 4" ^?4в 4" ^66 + ^123456- .
Пренебрегая всеми коэффициентами взаимодействия, начинЯ
с тройных, получим, что коэффициенты будут следующими совм|
стными оценками:
bi -* b\ -f Ъ2Ъ + Ьзв + bi7, Ьъ -> Ьь + Ь12 + *34 4- Ье-,
Ь2~*Ь2 +^15 + ^37 4-^461 Ьв -* Ьв + ^13 4" ^24 4" ЬЪ7,
bg->b3 -f bu + ^27 4" ЬцЪ, b7 —> b7 + 623 4" ^11 4" ^>6-
61-^^4 4- Ьзь + Ь2в + b17,
Так как линейные эффекты здесь определяются совместно
тремя парными взаимодействиями, этой репликой можно пол
зоваться только в том случае, если все парные взаимодейсти
равны нулю. В противном же случае, согласно методу «перевал^
следует реализовать вторую реплику 27, которую можно получи
из первой реплики, изменив в ней все знаки на обратные.
Такая реплика будет задаваться генерирующими соотношенк
В обобщающем определяющем контрасте все тройные произ»
дения окажутся со знаком минус. Это приведет к тому, что в соЗ
местных оценках для линейных эффектов будут отсутствовав
парные взаимодействия со знаком плюс. Усреднением резулья
30
ов вычислений для таких дйух реплйк получим раздельные оЦёй-
Lji для всех линейных эффектов.
Легко заметить, что с ростом числа факторов быстро увели-
увеличивается число реплик различной дробности.
Дробные реплики находят широкое применение на практике.
Иелесообразность применения дробных реплик возрастает с ро-
,том количества факторов. В [44] указывается, что эффективность
[рименения дробных реплик зависит от удачного выбора системы
мешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия,
[ также от умелой стратегии экспериментирования в случае зна-
значимости некоторых взаимодействий.
Отметим следующие основные свойства матриц двухуровневых
полных и дробных факторных экспериментов.
Симметричность относительно центра эксперимента
A.7)
т. е. сумма элементов любого столбц-а матрицы планирования рав-
равна нулю.
Условие нормировки
A.8)
т. е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу
опытов.
Ортогональность
N
2ЗД.«="-О (i?=h i,/ = 0,1,2, ...,к), A.9)
к=1
т. е. сумма почленных произведений любых двух вектор-столб-
вектор-столбцов матрицы равна нулю.
§ 1.3. Реализация эксперимента
Построив план эксперимента, приступают к его подготовке."
Для этого в первую очередь подсчитывают количество исходного
сырья и заранее его подготавливают. Желательно, чтобы сырье
было однородное. Если требование однородности выполнить не-
невозможно, нужно заблаговременно определить количество раз-
различных партий сырья и соответствующим образом разбить матри-
матрицу планирования на блоки или применить иные планы, специаль-
специально предназначенные для работы в условиях неоднородности.
После выбора плана и подготовки исходного материала при-
приступают непосредственно к проведению эксперимента.
31
Реализуем в какой-нибудь точке плана несколько параллеЛ]
ных опытов. При этом полностью идентичные результаты мы в
получим. Разброс параметра оптимизации обусловлен наличие
ошибки опыта (ошибки воспроизводимости). Ошибка опыта я)
ляется суммарной величиной, состоящей из ошибок при измер(
нии факторов, параметра оптимизации и ошибок при проведен^
опыта.
Знание ошибки воспроизводимости необходимо для анали^
данных эксперимента. Воспроизводимость обычно оценивают ц
результатам параллельных опытов, проведенных либо на ochoJ
ных уровнях, либо в какой-нибудь точке плана или путем повтс
рения каждого опыта плана. \
При реализации параллельных наблюдений лишь в какой
нибудь одной точке v дисперсия воспроизводимости, характеру
зующая ошибку опыта, определяется по формуле
_ i=i
i ~ 9,.
rv~l
A.1A
где yv
.2 »vi
3=1
— среднее арифметическое значений параметро
оптимизации в v-ш точке плана; / = (rv — 1) — число степс
ней свободы, равное количеству опытов минус единица. Здес
одна степень свободы использована для вычисления среднего
Для ошибки опыта получим
* {г/} ~= fs* {у} =
\
v
У Кз-у»J
, — 1
A.11
Если результат одного из параллельных наблюдений, напри
мер (г 4- 1)-го, вызывает сомнения (значительно отличается о(
остальных), он должен быть проверен и в случае необходимости
отброшен.
Проверка при малом числе измерений может быть осуществле
на согласно критерию Романовского. Результат (г 4- 1)-го сом|
нительного опыта исключается и по остальным г опытам находят-!
ся среднее и дисперсия
У
7712
2 toj-v)
3=1
r-i
Результат (г 4- 1)-го опыта отбрасывается, если
Уг+1 — y>t's2{y}.
32
A.12J
к аЧС1!пя i' для различных а я г приведены в Приложении (см.
\$-[ П. 1.3). Если же (г 4- 1)-й результат не будет признан грубым
»' >,)'.м-|хоаг, его следует включить в расчет, пересчитать среднее и
1Сиерсию с учетом результатов всех г 4- 1 опытов и в качестве
пенерспи воспроизводимости использовать именно эту величину.
Реализован параллельные опыты в остальных точках плана
i определив соответствующие значения .s2 {у}, следует убедить-
я в однородности дисперсий, т. е. в том, что среди всех диспер-
ifi't ист таких, которые бы значительно превышали все остальные.
Требование однородности дисперсий является одним из требова-
niii регрессионного анализа, и поэтому проверке однородности
¦нерсни следует уделять должное внимание.
Для сравнения двух дисперсий применяется jP-критерий
(критерий Фишера), представляющий отношение большей дис-
перспи к меньшей. Согласно критерию Фишера гипотеза об одно-
однородности двух дисперсий s2 {у} и s\ {у} (s2 {у} > s\ {у}), опреде-
определенных с /г и /2 степенями свободы соответственно, не отвергается,
если расчетное отношение Fp = s\ {y}/s\ {у} не превышает таб-
табличного значения Fy для числа степеней свободы Д и /2 и для уров-
уровня значимости га (обычно а = 0,05). Таблица F-критерия для уров-
уровня значимости 0,05 приведена в табл. П.1.1. В таблице по гори-
горизонтали отложены числа степеней свободы для большей диспер-
дисперсии Д, а по вертикали — числа степеней свободы для меньшей
дисперсии /2.
Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и одна
дисперсия значительно превышает остальные, можно восполь-
воспользоваться критерием Кохрена. Согласно критерию Кохрена, при-
применимому лишь в случае одинакового числа параллельных опытов
во всех точках плана, образуют отношение максимальной диспер-
дисперсии к сумме всех дисперсий
?¦¦= 4ах {у} /
м=1
Гипотеза об однородности дисперсий не отвергается, если эк-
экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает таб-
лнчиого значения (табл. П.1.4).
При неодинаковом числе параллельных наблюдений в точках
ил:!па для проверки' однородности следует использовать крите-
критерии партлета, согласно которому следует вычислить дисперсию
11—1
ч найти величину
1 Г,.
U=l
JV
2 U lg si {у}},
A-13)
2 II Г
33
где
Здесь число степеней свободы равно N
ниваемых дисперсий.
1, где N — число ера
N
N
Величина — {/ lg s2 {у} — 2 /u lg s« {у}} приближенно подчиняв
ся ^-распределению с N — 1 степенями свободы. Дисперсй
однородны, если подсчитанные согласно A.13) экспериме)
тальные значения %Р не превышают табличного значения %1 дл
N — 1 степеней свободы и уровня значимости а (обычно а = 0,0t
(табл. П. 1.5).
Исходя из того, что если наибольшая и наименьшая дисперси
не отличаются значимо, то дисперсии, имеющие промежуток
ные значения, также не могут значимо отличаться друг от друга
проверку однородности можно свести к проверке по F-критерш
однородности наибольших и наименьших величин [44]. В случае
однородности дисперсий во всех N точках плана можно вычислит!
дисперсию всего эксперимента. В наиболее общем случае диспер
сия воспроизводимости эксперимента определяется согласно
'N
УиЛ\
N
V /
/- >u
A.14J
где fu = ru — 1 — число степеней свободы в и-м опыте, a s2 {у} —>.
дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента в и-й точке.
Если количество параллельных наблюдений во всех N точках
плана одинаково и равно г, то дисперсию воспроизводимости сле-
следует определять по формуле
f f(yui-yJ2
Ц=1 ]'=!
" Vff ЛГ(г-1) ' AЛ5)
а при реализации параллельных наблюдений лишь в какой-ни-
какой-нибудь одной точке v — по уже приведенной формуле A.10).
Реализовав эксперимент и вычислив средние значения откли-
откликов для каждой точки плана, можно проверить, значимо ли отли-
отличаются друг от друга^тах и ут\п- Значимость различия двух сред-
средних можно проверить с помощью /-критерия (критерия Стьюден-
та) по формуле
{у} /l/rmax + l/rm
34
A.16)
Г дние значимо не отличаются, если экспериментальное значе-
ие /-критерия не превосходит табличного tT (табл. П. 1.2) для / =
___ r ax _j- Гт1п степеней свободы и обычно 5%-ного уровня зна-
значимости, т. е. вероятность того, что при / = гтах + гт1п степе-
степенях свободы значение величины t будет больше по абсолютной ве-
величине, чем U, равна 0,05. Если экспериментальное значение t
меньше табличного, то с вероятностью Р ~ 1 — а = 0,95 можно
считать, что разницы между результатами двух опытов нет.
Если статистически незначима разница между максимальным
и минимальным результатами плана, вряд ли удастся получить
сколь-нибудь ценную информацию, применив к обработке таких
практически идентичных данных метод регрессионного анализа.
Ошибки воспроизводимости подразделяются на случайные и
систематические. Для компенсации влияния систематических
ошибок опыты рандомизируются во времени, т. е. проводятся в слу-
случайной последовательности. Порядок выполнения опытов выби-
выбирается по таблице случайных чисел (табл. П.1.7). Если, напри-
например, необходимо провести восемь опытов, то из таблицы случай-,
ных чисел выписывают числа от 1 до 8, опуская все остальные или
повторяющиеся. Согласно второму столбцу табл. П.1.7 получаем,
например, следующую последовательность выполнения опытов:
1, 3, 4, 8, 7, 5, 6, 2.
Если источники систематических ошибок известны заранее
(известно, например, количество различных партий сырья), мат-
матрица планирования может быть разбита на блоки. Межблоковый
эффект при этом смешивается с взаимодействиями, которыми
экспериментатор может пренебречь.
Для разбиения любого эксперимента типа 2к на два блока сле-
следует выбрать взаимодействие, которым можно пожертвовать
Таблица 1.4
Разбиение матрицы полного факторного эксперимента 23 на два блока
Блок
1
2
х„
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
-1
+1
+1
—1
—1
+1
+1
Хг
— 1
+ 1
—1
+ 1
— 1
+1
— 1
+1
Xl
+1
—1
—1
+1
—1
+1
+1
—1
Х1Х2
+1
—1
-1
+1
+1
—1
—1
+1
эс,хз
-1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
—1
X2X3
—1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
X,X2Xs
+1
+1
+1
+1
—1
—1
—1
—1
Отклик
г/1 + 8
- 2/2 +В
2/3 +Б
г/4 + 8
2/5
г/в
г/7
г/в
35
(обычно это взаимодействие самого высокого порядка). В перв!
блок следует сгруппировать все опыты, в которых это взаимода
ствие равно +1, а во второй, где оно равно —1 (см., наприм^
табл. 1.4). ;
Более детально читатель может познакомиться с вопроса!
разбиения планов типа 2к на блоки в [44], а с вопросами планир!
вания в условиях неоднородностей в [15, 16].
§ 1.4. Обработка результатов эксперимента
При обработке экспериментальных данных, полученных пр
планировании эксперимента, может быть применен метод наимен!
птах квадратов — эффективный и простой способ получения ощ
нок коэффициентов регрессии. Предположим выполнение следуя
щих предпосылок: независимые переменные х{ достаточно точн
поддерживаются на определенных уровнях, а наблюдаемые знд
чения отклика -уг, уг, ..., уу по данным N опытов плана D трвй
ставляют собой независимые и нормально распределенные слу
чайные величины
где Уг = | уг, yv ..., yN\, fT = !#!, у2, ..., pN\, Б — единична*
матрица, ст2 {у} — дисперсия, характеризующая ошибку опытам
Полученный в результате опытов ограниченный статистический
материал дает возможность определить лишь оценки b0, blf ..^
..., Ьк' теоретических коэффициентов регрессии д0, Ъ1г ..., Ъ# в A.5),
справедливых для некоторой гипотетической совокупности, со-;
стоящей из всех мыслимых опытов. Тогда уравнение регрессии,,
полученное на основании N опытов, запишется следующим обра-
образом:
у = Ьо + Ьа+ ... + Ък.х„, ¦ . A.17)
где у — значение выхода, предсказанное уравнением A.17) для
ряда входных условий.
В дальнейшем для удобства штрихи будем- опускать.
Согласно методу наименьших квадратов находятся такие зна-
значения оценок bt величин 5г-, которые минимизируют сумму квадра-
квадратов отклонений (невязок) ги опытных точек от величин, предска-
предсказанных регрессионным уравнением A.17), т. е. минимизирующие
функцию
N
N
u=l
г=о
Условия минимальности Для суммы квадратов отклонений по-
подучены путем приравнивания нулю частных производных от G
параметрам b
N
an S 1 \\ (
dbi dh l^ V
ft
i=0
k
A.19)
u=l
i=0
Проведя элементарные преобразования, получим нормальные
равнения для определения минимизирующих выражение A.19)
вличин b i
К @0) + h @1) + ... + h (Ok) = @y),
A.20)
= (ky),
b0 (kO) + bj. (kl) +... +
N
pfi (ij) = 2 /i(xu)/j(xu)> и для частного случая линейной рег-
u=l
ессии, так как /4 (х„) = ж4ш /,- (х„) = х}и, получим (ij) = (ji) =
N
- 2 xiuxju — сумму произведений соответствующих элементов-
u=l
N
-то и /-го столбцов в Х-матрице; (и) = 2 xiu — сумму квадратов
N
цементов i-ro столбца; (iy) = 2 хыУи — сумму произведений эле-
u=l
1ентов i-ro столбца в Х-матрице с соответствующими величинами
&ектор-столбца Y. '
Нормальные уравнения A.20) в матричной форме запишутся
в виде
XTXB = XrY, A.21)
рде В — вектор-столбец, элементами которого являются коэффи-
коэффициенты регрессии Ьо, Ъг, ..., Ьк, а Х^Х и XTY — матрицы, равные
36
@0) @1) ... @*)
A0) (И) ... A*)
(*0) (И) ... (fcfc)
Фу)
A2/)
Матрица М = 7vXTX = 7лг || 2 h foj U (x«) J = 'In ff ij ff назщ
ся информационной матрицей Фишера (приведенная к одв
наблюдению). 1
Умножая слева обе части матричного уравнения A.21J
(Х7^), получим для оценок В-коэффициентов регрессии
В = (XTX)-1XTY. (ij
Расчет коэффициентов регрессии по такой методике обычно <
зан с определенными вычислительными трудностями. Их мо;
избежать следующим образом.
диагональные элементы матрицы || ci} |, а ковариа-
— недиагональные, т. е.
,* |й<} = сно* {у}, cov {h bj) = Cijo2 {у}. A.25)
Ьри наличии параллельных наблюдений под планом ?2 будем
Ьазумевать набор величин
со,, =
с00 С01 ... С
fio Oi ... с,,
Чо
--- с
скк
«Bj, C02, . . ., С0п ,
г „/TV — приходящаяся на v-ю (v = 1,2, ..., п > C"?+d)
п
ку плана доля наблюдения B ии= Ч> г» — количество
п
Ьаллельных наблюдений в v-ш точке, N = 2 г» — общее коли-
[ »=i
опытов. Вектор результатов наблюдений в данном случае
rv
вет вид YT = \\уи уг,..., уп\\, где yv
вектор-столбца В — коэффициенты регрессии bt,
ляющиеся решениями системы нормальных уравнений A,
ищем согласно выражению
;=о
(i = 0,1,2 А). A,
Рассчитываем на вычислительной машине матрицы (ХТХ)]
Дальнейшая операция ло умножению такой матрицы на век*
столбец значений исследуемого выходного параметра уже j.
представляет большого труда. j
Элементы матрицы | сц || = (ХТХ)~1 определяем как диспера
сг {bt}, характеризующие ошибки в определении коэффициент]
регрессии, так и ковариации cov {btbj}, определяющие статис
ческую зависимость между коэффициентами регрессии. Это ж
видно из соотношения [25]
<32{&о} COv{6o 6]} ...COV{6fl6
COV{6] 60} <32{&i} . . . COV {61 Ь
Vvi-
3=1
Если обработка экспериментальных данных ведется по методу
йменьших квадратов, за лучшие линейные оценки параметров
= | 50, 51; ..., Sfc || принимаются величины
В = М-1 (Q) Y (Q, у),
в информационная матрица плана Q имеет вид
М (Q) =
и
Дисперсию предсказанных значений как функцию х получим
гласно уравнению
к к К
? \ 2 /. (х) ьг - 2 п (х) ь,} = 4 2 /«(*){bi -'
к к
f01
lok
clo
cko
U (x) U (x) Щ {b, -\) (b} - bj) = N'1^ {y} f т,(х) М-Ч (x),
e.
cov {bk
являющегося развернутым видом очевидного соотношения
*'^-B)x(B-B)T} = ^^-i,2
w КО
где В — вектор-столбец теоретических
регрессии, а ая {у} — дисперсия
Согласно выражению A.24),
ьЗФИЦИе^
33
В случае полного факторного эксперимента, регулярных дроб-
дробях реплик и любых других ортогональных планов вычисление
рэффициентов регрессии и ошибок их определения значительн)
Ьрощается.
Посмотрим на структуру матриц и вид расчетных формул при
Ьловии ортогональности матрицы X на примере ПФЭ типа 22.
этом случае строится модель у = Ьо + Ьгхг + Ь2х2 или
39
в Матричной записи ХВ
Хо Xl X2
+1 -1 -1
+1 -1 +1
+1 +1 -1
+1 +1 +1
где
X =
В =
Для определения коэффициентов регрессии согласно
образуем следующие матрицы:
ХТХ =
+1 +1 +1 +1
-1 -1 +i +i
-1 +1 -1 +1
V* о о
+1 -1 -1
+1 -1 +1
+1 +1 -1
+1 +1 +1
О V4 0 ,
о о 74
. I +1 +1 +1 +1
XTY = -1 -1 +1 +1
|| —1 +1 —1 +1
Тогда по формуле A.22) получим
I b° I I 1/4 ° ° II
h = О V4 О
II fe II II О О 1Д II
откуда
b -- У1 + У2 + УЗ + 3/4
2/1+2/2+2/3+2/4
—У1— '(/2+^3+2/4
—2/1+J/2—2/3+2/4
— (/1—2/2+!/з+2/4
—3/1+3/2— 2/3+2/4
= ~У1 + 2/2 — З/з + 2/-»
4
_ —2/1 — 2/2 + 2/3+2/4
= c«s« {г/} -4 s2 M (* = 0, 1,2).
В общем случае для ортогональных планов имеем
N
N
U=l
N
u=l
(i = 0,l,2,...,*),
(I = U, 1, 2, . . ., k),
A.21
— величина, расположенная на пересечении i-ro столбца
й"'строки матрицы планирования и в случае двухуровневых
'Го и ДФЭ равная +1 или -1 [(+) или (-)].
Лормулы A.28) видно, что дисперсии всех коэффициентов
друг друг^у. так как они зависят только от ошибки опыта и
.. опытов Поскольку при ортогональном планировании все
матрице (ХтХ)-г равны нулю, то и все cov {h Ъ,} равны нулю,
1Т0 подтверждает независимость рассчитанных коэффициентов
т,гл7г от друга.
Если в точках плана проводилось по г параллельных опытов,
то чля вычисления коэффициентов регрессии и дисперсии коэффи-
коэффициентов следует пользоваться следующими формулами:
A.29)
кисла
A-Щио ]
u=l
N
A.30)
Zj »«
При неравномерном дублировании опытов в точках плана (при
различных ги, и = 1,2, ..., N) универсальную расчетную фор-
формулу для коэффициентов Ъ записать нельзя. Все зависит от того,
какой был план и как дублировались опыты. Всякий раз при-
приходится делать специальные расчеты, пользуясь методом наи-
наименьших квадратов. Проиллюстрируем такой расчет на синтези-
синтезированном примере [44].
Таблица 1.5
Полный факторный эксперимент с неодинаковым числом повторений
опытов
Номер
опыта
1
9
3
4
+1
+1
+1
+1
Xt
—1
+1
—1
+1
—1
—1
+1
+1
У
4,
3,
2
0
5
0
0
5
у"
5,5
—
2,0
1,5
5
3
2
1
V
,0
,0
,0
,0
4
3
1
1
У
,59
,79
,89
,09
у -
0
0
0
0
- у
,41
,79
,11
,09
(!/ - У)г
0,16
0,64
0,01
0,01
0
и
0
и
-у)г
,32
,64
,02
,02
40
При реализации ПФЭ 22 с двумя параллельными опытами в
каждой строке один из параллельных опытов пришлось отбросить.
Матрица планирования представлена в табл. 1.5. Учтем, что мат-
41
рица планирования в данном случае в действительности имеет
" +1 -1 -1 "
+1 +1 -1
+1 -1 +1
X = I +1 +1 +1
+1 —1 —1
+1 -1 +1
+1 +1 +1
Для определения коэффициентов регрессии образуем след
щие матрицы:
, Y =
4
3
2
0
5,
2,
1,
,5
,0
0
5
5
0
5
ХГХ =
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
-1 +1 -1 +1 -1 -1 +1
—1 —1 +1 +1 —1 +1 +1
_1_
40
-1 1
7 1
1 7
6
1
-1
1
6
-1
—1
—1
6
+1 -1 -1
+1 +1 -1
+1 -1 +1
+1 +1 +1
+1 -1 -1
+1 -1 +1
+1 +1 +1
Тогда, учитывая тот факт, что
7 7
И) = 2У» = 19' (^) = S
согласно A.23), получим
= 2
Из равенства дисперсий коэффициентов линейного регрессиоя
ного уравнения, оцененных по данным полных или дробных фай
торных экспериментов, вытекает свойство ротатабельности мат]
риц полного и дробного факторного эксперимента. Действительно
если у — значение параметра оптимизации, предсказываемо!
о закону
[П s2 {у} будет равна
Ьавнением регрессии, т. е.
и = ь„ + Mi + ь«* 2 +... + &л, A.31)
накопления ошибок дисперсия этого предсказанного
^Ш^-ЛГ^-Т--! ¦ ^ ¦ .••+*!') = ^¦A+'Л)- A-32)
Следовательно, дисперсии предсказанного значения s2 {у},
ивисящие от ошибки опыта и радиуса г гиперсферы с центром
основном уровне, будут одинаковыми на равных расстояниях от
ентра, т. е. во всех эквидистантных точках. Это является усло-
ием ротатабельности.
Таким образом, матрицы полного и дробного двухуровневого
ткторного экспериментов относятся к классу линейных орто-
ональных и ротатабельных планов.
Проверка адекватности модели. Для проверки адекватности
юдели изучается разность между экспериментальным значе-
шем и значением отклика, предсказанным по уравнению рег-
)ессии в некоторых точках факторного пространства. В качестве
)тих точек могут быть взяты как точки плана (при ненасыщенных
1ланах), так и добавочные проверочные точки. Проверочные точ-
т обычно выбирают либо в области, представляющей наиболь-
лий интерес, либо располагают таким образом, чтобы наблюдения
в них могли бы быть использованы для построения полинома бо-
более высокой степени.
Разность между наблюденным в точке w значением функции
у и- и предсказанным значением yw
Aw — yw — yw
является нормальной случайной величиной с дисперсией, равной
12561
/и ИГ
Здесь ги — число наблюдений в и-ш экспериментальной точке пла-
плана, a rw — число наблюдений в точке и>. Построенная модель бу-
будет адекватной, если не будет отвергнута гипотеза о том, что ма-
математическое ожидание этой случайной величины равно нулю.
В 1256] отмечается, что в случае, когда дисперсия воспроизводи-
воспроизводимости о2 {у} известна, критическая область для проверки гипо-
гипотезы задается неравенством |Д„|>с,
гДе с — решение уравнения
с — ¦
е ''
а — ошибка первого рода.
42
43
Если дисперсия а2 {у} неизвестна и ** {у) — оценка дисй
сии, то составляется ^-статистика и адекватность в этой точке га
веряется по критерию Стьюдента. Величина t в проверочной
определяется согласно
Г
А,. У
A-1
где 4 {у} = 4 {у}//•„.
Критическая область определяется при / степенях свобо,
учитываемых при определении дисперсии воспроизводимо
s* {у} я уровне значимости а.
При I проверочных точках оценка адекватности представь
собой задачу проверки того, что нормальный вектор (Ат, Aw%
..., AW;) имеет математическое ожидание @, 0, ..., 0). Так как п
исследовании сложных систем случайные величины Aw обыч
коррелйрованы, можно выписать ковариационную матрицу эт<
вектора-
Построенный полином представим в виде -
у = ZyJix).
Тогда ковариация между Дю и Д„ — между разностями в точк!
w и v — определится согласно
— вектй
Если дисперсия а2 {у} известна и (Ат, А№8, ..., Ащ)
наблюденных средних отклонений, то величина
имеет ^-распределение с I степенями свободы [256]. Здесь г — чня
ло наблюдений в каждой проверочной точке, a ui} — элеменя
матрицы, обратной к ковариационной. Критическая область з!
дается неравенством
Здесь у] (а) — решение уравнения
Согласно предложенному в [250] методу проверки адекватност!
для каждой из I проверочных точек в отдельности строится
44
стика. При этом, если во всех экспериментальных точках про-
проводится одинаковое число параллельных наблюдений, то величина
распределена по закону Стьюдента. Критическая область нахо-
находится отдельно для каждой проверочной точки по уровню значи-
значимости oc/L Гипотеза адекватности не отвергается, если она выпол-
выполняется для всех точек.
Если план ненасыщен, адекватность может быть проверена без
реализации опытов в проверочных точках по %2- или /'-критериям
в зависимости от того, известна или нет дисперсия воспроизводи-
воспроизводимости. Расчетные значения %2 и F при одинаковом числе повтор-
повторных наблюдений во всех точках плана определяются по формулам
2
F =
u=l
о* {у}
2 tfu-v
13 ад
*Чу}
A.34)
A.35)
где уи — среднее арифметическое из г параллельных опытов в и-ж
точке плана, уи — предсказанное по уравнению значение в этом
опыте, fx = N — L — число степеней свободы, т. е. число раз-
различных опытов, результаты которых используются при подсчете
коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффи-
коэффициентов.
При неравномерном дублировании опытов для дисперсии адек-
адекватности можно записать общую формулу
A.36t
h
Гипотеза адекватности отвергается, если рассчитанное согласно
A.34) значение %р превосходит табличное %]t (а) для выбранного,
уровня значимости а и /х = N — L степеней свободы, т. е. %р ^>
> X/i (°0> или рассчитанное согласно A.35) значение Fv превос-
превосходит табличное, т. е. Fv ^> Fa (/х, /2), где /2 — число степеней
свободы, с которыми определена дисперсия воспроизводимости.
Проверка значимости коэффициентов. Такая проверка для каж-
каждого коэффициента проводится независимо и может быть осуще-
осуществлена двумя равноценными способами — построением довери-
45
тельного интервала и по ^-критерию. Формула для доверительной
интервала имеет следующий вид:
Ah = ±ts {h}, A.37|
где t — табличное значение критерия Стьюдента при выбранной
уровне значимости (обычно 0,05) и числе степеней свободы, с ко-j
торыми определялась s2 {у}.
При использовании ПФЭ или ДФЭ доверительные интервал!
для всех коэффициентов, в том числе и эффектов взаимодействия,
равны друг другу; они зависят только от ошибки опыта и числ^
опытов. Формулу для доверительного интервала в этом случай
можно записать в следующей форме:
АЬ<
A.38)
г параллельных наблюдений в каждой точка
A.39)
Коэффициент значим, если его абсолютная величина болыне|
доверительного интервала ) Ъг \ ^> Ah. Для проверки значимости
коэффициентов по ^-критерию используется формула
A.40)
Коэффициент значим, если рассчитанное согласно A.40) значение
tp превосходит критическое табличное tT при заданном а и соот-
соответствующем числе степеней свободы.
Пример. Проводилось исследование процесса выщелачивания вос-
восстановленного барийсодержащего сырья. В качестве факторов были выбраны
следующие: хх — температура выщелачивания (°С), х% — количество твер-
твердого вещества в пульпе (%), х3 — процентное содержание сульфида бария
в шихте, хц — время выщелачивания (мин), хъ — интенсивность перемешива-
перемешивания пульпы (об/мин), а в качестве параметра оптимизации — степень выще-
выщелачивания BaS (%).
Условия, матрица-планирования и результаты опытов приведены в
табл. 1.6. Связь между исходными и кодированными переменными задается
соотношениями
а>,= *»-56,5
4,5
46
хъ =
Х\ —
Хъ —
60
150
50
Таблица 1.6
Планирование эксперимента для изучения процесса выщелачивания
барийсодержащего сырья
Факторы
Хз
Х4
Хь
условия планирования эксперимента
Основной уро-
уровень
Интервал
варьирования
Верхний уро-
уровень
Нижний уро-
уровень
60
20
80
40
План эксперимента и
Кодовое
обозначение
переменных
. Опыт
1
2
з
4
5
6
7
8
—1
—1
—1
—1
+1
+1
+1
+1
15
2,5
17,5
12,5
56,5
4,5
61
52
15
5
20
10
150
50
200
100
результаты опытов
х2
—1
-1
+1
+1
—i
+1
+1
—1
+1
+1
—1
+1
+1
X,
—1
+1
+1
—1
+1
—1
-1
+1
Хъ
+1
+1
-1
—1
—1
—1
+1
+1
V
81,
82,
89,
75,
96,
90,
90,
86,
-
91
16
02
53
07
83
66
41
85
81
85
77
93
88
92
88
v"
,13
,54
,41
,58
,72
,84
,41
,08
У
83,
79,
86,
73,
97,
87,
88,
90,
-
58
12
45
81
79
51
79
05
V
83,
80,
86,
75,
95,
89,
90,
88,
54
94
96
G4
86
06
62
18
83
80
85
76
97
87
90
88
У
,50
,98
,84
,76
,00
,92
,66
,14
В качестве матрицы планирования использована :/4-реплика от полного фак ,
торного эксперимента 25. Матрица задава генерирующими соотношениями
•?4 = ххх%х3 игх6 = ххх% и имеет обобщающий контраст I — x1x%xsxi = х1х%хъ —
— хъх,хь.
Осредненные величины отклика у определялись по данным трех парал-
параллельных наблюдений, проведенных в каждой точке плана и приведенных
в столбцах у', у" и у"'.
Так как матрица планирования состоит из серий опытов, дисперсию все-
всего эксперимента определим в результате осреднения дисперсий всех опытов
согласно A.15). Она равна л2 {у} — 3,22 (s {у} = 1,79).
Различие между максимальным и минимальным значениями осреднев-
пых откликов (утях = 95,86 и ymin = 75,64) значимо, так как вычисленное
согласно A.16) расчетное значение ?_ — 24,78 превосходит табличное значе-
значение критерия Стьюдента для 5%-ного уровня значимости и / — rmax -f-
+ rmtn = 6 степеней свободы <0j06. 6 = 2,447.
47
В результате оценки, согласно A.29), коэффициентов линейного ур|
нения регрессии получим
# = 86,35 + 4,58?! — 1,00;?,, — 2,90.г3 + 1.6424 -*- 0,53г5.
Полученное уравнение адекватно описывает экспериментальные резул
таты, так как вычисленное согласно A.35) расчетное значение критерия ФЗ
шера Fp — 2,38 меньше критического табличного для Д = N — к — 1 {
= 2 и /2 = N (г — 1) = 16 степеней свободы и 5%-ного уровня значимое
FQM B,16) = 3,63.
Для проверки значимости коэффициентов линейного уравнения perpi
сии согласно A.30) определим дисперсию коэффициентов регрессии s2 {&{}
= s2 {y}lrN = 0,134. Все коэффициенты значимы, так как их абсолютн
величина больше доверительного интервала АЬ = ts [b} = 2,12-0,37 = 0,7
Анализируя полученные величины Ьи с учетом АЬ = 0,78, можно прпй
к следующим выводам, справедливым в исследованной области факторно;
пространства при выбранных интервалах варьирования.
На степень выщелачивания бария существенное влияние оказыва!
температура выщелачивания, количество твердого вещества в пульпе, с
держание BaS в шихте и время выщелачивания. Степень выщелачивания б,
рия повышается с увеличением температуры и времени выщелачивания и;
уменьшением содержания BaS в шихте и количества твердого вещества
пульпе. Тот факт, что коэффициент, характеризующий интенсивность nepi
мешивания пульпы, находится в пределах доверительного интервала, свид(
тельствует о том, что интенсивность перемешивания пульпы при скорост]
вращения мешалки 100 об/мин, очевидно, вполне достаточна для выщелачи
вания с той же степенью, что и при скорости вращения в 200 об/мин. Эт<
дает возможность применять более экономичный режим перемешивания бе!
ухудшения степени выщелачивания.
Экспериментальные планы, применяемые для исследованш
и оптимизации сложных систем, могут быть классифицированы ni
различным признакам. Число классифицирующих признаков до!
статочно велико, и создание единой системы классификации эк]
спериментальных планов представляет определенные трудности
В настоящей книге рассматриваются вопросы планирования эк:
сперимента при наличии независимых количественных факторов]
качественных факторов, планирования для исследования свойст!
смесей и планирования эксперимента в сложных ситуациях при
наличии разнородных факторов.
Глава 2
Планирование эксперимента
с независимыми
количественными факторами
Исследование и оптимизация сложных систем методами мате
магического планирования эксперимента проводится в несколько
этапов. На каждом из них должно быть выбрано оптимальное для
чанного этапа расположение экспериментальных точек.
Начиная исследование плохо изученной сложной системы, сле-
следует выделить существенные переменные из большого числа не-
независимых переменных. На первом этапе исследования приме-
применяются такие планы, которые дают возможность отсеять незна-
незначимые переменные за минимальное количество опытов. Выделив
на первом этапе из большого числа факторов существенные и сок-
сократив тем самым общее количество исследуемых независимых пе-
переменных, можно приступить к более детальному изучению поверх-
поверхности отклика.
На втором этапе целесообразно, использовав относительно
небольшое число опытов, исследовать поверхность отклика на
небольшом участке и, ограничиваясь линейным приближением
поверхности отклика, осуществить движение к почти стационар-
стационарно!"- области. Достигнув ее, стратегия исследования должна быть
изменена. На данном этапе для уточнения местонахождения эк-
экстремума экспериментальные усилия концентрируются в почти
стационарной области, которая охватывается большим числом
опытов и описывается полиномами второй или более высокой
степени.
§ 2.1. Выделение существенных переменных
многокомпонентных систем
Подавляющее большинство изучаемых явлений следует рас-
рассматривать 1 ак сложные системы, зависящие от большого числа
независимых переменных. Часть из них может оказывать сущест-
существенное влияние на исследуемый выходной параметр, другая —
'¦иль незначительное. Так как априори обычно неизвестна сте-
степень влияния отдельных переменных, на первых этапах изучения
С|(ы;!1ых систем в программу исследования необходимо включать
R(v переменные, подозреваемые в способности воздействовать на
в:|\одной параметр.
Однако включение в программу исследования десятков (а ино-
Г:'и и сотен) факторов может потребовать значительного увеличе-
ния экспериментальных работ. Детальное изучение всех перел^
ных оказывается практически невозможным из-за большого чи(
опытов, поэтому появляется необходимость предварительн»
отсеивания факторов, оказывающих меньшее влияние, и выде,
ния наиболее существенных факторов для их дальнейшего дета;
ного изучения.
Интуитивный отбор существенных факторов вносит элеме^
субъективности и может привести к ложным результатам. По:
му на практике широкое применение находят объективные мет<
отсеивания, такие, как метод априорного ранжирования, ochoi
ный на объективной обработке данных, полученных в резулы
опроса специалистов или из опубликованных исследований, а :
же экспериментально-статистические методы отсеивания.
Выделение существенных переменных на основании апри
ной информации. На стадии предварительного изучения проце
или многокомпонентной системы целесообразно формализов
априорные знания изучаемого явления проведением априори
ранжирования факторов — психологического эксперимента U
основанного на методах ранговой корреляции [56].
Работающим в данной области т специалистам предлагав
заполнить анкету, включающую список факторов, способ
определения, размерность, предполагаемые интервалы варьи]
вания. Заполняя анкету, /-й специалист (/ = 1, 2, . . ., т) долж
расположить исследуемые к факторов в порядке убывания их bi
действия на параметр оптимизации — проранжировать, приг.
сав каждому фактору соответствующий порядковый номер (ра]
aiy- (? = 1, 2, . . ., А), соответствующий занимаемому месту в р?
жировочном ряду. Ранг г-го фактора у /-го исследователя —
может принимать одно из значений множества {1, 2, . . ., h
Если /'-й специалист не может указать порядок следования д|
tj рядом стоящих в ранжировочном ряду факторов, начиная с l-i
то этим факторам приписывается один и тот же ранг
{I + (I + 1) +. . . + (I + [tf -
Если специалист не может четко разграничить Q групп член^
ранжировочного ряда, содержащих каждая по tjq (д = 1, 2, . . ., 1
факторов, и группы начинаются соответственно с 11У 1г, ¦ • ., IqA
члена ранжировочного ряда, всем tjq членам д-й группы приписьр!
ется ранг \lq + (lq + 1) + . . . + [lq + (tjq - 1)] }/tJq = lq +
'fan Kai{ мнение одного специалиста носит субъективный ха-
актер, для объективной оценки информации о процессе целесооб-
азно учитывать мнения многих специалистов. Пример получен-
ой на основании опроса сводной анкеты приведен в верхней части
абл. 2.1.
Таблица 2.1
Сводная анкета для априорного ранжирования факторов
Исследователи
1
2
in
Суммы рангов
по факторам
m
2%-
j=i
Отклонение от
средней суммы
рангов Д. =
т
= 2 аа - й
1=1
Квадраты откло-
отклонений Д?
Факторы
Xi
an
«12
aim
т
2-u
i=i
Ai =
т
^ 2aii~~5
i=i
Д*
хг
Й21
Й22
aim
т
2-«
/=i
Д2 =
т
=2 a2i-5
i=i
хк
aki
пк2
акт
т
2а«
3=1
т
-2ан-й
3=1
«3
Tj= 2 Viq-tjQ*
к т
S У- %
i=l э' =1
к
^=2а?
г=1
50
По полученным данным можно построить среднюю априорную
диаграмму рангов только в случае согласованности мнений всех
специалистов.
Для оценки согласованности мнений с помощью так называе-
называемого коэффициента конкордации результаты опроса обрабаты-
обрабатываются следующим образом. Подсчитываются суммы рангов каж-
т
Дого фактора 2aii' разность между суммой рангов каждого факто-
т km m
Ра и средней суммой рангов Д{= 2 аа— 2 2 Я;3У& ¦--= 2 «;j — ;7,
3=1 г=1 з=1 3=1
51
Квадраты этих разностей Л? и сумма квадратов отклонен^
к
2
г=1
Коэффициент конкордации W в общем случае, при наличии!
/-м ранжировании Qj групп факторов соответственно с tjq числа
одинаковых (связанных) рангов в g-й (д = 1, 2, . . ., Q) групп!
вычисляется по формуле
125
т »
¦ к) - т ^ Т.
3=1
BJ
где
*i — 2л (Ь'й
9=1
Коэффициент конкордации меняется от 0 до +1, приче
W = О означает отсутствие какого-либо согласия в мнениях и
следователей, W = 1 — полное согласие опрошенных. Знач]
мость коэффициента конкордации можно оценить с помощь
специальных таблиц [56, 57] или известными статистическим
распределениями. Так как величина т (к — 1) Wимеет %2-распред|
ление с числом степеней свободы / = к — 1, для проверки знач!
мости W можно определить расчетное значение %2
125
т
B.2
и сравнить его с табличным ¦%? при выбранном уровне значимое^
а и числе степеней свободы f = к — 1. Гипотеза о наличии согла]
сия менаду исследователями не отвергается, когда %р !> %?.
Если нет связанных рангов (tjq = 0, j; = 1, 2, . . ., т; q
= 1,2,..., Q), то формулы для расчета коэффициента конкорда|
ции и %р упрощаются и принимают вид
W = ,?,У » , B.31
ЛР даА(А: + 1) " ( " I
Получение значимого коэффициента конкордации дает возмож-j
ность построения средней априорной диаграммы рангов, по оси
абсцисс которой отложены факторы, а по оси ординат — соответ-1
ствующие суммы рангов S^^j. Чем больше сумма рангов данного*
52
хз
б
I
Рис. 6. Априорные диаграммы рангов
фактора, тем выше его место на диаграмме рангов и тем менее
существен он. По оси ординат можно также откладывать и
т
средние значения рангов для факторов щ = 2 ац/т- Это повлияет
5=1
лишь на масштаб диаграммы вдоль оси ординат. С помощью полу-
ченпой диаграммы ведется оценка значимости факторов.
Диаграммы рангов могут иметь различный вид (рис. 6).
Если распределение факторов по рангам близко к равномер-
равномерному (рис. 6, а), то исследователь не в состоянии выбрать наиболее
существенные факторы (либо все эти факторы сильно влияют,
либо весьма низок уровень априорной информации), и поэтому все
факторы должны включаться в физический эксперимент. Если
распределение факторов неравномерно и убывание монотонно
(рис. 6, б), различие факторов делается неуверенно, то в этом
случае, если есть возможность, лучше включать в эксперимент все
факторы.
Если распределение неравномерное, убывание быстрое,
близкое к экспоненциальному, то возможно априорное отсеивание
ряда факторов, отнесенных к шумовому полю (рис. 6, в).
Методы априорного ранжирования находят широкое приме-
применение на практике [58—60].
Экспериментально-статистические методы выделения сущест-
существенных переменных. Среди экспериментально-статистических ме-
методов выделения существенных переменных наиболее эффективны
методы, основанные на использовании информации, полученной
в результате реализации предварительно спланированных экспе-
экспериментов. Кроме ненасыщенных, насыщенных и сверхнасыщен-
сверхнасыщенных планов, широко применяемых для выделения существенных
переменных, в данном разделе рассмотрен также и метод после-
последовательного отсеивания.
Ненасыщенные планы. Задача выделения всех существенных
переменных и взаимодействий различного порядка (до d-ro вклю-
включительно) успешно может быть решена раздельной оценкой всех
53
коэффициентов полинома степени d
^
B.5)
ранжировкой оцененных коэффициентов по величине и исключе-
исключением несущественных. ;
Раздельную оценку всех Ct+a коэффициентов регрессии можно|
получить по данным s-уровневого (s ^> d + 1) симметричного пол-j
ного факторного эксперимента типа sk для к исследуемых факто-1
ров или по данным несимметричного полного факторного экспе-1
римента типа s/ X «*' X . . . X s*«, где sx ^> sz^> . . . ^>sq^>d,
кг + к2 + . . . + kq = к, Si — различные числа уровней иссле-
исследуемых к факторов, кг — число факторов с уровнем Sj.
Хотя ПФЭ, представляющие собой всевозможные комбинации
уровней исследуемых к факторов, дают возможность раздельной
оценки всех коэффициентов регрессии, при большом числе факто-
факторов они оказываются неприемлемыми из-за большого числа
опытов.
Значительного сокращения количества опытов можно достичь
реализацией не всех опытов ПФЭ, а лишь некоторой системати-
систематической выборки из него, т. е. путем реализации так называемых
дробных реплик ПФЭ. Основной идеей дробных реплик является"
построение ортогональных планов, в которых эффекты высших по-
порядков (появление которых маловероятно в задаче данного типа)
смешиваются с какими-то новыми эффектами. Предложенная в
[18] идея использования дробных реплик получила интенсивное
развитие в последующие годы. В настоящее время имеется боль-
большое число дробных реплик, находящих применение'как для выде-
выделения существенных переменных, так и для линейного описания
исследуемого объекта.
При большом числе независимых переменных дробные реплики
можно выбирать по-разному в зависимости от поставленной за-
задачи: в одном случае это будут насыщенные линейные планы, в
другом — планы, в которых сохраняются несмещенными некото-
некоторые интересующие исследователя парные взаимодействия.
Краткий обзор существующих дробных реплик проведем, при-
придерживаясь следующего разделения.
Рассмотрим ортогональные планы дробных реплик для симмет-
симметричных факторных расположений.
Полностью ортогональные квадраты. Впер-
Впервые планы дробных реплик были предложены в [61]. Для построе-
построения ортогонального плана для шести пятиуровневых факторов с
54
дг = 25 был использован полностью ортогонализированный
E X 5) квадрат.
В общем случае 1//?-реплику полного факторного плана
ря (Р — простое число или степень простого числа) можно получить,
связав с р строками, р столбцами и буквами (р X />)-латинского
квадрата уровни 0, 1, 2, . . ., (р — 1). Аналогично, связывая
уровни 0, 1, 2, . . ., (р — 1) со строками, столбцами, латинскими
буквами и греческими буквами греко-латинского квадрата р X р,
можно построить дробную реплику типа \/р2 от ПФЭ р*
[16,61].
Ортогональные ра-с положения типа f = 2
(Ruj). Комбинации уровней дробной реплики симметричного фак-
факторного расположения могут быть рассмотрены как ортогональ-
ортогональное множество типа q. Под ортогональным множеством к s-уровне-
вых факторов типа q и объема N, обозначаемым через (N, к, s, q),
подразумевается множество, обладающее свойством: все sq комби-
комбинаций уровней, соответствующих q факторам из рассматриваемых
к, оказываются одинаковое число раз в множестве.
Ортогональные множества гиперкубов типа q были введены в
[62] и обобщены для ортогональных множеств типа q в [63]. Вопро-
Вопросам построения планов этого типа посвящена обширная литера-
литература [64-71].
Верхние границы для максимально возможного числа факто-
факторов, которые могут быть исследованы ортогональными множест-
множествами типа g = 2 и ? = 3, а также некоторые методы построения
этих множеств даны в [72]. Интересны также планы, приведенные
в [73J. План, требующий очень малого числа опытов, дан в [74].
В ортогональных планах типа q = 2 (известных в литературе
также как планы с разрешающей способностью III G?ш) [70]) ли-
линейные эффекты не смешаны друг с другом, но они смешаны с двух-
факторными (парными) взаимодействиями и двухфакторные взаи-
взаимодействия смешаны друг с другом. Так как в этих планах линей-
линейные эффекты не определяются отдельно от парных взаимодействий,
их использование для выделения существенных независимых пе-
переменных возможно лишь в предположении незначимости всех
эффектов взаимодействия. Такие планы являются насыщенными
и детально рассмотрены на стр. 59.
Планы типа i?iy. Существует несколько способов по-
построения дробных реплик, в которых ни один из линейных эффектов
не смешан с другим линейным эффектом или двухфакторным взаи-
взаимодействием, но где двухфакторные взаимодействия смешаны ¦
друг с Другом. Эти планы известны как планы с разрешающей
способностью IV G?iv) [70] или планы типа q = 3 [63]. Для указан-
указанных планов определяющие контрасты должны содержать по край-
крайней мере четыре члена.
Общее правило построения планов типа R\\ для s-уровневых
факторов заключается в выборе такого подмножества линейных
аффектов и эффектов взаимодействия факторного расположения
55
sn, чтобы обобщенные взаимодействия каких-либо двух членов
этого подмножества не были бы сами членами этого подмножества
[75]. Процедура построения таких планов для двухуровневых
факторов детально рассмотрена в [21].
Двухуровневые дробные реплики с разрешающей способностью
IV могут быть построены лишь для к = 2п факторов (п = 2, 3,
4, ...) (т. е. для к — 4, 8, 16, ...) при числе опытов N = 2-2™ =
= 2n+1 = 2к (т. е. соответственно N = 8, 16, 32, ...). Ядро плана
составляет ПФЭ 2n+1; добавляя к нему С\ вектор-столбцов, соот-
соответствующих всем трехфакторным взаимодействиям, С\ вектор-
столбцов, соответствующих всем четырехфакторным взаимодейст-
взаимодействиям, и т. д. до Сп1 вектор-столбцов, соответствующих /г-фактор-
ным взаимодействиям C ^ h ^ п + 1), и один вектор-столбец,
соответствующий (п + 1)-факторному взаимодействию ПФЭ 2"+1,
и приравнивая полученные таким образом 2" столбцов к А: пере-
переменным, получим искомый план с разрешающей способностью
IV — 1/2р = 1/22™-"-1 реплику ПФЭ 2к = 22", т. е. ДФЭ типа
2*-*> 22™bni]
Двухуровневые дробные реплики /?iv могут быть применены
для выделения линейных эффектов (обеспечивают раздельную
оценку линейных эффектов), однако они не являются насыщенны-
насыщенными — неиспользованным остается большое число степеней свобо-
свободы / = N — А = 2n+1 - 2" = 2п = А. При А = 4, N = 8 (п = 2),
т. е. при плане 24 это составляет / = 4; при А: = 8, N = 16
(п = 3), т. е. при плане 28~4 значение / = 8; при к = 16, N — 32
(га =4), т. е. при плане 216~5 значение / = 16 и т, д.
Несмотря на ненасыщенность, планы 7?rv не обеспечивают раз-
раздельную оценку даже парных эффектов взаимодействия, т. е.
выделение даже существенных парных эффектов взаимодействия
здесь невозможно.
Планы типа Ry. Дробные реплики, в которых ни один
из линейных эффектов или двухфакторных взаимодействий не
смешан с другими линейными эффектами или двухфакторными
взаимодействиями, но двухфакторные взаимодействия смешаны
с трехфакторными взаимодействиями, известны как планы типа
i?v [70, 76]. Эти планы, допускающие раздельную оценку как
всех линейных эффектов, так и всех двухфакторных взаимодейет*-
вий, известны в литературе так же, как и планы типа q =s 4 [63] и
планы со свободными двухфакторными взаимодействиями [77, 78].
Для планов типа R\ определяющие контрасты должны содержать
по крайней мере пять членов.
Общее правило построения планов типа Ry для s-уровневых
факторов заключается в выборе такого подмножества линейных
эффектов и эффектов взаимодействия факторного расположения
с N — sn опытами, чтобы обобщенные взаимодействия каких-либо
двух или трех членов подмножества не являлись сами членами
этого подмножества [75].
56
Вопросы построения планов типа Ry для двухуровневых
факторов рассмотрены в [76].'
Двухуровневые дробные реплики типа Ry могут быть получе-
получены лишь для к = 2П + 1 факторов (п = 2, 3, 4, ...) (т. е. для А* =
^= 5, 9, 17, ...) при числе опытов N = 4-2™ (т. е. соответственно
У = 16, 32, 64, ...). Ядро плана составляет ПФЭ 2П+2; добавляя
к нему Сп вектор-столбцов, соответствующих всем четырехфак-
четырехфакторным взаимодействиям, Сп вектор-столбцов, соответствующих
всем пятифакторным взаимодействиям (в общем случае с?~а век-
вектор-столбцов, соответствующих /г-факторным взаимодействиям
D <! h <^ n + 2)), и один вектор-столбец, соответствующий
(п + 2)-факторному взаимодействию ПФЭ 2П+2, и приравнивая
полученные таким образом 2П + 1 столбцов к к переменным,
получим искомый план с разрешающей способностью V — 1/2р =
П ПФЭ 2* = 22"+1, т. е. ДФЭ типа 2*-* =
_ 2B1)B1)_
Двухуровневые дробные планы 7?v могут быть применены для
выделения линейных эффектов и парных взаимодействий, однако
они содержат большое число опытов. Для этих планов в случае
выделения только линейных эффектов fx—N — к = 4-2™— 2п—
— 1 =3-2™ — 1, ав случае выделения линейных эффектов и пар-
парных взаимодействий fz=N — k — C\ = 3-2™-1 — 22™-1 — 2.
Компромиссные планы. На практике могут воз-
возникнуть ситуации, когда необходима раздельная оценка линейных
эффектов и ряда эффектов взаимодействия за относительно неболь-
небольшое число опытов. В этих ситуациях вместо планов типа R\, тре-
требующих часто очень большого, практически неприемлемого ко-
количества опытов, применяются планы, предложенные в [79] и явля-
являющиеся компромиссными между плапами типа йуи планами, поз-
позволяющими оценку лишь линейных эффектов. В [79] рассматри-
рассматриваются три класса планов для симметричных и несимметричных
факторных экспериментов, обеспечивающие раздельную оценку
а) всех, т. е. к линейных эффектов и кх интересующих нас эффек-
эффектов двухфакторных взаимодействий между кг (кг < А*) взаимодей-
взаимодействующими факторами (эффекты остальных А* — А-1 двухфактор-
двухфакторных взаимодействий, так же как и всех взаимодействий высшего
порядка, предполагаются пренебрежимыми); б) всех линейных
эффектов, всех двухфакторных взаимодействий внутри множества
кг факторов и всех двухфакторных взаимодействий внутри мно-
множества остальных /с — кг факторов (эффекты двухфакторных взаи-
взаимодействий между факторами, принадлежащими к двум различ-
различным множествам, признаются пренебрежимыми); в) всех линей-
линейных эффектов и тех из двухфакторных взаимодействий, которые
включают хотя бы один из кг факторов.
Для построения планов первого класса необходимо, чтобы ни
один из А* факторов не мог быть представлен обобщенными взаи-
взаимодействиями каких-либо двух v.-t /гх взаимодействующих факто-
57
ров и чтобы ни один из взаимодействующих факторов не мог быть
представлен обобщенными взаимодействиями каких-нибудь трех
взаимодействующих факторов.
Для построения планов третьего класса необходимо, чтобы
ни один из к факторов не мог быть представлен обобщенными
взаимодействиями двух или трех из А*х взаимодействующих факто-
факторов и чтобы ни один из А: факторов не мог быть представлен обоб-
обобщенными взаимодействиями одного или двух из А*х взаимодействую-
взаимодействующих факторов с каким-нибудь одним из остальных А: — кг факто-
факторов [75].
Построение компромиссных планов для факторных расположе-
расположений 2п описано в работах [68, 70], а для факторных расположений
Зп - в [69].
Отдельные вопросы построения симметричных дробных фак-
факторных планов освещены в [8и, 81]. Наиболее полно симметричные
дробные факторные планы изложены в [69, 82].
Рассмотрим ортогональные дробные реплики для несимметрич-
несимметричных факторных расположений.
Общепринятым способом построения реплик несимметричных
факторных экспериментов rm, sn является комбинирование строк
реплик симметричных факторных экспериментов типа гт и sn. По-
Построенный по указанному способу план обеспечивает получение
некоррелированных оценок всех линейных эффектов и всех тех
двухфакторных взаимодействий, которые содержат один г-уров-
невый и один s-уровневый фактор [83].
В первых построенных репликах несимметричных факторных
расположений число опытов было велико. При построении этих
планов исследователи исходили из предположения (впоследствии
оно оказалось неверным) о необходимости обеспечения в плане
равной частотности уровней всех факторов для раздельной оценки
двухфакторных взаимодействий. Естественно, план, в котором
каждый уровень одного фактора оказывается равное число раз с
каждым уровнем другого фактора, должен получаться громоздким.
Ортогональные планы для несимметричных факторных экспери-
экспериментов нашли широкое применение после того, как в [84] было до-
доказано, что необходимым и достаточным условием раздельной
оценки линейных эффектов и эффектов двухфакторных взаимодей-
взаимодействий является не условие равной частотности, а условие пропор-
пропорциональной частотности уровней факторов. План, в котором уров-
ни одного фактора оказываются с каждым из уровней другого
фактора с пропорциональной частотой, содержит значительно
меньше опытов. Каталоги планов приведены в [85] и частично в
[71]. Некоторые примеры несимметричных дробных факторных
экспериментов приведены также в [17, 86—91]. Вопросы анализа
несимметричных дробных факторных планов изложены в [92].
Неортогональные почти насыщенные планы. Ввиду большого
числа опытов, требуемых в ортогональных планах, иногда при-
применяют неортогональные почти насыщенные планы.
58
Нерегулярные реплики факторного эк-
эксперимента 2к. Ряд полезных планов может быть получен
путем комбинирования нескольких регулярных реплик. Комби-
Комбинирование обычно производится таким образом, чтобы суммарное
количество опытов
/V = S 2к~Щ
г
не превосходило заданного N' и было бы по возможности близко
к нему. Вышеуказанное осуществляют подбором рг.
Способ построения и анализа 3/4-реплик полных факторных
экспериментов 24 и 25 был изложен в [93], а 3/4-реплик ПФЭ 26
и 2е — в [94]. В [82] описано два различных типа 3/4-реплик.
Общие правила построения нерегулярных реплик факторного
эксперимента 2к приведены в [95]. В [96] описано построение
г/в-реплики ПФЭ 29.
Нерегулярные реплики факторного эксперимента 2&, получае-
получаемые частичным повторением регулярных реплик, приведены в [97—
100]. В работе [101] расширяются результаты, полученные в [78]
и [102] (работа [102] подробно разобрана в [103]) и указывается
общая процедура выполнения 2&-1-реплики факторного экспери-
эксперимента путем добавления реплики типа 2к~р. План 3Bfc"p) [95] при
р = 2 и планы, приведенные в [93, 104], могут рассматриваться
как частные случаи этого типа планов, соответствующих р = 2.
Обзор нерегулярных реплик факторного эксперимента 2к дан
в [105].
Планы для несимметричных расположе-
и и й, обеспечивающие оценку всех линейных эффектов и парных
взаимодействий, были построены в [106] и развиты для планов типа
2т X 3™ в [107—109]. Каталог планов типа 2т X 3" для 5 < т +
+ п <^ 10 приведен в [87].
В [110] был предложен способ построения почти насыщенных
неортогональных несимметричных планов, позволяющих оценку
линейных эффектов. В [110] предполагалось, что п s-уровневых
факторов могут быть оценены планом, использующим t опытов в
b блоках и что т r-уровневых факторов оцениваются планом, ис-
использующим t' опытов в Ь' блоках. При t' = Ь почти насыщен-
насыщенный экспериментальный план образуется путем присоединения
каждой из комбинаций уровней (строк) плана гт к одному из бло-
блоков плана sn. При t' = Ъ повторяют какой-нибудь блок в плане
sn или какие-нибудь комбинации уровней в плане гт до обеспече-
обеспечения условия t' = b.
Насыщенные планы. При отсеивании линейных эффектов есте-
естественно стремиться к получению насыщенных планов, в которых
все N — 1 степеней свободы используются для оценки коэффи-
коэффициентов регрессии при линейных членах (число опытов точно
соответствует числу оцениваемых линейных коэффициентов рег-
регрессии (включая свободный член)). Такие планы можно построить
&¦
в виде насыщенных реплик ПФЭ 2Н для числа факторов к = 3
GV-23 = 4), к = 7 (TV = 2''4=8), A = 15 (TV = 2161 =
= 16), к = 31 (TV = 2316 = 32) и т. д., насыщенных двухуров-
двухуровневых неортогональных факторных планов типа Лу, специальных
ортогональных и неортогональных планов на базе матриц Адамара
(планы «взвешивания») и др.
Насыщенные реплики ПФЭ 2к (планы типа
Яш). Насыщенные реплики для к = 2" — 1 факторов (п = 2, 3,
4, ...) с числом опытов TV = 2™ могут быть получены из полных
факторных экспериментов 2". Выписывая п вектор-столбцов пол-
полного факторного эксперимента (ПФЭ), соответствующих п линей-
линейным эффектам, С\ столбцов, соответствующих всем двухфактор-
ным взаимодействиям, С\ столбцов, соответствующих всем трех-
факторным взаимодействиям, Cl'h столбцов, соответствующих
всем й-факторным взаимодействиям, и один столбец, соответствую-
соответствующий w-факторному взаимодействию ПФЭ 2", и приравнивая каж-
каждый из 2"-1 выписанных столбцов с одной из к переменных, полу-
получим насыщенный план — 7гр = 1/22"""-реплику полного фактор-
факторного эксперимента 2* = 22"-1, т. е. дробный факторный экспери-
эксперимент типа 2*-р = г^-э-Нг"-"-!).
Ортогональные планы «взвешивания»,
предложенные в [111] и развитые в [112], возникли в связи с реше-
решением проблемы взвешивания на аналитических весах (отсюда и
произошло их название — планы «взвешивания»). Планы обеспе-
обеспечивают раздельную оценку линейных эффектов, предполагая, что
все эффекты взаимодействия отсутствуют.
Описываемые планы существуют в том случае, когда матрица
X такова, что ХТХ = diag [TV, TV, . . ., /V]. Матрицу, удовлетво-
удовлетворяющую этому условию, обозначают через Ня. В [ИЗ] доказано,
что необходимым условием существования Щг является равенство
N = 0 (mod. 4). Там же приведены методы построения матрицы RN.
Плакетт и Берман показали [19], что класс насыщенных пол-
полностью ортогональных двухуровневых планов, элементами кото-
которых являются + 1 и — 1, может быть расширен путем включения
некоторых специальным образом составленных планов с числом
наблюдений TV, кратным четырем. В [19] был предложен способ
образования матрицы UN при TV = 8,12, 16, ..., 100 (за исключе-
исключением особого случая TV = 92) путем проводимого (TV — 2) раз
циклического сдвига элементов соответствующего выбранному TV
образующего вектор-столбца (образующей шкалы) (в табл. 2.2 [19]
образующие столбцы ради экономии места записаны в виде строк).
При построении плана в качестве элементов первого столбца
берутся элементы образующего вектор-столбца. Второй столбец
получают из первого путем сдвига всех его элементов вниз на
одну позицию с записью последнего сдвинутого нижнего элемента
на первую позицию столбца. Осуществив аналогичный цикличе-
циклический сдвиг элементов второго столбца, получим третий столбец
00
Таблица 2.2
Комбинации знаков при построении насыщенных планов
к —И N = 12 +
к = 19 .V = 20 +
к = 23 N = 24 +
Л = 35 /V = 36 _
Таблица 2.3
Полностью насыщенный ортогональный план
т. д. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет полу-
1ено к вектор-столбцов и соответственно матрица к X к. План
эксперимента получают добавлением к образованной матрице по-
последней (к -\- 1)-й строки, всеми элементами которой является
шак минус. Образованный согласно описанной процедуре насы-
насыщенный план первого порядка для к = 11 (TV = 12) приведен
Ь табл. 2.3 [19].
В случае TV =28 для построения матрицы планирования мож-
о использовать три блока А, В ж С, приведенные в табл. 2.4 [19].
ти блоки следует выписать в порядке круговой перестановки
А Б С
САБ
В С А
(И
Таблица 2.4
Блоки для построения полностью насыщенного ортогонального плана
и к ним, согласно общему правилу, добавить строку, элементам!
которой является знак минус. В [19] изложены так же способ!
построения насыщенных планов для трех-, пяти- и семиуровщ|
вых факторов.
Эти планы оптимальны в широком смысле — они ортогоналй
ны, ротатабельны. Расчет линейных коэффициентов регрессии ]
проверка их статистической значимости вследствие ортогоналн
ности плана проводятся по обычным формулам для ортогональный
планов первого порядка.
К недостаткам планов Плакетта и Бермана следует отнести
как и в дробных репликах, смешивание линейных эффектов с пар
ными взаимодействиями. Вследствие насыщенности этих плано!
по их данным невозможна также проверка адекватности моделей?
В [21J было показано, что для оценки линейных эффектов от|
дельно от парных взаимодействий следует к уже реализованном
насыщенному плану добавить такой же план, но с измененным]
в нем всеми знаками на обратные. Совместное рассмотрение обои;
реализованных экспериментов обеспечит получение раздельны:
оценок для линейных эффектов. Однако при этом план уже не бу
дет насыщенным, необходимым окажется выполнение болыпор
числа опытов.
Неортогональные планы «взвешивания^
представляющие собой насыщенные неортогональные планы р
(N — 1) двухуровневых факторов и использующие N наблюди
ний (N — нечетное) были предложены в [114]. Эти планы обеспа
чивают оценку всех линейных эффектов.
В [115, 116] неортогональные планы «взвешивания» были по
лучены из ортогональных добавлением к матрице HN строки с едц
ницами для всех факторов. Полученные таким способом плат
вряд ли можно считать эффективными, так как для оценки все:
линейных эффектов они требуют большего числа опытов, че!
аналогичные ортогональные планы.
62
Неортогональные планы типа Лу. Насыщен-
Насыщенные двухуровневые факторные планы, обеспечивающие неорто-
неортогональную оценку всех линейных эффектов и двухфакторных
взаимодействий, описаны в [117].
Сверхнасыщенные планы. Эти планы, предложенные в [118] и
развитые в [119—124], обеспечивают выделение существенных ли-
линейных эффектов и парных взаимодействий и при отрицательном
числе степеней свободы /, т. е. когда число исследуемых перемен-
переменных и их взаимодействий превосходит количество опытов (/ =
= (N - Л)< 0).
При / -\ 0 оценка всех коэффициентов регрессии, естественно,
невозможна. Но на данном этапе — этапе выделения существен-
существенных переменных—такая задача и не ставится. Здесь достаточно
произвести некоторое произвольное расщепление математической
модели, отнеся большую часть эффектов к шумовому полю
у = Ьо + 6Л
Ь2х2
c2z
2z2
+ с^г + е = Ьо + 6л + Ьгхг + . . . + b^^k-i + Т,
B.6)
= clz1 + c2z2 +...-,
где
Выделив из общего числа к эффектов, создаваемых факторами и их
взаимодействиями (в B.6) некоторые xt = x4xt), к — I значимых,
можно оценить их на шумовом поле, созданном I остальными
эффектами z, пользуясь методами регрессионного анализа. Следу-
Следует отметить, что остаточная дисперсия
Ы + cW{z2} + . . . + W
a2 {W} =
{zl)
{е} B.7)
оказывается больше дисперсии а2 {е}, характеризующей ошибку
опыта, и поэтому оценка оставшихся коэффициентов регрессии
будет производиться с большой ошибкой [124].
В данной ситуации для отсеивания небольшого числа значимых
эффектов на шумовом поле, созданном остальными эффектами,
в [119] был предложен метод случайного баланса.
Чисто случайно сбалансированный план получают путем запи-
записи в случайном порядке уровней каждой переменной в соответст-
соответствующем этой переменной столбце. Простота анализа результатов
эксперимента обусловила преимущественное использование двух-
двухуровневых случайно сбалансированных планов (хотя иногда
рассматривают три и более уровней [124, 125]).
Так как вследствие утраты ортогональности между сравнения-
сравнениями чисто случайно сбалансированные планы приводят к большим
Расхождениям с действительностью, для уменьшения дисбаланса
и минимизации общего числа опытов в эксперименте строят кон-
кондиционные планы, в которых каждая из переменных находится
на каждом из уровней одинаковое число раз (в каждом столбце
63
имеется равное число уровней каждой переменной), а также та!
называемые многократно сбалансированные планы с полной ураа
новешенностью внутри подгруппы [126]. Многократно случайв
сбалансированные планы с полной уравновешенностью внутр:
подгруппы получаются группировкой исследуемых переменны,
в независимые полные или дробные факторные планы, рандомиза
цией последовательности строк этих подпланов согласно таблиц
случайных чисел и стыковкой полученных отдельных подплано
в общую матрицу планирования [25, 124].
Предложенный на эвристическом уровне метод случайного
баланса вызвал острую дискуссию [127]. Несмотря на ряд эффек
тивно решенных практических примеров и положительные ре*
зультаты, полученные при моделировании задачи на ЭВМ, ввид^
отсутствия теоретического обоснования высказывались сомнений
в работоспособности метода выделения при / <^ 0.
Лишь совсем недавно в [128] строго математически было по|
казано, что если матрица X двухуровневого случайно сбалансиро-<
ванного плана выбирается согласно описанному выше правилу
то с вероятностью, большей 1—2~р, где/? = N — к — I — lg2 (I—1)
будет получен план, для которого можно указать номера всея
существенных факторов и получить оценки bt (/ = 1, 2, . .
. .., к — I). К сожалению, пока не удалось указать границы приме-
применимости метода.
В случайно сбалансированных планах вообще, а также и в мно
гократно сбалансированных планах число исследуемых перемен
ных не зависит от числа проводимых опытов, т. е. при одном в
том же числе опытов возможно изучение большего или меныпегс
числа переменных. При добавлении независимых переменные
целесообразнее во избежание смешивания эффектов использоват!
не факторные планы высокой дробности, а производить зановA
разбиение всех переменных на большее число групп или выделяй
дополнительные факторы в новый полный или дробный фактора
ный план, который после рандомизации строк стыкуется с уже
имеющейся матрицей планирования. При разбиении независимый
переменных на группы желательно в одну группу объединяй!
факторы, от которых ожидаются наибольшие эффекты.
Увеличение числа опытов повторением заново рандомизиро-
рандомизированных полных или дробных факторных планов хотя и увеличи-
увеличивает эффективность планирования, однако бывает часто ограни-
ограничено физическими свойствами исследуемых объектов, временны-
временными, стоимостными и другими ограничениями. Поэтому следует
искать компромиссное решение — установить минимальное число
опытов, обеспечивающее эффективность и удовлетворяющее огра-
ограничениям. Исходя из требований эффективности, желательно про-
проводить не менее двадцати опытов [119].
Реализовав матрицу планирования и получив выходные дан-
данные, необходимо их проанализировать для выделения и оценки
эффектов.
64
Случайно сбалансированные планы, в отличие от регулярных
статистических планов, представляют некоторую случайную вы-
выборку из полного факторного плана. Однако резкую грань между
ними можно и не проводить, считая, что в последних формально
рандомизированы те переменные, чьи эффекты приписаны к е-ос-
татку в модели
у = Ьо + ЬЛ + ЬЛ + . . . + е, B.8)
т. е. считая регулярные статистические планы комбинацией урав-
уравновешенных и случайно сбалансированных планов. Регулярное
планирование делает возможным регрессионный анализ именно
постольку, поскольку остаточные переменные являются случайно
сбалансированными переменными.
Таким образом, случайно сбалансированные планы отличают-
отличаются от регулярных лишь числом переменных, вводимых случайным
балансом, т. е. степенью. А поэтому методы, используемые для
анализа данных случайного баланса, включают практически
все методы, используемые для анализа данных без свойств слу-
случайного баланса, в том числе и методы обычного регрессионного
анализа.
Наглядностью и простотой анализа обладает метод, основан-
основанный на построении диаграмм рассеяния [124, 127]. Согласно этому
методу вначале для визуального качественного обнаружения су-
существенных эффектов строятся для каждого фактора одноперемен-
ные диаграммы рассеяния (гистограммы) путем нанесения откли-
отклика Y против каждого уровня соответствующего фактора, а затем
посредством статистического анализа производится количествен-
количественная оценка выделенных эффектов и проверка их значимости. Ис-
Исключив влияние выделенных существенных факторов на выход,
вновь строятся диаграммы рассеяния и определяются следующие
по значимости эффекты и т. д. до тех пор, пока не останется доста-
достаточно различимых эффектов.
Далее осуществляется выделение существенных переменных.
Считается, что фактор x-t существен, если при переходе его с одно-
одного уровня на другой происходит смещение центра распределения
величин Y (центра гистограммы) на значимую величину
Bt = (MYtl - MYi2),
где MYtl и MYi2 — медианы распределения Y при нахождении
фактора Xi соответственно на первом и втором уровнях.
Если визуальное выделение по методу медиан и дает хорошие
результаты в тех случаях, когда смещения для нескольких неза-
независимых переменных значительно превосходят все остальные, то
при смещениях приблизительно одного порядка (а практически
во всех случаях) появляется необходимость количественной оцен-
оценки значимости визуально выделенного смещения. Так как приме-
применение стандартных методов статистического анализа ограничено
требованием нормальности распределения величин Y и большим
3 И. Г. Зедгинидзе
65
объемом вычислений, желательно применение удобных непа-
непараметрических критериев. ¦<
Для двухуровневых случайно сбалансированных планов удо4
бен непараметрический критерий, основанный на использовании
выступающих точек диаграммы рассеяния. Согласно критерию,
данному в [129], расхождение признается значимым (т. е. фактор
существенным) с двусторонним 5; 1 и 0,1%-ным уровнем значи-
значимости, если вычисленная по формуле \
Р (g) =
B.9)
вероятность p(g) нахождения в верхней и нижней частях рассмат-i
риваемой диаграммы рассеяния в сумме g выступающих точЩ
соответственно не превышает 0,05; 0,01 и 0,001. Соответствующие
вышеприведенным уровням значимости критические значения]
g ^ 7, 10 и 14. Если g < 7, т. е. р (g) > 0,05, смещение центров
гистограмм незначимо, а фактор несуществен.
Хотя для практических применений точность полученных по
формуле B.9) оценок вполне достаточна, можно вести подсчет
также и по формуле
p(g) =
r=l
B.10)
где п — число наблюдений при каждом уровне варьирования.
Графически описанный непараметрический критерий значит,
что существенны те факторы, гистограммы которых сдвинуты наи-
наиболее сильно.
Проведенные исследования искусственно синтезированных
и реальных задач на выделение существенных факторов пока-
показали, что применение лишь непараметрического критерия, осно-
основанного «а использовании выступающих точек диаграмм рассея-
рассеяния, часто приводит к грубым ошибкам. Это особенно очевидно
было при анализе искусственно синтезированных задач, когда на
выделение претендовали факторы, эффекты которых вовсе не
вводились в задачу.
Большое число выступающих точек — это еще не основание
для признания фактора значимым. Так, например, в изображен-
изображенной на рис. 1,а ситуации число выступающих точек велико:
12, и как будто бы напрашивается вывод о значимости соответст-
соответствующего фактора. В то же самое время эффект явно незначим. Это
показывает как количественная оценка эффекта, вычисленная по
экспериментальным данным, так и сравнение между собой медиан,
нанесенных на диаграмме рассеяния. И, наоборот, ряд явно зна-
значимых факторов не удавалось выделить в течение нескольких
этапов лишь из-за того, что число выступающих точек не дости-
достигало критического значения (рис. 7,6).
66
у
30
20
iO
» •
•
• •
•
•
3
••
•
*
•
u + - + - + - + - -t- -
a 6 6 г 3
Рис. 7. Выделение факторов с помощью т|-правила
а —ц = 12-1,5 = 18,0; б — ц = 3 -12 «= 36,0; в — ц = 2-11 = 22,0; г — ц = 12-3 =
= 36,0'; в — ч == 13 -11 = 143,0
Аналогично неправомерные результаты можно получить, ос-
основываясь только лишь на расхождении медиан. На рис. 7,6
расхождение медиан велико, но фактор незначим, а на рис. 7,г —
мало, но фактор сам по себе значим.
Для выделения существенных факторов предлагается способ
отбора, основывающийся одновременно как на числе выступаю-
выступающих точек, так и на расхождении медиан. На каждом этапе вы-
выделения из рассматриваемого ряда переменных выделяются как
значимые те факторы, для которых величины
т) = | g (MY1 - MY2) | B.11)
— наибольшие [130, 131].
Следуя этому правилу, для различных случаев а — г подсчи-
подсчитаем величины т). В случае, а число выступающих точек велико
и непараметрический критерий выделяет фактор как существен-
существенный. Этим допускается грубая ошибка, так как нам достоверно
было известно о незначимости этого фактора. Следуя т)-правилу
отбора, ошибку можно избежать — величина т) мала и фактор не
подлежит выделению.
В случае б число выступающих точек мало, и, согласно непа-
непараметрическому критерию, этот фактор отсеивается как незначи-
незначимый. Вычислив величину т) = 36, можно заметить, что она в два
раза больше величины т) для первого случая.
Таким образом, из двух случаев а и б по т)-правилу был бы
отобран как значимый фактор, которому соответствует ситуация
б.|Это ближе к действительности, чем отбор только лишь по выс-
выступающим точкам.
3*
67
В случаях в и г, основываясь лишь на расхождении медиав
значимым был бы признан фактор, соответствующий диаграмм
рассеяния в. По т)-правилу же существенным из этих двух буде
признан фактор, соответствующий диаграмме рассеяния г. di
также ближе к действительности.
Если указанное правило дало хорошие результаты даж
в крайне трудных для сравнения ситуациях — при сравнены
факторов, имеющих гистограммы с противоположными данным]
о выступающих точках и расхождениях медиан, то в остальны:
ситуациях, подобных рис. 7, д, оно действует более точно и кри
терий отбора здесь более мощен. Если бы все пять ситуаций при
надлежали к какому-нибудь одному этапу выделения, без сомнё=
ния, значимым был бы признан фактор, соответствующий диаграм?
ме рассеяния д с т) = 143.
Для оценки эффектов выделенных h значимых факторов i
проверки их значимости из матрицы планирования следует отоб>
рать h столбцов, соответствующих выделенным факторам, который
после объединения строк с одинаковыми знаковыми комбинация*
принимают вид матрицы X* типа h X т, где т — число неп
вторяющихся строк (табл. 2.5). Соответственно, вектор-столбец
после рассортировки значений уи по т строкам принимает в..
матрицы Y*, строки которой могут содержать неравное числ
наблюдений у^а.
Для раздельной оценки всех h коэффициентов регрессии
(а, следовательно, и эффектов b\, равных Ъ\ = 2^), матрицу X
следует получать в виде полного факторного эксперимента. '
Причем, если в какой-нибудь из m-строк соответствующей матри-
матрицы Y* окажется одно наблюдение, возможно будет лишь опреде-
определение коэффициента регрессии без оценки его значимости.
Найдя средние значения у*а строк а, можно определить коэф-
коэффициенты регрессии для выделенных факторов
Таблица 2.5
Таблица для оценки эффектов и проверки их значимости'
к = 7«ь1 = 2 «*afJm'
B.12)
где %ta — величина, равная +1 или —1 [(-)-) или (—)], располо-
расположенная на пересечении j-ro столбца и а-й строки матрицы X*.
Значимость оцененных коэффициентов регрессии Ъ± проверяет-
проверяется по f-критерию, т. е. Ъг значим при выполнении неравенства
! к | > ts {b}, B.13)
где значения t выбираются из таблиц f-распределения, исходя
из 95%-ной доверительной] вероятности и / = 2 па — w степе-
ее—1
ней свободы, a s {b} — ошибка в определении коэффициентов
регрессии, подсчитанная по формулам табл. 2.5.
68
Неповторяю-1
щиеоя точки
1
2
т
, Вычр
Уровни выделенных
*
X
¦
х
~*
*ktm
гсления
#
SE~-
-_*
~*
X
*
X
провод
1 Па
ra«vt
m
...
ятся по
а=1
факторов
^/C52
формулам
2
)
Матрица Y *
* * *
Уц У-а. ••• Упй
* * *
* * ... it*
У\т Угт уптт
1 «Г~1 * *
— и А /\ \Уча. У а.' 1
па-1 ^
*
*
У 2
fm
2~ '
2
4
Если выделены были не самые существенные факторы, то зна-
значимые оценки для эффектов получить не удается, так как в этом
случае все результаты тонут в большом шумовом поле (дисперсии
оказываются большими).
Выделив на первом этапе статистического анализа наиболее
существенные факторы, например, ^hi,xh2, . . ., %къ, и оценив их эф-
эффекты Ь,с„ Ьцг , .. . ., b'ft5, следует исключить их влияние на выход
с целью обнаружения следующих по значимости эффектов. Для
этого, округлив эффекты, преобразуют результаты наблюдений
вычитанием округленных величин bnv ЬНг, . . ., Ььь соответствен-
соответственно из наблюдений уи, имеющих (+) уровень этих переменных
%hi (+), ?&2 (+), • . ., #ь8 (+). Иными словами, из каждого
значения уи следует вычеоть величину
^e^i^ + ^^±i + ...+ 6;e^±l_/ B.14)
или, что эквивалентно, величину
У1и = bki («klU + 1) + bkl (*AlU + 1) + . . . + Ьц («iju + 1),
где xiu — величина, равная +1 или —1 [(+) или (—)], располо-
69
женная на пересечении г-го столбца и м-й строки матрицы план]
рования X. I
Для ряда модифицированных данных Y' = Y° — Yt вно;
строятся диаграммы рассеяния по линейным эффектам и пев!
ряются все операции первого этапа статистического анали^
При обнаружении на этом этапе значимых эффектов, наприм|
ij, их влияние вновь исключается путем вычитания из величз
Y' величины уц и = bj
х-
Для модифицированных данных
вновь строятся диаграммы рассеяния. Этот процесс повторяет!
до тех пор, пока не будут выделены все значимые линейные э
фекты.
Найдя все значимые линейные эффекты, следует также пр
верить и эффекты парных (двухфакторных) взаимодействи
Утомительного построения диаграмм рассеяния для всех <
двухфакторных взаимодействий можно избежать с помощь
предварительного визуального отбора тех независимых nepi
менных, которые могут дать большие взаимодействия по уя
построенным диаграммам рассеяния для линейных эффекто
Большие взаимодействия можно ожидать для тех независим!
пе'ременных, у которых заметна тенденция группировки одно!
знака вверху или внизу гистограммы [25, 132, 133].
Такой подход с нашей точки зрения несколько рискован. Дел
в том, что из-за отсутствия какой-либо количественной оцет
предполагаемой значимости эффектов взаимодействия невозмоя
ным оказывается ранжирование предполагаемо значимых эффе!
тов по величине. Естественно, невозможно считать тот или ин<|
эффект взаимодействия больше или меньше другого, основывая^
лишь ,на визуальном наблюдении тенденции одного знака труЩ
пироваться вверху или внизу гистограммы. Не имея -возможност
сравнить по величине, проранжировать предполагаемо значимы
эффекты взаимодействия (до построения их диаграмм рассеяния]
можно пропустить, не принять во внимание ряд действительн
значимых эффектов взаимодействия. Упустив же их из вниманш
построив для остальных диаграммы рассеяния и затем выдели
и оценив эффекты части из них, можем получить эффекты незна
чимыми лишь из-за большой величины уровня шумов, создавае
мого пропущенными, не принятыми во внимание эффектами взая
модействия.
В работе [130] предлагается по данным уже построении!
диаграмм рассеяния для линейных эффектов получать определен!
яую количественную оценку предполагаемой значимости эффекто!
взаимодействия.
Для любого взаимодействия х-гХ) вначале следует определит!!
число выступающих точек gx в верхней части диаграммы рассея!
ния x&j следующим образом: по порядку сверху вниз анализи-1
70
Рис. 8. Фрагмент таблицы для
установления предполагаемой
значимости эффектов взаимо-
действия.
руется (сопоставляется) положение, соответствующих точек на
диаграммах рассеяния х\ и Xj. Если самые верхние точки лежат
на одинаковых (разных) уровнях, то соответствующая им точка
на диаграмме рассеяния хгх} будет лежать на уровне + (—);
затем сравнивается положение следующих по порядку точек.
Сравнение производится до тех пор, пока не встретятся точки,
лежащие на разных (одинаковых) уровнях диаграмм рассеяния
ij и ж;. Естественно, что соответствующая этим точкам точка диаг-
диаграммы x\Xj будет лежать на противоположном уровне диаграммы
рассеяния x-xXj—на уровне — (+).
Дальнейшее сопоставление точек в верхней части диаграмм
хг и Xj не имеет смысла — выступающие точки сверху уже выде-
выделены — gv В таблицу против рассматриваемого взаимодействия
заносится число gx (или gt) со знаковым индексом, указывающим,
на каком из уровней хгх} находятся выступающие точки.
Аналогично для получения выступающих точек в нижней
части диаграммы рассеяния для x%Xj по порядку снизу вверх про-
просматриваются точки диаграмм рассеяния х\, и xj. Число опреде-
определенных в нижней части диаграммы x\Xj выступающих точек
?г с соответствующим знаковым индексом суммируется с числом gx.
Сумма выступающих точек с соответствующими знаковыми ин-
индексами, например g1 + g2» дает достаточную оценку предпола-
предполагаемой значимости эффекта взаимодействия х%х^
Найденные по вышеприведенному правилу) все совокупности
Si + gi выступающих точек желательно свести в одну общую
таблицу (часть такой таблицы изображена на рис. 8). Получив
71
такую таблицу, легко заметить, что можно было бы обойтис!
и вовсе без построения диаграмм рассеяния для эффектов взаи
модействия. Достаточно, согласно непараметрическому крите
рию [129], выбрать эффекты с наибольшими суммами g = g1 -j- g,
(или g = gi + gi) точек, выступающих на противоположных
уровнях х-хх$ (а также эффекты с наибольшими по абсолютно!
+ + _ -
величине разностями Ag = \ g1 — g2 | или Ag = | gx — g^ | точект
выступающих на одинаковых уровнях XiXj), и считать их значи-
мыми. %
Однако при более правильной постановке задачи целесообраа-?
нее для эффектов с наибольшими суммами g точек, выступающих
на противоположных уровнях (для эффектов с наибольшими Щ
абсолютной величине разностями Ag точек, выступающих н|
одинакевых уровнях), построить диаграммы рассеяния и прш
менить для выделения т)-правило.
Для отобранных тем или иным способом предполагаемы^
эффектов взаимодействия строятся диаграммы рассеяния аналой
гично диаграммам линейных эффектов. Следует отметить, что при
сортировке значений уи к уровню (+) рассматриваемого взаимо-
взаимодействия относят те наблюдения уи, которые соответствуют ком-1'
бинациям одинаковых знаков в столбцах взаимодействующих'
параметров матрицы планирования X, а к уровню (—) — наблкн
деиия, соответствующие разнозначным комбинациям (т. ,е. уро-
уровень «+» или «—» взаимодействия определяется знаком произ-
произведения знаков соответствующих двух столбцов).
Выделенные качественно эффекты взаимодействия оценивают-
оцениваются по формуле, аналогичной B.12)
а=1
B.15)
а проверка их значимости осуществляется по табл. 2.5.
Для выделения следующих по значимости эффектов взаимо-
взаимодействия из каждого значения у^~х) следует вычесть величину
= Н
или, что эквивалентно, величину
и т. д.
B.16)
B.17)
В процессе решения имеется возможность контроля правиль-
правильности выделения существенных факторов и взаимодействий ви-
ауалышм наблюдением за размахом колебаний Yw [25, 134].
При правильном отборе существенных факторов и взаимодейстп
вий постепенно размах колебаний величин Y должен уменьшать-^
П
ся. Большой размах— признак того, что не выделен какой-нибудь
существенный фактор или взаимодействие. Выделение факторов
следует прекратить при относительно малом размахе.
Кроме визуального, можно проводить также и количественное
сравнение размахов (дисперсий, характеризующих рассеяние
наблюдений Y™-1 и Yw относительно их среднего значения) по
/^-критерию. Это — косвенный путь контроля значимости группы
выделенных независимых переменных.
Выделенные на (w — 1)-м этапе независимые переменные зна-
значимы, если значимо расхождение между s2 {Yw-X} и s2 {Yw}, т. е.
если вычисленная по данным Y™-1 и Yw величина F — s2 {Y™-1} :
: s2 {Yw} больше табличного значения для N — 1 степеней сво-
свободы и выбранного уровня значимости р. Так как у нас априори
есть основание полагать, что s2 {Y™-1} может быть только равна
или больше s2 {Yw}, следует применять односторонний .F-кри-
терий.
При машинном решении задач случайного баланса целесооб-
целесообразнее сравнение по /^-критерию остаточных дисперсий, а не дис-
дисперсий, характеризующих рассеяние наблюдений относительно
их среднего значения.
По всей видимости наиболее эффективный путь контроля пра-
правильности выделения существенных факторов — это одновремен-
одновременный учет как данных дисперсионного анализа (оценка значимости
по i-критерию), так и результата проверки по .F-критерию. Комп-
Комплексное рассмотрение и учет обоих критериев особенно важны
на последних этапах выделения; когда анализ показывает, что
эффект какого-либо фактора хотя и значим, однако не сильно
выделяется на шумовом поле, .F-критерий должен окончательно
разрешить вопрос о необходимости включения этого фактора
в число значимых.
Однообразные операции сортировки (разнесения эксперимен-
экспериментальных данных по уровням), узнавания по диаграммам рассея-
рассеяния существенных факторов, оценка их эффектов и проверка
значимости, модификация данных и др. легко поддаются алго-
алгоритмизации и могут осуществляться на ЭЦВМ [135—138].
Применение ЭЦВМ даже при вышеописанном алгоритме вы-
выделения значительно облегчает анализ данных, увеличивает ве-
вероятность и скорость получения правильного решения задачи.
Однако, кроме этого, вычислительные машины дают также воз-
возможность применить ряд приемов, значительно повышающих
эффективность метода случайного баланса, но недоступных при
ручном счете.
Так, например, если при ручном счете возможна одновремен-
одновременная численная оценка эффектов лишь двух или трех независимых
переменных (в ПФЭ для большего числа независимых перемен-
переменных ряд из т строк столбца Y может оказаться незаполненным),
то ЭЦВМ позволяет оценивать одновременно до N коэффициен-
коэффициентов Ь-г (N — ранг матрицы планирования) приемами обычного
73
регрессионного анализа [135, 137]. При этом вследствие того, чт^
на каждом этапе выделения меньшее число эффектов относите^
к шумовому полю, резко уменьшается остаточная дисперсия
тем самым увеличивается чувствительность метода. В [135] щ
комендуется одновременно оценивать двадцать коэффициенте
регрессии; отмечается, что при таком количестве коэффициенте
ситуация оказывается критической для данного метода.
Если учесть коррелированность некоторых коэффициентов
регрессии, являющуюся следствием неортогональности матрицу
планирования, то особое значение для правильного их исключен
ния приобретает применение «ветвящейся стратегии» [135, 137].
Идея метода заключается в том, что эффекты исключаются после-
последовательно во всех возможных комбинациях по одному, по два,
по три и т. д., пока не будет отобрана группа эффектов, обеспечи-
обеспечивающая на данном этапе выделения минимум остаточной диспер-
дисперсии.
Для наиболее эффективного использования алгоритма «вет-
«ветвящаяся стратегия» в [138] предложено применение оптимальных
матриц планирования случайного баланса со слабо коррелирован-
коррелированными столбцами. Там же приведено несколько таких матриц, по-
полученных на ЭЦВМ по критериям максимального числа ортого-
ортогональных столбцов и минимума значения модуля коэффициента
корреляции для всех возможных взаимодействий путем случай-
случайного смешивания реплик 24, 25 и случайного выбора столб-
столб.
Естественно, что решение задачи с использованием ветвящей-
ветвящейся стратегии/ вручную невозможно, а ЭЦВМ делает этот способ
весьма эффективным средством для анализа данных случайного
баланса. В [135, 136] приведены сведения об эффективности
применения ветвящейся стратегии для решения ряда искусствен-
искусственно синтезированных и практических задач на ЭЦВМ «Минск-1»,
в [137] дана программа случайного баланса для ЭЦВМ «Минск-22».
Применение ЭЦВМ позволяет широко использовать процедуру
количественной оценки предполагаемой значимости эффектов
взаимодействия по данным уже построенных диаграмм рассеяния
для линейных эффектов.
Выделив все существенные факторы и взаимодействия и оце-
оценив соответствующие им коэффициенты регрессии Ь, можно про-
проверить по %2- или /"-критериям адекватность описания экспери-
экспериментальных результатов выражением
у = Ьо + Ь1«1 + Ъг%ъ + ... + h-fa-t + Ъп^г + ...
...+ btffi, + ... . B.18)
За число степеней свободы в данном случае следует принять
величину f = N — /, где TV — число опытов в случайно сбалан-
сбалансированном плане, / — число степеней свободы, использованных
для определения параметров уравнения B.18). В общем случае
полученная модель может оказаться неадекватной, так как целью
74
ного
цов.
случайного баланса было выделение за^малое количество опытов
существенных переменных, а не точная оценка их влияния и по-
получение адекватной .модели.
последовательное отсеивание. В [139] был предложен алгоритм
последовательного отсеивания, согласно которому все исследуе-
исследуемые факторы на основе априорной информации разбиваются на
группы, каждая из которых. рассматривается в дальнейшем как
отдельный комплексный фактор. Комплексные факторы, не даю-
дающие суммарного эффекта при переводе всех независимых пере-
переменных данной подгруппы от исходных уровней на верхние,
считаются незначимыми и вся данная подгруппа переменных,
составляющая рассматриваемый комплексный фактор, исключает-
исключается из дальнейшего рассмотрения после первого цикла опытов
(первой проверки). Оставшиеся факторы вновь разбиваются на
группы и цикл опытов повторяется. Полученная после каждого
цикла новая информация позволяет выбирать оптимальные планы
для реализации следующего цикла. Описанная процедура повто-
повторяется до выявления всех существенных факторов. Комбиниро-
Комбинирование и разделение переменных по группам в процессе отсеивания
проводится с помощью комбинаторных планов типа BIB, PBIB,
латинских квадратов, смешанных факторных планов и др.
Алгоритм последовательного отсеивания основан на использо-
использовании следующей линейной аддитивной модели:
*гДе УU — результат эксперимента в у'-й подгруппе и i-м цикле
с-циклового эксперимента, т — общее среднее, е — ошибка экс-
эксперимента и gij — комбинированный эффект от включенных
в модель Si переменных. Обычно предполагается, что в подгруппе
gij значим лишь к-& из этих st переменных, т. е. имеется эффект
из-1,з{+к, по величине превосходящий ошибку е или комбинации
всех остальных st — 1 незначимых переменных. Если это имеет
место, то вся группа gi} должна быть пересмотрена в следующем
(i -j- 1)-м цикле. Если же Щ (ylq) = Щ (т -f giq -j- e) = т, лю-
любая подгруппа giq, не содержащая значимые переменные, исклю-
исключается из рассмотрения и далее следует (s -\- 1)-й цикл.
Вероятность того, что в одной и той же у'-й подгруппе gtj ском-
пенсируются два эффекта с противоположными знаками, мала,
так как априори постулируется, что может быть лишь немного
значимых эффектов. Еще меньше вероятность того, что три или
более значимых переменных дадут комбинированный нулевой
эффект.
Основными предпосылками успешного применения описанного
метода последовательного отсеивания является малая величина
ошибки эксперимента, существенность лишь небольшого числа
р эффектов исследуемых v двухуровневых переменных и др.
75
Процедура отсеивания проводится согласно следующей схе*
ме [139].
1. Ознакомившись с исследуемой многокомпонентной систе-
системой, определяем число подлежащих выделению эффектов р.
Так как эта оценка необходима лишь для начала процедуры и
после первого цикла уточняется, особых требований к выбору
исходного значения р не предъявляется (для первого цикла р
берут по возможности меньшим).
2. Постановкой параллельных опытов определяется ошибка
эксперимента е.
3. Для несущественных переменных подгруппы реализуются
контрольные опыты с целью определения их суммарного эффекта
и дисперсии эффектов несущественных переменных s|. При объ-
объединении в подгруппу Si незначимых переменных их суммарный
эффект вследствие компенсирования малых положительных и
отрицательных эффектов окажется близким к нулю, а дисперсия
их суммарного эффекта может оказаться весьма большой SiS2
(эта дисперсия в основном и определяет дисперсию результатов
опытов в подгруппе giq, содержащей лишь Si несущественных
переменных
г/;2 _1- "V ч2п Л. р2 ?;>2 J_ Я е2 J_ р2 Я <г2
9=1
где w2 ^(дисперсия среднего выборки) и е2 — малы по отношению
к Sts2).
4. Выбирается минимальный уровень эффекта, который дол-
должен быть выделен при реализации процедуры последовательного
отсеивания. Этот эффект должен быть значительно больше, чем
комбинированный эффект всех включенных в подгруппу других
переменных и ошибка эксперимента.
5. Согласно
п (минимальный уровень выделяемого эффектаJ
"i max ^
определяется максимальный размер подгруппы, обеспечивающий
выделение заданного эффекта при заданном уровне значимости.
6. Производится разделение или комбинирование переменных
по группам случайным или систематическим образом.
7. Для заданного v/p согласно формуле
определяется наилучшее число циклов с, минимизирующее общее
количество опытов последовательного отсеивания.
8. Определяется общее количество опытов, необходимое
для выделения р существенных переменных из v исследуемых
76
за с циклов
Nc = c(vp^fc.
9. Принимается, что количество опытов во всех циклах оди-
одинаково, в результате чего получим
щ = NJc = (vp^f0 (i = 1,2,..., с).
Это число соответствует и количеству подгрупп в цикле.
10. Вычисляется размер подгруппы для первого цикла испы-
испытаний St
сравнивается с максимальным размером подгруппы, полученным
на этапе 5. Используется наименьший из них. Это может потре-
потребовать изменения щ — v/S1 —числа испытаний в первом цикле.
11. Переменные располагаются в подгруппах, проводятся
опыты и анализируются результаты первого цикла опытов.
12. Исправляется оценка р и повторяются этапы 7—11 с воз-
возможным исправлением для числа циклов испытаний.
13. Повторяются этапы 7—11, пока не будут выполнены все.
циклы.
14. При необходимости выполняются повторные опыты.
15. Принимается решение о дальнейшей тактике отсеивания.
Можно показать, что ошибка в выборе числа существенных
переменных р незначительно изменяет общее количество опы-
опытов, необходимое для последовательного отсеивания. Допустим,
вместо истинного р было взято р' = ар. Тогда в первом цикле
необходимо реализовать щ — (ш0/?0I/0 опытов. Разбив ис-
исследуемое количество переменных на щ подгрупп, получим раз-
размер каждой подгруппы в первом цикле
Si = v/щ = (v/
Для выделения из Sjj) переменных р, существенных в следующих
с — 1 циклах (от 2-го до с-го), требуемое количество опытов равно
п2_с = (с - 1) (S&p^f™ = (с - 1) р (v/apfc.
Максимальное количество опытов, когда р оценено непра-
неправильно,
Соотношение
R =
с— 1
Hi
N
_1/с
С(р)
не зависит от v и р; оно зависит лишь от а и с, увеличивается
с увеличением а для а ^> 1 и уменьшается с а для а <^ 1.
77
Таблица 2.6
Условия планирования эксперимента
Факторы
zi — количество карборунда1, %
х% — количество глины2, %
хъ — время распускания глины, час
х* — гранулометрия карборунда (часы помо-
помола)
хъ — очистка карборунда
xi — гранулометрия кремния (часы помола)
x-i — количество воды 2, %
xt — количество соды2, %
Х9 — очистка воды
хю — температурньГе условия отливки, "С
хц — время вызревания шликера, час
a;i2 — вакуумирование шликера
Ж1з — время сушки наконечников на возду-
воздухе, час
хц — количество азота при обжиге, услов-
условные единицы
хц — очистка азота
#ie — температура обжига, "С
хп — длительность выдержки при макси-
максимальной температуре обжига, час
аде — скорость подъема температуры, ° С/час
Закодированные уровни
факторов, х-г
-1
60
10
5
10
Нет
10
80
0,6
Питьевая
15
1
Нет
24
1
Нет
1400
1
300
+1
80
14
. 45
30
Да
30
100
1,0
Дистиллированная
30
3
Да
72
3
Да
1460 ,
3
400
1 Количество кремния дополняет количество карборунда до 100%.
• Количество глины, воды и соды приводится в процентах по
сухой смеси карборунда и кремния.
отношению к 100%
Пример. На процесс производства наконечников термопар погруже-
погружения, используемых для измерения температуры расплавленной стали, влияет
большое число факторов (табл. 2.6).
Выделение из 18 исследуемых факторов хг, ж2, . . . , хп существенных ре-
решено было произвести методом случайного баланса. Для получения случайно
сбалансированного плана исследуемые факторы были разбиты на три равные
группы и для каждой из них использована полуреплика от полного фактор-
факторного эксперимента типа 2е с S8 = z1S^!^!iSv.
Рандомизировав по таблице случайных чисел строки полуреплики раз-
раздельно для каждой группы переменных, получим три подплана, объ-
объединение которых и дало общую матрицу планирования X, приведенную в
табл. 2.7. Согласно плану были изготовлены 32 партии наконечников. Испы-
Испытания на металлотермостойкость (пбгружение в расплавленную сталь
78
Л
3Z
Z4
8
'- '"
- •
f . -Х-
г i-
•
\ _\
¦ :• \
i i
•
;•
i i
- ' •
¦ ' •
i i i
: : -
•:•:¦'
Г : : :' '
*
i
н—
- +-+-
h - + - + -
X, Ха Х„
У0
зг
гч
Г
:'.'.'¦ •
, i • .. .
Рис. 9. Диаграммы рассеяния результатов наблюдений Y9 по уровням
факторов
при температуре 1600° С) проводились в высокочастотной печи типа
МВП-ЗМ.
Результаты испытаний сведены в столбец Y табл. 2.7. Дисперсия s2 {у},
характеризующая ошибку эксперимента, была вычислена по данным 20 па-
параллельных определений и оказалась равной 1,20, а дисперсия s2 {Y},
характеризующая разброс данных уи относительно среднего у — 15,35,
равна 62,81.
По данным у были построены диаграммы рассеяния для каждого из
18 факторов (рис. 9) и по т)-правилу [130] выделены ориентировочно значимые
независимые переменные хи х4, хп, для которых х\х^ = 8-Х 5,3 = 42,4,
tiXi=5X 7,0 = 35,0, Т)*4 = 8 X 3,6 = 28,8.
Количественная же оценка эффектов выделенных факторов была получе-
получена по данным матрицы X* (табл. 2.8), образованной в виде ПФЭ типа 23
путем объединения строк матрицы планирования X с одинаковыми знаковыми
79
Таблица 2.7
Матрица планирования X
и результаты экспериментов
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Факторные комбинации
Ж,-5-Ж.
14
7
15
13
16
32
22
19
17
21
9
28
3
12
29
18
27
1
5
30
31
24
23
2
20
25
8
6
10
И
4
26
Хч -т- Хц
и
17
18
1
31
28
9
22
21
13
15
12
14
25
23
27
16
3
26
4
8
20
32
10
30
24
5
6
29
7
19
2
Х\ъ -г 3Cig
28
5
3
14
29
30
1
20
24
31
8
7
4
21
9
16
13
32
12
6
10
2
И
25
27
23
22
19
15
26
17
18
Факторы
Х\ Хг Xi Xi Xf Xg
+ + -- + +
_l_ _ _ _ _l_ _
+ -- + + +
+ ---- +
______
- + - + --
- + + - + +
- + + + + -
- + - + + +
+ - + + + -
-- + -- +
+ + + - + -
+ - + ---
--- + + -
- + + + - +
-- + - + -
+ + + + + +
+ + - + + -
--- + - +
---- + +
- + --- +
- + -- + -
+ + + + --
- + + ---
-- + + + +
+ + ----
+ + - + - +
+ - + + - +
+ - + - + +
+ + + -- +
Ж, Xt X, Xu, Xx, Xa
- + + + + -
- + + + - +
+ + + + + +
---- + +
-- + -- +
+ - + + + -
- + - + --
- + - + + +
+ -- + + +
+ --- + -
+ - + ---
+ -- + --
-- + + + +
- + -- + -
-- + - + -
+ ---- +
+ + + - + -
-- + + --
+ + + -- +
+ + ----
- + + ---
------
+ - + + - +
--- + - +
- + --- +
+ + - + + —
+ ¦+- + - +
--- + + -
+ + -- + +
- + + - + +
Факторы
Хц Xu Xu Xu Xn xia
+ +
+ + - + + -
+ ++- + -
+ -- + --
--- + + -
--- + - +
+ + + + + +
- + + ---
- + --- +
--.-- + +
+ + ----
+ + -- + +
+ + + -- +
- + - + + +
+ - + + + -
+ ---- +
+ -- + + +
______
•+- + ---
+ + - + - +
+ - + + - +
+ + + + --
+ - + - + +
-- + + + +
-- + - + -
- + -- + -
-__-)___
- + + - + +
+ ____)._
-- + + --
- + + + + -
- + + + - +
yo
5,90
33,25
17,50
10,60
23,35
8,90
25,35
7,50
7,10
10,75
9,60
12,55
24,50
30,20
12,10
7,50
11,20
12,60
17,20
11,55
5,80
13,75
11,82
22,18
13,40
7,80
27,00
18,63
14,25
13,90
33,13
10,42
Y1
1,74
19,39
3,64
6,44
9,49
18,90
24,57
7,50
11,56
9,97
5,44
7,31
15,88
16,34
11,32
11,96
5,96 ¦
8,44
13,04
16,01
5,80
13,75
6,58
12,78
8,16
7,02
18,38
9,23
4,85
5,28
19,27
14,88
yll
6,10
12,39
0,84
10,80
9,49
13,26
17,57
4,86
4,56
5,77
7,00
8,87
8,88
13,54
11,32
7,76
10,32
8,60
13,20
13,21
10,16
11,11
6,74
12,94
8,32
4,22
11,38
6,59
9,21
5,28
12,27
12,08
ylll
6,10
8,55
0,84
6,96
5,65
9,42
13,73
4,86
4,56
5,77
7,00
8,87
8,88
9,70
7,48
7,76
6,48
8,60
13,20
9,37
6,32
7,27
6,74
9,10
8,32
4,22
7,54
6,59
9,21
1,44
8,43
8,24
ylV
3,78
4,37
0,84
5,04
1,87
5,64
7,63
1,08
4,56
1,59
5,08
6,95
5,10
3,60
5,62
5,44
4,56
6,28
7,10
3,27
4,46
1,17
2,50
7,18
4,08
2,30
5,22
4,67
3,11
1,44
2,33
4,06
yV
2,34
2,93
0,84
5,04
0,43
4,20
6,19
1,08
4,56
1,59
5,08
5,51
5,10
2,16
4,18
5,44
3,12
6,28
5,66
3,27
4,46
1,17
2,50
5,74
4,08
2,30
3,78
3,23
3,11
1,44
2,33
2,62
комбинациями: Ь^ = 8,62, b'^ = —4,46, b'17 = 5,24. Все эффекты значимы,
так как они по абсолютному значению превышают критическую величину
2ts {b} = 3,74, где s{b) = 0,91 — ошибка в определении коэффициентов
регрессии, а *005 = 2,06 — табличное значение ( для 95%-ной доверитель-
т
ной вероятности и / = 2il п<* — т = ¦" степеней свободы.
80
Для выделения следующих эффектов произведено снятие оцененных эф-
эффектов вычитанием из каждого значения уи столбца Y0 табл. 2.7 величины
8,62 ^
_ 4,46
+ 5,24
где xiu — величина, равная +1 или —1 [(-)-) или (—)], расположен-
расположенная на пересечении j-ro столбца и и-й строки матрицы планирования
У
32
гч г
16 -
о _
32 f
гч
. ...
1 1 1 1, , 1 1 1 1 1 1 1, I
- . :. : . :
1:'[ ! J ^
: :• ? :•
- i i i i i
• J _:
¦ : !•'
1 1
.-•: |г; I i i 1
i . ! i a . : J
i ii ii ii
i
:
_*.'..
1 И- I
Рис. 10. Диаграммы рассеяния модифицированных данных Y' по уровням
факторов
X. Модифицированные вышеописанным способом данные сведены в столбец
Y' табл. 2.7. Среднее для этих данных равно у' — 10,65, а дисперсия, харак-
характеризующая разброс величин у'и относительно среднего,— s2{Y'} = 28,50.
По F-критерию еще раз, но уже косвенно (по уменьшению разброса данных),
была проверена значимость группы выделенных факторов F = s2 { Y° } /^Х
Х{ Y' } - 2,20 > .P0i05 C1,31) = 1,83.
Для модифицированных данных Y' вновь были построены 18 диаграмм
рассеяния по линейным эффектам (рис. 10) и по построенным диаграммам,
согласно изложенной в [130] методике, подсчитано число выступающих точек
для диаграмм рассеяния по всем возможным эффектам взаимодействия. Фраг-
Фрагмент этой таблицы приведен на рис. 8» Диаграммы рассеяния по некоторым
избранным, согласно полученной таблице, ориентировочно значимым эффек-
эффектам взаимодействия приведены на рис. 11. Анализ построенных диаграмм
(}эис. 10 и 11) показал, что наибольшими величинами т) являются Т)Х2, г)ж
и f]XiXi (табл. 2.9). В результате количественной оценки и статистического
82
У
зг
'- i ' j : г-
.- г
! . .
: — j
:- Ь : « i.
1 1 1 1 : II 1 1 1 , 1 , , I 1 ,
j:
1 1
1
i:
;
:
У и
i i
: у *• :
:• '• V ;•
ill"
J* •
; -j. [
i
• •
* i i
гч г
/ff г
8 г . -!.
XS /7
Рис. 11. Диаграммы рассеяния модифицированных данных Y' по уровням
эффектов взаимодействия
Таблица 2.8
Таблица вычисления эффектов
Неповто-
ря ющиеся
точки
1
2
3
4
5
6
7
8
Уровни выделенных
факторов'
XI
I
XI
++11++11
1 + 1 + 1 + 1 +
У
8,90 7,50 5,80 13,75
12,55 11,20 11,82 13,40
7,10 7,50 11,55 10,42
25,35 10,75 12,10 7,80
24,50 27,00 13,90
33,25 17,50 23,35 30,20 33,13
5,90 10,60 9,60 12,60 17,20
22,18 18,63 14,25
*
8,99
12,24
9,14
14,00
21,80
27,49
11,18
18,35
83
Таблица 2.9
Выделение Существенных факт<| производства наконечников
Выделе-
Выделение w
I
II
III
IV
V
Рассеива-
Рассеиваемые дан-
данные Yw
Yo
Y1
Y"
Yiv
Наибольшее
значение и
^„=8X5,3=42,4
r\Xi =5x7,0=35,0
т)Я1 =,8X3,6=28,8
т|Л.,= 12x5,6=67,2
1)^ = 10x6,0=60,0
4*^=9X6,2=55,8
т)Жв =10x4,3=43,0
т)Жи = 8X4,8=38,4
ЦХъ =10X3,5=35,0
1*^ =9X1,8=16,2
Т1ж„ж„ = 8X1,4=11,2
^^=10x1,05=10,5
Проверка коэффициентов
регрессии по (-критерию
sj, = 0,91; (.sj, = l,87
bi = 4,31; bj = 8,62
Ь4 = -2,23; Ь4 = -4,46
«,, = 0,72; *-sbfc=l,48
&2 = 2,10; ^=4,20
bi4^1,40; Ь14^2,80
bi,4 = — 2,18; 6'14=-4,36
sb=0,50; *-sb = l,03
bB = —0,61; Ъ'ъ = —1,22
be = 0,78; b'9 = l,56
sb == ' * * b== ^» '
bu,ie = l,16; b'l4l6=2,32
s _0 3q. (.sh^=0 62
bio,ie = O,4O; b'1016 = 0,80
bu,i4 = 0,38; b'lll4 = 0,76
8,62'—p— —
-f~ 5,24 я
4,20-^— +
+ 2,80 lte2 -
-4,36V4; + 1
to
Ж2« Ж15„ + 1
2 +
'2
™ ^ i \
1 /t/, 4u 15u~
2
Проверка по F-критеРию значи-
значимости группы выделенных
факторов
?-15,35; S2{Y°}- 62,81
?' = 10,65; s«{Y'} = 28,50
^r> ^0,05 C1,31) = 1,83
Fn>Fofib C1,31) = 1,83
?"-9,33; S2{YU}-12,56
= 1,79
Г jjj _> Г 0,06 (й1,О1) -— 1,OO
?Ш = 7,41 ;s2{Ym} = 7,00
= 1,92
^1У>^о,о5 C1,31) = 1,83
? ==4,12; s2{Y } = 3,64
= 1,29
Fy < ^о,об C1,31) =1,83
?v=3,48; s2{Yv} = 2,82
Значимые эффекты
b'k = - 4,46
b'17=5,24
4^=4,20
6^5=1,92
bj416 —2,32
84
85
анализа была установлена существенность эффектов b'2 и &1>4. Что же каса-
касается третьего — b'u, то и он был причислен к существенным, хотя 5%-ныв
i-критерий и не давал на это права {b'u значим лишь при 10%-ном уровне
значимости).
При принятии решения о существенности фактора хи были учтены как
малая величина отклонения эффекта Ь14 от критического значения, так и,
в основном, тот факт, что минимум остаточной дисперсии достигается при
выделении именно трех, а не двух факторов.
Исключив согласно табл. 2.9 влияние на выход эффектов факторов ж2,
хи и взаимодействия х\х^ и вычислив по модифицированным данным у^
см. столбец Y* табл. 2.7) дисперсию s2 {Y"}, по .F-кригерию была провере-
проверена и подтверждена правильность выделения всех трех эффектов.
Для модифицированных данных Y" для рассмотренного выше'
примера построены диаграммы рассеяния по линейным эффект
там, и по этим диаграммам найдено число выступающих точек ,
диаграмм рассеяния по всем возможным эффектам взаимодейст
вия и т. д. аналогично двум вышеописанным этапам. Последовав
тельное применение процедуры отсеивания позволило за пят|
этапов (см. табл. 2.9) выделить все существенные фактор!
х1У х2, ж4, хи, х18, х1ч и взаимодействия
х2х1Ъ, хпх1Ч, хих1в
оценить соответствующие им коэффициенты регрессии. Ранжир
рование коэффициентов регрессии по их абсолютной величине!
6'
9
7
5
3
—1
—
~Н-Т
Рис. 12. Ранжировка коэффи-
коэффициентов регрессии по их абсо-
абсолютной величине
*/
*» V*
приведено на рис. 12, а на рис. 13 дано изменение функция
распределения результатов наблюдений на различных этапа*;
выделения. ,
Регрессионное уравнение в кодированных переменных имел<$|
следующий вид: '
р = 15,35 + 4,31хх + 2,1ОЖ2 - 2,2324+ 1,40214 + 1,92г1в +
+ 2,62х17 - 2,182^4 + 0,96х2Ж15 + 0,932и217 +
+ 1,16х14Ж16. B.20)
Анализ регрессионного уравнения показывает, что металло-
термостойкость карборундовых наконечников на нитридной
86
у
зг
Z1
Si;.
I
i:"
::
Рис. 13. Изменение функции распределения на различных этапах решения
задачи
связке растет при увеличении количества карборунда (хг), глины
(х2), азота (ж14), увеличении температуры обжига (ж1в) и длитель-
длительности выдержки при максимальной температуре обжига (х17),
а также при грубом помоле карборунда.
Так как остальные факторы были признаны несущественными,
не оказывающими значительного влияния на качество наконеч-
наконечников, появилась возможность упростить и ускорить технологи-
технологический процесс, снизить себестоимость без ухудшения качества
наконечников путем: а) ликвидации одной из наиболее трудоем-
трудоемких технологических операций — очистки карборунда, б) исклю-
исключения операции очистки азота (при этом отпадает необходимость
построения на заводе специальной очистительной установки с на-
нагревательной "печью, необходимость соблюдения строгого режима
подогрева, экономится большое количество электроэнергии, меди
и реактивов), в) исключения операции очистки воды, г) сокраще-
сокращения в два раза времени помола кремния, времени вызревания
шликера,^времени сушки наконечников на воздухе, д) сокраще-
сокращения времени распускания глины почти в пять раз: с 24 до 5 час,
е) увеличения^скорости" подъема температуры печи с 300 до
400° С/час, ж) уменьшения количества соды и увеличения^коли-
чества'воды (эти два мероприятия несколько снижают брак при
отливке), з) признания излишним операции вакуумирования и
исключения необходимости обеспечения каких-либо особых тем-
температурных условий ^отливки.
На основании у всего вышесказанного вместо существующей
была предложена новая, значительно упрощенная технология
производства карборундовых наконечников на нитридной связ-
связке, позволяющая даже при существующем режиме, но при новых
технических условиях повысить металлотермостойкость нако-
87
нечников до 15—16 погружений в расплавленную сталь, т. е.
более чем в три раза по сравнению с существующей технологией,
снизить себестоимость наконечников, ускорить процесс произ-
производства.
§ 2.2. Достижение почти стационарной области
Выделение существенных переменных многокомпонентной
системы снижая размерность задачи позволяет тем самым присту-
приступить к более детальному изучению и оптимизации ее свойств —
к поиску уровней выделенных переменных, обеспечивающих экс-
экстремальные значения параметра оптимизации.
Экспериментально-статистический поиск экстремума может
осуществляться различными способами: методом Гаусса—Зайделя,
методом наискорейшего спуска, методом конфигураций, различ-
различными процедурами случайного поиска и т. д. Однако для поиска
экстремума и математического описания исследуемой системы
наибольшее практическое применение нашли методы математиче-
математического планирования эксперимента.
В [21] поиск экстремума предложено осуществлять по этапам,
применяя на каждом из них оптимальную стратегию исследова-
исследования. Целью первого этапа является достижение области экстре-
экстремума, так называемой почти стационарной области за минималь-
минимальное количество опытов. На втором этапе стратегия исследования
измевяется, исследователь концентрирует экспериментальные
усилия, охватывает почти стационарную область большим числом
опытов для адекватного ее описания и уточнения местонахожде-
местонахождения экстремума.
Движение к почти стационарной области осуществляется ме-
методом крутого восхождения, различными методами последователь-
последовательного отражения и др.
Крутое восхождение по поверхности отклика. Предложенный
в [21] и развитый в дальнейшем в [140, 141] метод крутого восхож-
восхождения является одним из основных методов последовательной
шаговой оптимизации. Крутое восхождение — целенаправленное
шаговое «ползание» по поверхности отклика — обеспечивается
использованием метода градиента в сочетании с дробным фактор-
факторным экспериментом. Факторные планы, в частности ДФЭ, исполь-
используемые для линейного описания поверхности отклика в локаль-
локальной области, являются оптимальными [25], обеспечивают оценку
градиента с минимальной дисперсией.
Так как аналитический вид функции отклика обычно заранее
неизвестен, поверхность отклика в окрестности некоторой,
достаточно удаленной от экстремума точки х(°> (
аппроксимируется касательной гиперплоскостью
™@)'
X<i ,. .
где Ьа = ф° — значение функции отклика в точке х<°\ а 5г =
= dip/dxt — определенные в точке х(°> наклоны гиперплоскости
в направлении осей соответствующих аргументов Xj.
Наклоны оцениваются методом наименьших квадратов по
результатам наблюдений, проведенных согласно эксперимен-
экспериментальному плану в окрестности рассматриваемой точки. Если при
вычисленных коэффициентах регрессии b0, bx, b2, . . ., bh урав-
уравнение гиперплоскости
у = b0 + blXl + Ъ2хг + . . . + bhxh B.22)
хорошо согласуется с действительностью, то величины bt будут
оценивать наклоны 5, гиперплоскости ср: bt = (dy/dxi)-^bt, т. е.
изменение в отклике ср посредством единичного изменения в xt.
Перемещение области исследования вдоль направления I
наибольшего наклона гиперплоскости, определяемого величиной
производной д<р/д1, должно максимизировать скорость изменения
функции ср. Таким образом, задача максимизации скорости прибли-
приближения к экстремуму сводится к нахождению расположенного на
гиперплоскости луча I, исходящего из начальной точки х<°> и
обеспечивающего наиболее быстрое изменение функции отклика
(d/dZ)
),nax
Ввиду того, что
-J- = | grad ср | cos (I, grad cp),
скорость изменения отклика будет наибольшей в направлении
gradcp
B,21)
B.23)
где gradcp — вектор, образуемый совокупностью величин д<р/дх},
определенных в начальной точке х(°>:
gradcp = ?il+ ?ia+ •••+ 5~*к ('И/ = 1,2,...,Л) —орты).
Таким образом, направление градиента совпадает с направле-
направлением линии I наибольшего наклона гиперплоскости. А так как
направление градиента полностью определяется совокупностью
величин д(р/дх,, оценками которых являются 6,-,то и направление
крутого восхождения полностью определяется коэффициентами
уравнения гиперплоскости B.22).
Изменение переменных хг, х2, . • •, хк пропорционально Ьх,
Ь2, . . ., bh обеспечивает двил ение вдоль линии крутого вос-
восхождения, максимизируя отклик, а пропорционально коэффи-
коэффициентам, взятым с обратными знаками, минимизируя выход.
В действительности, даже если поверхность отклика линейна
в рассматриваемой локальной области, из-за ошибок экспери-
эксперимента направление оцениваемого по результатам N опытов пла-
89
на градиента grad г/, имеющего компоненты bt, отличается от на-
направления истинного градиента grad(p, имеющего компоненты ^и,
на некоторый угол 0. Вследствие этого, делая шаг R вдоль оце-
оцененной линии I крутого восхождения, в действительности поло-
положение в факторном пространстве улучшаем лишь на величину
i?cos 6. Чем больше угол 0, Т:ем меньшего увеличения отклика
следует ожидать при фиксированном шаге R. Величина 0 зави-
зависит от количества опытных данных, на основании которых про-
производится оценка градиента — с увеличением N угол 0 умень-
уменьшается.
Если величину R cos 0 принять за меру улучшения положения
в факторном пространстве в результате N испытаний, то величина
R cos Q/N будет являться мерой улучшения на одно испытание.
При планировании N следует выбирать таким, чтобы максимизи-
максимизировать математическое ожидание Щ (R cos 0/iV) или максимизи-
максимизировать. UN • & (cos 0), где $ (cos 0) является функцией от N.
В [142] показано, что - UN•$ (cos 0) — убывающая функция
от Ni и поэтому для ее максимизации необходимо брать N как
можно меньше.
G этой точки зрения оптимальными являются планы, содержа-
содержащие N = к + 1 опытных точек (симплексы), так как именно
к + 1 испытаний являются тем минимальным числом, которое
необходимо для оценки градиента посредством некоррелирован-
некоррелированных оценок его компонентов. Однако, являясь оптимальными
в смысле улучшения положения в факторном пространстве на
единицу испытаний, зти планы лишены некоторых оптимальных
свойств, которыми обладают планы полного и дробного факторных
экспериментов, и, вследствие ряда недостатков, находят ограни-
ограниченное применение для определения направления градиента.
Поэтому в [21] было предложено оценивать направление гра-
градиента по данным реализации двухуровневых факторных экспе-
экспериментов, обеспечивающих оценку коэффициентов, регрессии
с минимальной дисперсией.
Для наглядности дадим геометрическую интерпретацию метода
крутого восхождения. Положим, что в случае двух исследуемых
факторов хх и хг кривые равного выхода поверхности отклика *
(контурные кривые) имеют вид, приведенный на рис. 14. Примем
точку б?! с координатами (а/]0', х^) за центр эксперимента и сплани-
спланируем вокруг нее ПФЭ типа 22 (см. рис. 14). По данным у реализа-
реализации эксперимента (у1 = 72, у2 = 74, г/3 == 76, г/4 — 78) и фор-
4
= 2
(i = 0, 1, 2) вычислим коэффициенты урав-
нения плоскости
у = Ьо + bfa -f
= 75 + 2Я1
B.24)
* Эти кривые аналогичны кривым равной высоты на географических картах.
9Q
аппроксимирующей поверхность отклика в охваченной экспери-
ментном локальной области факторного пространства (рис. 15, а).
В случае адекватности линейного представления поверхности
отклика коэффициент Ьо окажется равным значению отклика у
в центре эксперимента. Коэффициенты Ьх и Ь2 уравнения B-24)
определяют направление крутого восхождения. Для получения
в точке о1 нормали по отношению к контурным кривым достаточ-
достаточно отложить по осям #! и 2 соответствующие (или пропорциональ-
пропорциональные) коэффициентам Ъг и Ъг величины с учетом их знаков и из точ-
точки с?! к точке N (bv b2) провести луч 1г. Этот луч и представляет
именно направление крутого восхождения, вдоль которого долж-
должны быть реализованы шаги (опыты).
Так как изменению кодированной переменной %t на одну еди-
единицу, согласно условию кодирования xt = (xt — х\о))/р1, соот-
соответствует изменение натуральной переменной xt на pt единиц,
изменению ?г на bt единиц будет соответствовать изменение xt
на величину Ъгрг. А отсюда следует, что для шагового движения
вдоль направления крутого восхождения 1Х натуральные перемен-
переменные хг (в отличие от кодированных) должны изменяться пропор-
пропорционально biPi.
Рис. 14. Геометрическая ин-
терпретация определения на-
правления крутого восхожде-
Рис. 15. Геометрическая интерпретация метода крутого восхождения для
q — 2 ¦
а — аппроксимация поверхности отклика плоскостью; б — движение вдоль направления
крутого восхождения (,; в — движение вдоль скорректированного направления крутого
«осхождения I,
91
В общем случае, реализуя планирование эксперимента с цент-
ром в заданной точке факторного пространства х«" (^ ,х2 , . . .
.,х<-0)), получают уравнение гиперплоскости B.22) в закодирован-
закодированных переменных flt ?2, . . ., Zfc, связанных с натуральными пере-
переменными «х, а^, . . ., ж,, соотношениями
Хг_ х-х^ (i==l,2,...,A). B-25)
Проверив полученное уравнение B.22) на адекватность, можно
приступить к движению вдоль линии крутого восхождения.
Координаты /-и (/ = 1, 2, 3,. . .) точки крутого восхождения
определяются согласно
.jr
(i = 1,2,..., к),
B.26)
где р- — интервал варьирования ?-й аеременной, a r — длина
шага вдоль т-й переменной (табл. 2.10). Подставляя полученные
координаты в уравнение гиперплоскости
Х\
J.0)
.@)
...+
B.27)
полученное заменой закодированных переменных $t исходными
х- по 72 25), определяют расчетную величину у для каждого шага ].
' Линейное уравнение B.22) адекватно описывает результаты
опытов лишь в локальной области экспериментирования. При
значительном удалении от нее адекватность может нарушиться
и движение вдоль направления крутого восхождения после после-
последовательного улучшения может привести к понижению выхода.
Поэтому движение вдоль направления крутого восхождения сле-
следует производить до тех пор, пока производная dy/dl вдоль этого
направления не обратится в нуль. Для наиболее быстрого и точ-
точного определения местонахождения соответствующей точки су-
существенное значение имеет правильный выбор шага движения —
небольшой шаг требует значительного числа опытов при движении
к оптимуму, большой шаг увеличивает вероятность перехода
через область экстремума. Отсутствие формализованных алгорит-
алгоритмов выбора шага движения и невозможность регулирования шага
в процессе движения снижает эффективность процедуры крутого
восхождения. л
В точке линии крутого восхождения, где произошло обраще-
обращение в нуль производной dcp/dl (точка М на рис. 15,6), вновь
определяется направление градиента путем проведения плани-
планированного эксперимента с центром в точке, дающей наилучший
отклик Далее осуществляется движение вдоль нового направле-
направления (рис. 15, в) до обращения в нуль производной, взятой по это-
этому направлению. Процедура повторяется до тех пор, пока козф-
92
о
ем
К
ю
О
и
о
Б.
а
1?
О.
1
1
5
I
Основной
а
S,
[ИЯ
к
р.
се
03
| Интервал
JS
?
н
Э
со
03
акодиро
со
се
се
К
Ш
I
ф
п
si
я
N*4
едш
>н
О
1
HCXi
О)
Изменени
S,
?
.3
я
зменени
к
при
се
I
OTKJ
ш
Изменени
г единиц
Округлен
-f
- "°j4
1 j
?.
+ '+
II II
П !l
H _, PJ _,
Jl Jl
1 Шаг 1-i
Шаг 2-i
jl
S-a
;
; fiffi
•"V
II
II
. Л
.' ii
Шаг г-й
93
фициенты регрессии не станут сравнимыми с ошибками их onpe-j
деления [и пока линейная аппроксимация не окажется неадек!?
ватной [44]. I
Щк "Применение метода крутого восхождения в окрестности эщ
стремума неэффективно, так как в этой области коэффициенты Ь^
уменьшаясь, могут стать меньше ошибок s {bt} в их определении|
и из-за возникшей неопределенности увеличивается вероятностью
движения в ложном направлении.
Ряд особенностей реализации крутого восхождения при дост»>
жении границы области определения одной из переменных пр|
наличии качественных переменных, временного дрейфа и др. рщ
смотрен в [25, 44, 143, 144]. Сравнение метода крутого восхожд^
ния с другими методами планирования экстремальных эксперй
ментов [145—148] указывает на его эффективность. Отдельны^
вопросы, связанные с методом крутого восхождения, рассмотрен^
также в [25, 26, 44, 69, 86, 132, 149]. <
Идея крутого восхождения использована и в связанном планю
ровании эксперимента [150]. В нем в отличие от метода крутого
восхождения рассматриваются не одно, а два направления кр$
того восхождения, оцениваемые'посредством гдвух факторных*пла;
нов, имеющих некоторые совместные экспериментальные точки
Метод крутого восхождения широко используется при pemej
нии оптимизационных задач в лабораторных, опытных, полузавод^
ских и заводских условиях в промышленности. .;jj
,1
Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим задачу оптимизм
ции металлотермостойкости наконечников термопар погружения. ПопытаеЩ
ся, несмотря на неадекватность1 описания экспериментальных результатов
случайного баланса уравнением B.20), провести восхождение по существед
ным факторам хг, х2, хи, хи, хп из исходной точки х^' = 70, х*? = 121
хи ~ 2>5> xie' = 1420, х$ = 2, обеспечивающей в среднем 15,65 погруже*
ний в расплавленную сталь. s
Расчет шагов восхождения произведем согласно вышеописанной методе
ке. Исходя из практических соображений, целесообразным считалось изме^
нение на каждом шаге фактора хг на две единицы (пятая строка табл. 2.11}.
По данным строки b\pi легко определяются изменения остальных факторов!
соответствующие изменению хг на две единицы. Так, например, изменена!
фактора хг вычисляется из следующей пропорции:
43,1 — 2 . 4,2-2 n,Qt-
.' . , откуда Д2 = -frr- = 0,195.
4,2 —Д2 %ол
Аналогично получим А14 = 0,097, Аи = 1,782 и Ai7 = 0,121. Так ка?
вычисленные величины шагов оказались неудобными для практической ped
лизации, было произведено их округление. Последовательным алгебраиче
ским прибавлением к основному уровню округленных значений единичной
шага получаем координаты шагов в натуральных переменных. Эксперимей
1 В общем случае при неадекватности модели реализация крутоговосхо^
дения может не обеспечить желаемого результата.
94
Таблица 2.11
Крутое восхождение йо данным случайного баланса
Факторы
Основной уровень
Интервал варьирования
Изменение отклика на закодиро-
закодированную единицу
Изменение исходной единицы
Изменение отклика при измене-
изменении хх на 2
Округление
Шаг 1
2
3
4
5
70
10
4,31
43,1
2
2
72
74
76
78
80
12
2
2,10
4,20
0,195
0,2
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
2
1
1
2
0
0
2
2
2
2
3
Хи
.5
,5
,40
>
,10
,097
,1
,6
,7
,8
,9
,0
1420
20
1 92
i
38,4
1,782
2
1422
1424
1426
1428
1430
2
1
2
2
0
0,
2,
2,
2,
2,
2,
62
62
121
12
12
24
36
48
60
V
15
16,
18,
20,
23,
26,
65
72
35
63
47
53
тальная проверка этих точек показала, что у постепенно увеличивается.
Однако, как будет показано далее, в нашем конкретном случае значи-
значительного увеличения выхода можно достичь, двигаясь в ином направлении.
Дело в том, что метод случайного баланса, являясь средством выделения су-
существенных факторов, не преследует цели точного описания исследуемой
системы и оцененные коэффициенты точно не отражают степени влияния ис-
исследуемых факторов. Поэтому направление восхождения может значительно
отклоняться от направления крутого восхождения (как это и имеет место в
нашем случае) и скорость продвижения к экстремуму в таком направлении
может оказаться низкой.
Учитывая вышесказанное, хотя движение пока еще обеспечивало увели-
увеличение отклика, дальнейшее продвижение, выводящее за пределы исследован-
исследованной случайным балансом локальной области факторного пространства, было
сочтено нецелесообразным.
Для переопределения направления крутого восхождения был проведен
ДФЭ типа 2ь~г с интуитивно выбранными уровнями варьирования и центром
в точке факторного пространства, давшей наивысший отклик при реализации
восхождения по данным случайного баланса. Условия планирования экспе-
эксперимента, план и результаты опытов приведены в табл. 2.12. В каждой точке
плана (см. табл. 2.12) было реализовано по 2 параллельных опыта, усред-
усредненные результаты которых сведены в столбец у.
По данным ДФЭ типа 25, согласно A.29), были оценены коэффициенты
следующего линейного уравнения регрессии в кодированных переменных:
у = 26,58 + 5,772j + 4,6622 + 0,52214 + l,56*ie -|~ 2,98a?i7. B.28)
Линейное уравнение регрессии адекватно: Fv = 3,86 при табличном
значении F%? B,8) = 4,5. Так как s2 {у} = 1,20, значимыми оказались
все коэффициенты регрессии, кроме Ь14 = 0,52.
95
Таблица 2.12
Планирование эксперимента для оптимизации металлотермостойкости
наконечников термопар погружения
Уровень
Факторы
Условия планирования эксперимента
Основной ж|и)
Интервал варьирования,
Верхний (+1)
Нижний (—1)
Pi
80
5
85
75
13
2
15
11
3
1
4
2
1430
30
1460
1400
2,5
0,5
3,0
2,0
План эксперимента и результаты опытов
Опыт 1
2
3
4
5
6
7
XI
+1
+1
-1
+1
^
-1
Л
+1
Х2
+1
+ 1
-1
Л
+1
+1
^
—1
X14
—1
+1
-1
+1
^
+1
+1
—1
Х1в
-1
+1
-1
—1
+1
—1
+1
+1
XU
-1
+1
+1
1
\
+1
—1
+1
У
30,88
41,95
16,94
24,74
24,60
27,53
14,17
31,84
Крутое восхождение
Коэффициенты регрессии, Ъ\
biX Pi
Шаг, соответствующий из-
изменению х\ на 2 единицы
Округление
Шаг 1
2
3
4
5
6
31,9.
42,07
17,0.
23,67!
23,53
27,41
15,25
31,71
5,77
28,85
2
2
82
84
86
88
90
92
4,66
9,32
0,646
0,65
13,65
14,30
14,95
15,60
16,25
16,90
0,52
0,52
0,036
0,04
3,04
3,08
3,12
3,16
3,20
3,24
1,56
46,8
3,25
3
1433
1436
1439
1442
1445
1448
2,98
1,49
0,103
0,1
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
30,37
36,15
41,53
42,90
40,70
34,10
31,18
35,77
40,36
44,96
49,55
54,15
Расчет шагов крутого восхождения и соответствующие результаты вос>
хождения приведены в нижней части табл. 2.12. Оптимальное значение
выходного параметра было достигнуто на четвертом шаге.
В результате реализации крутого восхождения металлотермостойкость
наконечников была увеличена в 1,6 раза по сравнению с металлотермостой-
костью наконечников в центре плана. А в результате совместного применения
метода случайного баланса и крутого восхождения металлотермостойкост»
96
была увеличена с 5 погружений в расплавленную сталь до 43, т. е. более
чем в 8,5 раза.
Пример 2. Рассмотрим задачу, связанную с выбором оптимального
состава сплава [151]. Требуется определить такое соотношение семи легирую-
легирующих компонентов Сг, Ni, Mo, V, Nb, Mn, С, при котором сплав на основе
железа имел максимальное сопротивление на разрыв при температуре 800° С.
Основные уровни легирующих элементов и интервалы варьирования за-
задавались, исходя из соображений металловедения и экономики (табл. 2.13
[151]). План типа 2'~4 и соответствующие экспериментальные результаты
приведены в средней части, а расчет шагов крутого восхождения — в нижней
части табл. 2.13. Опыты реализовывались не во всех точках линии крутого
восхождения (имели место так называемые «мысленные опыты»).
Максимальное сопротивление на разрыв — 11 500 фт/дм2 было достиг-
достигнуто в восьмой точке линии крутого восхождения при следующем составе
стали: 10,4% Сг, 1,2<>/0 Ni, 0,66% Mo, 0,18% V, 0,58% Nb, 0,24% Mn,
0,80% С.
Движение по градиенту. Эффективность метода крутого вос-
восхождения в значительной степени зависит от правильной органи-
организации движения по градиенту. Существенным является не только
рациональный выбор точек вдоль направления крутого восхожде-
восхождения, но и стратегия их реализации. Выбор стратегии опреде-
определяется стоимостью опытов, их длительностью и условиями экс-
эксперимента. Можно выделить две различные стратегии реализации
опытов.
В первом случае, когда экспериментальная ситуация не поз-
•воляет проводить опыты последовательно (например, когда тре-
требуется длительное время для их проведения или получения соот-
соответствующих результатов) и они дешевы, все намеченные к реали-
реализации опыты целесообразно ставить одновременно [44] (пассивная
стратегия). При этом ввиду отсутствия в процессе эксперименти-
экспериментирования информации о характере изменения функции отклика
экспериментальные точки вдоль направления крутого восхожде-
восхождения вплоть до верхней границы области определения какой-
нибудь переменной приходится брать равноудаленными. Наимень-
Наименьшая величина шага задается возможностью фиксирования двух
соседних опытов, а наибольшая"— областью определения одной из
переменных. При расположении экстремума вблизи исходной точ-
точки восхождения^болыпинство опытов при пассивной стратегии
будет затрачиваться впустую. Такая процедура «слепого» поиска
если и приемлема с точки зрения экспериментатора, вряд ли
оправдана с позиций экстремального планирования эксперимента.
Во втором случае, когда опыты дороги, минимизация числа
опытов приобретает большую важность и необходимым оказывает-
оказывается применение более гибкой последовательной стратегии, основан-
основанной на использовании полученной на предыдущих шагах инфор-
информации при принятии решения о постановке новых опытов. В от-
отличие от пассивной стратегии здесь ввиду получения в процессе
4 И. Г. Зедгинвдзе 97
Таблица 2.13
Планирование эксперимента при выооре оптимального
сложнолегированной стала
Факторы
Сг
N1
мо
Nb
Условия планирования эксперимента
Основной уровень, %
Интервал варьиро-
варьирования, pi
Верхний уровень (+1)
Нижний уровень (—1)
4
1
5
3
2
1
3
1
Х2
План эксперимента
Номер опыта 1
2
3
4
5
6
7
8
—
—
—
+
—
4-
—
+
Крутое
Коэффициенты рег-
регрессии, bi
bi X Pi
Шаг, соответствую-
соответствующий изменению Сг
на 0,8%
Шаг 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,71
0,71
0,8
4,8
5,6
6,4
7,2
8,0
8,8
9,6
10,4
11,2
12,0
-0,09
-0,09
-0,1
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,1
0,1
0,2
0
Хз
0,02
0,02
0,04
0
0,1
0,1
0,2
0
Mn
0,4
0,1
0,5
0,3
Xg
и результаты опытов
—
4-
4-
—
—
4-
+
—
4-
4-
4-
+
восхождение
0,64
0,064
0,07
0,17
0,24
0,31
0,38
0,45
0,52
0,59
0,66
0,73
0,80
0,89.
0,018
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
—
4-
4-
—
4-
4--
—
0,54
0,054
0,06
0,16
0,22
0,28
0,34
0,40
0,46
0,52
0,58
0,64
0,70
4-
4-
4-
—
4-
—
-0,16
-0,016
-0,02
0,38
0,36
0,34
0,32
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20
состава
с
0,4
0,1
0,5
0,3
Ж;
4-
4-
4-
4-
—
0,46
0,046
0,05
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
v -Ю-1,
фт/дм*
1,5
3,5
6,2
3,2
5,3
5,1
5,3
5,8
10,3
11,0
11,5
11,2
10,1
движения информации об изучаемой функции отклика появляет-
появляется возможность выбора экспериментальных точек некоторым
оптимальным образом. В зависимости от того, задана или нет за-
98
ранее конечная точка, определяющая начальный интервал пои-
поиска вдоль направления крутого восхождения, можно применять
различные варианты последовательной стратегии.
Последовательные стратегии поиска при заданном интервале.
Поиск экстремума при заданном начальном интервале неопре-
неопределенности осуществляется сокращением интервала согласно тому
или иному алгоритму. Так как исходный интервал Lo за п опытов
сокращается до Ln, величина L0/Ln используется для оценки
эффективности различных методов поиска. Этот критерий эффек-
эффективности зависит лишь от размещения опытов; степень изменения
исследуемого свойства здесь в расчет не принимается.
При заданном интервале для целей поиска применяются мето-
методы дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и др. [152].
Метод дихотомии требует для каждого сокращения интервала
два новых опыта. Его эффективность возрастает с ростом числа
опытов п (п — четное) экспоненциально L0/Ln = 2W2>. В схеме
Фибоначчи [153] каждый новый эксперимент позволяет сокра-
сократить интервал неопределенности. Этот метод значительно эффек-
эффективнее метода дихотомии — здесь LJLn = Fn, где Fn — п-е
число Фибоначчи (Fn > 2<n/2)). Метод Фибоначчи можно приме-
применять, лишь зная заранее число необходимых опытов,^что в опре-
определенной степени ограничивает его применение.
В тех случаях, когда поиск желательно проводить, не^зада-
ваясь определенным числом опытов, следует пользоваться мето-
методом золотого сечения, к которому приводит деление интервала на
две равные части так, чтобы отношение всего отрезка к большей
• части равнялось""отношению большей части к меньшей. Для мето-
да золотого сечения -^ = г", где т =[ ^ . Так как Fn ж —^=,
окончательный интервал при методе золотого сечения оказывает-
оказывается всего лишь на 17% больше, чем при методе Фибоначчи. Поиск
можно начинать методом золотого сечения и переходить к методу
Фибоначчи, когда экстремум уже достаточно близок и имеется
возможность зафиксировать число остающихся экспериментов.
Следует отметить, что на практике, не зная заранее местона-
местонахождения экстремума, невозможно указать конечную точку интер-
интервала, начинающегося в исходной точке восхождения. Выбор в ка-
качестве конечной точки интервала граничной точки вдоль данного
направления в некоторой степени искусствен и может найти оправ-
оправдание лишь с точки зрения приспособления для целей поиска выше-
вышеуказанных методов. В таком случае при нахождении точки, обес-
обеспечивающей экстремальное значение выходного параметра, вблизи
от исходной точки начальный интервал неопределенности ока-
окажется слишком большим и ряд опытов в процессе поиска этими
методами может дать значения выхода, значительно худшие, чем
в исходной точке. Этим нарушается одно из основных преимуществ
планирования эксперимента — последовательное систематиче-
систематическое увеличение выхода.
А*
99
В зтом смысле значительно более эффективными являются п<я
следовательные стратегии, не требующие фиксирования област|
поиска и обеспечивающие последовательное улучшение выходном
параметра.
Последовательные стратегии поиска при незаданном интервале
Отличительной особенностью последовательных стратегий при
незаданном интервале является возможность реализации вдоль
направления крутого восхождения шагов (как постоянных, так и
изменяющихся по величине в зависимости от выбранного алгорит-
алгоритма), обеспечивающих последовательное улучшение выходного
параметра вплоть до захвата экстремума «в вилку» первым же не-
неудачным (п + 1)-м опытом. Далее за основной уровень факторов
в следующей серии принимается либо предыдущий (п-в) опыт,
давший лучший результат, либо (в более редких случаях) опыт',
полученный более детальным исследованием интервала неопре-
неопределенности, задаваемого (п — 1)-м и (п + 1)-м опытами.
В отличие от последовательной стратегии восхождения с по-
постоянным шагом, описанной на стр. 92, здесь будут рассмотрены
алгоритмы выбора шага при перескоке через экстремум, при пере-
переопределении направления крутого восхождения и алгоритмы регу-
регулирования шага при движении по градиенту.
Простейший алгоритм изменения шага при перескоке через
экстремум и при переопределении градиента описан в [154] и со-
состоит в следующем.
В начале движения вдоль направления крутого восхождения
задается исходный шаг h0 (соответствующий, например, измене-
изменению функции отклика на 10% от принятого диапазона). G зтим
шагом осуществляется движение до тех пор, пока для двух после-
последующих ОПЫТОВ В ТОЧКаХ №*-*> (у (%(k-V) = yk-iy и ЦК) (^ (^(/с)) _
= i/(fc)) г в случае поиска максимума выполняется условие у(*> >
> г/(&-1>. При нарушении зтого условия на каком-либо 1-м шаге на-
направление движения изменяется на противоположное и движение
продолжается из последней точки с уменьшенной вдвое величиной
шага.
Рассматриваемый алгоритм изменения шага может быть
записан следующим образом:
/ hk
при
= A.
— 4 при
B.29)
В результате такой стратегий шаг восхождения по зтому на-
направлению будет уменьшаться в районе максимума целевой функ-
функции по зтому направлению и поиск можно прекратить, когда ве^
личина шага hk станет меньше заданной величины е. Затем вокруг
* При движении по заданному направлению функция отклика может счи*
татася'функцией переменного параметра \, характеризующего положение
точки на заданной прямой,
400
конечной точки планируется'эксперимент и переопределяется на-
направление крутого восхождения. Начальный шаг вдоль нового
направления выбирается как заданная доля расстояния, прой-
пройденного вдоль предыдущего направления. Это позволяет автома-
автоматически уменьшить начальный шаг по каждому переопределенному
направлению при приближении к оптимуму целевой функции.
Описанный алгоритм можно модифицировать поиском экстре-
экстремума в интервале Шш^\ Мт+1)] (если точка Wm) обеспечивает оп-
оптимальный выход) согласно алгоритмам (см. стр. 99).
И исходный, и модифицированные алгоритмы не осуществляют
изменение шага в процессе движения до нарушения условия yW ]>
;> у(к~1'). Шаг при движении изменяется в алгоритме Розенброка
[155] в соответствии с правилом
при у(к)>у(
ПРИ У <У
B-30)
Выбор коэффициентов 3 и —*/г необоснован автором, кроме того,
этот алгоритм (так же как и все вышеописанные) не учитывает спе-
специфику траектории восхождения и информацию о функции откли-
отклика, получаемую на предыдущих этапах. Поэтому он не чувствует
приближения к экстремальной точке и вследствие бесконтрольно-
бесконтрольного экспоненциального Зп увеличения величины шага после удач-
удачных опытов почти неизбежен значительный перескок через экстре-
экстремальную точку. В силу сказанного выше применение алгоритма
Розенброка при оптимизации реальных систем весьма ограниченно.
Указанных недостатков в определенной степени лишен описан-
описанный в [154] другой алгоритм, сущность которого заключается
в том, что по результатам трех последних шагов вдоль данного
направления характер изменения функции отклика аппроксими-
аппроксимируется полиномом второй степени.
При трех последовательных значениях X рассмотрим значения
функций отклика: %№, М2) и Я<3>. Через три точки у (
у (А,<а>) = у& и у (ХЩ = у& можно провести параболу
Ъ (X -
с,
. B.31)
коэффициенты которой определяются решением системы уравне-
уравнений
у. (XW) = у (М«), у (XW) = у (*,<»), у (*,<») = у (*,<») B.32)
и равны
УB) (Ь(В) - '
B.33)
101
Уравнение B.31) позволяет найти значение А,<тах>, при котором
достигается максимум у (к);
2а
B.34J
Полученное таким образом значение Мтах) применяется в ка-
качестве задаваемого следующего значения Я<4). Так как максимум
у (к), вообще говоря, не совпадает с максимумом у (к), при опре-
определении следующего значения №5> используется новая аппрокси-
аппроксимация для точек №2), №3>, Ж4> и т. д.
Рассматриваемый алгоритм регулирования шага качественно
отличается от предыдущих алгоритмов. Здесь используется пред-
история поиска на пройденном последнем участке восхождения
и регулирование шага осуществляется на основании количест-
количественной оценки параметров траектории восхождения. Однако метод
не работает на линейных участках траектории восхождения, при-
приводит к ошибочным результатам на участках, близких к линейным,
и крайне чувствителен к ошибкам эксперимента.
В [156, 157] предпринята попытка разработки алгоритмов ре-
регулирования шага в процедурах восхождения, работающих при
различных унимодальных траекториях восхождения. Регулиро-
Регулирование длины шага производится на основании информации, полу-
полученной с точек траектории восхождения в процессе движения.
Решение об изменении каждого следующего шага здесь прини-
принимается на основании количественного изменения функции отклика
на предыдущих этапах.
Согласно приведенному в [156, 157] алгоритму, последующий
шаг определяется как
B.35)
— скорость изменения функции отклика на
где vk-.
к-м шаге, v0 —наибольшая скорость до к-то шага, ф I — ) — функция
от скорости изменения отклика на к-м шаге по отношению к наи-
наибольшей скорости на предыдущих шагах.
Второе слагаемое в B.35) состоит из двух сомножителей. Пер-
Первый из них — h — обеспечивает увеличение шага, а второй —
vk-i
Ф (—) —имеет более сложный характер. Вдали от экстремальной
области он почти не влияет на изменение шага, а при приближе-
приближении к экстремуму обеспечивает его уменьшение. Близость к экстре-
экстремуму обнаруживается сравнительно резким уменьшением v-x по
отношению к v0.
102
Рис. 16. Зависимость ф
от скорости изменений
отклика
Таким образом, в удаленных от экстремума точках чувствуется
влияние только первого сомножителя и длина шага возрастает,
а в окрестности экстремальной точки превалирует влияние второго,
что и вызывает сокращение длины шага.
Примером функции ф может служить ф (Vi/v0) = Y^Vijv0. Выбор
п = 3 обеспечивает существенное уменьшение второго слагаемого
в B.35) после достижения Vj/v0 < 0,1 (кривая 1 на рис. 16) вплоть
до нуля. Его можно сделать и отрицательным, если ф подобрать
соответствующим образом (например, кривая 2 на рис. 16).
Описанный алгоритм обеспечивает эффективное регулирование
длины шага почти на всех траекториях, быстро проходя удален-
удаленные от экстремума прямолинейные участки траектории и концен-
концентрируя экспериментальные усилия в наиболее интересной, близ-
близкой к экстремуму области (подходя к экстремуму с малым шагом).
Сравнение алгоритмов регулирования шага и восхождения
с постоянным шагом, проведенное по различным критериям опти-
оптимизации на наиболее характерных траекториях восхождения
(рис. 17), указывает [156, 157] на эффективность алгоритма, зада-
задаваемого рекуррентным соотношением B.35).
Методы последовательного отражения. Основная идея методов
последовательного отражения заключается в одновременном изуче-
изучении поведения целевой функции и продвижении в пространстве
варьируемых переменных. В отличие от метода крутого восхо-
восхождения, где вначале ставятся пробные эксперименты для изучения
локальной области поверхности отклика с целью определения на-
направления и скорости движения к экстремуму, в методах последо-
последовательного отражения движение производится после каждого
опыта, начиная с (п -j- 1)-го. Движение осуществляется путем
отражения наихудшей из п последних точек относительно центра
тяжести оставшихся п — 1 точек. Центр тяжести новой конфигу-
конфигурации, состоящей из отраженной точки ига — 1 точек предыдущей,
оказывается смещенным к более оптимальным значениям исследу-
исследуемого выходного параметра. Реализовав опыт в отраженной точке,
103
Рис. 17. Характерные траектории восхождения
процедуру отражения повторяют для новой конфигурации. Пр|
цесс отбрасывания наихудших точек и подучения новых конфиг|
раций последовательным отражением повторяется и далее, в р|
зультате чего образуется цепочка конфигураций точек, перемет^
ющихся к экстремуму. '
В [158] было предложено использовать для целей поиска зк<
тремума в ^-мерном факторном пространстве регулярную конф!
гурацию^ п = к + 1 точек в виде правильного симплекса. Пла
исходной серии опытов, составляющих ^-мерный симплекс с це*
¦гром в начале координат, ориентированный таким образом, чтоб;,
вершина v(k+1) лежала на оси хк, а остальные вершины располагав
лись симметрично относительно координатных осей,' плоскостей
гиперплоскостей, можно представить следующей матрицей:
- Г1 — Г2
Hi — Г2
О Д2
'k-1
О
О
О
О
О О
О -
B.36
Если сторона симплекса равна единице, то
1
•ев
а
к
и
«о
I
в
а
а
ев
о
а*
я
а
ев
Р
О
в
I
§
к
ря
и
ев
tf
В
о.
№
ев
Я
О
I
* = 1,2 к). B.37
674 |
о
о
ю
о
о
со
88
о
о
,09^
о
ОТ
о
о
от
о"
00
ю
о"
204
о
ОТ
оо
о
ю
о
674
о
о
в?
о
о
со
я
о
о
'60'
о
§
о"
от
о"
оо -
ю
о"
204
о
00
7
CD
О
о
о
о
со
со
00
о
о
"?,
гёО'
о
О5
о
о"
от
о"
ее
ю
о"
204
о
00
ю
о
о
674
о
о
«
о
о
00
о
о
,09^
о
от
о
о"
О5
о"
00
ю
о
612
о
о
о
CD
о
о
о
о
СО
я
о
о
ю
760'
о
S
о"
от
о"
О]
S
о
о
о
о
674 |
о
о
о
со
о
о
га
,09^
о
от
о
о"
о"
1
о
о
о
о
CD
о
о
«
о
о
со
о
о
"?,
гбО'
о
ю
о"
о
о
о
о
о
674 1
о
о
m
о
о
833
о
о
,661
о
о
о
о
о
о
674
о
о
о
999
о
1
о
о
о
о
о
о
о
0674
о
CD
О
1
О
о
о
о
о
о
о
CD
о
о .
о
о
о
о
о
о
104
В данном случае матрицу планирования исходного симплексу
любой размерности кг (кг <J 10) в кодированных переменных легки
можно получить из вычисленной заранее с использованием B.371
числовой матрицы (табл. 2.14 [159]) выделением ее кг первьщ
столбцов и кг + 1 строк. Если задана не сторона симплекса, а
удаление его вершин от центра симплекса (радиус охваченной
экспериментом сферы), то для г{ и Л* получим
/
к-х-Л.
П
fc-o«--l
С ti _ \ 12
i = irit 1 = 1,2,..., к). B.38)
В [161, 162] предпринята попытка построения оптимальных
в некотором смысле планов для исходных симплексов.
Полученные вышеописанными способами планы, определяющие
координаты вершин исходного симплекса в кодированных пере-
переменных, могут быть переведены в планы в натуральных перемен
ных с учетом условий кодирования.
Рассмотрим симплекс-алгоритм оптимизации для случая поиска
максимума. Следуя полученному плану, в к + 1 вершинах к-мер-
ного симплекса реализуются опыты, анализируются результаты и
согласно
уГ> = 2» - **> B.39)
производится отражение вершины «М с наименьшим значением па»-
раметра оптимизации относительно центра тяжести противополож-
к
ной грани симплекса \у = 2 y(i) ~ v(ф) /&) . Точка г;(^вместе
с оставшимися точками исходного симплекса образует новый пра-
правильный симплекс S-, (рис. 18), центр тяжести которого сх смещен
в направлении увеличения выхода.
Рис. 18. Построение симплек-
симплекса #! для к — 2
Реализовав опыт в точке v(*\ вновь произведем сопоставление
откликов в вершинах нового симплекса S{, выявим точку с наимень-
наименьшим значением параметра оптимизации, заменим ее зеркальным
отражением и т. д. В результате этой процедуры образуется цепоч-
цепочка симплексов, перемещающихся к экстремуму. Центр симплексов-
перемещается по некоторой ломаной относительно линии, совпа-
совпадающей с направлением движения (рис. 19).
106
Рис. 19. Пример оптимизации
симплексным методом
При движений к почти стацио-
стационарной области могут встретиться
два особых случая.
Случай 1. Симплекс начи-
начинает вращаться вокруг некоторой
точки v(l\ давшей наибольшее зна-
значение параметра оптимизации. Про-
Процедуру отражения можно прекра-
прекратить после того, как одна и та же
вершина при вращении окажется
более чем в 7Vmax= 1.65 к + 0,05&2
симплексах [158]. На практике
обычно ограничиваются N = к + 1
циклами отражения [25, 163, 164].
После этого повторяют опыт в точ-
точке v№. Если повторно получена та
же самая величина, т. е. при опре-
определении отклика в точке ifl) не имела места ошибка эксперимента,
считают, что эта точка находится в районе оптимума. Если же ве-
величина выхода была завышена вследствие ошибки эксперимента,
то, внеся соответствующие исправления, продолжают восхожде-
восхождение к почти стационарной области симплексным методом.
Случай 2. Полученная в результате отражения точки v№>
симплекса Sn точка гД*> симплекса Sn+l также дает минимальный
отклик в симплексе 5п+1. В этом случае следует возвратиться
к симплексу Sn и начать движение путем отражения точки, даю-
дающей второе наименьшее значение выхода.
В [165] предложена модификация последовательного симплекс-
симплексного метода, представляющая собой развитие правила отражения
описанного симплексного метода при одновременном отражении
двух, трех и большего числа вершин симплекса одновременно.
Практическое применение симплексного метода оптимизации
встречает ряд трудностей: так, например, ввиду постоянства раз-
размера и формы симплекса невозможно одновременно обеспечить
высокую скорость движения в начале поиска и точность опреде-
определения экстремума на заключительном этапе; в случае оврагов,
гребней или жестких ограничений симплексный метод, как пра-
правило, зацикливается; метод весьма чувствителен к грубым ошиб-
ошибкам опыта.
В связи с этим был предложен ряд модификаций первоначаль-
первоначального симплексного метода.
В [166] предложен алгоритм оптимизации с переменным раз-
размером симплекса, позволяющий с заданной точностью определять
местоположение экстремума. Алгоритм предполагает выбор про-
произвольного начального симплекса, проведение опытов в его вер-
вершинах и выбор вершин гА*) и yCW с максимальным у№ и мини-
минимальным г/(ф) значениями параметра оптимизации соответственно.
Вершина г;№ (в случае, когда ищется максимум) заменяется новой
107
точкой одним из трех способов: отражением, расширением или
сжатием.
Отражение осуществляется по формуле
v{*\ = A -(- ее) v — <хгХф>, B.40)
где гЧ") — новая точка, v — центр (к — 1)-мерной грани симплек-
симплекса, противоположной точке г;(ф\ а — коэффициент отражения,
определяющий, во сколько раз расстояние (v(*\ v) превосходит
(г;(ф>, v), т. е. а = (г;О — v)l(v^ — v) (при а = 1 имеет место
зеркальное отражение г?№ относительно сохраняемой грани).
Вершина г;(ф) заменяется на v(*\ если yW <^ г/(*) <^ у(ф).
При удачном отражении, т. е. yi*> ^> у(?\ осуществляется до-
дополнительное расширение симплекса в этом направлении
B.41)
где коэффициент расширения у = (гД**> — v)/(vW — v) больше а.
Вершина гХф) заменяется на лучшую (с точки зрения оптималь-
оптимальности у) из точек гХ*> и гЧ"), и на этом шаг считается законченным.
Вновь производится вначале отражение худшей точки последнего
симплекса, а затем его расширение.
Если отражение неудачное, т. е. когда у(*~> < y(l\ i ф f, осу-
осуществляется сжатие симплекса согласно
yU») == A 4-Р)г; — ру, , B.42)
(*)
где коэффициент сжатия Р = (v\**J — v)/(v — v), (—1 <^ р <^ 0),
а г; — лучшая из пары v^ и i^W точка. Если после такого сжатия
окажется, что в симплексе найдется вершина г#\ j Ф ib, для ко-
торой у& ^ у\**>, то г;(ф) заменяется на гА**' и начинается новый
шаг. В противном же случае сжатие следует продолжать.
Испытание данной модификации симплексного метода на раз-
различных тестовых функциях показало [166, 16/], что влияние раз-
размера и ориентации исходного симплекса несущественно, а наибо-
наиболее быстрая сходимость имеет место при а = 1, р = —1/2, у = 2.
Слишком малые значения р, так же как и большие у, приводят
к быстрой деформации симплекса., что замедляет сходимость.
Представляют интерес модификации симплексного метода,
учитывающие значение функции отклика в вершинах симплекса
и позволяющие спрямить движение к оптимуму, приблизить на-
направление движения к градиентному и ускорить сходимость сим-
симплексного метода. В [168] рассмотрена модификация симплекс-
симплексного метода, основанная на использовании веса функции отклика
в вершинах при определении отражаемой точки
О = 2г;в -
B.43)
108
где взвешенный центр (центр тяжести), лежащий на грани, проти-
противоположной г;(ф), определяется согласно
г=1
Если отражение производится не с постоянным шагом, справед-
справедливым будет алгоритм
А+1
о) -^\
B-45)
Если в качестве весов брать приращение отклика в точке г;(г)
по отношению к отклику в точке г;(ф), получим [167]
А+1
2
а) Ц
B.46)
Следует отметить основные недостатки вышеприведенных алго-
алгоритмов с переменным размером симплекса — ускорение здесь
достигается за счет вырождения симплекса. Если сохраняется
порядок отражения вершин, то с каждым шагом точки будут
ложиться все ближе и ближе к некоторой прямой. Как отмечено
в [167], получается определенное противоречие между качеством
изучения поверхности и скоростью движения по ней —движение
по прямой или одномерная оптимизация производится, естест-
естественно, быстрее, чем в пространстве к переменных, но такая одно-
одномерная оптимизация, присущая, например, методу крутого вос-
восхождения, может производиться лишь на определенном этапе
процесса, после чего следует произвести новое изучение поверх-
поверхности отклика. Так как такое изучение не предусмотрено в сим-
симплекс-процедуре, вырождение симплексов становится серьезным
недостатком вышеописанных модификаций.
В [169] было предложено вместо симплекса использовать про-
произвольный набор п > к + 1 вершин (комплекс-метод). Согласно
комплекс-методу, во всех вершинах реализуются опыты, выби-
выбирается вершина с минимальным значением отклика г/ф) и заме-
заменяется точкой гХ*), отстоящей от центра тяжести v оставшихся вер-
вершин в а > 1 раз дальше, чем гХф), и лежащей на линии, соединя-
соединяющей гХф) и v
v* = A 4- a) v —
Значение а > 1 заставит комплекс расширяться, ускоряя схо-
сходимость, до тех пор, пока шаги удачны. Если в ^*> yW < г/(ф),
109
йлй эта точка йарушит ограйичейия, to Ёбличина смещеййя ее за
центр уменьшается вдвое. Число вершин п ^> к -\- 1 делает метод
гибким, позволяя движение в большом числе направлений, и в не-
некоторой степени препятствует вырождению комплекса. Исследо-
Исследование метода на тестовых задачах показало, что наибольшая схо-
сходимость достигается для а = 1, 3 и п = 2к. Комплекс-метод менее
эффективен в задачах без ограничений и на поверхностях парабо-
параболического типа.
Одна из возможных модификаций симплексного метода для за-
задач с ограничениями дана в [170].
Рассмотрим оптимизацию процентного выхода химической реакции, за-
зависящей от двух факторов: продолжительности реакции х1г мин и температу-
температуры жа> °G' Исходные данные для симплексного планирования приведены >
в табл. 2.15.
Таблица 2.15
Условия планирования
Факторы
XI
Х2,
Основной уровень
30
190
Интервал
варьирования
20
20
Выделив часть числовой матрицы (табл. 2.14), содержащую два столбца
и три строки, и преобразовав ее элементы с учетом условий кодирования
_ _ xi— 30 _ хг — 190
%1 — 20 ' 2 ~ Ш '
получим матрицу исходного симплекса в натуральных переменных (табл. 2.16).
Таблица 2.16j
Оптимизация процентного выхода
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
Уровни факторов
ос,
40-
20
30
30
50
40
60
195,78
195,78
178,44
213,12
213,12
230,46
195,78
Выход Y,
%
80,2
79,9
79,7
80,5-
80,6
80,4
81,1
Номер
опыта
8
9
10
11
12
13
14
15
Уровни факторов
xt
70
80
90
80
100
90
70
60
213,12
195,78
213,12
230,46
230,46
247,80
247,80
230,46
Выход Y,
%
81,3
81,2
82,0
84,5
82,1
82,3
82,5
81,9
110
200
уоо
О 25 SO
и.;
Рис. 20. Пример оптимизации для двух факторов
Получив в результате реализации матрицы планирования исходного
симплекса (в табл. 2.16 отделен чертой) значения процентного выхода Y,
выделяем точку № 3, дающую наименьший отклик, и, в соответствии с выше-
вышеописанной методикой, заменяем ее новой точкой № 4, являющейся ее зеркаль-
зеркальным отражением относительно грани 1—2 (рис. 20). Координаты этой точки
найдем по формуле B.39), принимающей в нашем случае (с учетом А; = 2) сле-
следующий вид:
44) 4 D1}
2)) ~
= D0
- зо = зо,
*B)= ? D1} + 42>) - 43) = A95.78 + 195.78) - 178>44 = 213,12.
После проведения опыта в точке № 4 точкой симплекса i—2—4, давшей
наименьший отклик, оказалась точка № 2. Ее отражение относительно гра-
грани 1—4 дало точку № 5, образующую совместно с точками № 1 и № 4 новый
симплекс 1—4—5.
Реализация опыта в точке № 6, являющейся отражением точки № 1,
давшей наименьший отклик в симплексе 1—4—5, дает наименьший отклик
также и в симплексе 4—5—6. В этом случае следует возвратиться к симплексу
i—4—5 и произвести отражение точки № 4, давшей второе наименьшее зна-
значение выхода для этого симплекса. Получив точку № 7, продолжаем про-
ЦедуРУ отражения.
Достигнув точки № 11, замечаем, что система симплексов начала вра-
вращаться вокруг нее. Это значит, что или точка №11 находится в районе опти-
оптимума, или результат, полученный в этой точке, завышен вследствие ошибки
эксперимента. Так как при повторении опыта в точке № 11 был получен
тот же результат — 84,5%, заключаем, что достигнута почти стационарная
область.,
ill
§ 2.3. Планирование эксперимента
для описания почти стационарной области
Изложенные в предыдущем параграфе методы, основанные на
локально-линейном приближении поверхности отклика, хотя и
обеспечивают быстрое достижение почти стационарной области, но
не дают возможности детального ее изучения и определения самого
экстремума. Так как линейное описание поверхности отклика
в почти стационарной области становится неадекватным, ее при-
приходится приближать полиномами более высокой степени d (обычно
второй, реже третьей и четвертой степени), учитывающими кри-
кривизну поверхности отклика. Для этого нужно иметь такую систе-
систему планирования, в которой ?-я переменная будет принимать
sj> d + 1 (i = 1, 2, . . ., к) различных уровней. Применение для
оценки коэффициентов приближающего полинома полного фактор-
факторного эксперимента типа 8г -X s2 X ... X «t (при равном количе-
количестве уровней — ПФЭ типа s") оказывается практически невозмож-
невозможным из-за большого количества опытов. Поэтому актуальна задача
оптимального расположения экспериментальных точек в изучае-
изучаемой области. В зависимости от степени приближающего полинома
разработаны эффективные планы второго, третьего и четвертого
порядков.
В литературе основное внимание уделено построению компо-
композиционных планов для последовательного изучения поверхности
отклика в почти стационарной области. Предполагается, что ис-
исследователь сначала ставит опыты, используя линейные планы.
Затем, убедившись в том, что гипотеза линейности отвергается,
линейный план достраивается до плана второго порядка, при не-
неадекватности квадратичного описания — план второго порядка
до плана третьего порядка и т. д., до получения адекватного при-
приближения.
Планирование эксперимента для описания почти стационар-
стационарной области полиномами второй степени. Для описания почти
стационарной области полиномом второй степени
переменные, в отличие от линейного случая, необходимо варьиро-
варьировать уже хотя бы на трех уровнях. Так как с самого начала было
ясно, что планы полного факторного эксперимента типа 3& непри-
неприемлемы из-за большого числа опытов, возникла задача построения
планов второго порядка, удовлетворяющих определенным крите-
критериям оптимальности.
Однако в отличие от планов первого порядка построение планов
второго порядка, отвечающих одновременно многим критериям
оптимальности, оказалось невозможным. Стали появляться планы,
удовлетворяющие отдельным критериям,
Ш
Рис. 21. Геометрическая интерпретация центральных и нецентральных
композиционных планов
Вначале были предложены ортогональные планы второго
порядка [21], которым соответствует диагональная ковариацион-
ковариационная матрица оценок коэффициентов. Далее в [23] была развита
теория построения ротатабельных планов второго порядка, име-
имеющих ковариационную матрицу, инвариантную относительно
вращения координат; ротатабельные планы нашли широкое при-
применение при решении практических задач.. Со времени опублико-
опубликования работы [21] большое внимание уделяется построению ком-
композиционных планов второго порядка, в которых используются
все точки плана первого порядка. За последнее время появился и
ряд других планов второго порядка. Основная тенденция при
построении новых планов — уменьшение числа наблюдений
в плане. Весьма интересными оказались квази-Б-оптимальные
планы [28].
По методу построения планы второго порядка бывают компо-
композиционные и некомпозиционные.
Композиционные планы второго порядка. Идея построения ком-
композиционных планов второго порядка, ядром которых служат
линейные ортогональные планы, была выдвинута в работе [21].
В зависимости от того, какие точки добавляются к планам первого
порядка для получения плана второго порядка, рассматривают
центральное §[и нецентральное композиционные планирования
(рис. 21, а и б).
Щ
Центральное композиционное планирование (ЦКП) [21, 25,
69, 86] используется в тех случаях, когда результаты двухуровне"
вого факторного эксперимента не указывают на явную близост!
точки максимального отклика к одной из вершин гиперкуба.
Такое планирование в [21] было получено путем добавления к ис-
исходному двухуровневому факторному плану — «ядру» ЦКП, со-
содержащему пс = 2" точек с координатами (±1; ±1; . . .; ±1),
—п0 центральных точек @; 0; . . .; 0) и па = 2к аксиальных/так
называемых «звездных» точек, расположенных по парам вдоль ко-
координатных осей и удаленных от центральной точки на величины
±«х, ±а2, • • •, ice» соответственно.
Однако если строить1 композиционные планы на основе полных
факторных экспериментов, то с увеличением размерности про-
пространства число наблюдений N = пс + па -\- п0 = 2к + 2к -+-
-+- п0 быстро возрастает и значительно превышает число оценива-
оцениваемых коэффициентов в B.47). В работах [171, 172] сделана попытка
построения невырожденных композиционных планов второго
порядка с возможно меньшим количеством точек. В основу планов
брались регулярные реплики полного факторного эксперимента
2" (планы Хартли) [171]. В случае, когда число наблюдений невы-
невырожденных планов, построенных на основе регулярных репликв
значительно превышало число коэффициентов в B.47), строились
невырожденные планы на основе нерегулярных реплик (планы
Вестлейка) [172]. Планы Хартли и Вестлейка содержат небольшое
число наблюдений, но в то же время они не обладают многими удоб-
удобными свойствами, характерными для композиционных планов
Бокса. Эти планы (за исключением плана Хартли при к = 5)
нельзя сделать ротатабельными и ортогональными [173]. Нецен-
Нецентральные композиционные планы описаны в [226].
Наибольшее практическое применение нашли симметричные
центральные композиционные планы, для которых <хх = а2 =
= . . . = ак = а (рис. 21, а). Свойства симметричных централь-
центральных композиционных планов в значительной степени зависят
от числа центральных точек и выбора величины плеча звездных
точек а. Выбрав соответствующим образом величину а, можно
получить оценки коэффициентов регрессии независимыми друг
от друга (ортогональное планирование) или придать плану свой-
свойства ротатабельности, или минимизировать смещение, создаваемое
при неквадратичной форме истинной поверхности отклика. Ис-
Исследование центральных композиционных планов второго порядка
целесообразнее начать с наиболее общих симметричных неорто-
неортогональных композиционных планирований.
Неортогональные симметричные компо-
композиционные планы. В общем случае в матрице X цен-
центрального композиционного планирования второго порядка не
все вектор-столбцы ортогональны. Вследствие этого матрица мо-
моментов имеет специфическую диагонально-блочную структуру
1
2
и
22
kk
12
13
0
А
*
В
В
в
*
1 2 ••• h
*
В
в
в
*
•
¦ 11 22 •••
В В ¦¦¦ В
*
С D ••• D
D С •¦¦ D
D D ••• С
*
кк 12 13 ••¦k — i,
*
*
D
D
D
B.48)
где
A = @0) = 2 *ou = N = ne + na + n0 = D + 2k + n0,
u=l
N N
Б = (ii) = 2 2?u = (OH) = S *ou#u = D + 2a2,
u=l
U"=l
N
С = (ii ii) = 2 *?u = D + 2a4,
u=l
N
D = (ii U) =± (ii ij) = 2
j),
u=l
и звездочками обозначены нулевые блоки (подматрицы).
Так как рассматриваемый композиционный план симметричен,
т. е. построен одинаковым образом для всех независимых перемен-
переменных, симметричными оказываются и подматрицы матрицы ХТХ —
диагональные элементы внутри каждой подматрицы оказываются
равными между собой, равны друг другу и все их недиагональные
элементы.
Заметим, что большое количество нулевых элементов в матрице
ХТХ — результат определенной степени ортогональности сим-
симметричных композиционных планирований. Оценки коэффициен-
коэффициентов регрессии получаются решением системы нормальных урав-
уравнений ХТХВ = ХТУ относительно Ь-В = (M^X'Y или,
в развернутом виде,
115
где
N ¦ • • .«
i 11
-a N CO
4
-a
1
-a
•
со
ftft
;
11 22
-a
«;
о
*
л;
a
*
¦§
*
*
*
"kk
*
ё S
H O» " " "
-a ea
*
Clio
C220
' "kk kk
о
•ад
•ад
а
-ад
•ад
-ад
.•• «*
*
* .
*
N
ФУ) =
N
ill)) =
и=1
м
а элементы с обратной матрицы с = (ХТХ) х, выраженные в тер-
терминах матрицы ХТХ, равны [174]
С°о =
7
А [(*-7) Д + С]-
си — в >
... .. = _ А[(к-2)Р + С]-(к-1)В^ =
_ A[(k — 2)D + C] — (k — j)l
АВ — т
— С) {Л [(ft - 1) D + C] — fttf*}
В
— С
B.50)
B.51)
B.52)
B.53)
B.54)
B.55)
— ftB2} •
Используя полученные выражения, запишем формулы для на-
нахождения оценок коэффициентов регрессии
+ с
т
S
г=1
L{[(к -l)D + C] @y) -52(Ну)},
B.56)
B.57)
Ь« = cii0 @г/)
си и
г=1
116
B.58)
B.59)
а формулы для дисперсий и ковариации коэффициентов регрессии
запишем следующим образом:
117
= б* Ы с00 = о* {у} № -i)D + C]L,
B.60)
= а2 {У} ci} i} = о2 {у} 4",
cov (&„, Ь«) = о2 {г/} сои = - <з2 {г/} f?L,
cov (Ъи, Ь}}) = с2 {у) сн а = о2 {у) ^5<Г
B.63)
B.64)
B-65)
Из B.64), B.65), а также из B.56), B.58) следует, что в неорто-
гональных симметричных ЦКП коэффициенты регрессии Ьн не
могут быть оценены независимо — они коррелированы между
собой и корреляционно связаны со свободным членом Ьо.
Ортогональные центральные компози-
композиционные планы второго порядка. Для получе-
получения полностью ортогонального центрального композиционного
плана второго порядка необходимо преобразовать квадратичные
члены и специальным образом выбрать величину «звездного»
плеча а [25, 69, 175].
Вводя преобразование г
N
V у2
2л хы
^•' = ^-^- = ^-9, B.66)
т. е. заменяя в вектор-столбцах для квадратичных членов величины
Ж?„ на Щи — %\и — ф, получим вместо матрицы планирования X
матрицу планирования X* (табл. 2.17), в которой вектор-столбцы
То и 2f|2 ортогональны, так как при этом равны нулю скалярные про-
произведения
N
N N N Ъ S'lu
u=l
u=l
u=l
bi v•
В результате проведенного преобразования матрица X* X* прини-
принимает следующий вид:
N
Ввиду симметричного построения ЦКП величины 2 %\ulN равны друг
«=1
другу для всех столбцов i (i — 1, 2, . . ., к) и, как легко заметить, равны
N
N
118
гтг =
О 1 2 ... к 11 22 ...кк 12 13 ••• к — 1,к
А
*
в
в
в
*
*
*
*
С D' ...D'
D' С ¦¦¦D'
D' D' ¦¦¦С
*
*
*
*
D
D
И
22
кк
12
13
А —1, к
Значения С" и D'1 в соответствующей квадратичным перемен-
переменным подматрице легко получить, исходя из данных матрицы пла-
планирования X* (табл. 2.17),
N
С = (»*»*) =
= 2*A -
2а2) =
+ BА + п0 - 2)(- ф)« = 2k + 2а1 -
= 2* A - ф) + 2а2 (а2 - 1),
N
D' = (ЩГ) = 2 ад« = 2* A - фJ + 4 (а2 - Ф) (- ф) +
+ B/с + п0 - 4)(- фJ = 2 * —;ФB* + 2а2).
Приравняв выражение для D' нулю
+ 2а2) = 2* - B* -у^' = О
B.67)
B.68
и решив его относительно а, получим величину «звездного» плеча,
полностью ортогонализирующего матрицу планирования X*,
a = VV№F* - lk'x. B.69)
Так как в ортогональных ЦКП не накладывается каких-либо
ограничений на число центральных точек, обычно берут п0 = 1.
Вычисленные для этого случая согласно B.69) значения а для
1 Остальные величины—А, В, D — вычисляются так же, как и на стр. 115.
m
И
?
О.
о
о
?
Н
I
о
в.
=
о
о
я
А
Ч
О
о
о
ft
ей
Мат
1 К
i
'«
|К
|К
1Й*
IK
8-
II '
II м«
!К II •
8-
1
fM ,
IK II
«а
*
1
К
и
я
в
1
8-
1
'н
1
>к
'к
>к
р.
1
И
тч чч •«ч • -гчОООО • ООО • О
1 • •
^ч^н^ч . «rtOOO© ! ООО I О
.^.^.rt .' -^нОООО I ООО • О
©. ©¦ е- . ©¦ ©.©.©.©.. f ®" ©. . е-
1 :
i i i ¦ I
^ ^ ^ —¦ ъъ '
e-e-e-.e-e.e.(fe".e-e-e--
III
<M <N II"
8 8
i
"^ ©¦ е- • е-^-^е-е-- ©¦ ©¦ е- • е-
1 1 ¦ 1
1
• 1
1
1
,_, ^, ,-, -гч 8 8
. • • н ;
'"^T I -^hOOOO • 8
о : о
^ Т Т : ^ ° ° 8 г
• ООО- О
8
4 T T : " 8
о о : о о о : о ^
см
^ см со •* 1 ?з + е
fe;
fe;
i
^чедсо-^,+Т + +-ед+ед;+ '¦. q.
eg eg eg eg ~^%> ~l~ eg rf
eg eg T
Д»
eg
120
'Г a G л ii ц а 218.
Величина звездного плеча
Ядро планирования
2ft +1
а
Число независимых переменных к
2
22
5
1,000
3
¦¦¦-2» -
7
1,215
4
24
9
1,414
5
1/2-25
11
1,547
различного числа независимых переменных к приведены в
табл. 2.18.
Подобрав величину а, ортогонализирующую матрицу плани-
планирования X*, реализуют экспериментальный план и по опытным
данным и данным матрицы планирования X* оценивают коэф-
коэффициенты уравнения регрессии, записываемого вследствие пре-
преобразования квадратичных переменных в следующей форме:
у = Ьо
ц(а? - ф)
— Ф)
Ъ№ (?| — ф)
B.70)
Так как для ортогональной матрицы планирования X* матри-
матрица X ТХ* диагональна, диагональной окажется также и обратная
матрица с = (Х*ТХ*)-1, вследствие чего все коэффициенты урав-
уравнения B.70) оценятся независимо друг от друга (см. формулу
B.71) на стр. 122). В B.71)
@0)
a*;
u=l
1
N
с _ J_ 1
»*.«* с' 2ft(l-cp)+2a2(a2-l)
1
в
1
D
1
1
N
u=l
1
('/'/)
1
2*+2a2'
N
Следовательно, для оценок коэффициентов регрессии получим
[175]
N
У, я у
пл р lV\ll\ =—: /О *7*)\
ио — соо \уУ) — jy ч (Z. (Z)
121
§
Sq ... ij n m ...
?i *. й i
5
3
j
... r
N
^
2* +2а2
,/1 *{иУи
iV
B.73)
B.74)
B.75)
Дисперсии коэффициентов регреесии определяются согласно
a2 {hi) =
@0)
+
B.76)
B.77)
B.78)
B.79)
достаточно рассчитать величину
1>0 = &0 — ф (^11 + ^22 + — + hk),
которая оценится теперь с дисперсией
Ф (а2 (Ьц) + ... + а2 {
Для перехода от уравнения регрессии B.70) к обычной форме
записи
B.80)
B.81)
B.82)
Ротатабельные планы второго порядка.
В [23] были' предложены" планы, позволяющие получать диспер-
дисперсию предсказываемого значения функции отклика о2 {у} постоян-
постоянной во всех равноудаленных от центра эксперимента точках, т. е.
k
а2 {у} = N'W {у} f (x) M (Q) f (х) = const при р2 = 2 %1 =
= const,
где
\т (х) - |/0 (х), Д (х), ..., ft (ж)| = [ 1, «1, ..., **, ??, ..., «S, *!*„ ...,*»-i*4-
123
122
Рис. 22. Информационные контуры и информационный профиль для цен-
центральных композиционных планов второго порядка
При применении таких планов любое .направление от центра
эксперимента оказывается равнозначным в смысле точности оцен-
оценки поверхности отклика, что является весьма ценным в тех слу-
случаях, когда не имеется никаких априорных сведений об ориента-
ориентации поверхности отклика. Ввиду инвариантности ковариацион-
ковариационной матрицы относительно ортогонального вращения (ротации)
системы координат, эти планы были названы ротатабельными.
Так как дисперсия: а2 {у}, а также информация, содержащаяся
в уравнении регрессии (за меру информации обычно принимается
величина [Na2 {у}]) в ротатабельных планах имеют одинаковые
значения для всех эквидистантных точек факторного пространства,
информационные контуры — кривые или поверхности равной ин-
информации — представляют собой сферические поверхности (рис.
22, а). В то же время дисперсия а2 {у} (и информация) зависит от
длины радиус-вектора точки. В [23] путем подбора числа централь-
центральных точек были получены униформ-ротатабельные планы, обеспе-
обеспечивающие постоянство информации не только во всех эквидис-
эквидистантных точках, но и во всем интервале 0 <^ р <^ 1 (рис. 22, б).
. Ротатабельные планы Бокса — Хантера [23] нашли широкое
применение на практике и дали толчок для развития ротатабель-
ротатабельных планов другого типа. Так, например, в [127] были предло-
предложены цилиндрически-ротатабельные планы, в [199, 200] — сим-
плекс-суммируемые ротатабельные планы и др.
Ротатабельные центральные компози-
композиционные планы. В [23] было показано, что для приобре-
приобретения ЦКП свойств ротатабельности необходимо, чтобы в матрице
%т% B.48)
Цз этого условия с учетом D = пс = 2к~р определится величина
«звездного» плеча а для ЦКПх
CL — Tl1/l — 2(*~Р)/4 /О Й/Л
w — пс — б . (Z.o4)
Учитывая B.83), из B.60)—B.65) для дисперсий и ковариаций
коэффициентов регрессии в ротатабельных ЦКП получим
а2 {Ь0}/а2{у} = (А + 2)D/[(k + 2) AD - кВ2], B.85)
о2 {h}lo\y} = 1/В, B.86)
з2 {6ii>/32 Ш = [(к-\-i) AD — (к - 1)B*\/2D [(к + 2)AD~ кВ2],
B.87)
a*{bii}/o2{y) = l/D, B.88)
cov F0 bu}/a2 {у} =- 5/[(А + 2) ЛД - АБ2], B.89)
cov {Ъи Ьц}/а2{у} =(В2 - AD)\2D [(А + 2) ЛД - кВ2], B.9о)
а для дисперсии отклика а2 {|/} = а2 {&„} + 2 cov {bo^«} P2 +
+ а2 {bi} p2 + а2 {6|,}р4 будем иметь
з2 М [(^ + 2) ЛО — &?2]/а2 {г/} = (А + 2) /> +
+ р2 (к + 2) (AD - В2)/В + р4 [(к + 1) AD - (к - 1) ?2]/2Z),
B.91)
где
р2= 2*?-
г=1
Квадратичные эффекты определятся раздельно, и ротатабель"
ный план будет почти ортогональным (не равны нулю будут толь-
ко cov {b0 bi{} =0), если AD =В2. Последнее будет обеспечи-
обеспечиваться при числе центральных точек
п0 = В2 ID — nc — na. B.92)
Для нахождения числа точек, обеспечивающих униформ-рота-
табельное планирование^ следует умножением каждого xiu на мас-
масштабирующий фактор с = (N/Byj' переменные закодировать'так,
чтобы 2 %ы = N (S = 1, 2, ..., к), где Я*и = Ziu(N/By>:
u=l
Далее в этих кодированных единицах определяется величина
N, приравнивающая о2 {у} в р = 1 к а2 {у} в р = 0. В кодирован-
кодированных единицах получим 2 %*гиЩи
i < /, т. е. c4D =
2а*.
B.83)
n0 «e 2"~-P — число точек в (Vj^-peiuniKe от полного факторного экспери-
эксперимента типа 2*. Для к > 5 берется>с •= 2*, для к > 8—пе «= 2* я т. я-
124
Откуда, учитывая значение масштабирующего фактора, получа
ется N = B2XJD. Подставляя эти величины в B.91), можно найтя
что постоянство информации обеспечивается, когда
X, = [к + 3 + /9Р+14&-71/4 (А + 2). B.Ш
Вычисленные по этой формуле величины Х4, обеспечиваю!
униформ-ротатабельное планирование, приведены в табл. 2.1'!
Таблица 2.19
Параметры для планирования
по
2
0,7844
4,5504
3
0,8385
5,5511
4
0,8704
7,3344
5
0,8918
10,2836
6
0,9070
14,7000
7
0,9184
20,7908
s
0,9274
28,4776
Там же дано число центральных точек, необходимых для формиш
рования униформ-ротатабельного планирования и вычисленный
по формуле
B.9-9
— ne — па
Округлив число центральных точек до ближайшего целого
ла, величины Х4 пересчитываем по формуле
чио-
D (по + пс + па)
В*
B.95)
Эти величины, обеспечивающие почти униформ-ротатабельное пла-
планирование, приведены в табл. 2.20 [23].
В случае немасштабированных переменных (при уровнях пере-
переменных 0, ±1 и ±а) о2 {$} в р = 0 равна а2 {$} в р = с.
Рассматривая ротатабельные планы в терминах ЦКП, мы вплот-
вплотную подошли к терминам моментов. Можно показать, что ротата-
бельным будет такое планирование, у которого матрица моментов
ХТХ инвариантна относительно ортогонального преобразования
матрицы плана. Это условие будет удовлетворяться для планов
второго порядка, если все нечетные моменты вплоть до четвертого
порядка равны нулю, а для четных моментов имеют место соотно-
соотношения
N
2
U--1
1, 2, ..., к),
= 1,2
B.96)
U"
л
И"
ч
а
Н
В
я
ф
to
а.
126
a
D.X
88
ОО
CD
i s
со" О ^н
^ О н
1 8
СО
со"
СО
1Л
S
СО О CD О
N CD
СО СО
О5
ОО
N
О О
00
СО 00 О
N~ о" тн"
О5
ОО
СО ОО С-
^1 СО
СО СО
CD
ОО
ОО CD CD ГО
oo 2
О
g
я
о
I
а,
5 в
Ч О
S
Я II
в 8
ф
S
Jb
ч
ев
§
I
127
где к2 и Х4 — некоторые произвольным образом выбираемые
станты, удовлетворяющие условию невырожденности ма!|
Первое из требований B.96) было учтено условием кодировав
N
2 %\и =N, при Х2 = 1; второе было также удовлетворено, та
u=l
N
С = 3D и в кодированных единицах 2 %1и$и =
В новых терминах матрица ХТХ примет следующий вида
О 1 2 ••• к 11 22 ••• кк 12 13-¦-к—U
XTX=iV-
11
22
кк
12
13
А —1, А
1 1
1
ЗХ4 X4
Х4 3X4
Х4 X4
Х4
Х4
B.98
Исходя из обратной матрицы (ХТХ) * (см. стр. 129), а такж|
учитывая соотношение сЮ = ^4-^> являющееся результатов
кодирования переменных, для вычисления коэффициенте!]
регрессии в терминах исходных переменных получим следующий
формулы:
к
Ьо = -тг-1 2Х| (к -\- 2) (Ог/) — 2Х4с2 2 {щ)\ > B.99
t=i
bi = ^{iy), B.100)
1
-а
*
со
1
1
- л
1
1 2 ••• к
*
??
о +
*
*
*
1 ^
f -f ••• - 1
1 ^
1 +& '
S- -а, | ^
*
Л <5 ..Л
1 1 !
Г?
*
*
о тн cxi ... -а 5
со ...
128
5 И. Г. Зедгинидзе
129
bu = JL {C4 [{k
, - к) (iiy) + с* A - К) 2 (Щ - 2Кс2 (OyJ
B.101
B.102
Дисперсии и ковариации коэффициентов регрессии можно рассчш
тать согласно
"*"' ' °Ч""'Л B.103)
B.104)
B.105)
B.106)
B.107|
B.108)
— 1 у
где
cov {b0 bH} =
cow {bubjj}=
u=l
Условие ортогональности ротатабельного планирования AD =
= В2 в новых терминах примет вид А,4 = 1.
Некоторые из стандартных схем униформ-ротатабельного пла-
планирования с упрощенными формулами для оценки коэффициентов
регрессии приведены в табл. П.2.1—П.2.5.
Остановимся на разбиении ротатабельных центральных ком-
композиционных планов на ортогональные блоки. Для исключения
влияния неконтролируемого изменения переменных на оценива-
оцениваемые коэффициенты регрессии ротатабельные центральные компо-
композиционные планы второго порядка, содержащие в ряде случаев
значительное число опытов, целесообразно разбить на ортогональ-
ортогональные блоки.
При разбиении на блоки, исходя из общей идеи последователь-
последовательного (шагового) экспериментирования, следует двухуровневый
факторный эксперимент и часть нулевых точек поместить в один
или, при больших планах, в два блока, а «звездную» часть плана
и некоторые центральные точки выделить в дополнительный блок.
Обычно ортогональность при разбиении на блоки ротатабельных
ЦКП удовлетворяется при выполнении соотношения [23]
2а2
со
B.109)
130
где пс и тга — числа точек гиперкуба и звезды, пс0 и пао — число
центральных точек тех же фигур.
Большинство из ротатабельных ЦКП не удовлетворяют точно
соотношению B.109), хотя бы даже потому, что число центральных
точек должно быть в блоках целым. Однако практически столь
важно выполнение межблоковой ортогональности, что идут на
некоторые ослабления условия ротатабельности — изменяют чис-
число нулевых точек п0, а иногда также и величину «звездного» пле-
плеча ос. При этом величину а пересчитывают по формуле
а =
2
пс0)
Условия разбиения на ортогональные блоки ротатабельных ЦКП
второго порядка для различных величин к приведены в табл. 2.21
[23]. Некоторые из стандартных схем разбиения центральных
композиционных планов второго порядка на ортогональные блоки
с соответствующими формулами для оценки кояффициентов ре-
регрессии приведены в Приложении П.2 (табл. П.2.6—П.2.10).
Отдельные вопросы построения и анализа ротатабельных пла-
планов второго порядка рассмотрены в [176—196].
Цилиндрически-ротатабельные планы.
В [197] были предложены цялиндрически-ротатабельные планы
второго порядка типа 1, 2, 3, требующие, как правило, меньшего
числа опытов, чем ротатабельные планы Бокса — Хантера. Одна-
Однако уменьшение количества опытов здесь достигается за счет того,
что сужается множество точек, имеющих равные дисперсии оце-
оцененного отклика.
В цилиндрически-ротатабельных планах типа 1 дисперсии оце-
оцененного отклика равны между собой во всех точках s-мерного ци-
цилиндра с одними и теми же оставшимися (к — s) переменными, т. е.
равны дисперсии в точках х = (хг, а;2, . . ., хк) и z = (zv z2, . . .
. . ., zk), связанных условиями
3=1
xk = zk (s < к).
j=l
В цилиндрически-ротатабельных планах типа 2 дисперсии оце-
оцененного отклика равны между собой во всех точках s-мерного
цилиндра с одними и теми же квадратами оставшихся (к — s)
переменных, т. е. равны дисперсии в точках х = (а;,, хг, . . ., хк)
и z = (zi, z
2,
2 А = 2
zh
zk), которые связаны соотношениями
4н. = 4. —.4 = 4 (s < к).
В цилиндрически-ротатабельных планах типа 3 дисперсии
оцененного отклика равны между собой во всех точках s-мерного
131
¦^ «в
^ 8
w к
й О*
я и
я §
Ю р.
ей О
н ?
g
63
х
3
ш
ш
в
в
§
I
и
ш
я
с.
1
ш
I
с.
¦©
I
Ц) СИ
00 00 т4 О!
00 CD 00 ¦*« ГО
00 00 -c-t ГО
II
в »
в в
о
i
й и н
Bigs
в
в >>
S е° ? ? с о
CNI CD 00
о •* •*
о
го
00
CD
2
CO
*
00
00
CD
CD
со
OS
g
о
w
00
со
00
CD
в
I
3
Ю
g
a
w
цилиндра с одной и той же суммой квадратов оставшихся (А; — s)
переменных, т. е. равны дисперсии в точках х = (xv х2, . . ., xft)
= (%>
s
2 ^ =
связанных условиями
i=s+i
132
В [197] получены необходимые и достаточные условия, которым
должны удовлетворять моменты цилиндрически-ротатабельных
планов типа 1, 2 жЗ. Из этих условий видно, что /с-мерный цилин-
дрически-ротатабельный план есть расширение s-мерного рота-
табельного плана (s <^ к) [173]. Такой план, сохраняя свойство
s-мерной ротатабельности, позволяет также оценить коьффициенты
полинома второго порядка, включающего переменные от s -|- 1
до к. Следует отметить, что ограничения на моменты плана возра-
возрастают при переходе от планов типа 1 к планам типа 2 и 3.
Отдельные вопросы, связанные с цилиндрически-ротатабель-
ными планами, дополнительно рассмотрены в [198].
Симплексно-суммируемые планы. В отли-
отличие от композиционных, планов Бокса, строящихся на основе
планов типа 2к~р, в [199, 200] было предложено строить планы
второго порядка на основе симплекса — так называемые симплекс-
симплексно-суммируемые планы. Эти планы представляют собой совокуп-
совокупность симплекса и ряда других образованных из него конфигура-
конфигураций, взятых в определенном масштабе. Производные конфигура-
конфигурации образуются соответствующим суммированием векторов х? =
= (х1и, х2и, . . ., хки), задающих вершины симплекса, по два, по
три и т.- д. до Nlt где N1 — число точек в симплексном плане пер-
первого порядка (Nx = к + 1)
D =
Суммирование по s векторов образует s-конфигурацию (план
Ds), содержащую iVs = С\+1 вершин. Так как в общем случае
/с-мерный симплекс порождает к разных s-конфигураций, включая
начальный симплекс (s = 1, 2, . . ., к), полный симплексно-сум-
симплексно-суммируемый план будет иметь вид
D =
где а — масштабные (или радиальные) множители.
Так как полный симплексно-суммируемый план содержит боль-
к к
шое количество опытов N = 2 ^г = 2 ^к+i = 2/т — 2, на прак-
8=1 S=l
133
тике применяют и неполные, так называемые сокращенные
лексно-суммируемые планы, совокупности радиальных множит
которых содержат нулевые элементы. Симплексно-суммируел^
планы, на радиальные множители которых накладывается допо
нительное ограничение симметрии, называются симметричны»
Задача построения ротатабельных симплексно-суммируе»
планов второго порядка сводится к отысканию такой cobokj
ности радиальных множителей, при которой соблюдаются ус
вия ротатабельности. Вопросы построения полных и сокращен!
ротатабельных симметричных симплексно-суммируемых
детально рассмотрены в [199—202]. В работе [158] указано
возможность построения несимметричных симплексно-суммируен
планов, а в [162] построены экономные несимметричные ротат?1
бельные симплексно-суммируемые планы для различного чис
переменных; там же проведен анализ этих же планов и срав!
ние их с ротатабельными композиционными планами Бокса.
Симплексно-суммируемые планы в общем случае не допуска!^
разбиения на ортогональные блоки с сохранением условия ротй|
табельности. Обычно обеспечивают соблюдение ортогональности!
слегка нарушаяусловиеротатабельности.Симплексно-суммируемые
планы с разбиением на ортогональные блоки рассмотрены в [200]
Регрессионный анализ при ротатабельном симплексно-сумми-
руемом планировании может проводиться по тем же правилам и с
использованием тех же формул, какие обычно применяются при
ротатабельности планирования второго порядка.
На основе симплекса можно строить и неротатабельные насы-
насыщенные невырожденные планы второго порядка.
Д-оптимальные планы второго порядка.
Построению планов, удовлетворяющих критерию ^-оптималь-
^-оптимальности, в последнее время уделяется большое внимание [203—222].
Для удовлетворения требования /^-оптимальности необходимо на
множестве всех планов в заданной области пространства выбрать
план, максимизирующий определитель информационной матри-
матрицы, так называемый /^-оптимальный план.
При построении /^-оптимальных планов возможны две поста-
постановки задачи. При первой из них задается конечное число опытов
N и ищется такое расположение п ^ N точек хи = (xlv, x2v, . . .
. . ., xkv), v = 1,2,. . ., п и соответствующие им частоты наблю-
наблюдений сои = rJN (rv — число параллельных опытов в точке х„),
отвечающие условиям *
п
2<в„=-. 1,
ti>vN — rv, —целое число,
B.1И)
B.112)
1 Каждое значение ш0 можно рассматривать как долю опытов, которая при-
приходится на v-ю точку, при условии, что общее количество опытов принято
за единицу/
134
при которых план Q
( „ „ Y 1
I - 1 2' • • •' '^41 I
Q = | } i
{a>i, <в2, ..., con J
максимизирует на множестве всех планов определитель информа-
информационной матрицы М (Q) (значение j M (Q) j — это величина опре-
определителя матрицы ХТХ, приведенная к одному наблюдению).
Такие планы называются точными планами. Задача построения
точных /^-оптимальных планов с заданным N оказывается весьма
сложной и удовлетворительного решения в настоящее время не
имеет. п
При второй постановке также 2 &v — 1> однако не требуется,
"г1
чтобы г„ = avN являлось целым числом. Такие планы, называемые
приближенными или непрерывными, не связаны с фиксированным
числом опытов. Число опытов выбирается экспериментатором из со-
соображений, не связанных со структурой плана, так, чтобы реали-
реализуемые в действительности частоты повторений опытов были как
можно ближе к предписываемым по /Э-оптимальному плану.
Такая постановка в значительной степени упрощает задачу постро-
построения /^-оптимальных планов.
Способы построения /^-оптимальных планов для некоторых
частных случаев предложены в работах [27, 203—211]. Так, на-
например, для случая полиномиальной регрессии второго порядка
/^-оптимальные планы на те-мерном кубе для т = 2 -=- 5, содер-
содержащие все вершины куба, середины ребер и центры двумерных
граней, были предложены в [206], планы для т = 2 -г- 7, сосре-
сосредоточенные в вершинах, серединах ребер и в центре куба см.
в [211]. Необходимым условием /^-оптимальности непрерывных
планов на те-мерном шаре оказалось условие их ротатабельности.
Обзор теоретических работ по /^-оптимальным планам дан
в [52].
В отличие от алгоритмов, использующих конкретные свойства
рассматриваемой области планирования, вида регрессионной
функции и т. д., в [215—217] предложен основанный на использо-
использовании процедуры непрерывного планирования [218] алгоритм,
позволяющий находить /^-оптимальные планы для уравнения рег-
регрессии произвольного вида, в котором оцениваемые коэффициен-
коэффициенты входят линейно, и на любой области планирования.
Таблицы непрерывных /^-оптимальных планов приведены
в [219].
Непрерывные /^-оптимальные планы не всегда можно непо-
непосредственно использовать на практике. Хотя любой непрерывный
D-оптимальный план, содержащий конечное число точек, можно,
задавшись некоторой точностью, представить в виде пригодного
для практического использования точного плана, но иногда даже
135
для обеспечения небольшой точности план должен содержать ел*
ком большое число опытов N [52]. Поэтому актуальной станов!
задача приведения непрерывных D-оптимальных планов к. квШ
оптимальным точным планам со статистическими характерист1„
ми, близкими к .D-оптимальным [28]. В [28, 173, 220, 221] пред!
гаются построенные с помощью ЭЦВМ квази-/)-оптимальные пл|
ны, по числу опытов близкие к насыщенным планам.
Сравнение ротатабельных центральных композиционных
нов Бокса, симплексно-суммируемых планов, планов Харт-L
Вестлейка, ортогональных и насыщенных планов с квази-Д-оптш
мальными с позиций //-оптимальности для случая, когда облает
изменения переменных представляет собой куб, проведено в [221]
а композиционных планов второго порядка, построенных на к-ъ/щ
ном шаре, в [173, 222]. Как и следовало ожидать, в первом слу|
чае ввиду неполного использования ротатабельными планами объе|
ма допустимой области планирования (экспериментальные точк
выбираются внутри шара, вписанного в куб, при этом углы у
не используются) эти планы имеют значительно большую средн
дисперсию предсказанных значений функции на всем кубе, т
реализовывались квази-.О-оптимальные и другие планы, исполь
зующие вершины куба. А во втором случае, там, где рота табель!
ные и .^-оптимальные планы были поставлены в равные условия!
в смысле охваченной экспериментом области факторного простран-^
ства, ротатабельные планы оказались близкими к D-оптимальным/?
Определенный интерес представляют композиционные планы-
Хартли и Вестлейка.
Планы Хартли [171] используются в случаях, когда имеется
априорная информация об отсутствии в модели части эффектов
bt (или btj). Эти планы строятся на основе минимальных регуляр-
регулярных реплик типа 1/2р • 2к, в которых должны быть не смешаны ме-
между собой только парные эффекты Ьц (часть или даже все эффекты
Ьи могут быть смешаны с эффектами bt), и содержат, кроме выше-
вышеуказанного ядра, 2к «звездных» точек и нулевую точку.
В качестве ядра для планов Хартли при к — 2, А: = 3 и А: = 5
можно использовать главные полуреплики с определяющими со-
соотношениями соответственно I = TtS2, I = fjf2f3 и I = fjf2f3f4f5;
при к — 4 используется реплика V2-24 с определяющим соотно-
соотношением I•= хгх^я, при к = 6 — 1/22-2в с определяющими соот-
соотношениями I = fjf2f3 = f4f5fe = fjfjjfg^fgfe [171]. В [173]
построены планы для к = 7 и к — 8.
Планы Хартли более экономичны, чем ортогональные и рота-
ротатабельные ЦКП. Для к = 2, 3, 4, 6 они содержат число опытов, близ-
близкое к числу оцениваемых коэффициентов уравнения B.47). Однако
эти планы не обладают многими удобными свойствами, характер-
характерными для композиционных планов Бокса. Эти планы нельзя сде-
сделать ротатабельными и ортогональными (за исключением к = 5),
так как их информационные матрицы содержат не равные нулю не-
нечетные моменты [173].
Так как на основе регулярных реплик не всегда удается по-
построить композиционный план для оценки всех параметров урав-
уравнения B.47) с наименьшим Числом наблюдений, следует применять
композиционные планы Вестлейка с еще меньшим числом опытов.
Планы Вестлейка строятся на основе минимально возможных не-
нерегулярных реплик [172, 173]. Недостатком планов Вестлейка яв-
является коррелированность эффектов квадратичной модели.
С точки зрения D-оптимальности планы Хартли и Вестлейка
близки к ротатабелытым ЦКП [173].
В [223, 224] проведена классификация композиционных планов
второго порядка по структуре матрицы моментов и для класса пла-
планов с матрицей моментов, имеющей диагонально-блочную струк-
структуру (ортогональные и ротатабельные ЦКП, некоторые виды сим-
плекспо-суммируемых планов, /^-оптимальные планы) выведены
общие формулы регрессионного анализа, не требующие привлече-
привлечения ЭЦВМ для расчетов.
Некомпозиционные планы второго порядка. Некомпозиционные
планы второго порядка применяются при наличии априорной ин-
информации о существовании кривизны поверхности отклика в ис-
исследуемой области, позволяющей начинать эксперимент с реали-
реализации плана 2-го порядка. .-.
К некомпозиционным планам второго порядка относятся планы
типа неполного факторного эксперимента Зр, симплексно-сумми-
руемые планы и т. д. Первые из них представляют собой
определенные выборки строк из матрицы полного факторного
эксперимента типа 3". В основу их построения положен принцип
комбинирования матриц 2Р по сбалансированной схеме неполных
блоков. Основными достоинствами этих планов является то, что
каждая переменная варьируется всегда на трех уровнях, план
содержит небольшое количество опытов.
Для случая двух переменных в качестве некомпозиционных
планов второго порядка могут быть применены пятиугольник или
шестиугольник с центральными точками. Такие планы более эко-
экономны по числу опытов, чем соответствующие ротатабельные
центральные композиционные планы.
Класс некомпозиционных планов второго порядка весьма об-
обширен и его детальное рассмотрение выходит за пределы данной
книги.
Вопросы исследования поверхности отклика в почти стационар-
стационарной области, основанные на каноническом преобразовании квад-
квадратичной модели, рассмотрены в [25, 69, 225].
Планирование эксперимента для описания почти стационар-
стационарной области полиномами третьей степени. Для описания почти
стационарной области полиномами третьей степени
2
2
136
137
переменные необходимо варьировать по крайней мере на четьп
уровнях. Так как планы полного четырехуровневого фактора
эксперимента типа 4* требуют весьма большого числа опытов, ,
щественное значение приобретает разработка экономичных шш
третьего порядка.
В отличие от широкого класса планов второго порядка извй
стны лишь несколько видов композиционных и некомпозиционныЗ
планов третьего порядка. В литературе основное внимание удегр!
но построению ротатабельных планов третьего порядка [22751
233]. Отметим, что N точек хи = (х1ш х2и,. . ., xftu) (и = 1, 2,. .1
. . ., ./V) формируют ротатабельный план (РП) третьего порядад
в том и только в том случае, когда
N
N N
S **« = 3 2 *?«#« = 3KN,
N N N
/\ ^iu = « j?j %iupju = 1« </ ^^i^
B.114J
при условии, что все остальные моменты, вплоть до шестого по-
порядка, равны нулю.
Матрица моментов N'1 (ХТХ) ротатабельного плана третьего
порядка с учетом условий ротатабельности B.114) имеет вид, по-
показанный в табл. 2.22.
Для оценки коэффициентов регрессионного уравнения B.113)
согласно
В. = (XTX)-1XrY
необходимо, чтобы матрица ХТХ была невырожденной. Так как
определитель матрицы ХГХ пропорционален величине
1(к + 2) Х4 - к%\] [(к + 4) Х2Хв ~(к + 2) %\], B.115)
условием невырожденности матрицы ХТХ будет отличие от нуля
обоих множителей в B.115). Последнее выполняется при [228]
U,
Ыя
fe + 2
fc + 4
B.116)
B.117)
Если эти условия нарушаются, то первое из них легко удовлет-
удовлетворить, добавляя к плану центральные точки, а для удовлет-
удовлетворения второго (левая часть которого есть величина нулевого
138
Ц Jt
ев ^
a : О
H см
VD ^
н S
на третьего порядка
fc fcfcft fcll Л22 ... ft, ft-1, ft-1
0
«
ч •
fi • ;
g ' '
X) для ротатабе
1111122133 ••¦
0
U
g CO
|5
о. и
H • en
g (M ,5^^ g,
CD
О -Ч U
о
о
:_
о
/
о
1
о
о
лллл .л
со • со
*&•*& ¦ 1
с|Й "
о
: о
•
•
•
о
ЛЛЛЛ:Л
со . со
....; и
со^со • |-
т* « (О S
со со я
;
О
О.
О
СО
о
\
о
о
о
СМ СО _ -Si ¦**.** М СО _-
CO
CM
¦* -Si
см •••
-as
139
порядка по ^и зависит только от ненулевых точек (х1и, х2и, . ...
• • -1 %ы)) необходимо незначительное видоизменение плана -
дублирование некоторой его части.
Удовлетворив условия B.116) и B.117), т. е. обеспечив
вырожденность матрицы X X, можно приступить к определени
обратной матрицы (X X), используемой в дальнейшем как дл
оценок коэффициентов регрессии, так и для определения диё
персий и ковариаций.
Обратная матрица приведена в табл. 2.23, где
а = [2 (А + 2) Х\] А,
ш
= 3 [(А + 3)X, - (к + 1)Щ В,
d = [(к
— (А — l)X\]A,
v =
с = — 2Х2ХАА,
е = (Х\-Х,)А,
а. А и В даются выражениями
Зная обратную матрицу, можно получить выражения для коэф?
фициентов регрессии
k
b0 = [2 (А + 2)Х\\ А фу) - 2Х2Х,А 2 (»2/),
г=1
B.118)
3=1
hi = i(k + 1) Я,4 - (A - 1) XI] A (iiy) + (Xl - X4) A 2 O7.y) -
— 2X2XiA фу),
hi = K1 (ijy),
k
h = [6 (A4- 4) Л,] В (iy) - 6X4? 2 (Wy),
B.119)
B.120)
B.121)
3=1
bm = I (A + 1) X2 - (A - 1) ^J В (iiiy) +
B.122)
140
h» = з I (A + 3) х2 - (к'+1) -^ 15
3=1
Ш)-
B.123)
B.124)
Дисперсии и ковариаций коэффициентов регрессии подсчиты-
ваются согласно
а2 {&„} = а2 {у} [2 (к + 2) X2] 4/ЛГ, B.125)
2 B.126)
B.127)
B.128)
= б2 {?/} [6 (А + 4) Л,] 5/iV,
^
{ЬИ1} = а2 {у} [(А + 1) Я,, - (А - 1) -^-J B/N,
[ + 3)Х2 - (А + 1) §_
B.129)
cov {Ъй bu) = а2 {г/} (- 2X2X,A)/N,
cov {Ьн Ъц) = а2 {у} (^ - X,) A/N,
cov
= а2 {»} (-
{у} 3 (-^- -
B.131)
B.132)
B.133)
B.134)
B.135)
После определения коэффициентов регрессии можно приступить
к дисперсионному анализу. Схема дисперсионного анализа для
случая модели третьего порядка приведена в табл. 2.24.
В этой таблице суммы квадратов, связанные с Ьо (корректи-
(корректирующим фактором), с коэффициентами регрессии членов первого
и третьего порядков и коэффициентами членов второго порядка
определяются по формулам
. B.136)
B.137)
k k
= bo @?) + 2 bii i»y) + 2 bii (»/») - (Oyf/N- B.138)
i=l i, 3=1
I'd
Si= 2Мч/)+ 2 hn(Wy)+ 2
i, i, 1=1
я
я
sr
я
и
ю
я
Н
I
г
се ¦*
S. l
§ I
2 ^
! s
ft *
I
о.
В
CO
о.
t»? ? 3
ьс ? 3
S S
beg g 3
beg 3
§
p*
S
a.
s
s
Таблица 2.24
Дисперсионный анализ для планирования третьего порядка
Источники рассеяния
Члены первого и треть-
третьего порядков
Члены второго порядка
Неадекватность модели
Ошибка эксперимента
Корректирующий фак-
фактор
Всего
Степень свободы
, , k(k + i)(k + 2)
*+ 6
Цк + i)
2
/ыр = ЛГ-С* + 3-2(»ф-1>
Ф=1
г
Ф=1
1
Сумма
квадратов
Si
S2
SLF
*Е
s0
Среднее
квадратов
4
4
4
4
Сумма квадратов, связанная с дисперсией, характеризующей
ошибку опыта, определяется по повторным наблюдениям в каких-
либо г точках плана
Г т<9
я--. V V. A,...-т,.лК B.139)
г
со степенью свободы fE == 2 ("г,, — 1), где теф — кратность пов-
повторения опытов в ф-й, точке плана.
Сумму квадратов, связанную с дисперсией, определяющей не-
неадекватность представления результатов эксперимента, можно
получить согласно
- SE. B.140)
Гипотеза об адекватности представления результатов экспери-
эксперимента полиномом третьей степени не отвергается, если вычислен-
вычисленное по экспериментальным данным /^-отношение
F =
sIf
'Чу)
142
не превосходит табличного значения /^-распределения для задан-
заданного уровня значимости а (обычно 5%-ного) и числа степеней сво-
свободы /и в числителе и /в в знаменателе. При адекватном отобра-
143
жении экспериментальных результатов с помощью модели третье
его порядка можно получить объединенную оценку для обу
эксперимента
(I)
2 __
7V-L '
основанную на N — L степенях свободы, где L — число коэффи*
циентов в полиноме третьей степени.
Ротатабельные планы (РП) третьего порядка можно разделить
на две группы — композиционные и некомпозиционные. В ком-
композиционных РП третьего порядка вначале реализуется та часть
плана, по экспериментальным данным которой исследуемая сис-
система может быть описана полиномами второй степени, и лишь в
случаях их неадекватности добавляется вторая часть плана и по
данным обеих частей система описывается полиномами третьей
степени.
В [228] доказано, что все точки ротатабельных планов третьего
порядка, за исключением центральных, должны образовывать по
крайней мере два сферических расположения с разными, ненуле-
ненулевыми, радиусами. В качестве таких сферических расположений мо-
могут быть приняты ротатабельные планы второго порядка.
Выбору специальных планов второго порядка, комбинацией
которых можА) получить РП третьего порядка, посвящены работы
[227-232].
Ниже приведены классы РП второго порядка при к = 3, ис-
используемые для построения РП третьего порядка.
¦ ±f, 0)
. о, ±/)
D4
> ±f. 0)
±f, o, +/)
(± o, ± a, (±ai, ±oi,
±-a) ±ai)
(± a, 0, 0) (±02, ±02,
±02)
@, ±ci, 0) (±c, 0, 0) @, ±/, ±/) @, ±/, ±/
@, 0, ±ci) @, ±c, 0) (±a, 0, 0) (±o, ±a,
±o)
(±C2, 0, 0) @, 0, ±c) @, ±ci, 0) (±c, 0, 0)
@, ±02, 0) 7V = 22 @, 0, ±ci) @, ±c, 0)
@, 0, ±C2) (±C2, 0, 0)
TV = 20 @, ± a, 0)
@, 0, ±гя)
(±P> ±7.
±7)
(±7, ±P.
±7)
(±7. ±7,
±P)-
(±o, ±a,
±o)
( )
@, 0, ±с)
N = 26
D,
(±Р, ±7.
±7)
(±4, ±Р,
±7)
(±7, ±1,
±Р)
(±с, 0, 0)
(О, ±с, 0)
(О, 0, ±с)
В трехмерном случае известны девять РП третьего порядка,
образованных комбинированием вышеприведенных ротатабель-
ротатабельных расположений второго порядка [230, 231]:
с а =
D4 с / = 21/г6,
С] = сг = 21/!6 B0 точек);
а = 6, с = 26 B6 точек);
(III)
(IV)
(V)
(VI)
X2N = 4862, iV = 46 + л0;
МГ = 3264, K/%1 = N/12;
x6n = i6ee, UK/K2 = 3A;
D2 с % = a2 = 6, с = 26 B2 точки);
D3 с Cl = с, = / = 21/26 B4 точки);
Х.Д = 4862, N = 46 + "о:
= 3264,
144
xe^v = 166е, U2A* = аЛ;
D2 с аг = 0,55786, a2 = 0,40976, с = 6 B2 точки);
D4 с / = 0,72016, о == 0, с = 0,85646 B6 точек);
X2N = 11,44726s, N = 48 + п0;
X4W = 2,07566*. Л«/Л,; = 0,0158Л^;
Xe7V = 0,27896е, KK/Xt = 0,74102;
D2 с a, = 0,58786, a2 = 0,27396, с = 6 B2 точки);
De с р = 0, д = 0,66096, е = 0,93476 C0 точек);
X2N = 14,099962, ^ = 52 + п0;
%iN = 2,52636*, K/Xl = 0,0127Л^;
Xe^ = 0,33336е, КК/К2 = 0,73643;
D3 с / = cj = с2 = 6 B4 точки);
D4 с / = 0,93576, a = 0,86466,
с =1,56536 B6 точек);
X2N = 29,885062, N = 50 + п0;
k,N =11,53686*, K/kl = 0,0129iV;
UN = 3,34216е, UK/^l = 0,75043;
D3 с / = cj = c2 =-- 6 B4 точки);
D5 с р = 1,40786, g = 0,51126,
a = 0,78326 C2 точки);
= 36,944762 N = 56 + ив;
= 15,84356*, Х4Дг = 0,0116-Y;
= 5,09496е, UK/K2 = 0,74986;
D3 с / = cx = c2 = 6 B4 точки);
D5 с p = 1,52056, g = a = 0,59806 C2 точки);
145
(VII) X2N = 39,079702,
VV = 19,27726*,
XeN = 7,46419е,
ЛГ = 56 + n0;
l = 0,0126iV;
/Xl = 0,78493;
D3 с / = 6, cx = 21/г6, с2 = 0 B4 точки);
D5 с р = 1,51676, q = 0,60376,
а = 0,50426 C2 точки);
(VIII) X2N = 37,096562, N = 56 + в0,
X47V = 18,99306*, XJXl = 0,01387V,
XeN = 7,46396е, Л,,Л,«А! = 0,76756;
[D3 с / = Cl = с2 = 6 B4 точки);
| D, с р = 0,98486, j = 0,57486,
с= 1,44536 C0 точек);
X2N = 29,223062, /V = 54 + щ;
X^N = 9,99996*, Я,4/Я,1 = 0,0117iV;
XeN = 2,54056е, Я-Л/А,; = 0,74244.
В планах (I) — (IX) 6 — масштабирующий параметр, подбором
которого можно обеспечить Х2 = 1; иногда выбирается 6 = 1.
Значительно меньше сведений имеется в литературе о компо-
композиционных ротатабельных планах третьего порядка в четырех-
четырехмерном случае (А; = 4). ¦
В [227] был предложен композиционный РП третьего порядка,
содержащий 128 опытов. Первая часть этого плана содержит 16 то-
точек в вершинах куба (±а,±а,±а,±а),8 точек в вершинах ок-
октаэдра (± сг, 0, 0, 0), @, ± с1? 0, 0), @, 0, ± с1г 0), @, 0, 0, ± сг)
и, если необходимо, центральные точки. Вторая часть плана со-
содержит 96 точек в вершинах усеченного куба (± с, ± с, ± d,
± d), (± с, ± d, ± с, ± d), (± с, ± d, ± d, + с), (± d, ± с,
± с, ± d), (±d,±c,±d,±c),(± d, ±d,±c,± с), 8 точек в вер-
вершинах второго октаэдра (± с2, 0, 0, 0), @,± с2, 0, 0), @, 0, ± с2, 0),
@, 0, 0, ± с2) и, в случае необходимости, центральные точки. Сог-
Согласно [227], сх = 2а, с = 1,200919 a, d = 0,256303 а, с. =
N
— 1,736604 а, здесь а находится из условия 2 ж?« = N,N — об-
u=l
щее число точек, включая центральные. Соответствующим подбо-
подбором числа центральных точек две части плана, используемые в ка-
качестве двух блоков, можно сделать приближенно ортогональными
(табл. 2.25 [227]).
Предложенный в [229] последовательный ротатабельный план
третьего порядка содержит всего 96 точек и является комбина-
Таблица 2.25
Соотношение центральных точек в блоках и параметры планирования
модели третьего порядка при fe = 4
П„1
8
9
10
И
0
4
7
10
п,
32
33
34
35
пг
104
108
111
114
JV
136
141
145
149.
0,719
0,745
0,766
0,787
0,394
0,423
0,447
0,472
8 4
0,388
0,416
0,440
0,465
а*
1,327986
1,376809
1,415868
1,454926
цией четырех ротатабельных устройств второго порядка
(±ai,
(±2ai
t о.
( о,
( о,
Часть 1
±ah
0,
±2ai,
0,
0,
Часть 3
±ai
0,
0,
±2ai,
±ах)
0)
0)
0 )
0, ±2ai)
(±a2,
(±2Я2,
( 0,
( 0,
( 0,
о, о,
±2я2) 0,
0, +2я2,
0, 0,
Часть 4
) (±/2а2, ±/2а2, 0,
) (±/2я2, 0, ±/2Я2,
Часть 2
(±/2ах, ±/2аь 0, 0
(±/2а,, 0, +/2Я1, 0
(±/2а1? 0, 0, + /2а,) (±/2а2, 0, 0,
( 0, ± /2ai, ± /2ai, 0 ) ( 0, ± /2а2, ± /2да,
( 0, ± /2яь 0, ± /2~а,) ( 0, ±/2я2, 0,
(О, 0, ± /2а,, ± /2а,) ( 0, 0, ± /2я2)
±02)
0)
0)
0)
±2а2)
О )
°_ }
: /2я2)
О )
:/2а2)
/2Я2)
План будет ротатабельным лишь при аг Ф а2. Его параметры оп-
определяются соотношениями
32 (я*+ а*) ,16(яе + ае)
N
= 1,
N
N
где N = 96 + п0 (п0 — количество центральных точек). Из пер-
первого приведенного соотношения следует, что а\ + а\ = 2 + и<
Таким образом, ах должно выбираться из условия
В [213] были получены непрерывные планы третьего порядка для
сферы, минимизирующие на множестве ротатабельных планов
третьего порядка максимальное значение дисперсии оценки по-
поверхности отклика или величины d (r, р). Для случая единичной
146
147
сферы в [213] определены радиусы двух сфер ротатабельного ущ
ройства третьего порядка рг = 1 и р2 и соотношения числа равн
мерно расположенных на них точек, обеспечивающие решение я
дачи
max d(r, p2) = min max d (r, p),
где г — расстояние от центра. Для единичного круга в [213]
лагается проводить 69,23% опытов на окружности единичного р
диуса и остальные 30,77% опытов на окружности радиуса р2 =d
= 0,5154. ¦{
Так как непрерывные планы требуют значительного чисд|
опытов, на практике могут найти применение приближенные пла-
планы, получаемые округлением непрерывных. Щ
В [234, 235] с целью уменьшения числа опытов осуществляет^
ся поиск планов, минимизирующих максимальное значение двд|
персии оценок поверхности отклика на множестве ротатабельньп
планов третьего порядка с одинаковым числом экспериментал^
ных точек на обеих сферах. Естественно, получаемые при это!
планы, ввиду нарушения оптимального соотношения числа то|
чек на сферах, окажутся значительно менее эффективными с точк*
зрения рассматриваемого критерия. Для ротатабельного плаш
третьего порядка на круге, содержащего по семь равномерно рас-'
положенных точек на двух окружностях (минимальное число точек1
в РП третьего порядка), задача min maxd(r, p), где
<^1 <<
Р2 A - Р2)
г
4гв
1+рв
была решена на ЭЦВМ; оптимальное значение р оказалось равным
р2 = 0,7331, а значение max d (r, p^) на 25,7% хуже обеспечи-
0<г<1
ваемого непрерывным планом.
Большой интерес представляет построение Z)-оптимальных пла-
планов для описания почти стационарной области полиномами треть-
третьей степени. Еще в [212, 213] был найден Z)-оптимальный план
третьего порядка на отрезке, содержащий четыре точки отрезка
- 1,000; -0,447; 0,447; 1,000.
D-оптимальный план для кубической регрессии на квадрате,
содержащий 16 точек, 4 из которых расположены в вершинах
квадрата (± 1, ±1) и имеют частоту повторения а, 8 точек
(± 1, ± а), (± а, ± 1), 0 <^ а <^ 1 на сторонах квадрата и имеют
частоту р и 4 точки (±6, ±6H<6<^1— внутри квадрата
и имеют частоту у, был предложен в [213]. Непосредственной мак-
максимизацией определителя информационной матрицы как функ-
функции четырех параметров а, Ь, а и р в [213] были определены пара-
148
метры D-оптимального плана для кубической регрессии на квад-
квадрате а = 0,35880, Ъ = 0,48000, а = 0,36770, 0 = 0,46100.
Ряд .D-оптимальных или близких к ним планов для кубиче-
кубической регрессии, полученных согласно описанному в [217] алгорит-
алгоритму, для к — 2, 3, 4 приведен в [236].
Следует отметить, что для больших размерностей простран-
пространства непрерывные ^-оптимальные планы содержат количество
экспериментов, значительно превышающее число определяемых
коэффициентов. С точки зрения количества опытов они хуже
ротатабельных. Для сокращения опытов в [236] предлагается ис-
использовать выборки из непрерывных планов, наиболее близкие к
Д-оптимальным.
В дальнейшем, очевидно, большое внимание будет уделяться
построению квази-О-оптимальных планов, по числу опытов близ-
близких к насыщенным, разработке планов третьего порядка, удовлет-
удовлетворяющих другим критериям оптимальности. Ценным является
также сравнительный анализ планов третьего порядка.
В [237] рассмотрена методика описания почти стационарной
области полиномами четвертой степени по данным ротатабельных
планов четвертого порядка. Определены ротатабельные планы
четвертого порядка, наиболее близкие к /^-оптимальным.
Глава 3
Планирование эксперимента
с качественными факторами
На практике встречаются задачи, в которых все исследуемые
факторы имеют качественный характер, т. е. они дискретны по сво-
своей природе, их уровням не соответствует числовая шкала и поря-?
док уровней не играет роли. Такими являются, например, опре-
определение наиболее перспективных комбинаций уровней факторов
на предварительных этапах исследования, отдельные самостоя-
самостоятельные задачи определения оптимальной в известном смысле
комбинации уровней факторов, а также задачи построения и изут
чения математических моделей для систем с качественными фак!
торами.
Для исследования и оптимизации систем с качественными фак-
факторами применяется методика планирования, предложенная
Р. Фишером [2] и детально описанная в [11 —13]. Согласно при-
принятой в планировании эксперимента терминологии,совокупность
уровней качественных факторов, которыми определяется отдель-
отдельный опыт, называется способом обработки. Задачи для качест-
качественных факторов в большинстве случаев формулируются как
задачи сравнения тех или иных способов обработки. Поэтому
соответствующие эксперименты часто называют сравнительными
экспериментами.
В настоящей главе рассмотрены однофакторные и многофак-
многофакторные эксперименты, а также дробные планы многофакторных
экспериментов.
§ 3.1. Однофакторные эксперименты
В однофакторном эксперименте каждый из к исследуемых спо-
способов обработки реализуется nt раз (i = 1,2,. . ., к). При отсут-
отсутствии ярко выраженных неоднородностей в условиях проведения
опытов (эти неоднородности обычно связаны с объектами экспе--
риментирования) реализуется полностью рандомизированный экс-
эксперимент, т. е. опыты проводятся в случайном порядке относи-
относительно объектов экспериментирования или относительно номеров
опытов.
Среднее арифметическое наблюденных значений уг при каж-
каждом способе обработки дает несмещенную оценку математического
150
ожидания Hi соответствующего способа. Для 1-го способа обра-
обработки можно написать
"i
т
___
C.1)
где Uij — наблюденное значение для i-ro способа обработки в
"г
у-м повторении этого способа и 7^ = 2 Угз-
3=1
Для нормального распределения наблюдаемых значений с
одинаковой для каждого способа обработки дисперсией а\ г/;
распределено нормально с параметрами (fi;, а^/иг).
Математическая модель эксперимента обычно представляется
в виде
у и = ц + о, + ви (i = 1,2,. . ., к, ] = 1,2,. . ., и,), C.2)
к
где[х = -г- 2 M-i> аг = М1! — М- — отклонение, вызываемое i-м спосо-
i=i
бом обработки, или, как говорят, эффект ?-го способа обработки,
г^ — независимые нормально распределенные случайные величины
с параметрами @, о"о).
Оч&в«дас>, что
У.а4 = 0. C-3)
Изучение экспериментальных данных состоит в выдвижении и
статистической проверке различных гипотез относительно мате-
математических ожиданий для исследуемых способов обработки.
Одним из основных применяемых методов является дисперсион-
дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ базируется на теореме раз-
разложения для %2 распределения [54].
Пусть сумма квадратов N независимых нормально распреде-
распределенных случайных величин г1 с нулевым математическим ожида-
ожиданием и единичной дисперсией разбита на сумму I сумм квадратов
Qlt Q2>- ¦ •> Qi соответственно с fx, /2,. . ., /, степенями свободы
N
2в? =
C.4)
Согласно теореме, для того чтобы случайные величины Qt,
Q2,. . ., Qi были стохастически независимы и распределены по за-
закону X2 соответственно с Д, /2>. . ., /, степенями свободы, необхо-
151
димым и достаточным условием является выполнение равенст!
дисперсии а2. Если гипотеза аг = а2 = . . . = ак = 0 верна,
2 и - лг.
C.1
Изучение данных однофакторного эксперимента обычно нЗ|
чинается с однофакторного дисперсионного анализа, т. е. выдви!
гается гипотеза ах = а2 = ... = ак — 0. Если эта гипотез
верна, то эффекты всех способов обработки равны нулю и
= fx2 = . . . = \ik = fx.
Пусть
C.6)!
где
i=l 3=1
Тогда полную сумму квадратов гг} можно разложить так:
ft ni * ni
2 2 4 = 2 2o/«-rJ =
i=l 3=1 i=l 3=1
ft «i k
= 22 ton Si-J + 2 Щ fo. -y - «iJ + N (y - fxJ. C.7)
i=l 3=1 i=l
k ni ft ni
Введя обозначения 2 2 4 = Q> 2 2 G/« — Уг'Т = <?<>>
i=l з'=1
— ц,)]2 = (^ равенство C.7)
C.8)
можно представить в виде
Q = <Л. + Qa + <?о-
Число степеней свободы / для Q равно f = N, для Qv. — fy. =
= 1. Для Qa число степеней свободы равно /а = к — 1, так как
k
наложена линейная связь 2 (у^ — У ~аг) = 0. Для Qo, учитывая,
i=i
"г
что условие 2 (Ун —^i*) =0(i = 1,2,..., к) представляет собой к
линейных связей, число степеней свободы /0 равно /0 = N — к.
Так как /ц. + /а + /о = ^V» то Qp, Qa и <?0 имеют распределение
(ТоХ2 соответственно с 1, к и (iV — к) степенями свободы. На основе
каждой из сумм квадратов можно получить независимые оценки
152
то
Q-Qv.= 2 2B/i3-^
i=l 3=1
где SS имеет а2^2 распределение с / = (N — 1) степенями свобо-
свободы. Тогда Qa примет вид
k k г?
Qa = SSa=2s Щ(У1—У)г = 2 "Г-Ж' (ЗЛ0)
i=l i=l i
a (?o останется без изменения и
* ni ft ni * У?
<?„ = ss0 = 2 2 ton - Si-r= 2 2 г/у - 2 т1 • (ЗЛ1)
i=l 3=1 i=l 3=1 1=1 *
При справедливости гипотезы о равенстве нулю эффектов спо-
способов обработки значения s2a = SSJ (к — 1) и si = SSq/ (N — К)
дают две независимые оценки дисперсии а2, с (к — 1) и (N — к)
степенями свободы соответственно. Проверка гипотезы осущест-
осуществляется на основе сравнения si и s2 по /''-критерию. Схема одно-
однофакторного дисперсионного анализа приведена в табл. 3.1.
Для определения SS0 можно использовать соотношение
SS0 = SS - SSa. C.12)
Часто при вычислениях также пользуются тем обстоятельством,
Таблица 3.1
Схема однофакторного дисперсионного анализа
Источник
рассеяния
Способы обра-
обработки
Ошибка опыта
Всего
Сумма
SSa =
ft
i =
К
ss^ 2
i =
квадратов SS,
3 2^-т-
=ij=i
Число
степеней
свободы ff,
fo = N-k
f = N — i
«"«=¦
^2o =
"IT
17
SSo
~~ /o
T
sa2
so2
—
—
153
что результаты анализа не меняются, если анализ проводить ofl
носительно ytj — а (а = const), а не у1}.
В рассмотренной критерии для проверки гипотезы о равен
математических ожиданий к способов обработки предполагал
однородность дисперсий для исследуемых способов обработ:
В случае сомнений в справедливости такого предположения ш
но проверить соответствующие дисперсии на равенство, для
обычно используют критерий Бартлета [54]. Если дисперсии
равны, то следует попытаться таким образом преобразовать
следуемые величины, чтобы дисперсии для преобразованных
ных были бы однородными. Соответствующие приемы можно
ти, например, в [11, 54].
Следует отметить, что /^-критерий мало чувствителен к умеред
ным отклонениям распределений &ц от нормального закона н'1
нарушению условия неоднородности дисперсий [11].
Дисперсионный анализ как метод разложения суммы квадря
тов отклонений от среднего не зависит от какого-либо предпол^
жения о нормальности. Поэтому F-критерий широко применяет
ся в дисперсионном анализе и при умеренных отклонениях от и(
ходных предпосылок относительно нормальности распределена
и однородности дисперсий. Отметим, что /^-критерий нечувстввУ
телен к отклонениям отдельных а от нуля. Поэтому дисперснон??
ный анализ обычно дополняется исследованием отклонений отН
дельных средних [54]. ;
Если гипотеза о равенстве математических ожиданий отверг*
нута, то дальнейший анализ обычно направлен на выяснение то-
того, какие способы обработки одинаково эффективны, какие имеют
относительно высокий эффект и т. д. Для этих целей требуется
проводить различные сравнения средних, например, г/, — г/2>;
2/i — Уз и т. д. :
Если, например, первый и второй способы обработки имеют
одинаковый эффект, то можно в сравнениях использовать
усредненную оценку математического ожидания для обоих
способов обработки (п1у1 + п^^1(пг + п^ и т. д. Обычно в целях
удобства вычислений в сравнениях используют не yit a Tt. Смысл
проводимых сравнений при этом не меняется. \.
Существуют различные методы исследования после диспер-
дисперсионного анализа [11, 12], из которых рассмотрим метод ортого-
ортогональных контрастов и применение множественного рангового кри-
критерия Дункана.
Метод ортогональных контрастов. Функции
= 1,2 к-\)
C.13)
i=l
называются контрастами, если 2 n$h = 0 (Z = 1,2,..., к — 1).
Если математические ожидания сравниваемых с помощью конт-
контраста Lt способов обработки равны, то математическое ожидание
контраста равно нулю, а величина
^ C.14)
ЖпА
будет иметь %2 A)-распределенив. Два контраста Lt и Lm назы-
называются ортогональными, если
2 niCliCmi = 0.
C.15)
i==l
154
При этом cov {L± L2) = ojj 2 niciicmi = 0 и для нормально распреде-
г=1
ленных tij величины Lj и L2 стохастически независимы. Можно
показать, что число попарно ортогональных контрастов
для к способов обработки не может превышать (к — 1) и SS7l
для каждого из ортогональных контрастов является составляющей
SSa. .
Анализ по методу ортогональных контрастов заключается в
проверке гипотез о равенстве нулю математических ожиданий
выбранных контрастов. Попарная ортогональность контрастов и
стохастическая независимость каждой SSbt и SS0 обеспечивает
независимость проверки гипотез.
Для проверки гипотез используют F- или f-критерий, так
как для одной и N — к степеней свободы при справедливости
гипотезы
C.16)
Метод ортогональных контрастов обычно применяют в слу-
случаях, когда соответствующие гипотезы сформулированы до про-
проведения эксперимента. На основании выбранной системы орто-
ортогональных контрастов, требуемой относительной точности отдель-
отдельных сравнений и экспериментальных возможностей составляют
план эксперимента. Для получения оценок эффектов исследуемых
способов обработки с одинаковой точностью необходимо для всех
способов обработки реализовать одинаковое число повторений,
т. е. иметь пх = пг = . . . .= щ = п. Для того чтобы определяе-
определяемые заданными контрастами сравнения проводились с одинаковой
к
точностью, необходимо выполнение равенства 2 пгсн = ЛA =
i=i
= 1, 2,. . ., к — 1). При планировании можно исходить и ив дру-
других требований.
156
Подробное изложение вопросов, связанных с выбором топИ
или иного плана, можно найти, например, в [11—13, 86а
239]. 'If
Множественный ранговый критерий Дункана. С помощью кри-
критерия Дункана для случая пх = п% = . . . = щ = п можно/
провести попарное сравнение эффектов всех способов обра-,
ботки. i
Для применения критерия необходимо упорядочить уг (i =*¦
= 1, 2,. . ., к) по возрастанию, т. е. получить ряд уЮ, у<-2\ . . .'
. . ., yW, где уЫ = min (gt) и yV) < у(«)< . . . < уЛЮ, дИ) _.'
одно из у\-х; выбрать уровень значимости а и из соответствующей
таблицы Дункана значимых рангов для пг = /0 = N — к выпи-;
сать по порядку для р = 2,3,. . ., к значения рангов (таблица
Дункана для а = 0,05 приведена в (табл. П. 1.6); умножить
эти значения на sg. = У sl/n и получить требуемые для сравнений
ранги; провести сравнение всех [к (к — 1I/2 пар оценок г/i, j/2>- • .
. ., yt следующим образом:
разность (г/№ — уО-)} сравнить с рангом для р = к,
разность {#(*) — у№) сравнить с рангом дляр — к—1ит.д.,
разность {у№ — j/C")} сравнить с рангом для р = 2,
разность
разность
сравнить с рангом для р — к — 1,
сравнить с рангом для р = к—2 и т. д.,
разность
— у(Щ сравнить с рангом для р = 2.
Если полученные разности превосходят значение ранга, то
между соответствующими способами обработки имеется сущест-
существенное различие, в противном случав полагают, что. оба способа
имеют одинаковый эффект.
Для случая равных незначительно отличающихся друг от
друга Щ также можно применять критерий Дункана [11]. Тогда
в формулу для
по формуле
s- подставляют вместо п значение п, вычисляемое
Пример [12]. Исследовалось влияние четырех различных типов
покрытия А, В, С и D на удельную проводимость телевизионных трубок.
Каждый тип покрытия наносился на пять трубок. Для эксперимента случай-
случайным образом было выбрано 20 трубок; способы обработки распределялись
ко трубкам в полностью рандомизированном порядке. Данные эксперимента
представлены в табл. 3.2. Анализ проводился относительно уц = уц — 50.
156
Таблица 3.2
Данные эксперимента и результаты вычислений
Номер
повторе-
повторения
1
2
3
4
5
V
5
i=l
-Ж" = 1.8;
СО Р О
А
Vlj
56
55
62
59
60
~УЦ
6
5
12
9
10
5
42
386
1764
SS
-Si
4
= 2j ,
Щ
64
61
50
55
56
s
=i
а = 203,2
в
Щ
14
И
0
5
6
5
36
378
1296
""Г
С
Щ
45
46
45
39
43
_5
-4
—5
—И
5
—32
236
1024
= 1338,2; SSa
J/4j
42
39
45
43
41
4
= N
D
U4j
—8
--11
-5
—7
-9
5
—40
340
1600
-2
* Тг
J — —"
ЛГ=20
5 = 6
4 S
= 1340
4
V г? =5684
^ = 1135,0;
Схема дисперсионного анализа приведена в табл. 3.3. Для 5%-ного
уровня значимости i?o,0eC,16) » 3,24 < 29,8. Следовательно, имеется суще-
существенное различие в средней удельной проводимости рассматриваемых ти-
типов покрытия.
Таблица 3.3
Схема дисперсионного анализа
Источник изменчивости
Способы обработки
Ошибка опыта
Зсего
SS,
1135,0
203,2
1338,2
и
3
16
19
s2
*
378,3
12,7 .
—
t
29,8
—
157
Рассмотрим применение метода ортогональных контрастов и мно!
венного рангового критерия Дункана для дальнейшего изучения
Предположим, что заранее (до проведения эксперимента) были выбр
дующие попарно ортогональные контрасты
Lx «= Тх - Tt,
L2= T2— T3,
¦^з — Ii ~~ *z — 1» + 1i-
Схема анализа для выбранных контрастов приведена в табл. 3.4. Не
убедиться, что для 5%-ного уровня значимости гипотеза Лх: [хх =
что то же, щ = а4) отвергается; гипотеза На: |х2 = (х3 (с^ = а3) такя»1|
. „ И + Ш Ц2 + ЦЗ /0A + 0D
вергается; гипотеза Н3: ^ = «j \ 2 =
мается.
Таблица
Схема анализа по методу ортогональных контрастов
Всего
82
68
-2
10
10
20
s2=.
672,4
462,4
0,2
1135
52,9
36,4
0,016
I
Следовательно, существует значимая разница в средней проводимост|
для покрытий первого и четвертого типов, а также для покрытий второго,!
третьего типов. Однако нет значимой разницы между средней проводимость^
первого и четвертого типов и средней проводимостью второго и третьего
типов.
Схема анализа с применением критерия Дункана для 5%-ного уровщ
значимости приведена в табл. 3.5. Значения в клетках таблицы являются
разностью между средним для соответствующего столбца и средним для
ответствующей строки. Пары способов обработки, соответствующие разности
для которых превышают значения рангов, приведенных в последнем столбце
табл. 3.5 и расположенных правее жирной черты, значимо различаются. По"!
добная схема обеспечивает компактное представление результатов анализа.;
§ 3.2. Многофакторные эксперименты
Во многих задачах способы обработки определяются комбина-
комбинациями различных уровней нескольких факторов, причем требует-
требуется исследовать все возможные комбинации. В подобных ситуациях
осуществляют отличное от применяемого в однофакторном экс-
158
Таблица 3.5
Схема анализа с помощью множественного рангового критерия Дункана
Способы
обработки
D
С
В
Р
Ранги для «2=
= 16
Ранги, умно-
умноженные на
/4--1.»
(требуемые
ранги)
Значения
средних
—8
-6,4
7,2
2
3,00
4,77
D
-8
—
—
—
3
3,15
5,01
С
-6,4
1,6
—
—
4
3,23
5,13
в
7,2
15,2
13,6
—
А
8,4
16,4
14,8
1.2
Требуе-
Требуемые ранги
5,13
5,01
4,77
периментб разложение суммы квадратов для способов обработки,
которое рассмотрим на примере //ЛГ-эксперимента.
Пусть имеется три фактора А, В и С, каждый из которых из-
изменяется соответственно на /, / и К уровнях. Каждый из иссле-
исследуемых способов обработки определяется комбинацией i-ro уров-
уровня фактора A (i = 1, 2,. . ., /), /-го уровня фактора В (j =
= 1, 2,. . . , /) и К-то уровня фактора С (К = 1,2,. . ., К). Если
общее число исследуемых способов обработки равно IJK, то со-
совокупность проводимых опытов называют //.йГ-экспериментом.
Способ обработки, определяемый j-м уровнем фактора А, /-м
уровнем фактора В и k-м уровнем фактора С, обозначают через
(ijk) или через {щ b} ch), где код «и обозначает i-й уровень фактора
А и т. д. Положим, что каждый] из способов обработки реали-
реализуется п раз. Математическая модель //ЛГ-эксперимента пред-
представляется в виде
C.17)
где
lie ~i ^iiftv*
I = 1, &y . . ., I, ] — L, б, . . ., J , К — 1, &,..., Л.),
I J К J К
1 vi V V .. л, .. .. /.. 1 V V i
P = 7J^- Zi Zi Zi M'iik» ai» = ИЧ" — М- ^Ич ~Tk& Zi I
159
— отклонения, вызываемые i-ми уровнями фактора А, котор|
принято называть эффектамиi-x уровней фактора A; a.j. и а.
эффекты ;-х и к-х уровней факторов В я С соответственно, "or
деляемые аналогично^..; ос^. — отклонения от модели
= \i -(- «i.. + a.j. + а,..а, вызываемые совместным нахождение
фактора А на s-м и фактора В на /-м уровнях, которые называю!
ся эффектами двухфакторного взаимодействия i -x и j-x уровне
факторов А и В соответственно; а4.й и а.3/? — определяемые
логично ау. эффекты взаимодействия уровней факторов А,]
и В, С соответственно; а^-й — отклонения от модели \iijh =
+ оц.. -(- a.j. + a..fc + ац- + «i'fc + OL.jk, вызываемые нахоЦ
дением факторов А, В и С на i-м, /-м и /с-м уровнях соответственна
которые называются трехфакторными взаимодействиями уровне
i, / и к факторов А, В и С; е„> — независимые нормально рас
пределенные случайные величины с параметрами @, а2,).
Нетрудно получить, что
I J К
3=1
2 *«. = 2
*=
1=1
J
3=1
К
CJ8)
i=l 3=1 ft=l
Если через (? обозначить
I J К п
Q = S 2 2 2 (y«*v - »*«*)• = ^
1=1 3=1 k=l v=l
где N — IJK-n — число степеней свободы распределения %2»
то разложение Q можно представить в виде
Q = Qv- + Qa + Qb + Qc + Qab + Qac + Qbc + Qabc + <?„,
C.19)
причем
.-g- 6ц..)« = a2x2 (/ - 1),
Qc =
- 1),
J=l 3=1
i к
Qac = Jn\ 2 (Vi-k — Уг- — У-k — y — ai-kf =
J К
Qbc = In
3=1 ft=l
= a2x2([/-l][^-l]),
/ j к
= «222 (i/ilft — У13- ~
1=1 3=1 k=l
I J К п
1=1 3=1 6=1 v=l
C.20)
Si- + S-i-
n
1 VI _ 1
В C.20) приняты обозначения уук = —- 2j УИ^> Уг]- = Т,
X
X 2
J К п
2 2 2
3=1 ft=l v=l
v=l
и т- Д- Аналогично вво-
4=1 v=l
дятся обозначения для параметров [iy., [i,.ft, ц.3>, \1г.., \i.,., \i..k, ц,
например, Цу. = -=- 2 M-iift и т- Д
к
Подобное разложение позволяет независимо проверять ги-
гипотезы о равенстве нулю всех аг.., о равенстве нулю всех a.j.,
о равенстве нулю всех а.ц. и т. д.
Формулы для проводимых при анализе вычислений можно по-
получить из C.18), C.19) и C.20), полагая \iiJh = 0 для .всех i, /
и к. В случае \1цк = 0 для всех i, j и к C.20) примет вид
г\ с с
Qb = IKn 2 (j/'j-—у — a.j.J == OqX2 (/ — 1),
3=1
п.
160
6 И. Г. Зедгинидзе
161
Qc = 55c =
/ j
<?ab = SSab = 2 2 -?- - 55|л - SSA - SSB,
C.21J
Qac = SSAC =22 ~ПГ ~ SSv - ss* ~ SSC,
j к
Qbc = SSBC =2 2 -т^- - 55,x - 55B - SSC,
3^1 *=1
= SSabc — Zi Zi Zi ~~^ ^t* — ^5a — 55b —
t=i j=ift=i
— SSc — SSab — SSac — SSbci
I J К n I J К 2
ft — <? <? — V V ^ V >,2 V V V У*
vo — ^^o — Zi Zj Zi Zi Уу*у — Zi Zi Zj ~— •
В C.21) введены обозначения Г«й = т/о-ь, Тч. = Яга^.,
Tj.. = JKnyi.. и т. д. и G = IJKny. Из C.21) можно получить,
что
I J К п
2j 2j 2j 2j 2/wftv = 55jj. + 55a -f- 55b -(- SSc + SSab +
г=1 з=1 ft=l v=l
SSbc + SSAbc + 550.
C.22)
Статистическая проверка гипотез осуществляется так же, как
и при однофакторном анализе, на основе /''-критерия. Если ги-
гипотеза а!.- = а.2.. = . . . = af.. =0 не отвергается, то говорят,
что главный эффект фактора А равен нулю. Аналогичные поня-
понятия используются для факторов В и С. Если не отвергается ги-
гипотеза о равенстве нулю всех а^ (i = 1,2,. . ., /; / = 1,2,. . ., /),
то говорят, что отсутствует эффект двухфакторного взаимодейст-
взаимодействия АВ факторов А и В.
Аналогично вводятся понятия отсутствия эффектов двухфак-
двухфакторного взаимодействия АС и ВС и эффекта трехфакторного
взаимодействия ABC. Если та или иная гипотеза отвергается, то
говорят, что соответствующий эффект (главный эффект или эф-
эффект взаимодействия) имеет место.
В ряде случаев априорно известно, что эффект трехфакторного
взаимодействия равен нулю или пренебрежимо мал. Тогда можно
проводить эксперимент без повторных опытов (п = 1) и за оцен-
оценку Оо принять значение si = s\Bc = л—ггтт—тгп?—Т\3$авс,
значение s0 = „АОО — ,f_^,j__
если число степеней свободы для s\bc обеспечивает при этом тре-
требуемую надежность оценки.
Если какой-нибудь эффект имеет место, то он обусловлен па-
параметрами а*, входящими в выражения для соответствующего Q%.
Для каждого а# на основе экспериментальных данных по методу
наименьших квадратов могут быть получены оценки. Оценка а^
для параметра а*, являющегося, как известно, линейной функцией
параметров |х^й, представляет собой ту же линейную функцию от
оценок, соответствующих \iijk- Оценки а^ можно определить не-
непосредственно из C.20). Они равны выражениям от игреков
в скобках, содержащих оцениваемое а.,..
Например,
°Ч/. = уц. — у\- — у-]- — у-
При наличии какого-либо эффекта можно осуществить даль-
дальнейшее разбиение соответствующей суммы квадратов и независимо
проверить равное соответствующему числу степеней свободы коли-
количество гипотез. Например, для главного эффекта фактора А можно
выдвинуть и независимо проверить (/ — 1) гипотез об а}., (или, что
то же, о }!,..), для эффекта двухфакторного взаимодействия
АВ — систему (/ — 1) (/ — 1) гипотез об <ху. (или, что то же,
О fly.).
//ЛГ-эксперимент можно рассматривать с различных точек
зрения, например, как множество однофакторных экспериментов
с п повторениями для фактора А, реализованных для каждой ком-
комбинации уровней факторов В и С (всего JK комбинаций); как мно-
множество двухфакторных экспериментов для факторов А и В, реали-
реализованных для .каждого уровня фактора С и т. д.
При любой из подобных интерпретаций для каждого плана из
рассматриваемого множества можно ввести понятия эффектов,
аналогичные рассмотренным для полного ///^-эксперимента. В
таких полных планах эффекты принято называть простыми эф-
эффектами.
В качестве примера рассмотрим двухфакторный //-экспери-
//-эксперимент для факторов А и В, когда фактор С находится на k-ш уров-
уровне. Главный простой эффект ?-го уровня фактора А для случая,
когда С находится на к-м уровне, можно обозначить через о^.'*
и аналогично ввести обозначения а./Л и осу'Л для простых эффектов
уровней фактора В и взаимодействий уровней факторов А и В.
Главный простой эффект фактора А можно обозначать через Ас'к
и аналогично ввести обозначения Вс'к и АВс>к для простого глав-
главного эффекта,фактора В и простого эффекта двухфакторного взаи-
взаимодействия факторов А и В.
6* 16Ь
Очевидно, что
{
у'
Ч'
3=1
{'
'
/
'
=0.
Анализ каждого из //-экспериментов (к = 1,2,. . ., ЛГ) совер-*
шенно аналогичен анализу //.йГ-эксперимента. Оценки а# также
получить, выражая а„. через \лцк и подставляя оценки
С к
выражая а* через
~С,к - , - -
например, йу = у^ — г/^ — y.j^ + j/..fc.
Очевидно, что любой полный эффект равен среднему соответ-
соответствующих простых эффектов по рассматриваемому множеству пла-
к к
нов. Например, (ц.. — -^- 2 а\' *» *й- = ~jr 2 аи' * и т. д.
Пусть для каждого i = 1,2,. . ., / а,?'1 = а?'2 =
= щ.. . Тогда отсутствует эффект взаимодействия АС. Действи-
Действительно, учитывая, что в рассматриваемом случае у^.к = щ.. и
\i..)i = \i, получаем для каждого i и k (i = 1,2,. . ., I, к = 1,
2,. . ., К) ai.fc = ц{.|[ — ц.{.. — ц„к + \i = 0. Аналогично, если
a$a = ay'2 = . . .= ay'fc для всех (s = 1,2,. . ., /; / = 1,2, ...
.*. ., /), то отсутствует эффект трехфакторного взаимодействия
ABC и т. д. - ,
Рассмотренные для /«/TsT-эксперимента результаты легко обоб-
обобщаются для произвольного числа факторов. Подробное изложение
методики анализа и многочисленные примеры полных факторных
экспериментов приведены, например, в [2, И—13, .86, 239].
Если все факторы имеют одинаковое число уровней р, то со-
соответствующие факторные эксперименты называют планами типа
р", где к — число факторов. Частным случаем планов типа рк
являются известные планы типа 2" [25, 69], в которых все факторы
меняются на двух уровнях. В этих планах для каждого эффекта
имеется лишь одна степень свободы, что позволяет применять из-
известную относительно простую методику анализа. При наличии
факторов — источников неоднородности как для однофакторного,
так и для многофакторного эксперимента, применяют различ-
различные планы с ограничениями на рандомизацию: планы в полных и
неполных блоках, латинские квадраты и кубы, планы со смеши-
смешиванием главных эффектов источников неоднородности с некоторы-
некоторыми эффектами взаимодействий исследуемых факторов и др. Воп-
Вопросы планирования экспериментов при наличии ограничений на
рандомизацию рассмотрены в [11—13, 86, 239].
164
Таблица 3.6
Данные эксперимента и результаты вычислений
Данные
Суммы Т^
Квадраты
SS*
А
а\
02
А
а\
T.j
2
2
i«=l ]
2
2-
3
2-
SSp
ssA
ssB
ssA
SS.
ss
3
2
3
=i
n
T%
In
— -
=
B-
i
m
""U
3
s
n
n
(P
2
i—j
3
2
а
vi
/i
=i
i
s
«1
8; 4: 0
14; 10; 6
ь,
12
30
42
з _ 12*+24s
542 + 722.
3-3 ~
42* + 30s +
- - 2-3
.882, •
Tj}
L
3 3
Сумма
3 3
В
Ьг
24
6
30
4-0?-
+ 18'
900,-
542
= 18,
-«.
*v
г
2
¦*¦
в
b
10; 8;
4; 2;
+ 302-
3 .
Q4fl
-SSA -
i=»i. "
3 3
22
= 316
6
0
8;
15;
b,
18
36
54
15s f 122+ 92
f6* + 362._1
_ SSB = 144,
- = 106,
V|., = 1198
ь» ¦
.6; 4
12; 9
54
72
=1198,
166
Т а б лица 3.7
Схема двухфакторного дисперсионного анализа
Таблица 3.8
Источник рассеяния
Фактор А
Фактор В
Взаимодействие АВ
Ошибка опыта
Сумма
sst
18
48
144
106
316
/¦
1
2
2
12
17
18
24
72
8,83
—
¦ft
2,04
2,72
8,15
—
Пример. В качестве примера рассмотрим анализ данных 2X3 фак-
горного эксперимента с тремя повторениями опытов [11]. Данные экспери-
эксперимента и требуемые для двухфакторного дисперсионного анализа результаты
вычислений приведены в табл. 3.6, а схема двухфакторного дисперсионного
анализа — в табл. 3.7.
Для 5%-ного уровня значимости Fo,Oi B,12) = 3,88 и для полученных
результатов гипотеза об отсутствий взаимодействия между факторами (об
аддитивности влияния факторов) отвергается.
Таким образом, эффект фактора В зависит от того, на каком уров-
уровне находится фактор А, и наоборот.
Геометрическая интерпретация данных приведена на рис. 23,
а, б. Из рисунка видно, что оценки простых эффектов существенно
зависят от того, на каком уровне находится другой фактор.
Результаты вычислений для анализа простых эффектов факто-
факторов А и В приведены в табл. 3.8, а схема дисперсионного анализа
простых эффектов в табл. 3.9. Проверка значимости простых
эффектов по /^-критерию для 5%-ного уровня значимости показы-
показывает, что эффект ВА'1 незначим, в то время как эффект 5А>2 и про-
простые эффекты фактора А значимы для каждого уровня фактора В.
У
1Z
8
9
Л
-
\
/
{«)
а
?(гз)
1
«*) 1
( 1 ^»№
\ 1
\1
У
/i
8
1
- л
Рис. 23. Геометрическая интерпретация данных
166
л
Jn -
Т\
Jn
j.2
1 -3
In
Для
Анализ
422 -294
2-3
302
543
6 ^
Сумма 930
уровня bi
bi
2
2
2
2
ssA
SSA
Проверка SSA + SSAI! --
т\.
Jn
П.
Jn
Для
542
9
9
Сумма 900
уровня .in
ai
Проверка SSB + S
простых эффектов факторов
(
j.2
1 г!
Я
Т\
Я
J.2
1 гз
Я
В, 1 =
В, 2 =
в, з =
3
3=1
3
2
= <Zj
i=l
1>актор А
12* + 302
3
242 + С2
3
__182+362
3
Сумма
2 у2
2j я
2 rp<L
" Zi я
г=1
2 -7.2
_ v -Л .
- h n ~
— о4о
- 204
1092
In
т\
In = с
?к _ Г4
Сумма 162
Фактор В
п
я
l.l 2j п
3=1
°, 71з
3=1
i1^ A . =19
2
3 ^uW
3
Сумма 1092
Tl
Сумма 192
2
Таблица
Схема дисперсионного анализа простых эффектов факторов А и
Источник
изменчивости
АВ, 1
АВ. 2
АВ.з
ВА, 1
Ошибка опыта
SS „
54
54
54
24
168
106
/.
1
1
1
2
2
12
54
54
54
12
84
8,83
6,13
6,13
6,13
1,36
9,51
—
Можно, приняв гипотезу об отсутствии эффекта 5Л>1, провесу
сравнение простых эффектов уровней фактора В для щ = в
по схеме, применяемой в однофакторном анализе. :*1
Можно проводить сравнение и для всех способов обработки
применяя метод ортогональных "контрастов или используя рай
говый критерий Дункана. Схема анализа с помощью множестве^
ного рангового критерия Дункана приведена в табл. 3.10.
Таблица 3.10
Схема анализа с помощью множественного рангового критерия Дункана
Способы
обработки
B2)
A1)
A3)
A2)
B1)
Значения
средних
' 2
4
6
8
10
Р
Ранги для п% = 12
Ранги, умножен-
умноженные a&Ysyn=i,7i
2
3,08
5,27
B2)
2
—
—
—
—
A1)
4
2
—
—
—
• з
3,23
5,52
A3)
6
¦ -4
2
. .—
—
—
A2)
8
6
4
2
—
—
4
3,33
5,69
B1)
10
8
6
4
2
—
B3)
12
10
8
6
Требуе-
Требуемые
ранги
5,81
5,75
5,69
4 ! 5,52Ц
2 | 5,27
5
3,36
5,75
6
3,40
3,81
168
Из табл. 3.10 видно, что способы обработки B3), B1) и A2)
существенно не различаются и являются наиболее перспективны-
перспективными комбинациями, если целью исследования является получение
максимальных значений. Аналогично, способы обработки B2),
A1) и A3) существенно не различаются и являются наиболее пер-
перспективными комбинациями, если целью исследования является
получение минимальных значений.
§ 3.3. Дробные планы многофакторных
экспериментов
В ряде задач экспериментальные возможности не позволяют
реализовать полный факторный эксперимент, и в то же время
эффектами некоторых взаимодействий старшего порядка можно
пренебречь. В подобных ситуациях реализуют неполные, дробные
планы факторных экспериментов. Построение этих планов долж-
должно обеспечивать оптимальные в известном смысле свойства плана
и осуществляться в зависимости от имеющейся априорной инфор-
информации. На практике, часто можно пренебречь всеми эффектами
взаимодействия и рассматривать модель, содержащую только глав-
главные эффекты уровней факторов. Например, для //.ЙГ-экспери-
мента такая модель будет иметь вид
Уш* = Р + ai~ + °Ч- + v-k + res + Eijkv
Через res (от английского residual — остаток) обозначена
совокупность всех эффектов взаимодействия. Проверку адекват-
адекватности аддитивной модели \iUk = ц + а,-.. + a.j. + а»ь мо,жно
осуществить, если план позволяет сравнить дисперсии o%s и а20.
Если априорно известно, что res = 0, то можно реализовать экс-
эксперимент без повторных опытов, принимая сгГез = °"о-
Одним из распространенных критериев оптимальности плана
для аддитивной модели является требование ортогональности,
т. е. в случае трех факторов требование сбалансированности
yh. относительно а.;, и a..k, y.j. — относительно ah. и a..k
и g^h — относительно at.. и a.j. и аналогично для произвольного
числа факторов. В этом параграфе будут рассмотрены планы, об-
обладающие этим свойством.
Если аддитивная модель в результате проверки оказалась
неадекватной, то желательно иметь возможность выявить причины
неадекватности, разлагая SSres и выявляя те взаимодействия,
которые обусловливают неадекватность. В связи с этим желатель-
желательно иметь возможность реализации композиционного принципа
планирования.
Известные идеи построения регулярных дробных реплик для
планов типа 2к легко распространяются и на планы типа р для
случая простых р (р = 2, 3, 5, 7, . . .) [И, 13]. Для построения
16Я
реплик используются арифметические операции по модулю к
(в общем поля Галуа).
Основные идеи рассмотрим на примере построения регуляр-j
ных дробных реплик для планов типа р3.
Пусть имеются три фактора А, В и С на р-уровнях каждый
(р — простое число). Способ обработки, определяемый ?-м уров-
уровнем фактора А, j-м уровнем фактора В и к-м уровнем фактора
С, обозначим через (ijk); причем положим i = 0, 1, . . ., р — 1,.
/ = 0, 1, ...,/> — 1, к = 0, 1, . . ., р — 1. План р2 можно;
разбить на р составных частей, 1/р-дробных реплик, исходя из
следующих условий:
ai + bj + ск = 0 (mod p),
ai + bj + ск = 1 (mod p),
ai + bj + ск = p * (mod p),
C.24)
где значения коэффициентов а, Ь, с определяют один из возмож-
возможных способов разбиения". Коэффициенты а, Ь, с могут принимать
целые значения, равные 0, 1, . . ., р — 1. Умножая обе части
всех уравнений системы C.24) на такое q, что aq = 1 (mod p),
можно получить эквивалентную систему, для которой а = 1.
Отсюда следует, что общее число задаваемых системой C.24)
способов разбиения равно (р — 1) 2.
Способ разбиения можно задавать, введя обозначение АаВьСс.
Умножению уравнений C.24) па q соответствует возведение
АаВъСс в степень q. Таким образом способы разбиения АаВъСс
и AaQBb4CCQ эквивалентны, т. е. АаВъСс = AaqBbqCcq (q =*'
= 1, 2, . . ., р — 1); 1-ю 1/р-реплику, задаваемую уравнением
ai + bj + ск = I (mod p), можно обозначать через (АаВъСсI.
Рассмотрим в качестве примера (АВ2С*K реплику для плана
53. Построение этой реплики осуществляется на основе уравнения
i + 2/ + 4с = 3 (mod 5).
C.25)
Реплика (АВ2С*K содержит следующие способы обработки:
@02) A03) B04) C00) D01)
@14) A10) B11) C12) D13)
@21) A22) B23) C24) D20)
@33) A34) B30) C31) D32)
@40) A41) B42) C43) D44)
Можно показать, что среднее наблюдений для данного плана
будет сбалансировано по всем главным эффектам и эффектам всех
двухфакторных взаимодействий, но сумма параметров aijk трех-
факторного взаимодействия будет отлична от нуля. В этом случае
говорят, что среднее смешано с трехфакторным взаимодействием.
170
Ту часть параметров ссу^, относительно которых не сбалансиро-
сбалансировано среднее, называют параметрами трехфакторного взаимодей-
взаимодействия (АВ2С*). Аналогично, главные эффекты уровней для каждого
фактора будут сбалансированы по главным эффектам остальных
факторов и не сбалансированы относительно параметров двухфак-
двухфакторных взаимодействий. В этом случае говорят, что главные эф-
эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями.
В общем случае для полного плана р3 Qabc можно представить
в виде суммы (р — IJ сумм квадратов, каждая из которых будет
иметь ^-распределение с (р — 1) степенями свободы. Эти суммы,
задаваемые с помощью C.24) (для а = 1, Ь — 1, 2, . . ., р — 1,
с = 1, 2, . . ., р — 1).
ABC, ABC2, . . ., ABC11-1;
АВ2С, АВ2С2, . . ., АВ2Ср-и,
ABV-XC,
называются соответствующими компонентами трехфакторного
взаимодействия. В -рассмотренном примере со средним смешано
АВ2СА трехфакторное взаимодействие. В отличие от компонента
ABC полное трехфакторное взаимодействие иногда обозначают
через А X В X С.
Если в C.24) положить ах = 0, то разложение суммы квадратов
будет касаться двухфакторного В X С взаимодействия. Обозна-
Обозначив среднее для реплики (АВьСс)г через г, (АВьСсI и введя обоз-
р-1
начение SS ^ъ^ = р2 2 (У,Аавьсс) ~~ 8)*' Разбиение суммы квад-
г=о '
ратов SSa.bc можем представить в виде
р-1 р-1
SSABC =
;=i c=i
SS(ABbCcV
C.26)
Для определения того, какие главные эффекты факторов и эф-
эффекты двухфакторных взаимодействий смешаны в реплике, можно
использовать следующий формальный прием. .Задается генери-
генерирующее соотношение
АВЪСС = 1. - C.27)
Умножая обе части генерирующего соотношения на А, в левой
части можно получить компонент двухфакторного взаимодействия,
с которым смешан главный эффект фактора А; аналогично для
взаимодействия АВ и т. д. В рассмотренном примере с учетом того,
что AB2Ci = А2В*С3 = А3ВС2 = А*В3С, генерирующее соот-
соотношение имеет вид
АВ2С* = А2В*С3 = А3ВС2 = А*В3С = 1.
171
Главные эффекты факторов смешаны со следующими взаимодей-
взаимодействиями: А = BSC, В = А*С3, С = АВ\
Приведенные результаты легко обобщаются для случая произ-
произвольного к. Рассматривая 1/р-реплики, для 1/р-реплик можно
прийти к 1/р2-репликам, далее к 1/р3-репликам и т. д. Для планов
р3 можно применять только 1/р-реплики, для планов р* — \1р
и 1/р2-дробные реплики и, в общем случае, для планов р* —
Ир, . . ., ^р^-дробные реплики. Для р2 нельзя построить
сбалансированные относительно главных эффектов факторов реп-
реплики.
Нетрудно установить структурную связь между регулярными
дробными репликами" и латинскими квадратами, греко- и гипер-
греко-латинскими квадратами, латинскими кубами и т. д. На-
Например, задаваемый C.25) план можно представить в виде латин-
латинского квадрата
А
ао
at
аг
а3
сц
В
С2
сз
С4
со
С\
ь,
d
со
с\
С2
сз
Ьг
Cl
сг
сз
с4
со
ь,
сз
с4
со
Cl
С2
ь4
со
Cl
С2
сз
С4
Все латинские планы можно рассматривать как дробные реп-
реплики факторных планов и построению дробных реплик поставить
в соответствие выбор того или иного латинского плана. Важным
достоинством такого приема является то, что латинские планы не
ограничены случаем простых р и р = ап (а — простое, п — це-
целое больше нуля).
При выборе латинских планов часто пользуются концепцией
случайного выбора латинского плана из множества всех воз-
возможных планов подобного типа или хотя бы из относительно
большого подмножества.
Рассмотрим принципы случайного выбора латинских планов
на примере выбора латинских квадратов как 1//>-дробных реплик
планов типа р3 [И, 16, 239]. Для случайного выбора латинских
квадратов можно использовать таблицы стандартных латинских
квадратов [4]. Стандартными называются те латинские квадраты,
у которых первая строка и первый столбец построены в стандарт-
стандартном порядке (в алфавитном порядке, если элементами квадрата
являются буквы или в порядке натурального ряда, если элемен-
элементами являются числа). Для р = 2 и р = 3 существует всего одна
стандартная форма, для р = 4 — четыре стандартные формы, для
172
р = 5 и р = 6— соответственно 56 и 9408 стандартных форм и т. д.
[16, 240].
Число различных квадратов с одинаковой стандартной фор-
формой равно р\ (р — 1)!. Каждый из них может быть получен в ре-
результате перестановки строк и столбцов соответствующего стан-
стандартного квадрата.
Для использования латинского квадрата при планировании
следует случайным образом выбрать одну из стандартных форм
и осуществить рандомизацию строк и столбцов этого квадрата.
Для латинских квадратов 5 X 5 и более высокого порядка иногда
цользуются не всеми, а лишь несколькими стандартными форма-
формами, ставя при этом в соответствие буквам (цифрам) в ячейках уров-
уровни факторов в случайном порядке. Однако следует помнить, что
такой метод не обеспечивает случайного выбора из всех возмож-
возможных квадратов.
Приведем стандартные формы латинских квадратов для р = 2,
р = 3 и р = 4 [239].
А
В
А
В
С
А
В
А
В
С
А
В
С
А
В
С D
В A D С
) = 4 С D В А
D С А В
или
или
или
0 1
1 О
А
В
С
D
А
В
С
в
с
D
А
В
и
А
С
D
А
В
С
А
D
D
А
В
С
D
С
В
или
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
1
2
0
1
0
3
2
1
2
3
0
1
3
0
2
0
1
2
3
1
0
2
3
0
1
2
0
3
3
2
0
1
3
0
1
2
.3
2
1
D С В А
А В С D
В A D С
СПАВ
D С В
3 2 10
0 12 3
10 3 2
0 1'
1 0
2 3
3 2
Для построения латинских квадратов можно выбрать случай-
случайным образом некоторую последовательность (перестановку)
173
букв, принять ее за базовую строку (столбец) и получить осталь-
остальные строки (столбцы), осуществляя циклическую перестановку
букв (цифр) с некоторым одинаковым шагом. Например, выбрав
последовательность букв ACBED, можно получить следующий
5 X 5 латинский квадрат:
А С В Е D
В Е D А С
D А С В Е
С В Е D А
Е D А С В
Для случая, когда факторы имеют разное число уровней, при-
применяют различные приемы построения дробных ортогональных
для аддитивных моделей планов [И, 16]. Рассмотрим некоторые
из них.
Если полный эксперимент можно представить в виде прямого
произведения рн X qn, то в качестве дробных планов можно ис-
использовать прямое произведение различных дробных реплик для
рк и qn. Например, для эксперимента 53 X 2к можно использовать
планы вида Ex5 латинский квадрат) X 2Н~Г.
Применяют также планы, построенные на базе ортогональных
латинских квадратов. Два латинских квадрата называются орто-
ортогональными, если каждая упорядоченная пара букв (цифр),
полученная в ячейках в результате наложения одного квадрата
на другой, встречается один и только один раз.
Для числа уровней р в общем возможно построение не более
(р — 1) попарно ортогональных латинских квадратов.
Для случая простых р и когда р является степенью простого
числа всегда можно найти (р — 1) попарно ортогональных латин-
латинских квадрата. Для р = 6 не существует ни одной пары ортого-
ортогональных латинских квадратов.
Для простых р систему (р — 1) ортогональных латинских
квадратов можно получить следующим образом. Пусть имеется
латинский квадрат, построенный на основе циклической переста-
перестановки букв (цифр) с шагом, равным единице: I = 1. Выберем одну
из строк (столбцов) в качестве базовой и построим р — 2 латинских
квадрата с шагами I -— 2, 3, . . ., р — 1.
Все (р — 1) латинских квадрата будут попарно ортогональны-
ортогональными. Например, квадраты
0 12 3 4
12 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 12
4 0 12 3
0 12 3 4
2 3 4 0 1
4 0 12 3
12 3 4 0
3 4 0 12
174
0 12 3 4
3 4 0 12
12 3 4 0
4 0 12 3
2 3 4 0 1
0 12 3 4
4 0 12 3
3 4 0 12
2 3 4 0 1
12 3 4 0
будут попарно ортогональными.
Принципы построения планов на базе ортогональных латин-
латинских квадратов рассмотрим на примере эксперимента для случая
четырех факторов: А — на / уровнях и факторы В, С, D — на
р уровнях каждый, причем /<(р и существует / ортогональных
латинских квадратов р X р. Тогда i-му уровню фактора А ста-
ставятся в соответствие комбинации уровней остальных факторов,
определяемые ?-м из системы ортогональных латинских квадра-
квадратов. Такие планы называются латинскими параллелепипедами.
Если не требуется с относительно высокой точностью проводить
сравнение главных эффектов уровней фактора А, то латинским
параллелепипедам следует отдать большее предпочтение по срав-
сравнению с аналогилпыми планами произведениями, для построения
которых используются одинаковые латинские квадраты. Латин-
Латинские параллелепипеды являются сравнительно более информатив-
информативными [16].
Еще один из применяемых приемов рассмотрим на примере
четырех факторов А, В, С и D, изменяющихся на /, /, р и р-
уровнях соответственно, причем р = /./. Тогда можно использо-
использовать латинский квадрат р X р в качестве сложного совмещенного
плана. Строки и столбцы при этом могут соответствовать уровням
факторов А и В, а буквы — комбинациям уровней факторов А та. В.
Пример [16]. На основе экспериментальных исследований требова-
требовалось получить прочные термопласты (новое сырье для изготовления предме-
предметов народного потребления) методом лнтья под давлением. В .качестве па-
параметра оптимизации рассматривался предел прочности па разрыв, величина
которого должна быть не менее 110 кг/еж2.
Исследовалось влияние следующих факторов: А — тип наполнителя
в рецепте (уровни фактора А: а1 — мел, а2 — каолин, а3 — белая сажа,
а4 — без наполнителя); В — тип мягчителя в рецепте (уровни фактора В:
Ь1 — вазелиновое масло, Ьг — нейтральное масло, 63 — экстракт IV, Ь4 '—
без мягчителя); С — тип партии полимеров (уровни фактора С: сх — партия
58—100, с2 — партия 59—100, с3 —партия 60—100, с4 — партия 61—100).
В качестве плана был выбран 4X4 латинский квадрат с числом повто-
повторений п = 1. План, данные эксперимента и требуемые для дисперсионного
анализа вычисления приведены в табл. 3.11, а схема дисперсионного анали-
анализа — в табл. 3.12.
Значимость эффектов факторов проверялась по /'-критерию для 5%-ного
уровня значимости Fo 0_ C,5) = 4,76. Эффект фактора С оказался незначимым,
а эффекты факторов А л В — значимыми.
175
Таблица 3:11
Планирование эксперимента и результаты вычислений
в
6i
Ьг
ь3
П..
п.
А
а,
Ci
81
сг
61
сз
55
d
204
401
160801
as
C2
55
сз
55
C4
56
Cl
221
387
149769
a3
Сз
57
C4
62
Cl
118
C2
244
475
225625
a.
Ci
211
Cl
315
C2
283
C3
293
1102
1214404
398
493
512
962
158404
243049
262144
925444
Фак-
Фактор С
Cl
C2
Сз
Ci
735
643
454
533
540225
412449
206116
284089
G — 2365
4 4
S iu* = 2 24=502539* •
i, 3, ft i=13=l
* П- 401»+ 387» +475»+1102» ,
h p 4 •~7Ci
* Т% 398'+ 493'+ 512*+ 962*
2j ^ — 4 — о97200
i=l
* ^.ft 735' +643* +454*+ 533* _„
-а > 4
№ 2365* _„„
SSA =
SSB-
ssc =
^res =
' ЛГ - 16
.5.'
4 712
? p L
L p l
ft=i
i, 3, *
SSp = 88
ISp = 476
iSp = 113
073,
33,
}3,
L — ¦У'Ув — SSC -
0,
D.
- ^ = 5813
Таблица 3.12
Схема дисперсионного анализа латинского квадрата 4x4
¦ Источник изменчи-
изменчивости
А
В
С
Ошибка
Сумма
SS ,
88 073
47 683
11393
5 813
152 962
/
3
3
3
6
15
2
S
4
15 894
29 358
3 798
G69
—
2, 2
V50
16,4
30,3
3,92
—
Для сравнения эффектов уровней значимых факторов применялся ран-
ранговый критерий Дункана. Схемы применения этого критерия даны в табл. 3.13.
Из данных анализа видно, что эффекты четвертого уровня фактора А
и четвертого уровня фактора В значимо превосходят эффекты остальных уров-
уровней.
Таблица 3.13
Схема анализа с помощью множественного рангового критерия Дункана
Уровень А1
• ,2(96,8)
ai A00,3)
а3 A18,8)
Уровень В
Ы99,5)
62A23,3)
63 A28)
р ¦
Ранги яг = 6
Ранги, умноженные
на /1^ = 15,56
» В скобках даны среднш
а2 (96,8)
—
Ь.(99,5)
—
—
2
3,46
53,8
значения.
Уровень А
а, A00,3)
3,5
а3 A18,8)
22,0
18,5
—
Уровень В
Ъг A23.3)
23,8
—
—
3
3,58
55,7
М128)
28,5
4,7
—
4
3,64
56,6
а4 B75,5)
178,7
175,2
156,7
Ь» B40,5)
141,0
117,2
112,5
—
—
Требуемые
ранги
56,6
55,7
53,8
Требуемые»
ранги \
56,6
55,7
53,8
—
—
177
§ 3.4. Применение неполноблочных схем
в планировании эксперимента
для исследования качественных факторов
В ряде задач экспериментальные возможности и конкретные
условия не позволяют применить ортогональные для линейной
модели дробные планы. В частности, для двухфакторного экспе-
эксперимента построение ортогональных дробных планов принци-
принципиально невозможно.
В подобных ситуациях можно применять неполноблочные пла-
планы [11, 15, 86, 239]. Статистический анализ таких планов отно-
относительно сложен и сокращение числа опытов обусловливает худ-
худшие статистические свойства сравнительно с ортогональными
дробными планами.
Ограничимся рассмотрением применения В IB-схем 1 как дроб-
дробных планов двухфакторного эксперимента [15, 241—243].
Уровни одного фактора можно рассматривать как элементы,
а уровни другого представить в виде блоков. BIB-схемы характе-
характеризуются следующими параметрами: v — число элементов, Ь —
число блоков, к — число единиц в блоке (число способов обработ-
обработки, в которых второй фактор находится на одном и том же уровне),
г — число блоков, которым принадлежит один и тот же элемент
(число способов обработки, в которых первый фактор находится
на одном и том же уровне), к — число повторений каждой пары
элементов в одном и том же блоке.
Таблица 3.14
План неполного факторного эксперимента 42
Элементы
Ж «1
аг'
ЙЗ
at
Блоки
*
*
*
ь,
*
*
*
*
*
*
*
*
Для примера рассмотрим план неполного факторного экспе-
эксперимента 42. В табл. 3.14 звездочками отмечены реализуемые сог-
согласно плану способы обработки.
Для рассматриваемого плана v — 4, Ь = 4, к ~ 3, г = 3,
к = 2.
1 BIB — Balanced Incomplete Block,
178
Если общее число реализуемых способов обработки для BIB-
плана обозначить через N, то очевидно, что
N = Ък = w. C.28)
Кроме того,
г (к - 1) = к (v - 1),
C.29)
в чем можно убедиться, подсчитывая двумя различными способа-
способами число пар элементов, в которые входит элемент vt (i =
= 1,2, . . ., v). В каждом блоке элемент vt встречается с (к — 1)
другими элементами. Следовательно, он входит в г (к — 1) пар.
С другой стороны, этот же элемент встречается с каждым из
(v — 1) элементов ровно к раз и, следовательно, входит в к (v — 1)
пар. Отсюда г(к — 1) = к (v — 1). Поскольку в каждый блок
входит только часть элементов и каждый элемент повторяется не
более одного раза, очевидно, что
v > к. C.30)
Математическая модель эксперимента без повторных опытов
имеет вид
I I ~ I 13 I л /О Q4\
где at и (J; — эффекты уровней факторов, а гг1 — суммарная ошибка
опыта и модели, которая полагается распределенной нормаль-
нормально с параметрами @, <3ц).
Оценки параметров |л, аь Р; можно получить по методу наи-
наименьших квадратов, минимизируя сумму N квадратов
Q =
C.32)
Дифференцируя C.32) по |л, а; и рт (I = 1, 2, .-. ., v; m =
= 1, 2, . . ., Ъ) и приравнивая к нулю соответствующие частные
производные, получаем систему нормальных уравнений
i. i
@
h i
г, j
2e-rjUo,
(О
C.33)
$?-
of = Ь У™ - Zj ai — К?т — «ц =
"• (т) (т)
В C.33) 2 означает, что суммирование осуществляется по ин-
(О
дексу / для фиксированного I и распространяется на те блоки,
179
в которых содержится 1-й элемент, а 2 означает, что суммирова-
(Ш)
ние осуществляется по i для фиксированного т и распространя-
распространяется на те элементы, которые содержатся в т-и блоке.
" ь
Для Д, учитывая то, что 2 «г = г 2 Щ = Ои 2 & = Л 2 Рт = О
получаем ¦ «./ «=i i,i m=i
C.34)
Для получения оценок а, и 6т введем обозначения F, = 2
= ^j Уы ¦ Тогда можно написать ('
(т)
F, = га, + 2 fe + Ф,
(О
Дп = 2 «I + ^Рт + АД
(т)
C.35)
C.36)
Полагая та = /, C.36) запишем следующим образом:
ф
Рассмотрим сумму
C.37)
(О - (I) 0) (I)
v v
Поскольку 2 «г = 0 и 22 «; = га, + Я 2 «* =(г-к)а,+
*—1 (I) (у) 1=1
V
+ Я 2 «г = (г - Я) «„ то &F, - Гг = [Ат - (г - Я)] а, =" Яу а„ от-
откуда получаем:
а, = —^ • = —' = v г п
kv Xv N (к — \\ "''
N(k — 1)
где Qi = AF, - Tv
Из равенства C.36) можно получить оценки
3 _ -^m 1 VI"
Pm~~^ T -i ai — H
(m)
и, как следствие, оценки fllm:
+ 4З
(m)
C.38)
• C.39)
C.40)
BtB-охемв* называются симметричными, если v — Ъ = р (от-
(откуда к ¦¦= г). Симметричные BIB-схемы можно рассматривать
как дробные планы эксперимента р%.
Дисперсионный анализ BIB-планов для факторов с фиксиро-
фиксированными уровнями можно проводить по схеме, которая получила
название интраблокового анализа (анализ без раскрытия между-
междублоковой информации). В вычислениях применяются следующие
суммы квадратов.
1. Полная сумма квадратов
C.41)
где G= 2 Уfi-
2. Сумма квадратов по блокам (нескорректированная)
C.42)
3. Сумма квадратов по элементам (нескорректированная)
1=1
»»эл - Г ^ •
4. Сумма квадратов по элементам (скорректированная)
C.43)
(?(?
""
эл. скорр — "у?~
1=1
kXv
kkv
. C.44)
5. Сумма квадратов по блокам (скорректированная)
""бл. скорр = "Ьобл -f- оОэл. скорр "Оэл- (О.40/
6. Сумма квадратов внутриблоковой ошибки*
SS0 = SSTei = ? (уа — Щ;J = SS — ??эл, скорр — SSon. C.46)
г,)
C.47).
180
Основой дисперсионного' анализа является разбиение полной
суммы квадратов
SS = "иал. скорр *"г* ""бл ~т~ "Ь^о»
оо — "Оэл "Т" "°бл. екорр г ооц.
Схемы дисперсионного анализа приведены в табл. 3.15. Выб-
Выбрав одну из схем анализа, следует проверить соответствующий
181
Таблица 3.15
Схема дисперсионного анализа
Источник
¦f {изменчивости
Элементы скор-
скорректированные
Блоки нескор-
нескорректированные
Ошибка опыта
Сумма
Блоки скорректи-
скорректированные
Элементы нескор-
нескорректированные
Ошибка опыта
Сумма
SS,
^эл. ск
SSo
SS
°°бл. ск
^эл
SSo
SS
f.
v 1
6-1
N v 6 + 1
N-l
6-1
v — l
N v 6+1
2
s*
2 ^ЭЛ. OK
*'эл. ск у — 1
2 -У-Уо
о —Я —у —6 + 1
2 ^бл. ск
А'бл. ок Ь 1
SSo
Ао—TV — у — 6+1
2 . 2
Vso
S2 /.2
*бл.ск'*о
скорректированный эффект. Если этот эффект равен нулю, то
можно перейти к схеме однофакторного анализа для другого фак-
фактора.
Если скорректированные эффекты отличны от нуля, то можно
аналогично полному факторному эксперименту (см. рис. 23) дан-
данные эксперимента, реализованного по BIB-схеме, - представить
графически. Если эксперимент проводился с повторными опытами,
то сравнением SSres и ошибки опыта, вычисленной на основе
повторных опытов, можно судить об адекватности линейной модели,
а также проводить различные сравнения отдельных способов об-
обработки.
Для эксперимента без повторных опытов также можно про-
проводить отдельные сравнения, если только оценка ошибки опыта
известна априорно.
Для сравнения скорректированных эффектов можно пользо-
пользоваться ^-критерием, /"-критерием, множественным ранговым кри-
критерием Дункана. Оценка дисперсии сравнения скорректированных
эффектов двух элементов равна
S2 _ 2к С2 _
ср. эл — -~s —
2*(г>-1)
C.48)
182
Оценка дисперсии сравнения скорректированных эффектов
двух блоков равна
2 _ 2 Г, . (у — 1) (V — кI „ (О 49)
*ср. бл -у [1+ „(*_!) F_i)JV v* >¦
Для симметричных BIB-схем очевидно, что, так как v — Ь,
scp. эл == scp. бл-
Пример [244]. Симметричная BIB-схема применялась при разработ-
разработке рецептуры для полимерной композиции. Целью работы являлся выбор
наиболее износостойкой эпоксидной композиции применительно к условиям
работы нефтяного оборудования. При проведении экспериментальных работ
в целях минимизации опытов был реализован симметричный BIB-план с па-
параметрами v = b — 4, г = А; = 3, Я = 2, общее число опытов для которого
равно N = 12. План, данные эксперимента и результаты вычислений приве-
приведены в табл. 3.16. При вычислениях 55бл-окорр и flj- была использована
симметричность BIB-схемы: блоки рассматривались как элементы, а элементы
как блоки.
Таблица 3.16
ШВ»план," данные эксперимента и результаты вычислений
Элементы
Я1
Й2
)*
из
01
Вт
вгт
Qm
ь,
2,47
10,33
7,15
—
19,95
379,9
-10,49
-1,31
6,08
ь
18
8
8
36
Блоки
,81
,58
,90
,29
1317
27
3,
Ю,
,72
46
85
ь,
2,
—
7,
4,
14,
200
-6,
-0
6
63
09
44
16
5
21
77
62
ь*
2,
Ю
5
18,
334,
—11
-1,
43
85
00
28
2
,02
38
6,01
vi
7,
39
22,
18,
53
99
82
30
56,70
1599
520,7
336,4
-29,
45,
-1,
-13,
й,68
80
48
94
71
-3
5
-0
-1
= 7
,72
,68
,24
,71
39
V--
3
13
7
,67
,07
,15
5,68
183
Таблица 3.17
Схема диеиереионного анализа В1В-плана
Источник изменчивости
Элементы скорректированные
Блоки нескорректированные
Ошибка
Сумма
Источник изменчивости
Блоки скорректированные
Элементы нескорректиро-
нескорректированные
Ошибка
Сумма
SS,
131,1
94,6
14,95
240,65
/.
3
3
5
И
2
S
*
43,7
2,99
Таблица 3.17
- SS,
43,35
182,35
14,95
240,65
/.
3
3
5
И
2
5
*
14,4
2,99
' 2. 3
sJso
14,67
окончание)
А,82
Схема дисперсионного анализа приведена в табл. 3.17.
Посредством дисперсионного анализа было установлено, что вид напол-
наполнителя оказывает существенное влияние на ударно-абразивный износ эпо-
эпоксидных компаундов (Fo 05 C,5) = 5,41 < 14,67). Эффект блоков, скоррек-
скорректированный по элементам, оказался значимым при 10%-ном уровне значи-
значимости. Это говорит о том, что рабочие среды также оказывают некоторое
влияние на износостойкость эпоксидных компаундов. В табл. 3,16. приве-
приведены также значения р.г, = fi -\- щ и ц,,т = \х -{- Рт- Для сравнения aj
и $т был применен ранговый критерий Дункана, который дал следующие
го
16
1Z
в
о
•о-
У
20
16
12
8
t
0
1 б
. \
\ г
\
, \
л \
- Г ^ ^^
6 J 7 1 Ф *
Рие. 24, Геометрическая интерпретация данных
184
результаты:
a3, al > a2, a3 > а2, а4 > а2,
а4, а3 = а4,
Р4
Таким образом, минимальный износ должен давать компаунд с желез-
железным порошком и стекловолокном. Компаунд с цирконом дает сравнительно
высокие значения износа; вода является самой агрессивной средой, в то вре-
время как нефть, масло и воздух по своему влиянию на износостойкость эпоксид-
лых компаундов существенно не различаются. Для дальнейшего изучения
и возможного конкретного применения был выбран компаунд с железным
порошком.
Графическая иллюстрация данных приведена на рис. 24, а, б.
Глава 4
Планирование эксперимента
на диаграммах состав—свойство
В настоящей главе рассмотрено планирование эксперимента
для систем, являющихся смесями q различных компонентов. Пе-
Переменные xt (i = 1, 2, . . ., q) таких систем являются пропор-
пропорциями (относительным содержанием) i-x компонентов смеси
и удовлетворяют условяю
У, хг = 1 (xi >0). D.1)
Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию нор-
мированности суммы переменных D.1), представляет собой (q — 1)-
мерный правильный симплекс х (треугольник для q = 3, тетраэдр
для q = 4 и т. д.). Каждой точке такого симплекса соответствует
смесь определенного состава, и, наоборот, любой комбинации
относительных содержаний q компонентов соответствует опреде-
определенная точка симплекса,2.
Так как в дальнейшем при планировании эксперимента и по-
построении диаграмм состав — свойство придется оперировать фак-
факторным пространством в виде симплексов, целесообразно опреде-
определить координаты компонентов не в обычной системе координат,
а в специальной — симплексной, в которой относительные содер-
содержания каждого компонента откладываются вдоль соответствую-
соответствующих сторон (граней) симплекса.
Связь между двумя координатными системами — обычной де-
декартовой и симплексной — для трехкомпонентных смесей показа-
показана на рис. 25, а. Здесь изменению относительного содержания пер-
первого компонента хх от 0 до 1 вдоль оси хх (в долях от длины отрез-
отрезка, равного единице) соответствует пропорциональное изменение
координаты хх (хх = у 2 хх) вдоль стороны аЪ (длины у1 2) от точ-
точки а, где компонент хх присутствует в пропорции 0, до точки Ъ,
где содержание первого компонента равно 1, т. е. смесь состоит
лишь из первого компонента.
Легко заметить, что хх долей (частей) отрезка оЪ, длиной 1,
равно хх (хх = V^xi) Долям отрезка ab, длиной ]/ 2, т. е. отно-
1 Правильный симплекс с q вершинами в (q — 1)-мерном пространстве.
2 Тот факт, что состав g-мерной системы задается (д — 1)-мерным симплек-
симплексом, был отмечен еще в [246, 247J.
186
Рис. 25. Переход к симплексной системе координат
сительное содержание (пропорция) хх = х[. Поэтому в дальней-
дальнейшем, при рассмотрении симплексов штрих будем опускать, обоз-
обозначая относительное содержание компонентов на его сторонах
просто через xt. Аналогично, перемещению точки вдоль оси х2
от центра координат к точке с координатой х2 = 1 будет соответ-
соответствовать пропорциональное перемещение точки вдоль стороны
be от точки Ъ, где второй компонент отсутствует, к точке с, где
имеется лишь второй компонент. Третий компонент на треуголь-
треугольной диаграмме (рис. 25, б) откладывается вдоль стороны са, на-
начиная от точки с с нулевым содержанием данного компонента до
точки а, где х3 = 1.
- Если в декартовой системе координат для определения уровня
первого компонента, соответствующего какой-нибудь точке М
смеси, достаточно взять отсекаемый на оси' х3 отрезок от, то
в симплексной (треугольной) системе координат это аналогично
проведению через точку М прямой, параллельной стороне х3 (са),
и взятию отрезка хг = am' (рис. 25, в и 25, г). Для определения
второй координаты точки М проведем через эту точку прямую,
параллельную стороне хх, и возьмем отсекаемый на стороне be
отрезок х2. Аналогично, пропорция третьего компонента опреде-
определяется путем проведения через точку М прямой, параллельной
Стороне х2 (рис. 25, г).
В четырехкомпонентном случае для определения координаты
¦fi какой-нибудь точки трехмерного симплекса — правильно-
JQ тетраэдра (рис. 25, д) — необходимо провести через нее
187
плоскость, параллельную двухмерной грани тетраэдра с ребром
пропорций третьего компонента х9, и взять отсекаемый этой плос-
плоскостью на оси хг отрезок s[ .
Ввиду того, что переменные смеси, согласно D.1), не являются
независимыми, оценка коэффициентов полиномиальной модели
B.5) невозможна, так как матрица (ХТХ)~1 оказывается вырож-
вырождена. Исключение одной из смесевых переменных (обычно пере-
переменной, соответствующей основе смеси) и применение относитель-
относительно q — 1 оставшихся независимых компонентов смеси описанных
планов в гладе 2 является одним из возможных вариантов реше-
решения Задачи. Однако в тех случаях, когда выходной параметр си-
системы зависит от всех q исследуемых смесевых переменных, сле-
следует пользоваться иными моделями, построенными с учетом D.1),
и строить для оценки коэффициентов этих полиномов оптималь-
оптимальные планы на области определения всех переменных.
Впервые задача построения математической модели состав —
свойство, включающей все компоненты системы, была решена
Шеффе [41], который ввел каноническую (приведенную) форму
полинома. Полиномы Шеффе получены из полиномов обычного
вида B.5) с учетом соотношения D.1). В [248] рассмотрен другой
вид математической модели — однородные полиномы. Далее были
предприняты попытки описания свойств смесей неполиномиаль-
неполиномиальными моделями и др.
Планы на симплексе впервые были предложены в [249], однако
планирование на симплексе нашло широкое применение лишь
после опубликования работы Шеффе [41]. Рассмотрим основные,
наиболее широко применяемые планы на симплексе: симплекс-
решетчатые, симплекс-центроидные, D-оптимальные планы, пла-
планы, минимизирующие смещение, планы с ненулевым относитель-
относительным содержанием компонентов и др.
§ 4.1. Симплекс-решетчатые планы
Впервые задача построения математической модели состав —
свойство, включающей все компоненты системы, была решена
Шеффе [41], который ввел каноническую форму полинома степе-
степени п
п
D.2)
m=>3 I<ii<i2<...<im<ij
где s
, . iTOm, sx + s2 + . . • +s
n> Полиномы тако-
такого вида (так называемые приведенные полиномы) получаются из
обычных полиномов B.5) соответствующей степени для q пере'
т
менных введением соотношения 2 xi = 1 и содержат С?+п_,
коэффициентов. *<*<а
Так, например, полином второй степени в общем случае имею-
имеющий вид
У = К + Ъгхг + Ь2хг + b3xs + bnxlXi + Ъпх1Хз + b23x2x3 +
в приведенной форме с учетом условия
запишется следующим образом:
У =
D.5)
При переходе к приведенной форме D.5) постоянный член Ьо
был исключен из уравнения D.3) умножением обеих сторон D.4)
Ни Oq
Ь0х3 = Ьо
и подстановкой полученных результатов в уравнение D.3)
У = (Ьо + Ьг) xt + (bo + Ьа) х2 + (Ьо + Ъ3) х3 + Ь12хгх2 + Ь13Х!Х3 +
+ Ъ23х2х3 + Ъпх\ + Ъ22х\ + &зз^|. D.7)
Исключения квадратичных членов в D.3) можно достичь под-
подстановкой в уравнение D.7) вместо величин х\, х\, х\ значений
х\ = хх — ххх2 — Xlx3, х\ ='х2 — Xlx2 — х2х3,
Хд = Х3 Х^Х3 — Х2Х3, \ " /
образованных путем умножения соотношения D.4) соответственно
НИ b^jj Хл Й ^з* - '
У = (Ьо + h + bu) х, + ф0 + Ь2 + Ъ2%) х2 + (Ьо +Ь3 + Ъ33) х3 +
+ Фи — Ьц - Ь2г) хгх2 + ф13 - Ьц — Ъ33) хгх3 + (Ь23 — Ь22 -
— &зз)^2^з- , D.9)
Введя обозначения р2 = Ъо + Ъг + Ъп, р2 = Ъо + Ъ2 + Ъ22 и т. д.,
получим приведенную форму D.5) уравнения D.3).
В ^-мерном случае приведение полинома первой степени
(п = 1)
У = Ьо + 2 biXi
к канонической форме
KKi
D.10)
D.11)
осуществляется замещением свободного члена Ьо на
Ьо = b0Xi + b0x2 + ... + boXq. D.12)
Для приведения полинома второй степени (п = 2)
D.13)
к виду
D.14)
кроме вышеприведенной подстановки D.12) производится также
замещение в членах Ъцх\ величины х\ на
Х\
D.15)
А для приведения полинома третьей степени (п = 3)
У = К+ 2 Ъ&гЛ- 2 Ь>Я^+ 2 Ъ^&рь D.16)
к виду
Pt^ + 2 Mi** + 2 Tii^^i (*i - *i) +
2 h^iXjXk D.17)
необходимо, кроме подстановки D.12) и D.15), замещение х\ на
Ж{ я- ^j O^j^j -р XjXj [Xi Xj) jSj Xfi
3=1
и ^( (в членах bHjx\xj и bij}-xtXj для ? <^ j) на
9
Для оценки коэффициентов приведенного полинома D.2)
в [41] были предложены планы, обеспечивающие равномерный
разброс экспериментальных точек по (д — 1)-мерному симплексу.
Точками таких планов являются узлы {q, Аг}-симплексных реше-
решеток. В {q, Аг}-решетке для каждого фактора (компонента) исполь-
используется п + 1 равнорасположенных уровней в интервале
от 0 до 1 (xt = 0, 1/га, 2/п, . . ., 1) и берутся все возможные
190
Рис. 26. Некоторые из {</, л}-решеток:
q = 3
а — линейная {3,1}; б — квадратичная {3,2}; в — неполно-кубическая; г — кубическая
C,3); 9 — четвертой степени {3,4}; е — восьмой степени {3,8};
q = 4
ж — квадратичная {4,2}; з — кубическая {,4,3}
их комбинации. Так как число таких комбинаций C^+n-i равно
числу оцениваемых коэффициентов в приведенном полиноме сте-
степени п D.2), набор точек
где
i ^2U7 • • •> ^qufi u — 1, ii, . . ., iV — Oq+7i_i,
2„ /I
D.20)
л 1 2 .
образует насыщенный симплекс-решетчатый план {q, n}.
Примеры {д, и}-решетки приведены на рис. 26. Ряд симплекс-
решетчатых планов низшего порядка (см. рис. 26) входит состав-
составной частью в планы более высокого порядка. Так, например, квад-
квадратичная решетка может быть получена из линейных решеток
добавлением срединных точек сторон, неполно-кубическая решет-
решетка — добавлением к квадратичной решетке всего одной точки
в центре тяжести симплекса. Это свойство композиционности
планов необходимо учитывать при изучении многокомпонентных
систем, так как у исследователей на практике не всегда имеются
достаточные априорные сведения о виде поверхности отклика
каждой конкретной системы. Поэтому возможна и недооценка
сложности поверхности отклика. Это может привести к тому, что
найденный полином степени пх будет неадекватным и потребуется
проведение дополнительных экспериментов для повышения сте-
степени полинома до п2 ^> пг.
Однако не все симплекс-решетчатые планы композиционны,
например при переходе от неполно-кубической решетки к куби-
кубической приходится исключить все точки, входящие в первоначаль-
первоначальный план, кроме вершин и центральной точки, а при переходе
191
от кубической к решетке четвертой степени — все точки, кроме
вершин. Такие симплекс-решетчатые планы являются частично
композиционными. Точки решетки степени пг полностью входя5|
лишь в состав решеток степени п2 = In^ I = 2, 3, .... Так, на-;
пример, точки линейной решетки входят в состав решеток всех
более высоких степеней, точки квадратичной решетки — в состав
решеток 4-й, 6-й, 8-й и т. д. степеней.
. Для оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома сте-
степени п D.2) во всех точках плана, соответствующих узлам
{q, Аг}-рететки, реализуются опыты и определяются отклики
Рис. 27. Обозначение откликов в точках симплексных решеток
системы у. Под у могут подразумеваться как результаты единич-
единичного определения, так и средние значения нескольких определе-
определений. Удобно ввести специальные обозначения для этих откликов
(рис. 27). Отклик для смесей, содержащих только один ненуле-
ненулевой компонент (вершины симплекса, т. е. точки с координатами
(О, .'. ., 0; 1; 0, . . ., 0)), обозначим через уг, отклик для 1 : 1
бинарной смеси компонентов i и j — через уц (i <^ /), отклик для
1:1 : 1 тройной смеси компонентов i, j, к — через- ytjk (J <O <C
<^ к), отклик для 2:1 и 1:2 бинарных смесей компонентов
i и j соответственно — через уц] и ущ (i <^ j) и т. д. В общем слу-
случае индексы у откликов у вводятся с тем расчетом, чтобы их общее
число было бы равно п; число различных индексов указывало бы
количество компонентов, применяемых в, соответствующей данной
точке смеси; число одинаковых индексов показывало бы относи-
относительное содержание компонентов [41, 43, 250].
Например, четыре индекса у отклика у1123 указывают на ис-
использование комбинаций точек, имеющих координаты xUi (? =
= 1, 2, 3, 4), т. е. степень решетки (п = 4); три разных индекса
указывают на трехкомпонентную систему с относительными со-
содержаниями 1/2 для первого компонента (V4 + iU — двухкрат-
двухкратное повторение индекса 1) и 1/i для каждого из компонентов 2 и 3.
План для симплексной решетки типа {3, 3} и обозначения откли-
ковтнрйведены в табл. 4.1.
192
Таблица 4.1
Обозначение откликов в матрице планирования для {3, 3}-решетки
Номер
опыта
1
2
3
4
5
План
1
0
• о
7з
V»
Хг
0
1
0
7з
0
0
0
1
0
7з
Отклик
2/1
2/2
Уз
2/122
2/133
Номер
опыта
6
7
8
9
10
План
Xl
0
7з
V»
0
V.
1/3
1/3
0
7з
Чг
Хг.
7з
0
х/з
7з
7з
Отклик
2/233
2/112
2/аз"
2/223
2/123
Оценка коэффициентов приведенных полиномов может произ-
производиться, как и в общем случае, согласно матричному уравнению
Р = (XTX)~1XTY. Однако могут быть получены и упрощенные
расчетные формулы.
Поскольку симплекс-решетчатые планы являются насыщенны-
насыщенными, т. е. число экспериментальных точек в плане равно числу коэф-
коэффициентов искомого полинома, для получения расчетных формул
коэффициентов полинома удобно воспользоваться методом под-
подстановки. Для получения расчетных формул в полином последова-
последовательно подставляются координаты всех точек плана, а вместо
выходов — соответствующие данным точкам значения у.
Рассмотрим последовательность расчетов на примере поли-
полинома третьей степени
У= 2 №i
D.21)
При подстановке в полином D.21) координат г-й вершины симплек-
са xi = 1, Xj = 0, / = 1, 2, . . ., q; j Ф i получим
¦»i = Pi, D-22)
т. е. коэффициенты |Зг оказываются равными 'откликам, получен-
полученным для ?-го чистого компонента.
При подстановке в D.21) вначале xt = 2/3 и х} = 1/3, а затем
Xi = 1/3 и ;г;- = 2/3 получим соответственно
2 12 2
УЩ = -J h + -J Р; + "g- Pif + 27 Tij»
1
1
УЩ = -j h +
2 2
Р; + "g- hi — 27
В каждом уравнении два неизвестных коэффициента Pi
и ytj. При совместном решении этих уравнений с учетом {5* = у
7 И. Г. Зедгинидзе 193
и $J — У) получим
9 9
Pii = — (УШ + У Hi — У г— Ш), tii = -4 (%«i — %Ш — J/i + 2/j) •
D.23)
При подстановке в полином D.21) координат точки, соответст-
соответствующей тройной смеси с равным относительным содержанием ком-
компонентов i, j и к (xt = 1/3, X] = 1/3, xk = 1/3, xi = О, I =
= 1, 2, . . ., q; 1ф1ф]фк),с учетом предыдущих формул D.22)
и D.23) получим
27
% = 27 уф — -? (ущ
. 9 , . .
Угкк
D.24)
Аналогично могут быть получены расчетные формулы коэффи-
коэффициентов приведенных полиномов любой степени п. Для п ^ 4 они
имеют следующий вид [250].
Модель первого порядка:
для трехкомпонентной смеси
D-25)
где
для ^-компонентной смеси
где
Модель второго порядка:
дяя трехкомпонентной смеси
^ = Pi«i + Рг^ + РзЯз + ^i2^ia;2 + ^^з +
где
Pi = Уи h = Уъ h = Уз,
Ри= 4г/12— 2г/1— 2г/2, ^3= 4г/13—2г/х— 2г/3; ^
для ^-компонентной смеси
У-~ S Mi+ 2
1<г<9 l
где
D.27)
3= 4г/23— 2у2— 2г/3;
' D-28)
194
Неполная кубическая модель:
для трехкомпонентной смеси
У = Pl«l + ^2^2 + ^3^3 + ^12^1^2 + ^13^1^3 + ^23^2^3 +
где
Pi = yi и т- д-;
Pla = 4г/12 — 2г/1 — 2г/2 и т. д.;
Pi23 = 272/из — 12 (У 12 + У13 + Угг) + 3 О/i + 2/2 + г/з);
для g-компонентной смеси •
^=2 Pi^+ 2 МАЧ 2 ?iikXiXjXk,
l<i<g l<ij
где
D-29)
D.30)
Pij = 4г/{,- — 2г/г — 2y};
hik = 27y№ - 12 (y4i + yifc + yjk) + 3 (г/{
Модель третьего порядка:
для трехкомпонентной смеси
где
Pi = г/i и т. д.;
g
Р12 = -4 О/112 + г/122 — 2/i — г/г)!
9
Р13 = -4- B/из + 2/133 — 2/1 — г/з);
Q
^23 = -g (^/223 + У233 — У г — Уз) у
Т (
—Зг/m —г/1 +2/г) и т. д.;
27
(х2 — x3)
Р123
= 27г/123 — ^ (г/на + г/122 + г/1зз + г/223 + г/233) +
Q
+ -2-(г/1 + г/2 + г/з)-
D-31)
195
для д-компонёнтной смеси
9= 2 ?гхг + S P
ж3 (Xi — Хз)
где
Р. = Уй
g
Р (
УШ — У1 — Уз)'
27
Piik = 27г/ш - -J (УШ + УШ +Уан + Угкк + Уш +
+ у(У{ + Уз + Ук)-
Модель четвертого порядка:
для трехкомпонентной смеси
У = Pi#i + Р^г + ^з^з + IWA + ^13^1^3 + З
Ж! — х2) + Tis^i^s (xi — хг) + Тгз^г^з («г
где
+ ^1123^2^3 + ^1223^1^2^3 + ^1233^1^2^3'
Pi = 2/i и т. д.;
Pi2 = 4г/12 — 2г/х — 2г/2 и т. д.;
8
Ti2 = -3" (~ У\ + 2j/ui2 — 2г/1222 + 2/г);
Q
Tis = 3" (— 2/i + 2г/шз — 2г/1333 + 2/з);
Q
Тгз = у (— У г + 2г/222з — 2г/2ззз + Уз)>
Q
б13 = -д- (— 2/i + 4(/шз — бг/13 + 4г/1333 — 2/з);
Q
б2з = j (— 2/г + 4г/222з — 6г/2з + 42/гззз — Уз)',
8
pirn = 32 (Зг/цгз — г/1223 — У1233) + -3 F2/i — 2/2 — 2/з) —
— 16 (г/12 + 2/1з) — у Eг/ш2 + 5г/шз — Зг/1222 — Зг/1333
196
Р1223 = 32 (Зг/1223 — г/1123 — Умзз) + у F2/г — г/i — J/з) —
— 16 (г/12 + г/гз) — у E?/m2 + 5г/222з — Зг/тг — Зг/2»зз
2/шз — г/1ззз);
Ризз = 32 (Зг/123з — 2/пгз — 2/122з) + у (бг/з — г/i — J/г) —
— 16 («/is + г/гз) — у Eг/1333 + 5г/2ззз — Зг/Ш3 —
— Зг/2223 — J/1112 — 2/1222))
для g-компонентной смеси
У= S Pi*i+ 2 Ргз:ГЛ-+ S
S
h33kXix)xk +
где
Рг = 2/Ь
Ргз = 42/ii — 2г/г — 2i/j;
Тгз = у (— 2/г + 21/шз — 22/iijj + г/3);
Q
fi'"J = "з" (— ^ + 42/iiii ~ бг/ij + 4yiWj — 2/3);
8
Рад = 32 CyUjk— ут- Ут) + у Fг/{— У,— yk) — 16 (уц+ Уш) —
— у Eг/ггг j + 5г/{щ — 32/ijj; — Зу^ш
Q
Ргз'з* = 32 C2/iii/i — J/iijfc — yijkk) + у (бг/j — г/г — г/t) —
16
— 16 (г/ij + yjk) — у (бг/ijjj + 5ут — Зут — 3yjm —
— Ушк — 2/г***);
Ргз** == 32 (Зг/ijtt — ут — Ушк) + у ФУк — 2/г — г/j) —
— 16 (г/i* + yik) — у Eг/{Ш + 5у1Ш — 3yiiik — Зут —
— Уна — г/ум);
ш
yy}kl
— 32 (yUjk + уиц + yiiki
+ УИкк + УгкЫ + У]Ш + У Mil + УзкИ + Угкп) +
32
+ j (у аи + Ушк + У ни + УИН + У ink + У ПН + Ухккк +
+Vikkk+ Уккы + Уин + У пи + Уни)-
Нелинейная часть приведенных полиномов называется синер-
синергизмом, если она вызывает превышение отклика по сравнению
с откликом, предсказываемым линейной частью, и антагониз-
антагонизмом — в противном случае.
При реализации в точках {q, и}-решетки более чем одного
опыта оценки коэффициентов приведенного полинома соответст-
соответствующей степени п получим, согласно тем же самым формулам с за-
заменой в них одиночных откликов уи yij, ... на средние величины
откликов уь уц, . . ., соответственно ги гу, . . . параллельных
наблюдений в точках симплексных решеток. Планы с одиночными
откликами могут быть рассмотрены как частный случай планов
с параллельными наблюдениями, когда г{ = г{у = • • • = 1.
В дальнейшем при оценке дисперсии предсказываемого значения
отклика, проверке моделей на адекватность и т. д. в основном
будут рассматриваться более общие планы последнего типа.
Полученные аппроксимирующие модели различных порядков
могут быть использованы для предсказания откликов в любой
точке симплекса. Точность предсказания отклика какой-либо
фиксированной моделью различна в разных точках симплекса
и кроме координат точки зависит также от экспериментальной
ситуации (дисперсии опыта, количества параллельных наблю-
наблюдений в узлах симплексной решетки).
Формулы для расчета дисперсии предсказанных значений
исследуемого свойства могут быть получены из самих аппрокси-
аппроксимирующих уравнений с учетом того, что регрессионные коэффи-
коэффициенты являются линейными функциями откликов в узлах симп-
симплекса. Вывод формул для определения дисперсии предсказанных
значений рассмотрим на примере квадратичной модели D.28),
оцененной по данным реализации квадратичной {q, 2}-решетки
с гг и гц опытами в вершинах и бинарных точках решетки. Заме-
Заменив в D.28) коэффициенты |3{ и |3,-;- их выражениями в терминах
усредненных откликов
и
i = Уь
после несложных преобразований получим [43]
У = S xi Bxi — !) Si + S 4
Обозначив xi Bxi — 1) = щ и 4;ri;r? =
&= S агУг+ 2 аИУЦ-
получим
198
Отсюда, принимая, что хг определяются без ошибок,
Последнее с учетом соотношений
справедливых при независимости параллельных наблюдений и ра-
равенстве дисперсий опыта во всех точках плана, примет следующий
вид:
2 4-+ 2 #1.
D.35)
где
= хг Bа- — 1), аи = AxiXj.
Формулы, аналогич'ные D.35), могут быть получены для непол-
неполной кубической модели
-3 2 *1
где
&ij = 4г{ж3- (Зж{ -f- Sxj — 2),
Otjft == Z iXiXjXk,
для модели третьего порядка —
2€i j- V су , v ch
r ~r Zj — г Zi ~r—
-l<i<g г l<i<j<g U l<i<i<g «j
+ 2 -^-+ 2 Ф
где
D.37)
_9_
ЗЖ; — 1),
х, — l),
199
для модели четвертого порядка —¦
+ 2 -^
iijk
2..ТЙ
+ 2 #^
2 #
D.38)
где
— 1),
{ — 2),
dm = Ъ2х{х,хк Dж1 — 1),
dijjft = 32ж{ж^ Da;i — 1),
- 1).
о
<**iJi = — ^i^j Da!i - 1) Drj - 2),
Анализируя выражения D.35) — D.38), можно заметить, что
дисперсия предсказанного значения исследуемого свойства во
многом зависит от числа и распределения параллельных наблю-
наблюдений между отдельными точками плана. Увеличивая количество
параллельных опытов, можно дисперсию предсказания сделать
весьма малой. Однако на практике общее число наблюдений всег-
всегда ограниченно
2 ri+ 2 го+...<ЛГ. D.39)
Поэтому актуальной становится задача минимизации о2{у) при
ограничении D.39) за счет оптимального распределения параллель-
параллельных опытов.
Решим задачу оптимального распределения параллельных опы-
опытов для квадратичной модели, оцениваемой по данным {q, 2}-
решетки. Так как в D.35) от числа параллельных опытов зависит
только второй сомножитель (обозначим его через z)
- 2 ?+ 2
<< г l<ij
D-40)
то задача сводится к минимизации z при ограничении
2
2 ry = 7V.
Решим эту задачу методом множителей Лагранжа [251]
s ra-
D.41)
200
Дифференцируя выражение D.41) по г4 и г^, получим систе-
систему уравнений
ЭФ
(* = 1,2 ff),
ЭФ
_ . aii
D.42)
откуда следует, что
D.43)
т. е. количество параллельных опытов г4 и ri7- должно быть про-
пропорционально величинам а* и а^ соответственно. Из D.43) непо-
непосредственно получаются формулы для подсчета г-г и г^
и,... ........ D44)
где
М
Аналогично, исходя из D.36), для неполной кубичной модели
получим следующие формулы для оптимального распределения
параллельных наблюдений в узлах неполно-кубической симплек-
симплексной решетки:
в
D.45)
где
2
Для модели третьего порядка распределение параллельных
наблюдений ищется согласно
где
2
D.46)
201
а для модели четвертого порядка - согласно
1/7 I ЛТ . _
Гг =
\diiii\N
точках плана. Если в каждой точке симплексной решетки пт»п«п
дится одинаковое число наблюдений, равное г то uodmvjih ---
рсии предсказанного значения и™™™»,,,™ L-L.
д, равное г, то фо
значения ЙССлед«
" > rHjk =
D.47
где
D.48)
D
D
где
+ 2 \dijki\-
l<i<j<ft<i<q
Как видно из D.44) — D.47), вычисление оптимального числ
параллельных наблюдений в каждой точке плана связано с опре
деленными трудностями. Учитывая, что в D.44) — D.47) сомно
жители типа \а\/А, \ Ь \/В, \с \ /С, \d \/D зависят только от по
ложения точки на симплексе, т. е. от состава смеси, удобно табу
лировать значения этих сомножителей для различных q и п, и дл*
определения оптимального числа параллельных опытов удобш
пользоваться табличными данными. При q = 3, аналогично no-j
строению контурных карт для ?, могут быть построены контурнкн!
карты для этих сомножителей.
В [252] рассмотрено альтернативное распределение параллель-
параллельных наблюдений, минимизирующее по всей факторной области
2 хг = 1 математическое ожида
= 2 а? + 2 аЬ ~~ ДЛя модели второго дорядка,
? = 2^~Ь 2^4'+ 2^'*—Для неполной кубичной модели,
I = 2 с? + 2 с« + 2 ch + 2 ch + 2 4а — Для модели
третьего порядка,
? = 2 ^* + 2 ^i + 2j diW + 2 dim + 2 ^из* + 2 dijjk +
+ 2^j*a +2^У*'"~ Для М0Дели четвертого порядка.
Так как в выражении D.48) —^- зависит от эксперименталь-
экспериментальной ситуации, а \ — только от состава смеси (? является функцией
только координат точек симплекса), появляется возможность
заранее табулировать значения \ для различных q и п в опреде-
определенных точках симплекса. А при q = 3 значения \ для конкрет-
конкретных планов могут быть представлены графически проекциями
линий равного уровня на симплекс (контурные карты).
Вычисление \ для построения контурных кривых обычно про-
производится на ЭЦВМ по сетке значений переменных с относитель-
относительно малым шагом. Такие контурные карты для тройной системы
(q = 3) и приближений различного порядка приведены на рис. 28
[43, 250].
Можно заметить,
__ „„.„xu, что величина дисперсии предсказания
._ „....vj/ша ииластн свойства ? нигде не превышает единицу, а максимальное значение
иатоматтто^т^п „„. 1 = 1 достигается в экспериментальных точках,
математическое ожидание дисперсии предсказанного gHaJ дИСпевСию пшт. «« /»»
значения исследуемого свойства.' Для квадратичной модели, HaJ
пример, математическое ожидание
Г
достигает минимума при фиксированном суммарном числе наблюй
дений при
Так как подсчет по обоим способам связан с определенными
вычислительными трудностями, на практике часто ограничивают!
ся проведением равного числа параллельных наблюдений во всед|
202
достигается в эксперлных точках.
Зная дисперсию опыта a2 {у} и число параллельных опытов
г, легко найти, согласно D.48), ошибку значения у, предсказы-
предсказываемого по уравнению регрессии в любой точке диаграммы сос-
состав — свойство, воспользовавшись для этого соответствующей
величиной ?, взятой для этой точки с контурной карты.
Доверительные интервалы для ошибки предсказываемого от-
отклика определяются по формуле
D.49)
Стьюдента {(а - уровень значимости / _
, L-
числе
203
iff 1,0 1,6
0
Рис. 28.. Изолинии | для симплекс-решетчатых плавов второго (а), неполного
третьего (б), третьего (в) и четвертого (г) порядков
параллельных опытов во всех точках плана формула D.49) пряш*
вид [ч,
Контуры для дисперсии предсказанного значения аа {$} ш
верительных интервалов А исследуемых свойств будут иметь
же вид( что и на рис. 28, только значения на линиях уровня д
ны быть пересчитаны в соответствии с формулами D.48) и D
Так как число коэффициентов приведенного полинома
соответствует числу точек симплексной решетки (план насып
для проверки полученной математической модели на адекватн
отображения экспериментальных результатов необходимо n
дение' одного или нескольких донолнительных проверочных
тов. Число и расположение дополнительных экспериментал
204
атн мя%
Шчек выбирается, исходя из технических ограничений, требуемой
Точности, стоимости материалов и анализов. Целесообразнее всего
эти проверочные точки располагать в областях наибольшего ин-
интереса так, чтобы все они (или хотя бы часть из них) в дальнейшем
использовались как составная часть более сложных моделей.
Как уже было указано в гл. 1, адекватность модели следует
проверять в каждой контрольной точке. При использовании t-
критерия его экспериментальное значение для каждой провероч-
проверочной точки вычисляется согласно A.33). В тех случаях, когда
используется равное число параллельных опытов во всех точках
Симплексной решетки и проверочных точках, например г, выра-
выражение A.33) с учетом условия D.48) упрощается;
У и'
D.51)
При вычислении величин ? в трехмерном случае (q = 3) и при
п <; 4 удается обойтись" без громоздких вычислений значений ?.
Для этого используют соответствующие данной проверочной точке
значения | из построенных контурных карт (рис. 28).
Если- модель окажется неадекватной, следует перейти к приб-
приближению более высоких степеней путем достройки-симплексной
решетки.
Иногда можно не делать полный переход к полиному более вы-
высокой степени. Для этого добавляют к имеющемуся неадекватно-
неадекватному полиному некоторые члены из полинома более высокой степени,"
т. е. реализованный план дополняют точками, соответствующими
таким членам полинома. Этот прием применяется при переходе
от полинома второй степени к полиному неполной третьей степени.
Добавление к плану второго порядка тройных,точек с равными
пропорциями компонентов позволяет оценить коэффициенты чле-
членов $ij~kXiXjXk. Иногда исследователям бывает интересно увеличить
информацию о центральной области симплекса без резкого увели-
увеличения степени полинома. В таком случае можно добавлять, на-
например, к планам второго или третьего порядка средние точки
из плана четвертого порядка и те,м самым включать в полином
лишь члены PiijhZiZjZh, i Ф j Ф к. Аналогичным образом можно
усиливать информацию о любой части симплекса. Можно, на-
например, добавлять точки только на некоторых из ^-мерных гра-
граней симплекса, если поверхность отклика для соответствующих
^-компонентных систем (Q ^ q) сложнее, чем для остальных,
и соответствующим образом изменить или дополнить полином.
Определенный практический интерес представляет случай,
когда {q, т}-решетка используется для оценки полинома степе-
степени п (т ^> п). В этом случае обеспечивается уменьшение откло-
отклонения полиномиальной аппроксимации избранной степени от
истинной функции отклика за счет приближения полинома на
менее удаленных точках симплексной решетки. ОгШ^Жй|'Й!в>
LOZ
[OSS] иининэнавДЛ
иинннопэн хнкэванэипо 'внинню иэюонхAэаоп энаи<1н Мш
= Я — 9
= Я — о
'.Ежгж. о + 8жЪс/,г + 'х*хц + Ежоот + ^
+ 'жоб = я — а;
— 9 '."жоот + гхдв + 'х
[
-on oaodoia ииикэйои хнкэва
-нэипо 'еншсню иэ1эонх<1эао11
энаи<1н эид
'х OS
'х OS
Ж
'OOP И S6 '06 ННЯВA В0Н91ЛШИЭ ХВНИШA9Я Я (ВНИ8НЭ9 BIfOHb ЭНЯОНВХ
но) иникяхо хквьАио хнннэо!хоиоэвA ихкп хэоя og 'g^ 'ond вн ннэй
8HHdn '(ВИОНИ1ГОП ЧХОВЬ НВНИЭНИКЭН) (ИИНИК 8HHdHXHHAn) % ИХООН
ИЭНИ1Г ХО НИНЭНОКНХО HKW ЭЖНВХ В '(ИИНИ1Г ЭННШОКПО) ^ ВЯИ1ГНХО
Kirtf 8HHndH 8HHdAxHOH ии випюз^яхохэяхооэ и яэвьАко хнннвевнА
эшня чхнп эипюшжейдохо 'нионикоп 8HHH9W8HHdn d
•«эюонхаэаоп хэйнхэЬ хинмиооп эинэшвйдвю
эончцвнаэв ютвИ аонвнв иийвниаиоя эннчцвюо эод ,
О
О
+
о
нхнэийиффеон
j
а
9
в
йвьАиэ
j хганаонзо
IUBU Hirtf aoHeirh хганивниь-эн аоявне
•эхоэия
хиодо и яоиеинолвхне и нвх 'HoweHJdaHHO нвя эиьикен хетвянх
-яьА ивьАкэ nxg '%'f 'irgBx я xHHHaWaHHdn 'яэвь^ко хнняонэо чхнп
Xdd хняокоиь XHHxadHHOH вн HadxoMOOBd 'чхиьАкоп онжои
ШЧКЭИОИ HOHbHXBdWBHH ХНИ
-эвямэипо 'хняиДн XHHdAxHOH HHeedgoojoHM о 9HH8i:ai8xotf8d]j
•(вИохня ojoHHBd HMHHHdH) HWHandH HWHHdAxHOH
— 0НЭ1ШКИ0 BH ИИН9НВН8 XHHHBd ИИНИК HWKHhH8Odn ИHOЭЬИфl8dJ HH
-airaBXotfadn 11119 -ь^ои иэхоио хннхнэнопион-й (aoeado) иэховь хнн
_xH8HonMOHX8dx ики иэхоиэ xHHHodx югИ вяикяхо nxooHxdaao]j
'{л> sdt-jV = (х) / (О) х-Ш (х) j/ {^> zoi-7V = {$) г°
— иинэьвне xHHHBgBHotfadn oiHodanonW в
ЭIfiiиdoф
on xKtfoaenodn nnooedjed яохнэипиффеон Аннэйо 'oadaxHH ииш
-iitoqhbh xHtaoiHiraexoWadn 'нэьох xHdoxoH9H Хнвкп Awoxebxamad
-ЭЯЭ1ГПМИЭ я нинэияедой ввьАио я эжявх в 'ввьАиэ иохе д 'нэжои
-еояэн ияяонвхэйоп иоИохвм вионииоп яохнэипиффеоя иянэпо вкй
FAмdoф XHHH8lDOdnA ИОЯНЯ И 'ИНННЭйтЭВНЭН НЭХИЯОНВХО НВ1ГП
яохнэийиффеоя хииэваинэЬо иокоиь Ивн яэьох вкэиь ьжпэшпкэйи
Поверхностью отклика в случае а является наклонная плоскость,
и, следовательно, контурными кривыми будут параллельные пря-
прямые (рис. 29, а). Добавив к полиному, соответствующему случаю
а, три равных члена квадратичного бинарного синергизма, полу-
получим полином, соответствующий случаю б, контуррые кривые для
которого приведены на рис. 29, б. Так как чистые компоненты
имеют неравные величины откликов, в данном случае не следует
ожидать максимальной величины отклика в центре симплекса
(на рис. 296 контурные кривые для октанового числа у смеще-
смещены). Контурные кривые для нелинейной части полинома у (пунк-
(пунктирные линии) образуют параболоид вращения. Максимум, рав-
равный восьми, находится в центральной точке, а минимум — 0 —
в вершинах симплекса. Влияние и синергизма и антагонизма про-
проиллюстрировано на рис. 29, в и 29,5, причем контурные кривые
для у здесь помечены соответственно знаками «+» и «—».
Добавление к квадратичной модели, соответствующей случаю
б, члена Pi23^i^2^3 переводит модель второго порядка в неполную
кубичную и изменяет контурные кривые. Они показаны на рис.
30 для положительного и отрицательного значения Ре-
Реформы поверхностей отклика, а следовательно, контурных
кривых, которые могут быть аппроксимированы моделями треть-
третьего порядка, многочисленны. Для бинарных смесей модели треть-
третьего порядка могут обеспечить получение кривых отклика у, а не-
нелинейная часть модели — кривых отклонений от линейности у,
показанных на рис. 31 для различных р12 и у12. Если у12 = 0, то
кривая / будет соответствовать кривой второго порядка. При
р!2 = 0 получим кривую //. В остальных же промежуточных
случаях получатся кривые типа кривой ///. Максимальное откло-
отклонение от линейности ожидается для всех значений хх между 21 и
79%. Модель третьего порядка допускает максимум и минимум.
Контурные кривые для одной из моделей третьего порядка приве-
приведены в качестве примера на рис. 32, а.
Модели четвертого порядка допускают два максимума и мини-
минимум или максимум и два минимума. Максимальное отклонение от
линейности в бинарных смесях здесь достигается для хх между 15
и 85%. Контурные кривые для поверхности отклика, описывае- .
мой полиномом четвертой степени, приведены в качестве примера
на рис. 32, б.
Приблизив поверхность отклика. полиномом какой-либо сте-
степени и убедившись в его адекватности, можно приступить к пост-
построению контурных кривых. Использование для построения кон-
контурных кривых непосредственно моделей D.25) — D.34) оказы-
оказывается затруднительным без применения вычислительных машин.
Для решения задачи построения контурных кривых в трехкомпо-
нентном случае более целесообразным является использование
следующего приема [43].
4 Для какого-нибудь фиксированного значения хх, например
хх = 0, вычисляют, согласно оцененной модели, значения откли-
208
Рис. 31. Кривые отклика (сле-
(слева) и отклонений от линейно-
линейности (справа), описываемые ку-
кубичными моделями для бинар-
бинарных систем
3,8.9 9,87 94,97 99,60
Рис.32. Контурные кривые для поверхностей отклика,описываемых в [2501
а — кубичным уравнением: у = 54,91х, + 3,08х2 + 9,87х3 + 44,56 х,х2 — 28,70х,х, +
+ 21,49 хгх, -14,33ж,л-, (ж, — хг) + 5.13 Xlx, (х, — х,) + 44,64х2х3 (хг — х3) —55,54 х,
¦W 0 — уравнением четвертой степени: у = 95,03х! + 94,97х2 + 94,80х3 —
— 2,O0.v,jc2 + Р.0,47х,х3 + 7,93х2х3 — 0,89х!Х2 (х, — .т,) — 4,00х,х3 (х,— х3) —10,58х2х3(.т2 —
—л-з) —6,22 xix2 (xt — 3Ci)'—31,38 х,х3 (х, — х3J —18,22 х2х3 (х, — х3J— 127,6х,2х2х3—
2 2
—27,04 Xi.V2X3 — 17,96x^X3
в xf =0,6
Рис. 33. Построение контурных кривых но приближающим полиномам
ка для различных х2 (или х3) от 0 до 1 — хг (в нашем случае of 0
До 1) с каким-нибудь шагом hx, например 0,1. Полученные зна-
значения отклика наносятся на двухмерную диаграмму напротив
соответствующих величин х3 (рис. 33, б). Воспользовавшись сече-
сечением поверхности отклика, приведенным на рис. 33, а, удается
определить относительные содержания хг и хя, обеспечивающие
309
при заданном хг (в нашем случае хг = 0) какой-нибудь onpej
ленный выход, например 40, 60, 80. Согласно рис. 33, б, при xt)
= 0, 70%-ный выход обеспечили две точки: х2 =0,6, х3 = О
и х2 — 0,85, х3 = 0,15. Эти точки наносятся на соответствуют^
избранному хх линию, параллельную стороне х3 (в нашем слун
прямо на сторону х3).
Построив аналогичные рис. 33, б графики для различнг
фиксированных значений х± от 0 до 1,0 с каким-нибудь шаго?
определим на каждой из них координаты точек, обеспечивающи
те же самые процентные выходы. Нанесем полученные точки в
симплекс и соединим их гладкими кривыми. Получим таким обре
зом контурные кривые, соответствующие 40, 60, 80%-ным выхя
дам.
Опустив в моделях D.25) — D.34) линейные члены, для откл]
нения от линейности могут быть также, следуя вышеописанна
процедуре, определены контурные кривые. Они обычно вычерч!
ваются пунктирными линиями.
Пример. Рассмотрим применение симплекс-решетчатого планироВ
ния для построения диаграммы октановых чисел трехкомпонентной сме|
бензинов [250]. На первом этапе для приближения поверхности отклика m
линомом второй степени был реализован симплекс-решетчатый плав тип
{3, 2} (первые шесть опытов в табл. 4.3).
Таблица 4.
[веденного
а — 2.у! — 2у2 = — 16,30;
8-2fr-203 =-10,70;
,з — 2г/2 — 2г/3 = 0
полинома второй степени, имеющего в настоящем случае сле-
й вид:
100,85а;! + 85,40я2 + 85,50я3 - 16,30^2 - №,Шххъ. D.52)
г
\ Для проверки адекватности полученной модели были реализованы по
а параллельных опыта в трех проверочных точках, одна из которых рас-
кожона в центре симплекса (опыты № 7, 8, 9 в табл. 4.3). Подстановкой
Ьтветствующих условий экспериментирования в D.52) определим матема-
геские ожидания откликов в проверочных точках. Далее для всех трех
~ точек определим разность d = ~ '•
\ у — у
, _ о и а {у)
с учетом г — и к
> дя централ
„гласно D 51), с учетом г = 2 и а {у) = и,о», •»
Гзначен^ ^ кр'ите'рия. Для центральной точки
d^Y~ 0,97 /2"^ _ о а а
= 0,34, вычислим эксперименталь-
"_ „Т1ТТ
0,34-1,276
Данные для примера построения диаграммы октановых чисел
трехкомпонентной mw» й"~
ж _r_ v.rvcnua диаграммы окт
трехкомпонентной смеси бензинов
Выход, октановое
Средняя оценка октанового
числа у
100,9
85,6
85,0
89,3
90,7
85,4
=100,85
д2 =85,40
Уз =85,50
у и = 89,05
?13=90,50
=85,45
у12з= 88,55
86,70
87.85
Проверочные точки
(-критерия превосходит соответ-
е (<^ = 2,26), модель второго
Р~ о{I/} 1,276 ,,
Так как экспериментальное значение (-критерия превосходит соответ-
твующее критическое (табличное) значение (<0i0^;9 = 2,26), модель второго
корядка неадекватна, и поэтому необходимо приближение полиномом более
рысокой степени.
ик в центральной точке симплекса, удается вычислением
ета
уш ут + Угз) + 3 (j/i + Уг + Уз) = 26.10
квадратичную модель до неполной кубичной:
+ 8540 + 855 Ш
Используя отклик
лишь одного коэффициента
- 12 (м12
расширить
у
ть квадрау
100,85а:! + 85,40ж2 + 85,50ж3
Ш
2<о,Шххгхъ. D.53)
При проверке адекватности полученной неполной кубической модели
использовались данные проверочных точек № 8 и № 9 и соответствующие
этим условиям математические ожидания выходов, предсказанные по урав-
уравнению D.53). Проверка показала, что неполная кубическая модель D.53)
адекватно описывает экспериментальные результаты и, следовательно, мо-
мобыть использована для построения контурных кривых. Контурные кри-
кридля октанового числа у, а также для отклонения от линейности у =
строенные согласно вышеопи-
вышеопиВ каждой точке плана было реализовано по два параллельных опытая
среднее значение которых у приведено в последнем столбце табл. 4.3.
По данным у, согласно D.27), были оценены коэффициенты
рх = у, = 100,85, ft, = уг = 85,40, р3 = у9 = 85,50;
210
ЖеТ ОЫТЬ ИСПОЛЬаииаиа м"" г ...
вые для октанового числа у, а также для отклонения
= - 16,30хЛ - Ю,70хЛ + 26,1OW построенные
санной методике, приведены на рис. 34, о. „пяштению D.53) значе-
Для установления ошибки ^^^ST интервалы Р
ния октанового числа построим 95 /„ ные д Р триваемой зада-
задасогласно
D.53) значе-
ния октанового числа построим
(й _ д < у < у + Д) = 0,95. Учитывая
че а=0,№, Т = 7 - число оцениваемых
в рассматриваемой
констант
модели,
211
У ЦЮ
Рис. 34. Контурные кривые (а) и контурная карта (б) для задачи математи-
математического описания свойств трехкомпонентной смеси бензина
/ = 9 — число степеней свободы, в {у} = 0,34, г = 2 и
гласно D.50), для Д получим выражение
Д =
&Ы, = 3,45. -Н^-б'/' = 0,83gv2.
— 3,45, со-
D.54)
Так как Л является функцией лишь ?, появилась возможность использования
в качестве контурных кривых для Д контурной карты (рис. 28) путем под-
подстановки к изолиниям вместо i значения 0,вЗ^2 (рис. 34, б). Так, например,,
контуры, относящиеся к ? — 0,8 на рис. 28, становятся контурами, обозна-.
ченными через 0,83?1/г = 0,83-@,8)'/г = 0,74 =? Д на рис. 34, б. i
Полученные контурные кривые (рис. 34, а, б) успешно могут быть при^
менены не только для выбора состава смеси, дающей нужное октановое число,
но и для решения обратной задачи — предсказания октанового числа для
смесей определенного состава и определения доверительных пределов для
предсказываемых величин без применения соответствующих аналитических
выражений D.53) и D.54).
Например, для смеси состава х1 = 0,10, х2 = 0,70 и х3 = 0,20, согласно
контурным кривым для отклика (рис. 34, а), определим предсказанное выра-
выражением D.53) значение октанового числа — 86,0. Из рис. 34, б для той же
точки диаграммы находится Д = 0,55 ж 0,6. Таким образом можем записать
р (86,0—0,6 <у< 86,0 + 0,6) = р (85,4 <у< 86,6) > 0,95.
Симплекс-решетчатое планирование эксперимента нашло ши-
широкое практическое применение..
В [252] было отмечено, что симплекс-решетчатыми планами
Шеффе наиболее целесообразно пользоваться для описания зави-
зависимостей свойств от состава однофазных систем (либо полная^диаг-
рамма с непрерывными рядами твердых растворов, либо однофаз-
однофазные участки сложных систем) или в случаях, когда эксперимен-
экспериментально изучаемое свойство определяется лишь одной фазой (на-
(например, микротвердость твердого раствора гетерофазных сплавов
и т. п.). Попытки использования планов Шеффе для построения
212
Рис. 35. Поверхность ликвидус в системе Pb — Cd — Bi
зависимостей свойств от состава целиком во всей многофазной си-
системе могут окончиться неудачей, так как с физико-химической
точки зрения произвольным образом выбранные точки симплекс-
решетчатого плана, в общем случае не совпадая с «критическими»
точками (точками перегиба), могут не обеспечить при аналитиче-
аналитическом описании зависимостей улавливание участков скачкообраз-
скачкообразного изменения свойств.
Покажем это на примеру построения модели поверхности лик-
ликвидус эвтектической системы Pb — Cd — Bi (рис. 35, а). Распо-
Расположение точек двойнях и тройных эвтектик таково, что даже мо-
модель четвертого порядка (рис. 35, б)
р = 327*х + 321*2 + 271*з -
— 155^*2 (*х — *2) + 75*х*3 (*х — *3) + 277*2*3 (*2 — *3) —
- 320*х*2 (*х - *2)а + 773*х*3 (*х - *3J + 240*2*з fa - *з) 2 +
+ Ю77*^2*з + 1226*^*3 + legar^,
приближенная по данным симплексной решетки четвертой степе-
степени, совершенно неудовлетворительно описывает зависимость тем-
температуры начала кристаллизации ^сплавов (г/х — температура
ликвидус, °С) от их положения на концентрационном треугольни-
треугольнике (*ъ *2) х% — концентрации соответственно Pb, Cd nBi в долях
единицы).
213
В [2531 был предложен способ применения сйкплекс-решетчй-
тмх планов для построения зависимостей свойств от состава для
многофазных систем. При этом предполагались априорное разбие-
разбиение ожидаемой поверхности на относительно гладкие участки, по-
поиск самостоятельных моделей для каждого из этих участков и
последующая экстраполяция моделей (аналитическая или графи-
графическая) для выявления границ между фазовыми областями.
Так, например, в рассматриваемой задаче, где поверхность лик-
ликвидус в эвтектической системе РЬ — Gd — Bi представляет собой
три пересекающиеся поверхности первичной кристаллизации каж-
каждой из фаз, удобно искать модели отдельно для каждой из них. По-
Поверхность первичной кристаллизации фаз можно выделить с по-
помощью вспомогательного треугольника, вершинами которого
служат точки двойных эвтектик двойных диаграмм (рис. 35, в) 1.
Образовавшиеся новые треугольники /, // и /// рассматриваются
теперь как исходные, внутри каждого из них реализуется, напри-
например, неполно-кубический симплекс-решетчатый план (табл. 4.4) и
находятся модели поверхности ликвидус в виде следующих не-
неполных кубических уравнений: треугольник /
у = 327а:! + 248z2 + 127z3 —
8Qx2x5
271z6 — 44z3;r5 + 20x3x6 + 100;r5;r6
треугольник //
у = 248z2 + 321z4
треугольник ///
у = 127z3
-f- 39x3x5xe.
Здесь у — температура ликвидуса, °С; хх — РЬ; х2 — сплав РЬ
с 0,18 Gd; х3 — сплав Bi с 0,45 Pb; z4 — Gd; хъ — сплав Bi с 0,40
Gd; х6 — Bi (все концентрации в долях единицы).
Убедившись в адекватности моделей по данным опытов в про-
проверочных точках, была проведена графическая экстраполяция
(рис. 35, г), позволившая весьма точно определить линии кристал-
кристаллизации двойных эвтектик в тройных сплавах и координаты точки
тройной эвтектики. - ' ^
Описанный прием можно применять лишь в тех случаях, ког-
когда при исследовании многокомпонентных систем имеется некото-
некоторая информация о менее сложных системах или, по крайней мере,
можно выдвигать те или иные гипотезы о возможном строении изу-
изучаемой системы.
1 Термодинамически может быть показано, что точка тройной эвтектики обя-
обязательно лежит в центральном треугольнике.
214
Таблица 4.4
Матрица планирования для получения неполно-кубических моделей
в треугольниках I, II, III [253]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
¦ 9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
Состав сйлава
Xt
1
0
0
7з
'/•г
0
V»
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
В кодированном масштабе
Хг
0
1
0
0
V»
0
0
V*
7з
0
7з
0
0
0
0
0
0
0
1
0
72
V»
7«
0
0
0
0
0
0
'о
V»
0
7з
X,
0
0
0
0
0
0
0
1
0
72
0
7»
7з
0
0
0
0
0
Хъ
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
V*
7з
7з
0
72
72
7з
X,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
72
7з
В натуральном
масштабе
РЬ
100
82
45
91
72,5
63,5
75,7
0
0
41
41
0
27
0
22,5
22,5
0
15
Cd
0
18
0
9
0
9
6
100
40
59
29
70
53
0
20
0
20
13,3
Bi
0
0
55
0
27,5
27,5
18,3
0
' 60
0
30
30
20
100
57,5
77,5
80
71,7
Темпера-
Температура лик-
ликвидус, °С
(V)
г/1 = 327
г/з = 248
г/з = 127
г/1з = 276
yi3 = 228
г/гз = 180
г/1зз=2зо
г/4 =321
г/5 =149
г/24 = 278
г/зб = 220
г/45 = 254
г/345=257
г/6 = 271
г/35 = 127
г/зб = 204
г/56 = 185
г/356 = 160
Отдельные вопросы планирования эксперимента при изучении
диаграмм состояний рассмотрены также в [254, 255], а вопросы сим-
симплекс-решетчатого планирования — в [256, 257].
§ 4.2. Симпглекс-центроидные планы
В симплекс-решетчатых планах экспериментальные точки рас-
располагаются в основном на периферии симплекса. Некоторые из
этих планов, например решетки первого и второго порядка, не со-
содержат ни одной экспериментальной точки внутри исследуемой
области, т. е. точки, соответствующей составу всех компонентов.
Полином, приближенный по таким точкам, адекватно описывая
результаты опытов на границах симплекса, может дать значитель-
значительные отклонения для центральных областей, соответствующих сме-
смесям всех q компонентов исследуемой системы. В связи с этим в
[42] было предложено другое расположение экспериментальных
точек — симплекс-центроидное планирование эксперимента.
• 215
В симплекс-центроидных планах опыты реализуются в N =
_ 2« — 1 экспериментальных точках, q из которых — точки, со-
содержащие один ненулевой компонент; С\ — точки, содержащие
два ненулевых компонента (бинарные смеси); С* — точки, содер-
содержащие три ненулевых компонента (тройные смеси), и т. д. и одна
точка, содержащая все компоненты смеси.
Симплекс-центроидный план содержит точки с координатами
A, 0, ..., 0); A/2, 1/2, 0, ..., 0); ...; A/q, 1/q, ..., 1/q),
а также все точки, которые можно получить перестановкой
их координат. Следовательно, экспериментальные точки рас-
расположены в вершинах симплекса, серединах сторон, центрах гра-
граней различной размерности и одна точка — в центроиде (центре)
симплекса.
В отличие от симплекс-решетчатых планов, где для данного q
имеется целое семейство {q, га}-решеток (га == 1, 2, ...), существу-
существует единственный симплекс-центроидный план для фиксированно-
- го q.
В качестве аппроксимирующего полинома в [42] предлагается
полином
У = 2
2 $Hxix
+
+ h
-Xq,
D.55)
имеющий столько же коэффициентов, сколько точек используется
в симплекс-центроидном плане. Формулу D.55) можно записать
и так:
а
?=2 2 fau-ivXii?u---xiv. D.56)
d=1 I<ii<t2<-<i1)<ij
Коэффициенты в D.55) или D.56) однозначно определяются от-
откликами в 2я — 1 точках симплекс-центроидного плана.
Обозначим отклики следующим образом:
= yi при ач=1,
у = уц при Xi = Xj = -j-,
У = Уцк при х{ = xj = хк =
D.57)
D.58)
D.59)
В общем случае отклик для ^-компонентных смесей с равными
пропорциями компонентов iu i2,..., iv обозначается через Уи,и,...,г
XO
{i=hix,H,..,,lv). D.60)
Подставляя D.57) в D.55), получим
Р, = У1- D-61)
Подставляя D.58) в D.55),—
y*i = 2-1 (Р« + Pi) + 2-«?„, D.62)
откуда, с учетом D.61), получим
h} = 2{2lyi}-l1(yi + yj)}. D.63)
Аналогично выводятся формулы для вычисления коэффициен-
коэффициентов регрессии
Р«* = 3 {&уцк - 22 (уц + у* + у») + I2 (уг + у, + ук)}, D.64)
fajkm = 4 {tfyijkm — З3 (ут + yiim + yikm + yjkm) +
+ 23 (Уij + Угк + Угт + У1к + Ут + Укт) —
~^(Уг+У1 + Ук + ут)}- ( D.65)
Итак, формула вычисления коэффициентов "регрессии по дан-
данным симплекс-центроидного плана имеет следующий вид [42]:
[Ч = v {у"Ч (Sv) -(v- 1)-' Фв-1 (Sv) + (v- 2Г1 Фг_2 E„) -
_... + (_1Г11-1ф1(^)} D.66)
ИЛИ
(=1
D.67)
где Sv — обозначает какое-нибудь подмножество {iu i2, ..., iv) из
v элементов {1, 2, ..., q), a % (Sv) — сумма откликов всех С(,-ком-
понентных смесей с равными пропорциями, сформированных
из v компонентов подмножества Sv (в обозначениях D.60) ф( (Sv)
представляет собой сумму откликов ун по всем подмножествам
S* = {h, к, ¦-.,//} элементов Sv).
Регрессионное уравнение D.55) после подстановки значений
коэффициентов, вычисленных по формулам D.61)—D.67), может
быть использовано для предсказания откликов в любой точке ис-
исследуемого факторного пространства.
Формулы для расчета дисперсии предсказанных значений ис-
исследуемого свойства могут быть получены из самих аппроксими-
аппроксимирующих уравнений с учетом того, что регрессионные - коэффици-
коэффициенты являются линейными функциями откликов в точках симплекс-
центроидных планов.
Рассмотрим симплекс-центроидное планирование для трехком-
понентных смесей. В данном случае регрессионное уравнение бу-
будет иметь вид
2 D.68)
217
216
где Pj, pi;- и pyfe вычисляются по формулам D.61), D.63) и D.64)
соответственно. Подставляя их значения в D.68), получим
У = 2 У&г+ 2
+ [27j/iife — 12 (yu + yik + yjk) + 3 (;/{ + y; + yk)\ хгхрк.
Приведем подобные члены относительно откликов
У= 2
+ 2 У И
l<i<K3
= 2 yiXilBxi —
3
j — 2)
Обозначим
Xi [Bач - 1) + 3xfck] = а{ . D.69)
и выразим 3xjXh через ^. Для этого возведем в квадрат тождество
Xi ~\- Х% -\-Х$ = 1
и, проведя несложные преобразования, получим
2хгх; = 2х\ - 2ж{ + 1 - 2 ХЬ D.70)
Подставляя D.70) в D.69), получим окончательное выражение
ДЛЯ ui
r?-2z, + i-<-3 2 4)- ' D.71)
Учитывая D.71) и обозначая
ац = 4а:{а:3- (Зж{ + Зж5 — 2),
запишем регрессионное уравнение D.68) в терминах откликов
#=2 Угаг+ 2 УааН + УЦкам- D.72)
Предположим, что в D.68) х\ известны без ошибок. Воспользовав-
Воспользовавшись законом накопления ошибок, получим выражение, опреде-
определяющее а2 {у}:
з2Ш= 2 «!о2Ш
218
Последнее, с учетом очевидных соотношений
П23
справедливых вследствие независимости параллельных наблюде-
наблюдений и при условии равенства дисперсии опыта во всех точках пла-
плана, получим окончательно
а2 Ш =
D.73)
При фиксированном суммарном количестве опытов распреде-
распределение параллельных наблюдений по точкам симплекс-центроид-
ного плана можно осуществлять согласно [251]
I N
'123
D.74)
где
= 2 \аг\+ 2
Для q = 4 регрессионное уравнение будет иметь вид
# = 2 Р^г + 2 hF&i +
+
+
D.75)
где Pj, pi;-, Pijfe и р1234 вычисляются соответственно по формулам
D.61), D.63), D.64) и D.65). Подставляя их значения в D.75), пос-
после ряда преобразований получим [258]
У = 2 ЕгУг
где
+
fe,- 1 — 3Dr, —
?i234J/i234>D.76)
Drt
- 5Xi - 5Xj + 2 - 4 2 4) -
*fc - 3),
пРеДположим. что Xi известны без ошибок. Восполь-
законом накопления ошибок, получим выражение,
219
определяющее а2 {у} при q = 4
°ЧУ}= 2 «?°'Ы + 2
1<г<4
+ 2
D.77)
Подставляя в D.77)
б2 {г/1гзЛ =
Г1234
получим
+
\jk -- -
D.78).
Распределение параллельных наблюдений между точками сим-
плекс-центроидного плана при q = 4 может быть осуществлено
согласно
\gjj\N
G
rijk
D.79)
где
= 2
Если в каждой точке симплекс-центроидного плана проведено оди-
одинаковое число параллельных опытов г, то D.73) и D.78) примут
вид
-¦>'•> -2,,л I D.80)
при q = 3,
при q =4.
где
i= 2 а?+ 2
l<i<3 I
е= 2 ri+ 2
«I-
«?»*'+
l<i<4 l<i<j<4
Полученные формулы D.73), D.77) и D.80) позволяют без об-
обращения к ЭЦВМ вычислять дисперсию предсказанных значений
функции отклика в любой точке симплекса для трех- и четырех-
компонентных смесей.
Вычисление доверительных интервалов для ошибки предска-
предсказываемого отклика и проверка адекватности осуществляются
по методике, изложенной в предыдущем параграфе и главе 1.
220
§ 4.3. Симплекс-симметричные планы
В симплекс-решетчатых и симплекс-центроидных планах экспе-
экспериментальные точки распределены по симплексу неравномерно.
Основная их часть сконцентрирована на гранях симплекса. Вслед-
Вследствие этого использование приближенных в основном по граничным
точкам моделей для предсказания свойств смесей во внутренних
областях симплекса может привести к значительным отклонениям
от действительности.
Вряд ли можно считать выходом из положения применение
симплекс-решетчатых планов высокого порядка, содержащих
некоторые внутренние точки, так как при этом одновременно
растет и степень приближающего приведенного полинома, а сле-
следовательно, увеличиваются трудности вычислительного характе-
характера, связанные с оценкой коэффициентов регрессии, ошибок их
определения и т. д., модель получается громоздкой, трудно
интерпретируемой. Применение {q, те}-решетки для оценки
коэффициентов полинома степени п (т ^>п) ограничено тем, что
для получаемых таким образом ненасыщенных планов методом
подстановки невозможно получение упрощенных формул для вы-
вычисления коэффициентов регрессии.
В [259] предложены симметричные планы на симплексе, обес-
обеспечивающие равномерное распределение экспериментальных то-
точек по всей исследуемой области факторного пространства, рас-
рассмотрены вопросы выбора аппроксимирующих моделей для ши-
широкого класса симплекс-симметричных планов, получения упро-
упрощенных формул для оценки коэффициентов аппроксимирующих
полиномов, проверки моделей на адекватность.
Симплекс-симметричные .щшш-сосхавляют~-сруш1Ы„1?о_чек, сим-
симметрично расположенных по отношению к каждой из q вершин
симплекса. Точки, соответствующие смесям Sv, содержащим v
ненулевых компонентов, назовем гнкратными точками. Множество
симметрично расположенных относительно вершин гнкратных то-
точек формирует класс гнкратных точек Kv симплекс-симметрично-
го плана.
Класс Кп может состоять из групп гнкратных точек различно-
различного типа. Если из v ненулевых компонентов vx компонент входит в
смесь с одинаковым относительным содержанием си v2 — с содер-
содержанием с2 и т. д., vh — с содержанием с/,, так что v1 -\- v% -\- ... +
+ vh = v и v1c1 -j- v2c2 + ... + vhch = 1, то класс Kt данного ти-
типа может быть образован всевозможными перестановками q коор-
координат и содержит N, = CllCv^VlCvql{Vi+V2) .... С^(г,1+й+...+г,л_1) точек-
Число точек в классе J{v зависит от г; и h: оно растет с увеличени-
увеличением v и h и для фиксированного v достигает максимальной величины
при п = v2 = ... = vh и Cl ф с2 ф ... ф ch.
Ьимплекс-симметричные планы содержат различные классы
л в, ^ = 1,2, ..., q. Для уменьшения количества опытов в плаве
221
следует выбирать классы с малыми г? и А, а для фиксированного v
и h брать относительные содержания каждого С\ равными l/v.
В [259] показано, что в качестве аппроксимирующего полино-
полинома могут быть использованы канонические полиномы Шеффе D.2)
и в случае приведенного полинома второй степени
i** D.81)
rj
У = 2 Pi^i + 2
для симплекс-симметричных планов получены упрощенные фор-
формулы для оценки коэффициентов полинома D.81).
Для оценки коэффициентов канонического полинома D.81) по
данным симплекс-симметричного плана применим метод наимень-
наименьших квадратов. При этом, как известно, в качестве оценок коэф-
коэффициентов D.81) берутся значения р, минимизирующие функцию
G = 2 [Уи— 2 М™ — 2
D.82)
а нормальные уравнения для оценки параметров Р получаются
путем приравнивания нулю частных производных от G по пара-
параметрам р.
Взяв производные D.82) по параметрам Рх и Рхр. и прирав-
приравнивая их нулю, получим два типичных нормальных уравнения
Уи = h 2 ж1и*Хи + • • • + h 2
l<u<2V l<u<2V
+ p12 2
l<u<2V
+
iJL
+
+
PlX
Pl2
hv-
С учетом
2
l<u<2V
x?u
l<u<2V
Ъу-иУи = Pi
P[i 2li a
l<u<2V
2 xiv?
l<u<2V
/1 ^Xu-
условий
К
^2^
+
2
+
-А Ух
l<u<2V
T Iя-
X1U1*''
N
+ ...
?Ци +
.-• +
Pg-i g 2j x>mx
ЫХ\1и + • • • + Px
... + Pix 2
l<u<2V
Pg-1 q 2 ^Xu^
l<u<2V
= D, Zj Ж1
g.,gU,
• 2 :
l<u<2V
U,gu +
,1U,L,
*****
uxiu =
D.83)
С Xu^H-и + • • •
W + • • • +
^gu- D.84)
с
U — D,
D.85)
xiuX)uXku = F, 2] ^ii.^iu^u^iu =E
l<u<2V l<u<2V
(i,j,k,l = 1,2 g; i ф j ф k =f= I),
нормальные уравнения D.83) и D.84) запишутся следующим
образом:
2 *х„у„ =
2 Рг + с 2
z) 2 Р«,
Суммируя нормальные уравнения D.86) по всем Я,
получим
2 ( 2 хшУи) = [А + (q - 1) В] 2 Pi +
¦ D.86)
D.87)
= 1 2 я
'¦}¦ D.88)
Суммируя уравнения D.87) по всем А,, ц = 1, 2, . . ., q, получим
2 ( 2 хтхшУи ) = [(q~ 1) С + C\^D] • 2 Pi +
D 89)
Из уравнений D.88) и D.89) определим
2 ^„)-Р2 S ( 2 W
2 ^
D.90)
21 ( 2 wJ-
где
D.91)
222
+ (q-2)D, P,= (q-1) С+(*_&,
, P = Plpt_ p2p3.
223
Далее перепишем нормальное уравнение D.83) следующим обра-
образом:
2 h + (C-
D.92)
В уравнении D.92) неизвестными являются р\ и ЕР;
и 2Рх{ и определяются согласно D.90) и D.91). Зафиксировав Я
суммируем уравнения D.87) по всем q — 1 \л (\л Ф Я)
2 ( 2 ХъчХыУч) = (? - 1) Cft + [С + (? - 2) D] 2 Pi +
+ [? + (?-2) Л 2 Pxi
i^X
Последнее уравнение можно записать и следующим образом:
2 ( 2 г^ -г--"- ^ = Го - 2WC - D) рх 4- ГС + (<7 - 2) D] х
D.94)
Из уравнений D.92) и D.94), подставив D.90) и D.91), опре-
определим Рл и 2Рх{
' 2 XXvyu-PQt 2 ( 2 . ZXu^iuJ/u) -
X
2 Pi
-A! 2 ( 2 зд«)+а2 2 ( 2 wm
D
2 Pxi = r^J 2 ( 2 ХЪиХыУи) -PQA 2 ^XuJ/«
3 2 ( 2 ^«)--Д4 2 ( 2 *u*wu
D 96)
где
= (q-2)(C-D),
(q-A)F-(q-S)G,
Д2 = Рг {5<?4 - 02 1С + (q - 2) D\) -
- Px {Z)<?4 - [2F + (g - 3) GJ <?2},
Д3 = P4 {5(?3 - Qx [C + (g _
А4 - Рг {BQ3 -Qi[C + (q- 2) D]} -
-P1{DQ3-[iF+(q-d)G]Q1}.
Ввиду симметричности плана, согласно D.95) и D.96), можно
определить рх и 2pXi для любых Я. Нормальное уравнение D.87)
можно записать следующим образом:
2 хгих^иуи = (С - D) (рх + pit) + D У. В,+
+ G 2j Pii- D.97)
l<i<J<q '
Подставив в D.97) значения р\, рц, SpMt 2ри, Spi и 2р„, опре-
определенные согласно D.90), D.91), D.95) и D.96), для определения
Рхр. получим
-2F + G)$w= PQ 2 х
PlQt(C-D)-Q1(F-G)][ 2 ( 2
2B
X
2 ( 2
224
D.98)
?P™li!fp5« ПЛана' согласно D-98), могут быть опреде-
определены коэффициенты р1^ при различных Яиц.
Полученные вышеописанным способом формулы D 95) и D 98)
^^Ья??П0ЛЬ^°ВаНЫ ДЛЯ- °Ц6НКИ коэФФициентов квадратичной
(.81), приближаемой по данным симплекс-симметричного
плана, отвечающего условиям симметричности D.85).
8 И Г. Зедгинидзе
Дисперсии и ковариации коэффициентов регрессии могут быть
определены согласно
а* {р4} = (PQ)-i [P,Q, {A + {q - 2) В) - Р3<?4 BС + (q - 3) D) +
+ P*Q* {C + (q- 2) D) + P3Q2 {2F + (j - 3) G}] <з2 {у},
D.99)
o2{p«> = [PQ (E-2F + G)j-i [/><? - 2P{(?!(F - G) -
— 2 (C — D) A2 + 2 (F — б) Д4] с2 {?/}, D.100)
cov{pt ^}^(-A1/PQ)e^{y), cov{p, Pij} = (-^<?2+A2)G%}/P(?,
cov{p4 р3-к} = (А2/^<?)<з2Ы.
cov{p4j M=[^<? (^ - 2F + С)] [-Р {(?! (F - G) - (?2 (C - D)} +
+ Q (DP2 -GPt) ~2(C-D)A2 + 2(F-C) A,\ a*{y},
cov{pi3- pw>= [PQ (E - 2F + G)]'1 [(DP2 - GPX) Q-2(C-D)A2 +
+ 2(F-G)Ai]e*{y).
Ввиду того, что симплекс-симметричные планы, в отличие от
симплекс-решетчатых и симплекс-центроидных планов, ненасы-
ненасыщенные, здесь проверку гипотезы адекватности можно произво-
производить с помощью F-критерия.
Рассмотрим схему дисперсионного анализа для случая приве-
приведенной квадратичной модели и r-кратного повторения опытов во
всех точках симплекс-симметричного плана (табл. 4.5).
Таблица 4.5
Схема дисперсионного анализа Для симплекс-симметричного
планирования второго порядка
Источники рассеяния
Регрессия
Неадекватность модели
Ошибка эксперимента
Всего
Степени
свободы
/й
/lf
/е
Сумма
квадратов
*R
^LF
$Е
Среднее
квадратов
*{у)
Nr — i
Остаточная сумма квадратов SR с fR = q + C\ — 1 степеня-
степенями свободы определяется согласно
^ q
где So — корректирующий фактор с одной степенью свободы.
Сумма квадратов, связанная с дисперсией, характеризующей
ошибку опыта при r-кратном повторении опытов в N точках пла-
плана, вычисляется согласно
н=1 } =1
и имеет /к = N (г — 1) степеней свободы. Сумма квадратов, свя-
связанная с неадекватностью представления результатов эксперимен-
эксперимента каноническим полиномом второй степени D.81), будет равна
SLF = SR - SE, fLF=N-q-Cl
Разделив суммы квадратов на соответствующие им степени сво-
свободы и получив дисперсии, для проверки гипотезы об адекватнос-
адекватности представления результатов эксперимента каноническим поли-
полиномом второй степени, как и обычно, находят F-отношение
и сравнивают с табличными значениями F-распределения.
При адекватности квадратичного описания для дисперсии пред-
предсказания исследуемого свойства получим выражение
1*;/л -,
Х\ Xj -f-
2
2
2
D.101)
Если же квадратичное описание неадекватно, следует пе рейти к
каноническому полиному более высокой степени. Основываясь
на соответствующих условиях симметричности, аналогичных D.85),
можно получить упрощенные формулы для оценки коэффициен-
коэффициентов полиномов высоких степеней и ошибок их определения.
Класс симплекс-симметричных планов весьма обширен. Он
включает в себя в качестве частных случаев и симплекс-решетча-
симплекс-решетчатые и симплекс-центроидные планы Шеффе, радиально-решетча-
тые и радиально-центроидные планы Плакетта[41] и др.
Симплекс-решетчатые планы {q, п} содержат п классов Kv (v =
^ 1, 2, ..., п), каждый из которых содержит Сп-1 типов точек
Tv,i (I = 1, 2, . ., С^),где/-й тип содержит С\ таких точек класса
^п У которых первый по порядку ненулевой компонент имеется
с кратностью I,
8*
227
226
Симплекс-центроидные планы содержат все q классов Kv (v =
= 1, 2, .,., q) с относительным содержанием всех ненулевых
компонентов, равным l/v.
При построении симплекс-симметричных планов имеется воз-
возможность комбинирования различных симметричных расположе-
расположений точек. Так, например, при комбинировании симплекс-решет-
симплекс-решетчатого или симплекс-центроидного плана с симплекс-радиальным
может быть достигнуто равномерное распределение эксперимен-
экспериментальных точек по симплексу.
§ 4.4. Планирование с ненулевым относительным
содержанием компонентов
В симплекс-решетчатых и симплекс-центроидных планах ис-
используется большое число точек, в которых относительное содер-
содержание одного или нескольких компонентов равно нулю. В симп-
симплекс-симметричных планах предусмотрена возможность увеличе-
увеличения за счет класса gr-кратных точек Кд числа внутренних точек
симплекса, соответствующих смесям с ненулевым относительным
содержанием всех компонентов. Однако и в этих планах исполь-
используются точки с нулевым содержанием одного или нескольких ком-
компонентов. Так, например, в смесях, соответствующих классу Kv,
относительное содержание q — v компонентов равно нулю. В та-
таких точках, как уже было отмечено, свойства исследуемой q-кош-
понентной смеси полностью не проявляются.
В связи с этим в [252] была предпринята попытка построения
планов с ненулевым относительным содержанием всех q компо-
компонентов. В [252] в качестве точек плана предлагалось использовать
такие точки симплекса
X ==:
= 1,2, .. .,
= 1,2, .. . ,q — m),
в которых относительное содержание хг. каждого из т определяю-
определяющих компонентов превалирует над относительным содержанием
xwic каждого из остальных q — т дополнительных компонентов.
Относительное содержание определяющих и дополнительных
Компонентов задается следующими формулами
xi/ =
(целое число);
D.102)
228
7 = 1,2,...,m), D.103)
где 1] — номер определяющего компонента, v} — кратность опре-
определяющего компонента, т — количество определяющих компо-
компонентов, w — номер дополнительного компонента.
Из D.102) и D.103) видно, что относительные содержания всех
дополнительных компонентов равны, а относительные содержа-
содержания определяющих компонентов равны друг другу лишь при ра-
равенстве их кратностей V]. Очевидно, что
">ху,. D.104)
Действительно,
ийпх?} = min
mm V,
¦== х»
т=1
т=1
Равенство имеет места лишь в случае q — т = 1 [260]. При этом
все компоненты смеси будут определяющими, и, если кратность
т = q — 1 компонентов равна единице, то относительное содер-
содержание всех q компонентов смеси будет равным.
Рассмотрим планирование эксперимента для описания свойств
(/-компонентных смесей приведенным полиномом второй степени
#='2
D.105)
В общем случае отклик gr-компонентной смеси обозначим через
Уыл .vm ~~ I \ХЫ Хг^ • • • ' arim' Х*>ч Xw" • • • t xwq_m)- D.1U0)
Для D.105) обозначение отклика D.106) при пг= 1 примет вид
У и = J/г, а ПРИ m = 2 — i/jlb e= j/fj, где г и / — определяющие
компоненты кратностью единица. Проведем гг и гг-7- опытов в соот-
соответствующих точках плана и, подставляя экспериментальные
значения yt и у} и относительные содержания компонентов в D.105),
получим для определения коэффициентов канонического полино-
полинома второй степени следующую систему нормальных уравнений:
-I)-1 2 h + ^ti-ir 2 Р,+
4-(д-1Г 2
D.107)
~^ + ~(q~2r 2 Р8 + 4-^-
2 P.t + 4-te-2)-1 S
D.108)
220
где s, t = i, т. e. s или 2 равен i, a s, ( = i, /, т. е. один из индек-
индексов s и t равен i или /. В D.107) и D.108) неизвестными являются
Рг и ргу. В результате решения этой системы в [252] получены сле-
следующие оценки коэффициентов:
3 _ 4 (д — IJ Bg — 5) 9(g —2J ^
Pi — (?-2)Л yi~l~ (q — 3)A 2лУ-ц^~
4(<7 — DC „п 9D ^,
-IJ
IJ
18(?-2J
9(?-2J ?„ _ 27(g-2K
- 3J B? - 5) ZJ % G - 3) B? - 5)
24(q-l)E 9(g
2У +
v
— 3)B? - 5)
- 1)G — 3) B? - 5) AB
D.110)
где
Л = д2 — 2? — 2, 5 = g2 + 2g — 12,
С = 5?* - 55?3 + 227?2 - 417? + 288,
D = qb + g* — 58g3 + 240g2 — 372g + 200,
E = 4g4 — 48g3 + 213g2 — 415? + 300,
F = 5q~» + 2?1 - 298g3 + 1348g2 — 2240? + 1264,
Подставляя D.109) и D.110) в D.105), получим уравнение,
позволяющее предсказывать-отклик и вычислять дисперсию пред-
предсказываемого отклика
У =
D.111)
где
4(g-l)G
- 2) (q - 3) B? - 5) AB
12 (g - 1) D
- 3)B? - 5) 4
D.112)
Х
X
; _
2 (? _ i) (? _ 3J B? _ 5)
\ 9(g-2)/
(<7 - 1) G - 3)'2 B? - 5)
D.113)
- 360,
1612?3 + 3120g2 - 3080?
— 2218?2 + 2896? — 1440.
1200,
Использование уравнения D.111) для предсказания отклика
возможно лишь в случае его адекватности. Полагая, что отклики
являются независимыми наблюдениями с равными дисперсиями
для дисперсии предсказываемого отклика получим выражение
В [252] доказано, что при фиксированном суммарном количестве
наблюдений 2 ri + 2 ГИ — N математическое ожидание дис-
персии предсказанного значения исследуемого свойства у миними-
минимизируется по всей факторной области при
Проводя равное число наблюдений для каждого уг (например, гг)
и для каждого уц (например, гг), для различных q можно вычис-
вычислить соотношения гх : г2, минимизирующие $ (а2 {у}) (табл. 4.6).
Таблица 4.6
Соотношения г\: г2, минимизирующие математическое ожидание
дисперсии предсказываемого отклика [252]
9
4
5
6
П : Гг
60,53
29,23
20,51
9
7
8
9
и:
17,
16,
15,
42
08
38
10-
15
20
п
15
15
16
: Гг
,05
,40
,50
9
25
30
35
п
17
19
21
:п
,97
,57
,29
9
40
45
50
п
23,
24,
26,
:п
И
74
60
Все вышеприведенные результаты могут быть применены для
описания свойств смесей полиномами второй степени лишь при
Ч > 4 (при q = 2 отсутствуют смеси типа yllU, а при q = 3 все
смеси yiiU идентичны, т. е. система D.107), D.108) неразрешима).
Аналогичные результаты могут быть получены и для полино-
полиномов более высоких степеней.
231
§ 4.5. -D-оптимальные планы на симплексе
Среди рассмотренных выше планов на симплексе D- и G-on-
тимальными являются симплекс-центроидные и лишь некоторые
из симплекс-решетчатых планов.
Для приведенного полинома первой степени D- и G-оптималь-
ность симплекс-решетчатого плана первого порядка, содержащего
точки, получаемые перестановкой координат A, 0, ..., 0), очевид-
очевидна при любом числе компонентов q. В [206] для приведенного поли-
полинома второй степени и любого числа компонентов q доказана
оптимальность симплекс-решетчатого плана второго порядка,
содержащего точки A, 0, ..., 0) A/2, 1/2, 0, ..., 0) и все точки,
получаемые из этих перестановкой координат. В [261] для неполно-:
кубической модели и любого числа компонентов q доказана опти-1
мальность неполно-кубической решетки, содержащей точки A, 0,
..., 0), A/2, 1/2, 0,... ,0), A/3, 1/3, 1/3, 0, ..., 0) и все точки, полу-
получаемые из этих перестановкой координат. Во всех трех вышепри-
вышеприведенных случаях предполагается, что число параллельных наб-
наблюдений в каждой точке плана одинаково.
В [262] доказано, что планы п-то порядка D ^ п <^ q) на сим-
симплексе, содержащие точки A, 0, ..., 0), A/2, 1/2, 0, ..., 0), ...
..., A/и, ..., \1п, 0, ..., 0) и все точки, получаемые из этих перес-
перестановкой координат, при равном числе параллельных наблюдений
оптимадьны для регрессионной модели п-то порядка
лишь при п = q. В этом случае мы имеем дело с уже известными
симплекс-центроидными планами и соответствующими моделями
D.56). Следовательно [262], симплекс-центроидные планы для рег-
регрессионных уравнений D.56) /Э-оптимальны для любого q при ус-
условии равенства числа параллельных наблюдений во всех точках,
плана.
В {213] Кифером были предложены D- и G-оптимальные планы
на симплексе для канонических полиномов третьей D.32) и четвер-
четвертой D.34) степеней. В них общее число точек равно числу точек
соответствующих симплексных решеток, но координаты точек в
некоторой степени смещены. Эти планы, в отличие от симплекс-
решетчатых планов, долгое время не находили широкого приме-
применения из-за сложности расчета коэффициентов регрессии. Этот
недостаток для указанных ?>-оптимальных планов третьего и чет-
четвертого порядков был восполнен в работе [263], где, кроме вывода
простых формул для расчета коэффициентов канонических поли-
полиномов третьей и четвертой степеней, найдены для трехкомпонент-
ных смесей зависимости величины | от состава, необходимые для
оценки дисперсии предсказанного значения исследуемого свойства
232
при проверке адекватности найденных полиномов и при построе-
построении доверительных "интервалов исследуемого свойства.
D-оптимальные планы более высокого порядка предложены в
Г264]. Однако для них пока отсутствуют вспомогательные матери-
материалы, облегчающие обработку экспериментальных данных. В [263,
265] предпринята попытка построения композиционных, близких
к D-оптималышм, планов на симплексе.
Построение D-оптимальных планов на симплексе. Задача по-
построения D-оптимальных планов для g-компонентных смесей сво-
сводится к поиску координат точек плана х„ = (х1и, хги, ..., ж„и),
максимизирующих определитель информационной матрицы М =
= 1/JV-XTX (или минимизирующих определитель ковариационной
матрицы) при наложении условий
г=1 D.114)
На практике для уменьшения числа экспериментов обычно
используется насыщенное планирование. При этом матрица пла-
планирования X является квадратной и определитель информацион-
информационной матрицы равен квадрату определителя А матрицы X. Задача
построения D-оптимальных планов в этом случае может быть све-
сведена к поиску точек, максимизирующих абсолютную величину
определителя Л [264].
"*" Для двухкомпонентной смеси (q = 2) уравнение регрессии
D.2) имеет вид
у =
Р }
D.115)
где п — порядок уравнения. Обозначим первую координату и-й
точки плана через аи. Тогда матрица планирования X с учетом
хх 4- хг = 1 D.116)
примет вид
Х =
п
XI
»1 1 — Я1 «l(l — %l)
аг 1 — а2 а2A — а2)
аз 1 — аз азA — аз)
а4 1 — а4 aj(l — 04)
as 1 — а5 а5A — а5)
— ai A -ах)A —2о
_ а2 A —а2)A —2а2) а2 A — а2)A — 2а3J.
— аз A — я3)A —2а3) аз A — аз)A — 2а3K.
— а4 A — я4)A —2а4) а4 A — а4)A — 2а4K.
— а5 A — а6)A —2а6) а5 A — а5)A — 2а5J.
D.117)
Преобразованием матрицы планирования D.117) можно по-
показать [264], что абсолютная величина определителя матрицы X
233
равна определителю матрицы
1
1
1
1
1
01
02
03
0D
05
«I
«s
«3
<
«1
-I
«5
«* ...
«4 ...
«з4 • • •
«44 ...
a* ...
D.118)
Так как D.118) представляет собой определитель Вандермонда,
его величина равна
Д=
где п — порядок плана.
Из D 119) следует, что для увеличения [ А | нужно увеличивать
расстояние между точками плана вплоть до их расположения в
вершинах симплекса (о^ = 0, а2 = 0). Эти две точки соответству-
соответствуют /^-оптимальному плану первого порядка и обязательно входят
в планы более высоких порядков.
С учетом вышесказанного матрица планирования D.117) при-
примет вид
XI XI
1
0
03
04
05
1
1
1
0
1
—
—
—
03
0D
05
03 A
0DA
05 A
0
0
—
—
—
03)
at)
05)
-03A
— 0DA
-«5A
0
0
- оз)A -
-a4)(l-
- O5)(l -
2«з)
204)
2a5)
ОзA
04 A
05A
0
0
-оз)A
- 04)(l
- 05)(l
. ¦ .
. . .
-2a3K . . .
— 20DK . . .
-2*5)* . . .
D.120)
Определитель такой матрицы равен произведению определителей
диагональных блоков. Так как определитель верхнего диагональ-
диагонального блока Ai = 1, определитель матрицы планирования X
будет равен определителю нижнего диагонального блока А2.
При п = 2 матрица планирования D.120) имеет вид
XI
Х2
Х1Х2,
1
0
аз
1
0
1
аз
азA
0
0
аз»
и, с учетом вышесказанного, в данном случае будем иметь
А = А2 = а3 A - а,)- D.121)
234
Приравнивая производную D.121) по а3 нулю, получим 1 — 2а3 =
= 0 откуда а3 = 0,5. Этот же результат можно было бы получить,
исходя из симметрии плана относительно переменных.
п = 3 матрица планирования имеет вид
Xl
1
0
аз
at
1
1
XI
0
1
—
—
03
04
03
04
X1X2
0
0
A-
A-
03)
04)
X-1X-2
— 03 A —
- 04 A -
Xl-
0
0
аз)
04)
— X2)
A-
A-
2«з)
2O4)
A == A2 = a4 A - a4)a3 A - a3)(l - 2a3) - a3 A - a3) x
Xa4(l -a4)(l-2a4). D.122)
Подставляя в D.122) вытекающее из условия симметричности
плана соотношение а4 = 1 — а3, получим
А | =
- azf Bа3 - 1)].
D.123)
Приравнивая производную D.123) по а3 нулю, получим A —
— 2а3)Bа3 — 1) + а3 A — а3) = 0, откуда а3 = Ъ±-J 5 . Для а4,
с учетом а4 = 1
_ 5+/5
5+ /5
а3, получим а4 = ^п—, т. е. если а3 =
0,7236, то а4 =
5-/5
10
: 0,2764 и наоборот.
1 ^
При п = 4, с учетом вытекающих из симметричности плана со-
соотношений а3 = 0,5 и а5 = 1 — а4, матрица планирования при-
примет следующий вид:
Xl
1
0
0,5
04
1 — 04
Х-2
0
1
0,5
1—0D
04
Х1Х-2
0
0
0,25
04 A — 04)
04 A — 04)
х\Хч. (xl — х-г)
¦ 0
0
0
-0DA-а4)A-2о4)
0D A - ct4)(l - 2а4)
XlX-2 (Xl
0
0
0
0D A — O4)(l -
ff4 A — а4)A -
Х-2K
- 2о4K
- 2а4K
D.124)
откуда
|Д | = |Ai||A2[[ Д3| = |0,25-2-а4A — а4J-A — 2а4K|. D.125)
Приравнивая производную D.125) по а4 нулю и исключая значе-
значения а4, при которых А = 0, получим A — а4)A — 2а4) — а4 A —
—-2а4) — ЗХ4 A — а4) = 0, откуда а4 = ~АА . Для а5, с учетом
235
14
i = 1 — <z4, получим a5 =
a5 tz. 0,1727, и наоборот.
7 + /21
Li
. Если a4 =
7 4-
/,
к 0,8273,
,, аоборот.
Аналогичным способом в [264] были рассчитаны D-оптимальные
планы для двухкомпонентной системы вплоть до десятого порядка
включительно (табл. 4.7). На рис. 36 на симплексе, соответствую-
соответствующем двухкомпонентной смеси, приведено для сравнения располо-
расположение экспериментальных точек ^-оптимальных и симплекс-ре-
симплекс-решетчатых планов различного порядка.
0,8
0.8
ЩЧ
0,2
О
Рис. 36. Расположение на
симплексе (д — 2) эксперимен-
экспериментальных точек
(темные точки) — D-оптимальный
план; (светлые точки) — симплекс-
решетчатый план
п--Ч
Рассмотрим способы построения D-оптимальных планов для
многокомпонентных смесей. Согласно [206], линейные комбина-
комбинации ?)-оптимальных планов также являются D-оптимальными.
Поэтому в [264] предлагается планы 1-го и 2-го порядков для мно-
многокомпонентных смесей получать комбинированием соответствую-
соответствующих планов для двухкомпонентных смесей.
Таблица 4.7
D-оптимальные планы для q = 2
а;ц
«12
«is
«14
а; is
«ie
Ж17
«18
«1»
«ПО
«111
1
0
1
2
0
0,5
1
хг
3
0
0,2764
0,7236
1
ц = 1-
0,
0,
о,
- X
4-
0
1727
5
8273
1
i«
0,
0,
о,
о,
Порядок плана
5
0
1175
3574
6426
8825
1
0,
0,
0,
0,
0,
6
*
0
08489
2256
5
7744
91511
1
0
0
0,
0,
0,
0,
п
7
0
06411
2042
3954
6046
7958
93589
1
0
0
0
0
0
0
0
8 .
0
,05012
,1614
,3185
,5
,6815
,8386
,94988
1
0
0
0
0
0
0
о
0,
9
0
,04025
,1306
2610
4173
5827
7390
8694
95975
1
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0,
10
0
,03306
,1079
2173
3521
5
6489
7827
8921
96694
1
236
Регрессионное уравнение третьего порядка имеет вид
+ 2
Комбинацией С\ D-оптимальных планов третьего порядка для
двухкомпонентных смесей можно в случае q компонентов полу-
•чить .D-оптимальный план для приведенного регрессионного урав-
уравнения, не содержащего членов, соответствующих взаимодействиям
трех компонентов.
Для получения ^-оптимального плана для регрессионного
уравнения D.126) необходимо к уже полученному комбинировани-
комбинированием плану добавить С\ точек, соответствующих трехкомпонентным
смесям. Эти точки, исходя из симметрии плана относительно пе-
переменных, имеют координаты оц = a,- = ah = 1/3.
Такой же результат можно получить, максимизируя определи-
определитель матрицы планирования X, которая в случае кубической рег-
регрессии вида D.126) содержит три диагональных блока, соответ-
соответствующих линейным членам, парным и тройным взаимодействиям.
Вид матрицы X при q = 3 приведен на стр. 238.
Координаты точек плана, максимизирующие определители
первых двух блоков, для п = 3 были получены выше при рассмот-
рассмотрении двухкомпонентных смесей. Для максимизации определите-
определителя третьего блока, содержащего при q = 3 всего один элемент, с
учетом ограничения D.14), необходимо найти максимум выраже-
выражения a,a;aft. Очевидно в этом случае at = a;- = ak = 1/3.
Согласно [206], .D-оптимальный план для g-компонентной сме-
смеси и приведенного полинома третьей степени D.126) может быть
получен комбинированием С\ .D-оптимальных планов третьего
порядка для трехкомпонентных смесей. Он содержит точки A,0, ...
-.О), (^р-, Ц/^, 0, ..., О) , A/3,1/3,1/3,..., 0) и все точки,
получаемые из этих перестановкой координат. Общее количество
точек такого .D-оптимальното плана третьего порядка N = Cq +
~Г ^Cq + Cq = Cq+2-
Приведенное регрессионное уравнение четвертого порядка для
q компонентов имеет вид
у= 2 Рл+- 2
+
+
2
2
2
fa — xi) +
4- V
D.127)
237
S,
S
fi1
I
j?
ixzx
?
1
j?
H
еэ
1
g
§
g
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-* i
о
о
1 °
о
оз
,08
о
1
о
о
С\1
о
о
CD
со
С\1
о
CD
С\1
о
о
,08
о
1
1
о
о
С\1
о"
о
CD
со
с2
о"
о
CD
С\1
о
о"
1
о
о
С\1
о"
о
о
CD
со
о"
CD
Й
о
о
о
о
о
,08
о
о
о
С\1
о
о
CD
CD
со
С\1
о
о
,08
о
о
о
сч
о"
о
sf
CD
C\l
о"
о
CD
со
о"
о
ся
о
о
о
С\1
о
о
о
«* •
со :
,27
о
CD
со •
с-
о"
о
i as
: 8
• 8^
: 8~
! 8
; |
¦ 'i.
: 8
I 1
• *
¦ 8
: ^-^
: в"
: 1
; 1
' 8
: 8
«
¦ в"
8
в"
в"
Комбинацией D-оптимальных планов четвертого порядка для
ov Г2 двухкомпонентных смесей для ^-компонентной смеси мож-
В получить Д-оптимальный план для регрессионного уравнения,
Но гогтеожащего члены типа xtx}xh, x^xkl xxxfl\ и х&ръХъ Для
Нолученм S-оптимального плана для регрессионного уравнения
?/ 127) необходимо к полученному плану добавить ЪС, точек, со-
сопутствующих трехкомпонентным смесям, и С% точек, соответст-
соответствующих чГырехкомпонентным смесям Матрица планирования X
^содержит четыре диагональных блока. К двум из них, со-
Гветств^ющим линейным членам и взаимодействиям ^попарно
Гух комСнентов, добавляются блок, соответствующий членам
J vi r r-г? и блок соответствующий членам xtXjxhXi.
вИнаТа2'^оптимальный пл'ан четвертого порядка
оо уравнения четвер-
четвер&5?? внаТа2^оптимальный р
для трехкомпонентной смеси и регрессионного уравнения четвер-
четвертого порядка, получаемого из D.127) с учетом q = 3:
S
У =
+
D.128)
Матрица планирования X содержит лишь три диагональных бло-
^а (блок соответствующий четырехфакторным взаимодействиям,
отсутствует) Точки плана, максимизирующие определители пер-
первых двуГблоков, были определены выше. Определим координаты
то^екпУЛана максимизирующие определитель третьего блока мат-
матрицы X, имеющего, с учетом симметрии плана, вид
а а 1—2а
а 1 — 2а а
1—2а а а
азA-2а) а3A-2а
аз A - 2а) а2 A - 2аJ а» A - 2%)
а2A_2аJ а»A— 2а) а3 A - 2а)
откуда
дз = _ае {1 _ 2а)з A - ЗаJ.
Приравнивая производную D.130) по а нулю, получим
6а5 A - 2аJ A - За) (-На2 + 7а - 1) - 0.
D.29)
D.130)
D.131)
Приравнивая нулю выражения в первых двух скобках, получим
решения а = 1/2 и а = 1/3. Это точки, лежащие на серединах сто-
сторон, и точка в центре. Первые точки уже есть в плане, а централь-
центральная точка не может быть включена в план, так как она не ооеспе-
239
238
чивает оценку коэффициентов р1123, Ршз и р12зз. Приравнивая ну-
лю выражение в третьей скобке, получим а = —3L.I—. Первому^
корню соответствует | А | = 1,52-10'6, а второму | Д | = 2,30-10.
Следовательно, /)-оптимальному плану соответствует
я = 1~/Ъ ж 0,2165. D.132)
Таким образом, /)-оптимальный план четвертого порядка для
модели D.127) при q =3 содержит точки A, 0, 0), @,5, 0,5, 0),
@,1727, 0,8273, 0), @,5670, 0,2165, 0,2165) и все точки, получае-
получаемые из этих перестановкой координат (N = С\ + С\ + 2Сз -j-
+ ЪС\ = 15).
Комбинированием С\ /)-оптимальных планов, соответствующих
всем трехкомпонентным смесям исследуемой д-компонентной
системы, получим /)-оптимальный план четвертого порядка непол-
неполного регрессионного уравнения четвертого порядка, не содержа-
содержащего членов, соответствующих взаимодействиям четырех компо-
компонентов. Для получения /)-оптимального плана для полного регрес-
регрессионного уравнения D.127) необходимо к полученному таким
образом /)-оптимальному плану добавить С\ точки, соответствую-
соответствующие четырехкомпонентным смесям. При этом к трем уже известным
блокам матрицы планирования добавится четвертый блок, соот-
соответствующий членам x\XjX^xx.
Координаты точек, минимизирующих определитель четвертого
блока, найдем для случая четырехкомпонентных смесей. В данном
случае /)-оптимальный план четвертого порядка может быть обра-
образован комбинированием С\ = 4 /^-оптимальных планов четверто-
четвертого порядка для трехкомпонейтных смесей и добавления одной точ-
точки, соответствующей четырехкомпонентной смеси. Четвертый блок
в данном случае содержит лишь один элемент а{ ajah аг. Макси-
Максимум aid,jahai, с учетом ограничения D.114), достигается при at =
= ctj = <xk = а; = 1/i. Это следует также и из симметрии плана
относительно переменных.
Таким образом, /)-оптимальный план четвертого порядка для
модели D.127) в случае q = А содержит точки A, 0, 0, 0); @, 5,
0,5, 0, 0); @,1727, 0,8273, 0,0); @,5670, 0,2165, 0,2165, 0); @,25,
0,25, 0,25, 0,25) и все точки, получаемые из этих перестановкой
координат (N = С\ + С\ + 2С\ + ЪС\ + С\ = 35).
/)-оптимальный план четвертого порядка для ^-компонентных
смесей и приведенного полинома четвертой степени D.127) может
быть получен путем комбинирования С* /)-оптимальных планов
четвертого порядка для четырехкомпонентных смесей. Такой план
содержит точки A,0, ..., 0); @,5, 0,5, 0, ..., 0); @,1727, 0,8273,
0, ..., 0); @,5670, 0,2165, 0,2165, 0, ..., 0); @,25, 0,25, 0,25, 0,25,
0, ..., 0) и все точки, получаемые из этих перестановкой коорди-
координат (N = С\ + С\ + 2С\ + ЪС\ + С% = С*+3).
240
Для ^-компонентных смесей и приведенного полинома пятой
степени построенный аналогичным способом план пятого порядка,
содержащий точки A,0, .... 0); @,1175, 0,8825, 0, ..., 0); @,3574,
0 6426, 0, ..., 0); @,1480, 0,1480, 0,7040, 0, ..., 0); @,4209, 0,4209,
0',0882,0, ...,0); @,1780, 0,1780, 0,1780, 0,4660, 0, ..., 0); @,2,
0 2 0,2, 0,2,0,2,0,..., 0), и все точки, получаемые из этих переста-
перестановкой координат (число точек такого плана равно N = С\ -\-
+ 2С\ + 2С\ + ЪС\ + ЪС\ + ЬС\ +С\= C5q+i), точным свой-
свойством D-оптимальности не обладает. Не обладают точным свойст-
свойством D -оптимальности планы для ^-компонентных систем более
высокого порядка. Однако такие планы в классе насыщенных
планов наиболее близки к /)-оптимальным.
Расчёт коэффициентой полиномов. Ввиду того, что /)-оптималь-
ные планы первого и второго порядков совпадают с симплекс-ре-
симплекс-решетчатыми планами соответствующего порядка, для оценки ко-
коэффициентов приведенных полиномов первой и второй степени мо-
могут быть применены известные расчетные формулы D.26) и D.28).
Для D-оптимальных планов более высокого порядка формулы
расчета коэффициентов аппроксимирующих полиномов D.2) соот-
соответствующей степени могут быть получены с учетом насыщенно-
насыщенности планов методом подстановки х.
Рассмотрим последовательность расчетов на примере канони-
канонического полинома третьей степени D.126) и /)-оптимального пла-
плана третьего порядка. При подстановке в D.126) координат i-n вер-
вершины симплекса хх = 1, xj =0, / =1, 2, ..., q, j фг получим
h = У г- D.133)
При подстановке в D.126) координат двух бинарных смесей, распо-
5— V5
ложенных на одной из сторон треугольника, вначале х-г = '
5+ /5
10
а затем — х-г =
5-/5
10
10
10
полу-
получим соответственно:
5 у 5 Q
У in =
10
, 5 + /5 п 1
+ jo Pi + -rP«~
1
У,Ч=Ш^Й
5/5
1
la,
ных
и
10 гп10 rtT 5 ^)'rgrpg1"-
I _и словместном решении этих уравнений относительно неизвест-
с учетом Pj = Уг я ру- = уу, получим
Ш + У Ш — У i — Уз),
D.134)
Формулы для расчета коэффициентов аппроксимирующих полиномов треть-
и н четвертой степеней, а также дисперсий, характеризующих ошибки
в определении коэффициентов, впервые были выведены Т. А. Чемлевой.
241
При подстановке в D.126) координат точки, соответствующей
тройной смеси с равным относительным содержанием компонентов
i, / и к
(xi = х/з, X) = 7з, xh = 1I3, xi = О, 1=1, 2, ..., q,
с учетом предыдущих формул D.133) и D.134), получим
15
+ */,• + */*)• D-135)
Дисперсии, характеризующие ошибки в определении коэффи-
коэффициентов полинома третьей степени, определяются согласно
б2 (Р„) = 25 • о» {у},
= 1067с2 {у}.
Формулы расчета коэффициентов канонического полинома чет-
четвертой степени D.127), выведенные аналогичным путем, имеют"
следующий вид:
h = у и
Ptj = 4j/i,- —2г/{ —2j/j,
Tii = -g-13 (— У i + Уз) + /21 (уш} — ут)],
п
« = -g- [— 3 (г/i + г/,-) — 8г/и- + 7 (г/Шз- +
т = 6,17 D,32г/, - у,- - г/,) - 16,96 (Vli + yik - 0,03г/^) -f
+ 84,12 [УШЛ - 0,28 (ут + ymk)],
D.136)
= 6,17 D,32г/, - У} - Ук) - 16,96 (yl} + yjk - 0,0
+ 32,18 [0,53 (г/шз- + уш) + 0,18 (у„« + г/{Ш) -
— Уин — Утк\ + 84,12 [г/ш^ — 0,28 (ут + yim)\,
= 6,17 D,32г/, - ^ - у,) - 16,96 (yik + yik- 0,03yu)
+ 32,18 [0,53 (yliik + Ут) + 0,18 (yiui + ym) -
~ Уши — У
{у},
= 12247с* {у}.
Дисперсия предсказанного значения исследуемого свойства
определяется согласно A.26). С учетом равной точности и
павного числа параллельных наблюдений во всех точках плана,
дисперсия предсказанного значения для каждой конкретной си-
системы будет функцией только координат состава. Полагая, что чис-
число параллельных наблюдений во всех точках рассмотренных D-on-
тимальных планов равно единице, получим
а2 {у} = о2 {у} I,
где
Ч (х).
242
Величина |, являющаяся функцией координат точек, при q =
= 3 для конкретных планов может быть представлена графически
в виде контурных карт на симплексе. Для D-оптимальных планов
второго порядка и неполно-кубических, совпадающих с соответ-
соответствующими симплекс-решетчатыми планами, контуры дисперсии
предсказания свойства \ приведены на рис. 28, а, б, а для D-on-
тимальных планов третьего и четвертого порядков — на рис. 37.
Композиционность и D-оптимальность планов на симплексе.
D-оптимальные планы различных порядков на симплексе в общем
случае некомпозиционны (рис.. 38 и 39). Исключение составляют
лишь линейные планы, которые добавлением точек х-г = xj =
= 0,5 могут быть расширены до ?)-оптимальных планов второго
порядка.
Как видно из рис. 38 и 39, переход от плана порядка их к пла-
плану порядка га2 = Щ + 1, осуществляемый при неадекватности ап-
аппроксимирующего полинома степени пи связан в общем случае
с необходимостью постановки большого количества новых экспе-
экспериментов и исключением некоторых точек, входящих в первона-
первоначальный план. В этом смысле наиболее сложен переход от полино-
полинома третьей степени к полиному четвертой степени. Переход от
-D-оптимального плана третьего порядка к плану четвертого по-
порядка связан с исключением всех точек плана третьего порядка,
кроме вершин, и постановкой экспериментов в С\+ъ — q точках
симплекса.
На практике в ряде случаев постановка большого числа опы-
опытов для перехода от плана порядка щ к плану порядка п2 (п2 ^>
^> гах) может оказаться нежелательной или даже невозможной.
В этих случаях целесообразно пожертвовать в определенной сте-
степени -D-оптимальностью, но обеспечить получение нового плана
из плана более низкого порядка путем добавления минимального
числа новых точек. Рассмотрим два способа построения близких
к ^-оптимальным насыщенных планов на симплексе.
При первом из них [287] к D-оптимальному плану порядка nlt
координаты точек которого известны, добавляется необходимое
количество точек для получения насыщенного плана порядка п2 =
~ "i + 1 и определяются координаты добавляемых точек,
243
iff
iff
i,0 1,0
iff
iff
Рис. 37. Изолинии | для D-оптимальных планов третьего (а) и четвертого (б)
порядков
Рис. 38. Г Экспериментальные
точки в D-оптимальных и ком-
композиционном планах при q=2
а — D-оптимальный план третьего
порядка; б — D-оптимальный план
четвертого порядка; в — компози-
композиционный план четвертого порядка
*/
0,8
0,6
Ц9
0,2
0
¦
-
Рис. 39. Экспериментальные точки в D-оптимальных и композиционных пла-
планах при q — 3
а — D-оптимальный план третьего порядка: б—D-оптимальный план четвертого поряд-
порядка; в — композиционный план четвертого порядка
максимизирующие определитель информационной матрицы (что^
эквивалентно ввиду насыщенности плана, максимизирующие аб-
абсолютную величину определителя матрицы планирования X).
При втором способе [287] нарушается D-оптимальность обоих
планов, /^-оптимальность исходного плана порядка nx нарушает-
244
с таким расчетом, чтобы потери в оптимальности обоих планов —
плана порядка пг и насыщенного плана порядка щ, получаемого
путем достройки исходного,— были бы минимальными.
Следуя первому способу, попытаемся построить композицион-
композиционный близкий к D-оптимальному план третьего порядка для трех-
компонентной смеси. К матрице планирования второго порядка
с известными координатами добавим четыре точки, необходимые
для достройки плана до третьего порядка. При этом одна из че-
четырех точек обязательно должна быть центральной G3; 7з'> 7з)-
Остальные три точки при условии симметричности имеют коор-
координаты Xi = a, xj = а, хк = 1 - 2а, i ф / ф к. Такая матрица
планирования третьего порядка изображена на стр. 246.
Определитель А этой матрицы равен произведению определи-
определителей диагональных блоков А = AXA2. Орнако ввиду того, что
верхний диагональный блок численный, задача поиска значения
а максимизирующего А, может быть сведена к максимизации оп-
определителя А2. Определитель нижнего диагонального блока
д2 = азA _ 2аKCа- 1)A - ЗаJ + а3A - 2«K(За-1JA-За)
равен нулю. Поэтому искомый план — вырожденный, и построе-
построение плана третьего порядка, композиционного к D-оптимальному
плану второго порядка, при выполнении условий насыщенности и
симметричности невозможно. Очевидно, необходимо нарушение
хотя бы одного из этих условий.
Для построения плана четвертого порядка, композиционного
к ^-оптимальному плану третьего порядка, в план, исходя из его
симметрии относительно переменных, при q = 3 должны быть
включены точки для бинарных систем хг = 1/2, xj = 1/2, хк = О
и три срединных точки с координатами х^ = a, Xj = а, х& =
= 1—2а. Однако количество точек превышает на единицу число
неизвестных коэффициентов полинома четвертой степени D.128).
Чтобы сохранить условие насыщенности, исключим центральную
точку ?)-оптимального плана третьего порядка.
После построения матрицы планирования (табл. 4.8) и выделе-
выделения нулевых блоков оказалось, что максимум определителя всей
матрицы будет найден при достижении максимума определителя
нижнего диагонального блока
я3 A,— 2а)
Д4 = II я» A - 2а)
а3 A — 2а) а2 A — 2аJ II
а2 A — 2аJ а» A — 2а) .
а2 A — 2аJ а3 A — 2а) а3 A — 2а) [
Однако, как уже было показано D.129) — D.132)., определитель
7-/5
достигает максимального значения при а =
22
; 0,2165. Сле-
Следовательно, полученное решение дает те же координаты срединных
точек, что и в D-оптимальном плане четвертого порядка.
Таким образом, план четвертого порядка, композиционный
к -D-оптимальному плану третьего порядка и наиболее близкий к
245
1
о
о
У2
о
Чг
О
1
О
Чг
О
о
о
1
о
Уз
о
о
о
У«
о
о
У.
о
о
о
о
У«
о
у.
— жа)
— x3)
О
О
О
О
О
У«
У.
О
О
О
О
О
О
У2
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
ххсз (жа — хз)
о
о
о
о
о
о
о
а а
а 1 —2а
1 —2а а
1 —
а
а
2а а2 а A - 2а) а A - 2а) а2 A - 2а)
а A - 2а) а2 а A - 2а) а2 A - 2а)
2 а2 A - 2а)
а A — 2а) а A — 2а)
О а A - 2а) (За - 1) а A - 2а) (За - 1)
а A - 2а) (За - 1) О а A - 2а) A - За)
а A - 2а) A - За) а A - 2а) A _ За) О
Таблица 4.8
Построение композиционного плана четвертого порядка
I Х!Х2(Х,— Ж,) Xi.T3(Xi—Хз) XiXt(Xsr-X>)
0
0
0
0
Xl
1
0
0
0,5
0,5
0
,2764
,7236
,2764
,7236
0
0
а
а
Г
0
0
0
0
Хг
0
1
0
0,5
0
0,5
,7236
,2764
0
0
,2764
,7236
а
Т
а
Х3
0
0
1
0
0,5
0,5
0
0
0,7236
0,2764
0,7236
0,2764
Л»
а
а
XiX2
0,25
0
0
0,2
0,2
0
0
0
0
а2
аг
аг
0
0
0,25
0
0
0
0,2
0,2
0
0
аг
а2
аг
звд,
0
0
0,25
0
0
0
0
0,2
0,2
аг
аГ
а2
— 0,0894
0,0894
0
0
0
0
0
агб
; агб
XlX2 (Xl—Эй)"
0,04
0,04
0
0
0
0
0
агб2
агб2
Х1Х3 (Xl — Х3)г
0
0
0
0
-0,0894
0,0894
0
0
агб
0
агб
0
0
0,04
0,04
0
0
аТб2
0
агб2
0
0
0
0
-о,
0,
агб
агб
0
Х2Х3 (Xj — ХзJ
0
0
0
0
0894 0,04
0394 0,04
агб2
агб2
0
0
0
0
а3г а3г
: а3г а2га
I a2r1a°T
a2r2
a3r
a3r
Здесь Г = 1—2а; б = За — 1.
D-оптимальному, при q = 3 содержит точки A,0,0), @,5, 0,5, 0),
@,2764, 0,7,36,0), @.Л65, 0,2165,0,5670) и все точки, получае-
получаемые из этих перестановкой координат (N = 15).
Контуры дисперсии предсказанного значения \ = TV" d (x, Q)
для построенного плана приведены на рис. 40. Значения
дисперсии предсказания для такого плана, естественно, хуже,
чем для D-оптимального плана четвертого порядка (рис. 37, б).
Рис. 40. Изолинии \ для ком-
композиционного плана четверто-
четвертого порядка
Построенные на основе композиционного плана полиномы четвер-
четвертой степени будут давать значения исследуемого свойства с не-
несколько большей ошибкой в областях, близких к вершинам.
Различные варианты построения композиционных планов,
когда в основе лежат планы первого, второго или третьего поряд-
порядков, детально рассмотрены в U 87]. Там же приведены расчетные
формулы для определения коэффициентов регрессии и лини»
равных значений величины ?.
Дальнейшего уменьшения значения дисперсии предсказания
можно достичь при построении насыщенных композиционных D-
квазиоптимальных планов вторым способом U 65]. Для получения
композиционных планов третьего и четвертого порядков здесь,
так же как и в предыдущем случае, исключают С\ точек плана
третьего порядка с координатами х{ = xj = xh = 1/а, включают
С\ срединных точек для бинарных систем xi = 7г, х, = V2, xh =
= 0,3, Cq точек, соответствующих взаимодействиям четвертого по-
порядка из трех компонентов.
Однако в отличие от предыдущего случая координаты t C\ об-
общих для обоих планов точек xi = a, xj = 1 — a, xh = 0 не сов-
совпадают с соответствующими точками D-оптимального плана-
третьего порядка, а выбираются таким образом, чтобы планы
третьего и четвертого порядков минимально отклонялись от
D -оптимал ьных.
248
Для сравнения различных планов необходимо ввести количест-
количественную оценку степени близости плана к D-оптимальному. В [265]
предлагается сравнение планов производить по среднегеометриче-
среднегеометрической величине рассеяния коэффициента регрессии б = у det (XTX))
где к = Cg+n-i» При этом задача построения композиционного
плана сводится к решению задачи
minF3/63D — 64/64D),
Где д.. — координаты точек композиционного плана, соответствую-
соответствующие парным взаимодействиям, б3 и б4 — среднегеометрические ве-
величины рассеяния оценок коэффициентов регрессии для уравнений
третьего и четвертого порядков, оцениваемых по данным искомых
композиционных планов, a 63d и 64d — по данным D-оптимальных
планов.
Решая эту задачу для систем с разным числом компонентов д,
для xi были получены несколько отличающиеся результаты. Для
q _ t Xi — 0,, 23 (или 0,777). По мере увеличения числа компо-
компонентов х% растет, достигая ж* = 0,231 при q = 10. Расположение
экспериментальных точек для построенных таким образом D-
квазиоптимальных планов четвертого порядка для q = 2 приведе-
приведено на рис. 41, а для q = 3 — на рис. 42.
Отношение б3/б3с = б4/б4д в среднем равно 1,03. Если в каче-
качестве точек xi плана четвертого порядка использовать бинарные точ-
точки .D-оптимального плана третьего порядка или наоборот, то от-
отношение 63/63d или 64/64с примерно равно 1,14, т. е. почти в пять
раз больше, чем у композиционных ?)-квазиоптимальных планов.
На рис. 43 приведены контуры дисперсии предсказанного зна-
значения % для построенных вышеописанным способом композицион-
композиционных .D-квазиоптимальных планов третьего и четвертого порядков,
содержащих соответственно точки
A; 0; 0), @,2245; 0,7755; 0), A/3; 1/3; 1/3) п = 3
A; 0; 0), @,2245; 0,7755; 0), @,5; 0,5; 0),
@,, 165; 0,, 165; 0,5670) п = 4
и все точки, получаемые из этих перестановкой координат.
Пример [37]. При исследовании изменения величины рН в водной
системе НС1 — КОН — КС1 (хг — х2 — х3) для планирования эксперимента
была выбрана схема D-оптимального плана третьего порядка, содержащего
для трехкомпонентных систем десять экспериментальных точек (табл. 4.9).
Такой выбор объяснялся тем, что рассматриваемая система сравнительно
проста и характер поверхности отклика был известен априори.
После реализации матрицы планирования по формулам D.133) — D.135)
были рассчитаны коэффициенты полинома третьей степени и построено
1,0
?
qe
0
цг
О
Рис. 41. Экспериментальные точки
в ?>-оптимальныхЛи композиционных
D-квазиоптимальных планах третьего
и четвертого порядков при q = 2
а — D-оптимальный план третьего поряд-
порядка; б — D-оптимальный план четвертого
порядка; в — D-квазиоптимальный компо-
композиционный план третьего порядка; г — D-
квазиоптимальный композиционный план
четвертого порядка
Рис. 42. Экспериментальные точки в D-оптимальных и композиционных
D-квазиоптимальных планах третьего и четвертого порядков при q = 3
а — D-оптимальный план третьего порядка; б — D-оптимальный плая четвертого поряд-
порядка; в — D-квазиоптимальный композиционный план третьего порядка; г — D-квазиопти-
мальный композиционный план четвертого порядка
1,0
1,0
1,0
',0
\0 1,0
Рис. 43. Изолинии | для D-квазиоптимальных планов третьего (а) и четвер-
четвертого (б) порядков
уравнение вида
у = 2,1х1 + 12,23х2 + 7,1а:а — 0,025хЛ - 10,85хЛ + 11,275х2х3 —
- 25,66хЛ (хг - х2) + 10,26хЛ (Xl - х3) - 10,81х2х3 (*2 -
— ^з) — 2,37x^X3.
Однако найденное уравнение недостаточно точно приближает поверхность
отклика рН в срединной части концентрационного треугольника, для которой
характерно довольно резкое изменение свойства. В связи с этим была выдви-
250
. Таблица 4.9
Матрица планирования третьего порядка и результаты измерений рН
в системе НС1—КОН—КС1
Помор
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
НС1
XI
1
0
0
0,2764
0,7236
0,2764
0,7236
0
0
0,3333
КОН
0
1
0"
0,7236
0,2764
0
0
0,2764
0,7236
0,3333
KG1
х>
0
0
1
0
0
0,7236
0,2764
0,7236
0,2764
0,3333
Обозначение
ОТКЛИКОВ
2/1
2/2
2/3
2/iaa
2/112
2/ш
2/из
2/233
2/223
2/123
рН
У
2,10
12,23
7,10
11,70
2,62
^2,63
2,23
11,74
12,10
7,10
Таблица 4.10
Матрица планирования четвертого порядка и результаты измерения рН
в системе НС1-КОН-КС1
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
¦
HG1
1
0
0
0,5
0,5
0
0,176
0,824
0,176
0,824
0
0
0,216
0,216
0,568
0,333
КОН
хг
0
1
0
0,5
0
0,5
0,824
0,176
0
0
0,176
0,824
0,216
0,568
0,216
0,333
KG1
Хз
0
0
1
0
0,5
0,5
0
0
0,824
0,176
0,824
0,176
0,568
0,216
0,216
0,333
Обозначение
откликов
2/1
2/2
2/з
2/12
2/13
2/23
2/1222
2/1112
2/1ззз
2/шз
2/2333
2/2223
2/1233
2/1223
2/1123
Проверочная
точка
РН
V
2,10
12,23
7,10
7,10
2,26
11,89
12,12
2,32
2,85
2,10
11,47
2,15
7,10
11,88
2,54
7,10
251
нута гипотеза о возможности приближения-поверхности отклика полиномой
четвертой степени и реализован D-оптимальный план четвертого порядка;
содержащий 15 экспериментальных точек (табл. 4.10). щ
По формулам D.136) рассчитаны коэффициенты и получена модел1|
у — 2,1ж1 + 12,23ж2 4- 7,1ж3 — 0,26x^2 — 9,36x^3 + 8,9я2ж3 —
— 16,9x^2 (xi — х2) -f- 13,8x^3 (ж1 — х3) — 14,3х2х3 (Ч — Н) +
4- 1,5x^2 (*i — х2J — У1,Ьхххг {хх — ж3J 4- 14,3х2х3 (х2 — ж3J—
— Шх\хгха _|_ 208,3x^X3 — Ь,1ххх2х\.
Ошибка воспроизводимости измерений рН в эксперименте s {у} = ОМ
Адекватность полученного уравнения проверялась с помощью 4-критер^
по проверочной точке в центре симплекса (точка 16 в табл. 4.10). Ура
нение адекватно, так как расчетное значение рН в этой точке равно 7,14",|
t_ = 0,34, что меньше табличного значения iQ 0-.lg = 2,65.
§ 4.6. Планы, минимизирующие смещение
За последние годы большое внимание уделяется развитию теорйё
планирования, учитывающей эффект неадекватности. В отличие q
предыдущих случаев, где планы строились в предположения
что приближающий полином способен дать совершенное представ
ление функции отклика, здесь рассматриваются вопросы построй
ния планов, обеспечивающих наилучшее возможное представлю
ние сложной поверхности отклика более простыми полиномам!
с использованием относительно небольшого числа опытов.
При таком подходе отклонение аппроксимирующего полином,
степени щ от истинной функции отклика, являющейся полиноме»
степени щ (щ ^> щ), определяется, во-первых, случайной ошиб
кой и, во-вторых, систематической ошибкой, возникшей вслед
ствие неадекватности аппроксимирующей функции. Задача зй
ключается в выборе планов, позволяющих строить приближающий
полином заданной степени щ, наиболее точно представляющи!
функцию отклика, т. е. планов, минимизирующих смещение.
В качестве меры точности приближения в некоторой точке \
берется величина
где # (?) — математическое ожидание отклика в этой точке,
у (Ж) — истинное значение отклика. Усреднив эту меру по обла|
сти исследования R, получим
где
D.131
Для того чтобы критерий точности не зависел от ошибки экспери
мента и с целью обеспечения возможности сравнения планов с рая
личным числом экспериментальных точек, целесообразно норм^
252
ровать величину D.137). Тогда в качестве окончательной меры
точности будем иметь
D.138)
у if)},
Так как
н?)-у ^ = $(г) ~*Шу ^ + $
интеграл D.138) можно разбить на два слагаемых, соответствую-
соответствующих случайной и систематической ошибкам:
j = у + с, D.139)
где
у _ „,^у { Щ [у (х) — Щ (Ж)]2 d% = g2 . \ б2 {у (х)} d% D.140)
я . R
— средняя квадратичная ошибка, обусловленная тем, что резуль-
результаты наблюдений представляются случайными величинами (инте-
(интегральное случайное отклонение), а
/-1
)-у
D.141)
— квадратичная ошибка, обусловленная неадекватностью модели
(интегральное систематическое отклонение).
В общем случае задача минимизации среднего квадратичного
отклонения аппроксимирующего полинома от заданной функции
отклика, усредненного по области R и нормированного с учетом
числа наблюдений N и ошибки эксперимента сг2 {у}, была по-
поставлена и решена в [177, 266].
Пусть истинная функция отклика, являющаяся полиномом
степени щ,
т, = хГЁ1 + х2тВ2 D.142)
аппроксимируется полиномом степени их (щ < п2)
где
?,..., Ж*;
= || ь0; Ьъ..., ък; ъп,..., b^] b12,...
ft. -ftj &1...1, ,2)
П] r»i-l
253
Bi — \\b0; blt.. ., bk; bn,.. . , Ь^; b12,. .. , b(k-\)k", ¦ ¦ ¦',
b\- -i. ¦ • ¦. bk...k, &i-¦ 1, 2, • ¦ ¦ > b[fe-(n,-i)](fc-i) k
П, П] П,-1
"a = V°\-•¦!¦,¦¦• i bk-.-k] bi--.i, a» ¦ ¦ ¦ » fyfc-ni)(*-i)b ¦ • • I
"l+l П,+1 П,
Матрицу планирования, соответствующую полиному степени
«2> разобьем на блоки следующим образом:
X = (Хх ; Х2),
где Хх — матрица, соответствующая модели порядка пх, а Х2 —
дополнение до модели порядка щ,. Следовательно, матрица
есть матрица порядка [C?j+A X N], у которой
Л1« — || -11 -Чги ¦ ¦ • ) •
k-Vtw^kut •
5 3
: -и
vT и и
Л2 — II X21' ' ' • • X2«' P P ' ' X2iV В —
есть матрица порядка [(C^
^2u == fl^lu i ¦
Ж1 Xfc; Ж1 Ж
X iV], у которой
fe ^^
Тогда информационную матрицу М, соответствующую моделщ
порядка «2, можно записать так
Mil Ml2 II
М12 М22 |j
где
YTY M ТСТ\ М YTY
11 — Лх Л.1, ±™-12 — Л1 Л2) "*22 — Л23Л2*
Выпишем одну из матриц, например соответствующую верхне-
верхнему левому блоку (см. стр. 255). Элементы этих матриц, приве-
приведенные в квадратных скобках, являются моментами плана и
равны
is
^н IS
« гн мл;
's •"" is
с
-и
¦Ч IT ^н" ...-« чн ¦¦¦ -S . . . *-
ё
а
... IS
is
где alt a2,. . ., ak = 0,1, . . ., k; ax -f «г + • • • + ан < ni "Ь
+ /г2.
254
255
Кроме того, нам будет необходима информационная матрица
соответствующая равномерному распределению по области
Таким же образом разбитая на блоки матрица ц имеет вид
1*11 |*12
где
g Vp-1 _
объем области.
^Матрица, соответствующая верхнему левому блоку, прив<
дена на стр. 257.
Элементы матриц в фигурных скобках являются моментами pai
номерного распределения случайных переменных f в R
t. D.141
С учетом вышеприведенного, величины V и С в матричной фо|
ме запишутся следующим образом:
V —
С =¦
Чу) .
в
MuXMl2 =
- х2]
D.146
», D.1471
— матрица порядка lCni'+л >|
- x2T]
где А
X (CnUk — С%+к)], элементы которой равны величине системат
ческих смещений, возникающих в оценках Вх из-за коэффициенте
высшего порядка в соответствии с уравнением
Решая задачу минимизации / при различных вкладах случай^
ной и систематической ошибок, было установлено, что для миними
зации достаточно рассмотреть случай, когда расхождение возня
кает только от систематической ошибки, так как к нему сводите!
случай, когда обе ошибки, и случайная и систематическая, n
сутствуют. • j^
Выражение D.147) может быть записано в терминах матриц ад
и ц. При этом смещение оказывается пропорциональным велвд
чине
Т -1
I — Ml2Mll М^12
D.148]
ё^
-И -«
со
IS
IS
!S
256
И. г, Зедгннидве
257
Первое слагаемое в D.148) не зависит от плана; кроме того, можно
показать, что ц и (ц22 — linlhiliiz)— неотрицательно определен-
определенные матрицы. Поэтому для любого вектора В2 смещение С может
быть минимизировано выбором такого планирования D, при кото-
котором
М2М„ = UnVis- . D.149)
В частности, достаточным условием для минимизации С являются
равенства
Мп = цп, D.150)
М12 = р12. D.151)
Следовательно, некоторый план D, применяемый для построения
полинома степени щ в области R, минимизирует систематическую
ошибку С, связанную с тем, что действительная функция есть поли-
полином степени щ (п2 ^> щ), если все его моменты вплоть до порядка
/гх + щ будут равны соответствующим моментам равномерного
распределения случайных переменных %х, й2,. . ., %h в R. Таким
образом, задача минимизации С сводится к поиску точек плана,
удовлетворяющего условиям D.150) и D.151).
Так как в формулы D.138), D.140), D.141) входит операция ин-
интегрирования по области R, планы, минимизирующие смещение,
существенно зависят от выбора этой области. Они различны для
разных областей исследования.
Для симплексной области Дрепером и Лоуренсом [267, 268]
построен ряд планов первого порядка, минимизирующих смеще-
смещение, если истинная поверхность отклика — полином второй
степени и планы второго порядка, минимизирующие смещение для
истинной поверхности третьего порядка для размерностей q= 3 и
q = 4. В общем случае для произвольного q, но лишь для ли-
линейного приближения поверхности второго порядка, задача ре-
решена Беккером [269].
Общим и характерным для всех этих работ является переход
от ^-мерной симплексной системы координат к к = q — 1-мерной
системе независимых переменных и рассмотрение обычного поли-
полиномиального представления для к => q — 1 независимых пере-
переменных Ж.
Планы Дрепера — Лоуренса. Планы, минимизирующие сме-
смещение, строились в декартовой системе координат с центром в цен-
центре симплекса и осями, ориентированными некоторым специаль-
специальным образом [267, 268]. В качестве точек планов Дрепер и Лоу-
ренс использовали вершины правильных геометрических фигур,
расположенных внутри симплексной области. Так как отдельные
правильные конфигурации точек не обеспечивали получение пла-
планов, минимизирующих смещение, необходимым оказалось комби-
комбинирование нескольких таких конфигураций. Задача заключается
258
в выборе минимального числа комбинируемых конфигураций
различного вида, способных образовать искомый план и в опреде-
определении их параметров, минимизирующих смещение.
Раздельно рассмотрим две задачи. В первой предполагается,
что случайные ошибки наблюдений отсутствуют, и строятся пла-
планы, минимизирующие систематическое смещение С, во второй —
предусматривается возможность минимизации систематического
смещения С так, чтобы была минимизирована и общая ошибка /,
т. е. при этом должно быть учтено случайное смещение V.
Планы, минимизирующие систематическую ошибку. Пара-
Параметры конфигураций точек, составляющих план, минимизирую-
минимизирующий С, определяются следующим образом. Координаты точек пла-
плана записываются в терминах параметров примененных конфигу-
конфигураций. Моменты плана, выраженные в параметрах геометрических
фигур, приравниваются к соответствующим моментам равномер-
равномерного распределения и полученная таким образом система уравне-
уравнений решается относительно неизвестных параметров. Определив
параметры плана, минимизирующего систематическое смещение,
находим числовые значения координат точек плана в декартовой
системе координат, а затем с помощью переходных формул — ив
симплексной системе.
Так как планы, минимизирующие С, существенно зависят от
выбора R, необходимо раздельное рассмотрение систем с различ-
различным числом компонентов.
Планирование для трехкомпонентных
систем. Областью определения R трехкомпонентной смеси с
фиксированным суммарным количеством
хх +
хэ = т (т < 1)
D.152)
является равносторонний треугольник, лежащий в плоскости
хг + #2 + хз = т и ограниченный плоскостями хг = хг = х3 =
= 0.
Учитывая условие D.152), эта область может быть рассмотрена
в двухмерной системе координат (f2, й2), центр которой совпадает
с центром симплекса, одна из вершин лежит на оси й2, а другие
симметричны относительно этой оси (рис. 44). Переход к новой
системе координат осуществляется согласно
S9 = x1 + xi + x3 = m,
а обратный переход — по формулам
х1=~ C51! -% УЗ + т), х% = -i- BЖ2 /3 + т),
т).
D.153)
D.154)
9* 259
Рис. 44. Кодирование перемен- Рис. 45. Множества точек, формирующие
ных планы Дрепера — Лоуренса
В новой системе координат вершины симплекса со стороной, рав-
равной т, будут иметь координаты
Точки плана, минимизирующего смещение С для трехкомпо-
нентной системы (q = 3, к = q — 1 = 2), выбираются из следую-
следующих множеств (рис. 45).
1. Вершины равностороннего треугольника с центром в начале
новой системы координат о', ориентированного так же, как и
симплекс Л, и со стороной р
@; ^
2. Вершины равностороннего треугольника с центром в начале
новой системы координат о', повернутого по отношению к R
на 180° и со стороной, равной 'g,
@; -
3. Вершины квадрата с центром в начале координат о' и со
сторонами длиной 2а, параллельными координатным осям Ж1? Ж2,
(± а, ± а).
4. Точки на осях координат
(± Ь, 0), @, ± Ъ).
5. Вершины прямоугольника
(с, d), (с, - d), (- с, - d), (- с, d).
260
Таблица 4.11
Множества точек, формирующие планы Дрепера-— Лоуренса
для трехкомпонентных систем (к = 2) [267]
Номер множества
Обозначения
множеств
Параметры плана
Число точек
в множестве
2*
у*2
24
24
2**»
24*
2*4
24
24
24*
244
2*i4
24
24
24*.
24*5
2*i4
24
д
р
3
0
0
1
0
0
/Зрз
12 г
0
/Зрз
12
0
0
§^
0
0
~~Т4ТР
0
5/3 5
144
2
" V
3
0
0
1''
и
0
0
0
l
О
0
24**
0
0
I8~g
0
144 S
0
5/3 „в
144 g
3
?
а
4
0
0
4а2
4а2
0
0
0
0
0
4а4
0
4а«
0
4а«
0
0
0
0
0
0
4
Ъ
4
0
0
262
262
0
0
0
0
0
261
0
0
0
261
0
0
0
0
0
0
5
(с, d)
4
0
0
2 (с2 + d?)
2 (с2 + d2)
0
0
0
0
0
2 (с* + d«)
0
4c2d2
0
2 (с* + d*)
0
0
0
0
0
0
Моменты
равномер-
равномерного рас-
пределе-
пределения
0
0
1
24 т
кт*
0
0
~"збо"те
0
/3 s
60 те
1
240 т
0
1 ,
720 m
0
1
240 т
0
~2520т
0
~7560т
0
VI п*
1512
261
В табл. 4.11 для каждого из этих пяти множеств точек приве-
приведены вычисленные В4 терминах их параметров р, g, a, b, с, d зна-;|
чения всех моментов плана вплоть до пятого порядка, а в правом^
крайнем столбце даны значения моментов равномерного распреде-
распределения в исследуемой области R. Приведенные моменты равномер*
ного распределения для треугольной области R получены с по-
помощью моментообразующей функции [267]
где
+ 240 /4! + 720
D.155)
A =
Рассмотрим планирование при q = 3 (& = 2), nx = 1, щ = 2.
При линейном приближении квадратичной функции отклика в
треугольной области матрицы ци и ц12
II {1} {2}
{1} {11} {12}
{2} {12} {22}
с учетом полученных
II 1 | {11} {22} {12} | 1
Si , (иг = {111} {122} {112} хх ,
J 2г I {112} {222} {122} | а?2
с помощью моментообразующей функции
значений моментов равномерного распределения вплоть до
+ лг = 3-го порядка
^-т», {222} = -{112}=
{1} = {2} = {12} = {122} = {111} = 0,
D.156)
примут следующий вид:
1 XI 22
0
0 -яг
2а
262
0 --57Г1
0
D.151)
Естественно, ограничить класс исследуемых планирований
лишь теми множествами точек, моменты плана которых в матри-
матрицах Ми и М12
Ц хххг
]. [Uf [22] [12[ II
Мм 3=1 [HI] [122] [112] Si.
| [112] [222] [122] 1 Я*
1 зс\. 3?%
|| 1 [1] [2] 1
Ми = 1 [Ц [И] [12]
II [2] [12] [22]
удовлетворяют условиям
[11] = [22] = е, [222] = -[112]=/,
[1] = [2] = [12] = [122] = [111] = 0.
Тогда матрицы D.158) будут иметь такую же форму, как и D.157),
1 XI Х2
D.158)
D.159)
х\
Ми = I 0
0
0 0
е 0
0 е
яг
1
2i.
X2
D.160)
ее 0
Ми=| 0 0 -/
~ / / 0
Аналогично D.150) и D.151) приравниванием соответствую-
соответствующих моментов равномерного распределения и моментов плана по-
получим для «J = 1, п2 = 2 и треугольной области Д минимизацию
смещения С при выборе таких расположений точек (таких планов),
при которых имеют место соотношения
Ни одно из пяти множеств точек (табл. 4.11) не удовлетворяет
всем условиям D.161) и самостоятельно не может быть использо-
использовано для формирования планов, минимизирующих смещение.
Так как для удовлетворения условий
N N N .V N
,?j $tu ==
== 2j ^1«^2u = 0,
U=-l
u—1
24
u=l
¦w—l
360
Nm*
D.162)
268
необходимо более четырех точек, приходится комбинировать мно-
множества 1—5 и достраивать их в случае необходимости до планов,
минимизирующих С, добавлением точек^в центре планирования.
Во все исследуемые комбинации для удовлетворения уравнений,
учитывающих моменты третьего порядка, следует включать точ-
точки множества 1.
Алгоритм построения таких комбинированных планов и вычис-
вычисление их параметров проиллюстрируем на примере комбинации
Рис. 46. Схема плана Дрепе-
ра — Лоуренса для случая
q = 3, пх — 1, ге2 — 2, исполь-
использующего множества точек A, 2)
табл. 4.11
множеств 1, 2. Уравнения D.162;, с учетом значений моментов пла-
плана из табл. 4.11, примут следующий вид:
P* + g*
Откуда для фиксированного числа N определим параметры пла-
плана р — 0,621 т и g = 0,339 т. В данном случае множества то-
точек 1 и 2 образуют два равносторонних треугольника, повернутых
на 180° друг относительно друга и полностью расположенных в
области R (рис. 46). Параметры различных комбинаций множеств
точек, удовлетворяющих D.162) и содержащих не более девяти
точек, приведены в табл. 4.12.
Рассмотрим планирование при q = 3 (к = 2), п± = 2, /г2 =
= 3. При квадратичном приближении кубической функции от-
отклика в треугольной области R матрицы jun и jui2, с учетом по-
полученных с помощью моментообразующеи функции значений мо-
моментов равномерного распределения вплоть до п1 + п2 = 5-го
порядка,
{11} = {22} = ^,
{222} = -{112}= -L Ьхт\
{1111} = {2222} = 3 {1122} = Л
Л-
D.163)
{11112} = 3 {11222} = - 0,6 {22222} = —-щ \™-\
{1} = {2} = {12} = {111} = {122} = {1112} = {1222}={1111} =
= {11122} = {12222} = 0,
264
примут следующий вид:
1
1
0
0
1
¦24 т*
1
Тт
0
XI
0
0
0
0
1
X
0
0
1
1
1
с
X2
xi
1
1
720 '
0
1
720
1
О —¦
720
1
Si
XI
XIX1
D.164)
fJ.12
1
240 '
О
О
О
m-
0
1
720
О
О
о
1ЖЬт*
240
1
1260
5
1260
О
1
60
720
1
420
1
1260
О
1
XI
X1X2
D.165)
где бх =
Класс исследуемых планирований ограничим лишь теми мно-
множествами точек, моменты плана которых удовлетворяют условиям
[И] = [22] = е,
[222] = -[112]=/, DЛ66)
[1111] = [2222] = 3 [1122] = Зу,
[11112] = 3 [11222] = - 0,6 [22222] = Ъги,
[1] = [2] = [12] = [111] = [122] = [1112] = [1222] = [1111] =
=к[11122] = [12222] = 0.
265
Таблица 4.12
Параметры
Номер
плана
1
2
3
4
5
6
7
81
9«
Множест-
Множества
A
A
A
A
A
A
A
A.
A.
точек
.2)
,2)
,2)
,2)
, 3)
,4)
,5)
1,2)
2,2)
1 р« — выбирается
¦= 0,75 mf —
= 0,364 т.
планов Дрепера—Лоуренса для трехкомпонентных
систем при пх
Число
опытов
в центре
0
1
2
3
0
0
0
0
0
Общее
число
опытов
N
6
7
8
9
7
7
7
9
9
= 1, иг
р = 0,
Р = 0,
я = о,
/- = 0,
Р=0,
я = о,
р = о,
= Z [267]
Значения
621 то; g
662 то; ?
609 то; g
733 те; g
616 те; а
616 то; 6
616 то; с
d — выбирается
произвольно, a Pi и g — удовлетворяют
Pi', Pl"+g> = 0,3
• gt — выбирается произвольно
-««., p«-?i"
= U,30
"»•— Р«3, например
Pi = 0,606
параметреа
= 0,339 то
= 0,381 то
= 0,421m
= 0,457 те
= 0,160 те
= 0,226 те
= /@,051 те»— d»),
произвольно
уравнения pi' + gt«-
w», Ps = 0,500 m, г —
а р и gi удовлетворяют уравнения р« + g,« = 0.75 m«—
mt + gi', например,
р — 0,727
m, gi = 0,425 m, g\ = 0,200 m.
Тогда матрицы Мп и М12 будут иметь такую же форму, как и
Mil И Ml2.
Мц =
1
1
0
0
e
e
0
*;
0
3v
0
0
0
3w
Si
0
e
0
0
0
/
Xl
0
г;
0
0
0
w
S%
0
0
e
f
-f
0
*! ¦
—
—
e
0
/
3y
v~
0
/
0
3v
w
5w
0
*;
s 0
о /
-
f о
v 0
3v 0
0 v
/
0
г«
0
1
хг
sl ¦
4
1
Xl
Xl
*J
*!
D.167)
D.168)
Воспользовавшись условиями D.150), D.151), приравняем
соответствующие ненулевые моменты плана и равномерного рас-
266
прёделенйя й определим минимизирующие смещение € значения
параметров
4 . 1 с о 7 1 _.* 7 _ 1 X га*
е = 14
1260
D.169)
Так же как и в случае gr = 3)ra1 = l,ra2 = 2, планы, удовлетво-
удовлетворяющие полученным с учетом D.169) условиям
УЗ"
Nm3,
U—1
JV
D.170)
- о,б 2 *1и =
N N
ti=i «=i
JV N
2 Ж1« ^ — 2j хыхги — "
u=l «=1
N N N
U—1 U—1
JV
2 ^lu^au ™ 3 2 Zlu^iu =
u=i ii—l
1 fc 4 Л
будем искать в виде комбинаций множеств точек, приведенных
в табл. 4.11 (рис. 45). При выборе различных комбинаций должны
учитываться следующие условия: в этих комбинациях должно
быть по крайней мере одно множество точек 1 для удовлетворения
уравнений, включающих моменты третьего и пятого порядков;
комбинации лишь двух множеств точек не обеспечивают точного
решения системы D.170), так как при этом число уравнений пре-
превышает число параметров (исключение составляет комбинация
B,2), обеспечивающая приближенное решение системы D.170)
для N = 7, 8 и 9, т. е. при 1, 2 или 3 центральных точках).
Значения параметров р, g, a, Ъ, (с, d) множеств точек, исполь-
используемых в том или ином плане, и минимизирующих С, могут быть
найдены решением для фиксированного N системы уравнений,
получаемой из D.170) подстановкой в нее значений моментов пла-
плана из табл. 4.11.
Так, например, при использовании комбинации A, 3, 4) урав-
уравнения D.170), с учетом значений моментов плана из табл. 4.11,
примут следующий вид:
12
=-Hw-
267
Решение этой системы уравнений лишь при N = 13 удовлетворяв*
условиям D.170). Параметры плана равны р = 0,756т, а =
= 0,183 т, b = 0,258 т. Три точки плана A, 3, 4) (рис. 47) распо-
расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной
0,756 т (множество 1), четыре точки (± 0,183 т, ± 0,183 т) распо-
расположены в вершинах квадрата (множество 3), две точки (± 0,258 т, 0)
лежат на оси хи две точки @, ЧЬ 0,258 т) — на оси х2 (множе-
(множество 4) и две точки в центре плана. Восемь точек множества
3 и 4 являются вершинами октаэдра, вписанного в круг радиуса
0,258 т.
Рис. 47. Схема плана Дрепе-
ра — Лоуренса для случая q =
= 3, щ — 2, п2 = 3, исполь-
использующего множества точек
A,3,4) табл. 4.11
Значения параметров для некоторых комбинаций, вычисленные
с применением ЭЦВМ, приведены в табл. 4.13.
Планирование для четырехкомпонент-
ных систем. Областью определения R четырехкомпонентной
смеси с фиксированным суммарным количеством
+ х3 + ж4 = пг (т < 1)
D.171)
является трехмерный тетраэдр. Удобно рассматривать его в
новой трехмерной системе координат (оси Ж2, х3), центр которой
совпадает с центром тетраэдра и новые оси координат сориентиро-
сориентированы так, что четыре вершины тетраэдра образуют полуреплику
факторного плана типа23. Такое преобразование может быть осу-
осуществлено с помощью соотношений
х3 — ж4,
= х
— хг + х3 — xt,
D.172)
+ xz + хз + xi = т,
и обратно
x
т), х2
+ т), ж
т),
D.173)
268
ев
ИГ
й
и
VD
ев
Н
CD
?
ем
II
8
н
р.
х систем п
3
В
ffi
о
Щ
р.
сб
и
Я
?.
&'
пера — Л
?.
г=г
S
пла
3
аметр
сб
В
е
щ
ДОЛ
Я
а
1
Р.
Й
Общее
число
пытов, N
о
о
«г
§§*
Чи
опы
цент
Множества
точек
Номер
плана
ю
ОО
со
о
Ьо
о
II
а,
с\Г
•*ч
??
О
II
Ьо
00
оэ
о
II
а,
00
см
см"
СМ
450
о
II
Ьо
23;
о
11
а,
ОЭ
со
со
430
о
II
Ьо
233;
о
II
15;
о
11
с.
оэ
о
см
445
о
II
Ьо
323;
о
||
S,
29;
о
II
Trf
о
С1
¦ —
ю
462
о
II
Ьо
398-
о
||
'38-
о
II
Trf
С\1
""М
¦-'
CD
450
о
II
Ьо
465-
о
||
Г43
о
II
Trf
см
СО
<^1
485
о
ьо
532
о
||
а
Г42
о
II
Trf
со
—
00
342
о
II
S,
342-
о
||
й
СО
•гч
О
II
с.
ОЭ
о
см
см
¦-—
оэ
367
о
II
й
367-
о
II
Й
Г39
о
II
а,
о
С1
см
¦ —
о
см
о
II
Ьо
189
о
II
422
о
||
Ю
о
11
Trf
см
о
см"
^и
ГО
,п
т4
О
II
468
о
Ьо
445
о
и
S,
о
11
см
о
см
см
ГО
со
о
II
05
Ьо
348
о
II
Ьо
348
о
|]
Ьо
см
00
о
11
см
о
cnT
см
со
258
о
II
-о
183
о
II
в
CD
ю
о
II
а,
со
см
со
о
то
О
II
547
о
II
300
о
||
в
99^
о
11
а,
со
см
со
ю
г~
|П
см
о
II
-а
130
о
II
212
о
||
CD
Ю
О
II
а,
СО
см
1О*
-*'
-—-
CD
IO
7М
-^н
О
"тз"
СМ
О
||
11
IM
,272
о
II
094
о
||
О
CD
Ю
t^.
о
11
а,
СО
см
m
\п
[-
00
¦?>
СМ
о
II
•*ч
-^н
О
II
295
о
il
Ьо
756
о
11
S,
[^
ОЭ
о
11
al
со
о
ю
<м
00
оэ
^ч
о
1
тз
ю
о
,477
о
11
Ьо
756
о
11
S,
ОС
[^
о
i
а,
со
о
ю
ОЭ
о
см
о
II
"ТЗ
са
•*ч
О
п
,319
о
11
Ьо
766
о
II
S,
ОЭ
CD
СО
о
||
W
см
-^н
^^
п
о
¦*ч
О
II
тз
00
о
II
to
,481
о
II
Ьо
762
о
II
Erf
•*ч
VO
О
II
а,
Ю
са
^н
^^
С1
^н
О
||
тз
О
II
,480
о
11
Ьо
766
о
II
ю
о
11
а.
см
<м
—
см
см
269
В новой системе координат вершины тетраэдра со стороной, рав-
равной т, имеют координаты
(яг, т, — яг); (яг, — яг, яг); (— яг, яг, яг); (— яг, — т, —яг).
Точки плана, минимизирующего смещение С в четырехкомпо-
нентном случае (q = 4, к = q — 1=3), выбираются из следую-
следующих множеств.
1. Вершины тетраэдра, подобного концентрационному,
с центром в начале новой системы координат о' и со стороной,
равной а
(а, а, — а); (а, — а, а); (— а, а, а); (— а, — а, — а).
2. Вершины тетраэдра
(Ъ, Ъ, Ъ); (Ъ, -Ъ,- Ъ); (- Ъ, Ъ, - Ъ); (- Ь, - Ъ, Ъ).
3. Точки на осях координат
(± h, О, 0); @, ± h, 0); @, 0, ± А).
4. Вершины тетраэдров с координатами
(— г, — s, — t); (— r, s, t); (г, — s, t); (r, s, — t);
(— t, r, s); (t, — r, s); (t, r, — s); (— t, — r, — s);
(— s, t, r); (s, — t,r); (s, t, — r); (— s, — t, — r).
В табл. 4.14 для каждого из этих четырех множеств точек при-
приведены вычисленные в терминах их параметров a, b, h, r, s, t зна-
значения всех ненулевых моментов плана вплоть до пятого порядка,
а в правом столбце даны значения моментов равномерного распре-
распределения в области R.
Таблица 4.14
Множества точек, формирующие планы Дрепера—Лоуренса
для четырехкомпонентных систем (Л = 3)
Номер множества
Параметр л плана
Число точек в мно-
множестве
е
f
V
W
г
1
а
k ¦
4а2
—4а3
4а*
4а4
-4а5
2
Ь
4
462
463
46^
46*
465
3
л
6
2/г2
0
2W
0
0
4
О\ s, 0
12
4 (г2 + «2 + iJ)
—12rsi
4 (г* +** + /*)
4(r2s2 + rV+s2/2)
—4rsi(/-!! + sil + i!!)
Моменты
равномерно-
равномерного распреде-
распределения
5т2
-кт3
35т4
21 т'
^35 тЪ
270
Рассмотрим планирование при q = 4 (к = 3), щ = 1, и2 = 2.
При линейном приближении квадратичной функции отклика в
тетраэдральной области R среди вычисленных, согласно D,145),
моментов равномерного распределения вплоть до пг + щ = 3-го
порядка ненулевыми являются лишь
= i-m», {123} = -4-m». (
Класс исследуемых планирований ограничим лишь теми мно-
множествами точек, моменты плана которых удовлетворяют усло-
условиям
[И] = [22] = [33] = е, [123] = /, . D.175)
и все остальные моменты плана вплоть до третьего порядка равны
нулю. Приравнивая соответствующие моменты равномерного рас-
распределения D.174) и моменты плана D.175), согласно D.150)
и D.151), получим, что в рассматриваемом случае смещение С
минимизируется при выборе таких планов, при которых
е = \т\ f=—^m>. D.176)
Значение параметров a, b, h (r, s, t) множеств точек, формирую-
формирующих планы Дрепера — Лоуренса в четырехкомпонентном случае,
при щ = 1 и п2 = 2 определяются решением для фиксированного
N системы уравнений, получаемой из
2 *?« = 2 ^ = 2 & = Щ,
D.177)
подстановкой в нее значений моментов плана из табл. 4.14. Так,
например, для нахождения параметров плана A, 3) необходимым
оказывается решение системы уравнений
4a* + 2h* = ~N, -Aas = --^-N.
Значения параметров для некоторых комбинаций и при числе то"
чек плана от 8 до 12 приведены в табл. 4.15.
Рассмотрим планирование при q = 4 (к = 3), гах = 2, п2 = 3.
При квадратичном приближении кубической функции отклика в
тетраэдральной области R среди вычисленных, согласно D.145),
моментов равномерного распределения вплоть до пг + п2 = пя-
пятого порядка ненулевыми являются лишь
{11} =-{22} = {33} = i-w", {123} =--^m3,
{1111} = {2222} = {3333} = -^m\
{1122} = {1133} = {2233} = -1-m4,
{11123} = {12223} = {12333} = - -щ т&.
D.178)
2,71
Таблица 4.15
Параметры планов Дрепера—Лоуренса для четырехкомпонентных систем
при oti = 1, Л2 = 2 [268]
Номер
плана
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Л Г\
10
Для N>
r' + s'+t
Множест-
Множества точек
A.2)
A.2)
A.2)
A,2)
A,2)
A,3)
A,3)
A.3)
D)
D)
Число
опытов
в центре,
0
1
2
3
4
0
1
2
0
0
Общее
число
опытов,
N
8
9
10
11
12
10
11
12
12
12
12 некоторые значения г, s, t
= Nrm/2.0,
rst = NmV180.
Параметры в доле т
а
0,548
0,567
0,602
0,626
0,650
а
0,550
0,568
0,585
г
0,539
0,616
Ъ
0,315
0,344
0,371
0,397
0,421
s
0,248
0,360
h
0,628
0,674
0,718
t
0,500
0,300
и N, удовлетворяющие уравнениям
Класс исследуемых планирований ограничим лишь теми множест-
множествами точек, моменты плана которых удовлетворяют условиям
[И] = [22] = [33] = е, [123] = /, [1111] = [2222] = [3333] =
= v, [1122] = [1133] = [2233] = w, [11123]=[12223]= [12333] = z
D.179)
и все остальные моменты плана вплоть до пятого порядка равны
нулю.
Приравнивая соответствующие моменты равномерного распре-
распределения D.178) и моменты плана D.179), согласно D.150), D.151),
получим, что в рассматриваемом случае смещение С будет мини-
минимизировано при выборе таких планов, при которых
z = -^m\ D.180)
Значения параметров а, Ъ, h (r, s, t) множеств точек, фор-
формирующих планы Дрепера — Лоуренса в четырехкомпоиентном
случае, при щ = 2, nz = 3 определяются решением для фикси-
272
рованного N системы уравнений, получаемой из
N N N N
н=1
N
u=l
N
15
D.181)
?' _ V г1 - У f1 - 3
35"
S?2 ?2 _ "V
«2 ~2
«2 „2
„2 _ 1 4дг
-Зи — -yjr Ш 1\ ,
м=1
.V
,/J Я'ш^ги^Зи = ^J ^1и^2и^3" == 2л ^1и^2|Ли = ¦ oF" "* TV
u=l
подстановкой в нее значений моментов плана из табл. 4.14.
Так, например, для определения параметров плана, сформи-
сформированного из множеств J, 1, 1, 2, 3, исходя из D.181) и учтя обоз-
обозначения табл. 4.14, получим систему уравнений
4а2
:=^N,
+ 4&3
4а* + 4а* + 4а4. + 464 + 2/г4 =
15 1
3«i4
~35~
- Aal - 4а25 - 4а35 + 4&5 = - -g- TV.
Решение полученной системы для 7V = 22 дает следующие зна-
значения параметров: ах = 0,679 т, а2 == 0,442 т, а3 = 0,132 т,
Ъ = 0,326 т, А = 0,805 т.
Значения параметров для некоторых комбинаций и при числе
точек плана от 18 до 24 приведены в табл. 4.16. При построении
этих планов для удовлетворения уравнений, включающих момен-
моменты третьего и пятого порядков, во все исследуемые комбинации
Должны быть включены множества точек 7 или 4?, обеспечивающие
получение отрицательных моментов. ¦ * ~~~*
Планы, минимизирующие общую ошибку. Вышеприведенные
планы, как уже было отмечено, построены в предположении, что
существует только систематическая ошибка. Рассмотрим планиро-
планирование эксперимента в случае, когда наряду с систематическим
смещением присутствует случайная ошибка и необходима миними-
минимизация общей ошибки J = V + С.
273
Таблица 4.16
Параметры планов Дрепера — Лоуренса для четырехкомпонентных
систем при «i = 2, тн = Ъ [268]
Номер
плана
1
2
3
4
5
6
7
8
¦ 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
A
A
A
A
A
A
A
Множества
точек
A, 1, 4)
A, 1, 4)
A, 1, 4)
A, 1, 4)
A, 1, 4)
A. 2, 4)
A, 2, 4)
A, 2, 4)
A, 2, 4)
A, 3, 4)
A, 3, 4)
A, 3, 4)
A, 1. 2,
A, 1, 2,
A, 1, 2,
A, 1, 2,
A, 1, 2,
A, 1, 2,
A, 1, 2,
, 1, 1, 2
, 1. 1, 2,
, 1. 1. 2,
, 1, 2, 2,
, 1, 2, 2,
, 1, 2, 2
, 1, 2, 3
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
3)
Число
опытов
в цент-
центре, No
0
1
2
3
4
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
0
1
2
0
Общее
число
опы-
опытов, N
20
21
22
23
24
21
22
23
24
22
23
24
18
19
20
21
22
23
24
22
23
24
22
23
24
24
ei
0,673
0,679
0,685
0,690
0,694
а
0,676
0,680
0,683
0,685
а
0,682
0,686
0,690
а\
0,292
0,337
0,380
0,420
0,460
0,501
0,548
а\
0,679
0,683
0,691
0,677
0,677
0,672
ei
0,680
Параметры в
а%
0,0945
0,179
0,248
0,315
0,393
Ъ
0,165
0,220
0,272
0,317
h
0,319
0,390
0..459
аг
0,667
0,672
0,674
0,676
0,674
0,669
0,656
а,
0,442
0,455
0,441
0,451
0,479
0,517
а%
0,494
г
0,684
0,694
0,702
0,708
0,710
г
0,696
0,706
0,717
0,727
г
0,0807
0,0925
0,104
Ъ "
0,279
0,292
0,305
0,318
0,332
0,346
0,359
аз
0,132
0,191
0,288
0,126
0,181
0,275
Ъ
0,329
доле т
s
0,260
0,270
0,274
0,268
0,242
s
0,274
0,281
0,274
0,226
s
0,291
0,306
0,321
h
0,765
0,776
0,786
0,795
0,805
0,814
0,822
Ъ
0,326
0,332
0,340
0,321
0,315
0,275
hi
0,317
t
0,0524
0,0564
0,0532
0,0406
0,00912
t
0,0784
0,106
0,144
0,225
t
0,702
0,708
0,710
h
0,805
0,814
0,822
h
0,805
0,814
0,822
Ы
0,818
В случае g = 3, rax = 1, щ = 2 выражение для общей ошиб-
ошибки / имеет следующий вид [267]:
= D
тт
~^2 ((«и - «
~
где а?,- = N$j/o2 {у}, a e и / — моменты плана, определенные, со-
согласно D.159). Минимизацию / проводят следующим образом.
Рис. 48. Оптимальные значе-
значения е для различных величин
(«и + аа2J при m =- 1
Выбрав fie = — }^3/га/15, последний член превращают в нуль не-
независимо от величины е. Оптимальную же величину е определяют
из уравнения дЛде = 0, имеющего вид
24
- (оц
- т
г =
= 0.
374
Оптимальная величина е (рис. 48) почти не изменяется при боль-
больших значениях смещений и близка к значению е = 1/24 т2, мини-
минимизирующему С. Резкое отклонение значения У~е имеет место
лишь при малых, по отношению с ошибкой эксперимента, значе-
значениях смещения (ап + а22J. Так как аналогичные результаты по-
получаются и для других случаев [267, 268], можно считать, что оп-
оптимальный в смысле / план близок к плану, минимизирующему
только систематическую ошибку за исключением тех случаев,
когда случайная ошибка очень велика по сравнению с системати-
систематической.
В [267, 268] рассмотрен также вопрос трансформации планов,
минимизирующих систематическую ошибку, в планы, минимизи-
минимизирующие общую ошибку. Трансформация осуществляется расши-
расширением минимизирующих систематическую ошибку планов путем
умножения координат точек плана на масштабирующий фактор
0 (9 ^> 1). Замена точек плана (Жх, ?2) на (9хх, Ш2) эквивалентна
построению плана, минимизирующего только смещение С для сим-
симплекса со стороной тВ (вместо симплекса со стороной т). Для
определения оптимального значения 8 обратимся к выражению для
275
f
которое, с учетом е = 1/2ц m2Q2 и — =
6
У§~
-гг-
10
т%, примет
J F) = A + -w
Величину 8, минимизирующую /, определим из уравнения
dJ/dQ = 0, имеющего в данном случае следующий вид:
ез F - 1) {е (е + 1) тх + т2) - 4 = о,
где 7\ = -щ-пгй (ап + а22J иГ8=-1 /и4{(ап — а22J + а?2> яв-
являются функциями неизвестных коэффициентов рп, р22, Р12. Опт№
мальные значения 6 для различных величин Тх и Т2 приведены
в табл. 4.17.
Таблица 4.17
Оптимальные значения 6 для различных [величин Т: и Т2
г.
0
0,01
0,1
1
10
100
оо
г,
0
оо
4,74
2,81
1,75
1,22
1,04
1,00
0,01
2,78
2,74
2,46
1,73
1,22
-1,04
1,00
0,1
1,95
1,94
1,90
1,64
1,22
1,04
1,00
1
1,41
1,41
1,41
1,37
1,19
1,04
1,00
10
1,12
1,12
1,12
1,12
1,09
1,03
1,00
100
1,02
1,02
1,02
1,02
1,02
1,01
1,00
ОО
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Из табл. 4.17 явствует, что параметр 6 в общем случае за-
зависит от смещения; однако он близок к единице, за исключением
тех случаев, когда случайная ошибка доминирует. Когда неиз-
неизвестны величины Рг7- для трехкомпонентной системы при nx = lf!
п2 = 2, приближенно можно взять 6 = 1,1.
В случае q = 3, щ = 2, п2 = 3, согласно [267],
72Qg — ЗОет2 + mi 30v + 4 C) 2 /то + ето2
С =
360 Bv — с2) то2
^ me (85C&1
I
360 (ev — /2)
10aluaI22 + 25a222
luaI22 + 25a22 + 81a2222
18a112a222 + 21a212) + {Caul + a122J + Ca222 + a112J} P +
(a222 —an2J<?,
276
где
то2 ( v2 — fw rrfi Уз /
= 4" \ev-f 41 15" \
. 1 j ew — jv . то У:
"г ~50 \ ev —Р ' 2Т
ew — jv
21
ew-jv
тУг_
630
rrfl ( ef-2w
48
з \\
7 / J
3840
(ef — 2w то УЗ
2v— e2 Т~
В этом случае выражение для / является более сложной функ-
функцией моментов планирования е, /, v, w, определенных согласно
D.166), и минимизация / оказывается затруднительной. Если
V= 0, наилучшими планами будут планы, для которых Р = Q = 0.
А это имеет место при
е =
24
V =
1
720
W = —
7560
/и"
Планы, минимизирующие общую ошибку, получим трансфор-
трансформацией планов, минимизирующих систематическую ошибку.
Трансформация, так же как и в предыдущем случае, осуществ-
осуществляется умножением координат точек плана, минимизирующего С
на масштабирующий фактор 9. Ненулевые моменты трансформи-
трансформированного плана при этом принимают следующий вид:
е =
w=
1
yj_
360
v =
Уз
7560
т°
Значение масштабирующего фактора зависит от случайной
ошибки и ожидаемых коэффициентов полинома. Поэтому для
каждой конкретной задачи приходится отдельно определять точ-
точное значение 6. В грубом приближении для трехкомпонентного
случая и щ = 2, п2 = 3 можно брать 8 = 1,2.
В обоих рассмотренных случаях экспериментальные точки на
симплексе раздвигаются от центра к периферии.
(Сравнение планов Дрепера — Лоуренса. Для планирования экс-
экспериментов с минимизацией систематического смещения при q =
== 3 известны 9 планов, содержащих от 6 до 9 экспериментальных
точек, для линейного приближения поверхности отклика, 22 пла-
плана, содержащих от 8 до 15 точек, для квадратичного приближения,
а при q = 4 известно 10 планов, содержащих от 8 до 12 точек для
линейного и 26 планов, содержащих от 18 до 24 точек, для квад-
квадратичного приближения.
277
Поскольку дли каждого ИЗ этих случаев предложено достаточ-
достаточно большое количество примерно равноценных планов, одинаков^
минимизирующих смещение, перед исследователем возникаете
задача по выбору конкретного плана. Для решения этого вопроса
проводится сравнение планов Дрепера — Лоуренса по несколь-
нескольким критериям, предложенным Т. А. Чемлевой.
В качестве критериев сравнения выбраны определитель ин-,
формационной матрицы | М |, средняя и максимальная дисперсии
предсказанного значения исследуемого свойства, приведенные к
одному наблюдению dcp (x) и draax (x), а также след матрицы дис-
персий-ковариаций IV (М).
Согласно первому критерию среди исследуемых планов выде-.
ляются планы, наиболее близкие к .D-оптимальным. Чем больше
определитель информационной матрицы, тем ближе план к D-ошда
мальному.
Второй критерий связан с дисперсией предсказанного значе
ния исследуемого свойства. В условиях равноточности и в ра
сматриваемом нами случае равного числа наблюдений во всех э;
спериментальных точках (соц = UN, и = 1, 2,. . ., N) план, по
зволяющий находить более точное приближение, может быт;
выбран сравнением приведенных к одному наблюдению величий
d (х) = /т (х) М / (х). Чем меньше приведенная к одному наблю
дению максимальная дисперсия предсказания draax (x), тем бли
же план к G-оптимальному. Планы с малым значением средни
дисперсии предсказания dcp (x) обеспечивают предсказание по все
му симплексу в среднем с малыми ошибками.
Значение средней дисперсии можно найти как интеграл d (x
по симплексу, отнесенный к объему симплекса
D.182J
dx
В случае трехкомпонентной системы для исследуемой области —«
равностороннего треугольника со стороной, равной единице, по*
лучим
dx =
Для планов первого порядка
f (х) = || хъ х2, х3 ||,
а матрица ошибок М имеет вид
XI
XI X2 X%
СИ С12 CIS I
си са см
Csi CS2 CSS
D.183J
D.1841
D-1851
С учетом D.184) и D.185), по формуле D.182) получим, что для
симметричных планов первого порядка, где с1Х = с22 = с33 = сц
и с12 = с13 = . . . = с32 = сц,
1 '-ч 1 'Чг + с«). D.186)
Для несимметричных планов
l<i<3 Is
для планов второго порядка —
а матрица ошибок М имеет вид
2 ч),
D.187)
D.188)
М =
Хз
Сц С12 С13 Сц fig
си С22 <"гз <4 ск
С31 (2
С43
(5 сЗв
<"в5
D.189)
Аналогично предыдущему случаю, согласно D.182), получим для
симметричных планов —
dcv ^ = vTLT ^Cii + Cii^ + ~ьСш + 20 Сф + Ш (с»« + Сн
D.190)
для несимметричных планов —
+»(
1<г<3<3
i, j, ft=l
Ciijk
О
2 Сф\. D.191)
При выборе планов по критериям dcp (x) и dmax (x) могут встре-
встретиться ситуации, когда при общем малом значении средней диспер-
дисперсии будут существовать области с резко выделяющимися значения-
значениями максимальной дисперсии, и, наоборот, возможно сглаживание
дисперсии, когда при повышении общего уровня dcp (x) макси-
максимальное значение будет уменьшаться.
Согласно третьему критерию, лучшими являются планы с наи-
наименьшим следом Тг (М). Чем меньше сумма диагональных эле-
элементов матрицы дисперсий-ковариаций, т. е. сумма дисперсий
279
278
оценок коэффициентов полинома, тем ближе план к Л-оптималь-
ному.
При сравнении планов, минимизирующих смещение, следует
учитывать также композиционность, количество эксперименталь-
экспериментальных точек и др.
Значения показателей | М |, dcp (x), йшак (х), Тг AVT1), по-
полученных для минимизирующих систематическое смещение пла-
планов Дрепера—Лоуренса первого и второго порядков в трехкомпо-
нентном случае (параметры этихпланов даны в табл. 4.12 и 4.13)
приведены в табл. 4.18 и 4.19.
Таблица 4.18
Сравнительные показатели планов, минимизирующих систематическое
смещение, для q — 3. п\ --— 1, н2 = 2
Сравнительные показатели планов, минимизирующих
систематическое смещение Д1Я q = 3, т = 2, tn = 3
Номер
плана
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Множества
точек
A. 2)
A, 2)
A, 2)
A. 2)
A. 3)
A. 4)
A. 5)
(*. 1, 2)
A, 2, 2)
D-оптимальные
Число
N
6
7
8
9
7
7
7
9
9
3
Показатели планоз
| М| -102
0,2315
0,2315
0,1564
0,2291
0,2323
0,2317
0,2313
0,2315
0,2310
3,7
<'ср (X)
3,464
3,464
3,964
3,476
3,460
3,463
3,467
3,464
3,467
1,732
dmax (x)
8,993
8,999
8,993
9,041
8,991
8,996
9,197
9,002
9,009
3,000
Tr (M-»)
20,98
27,00
32,19
27,12
26,96
26,98
27,03
27,01
27,03
9,000
Сопоставление этих значений с соответствующими показателями
/^-оптимальных планов, приведенными в нижней строке табл. 4.18
и 4.19, показывает, что планы Дрепера — Лоуренса хуже D-
оптимальных с точки зрения этих критериев (кроме dmax (x) в
табл. 4.19).
По данным табл. 4.18 планы Дрепера — Лоуренса первого по-
порядка близки друг к другу. Однако можно все-таки выделить сле-
следующие планы: A, 2) из шести точек (№ 1), A, 2) из семи точек
(№ 2), A, 3) из семи точек (№ 5) и A, 4) из семи точек (№ 6).
Все зти планы в среднем по всем показателям в некоторой степени
превосходят остальные. Вследствие относительной близости по-
показателей выбор какого-нибудь из планов в каждой конкретной
задаче можно производить, исходя и из других критериев, учи-
учитывая количество экспериментальных точек, характер их рас-
расположения на симплексе, композиционность планов и др.
280
1 Iovep
плана
1
2
3
/t
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Множества
точек
A, 2)
(U 2)
A. 2)
A,1,2)
A,1,2)
A, 1, 2)
A, 1, 2)
A, 1. 2)
A, 2. 2)
A, 2, 2)
A, 1, 1, 2)
A, 1, 2, 2)
A, 2, 2, 2)
A, 3, 4)
A, 3, 5)
A,4, 5)
A, 5, 5)
A, 1, 2, 5)
A, 1, 2, 5)
A, 1, 2, 5)
A, 1, 2, 5)
A, 1, 2, 5)
D-оптимальнын
Число
опытов
Л"
7
8
9
9
10
11
12
13
9
10
12
12
12
13
13
13
13
13
13
14
14
15
6
| М 1 -Ю-"
0,1060
0,1672
0,2278
0,1575
0,1593
0,1611
0,1191
0,1570
0,1426
0,2014
0,1604
0,1590
0,2619
0,1607
0,0039
0,1372
0,1352
0,1154
0,1568
0,1179
0,1574
0,1.512
0,00523
Показатели плана
<<cp(N)
7,442
6,869
6,552
6,937
6,924
6,911
7,295
6,947
7,059
6,676
6,916
6,926
6,419
6,920
5,436
7,290
7,325
7,608
6,954
7,546
6,961
7,026
4,388
''max 00
40,26
35,58
32,53
30,27
36,01
35,80
36,23
34,87
38,14
35,09
35,95
35,96
33,27
36,78
32,75
37,07
37,91
38,52
37,24
38,49
37,55
37,98
56,0
Tr (M-»)
2025
1694
1487
1736
1727
1718
1830
1700
1805
1584
1724
1728
1449
1763
875
1784
1792
1877
1735
1868
1735
1757
453
Координаты точек планов первого порядка(табл,4.12)в симплексной
системе координат приведены в табл.П.3.1.С точки зрения количест-
количества опытов следует выделить план A, 2) из шести точек (план № 1
табл. П.3.1) (рис. 46).
По данным табл. 4.19 можно выделить следующие планы вто-
второго порядка: A, 2) из восьми точек, A, 2) из девяти точек, A, 2, 2)
из десяти точек, A, 2, 2, 2) из 12-и точек и A, 3, 5) из 13-и точек
(планы №№ 2, 3, 10, 13 и 15 табл. 4.13). Все эти планы в среднем
но всем показателям превосходят остальные.
Наиболее хорошие показатели у плана A, 3, 5) (№ 15). Однако
нпиду того, что часть точек этого плана выходит за границы иссле-
исследуемой симплексной области, план A, 3, 5) в дальнейшем не бу-
будет рассматриваться.
281
Из остальных выбранных планов по первому критерию выдё-*
ляются планы A, 2, 2, 2) (№ 13) и A, 2) (№ 3). Эти планы имеют
наибольшее, значение | М |— 0,2619-100 и 0,2278-Ю-0 соот-
соответственно. Наименьшие значения dcp (x), dmax (х) и Тг (М)
также обеспечивают планы A, 2) (№ 3) и A, 2, 2, 2) (№ 13).
Максимальное значение дисперсии dmax (х) во всех планах ло-
локализуется в вершинах концентрационного треугольника.
Выделенные планы имеют несколько лучшие показатели по
сравнению с остальными потому, что точки множества A) в этих
планах расположены ближе к вершинам исследуемого симплекса,
и большая часть концентрационного треугольника охвачена экспе-
экспериментальными точками. Однако все эти планы по первому, вто-
второму и четвертому критериям уступают D-оптимальному плану
второго порядка (последняя строка табл. 4.19).
План A, 2) (№ 1) имеет наименьшее количество эксперимен-
экспериментальных точек — семь и может быть рекомендован для решения
задачи при ограниченном количестве опытов.
Координаты точек, минимизирующих систематическое смеще-
смещение планов второго порядка (табл. 4.13) в симплексной системе
координат, приведены в табл. П.3.2.
Сопоставляя расположение экспериментальных точек в планах
Дрепера — Лоуренса первого и второго порядков, можно заме-
заметить, что эти планы являются некомпозиционными. Так как в пла-
планах первого и второго порядков вообще нет общих точек, в слу-
случае получения неадекватного полинома первой степени переход к
плану второго порядка связан с постановкой всего эксперимента
заново в объеме плана второго порядка.
Если для проведения эксперимента выбран план первого поряд-
порядка и существует вероятность того,что полином первой степени может
оказаться неадекватным, то среди планов первого порядка для
реализации целесообразно выбрать такой план, координаты то-
точек которого наиболее близки к значениям координат соответст-
соответствующих точек какого-нибудь из планов второго порядка. При этом
переход к плану второго порядка будет связан лишь с постановкой
опытов в точках тех множеств, которые не вошли в план первого
порядка.
Так, например, переход от плана A, 2) из девяти точек (р =
= 0,733/и, g = 0,457/и) к плану второго порядка A, 1, 2) из
11-и точек (рх = 0,738/и, р2 = 0,398/и, g = 0,462/и) связан с
добавлением лишь трех точек множества A) (р2 = 0,398/и); к пла-
плану второго порядка A, 2, 2) из 10-и точек (рх = 0,739m, gx =
= 0,367/и, g2 = 0,367/и) — с добавлением точек, соответствую-
соответствующих множествам B) (gi = g2 = 0,367/и); а переход к плану A,
1, 2) из 12-и точек (рг = 0,743/и, рг = 0,465те, g = 0,450/и) —
не требует добавления каких-нибудь дополнительных точек.
Также без добавления точек возможен переход от планов первого
порядка A, 2) из семи точек (р = 0,662/и, g = 0,381/и), B, 2)
из восьми точек (р = 0,699/и, g = 0,481/и) и A,1) из девяти то-
282
чек (р = 0,733/и, g = 0,457/и) к соответствующим планам второго
порядка (р = 0,670/и, g = 0,385/и), (р = 0,698/и, g = 0,421 т)
и (р = 0,723/и, g = 0,450/и). С добавлением небольшого количест-
количества опытов возможен также переход от плана A, 2, 2) из девяти то-
точек к плану A, 1, 2, 2) из 12-и точек; от плана A, 1, 2) из девяти
точек к плану A, 2, 2) из десяти точек, от плана A, 2) из тести то-
точек к плану A, 2, 2) из девяти точек.
Во всех перечисленных случаях из-за разницы в координатах
степень минимизации смещения одним из композиционных планов
уменьшается.
Аналогично вышеприведенному можно провести и сравнение
планов, минимизирующих общую ошибку и получаемых из пла-
планов, минимизирующих систематическое смещение умножением
координат точек плана на масштабирующий фактор 6 F ^> 1).
Результаты таких сравнений показывают, что с изменением 6
изменяются значения всех показателей, однако сохраняется
определенная закономерность — планы, оптимальные при 6 = 1
(планы, минимизирующие систематическое смещение), остаются
оптимальными и при других значениях масштабирующего фак-
фактора. Координаты точек некоторых из планов, минимизирующих
общую ошибку (при 8 = 1,1), приведены в табл. П.3.3.
Расчет коэффициентов полиномов и дисперсии предсказанного
значения исследуемого свойства для планов Дрепера — Лоуренса. Для
облегчения обработки экспериментальных результатов планов Дре-
Дрепера— Лоуренса рассчитан некоторый вспомогательный материал.
Для канонических полиномов первой и второй степени
у = Рл + р2ж2 + рзж3,
У = ^гХг + Р2Ж2 + РзЖ3 + Р12Ж1Ж2 + Р13Ж1Ж3 + Р23Ж2Ж3
и некоторых планов Дрепера — Лоуренса, минимизирующих сис-
систематическое смещение (см. табл. П.3.1 и П.3.2), получены мат-
матрицы А = [(ХТХ)~1ХТ]Т. Эти матрицы для порядка расположе-
расположения экспериментальных точек, указанного в табл. П.3.1, П.3.2,
приведены в табл. П.3.4 — П.3.5.
Аналогично, в табл. П.3.6 приведены матрицы А для планов,
минимизирующих общую ошибку (табл. П.3.5.)
Следуя матричному уравнению (ХТХ)~1ХТУ = р, при нали-
наличии матриц А = [(ХТХ)~1ХТ]Т коэффициенты |3 могут быть опреде-
определены путем скалярного умножения, соответствующего данному
коэффициенту столбца а матрицы А на столбец откликов Y, т. е.
по формулам
<*?>„,
№=>1
N
D.192)
D.193)
283
1,1988
0388
1,2856
ЛЖА
1,2856
0988
1,2856
Рис. 49. Экспериментальные точки и изолинии \ для следующих планов МСС
первого порядка
а —A,2) из шести точек (МССл Я» 1) (в центре симплекса 5=0,1670); б—A,2) из семи точек
(МССЛ Я..2);
1,Z8Vt
ЛЛ\Х\ /VSZWX/Л A
$2838
1,2852
1,2838
1,2818
Рис. 49 (окончание)
" — A,3) из семи точек (МССЛ № 5); г — A,4) из семи точек (МССЛ № 6)
1,2818
284
285
Рис. 50. Экспериментальные точки и изолинии | для планов МСС второго
порядка
а — A,2) из 8 точек (МССК MS 2); б — A,2) из 9 точек (МССК MS 3);
286
Рис. 50 (окончание/
« — A, 2, 2) из 10 точек (МССК Я. 10); г — A, 2, 2, 2) из 12 точек (МССК Л1
287
1,268
УЛТк
иве
3,7i8
АЖА
Рис. 51. Экспериментальные точки и изолинии | для планов, минимизирую-
минимизирующих общую ошибку
а — A,2) первого порядка из 6 точек; б — A,2) второго порядка из 7 точек;
288
29/2
2,9/2
2,329
2,9/2
2,329
2,32-9
Рис. 51 (окончание) "
в—A,2) второго порядка из 9 точек; г — A, 2, 2) второго порядка из 10 точек
И. г. Зедгшшдзе
289
Рис. 52. Экспериментальные
точки'и изолинии 3; для плана
A,3,4) второго порядка, мини-
минимизирующего общую ошибку
1,929 1,929
Для расчета дисперсии предсказанного значения исследуемого
свойства а2 {у} = а2 {у} ? на рис. 49—52 приведены линии рав-
равного уровня для некоторых планов Дрепера — Лоуренса.
Пример. При исследовании плотности трехкомпонентной сухой зер-
зерновой смеси (хх — фракция 0 < -г- ^ 5 мм, х2 — фракция 5 < -г- ^ 10 мм,
хз — фракция 10 < -н ^ 20 мм) использовался 12-точечный план Дрепера —
Лоуренса A,2,2,2) с параметрами рх — 0,782m, gx — 0,348m, ga=0,348m,
g3 —- 0,348m (план № 13 в табл. 4.13) и стороной концентрационного тре-
треугольника m = 1.
Воспользовавшись рассчитанными заранее координатами соответствую-
соответствующего плана из табл. П.3.2 (план № 13), составим матрицу планирования
(табл. 4.20) и реализуем опыты во всех двенадцати точках плана. В качестве
параметра, характеризующего плотность, будем рассматривать пустотность
смеси.
Оценку коэффициентов приведенного полинома второй степени будем
проводить согласно D.192), D.193), использовав в качестве а значения эле-
элементов матрицы А = \(XTX)~tXTiT, приведенной для плана A,2,2,2) (№ 13)
в табл. П.3.4.
» Уравнение регрессии в данном случае имеет следующий вид:
у = 0,299^ + 0,385ж2 + 0,329ж3 — О.Шжа — 0,262^3 — 0,370х2х3.
Уравнение оказалось адекватно, так как в проверочной точке величина t-
критерия (tp — 1,78) не превышает табличного значения *0]05.13 = 2,16.
§ 4.7. Планирование эксперимента
при наличии подкомпонентов
На практике встречаются смесевые задачи, в которых компо-
компоненты смеси сами по себе являются смесями других компонентов.
Рассмотрим планирование эксперимента для смесей в случае,
когда у компонентов хх, х%,. . ., ху, входящих в смесь с пропорция-
290
ми сг, с2,. . ., c-t, являются смесями других компонентов х({>
хЧ\. . ., x(j) (/ = 1, 2,. . ., у) с пропорциями 4з), 4з), . . , с(^ для
/-го компонента смеси (рис. 53). Такие смеси называются мно-
множественными смесями.
Компоненты xt у-смеси назовем главными компонентами, а ком-
компоненты а45) (к = 1, 2,. . ., ^-подкомпонентами/-го главного ком-
компонента. Эти подкомпоненты входят в у-шесь с пропорциями
\ В этом случае равенства
являются очевидными, откуда непосредственно следует, что сум-
сумма всех пропорций подкомпонентов основной смеси равна еди-
единице
В зависимости от того, изменяются ли пропорции cj, или сц»
или оба вместе, можно применить разные методы для математи-
математического описания свойств множественных смесей. Если [пропор-
[пропорции cf заранее зафиксированы и пропорции су изменяются, то по
отношению к главным компонентам могут быть применены все вы-
вышеизложенные планы на симплексе.
Особый интерес для исследования представляет (случай, когда
с, фиксированы, а с^ изменяются. В этом случае каждый из глав-
главных компонентов xj, являющийся смесью q} подкомпонентов, мо-
может быть исследован раздельно, например, симплекс-решетчатым
Рис. 53. Множественная
10* 291
планом {qj, щ}, где д^жп] соответственно количество подкомпонен-
подкомпонентов и порядок /-й решетки. Однако такое раздельное исследование
каждого из главных компонентов без учета их взаимосвязи, ес-
естественно, не обеспечит полного исследования свойств множест-
множественной смеси.
Задача может быть решена путем применения обычных методов
планирования на симплексе размерности 2 ЧУ— 1 относительно
3=1
ч
.2 1i переменных х; однако при этом опыты будут распылены по
=i
всему ( 2 Qj — 1)-мерному симплексу и их концентрация в подоб-
3=1
ласти, определяемой ограничениями
2
3=1
ft=i
(/ = 1,2,..., у),
D.196)
D.197)
мала, адекватного описания свойств смесей в интересующей нас
области вряд ли следует ожидать.
Для изучения таких множественных смесей могут быть при-
применены множественные 7~Решетки [270, 271]. Множественной
¦у-решеткой, образованной составляющими решетками {qj, nj}, на-
называется решетка, элементами (точками решетки) которой являют-
являются все упорядоченные 7~ки (С^\ Cff, ...,С^), полученные
перемножением множеств точек {qs, nj}, где верхний индекс соот-
соответствует номеру решетки, а нижний — номеру точки из этой
решетки 1 ^ tj ^ Nj, Nj — количество точек в /-й составляющей
симплексной решетке. Следовательно, элементы множественной
решетки представляют собой всевозможные смеси, образованные
смешиванием каждой смеси из первой симплекс-решетки с каждой
смесью из второй симплекс-решетки и т. д. В развернутом виде для
координат точек множественной решетки получим
,М1) Ml) MD. ЛЪ) ГB) г<2). . Му) Му) r<Y) \
Для систематизации точек плана целесообразно ввести поня-
понятия типов и классов.
Точки /-й"составляющей решетки {q}, nj}, содержащие i ком-
компонентов, назовем ^-кратными точками. Множество всех ^-крат-
^-кратных точек образует класс К{. i-кратных точек /-й решетки. Класс
Kt. в зависимости от степени решетки щ разбивается на
-i
@,2,0)
(ОМ
НЛО)
(ЩО
@,3,0)
(ЦЩ (W) Bfii) (ЩО)
@.0,2) (/,0/) B,0,0)
@,0,0,3)
Ц0Д2)
x.
10,01)
Що,о)
Рис. 54. Классы и типы точек симплексных решеток
а — 7 = 3, п=1: К, _„сеточки одного типа [A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1)]; б — q = 3.
« = 2: К, — все точки одного типа [A, 0, 0), @, 1, 0,@,0,1)]; Кг — все точки одного
типа [A, 1, 0), A, 0, 1), @, 1, 1)]; в — q = 3, п = 3: К, — всеточки одноготипа [A.1,0),
A,0,1), @,1,1)]; Кг — тип Т2Л [B,0,1), B,1,0), @,2,1)], тип Г2Л [A,0,2), A,2,0), @,1,2)];
К, — одна точка типа A,1,1); г — q = 3, п = 4: Kt — все точки одного типа [A,
0,0), @,1,0), @,0,1)]; К2 —тип Г2Д [A,0,3), A,3,0), @,1,3)], тип Г2Д [B,0,2), B,2,0),
@,2,2)], тип Г2?3 [C,0,1), C,1,0), @,3,1)]; К3 — все точки одного
B,1,1)]; д — q = 4, п = 3: точки классов Кг.К2 (Т2|1, T2i2), К.,,
2Д [
типа [A,2,1), A,1,2),
К,.
292
различных типов Tij;l. (I; = 1, 2, . . ., С^Д). 1гж тип содержит
все те и только те точки К{., у которых первый по порядку ненуле-
ненулевой компонент имеет кратность I (рис. 54).
Аналогично простым решеткам можно определить типы1 и
классы для множественных решеток. Точки множества у, полу-
получаемые перемножением классов К^, Кх, , . . . , Кг , образуют под-
подмножество К{и {,,..., ir множества у, называемое классом (iv
h,- ¦ ., ?у)-кратных точек 7"Решетки- Так как ? = 1,2,...
293
. . . , min (q}, nj) — irij в ^-множестве окажется тг X тг X . . .
. . . X ту классов. Точки класса К и, и,..., iY, получаемые пере-
перемножением подмножеств ГЫ(, ri2;2 , . . . , Tiyly классов Kit, K^,. . •
. .., -ЙГ{у, соответственно образуют подмножество Т\и \2 ц; и< ;2>..., ,Y,
называемое типом класса К\и -%2 -г .
Так как класс Кц. содержит Ci-x типов Г*, (ij = 1, 2,. . .
. . . , Cft._x), множественный класс ЛГ*,, i2,..., iY будет содержать
ДСу-! типов ril?i2 iY-u,i2 rY. Если в типе 7^.,,.. содержится
3=1
С,7 точек, то в каждом типе Г*,,,-, i-iuh,- и гбудет содержаться
j 1*1"
Y Y
Ц Сч3 точек. Если в классе Ц Сп-х типов и в каждом типе дан-
3=1 3=1
Y
ного класса имеется одинаковое число точек — Д С^., общее
i=i
количество точек в классе окажется равным
3=1 "' 3=1 ' *=¦!''
Если имеется ^ X тп2 X . . . X тпу классов, то общее число то-
точек в у-решетке будет равно
Y=l 3=1
П^ = ДД...д
iY=l
3=1
gj+n.
Совокупность всех точек ^-решетки представляет собой план эк-
эксперимента для исследования свойств множественной смеси.
Построение планов для у-смесей проиллюстрируем на примере
7 = 2, дг = 3, д2 = 3, ^ = 3, щ = |4. В двойственной G = 2)
решетке {qx, q2', пг, щ} = {3, 3; 3, 4} имеется тг X т2 =
= min (qx, пг) X min (q2, щ) = min C,'3) X min C,4) = 3-3^=[9
классов
294
I
I
Ко
со
г-
см
о
о
t-
ю
см
о"
СП
см
см
о
СП
,44
см
г-
СО
in
см см
о'
тч
о
тч
о"
СП
,44
о о о о о
СП
о
СП
,449
о
ТОТ'
ТОТ'
о
.449
о
,449
,449
о
,101
о о о о о
СО
ч
о"
о
о"
g И тч СО to Ю ¦*
Л MS ift-lO^
W N М м W М W
0000000
со
о
ю
,85
со
|~-
о
о
СО
о
ю
in
оо
о
СО
о
оз
о
о
¦^ч
•гч
(~>
•чЧ
О
ОЗ
3
ОЗ
V-"
о
СП
3
ОЗ
о
о
¦^ч
о о о о о о о
СО
о
СО ОЭ ОЭ -чч ОЭ
t^ •* sf О1*
О •* •* -=ч nJI
о о о о о о о
СМ
ев
В"
К
К
VD
се
Н
•Ч1
со"
со"
со"
I
со
2; 2,
©5
i-i
©5
©J
«
tf
ei*
cVT
ОтНгн
¦яОП
CO CO О
СМ СМ СМ
ОСМ СМ
MOOl
см см о
тч -чЧ ^ч
СМ СМ СМ
о со со
•НПО
¦*Ч «чЧ -*Ч
см см см
О *чЧ -чЧ
¦^осо
сосоо
ооо
см см см
о см см
см о см
см см о
ооо
см см см
•чЧ -чЧ -?ч
О СП СО
СО О -rt
^< чО
ооо
С) СМ СМ
О -rt^<
^осо
coco о
ооо
см см см
о см см
см о см
см см о
ооо
см см см
осо со
гао-ч
¦чЧ -чч О
ооо
см см см
О-Пт(
¦riOCO
сосоо
см см см
ооо
о см см
см осм
см см о
см см см
осо
-чч -ч-н -^
о го со
см см см
ооо
о^< ^<
¦лот
со со о
см см см
ооо
о см см
см о см
см см о
см см см
ооо
О со со
СО О тч
тНтнО
см см см
ооо
О "Н "Н
¦ПОИ
СОСОО
см см см
¦*ч -?ч -чЧ
осо со
СОО *ч
ЧНТНО
см см -м
-*ч -чч -^н
СОО
с со го
ГО О тч
-чО
гм см см
чИ -чч -чЧ
СОО
295
Каждый из классов содержит определенное количество типов.
Так, например, класс Кгл, т. е. класс двойственных смесей, по-
получаемый смешиванием бинарных точек (ix = 2) первой состав-
составляющей симплексной решетки с бинарными точками (i2 = 2)
второй, содержит C^-iCX-i = С\С\ — б типов
2,2; 1,1 ^2,2; 1,2 ™ 2,2; 1,3
гр гр гр
* 2,2; 2,1 2,2; 2,2 J 2,2; 2,3 •
Все типы одного класса содержат одинаковое число точек.
Их число в типах класса Ktl,u определяется согласно Сд',С?-
В нашем случае qx — g2 = 3, ix = t2 = 2. Поэтому все типы клас-
класса Км содержат С\С\ = 3-3 = 9 точек (табл. 4.21). Записав точ-
точки всех остальных классов аналогично табл. 4.21, получим план
в обозначениях точек, который легко может быть записан в про-
пропорциях главных компонентов. Так, например, точки типа Г2,2;а,г
и Г2,2;2,з класса К%г запишутся следующим образом:
2_с 1_с q. j3_c i_c 0
2 1 л- 3 п 4
о о 4 4
9 4 4-1
2 1„1 1
Cl'TClt ' YC2'YC2'
2 1 n -1 nl
TCl'TCl' ' ТСг>°'Т
¦jCl'"з ClH; °'ТС2'Т
("Iси О, -J-сх; у с„-|vc2, 0)
-|clf 0, у сг; -с2, тс2, 0)
¦ ^ydiO,-g-ci; —с2,0,-^
(О,-jj-Ci.-jj-Cj.; yC2,-2-c2,
(tCi'°'TCi' О'ТСг'Т
.-g-c^-g-Ci; -^c2,-^c2,
'TCl'TCl' ТС2'°'ТСг)
C
C
По данным плана и результатам опытов, проведенных в.
Ц Cg^+n -1 точках ^-решетки методом наименьших квадратов, мож-
i=i
но независимо оценить столько же коэффициентов обобщенного
полинома, описывающего свойства у-смесей и получаемого пере-
перемножением канонических форм полиномов соответствующих сос-
составляющих решеток:
у = U (ХО), *<!>, . . ., XW) /2 Ц f $ K 2 ?>
D.198)
где /; — полином степени п}, соответствующий решетке {<?j, ra^}¦
296
Полученная зависимость после проверки на адекватность мо-
может быть использована для предсказания свойств ^-смесей.
Описание свойств множественных смесей при составляющих
решетках первого порядка. Если все составляющие решетки пер-
первого порядка (п) = 1, / — 1, 2,. . ., 7), тополином, описывающий
свойства 7-смеси, получается перемножением линейных полиномов
аО)хФ + 'afxf +... + аФхО) (/ =1,2,..., у)
и имеет следующий вид:
«^(
х ... X
ч
D.199)
Если произведение коэффициентов alf a|f . . . аГ5 обозначим через
«гг, г,-, ...;iY> то обобщенный полином запишется следующим об-
образом:
у = 2 • • • 2 2 «te г,-...,. ^j
D-20°)
Обозначим отклики в точке симплексной решетки (С\[\ C/f,. . .
. . ., С^) с координатами @,. . ., О, СЭД,, 0,. . ., О, 0, . . ., О, С#„
О, . . ., 0;...; 0, . . ., 0, C$h, 0, . . ., 0) через yii; ii;...; ,-y. Подставляя
координаты точек и экспериментальные значения в D.200), по-
получим следующие оценки коэффициентов аг,; и....; .у:
Подстановкой полученных оценок в D.200) получим предсказы-
предсказывающее уравнение
D-201)
У = 2 • • • 2 2 «ь; 1.; -.; vW-' • *,<?•
i i
Для расчета ошибок предсказания отклика в любой точке
факторного пространства целесообразно записать уравнение
D.201) в терминах откликов
D.202)
где
297
В предположении независимости наблюдений и равенства дис-
дисперсий а2 {у} предсказание отклика, согласно D.202), будет осу-
осуществляться с дисперсией
о* Ш = °* Ы ( 2 • • • 2 2 ^ **:...; ^ 1,; ...;
iY=l i2=l ii=l
где гц; гг;...; {Y— число параллельных опытов в точках множест-
множественной симплексной решетки. Для минимизации дисперсии пред-
предсказания отклика число параллельных опытов следует выбирать
пропорционально коэффициентам А.
Описание свойств множественных смесей при' квадратичных со-
составляющих решетках. Когда все составляющие решетки второго
порядка, т. е. пх = щ = . . . = щ = 2, обобщенный полином
получим перемножением квадратичных полиномов
Он имеет следующий вид
где (Д = ag и xf = 1.
Обозначив произведение коэффициентов
^\
D.203)
через
«г,, fei;...;iY?feY) обобщенный полином запишем следующим образом:
— 2л ¦ ¦ ¦ 2л 2л ¦•• 2л аг>. *i; •••; *Y> Аг г ¦ fti • • •
•••%%,• D.204)
Пусть имеется в точке множественной симплексной решетки с
координатами @,... .^'С\% .. , C^ts ,. . ., 0; . . .; 0, . . . , ($*}
• • •> Ckyty ,..., 0) отклик yiit ki; ...;iY,;cY. Подставляя координаты точек
множественной решетки и соответствующие им наблюдения
Уи, не,...; iy, feYB D.204), получим систему нормальных уравнений, ре-
решение которой относительно а дает оценки коэффициентов поли-
полинома:
а0, ft»; 0, ft*; ...; Ь, ft,-; ...; г., ft,; ...; iT, ftT; ...; о, AY = (— 2) X
Q
X
p=i, ft
t; ...; 0,
298
—2)
B/o, *i; ...;0, <Pj-; ...;o, /г; ...;iT,ftT; ...; 0,
"T
.; 0.
j! •••; 0, /T; ...; 0, ky ~T
I/O, ft,;...; ij, ky, ...; 0. /г; ...; 0, /T; ...; 0, ky) + (—2)
Q+2
X
Ф=г, ft
г;...; гт, ftT; ...; о, /ш; ...; 0,
T"
y; ...; о,
..; о,
Уо, А,; ...; г;-, А;-; ...; гг, А?; ...; о, Фт; ...; 0, /и; ...; 0,
+ (~2J V ft,, ...; i,. *,; .., iv h; .., iT, ftT; ...; o, *Y, D.205)
где Q — количество пар индексов^ не содержащих нуль.
В общем случае оценка регрессионной функции, получае
мой перемножением приведенных полиномов, соответствующих
{?i> ni}~> • • •>. {?y> wy}-решеткам, производится по данным {qu
q2, . . ., qy; nlt n2, . . ., raY}-множественной решетки следующим
образом. Во всех точках множественной решетки реализуются
опыты; пропорции всех компонентов и соответствующие резуль-
результаты опытов подставляются в регрессионное уравнение, и полу-
полученная система нормальных уравнений решается относительно
неизвестных оценок коэффициентов а.
Вышеизложенную методику исследования свойств множест-
множественных смесей проиллюстрируем на примере двойственной (у = 2)
решетки типа {3,3; 2,2}.
Составляющие симплексные решетки {qj, п}) = {3,2} содержат
три чистых смеси класса КХ) и Cj.Cj-i = С\С\ = С\ = 3 бинар-
бинарных смеси класса K2j. Классы KXj я K2j содержат по одному типу
точек (Сп-1 = С\ = 1 и С]?.-х — С\ — 1 соответственно). Каждая
симплексная решетка содержит Nj = Cqj+nri — С\ = 6 точек.
Смешивая каждую смесь С|*' (С^, C^l, С^]) из первой состав-
составляющей решетки с каждой смесью С\? (С^, С^, С^) из второй
решетки, получим точки двойственной решетки. Таким образом,
точки двойственной решетки представляют собой все упорядочен-
упорядоченные двойки (С^., C\f)t где С^1 iy-я точка ;-й составляющей решет-
решетки. В двойственной решетке будем иметь т1 X т2 = min C,2) X
з
3=1
X min C,2) =2-2 =4 класса. Так как Ц &}-¦.
3=1
^'Х
= 1,
299
Таблица 4.22
План эксперимента
в
@
@
@
@
@
@
B
B
B
@
@
@
A,
A,
A,
A,
A,
A,
обозначениях
, 0, 2; 0,
,0,2; 0,
, 0, 2; 2,
, 2, 0; 0,
,2,0; 0,
, 2, 0; 2,
,0,0; 0,
, 0, 0; 0,
, 0, 0; 2,
1,1; 0, 0
1,1; 0,2
1,1; 2,0
0,1; 0,0
0,1; 0,2
0,1; 2,0
1,0; 0,0
1,0; 0,2
1,0; 2,0
0,2)
2,0)
0,0)
0,2)
2,0)
0,0)
0,2)
2,0)
0,0)
,2)
,0)
,0)
,2)
,0)
,0)
2)
0)
0)
в
@,
@,
@,
@,
@,
@,
(а
A
(а
#2,1
D
D
i 1
(гС1
(гС1
\2С1
(Г1,
/1
(гС1-
пропорциях
0, С!
0,ci
0,а
а, 0
а,0
с,, 0
0,0
0, 0
0,0
1
С1>2
1
а, jj
1
0, |
0,2
1
' О
Г
2 е1'
1
1
, 0,0,
0, С2,
, С2, 0,
, 0,0,
, 0, С2,
С2, 0,
, 0,0,
0,С2,
С2, 0,
ci- 0, 0,
а; 0,с2
а; г2,0
а; 0,0
а; 0, С2
а; С2,0
0; 0,0
0*, 0, С2
0; с2,0
0)
0)
с)
0)
0)
С2)
0)
0)
С2 )
,о)
, о)
,о)
,о)
C2J
,о)
,о)
в
@,
@.
@,
@,
.@,
@,
B,
B,
B,
@,
@,
@,
A,
A,
A,
A,
A,
A,
обозначениях
0,2;
0,2;
0,2;
2,0;
2,0;
2,0;
0,0;
0,0;
0,0;
1,1;
1,1;
1,1;
0,1;
0,1;
0,1;
1,0;
1,0;
1,0;
0,1,1)
1,0,1)
1,1,0)
0, 1, 1)
1, 0, 1)
1, 1, 0)
0,1,1)
1,0,1)
1,1,0)
0,1,1)
1,0,1)
1,1,0)
0,1,1)
1,0,1)
1,1,0)
0,1,1)
1,0,1)
1,1,0)
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(о
(°
(°
G
G
(-2
б
A
/1
U
в
0,0,
0, 0
0, 0
0,0,
0, С!
0, ei
а, 0
ci, 0
ci,0
ЙГ2,2
1
1
>2а
1
-2С1
а,0,
ei,0,
а,0,
а, 2
1
1
ПроПОрЦИЯЗ!
с
7
1
с
-
l; 0, ;
1
1
er, 2 <
; o, •
0;|c
0; 2C
0; 0,
,0; 2е
0
1
1
1
2
1
2
1
1
Cl
Cl
1
^2C2
cilO,
1
1
ci-,2
a; 0,
1
1
,0;0,
I 1
jC2, r
C2
2 j
2 j
1
1
» '
1
C2
C2
1
C2
C2,
1
C2,
0
.)
2Ca)
\ч, о)
1
о,
1
о,
C2,
о
1
2
52,
0,
1
o,
1
C2 )
2C2)
2,0)
1 \
1 \
¦°)
1 \
2 C2J
a, oj
1 1
2 ег J
<,.ч
1
2 е*
- 1
300
каждый класс (для любого ij) будет содержать точки лишь одного
типа
; 1,1
L ;i,i
Y
1,2 ; 1,1 ^2,2 ^2,2 ; 1,1
В классе ХЬ)Ь содержится 11^-^-1 = П^з'3 точек. Общее ко-
3=1 3=1
личество точек двойственной симплексной решетки будет равно
Д С"?+„._1 = 36. Точки двойственной решетки, записанные в ко-
координатах и пропорциях (план эксперимента), приведены в табл.
4.22. Реализация опытов в 36 точках плана позволит оценить
столько же коэффициентов полинома D.204), описывающего свой-
свойства двойственных смесей. Этот полином получается перемноже-
перемножением канонических форм полиномов
/1D1), 41)'*з1)) = ао!К1) +
/2 D2)-
соответствующих составляющих решеток
р = S 2 S S «н. * ь
= «од; blXfxf + «„д; с^Ц2' + «ОД; СЗ^Ч25 + а0,2;
ао,з;од41Ч2) +
«1,2; 0,2^'11L1)^22)+ «1.2; 0,
«1.3; 0.1^A
+ «од; ь
+ «0,2; x,
+ «о,з; 1,
+ «1,2; LZx
+ «1,3;
a0t2, z,
; 2,з
«1,2
301
Обозначим отклик в точке двойственной симплексной решет-
решетки с координатами @, . . ., С$„ . . ., C$tl, . . ., 0; „0, . . .
• ••., С%1,..., С{%,..., 0) через уи,к1;и,кг- Согласно D.205), для
оценок а коэффициентов регрессии а получим
«0, кц 0, А2 = I/O, А,; 0, кг (9 = 0),
«О, А,; г2, А, — — 2 (г/0) Ai; о, 1, + 2/о, Аи О, А,) + 4г/0, A,; U. кг- (9 = 1),
*«, А,; О, А2 = — 2 (</„, ii; о, А2 + 2/0, А,; О, А,) + %{,, А,; О, А2 (9 = 1),
яг,, А,; U, А2 = 4 (j/Oj kl.t 0> Й2 -f J/o> kl; 0, i2 + 2/о, ii; 0, *2 + Уо, U; 0, i.) ~
~ 8 (j/0> li; ,-2l ?2 + г/о, Аи гг, А2 + г/г,, А,; 0, г2 + Уп, А,; О, А2) +
Подставив оценки в D.206), получим предсказывающее урав-
уравнение для исследуемой двойственной смеси, которое проверяется
на адекватность согласно известной методике. В [272, 273] рассмот-
рассмотрено решение частного примера описания свойств двойственной
смеси с конкретной решеткой {qlt q2; 2, 3}.
Использование описанных в данном параграфе алгоритмов пла-
планирования и полученных оценок регрессионных коэффициентов
обобщающего полинома в сочетании с удобной координатной за-
записью и классификацией точек ^-решетки позволит исследователям
расширить класс решаемых задач.
Особый практический интерес представляют вопросы планиро-
планирования эксперимента для исследования свойств многокомпонентных
систем не по всей области изменения относительных содержаний
компонентов 0 ^ хг ^ 1 (i =1, 2, . . ., q), а лишь в некоторой
локальной области, определяемой ограничениями
i < х-х
1,
D.206)
i — соответственно верхний и нижний уровни для ком-
комгде hi и
понента Xi.
Невозможность непосредственного применения рассмотренных
ранее планов для исследования локальных областей симплекса
обусловила поиск их различных модификаций, а также развитие
качественно новых методов планирования эксперимента.
Ниже будут рассмотрены методы планирования экспери-
эксперимента для случаев, когда исследуемая локальная область являет-
является симплексом, многогранником, предложена методика планирова-
планирования эксперимента для поиска экстремума в симплексной системе
координат.
302
§ 4.8. Планирование эксперимента
методом «псевдокомпонентов»
Первые попытки построения планов, обеспечивающих исследо-
исследование свойств смесей при наличии ограничивающих условий на
отдельные компоненты, были предприняты в работе [41]. Предло-
Предложенная в [41] модификация симплекс-решетчатого плана, основан-
основанная на перекодировании переменных, позволила без особого ус-
усложнения расчетных формул оценивать коэффициенты математи-
математической зависимости состав — свойство в случае, когда локальная
область является усеченным симплексом.
Рассмотрим более подробно случай планирования эксперимен-
эксперимента при ограничении сверху лишь какого-нибудь одного компонен-
компонента смеси, например первого
хх < h.. D.207)
Модификация симплекс-решетчатого плана типа {q, n) примени-
применительно к данному случаю [41] заключается в замене первого ком-
компонента на так называемый псевдокомпонент. Этот псевдокомпо-
псевдокомпонент представляет собой смесь с относительным содержанием перво-
первого компонента, равным h, и относительным содержанием остальных
компонентов, равным рг (i = 2, . . ., q). Значения рх выби-
выбираются экспериментатором и должны удовлетворять условию
2 Pi = 1 — h.
D.208)
г=2
Пусть хг является относительным содержанием псевдокомпо-
псевдокомпонента и х2, . • ., xq —относительные содержания других компо-
компонентов, добавляемых к псевдокомпоненту (для i^> 1хх не включает
часть компонента i в псевдокомпоненте). Тогда для поиска мате-
математической зависимости в терминах хх, х2, . . ., xq можно исполь-
использовать методы, рассмотренные в § 4.1, а затем подстановкой в по-
полученную модель условий кодирования
D.209)
получим полином той же степени в исходных координатах х^-,.
*2> • • -, Хд.
Вывод расчетных формул для оценки коэффициентов регрес-
регрессионных уравнений по данным таких планов проиллюстрируем на
примере модифицированного симплекс-решетчатого плана типа
{q, 2 } для q = 4 и при ограничении изменения первого компонен-
компонента хх <^ h. Такой план представляет собой множество комбинаций
условий, соответствующих вершинам усеченного симплекса, изоб-
изображенного на рис. 55.
Для оценки коэффициентов регрессии здесь используются от-
отклики ух (i ^> 1) для чистых компонентов, отклики у^ для их
303
бинарных 1 : 1 смесей (/ ^> О>1), отклики уц бинарных смесей для
Xl=h. х, = 1 - h (j > 1), D.210)
отклик у' для смеси
x^^h, *,=.;с8= ...=.жв= (l-lfc) /(g-1). D.211)
Коэффициенты р, для i^>l и pi; для / > t > 1 определяются
как и в простых (немодифицированных) симплекс-решетчатых пла-
планах:
Pi =Vi(i> 1), D.212)
ру = 4у{, - 2у, - 2у, (/ > i > 1), D.213)
а коэффициенты рг и р1;- находят из следующих уравнений:
(/ = 2 g), " D.214)
i*
1-JLA
2
2j hi=y[- { I
2 PiJ«
D.215)
получаемых из D.9) подстановкой условий D.210) и D.215).
Рис. 55. Модифицированный
симплекс-решетчатый план ти-
типа {4,2}
. Решив D.214) относительно $ц (j =2, . . ., q) и подставив ве-„
личины в D.215), получим уравнение с одним неизвестным Px^(P/i
и $ф согласно D.212) и D.213), считаются известными). Решивч
его относительно рг и подставив в уравнения D.214), определим*
и величины р1;-.
304
§ 4.9. Планирование с предварительной трансформацией
симплексной подобласти
При решении g-компонентных смесевых задач часто необходимо
исследовать лишь (q — 1)-мерную симплексную подобласть пол-
полной (q — 1)-мерной симплексной области смесей. Подобласть в
виде симплекса (не обязательно правильного) может быть задана
либо координатами q вершин симплекса St (х^\ х?\ . . ., х^),
о /-B) B) ¦ B4 с (Ля) „(Я) (Я)\ rrrp -JJ) ; _
координата /-й вершины iS1;, либо ограничениями на область изме-
изменения всех компонентов, например типа
Ъ > gi t(i =1,2, . . ., q).
Так как непосредственное применение описанных во второй
главе планов для симплексной подобласти оказывается невозмож-
невозможным (нарушается условие 0 <^ х-х <^ 1), производят предваритель-
предварительную трансформацию подобласти путем перехода к новой системе
координат (zlr z2, . . ., zq) (рис. 56). Приняв вершины Slt . . ., Sq
за самостоятельные компоненты (псевдокомпоненты), для подобла-
подобласти получим
0<*<1, (i =1,2, . . .,д), D.216)
Z\ + Z2" + . . . + Zq =1,
где и — любая точка подобласти.
Трансформирующая зависимость между координатными систе-
системами (хи х2, . . ., Xq) и (zj, z2, . . ., Zq), обеспечивающая D.216),
задается матричным уравнением X = AZ, записываемым в раз-
развернутом виде следующим образом:
4q)
.<¦>
D.217)
В этом уравнении элементы матрицы А — координаты вершин
симплекса, а 4и) и 4и) (i = 1, 2, . . ., q) — исходные и новые ко-
координаты й-й трансформируемой точки.
Относительно новых переменных zx, z2, . . ., zq, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям D.216), могут быть построены все планы^. приме-
применяемые при исследовании полного симплекса. Однако реализация
экспериментов по таким условным планам, построенным в системе
координат псевдокомпонентов, невозможна. Для проведения экс-
экспериментов необходимо представление плановых композиций экс-
экспериментальных составов в координатах исходных компонентов
х- Переход к исходным компонентам для какой-нибудь и-тк точки
плана может быть осуществлен согласно {4.217).
305
Рис. 56. Планирование с предварительной трансформацией симплексной
подобласти
* Следовательно матрица планирования для локальных симплек-
симплексов состоит из двух частей: в одной части экспериментальные точ-
точки выражены в координатах псевдокомпонентов, в другой — те
же точки в исходной системе координат. Наличие двух матриц
планирования позволяет рассчитать две полиномиальные модели.
По результатам опытов и матрице планирования в координатах
псевдокомпонентов могут быть, согласно известным расчетным фор-
формулам, соответствующим выбранному плану, оценены коэффици-
коэффициенты полиномов в координатах псевдокомпонентов
у =/ (%, Z2, . . ., Zq).
Применение таких полиномов ограниченно. Они могут быть исполь-
использованы для построения линий равного уровня исследуемого свой-
свойства в локальной области исследования в трехкомпонентном слу-
случае (рис. 56, б), либо на трехкомпонентных срезах локальной обла-
области исследования в g-компонентном случае (q ^> 3). Эти полиномы
могут быть записаны в исходной системе координат с учетом Z =
= А^Х.
Для оценки коэффициентов полинома по матрице планирова-
планирования в координатах исходных компонентов обычно используется
метод регрессионного анализа.
Если локальная область является неправильным симплексом
со сторонами разной длины, расположение экспериментальных
точек в подобласти может оказаться неравномерным. На рис. 56, в
видно, например, что на сторонах большей длины такие точки
расположены значительно реже, чем на коротких.
Пример [274]. Исследование плавкости трехкомпонентной флюсую-
флюсующей добавки эмали Fe2O3 — SiO2 — R2O-A12O3 проводилось в треугольной
подобласти диаграммы состав — свойство с вершинами zt @,63; 0,37; 0),
z2 @; 0,83; 0,17) и z3 @; 0,63; 0,37) (рис. 57). Для приближения поверхно-.
сти отклика вначале линейной, а затем, вследствие ее неадекватности, квад-
квадратичной моделью, были составлены симплекс-решетчатые планы со-
соответствующего порядка относительно новых переменных zlt *2, z3,
306
Рис. 57. Планирование для исследования плавкости трехкомпонентной
флюсующей добавки эмали F иши
удовлетворяющих условиям
0 = 1,2,3), z(«)+4u) + z<")=l (U = i 2 лм
4 ( ,,,).
Далее, воспользовавшись трансформирующей зависимостью между коорди-
координатными системами (xlt х2, х3) и (zlt z2, z3)
Ли)
хз
0,63 0 0
0,37 0,83 0,63
0 0,17 0,37
4U)
4U)
определялось содержание исходных компонентов в экспериментальных точ-
точках (табл. 4.23). Усредненные результаты трех параллельных определений
приведены в последнем столбце.
Таблица 4.23
Матрица планирования и результаты опытов
Номер
1
4
7
1
0
0
0,5
0,5
0
0,333
0
1
0
0,5
0
0,5
0,333
Z3
0
0
1
0
0,5
0,5
0,333
Относительное содержание
0,63
0
0
0,315
0,315
0
0,210
хг
0,37
0,83
0,63
0,600
0,500
0,730
0,610
Хз
0
0,17
0,37
0,085
0,185
0,270
0,180
плавления,
°С
1185
1495
1065
1485
1167
1275
1320
««л* ДашШМ веРхней части табл. 4.23, согласно D.25), были рассчитаны
оэффициенты приведенного линейного уравнения регрессии в координатах
псевдокомпонентов у = H85Zl + 1495z2 + 1065z3, a затем, вследствие его
адекватности, по данным шести опытов табл. 4.23, согласно D.27) коэф-
1 ^оНТЫ М0Д6ЛИ ВТ°Р°ГО порядка у - 1185*! + 1495z2 + 1065z3 + 580z,z2
307
Адекватность полученной модели второго порядка проверялась в точке
№ 7. Так как в данном случае расчетное значение г-критерия
t _ (У7 —¦ у?) У~ _ A327,8 — 1320) У~
15,5-1,276
*
не превосходит соответствующего табличного значения toob.u~ 2,145, мо-
модель второго порядка адекватно описывает экспериментальные результат
Рис. 58. Планирование
с предварительной транс-
трансформацией подобласти
при ограничении всех
переменных снизу
Полученное уравнение неудобно для практических расчетов, поэтому
запишем его в исходной системе координат ж1( хг, ж3 с учетом Z = В-1Х
у = 788,34^ — 1860,5*2 — 289,5х3 — 854,9s* + 31,45т*4+-261,45а:» +
+ 1438,33x^2 — 1670,12^X3 — 204,1т2Т3.
Построенные по уравнениям контурные кривые соответственно в псевдоком-
псевдокомпонентах и исходной системе координат приведены на рис. 57, б, в.
Если в трехкомпонентных смесях все переменные имеют ниж-
нижние границы хг )> а, х2 > b, xs )> с, то подобластью будет равно-
равносторонний треугольник, стороны которого параллельны сторонаи-
концентрационного треугольника (рис. 58), а координаты вершин
равны
XW = 1 — Ъ — с, xf = a, xf = a,
xf=b, x<g) = \ — a — c, xf = b,
itO = с, xf = с, xf ={-a- b.
С учетом значений этих координат, уравнение D.217) примея
следующий вид:
4U)
1 — b — с а а
b 1 — а — с b
с с 1 — а — Ь
что эквивалентно системе уравнений
я(и>« A - Ь - с,
х<?) = bz<v) -f (I — а — с
D.2Ш
— а — Ъ) z<u>.
308
лучим
Из Условия 4U) + 4М) + 4U) = 1 определим ? + 4
1 — 4" и> подставив в первое уравнение системы D.218) по-
по?* +
_ а = A _ а _ 6 _
1 — а — Ь — с
D.219)
Аналогично могут быть найдены и остальные трансформирующие
соотношения [275].
4 >-
D.220)
Планирование эксперимента здесь производится так же, как
и в предыдущем случае с предварительной трансформацией сим-
симплексной подобласти.
Пример [275]. При производстве определенного типа взрывчатого
вещества использовалась смесь, состоящая из связующего вещества (xj),
окислителя (тг) и горючего (х3) с относительным содержанием компонентов
х1 ^ 0,20, хч ;> 0,40, х3 ;> 0,20. Внутри треугольной подобласти, определя-
определяемой этими ограничениями, требовалось определить смесь или смеси, обеспе-
обеспечивающие модуль упругости у — 3000 при минимальном содержании связую-
связующего.
Для решения задачи производилась предварительная трансформация
подобласти. Трансформирующие соотношения, определенные согласно D.219),
D.220), с учетом а — 0,20, Ъ = 0,40, с = 0,20, имели следующий вид:
! —0,20
0,20
,„-
0,20
23 =
хз— 0,20
0,20
D.221)
Для описания поверхности отклика в подобласти неполным кубическим
уравнением был составлен соответствующий план в переменных %, гч,, zs
(опыты №№ 1—7), согласно D.221) определено содержание исходных ком-
компонентов и реализованы соответствующие опыты (см. табл. 4.24). Неполное
кубичное уравнение относительно переменных zu a, z3 имело следующий вид:-
У = 2350z! + 2450za + 2650z3 + lOOOz^a + 1600z2z3 + 6l50z1ZiZs. Это урав-
уравнение адекватно описывало экспериментальные результаты. Адекватность
проверялась по точкам №№ 8—10.
Анализируя контурные кривые для модуля упругости, была определена
область смесей, удовлетворяющая требованиям, и оптимальная точка zx =
— 0>05, Z2 = 0,41, z8 = 0,54. Координаты оптимальной точки в исходных
переменных х1 = 0,210, s2 = 0,482, х. =0,308 были определены согласно
D.221).
309
Таблица 4.24
Матрица планирования и результаты опытов [275]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
План в псевдокомпонентах
1
0
0
0,5
0,5
0
0,333
0,666.
0,167
0,167
0
1
0
0,5
0
0,5
0,333
0,167
0,666
0,167
2з
0
0
1
0
0,5
0,5
0,333
0,167
0,167
0,666
Относительное содержание
исходных компонентов
Xi
0,40
0,20
0,20
0,30
0,30
0,20
0,266
0,333
0,233
.0,233
ж2
0,40
0,60
0,40
0,50
0,40
0,50
. 0,466
0,433
0,533
0,433
0,20
0,20
0,40
0,20
0,30
0,30
0,266
0,233
0,233
0,333
V
2350
2450
2650
2400
2750
2950
3000
2690
2770
2980
§ 4.10. Планы, использующие вершины
исследуемой области
Рассмотрим планирование эксперимента для исследования
свойств таких g-компонентных смесей, на относительные содержа-
содержания Xi компонентов i (i = 1, 2, . . ., q) которых наложены двух-
двухсторонние ограничения следующего вида:
<1. D.222)
Условимся, что вырожденные ситуации *
я. ч
ИЛИ
г=1
г=1
нарушающие условие
Х]_ + XZ+ . . . +.Xq =
D.223)
D.224)
не имеют места и что нижние и верхние границы для относитель-
относительных содержаний всех компонентов i (i = 1, 2, . . ., q) не равны
друг другу 2, т. е.
gi Ф К D.225)
В [276] было предложено для более полного охвата экспери-
экспериментальной области точки плана располагать на поверхности мно-
1 В случае равенств возможной окажется всего лишь одна комбинация
#2> • • ч Sq) или (Alt fe2, . . ., hq), удовлетворяющая условию D.224).
2 При gi = hi размерность факторного пространства уменьшается на едв
ницу; оставшиеся компоненты должны суммироваться до A — gi), и задач
планирования по существу остается той же самой, но для q —1 компонентов^
310
гогранника, высекаемого в факторном пространстве, условиями
D.222). Поиск координат точек плана осуществляется согласно
алгоритму, приведенному в [43, 276].
Выписываются все возможные сочетания нижних и верхних
уровней компонентов, но уровень одного компонента в каждой та-
такой комбинации оставляется незаполненным (прочеркнутым). На-
Например, для пятикомпонентной смеси одна из комбинаций может
иметь следующий вид: (а1г Ъ%, а3,—, аь). Эта процедура образует
q-29 различных комбинаций с опущенным уровнем одного ком-
компонента в каждой. Из полученных q-1q'Y комбинаций выделяются
лишь те, для которых сумма относительных содержаний компо-
компонентов меньше единицы и вместо прочерка вписывается число, до-
дополняющее эту сумму до единицы. Таким образом, точки, удовлет-
удовлетворяющие условию D.224), представляют собой точки плана
и расположены в вершинах ограничивающего многогранника раз-
размерности q — 1. Не исключена возможность повторения какой-
нибудь вершины.
К полученным точкам плана добавляются точки, соответству-
соответствующие центроидам дву-, трех-, . . ., r-мерных граней (г «^ q — 2)
и точка, соответствующая центру многогранника. Последняя точка
получается усреднением всех уровней выделенных вершин. Цен-
Центроиды Двумерных граней находятся усреднением координат тех
вершин, которые имеют равные соответствующие q —3 координат.
Все остальные центроиды для r-мерных граней 3 ^ г <^ q — 2
находятся аналогично: усреднением координат вершин, имеющих
равные q — /• — 1 координат.
С ростом q, так же как и во всех факторных экспериментах,
быстро увеличивается число комбинаций условий и становится
значительно больше числа оцениваемых регрессионных коэффи-
коэффициентов. Это подтверждается данными табл. 4.25, где приведено
Таблица 4.25
Минимальное число точек плана для различных д и его сравнение
с числом коэффициентов квадратичной модели [276]
Число
компонен-
компонентов, q
Число
вершин
симплекса
Размерность грани, т^
Минималь-
Минимальное число
точек плана
Число пара-
параметров квад
ратичной
модели
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
4*
9>
21
48
106
227
6
10
15
21
28
36
расширены дополнительными точками для обеспечения оценки
IB квадратичной модели.
311
Таблица 4.26
Вершины
много-
многогранника
E)
F)
V /
G)
(8)
Выделение
вершин многогранника
Относительное содержание
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
40
40
40
40
60
60
60
60
40
,40
,40
,40
,60
,60
,60
,60
компонентов
=
0,
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
10
10
50
50
10
10
50
50
47
i2.
,27
,22
0,
0,
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
50
10
50
10
50
10
50
10
,10
50
50
,10
,10
,50
,50
0
0
0
0
0
0
0
0
ч
03
08
03
,08
,03
,08
,03
,08
Вершины
много-
многогранника
A)
B)
C)
D)
0
0
0
0
0
0
0
0
[276]
Относительное содержание
ж,
,40
,40
,40
,40
,60
,60
,60
,60
—
—
—
—
—
—
—
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
компонентой
х2
,10
,10
,50
,50
,10
,10
,50
,50
,10
,10
ДО
,10
,50
,50
,50
,50
Хз
0,47
0,42
—
—
0,27
0,22
—
—
0,10
0,10
0,50
0,50
0,10
0,10
0,50
0,50
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,03
,08
,03
,08
,03
,08
,03
,08
,03
,08
,03
,08
,03
,08
,03
,08
минимальное число вершин * и число центроидов дву-, трех-, . . .,
семимерных граней для планов, содержащих до восьми компо-
компонентов.
Один из способов сокращения числа точек плана заключается
в изъятии из рассмотрения некоторых центроидов, например
центроидов, принадлежащих граням четной размерности. В [276]
упоминается также и другой способ сокращения размерности,
заключающийся в вычислении нормализованных дистанций.
Оценка коэффициентов моделей различных порядков по дант*
ным плана осуществляется методом наименьших квадратов.
Проиллюстрируем вышеприведенный алгоритм на примере составлений
плана для исследования и оптимизации яркости свечения (в свечах) смесИ|
химическими компонентами которой являются: магний (*,}, нитрат соды (хЩ
нитрат стронция (*3) и связующее вещество (xt) [276] при следующих тех*
нологических ограничениях на весовые пропорции компонентов:
0,40 < хг < 0,60, 0,10 <*2< 0,50,
D.226|
0,10 < хз < 0,50, .0,03 < xi < 0,08. А
1 В общем случае определению числа вершин многогранников, высекаем!
в факторном пространстве условиями D.222), и поиску нижней гран*
наблюденных комбинаций посвящена работа Т. L. Saaty. The number
vertices of a polyhedron, Amer. Math. Monthly, 62, 1955.
Вершины многогранника, содержащего все допустимые точки фактор
ного пространства, находятся с помощью первых двух из вышеприведенных
правил (см. табл. 4.26).
Выбранные восемь вершин показаны на рис. 59. Для того чтобы закон-
закончить план, необходимо определить шесть центроидов для каждой грани
и центр многогранника, воспользовавшись третьим правилом. Согласно этому
правилу, грань образуют те из восьми точек, которые имеют q — 3=1
@/0,0)
Рис. 59. План, использующий
вершины многогранника
@,0/,0)
@,0,0/)
постоянный уровень. Таким образом были получены следующие координаты
центроидов:
Точка
плана
О)
(Ю)
A1)
A2)
A3)
A4)
Xi
@,50,
@,50,
@,40,
@,60,
@,50,
@,50,
Центроиды
Хг
0,1000,
0,3450,
0,2725,
0,1725,
0,2350,
0,2100,
0,3450,
0,1000,
0,2725,
0,1725,
0,2350,
0,2100,
0
0
0
0
0
0
х.
,055)
,055)
,055)
,055)
,030)
,080)
Комбинации, формирующие
грань
1
5
1
3
1
2
2
6
2
4
3
4
3
7
5
7
5
6
4
8
6
8
7
8
Координаты центра многогранника найдем усреднением соответствую-
соответствующих координат всех восьми вершин плана: A5) @,50, 0,2225, 0,2225, 0,055).
Экспериментальная проверка пятнадцати осветительных составов, со-
соответствующих пятнадцати полученным комбинациям условий плана, дала
следующие значения яркости (в свечах):
A) 75 E) 145 (9) 220
B) 180 F) 230 A0) 260
C) 195 G) 220 A1) 190
D) 300 (8) 350 A2) 310
A3) 260
A4) 410
A5) 425
Квадратичная зависимость между выходом и четырьмя исследуемыми
факторами, найденная по данным плана и соответствующим эксперименталь-
экспериментальным результатам методом наименьших квадратов, имела следующий вид:
У = —1,558*! — 2,851*2 — 2,426*з + 14,372*4 + 8,300*!** +
+ 8,076*!*3 — 6,625*!*4 + 3,213*2*з — 16,998*2*4 — 17,127*3*4.
D.227)
313
Так как поверхность отклика D.227) является вогнутой функцией, ока-
оказалось возможным применение методов квадратичного программирования
для определения комбинации условий, обеспечивающей максимизацию у
при учете ограничивающих условий D.226). Такой точкой оказалась точка
с координатами @,5233, 0,2299, 0,1668, 0,0800), предсказываемая величина
у для которой равна 397,48.
Для локализованной области, содержащей определенную на
первом этапе точку максимального выхода, с целью уточнения
местонахождения истинного оптимума могут быть вновь примене-
применены рассмотренные планы. Таким образом может быть обеспечена
последовательная все более точная локация оптимальной комби-
комбинации условий.
При q ^> 4 целесообразно для поиска координат точек пла-
плана использовать, ввиду сложности и громоздкости процедуры, вы-
вычислительные машины.
Перейдем к построению моделей планов. Определив, согласно
вышеописанному алгоритму, координаты вершин многогранников
условий и центроидов, желательно для наглядности изобразить
план графически. Для трехкомпонентных смесей это, очевидно,
не представляет каких-либо затруднений, так как все точки плана
здесь лежат в одной плоскости и легко наносятся на концентраци-
концентрационный треугольник. В четырехкомпонентном случае областью
определения является пирамида и точки плана приходится разме-
размещать в трехмерном пространстве. В [277] был предложен способ
построения трехмерных моделей планов для четырехкомпонент-
ных смесей.
На отдельных листках стандартного размера, согласно предла-
предлагаемому алгоритму, вычерчиваются горизонтальные срезы пира-
пирамиды на высотах, соответствующих четвертым координатам вер-
вершин и центроидов многогранников условий. Затем на полученные
таким образом треугольники наносятся соответствующие точки
плана и листки располагаются друг над другом в порядке возра-
возрастания четвертого компонента. Применяя прозрачные листки
(кальку и др.) или листы стекла, плексигласса, можно получить
наглядную трехмерную модель планов четырехкомпонентных сме-
смесей (рис. 60).
Процедуру построения модели опишем, начиная с х4 = 0 (хо-
(хотя это может и не соответствовать ограничению на ,г4). Исходный
треугольник, соответствующий срезу пирамиды х4 = 0 (основа-
(основание пирамиды), сориентируем таким образом, чтобы одно из его
оснований оказалось параллельным нижнему краю листа и было
удалено от него на какое-нибудь расстояние Ь. Высоту исходного
треугольника обозначим через а, а расстояние от центра тяжести
треугольника до левого края листа х через с. В зависимости от
уровня квантования А переменных хх, х2 и х3 на треугольнике
проводятся A — А)/А равноудаленных линий, параллельных
* Расстояние с для всех срезов (листов) должно сохраняться постоянным.
314
x^=0,00 x,
x, t,OOf=^
¦*—fZc/n *-
= 1,00
p
^^ 1
Щх3ф
x^O/0 xf
' A
j-9=0,90/^=
~ fZcM -~J\
-0,90
Щъ=узо
Рис. 60. Построение моделей планов
а ,5 — листки, соответствующие срезам при различных величинах
дель планов для четырехкомпонентных смесей
4; в—трехмерная мо-
мосторонам треугольника х1 — 0, х2 = 0, х3 = 0. Каждой из этих
линий соответствует определенное относительное содержание ко-
компонента в смеси (Nj-й линии относительное содержание NjA) и
для исходного среза оно изменяется от 0 до 1,00.
Для среза на высоте xi = т параметры треугольника опреде-
определяются следующим образом: основание треугольника, оставаясь
параллельным нижнему краю листа, поднимется выше и окажет-
окажется удаленным от него на расстояние (Ъ + та/3), высота треуголь-
треугольника станет равной (а — та), а удаление центра тяжести от лево-
левого края листа сохранится равным с; величины xt (i = 1, 2, 3) в вер-
вершинах треугольника будут равны A,00 — т).
На построенном для среза xt = т так называемом квазикон-
квазиконцентрационном треугольнике проводятся равноудаленные линии,
параллельные сторонам хг = 0, х2 — 0, х3 = 0 и обозначающие
относительное содержание соответствующих компонентов от 0 до
A,00 — т). На полученную таким образом концентрационную
решетку наносятся все наблюденные комбинации при xi = т.
Листы, соответствующие различным срезам, располагаются на
определенном расстоянии друг от друга (рис. 60, в). Если х4 = т,
то* соответствующий лист должен находиться на та единиц выше
основания.
П р и м е р. На вееовыо пропорции четырех компонентов, составляющих
чернила, наложены следующие ограничения: 0,40 < хг < 0,60; 0,10 < хч <
^0.50; 0,10 <ar3< 0,50; 0 <а:4< 0,10.
При этих ограничениях восемь вершин многогранника условий находят-
находятся в следующих точках факторного пространства:
4
d) 0,40 0,10 0,50 '0
B) 0,40 0,50 0,10 0
<3) 0,60 0,10 0,30 0
D) 0,60 0,30 0,10 0
E) 0,40 0,10 0,40 0,10
F) 0,60 0,10 0,20 0,10
G) 0,40 0,40 0,10 0,10
(8) 0,60 0,20 0,10 0,10
315
Расположение исходного" квазиконцентрационного треугольника на лис-
листе, еоответствующем срезу xt = 0, определим, например, параметрами а —
~ 10 см, b = 3 см, с — 12 см. Построив стороны треугольника и выбрав
уровень квантования Д — 0,1, проведем A — Д)/Д =- 9 равноудаленных
линий, параллельных сторонам треугольника. Сторонам треугольника соот-
соответствует пропорция «0» соответствующего компонента, следующей парал-
параллельной линии — 0,1 и т. д. Так как в нашем случае ад = 0 соответствует
одному из ограничений, прямо на исходный концентрационный треугольник
наносятся четыре вершины плана с Xi — 0 и центроид этой грани (рис. 60, в).
При xi =-= т — 0,10 основание треугольника будет удалено от нижней
кромки листа на расстояние 3 + 0,1-10/3 = 10/3 см, высота треугольника
станет равной 10—0,1 • 10 = 9 еж и величины отклика в вершинах
1,00—0,10 = 0,90. Четыре вершины плана с за = 0,10 и центроид грани,
нанесенные на треугольник, показаны на рис. 60, в.
Аналогичная вышеописанной процедура должна быть проведена для
среза xi = 0,05, который содержит центроид многогранника и четыре цен-
центроида его граней.
§ 4.11. Планы, использующие.отношения
концентрации компонентов
При решении ряда практических задач исследования и оптими-
оптимизации свойств смесей целесообразным является оперирование не
непосредственно с количеством (весовыми пропорциями и др.)
ингредиентов, а с их отношениями [278, 279].
Число отношений zb выражающих зависимость между различ-
различными компонентами д-компонентной смеси, на единицу меньше
числа исследуемых переменных:
Z1'=X1/X2, Z2 = X2/X3, . . ., Z; = Xi/Xj, . . ., Z,-! = Xq-i/Xq.
D.228)
Эти отношения могут быть использованы в качестве новых пере-
переменных для построения факторных планов различного типа. Для
построения факторных планов, как обычно, осуществляется коди-
кодирование новых переменных
1,2,..., з-
i), D.229)
' ч
где
— отношение относительных содержаний j-ro и ;-го
компонентов в исходной точке плана (х^1, х\, , . . ., xf, . . .
. . ., xf\ . . ., xf*), a pz. — интервал варьирования новой nepe-
nepers /х.\ (в) /х.\ (нI /
MeHHofizj, равный и ^-\ — / ^-j /2, (хг/х^в> и (xJXjjW — соот-
ветственно верхний и нижний уровни отношения.
Факторный план, составленный в кодированных переменных
(табл. 4.27), неудобен для практической реализации. Поэтому ко-
316
Таблица 4.27
Планирование эксперимента с использованием отношений концентраций
в трехкомпонентном случае и при п = 1
Номер
опыта
1
2
3
4
План в кодирован-
кодированных переменных
Si
-1
—1
+1
+1
— 1
+ 1
—1
+ 1
План в отношениях
.<«
f>
zC)
.}*)
zz = ж2/ж3
н
,B)
н
,C)
h
Z2
План в исходных
переменных
Xi
Х1
Х1
Х1
„D)
Л1
х2
хг
гB)
Х2
жC)
Х2
х^
хг
Хз
„A)
Х3
х^
хъ ¦
х^
Х3
х^
ординаты точек этого плана выражают обычно либо в отношениях,
либо в исходной системе координат (хи х2, , . ., xq). План в отно-
отношениях может быть получен из плана в кодированных переменных
с учетом условий кодирования D.229); s-я координата и-й точки
плана определяется согласно
- *Ч
(i = l,2, ...,?•-!, u = l,2, ...,/V).
D.230)
Наиболее удобный с технологической точки зрения план в ис-
исходных переменных можно получить из плана в отношениях
с учетом D.228) и условия нормированности суммы исходных пере-
переменных. Координаты и-й точки в исходных переменных получим,
решив следующую систему уравнений:
Ли)
D.231)
x(u)
x(u)
Я.
Реализовав план, по данным трех матриц планирования мето-
методом регрессионного анализа можно построить три модели: в исход-
исходных переменных, в отношениях и в кодированных переменных.
Первая модель не соответствует рассматриваемой задаче исследова-
исследования влияния отношений. С вычислительной точки зрения удобнее
317
по данным плана в кодированных переменных и по упрощенным
формулам, полученным для факторных планов, оценить коэффи-
коэффициенты модели
у =<pFlf 62, . . .,бм), D.232)
а затем подстановкой в D.232) условий кодирования D.229) по-
получить искомую модель
у = ф (zlf z2, . . ., zM). D.233)
К отношениям иногда переходят и в тех случаях, когда иссле-
исследуется влияние не отношений, а самих исходных переменных. Та-
Такой переход обосновывают снижением на единицу размерности
задачи и возможностью применения известных факторных планов.
Модель в исходных переменных
у =/(zlf х2, ..., xq) D.234)
можно получить из D.233) с учетом D.228).
Планы, использующие отношения, можно применять также в
тех случаях, когда на одну или несколько переменных х наложе-
наложены ограничения технологического порядка
0<ft<xi<A1<l. D.235)
Выбор экспериментальных точек внутри многогранника усло-
условий, высекаемого на симплексе ограничениями D.235), должен
осуществляться некоторым оптимальным образом с учетом как
можно большего охвата допустимой области экспериментирова-
экспериментирования, не нарушая ни одного из условий D.235), и обеспечения полу-
получения факторных планов в кодированных переменных б. За центр
плана обычно принимается точка многогранника условий с ко-
координатами xf = (h — gi)/2 (i = 1, 2, . . ., q).
Пример. При совместном обжиге общего марганцевого шлама (х±)
с пиритным концентратом (xi) и активизирующей добавкой в виде сульфата
железа (х3) исследовался выход водорастворимых солей марганца из шлама.
За исходную точку исследования трехкомпонентной смеси была принята
точка с координатами х^'== 50, х^ = 40, х^ = 10%. Исходя из технико-
экономических соображений, целесообразным считалось варьирование всех
факторов около исходного уровня на ± 10% (pXi = 10, рХг = 10, pXs =
= 10). Экспериментальная область, следовательно, ограничивалась условия*-
ми 45 < хх <; 55, 35 < xi <; 45, 5 < х3 <; 15.
Множество точек, одновременно удовлетворяющих всем трем двусторон-
двусторонним ограничениям и, следовательно, являющихся допустимыми точками экспе-.
риментирования, образуют шестиугольник, показанный на рис. 61. Здесь
все точки на какой-нибудь'линии, исходящей из вершины х3, имеют одно и
то же соотношение компонентов хг и хг. Аналогично, линия, исходящая из-
вершины хг, является линией равных соотношений х3 и хх. Точки, в которых1
эти линии скрещиваются внутри допустимой области экспериментирования?
могут быть точками плана.
318
Рис. 61. Схемы планов, использующих отношения
а — полный факторный эксперимент типа 22; б— полный факторный эксперимент типа 3'
При линейной аппроксимации в трехкомпонентной смеси план полного
факторного эксперимента, составленный в отношениях, содержит 2<г~1 ~ 4
экспериментальные точки. На рис. 61, а нижнему уровню соотношения %
компонентов (xjxz) — z|H' соответствует линия, проходящая через точки 1
и 2, а верхнему (z^) — проходящая через точки 3 и 4. Аналогично, нижнему
уровню соотношения zi компонентов (xjxi) — z^ соответствует линия, про-
проходящая через точки 1 и 3, а верхнему z^ — через точки 2 и 4. Поэтому,
если учесть условия кодирования
6i = [(X1/X2) - 1,25]/pZi, бз = [(xzlxi) - 6,25]/pZ2, D.236)
возможно составление матрицы планирования (табл. 4.28).
Для обеспечения ортогональности планирования необходимым оказы-
оказывается симметричное удаление верхних и нижних уровней соотношений от
исходного уровня zi°\ т. е. zjB) — z(o) = z^0) — zf> = рч.
При фиксированных исходных уровнях натуральных переменных х^ =
= 50%, х^' = 40%, х^ = 10% такой выбор был осуществлен рациональ-
рациональным подбором интервалов варьирования pXi, pX2 и рх . Кроме симметрично-
симметричности был обеспечен наибольший охват экспериментальной области.
Полученный таким образом полный факторный эксперимент в соотно-
соотношениях имел вид, приведенный в табл. 4.28. Пересчет комбинаций условий,
выраженных в соотношениях z, в комбинации условий в соответствующих
натуральных переменных х проиллюстрируем на примере первой точки.
Координаты точки, соответствующей первому опыту в исходных переменных
ж. являются решениями следующей системы уравнений:
z^= ?1 =
) = ?i = 0,125,
XI,
и
= 100
и равны соответственно 50,00, 44,44 и 5,56% (см. табл. 4.28). Реализация
опытов, согласно комбинациям условий, приведенным в табл. 4.28, позволила
определить ртклики у, приведенные в последнем столбце таблицы. Согласно
319
Номер
опыта
1
2
3
4
Табли
Планирование эксперимента в задаче исследования
обжига марганцевого шлама
План
ных
Si
—1
1
+1
+1
в кодирован-
переменных
52
—1
+1
^
+1
План в отношениях
21 =
1
1
1
1
,125
125
375
375
0
0
0
0
= Xi/X2
125
375
125
375
План в исходных
переменных
Xl,
%
50
45
55
50
00
00
00
00
Хг,
%
44,44
40,00
40,00
36,36
Хз,
%
5,56
15,00
5,00
13,64
ц а '
1.28
Отклик у,
86
91
90
90
щ
33
54
67
70
A.29), были определены коэффициенты регрессионного уравнения в кодиро-
кодированных переменных
^ 9 = 89,81 + 0,8756i4-l,3162, D.237)
принимающего в исходных переменных, с учетом условий кодирования
D.236), следующий вид:
у =78,44 + 7,00 21+10,48 ^1 .
Х2 хг
На рис. 61, б приведена схема плана второго порядка для оценки коэф-
коэффициентов квадратичного регрессионного уравнения.
§ 4.12. Поиск экстремума на диаграммах
состав — свойство
При изучении многокомпонентных смесей часто требуется опта-g
мизировать то или иное свойство смеси подбором соответствующв
количеств или пропорций ингредиентов. Решение этой экстремал||
ной задачи может быть осуществлено различными способами в ащ
висимости от использования в виде переменных весовых коз
честв или пропорций (процентного содержания) компонентов.:!
Поскольку в настоящей главе рассматриваются задачи, в
торых свойство смеси зависит не от суммарного количества сме
а лишь от соотношения компонентов, то свойство смеси
однозначно отображать доли (относительное содержание), а |
весовые количества ингредиентов. Действительно, в евклидов
пространстве весовых количеств ингредиентов множество точа
лежащих на одном и том же луче, определит одну и ту же сь
и, следовательно, в этих точках значения отклика совпадут.
Например, одна и та же двухкомпонентная смесь может б)б|
получена при смешивании т весовых единиц одного компоне
с п весовыми единицами другого, или km весовых единиц с!
320
Рис. 62. Один из возможных видов
контурных поверхностей для двух-
компонентной смеси
Рис. 63. Поиск экстремума методом
крутого восхождения для двухкомпо-
нентной смеси
единицами, где к — коэффициент кратности (определяющее
свойство смеси отношение первого компонента ко второму в обо-
обоих случаях одинаково: т/п), и, хотя суммарное количество во вто-
втором случае km + кп = к (т + п) в к раз больше, чем в первом,
согласно вышесказанному, это не меняет свойства смеси. Все
точки, определяющие одну и ту же смесь A), расположены вдоль
луча 1Х (в начале координат смесь не определена) (рис. 62). Один
из возможных видов контурных поверхностей изображен на
рис. 62. Линии равного выхода представляют собой расходящий-
расходящийся пучок и совпадают с соответствующими лучами, определяю-
определяющими состав данной смеси.
Априорная информация о специфическом виде линий равного
выхода позволяет свести поиск экстремума к нахождению какойт
либо точки на луче 1Э, обеспечивающем экстремальные значения
исследуемого свойства.
Поиск экстремума в многокомпонентных системах с весовыми
количествами компонентов в качестве переменных. Рассмотрим
несколько возможных способов поиска экстремума в смесевых
задачах с весовыми количествами компонентов в качестве пере-
переменных.
Применение метода крутого восхождения при весовых коли-
количествах компонентов в качестве переменных хотя и обеспечивает
в общем случае достижение экстремума, однако обладает рядом
существенных недостатков. Во-первых, полностью игнори-
игнорируется априорная информация о линиях равного выхода — гра-
градиент в центральной точке плана для локального линейного приб-
приближения поверхности отклика должен быть перпендикулярен
лУчу, проходящему через эту точку. Во-вторых, из-за незамкну-
незамкнутости исследуемой факторной области суммарное количество опы-
Ч И
И. г. Зедгинидзе
321
тов может оказаться весьма большим, в особенности когда соот-
соответствующий экстремальным свойствам луч находится в непо-
непосредственной близости к одной из координатных осей.
Графическая иллюстрация поиска экстремума методом крутого
восхождения для двухкомпонентной смеси представлена на рис. 63.
Легко заметить, что ряд точек плана может не давать существен-
существенно новой информации об исследуемой системе; так, например, точ-
точки 1 и 4, а также 2 и 3 практически соответствуют одним и тем же
смесям A) и B).
Следует отметить принципиальную неправильность описания
поверхности отклика полиномами высокого порядка в больших
областях, так как при этом не учитывается действительный вид
поверхности отклика длясмесевых задач (см., например, рис. 62),
отнюдь не являющихся полиномиальными.
Таким образом, приближением истинной поверхности откли-
отклика к полиномиальной вносится определенная систематическая
ошибка. Очевидно для моделей, отображающих действительную
ситуацию для смесевых задач, имеет смысл разработать специаль-
специальные планы, позволяющие оценить коэффициенты этих моделей за
значительно меньшее число опытов, чем в факторных планах.
Поиск можно осуществить, зафиксировав какой-нибудь уро-
уровень одной из переменных и реализуя планы для (q — 1) перемен-
переменных в (q — 1)-мерном факторном пространстве. Для случая q = 2
и q = 3 графическая иллюстрация области поиска представлена
на рис. 64.
При этом достигается уменьшение размерности пространства
переменных на единицу, однако по-прежнему остаются в сил©
недостатки, связанные с незамкнутостью области поиска; коли-
количество затрачиваемых на поиск опытов значительно возрастает^
в тех случаях, когда луч экстремальных свойств приближается^
к одной из незафиксированных координатных осей. ;
Если априорно известно, что экстремум находится вблизи•;
к"акой-нибудь координатной оси, например g-ой, компонент, cooi>|
ветствующий данной оси, будет присутствовать в смеси в наиболь«|
шем количестве. В этом случае можно говорить, что данный
понент представляет «основу» смеси. В таких ситуациях п
экстремума может быть эффективно осуществлен в (q — 1)-мерноЙ
евклидовом пространстве переменных zx, z2, . . ., Zg.u связанны!
с исходными соотношениями
= —, z2 = -
D.22
Реализовав в новой системе координат соответствующие
ны и оценив коэффициенты линейного регрессионного уравне
= b0
b2z2+. . .
в случав его адекватности можно осуществить поиск экстре
методом крутого восхождения. Уравнение D.239) можно записа
322
О
Рис. 64. Области поиска
а — при двух компонентах; б — при трех компонентах
Рис. 65. Поиск на симплексе
и в исходных переменных, воспользовавшись обратным преобра-
преобразованием
Т=г— (* = 1.2,...,д-1). D.240)
9-1
Значительного сокращения общего числа опытов, исключения
точек, не дающих существенно новой информации, можно достичь
реализуя поиск на (q - 1)-мерном симплексе в g-мерном евклидо-
евклидовом пространстве, высекаемом условием
xi + хг + . . . -)- Xq = т. D.241)
Для двухкомпонентной смеси поиск следует вести вдоль линии
lодномерный симплекс] (рис. 65, а), в трехкомпонентном слу-
случае _ на двумерном симплексе A23) (рис. 65, б). Величина т
оощем случае может быть выбрана произвольно. Если т = 1, то
' °УДУт указывать доли (пропорции) компонентов смеси.
11*
323
Поиск экстремума в многокомпонентных системах с пропорци-
ями компонентов в качестве переменных. При условии 2 х% — 1
i=i
переменные Х{ (пропорции, относительные содержания компонен-
компонентов) не будут независимыми, и в этих условиях никакое располо-
расположение точек на симплексе не обеспечит оценку коэффициентов ли-
линейного приближения
У = Ьо + Ъгхх + Ъгх2+ . . ¦ + bqxq,
отражающих влияние соответствующих переменных и определяю-
определяющих направление крутого восхождения.
Это можно легко показать, рассмотрев матричную форму нор-
нормальных уравнений, используемых для оценки коэффициентов Ь
В = (XrX)^XTY,
где X — матрица планирования
D.242)
1 Хц
1 Xxi
Xq2
... X
qN
Так как в матрице ХГХ
1 1
XXX %ХЪ
... X
qN
хтх =
N
2 *
N
Xu
N
-2-,
• • • Zl XluXqu
ti=l
N
w
N N
Zl *«« Zl ^«Au Zl^Au • • • Zl ^gu^eu
tl=l U=l tl=l tl=l
первый столбец равен сумме всех остальных
N ' N ' N ц N
2 xiu + 2 жг« + • • • + 2 хчи — 2 2 хш =
u=l ti=l ti=l i=l ti=l
= 2 2x^ = 2 ! =«'
ti=l г=1 u=l
W N N
xkw?qu =
ti=l
u=i
ti=l
22
i=lti=l
= 2 xku ¦ 2 Ж1« = 2
u=i i=i w=i
= 1, 2, ..., q),
324
матрица X X оказывается вырожденной (det [XTX] = 0) и оцен-
оценка коэффициентов Ь, согласно D.242), невозможной.
Рассмотрим несколько возможных способов поиска экстрему-
экстремума в смесевых задачах с пропорциями компонентов в качестве
переменных.
Поиск экстремума относительно q — 1 независимых перемен-
переменных. Применяя факторные или какие-нибудь другие планы отно-
относительно q — 1 независимых переменных xt для исследуемой ло-
локальной области, согласно D.242) (матрица ХГХ без последнего
Рио. 66. Расположение точек
плана на симплексе
столбца является невырожденной), получают оценки коэффици-
коэффициентов линейного регрессионного уравнения
у = Ьо + ЬЛ + Ь2ж2 + . . . + Ъ^Хд-г
и относительно хи х2, . . ., xq-x реализуют, согласно обычным
приемам, крутое восхождение с проверкой попадания каждой точ-
точки плана в симплексную подобласть (содержание <?-го компонента
при реализации опытов определяется согласно xq = 1 — хг —
хг . . . Xq-j). Расположение точек плана на симплексе показа-
показано на рис. 66.
При применении насыщенных планов этот способ эффективен.
о остальных же случаях требует относительно большого числа
опытов.
Поиск экстремума на диаграммах состав — свойство с пред-
предварительной трансформацией симплексной системы координат,
^предлагаемая методика поиска основана на предварительном пре-
преобразовании д-мерной симплексной системы координат (хи хг, ...
¦ ¦ ¦, xq) в (q — 1)-мерную декартовую систему (Я*1Э Жа, . . ., Ж^)
с центром в центре тяжести симплекса рис. 67.
Получены трансформирующие зависимости
= tq-X (XX, X2, . . *KXq
D.243)
325
для различного числа компонентов. Для q = 3 и q = 4 они имеют
следующий вид:
^
D.244)
D.245)
В новой декартовой системе координат в окрестности исходной
точки поиска М (т{м\ 3&т, . . ., 4-1) планируетсяэксперимент со-.
гласно обычным факторным методам с проверкой попадания то-
точек плана в симплексную область (подобласть). Для реализации
опытов координаты экспериментальных точек необходимо пере-
перевести в исходную симплексную систему координат согласно
обратному преобразованию
= (pi (%1
D-246)
Для q = 3 и q = 4 эти преобразования имеют вид
D.247)
= -|-(— 3»! - Vfe2 + 1) - для g=3;
D.248|
326
J^
Рис. 67. Связь между координатными системами
4U
))' и = 4.2, . . ..^реализуются опы-
опыВ точках Dи)»4"\ •
ты, и по данным опытов в зависимости от плана эксперимента, не
нарушая ограничений, осуществляется поиск в декартовой систе-
системе по выбранному алгоритму.
При поиске экстремума непосредственно в симплексной систе-
системе координат на основе симплексных планов обычно пользуются
соответствующим каноническим полиномом, получаемым из
у = Ьо + ЪгХг + 62Ж2+ ... -(- bqXa -
с учетом условия хх + ж2+
+ ха
у = Ьо
= 1:
= b0
хг
Ь2Х2
(Ъо
Для оценки коэффициентов рг на диаграммах состав — свойство
реализуются симплексные планы первого порядка, содержащие
лишь q точек.
Легко заметить, что, если коэффициенты Ьг отражают влияние
компонентов xt на исследуемое свойство, для коэффициентов поли-
полинома
у = Ра + р2я2+ • • • +
D-249)
это не имеет места, так как здесь рг = Ьо + bt.
Ввиду того, что непосредственное применение оцененных на
основе симплексных планов коэффициентов р для организации
поиска экстремума не удается, в настоящей работе рассмотрены
Два способа определения направления крутого восхождения на
Диаграмме состав — свойство, базирующихся на применении ко-
эФфициентов р. ,
Воспользовавшись обратным преобразованием D.246), запишем
Уравнение D.249) в декартовой (q — 1)-мерной системе координат
327
с центром в центре тяжести симплекса
У = hxi + Рл + • • • + M<z = Р1Ф1 («1
(Pi,
Изменяя ?t пропорционально коэффициенту 5t = г^д^ (pit р2, . . .
. . ., p\j), х2 — пропорционально Вг = 1|J (Р15 ра, . . ., jjq) и
Жд-! — Вг-Х = Tjjg-! (plt p2, . . ., р?), обеспечим движение вдоль
направления крутого восхождения. Координаты шагов в сим-
симплексной системе могут быть получены с помощью прямого преоб-
преобразования D.243).
Например, при q = 3, воспользовавшись D.247), получим
У = Pi*i + te + h*3 = Pi [x C*1 - /3 «2 + 1)] +
+ P, [— B^ /3 + 1)] + к[т (- 3«i - /3 «2 + 1)] =
= P«P« + P + ^P*!; + 4PPa;
— Рз = х (Р* +
+ P») + (Pi -
т. е.
Уз
D.250)
V3
Изменяя xt пропорционально Вх — pt — рз, ос2 — 52 = —=- B^2 —
— Pi — Рз)! обеспечим движение вдоль направления крутого вос-
восхождения (рис. 68, а). Для реализации опытов координаты точек
переводятся в симплексную систему координат согласно D.244).
Для q = 4 (рис. 68, б), воспользовавшись D.248), получим
у = Ра + Р2*2 + Рз*з + Рл = 4" (Pi + Рз + Рз + РО +
i 1 /ОП О
Т. в.
?i = Pi-P3, Я, = ^=-Bр,-р1-|
D.251)
328
Рис. 68. Реализация движения вдоль направления крутого восхождения
Для того чтобы проводить все операции по поиску оптималь-
оптимального направления движения непосредственно на симплексе без
преобразования координатных систем, целесообразно D.249) при-
привести к виду
У = Со + ад + с2хг + ... + Cga:q, . D.252)
где
D.253)
В [281] доказано, что при этом условии градиент функции
D.252) лежит в области симплекса и для движения вдоль этого
Рис. 69. Поиск экстремума
направления достаточно смесевые переменные изменять пропор-
пропорционально соответствующим координатам направляющего вектора
градиента С (clt с2, . . ., св) (рис. 69).
Преобразование D.249) в D.252) легко осуществить согласно
со = р, ct = рг - р l(i =:H, 2, .... д). D.254)
Обратное же преобразование имеет вид
Р* = ct + с0 A = 1,2, .. ., q). D.255)
Описанный алгоритм поиска экстремума эффективен и прост.
329
Глава 5
Планирование эксперимента
для изучения сложных систем,
содержащих смесь
На практике часто встречаются задачи, в которых изучаемый
выходной параметр сложной системы зависит как от независимых
переменных, так и от состава смеси. В отличие от предыдущих
случаев, вопросам планирования и анализа экспериментов для
исследования сложных систем, содержащих смесь, посвящено зна-
значительно меньшее количество работ..
Обычнтг исследование таких систем при к независимых пере-
переменных и q переменных, определяющих состав смеси, проводят
изложенными в гл. 2 методами относительно к + q — 1 независи-
независимых, переменных (исключается из рассмотрения один из смесевых
компонентов). При таком подходе эффект влияния исключенного
из рассмотрения компонента на изучаемый выходной параметр
распределяется по коэффициентам полинома от к + q — 1 пере-
переменных и коэффициенты уже не отражают степень влияния иссле-
исследуемых переменных. В последнее время стали развиваться методы,
исследования сложных систем, не требующие исключения какого-
либо компонента.
В работе Шеффе [41] впервые были рассмотрены некоторые
вопросы анализа планов, представляющих собой произведение
множеств точек симплекс-центроидных и факторных планов, в
[256] аналогичная задача рассмотрена для случая симплекс-ре-
симплекс-решетчатых планов, а в [259] — для общего случая симплекс-сим-
симплекс-симметричных планов.
При количественных независимых переменных в [282] идеи
Шеффе были распространены для прямых произведений произ-
произвольных планов на симплексе (симплекс-решетчатых, симплекс-
центроидных, симплекс-симметричных, D-оптимальных, компо-
композиционных, минимизирующих смещение и др.) и ортогональных
планов от количественных переменных (ВСХн-планы). В [283] были
исследованы вопросы планирования эксперимента для смесевых
и качественных переменных, дан анализ планов, полученных пу-
путем прямого произведения произвольного плана для смесевых пе-
переменных и ортогонального плана от качественных факторов, а
также планов для смесевых и независимых количественных пере-
переменных и качественных факторов.
330
§ 5.1. Планирование эксперимента при независимых
и смесевых количественных переменных
В некоторых задачах изучаемый выходной параметр сложной
системы зависит как от состава смеси, так и от независимых коли-
количественных переменных. Такими переменными могут быть про-
процесс-переменные, определяющие технологию изготовления и об-
обработки смеси, а также другие переменные.
Выбор математической модели для описания зависимости вы-
выходного параметра рассматриваемой системы от смесевых и неза-
независимых переменных тесно связан с имеющейся априорной ин-
информацией, требуемой точностью и др. Как правило, при изуче-
изучении сложных систем методами математического планирования
эксперимента применяют полиномиальные модели. Однако при
наличии одновременно и смесевых и независимых количественных
переменных использование в качестве моделей обычных полино-
полиномов вследствие нормированное™ суммы смесевых переменных не
представляется возможным. В подобных ситуациях можно при-
применять модели и соответствующие им планы, получаемые по мето-
методу прямых произведений [284].
Пусть Fx — конечномерный класс определенных в простран-
пространстве смесевых переменных канонических полиномов с базисом
g (х) = (Si (x)> Si (х)> • ¦ •> #>, (х)) и F2 — конечномерный класс
полиномов, определенных на некоторой области в пространстве
независимых переменных, имеющий базис h (z) = (Ax(z), A2(z), . ..
. . ., h2 (z)), где x = (xx, x2, . . ., xq) —вектор смесевых перемен-
ных, удовлетворяющих условию
q
2
= 1, xt > 0 (i = 1, 2,
t=i
. . ., q) и z = (zx, z2, . . ., zfe) — вектор независимых переменных.
Класс Fx X F2 имеет базис, состоящий из функций ga (х)йф (z)
(ш = 1,2, . . ., 8Х; ty = 1, 2, . . ., б2). Соответствующие матема-
математические модели можно представить в виде
у = /(х, z) + е =
ф=1
ш=1 Ф=1
E.1)
где Р*=
Если Dj = I x1( x2, . . ., xWl 1 — некоторый план для класса
Fx, состоящий из Nx точек (матрица Dc = (xiu)(i = i, 2, ...
• . ., q; и = 1, 2, . . .,NX), соответствующая плану на симплексе,
является матрицей порядка [Nx X q\), a DH =|гх, z2, . . ., ZivJ
некоторый план для класса F%, состоящий из iV2 точек (матрица
331
DH = (zjV)(j — 1, 2, . . ., к; v = 1, 2, . . ., N2), соответствующая
плану для независимых переменных, является матрицей порядка
[N2 х к]), то прямое произведение планов DCXH = DCDH являет-
является планом для класса Fx- x F2, состоящим из N = Nx x N2 точек.
План DCXH можно интерпретировать как реализацию планов
DH в каждой точке Dc (рис. 70) и вместе с соответствующим столб-
столбцом откликов представить в виде
D
схн
/X
D
D
У1
У2
E.2)
xqu) — ы-я строка
т
Dc, / —
где хи = (х1и> х2и, . . ., xqu) — ы-я строка матрицы Dc,
— GV2X 1)-матрица из единиц, ути-= || уиХ, уи2, . . ., yuNz || — век-
вектор-столбец откликов для плана DH, реализованного в u-й точке
плана Do.
Рис. 70. Геометрическая ин-
интерпретация плана D
Матрица планирования АСхн для плана DcXh является матри-
матрицей порядка INXN2 X бхб2], и в принятых в [282] обозначениях
имеет вид
(«ф^, E-3)
где
(© = 1,2,...,6ц, t|5 = l,2,...,52, u = l,2,...,iV1,
v=l,2,...,N2), E.4)
¦фи — указатель столбца, uv — указатель строки.
Систему нормальных уравнений для определения по методу
наименьших, квадратов коэффициентов у уравнения E.1) в мат-
матричной форме в общем случае можно представить следующим
332
образом:
E.5)
где
= (Y1. Y2,
, (t)T =
При произвольном плане DCXH с числом точек N ^> б^, если
матрица Асхн АСХн невырождена, из E.5) можно однозначно полу-
получить оценки коэффициентов у„. Решение системы E.5) в общем
случае представляет трудоемкую операцию, требующую, как
правило, применения ЭЦВМ. Ввиду того, что оценки уы коэффи-
коэффициентов 7ш коррелированы, исключение того или иного из них
приводит к изменению остальных.
Для получения некоррелированных оценок yt матрица АСХн
должна быть ортогональна. При этом значительно упростится
и процедура определения оценок коэффициентов регрессии.
Покажем, что матрица Асхн ортогональна, если ортогональны
матрицы планирования
Х =
Z =
h(zi)
для планов Dc и DH. Действительно, если
О при u>=j=r,
N1 при со = г,
i
>, Аф (z,,) h, (zv) =
0 при
то, согласно E.4), следует:
О при
VXN2 при
=?=Г ИЛИ ty=f=S,
= г и г|5 = s.
E.6)
На практике обычно ортогональна лишь матрица планирова-
планирования Z. Но даже ортогональность только плана от независимых
неременных позволяет разработать сравнительно простую мето-
методику определения оценок коэффициентов уш, а также дает воз-
возможность осуществить некоторые упрощения модели в зависимо-
зависимости от результатов эксперимента.
ЗЗЬ
При ортогональном плане DH от независимых переменных
If,
2 a*a.«ea*r«1, = 2 &¦> (Ж«) ?г fau) 2 h* (Zv) К (ZB)
u
u=X
при г|э =?= s,
u) при i|5 = s
U=l
матрица АеХвкСХи принимает вид
ХТХ О О ... О
О ХГХ О ... О
О О О ... ХГХ
E.8)
где 0 — нулевая (Nj. x Nx) матрица. Правую часть E.5) преобра-
преобразуем следующим образом: >,
2 &шУи„
2
2 в8,8 и Ju
2>(*j 2
N,
2 «»(*«). 2
0=1
2 *«.(*«) 2 йф (*») Уи
г>==1
лг,
и=1
E.9)
лг2
где Ь„ = j^- 2j Аф (zP) yUv оценка i|vro коэффициента, когда
0=1
соот-
соответствующий план от независимых переменных проводится толь-
только в и-й точке плана от смесевых переменных.
334
Введем матрицу
Тогда E.9), с учетом E.10), можно представить в виде
ХТВ'
хтв»
E.10)
E.11)
Из E.8) и E.11) видно, что в случае ортогонального плана от
независимых переменных система нормальных уравнений E.5)
распадается на б2 независимых систем уравнений
ХТХ^=ХТВФ -(tb = 1,2,..., 60, E-12)
где
тф
*
R41 —
> " —
ь*
bt
•
1
У1
У1
'.
ЛФЫ
'¦
4ZN, )
E.13)
в E.13) матрица Y имеет вид
2/12 ••• 2/1Л
2/21 2/22 ... y2Nt
Y =
а Нф — •ф-й столбец матрицы Z.
Из E.12), с учетом E.13), для определения коэффициентов по-
получим
^ (t|>=l,2,... А). E.14)
Таким образом, оценки коэффициентов 7Ш получаются по из-
известным формулам для соответствующего смесевого полинома,
только вместо откликов в формулы подставляются оценки 1|э-х
коэффициентов модели из класса F2, полученные по данным пла-
планов DH, реализованных в соответствующих точках Dc.
Получаемые оценки Рф (ф = 1, 2, . . ., б2) для модели E.1)
статистически независимы, и в случае незначимости некоторых Рф
отбрасывание последних не изменяет оставшиеся коэффициенты.
Проверке гипотезы о равенстве нулю некоторого Рф соответству-
соответствует проверка гипотезы Ь* = Ь2 = • • •= ^ = 0 с числом степеней
свободы /, равным Nv Интерес представляет также случай, когда
Рф не зависит от смесевых переменных и является константой.
335
Тогда Рф можно заменить одним коэффициентом Ьф, равным
Вф = -Т5- 2 ^и- Число степеней свободы для проверки адекватности
1 u=l
такого представления равно / = Nx — 1.
Таким образом, упрощение модели E.1) можно осуществить
либо заменяя некоторые Р на Ьф, либо полагая некоторые Р*
равными нулю. При неадекватности упрощенной модели легко
определить некоторые причины неадекватности и наметить нуж-
нужные изменения модели.
В случае прямого произведения линейного симплекс-решетча-
симплекс-решетчатого плана и ортогональных планов все коэффициенты %, в неу-
неупрощенной модели статистически независимы.
Для произведения линейного симплекс-решетчатого плана и
плана типа 2к все коэффициенты yt в упрощенной модели опре-
определяются с одинаковой дисперсией а2 {у} = О2{у}/2Н. Вариантом
упрощенной модели для этого плана является линейная модель
5i 52
= 2w + 2;
ш=1 ф=1
= 2
E.15)
fc), Sx = g, б2 =
= 1, 2, . . ., А).
где х = (хх, х2, . . ., xQ), г = (zx, z2, . .
go> (x) = хш (со = 1, 2, . . ., q), Аф (z) = z,
Оценки коэффициентов E.15) статистически независимы и опре-
определяются с дисперсиями О2{у) = а2{у}12иж а2{Ь} = о2{у}/к2к.
Общее число степеней свободы для проверки адекватности модели
равно f = q Bк—1) — к. Основным недостатком применения та-
такого плана для оценки коэффициентов в E.15) является большое
число опытов. Уменьшение этого числа можно достичь, применяя
в качестве плана от независимых переменных дробные реплики
планов типа 2к, насыщенные линейные ортогональные планы пер-
первого порядка. .
Если имеется априорная информация об аддитивности влияния
независимых переменных по отношению к смеси, то можно значи-
значительно сократить число опытов, используя, например, план,
имеющий матрицу
0 II
E-16)
н
|.Е9
I ч
где Ев — (q х д)-единичная матрица, 0 — (q X А)-нулевая матри-
матрица, J — (N2 X д)-матрица из единиц, DH = Z — (N2 X ^-матри-
^-матрица некоторого линейного ортогонального плана от независимых
переменных. Общее число опытов равно N = N2 +-д. План DH
336
в данном случае реализуется лишь в центральной точке симплекса
(рис. 71).
Матрица АТА имеет вид
А»А_| «.+?'• • I, E.17)
где
jq _ (g х ?)-матрица Из единиц; 0 — (q X к) нулевая матри-
. ей — (к х &)-единичная матрица. Из E.16) и E.17) видно, что
оценки коэффициентов Ьф статистически независимы и опреде-
определяются так же, как и при наличии плана только от к независимых
переменных.
Рис. 71. Реализация плана DH
в центральной точке симплекса
Коэффициенты при смееевых переменных коррелированы
и определяются по формуле
у\ = у\ + а. , E.18)
Корректирующий член а равен
iV2 ._
а = -г- {у ич —
E.19)
где
У =
i=l -!>=1
Дисперсия предсказания выражается формулой
" ~л77 ) / i=i
E.20)
В [284] доказано, что в тех случаях, когда планы Dc и DH
D- или G-оптимальны (почти оптимальны), то и план DCXh. полу-
полученный путем прямого произведения, будет для соответствующей
модели D- или G-оптимальным (почти оптимальным) планом.
337
Все вышесказанное относительно ортогональности, D- и (
оптимальности можно распространить на случай трех и бол
планов сомножителей.
§ 5.2. Планирование эксперимента для смесевых
или смесевых и независимых переменных
при наличии качественных факторов
В некоторых задачах наряду с изучением функции откли»
от смесевых или смесевых и независимых количественных
менных требуется исследовать влияние качественных} факторо!
Для этих целей можно использовать планы, получаемые по м©|
тоду прямых произведений из планов для количественных пер
менных и ортогональных планов для качественных факторовЦ
Построение и статистический анализ соответствующих мат
матических моделей для случая симплекс-центроидных планов
от смесевых переменных и полного //.йГ-эксперимента даны в [42J
В [256] сделано обобщение и для случая симплекс-решетчаты}!
планов от смесевых переменных, а в [283] — для произвольны!
планов от смесевых или смесевых и независимых количествен!
переменных и ортогональных планов от качественных факторов
Принципы построения и анализа планов в виде прямых
ведений при наличии качественных факторов рассмотрим для кс
кретности на примере произведения произвольного плана от
личественных переменных (различные планы от смесевых и с»
севых и независимых переменных) и полного //.йГ-эксперимент^
Обозначим через х = (хх, а^, . . . , хр) вектор количестве
ных переменных, а через А, В и С — качественные фактор^Ц
изменяющиеся на /, / и К уровнях. Предположим, что в ка*
дой точке {i,f,k} (факторы А, В riJC'"соответственно на j-slf
/-м и к-м уровнях) реализуются планы от количественных пер
менных, которым' соответствует некоторая полиномиальна
модель одного и того же вида
А = 1, 2 JT).
С другой стороны у?" в каждой r-й (г = 1, 2, . . ., N) то*
плана от количественных переменных можно представить в
ijk _ r.0 , аА, I , , -ABC, ijk , /с *
где а" — среднее, а*.' — эффект, обусловленный i-м уровнем
тора А, . . . , aABC>yfc — эффект, обусловленный тем, что А,Щ
и С одновременно находятся соответственно на i-м, /-ми к-м ур
нях.
Тогда оценку произвольного m-го коэффициента Ьгт
можно осуществить согласно
if = Ъ°т + Ъ%'* + •..+ bABG'iik,
338
,/,
E.21
в E.|
где
х, а2,.
?А, г
Ьщ =
. , aN),
fABC.ijIi т /ZABC,ijk "ABC, i]k 2A
bm = Ьт (ах , a2 ,.. ., <xN )
?m — однородная линейная функция.
Подставляя оценки коэффициентов в E.21), получим
fk = Р° (х) + РА'{(х) + .. . + РАВС'm (x)v E.24;
где Р° (х), РАЛ (х), . . . , pABG'iik (х) имеют тот же вид, что
и Pijk (х), и, соответственно, содержат коэффициенты вида Ь°,
ЪАЛ ,..., bABG'm. Поскольку оценки а°г, аАЛ, . . . , aABG'ijk
статистически независимы при фиксированных i,jak, то и оценки
полиномов Р°(х), РА'г (х) ,. . . , pABG'lik (х) статистически не-
независимы, хотя оценки коэффициентов в каждом из них в общем
случае коррелированы.
Для исследования возможностей упрощения математической
модели, соответствующей E.24), можно выдвигать и независимо
проверять с помощью дисперсионного анализа некоторые гипо-
гипотезы. Если, например, для каждого i ах '* = а2 '* =
= аАл =
= ал>\ где аЛ'г = -дг2 «A'\т0 можно говорить, что полностью
отсутствует эффект взаимодействия главного эффекта фактора А
с количественными переменными и что можно упростить модель,
приняв РА'1 (х) = аА'1. Число степеней свободы для проверки
адекватности такого представления равно / = (N — 1)(/ — 1).
Аналогично можно проверить гипотезы относительно полного
отсутствия взаимодействия' с количественными переменными глав-
главных эффектов факторов В, С ж эффектов взаимодействия АВ, АС,
ВС и ABC. Числа степеней свободы для проверки всех вышеука-
вышеуказанных гипотез приведены в табл. 5.1.
Если все эти гипотезы не отвергаются, то можно считать, что
полностью отсутствует взаимодействие качественных факторов с
количественными переменными. В этом случае E.24) примет вид
fk = Р° (х) + <хА'1 + ав'} + ... + лАВС'у*. E.25)
Если не отвергается гипотеза об отсутствии некоторого взаимо-
взаимодействия (главного эффекта) качественных факторов с количе-
количественными переменными, то можно выдвинуть и проверить ги-
гипотезу об отсутствии этого взаимодействия (главного ^эффекта)
качественных факторов.
Например, если отсутствует взаимодействие главного эффекта
фактора А со смесью, то можно проверить гипотезу аАл = аА>2 =
339
1
— .. . = aA>I = aA<' = О, где aA>' = -у-2 aA> l = ^. Число степеней
свободы для проверки этой гипотезы равно / = / — 1. Числа ст$|
пеней свободы для проверки аналогичных гипотез относительно^
главных эффектов В, С и эффектов взаимодействия AB, AC, BQ
и ABC приведены в табл. 5.2. Число степеней свободы N остается]
для оценки коэффициентов Р° (х) и проверки различных гипотез?
относительно этого полинома.
Таблица 5.1
Схема дисперсионного анализа
для проверки гипотез
5.2
Таблица
Схема дисперсионного анализа
для проверки гипотез
Эффекты
А, 1
в, /
С, к
AB, ij
AC, ik
ВС, jk
ABC, ijk
/
(/ —l)(iV —1)
(J - i)(N - 1)
(K-i)(N-l)
(I-i)(J-i)(N-i)
(I-i)(K-i)(N-i)
(J - 1)(K - i)(N - 1)
(I-i)(J-l)(K-i).
(IJK - i)(N - 1)
Эффекты
A
В
С
AB
AC
ВС
ABC
Si
s
/-1
J — i
К-I
(I -1)(/ -1)
(I-l)(K-i)
(J-l)(K-l)
(I-i)(J-i)(K-i)
(IJK-i)(N-l)
[UK — i)N
Если, например, имеют место только главные эффекты факте»
ров А, В и С, то упрощенная модель будет иметь вид
Р° (х) + РА>1 (х) + Рв'j (х)
(х).
E.26)
Если при этом отсутствует взаимодействие качественных факто*
ров с количественными переменными, то E.26) примет вид
У =Р (*) + *' + « +« • E.27|
В случае некоторого плана на симплексе и плана типа 2l Щ
качественных факторов можно использовать модели, которые Щ
виду полностью совпадают с соответствующими моделями от
личественных переменных, рассмотренными в § 5.1.
Вышеизложенные принципы остаются справедливыми для ля
бых ортогональных планов от качественных факторов, "в частнсЦ
сти для латинских квадратов, регулярных дробных реплик ПС
типа 2l, sl и т. д.
340
§ 5.3. Планирование эксперимента
для изучения сложных систем, содержащих смесь,
при наличии источников неоднородности
В некоторых задачах требуется исследовать свойства смеси
при наличии качественных факторов — источников неоднород-
неоднородности.
Математическую модель для описания свойств смеси при на-
наличии источников неоднородности можно представить в виде
уМ-~Н = Р(х) + aBl'U + аВ2'u + ... + aBi' ji + г, E.28)
где Р (х) — некоторый полином от вектора х смесевых перемен-
переменных a aBu}l, aBl'h, . . . , аВ/'3/ — отклонения, вызываемые ^-м,
/2-м, • • • i 7гм уровнями факторов-источников неоднородности
В1г В2, ¦ ¦ ¦ i Bi соответственно.
Обычно требуется оценить коэффициенты Р (х), элиминиро-
элиминированные от эффектов источников неоднородности и, иногда, диспер-
дисперсии, обусловленные источниками неоднородности. При этом до-
достаточно, как правило, иметь полином невысокой степени (первой,
второй).
На основе общих положений математического планирования
эксперимента при одном источнике неоднородности очевидна идея
использования по возможности полностью рандомизированных
или рандомизированных в блоках планов. При двух и более ис-
источниках неоднородности использование в качестве планов латин-
латинских, греко-латинских, гипер-греко-латинских квадратов, латин-
латинских кубов и других ортогональных планов, в которых точки пла-
плана для смесевых переменных рассматриваются как элементы,
дает возможность получить независимые, элиминированные от
эффектов источников неоднородности оценки коэффициентов со-
соответствующих полиномов и независимые оценки дисперсий источ-
источников неоднородности. -
С возрастанием числа компонентов в смеси и порядка полинома
резко увеличивается общее число опытов и применение рандо-
рандомизированных в блоках планов и ортогональных планов типа
латинских квадратов становится невозможным. Поэтому возни-
возникает потребность неполноблочного планирования для исследова-
исследования свойств смесей. Однако из-за нормированности суммы ком-
компонентов смеси планы на симплексе без преобразования перемен-
переменных не удовлетворяют основным требованиям для планирования
в неполных блоках.
Невозможность планирования в ортогональных блоках на симп-
симплексе покажем на примере симплекс-симметричных планов [286].
Канонический полином второй степени с учетом эффекта бло-
блоков может быть записан следующим образом:
г
у* = 2 Рг*г« + 2 MiA« + 2 P»z»«' E-29)
341
где уи — математическое ожидание отклика в игй эксперимен"
тальной точке (ц = 1, 2, . . , N), рю — ожидаемое значение
клика в w-м блоке (w = 1, 2, . . ., t), zwu — некоторая «фикт
ная» переменная, принимающая значение, равное единице
ц;-го блока, если ожидаемое значение выхода относится к это»,
блоку, и значение, равное нулю, для всех остальных блоко!
Положим, что план с t блоками и N экспериментальными
ками удовлетворяет условиям симметричности D.85)
У, х? - А
2 xiuxiuxku=D, 2 4*4* = #>
2
l<u<N
Аналогично § 4.3, два типичных нормальных уравнения пае
лучим, взяв производные
= 2
2 0^11**1—
EJ
по параметрам Рх и Рху. и приравнивая их нулю
2 bw B *x«),
E.31
D 2 fo
где р—являются оценками параметров р. Взяв произведен
E.30) по параметру рю и приравняв ее нулю, получим
где тк — число точек в w-м блоке. Из уравнений E.31)., E.32)
E.33) видно, что планирование в ортогональных блоках может
быть получено лишь при
2 xin
= о
u=l
( E.34)
Но так как при планировании на симплексе xtu > 0, условия
E.34) не удовлетворяются.
Таким образом, планирование в ортогональных блоках на
симплексе оказывается невозможным без трансформации смесе-
вых переменных.
В [286] было показано, что, хотя получение ортогональных бло-
блоков, дающих статистически независимые от зффектов блоков оцен-
оценки регрессионных коэффициентов, невозможно без преобразования
смесевых переменных, все же можно получить оценки коэффици-
коэффициентов, элиминированные от эффектов блоков. В [286] получены
необходимые условия образования «неортогональных блоков» для
моделей второго порядка
х\и =
= ки
xiuxiu = Const =
(w = l,2,...,t, l,j= 1,2,...,q, 1ф1).
С учетом E.35), из E.33) для bw получим
/и — «1 2л Vx — K1. 2л
E.35)
E.36)
Суммируя E.36) по всем w = 1, 2, . . . , t и полагая 2
получим
t t mw a
2i ™ = 2i 2л yvJmw — "а&з 2л Pi — пък3 2л pa-
ю=1 ш=1 «=l i=l
Подстановка значения 2pw в E.31), E.32) дает
E.37)
2 Pi
E-38)
343
342
t mw
22:
= (C —
2 ?i+(^-
\ V-
klk3)
р«. E.39)
i, J>X, (i
Положим
A - k\k3 = A*, B- klks = B\ С- кгк2к3 = С*,
D - kjkjea = D\
E - к\къ = E*, F- к% = F\ G - *»A8 = G',
S ^*-^iS 2 !/«Мш = ( 2 жх„г
E.40)
2 ^Хи^иУи —^2 2 2Z/«M» = ( 2
1<«<JV ш=1 u=l 1<«<N
Тогда уравнения E.38) и E.39) могут быть записаны:
( 2 ъ*у$ = а\ + в* 2 h + c* 2 Vu + d* 2 ?«,
¦у у
) + 0* 2 ?i
isSi<a
* 2 U
E.41)
E-42)
x, v-
Эти уравнения отличаются от аналогичных уравнений D.86) и
D.87) лишь тем, что 2 жх«2/« и 2 ^Xu^u^/u заменены на
( 2 хЪиУи) и ( 2 хЪих\нМи) соответственно, а константы
А, В я т. д. — соответственно на А*, В* и т. д. Вследствие этого
для ^х и j$xii, аналогично D.95) и D.98), получим
о Гп/о f V V пп V / V V
\J А ~ I * %^ Л 1 / I *А/а. ли Lilt I X \_/О / I I / I |Л/ А1 j «л/ ** ч 11л/ч» I
— &1 2л \ 2л ХгиУи) ~Ь ^2 ^J ( ^J хгих$иУи) \ PQj
E.43)
344
2 V*)'- i5 [<?4 (C - ?>*) - <?3 (^ - G*)] X
«<IV
[( 2 ХЪиУи) + ( 2 ЧиУч) } +
P [Q, (C ~ Щ - Q^F* - G*)] [2B Х>.ахгиУи)' +
2B
2 ( 2
- 2 (C - Z)*) A2 + 2
X 2 ( 2
- G*) Д4] X
E.44)
где
* + (q -
* + (g - 2) D',
Q% = C- D', Q, = E*
<? = CiC4 - QtQ*
Ai - P4 [5*^4 - C2(C + (g - 2) D')l -
- i's [I>^4 - Qz BГ + (g - 3) G%
A2 - P2 [5^4 - ^2 (C* + (g - 2) D*)] -
- E* + 2 (g - 2)
- 4) F*-(q- 3) G',
A3 =
- Qi
(9 - 2) Z)*)] -
* + (q ~ 3) G')],
(g - 2) D')] -
Значение рю может быть получено подстановкой 2рг и 2р^
в E.36).
Полученные вышеописанным способом формулы могут быть
использованы для оценки параметров квадратичной модели E.29),
приближаемой по данным симплекс-симметричного плана в бло-
блоках, отвечающего условиям симметричности D.85) и условиям
E.35). Дисперсии и ковариации различных оценок модели E.29)
могут быть определены согласно методике, изложенной в [285].
345
Таблица 5.3
Схема дисперсионного анализа для симплекс-симметричного ~
- планирования второго порядка в t блоках
Источники дисперсии
Блоки
Регрессия
Неадекватность модели
Ошибка эксперимента
Итого
Число степеней свободы
t — 1
9 + Cl-i
N-riq + C*q + t] + l
N{r — i)
Nr — i
Рассмотрим схему дисперсионного анализа для случая при-
приведенной квадратичной модели и ггкратного повторения опытов
во всех N точках симплекс-симметричного плана в t блоках
(табл. 5.3). Для моделей второго порядка построим две группы
планов в блоках, удовлетворяющих условиям D.85) и E.35).
Плавы, получаемые подбором течек на симплексе. Рассмотрим
бинарные точки с равными пропорциями компонентов, формирую-
формирующие на каждой из С\ граней симплекса треугольники с вершина-
вершинами типа A/2, 1/2, 0, . . . , 0) (рис. 72). На сторонах этих треуголь-
треугольников берутся по две точки — одна из них удалена от вершины
(О/, 0,0)
(* 0,0,0)
Рис. 72. Расположение точек
четырехкомпонентного плана
на первой грани симплекса
рассматриваемого треугольника на расстояние Ир (р — положи-
положительное число), а вторая — от той же вершины на расстояние
(р — 1)р. Точки каждого треугольника разбиваются на две груп-
группы. Одна группа имеет координаты, получаемые в результате
циклической перестановки ненулевых составляющих вектора ко-
346
точек
/ 1 V — i in rv\
ординат точек типа I-у , 2 , -g— , 0, ..., 01, а другая
типа (-g-, у , P2 , 0,..., 0 J. Например, для грани, соответст-
соответствующей смеси первого, второго и третьего компонентов, получим
следующие группы точек:
I II
<Lt Rszlt J_o о) ' { { р~^
2 • 2р'
1 р— 1
~2р' 2р '
¦, 0 (
•у, 0,..., (
В [286] доказана теорема, согласно которой точки первых и
вторых групп всех граней удовлетворяют условиям D.85) и E.35)
и формируют план в двух блоках для исследования свойств сме-
смесей. Все ЪС\ точек первых групп формируют один блок, а ЗС|
точек вторых групп — другой.
Для равномерного исследования всей симплексной области и
получения необходимых для оценки ошибки эксперимента парал-
параллельных наблюдений к обоим блокам можно добавить необходи-
необходимые одинаковые точки из неохваченных экспериментом областей
симплекса. Эти точки должны быть выбраны таким образом, что-
чтобы не нарушались условия D.85) и E.35).
Расположение точек четырехкомпонентного плана (табл. 5.4)
на одной из граней симплекса при р = 3 показано на рис. 72.
Планы в блоках, получаемые посредством взаимно ортогональ-
ортогональных латинских квадратов. Положим имеется (q — 1) взаимно
ортогональных латинских квадратов q X q с элементами ри 1 ^
^ i <^ q (pi могут быть положительными целыми числами, вклю-
включая нуль). Тогда, если каждый элемент множества q — 1 взаимно
ортогональных латинских квадратов q X q разделим на 2 Ри
то множество (q — 1) взаимно-ортогональных латинских квад-
квадратов будет формировать план для исследования д-компонентной
смеси. Однако получаемые таким образом планы в общем случае
не являются планами в блоках и, кроме того, ввиду нарушения
условия симметричности D.85) оценка регрессионных парамет-
параметров по данным таких планов оказывается затруднительной. Поэ-
Поэтому даже при планировании без разбиения на блоки желательно
выбрать pt таким образом, чтобы полученные планы удовлетво-
удовлетворяли условиям D.85). Такие планы получим, если: 1) все р равны
нулю, кроме двух, например pt и р}; 2) все р равны нулю, кроме
трех, например рг, р} и ph и pt4= р&Ф Рп-
В [2861 доказано, .что (q — 1) взаимно-ортогональных
латинских квадратов q X q с элементами, разделенными на
347
Таблица 5.4
Расположение точек четырехкомпонентного плана для р = 3 в двух
блоках на гранях симплекса
Грани
1
2
Блок I
1/Р = 1/3
/1 2 1
U' 6' 6'
/2 1 1
U' 6' V
/1 1 2
\6' 2' 6'
/1 2
(г' 6' °-
/2 1
V6' 6' °'
(б' 2' °.
о)
о)
°)
1)
i)
I)
Блок II
(Р - D/P =
/1 1 2
\2' 6' 6'
/1 2 1
U' 6' V
/2 1 1
V6' 2' 6'
/1 1
U' 6' °'
/12
\6' 6' °'
/2 1 „¦
(б- 2' °.
2/3
о)
о)
»)
J)
J)
1)
Грани
3
4
A
Й.
A
(о,
(о.
(о,
Блок I
/Р =
о,
о,
о,
1
2'
2
6-
1
6'
= 1/3
2
6'
1
6'
1
2'
2
6'
1
6-
1
2'
1)
1)
-е)
1)
1)
1)
(Р
(|
A
(I
(°
(»
(»
Блок
. о,
, о,
, о,
1
1 2'
1
' 6'
2
' 6'
тт
' ^
1
6'
2
6'
1
V
1
6'
2
6'
1
2'
2/3
1)
1)
i)
i)
J)
l)
2 А» ГД& Рг выбраны согласно условиям 1) или 2), при нечет-
ных q формируют план в двух блоках, каждый из которых содер-
содержит (q — 1)/2 латинских квадратов.
Такой план для q = 5, pt = 1, р; = 2, ph = 3, pt = 0 (I Ф
Ф i, j, к) приведен в табл. 5.5.
Таблица 5.5
План в блоках, получаемый посредством взаимно-ортогональных латинских
квадратов для q = 5, р{ = 1, Pj = 2, pfc = 3, Pi—O(l=f=i,j, к)
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
Множество
1
2
3
0
0
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
2
3
0
0
1
I
2
3
0
0
1
1
2
3
0
0.
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
Множество
0
0
1
2
3
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
3
0
0
1
2
и
3
0
0
1
2
0
0
1
2
3
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
1/6
2/6
3/6
0
0
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
2/6
3/6
0
0
1/6
План
2/6
3/6
0
0
1/6
1/6
2/6
3/6
0
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
0
1/6
2/6
3/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
3/6
0
0
1/6
2/6
3/6
0
0
1/6
2/6
0
0
1/6
2/6
3/6
Задача оценки коэффициентов, элиминированных от эффектов
блоков, применительно к симплекс-решетчатым и симплекс-цент-
роидным планам рассматривалась в [283]. Применение BIB, PBIB,
цепных и других блок-схем при ограничениях на размер блока
дает возможность получить оценки коэффициентов регрессион-
регрессионной модели, элиминированные от эффектов блоков, однако в об-
общем случае вследствие неортогональности этих планов требует
решения громоздких нормальных уравнений в индивидуальном
порядке для каждого полинома и каждого плана.
Симплекс-центроидные и симплекс-решетчатые планы первого
и второго порядков обладают свойством, которое обеспечивает
сравнительно простой способ определения оценок коэффициентов
[283]. Математическая модель, соответствующая симплекс-цент-
роидному плану в блоках, в случае q компонентов имеет вид
уг = 2 hxi+ 2 Pij^+... + Pi2
E.45)
Для получения оценок коэффициентов E.45) по методу наимень-
наименьших квадратов с учетом влияния эффектов блоков на наблюденные
значения требуется минимизировать функцию
г, г
3, г
J_
E.46)
Если ввести обозначения
= 2 (г&--тР*—гв--гР*-*")''
К1, г
E.47)
то E.46) можно представить в виде
ф = фх + Ф2 + • • • + %¦
348
348
Нормальные уравнения для определения параметров E.45)
получим, взяв производные E.46) по параметрам и приравняв,
их нулю
дФ„
я
ля
ар12 ... q
,дФ
"Ptf... к
9-1
дФ
ар,
apt
^12... 9
9Ф9-1
<%...*
9Ф9-1
аФг
1 *,
+
+
аф„
dh...
П A
• •• +
/с
аФ„
ер,
aa>i
ЭC4
E.48)
Пусть теперь применяется неполноблочный план, в котором
элементами являются точки симплекс-центроидного плана, и по
соответствующим формулам вычислены скорректированные от эф-
эффектов блоков оценки соответствующих выходов. Тогда, исходя
из E.46) и E.48), можно записать
= Рг A < i < q),
2/гзскор == — Р< + — % + — ру A < i < / < q),
E.49)
2/12 - «скор =
1~|
Pia ...«.
откуда для оценок коэффициентов регрессии получим
E.50)
Ь ...;
скор
Следовательно, оценки коэффициентов модели E.45) вычис-
вычисляются по известным формулам для симплекс-центроидных пла-
планов D.66) с той лишь разницей, что вместо у в эти формулы под'
ставляются скорректированные значения у
350
Формулы для вычисления коэффициентов канонических поли-
полиномов первого и второго порядков по данным симплекс-решетча-
симплекс-решетчатых планов первого и второго порядков также идентичны извест-
известным формулам.
Элиминированные от эффектов блоков оценки коэффициентов
можно также получить, воспользовавшись приемом, предложен-
предложенным в [286] для симплекс-симметричных планов. Квадратичная
модель в смесевых переменных
У = 2 $\Хги + 2
E.51)
с учетом нормированности суммы переменных
сывается в q — 1 независимых переменных
2 «I-
г/ =
E-52)
где
bi;- = ру — p{g — piQ. E.53)
В (q — 1)-мерном пространстве независимых переменных реа-
реализуются факторные планы s9'1, обеспечивающие планирование
с разбиением на ортогональные блоки для модели E.52). Тогда
коэффициенты Ъ модели E.52) будут оценены независимо от эф-
эффектов блоков.
Так как параметры р модели E.51) являются линейными
комбинациями Ъ
= bt + b0 + bH, pM == by - bu — bi},
то также можно получить оценки параметров
от эффектов блоков.
E.54)
), элиминированные
§ 5.4. Планирование эксперимента
на предварительных этапах исследования сложных
систем, содержащих смесь
При планировании эксперимента на предварительных этапах
исследования сложных систем, содержащих смесь, должны учи-
учитываться характерные для данного этапа специфические особен-
особенности.
На предварительных -этапах должен осуществляться выбор
наиболее перспективной комбинации (или комбинаций) из мно-
351
Рис. 73. Геометрическая интерпретация плана для q = 3
а — при трех конкурирующих между собой веществах в качестве первого компонента;
б — при двух конкурирующих веществах, в качестве первого и трех —в качестве второ-
второго компонента
жества качественных и количественных факторов', варьируемых
на многих уровнях, для дальнейшего детального исследования,
а также отсеивание неперспективных комбинаций. Основные тре-
требования к планированию на этих- этапах: минимизация числа
опытов, т. е. сокращение перебора вариантов; композиционность
планирования; наличие (в случае необходимости, разработка)
методик статистического анализа экспериментальных данных.
Для сокращения числа опытов рекомендуется применение раз-
различных комбинаторных планов: латинских квадратов, прямоуголь-
прямоугольников, кубов, параллелепипедов; BIBD, PBIBD, цепных блок-
схем; совмещенных, комбинированных и т. д. планов в зависимо-
зависимости от конкретного характера решаемых задач. Желательно, чтобы
выбранные комбинаторные планы были композиционны к планам
на симплексе.
Композиционное планирование , позволяет начинать с мини-
минимального числа опытов и простых моделей и при необхо-
необходимости переходить к более сложным планам и моделям, сохра-
сохраняя предшествующие опыты. Одна из возможных схем компози-
композиционного планирования при числе компонентов q = 3 приведена
на рис. 73.
Кроме подбора оптимальной технологии (наиболее перспек-
перспективной комбинации некоторых качественных факторов, процесс-
переменных), выбора оптимальных добавок и т. д., во многих
практических задачах на первых этапах исследования требуется
также подобрать качественный состав исследуемой смеси. Подоб-
Подобные задачи возникают и при исследовании смесей без процесс-
переменных.
Подбор состава смеси в настоящее время, как правило, осно-
основывается на интуиции исследователя или теоретических предпо-
предпосылках. Выбор смеси наиболее перспективного состава при нали-
наличии некоторого множества компонентов представляет собой слож-
сложную задачу.
352
Часто задача ставится так, что необходимо выбрать один или
несколько компонентов из ряда конкурирующих (количество q
компонентов в смеси фиксируется заранее). Геометрическая ин-
интерпретация соответствующего плана для случая q = 3 при трех
конкурирующих между собой веществах в качестве первого ком-
компонента приведена на рис. 73, а, а для q = 3 при двух конкури-
конкурирующих веществах в качестве первого и трех — в качестве второго,
компонента — на рис. 73, б. В общем случае количество т срав-
сравниваемых симплексов равно произведению количеств конкури-.
рующих на место каждого из q компонентов веществ (для изобра-^
женного на рис. 73, б случая т = 2-3-1 = 6).
Возможны и другие подходы к определению . состава
смеси, например, на основе психологического эксперимента-
(§ 2.1).
Большой интерес вызывают работы, связанные с композицион-
композиционным планированием для смесей с качественными факторами [289J.
V2I2 и. Г Яедгинидзе
Заключение
За последние годы методы математического планирования
вксперимента нашли широкое применение при исследовании и
оптимизации свойств многокомпонентных систем.
Экспериментальные планы могут быть классифицированы по
различным признакам. В зависимости от задачи исследования,
свойств'объекта, математических предпосылок, наличия априор-
априорной информации и др. можно выбрать тот или иной класс планов
Для получения необходимой информации. Так, например, можно
рассматривать задачи оптимизации какого-нибудь одного выход-
выходного параметра или поиск условного экстремума с учетом огра-
ограничений на ряд других параметров, оптимизацию статических
объектов и планирование в динамических ситуациях. Следует
отметить, что число классифицирующих признаков достаточно
велико и создание единой системы классификации эксперименталь-
экспериментальных планов для математического описания и оптимизации слож-
сложных объектов представляет определенные трудности.
В зависимости от типа факторов планы для исследования много-
многокомпонентных систем в данной монографии разделены на планы
для исследования систем с количественными факторами, качест-
качественными факторами, систем, являющихся смесями компонентов,
и систем с разнородными факторами.
Целью исследования многокомпонентных систем является по-
получение адекватных моделей для описания свойств систем и опти>
мизация, заключающаяся в нахождении оптимальных комбина-
комбинаций для качественных факторов при неполном переборе и оптималь-
оптимальных пропорций смесевых и уровней несмесевых количественных
факторов.
В задачах описания в зависимости от степени имеющейся апри-
априорной информации порядок полинома может быть либо известен,
либо неизвестен. В первом случае, т. е. когда порядок полинома
задан, естественно выбрать план, реализация которого дает воз-
возможность при малом числе точек построить наиболее точную мо-
модель. В этом случае использование планов, обладающих свойст-
свойствами D- и G-оптимальности, позволи! строить полиномы с
минимальными ошибками оценок коэффициентов и минимальной
дисперсией предсказанного значения исследуемого свойства.
Однако порядок аппроксимирующего полинома не всегда из-
354
вестен точно, часто имеются лишь некоторые гипотезы о его виде.
Тогда в общем случае целесообразно применять планы, минимизи-
минимизирующие смещение. Что же касается планов на симплексе, то, если
порядок предполагаемого полинома низок, хорошие результаты
дает использование симплекс-решетчатых или D-оптимальных пла-
планов; для сложных поверхностей отклика лучше подойдут планы,
минимизирующие смещение, или симплекс-центроидные, так как
они позволяют приближать сложные поверхности отклика про-
простыми полиномами.
Если априори нет никаких гипотез об исследуемой поверхно-
поверхности отклика, то следует учесть особенности планируемого экспе-
эксперимента. Нетрудоемкие и непродолжительные во времени опыты
могут проводиться последовательно и применение в таком случае
композиционных планов дает возможность подобрать адекватную
модель. Если последовательный эксперимент невозможен, лучше
реализовать сразу план высокого порядка. В данном случае выиг-
выигрыш во времени компенсирует некоторые затраты на возможное
излишнее количество опытов.
Если описанные в данной монографии планы обеспечивают
оптимизацию какого-нибудь одного, признанного главным, вы-
выходного параметра без учета ограничений, накладываемых на дру-
другие свойства или отдельные факторы системы. В результате такого
искусственного упрощения исследуемой системы без ограничений,
полученное решение, являясь оптимальным в смысле данного
выходного параметра, может оказаться вовсе не оптимальным
в целом и даже неправильным по существу. Вышеуказанные за-
затруднения в определенной степени можно преодолеть, использо-
использовав обобщенный критерий оптимизации — функцию желатель-
желательности, учитывающую соотношения между значениями свойств
и их желательностью. Однако общим, более эффективным методом
решения задач на условный экстремум следует считать комбини-
комбинирование методов планирования эксперимента с методами матема-
математического программирования, методом неопределенных множи-
множителей Лагранжа и др. Однако рассмотрение этих вопросов выходит
за рамки данной книги.
12*
К
О
F-
S
О
и
к
я:
о
-j
D
С
5
;?
Число
степеней
S
500
200
100
о
in
о
-3*
о
со
а
1Л
о
X
t-
СО
in
-*
со
для зна-
знаменателя
см со - ^ ^ **.#.-
Ю "^S? CD Й S СМ О^ К
^- 00 Ю ЧГ СО СО СМ СМ
lo^SScoScmSK
^.оою^гсососмсм
СО lO lO CD -^ч -^ч [>- [>- <z?
lO -i.OcDvr[>"CMCn>[>-
^OOLO^rcOCOCMCM
LO '•'-О t— vr t— CO О CO
^ 00 l.0 vf ГО CO CO П
Ю *¦ lO ?- vr I- CO О СО
CM СП> - - ~ - r- ,- -
LO - tD O- t.C 00 CO О 00
NT ' -CD t^ io 00 ^ Vi Ci
^ X) Ю VT CO CO CO CM
(jO Nf CU <O ^J l>- vf II« *<T
"¦^ *-^D GO t-O CO *^Г -^ч О5
гч 00 Ю NT ГО -*С ^) М
S^c^
CS1 CM T-J
CN1CMCN1
gJ3co
Sijco
rj ?.1M
^ у §
2,66
2,53
2,43
CS1CN17V1
^JO-lCNl
Nf -L-^cO:u3C7:iHcMOo6t4-^b
^ ^ 00 l"*^3* CO "O rO CO
^^S Sic оЙ см о
^SoOLO^r^cococo
CM СП> - - -^ - * - -
-^ CO Ю vr VT CO CO CO
Nf -C— C^ t— О tO CO ¦*-
riOOiC vrvfrOCOCO
r^SP riOt^OoOQCC
Vf »GOOI> riCCO гя
rHOOtDNTSffOCOCO
О Vf" i.O v" CM I.O CO vr CO
CO -OOOOO^N^M
¦^-. J0cc-c-<rcococo
M 2 CO* CD ЧГ NT* CO* CO CO
co^-SSS'SSSK
v^ . _ T T .
CO -r-CvlO'OGl^ "^
"Nl C^] C4]
C4] C4] C4]
cSj ^. о
•.M rq П
?3 ^ ^.
CMCS1CS1
со г-а ^ч
CN1 -q -M
NT L^— < '
со см Тч!
coco и
rxiCNICNl
vr со oi
csi exj -га
XT CO CO
rxiCNICNl
со се о
О Nj* NT
CM ^ч ^.
ТЧ ^^.
t^ C-] 00
3 О G^
-xl ^\]
wO О
CICSJC-]
?2o
CM CM CM
cm2^
CM CM CM
CM CM CM
ЙсоЙ
»J ^, ^J
5rcoco
•M IN C-l CM CM CM CM CM Tvl
00
,84
00
Э0
-^
z> en
^1
2,03
о
CM
CM
CO
CM
~1
CO
CM
Si-
ooS
bog
,69
S CO 00
съ ос оо
XT 00 XT
О CT2 СЛ
CM
^^
о
О О СП СП
CM
CO
ri
00 lO ь [Г— О NT O5 i-C гнСО^:
CTi CO I> О Ф iQ •sT s? NT O0 ?0
CM ^J CM
cScc
[>- lO t^
О ~ OO
-M -M CN1 7^] CS1 СЧ
L-- О ^T
CO CM C^] CM CM CM
2oo^
-%- -^ -.]
So 8
-^з^сою-^сосососогосо
C^°l2co2S2ScD
^ 2 en ^ lo •* v+ со со
гнСОО - - - - -"^
CO CO CO
SoSjC
'N "N 'N
.O VD О
O31CE
CO Cxi M
1-6 LO LO
:m rvi см
¦JD CC LO
-^] -^J ^
У0 50 1^
CM
CM
CM СП)
vf CO
CM
in
CM
CO
t^
CM 7\1 CM Ol
SaS
•n
я
cq
Ю
CM
CM
00
о
CO
?
CM ,-,
о о
CM CM
^ -xl
CO 00
C^l Г1
см'счГ
гб см
CM 7M
-<r о
CO CO
о о
м см
Й О
C-I CM
00 t^
'So
о ro
en
о
CM
'-^
ё S й ^ со
^•-—1^.^
m о з; со tj
S S g g 4
x' i- -g 5 §
00 00 t^ CE lb
^-^•^•¦^^
аз ее t^ t^ S
SSSt2§
^^^•^^
oooioon
JioSSoo
сч см см см ^ —i
CM
•M
?i
CO
CM
CO
"x]
Ю
CO
^o
-<ГСО.~ОСОСОСОСОСОСОГОСОГОГОСО
О ^ CXI
cct-cc
CO
от
CO
CM
-^¦^
-
in0.01,00.
оз ее со en чгн
CM M CM ^н ^.
^1 ^1 *s' — '—
CM .XI ^. ^ о
CM CM C-] CM CM
cocoSSo
p^j ^j ^ ^ ^J
'-3 ^ CO CM 5
-O LO vr ГО Г-'
f\l CM CM СЧ C-J
S 3 S 3L^
^J ^j ^j ^J ^j
CO CO 3 5 С?
CM^
CO CM
^5 со
^^
CO Ю
^^
S?
^^
^^
00 CO
00 00
^^
CO 20
c: CO
§~
^.^
So
-xl -XI
S2
CM CM
Сл] CM
ci c-i
S3
о о
со го со со ro со со
^^
g 8
356
Таблица П, 1.2.
Значения ^-критерия (двухсторонний критерий)
Уровень значимости
0.10
0,05
0,02
0,01
o.noi
тепе-
оды
Уровень значимости
0,10
0,05
0,02
0,01
0,001
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
,83
,81
,80
,78
,77
,76
,75
,75
1,74
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
31,82
6,97
,4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
63,66
9,93
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
636,62
31,60'
12,94;
8,61
6,86
5
5
5
л
,4
,04
4,59
4,
4,32
4,2k
4,14
4,07'
4,02
3,9'
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4Q
60
120
оо
1,73
1,73
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
71
71
70
70
70
70
68
1,67
1,66
1,65
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,01
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,4')
2,48
2,43
2,47
2,47
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
2,88
2,86
2,85
2,83
2 8'
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
3,92
3,88
3,85
3,82
3,79
3,77
3,75
3,73
3,71
3,69
3,67
3,66
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
Т а 6 л 11 ц а П.. 1.3.
Значения f
0
3
4
5
6 >
7
8
9
10
11
— |
a
0,05
15,56
4,97.
3,56
3,01
2,78
2,62
2,51
2,43
2,37
2,33
0,02
38,97
8,04
5,08
4,10
3,64
3,36
3,18
3,05
2,96
2,89
0.01
77,96
11,46
0,53
5,04
4,36
3,96
3,71
3,54
3,41
3,31
11,1H5
779,7
36,5
14,46
Я, 13.
7,41'
6,37
5,73
5,31
5,01
4,79
Г
12
13
14
15
16
17
18
19
20
оо
у.
и,0,")
2,29
2,26
2,24
2 22
2,20
2,18
2,17
2,16
2,145
1 ,'.!()
0.U2
2,83
2,78
2,71
2,71
2,63
2,66
2,64
2,П2
2, l*>i 1
2,33
0,0]
3,23
3,17
3,12
3,03
3,04
3,01
3,00
2,95
2 93
2,58
0,00л
4,62
4,48
4,37
4,28
4,20
4,13
4,07
4,02
3,98
3,29
357
8
2
CD
о
500
о
со
581
о
сч
о
со
со
о
vf
о
о
с^
о
о
о
о
СП
in
•^ч
о
сч
833
о-
со
1П
о
см
t~
t~
00
о
9057
о
сч
о
о
m
t~
о
&
о
сч
со
333
о
403
о
on
М1
vr
О
со
СО
in
О
ю
сч
1-1
со
о
со
¦^ч
со
о
on
со
со
со
о
о
653
о
-^ч
со
о
-^ч
о
7457
о
СП
о
гп
г^
00
о
СП
СО
со
СП
о
СО
о
250
о
ГО
60S
о
о
со
о
со
со
СО
о
-1"
о
¦^ч
о
1П
о
1П
¦^ч
1П
о
ю
536
о
00
ю
ю
о
ю
^)
00
1П
о
6287
о
-^ч
$
со
о
СП
со
о
Й?
1-1
СП
о
о
я
о
СО
251
о
со
5D
о
о
1П
vr
со
СО
о
00
¦^ч
¦^ч
о
¦^ч
сч
о
00
СО
Nf
о
vp
in
vr
о
СО
00
t~
о
Й?
й
о
5441
¦о
-^ч
СП
1П
о
on
со
о
сч
-^ч
о
1П
со
со
-^ч
о
СП
211
о
сч
-^ч
со
сч
о
1П
СО
^41
СО
о
00
со
1П
СО
о
сч
со
СО
о
¦^ч
СО
о
3980
о
-^ч
VI*
о
! С—
. VI*
и*
1о
4803
о
-^ч
СО
1П
о
¦^ч
со
-^ч
со
о
00
о
со
СП
142
о
СО
СО
00
о
00
t~
сч
сч
о
СО
1П
t~
сч
о
VI*
¦^ч
СО
о
ОЗ
1П
сч
СО
о
vt*
00
СО
СО
о
1П
353
о
со
сч
t~
СО
о
СП
СО
о
4307
о
о
VI*
о
сч
-^ч
со
ю
о
-^ч
сч
о
1-1
сч
^ч
о
^ч
со
о
сч
сч
о
о
сч
со
vr
сч
о
сч
on
сч
о
t
со
сч
оэ
сч
о
со
о
СО
о
1П
00
^ч
СО
о
сч
со
СО
СО
о
СО
о
3910
о
СО
о
1П
^ч
ю
о
00
СП
со
о
00
^ч
^ч
о
со
144
о
<->
см
on
-^ч
о
со
сч
сч
сч
о
on
со
ю
сч
о
гп
ю
to
сч
о
on
со
сч
о
-^ч
290
о
со
о
СО
о
со
on
сч
СО
о
3584
о
сч
о
vr
о
ю
on
СО
о
СП
<-)
100
о
on
130
о
ю
ю
со
^ч
о
сч
со
о
о
со
со
сч
о
СП
о
-^ч
сч
о
со
266
о
со
сч
on
о
СП
сч
о
3311
о
со
со
t~
со
о
о
ю
vt*
о
о
сч
СО
о
о
-^ч
со
083
о
1100
о
со
^ч
о
1^
t~
^ч
о
о
см
Q
о
00
сч
о
t~
^ч
сч
о
СП
229
о
39.
сч
о
сч
8
о
2880
о
о
СП)
СО
о
о
•^¦1
ю
о
сч
о-
066
о
088
о
sf
-^ч
о
СП
сч
vr
^ч
о
t~
со
^ч
о
со
СО
t~
^ч
о
1П
-^ч
00
о
СП
-^ч
о
СО
о
сч
о
гп1
сч
о
2419
о
00
ю
сч
о
со
vt*
СО
СО
о
я
о
m
о
in
о
о
1П
067
о
СП
о
о
00
о
-^ч
о
со
о
со
-^ч
о
t~
со
^ч
о
см
сч
КГ
о
^ч
о
ю
о
см
о
СО
о
Й
^ч
о
1921
о
ю
о
сч
о
ю
о
t—
сч
о
СП
о
о-
S
о
о-
056
о
СО
о
о
сч
о
о
СО
-^ч
^ч
^ч
о
о
со
-^ч
^ч
о
со
¦^ч
сч
^ч
о
со
сч
-^ч
о
СО
^ч
о
СО
гп
vr
^ч
о
1656
о
1-1
СП
-^ч
о
V+*
1П
СО
сч
о
Nf
СО
Nf
СО
о
Si
СО
033
о
045
о
vf
о
со
о
о
t~
о
о
оз
о
о
00
1П
О5
о
о
сч
-^ч
о
со
о
-^ч
о
СО
-^ч
о
со
сч
о
1377
о
СО
ю
-^ч
о
о
00
оз
-^ч
о
оз
сч
оз
сч
о
8
0250
о
СО
о
о
сч
со
о
о
ю
СП
о
о
СО
-^ч
о
о
1П
о
о
<->
on
о
о
082
о
ОП
on
о
00
со
оэ
о
о
1082
о
оэ
ю
сч
-^ч
о
со
in
^ч
о.
о
СО
о
о
016
о
023
о
со
СО
о
о
о
о
О5
о
о
о
сч
1П
о
о
см
1П
1П
о
о
СО
00
1П
о
о
СО
сч
со
о
о
сч
00
со
о
о
0765
о
1П
оэ
00
о
о
СО
ч—1
о
СО
о-
•н
о
8
со
о
о
012
о
1П
со
о
о
00
-^ч
о
о
со
о
о
оэ
о
сч
оэ
сч
о
о
сч
031
о
f.
СО
СО
о
^ч
СО
о
о
0419
о
ю
оэ
о
о
сч
СО
со
о
о
00
О5
оз
о
о
120
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
8
Таблица П. 1.5.
Значения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Уровни значимости а
0,20 j
0,0642
0,446
1,005
1,649
2,343
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
6,989
7,807
8,643
9,467
10,307
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
15,445
16,314
17,187
18,062
18,940
19,820
20,703
21,588
22,475
23,364
о,ю 1
0,0158
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
18,939
19,768
20,59.)
0,05
0,00393
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
11,591
12,338
13,A91 '
13,848
14,011
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
0,02 I
0,000628
0,0404
0,185
0,429
0,752
1,134
1,564
2,032
2,532
3,059
3,609
4,178
4,765
5,368
5,985
6,614
7,255
7,906
8,567
9,237
9,915
' 10,600
11,293
11,992
12,697
13,409
14,125
14,847
15,574
16,306
0,01
0,000157
0,0201
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812 ^
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
13,565
14,256
14,953
358
359
T98
62
90
6T
S2
ТО
LZ
9Т
Ш
80
0\
ТО
ТТ
iO
82
iT
2Т
SO
60
62
20
26
ST
22
oe
ет
ео
Т2
те
8Т
92
02
90
02
ет
"то
9Т
26
8Т
те
i2
90
ш
60
62
82
2Т
60
ТТ
"го"
6Т
62
ST
ОТ
06
80
S2
US
22
п
,Т2
50
То
ТТ
ТО
ёо"
п
L\
22
ое
го
2Т
26
80
62
ОТ
8Т
02
9Т
iO
SO
60
ТО
6Т
i2
*2
52
82
ет
Т2
62
ST
те
90
92
82
90
ТО
62
i2
iO
6Т
2Т
iT
06
ТТ
20*
02
п
60
Т2
92
22
9Т
80
8Т
62
ео
ТО
26
52
п
те
so
от
ет
ST
ео
2Т
ет
90
50
ТТ
02
ST
6Т
60
то
9Т
92
82
ТО
0\
те
?2
iO
20
80
12
26
iT
oe
п
62
Т2
52
8Т
22
8Т
iT
92
ST
6Т
22
62
i2
52
ТТ
20
ОТ
90
2Т
26
ет
9Т
60
Т2
ТО
iO
80
те
02
то
06
62
п
ео
so
82
52
06
9Т
ео
20
so
62
то
ет
то
60
от
¦п
те
ТТ
26
82
62
2Т
22
Т2
LZ
90
п
8Т
iO
80
ST
iT
02
6Т
92
2Т
02
9Т
8Т
82
Т2
П
п
ТТ
SO
92
80
06
6Т
S2
ze
ST
90
ет
60
00
то
20
62
62
i2
0\
те
10
iT
то
22
62
9Т
60
2Т
80
92
Т2
6Т
56
8Т
ST
п
SO
20
ТО
LZ
22
ое
52
Ю
те
ТТ
90
02
от
п
Ь'Т
L\
то
60
62
82
ST
Т2
iT
ТО
12
90
п
20
01
22
82
02
YZ
ТО
6Т
SO
60
те
80
06
92
62
9Т
26
52
62
8Т
60
2Т
10
ет
ТТ
от
10
ет
82
ST
60
62
02
50
ТТ
ТО
ТО
80
6Т
i2
62
те
20
90
26
п
60
8Р
IT
9Т
06
2Т
S2
60
22
Т2
ОТ
Ю
60
ТО
22
8Т
50
62
06
те
iT
90
60
ет
20
S2
2Т
Т2
82
ST
п
6Т
п
02
62
i2
ТО
9Т
80
ТТ
92
ТТЛ20
0Т*90
92 Л SO
22
SO
6Т
62
824iQ
80
ТО
8Т
26
ет
20
i2>
9Т
60 <
ST
02
L0
52
ТО
06
62
6Т
те
ёо
Т2
06
от
26
02
80
!то
92
«ео
9Р
12
62
52
Щ
г\
si
ет
Т2
ZZ
60
82
п те
62+ТО
п
2Т
IT
$У
L\\
ТТ
92
То
ТТ
ОТ
90
80
52
02
20
62
Ш
те
06
so
то
i2
8Т
62
2Т
¦ёо
82
60
К
IT
6Т
22
26
9Т
?Т
ST
10
п
1Г9ЭИЬ ХМНИВЬ/ClfO
в 1i и if 9 в i
ЕЙ фНЭКЛВAф
09S
00
О-
'ло
- oo
O-
CDO
cococcco сососососососососососососососососососососо^^оэн^
Oi'OOc;' O-*
> 4^ cd to о со о
00
i o-
cDO
cococococococococococococococococococowojcocococo^^oi-^
i o-
xio
^^
00
? O-
'OO
to to to со со со со со со cococococo^^^rfN ^ 4>, ел слЬ^ аэооо cno-
COO=OOOlN2C0^4>,(^a=^^OOCDO^t04NCn-^toa3^00COtOOCDO
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОС04>,4>,<^ь-^
tolo CO CO CO CO СО СО СО СО~*СО Со"*4 4 4"^ 4"It 4^ 4"с дЪ^Ъ^Ъо О C~O
03-jT'^cocncna3^^yox'o
со со со со со со со со coco со со со со coco со со со со со со со со со 4^4^<тэ^
to"cOCOCO СО СО СО СО СО 4 4 4 4*4 4 ^^"^ 4Ч'сп С О= ОЭЬ "о " ~О
DtOCOCnJ^OO
JCOCOCOCOCOCOCOWCOCOCOCOCOCOCOCOC04^4^<73^
00
>'
o
^-
00
cococococococococococococococococococococococococo-^-4^a=^
o-i^-oow to'o со о
00
4 СЛ СЛ O^ ОЗ ОЭ ОЭ ОЭ *-J "•J "•J *-J *-J *"J "¦¦J *-J *-J *-J *-J *-J [O O^ l"^' 00 CO to О CD O1
COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCuCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOJ>4^Cj:i-:b
" ОЭ Ci 00 О СЛ ©~
^|iOOCOtOOCC10
4^ 4^ СП СЛ 0Э ОЭ ОО О СЛ OJ
ooootoa:'^oocotoocciO
00
и
я
в
ю
4
l
S
¦о
о
1
а
ю
8
Ятэ
я
g
я
а
а
=
и
и
аз
я
S
¦о
ю
я
-1
о
я
о
ч
я
¦в
¦в
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
СТАНДАРТНЫЕ СХЕМЫ
ЦЕНТРАЛЬНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ РОТАТАБЕЛЬНЫХ ПЛАНОЁ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таблица П.2.1
Матрица X центрального композиционного ротатабельного планирований
второго порядка для к = 2 [86J
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
План
5,
—1
1
-1
1
—1,414"
1,414
0
0
0
0
0
0
0
~х2
-1
-1
1
1
0
0
-1,414
1,414
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
- 0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
- 0
0
2
2
0
0
0
0
0
1
-1
—1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Выход
Y
Таблица П.2.2
Матрица X центрального композиционного ротатабельного планирования
второго порядка для к = 3 [86]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
План
X!
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1,682
1,682
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 '
х2
-1
-1
1
1 .
-1
-1
1
1
0
0
—1,682
1,682
0
0
0
0
0
0
0
0
Хз
-1
—1
-1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
-1,682
1,682
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2,828
2,828
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
~хё
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
2,828
2,828
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
2,828
2,828
0
0
0
0
0
0
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Х1Хг
•1
-1
1
-1
—1
1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ХгХа
1
1
-1
—1
—1
—1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Вы-
Выход
Y
362
Таблица П.2.3
Центральное композиционное планирование второго порядка
для к = 4 [86]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
План
Xi
—1
1
-1
1
—1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
Хг
—1
-1
1
1
—1
—1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
, 1
1
Хз
-1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
—1
—1
1
1
1
1
х4
-1
—1
-1
—1
—1
-1
—1
1
1
1
1'
1
1
1
1
Номер
опыта
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
План
Xi
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
х2
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Жз
0
0
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
2
0
0
0
0
0
0
0
Таблица П.2.4
Центральное композиционное ротатабельное планирование
второго порядка для к = 5 [86]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
План
-1
1
-1
1
1
1
^
1
—1
1
—1
1
-1
1
-1
1
Хг
-1
-1
1
1
—1
—1
1
1
-1
1
1
1
-1
-1
1
1
.Та
— 1
-1
-1
-1
1
1
1
1
—1
—1
-1
-1
1
1
1
1
X*
—1
л
-1
-1
-1
—1
^
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
—1
1
-1
1
1
-1
-1,
1*
1
—1
1
-1
-1
1
Номер
опыта
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
План
Xi
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
х2
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Хз
0
0
0
0
-2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
х.
0
0
0
0
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
13*
363
Таблица П.2.5
Центральное композиционное ротатаоельное цианирование второго
порядка для fe — 6 [86]
I!
к!
Да О
1
2
3
4
5
6
¦7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18-
19
20
21
22
23
24
25
26
План
Xi
—1
1
-1
1
-1
1
-1
1
—1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
—1
1
-1
1
-1
1
-1
1
Хг
-1
-1
1
1
—1
—1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
— 1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
xs
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
—1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
ХЛ
—1
-1
-1
-1
-1
-1
—1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
—1
-1
-1
—1
-1
-1
1
1
Xj
-1
-1
-1
—1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Я,
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
1
—1
1
—1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
t-ч О
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
т
47
48
49
50
51
52
53
План
X!
_!
1
-1
1
-1
1
—2,378
2,378
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 '
0
0
0
хг
1
1
—1
—1
1
1
0
0
—2,378
2,378
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
-2,378
2,378
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
-2,378
2,378
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
_
Хь
1
1
1
1
1
1
-.0
0
0
0
о
0
0
0
-2,378
2,378
0
о-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
_
X.
1
-1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2,378
2,378
0
0
0
0
0
0
0
0
0
364
Таблица П.2.6
Разбиение центрального композиционного планирования для fc = 2
на бк
Номер опыта
1
2
3
4
5
6
Xi
-1
1
-1
1
0
0
х2
-1
-1
1
1
0
0
Номер опыта
7
8
9
10
11
12
Х\
-1,4142
1,4142
0
D
0
0
Хг
0
0
-1,4142
1,4142
0
0
Таблица П.2.7
Ран биение центрального композиционного планирования для fe =? 3
яа блоки [86]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
Xi
—1
1
-1
1
0
0
Хг
-1
—1
1
1
0
0
Хз
1
-1
-1
1
0
0
Номер
опыта
7
8
9
10
11
12
Xt
-1
1
-1'
1
0
0
Хг
-1
—1
1
1
0
0
Хз
-1
1
1
-1
0
0
Номер
опыта
13
14
15"
16
17
18
19
20
XI
-1,633
1,633
0
0
0
0
0
0
Хг
0
0
-1,633
1,633
0
0
0
0
Х3
0
0
0
0
-1,633
1,633
0
0
Таблица П.2.8
Разбиение центрального композиционного планирования для fe = 4
на блоки [86]
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
XI
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
Хг
-1
Л
1
1
^
—1
1
1
0
0
Хз
J
-1
—1
—1
1
1
1
1
0
0
Xj
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
0
0
Номер
опыта
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
—1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
0
_
х2
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
0
Хз
—1
-1
-1
—1
1
1
1
1
0
0
Xt
1
-1
-1
1
—1
1
1
-1
0
0
Номер
опыта
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
_
Xi
-2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
Xt
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
Хз
0
0
0
0
-г'
2
0
0
0
0
X»
0
0
0
0
0
0
—2
2
0
0
365
Таблица П.2.9
Разбиение центрального композиционного планирования для к = 5
на блоки [86]
'Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8 ¦
9
10
11
12
13
14
15
16
Xl
л
1
-1
1
^
1
-1
1
-1
1
-1
1
л
1
-1
1
тг
_1
—1
1
1
-1
-Ч
1
1
-1
-1
1
1
^
-1
1
1
Хг
-1
— 1
—1
-1
1
1
1
1
-1
Л
-1
-1
1
1
1
1
х4
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
хь
1
—1
-1
1
-1
1
1
-1
1'
1
1
-1
1
-1
—1-
1
Номер
опыта
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Xl
0
0
0
0
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
х%
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
Хл
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—2
2
0
0
0
0
0
xt
0
0
0
0
0
0
0
0
0
О
0
0
-2
2
О
0
0
Xs
0
0
0
0
0
0
0
. '0
0
0
0
0
0
0
-2
2
0
Таблица П.2.10
Разбиение центрального композиционного плана для к = 6 на блоки [86]
X,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
'
:
—'.
1
—1
1
—1
1
-1
1
1
-1
1
0
0
0
0
¦
\
—'.
—1
1
1
-1
-1
1
1
—1
—1
1
1
0
0
0
0
-
—;
\
\
1
1
-1
Л
-1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
,
\
>
j
—\
—1
^
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
—1
1
1
-1
—1
1
1
^
-1
1
1
-1
0
0
0
0
-1
1
—1
1
1
1
—1
-1
—1
1
1
-1
-1
1,
.—1
-1
—1
-1
1
1
1,
1
1
-1
—1
-1
—1
'-¦1
—1
-1
-1
-1
о
о
о
_0
1
1
1
1
-1
-1
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1
1
1
-1
И
—1
1
-1
1
0
о
о
о
1
•1
1
1
1
-1
-1
1
1
о
о
о
о
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
о
о
о
о
'-1
1
1
1
1
1
1
1
1
о
о
о
о
1
-1
1
1
-1
1
1
1
1
о
о
о
о
-2,366
2,366
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
—2,366
2,366
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-2,366
2,366
.0
О
О
о
о -
о
о
о
о
о
о
о
—2,366
2,366
0.
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-2,3661
2,366
6
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
-2,366
2,366
О
О
РЕШЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
К таблице П.2.1:
У(И), где
bo =0,2%)-0,1
Ъг =0,125A?/),
Ьц = 0,125 (Ну) + 0,01875 J (пу) - 0,1 (Оу),
Ьу = 0,25A/»),
= 0,379. {»},
(".</)>
К таблице П.2.2:
Ьо = 0,166338 (Оу) — 0,056791
6; = 0,073224 (iy),
к
Ъц = 0,062500 (Ну) + 0,006889 У^ (Ну) — 0,056791 (Оу)'
i=l
Ъц = 0,125000 (ifу),
s{bi} = 0,271s {у}, s{&«} = 0,263s {у}, s{bij} = 0,354s {у}.
К таблице П.2.3:
Ъа =¦ 0,142857 (Оу) — 0,035714У (Ну),
h = 0,041667 (iy),
Ъц = 0,031250 (Ну) + 0,003720 У (Ну) — 0,035714 (Оу),
Ъц= 0,0625 (ifу),
s{b{} = 0,204s {?/}, s{bu} = 0,185s {у}, s{&ij} = 0,250s {у}.
К таблице П.2.4:
Ьо = 0,159091 (Оу) - 0,034091 J (Ну),
hi =0,041667(ij/),
6{j = 0,031250 (iJj/) + 0,002841 J1 (Jjj/) - 0,034091 (Оу),
hj= 0,0625 (J/j/),
s{6w} = 0,250s{j/}.
Я таблице Й.2.5:
Ьо = 0,110749 (Оу) — 0,018738У (Ну),
Ъг = 0,023087 (iy),
Ъи = 0,015625 (Ну) + 0,001217 J (Ну) - 0,018738 (Оу),
bi3-= 0,03125 (ifу),
s{k} = o,i52s {у}, s{&{i} = o,i3Os {у}, «{&«} = о,177в{»}.
367
К таблице П.2.6:
Ьо =0,25@»/) — 0,125 У (Ну),
\ = 0,125 (iy),
Ьц = 0,125 (%) + 0,03125У (Ну) - 0,125 (Оу),
s{60 = 0.354s {?/}, s{6«} = 0,395s {»/}, s{&ij} = 0
К таблице П.2.7:
bo = 0,165385 (Оу) —0,057692^J (iiy),
6» = 0,075 (iy),
Ъи = 0,070312 (Ну) + 0,005409 ^ («У) - 0,057692 (Оу),
Ь« = 0,125 (i/y),
s {Ьц) = 0,354s {у}.
К таблице П.2.8:
Ьо = 0,166667 (Оу) — 0,041667^(Ну),
bt =0,041667 (iy),
Ьц = 0,031250 (Ну) + 0,005208 ^ (Ну) - 0,041667 (Оу),
&*,- = 0,0625 (ify),
s{bt) = 0,204s {j/}, *{&и} = 0,191s {у}, *{bW} = 0,250s {у}
Л" таблице П.2.9:
¦ bo = 0,137255 (Оу) - 0,029412 ^J (Ну),
Ъг = 0,041667 (iy),
Ьи = 0,031250 (Ну) + 0,001838 ^J (iiy) - 0,029412 (Оу),
Ьц = 0,0625 (i/V),
s{6j} = 0,204s{»/}, *{6ii} = 0,182s {?/},
i3-} = 0,250s{»/}.
Л" таблице П.2.10:
bo =0,099600 (Oy)-0,0168922(»»/),
6i = 0,023148 (iy)t
Ьц = 0,015944 (<iy) + 0,000862^ (fit/) - 0,016892 (Oy),
b« = 0,03125 (i/V),
в{6{{} = 0,130s {?/}, e{bi,-} =
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПЛАНОВ,
МИНИМИЗИРУЮЩИХ СМЕЩЕНИЕ
Таблица П.3.1-
Планы, минимизирующие систематическое смещение
при q — 3, щ = 1, »ia = 2
МССЛ № 1
0,126
0,747
0,126
0,446
0,446
0,107
Хг
0,747
0,126
0,126
0,107
0,446
0,446
0,126
0,126
0,747
0,446
0,107
0,446
МССЛ № 2
Xi
0,113
0,775
0,113
0,460
0,460
0,079
0,333
0,775
0,113
0,113
0,079
0,460
0f460
0,333
Хз
0,113
0,113
0,775
0,460
0,079
0,460
0,333
м
х,
0,130
0,739
0,130
0,474
0,474
0,053
0,333
0,333
глл да
TI
хг
0,739
0,130
0,130
0,053
0,474
0,474
0,333
0,333
3
Хз
0,130
0,130
0,739
0,474
0,053
0,474
0,333
0,333
МССЛ № 1
0,089
0,822
0,089
0,486
0,486
0,029
0,333
0,333
0,333
0,822
0,089
0,089
0,029
0,486
0,486
0,333
0,333
0,333
1
X»
0,089
0,089
0,822
0,486
0,029
0,486
0,333
0,333
0,333
МССЛ № 5
XI
0,128
0,744
0,128
0,401
0,586
0,266
0,081
Хг
0,744
0,128
0,128
0,518
0,149
0,149
0,518
Хз
0,128
0,128
0,744
0,081
0,266
0,586
0,401
МССП № 6
ж,
0,128
0,744
0,128
0,559
0,107
0,203
0,464
хг
0,744
0,128
0,128
0,333
0,333
0,594
0,072
х3
0,128
0,128
0,744
0,107
0,559
0,203
0,464
368
МССЛ № 7
ж,
0,128.
0,744
0,128
0,384
0,580
0,282
0,086
хг
0,744
0,128
0,128
0,530
0,137
0,137
0,530
Хз
0,128
0,128
0,744
0,086
0,282
0,580
0,384
МССЛ № 8
х»
0,131
0,737
0,131
0,167
0,667
0,167
0,455
0,455
0,091
0,737
0,131
0,131
0,667
0,167
0,167
0,091
0,455
0,455
Хз
0,131
0,131
0,737
0,167
0,167
0,667.
0,455
0,091
0,455
МССЛ № 9
X»
0,091
0,818
0,091
0,475
0,475
0,050
0,400
0,400
0,200
0,818
0,091
0,091
0,050
0,475
0,475
0,200
0,400
0,400
0,091
0,091
0,818
0,475
0,050
0,475
0,400
0,200
0,400
369
о
ft
ев
О
О
cooooocooOoocsioooo^3gc
CDI>tC!C2CO5COCC0
МСОСО001ЛЮ00ЮЮСС
^^¦Hcocooccnot^ofoco
cooooococot>-oococococococo
00 O> O> CO CO i-O О CO O1 O> CO CO CO
со 00 с
со О с
с- ю с- ор
о
? sf О CO
^^^н^^нС>^]С>С^001>
COCOCOOOOOtCCOCOCOcDL—
^IM'rOOGCffOCOl
cocococcoooococccovj<c^]C-lvi<
LOCNICM00OO^-tv" ¦¦- — —-
со го с
о оо
r^MC^CO^COCOCOCO
OOOOCOOOO- OOt>-OOCOt>"COCOCO
OOOOCOOMOfO
t>-OO
^t^O^cDMCOcO^ClfOC
OOcCOCt>-OOCJ;oOCOt>"COoOCOC
ооомюсоо^юмосос
S
о.
CU
I
ев
I
s
s
s
я
a
о
о
¦а
о
о
м м ю со со го со со с
с^о^^оосооосо
юсм'псосогосососо
«hoic^cooooccococo
OOCOOnT*cOCOCO
0000000 oo
sf sf iTO CO CO
О О О t-(M (M CO
00 "ч-i чН t>> CD CD CO
l>OffCO
OOOCsl^
чН 00 "ч-i CD CD t
00000;
^Ю^гнО1^^МЛС0С0
OOCXIOOOO^OOCOOCXICOCO
OCOOMlO(NffOCOCO
oo о о оо оооо"
Г 00
HOO00iOt>t>sf
COOCS] vf(M vf vf о
о о о сГ<
^cgg5pooocococococococo
'О Kf СО СО СО
"о'сГсГоо'
O^CDCDCOCOOOCOCOCOCOCOCO
CSloOOO**t>"t>>COOOoOCOCOCO
OOOOCD-H-HOsfvfCOCOCO
Таблица П.3.2 (окончание)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
о
о,
о,
ысс
Xi
,210
,579
,210
,078
,844
,078
440
440
121
289
601
377
065
333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
х2
,579
,210
,210
,844
078
078
121
440
440
645
022
022
645
333
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Xt
,210
,210
,579
,078
,078
,844
,440
,121
,440
,065
,377
,601
,289
,333
MCC^ M 21
Xl
0,162
0,676
0,162
0,079
0,841
0,079
0,494
0,494
0,013
0,311
0,472
0,356
0,195
0,333
Хг
0,676
0,162
0,162
0,841
0,079
0,079
0,013
0,494
0,494
0,4p,5
0,172
0,172
0,4°5
0,333
ЗСз
0,162
0,162
0,676
0,079
0,079
0,841
0,494
0,013
0,494
0,195
0,3?6
0,472
0,311
0,333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Si
,152
,697
,152
,078
,844
,078
,493
,493
,013
,306
,503
,361
,164
,333
,333
MCCk № 22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Xi
,697
,152
,152
,844
,078
,078
,013
,493
,493
,531
,136
,136
,531
,333
,333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,152
,152
,697
,078
,078
,844
,493
,013
,493
164
361
503
306
333
333
Таблица П.3.3
Некоторые планы, минимизирующие общую ошибку при q = b F = 1,1)
A. 2)л из 6 точек
Эй
0,1056
0,7887
0,1056
0,4576
0,4576
0,0847
0,7887
0,1056
0,1056
0,0847
0,4576
0,4576
0,1056
0,1056
0,7887
0,4576
0,0847
0г4576
A, 2)к из 7 точек
Эй
0,0906
0,8188
0,0906
0,4730
0,4730
0,0539
0,3333
Хг
0,8188
0,0906
0,0906
0,0539
0,4730
0,4730
0,3333
0,0906
0,0906
0,8188
0,4730
0,0539
0,4720
0,3333
A, 2)к из 9 точек
XI
0,0682
0,8635
0,0682
0,4983
0,4983
0,0033
0,3333
0,3333
0,3333
Хг
0,8635
0,0682
0,0682
0,0033
0,4983
0,4983
0,3333
о;зззз
0,3333
0,0682
0,0682
0,8635
0,4983
0,0033
0,4983
0,3333
0,3333
0,3333
A, 2. 2)к из 10 точек
0,0624
0,8753
0,0624
0,4557
0,4557
0,0887
0,4557
0,4557
0,0887
0,3333
0,8753
0,0624
0,0624
0,0887
0,4557
0,4557
0,0887
0,4557
0,4557
0,3333
0,0624
0,0624
0,8753
0,4557
0,0887
0,4557
0,4557
0,0887
0,4557
0,3333
0
0
0
0
0
0
0
A, 3, l
Xl
,0561
,8877
,0561
,4184
,6508
,0474
,2482
Ok
0
0
0
0
0
0
0
из 13
Хг
,8877
,ОЬ61
,0561
,5658
,1009
,5658
,1009
точек
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о;
X»
0561
0561
8877
0158
2482
4184
6508
0
0
0
0
0
0
A, 3,
ЭЙ
,6171
,0495
,1695
,4972
,3333
,3333
4)к из i:
Хг
0,3333
0,3333
0,6610
0,0056
0,3333
0,3333
точек
0
0
0
0
0
0
ЭСз
,0495
,6171
,1695
,4972
,3333
,3333
372
Таблица П.3.4
Матрицы А = [(ХуХ)-1Хг']г Для некоторых планов МССЛ (т = 1, пч. = 2)
а.1
-0,246702
0,993904
-0,246702
0,392580
0,392580
—0,284659
Ог
МССП № 1
0,993904
-0,246702
-0,246702
-0,284659
0,392580
0,392580
as
-0,246702
-0,246702
0,993904
0,392580
—0,284659
0,392580
Ol
-0,235199
0,899519
-0,235199
0,360442
0,360442
—0,292620
0,142755
МССП № 2
0,899519
-0,235199
-0,235199
—0,292620
0,360442
0,360442
0,14275.r
a,
-0,235199
-0,235199
0,899519
0,360442
—0,292620
0,360442
0,142755
ai
—0,208772
0,845648
—0,208685
0,258521
0,574788
0,027083
-0,289184
a.
MCCn № 5
0,846038
—0,208720
—0,208720
0,459065
-0,173190
—0Д 73190
0,459065
a.
—0,208772
—0,208685
0,845648
-0,289184
0,027083
0,574788
0,258521
-0,208749
0,846275
-0,208954
0,529860
-0,244431
—0,080322
0,366607
аг
МССЛ № 6
0,846617
-0,208655
—0,208655
0,142959
0,142959
0,589615
-0,304589
а3
-0,208749
-0,208954
0,846275
-0,244431
0,529860
—0,080322
0,366607
"Таблица П.3.5
Матрицы А = [(ХТХ)-1ХТ]1' для некоторых планов MCCfc (па = 2, пъ = 3)
а,
0,098486
1,918094
0,098496
—0,267138
-0,267138
0,376039
-0,480384
-0,480384
0,052044
1,760611
0,052044
—0,134345
-0,134345
0,388531
-0,327846 J
-0,327846
-0,327846
аг
1,919094
0,098496
0,098496
0,376039
-0,267138
-0,267138
-0,480384
-0,480384
1,760611
0,052044
0,052044
0,388531
-0,134345
-0,134345
—0,327846
-0,327846
-0,327846
Оз
мсс,
0,098496
0,098496
1,918094
-0,267138
0,376039
-0,267138
—0,480384
^0,480384
МСС,
0,052044
. 0,052044
1,760611
—0,134345
0,388531
-0,134345
-0,327846
—0,327846
—0,327846
О12
с № 2
-3,597632
-3,597632
0,243292
—1,412976
4,955111
-1,412976
2,416235
2,416235
. № 3
-3,201594
—3,201595
0,33581,1
-1,612017
4,071415
—1,612017
1,739999
1,739999
1,739999
-3,597632
0,243291
—3,597633
—1,412976
—1,412976
4,955111
2,416235
2,416235
—3,201594
0,335811
—3,201595
-1,612017
—1,612017
4,071415
1,739999
1,739999
1,739999
Ol3
0,243291
—3,597632
-3,597632-
4,955111
-1,412976
—1,412976
2,4416235
2,416235
0,335811
—3,201595
—3,201595
4,071415
—1,612017
—1,612017
1,739999
1,739999
1,739999
373
Таблица П.3.5 (окончание)
at
0,104966
1,777188
0,104966
-0,212861
-0,212861
0,108354
-0,212861
-0,212861
0,108354
-0,352102
0,090342
1,617387
0,090342
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
1,777188
0,104866
0,104966
0,108354
-0,212861
-0,212861
0,108354
-0,212861
-0,212861
-0,352102
1,617387
0,090342
0,090342
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
MCCfc. № 10
0,104966
0,104966
1,777188
-0,212861
0,108354
-0,212861
-0,212861
0,108354
-0,212861
-0,352102
-3,454377
-3,454377
0,212776
—0,414104
3,278030
-0,414104
-0,414104
3,278030
—0,414104
1,793226
MCCfc № 13
0,090342
0,090342
1,617387
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
-0,150952
0,035014
-0,150952
—3,182106
—3,182106
0,218883
—0,164980
2,382504
—0,164980
—0,164980
2,382504
—0,164980
—0,164980
2,382504
—0,164980
-3,454377
0,212776
-3,454377
-0,414104
-0,414104
3,278031
-0,414104
-0,414104
3,278031
1,793226
-3,182106
0,218883
-3,182106
-0,164980
-0,164980
2,382504
-0,164980
-0,164980
2,382504
-0,164980
-0,164980
2,382504
0,212776
—3,454377
—3,454377
3,278031
-0,414104
—0,414104
3,278031
—0,414*04
—0,414104
1,793226
0,218884
-3,182106
-3,182106
2,382504
-0,164980
-0,164980
2,382504
-0,164980
-0,164980
2,382504
-0,164980
-0,164980
374
T a d л u ц a П.3.0
Матрицы Л = [(X^ X) 'X' \l для некоторых планов, минимизирующих
общую ошибку
ai
—0,2093
—0,2093
0 8186
0,3719
0,3719
—0,2438
A, 2) из шести точек
—0,2093
0,9186
—0,2093
0,3719
-0,2438
0,3710
а3
0,9186
—0,2093
-0,2093
—0,2438
0,3719
0,3719
о
0
\
—0
—0
0
-0
0
0
1
о
— 0
0
—0
—0
— 0
0
о
1
Q
— 0
0
—0
—0
—0
-0
10743
10743
77182
32533
32533
20982
51584
01968
01968
,47651
,05079
,05079
,269E0
,2280
,2280
,2280
дшл
,05981
,47928
,12144
,12144
,06904
,12144
,12144
,06804
,25141
0
1,
0
—0
0,
—0
-0
0
1
0
-0
0
—0
_ ()
—0
—0
0
1
0
о
0
—0
— 0
—0
—0
—0
Яг
10743
77182 .
10743
32533
20982
32533
54584
01968
47651
01968
05079
26969
05079
2280
2280
2280
,05991
,47928
,05991
,12144
,06904
,12144
,12144
,06904
,12144
,25141
A.
1,
0,
0,
0,
—о,
—о,
-о,
A, '•
1
0
0
0
—0
—0
—0
—0
—0
A, 2
1
0
0
0
—0
—0
—0
—0
—0
- 0
а3
11 г
2) из семи точек
77182
10743
10743
20982
32533
32533
54584
0,
—з,
—з,
5,
-0
_0,
¦>'
1) из девяти
47651
01968
01968
26969
05079
0507!)
2280
2280
2280
, 2) из
47928
05991
,05991
,06804
,12144
,12144
,06804
,12144
,12144
.25141
0
-2
2
3
— 1
1
1
1
08147
42619
42619
32833
77534
77534
99279
точек
27749
64584
64594
36495
33219
33219
43796
43786
43796
десяти точек
0
—2
-2
2
—0
—0
2
—0
—0
1
,17698
,8565
,8565
,7092
,3449
,3449
,7092
,3449
,3449
,4975
з
о!
-з,
-о,
5
—0
2
—2
0
—2
-1
3
-1
1
1
1
2
0
2
—0
2
— 0
—0
2
—0
1
in
42619
08147
42619
77534
32883
77534
99279
64594
27749
64504
33219
30495
33219
4379С
43796
43796
,8565
,17698
,8565
,3449
,7092
,3449
,3449
,7092
,3449
,4075
а2з
-3,42619
—3,42619
0,08147
—0,77534
—0,77534
5,32883
2,99279
-2,64594
—2,64594
0,27749
-1,33219
-1,33219
3,36495
1,43796
1,43796
1,43796
—2,8565
-2,8565
0,17698
—0,3449
—0,3449
2,7092
-0,3449
—0,3449
2,7092
1,4975
3.75
Таблица П.3.6 (окончание)
0
0
1
0
—0
—0
0
0
0
—0
-0
-0
-0
,10316
,10439
,21603
,17792
,20745
,18682
,25141
09277
15911
13016
09289
24374
24374
0
1
0
-0
0
0
—0
0
0
—0
—0
-0
—0
а,
A
,10316
,21603
,10439
,18682
,25141
,17792
,20745
,15911
,09277
13016
09289
24374
24374
¦ 3, i
1
0
0
0
-0
0
—0
-0
-0
0
0
-0
—0,
Оз
аи
4) из тринадцати точек
,21725
,10316
10316
03521
01769
03521
01769
23026
23026
28195
20743
24374
24374
0,00213
-2,5894,5
-2,58945
—0,47925
1,07082
—0,47925
1,07082
—0,94696
—0,94696
0,46941
2,64484
1,39168
1,39168
-2
-0
—2
—1
0
2
-1,
—о,
1,
0,
-о,
1,
1,
пи
58945
00433
5830
06798
32387
43456
50717
01425
86893
22479
86863
39168
39168
—2
—2
—0
2
—0
—1
0,
1
—о,
- о,
—0,
1
1,
ап
58945
5830
00433
4345
50717
06798
32387
86893
01425
22414
86863
39168
39168
376
Литература
ю.
и.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
R. A. Fisher, W. A. Mackenzie. Studies,in Crop Variation. II. The Manual
Response of Different Pateto Variaties.— J. Agric. Sci., 1923, 13, 311.
R. A. I isher. The Design of Experiments. London, Oliver and Boyd, 1960,
A ed.-1935).
F. Yates. A New Method of Arranging Variety Trials Involving a Large
Number of Variety.— J. Agric. Sci., 1936, 26, 424.
R. A. Fisher, F. Yates. Statistical Tables for Biological Agricultural and
Medical^Research. 5 ed. Edinburgh and London, Oliver and Boyd, 1957.
K. Kishen. On Latin and Hyper-Graeco-Latin Cubes and Hyper — Cubes.—
Current Sci., 1942, 98.
R. С Sose. Onthe Construction BIBD.— Ann. Eugenics, 1939, 9,
353.
R. C. Bose, K. R. Nair. Partially Balanced Incomplete Block Designs.—
Sankhya, 1939, 4, 337.
K. R. Nair, V. A. Rao. A General Class of Quasi Factorial Designs Lea-
Leading to Confounded Factorial Experiments.— Sci. and Culture, 1942, 7,
457.
R. С Bose, W. H. Glatworthy, S. S. Shrikhande. Tables of Partially Balan-
Balanced Designs with Two Associate Classes.— North Carolina Agric. Exper.
Stat. Techn. Bull., 1954, 107.
Г. Шеффе. Дисперсионный анализ. М., Физматгиз, 1963.
В. J. Winer. Statistical Principles in Experimental Design. McGraw-Hill,
1962.
Ч. P. Хикс. Основные принципы планирования эксперимента. М., «Мир»,
1967.
Д. Финни. Введение в теорию планирования экспериментов. М., «Нау-
«Наука», 1970.
В. В. Налимов. Применение математической статистики при анализе
вещества. М., Физматгиз, 1960.
E. В. Маркова. Неполноблочные планы. Препринт № 15. М., Изд-во
МГУ, 1970.
Руководство по применению латинских планов при планировании экспе-
эксперимента с качественными факторами (разраб. Е. В. Марковой). Челя-
Челябинск, Южно-Уральское книжное издательство, 1971.
F. Yates. The Design and Analysis of Factorial Experiments. Imp. Bur.
Soil Sci. Harpenden, England, 1937.
D. J. Finney. The Fractional Replication of Factorial Arrangements.—
Ann. Eugenics, 1945, 12, N 4, 291.
R. L. Plackett, J. P. Burman. The Design of Optimum Multifactorial Ex-
Experiments.— Biometrika, 1946, 33, N 4, 305.
В. В. Налимов. Еще раз о сравнении случайного поиска с методом гра-
градиента в симплекс-планировании.—«Заводская лаборатория», 1966, 32,
№ 7, 854.
G. Е. P. Box, К. В. Wilson. On the Experimental Attainment of Optimum
Conditions,— J, Roy. Statist, Soc, Ser. B, 1951, 13, N 1, 1.
377
22 M. Friedman, L. S. Savage. Selected Techniques of Statistical Analysis.
N. Y., McGraw-Hill Book Co. Inc., 1947.
23 G. E. P. Box, J. S. Hunter. Multii'actor Experimental Designs for Explo-
Exploring Response Surfaces.— Ann. Math. Statist., 1957, 28, N 1, 195.
24. R. M. De Baun. Block Effects in the Determination of Optimum Condi-
Conditions.— Biometrics, 1956, 12, N 1, 20.
25. В. В. Налимов, Н. А. Чернова. Статистические методы планирования
экстремальных экспериментов. М., «Наука», 1965.
26. В. В. Налимов. Теория эксперимента. М., «Наука», 1971.
27. /. Kiefer. Optimum Experimental Designs.— J. Roy. Statist. Soc, Ser.
B, 1959, 21, N 2, 272.
28. V. V. Nalimov, T. I. Golicova, N. G. Mikeshina. On Practical Use of the
Concept of D-Optimality.— Technometrics, 1970, 12, N 4, 799.
29. Ю. П. Адлер. Введение в планирование эксперимента. М., «Металлур-
«Металлургия», 1969.
30. Е. В. Маркова, Ю. П. Адлер. О принятии решении в неформализованных
ситуациях при планировании экстремального эксперимента.— Инфор-
Информационные материалы Научного совета по комплексной проблеме «Ки-
«Кибернетика» АН СССР. М., 1970, № 8 D5), 63.
31. В. В. Налимов. Статистические методы поиска оптимальных-условий
протекания химических процессов.—«Успехи химии», I960, 29, № 11,
¦ 1362.
32. В. В. Налимов. Статистические методы описания химичевких и метал-
металлургических процессов. М., Металлургиздат, 1963.
33. Ю. П. Адлер, Ю. В. Грановский. Обзор прикладных работ по планиро-
планированию эксперимента. Препринт № 1. М., Изд-во МГУ, 1967.
34. Планирование эксперимента. Литература на русском и украинском
языках за 1965—1969 гг. (I — III кв.), под ред. Ю. П. Адлера и
Л. М. Мильман. Государственная библиотека им. В. И. Ленина, информа-
информационно-библиографический отдел. М., 1969.
35. Планирование эксперимента. Список литературы на иностранных язы-
языках за 1965—1970 гг. (I кв.), под ред. Л. М. Мильман. Государственная
библиотека им. В. И. Ленина, информационно-библиографический от-
отдел. М., 1970.
36. Ю. В. 1 рано ее кий, Т. И. Мурашова, А. Б. Страхов и др. Планирование
эксперимента.— Библиография прикладных работ за 1966—1968 гг.
М., Изд-во МГУ, 1971.
37. Ю. П. Адлер, Ю. В. Грановский. Обзор прикладных работ по планиро-
планированию эксперимента. Препринт № 33. М., Изд-во МГУ, 1972.
38. R. Guerin. Vue d'ensemble sur Jes plans en blocs incomplete. Equilibres
et partiellement equilibre.— Rev. Internal. .Statist. Inst., 1965, 33, № 1,
24.
39. A. Herzberg, D. R. Cox. Recent Work on the Design of Experiments: a
Bibliography and a Review.— J. Roy. Statist. Soc, 1969, Ser. A, 132,
N 1, 29.
40. A. H. Лисенков, Е. В. Маркова, Ю. П. Адлер. О классификации экспе-
экспериментальных планов.— Информационные материалы Научного Совета
по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. М., 1970, № 8 D5),
21.
41. Н. Scheffe. Experiments with Mixtures.— J. Roy. Statist. Soc, 1958, Ser.
B, 20, N 2, 344.
42. H. Scheffe. The Simplex-Centroid Design for Experiments with Mixtu-
Mixtures.— J. Roy. Statist. Soc, Ser. B, 1963, 25, N 2, 235.
43. И. Г. Зедгинидзе. Математическое планирование эксперимента для ис-
исследования и оптимизации свойств смесей. Тбилиси, «Мецниереба»,
1971.
44. Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. Планирование экспе-
эксперимента при поиске оптимальных условий. М., «Наука», 1971.
45. В. В. Налимов, Т. И. Голикова. Логические основания планирования
эксперимента. Препринт № 20. М., Изд-во МГУД1971,
378
46. В. В. Налимов. Логические основания прикладной математики. Пре-
Препринт № 24. М., Изд-во МГУ, 1971.
47. G. E. P. Box. Response Surface.— International Encyclopedia of the So-
Social Science, v. 5, 1968, p. 245.
48. В. В. Федоров. Теория оптимального эксперимента (планирование ре-
регрессионных экспериментов). М., «Наука», 1971.
49. Bimal Kumar Sinha, Bikas Kumar Sinha. Comparison of Relative Effici-
Efficiency of Some Classes of Designs.— Calcutta Statist. Assoc Bull., 1969,
18, N 71—72, 97.
50. A. M. Kshirsagar. A Note on Incomplete Block Designs.— Ann. Math.
Statist., 1958, 29, N 3, 907.
51. V. L. Mote. On a Minimax Property of a Balanced Incomplete Block De-
Design.— Ann. Math. Statist., 1958, 29, N 3, 910.
52. Т. И. Голикова, H. Г. Микешина. Свойства В-оптимальных планов и ме-
методы их построения.— В сб. «Новые идеи в планировании эксперимента»
(под ред. В. В. Налимова). М., «Наука», 1969, 9.
53. Г. Крамер. Математические методы статистики. М., ИЛ, 1948.
54. А. Хальд. Математическая статистика с техническими приложениями.
М., ИЛ, 1956.
55. С. Уилкс. Математическая статистика. М., «Наука», 1967.
56. М. G. Kendall. Rank Correlation Methods. N. Y., Hafner Publ. Co., 1955.
57. Экспериментально-статистические методы получения, математического
описания и оптимизации сложных технологических процессов (ранговая
корреляция). Руководящие технические материалы, вып. 3, ОКБА,
НИИТЭХИМ. М., 1965.
58i Ю. П. Адлер, И. Ф. Александрова, Ю. В. Грановский и др. Об одном ме-
методе формализации априорной информации при планировании экспери-
эксперимента.— В сб. «Планирование эксперимента» (отв. ред. Г. К. Круг).
М., «Наука», 1966, 122.
59. Ф. С. Новик. Математические методы планирования экспериментов в ме-
металловедении. Разд. III: «Выбор параметров оптимизации и факторов»
(под ред. И. И. Новикова). М., Изд-во МИСиС, 1971.
60. Н. С. Дьякова. Опыт применения метода ранговой корреляции при ис-
исследовании сложного производственного процесса.— В сб. «Планиро-
«Планирование эксперимента» (отв. ред. Г. К, Круг). М., «Наука», 1966, 129.
61. L. С. Н. Tippett. Applications of Statistical Methods to the Control of
-j^u. Quality in Industrial Production.— Manchester Statist. Soc, .1934.
62. C. R. Rao. On Hypercubes of Strength and a System of Confounding in
Factorial Experiments.—. Calcutta Math. Soc Bull., 1946, 38, 67.
63. C. R. Rao. Factorial Experiments Derivable from Combinatorial Arrange-
Arrangements of Arryas. J. Roy. Statist. Soc, 1947, Suppl., 9, N 1, 128.
64. R. A. Fisher. The Theory of Confounding in Factorial Experiments in Re-
Relation to the Theory of Groups.— Ann. Eugenics, 1942, 11, N 4, 341.
65. R. C. Bose. Mathematical Theory of the Symmetrical Factorial Designs.—
Sankhya, 1947, 8, 107.
66. K. Kishen. Expression of Unitary Components of the Highest Order In-
Interactions in 36, 3s, 44 and 53 Designs in Terms of Sets for these Interac-
Interactions.— J. Indian Soc. Agric Statist., 1950, 11, 196.
67. С R. Rao. The Theory of Fractional Replication in Factorial Experi-
Experiments.— Sankhya, 1950, 10, 81.
68. O. L. Davies, W. A. Hay. The Construction and Uses of Fractional Facto-
Factorial Designs in Industrial Research.— Biometrics, 1950, 6, N 2, 233.
69. The Design and Analysis of Industrial Experiments. O. L. Davies (Ed.).
2nd ed. London and Edinburgh, Oliver and Boyd, 1956.
70. G. E. P. Box, J. S. Hunter. The 2k~p Fractional Factorial Des'igns, Part I.—
Technometrics, 1961, 3, N 3, 311.
71. S. Addelman. Orthogonal Main-Effect Plans for Asymmetrical Factorial
Experiments.—Technometrics, 1962, 4, N 1, 21.
72. R. С Bose, K. A. Bush. Orthogonal Arrays of Strength Two and Three.—
Ann. Math. Statist., 1952, 23, N 2, 508.
379
73. S. Addelman, 0. Kempthorne. Some Main-Effect Hwns and Orthogonal
Arrays of Strength Two.— Ann. Math. Statist., 1961, 32, N 4, 1167.
74. Т. H. Starks. A Note on Small Orthogonal Main-Effect Plans for Factorial
Experiments.— Technometrics, 1964, 6, N 2, 220.
75. S. Addelman. Techniques for Constructing Fractional Replicate Plans.—
J. Amer. Statist. Assoc, 1963, 58, N 301, 45.
76. G. E. P. Box, J. S. Hunter. The 2k~p Fractional Factorial Designs, Part
II.— Technometrics, 1961, 3, N 4, 449.
77. C. Daniel. Fractional Replication in Industrial Research.— Proc.' Third
Berkeley Sympos. Math. Statist, and Probability. Berkeley, 1956, 5; N 87.
78. C. Daniel. Sequences of Fractional Replicates in the 2P~4 Series.— J.
Amer. Statist. Assoc, 1962, 57, N 298, 403.
79. S. Addelman. Symmetrical and Asymmetrical Fractional Factorial Plans.—
Technometrics, 1962,4, N 1, 47.
80. R. C. Base, K. Kishen. On the Problem of Confounding in the General
Symmetrical Factorial Design.— Sankhya, 1940, 5, 21.
81. K. Kishen. On Fractional Replication of the General Symmetrical Facto-
Factorial Design.— J. Indian Soc. Agric. Statist., 1948, 1, 91.
82. O. Kempthorne. The Design and Analysis of Experiments. N. Y., John
Wiley and Sons, 1952.
83. /. M. Chakravarti. Fractional Replication in Asymmetrical Factorial De-
Designs and Partially Balanced Arrays.— Sankhya, 1956, 17, 143.
84. R. L. Plackett. Some Generalizations in the Multifactorial Design.— Bi-
ometrika, 1946, 33, N 3, 328.
85. S. Addelman, O. Kempthorne. Orthogonal Main-Effect Plans.— ARL 79,
United States Air Force, November 1961.
,JSj3. W. G. Cochran, G. M. Cox. Experimental Designs, 2nd ed. N. Y., John
Wiley and Sons, 1957.
87. W. S. Connor, S. Young. Fractional Factorial Designs for Experiments
with Factors at two and Three Levels. Nat. Bur. Standards, 1961, AppJ.
Math. Series, 58,1961.
88. /. C. R. Li. Design and Statistical Analysis of Some Confounded Factorial
Experiments.— Iowa Agric. Exper. Stat. Res. Bull., 1934, 333.
89. K. R. Nair, C. R. Rao. Confounded Designs for Asymmetrical Factorial
Experiments.— Sci. and Culture, 1942, 7, 313.
90. K. R. Nair, С R. Rao. Confounded Designs for the kxpmxqn... Type of
Factorial Experiments.— Sci. and Culture, 1942, 7, 361.
91. M. Zelen. The Use of Group Divisible Designs for Confounded Asymmetri-
Asymmetrical Factorial Arrangements.— Ann. Math. Statist., 1958, 29, N 1, 22.
92. K. B. Nair, C. R. Rao. Confounding in Asymmetrical Factorial Experi-
Experiments.— J. Roy. Statist. Soc, Ser. B, 1948, 10, N 1, 109.
93. P. W. M. John. Three-Quarter Replicates of 24 and 25 Designs.— Biomet-
Biometrics, 1961, 17, N 3, 319.
94. K. S. Benerjee. A Note on the Fractional Replication of Factorial Arrange-
Arrangements.— Sankhya, 1950, 10, 87.
95. S. Addelman. Irregular Fractions of the 2™ Factorial Experiments.— Tec-
Technometrics, 1961, 3, N 4, 479.
96. W. T. Federer. A One-Righth Replicate of a 2» Factorial, BU-42-M of the
Biometrics Unit. Dept Plant Breeding, Cornell Univ.
97. C. Daniel. Fractional Replication in Industrial Experimentation, Trans.
Eleventh Annual Convention Amer. Soc. Quality Control., 1957, 229.
98. O. Dykstra. Partial Duplication of Factorial Experiments,— Technomet-
Technometrics, 1959, 1, N 1, 63.
99. M. S. Patel. On Constructing the Fractional Replicates of the 2m Designs
with Blocks.— Ann. Math. Statist., 1962, 33, N 4, 1440.
100. M. S. Patel. Partially Duplicated Fractional Factorial Designs.— Techno-
Technometrics, 1963, 5, N 1, 71.
101. P. W. M. John. Augmenting 2й'1 Designs.— Technometrics, 1966, 8, N 3,
360
102. /. S. Hunter. Sequential Factorial Estimation.— Technometrics, 1964,
6, N 1, 41.
1#8. A. H. Лисенков. Последовательное планирование эксперимента при ис-
использовании ортогональных матриц.— Труды МЭИ, вып. 67. М., 1966.
104. P. W. M. John. Three-Quarter Replicates of 2Д Designs.— Biometrics,
1962, 18, № 2, 172.
105. В. Г. lopcKuu, В. З.Бродский. Нерегулярные реплики факторного экс-
эксперимента 2«.— В сб. «Новые идеи в планировании эксперимента» (под
ред. В. В. Налимова). М., «Наука», 1969, 118.
106. М. Morrison. Fractional Replication for Mixed Series.— Biometrics, 1956,
12, N 1, 1.
107. R. С Bose, W. S. Connor. Analysis of Fractionally Replicated 2m3nDe-
signs.— Bull. Inst. internet, statist., 1960, 37, livr. 3, 3.
108. W. S. Connor. Fractional Factorial Experiment Designs of Mixed 2m3n
Series.— Industr. and Engng Chem., 1960, 52, N 6, 69 A.
109. W. S. Connor. Constructionof Fractional Factorial Designs of the Mixed
2"'3n Series. Contributions to Probability and Statistics. Stanford Univ.
Press, 1960, p. 168.
110. /. W. Tukey. Little Pieces of Mixed Factorials (Abstract).— Biometrics,
1959, 15, N 4, 641.
111. F. Yates. Complex Experiments. J. Roy. Statist. Soc, 1933, Suppl. 2,
N-l, 184.
112. H. Hotelling. Some Improvements in Weighing and Other Experimental
Techniques.— Ann. Math. Statist., 1944, 15, N 2, 297.
113. R. E. A. C. Paley. On Orthogonal Matrices.— J. Math, and Phys., 1933,
12, 311.
114. D. Raghavarao. Some Optimum Weighing Designs.— Ann. Math. Statist.,
1959, 30, N 2, 295.
115. K. Kishen. On the Design of Experiments for Weighing and Making Other
Types of Measurements.— Ann. Math. Statist., 1945, 16, N 2, 294.
116. A. M. Mood. On the Hotelling Weighing Problem.— Ann. Math. Statist.,
1946, 17, N 3, 432.
117. S. R. Webb. Some New Incomplete Factorial Designs (Abstract).— Ann.
Math. Statist.; 1962, 33, N 2, 296.
118. F. E. Satterthwaite. Random Balance Experimental Designs. Trans. 1957
Middle Atlantic Conf. ASQC, Philadelphia, Febr. 1967.
119. F. E. Satterthwaite. Random Balance Experimentation.—Technometrics,
1959, 1, N 2, 111.
120. T. A. Budne. SQC Can Be Made More Effective.— Industr. Quality Con-
Control., 1958, 15, N 6, 10.
121. T. A. Budne. Random Balance. Part I. The Missing Statistical Link in
Fact Finding Techniques.— Industr. Quality Control, 1959, 15, N 10, 5.
122. T. A. Budne. Random Balance. Part II. Techniques of Analysis.— Industr.
Quality Control, 1959, 15, N 11, 11.
123. T. A. Budne. Random Balance. Part III. Case Histories.— Industr. Qua-
Quality Control, 1959, 15, N 12, 16.
124. T. A. Budne. Application of Random Balance Designs.— Technometrics,
1959, 1, N 2, 139.
125. F. J. A.nscombe. Quick Analysis Methods for Random Balance Screening
Experiments.— Technometrics, 1959, 1, N 2, 195.
126. Д. К. Ллойд, М. Липов. Надежность: организация исследования и мате-
математический аппарат. М-> «Советское радио», 1964.
127. Discussion of the Papers of Messrs. Satterthwaite and Budne.— Techno-
Technometrics, 1959, 1, N.2, 157.
128. Л. Д. Мешалкин. К обоснованию метода случайного баланса.— «За-
«Заводская лаборатория», 1970, 36, № 3, 316.
129. /. W. Tukey. A Quick Compact Two-Sample Test to Duckworth's Specifi-
Specifications.— Technometrics, 1959, 1, N 1, 39.
130. И. Г. Зедгинидзе. К вопросу статистической оптимизации сложных тех-
381
нологических процессов и многокомпонентных систем.— Труды проб-
проблемной лаборатории АВТ ГПИ, Тбилиси, 1967, 173.
131. И. Г. Зедгинидзе. Оптимизация технологических процессов (на груз,
языке). Тбилиси, «Мецниереба», 1969.
132. В. П. Бородюк, Г. К. Круг. Некоторые вопросы организации экспери-
эксперимента по сбору статистического материала.— Труды МЭИ, вып. 51. М.,
133. Экспериментально-статистические методы получения математического
описания и оптимизации сложных технологических процессов, РТМ,
вып. 2, ОКБА, НИИТЭХИМ, М., 1964.
134. И. Г. Зедгинидзе. Оптимизация процесса производства наконечников
термопар погружения.— Труды проблемной лаборатории АВТ ГПИ.
Тбилиси, 1971, 167.
135. Р. И. Слободчикова, В. Л. Фрейдлина, 3. С. Лапина и др. Повышение
эффективности метода случайного баланса.—«Заводская лаборатория»
1966, 32, № 1, 53.
136. Л. А. Барский, Ю. Б. Рубинштейн, Р. И. Слободчикова и др. Сравни-
Сравнительный анализ алгоритмов выделения значимых факторов флотацион-
флотационного процесса йетодом случайного баланса.—«Заводская лаборатория»,
1968, 34, № 5, 564.
137. 3. С. Лапина, Р. И. Слободчикова. Случайный баланс. Ветвящаяся стра-
стратегия.— В сб. «Программы по математической статистике для ЭВМ
Минск-22» (под ред. Г. Н. Веселой).- М-, «Гиредмет», 1969, 148.
138. 3. С. Лапина, Р. И. Слободчикова. Оптимальные матрицы планирования
случайного баланса.— В сб. «Программы по математической статистике
для ЭВМ Минск-22» (под ред. Г. Н. Веселой). М., «Гиредмет», 1969, 185.
139. С. Н. Li. A Sequential Method for Screening Experimental Variables.—
J. Amer. Statist. Assoc, 1962, 57, N 298, 455. '
140. G. E. P. Box. The Exploration and Exploitation of Response Surfaces:
Some General Considerations and Examples.— Biometrics, 1954, 10,
141. G. E. P. Box, P. V. Youle. The Exploration and Exploitation of Response
Surfaces: An Example of the Link Between the Fitted Surface and the Ba-
Basic Mechanism of the System.— Biometrics, 1955, 11, N 3, 207.
142. S. H. Brooks, M. R. Mickey. Optimum Estimation of Gradient Direction
in Steepest Ascent Experiments,— Biometrics, 1961, 17, N 1, 48.
143. Г. А. Лахтин, О. А. Руденко. Опыт применения математически обосно-
обоснованного планирования экспериментов.— Бюл. науч.-техн. информ.
ЦНИИолово.М.,'1961, № 3, 30.
144. Experimental Designs in Industry. V. Chew (Ed.). London, John Wiley
and Hall, 1958.
145. S. Brooks. Comparison of Methods for Estimating the Optimal Factor Com-
Combination. Sci. fi. Thesis, Johns Hopkins Univ., 1955.
146. S. H. Brooks. A comparison of Maximum-Seeking Methods.— Operat. Res.,
1959, 7, N 4, 430.
147. R. Vaswani. Sequential Decisioning Technique for Optimization of Com-
Complex Systems.— J. Industr. Engng, 1956, 7, N 4, 174.
148. E. В. Маркова. Сравнение симплексного планирования с методом Бокса-
Уилсона на примере химической реакции —«Заводская лаборатория»
1965, 31, № 7, 836. .
149. С. Н. Johnson, J. L. Folks. A Property of the Method of Steepest Ascent.—
Ann. Math. Statist., 1964, 35, N 1, 435.
150. И. Г. Зедгинидзе. Связанное планирование эксперимента и оптимизация
сложных технологических процессов.— В сб. «Управляющие вычисли-
вычислительные машины и системы». М., «Энергия», 1967, 232.
151. G. H. Li. Worksheet Gives Optimum Conditions.— Chem. Engng, 1958,
65, N 4, 151. вв..
'152. Д. Дж. Уайльд. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967.
153. /. Kiefer. Sequential Minimax Search for a Maximum.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1953, 4, 502.
154,
155.
156,
157;
158.
159.
160.
161.
162.
163.
*164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
A. И. Бояринов, В. В. Кафаров. Методы оптимизации в химической тех-
технологии. М., «Химия», 1969.
X. Розенброк, С. С тори. Вычислительные методы для инженеров-хими-
инженеров-химиков. М., «Мир», 1968.
И. Г. Зедгинидзе, Ш. С. Лобжанидзе.,06 одном алгоритме регулирования
шага в оптимизационных процедурах.— Сообщение АН ГССР, 1970,
58, № 2, 409.
Ш. С. Лобжанидзе, И. Г. Зедгинидзе. Регулирование длины шага в не-
некоторых процедурах поиска экстремума.— Труды XV научно-техничес-
научно-технической конференции Грузинского политехнического института, вып. 17.
Тбилиси, 1970, 54.
W. Spendley, G. R. Hext, F. R'.Himsworth. Sequential Application of Sim-
Simplex Designs in Optimization and Evolutionary Operations.— Technomet-
rics, 1962, 4, N 4, 441.
B. Г. Горский, В. З. Бродский. Симплексный метод планирования экс-
экстремальных экспериментов.—«Заводская лаборатория», 1965, 31, № 7,
831.
И Г. Зедгинидзе. О симплексном планировании эксперимента.— Труды
ГПИ. Тбилиси, 1966, № 5, 191.
В. Г. Горский, В. 3. Бродский. Некоторые вопросы применения симплекс-
планов.—«Заводская лаборатория», 1968, 34, № 7, 838.
В. Г. Горский, В. 3. Бродский. О симплекс-планах первого порядка и
связанных с ними планах второго порядка":— В сб. «Новые идеи в
планировании экспериментТШ (под ред. В. В. Налимова). М., «Наука»,
1969, 59. "~""""- -
П. В. Ермуратский. Симплексный метод оптимизации.— Труды МЭИ,
вып. 67. М., 1966, 29.
Экспериментально-статистические методы получения математического
описания и оптимизации сложных технологических процессов (Сим-
(Симплексный ме*од планирования экспериментов), РТМ, вып. 4, ОКБА,
НИИТЭХИМ. М., 1968.
Ф. Я. Изаков. Об одном практическом приеме симплекс-планирования
при поиске оптимальных режимов технологических процессов.—«За-
процессов.—«Заводская лаборатория», 1971, 37, № 3, 330.
/. A. Nelder, R. Mead. A Simplex Method for Function Minimization.—
Computer J., 1965, 7, 308.
П. В. Ермуратский. Модификации симплексного метода оптимизации.—
Труды МЭИ, вып. 68. М., 1969, 121.
А. А. Орехов, С. И. Корнилова. Оптимизация процесса с помощью слу-
случайного симплекса с учетом веса функции отклика в его вершинах.—
«Заводская лаборатория», 1969, 35, № 3, 326.
М. J. Box. A New Method of Constrained Optimization and a Comparison
with Other Methods.— Computer J., 1965, 8, N 1, 442.
D. A. Paviani, D. M. Himmelbau. Constrained Nonlinear Optimization
by Hewristic Programming.— Operat. Res., 1969, 17, N 5, 872.'
H. V. Hartley. Smallest Composite Designs for Quadratic Response Sur-
Surface.— Biometrics, 1959, 15, N 4, 611.
W. J. Westlake. Composite Designs Based on Irregular Fractions of Facto-
Factorials.- Biometrics, 1965, 2, N 2, 324.
Т.'И. Голикова, В. В. Федоров, Л. С. Николаеваъщ?. Сравнение компози-
композиционных планов второго порядка, построенных на и-мерном шаре.—
В сб. «Новые идеи в планировании эксперимента» (под ред. В. В. Нали-
Налимова). М., «Наука», 1969, 154.
И. Г. Зедгинидзе. Исследование симметричных неортогональных цен-
центральных композиционных планирований второго порядка.— Труды
ГПИ. Тбилиси, 1968, № 6, 64.
И. Г. Зедгинидзе. Ортогональные центральные композиционные плани-
планирования второго порядка.— Труды ГПИ. Тбилиси, 1969, № 1, 61.
R. M. De Baun. Block Effects in the Determination of Optimum Conditb
ons,— Biometrics, 1956, 12, N 1, 20.
3§3
177. R. L. Carter. New Designs for the Exploration of Response Surfaces.
Ph. D. Thesis. Univ. North. Carolina, Chapel Hill, 1957.
178. R. С Bose, N. R. Draper. Rotatable Designs.of Second and Third Order
in Three or More Dimensions. Inst. Statist. Mimee Series, N 197, Chapel
Hill, Univ. North Carolina, 1958.
179. R. M. De Baun. Response Surface Designs for-Three Factors at Three Le-
Levels.— Technometrics, 1959, 1, N 1, 1 corrections, 419.
180. G. E. P. Box, H. L. Lucas. Design of Experiments in Non-Linear Situati-
Situations.— Biometrika, 1959, 46, N 1, 77.
181. R. С Bose, R. L. Carter. Complex Representation in the Construction of
Rotatable Designs.— Ann. Math.. Statist., 1959, 30, N 3, 771.
182. R. С Bose, N. R. Draper. Second Order Rotatable Designs in Three Di-
Dimensions.— Ann. Math. Statist., 1959, 30, N 4, 1097. .
183. N. R. Draper. Second Order Rotatable Designs in Four or More Dimensi-
Dimensions.— Ann. Math. Statist., 1960, 31, N 1, 23. \
184. O. Dykstra. Partial Duplication of Response Surface Designs.— Techno-
Technometrics, 1960, 2, N 2, 185.
185. M. N. Das. Construction of Rotatable Designs from Factorial Designs.—*
J. Indian Soc. Agric. Statist., 1961, 18, 169.
186. M. N. Das, V. L. Narasimham. Construction of Rotatable Designs through
Balanced Incomplete Block Designs.— Ann. Math. Statist., 1962, 33, N 4,
1421. '
187. G. E. P. Box, N. R. Draper. The Choice of a Second Order Rotatable De-
Design.— Biometrika, 1963, 50, N 3/4, 335.
188. A. K. Nigam, M. N. Das. On a Method of Construction of Rotatable De-
Designs with Smaller Number of Point Controlling the Number of Levels.—
Calcutta Statist. Assoc. Bull., 1966, 15, 147.
189. M. N. Das, A. Dey. Group-Divisible Rotatable Designs.— Ann. Inst.
Statist. Math., 1967, 19, 331.
190. A. Dey, A. K. Nigam. Group Divisible Rotatable Designs — Some Furt-
Further Considerations.— Ann. Inst. Statist. Math., 1968, 20, 477.
191. M. N. Das, A. Dey. Corrections to «Group Divisible Rotatable Designs».—
Ann. Inst. Statist. Math., 1968, 20, 337.
192. /. S. Mehta, M. N\ Das. Asymmetric Rotatable Designs and Orthogonal
Transformations.— Technometrics, 1968, 10, N 2, 313.
193. A. M. Herzberg. The Behaviour of the Variance Function of the Diffe-
Difference Between Two Estimated Responses.— J. Roy. Statist. Soc, Ser. B,
1967, 29, N 1, 174.
194. A. M. Herzberg. A Method for the Construction of Second Order Rotatable
Design in к Dimensions.— Ann. Math. Statist., 1967, 38, N 1, 177.
195. N. R. Draper, A. M. Herzberg. Further Second Order Rotatable Designs.—
Ann. Math. Statist., 1968, 39, N 6, 1995.
196. A. K. Nigam, A. Dey. Four and Six Level Second Order Rotatable
Designs.— Calcutta Statist. Assoc. Bull., 1970, 19, 155.
197. A. M. Herzberg. Cylindrically Rotatable Designs of Types 1, 2 and 3.—
Ann. Math. Statist., 1967; 38, N 1, 167.
198. A. M. Herzberg. Correction to: «Cylindrically Rotatal)le Designs of types
1, 2 and 3».— Ann. Math. Statist., 1970, 41, N 1, 326.
199. G. E. P. Box, D. W. Behnken. Simplex-Sum Designs. A Class of Second
еЩ Order Rotatable Designs Derivable from Those of First Order.— Inst.
Statist. Mimeo Series N 232, North Carolina State College Raleigh, 1959.
200. G. E. P. Box, D. W. Behnken. Simplex-Sum Designs. A Class of Second
'* Order Rotatable Designs Derivable from Those of First Order.— Ann.
«Sf Math. Statist., 1960, 31, N 4, 838.
201. В. И. Чугунов, В. 3. Бродский, В. Г. Горский. Об одном методе компо-
композиционного построения ротйтабельного симплексно-суммируемого плана
второго порядка.—«Заводская лаборатория», 1969, 35, № 3, 323.
202. М. А. Векслер, В. Г. Горский, В. 3. Бродский. Экспериментальная про-
проверка ортогонального насыщенного плана первого порядка и несиммет-
384
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
2 23.
224.
ричного -симплексно-суммируемого плана второго порядка.— «Завод-
«Заводская лаборатория», 1970, 36, № 5, 578.
:; /. Kief if, I, WolfowitzV Optimum Designs in Regression, Problems.—
Ann. Math. Statist., 1959, 30, N 2, 271. '
i. J. Kiefer. Optimum Experimental Design's V, with Applications to Sys-
Systematic and Rotatable Designs.— Proc. 4-th Berkeley Sympos. on Math.
Statist, and Probability, 1961, 1, 381.
. /. Kiefer, J. Wolfowitz. The Equivalence of Two Extremum Problems.—
Canad. J. Math., 1960, 12,.N 3, 363.
. /. Kiefer. Optimum Designs of Regression Problems, II.— Ann. Math.
Statist., 1961, 32, N 1, 298.
. /. Kiefer. On the Nonrandomized Optimality and Randomized Non,opti-
mality of Symmetrical Designs.— Ann. Math. Statist., 1958, 29, N 3; 675,
. P. G. Hoel. Efficiency Problems in Polynomial Estimation.— Ann. Math.
Statist., 1958, 29, N 4, 1134.
. P. G. Hoel. Optimum Designs for Polynomial Extrapolation.— Ann. Math.
Statist., 1965, 36, N 5, 1483.
. P. G. Hoel. Minimax Designs in Two Dimensional Regression.— Ann.
Math. Statist., 1965, 36, N 4, 1097.
. Kono Kazumaza. Optimum Design for Quadratic Regression on the k-cu-
be.— Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., 1962, A 16, 114.
. P. G. Guest. The Spacing of Observation in Polynomial Regression.—
Ann. Math. Statist., 1958, 29, N1, 294.
. R. H. Parrel, J. Kiefer, A. Walbran. Optimum Multivariate Designs.—
Proc. 5-th Berkeley Sympos. onMath. Statist, and Probability, 1967, 1, 113.
S. Karlin, W. Studden. Optimal Experimental Designs.— Ann. Math.
Statist., 1966, 37, N 4, 783.
,-И.Н. Вучков, Г. К. Круг. Применение метода непрерывного планирова-
планирования для получения D-оптимальных планов.— В сб. «Проблемы плани-
планирования эксперимента» (под ред. Г. К. Круга). М., «Наука», 1968, 69.
И. Н. Вучков, Г. К. Круг. D-оптимальные экспериментальные планы.—
В сб. «Математическое описание и оптимизация многофакторных процес-
процессов» (под ред. Г. К. Круга). Труды МЭИ, вып. 68. М., 1969, 5.
И. Н. Вучков, П. В. Ермуратский, Г. К. Круг и др. Об одном алгоритме
получения .D-оптимальных планов.— В сб. «Математическое описание
и оптимизация многофакторных процессов» (под ред. Г. К. Круга). Тру-
Труды МЭИ, вып. 68. М., 1969, 20.
С. Н. Соколов. Непрерывное планирование регрессионных эксперимен-
экспериментов.— В кн. «Теория вероятностей и ее применение», часть первая, 8,
вып. 1, 1963, 95; часть вторая, 8, вып. 3, 1963, 318,
И. С. Дубова, Т. В. Пцкиаладае, В. В. Федоров. Таблицы оптимальных
планов I (непрерывные ZJ-оптимальные планы). Препринт № 16. М.,
Изд-во МГУ, 1970.
Т. И. Голикова, Н. Г. Микешина, В. В. Налимов и др. Построение на ку-
кубе планов второго порядка, близких к D-оптимальным.—«Заводская
лаборатория», 1967, 33, № 7, 847.
П. Ф. Андрукович, Т. И. Голикова, С. Г. Костина. Планы второго поряд
ка на гиперкубе, близкие по свойствам к D-оптимальным.— В сб. «Но-
«Новые идеи в планировании эксперимента» (под ред. В. В. Налимова). М.,
«Наука»; 1969, 140.
Т. И. Голикова, Н. Г. Микешина. Сравнение D-оптимальных планор
второго порядка на m-мерном шаре с ротатабельными планами Бокса.—
«Заводская лаборатория», 1967, 33, № 5, 591.
В. Т. Горский, В. 3. Бродский. Регрессионный анализ при композици-
композиционном планировании второго порядка специального вида.;— Информа-
Информационные материалы Научного совета по комплексной проблеме «Кибер-
«Кибернетика» АН СССР. М., 1970, № 8 D5), 35.
В. Г. Горский, В. 3. Бродский. О регрессионном анализе^при планирова-
планировании второго порядка.—«Заводская лаборатория», 1972, 38, № 1, 61.
385
'225. Й. Г. Зедгинидзе. Исследование поверхности отклика в почти стацио-
стационарной области. Труды ГПИ. Тбилиси, 1969, № 3 A31), 74.
226. /. Von.JHaller, G. Nussberger, В. И. Messlkommer. Die numerische Auswer-
tung statistischer Versuchsplane im Rahmen der Box-Wilson'schen Metho-
de unter Benutzung der elektronischen Datenverarbeitungsanlage IBM
650.— Helvet. Chim. Acta, 1961, 44, N 2, 461.
227. D. A. Gardiner, A. H. E. Grandage, R. J. Hader. Third Order Rotatable
Designs for Exploring Response Surfaces.— Ann. Math. Statist., 1959, 30,
N 4, 1082.
228. N. R. Draper. Third Order Rotatable Designs in Three Dimensions.—
Ann. Math. Statist., 1960, 31, N 4, 865.
229. N. R. Draper. A Third Order Rotatable Designs in Four Dimensions.—
Ann. Math. Statist., 1960, 31, N 4, 875.
230. N. R. Draper. Third Order Rotatable Designs in Three Dimensions: Some
Specific Designs.— Ann. Math. Statist., 1961, 32, N 3, 910. ч
231. N. R. Draper. Third Order Rotatable Designs in Three Factors: Analysis.
Technometrics, 1962, 4, N 2, 219.
232. A. M. Herzberg. Two Third Order Rotatable Designs in Four Dimensi-
Dimensions.— Ann. Math. Statist., 1964, 35, N 1, 445.
233. И. Г. Зедгинидзе, Н. А. Вепх-еадзе. Планирование эксперимента для
описания технологических процессов полиномами третьей степени.—
Труды Проблемной лаборатории АВ.Т ГПИ. Тбилиси, 1671, 53.
234. И. Ф. Петерсен, К. Пукк. Об оптимальном планировании регрессионных
экспериментов третьей степени в сфере.— Изв. АН Эст. ССР, Физ.-ма-
тем., 1970, 19, № 1, ИЗ.
235. Т. В. Тийтс, И. Ф. Петерсен. Регрессионные планы третьего порядка
для круга с малым количеством экспериментов.—«Заводская лаборато-
лаборатория», 1971, 37, № 1, 55.
236. И. И. Вучков, Г. К. Круг, Э. К. Лецкий и др. D-оптимальные планы для
кубической регрессии.—«Заводская лаборатория», 1971, 37, № 7, 815.
237. //. А. Вепхвадзе, И. Г. Зедгинидзе. Ротатабельные планы четвертого
порядка.— Труды Проблемной лаборатории АВТ ГПИ. «Техническая
кибернетика», № 3. Тбилиси, 1972, 17.
238. И. Г. Зедгинидзе, Н. А. Вепхвадзе. О ротатабельных планах четвертого
порядка.— Информационные материалы Научного совета по комплекс-
комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР, «Некоторые вопросы планирова-
планирования эксперимента». М., 1972, 21.
239. W. Т. Federer. Experimental Design. N. Y., Macmillan, 1955.
240. M. Холл. Комбинаторный анализ. М., ИЛ, 1963.
241. Д. Дюге. Теоретическая и прикладная статистика. М., «Наука»,
1972.
242. Е. В. Маркова. BIB-схемы в планировании эксперимента.—«Заводская
лаборатория», 1970, 36, № 7, 819.
243. М. Холл. Блок-схемы., Прикладная комбинаторная математика. Сб. под
ред. Э. Беккенбаха. М., «Мир», 1968.
244. Е. В. Маркова, Л. И. Обищенко, М. К. Виноградова и др. Применение
неполноблочных сбалансированных планов при разработке рецептур
для полимерных комбинаций.—«Заводская лаборатория», 1970, 36,
№ 10, 1227.
245. D. В. Duncan. Multiple Range and Multiple F-Tests.— Biometrics, 1956,
N 11.
246. H. С. Курнаков. Введение в физико-химический анализ. М.—Л., Изд-во
АН СССР, 1940.
247. В. Я. Аносов, С. А. Погодин. Основные начала физико-химического ана-
анализа. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1947.
248. С. С. Лавров. Применение барицентрических координат для решения не-
некоторых вычислительных задач.— Журнал вычислительной математики
и математической физики, 1964, 4, № 5, 905.
249. P. J. Claringbold. Use of the Simplex Design in the Study of Joint Action
of Related Hormones.— Biometrics, 1955, 11, N 2, 174.
386
/. W. Gorman, J. E. Hinman. Simplex Lattice Designs for Multicomponent
Systems.— Technometrics, 1962, 4, N 4, 463.
If. С. Лобжанидзе, И. Г. Зедгинидзе. Об оптимальном распределении
лараллельных наблюдений по точкам плана.— Труды Проблемной лабо-
лаборатории АВТ ГПИ, «Техническая кибернетика», № 3. Тбилиси, 1972,
32.
'D P Lambrakis. Experiments with p-Component Mixtures.— J. Roy.
Statist. Soc, Ser. B, 1968, 30, N 1, 123.
Ф. С. Новик. К вопросу о возможностях использования метода симплекс-
симплексных решеток для изучения диаграмм состояний.—«Заводская лаборато-
лаборатория», 1968, 34, № 10, 1223.
Т. А. Чемлева, Ф. С. Новик. Планирование экспериментов при изучении
диаграмм состав — свойство и диаграмм состояния.— Информационные
материалы Научного совета по кибернетике АН СССР. М, 1969, № 10
' B3), 38.
Ф. С. Новик. Математические методы планирования экспериментов в ме-
металловедении. Разд. IV: «Планирование экспериментов при изучении
диаграмм состав — свойство» (под ред. И. И. Новикова). М., Изд-во.
МИСиС, 1971.
56. Н. Г. Микешина. Планирование экспериментов на симплексе (изучение
свойств смеси).— В сб. «Новые идеи в планировании экспериментов»
(под ред. В. В. Налимова). М., «Наука», 1969, 177.
57. Т. А. Чемлева, Н. Г. Микешина. Применение симплекс-решетчатого
планирования при исследовании диаграмм состав — свойство.— В сб.
Г «Новые идеи в планировании экспериментов» (под ред. В. В. Налимова).
М., «Наука», 1969, 191.
,258. Ш. С. Лобжанидзе, |Г Г. Зедгинидзе. К вопросу определения дисперсии
предсказанного значения функции отклика при симплекс-центроидиом
' планировании эксперимента.— Труды проблемной лаборатории АВТ
ГПИ, «Техническая кибернетика», № 3. Тбилиси, 1972, 39.
259. /'. S. Murty, M. N. Das. Design and Analysis of Experiments with Mix-
Mixtures.— Ann. Math. Statist., 1968, 39, N 5, 1517.
260. Ш. С. Лобжанидзе, И. Г. Зедгинидзе. О некоторых специфических пла-
планах изучения свойств' смесей..— Труды XV научно-технической конфе-
конференции ГПИ, вып. 17. Тбилиси, 1970, 64.
261. Н. Uranisi. Optimum Design for the Special Cubic Regression on the q-Sim-
) plex,— Math. Repts, I, 7—12, General Ed. Dept. Kyushu Univ.
262. G. L. Atwood. Optimal and Efficient Designs of Experiments.— Ann.
Math. Statist., 1969, 40, N 5, 1570.
263. Л. IF. Комиссарова, Т. А. Чемлева, В. М. Шацкий и др. Оптимальное
планирование экспериментов при исследовании диаграмм состав —
двойство.- ДАН СССР, 1970, 191, 611.
264. О. Г. Касаткин. К вопросу о построении D-оптимальных планов на
симплексе.— В сб. «Применение математических методов для исследо-
исследования многокомпонентных систем». М., «Металлургия», 1974, 43.
265. О. Г. Касаткин. Композиционные квазиоптимальные планы третьего
и четвертого порядка на симплексе.— В сб. «Применение математичес-
математических методов для исследования многокомпонентных систем». М., «Метал-
«Металлургия», 1974, 64.
266. G. E. P. Box, N-. R. Draper. A Basis for the Selection of a Response Sur-
Surface Design.— J. Amer. Statist. Assoc, 1959, 54, N 287, 622.
267. N. R. Draper, W. Lawrence. Mixture Designs for Three Factors.— J. Roy.
Statist. Soc, Ser. B, 1965, 27, N 3, 450.
268. N. R. Draper, W. Lawrence. Mixture Designs for Four Factors.— J. Roy.
Statist. Soc, Ser. B, 1965, 27, N 3, 473.
269. N. G. Becher. Models for the Response of a Mixture.— J. Roy. Statist.
Soc, Ser. B, 1968, 30, N 2, 349. , h
270. H. В. Габашвили, Ш. С. Лобжанидзе, И. Г. Зедгинидзе. Множественное
симплекс-решетчатое планирование эксперимента.— Сообщения АН
Груз. ССР, 1970, 60, № 2, 417.
387
271. И. Г. Зедгинидзе, Ш. С. Лобжанидае. Об одном алгоритме описаний
свойств смесей при наличии подкомпонентов.— Труды проблемной лабо-
лаборатории АВТ ГПИ. Тбилиси, 1971, 89.
272 D. P. fjambrakis. Experimentation with Mixtures: A Generalization of the
Simplex-Lattice Design.— I. Rpy»-Statiat. Soc, Ser, Bv 1968,30, N 1, Ш.
273. D. P. Lambrakis. Experimentation with Mixtures: Estimated Regression
Function of the Multiple-Lattice Design.— J. Roy. Statist. Soc, Ser. B,
1969, 31, N 2, 276.
274. Ш. С. Лобжанидае, Г. С. Гвердцители, Й. Г. Зедгинидзе. Исследование
плавкости трехкомпонентной флюсующей добавки эмали R2O.A12O3—
FejOs — SiO2 методами математического планирования эксперимента.—
Труды проблемной лаборатории АВТ ГПИ. Тбилиси, 1971, 188.
275. /. S. Kurotori. Experiments with Mixtures of Components Having Lower-
Bounds,— Industr. Quality Control., 1966, 22, N 11, 592.
276. R. A. McLean, V. L.Anderson. Extreme Vertices Design of Mixture Expe-
Experiments.— Technometrics, 1966, 8, N 3, 447.
277. W. J. Daimond. Three Dimensional Models of Extreme Vertices Designs
for Four Component Mixtures.— Technometrics, 1967, 9, N 3.
278. 0. 0. Kenworthy. Factorial Experiments with Mixtures Using Ratios.—
Industr. Quality Control, 1963, 19, N 12, 24.
279. И. Г. Зедгинидае. Планирование эксперимента при использовании от-
отношений.— Труды проблемной лаборатории АВТ ГПИ, Тбилиси, 1971,
183.
280. И. Г. Зедгинидае, И. В. Гоюберидае. Поиск экстремума в многокомпо-
многокомпонентных системах.— Труды проблемной лаборатории АВТ ГПЙ, «Тех-
«Техническая кибернетика», № 3. Тбилиси, 1972, 279.
281. Н. В. Гогоберидае, И. Г. Зедгинидае. О градиентном методе поиска экс-
экстремума в симплексной системе ко&рдинат.— Сообщения АН Груз. ССР,
1972, 67, № 2, 417, .
282. Н. В. Гогоберидае, И. Г. Зедгинидае. Планирование эксперимента при
независимых и смесевых количественных переменных.— Труды Проб-
Проблемной лаборатории АВТ ГПИ, «Техническая кибернетика», № 3. Тби-
Тбилиси, 1972, 74.
283. Н. В. Гогоберидае, И. Г. Зедгинидае. Анализ и планирование эксперимен-
эксперимента для смесевых или смесевых и независимых переменных при наличии
качественных факторов.— Труды проблемной лаборатории АВТ ГПИ,
«Техническая кибернетика», № 3, Тбилиси, 1972, 85.
284. И. Ф. Петерсен, Я. П. Куке. Метод прямых произведений для построе-
построения планов регрессионных экспериментов.—«Заводская лаборатория»,
1971, 37, № 1, 57.
285. /. S. Murty. Problems of Construction and Analysis of Designs of Expe-
Experiments, Ph. D, Dissert. Delhi Univ., 1966.
286. A. K. Nigam. Block Designs for Mixture Experiments.— Ann. Math. Sta-
Statist., 1970, 41, N 6, 1861.
287. Т. А. Чемлева. Частично совмещенные планы на симплексе.— В сб.
«Применение математических методов для исследования многокомпо-
многокомпонентных систем». М., «Металлургия», 1974, 52.
288. Т. А. Чемлева, Ю. П. Адлер. Планирование эксперимента при построе-
построении диаграмм состав — свойство (обзор).— В сб. «Применение матема-
математических методов для исследования многокомпонентных систем». М.,
«Металлургия», 1974, 11.
289. Т. А. Чемлева, Е. В. Маркова, В. С. Рубин. Композиционное, планиро-
планирование для трехкомпонентных смесей с качественными факторами.— В сб.
«Применение математических методов, для исследования многокомпонен-
многокомпонентных систем». М., «Металлургия», 1974, 69.
Оглавление
ясловис 3
цение 5
ва 1
новные понятия математического планирования эксперимента 12
1.1. Факторы, параметры оптимизации и модели 13
1.2. Планирование эксперимента 17
|: 1.3. Редергаация эксперимента . . . , 31
§ 1.4. Обработка результатов эксперимента . .,. ^ 36
|Глава 2
Планирование эксперимента с независимыми количественными фак-
факторами 49
Щ\ 2.1. Выделение существенных переменных многокомпонентных сис-
систем 49
§ 2.2. Достижение почти стационарной области 88
§ 2.3. Планирование эксперимента для описания почти стационарной
области 112
Глава 3
Планирование эксперимента с качественными факторами 150
§ 3.1. Однофакторные эксперименты 150
§ 3.2. Многофакторные эксперименты 158
§ 3.3. Дробные планы многофакторных экспериментов 169
§ 3.4. Применение неполноблочных схем в планировании экспери-
эксперимента для исследования качественных факторов 178
Глава 4
Планирование эксперимента на диаграммах состав — свойство 186
§ 4.1. Симплекс-решетчатые планы 188
§ 4.2. Симплекс-центроидные планы 215
§ 4.3. Симплекс-симметричные планы 221
¦ § 4.4. Планирование с ненулевым относительным содержанием ком-
компонентов , . 228
§ 4.5. D-оптимальные планы на симплексе 232
§ 4.6. Планы, минимизирующие смещение 252
§ 4.7. Планирование эксперимента при наличии подкомпонентов . . 290
§ , 4.8. Планирование эксперимента методом «псевдокомпонентов» . . 303
389
§ 4.9. Планирование е предварительной трансформацией симплекс-
симплексной подобласти 305
§ 4.10. Планы, использующие вершины исследуемой области .... 310
§ 4.11. Планы, использующие отношение концентраций компонентов 316
§ 4.12. Поиск экстремума на диаграммах состав—свойство ...... 320
Глава 5
Планирование эксперимента для изучения сложных систем, содержа-
содержащих смесь 330
§ 5.1. Планирование эксперимента при независимых и смесевых ко-
количественных переменных ' 331
§ 5.2. Планирование эксперимента для смесевых или смесевых и
независимых переменных при наличии качественных факторов 338
§ 5.3. Планирование эксперимента для изучения сложных систем,
содержащих смесь, при наличии источников неоднородности 341
§ 5.4. Планирование эксперимента на предварительных этапах иссле-
исследования сложных систем, содержащих смесь 351
Заключение 354
Приложения .. 356
Литература 377
Ираклий Георгиевич Зедгинидзе
Планирование эксперимента
для исследования
многоко таюнентных систе л
Утверждено к печати
Науч}шм советом
по комплексной проблеме «Кибернетикам АН СССР
Редактор издательства В. В. Ященко
Художник В. В. Фироова
Художественный редактор А. Н. Жданов
Технический редактор В. В. Волкова
Корректор К. В. Кастрова
Сдано в набор 15/XII 1975 г. Подписано к печати 3I/V 1;>'В
Формат 60х90'/1в. Бумага типографская № 2.
Усл. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 26,2.
Тираж 10 000. Т-07689. Тип. зак. 129
Цена 1 р. 68 к.
Издательство «Наука»,
103717 ГСП, Мозква, К-62, Подсосенский пер., д. 21
2-я типография издатэльства «Наука»,
121099, Москва, Г-99, ПГубинокий пер., 10