В. В. НИКОЛЬСКИЙ
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

Η 62
537
УДК 538.3
Вариационные методы для внутренних задач электродинамики.
Никольский В, В. Изд. «Наука». Главя. ред. физ.-мат. лит. 1967 г.
460 стр.
Излагаются вариационные и близкие к ним методы для краевых задач
электродинамики, отвечающих пространственно ограниченным системам, ввиду
нерегулярности которых недоступны аналитические решения в замкнутой
форме. Основное внимание уделяется методам, позволяющим строить
вычислительные алгоритмы для целых классов подобных задач, реализуемые
на ЭВМ.
Проводится специализация и обобщение вариационных принципов
применительно к рассматриваемым задачам. Исследуются ряды Фурье по
системам векторных функций. Для всех основных типов внутренних задач
электродинамики получаются уравнения Галеркина — Ритца, служащие основой
универсальных алгоритмов. В результате реализации последних могут
вычисляться резонансные частоты, постоянные распространения, элементы матриц
рассеяния и другие характеристические параметры различных нерегулярных
электродинамических систем. Рассматриваются сохраняющие еще значение
методы теории возмущений, использующие квазистатическую аппроксимацию.
Показывается, что обобщение метода Рэлея — Шредингера приводит к
системам обыкновенных дифференциальных уравнений, не подчиненных критерию
малости возмущения. Строятся некоторые (в том числе и двусторонние)
оценки собственных значений. Исследуется сходимость предлагаемых прямых
методов. Приводятся примеры реализации некоторых алгоритмов на ЭВМ.
Представленные численные данные относятся к резонаторам, волноводам и
волноводным трансформаторам, содержащим гиромагнитные и
диэлектрические включения.
Таблиц 44, иллюстраций 149, библиографических ссылок 99.
Никольский Вячеслав Владимирович
Вариационные методы для внутренних задач электродинамики
М., 1967 г. 460 стр. с илл.
Редакторы Е, Б. Кузнецова и Д. А. Мартова
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректоры С. Я. Емельянова и Я. Я· Кришталъ
Сдано в набор 28/П 1967 г. Подписано к печати 26/V 1967 г, Бумага 60χ90</18. Фиэ. печ. л. 28,75.
Условн. печ. л. 28.75. Уч.-изд. л. 28,35. Тираж 8000 экз. Т-06952. Цена книги 1 р. 99 к. Заказ ВОЗ.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва. Β-7Ι, Ленинский проспект, 15,
Ленинградская τιιποι рафия № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР, Измайловский проспект, И9.
2-з-е
112-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . 7
Литература к введению , 10
Г л ав а 1
Основные положения 11
§ 1. Уравнения Максвелла и вспомогательные понятия 11
1.1. Уравнения электродинамики (11). 1.2. Дифференциальные
операторы (13).
§ 2. Дифференциальные операторы электродинамики 17
2.1. Электрические операторы J3?„ (17). 2.2. Магнитные
операторы З1 н (19). 2.3. Операторы Максвелла <Л (20). 2.4.
Заключительные замечания (22).
§ 3. Вариационные принципы 23
3.1. Общие сведения (23). 3.2. Функционалы для операторов
Максвелла (26). 3.3. Функционалы для магнитных операторов (32).
3.4. Функционалы для электрических операторов (34).
§ 4. Системы собственных функций 36
4.1. О вихревых и потенциальных собственных функциях (36).
4.2. Приведенные операторы и их собственные функции (38).
4.3. Квазивихревые подсистемы (41). 4.4. Потенциальные
подсистемы (41). 4.5. Квазигармонические подсистемы (43). 4.6.
Заключение и выводы (46).
§ 5. Ортогональные ряды 48
5.1. Полнота системы функций (48). 5.2. О сходимости в частичной
области (51). 5.3. Электродинамический базис (53). 5.4. Условия
разложимости по вихревым и потенциальным подсистемам (55).
5.5. Дифференцирование рядов Фурье (58). 5.6. Порядок убывания
коэффициентов Фурье (62).
§ 6. Прямые методы 67
6.1. Вступительные замечания (67). 6.2. Метод Галеркина (68).
6.3. Метод Ритца (71).
§ 7. Интегральные уравнения 73
7.1. Тензор Грина (73). 7.2. Разложение тензора Грина по
собственным функциям (76). 7.3. Некоторые интегральные уравнения
электродинамики (76).
Приложение к гл. 1 ...... 80
П1.1. Собственные векторные функции операторов Лапласа для
цилиндрической области (80). Π 1.2. Электродинамический базис
для параллелепипеда (86).
Литература к гл. 1 ....... 89
Глава 2
Прямые методы на основном базисе 90
§ 8. Свободные колебания резонаторов 91
8.1. Метод Галеркина для уравнений Максвелла (91). 8.2.
Обсуждение уравнений Галеркина — Ритца (95). 8.3. Формальные

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
варианты метода Галеркина (98). 8.4. Применение оператора
Максвелла (100). 8.5. Метод Ритца (104). 8,6. Закономерности алгебраиза-
ции (108). 8.7. О несимметричных операторах второго порядка (111).
8.8. О непосредственном обращении дифференциальных
операторов (114). 8.9. Применение поверхностных интегралов (116).
§ 9. Свободные волны волноводов 118
9.1. Постановка задачи (118). 9.2. Виды базисов (122). 9.3. Метод
Галеркина для объемной формулировки (127). 9.4. Метод
Галеркина для двумерной формулировки (130). 9.5. Преобразование
уравнений Галеркина — Ритца (133). 9.6. Метод Ритца (136). 9.7.
Периодические волноводы (138).
§ 10. Вынужденные колебания полых систем . 141
10.1. Возбуждение нерегулярного резонатора (141). 10.2.
Применение оператора Максвелла (145). 10.3. Описание вынужденных
колебаний через свободные (147). 10.4. Возбуждение поперечно-
нерегулярного волновода (149).
§ 11. Рассеяние в полых системах 151
11.1. Средства описания волноводного трансформатора (151).
11.2. Нахождение матрицы проводимости (155). 11.3. Нахождение
матрицы сопротивления (157). 11.4. Алгоритмы с выделенным полем;
матрица проводимости (160). 11.5. Алгоритмы с выделенным
полем; матрица сопротивления (164). 11.6. Нахождение матрицы
рассеяния (166).
§ 12. Рассеяние в регулярном волноводе . 169
12.1. Применение предыдущих результатов (169). 12.2. Метод
поперечных сечений; основные уравнения (174). 12.3. Метод
поперечных сечений; граничные условия (179).
Приложение к гл. 2 184
П2.1. О связи матриц Ζ,Υ и R (184). П2.2. Реактивный
трансформатор (186).
Литература к гл. 2 . . 188
Глава 3
Прямые методы на вспомогательных базисах 189
§ 13. Способы представления поля 189
13.1. Базис расширенной области (189). 13.2. Базис
преобразованной области (192). 13.3. Преобразование областей (195).
§ 14. Представления в объемных областях 198
14.1. Общие соображения (198). 14.2. Свободные колебания
резонатора; магнитный алгоритм (200). 14.3. Свободные колебания
резонатора; другие алгоритмы (203). 14.4. Волноводы и
периодические системы (207). 14.5. Вынужденные колебания и рассеяние
в полых системах (211).
§ 15. Представления на поверхностях 214
15.1. Общие соображения (214). 15.2. Свободные волны и
рассеяние в волноводе (217).
Приложение к гл. 3. О криволинейных координатах . 219
Литература к гл. 3 226
Глава 4
Теория возмущений 227
§ 16. Функционалы сравнения ·. . . . 227
16.1. Принцип сравнения (227). 16.2. Общие функционалы
сравнения для внутренних задач электродинамики (228). 16.3. Возмуще-

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ния свободных колебаний (230). 16.4. Возмущения бегущих
волн (233). 16.5. Дифракционные возмущения (237).
§ 17. Аппроксимация возмущенного поля 244
17.1. Постановка задачи (244). 17.2. Квазистатическое
приближение (246). 17.3. Квазистатические формулы возмущения (250).
17.4. Примеры задач (257).
§ 18. Теория возмущений Рэлея— Шредингера и системы
обыкновенных дифференциальных уравнений 271
18.1. Свободные колебания резонатора; представление
индукций (271). 18.2. Свободные колебания резонатора; представление
напряженностей (274). 18.3. Сведение задачи к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений (278). 18.4. Дальнейшие
обобщения (284).
Литература к гл. 4 288
Глава 5
Оценки функционалов 289
§ 19. Простые оценки собственных значений . 290
19.1. Верхние границы собственных значений (290). 19.2.
Распространение выводов на электродинамические задачи (292). 19.3.
Вычисление собственных значений (296). 19.4. Минимаксимальный
принцип Куранта и его применения (304).
§ 20. Итерационные оценки 309
20.1. Постановка задачи. Верхние границы собственных
значений (309). 20.2. Нижние границы и двусторонние оценки (312).
20.3. Итерационный процесс для электродинамической задачи (313).
20.4. Обоснование квазистатических формул возмущения (318).
§ 21. Двусторонние оценки на основе спектрального представления
оператора 322
21.1. Неравенство Като (322). 21.2. Применение неравенства Като
к электродинамическим задачам (325). 21.3. Сравнение операторов
и нижняя граница по Свирскому (331). 21.4. Дальнейшие
обобщения (333).
§ 22. О задачах рассеяния 336
22.1. Вариационные принципы для задач рассеяния в полых
системах (336). 22.2. Об оценках параметров рассеяния (339).
Литература к гл. 5 342
Глав а 6
Вопросы обоснования прямых методов 343
§ 23. Вынужденные колебания и рассеяние 344
23.1. Предварительное рассмотрение (344). 23.2. Вынужденные
колебания резонатора (348). 23.3. Рассеяние в волноводной системе
(уравнения Галеркина — Ритца) (356). 23.4. Рассеяние в
волноводной системе (метод поперечных сечений) (361).
§ 24. Свободные колебания и волны 366
24.1. Вводные соображения (366). 24.2. Свободные колебания
резонатора (368). 24.3. Свободные волны волновода (374). 24.4. Другое
обоснование уравнений Галеркина — Ритца (376).
Приложение к гл. 6 382
П6.1. О непосредственном обосновании метода Ритца (382).
П6.2. О линейной независимости Η ιλ (/ζ(,) = 1, 2 ΛΛ ')
в Va (383). "
Литература к гл. 6 . 384

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глав а 7
Примеры применения прямых методов 385
§ 25. Вычисление собственных частот резонаторов 386
25.1, Алгоритм на вихревом базисе (386). 25.2. Алгоритм на
полном базисе (399).
§ 26. Вычисление постоянных распространения волноводов 409
26.1. Алгоритм на основе двумерной формулировки с удобным
понижением порядка (основной базис) (409). 26.2. Другие
алгоритмы на основе двумерной формулировки (основной базис) (422).
26.3. Алгоритм на основе объемной формулировки с
использованием базиса расширенной области (427).
§ 27. Нахождение матриц проводимости и рассеяния волноводных
трансформаторов 439
27.1. Рассеяние в прямоугольном волноподе на гиротропном теле,
I (439). 27.2. Рассеяние в прямоугольном волноводе на
гиротропном теле, II (445). 27.3. Применение метода поперечных
сечений (455).
Литература к гл. 7 457
Заключение
. .... 459

ВВЕДЕНИЕ
Современная прикладная электродинамика, т. е. главным образом
электродинамика полых систем (в частности, систем сложной формы,
содержащих неоднородные анизотропные среды и пр.) и
электродинамика весьма разнообразных антенных устройств, приводит к
существенным трудностям математического, а точнее, вычислительного
характера. Непосредственная причина лежит здесь, как это очевидно,
в геометрической сложности соответствующих задач для уравнений
Максвелла. Очень немногие простые задачи имеют решения, предста-
вимые в замкнутой форме, и это практически позволяет в ряде
случаев лишь качественно судить о реальных устройствах. Между тем
и в рассматриваемом круге явлений потребность количественного
ответа на все вопросы, возникающие в физических исследованиях и
особенно в инженерных разработках, возрастает вместе со сложностью
технических проблем. Это не удивительно, если принять во
внимание, что все более дорогим становится эксперимент, которым платят
за незнание закономерностей, в принципе подлежащих дедуктивному
выводу из уравнений Максвелла.
Хотя нахождение замкнутых решений для краевых задач
электродинамики, адекватных практике, сейчас совершенно бесперспективно,
это отнюдь не налагает запрета на дедуктивный подход.
Действительно, данные задачи представляют обширное поле деятельности для
так называемых «приближенных методов высшего анализа»
(выражение заимствовано из [1]). В дальнейшем будет преимущественно
употребляться термин прямые методы, а также
вариационные методы, так как главная роль принадлежит здесь методам
Галеркина — Ритца и аналогичным '). С их помощью представляющие
интерес характеристики краевых задач — «решения» — получаются
с закономерно возрастающей и в ряде случаев оцениваемой точностью.
В настоящее время практическая значимость этих методов резко
повысилась в связи с развитием и освоением быстродействующих
вычислительных машин, которые становятся все более доступным и
распространенным орудием.
') Имеется тенденция видеть альтернативу «варициопный метод —метод
сеток» [3]. В этом смысле методы, излагаемые в данной книге, безусловно,
примыкают к вариационным, что и отражено в ее названии.

8
ВВЕДЕНИЕ
В этой книге внимание будет сосредоточено на внутренних краевых
задачах электродинамики, сопоставимых проблемам радиофизики и
радиотехники СВЧ. Выделение их вполне оправдано не только
самостоятельным прикладным значением, но и их математическими
особенностями. Им присущи и некоторые общие трудности, происхождение
которых определенным образом связано с невозможностью
построения тензоров Грина в замкнутой форме. Приходится, таким образом,
иметь дело исключительно с дифференциальными Операторами.
Спектральные свойства этих операторов достаточно специфичны, что
обусловлено особой ролью потенциального подпространства векторных
функций.
Универсальный подход к внутренним задачам электродинамики,
а вместе с этим и отмеченные выше вопросы их теории до
последнего времени почти не разрабатывались. Данное обстоятельство
находит простое объяснение в том факте, что до развития
быстродействующих вычислительных машин это не принесло бы практической
пользы. Обычно в прикладной электродинамике стремились по
возможности упростить и геометрически идеализировать исследуемую
задачу еще в постановке, с тем чтобы для полученной таким
путем модели действительного явления найти приближенное решение,
доступное при простых вычислительных средствах; понятно, что
основная ответственность при этом ложится на никак не оцениваемую
«физическую аппроксимацию». Уместно подчеркнуть в связи с этим
принципиальное значение современных вычислительных машин,
которые стимулируют развитие и применение универсальных достаточно
мощных алгоритмов для краевых задач, позволяющих избегать грубых
упрощени й в постановке последних. Благодаря этому
электродинамической теории сообщается ранее недостижимая практическая
ценность.
Вычислительные машины могут быть использованы для решения
высокого порядка систем линейных алгебраических уравнений, а также
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Опираясь на этот
факт, целесообразно строить прямые методы для краевых задач,
которые бы сводили их к такого рода системам уравнений. Оба типа
сведения в применении к внутренним задачам электродинамики уже
нашли место в последних работах (см. библ. к гл. 2, 3 и 7). В
данной книге большее внимание будет уделено «алгебраизации» краевых
задач, основой которой является разложение неизвестного поля по
векторным функциям.
Итак, в соответствии со своим основным назначением эта книга
включает изложение тех методов, идеальным прообразом которых
можно считать разложение полей в ряды Фурье, переносящее
рассмотрение из функционального пространства в пространству
бесконечных последовательностей чисел. Особенность большинства
построенных методов — представление электромагнитных полей в функцио-

ВВЕДЕНИЕ
9
нальных базисах, которые сами допускают электродинамическое
толкование. В сущности, сложная электродинамическая система
представляется в терминах систем более простых и аналитически изученных.
Поэтому, например, всем матричным формулировкам задач нетрудно
сопоставить определенные физические образы. Не останавливаясь здесь
на вычислительном аспекте этого подхода, отметим, что совокупность
полученных результатов составляет Определенную концепцию
электродинамической теории. Сюда входят алгебраические образы резонатора,
волновода, рассеяния в волноводе и т. д.
Разложение полей по векторным функциям уже давно играет
важную роль в прикладной электродинамике. Этот факт нашел
отражение в ряде превосходных руководств [4—6]. В настоящей книге
разложение по собственным функциям выступает как составная часть
методов Галеркина и Ритца. Поэтому вместе с формулировками задач
в виде уравнений поля и краевых условий каждый раз
рассматривается эквивалентная вариационная формулировка. Польза такого
«двойного» рассмотрения не только в большей принципиальной
общности, но и в дополнительных возможностях обоснований и оценок.
Методы Галеркина и Ритца занимают в книге центральное
положение, но не исчерпывают ее содержания. К другим вопросам, которым
уделяется внимание, принадлежат оценки функционалов и теория
возмущений. Последняя сохраняет значение в настоящее время по той
причине, что по мере уменьшения возмущающего эффекта объем
вычислений в методах Галеркина и Ритца в ряде случаев существенно
возрастает, так что в квазистатической области некоторые методы
теории возмущений оказываются гораздо эффективнее. Что касается
оценок функционалов, то, несмотря на ограниченную пока сферу их
применения, можно ожидать в будущем создания на их основе
универсальных алгоритмов для внутренних задач электродинамики.
Книгу можно рассматривать как предварительный итог
деятельности автора с группой сотрудников за последние годы, уже
нашедшей отражение в ряде работ (см. библ. к главам). Однако в
сравнении с уже имеющимися публикациями материал существенно углублен
и расширен. Большая часть сообщаемых результатов не была ранее
опубликована. Книга не является монографией обзорного характера:
за исключением работ автора и его сотрудников, в ней нашли место
лишь методологически наиболее близкие работы.
Книга написана главным образом для непосредственно
заинтересованных лиц, т. е. для специалистов по радиофизике и
радиотехнике СВЧ, а также прикладной электродинамике. Однако некоторые
вопросы, видимо, могут заинтересовать и математиков, что будет
Способствовать дальнейшему развитию методов. Уровень изложения
материала, конечно, лимитируется степенью разработки излагаемых
вопросов. В то же время он в значительной мере определен общим
направлением книги, и с этой точки зрения так называемый

10
ВВЕДЕНИЕ
«физический уровень строгости» (примером является известная
монография [7]) представляется более уместным в сравнении с чисто
математическими нормами. В тексте используются некоторые элементарные
понятия функционального анализа и вариационного исчисления,
которые большей частью поясняются лишь кратко. Расширение этого
материала, выходящего за рамки традиционного математического
аппарата прикладной электродинамики, затруднило бы чтение книги
для большинства заинтересованных лиц, и автор старался строить
изложение так, чтобы основательная подготовка в указанной
математической области не была безусловно необходимой. В качестве
вспомогательного материала полезно по мере надобности привлекать
книгу С. Г. Михлина [2], удачно сочетающую глубину и доступность.
Классическая электродинамика и обычная теория полых систем
предполагаются хорошо известными читателю (необходимый минимум
сведений содержится в [8]).
За многочисленные дискуссии по вопросам книги и
непосредственный вклад в работу (отмеченный в соответствующих местах
текста) автор дружески признателен своим сотрудникам Д. И.
Корниенко, В. П. Орлову и В. Г. Феоктистову, работникам ВЦ МГУ
И. П. Котику и Ю. П. Никитину, а также ранее участвовавшему
в работе В. Г. Сухову.
При работе над книгой автор обсуждал некоторые вопросы
с А. Г. Свешниковым и участвовал в работе руководимого им
семинара при ВЦ МГУ. За ценные замечания автор благодарен
рецензентам книги А. Г. Свешникову и Б. 3. Каценеленбауму, а также
участникам семинара.
Литература к введению
1. Л. В. К а н τ op о в и ч и В. И. Крылов, Приближенные методы
высшего анализа, Физматгиз, 1962.
2. С. Г. Μ и χ л и н, Вариационные методы в математической физике, Гос-
техиздат, 1957.
3. С. Г. Михлии, Численная реализация вариационных методов,
«Наука», 1966.
4. Г. В. К и с у и ь к о, Электродинамика полых систем, Изд. ВКАС,
Ленинград, 1949.
5. О. О о u b a u, Elektromagnetlsche Weilenlelter und Hohlraume, Stuttgart,
1955.
6. Л. А. В а й π ш т е й н, Электромагнитные волны, «Советское радио»,
1957.
7. Ф. М. Морс и Г. Φ е га б а х, Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ,
1958; т. 11, ИЛ, 1960.
8. В. В. Никольский, Теория электромагнитного поля, «Высшая
школа», 1964.

Г Л ABA]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В данной главе излагаются общие свойства векторных функций
и операторов электродинамики. Применительно к рассматриваемым
задачам проводится специализация и обобщение вариационных
принципов. Исследуются ряды Фурье по системам векторных функций.
Вводятся основные представления о прямых методах.
Введение в круг главных понятий не является единственной задачей
гл. 1, значительная часть сообщаемых сведений имеет уже
специальный характер. Так, например, значение функционалов из пп. 3.2—3.4
выяснится по мере их применения в гл. 2 и 3. При первоначальном
ознакомлении с материалом можно пропустить пп. 4.2—4.6, 5.5—5.6
и § 7.
§ 1. Уравнения Максвелла и вспомогательные понятия
1.1. Уравнения электродинамики. В сущности, все вопросы,
затрагиваемые в этой книге, прямо или косвенно связаны с
уравнениями Максвелла. Но в нашу задачу не входит обоснование принятых
наукой уравнений электродинамики, а также выяснение их
физического содержания. Эти проблемы рассматриваются в курсах
электромагнетизма. Придавая уравнениям Максвелла аксиоматический смысл,
мы должны лишь условиться о форме их записи.
Поскольку в дальнейшем речь будет идти только о гармонических
во времени процессах, уравнения Максвелла записываются в
комплексной форме. Принимая временную зависимость в виде еш и
пользуясь единицами измерения СИ, имеем
rotf^ — ίωμ/7,
rottf= ΙωεΕ + j".
Входящие сюда физические величины предполагаются хорошо
известными читателю и потому не разъясняются. Отметим однако
некоторые моменты, связанные с интерпретацией записи.
Диэлектрическая и магнитная проницаемости е и μ понимаются
как тензоры, которые в общем случае неэрмитовы, так что вообще
для двух полей Ελ, Ηλ и Е2, Н2
(1.1)
Е2еЕ1фЕ1е*Е2 и Η2μΗιφΗιμ*Η2 (1.2)

12 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
(звездочка означает комплексно сопряженную величину). Но эрмито-
вость, в случае которой
Ε2εΕι=Ειε*Ε2 и Η2μΗι=Ηιμ'Ή2, (1.2а)
имеет место при отсутствии в среде таких явлений, как поглощение
или регенерация (генерация). В случае вакуума ε = /ε0 и μ = /μ0,
—12
где символ / означает единичный тензор, а ε0 = 8,854 · 10 ф\м и
μ0= 1,257 · Ю- гн\м называются соответственно электрической и
магнитной постоянными.
В уравнениях (1.1) присутствует в явном виде сторонний ток,
выражаемый через плотность тока у". Уравнением непрерывности он
связан с плотностью стороннего заряда рст:
divyCT+iopeT = 0 (1.3)
(следствие сохранения заряда). Что касается тока, обусловленного
электропроводностью среды — «вторичного» по отношению к
возбуждающему фактору, то он входит в выражение диэлектрической
проницаемости е. Плотность этого тока j подчинена закону Ома
J = oE, (1.4)
где удельная проводимость σ подобно е понимается как тензор.
Поэтому
ε = ε — г"—, (1.5)
где е — тензор диэлектрической проницаемости среды, не
обладающей электропроводностью. Если рассматривается изотропный
диэлектрик без гистерезиса, то ε есть его обычная диэлектрическая
проницаемость, а ε — комплексная.
Образуя расходимости в левых и правых частях уравнений
Максвелла (1.1) и принимая во внимание уравнение непрерывности (1.3),
легко получить
£ϋνμ// = 0,
dive£ = pci
Независимо от того, какое место должны занимать эти равенства
в системе уравнений электродинамики, они являются полезными
соотношениями.
Видно, что уравнения (1.1) лишены симметрии, которую иногда
искусственно сообщают уравнениям Максвелла, добавляя магнитные
токи и заряды. Польза такого введения очевидна в тех случаях,
когда применяют принцип двойственности в форме, затрагивающей
источники. Подобная потребность в дальнейшем отсутствует.
(1.6)

§ I] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 13
Напомним граничные условия для векторов электромагнитного
поля. На границе раздела сред непрерывны тангенциальные
составляющие векторов напряженности поля Ε и Н:
(индексы «4~» и «—» будут употребляться для обозначения величин
поля по разные стороны границы). Точно так же непрерывны
нормальные составляющие векторов индукции £> = ε£ и Β = μΗ:
DV+ = DV_, J
βν+ = Βν_ J
(предполагается, что граница не способна нести поверхностный заряд).
Условия на границе с идеальным проводником имеют вид
[ν0, //]=η, .
Dv = l * (L9)
βν=0;
здесь ν0—единичная нормаль, направленная от идеально проводящей
поверхности, η и ξ—плотности поверхностного тока и заряда
соответственно.
Из уравнений Максвелла (1.1) путем поочередного исключения
векторов поля Ε и Η получают дифференциальные уравнения
второго порядка
rot μ -' rot Ε = ω2εΕ — toy" (1.10)
и
rot ε_Ι rot Η = ω2μ/7 -f rot e~'/T, (1.11)
а также аналогичные уравнения относительно векторов индукций
ΐθίμ~4οίΕ-ιϋ = ω2ϋ — toy" (1.12)
rot е-1 rot μ~ιΒ = ω2Β + rot ε_1/Τ· (1-13)
Относительно векторов индукций иногда полезно записывать и
уравнения Максвелла (1.1):
rot z~lD = — ΙωΒ,
ιοίμ-ιΒ=ίωΏ-\~%
■>.} <U4)
1.2. Дифференциальные операторы. С достаточно общей точки
зрения внутренняя задача электродинамики есть краевая задача для

14
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
уравнений Максвелла (1.1) либо уравнений, вытекающих из них,
поставленная для некоторой области V с замкнутой границей S.
В дальнейшем, говоря о полях Ε и Н, будем понимать всякий раз
решения задач этого рода.
С другой стороны, отвлекаясь от электродинамики, в
рассматриваемой области V можно определить класс векторных функций,
обладающих заданными свойствами; среди последних особое значение
имеют существование первых (или также вторых и высших)
производных и поведение на 5. При построении методов решения краевых
задач придется часто пользоваться понятием класса допустимых,
т. е. в определенном смысле приемлемых, функций.
Критерии допустимости в разных случаях различны. Однако всегда
необходимо, чтобы к выбираемым функциям были применимы те или
иные дифференциальные операции, распространяемые в уравнениях
электродинамики на поля £ и Я или D и В. Иными словами,
функции должны принадлежать области определения некоторого
линейного дифференциального оператора J?, что
обозначается !) символом и £ Dx.
Отметим, во-первых, некоторые свойства операторов rot и div,
входящих в уравнения (1.1) и (1.6). Известны исходные
определения векторного анализа, в силу которых
diva = lim -jT-cbads
r->o
V
s
rot, и = lirn --г (Ь и dl.
L
(1.15)
Из (1.15) получаются определения дифференциальных операторов div
и rot, так что diva и rota предстают как аналитические
выражения, содержащие первые производные составляющих вектора α по
координатам. Поэтому обычно считается, что a^D^iv и α б ^rot.
если составляющие вектора α дифференцируемы по всем
координатам. Можно, однако, убедиться, что функции, определяемые как
пределы согласно (1.15), существуют и могут рассматриваться как
элементы гильбертова пространства при более общих
предположениях 2). Именно, можно считать, что
а) a б Drot, если a — кусочно-гладкая векторная функция
(составляющие вектора α в V, за исключением некоторых поверхностей 5',
дифференцируемы по всем направлениям), но на поверхностях
разрыва 5' должна сохраняться непрерывность тангенциальной соста-
') В дальнейшем используется также значок ζ-, заменяющий* слова
«не принадлежит».
2) Это замечание высказывалось В. Г. Суховым.

§ 1] УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 15
вляющей их. При этом в точках, принадлежащих S',
дифференциальный оператор rot Определяется как
rot = i(rot+ + rot_) (1.16)
(индексы «~|-» и «—», как и раньше, соответствуют разным
сторонам поверхности).
б) a£Ddiv, если в отличие от п. а) сохраняется непрерывность
нормальной составляющей uv. При этом в точках на 5' по
определению
d(v =-i- (div+ -f- div_). (1.17)
В дальнейшем будут рассмотрены различные операторы
электродинамики. Под этим термином будут пониматься такие
линейные дифференциальные операторы, которые соответствуют разного
рода краевым задачам для уравнений Максвелла и уравнений,
следующих из них. Задание электродинамического оператора J3?
означает, таким образом, что указан определенный алгоритм
дифференциальной операции и вместе с ним граничные условия, которым
должны быть подчинены функции u£D#. Важную роль играют так
называемые задачи на собственные значения
^u = lqu, (1.18)
где символ q выражает некоторую функцию координат (вообще
тензор) и называется «весом». Задача имеет решения «г при
определенных численных значениях λί. Первые называются
собственными функциями, а вторые — отвечающими им
собственными значениями оператора J?. Будем считать, что задача (1.18)
может быть поставлена для любого электродинамического оператора,
причем ιΐι и λ; имеют вполне определенный электродинамический
смысл.
Далее введем обозначения для скалярного произведения
(и, v)= J" uv*dv (1-19)
ν
и нормы
|| и |] = |/(αΤα) (1.20)
в функциональном пространстве (основные свойства их
предполагаются известными); будем употреблять также некоторые
разновидности этих понятий, например, норму г)
II « % = у(яиГи) (1.21)
ι) Употребляется, если q таково, что для всех и φ 0 оказывается
(<ju, и) > 0.

16 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
и скалярное произведение
(и, v)s= J uv*ds, (1.22)
s
где интегрирование производится не по объему V, а по
поверхности 5 и т. п.; разумеется, может быть образована и
соответствующая норма.
Со скалярным произведением и нормой можно образовать несколько
неравенств, из которых отметим неравенство Коши — Буняков-
с к о го
|(«, τ>)|<||«||||τ>||, (1.23)
в дальнейшем неоднократно используемое.
Если существует оператор J?, связанный с J3* соотношением
(-2Ί», v) = (tt, J&v), (1.24)
то он называется с о π ρ я ж е н н ы м ему. Если же имеет место
равенство
{J3*u, v) — (u, ^v)^A£ = 0, (1.25)
то оператор J2? называют симметричным, или
самосопряжен н ы м ').
Собственные функции симметричного оператора при эрмитовом q
ортогональны с этим весом:
{дщ, и„) = 0, Ι φ к, (1.26)
а соответствующие собственные значения λ; вещественны, если только
не возникает неопределенность
(^щ. щ) = о
(qut, щ) О '
Пусть теперь наряду с задачей (1.18) рассматривается задача на
собственные значения
^ν = μψο (1,27)
для сопряженного оператора J2? при сопряженном весе q (связанном
с q соотношением, аналогичным (1.24)). Тогда собственные функции
обеих задач подчинены соотношению
(fa,, vk) = 0, ίφ k; (1.28)
') В функциональном анализе термины «симметричный» и
«самосопряженный» соответствуют различным понятиям, но это выходит за пределы
рассматриваемого.

§ 2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 17
они «биортогональны». Отвечающие им собственные значения
комплексно сопряжены:
λ/=μ·. (1.29)
Перейдем к ознакомлению с важнейшими операторами
электродинамики.
§ 2. Дифференциальные операторы электродинамики
2.1. Электрические операторы Л?е- В уравнении (1.10)
фигурирует дифференциальная операция rot μ-1 rot. Будем использовать
обозначение
J?E~rot μ-' rot (2.1)
как символ целого класса электродинамических операторов.
Действительно, J2?Е еще нельзя называть электродинамическим оператором,
так как применительно к нему формулировка (1.18) не выражает
какой-либо определенной электродинамической задачи, пока не заданы
дополнительные условия. Но при дополнительных условиях разного
рода J2?'Е порождает ряд различных электродинамических операторов,
которые будут называться электрическими.
Выясним, при каких условиях электрические операторы
оказываются симметричными. Составляя разность
A^E = (J^Eu, ν)-(и, J?Ev),
получаем после преобразований;
А% = {μ-1 rot и tot ν* — rot и (μ-1 rot τ»)*} dv~\-
v
+ J" {[μ-1 tot и, ν*]— [(μ-'ΓΟτ,τΟ*. u]}ds. (2.2)
5 + 5' (±)
Здесь, как и раньше, 5 — замкнутая граница области V, а 5' —
поверхность (совокупность поверхностей) разрыва входящих в рассмотрение
векторных функций внутри V; при интегрировании она понимается
как двусторонняя, что отмечено знаком ( + ).
Как видно, объемный интеграл в (2.2) уничтожается при эрмито-
вости (1.2а) тензора магнитной проницаемости μ, так как при этом
(rot v):s μ-1 rot и — (rot и) (μ-1)*rot v*·
Поверхностный интеграл по 5' обращается в нуль, так как условием
принадлежности функций и, ν области D« является непрерывность
тангенциальных компонент ατ, ντ и (μ"Ε rot «)т, (μ-'ΓΟίι?) на 5'
(чтобы было: μ-1 rot и, μ'1 rot ν £ Drot), см. § 1. Что касается

18 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
интегрирования по внешней поверхности 5, то рассмотрим пока
следующие две возможности:
а) Поверхность 5 — идеально проводящая, т. е, на функции
ибАг. накладывается первое граничное условие из (1.9)
их = 0 на 5, (2.3)
свойственное вектору Е. Это граничное условие будет иногда
называться «условием короткого замыкания» по аналогии с хорошо
известным термином теории цепей.
б) Поверхность 5 делится па две части: 5, и 52, на одной из
которых выполняется условие (2.3), а на другой иное:
нт = 0 на 5,, "Ι
(μ-«*«),= 0 на S,} 5« + 52 = 5· (2-4)
Новое граничное условие (на S2) можно назвать, продолжая аналогию
с теорией цепей, «условием холостого хода». В обоих случаях
поверхностный интеграл в (2.2) уничтожается.
Итак, желая иметь симметричный оператор типа J?'Е, т. е,
Ах = 0,
■*Ε
следует ограничиться эрмитовыми магнитными проницаемостями. При
этом u£D# , если внутри области V непрерывны их и (μ_ϊ rot α)τ,
а поверхностный интеграл по 5 в (2.2) обращается в нуль, например,
в результате выполнения граничных условий (2.3) или (2.4).
Задача на собственные значения электрического оператора при
коротком замыкании
^ΕΕ. = ω2.εΕ., ,
Е 1 (2.5)
Είχ = 0 на 5 J
есть электродинамическая задача для замкнутой полости с идеально
проводящей оболочкой, содержащей среду, характеризуемую
магнитной проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью е. При
эрмитовости тензора диэлектрической проницаемости е, который
играет в (2.5) роль оператора веса, и симметричности Jg'Е (для чего
требуется эрмитовость тензора магнитной проницаемости μ)
собственные значения задачи ω? вещественны. Собственные функции E-t
ортогональны с весом е; они будут считаться ортонормированными:
(е£г, £*) = firt (2.6)
(bik — символ Кронекера; 6^ = 0 при Ι φ k и blk = 1 при i = k).
Не равные нулю собственные значения ω? являются квадратами
собственных круговых частот полого электромагнитного резонатора
с идеально проводящей оболочкой, заполненного средой с
проницаемостями в и μ. Соответствующие собственные функции Et опи-

12] дифференциальные операторы электродинамики 19
сывают электрические поля резонатора при разного рода свободных
колебаниях.
2.2. Магнитные операторы 3Ή· Основываясь на (1.11), можно
также рассматривать операторы электродинамики типа
„2^ = rot e-J rot, (2.7)
которые будут называться магнитными. Выясняя условия, при
которых магнитные операторы симметричны, т. е,
А,, =0,
напишем
Αχ = [ (е-1 rot «rot ν* — rot u (e_I rot*»)*} dv-\-
v
+ J" {[е-1 rot и, v*] — [(e-'rotu)*, u]}ds. (2.8)
S + S· (±)
Подобно тому как это было в п. 2.1, видим, что объемный интеграл
в (2.8) уничтожается при эрмитовости тензора е, а поверхностный
интеграл по 5' — в силу требования непрерывности их и (e^Irota)t
для и £ Ds . Поверхностный же интеграл по S обращается в нуль,
например, в случаях:
а) поверхность 5—идеально проводящая, т. е. на функции
и £ D<eH налагается условие:
(e"1rot«)t = 0 на 5 (2.9)
(«короткое замыкание»),
б) 5 = 5[-|-52, причем
(е-1 rot и)т = 0 на 5,,
их = 0 на 52
(2.10)
(«холостой ход» на 52).
Магнитные операторы J2?И, таким образом, симметричны при
эрмитовости тензора диэлектрической проницаемости е, если, кроме
того, на 5 заданы граничные условия, обеспечивающие уничтожение
поверхностного интеграла по 5 в (2.8); эти условия, в частности
(2.9) или (2.10), определяют тогда u£D# .
Задача на собственные значения магнитного оператора с
дополнительным условием (2.9)
Hi , , I (2П
(е-1 rot/7^ = 0 на 5 J
есть, так же как и (2.5), задача для замкнутой полости с идеально
проводящей оболочкой. Кроме симметричности Л?н (эрмитовость ε),

20 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
необходима также эрмитовость веса μ, чтобы собственные
значения aij были вещественными. Не равные нулю ω^ являются
квадратами собственных частот полого электромагнитного резонатора,
заполненного средой с проницаемостями е и μ и ограниченного
идеально проводящей оболочкой. Собственные значения задач (2.5)
и (2.11), таким образом, совпадают. Собственные функции Hi
ортогональны с весом μ. Они будут считаться ортонормированными:
(μΗι, Н„) = 61к. (2.12)
При ω^τ^Ο эти собственные функции описывают магнитные поля
полого резонатора при различных свободных колебаниях.
2.3. Операторы Максвелла оМ. Уравнения Максвелла (1.1)
можно записать в форме
с -хм; хмя- ™
Здесь функция в виде вектора-столбца объединяет векторы поля Ε
и Н, и, соответственно, дифференциальный оператор
/ 0 — rot \
действует как матрица. По отношению к электродинамическим
операторам этого типа будем употреблять название оператор
Максвелла1). Другая матрица в (2.13)
Но μ) (2Л5>
объединяет тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и
будет называться просто проницаемостью.
Операторы Максвелла определены на функциональном пространстве
''Л *4е;
со скалярным произведением
(и, v)= j exe\dv-\- j hxh\dv. (2.16)
V V
Подобно предыдущему рассмотрим условия, при которых
возникают симметричные операторы Максвелла:
Ам = 0.
') Такое название для аналогичного оператора использовалось в
литературе [6].

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 21
С помощью простых преобразований можно выразить объемные
интегралы, содержащие аМ, через поверхностные, так что
AM=l§{[ev h\\ + [e'v A,]}rfs. (2.17)
5
что можно записать еще в виде
Ам = (ви, v)s, (2.18)
где
e=lUx о)· ^
причем косой крест означает образование векторного произведения.
Операторы Максвелла, таким образом, симметричны, если в
соответствующих классах функций обращается в нуль этот
поверхностный интеграл. Это будет, в частности, для функций:
а) с исчезающей на 5 тангенциальной компонентой электрической
части:
ет=0 на 5, (2.20)
б) с электрической тангенциальной компонентой, исчезающей
на Sl, и магнитной тангенциальной составляющей, равной нулю на
52 (5 = 5,-1-52):
ет = 0 на 5,, "I
Ат=0на5, } (2-21>
Как и раньше, можно говорить о «коротком замыкании» и
«холостом ходе» на 5.
Задача на собственные значения оператора Максвелла с
граничным условием (2.20)
£,t = 0 на S ' '
есть все та же электродинамическая задача о полости с идеально
проводящей оболочкой. Собственные значения ω( вещественны, если
проницаемость эрмитова
vnu = un*v,
что в свою очередь требует эрмитовости ε и μ. Можно отметить,
что в данном случае характер среды внутри V не имеет отношения
к вопросу о самосопряженности дифференциального оператора.
Собственные функции
ортогональны с весом π. Векторы Е( и Ht совпадают с
собственными функциями операторов J3*E и J?'н соответственно, поэтому

22 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1ГЛ. I
ортонормировку Uι естественно согласовать с (2.6) и (2,12):
j(nUl,Uk) = 6lk. (2.23)
т. е. согласно (2.16)
\ | (eEjE* Η- μΗιΗΪ) dv = bik. (2.23a)
2.4. Заключительные замечания. Симметричность оператора J3"
и эрмитовость веса q в (1.18) отражают в рассмотренных примерах
консервативность описываемой электродинамической системы
(сохранение энергии внутри V). Если система энергетически изолирована,
но не консервативна, то этому отвечает только неэрмитовость
тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей (в частности,
одного из них). Когда же имеется связь с внешним пространством,
то независимо от характера среды в V (тензоры е и μ)
неконсервативность системы находит отражение в несимметричности
дифференциального оператора J3?. В этом случае неизбежно существование
отличных от пуля поверхностных интегралов в соответствующих
выражениях А#, так как поток вектора Пойнтинга через S не
исчезает. Формально же операторы типа J3?Е, J?'и и оМ оказываются
симметричными или несимметричными в зависимости от граничных
условий, налагаемых на функции u(zD#.
Выше, были обсуждены лишь некоторые из существенных свойств
электродинамических операторов типа J?£, J?' н и оМ. Ряд иных
операторов будет рассматриваться позднее. Вот, например,
электродинамические операторы, значение которых соответствует их месту
в уравнениях (1.12—1.14):
^0 = ^'ΕΕ-ί = τοίμ-1ΐοίε-\ (2.24)
^Β=^'Ημ-ί^χοίΐ,-4ο\μ-ί (2.25)
и
/ 0 — Γθίμ-!\
^Л"1 = Чго1е-< 0 ]■ ^
Все они, а также операторы ')
^Е= е-' rot μ -'rot (2.27)
>) Очевидное электродинамическое содержание могут иметь также
дифференциальные операторы n-го порядка:
£>ψ = e-1 rot μ-1 rote-1 rot ... μ-1 rot,
JJpW = μ-1 rot ε.-1 rot μ-1 rot . . . е-1 rot,
J^g' = rot μ-1 rot ε"1 rot . . . μ""1 rot e~',
Jg^ = rot e~! rot μ"1 rot ... e-1 rot μ-1.

§ 3]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
23
и
^,//=μ-ιΓοίε-ΐΓθί (2.28)
употребляются при 9=1 и при зависящих от координат тензорах ε
и μ оказываются несимметричными при любых граничных условиях
на 5 даже в том случае, когда эти тензоры эрмитовы (в частности,
когда скалярные функции е и μ вещественны). В этом можно
убедиться на примере граничных условий типа короткого замыкания,
если построить задачи на собственные значения и сравнить их с
рассмотренными выше задачами (2.5), (2.11) и (2.22). Новые
собственные функции либо совпадают с уже рассматривавшимися, либо
отличаются от них как индукции от напряженностей. Поэтому они не
ортогональны без веса (q=\), откуда и следует справедливость
утверждения.
§ 3. Вариационные принципы
3.1. Общие сведения. При постановке краевых задач для
уравнений Максвелла будут использоваться также эквивалентные
вариационные формулировки. Поэтому ниже рассматриваются необходимые
«вариационные принципы», т. е. находятся функционалы,
стационарные значения которых соответствуют решениям определенных
электродинамических задач.
Начнем с изложения общих сведений. Пусть для
электродинамического оператора J? записаны уравнения:
(^ —λ9)α=/ (3.1)
и (при /= 0)
^U = lqu. (3.1а)
По терминологии, которая часто употребляется, уравнение (3.1)
соответствует задаче о вынужденных колебаниях; при этом
параметр λ задан, а / выражает «вынуждающую силу». Что касается
уравнения (3.1а), то если оператор J? отвечает энергетически
изолированной системе (в частности, если он симметричен), это задача
о свободных колебаниях, которые описываются собственными
функциями и собственными значениями оператора J?, Однако когда
оператор J2? несимметричен вследствие граничных условий, во
втором случае также может иметь место задача о вынужденных
колебаниях (возбуждение через границу), и λ выступает как
произвольный параметр.
Сначала будем считать, что оператор J? симметричен, а вес q
эрмитов.
Запишем функционал
F(u) = { (^ — λ?) и, и) — (/, и) — (и, /), (3.2)

24 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ, I
определенный на функциях и £ Dx. Его вариацией ЬР называется
главная часть приращения Fiu^bu)— F (и) (линейная
относительно 6и), которая строится по обычным правилам
дифференцирования. Обращение вариации в нуль
6Р = 0, (3.3)
как легко проверить, дает
Re ((^ — λ?) и —/, fie) = 0.
Ввиду произвольности δ« обычно можно показать, что и = «0, при
котором выполняется (3.3), есть решение задачи (3.1), существование
и единственность которого подразумеваются. Отмечая этот факт,
будем говорить, что функционал (3.2) стационарен на решении
задачи (3.1).
При /= 0 образуем из (3.2) функционал другого рода, обычно
используемый при изучении свободных колебаний:
Ф(и)= ^и'»1, (3.4)
' (qu, и) v '
Сохраняя характер ^ и ?, отметим, что функционал (3.4)
стационарен на решениях задачи (3,1а) — собственных функциях
оператора J?, обозначаемых «г. Как легко убедиться путем подстановки,
стационарные значения Φ равны собственным значениям оператора;
Φ(α() = λ(, i= 1, 2, 3, ...
Пусть
0 < λ, ^ λ2 ^ λ3 ^ ... <^оо,
тогда низшее собственное значение λ, может быть найдено как
минимальное значение функционала (3.4) в классе допустимых функций
и ζ D^:
λ, = тшФ(и), (3.5)
а высшие собственные значения — как относительные минимумы при
дополнительных условиях ортогональности1):
λη = νη\η Φ (α), Ι
, . п ί=1, 2, ,.,, (ft-1). (3.6)
(qu, Иг) = 0, J
Все сказанное обобщается на несимметричные операторы. Для этой
цели сформулируем задачи, сопряженные с (3.1) и (3,1а):
(£~k*q)v = J (3.7)
if никак не связано с /) и
3'ν = ]χψΰ. (3,7а)
') К атому вопросу мы вернемся в § 19,

§ 3] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 25
Вместо (3.2) возьмем функционал
F{U. V) = {{^~lq)U, «) — (/, V) — (U, f) (3.8)
и обращаем в нуль его вариации по α и по V.
6Ра=0 и δ/%, —0. (3.9)
Первое равенство есть необходимое условие того, что 1) =
<νΰ—решение задачи (3.7), а второе, как ранее (3.3), устанавливает
стационарность функционала на «0,
Вместо (3.4) образуем функционал
φ<«· ν=Η$ί$- (ЗЛ0)
Функционал (3.10) стационарен на собственных функциях
операторов J2? и J3?, что обнаруживается при обращении в нуль вариаций
δΦ,ρ и ЬФи соответственно. При этом стационарные значения равны
Поскольку собственные значения задач (3.1а) и (3.7а) комплексно
сопряжены (1.29):
λ. = μ*
констатируем, что как варьирование по и, так и варьирование по ν
ведет к определению одних и тех же стационарных значений
функционала (3.10); запишем это в виде символического равенства
8ΐΦΒ = 8ίΦ„. (3.12)
Возможно также обобщение соотношений (3.5) и (3.6), Пусть
— оо < Re λ, <^ Re λ2 <^ Re λ3 -^ . . . -^ οο
и под minΦ понимается то стационарное значение функционала,
вещественная часть которого минимальна. Тогда
ηιϊηΦ = λ1 = μ*. (3.13)
Для получения высших собственных значений надо каждый раз
исключить этот абсолютный минимум функционала и следующие
стационарные точки вплоть до рассматриваемой, используя
«биортогональность» собственных функций «f и V/ (1.28):
ΐπίηΦ = λ/; = μ^,
(<7«, vt) = 0,
или
(gilt, «0 = 0,
1=1, 2, ..., (ft-1). (3.14j

26
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Наконец, весьма важно следующее. Изложенные правила
позволяют любой внутренней задаче электродинамики сопоставить
вариационную формулировку путем внесения в один из полученных
функционалов на место J? требуемого электродинамического оператора.
Однако, если этим ограничиться, то вариационная формулировка
может оказаться малопригодной или даже совершенно бесполезной
из-за невозможности построения допустимых функций u£D#, Поэтому,
как будет показано ниже, функционалы подвергаются еще некоторым
изменениям (легко реализуемым), цель которых—расширить или
изменить класс допустимых функций.
Но прежде, чем перейти к этому материалу, сделаем одно общее
замечание. О стационарности функционала на решении некоторой
задачи можно говорить лишь тогда, когда функция, доставляющая
стационарное значение, действительно обладает всеми достаточными
признаками решения, В частности, мы не имеем еще решения
краевой задачи, если найдена функция, удовлетворяющая
дифференциальному уравнению, но не подчиненная граничным условиям. Поскольку
выше в рассмотрение входили только функции из области
определения оператора задачи, то не было надобности специально выделять
вопрос о граничных условиях (которые подразумевались). Но в
дальнейшем придется отыскивать стационарные значения функционалов и
в классах функций, не удовлетворяющих граничным условиям
интересующих нас задач. При этих обстоятельствах функция,
доставляющая функционалу стационарное значение, будет на самом деле
решением краевой задачи только в том случае, если граничные условия
задачи оказываются необходимыми условиями реализации
стационарности функционала. Тогда говорят, что граничные
условия задачи являются для вариационной формулировки
естественными1).
3.2. Функционалы для операторов Максвелла. Начнем с
операторов Максвелла (2.14). Поскольку в формулировках (3.8) и (3.10)
не имеет значения, симметричен ли оператор, их можно писать для
всех модификаций оператора Максвелла. Сопоставляя (2,13) и (3,1),
находим, что функционал (3.8) принимает в данном случае вид
FM = ((aM—an)u, V) — (u, φ) —(φ, ν), (3,15)
где φ = — 11 J, I , a φ отличается заменой j" на j". Раскрывая (3,15)
относительно электрических и магнитных частей допустимых функций
-С) " ·=©■
') Такое употребление термина «естественные граничные условия» ближе
к [1], чем к [2],

§3]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
27
получим
FM=i\ (A* rot е — е*rot /ι)άυ—ω Г (ее? f μΛ A*) dt» +
ν ν-
4-i|-(-^CTi4-/TF)^. (3.15a)
к
Путем непосредственного образования вариации (6Ρ)Ό легко убедиться,
что функционал Рм стационарен на решениях
задач типа (3,1) при самом широком понимании оператора £? = оМ,
Если же на допустимые функции наложено дополнительное условие
ет=0 на 5,
где 5 — замкнутая граница области V, то Щ означает решение
задачи о возбуждении объема, изолированного идеально проводящей
оболочкой, которое, как известно, единственно при ω Φ шг (речь
идет о собственных частотах, рассмотренных в § 2), Поскольку и
электрические и магнитные части допустимых функций неизбежно
принадлежит Drot, то автоматически обеспечивается непрерывность
тангенциальных компонент на любых границах внутри области V.
Класс функций ν при этом,, в принципе, может включать все
возможные функции, для которых имеет смысл операция интегрирования
в (3,15а),
Образуя вариацию {bF^)u, находим также, что функционал Fm
стационарен на решениях
-til
задач типа (3.7), сопряженных с (3.1), если класс функций а
определенным образом ограничен, а именно ех = 0 на 5; таким образом,
понимание смысла оператора оМ здесь сужено с самого начала.
Функции ν разумно, но не обязательно выбирать из этого же класса.
Разъяснение дает операция интегрирования по частям, производимая
после варьирования по а (т. е. по е и А) в (3,15а), в результате
которой появляются поверхностные интегралы
φ [be, A*] rfs и | (е, Щ ds.
S S
Для реализации стационарности функционала оба они должны
уничтожиться, поэтому первый интеграл обусловливает выбор таких И,

28 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
что ех = 0 на S, а гяорой показывает, что граничное условие
сопряженной задачи ет = О на 5 будет неизбежно выполнено функцией vQ,
реализующей стационарность (естественное условие).
Как видно, функционал Fm не симметричен относительно и и V.
Чтобы эти функции поменялись ролями, надо взять функционал
FM=(u, qMo) — ω (ли, ν)—(и, φ)—(φ, ν), (3.16)
который при однородных граничных условиях на 5 получается
из (3.15) интегрированием по частям.
Перейдем к более сложной модификации функционала FM, для
которой граничные условия задачи являются естественными, что имеет
теперь вычислительное значение. Здесь изложение будет более
подробным, отчасти и потому, что это уточняет предыдущее.
Пусть рассматриваемая краевая задача имеет достаточно общий
характер. Замкнутая поверхность 5, ограничивающая область V,
делится на две части: 5 = 5°-)-5Σ, на одной из которых, 5Σ, задано
с
стороннее электрическое поле ех = Е (играющее такую же роль,
как и вынуждающая сила φ), а на другой, 5°, — граничные условия,
свойственные идеальному проводнику ех = 0. Запишем функционал,
получаемый из (3.15а) добавлением поверхностных интегралов:
F'=i (h* rot е — е* rot h) dv — i \e, h*] ds — ( [e*. h\ds —
Μ
V S» S
Σ
— ω J (гее* + μ/ih*) dv +1 J* (— ef -f j"e*) dv, (3.17)
ν ν
ex = Es, 1
~, на 5Σ.
Для исследования F'M построим вариацию (ЬР'Л , получаемую
одновременным изменением «иг»:
bF = i \ (δ/Γ rot e + h* rot be — be* rot h — ё1 rot ΟΛ) dv —
ν
— i [ \[be, h*]~\-[e, bff\) ds — i j* [\be\ Λ] + [έ?*, bh\) ds—
— ω ί (ebee* -f геЬе* -f μbhh* ~f μΛόΛ*) dv +
+ i j (—bej™" + y'CT6?) dv.
ν

$ 3] " ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 29
После преобразований, затрагивающих те члены, где вариации be и
δΑ стоят под знаком rot, получаем
5F = — i be'(rotA—(ωεβ — jzr)dv-]- i ой*(rot e 4 m\xh)dv-f-
v ν
-f- i 6e (rot A -f- toe*e — yCT*) iit» — ί bh (rot e* — ί'ωΛ*μ) dv —
ν ν
i J {[fie, A"] + [e, bh*} - [be, h*} — \e\ bh\) ds —
— tj{[6e*, Α] + [β·, fiA] —[fie. A'] —[?, 6A]}
s»
ds
sz
'(здесь специально выписаны взаимно уничтожающиеся подобные
члены). Мы имеем, таким образом, удобное выражение вариации
(bF'M) . Чтобы получить вариации (δ^) и (δ^,^) . достаточно
положить здесь равным нулю приращение Ьи (т. е. be и δΑ) или fit»
(τ, е. be и δΑ) соответственно.
Рассмотрим условия обращения вариации функционала в нуль и
с этой целью подробно запишем формулировку ранее поставленной
задачи для уравнений Максвелла, а также формулировку
сопряженной задачи:
rot£= —ϊωμΗ,
rot Η = ίωε£ -f- f
Ετ = 0 на 5°,
Εχ = Ε" на 5Σ
f rot£ = — ίω*μΗ,
\toi Η = Ιω*εΕ+ )";
и { _ (3.18)
Εχ = 0 на 5°,
Ε- = Ε" на 5Σ.
Очевидно, (δ/7^) =0, если e = E, h = H и е = Ё, h = H; здесь
имеются в виду решения задач (3.18). Действительно, объемные
интегралы в выражении вариации уничтожаются в отдельности в силу
записанных уравнений Максвелла, поверхностные интегралы по 5° —
из-за отсутствия тангенциальной электрической компоненты на 5°
у решений задач (3.18), а поверхностные интегралы по 5^ — в
результате того, что тангенциальное электрическое поле на 5Σ согласно
(3.18) фиксировано.
Граничные условия задач (3.18) на 5° являются для функционала
F'M естественными, поскольку они выступают также в качестве
условий обращения в нуль {bF'M\ и {bF'M)u (как и (fi/7^ J. Но
условия на 5Σ в виде заданных сторонних полей (последние строчки (3.18))

30 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
лишь косвенным образом влияют на вариации функционала: для
обращения в нуль (ЬР'Л и (bF'M^ (как и (δ/7'^) ) достаточно иметь
на 5Σ любые фиксированные поля. Эти граничные условия,
следовательно, не являются естественными. Они при решении вариационной
задачи должны быть учтены. Если рассматривается условие
стационарности
то для того, чтобы оно реализовалось именно решением
сопряженной задачи (3.18). следует в поверхностном интеграле по SvB(3.17)
положить ех = Е '), Заметим, что при этом функционал (3.17)
можно видоизменить; например, заменить интеграл
\е, Λ*] ds на [е, h*] ds.
Sa 5°+5Σ
Вместо Р'м (3.17) можно взять получаемый из него
интегрированием по частям функционал
F(M)=i (exoih* — hxoie*)dv^-i \[e, h*]ds+i [e\ h]ds~
— ω j (гее* -\- μ/ih*) dv-\-i j (— ej"* + j"e*) dv, (3.19)
«,=*4
er=E-
\ на S^,
В этом случае основная задача (3.18) играет ту же роль, как ранее
сопряженная. Граничные условия на 5° по-прежнему являются
естественными, а для реализации условия стационарности
(bF'^l
= о, (4-4-)
решением основной задачи (3.18) требуется в поверхностном
интеграле по 5Σ в (3.19) положить ет = Е . При этом в (3.19) можно,
в частности, заменить [е", h]ds на [е*, h]ds.
5° S°+Sr
') При этом допустимые функции могут не удовлетворять граничным
условиям задачи на 5 = 5°-(-5Σ. В этом практическое значение обоих
поверхностных интегралов в (3.17); аналогичны свойства функционала (3.19), об
использовании которого см. ниже, гл. 3,

§3]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
31
Следует отметить, что возможности построения вариационных
формулировок с естественными граничными условиями для задач (3.18)
не исчерпываются функционалами (3.17) и (3.19). Например,
функционалу (3.19) подобен следующий:
F'((M), = / ί (еroth* — е*roth)dv + i J [e, h*\
ds^
4
j {гее* + μ/Α*) dv -f- i J" (— ej"* + /V) do. (3.19a)
— ω
ν
e* = ES· \ с
;x=es I Ha 3ς
с условием стационарности (δ/7 ((Л) ))„ — 0; он эквивалентен (3.19)
при замене в указанной формуле 5° на S°-\--S%-
В дальнейшем стационарность функционалов уже не будет
демонстрироваться со всеми подробностями, так как необходимая проверка
может быть выполнена читателем самостоятельно по приведенной схеме.
Функционал типа (3.10) для операторов Максвелла имеет вид
Фм-^Ш7^Г' (3'20)
j>
1 rot е — е* rot h) dv
ΦΜ = ί^- — . (3.20a)
(tee* -f- μήή*) dv
ν
Он стационарен по ν на собственных функциях задачи (2.22) или,
например, на собственных функциях аналогичной задачи при
граничных условиях (2.21). Но допустимые функции должны удовлетворять
граничным условиям задачи (т. е. et = 0 на S для (2.22)).
Стационарные значения сохраняют прежний смысл, а граничные
условия становятся естественными при добавлении в числитель
подходящих поверхностных интегралов. Для задачи (2.22) имеем
J>
! rot е — е* rot К) dv — φ [е, h*\ ds
ί (tee* + μήΛ*) dv

32
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Числитель можно проинтегрировать по частям, в результате возникает
новый функционал
Г (е rot h* — h rot e*) dv + f [ £*, ft] rfs
(tee* -{-\ifih*) dv
φ'(Μ] = ί ^ — —^ , (3.22)
обладающий теми же свойствами.
Легко видеть, что функционал Фм (3.20), (3.20а) несимметричен
относительно и и ν, как и функционал Рм (3.15), (3.15а). Зато
последние функционалы с поверхностными интегралами: Ф^ (3.21)
и Ф(Л) (3.22) оказываются в этом смысле симметричными. Интересным
свойством функционала (3.21) является тот факт, что к его
поверхностному интегралу можно дописать любой постоянный множитель,
внешне не изменяющий его свойства при варьировании по V,
разумеется, это нарушает симметрию относительно α и τ», поэтому Фм
уже не будет порождать при интегрировании по частям стационарный
функционал типа (3.22). В свою очередь к поверхностному интегралу
функционала Ф^ (3.22) можно дописать постоянный множитель, не
меняющий его свойств при варьировании по и.
Вместо (3.22) можно записать также функционал
(е rot Η* — ё" rot h) dv
Ф{т,) = ί *—: . (3 -22а)
(tee* -f μΜ*) dv
получаемый путем интегрирования по частям во втором члене
объемного интеграла в (3.22) или в первом члене — в (3.21).
Заметим еще, что в случае задачи с граничными условиями (2.21)
также можно построить из (3.20а) функционал с естественными
граничными условиями; для этого, например, в числитель добавляется
слагаемое
— i [e, ti*\ds—l | [е*, h\ds.
О; О 2
Совершенно аналогичным способом преобразуется и функционал (3.17).
3.3. Функционалы для магнитных операторов. Для магнитных
операторов 3"н (2.7) выражения (3.8) и (3.10) принимают вид
Рн = ({ЯИ — ω2μ) и, ν) — (и, /) — (/, ν) (3.23)
и
Фя = ЧЬ) ' (3'24)

§ 3]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
33
где /= rot ε-'у" (1.11). Однако, как легко видеть, эти функционалы
неприменимы при скачкообразном изменении диэлектрических свойств
среды внутри V, поскольку практически невозможно строить
допустимые функции, для которых условия непрерывности их и (e-1rot«)t
выполняются одновременно, а это необходимо, чтобы u£Dg. Кроме
того, надо еще отбирать допустимые функции с требуемым
поведением на внешней границе S.
Эти проблемы снимаются, если, подобно предыдущему,
дополнительно внести в (3.23) и (3,24) некоторые изменения. Пусть в задаче
о вынужденных колебаниях задано тангенциальное электрическое поле
на некоторой части границы S:
— ίω_Ι (е--1 TOtH)x=-Es на 5Σ
при коротком замыкании на оставшейся части S0, В этом случае
имеем функционал
р'н = I (е-1 rot и rot ν* — ω2μαν*)άν —
ν
— j (α (rot ε-1/")*+ τ>* rot ε-1/*} dv—
ν
— [ {[ν*, е-1 rot«] + [«, (ё-1 rot-σ)·]} rf*, (3.25)
(e-> rot «)τ = iaEs, ]
\ на 5Σ.
(ε_Ι T0iv)x = i(nEs I
Для задачи о свободных колебаниях типа (2.11) запишем функционал
е-"1 rot и rot ν* dv
ф'н = Σ . (3.26)
μΐΐν* dv
V
Поверхностные интегралы по границе S' раздела диэлектрических
свойств внутри V и по внешней идеально проводящей границе S0
в этих формулах отсутствуют. Однако происхождение (3.25) и (3.26)
можно связать с добавлением подходящих поверхностных интегралов
к (3.23) и (3.24), таких, что они уничтожают поверхностные
интегралы по S' и S0, появляющиеся при интегрировании по частям
в (3,23) и (3,24).
Граничные условия поставленных задач на границах S' и 5°
(и сопряженных задач) являются для функционалов (3,25) и (3,26)
естественными, в чем убеждаемся, образуя вариации (bF)u и (bF)v
(функционалы симметричны относительно и и v). He входя во все

34
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
подробности, мало отличающиеся от предыдущего (п. 3.2), отметим,
что, например, при варьировании по ν в Фц после интегрирования
по частям появляется поверхностный интеграл
[ [bv*. B-4otu]ds,
S+S< (±)
где S = S° — внешняя идеально проводящая граница, a
S'(±)—двусторонняя поверхность раздела диэлектрических свойств среды. Для
обращения в нуль вариации этот интеграл должен исчезнуть, для
чего в свою очередь необходимо выполнение граничных условий
(в-1 rot «)t= 0 на 5
и
(в-1 rot и)х+ — (в-1 rot «)t_ на S'.
Вместе с условием
их+ ~ их_ " на S'
(вытекающим из требования αζΑ-ot) мы получаем, таким образом,
все граничные условия задачи (2.11) с разрывной средой, которым
теперь обязательно удовлетворяет функция, реализующая
стационарное значение, функционала Ф#. Практически, как и в других
подобных случаях, это означает, что допустимые функции и не должны
обязательно удовлетворять граничным условиям задачи.
Для Fjj (3.25) лишь граничное условие на S% не относится
к естественным. Практически же это означает, что в поверхностных
интегралах надо положить: ε-1 rot и — iaEs и e""1roti>= i&Es. (При
проверке стационарности (3.25) 6(ε_Ι rot«) =- 0 и 6 (е-1 rot v) = 0 на
S-ς, ср. проверку (3.17).)
3.4. Функционалы для электрических операторов. Взяв J3?E
(2.1), запишем сразу выражения типа (3.8) и (3.10):
РЕ = ((JfB — ω2ε) и, ν) — (и, /) — (/, ν) (3.27)
и
Ф —к±л_^± (328)
ь (ей, ν) у '
где /—— tb)j". Как и функционалы (3.23), (3.24), эти формулы
практически непригодны, если среда разрывна (на этот раз
существенна разрывность магнитных свойств). Но устранение указанного
дефекта производится аналогично.
Так, для задачи о вынужденных колебаниях при S = SQ запишем
функционал
F'E= (μ-1 rot и roll?*- ahuv*) dv -j- to (j" и—jc'v)dv, (3.29)
V V

§ 3] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 35
а для задачи о свободных колебаниях в формулировке (2.5) —
функционал
/
μ-1 rot И rot ν* dv
εαυ* dv
φ'Β = Σ _. (3.30)
V
Легко проверить, что краевые условия на внутренних границах
раздела сред рассматриваемых задач теперь являются естественными,
и допустимыми следует считать функции и £ £>rot, удовлетворяющие
лишь требуемым граничным условиям на идеально проводящей
оболочке S.
Функционалы, обладающие похожими свойствами, можно построить
и иначе. Вместо (3.30) запишем, например'):
и rot (μ-' rot Ό)" dv — [(μ-1 rot ■»)*, и] cfs
ф*=Г -^^Li _ . (3.31)
tuv* dv
V
Этот функционал в отличие от (3.30) не симметричен относительно и
и ν, однако при варьировании по ν он сходен с (3.30).
Можно, однако, и внешние граничные условия сделать
естественными. Так, в одном варианте (5 = 5°) получаем функционалы
F%> = j {α rot (μ"1 rot ν)* — ω4ιιν*} dv —
ν
f [(μ-1 rot τ?)*, u]ds— ί [ν*, μ"1 rot«] d.s +
5»
+ /ω J (/ст*и — yCTV) dv (3.32)
S' (±) 5»
ί и rot (μ-1 rolv)*dv— [(μ-1 iOtv)*, u]ds— [ν*, μ-1 rot u] ds
ф£>= IL . . 0±> s-
two* dv
ν
(3.33)
') Здесь и в дальнейшем в п. 3.4 V' есть V, за исключением точек
поверхности S'. В последующих параграфах штрих при аналогичных
обстоятельствах опускается.

36
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
(функционал Фя' был предложен В. Г. Феоктистовым). В другом
варианте вместо (3.33) пишется функционал
| μ-1 rot и rot v*dv~\- [(μ-' rot ©)*, и] ds— [ν*, μ~' rota] ds
rnC) V S" 5°
φ(Ε) _ . _ . ;
two* dv
V
(3.34)
(в формулах (3.32) — (3.34) производится варьирование ν). Совершенно
аналогично преобразуется функционал (3.27). Заметим, что к левому
поверхностному интегралу в (3.34) можно дописать произвольный
постоянный множитель, не изменив стационарных значений
функционала.
Рассмотренные в этом параграфе функционалы электродинамики
относятся к наиболее общим. Они стационарны на решениях краевых
задач для уравнений Максвелла, а также для следующих из них
уравнений (1.10), (1.11). Не обсуждая пока вопросы, относящиеся к
применению полученных вариационных формулировок, отметим только,
что легко построить различные их частные формы (например, с u = v)
и аналоги, которые здесь не выписываются. Так, например, можно
получить модификации всех функционалов для случая граничных
условий на S° типа холостого хода. Рекомендуется проверить это в
качестве упражнения.
Частные формы типа (3.4) функционалов (3.20а), (3.26) и (3.30)
содержатся в [3], большинство приводимых функционалов в общей
форме (3.10) и (3.8) —в [4] и [5].
В дальнейшем, кроме рассмотренных функционалов и их
двумерных форм, встретятся и иные.
§ 4. Системы собственных функций
4.1. О вихревых и потенциальных собственных функциях.
Среди различных бесконечных систем функций, принадлежащих
данному функциональному пространству, мы будем выделять системы
собственных функций симметричных операторов; причины этого будут
объяснены в § 5. Какую-либо систему функций и1: и2, к3· · · · будем
обозначать символом {и,}. Уже отмечалось, что собственные функции
симметричного оператора J?, т. е. решения задачи (1.18), при
эрмитовом q ортогональны с этим весом (1.26). Это подчеркивалось
в примерах § 2.
Рассмотрим некоторые свойства собственных функций
операторов J3?Е и J2?'//, подразумевая в данном случае операторы" задач
(2.5) и (2.11).

§ 4] СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 37
Очевидно, для этих операторов J?« = 0, если и — какая-нибудь
потенциальная (безвихревая) функция a£Drot. т. е. такая, для
которой
rot и —0.
Каждая функция этого рода должна рассматриваться как собственная
функция оператора J?Е или J2?н при собственном значении cdJj = 0,
что видно непосредственно из уравнений (2.5) и (2.11), Так как
существуют (и могут быть построены) бесконечные системы
потенциальных функций и £ Д-0ь то очевидно, что собственное значение
cug = 0 оказывается оо-к ρ а т н о вырожденным; позднее выяснится
важность этого обстоятельства. В то же время всякое собственное
значение ω2(φ0, как подчеркивалось в § 2, принадлежит спектру
полого электромагнитного резонатора, заполненного средой с прони-
цаемостями ε и μ. Легко видеть, что соответствующие собственные
функции Ει (2.5) и #г (2.11)— поля такого резонатора, —не будучи
потенциальными:
tot Ει Φ 0 и tot ΗιΦ 0, (4.1)
также (в общем случае) и не соленоидальны, т. е.
άίνΕιφΟ и άίνΗ(φΟ. (4.2)
Действительно, образуя расходимости в уравнениях (2.5) и (2.11),
получаем
dive£; = 0 и ύϊνμΗι = 0, (4,3)
что приводит к (4.2), когда среда неоднородна или
кусочно-однородна, а также анизотропна. Собственные функции Et наверняка
являются соленоидальными (вихревыми) при скалярном в, постоянном
в области V, а собственные функции Hi—при скалярном постоянном μ.
Системы собственных функций операторов J?E и J?И задач (2.5)
и (2.11) будем обозначать [Ει, Ε ι·) и [Ht, Η г] соответственно как
совокупности пепотенциальных — «квазивихревых» — подсистем {£;},
{fft} и потенциальных подсистем {Е{·}, [Ηι<]. Так как
ω^ = ω^, =ωί;, = ... =0,
то совокупность собственных значений этих операторов имеет вид
0 = ω2 < Re ω2 < Re &\ < ... < oo, (4.4)
где ω^ — низшее собственное значение (квадрат собственной круговой
частоты) резонатора, которое, однако, не является низшим в (4.4).
Возьмем теперь оператор Максвелла задачи (2.22). Записывая
одну из его собственных функций и отвечающее ей собственное
значение
и^{Ен) и ω"

38
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
(ГЛ. 1
констатируем, что входящие функции Et и Н1 — это собственные
функции операторов ЛГЕ и J?я задач (2.5) и (2.11), а ω; есть
корень квадратный из их общего собственного значения ω|.
Составляя функцию
«-.=(-2,)·
при подстановке в (2.22) видим, что она также является собственной
функцией оператора Максвелла этой задачи, причем ей соответствует
собственное значение —шг; назовем его а>_1. Можно расположить
собственные значения в виде
— оо <^ . . . <; Re ω_2 -С Re ω_, < ω0 = 0 < Re ω, <^ Re ω2 ~< . . . <C oo,
(4.5)
где все at при / ^> 0 — квадратные корни из собственных значений
спектра (4.4), а ш_г — — ω;. Нулевое собственое значение по-прежнему
бесконечно вырождено.
Напомним, что оператор Максвелла задачи (2.22) симметричен
независимо от свойств среды, а операторы J2?Е и J2?н задач (2.5)
и (2.11) симметричны при эрмитовости μ и е соответственно; эрми-
товость обеих проницаемостей необходима и достаточна, "чтобы
собственные значения (аг были вещественными. Выделение
потенциальных подсистем {£/'}, [Hi·} и [Ur\, где
«*-£)■
не имеет прямой связи с вопросом о симметричности операторов.
4.2. Приведенные операторы и их собственные функции. Как
можно заключить из сказанного, потенциальные подсистемы
рассмотренных электродинамических операторов являются в известной степени
неопределенными и не порождаются соответствующими краевыми
задачами непосредственно. Поэтому для исследования систем
собственных функций [Ει, Ег} и [Hi, Hr} в целом приходится вводить
в рассмотрение новые операторы')
LE~- rot μ-1 rot — c,8grad div8 (4.6a)
и
£я = rote-'rot— ο2μ grad divμ, (4.66)
которые условно будут называться «приведенными» (к виду, сходному
с оператором Лапласа V2=—rot rot+grad div). Их собственные
значения, отвечающие потенциальным собственным функциям,, уже
1) Константы С\ и с2 введены для соблюдения физической размерности.

§ 41
СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
39
не равны нулю, и не имеется оо-кратно вырожденного нуля. От
J3?E и J2?и эти операторы, как видно, отличаются «дополнениями»
J2"E =— egraddlve и J?"H = — μ grad div μ, (4.7)
так что
LE=^E+Cl^"E (4.8a)
LH = S'H + c2J3"H. (4.86)
Выясним области определения операторов LE и LH. Очевидно,
что функции и £ Dl , кроме свойств и ζ D& , должны обладать также
свойствами u£D /, т. е. согласно (4.7) во всяком случае на любой
поверхности S' внутри V должны быть непрерывны (ε«)ν и div ей.
Оператор LE будет симметричен на функциях, подчиненных условиям,
при которых симметричны J2?Е и J2?'E в отдельности. Аналогичны
свойства оператора LH и функций u£Dl .В частности, согласно
(4.7) эти функции обязательно должны иметь непрерывные (μ«)ν и
div μα на границе S' внутри области V.
Следующий шаг состоит в конкретизации приведенных операторов
LE и LH. Надо найти условия, при которых они порождают системы
функций, подлежащих исследованию. Имея это в виду, ответим
сначала на вопрос, когда эти операторы симметричны, если входящие
в (4,8 а, б) J3?Έ и -3Ή — операторы задач (2.5) и (2.11). С этой целью
рассмотрим дополнения J20"E и J2?'H.
Составляя выражение Ах, (см. п. 1,2), имеем
Аг' = {divs« (div ev)*— div ε« (div εν)*} dv —
— J" {dive«(ei?)* — 8«(divei»)*} ds. (4,9)
5 + 5' (±)
Для выполнения условия симметричности J?'Е тензор ε должен быть
эрмитов (при этом объемный интеграл в (4.9) исчезает). Что касается
поверхностного интеграла, то в силу непрерывности (ε«)ν и dive«
на S' достаточно рассмотреть его на внешней границе 5. Поскольку
векторные функции должны быть подчинены граничным условиям
задачи (2.5), то из двух достаточных условий уничтожения
поверхностного интеграла выберем следующее:
div8a = 0 на 5 для uf-D > (4,10)
ZE
/'разумеется, в (4.9) и, νζΟ Λ.

40 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Аналогично исследуем ^2Ή· Построим выражение А
[ГЛ.
-я
Ах< = [div μα (div μν)*—άΊνμιι(άΊνμν)*\ dv—
ν
— Γ [div μα {μν)*—μ и (div μν)*) ds, (4.11)
S + S'(±)
Подобно предыдущему при эрмитовости μ достаточно уделить
внимание поверхностному интегралу по внешней границе 5 (интеграл
по S'(±) исчезает, как и раньше, в силу непрерывности
подынтегрального выражения). Поскольку функции должны быть подчинены
граничным условиям задачи (2.11), для уничтожения поверхностного
интеграла выбираем условие:
(μ«)ν = 0 на 5 для u£D#·
(4.12)
Отметим, что оно автоматически выполняется для функций ut~Ds
в задаче (2,11), но на функции u£Dl это условие должно быть
π ал о ж е н о.
Теперь мы располагаем необходимыми предварительными
сведениями, чтобы поставить граничные задачи, порождающие системы
подлежащих исследованию векторных функций, а именно:
Ен = 0 на S,
div е£; = 0 на 5
(4.13)
(-2Ή
с S" \Н
ЬТ^ И) i
(e-'rot^)t = 0 на 5,
(μ/7£)ν = 0 на 5.
(4.14)
Задачи (4,14) и (4.13), таким образом, отличаются от (2.5) и,
соответственно, от (2.11) также и внешними граничными условиями.
Дополнительные граничные условия необходимы, чтобы операторы
задач LE и LH при эрмитовых ε и μ были симметричны.
При эрмитовых ε и μ собственные функции будут считаться
ортонормированными:
(壄 Ek) = bik и (μ//,, Нк) = Ь1к
(4.15)

Опера-
а) ^ЕифО,
б) _2V» = 0,
в) £>Еи = 0,
г) ^ЕифО,
гор LE
-2> = 0,
-2> Φ 0,
-2> = 0,
3?'Еи Φ 0,
Оператор L
а) ^ииф0,
б) ^я« = 0,
в) &ни = 0.
г) ^яи =,£= 0,
3?"ни = 0,
^'ни Φ 0,
^"ни = 0,
3"ни Φ 0.
§ 4] СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 41
При изучении систем собственных функций надо различать
следующие возможности:
(4.16)
Каждое из условий (4.16), очевидно, может привести к выделению
обособленной подсистемы собственных функций. Рассмотрим их
последовательно.
4.3. Квазивихревые подсистемы. Для реализации случая (4.16а)
должно быть
divef;^ const и div μΗι = const, (4.17)
но граничные условия задач (4.13) и (4.14) будут удовлетворены,
только если const = 0, так что (4.17) переходит в (4.3). Можно
сказать, что в данном случае LE = J2?E и LH—J2?H, а уравнения
(4.13) и (4.14) переходят в (2.5) и (2.11). Однако необходима весьма
существенная оговорка. Ввиду того, что левые части уравнений
(2.5) и (2.11) в соответствии с требованием (4.16а) отличны от нуля,
все равные нулю собственные значения исключаются. Таким
образом, случай (4.16а) означает выделение подсистем {£;} и {Ht)
с собственными значениями
0 <Reu)2<Reco2< ... <оо, (4.18)
где G)f—квадраты собственных частот электромагнитного резонатора.
Эти непотенциальные подсистемы уже рассматривались в п. 4.1, где
было отмечено, что соответствующие собственные функции в общем
случае также и несоленоидальны. Они будут называться
квазивихревыми.
4.4. Потенциальные подсистемы. В случае (4.166) уравнения
(4.13) и (4.14) принимают вид
~gtadd'ivEEl,=G>li,Ei, (4.19а)
и
— ΒΐΛάάΙνμΗι,=ΰ>ΙιΙΙΗ,.. (4.196)
Здесь собственные значения отмечены индексами «э» и «м», чтобы
подчеркнуть, что они, вообще говоря, различны и не принадлежат
спектру (4.18). По смыслу самого исходного требования (4.166)
ни одно из этих собственных значений не равно нулю:
®l„*o*Kt'*o- (4·20)

42 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
Как видно из (4.19), собственные функции потенциальны:
totEi'—O, rot Hi = 0, и можно положить
Ev — — gradcpai' (4.21a)
и
//,■=—gTadq>¥i.. (4,216)
Введенные скалярные собственные функции оказываются решениями
уравнений
— сПуе£гас1срэ/,=с»2.,срэ/, (4.22а)
и
— (1ϊνμρ3(1<ρ¥/, = ω^/,<ρ¥/„ (4.226)
вытекающих из (4.19).
Для дальнейшего исследования понадобится формула
(ψdiv9gradφ-4-д'gradφgradψ)rft< =^ ф tyqgradqds, (4.23)
ν s
где q = & или q= μ. Справедливость этого соотношения, которое
можно рассматривать как обобщение теоремы Грина, легко
проверяется для φ и ψ, градиенты которых принадлежат D · или D ■ .
Полагая в (4.23) ψ = φ*6,, φ = φ3ί, и } = ε, имеем
-<V^bV Ф^'Ж8^" Ek-)=§%k^elad%rds- (4·24)
5
Так как на 5 тангенциальная компонента векторных функций
Ev = — νφ3; уничтожается, то, следовательно, скалярные функции φ9/<
там постоянны. Принимая во внимание (4.24), берем const = 0, т, е,
qV=0 на S. (4.25)
Тогда оператор divegrad при эрмитовом ε симметричен, а
уравнение (4,22а) дает задачу Дирихле, причем согласно (4.24) система
{ψ3ί'\ ортонормирована следующим образом:
{%f %*■) = %>%*,- (4.26)
Взяв в (4,23) ψ = φ* ,, φ = φ и ί = μ, получаем
-<1'{%г- <Ρ,,*0 + (μ//''· Hk') = §(fl^^aa%rds- (4·27)
5
На границе 5 уничтожается нормальная компонента (μ//;>)ν = (μνφΜ^)ν.
При вытекающем граничном условии
№gradqv)v = 0 на $ (4.28)

§ 4] СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 43
и эрмитовом μ оператор divngrad симметричен, а уравнение (4,226)
порождает задачу, аналогичную задаче Неймана. Система собственных
функций {φΜ/.} при этом согласно (4.27) ортоиормирована подобно
предыдущему:
(%г> ^) = Ά^ (4·29)
Итак, в рассмотренном случае возникают операторы,
производящие потенциальные подсистемы:
{Ει>} с собственными значениями
О < Re 0)2,, < Re й4, < . .. < оо (4.30а)
и {//;'} с собственными значениями
0 < Re а>2,, <Rea>22,< . .. <оо. (4.306)
4.5. Квазигармонические подсистемы. Поскольку в случае (4.16в)
левые части уравнений (4,13) и (4,14) обращаются в нуль, то
решения (отмечаемые в дальнейшем индексами 0г) могут существовать
только при собственных значениях, равных нулю:
а&, = 0. (4.31)
Имеем
rot μ"1 rot £0,:' =0, }
grad divecoc — 0 J
и
rote-irot/70/' = 0, 1
graddh^tfor=0, } (4,32б)
Вторые строчки (4,32) можно рассматривать как вырожденные формы
уравнений (4,19), которые возникают в силу (4.31). Первые же
указывают на потенциальные решения
и
Таким образом.
и
Е0{.= -gradq^,
Я0<( = -^а<1<С.
возникают скалярные }фавнения')
divegrad φ° =0
divμgradφ°/, — 0.
(4,33а)
(4.336)
(4,34а)
(4.346)
') Без противоречия с предыдущим div ε£ = const и dlv μι//= const
исключается.

44
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. ι
Возьмем сначала электрическую задачу. Из (4.23) вместо (4,24)
получаем
(grad φθ,,)*ε grad φ°,, dv = ф (φθ,,)* ε grad φ°Γ ds, (4.35)
имеем
(4,36)
(4,37)
В то же время, положив в (4.23) ψ=1, φ = φ? и q — ε,
8gradcp0,, ds = 0.
f
При граничном условии
φ°., = 0 на 5
поверхностный интеграл в (4,35) обращается в нуль, что означает
исчезновение Еы, =—^ФэГ во всей области, Оставаясь в
пределах DL , можно задать также
qp = const на 5,
(4,38)
Однако в случае области простейшего типа (когда любая замкнутая
поверхность внутри V вроде сферической может быть сведена в точку
при непрерывной деформации) это ведет к следующему выражению
правой части (4.35);
const* ф ε grad φ°;, ds,
Рис, 1.1.
что в силу (4.36) тоже дает нуль.
Это значит, что для
указанных областей (рис, 1.1, а)
собственные функции Еоу
отсутствуют,
Для более сложных областей
поверхность 5 может
распадаться на изолированные части, например 5 = 5t -f- 52 -f- S3 (рис. 1.1,6),
и мы вправе на каждой из них присвоить скалярной функции φ°(.,
свое постоянное значение. Пусть, например, область 5 ограничена
двумя поверхностями: S = S1-\-S2, на которых <р°г, имеет значения
Ф, и Ф2 соответственно, Тогда в правой части (4.35) получим
Ф* Г egradcp°,,ds-f®J J Egtau(f°3i,ds,
что, вообще говоря, отлично от нуля. Здесь существует одно
решение (собственная функция) £οι'· В более сложных случаях будет
несколько такого рода собственных функций, но их число всегда
конечно,

* 41
СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
45
В магнитной задаче запишем сначала соотношение, аналогичное.
(4.35) и получаемое тем же путем из (4,23):
\ (^ad <&-)* μ grad <ρθ (, dv = & (φ°Μί„)* μ grad φ°Μί, ds. (4.39)
V S
Единственно приемлемым (совместимым с принадлежностью Ног
к классу DL\ является граничное условие
^gtad<p°uj,)v = 0 на S. (4.40)
Это исключает возможность существования собственных функций Hot·
в случае областей односвязных (рис. 1.1, а, б). Если область
многосвязна (рис. 1.2, а, б), то ее при помощи перегородок можно свести
к односвязной (на рис. 1.2,6
в двусвязную область введена
одна перегородка), и
двусторонняя поверхность
перегородок присоединяется к 5.
Предположим, что функция φ0,,
* ■' * ΜΙ
неоднозначна, что связано
с обходом замкнутого контура
(L на рис, 1.2, б), Тогда
функции (μ grad φ°(Λ следует
приписать разные значения при
интегрировании по двум сторонам
перегородки, и интеграл справа в (4.39) не уничтожается. Это значит,
что функции //о,:- в случаях многосвязных областей V существуют
(одна собственная функция Нт' в двусвязной области).
Легко видеть, что рассмотренная задача Дирихле для уравнения
(4,34а) есть электростатическая задача, а рассмотренная задача для
уравнения (4,346), аналогичная задаче Неймана, — стационарная
магнитная задача. Речь идет об аналогах уравнения Лапласа, и, поскольку
решения последнего называются гармоническими функциями, еобствен-
ные функции Еоу и Ног будем называть квазигармоническими,
Они становятся гармоническими при постоянных е и μ,
В заключение подчеркнем, что никаких иных собственных
функций, кроме этих квазигармоиических, в случае (4.16в) не возникает.
Может показаться, что, например, помимо требования (4,33а)
существует независимая возможность
μ"1 rot Ε = grad ψ.
Но при этом из (4,23) можно получить
| μ grad ψ grad ψ* dv = ф ψ* rot E ds,
Рис, 1.2,

46
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
где интеграл справа равен нулю, поскольку для E£DL должно
быть£,т=0, а следовательно, (rot E)V = 0 на 5. Поэтому gradvl> = 0,
откуда rot£ = 0 в V. Таким образом, опять имеем (4.33а).
Аналогично отвергается как независимое равенство е-1 rot ff = grad φ.
4.6. Заключение и выводы. Обратимся к последней строчке
в (4.16). Взяв, например, электрическую задачу, можем положить
μ~4οίΕ — — to/г,
dive£ = p
(Ε— предполагаемое решение, ω Φ 0), причем ρ и hx непрерывны в V.
Тогда уравнение (4.13) принимает вид
— to rot Λ — c,egrad ρ = ω2ε£. (4.42)
Образуя здесь расходимости, находим
— С] div e gradp=co2p, (4.43)
причем в силу (4.10)
р = 0 на 5. (4.44)
Мы пришли, таким образом, к уже исследованной задаче Дирихле.
Так как ω Φ 0, то для любых областей V имеем
ρ = Αψ3ί,, а? — суэ{1. (4.45)
Аналогично получаем из (4.42) вихревое уравнение
ΐΌίε~1ΓοίΛ = ω2μΛ, (4.46)
из которого при должных граничных условиях на 5 следует
h^BHr ω2 = ω27.. (4.47)
Подставляя (4.45) и (4.47) в (4.42), запишем
BuxujEj -\-АЕс>— со2£, (4.48)
что может иметь смысл только в случае вырождения: CjO)2., =ω2:
Тогда Ε — линейная комбинация найденных ранее собственных
функций Ej и Ει'. При отсутствии вырождения (4.48) указывает на
несостоятельность предпосылки (г) в (4.16).
Совершенно так же исследуется и магнитная задача.
Итак, системы собственных функций операторов LE и LH задач
(4.13) и (4.14) делятся на квазивихревые, потенциальные и квази-
гармопичные подсистемы. Полученные выше результаты сведем
в табл. 1.1.
(4.41)

§ 4] СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 47
Таблица 1.1
Строение систем векторных функций электродинамики
Электрическая задача
Магнитная задач
Система функций
Квазивихревая
подсистема
Потенциальная
подсистема
Квазигармоническая
подсистема (конечная)
{£г, Ег, (Еы,)}
№}■·
собственные значения
О < Re ω? < .,. < со
{Ε,,γ.
собственные значения
0< Recug,, < ... <со
(отсутствует в простой
полости) собственные
значения:
{ffe, Hr, (Яог)]
{Hi}:
собственные значения
О < Re cdJ < .. . < со
собственные значения
О < Recu^,, < ... <со
№·}
(отсутствует в односвяз-
ной полости)
собственные значения:
"οι'
"Ok'
■■О
«or =
«oV=0
Эти же системы можно рассматривать как системы собственных
функций операторов _2°'Е и J?и задач (2.5) и (2.11), но при
добавлении бесконечно вырожденного собственного значения, отвечающего
потенциальным и квазигармопическим функциям. Все указанные
в таблице собственные значения вещественны при эрмитовых е и μ.
Отметим, что вместо граничных задач (4.13), (4.14) и (2.5), (2.11)
можно было бы исследовать иные (например, с граничными
условиями, восходящими к (2.4) и (2.10)) и прийти к аналогичным
заключениям.
Закончим этот параграф записью функционалов, которые
выражают вариационные задачи, порождающие рассмотренные системы
собственных функций. Это—функционалы типа (3.10) для
операторов LE и LH:
(rot μ~' rot U — CiEgrad div ей) ν* civ
Ф°в = -
(4.49)
εα·ΰ* dv
Φϋ„ =
/
(rot ε "' rot и — ο2μ grad div μκ) ν* dv
ι
\mv* dv
(4.50)

48 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Интегрированием по частям их можно привести к виду
Г (μ-! rot и rot ό* + <м div ε« (div ευ)*} άυ
ν
Ф°,Е) = - г (4·51)
ί EUV*
V
Г {е-1 rot и rot ν* 4- Сг div μκ (div μ/»)*)
ί μΚΡ*
do
ф»я)=± . (4.52)
* do
§ б. Ортогональные ряды
6.1. Полнота системы функций. Если в функциональном
пространстве задана оргонормированная система {иг} и некоторая
функция и, то последнюю можно разложить η ортогональный ряд,
или ряд Фурье по иг. Это означает построение функции
со
и=Цагиг, (5.1)
- ί=ι -
обладающей свойством
{qu, ut)~{qu, Иг), /=1, 2 (5.2)
в силу которого коэффициенты Фурье а£ вычисляются как
скалярные произведения:
ai={qu, Ut), 2=1, 2, ... (5.3)
(функции иг ортонормированы с весом q).
Говорят, что ряд Фурье и сходится в среднем к и, если
inn
/V->cc
Ν
и — 2 а*«г
г-1
= 0, (5.4)
где употреблен символ нормы (п. 1.2). Сходимость в среднем имеет
место, если система функций {иг] является полной. Таким образом,
в случае полной системы {иг}
Ци — и|| = 0, (5.5)
т. е. и — И, как говорят, есть нулевой элемент функционального
пространства. Вообще какой-либо элемент пространства,
ортогональный ко всем элементам (функциям) полной системы, является
нулевым. Поэтому следующая из (5.2) ортогональность и—и к \Щ)
свесом q при полноте этой системы приводит к (5.5), где норма понимается

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
49
в смысле (1.21) и при определении сходимости в среднем согласно
(5.4) используется эта же норма. Однако q берется при этом таким,
что (qu, и) ξ
и|| ;>0. Из неравенства
и — 2 atUi
ι-\ -
>0
с учетом (5.2) нетрудно получить следующий результат:
Σι 19 ^ и ||2
\а, г <^ и ,
г-ι
Его предельная форма
ΣΙΟ ■ 11 ||2
(5.6)
(5.7)
называется неравенством Бесселя, Знак равенства в (5.7)
имеет место при полноте системы {иг}. Тогда (5.7) называется
равенством Парсеваля.
Ввиду особой важности понятия полноты рассмотрим его связь
с вариационным принципом для оператора, порождающего ортонор-
мированную систему. Будем считать, что {вг]—система собственных
функций симметричного оператора J? задачи вида (1.18) при
собственных значениях
Обозначим
О < λ, ^ λ2 <ζ[ ... -^ со.
«/ν = Σ apt
= и
ί-ι ■
тогда вместо (5.4) можно написать
|/"^||->0 при N->co.
(5.4а)
(5.8)
Взяв функционал Φ (3.4), видим (см, (3.5), (3,6)), что
ф(>» >λ/ν+1,
так как
(qrN, Щ) = 0 при /=1, 2, .... N.
Раскрывая <D(rN), имеем
ф(г ) = ^>^)= 1_(_?(и_ }> ц_Ц/у)==
(<"> γν) II'/ν Ι ζ
= —L-5-К^И, В) —(.241. В^) —(^Вдг, В) + (^ВЛ,, Вдг)},

50
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
причем
N
ί-Ι ~
Ν Ν
{J2?uN, α)=2βΛ(«ί. ?«)=Σ|θ;Ρλ;·
Ν
{^u, uN) = {^uN, и)* = 2 I at Ρ λ,,
г-ι -
так что
ί Ν }
Ф (''/ν) = ~ψ (-2Ί*. и) - 2 I aJ Ι2 λ< ' (5'9)
\\rN\\q \ ί-ι J
Объединяя (5,8) и (5.9), получаем следующее неравенство:
ί Ν \
—L^Uj^u, «)-2|βίΙ2Μ>λΛΗ.,. (5.10)
ll^ll,, I t-i J
Вычитаемое в фигурных скобках положительно, Следовательно, тем
более,
—1—а(^и. «)>λ/ν+ι, (5.11)
\\γν\[
или
|| ||2 < (J3TU, U)
4 Λ/ν + ι
С ростом N собственное значение λΝ+ι неограниченно возрастает,
a (J?u, и) — величина постоянная для данной функции и,
разлагаемой в ряд Фурье. Поэтому
\\rN\\q->0 при N-><x>, (5.12)
что совпадает по форме с (5,4а) и свидетельствует о полноте системы
собственных функций симметричного оператора с указанного типа
множеством собственных значений при определении сходимости
в среднем по норме (1.21).
Как видно из самого вывода, он сделан в предположении, что
u£Dg. Однако в практике построения рядов Фурье оно часто не
оправдывается. Коэффициенты Фурье могут вычисляться при гораздо
более общих предпосылках, и в ряды Фурье разлагаются, например,
функции с разрывами первого рода, когда дифференцирование в
некоторых точках оказывается незаконным. Рассмотрим функцию
ίί'ξΰ^, однако такую, что в области D% можно как угодно
приблизиться к ней по норме || . . . || ; иными словами, для любого
положительного ε найдется такая функция ue^Ds, что || и' — «g||<e.

§ 51 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ SI
Тогда ряд Фурье и' по системе (иг) будет сходиться в среднем к и'.
Полнота системы {иг] имеет место, таким образом, не только по
отношению к функциям u^D^.
5.2. О сходимости в частичной области. Вернемся к
определению полноты (5.4) и (5.5), чтобы сделать одно простое замечание.
Под скалярным произведением (и, ν) понимается интеграл по
некоторой области V (1.19), Разбив V на две части К, и V2, можем
написать
(и, v) = (u, ι?)ι-Η«, ν)2,
где индексы «1» и «2» означают, что соответствующие интегралы
берутся по частичным областям. Очевидно, в том же смысле верно
II МО II NO ι Μ МО
\\ν\\2 = \\ν\\ζι-\-\\ν\\^.
Пусть теперь ν = и— uN, где uN, как и в п, 5.1, есть сумма
первых N членов ряда Фурье и функции И, который сходится к ней
в среднем (см, (5.4)), или, как скажем теперь, «сходится в среднем
в области V», поскольку норма определена как интеграл по V. Легко
убедиться, что ряд и сходится также в среднем к и и в области V,,
являющейся некоторой частью V. Действительно, согласно (5.4)
II"° IP '^е'
где ε — любое положительное число, соответственно которому
выбрано N. Отсюда непосредственно следует, что
||г>||2=:||<г>|р — \\ν\\* < ε — ||τ>|^ < ε,
т. е.
lira ||и —«iV||,->0. (5,13)
N-+ca
В этом смысле можно говорить, что первоначальная система
собственных функций [иι) полна в области Vv Но в области Уг эти
функции не ортогональны, так как вообще
Тем не менее разность и — И, будучи нулевым элементом:
|| и — и ||ι = О,
ортогональна ко всем и(, т. е.
(q(u — u), ti,)i = 0, /=1, 2, ... (5.14)
Система функций {«,}, как можно показать, линейно
зависима в области Vj, т. е. может быть, что
оо
SW-O. (5.15)

52
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
где не все ct равны нулю. Ограничимся простой иллюстрацией.
Вместо объема V рассмотрим отрезок L (рис. 1.3), на котором /,,
отвечает частичной области V{, пусть /,==2/,,. Некоторую
функцию / (х), заданную на /,,, можно разложить в сходящийся ряд Фурье
ΪίΊίΚ )
sin -η1- >. Если же в качестве базиса используется си-
ίΐτΐκ }
sin —j— \, то
в разложении будут участвовать
все уже фигурировавшие члены и,
кроме того, еще бесконечное мно-
-^^ жество «лишних»; низший из них
"^ι ч соответствует основной гармонике
L ^ я χ
большого отрезка sin-„^- (эта
Рис i3 функция показана на рис, 1.3
пунктиром). Но каждая из таких
функций на малом отрезке разлагается в ряд Фурье по его функ-
Ы.х „ г-,
циям sin—;— , т. е. линейно выражается через них. Поэтому в сумме
м
типа (5.15) могут быть так подобраны коэффициенты сг, не все
равные нулю, что она обратится в нуль.
Составляя скалярные произведения {quh щ): получим из (5.15)
систему уравнений:
(quv α,^ + ζ?^. и2),с2*4- ■·· +(?и2. ик\с\+ ... = 0,
(qun, α,),^+ (?«„. И2),<+ ... +(?«„, Uk\cl+ ... =0,
(5.16)
которая в соответствии со сказанным должна иметь нетривиальное
решение (с*,
А, а для этого (поскольку система
однородна: правая часть равна нулю) должен уничтожаться ее
определитель ')
(?«,, и,), (?«,. и2)г · ■ · (?«,. и*), ■
(qu2, «[)[ (?и2, щ\ . . . {qu2, и*,).
Δξξ
(qun, «,),(?«„, и2),
(?и„, и*),
= 0,
(5.17)
называемый определителем Грама. При 9=1 получаем
частную форму уравнения (5.17).
>) Строго говоря, такие рассуждения применительно к бесконечным
системам нуждаются в дополнительном обосновании.

I 61
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
53
5.3. Электродинамический базис. На основании п. 5,1 можно
утверждать, что системы собственных функций операторов LE и LH
задач (4,13) и (4,14) при эрмитовых ε и μ полны и, в принципе,
могут использоваться (служить базисом) для разложения полей Е,
Я, β и В в различных задачах электродинамики. Однако надо иметь
в виду, что при ε и μ в (4.13) и (4.44), зависящих от координат,
эти функции имеются в распоряжении лишь в исключительных
случаях, так как обычно они не могут быть найдены в замкнутой форме,
В дальнейшем такие собственные функции будут фигурировать как
объект исследования, а не как средство. Но в аналитической
замкнутой форме существуют собственные функции задач (4,13) и (4,14)
для ряда простых областей с однородным изотропным заполнением
(ε и μ — константы). Они и будут играть конструктивную роль.
Рассмотрим эти собственные функции подробнее. Полагая в (4,6а, б)
ε = /εη, μ = /μη, с, = ε-2μ~1 и с
тождества
ε-'μ-*, с учетом векторного
rot rot F — grad div F = — V2F,
имеем Lr
1 1
V2 и LH — · V2. Поэтому краевые задачи (4.13)
μ0
и (4.14) приводятся к виду
-4% = k*Et,
div£ = 0
на 5
(5.18)
— V2tf. = Η\Ηυ
(rot//,.),=0,
Η
i\-
0
на 5
(5.19)
где обозначено &2 = ω2ε0μ0. Таким образом, речь идет о собственных
функциях1) двух задач для оператора Лапласа V2. Строение
полных систем собственных функций задач (5.18) и (5.19)
определяется уже известной схемой (табл. 1), но характер выделенных
подсистем проще, чем в общем случае.
Подсистемы {£г} и [Ht}, очевидно, возникают в данном случае
из двух краевых задач для оператора rot rot при исключении
собственных значений, равных нулю. Это — вихревые (соленоидаль-
ные) функции
div£
:0
div Η, = 0.
(5,20)
') Ортонормировка (4.15) в дальнейшем сохраняется при е = /ε0 и μ = /μ9.

54 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
К данному термину восходит употребленное в § 4 выражение
«квазивихревые» функции. Соответствующие собственные значения
О <ω^<ω2< ... <со (5.21)
— это квадраты собственных частот полого резонатора с однородной
изотропной средой (значения ε0 и μ0, указанные в п. 1.1, отвечают
вакууму).
Потенциальные подсистемы {£г>} и [Иι'},
rot£r = 0 и tot Ηι· = 0 (5.22)
возникают теперь из краевых задач для оператора — grad div, В
уравнениях (4.22) мы имеем, таким образом, операторы Лапласа, так что
Фэг' и ФмГ находятся из следующих задач Дирихле и Неймана:
у2ф = _ £2 1 ν2φΜί, = - Α^,φ -j
тэГ 9i'T3i" j
со — 0 на 5 " Офм'" π ς (5'23)
Ψ4ι· — υ на ° —3— = 0 на о.
Наконец, подсистемы третьего рода [Еы<\ и [Н01<) соответствуют
случаю, когда в (5.18) и (5.19) появляются уравнения Лапласа:
V2E0j' = 0 и ΨΗοι- = 0. (5.24)
Функции qPt, и (ful,, градиентами которых являются EQl, и HQr,
находятся из задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа;
y2ffio _ о ι
Vy., = 0, ) v<PmJ-— '
ср°г = 0 на 5 _J£L = о на S,
т. е. это — гармонические функции. Векторные функции Εοι·
и Η0ι< также можно называть гармоническими, для них
rot Εοι· = 0, 1 rot Ηοι· = 0, ϊ
div£0r = 0 j " Aiv Ног = 0. J (5'26)
Все сказанное в § 4 о типах областей, для которых существуют
собственные функции при равных нулю собственных значениях,
остается верным (см. п. 4.5),
Полные системы собственных функций задач (5.18) и (5.19) будем
обозначать [Εί: Ε^} и [Н1: //;-}, подразумевая, что если
гармонические функции существуют, то они включены в потенциальные
подсистемы, отмеченные штрихами. Будут также использоваться
собственные функции

I 5] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 55
где Ε (/) и //.(/)—собственные функции задач (5.18) и (5.19),
вихревые либо потенциальные и гармонические (штрих в скобках означает,
что он может стоять или не стоять). В (5.27) штрих ставится или
снимается при электрической и магнитной функциях в столбце
одновременно.
Иногда будет удобно рассматривать собственные функции [Et, Et<)
и {//,·, Hi·} как решения (при соответствующих граничных условиях)
системы уравнений Максвелла:
rot Ε (/) = — ίω (Ομ0// (/>. )
t ω,'=0. (5.28)
Γθί//ί(/)=ίωί(/)ε0Ε((/) J
Наконец, в ряде случаев мы будем использовать также
собственные функции оператора Лапласа со «смешанными однородными
условиями»
— V2F. = k2.F.,
I II'
F. =0 } (totF,)r = 0 )
div? = o)MS> /^ = 0 JHaS> <Si + S» = S>- <5-29>
а также собственные функции других краевых задач.
Некоторые подробности, касающиеся наиболее употребительных
собственных функций, сведены в приложения к этой главе.
5.4. Условия разложимости по вихревым и потенциальным
подсистемам. Разлагая произвольную векторную функцию F в
области V по собственным функциям задач (5.18) и (5.19), имеем
оо
£= Σ (aiEi-^-Oi-Ef) (5.30)
ί(')_1
F= Σ ΦΑ, + ^Ή,.). (5.31)
- ί(')_ι -
Один из вопросов, относящихся к применению этих разложений
в конкретных задачах электродинамики, можно поставить так: какими
свойствами должна обладать функция F, чтобы в (5,30) и (5.31)
можно было оставить только вихревые или только потенциальные
подсистемы?
Взяв коэффициенты Фурье при вихревых функциях
Ч = εο \ FK dv " »* = μ0 \ FH\ d*. (5.32)
положим
Еь — rot Ни и Ни — rot Es.

5β ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Выражение коэффициента ак можно преобразовать следующим образом:
V 5 + 5' (±)
где, как и раньше, 5' — поверхность разрыва F внутри области V.
Как видно, все коэффициенты при вихревых электрических
функциях аи обращаются в нуль, если1)
rot F = О, |
Fx+ = Fx_ на 5', (5.34)
FX = Q на 5, )
т. е, в случае, когда разлагаемая функция F потенциальна (там, где
она непрерывна), не имеет разрывов тангенциальной составляющей
внутри области V и нормальна к внешней границе S. Очевидно, что
при разложении такой функции в ряд Фурье по электрическим
собственным функциям можно отбрасывать вихревую подсистему [£г].
Для Ьк получаем аналогичное (5.33) выражение
i"=—kl^toiPdv—k I \Ei-F\ds< ί5·35)
V 5+5' (±)
которое дает следующие условия обращения Ьк в нуль:
rotF = 0, )
Fx+ = Fx_ на 5'. J
(5.36)
(5.36) отличается от (5.34), потому что электрические собственные
ФЗ'нкции Ек нормальны к 5, и соответствующий поверхностный
интеграл исчезает независимо от вида функции F. Таким образом,
условие отбрасывания магнитной вихревой подсистемы оказывается более
слабым, чем электрической.
Исследуем коэффициенты Фурье при потенциальных и
гармонических функциях, принадлежащих подсистемам [Е^] и [Н^}
(5.37)
(5.38)
') Вместо первых двух строчек в (5.34) и ниже в (5.36) можно было бы
писать просто rotF = 0 в области V без исключения границы S', поскольку
вторая строчка выражает при этом условие, обязательное для всех F£Drot.
Имея
в
«*■ =
виду, что
4· =
■■%
Et
:εο
ί
ν
ί
ν
FEI
= —
<£*'
,, dv и
**'=Μό
Vcp3£', запишем:
div F dv -
-·. ί
5+5' I
ί
V
:±)
FH\,dv
Vlb.Fds.

§S]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
57
Отсюда следует, что в разложении F по электрическим собственным
функциям можно отбросить потенциальные и гармонические функции,
если !)
div.F = 01
Fv+ = /V "3 S'<
т. е. если разлагаемая функция является вихревой (где она
непрерывна) и имеет непрерывную нормальную компоненту. Подобно этому
для bk< запишем
**' =М-о J Ф^· dlv/'rfw —μ0 J qt^.Fds (5,40)
V S + S' (±)
и, следовательно, i>ft>=0 при условии, что
d\vF = 0, I
fv=0 на 5. J
Условия (5.39) и (5.41) различны потому, что из скалярных
собственных функций φ9;> и φΛΙ/' только срЭ1>< = 0 на границе 5 (см. (5.23),
(5.25)). Условия (5.39) и (5.41), по-видимому, впервые были
отмечены Р. Мюллером [7].
На основании предыдущего можно сделать несколько выводов
о характере рядов Фурье для векторных функций электромагнитного
поля Е, Н, D и В. Векторы £ и Я вообще сохраняют непрерывность
только своих тангенциальных компонент. Поэтому при скачкообразном
изменении электрических и, соответственно, магнитных свойств среды
(разрывных ε и μ) разложения этих вихревых (1.1) функций
содержат и потенциальные части. Если же ε и μ непрерывны внутри
области V, то характер рядов Фурье может зависеть лишь от условий
на внешней границе 5 и (для Е) от наличия источников внутри V(p").
Обычно целесообразно разлагать напряженность электрического поля Ε
по электрическим собственным функциям, а Н—по магнитным.
Предположим, что среда непрерывна и рст=0. Тогда в первом случае
потенциальная часть ряда Фурье опускается независимо от поведения
поля на внешней границе S, а во втором—только при специальных
обстоятельствах; например, ряд будет чисто вихревым в задаче о
замкнутой идеально проводящей полости с однородной изотропной средой.
Но потенциальные члены в разложении Η появятся, например, в
задаче о резонаторе с отверстием, при определенного типа анизотропии
среды, примыкающей к 5, и т, п. Что касается индукции D и В, то
') Вместо (5.39) и первых двух строчек (5.41) можно писать divF = 0
в области V без исключения границы S'. Действительно, вторая строка
выражает при этом условие, обязательное для всех F£Ddlv,
(5.39)

58
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
на характер их рядов Фурье внутренняя среда не оказывает влияния.
При рст=0 разложение D является чисто вихревым, независимо от
условий внутри области и на ее границе. Разложение В остается
чисто вихревым при идеально проводящей внешней границе,
В заключение отметим, что при разложении некоторой функции
'-О
в ряд по [Ut, Uι·} (см. (5.27)) новых вопросов не возникает, а все
сказанное относится к ее электрической и магнитной частям.
Действительно, согласно (2.16) коэффициенты ρ (η ряда Фурье
оо
/= Σ iPuUk + ρ„·υ„0 (5.42)
имеют вид
где а (/) и b (/)—коэффициенты Фурье в разложениях е по [Ει, Ει·}
и h но [Hi, Hi·} соответственно.
5.5. Дифференцирование рядов Фурье. Рассмотрим вопрос
о применении к рядам Фурье некоторых операций почленного
дифференцирования.
Предварительно отметим следующее. Пусть F £ Drot, т. е.
FX+ = FX_ на 5'. Разлагая rotF в ряд Фурье по электрическим
функциям, имеем коэффициенты Фурье:
^(') = εο \ fy)totFdv =
ν
= ε0 J" F rot Ek(f) dv + ε0 _[ [F, &(,,] ds. (5.44)
V S + S'(±)
Очевидно, что
АкфО и А_к' = 0, (5.45)
т. е, ряд является чисто вихревым, поскольку rot Ε /= 0 и Ε (/) = О
на S, а тангенциальные компоненты F и Ε (η непрерывны. При
разложении же rotF по магнитным функциям коэффициенты Фурье
β (/) = μ0 Η* (/) rot F dv =
ν
= μ0 J" F rot /T(0 dv 4- μ0 j* [F, //*<,,] ds (5.46)
V " S\-S;{.±)

§ Б] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 59
вообще в нуль не обращаются. Только в частном случае имеем
ВкфО, Вк=0 при ft = 0 на S. (5.47)
Далее условимся, что электрические величины (векторы Ε и D)
разлагаются по электрическим собственным функциям, а магнитные
(векторы Η и В) — по магнитным. Тогда очевидно, что если
функция F разлагается по [Ει, Ει·}, то функция rotF должна разлагаться
по {//,·, Hi·}, и наоборот.
Выясним, при каких обстоятельствах почленно применима
операция rot к ряду F типа (5.30).
В результате указанного почленного дифференцирования получаем
со
rot/?= V at rot Ef, аг = е0 FEidv, (5.48)
ι-ι ν
где выражение слева в первом равенстве надо понимать как символ
произведенной операции, а смысл ряда справа нуждается в
исследовании. Возьмем для сравнения ряд Фурье функции rotF по [Ηι, Η г]
rot
L= Σ *ίιΜι + ?.ι·Μι·· B_lC) = ^\n]('iroiFdv. (5.49)
Проведенная операция почленного дифференцирования имеет
осмысленный результат (законна), если ряды (5,48) и (5.49) почленно
совпадают, т. е.
aitotEi = BiHi; Br=0, Ρ = 1, 2, . .., сю. (5.50)
Согласно (5.47) это мыслимо только при условии Fx = 0 на «S, так
как иначе Βν Φ 0. Сравним при этом условии члены рядов (5.48)
и (5.49):
at rot£г = ε0rot£г FEldv = — ϊωιε0μ0Ηί FE*dv;
ν ν
BJHi = μ0Ηι j Η) rot Fdv= μ0Ηι ί J F rot H*. dv + § [F, //*] ds } =
V \.V S \
— — ίωιε0μ0Ηι FEi dv.
ν
Итак, требование (5.50) выполняется, и почленное применение
операции rot к ряду (5.30) функции F при Ft = 0 на 5 оказывается
оправданным.

60 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Рассмотрим теперь применение той же операции к ряду Фурье
функции F типа (5.31). Результат подобно (5.48) записываем в виде
rot/^^^rottfi; bi = \i{A FH\dv, (5.51)
ί = ι ν
Для сравнения возьмем ряд Фурье функции rot/7 по [Е-„ Εν]
rot
f= Σ^'Ε'^^'Εί''' ^'> = ε°ί E]i')^Fdv. (5.52)
Как и ранее, произведенная операция осмысленна, если записанные
ряды почленно совпадают, т. е.
bitotHi^AiEr, Ar=0, ί(,) = 1, 2, . . ., со. (5.53)
Во-первых, отмечаем, что согласно (5.45) Αχ< = 0 для всех F £ Drot.
Для дальнейшей проверки производим простые действия:
b_. rot Я. = μ0 rot Hl i FH\ dv = ίω.ε0μ0£. ί FH] dv,
ν ν
Αβι = ε0Ει j Ε) rot F dv = e0£j ( _[ f rot £* do + & [F, E*] ds } =
ν \v s
= mfi^Ei J FHi dv.
ν
Как видно, требование (5.53) выполняется, и почленное применение
операции tot к ряду типа (5.31) функции F является правомерным
для всех F £ Orot-
Далее исследуем применимость операции почленного
дифференцирования div к рядам F функций F£Da[4, начав опять с ряда типа
(5.30). Подобная предыдущему запись этой операции имеет вид
оо
div F = ^ага\ч Ε r; av = ε0 J FE]. dv. (5,54)
Рассмотрим произвольный член полученного ряда. Согласно (5.23)
и (5.38)
av div Ει, = V\re0 J FVcp*r dv =
ν
= -%klr%r{ ί €c.FdS-j^rdivFdv\ =
U' (±)+S V )
= %i-kli*o Ι Φβί· div F dv

§ 51 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 61
(поверхностный интеграл по 5'(±) исчезает, поскольку F£D<uv,
а по 5 — ввиду граничного условия в (5.23)), Мы видим, что это —
член ряда Фурье функции div F по Ыз(Л
оо
^Σ£= Σ 9.ι·%ι·'· Ri- = *эгео J <r AivFdv (5.55)
!' = I * V
(наличие коэффициента k9i> ввиду (4.21а) соответствует нормировке
(4.15), подробнее см, ниже, вывод (5,65)), Ряды (5.54) и (5.55)
почленно совпадают и, следовательно, проведенная операция (5.54)
законна для всех F £ Ddlv.
В случае ряда типа (5.31) при аналогичных обстоятельствах вместо
(5.54) имеем
оо
div^= Yiti divfii'· b_v=\i0\ FH^.dv, (5.56)
i'-l V
Пусть FV=Q на S. Используя (5.23) и (5.40), находим
^.,div^, = V\d, FV^dv
ft'2,,®.,j f m*.,Fds-~ f φ*., div Fdv\
Ml τΜΙ' ( J 'Ml1 J TMt' >
ls'(±) + 5 V I
= m .,№., w*., divFdv
TM( Mi J ГШ
V
(поверхностный интеграл исчезает ввиду наложенного выше на
функции F £ Daiv ограничения). Ряд (5.56) совпадает, как видно, с рядом
Фурье
оо
divF = У С,,ф .,, С„ = k2„ Г φ*., divFdv. (5.57)
/ 1 _i'TMt" £ Mi' J τΜί' \ /
i'-l V
Таким образом, почленное применение операции div к ряду типа (5.31)
функции F^Dtnv при Fv=0 на 5 оправдано.
В заключение используем полученные сведения о
дифференцировании рядов Фурье для нахождения некоторых соотношений.
Пусть F—функция с непрерывной на всякой поверхности 5'
внутри V тангенциальной компонентой, обращающейся в нуль на
внешней границе S, так что, располагая рядом Фурье F типа (5.30), мы
можем применять к нему почленно операцию rot. Согласно (5.2)
\ (F — F) rot Η (0 dv = 0,
ν

62
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
или после интегрирования по частям
J //·(0 (rot F — rot F) dv = (j> [F — F, tf_f,,] rfe.
Поскольку rotF сходится в среднем к rotF, то объемный интеграл
равен нулю и
CJ) [F — F, /Г (,,] ds == J (F — F) [Я*(,)( vq] ds = 0. (5.58)
Под V можно также подразумевать любую частичную область (п. 5.2)
внутри основного объема, и, таким образом, 5—любая замкнутая
поверхность внутри этого объема.
Совершенно аналогичные действия можно провести с функцией F,
разлагаемой по {///, Η г}, но в этом случае нет необходимости
требовать уничтожения ее тангенциальной компоненты на внешней
границе. При этом получается
[F— F, F(0](й==ф(/7 —/?) [£*(/), vo]£is = 0. (5.59)
S S
5.6. Порядок убывания коэффициентов Фурье. Коэффициенты
Фурье сходящегося ряда стремятся к нулю по мере возрастания
порядкового номера (как известно, сам факт стремления к нулю
коэффициентов еще не означает, что ряд сходится). Ниже предметом
исследования будет быстрота (порядок) убывания коэффициентов Фурье
рядов (5.30) и (5.31), где F — одна из векторных функций
электромагнитного поля. Будем считать, что в основной области V, для
которой определены собственные функции, векторы поля подчинены
следующим уравнениям Максвелла:
rot Ε = — ΙωμΗ,
rot Η = ΙωεΕ,
т. е. внутри V нет источников.
Начнем с ряда Фурье
Е= Σ CiEi + Ci-Ev. (5.61)
Ρ-Г
Имея выражение коэффициента Фурье при вихревой функции Еп
in = εο J" EE*n dv-
ν
после преобразования с учетом (5.60) получим
■I
(5.60)
с„ —
Щ
[ίω j \iHH*ndv-\- \ [Ε, H'n\ds\. (5.62)
Ι ν s+s- (±) '

§ 61
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
63
Поверхностный интеграл по 5' ввиду непрерывности Ех во всех
случаях исчезает. Что касается интеграла по 5, то сначала возьмем
задачу, в которой ЕхфО на S, так что он не уничтожается. Учитывая,
что величина в фигурных скобках (5.62) остается ограниченной при
любых п, замечаем, что коэффициенты Фурье сп с ростом η убывают
не медленнее 1/ωπ. Это обозначается символом
К
1 = 01-1-1 = 0
ω.
при Εχ φ 0 на S.
(5.63)
Потенциальные функции Еп· при этом могут отсутствовать в
разложении (например, если среда однородна и изотропна), но в общем
случае с „г Φ 0. Запишем
с„' = е0 EEn'dv:
■ео J EV%n,dv =
ν
= -εο J4;„.dlvErfu-be0 \ <p;„,£rfs. (5.64)
S + S' (±)
В силу нормировки Ε,ι· (4.15)
J|Vcp9
: dv = 1,
в то же время по теореме Грина
ί |vq>a„,|2rfu = — ί φ* У2ч> .dv,
J I ^ an' | J тэ/,' тэ„' >
так что с учетом (5.23)
1==εο \\V%„A2dv = kln,zQ \\%n,fdv. (5.65)
Обращаясь к (5.64), видим, что поверхностный интеграл по S
исчезает независимо от свойств поля Е, но поверхностный интеграл
по 5' остается, если компонента Еу разрывна, что имеет место при
скачкообразном изменении диэлектрических свойств среды. Объемный
интеграл, содержащий div£, вообще остается, когда ε —
непрерывная функция координат, но обращается в нуль при постоянной
(кусочно-постоянной) скалярной проницаемости. Применяя неравенство
Коши — Буняковского (1.23), имеем
1
<рэл, div Ε dv
€n'Eds\<
S'
]/ J" \%n· fdv ]/ J" I MvEfdv
Ε J 4s.
(5.66)

64 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Если теперь объединить (5.64), (5.65) и (5.66), учитывая при этом,
что можно рассматривать двумерный аналог (5,65), то получается
оценка
\cj,,\ = o(-^—\ при Εν+φΕν_ иа S', (5.67)
В случае, когда Εν непрерывна в V и поверхностный интеграл в (5.64)
исчезает, оценка (5.67), как будет показано несколько позднее,
улучшается.
Рассмотрим случай £t=0 на 5, когда в выражении (5.62)
уничтожается поверхностный интеграл. Произведем дальнейшие
преобразования;
с„ = — \ιΗΗ*ηάν=—τ— μΗrot E*„ dv =
= ^ί \ E*ntoi\4H dv-\- \\E\,\iH\d8\ (5.68)
ω>ο I J 5,(i, J
(поверхностный интеграл сохраняется при разрывном μ). Очевидно
справедлива оценка
°Ш=0Ш при ^=она5· (5
69)
Предположим, что μ — скалярная дважды дифференцируемая
функция координат, а е лишь кусочно-гладкая функция (возможно,
тензор). Тогда
—1&
с„ —
—— Е*,г rot μ// dv = —= rot Η'„ rot μ// dv =
= -^—( \ Η*„ϊθί(ίωμεΕ-\-[νμ, H])dv +
-f- f ([//?„ /ωμε£+[νμ, H\\) ds\,
и мы имеем оценку
\сп\=0(±) = 0(±). (5.70)
со? I I "3
Легко видеть, что, устраняя разрыв ε и затем повышая гладкость ε
и μ, а также задавая нужные условия на 5, можно неограниченно
улучшать эту оценку. Итак,

§ 51
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
65
где ρ — целое число, зависящее от степени гладкости ε и μ и
граничных условий; это число может быть как угодно велико. В
качестве простой иллюстрации можно рассмотреть случай, когда Εχ = О
на 5 при ε=/ε0 и μ=/μ0. Видно, что здесь р—>сю, так что все
члены ряда Фурье с номерами, для которых ω„ > ω, должны быть
равны нулю. Нетрудно догадаться, что, ряд Фурье состоит из одного
члена, поскольку Ε должно принадлежать [Еп] и ω —ωΏ.
Перейдем к разложению в ряд Фурье вектора электрической
индукции D;
оо
0 = ЕоИа,£, (5.72)
(потенциальные функции, как уже отмечалось, здесь отсутствуют).
Коэффициент Фурье
ап = DE*n dv
ν
после преобразований принимает вид
[ Н\ rot Ddv— [ [D, H*n\ ds \,
ω„Ε„ ι J
S+S'(±)
так что
°\4г) = 0{±), (5.73)
ω» ) \ к
и улучшение этой оценки возможно только, когда Dx непрерывна
в области V, в частности при непрерывном ε.
Ряды Фурье для магнитных векторов
QO
Н= 2 diHi+dyHf (5.74)
Β=μ0 Σ btHi + bi.Hf (5.75)
обладают аналогичными свойствами, но сходство с предыдущим
является неполным. Так, с (5.62) можно сравнить получаемое тем же
способом выражение коэффициента Фурье
dn = — I zEE'ndv. (5.76)
ν
Поверхностный интеграл здесь отсутствует, независимо от характера
граничных условий задачи, так что во всех случаях можно сделать

66 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ, 1
оценку более сильную, чем (5.63). Именно, как легко проверить,
при любых граничных условиях и разрывных ε и μ. При
непрерывных проницаемостях оценка улучшается в зависимости от их
гладкости.
Напротив, оценки для коэффициентов при потенциальных
функциях dn< оказываются в известном смысле хуже, чем в случае
электрического поля, поскольку эти коэффициенты отличны от нуля не
только при зависимости от координат или разрыве μ, но и при
неоднородных граничных условиях на 5. При этом получается то же,
что и раньше:
\dn,\ = 0U-\ (5.78)
— \ "мл' /
(когда внешние граничные условия однородны, а среда непрерывна,
оценка улучшается).
Далее, имеем
- | \ Ε\ rot Bdv-\~ [ [£*„, В] ds
-" ω„μ0 Ι
(V A"(±)
что отличается от аналогичного выражения для ап отсутствием
интеграла но внешней границе. Однако при разрывном μ, как и раньше,
^i=0(iH°(i)· (5-79)
Разложение магнитной индукции в отличие от электрической может
иметь потенциальную часть. При этом
V = J Bffl dv = И- J φ·Β,Дds, (5.80)
V S
так что
Ι*»Ι = °(τ4· (5·81)
— \ ямл' /
Вернемся к вопросу об улучшении оценок порядка убывания
коэффициентов Фурье. С формальной точки зрения, как было видно,
на примере сп, при однородных граничных условиях на 5 все
зависит от гладкости ε и μ в области V, включая граничные точки.
Желая получить оценку 01—) , мы должны потребовать
исчезал /
новения всех производных ε и μ на границе, т. е. придем к
постоянным в объеме проницаемостям. Исследование убывания остальных

§ 6]
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
67
коэффициентов приводит к тем же выводам. Покажем в качестве
примера процесс оценки потенциальных коэффициентов сп· при
однородных граничных условиях. Исходя из (5.64) и используя формулу
Грина, получаем
п· = - εο I С- div Ε dv = -bL. \ ψφ^ dlv £ dv:
что верно при достаточной гладкости ε в V и уже дает оценку с„>
порядка О |—=—| (это лучше (5.67)). Если свойства ε таковы, что
\к1п·)
процесс можно повторять, то в конечном счете находим
|5'г,|=0Ыг)· (5,82)
В заключение п. 5.5, 5,6 отметим, что рассмотренные факты имеют
некоторую аналогию среди элементарных свойств тригонометрических
рядов (см., например, [8]).
§ 6. Прямые методы
6.1. Вступительные замечания. Аналитические решения
краевых задач электродинамики, за исключением нескольких случаев
простых областей, недоступны. Фактически можно говорить об общих
свойствах полей Ε и Н, как это делалось, например, в § 4 в
отношении собственных функций резонатора, но нет средств,
позволяющих получать их аналитические (замкнутые) выражения для
произвольной задачи. Однако с практической точки зрения это обстоятельство
не является решающим, поскольку аналитические свойства решений
задач электродинамики могут иметь отношение не столько к
физической природе, сколько к применяемому аппарату1). Та степень
знания электромагнитного поля, которая доступна при существующей
теории электромагнетизма, в конкретных задачах может быть
достигнута при получении приближенного математического решения.
Наконец, в большинстве случаев практики знание самих полей
представляет вторичный интерес или даже просто не имеет значения в сравнении
с интегральными характеристиками системы, к которым относятся
собственные частоты и постоянные распространения или такие
внешние параметры, как элементы матрицы рассеяния, матрицы нроводи-
>) Например, физически беспредметен вопрос о наличии изломов на
границе раздела сред, аналитически существенный.

68
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
мости и т. п. Вес эти величины могут рассматриваться как
специальные значения некоторых сопоставляемых задачам функционалов; будем
называть их характеристическими.
Средством нахождения приближенных представлений
электромагнитного поля и указанных интегральных характеристик
электромагнитных систем являются так называемые прямые методы. Под
этим термином понимаются методы, дающие возможность определять
приближенные значения различных параметров краевых задач
(например, заданных в виде характеристических функционалов) и
представления их решений. Тот или иной прямой метод можно считать
принципиально обоснованным, если установлено, что его результаты при
определенных условиях будут как угодно близки к точным.
Что касается представлений электромагнитных полей, то их общим
прообразом можно считать рассмотренные выше ортогональные ряды:
представления почти всегда будут иметь вид линейных комбинаций
векторных собственных функций, которые независимо от употребления
могут интерпретироваться электродинамически. Например, по типу
рядов Фурье (5.30), (5.31) строятся следующие представления напря-
женностей Ε я Η электромагнитного поля:
Ν Λ"
ΕΝ= 2 ««£/!+ Έί αη·Εη·
и = Ι η' = Ι
и (6.1)
Λ' Λ"
HN=^bnHn+ Σ ьа.нп.,
где £„(') и Η„(') — прежние собственные функции, а α,,(') и b„C) —
коэффициенты, подлежащие определению при реализации прямого
метода. Степень близости представлений EN и HN напряженностям
Ε η Η выясняется в процессе обоснования прямого метода.
Развитию различных прямых методов для внутренних задач
электродинамики посвящены последующие главы книги. В этом параграфе
будут рассмотрены общие вопросы двух главных из них — метода
Галерки на и метода Ритца.
6.2. Метод Галеркина. Возьмем краевую задачу для области V,
формулированную в виде операторного уравнения
Jlu=f. (6.2)
В частности, может быть Л = J? — λς, тогда речь идет о задаче
типа (3.1). В дальнейшем не требуется, чтобы оператор <А был
симметричным.
Пусть в рассматриваемом функциональном пространстве имеется
полная система [ип]. Ввиду того, что Ли—/есть нулевой элемент
пространства, он ортогонален ко всем «„, т. е.
(Ли —f, Uk) = 0, k= 1, 2, 3, . . ., со. (6.3)

S 6] ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ 69
Метод Галеркииа состоит в том, что строится представление
(приближенное решение) в виде линейной комбинации
N
uN = ^anan (6.4)
с неопределенными коэффициентами, которое подчиняется затем
аналогичным условиям ортогональности:
(<AuN—f, uk)=0, k=l, 2, 3, .,., Ν. (6.5)
Отсюда возникает система N линейных уравнений относительно
коэффициентов ап, которую мы запишем в матричной форме:
Aa — f. (6.6)
Здесь в левой части фигурирует вектор, образованный этими
коэффициентами,
а = (ах, а2, а3 aN) (6.6a)
и матрица А с элементами Акп = {Лап, uk), а в правой части —
заданный вектор
/ = i/i. U /з /л/) (6-66)
с компонентами /„ = (/, ип). Таким образом, метод Галеркииа
сводит неоднородную краевую задачу (6.2) к неоднородной системе
линейных уравнений (6.6), решение которой определяет коэффициенты
представления (6.4).
Аналогично применение метода Галеркииа в случае однородной
краевой задачи типа (3.1а)
^и = Ци (6.7)
(предположим, что оператор J? имеет дискретный спектр). Вместо
(6.3) теперь имеем
{^U — Iqu, uk) = 0, k= 1, 2, 3, . . ., со. (6.8)
Взяв представление решения вида (6.4), подчиним его подобно
предыдущему следующим условиям ортогональности:
(J2?UN — lNquN, ttk)=0. k=\, 2, 3 Ν. (6.9)
Это дает однородную систему N линейных уравнений
La-=lNQa, (6.10)
где матрицы L и Q имеют элементы Z.ft„ — („2"«„, uk) и Qkn ~
= (qun, uk) соответственно (индекс N при λ означает, что речь идет
о приближенных величинах λ, отвечающих представлению и^).

70
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
Таким образом, первые N собственных значений краевой задачи
(6.7) приближенно определяются как корни λ,- (i=l,
характеристического уравнения
Detjl — lNQ\ = 0,
., Ν)
(6.11)
которое, как известно, выражает необходимое и достаточное условие
существования ненулевых решений однородной системы (6.10). Если же
<7= 1, а система {« ) ортонормирована, то (6.11) принимает вид
Det \L ■
■λΝ/\
:0
(6.11а)
или
Ln — λ
^2.
■^31
Ll3
L
22 '
'23
L
/VI
L
m
L
N3
ΊΝ
■-2ΛΓ
-3/V
L
NN
и приближенными собственными значениями задачи (6.7) оказываются
собственные числа матрицы L. Заметим, что симметричность ^ и {
не предполагалась.
Как видно, при проведении метода Галеркина считалось, что
построенное представление решения принадлежит области определения
оператора, но позднее (гл. 2, 3) будет показано, что это требование
легко обойти.
Заметим, что алгебраические формы (6.6) и (6.10), к которым
приводит метод Галеркина в применении к задачам (6.2) и,
соответственно, (6.7), могут быть получены и другими путями. Так,
решение и задачи (6.2) можно представить в виде ряда
и = 2 апиа.
(6.12)
который является рядом Фурье, если полная система {«„)
ортонормирована (будем считать это выполненным). Пусть применение
оператора Л к ряду и (6.12) является законным (в том же смысле,
что и в п. 5.5). Тогда возможна подстановка и в (6.3), что дает
бесконечную неоднородную систему линейных уравнений
Aa = f_, (6.13)
не отличающуюся от (6.6) по способу построения матрицы А и
вектора /: А и / можно рассматривать как редуцированные (до порядка N
включительно) формы бесконечной матрицы А и бесконечного век-

§ 6] ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ 71
гора / соответственно, Система уравнений (6.6) таким способом и
может быть получена.
Понятно, что вектор
β/V == \®1< ^2' · · · > β/ν)'
составленный из коэффициентов суммы первых /V членов ряда (6.12)
Л'
uN = 2 апип,
не является решением системы (6.6), т. е. отличается от вектора а
(6.6а). Обоснование метода Галеркипа можно видеть в
доказательстве предельного перехода
ak~>ak при N—>co (k = 1, 2, . „ ,, Ν). (6.14)
Аналогично рассмотрение задачи о свободных колебаниях (6.7).
Если под и (6.12) понимать ряд Фурье одного из решений и
задачи (6.7) при собственном значении λ, то подстановка (при
аналогичных предыдущему предположениях) и (6.12) в (6.8) приводит
к бесконечной однородной системе линейных уравнений
La = XQa, (6.15)
редуцирование которой до порядка N включительно дает (6.10).
Рассмотрим теперь другой прямой метод.
6.3. Метод Ритца. В отличие от метода Галеркина, метод Ритца
применяется не к самим формулировкам краевых задач (6.2) и (6.7)
непосредственно, а к функционалам, стационарные значения которых
соответствуют решениям этих задач.
Согласно (3.8) задаче (6.2) сопоставляется функционал
F{u, v) = {JLu, τ») —(/, и) —(и, /), (6.16)
стационарный на ее решении. Представим и и ν в виде
N N
»"=Σ«Α и *"=ӫ« (6.17)
л=1 л=1
и сделаем подстановку этих сумм в функционал (6.16), что дает
следующую форму, содержащую неопределенные коэффициенты ая
и ап:
Ν Ν
jpA'= 2 anal (oiak, «„)— 2 {a*n{f, un)-\-an(un, /)}. (6.18)
к, n = l n^l
Идея метода Ритца связана с понятием стационарности
функционала (§ 3). Как указывалось, стационарность F {и, v) no v является
необходимым условием того, что и есть решение исходной краевой

72 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
задачи. Очевидно, что путем специального подбора коэффициентов ап
в представлении uN можно достичь того, что функционал FN будет
стационарным на данном uN в классе всевозможных vN. По этому
признаку и находится приближенное решение. Итак, требуется
выполнить условие, которое в соответствии с (3.9) записывается в форме
6Fv=0. (6.19)
Его реализация означает составление и обращение в нуль частных
производных от t по всем аа:
OFN
Ξ1ψ. = οι η=\, 2, 3, ,,., N. (6.19а)
дап
Из (6.19а) возникает следующий результат;
N
2«»№», «„) — (/. вв)=0, п=\, 2, 3, .... Ν,
ft-l
или в матричной форме (см. предыдущие обозначения)
Aa = f, (6.20)
а это совпадает с результатом (6.6), полученным методом Галеркина.
Нетрудно убедиться, что использование вместо (6.19) условия
стационарности по и
6Fu=0 (6.21)
ведет к идентичному результату для задачи, сопряженной с (6.2).
Обращаясь к задаче о свободных колебаниях (6.7), возьмем
функционал вида (3.10)
Φ (α, ν) = -У1' °} (6.22)
и, воспользовавшись прежними представлениями и и ν (6.17), запишем
результат их подстановки
N
φ/ν = hJljil , (6.23)
2 aft<**(?aft, «„)
к, п-1
В сокращенной записи числитель и знаменатель правой части (6.23)
обозначим символами PN и QN, а поскольку стационарные значения
функционала Φ (α, ν) [см. (6.22)] равны собственным значениям
задачи (6.7), будем рассматривать Ф^ как выражение приближенных
собственных значений λ . Итак,
Ν ΡΝ

§ Ά
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
73
Тогда требование стационарности можно сформулировать аналогично
предыдущему в виде
-jL(pN^lNQN)=Ot д=1, 2, 3, .... W; (6.24)
даа
отсюда получаем
Ν Ν
Σ ak(^Uk, Un) = lN Σ ak(quk, ua), n= 1. 2, 3, . . ., Ν,
k-l *-I
или в матричной форме с использованием ранее введенных обозначений
La=lNQa. (6.25)
Как видно, это совпадает с результатом метода Галеркина (6.10).
На этом пока заканчивается ознакомление с методами Галеркина
и Ритца. Главы 2 и 3 посвящены применению их к задачам
электродинамики, а вопросы обоснования рассматриваются в гл. 6.
§ 7. Интегральные уравнения
7.1. Тензор Грина1). До сих пор говорилось только о
дифференциальных операторах, отвечающих краевым задачам
электродинамики, В дальнейшем рассмотренные выше электродинамические
операторы будут лежать в основе различных прямых методов. Что же
касается интегральных операторов, то вопрос о их построении
оказывается значительно сложнее. Надо подчеркнуть, что обратные
по отношению к дифференциальным ограниченные интегральные
операторы в принципе должны быть более выгодны, так как имеются
основания ожидать при их использовании более быстрой сходимости
прямых методов. Но удовлетворительное обращение
дифференциальных операторов внутренних краевых задач электродинамики
практически осуществить не удается; исключение составляют некоторые
косвенные операции обращения (см. гл. 2). При этом оказывается
бесполезным известный способ разложения тензора Грина по
собственным функциям. Однако определенные сведения по этому вопросу
в дальнейшем понадобятся и ниже они будут изложены.
Запишем обобщенную формулировку внутренней краевой задачи
в виде
Auir)=f{r), (7.1)
где, в частности, может быть Л = ^—λς и отличие от записи (6,2)
заключается в указании аргумента функций в виде радиуса-вектора
некоторой точки пространства.
') О тензорах Грина см., например, [9].

74
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
Далее вводится следующая «задача сравнения»:
al0G(r, r') = Ib(r — r'), (7.2)
которая относится к области пространства V0, совпадающей с
областью V задачи (7.1) или включающей ее в себя. Справа стоит дельта-
функция, умноженная на единичный тензор /. Поэтому и решение
О (г, г') есть тензор; при фиксированном г' это функция радиуса
вектора г. Смысл записи (7.2) состоит в том, что при умножении
всех членов уравнения на какой-либо единичный вектор |0 возникает
краевая задача относительно векторной функции и0(г)= О (г, г') So
при заданном источнике в виде /0= |06(г—г'). Будем называть
G(r, r') тензором Грина. Если существует единственный
тензор Грина, то, в ряде случаев, например, при of,a=V —k легко
убедиться, что это тензор симметричный, т. е.
vO = Ov. (7.3)
Действительно, при умножении на векторную функцию ν справа и
слева правая часть (7.2) дает одно и то же, а потому vG и Gv—
это одна и та же функция.
Как известно, в силу свойства дельта-функции
| ν (г) δ (г — r')dv = v{r'). (7.4)
ν
Таким образом, умножая (7.1) на G(r, г'), а (7.2)—на и (г'),
составляя разность и интегрируя по V, получим весьма характерный
результат. Ниже он приводится в форме
u(r)= j f(r')G(r', r)dv'^-
V
— f [oia(r')0(r', r) — u{r')d,QG{r', r)}dv', (7.5)
ν
где после выполнения указанных операций еще проведена замена
обозначений r^tr'.
Возьмем следующий пример. Пусть V0 совпадает с V а, кроме того,
Л = & — Ц и <Аъ = &~ λ?0, (7.6)
причем J2? и q0— симметричные операторы, а также J2?= J?*. Тогда
\ {^uG — u^G) йГк = О, (7.7)
V

§ 1\ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ 75
потому что тензор О можно представить в виде суммы диадных
произведений ')
з
i = l
(X;— тройка ортогональных единичных векторов), а
Таким образом, внося (7.6) в (7.5), получаем
и (г) = | f{r!) О (г', г) йГт/ + λ j* (<7 — q0) и (г') О (г', г) dv'. (7.8)
V V
Это не что иное, как интегральное уравнение Фредгольма
второго рода относительно и (г). Подчеркнем, что при <7 = <70 и
/= 0 решение и в нуль не обращается, как это может показаться
по виду (7.8). Дело в том, что в этом случае тензор Грина имеет
смысл решения задачи о возбуждении системы на одной из ее
собственных частот и как функция частоты имеет при этом особенность,
что отвечает нетривиальному решению (7.8). Указанное
обстоятельство будет отражено в результатах п. 7.2. Отметим одно свойство
тензоров Грина. Положим, что оператор iAQ в (7,2) симметричен и
Лй = Ло (пусть для определенности это оператор Лапласа или
Гельмгодьца). Запишем уравнение (7.2) в двух вариантах:
Л0О(г, г,) = /й(г-г,).
oi0G(r, r2) = lb{r-r2).
Первое уравнение умножим на G(r, г2) справа, а второе — на G (г, г,)
слева и проинтегрируем по VQ после составления разности. Интеграл
J [olQG{r, г,) О {г, rJ — Q^r, г,)о1,0(г, r2)} dv
равен нулю, как это можно показать, разбив его на части вида (7.7),
поэтому получаем
| [G(r, r2)6(r — rJ — Qir, rOHr — r^dv:
:0
или
0(rv r2)=0(r2, r,). (7.9)
Это—так называемое соотношение взаимности, справедливое
при сделанных предположениях.
') О диадных произведениях, или диадах, см., например, [10].

76 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. I
7.2. Разложение тензора Грина по собственным функциям.
Возвратимся к задаче, для которой получено интегральное
уравнение (7.8). Как уже отмечалось, под тензором Грина в (7.8)
понимается решение краевой задачи для области V, формулируемой в виде
(^— λ9ο)0(Γ, r') = /u(r — r'). (7.10)
Это решение, вообще говоря, в замкнутой форме отсутствует, но,
как ниже будет показано, его можно выразить в виде бесконечного
ряда по собственным функциям оператора .§", т. е. по решениям ип
задачи
(ЗГ — КЯо)иа = 0. (7.11)
Итак, представим тензор Грина в виде ряда
оо
0{г'1Г)=^ап{г')оиа{г), (7.12)
я-1
составленного из диадных произведений векторных коэффициентов
в„(г') на собственные функции ип{г). Эту запись следует понимать
в том смысле, что векторная функция V(г) = ν {г') О {г', г)
разлагается в ряд по собственным функциям «„(г) с коэффициентами
cn = v{r')an{r'). На основании (7.10) и (7.11) запишем
< (г) (J? - λ?0) О (г', г) = и\ (г) δ (г - г0, 1
(J?-ivA<7*)<(r)0(r', r) = 0. j
После вычитания и интегрирования это дает
(λ, - λ) | О (г', г) <?>; (г) dv = u*k{r'). (7.13)
V
Внося сюда представление тензора Грина (7.12) и интегрируя с
учетом того, что собственные функции ип ортогональны с весом %,
находим значения коэффициентов разложения
и„ (г )
M^-jrfzr· <7Л4>
Таким образом, разложение тензора Грина по собственным функциям
имеет вид
ΣΚ„ (Г ) о И„ (Г)
л-1
7.3. Некоторые интегральные уравнения электродинамики.
Естественно, что для любой внутренней задачи электродинамики
может быть построена «задача сравнения» (7.2), например, с
оператором Гельмгольца jiu = V2 — k2 при тех или иных граничных уело-

§ Ά
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
77
виях, и тензор Грина может быть получен в виде разложения (7.15).
В дальнейшем (п. 8.8) возможности такого подхода будут оценены.
Определенный смысл имеет также ставить задачу сравнения (7.2)
в бесконечном пространстве и, соответственно, использовать
существующие в замкнутой форме тензоры Грина для свободного
пространства, не удовлетворяющие граничным условиям исследуемых
задач. Не останавливаясь на этом, ограничимся замечанием, что
соотношение (7.5), имеющее смысл интегро-дифференциального
уравнения (или подобное ему), может быть записано для всех
рассматривавшихся ранее дифференциальных операторов. Но если используются
электрические или магнитные операторы, то интегральное уравнение
типа (7.8) с J? —V2 в (7.6) получается лишь при μ = /μ0 и е = /е0
соответственно. Без этого ограничения некоторые интегральные
уравнения могут быть получены с операторами Максвелла.
Пусть сформулирована задача
ϋ "о')(я)Чо,!)(«)--(Г)· <71°>
граничные условия которой пока не уточняются. Задачу сравнения
поставим аналогично:
/О —rot Ν/If* \ //ε0 0 у If \ //6(r-r0\
-ν о]и*гЧо /JU*J+i'U(r-ro](7-17)
(здесь граничные условия могут быть иными). Соответственно смыслу
оператора Максвелла в (7.17) входят два тензора Грина:
электрический ^(г, г') и магнитный £№ (г, г'). В сокращенной записи
и = (я) и » = {%}
Величины, входящие в (7.16), умножим справа на $* и
проинтегрируем по V; это дает
Ί{ то1ЕЖГ=в>1[рН&ГГ-*}[ 0 )dV- (7Л8)
В (7.17) произведем интегрирование после умножения на и слева:
-'Jl я rot г г=°1{^&гг+'[н}'(7Л9)
Из (7.18) и (7.19) можно получить уравнения разного вида.

78 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 1
Непосредственное вычитание (7.19) и (7.18) приводит к
результату:
Е\ ,/устГ\ г/Ае£Г \
нГ-)[ о Г^ш\{^нжГ-
~ί{ roiEm*+Hrot<?*!dv· (7'20)
где Δε. = ε — /ε0 и Δμ=μ — /μ0.
Чтобы иметь интегральное уравнение, надо исключить отсюда
дифференциальные операции относительно неизвестного. Принимая
во внимание, что
[ (rot А38 — A rot 38) dv—&[A, J3] ds,
ν s
где А — вектор, a 38—тензор, находим
Έ\ c Ij"T\ Γ/Δ壧=*
I dv
>-j . *-д;
— Η rot Г' — £ rot m*\ , / — [Η, П \
и> //rotr+£rot^j^+siJ(±)l [Е.тГ (7-21)
Поверхностный интеграл исчезает, если граничные условия задачи
однородны и построены тензоры Грина, удовлетворяющие
однородным граничным условиям.
Другие интегральные уравнения находятся, когда перед
операциями интегрирования и вычитания в одном из уравнений (7.16),
(7.17) меняются местами строчки. Они имеют вид
Я = - [ j"&* dv — to [ {zET — μ.0//#Τ) dv + J [Я, ef*] ds
Й Й 5 + 5' (±)
(7.22)
и
£ = — to | (μ//#Τ — eu£g=*) di) — J [£, ^·] ds. (7.23)
/ 5 + 5' (±)
Как видно, поверхностные интегралы здесь те же, что и в (7.21).
Они исчезают при обстоятельствах, уже отмечавшихся.

§ Ά
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
79
Однако формулировка задачи сравнения (7,17) не единственно
возможная. Возьмем, например, следующие две задачи сравнения:
V rot
и
-с
V rot
Рассматривая любую из этих задач вместе с (7.16), можно
воспользоваться понятием скалярного произведения в форме (2.16) без того,
что это приведет к появлению вектора Е-\-Н, как это было бы
в случае задачи сравнения (7.17). Однако в указанном упрощении
действий в данном случае нет необходимости, поскольку близкие но
форме соотношения уже получены. Так, при использовании вместо
(7.17) задачи (7.24а) соотношение, соответствующее (7.18), будет
отличаться от пего лишь смыслом тензоров Грина, а в соотношении
типа (7.19), кроме того, еще окажется Η— 0 вне интегралов.
Поэтому вместо (7.20) получим
'/δ (/
16 (г
о )
(7.24а)
° )
(7.246)
Ε
• \ dv — ίω * \ dv ■
ν V 0 I i \ΑμΗ3β9Ι
ί
dv. (7.25)
- rot η%Ί — ε rot ml
rot ESffl + H rot ef *
Складывая строчки, найдем интегральное уравнение
Ε = — ί fT^l dv — iaj (Ae£ef * -4- Δμ/7 Ji?*) dv -4-
v ν
+ | I— [H, ef*] + [Ε, SfeVi) ds. (7.26)
5
Точно так же с задачей сравнения (7.246) имеем
г (ь*еГл \
* \dv —
J \ΑμΗ^Μ]
' — rot Htfl — Ε rot cWl \
■ .Adv (7.27)
rot £<$?„ +Я rot If ,J

80
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
и после сложения строчек получаем
Я = — | /Tf?» dv - to J (Ae£ff * + Δμ//$£) dv +
ν ν
+ f Ι- Iя· ^μ] + [£. Ж]) <&. (7.28)
5
Таким образом, вместо (7.21) получена система интегральных
уравнений (7.26), (7.28).
Приложение к гл. 1
П1.1. Собственные векторные функции операторов Лапласа
для цилиндрической области.
Представляют интерес обобщенно-цилиндрическая область
(рис. 1.4, а) и ее различные частные виды (например, рис. 1,4, б, в).
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с выбором и построением
системы собственных функций задачи
V2f„ + ft>„:
0,
(П1.1)
поставленной для такой области при различных краевых условиях,
обеспечивающих
симметричность оператора Лапласа.
Проектируя векторы в
(П1.1) на поперечное
сечение цилиндрической области
и на продольную ось,
запишем:
+(v2f„ + *X)* = o.
(П1.la)
Примем обозначения
Рис. 1.4.
(fn)r
Сп)г
Как легко показать
непосредственно путем операций в обобщенно-цилиндрических
координатах, проекции операторов заменяются проекциями функций под
их знаком, так что возникают два следующих уравнения Гельм-
гольца:
V2T„-\-k2nT„ = 0
v2z„ + 4z« = o.
(Π 1.2а)
(Π 1.26)

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 1 81
Система собственных функций задачи (П 1.1) может быть построена
как совокупность систем собственных функций краевых задач для
обоих уравнений (П1.2):
[Fn) = {Tn}®{Zn). (Π 1.3;
Однако более удобен другой тип построения, когда система функций
разделяется па потенциальную и вихревую (соленоидальную)
подсистемы:
{Fn} = [P«'}®{Sn}: (ΠΙ.4)
здесь
rot/V =0 и divS„ = 0 (П 1.4a)
(если в [Fn] входят гармонические функции, то они причисляются
к {Р„·}).
Установим связи между различными функциями. Ввиду разделения
переменных в системе обобщенно-цилиндрических координат можно
написать
ζ"-*/' 1 (ш-5>
*-п — znJ2· )
где tn — собственные функции краевой задачи в поперечном сечении
системы для уравнения
vi^4-x2A = ° (πι.6)
(V2i —двумерный оператор Лапласа) и zn — собственные функции
аналогичной краевой задачи
vi*„+xX = °· . (П1-7)
а /ι и /а — собственные функции одномерной задачи
-5^4-^/,,2 = °· (П1·8)
Граничные условия пока не конкретизируются.
Система собственных функций поперечного сечения цилиндра [tn]
подобно {Fn\ может быть разделена на потенциальную и вихревую
подсистемы:
[*п] = [рп-}®Ы· (П1·9)
где
rot±pa, = 0 и divAsa=0 (П1.9а)
(гармонические функции причисляются к [ря,]).
Возвращаясь к функциям Fn (Π 1.4), рассмотрим сначала
подсистему [Sa]. Каждая из функций Sa должна либо принадлежать одной
из подсистем [Тп] и {Zn} (П1.3), либо быть линейной
комбинацией Тп и Zn. Сначала отметим, что
divF„=0 при Fn=Ta = tJlt (ШЛО)

82 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [ГЛ, I
если tn = sn (ΠΙ.9), т. е. dIV|in = 0 (П1.9а), Затем очевидно, что
d\vF„ = 0 при Fn = Zn = zJ2, (Π1.11)
если /2 = const. Проверим теперь возможность выполнения равенства
d«v(*„/i+z„/2) = 0.
Взяв tn = sn, убеждаемся, что ничего нового в сравнении с
предыдущим это не дает, но при tn = pn имеем
Уравнение удовлетворяется при
ά\4λρα = --2-ζα, (Π 1.12)
причем, очевидно, имеет смысл лишь
-± = const =-. (ΠΙ.13)
/ι α
Итак, соленоидальная подсистема \Sn) (ΠΙ.4) имеет следующую
структуру:
Sn = \гк, (ΠΙ,14)
[ Pkfi+*kf2· zk = — adiv±pk.
Перейдем к потенциальным функциям Ρη· (Π1.4). Предположим,
что они могут быть линейными комбинациями Тп и Zn; таким
образом, должно быть
rot {tjl + zj2) = О
или
/irobA + lV/,. i„] + /2roti2r„ =
= /.r<V« + K· №-/2V»)] = °- (П1Л5)
Взяв tn = рд, получаем условие
t —^-V,z , (ΠΙ.16)
J ι
которое имеет смысл, если
4-= const = β, (ΠΙ. 17)
f\
и дает
*п = Рп = №±*п- (П1Л8)
Как частную возможность усматриваем также
/2 = 0, Д = const. (π1·19)

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 1 83
Отметим теперь, что при tn = sn равенству (П1.15) удовлетворить
невозможно, поскольку /, rot. tn и [г0, (f[tn—f^ \zr)\ ортогональны.
Итак, согласно (Π 1.16)—(ΠΙ. 19)
Pn. = ™y'^ yk v L k (Π1.20)
У Pk-
Полученные соотношения (Π 1.14) и (П 1.20) выражают общую схему
строения системы собственных функций {F п) в виде (П1.4), т. е.
систем собственных функций различных операторов Лапласа для
обобщенно-цилиндрической области. Рассмотрим несколько типов
симметричных операторов Лапласа, представляющих практический
интерес.
Однородные условия первого типа
Fnx=0 и a\vFn = 0 на 5. (Π1.21)
При этом возникают «электрические» собственные функции
{Ea} = {S„} и {£„■} = [Рп.)г (П1.22)
причем tk (ΠΙ.9) — собственные функции поперечного оператора
Лапласа при граничных условиях
^t=0 и divjf4=0 на L, (Π1.23)
где L — контур поперечного сечения системы, a zk — собственные
функции задачи Дирихле для той же области. Выбирая /, 2 в
соответствии с (П1.21), имеем
(П 1.24а)
Еп, =V,zfesin^p + -^-zftcos-^, р=\, 2, 3 (П1.246)
(функции не нормированы).
Однородные условия второго типа
Fnv=Q и (rot/%)t = 0 на S. (Π1.25)
Это дает «магнитные» собственные функции
{//„} = {SJ и {//„,} = {ЯЯ.}. ~ (П1.26)
Ввиду (П1.25) tn — собственные функции поперечного оператора
Лапласа при граничных условиях
tkv = Q и (rot±f4)t = 0 на L, (Π1.27)
Ε —
zk sin
pnz
pnz ,
Pks™ l 4
Ρ
pnz , pn
I > I Zk
p= 1, 2, 3, . . .,
1 ,. pnz
- zn — div , p. cos ■!——
U ρΛ Lrk I
= 1, 2, 3, . . .,
pnz . n
cos J~— , ρ = 1, 2

84
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. !
a zk—собственные функции задачи Неймана для этой же области.
Выражения (П1.14) и (П1.20) принимают вид
Η„
ρηζ
Sk COS —τ—
Ρ-
О, 1, 2, .. .,
, ρηζ Ι ,. , ρηζ
,, _ ρηζ ρη . ρηζ
η 1. к Ι Ι κ Ι
0, 1, 2,
Смешанные однородные условия первого типа
F.r = 0 и
div/\,
О на 5,
бок'
^7«v=0 и (rot Т7,,^ = О на 5, и 52
Обозначим
Очевидно, что
ε„
Sft cos -i—
I
{S«} = {8„}
/> = 0, 1. 2, .
18И-
ряг ί ,, , ρηζ
Pk cos -^ z0 — div рд sin ^j-
K = V* C0S £T~
' pn
pn . pnz
p == 1, 2, 3,
j0 = O, 1, 2,
(П1.28а)
(Π 1.286)
(Π 1.29)
(ΠΙ.30)
(ΠΙ.31а)
(ΠΙ.316)
где в отличие от (ΠΙ.28а, 6) tk — функции, подчиненные граничным
условиям (П1.23), и zk — собственные функции задачи Дирихле.
Смешанные однородные условия второго типа
Fnv = Q и (rot Fn\ = 0 на 56ок,
Fnx = 0 и dlvFn = 0 на 5, и 52.
В этом случае обозначим
{5„} = Ш и {Рп} = {Нп·}.
Собственные функции имеют вид
(П1.32)
(П1.33)
рпг
sftsin l ,
На = { Zk'
. рпг
Pk sm JLr~
р= 1, 2, 3
(Π 1.34а)
J_
' pn
рпг
■ ζ0 — div . p. cos ~
p=\, 2, 3,
|ел, =V1zAsin^-t-^-2ftcos^> jo = l, 2, 3. ... (П1.346)

ПРИЛОЖЕНИИ К ГЛ, !
85
В отличие от (П1.24а, б) здесь tk — функции, подчиненные
граничным условиям (П1.27), a zk —собственные функции задачи Неймана.
Однородно-периодические условия первого типа
Обозначая
имеем
Fnx=0 и divFn = 0 на S,
{Sn} = {En} и {Рп} = {Еа,
6<Ж>
£„ = !
sin Ίρηζ
Sk cos —Т~
гк,
р = 0, 1, 2, 3, . , .,
sin 2pnz . I A. cos 2рлг
Рр cos ~~Т~ ~Г" г° 2ρπ dIviA (- sin) ~~Г~
р=1, 2, 3, . . ,
g sin 2рлг . 2рл cos 2рлг
«■ = VLZn cos Ζ ' Г" г* (— sin) Г~ '
р = 0, 1, 2, 3
(П1.35)
(П1.36)
(П1.37а)
(П1.376)
где tk и zk те же, что и при однородных условиях первого типа
Вместо этого можно взять также
sbe
, 2ряг
р = 0. ± 1. ±2,
Еп —■ \ , Чряг
Рке '
2ряг
4- ten τϊ— div , ρ е г ,
1 и 2/m Ι^η
j0= ± 1, ±2, ±3
2ρπζ 2ряг
/» = 0, ± 1, ±2, ±3, . ..
Однородно-периодические условия второго типа
(Π 1.38а)
(ΠΙ.386)
Обозначим
F„v = 0 и (rot/v)t=0 на 56οκ,
F I =/=■ I
' » is, » Is,·
(П1.39)
(П1.40)

86
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[гл. ι
Эти функции имеют вид
sin 2ряг
я,,=
Ри
sin 2рлг
cos
/
р = 0, 1, 2,
I ,. cos 2ярг
гх) "о ύίν <Рь, ■ ·> Г"
и 2ри 1л к (_ sin) ί
rr r- sin 2олг
/7=1, 2, 3, .
2рл
cos 2/шг
*cos / j I ~k (— sin)
р=--0. 1. 2, ...
ι
(ΠΙ.41a)
(Π1.416)
или
ske
zk,
p = 0, ±1, ±2,
"л —' { . 2ρπζ
IZa
I
. 2μπζ
, 2ρπζ
Η.,
V;*ke
P =
. 2рл ι
ι -£- zke
u 2pn
_ -J- ι Λ- ο
_7~. p =
div ρ e
ί
0, ±1, ±2,
(ΠΙ.42a)
(Π 1.426)
Β (Π 1.4la, б) и (Π 1.42а, б) tk и zft те же, что и при однородных
условиях второго типа.
Π 1.2. Электродинамический базис для параллелепипеда.
Наиболее употребительны собственные функции операторов Лапласа
при однородных граничных условиях (П 1.24а, б) и (П 1.28а, б) для
области в виде параллелепипеда (рис. 1.4, 6). Они имеют
следующий вид:
электрические функции
Et = xQAx cos χχχ sin%yy sin χζζ-f- У0Ау s\nyxx cos yyy sinχζζ +
-|-20Лг siny^x δίηχ^^ cosy2z; (Π 1.43
магнитные функции
Hi = Х0ВХ sinyxx cos yyy cos χ^ + y0By cos yxx slnyyy cos χ2ζ +
4- *(A cos X** cos yyy sin χ^. (Π 1.44
В этих формулах
Хл
а
1у'-
%ζ
pit
(П1.45
так что индекс i понимается как совокупность трех чисел: (= (т, η, ρ)
Будем употреблять обозначения
χ—χ;+χ;
. &2 = ω2εμ.
(Π 1.46
(ΠΙ.47

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. I
87
Ниже указываются значения постоянных коэффициентов в формулах
(ΠΙ.43), (П1.44) и выбор индексов для различных подсистем. При
этом подразумевается ортонормировка
ε J" Efij dv = μ f Я,·//,· dv = δ/;·.
(Π 1.48)
Вихревые подсистемы
Сопоставляя различные вихревые функции электромагнитным полям
резонатора, различают f-функции (поле резонатора имеет продольную
электрическую компоненту Ег) и ^/-функции (поле резонатора имеет
продольную магнитную компоненту Нг). Разумеется, выделение
продольной оси у параллелепипеда является произвольным.
£-ф у н к ц и и
и η Φ О, а
Для f-функций т Φ О
имеют вид
Аг = —
постоянные коэффициенты
2/2
Ау —
Л.=
УшЫ
2/2"
УшЫ
2/2" г.
УшЫ k
XxXz
%k
ХуХг
Xk
р фО
(Π 1.49)
В χ
в,
2/2
Ху
Χ
УшЫ
2/2 χ^
УшЫ χ
:0.
" II
(Π 1.50)
Если же р = 0, то коэффициенты умножаются еще на l/]/2 .
Н-ф у н к ци и
Для этих подсистем может быть т = 0 или п = 0, а
коэффициенты в (П1.43), (П1.44) выражаются следующим образом:
2/2
, ■ Ху
х . У\шЫ χ
Лу = -
2/2
У\хаЫ
Хх Ί /~ μ
V> 7
тфО,
пфО
(ΠΙ.51)

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
(гл. ι
θ,= -
Ву = -
2/2"
%χ%ζ
ΥμαΜ
2/2
θ. = -
У \шЫ
2/2" χ_
ft
Ik
ХуХг
χ*
Я1 =£ О,
η Φ 0.
(Π 1.52)
если Αϊ — 0 или гс=0.
/μαίί
Коэффициенты умножаются на 1/]/2
Потенциальные подсистемы
В этом случае
£г = ^gradCsinx^JcsinXyysinx^),
fit = В grad (cos yxx cos xyy cos χζζ)
и коэффициенты в формулах (П1.43), (П1.44) имеют вид
2УТ
ушг
2/2"
/εαϊΓ
2/2
Хл-
ft
Ху
ft
ft
(ΓΙ 1.53)
ζ Ytabl
(в (Ш.53) ни одно из чисел т, пир не может быть равно нулю) и
2/Г
θ,
В„
Y^abl
2/2"
В, = -
ΥμαδΙ
2/2
ft
Ху
ft
Xz
ft
(Π 1.54)
/μαίί
(в (Π 1.54) т, η и ρ могут быть нулями в отдельности и
одновременно по два, тогда в (П1.54) добавляется множитель, (l/]/2 ) , где
а= 1, 2 — число нулей среди индексов). Функции, принадлежащие
7е, н
и Η
Ε, Η
вихревым подсистемам, будут обозначаться символами Ε
а потенциальные функции — символом Ρ" . Здесь верхние индексы
характеризуют граничные условия («электрические» или «магнитные»
функции); нижние индексы — набор чисел т, п, р. Низшими
являются следующие функции: Pool Рою·
ся пЕ „е „н рЕ Рн
СЦ0. П|1, Пщ, ПШ, Cm· СШ.
рН
^οπ·
поп·
нш,
Спо.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 1
89
Литература к гл. 1
1. Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1,
Гостехиздат, 1951, гл. IV, § 5, п. 1.
2. С. Г. Михлин, Вариационные методы в математической физике,
Гостехиздат, 1957, § 17.
3. A. D. В е г k, Variational principles for electromagnetic resonators and
waveguides, IRE Trans., AP—4, № 2, 104, 1956.
4. В. В. Никольский, Вариационный принцип для полых систем с
анизотропной средой, Радиотехника и электроника 6, № 9, 1583, 1961.
5. В. В. Никольский, Прямые методы для задачи об электромагнитном
резонаторе, Журнал вычислительной математики и математической
физики 5, № 6, 1032, 1965.
6. iVL С. Л и φ шиц, Метод несамосопряженных операторов в теории
волноводов, Радиотехника и электроника 7, № 2, 281, 1962.
7. О. О о u b a u, Elektromagnetische Wellenleiter und Hohlraume, Stuttgart,
1955.
8. Η. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, 1961, гл. 1, §§ 22—24.
9. Ф. М. Морс и Г. Φ е ш б а х, Методы теоретической физики, т. 11,
ИЛ, 1960, гл. 13, 13.1.
10. Η. Ε. К о ч и и, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
Изд-во АН СССР, 1961, § 22.

ГЛАВА 2
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
а)
Начнем с краткой характеристики материала этой главы. На
рис. 2.1 схематически изображены полый резонатор (а),
содержащий область V, которая нарушает однородность его внутренней
среды, и так называемый волноводный трансформатор (6) —
подобную же полость с несколькими присоединенными волноводами;
там же показаны некоторые
разновидности такого рода
полых систем.
Предполагается, что тензоры
магнитной и диэлектрической
проницаемости в этих случаях —
непрерывные или кусочно-
непрерывные функции
координат. Частое и μ — кусочно-
постоянные.
Рис. 2.1 демонстрирует
примеры задач
электродинамики, не имеющих — за
редким исключением —
аналитического решения и
нуждающихся в применении прямых
методов. Однако во многих
случаях нерегулярность подобных задач обусловлена только
неоднородностью и анизотропией внутренней среды, а также (например, в
трансформаторах) нарушением замкнутости внешней оболочки, которую
можно считать идеально проводящей. Иными словами, если
рассматривать указанные факторы как возмущающие, то можно сказать, что
устранение возмущения приводит здесь к задачам регулярного типа,
т. е. таким, которые имеют аналитическое решение, получаемое
разделением переменных. Итак, важен вид области V0 (рис. 2.1).
Если это, например, параллелепипед, цилиндр или сфера, то при
удалении из резонатора (а) неоднородности V и, соответственно, при
установлении в дополнение к тому однородных граничных условий
на поверхности 50 волноводного трансформатора (6) возникает
регулярная краевая задача.
Отмеченное обстоятельство упрощает применение прямых методов,
поскольку полная система собственных функций регулярной задачи,
б)
Рис. 2.:

§ 81
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ
91
внешняя граница которой совпадает с заданной, может быть удобным
образом использована в качестве базиса в прямом методе. В
дальнейшем он будет кратко называться основным базисом. Данная
глава посвящена исключительно развитию прямых методов с
применением основного базиса. Будут исследованы собственные и
вынужденные колебания нерегулярных резонаторов, собственные и
вынужденные волны поперечно-нерегулярных волноводов и процессы в сложных
волноводных системах, которые можно охарактеризовать как
дифракцию (рассеяние) волн или трансформацию полей. Некоторое внимание
будет уделено периодическим системам.
Материал главы включает исходные мотивировки и основные схемы
алгоритмов для рассматриваемых задач. Дальнейшие вопросы их
обоснования отнесены в гл. 6.
§ 8. Свободные колебания резонаторов
8.1. Метод Галеркина для уравнений Максвелла [1]. Как можно
заключить из сказанного выше, прямые методы на основном базисе
дают естественное средство исследования свободных колебаний полых
резонаторов, нерегулярность которых обусловлена внутренней средой.
Последняя будет предполагаться неоднородной и анизотропной,
причем — как это важно в практике — свойства среды могут
изменяться скачкообразно при переходе некоторой границы; это
соответствует находящемуся в полости инородному телу.
Поставим ближайшей целью применение к задаче о свободных
колебаниях резонатора метода Галеркина. При этом, не прибегая
пока к специальной операторной символике, будем исходить
непосредственно из уравнений Максвелла, а действия построим таким образом,
чтобы получить окончательный результат в нескольких принципиально
различных формах. Итак, запишем уравнения Максвелла (1.1) при
уст = 0, заменив справа напряженности индукциями:
rot Ε = — ίωΒ,
rot Η = iaD,
и возьмем краевую задачу, символической иллюстрацией которой
может служить рис. 2.1, а. Векторы напряженностей электрического
и магнитного полей Ε и Η и векторы электрической и магнитной
индукций D = tE и Β — μΗ—это не имеющие аналитического
выражения собственные функции резонатора с неоднородной анизотропной
средой при собственной частоте ω (устанавливать нумерацию для этих
величин пока нет необходимости). На 50 векторные функции задачи
подчинены граничным условиям, соответствующим идеальному
проводнику.
(8.1)

92 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
Взяв описанный в п. 5.3 базис, принадлежащий резонатору,
образованному пустой (ε = /ε0, μ = /μ0) полостью V0, введем
представления векторов поля в виде сумм:
Ν Ν
Я"=Е02аяЕ„. Я" = Ио2>„Лв (8-2)
я = Ι η — Ϊ
И
/V Λ"
/ν Λ"
(8.3)
Напомним, что собственные функции £ (/) и // (/, ортонормнрованы
с постоянным весом е0 и μ0 соответственно. Штрихами обозначены
потенциальные функции (штрих в скобках, как и ранее, означает,
что рассматриваются функции со штрихом и без штриха).
Гармонические собственные функции, когда они существуют в силу свойств
задачи, причисляются к потенциальным. Отсутствие потенциальных
функций в представлениях индукций (8.2) отвечает чисто вихревому
характеру соответствующих рядов Фурье, что было обосновано
в п. 5.4.
Предварительно введем символику (см. п. 6.2), которая с теми
или иными изменениями будет использоваться по всей книге.
Представлениям (8.2) и (8.3), а также их вихревым и потенциальным
частям в отдельности сопоставим совокупности их коэффициентов,
которые по традициям линейной алгебры будут называться векторами
и обозначаться теми же буквами, что и сами коэффициенты, но без
индексов. Так
а=(а{, а2, ..., aN), b = (b}, b2, ···, bN) (8.4a)
(8.46)
с = [Су с2, .... сNy с =\Су, с2,, ..., cN,y,
d = (d\, d2 ΰ?/ν), rf'=(^r. άγ, . .., ώ,ν)·
В дальнейшем будут фигурировать операторы, действующие на эти
векторы и заданные в виде матриц. Введем матрицы Э, М, Э и Μ
с элементами
^,г = е02(е-^,г, Efc), Μ,α = μΙ(μ^Ηα, Η k); \ § __
Э„п = (еЕп, Ек), Μ„„ = (μΗπ. Hk), )
где скалярное произведение понимается как интеграл вида (1.19)
по V0, а также матрицы 'Э, 'М, 'Э, Э', 'Э', 'Μ, Μ', 'Μ'.
Последние отличаются тем, что содержат потенциальные собственные функ-

§ 81 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ 93
ции: штрих слева (справа) означает, что собственная функция с левым
(правым) индексом в соответствующем матричном элементе (8.5)
является потенциальной. Так, например,
Теперь можно перейти непосредственно к методу Галеркина.
В качестве основы для его построения используется тот факт, что
для решения задачи о резонаторе, описываемом векторами поля Е,
Н, D и В, имеют место следующие условия ортогональности базису:
(rot/7 —ίωΤ), Ε (/))=0
(rot Ε -f mB, Η (/)) = О
(гЕ—D. Ε (/))~0,
(μΗ~Β, Η,.)) = 0,
k{n= 1, 2, . . ., со, (8.6)
kv)= 1,2,.. ., со. (8.7)
Согласно идее метода Галеркина (§ 6) условия ортогональности
типа (8.6) и (8.7) налагаются на суммы (8.2) и (8.3), что, в конечном
счете, приводит к определению их коэффициентов и — таким путем —
к нахождению приближенного решения. Таким образом, вместо (8.6)
и (8.7) запишем
(rot ΗΝ — 1<ύ"0Ν, Ε п) = 0,
(totE"-{-iu)NB'V, Η c)) = 0,
(eEN — DN, E (/)) = 0,
(μΗΝ — Β". Η (ο) = 0,
k{,)= 1, 2, . . ., Ν{'\ (8.8)
k{']= 1, 2, ..., Ν{,) (8.9)
(ω'ν—символ неизвестных пока приближенных собственных частот).
Условия ортогональности к потенциальным собственным функциям
в (8.8) выполняются автоматически (при любых коэффициентах
представлений). Внося (8.2) и (8.3) в (8.8), получаем
* k=\, 2, ..., Ν,
<s>kck = aNbk, J
где u)k—собственные значения, соответствующие вихревому базису
(собственные круговые частоты пустого резонатора). Используя
обозначения (8.4), имеем
Ос=М. ) <8·10>

94 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
где Ω — диагональная матрица
Ω:
[ГЛ. 2
ω,
0
0
0
(On
0
0 .
0 .
ω3 .
. 0
. 0
. 0
0 0 0
υΝ
(8.11)
Что касается условий (8.9), то подстановка в них (8.2), (8.3)
приводит к следующим матричным уравнениям:
а--= Эс-+■ Э'с', }
[ (8.12а)
0 ='Эс +'Э'с' ) V ;
и
b = Md-\-M'd', ι
0='ΛΜ -j-'M'd'. j
(8.126)
Прежде чем рассматривать полученные алгебраические формы,
отметим еще одну возможность построения схемы метода Галеркина.
Дело в том, что вместо условий (8.7) можно использовать
соотношения с обращенными проницаемостями, эквивалентные
электродинамически, но не математически:
А(,)=1,
Соответственно этому вместо (8.9) имеем
(*ν-
e~'Z>v, Ε
,(')
= 0,
= 0,
(//<ν-μ-ι#ν ^(,))==0ι j
Внося (8.2), (8.3) в (8.14), находим
Эа — с,
'Эа = с'
и
Mb = d,
'Mb=d'.
k{,)=\, 2,
оо.
Ν.
\
(8.13)
(8.14)
(8.15а)
(8.156)
Полученные системы алгебраических уравнений дают возможность
определять коэффициенты представлений (8.2), (8.3), выражающих
«приближенные решения» задачи о резонаторе, и соответствующие
приближенные собственные частоты ωΛ\ Эти системы уравнений ниже

§ 8]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ
95
обсуждаются. Однако вплоть до гл. 6 мы не будем затрагивать
вопросов сходимости получаемых результатов при Λ/—>зо. Отметим
лишь следующий момент. Предположим, что при N-^-co
представления полей (8.2), (8.3) сходятся в среднем к соответствующим полям
и коэффициенты представлений стремятся к коэффициентам Фурье
полей согласно (6.14). Тогда можно рассматривать предельную форму
системы алгебраических уравнений, в которой уже вместо
коэффициентов представлений фигурируют коэффициенты Фурье. На вопрос,
существует ли в действительности эта предельная форма, мы каждый
раз сможем давать ответ, пользуясь результатами и, 5.5 и
аналогичными. Так, при Λ/"—>оо существует предельная форма системы
уравнений (8.10), где а, Ь, с и d соответствуют рядам Фурье функций D,
В, Ε и Н. Действительно, эта предельная форма совпадает с
бесконечной системой уравнений, получаемой при подстановке указанных
рядов Фурье в (8.6), а эта операция согласно п. 5.5 законна. Таким
образом, применимость почленного дифференцирования rot к рядам
Фурье выступает как необходимое условие применения той же
операции к представлениям в методе Галеркина. В случае его нарушения
предельная форма системы уравнений Галеркина—Ритца заведомо
не имела бы требуемого смысла.
8.2. Обсуждение уравнений Галеркина — Ритца. Итак, найдены
различные матричные уравнения относительно векторов, образованных
коэффициентами представлений (8.2), (8.3). Эти результаты позволяют
записать несколько алгебраических формулировок, характеризующих
свободные колебания рассматриваемого нерегулярного резонатора.
Исключая из (8.10) и первых строчек уравнений (8.15а, б),
векторы с и d, имеем
ΩΛ№ = Λ, 1
η; ν, } (8.16)
а отсюда находятся следующие две законченные алгебраические
формулировки:
(ξβ = (ω'ν)2β. (8.17)
3Rb = ((aN)4, (8.18)
где обозначено
® = ΩΜΩ3, Ι
ж = оэам. j (8Л9)
Поскольку а и Ь — векторы, отвечающие представлениям индукций (8.2),
то формулировки (8.17) и (8.18) — это не что иное, как уравнения
Галеркина — Ритца (§ 6) задачи о свободных колебаниях резонатора,
поставленной относительно индукций. В принципе каждое из
матричных уравнений (8.17) и (8.18) позволяет определить приближенные

96 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
значения собственных частот нерегулярного резонатора и
коэффициенты одной из сумм (8.2), т. е. получить также представление DN
или BN', которое может рассматриваться как приближенное решение
задачи D или, соответственно, В. Квадраты приближенных значений
собственных частот рассматриваемого резонатора — корни уравнения
Det|®— /((0^)2 | = 0, (8.20)
либо аналогичного уравнения
Det| ЗЗг — /(ωΛ')2|=0 (8.21)
{/ — единичная матрица), т. е., например,
βϋ-ίω")2
й21
е31
®т
(£22
Й12
— (о^)2
^32
®ю
®.з ·
®23
^33-(ωΛΤ .
^ΝΆ
®w
62^
®з*
■ Saw-О»")2
Заметим, что это обычные вековые уравнения до тех пор, пока не
учитывается дисперсия среды — зависимость е и μ от частоты: ωΛ'
присутствует лишь в диагонали обращаемого в нуль определителя. При
дисперсии же все элементы этого определителя — функции частоты
Если из (8.10) и первых строчек (8.15а, б) исключить векторы а
и Ь, то, в конечном счете, получаются уравнения Галеркина—Ритца
относительно вихревых частей напряженностей:
gc = (u)<v)2c (8.22)
и
Μά = (ωΝ)2ά, (8.23)
где
&=9ΩΜΩ, )
" " I (8.24)
т = маэа. )
Как видно, матрицы (ν, и (£, Зй и Зй различаются только порядком
своих сомножителей. Из (8.22) и (8.23), естественно, следуют
уравнения, подобные (8.20) и (8.21). Уравнения Галеркина—Ритца
относительно потенциальных частей напряженностей мы не выписываем.
Как известно (§ 4), совокупность собственных значений
рассматриваемого резонатора имеет вид *
0 < Recu1<Recu2<Recu3< . . . < оо (8.25)
(частоты обозначены подчеркнутыми номерами, чтобы отличать их
от собственных частот пустого резонатора). Поэтому при N—.> -о
элементы матриц (8.19) и (8.24) бесконечно возрастают и мы имеем

§ 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ 97
неограниченные операторы. Ограниченные формулировки получаются
путем обращения опзраторов, например, из (8.22) и (8.23), получаем
Г'С = ^С (8'26)
-ь _1
~(оЛ);
где
(1_1^Ω_1/νί_ιΩ_13_ι
rf = d< (8.27)
^-^Ω-^Ω-'Λ!-1. j (8'28)
Однако такое обращение, понимаемое как непосредственное
преобразование матриц, является несовершенным. Согласно известному
правилу при вычислении одного элемента обращенной матрицы
используются все элементы матрицы обращаемой. Таким образом, любой
(например, первый) элемент матрицы Э~ или Μ зависит от
порядка N обращаемой матрицы Э или, соответственно, Μ и всегда
отличается от соответствующего элемента бесконечной матрицы,
который не может быть найден.
Посмотрим, насколько можно изменить обратные формулировки
с помощью еще не использованных результатов метода Галеркина.
Исключая из первых строчек (8.12а, б) и (8,15а, б) а и Ь, имеем
Э~*с=Эс + Э'с', |
" , - - \ (8.29)
M~ld=Md-\-M'd'. j
Эти соотношения вскоре понадобятся сами по себе. Пока же
используем их для того, чтобы получить следующие два варианта
обращения матриц Э и ΛΊ; с помощью вторых строчек уравнений (8.12а, б)
находим
э-1 =β _э' ('э'у1 'Э, ]
- , ~ I (8.30)
Μ~ι = Μ— Μ' ('ΛΊ') 'М, j
а с помощью (8.15) —
Э~г =Э-\-Э"ЭЭ~1, }
- "" , } (8-31)
M~l = M + M"MM~l. j
Если внести (8.30) или (8,31) в (8.28), то формулировки (8.26) и
(8.27) примут иную, принципиально отличную форму.
Вернемся к соотношениям (8.29). Легко видеть, что для тех
классов задач, в которых векторы Ε η Η могут быть разложены по одним

98
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
вихревым подсистемам собственных функций и когда, следовательно,
с' = 0 или (и) d'=0, возникают следующие связи:
Э~' = Э (8.32а)
и
АГ'=М. (8.326)
В данном случае для выражения одного из элементов обратных
матриц Э~1 и /VI-1 не требуется привлечения всех элементов
обращаемых матриц. Просто всем элементам матриц Э и Μ любого порядка N
Ъп = *Ъ Г 1£*'£*) И Ъп = ^~'Нп'Ни)
соответствуют одни и те же элементы обратных им матриц Э и ΛΊ-1
(Э-\а = (еЕп,Ек) и (Μ-%η=(μΗπ, Hk).
При этом уравнения (8.26) и (8.27) представляют собой
«естественные» ограниченные формулировки
iT1MQ-13c=-^rc (8.33)
(ω'ν)~
и
Ω_13Ω_,/Μίί = —ίρ-rf, (8.34)
выгодные в вычислительном смысле. Получение этих формулировок
можно истолковать как косвенную реализацию обращения
дифференциальных операторов (ср. § 7). Тот факт, что уравнения (8.33), (8.34)
не имеют силы в общем случае, указывает на неинвариантность
подпространства вихревых функций относительно обращения
дифференциальных операторов, соответствующих (s и ЗИ (то же можно сказать
и об обращении © и Ш). Сравнивая частные соотношения (8.32)
с общими (8.30) или (8.31), можно истолковать существующее
различие как некий «дефект обращения», который в ряде случаев"
оказывается мал.
В заключение отметим, что уравнения Галеркина — Ритца (8.17),
(8.18) и (8.22), (8.23) — это различные формы выводов из системы
соотношений (8.8), (8.14). Остальные же результаты получены с
привлечением выводов из (8.9).
8.3. Формальные варианты метода Галеркина. Развивая метод
Галеркина для задачи о свободных колебаниях резонатора, можно
было бы исходить не из уравнений Максвелла, а из уравнений
второго порядка, т. е. применять операторы
-27£ = Γοίμ-ΙΓθΙ и ^//^=rote~1rot

I 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ S9
(§ 2) или подобные (при однородных граничных условиях).
Остановимся сначала на электрической задаче. Имея в виду ее решение Е,
D, запишем условия ортогональности:
О, k(n=\, 2 оо, (8.35)
О, k~ 1, 2, . . ., оо, (8.35а)
а также вытекающие из них при интегрировании по частям
соотношения:
(μ-1 tot Ε, rot £(,)) — ω2 (εΕ, £^) = 0, k{n=\, 2 оо, (8.36)
и
(μ-' rot £·, totEk)—a2(D, Elt) = 0, k = 1, 2, . . ., со. (8.36a)
Конечно, условия (8.35а) и (8.36а) должны быть дополнены введением
связи между Ε и D в виде (8.7) или (8.14).
Соотношения (8,35) и (8.35а) не могут быть использованы для
проведения метода Галеркииа на основном базисе {£„, £„<}, потому
что \i~xtotEN ζΟί0ί (§ 2). Но по типу (8.36) н (8.36а) можно
написать
(μ-'rot^, totE {n)—((offf(eEN, Ε (,,) = 0, k{/)=\, 2 Nin,
(8.37)
и
(μ-'rotE^, rot£,;) — (a'vf(DN, Е,г) = 0, k=\,2,...,N. (8.37a)
Подстановка представлений (8.3) и (8.2) в (8.37) и (8.37а) дает
QMQc — (ирУ(Эс + Э'с') = 0, 1
I (8.38)
'Эс + 'Э'с' = 0 )
и
аШс — (фК)2а = 0. (8.39)
Внешне эти результаты не приносят ничего нового в сравнении с
полученными ранее. Действительно, (8.38) с учетом (8.29) ведет к (8.22).
Точно так же из (8.38) и (8.39) привлечением (8.15а) и (8.12а)
получается (8.17).
В магнитной задаче все рассуждения повторяются. От
оператора J3?н переходим к соотношениям, аналогичным (8.37) и (8.37а):
(e-'rottf^, rot/7 (,))—(ωΛ')2(μ#'ν, /7(/)) = 0, (8.40)
k{,)=\, 2, . .., N"\
и
(ε-1 rot/7^, rot/7ft) — (ωΛ')2(Ял\ Hk) = Q, fe=l, 2 Ν, (8.40a)
(J?E-&4E, Eh(!)) =
(^EE~-<s?D, Eh) =

100 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
и при подстановке (8.2), (8.3) имеем
Ω3Ωά — (ω^)2 (Md + M'd') =0,1
(8-41)
>Md-+'M'd' = 0 J
и
Q3Qd—(aNfb = Q. (8.42)
Подобно предыдущему отсюда можно прийти к уравнениям (8.18)
и (8.23).
Самостоятельное значение уравнений Галеркина — Ритца (8.38)
и (8.41) выяснится в п. 8.5.
8.4. Применение оператора Максвелла [6]. Рассмотрим теперь
возможности, которые дает применение оператора Максвелла оМ (при
требуемых однородных граничных условиях) и оператора
проницаемости π (§ 2):
/ 0 — rot\ /ε 0\
М=%Ы θ) И Но μ)"
Выразив решение задачи о нерегулярном резонаторе в виде
Е\ ID
и чю=,
Η \В
запишем ее дифференциальные формулировки
&Uu = umu (8.43)
и
oMn-lw = ωά», (8.44)
а также соотношения
яи = W,
n~1w= и.
Построив функции базиса (п. 5.3)
Е„(П \ ( ЕЛ')
(8.45)
воспользуемся в дальнейшем представлениями:
N
WN = n0 2 Рпип (8.47)
Π--Ν
И
Ν ' Λ"
«/ν= Σ <7,^η + Σ qa.Un„ (8.48)
/ι = -Λ ιι'--Ν-

I 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ ЮТ
соответственно которым введем векторы
Ρ = {Ρ-Ν· ··■· P-V P-V Ρν Р-2 Ρ ν)' Ι
q=(q_N, .... q_r q_v qv q2, .... qN), \ (8.49)
?' = (?-* ί-2- 4-v 4v %·> ■·■■ In·)· I
В последующих действиях будет считаться, что они упорядочены
в виде столбцов
'=('.)· 41-)' •'-(У- (8-49а)
где индексы «-)-» и «—» обозначают объединения коэффициентов
с положительными и, соответственно, отрицательными числовыми
индексами. Будут фигурировать матрицы
/ М\ — Μ \
„ 2м=\ ^ з (8- 50)
V — АГ | М)
(клетками которых являются уже встречавшиеся матрицы Ω, 3 я AI),
а также матрицы 2^, гЗ , 2 5 , 2^, 2^, 2AI, зА1 , 2ΑΙ , 2ΑΙ и 2А1,
которые строятся аналогично. Как суммы этих «электрических» и
«магнитных» матриц появятся «электромагнитные» матрицы
W = j 0-+-2М), Г=1(2Э + 2А1) и т. д. (8.51)
Уравнения (8.43), (8.44) и (8.45) позволяют сформулировать
соотношения ортогональности:
(аМи — &ш, t/_(,))= 0, 6(,)= ± 1, ±2, .... ±оо, (8.52)
и
(ο^π-1^ — ω«ϋ, t/ft) = О, A=±l, ± 2, . , ., ± со, (8.53)
а также
(гаг — W, U (/)) = 0, А(/)=±1, ±2, .... ±оо, (8.54)
и
(и — лг'да, ί/ (О) = 0, ft']= ± 1, ±2, . .., ice. (8.55)
После интегрирования по частям в (8.53) мы можем взять в основу
построения различных вариантов метода Галеркина следующие условия:
(aMuN — aNnuN, U (f)) = 0, k'n = ± 1, ±2, . . ., ± ΛΛ'\ (8.56)
(π-'ίϋΛ', c4f.Uk) — &N{wN, i/ft)=0, & = ± 1, ±2, .. ., ±/V, (8.57)
(пи^ — «>", t/ (0) = 0, tt("= ± 1, ±2, . ... ±N{'\ (8.58)
,Q:
Ω
■ Ω
, =) =
Э Ι Э
3 Э

102 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
И
(я" —π-1»", tA(/)) = 0, A(/)=±l, ±2,..., + Λ/(0. (8.59)
Из (8.57) получается алгебраическая формулировка
2ΩΨρ = ωΝρ, (8.60)
являющаяся матричн&м уравнением Галеркина—Ритца для краевой
задачи о нерегулярном резонаторе в форме (8.44).
Из (8.56) находим
Ла — ω" (Wq -4-W'q') = 0, }
. „ (8.61)
'Wq-\-'W'q' = 0. I
He исключая пока q', выпишем матричные уравнения, вытекающие
из (8.58) и (8.59):
Wq-\-W'q' = p, }
(8.62)
'Wq-\-'W'q'=0 I
Wp = q,\
\ (8.63)
'Wp = q' )
(как видно, вторые строчки (8.61) и (8.62) совпадают). Из первых
строчек (8.62) и (8.63) следует
W~1q=Wq-\-W'q' (8.64)
и, далее, с учетом второй строчки (8.62)
W~l = W~ W'{'W')~UW. (8.65)
Из (8.61) и (8.64) получается формулировка:
W 2Q,q=&Nq, (8.66)
которую можно рассматривать как основное матричное уравнение
Галеркина — Ритца для задачи в форме (8.43).
Непосредственно же из (8.61), как показывает соотношение (8.65),
возникает формулировка, обратная по отношению к (8.66). Заметим
еще, что при чисто вихревом поле Ε, Η
W~l = W, (8.67)
и эта обратная формулировка
^-lW-lq=-Lq (8.68)

§8]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ
103
принимает вид
^Wq^J-q, (8.69)
что соответствует косвенной реализации обращения
дифференциального оператора Максвелла (ср. (8.33), (8.34)).
Между формулировками (8.60), (8.66), с одной стороны, и ранее
полученными результатами (8.17), (8.18) и (8.22), (8.23) — с другой,
можно установить соответствие. Действительно, уравнение (8,60),
например, имеет форму
_i ' = ω" , (8.60а)
'\o\—QJ\9 — M\9-\-MJ\P_) \P_ J
или
Ω (Э + Щ Ρ +. + Ω (3 — Μ) ρ_ = 2ωΝρ ,, 1
— Ω(3 — Μ)ρ+ — Ω(3 + Μ)ρ_ = 2ωΝρ_. }
Складывая и вычитая эти строчки, приходим к результату:
ΩΜύ = ωΝα, Ϊ
ОЭа — (й"д, J
где обозначено
а = р ++/»_ и Ь = ρ — р_. (8.70)
Видно, что найденные уравнения совпадают с (8.16) и, следовательно,
влекут за собой (8.17) и (8.18). Таким образом, равенства (8.70) —
это соотношения между решениями разных уравнений Галер-
кина—Ритца. Интересно, что они оказались такими же, как и
соотношения между коэффициентами Фурье решений краевой
задачи w и В, D, которые получаются согласно (5.43).
Итак, несмотря на существенное отличие алгебраических форм,
метод Галеркина с применением оператора Максвелла приводит к
прежнему представлению поля. При этой эквивалентная система
уравнений Галеркина — Ритца имеет удвоенный порядок, но элементы
матриц более просты. В соответствии с (2.16) они могут быть
истолкованы как выражения взаимной энергии между колебаниями пустого
резонатора в результате его заполнения неоднородной анизотропной
средой, например,
W„n ■= γ j (壄£* + μΗ,,Ηΐ) dv.
ν
Значение различных уравнений Галеркина— Ритца для задачи о
нерегулярном резонаторе заключается в том, что они неидентичны с
вычислительной точки зрения (некоторые сравнительные Оценки будут

104
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
сделаны в последней главе). Что же касается эквивалентности
представлений поля, получаемых на основе уравнений (8.60) и (8.17), (8.18),
а также (8.66) и (8.22), (8.23), то это ведет к расширению
возможностей обоснования прямых методов.
8.5. Метод Ритца [4]. Уже известные алгебраические
формулировки могут быть получены на основе вариационных принципов.
Интересно проследить, какие именно алгебраические уравнения возникают
как результат метода Ритца из разных вариационных задач.
Начнем с функционалов
ф/ (μ~] rot и, rot ό) φ/ (ε-1 rot a, rot v)
(εκ, ν) (μα, ν)
известных из пп. 3.3, 3.4. В электрической задаче возьмем в
качестве координатных функций метода Ритца Λ/ вихревых и Ν'
потенциальных собственных функций основного базиса [Еп, Еп>} и построим
пробные функции в виде сумм
(8.71а)
N
Σ
Ν
Σ
η-I
с Е
η г,
с Е
η г.
Λ"
л —1
Λ"
11' =■ I
Ε ,
η
,Ε ,
η
(8.716)
При подстановке (8.71) электрический функционал принимает вид
φ'Β(αΝ, „") =
N
Σ с1щМкп(йпся
ft, /2=1
/v(,)
.72)
Σ [с k^kncn + с t)3kncn' + с й' Экпсп -4- с к, ЭкпсЛ
Это выражение в билинейных формах сокращенно обозначим
и в соответствии с требованиями метода Ритца (п. 6.3) будем искать
стационарные значения Фя(и , ν ), обращая в нуль частные
производные от Ρ — Φζ> по коэффициентам (8,71а) или (8.716). Например,
-ίτ(Ρ - Ф<Э)=0, ]
del - I
} ге(/)=1, 2, . ... iV(/). (8.73)
" (Ρ-φζ)1==0, ■
дс „,

§ β! СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ 105
Одновременно обозначим
Φ = (&"?,
подчеркивая этим, что стационарные значения функционала Φίτ(«'ν, ν1*)
дают приближенные собственные значения задачи о нерегулярном
резонаторе.
Из первой строчки (8.73) непосредственно следует
QMQc—(u)n)20c-{-S'c') = O, (8.74а)
а из второй
'Эс-\-'Э'с' = 0. (8.746)
Итак, получен результат, совпадающий с уравнениями Галеркина —
Ритца (8.38). Однако теперь можно высказать некоторые
дополнительные соображения.
Возьмем эрмитовы ε и μ. Тогда исходный функционал (3.31) есть
разновидность функционала (3.4), и в методе Ритца следует брать
vN=UN, а собственные частоты нерегулярного резонатора юг
вещественны. Ввиду (3.5) любое из значений функционала может быть
расценено как приближенное низшее собственное значение
оператора J?'Е с избытком1). Однако, как известно (п. 4.1), это
собственное значение есть ω~=0. Оно бесконечно вырождено, причем
соответствующие собственные функции потенциальны. На самом деле,
интерес может представлять наименьшее из отличных от нуля
собственных значений ω2, являющееся квадратом собственной частоты
резонатора для колебаний основного типа. Приближенное значение
этой величины получается как низший корень векового уравнения
Det
ΩΛΊΩ — (ωΝ)2 Э I — (ω^)2 Э'
= 0, (8.75)
'Э I 'Э'
или
Det | ΩΛίΩ — (ωΝ)2 {э — Э' ('Э'у1 '3 } | = 0. (8.75а)
Но, согласно (3.6), для того чтобы иметь уверенность, что речь идет
о приближенном значении с избытком, пробная функция должна
быть ортогонализована относительно всех низших собственных
функций оператора J3?E, т. е. относительно бесконечной системы
потенциальных собственных функций при собственном значении нуль. Взяв
в качестве этой системы {Еп·}, для произвольной пробной функции и
будем, таким образом, иметь
(ей, £я.) = 0, п'~ 1, 2, .. .,; оо. (8.76)
') Подробнее об этом говорится в пп. 19.2 и 19.3.

106
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Но для uN это условие можно выполнить только приближенно:
(euN, £„0 = 0, п'=1, 2 N', (8.77)
что непосредственно приводит к (8,746), т. е. ко второй строчке (8.38).
Из предыдущего известно, что и метод Ритца применительно к
электрическому функционалу (3.30), и метод Галеркина в виде (8.37)
порождают (8.746) автоматически. Однако ввиду приближенности (8.77)
нельзя гарантировать, что низшая собственная частота будет
находиться с избытком. Можно убедиться, что избыток гарантирован лишь
в том случае, когда потенциальные функции не должны участвовать
в образовании uN или EN (подробно об этом см. в гл, 5).
Совершенно аналогичны все выводы, вытекающие из магнитной
вариационной задачи. Развивая для функционала (3.26) метод Ритца
на пробных функциях
Ν Λ"
a"=2d„//„ + 2rf,i·//»'
(8.78а)
ν
Ν Λ"
(8.786)
получаем матричные уравнения
Ω3Ωά — (ω")2 (Md-\- M'd') = 0
и
'Md~{-'M'd' = 0,
(8.79а)
(8.796)
что совпадает с (8.41), Подобно (8,746) уравнение (8.79б) возникает
и независимо от схемы Ритца или Галеркина как следствие
приближенной ортогонализации (с весом μι) пробной функции uN
относительного потенциального базиса:
(μα", //„') = 0, п'=-- 1, 2, . .., Ν'. (8.80)
Таким образом, при эрмитовых ε и μ низшая собственная частота,
получаемая как корень векового уравнения
Q3Q-(ioNf Μ\-(ωΝΥ Μ'
Det
'Μ
'Μ'
■О,
(8.81)
или
Det! ΩΛ1Ω ■
(ωΝγ[9 — 9'('3,)~ι'§}\ = 0, (8.81a)
в ряде случаев вычисляется с избытком. Как позднее будет показано,
для этого требуется, чтобы соответствующая магнитная собственная
функция могла быть представлена в вихревом базисе.
Итак, привлечение вариационных задач позволило понять
некоторые свойства уравнений Галеркина — Ритца (8.38), (8.74) и (8.41),

§ 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ К)?
(8.79). Что касается уравнений Галеркина — Ритца (8.17), (8.18),
(8.22) и (8.23), то н при эрмитовых проницаемостях им в общем
случае отвечают несимметричные операторы. Эти уравнения нельзя
рассматривать как результат метода Ритца применительно к
функционалам (3.31) и (3.26), так как для их получения из (8.74) и (8.79)
приходится использовать независимые результаты метода Галеркина
(8.30) >)·
Рассмотрим теперь функционалы, содержащие оператор Максвелла
т _ (<Ли, у) а _ (и, vUv)
(ЛИ, Ό) (М) (Ml, V)
Первый из них совпадает с (3.20), а второй можно написать в силу
симметричности оператора Максвелла задачи о резонаторе. При
пробных функциях
я - - jV
и
Ν Ν'
UN= Σ qnV„+ Σ q„'Uu.,
взятых соответственно представлениям (8.47), (8.48), и аналогично
выбранных νΝ метод Ритца в применении к записанным
функционалам, как это легко проверить, порождает уравнения (8.60) и (8.61).
Можно, однако, взять в методе Ритца и пробные функции типа
(8.2) и (8.3). Этот процесс проводится, например, в такой форме,
второму из записанных функционалов придадим вид
(ε_1<ί rot ft* —\i~lb rot e*) dv
(de* + bK") dv
<1\m) = i - τ—ζ · (8.82)
va
где b и d, в отличие от е и h, — пробные функции, имеющие смысл
индукций. Внося сюда d=D и Ь = В тина (8.2) и сопряженные
пробные функции e = EN и й==// тина (8.3), но с коэффициентами,
отмеченными тильдой, получим следующее выражение в билинейных
формах:
Σ . (rf A^ftA+ c*ka>kMknb^
_ _ _
Σ Q'kl* + ^lh)
Φ^) = ^1^ . (8.83)
') О свойствах приближенных собственных значений в этих случаях см.
п. 21.2.

108 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
Далее, но методу Ритца составляются условия стационарности Φ(οίί)
в виде
ηίτ-(Ρ-Φ<2) = 0,
ddk
где, как и ранее, Ρ и Q — обозначения для числителя и знаменателя
функционала. Учитывая также, что при стационарности Φ{Μ> = ωΝ,
находим отсюда
QMb = aNa (8.85а)
(из первой строчки (8.84)) и
Q3a = aNb (8.856)
(из второй строчки (8.84)). Результат совпадает с (8.16) и дает
затем (8.17), (8.18).
Аналогично получаются и уравнения (8.22), (8.23). Однако
рассмотренные пока функционалы с оператором Масквелла не имеют
нижней границы и не дают возможности строить простые оценки со^.
8.6. Закономерности алгебраизации [6]. Ниже будут
установлены простые закономерности, которые связывают алгебраические
формулировки, получаемые по схеме Галеркнна для задачи о
свободных колебаниях резонатора, с исходными уравнениями
электродинамики.
Предварительно напомним (см. п. 6.2), что уравнения Галеркина—
Ритца могут рассматриваться и как результат редуцирования
бесконечной системы, которая находится (при выполнении определенных
условий) из исходной формулировки задачи путем замены функций
их рядами Фурье. Этот путь может представлять самостоятельный
интерес, если условия ортогонализации типа (6.9) неприменимы при
UN£D#. Выше (п. 8.3, 8.4) подобные трудности обходились при
помощи интегрирования по частям в выражении типа (6.8), но это
удается не всегда. Рассмотрим пример, в котором проявляется
преимущество второго подхода.
Сформулируем задачу о свободных колебаниях нерегулярного
резонатора, используя пока еще не употреблявшиеся операторы J?D
(2.24) и J3?в (2.25). Из двух формулировок
ΓΟΐμ-'ΐΌΐε-'β^ω2/) (8.86)
и
τοΙε-ιΐθίμ~ιΒ^ώ2Β (8.87)
будем рассматривать хотя бы первую. Очевидно, условиям
ортогональности типа (6.8)
(rot μ-1 rote-1/)— ω2£>, Ek) = Q, k = 1, 2, ..., со, (8.88)
k=\, 2 Ν, (8.84)

§ 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ ДО9
при разрывных ε и μ нельзя сопоставить аналогичное требование
ортогонализации (6.9) уже потому, что s~lD'y ζ DI0t. Итак,
непосредственное применение метода Галеркина, основанное на
конечномерном аналоге (8.88), оказывается невозможным.
Разложим решение D в ряд Фурье по {£„}:
оо
D = eQ%a,tEa, (8.89)
а функцию μ-'rote-1/), подобную вектору Н, — по {//„, //„·}:
СО
μ-' rot ε"'Я = 2 (ΚΗη + Κ·Ηη·). (8.90)
/Lr
Внося (8.89) и (8.90) в (8.88), находим
(Ωδ = ω2β, (8.91)
где Ω есть предельная форма матрицы Ω при Ν—>οο.
Далее запишем ряд Фурье
оэ
τοΙε-ιΡ=μΌΣ УпНп, (8.92)
η - 1 "
сопоставление которого с (8.90) дает
6= My, (8.93)
где Μ—бесконечная матрица, являющаяся предельной формой
матрицы М, Затем в ряд Фурье разлагается &~lD:
со
z~lD= Σ (ι\ηΕη-\-τ\η·Ε„.). (8.94)
/>-ι~
Сравнивая это с (8.92), имеем
у = — (Ωη. (8.95)
И, наконец, используем ряд Фурье (8.89), который вместе с (8.94)
порождает соотношение
\\=Эа (8.96;
с бесконечной матрицей Э, соответствующей матрице Э.
Остается лишь исключить промежуточные величины из (8.91),
(8.93), (8.95) и (8.96), чтобы получить бесконечную форму:
ΩΜΩ9α = ω2α. (8.97)

110 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
Урезая ее до порядка ЛЛ имеем
QMQ3a = (aNf a,
1ГЛ. 2
(8.98)
а этот результат сам по себе не вызывает сомнений, поскольку он
совпадает с (8.17). Можно отметить также законность почленного
дифференцирования бесконечных рядов при получении соотношений
(8.91) и (8.95) (п. 5.5).
Сравнение (8.98) с (8.86) и сопоставление ранее полученных
матричных уравнений с исходными для них формулировками краевой
задачи, содержащими различные дифференциальные операторы,
позволяют сделать некоторые обобщения. На основании (8.2) и (8.3)
введем векторы
А =
В =
cJ'
D-.
(8.99)
и составим матрицы
Э | Э'
if = "
ef =
'э | 'э'
э | э'
'Э | 'Э'
оМ =
аМ-=^
Μ 1 Μ'
•,'Λί Ι 'Μ'
м I лг
Μ Ι 'Μ'
(8.100)
Тогда оказывается, что все матричные формулировки получаются
непосредственно из дифференциальных, содержащих векторы поля
Ε, //, D и В, если применять «правила алгебраизации», заключающиеся
в следующей замене:
Ε ~> С,
ω-
D ->А,
В^>В,
Я-> D,
λΝ
(8.101а)
-ι -^,р
μ-
\ rot
+
ίΩη
(8.1016)
причем в последнем соотношении верхний знак соответствует
применению оператора к электрическим величинам, а нижний — к
магнитным.
Легко проверить, например, что уравнения (8.16) отвечают
уравнениям Максвелла, а (8.17) и (8.18)—уравнениям (8.86) и (8.87),
в то время как (8.22) и (8.23) отвечают уравнениям
ε~1κ>ίμ-1Γ0ΐ£ = ω2£ (8.102)
и
μ-ιτοίε-ιτοίΗ ~ώ>Η (8.103)

§ 8]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ
111
с операторами J?Е (2.27) и J2*'н (2.28). Соотношения (8.12) и
(8.15) — результат подобной же алгебраизации уравнений
Β·=μΗ J И Μ = μ~ιΒ. |
Затруднения с получением обратных формулировок демонстрируются
строением матрицы Ω0, которая не имеет обратной, что отражает
в свою очередь необратимость дифференциального оператора rot
в функциональном пространстве, содержащем вихревое и
потенциальное подпространства.
Подчеркнем, что правила алгебраизации (8.101) действительны
только в пределах использования основного электродинамического
базиса.
8.7. О несимметричных операторах второго порядка. Можно
поставить вопрос об уменьшении числа матриц в алгебраизованной задаче о
резонаторе до одной, элементы которой вычисляются как скалярные
произведения (J^Un, Uk) с дифференциальным оператором ψ. При этом приходится
обращаться к операторам &D, J?B, J?>£ и <?н (2.24), (2.25), (2.27), (2.28),
т. е. к уравнениям (8.86), (8.87) и (8.102). (8.103) с соответствующими
граничными условиями.
Как уже отмечалось (п. 2.4), указанные операторы при зависящих от
координат ε и μ являются несимметричными даже в том случае, когда эти
тензоры эрмитовы. Разумеется, для каждого из них можно развить метод
Галеркина непосредственно по схеме (6.10) или метод Рнтца, построив
сначала функционал (6.22), при q— 1. но, располагая непрерывными функциями
базиса, мы можем сделать это только при достаточно гладких ε и μ. Тогда
получаются следующие уравнения Галеркина—Ритца:
LEc^(mN)2c, 1
'LEc^{^fC J
LHd^(aNfd, 1
(при разложении напряженностей) и
L,„a =(ωΝ)2 α,
и
а
(при разложении индукций), где, как в (6.10) — (6.21), Lkn — (^g'un, uk),
а наличие штриха указывает на участие потенциальных функций в
матричных элементах. Итак, при гладких ε и μ уравнениям Галеркина — Ритца
(8.17) и (8.18) можно сопоставить уравнения (8.106) и (8.107), а уравнениям
(8.22) и (8.23)—первые строчки (8.104) и (8.105).
Выясним, в какой мере уравнения Галеркина—Ритца (8.104)—(8.107)
могут быть использованы в случаях скачкообразного изменения свойств
среды в Vg. Предположим, что в резонаторе можно выделить области / и 3
(8.104)
(8.105)
(8.106)
(8.107)

112 прямые методы на основном базисе [гл. 2
(рис. 2.2) с постоянными прояицаемостями ε,, μ] и ε3, μ3, разделенные
достаточно тонким переходным слоем 2, так что нигде нет разрывов к и μ
(в областях / и 3 параметры среды могут быть и не постоянны, но ыепре-
кос(п) рывны). Очевидно, что при
такой постановке задачи все дей-
/ ι/- L— 3 ствия, необходимые для вы-
| /I числения матричных элементов,
1 .' | принципиально выполнимы.
ι Ι \ В то же время слой 2 может
—.—ψ.—j ,_ п быть настолько тонок, что
ч~]^ U*-rf изменение свойств среды ока-
,_^_^ зывается практически скачко-
2 образным.
Для оправдания указанного
д) g) подхода надо убедиться, что
' при стремлении толщины пере-
Ряс, 2.2. ходного слоя к нулю
получаемые выражения матричных
элементов сохраняют смысл. С этой целью зададим проницаемости ε и μ
в слое 2 такими функциями координат, что обратные им величины имеют
вид
ε-^ε,-' + ίεΓ1 -е.71)а{п), 1
_ _ _. I (8Л08>
μ =μ3 ^(μ, ' — μ3 ) о (я), j
где о (я) — некоторая функция нормали к границе (рис. 2.2, а), график
которой имеет вид, показанный на рис. 2.2, б. В пределе при d ~> 0 получается
«ступенчатая» функция, а производная о' (я) становится δ-функцией. Ниже
для простоты взяты скалярные ε и μ.
Вычисляя матричные элементы
(Ь)*« = εο | £*Е~'Γοί Ι'-1 Γοί Еп dv'
ν,
после несложных преобразований будем иметь
+*·«'&)"{к)'1 & ».]-*.(ir)",«'-(i)[4· "-]■
Интегрируя по трем областям, с учетом непрерывности ε и μ на их
границах получим
(Ь)*„ = »*»„ ( (tf (·£■)"' ^о | "X dv +
[ vt
ν, ι ν2

§8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ ИЗ
При d -> О первый интеграл по V2 уничтожается, а второй принимает вид
+ Й/2
-d/2 $
так что получаем
(ω.. - ·λ {(|г)"' (£)"' * J »X *+(|f (£)"' - χ
Χ | «J*. * )-41ϋ+μ[')(;[,'-ί8'1)- $ [4, «J*. (8.110)
Как видно, при переходе к скачкообразно меняющейся среде предельные
значения матричных элементов {^Е),. могут быть вычислены. То же верно
и в отношении элементов (^H)k . исследование которых в принципе ничем
не отличается от выполненного. Смысл вывода не меняется и при
анизотропии.
Возьмем теперь матричные элементы
(Lo)*B = ε0 J El rot I1"' rot ε_1 Εη dv·
ν,
здесь
ε04 rot μ-1 rot ε~1Ε„ = ωΛ (iL) (^-) μ0«>;ι +
Таким образом,
(i0)*--»*».((lr)",fe)",»4oJ»X^+
+^i(^)",grad(i)"'K^^-
-«' ί (irV-lir'w'j-'.H&r^}*.
•Sn(±)-S»(±)
(8.111)
где So, — границы, разделяющие области Vt и V^. Если диэлектрическая
проницаемость — функция координат, то в пределе при d-*· 0 поверхностный
интеграл в этом выражении расходится. Аналогичный вывод будет получен

114 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
при исследовании матричных элементов (L ). t магнитной формулировки,
когда магнитная проницаемость — функция координат заданного вида. Итак,
при переходе к скачкообразно меняющейся среде предельные выражения
матричных элементов уравнений (8.106) и (8.107) теряют смысл.
8.8. О непосредственном обращении дифференциальных
операторов [5]. В связи с рассматриваемой задачей о свободных
колебаниях нерегулярного резонатора вернемся к вопросу об обращении
дифференциальной формулировки краевой задачи с помощью тензоров
Грина.
В качестве примера возьмем формулировку, содержащую
дифференциальный оператор J3? Е, т. е. уравнение
Γ0ίμ-1Γ0ί£ = ω2ε£ (8.112)
при Ετ=0 на границе 50. В соответствии с этим положим в (7.5)
/= 0, а также
,у£ =. rot μι-1 rot — ω2ε,
μ-1 rot rot— ω2ε
0'
что дает
£(/■) = — I {rot μ"1 rot Ε {г') О (г', г)—
ν,
~ Ε (г') μ-] rot rot G(rf, r)—a2(E-eQ)E(r')G(r', r))dv'.
После интегрирования по частям с учетом граничных условий для
G(r', г), которые — по предположению — те же, что и для Е, имеем
£(/■)=_ Ι (μ-ι rot E (г') rot О (г', г)—
v„
— £(/■') μ0-1 rot rot О (/■', /■) —ω2(ε — e0)£(r')O(r', f)\ dv'. (8.113)
Это интегро-дифференциалыюе уравнение переходит в интегральное
уравнение типа (7.8) при чисто электрической нерегулярности
резонатора (μ = /μ0). Тогда получаем
£(Γ) = ω2 J (ε — EQ)E(r')G(r', r)dv'. (8.113a)
ν,
Но этот частный случай пока оставляем в стороне.
Построим для уравнения (8.113) тензор Грина с помощью
разложения по собственным функциям основного базиса {Еп, Еп<\. Таким
образом, в качестве задачи сравнения (7.2) возьмем
(μ-1 rot rot — ω2(/)Ε,Λ Ε {Ι) = 0, )
Ε 0 V 1ω»'=°· (8Л14)
£t = 0 на S0, j

§ 8] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ 115
и формула (7.15) примет вид
О (г', г) = У 2 2 ~ Zj Е«' С О ° £'" И- (8.115)
« ω,—«И ω' ■■"■
Я=1 " η'-Ί
Желая применить к уравнению (8.113) метод Галеркина на
основном базисе, заменим в нем £ представлением ΕΝ (8.3) и составим
соотношения ортогонализации типа (6.9)
'ENEy,dv = — ε0 ί ί {μ"1 rot £<v (r') rot О (г', г)—
—μο"1^ (г') rot rot О (/■', г) - (ωΛ')2 (ε ^ε0) ΕΝ {г') О (г, г')} Ε {,}{r) dv' dv,
А(/)= 1, 2 iV(i). (8.116)
Внося сюда представление EN (8.3) и разложение тензора Грина (8.115),
вычисляем
N
ω
4?* Ас« -ω1<7? - (^(0'V)2 (Эапсп + Э'к„сп·) + (^2 ck
ΛΛ2
XJ „2 f,JVY
■"■ «ι. — (.ω J
л = 1 "
(ω" У ~
Это дает
ΩΛΙΩε — (ω^)2 (Эс + Э'с') = О,
'Эс + 'Э'с'=0.
(8.117)
Итак, получены уже известные уравнения Галеркина—Ритца (п. 8.3) —
те самые, которые возникают в результате применения метода
Галеркина к необращенной формулировке (8.112). Построенный пример,
таким образом, показывает, что разложение тензора Грина в
основном базисе ведет к тем же алгебраическим формам, что и
представление в этом базисе соответствующей дифференциальной
формулировки. Этот вывод может быть проверен и на других примерах
(с магнитным оператором Jgи и т. д.). Частные случаи, когда
обращенная формулировка представляет собой интегральное уравнение
Фредгольма второго рода (например, (8.113а)), не составляют
исключения.
Отметим возможность использования тензоров Грина, не
удовлетворяющих каким-либо заданным граничным условиям па внешней

116 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
оболочке резонатора 50. При этом ннтегро-дифференциальное
уравнение (8.113) будет, очевидно, содержать поверхностный интеграл
— J [μ"1 rot £ (г'), G{r', r)]ds'.
Тензор Грина в (8.113) может быть взят, например, как решение
задачи сравнения (7.2) для неограниченного пространства
(—μ-iV2 —a>2e0)O(r', r) = I b(r — r').' (8.118)
Тогда имеем
£(/■)=— J {μ"1 rot £ (г') rot G (r', r)-\-E{r')\i-lV2Q{r', r) —
— ω2 (ε — e0) Ε (/■') G (r', r)\ dv'— J [μ"1 rot £(/■'). G{r', r)\ds',
s»
(8.119)
где
0(r', r) = /-17—, 6 = ω"|/ε0μ0, r=\r — r'\. (8.120)
К полученной интегро-дифференциальной формулировке можно
подобно предыдущему применить метод Галеркина, заменив Ε на ΕΝ
(8.3). При этом, разумеется, будет получена алгебраическая форма,
отличающаяся от (8.117). Но и таким путем задача обращения
удовлетворительно не решается, поскольку, как легко проверить, здесь
нельзя получить матричное уравнение Галеркина—Ритца вида
J_
(ω")2
®С:=^шс·
где элементы матрицы Q не зависели бы от N.
8.9. Применение поверхностных интегралов. В заключение
параграфа кратко рассмотрим алгоритм, в котором матричные
элементы строятся в виде поверхностных интегралов. Он может быть
получен, когда среда характеризуется кусочно-постоянными е и μ.
Для каждой из областей резонатора, внутри которых среда
непрерывна, с помощью (3.60) и (5.28) можно вывести следующие
интегральные соотношения:
& \Е, //V)] ds = — to f H*y)\iH dv + toy)Z0 Γ E*(,)Edv,
& [£>)■ Hjds = to (Ομ0 J H'^Hdv — ia J E^eEdv,
(8.121)

18]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЗОНАТОРОВ
117
где 5г — замкнутая граница области Vt. Переходя к
кусочно-постоянным ε и μ, возьмем их для простоты скалярными, а число
разнородных областей Vt ограничим двумя, так что
f е в 1Λ, Г μ в ΙΛ,
е(г) = |„ „ ,/ Нг) = \ .. „ Vi (V,+ V2 = V0).
ε0 в V2,
μ0,
Введем обозначения
t & [Ε, //*('>] ds= + Sfi'p (' I [£*('), Η] ds = + 5^ο.
Sl,2 5Ь2
J E*y)E dv = 3j/f)( J tf ;(0tf dv = M»V2) ·
3% -f Э% = -Э ,,,, M% -f Ж2,,, = Μ {г),
η η ιι η a ' η '
и из (8.121) получим
- sfo = ωμΜ^, — ω,/οε^*1^, 1
■ (8.122)
ς" —
μ M^-f ωε5»(1λ
ί) ι/\μ ινι ι
ιι· ' 0 η1
,(')
,Ρ)
5 (/, =ωμ Μ% — ω (')ε 3('in,
5^/, = - ω (,,μ Μ% ,-f ωε Э^,,.
(8.123а)
(8.1236)
Определяя из (8.123) 5%, 3ί2λ) и M%, M{2L, а затем складывая
их попарно, пишем
^iP-Pn^o+Q^s^,
'»(') = 1, 2, . . ., оо,
(8.124)
где
Pj'):
<Э„<'> =
(k2-*M*-*s>)'
εοω {^у) (μ — μ0) + *ομ (γ- —ι
μα»Κ(Ο(ε-ε0) + /;2ε(-ϋ_ΐ)1
ο (/)^___k_ \ μο /J
(*2-*ίο)(*3-^(',) '
(8.125)

118
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Внося в (8.124) вместо £ и Я их представления (8.3) и применяя
символы (8.99), получим следующие матричные уравнения:
C=^PSC—QSD, j
\ (8.126)
D = RSC — PSD, )
где Р, S и R — диагональные матрицы с элементами1) (8.125)
(матрица Ρ не имеет обратной, так как шЯ' = 0), а 5—матрица с
элементами
<'>Si'> = / ф[£я(0, «>)]*.
(8.127)
причем тильда в (8.126) поставлена над сопряженными матрицами
(число строчек (8.124), используемое при получении (8.126), равно
числу членов в представлениях полей).
Систему уравнений (8.126) можно также рассматривать как
результат редуцирования бесконечной системы, которая появляется при
замене £ и Я в (8.124) их рядами Фурье. Такая замена согласно
(5.58) и (5.59) законна при граничных условиях данной задачи.
Наконец, отметим, что г{)Э (>) и μ0Λ1 (') — это коэффициенты
Фурье напряженностей £ и Я. Соотношения (8.124) могут быть
получены путем непосредственного преобразования коэффициентов Фурье
интегрированием по частям: это было ранее сделано В. Г.
Феоктистовым.
§ 9. Свободные волны волноводов
9.1. Постановка задачи. Под волноводом ниже понимается
цилиндрическая полая система бесконечной длины, односвязная или
многосвязная, внутренняя среда которой
"Son в общем случае предполагается
анизотропной и в поперечном сечении неоднородной.
Иными словами, будут рассматриваться полые
поперечно-нерегулярные волноводы.
Представление об этом дает рис. 2.3, схема-
Рис- 2-3- тически изображающий волновод, внутренняя
среда которого непрерывна (и, быть может,
однородна) в каждой из выделенных цилиндрических областей Vt;
внешняя оболочка 56ок считается идеально проводящей.
В силу указанных геометрических особенностей волновода
решения однородных уравнений Максвелла (т. е. уравнений (1.1) при
^ст_0) В данном случае могут быть представлены в виде
Ε = Ее-π*, Η = Не-я*, (9.1)
') В (8.125) делается замена ω->ωΝ.

§9]
СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
119
S,
S,
'ШшШушщшт
■>'бок
а)
Рис. 2.4.
где Ε и Я —функции поперечных координат. Различные решения (9.1)
оудем называть свободными волнами волновода, а
соответствующие значения параметра Г — волновыми числами, или
постоянными распространения; эти величины пока не
нумеруются.
Объемная задача. Свободные „волны пепоглощающего
волновода обладают пространственной периодичностью:
£(ζ) = £(ζ + Λ), Η(ζ)=Η(ζ + Α), (9.2)
где
Λ = -^- (9.3)
— длина волны. Поэтому для изучения каждой из них достаточно
выделить объем V0 (рис. 2.4, а) в виде цилиндра длиной 1=А
(а во многих случаях даже
/ = Л/2). Краевую
электродинамическую задачу для
области V0 будем называть
объемной или трехмерной
задачей о волноводе.
Полная внешняя граница
области состоит из трех частей:
S0 = 5бок + Si + S2, причем
на боковой поверхности 5бок задаются граничные условия из группы
соотношений (1.9) (обычно первая строчка), а на 5j и 52 при
1 = А — условия периодичности
α(51) = α(52), (9.4)
где и—входящие в рассмотрение векторные функции поля. Легко
убедиться, что при таких «однородно-периодических» граничных
условиях на 50 (см. приложение 1 к гл. 1) возникают симметричные
операторы J2?Е, J3?fI и аМ (пп. 2.1—2.3). Далее, вместо граничной
задачи, сформулированной с помощью одного из этих операторов,
можно рассматривать вариационную, взяв соответствующий
функционал из § 3 и присоединив (9.4) к условиям допустимости
функций. При этом стационарное значение функционала типа (3.4) будет
реализоваться решением задачи о волноводе. Оно будет равно
квадрату частоты (при J3?Е и J2?н) или частоте (при о#), для которой
продольный размер области / составляет целое число того или иного
типа волн волновода.
Объемная волноводная задача может быть поставлена и при
наличии поглощения во внутренней среде, когда постоянные
распространения—комплексные числа: Г = Г" — ίΓ", и формулы (9.1) уже
не выражают функций, периодических на оси ζ (9.2). Дело в том,
что £ и Я можно рассматривать как функции, периодические на

120
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
некоторой оси ζ в комплексной плоскости, идущей из начала
координат под углом
Г"
ϋ = arcig -γτ-
к вещественной оси. Длина волны Λ (пространственный период) при
этом — величина комплексная, и для выполнения условий
периодичности (9.4) надо брать объем V0 с комплексной длиной / = Л. При
образовании скалярного произведения как интеграла по V никаких
затруднений не возникает, поскольку функции базиса зависят от ζ
как
cos n ζ
■ 2РЛ -т-
sin y I
(Π 1.1), и, следовательно, всем входящим в рассмотрение функциям
(их линейным комбинациям) можно приписать вещественный
аргумент ζ/Ι; комплексная длина / переходит в единичный вещественный
отрезок.
Плоская задача. Краевую задачу о свободных волнах
поперечно-нерегулярного волновода нетрудно свести к двумерной —
«плоской». Действительно, для произвольной векторной функции
А = Af (z), где А—функция поперечных координат данной
обобщенно-цилиндрической системы, имеем
το{Α = /χοΙλΑ + ^Ιζ0, А]. (9.5)
причем _]_ — символ операций в поперечных координатах (rotj_ есть
rot при замене djdz на 0). Ввиду (9.1) это дает возможность
записать однородные уравнения Максвелла относительно векторных
функций поперечных координат в следующей форме:
rot±E — ίΓ [z0, Е}= — ίωμΗ, Ι
tot±H-\-lTlH, z0] = imE. f (9,6)
Таким образом, речь идет о краевой задаче в поперечном сечении
волновода (рис. 2.4,6) для уравнений (9.6) при граничном условии:
£= 0 на внешнем контуре L0.
Исключая из (9.6) Ε и затем Я, можно получить «магнитные»
и «электрические» формулировки, которые оказываются громоздкими
и потому практически малоинтересными. Зато полезно объединение
поперечных функций, т. е. введение функции

f 9] СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ 121
в пространстве со скалярным произведением типа (2.16), но при
интегрировании по поперечному сечению S0. Соответственно этому
будем иметь операторы
/ 0 — rot Λ / 0 χζ0\
oM\=i\ η и Т=\ ° . (9.7)
а также л (2.15). Оператор образования векторного произведения
С го, обозначенный Т, как нетрудно проверить, симметричен
подобно аМ^. В этой символике уравнения (9.6) принимают вид
o%1U—wiU= — YTU. (9.8)
Подразумевая, что области определения операторов (9.7) принадлежат
функции с обращающейся в нуль на контуре L0 тангенциальной
составляющей электрической части, запишем функционалы:
(°Л | и, Ό) -4- Г (Та, ν)
Р=± -'■ / . (9.9)
(пи, ν) ν '
и
— (аё , и, ν) 4- ω (ли, ν)
Q= { х ,УЦ-^ -. (9.10)
^ (Та, ν) ν '
стационарные значения которых доставляются решениями задачи (9.6),
(9.8) для поперечного сечения 50. При этом
stP = co и stQ = r. (9.11)
Очевидно, что функционал (9.10) более удобен для описания волно-
водной задачи, поскольку его стационарные значения—это
постоянные распространения различных волн нерегулярного волновода.
В подробной записи этот функционал имеет следующее выражение:
■ i | (ft* rot ι e — e* rot , ft) ds χ ω J (see* + \M*) ds
f {[e. Α'] + [ϊ*. h])ds
q = —£° _ ±» . (9.10a)
Сделаем замечание относительно формулировки волноводной
задачи (9.8). Известно, что при эрмитовых ε и μ постоянная
распространения Г — величина мнимая, если для данного решения частота ω
ниже критической. Между тем оператор задачи о/Иj_ — сол при
эрмитовых проницаемостях симметричен, а выше уже говорилось о
симметричности веса Т. Мнимые постоянные распространения выступают,
таким образом, как собственные значения симметричного оператора.
Напомним, что такая возможность отмечалась в п. 1.2. Выполнение
указанного там условия легко проверить при постоянных ε и μ,

122 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ , [Гл. 2
скалярных и вещественных. Подстановка выражения какой-либо
собственной функции Uk (его можно взять из п. 9.2) в (9.10) дает
il + ir*!2 _ г* + г1
Q{Ub)= ~ , j;- = r.
ГА+Г1 ~~τ± + τϊ
где Гй — соответствующее собственное значение. Отсюда видно, что
и при вещественных, и при мнимых постоянных распространения
по, как это и должно быть, в последнем случае возникает
неопределенность
9.2. Виды базисов. Рассмотрим вопрос о выборе основного
базиса для волноводных задач. В случае объемной формулировки речь
идет о представлении электромагнитного поля в области V0 в виде
ограниченного цилиндра. В принципе для этой цели могли бы быть
использованы те самые собственные функции, которые берутся в
аналогичной резонаториой задаче (§ 8), т. е. известные системы {£„, £„<}
и {//„. //„'} собственных функций задач (5.18) и (5.19). Однако,
как это будет видно в п. 9.3, значительно выгоднее подчиненные
однородно-периодическим граничным условиям функции, которые
являются решениями следующих краевых задач:
■ V2£,: = £?£,·,
I
£tT = 0, а,у£, = 0 на S6oK, j (9.12)
£i(5,) = £((52) J
и
(rot^.)t = 0, //iv = 0 на 5б0К, j (9.13)
Hl{Sl) = Hi{S2), J
В обоих случаях оператор Лапласа симметричен и системы
собственных функций {£„, £„'} и {//„, Я,,') полны; штрихами, как и раньше,
обозначены потенциальные функции. Строение этих систем
рассматривалось в Приложении к гл. 1 (П1.1). Продольная зависимость
выражается здесь либо тригонометрическими функциями (П1.37,
П1.41)
cos 2рл .„ . _,
. -~- ζ, ρ = (0), 1, 2,
sin / ^ v '

§ 9] СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ 123
либо экспоненциальными (П1.38, П1.42)
1рп_
/> = (0), ±1,
Перейдем к выбору базиса в случае двумерной формулировки
задачи о волноводе. Поскольку при этом требуется строить
представления векторных функций £ и Я, лишенных продольной
зависимости (9.1), то естественно взять следующие двумерные
модификации задач (5.18) и (5.19):
— V2£. = y2£., 1
Ε1τ = 0, div1£,.= 0 на L0 ( (9'И)
-У^Я. = Х2Я, I
(rot//,), = О, Hly = 0 на L0,\ (9Л }
в которых вместо объема V0 фигурирует плоская область 50 с
границей LQ и, соответственно, везде вместо операции djdz
подразумевается 0. Системы собственных функций задач (9.14) и (9.15) полны,
как это следует из свойств трехмерных задач (пп. 5.3 и 5.7).
Представляемые функции £ и Я удобно разбивать на
продольные и поперечные части:
E=?E2-{-Et и Н=Н2 + Ht
(индекс t означает, что вектор лежит в плоскости поперечного
сечения). Соответственно этому используются продольные и поперечные
части собственных функций Еь и Я,-, которые являются собственными
функциями задач
— V2£,.=v2£,.,
(Eti\ = 0, diVj Eti = 0 на Ц
■ΨΗ..=72Η
ιν
(гоМ/,г)т=0. (//„)„ = 0 на Ι0,
а также обычных задач Дирихле и Неймана
V2 F
Ρ .
'-ζι
-V2 Η
1 «ί
= 0 на
Α-ί Zl
— 0 на
L»
,
Ι0.
(9.16)
(9.17)
(9.18)
(9.19)

124 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
Разделяя собственные функции задач (9.16) и (9.17) на «поперечно-
вихревые» и «поперечно-потенциальные», запишем обозначения
систем в виде [Etn, E(n'} и [Htn, ///„-}, где
J rot,//ir=0 J
rot, £„.=0, ' — " —n ' l >
(если имеются гармонические функции, то они причисляются к
потенциальным, как и в п. 5.3). Системы собственных функций задач
(9.18) и (9.19) обозначаются [Егп\ и [Hzn], При этом все
собственные функции будут считаться нормированными к единице, так что
го{Ен(')· Е]„(')) = δίΟΑ,(')· го(Ег1> Егк)=(>1к.
(9.21)
где скалярное произведение понимается как интеграл по 50.
Отметим следующие связи введенных собственных функций.
Пусть Ег/1 (величина вещественная) и хк = Х%—собственная функция
и отвечающее ей собственное значение задачи Дирихле (9.18). Тогда
определены следующие векторные собственные функции:
Н,и = -ψ^ Ι*ο· V J Ezk) = ~ -ψ~— rot, Ezk (W0 = /μΛ) ,
(9.22)
т. е. потенциальная собственная функция электрической задачи (9.16)
и вихревая собственная функция магнитной задачи (9.17). Точно
так же, взяв собственную функцию Нгк и соответствующее
собственное значение χ/;=χ^ задачи Неймана (9.19), получаем
потенциальную магнитную собственную функцию задачи (9.17) и вихревую
электрическую собственную функцию задачи (9.16):
H^'=Tr-^iHzk' I
W Ψ (9·23)
и далее
Etk=WQ[Htk-, z0], WQHtk = lzQ, Etk.], 1
W0Htk.=[zQ, Etk], Etk.=Wo[Htk, z0]. J }
Наконец, рассмотрим векторные функции Ек и Нк в виде
решений задачи о волноводе с однородной изотропной средой.
Однородные уравнения Максвелла при этом эквивалентны уравнениям Гельм-

§ 9]
СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
125
гольца для векторов £ и Я (которые подобны первым строчкам
(5,18) и (5,19)), Полагая в них д2/дг2 = — Г2, имеем
— V2±Ek = (kt — U)Ek, J
Ч = ω2εημη. (9.25)
Мы вернулись, таким образом, к задачам (9,14) и (9,15), поскольку
в (9,25) подразумеваются те же граничные условия. Из
сопоставления с прежней записью имеем
П = Ч-г\- (9.26)
Полезно также привлечь частную форму уравнений (9.6):
toiLEk—lYh[zO, £*]=— (ωμ0Η^ Ι
~}й=±1±2 (9 27)
rotj_ff* + ir*[ff*. zO] = im0Ek, \
где, очевидно1), Г^ = —Г_^. Решения уравнений (9.27) можно
выразить через уже известные поперечные и продольные собственные
функции, разбивая всю систему на два класса: Е-поля и //-поля;
если поперечное сечение волновода многосвязно и, следовательно,
существуют также поля ТЕМ, то их относят к одному из этих
классов. Удобна следующая форма записи:
En^±-(fikEzk + Y*Etr)
£-поля, (9.28а)
я° } Я-поля (9.286)
£* = Etk \
(для волн ТЕМ χ = 0 и Г = kQ). Электрические и магнитные
функции (9.28) ортонормированы в виде
{гйЕк, Еп) = 6кп, (μ0//*, Hn) = bkn, (9.29)
пока постоянные распространения вещественны (распространяющиеся
волны). При мнимых Tft сохраняется только нормировка вихревых
функций Htk и Etk, Чтобы распространить нормировку на все
функции при любых Tk, надо умножить первые строчки (9.28а) и (9.286) на
V%\ + \
') Все %\ неотрицательны, но спектр постоянных распространения имеет
положительную и отрицательную ветви в соответствии с (9.26): Г±й =
= ± v*%-%i k > о.

126
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
но тогда совокупности электрических и магнитных функций не будут
решениями уравнений Максвелла (9.27), поскольку при мнимых 1\
соотношения (9.29) в принципе не могут быть выполнены
одновременно.
Системы (9.28) при k=+ 1, ± 2, . . . (формально y_k = yk)
эквивалентны объединениям рассмотренных ранее систем
продольных и поперечных собственных функций в виде решений задач
(9.16), (9.18) и (9.17), (9.19). Если в поперечном сечении волновода
задана векторная функция поперечных координат F, то ее можно
разложить в ряды Фурье
F = 2 (±zmEzm + ^tm'Etm· + CljnEln)
(9.30)
F = 2 ΨζηΗζη + b(n'Ht„'-\-btmHtm),
(9.31)
где для удобства различения продольные и поперечные собственные
функции разделены на две группы, Одна из которых отвечает Е-вол-
нам, а другая—Я-волнам пустого волновода; это отмечено
нумерацией: индексы т(,) в первой группе собственных функций и гс(/) —
во второй. Но в качестве базиса можно взять и собственные
функции (9.28). Тогда получаются равноценные ряды Фурье
Г — 2j atrfim ~"l· 2j arfin
л-I '
(9.32)
(9.33)
(как и выше, индексы т соответствуют £-волнам, а п — //-волнам).
Считая функции в (9.32), (9.33) нормированными согласно (9.29),
получим следующие соотношения между коэффициентами Фурье
рядов (9.30), (9.31), с одной стороны, и (9.32), (9.33)—с другой
Km
l^Cm + lrJ2
\ат'Л~ а-т)'
\
O-trn' rr= _ ,—s- == \βπι tt — tn)'
yV j_ ι г ι2
$in β/ι
(9.34a)

§9]
СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
12/
bJ"-= лгт^г-;У*--Ь-п)·
"tm — "m-
(9.346)
Заметим теперь, что, записывая краевую задачу (9.27) с помощью
символики оператора Максвелла в виде
а4(±ик - ωπ0ί/, = - Г,TUk, (9.35)
мы получим систему собственных функций
/ l^"m " ~ mPtm' \ / Efn \
U±m^\ ka . и±п = \ ίχηΗζη±ΤηΗίη, ■ (9.36)
V /fim У \ *о У
Оператор задачи (9.35) симметричен, и функции (9.36) ортогональны
с весом Т. Однако ввиду специфичности Τ (9.7) разложение
некоторой функции и в ряд Фурье по системе (9.36)
± со ± со
«=23 РА4- Σ PnVn (9.37)
~ m - ± Ι η — ± I ~
означает отбрасывание ее продольной части. Действительно, пусть
«=«(-f-«z (индексы (и ζ надо понимать относящимися к
электрической и магнитной частям и). Легко проверить, что
ί (Та, Utl)=.(Tur U„),
\ (Ταζ,υ„) = 0.
Таким образом, система функций (9.36) эквивалентна системам
[Ещ, Е,п.} и {//,„, Ηtn·}.
9.3. Метод Галеркина для объемной формулировки. Как уже
говорилось, в объемной формулировке задачи о свободных волнах
волновода рассматривается его отрезок длиной Λ (см. рис. 2.4, а),
причем эта величина, разумеется, фигурирует как неизвестная. Все
действия в методе Галеркина можно вести по схеме, обсуждавшейся
в § 8. Остановимся на особенностях задачи и уточним некоторые
подробности.
Очевидно, рассуждая, как в п. 8.1, мы можем в качестве
исходных условий метода Галеркина взять соотношения (8.8) с (8.9)
или (8.13). Однако, поскольку первые содержат rotEN и rotHN,
надо выполнить условия применимости операции rot почленно к рядам

128 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
Фурье £ и //. В противном случае (см. конец п. 8.1) получаемая
система уравнений Галеркина — Ритца не будет иметь требуемого
смысла, что видно при переходе к N -->оо, До сих пор при
представлении полей в области V0 (§ 8) использовались системы
собственных функций {£„, £„-} и {//„, //„-}, удовлетворяющие на ее
границе S0 однородным краевым условиям. Для этих систем были также
получены выводы о рядах Фурье в п. 5.5. Нетрудно видеть, что при
исходном условии (8.8) уже нельзя пользоваться прежними системами
собственных функций: согласно п. 5.5 почленная операция rot£
неприменима, так как Ех не обращается в нуль на границах Sx и 52.
Поэтому надо или заменить условие (8.8) иным (как будет показано,
это нерационально), или перейти к другим системам базисных
функций. Проверка показывает, что необходимым требованиям
удовлетворяют системы собственных функций {£„, Еп<) и {//,,, Нп·} задач (9.12)
и (9.13), подчиненные тем же однородно-периодическим краевым
условиям, что и решение волноводной задачи. Действительно, повторяя
в новых базисах действия, выполненные в п. 5.5, убеждаемся, что
почленное применение операции rot к ряду Фурье F Тю [Еп, Еп·) имеет
смысл для всех F ζ_ Drot, удовлетворяющих граничным условиям: /\=0
на 56ок и F(Sy) = F(S2), а к ряду Фурье F по \Нп, Н,,·} —для всех
F 6 A-ot. удовлетворяющих лишь периодическим условиям: F{SX) =
&£(S2).
Прежде чем воспользоваться этими выводами, посмотрим, нельзя ли
изменить условие (8.8). С этой целью произведем интегрирование по
частям в (8.6), что дает
(Η rot Ε (/) — ίω DE (/, \ dv —
— φ |£ft(,j, H\ds = 0
ί(
Ε rot Η' {1)-\-ШВН (>))dv-
Η
k(,)= 1, 2, . . ., oo,
(9.38)
Sq = ^бок + 5j -f- S2.
" \E, H\(n\ds=0
So I
Если построить аналогичные условия ортогонализации EN и HN,
то они в принципе могут заменить (8.8) при сохранении старого
базиса, но из-за наличия поверхностных интегралов такой путь
нежелателен. Вместе с тем (9.38) демонстрирует преимущество ранее
выбранного пути: при замене £ </)->£ о и Η о~>Н о
поверхностные интегралы исчезают, и (9.38) эквивалентно (8.6), что
оправдывает применение (8.8) как исходного условия метода Галеркина.

§9)
СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
129
Итак, условия (8,8) сохраняются для объемной формулировки
волноводной задачи при замене систем собственных функций [Еп, Еп<)
и {Нп, //„-} на [Еа, Е„') и {//„, Нп<). Далее, следует учесть, что
в новом базисе по-прежнему при представлении индукций
потенциальные функции можно отбрасывать. Это видно из соотношений (5.38)
и (5.40), в которых и F, и функции базиса полагаются «однородно-
периодическими». Таким образом, наряду с (8.8) сохраняется также
вид представлений поля (8.2), (8.3), и окончательный вывод состоит
в том, что при указанной замене базиса все уравнения
Галеркина — Ритца из § 8 остаются справедливыми
для волноводной задачи в объемной формулировке.
Остается сделать несколько замечаний о вычислении матричных
элементов и интерпретации уравнений Галеркина — Ритца. Продольная
зависимость поля (9.1) известна и описывается экспонентой е~'Тг.
Представляя ее на отрезке 0 —ϊ— /. при 1 — А имеем
i 2S2-Z
e-iTz — e ι \ £__!,
Это значит, что в системах [Еп, ЕП'} и \НЛ, Нп·} останутся только
функции с этой продольной зависимостью, так как остальные (с /7=1,
±2, ±3, ...) ортогональны полю волновода.
Вычисление же матричных элементов типа (8.5) сведется к интегрированию
по поперечному сечению волновода. Матрица Ω (8.11) будет состоять
из собственных значений, отвечающих взятому базису, но они не
отличаются (как функции размеров) от прежних резонаторных
собственных частот; эти величины зависят от длины области ί = Λ. При
комплексной Λ они также комплексны.
Каким же образом находится постоянная распространения
волновода (или, что то же, длина волны) при заданной частоте?
Рассматривая любое из вековых уравнений § 8, например (8.20) или (8.21),
видим, что возможны два способа расчета. Если задаваться
фиксированными значениями Λ, то функции нового базиса со своими
собственными значениями каждый раз будут определены и необходимые
матричные элементы могут быть вычислены. Решение векового
уравнения дает при этом приближенные значения ω^, каждому из которых
сопоставляется взятое значение Λ (или Г). Это дает ряд
приближенных зависимостей Γέ(ω/ν), где k — номер типа поля нерегулярного
волновода. Во втором способе следует задать нужную частоту ω,
взяв ее в вековом уравнении вместо ω^, неизвестной же является
величина lN = AN, входящая в матричные элементы (§, Зй или иные.
Тогда решение векового уравнения дает непосредственно
приближенные значения Г^ (ω). Первый способ может оказаться проще в
вычислительном отношении (нахождение собственных чисел матрицы),
но форма результата в виде зависимости Г (ω) менее выгодна. К тому же

130
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
первый способ практически непригоден при комплексных Г, так как
нелегко «угадывать» вещественные собственные значения ω^. В целом
предпочтителен второй способ.
9.4. Метод Галеркина для двумерной формулировки [3,4].
Рассмотрим применение метода Галеркина к задаче о волноводе,
поставленной для двумерных уравнений Максвелла (9.6). Представления
полей Е, Я, D и В будем строить в базисах [Ezm, Etm>, Etn) и
[Н2п, Htn'< Htm) по типу рядов Фурье (9.30), (9.31). В отличие от
объемной задачи напряженности и индукции представляются в данном
случае одинаково, так как поперечные компоненты последних при
наличии продольных уже не вихревые. Таким образом, запишем
DN = ε,
о Σ
С)
βΛ
ίμ0
м, /νν
Σ
m~\, it· '«1
(ЪгпНгп -j~ btn'Htn' + btmHtm)
(9.39)
ΛΓ ' N
EN =
ni -1, n = I
\Czm zm "l Ctm'Etm' I CtnEtn)'
Μ, Ν
{')
HN.
m = l, n(/J = l
(dznHzn + Btn'Htn' + dtmHtm)·
(9.40)
В дальнейшем символы a2, at, ar и т. д. будут означать векторы,
составленные из соответствующих коэффициентов. Векторы,
получаемые объединением всех коэффициентов данного представления,
обозначаются буквами без всяких индексов; так, например, a = (az, at,, аЛ =
= (azV ···■ агМ· atV ■■·■ аШ- atV ···■ аш\
Исходной является следующая ортогонализация представлений:
(rotx EN — iYN [ζ0, ΕΝ]-\-ίωΒΝ, Η (Ι)) = 0,
(tot±H» + ir"[H», г0] - ίω/^,Ε^,,) = 0, I (9.41)
α=ζ, t; k(,)=\, 2, ..., M{,)- N{,)
и далее
(ΏΝ — εΕΝ, Ε (/)) = 0,
(9.42)

§9]
СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
131
или
(μ-^-^.^,) = ο (
(9.43)
с тем же перебором индексов.
Все возникающие в дальнейшем матрицы, которые будут
действовать на полные векторы а, Ь, с и d, делятся на клетки
соответственно строению векторов по схеме
zz zt' zt
t'z ff ft
tz tf tt.
Таким образом, из (9.42) и (9.43) получим
а = Эс,
1
b = Md J
и
с = Эа, 1
d = Mb, {
где Э, Э, Μ, Μ—матрицы следующего вида:
&ΖΖ
3fz
9tz
ЭН·
Эгг
Эи·
9zt
3t't
Эн
М-
мг
Mzt. I Mzt
Mr
t'z
Mr t.
Mr
(9.44)
(9,45)
(9,46a)
(9.466)
Mtz ] Mtv | Mtt
клетками которых являются матрицы с элементами
•Э in (п= (εΕ in, Ε (ιΛ, Э ,Α (Ι) = έΔ (ε~ιΕ m, Ε ,Α,
0*VW ^ Ρ" ak ' ~akK'$ii·' 0\ till· ' ak[ >>
Μ (П (n=fμЯ (0, Η (/,), Μ ,,) (,) = μ2(μ-^„('), Η л')); \ (9.47)
α, β=*. ί; ft(,), д1,)=1, 2, .,,, Μ(0; Λ^'>

132
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
(будем считать, что все клетки—квадратные). Из (9,44) и (9.45)
вытекает, что
ЭЭ = 1
ММ = 1.
(9.48а)
(9.486)
Вернемся к условиям ортогонализации (9.41). Внося в них
представления (9.39) и (9.40), находим
(Xl4-JTN)c = k(fi,
(X2-irJTN)d= — kua,
где &0 = ω]/ε0μ0, а матрицы имеют вид
(9.49)
Xh<2 =
0
0
^χΕ·Η
0
0
0
хн,е
0
о 1
и У=.
0 10 10
(9.50)
0
0
причем Xе и Хн — диагональные матрицы из поперечных волновых
чисел χΓ(2 и χ„, отвечающих Е- и Я-волнам пустого волновода
соответственно;
' Xf." 0 0 ... 0
0 χξ■» 0 . .. 0
Xе·" =>
0
о
о
■,,Ε,Η
1-М, N
(9.50а)
На основании полученного нетрудно записать различные варианты
уравнений Галеркина — Ритца, содержащие только представления
напряженностей или представления индукций. *«В напряженностях»
имеем
и далее
«В индукциях»
(X1-\-JTN)c = k0Md, }
(X2+jrN)d=~~k0ec ]
Μ(χ,-\-πΝ)3(χ2+πΝ)(ί=~~ k20d
э (χ2 -f jtn) м {χι + πΝ) с = — klc.
{Xi-\-JYN)3a=k0b, 1
{X2 + JTN)Mb = — k<fl, \
(9.51)
(9.52)
(9.53)
(9.54)

§ 9] СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ 133
откуда
и
(ΛΊ 4- Я") Э (х2 -f ΛλΝ) Mb= — к2ф (9.55)
(Х2 4- Я") Μ (Хг 4" Я") Эа=— kla. (9.56)
Видно, что ни одна из полученных алгебраических формулировок
не имеет обычной формы задачи на собственные числа матрицы
(относительно Г). Поэтому соответствующие вековые уравнения
Det | Μ (ΛΊ 4- Л1") Э {Χ2 4- JTN) 4- Ikl I = 0
и т. д. иногда удобнее рассматривать относительно &о при
фиксированном Г (тогда имеет смысл изменить обозначения Г^ и k0 на Г
и k(f),
Из уравнений Галеркина—Ритца (9.51) и (9.54) можно,
разумеется, строить и иные. Например, объединяя уравнения (9.51),
получаем
1 V о \м J \хг \ о j\\dj \ j\ о )\d
Подлежащая определению постоянная распространения Г^ здесь
выделена, но порядок матриц оказывается повышенным вдвое и
составляет 6N.
9.5. Преобразование уравнений Галеркина — Ритца [4].
Рассмотрим возможности такого преобразования предыдущих
результатов, чтобы получить уравнения Галеркина — Ритца порядка менее 3ΛΛ
Обращаясь к уравнениям (9.51), сделаем следующую подробную
запись:
X"ct=k0bz,
XEdt = k0az,
iTNct=kQbt„ y tr"dt = ti0at„ \ (9.51a)
-X*cz-lT"ct, = kJ,t. ) X"dt + lY»dt, = k0at. ]
Из первых двух строчек исключаются векторы поперечных вихревых
частей напряженностей ct и dt, что дает два простых соотношения
между продольными и поперечными потенциальными частями индукций
Хн Xе
Эти соотношения — прямое следствие того факта, что полные цред-
ставления индукций
ΒΝ ,_ BNe-lT"t и DN ^ DNe-lTNz

134 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
оказываются вихревыми;
div BN ■■
:0
div DN=0.
(9.59)
Соотношения (9.58) можно получить непосредственно из (9.59).
На основании полученного результата можно из всех уравнений
Галеркина — Ритца, записанных относительно индукций, исключить
продольные либо поперечные потенциальные части и снизить таким
путем их порядок до 2Λ/. Для этого введем матрицы перехода At,
Az, Bt и Bz, устанавливающие связь между векторами индукций
а =
и двухэлементными столбцами
О
(av\ (
at't =
или
в форме
а= Ataft,
b = Btbft
be
bt
bz
bt
a = Azazt,
b = Bzbzt.
\
Как следует из (9.58), эти матрицы должны иметь вид
А,=
0
0
0
.Xе
1 TN
1
0
0
0
/
в,
0
0
0
.хн
1 TN
I
0
0
0
/
(9.60)
(9.61а)
/
— lTN{XE)~l
0
0
0
0
0
0
/
в,=
1
— 1Г"(Хну1
0
0
0
0
0
0
/
(9.616)
Для снижения порядка в (9.54), (9.55) или (9.56) производится
замена а и b на at't и bt<t или azl и bzt с помощью соотношений (9.60);
заметим, что при этом получается одна лишняя клеточная строчка.

§ 9] СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ 135
Если взять уравнения (9.54) и воспользоваться матрицами
перехода (9.60) At и Bt, то получатся такие уравнения порядка 2N:
X
rN\9lz^r-0tt
tz r/v
-1Т"Эи
— Xе [Э
iXl
.22 p/V
\~э,
^"(э'-'^г-1?")
Г"\М
X'
tz ρΛΓ
iMtt
Χ^Μζζ^-^Μζή +
-хвэи-
-iY"3vt
- iYNMtt
aft = k0bft (9.62a)
XHM,
-iY"Mft
brt = — k0at4- (9.626)
Если же взять матрицы перехода Az и Bz, то будем иметь
Х"(Э1г — 1Г"Э1Г(ХЕ)-1)
■ХВ(Э1г-1Г"Эг(.(ХВ)-1)-
xN9tt
XE3zt-
— /Г"Э
ft
*,t=kj>« <9'63a)
XE(Mtz—iTNMtt.(XHfl)
— Xй {Mzz - iY"MzV (Χ")"λ) —
— TN{lMfi + YNMrt<{.X")~V)
хвЩ
x"Mzt-
— iTNMft
bzt=-k0azt. (9.636)
Что касается снижения порядка до Л/, то оно, как видно,
требует в общем случае уже обращения клеточных матриц.
Значительный интерес представляет случай, когда клетки zt',
t'z, tz и zt матриц (9.46а) и (9.466) состоят из нулей. Это имеет
место, если неоднородная среда, заполняющая волновод, изотропна,
а также при некоторых практически важных типах анизотропии
(в частности, при продольной гиротропии). Тогда первые клеточные
строчки уравнений (9.51) дают
X"ct = KMZ2dz,
XEdt = — k09zzc2,
(9.64)

136
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
причем в данном случае в силу квазиднагональносги матриц Э и Μ
имеем
м„мгг = 1. 1
(9.65)
^ζζ^ζζ — I ■
Исключая с помощью (9.64) продольные части из следующих
строчек (9.51), получаем
Mdft=—iTNct't. }
3cft = tTNdft.
(9.66)
где векторы Cft и dft образованы так же, как уже встречавшиеся
aft и bft, а матрицы имеют вид
M = k,
Э = кг
Mtt·
Mvv
9ft·
Mtt
3tt-
_, А ХЕЭ χΕ
Μη
-jrXHM«XH
β0
9ft
(9.67a)
(9.676)
Исключая поочередно с ft и dft, находим следующие уравнения Га-
леркина — Ритца:
M9Cft=(?NfCft (9.68)
3Mdft = (TNfdt4. (9.69)
9.6. Метод Ритца [4]. Все без исключения алгебраические
уравнения, найденные выше путем применения метода Галеркина,
получаются также по схеме Ритца на основе функционалов,
упоминавшихся в п. 9.1. Чтобы отметить это, и употреблялось выражение
«уравнения Галеркина—-Ритца». В § 8 уже демонстрировалось
получение одних и тех же алгебраических уравнений обоими способами,
причем в случае резонатора вариационный подход несколько
расширял интерпретацию. Все высказанные при этом соображения
полностью переносятся и на объемную формулировку волноводной
задачи (см. п. 8.5). В двумерной же формулировке вариационные
принципы не вносят новых соображений, поскольку функционалы
(9.9), (9.10) и т. п. не имеют нижней границы.
Избегая многократного повторения уже известных результатов,
покажем применение метода Ритца только на одном примере. Возь-

СВОБОДНЫЕ ВОЛНЫ ВОЛНОВОДОВ
137
мем функционал (9.10а) и внесем в него в качестве пробных функций
представления вида (9.40) и такие же представления сопряженных
полей, в обозначениях отличающиеся тем, что коэффициенты
снабжаются тильдой. При этом получается
QN =
(9.70)
■ (XjC, d) + (X2d, ~c) + k9 {0c ~c) + (Md, d)}
(Jc, 2) — (Jd, 7)
где символ (,) означает скалярное произведение* в пространстве
векторов представлений. Так,
4 Я1 — 1, Л — 1
Ν
(X„d, c) = Σ hEd, ? —yHd~c*\
\ 2 ' ) *—* , y-m tm zm λ/ι zn tnj'
m — 1, л —1 ч
(Эс, с) =
/Li
(Md, d) =
о
N
/i Э ir, n\C tr)C ii),
Г -l; α, β
N
У1 Μ II) ll)d ll)d II),
<Γ -Ι; α, β
p('), q(') = m(')t n(')-
α, β = ζ, t,
N
(Jc,d) = -i 2 {ctm,rd*tm + ctad*tn,),
m{ '=1, n( '=1
N
Vd,~c) = -i Σ (dtn,?tn + dJ'tA
Числитель (9.70) обозначим через R, а знаменатель — через 5.
Согласно методу Ритца производим операции
д (R — QNS) = 0, ] a = z,t\
dd
ак
С)
дс
(R — QNS)=0, k()=\, 2 Ν
(9,71)
ak
С)
полагая одновременно QN = TN. Отсюда непосредственно получаются
матричные уравнения
(X) + JTN) с = k0Md,
совпадающие с (9.51).
Из (9.10а) можно было бы получить методом Ритца и уравнения
Галеркина — Ритца (9.54), взяв вместо EN и HN представления DN
(9.72)

138
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
1ГЛ. 2
и BN вида (9.39), а представления сопряженных полей оставив
прежними.
9.7. Периодические волноводы. В заключение параграфа
рассмотрим обобщение объемной формулировки волноводной задачи
(пп. 9.1 и 9.3) на периодические волноводы, уже не
обладающие продольной однородностью. Поскольку в данной главе
используется только основной базис (собственные функции удовлетворяют
на внешней границе тем же условиям, что и решение), речь будет
идти о системах, периодичность которых обусловлена характером
внутренней среды, а не внешней границы. Несколько примеров таких
·?/
Ъ
1-Л
Ъ \
а)
6)
ш%.
_ш_
6)
Рис. 2.5.
периодических полых волноводов дает рис. 2.5. Заметим, что к их
классу можно искусственно отнести линии передачи, образованные
периодически распределенными линзами, поскольку в этом случае
наличие достаточно удаленной металлической оболочки оказывает
пренебрежимо малое влияние на процесс.
Таким образом, ниже предполагается, что неоднородность и
анизотропия среды в различных поперечных сечениях волновода
произвольны с тем ограничением, что вдоль оси ζ свойства среды
изменяются периодически, т. е. тензоры ε и μ — функции координат вида
е(.1. г) = г(±,г +А), 1
μ(_Ι_, ζ) = μ(±, г + Λ) )
(9.73)
(знак J_ выражает совокупность поперечных координат). Тогда, как
известно, поле системы Ε, Η в отсутствие потерь периодично по ζ
с точностью до фазового множителя:
£(_]_, z) = E(±, z-\-A)e~l<t, I
#(.L г) = Н(±, г + Л)в-'ф. )
(9.74)

19] Свободные волны волноводов 139
Выражения (9.74) верны и при потерях или регенерации
(неэрмитовы ε и μ), но тогда φ — комплексная величина. Определение φ
как функции частоты отвечает в большинстве случаев на главные
вопросы практики применения периодических волноводов.
Выделим в периодическом волноводе объемную область V0, пред-
о
ставляющую собой отрезок этого волновода длиной Λ. Если при
данной частоте ω фазовый сдвиг φ составляет четное число π:
/ = Λ, )
_. k=l, 2, ..., (9.75)
то соотношения (9-74) имеют смысл условий периодичности (9.4).
В этом случае полностью применим метод Галеркина, рассмотренный
в п. 9.3 (или соответствующий метод Ритца, см. п. 9.6), с той лишь
оговоркой, что ввиду продольной неоднородности среды вУ0в
представления полей надо включать все продольные гармоники (р = ± 1,
±2, ±3, . . .).
Пусть теперь φ — произвольная (в общем случае комплексная)
величина. Очевидно, что при этом непосредственное построение
алгоритма, рассмотренного в п. 9.3, невозможно, так как
поверхностные интегралы в (9.38) не уничтожаются из-за непериодичности
решения (9.74). Но трудность легко устраняется следующим образом.
Введем условный параметр
γ=4-. (9·76)
Λ
где φ—коэффициент, входящий в (9.74) и при решении задачи не
известный. Если в (9.38) вместо комплексно-сопряженных функций
Ё in, И (п внести Ε (/*e~'yz и Η ,i\e~ yz, где Em и Η ir\ — соб-
ственные функции, подчиненные однородно-периодическим граничным
условиям, то поверхностные интегралы исчезнут, так как результаты
интегрирования по 5, и 52 взаимно уничтожаются. Таким образом,
вместо прежних условий ортогональности (8.6) будем иметь
1
{ Η rot (ζ(/)β"/νζ) — ία>0£*(,,β-ίν* ) dv = 0,
j Exoi[H*k(l)e-'nz'\ + 1(йВН*к(1)е-1уг \dv = 0.
k{)=\, 2 со.
(9.77)
Чтобы применить метод Галеркина, надо поставить на место Ε, Η,
D и В подходящие представления EN, HN, DN и BN, переходя при
этом к конечному числу соотношений (k(l) = 1, 2, . . ., А?('), которые
становятся условиями ортогонализации, определяющими коэффициенты

140
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
ГЛ. 2
представлений. После очевидных преобразований условия ортогона-
лизации записываются в виде
JHN^k(/)Hk(/)-y[z0,E](/)]}e^dv-
^цС^ьС)
ζο-ν [">·*<,]
ω
j «Хсу
ft(,)=l, 2,
Λ?1
С).
ω*-
,,e-^rfo = 0,
:0.
\ (9.78)
Если считать γ величиной заданной, то ω —ω^ — приближенно
определяемая частота, отвечающая данному фазовому сдвигу φ (9.76)
в (9.77), причем в общем случае речь идет о комплексном фазовом
сдвиге, учитывающем потери. Но можно также задаваться частотой ω
и определять γ = γ/ν, Имеются, следовательно, две интерпретации
соотношений (9.78):
а) ω = ωΛΓ при заданном γ;
(9.79)
б) γ=γ/ν при заданном ω. '
Представления полей построим в виде (8.2), (8.3), заменив
собственные функции Ε (/ь Η /η на Ε и·,, Η π·, и умножив суммы на е^'г.
я4 гг η я4 '
При этом нельзя отбрасывать потенциальные функции в
представлениях индукций, так что
Ν Ν'
D» = е'У'ео Σ апЕп + е*1% 2 αη·Ε„· (9.80)
я = 1 п'=1
и т. д.
Внося в (9.78) представления полей типа (9.80), получаем
следующий аналог алгебраических уравнений (8.10):
\AS)C = aB, j
(Ω0-
(Ω0-
>
■yAS)D = (uA, j
(9.81)
где векторы А, В, С, D и матрица Ω0 соответствуют символике
(8.99), (8.100), а матрица 5 (тильдой обозначена сопряженная
матрица) имеет элементы
'"«В = /[?,„. АД л.
S.

S 10] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЫХ СИСТЕМ 141
Рассматривая формулы (П1.38) и (П1.42), легко установить, что
в каждой строчке этой матрицы лишь один или два элемента отличны
от нуля.
Обозначив
Ω0 — у AS = ΩΓ, Ω0 — у AS = ΩΓ,
запишем:
QTC = ωΒ,
ΩΓΖ) = ωΑ
(9.81a)
Из условий ортогонализации, аналогичных (8.9) и (8.14)
(реализуемых таким образом, чтобы множитель e'vz, как и в (9.77), исчезал),
имеем
fC=A, %А = С, ]
<MD = B, a£B = D,
(9.82)
где матрицы типа (8.100) построены, таким образом, с
использованием систем
[Ё„, Ёп<} и [Нп, НП'\ вместо \Еп, Еп·) и {//„, Н„·}.
В результате можно записать уравнения Галеркина — Ритца
ΩταΜΩτ%Ά = ω2 А, (9.83)
ΩΓ£ΏΓθ^β = ω2Β (9.84)
и другие, которые являются аналогами уравнений (8.17), (8.18) и
т. д. Отсюда получаются вековые уравнения, которые в соответствии
с двумя возможностями интерпретации (9.79) понимаются как
уравнения относительно ω^ или γ^.
Все выводы о непосредственном применении метода Ритца,
сделанные в п. 8.5, обобщаются на рассмотренную задачу таким же
образом.
§ 10. Вынужденные колебания полых систем
10.1. Возбуждение нерегулярного резонатора [2]. В данном
параграфе будут рассмотрены задачи о возбуждении нерегулярных
полых систем фиксированными источниками в виде сторонних токов
во внутренней среде и полей, задаваемых «на отверстиях» во
внешней оболочке. Отверстие—это часть внешней границы, на которой
вместо условия Ετ = 0, соответствующего идеальному проводнику,
задается некоторое тангенциальное поле ΕΧ = ΕΣ (иногда
предпочитают говорить в этом случае о «магнитном токе»); заметим, что,
в сущности, не имеет значения, о какой части границы идет речь,

|42 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ . [ГЛ. 2
малой или большой, отверстие может распространяться и на всю
границу. В дальнейшем поля на отверстиях и сторонние токи будут
задаваться одновременно, поскольку всегда можно удалить из
окончательного результата члены, соответствующие действию
несуществующих источников.
Обычно в задачах о вынужденных колебаниях полых систем
исходят из того, что имеется совокупность решений, отвечающих всем
свободным колебаниям. Однако такой подход вряд ли можно считать
целесообразным, когда собственные колебания не могут быть описаны
в замкнутой форме, а должны быть исследованы также путем
применения прямых методов. Поэтому ниже во всех основных действиях
будут считаться заданными только функции основного базиса.
Начнем с задачи о полом электромагнитном резонаторе с
неоднородной анизотропной средой, внутри которого задан сторонний
ток с плотностью j'1, а на отверстии в оболочке—стороннее поле.
Таким образом, решается краевая задача в
области V0 для уравнений Максвелла
rot Η = ίωϋ + /
rot Ε = — ίωΒ
при условиях (рис. 2.6)
(10.1)
Ех = 0 на So. | ,
Рис. 2.6. „ „s c I S0 + S-r = S0. (10.1a)
ЕХ = Е на Ь%,
Можно вместо этого рассматривать эквивалентную вариационную
задачу, например, для функционала (3.19), который ввиду
применения основного базиса принимает вид
P[cK)=t {e rot А* — h rot e) dv -\- i [Es, h*]ds —
| (ге~е* + μΑΑ') dv + ί | (—ej™ + fe*) dv. (10.2)
__. ω
В сравнении с задачей о свободных колебаниях резонатора теперь,
вообще говоря, должны быть изменены представления полей. Из-за
возбуждения на границе
ΒνφΟ и Ηνφ0 на SS, (10.3a)
а наличие сторонних токов согласно (1.3) может вызвать сторонние
заряды (рС| Φ 0), так что
άινΏφΟ и άϊνΕφΟβΥο- (10.36)

§ 10]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЫХ СИСТЕМ
143
Поэтому (п. 5,4) не только напряженности, но и индукции при
разложении в ряды Фурье имеют потенциальные части. Соответственно
этому все представления берутся с потенциальными частями. Вместо
сумм (8.2), (8.3), таким образом, пишем
Ν Λ"
D =ε0 2 апЕп-\-гй 2 αη·Εη· (Ю.4)
л-1 п'-\
и т. д.
В методе Галеркина надо, очевидно, исходить из следующих
условий ортогональности нулевого элемента базису:
rot Η — ίωϋ — /ст, Ε
•J ,
С)
■0,
rot£+toB, //п=0,
ft(0=l, 2, ..., οο.
(10.5)
Однако заменить в (10.5) поля их представлениями нельзя по уже
известной из предыдущего причине (п. 8.1): к соответствующим
рядам Фурье неприменима операция rot (п. 5.5). Фактически это
замечание относится только ко второй строчке (10.5), но для
единообразия преобразуем обе строчки интегрированием по частям. Отсюда
в конечном порядке N:
"\еМЕ
-ω(*", Hk(t)) + i[Es, [Hk{l), vt
„о
= 0,
= 0,
№=\. 2, .
Ν
С)
(10.6)
(ω*.==0).
Здесь индекс Ss означает, что соответствующее скалярное, произве -
дение понимается как интеграл по поверхности S%. Введем векторы
А') С)
/ и g с компонентами
/>) = -'(У
«,(')
и £йо
-if£;
L '
о-
v°i λ
(10.7)
и из (10.6) получим следующие алгебраические уравнения:
Ωά — ωα =/,
— ша' = /',
Qc — ab = g,
— nb' = g'.
(10.8)
Если пользоваться символикой (8.99), (8.100), взяв ввиду (10.4)
i столбцах А и В вместо нулей векторы а' и Ъ', то уравнения (10.8)

144 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
примут вид
Q0D-~ aA = F,
Q0C — ωΒ = G,
[ГЛ. 2
(10.8а)
где подобно (8.100)
'-(Я- -(!·)■
В дополнение к (10.6) необходимо принять во внимание условия
ортогонализации типа (8.9) и (8.13), которые в данном случае дают
fC= А, ] ?Л = С,
vMD=B, J a£B = D.
(10.9)
Из (10.8), (10.8а) и (10.9) получаются различные уравнения
Галеркина— Ритца. Так, «в индукциях»:
®— ω2/
о
Зй— ω2/
0
ω/
0
А =
\В=\
я + igr'
Q+^зйГ
(10.10)
(10.11)
ω/ / \ —g'
где, как и в § 8, ® = ΩΛ1Ω3 и Μ = Ω3ΩΜ, а также
®' = ΩΜΩ3', 2Τ = Ω3ΩΑΓ, ι
/? = ω/ + Ω(Λ1^ + Λί^').
Q = a>£ + Q(3/ + 3'/')·
«В напряженностях»:
(10.12)
6—ω2/
0
^С
ω/
ЭХ —ω2/
о
-
ω/у
<JW
Q+^-aw'ff'
(10.13)
(10.14)
■г
Модификации полученных уравнений не приводятся.

§ 10] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЫХ СИСТЕМ 145
Эти же результаты получаются методом Ритца из функционала
(10.2). Все действия при этом мало отличаются от выполненных
в п. 8.5, и их рекомендуется произвести самостоятельно в качестве
упражнения.
10.2. Применение оператора Максвелла [6]. С помощью
аппарата оператора Максвелла можно получить другие уравнения Галер-
кина — Ритца. Однако, как будет показано, они эквивалентны
предыдущим. Это обстоятельство окажется существенным
впоследствии (гл.6).
Выразим рассматриваемую краевую задачу для уравнений (10.1)
в форме
Жи— ωαι = φ, (10.15)
где и и W — объединения напряженностей и индукций, уже встреча-
/ ,ст \
вшиеся в п. 8.4, а(р = — π „ ). Оператор Ж в данном случае
несимметричен: согласно (2.18)
(*#», ©) — (», *#*>) = (Θ», *>)„ . (10.16)
Представления li и № берем подобно (8.47), (8.48), но теперь
(см. п. 10.1) в отличие от (8.47)
Ν Ν!
wN=n<) Σ PnUn + n, Σ Ρη·ϋη·. (Ю.17)
η--Ν /!'--Λ"
Исходные условия метода Галеркина формулируются посредством
соотношений ортогонализации
(»", ^(0)-ω(^, £^(о)-(ф. *» + (0И' Ukw)s =0.
#'> = ± 1, ± 2, ..., ΛΛ'> (10.18)
вместе с соотношениями типа (8.58), (8.59). Равенство (10.18)
возникает как конечномерный аналог условий (8.52), где произведено
интегрирование по частям с учетом (10.16). Необходимость же
интегрирования по частям была объяснена в п. 10.1. После очевидного
преобразования имеем
V>(V" ^(θ)-ω(^, ^(о)-(Ф. V>) + (0*· V)),
k(r)=±\, ±2 N{,) (ω4'=0). (10.18a)
Это приводит к алгебраическим уравнениям:
2Ω<7 — ωρ = у,
(10.19)

146
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
где векторы γ(/) имеют компоненты
т. е.
ν>=4(ψ. νο -4(θ«· ν»),
(10.20)
v>=~ τ /T£I(,) rf" ™ τ I£S| я1с)1ds- (* °-20a>
Соотношения же (8.58) и (8.59) при подстановке представлений
типа (10.17) дают
p = Wq-\-W'q', }
} (10.21)
ρ' = 'Wq-\-'W'q' J
(10.22)
Окончательные уравнения Галеркина — Ритца находим путем
исключения q и q' или ρ и р' из (10.19) с помощью (10.21) и (10.22).
Ради экономии места их не записываем.
Чтобы получить уравнения (10.19) методом Ритца, надо внести
в функционал (3.19) пробные функции в виде представлений типа (10.17)
и обратить в нуль частные производные по коэффициентам
сопряженных представлений (см. аналогичные действия в п. 8.5).
Покажем, что решения уравнений Галеркина — Ритца (10.19),
(10.21), (10.22) и уравнений (10.8), (10.9) эквивалентны.
Уравнениям (10.19) придадим форму
Ω I 0
Ω
q>
_ω
l'+ '
γ +
Υ"
Υ' +
γ'-
(10.19а)
где индексы «-)-» и «—» имеют тот же смысл, что и в п.
Складывая и вычитая строчки, имеем
Ω (q+ — q~) — ω (ρ+ + ρ~) = Υ+ + γ"
_ ω (/,'+ + /,'") = γ'*-|-γ'
Q(q++q-)~ ω(ρ+ — j»-) = Y+—Υ
8.4.
-Ш(/»'+-^'-) =
Μ

§ Ю] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЫХ СИСТЕМ 14?
Но компоненты векторов γ('> + + γ(',_ и γ(/)+ — γ(/,_ согласно (10.20)
ιι (10.7) следующим образом связаны с компонентами правых частей
(10.8):
ι·
*Σ
(10.23a)
Поэтому, сопоставляя полученные уравнения с (10.8), находим
соответствие между /jO и 5, с одной стороны, и а''>, #('\ си d — с
другой:
(')+ ι О- С) ('!+ (О- J.C)
ρ -\-ρ = а ■ /J —/J = * .
?h + ?~ = c, q±~~-q~ = d.
Записывая также
q'*-\-q'~ = c' и q'+-q'~ = d', (10.236)
убеждаемся, что совокупность соотношений (10.23а, б) переводит
уравнения (10.21), (10.22) в (10.9).
Итак, нахождение из уравнений Галеркина — Ритца векторов р,
р', q и q! автоматически дает решения уравнений из п. 10.1 в виде
а(*\ о" , с(' и d \ При этом связи между коэффициентами
представлений оказываются такими же, как и между коэффициентами Фурье
представляемых решений (п. 5.4)
10.3. Описание вынужденных колебаний через свободные.
Обычная теория возбуждения резонатора, как известно, строится
в предположении, что решена задача о его свободных колебаниях.
В нерегулярном случае решение такой задачи в замкнутой форме
отсутствует, но указанный подход может сохранять некоторое
значение, главным образом описательное.
Чтобы продемонстрировать его, достаточно снова обратиться к
результатам, полученным в п. 10.1, изменив лишь их интерпретацию.
Пусть сначала рассматривается нерегулярный резонатор с эрмитовыми
тензорами проницаемостей ε и μ. Возьмем в представлениях типа (10.4)
вместо Ε (/), Η (/) ортонормированиые собственные функции
рассматриваемого нерегулярного резонатора Ε ιη, Η <η, а вместо ε и μη —
тензоры проницаемостей резонатора ε и μ. Тогда по-прежнему будут
получены уравнения (10.8), а соотношения (10.9) примут вид
с = а, с' = а', 1
d = b, d' = b>.\ (1024)

148 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ ГГЛ. 2
Поэтому уравнения Галеркина—Ритца (10.10), (10.11) примут
диагональную форму:
t&i — mV\ 0 \/я \ lafA-Qe\
(10.25)
(10.26)
' Ω2 —ω2/
. о ι
Ω2 —ω2/ Ι
I °
ω/
0
0 Ι ω/
a
a'
b
b'
■)■
Ϊ
Γ
/ω/^Ω^
/ω£+Ω/'
Λ -g' .
т. е. «распадутся» на свои решения. В сделанной записи
Ω—диагональная матрица, составленная из собственных частот ω„
нерегулярного резонатора: Ω4η = ω4δ4„, а ~
/> = ~ t | ГЕ\(Г) dv и gk(l) = ~ I \ [Е*. tf*(0] ds. (10.27)
ν - sx
Это — обычная форма решения задачи о возбуждении резонатора,
Если задача о свободных колебаниях резонатора уже решалась
методом Галеркина — Ритца и, следовательно, получены
представления Ε (η и Η (/) собственных функций Ε (η, Η (/j (практически
представления некоторых из этих функций), то можно вычислить
приближенные значения интегралов (10.27):
ν - 3Σ
(10.28)
которые сходятся к точным при Ν—>οο. Таким образом, можно
воспользоваться результатами (10.25)—(10.27) для определения
компонент возбужденного поля.
В случае неэрмитовых ε и μ формально все повторяется с
незначительными изменениями. Дело в том, что собственные функции
Ε (/) и Η (/) при этом, как уже говорилось (п. 1.2), ортогональны
аналогичным собственным функциям сопряженной задачи Ε (/) и
Η (η («биортогональны»), Выражения (10.25), (10.26) сохраняют силу,
п
но частоты сол, в отличие от предыдущего, —комплексные величины,
а вместо (10.27) имеем
/>) = -1 \ /Τζ(') dv и gu(l) = — l\ [Ε8, Я*(/)] ds. (10.29)
V S„

I Ш]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЫХ СИСТЕМ
149
10.4. Возбуждение поперечно-нерегулярного волновода. Ниже
будет рассмотрена задача о возбуждении нерегулярного в поперечном
сечении волновода источниками, локализованными в ограниченной
области, Она может представлять практический интерес, если такой
волновод используется как достаточно длинная линия передачи и
надо знать амплитуды нескольких низших волн при заданном источнике.
Поэтому удобен обычный способ рассмотрения, основанный на
предварительном изучении свободных волн, так как речь идет только об
этих нескольких волнах (в частности, об одной основной волне).
Воспользуемся схемой решения задачи, описанной Л. А. Вайнштей-
ном [7].
Волновод в продольном сечении схематически изображен на рис. 2.7.
Источники—сторонние токи внутри волновода и заданные на
отверстиях в его оболочке 5Σ электрические поля — расположены между
поперечными сечениями S, и S2, ограничивающими область V0.
Запишем уравнения
о^/и=:шли + Ф (10.30)
и
α£υη = ωηυ;!, (10.31а)
где, как и раньше, φ = — il „ I, а под <зМ понимается
«неопределенный» оператор Максвелла (граничные условия на Sj и S2 не
заданы). Первое из уравнений описывает возбуждаемое поле, а второе—
свободные волны рассматриваемого волновода, Полагая, что
проницаемости ε и μ, вообще говоря, неэрмитовы, введем еще в
рассмотрение сопряженную задачу о свободных волнах волновода
α4ίϋη = ωηϋη. (10.316)
Составляя из и и Uk выражение типа (10.16), получаем на
основании (10.30) и (10.31) следующее соотношение, аналогичное лемме
Лоренца:
(Θ», Ок\ = (φ, U„). k=±\, ±2, ±со (10.32)
(So — ^ι ~Ь ^2 + $ς)·

ISO
или
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
j {[Ε, Щ + Щ, H]}ds = - \[ES, H**\ds~ J ΓΕίάν,
5, + 52
V,
k= ±1, ±2, . . ,, ±οο.
(10.32a)
Согласно (9.1) и (9.8) свободные волны волновода можно выразить
следующим образом:
(10.33а)
Un = U.e
-IT „ζ
(Г_4 = — \\), причем (п. 1.2)
л w/r
(10.336)
Ввиду (9.8) функции Uk и Un ортогональны с весом Т, и мы можем
принять ортонормировку
(TUt Un)=±bk_n, k, ге=±1, ±2, .... ±со, (10.34)
(«-J-» при k > 0 и «—» при k < 0) или
J fe ^»J + [& ^]}2d5= ±δΜ. (10.34a)
So
Возбуждаемое поле н может быть представлено через
собственные функции Un, причем в соответствии с принципом излучения
следует учитывать лишь расходящиеся волны. Поэтому вне области V0
— I
Σ ρηυη· ζ > ζ2·
ге> 0.
(10.35)
2lP-nU-n> 2<Ζι,
л= I
Внося (10.35) в (10.32) и принимая во внимание (10.34), получим
рп = — \[ES, H*n\ds — \ fE*ndv, «5g0. (10.36)
Это—известный результат задачи о возбуждении волновода. .
Поскольку в нашем случае нет аналитически заданных Uп, то
остается заменить их представлениями, получаемыми при решении

« Π]
РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
151
уравнений Галеркина—Ритца из § 9. Таким образом, получаются
приближенные выражения
/£ = - f [£S. НТ\ ds - | ГЦ* dv, n S2 0, (10.37)
которые стремятся к (10.36) при N—>оо, поскольку
представления {/„ сходятся в среднем к {/„ (гл. 6).
§ 11. Рассеяние в полых системах
11.1. Средства описания волноводного трансформатора. В этом
параграфе рассматриваются полые системы, общий тип которых
показан на рис. 2.1, б, изображающем так называемый во л но водный
трансформатор. Речь идет о замкнутой области с неоднородной
(вообще анизотропной) средой, посредством которой осуществляется
связь между несколькими регулярными волноводами. Очевидно, что
соответствующая краевая задача электродинамики может быть
отнесена к дифракционным, поскольку, в конечном счете, надо знать,
какие волны будут распространяться в волноводах от соединяющей
их нерегулярной области (рассеяние), когда она возбуждается
заданными падающими волнами.
Прежде чем ставить задачу о волноводном трансформаторе,
условимся о средствах его описания. Пусть сначала рассматривается
Рис, 2.8.
только центральная область трансформатора VQ с рядом отверстий Sa
(а= 1, 2, ..., Ρ) во внешней идеально проводящей оболочке
(рис. 2.8, а). Всякое заданное на отверстии тангенциальное
электрическое или магнитное поле можно разложить в ряд Фурье по
собственным функциям [Ещ< Ещ'} задачи (9.16) или собственным
функциям [Нщ, Ηщ') задачи (9.17), определенным на поверхностной
области, ограниченной контуром отверстия; в дальнейшем фигурируют

152
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
только плоские области Sa. Для этих базисных функций отверстия
введем обозначения
\Etn, Etn'} — {e,l(a)},
{Ηin, Η1η·\ = {Ад (α)}
и изменим нормировку (9.21) так, что
на
(11.1)
ек (α)βιι (a) dS = ι
Α* (α)Α,, (α) ds =
δ*η
Wn (α) |2 '
ί [β*(α). hl{a)\ds = -^-,
SJ W" (α)
(11.2)
где Wп (α) — волновые сопротивления различных волн волновода с
поперечным сечением Sa (в общем случае волн классов Η, Ε и ТЕМ).
Подробнее о различных возможностях нормировки сообщается в
приложении П2.1.
При перечислении полной системы собственных функций {еп(а)}
или {Ап(а)] будет использоваться нумерация индексов ге=1, 2, ...
.... со. Однако в некоторых случаях, когда надо подчеркнуть
значение функций е„(а) и А„ (а) как поперечных компонент свободных
волн волновода, применяются и отрицательные индексы. При этом
принимается
-и (а)
= + е
η (α)·
*-л (α) — *л (α)·
(11.3)
что соответствует изменению знака постоянной распространения и
: Wп {а))
Итак, имея на Sa тангенциальные поля Еа и На, мы можем запи-
Г,, (а) и W_п (а)
волнового сопротивления (Г_я (а)
а 5а тангенциа
сать ряды Фурье
GO ОО
£Q = 2 Яп(а)еп(а) и ^а = 2 *л (а)Ап (а)
(11.4)
Пусть а(а) и &(а)— векторы, составленные из коэффициентов Фурье
(11.4). Введем также их объединения по отверстиям
: = U»(i).
42)·
«(Ρ))
= (ft(
I). ^(2).
., *,„). (11.5)
Ввиду линейности системы векторы а и b связаны зависимостью
b=Ya, 1
а = Zb,
\ Υ=Ζ~\
(11.6)

§ II]
РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
153
где К и Ζ — линейные операторы в пространстве
последовательностей, ап (а) и Ьп (а) — бесконечные матрицы. Первая называется
матрицей проводимости, а вторая — матрицей
сопротивления. Очевидно, что эти матрицы имеют структуру
Υ =
Yu
γ2\
уа*
ΥΡλ
γ\ϊ
γ22
уа.2
γΡ2
. . ,
К."3
Κ2β
yap
уР$
YlP
γ2Ρ
уаР
уРР
(11.7)
где каждая клетка — бесконечная матрица вида
К =
'Π '12
ν,αβ ι/αβ
'21 '22 ·
У ik ■ ■ ■
α,
>
i.
β=1,
k= 1,
2, . .
2, . .
(11.7a)
Если к отверстиям Sa присоединены волноводы (рис. 2.8, б), то
получается подлежащий исследованию волноводный трансформатор.
Матрицы К и Ζ рассматриваются как его основные характеристики,
позволяющие, в частности, строить различные эквивалентные схемы
в виде цепей, которые, строго говоря, должны быть бесконечными.
Впрочем, при формальном описании волноводного трансформатора
сечения Sa можно перенести внутрь волноводов в те области, где
всеми типами полей, кроме распространяющихся (переносящих
энергию) волн, допустимо пренебречь. Тогда матрицы К и Ζ оказываются
конечными и трансформатор может рассматриваться подобно
многополюснику теории цепей. Однако при решении краевой задачи о
трансформаторе удаление соединительных сечений 5а в ряде случаев
невыгодно, а часто невозможно.
Другой способ описания волноводного трансформатора основан
на том, что каждое из полей Еа, На есть совокупность поперечных
полей различных — прямых и обратных — свободных волн
присоединенного волновода с поперечным сечением Sa. Обозначая последние
(ввиду нормировки (11.2))
г*, ,Р , , .р~Г±п(а)га r±, .U , .p-li'±n(afa
Ln (α)ν±ιι (а)е > сп (а)"±л (ар ·

154 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
где с* —постоянные амплитудные коэффициенты, и располагая
начало координат каждого волновода на своем соединительном
сечении (рис. 2.8, б, в), имеем
Еа — 2j ct{a)en (α) + Сп (а)е-п
» = 1
(а)'
На — 2, Сл'(а)Й« (а) + Сп (o.)h-n (а)'
(11.8)
Сопоставляя (11.8) и (Н.4) с учетом (11.3), видим, что коэффициенты
Фурье ап (а) и Ьп (а) могут быть следующим образом выражены через
амплитуды прямых и обратных волн в присоединенных волноводах:
S(a) =C/i(a)~bC/7(a)' I
_л (α) η (α) η (aj J
Подобно предыдущему объединим коэффициенты с* . в векторы с +
и с~ и далее в векторы с+ и с- типа (11.5). В линейном
соотношении
c~ = Rc + (11.10)
матрица R называется матрицей рассеяния волноводного
трансформатора. Она также имеет структуру вида (11.7), (11.7а), т. е.
соответственно соединительным сечениям делится на клетки R , со-
стоящие из элементов /?Д, где нижние индексы определяются
нумерацией поперечных собственных функций.
В силу (11.9)
а = с+ -\-с~, 1
Г + - } О1·11)
Поэтому из (11.6) и (11.10) возникают следующие соотношения
между матрицами сопротивления и проводимости, с одной стороны,
и матрицей рассеяния, — с другой:
(I+Y)-l(I—Y) = R, }
, } (11.12)
(Ζ + /Γ'(Ζ-/) = #. j
На описании свойств матриц К, Ζ и R не будем останавливаться,
поскольку этот материал можно найти в различной литературе по
волноводной технике (см., например, [8]). Некоторые менее
известные сведения сообщаются в приложении П2.
В заключение сделаем следующее замечание. Может быть, что
к полости присоединены волноводы, поперечные сечения которых

§ II]
РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
155
больше соответствующих отверстий в оболочке (рис. 2.9, а).
Волноводы, можно сказать, отделены от полости диафрагмами. Такой
случай сводится к предыдущему, поскольку можно считать, что
соединение происходит через дополнительные трансформаторы (рис. 2.9, б)
в виде отрезка волновода, заканчи- ,
вающегося перегородкой с
отверстием.
11.2. Нахождение матрицы
проводимости [2, 3]. Еще Г. В. Ки-
сунько [9], рассматривая волновод- ■
ный трансформатор в виде полости
с однородной средой, соединяющей
два волновода, предложил подход,
в котором используется решение
задачи о возбуждении резонатора
через отверстие '). Он оказывается удобным и при рассмотрении
сложных трансформаторов, содержащих неоднородную анизотропную
среду.
В основе лежит тот факт, что различные варианты резонатора
с отверстием, получаемые при «закорачивании» всех отверстий
некоторого трансформатора, кроме одного (рис. 2.10), дают частные
Рис. 2.9.
режимы функционирования исходного трансформатора. Например,
рис. 2.10, α соответствует режиму трансформатора
Возьмем
£, — Е2 — ... — Еа —
ΕΆΦ0.
Е?, — еп(?,)·
:0,
(11.13)
(11.14)
т. е. будем считать, что возбуждение резонатора (рис. 2.10, а)
производится полем в виде одной из базисных функций соединительного
1) В решении указанной задачи в [9] была допущена погрешность,
поскольку использованный базис содержал только вихревые функции.

156 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ [ГЛ. 2
отверстия, и пусть Я13" есть поле резонатора при таком возбуждении,
так что магнитные поля на отверстиях На в этом режиме находятся
как его тангенциальные проекции:
Ha = (ffV'% (α=1, 2, ..., Ρ) (11.15)
(все эти отверстия, кроме одного, затянуты идеально проводящей
оболочкой). Поэтому согласно (11.4) и (11.2)
**(α) = |^*(α)|2 \ H*nh'k{a)ds. (11.16)
С другой же стороны, согласно (Н-6)
**(«)= Σ 2№ί(ν, = >1· (11Л7)
потому что в силу (11.13), (11.14) все аИу), кроме одного (γ = β,
t = n), равного единице, имеют нулевые значения.
В результате путем сравнения (11.16) и (11.17) получаем
Yt = \Wk{a)f \H^h',{a)ds. (11.18)
что и дает выражение произвольного элемента матрицы проводимости
волноводного трансформатора КЙ при помощи решения Η задачи
о возбуждении резонатора через отверстие (случай α —β, k = n сюда
также включен).
Поскольку речь идет о нерегулярной полой системе, решение fr"
в замкнутой форме отсутствует. Алгоритм заключается в том, что Η
заменяется своим представлением \Н*п) , получаемым при решении
уравнений Галеркина — Ритца из § 10. При этом вместо точных
значений элементов матрицы проводимости К"„ находятся приближенные;
(Yfnf = \Wb{a)\2 j(H^)Nhlia)ds, (11.19)
sa
Очевидно, что можно также пользоваться представлением магнитной
индукции {b^"1)n возбуждаемого поля, тогда
(K£)/V=|^(a,|2 f μ"'(Ι^Τ**(«)*■ <П-20)
sa

§ II] РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ 157
Таким образом, под знак интеграла в (11.19), (11.20) вносятся
Ν Λ"
m— I та' — I
(11.21а)
га' —I
Ν Λ"
(*ΡΤ=μ0 2 Cra + μο ?/>„,» (Н.216)
та—I га «Ι
где коэффициенты &Р'т и rfp"(/) определяются как компоненты векто-
га fft
ров β и Ζ) из (10.11) и (10.14):
- ъ Νβ« / Зй — ω2/ 1 0 W ωβΓβη ц_ _L QdQM'g·'1
*'
о
ω/
■Г
(11.22а)
' d ψ'
d'
Μ Ι Μ' Χ"1 / ЗЙ—ω2/ Ι 0 V1
'Μ 'Μ'
ω/
Χ
χ
ω£·β« 4- — Q9QM'g'V
g'
(11.226)
причем
<(',); * = -<j>,I(P). ">]**■ (H.23)
Ρ
Вопросы обоснования описанного алгоритма, как и других
алгоритмов для задач подобного типа, отнесены в гл. 6.
S'„ ^
4-т-И"
~Т "Г
Рис. 2.11.
11.3. Нахождение матрицы сопротивления. На рис. 2.11
поверхность 50, ограничивающая основную область V0 волноводного
трансформатора, разделена на две части: S'Q и 5Σ, причем вторая
объединяет все соединительные отверстия Sa. Предположим, что можно

158
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
построить основной базис как совокупность решений уравнений Гельм-
гольца или, соответственно, уравнений Максвелла (выпишем последние)
rot °Ц (0 = Ιω (0е 8 (,,,
rot 8 if\ =
η
при граничных условиях
ef == 0 на
to ,ημΜ ,η,
η 0 η
«ί
«Й? =0
на
Sr,
(11.24a)
(11.246)
т. е. при условиях «короткого замыкания» на So и «холостого хода»
на 5ς (π. 2.1). Частным видом такого базиса являются системы
собственных функций (8„, 8П-} и {9С„, ЭС„'} оператора Лапласа для
цилиндрической области, рассмотренные в Π 1.1. Граничные условия
типа (11.246) были названы там «смешанными однородными» (здесь
они участвуют в сокращенной форме).
Легко убедиться, что аналог алгоритма, рассмотренного в п. 11.2,
в котором при решении задачи о возбуждении резонатора
используется указанный базис, приводит к вычислению элементов матрицы
сопротивления волноводного трансформатора, как это отмечалось
Суховым.
Сначала рассмотрим вспомогательную задачу о возбуждении
резонатора. Построив в новом базисе представления типа (10.4), где
у'ст = 0, вместо (10.6) получим
ωΛ("". «4(θ)-ω(Ζ>*. V>) + <("*' \\ V)])^,
ВЛ(£",8к(,))-В(ГИ,(о) = 0, ( (И.25)
А<'> = 1, 2 ΛΛ'> (ωΑ-==0). Ι
В дальнейшем на месте /(,) в (10.8) появляется вектор g"(/) с ком
понентами
gkn=-l(Hx, [v0, V)]k.
[8*А(0, tfjrfs. (11.26)
а g-(,) = 0. Соотношения же (10.9) сохранят вид. Поэтому для
выражения результата можно пользоваться формулами (10.10), (10.11) и
(10.13), (10.14), сделав в них следующую замену:
[f'->h
j Q -+Q(9g + 3'g'),
ι g' -> o.
(11.27)

§ И] РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ 159
Пергйдем к трансформатору. По аналогии (в смысле принципа
двойственноеги) с (11.13), (11.14) зададим на всех отверстиях Sa,
кроме S условия «холостого хода», а на 5» — магнитное поле
в виде единичной базисной функции:
н, = //, = ... = //„=.
2= ··· =На= ... = ЛР=0, )
н -h ί (11-28)
Пусть £г" есть найденное при этом поле возбуждения, так что
Εα=,{Ε^η)τ (α=1, 2, ..., Ρ) (11.29)
на всех Sa. Согласно (11.4) и (11.2)
«*<«> = ί^Μα)^' (Π·3°)
но в то же время с учетом (11.6)
Р оо
«*w=S2;#»I(v) = z« (11.31)
так как ввиду (11.28) все bt^y кроме одного (γ = β, i = «), равного
единице, имеют нулевые значения. Следовательно,
Zfn= | E*aekia)ds. (11.32)
Это выражение аналогично (11.18) и дает произвольный элемент
матрицы сопротивления волноводного трансформатора, если на
нужном сечении определено требуемое поле возбуждения.
Приближенные значения элементов матрицы сопротивления будем
искать в виде
(Ζϊ5)"= \(E^)Nel(a)ds (11.33)
И
(Z?„)"= Je-'^T^Ma)^. (1134)
где (fr")^ и (£r") — представления полей, получаемые при решении
уравнений Галеркина — Ритца рассмотренной выше задачи о
резонаторе. Очевидно,
(£*»)" = 2 Cg,"8ra+ Σ №&* (Н.35а)
И
/V Λ"
(β13")" - е0 Σ <№&т + е0 2 4?Sm„ (l 1.356)
m~I m'-I

160
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
где коэффициенты а "/) и с'[,) определяются как компоненты векто-
ров (см. выше)
а \$п ( ® — со2/
а
β"
(iTg^-Ar~Q.MQ,d'g'?"1
— g
βη
(11.36a)
\ -I
f&gV*~\-j-QMQ,3'g'·
βπ
g
■βη
(11.366)
где
~βη ~βη
SyC)' g2(fy
2τβ"
8\λ. й lrfs, (11.37)
Ά ' η(β)]
11.4. Алгоритмы с выделенным полем; матрица
проводимости [5]. Итак, при нахождении элементов матрицы проводимости
или матрицы сопротивления волноводного трансформатора
используется ряд решений задачи о возбуждении вспомогательного
резонатора. Очевидно, можно существенно влиять на алгоритм, изменяя
способ получения этих решений. Пусть, например, определяется
матрица К и взяты представления индукций вида
(яТ = д, + я?, |
(др»)" = *„-+-я?. I
где
Ν'
^~ = е0 2 Om^m + uo Zi ат'Е„
т=[
(11.38)
(11.39а)
N
Σ
m-I
β^ = μ02 М^ + ио 2 ьт.н„
(11.396)
a £>0 и В0 — некоторое «выделенное поле». По предположению это
поле может быть выбрано с тем расчетом, чтобы улучшить
приближенное решение.
Не конкретизируя сначала выделенного поля, будем считать его
фиксированным и получим уравнения Галеркина—Ритца для
определения коэффициентов в (11.39). Как обычно, и метод Галеркина, и
метод Ритца ведут к одному и тому же результату, но первый менее
громоздок.
Примем исходными условия ортогональности типа (10.5) при
jCT = 0. После интегрирования по частям заменим везде, за исклю-

§ π]
РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
161
чением поверхностного интеграла, напряженности индукциями и
перейдем от полей к их представлениям. Это дает
V» 0ν*-,βο> /ν>) + <ν>(μ0μ~!β;ϊ, нк(1})-
ак('){ЁсГ[0,, β^ + ω^,^ε-1/^, £U(V)
— ω
(β0, Я^,)-Ш(^, Я^-н
г (е
η (β)'
Γ Я
λ')-
^=6·
Кроме уже встречавшихся обозначений введем следующие:
(11.40)
а^=(а (л, α <л,
где
■(*«
(I), О (Л,
β //)
(')-
ο/ν1 V'
0Ny ')
■■Po-W·
e = {ev ev
я·
= («,,
m„
= (SrlDiyEX
и получим из (11.40) матричные уравнения
Qm + Ω (ΛΊ£ + M'b') — ω (α0 + α) = 0, 1
а'-\-а'=Ъ
(11.41а)
(11.416)
(11.42а)
Ωβ + Ω (Эа + 3 V)--ω (*0+ *) — £ = (), 1
>$+*')-fff' = 0, j
} (11.426)
которые позволяют при заданном поле В0, D0 определить Ь{ ' и затем
чтобы вычислить (Yll)N по формуле (11.20).
Рациональный способ выбора выделенного поля В0, DQ может
состоять в следующем. Введем дополнительную задачу о волноводном
трансформаторе, отличающуюся от основной тем, что внутренняя
среда однородна и изотропна; пусть проницаемости среды при этом
е° и μ°—некоторые константы. Условно можно считать, что речь
идет о «начальном состоянии» волповодного трансформатора, который
в основной задаче «возмущен» в результате изменения тензоров про-
ницаемостей /е°—>е, /μ°->μ. Решение дополнительной задачи обычно
известно в виде бесконечного ряда (возбуждение однородного
резонатора) или даже в замкнутой аналитической форме. При этом
константы ε° и μ° могут быть приблизительно выбраны как усредненные

162
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
значения проницаемостей основной задачи. Тогда в качестве
выделенного поля DQ, Βυ естественно взять индукции дополнительной
задачи («начального состояния»).
Пусть при этих условиях уравнения Галеркина—Ритца (11.42)
решены и представление (11.38) найдено. На основании (11.20)
(Kf„) = |Wft
(α)
μ-'ЯоЛХ lu) rfs Η-! Wfc (α) |2
μ-ιΒ^/ιΙ(α)άε, (11.43)
или, поскольку на отверстиях трансформатора е = /е0 и μ=ι/μ0:
(Yf,)N = \w
к (а) |
i2Ji_
μ о
Hohk ia) ds+\ W
*(α)
li;[BNX{a)ds, (11.43a)
где также сделана замена: Β0 = μ°Η0.
Подчеркнем, что дополнительную задачу можно строить двумя
способами, и это определяет интерпретацию формулы (11.43а). На
рис. 2.12 схематически представлены оба варианта (6 и в) для
основной задачи а. В первом только центральная область
трансформатора V0 заполнена средой с подобранными проницаемостями е° и μ°,
а среда внутри присоединенных волноводов имеет параметры вакуума
(ε0, μ0). При этом, очевидно, величина
W
к (а) | Hohk
(α)
ds
есть не что иное, как соответствующий элемент матрицы
проводимости трансформатора «в начальном состоянии». Обозначая эту
матрицу К, из (11.43) имеем
■ -' ~~~ ' ft η-\- <kn,
(yZ)
где
fα|3 — \W i
1 kn | w k (a) |
K*x
(a)
ds
(11.44)
(11.44a)

§ π]
РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
163
— «возмущение» элемента матрицы, определяемое через решение
уравнений Галеркина — Ритца.
Во втором варианте (рис. 2.12, в) вся полая система в
дополнительной задаче заполнена средой с проницаемостями ε° и μ°, так что
«Р _
Κι1
w
к (а) |
|-ЯиАй(а)
ds,
где Wka — волновые сопротивления волноводов с этой средой. Тогда
соотношение (11.43а) принимает вид
αβ\/ν
(Kg>
Wk (α) Ρ ,?πβ ι Γία|3
m" ' kit "Τ" λ *«'
IF'
(11.45)
ft (α) |
В частности, «начальное состояние» может соответствовать пустому
трансформатору (е° = е0, μ° —μ0). В этом случае в обоих вариантах
{Yt)"=Yf„ + Yfn. (Н-46)
Разумеется, путем изменения нормировки А* (а) (Н-2) можно
сделать так, что эта формула будет верпа и при ε° φ ε0, μ° Φ μ0, но
смысл матрицы проводимости будет несколько изменен.
Задача о начальном состоянии трансформатора (точнее,
вспомогательного резонатора) формулируется в виде уравнений Максвелла
rot H0 — ί'ωε°£0, "Ι
rot£0= — ίωμ°Η0 J (H-47)
с надлежащими граничными условиями при возбуждении (11.13), (11.14).
Отсюда
со
®k(f\ I ε„ε'
»П с'о
о-1
W° К ^('))-ω(^ο. V>)
0,
Dn, E
С)
«(βο· ">('))
А('>=1,
(*«№>■ 1Я,(> Vo])Sp =
сю (ω,4>'ΞΞθ),
(11.48)
так что
■77F Ωδο = ωα0·
(11,49а)
^-Ωα0-
-g = ω£0,
(11.496)

164
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Видно, что электрическая индукция начального состояния является
чисто вихревой (об этом можно было бы судить заранее на
основании п. 5.4), а потому согласно (11.42а) а' = О, т, е. и
представление (11.39а) — чисто вихревое. Затем, объединяя вторые строчки
(11.496) и (11.426), находим, что Ь' = 0, т. е. представление
(11.396)—также чисто вихревое. Комбинируя теперь первые строчки
(11.42) и (11.49), получаем
QMb — та = fm, I
Ω3α — ыЬ = fe, j
где
отсюда
/,η = Ω(^Α-«):
a = (l~W)-I(QAl/e+-(o/„1)
* = (3«-/ω!!ΓΙ(Ω3//Β + ω/β).
(11.50)
(11.51)
(11.52)
(11.53)
Последнее уравнение и позволяет получить В и вычислить (γψ„)
по формуле (11.43а). Помимо рассмотренных преимуществ, имеет
значение тот факт, что задача решается в вихревом подпространстве
(потенциальные функции отсутствуют). Благодаря уменьшению
громоздкости алгоритм может быть реализован (в виде программы для
ЭВМ) в более высоком порядке N.
11.5. Алгоритм с выделенным полем; матрица сопротивления.
При нахождении матрицы сопротивления также можно строить
представления полей в виде (11.38) и искать D1^, В1^ в форме (11,39а, 6),
но взяв системы собственных функций {8„, &„,} и {ЭС„, §£„<},
подчиненных смешанным однородным условиям (п. 11.3). Вместо (11.40)
будем иметь
ωΛ(/)(μ0μ-4· ΜΛ(θ) + ωΛ(/)(μ0μ-1^. 3ίΛο)-
-ω(^ο> 8^)-ω(^, 8Λ(/))+ί([ΑΒ(Ρ), ν0], 8^=0;
»*(')(еое-,до. 8Λ(θ) + ωΛ(0(ε0ε-^, 8λ(/))- } (11.54)
-ω(β0. Κ,(/))-ω(βΛ'. J€fc(o) = 0,
&(/) = 1, 2, . .,, Ν{,) (ωΛ.==0).

§ 111 РАССЕЯНИЕ В ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
Отсюда получаются уравнения Галеркина—Ритца:
Qm -f Ω (Mb -f M'b') — ω (α0 + a) — g = 0,
ω« + α') + ? = 0
Ωβ + Ω (Эа-f Э V) — ω(£0 + £)=0, 1
:0 j
165
(11.55)
(11.55a)
(см. обозначения в п. 11.4).
Как и в п. 11.4, в качестве выделенного поля возьмем решение
задачи о трансформаторе с теми же внешними границами (задача
о вспомогательном резонаторе, возбуждаемом согласно (11.28)), но
с однородной изотропной средой, характеризуемой проницаемостями
е° и μ0.- Тогда согласно (11.34)
(Z»*T= f b-'V- в)й+ Гв-^<тЛ
(11.56)
и, поскольку на отверстиях ε = /ε0 и μ = /μ0:
(*#)"=-£■ J E(Jel {a) ds + f е-'ДД'е; {a)ds.
(11.56a)
Аналогично (11.44)
где
(7α\ί\Ν _ Ε» °πβ -αβ
ΖΖ= Ч^е'аз,
ft (α)'
(11.57)
(11.57a)
a Z — матрица сопротивления трансформатора «в начальном
состоянии». В отличие от п. 11.4 два способа построения начального
состояния (рис. 2.12, б, в) в данном случае неразличимы.
Задача для начального состояния описывается уравнениями (11.47)
при граничных условиях, соответствующих возбуждению (11.28).
Поэтому
%(')(^°~Ч· §V))-»(Z>0, 8л(0) +
+ 4[*»(f>)-4fy>)=0·
ft(/)=l, 2, .,., W(,), .... oo (ωί?.=0),
(П.58)

166
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
откуда
μ»
¥Qb0
— g'
■ ωα
о
ΙΩα0-.
■ab0,
0 = bQ.
(11.59a)
(11.596)
Объединяя (11.55) и (11.59), видим, что b' = 0 и α'=0. Таким
образом, как и в п. 11.4, представления D^ и В1^—чисто
вихревые. Затем получаем
QMb -ωο = /„
где
и далее
Ω9α — ыЬ — f е,
/β=Ω(-£α0-β
\
/,,
■Ω
μ0
о bo — т
(11.60)
(11.61)
ίωΥ\ΩΜ/,
•ω/J.
-to/e).
(11.62)
(11.63)
a = ((*
b = (m — Iu?)-\Q3f
Последние результаты по форме совпадают с (11.50) — (11.53),
однако фактически различаются видом матричных элементов и правых
частей, поскольку используется другой базис.
Элементы матрицы (Z"„) вычисляются по формуле (11.56а) при
подстановке представления D1^, коэффициенты которого дает
уравнение (11.62). Одно из преимуществ алгоритма подобно предыдущему
состоит в отсутствии потенциальных функций.
11.6. Нахождение матрицы рассеяния. Напомним, что матрица
рассеяния R имеет ту же структуру, что матрицы Υ и Ζ:
Я =
Ru
Rn
Ral
RPI
Д12
R22
Ra2
RP2
RW
RIP
... № ... R2P
RaV
RPV
RaP
...[ ...
RPP
(11.64)

§ Η]
РАССЕЯНИЕ Б ПОЛЫХ СИСТЕМАХ
167
где
R
αβ.
αβ
/?5f
Γ,αβ
α, β= 1, 2,
i/k=\, 2,
., Ρ; (11.64a)
., со.
Если определена матрица проводимости или матрица сопротивления,
то матрица рассеяния находится по одной из формул (11.12). Но
можно построить также алгоритмы для непосредственного вычисления
матрицы рассеяния.
Рассмотрим режим волноводного трансформатора, при котором
на одно из соединительных сечений 5 падает волна
соответствующего волновода типа η с единичной амплитудой поперечного поля
(поперечные компоненты равны еПф) и Апда); в выражении «волна»
допускается некоторая условность, поскольку в рассмотрение входят
и поля при частотах ниже критической. На всех сечениях,
соединенных с бесконечными волноводами, возбуждаются уходящие от
трансформатора («отраженные») волны. Поля на них согласно (11.8) имеют
вид
ч--
Н& =
2 (°*«-
: 2 (δ* л -
Rkn)hk φ)',
Εα = 2j Rknfik (α)>
я„
ί = 1
-Σ-
R-knhli
(ОГ
ct = 1, 2,
(α Φ β).
(11.65a)
(11.656)
Принцип подхода может состоять в том, что электрические или
магнитные поля на отверстиях (11.65) рассматриваются как заданные
и при этих условиях находится решение задачи о возбуждении объема,
образованного областью V0.
очевидные равенства
Пусть Ё
.р«
Я
Ял
-поле в V0. Запишем
Hahk (a) dS = Я1 hk (α) dS
rP»#
α
Eael{a)ds=^ Γ E^'el^ds,
■β-".
(11.66a)
(11.666)

168
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
где в левые части входят выражения полей на соединительных
сечениях «в волноводной трактовке» (11.65), а в правые—через
векторные функции объема V0. Поскольку Егп и Н'п — линейные функции
коэффициентов RTn, определяющих условия возбуждения V0,
соотношения (11.66а) или (11.666) дают системы линейных уравнений
относительно этих коэффициентов.
Чтобы построить прямой метод определения R, надо располагать
представлением возбуждаемого в области V0 поля, сходящимся в
среднем на сечениях Sa. В частности, требуя, чтобы
(//Т*'*|«)*
s„
H^nh*Ha)ds, (11.67)
/V-»co
надо искать это представление в основном базисе [Нп·, Нп), функции
которого удовлетворяют обычным однородным условиям на границе
области V0. При этом из (11.66а) имеем
-,αβνν
6ft (α), η (β) — \Rkn)
!Ν Λ" ]
2^dm J Hmhlwds+ 2u dm- J Hm.h*k(a)ds I (11.68)
m-l Sa m'-l Sa
ИЛИ
6* (α), η (β) — V?*л) =
I m=I
^*m \ Hmh*k(a)dS-\- ^J *m' J Hm'hk(a) ds V (11.69)
(учтено, что μ = /μη на S ). Коэффициенты представлений d <ι\ и Ъ (/)
ην ' ην
выражаются формулами (11.22), в которых теперь в соответствии
с (11.65) вместо (11.23) надо положить
gj,) = - ί 2 2 Wк (ν) (δ, (ν), „(β) + (ЯЙЛ \ hk H'm(f) ds, (11.70)
γ=Ι ft-I Sy
где К (γ) — число учтенных поперечных собственных функций
сечения Sy. Совокупность равенств (11.68) или (11.69) при k, n—\,
2, ..., К (у); α, β=1, 2, ..., Ρ дает неоднородную линейную
систему уравнений относительно (/?*5) ■

12] РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ 169
В другом варианте потребуем сходимости
(E"Tel{a)ds
e-l(DnTelia)ds
j E^el^ds, (11.71)
ЛГ->с
так что для представления Е"^ и £>'* надо взять базис (8,,·, 8,,},
где функции удовлетворяют на границе области VQ смешанным
однородным условиям. Таким образом,
δ/i (а), пф)-\~{^1гп) =
Ν Λ"
=Σ с.п Ι ν* («)d5 + Σс'»' 18«·< («)d5 (l l·72)
:n —1 5 :и' —I S„
ИЛИ
δ/г (a), л (β) + (^ftfij —
Λ"
= Σβ- ί 8:η<(α)^+ Σ <V Ι 8-Χ(α)* (1L73)
m — 1 5_ m'—1
(на 5a всегда в = /е0). Коэффициенты с (^ и a (/) определяются
формулами (11.36), в которых, если учесть (11.65), вместо (11.37)
должно быть
ρ к (у)
*^=-*ΣΣττΓ7τ(όΛ^"(β)-(^)/ν)ί β*<Α(/,Λ- (11·74>
Подобно (11.68), (11.69) совокупность равенств (11.72) или (11.73)
при k, «= 1, 2, ..., AT (γ); α, β=1, 2, ..., Ρ дает неоднородную
линейную систему уравнений относительно (/?"„) .
Не представляет труда видоизменить описанные алгоритмы путем
введения «выделенного поля» (см. пп. 11.4; 11.5).
§ 12. Рассеяние в регулярном волноводе
12.1. Применение предыдущих результатов [5]. Весь настоящий
параграф посвящен простейшему волноводному трансформатору,
представляющему собой волновод, регулярность которого нарушена в
ограниченной области V0. Эта уже встречавшаяся ранее (пп. 11.2, 11.3)

170
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
полая система с подробными обозначениями представлена на рис. 2.13.
Она может быть охарактеризована одной из матриц
γ2ΐ γ22
R =
Ζ.
Ru I Rl
Zu I Z12
Z21 Z22
(12.1)
R2l [ £22
клетки которых—бесконечные матрицы вида (11.7а), (11.64а)
(α, β= 1, 2).
Речь идет, таким образом, о рассеянии волн регулярного
волновода на инородной области V внутри V0. Часто в регулярном
волноводе только низшее поле имеет характер распространяющейся волны
s'\
о,\
0
2,
iSI
., а
г
\5г
?г \0г
1
Рис. 2.13.
(Н - или ГЕ/И-типа). В этом случае естественный электромагнитный
процесс в трансформаторе — это дифракция приходящей «из
бесконечности» основной волны, которая частично отражается обратно
(например, к Sx), а частично проходит за нерегулярность (к 52).
При этом также порождается бесконечный спектр высших полей
волновода, которые могут быть пренебрежимо малы на 5, и 52, если
эти сечения волновода (соединительные сечения, отверстия
трансформатора) отнесены достаточно далеко от нерегулярности. Тогда в каждой
из клеток матриц (12.1) сохраняется только один элемент: К = К?',
ζαβ = ζ?,β. /гаР = /г?Р (α, β=ι, 2).
Поставленная задача допускает различные подходы. В частности,
она дает наиболее легкий пример применения алгоритмов, изложенных
в § 11. Удобно решать ее с выделением начального поля(пп. 11.4, 11.5),
так что при помощи уравнений Галеркина—Ритца будет в конечном
счете определяться возмущение матрицы проводимости или матрицы
сопротивления отрезка регулярного волновода при появлении
нерегулярности в области V. Поскольку соответствующие алгоритмы в
основном уже подробно описаны, остается лишь рассмотреть
дополнительную задачу (начальное состояние трансформатора), имеющую в данном
случае замкнутое аналитическое решение.
Начнем с алгоритма для вычисления матрицы проводимости (п'. 11.4)
и рассмотрим в этом случае нахождение начального поля и начальной

§ 12]
РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ
171
εο'·^ο
S,
W/////////A
Зг
ε0ι^0
матрицы проводимости. Начальным состоянием волноводного
трансформатора будем считать регулярный пустой (е = /е0, μ —/μ0)
волновод «с однородной пробкой» (рис. 2.14, а) в области V0, т. е.
содержащий в этой области
однородную изотропную
среду, характеризуемую прони-
цаемостями ε = /ε°, μ = /μ°.
В начальном состоянии
требуется определить поле в
области Va, когда одно из
соединительных сечений 5, £
или 52 закорочено, а на
другом задано электрическое
поле в виде нормированной
поперечной функции eft(I) =
а)
Е„гО £„-0
Рис. 2.14.
= е
k (2)
= ел(рис. 2.14, б, в).
Это поле может быть представлено как суперпозиция прямой и
обратной волн (одного типа!) регулярного волновода с той же средой, что
и пробка.
Пусть ek = e°k есть поперечная электрическая функция одной
из Я-волн такого волновода. Тогда ввиду (9.286) и (11.1) начальное
поле представляется соотношениями
,?„-ir°z
0„ίΓ°ζ
Я0 = Л + (hi + ihlu) е- iT"z 4 А- (-- hi + ih2k) X**
(12.2)
где е/г и hk нормированы согласно (П.2) (причем в W!t и Vk входят
Г°
проницаемости ε и μ) и hk = —γ Vj_hzk- Сюда же может быть
Ik
включен, если это нужно, случай ГЕМ-волны [hZk = θ). Если же
eh = e\ — поперечная электрическая функция одной из £-волн, то
EQ = A+(e°k + te°Zk)e-iT"z + Л" {е\ - ie\k) elT°*', 1
Яо = Л+А°*в-'г*г-Л-А°*в'г*г, I
где ek и hk нормированы по-прежнему и вк =—ψ^ϊβζΐι- Будем
Ik
считать, что в формулах (12.2), (12.3) под ζ понимается г,, если
возбуждение производится с сечения 5, (S2 замкнуто), и ζ2—в
противоположном случае. Тогда начальное поле должно быть подчинено

1?2 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА dfcHOBHOM БАЗИСЕ
следующим граничным условиям:
( ek при 2 = 0 (на 5, или 52),
Ε — <
0τ \ 0 при z = l (на S2 или 5,),
что приводит к определению коэффициентов в (12.2), (12.3):
[ГЛ. 2
я ± .6
±<<
2 sin Γ°ί
Таким образом, для Я-волн
Ео = -
sin Г°к (ζ — ί)
sin T°d
нп
а для Ε-волн
. созГ<5(г-0 0 . з1пГ5(г-0 0
I . /jft — ( .—_ fizkt
sin Г^/
sinfy
(12.4)
£0 = -
//„ = -
sin Γ^ (ζ — ί)
sin V\i
e°k +
cos Г° (z ~ I)
sin A
. совГ^г-О 0
ί -к «ft·
sin ιψ
(12.5)
Желая определить элементы начальной матрицы проводимости,
учтем соотношения
51,2
= 0,
< = **·
А0 — Г* А ·
~ IP"
'I, 2
=/-U = - ^
¥!~Aft·
(12.6)
Внося в (11.18) в качестве //'" поле Н0 из (12.4), (12.5), находим
ли ,5.22 .. lFft го,
Kft„ = Kft„ = — t<W —g- Ctg 1 fti,
ft
Kft„ = Ykn = (6ft„ —§- cosec 1 kl.
\
(12.7)
Если же соединительные сечения 5, и S2 отнесены от V достаточно
далеко, то
Y= — i
ctglV — cosec Yd
— cosecTkl
ctglfy
(12.7a)

§ 12]
РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ
173
Результаты (12.4)—(12.7) необходимы для определения по
формуле (11.44) матрицы проводимости рассматриваемого волноводного
трансформатора. Входящее в (11.44а) поле BN находится с
помощью (11.53), причем функции (12.4), (12.5) входят в образова-
ние /е> /т (11-51) согласно (11.41).
Аналогичны действия при решении начальной задачи для
алгоритма, дающего матрицу сопротивления (п. 11.5).
При нахождении начального поля можно по-прежнему исходить
из общих выражений (12.2), (12.3), но граничные условия теперь иные:
Я,
ОтГ
hk при 2=0 (на 5, или S2),
0 при z—l (на S2 или Sj),
что с учетом соотношения hk и hk (12.6) дает
В результате имеем
яп
wh
~wh
Az
cos Гь (ζ -
wl
wh
sin ТЬ
sinV»k(z-l) „
^ "*
sin Til
■■ <Ό
2 sin Ту
Щ zosTl (z — I)
w„
stoTy
zk
(12.8)
для Я-волн и
£о = -
я0=
. W% cosTl(z-l) 0 .
W°k зШГ2(г.-0 .о
Hk
. W°k smT(k(z~-l) 0
sinTy
Wh
sin Til
(12.9)
ДЛЯ f-ВОЛН.
Для определения начальной матрицы сопротивления воспользуемся
формулой (11.32) с учетом (12.6). Это дает1)
70
ХП
ЛИ ΆΊΙ .х "к , ттО/
t-kn — ^kn — lOkn w Clgikl
Wk
°I2 521
W
lt>kn
w
cosec 1 У
(12.10)
(12.7).
— 1
') Разумеется, матрица Ζ могла быть найдена и как Υ на основана

174
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
или при достаточно далеко отнесенных соединительных сечениях 5, и S2:
Ζ
w»
W„
ctg T%1
sec 1,
со
cosec1 &l
ctgl^
(12.10a)
s,
s,
Результаты (12.8) — (12.10) используются в алгоритме с
выделенным полем для определения матрицы сопротивления волноводного
трансформатора по формуле (11.57). Поле D'^, входящее в (11.57),
находится из (11.62), причем функции (12.8), (12.9) нужны для
вычисления fe и fm (11.61).
В заключение отметим, что для решения рассматриваемой задачи
о рассеянии в регулярном волноводе может быть без каких-либо
изменений применен алгоритм вычисления матрицы рассеяния,
описанный в п. 11.6. Он принимает сравнительно простую форму, когда
соединительные сечения достаточно удалены.
12.2. Метод поперечных сечений; основные уравнения.
Универсальные алгоритмы для задач рассеяния в регулярном волноводе
могут быть еще построены на основе так называемого «метода
поперечных сечений». Сущность метода состоит в том, что поле в
волноводе, содержащем локальную
неоднородность, представляется
в базисе, связанном с его
поперечным сечением, причем
коэффициенты представления
рассматриваются как неизвестные
функции продольной
координаты ζ. Очевидно, что
исследуемая система (рис. 2.15) в любом
поперечном сечении S0(z) совпадает с некоторым волноводом,
содержащим продольно-однородную среду. Первоначально в методе
поперечных сечений предполагалось1), что поля и соответствующие
постоянные распространения всякого такого поперечно-нерегулярного
волновода уже известны. Затем А. Г. Свешников [11, 12] детально
разработал и обосновал подход, в котором предполагается известным
лишь основной базис волновода. Коэффициенты представления поля
(функции ζ) находятся, в конечном счете, при решении системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится
задача по схеме Галеркина2). В математическом отношении метод
поперечных сечений можно сопоставить, таким образом, с методом при-
г
а)
в)
Рис. 2.15.
') Эта трактовка подробно рассмотрена в монографии Б. 3. Каценелен-
баума [10].
2) Метод Галеркина в поперечном сечении (т. е. в известном смысле
«частичный метод Галеркина») применялся в [11, 12]. С тем же результатом,
однако, может использоваться и метод Ритца («частичный метод Ритца»)
при замене уравнений Максвелла соответствующим функционалом (см. ниже).

§ 121
РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ
175
ведения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
Л. В. Канторовича [13].
При построении универсального алгоритма для задачи рассеяния
в регулярном волноводе на ограниченной нерегулярности области V
(независимо от того, непрерывны или разрывны проницаемости ε и μ)
будем исходить из раздельного представления поперечных и
продольных частей векторов поля Ε и Н, D и В, подобно тому как это
делалось в задаче о продольно-регулярном возмущении волновода (§ 9).
Однако теперь коэффициенты сумм являются функциями ζ. Таким
образом, полные представления аналогичны ранее записанным (9.39),
(9.40) и имеют вид
.„о
(ζ) Егт ~\~ O-tm' (Ζ) Е(т/ Н~ "/л (Z) Ещ ]
I, n=l
•С)
BN =
о.
м, лг
ίμ0 2
т = 1, η
VH(,), N
= 1, η-Ι
{Ьгп (Ζ) Ηζη + V (Ζ) ΗUl' +btm(Z) Ht
(12.11)
Λζ)Εζ
-Ctm' (Z)Et,
-ct„(z)Etn\
У).
M,Ny
t Σ
<■'■
m*** I, n
{dzn (ζ) Hzn + dtn· (z) Htn. -4- rf/m (2) Ht
(12.12)
Роль координатных функций выполняют здесь системы собственных
функций задач (9.16), (9.17) [Etl, EtV], [Ны, Нш\ и задач (9.18),
(9.19) [Ezi], [Hzi\. Напомним, что двойная нумерация в (12.11),
(12.12) введена для удобства различения поперечных собственных
функций: индексы т(/) и яО указывают, что отмеченные ими
собственные функции отвечают Ε-волнам и //-волнам пустого волновода
соответственно. При фиксированном ζ суммы (12.11), (12.12)
представляют поле в поперечном сечении волновода.
Уравнения Максвелла запишем в форме
д
rotj_ Ε --(- -^ \ζα, Ε}=— ΙωμΗ,
rot
Η — -f- \Η,
ZQ] = ίωεΕ,
(12.13)
удобной для описания поля в произвольном поперечном сечении SQ(z);
при использовании символики (9.7) они принимают вид
д ^
оМ ι и 4- i -τ- Τ и --— ωπ«.
-Ι- ι f)z
;12.13a)

176
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Расчленяя проблему, можно говорить о граничной задаче для
уравнений (12.13), (12.13а) в S0(z) (которая сама по себе не имеет
определенного решения) и сопоставить ей функционал
SP = (cM\U, v)-\-1\-t-Tu, ν) — ω (ли, ν)
(12.14)
принимающий на решении стационарное значение stcc^ = 0. Как
видно, этот функционал аналогичен Ρ (9.9) и отличается от него
неявным относительно ω видом. В подробной записи функционал §Р
имеет вид
SP = i i (A*rotLe —e'rotj h)ds-\~
S„(z)
+ г J { [Ϊ ' **] + [**' ΐ] }α^~ω { (Eee* + μΑΑ·) ds. (12.14a)
S0(г) 5„(z)
Дальнейшим шагом является получение уравнений, которым
подчинены коэффициенты представлений (12.11), (12.12). Делая это по
схеме метода Галеркина, наложим условия ортогонализации,
аналогичные соотношениям (9.41) — (9,43):
rotL ΕΝ -\--τ-[ζ0, ΕΝ]-{-1<ϋΒΝ, Η
,Ο
ί rot ι ΗΝ — -i- {ΗΝ, ζ„) — ίωϋΝ, Ε (>)
(DN — eE, Ε (λϊ = 0, )
V α* ' ι |
r^-E^EJf))=il )
= 0,
= 0;
(12.15)
(12.16)
(12.17)
при α = ζ, t; k[>=\, 2, 3, ..., Μ{!; Ν{>.
Внося в (12.15) представления (12.11), (12.12), после некоторых
преобразований получаем
Μ(· \ Ν^
J{
dzn \V±Hzn, z0) \--^άιη· [z0, //<„/]-f
-i „<'>-! S°W
-\-^dtm\z^ Htm\-\- rfimroti Hm —
- ωε0 (агтЕгт -j~ β
im'E'tm'
+ а(пЕ1п)\Е^паз (12.18а)

РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ
177
^ J {czm^XEzm< Z0]+-^Ctm- [Z0, £„„>] +
«Л-I, Я<'>-15'<г)
+ 5J ctn 1го< Etn\ -f c<;! rotj Etn - -
— a>\La(bz„Hza-\-btn'Htn' -\-btmHtm) jtf'^ds. (12.186)
Учитывая соотношения (9.21)—(9.24) между различными функциями
базиса, находим отсюда следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
X,
(х2
liJ]c
k0b,
i -^jJ)d = ~kQa,
где a, b, с и d — векторы вида
α = (β2ι, αζ2> ■··. α.ΖΜ, a-tv, α-α·,
at μ' . ο,α, a<2>
(12.19)
aw).
подобные употреблявшимся в § 9 (в данном случае — функции ζ),
/ι0 = ω~\/~εαμ0, а матрицы X\ti и J определены равенствами (9.50).
Как видно, дифференциальные уравнения метода поперечных сечений
(12.19) сходны с алгебраическими уравнениями Галеркина — Ритца
(9.49), полученными для задачи о волноводе с продольно-однородной
средой. Формальное различие состоит в том, что вместо множителя Г^
. d
имеем теперь дифференциальный оператор ι -г-.
Вместе с системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(12.19) надо рассматривать алгебраические системы
а = Эс,
или
b = Md )
с = Эа, 1
d= Mb,
(12.20)
(12.21)
получаемые из (12.16), (12.17). От прежних уравнений (9.44), (9.45)
они отличаются только смыслом векторов. Остаются верными и
соотношения между матрицами (9.48):
Э~ =Э и ΛΓ
М.
(12.22)

178
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
1ГЛ. 2
Располагая системами (12.19), (12.20) и (12.21), выпишем несколько
окончательных вариантов систем уравнений метода поперечных
сечений. Можно, например, сохранить только представления напряжен-
ностей, исключив а и Ъ:
откуда,
Χγ И- i
X2-\-i
dt
d_
dt
J) с — knMd,
J\d — — kn9c,
если учесть (12.22), следует
M(xx + i4-J\3(x2+i4;J)d
dz
dz
- kid
(12.23)
(12.24)
J)c =
Если же представления напряженностей исключить
d
Х\ + 1ИТ])Эа
dt
k0b,
и далее
Х2 Н- I -ц J) Mb = — k0a
J) Mb:
klc. (12.25)
то получается
(12.26)
Χ* + 1Ίϊ'?(Χ*+1Ίΰ
Xo
dz
klb
koa.
(12.27)
(12.28)
Уравнениями (12.23) — (12.28), разумеется, не исчерпывается
разнообразие форм уравнений метода поперечных сечений, основанного
на представлении поля типа (12.11), (12.12). Возможны различные
объединения уравнений, например
(
{ kc
0
о м
0 | Х2
А', I 0
}
dz
0 ( J
j\ о
с
d,
(12.29)
что получается непосредственно из (12.23); здесь упрощение формы
достигнуто ценой повышения порядка системы вдвое. Но могут быть
также применены различные приемы понижения порядка, аналогичные
рассмотренным в п. 9.5. Не входя в подробности, отметим
некоторые факты.
Понижение порядка в уравнениях, содержащих индукции,
основывается на следующих соотношениях внутри представлений:
db, vB da,
rH
X"bf
dz
Χ α,·
dz
(12.30)

§ 15) РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ ί'?9
которые усматриваются из уравнений (12.19) (ср. (9.58)); они
означают, что выполняются равенства
divDN = Q и d\vBN=0,
Получаемые при понижении порядка дифференциальные аналоги
уравнений (9.62), (9.63) мы не выписываем.
Типичны случаи, когда клетки zf, zt, t'ζ и tz матриц Э и Μ
состоят из нулей. Это, в частности, имеет место, если область в
волноводе, на которой происходит рассеяние, изотропна или, например,
продолыю-гиротропна. Тогда справедливы следующие аналоги
уравнений (9.66):
Mdft =
dct't
dz
dd,
-ι 4' t
(12.31)
где Э и Μ по-прежнему выражаются формулами (9.67). Из (12.31)
имеем
МЭач = — ~с,., (12.32)
и
9Mdft = — ~Tdft. (12.33)
В заключение подчеркнем, что все рассмотренные уравнения
метода поперечных сечений могут быть получены также методом Ритца
на основе функционала (12.14). Внося в (12.14а) пробные функции,
построенные по типу представлений (12.11), (12,12), получаем
^°лг=(ЛГ1с, d)—(X2d, c) +
^~i[4z~Jc' ^)~i['d%Jd' с) —М(Эс, с) + (Ш, d)}, (12.34)
где все символы те же, что и в п. 9.6. Уравнения метода
поперечных сечений (12.23) непосредственно получаем из следующих
требований метода Ритца:
dd ,,,
aft1 '
дс ' ,,.
а1гу >
a = 2, t:
^=1, 2, ..., Μ\ Λ/<'>. (12·35)
12.3. Метод поперечных сечений; граничные условия. Итак,
были рассмотрены различные формы систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, к которым приводят условия ортогонализа-
ции (12.15) — (12.17) или метод Ритца для функционала (12.14),

180
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
когда представления полей взяты в виде сумм (12.11), (12.12).
Однако для того чтобы решения этих систем отвечали задаче о волно-
водном трансформаторе (рис. 2.15), необходимо принять во внимание
граничные условия на его соединительных сечениях 5, и 52.
Начнем с выяснения некоторых свойств решения
соответствующей граничной задачи для уравнений Максвелла. Разлагая векторы
поля в ряды Фурье по [Еш, Еш·, Егт) и {//,,„, //,„-, Нгп) в
произвольном поперечном сечении S0(z), запишем
Р=г0 Σ {a_zm{z)Ezm^atm,{z)Etni, + atn{z)Etn),
со
В = ίμ0 Σ [Κη (*) Нга + btn, (z) Htn, + bfm (z) Нш)
m-l, η- '=1
(12.36)
„О
2 [Czm(z)Ezm + £<m' (ζ) Etm· -f- Cjn (z) Etn ),
-I, л-1
Η
2 (^гл(2)//гп + ЛЛ' (ζ)//ίπ< +d<m (ζ)Ηίηή.
га —I, л
С)
(12.37)
Эти разложения, в частности, можно рассматривать и на
соединительных сечениях 5, и 52 (£ = £, и ζ = ζ2 на рис. 2.15). С другой
стороны, для каждого конкретного режима передачи поля на 5, и 52
могут быть выражены в терминах внешних волноводов,
расположенных при 2 О, И Ζ^Ζ2.
Возьмем случай, когда на одно из сечений (пусть это будет Sx)
падает одна определенная волна волновода. При этом поперечные
поля на границах 5, и 52 могут быть описаны при помощи формул
(11.65), содержащих элементы матрицы рассеяния R. Полагая в них
поочередно а=1, 2 и учитывая, что соединительные сечения
идентичны (е„ (]) = еп ρ, и hn (ί) = hn (2)), находим
β,= Σ(δ«* + Λί*)β(
t-\
1-1
■Λ}*)Αί
(12.38 a)
£2=2 #iUi-
1=1
#2 = — 2и Rikhi
(12.38 6)

I 151
РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ
Ϊ81
(каждое соединительное сечение имеет свою систему координат, как
на рис. 2.13).
Отметим, что согласно (11.1), (11.2) и (9.21)
V ε0£ίη
j У ь0 ctn
ei = \ ,r-.
+
*,= {
V]Lq
WE
Htn1
H ,„,
(//-волны),
(Е-волны)
(//-волны),
(Ε-волны),
(12.39a)
f 12.39 6)
причем в (12.39 6) верхний и нижний знаки относятся к сечениям S,
и S2 соответственно (ср. отдельные системы координат на рис. 2.13
и общую систему координат на рис. 2.15).
Продольные поля на 5, и S2 согласно (9.28) при этом таковы:
Ей = I Уч У ψ- (fim* - RlL) Ег
т=*\
я,
;УЧ
ЁхД^ + я"*)"»
Л-1
(12.40 а)
m = l
я
22"
w
Σγ /?21 Я
кпхпк" ζ
л-1
(12.406)
Таким образом, ряды (12.36), (12.37) при ζ = Zj и ζ = ζ2 можно
рассматривать как разложения полей:
Е = Е(\, 2)+ £(1,2)2.
Я = Я(1; 2) -\- Я(11 2) г.
£> = 80 (£(1^ 2) + £(ι_ 2) г).
β = М-о (Я(1; 2) + Я(1, 2) г).
(12.41)
где фигурируют выражения (12.38) и (12.40). Это позволяет
получить граничные условия, которым подчинено электромагнитное поле
волноводного трансформатора на 5, и 52. в виде задания
коэффициентов Фурье на этих сечениях. Последние определяются путем

182
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
проектирования функций (12.41) на базис, в котором построены
разложения (12.36), (12.37). С учетом предыдущего находим
a m(2,)=- с (г,) = V^o (δ«*+ ΛΪ*). ]
_„(')
°l o^ = ί. .о (г2)= >4#ϊ*;
ι
} (12.42 а)
— iayi Οι) = — '£_гг(г,) = ΐ/ε0 ψ- (bik — R\l),
— ia-zi 02) = — гсгг (г2) = ]/ε0 -^ Я ■
-^
"ίΓ
W
b (z2) = id (z2) = ΐ/μ0 -—jj-ERii;
~ti
Κι («ι) = d2l (z,) = /e0 f- (fi/ft + /&)
М*2)=^(*2) = /е» Я?
(12.42 6)
(12.43 a)
(12.43 6)
г = 1, 2, . . ., со.
Из (12.42), (12.43) получается ряд соотношений между
коэффициентами Фурье, не содержащих элементов матрицы рассеяния:
If W?>E }
=wiv>(Zi)-^V>(z')H- (12-44a)
w,
Η, Ε
w1,
H,E
a- ,,, (z2) +1 -£— b (z2) = с (z2) + / —-'-— d (z2) = 0
,(')
w.
,(')
(')
w0
,(')
(12.44 6)
50
— iazi Oi,2) = — iczl U,, 2) = -f1- *« (2,, 2) = f~ dtl (z,,2),
*г! («ι, 2) = dzl (zu 2) = f- в„ (г,, 2) = f- c/t (г,, 2),
Kg Kg
/ = 1 , 2 OO
(12.45)
(по смыслу формул (12.44) наличие штриха при «электрическом»
коэффициенте предполагает его отсутствие при «магнитном»
коэффициенте другого слагаемого и наоборот).

§ 12] РАССЕЯНИЕ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ 183
Полученные равенства являются прообразом граничных условий,
налагаемых на неизвестные дифференциальных уравнений метода
поперечных сечений. Эти условия имеют следующий вид:
(ζλ) — ι —— Ь т (ζ,)
2 У ε0 L tr > Wa nK >
v^-'-^rV^H* (12-46a)
2>Ч
wh, ε wh,.b
ано ^ +ι -ΨΓ Ьип Ы = спо <*'> +l -W— V> ^ = °
(12.466)
"ζ! («ι, 2) = czl (гь 2) = — "^ *« («ι, 2) = - "jg- d« («ι, 2).
^i(2ii2) = ^(zI,2) = -|^n(z1,2) = |^c(i(zb2),
г= 1, 2, . . ., Μ; Ν.
(12.47)
Что касается первоначальных соотношений (12.42), (12.43), то
они дают основание для интерпретации граничных значений
коэффициентов представлений (12.11), (12.12) как величин, дающих
приближенные значения элементов матрицы рассеяния
(/??£) · Заменяя в (12.42), (12.43) коэффициенты Фурье
коэффициентами представлений, находим
(/?!*) =—fii*+-7=e ,,,(*!) = —fii/k 4--7= С ,(*!> =
У ε0 ίΛ ' у ε- "у >
W-
ε0 «ν
я, с
= 0;ь — г
ut/k_t-_* (г) = й(/к_,_^ (г,); (12.48а)
(R?kf = -}=a /)(г2) = -7=гс „,(z2) =
Уг0 ии УЧ йу)
WH, Ε ψΗ, Β
Ь ^{z2)^i-^=-d(i{f){z2), (12.48 6)
i, k=\, 2, . .., M; N.
При необходимости используются также аналогичные выражения
/»~»]2\^ /j-»22\^
элементов [Rik) и ^^J ,

184
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Алгоритм метода поперечных сечений состоит в том, что системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотренные в п. 12.2,
решаются при условиях (12.46), (12.47), в результате чего элементы
матрицы рассеяния определяются по формулам (12.48).
Приложение к гл. 2
П2.1. О связи матриц Ζ, Υ и R.
По определению матрицы сопротивления и проводимости — это
матрицы Ζ и К, входящие в соотношения (11.6), где компоненты
векторов а и Ъ являются коэффициентами рядов (11.4). При этом,
несмотря на вполне определенное происхождение базисов \еи (а)} и
{f>k{a)} (системы поперечных собственных функций присоединенных
волноводов), имеется свобода в их нормировке. О каких бы то
ни было свойствах матриц Ζ и К можно говорить только
применительно к тому или иному способу нормировки ей (а) и hk (ay
Возьмем нормировку
Sa
И ПОЛОЖИМ
**(„) = 4*0» К· е*(а)]· <П2'2)
где z0a—продольный орт соответствующего волновода, а ти,.—
какие-либо числа (все вещественные, все мнимые, либо такие, что
одни из них вещественные, а другие — мнимые); в частности, может
быть, что все η = 1. Таким образом, в общем случае
KoA^HWV (П2.3)
Sa
Перейдем к матрице рассеяния. Взяв коэффициенты ац (а) и Ьи (П)
попарно, введем ряд линейных преобразований
Тк(а)\ _\. (П2.4)
1к («'/ Vk (a)}
Пусть с+ и с~ — векторы, получаемые объединением всех ct, .
и ст, , соответственно. В соотношении
к (а)
c-=Rc+ (П2.5)
R по определению есть обобщенная матрица рассеяния. В дальнейшем
Γ*ΐα> = (! _[ ). (П2.6)
\6ft (a, 6ft (a)/

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 2 185
где |ft —какие-то числа, выбираемые по тому же принципу, что
и ηΛ(α) (в частности, псе |Λ (α) = 1).
Исходя из (П2.6), на основе (11.6) будем иметь
с+^с- = Zi(c+ — с-),
Цс+ — с~)^= Y{c* + c-),
где |—диагональная матрица с элементами t,k( . Отсюда
, \ (Π2.7)
/?=(!+η α-п. j
Остановимся на выборе чисел \ (а) в (П2.2) и |ft . , в (112.6).
Обычно требуют, чтобы матрица рассеяния могла быть
непосредственно интерпретирована в терминах присоединенных волноводов,
т. е. чтобы векторные функции
Ей (ц) =-= ац [а)ви (а)· ) Ek (a) = a-k (a)eti (α)· \
|И- - I
"ft (а) = ак (afrk («)Λ* (a) J "ft (а) ~ βΑ (aPft (α)Λ* (α) )
были поперечными компонентами прямых и обратных волн α-го
волновода и, следовательно, подчинялись соотношениям
\Ζ0α, Ей (α)] = Wk{a)Ht(a) и 1ζ0α· ^fta] = " ^ft (a)"ft (о)- (П2.8)
Принимая во внимание нормировку (П2.1), (П2.3), легко убедиться,
что для удовлетворения требованиям (П2.8) должно быть
Можно, например, взять
Ът^.ю)"1· **ю = 1· (П2.Ю)
чтобы выполнялось (П2.7)
Λ = (Ζ + /)_1(Ζ —/). J
, (Π2. 11)
R = U+Y)-\f—Y). j
Если же и электрические, и магнитные функции нормированы к
единице, то
т1*(«,= 1· &*(«) = (Г*(«»)"1 (П2Л2>
и, соответственно,
R = (Z+W)-l(Z—W), )
_ι ' (Π2.13)
/< = (w ' + к) (w_1 —к), j

186
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
где W — диагональная матрица из волновых сопротивлений всех
волноводов и всех типов волн.
Впрочем, удовлетворение требованию (П2.8), вообще говоря,
не обязательно. При этом существенно, что в волноводах лишь часть
полей имеет волновой характер. Определение, а тем более
энергетическая интерпретация остальных («запредельных») полей обычно не
представляют практического интереса. Это значит, что, выбрав в
соответствии с (П2.9) или иным удобным способом числа цк (а) и \k (α)
для распространяющихся волн, можно затем взять эти числа для
остальных нормальных полей волноводов по какому-либо
независимому правилу, следуя дополнительным соображениям
целесообразности (см. ниже).
П2.2. Реактивный трансформатор.
С точки зрения внутренней стройности описания и — что
важнее — для облегчения тестов в программах желательно производить
выбор чисел г\к (о) и \к (а) с тем расчетом, чтобы матрица рассеяния
реактивного (непоглощающего) трансформатора обладала
отличительными свойствами, связанными с сохранением энергии.
Возьмем формулировку теоремы Пойнтинга
£ [Е, Hr] ds = — /2ωί [ μΗΗ*dv —- [ гЕЕ*dv\ (П2.14)
s \v ν J
при отсутствии поглощения. Из (П2.14) вытекает, что
Re£[£, H*]ds = 0 (П2,14а)
Ι [Ε, Η*] άβ = —2ωΠ μΗΗ*dv — j" ?ЛЕ*dv\. (Π2.146)
im
s
В последнем равенстве мы имеем в правой части также нуль в
случае резонанса.
Из (П2.14а) непосредственно следует
Σ (ct(a) |2 η; (α)ι; (α) = Σ \ ^(α) |2 \ (β)ξ; ω. (Π2.15>
где суммирование затрагивает только распространяющиеся волны. При
.выборе коэффициентов цк (а) и t,k (а) в соответствии с (П2.9) имеем
! \ г+ I2 — "V ί \с~ I2 Ш2 16)
Wk {а) \ck(a)\ — L· Wh (а) I сь (а) I ' ^и/ 10^
Σ
&, α k, а
В том частном случае, когда все Wk (α) одинаковы (например, если
все α волноводов одинаковы и распространяется только одна основ-

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 2
187
ная волна каждого из них), равенство принимает вид
й!*»!"-?.!'·-«!■■ (П2л6а)
В этом случае подматрица матрицы /?, соответствующая
распространяющимся волнам, унитарна. Действительно, последнее
равенство можно переписать в символах скалярного произведения так:
(с + , с+) = {с~, с-),
где значок ^ имеет целью подчеркнуть, что речь идет о неполном
пространстве (только распространяющиеся волны). Внося сюда
с- -=/?с +
(R— указанная подматрица), имеем
(с + , c+) = (Rc + , Rc+),
т. е.
(с+, c+)=(RRc + , c+),
где тильдой обозначена сопряженная подматрица. Отсюда
RR = I. (П2.17)
т. е. матрица R унитарна.
Как видно из (П2.15), достаточно положить % (а)^ (а) = 1 для
всех /г, а при распространяющихся волнах, чтобы подматрица R была
унитарной, независимо от предыдущих ограничений. Но при этом
непосредственно волиоводная интерпретация R (требование (П2.9))
сохранена быть не может. Можно представить также, что вся
матрица R унитарна, поскольку числа r\k (α, и \k ,a) для запредельных
полей допустимо выбирать произвольно.
Вернемся к соотношению (П2.146). Очевидно, что в общем
случае его нельзя использовать для характеристики матрицы рассеяния,
так как правая часть произвольна. Но при резонансе она обращается
в нуль, и могут быть получены соотношения, подобные (П2.15),
(П2.16), откуда при дополнительных условиях следует вывод об
унитарности подматрицы запредельных полей.
Если волноводный трансформатор подчиняется теореме взаимности,
то при отсутствии потерь элементы матриц сопротивления и
проводимости— мнимые величины. Взяв формулы (П2.11), нетрудно
убедиться, что
/?'/? = /. (112.18)
поскольку
[{Ι±Υ)±ιγ = ν+Υ)*\

188
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВНОМ БАЗИСЕ
[ГЛ. 2
Поэтому также
R*R=[. (П2.18а)
Если же исходить из (П2.13), то равенство (П2.18а) верно, а (П2.18) —
нет. Оба равенства выполняются, если все волновые сопротивления
искусственно взять вещественными.
Для анализа невзаимности возьмем случай, когда подматрица
распространяющихся волн R унитарна (см. выше). Если предположить,
что элементы матрицы сопротивления (проводимости) — мнимые
величины, то ввиду одновременного выполнения (П2.17) и (П2.18а)
# = #'. (П2.19)
где штрих означает, что матрица транспонирована. Иными словами,
подматрица R оказывается симметритой, что противоречит исходному
условию невзаимности трансформатора, Отсюда вывод о
несостоятельности допущения, что все элементы матрицы сопротивления
(проводимости) невзаимного трансформатора — чисто мнимые величины.
В заключение заметим следующее. Если щ (а) и \h (а) выбраны
так, что (П2.18) выполняется, то при взаимности полная матрица R
должна быть унитарна, что прямо следует из симметричности R.
Литература к гл. 2
1, В, В. Никольский, Исследование полых систем с анизотропными
областями методом собственных функций, ч, 1, Резонатор, Радиотехника
и электроника 5, № 11, 1802, 1960.
2, В. В, Никольский, Исследование полых систем с анизотропными
областями методом собственных функций, ч, 2, Волноводный
трансформатор, Радиотехника и электроника 5, № 12, I960, 1960,
3, В. В, Никольский. Исследование полых систем с анизотропными
областями методом собственных функций, ч. 3. Волновод, Радиотехника
и электроника 6, № 1, 74, 1961,
4, В. В. Никольский, В. Г, Сухов. О методе Ритца для полых
систем с анизотропной средой, Радиотехника и электроника 6, № 10,
1677, 1961,
5, В, В, Никольский, Нерегулярные гиротропные системы (методы
теории), докт, дисс, Москва, 1962.
6, В, В. Никольский, Прямые методы для задачи об
электромагнитном резонаторе, Журн. вычисл, мат, и мат, физ. 5, № 6, 1032, 1965.
7, Л. А. В айн штейн, Электромагнитные волны, Сов. радио, 1957, § 80.
8, Справочник по волноводам, пер, под ред. Я. Н, Фельда, Сов, радио,
1952, гл. III.
9, Г. В, К и с у н ь к о, Электродинамика полых систем, Изд. ВКАС,
Ленинград, 1949,
10. Б, 3. К а ц е н е л е н б а у м, Теория нерегулярных волноводов с
медленно меняющимися параметрами, Изд-во АН СССР, 1961, гл. II.
11. А. Г. Свешников, Методы исследования распространения
колебаний в нерегулярных волноводах, докт. дисс, МГУ, 1963.
12. А. Г, Свешников, Обоснование метода исследования
распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным
заполнением. Журн. вычисл. мат, и мат, физ. 3, № 4. 1963.
13. Л, В, Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы
высшего анализа, Физматгиз, 1962, гл. IV, § 3,

ГЛАВА 3
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ
В предыдущей главе были рассмотрены все основные виды задач
электродинамики полых систем. Построенные для них алгоритмы с
формальной точки зрения универсальны, однако фактически применимость
этих алгоритмов ограничена одним существенным обстоятельством
(см. стр. 139j, Именно, в каждом конкретном случае должна быть
известна, т. е. аналитически задана, полная система векторных
функций, удовлетворяющих на границе основной области задачи
однородным (или подобным им) условиям того или иного типа.
Применительно к резонаторам и волноводам это означает, что алгоритмы могут
быть реализованы, когда нерегулярность задачи обусловлена только
неоднородностью и анизотропией внутренней среды, а
соответствующая краевая задача, получаемая заменой внутренней среды на
изотропную и однородную, аналитически решена. Говоря о волноводном
трансформаторе, надо сделать уточнение. Дело в том, что
аналитического решения задачи о самом трансформаторе с однородной
изотропной средой может и не быть, но должна быть аналитически
решена задача на собственные значения для его основной области V0,
к которой присоединены волноводы (укажем в качестве примера
крестообразную волноводную систему).
Итак, для применения ранее рассмотренных алгоритмов фактически
требуется, чтобы основная область задачи была относительно проста
(например, параллелепипед, сфера и т. д.); тогда эта задача, можно
сказать, порождает доступную систему функций для представления
электромагнитного поля, которая именовалась основным базисом.
Целью дальнейшего является обобщение изложенных выше
прямых методов на задачи, основные области которых геометрически
сложны (вообще говоря, могут иметь произвольную форму), так что
основного базиса в распоряжении нет. При этом, очевидно, в первую
очередь должны быть найдены средства представления исследуемого
электромагнитного поля в некотором независимом, не связанном с
задачей базисе. Такие базисы в отличие от основного будут называться
вспомогательными.
§ 13. Способы представления поля
13.1. Базис расширенной области. Ранее, пользуясь основным
базисом, мы имели возможность строить представления векторов поля
такого рода, что на внешней идеально проводящей поверхности EN
и BN удовлетворяли тем же краевым условиям, что и векторы

190 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
представляемого поля Ε η В (в случае изотропной среды то же можно
сказать и об остальных представлениях). Если же основного базиса
нет. то отсутствует и непосредственная возможность получать
представления векторов поля, удовлетворяющие внешним краевым
условиям. Однако принципиального запрета на применение прямых
методов это не налагает.
В качестве отправного момента укажем на существование
функционалов (§ 3), стационарные значения которых реализуются
решениями краевых электромагнитных задач в классах функций с более
широкими свойствами, так что им принадлежат функции, не
удовлетворяющие краевым условиям. Запишем в качестве примера в
простейшей форме (при эрмитовых ε и μ) магнитный функционал
Ф'и =
rot и*е_| rot и dv
«*μϋ dv
(13.1)
относительные минимумы которого дают множество собственных
значений [оуП нерегулярного резонатора и реализуются его
собственными функциями Ηп. Допустимые функции а удовлетворять каким-
либо условиям на внешней границе резонатора, в принципе, не должны.
Аналогичными свойствами обладают также функционалы (3.17), (3.19),
(3.19а), (3.21), (3.22), (3.22а), (3.25) и подобные им, отвечающие
различным формулировкам задач о резонаторе и волноводном
трансформаторе; этого типа функционалы можно получить и для волноводной
задачи. Существование указанных функционалов означает, что ко всем
без исключения краевым задачам электродинамики из гл. 2 может
быть применен метод Ритца на координатных функциях, не
подчиненных внешним граничным
условиям. Позднее будет
видно, что во всех этих
случаях в равной мере
применим и метод Галеркина.
Итак, вопрос заключается
в самом получении
подходящих систем функций, не
удовлетворяющих граничным
условиям задачи. Простей-
возможно, наиболее выгодный в вычислительном смысле
способ состоит в построении «расширенной области» (Vй на рис. 3.1),
которая включает в себя область задачи V0. Форма Vй всегда .может
быть выбрана регулярной (рис. 3.1, б, в), например, в виде
параллелепипеда, что, собственно, и решает вопрос построения базиса, роль
ший и,

§ 13]
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЯ
191
которого, очевидно, могут выполнять системы [Е,„ Еп·}, [Н„, Нп<]
электромагнитной задачи для V0 и аналогичные. Действительно,
согласно п. 5.2 эти системы полны в V0, что применительно к
рассматриваемому можно пояснить следующим образом.
Пусть F— заданная в области VQ векторная функция, а {/„} —
одна из указанных систем собственных функций (например, оператора
Лапласа) для расширенной области V0. Система {/„} обладает
свойством полноты по отношению к любой заданной в V0 векторной
функции /. Иными словами, для любого положительного ε всегда
существует возможность так подобрать коэффициенты сп и число Ν, чтобы
выполнялось неравенство
V
N
/— 2 cJn
п-\
dv < ε.
(13.2)
Продолжая F в область V0 так, чтобы получить функцию,
принадлежащую классу /, имеем, например,
С_(Р в V0,
\ F' в
/=
V0 - V0.
(13.3)
Отсюда сразу же следует, что
F~ У)сп/п\ dv
п = \
где
= е-
\F' - V с f
V'-νΛ n-1
dv.
(13.4)
(13.4a)
т. е. заданная в VQ функция F может быть разложена в ряд по {/„},
сходящийся в среднем.
Можно отметить, что согласно п. 5.1 неравенство (13,2)
выполняется, если сп — коэффициенты Фурье, т. е.
сп = £,г= [ffldv.
Поскольку продолжение F' может быть выбрано так, что
f F'fldv^O,
то сп в (13.4) допустимо определить формулой того же типа:
с„= \Ff\dv, (13.5J

192 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
имея, однако, в виду, что это не коэффициенты Фурье (функции /д
не ортогональны и не нормированы в области V0).
В силу (13.4) имеет смысл представление вида
ΡΝ=Σοη/η, (13.6)
л = 1
коэффициенты которого сп находятся в результате применения к
исследуемой задаче некоторого прямого метода. При этом важен
характер системы {/„] применительно к расширенной области V0. Таким
образом, например, в задаче о свободных колебаниях резонатора
по-прежнему закономерны представления векторов поля типа (8.2),
(8.3), в которых теперь [Еп, £„-} и [Н„, Нп·) понимаются как
собственные функции расширенной области V0. Отсутствие потенциальных
подсистем в (8.2) имеет то основание, что гипотетические продолжения
индукций за границу резонатора D и 8 сохраняют непрерывность
нормальной компоненты на S0 (граница области Va) при В' = О на S0
(граница области V0).
В дальнейшем (§§ 14, 15) построению алгоритмов с
использованием собственных функций расширенной области будет уделено
значительное внимание. Но перед этим рассмотрим другой подход.
13.2. Базис преобразованной области. Другой путь
исследования полей в областях с нерегулярными ограничивающими
поверхностями связан с преобразованием координат, которое производится
таким образом, чтобы в новых координатах ограничивающая
поверхность могла быть истолкована как регулярная (например,
сферическая, цилиндрическая, поверхность параллелепипеда и пр.). Тогда
преобразованное электромагнитное поле представляется в базисе
преобразованной области, функции которого известны и удовлетворяют
требуемым краевым условиям. Преобразование, разумеется,
затрагивает и уравнения поля; это, однако, удается свести к изменению
вида тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей. Данное
обстоятельство может интерпретироваться в духе «деформации»
пространства, обусловливающей изменение свойств среды.
Метод преобразования координат применительно к нерегулярным
задачам электродинамики неоднократно обсуждался в литературе,
а в последнее время нашел конструктивное развитие в работах
А. Г. Свешникова [1,2]. В его исследованиях произвольного вида
нерегулярный волноводпый канал преобразуется к
продольно-регулярному цилиндрическому волноводу с анизотропной средой и на
этой основе построены универсальные алгоритмы по методу
поперечных сечений. Позднее вопрос рассматривался В. П. Орловым [3|
в связи с переходом к методам Галеркина и Ритца.
Ниже при изложении материала предполагается, что "читатель
знаком с некоторыми элементами теории криволинейных координат

§ 13]
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЯ
193
в тензорном описании; непосредственно необходимые сведения из этой
области даются в приложении к настоящей главе.
Начнем с записи уравнений Максвелла
rot Ε — — ίωμΗ, j
rottf = ia>e£+,/"J (13'7)
относительно ковариантных составляющих [6]. В дальнейшем
(и1, и'2, и3)—система криволинейных (вообще неортогопальных)
координат; (ufj, а2, a3)—соответствующие (не единичные!) орты, а
(а1, а2, а3) — взаимные орты. Ниже понадобятся соотношения (см.
приложение):
aiak = gik, i, k=\, 2, 3, (13.8)
a''a*=-V*, >
в которые входят компоненты фундаментальных тензоров: ковариант-
ного glk и контравариантного g"!. Единичные орты б системе
(м1, и2, и3) обозначим aoi:
(13.9)
У gu
Таким образом, например,
Ε = a0lEl -j- а02Е2 + «оз^з·
где Et — проекции вектора Ε па касательные направления к
криволинейным координатам (и1, и2, и3) в данной точке пространства.
В ковариантных же компонентах, обозначенных е0
и аналогично
Ε = а1е1 -\- а2е2 -f- a3e3
Η ■=a{hl-\- a2h2 -\- a3A3,
D = ald1 -f- a2d2 -f- a3d3,
£ = a1i>1-fa2i>2-+a3i>3.
Возьмем, например, первое из уравнений Максвелла (13.7). Внося
в него ковариантные представления векторов поля, имеем
1 f _. I де3 дег\ , п [ дех де3} { п j де2 дех\Л
V~g \Ul\du2 ' ди3} 2[ди* ди* } я{ди> ди2 j j
— т {alb1 -f аЧ2 -f- a3b3), (13.10)

194 ПРЯМЫР МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ, 3
где g = Deiglk. Умножая левую и правую части равенства на орты а',
получаем
|?-|^ = -'а/7(Л + Л + Л). > (i3.li)
ш—ш = -/ω V^ (ff31*i + Λ+Λ) ■ J
Пусть, далее, μ = μ* — тензор магнитной проницаемости,
определенный относительно ковариантных представлений 8 и Н,
*, = μ?Α*. (13.12)
Построим вспомогательные векторные функции
8 = х0ег -f- Мг + 2оез-
ЭС = JCo^i +■ y0h2 + z0A3, J
которые отнесены к условной декартовой системе координат (х, у, ζ)
с ортами (х0, у0, г0). Как теперь видно, запись (13.11) можно
истолковать в качестве одного из уравнений Максвелла относительно
введенных векторных функций 8, §£ в декартовых координатах
х = и1, у = и2, ζ = и?,
причем «среда», которой отвечает вспомогательное «поле» 8, §£,
анизотропна даже в том случае, если действительная среда,
вмещающая поле Ε. Η, изотропна.
Подобным же образом нетрудно преобразовать и вторую строчку
уравнений Максвелла (13.7). Итак, мы имеем в декартовых
координатах уравнения:
rot8 = — ΗΰΓ짣, ι
roti£ = iWre8 + /CT, J (13'14)
где __ __
TB=]fggike и Γμ = Yggik\i,
a J" = Ygglkj" — преобразованная плотность стороннего тока (под
j" в этом равенстве надо понимать совокупность ковариантных
составляющих). Имея в виду, что ε и μ — смешанные тензоры, как это
видно из (13.12), и совершая операцию поднятия индекса (см.
(ПЗ.ЗО)), получаем
Тв = У7в111 и Τμ = γΥμ№. (13.15)
Сравнивая (13.7) и (13.14), нетрудно прийти к следующей
интерпретации. Вместо действительного поля Е, If в «физическом»
пространстве можно рассматривать некоторое условное вспомогательное
поле 8, §£ (13.13) в «деформированном» анизотропном пространстве,

§ 13]
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЯ
195
характеризуемом тензором Yggik. Если, в частности, физическая
среда-- вакуум (ε = /ε0. μ = /μ0), то проницаемости
деформированного пространства — тензоры вида
TR = V7g'\ и Ί\ - Vgg1"^ (13.15а)
полностью определяются фундаментальным тензором g"1 используемой
системы координат (и1, и2, и3). При некоторых Ε η Η выбор этих
координат задает ковариантные компоненты данных векторов,
рассматриваемые согласно (13.13) как декартовы компоненты β и §£,
Цель перехода от Ε, Η к 8, §£ состоит в том, чтобы
нерегулярную внешнюю границу S0 исследуемой краевой задачи для
уравнений Максвелла сделать в деформированном пространстве
регулярной (5°). Ниже будет показано, что это на самом деле может быть
реализовано в различных конкретных случаях ценой введения
подходящей искусственной анизотропии среды. Предположим, что
компоненты тензора g"! ограниченны и не обращаются в нуль (эти
требования могут быть ослаблены); тогда, взяв уравнения Максвелла (13.14).
можно рассмотреть поведение векторов 8 и J£ на преобразованных
границах раздела сред и известным путем (см.. например. [8] к
введению) вывести условия для их тангенциальных и нормальных
компонент. Очевидно, это будут обычные электродинамические граничные
условия, которые, таким образом, оказываются инвариантными
относительно рассмотренного преобразования. Поэтому, если, например,
векторы Е, И на S0 подчинены условиям, свойственным идеальному
проводнику («короткое замыкание»), то этим же условиям подчинены
векторы 8, Ж на S°. При преобразовании сохраняется, следовательно,
τ и н краевой задачи.
13.3. Преобразование областей. Итак, не выходя пока за
пределы содержания п. 13.2, мы можем представить себе, что
существует возможность такого выбора координат а[, а2 и и3, что
некоторая нерегулярная объемная область VQ преобразуется к
параллелепипеду V0, благодаря чему становится доступным базис для
представления поля, и к преобразованной задаче применяется один из
методов гл. 2. О том, как могут быть выбраны криволинейные
координаты для преобразования двумерной области к квадрату,
показано на рис. 3.2, на котором изображена плоская область такого
вида, что в нее вписывается прямоугольник. Контур области разбит
на четыре части, и соответствующие кривые описываются
функциями /, (у), /2(У), fi(x) и f2(x)· Очевидно, если положить
ι =_ ·* —/ι (У) 1
а ~" У г (у) - /ι (у) ' \ /, == о, | у < о, /1 = 0,1 χ < о,
„ι^^ζΔ®-. ί/3 = «. 1 у>ь, /а-=*, /*>«, (!ЗЛ6)
/г (х) - /ι (х) ]

196 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
то первоначальная нерегулярная область (рис. 3.2, а) перейдет в
единичный квадрат в условной декартовой системе и1, и2.
Однако совершенно не обязательно, да и не всегда удобно
переходить к декартовым координатам и регулярным областям в виде
параллелепипеда (последнее часто невозможно). Легко убедиться, что
S)
Рис. 3.2.
может быть реализовано преобразование нерегулярной области также
в сферическую, цилиндрическую или любую другую регулярную
область.
Действительно, в качестве вспомогательных векторных функций
вместо (13.13) возьмем
8 = о^, + о0^2 + о^а
I
п = а\т^а\&е^а\тъ, \
(13.17а)
где а0. — орты выбранной ортогональной криволинейной системы
координат (сферической, цилиндрической и т. п.), a efj и if6i
связаны с ковариантными компонентами векторов Ε η Η в системе
координат и1, и2, и3 соотношениями
%Ί =
сШг-
(13.176)
в которых λ{ — коэффициенты Ламэ выбранной системы координат.
Для определенности вернемся к уравнению Максвелла (13.11).
Учитывая (13.17), его можно переписать в форме
1
λ3λ,
1
ΑτΛο
ди3
д\2чг
ди*
■i?£s-ig"Ki
ди>
ди2
) = -
Λ2Λ3
λ3λ,
Α1Λ9
ьА.я'а+А.я'з).
(gZ%^l + g32h^2+gmh$
(13.18)

13]
СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛЯ
197
К подобной форме, естественно, приводится и другое уравнение
Максвелла. Очевидно, что в результате мы имеем уравнения
Максвелла относительно вспомогательного поля 8, §£ в выбранной
ортогональной криволинейной системе координат. Желая по-прежиему
пользоваться общей формулой записи уравнений Максвелла вида (13.14),
мы должны теперь заново выразить" тензоры Те, Τ и вектор
стороннего тока J".
Введем диагональный тензор Λ с компонентами Λ у, =δ,;ΛλΛ.
Учитывая, что согласно (13.176) и (13.12) Λ# = μ*Λ§{ и A3 =
= ε*Λ8, из правой части (13.18), а также из правой части другого"
уравнения Максвелла в той же форме записи находим
Τ =
μ
(13.19)
Нетрудно также установить, что компоненты вектора J" следующим
образом связаны с контравариантными компонентами вектора j":
Vg
г·1
Jk =
ст\/г
λ,λ2λ3 Α (■/'")
В частности, когда ε — /ε0 и μ—/μ0,
z„Vg
Тп
Λ] А2А.3
VaVg
AgikA,
AgikA,
(13.19a)
т. е. с точностью до постоянного коэффициента тензоры Те и Гц
имеют вид
Η1λ „12 „1
1
А^А^Аз
AglkA =
λ2λ3
с
г.1
λ3
£22λ2
λ3λ,
gi2
%<l
£23
λ,
g3S
A2 Aj A|A2
Этому выражению можно придать конкретную форму, например,
для сферической или цилиндрической системы координат, положив
λ3 = г sin ϋ·
или, соответственно '),
λ,
λ2 =
') А. Г. Свешников ввел в употребление тензоры вида (13.19а)
применительно к цилиндрической системе координат [1, 2]. общие тензоры (13.19)
рассматривались В. П. Орловым [3].

198 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
Итак, нерегулярная область может быть, в частности, сведена
к цилиндрической и сферической при введении анизотропии
указанного вида. Как при этом рационально выбирать исходные
криволинейные координаты (и1, и2, и3), поясняет рис. 3.3 и 3.4. И в плоском.
и в пространственном случаях координаты нетрудно задать так, что
при переходе от действительного поля Ε, Η к вспомогательному
8, Ж преобразованию подлежит только одна из них. Возьмем,
например, следующие соотношения'.
плоская задача
и1 =
г
«2-
пространственная задача
и1 =
/ (Ф. «)
ил
■■ а,
; ζ",
u2 = f>,
ий = а,
(13.20)
J
где в первом случае неортогональные криволинейные координаты
выражаются через обычные цилиндрические, а во втором — через
сферические, причем в обоих
случаях
f
есть уравнение нерегулярной
границы: кривой (рис. 3.3)
или поверхности (рис. 3.4).
Как видно, области
переходят в единичный круг и
единичную сферу
соответственно.
Разумеется, как и ранее,
граничные уравнения,
вытекающие из уравнений Максвелла, на преобразованной поверхности
сохраняются для вспомогательного поля.
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
§ 14. Представления в объемных областях
14.1. Общие соображения. Оба способа представления
электромагнитного поля, рассмотренные в предыдущем параграфе, дают
возможность построить все виды алгоритмов для различных полых
систем (резонаторов, волноводов и волноводных трансформаторов),
ранее описанные в гл. 2, благодаря чему объектом исследования
становятся области с произвольно нерегулярной внешней границей.
В сравнении с использованием базисных функций, не
удовлетворяющих граничным условиям (п. 13.1), преобразование координат и,
соответственно, переход к регулярной области с ее базисом
представляет сравнительно сложный путь. Трудности обусловлены тем,

I 14)
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ
199
что тензоры проницаемости деформированного пространства ТЁ и Τ
(13.19) в большинстве случаев должны быть сложными функциями
координат. При этом надо подчеркнуть, что после того, как
преобразование координат выполнено и тензоры ТЁ и Τ найдены,
алгоритмы из гл. 2 применяются" б е з всяких изменений.
Действительно, вместо исходной задачи относительно электромагнитного
поля Ε, Η мы имеем новую краевую задачу относительно
вспомогательного поля 8, §£ с регулярной внешней границей. Функции
8 и §£ представляются по указанным в гл. 2 правилам в базисе
преобразованной области и записываются те или иные уравнения
Галеркина—Ритца, в процессе чего вычисляются требуемые
матричные элементы, например ЭПп, Mkn и т. п. Однако эти элементы
сами по себе теперь значительно сложнее, поскольку вместо обычных
тензоров проницаемостей ε и μ в их образовании участвуют
преобразованные тензоры
проницаемостей Т& и Τ Так. например,
&kn==(Ti,En, Ek) =
V
λ]λ2λ3
EnEk dv,
Μ
кп = (Г11Нп· Hk) =
У g Λμ'*Λ
A j A 2 Ад
Hnffbdv
г-жа,
</,/!-;Ml·///,
VA
δ)
и т. д., где Еп, Нп—базисные
функции преобразованной
области V0. Если даже рассматривается
полая система с однородной
изотропной средой (ε = /ε0, μ = /μ0),
то все равно тензоры Тг и Τ
обычно оказываются сложными
функциями координат, и при
нахождении матричных элементов
практически неизбежно численное
интегрирование.
Итак, в применении прямых
методов к задачам с нерегулярной
внешней границей один из подходов — преобразование области —
приводит к прежним алгоритмам. Пусть, например, рассматривается вол-
новодный трансформатор в виде прямоугольного волновода со
«вздутием» (рис. 3.5, а), внутри которого среда может быть неоднородной
(с разрывами ε и μ) и анизотропной. Применяя преобразование
координат, выражаемое формулами типа (13.16), приходим к задаче
о рассеянии в прямоугольном волноводе на анизотропной «пробке»
Рис. 3.5.

200
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
в виде параллелепипеда (рис. 3,5, б), после чего можно использовать
один из алгоритмов, описанных в § 11 (см. также п, 12.1).
Разумеется, функции в формулах преобразования, аналогичных (13.16),
практически следует брать, имея в виду, когда это требуется,
допустимую аппроксимацию нерегулярной поверхности. В данном примере
соединительные сечения трансформатора S, и S2 не затрагиваются
преобразованием области, что, конечно, не является необходимым
условием.
Другой подход—построение расширенной области—применительно
к взятому примеру поясняется рис. 3.5, β (эта область обозначена
пунктиром). Поскольку никакие граничные условия на 5° не заданы,
а собственные функции расширенной области не подчинены каким-либо
граничным условиям на S0, то о характере алгоритма, использующего
эти функции, на основании материала гл. 2 ничего сказать нельзя.
Алгоритмы подобного типа нужно теперь находить заново. Эта цель
и ставится ниже.
14.2. Свободные колебания резонатора; магнитный алгоритм [4],
В гл. 2 построение того или иного алгоритма обычно начиналось
с изложения метода Галеркина ввиду его формальной простоты.
В данном случае, однако, вид исходной формулировки условий метода
Галеркина вначале может быть неясен и удобнее начать с метода
Ритца.
Самый простой подход состоит в том, что берется магнитный
функционал (3,26)
ε-1 rot и rot ό* dv
Ф'н=^ - , (14.1)
μίίϋ* dv
ν,
стационарные значения которого, как известно (п. 3.3), могут
отыскиваться в пространстве функций, не удовлетворяющих граничным
условиям электродинамической задачи, и строятся представления
Ν Ν'
а"=2>„Яв+ 2rf"./f„.. (14-2а)
Ν Λ"
VN= 2Й„//„+ 23 dn.Ha: (14.26)
п~\ /г' —1
где {Н„. Ηη·\ —магнитный базис расширенной области, т. е. система
собственных функций задачи (5.19) для некоторой (регулярной)
области V0, целиком включающей область рассматриваемого
резонатора V0. Первоначальные обоснования для такого выбора пробных
функций были даны в п. 13.1, где говорилось о полноте взятого
базиса по отношению к полю задачи. Возникает также вопрос

§ 141
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ
201
о смысле операции дифференцирования rot uN в (14,1) в пределе
при /V—>оо. Не имея возможности разрешить его немедленно
(обоснования алгоритмов будут рассмотрены отдельно), отметим лишь,
что в случае сходимости процесса коэффициенты представления uN
должны, по-видимому, стремиться к коэффициентам Фурье
решения Н, каким-то образом продолженного в область Vе'. Согласно
п. 5.5 (см. также п. 8.1) законность почленного дифференцирования
rota00 соответствует, таким образом, непрерывности тангенциальной
компоненты продолжения Η на 50.
Дальнейшие действия внешне не отличаются от проделанных
в п. 8.5. Внося согласно методу Ритца пробные функции (14.2)
в функционал (14.1), имеем
/V
2 <*l<ok3kn(ondn
%(u". *")= V) ^ — ,
Σ_ (?l Mknda+diM'knda,+di,'Mkadn+2\, Χ,αΟ
(14.3)
*<'>, /» = .
где скалярные произведения, обозначаемые символами (8.5), как и
ранее, — интегралы по объему резонатора V0. Если сокращенно
обозначить это как <P = P/Q, то следующий шаг состоит, как известно,
в приравнивании нулю частных производных
(Р — Ф<3)=0, k{n=\, 2 N{'\ (14.4)
ddk{')
а поскольку стационарные значения Φ'Η(ιιΝ, νΝ) дают приближенные
собственные значения задачи, то положим Φ = (ω'ν)2.
Из (14.4) непосредственно следует
Ω9Ωά — UuN)2(Md4-M'd,) = 0, I
\ ~ (14.5)
'Md-\- 'M'd' = 0, J
что по форме совпадает с (8.79). Позднее будет видно, что это —
единственный пример внешнего совпадения уравнений Галеркина —
Ритца на основном и вспомогательном базисах. Фактическое же
различие уравнений (8.79) и (14.5) нетрудно усмотреть в том, что
собственные функции вспомогательного базиса {£„, Еп·) и {//„, //„■} уже
не ортогональны при определении скалярного произведения в виде
интеграла по области резонатора. Поэтому, например, при отсутствии
какого бы то ни было заполнения (ε = /ε0 и μ = /μ0) имеем
Ми = Н(Нп< нк) и Экп = ε0(Εη. Ек),

202 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
в то время как на основном базисе в (8.79) в этом случае
Таким образом, мы имеем вековое уравнение:
Ω3Ω — (ωΝ)2 Μ Ι — (ω^)2 Μ'\
Det
(14.6)
'Μ 'Μ'
Располагая теперь готовым результатом (14.5), мы можем
утверждать, что он получается по схеме Галеркина. Действительно, взяв
оператор JS'n = rot ε-1 rot, запишем
(rote-1 rot Я, H k{n\ — ω2(μ#, /7ft(/)) = 0, ft(/) = l, 2, ..., οο,
откуда — после интегрирования по частям и перехода к конечной
форме — получаем требование
(ε-'rot Я", rot Я <,)) — (ω^)2 (μ//<\ Η ιη) = 0, k{,) = 1, 2 Νι'\
(14.7)
Из (14.7) непосредственно вытекают уравнения Галеркина—Ритца
(14.5) при подстановке представления ΗΝ вида (14.2а).
Различия между полученными уравнениями (14.5), с одной
стороны, и уравнениями Галеркина — Ритца для основного базиса (8.41),
(8.79), —с другой, выступают явственнее, если принять во
внимание, что последние в сочетании с соотношениями (8.30) порождают
более простые формы (8.18) и (8.23). В данном же случае таких
соотношений уже нет, в чем нетрудно убедиться путем
рассмотрения условий ортогонализации
^-*",я*(,,) = о. | *(/>=1· 2·-· Ν(>) (14·8)
{zEN — DN, Ε (η)=0
ft(/)=l, 2 W('> (14.9)
на вспомогательном базисе.
Предположим, что индукции продолжены в К0 с сохранением
непрерывности нормальных компонент и, следовательно, разлагаются
по одним вихревым функциям расширенной области. Тогда из (14.8)
при подстановке обычного типа представлений векторных функций
получаем
Md + M'd' = Mb, ]
'Md + 'M'd'-'m \ (14:i0a)

§ 141
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ
203
Md+M'd'=Mb,
(14.106)
где
'Md+'M'd' = 'Mb, |
(/)Μ& = μο(# (/), Я (0), (14.11)
из (14.9)
где
3c + 3V = 3a,
о о ---
'Эс + 'З'с' -= 'Эа
О О л
Эс -f Э'с' — Эа,
о
'Эс+'Э'с'='Эа,
о
('Ь(')
(14.12а)
(14,126)
?' = %(Еп('Ь Ek(l)). (14.13)
На основном базисе этим результатам отвечают равенства (8.12)
и (8.15), из которых и возникаю!' соотношения (8.30). Последние,
очевидно, теперь не имеют места. Так, например, в случае чисто
вихревых напряженностей ноля (d' — 0 и с'—0)
М = ММ~1М и Э=ЭЭ~1Э
Λ О о —> о с
вместо (8.32).
14.3. Свободные колебания резонатора; другие алгоритмы.
Поскольку кроме Фн (14.1) существуют другие вариационные
формулировки, для которых граничные условия на внешней оболочке
резонатора 50 являются естественными, можно прежним путем
построить другие алгоритмы для исследования свободных колебаний.
Запишем сначала функционалы (3.33) и (3.34)
«rot (μ~' rott>)*rfo— I [(μ~' rot ν)*, и] ds — [Ό*, μ-1 rota] ds
V S'(±) So
Φϊ> = V-±- ■ —. ■ ■
euv* dv
v* (14.14)
и
' μ-l rot и rot v*dv -\- Γ [(μ "> rot v)*. u] ds — [ [ν*, μ-' rot и] ds
Ф(£)_ —
еиг>* i/f
П4.15)

204 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
,.')
№
Как известно из п. 3.4, стационарные по υ значения ФУ и Ф[д
доставляются решениями задачи о свободных колебаниях резона
тора в классе допустимых функций, не удовлетворяющих граничны]
условиям, причем ςί^Φ—ω2,.
Возьмем пробные функции в виде
/V Ν'
«^^2 спЕп+ Ζ «Έη: (14.16а)
л — I и' —,
/V М'
vn= 2 с„Е„~\- Σ сП'Еп.. (14.166)
л=1 я'-I
где {Е„, Е„']—базис расширенной области.
При подстановке (14.16) в (14.14) и (14.15) полу чаев
ν,Ο
С) С)
Φ(«Λ', τ>Λ') = *i^l^± .,
Λ ^
ZJ (С/Алсл + с k^krfin' + сй' ,5/глсл+ cft' 3knC„,)
(14.17)
где символы ( 'Щя означают в первом случае выражения вида
v0 s'(±)
— Г l£*(,), μ-ΙΓθί£ (/,ΐίίί (rot £.,==01 (14.18a)
So
а во втором — при использовании (14.15) — выражения
lXI = J ^ Ю[ЕГ>rot £>> ^ + j [(}~l rot £*f)/■ V>] ^-
— J [£*(0) [i-1rot£ (,)1 ds frot£., = o\ (14.186)
получаемые из (14.18а) интегрированием но частям. Разумеется, оба
варианта эквивалентны.
По схеме Ритца, аналогичной (14.4), находии*
им
Ш + %'с' — (о)^)2 (Эс + Э'с') = 0,
- - 1 (14.19)
'Яс—(Ww)2('3c + '3V) = 0. J

Η]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ
205
и, следовательно, приближенные собственные значения находятся из
уравнения
Det
21 — (ы")2Э Ι ψ — (ωΝ)23'
'Я —(<u")2'3
-(ωΝ)2'3'
= 0.
(14.20)
Полученный результат существенно отличается от уравнений Галер-
кина—Ритца на основном базисе из гл. 2.
Теперь нетрудно сообразить, в какой форме должны быть
записаны исходные условия метода Галеркина, которые приведут к
уравнениям (14,19); именно, это условия
ΈΝ, rot μ~'rot £ (,)
-Ε"
.-ι
μ-'τοίβ",
ν0. ΕΛ,
νη, μ rot Ε ,,
£(0)=0.
ftl) = l. 2,
/V('\
а также
μ~ιτοίΕΝ, rot Ε in
μ 'rot£ft(/)
N\2,
μ"'*>__.". [v0, Ekin\)s-(a»Y(eE». E^Q,
2, .... N('K
(14.21a)
(14.216)
Уравнения Галеркина—Ритца (14.19) получаются непосредственно
при подстановке представления Ε типа (14.1 6а) в (14.21а) или (14.216),
причем в первом варианте матричные элементы имеют вид (14.18а),
а во втором — проинтегрированы но частям и имеют вид (14.186).
Алгоритм может быть также построен [5] на основе одного из
функционалов (3.21), (3.22) или (3.22а), содержащих оператор
Максвелла. Как и предыдущие функционалы, три перечисленных
функционала эквивалентны. В отличие от п. 3.2 запишем их в следующей
краткой форме:
„., (ρΜα, ν) — (θα, ν) с.
фгМ __ 1—-к. __., (14.22)
Ф(Л) =
Ф'«
((М)) — ■
[пи, ν)
(и, ΛΙό) -)- (δα, v)s
(пи, ν)
(?Mh, v) + {e, Mv)
_____ t
(14.23)
(14,24)

200 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ
где в дополнение к (2.19) введены символы
θ= ί-
0
о
ν0Χ Ο
θ=.
ά е и h в (14.24) надо понимать как ι ι и .
В методе Ритца берутся пробные функции
0 Χν0
о о
о
[ГЛ. Ч
(14.25)
Ν= Σ ?А+ Σ 4α·ϋη·
Ν Λ"
ν» =-. Σ qnUn-l· Σ ~4η·υη>
η = - Λ' η' ~~Ν
,,Ν =-_
(14.26a)
(14.266)
подстановка которых в (14.22), (14.23) и (14.24) дает
,(')
U>(uN,vs')--
j^Jlz=j^l
*<'>. „<'>—*<'>
(14.27)
где
ОягС)
9ί('
V о
Ε {ηΕ ;/) dv ~\-ω (αε Ε ,г)Е ,i) dv \ (ω;- ξ=0).
(14.28)
Здесь выписано выражение матричных элементов, возникающее
непосредственно из (14.24). Эквивалентные выражения, получаемые из
(14.22) и (14.23), содержат поверхностные интегралы, которые
появляются при интегрировании по частям одного из слагаемых
в (14.28).
Получаемые из (14.27) уравнения Галеркина — Ритца имеют вид
Щ 4 Ψη' — ω Λ' (Wq -f W'q') = 0, j
'%q — mN {'Wq ~\- 'W'q') =--= 0, j
откуда следует:
Dct
91 —шл'Г Ψ — iuNW'
r^ 0.
'91 — ωΛ' 'W
(un'W
(14.29)
(14.30)

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ 207
Уравнения Галеркина — Ритца (14.29; получаются также по схеме
Галеркина при исходных условиях в одном из следующих трех
вариантов:
((rJiuN, U [f)\ — (uNUu. U {η) — (θαΝ, U «Л ==°·
к , '" * s° (14.31а)
k('} = ±1, ±2, . .., N['h,
5а (14.316)
k['}= ±1, ±2, . . ., N{/);
\{athN, и {n)+;eN, afiu (/Λ — ωΝ(ηαΝ, υ ,Δ = ο,
Γ "i: » J V * ) (14.31b)
{ 6(/)= ±1, ±2, ..., NV).
Перечисленные варианты соответствуют использованию
функционалов (14.22) — (14.24) в схеме Ритца.
Выше не ставилось целью продемонстрировать все разновидности
уравнений Галеркина — Ритца, которые могут быть получены на
базисе расширенной области; в частности, совершенно не
использовались представления индукций. Приведенный материал ясно
демонстрирует общий подход, так что другие аналогичные алгоритмы
читатель при надобности получит самостоятельно. Следует, однако,
отметить, что пока еще нет убедительных данных, которые позволили
бы отдать предпочтение одному из алгоритмов в связи с теми или
иными особенностями конкретной задачи.
14.4, Волноводы и периодические системы. Рассмотренные
алгоритмы нетрудно обобщить на задачу о свободных волнах
волновода, подобно тому как это было сделано в п. 9.3 в отношении
алгоритмов из § 8. Таким образом, можно вычислять постоянные
распространения волноводов, поперечная нерегулярность которых
обусловлена не только неоднородностью и анизотропией внутренней
среды (как в § 9), но и сложностью формы внешней оболочки.
Областью задачи V0 является отрезок волновода, заключенный
между двумя поперечными плоскостями, расположенными на
расстоянии I (рис. 3.6, а). На них как на основаниях строится цилиндр
регулярного поперечного сечения, окружающий волновод; он образует
область V0, доставляющую базис. В частности, на рис 3.6, б взят
параллелепипед. Так же как и в п. 9.3, алгоритм строится для
случая / —Λ, соответственно чему используются собственные функции
расширенной области V0, подчиненные
однородно-периодическим условиям, {£„, ЕП') и [Н„, Н„-}.
Отправным моментом является тот факт, что, помимо уже
известного отношения к свободным колебаниям резонаторов,
функционалы (14.1), (14.14), (14.15), (14.22), (14.23), (14.24) принимают

20В ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ х[ГЛ. 3
стационарные значения на решениях уравнений Максвелла для
волноводов (ср. п. 9.1), если длина / области V0 равна (кратна)
пространственному периоду поля Λ и притом допустимые функции, которые
могут не удовлетворять каким-либо определенным граничным
условиям на боковой поверхности волновода, имеют ту же периодичность.
Сделанное утверждение легко
проверить, обращая в нуль
вариацию функционала (§ 3).
Из сказанного следует, что
уравнения Галеркина — Ритца
(14.5), (14.19), (14.29) будут
-- относиться к задаче о волноводе,
если при образовании матричных
элементов использовать системы
функций {£„, Ёп·} и {//„, Нп·}
расширенного в поперечных на-
Т^ ~^ЧГ~^ правлениях волиоводного отрезка
~\и2\ Ν, (например, описанного
параллелепипеда, рис. 3.6, б). Что касается
особенностей алгоритмов в
сравнении с алгоритмами резопатор-
пой задачи и интерпретации
результатов, то здесь остаются
Рис. 3.6. в силе все замечания, сделанные
в п. 9.3. Именно, задаваясь фик-
мы будем определять путем решения
(14.21), (14.30) приближенные значения
частот ω'ν, при которых / = Л для различных типов волн волновода.
Но удобнее обычно фиксировать ω, а неизвестной оставлять длину /
области; тогда корнями будут приближенные значения длины волны
/ =Л при данной частоте, комплексные при потерях.
Далее, введем в рассмотрение периодические волноводы (рис. 3.7),
которые в отличие от волноводов п. 9.8 имеют нерегулярную
внешнюю границу. Электромагнитное поле подобных систем подчинено
соотношениям (9.74). Если в (9.74) φ = 2&π (k — 1, 2, . . .), то могут
быть использованы прежние алгоритмы, только в представления полей
надо включать системы продольных гармоник (ср. п. 9.7), Для
исследования же полей с произвольным фазовым сдвигом φ алгоритмы
должны быть перестроены так же, как и в п. 9.7.
Простая проверка показывает, что в классах допустимых
функций, фигурировавших ранее, решения уравнений Максвелла для
периодических волноводов при произвольном φ не сообщают
функционалам (14.1), (14.14), (14.15), (14.22), (14.24) экстремальных значений.
Формально это проявляется в том, что в вариациях функционалов
6)
сированпой длиной / области
вековых уравнений (14.6)

5 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ 209
остаются неуничтожающиеся поверхностные интегралы. Например,
образуя вариацию функционала Фя (14.1) по к и полагая и=Н
(//— решение уравнений Максвелла), имеем поверхностный интеграл
[to*, ε-1 rot//] if s,
который, независимо от свойств to*, обращается в нуль на идеально
проводящей части границы области V0, а при периодичности поля
г=л
а)
_J LT~~U
б) А)
Рис. 3.7.
(φ = 2лк) — и на всей границе. Однако можно так выбирать
допустимые функции, что записанный интеграл будет полностью
уничтожаться и для непериодических решений (произвольное φ). Для этого
ввиду (9.74) требуется, чтобы функции базиса обладали свойствами
Ек{±, ζ) = Ε„{±, *+Λ)β-'Φ,
Hk{±, ζ) = Η„(±, *+Λ)β-'Φ
(14.32a)
£*(J_, z) = £*U_, г + Л)в'ф,
Ht(±, z) = ffl(±, г + Л)е"Р
(14.326)
при представлении и и ν* соответственно !). Тогда значения
поверхностного интеграла на поперечных сечениях 5, и 52 оказываются
равными по абсолютной величине и противоположными по знаку. Таким
образом, при выполнении условий (14.32) решения уравнений
Максвелла для периодического волновода при любом φ доставляют
экстремальные значения функционалу Фя (14.1). Можно убедиться, что
>) При вещественном φ (14.326) следует из (14.32а).

210 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
сделанное утверждение верно и в отношении остальных
упоминавшихся функционалов (14.14), (14,15), (14.22) —(14.24).
Остановимся на получении магнитного алгоритма. Вместо
представлений (14.2а, б) возьмем
Ν Λ"
uN=ei4z 2 ([„Нп + е1^ 2 dn-H„·, (14.33a)
л-1 л'-I
N /V
(47")*=β-«γ* 2 2Χ + ί-'ν» 2 <&#„-, (14.336)
где {//„, ΛΓ;!·}—собственные функции расширенной области V0,
удовлетворяющие однородно-периодическим условиям, а γ — параметр,
определяемый формулой (9.76). Подстановка (14.33) в (14.1)
приводит к выражению, отличающемуся от (14.3) числителем, который
теперь имеет вид
Р— 2 {ЛЛк,4п 4~ йГ;Дй(А' 4~ dk> '%k,idn-J- d*k· '%'kndn·),
(14.34a)
где
(x:=<je_i ΚΛ"+γ κ· ^<')]} ьа>+γ[ ν *>]} ^
(14.346)
Κα
(©„'ξΟ). По схеме Ритца (14.4) находим
%d 4- Ψά' — ω2 (Ж4- vW'rf') = 0,
} (14.35)
'Kd + 'Wd' — (i>2('Md-\~'M'd') = 0, j
где допустимы две интерпретации:
а) ω=ω№ при заданном у;
б) у = γ^ при заданном ω.
Поэтому следующее из (14.35) вековое уравнение
(14.36)
Det
'Я — с^'Ж '9Г — а?'М'
= 0 (14.37)
можно рассматривать как относительно ωΝ, так и относительно yN.
Уравнения Галеркина — Ритца (14.35) получаются также по методу
Галеркина из соотношений (14.7), в которых берется И (,)==е~ yzff (Г),
при подстановке представления HN типа (14.33а).
Подобно тому как это было показано в отношении магнитного
алгоритма, и другие алгоритмы для задачи о свободных колебаниях

§ Η]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ
211
резонатора (п. 14.3) могут быть перестроены для периодической
системы; для этого достаточно брать пробные функции и
представления полей, подобные суммам (14.33).
14.5. Вынужденные колебания и рассеяние в полых системах.
Начнем с задачи о вынужденных колебаниях полого резонатора,
возбуждаемого заданным полем через отверстие в оболочке и
сторонними токами внутри полости. От задачи, поставленной в п. 10.1,
она фактически не отличается, однако с самого начала имеют значение
особенности подхода, связанного теперь с использованием базиса
расширенной области. Рис. 3.8, а, б построен в предположении, что
последняя выбрана в виде параллелепипеда (что, конечно, не
обязательно). При этом не безразлично,
совмещена ли «поверхность
отверстия» с границей расширенной
области (рис. 3.8, а) или нет (рис. 3.8, б),
но ближайшие выкладки это не
затрагивает.
Как и ранее, в данной главе не
будем рассматривать все
существующие возможности составления
алгоритмов на вспомогательном базисе,
сопоставимые различным функционалам (например, (3.17), (3,19),
(3.19а), (3.25), (3.32)) и типам представления поля (например, выбор
индукций или напряженностей), а ограничимся примерами.
Уравнения Галеркина—Ритца, наиболее близкие к полученным при
операциях на основном базисе в пп. 10.1, 10.2, возникают как
результат метода Ритца либо метода Галеркина при следующих
обстоятельствах.
Можно взять, например [5], функционал F'. (3.19)1) или F' „_
(3.19а); ниже они записаны в краткой форме, с использованием
символики из п. 14.3:
Рис. 3.!
F[M)=(u, οΜν) + (βιι, v)s +(θα, v)s —ω(πα, ν)—(и, φ)—(φ, ν)
(14.38)
и
F'((M)) = (a4lh, v)-\-(e, a£v)^r(Qu, ό) —
— ω (пи, ν)—(и, φ)—(φ, ν). (14.38а)
') В формуле (3,19) предварительно произведена замена
[е*. h]ds на Г \е*. h\ds,
s° s»+s„
допустимая при варьировании по υ (см. и, 3,2),

212 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ, 3
Вместо этих функционалов можно рассматривать условия
ортогональности представления базису
И, о^(0) + (θα. Uk(f))s^ + {Qu", Ukl>))So-
-ω(πα*. tfft(,))-(q>, t^(,))=0. (14.39)
ft(/) = ±l. ±2 ±N{,)
и, соответственно,
(<»**". £/,,,) + («", oMU т) + (ва. У (/)) -
— ω (πα", ί^ο) — (φ. ί/ (/)) = 0, (14.39a)
*(,)=±1, ±2 ±Λ?(/)
(на рис. 3,8 и далее S(0) означает идеально проводящую часть
поверхности резонатора: S(u) — S,j — 5Σ). Нетрудно видеть, что при
определенном тине представления поля метод Ритца в применении
к вариационной формулировке (14.38) или (14.38а) порождает те же
уравнения Галеркина — Ритца, что и метод Галеркина при исходных
условиях (14.39) или (14,39а). В частности, в методе Ритца могут
быть взяты пробные функции (14.26а, б) и, соответственно,
представление вида (14,26а) в методе Галеркина. Это дает результат:
Kq—Wq' — aiWq + W'q^^y, )
} (14.40)
fyLq — u)('Wq-\-,W"q') = y', j
где матричные элементы ( 'щ1 определяются формулой (14.28) (и могут
быть преобразованы путем интегрирования по частям с выделением
поверхностных интегралов по 50), а векторы γ(/) имеют компоненты
вида (10,20). Полученные уравнения (14.40) можно рассматривать
как обобщение уравнений Галеркина — Ритца (10.19), (10.21), вкоторые
они переходят, когда поверхности 5° и 50 совпадают и, следовательно,
базис становится основным.
Другие уравнения Галеркина — Ритца, являющиеся обобщением
уравнений (10.19), (10.22), могут быть получены путем внесения
в (14.39) представления
Ν Λ"
wN = mN = π0 2 Ρηυη + πο 2 Pn'Un'
η--Ν η'--Ν·
или такого типа пробных функций в функционал (14.38).
Разумеется, системы уравнений (14.40) и аналогичные (как,
впрочем, и (14.29) в п. 14.3) допускают понижение порядка вдвое. Иными
словами, им можно сопоставить другие системы, находящиеся в таком же
соотношении, как (10,8) к (10.9).

5 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЪЕМНЫХ ОБЛАСТЯХ 213
Из остальных возможностей рассмотрим лишь построение
магнитного алгоритма как формально самого простого. Можно взять
функционал (3.25)
F'H= | (е"1 rot и rot ν* — iu2\iuv*)dv —
— J {u(wiB-lj")*+v*xoiz~lj"}dv —
— f \\v*, e"1 rot «] + [«, (B-4otv)*]}ds (14.41)
и применить метод Ритца, используя пробные функции (14.2а, б),
а также метод Галеркица на основе требования:
(е~!пМ#л', rot// (/>) — ω2 (μ//", //(>)) —
-(rote-7CT, Wft(0)+to([v0. E*\, //^ = 0,
k{,)=\, 2 Nin, (14.42)
представляя поле в виде (14.2а). В обоих случаях получаются
алгебраические уравнения:
Q3Qd — o?(Md-{-M'd') = f, )
(14.43)
— u?('Md-\-'M'd')=f, J
где векторы /*'* имеют компоненты
fk(i)~ J" rote~I/17/*(,)ito —to [ [F5, //*(/)] ds, (14.44)
причем, если в области стороннего тока имеется поверхность разрыва е
(как это схематически показано на рис. 3.8), то в (14.41) и (14.42)
надо произвести интегрирование по частям, в результате которого
первый из интегралов в (14.44) примет вид
-'v> J'%e~lj"El^dv+ Ι Κ1·/"· H*Ads (<v=0)-
*' (±)
Уравнения Галеркина — Ритца (14.42) внешне не изменяются при
переходе к основному базису.
Алгоритмы для задачи о возбуждении резонатора, как известно
(§ 11), входят в качестве составной части в прямые методы при
исследовании рассеяния в полой системе. Так, например, желая

214 Прямые методы на вспомогательных базисах (fjj. э
определить матрицу проводимости волноводного трансформатора, нерегу-
лярность которого обусловлена не только характером внутренней среды,
но и сложностью внешней границы, надо одним из указанных выше
способов вычислить ряд
значений магнитного поля для
подстановки в формулы (11.19)
или (11,44а). В ряде случаев
(рис. 3.9, а) при решении
каждой промежуточной задачи о
возбуждении резонатора можно
выбирать расширенную область
заново так, чтобы
возбуждающее отверстие оказалось на ее
границе. Однако иногда это
невозможно (рис. 3.9, б). Различия условий применения прямых
методов для таких задач будут рассмотрены позднее (гл. 6).
§ 15. Представления на поверхностях
15.1. Общие соображения. Ранее в некоторых алгоритмах для
задачи о свободных волнах волновода (пп. 9.4—9.6), а также при
использовании метода поперечных сечений в задаче рассеяния в
волноводе (п. 12.2) базисом служили системы собственных функций
двумерных задач. Если при этом волновод с изотропной однородной
средой нерегулярен в
поперечном сечении, то основной
базис отсутствует, и должны
применяться средства, описанные
в начале этой главы (пп. 13.1 —
13.3). Таким образом, при
исследовании волновода с
нерегулярным контуром
поперечного сечения (рис. 3.10, а)
можно пользоваться
собственными функциями регулярного
волновода расширенного
поперечного сечения (рис. 3.10, (У)
либо регулярного волновода,
к которому приводит преобразование нерегулярного контура
(рис. 3.10,8). В последнем случае, как уже подчеркивалось в п. 14.1,
после того как преобразование координат выполнено и найдены
тензоры Тг и Τ (13.19), алгоритмы из гл. 2 применяются без всяких
изменений.
Необходимо отметить, что применение различных преобразований
координат значительно расширяет возможности метода поперечных
Рис. 3.10.

5 15] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ 215
сечений; это было показано на ряде примеров А. Г.
Свешниковым [1]. Дело в том, что в принципе возможно преобразование
сложной формы полости с двумя отверстиями к отрезку волновода с
регулярной оболочкой, что сводит задачу к исследованию рассеяния
в регулярном волноводе. Методом поперечных сечений можно, в
частности, произвести расчет изогнутого и деформированного в поперечном
сечении волновода. Пусть, например [1], круглый волновод на
некотором участке плавно изогнут, так что его ось стала плоской кривой,
I
sp,^o {О
%*
Рис. 3.11.
а оболочка на этом же участке деформирована (рис. 3.11). Таким
образом, изгиб может быть описан уравнениями этой кривой
z = F1(l),
x = F2(l),
(15.1)
где / — ее. длина, а деформация поперечного сечения—уравнением
кривой нового контура
r = f(a, I), (15.2)
где а—угол, отсчитываемый в поперечном сечении. Для
преобразования деформированного участка к цилиндрическому вводятся
координаты
г
и1 =
/ («■ I)
и2 = а,
(15.3)
Отсчитывая α от главной нормали кривой и вводя в
рассмотрение угол φ = φ(ί), составляемый касательной с осью ζ (рис. 3.11, а),
запишем выражение декартовых координат произвольной точки внутри

216
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ
[ГЛ, 3
(15.4)
деформированного отрезка волновода:
x = F2(tti)-\-ulf(u2, и3) cos и2 cos ψ (и3), Ι
y = ulf(u2, «3)sinw.2, >
ζ = Fx (и3)— и1/(и2, и3) cos α2 sin φ Ο3). )
Отсюда с помощью формул (ИЗ.22), (П3.23) (см, приложение)
находятся компоненты контравариантного метрического тензора; они
(15.5)
имеют следующий
g" = jr +
gu=g21 =
gria-grai-
где
вид
1
" /4
_
\ да j "Г" ft2 \ dl ) '
1 df . _2Я_ 1 .
/%ι да ' έ /?· (и')2 '
1 df ■ л-23— п-32^0'
h=\ — fit.1 cos u2-^-.
g33 =
1
Тензоры ТЁ и Т вычисляются из выражений (13.19а) путем подста
новки полученных функций gu
(15.5) и коэффициентов
Рис. 3.12.
Ламэ обычной цилиндрической системы координат (λ] = 1, λ2 = /\
λ3 = 1). В результате мы имеем преобразованную
задачу о цилиндрическом волноводе, заполненном
па некотором участке анизотропной средой,
характеризуемой тензорами Тг и Γμ (рис. 3.11, <?).
Для ее решения может быть использован как
метод поперечных сечений (пп. 12,2, 12.3), так и
метод Галеркина — Ритца (п. 12.1).
В дальнейшем будет рассмотрено построение
алгоритмов с использованием базиса расширенной
двумерной области 5° (рис. 3.12). Поэтому, желая иметь те же
отправные моменты, что и в § 14, мы должны начать с получения
подходящих функционалов, еще не встречавшихся в предыдущем
тексте.
В двумерной формулировке задачи о волноводе фигурировали
функционалы Ρ (9.9) и Q (9.10), которые путем добавления
поверхностных интегралов или интегрирования по частям можно расширить
теперь на пространство функций, не удовлетворяющих граничным
условиям на контуре поперечного сечения L0. Так, функционалу Q
(9.10) отвечают следующие функционалы:
— {еЖ^а, г>)~|-(ви, v)L -\-<о(ли, v)
(flTv) '
(и, <Л , ν) — (ви, o)l -|-ω (ли, г>)
(Ти, ν)
Q' =
(15.6)
(15.7)

§ 151
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
217
-H^ft. v)-(e. ^^) + а(ии, ν)
(Ти, ν) " '
В соответствии с принятыми обозначениями (см. п. 1.2 и формулы
(14.25))
(Θα, v)L =i ψ \e, h*]vdl и (θα, τΟ£ο = ί' $ [ё\ h]ydl.
ц
Обращая в нуль вариации, как это делалось в § 3, легко
убедиться, что стационарные значения записанных функционалов
реализуются решениями уравнений Максвелла в виде свободных волн
волновода, однако поведение допустимых функций на контуре L0 не
ограничено какими-либо требованиями. Функционалы Q, Q', Q" и Q'"
(9.10), (15.6), (15.8) можно сопоставить функционалам Фм, Фс«>
Ф(Л) и Фц0*„ (3.20), (14.22)—(14.24).
Что касается функционала (9.9), то более интересно
рассматривать его модификацию (12.14), приспособленную для метода
поперечных сечений. Вместо нее для операций на базисе расширенной
области следует брать функционалы:
ff" ■—{<зМ jji, ν) — (θα, v)L Н-Л-^-Га, ν — ω (πα, ν), (15.9)
#>" = (α, aMjji, τ>)-τ-(θα, v)La + i(~^Tu, ν)—ω(πιι, ν), (15.10;
и
&"" = {eMji, v) + (e, a>MAv)+i(^—Tu, ν) —ω (ли, ν), (15.11)
по своим свойствам аналогичные Q', Q" и Q'".
15.2. Свободные волны и рассеяние в волноводе. Взяв
представления векторов поля на базисе расширенной области, внешне не
отличающиеся от сумм (9.39), (9.40), можно применить метод Ритца
к одному из функционалов (15.6), (15.7), (15.8), предварительно
приведя его к форме, аналогичной (9.10а). Однако в точности те же
результаты получаются и методом Галеркина, вид исходных условий
которого подсказывается формой функционалов.
Так, при исключении индукций вместо (9.41), (9.42) будем иметь
(го^Е* —/Г" [zq, £*] ^гсоцЯл', //(/>)— ] a=z, t;
— (|ν,£ΛΊ, Я ,,Λ =0,lftl')=l,2 Μ{,);Ν(,)
(rot , Ял' + гТл' \HN, ζ] — гшеЕ", £ (/,)=0, j (15.12a)

α= ζ, t\
\ ft(,,= l, 2,
218 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ
ИЛИ
(Я- rotL£aft(,) +
+ 4ΓΛ'[ΡΓ^ο]-ωε£Λ''£α^))-
-([^«Ь^'О^0
или
(го^Ял'+^Гл'(Ял', ζ0] —
[ГЛ. 3
(15.126)
— ίωεΕΝ, £ f,
О
О,
a = г, ί;
i(,,= l. 2,
(15.12в)
Эти три варианта эквивалентны. При подстановке представлений
EN и ЯЛ' на базисе расширенной области получаем уравнения Галер-
кина — Ритца
/ ,?, N~{ ~ (15·13)
где в отличие от (9.51) имеем новые матрицы Х{ "] и S (тильда
стоит над сопряженной матрицей) с элементами
Х{1\п (/) = ΐ/εα [ε ,ητοί. Н" if)ds,
л С) С) —
ak{ >$η· '
6 </\ //) —
Υ ε. μ
' СТО
Υ г μ \ Ε in rot, Η </·. н<>
V"e μ \ IE (/), Η (/)] ds,
α, β = ζ, ί;
= 1, 2, ..., ΛΥ>; Ν{!).
(15.14)
В соответствии со схемой построения матриц из п. 9.4
J»
f A -
О
Ш
т
О
О
О
ш
О
О
> 5 =
О
О
О
О
й
ш
О
т.
т
где заштрихованные клетки состоят из элементов, не обращающихся
в нуль. Заметим, что выражения матричных элементов (15.14) полу-

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 3
219
чаются непосредственно из варианта (15.12в). В случаях (15.12а)
и (15.126) матричные элементы содержат контурные интегралы и
приводятся к виду (15.14) интегрированием по частям.
Вместо (15.13) можно также записать уравнения Галеркина —
Ритца относительно индукций, воспользовавшись соотношениями
типа (9.44), (9.45); последние на базисе расширенной области станут
сложнее (ср. п. 14.2).
Если речь идет не о свободных волнах волновода, а о рассеянии
в волноводе на локальной неоднородности (рис. 3.13, а), то можно
применить метод поперечных сечений с использованием прежнего
а)
Рис. 3.13.
базиса расширенной области (рис. 3.13, б). Как следует из п. 12.2,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаются при
этом из уравнений Галеркина—Ритца для задачи о свободных вол-
д
нах волновода путем замены
/ΓΛ'
дг '
Что касается граничных
условий для полученных уравнений, то все ранее выведенные
соотношения остаются в силе (см. п. 12.3). Итак, уравнениям
Галеркина— Ритца (15.13) соответствуют следующие уравнения метода
поперечных сечений:
д \ . , г„, ]
*(1)4-S-^ )c=k0Md.
dz
χ(2
+ *£)
d = — kn3c.
(15.15)
Приложение к гл. 3
ПЗ. О криволинейных координатах.
За подробными и систематическими сведениями по затрагиваемому
вопросу читатель должен обратиться к специальной литературе,
например, (6, 7]. Ниже лишь будут изложены в краткой форме
элементы теории, непосредственно необходимые для понимания
описываемого в гл. 3 метода преобразования координат.
Прямолинейную ортогональную — декартову - систему координат
обозначим (х1, х2, х3). Происхождение криволинейных (вообще

220
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НЛ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ
[ГЛ. 3
неортогональных) координат естественно связывать с заданием трех
функций
Uv-l
= И1 (Х
х-, х3),
X2, X3),
(П3.1)
и3 = и3(х1, х2, х3), )
однозначных, достаточно гладких (существование требуемых
производных) и в определенном смысле независимых. Последнее
требование выражают в форме
ЗЦиК и2, и3)
3) (х\ X2, х$) ~~
ди<
дх1
ди2
~Ш
ди3
ch^
ди*
Ίχ2
ди2
'дх2'
ди3
Ш2
ди<
^Т
ди2
~дх3
ди3
дх3
± о
(П3.2)
в подлежащей рассмотрению области; этот определитель называется
якобианом, слева в (П3.2) стоит его символ. При выполнении
условия (П3.2) система уравнений (П3.1) может быть разрешена
относительно х!. Каждая точка в пространстве может рассматриваться
как пересечение трех плоскостей
х1 = const, χ2 — const,
либо трех поверхностей
и1 = const, и2 = const,
х3 = const,
и3 = const,
и радиус-вектор г, соединяющий фиксированное начало координат
с произвольной точкой пространства, можно считать как функцией
декартовых координат
r = r(xl, χ", χ3),
так и функцией введенных криволинейных координат
г = г (и1, и2, и3).
Соответственно этому дифференциал dr имеет два выражения:
dr = хт dxl -f- *о2 dx2 + х0з dx
dr = α, dux -f- «2 du2 -f- a3 du3,
(ПЗ.За)
(ПЗ.Зб)
в первое из которых входят единичные ортогональные векторы xoi,
а во второе—координатные векторы at, которые, очевидно, равны
дг
ч — —г
ди'
а,
(П3.4)

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 3
221
и везде касательны к соответствующим координатным линиям
(координатная линия, отвечающая неременной и1, определяется
уравнениями и2= const, и3 = const и т. д.). Таким образом, координатные
векторы ai вообще неортогональны и не должны иметь единичную
длину. Поэтому они в отличие от ортов xoi не являются нормалями
к координатным поверхностям (задаваемым в данном случае
уравнениями и'— const).
Построим еще одну тройку векторов (а1, а2, а3), которые должны
удовлетворять соотношениям
aiak = blk, (П3.5)
т. е. каждый из них ортогонален двум векторам из тройки (av a2, а3)
и имеет единичную проекцию на третий координатный вектор.
Очевидно, что эти взаимные координатные векторы везде направлены
по нормали к координатным поверхностям. Легко видеть, что из
требования (П3.5) вытекает
_[й^з] в2==_Цз^] aa_J^l , (пз.6)
β, [β2, а3] а2[а3, а,] а3[а,,а2\ ν ;
где а^а-2, α3] = α2\αΆ, α,Ι^-α^α,, a2] = V есть смешанное
произведение координатных векторов, равное объему построенного на них
параллелепипеда.
Легко проверить, что также
а - [«'■ а3] а - 1°°· а'1 а __ [«'■ а'1 Ш3 7)
0l ~ ai [а2, а3] ' и'2~ аЦа,з,а>\ ' и ~~ а3 \а\ а'] ' luo·^
Поэтому, если ввести координаты («,, и2, мз) так. чтобы векторы а'
были касательны к новым координатным линиям, то прежние
координатные векторы а, (теперь взаимные!) будут направлены нормально
к координатным поверхностям и, = const.
В дальнейшем мы не будем менять ролями векторы at и а\
считая везде первые основными, а вторые-—взаимными. Если задан
вектор F, то он может быть представлен как в основном, так и во
взаимном базисе:
3 3
^= 23/4.= Σ/Х- (пз.8)
При этом /, называются ковариантными, а fl—контрава-
риантными компонентами F. Обозначим скалярные произведения
основных и взаимных координатных векторов
atak = glk=-gk, и a,ak = g"t = gki. (П3.9)
Введенные величины рассматриваются как компоненты ковариантного
и, соответственно, контравариантного фундаментальных
тензоров, которые, как видно, симметричны. Обычно эти тензоры

222 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ. 3
обозначают glk и glk, так что
(П3.10)
Смысл компонент glk и glk раскрывается при выражении
дифференциала dr в основном и взаимном базисах:
Sik = \
I
/Sn
8ά
\Ssi
gn
gll
gz2
g\?,\
g23 j
SW
и
ff'*=
fgn
g'n
\g3i
gn
g22
p-32
О
gl3
gn
g33
3 3
2 andu"= 2
11=1 «=1
с!г=2о„Л"=2а"й„; (П3.11)
умножая (П3.11) на координатные векторы, получаем
■л з
duk = 2 gun du" и du" — 2 £"*" ^и,г. (ПЗ. 12)
или, как это принято писать в тензорном исчислении,
dub = gkndua и duk = gk'ldun, (П3.12а)
где подразумевается суммирование по индексу, встречающемуся
дважды (gkn и g1"1 — фундаментальные тензоры (П3.10), a duk н duk
понимаются как векторы). Отметим, что точно так же из (П3.8) при
умножении на координатные векторы возникают следующие
соотношения между ковариантными и контравариантными составляющими:
fк=Σgknf" и f= Σ §""/„· (пз.13)
п—\ η=1
или в тензорной форме:
fk = gunf и /* = ff*7„- (ПЗЛЗа)
Подчеркнем еще раз, что ковариантные и контравариантные
компоненты вектора F отличаются не только от его декартовых
компонент, т. е. проекций на орты х01 (называемых также «физическими»),
но и от проекций на касательные направления к криволинейным
координатным линиям или на нормали к координатным плоскостям.
Обозначим касательные проекции F1, а нормальные Ft, тогда,
очевидно,
F' = V"g7if' и Fi = V¥lff (П3.14)
поскольку соответствующие единичные векторы
a^J^^^L·- и «« = -** (ПЗ.На)
а.
Ygu \al\ V~g"

(Π3.15)
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 3 223
Общее рассмотрение закончим введением так называемого
фундаментального определителя
£п £п £п
£21 £22 <?23
£Гз1 £йч £зз
Путем непосредственной проверки с помощью (П3.9) можно
показать, что
αι[α2, a?}=Y~g- (П3.15а)
Рассмотрим в качестве примера ортогональную криволинейную
систему координат. В этом часто встречающемся случае
:0,
ала
1«*2-
: О >Оч
α4α,
и, следовательно, из компонент ковариантного метрического тензора
отличны от нуля только диагональные: gu φ 0. Обычно используется
обозначение
*ι = ΥΈ7ι· (П3.16)
где ht называются коэффициентами Ламэ, или метрическими
коэффициентами. Ввиду ортогональности векторов αί из (П3.6) следует
также
- h2 «ι-
а
(П3.17)
Далее в связи с использованием в гл. 3
записи уравнений Максвелла в
криволинейных неортогональных координатах
произведем необходимое обобщение операции rot.
По определению
1
rot,, F :
: ИГЛ
т§
FdL
Рис. 3.14.
Возьмем в качестве площадки S бесконечно малый параллелограмм,
показанный на рис. 3.14. Вычисляя циркуляцию F по L, имеем
Fdl = Fax du1 \u2 — Fax dax \u2+da2 -\- Fa2 du2 \а,+ац1 — Fa,2 du\, ■.
Далее,
Fa,
rotvF--
dFa2
=-totF
dFal
du1 du2.
Vg
du1 пи1
I
\\ax, a2]
|([a„ а2]а3)аЦ
Vg Vg
T33

224 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ БАЗИСАХ [ГЛ, 3
Таким образом,
a=rotF = 4- {— --"
у g \ди* ди
Совершенно аналогично получаются выражения a1 rot F и a2 rot/7.
Принимая во внимание, что a' rot F—это не что иное, как кон-
травариантные составляющие вектора rot/7, согласно (П3.8) пишем
з
Это выражение rot F через ковариантные компоненты /г вектора F.
Вернемся теперь к формулам (П3.1). Запишем обратные
соотношения
х1 = χ1 (и1, и2, а?'), \
х2 = х2(и\ и2, м3), (П3.19)
х'л — χ3(αι, и2, и3). I
Очевидно, что
, дх' , , , дх' , ., , дх' , ,
Выражая отсюда элемент длины, имеем
dP=Y(dx'f= У V^4^Lrfa*rf„». (П3.20)
i=-l к, п—\ ( = 1
Но согласно (П3.11)
3 3
dl2 .= | dr J2 = 2 aka4dukdu"= 2 gkndukdun. (Π3.21)
*, n = i ' /г, n = I
Сравнивая (П3.20) и (ΓΙ3.21), находим
gkr, = /j—г · (П3.22)
*я -^J ди" ди" У '
ι = \
Учитывая (П3.13), компоненты контравариантного
фундаментального тензора можно вычислить как
gkn = ^f-, (П3.23)
где Gnk — алгебраические дополнения элементов gltk
фундаментального определи геля g (113.15).

Приложение к гл. з 225
Можно также показать, что
g
kn \' *' ди11
У^-^. (П3.24)
« rir1 rlrt
В заключение приведем без обоснований некоторые положения
тензорного исчисления. При переходе от системы координат (и1, и2, и3)
к (и1, и2, и3) выполняются следующие законы преобразования:
для контравариантного вектора А1 (тензора первого ранга)
А1 = -%-Аа, (П3.25)
диа '
для ковариаитного вектора А{ (тензора первого ранга)
Л, = ^1„, (П3.26)
1 ди1 а ν /
для контравариантного тензора второго ранга
1(«
ι ik __ ди1 да" -гар
л,( = ^_„ л„р (П3.27)
диа ди$ '
для ковариаитного тензора второго ранга Aik
rlnа flu Ρ —
А1к=°^^-Ат, (П3.28)
для смешанного тензора второго ранга At
Αϊ =**■%> А* (П3.29)
ди1 диР
(везде подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу).
Законы преобразования (П3.25) — (П3.29) лежат в основе
определения рассмотренных тензоров и легко распространяются на
тензоры произвольного ранга.
Вернемся к формулам (ПЗЛЗа), которые связывают ковариантные
и контравариаптные компоненты некоторого вектора, С формальной
точки зрения получение ковариаитного вектора fk из
контравариантного /" при помощи умножения последнего на ковариантный
фундаментальный тензор gkn (первая формула в (ПЗЛЗа)) есть операция
«опускания индекса». Аналогично этому получение контравариантного
вектора f1 из ковариаитного /„ умножением на контравариантный
фундаментальный тензор gkn (вторая формула в (ПЗЛЗа)) есть
операция «поднятия индекса». Подобные операции правомерны и для
тензоров второго, а также более высокого ранга. Так,
gtaA*=Af. glaAa? = A^ е'»А1 = А* (ПЗ.ЗО)
и т. д. (точка ставится на место поднятого или опущенного индекса).

223 Прямые методы на вспомогательных базисах (гл. з
В качестве примера рассмотрим преобразование тензора магнитной
проницаемости μ в уравнениях Максвелла. Первоначально (при
использовании декартовой системы координат) μ фигурирует как
аффинный ортогональный тензор. Понятия ковариантного, контрава-
риантного и смешанного тензоров в данном случае совпадают. Для
получения смешанного тензора μ? в (13.12) надо и первоначальный
тензор μ рассматривать как смешанный μ = μ* и воспользоваться
формулой преобразования (П3.29). При этом получаем
ди1 дх&
^--ΰ-^г^ (пз-31)
Далее в (13.15) появляется уже контравариантный тензор \х'к,
который получается из первоначального тензора μ, понимаемого на этот
раз как контравариантный μ = μ" на основании формулы
преобразования (113.27),
Отсюда, в частности, непосредственно следует, что при μ = /μ0
T^ = Yg gik\i0, как это утверждает вторая формула в (13.15а).
Литература к гл. 3
1. А, Г, Свешников, Методы исследования распространения колебаний
в нерегулярных волноводах, докт. днсс, 1963.
2. А. Г. Свешников, К обоснованию метода расчета распространения
электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах, Журн. вычисл.
мат. и мат. физ. 3, № 2, 1963,
3. В. П. Орлов, О расчете постоянных распространения волноводов
сложной формы при помощи преобразования координат, Радиотехника
и электроника 9, № 3, 553, 1964.
4. В. В. Никольский, О методе Фурье для полых систем сложной
формы с неоднородным анизотропным заполнением, Радиотехника и
электроника 9, № 4, 625, 1964.
5. В. В. Η и к о л ь с к и й, Прямые методы для задачи об
электромагнитном резонаторе, Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 5, № (5. 1965.
6. Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма. Гостехиздат, 1948,
§ 1.14, 1.15.
7. Η. Ε. К о ч и и, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
Изд-во АН СССР, 1961, § 30-32.

ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Под «теорией возмущений» обычно понимается методика,
позволяющая получить решение некоторой задачи, отклоняющейся от уже
исследованной. Большей частью малость рассматриваемых
отклонений— возмущений—является необходимым исходным положением
теории. Такого рода теория возмущений употребляется, например,
в квантовой механике. Она строится как итерационный алгоритм,
использующий чаще всего степенные ряды (теория возмущений Рэлея —
Шредингера). Применительно к внутренним задачам электродинамики
этот алгоритм сам по себе малоинтересен, так как, будучи пригодным
только в случаях малых возмущений, он в то же время сложнее
методов Галеркина — Ритца. Однако в методе Рэлея — Шредингера можно
найти отправной момент для сведения краевой задачи электродинамики
к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
причем порядок возмущения здесь уже никакой роли не играет.
Другим аспектом теории возмущений является «принцип
сравнения», которому ниже будет уделено значительное внимание. Он
заключается в использовании линейных функционалов, получаемых при
прямом сравнении двух краевых задач: исследуемой и так называемой
«задачи сравнения», которая имеет аналитическое решение. Для
получения нужных функционалов возмущения не обязательно должны
быть малыми (т. е. рассматриваемые задачи близки). Однако, когда
возмущения малы, принцип сравнения приводит к простым способам
расчета, точность которых тем выше, чем возмущение слабее.
Данное обстоятельство является важным по той причине, что
эффективность прямых методов, рассмотренных в предыдущих главах, для
пространственно малых возмущений снижается. Требуется, чтобы
ошибка была мала в сравнении с эффектом возмущения. Поэтому
обычно чем меньше возмущающая область в сравнении с длиной
волны, тем больший порядок системы уравнений Галеркина — Ритца
требуется сохранять. Таким образом, начиная с некоторого момента
формулы теории возмущений могут дать не менее точный и в то же
время гораздо более простой способ расчета.
§ 16. Функционалы сравнения
16.1. Принцип сравнения. Начнем с простого примера. Пусть
рассматривается задача на собственные значения
&и = Ци, (16.1)

228 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 4
причем не требуется, чтобы оператор J? был симметричен, а вес q
эрмитов. Предположим, что, заменяя q на q0, мы получаем задачу
.2Ί*0=λ0?ο«ο. (16·2)
решение которой в замкнутой форме имеется. Сопоставляя
сопряженную ей задачу
_2χ = λ$0α0 (16.2а)
с первоначальной (16.1), находим следующий линейный функционал
относительно и:
X(qu, u0) = %0(q0u, и0). (16.3)
Если ввести обозначения
Δλ=λ— λ0 и Δ<7 = q — q0,
то из (16.3) получаются следующие «формулы возмущения»:
^ = -i^J^ (16.4a)
λ0 (qu, щ)
и
Αλ=_(^».»ο)> (16.4б)
λ (q0u, щ)
где интегрирование в числителе фактически распространяется только
на область, в которой Δ</ Φ 0. Поскольку решение и неизвестно,
то это по-прежнему функционалы относительно и. Однако можно
поставить вопрос о признаках допустимых и, при которых
формулы (16.4) дают удовлетворительные приближенные значения Δ λ/λ.
Формулы (16.4) и различные соотношения этого типа (в том
числе и для задач в вынужденных колебаниях) представляют интерес
именно потому, что в ряде случаев могут служить простейшим
вычислительным средством. Отметим, например, что чем меньше область
возмущения (в которой \q Φ 0), тем с большим основанием
знаменатели (16.4а и б) можно заменить приближенным выражением
(q0U0, «0). В «нулевом приближении» подстановка и — и0 делается
также и в числителе. Вообще же допустимые и получаются из и0
на основании соображений, которые позднее будут рассмотрены.
16.2. Общие функционалы сравнения для внутренних задач
электродинамики. Поставим в достаточно общей форме две краевые
задачи:
задача 1
ί rot β,—— /ω,μ,//,, ]
В Vl ] wtHl=r-ml£]El + j"\ I (16.5a)
[£,, v0] — 0 на S] — 5)2, £] —£ΊΣ на 5(Σ J

§ 16]
и задача 2
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
V2 {
f rot Е2 = — ίω2μ2Η2,
J rot H2 = ίω2ε2Ε2 -4- y2 ,
[£2> v0] = 0 на S2— S22, E2 = E2x на S2s,
229
(16.56)
где области V{ и K2 (с границами S} и S2) обязательно пересекаются
(рис. 4.1), а в наиболее важном частном случае полностью совпадают.
Сформулируем также задачу, сопряженную с
задачей 1:
задача
в V,
rot £I = — ίω*μιΗν
Рис. 4.1.
( rot//, = /&)*£,£, -4-У1 ■
[£,, v0] = 0 иа Si — 51Σ, £, = £1Σ на 51Σ. J
(16.5в)
Из (16.5в) и (16.56) получаются следующие соотношения:
§[Е2, H\]ds =
S2,l
μ2Η2Η]άυ^ίωι [zfifi^dv— \~jfE,2dv, (16.6a)
= — ίω„
2,1 2,1 2,1
J [E\, H2] ds =
= «о, Г μ,//2//* йг> — /ω2 Γ ε^β* dti — ί j"E*x dv, (16.66)
κ ν ν
2,1 2,1 K2,l
где интегрирование производится либо по объему V2 с границей 52,
либо по объему Vl с границей S,; при этом предполагается, что
существуют подчиненные уравнениям Максвелла щюдолжения полей
Εlt //, и Е2, Н2 за свои границы (в противном случае возможно только
совпадение V2 и V^). Объединяя равенства (16.6а) и (16.66), находим
i §{[Щ, Я2] + [£2, if}]}ds = -i \(jfE2 + f2%)dv±
S2,l У2Л
ω2 | (Δε£2£; -+- ΔμΗ2Η\) dv -\- Δω J (μ,/Ζ^-Η^Ε^ do,
ν„, ν„,
(16.7)
, J (Ае£2£;'4-АцЯ2Я;уг»4-л» j {μ2Η2Η}^β2Ε\)άν,

230
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
где
Δω = ω2— ω,
Δε = ε2— ε,,
Δμ = μ2— μ,.
Выражения (16,6), (16.7) можно рассматривать как общие функционалы
сравнения для внутренних задач электродинамики, например,
относительно Е2, Н2 при фиксированных Εν //,, Ниже демонстрируются их
частные формы.
16.3. Возмущения свободных колебаний. Если в задачах (16.5)
иметь в виду свободные колебания одного и того же объема,
ограниченного идеально проводящей оболочкой, так что
VX = V2=VQ, \ ~.ст_ .„
S = S. =S , J !S — ύ2Σ — υ> h — J 2 -= Ό·
то функционал (16.7) записывается в виде
ί (Δε£2£* -f ΑμΛ/2/?*) dv
Δω
v„
Рис. 4.2.
J (^ιΕ2Ε] + μ2:1Η2Η*])άυ
(16.8)
Как видно, (16.8) есть частная форма (16.4), возникающая, когда
в уравнении (16.2) J2? — оператор Максвелла резонаторной задачи.
Можно считать, например, что полученное соотношение выражает
приращение одной из собственных частот полого резонатора при
изменении свойств внутренней среды.
Из (16.6) можно также получить иные формулы возмущения
резонатора:
)Χ\Η·ιΗ\άν = — Δ\\,ΗιΗ\άν —
Vo
Va
"J
SzE2E\dv (16.9)
ε}Ε2Εγ dv —
ΔεΕ-iEi dv
ΑμΗ2Η*άν, (16.10)
В большинстве случаев формулы (16.8), (16.10) применяются при
исследовании возмущений полых резонаторов малыми телами
(например, намагниченными ферритовыми образцами), причем обычно ε, =/ε0
и μ,=/μ0. Задача сравнения соответствует резонатору до помещения
возмущающего тела и является самосопряженной: Ει=Ε}, Ηι = Ην
Она характеризует «начальное состояние» резонатора. Итак (рис. 4.2).

§ 16]
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
231
пусть вне V возмущение среды отсутствует: Δε = 0 и Δμ = 0. Тогда
соотношение (16.8) принимает следующий вид [1, 2]'):
Δω
ί (ΔεΕΕ*0 + ΑμΗΗ*0) dv
j (ε0ΕΕ*0 + μ0ΗΗ*0)άυ
(16.11)
где индекс «2» Опущен, а символы, относящиеся к начальному
состоянию, снабжены индексом «О». Очевидно, что по мере усиления
неравенства V<^V0 все более точным становится приближенное
равенство
Δω ^ Δω
ω ~ ω„
Что касается формул (16.9) и (16.10), то они бывают полезны
при чисто электрическом и чисто магнитном возмущениях резонатора.
При этом имеем
Δμ = 0 (16.12)
2 2
ω — ωζ
ω2
ω2 — toy
ω2
ν
| ί0ΕΕ* dv
ν.
Γ ι\μΗΗ* dv
V
ί n0HH*0dO
Δε = 0. (16.13)
Следующий вопрос — возмущения свободных колебаний резонатора
в результате деформации идеально проводящей границы полости или
помещения в нее идеально проводящего тела. Формально Оба случая
описываются одинаково. Положим в (16.7) Vl — V0 и V-2 = V0 + W,
причем граница Sl—S0 совпадает с S2, за исключением некоторого
участка Δ5,, а Δ52—участок поверхности 52, на котором она не
совпадает с 5,; это в разных вариантах показано на рис. 4.3.
Поскольку речь идет о свободных колебаниях, то 51У = 5.,s==0 и
') В [1,2] формула (16.11) была получена как точное соотношение,
однако еще в 1939 г. подобное равенство рассматривалось Мюллером [12]
как приближенное (результат разложения по малому параметру).

232
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
j"= j^ = 0, а Δε = 0 и Δμ=:0, так как свойства среды остаются
неизменными. Из (16.7) находим
ί [* *'о]
ds
Δω = ·
AS,
ί (μΗΗ*0 + εΕΕ*0)άυ
V,
ί [4 //]
(16.14)
ds
Δω~-
Δ&
ί (μΛ/Λ/' + εβ^ο)^
К„±ДК
(16.15)
где верхний знак соответствует увеличению, а нижний — уменьшению
объема при возмущении. Желая преобразовать эти формулы,
обратимся к исходным формулировкам задач (16.5) и отметим, что
"равенства вида (16.6) могут быть получены для любой области, лежащей
внутри Vx или V2- Взяв в качестве такой области приращение объема
&V с границей Δ5]-(-Аб^, будем иметь
i [Ε, //o]rfs=q:cu μΗΗο dv + ω^ eEEodv (16.16)
AS, AV AV
i f [E*o, H] ds = q; coj ί μΗΙϊΙ dv ± ω j еЕЕ*й dv (16.17)
AV
(верхний знак, как и выше, соответствует увеличению, нижний —
уменьшению объема). Таким образом, поверхностные интегралы в
числителях (16.14) и (16.15) можно заменить объемными согласно (16,16)
и (16.17). Формально происхождение двойного знака в последних
соотношениях объясняется тем, что при образовании потока вектора [Е, Hq\
или [Ео, Н] через замкнутую поверхность, ограничивающую AV,
берется внешняя к ней нормаль, которая для согласования с фор-

§ 161
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
233
мулами (16.14), (16.15) выражается через внешнюю нормаль к
границам областей V0 и V0 ± &V соответственно. Последняя же, как
видно из рис. 4.3, может быть и внешней и внутренней нормалью
к границе объема Δν.
Отметим, что часто для грубых оценок используется вытекающая
из (16.14), (16.16) или (16.15), (16.17) формула «нулевого
приближения», которая по крайней мере во многих случаях правильно
указывает знак приращения частоты:
| и01 Нй \idv- \ ч | £„ |2 dv
^^±Ж w (16.18)
Ш° J (μο I //012 + ео [ £0 |a) d»
(как и выше, верхний знак в формуле соответствует увеличению
а нижний — уменьшению первоначального объема).
16.4. Возмущения бегущих волн. В качестве объема Vli2 в (16.7)
возьмем отрезок регулярного волновода (рис. 4.4) и будем считать,
что задачи 1 и 2 (16.5) соответствуют двум различным заполнениям
волновода, при которых внутренняя
среда остается, однако, продольно- г
однородной. При этом
S^S^So. ) Δω==0·
(Sl и S2 — поперечные сечения волновода, рис. 4.4), а
поля—функции вида
где значок - указывает на отсутствие зависимости от ζ. Рассматривая
интегралы в (16.7), находим
t§{[E'lt H2] + [E2, H\]}ds-.
ι
^-^л-^^-^-г;),,} c[[Fit Hi] + [Eb щгй5
= ι \ е

234 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
(S0 — произвольное поперечное сечение волновода) и
ω | (Δε£2έ* + Δ μΗ2Η]) dv =
ν,
= ω f e~'1 (Γ2"Γΐ)ζ Γ (Δε£2£; +Дц0Я2я!) dzds
-ί(Γ2-'?0Ζ2_/,-ί(Γ2-'?Ι)ζ
[ГЛ. 4
— ω ·
Таким образом, соотношение (16.7) дает
ί (Δε£2£* + Δμ«2^ι) ds
j(^εE2E:*-\-^μH2H*)ds.
Γ2— Г, =ω -ρ
J" {[£■&№. «;]},<"
(16.19)
Прежде чем идти дальше, отметим, что этот результат может
быть получен и непосредственно, если задачи (16.5) сформулировать
специально для волновода, так что
задача 1
I rotj_ Ε у — (Г, [ζ0, £,] = — ί'ωμ,//],
задача 2
[ rotj Я, -\-il\ [Я,, г0] = ί'ωε,β,
[£,,ν0]=^0 на 10;
! rot± Е2 — ϊΓ2 [ζ0, £2] = — ί'ωμ2^2,
(16.20а)
и задача
[ rotj_ Я2 ~f /Г2 [Я2, *0] = ίωε2£2>
[£2, ν0] = 0 на L0
7
I rot L Е} — if, [г0, £,] = — ίωμ,//,,
rot_LЯ2-\-(Г, [Я,, г0] — ί'ωε,β,,
(16.206)
[£ρν0] = 0 на 10.
I
(16.20в)
Формула (16.19) возникает, если из (16.20в) и (16.206) получить
двумерные аналоги соотношений (16.6), что рекомендуется проверить

I 16] ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ 235
читателю. Сопоставляя (16.20а) и (16.20в), видим, что это — две
сопряженные задачи на собственные значения, роль которых играют
постоянные распространения Г, и Г,, проще всего убедиться в этом,
обращаясь к форме записи (9.8). Следовательно, Г5 = ΓΊ, где
подразумеваются соответственные собственные значения, так что формулу
(16.19) можно переписать для приращения постоянной
распространения ΔΓ — Г2 — Г]!
ί (ΑεΕ2Ε* + ί\μΗ.2Η*) ds
ΔΓ = ω-|° . (16.21)
Это — основная формула возмущения для волновода.
Если исследуется возмущение «пустого» (ε = /ε0 и μ = /μ0)
волновода бесконечным цилшгдром, не нарушающим его продольной
однородности (вместо ε0 и μ0 можно брать иные постоянные: произвольная
Рис. 4.5.
однородная и изотропная среда), то задача 1, характеризующая
начальное состояние системы, является самосопряженной: £, = £],
//, = //,. Возмущение среды имеет место только в области, занятой
внесенным цилиндром (рис. 4.5), т. е. Δε — 0 и Δμ = 0 вне его
поперечного сечения S, Формула возмущения (16.21) принимает вид [3]
f (AeEEl + AvHH*0)ds
ΔΓ = ω-—^ ·. (16.22)
Как и в (16.11), здесь индекс «2» опущен, а для обозначения
начального состояния введен индекс «0».
Далее рассмотрим возмущения бегущих волн волновода в
результате деформации его оболочки, которая, однако, остается продольно-
однородной, т. е. одинаковой во всех поперечных сечениях, или
в результате помещения в волновод бесконечного идеально
проводящего стержня (ср. п. 16.3). Начальное поперечное сечение волно-

236
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
вода обозначено S0, а возмущенное S0 + Δ5. При этом граница
начального сечения, контур L0, деформируется на участке ΔΖ.,, который
переходит в Δ£2 (рис. 4.6). В формуле (16.7) в данном случае
исчезают все члены, кроме поверхностного интеграла слева, который
преобразуется, как это указано ниже:
I &{\Е\, Н2]+[Е2, ΗΪ]} ds =
= i{e-l(TrJ'>i-e-l(Tr\h} | {[£ΐ. Я2]+[£2. m\lds+
_S„, Sa ± Δ5
+ ij\-'(Vi> J [[Ζ,Η-ΜΕ,,ΗβΙάζαι.
Δ£ι,2
Отсюда получаем формулы
ΔΓ=- ^ (16.23)
И
dl
ΔΓ =
Δ£,
{[4«J+[£,^o]L^
(16.24)
S0 ± Δ5
аналогичные (16.14) и (16.15),
Формулы (16.23), (16.24) можно было бы вывести и из
двумерных аналогов соотношений (16.6), выше уже упоминавшихся. Выпи-

§ 16] ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ 237
шем их теперь в связи с предполагаемым в дальнейшем
преобразованием найденных формул:
φ \ёъ т\ di -1 (г2 - го j [£2, m\z dS=
1. 2
\i2H2H]ds-\-i(u \ zfij^ds (16.25a)
L S
1:2 1,2
= — т
s s
1. 2
L S
1, 2 Ь 2
= ίω Ι μ, Я2Я; ds — Ιω j ε2£,2£; ds. (16.256)
1.2 li 2
Такие же соотношения получаются при интегрировании по частичной
области, лежащей внутри S, или S2. Возвращаясь к задаче о
деформации оболочки волновода, возьмем в качестве такой области
приращение поперечного сечеиия Δ5. Если под v0 понимать внешнюю
нормаль к контуру, ограничивающему S0 или S0 ± Δ5 (см. рис. 4.6, а, б, в),
то, как и в п. 16.3, имеют место следующие формулы:
1 itf #]ν<"=±ΔΓ \№HOlds +
Δ£, AS
+ ω j μΗΗ"α ds ± ω (" ε£Τ* ds (16.26)
Δ 5 AS
И
ί /[£·„, Я]уЛ= + ДГ {[£*, H]zdsT
А£а AS
+ ω f μ////^ ±ω j eEE^ds. (16.27)
Δ5 Δ5
Верхний знак берется при увеличении, а нижний — при уменьшении
поперечного сечения волновода в результате деформации его
оболочки. Внося (16.26) или (16.27) в (16.23) и (16.24) соответственно,
получаем следующую формулу возмущения:
± μΗΗ*0άε =F \EEE*0ds
ΔΓ^ω-- ^ *ϊ . (16.28)
}{№· £] + [£■ »*o\},ds± j [й- ttolds
_S0 AS
16.5. Дифракционные возмущения. Функционалы сравнения
нетрудно найти и для задач дифракции в полых системах, простейшие

238
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
примеры которых дает рис. 4.7. В их основе лежит все то же
соотношение (16.7).
Для случая, когда возмущение заключается в изменении свойств
среды в некоторой области, не выходящей за пределы V0, из (16.7)
имеем
I cjj [[Щ, Н2]-\-[Е2, Н\]} ds = co | (ΑεΕβ]-\-ΑμΗ2Η;)άυ. (16.29)
sa va
Начнем с задачи 1) о возмущении регулярного волновода телом,
занимающим область V (рис. 4.7, а). В качестве начального состояния
?.,
1
ч_„
-
^
я
Θ
а)
г,
!
1 О
„,„!
г,
г
г2
.us, У
ι
б)
Рис. 4.7.
можно рассматривать любой режим регулярного волновода
(самосопряженная задача), а областью V0 в (16.29) будет служить отрезок
волновода, заключенный между его двумя поперечными сечениями
S, и S-2- Различных возмущенных состояний также бесконечное
множество, но интерес представляет поле волновода, возникающее при
падении на неоднородность слева или справа одной из
распространяющихся волн. В целом система характеризуется своей матрицей
рассеяния, имеющей строение (12.1), элементы которой, как будет
показано, можно выразить в виде линейных функционалов сравнения,
сопоставляя различные начальные и возмущенные состояния. В
дальнейшем в формуле (16.29) опустим индексы «2» и будем обозначать
начальное поле Е0, //0, принимая во внимание, что Ео — Е0 и Н0 =
Пусть слева на сечение 5\ (рис. 4.7, а) падает одна из волн
типа k регулярного волновода. Возмущенное поле (включающее и
ноле падающей волны) обозначим при этом Е = Е^ и Η — Н{ьу
Если поле падающей волны на сечении S, есть
— ί'Γ,,ζ, « —ί'Γ,,ϊ,
') Эта задача рассматривалась автором в [4], где некоторые из
приводимых ниже результатов были получены в частной форме и применены
к конкретным объектам. Частные формы этих результатов позднее были
получены также А. Г. Гуревичем [5J.

§ 16]
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
239
(ек и hk —- собственные функции поперечного сечения, введенные
в п. 11.1), то поперечные проекции векторов возмущенного поля на
сечениях Sy и S2 выражаются следующими формулами, подобными
(12.38)
Е?
(к)!
'~"iIVl Σ(δ«* i-Rl^e,, на Sv
(16.30а)
-ίΓ,.ζ
""' 2 R2nnetl на S2
л = 1
H{k)t
Γ^' 2 Ow —«"*)*« "a 5p
л-1
.e-'Vi 2/?ϊ*Αη Ha ^
(16.306)
η-1
(напомним, что собственные функции еп, hn определяются на каждом
сечении независимо, что в данном случае означает изменение знака А„).
Зададим начальное поле в виде волны положительного
направления типа т:
E0=:E/n = E^e-ir'nz, J
, τ . (16.31)
причем амплитуда выбирается с тем расчетом, чтобы иметь
поперечные проекции
-П' г,
eme-"<nzt на 5,,
1Ттг2 На S,
и Я,
A p-irmzi на 5
0ί
Ρ Ρ tn
■A„
-iVmZ2 H3 S9.
(16.32)
Внося (16.30) и (16.32) в левую часть исходного соотношения
(16.29), получаем
I cjj {[El Н\ + [£, ЯО]} rfs = ie" iJVi J {[e;, A,J eiJV, (6mk- R]L·) +
m*2/?m*-ki, /СК;г-г^Л^
■irh2, (iTz
Wn
kh {etTmZ> bmk - RlneiV™z>)> « < «'■
I IF ^"tk · 'rt ^ "г ·
(16.3)

240 TI-.ОРНЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
где т' отмечает высшую из распространяющихся воли волновода.
При выводе учтено, что согласно (11.2) и на S,, и на S2
\ет, tim\ds = — -~,
т
а волновые сопротивления Wm и постоянные распространения —
величины вещественные для распространяющихся волн (т <^ т') и
мнимые для запредельных полей (т > т').
Ниже будем считать, что ·2, = 0, тогда z2 — L — длина
рассматриваемого волноводного отрезка, содержащего нерегулярность V
(рис. 4.7, а). На основании (16.33) и (16.29) находим
(т <т')
<т') { Z J
-f Δμ//^*)Λ>} (16.34)
и
RZ =-i^ [{bzElkfit! +b\iHtb<flm)dv. (16.35)
(m > m·) V
Чтобы получить аналогичные линейные функционалы, выражающие
другие элементы матрицы рассеяния, возьмем вместо (16.31)
начальное поле, соответствующее волне отрицательного направления:
Ец^Ет =Е~еп>п2, }
\ (16.36)
так, чтобы на S, и S2 было
.1
£0(= ■! и #0f=' - (16.37)
( е,„егг'л на S2 ( hmeir<nz* на S2.
Внося (16.30) и (16.37) в левую часть (16.29), подобно
предыдущему вычисляем
ί
J {[£;, //] + [£, ^S]}ds:
i-J-/?^-'<r*+r'»>\
2 -/г
- / -=/- β-'V, (е\ ν,η I *1<W _ RlJ rm I *s), m > m'.
(16.38)

5 161
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
241
Как и при выводе соотношений (16.34), (16.35), положим zx = 0 и
z2= L. В данном случае при сопоставлении (16.38) и (16.29)
получается
Rmk
т < т'
aW„
Ιϋψί (Δε£(ΐ,,£-' + ^Η^ΗΤη )dv (16.39)
r;L· = е-\г·
τη > τη'
0,„h I
. (ύΨ„
(Δε£(Λ)£„, + Δμ//{ί)# m ) df
(16.40)
При вычислении элементов матрицы рассеяния R"n"lk и /?,й/г можно
просто изменить нумерацию сечений и воспользоваться уже
имеющимися формулами. Однако иногда нужно бывает сравнивать выражения
различных элементов матрицы рассеяния (например, R"^k и R\"m)
в общем виде. Для самостоятельного получения недостающих
формул надо теперь взять возмущенное поле Е = Е~ь) и Η — H~ky
которое соответствует падению волны на нерегулярность справа
Поперечные проекции его векторов таковы:
ЛЩ'
н
(к) ι
СП
«1гл Σ «£«.
Л-Ι
elr*** 2(δβ*-
00 \
- R2n\)
на S2>
на 5j
ftn на S2
n-I
- «/γλ ^ о*
на Sv
(16.41 a)
(16.41 6)
He приводя промежуточных выкладок, которые в основных чертах
повторяются (вместе с (16.41) опять берутся выражения
невозмущенного поля (16.32), (16.36), по в окончательных результатах поло·
жено: ζ2==0, ζι — — Ό· напишем
«m* =β-'Γ»Δ|δ,»*-
τη < τη'
mW„
(AeE{k)Em + S)iH[k)H„*) dv 1;
,■ ω1Γ„
2 ] viJOt-(«)t-"i ~τι-,^"(*)/
(16.42)
(ΔεΕ^,Ε-'' + ^H~k)Hm) dv, (16.43)

242
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
R trill
Р22„ —
Ктк — '
т <т'
_-1 Г„ I L
i^Km. U^E{k)E+*~}-^H{k)Htn)dv; (16.44)
ν
Jmk '
(Δε£(Λ)£+ -\-ΛμΗ(Ιί)Η+*)άν
(16.45)
Перейдем к задаче о локальной деформации оболочки волновода
или о помещении в него идеально проводящего тела; различные
варианты этой задачи схематически представлены на рис. 4.8.
AS,
ι *-* ?
Si
л
AS,.
Ό**?ο
Рис. 4.8.
В дальнейшем все обозначения, относящиеся к деформации
оболочки, те же, что были в п. 16.3 при рассмотрении аналогичных
возмущений резонатора. В данном случае из (16.7) находим
о ι τ S:
i-ij [Ε, H*0]ds;
I {[El H] + [E, Hi] }ds=\ &S' (16.46)
J- I — i J [E0} H]ds.
&s.
Левая часть этого равенства не отличается от левой части
равенства (16.29). Поэтому, задавая возмущенное и невозмущенное поля
по прежнему способу, мы будем получать выражения, идентичные
по форме уже записанным (таким, как (16.33), (16.38) и т. п.). Это
означает, что функционалы, выражающие различные элементы матрицы
рассеяния, могут быть построены из предыдущих путем замены
объемных интегралов, содержащих приращения проницаемостей,
на поверхностные из правой части (16.46).

§ 16]
ФУНКЦИОНАЛЫ СРАВНЕНИЯ
243
Итак,
(т < т')
Jmk '
wn
w„
Г I 1
[Εψ)> Hm \ ds;
ω,
Δ 5,
(16.47)
{m > m')
.К»
2
ASi
[£(й), W,i ] ds;
[Etn, H?k)]ds
b,S,
(16.48)
(cp. (16.34) и (16.35)) и, далее,
2
AS,
[£(!,, tfm ] ds;
[E-\ Hfa] ds
A S,
(16.49)
m > m'
Γ„ I £
δ - -^
"ml 9
r„
AS,
A5j
(16.50)
(cp. (16.39) и (16.40)). Аналогично записываются функционалы,
выражающие элементы /?,„(■ и /?Ш£.
Все эти функционалы можно преобразовать к иной форме, если
учесть, что имеет место соотношение
I J [Е, Яо] ds
AS,
t
\ [El Η]
\ = χ ω ί (μ/7/7* -■ eEEq) dv, (16.51)
^= π_ со
ds j Δ/
получаемое так же, как и (16.16), (16.17) (в данном случае ω = ω0).
Верхний знак соответствует увеличению, нижний — уменьшению объема.
Таким образом, поверхностные интегралы в (16.47) — (16.50)
можно заменить объемными, полагая в (16.31) Ε, Η—> Е^, Hfk) и
Е0, /7o->£m· 4fn-

244
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
В заключение отметим, что нетрудно исследовать дифракционные
возмущения в общем случае (волноводный трансформатор
произвольного вида), однако результаты оказываются значительно более
громоздкими.
§ 17. Аппроксимация возмущенного поля
17.1. Постановка задачи. Полученные выше функционалы
сравнения становятся инструментом расчета, если найдены подходящие
средства представления неизвестного поля Ε, Η. Можно ожидать,
что при удачной аппроксимации возмущенного поля они будут
принимать значения, близкие к точным, т. е. с малой ошибкой будут
давать приращения собственных частот и постоянных
распространения, элементы матрицы рассеяния и т. п. Однако в отличие, например,
от экстремальных функционалов, выражающих вариационные
принципы, функционалы сравнения не содержат внутреннего критерия
(например, нельзя сказать, что точное значение есть минимальное
значение функционала). Обоснование того или иного вычислительного
приема, таким образом, должно заключаться в самой
аппроксимации возмущенного поля.
Очевидно, что простейшей аппроксимацией является так
называемое нулевое приближение, когда возмущенное поле полагают
идентичным начальному. Естественную область применения нулевого
приближения составляют задачи, в которых возмущение условий
состоит в слабом изменении свойств среды. Поэтому, например, на
основе нулевого приближения можно построить теорию
регенеративных полых систем — резонаторов и волноводов [10]. Поясним это
на простейшем примере. Пусть требуется исследовать эффект
регенерации в магнитоактивной среде, помещенной в полый резонатор (речь
может идти о парамагнитном и ферромагнитном усилителях или
генераторе). В начальном состоянии внутренняя среда характеризуется
тензорами проницаемостей ελ и μ,—функциями координат, поскольку
они должны описывать заполнение объема активным веществом;
тензоры эти, вообще говоря, неэрмитовы, так как должны быть
учтены потери в среде. Возникновение регенерации (под
влиянием стороннего фактора) будем рассматривать как эффект
возмущения. Очевидно, что при этом Де = 0 и Δμ = μ, где μ —
неэрмитово приращение тензора магнитной проницаемости, получаемое
из теории физического явления в среде. Взяв формулу (16.9), напишем
( Δμ/ty?* dv
ω2 Γ μιΗ2Η*1 dv
ν.

§ 17]
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
245
Поскольку обычно компоненты тензора приращения μ по модулю
во много раз меньше диагональных компонент начального тензора μ,
то можно считать, что в результате регенеративного возмущения
«оптическая плотность» среды изменилась исчезающе мало. Это и дает
основание применить нулевое приближение, т. е. положить Е2 = Ελ
и H2 = Hi- Если добротность резонатора в начальном и
возмущенном состояниях достаточно высока, то комплексные собственные
частоты <»! и ω2 можно представить в виде
(Q — добротность), и из предыдущего получается
f μΛ/j Й\ dv
_L«U?dl_L_Im-£.
να
Отсюда, в частности, можно найти условие порога возбуждения
системы, взяв Q2—>оо. Совершенно аналогично рассматривается
волновод. Рассуждения незначительно усложняются, если в результате
регенерации возникает связь между несколькими резонирующими
полями.
Однако область использования нулевого приближения теории
возмущений оказывается довольно узкой, поскольку необходимым
допущением является здесь не малость возмущения в среднем в VQ,
а малость возмущения в каждом элементе V0. Так, например, как бы
ни было мало изменение собственной частоты резонатора в результате
помещения в него небольшого шарика из оптически плотного
диэлектрика, для вычисления этого изменения нельзя применять нулевое
приближение.
Когда возмущение вызывается прозрачным телом (т. е. со
значительным преобладанием токов смещения над токами проводимости),
которое по некоторым своим размерам значительно меньше длины
волны в наиболее плотной из сред (речь идет о самом теле и
внешней по отношению к нему среде)
ί/<1λ, (17.1)
то с успехом применяется квазистатическое приближение
[1 — 4, 6, 9]. Оно заключается в том, что поле внутри возмущенного
тела находится при решении вспомогательной электростатической и
магнитостатической задач. С практической точки зрения,
квазистатическое приближение следует считать наиболее важным способом
аппроксимации возмущенного поля. Дело в том, что квазистатические

246
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
формулы, будучи очень простыми, при выполнении исходной
предпосылки (17.1) весьма точны; в то же время существуют операции
(например, измерение ε и тензора μ ферритов), где это требование
соблюдается по независимым причинам. Ниже квазистагическое
приближение будет рассматриваться отдельно.
Стремление расширить область использования функционалов
сравнения для практических расчетов привело к использованию так
называемого дифракционного приближения [7]. В этом случае
для нахождения поля внутри возмущающего тела вместо двух
статических решается одна дифракционная задача. Последовательное
применение такого подхода требует разложения начального поля полой
системы на элементарные волны (например, плоские) и рассмотрения
дифракции каждой из них на возмущающем теле, что является первым
шагом. Затем должны быть рассмотрены многократные отражения
дифрагированных волн в полой системе и многократная дифракция.
Поскольку без упрощений сделать это можно только в отдельных
случаях, дифракционное приближение не универсально. Оно не
может конкурировать с методами Галеркина и Ритца, приводящими·
к универсальным алгоритмам, которые к тому же проще по
построению.
17.2. Квазистатическое приближение. Рассмотрим задачу о
помещении в однородное электростатическое или магнитостатическое
поле тела А (рис. 4.9, а). Если речь идет об однородном изотропном
эллипсоиде (причем как его вырожденные формы могут
рассматриваться плоский слой, цилиндр и сфера), то, как известно, задача
имеет аналитическое решение. Поле внутри эллипсоида (Е или Н)
оказывается параллельным и однородным и может быть выражено через
первоначальное поле (Е0 или Н0)
е(и) е(н) в виДе
Ε = Νβϋ и Η = NmH0, (17.2)
^Ц£ЛР где Ne и Nm — тензоры
деполяризации.
а/ 6) Принцип квазистатического
приближения заключается в том,
что возмущенное поле внутри
малого в сравнении с длиной волны
эллипсоида в полой системе выражается через начальное поле по
формулам (17.2) и аналогичным. Оправдание этой аппроксимации—в
справедливости ее при (rf/λ.) —> 0, где d—наибольший размер эллипсоида.
В случаях же бесконечного цилиндра или слоя, а также конечного
цилиндра и пластины, действующих как их элементы («без краевого
эффекта»), d — поперечный размер, т. е. толщина слоя или диаметра
цилиндра. Но при пользовании формулами типа (17.2), кроме малости
возмущающего эллипсоида (17.1), надо еще требовать, чтобы он

§ 17]
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
247
находился на расстоянии от границы полой системы, значительно
превышающем его размеры:
d<^r, (17.3)
В противном случае выполнение условия (17.1) нельзя считать
удовлетворительным приближением к предельному состоянию (ίί/λ)—>0. При
более подробном обсуждении этого обстоятельства будут сделаны
оговорки, касающиеся цилиндров и пластин. Однако, когда
требование (17.3) не соблюдено, квазистатическое приближение может быть
реализовано в иной форме. Именно, вместо формул типа (17.2) берутся
аналогичные решения статических задач при наличии идеально
проводящей плоскости (учет «зеркального изображения»
возмущающего тела).
Формулы типа (17.2) можно получать и при определенных видах
анизотропии эллипсоида, сферы, цилиндра и слоя. Этот вопрос
рассматривался в связи с поведением намагниченных ферритов в
резонаторах и волноводах. Полученные результаты сохраняют практическое
значение, поэтому ниже будут приведены наиболее важные
квазистатические соотношения для гиромагнитных областей. Вывод их
производится по обычной методике
теории стационарных полей [1— 3,6].
Тензоры проницаемостей гиро- С ' ~
магнитной среды имеют вид ^ ПГЦГ
О \
е = ίε1 и μ =
η)
W„
При этом подразумевается
ортогональная, вообще криволинейная, б)
система координат, третий орт Рис. 4.10.
которой е3 указывает направление
постоянного намагничивания, создающего гиротропию; проекции на
плоскость, перпендикулярную к е3. будут обозначаться символом _|_.
Тензоры проницаемостей внешней среды обозначены е = /е0и μ = /μ0
(пустота). Разумеется, все приводимые соотношения могут быть
использованы в случаях изотропного возмущения (достаточно лишь
положить в них μ! = μ3 и μ2 = 0), а также гироэлектрического
(с помощью принципа двойственности) и т, д.
Начнем с бесконечного гиромагнитного цилиндра. При продольном
намагничивании (рис. 4.10, а) имеем следующие соотношения между
полями Ε, Η и Е0, Н0:
2μ0{(μ1+μ0)//0_| +Ιμ2[Η0, ez]}
п— |-"оз У1'-0)
0*ι+μο) — щ

248
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
Е =
2е0
е,4-е(
■£oj_ -\-Е(я·
(17.6)
Квазистатическое приближение не отличается от нулевого, если
начальное поле параллельно оси цилиндра. Если же поле Н0 лежит в
поперечной плоскости и поляризовано по кругу
Н0 = с (έ>! ± le2).
то формула (17.5) принимает вид
2μ0
Н =
μ, ±μ2+μ0
//„.
(17,5а)
Сравнивая это с аналогичным соотношением для изотропного цилиндра,
можно сделать вывод, что гиромагнитный цилиндр в данном случае
ведет себя подобно изотропному с магнитной проницаемостью
μ = μι ±μ2-
Пусть теперь гиромагнитный цилиндр намагничен поперечно, как·
это показано на рис. 4.10, б. Тогда вместо предыдущих
соотношений имеем следующие:
И __ (Мч +Ио) но\ + Уг \lhu еъ\
μι +μο
2μ0
Λ0 μι
7Γ _ι_„ π02~
μι -г μ»
4ιο
μ^ + μ(
·//„«
Ε = -уЧЬт (£02 + £оз) 4" £οι ·
(17.7)
(17.8)
Формулы (17.5) — (17.8) применяют как соотношения между
начальным и возмущенным полями для подстановки в различные
функционалы из § 16. При этом за исключением задачи о продольно-
однородном возмущении
волновода цилиндр имеет конечную
длину, и степень приближения
зависит от ряда геометрических
факторов. Поясним это при
помощи рис. 4.11, на котором
схематически показаны три
характерных случая. Первый из
них (а) наименее благоприятен,
так как проявляется не учитываемое действие концов. В случаях б
и β возмущающий цилиндр как бы бесконечно продолжен благодаря
влиянию своего «зеркального изображения» в стенках, и каждый его
участок, не исключая концевых, может рассматриваться как элемент
бесконечного цилиндра. Но лишь в условиях последней задачи (в)
незнание зависимости возмущенного поля вдоль оси цилиндра, строго
"J
ί'·)
Ч_У
6)
'не. 4.11.
"'
S)

§ 1Л
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
249
говоря, не имеет значения при любой его длине. Действительно,
торцовые стенки действуют как бесконечные плоскости. Вся система
при этом — цилиндр, бесконечно продолженный отражением в
основаниях, и возмущение не изменяет продольной зависимости поля.
Отметим, далее, что под г в (17.3) следует понимать расстояние
от оси цилиндра до стенки (рис. 4.11),
Если возмущающее тело — гиромагнитная сфера (рис. 4.12), то
формулы (17.2) принимают вид
Зц0 {(μι +2μ0) Η01+1μ2 [A/q. g3]} 3μ0
Η
(μι + 2μ
ο;
Ε =
2
4
3ε„
μ3 + 2μ0
(17.9)
+ 2ε,
£0
(17·10) Рис, 4,12.
(ср. (17,5), (17,6)). При поперечном поляризованном по кругу
начальном поле получаем выражение, аналогичное (17.5а),
3μ0
Н =
н,
о>
(17.9а)
μ, ±μ2+2μ0
дающее основание для вывода об эквивалентной магнитной
проницаемости μ = μ1 + μ2.
Для нормально намагниченного гиромагнитного слоя (рис. 4.13, а).
// = //о^+-^//оз (17.11)
Из
Е1
wv.
Ε=Ε0ι -Ь
а при касательном
(рис. 4.13, б)
Η =Н
+ —{ΜΌν+'Μ/Ότ· ез1)
(17.12)
намагничивании
Ot"
(17.13)
Рис. 4.13.
£ = £0t+£03 + ^£0v (17.14)
(v0—нормаль к слою, τ0 — орт, направленный по касательной,
перпендикулярный е3).
Формулы (17.11) — (17.14) применяются при квазистатической
аппроксимации поля внутри гиромагнитных пластин. Поскольку
краевые эффекты здесь значительнее, чем в случае цилиндров конечной
длины, тем более желательно, чтобы края пластины примыкали
к металлической границе полой системы. Степень выполнения
неравенства (17.1) в данном случае не имеет прямой связи с требова-

250 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 4
нпем (17.3), так что последнее снимается. В частности, пластина
может лежать на металлической границе.
Возвращаясь к цилиндрическим и сферическим телам, отметим,
что влияние металлической границы в первом приближении может
быть учтено, если пользоваться следующими формулами.
1. Цилиндр при продольном намагничивании, параллельный
ближайшей металлической границе —
2μ0{(μ1 + μ0)^ο + 'μ2Κ^1} , „
// = . (-"оз. (17.15)
0*ι + 1·ιο) —1*2
где
Но = //о ί 1 — (—Υ } + (—) 2 2μ°{(μι+μ°)Λ/° + 'ίΐ2[//°'^1ϊ
2h ) ) \2lij ^(-f-μ0)2 — μ2
Ό
И
В этих формулах h—расстояние от проводящей плоскости до оси
цилиндра, a R — его радиус. Предполагается, что в области цилиндра
вектор Е0 перпендикулярен плоскости, а вектор Н0—параллелен.
2. Сфера при произвольном намагничивании —
3μ0 {(μ, + 2μ0) Н'й { + /μ2 [н'0 ±, е3]}
fi = '-
(Hi + 2μ0) — μ$
ι 3μ0
μ3+2μ0
έΓ^Κ <17·">
где
Я0 ι = tfo ι Л - I — Υ1 + ί—Υ 3μ°^μι+2μ°)//ο^ + 'μ2[//ο^ g3!
и
2Λ У J \2hJ (μΙ + 2μ0)';-μ^
3ε0
^Ш'т^К (17Л8>
ε,+2ε0 \ ~ \3hj ε,+2ε
Векторы Е0 и //0 ориентированы в области гиромагнитного тела
так же, как и прежде. Соответственный смысл имеют обозначения
/? и А. Индекс ν при векторном произведении означает
проектирование на нормаль к проводящей плоскости. -
17.3. Квазистатические формулы возмущения [1—4]. При
подстановке полученных квазистатических соотношений в функционалы
из § 16 и применении—в большинстве случаев — приближенного
интегрирования возникают очень простые формулы, выражающие
приращения собственных частот и постоянных распространения, а также
элементы матриц рассеяния полых систем при гиромагнитном (в
частности, изотропном) возмущении.

§ 17]
АППРОКСИМАЦИЯ" ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
251
Рассматривая возмущения резонаторов, будем исходить из
функционала (16.11) и ограничимся сначала задачами с невырожденными
начальными колебаниями либо такими, что вырождение снимается при
возмущении заранее известным образом (эти случаи в практике
нередки). Считая при этом V<^LV0, заменим знаменатель в (16.11)
приближенным выражением
W= |(ε0£20+μΧ)^, (17.19)
ν,
что и позволяет аппроксимировать возмущенное поле лишь в области
возмущения среды.
На рис. 4.14 схематически изображены резонаторы, возмущаемые
различными гиромагнитными телами. В случае гиромагнитной сферы (а)
о) 6) «)
г) д)
Рис. 4.14.
внесем в числитель функционала (16.11) в качестве Ε и Η их
квазистатические представления (17.9), (17.10), произведем действия под
интегралом, принимая во внимание выражения проницаемостей (17.4),
и будем считать начальное поле внутри малой сферы V не зависящим
от координат. В результате получается
Αω __ 4π^ ί |(μ, — μ0) (μ1 '+2μ0) — μ|] \_HQ[ |2--ί3μ0μ2 [//* , , Я0 j ]3
— — —- j μ0 (ivf^T^i*!
+ ^^^|Я0зР+е0^т|г|£0р}, (17.20)
где R — радиус сферы.
В случае разонатора с гиромагнитным цилиндром при продольном
намагничивании (рис. 4.14, (?) подобным же образом на основании

252 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
(17.5), (17.6) находим
Δω_=_^Γί2 Q? - μ2, - μ2,) \Ν0±\2- /2μ0μ2 [Н*0 {, Η0±]3
ω ~ W J Ι ^ (μ,+μο)2_μ2 +
+ (μ3-μ0)\Η(α\^2ε^=^\Ε0±^ + (ει-ε0)\Ε(α\ήάΙ, (1721)
где сохраняется интегрирование по длине L цилиндра, R—радиус
цилиндра.
При поперечном намагничивании цилиндра (рис. 4.14, в) с
помощью формул (17.7), (17.8) получаем
Δω_ яЯ2 С [ (μ?—μ|-μ2) I Я0[ |Β+2μ0(μ[-μ0) | Η02 |2-/2μ0μ2 [Η^ , , Λ/0 J3
ο
ω IF J Ι μ, +μ0
+ 2^-|г4г!г1Яоз12+2е0^^(|£02|2+|Я0зРЖе1-ео)|£о,Р}^·
μ3 ~τμο ч ~гьо )
(17.22)
Для резонатора с гиромагнитной пластиной при нормальном
намагничивании (рис. 4,14, г)
Δω d
μ0
■ j { 0χι - ίχο) | Ηο± Ρ — Ί*2 [Hlr Ηο±1 +
+ 11Г(^-^о)|Чз|2 + (е1-е0)|ео1|2 + -^(е1-е0)|£0з|2[^ (17.23)
(остается интегрирование по поверхности пластины), а при
касательном намагничивании (рис. 4.14, д)
^ = ^ж|{^^-^о)|я0,|2 +
+{^г- - μ°)' я°*р - ίμ° τ- [Η*+· Ηΰι]3+
+ (μ3 — Μ·ο) Ι ^оз Ρ + (ει — ε0) (! Ε0χ \2 + j E03 p) +
+ -^(ε,-ε0)|£ονΙ2}^. (17-24)
где d — толщина пластины. При получении формул (17.23), (17.24)
использованы квазистатические соотношения (17.11)—(17.14).

§ ιη аппроксимация возмущенного поля 253
Итак, квазистатические формулы возмущения резонаторов (17.20)—
(17.24) имеют строение
j(^NeE0El+^NmH0H*)dv
^=_Ji , (17.25)
\ (^Ε0Εΐ+μ0Η0Ηΐ)άυ
где Ne и Nm — тензоры деполяризации, к которым сводятся
соотношения типа (17.2). Пусть теперь в начальном состоянии имеет место
двукратное вырождение, так что двум начальным электромагнитным
полям £,, //[ и Е2, Н2 соответствует одна и та же собственная
частота невозмущенного резонатора, приращение которой должно
быть найдено. Если в результате возмущения вырождение снимается
(«расщепление» собственной частоты), то каждое из собственных
полей в состоянии возмущения предстает как вполне определенная
линейная комбинация возмущенных собственных полей Ех, Нх и Е2, Н2.
Поэтому в знаменателе функционала (16.11) надо положить
Е=аЕг-\- ЬЕ2 и Η = аНг + ЬН2,
а в числителе
E==Ne(aE, + bE2) и Η = Nm(aH, + bH2).
Обозначим b\a = \. Если это отношение известно (например, из
соображений симметрии), то вычисление величины Δω/ω, по существу,
не отличается от предыдущего; взяв в качестве начального поля
линейную комбинацию с данным ξ, опять приходим к формуле (17.25),
в которой Е0 = аЕг -\- ЬЕ2 и Н0 —- аНл -\- ЬН2.
Однако в общем случае отношение ξ заранее неизвестно и должно
быть сначала определено. С этой целью, взяв в качестве начального
собственное поле Ег, Нл, запишем:
(Де7Уе (аЕг +ЬЕ.2) Ε*ι+ΑμΝιη (аНг+ЬН2) н\) dv
Δω ν
ω ]"(е0в|£,|»+ЦоЛ|//.|а)Л>
ν,
Вид знаменателя этого выражения обусловлен тем, что поля Е}, Иг
и Е2, И2 ортогональны в V0. Нормируя электрические и магнитные
собственные функции, как это обычно делалось в гл. 1—3, и
обозначая в дальнейшем
Эпк = [ AtNeEkE'ti dv и Mnk = j" А\МтНкН*п dv, (17.26)
ν ν

254
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
будем иметь
Δω 1 (а
-мп + 1(э2} + м2,)}.
(17.27а)
в качестве начального
Μϊ2ή.
(17.276)
Аналогичный результат для случая, когда
взято поле Е2, И2, имеет вид
-^=_1{э22 + ж22+1(э
Если Э12 = Э21 = Ж12= М21 = О (собственные поля Ех, Нх и Е2, Н2
при возмущении остаются ортогональными), то как видно,
ξ—величина неопределенная, а формулы
(17.27) переходят в (17.25) для
каждого из собственных полей.
В противном случае будем
исходить из того факта, что при одном
значении ξ (из двух неизвестных
пока значений %г и |2)
формулы (17.27) выражают один и
тот же сдвиг частоты. При-,
равнивая на этом основании
правые части, получаем следующее
квадратное уравнение
относительно ξ:
ξ2(321 + Μ21) +
+ цэп + мп-э22~~м22)-
— Э12 — М12=0, (17.28)
корни которого ξ] и ξ2 отвечают
двум собственным полям
возмущенного резонатора и позволяют вычислить соответствующие сдвиги
начальной собственной частоты. Подобным же образом исследуется
вырождение колебаний более высокой кратности.
Переходя к волноводам, начнем с записи общего вида
квазистатической формулы приращения постоянной распространения, к
которой приводит функционал (16.22):
г)
Рис. 4.15.
{(ΔεΤν^ + ΔμΤν^*),**
ΔΓ = ω
\ {[& Н0] + [Ео, H*0\}zds
s0
Для краткости обозначим
1
N = ±\ {[El H0] + [EQ, Hl]}zds.
(17.29)
(17.30)

§ 17] АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ 255
Начальные постоянные распространения в дальнейшем вещественны,
поэтому в зависимости от того, какому классу принадлежит
начальная волна, будем иметь:
(17.30а)
ДЛЯ
ДЛЯ
для
/7-ВОЛП
N =
Е-волн
N =
_ 2Г0
ω2
2Г0
" ω2
ТЕМ-воли
N = ^
ω
уЯ
-ί
So
17 J
So
Ι£θ
l?0
£J"|"oP
\2ds-.
\2ds·
ds =
So
-45-Ji
So
Дт/i
ω r μ
^0ί
~0'
^
|2rfs,
|2ufS,
l^o Ρ
(17.306)
(17.30b)
So
Разумеется, формула (17.29), как и (17.25), употребляется при
отсутствии вырождения, а также в тех случаях, когда вырождение
снимается при возмущении заранее известным образом.
Полученные в п. 17.2 квазистатические соотношения позволяют
записать несколько конкретных вариантов формулы (17.29) для
возмущения волноводов продольно-однородными гиромагнитными телами
(рис. 4.15).
В случае продольно намагниченного цилиндра (рис. 4.15, а) имеем
лг nR2 ί η (μι — μ2 ~ 1*ο) Ι Я0112 — ®W2[Hq_L' hoj ]з
+ (μ3-μ0)^03Ρ4-2ε0-5^-|Ε0±Ρ + (ε1-ε0)|Ε03ρ}. (17.31)
а при поперечном намагничивании (рис. 4.15, б)
ΔΓ=:
_ — \ (μι ~ *1 - Мо) | я0112 + %h (μι - l*o) I Ho212 ~ i2№ К j.. но ±]з
^ Ι μι + μο "t"
+2μ° US;' я°з |2+2ε° ΐτϊ(' £°212+' Е°з |2)+(ει ~εο)'£m |2} ·
(17.32)
В случае пластины при нормальном намагничивании (рис. 4.15, в)
i
АТ=1г\{^-Ы\и0а \2~Ын'ог "о^4^г0*з-1*о)1"оз|а +
+ (^-^)\Ε0±\2 + ^{ε1-εο)\Εωγ\άΙ (17.33)
о

256 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. 4
и при касательном намагничивании (рис. 4.15, г)
I
ΔΓ^ίΐΪ7(μι-μο)|/^|2+
о
+ (μ3- μ0) Ι Я0312 + (е, - ε0) (| Εύχ p+| £03ρ>+-5ΐ (e, _ εο) | £uv ρ | dl<
(17.34)
где интегрирование производится по одной стороне контура
поперечного сечения пластины, ad— ее толщина.
Вырождение волн в начальном состоянии требует того же
изменения действий, что и вырождение начальных колебаний резонатора.
Легко показать, что при двукратном вырождении опять возникает
квадратное уравнение (17.28), в котором теперь
Э„к = J beNeEkE'n ds и Mllk = J ΑμΝ,,,Η,Μΐ ds (17.35)
(собственные волны начального состояния нормированы).
Наконец, рассмотрим получение квазистатических выражений
элементов матрицы рассеяния волноводного трансформатора на основе
функционалов (16.34), (16.35), (16.39), (16.40), (16.42), (16.45).
В отличие от предыдущих они содержат неизвестное
возмущенное поле только под знаком интеграла по области возмущения среды,
который имеет вид
Q% fk) = J (ΔεΕϋ,Ε** + Δμ//(ίj//**) dv. (17.36)
ν
В квазистатическом приближении
Q**, = J {UNeEtEt; + ^iNmHtH%%)dv, (17.37)
ν
это близко по форме к числителю общей квазистатической формулы
возмущения разонатора (17.25). Поэтому различные частные виды
квазистатического выражения Q (17.37), соответствующие задачам,
схематически представленным на рис. 4.16, могут быть записаны прямо на
основании формул (17.20)—(17.24), после чего применяются в
качестве непосредственных выражений элементов матрицы рассеяния фор-

§ 17] АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ 257
мулы (16.34), (16.35), (16.39), (16.40), (16.42)—(16,45). Так,
например, в случае рассеяния на гиромагнитной сфере
п± ±
Чт (к) —
[(μι - μ0) (μι + 2μ0) - μ22] Н£±Н*\ - |3|*Ы*2 [Н±\, //? J3
(μι+2μ0)2— μ22
= 4π/?3{ μ0
-μ0
^з Но
ΗкзНπιΆ ~\~ £θ ■
tF±*\
μ3 + 2μ0'™"^^ + 2^
Вопрос о точности квазистатических формул возмущения будет
обсуждаться в гл. 5.
17.4. Примеры задач [1—4]. Эффект Фарадея в
цилиндрическом резонаторе. Возьмем цилиндрический резонатор
с коаксиальным ферритовым цилиндром неполной длины,
намагниченным вдоль общей оси (все обозначения даны на рис. 4.17, а).
Рис. 4.16.
В простейшем, но наиболее практически важном случае в качестве
начального фигурирует поле НПр. Колебания НПр двукратно вырождены
по азимуту, и в результате возмущения вырождение снимается. При
этом из соображений симметрии заранее ясен характер снятия
вырождения: поляризация возмущенного поля на оси цилиндра должна
быть круговой (правой или левой). Однако к этому же выводу легко
также прийти чисто формальным путем на основании квадратного
уравнения (17.28). Взяв в качестве вырожденных начальных
колебаний £,, //, и Е2, Н2 два ортогонально ориентированных поля типа НПр,
имеем
&U — ^22- Мп ■-
м.
22'
^12 ^21 0
и М12 = —М21.

258
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
Поэтому из (17.28) следует
h.2=±L
(17.38)
т. е. возмущенное поле действительно поляризовано на оси
резонатора по кругу вправо или влево.
Таким образом, оба сдвига начальной собственной частоты могут
быть вычислены с помощью формулы (17.21), в которой начальное
поле Ипр берется с круговой поляризацией на оси. Такое «бегущее
//_
^-"ЧГ^
S)
W
~fi°il
к
2R
HI
г)
Рис. 4.17.
по азимуту» поле (т. е. с азимутальной зависимостью е±1а) будет
обозначаться символом Н1
1р-
Αωύ
R
(χ*οΓ
Χ
R0J 2{(xRQf-\}J2liXRQ)
iz \2 μι ± μ2 — ио / ^ ι L
k0) μ, ± μ2 + μ0 I A0 Ря
1
После несложных действий находим
X
μ, ± μ2 + μο \ Ц
2L. + L , dtlL'~
cos ρπ—-γ sin -^—
2Α, + Α
cos рл—-τ— si
ρη r La
°^)}
Ει+ε0 \Ц рл ^-^ f- ц -"" Ц ) \ ' '
(yRQ= 1,841, j^L = pn, Ь^=у?-\-у?\ Здесь двойной знак
согласован с индексом «+», который указывает направление круговой
поляризации.
Если вместо цилиндра в тот же резонатор, на его дно, поместить
полный гиромагнитный диск при прежней ориентации постоянного
поля (рис. 4.17,6), то равенство (17.38) по-прежнему имеет место
и при произвольном типе начального поля Нптр получается
^^\ate-1){w-'"}±2""t
Δω*
(17.40)

§ 17] АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ 259
(Х/?0 — один из корней уравнения Jn(%Ro) = 0). В случае неполного
диска оказывается (рис. 4.17, в)
Δωΐ =_ А_ (ХЛ2 1 у
ММ 1(χΛ0)2-η2Κ(χΛ0)
x{(t
ι)|4(χ«)(ι
χ2/?2
+ ^ Jn(%R)JU%R) + J'n\xR)](xR)2 ± 2 I n l^JUxR)}· (17.41)
Как видно, вырождение не снимается (иными словами, эффект Фара-
дея отсутствует), если nJ„(%R) — 0. Случай п = 0 тривиален: эффект
Фарадея не должен наблюдаться при азимутальной симметрии поля.
Если же размеры диска таковы, что ,/0(χ/?) = 0, то это соответствует
компенсации эффектов левого и правого вращений в разных частях
диска. Тогда приращение собственной частоты не зависит от
недиагональной компоненты μ2 тензора магнитной проницаемости.
На рис. 4.17, г показан тот же резонатор с гиромагнитной
сферой на дне. При прежнем намагничивающем поле для начальных
колебаний Ипр без учета влияния оболочки резонатора имеем
Асо± = о R ( ^\2/χΛ2 ^ο)2 И. + Иг—Ио (17 42)
Lo \*о) \ko) {(х*о)2 - 1 }А Μ 1*ι ± Η + 2и0
С поправкой первого приближения (17.17) эта формула принимает вид
Δω*
ω
_ η R (ΚΫ(%ζΫ (%Ray
-/.oUoJUJ №οΥ-ι)Ά№ο)"
v μ,±μ2 — μ0 Λ 1 μι ± μ2 — μ0 '
Αμ,±μ2+2Πο\ 8μ,±μ2 + 2μ0,
(17.43)
Эффект Фарадея в резонаторе квадратного
сечения. Поскольку и в этом случае верен вывод (17.38), то для
непосредственного использования формул (17.20)—(17.24) начальное
поле берется поляризованным по кругу. В простейшем случае это —
суперпозиция полей Н10р и HQlp, находящихся в квадратуре. В
результате для случая продольно намагниченного гиромагнитного
цилиндра (рис. 4.18, β) получаем
ω \α ) {\ka) μ,±μ2 + μ0\/.0 ' ря ' La Ц ) '
+ e1-e!L/L ±cospn2L>+L sin ^-)\ ■ (17.44)

260
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
Для ферритовой пластины, занимающей все дно и намагниченной
нормально (рис. 4.18,6),
d Ι \μ0 / Ио_1_ (17.45)
Δω*
Для сферы у основания цилиндра (рис. 4.18, в) с учетом—в
первом приближении — действия оболочки
Δω1
л С л г/χ.
Hi ± Иа — Но Λ 1 Πι ± Иг— Ио \ П7 46)
»о / Hi ± Иг Ч- 2μ0 \ 8 μ, + μ2 + 2μ0/ '
Четные эффекты. В качестве примера эффектов при
возмущении резонаторов гиромагнитными телами, не зависящих от знака μ2,
2R
Ч
ч
#_
/У=
Рис. 4.18.
рассмотрим несколько простейших случаев. На рис. 4.19, а показан
цилиндрический резонатор с продольно намагниченным ферритовым
цилиндром полной длины, соприкасающимся с оболочкой в пучности
продольного магнитного поля (тип поля Иир). Приращение
собственной частоты в этом случае оказывается следующим:
Δω
ω
(χ^ο)2
№)2
ι
Ио
(17.47)
Возьмем теперь прямоугольный резонатор с ферритовой
пластиной у стенки в пучности магнитного поля (тип поля Нт0 ). При
намагничивании, параллельном переменному магнитному полю
(рис. 4.19,6), имеем
Δω
2,2
т L,
т21%-{-р*а
2„2
Из_
Ио
(17.48)

§ 171
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
261
При намагничивании, перпендикулярном к переменному магнитному
полю (рис. 4.19, в),
Δω
2,2
т L
a miL^-\-рЧ2
А
■\4
(17.49)
Снятие вырождения при асимметричном
возмущении резонатора. Рассмотрим возмущение колебаний
цилиндрического резонатора Нир асимметрично расположенным цилиндрическим
2R
а)
■2Rn
d <■
#_
У/
Η-
А:
6)
V /
У
а
/л:-
6)
Р?
1С.
4.19.
телом (рис. 4.20, а). Если возмущающее тело изотропно, то
достаточно ориентировать начальные собственные поля Ev //, и Е2, Н2,
, л. ,
I I
#=
О)
б)
Рис. 4.20.
как это показано на рис. 4.20, (У, чтобы было Эп = Э21 = М12 =
= М21 = 0. Таким образом, определение обоих сдвигов начальной
собственной частоты сводится к применению формулы (17.21) для

262 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
каждого из начальных полей в отдельности. Однако в случае
продольно намагниченного гиромагнитного цилиндра эти поля при
возмущении перестают быть ортогональными и, следовательно,
предварительно должно быть решено квадратное уравнение относительно ξ
(17.28). Сохраняя ориентацию начальных полей, указанную на
рис. 4.20,6, имеем
Э22=2А £LZli!L./;S(xfl,)i-£ l-cospn2L,.+ L sin4—): (17.50а)
ε, — εη J2. (xR.) ( L \ 2L. 4- L pnL \
м„ = гл fc)' β^ΑΛ Λ'" ft*» I'- +1 c„s рл2А±_' .,„ "^ ■
(^i + μ·ο)2 — м-i 1/-0 /"i ^o Lo J
(17.50r)
хл2 •ΛΜ-'ίΜ
M2l = - Mn ^ *4Л У*'1 M*> χ
xti + ^^^^i^^'ir)' (17-50д>
где
После вычисления ξ, и ξ2 приращения частоты определяются по
формуле (17.27а) или (17.276). Легко проверить, что при /?, — 0
эти формулы переходят в (17.39).
Эффект Фарадея в волноводе квадратного
сечения. Рассмотрим возмущение вырожденных волн Ню и Нт
волновода квадратного сечения осевым продольно намагниченным
гиромагнитным цилиндром (рис. 4.21). Поскольку в данном случае
ξι <! = ± i, результат находится непосредственно по формуле (17.31).
Получаем
^ = 2JA)2ili±ll^+(^)2h^} (17.51)
Г0 \ а ) { μ, ± μ2 + Ио ! \ λ ) ε, + ε2 J '
(Λ — длина волны в пустом волноводе). Постоянная Фарадея
вычисляется как полуразность постоянных распространения волн проти-

I 171 АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
воположной круговой поляризации Г4 и Г-
Μ·θΜ·2
ΐ> = 4πί'^2Γη
(μ, + μ0)2
μ22
26*
(17.52)
Прямоугольный волновод с касательно
намагниченной гиромагнитной пластиной. Если пластина
расположена параллельно плоскости ζΟχ (рис. 4.22) и намагничена по
оси Ох (ориентация / постоянного поля), то формула (17.34) для
основной волны И10 дает следующий результат:
\2 ,
ΔΓ
Λ
ь
Α ψ
ί- = 7ΰΠ 1 Up h^-cosn sin —
Го 2b \ \ μ,μ0 /\2а/ \а ' л а а
+[^-'+('-Ш:
ι
1
2α, +1
,, , , ,, cosn—ν—sin :—Η. (17.53)
ε, / \ Κ / ] \α л 2 . α ] \ χ '
При намагничивании по оси Οζ (рис. 4.22, ориентация 3) имеем
ΔΓ d ί
Го 26 ( _ μ,μ0
μ?~
■+Ι·-£)(τ
г ι 2α, + ί лг
cos π sin —
μ3
-Η— — ι
1 * μο
Λ\2/ί . 1 2α, +1
\ cosn———si
λα I \ a ' л α
-ΐ)}"
(17.54)
Для вертикальной пластины, намагничиваемой по оси Оу (рис. 4.23,
ориентация 2),
М!['-^+(Ш-')Ь!^+
Λ V ( \ι{ — Щ
1 cos2
г. Λ μ, 2ita. I
1 +_-llSin——I, (17.55)
\2a j \ μ,μ0 J a 2a μ, a
а при намагничивании по оси Οζ (рис. 4.23, ориентация 3)
In ao
_μρ_
μ,
Λ \2 / ε
) t-^si?+£ Ё-1
i)cos^'}.
(17,56)
Двойной знак в (17.55) соответствует двум направлениям
распространения волны (необратимость).

264
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
Нормально намагниченная гиромагнитная
пластина в прямоугольном волноводе. Для горизонтальной
Го
μι
. μο
1 +
нормально намагниченной пластины (рис. 4.22, ориентация 2)
получаем
ΔΓ —JUfAWjiL —
2b I \ 2α ) { μ0
'Λ\2/, e„\l/J_
. α
Λ μ2 1
1 2α, 4-1 . ηΐ
— cos π——■— sin —
it a a
Ε,
1 2α, 4-1 . л1
— cos π ——— sin —
it a a
+
2at + l .
■smn——'■— si
α μ0 я а
"~\ ,(17·57)
(двойной знак имеет тот же смысл).
Для вертикальной нормально намагниченной пластины (рис. 4.23,
/
ориентация /)
{[■
4-
АГ
Го
ld_
аЬ
μ0
μβ
Λ λ) U
smz
_Λ_\2
2α
μ0
— 1 cos
■}. (17.58)
Коаксиальная линия с
гиромагнитной пластиной (рис. 4.24). При
намагничивающем поле, параллельном пластине, например
радиальном (/) или продольном (3):
ΔΓ
Ri—Ri
Рис, 4.24
4it „ „ , R2 \t0
RiR2 In.
±!-_Ш. (17.59)
Ri
При намагничивающем поле, перпендикулярном пластине (2):
АГ
Го
4it
R2 — Ri
RlRi in
μ3
(17.60)
Ri
Прямоугольный волновод с поперечно
намагниченным гиромагнитным цилиндром (рис. 4.25). В данном

§ 17]
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
265
случае приращение постоянной распространения запишем как
функцию угла ψ, характеризующего ориентацию намагничивающего поля.
Получаем
ΔΓ
Т7
~ аЬ \\2а)
2»Ь
\μ,+μο
2 2
'1*2 1*0
μο (μι + μο)
, μβ
cos^
+ 2
ε,+ε,
Λ
,0 \ λ
Λ
sin"
■ +
. cos2 ψΐ sin2 —- ± , -
μβ + μ3 / α μ, + μ0 α
. 2ла, .
sin Lsi
(17.61)
Кругл ы й волновод с поперечно намагниченным
гиромагнитным цилиндром (рис. 4.26). Центр
гиромагнитного цилиндра лежит на диаметре, ортогональном к электрическим
Рис. 4.26.
силовым линиям начального основного поля Нп. Намагничивающее
поле перпендикулярно этому диаметру. В этом случае
ΔΓ
R
2М2
,2 2
χ Α μτ-
2 2
μ2 — μο β, η ч
. ^ο) (Μ2 -1} А Ш 121 Γο) μ0 (μ. + μ0)
1*1 -г 1*0 μι -τ~μο * ο
мм ι
DI
1 e, + £ο V Γ
(γβ0= 1,841 ...).
(Χ^,)2
(17.62)
Вертикальный продольно намагниченный
гиромагнитный цилиндр в прямоугольном волноводе
(рис. 4.27, й). Пользуясь формулами (16.34) — (16.39), как это
сказано в п. 17.3, запишем элементы матрицы рассеяния данного волно-
водного трансформатора Ru и R\\, играющие роль коэффициента

^gg ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 4
передачи и, соответственно, коэффициента отражения для основного
типа поля Я]о:
\(^^-4)[^^+(2aV
[a j a b ( (μ! + )hf — mJ
α , 2na,
μι + μο)2-^' \λ/ Vo ) α )
- p-i sin2^- (17.63a)
(μ?-
/?n = -ie "л - -- τ—■—г-2 j г
\а/ α * | (μι + μ0) — ^2
+2(Ι)2(ΐ-Ή^} ο™36)
(Ζ — длина отрезка волновода). Выражения упрощаются, когда
цилиндр находится в области круговой поляризации начального поля
* α .λ
а, = α, ξξ— arcsin -ή— ■
1 1 л la
Создаваемый при этом гиромагнитным цилиндром фазовый сдвиг
проходящей волны (при отсутствии поглощения) имеет вид
*—-^w^um^+m^ οι- <"■«>
Необратимый фазовый сдвиг в этом положении максимален.
Приближенность квазистатических формул (17.63) и последующих
сказывается, в частности, в том, что они не удовлетворяют
энергетическим соотношениям.
Горизонтальный продольно на Mai-ничейный
гиромагнитный цилиндр в прямоугольном волноводе
(рис. 4.27,(5·)
D2i -ny. . -irBz. яя//гу Λ ί μ?—μΐ—μ§ (l 1 . 2ηΙ \
Rn = e —ie — — —\- -. Η 1 sin +
2 \ α ) b Ι (μι + μ-ο) — \4 V α 2π α /
oil , .иг^Л'/ЛУ Λ / μ2_μ2-μ2 /, j 2rti
Aj]] = --ie — — ι__ ι sm
1 \ a. I b \ (y-i + μ0) — \4 \ α 2π α

§ 17!
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
267
Вертикально намагниченная гиромагнитная сфера
в прямоугольном волноводе (рис. 4.27,в)
ti\ = e-lT°L-
*-'Γ·Μ4)4χ
!r ii Г 2 яа. , /2α\2 г, πα, "Ι
[(μ, - μ0) (^] + 2μ0) - μ^] [cos —L + (χ) si" -^-J
'Ν Ι (μ]+2μ0)2— Α
+
α 0 πα,
6μ0μ, —τ- sin ^ί
^ ^ Λ α
(μ, + 2μ0)2~-μ2
2α \2 ει — ε„ . , πα,
— — -sirr—ί
λ / Ej -{- 2ε0 α
ϊ
+
(17.66a)
Λίί
■ -/2Γ0ζ1ο 2/β \3 Λ .
= — ге '2π ( —) -τ-χ
Χ
I [(h - μ0)(μ. + 2μ0)- μ2] [cos2~- (χ)2 s!n2 ~]
(μ] + 2μ0)2-μ2
+
+
2α \2 Ε] — ε0
ι I in SIrl
-). (17.666)

268
Теория возмущений
[ГЛ. 4
Как и в случае вертикального цилиндра, максимальный необратимый
фазовый сдвиг наблюдается, когда тело расположено в области
круговой поляризации начального магнитного поля (а} == а*\. Полный
фазовый сдвиг проходящей волны в результате возмущения при этом
согласно (17.66а) равен (при отсутствии поглощения)
я, — _ arcto- 4π2 ίΆ V - — 1 1*ι ± l*a — μο
φ- ardgin j nj b Λ|μι±μ2 + 2μο
Ι (Α? Λ
2 [λ ) ε, +2ε,
J"}' (17·67)
Вертикальная гиромагнитная диафрагма в
прямоугольном волноводе (рис. 4,27, г)
п2] _ -Лу.
«п — е
-itл. л d A
л_ d_t±\(
А а а \ \
μ,
α, , 1 2ла,
— 4" or-Sin L
α 2л а
4 μ2 α ЯД]
т- Sin2
π μ, Λ α
+
2 2
Iх] — μ2
μ,μ0
■НхШ
2α
Χ
2πα
2π
н^)}; (17.68а)
Π.]]
■ ie
-Z2TV, Λ d Κ
4 α
AJ(l_JUL)f£L+ I sin
а Ц μ, / \ α ' 2π
2ла,
'μ? — μ|
ν μ^ο
— ι
2α
2л
2ла, \ Ί
(17.686)
Горизонтальная гиромагнитная диафрагма в
прямоугольном волноводе (рис. 4.27, (?)
R]] = e-iT°L-
■ η / л rf Λ Λ Ι
4 а о а {
μ,
2 2
Iх] — μ2
μ,μ0
— ι
2α"
~~Α~,
+
+te-·)(")> <"■«*>
*!! = ■
,-*2Гу
Л rf Λ Λ Ι μ0
4 ί i a |
μ,
μ2.
μ,μ0
ε0
2α^2
Τ
2α \2
λ
J\. (17.696)
Поперечный гиромагнитный диск в круглом
волноводе при осевом намагничивании (рис. 4.28, а).
Рассматривая дифракцию основной волны Ни на диске, необходимо учесть ее

m
АППРОКСИМАЦИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ПОЛЯ
269
двукратное вырождение. В качестве ортопормированных базисных
функций первого соединительного сечения ег (]), hr (]) и е2(])· ^о)
и соответственных функций второго сечения ел (2), й] (2) и ^2(2)· ^2 (2)
возьмем поперечные поля бегущих по азимуту волн Яп, используя
схему:
1(1)-ЯЛ 1(2)-ЯП
2(1)-ЯП 2(2)-Я„.
При этом из формул (16.34), (16.39) с учетом квазистатической
аппроксимации (17.37) сразу видно, что все элементы матрицы
рассеяния, соответствующие преобразованию правой волны в левую и
г_ -J
**fl* d
Г
·) '■
( 0^г)
\$_у
Рис.
*)
4.28.
Λ
г
-»-/Г
/^
■Я
*/
левой в правую при передаче, а также правой в правую и левой
в левую при отражении, обращаются в нуль.
Таким образом, трансформация основной волны вполне
характеризуется элементами
К\\ !
П.22 I
-tTaL
1е-Ы±(Щ
я (χ/?ο)2
ММ {(χ«ο)2-ι}^ι(χΛο)\
^^.(χ«)/;(χ«) + /ί2(χ«)]
о) j L μ0
1 +
±2
χ2/?2
μο (χ/?)*
+(1-йШаИ^)(1-ет)+уГН}(17-7^

270
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. 4
R\\) A^0j {(χΛ0)2-ΐ}/?(χΛ0)\
_Λ W ε, , \1 Γ, 2 ,.m/, 1 \ , 2
λ .
+ μ2 AW) ί _jh\ Ι χ ч2
~ μο (χ^)2 + ν μ3
^- ι)][·/?(χΛ)(ι -■5?^)-ΙΊ|--/ι(χΛ)^(χΛ) + ./ί>(χΛ)]:
(17.706)
(χ/?0= 1,841 . . .). Верхняя строчка слева от знака равенства
соответствует верхнему значению двойного знака справа, а нижняя
строчка — нижнему.
Результат (17.70а) позволяет описать эффект Фарадея,
вызываемый диском. Очевидно, угол поворота «плоскости поляризации» (т. е.
азимутальное смещение структуры поля) при прохождении диска есть
ft = Ψ+-^ = ^ (arctg lm Λ2Ι _ ardg. ,m д21) _
Если угол φ* мал (φ± ^ tgcp±), то выражение оказывается простым:
ft = _ __ ' . (17 71)
μ0 λ {(xV-1)/?(x^o)
Эта формула иным способом была получена в работе [6].
Гиромагнитная сфера в круглом волноводе при
осевом намагничивании (рис. 4.28, б). Условия симметрии
в данном случае те же, что и в предыдущей задаче, поэтому речь
идет о прежних элементах матрицы рассеяния. Находим
i | = e-'w -ie-^2JJLY A J2^ х
«22 j W Λ {(χ/?0)2-ΐ}/?(χ/?0)
w ( μι ±μ
Α\ μ, ±μ.
± μ2 — μ0 , / Λ \2
± μ2 + 2μ0 \ λ / ε, + 2ε0
(17.72a)
Х\Ж±И^^ + 1А.)2 Л^\. (17.72б)
/Μμι±μ2 + 2μ0 ' \ λ ,/ ε,+2ε0) ν -1
Отсюда, как и в предыдущей задаче, находится выражение угла
поворота «плоскости поляризации» при условии его малости
R \3 Яо (Χ/ίο)2 6μ0μ2
•~ш
Л ((ХЯо)2 - 1J ^ϊ (ЗС*о) (μι + 2μ0)2 - μ22 '
(17.73)

§ 18] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ — ШРЕДИНГЕРА 271
Гиромагнитная диафрагма в коаксиальной линии
(рис. 4.28, в). Полная гиромагнитная перегородка намагничена
перпендикулярно оси линии. При этом
2 9
μ, — μ2
«М'-^-^^+^Л^ (17·74^
2 2
Iх] — 1*2
μ3
*!! = -*—"^ |l__ + ±) (17.74б)
§ 18. Теория возмущений Рэлея — Шредингера
и системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
18.1. Свободные колебания резонатора; представление
индукций. Обычная теория возмущений Рэлея — Шредингера,
используемая главным образом в квантовой механике, может быть, как уже
отмечалось, применена и к электродинамическим задачам. Для
резонатора, возмущаемого изотропным телом, один из возможных
вариантов подобной методики был изложен в работе [11], но и при
анизотропии действия повторяются без существенных изменений. Начнем
с рассмотрения этого алгоритма.
Отправляясь от соотношений (16.6а, б), положим
ε, = /ε0> μ,=/μ0, ω,=ωΛ, E1—Ek, Н}=Нк
(k-e собственные колебания полого резонатора) и
ω2 = ω, Е2 = Е, ff2=iff
(исследуемые собственные колебания резонатора с анизотропным
телом). При этом получается
j μΗΗΙ dv — ak j zJEE\ dv = 0,
j μ0ΗΗΙ dv — ω j zEE?k dv = 0.
(18.1)
Тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости
возмущенного резонатора е и μ записываются в форме
e = Eq(I -\-ае)~1 и μ=μ0 (/-(-а/и)"1, (18.2)

272 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
где е и т — некоторые функции координат — тензоры, а а —
скалярный коэффициент, от координат не зависящий.
Построим следующие представления индукций D и В в
основном базисе:
Ν Ν
Ο» = ε0Ει-\-ε0ΣαηΕα и В" = μ,Η, + μ0 Σ baHa. (18.3)
η — 1 η = 1
Как известно (пп. 5.4, 8.1), сюда должны входить лишь вихревые
собственные функции, которые характеризуют систему
невозмущенных полей; они предполагаются обычным образом ортонормирован-
ными. Особенность записи (18.3) заключается в выделении 1-х
собственных колебаний (соответствующие собственные функции
фигурируют, в конечном счете, с коэффициентами 1 -\-at и \-\-bj). Это
связано с предположением, что
Е->Е(, Н~>Н( и ω->ω4· при а->0, (18.4)
т. е. возмущенное поле Ε, Η непрерывно переходит в Et< Я, при
исчезновении возмущения.
Сущность метода состоит в том, что коэффициенты
представлений (18.3) и собственная частота ω разлагаются в степенные ряды
по параметру а:
ап = ап\а + β«2«2 + ап3о? + . . ., |
*,г=Чг1а+*,г2а24Агза3+ .... (18.5)
ω = сог (1 -\- с,а -\- с2а2 -\- с3а3 -)- . ..). ι
Подстановка (18.2), (18.3) и (18.5) в исходные соотношения (18.1)
дает
з,е0 J fit (/ + ае) (е( + J β»Χ£») dv (18-6а)
ω,Λ + J с,</)е0 J ^/fi, + J β»Χ£»
\ ί / И0 \ л, ϊ
йг>--
= ωΑμ0 j Hl(i + am)(Ht + ^bnsasHn\dv. (18.66)
K„ \ л, i /

§ 18] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА 273
Как видно, члены, не содержащие а, выражают соотношения орто-
нормировки собственных функций. Приравнивая в (18.6)
коэффициенты при а, находим
•^(**|+С|У = е0 Jfi^E^ + a,,, (18.7а)
va
■^-(ви + сЛ/) = ^о [rfnmHidv + bn (18.76)
и, полагая k — l, определяем с,:
J_
2
Сг = \(Эц+Ми), (18.8)
где использованы обозначения
&kn = eo J E*keHn dv и Mft„ = μ0 J" Н\тНп dv. (18.9)
Величина
ω
(ι)
Ш((1 + с,а) = Ш/|1 +f (3tt+AiH)f (18.10)
выражает возмущенную собственную частоту ω в первом
приближении.
Приравнивая в (18.6) коэффициенты при а2, получаем еще два
равенства:
\ (**2 + С2**/ + Ci*«) = «*2+ Σ β«ι^*η (18.11a)
Ч
щ
(в*2 + С2в« + С1в*1) = **2+2*»1^*п- (18-116)
Полагая здесь k = t, а в (18.7) k = n, из (18.11) и (18,7)
Определяем с2:
С2==_1(э;._ж..)2 +
(18.12)
Таким образом, найдена1) возмущенная собственная частота во
втором приближении:
ω«'=ω/(1+6,
Процесс можно продолжать и дальше.
ш(2)=шг.(1+с,а + с2а2), (18.13)
') Результат (18.12), (18.13) был получен в [11] при рассмотрении
изотропного возмущения.

274 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 4
Очевидно, что рассмотренный алгоритм пригоден при отсутствии
вырождения либо в тех случаях, когда вырождение при возмущении
снимается известным образом, поскольку иначе невозможно выделить
i-e собственные колебания в (18.3) в соответствии с (18.4). Однако
необходимое обобщение легко выполняется.
Как и в п. 17.3, ограничимся двукратным вырождением, наиболее
типичным для задачи об электромагнитном резонаторе (многократное
вырождение анализируется аналогично). В этом случае собственной
частоте ω, соответствуют две ортонормированные собственные
функции £;,, Εί2 и две такие же магнитные функции ///,, Hi2. Поэтому
в (18.3) вместо Et и Ht выделяются линейные комбинации
Eix + lEi2 и //,·, +|tfi2,
и вместо (18.7) возникают несколько иные соотношения, которые
при k = iv i2 дают
bij + let = 9hU + \Э1г1г + a/s] (
(18.14a)
«ί,ι + ci = Mhh + lMtlt, + bilX, 1
βί1ι + !*ι = Λ1/,/1 + ρΐ/Λ + */,ι· j (18Л46)
Отсюда получается квадратное уравнение относительно с}
A —i-сЛЭ, . 4-М. . 4-Э.. 4-М. .) —
(18.15)
корни которого ci, и C\t используются для вычисления в первом
приближении двух возмущенных частот при снятии вырождения ω;. Что
касается коэффициента линейной комбинации ξ, то для него из (18.14)
можно получить квадратное уравнение
ξ" (Э,,,,-|- Mlxil) +1 (Э,,,, + MMl — 9t,t, ~ MlA) - 3hil — Milh = 0,
(18.16)
аналогичное (17.28). Могут быть получены и высшие приближения.
Ниже для прежней задачи будет рассмотрен иной алгоритм Рэ-
лея — Шредингера.
18.2. Свободные колебания резонатора; представление напря-
женностей. Тензоры проницаемостей возмущенного резонатора
выразим на этот раз в форме
8 = ео(/ + аё) и μ = μ0(/ + α/η), (18.17)

18]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ — ШРЕДИНГЕРА
275
где е и т — некоторые тензорные функции координат, а α—не за-
висяа;ий от координат скалярный коэффициент.
В отличие от (18.3) используем представления напряженностей
возмущенного поля Ε и Η.
Ν Λ"
EN = Et + %caEa-{- Σ Cn'En.,
Ν Λ"
Η" = Ηι + Σ dnHa + Σ dn-Hn.,
(18.18)
содержащие по необходимости потенциальные функции (пп. 5.4 8.1).
Поскольку последние можно рассматривать как собственные функции
оператора Максвелла задачи о резонаторе при собственном
значении ωΛ'=0, то, заменяя в (18.1) k на к', получаем
μΗΗ\-(Ιυ = 0 и \ zEEk. dv — 0.
v0 v0
(18.19)
Полученные соотношения теперь должны быть дополнительно учтены,
Подобно (18.5) полагаем
.У)
:W + c,Aa2 + W3+
d ir\= d its a-\-d (Λ a2-\-d it) αΆ-4-
ιι- ' ιι- >\ ' nK >2 ' ii- Ά '
ω = ω((1 ~f-c,a-)-c2a2-)-c3a3-)- ...).
Внося (18.18), (18.17) и (18.20) в (18.1), имеем
ι[ 1 + 2 csas)μ0 [ Η*(/ + am) Χ
(18.20)
ω
Χ ("ι + 2 й„/я„ + ^ *«'*«Ή«''
ufo :
оье,
Ιιο0
Ε\ Ι Ει + J] casa?En + J] с,г.,а0£,г.у и (18.21а)
Щ11 + 2 ^,αΛ e0 J £*, (/ + a J) X
Χ (4 + 2 с„УЯ„ + J] са.^Е„ \ dv =
\ η, s η', s /
= ωΛμ0 _[ Я* /Я, + 2 <*„У # „ + 2 а*'*^н«' )dv- (18.216)

276 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
Как и в (18.6), члены, не содержащие а, находятся в соответствии
с соотношениями ортонорыировки собственных функций. Приравнивая
коэффициенты при а, получаем
,IktnHidv-\-c\bki = Щ
ν.
£/ΛΙ+μ0 | H~kmHidv-\-cxbki=^ckl (18.22a)
и
см + ео I EleEidv^-cfiki =^-dkl (18.226)
ν,
и при & = ( определяем сг:
с
1 ,^
^{Эп~\-Ми), (18.23)
где использованы обозначения, подобные (18.9):
Экп ■= е0 J Е*кеЕп dv и Мки = μ0 J Я*/й/7л йи. (18.24)
Таким образом, в первом приближении
ω(]) = ω
1г(1+с,а)=:й;{1-|(Эг; + М«)}· (18.25)
Приравнивая в (18.21) коэффициенты при а2, получаем два новых
соотношения:
СО;
dki + 2j dn\Mk!t -f 2j dn'i^iftn' + c2bki + ci(Aifti + dk\)
η η'
(18.26a)
и
Cft2 ~Ь 2JC«1«9a„ + 2j Cn'i3kn· -\-C2bki-\-Cl0kt -\-Ck\)=^dk2-
η η'
(18.266)
Для реализации второго приближения теперь надо взять в (18.22)
k = n, что приведет к определению сп1 и dnl. Кроме того, надо
найти спч и dn'\. С этой целью внесем (18.18), (18.17) и (18.20)
в (18.19), что дает
μ0 J Η\· (/+ am) ///, + J] й„,а4Ял + J] dn-sasHn\ dv = 0 (18.27a)
Ио Ч л, i л', i /
И
e0 J £*,- (i-^^El-\-J^cnsafEn-^y^lcn.sasEn.yv = 0. (18·276)
V« \ n, s a', s

§ 18] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА 277
Приравнивая здесь коэффициенты при а, находим
rfft-i + Aift'j = 0 и саМ + Зйч = 0. (18.28)
В результате из (18.26) с учетом (18.22) и (18.28) определяем
коэффициент с2:
с2 = 11 3 (Э?( + Mb) + 2ЭиМи J +
+ Τ Σ ^Ч ί — Φηβιη + ^в Д„)+ Λ*„ Д „ + ΜίΒ5Β/1 +
+ у^0я'/Эг,г. + Мв.,уЙ,в·). (18.29)
η'
что дает возможность вычислить возмущенную собственную чгстоту
во втором приближении (18.13).
Если из-за снятия вырождения при возмущении нет основания для
выделения г-х собственных колебаний в (18.18), то, как и ранее,
выделяется линейная комбинация вырожденных собственных функций.
В случае двукратного вырождения получается следующее квадратное
уравнение относительно с}:
+ 1 {(Эм- +MMl)(3M!+M/a/!) _ (£,,,,+ ΛίΜι) (Эу. + уЙ,,,,)) =0
(18.30)
(ср. с (18.15)), а для определения | достаточно заменить в (18.16)
Экп на Экп и Мкп на Mkn.
Формулы первого приближения теории возмущений Рэлея—Шре-
дингера (18.10) и (18.25), вообще говоря, существенно грубее
квазистатических. Например, формула (18.25) применительно к функционалу
(16.8) выражает нулевое приближение, которое для пространственно
малых возмущений обычно хуже квазистатического, а в
исключительных случаях совпадает с ним. Вопрос о сравнительной точности
формул второго приближения и квазистатических не имеет однозначного
ответа (в различных конкретных задачах сравнительная точность
оценивается по-разному). Во всех случаях пространственно малых
возмущений квазистатическое приближение предпочтительно хотя бы ввиду
своей простоты. В тех случаях, когда возмущение остается слабым
(малое изменение собственной частоты), но область возмущения среды
не мала в сравнении с длиной волны, квазистатическое приближение
заведомо непригодно, а формулы второго приближения теории
возмущений Рэлея — Шредингера с успехом могут быть применены. Но

278
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. 4
большие возмущения остаются вне области применения рассмотренных
алгоритмов (независимо от порядка приближения) ввиду
использования в них степенных рядов.
Практическое значение теории возмущений Рэлея — Шредингера
в прикладной электродинамике сравнительно невелико, поскольку для
универсальных алгоритмов на основе уравнений Галеркина—Ритца
(гл. 2, 3) при ослаблении возмущения в большой области можно
ожидать только улучшения сходимости. Она не является столь же
полезным дополнением к этим алгоритмам, как формулы квазистатического
приближения, которые при своей простоте пригодны именно в той
области задач (пространственно малые возмущения), где применение
уравнений Галеркина — Ритца менее рационально. По этой причине
мы не будем рассматривать другие возможные применения теории
возмущений Рэлея — Шредингера (деформация внешней границы,
свободные волны и рассеяние в волноводах и т. п.), а также оставим
в стороне вопросы ее обоснования.
18.3. Сведение задачи к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Отправляясь от теории возмущений Рэлея —
Шредингера, можно, как показал В. Г. Феоктистов, прийти к
совершенно иному алгоритму для задачи о свободных колебаниях
нерегулярного резонатора.
Начнем с некоторого обобщения изложенного. Речь пойдет о двух
близких возмущенных состояниях «1» и «2», для которых
проницаемости внутренней среды резонатора можно записать в виде
е, = е0 (/ + ««)■ μι = μ0(/ + α"ί) ]
и J (18.31)
е2 = е, -)- Аае0е, μ2 = μ, -f- Ααμ0ηι, )
где символы имеют тот же смысл, что и в (18.17), но в отличие от
предыдущего а не является малым параметром.
Запишем необходимые для дальнейшего две частные формы
соотношений (16.6а, б), получаемые подобно (18.1):
ω2, 1 J ^2, ХИ% β*1, 2 dV — »., 2 J \ 2£2, Α. 1 UV = 0'
V" Va (18.32)
ωι, 2 J \ 2Я2, ι#ΐ, 2 dv — ω2_, \ e2> fi% fa 2 dv = 0.
ν, ν,
Индексы «1» и «2» соответствуют двум рассматриваемым состояниям
(благодаря двум вариантам индексов здесь совмещены две записи).
Очевидно, в качестве поля £,, Я, можно брать различные
собственные колебания первого состояния, т. е. ЕУ = Е ιη и /7, =//,/),
где подразумеваются собственные функции, принадлежащие системам

18]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ — ШРЕДИНГЕРА
279
{Еп, Еп<] и {//„, Нп<), причем подчеркивание индексов, как и в гл. 1, 2,
делается, чтобы отличить системы от основного базиса. Поскольку
в общем случае тензоры е, и μ, неэрмитовы, эти функции связаны
с собственными функциями сопряженной задачи соотношениями
биортогональности (п. 1.2), так что при обычной нормировке
ei£,(0^(0dv= j \цНk{l)H*n{l)dv = oft(,y,,. (18.33)
va ~ - va - -
Выделим невырожденные собственные колебания первого
состояния Et, Hv переходящие во втором состоянии в Ε, Η. По аналогии
с теорией возмущения Рэлея — Шредингера запишем представления
функций Ε, Η
Ν Ν'
E\i) = Et -f- 2i cinEn -\- Zj Cin'E,,',
- η-l ~ rt'=l
Ν Λ"
Η(ί) = Hi + 2 diaHn-\- 2 din-fin·
n=\ —
rt'-l
(18.34a)
и степенные ряды
С^(/)==^(/)'Аа + С^(Аа)2+ "
ω = ω, {1+сг1Да + с(2(Аа)2 +
(18.35a)
и то же самое для сопряженной задачи:
N N'
Ey)=Ej-\- ZiCjnEn-\- Zi Cjn'En·,
л-1
N
rt'-l —
Λ"
H{1) — Hj-\-^idjnHn-\- 2 d/n'Hn'
n-\ - rt'-l —
(18.346)
/rtl'
; (0 Δα + c (Λ (Δα)2 + .. .
ιέ ' in 2
5/»(/) = 5/»(/)< Δα + V0*(Δα)2 + ''
со = ω* {1 + cp Δα + cp (Δα)2 +
Образуем производные
rlFN.
da.
■■ lim
Δα-»0
\ (18.356)
■r
d//,
(0
Δα
ύία
■= nm
Δα-Ю
Η(ϊ) — Hi
Δα
(18.36)

280 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Как видно из (18.34), (18.35),
[ГЛ. 4
dE:
(i)
da
Σ Ciii.,£i'+ 2^^·ι£«·.
л-I
dH(l
л' = 1
/V'
da
~ = Σ dt'Lifi'l + 2j "%',fi!'
л' = 1
(18.37)
и подобные же выражения могут быть записаны для сопряженных
представлений Еу-, и //(/>■ Производные представлений определяются,
таким образом, коэффициентами с ,/-, , d ,л , с m и d m . Желая
г ΎΎ ij£ >l iny >l Jny Ί £ny h
выразить производные, перейдем к определению этих коэффициентов.
Полагая в (18.32) при первом варианте индексов £,
„(')-
Ηλ = Η (/), ω, = ω (/) и £2=£, //2=//, ω2 = ω, причем Ε и Η за-
меняются их представлениями Е(ц и /7(<) (18.34а), а ω согласно (18.35а),
имеем в результате приравнивания коэффициентов при Δα
„О
Μ ItS -\-d IIS -\-C,,b (I)
Э its -А-С its —|— C.,6 (I)
„O
«г
W
^ (18.38a)
(«V = 0),
где
e£,£ (/) du и ΛΊ ,,,
:μ0] mHjr^sdv. (18.39)
v0 -
В аналогичной операции при втором варианте индексов фигурирует
поле Ё2, Н2 и уже используются представления EN и HN (18.346),
в результате чего получается
ω
Э (П-\-с it) -А- с ό (η
Μ tl)-\-d (t) -\-C b it) :
ik lk ' -" Lk L
ω. jkK >\
ω
*<'> ~.
>*<'>!
(18.386)

§ IS] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА
При г φ k из (18.38а) находим
С in = ·
i/ If) = ·
оДшЭ^ + ш^Я^
oft(')_ шг
(ШЛ)*+в4Л*С|)
ωΛ(0 — <эг
а из (18.386) при j Φ k(,)
С If)
(l If) =
ι (ω Э ,Λ + ω (/)Λ? ,Λ
Λ У У* * У'< ^
со j η — а
йи у
^(V'V^^y^
ν>-ω/
281
(18.40а)
(18.406)
При i = k в (18.38а) и у = 6 в (18.386)
сп = - т (Э» + %■ I
W/I
rftil = -4-(3w-M/()
(18.41а)
|(5>у+Жуу).
ί уУ. — d*Jf = — т (Э;7 — Ж уу)
(18.416)
Если г = у, то с , = С(, что находится в соответствии с имеющим
место в этом случае равенством ω* = ω.
Что касается коэффициентов сцх, (1ц,, с }и и djh< то в их вы"
боре допускается известный произвол. Однако необходимо
учитывать, что в любом состоянии (при любом а) собственные функции
должны быть ортонормироваиы. Поэтому наложим на представления
требование:
J &2Е^Ё^ dv = J μ2Η^Η'^ dv = bun- (18.42)
va v.

282 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 4
Внося сюда представления (18.34а, б) и выражения проницаемостей
(18.31), получим в результате выделения коэффициентов при Δα:
Эпь-\-спк1 -\-скп\ = 0,
~~ ~Г " \ (18.43)
Mnk-\-dnk\-\- dkn\ = 0. J
Чтобы не войти в противоречие с (18.43) при эрмитовых тензорах
проницаемостей, надо взять
сгп=—уЭ_г/, duj — —-jMu (18.44а)
и
~с)п = - J 9Lt Tjji = - ™ Μjj. (18.446)
Теперь мы можем сделать следующий шаг и сосредоточить
внимание на величинах Э m ,η и Μ m /η, а также собственных часто-
* 'it- ' К- 'пк
тах ω (г) как функциях независимого переменного и. Рассмотрим
производные по α от 5/, и Mji. Очевидно, первая из них есть
d3jt г dEt _, г dE)
= eoje4^Eidv^eojeEi'}ltdv- (18-45)
ν, ν,
Находящиеся под знаком интеграла производные собственных
функций можно было бы заменить соответствующими рядами Фурье.
В распоряжении же имеются представления эгих производных (18.36)
(аналогично для сопряженных функций), выражаемые суммами типа
(18.37). Заменяя производные их представлениями, положим
d3n r dE" _. г dlK
Внося сюда суммы типа (18.37) с коэффициентами, которые даются
формулами (18.40) и (18.44), получаем дифференциальное уравнение
da , .
n-I, (Λφι)
,ι^Ι, {ηφ j) w± 1
-»Σ
Λ"
5ζ·β'ζ· - i hi <%+%)■ <■* 8-47)
π'-Ι

5 18]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА
283
Аналогичное дифференциальное уравнение, содержащее производную
функцию Mji, имеет вид
dMn " Bi(fflA+fflA() -
da п-у%Ф1) ω«-ω1
+ L -' ~f7 π2- " м*г
Λ"
— 2 Σ ^'HLMii' — Τ MjL (%+ ^;/)- (18-48)
η'-ι
Наконец, поскольку из третьей строчки (18.35а) следует
de>
(ω = сог при Δα = 0), то возникает третий тип дифференциального
уравнения:
da 2
<ЭС1 + Мп). (18.49)
При вариации индексов I, j=\, 2, .... N уравнения (18.47) —
(18.49) образуют систему обыкновенных дифференциальных
уравнений, которая может рассматриваться как редуцированная
бесконечная (N—>оо) система.
Напомним, что выше предполагалось отсутствие вырожденных
колебаний. Это обстоятельство пока не позволяет ввести в
рассмотрение уравнения типа (18.48)—(18.49) с потенциальными функциями
под интегралами в левых частях (они оо-кратно вырождены при
нулевом собственном значении). Если ограничиться классом задач,
в которых выполняются условия разложимости полей по
квазивихревым подсистемам [Еп] и {//„}'), то cin'S — din's = Q и суммы,
содержащие интегралы с потенциальными функциями в (18.48) — (18.49),
выпадают. Тогда остается лишь получить начальные условия для
системы уравнений (18.47) —(18.49).
С этой целью положим а = 0; это дает
е =.= /е0, μ = /μ0;
Еп = Е„, Н„ — Н„ и ω„ = ω„.
') Легко убедиться, что они аналогичны условиям разложимости по
вихревым подсистемам {£„} и {Я,,} (п. 5.4).

284
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
Это —вихревые собственные функции пустого резонатора,
образующие основной базис (гл. 2), со своими собственными
значениями. Таким образом, начальные условия имеют вид
Экп>
ω«Ια_ο = ω«· (18.50)
Мка;
18.4. Дальнейшие обобщения. Чтобы преодолеть ограничения,
наложенные выше, и получить систему обыкновенных
дифференциальных уравнений при произвольном возмущении внутренней среды
резонатора, перейдем к рассмотрению вырожденных колебаний.
Пусть щ - вырожденная собственная частота невозмущенного
резонатора (а=0) произвольной кратности, и мы располагаем
соответствующими собственными функциями £/,, Ηι', Ει2, Ηί2; . . .
Предположим, что при рассматриваемом возмущении (α Φ 0) вырождение
полностью снимается. Очевидно, что использование представлений
(18.34а) допустимо лишь в том случае, если при α — 0 (когда Ек = Ηk
и Нк = Η к) вырожденные собственные функции Et и Нь представлены
в виде таких линейных комбинаций Eh и His, что возмущение поля
происходит непрерывно и производные (18.36) сохраняют смысл.
Эти линейные комбинации обозначим Et (i) и Hi(sy функции будем
считать ортонормированиыми. Полагая, что каждая из собственных
функций под знаком суммы в (18.34а) при га = 0 может быть
вырожденной, индекс η будем рассматривать как n(s) (различные s при
разных п). Все сказанное распространяется и на сопряженные
функции; при га = 0 имеем Е„ — Еп и Нп~-Нп.
Взяв а—О, обратимся к соотношениям (18.38а), в которых при
этом снимается подчеркивание индексов (по существу, они переходят
в (18.22)). Пусть ή = ί(β) и t=t(y), тогда при &Фу имеем
Μι (β) ι (γ) + di (γ) ϊ (β) ι ~ ct (γ) ι (β) ι' ι
5<ίβ) /(γ) +C<«y) г (β) Ι = £ί<(Υ) Πβ) Ι· J
откуда
3,(β)/(ν) + ^/(β><(γ> = °: $ФУ, (18.51)
а при β —γ возникает соотношение вида (18.41а), которое мы не
выписываем. Равенство (18.51) есть не что иное, как дополнительное
начальное условие, присоединяемое к (18.50) при наличии
вырожденных собственных колебаний в невозмущенном состоянии.
Экп |а-о = е0 J eEnEk dvi
Μ
kn |α=ο = M-oJ тНпН*к dv^

§ 18]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА
285
Заметим, что для непрерывности возмущения при а = 0
достаточно потребовать сохранения ортогональности вырожденных
собственных функций невозмущенного резонатора, когда α Φ 0, Заменяя
в (18.33) индексы k(' и п(' на г (γ) и г'ф), получаем
5ί'(β)ί(γ) — °
и ^ί (β) Μν) = °·
(18.52)
что согласуется с предыдущим.
Итак, при вырождении невозмущенных собственных колебаний,
которое при а Ф 0 снимается, к начальным условиям (18.50)
добавляется (18.51) или (18.52). Уравнения (18.47)—(18.49) остаются
в силе при замене каждого индекса η на совокупность индексов n(s)
(s=\, 2, ..., sn), в соответствии со сказанным подчеркнутым
индексам η (у) и л (β) отвечают уже невырожденные колебания. Однако
при а = 0 уравнения (18.47), (18.48) изменяются: члены сумм со
знаменателями вида coj (β.
ωΐ
f становятся неопределенными, и
раскрытие неопределенностей приводит к иной форме дифференциальных
уравнений. Возьмем в качестве примера один из членов первой суммы
в (18.47), полагая n = i(fi) и ϊ = ί(γ). Однократное применение
правила Лопиталя ввиду (18.49) дает
ω1(ν) (toi(Y)5i(P)i(Y) +tuL(P)jML(P)i№)
°ι (β)"
4Κΐ>)
Ui(V)
Ια=0
βι (β) Ι № [(Э1 № I (y)+Mi (у) ί {\))+Μί (β) Ι (\) (Э1 (β) ί ф)+Д: (β) Ι (β))] 3)1 (β)
2 Ψ ι (β) г (β) + &ι (ρ) t- (ρ) — 3i (Υ) i (Υ) — Mf (Y), (Υ))
4
/ ddi (ρ) f (Y)
da
d^l (β) ί (γ) \ «
' ^;ί (β)
rfo
2 (·5( (β) г (β) + Μι (β) г (β) — Зг (γ) г (Υ> — Мг (Υ) , (Υ))
Совершенно аналогично преобразуются другие неопределенности,
возникающие в (18.47), (18.48) при а = 0,
Однако общая форма системы уравнений (18.47) — (18.49) все
еще не получена, поскольку отсутствуют уравнения типа (18.47),
(18.48) с потенциальными функциями в левых частях. Поэтому теперь
введем представления Ε{ί>) и //(Г), построенные подобно (18.34а):
Λ"
Λ"
(18.53)
л'-I

286
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
(поля удовлетворяют условиям разложимости по потенциальным
подсистемам [Еп·] и {//„■]; аналогичные условия рассмотрены в п. 5.4).
Здесь же подразумевается построение степенных рядов вида (18.35а)
с той разницей, что сГо, = 0 в силу равенства ω = ω, = О,
Ввиду вырождения всех потенциальных собственных функций
введено начальное условие, подобное (18.52)
Эгк,=0 и Mt,k, = Q, 1'фк', (18.54).
определяющее выбор Е{> и //;< (при а=0) путем составления
линейных комбинаций из первоначально взятого набора функций.
Для определения производных
da " da
надо, как и в п. 18.3, найти коэффициенты при первых степенях Δα,
т. е. в данном случае с,п,х и d„ ,у Подразумевая, что вместе с (18.53)
рассматриваются, как и ранее, представления сопряженных полей и
соответствующие степенные ряды, запишем соотношения ортонор-
мировки
Ι ^Κ:·)άν= \ ^^ΊΗ^ν = \,η, (18.55)
(ср. (18.42)). Отсюда находим
я я ι n'k'l ' k'n'l I
Mn'k' -{-dn'k'i --\-dh'n'\ = 0
(18.56)
(ср. (18.43)). Поскольку никаким иным требованиям определяемые
коэффициенты не подчинены, положим
1 Ά
Ck'n'l ' 2 Я'*"
Cn'h'\ 2 n'k"
взять производные
d3 ,(0,(0
J l
_ r_ -~ тл
d*'n'I = — Ι^ί'*'
d* — Μ
dM
L i.
(18.57a)
(18.576)
da " da
которые в п. 18.3 рассматривались только с нештрихованными
индексами. Заменяя их выражения типа (18.45) представлениями типа
(18.46), а затем внося под интегралы суммы с коэффициентами, ко-

5 18] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ РЭЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА 287
торые определяются формулами (18.40), (18.44) и (18.57), получаем
следующие дифференциальные уравнения:
иЪ N'
n'-I
Λ =—=: ψ— Эуп
, . ω„ — ω,
η-Ι, (ηφ-£ι I L
Λ"
η'-Ι
ίίο
и далее
Ν
2
2
■ = —2i M2'i'Mi'z'' i18-61)
n'-l
dMj4 " «.(соД^+соД,,.) „
\ -^ - ~ - - Жу,„.
rfo
η-Ι,(η=£ί) 'i I
/V'
— τ Σ Μ,-η-Μη., —i-Μ,,Λί/.,; (18.62)
л'-l
—_^_ = V s 2 ^"ηί' —
/V'
"" 4 Σ %!'^-'i' - Τ MuMLt·. (18.63)
Уравнения (18.58) — (18.63) при Р, />=1, 2, ..., Ν(0 в общем
случае должны быть включены в систему уравнений (18.47)—(18.49).
В заключение отметим, что в пп. 18.3, 18.4 был рассмотрен лишь
один из возможных примеров сведения краевой электродинамической
задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по
параметру возмущения. В частности, этот путь пригоден не только для

288
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 4
резонаторных, но и, например, для волноводных задач; можно
исследовать как возмущения объема, так и деформации границы. Однако
подобный подход еще не нашел практического применения.
Следует подчеркнуть, что в основу метода можно также
положить представление индукции, как в п. 18.1.
Литература к гл. 4
1. В. В. Никольский, Измерение тензора магнитной проницаемости
и диэлектрической проницаемости ферритов, канд. дисс, 1955.
2. В. В. Никольский, Измерение параметров ферритов на СВЧ, ч. 1
и ч. 2, Радиотехника и электроника 1, № 4, 447 и № 5, 638, 1956.
3. В. В. Η и к о л ь с к и й, Гиротропное возмущение волновода,
Радиотехника и электроника 2, № 2, 157, 1957.
4. В. В. Η и к о л ь с к и й, Расчет фазовых сдвигов гиротропных неоднород-
ностей в волноводе методом возмущения, Радиотехника и электроника 2,
№ 7, 833, 1957.
5. А. Г, Г у ρ е в и ч, Квадратичные соотношения для сред с тензорными
параметрами, Радиотехника и электроника 2, № 8, 950, 1957.
6. Н. Suhl and L. R. Walker, Topics in guided wave propagation through
gyromagnetic media, p. 3, Bell System t. j, 33, 1133 (1954).
7. Β. Β. Η и к о л ь с к и й, Нахождение внутреннего поля в методе
возмущения при помощи решения дифракционной задачи, Радиотехника и
электроника 3, № 5, 690, 1958.
8. В. В. Никольский, Поперечный ферритовый стержень в
прямоугольном волноводе, Радиотехника и электроника 3, № 6, 826, 1958.
9. В. В. Никольский, К вопросу о неоднородных гиротропных средах,
Радиотехника и электроника 3, № 12, 1518, 1958.
10. В. В. Η и к о л ь с к и й, Теория ферромагнитного усилителя на основе
принципа возмущения, Радиотехника и электроника 5, № 1, 141, 1960.
11. A. Cunliff, R. Q о и 1 d, On cavity resonator with non-homogeneous
media, Proc. J. Ε. Ε. 101, p. IV, № 7, 1954.
12. J. Miiller, Untersuchung iiber elektromagnetische Hohlraume, Hoch-
frequenztechnik und Elektroakustik 54, 157, 1939.

ГЛАВА 5
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
Рассматривавшиеся в предыдущих главах методы приближенного
решения краевых задач в большинстве случаев имеют определенную
теоретическую гарантию: для каждого из них можно указать
процесс, в пределе приводящий к точному результату. Например, для
нулевого приближения теории возмущений в задаче о резонаторе
с неоднородной средой это постепенное выравнивание среды, а для
квазистатического приближения — неограниченное уменьшение
возмущенной области. При использовании же различных уравнений Галер-
кина—Ритца это процесс неограниченного увеличения порядка
матриц jV->oo. Соответствующие вопросы сходимости будут
отдельно рассмотрены в гл. 6.
В ряде случаев такого типа гарантия вполне достаточна: требуется
лишь заранее знать, что конкретные условия при решении задачи
близки к предельным. Так обычно обстоит дело при реализации
прямых методов с помощью ЭВМ, поскольку при этом доступно
решение систем линейных алгебраических, а также обыкновенных
дифференциальных уравнений достаточно высокого порядка. Однако
о погрешности результата приходится судить лишь косвенно (см.
ниже, гл. 7). Отсутствие непосредственных оценок погрешности
в методах Галеркина — Ритца и подобных можно считать признаком
их теоретической незавершенности. Однако следует учитывать, что
теория прямых методов встречается здесь со значительными
трудностями.
В связи со сказанным подчеркнем, что в качестве результатов
прямых методов для электродинамики основной интерес представляют
не выражения полей, а значения различных характеристических
параметров: собственных частот резонаторов, постоянных
распространения волноводов, элементов матриц проводимости или рассеяния вол-
новодных трансформаторов и т. п. Эти параметры (или их функции)
могут, с некоторой точки зрения, рассматриваться как стационарные
значения определенных функционалов, принимаемые ими в классах
допустимых функций. Таким образом, выдвигается проблема оценок
функционалов. В дальнейшем будет видно, что от ее решения
зависит преодоление отмеченных трудностей.
Существенно, что на все рассматриваемые классы
электродинамических задач распространяются сформулированные выше (§ 3) вариа-

290
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
ционные принципы, и в распоряжении имеются функционалы,
обладающие в ряде случаев экстремальными свойствами. Порой
достаточно точное значение характеристического параметра (например,
собственной частоты) можно получить путем подстановки в
функционал простой почти случайно взятой функции, что требует лишь
незначительной вычислительной работы. Это могло бы в некоторых
случаях сделать излишним применение вычислительной машины;
однако надо иметь возможность удостовериться в достаточной
точности результата. Если точное значение характеристического
параметра есть нижняя граница (минимум) функционала, то любая
подстановка в пределах допустимого класса дает значение параметра
с избытком. Если существует также способ нахождения
результата с недостатком, то решена проблема его оценки с известной
точностью. Действительно, среднее обоих значений выражает
параметр с ошибкой, не превышающей их полуразности. Дальнейшая
задача состоит в минимизации этой ошибки. Построение днусторонпих
оценок характеристических параметров задач электродинамики и
(в качестве первого этапа) собственных значений является, таким
образом, центральным вопросом.
Эта проблема, которую можно отнести к вариационному
исчислению, является сравнительно новой. Лишь в 1949 г. Тозно Като [1]
получил двусторонние оценки собственных значений симметричного
оператора, обладающие удовлетворительной общностью. Но из-за
специфических трудностей развитие оценок пока не привело к
созданию универсальных алгоритмов для электродинамических задач.
Заметим, что перенос в электродинамику выводов, полученных для
положительно-определенных операторов, часто ведет к ошибкам,
а возможности вычислений путем простых подстановок в
экстремальные функционалы в ряде исследований переоцениваются.
Затронутые вопросы и обсуждаются в дайной главе.
§ 19. Простые оценки собственных значений
19.1. Верхние границы собственных значений. Надо выяснить,
при каких условиях вариационные принципы позволяют находить
собственные значения операторов электродинамики с избытком, или,
иными словами, «верхние границы» собственных значений. Начнем
с обоснования некоторых предпосылок из § 3.
Возьмем симметричный оператор J?, потребовав дополнительно,
что в задаче
ЗГиа = кпдиа (19.1)
оператор веса q также симметричен (в рассматриваемых
электродинамических задачах это — эрмитов тензор). Пусть совокупность
собственных значений задачи (19.1) или, как говорят, собственный

§ 19] ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 291
спектр оператора J? (вес q подразумевается) имеет вид
λ,<λ2< ... <оо. (19.2)
Собственные функции ип ортогональны с весом q и нормированы
к единице.
Введем в рассмотрение произвольную функцию α ζ D^. Полагая
(независимо от рассмотрения в п, 5.1), что система {«„} полна,
запишем ряд Фурье:
со
«=2«A· α,Γ-=(<7«. «J- (19-3)
— π -1 — ~
При этом имеет место равенство Парсеваля (см. п. 5.1)
СО
{qu. и)= 2| aj. (19.4)
Далее строится функция JsPa, разложение которой по [qun] дает
следующий ряд Фурье:
Очевидно,
так что
Λ=2&Λ bn = (J3>u, α„). (19.5)
£„==(«, ^ия) = Кпап,
со
^»=2йА?вя· (19.6)
Будем называть это спектральным представлением опера-
гора J3?. Ряд (19.6) получается также путем непосредственного
применения операции J? к ряду (19.3) почленно. Образуя
со
(-2Ί*. α)--=2λΒ|β„|2, (19.7)
л = 1 —
ввиду (19.2) имеем
со
(-2Ί». β)>λ! H|a„|2 = V<7a, «)■ (19.8)
Отсюда
^<-Ц^-^-==Ф(а), (19.9)
т. е.
λ1 = ιηΐηΦ(«) = Φ(«Ι). (19.9а)
Этот вывод сохраняет формальный смысл и при λ: = 0. Заметим,
что по принятой терминологии ([2], § 6) оператор называется
положительным, если {3sи, и) > 0 для всех 0 Φ «£ D%. Таким

292
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
образом, в случае λγ=0 оператор не является положительным.
Если же Xj > 0, то J?—положительно-определенный
оператор.
Пусть теперь выбор и производится при ограничении
(qu, «0= 0.
Тогда ах = 0 и Ь1 = 0; это позволяет вместо (19.8) написать
(J&u, α)>λ2 2| αη|2 = λ2(?α. «)■
При более общем требовании:
(qu, «г) = 0, ί= 1, 2, . .., (ft— 1), (19.10)
получаем
со
(-2Ί*. α)>λ,2 |β„|2 = λ*(^α, и). (19.11)
откуда
λ*<¥^τ-ΞΞΦ(«), (19.12)
я ^ (<7И, и) у ' ν '
т. е.
λΛ=ΠΗηΦ(«) = Φ(«*). (19.12а)
Таким образом, если некоторая пробная функция u£D#
ортогональна с весом q к первым к — 1 собственным функциям
оператора J2? (упорядоченным по возрастанию собственных значений), то
Φ (и) дает верхнюю границу собственного значения Xk.
19.2. Распространение выводов на электродинамические
задачи. Обзор сформулированных ранее вариационных принципов для
задач электродинамики (см. § 3 и п. 9,1) приводит к заключению,
что полученные выводы о верхних границах собственных значений
непосредственно распространяются только на функционалы Фя и ФЕ
(3.24), (3,29), которые, как уже отмечалось, практически не могут быть
использованы, когда ε и μ одновременно — разрывные функции
координат, В соответствии с п. 19.1 тензоры проницаемостей должны
быть эрмитовыми, в результате чего ю — и. Функционалы, содержащие
различные модификации оператора Максвелла (например, Ф^ (3.20)
или Q (9.10)), выпадают из рассмотрения ввиду неограниченности
снизу собственных спектров. Что же касается приведенных к
удобному виду функционалов Фя и ФЕ (3.26), (3,31), то они отличаются
от типа Φ (и) но форме и требуют дополнительного исследования.
Стремясь к обобщению предыдущих выводов, рассмотрим Ф#(и),
налагая на и лишь требование принадлежности Drot (непрерывность

19]
ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
293
тангенциальной компоненты на S'( + ), см. п. 1.2). Ряд (19.3) имеет
вид
~ л = 1 rt'-l
d a
С)
:(μ«, Ηα1,ή,
(19.13)
где {//„, //„-}— система собственных функций оператора J2? н =
— rots-1 rot с весом ^ = μ. Мы будем рассматривать параллельно
два класса задач:
а) о свободных колебаниях резонатора,
б) о волнах продольно-регулярного волновода.
В случае а) функции /ζ Dx подчинены граничным условиям,
соответствующим идеальному проводнику, па замкнутой
поверхности 50, а в случае б) — на боковой поверхности обобщенного
цилиндра S6oK при f(S1)=f(S2), где Sj и S2 — его основания
(«однородно-периодические» граничные условия, п. 9.1).
Взяв, далее, систему собственных функций [Е1г, Еп>} оператора
^"^ = rot μ"' rot с весом д = г (оператор задачи а) или б)
соответственно), запишем следующие ряды Фурье:
e-'rotg=2 £„£„+ Σ U'Ea:
n-I " " n'-l " "
CO CO
rota = 2|Be£„+ Σ Ιη·ζΕΛ.
η-1
n'-I
I (,, =(rot«, Ε (0)
(19.14)
(напомним, что ε и μ — эрмитовы тензоры). Коэффициенты Фурье
преобразуются путем интегрирования по частям:
!(/■)= ί и rot £*(/) dv-\- Г [α, Ε*
,(')
ds.
S„ + S· (±)
В случае а) поверхностный интеграл обращается в нуль при
исходных предпосылках, поскольку и и Ε {Г)
непрерывны bVuE (r) =0
на S0. Чтобы прийти к тому же в случае б), наложим на пробные
функции дополнительное требование α(5Ί) = u(S2). Таким образом,
в обоих случаях
&»'=0. I
} (19.15)
|Β = ίωΒ(μβ, //„) = ίω„ <ί„ j

294
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
и, следовательно,
со со
(ε"1 rot и, rot «) = 2 ω^|£/„|2>ω]2 к«|2· (19.16)
Если соблюдено условие ортогональности пробной функции
потенциальным собственным функциям (с весом μ):
(μα, //г.) = 0, t'=l, 2, 3, ..., οο, (19.17)
то с учетом (19.13) имеем
(ε-1 rot α, rot α) >- ω2 (μ«, α)
или
(ε-rot a, rot «^
1^ (μα, и) ну ' к '
и
ш?=т1'пФя(а) = Фя(Я,). (19.18а)
Таким образом, вывод (19.9) обобщен на функционал (3.26) Фц при
эрмитовых проницаемостях, причем в отличие от п. 19.1 пробные
функции и ξ Dy: они могут не удовлетворять граничным условиям
на идеально проводящей оболочке резонатора или волновода.
Точно так же далее при наложении на α дополнительного
требования
(μα, //,) = 0, I, = 1, 2, 3, . .., /г — 1, (19.19)
аналогичного (19.10), получаем
2 ^ (e~1to{u, rot к) Γϊ/ . . ,,п пп.
ω-ί < ^—ошгто—^ Ξ ф"(α) (19·20)
и
α>| ==ιηίηΦί, (α) ==Фл (//*). (19.20а)
В случае а) величины ак в формулах (19.18), (19.20) —
собственные частоты исследуемого резонатора. В случае б) — это частоты,
при которых длина исследуемого отрезка волновода кратна длине
волны данного типа, а при выборе продольной зависимости и в виде
. 2л
е 1 — равна длине волны.
Наконец, отметим, что ввиду разложимости Нп по
потенциальным функциям основного базиса //,,· условие (19.17) можно заменить
на эквивалентное
(μα, Hr) = 0, i'=l, 2, 3, .... со, (19.21)

I9J
ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Перейдем к функционалу Ф'Е(и), и пусть сначала подобно пр
дыдущему и ζ Drot. Построим ряд (19.3) в виде
295
е-
n=.I — — n' = I— "
£„(')= fe«. £„n
(19.22)
где {£я, £„'}—прежняя система функций. Взяв другую из
фигурировавших систем {//„, //„'}, запишем ряды Фурье
μ-'rot и = Σζ,,//,. + Σ ζ«-//«'.
/г ^ I ~ л' — 1 "
οο со
я = 2 ζ„μ//„ + Σ ζ„-μ//„-,
rot гг =
(19.23)
/ι ~ Ι ~ д' =^ 1
ζ (ί, = f rot и, Я
,(')
Преобразование коэффициентов Фурье ζ ,η дает
ds.
ζ„('' = J utotHn(>)dv+ j ["■ "„(')]'
v» - s„+s'(±)L -
Теперь для уничтожения поверхностного интеграла мы вынуждены
наложить на и дополнительные ограничения: ит = 0 на SQ в случае
а) и их = 0 на 56ок; u(Sl) = u(S2) в случае б). Тогда
ζ,,-=0, I
} (19 24)
ς, = — to„ (ea, £„) = — ia>„cB, j
и потому имеем
OO СО
(μ-1 rot и, rot и) = У ω21 с Ι2 > ω? 2 k I2· (19.25)
η = I - - — η -1 --
Пусть аналогично (19.17)
(ε«, £г) = 0, '"=1, 2, 3 со. (19.26)
При этом ввиду (19.22)
(μ-1 rot a, rot «)^>ω2(εα, и)
или
т. е.
,; . (μ-' rot и. rot и) rr/ , .
ωϊ=ιηιηΦ£(α) = Φ£(£,).
(19.27)
(19.27а)

296 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
Продолжая, как н ранее, при наложении на и дополнительного
требования
(ей. £j) = 0, _£ = 1, 2 k—\, (19.28).
получаем
ω|<^^Τ^-φΗ") (19.29)
и
ω* = min Фе(и) = Ф'вЩ. (19.29а)
Интерпретация этих результатов не отличается от предыдущего.
Именно, различные щ, вычисляемые с избытком путем подстановки
подходящих и в функционал ФЕ(и), дают квадраты собственных
частот резонатора в случае а) либо частоты, при которых длина
отрезка волновода кратна Λ, в случае б). Но надо иметь в виду,
что па идеально проводящей границе области должно быть w.t = 0.
В заключение запишем эквивалентное (19.26) условие
(ей, £(')■= О, J' = 1, 2, со, (19.30)
которое справедливо, поскольку Е,,· разложимы в потенциальной
подсистеме основного базиса [Еп').
19.3. Вычисление собственных значений. Рассмотрим вопросы,
возникающие в процессе практического применения полученных выше
результатов. Для нахождения верхних границ собственных значений,
в принципе, может быть использован каждый из функционалов Фг(и)
и Ф//(«). Однако необходимость выполнения условий
ортогональности (19.19) и соответственно (19.26) пли (19.21) и (19.30) вообще
вызывает существенные затруднения. Удовлетворяющие им пробные
функции и известны лишь для определенных классов задач.
В общем же случае указанные условия приводят к бесконечным
системам уравнений относительно коэффициентов Фурье допустимых
функций, например, па основном базисе:
'■=>£+<9V==0 (19.31а)
и
'Ш 4- '_M'dr ~ 0 (19.316)
(бесконечномерные аналоги рассматривавшихся в п. 8.5 систем (8.746)
и (8.796)).
Установим некоторые правила выбора пробных функций и в замк-
нутой форме. В случае функционала ФЕ(и), как уже отмечалось,
должно быть и= 0 на S0 или, соответственно, на S6oK (волновод)
при их+ = ит_ на S'. Если среда кусочно-однородна и диэлектриче-

§ 19]
ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
297
екая проницаемость — скаляр (магнитная проницаемость — тензор
произвольного вида), то условия (19.30) принимают форму
2j εα Г иЕ*< dv = 0, I' == 1, 2, . . ,, со,
(19.32)
α-l V„
где εα — диэлектрическая проницаемость в частичной области Va
{~Σινα = ν0). Поскольку £;-= grad φ;, имеем
V εα φ*, divudv— εα f cp*,a£/s = 0,
α=ι ν„
(19.33)
1, 2,
Очевидно, что вся бесконечная система условий выполняется, если
в каждой из частичных областей пробная функция является
вихревой: diva=0, а на границах этих областей не имеет нормальной
компоненты: mv —0.
Взяв теперь функционал Фя(«). напомним, что пробные функции
сначала не подчинены каким-либо граничным условиям на Sa или S6o
но условия непрерывности ихл
на S' сохраняются. Пусть среда
кусочно-однородна и магнитная проницаемость — скаляр
(диэлектрическая проницаемость — тензор произвольного вида). Тогда условия
(19.21) принимают вид
ρ
]£]μα J uff*rdv = 0, i' = \, 2, .
<z = i v„
со,
(19.34)
где μα-
магнитная проницаемость в частичной
имеем
области V„. Полагая
%
:grad ψ;
ρ
J μψ*. и rfs-j-^ ( К { Ψΐ·« ds
бок
a-l
μα ψ. div a dv
a
1, 2,
со,
(19.35)
где μ под первым интегралом— кусочно-постоянная функция. Таким
образом, пробная функция и ортогональна потенциальной подсистеме,
если она является вихревой в каждой из частичных областей
(diva —0) и, кроме того, не имеет нормальной компоненты на
границах этих областей, включая внешнюю границу So· боч
Найденные правила выбора пробных функций в некоторых
случаях легко могут быть применены. Пусть рассматривается полый

298
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
а)
Рис. 5.1.
резонатор в виде цилиндра регулярного сечения, возмущаемый
произвольного вида диэлектрическим или даже продольно намагниченным
ферритовым цилиндром. Представление о поперечном сечении системы
дает рис. 5.1; в частности, его контур может быть прямоугольным (а),
круговым (б), эллиптическим (в)
и т. и. Будем искать низшую из
собственных частот в классе
колебаний с продольно-однородными
полями (например, в случае
резонатора в виде кругового цилиндра
(рис. 5.1, (У) это тип колебаний
квази-.Е010). Для подстановки в
функционал Φβ(α) возьмем пробную функцию и в виде электрического
поля низшего типа (в рассматриваемом классе колебаний) пустого
резонатора (тип £ΌΙ0 в случае кругового цилиндра, Еи0 в случае
параллелепипеда и т. д.). Поскольку это поле не имеет нормальной
компоненты на границе раздела сред внутри исследуемого резонатора,
а поля выделенного класса ортогональны с весом ε остальным
собственным полям возмущенного резонатора, все предпосылки
неравенства (19.29) выполнены, и можно вычислить требуемую собственную
частоту с избытком. Заметим, что она является низшей во всем
собственном спектре (k~\) только, когда длина цилиндра достаточно
мала в сравнении с его поперечными размерами, однако в
дальнейшем условно используем обозначение ων Взятую пробную функцию
обозначим £;, а соответствующую собственную частоту пустого
резонатора обозначим ω;. При подстановке Ех в (19.29) получаем
ωΙ 4ωι. гДе ωι
2 MU
(19.36)
(ωΙ — полученная верхняя граница ωι). Здесь фигурируют матричные
элементы из п. 8.1. В частности, при μ = /μ0 (диэлектрическое
возмущение) имеем
ωί ^ щ, где ωι
2 1
: Щ——
(19.36а)
В качестве примера возьмем резонатор квадратного поперечного
сечения с симметрично расположенным круговым диэлектрическим
О If у- ТТ V
цилиндром (рис. 5.2). В этом случае El = zQ·—γ= sin —-sin — и,
ay ε01 α a
как легко проверить,

§ !9] ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 299
Пусть ε;/ε0= 10. В табл. 5.1 приведены для различных 2R/a
результаты расчета значений верхней границы ω,, отнесенных к ω; и для
сравнения приведены «точные» ') значения ωι[ωι.
Таблица 5.1
2R
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
«Точные»
значения
ω,/ω,
1
0,859
0,634
0,506
0,432
0,386
Верхние
границы
ω,/ω.
1
0,884
0,694
0,558
0,461
0,401
Ошибка
приближенно
в %
0
2,9
9,5
10,3
6,7
3,9
2R
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
«Точные»
значения
ω,/ω,
0,356
0,337
0,326
0,319
0,317
Верхние
границы
ω,/ω,
0,362
0,340
0,327
0,320
0,317
Ошибка
приближенно
в %
1,7
0,9
0,6
^0
^0
Несмотря на весьма значительную оптическую плотность
возмущающего тела, полученные столь простым путем приближенные
собственные значения оказываются сравнительно точными.
Положительную роль сыграла здесь подходящая симметрия пробного поля Εν
На рис. 5.2 эти результаты представлены графически.
/
0,9
0,8
0,7
0,8
0,5
0,4
0,3 „ —
О 0,1 Ц2 0,3 0,4 05 06 0,7 0,3 ϋ„9 Ι
Рис. 5.2,
Если пробная функция £, по характеру симметрии
представляемого ею поля существенно отличается от неизвестной собственной
функции Еу, то результат применения формулы (19.36а) может
оказаться значительно хуже, чем в предыдущем примере, даже при более
простой конфигурации. Так, для задачи о резонаторе с поперечным
') В качестве «точных» взяты значения, полученные при решении
уравнений Галеркина — Рнтца высокого порядка (подробно об этом в гл. 7).

300
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
сечением, показанным на рис. 5.3, при пробной функции Ег =
(Еио) для ε/ε0= 10, как видно из прила-
= Ζη
Ϋ ablt
-sin-
■ sui
ку
гаемого графика,
О Ш OJ
03 0/< 0,5 0,6
Рис. 6.3.
07 0,8 09
b a
максимальная ошибка ο,^/ω, уже более 20%
(точные значения ωΙ/ωΙ в данном
случае находятся как корни
известного трансцендентного
уравнения). Заметим, что
результат может быть легко
улучшен при выборе пробной
функции в виде El-{- kE2,
где теперь взято также
поле Ет; поскольку не
используется метод Ритца или
Галеркина, то постоянный
коэффициент k просто
подбирается так, чтобы снизить
верхнюю границу.
Гораздо сложнее
нахождение верхней границы щ,
когда в отличие от предыдущего неизвестная собственная функция Ех
(или //;) имеет компоненту, нормальную границе раздела сред, и это
необходимо отразить при
построении пробной функции. |-
Если нормальная компонента
пробной функции на этой
границе в нуль не обращается,
то условие ортогональности
потенциальной подсистеме
не выполнено, и
приближенное значение ω; не является
верхней границей ω;. Пусть,
например, при аналогичной
конфигурации резонатора
(рис. 5.4) ищется низшая
собственная частота в классе
колебаний с электрической
компонентой, нормальной границе диэлектрика; соответствующее поле
можно назвать квази-//0и. Если в качестве пробной функции взять
поле £j (типа #0п) и воспользоваться формулой (19.36 а), то со
стороны малых заполнений (график на рис. 5.4) значения ω; оказ ,ι-
зываются ниже точных (последние получены как корни
трансцендентного уравнения). Из рис. 5.4 видно, что в данном случае
0.1 0.2 03 04 0,5 0,6 0.7 OS 0.9 ι
Рис. 5.4.

5 19]
ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
301
(ε/ε0= 10, резонатор кубический) ω; становится верхней границей,
начиная с dja « 0,19.
Поскольку в последнем примере μ —_ /μ0, то нормальная
компонента собственной функции Нх не терпит разрыва в VQ. Это значит,
что для нахождения верхней границы ω1 может быть использован
функционал Ф'н(и) с пробной функцией в виде Нх, подстановка
которой дает
ω2<ω2, где 52=ω2-β^- (19.37)
(//lv=0 в области V0), а поскольку μ = /μ0 (диэлектрическое
возмущение), то
ω2<ω2, где ω2=ω23π. (19.37а)
Полученная формула пригодна для вычисления верхней границы при
любых диэлектрических возмущениях, независимо от строения поля
Εν Ην Однако при больших диэлектрических проницаемостях, как,
например, в рассматриваемом случае, границы оказываются слишком
грубыми (верхняя кривая на рис. 5.4).
Заметим, что при чисто магнитных возмущениях (ε = /ε0)
гарантированные верхние границы будут давать аналог формулы (19■37а),
получаемый из (19.36):
ω2<ω2, где 52 = ω2Λίπ. (19.38)
В сравнении с (19.37а) этот результат практически более интересен,
так как магнитные проницаемости в расчетах обычно бывают
сравнительно малыми величинами, благодаря чему можно ожидать
результатов удовлетворительной точности. Например, компоненты тензора μ
намагниченного феррита чаще всего лежат в пределах 0-τ~2μ0.
Поэтому, если решается задача о полой системе с ферритовым телом,
причем решение для той же конфигурации при чистом диэлектрике
заранее известно, то можно воспользоваться формулой (19.38), взяв
в качестве ω; и Нх (при вычислении Мп) это решение.
Возвращаясь к функционалам Фе(ч) и Ф//(«) в их общей форме,
отметим, что можно указать ряд искусственных приемов выбора
пробных функций и с соблюдением требований ортогональности
потенциальным подсистемам, применимых в некоторых конкретных
задачах. Однако вычисления значительно усложняются.
Преимущество же рассматриваемых оценок собственных значений заключается
именно в их простоте. Ради простоты получения численного
результата формулами (19.36) и (19.37) пользуются и в тех случаях, когда
они не дают гарантированной верхней границы низшего собственного
значения. При больших диэлектрических проницаемостях (например,

302
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
/Л
/
f
1
L
У/
.·' X
/*а
/: /
'■ 1
-X
^ 1
/
/ \
/ 1
J
I/ •
/ι /
/ ι/
порядка 10ε0), но мало отличающихся от единицы магнитных
(например, в типичных случаях намагниченных ферритов) применяется (19.36).
Можно ожидать, что получаемые при этом значения ω; действительно
являются верхними
границами со,, когда полая система
заполнена возмущающей
средой на 20% и более, ср.
рис. 5.4, где условия весьма
неблагоприятны, поскольку
Еу Φ 0 на всей внутренней
поверхности.
При использовании
функций, не удовлетворяющих
граничным условиям на
идеально проводящей
оболочке системы (что возможно
в случае Фн(и)) в качестве пробных, получаемые со;, вообще говоря,
не являются верхними границами со; (п. 19.2), но сохраняют
практическое значение как приближенные величины, Приведем два простых
примера. В первом из них собственная частота прямоугольного
резонатора для типа колебаний Н10р приближенно находится с помощью
функционала Ф'н(и), где и— поле #„
рис. 5.5, а). При этом
U-
«)
Рис.
'Юр
расширенной области
Таблица 5.2
«о
Л
па
Τ
а
—
А
90%
80%
70%
И| ,
— (точно)
Во
1,05
1,13
1,23
^
ω,
ω0
[приближенно)
1,05
1,11
1,17
Здесь
колебаний Η
частота
itSp расширенной области.
Полученные результаты
сведены в табл. 5.2.
Во втором примере
цилиндрический резонатор
вписан в прямоугольный
(рис. 5.5, б) и для
приближенного вычисления
собственной частоты первого при колебаниях Нп используется подстановка
в функционал Фя(ц), соответствующая типу колебаний Н10 второго.
Отсюда
2= !+!./,(*).
и оказывается (ΰ);/ω0)2 — 1,1815. Точное же значение есть (ω;/ω0)2 :
= 1,1865.

§ 19] ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 303
Во всех построенных примерах (рис. 5.1—5.4) фигурировали
резонаторы волиоводного типа с изотропной средой. Нахождение
собственной частоты (с пробными функциями, удовлетворяющими
однородным условиям на торцах) позволяет вычислить в данном
случае и постоянную распространения соответствующего волновода.
Формально это объясняется тем, что при подстановке в функционал
пробной функции аналогичного типа, но удовлетворяющей на
торцах периодическим условиям, как это требуется при рассмотрении
волновода, результат был бы прежним. Однако при анизотропии
такого совпадения может и не быть; в частности, сказанное
относится к волноводам с ферритом при поперечном намагничивании.
Тогда ω; является приближенной собственной частотой резонатора,
если и удовлетворяет на торцах однородным условиям, и частотой,
при которой длина отрезка кратна (равна) длине волны волновода,
при периодических условиях. Разумеется, все заключения о том,
когда ω; является верхней границей ω;, распространяются на оба
случая.
Нетрудно показать, что если ωι есть верхняя граница частоты ω;,
при которой длина рассматриваемого волноводного отрезка кратна
(равна) Λ, то полученная постоянная распространения Г = 2л/Л есть
приближенное значение постоянной распространения для частоты C0j
с недостатком, если только имеет место нормальная дисперсия
Действительно, пусть Г (со) — неизвестная точная зависимость,
а Г (ω) — найденная приближенная. Пусть для двух частот ω и со'
имеет место равенство
f (ω) = Г (со')·
Так как речь идет об одном и том же отрезке (длина постоянна),
то ω есть верхняя граница со', т. е. ω > ω'.
При нормальной дисперсии должно быть
Г (со) > Г (со').
Заменяя здесь Г (ω'*) на Г (ω) (на основании предыдущего равенства),
получаем
Г (со) > Г (со). (19.39а)
При аномальной же дисперсии

304
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
точно так же устанавливается, что
Γ(ω)<Γ(ω). (19.396)
В заключение обратимся к простейшему случаю нахождения
собственных значений, когда задача (19.1) оказывается скалярной. Как
известно, при рассмотрении пустого (с изотропной однородной
средой) волновода возникают двумерные задачи Дирихле и Неймана,
формулировки которых (9.18) и (9.19) уже фигурировали в § 9.
Записывая для них функционал типа (19.9), имеем
модификация которого, получаемая путем интегрирования по частям
в числителе, имеет вид
(в скалярном произведении подразумевается интегрирование по
поперечному сечению волновода). Здесь χ — так называемое поперечное
волновое число: χ2 = k2 — Г2.
Внешне оба функционала одинаковы для задач Дирихле (£-поля)
и Неймана (Я-поля). Однако Ф'(и) (19.41) как функционал задачи
Неймана сохраняет свои свойства в классе функций, не
удовлетворяющих граничным условиям на контуре поперечного сечения
волновода. Можно сказать, что в этом случае Ф' (и) является скалярным
аналогом функционала Ф' («), а в случае задачи Дирихле —
функционала Ф'Е(и).
При вычислении постоянных распространения
поперечно-нерегулярного (сложной формы) пустого волновода удобнее вместо Ф'Е(и)
и Ф'н(и) использовать Ф'(и) (19.41). Спектры задач (9.18) и (9.19)
не содержат нулевой точки, и χ2 находится всегда с избытком.
19.4. Минимаксимальный принцип Куранта и его применения.
Возвращаясь к задаче на собственные значения в общей форме (19.1),
рассмотрим установленный Р. Курантом ([3], гл. VI, § 1, п. 4) так
называемый минимаксимальный принцип (см. также [2],
§ 40 и [4], п. 8.4).
Будем разыскивать минимум функционала Φ (и) в классе функций
u^Dy, заменив условие (19.10) более общим, в котором вместо
собственных функций оператора J2? фигурируют произвольные
линейно независимые функции vv v2, ■■■, Vk~i c конечной нормой.
Иными словами, допустимыми теперь являются функции и = и,
подчиненные следующему требованию ортогоиализации:
(qu, vt) = 0, l=\, 2, ..., k—l. (19.42)

min Φ (α) =*,„„-'- . (19.45)
§ 19] ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 305
Очевидно, что в этом случае min Φ (и) отличается от min Φ («) при
условии (19.10).
Легко убедиться, что требование (19.42) всегда выполнимо при
выборе и в виде линейных комбинаций первых k собственных
функций оператора J?:
k
и= 2 ««««'· (19.43)
л-1
Действительно, подстановка (19.43) в (19.42) приводит к системе
k — 1 линейных однородных уравнений
*
Σ a„(qun, τ\·) = 0, 1=1,2 k—\, (19.44)
относительно k коэффициентов alt, которая должна иметь
нетривиальное решение (ах, а2, ..., ак).
Пусть при фиксированных v( найден минимум функционала Ф(«),
реализуемый функцией «° вида (19.43) с коэффициентами а =а°:
(^и°, и")
(?в°, и0)
Поскольку
k
{ЗГФ, «°) = Σ К | а°„ |2,
~ л = 1
то ввиду (19.2)
(^α°, α°)<λ* Σ Κ|2 = Μ<7«°. и0) (19.46)
и, следовательно, при данных произвольно выбранных i>;, i>2, . . ., ΐ>^ι
ιηίηΦ(α)<λ*. (19.47)
Рассматривая ιηΐηΦ(«) на множестве всевозможных наборов νν
ν2, ■■·. Ok-v отмечаем, что равенство в (19.47) имеет место, когда
Όί = αι, τ. е. условие (19.42) совпадает с (19.10). При этом ιηϊηΦ(α)
достигает своего максимума.
Итак, получен результат, допускающий следующее краткое
выражение:
Кк= max Г min Φ(«) 1. (19.48)
Собственное значение "Kh можно Определить как максимум,
принимаемый на множестве всевозможных наборов νλ, ν2, ···. Vu-i
функционалом min Φ (и), который является минимумом функционала Φ (и) при
фиксированных ι>,, ν2 vk-\ B классе допустимых функций и.

306
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
Минимаксимальный принцип может служить основой различных
оценок собственных значений. Но найденная формулировка нуждается
в некоторых обобщениях.
Во-первых, отметим, что вывод почти не изменяется, если вместо
(19.42) взять требование Ортогонализации без веса:
(в, Vi) = 0, ( = 1, 2,
ft —1.
(19.49)
Действительно, положив в (19.44) q=l, мы сохраняем основу для
дальнейших рассуждений. Точно так же можно вес q заменить другим
подходящим весом р.
Во-вторых, при переходе к электродинамическим функционалам
Ф£ и Ф// функции и могут принадлежать не DyE и ОуИ
соответственно, а более широким классам, установленным в п· 19.2; это
следует непосредственно из его содержания.
Перейдем к простейшим следствиям минимаксимального принципа.
Функционал Φ (и) или его «расширение» Ф' (и) (например, Ф£ или Фд)
в ряде случаев можно непосредственно сравнить с другим
аналогичным функционалом, Определенным на тех же функциях. Пусть,
например, для всех и
ФР(«)<Ф^(«). (19.50)
т. е. функционал Фр (и) не больше функционала Ф$ (и), причем
рассматриваемые функционалы отвечают задачам на собственные значения
типа (19.1) с собственными спектрами
λ! < λά < ... < ос
λι < /ν2 <
<Г со.
В простейшем случае (19.50) принимает форму
(„2Ί». и) / (^2и, и)
(Я,а, и)
Поскольку согласно (19.48)
<
(?2«. И)
λ/ι -
(»|
Cl
то нетрудно убедиться,
max
vv ■■■' vk-i)
шах
"a· ■■■· °ft-i)
что для всех k
η in Ф(р (и) X
(α) - (
nin Фр (и) I
(и) " J
(19.50а)
(19.51)
(19.52)
Действительно, пусть «02 — функция, реализующая минимум
функционала Фг* при заданных vlt г>2> ·· ·. ^a-i· Ввиду (19.50)
ФР («02) < Ф2° (иод)= min Ф^

§ 19] ПРОСТЫЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 307
и тем более
min Φ ' <' min (i
,(')
Поскольку функции ν ι произвольны, можно предположить, что в
результате их первоначального выбора мы имеем слева не просто min Φι',
a max min Φ1;1. Далее, неравенство сохраняется, если справа заменить
пппФ^' на шах min Φί. . В силу (19.51), таким образом, возникает
неравенство (19.52).
Подчеркнем, что совокупность неравенств (19.50) и (19.52)
выражает полезный принцип сравнения задач на собственные
значения. В дальнейшем он будет несколько расширен.
С помощью данного принципа можно получить ряд различных
оценок для собственных значений задач электродинамики (имея в виду
операторы J2?Е и J3?и). Пусть речь идет υ двух резонаторах или
продольно-регулярных волноводах с одинаковыми идеально
проводящими оболочками, но различными внутренними средами. Классы
допустимых функций и для соответствующих функционалов Ф£|, иФ£|2
или Φ/ί|ι и Φ#|·2 ПРН эт0м совпадают (индексы «1» и «2» отмечают
сравниваемые задачи). Если в предыдущих рассуждениях к набору
функций τ»,, ν2, ■··. Vk-i присоединить бесконечную систему
потенциальных функций пустого резонатора (в случае отрезка волновода
подчиненных однородно-периодическим условиям), т. е. систему {Еп>}
или [//л·] соответственно, то ввиду (19.21), (19.30) бесконечно
вырожденная точка спектра coj· = 0 исключается, и вывод (19.52)
распространяется на расположенные в порядке возрастания ненулевые
собственные значения сравниваемых задач.
Возьмем задачи с одинаковыми магнитными проницаемостями
(μ — тензор, функция координат), но с разными скалярными
диэлектрическими проницаемостями. Взяв некоторую функцию и, имеем
Фп|„ (е.,и, и)
-г|2 — u ; (19.53)
и далее
Φε\ι (β2«·«)
е2ии* dv 4- (е, — е2) ии* dv
■+/<в,-
ϊφι^ϊ, Υι . (19.53а)
(Τι Г
^в\\ е2ии* dv
ι
Если ε,— ε2—положительная функция координат (в частности, может
быть, что ε,—ε2 Φ 0 лишь в некоторой части области Vu), то
Φ£2>Φε|ι и· следовательно,
ω*|2>ω»|1, (19.54)

308 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. В
т. е. собственные частоты первого резонатора меньше
соответственных собственных частот второго (разумеется, сказанное относится и
к частотам, при которых отрезки равной длины двух отличающихся
диэлектрической проницаемостью волноводов равны заданному числу
волн). Отметим, что в (19.54) мы имеем знак >, а не ^, поскольку
при таком знаке в (19.50) и в (19.52) оказывается знак >.
Аналогичные выводы можно сделать для таких же задач,
отличающихся только магнитными проницаемостями, привлекая вместо
(19.53) отношение
Φγ,Ιγ, (μ,и, и)
-ff = -^ '-. (19.55)
Фя|, (μ2«, И)
Рассмотренный принцип сравнения легко распространяется на
задачи, для которых области определения функционалов Ф^ и Ф^
различны, а именно, D2<^-Dx, т. е. всякая функция из области
определения функционала Ф!>' принадлежит также области определения
функционала Φι . При этом вывод (19.52) имеет место, если для
каждой функции ιιζϋ2 оказывается Φί>' > Ф^
или ФР = Фр. Последнее следует из того, что при
ФР (йог) = Фр (ио2)= min Фа
все же
minOP<minO^.
В качестве примера исследуем два пустых (либо
Рис. 5.6. заполненных одной и той же однородной
изотропной средой) волновода, один из которых помещается
внутри другого (на рис. 5.6 показано сечение волноводов). Возьмем
задачу Дирихле (9.18) и для соответствующего функционала (19.41)
выберем пробную функцию и таким образом, чтобы она
удовлетворяла условиям допустимости для меньшего поперечного сечения и
была равна нулю вне его. Такая функция с нулевым продолжением,
очевидно, оказывается допустимой и в случае большого поперечного
сечения, так как она непрерывна внутри него и обращается в нуль
на внешней границе. Поскольку при этом
Φ'(")Ιΐ=Φ'(")|2.
то как следствие
Xk\2>Xk\i (Для Е-волн), (19.56)
или, что то же,
λκΡ * b < λκΡ * Ιι (для £-волн). (19.56а)
Для Я-волн подобного неравенства нет. Иными словами, при
увеличении поперечного сечения волновода поперечные волновые числа
и критические длины волн в классе Η могут как увеличиваться, так

§ 2d]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
309
и уменьшаться. Предыдущие рассуждения здесь теряют силу потому,
что функция и с нулевым продолжением терпит на границе меньшего
сечения разрыв (в задаче Неймана и Φ 0 на L) и, следовательно, не
является допустимой функцией для
ш
/
3
—ι / ι—
2
3
а)
5)
Рис. 5.7.
функционала в случае волновода
большего сечения,
Рассмотрим следующую
иллюстрацию. На рис. 5.7, а в качестве
примера показано наложение
поперечных сечений трех волноводов,
контуры которых частично
совпадают. Два из них / и 3
(наименьшее и наибольшее) — прямоугольные, а третье 2 (промежуточное)
нерегулярно. Если бы для низшей из Я-волн было справедливо
неравенство типа (19.56), то можно было бы написать λκρ ^> λκρ ^ λκρ
(нумерация в порядке убывания поперечного сечения), или 2a^^L^-2a,
т. е. λ„ρ = 2а. Но хорошо известно, что, вообще говоря, λκρ φ 2а
(например, для П-образного волновода, рис. 5.7, б).
Заметим, что векторную функцию и с нулевым продолжением
можно строить в случае функционала Ф£(и). Но это не дает
возможности прийти к выводу, что при
расширении объема резонатора его
собственные частоты всегда уменьшаются (не
возрастают), что в действительности и не
имеет места. Дело в том, что хотя
продолженная указанным способом векторная
функция и является допустимой для ФЕ
в случае расширенного резонатора, но при
разрыве нормальной компоненты на
границе меньшего объема не выполняются условия ортогональности и
потенциальной подсистеме, а это, как видно из сказанного ранее,
отменяет принцип сравнения. Неравенство
Рис. 5.8,
,Jk 12
>ω*
(19.57)
доказывается при условии, что на границе, общей для меньшего
резонатора 2 и большего /, нормальная компонента вектора Ε
отсутствует (рис. 5.8).
§ 20. Итерационные оценки
20.1. Постановка задачи. Верхние границы собственных
значений. В данном параграфе будет рассмотрен итерационный метод
построения двусторонних оценок собственных значений, ведущий
начало от работ Темпла [8] и Коллатца [9] (см. также [4], § 12 и [10],

310
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
стр. 133—138). Как будет видно, реализация этого метода для задач
электродинамики вообще затруднена некоторыми принципиальными
моментами. Однако он представляет интерес хотя бы уже потому, что
подводит к оценкам квазистатических формул возмущения (пи. 17.2—17.4).
Будем рассматривать задачу (19.1), для которой построим
следующий итерационный процесс. Взяв некоторую начальную
функцию «(ϋ), найдем функцию «(1) как решение граничной задачи
_2Ί»Ν>=?α<0) (20.1)
(речь идет о граничных условиях, свойственных оператору J2?). Эту
первую итерацию можно выразить в виде
а^ = _2'-'[да<Р\ (20.1а)
независимо от того, может ли в действительности быть построен
в замкнутой форме обратный оператор J?-1. Затем находится вторая
итерация
и т. д., так что вообще
^U{m+l) = qu(m) (20.2)
или
U{m+X)=J?-yqu{m). (20.2а)
Выясним, к чему непосредственно приводит этот итерационный
процесс. Разлагая функцию и(0) по собственным функциям задачи
(19.1), пишем
со
«(0) = Σ саип.
— п=Л
Замена функции и(0> в (20.2а) соответствующим рядом Фурье дает
СО
Поэтому, если в спектре (19.2) λ:φλ2, то при т->со функция и
сходится (постоянный коэффициент во внимание не принимаем) к «,.
Постепенное улучшение пробной функции в процессе итераций
позволяет вычислять с любой точностью низшее собственное значение λ,.
Дальнейшее развитие метода ведет к построению двусторонних
оценок для собственных значений.
С указанной целью введем так называемые константы Шварца
Лм = (?«(га"г)· α(0)· ° <»<«· «1 = 0,1,2,... (20.4)

5 20] ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ 311
Эти скалярные произведения зависят только от суммы номеров обеих
итерированны>
в силу (20.2)
итерированных функций и('л 1) и и{ \ т. е. от т. Действительно
и, далее, ввиду симметричности J? и q с учетом (20.2) имеем
лт=(«(т-/+1), j?u{i)) = («(т-й,), ?а('-1>)=(?«('я~/+,). ««'-'О.
Т. е. Ат не изменяется при замене I на ί— 1.
При положительности ^ и 5 константы Шварца заведомо
положительны, так как для четных номеров (m = 2k)
A2k=(qu{"\ u(k)), (20.5a)
а для нечетных (m = 2k—1)
Λ2*-1=(?α(*-,\ «W) = (^"(*). eW)- (20.56)
Отношения Am и Лт+1
μ.+.=-/^. « = 0, 1, 2, ... (20.6)
(так называемые отношения Шварца), как видно, при четных
номерах (wi-f-l=2&) представляют собой частные значения
функционала Φ (и), которые он принимает при « = и( ':
Покажем, что отношения Шварца μηι образуют убывающую
последовательность, т. е. с учетом того, что Φ(«)^>λ,:
μ, >μ2> ... >μ,„> ··· >λ,. (20.8)
Для этого надо убедиться, что
■М±±.<1 „ Jii*±L<i, k=0, 1, 2
т. е.
—я -λ < 1 и . 2к+) - < 1, k = 0, 1, 2, . . . (20.9)
Ввиду положительности J2? запишем
(J?/, /) > 0, /= A2k t lU(k) - A2ku{k + i).
Отсюда легко получаем
Α2/1 + ι {A2k~iA2k + i — A'lk) > 0,

312 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
что подтверждает первое неравенство (20.9). Точно так же должно
быть
(gf, f) > 0, /= A2k+lu{k) - A2ku(k+X),
т. е.
Мк (^2/;^2ft + 2 ^2ft + l) > 0,
что подтверждает второе неравенство (20.9).
Последовательность (20.8), таким образом, дает улучшающиеся
верхние границы низшего собственного значения.
20.2. Нижние границы и двусторонние оценки. Для
построения оценки низшего собственного значения с недостатком рассмотрим
итерационный процесс, аналогичный предыдущему, но начинающийся
с функции г>(0\ ортогональной собственной функции щ:
(qV(Q), и,) = 0. (20.10)
При этом подобно (20.2)
J2>v{m+X) = qv{m\ m = 0, 1, 2 (20.11)
а константы, аналогичные Ат и μιη, обозначены Вт и vm:
Bm = (qv{m~'\ v{i)), 0<i<wi, m = 0, 1, 2 (20.12)
vm+1=^-. «i=0, 1, 2, ... (20.13)
Сначала отметим, что ввиду (20.10) высшие итерации также
ортогональны «,:
(qv{m\ «,)=0, (20.14)
что проверяется непосредственно. Поэтому в отличие от (20.8)
v,>v2> ... >vm> ... >λ2, (20.15)
т. е. новые отношения Шварца остаются не меньше второго
собственного значения λ2.
Возвращаясь к соотношению ортогональности (20.10), видим, что
оно удовлетворяется при
*<°> = a<°>-Cai; c=(qui0), «,). (20.16)
Итерации же v(jn) имеют вид
vW = um_J_Uv (20.17)
Действительно,
К
Я („<» _ ±- иг) = q(«(0) - сщ) = ςν{ΰ>
и т. д.

§ 28] ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ 313
Ввиду (20.14), (20.17) константы Шварца Ат и Вт связаны
соотношением
Ат~Вт = Цж-· (20.18)
λ,
Взяв его также с заменой т на т-\-\, исключим | с р и получим
Ля - λ,/U, = Вт - λ,β,,,-и· (20.19)
Ат_\—Ζ··ιΛηι £>ηι-ι *·\"τη
Поэтому
Ат— Я,Дл + 1 Вт — λ,β
откуда
или
μ,„ — λ] vm — λ)
H-m + l ,, ι — vm+\
vm +1
-λ,
^^+θ!ν+1 = ^=4-ν,η + 1. (20.20)
Поскольку на основании (20.15)
vm + i — Λι
то из (20.20) следует, что
Утп У-т +1 ч ^5 ι ("20 2 Π
Hm + i ^l Иш + ι
Полагая, что λ2 > μ,η + ν получаем
μ,η+1-μ'ηλ7μ"ί+1 <λι<μη,+ι. m=l. 2 (20.22)
или при замене λ2 его нижней границей β (с сохранением
неравенства β > цт+1):
μΜ+1-±£^Ρ^<λ1<μ„2+1, m=l, 2, ... (20.23)
l^m + i
Итак, получена формула двусторонних оценок [8, 9] для низшего
собственного значения λ, задачи (19.1), предполагающая наличие
некоторой информации о превышающем его следующем собственном
значении λ2.
Можно построить аналогичные двусторонние оценки и для высших
собственных значений λη, но к этому вопросу мы подойдем с более
общих позиций в § 21.
20.3. Итерационный процесс для электродинамической задачи.
Применение рассмотренного метода построения двусторонних оценок
к задачам электродинамики было произведено Ю. Н. Днестровским

314
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 8
[11, 12], который при этом показал, что первая итерация при
определенных условиях сводится к решению статической задачи, и
проанализировал квазистатические формулы возмущения.
Возьмем сначала электрическую формулировку, для которой
^ = ^Ε=Γοΐμ-ΐΓθΐ,
q=- ε,
. Αη = Α^ = (ε^'η-ΐ), Е{1)), 0 </</», m = 0,1,2,..., (20.24)
AE
μ = μΕ —τ^~. m — 0, 1, . ..
и имеется в виду область V0 с идеально проводящей границей 50
(соответствующие граничные условия в дальнейшем специально не
оговариваются). Очевидно, что все предыдущие соотношения, включая формулу
двусторонних оценок (20.23), с помощью (20.24) распространяются на
задачу об электромагнитном резонаторе. Однако формула (20.23)
сохраняет справедливость лишь при исключении бесконечно
вырожденной нулевой точки спектра. Поэтому необходимо строить
итерации Е^ таким образом, чтобы они были ортогональны с весом ε
всем потенциальным функциям, т. е., например, системе
потенциальных собственных функций основного базиса (пустой резонатор):
(ε£("°, £„')-= 0, п'=1, 2, ..., со. (20.25)
Согласно (20.2)
Γ0ίμ^1Γ0ί£(",,1) = ε£("2), т = 0,1,... (20.26)
Но оказывается удобным ввести еще промежуточные итерации по
схеме
rot//(л,+,/2) = /££"">, J
, n , im } т = 0, 1, . . . (20.27)
Таким образом, кроме функций £ , непосредственно входящих
в константы Шварца Л^ и отношения \ifn, появляются обозначаемые
дробными (полуцелыми) номерами функции //("!г '>, Ряд
последовательных приближений имеет вид
£·№_ /^(1/2)_ £■(!)_ ffW2) £<2)
При этом константы Шварца можно выразить и через
промежуточные итерации. Путем интегрирования по частям находим
А^^(гЕ{т-1\ £4')) = (μ#ι"— + Ι/2), £Г'-''2>). (20.28)

20]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
315
Будем строить итерации, начиная с собственной функции пустого
резонатора £, (основной базис)
£<0) = £„
//(■/2> = С1/2Я1+Л,/2,
£(,) = £,£,-+*,,
Ε = стЕ\ -\- ет,
Я(т + 1/2) и \ и
= Cm+I/2"I -\-Пт+[/2,
cf.m+1) .
J m + l'-'l
ιβ.
'm+I·
(20.29)
где сш, cm+i/2 — константы, a e,„, Am+I/2—поправочные функции.
Пусть с12=1/ш, и с,= 1/ш2, тогда подстановка первых строчек
(20.29) в (20.27) дает
ΓθΐΛΙ/2 = ί(ε — ε0)£,,
rot έ?, = — ί'μΛ,/2 — ί — (μ — μ0) //,,
(20.30)
и далее, полагая cft = (fi>,) 2*. где &— целые или дробные индексы,
в общем случае получаем
rot Am+i/2 = ieem +1 -^— (ε — ε0) £,,
rot
em+i = ~ ίμ/ΐη+ιμ—Ι 2m+1 (μ — μ0)^ι> 1
} Я1 = 0, 1, ... (20.31)
(ет=0 при m = 0). Мы имеем, таким образом, последовательность
граничных задач, решения которых являются поправочными
функциями в (20.29).
Заметим теперь, что ввиду требования (20.25) нулевое прибли-
7(0)
жение Е1 ' = Ελ является законным лишь для ограниченного класса
задач: когда £1ν=0 на границе раздела диэлектриков либо при
постоянной скалярной диэлектрической проницаемости. Взяв ε = /ε0
(выбор постоянной ε0 определяет нормировку электрических функций
основного базиса), из первой строчки (20.30) находим
rotAi/2 = 0, Ai/2 = grad\|3,
(20.32а)
т. е. первая промежуточная итерация Λι/2 есть потенциальная
функция. Составляя расходимости во второй строчке (20.30), получаем

316 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ, 5
следующую формулировку граничной задачи для потенциала ψ:
div μ grad φ = div μ//,
^gradi|))v = 0 на SQ,
(20.326)
где граничное условие соответствует предыдущим (напомним также,
что для i|)£Ddiv№grad должно быть (μ grad ψ)ν+ = (μ grad ψ)ν_ в V0).
Перейдем к магнитной формулировке задачи, положив
:rote_1 rot,
:μ;
^m + l —^m + I :
:(μЯ(",-/,, H(i)), 0<i<m, m = 0, 1, 2,
aH
m+\
m = 0, 1, 2,
(20.33)
где необходимые граничные условия по-прежнему подразумеваются.
Как и выше, выводы п. 20.2 распространяются на задачу об
электромагнитном резонаторе в рассматриваемой формулировке при
исключении нулевой точки спектра. Для этого в данном случае
итерации Я(ш) должны быть ортогональны с весом μ всем потенциальным
функциям, т. е., например,
(μ#«, Я„-) = 0, п'=\, 2 оо, (20.34)
где взята потенциальная система основного базиса. Согласно (20.2)
rote"1 rotff{m+,) = yiff{m\ m = 0, 1, ... (20.35)
Но, как и ранее, вводятся промежуточные итерации по схеме
rottf(m+,):
■tetfm+m. ! "l
:0, 1
(20.36)
так что полный ряд последовательных приближений имеет вид
Я(0> £'(1/2),
Я(,), Ε
ι(3/21
Я'
(2)
Выражения констант Шварца (20.33) путем интегрирования по частям
нетрудно преобразовать к форме, содержащей промежуточные
итерации; таким образом,
Аит={^Нт^\ Я(/))=(е£<",-/+1/2). £('-1/2>). (20.37)

§ 20]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
317
Процесс последовательных приближений начинается с магнитной
функции основного базиса //,
ff(Q) = ffu
1/2.
г№
ff{i' = d1ffl+hl,
#('*)
■■ ά,ηΗλ
Ε —#m + l/2Ci -\-em+\/2,
Η = dm+lHl~\-hm+l,
(20.38)
где dm, dm+\/2 — константы, a hm, em+\/2—поправочные функции.
Взяв ά12=1[ωι и rfj = l/ω^, путем подстановки первых строчек
(20.38) в (20.36) получаем
rot е\р = — i (μ — μ0) Ηι%
rot h\ = ίεβίβ -4- / — (ε — ε0) Ελ.
(20.39)
Общие формулировки граничных задач для поправочных функций
2*
находятся при ак = (щ) . Уравнения имеют вид
rote
ш + 1/2
= — i\ihm — i -J— (μ — μ0) Η
tothm+[ = izem + U2-iri 2,η + [·(ε--ε0) £
■ m= 0, 1,
(20.40)
причем Am —0 при /м = 0. Поскольку нулевое приближение//(0'=//,
допустимо только при Hlv = 0 на границе раздела сред или при
постоянной скалярной магнитной проницаемости (в противном случае
условия ортогональности (20.34) не выполняются), положим μ=/μ0.
При этом из (20.39) следует
roteI/2=0, ei/2 = gradcp (20.41a)
ч
divegradcp= — dive£,, |
ω< } (20.416)
φ=0 на 50. )
Итак, в данном случае первая промежуточная итерация также
потенциальна.

318 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
Вычислительное значение рассмотренных итерационных процессов
(20.29) и (20.38) сравнительно невелико, так как каждое
последовательное приближение (кроме начального) требует решения
нерегулярной граничной задачи. Для этого должен быть применен тот или
иной прямой метод, что приведет к получению приближенных
значений констант Шварца Αξ· и и отношений μ^ Η, которые сами по
себе нуждаются в оценке. Лишь после этого возможны двусторонние
оценки низшего собственного значения некоторых задач при помощи
формулы (20.23).
Тем не менее итерационные процессы (20.29) и (20.38) сохраняют
определенный принципиальный интерес и дают средство обоснования
квазистатического приближения теории возмущений. Ниже это будет
продемонстрировано.
20.4. Обоснование квазистатических формул возмущения.
В качестве примера рассмотрим задачу о полом резонаторе с малой
диэлектрической сферой (ε —/ε0). При этом квазистатическая
формула возмущения (17.20), вообще справедливая для каждой из
собственных частот, может быть записана в виде
^=_2πΛ3|£?|4Α=^. (20.42)
где подразумевается приращение низшей собственной частоты и,
соответственно, значение собственной функции основного базиса Ех
в центре сферы, обозначенное Εγ (ввиду обычной нормировки
W =2).
Для проверки этой формулы будем использовать итерационный
процесс (20.38). Вычисляя константы Шварца, имеем
А(* - μ0 (Я<°>, //«») = μ0 (//,, Я,) = 1, (20.43)
и далее (взяв в (20.37) да=1, (—1) получим
Α['^-{εέ1β\ £(1/2)), (20.44)
где согласно (20.38)
-(1/2) 1 с. ,
Поскольку
RE№ = -ttotH«\ (е£<1/2\+ = (е£<'/2)\_ в V0;
еш=7ср, (ei/2)t+=(βΐ/2)τ- в К0 и (eV2)x = 0 на 50,
то (ε£( /ζ>, βι/2) = 0 (см. п. 5.4) и точно же (Ει, ei/2) = 0. Поэтому
А?= (εΕ(1< 2\ J- Е,\ = Дг { 1 -Kej-Bo) [ (Ε, + со,е1/2) Е\ dv J (20.45)

20]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
319
(V—объем сферы, внутри которого диэлектрическая проницаемость
есть постоянная скалярная величина р,).
Чтобы воспользоваться формулой (20.23), нужна, по крайней
мере, еще одна константа Шварца А-': *
Λί'=μ0(//α>, //Ш),
(20.46)
где Я(1) =—2-Я, + Л], так что
A? = \ + '2^(hl, //,)-Γ-μυ(Α,. Α,)
(скалярное произведение Н, Л, вещее гненпо). Как легко показать
путем интегрирования по частям,
2 Ц- (Л,, //,) = -т (ε, — ε0) ί (£, -f- ωιβ(ι/2)) £Ϊ dv.
ui
Окончательно
1
ω
А^ = ~ 1+2(ε,-ε0) (£Η-ο3ι^,2))£Ϊ^+μϋ jАж|2 rf-o.
ι
(20.47)
Входящие в выражения констант А\ и Л2 поправочные функции
β\β и Αι должны быть найдены как решения граничных задач, из
которых первая — задача Дирихле (20.416). Если обозначить
φ
Фг в " ■
Фе β V0 -
(ε— ε!),
то формулировка (20.416) примет вид
ν2φ, = 0 в V,
V2tpe^=0 в V0 - V,
ε, (νφл _ е0 (νΦβ)ν = l- (El - ε,,·/:, ν, ) Η* 5' ^paimua ι (2(Μ8)
ιν 4ι^ν uv ί<?λϊ ω, "' ιν j областей V и
Фг = Фе j F^'
Фе=--50 па 50.
По существу, это—электростатическая задача. Она нерегулярна
однако решение φ, может быть найдено при определенных условиях
в допустимом приближении.

320
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
Предположим, что сфера находится в пучности1) поля £,, тогда
ввиду малости сферы
Е[ = Е°^ 0(R2) в V. (20.49а)
Поэтому определяемая при решении (20.48) величина Vcp,, есть
Vtp. = V(p°+ О («2), (20.496)
где ψ0. — решение, получаемое при £° вместо Ε (сфера в
параллельном поле).
Ограничимся случаем сферы, удаленной от стенок резонатора
на расстояние h~^> R, и при получении приближенного решения
отнесем внешнюю границу на бесконечность. Это вызовет ошибку Vq>i
порядка (Rjhf (ср. (17.18)), которой в данном случае можно
пренебречь в сравнении с остальными погрешностями.
Итак, вместо задачи (20.48) рассматривается ее приближенная
модель: диэлектрическая сфера в безграничном пространстве,
поляризуемая параллельно E°v Соответственно этому положим в (20.48)
φ. — φ^ φ — φθ_ Ε — ЕР и φ° = 0 при г -> οο вместо φβ = 0 на SQ.
Решение, как известно, ищется в форме
q/ί = ar cos ϋ·; φ° = —^- cos ϋ·,
где имеется в виду сферическая система координат с началом в центре
диэлектрической сферы и угол ϋ· отсчитывается от направления Е\.
Наложение граничных условий на 5' (г = R) дает
ί?0 \
ε,α cosf)
26
■B07^cosft
— (ει
ω, ν '
e0)cosi9',
a/?sinu = -57rsinf>,
откз'да
Ει -\- 2ε0
νφ"=-
ε,+2ε0
R4,
Rd Ε"
-(r02cos0 -j-O^sin·^.
ι-3 ω ι ε, ~\-2е,а
Таким образом, с учетом (20.496) поле ег2 в V имеет вид
с0
ь0
в, -\~ 2εα
0(R2).
(20.50)
(20.51)
') Это условие не является необходимым для получения окончательного
вывода, так как, хотя в общем случае Ех = Е\-\-0 {х, у, г), отклонение
первого порядка исчезает при усреднении по сфере.

20]
ИТЕРАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
321
Это позволяет вычислить константу Αι по формуле (20.45).
Учитывая также (20.49а), в результате интегрирования получаем
ω? Ι
| 1 -f 4π«
з i±_
Ei + 2e0
Ε· U
0(R
"»}■
(20.52)
Далее, для определения Α·ι надо оценить поправочную функцию Л,,
которая согласно (20.39) есть решение граничной задачи:
rot | νν,+ ^ε,-εο)*,-^ Ι
1 ieaey2 * VQ-V, \ (20.53)
(rotAj)t=;0 на S0.
Эта задача моделируется подобно предыдущей. Переходя к
неограниченному пространству и заменяя Ελ и е на ZTJ и Δφ° (,
соответственно, получаем следующее приближенное решение:
1.0
hi =
iE"
ω, ° ε, + 2ε(
rsinf) в V],
/£V
Ч~~Ч К
(20.54)
ω, ° ε, + 2ε0 г2
sin θ в F0— V,
которое, по крайней мере, позволяет оценить порядок последнего
интеграла в (20.47):
μ0 J I hx p dv « μ0 j \h\f dv =
8lt 2
е|~~Ео :M2p5_
ε,+2ε0 ω,
№ = 0(R2). (20.55)
Теперь получены все данные для оценки отношений Шварца
μ^ и μξ. Обозначим
2π«3Αζ^εο[£°|2:
ε, + 2ε0
= Э;
(20.56)
при этом
Аи
μ« = -5Γ=ω2(1+25+0(«5)}-1==ω2(ΐ .^2Э4-0(^)| (20.57)
л1
l + 25 + O (R5)
μ" = —^- = cof г-=ш2{1 — 2Э + 0(Я5)}, (20.58)
^2 Л? ι ι + 45 + О (β5) > 1 ^ ν я ;

322 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
поскольку Э —0(/?3). На основании (20.23) и (20.8)
μ//_^1Ι1^<ω^<μ//<μ//ι (20_59)
где ω2 — оцениваемое низшее собственное значение задачи.
Приближенные выражения μ^ и μ^ (20.57), (20.58) еще не позволяют
построить верхнюю и нижнюю границы ω2, однако подстановка их
в (20.59) приводит к следующему результату:
2 9
СО, — СО,
- = — 2Э -\- О (R5) (20.60а)
или
Δω, ω, — ω,
"1
= _3-\-0(R5), (20.606)
ω,
так как Э2 =^0 (R6).
Итак, определен порядок погрешности формулы возмущения (20.42).
Подобным же образом оцениваются и другие формулы возмущения,
основанные на квазистатическом приближении [12].
§ 21. Двусторонние оценки на основе
спектрального представления оператора
21.1. Неравенство Като. Значительный шаг на пути построения
двусторонних оценок собственных значений симметричных операторов
был сделан Т. Като [1], использовавшим свойства спектрального
представления. Ниже рассматривается полученное им неравенство,
которое, однако, будет распространено на задачи типа (19.1),
содержащие оператор веса').
Введем обозначения
ф= L9>«, ") и ф2 ι G2 = (g~'^". -g»g) f2l П
(qu, и) ' (qu, и) к ■ >
(первое из них уже хорошо известно) и снимем условие
полуограниченности собственного спектра (§ 19), так что в общем случае
вместо (19.2)
— со < . . . < λ_2 < λ_, < 0 < λ, < λ2 < . . . < со. (21.2)
При этом предполагается полнота системы [ип\ собственных
функций оператора.
') Процесс обоснования также будет отличаться от первоначального [1],
где применялись так называемое «разложение единицы» и соответствующий
интеграл Стильтьеса.

§ 21] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 323
Пусть в интервале (α, β) содержится одно из собственных
значений, т. е.
α<λ, <β (21.3)
{к— произвольный номер) и допускаются функции и £ D^, для
которых
02<(Ф — α) (β — Φ). (21.4)
Тогда оказывается, что
φ-ΐ5ϊΓ<λ*<φ+Φ^· <21·5)
Этим устанавливаются верхняя и нижняя границы для произвольного
собственного значения Xk, принадлежащего спектру оператора JS'
вида (21.2) или, в частности, вида (19.2).
Переходя к обоснованию неравенства (21.5), введем обозначения
верхней и нижней границ Кк:
Сначала рассмотрим интервал (α, λ) и докажем, что он содержит
точку собственного спектра.
Пусть μ > α. В этом случае квадратичное выражение
(λ„ — α) (λ„ — μ) = λ2η — (α + μ) λ„ -\- αμ (21.7)
для всех η неотрицательно, если интервал (α, μ) не содержит точек
спектра. Если же внутри него лежит собственное значение Kk,
т. е. α < Xk < μ, то выражение становится отрицательным при п = к.
Как и в § 19, коэффициенты Фурье (qu, un) функции и по
системе {ип} обозначим ап. Умножая (21.7) на положительные
числа | ап \2 и суммируя по всему собственному спектру, получаем
Q = 2 \ап |2 λ„ — (α + μ) 2 | ап \2 λη + αμ 2 \а„ \2 (21-8)
η η η
(пределы суммирования соответствуют собственному спектру (19.2)
или (21.2)). Очевидно, что Q^>0, пока неотрицательно
выражение (21.7), но когда α < Xk < μ, возможно, окажется, что Q < 0;
необходимым условием этого является существование коэффициента
Фурье ak- Поэтому, если Q < 0, то интервал (α, μ) заведомо
содержит точку спектра Xk, а ак φ 0.
С привлечением спектрального представления оператора .2* ряды
в (21.8) легко суммируются. Действительно, ввиду полноты
системы \и„\ ' „
{qu, α) = 2|β„Ι2- (21.9а)
η
(afu, «) = 2ΐα„|2λ„ (21.96)

324
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
И
(q^jS'tt, ^β)=2]|βΒ|2λ^ (21.9b)
так что согласно (21.1)
Q = (qu, α){024-Φ2 —(«4-μ)Φ + αμ}. (21.10)
При неотрицательности Q отсюда следует
μ<Φ4"-φ^-- или μ<λ (21.11)
(ввиду (21.3), (21.4) Φ — α > 0). Это значит, что (α, μ) содержит
точку спектра, когда μ > λ. Таким образом, точку спектра будет
содержать интервал (α, λ].
Совершенно аналогично устанавливается, что и интервал [λ, β)
заключает в себе точку спектра \.
Итак, каждый из интервалов (α, λ] и [λ, β) содержит одну и
ту же точку спектра λη, принадлежащую по условию интервалу (α, β).
Эта точка лежит, следовательно, на пересечении (α, λ] и [λ, β).
Но ввиду (21.3), (21.4) λ<β и λ > а, т. е. пересечением является
отрезок [λ, λ]. Он и содержит собственное значение Xk.
Неравенство (21.5), как вытекает отсюда, справедливо.
Сделаем некоторые замечания.
1. Вместо (21.3) можно бы было говорить об интервале (α, β),
в котором, возможно, содержится одно из собственных
значений λη. Доказательство устанавливает существование Xk.
2. Очевидно, что среди собственных функций оператора J2?
только ик является допустимой согласно (21.4). Вместе с тем при
и = ик неравенство (21.5) дает точное собственное значение:
λ (α») = λ» и λ (α») = λ» (21.12а)
(при u=uk оказывается G = 0).
Точное собственное значение λη, таким образом, есть минимум
верхней и максимум нижней границы:
ί max λ,
К=\ . ~ (21.126)
[ mm λ,
и может находиться посредством их экстремизации в классе
допустимых функций, например, по схеме Ритца. Можно, следовательно,
строить универсальные алгоритмы для определения "Kk с заранее
заданной точностью.

§ 21] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 325
3. Пусть речь идет о низшем собственном значении λγ спектра
типа (19.2). При этом, очевидно, можно взять а = —со, и (21.5)
принимает вид
φ>λ1>Φ-?^φ. (21.13)
Нетрудно показать, что это неравенство совпадает с формулой (20.23)
для т = 1.
Действительно, полагая « = «<!), имеем (см. п. 20.1)
2
IX ι ™" IX rj LX η IX rj ~" IX rj
и далее
причем
J j β — μί '
μ2
Α0 Д (qu<°\ и'»))
[Xj[X2 :— ~~ ; —
Αι Α2 (quW.uM)
и согласно (20.2)
(?и(0\
Таким образом,
«(0,) = (Г1^,«(1).
μ! — μ2 Ο2
J ! β-Φ
μ2
и (21.13) переходит в (20.23).
4. Как видно из доказательства, неравенство (21.5) сохраняет
справедливость и при вырожденности Хк 1).
5. Наконец, существенно, что для построения двусторонних оценок
по формуле (21.5) необходима предварительная информация о точках
спектра, соседних с оцениваемой. В сущности, надо располагать
некоторой предварительной двусторонней оценкой Кк в виде (21.3).
Однако чем уже интервал (α, β), тем более грубого результата
следует ожидать от применения формулы (21.5).
21.2. Применение неравенства Като к электродинамическим
задачам. Непосредственное использование изложенного выше
возможно, если существуют пробные функции u£Dx, что позволяет
вычислять величины Φ и G (21.1), входящие в (21.5). Как известно,
для операторов J2?'Е и J2?' н такие функции при разрывных ε и μ
в общем случае недоступны. Но когда одна из проницаемостей —
постоянный скаляр, («электрическое возмущение»: μ = /μ0, J^E =
= — rot rot или «магнитное возмущение»; ε = /εη, „2%, — —rot rot 1,
μ ο υ " е0 ;
) Противоположное утверждается в [11,

326
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
допустимыми (независимо от разрывности среды) являются функции
«£Drotrot. в случае J2?Е удовлетворяющие однородным условиям на
внешней границе SQ области V. Такие функции обычно имеются
в распоряжении (в случае J?'Е при наличии основного базиса).
Рассмотрим в качестве примера случай электрического
возмущения. Из пп. 19.2, 19.3 известно, что Ф^ здесь не дает верхней
границы собственного значения ω^, если не выполнены условия
ортогональности пробной функции и по отношению к потенциальной
системе; последнее же имеет место при «ν = 0 на 5'. В принципе
неравенство (21.5) позволяет устранить указанное ограничение.
Рассматривая 0)j как второе собственное значение, следующее за
бесконечно вырожденным собственным значением ω^ — Ο, и, соответственно,
полагая в (21.5) а—0, имеем
ω?<Φ£(")+φ^
GE(u) Ф|(и) + 0|(и)
и)
«V»)
Ио
е-1 rot rot и rot rot и* dv
euu* dv
ей и* dv
и* rot rot и dv
V,
t.~~l rot rot и rot rot u* dv
μ0 I rot и |2 dv
= Ф'н (rot u).
Мы видим, что действительно получена гарантированная верхняя
граница coj*, но результат не является новым. К тому же при простых
подстановках он оказывается слишком грубым для немалых ε (п. 19.3).
Можно поставить вопрос о суммировании рядов (21.9а), (21.9в),
когда ui^Dg. В случае удачи должны быть получены функционалы,
эквивалентные Φ и G2 (точнее, их расширения), которые
соответственно увеличивают область применения неравенства Като. Ряд (21.9а)
суммируется к (qu, и) независимо от принадлежности и области
определения J2?. Ряд (21.96), как показано в п. 19.2, при u^D^
суммируется к (ε-1 rot и, rot и) и (μ_1Γοί«, rot и) в случаях J£'н и J?Е
соответственно. Что же касается ряда (21.9в), то его при u^Dx
суммировать не удается.
Ограничения применимости неравенства (21.5) к задачам
электродинамики отпадают при использовании в качестве J? оператора Мак-

§ 21] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 327
свелла оМ с весом д = л (см. п. 2.3). Задавая пробные функции и
в виде
и = {1)· (e€Dtot,h£Dtot) (21.14)
при ех = О на идеально проводящей внешней границе, мы должны
наложить лишь условие
е*~е\ h* = — h, (21.15а)
устраняющее комплексные значения Фм, и вытекающее из (21.4) условие
Фл>0 (21.156)
(оцениваются положительные собственные значения).
Функционалы Фм и Фл -f G^ (21.1) имеют вид
I (ft* rot e — е* rot h) dv
т _ (Ми, и) уа
Фл Тш1Г г (21.16а)
^п
(Т.2 , пЧ (Я-'с^И, а^И)
(е_1 rot ή rot h*-\- μ-1 rot erot e*) rfn
ν»
(гее* -{- μήή*) dv
ν,
(21.166)
Вычисляя верхнюю границу собственного значения Ш] по
формуле (21.5) при а = 0 (поскольку имеется меньшее собственное
значение ω0 = 0), получаем
ω, -%-, ^
Γ (ε-' rot h rot h* ~\- μ-' rot e rot e*) dv
(π-'^и, ^/и) __ y, ^ .„, ,,..
Ши и) ~~~ г ■ (21 ·17)
va
Таким образом, найден функционал
Ά (π W/И, ч/пи) ,„. .„
(суЖИ, И)

328 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. В
который при условии (21.156), т. е. при
(аМи, и)> 0, (21.18а)
дает верхнюю границу собственного значения <Bj независимо от
характера ε и μ как функций координат (оба тензора могут быть кусочно-
непрерывны).
Простейшая оценка ωι на основании (21.18) состоит в том, что
в качестве и берегся собственная функция UY
отвечающая «невозмущенной» частоте ω, (задача о «пустом»
резонаторе или отрезке волновода, основной базис). При этом из (21.17)
возникает следующее неравенство:
Эп-\-Ми
ω, <J ioj; ωι = (ο1 ——^-=— (21.19)
(ср. (19.37а) и (19.38)). Но при немалых возмущениях проницае-
мостей это довольно грубая оценка.
Более важно, что к функционалу Фм (21.18) можно применить
метод Ритца, причем получаемое в этом случае низшее
положительное приближенное значение ω^ также будет верхней границей Ш].
Представляя и в виде uN согласно (8.48) и действуя так же, как
и в п. 8.5, т. е. составляя Ф„# и обращая в нуль вариации этой
величины по коэффициентам представления uN, получаем
2ΩΨ2Ως = ωΝ2Ως, (21.20)
или, обозначая 2Ω<7-=,ρ.
2ΩΨρ = ωΝρ, (21.20а)
что совпадает с результатом (8.60), который находится методом Га-
леркина или Ритца при использовании представления индукций. Мы
видим, таким образом, что наименьший по абсолютной величине из
положительных корней векового уравнения
Det 12Ω\Ψ — ίωΝ \ = 0
дает приближенное значение величины ωι с избытком. Далее
очевидно, что эквивалентные (см. п. 8.4) формулировки (8.20) и (8.21),
где фигурируют представления индукций DN и BN в отдельности,
также дают низшее собственное значение с избытком. Сказанное,
разумеется, надо отнести и к модификациям указанных формулировок
для отрезка волновода (п. 9.3).

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА
329
Нижняя граница собственного значения ω, согласно (21.5) и (21.16)
имеет вид
Фл
т. е.
(π-
'"β-ΦΛ
ФМ (U) ΞΞ
(•Ли, и)
(qu, a)
<ω,,
( (Ми, а) \2
\ (qu, U)
(qu, и)
(•Ли, и)
'щ (21.21)
(qu, и)
при условии (21.18а). Поскольку О2м(иЛ = 0,
тахФой (и) = со1
(21.126), так что к Фгм может быть применен метод Ритца для
нахождения со; с недостатком, причем можно ожидать, что в пределе при
N->oo находится точное значение ωΡ
Итак, методом Ритца можно найти собственное значение ω, как
с избытком (ω^), так и с недостатком (ωΝ), т. е. для каждого N
возможно построение двусторонней оценки и желательная точность
результата может устанавливаться при составлении алгоритма.
Наконец, приведем простое выражение нижней границы ωΡ
возникающее при подстановке в (21.21) и = и1
ω, ( (Эп + Мп)011 + Ми)^4 |
(Oj^co,, <в,=-^—7~?r- J 2 = —=-— й [. (21.22)
Эц + Mt
Ou+Mn)^-2
Г
*#
Качество оценки (21.22) в значительной мере зависит от величины
ближайшего собственного значения ω2, поскольку β^ω2. Разумеется,
ω2 может быть известно лишь приближенно. Если рассматриваемая
задача обладает симметрией
определенного типа, может оказаться, что
(πα, α2) = ■ ■ ■ = (πα, «£_]) = 0.
Предвидя это заранее, можно увеличить β
вплоть до (nk и улучшить таким путем
Оценку.
В качестве примера рассмотрим
прямоугольный резонатор с симметрично
расположенным диэлектрическим стержнем прямоугольного
сечения полной высоты (сечение показано на рис. 5.9). Основным
полем будет квази-£110 (поле, переходящее в Еш при однородном
диэлектрике), и мы возьмем для подстановки в (21.22) поле Б110.
Оно ортогонально (с требуемым весом π) полям Еи (ρ Φ 0), а также
к
I
b
\
-« а »-|
ε„
ШИ*'
U<_ Qf~*«\
Рис. 5.9.

330
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
Е,
^21/г ^22р'
Еп„, Ε:Ώη {ρ =. О, 1, 2, ...) и, следовательно, соот-
■р< "Пр' "Tip· ~23/)' —3'2р
ветствующим кват-Етпр полям. Поэтому для определения β берем
£3зо и получаем, считая, что соответствующее собственное значение
близко к невозмущенному, β/ωΙ = 3. Для диэлектрической
проницаемости стержня е -= 10ε0 получаем следующие формулы:
Нижняя граница ω (из (21.22))
8 + 37.8/+8Д/2
! + 90/ + 243/2
верхняя граница со (из (19.36а))
ω,
= ^V и
Здесь
1
+ 9/
sin πα \2
πα
где α·-
α
α
Возьмем α =0,1. В этом случае имеем
ω j zz 0,80(0j и ац;
так что
0,86о
= 0,83со;
с гарантированной точностью
% + ~1
3,6%.
В действительности же (см. гл. 7)
(ΰι/(ο,== 0,825 . . .
и, следовательно, фактическая ошибка при вычислении ωι значительно
меньше гарантированной.
Нельзя, однако, не учитывать, что условия расчета в выбранном
примере были благоприятными. Во-первых, благодаря подходящей
симметрии β могло быть взято сравнительно большим, причем ввиду
малости возмущения при вычислении β/ω, можно было не делать
различия между ω1 и ω,, а также и щ и ω4. Во-вторых, верхнюю
границу в результате отсутствия нормальной электрической
компоненты на границе диэлектрика можно было находить по формуле
(19.36), а не (19.37) или (21.19). В более сложных случаях простые
формулы уже не дают удовлетворительных двусторонних Оценок, и
требуется экстремизация функционалов в (21.5),

§ 211 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 331
21.3. Сравнение операторов и нижняя граница по Свирепому.
Другая возможность построения двусторонних оценок связана
со сравнением операторов, один из которых является исследуемым,
а другой известен со своим спектром. Как было показано в п. 19.4,
минимаксимальиый принцип Куранта позволяет делать выводы о
собственных спектрах двух операторов на основании сопоставления
соответствующих функционалов.
Пусть, в частности, в (19.50а) ql=iq,2. Тогда заключение о
собственных спектрах операторов „SP, и „2%, имеющее вид неравенства
(19.52)
λ*<λ|, (21.23)
можно сделать при
(-2Ία. α)<(^2". и). (21.24)
что может быть записано символически как
^!<^2 (21.24а)
— «оператор jSf2 не меньше оператора J?,».
Пусть далее оцениваются собственные значения большего
оператора λ/;, а величины λ;, предполагаются известными. Тогда последние дают
нижние границы для л д., которые хотя обычно и могут быть без труда
найдены непосредственно из (21.24) (для заданного оператора J?2
можно подобрать Л?л так, чтобы задача имела аналитическое
решение), но в большинстве случаев оказываются слишком грубыми.
И. В. Свирский [13] (см. также [2], § 62), рассматривавший
скалярные механические задачи, предложил метод, позволяющий
улучшать эти границы, когда ηλ = η2= 1.
В качестве первого шага строится специального вида оператор В,
подчиненный условию
θ<-2Ί· (21.25)
С этой целью спектральное представление оператора
оэ
_2> =2] *■)(«. α})α}, (21.26)
где и\— его нормированные к единице собственные функции,
преобразуется путем сложения и одновременно вычитания ряда Фурье
функции и, умноженного на кт:
оэ
*■!,« = *■;, 2 («. βίΚ
При этом
со
^-^α + (2(λ|-λ^(α, α J) α}

332 · ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
ИЛИ
:£> = *;,«+Σ (Μ-λ^,)(в. «!)«!+
+ .Σι(λ>-λ^)(α, «J) α}. (21.27)
Оператор θ определяется представлением
т—1
θα = λ> + 2 (λ}-λ^)(α. α]) α}. (21.28)
Непосредственная проверка показывает, что это оператор
симметричный, положительный и не превышающий J2?v
Следующий шаг — построение оператора С, не превышающего
разности С = „2'2 — Jfy
С <С. (21.29)
Для этого выбирается несколько функций /4 (й=1, 2, ..., л),
которые ортонормируются по закону
(С/,. fk) = 6Jk. (21.30)
Представление оператора С имеет вид
η
С'и= Σ (Си, Л)С/А. (21.31)
Очевидно, что это оператор симметричный и положительный. Что же
касается выполнения неравенства (21.29), то в этом легко убедиться
следующим образом. Дополним систему функций \fk) так, чтобы она
образовывала полный базис для функций допустимого класса и.
Тогда
и= Σ (Си, Л)Л
(Си, и)= Σι (Си, Л)|2= Σ\ (Си, Л)р+- Σ \cu,fk)f. (21.32)
k-l k-l k=n+\
В то же время
{Си, и)= S| (Си. Л)12· (21-33)
Сравнение (21.32) и (21.33) непосредственно убеждает, что
неравенство (21.29) выполняется.
В конечном счете, собственные значения оператора ^ч (точнее,
несколько низших из собственных значений) могут быть найдены

§ 21] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 333
с недостатком как собственные значения суммарного оператора
J2"2 — В-\-С'· ибо предыдущим гарантировано, что
J3"2<ar2. (21.34)
Речь идет, таким образом, о решении операторного уравнения
(В-\-С')и = 1и, (21.35)
которое ввиду представлений (21.28) π (21.31) имеет вид
m—l n
Σ(λ5-λ^)(α. «{)«)+ Σ(£". Λ)^Λ-(λ-λ^)α = 0. (21.36)
Его собственные функции — линейные комбинации и\ и Cfk
(предполагается, что последние линейно независимы):
т—\ η
«=2У,+ 2»Д. (21.37)
Производя подстановку (21.37) в (21.36) и приравнивая нулю
коэффициенты при всех и\ и С/г, получаем систему уравнений
относительно β;· и bt:
а.(Х)-Х)^(Х)-Х^ £K{Cfk, u)) = 0, (21.38а)
т — Ι η
U= 1. 2, т— 1; Ζ= 1, 2 η).
Собственные значения находятся как корни уравнения,
возникающего из условия совместности этой системы (обращение в нуль ее
определителя).
Интересуясь лишь низшим собственным значением оператора J3*2,
можно ограничиться случаем т = 2, п=\, причем желаемая точность
достигается выбором подходящей функции /;. В этом случае
указанное уравнение будет квадратным. Обозначая | = λ/λ;, имеем
l2~{~k{Cfv c/l)+ir+1}l+
+ ~(Cfi, C/l) + | + (|- l)J-[(С/, «Ο|2 = 0· (21-39;
Меньший корень уравнения (21.39) дает значение λι/λ{ с недостатком.
21.4. Дальнейшие обобщения [15, 16]. На основании
неравенства (21.24) можно утверждать, что и в том случае, когда
операторы J?! и J?2 фигурируют в задачах типа (19.1) с весом q, иера-

334 ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ [ГЛ. 5
венство для собственных значений (21.23) сохраняет силу. Однако
алгоритм Свирского в этом случае неприменим. Заменяя Jg'y на
В-\-С, можно рассматривать задачу
(В-\-С')и = кди, (21.40)
собственные значения которой дают желаемые нижние границы.
Однако она не имеет замкнутого аналитического решения.
Указанное ограничение может быть устранено путем замены
фигурировавшего ранее оператора В на оператор В':
θ'<θ, (21.41)
определенный представлением
т~\
β,ί=λ^ί"+Σ(λί-λ™)(β· «ίκ <21·42>
где постоянная qQ выбирается таким образом, чтобы выполнялось
неравенство
%>д. (21.43)
понимаемое в смысле (21.24а). Например, если q— скалярная
функция координат, то заведомо можно брать q0=:maxq.
Действительно, вместо (21.40) при замене В на В' имеем
Σ (λ; - λ«) («■ «ο «ι + Σ iCu> Λ) сл - (λ - ~ Чг) я»=о.
(21.44)
Собственные функции (21.44)—это
{т-1 η 1
Σα.α)+Σ^%\. (21,45)
Внося (21.45) в (21.44), а затем приравнивая нулю коэффициенты
при различных и\ и С/; (считаем, что эти функции линейно
независимы), получаем следующую систему уравнений относительно β;· и bL:
т~1 Ι λ1 \
л
+(λ;· - λ;ο Σμ*",0λ· «})=°· <2L46a)
ft-l
Σ^ί?-1»1,· сл)+ Σμ?_1°λ·^)-(λ_τ-Γ<=0 (2ΐ·466)
(7=1, 2, . . ., от — 1; 1—\, 2, . . ., η).

I 21] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА 335
Для нахождения собственных значений λ определитель системы
(21.46) приравнивается нулю. Ограничиваясь, как и в п, 21.3,
случаем т = 2, й=1, записываем квадратное уравнение
+ (f-l)^l(№r'C/,. «|)|! = 0, (21.47)
где ξ есть определяемое с недостатком низшее собственное значение
λ^ «в приведенной форме» <70λ|/λ| (берется меньший корень).
Напомним, что λ! есть собственное значение задачи типа (19.1) для
оператора J?2 с весом q, а λ! и λ2—собственные значения для J?, и
q=\.
Выясним возможности применения преобразованного таким
образом алгоритма Свирского к задачам электродинамики. Пусть J?2 есть
оператор резонаторной или объемной волноводной задачи
^'2 = ^5'/?ΞΞΞΓθίμ-1ι-οί или „2*2 = „2^=:-rot ε-1 rat
при q=e или q= μ, соответственно, а .S*, (при тех же граничных
условиях) оператор вида
£?х = oc0rotrot
при q=\ (<х0—подходящая константа).
Существенно, что теперь неравенство (21.24) может
рассматриваться как в полном пространстве допустимых функций, так и в его
подпространстве, ортогональном потенциальному. Однако процесс
построения оператора В, не превышающего J?,, оказывается
правомерным лишь в последнем случае. Действительно, если разложение
Фурье допустимой функции и имеет вид
оо со
a = fS(«. "K +Д (и. и\,)и\„
где и), — потенциальные собственные функции оператора „3Ί,
которым отвечают собственные значения λ;- —О, то вместо (21.27)
получаем
ОТ—1
-2> = Ч,»+ 2(λΐ-λ^)(α. «;)«· +
оо

336
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ, 5
и, следовательно, представление (21.28) дает оператор, обладающий
свойством (21.25), только если
со оо
Ъ (Ц-Ш»> «» I2-*·'„ Д |(«. «1,)Г>о.
i =* Г/£ +- J i =* 1
что в полном пространстве невозможно (чтобы убедиться в этом,
достаточно взять а = и1,Л. Таким образом, в рассмотрение входят лишь
функции и, разложимые в вихревом подпространстве основного базиса:
diva = 0, "Ι
(ϊν=0 на S„) (21,48)
uv+ ν— >
(условие в скобках нужно при использовании магнитного базиса,
см. п. 5.4). Очевидно, что в этом подпространстве определен и
оператор В' (21.41), (21.42). Требование (21.48) проявляется в том,
что ему должны удовлетворять собственные функции (21.45). При
кусочно-постоянном весе q (ε или μ) это будет, когда и\ и Cfk —
функции, вихревые в областях постоянства q и не имеющие
нормальной компоненты на их границах.
Следующее замечание состоит в том, что в общем случае при
разрывной среде отсутствуют функции fk£Dc, поскольку С =
= ^2 — ·3Ί и нет функций fk£D . Тем не менее можно
ограничиться задачами, в которых одна из проиицаемостей — постоянный
скаляр. Тогда вместо (21.24а) берется неравенство
β'<-2Ί (21.49)
и С определяется как
С = &х — В'. (21.50)
Это С и фигурирует в (21.4G) — (21.47). В качестве /j для простых
оценок используется функция основного базиса Ελ или Иг
соответственно.
Простые оценки такого типа могут быть относительно точными,
поэтому Описанный алгоритм имеет определенное практическое
значение, несмотря на указанные ограничения. Надо также иметь в виду,
что нарушение условия (21.48), хотя и снимает ранее установленные
гарантии, на практике обычно уменьшает ошибку приближенного
собственного значения. При этом в простых оценках невелика
вероятность того, что приближенное собственное значение уже не
является нижней границей [16].
§ 22. О задачах рассеяния
22.1. Вариационные принципы для задач рассеяния в полых
системах. Задача рассеяния сводится к серии вспомогательных задач
о возбуждении резонатора (§ 11), а последние описываются при
помощи вариацио-нных принципов в форме (3.19), (3.25), (3.29) и др.

I 22]
О ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ
337
(см. §§ 3 и 10), поэтому указанные функционалы при
соответствующей интерпретации отвечают задаче рассеяния, и их стационарные
значения в определенных классах допустимых функций реализуются
при требуемых условиях рассеяния. Благодаря этому при построении
алгоритмов для задач рассеяния в полых системах наряду с методом
Галеркина используется и метод Ритца (гл, 2, 3),
Можно задаться целью, чтобы стационарные значения некоторых
функционалов выражали характеристические параметры рассеяния —
элементы матриц рассеяния, проводимости и сопротивления либо
функции этих величин. Возьмем, например, функционал
U = со2 Г (вее* — μΑΑ*)dv, (22.1)
которому при определенных обстоятельствах можно приписать
энергетический смысл.
Полагая в дальнейшем, что V0 — некоторая область, внутри
которой лежит объект дифракции, укажем два варианта выбора
допустимых функций:
1) при исходных е £ Д-0ь £ £; A-ot |
А = — μ-1 rote, I
h = — μ-1 rote, Ι
2) при исходных A £ Dtot, A £ Dtot |
e = ε-1 rot A, I
■ . ;_ . ί
e — ε-1 rot A. I
ω J
Кроме указанных появляются дополнительные условия в зависимости
от характера задачи. При этом имеем следующие две модификации
функционала U:
UE = — | (μ "ί rote rote* — ®4ee*)dv (22.3a)
и
UH=. | (ε-irotArotA* — <*?\ihh*)dv. (22.36)
He останавливаясь здесь на более ранних (частично некорректных)
попытках получения вариационных принципов в специальной форме
для волноводного трансформатора, рассмотрим подход,
предложенный недавно Э. Л. Куликовым [17],
(22.2а)
(22,26)

338
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
1ГЛ. 5
Пусть дан произвольного вида волноводный трансформатор (см.
рис. 2.8). Не будем требовать в отличие от [17], чтобы
соединительные сечения Sa (α=1, 2, ..., Ρ) находились на больших
расстояниях от основной области V0, так что допустимо расположение их,
показанное на рис. 2.8, б. При описании волноводного
трансформатора вся символика, а также выбор базисных функций на
соединительных сечениях и их нормировка остаются прежними (§ 11).
Взяв функционал UH (22.36), под V0 будем понимать основную
область трансформатора, а на допустимые функции наложим
следующие дополнительные условия:
/г„ = 0 на 5,, 5,, ..., 5„, кроме S., ]
К = А„ (р) на 5р I
и
йт —0 на 5,, 5п, . . ., 5„, кроме 5„, ι
Я Μ (22.46)
hx = hk(a) на 5α J
(ср. (11.40)).
Легко убедиться, что вариация Uн по h равна нулю, когда в
качестве h фигурирует поле Н, возбужденное внутри вспомогательного
резонатора из п. 11.3 при условиях (11.40). Действительно,
(Ьин)Тг = J" (ε^1 rot h rot Ы? — ω2μΑ δΛ*) dv =
=■- J" ой* (rot ε-1 rot A — ω2μΑ) dt» + (j) [6A*, ε"1 rot ή] ds.
V0 So
Придерживаясь обозначений п. 11.3, положим здесь
Тогда оба интеграла обращаются в нуль и, в частности, второй из
них—поверхностный — ввиду того, что (£ )t = 0 на 50 (идеально
проводящая часть внешней границы 50), a (6A)t =0 на 5Σ
(совокупность всех соединительных сечений), так как функция At там
фиксирована в силу условий (22.46).
Запишем теперь выражение
(rot е-1 rot Яр" — ω2μ//ρ") A* dv = 0. (22.5)
Интегрируя по частям, имеем
J (ε-1 rot НЬп rot h* - ω2μ#β"Λ*) dv = to J [E^\ A*] ds. (22.5a)
v. s.

§22]
О ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ
339
При соответствующем h левая часть этого равенства есть не что
иное, как стационарное значение функционала Uи по h при
условиях (22.4), обозначаемое si(UH)-%. Правая же часть при этом ввиду
(22.46) равна
to \\В?п, F\dS = to J[£p'\ hl(a)]ds
So Sa
или с учетом (11.2)
to f [£*«,*·]<& = -£- \E^elia)ds.
Как видно, в правую часть входит выражение произвольного
элемента полной матрицы сопротивления рассматриваемого волноводного
трансформатора (11.32). Поэтому равенство (22.5а) дает
W*
ZfB=-i-iMst(t/w)x. (22.6)
Возьмем теперь функционал
и'н=-Мп— _[ [h*. e~lTOth]ds, (22.7)
s„-s
i. α
полученный добавлением к Uн (22.36) определенного поверхностного
интеграла. Простая проверка показывает, что
s\{u'H\=si{UH\, (22.8)
причем допустимые для (22.7) функции уже не должны обязательно
быть подчинены условиям в первых строчках (22.4а) и (22.46).
Действительно, требуемые граничные условия являются теперь
естественными (т. е. условиями реализации экстремума, см. § 3).
На основе функционала UЕ (22.3а) можно получить аналогичное
(22.6) выражение элемента полной матрицы проводимости. Однако
граничные условия на 50 — Sa уже нельзя сделать естественными.
Несмотря на принципиальный интерес, равенство (22.6) и
аналогичные невыгодны как основа метода Ритца, поскольку для
нахождения каждого элемента матрицы процесс надо бы было строить
заново. По этой причине данный подход не рассматривался в гл. 2 и 3.
22.2. Об оценках параметров рассеяния. Различные выражения
параметров рассеяния в форме стационарных функционалов позволяют
подойти к вопросу об их двусторонних оценках. Однако пока он
еще далек от разрешения,

340
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
Интересные попытки получения двусторонних Оценок в случаях
относительно простых задач содержатся в работах Л. Спрача и др.
[18 — 20], а также Э. Л. Куликова [21]. В основе их лежит
известное соответствие между простейшим волноводным трансформатором
и резонатором. Например, в [18]
рассматривается регулярный волновод,
содержащий (при ряде ограничений
характера симметрии) диэлектрическую
неоднородность. Здесь мы наложим лишь
условие ε(—z) = e(z) (рис. 5.10) и
будем считать, что в волноводе только
основной тип поля имеет характер
распространяющейся волны. Если
соединительные сечения трансформатора 5j и 52 отнесены в дальнейшую
зону, то в символике п. 11.1 имеем
J11
\я
^\
р- *г
Рис. 5.10.
β ι (ί) = Znbi (η -j-- Z\[b\ (2). j
Οι (2) — Z\\b\ (i)+ Z\\b\ (2), J
\
(22.9)
π = Zn = Zi и Zn = Z\\ = Z2.
Рассмотрим два режима стоячей волны волновода с
неоднородностью: симметричный и несимметричный. Схематически
распределение поперечной компоненты электрического поля в этих двух
случаях показано на рис. 5.11, а, б". Поскольку в дальней зоне поле в
ol
0)
о,
,
'"~\1 /
\~У
>— ι
—»-
Г
Ъ
\ г ί/"-4
о\~7[
7 ~+~)
Рис. 5.11.
обоих режимах может быть отождествлено с полем стоячей волны
Пустого волновода, то можно написать:
несимметричный
режим
симметричный
режим
«iU) = — ai(2) = Msin(n + a). |
*К1) = — ь\ (2) = ^4 cos (Г/+ a); j
«ι (ί) = а-\ (2) =—iA cos (Π + β),
b\ (i)=*i(a)—Άsin(Π-|-β)■
} (22.10)

I 22]
О ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ
341
Выражения (22.10) построены так, что при переходе к пустому
волноводу достаточно положить ос —0 и β = 0; коэффициент А есть
произвольная амплитуда поля.
Подставляя (22.10) в первую пли вторую строчку (22.9), получаем
Zl — Z7 = ltg(Tl-\-a), }
(22.11)
Z1 + Z2=-/ctg(r/+p),J
или
£i=4{tg(r/+a)-ctg.(n+p)},
2
I
[tg(n + o) + ctg(n+p)J.
(22.12)
Таким образом, для определения матрицы сопротивления в данном
случае надо лишь знать фазовые сдвиги α и β двух распределений
типа стоячей волны, возникающие при появлении диэлектрической
неоднородности.
В работе [18] показано, что α и β отвечают стационарным
значениям функционала, подобного UE (22.3а), Однако дальнейшие
действия, в процессе которых автор вводит и обосновывает
двусторонние оценки для α и β, не являются вполне строгими.
Между тем для α и β можно получить двусторонние Оценки, если
только такие оценки могут быть построены для собственных частот вол-
новодного резонатора с рассматриваемой диэлектрической
неоднородностью. Достаточно рассмотреть два типа колебаний такого резонатора.
На рис. 5.11, а, б пунктиром показано положение поперечных границ
резонатора σ, и σ2 в обоих случаях; правда, при этом предполагается,
что с внешней стороны границ аг и σ2 распределение поля уже
является в высокой степени периодическим по г, иными словами,
границы Oj и а2, так же как и сечения 5j и 52, должны находиться в
дальней зоне.
Действительно, располагая двусторонними оценками собственной
частоты резонатора для симметричного и несимметричного типов
колебаний, мы можем рассматривать соответствующие выражения как
функции продольного размера, т. е. как ш(/а) и (a(ls). Последние
дают возможность построить двусторонние оценки длины при
данной частоте Ια(ω) и /θ(ω). Кроме этого, в распоряжении имеются
величины 4, (ω) и ls (ω) — продольные размеры резонатора при
удалении диэлектрической неоднородности. Поскольку
o = r(li-(J. )
»=rw-a 1 (22ЛЗ)
то двусторонние Оценки получаются и для этих величин, являющихся
параметрами рассеяния.

342
ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. 5
Литература к гл. 5
1. Т. К a t о, On the upper and lower bounds of eigenvalues, J. Pliys. Soc,
Japan 4, 334, 1949.
2. С. Г. М и х л и н, Вариационные методы в математической физике, Гос-
техиздат, 1957,
3. Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, 1,
Гостехиздат, 1951.
4. L, С о 1 1 a t ζ, Eigenwertaufgaben mit technlschen Anwendungen, Akademi-
sche Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1963,
5. A. D. Berk, Variational principles for electromagnetic resonators and
Waveguides, IRE Trans, AP — 4, № 2, 104, 1956,
6. Β. Β. Η и к о л ь с к и й, Вариационный принцип для полых систем с
анизотропной средой, Радиотехника и электроника 6, № 9, 1583, 1961.
7. В. В, Никольский, О «вариационной эквивалентности» гиротроп-
ных волноводов и резонаторов, Радиотехника и электроника 7, № 7,
1249, 1962,
8. О. Temple, The computation of characteristic numbers and
characteristic finctions, Proc, Lond. math. Sjc. 29, 257, 1929.
9. L. С о 11 a t z, Schrittweise Nalirungcii bei Integralglcichimgen und Eigen-
wertschranken, Math, Z. 46, 692, 1940.
10. Ф. M. Морс и Г, Фешбах, Методы теоретической физики, т, II,
ИЛ, 1960.
11. Ю. Н. Днестровский, Изменение собственных частот
электромагнитных резонаторов, ДАН СССР 111, 94, 1956.
12. Ю, Н. Днестровский, Возмущение собственных частот
электромагнитных резонаторов ферритами, Радиотехника и электроника 3, № 5,
675, 1958.
13. И, В, С в и ρ с к и й, Об оценке приближенных методов определения
частот колебаний, Изв. Казанского фил, АН СССР, сер. физ.-мат. и
техн. наук № 3, 59, 1953,
14. В. В. Никольск и й, Двусторонние оценки собственных частот полых
электромагнитных резонаторов с анизотропной неоднородной средой.
Радиотехника и электроника 7, № 4, 601, 1962.
15. В. В. Никольский, К вопросу о двусторонних оценках собственных
частот полых электромагнитных резонаторов, Радиотехника и
электроника 7, № 5, 907, 1962.
16. В. В. Никольский, Вариационный принцип для непоглощающей
гиротропной неоднородности в волноводе, Радиотехника и электроника 3,
№ 9, 1207, 1958.
17. Э. Л. Куликов, К вариационным методам расчета цепей СВЧ,
Радиотехника и электроника 10, № 3, 559, 1965.
18. L. Spruch, Bounds on the elements of the equivalent network for
Scattering in waveguides, p, 1, J. Appl. Phys. 31, № 5, 905, 1960.
19. R. Bar tram, L. Spruch. Bounds on the elements of the equivalent
network for Scattering in waveguides, p. 2, J. Appl. Phys. 31, N° 5, 913,
1960.
20. K. Kalikstein, L. Spruch, Scattering of electromagnetic waves
by a ferrite in a waveguide, J. Math. Phys. 5, № 9, 1261, 1964.
21. Э. Л. К у л и к о в, Вариационные принципы для полых систем СВЧ,
канд. дисс, Саратов, 1964.
22. В. В. Никольский, Нерегулярные гиротропные системы (методы
теории), докт. дисс, Москва, 1962.

ГЛАВА 6
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
Различные уравнения Галеркина— Ритца, рассматривавшиеся в гл. 2
и 3, дают общие формулировки алгоритмов для приближенного
определения собственных частот электромагнитных резонаторов,
постоянных распространения волноводов и различных характеристических
параметров волноводных трансформаторов (элементы матриц
рассеяния и т. п.), а также полей в этих электродинамических системах.
При повышении порядка N соответствующих матриц точность
получаемых результатов должна возрастать, При этом, если говорится
о каком-либо приближенно определяемом параметре задачи, например
о резонансной частоте или о коэффициенте отражения, и задана
допустимая ошибка, то должно существовать такое N, при котором
ошибка алгоритма1) будет меньше допустимой, какова бы ни была
последняя. В этом смысле употребляется понятие «сходимости метода»
при N —>оо.
' Напомним, что в § 6 были изложены исходные положения методов
Галеркина и Ритца, а позднее по мере надобности рассматривались
различные дополнительные соображения. Так, например, применение
операции rot к представлению поля допускалось, когда эта операция
почленно применима к соответствующему ряду Фурье (см., например,
и. п. 8.1 и 9.3). Чтобы сделать допустимыми функции, не
принадлежащие области определения того или иного дифференциального
оператора, использовалось интегрирование по частям, в результате
которого в исходных формулировках появлялись поверхностные (или
контурные) интегралы. Рассматриваемые действия представлялись
необходимыми для получения правильных алгоритмов, однако не
доказывалось, что будет иметь место сходимость метода. Не выяснялось,
в каком смысле представления полей ΕΝ, ΗΝ и др. приближаются
к соответствующим решениям краевых задач Ε, Η и т. д. Не могла
быть оценена и быстрота сходимости. Подобные вопросы
обоснования прямых методов для изучаемых задач электродинамики
составляют содержание данной главы.
Строгое обоснование прямых методов в ряде случаев появлялось
значительно позднее их первоначального введения в практику (см.
') Предполагается, что все численные операции выполняются точно.
Практическое содержание понятия определяется тем, что ошибки элементарных
арифметических операций на ЭВМ обычно пренебрежимы.

344
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
исторический очерк в [1]). Так, в частности, обоснование метода
Галеркина для краевой задачи с оператором эллиптического типа
было дано М, В. Келдышеы [2], когда сам метод был известен уже
около тридцати лет. Позднее ряд важных исследований был выполнен
С. Г. Михлиным, Н. И. Польским (см., например, [3—6]) и другими,
что отчасти отражено в книге С. Г. Михлина [1]. В нашу задачу
не входит изложение этих работ, поскольку по своему характеру
они рассчитаны на профессиональных математиков и не имеют
предметом краевые задачи электродинамики с их особенностями, что в ряде
случаев весьма существенно (наличие со-кратно вырожденной нулевой
точки спектра в задачах электродинамики и др.).
Обоснование прямых методов для внутренних задач
электродинамики стало необходимым в связи с их развитием в последние годы.
А. Г. Свешников [7—9] доказал сходимость предложенной им
модификации метода поперечных сечений для различных типов
электродинамических задач. Позднее автор [10] сделал некоторые начальные
шаги в обосновании уравнений Галеркина—Ритца для задач о
вынужденных и свободных электромагнитных колебаниях объемных
областей. Приводимый ниже материал отражает дальнейшее
развитие этого направления исследований.
§ 23. Вынужденные колебания и рассеяние
23.1. Предварительное рассмотрение. Чтобы представить общую
схему действий в легко обозримой форме, начнем с задачи,
сформулированной в виде (6.2). Составляя разность решения и и его
приближенного представления uN (получаемого на основании решения
уравнений Галеркина — Ритца), обозначим разностную функцию
символом
η = «— uN. (23.1)
Из (6.3) и (6.5) следует
0, п=1, 2, 3 /V,
■(<AuN—f, «„), a = /V-f 1, iV + 2, ...,
С другой стороны, разлагая η в ряд Фурье по {ип} (система
предполагается полной и ортонормированной), получим
N оо
η = Σ (*» - β«) ип + Σ *»«»■ (23 -3)
л>=1 п-N+l
где ап — коэффициенты представления uN (6.4), а ап — коэффициенты
ряда Фурье
со
«= Σ ±пЧ (23-4)
{ЛЦ, !*„)= _,4„N_.f „Л I._W_L1 Λ/ , О _ (23-2)

5 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 345
решения и. Умножим обе части (23.2) на коэффициенты Фурье из
(23.3) и, составляя бесконечную сумму, найдем
(Λη. η) = — («/£«"—/. rN),
где обозначено (см. также п. 5.1)
со
Очевидно, rN есть бесконечный остаток рядов (23.3) и (23.4)
одновременно. В силу непрерывности скалярного произведения1)
полученное равенство можно переписать в виде
(Л'% 4) = — UuN—f, rN). (23.5)
Оценивая правую часть (23.5), запишем неравенство Коши—Буня-
ковского (1.23)
\(JiuN—f, rN)\^\\JluN —f\\\\rN\\.
Поэтому
Ι Μη, η)|<Μβ^—/ЦЦГдгЦ. (23.6)
Все предыдущие выкладки были выполнены для некоторого
фиксированного порядка N системы уравнений Галеркина—Ритца (6.6).
Предположим, что для первого сомножителя справа в (23.6) можно
установить равномерную ограниченность по /V, т. е. указать такое
не зависящее от N число С, что
\\diuN— /IK С (23.7)
для всех N. Тогда, поскольку остаток ряда Фурье rN с ростом N
становится как угодно малым по норме, имеем
(υίη, η)->0 при iV-~>oo. (23.8)
Полученный результат дает ответ на вопрос, в каком смысле
представление uN, коэффициенты которого находятся при решении
системы уравнений (6.6), может приближаться к решению «задачи (6.2).
Если оператор JL положительный (т. е. (σίν, ν) > О для ν £ Ол,
ν φ 0), величина У(о1г\, η) есть разновидность нормы (1.21): ||г>|| =
= У(о1'0, ν); согласно [1], § 8, это — «норма энергии» ν
относительно оператора Л. При этом (23.8) означает, что uN сходится
к и по норме |ML:
\\u — uN\\^~>0 при iV->co, (23.9)
т. е. сходится «по энергии» [1].
') Непрерывность скалярного произведения состоит в том, что (υ, и) ->
-> (υ, и0), если а сходится в среднем к иа. Действительно, (ν, и) —(υ, «0) <
<1!°11||м — цо II и утверждение справедливо при ограниченном ||о|| в
результате того, что || и — и0||->0.

346 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
Если оператор Л — положительно-определенный, а именно (οίν, τ>)!>
7>γ2[]ΐ)|]2, где γ — вещественное число, то (23.9) дает
||« — αΛ'||-^0 при /V->co (23.10)
и имеет место обычная сходимость в среднем. Коэффициенты ап,
получаемые при возрастающем N, стремятся в этом случае к
коэффициентам Фурье ап решения и. Действительно,
2
|η|Ρ =
2 (β„ — β„) ип + 2 апи„
/ι = 1 η = Ν+\
Ν
= Σ!«»-β«Ρ +
так что при N -> сю
й„->Д„, «-= 1, 2, 3, ... (23.10а)
Рассмотрим вопрос о поведении приближенного решения UN в
зависимости от N. Умножая (6.5) на ак и суммируя по k, получаем
(oiuN, uN) = (f, aN), (23.11)
откуда
|ΜίΛ uN)\
,.N\
< 11/11- (23.12)
Поскольку в соответствии с обычным физическим содержанием
краевых задач должно быть |/| < С и тем более ||/|| < С (в
дальнейшем ограниченность вынуждающей силы везде подразумевается),
то из (23.12) при положительной определенности Л следует
равномерная ограниченность ||αΛ'|| по N. Вывод справедлив также, если
для каждого νζ^Ο^ найдется такое α φ 0, что (Л'о, τ>) = α||τ>||2.
Положив в (6.2) Л—J? — λ<7, перейдем к задаче о
вынужденных ко ле б а н и я χ (п. 3.1); оператор J2? будем считать
симметричным. Очевидно, отмеченная выше предпосылка равномерной
ограниченности \\uN\\ не выполняется, поскольку существуют
функции ν , обращающие Л'О в нуль; это — решения задачи о свободных
колебаниях (6.7). Обращение в нуль (Ли14, uN) в (23.12) можно
истолковать теперь как следствие того, что при выбранном λ
представление UN удовлетворяет условиям (6.9), а следовательно, λ
оказалось корнем характеристического уравнения (6.11) и является
приближенным собственным значением λΛ' задачи (6.7). Если выбор λ
или q при постановке задачи о вынужденных колебаниях исключает
эту возможность, то реализуется доказательство равномерной
ограниченности Ци^Ц и, как будет видно, также сходимости uN к и
в среднем.
Совпадение λ с каким-либо λ£', в частности, невозможно, если λ,
как это обычно бывает, - вещественная величина, в то время как

§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 34",
все λ^ заведомо комплексны (или наоборот). В подлежащих
исследованию электродинамических задачах q это — тензор магнитной или
диэлектрической проницаемости либо составленный из них оператор
проницаемости π (п. 2.3). Предположим1), что q = qH— ίαί, где qH —
эрмитов тензор (симметричный оператор), а а — положительное число.
В этом случае при λ > О
lm(^uN — lquN, uN) = al\\uNf,
и из (23.11) имеем
αλ||α"||* = Ιπι(/, «")<[(/, «")!<I|/|||!«"U.
откуда
ll«"!K-^ll/!l = c, (23.13)
т. е. представление uN оказывается равномерно ограниченным по N.
Введенное условие физически означает наличие поглощения,
причем сделанный вывод остается в силе при как угодно малом
поглощении. Согласно «принципу предельного поглощения» решение
при отсутствии поглощения рассматривается как предел в процессе
его исчезновения (в данном случае при а—> 0). Разумеется, в
качестве q можно взять и более сложного вида тензор, описывающий
различное в разных точках области и анизотропное поглощение.
Заметим, что необходимым качеством является не положительность
произведения αλ (что соответствует поглощению), а его
вещественность. При отрицательном αλ (регенерация) мы имели бы
|αλ||α"|Η = |Ιίη</, «")[<[(/, a")!<||/|!||a"||
и, далее,
He"l!<75Mll/li=-"c- (23ЛЗа)
Для выполнения неравенства (23.7) полученного результата,
вообще говоря, недостаточно, а требуется равномерная ограниченность
,Λμν. Однако уже сейчас можно указать простой, но практически
важный случай, в котором для справедливости вывода (23.8)
достаточно равномерной ограниченности uN. Пусть \ип) — система
собственных функций оператора J? при <7= 1, т. е. задачи (6.7) в
частной форме
^ип-Хпип = 0. (23.14)
Рассматривая правую часть (23.5), отмечаем, что
— (Ли - /, rN) = - (,^UN — KquN — f, rN) = (XquN +/, rN),
') Такие рассуждения были применены А. Г. Свешниковым [7—9] при
исследовании метода поперечных сечений.

348 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
поскольку остаток rN ортогонален ^ΊιΝ. Поэтому
\Мц. η)|<||lquN +/||||r„||. (23.15)
и при ||«JV||<C имеем (23.8).
Покажем теперь, что в этой задаче о вынужденных колебаниях
при несовпадении λ с λ^ (гарантируемом комплексностью q) будет
иметь место сходимость в среднем uN к и (23.10),
Внося в (23.8)Л = J2* — λ<7, пишем
(^η, η) —λ (^η, η)->0 при /V->co (23.16)
и при q = qH — На (αλ > 0)
Im{(„24 η) —λ(?η. η)}=αλ||η||2, (23.17)
так что из (23.8) вытекает (23.10), как и в случае положительно-
определенного Л-
Следует отметить, что в рассмотренной задаче для доказательства
сходимости в среднем uN к и "не требуется предварительно
устанавливать равномерную ограниченность uN. Действительно, из (23.5)
с учетом (23.17) и равенства {J3?uN, rN) = § имеем
αλ || β -
<\\rN\\. (23.18)
l\XquN+f\\
откуда получается оценка
\\u-u"f = 0(\\rN\\) (23.19)
и, следовательно, результат в виде (23.10).
Оценка быстроты сходимости при N->oo с помощью остатка
Цг/уЦ, разумеется, применима во всех трех случаях (23.8)—(23.10).
Предположим, что для коэффициентов Фурье ап решения и получены
оценки порядка убывания (как в п. 5.6), так что имеются
выражения вида
an = Sg~A- (23.20)
Тогда
λ?
! 119 £i I (g. U,i) I2 1 ^il/
„ = N+1 лл ΛΛ4Ι η^Ν+1
и после применения неравенства Бесселя (5.7)
ii'-s<ff5=°(# <23'21>
23.2. Вынужденные колебания резонатора. По рассмотренной
схеме произведем обоснование уравнений Галеркина — Ритца и
исследуем сходимость получаемых из них представлений поля к решению

в
V>
ведем
(я и,
\ о
обоз
V0-
*<') =
иачения
ηα =
ω (го
= ±1
-и —
, и
±
uN
§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 349
задачи о возбуждении нерегулярного резонатора в различных
случаях.
Основной базис. Начнем с уравнений Галеркина — Ритца,
полученных в § 10, причем будем использовать аппарат оператора
Максвелла (п. 10.2). Соотношение ортогональности типа (6.3) в
данном случае имеет вид
{ъМи~ ωα> — φ, U о) = 0, &('>= ±1, ±2, .. .,±оо. (23.22)
После интегрирования по частям с учетом (10.16) оно принимает вид
-> ν>)+(θκ' V>) =°·
. ., ±со (ω о = 0у (23.22а)
и x\w~w~wN, (23.23)
учитывая в дальнейшем, что поля и их представления подчинены
также соотношениям (8.45) и соответственно (8.58), (8.59).
Будем исследовать представление напряженностей uN и с этой
целью заранее исключим wN из (10.18а) и го из (23.22а) с помощью
(8.58) и (8.45). Сопоставляя после этого (23.22а) и (10.18а),
получаем
0, £('>= ±1. ±2 ±№>;
ω (пи", икП) + (φ, икП) - (θα, ί^-^ , (23.24)
ή(')= ±(ΛΛ'>+1), ±(ΛΛ'> + 2), .. ., + οο.
Разностную функцию η„ разлагаем в ряд Фурье
II)
±Ν ±оо
Чи= Σ (? о - 9 ('Λ ^ С) + Σ ?(о"('). (23.25)
л1 '-±1 л(')=± (Л'1 ' + U
где о /η — коэффициенты представления uN, q (л — коэффициенты
л —я
Фурье решения и; сумма справа, являющаяся также остатком ряда
Фурье «, обозначается далее rjy.
В выражении (23.24) произведем умножение при каждом &(,) на
соответствующие коэффициенты ряда (23.25) и затем суммирование
по всем &(,). При этом учтем, что согласно (10.16)
(θα, Uk(r)\ = (оМи, υ^,λ — (α, β*ί^(,Λ =

350 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. θ
а при 1 к{Г) 1 > ΛΛ'> ввиду ортогональности uN и U {Г)
В результате получаем
(Л- ηΒ)-ω(πηΒ, ηΒ) = ω(πβ", r£) + (q>, r%)-(^a, r»), (23.26)
где обозначено
±N
(π0Ωηω, ηβ) == 23 ω„ | ?„ - ?„ j2.
я—±ι
Рассматривая поглощающую среду !), для которой
, 0\ /10
где ги и μΗ—эрмитовы тензоры, выделим в (23.26) мнимые части
и после применения неравенства Коши — Буняковского запишем
Этот результат подобен (23.18), так что без предварительного
установления равномерной ограниченности uN имеем
ll«-«"ll2 = 0(|K||) (23.29)
и видим, что при N->co представление uN сходится в среднем
к решению и, причем || и—uN\\->0 не медленнее, чем V |Ίν|·
Чтобы исследовать представление индукций wN, теперь можно
исходить из соотношения
К-ν us>)~
ί 0, k(i>= ±1, ±2, . , ., ±ЛЛ'>;
= j __/лалг_юлг1 ^(,д ft(0 = ±(ЛГ'ЧН-1), .... ±со, (23.30)
получаемого при сопоставлении (8.54) и (8.58). Разложим разностную
функцию r\w в ряд Фурье
п(') = ±Л-л " ' " „С)-±(лг(') + 1)-л "
') Для единообразия здесь повторяется прием, продемонстрированный
в п. 23.1; напомним, что существенным моментом является не поглощение,
а комплексность ω^ при вещественной ω.

§ 23]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ
351
остаток которого, являющийся также остатком ряда W, будет
обозначаться г^. Умножение в (23.30) при разных k{,) на
соответствующие коэффициенты (23.31) и суммирование по &(,) дает
■{л%- чш)+(л« —
ЩГ
ν)
и, далее,
■ft
<|HJ|IK II+11 ««"-«>'
откуда следует оценка, аналогичная (23.29):
\W— W
ΛΠΙ2.
\w — wN\\0(\\r'i
Ι)+°(ΚΙΙ) = °(Ι
(23.32)
(23.32а)
(23.33)
Рассмотрим следующий пример оценки быстроты сходимости ιιαΝ
к w при N-~>co. Пусть резонатор с неоднородной анизотропной
средой возбуждается замкнутым сторонним током у" !) (div yCT = 0);
на внешней границе Εχ, — O, и ввиду отсутствия отверстий Ду-=0.
При этих условиях векторы D и В, а следовательно, и w
разложимы по одним вихревым функциям основного базиса. Согласно (5.43)
1К»1Г<т(11^11*+2Н^1111^11+11^11а)·
где г^ и г^—остатки рядов Фурье D и В, быстроту убывания
которых и требуется оценить. Используя формулы, предшествующие
(5.73) и (5.79), имеем
ω„μ0
Η* rot D dv,
Ε* rot В dv,
(23.34a)
если тензоры проницаемостей е и μ дифференцируемы в области V0,
за исключением некоторых поверхностей 5' (не входящих в VQ при
интегрировании; на 5'требуется лишь непрерывность ε и μ). Если же
везде в VQ, за исключением 5', существуют также вторые
производные е и μ, а кроме того, (rotB)T = 0 на поверхности 50, то
в (23.34а) можно произвести интегрирование по частям; в
результате получаются следующие формулы:
— 1
ωηε0μ0
— 1
ω*ε0μ0
j E*n rot rot D dv,
H*n rot rot В dv,
(23.346)
') Ниже предполагается, что jr'CT — достаточно гладкая функция.

352
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
которые в случае достаточной гладкости функций е и μ при
требуемом поведении их на поверхности 50 (см. также сноску на стр. 351)
подлежат дальнейшему интегрированию по частям. Так можно
получить
а„ = п., I Е* rot . . . rot D dv,
■ ι
2s
//"rot ■ ■ · TotBdv,
(23.34b)
ft 2s / \s
и аналогичные формулы с cu~(2j + !>. Останавливаясь на последних
выражениях коэффициентов Фурье и замечая, что они имеют вид (23.20)
при g-=rot . , . rot D и g· —rot . . . rot β, сразу же получаем оценки
вида (23.21). Поэтому согласно (23.33)
||ю —w"|| = 0( J-) (23.35)
N
при сделанных предположениях о свойствах среды и характере
возбуждения.
Следует, однако, иметь в виду, что практическое значение
оценок типа (23.35) невелико, так как при используемых в вычислениях
порядках N учитываемые здесь закономерности могут еще не
проявляться, в то время как ошибка метода уже достаточно мала. При
сравнении двух задач, в одной β3 которых проницаемости разрывны,
а в другой непрерывны со своими производными до порядка т, если
при этом изменение свойств среды происходит в тонком слое
(несколько «размытая» граница раздела сред), вряд ли можно ожидать
существенного различия в точности метода при обычных для
практики Ν, несмотря на совершенно различные возможности
построения оценок типа (23.35).
Базис преобразованной области. Ограничимся
замечанием, что после преобразования координат (п. 14.1) получается
формулировка задачи о возбуждении «преобразованного резонатора»,
внутренняя среда которого характеризуется тензорами проницаемо-
стей Те и Τμ; последние подобно обычным е и μ являются
эрмитовыми при отсутствии поглощения (регенерации). Поэтому все
произведенные выше действия автоматически повторяются с новыми
тензорами проницаемостей ГЕ и Τμ.
Базис расширенной области. При рассмотрении
алгоритма, получаемого с оператором Максвелла (п. 14.5), снова
используем соотношение (23.22), где, однако, теперь Ш о}—базис
области V0, внутри которой лежит область резонатора V0, причем
скалярное произведение — интеграл по V0. Поскольку функции U (о не
удовлетворяют каким-либо краевым условиям на границе резонатора

§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 353
S0 = S(0)-}~ Ss, то вместо (23.22а) после интегрирования по частям
получаем
V'(V· V)-·ω(πα· V0 —(φ· ^*ο)+(θα· ^(,)к = 0·
A(" = ±l, ±2,..., ±οο (ωι0 = 0\. (23.36)
При сопоставлении (23.36) и (14.39) имеем
vKw ν>)+(4· ι/*('))5ο~ω(πη«· u"{'))s=
0, &<'> = + 1, ±2, . ... +Λ/0;
fc(') = + (ΛΛ'1 _j_ 1), ±(ЛД'>-т-2) ±οο.
или
(V °*<V>) + KV ίΑΛ(ο)-ω(πηβ. t^,,) =
О, &<')= + 1, ±2, .. ., +Λ/0;
— (Ε", e#Uk(/)\ — UiHN, Uk{r\ —
-(θα, l/fc(0)s -|-ω(πα", ί>) + 0' V')'
fc(') = ± (WΟ + 1), + (ΛΛ'> + 2), . . ., ± οο,
где участвуют электрическая и магнитная части функции η :
(23.37 а)
(23.376)
%
Ля/
Че\ ( 0 \
в отдельности; при этом надо понимать цЕ как и х\п как
V и / V Ля
При получении записанных выражений выясняется роль интеграла
/ Г [е*, h]ds, добавляемого в (3.19) и соответственно учтенного
в (3.19а) и формулах из п. 14.5. Если бы он не был включен, то
в верхних строчках справа в (23.37а) и (23.376) не было бы нуля.
Далее в рассмотрение вводится ряд Фурье функции ηί( типа (23.25)
по базису расширенной области V0, поэтому встает вопрос о
продолжении (доопределении) в V0 решения задачи и. Будем считать,
Ε
что и~ „ продолжено с сохранением непрерывности
тангенциальных компонент Ех и Нх на поверхности 50 при Ех — 0 па границе 5°
расширенной области V0 (за исключением Sy., когда S% совпадает

354 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
с частью 5°). Умножая (23.376) на коэффициенты данного ряда
Фурье х\и и суммируя по k('\ находим
(ЦЕ.а^Ца) + (о#Пя. η«) —ω(πη„, η„) = — (ΕΝ, <Jlr%) —
-ЦЯ", г ν) — (θα, />)5 +ω(παΝΓίν) + (φ. г%)· (23.38)
Нетрудно видеть, что
Ιιη{(ηΕ, βΛηΒ) + (β*ηΛ· η«)}=0·
поскольку
(Пя, o4ir\u) + (о#Пя, η«) = I J" {це rot η# — rfE rot η^) du
и Γθίη//=Γθίη// (π. 5.5). Таким образом, при π вида (23.27)
αω Ι η„ Ц2 = Im ( - (EN, ъМг%) - (<JmN, r%) - (θα, raN)s +
+ ω(π«/ν, r5v)+(q>, r^)}. (23.39)
Пусть 5Σ совпадает с частью 5° (рис. 3.8, а), тогда
(θα, ruN)Sv={<Jlu, r&)°-(a, vflrVf,
где скалярное произведение ( , )° понимается как интеграл по
расширенной области V0, и в (23.39) остаются только объемные
интегралы. Для доказательства сходимости в среднем uN к и достаточно
убедиться, что ||*#/7 ||^С; тогда из неравенства, аналогично (23.28),
следует, что
[Ι α — uNf = o{\\a£r"N\f) (23.40)
(rot£ совпадает с рядом Фурье функции rote, отличающейся от rot£
на 5ς). Однако факт равномерной ограниченности oMHN no N
в общем случае не установлен; отметим, что (рМН , r5v)s=0 при
переходе к основному базису, когда 50 совпадает с 5°.
Более успешным оказывается обоснование магнитного алгоритма
уравнения Галеркииа— Ритца (14.43)). Требование оргогонализации
(14.42) сравнивается с соотношением
(rot е-1 rot Η — ω2μ# — rot ε-ψτ, Η (0\ = 0, }
V (23.41)
&('>= 1, 2 со (ω*,==0), j
в котором предварительно производится интегрирование по частям.
Ниже обозначено г)н = Н—HN, и при разложении х\н в ряд Фурье
решение задачи Η считается продолженным за границу 50 в область

23]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ
355
V0 с сохранением непрерывности тангенциальной компоненты. При
этом получаем
(e-irotV κ>^(0)-ω«(μν Η^) =
(О, й<'>=1, 2, ..., W<'>;
~-(ε-4οίΗΝ, TOiHk(n\+a2(iiHN, Я (0\ +
+ (rotB-V". ^(0)-/ω([νο. &].Нк(П)^
ft(')=^(')_(_ii MD + 2. .
(23.42)
oo,
(μη*. Ля) =-(е-1 rot Я*, rotr#) +
l
и, далее,
(в~1то1цн, rotηя) — ω;
+ а>2(цЯ*. r^ + Crote"1/7. r"N) - /ω([ν0, Я5], r#). , (23.43)
Σ
где rν—остаток рядов Фурье т|я и Я, Учтем также, что
(К, Е8], /#). = —(£,rotr#) — ш^Я, r#).
Σ
Положив e-1 = e# -)-га/ (а > 0), зададим малое электрическое
поглощение. Это дает возможность написать неравенство
«Hrot nHf< || ε"1 rot HN || || rot r% || + ω21| μ^" || || r% || +
|^||+ω||£||||Γ0ί^||+ω2||μ^||||^||. (23.44)
I rote"1/* |
Поскольку при IIrot/7"||<С заведомо ||/7"||<C, то из (23.44)
следует и равномерная по N ограниченность rotfiN, и сходимость
в среднем rot Я" к rot Я (ср. (23.18) i):
|| rot Я — rot HNf=0( II rotr# ||). (23.45)
Учитывая это в (23.43), имеем также
\\Η — ΗΝΨ = 0(
rotr#|
(23.46)
Последний результат можно получить отдельно, задавая магнитное
поглощение: \ι = μΗ — ία! (α > 0),
я
Согласно п. 5.5 rotr/v есть остаток ряда Фурье функции rot Я
(продолженной в V0). Очевидно, rot Я =/ω£>-4-У" в V0.
') Ввиду исключения потенциальной части в rot г'у возможно О (||rotr^|[)=
01
4\
так что оценка несколько условна.

356 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
23.3. Рассеяние в волноводной системе (уравнения Галер-
кина—Ритца). При определении матрицы проводимости или
сопротивления волповодного трансформатора методами, рассмотренными
в § 11 (см. также п. 12.1), в качестве способов определения поля
внутри системы используются алгоритмы для задач о вынужденных
колебаниях резонатора или аналогичные. Поэтому остановимся только
на некоторых специальных вопросах.
В алгоритмах с выделением поля (пп. 11.4, 11.5, 12.1) требуется
установить сходимость представлений В1^ и D1^ к полям В =--
(= В—В0 и D—D — D0. Например, в случае алгоритма для
вычисления матрицы проводимости, объединяя (11.40) и (11.48), имеем
следующие эквивалентные условия ортогонализации:
ω^μομ-1^, Η,)-ω{ΰ'1, Ek) = - ω,(μ0 (μ"1 -[μ0]~>0. #*). )
ω,(ε0, ε-1^, Ek)-^, Η„)= - щ (^(e"1 - [ε0]'1) D0, Ek),\
k= 1, 2, .. ., Ν
(23.47)
(учтено, что потенциальные функции исключаются). Далее удобно
воспользоваться предшествующей символикой. Подобно (23.23)
обозначим
η^=«^ -- wl, (23.48)
где «βί~ = ( ~ 1 и *у= . Нетрудно показать, что вместо (23.24)
теперь получаем
(ак(щп-Ч}^, Uk) — ω(η_, Uk) =
(Ό, k= ±1, ±2 ±Ν;
= \— Щ(по^1^1 — Ψ- Uk), . (23.49)
(k—±(N~\-l), ±(N-\-2) + со,
где
,'βο (ε"1 -И"1) Д,
,μοίμ-'-ΐμ0]"1)^
Далее в (23.49) производятся умножение на коэффициенты ряда
Фурье г|_, деленные на ωΛ, суммирование k и затем выделение
мнимых частей после введения поглощения аналогично (23.27) при
л _ ья
εΖι 0 \ , // 0
,ο μ?Γι(ο ι Г (а>°)- (23-50)
В результате имеем неравенство
«и»..-«£IP <Ш1 (2351)
-'«£-ч>|

I 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 357
Следовательно,
||да„-ю?|р = 0(||гй||). (23.52)
где Гм—остаток ряда Фурье функции W^ no [Uk].
Совершенно аналогично рассматривается вопрос в случае
определения матрицы сопротивления (п. 11.5).
Заметим, что ||глг|| можно оценить подобно тому, как это
делалось в примере из п. 23.2. Если, в частности, на соединительных
сечениях Sa волноводного трансформатора ε = /ε° и μ = /μ°, то при
получении формул, аналогичных (23.34а), поверхностные интегралы
по Sa исчезают, и при тех же предпосылках, как и в п. 23.2,
получаем следующие выражения коэффициентов Фурье рядов D — D0 и
В~Вп.
<а„е,
' ' Η η (rot D — rot D0) dv,
/г°о
' _.V\ \ (23.53)
bn = Ί77Γ £» (rot B — rot Bo)dv- I
В зависимости от степени гладкости функций ε и μ возможно
дальнейшее интегрирование по частям, ведущее к оценке типа (23.35).
Итак, мы можем говорить о сходимости в среднем в V0 предста-
влений (Л0Я)", (Iff, (E^'f и (D^'f к Яр", В*", Eiin и Др",
соответственно, в алгоритмах, рассмотренных в пп. 11.2—5 и 12.1.
Однако для сходимости метода, т. е. для выполнения предельных
соотношений
д, } при N ->со (23.54)
{z^^zt \
требуется еще сходимость в среднем на соединительных сечениях Sa
тангенциальных компонент магнитных или электрических
представлений к соответствующим компонентам полей.
При нахождении приближенных элементов матрицы проводимости
исходной является формула (11.19), в которой (// ) есть либо
непосредственно получаемое представление напряженности Η , либо
μ-1 (β|1,!) и, в частности, при выделении поля (п. 11.4) (Н^1) =
= — (Β0~\~ΒΝ). Предельная форма (11.19) имеет вид
μ0
{Yff = \Wk{a)f ${H*TU(*)ds. (23.55)

358 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
а поскольку во всех случаях (/г ) сходится в среднем в!7, к Hw\
то (//|3,г) можно заменить соответствующим рядом Фурье
Н*а = 2 {d%Hm + №Hm) (23.56)
и вместо (23.55) писать
ПТ = \ W" (α) I" J WP"A* (α) <**· (23·57)
и
Нашим ближайшим объектом будет волноводный трансформатор,
внешняя оболочка которого является обобщенно-цилиндрической
(см. рис. 6.1, а), а соединительные сечения 5j и S2 — основания
цилиндра. В этом случае собственные функции, входящие в (23.56),
выражаются формулами (П1. 28а, б), причем вихревые s-t и
потенциальные pi функции поперечного сечения цилиндра 50 в
совокупности образуют систему {А,.] (Аг(1) = ft/(2) = й/). Имея в виду
нормировку (11.2), которую надо наложить на «г и р{, нормируем
функции Hi') обычным образом в V0;
μΓ, // ,ηΗ* ir\dv — δ
J m η ч
Va
Формулы (П1.28) при этом принимают вид
С) Ю-
VI 'Я
н„ =
рпг . п
amsncos —— , ρ = 0, 1, 2, ...,
„ / ρηζ , In. рпг \ , ...
Pm(/>„COS-^ (-«0_X2«nsin^-), ρ = 1.2,
(23.58a)
"„■=β^™^-'ο^1η^). р = 0. 1, 2, ...,
(23.586)
где р,г = Vz„, и при ρ ФО коэффициенты выражаются следующим
образом:
a2 =-Lir l2^-, fl2 =—IW I
m un Ι "ι ι v,n u„ I л ι
1 2
«2,= —[Г.2- '
μ0
(при р = 0 добавляется множитель 1/2).

§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 359
Пусть сначала в (23.57) hk(a) = sk (α= 1. 2). Внося под
интеграл (23.56), имеем
(со
2 *%н„
(J_, ζ) s'k ds (23.59)
(_]_ означает совокупность поперечных координат), поскольку
Нт' (J_. 0) и Н,п' (.!_, /) ортогональны st>. По и из вихревых
собственных функций в (23.59) входят лишь
„ ρπζ
" т — amsk cos '"~J~ "
где k — постоянный индекс.
Коэффициенты Фурье — это интегралы
d% = μ(Ι j Яр" (j_, г) ^α,Α cos ^ ) Λ; =
ν
= μ0α,„ J j J H*a (j_, г) 4 rfs | cos -^ tfz. (23.60)
С учетом предыдущего переписываем (23.59) в виде
р-0 0 Uo J
Xcos-^.f|ssprfe рЧ.
So \C0S "V/
Здесь строчки столбца соответствуют случаям α=1 (ζ = 0) и
а = 2 (ζ = 1), a коэффициент а^/г согласно предыдущему уменьшается
вдвое при /> —0. Обозначая
So
видим, что получен обычный тригонометрический ряд Фурье по
косинусам от F(ζ) в точках 2 — 0 и 2 = /:
» ,l /cos^\
(K?T = |J^(-)^+4S ί mcos^^ ^ . (23.61)
0 p-1 0 \cos ~7/

360
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
Как известно из теории тригонометрических рядов, такой ряд
сходится к разлагаемой функции в граничных точках интервала
(последняя должна удовлетворять условиям Дирихле); поэтому в данном
случае
F(0)=F(0). }
F_{l) = F(l) ) (23'62)
(символом F{z) обозначен ряд Фурье). Обращаясь к (11,18),
замечаем, что
Следовательно, на основании (23,61)
\ι кп) — У ttiv
(23,63)
и тем самым сходимость (к°,г) к*К°,г (верхняя строчка (23,54))
в рассмотренном случае подтверждена.
Возьмем теперь в (23.57) hk(a)=pk (α=1, 2), так что вместо
(23,59) будем иметь
2^7/я,(_Ь г) +
причем
Η (/) =
K{PkC0S—[—
рлг
8o^W**SIn ί
ρπ , ρπζ
/»=1, 2, , ..,
р = 0, 1, 2, .
где k фиксировано. Преобразуя коэффициенты Фурье подобно (23.60),
придадим равенству (23.59) вид
гав=м„1^|а1(р«+р»ох
I
Xji jV!(l_, г) plds\ cos-ψ-dzj\pk
где при р-~0 коэффициент β^ исчезает, а β^, уменьшается вдвое.

23]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ
361
Это выражение, очевидно, опять дает (23.61), где на этот раз
F(z) = \Wkf \Н^(±, z)p\ds.
Вывод (23.63) распространяется, таким образом, на все hkiay
Итак, сходимость (γψ„)Ν к Υψη (23.54) установлена в случае волно-
водного трансформатора частного вида (рис. 6.1, а), а следовательно,
и в случаях, показанных на рис. 6.1, б, в, г и аналогичных (когда
сечение присоединенного волновода меньше соответствующего
основания цилиндра, привлекаются
соображения из п. 5.2). Для
подтверждения (23.54) в
самом общем случае (рис. 2.1,6')
понадобились бы, вероятно,
менее элементарные
соображения.
Все произведенные
действия без существенных
изменений повторяются для Ζ°η
(вторая строчка (23.54)).
Не возникает
принципиальных затруднений и при
переходе к алгоритмам, в
которых применяется
преобразование координат (п. 14.1).
Что касается применения базиса расширенной области (п. 14.5),
то в случае магнитного алгоритма произведенные действия могут быть
повторены,
23.4. Рассеяние в волноводной системе (метод поперечных
сечений). Приведем теперь обоснование метода поперечных сечений
(пп. 12.2, 12.3), т. е. покажем, что с увеличением порядка системы
обыкновенных дифференциальных уравнений получаемые из ее
решений приближенные значения (/?*) стремятся к элементам матрицы
рассеяния /?"„.
Подобно предыдущему образуем разностные функции:
г)Р = Е — ΕΝ, } ц =D — DN, }
[ · ,„ (23.65)
Рис. 6.1.
Чн
=Η — ΗΝ ί и 4f
В — βΛ
Сопоставляя исходные соотношения метода (12.15) — (12.17)
с отвечающими им бесконечными системами условий ортогональности,
содержащими решение, запишем
(го\\\и—£ωη0, Ε <Λ = 0, Ι α — ί, ζ,
(Γθ*ηβ-τ-ίωηΒ> 7/^,,) =
= 0,
kv
1. 2,
οο,

362 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
а также
f 0, ft(,)=l, 2 М{'\ N{'\
εΕΝ, Ε Л k{r)=M{,)+) оо, ^+1..... со, (23'67а)
ak
f 0, *<'>== 1, 2 М(/); Л/(/),
μ//", Я (,Д fe(/,= Ж^+ 1, .... оо, А^-+ 1 оо, (23-б7б)
а*
(ε-'η0 — цЕ, Еф{/)^ =
О, А(/)=1. 2 М('!; iV(,)
!/γν с· .Л л<0_ мО
| -^"'/Г, £aft(0J, ^=Ж"+1 оо, (23.67b)
/V(/)-+ 1, ..., οο,
(μ-4,-η*. "а*п) =
ί 0, ft(,>=l, 2, ..., Ж(/>; iV(,),
= ■ -(μ"'^· Haki')} *(,)=Ж(,)4-1. ·.·. со, (23.67г)
/V(/) ~f 1 со
(напомним, что скалярное произведение здесь— интеграл по
произвольному поперечному сечению волновода, содержащего нерегулярность).
Затем, как это уже делалось ранее, в рассмотрение вводятся ряды
Фурье разностных функций (23.65). Не выписывая их, отметим только,
что коэффициенты Фурье до номеров Ж( !, ЛЛ включительно
представляют собой разности коэффициентов рядов Фурье (12.36), (12.37)
и соответствующих представлений (12.11), (12.12), а далее совпадают
с первыми.
Умножая (23.66), (23.67) на подходящие коэффициенты Фурье и
суммируя по индексам, получаем соотношения:
(то1цн—1ац0, η£)=0, |
(κ>ίη£+ί"ωηΒ. цн)=0 J
(23.68)
и, далее,
(ηβ - сцЕ, цЕ) = (εΕΝ, г%), (23.69а)
{Цв ~ μη„. %) = (μ//". r#), (23.696)
(ε">ηβ - %, ηβ) = - (e->^, r£), (23.69в)
(|Х-^-Чя. η4)=-(μ-'β", г£), (23.69г)

§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 363
где ?-£, r^„ rf4 и г% — остатки рядов Фурье цЕ, цн, r\D и ηΒ
соответственно (или, что то же самое, рядов Ε, Η, D и В).
Интегрируя выражения (23.68), (23.69) как функции г от гг до ζ2,
а также выполняя некоторые простые преобразования, находим
следующие соотношения:
§ [П£. Пп\ ds = — m J (r\BrCH—r(Dr\^dv, (23.70)
S V
\ (ПоПя - еЧяЧ*я) ^ = J ε£'ν (г£)* d^ (23.71a)
\ (%Х/ - V-r\,,r\*H)dv = \ vHN{rHN)*dv, (23.716)
V V
\ {П^о ~ e-^Xjdo = J E-*DN(r%fdv. (23.71b)
J K^-l1" VU)do = J μ-'^Κ)*^. (23.7 1γ)
ν ν
где V—объем волноводного трансформатора (рис. 2.15),
ограниченный соединительными сечениями S1 и S2, a S—его полная граница.
Как было видно в п. 12.2, различные варианты алгоритма метода
поперечных сечений можно разделить на две группы в зависимости
от того, сохраняются в них представления индукций или напряжен-
ностей. Соответственно этому выполняются дальнейшие действия.
Рассмотрим сначала поверхностный интеграл в (23.70), который
в силу граничных условий на боковой поверхности волновода имеет вид
§ [1V %t\ <is = - | [ЦЕ, rQ2 ds + | [η£, η^ ds (23.72)
5 S, S1
(см. рис. 2.15). Чтобы выразить цЕ и т|я па сечениях S, и 52,
привлекаем соотношения (12.36) — (12.39), (12.42), (12.43) и (12.48),
в результате чего получаем
M;N
ί [%> ч^ = Е npn?t 1л!1-(лйГ1а+|л?1-(л?1ГГ} +
УадГ° .^^и,("(г-)5г">(г-)-^лЫ^)Ы ) (23"73)
(напомним, что символ Μ; N при суммировании означает участие
Μ функций, отвечающих £'-волиам пустого волновода, и iV-функций,

364
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
отвечающих Я-волнам). Правая часть (23.73) записана в двух
вариантах соответственно двум типам алгоритмов; различие проявляется
во второй сумме, которая оценивается как
Г Οι
I
Οι
\r«\
Μ
Преобразуя теперь правую часть (23.70) в двух вариантах с
помощью (23.71а) — (23.71г), переписываем это соотношение в виде
М; N
{|лй-(л11П2+|/гг1-№Г1а} + |
\0[
V
-f- to
ι0(ΚΙΙΜΙΙ)
'!+
+ J [(μ-^νβ-ε-ι/)" (/■£)*] do
ν
= 0.
(23.74)
Возьмем случай отсутствия потерь (тензоры ε и μ эрмитовы).
Объемные интегралы, не содержащие остатков рядов Фурье,
оказываются (с множителем to) мнимыми. Поэтому, выделяя вещественные
части, находим
V 1
/-ι
w-
Η, Ε
[|^-Wf+I^-Wf}4
ίΟι
Οι
ΚΙ!)
\\[{p-Wrr%-Z-W{rD)*\dV,
ω Im \
Ι
[ViHN{r«)*-(f.ENrr%]dv Ι
ν \
(=0, (23.75)
где М0 и /V0—числа £- и Я-полей, которые в данном волноводе
имеют характер распространяющихся волн (для них W?'Е
вещественны). Следовательно, для элементов матрицы рассеяния, отвечающих
распространяющимся волнам, получаем оценку
,лЯ-(лйГ12={
Οι
т
ί°(ΙΚΗ)
(23.76)

§ 23] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РАССЕЯНИЕ 365
в предположении равномерной ограниченности EN, HN, DN и BN,
которая устанавливается простыми средствами (см. ниже). Норма
здесь, как и выше, соответствует интегралу по поперечному сече-
'Е\ (D^
ffi и - = 1д I ■ср·"■23'2,
Более общий результат можно получить, если в рассмотрение
ввести поглощение !) в области V трансформатора. Полагая в первом
варианте z~l = zj^-\-Ua, μ~1 = μ~1+ί/α и во втором ε = ε —На,
μ = μ[[—ϊία, после выделения вещественных частей в (23.74) получаем
М"'· Ν" I Г) ( II rD || || г В WW
V 1 ί Ι η11 (du\n\2 ι Id21 (d21\n\'2\ i «я ,
Ъ й^гвII««-(««) 1+1^*-№*) ПН- 0П| £||| Н|| -г-
α J (|ηΒΙ2-Ήηβΐν« —
(ά\
Im
α J (| 4n |2 +1 4E I2) d« - Im J [μ/f " (r#)* - (eENf rEN] dv
ν ν
(23.77)
Очевидно, помимо (23.76), отсюда следует вывод о сходимости
представлений EN, HN, DN, BN к решениям £, Η, D, В в среднем в V.
Что касается равномерной ограниченности представлений, то она
устанавливается из равенства
ί
[EN, (HNf]ds = -to J [B(HN)'—(DN)*EN]dv, (23.78)
s к
по форме аналогичного (23.70) и получаемого тем же путем из (12.15)
после умножения на коэффициенты представлений и суммирования.
Для получения требуемого вывода вводится поглощение, а при
раскрытии поверхностного интеграла используются соотношения (12.48).
Остатки рядов Фурье, входящие в построенные оценки, могут
быть исследованы так, как это делалось в п. 23.2.
Здесь можно также повторить замечания о применении
преобразования координат и базиса расширенной области, сделанные в конце
п. 23.3.
В заключение отметим, что подробные сведения по вопросу
обоснования метода поперечных сечений читатель найдет в работах
А. Г. Свешникова [7—9].
') В отличие от предыдущих задач (пп. 23.1—23.3) положительность αω
(поглощение, а не регенерация) здесь существенна.

366 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
§ 24. Свободные колебания и волны
24.1. Вводные соображения. Пусть в дополнение к задаче на
собственные значения (6.7) сформулирована сопряженная задача
^v = Vqv, (24.1)
для которой можно записать соотношения ортогональности,
аналогичные (6.8):
(ик, ^v — l*qv) = 0, k=-\, 2 со. (24.2)
Умножая (24.2) на коэффициенты ah представления uN типа (6.4)
и суммируя по k, получаем
(ttN, J*v) — λ (αΝ. qv) = 0. (24.3)
Взяв теперь ряд Фурье одной из собственных функций ν
сопряженной задачи (24.1) по \ип]
оо
ό = Σ апип (24.4)
— η=ι —
и условия ортогонализации (6.9), произведем аналогичную операцию
умножения на ak с последующим суммированием; это дает
(^uN, ν) — λ" (quN, ν) = {3ΊιΝ — lNquN, rN), (24.5)
где rN — остаток ряда Фурье ν (24.4).
Путем вычитания (24.3) из (24.5) находим следующий результат:
(λ — λ") (quN, v) = (^uN — lNquN, rN). (24.6)
и тут же запишем его частный вариант
(λ — λ") (quN, ν)=—λ" (quN, rN), (24.6a)
соответствующий случаю, когда \ип} есть система собственных
функций задачи (23.14) и, следовательно, (^uN, γ^ξξΟ.
В полученных соотношениях имеются в виду одно из
приближенных собственных значений λ^ с соответствующим представлением
собственной функции uN рассматриваемой задачи (6.7) и одно из
собственных значений λ* сопряженной задачи (24.1) с соответствующей
собственной функцией V, т. е.
λ — λ„ , и —и„, п= 1 Ν,
* *
λ = λ„, ν — νη, η = 1 со.

§ 24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 367
Из (24.6а) получаем неравенство
\(Яи".ч>)\<\\яи»\\\\?к\\. (24.7)
Л ι
λ"
причем независимо от N представление uN может быть нормировано,
например, в виде \\quN\\~\.
Если для некоторого uN можно найти такое ν , что скалярное
произведение слева в (24.7) равномерно ограничено снизу по Ν, т. е.
|(?<. *„)|>С, (24.8)
где С не зависит от Λ/, то, очевидно,
|λ„-λ^|= 0(11^11), (24.9)
т. е. приближенное собственное значение λ„ сходится к
собственному значению λ„ исходной задачи (6.7).
В простейшем случае, когда J? и q —
положительно-определенные операторы (в частности, q есть эрмитов тензор ε или μ, а также π),
задачи (6.7) и (24.1) совпадают в силу симметричности J? и q,
а уравнения Галеркина — Ритца (6.10), (6.21) можно рассматривать
как следствие минимизации функционала
φ^ = ί0& (24Л0)
типа (3.4); при этом >)
λίν = ιηΙπΦ(αΛ0 = Φ(αΓ) (24,11)
(ср. (3.5)). В данном случае выполнение неравенства (24.8) не
вызывает сомнения, поскольку проекция и^ на uv выражаемая скалярным
произведением (qu^, иХ с ростом N не уменьшается. Таким образом,
^-Ч=°(ИГ"11)· (24Л2>
и этот вывод распространяется также на высшие собственные
значения. Подробное обоснование сходимости λι κ λι для этого случая
приведено в книге С. Г. Михлина [1] (§ 32).
Операторы электродинамических задач на собственные значения
вообще не являются положительно-определенными 2). Положительно-
') О непосредственном обосновании метода Ритца при минимизации
функционала см. приложение 1 к этой главе.
2) При добавлении константы ([1], § 32) операторы ^Е и J3?н
становятся положительно-определенными, но остается трудность, связанная
с со-кратным вырождением низшего собственного значения, равного уже
не нулю, а этой константе.

368 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. θ
определенными будут операторы J?'£ = rot μ-1 rot и J/?H = rot ε-1 rot,
рассматриваемые в подпространствах вихревых функций, не
имеющих разрывов нормальных компонент поля на
границах раздела сред (кроме того, тензоры проницаемостей должны быть
эрмитовыми); тогда нулевая оо-кратно вырожденная точка спектра
исключается (см. также пп. 19.2, 19.3). Это может быть
использовано при простейших конфигурациях резонаторов и волноводов
(см. пп. 19.3 и 25.1).
24.2. Свободные колебания резонатора. Основной базис.
В качестве непосредственного объекта удобно взять соотношения,
содержащие оператор Максвелла, но выводы будут иметь силу и для
других уравнений Галеркина—Ритца ввиду установленной в п. 8.4
эквивалентности различных алгебраических форм.
Будем рассматривать формулировку задачи в виде (8.43)
одновременно с сопряженной формулировкой
&%νη = αζπνη (24.13)
и решение ν разложим в ряд Фурье
оо
а — — оо
Речь будет идти о представлении поля (8.48), получаемом при
решении уравнений Галеркина—Ритца (8.61). Оно подчинено системе
условий ортогонализации (8.56). Умножал (8.56) на коэффициенты
Фурье q (,) сопряженного решения vn и суммируя по к и к' от —оэ
до -f-oo, получаем
(aMuN, νη)-ωΝ(ηαΝ, νη) = -ωΝ(παΝ, r%). (24.15)
где r~N—бесконечный остаток ряда Фурье юп (ср. (24.5)); отметим,
что здесь использована ортогональность &%ιι и r"N. Для
сопряженной задачи (24.13) напишем условия ортогональности нулевого
элемента взятому базису
(U (,,, eMv —ω*πνλ = 0, /г(/,= +1, ±2,..., ± со.
(24.16)
После умножения на коэффициенты представления uN и
суммирования получаем
[uN. оМч>п)— an(uN· nva)~0. (24.17)

§ 24] ' СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 369
Таким образом, из (24.15) и (24.17) находим следующее соотношение:
(ω"-ω_Β)(π"" *„) = ω"(πιΛ 4), (24.18)
аналогичное (24.6а).
В дальнейшем будем считать ε и μ эрмитовыми, так что' задачи
(24.13) и (8.43) совпадают и, соответственно, ν = и , ω* = ω
(величины вещественные) и a ,n = q ,,y
— я ' —я '
Из (24.18) непосредственно следует соотношение
я-±1 л-±1 \ 2/
получаемое после возведения в квадрат модулей левой и правой
частей; суммирование здесь произведено только по квазивихревой
системе \ип\ до некоторого номера па (т. е. исключены
потенциальные собственные функции задачи (8.43), для которых <ал = 0).
Исследуем стоящую слева в (24.19) сумму квадратов модулей
коэффициентов Фурье |η = (παΝ, иЛ функции uN. Имеем
(пи", «„) = («". πα„) = -^(α". оЖип)=~-{оЖи", и„)
и перепишем этот результат в такой форме, чтобы подчеркнуть, что
скалярное произведение является коэффициентом Фурье функции
n~loMuN по {ип}:
1,л = ~{к(п^оМи%и^. (24.20)
Составим остаток
±со ±со
|| % υ2 = Σ ι ε» ι2 = Σ ^ ι (π (π"ι^"/ν)·«») ι2
Л- ± («ΙΙ+1) П- ± («(>+>) 1
и оценим его, используя неравенство Бесселя (5.7):
ΙΙ«<4- Σ [^(π-^α^). «,г)Р<-^1^-^-1. (24.21)
«о Л- ± (л0 + 1) ίο
Заметим теперь, что из (8.56) получается
(oMuN, un) = ωΝ (παΝ, uN),
(24.22)
{*HuN, gMun) = 4>n(uun, aMuN). '

370 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
Применял в дальнейшем нормировку
(пи", «")= 1, (24.23)
имеем из (24.22)
{n-loMuN, aMuN)<C С\II a<ttuN\f < С \ ωΝ (a£uN, uN)\ =
= C(&Nf(nuN, uN) = C(aN)2, (24.24)
так что
(константы не зависят от Ν).
Очевидно, что
Jjy2 = JjUMKJ^K"· ОЧКИ2· (24·26)
где и^—проекция и" на (ц 1. В то же время
Поэтому из первой строчки (24.22) следует
[|о^<|[2[[<||2>(со")2
и, далее, с учетом (24.24)
(я<, <) > С -^jjT > С' > 0. (24.27)
где постоянные не зависят от N.
Внося (24.24) и (24.27) в (24.26), оцениваем левую часть
исходного равенства (24.19):
Σ \1г\2>С'-с(^)2. (24.28)
В правой части (24.19)
±2» \( ν п\ |2 9„ |1"Ц2|| "Ί!2
(ffl")2 i V7T< 1 М^ (1<1«'1<Яо). (24.29)
■ Λ Μ2
где mm I l -гг\ означает, что для данного приближенного соб-
п \ ω/ν/
ствеш-юго значения ω" (например, для наименьшего по абсолютной
величине корня векового уравнения ω^ или следующего за ним ω^

24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 371
ип
и т. д.) выбрано значение величины I 1 =т I , минимальное среди
всех ω„ (л= ±1, ±2 + п0). Число nQ всегда можно выбрать
так, чтобы правая часть (24,28) была положительной. Таким образом,
Λ «/Λ2 „ 2n0\\nuN\\2 η „/.ρ
min V ~ 7^1 < —=—7Ж^' ^' · (24'30)
Если можно утверждать, что рассматриваемые корни ω^ по
абсолютной величине не превосходят некоторой постоянной, не зависящей
от Λ/, то, выбрав соответствующим образом в (24,30) п0 и
зафиксировав его, имеем
|ω£-ω„| = θ(||/~ ||) (24.31)
для упорядоченных корней ω^, ω^, ω^, . ..
Равномерная ограниченность &Ν /'например, ω^\ следует из того,
что (ω^)2 — корни векового уравнения, получаемого при минимизации
функционала
л / ч (μ-1 rot и, rot и) rt. . . (ε-1 rot и, rot и)
ф„ (и) = -it-— 4 или Ф„ (и) = - , ■ -
Е к ' (Ей, И) нк ' (μκ, и)
(напомним, что (ω^Υ не является верхней границей о^\.
В заключение заметим, что проведенное рассмотрение не
охватывает уравнения Галеркина—Ритца относительно индукций; для
этого надо было бы исходить из (8,57) вместо (8.56),
Базис преобразованной области. Все замечания
относительно использования преобразований координат, сделанные в п. 23.2,
переносятся на задачу о свободных колебаниях.
Базис расширенной области. Начнем с исследования
магнитного алгоритма (п. 14.2). Обратимся к уравнениям Галеркина —
Ритца (14.5) и по прежней схеме получим соотношения
(ε-1 rot ЯЛ', rot //„) — (ωΝ)2(μΗΝ, Ηη) =
= (E-irottf". Γθΐ4)-(ωΛ,)2(μ///ν, fl„) (24.32)
и
(HN, rot е-1 rot H\ — ω\ ίΗΝ, μΗ\ = 0, (24.33)
где Нп — векторная функция, полученная как решение
сопряженной задачи
rote"1 rot Hn = (ω2Λ*μΗα (24.34)

372 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
(граничные условия подразумеваются), которое с сохранением
непрерывности тангенциальной компоненты продолжено через границу 50
в область V0 и разложено в ряд Фурье на базисе расширенной
а
области Шп, Η Л; r~N—остаток этого ряда. Из (24.32) и (24.33)
следует
[(ω^-ω^μ//", Я„) =
= —{&'4otHN, ιοί^Ν)+(ωΝ)2(μΗΝ, rj). (24.35)
Как и в случае основного базиса, для простоты ограничимся
эрмитовыми проницаемостнми, так что задача (24.34) и исходная
задача для „5^ = rote-1 rot совпадают (собственные функции
последней обозначаются Η Л, Поскольку квазивихревые функции Я„
образуют ортоиормированную (с весом μ) систему в основной области V0,
то из (24.35) получается подобное (24.19) соотношение1);
£ , £ΐ|(ω")2(μ"" 4)-(в"1 rot ^, rot rj) Г
η-Ι я- 1 V Л\
По-прежнему обозначим коэффициенты Фурье по (#„)> т. е.
(μΗΝ, /7„) — ξ„. Интегрируя по частям
£„ = (//". μЯ,г) = -=^(Я, rot£„)=^(rot^, £„),
находим
~— (ε(ε"1 rot ΗΝ), Εη) (24.37)
'η -
=2 ω,
и, таким образом,
со
J
ад= Σ Л-ке(е_1го*^)· £»)i2· (24·38)
Следовательно,
|1/?,jP<ii^i£i4^^- (24.39)
u>„
_?
(ср. (24,21)) и, поскольку
(ε-1 rot tf", io\HN)^={(aNf{\iHN, Я"), (24.40)
то при нормировке
(μΗΝ,ΗΝ)=\ (24.41)
') Хотя это и не имеет здесь принципиального значения, мы учитываем,
что ((ιΛ)2 вещественны (см. и. 24.4),

§24]
имеем
Далее
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
373
|ЯЛ2<
„N \2
Д|М8=№"?)-II**
(24.42)
(24.43)
где Н£—проекция HN на {/7Л} (ср. (24.26)). Подобно
предыдущему нетрудно установить, что
{μΗ'Ζ, Я^)>С>0, (24.44)
где С не зависит от Ν, так что левая часть (24.36) оценивается
аналогично (24.28);
'1°
Sn2>c-(~0- (24·45)
В правой части (24.36)
"° | (ω")2 (μ^ΛΓ. ri) - (ε"1 rot Я ", rot ri) f
~Ж2^ ~Т|2
<
я-1
<
n0roax
η
К)2-Ч]
(^^)-(^(B"lrottfJV-rot^)
1 —
ω.. Ν2
,/v
(24.46)
Поэтому получаем результат
mi π
■-tf
kT ,^·(0-1Ι^11+^1Ι""·ίΙ1)
/с-(^:
(24.47)
(константы не зависят от Λ/; 1 <; η' <С л0); он интерпретируется так же,
как и (24.30). Поскольку корни векового уравнения в данном случае
по-прежнему равномерно ограничены в отдельности по Ν, то (см.
сноску на стр. 355)
|W-a>2|=0(||rotr£||) (24.48)
для of, ω^, of,
ряда Фурье функции rot//„· (п. 5.5).
Напомним, что rotr'i' не отличается от остатка
N

374
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
Для других уравнений Галерюша—Ритца, рассмотренных в п. 14.3,
приведем лишь соотношения, аналогичные (24.18), (24.35). В случае
(14.29) имеем
(ω* —ω„)(πα", *„_) =
= -{oAuN, r%) + coN(nuN, 4)-t-(e«", 4)ч (24.49)
и в случае (14.19)
[(vN)2-4\(zEN, £»)=-(μ-1Γ0ΐ^> rotr£) +
+ И!К '*)-(*"■ ft, i-'rot4])Se. (24.50)
В обоих соотношениях сопряженные решения продолжены с
сохранением непрерывности тангенциальных компонент на 50 при
отсутствии тангенциальной электрической компоненты на 5°.
24.3. Свободные волны волновода. Объемная формулировка вол-
новодной задачи не отличается от задачи о резонаторе в том
отношении, что операторы сохраняют свои свойства, а уравнения Галер-
кина—Ритца остаются прежними по форме. Поэтому описание
сходимости частоты ω^ к частоте краевой задачи ω, для которой
длина выбранного волноводного отрезка равна (кратна) длине волны,
совпадает с предыдущим. А это в свою очередь позволяет утверждать,
что при фиксированной частоте ω получаемая из уравнений Галер-
кина — Ритца постоянная Гдг сходится к IV
Для двумерной формулировки исследование сходимости должно
быть выполнено заново.
Начнем с записи двумерных уравнений Максвелла, сопряженных
относительно (9.6):
rot 1 Ё„ — (Г* [г0, Е„] — — тВп, \
~Г Г „ ~" _ ~~ \ (24.51)
rotj Нп+ гГ« \Нп_, zQ] = ίωΰη- J
Пусть векторы Еп, Н„, Dn и Вп разложены в ряды Фурье вида (9.30),
(9.31). Умножая первую строчку (9.41) на коэффициенты Фурье
сопряженного поля Η'„ и суммируя по ak·\ будем иметь
{:oiLEN-iTN \zQ, ΕΝ]^-ΐωΒΝ, tf„_) = 0. (24.52)
В то же время из второй строчки (24.51) можно получить
{ΕΝ, го1±//„-НГ*[Яя, zQ] — huDa) = 0. (24.53)

§ 24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 375
В результате находим
(Г,-Г")([г01 Е% Л„) = а>(£". р„)-а(В", Я„). (24.54)
Отправляясь от второй строчки (9.41), аналогично находим
(ιοίχΗΝ-\-ϊΓΝ{ΗΝ, zQ\ — mDN, Ё„) = 0 (24.55)
и из первой строчки (24.51)
(HN, rotj £„ — ί'Γ*„[г0, £„] + toB„) = 0, (24.56)
так что
(Г„-Г")(1Я", ζ0], Εα) = ω(Η», Β„)-ω(ϋ», £„). (24.57)
Объединяя (24.54) и (24.57), запишем следующее соотношение:
(Г„-Г"){аг0. Е% Я„) + ([Я^, ζ0], £„)} =
= а>{(Л", *„)-(*". U„) + (E", pn)-(D», £„)}. (24.58)
В правой части можно сделать некоторые преобразования. В одном
варианте, соответствующем алгоритмам «в напряженностях»,
(ΗΝ, Β„)—(ΒΝ, Η^ = (μΗΝ — ΒΝ, Η„)
и, далее,
(μΗ"-Β«. Ηη) = (μΗΝ-Β". ^ = (μΗΝ, r%),
так что окончательно
№Ν· *Jln)-(£N. Ηη) = (μΗΝ, rfl) (24.59)
и аналогично
(Ε", DJ-(D", Ёп) = (ъЕ", r%). (24.60)
Во втором варианте, соответствующем алгоритмам «в индукциях»,
получаем
и
(£", p^-(D", En) = -(e-W, 4). (24.62)
Равенство (24.58), таким образом, принимает вид
(Γ„-Γ"){(1*0. ^]. tfe)+([tf", г0], £„)} =
= [-(β-^.^)-(μ-^.Γ2). (24(,з^

376 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ, 6
Переходя к символике оператора Максвелла, т, е. обозначая
>)■ -"-(£)»·.-(!)■ *Ч£
а также /■?, = 1 ~ и rZ=\ ~ I и учитывая, что
([г0, Е% //„) + ([//", z0], £„) = (Γα". «„)
(см. п. 9.1), переписываем (24.63) в следующей форме;
(r_e-r")(7Vr, «„) = (*«". »=).
(24.63а)
(во второй строчке слева замена и^ на π-'ΐϋ^ соответствует
переходу к алгоритму «в индукциях»).
Отсюда или непосредственно от (24.63) нетрудно перейти уже
известным путем к соотношению типа (24.19) и далее к оценке,
аналогичной (24.30). Следует, однако, иметь в виду, что теперь
требуется иная аргументация равномерной ограниченности по N
отдельных приближенных собственных значений Г„.
24.4. Другое обоснование уравнений Галеркина — Ритца. Иной
подход к обоснованию уравнений Галеркина — Ритца для свободных
колебаний предложил В. Г. Феоктистов. Ниже этот подход излагается
применительно к магнитному алгоритму для резонаторной задачи при
использовании базиса расширенной области (п. 14.2).
Рассматривая какое-либо решение резонаторной задачи Нп, будем,
как обычно, считать его продолженным в область V0 с сохранением
непрерывности тангенциальной компоненты на границе S0.
Соответствующий ряд Фурье по [Нп, //„-} (базис расширенной области V0)
запишем, выделяя сумму первых N-\-N' членов:
Н„= Σ d {1]Н (t)-\-r%. (24.64)
— (Л_Г„ „
Отметим, что почленное применение операции rot к ряду Ηη дает
ряд Фурье функции rot/7n (см. п. 5.5), причем как Ηп, так и
rotHn сходятся в среднем к Нп и rot/7„ также и в области VQ
(im. 5.2 и 13.1),

§ 24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 377
Внося ряд Нп в соотношение ортогональности для исходной
задачи (равенство, предшествующее (14.7), в котором производится
интегрирование по частям), получаем
i\W&aDN - ω^0Ν = ^FN - QQGN, (24.65)
где использована символика (8.122), (8.123). При этом DN—вектор,
аналогичный D (8.122), но составленный из коэффициентов Фурье
выделенной в (24.64) суммы:
DN = {yN Ь (24-66)
где **$ = (Ιο- £2(о. · ■ ■· d^o) и далее
/n\ ^ (Sn
f's
FN = { λ) и QN = \o )■ (24·67)
где /<0 имеет компоненты (М-rjJ, Η (/Λ, a QgN — компоненты
(е-1 rot r» rottfB).
В дальнейшем ограничимся эрмитовыми ε и μ. Рассмотрим
некоторые свойства решений уравнений Галеркина — Ритца (14.5),
отмечая при этом, что данные уравнения получаются также из (24.65),
если отбросить правую часть и соответственно заменить DN на D
(8.122). Перепишем (14.5) в следующей форме;
QfQ D {l) — (&N{r)faMD (o = 0, (24.68)
где приближенные собственные значения ω^ и соответствующие
собственные векторы D перенумерованы (смысл штриха при нумерации
ниже поясняется).
Приближенные собственные значения, очевидно, равны1)
(Q0«Q0D (0, D ,\
(сА))2=~—=—= =-L. (24.69)
\ ίΐ η /
В силу симметричности матриц Ω0^Ω0 и <зМ комплексные (ω^/Λ2 не
существуют, если установлено, что ни при каких тождественно не
равных нулю D (/) в (24.69) не возникает неопределенность 0/0.
Можно показать (см. приложение к этой главе), что собственные
') Скалярное произведение в пространстве векторов D мы обозначаем
так же, как и скалярное произведение в функциональном пространстве.

378 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
функции Η {Г), рассматриваемые в VQ, линейно независимы (как и
в V0) в любой конечной системе. Поэтому при ||D|p>0 имеем
.,(')
.,(')
(24.70)
Отсюда следует, что
«С))2>0, (24.71)
причем штрихом будем отмечать равные нулю собственные значения:
(ω^)2=0, (ω^)2>0. (24.71а)
Отвечающие им собственные векторы D,t·, как это следует из
равенства
(Ω^Ω0%, %) = (Ωό>ΩΖν, D„j) = 0,
имеют строение
Da·
0 \
ν 4' у'
(24.72)
(24.73)
т. е. Dn' = (θ, 0, ,,,, 0; d'~, d~,, . .., d'^X Следовательно, нулевое
собственное значение (ωηΛ (24.71а) Af'-кратно вырождено (можно
построить Ν' линейно независимых векторов Dn<).
Далее, покажем, что уравнение (24.68) имеет еще N линейно
независимых векторов, отвечающих собственным значениям (ω„)"=£0.
Взяв теперь это уравнение в форме (14.5), путем исключения
вектора d — dn получим следующее уравнение относительно d=dn:
Ω3Ωάη — (ω")2[Μ — уЙ'('уЙ')"1 'Щ d„=0. (24.74)
Необходимо отметить положительную определенность матриц 'М' и
Э (благодаря первому существует ('М')~ ); утверждение легко
проверяется путем рассмотрения квадратичных форм ('Mfd', d') и {3d, d),
как это сделано в (24.70), с учетом того факта, что функции Нп>
(я'—1, 2, ..., Ν') и Еп (ге=1, 2, ..., Ν) линейно независимы
в области V0.
В силу положительной определенности Э существуют
положила
-1/2
тельно-определенпые матрицы Э' и Э [11]. Вводя вектор
z,.,=3V2Qd„,

§ 24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 379
перепишем (24.74) в виде
-^ г„ -Э-'^О-1 \М - М'(М'Г 'м\ Ω^~ι% = 0. (24.75)
Это — задача на собственные значения самосопряженной матрицы
3-^Ω"1 [Ж - лГ('лГ)-1 'Λ] Ω-1^2
порядка Λ/; таким образом, имеется N линейно независимых
векторов ζη, а также dn (матрица Э11 О не вырождена).
Итак, уравнение (24.68) имеет Ν~\--Ν' линейно независимых
векторов.
Собственные векторы D (/), принадлежащие различным
собственным значениям, ортогональны с весом оМ\ считая их также
нормированными, запишем
{Ж, Dft(0, 0B(o) = fyV)· (24.76)
Поэтому получаемые представления полей
Н^= Σ d'\H (0 (24.77)
ортонормированы с весом μ:
[oMD^ Οη(ή = (μ/^,,, НЦ = 6ft(/)n(0. (24.78)
Отметим еще следующее соотношение:
(e-'rottf^, rotwJ0) = ^Q0Dft(0, D^.-=(aJ0)26^,/v (24.79)
На этом подготовительные действия заканчиваются, и мы можем
перейти к непосредственному исследованию сходимости приближен-
ω„ J к собственным значениям задачи ω„.
Разложим вектор DN (24.66) по системе собственных векторов
DN= 2 i(oDC) (24.80^
(система полна); при этом в силу (24.76)
*<"
{o4DN, DAr)= 2 11(0 P. (24.81)

380
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 6
Внося теперь представление (24.80) в (24.65), получим следующее
равенство (во избежание путаницы η в (24.65) заменим на /г):
N
С)
2 Ι (/)(ΩοΤΩ0 —ω*(Λ?)θ (0 = a>lFN — Q0GN, (24.82)
η· '-1 ~
отсюда находятся коэффициенты | (/),·
„Ο
4(FN> °αί')'\-(^Ν. Dn{>)
ω ι· α ι — ωΛ
V'>J
Очевидно,
„О
Ρ<2
^Λ" ·° о
' +
WN, Db(/))
co(0 -co J
.,2 η 2
(24.83)
(24.84)
Просуммируем обе части неравенства (24.84) по гс(/) от 1 до iV('>
и с учетом (24.81) получим
(e#DN, Ол,)<2
,(')
ICWOr
ЛГ
,ЛГ \2
V)
- —1
+ 2
(ОпОлг. D ) 12
ν 0 Ν η) Ι
Αι 1«)2-4\
л —1 L4 - ' -
(24.85)
(подчеркнем, что во второй сумме нет членов, отвечающих нулевым
собственным значениям (ω^Λ2).
Поскольку
то первую сумму в (24.85) можно преобразовать следующим образом:
,(')
Г*·»!2 __^l(^ff/
JV \2
^ w
— 1
<
N
(')
<^2ΐ(μ^' я;>>)|2<^^·г^· (24-86)
Я^-1

§ 24] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
где обозначено
ж
381
Aj = min
1
(здесь и ниже используется неравенство Бесселя (5.7)).
Далее,
N
(О0Од„ о„)=2де-1Г04гя rot //д)^у = (e-i rotrjj. rot tff)
и, следовательно, вторая сумма в (24.85) оценивается так:
yi ι (q0gn< Dn) i2 _ у 1 (ε-1 rot r"·fot ρ ι2
2j[«)2-»5]8""Z ' "4" <
n-1 L -' -1 re—1
i-J (<)
N
<_L^_! Ife-^otr" rot//"} Is <
^(O
<J-(E-irotr^, rotr#), (24.87)
где
Δ2 = ιηίη
-JV
На основании (24.86) и (24.87) из (24.85) имеем
(^D/>· °,г('>)<1М· ^) + (e-]roir«, rotr")], (24.
где Δ есть наименьшее из Δ: и Δ2, τ. е.
Δ = min ί
Ν\2
m
ωη J
(24.89)
Так как
>(μ//Λ, //,)-21?е(ц//,, r$,
то, очевидно,
Δ<
Г I гя12Д-Г Imt гяН2
(24.90)

382 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 6
где константы не зависят от N, и, таким образом (см. сноску на
стр. 355),
min |
а- I
К
N\2
1
). (24.91)
Отсюда можно сделать вывод, аналогичный (24.48). Разница,
однако, состоит в том, что если согласно (24.48) «каждое
приближенное собственное значение стремится к какой-то точке
собственного спектра задачи», то из (24.91) следует сделать вывод, что
«к каждой точке собственного спектра стремится какое-то из
приближенных собственных значений».
Приложение к гл. 6.
П6.1. О непосредственном обосновании метода Ритца.
Исследуя уравнения Галеркина—Ритца, мы использовали главным
образом аппарат метода Галеркина, так что метод Ритца может быть
обоснован лишь косвенно, поскольку он приводит к тем же
уравнениям Галеркина — Ритца. Но обоснование метода Ритца можно
провести и непосредственно для тех классов задач, когда обращение
в нуль вариации функционала обусловливает его минимальность.
Метод Ритца тогда можно рассматривать как один из способов
минимизации данного функционала, т. е. нахождения его минимума
в возможно более широком классе функций. Так, например,
применение метода Ритца к функционалу (3.4) в случае положительного
оператора означает его минимизацию.
Пусть имеется функционал Q (и), причем
min Q («) = <? («о), (П6.1)
где ип есть решение рассматриваемой задачи. Разложим и0 в ряд
Фурье
оо
«о =23 «А (П6.2)
л-1 "
и введем в рассмотрениие последовательность {uN}, где
N
U
= Σ ааип (П6.3)
N
л-1
есть сумма первых N членов ряда (П6.2). Пусть также
Q(uN)->Q(u0) при iV->oo. (П6.4)
При этом в силу (П6.1)
Q («лг) > Q ("о)· (П6.5)

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛ. 6 383
Будем применять метод Ритца, заключающийся в тон, что берется
представление
«"=23 «А. (П6-6)
л-1
коэффициенты которого ап находятся путем подстановки uN в
функционал и его минимизации. Говорят, что uN, расположенные в
порядке возрастания Ν, образуют минимизирующую
последовательность {uN\ для функционала Q (и). Очевидно, что
Q(uN + 1)<CQ(uN). (П6.7)
так как расширение набора функций, на котором разыскивается
минимум, может привести лишь к снижению последнего.
Вместе с тем в силу самого процесса минимизации может быть
лишь
(?(»")<(?(«„). (П6.8)
Итак, Q(uN) стремятся при /V->oo к Q (и0) (П6.4), все время
оставаясь не меньше него, а получаемое по методу Ритца значение
функционала Q(uN) при каждом N оказывается не больше Q(uN)
(ГЖ8). Но оно не может быть меньше Q(u0). Получается, что
Q («0) < Q (ит) < Q (uj - Q (и0), (П6.9)
а это значит, что при N —> оо
Q (uN) -> Q («0), (ШЛО)
т. е. минимизирующая последовательность, найденная по методу
Ритца, в пределе приводит к точному значению функционала Q (иа).
П6.2. О линейной независимости Η ^ («О =1,2, . . ., ΛΛ')) в V0.
В отличие от случая, когда V0 = V0, линейная независимость
указанных функций при V0 с: V0 не очевидна; см. п. 5.2. Тем не
менее при любом конечном N функции линейно независимы.
Предположим противное, т. е. пусть какая-нибудь функция Ht
может быть представлена конечной линейной комбинацией линейно
независимых функций //„:
N
Нх= 2оД, ηφΐ. (Π6.11)
Очевидно,
л-1
1
и, следовательно,
■^//( = «?//, = £ «Х77»' п^1· <П6Л2>
Ν , 2
= Σβ»Η~1ι//«· (П6ЛЗ)

384 ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [Гл. 6
что возможно, только если все ωη равны сог. Но тогда функция
Ht — 2 апНп
будет собственной функцией оператора Лапласа и должна обладать
бесконечным числом производных в V0. Но она равна нулю в V0.
Поэтому данная функция равна нулю в V0, а это противоречит факту
линейной независимости Нп в V"0.
Литература к гл, 6
1. С. Г. Μ и χ л и н, Вариационные'методы в математической физике, Гос-
техиздат, 1957.
2. М. В. К е л д ы ш, О методе Галеркина для решения краевых задач.
Изв. АН СССР, сер. мат. 6, № 6, 1942.
3. С. Г. Михлии, О сходимости метода Галеркина, ДАН СССР 61, № 2,
1948.
4. С. Г. Μ и χ л и н, Некоторые достаточные условия сходимости метода
Галеркина, Уч. зап. ЛГУ. сер. мат. № 135. в. 21, 1950.
5. Н. И. Π о л ь с к и й, О сходимости метода Галеркина, ДАН УССР, отд.
физ.-мат. и хим. наук, К» 6, 1949.
6. Н. И. Польский, Об одном обобщении посекционных методов,
ДАН СССР 167, № 290, 1966.
7. А. Г. С в е ш н и к о в, К обоснованию метода расчета распространения
электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах, Журн, вычисл,
мат. и мат. физ. 3, № 2, 1963.
8. А. Г. Свешников, Обоснование метода исследования
распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным
заполнением, Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 3, № 5, 2, 1963.
9. А. Г, Свешников, Методы исследования распространения колебаний
в нерегулярных волноводах, докт. дисс, МГУ, 1963.
10. В. В. Никольский, Прямые методы для задачи об электромагнитном
резонаторе, Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 5, № 6, 2, 1965.
11. Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеев а, Вычислительные методы
линейной алгебры, Физматгиз, 1963.

ГЛАВА 7
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
В данной, заключительной главе мы возвращаемся к центральной
теме книги — вопросам построения универсальных алгоритмов для
внутренних задач электродинамики. Если общие принципы их
построения были изложены в основном в гл. 2 и 3, а обоснования —
в гл. 6, то в этой главе приводятся конкретные примеры реализации.
После того как рассматриваемая краевая задача описанными
методами сведена к системе алгебраических либо обыкновенных
дифференциальных уравнений, такая однородная или неоднородная
система становится объектом применения хорошо разработанных
к настоящему времени методов вычислительной математики.
Изложение последних, разумеется, не входит в задачу этой книги, тем
более, что уже имеется целый ряд монографий [1—4], которые
в совокупности освещают эти вопросы всесторонне. Здесь мы не можем
также входить в интересные и важные вопросы теоретического
исследования алгоритмов в чисто вычислительном аспекте
(устойчивость по отношению к малым погрешностям в исходных данных и
промежуточных действиях и т. п.). довольствуясь
«счетно-экспериментальным» походом. Читатель в данном случае также отсылается
к соответствующей литературе [5].
Непосредственная реализация рассматриваемых алгоритмов
заключается в их программировании для быстродействующих вычислительных
машин (ЭВМ), Работа эта является трудной и требует высокой
программистской квалификации, поскольку организация программы должна
обеспечивать прохождение минимально редуцированной задачи
(наибольший возможный базис) при минимальном времени счета. Следует
отметить, что составление сложных программ неизбежно
сопровождается появлением случайных ошибок, устраняемых затем в так
называемом процессе «отладки», однако сведение объема этих ошибок
к допустимому минимуму может лежать на грани психологических
возможностей человека (оператора).
Начиная с 1959 г., была проведена значительная работа по
реализации ряда алгоритмов из рассмотренных в этой книге. Ниже
будут рассмотрены некоторые из полученных численных результатов;
часть из них ранее публиковалась [6—10]'). В ряде случаев объем
') Некоторые из сообщаемых результатов не были опубликованы
в периодической печати, но содержались в докт. дисс. автора (Москва. 1962)
и докладывались на сессии Научно-технического общества радиотехники и
электросвязи им. А. С. Попова в июне 1962 г. и 3-м Всесоюзном симпозиуме
но дифракции волн в сентябре 1964 г. (Тбилиси).

386 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
сообщаемых результатов можно бы было значительно увеличить, но
загружать монографию обилием справочного материала вряд ли
целесообразно. В то же время ряд примеров имеет лишь характер тестов.
В главу включены также результаты работы, выполненной под
руководством А. Г. Свешникова [11] (см. п. 27.3).
§ 25. Вычисление собственных частот резонаторов
25.1. Алгоритм на вихревом базисе. Алгоритм был построен на
основе обращения алгебраической формулировки задачи (8.18).
Входящий в нее вектор Ь отвечает представлению магнитной индукции BN
(8.2)—чисто вихревому. Однако при получении обратной матрицы
Ш~1 — M~lQ~13~1Q~1 согласно (8.30) должны были бы понадобиться
и потенциальные функции основного базиса. В данном случае область
рассматриваемых задач была ограничена такими, в которых
представления напряженностей EN и HN также чисто вихревые (в (8.2)
(V" 0, dn< = 0), т. е. при кусочно-постоянных проницаемостях ε
и μ представляемые поля не должны иметь нормальных компонент
на границах раздела сред внутри области V0. В силу (8.32)
обращенная формулировка (8.18) при этом принимает вид
ΛίΩ-15Ω-1δ = -4^δ. (25.1)
(ω™ Г
Это — подобная (8.34) «естественная» ограниченная формулировка.
Внутренняя область везде бралась такой формы, чтобы при
вычислении матричных элементов (8.5) не понадобилось численное
интегрирование (что, конечно, необязательно). Эта — во всех примерах
диэлектрическая — область располагается в идеально проводящей
полости в виде параллелепипеда, так что используется основной
базис, описанный в приложении П1.2 (стр. 86).
Программа была составлена В. Г. Суховым в 1959 г. для машины
«Стрела». В ней предусматривалось использование до 20 базисных
функций. Итерационным методом (см., например, [3], гл. XII, § 11)
находились наибольшее по модулю собственное значение матрицы ΜΩ~13Ω~1
и соответствующий собственный вектор. Это собственное значение
1 /(ω^)2 позволяет вычислить ω^, τ. е. приближенное значение низшей
собственной частоты исследуемого резонатора ωΐΡ а собственный
вектор дает коэффициенты Ъл представления индукции основного
типа колебаний. Ниже во всех примерах численные значения ω^
даны в виде волновых чисел
Λ j

§ 25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 387
выраженных в условных единицах обратной длины [/ J (все размеры
резонаторов измеряются в единицах [/]).
Заметим, что ω^Γ являются верхними границами ω^ (см. пи, 21,2
и 19.2, 19.3).
Пример 1. Рассматривается возмущение основного поля
прямоугольного резонатора (в соответствии с выбранной системой
координат— типа Е1Ю) диэлектрическим бруском, постепенно заполняющим
весь объем. Все исходные данные приведены на рис. 7.1. Базис
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
о,з
о,г
ο,ι
0,2 0,4 0,6 08 I
В области Vo—V: ε = ε0, μ = μο·
В области V: ε=-10ε0.
Рис. 7.1.
состоит из 14 собственных функций, отвечающих полям пустого
резонатора типа ЕтЮ {т=\, 2, 3, ..., 14).
Пример носит характер теста, поскольку задача имеет
аналитическое решение и собственные частоты резонатора с диэлектриком
могут быть найдены как корни известного трансцендентного уравнения.
Данные вычислений при вещественной диэлектрической
проницаемости бруска ε=10ε0 для различных степеней заполнения
резонатора сведены в табл. 7.1. Там же для сравнения даны значения kv
полученные из трансцендентного уравнения с сохранением шестого
разрядаv). Это дает представление об ошибке k^. Видно, что она
имеет резкий максимум порядка 0,05% при d/a = 0,12. Результаты
представлены графически на рис. 7.1.
На рис. 7.2 дан график первых пяти коэффициентов
представления индукции Ьп (остальные не даны, чтобы не загромождать рисунка).
') Эта работа была выполнена В. П. Орловым.
Λ
,
/
/
4 J
А
\
\у~
X,
J
λ
/ν-ΰ
— b=7l
^L
a=5l
Ошибп
0,05
0/4
0,03
0,02
ΟβΙ
d/a

.388 ПРИМЕРЫ ПРИМНПННИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Таблица 7,1
dja
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
0,28
0,32
0,36
0,40
0,44
0,48
<
0,772143
0,770592
0,756472
0,705130
0,618355
0,538747
0,477177
0,430282
0,393941
0,365223
0,342122
0,323262
0,307702
(точно)
0,772143
0,770561
0,756394
0,704812
0,618180
0,538597
0,477102
0,430234
0,393914
0,365204
0,342104
0,323251
0,307693
dja
0,52
0,56
0,60
0,64
0,68
0,72
0,76
0,80
0,84
0,88
0,92
0,96
1,00
и" .
0,294761
0,283951
0,274915
0,267383
0,261159
0,256091
0,252065
0,248987
0,246770
0,245324
0,244529
0,244219
0,244173
ft,
(точно)
0,294754
0,283946
0,274910
0,267380
0,261156
0,256089
0,252063
0,248985
0,246769
0,245323
0,244528
0,244218
0,244173
А
Резкий рост гармоник начинается при малых заполнениях резонатора.
После концентрации поля в диэлектрике вклад основной
компоненты Еп0 опять возрастает. Ее наибольший спад приблизительно
совпадает с максимумом ошибки.

§ 25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 389
При диэлектрической проницаемости бруска ε=(ΐΟ — Π0~)ε0
для этой же задачи получаем
Таблица 7.2
d/a
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
0,28
0,32
0.36
0,40
0,44
0,48
Re*f
0,772143
0,770592
0,756472
0,705130
0,618355
0,538747
0,477177
0,430282
0,393941
0,365223
0,342122
0,323262
0,307702
ΙΟ4· Ira /if
0,000000
0,00183124
0,0232079
0,109471
0,189068
0,204814
0,198948
0,188529
0,178080
0,168698
0,160561
0,153584
0,147628
d/a
0,52
0,56
0,60
0,64
0,68
0,72
0,76
0,80
0,84
0,88
0,92
0,96
1,00
Re<
0,294761
0,283951
0,274915
0,267383
0,261159
0,256091
0,252065
0,248987
0,246770
0,245324
0,244529
0,244219
0,244173
]04· Ira k^
0,142554
0,138242
0,135594
0,131529
0,128985
0,126911
0,125266
0,124014
0,123119
0,122541
0,122226
0,122104
0,122086
Iff
5
4
3
2
10 0,2 0,4 0,6 0,8 1
'"
k
1
1
%

390
ПРИМрРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Отметим, что значения Re k\ из табл. 7,2 и k\ из табл. 7,1
совпадают. На рис, 7.3 показано изменение добротности
Refti"
QN- !_
2Sm<
в зависимости от заполнения резонатора. При совершенном
заполнении добротность, как это и полагается, оказывается равной 1/tgA
(потери энергии в оболочке резонатора отсутствуют),
В последующих примерах рассмотрены задачи, не имеющие
аналитического решения.
0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 16 0,7 0,8 0,9 I
В области Va—V: ε = εο.
В области V: ε = (10— П(Г3)е0,
Рис. 7,4,
Пример 2, Исходные данные приведены на рис, 7,4, В качестве
базиса использовались 19 собственных функций, отвечающих
следующим тинам колебаний пустого резонатора**:
-120
•140
Е,
50
'210
'220
Ε
230
'240
-250
'320
'330
'340
'410
'420
'430
'440
'5Ш
(25.3)
Результаты вычисления k\ сведены в табл. 7.3 (см. также
рис. 7.4).

25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 391
Таблица 7,3
Ρ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
Re*f
0,772143
0,771993
0,749891
0,537037
0,418830
104. Ira к?
0,000000
0,000171364
0,0630553
0,232160
0,192343
Ρ
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Refcf
0,347823
0.3C0630
0,270860
0,253361
0,245534
0,244173
ΙΟ4· Im k?
0,164225
0,145196
0,132987
0,125792
0,122621
0,122086
График первых пяти коэффициентов представления магнитной
индукции дан на рис. 7.5, Обозначения кривых соответствуют
классификации функций базиса (25.3).
fj0,8 0,9 /'
Рис. 7.5.
На основании сопоставления графиков рис. 7.1, 7.2 и 7.5 можно»
ожидать, что максимальная ошибка будет иметь место при ρ яи 0,3.
Для этой степени заполнения были произведены вычисления при
постепенном понижении порядка от jV=19 до N = 5. Базисные
функции отбрасывались, начиная с высших номеров, в следующем.

392
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. Г
лорядке: ПО, 120, 210, 220, 130, 230, 310, 320, 330, 140, 240,
410, 420, 430, 340, 440, 510, 150, 250.
Полученные результаты приведены в табл. 7.4.
Таблица 7.4
N
19
17
15
13
11
9
7
5
<
0,56986
0,57004
0,57067
0,57536
0,57892
0,58543
0,61156
0,64975
<*-(*»-*?)/*»,,.
0
0,03
0,14
0,99
1,6
2,7
7,3
14
й
β
/2
II
Ю
9
8
7
В
5
4
3
г
I
0 ^ 10 "20
Рис. 7.6.
k/V=7
{N-■9
^43
4$N47N49 /у
Эти данные, иллюстрирующие сходимость процесса, графически
представлены на рис. 7.6.

25]
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ
приведены на рис.
Пример 3, Исходные данные
базис из 20 функций типа
-по
-150
-170
-193
-330
-350
-370
390
^510
^530
^550
Ρ
*-570
-710
-730
-750
-770
-910
-930
1
393
7.7. Взят
(25.4)
to * f ИЛ
'Μ,ΐι'Ί
OJ OJ 0,3 Q4 0,5 Ofi OJ
В области Va — V: ε = ε0.
В области V: ε = (10— tlO-3) e0.
Рис. 7.7.
На рис. 7.7 построен график по результатам вычислений,
приведенным в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Ρ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
Re»?
0,772143
0,636065
0,456833
0,364936
0,313827
i04.lm*f
0,000000
0,135575
0,180470
0,163531
0,148020
Ρ
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Re if
0,283169
0,264239
0,252915
0,246887
0,244529
0,244173
4 /V
10 -Im*"
0,137146
0,129964
0,125534
0,123153
0,122225
0,122086

394
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Рис. 7.8 показывает соответствующее изменение первых пяти
коэффициентов представления магнитной индукции. В данном примере
i—/?
Рис. 7.8.
в отличие от предыдущих ввиду симметрии задачи спад основной
компоненты значительно слабее и можно ожидать, что точность еще
выше.
При изменении мнимой части относительной диэлектрической про-
— 3 —2
ницаемости от 10 до 10 мнимая часть основного собственного
значения меняется практически линейно (см. табл. 7.6, где ρ = 0,5).
Таблица 7.6
103ε'7ε0
1
2
3
4
5
104-lmftf
0,137146
0,274293
0,411439
0,548585
0,685731
103ε" / е0
6
7
8
9
10
104-Im*f
0,822878
0,960026
1,097170
1,234320
1,371462

§ 25]
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ
395
Пример 4. Исходные данные см. на рис. 7.9. Базис тот же,
что и в примере 3. Полученные результаты сведены в табл. 7.7.
\5
\0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
f
ИЛ
L__|
-« // з^
I-
at
О 0,1 0,2 0,3 Oil 0,5 06 0,7 0,8 0,9 >
В области Va — V: ε = ε0,
В области V: е =
Рис. 7.9.
Юе„.
Таблица 7.7
2R/a
0,00
0,10
0,20
0,30
4,44288
3,81620
2,81825
2,25020
2R/a
0,40
0,50
0,60
0,70
й1
1,92028
1,71574
1,58344
1,49853
2Rja
0,80
0,90
1,00
Я1
1,44673
1,41937
1,40864
Рис. 7.10.
Рис. 7.9 иллюстрирует эти данные, а'рис. 7.10 представляет
график изменения коэффициентов представления магнитной индукции.
В дальнейших примерах данные о коэффициентах опускаются.

396
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Пример 5. Исходные данные приведены на рис. 7.11.
Результаты, полученные при базисе (25.3), приведены в табл. 7.8.
JjU0 0J 0,2 0,3 Ofi 0,5 0,8 0,7 0,8
В области V0— V: ε=ε0.
В области V: ε=10ε0.
Рис. 7.11.
Таблица 7.8
Ρ
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
й1
0,547024
0,473091
0,428940
0,399840
0,379707
0,367325
Р
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
"ι
0,360059
0,355324
0,353437
0,355324
0,360059
0,367325
Пример 6. Исходные данные приведены на рис. 7.12, базис
(25.3). Результаты приведены,в табл. 7.9.
Таблица 7.9
Р
0,00
0,10
0,20
0,30
й1
0,772143
0,763965
0,606752
0,510391
Р
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
й1
0,463111
0,428396
0,405463
0,389848
0,380180

25]
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ
•О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
В области V0 — V: ε = ε0.
В области V: ε = 10ε0.
Рис. 7.12.
Пример 7. Исходные данные приведены на рис. 7
(25.3). Результаты приведены в табл. 7.10.
ύΟ OJ HZ 0.3 0.4 0,5 0.8 07 0,8 Οβ Ι
В области Va — V: ε = ε0.
В области V: ε = 10ε0.
Рис. 7.13.
Таблица 7.10
Ρ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
й1
0,772143
0,469925
0 371750
0,325680
0,299652
Ρ
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
"ι
0,283540
0,273393
0,267262
0,263973
0,262686
0,262945

398
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Пример 8. Исходные данные приведены на рис. 7.14,
базис (25.4). Результаты приведены в табл. 7.11.
0*
0,7
о,в
05
0,4
|*Д
η
я|ЙЙ
-—Ъ'71
а*Я
Ρ
02
0,4
В области V0
В области V:
Ofi
V: ε = е0.
ε = 10εη
Рис. 7.14.
Таблица 7.11
Ρ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
й1
0,772143
0,584004
0,484166
0,437185
0,411868
Ρ
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
й1
0,396433
0,386568
0,380367
0,376752
0,375190
0,374946
Пример 9. Исходные данные приведены на рис. 7.15,
базис (25.3). Результаты приведены в табл. 7.12.
Таблица 7.12
Р
0,00
0,06
0,12
0,18
0,24
0,30
Re*f
0,479158
0,433394
0,405085
0,387538
0,378026
Ρ
0,36
0,42
0,48
0.54
0,60
0,66
Rei-f
0,372035
0,372035
0,375907
0,383694
0,398116
0,422628

§ 25j ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 399
|М β ]
В области У0 — V: ε = е0.
В области V: ε = (10— ПО-3) ε0.
Рис. 7.15.
25.2. Алгоритм на полном базисе. Рассмотрим применение
следующих двух типов алгоритма.
1. В (8.17) прозводится обращение, причем матрица (S находится
непосредственно по формуле (8.19)
(ΩΜΩ3)-1 а =
1
(«"Г
а.
(25.5)
2. В уравнение (8.22) после обращения вносятся выражения
матриц Э~1 и ΛΠ1 из (8.30)
Ω"1 [М—М'СМ'у1 'М}а~1 {Э ~Э'('Э'У1,Э}с=--^-тс. (25.6)
(ωΝ)
В обоих случаях ограничения, существовавшие в п. 25.1,
снимаются, и мы имеем алгоритм на полном базисе. В (25.5) вектор а
отвечает представлению электрической индукции DN (8.2), так что
полный базис является чисто вихревым, а поскольку матрица (§=
и ЛГ
через У
— ΩΛΙΩ5 обращается целиком, выражения Э
и 'ЛГ не используются — потенциальные функции в алгоритм не
входят. Во втором же случае (25.6) фигурирует вектор с
представления напряженности электрического поля EN (8.3) (точнее,
представления вихревой части напряженности). При этом обращение
матрицы d производится с использованием формул (8.30), и
потенциальные функции участвуют в образовании матричных элементов.

400 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
В программе, составленной В. Г. Суховым для машины «Стрела»,
могло быть использовано не более десяти вихревых и пяти
потенциальных базисных функций области в виде параллелепипеда. Как и
ранее, определялось наибольшее по модулю собственное значение
матрицы, которое выдавалось в форме (25.2). При необходимости
выводились компоненты вектора представления поля.
При вычислениях на основе (25.5) приближенные собственные
значения являются верхними границами точных (п. 21.2).
Первые три примера приведены для сравнения обоих вариантов
алгоритма и выяснения влияния потенциальных функций (во втором
из них). С этой целью были взяты три задачи, имеющие
аналитическое решение, так что получаемые приближенные собственные
значения могли быть сопоставлены с точными; последние приведены с
погрешностью, не превышающей 5 ■ \0~\
Пример 1. Кубический резонатор постепенно заполняется средой
с ε= 10ε0 и μ = 0,7μ0 так, что электрический вектор основного типа
колебаний (возмущенного резонатора) Остается параллельным границе
раздела. Поскольку напряженность Ε в данном случае представляется
в вихревом базисе, во второй фигурной скобке (25.6) остается лишь
матрица Э. Но ввиду разрыва нормальной компоненты Η
соответствующее представление должно содержать потенциальные функции,
поэтому строение первой фигурной скобки в (25.6) не упрощается.
Взятые базисные функции соответствуют следующим полям:
Άοι> ^2οι· ^30ΐ· ^4Ш' ^50ΐ> ^60ΐ> ^70ΐ· ^80ΐ' ^90ΐ> Άο,οι (вихревые)
и
^οοι- ^ιοι. Ρ2ου ^зоι· ^401 (потенциальные)
В табл. 7.13 и на рис. 7.16 представлены условия и результаты
вычислений; (/) означает использование формулировки (25.5), а (2)—
формулировки (25.6); кроме того, приведены данные для
формулировки (25.6) при отбрасывании потенциальных функций (2'), показы-
Таблица 7.13
Ρ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
к. (точно)
4,4429
4,394
3,332
2,573
2,176
1,944
ftf(7) ^(2)
4,4429
4,4883
3,6349
2,7233
2,2625
1,9996
4,4429
4,3947
3,3287
2,5701
2,1731
1,9423
*f (/)
4,4429
4,3839
3,2966
2,5446
2,1541
1,9268
Ρ
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
k, (точно)
1,800
1,707
1,663
1,653
1,6793
*?V)
1,8374
1,7357
1,6778
1,6594
1,6793
*?Ю
1,7982
1,7095
1,6619
1,6532
1,6793
k»(2')
1,7861
1,6999
1,6554
1,6504
1,6793

§ 25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 401
вающие их влияние. В данном случае оно оказывается сравнительно
небольшим (дополнительная ошибка порядка 1%). Это находится
в согласии с тем, что нормальная компонента Η изменяется на
границе слабо (приблизительно в 1,4 раза),
Наибольшую ошибку дает формулировка (/). Это естественно
сопоставить с тем фактом, что используется представление
электрической индукции D, которая терпит на границе раздела сред
значительный разрыв (изменение в 10 раз). Для формулировки (2) ошибка
довольно мала — порядка 0,1%-
i*;[i"i
В области Va -
В области V:
V: ε = е„
μ==μ0.
ε = 10ε0, μ = 0,7μ0,
Рис. 7.16.
Пример 2. Кубический резонатор заполняется диэлектрической
средой, как это показано на рис. 7.17. Основное поле
возмущенного резонатора (квази-//011) имеет электрическую компоненту,
нормальную границе раздела сред. Представление напряженности Ε должно
здесь содержать потенциальные функции, что определяет строение
вторых фигурных скобок в (25.6). В первых фигурных скобках
остается матрица ΛΊ, поскольку Η представляется в вихревом базисе.
Взяты функции базиса, соответствующие следующим полям:
^011' Άΐ1· ^211· ",
зп'
"411 > "511>
ней· ипъ я8п. ит (вихревые)
Ρην Ρην рзп> Р*и> рш (потенциальные)

402 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Полученные результаты приведены в табл. 7.14 (см. также рис. 7.17).
Таблица 7.14
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Р
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
ft, (точно)
4,4429
4,016
2,602
2,075
1,827
1,693
1,613
—
—
—
1,4050
<(/)
4,4429
4,0381
2,7816
2,1522
1,8665
1,7157
1,6270
1,5704
1,5313
_
1,4050
4,4429
3,9120
2,6167
2,0825
1,8290
1,6956
1,6130
1,5629
1,5250
1,4775
1,4050
*?(*')
4,4429
2,6770
2,1012
1,8421
1,7022
1,6178
1,5623
1,5225
1,4897
1,4553
1,4050
*дп
В области V0—V; ε-
В области V: ε =
Рис. 7.17.
'ε0,
= 10е0,
= μο·
В данном случае формулировка (/) дает гораздо лучший
результат в сравнении с предыдущим примером: вектор электрической
индукции имеет весьма значительную нормальную компоненту, которая
непрерывна. Отбрасывание потенциальных функций в формулировке (2'),
как видно, в данном случае недопустимо. Это понятно, так как при

§ 25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 403
столь значительном разрыве нормальной компоненты Ε потенциальной
составляющей поля пренебрегать нельзя.
iff
3,5
3,0
г,5
2,0
15
llU0 0,2 0.4 0,6 0,8 I
В области V0 — V: ε = ε0, μ = μ0,
В области V: ε = ε0, μ = 11μ0.
Рис. 7.18.
Пример 3. Тот же резонатор заполняется магнетиком (μ=11μ0.
6=ε0) таким образом, что поле не имеет нормальной электрической
Таблица 7.15
Р
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
k, (точно)
4,4429
3,715
3,428
2,882
2,368
2,019
1,783
1,617
1,498
1,408
1,3396
*f(i)
4,4429
3,7493
3,4521
2,9818
2,4534
2,0782
1,8242
1,6474
1,5205
1,4271
1,3396
<(2)
4,4429
3,5798
3,3091
2,7959
2,3393
_
1,7749
1,6127
1,4959
1,4081
1,3396
*?(2')
4,4429
2,6572
2,2191
2,0027
1,8492
1,7155
1,6083
1,5219
1,4528
_
1,3396
IV
N
\
\
V
(г)
h
К
у
X
1очн
К
и
X
о
ч
pi
И
ш
1*
- П——
^
^.
1.
11
\-

404 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
компоненты на границе раздела сред. Представление вектора Η
содержит потенциальные функции. Базис имеет строение:
"ίου "гор -"'sol» *moi> "эол· "em· ^701· ^ш> "μι· "ιο,οι (вихревые)
и
Лш> Ριον Ρ2ου Ρ3ον Pw (потенциальные)
Результаты приведены в табл. 7.15 и на рис. 7.18.
Формулировка (/) дает здесь небольшую ошибку, так как
нормальная компонента магнитной индукции, не имеющая разрыва, велика.
Отбрасывание потенциальных функций (формулировка {2')) приводит
к неудовлетворительным результатам, так как при таком
значительном изменении оптической плотности среды нельзя пренебрегать
потенциальной составляющей магнитного поля.
Пример 4. Вычисление собственной частоты поля квази-^цо
кубического резонатора с симметрично расположенным ферритовым
параллелепипедом, размер которого по оси ζ меняется (феррит
намагничен вдоль оси ζ, компоненты тензора магнитной проницаемости μ
вместе с другими параметрами даны на рис. 7.19). Используется
формулировка (2) с базисом вида
"по "i3o "зю
рт
"ll2
(потенциальные)
На рис. 7.19 показано изменение собственной частоты, а на
рис. 7.20 — изменение коэффициентов вихревой части представления Ε
с растяжением феррита по оси ζ. Как видно из рис. 7.20, особенно
сильно выражена гармоника Еи1, возникающая (как и Еи2, ΕηΆ, Е132)
из-за неоднородности электрических свойств среды по оси ζ.
В табл. 7.16 приведены численные результаты.
Таблица 7.16
h
р = т
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Я1
4,44287
3,310
2,744
2,461
2,295
h
" = Т
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
2.185
2,105
2.04Θ
1,983
1,925
1,856
^110 ^130
F F
Mil Мз2
■£•112
Μ13
(вихревые)
•^310
иш
И\\2
нт

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ
О 0J 0,2 0,3 0,4 0,5 Οβ 0,7 0,8 0,9 I
μ = μ0.
В области V: ε = Γθε0, μ!=0,8μο.
μ2 = 0,5μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.19,
Рис. 7.20.

406
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Пример 5. Вычисление собственной частоты поля квази-^цц
того же резонатора при другой конфигурации феррита (рис. 7.21),
0,1 0,2 0,3 Ofi OS 06 0,7 0.8 0,9
V; ε = Εη, μ
В области Va
В области V: ε = 10ε0, μι
μ2 = 0,5μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.21.
μ0.
0.8μ0,
но при прежнем направлении намагничивания. Для формулировки (2)
взят базис:
ρ
ρ
ь130
ρ
*Ί50
р
•^310
ρ
^350
(вихревые)
'510
В,
530
'550
400
020
040
(потенциальные)
Потенциальные функции фигурируют в отличие от предыдущего
примера только в представлении напряженности Н. Полученные
результаты приведены в табл. 7.17 и на рис. 7.21 и 7.22.
Таблица 7.17
Ρ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
,Ν
*1
4.44287
3,698
2,674
2,154
1,879
Ρ
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
uN
U\
1,729
1,655
1,639
1,680
1,783
1,887

§ 25] ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРОВ 407
Отметим, что точка при ρ = 0,4 данного примера и точка ρ =1,0
предыдущего соответствуют одной и той же конфигурации феррита,
но там для нее только три вихревые функции из десяти являлись
«работающими» (остальные ортогональны представляемому полю),
в данном же примере — все 10. Тем не менее ранее было получено
приближенное значение 1,856, отличающееся от последнего
результата 1,879 только на 1,2%.
Точность понижается при полном заполнении резонатора
ферритом (точка при р=\,0 табл. 7.17); это связано с возрастанием
роли потенциальных функций из-за появления нормальной компоненты
Рис. 7.22.
вектора Η вследствие гиротропии; набор их в выбранном базисе
недостаточен. Однако в данном случае существует аналитическое
решение, согласно которому kY — 2,0122. Ошибка, таким образом,
составляет около 6%.
Пример 6. При прежней конфигурации определяется
собственная частота поля квази-Я011. Исследуется ее изменение в зависимости
от недиагональной компоненты тензора магнитной проницаемости.
Численные результаты сведены в табл. 7.18, а также на рис. 7.23
и 7.24.
Таблица 7.18
μ2/μ0
0,1
0,2
0.4
Я1
2,645
2,626
2,588
μ2/μ·0
0,6
0,8
1.0
Я1
2.551
2,518
2,488
При вычислениях использовался базис:
-211
он
Η
ιοί
^231
Η
121
и,
"θ31 'J231
(вихревые)
Я,
Η,
211
Η
301
101
301
"on "211
031
(потенциальные)

408
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Интересен вид представления EN рассматриваемого типа колебаний.
Из рис. 7.24, а, б видно, что с появлением гиротропии поперечное
поле становится эллиптически поляризованным—главным образом,
*,чп
0 0J д,2 0.3 U4 0.5 0.6 07
В области V:
ε = 10ε0, μ, = 0,8μ0,
Из == Ио·
Рис. 7.23.
ΰ
■0.!
■аг
. . , γν«
β,Ι ΰΐ 0J № 0.5 ΰ~$ Ю OS ИЗ Ι,Η*,
m
φ
ιβ,ί
ι.α.3
10,2
ιΰ,Ι
0
Щ1
-Щ
Ln tlm
Ι £ζν ___
S~rM2JJ Vi 0.5 0,5 0.7 0Л US I \
~~H„
6)
/h/fLt
Рис. 7.24.
m
1,90
1,85
1,80,
0J 0,Z 03 0,4 OS 05 0,7 0,8 0.9
В области V: ε = 10ε0
Из — Ио·
Рис. 7.25.
μ = μ0.
, μι =0,8
*,"
л
н/ш
u-ij&
^_—
.
71
f- II
I βΐ^
Ш
W
Essssffa ι.
μ0.
в результате возникновения сильной /У101-компоненты, лежащей в
квадратуре с /^оп· Но заметный вклад в квадратурное поле вносят также
гармоники £"23!, W301, /ί12ι-

! 26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
409
Пример 7. В условиях примера 5 исследуется зависимость
основной собственной частоты от недиагональной компоненты тензора
магнитной проницаемости. См. рис. 7.25 и 7.26 и табл. 7.19.
Таблица 7.19
μ2/μ0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Я1
1,855
1357
1,862
1369
1,879
μ2/μ0
0.6
0,7
0,8
0,9
kN
1390
1,903
1,919
1,937
/
0,9
0,1
о
-ο,ι
fs/a E-ts
tarn· £ at
Рис. 7.26.
§ 26. Вычисление постоянных распространения волноводов
26.1. Алгоритм на основе двумерной формулировки с
удобным понижением порядка (основной базис). Для вычисления
постоянных распространения прямоугольного волновода с различными
продольно намагничиваемыми ферритовыми стержнями была
использована алгебраическая формулировка (9.68)
M3cft = <FN?crt.
(26.1)
где Μ и Э—матрицы (9.67), а с ft — вектор коэффициентов ctm'.
и ctn представления EN (9.40). Как известно (п. 9.5), при получении
этой формулировки порядок исходной системы уравнений понижается
благодаря исключению продольных частей. В выражении «удобное
понижение порядка» подразумевается, что (26.1) сохраняет вид
задачи на собственные значения матрицы.
Алгоритм был построен следующим образом. Путем замены ма-
о о о о
трицы МЭ на МЭ — р1! спектр сдвигался «влево» так, что
собственное значение, соответствующее основной волне (наименьшее
вещественное при отсутствии потерь), становилось наименьшим по
модулю, т. е. наибольшим после обращения матрицы. При этом
несколько собственных значений находилось методом исчерпывания
([3], § 14, гл. XII). В качестве результата выводились также
коэффициенты представления ΕΝ, что позволяло идентифицировать типы
Λ о о
полей. Порядок N матрицы МЭ обычно был равен 10.
Программа была составлена в 1960 г. В. Г. Суховым. В ее
реализации активное участие принимали также Д. И. Корниенко и
В. П. Орлов. Использовалась машина «Стрела».
Пример 1. Исследуется прямоугельный волновод с продольно
намагниченным ферритовым стержнем квадратного сечения (исходные

410
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Р,/Ро*0,8
данные на рис. 7.27). При различных вариациях компонент тензора
магнитной проницаемости вычисляются постоянные распространения
низших волн: квази-Я10 и квази-Я01 (переходящих при исчезновении
возмущения среды в волны И10 и Н01 пустого волновода; заметим,
что вторая из них в этом случае терпит
отсечку). На рис. 7.27, как и в
дальнейшем, представлены не постоянные
распространения Г^, а
пропорциональные им величины 2nTN/k = ΤΝλ.
В представлении ΕΝ (9.40)
сохранено 14 членов. Поскольку собственные
функции Ezm можно рассматривать как
продольные проекции f-полей пустого
волновода, функции Etm'—как
поперечные проекции ^-полей, а функции
Etn — как поперечные проекции Н-по-
лей, то использованный базис можно
охарактеризовать при помощи
совокупности этих Е- и /У-полей пустого
волновода. В этой интерпретации базис
данной задачи имеет вид
fL,/pi0=0,8
^01 ^10 ^19 ^21 ^12 ^21
^03 "31
■^32 ^23
(26.2)
0,2 0,4 06 0S
В области S0 — S:
μ = μ0.
В области S:
Из — Ио-
Рис. 7.27.
/^г//1/!
та
Между приводимыми ниже
коэффициентами ctn и ctm· представления EN и
типами полей пустого волновода имеется
следующее соответствие:
с а —Н\о См — ^2i
Ct2—#01 Ct5 /У30
CtZ—Η12 ct6—#03
Ctv —E\2
С12' Ε·2\
Cfi· — £32
сц
изданные вычислений представлены на рис. 7.27 и в табл. 7.20,
На рис. 7.28 показано влияние гиротропии на строение поля
квази-Я10 (использованы некоторые данные табл. 7.20). Как видно,
в отсутствие гиротропии (μ2 = 0) главную роль играют компоненты
представления ΕΝ, соответствующие типам волн Н10 и Е12. С ростом μ2
возникают и быстро увеличиваются мнимые компоненты, отвечающие
типам Н01 и Ε21- Легко проверить, что поле на оси ферритового
стержня при этом эллиптически поляризовано. Из табл. 7,20 видно,
что волны квази-Я10 и квази-Я01 поляризованы эллиптически в
противоположные стороны.

§26] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 411
Таблица 7,20
μι/μ0
0,3
0,5 0,7
0,8
Волна квази-//10, μ2—0
2jiTNjk
Re
C/i lm
Re
°а lm
Re
c« lm
Re
cti lm
Re
ct5 lm
Re
cte lm
cn' lm
Re
c«' lm
Re
c«- lm
Re
ctv lm
7,82
0,861
0
0
0
0
0
0
0
—0,092
0
0
0
0,46
0
0
0
—0,191
0
0
0
8,48
0,853
0
0
0
—0,015
0
0
0
—0,146
0
0
0
0,461
0
0
0
—0,197
0
0
0
9,10
0,847
0
0
0
—0,024
0
0
0
—0,187
0
0
0
0,454
0
0
0
—0,201
0
0
0
10,10
0,842
0
0
0
—0,034
0
0
0
—0,239
0
0
0
0,437
0
0
0
—0,205
0
0
0
Волна квази-Яю, μ2/μ0 = 0,2
2π1,Λ7*
Re
cn lm
с Re
cti lm
с Re
c« lm
Re
ct* lm
Re
°tb lm
Re
cte lm
c«' lm
8.05
0,822
0
0
0,166
—0,018
0
0
—0,091
—0,149
0
0
—0,007
0,462
0
8,65
0,822
0
0
0,163
—0,023
0
0
—0,093
—0,175
0
0
-0,0076
0,454
0
9,25
0,822
0
0
0,163
—0,027
0
0
—0,096
—0,200
0
0
—0,008
0,443
0
10,20
0,822
0
0
0,165
—0,034
0
0
—0,101
—0,237
0
0
—0,009
0,424
0

412 (1РИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Продолжение
μι/μ»
0,3
0,5
0,7
0,8
Волна квази-Яю, μ2/μ0 = 0,2
ctT
Ct3'
«Μ'
Re
Im
Re
lm
Re
lm
0
—0.122
—0,193
0
0
—0,015
0
—0,116
—0,196
0
0
—0,013
0
-0,11
—1,198
0
0
—0,012
0
—0.101
—0,200
0
0
—0,01
Волна квази-Ящ, μ^μο = 0,5
2nTNlk
с Re
cn lm
с Re
cfi lm
с Re
c<3 lm
с Re
c" lm
cis lm
с Re
c№ lm
с Re
c«' lm
с Re
c«' im
e Re
c«' im
с Re
ctv Im
8,48
0,749
0
0
0,333
—0,019
0
0
—0,19
—0,152
0
0
—0,015
0,416
0
0
—0,242
—0,178
0
0
—0,028
9,11
0,752
0
0
0,335
—0,024
0
0
—0,195
—0,177
0
0
—0,017
0,408
0
0
—0,229
—0,181
0
0
—0,025
9,69
0,753
0
0
0,335
—0,029
0
0
—0,201
—0,200
0
0
—0,018
0,398
0
0
—0,216
—0,183
0
0
—0,020
10,63
0,754
0
0
0,338
—0,035
0
0
—0,212
—0,234
0
0
—0,020
0,378
0
0
—0,200
—0,184
0
0
—0,018
Волна квази-//1а, μΞ/ΜΌ ~ ®$
2nTN\k
Re
cn lm
с Re
ca Im
9,13
0,689
0
0
0,427
9,78
0,693
0
0
0,425
10,41
0,695
0
0
0,425
11,40

§ 26] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 413
Продолжение
Hi/μο
0,3
0,5
0,7
0,8
Волна квази-//,0, μ2 = 0,8
с«
СМ
с«
crt3
«П'
ci2'
Ci3'
с<4'
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
—0,023
0
0
—0,249
—0,164
0
0
—0,020
0,373
0
0
—0,290
—0,166
0
0
—0,030
—0,027
0
0
—0,257
—0,186
0
0
—0,023
0,365
0
0
—0,273
—0,168
0
0
—0,030
—0,030
0
0
—0,264
—0,208
0
0
—0,025
0,354
0
0
—0,256
—0,170
0
0
—0,024
Волна квази-Яш, ^г/До = 0.2
2nTNlk
с Re
c« lm
с Re
c« lm
. Re
c« lm
. Re
c« Im
. Re
C« lm
. Re
C'B lm
с , Re
C»' lm
. Re
" lm
. Re
С'3' lm
cti, Re
" Im
4,27
0,053
0
0
—0,711
0,0007
0
0
0,287
0,004
0
0
0,019
0,031
0
0
0,632
—0,010
0
0
0,088
4,60
0,053
0
0
—0,712
0,0005
0
0
0,299
0,002
0
0
0,020
0,031
0
0
0,626
—0,011
0
0
0,086
5,15
0,0545
0
0
—0,713
0,0003
0
0
0,313
0,00006
0
0
0,022
0,032
0
0
0,618
—0,011
0
0
0,084
5,91
0,053
0
0
—0,717
0,0002
0
0
0,336
—0,002
0
0
0,025
0,032
0
0
0,602
—0,011
0
0
0,080

414 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Продолжение
μ./μο
0,3
0,5
0,7
0,8
Волна квази-Яои \iJV4i=®$
2nTNlk
Re
с" ■ lin
Re
°1г lm
Re
c« lm
с Re
c*4 lm
Re
с'ъ Im
Re
Cte lm
Re
c«' lm
Re
c«' im
с Re
ct3' Im
с . Re
ctV Im
3,96
0,116
0
0
—0,705
0
0
0
0,277
0
0
0
0,020
0,068
0
0
0,632
—0,023
0
0
0,088
4,29
0,117
0
0
—0,706
0
0
0
0,288
—0,016
0
0
0,020
0,069
0
0
0,626
—0,024
0
0
0,087
4,82
0,118
0
0
—0,707
0
0
0
0,300
0
0
0
0,020
0,070
0
0
0,619
—0,025
0
0
0,085
5,55
0,134
0
0
—0,707
0
0
0
0,321
0,007
0
0
0,023
0,080
0
0
0,604
—0,030
0
0
0,080
Волиа квази-Я0|, μ2/μο = 0,8
2nVNlk
Re
Ctl lm
с Re
c<2 lm
Re
c<3 lm
Re
c" lm
с Re
c« lm
e. Re
c<6 Im
3,49
0,155
0
0
—0,699
0,002
0
0
0,262
0,012
0
0
0,017
3,91
0,156
0
0
—0,699
0,002
0
0
0,273
0,010
0
0
0,019
4,35
0,158
0
0
—0,699
0
0
0
0,285
0,005
0
0
0,020
5,03

§26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 415
Продолжение
μ.ι/μ0
0,3
0,5
0,7
Ο,ί
Волна квази-Н01, μ2/μ0 = 0,8
«π·
ctT
Чъ·
ctV
Re
lm
Re
lm
Re
lm
Re
lm
0,092
0
0
0,633
—0,030
0
0
—0,089
0,090
0
0
0,628
—0,031
0
0
—0,088
—
—
—
—
—
—
—
Соответственно этому в одном случае недиагональная
компонента μ2 увеличивает эквивалентную магнитную проницаемость феррита,
а в другом — уменьшает. Поэтому постоянная распространения одной
\е"
/^//Ч
В области S0-
В области S:
-S: ε:
μ = μ0.
ε = 10ε0, μ, = 0.5μ0,
Из = Ио-
Рис. 7.28.
из волн (квази-//10) возрастает с ростом μ2, а постоянная
распространения другой волны (квази-Я01) при этом убывает (рис. 7.27).
Следует отметить, что эти данные (приведена только небольшая
часть результатов вычислений) дают картину работы так называемого
фазовращателя Реджиа — Спенсера.

416
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Пример 2. Влияние диэлектрической проницаемости стержня
на распространение волн квази-Я10 и квази-Я01. Исходные данные и
результаты вычислений даны на рис. 7.29. В расчете использован
базис вида (26.2). (Начиная с этого примера, в данном пункте
графики — ради сокращения объема — не будут сопровождаться
таблицами результатов.)
глг
В области S0 — S:
μ = μο-
В области S: μ, :
μ2 = 0,5μ0, μ3 :
Рис. 7.29.
: 0,7μ0,
= μ0.
Ό
Re
2лг"
μ,/fio-l
1тГ*Ш
0,6
0,1
02
О
-0.77Α
μ2/μα
О 0,2 04 Οβ 0,8 i
В области S0-
В области S:
-S: ε = ε0, μ = μ0.
ε = (8 — Ю.01) е0,
μ3 = μο-
Рис. 7.30.
Пример 3. Введение в расчет комплексной диэлектрической
проницаемости. Мнимая часть Г^ для удобства выражена в
децибелах на отрезок длины в λ (рис. 7.30).
Пример 4. Исследование распространения волн квази-Я10 и
квази-Я01 при изменении поперечных размеров стержня, сечение
которого остается квадратным (базис прежний). Как видно из рис. 7.31,
отсечка волны квази-Я01 наступает при сравнительно малых размерах
стержня.
Пример 5. Аналогичный расчет при изменении только
вертикального размера стержня (рис. 7.32); базис прежний.

5 ВД ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 417
Пример 6. Волновод с двумя продольно намагниченными
стержнями у боковых стенок. На рис. 7.33, а приведены зависимости
вещественных и мнимых частей постоянных распространения волны
квази-Я10 при различных размерах стержней от намагничивающего
поля Η_. Компоненты тензора магнитной проницаемости как
функции Η_ графически представлены на рис. 7.33, б.
18-
18
14
12
10
8
6
4
2
О
а
i4
i6
2лГ"
к
3'
1 1
h- 0,77 К -
т
№.
U
' а,
^>
г о,
^Ϋ
3 0,4
Ρ
18
14
12
10
8
6
4
2
О
а
14
16
2п1
к
— ^
-0.77λ-
ΨΜ.
Ы/
1^У
^^
ом
ZT
τ/
/iff
о,
—
αβ:
^-
f °·
/
У
3
0,4
Ρ
В области Sa
В области S:
- S: ε = ε0, μ -
ε = 10ε0, μ, --
μ2 = 0,5μ0, μ3 =
Рис. 7.31.
:μ0.
■■ 0,7μ0,
= μ,.
В области Sa -
В области S:
■S: ε·-
ε -
μ2 =
= ε0, μ — μο·
= 10ε, μ, = 0,7μ0,
: 0,5μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.32.
Пример 7. Для другой конфигурации поперечного сечения
системы аналогичные графики даны на рис. 7.34 (волны квази-Я
введенных в расчет,
— -*— " - " ι- ι ■ ■ ι
квази-//3о)· Изменение параметров феррита,
дается в табл. 7.21.
Пример 8. Случай ферритового стержня с отверстием.
На рис. 7.35 приведены исходные данные и зависимости постоянных
распространения волн квази-/У10 и квази-Я01, а на рис.
7.36—зависимости коэффициентов представления ΕΝ от μ2 (базис прежний),
ср. пример 1.

418 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
В области S0 — 5: е = ε0, μ = μ0.
В области S: ε = (8 — г'0,01) е0,
и" = 0,01μ0, μ2 = 0,01μ0, μ^' = 0,01μ0.
Рис. 7.33.
Таблица 7.21
μί/μ0
1*ί'/μ0
-Иг/м-о
1*2/1*0
Из/μο
1*з/|*о
я,
0,3
0,005
0,0
0,0
0,3
0,005
нг
0,5
0,007
0,2
0,005
0,7
0,008
Из
0,7
0,01
0,5
0,01
0,8
0,005
И,
1,0
0,01
0,8
0,01
0,9
0.001
б/£и = 10 — ί'0,02 (с одним штрихом — вещественные, с двумя —
взятые с обратным знаком мнимые части компонент тензора μ).

§26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
419
Пример 9. Характер спектра для волновода с конфигурацией
поперечного сечения, показанной на рис. 7.37, а. При ε= 10ε0, μ1/μ0 =
= (хзАхо—1 и Нз/М^о=== 0>8 для различных размеров стержня, харак-
Re
глг"
15
13
II
W
S
8
7
6
5
ί
3
г
I
о
1
.лР^^
s к
/ 9
7 8
' Кбази -Н,0 Ί
о; 6
/ 0.05
\ / 0.15 ^
\„'
-
\^ 0,1
%нг
τ
1
0,05
-J fff77A ,
И
ть*
0,22λ
0,6 3
о.з г
Ofi '
0.3 0
0,2 'J
OJ ,J
и
ι5
t R
1тГ\дб/к)
(при наличии потерь)
без потерь}
I
1 Кбази -Н30
τ
\
1
1
1
\ p*0fi
/ \
/ \
/ ч
^
/
0,9
0,S
0,7
0,6
0.5
ОА
0,3
о.г
OJ
н_
н2 н3 Ht
η ί
jj^iL——
/
0,05
_____
ΙΌ
В области S0—S: ε = ε0, μ = μ0.
В области S: см. рис. 7.33, б.
Рис. 7.3
4.
теризуемых параметром р, произведено вычисление постоянных
распространения волн, не претерпевших отсечки (вещественные TN).
Волны идентифицированы как квази-/7гап и квази-£т,г на основании
исследования коэффициентов представления EN, которые не
приводятся.

420
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
/"■г/^в
oj at ом
В области S0—S: ε = ε0, μ = μ0.
В области S: е = 10ε0.
μι = 0,8μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.35.
Нбмзи-Н,
Ы№>
Рис. 7.36.

§26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
421
В результате были получены значения 2πΓΛΓ/&, которые
приведены в табл. 7.22.
Таблица 7.22
Квазитипы
Ρ
0,11
0,165
0,22
0,275
0,33
0,385
0,44
0,495
0.55
#10
13,2
16,1
18,4
20,2
21,5
22,6
23,4
23,8
24,2
#01
2,26
4,97
6,98
8,77
10,3
11,5
12,3
13,0
13,9
Ей
11
14,5
16,6
17,8
18,5
19,1
20,4
#2»
4,33
5,84
10,2
12,9
15,6
17.9
19
#п ·
2,63
2,9
5,25
7,52
8,96
10,1
#ог
2,76
4,3
5,7
6,5
6,9
#30
5,47
9,95
12,8
#21
2,45
6,72
8,91
£г, | #3,
3,3
2,8
Пример 10. Исследование точности вычислений на примере,
имеющем аналитическое решение: волновод с конфигурацией
поперечного сечения, показанной на рис. 7.37, а при изотропной среде
-(/.77 Λ —
4
I
а. 77к-
Д77Хр
а!
~βΜλ~
6)
Рис. 7.37.
(ε= 10ε0 и μ—0,3μ0 в области 5). В табл. 7.23 сравниваются
значения Г/й, полученные как корни трансцендентного уравнения
с сохранением четвертого знака (точно) и YN\k при Af = 5 uiV= 10.
Таблица 7.23
Ρ
0,055
0,110
0,165
0,220
0,275
0,330
0,385
0,440
Точно
1,268
1,449
1,533
1,580
1,610
1,630
1,643
1,653
JV = 5
1,381
1,508
1,568
1,602
1,633
1,649
1,662
1,664
Ошибка, %
9,35
4,08
2,28
1,39
1,42
1,16
1,15
0,67
N==10
1,301
1,479
1,552
Ошибка, %
3,00
2,07
1,24

422
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
Ошибка уменьшается по мере приближения μ/μ0 к единице.
Например, при μ/μ0= 1 и ε/ε0 =. 10 для конфигурации, показанной на
рис, 7.37,6, когда /V= 10, имеем rNjk= 1,756202, в то время как
точно Tfk= 1,756198.
26.2. Другие алгоритмы на основе двумерной формулировки
(основной базис). Предыдущий алгоритм пригоден только при
продольном намагничивании ферритового стержня в прямоугольном
волноводе. Свободный от этого ограничения алгоритм с пониженным
порядком был построен на основе уравнений (9.62 а), (9.62 6).
Перепишем их в форме
9avt = bvt, |
»,,=«,,. j <26'3)
Исключая отсюда aL't, имеем
(ЭМ — l)bri = 0. (26.4)
с о
По-прежнему рассматривался прямоугольный волновод. В. П. Орлов
составил для машины «Стрела» программу нахождения корней Г^
характеристического уравнения для (26.4) Det|5Ai—/[=0 (задача
о о
не сводится к определению собственных чисел матрицы). Он применил
метод Ньютона в комплексной плоскости ([3], гл. 4, § 11).
Максимально возможный порядок оставлял /V=14. Исследовалось
поперечное намагничивание феррита.
Пример 1. Для волновода с конфигурацией поперечного
сечения, показанной на рис. 7.38, α (поперечное намагничивание), когда
имеется замкнутое аналитическое решение задачи, была сделана
проверка точности алгоритма при N = 7. Базис имел строение
"ю "ао "зо "ад "so "бо "70·
Решение трансцендентного уравнения (точное решение) находилось
с ошибкой, не превышающей 1 ■ 10" по вспомогательной программе,
составленной В. П. Орловым и В. Г. Феоктистовым.
На рис. 7.38, б, в, г приведены подобные же результаты
сравнения получаемых данных с точными для волноводов, содержащих
простые диэлектрические включения. Точные данные перенесены на
график из справочника ([12], стр. 395 — 398). При вычислениях
использовались сильно урезанные базисы:
Ню Hw Ит И70 для задачи на рис. 7.38, б;
Н10 £]- Е,з для задачи на рис. 7.38, в;
Нт Н20 Нго Ню Н50 /У60 Н70 для задачи на рис. 7.38, г-

§ 26] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 423
Пример 2. Вычисление комплексной постоянной
распространения волны квази-Я10 волновода с ферритовым стержнем при
поперечном намагничивании. Исходные данные и результаты расчета при-
2τίΓ
?л:Г
~о,з -о/ -ξ/ о о; о,2 о.з
а)
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
б)
2пГ"
О 0,1 0,2 0,3 Ofi 0.5
В области Sa
В области S:
-о! £ = 8q, μ — f-lg.
α) ε = 8e0. μ, =■ 0,8μ0, μ3 = μ0;
6) ε = 2.45ε0; β) ε = 2,45ε0; г) ε = 2.45ε0.
Рис. 7.38.
ведены па рис. 7.39 и 7.40 (в последнем случае произведено изменение
частоты при сохранении исходных параметров). Базис имел строение:
^10
С in
Лпп Лоп Πιη Псп П,
'20
'30
02
-32
^12
Пример 3. Исходные данные и результаты вычислений при
другой конфигурации поперечно намагниченного ферритовою стержня

424
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
■0J7K
[ГЛ. 7
-од -о,г -ο,ι о oj oj о,з ~о.з -o,z -oj о oj 0,2 о,з
В области S0 — S: ε = ε0, μ = μ0.
В области S: ε = (8 — /0,01) ε,
μ, = (0,8 — /0,01) μ0, \ζ = 0,003μ0, μ3 = (1 — /0,01) μ0·
Рис. 7.39.
-0,77λ-
0β$5λ
Ψ/Λ
Щ
0285Χ
^μ00,05Μ,Ι5λ
-£3 -02 -0J Ο OJ Ο,Ζ 0,3
В области S0 — S: ε = ε0> μ = μο·
В области S: ε = (8 — /0,01) ε0,
μχ = (0,8 — /0,01) μ0, μ2=0,003μ0, μ3 = (1 —/0,01) μ0.
Рис. 7.40.

ξ 261
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
425
представлены на рис. 7.41. Показанные три конфигурации
эквивалентны (результаты действительны для каждой из них). Результаты
на рис. 7.41 получены с базисом
^ 10 ^20 ^30 ^40 ^50 ^02 ^12
12 ^14 ^"22 .52 £-21 ^"42 ^"52
(применительно к первым двум конфигурациям) или — что
эквивалентно — с базисом
^10 ^20 ΗόΟ Άθ ^50 ^02 ^12
С]] С]2 С οι С;И С22 С 41 ^"51
(применительно к третьей конфигурации).
Как в примере 2, так и в примере 3 вид кривых соответствует
ожидаемым особенностям процесса: при несимметричном включении Г
не является четной функцией μ2, τ. е. волновод проявляет себя как
невзаимная система (изменение знака μ2 равносильно обращению
направления распространения волны).
Другой алгоритм, составленный и реализованный в виде программы
для машины М-20 В. П. Орловым и Ю. П. Никитиным, [15], был
основан на формулировке задачи, подобной (9.57). После исключения
продольных частей представлений Е^ и ΗΝ уравнение (9.57) приводится
к виду
где Cft и dft — векторы поперечных коэффициентов EN и HN.
аналогичные рассмотренным в п. 9.5; матрицу W мы не выписываем.
В программе TN находились как собственные числа матрицы W,
причем было испытано несколько способов.
Пример 4. Исследование точности алгоритма. Исходные данные
и результаты приведены на рис. 7.42. Последние изображаются тремя
точками, лежащими вблизи кривой точного значения (намагничивание
поперечное; использовано известное трансцендентное уравнение, как
и в примере 1).
Результаты сведены также в табл. 7.24.
Базис имел строение: /У1>0 — ^ю,о ')·
') Здесь и в следующем примере пропущена функция Нао (константа
ζα'Υ\\,ααύ). Во всех предыдущих примерах, как нетрудно показать,
функция Н00 выпадает, будучи ортогональной решению. В данном случае это уже
не имеет места, однако, по-видимому, влияние Нао невелико, так как
возмущение остается главным образом электрическим.

42ϋ
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 1
-4№λ—
шит.··-'
i λ
I
-ΟΜλ-
mm\L·
1тГ\дб/к]
в
,Ке^
4
J
7
1
ее
-1 О Ι Ζ
а)
и1тГ"[д&К\
μ,-(1-
В области S(
В области S:
ίΌ,008)μ0, μ3 =
Цля а) 1 — а' =
2 — а' =
3 — а' =
4 —а' =
Цля б) 1 — а' =
2 — а' =
3 — а' =
4 — а' =
— S: ε
ε
:(1—/0
= 0,272λ,
: 0,302λ,
= 0,332λ,
= 0,302λ,
- 0,302λ,
= 0,272λ,
= 0,302λ,
- 0,272λ,
— ε0, μ — μ0.
= (10—*Ό,003)ε0,
008) μ0, μ2 = α (0,15— /0,01) μ„
У = 0,072λ, α0 = 0,
έ'=0,072λ, α0 = 0,
У = 0,072λ, α0 = 0,
έ' = 0,072λ, α0 = 0,05λ
b' = 0,0648λ, β0 = 0,
έ' = 0,0864λ, β0 = 0,
b' = 0,077λ, β0 = 0,
ί>' = 0,072λ, a0 = 0,05λ
Рис. 7.41.

5 26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Таблица 7.24
μ2/μ0
—0,5
0
0,5
ТОЧНО
12,61
14,97
14,13
лг=1о
12,74
14,87,
14,45
Ошибка, %
+1
—0,7
+2,3
427
Пример 5. На рис. 7.43 представлены условия и результаты
расчета постоянной распространения волны квази-//10 прямоугольного
2 π Г"
-0,6 -0/t -0,2 0 0,2 0,4
В области S — Sa: ε = ε0, μ = μ0.
В области S: ε = 8ε0, μ, = 1,2μ0,
μ3 — μο·
Рис. 7.42.
i
ЫР-о
-0.6 -04 -0,2 0 0,2 0,4
В области S — S0: ε = ε0, μ = με.
В области S: ε = 7ε0
Κ = η = μο μ'ι = ν-1 ~ ν-1 --= ο,οΐ.
Рис. 7.43.
волновода с двумя ферритовыми стержнями при поперечном
намагничивании. Из двадцати функций базиса в данном случае фактически
входили в представление поля следующие десять
Н,п Η
20
^30 "so ^70
Я,
02
^14 ^16 ^2
26.3. Алгоритм на основе объемной формулировки с
использованием базиса расширенной области. Здесь рассматривается
алгоритм, построенный на основе соображений, изложенных в п. 14.4.
Исходная формулировка имеет вид векового уравнения (14.6), но
в соответствии с пп. 14.4 и 9.3 были взяты базисные функции,
удовлетворяющие однородно-периодическим граничным условиям

428
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
(функции для параллелепипеда; см. также приложение Π 1.1);
задавалась частота, а в качестве неизвестного выступала длина области
l = AN=—j^-. Программа вычисления корней указанного векового
уравнения для машины «Стрела» предусматривала использование 24
базисных функций. Работа выполнена В. Г. Феоктистовым.
Пример 1. В частности, область задачи может совпадать с
базисным параллелепипедом (базис переходит в основной). На рис. 7.44
В области S — S0: ε = е0, μ =
В области S: ε = 10ε0.
■Ms-
Рис. 7.44.
указаны исходные данные и приведены результаты расчета
постоянной распространения волны квази-Я10 в одном из таких случаев.
Базис имел следующее строение:
Я1П Н,1П НгП Я,п Н,
36
я,, и
38
50
Я12 Я32 Ио
Ά 4 "34 "5,
Я,с Я,в Нг
'70
'90
'32
'34
'36
£«
Результаты вычисления 2nTNjk даны также в табл. 7.25.

5 26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 429
Таблица 7.25
Ρ \^
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,1
5,62
5,71
5,78
5,83
5,88
—
5,91
5,93
5,93
0,2
6,04
6,46
6,84
7,06
—,
—
7,48
7,56
7,59
о,з
6,95
9,63
12,34
13,70
14,33
—
15,03
15,24
15,34
0,4
8,47
12,99
15,70
16,68
17,09
—,
17,45
17,57
17,64
0,5
9,94
14,55
16,87
17,60
17,93
—
18,25
18,31
18,38
0,6
И,07
15*50
17,45
18,03
18,33
—
18,69
18,76
18,82
0,7
11,94
16,10
17,85
18,35
18,61
—
18,92
18,94
19,03
0,8
12,66
16,48
18,02
18,52
18,77
18,97
19,00
19,14
19,20
0,9
13,44
16,81
18,05
18,65
18,88
19,09
19,18
19,23
19,28
1,0
15,61
17,88
18,63
19,06
19,28
19,43
19,50
19,59
19,62
Как следует из п. 19.3, это нижние границы значений 2πΓ/ή.
Очевидно, что система собственных функций, соответствующих
только Я-полям, в данном случае неполна. Продемонстрируем это,
взяв вместо ранее использованного базиса следующий:
Я,η Я:¥1 Я-„ Я
"γ.
Я,
'30
#36
50
Нг,л
'70
Н7А
Я9о
Я
92
^56 И
76
н9
я,
96
И\8 Я38 Я58 Н
78
Полученные в этом случае результаты приведены в табл. 7.26.
Таблица 7.26
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,1
5,62
5,67
5,73
5,775
5,79
5,815
5,82
0,2
5,97
6,10
6,20
6,26
6,33
6,36
6,37
0,3
6,49
6,85
7,08
7,50
8,50
9,35
9,85
0,4
7,14
7,75
8,23
10,04
12,12
13,20
13,94
0,5
7,91
8,75
9,33
11,23
13,25
14,42
15,18
0,6
8,96
9,58
10,33
12,01
13,96
15,18
15,99
0,7
9,83
10,64
11,32
12,58
14,31
15,50
16,32
0,8
10,74
11,91
12,54
13,40
14,69
15,79
16,60
0,9
12,26
13,77
14,36
14,82
15,42
16,11
16,80
1,0
15,61
17,88
18,63
19,06
19,28
19,43
19,53
Эти результаты гораздо менее точны, чем предыдущие, однако
следует отметить, что последний столбец соответствует такой
конфигурации поперечного сечения волновода,
не зависит от координаты у. При этом шисяа пилен ит0
полна и результаты обоих расчетов должны совпадать; некоторое
когда поле квази-Я,,
система полей Я

430
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ.
расхождение объясняется тем, что в приведенных данных
гарантирован только третий знак. Расхождения сравнительно невелики также
при малом заполнении волновода диэлектриком.
Ь"\
- о -
\~а'~
aj
- о -
V
-о' ——
шт
__^_
—»-
К
ъ'\\
— о —
— о' ——
Ш/////Ш \ь
6)
*'\
— а'' ф.
. '.Л\*
-.V-
б) г)
Для а) а = 26 = 0,77λ0, а'/а = р, b'jb = q;
б) α=26 = 0,77λ0, α' = 0,44λ„,
6' = 0,125λ0, α" = 0,33λ,„ 6" = 0,055λ0;
β) α = 26 = 0,077λ0, α' = 0,44λ0,
6' = 0,125λ0, α" = 0,22λ0, 6" = 0,055λ0;
г) α = 26 == 0,77λ0, α'=0,22λ0, 6'=125λ0,
: 0,33λ0,
6" = 0,125λΓ
Рис. 7.45.
Пример 2. На рис 7.45, α показано поперечное сечение Н-об-
разного волновода. По рассматриваемой программе находились
постоянные распространения основной волны, причем базисный
параллелепипед имел поперечные размеры а и Ь. Использовался базис
вида
ню язо Я50 нп Ню нт и"л иа\ иъ\ и&
Еа
Ра
о
70
Ра,
01
61
(26.6)
Следует подчеркнуть, что в данном примере, в частности, все
вихревые функции этого базиса, кроме первых пяти, оказываются
лишними; полный набор понадобится в следующих примерах.
Таблица 7.27
9 \
0,5
0,4
0,3
0,2
0,5
5,37
5,55
5,70
5,875
5,49
5,63
5,79
5,94
0,4
5,34
5,52
5,67
5,87
5,49
5,64
5,79
5,94
0,3
5,30
5,46
5,62
5,80
5,47
5,61
5,77
5,92
0,2
5,23
5,38
5,50
5,68
5,41
5,59
5,71
5,87

I 261 ВЫЧИСЛЕНИИ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 431
В табл. 7.27 приведены результаты вычисления 2nTN/k; в каждом
столбце справа даны для сравнения соответствующим образом
пересчитанные результаты из [12] (стр. 405, 406).
Пример 3. Вычисление 2nFNjk основной волны Н-образного
волновода с продольно намагниченным ферритовым стержнем.
Размеры даны на рис. 7.45, <?; диэлектрическая проницаемость феррита
е = 6е0 (кроме данных табл. 7.34 и 7.35, где е = 8е0); компоненты
тензора магнитной проницаемости, за исключением μ3 —μ0,
варьировались, как это указано в табл. 7.28 (там же приведены результаты
вычислений при использовании базиса (26.6)). Вычисления
производились для частоты ω0, соответствующей длине волны λ0 (см. рис.
7.45,6), а также для частот 0,8 ω0 и 0,64ω0.
Таблица 7.28
Hi/μο
1
0,8
μ2/μ0
0
0,4
0,8
ω—ω0
7,04
6,87
6,94
6,69
6,75
6,37
0
0,4
0,8
ω=ο,8ω0
6,70
6,50
6,64
6,38
6,43
6,12
0
0,4
0,8
ω-0,64ω0
6,10
6,00
6,10
5,94
5,93
5,62
Затем базис (26.6) был заменен на следующий:
H\Q "30 "50 "70 "SO "01 "2! "41
И и Нз2 Ньг Ητί ^оз Нгл
F-Vl C-21 С32 ^41
'10 "зо "л ' 41 "θ1
Полученные при этом результаты приведены в табл. 7.29.
Таблица 7.29
μ./μο
1
0,8
μ,/μο
0
0,4
0,8
ω=ω0
7,25
7,18
6,92
6,95
6,63
0
0,4
0,8
со=0,8си0
6,98
6,90
6,63
6,67
6,36
0
6,44
6,24
0,4
ω*·0,64ωο
6,40
6,16
0,8
6,18
5,89
Аналогичные вычисления при измененных размерах феррита
(рис. 7.45,в) (на базисе (26.6) и на базисе (26.7)) привели к
результатам, сведенным в табл. 7.30 и 7.31 соответственно.

432 ПРИМЕРЙ1 ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Таблица 7.30
μι/μο
1
0,8
μ2/μο
0
0,4
0,8
ω-ω0
6,62
6,42
6,56
6,81
6,43
6,14
0
0,4
0,8
ω-0,8ω0
6,12
6,25
6,06
6,12
5,87
0
0,4
0,8
ω-Ο,64ω0
5,75
5,58
5,70
5,56
5,56
5,57
Таблица 7.31
N^s/Ho
μ./μο^ν
1
0,8
0
0,4
0,8
ω = ω0
6,93
6,60
6,89
6,66
6,72
6,49
0
0,4
0,8
ω = 0,8ω„
6,60
6,41
6,55
6,36
6,40
6,17
0
0,4
0,8
ω = 0,64ω0
6,06
5,88
6,01
5,84
5,88
5,67
Расхождение между данными, полученными на различных
(значительно отличающихся высшими гармониками) базисах, относительно
невелико. Возможно, что в результате преобладания вихревых
функций в базисе (26.7) и гораздо большего значения потенциальных
функций в базисе (26.6) ошибки в обоих случаях имеют разные
знаки.
При следующей конфигурации поперечного сечения (рис. 7.45, г)
феррит заполняет всю среднюю часть волновода, касаясь стенок.
При этом вследствие возникающего на внешней границе
значительного разрыва нормальной компоненты вектора Η роль
потенциальных функций в представлении ΗΝ значительно возрастает.
Результаты, полученные на базисе (26.6) и на базисе (26.7), сведены
в табл. 7.32 и 7.33 соответственно.
По-видимому, следует отдать предпочтение результатам,
приведенным в табл. 7.32. Однако причина довольно значительного
расхождения данных, полученных на обоих базисах, требует еще
Таблица 7.32
ν. μζ/μο
μι/μο\.
1
0,8
0
0,4
0,8
ω = α>ο
13,62
12,25
13,19
11,81
12,00
10,00
0
0,4
0,8
ω = 0,8ω0
13,25
12,00
12,69
11,39
11,21
9,00
0
0,4
0,8
ω = 0,64ω0
12,75
11,62
12,31
10,94
10,57
8,25

261
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 433
Таблица 7.33
\. \J-ilP-a
^l/\J-a\.
1
0,8
0
0,4
ω = га„
14,40
13,28
14,26
13,15
0,8
13,91
12,75
0
0,4
0,8
ω = 0,8ω,,
14,21
13,15
13,97
12,88
13,30
11,98
0
0,4
0,8
ω=0,64ω()
13,93
12,89
13,64
12,56
12,70
11,70
^Г^,~
12
/и
/ι,//γΰ,ΰ·
χ^
\
г^
N
а'-ОД к
0,33Ά
0,44 Α
В области S0
В области S:
0,4
0,8
0,8
-Nfa
— S: ε=.ε0, μ = μ0,
ε == 8ε0, μ3 = μο, ω -= ω0.
Рис. 7,46.
дополнительного изучения. Для этого требуется повторить вычисления
в более высоком порядке, недоступном при данной ЭВМ.

434
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
В табл. 7.34 приведены данные, показывающие влияние замены
в базисе (26.6) функций //D0 и Рд0 на Н12 и Р12 (90-> 12).
Постоянными оставались размеры (см. рис. 7.45) α = 0,77λ, b—0,5a,
b'=^b" = 0,125λ, α" =0,33.
Таблица 7.34
0,4
0,8
0,4
0,8
а' = 0,22
1
0,8
15,8
14,25
15,43
13,7
14,3
12,1
15,37
13,87
15,06
13,43
13,9
11,75
а' = 0,33
1
0,8
16,45
14,82
Базис
15,87
13,9
26.6)
13,15
16,37
14,62
При
15,68
13,68
замене 90
13,43
->12
Дальнейшие результаты для //-образного волновода с продольно
намагниченным ферритом приведены в графической форме (рис.
7.46—7.48). Использовался базис (26.6),
NN<3
В области 50— S: ε =
В области S.' μ3 =
Рис. 7.47.
= ε0, μ — μ0.
= Ио-
Все полученные результаты свидетельствуют, что при достаточно
узком зазоре волновода, содержащем продольно намагниченный
феррит, волна квази-//10 может быть охарактеризована как «левополя-

§ 26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
435
ризованная» (уменьшение Г с ростом μ2). При этом зависимость Г
от μ2 при значительном возмущении становится весьма резкой
(рис. 7.46). Интересен рис. 7.48, показывающий, как по мерс
сужения зазора основная волна из «правополяризоваппоп» переходит
в «левополяризованную».
О 0,2 0,4 0,6 0,8
В области Sa — S: ε = ε0, μ = μ0.
В области S: ε = 8ε0,
1-4 = Ho. Из = |ΐο·
Рис. 7.48.
Пример 4, Рис. 7.49 приведен для сравнения результатов,
получаемых с использованием базиса расширенной области и с
использованием основного базиса. Задача о прямоугольном волноводе
с продольно намагниченным ферритом решается обоими способами,
причем областью базиса является параллелепипед, расширенный по
высоте (# = 0,385λ). На рис. 7.49 сплошные линии относятся к
базису расширенной области, а пунктирные — к основному, тот и
другой имеют строение типа (26.6). Видно, что в значительных пределах
использование базиса расширенной области приводит лишь к
небольшому ухудшению результатов. Данные на рис. 7.49 показывают
также, что постепенный переход возрастающей зависимости Г (μ2)
в убывающую по мере сужения поперечного сечения волновода имеет
место и при прямоугольном сечении (ср. пример 3).
Пример 5. На рис. 7,50 и 7.51 представлены результаты
исследования прямоугольного волновода суженного сечения с продольно
намагниченным ферритом. Видно, что с уменьшением поперечного
размера зависимость Γ(μ2) становится все более резкой, по этот
процесс претерпевает насыщение (см. кривые 3 на рис. 7.50, а »
также рис. 7.51).
На рис. 7.52 представлены результаты вычислений для
прямоугольного волновода, заполненного продольно намагниченным
ферритом (задача не имеет замкнутого решения).

436
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
к
*·***£
!L . J
0222
-.. ζ. Ξ, 0,231
013k
0,3351
j -_—: ξ7/λ—_
Ь-ββολ
0,055 k
02
0,0
0,6
0,8
В области S{y-S: ε = ε0, μ == μ0·
В области 6': ε = 8t0, ;ц — μ3—μο·
Рис. 7.49.
λ
12
10
2.ΛΓ'
-—urn к- -
limx ι
о
02
им
V\ 0,6
On
В области S0 — S; e = ε0, μ = μ0·
В области S: ε = 5,5ε0, μ3 = μ0,
/- 6 = 0,114λ, 2—ί> = 0,057λ,
3 — Ь = 0,021 и Ь = 0,002λ.
Рис, 7.50,

I 26]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
437
Во всех этих расчетах использовался базис (26,6).
Далее рассмотрим влияние изменения базиса (26.6) 90 —> 12 (ср.
табл. 7,34) на результаты задачи о прямоугольном волноводе с
продольно намагниченным ферритовым стержнем (когда этот базис
является основным, см. табл. 7,35; μ3 = μ0, ε = 8ε0). Горизонтальный
гкг"
В области Sa — S: ε = ε0, μ = μ0· В области Sa — S: ε = ε0, μ = μ^
В области S: ε=12ε0, Из = μο- В области Si ε = 9ε0.
/ — 6 = 0,02λ, 2 — b = 0,002λ.
Рис. 7.51. Рис. 7.52.
размер прямоугольного волновода α=0,77λ, ширина феррита α'=0,22λ,
высота полная: b — b'.
Пример 6. Рис. 7.53 дает представление о точности алгоритма.
Для простой задачи, имеющей замкнутое аналитическое решение,
сравниваются данные, полученные как корни трансцендентного
уравнения (пунктирные кривые на рис. 7.53), и результаты для базиса,
в котором «работающими» являются при данных обстоятельствах
только функции
"Ю' "зо· "50' "70> "90'
"ίο· "зо
(при постоянном μ3 = μο и μ2 = 0 изменяется μι==μ).

43У
Ца/М·»
μ, /μ0
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Таблица 7.35
0,4
0,8
0,4
0,8
* = 0,33λ
1
0,8
14,72
13,37
15,26
13,95
16,52
15,27
14,62
13,25
15,14
13,81
16,37
15,15
* = 0,23λ
1
0,8
14,72
13,37
14,83
13,43
15,16
13,7
14,62
13,25
14,75
13,35
15,06
13,6
6=·0,13λ
1
0,8
14,72
13,37
Базис
14,2
12,68
(26.6)
12,6
9,9
14,62
13,25
При
14,18
12,6
замене 90
12,55
9,875
->12
2лГ"
17
16
10
14
U
12
7!
К
\
к
Ι ~^?2λ' Ι
-
ν/Λ
*—0,77λ-~
\\
OJ85/
\
Алгорит,
— -
-- Гочно
//
И
/
1
Λ
/
7~Х
/
//
,S ^
γ\
)ε ι
е=Ш
%
0 0,2 0,4 ОМ ОМ
Рис. 7.53.
μ/μ0

§ 27'|
НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ
439
§ 27. Нахождение матриц проводимости
и рассеяния волноводных трансформаторов
27,1. Рассеяние в прямоугольном волноводе на гиротрошюм
теле, I. Ниже будут описаны некоторые результаты применения
ю
9
δ
7
6
5
it
3
г
I
О
•I
■г
'3
-4
-5
-В
-7
-s
-9
-ID
-Π
-0,77λ-
—,
-_.
I
—
\
—
Α
—
—
π
\
Λ
-ιΥ'2 "
1' II
η
fil
\0'
\
\
ιγξ
\
\
\
\
'
—
λ
—-
\
ι
Ι
L __
Ш
У/////Ш
4
•Λ
ι
ι
ь—щ-*
'·' ιι
Τ"
^ %
ΪΓλ
ν
.-._
^
1
г
-ч
11 Ц
—1
sN
ν\
ν
ι/λ
В области V0 — V: ε ■
В области V:
ε = 10ε0, μι = μ0.
= ε„
Τ—точно, Π — приближенно (по алгоритму)
Рис. 7.54,
метода, изложенного в п. ΙΙ.4, к задаче о прямоугольном волноводе
с гиротропным телом в виде параллелепипеда. Выделенное поле
(см. п. 12.1) определяется в данном случае формулами (12.4); по

440 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
некоторым соображениям оно задавалось в виде ряда Фурье в
выбранном базисе. Программа была составлена В. Г, Суховым для
машины «Стрела».
Ближайшие примеры построены с целью исследования
достоверности результатов, полученных по этой программе. Для этого взята
задача, имеющая замкнутое
аналитическое решение.
Пример 1, Рассматривается
волноводный трансформатор типа
«диэлектрическая пробка», основные
параметры которого приведены на
рис. 7,54. В частности, область
трансформатора V0, заключенная
между соединительными сечениями S,
и S2, по длине на 20%
превосходила заполненный диэлектрико*м
объем V, а фиктивные
проницаемости ви и μ° были взяты равными
ε0 и μ0 соответственно. График
рис, 7,54 дает представление о
расхождении вычисленных при /V = 15
значений элементов матрицы
проводимости трансформатора с точными.
Строение базиса соответствовало
системе полей
- гоо
н
101
«1
02
нлт н
104
"l, 0, 15
В области Va
В области V:
■ V: ε = ε0, μ = μ0,
ε = 10г0, μ = μ0.
Τ—точно, Π— приближенно.
Рис, 7,55,
Программа предусматривала также
вычисление матрицы рассеяния. Для
условий, указанных на рис, 7,54,
результаты вычисления элементов
матрицы рассеяния представлены на
рис. 7,55 (φ12 означает фазу
элемента /?ц).
Пример 2, Расхождение
результатов несколько возрастает,
когда диэлектрическая пробка является диамагнитной (было взято
при прочих прежних условиях μ = 0,7μ0). Однако путем выбора
подходящей фиктивной диэлектрической проницаемости ε° точность
может быть существенно повышена. На рис. 7.56 это показано
на основании вычислений в очень низком порядке: Λ/= 5. Видно,
что минимум коэффициента отражения ] /?ц , значительно смещенный
по отношению к точному значению при ε° = е0, оказывается весьма
близким к нужному положению при ε° — 7е0.

области Va
области V;
OJ Точно 0,2
— У. ε = ε0> μ = μ0.
ε = 10ε0, μ = 0,7μ0.
Рис. 7.56.
Рис. 7.57.

442
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
ГГЛ. 1
Заметим, что поскольку выделенное поле В0 разлагалось в ряд
Фурье, то при μ Φ μ0 указанный в примере 1 базис пополнялся
потенциальными функциями:
100
101
103
Pi,
0, 14
Пример 3. Для условий примера 1 сравниваются результаты
вычислений при N — 5 и jV = 15 (рис. 7.57).
В области V0 — V: ε
В области V: ε
„ 9 ■ 0,085λ + 2d
■ ε0 ■+- е0.
е0.
10ε0,
0,085λ + 2rf
Τ — точно, П — приближенно.
Рис. 7.58.
Пример 4. На рис. 7.58 приведены результаты, показывающие
действие удаления соединительных сечений 5, и 52, по отношению
к которым решается задача. Взято Ν—15, μ°=μ0, а параметр ε°
выбран так, что фиктивная проницаемость асимптотически стремится

§ 27] НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ 443
к ε0 от 10е0 (рис. 7.58). Как видно, при выбранных условиях
разнесение соединительных сечений еще не приводит к существенному
ухудшению результатов. Этот факт может быть использован при
расчете сложных волноводных трансформаторов, когда для
упрощения описания и экономии счета соединительные сечения выгодно
относить в дальнюю зону.
В области Va—V: ε = ε0, μ = μ0.
В области V: ε = 10ε0ι μ,=0,7μ0,
μ2=0,5μί), μ3 = μ0·
Рис. 7.59.
Пример 5. Волноводный трансформатор, образованный
продольно намагниченным ферритовым бруском (рис. 7.59). Был
использован базис
"ιοί "он /^121 Нги Ηζαι Ε,2ΐ Егц
"102 "012 "122 -^122
"103 "123
"105
Фиктивные проницаемости μ0=μ° и ε° = 3ε0.

444
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
0,3
О,]
0,7
0,6
0,5
№
0,3
0,2
0J
О
1
f
к ι
\K'ft
^i
A
&
У
Λ
X
'Л
/ >
yj
1
/
KJ
W
\v
\
\
Ϊ
у
<
A Y
Tl
A
/
/
'V
'
0,05 006 007 0,08 0,09 0J0 OJI О/г 0J3 ΰβ 0J5
a)
0/7 0/8 0,19 0J0 L/)
epad
W 0,06 007 0,08 0,09 0/0 Of/ 0/1 0,13 0/4 0/5 0№ Ш? 0/8 ЩЗ 020 ΰ.2/
6)
В области Va — V: ε = ε0, μ = μ0.
В области V: ε = 10ε0> μ = μ0.
/ — точно, 2 —N=20, 3 — Ν = 10, 4 — N = 5.
Рис. 7.60.

§ 27] НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ 445
27.2. Рассеяние в прямоугольном волноводе на гиротропном
теле, II. Тот же алгоритм, но без разложения выделенного поля
в ряд Фурье (т. е. в точности совпадающий с описанием в пп. 11.4
0,77
ΧΙ
0,9
№
0.7
0,6
05
04
0,3
ОЯ
0,1
~щ~,
<5Г
■■kS
^
"У
0,3At.
ι ψ.
ι "
I
_ 0,5\^
mm
i03Al
J л
I
_I_
—
I<
I /
ю
\
,y
У
A
\
'II
1
|i
III;
H.
\K\
i
r
1
tf-
\
Ρ
OJ 0,2 OJ 0,4 0.5 06 07 OS 09 I
iapad
В области V0 — V: ε = ε0, μ = μ0.
В области V: ε = 10ε0, μ,=0,8μί),
μ2 = 0,5μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.61.
и 12.1) был реализован в виде программы для ЭВМ М-20 Д. И.
Корниенко и И. П. Котиком. Программа предусматривала также
возможность вычисления элементов матрицы Υ (и R) так называемого
ЛГ-циркулятора. Базис мог содержать 54 функции при
комплексных ε и μ.

446
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. ?
Пример 1. Как и в п. 27.1, в качестве теста использовалась
задача о диэлектрической пробке, имеющая простое замкнутое
решение. На рис. 7.60, а, б приведены полученные при разных N
значения элементов матрицы рассеяния1) в сравнении с точными
(исходные данные те же, что и в примере 1 п. 27.1).
Пример 2. Поперечно намагниченный ферритовый брусок
в прямоугольном волноводе (рис. 7.61). При вычислении матрицы R
из матрицы К в этом и последующих примерах предполагается, что
соединительные сечения 5, и 52 лежат в дальней зоне (расстояние
от концов феррита 0,3λ) и соответственно для вычисления нужных
элементов матрицы R достаточно найденных по программе четырех
элементов матрицы К. На рис. 7.61 дан график модулей и фаз
элементов матрицы К. Вычисленные элементы матрицы Υ даны
в табл. 7.36.
Базис имел следующее строение:
На2
н0
нл.
Нц23 На,
Но\
Нае
Hnf
■"ιοί
■"102
Η ЮЗ
"104
Нюь
"106
"1 07
Н3
Нл,
(Ν = 54).
^321
■^322
"Я9Я
Ну
Ην.
Η η
Η χι
Η,,
'-'221
■^222
^223
^14!
"142
Нц,
Е2ц
Ецг
"201
Η гаг
■^203
Нг<и
"20S
-С321
-С.Ч99
"221
"222
"223
^241
"9J9
(27.1)
>) В примерах 1—7 при пересчете матрицы проводимости (полученной
но основной программе, а также точного решения в примере 1) в матрицу
рассеяния волновое сопротивление присоединенных волноводов по
случайным причинам было на 5,1% больше требуемого. Приводимые графики
элементов матрицы рассеяния соответствуют, таким образом, задачам, в
которых присоединенные волноводы (слева от S, и справа От S2) заполнены
средой, несколько Отличающейся От вакуума (воздуха). Результаты
вычисления элементов матриц проводимости, не затронутые этим возмущением,
приводятся в виде таблиц.

§ 27]
НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ
447
щ
0,1 B.Z 0,3 0,4 0,5 Οβ 07 Οβ 0.9
ί&ϋ
ош\
"'У/У- У.--У/
S,
чрк- ι ——да-
300
zoo
wo
0
,грод
~
\1
чу
г
fy
ι 0,
,^-
•г
г о,
Г~~\
1 0,
\
\
ψ
4Ч
и
Г"
ΐίβ
/
'Л,
fll
f
7 0,
ί 0,
L/k
9"
В области Va — V: ε = ε0, μ = μα.
В области V: ε = 10ε0, μ, =0,8μ0,
μ2 = 0,5μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.62.

448
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ 1ГЛ. 7
Таблица 7.36
0,385 ρ
■ γ\1
II и
■ γ\2
II u
0,385 ρ
11 11
II j,
0,085
-0,4030
0,7167
0,235
0,2877
-0,1725
0,115
—0,3805
0,6506
0,265
—0,7229
0,8120
0,14т
• —0,3489
0,5759
0,295
-0,4553
0,5089
0,175
—0,2961
0,4826
0,325
-0,3590
0,3799
0,205
—0,1986
0,3478
0,355
-0,3022
0,2868
Пример 3. Поперечно намагниченный брусок при вертикальной
несимметрии (рис. 7.62). Использовался базис
Паи
Н<Л2
Паи
нш
/^302
"303
"021
"022
"023
^зп
"312
Наз\
"θ32
^озз
^111
^112
£цз
Нш
"102
"103
"104
"105
Άοβ
"107
£l21
^122
Cl23
^124
^126
Ит
я„2
^113
Еги
^212
^213
НШ
"122
Н\23
Егг\
^222
^223
/^201
"202
"203
^311
^312
^313
Игп
"г 12
Иг\ъ
"221
Нмг
(27.2)
(ЛГ = 54).
На рис. 7.62 дан график модулей и фаз элементов матрицы
рассеяния, а в табл. 7.37 приведены вычисленные значения элементов
матрицы проводимости.
Пример 4. Поперечно намагниченный брусок (рис. 7.63), см.
также табл. 7.38, в которой приведены данные, соответствующие
кривой 4 на рисунке (μ,/μ0=0,7). Использовался базис (27.1).

I 2?] НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ 449
/
0,8
0,8
0,4
0,2
Ψ,,
">?
,
\J
\ '
\ '
X
X
^г/1
ΰβ
цо
0,4
u,z
К
й.
'
Ί
^"ΞΕΕΡ^
/
г
У
/ I
А
л
О
Г
/
и
/"V
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
02Х
О 0J 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
'60
/20
30
40
О
-40
200
240
280
fbl/f-Lg
ι |
л
\
-/20
160
В области V0 — V: ε = е0, μ = μ0.
В области V: е = 10ε0, μ3 = μ0.
/ — μι = μο· 2 —μ,=0,9μ0,
3 — μ,=0,8μ0, 4 — μ, = 0,7μ0,
Рис. 7.63.

450 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ. 7
Таблица 7.37
Δ/λ
ίΥη
II и
■γ\2
II и
Δ/λ
" 11
II и
Δ/λ
" Η
/κ12
0,10
0,8030
0,7442
0,41
0,2403
—0,1280
0,55
—0,6534
0,6335
0,20
0,2626
0,2844
0,43
0,6163
-0,5273
0,60
—0,7850
0,7318
0,30
0,1011
0,1785
0,45
12,385
—12,317
0,70
—4,6138
4,5098
0,35
0,0765
0,1174
0,47
—1,2704
1,3177
0,75
1,7116
—1,8330
0,37
0,0885
0,0760
0,49
—0,8014
0,8300
0,80
0,6122
—0,7367
0,39
0,1294
0,0079
0,50
—0,7242
0,7440
0,85
0,3820
—0,4110
0,40
0,1710
—0,0465
0,51
—0,6811
0,6924
0,90
—0,8162
0,2452
Таблица 7.38
μ2/μ«
ίΥ]\
<
m/μο
''11
ίΥη
II ,ι
μ2/μ»
iYn
II ι,
ΙΥη
II и
0
—0,6709
—0,9039
0,30
-0,3518
—0,7181
0,05
—0,6626
—0,8987
0,35
—0,2210
—0,6513
0,60
1,9211
0,0257
ο,ιο
—0,6375
—0,8829
0,40
—0,0528
—0,5726
0,65
4,6125
0,5475
0,15
—0,5952
—0,8568
0,45
0,1708
—0,4790
0,20
—0,5349
—0,8206
0,50
0,4868
—0,3637
0,75
—9,4067
—3,7042
0,25
—0,4547
—0,7744
0,55
0,9824
—0,2107
0,80
—1,3505
—1,9231

§ 27]
НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ
451
700
600
500
100
300
град
--
—
^z
ψ,Γ
—
_
fa
-4
—
....
....
__
—
—
i-/
а/ о,г о,з o,4 oj o,s oj o,s os '
a)
OJ OJ 0,3 0.4 0.5 0.6 OJ 0.8 09
6)
В области V0 — V: ε = ε0, μ = μ0,
В области V: ε = 10ε0,
μ,=0,8μ0, μ2 = 0,5μ0, μ3 = μ0·
Рис. 7.64.
Пример 5. Продольно намагниченный брусок (рис. 7.64), см.
также табл. 7.39. Базис имел вид
на\\
^012
Hoia
Η о\ь
Нщь
Нп\
^222
^223
^021
^022
Нога
"301
"302
"303
/Лз|
"озг
"033
иы\
"312
"313
и\о\
"102
"103
Н\м
н1К
Ά 05
"107
Έιιι
£ϋ2
£цз
^114
£цв
"ill
Н\п
Нш
£121
β|22
^123
нт
Н\22
"|23
£211
£212
^213
И\з\
ИУ32
£зп
£312
"201
"202
^203
"ill
^212
^213
• (U7.3)
(Л? == 54).

452
примерь! применения прямых методов [гл. 7
Таблица 7.39
Λ/λ
!YU
II jj
iYn
II jj
Λ/λ
ίΥη
II jj
iYn
II jj
ο,ι
0,7477
0,7054
0,6
0,2905
0,3482
0,2
0,2232
0,3148
0,7
—2,4848
1,5170
0,3
0,0082
0,2957
0,8
1,4884
—0,9262
0,4
—0,2668
0,4463
0,9
—0,8220
—1,3082
0,5
1,8459
—1,6990
ι,ο
0,9360
0,6100
Пример 6. Повторение примера 2 при ненамагниченном
феррите (μ2/μ0 = 0). Результаты вычислений представлены на рис. 7.65
и в табл. 7,40,
-0,77λ-
•ш-
-^ -р. , < ,_, L
£? j_
\R,
ι
0,9
0,5
0,4
0,3
0,2
Of
0
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 f
В области V„ — V: ε ;
ю,
β
100
so
60
40
го
Q
-го
-40
-во
-80
-ton
град
Щ
?Ч/
J ΰ,ρ4
15 0,
Ту
6 0,
?«,
7 0,
SO,.
γ
Ρ
1
В области V:
г = 10е„
μ, = 0,8μ„, μ2 = 0,
Рис. 7.65.
= μο·
Из — Но·
Пример 7. Поперечно намагниченный ферритовый брусок,
расположенный несимметрично по горизонтали (рис. 7.66); особенностью
этого и следующих примеров является демонстрация невзаимности.

§ 27] НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ 453
Таблица 7.40
0,385 ρ
11 11
■y-12
0,385 ρ
ΙΥ\\
0,Ю5
—1,1450
1,3214
0,265
0,8697
—1,0190
0,145
—1,7819
1,8913
0,295
0,4960
—0,7082
0,175
---4,3242
4,3661
0,325
0,2694
—0,5499
0,205
7,3248
—7,3474
0,355
0,0955
—0,4625
0,235
1,7381
—1,8247
0,385
-0,0724
-0,4305
J0 ξ/ 0,2 0,3 Ц4 0,5 0β 0,7 0β
~0,77λ-
/<νΛ»
оошх
ο" φ цг ο,3 /μ 0.5 06 ο,7 Οβ
В области V0— V: ε = ε0, μ = μ0.
В области V: ε = 10ε0,
μι = 0,9μ0, μ3 = μ0.
Рис. 7.66.

454 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
Использовался базис
[ГЛ. 7
"«1
"022
"023
"024
"025
^121
•С 122
^123
^124
Wo.п
я01.
Яо43
^141
£142
£НЗ
",01
"102
"103
Я) 04
Я|05
"юе
я107
Я] 08
С-22 1
^222
^223
Я,2,
^.22
Я|23
Я|24
^241
^242
^243
"ш
Н\\2
Я] 43
•£з!1
^322
С-323
"201
я202
Яг оз
Я204
Я205
"20В
"г 21
Я222
Яггз
Я224
Язо|
Язог
Язоз
Яз04
(27.4)
(JV = 54).
Пример 8. Условия данного примера получаем, положив
(рис. 7,67) β = 2£ = 0,77λ; α'=0,3λ; *'=0,1λ; α0 = 0,0425λ;
£ϋ = 0; Ζ.0 = 0,3λ; £^=0,5λ. В области 1/:
г (10 — /0,02) ε0;
μ·2
0,5 -
0,55^
0,6 —
0,65 —
0,7 —
0,75 —
0,8 —
0,85 --
0,9 -
μ-ο
/0,005
/0,006
/0,007
/0,008
/0,009
/0,010
/0,011
/0,012
/0,013
! ρ" !
ΙΛ1Ι Ι
0,689
0,689
0,688
0,685
0,334
0,618
0,653
0,442
0,193
"Ίι
48,5
47,2
45,4
42,5
36,6
43,3
34,5
25,1
76,1
Ι 22 Ι
Ρ
I W" Ι
0,703
0,705
0,707
0,708
0,670
0,722
0,591
0,418
0,185
4>22
48,5
47,1
45,3
42,4
37,8
33,9
31,3
26,5
79,5
Ι ρ12 Ι
lwn Ι
0,706
0,702
0,694
0,674
0,542
0,623
0,717
0,793
0,934
4>Ι2
311,6
309,8
307,4
303,8
299,2
319,8
313,4
312,2
314,6
Ι λ»21 Ι
Ι wn Ι
0,709
0,705
0,700
0,689
0,673
0,659
0,595
0,190
0,719
Та
Ч>21
325,7
325,1
324,1
322,6
321,1
317,7
302,9
344,4
353,6
5 л и ц f
Pv дб
0,22
0,33
0,44
0,78
3,55
2,33
0,55
1,23
0,49
7.41
Р2,дб
0,03
0,06
0,11
0,24
0,97
1,03
3,05
15,64
3,12

§271 НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦ ПРОВОДИМОСТИ И РАССЕЯНИЯ 455
μ1 — (0,699 — ί'0,01) μ0; μ3 = (1 — (0,01) μ0 (намагничивание
поперечное). Данные вычислений сведены в табл. 7.41.
Базис имел строение (27,4). Было взято ε°~-3ε0.
Пример 9. В сравнении с примером 8 изменены следующие
параметры: α' = 0,15λ; *'"0,3λ; α0 = 0,1175λ; δο^0,0425λ;
ε = (10 — ϊΟ,ΟΙ)ε0. По-прежнему ε° = 3,ε0 и используется базис (27.4).
Результаты вычислений даны в табл. 7.42.
Таблица 7.42
μ2/μ0
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,90
— (0,005
— /0,006
- (0,007
- (0,008
- (0,009
- (0,010
— /0,011
— (0,012
— /0,013
Ι ρ111
и
0,742
0,748
0,748
0,723
0,588
0,517
0,565
0,816
0,769
■Гц
50
46
41
34
31
26
62
38
19
Ι ρ22 Ι
0,775
0,788
0,795
0,773
0,670
0,751
0,543
0,714
0,760
4>22
50
46
41
34
36
20
28
32
16
Ι ρ12 Ι
0,611
0,585
0,553
0,509
0,313
0,102
0,213
0,293
0,179
Ί'ΐ2
302
294
283
265
224
170
343
285
221
Ι ρ21 Ι
ιι
0,631
0,614
0,599
0,594
0,526
0,480
0,565
0,486
0,461
4>21
340
340
340
340
333
346
353
344
355
Ρν βό
0,93
1,26
1,83
3,07
9,50
21,27
13,56
6,80
12,74
Ρ2, дб
0
0,02
0,13
0,65
3,45
3,20
3,96
3,65
3,44
В заключение следует охарактеризовать полученные результаты
Несомненно, тест с «диэлектрической пробкой» (см. п. 27.1 и
пример 1 в п. 27.2) свидетельствует о правильности алгоритма в целом
(в смысле использованного принципа), однако этот тест, разумеется,
не дает возможности судить о точности результатов, относящихся
к сложным дифракционным задачам. Следующие примеры (2— 9
в и. 27,2) показывают, что, по меньшей мере, в этих случаях можно
выявить определенные физические закономерности. Заметим, что число
подобных примеров легко увеличить (случаи более сложных
конфигураций рассмотрены в 116]). Естественно предположить, что уже при
использовании таких более мощных ЭВМ, как, например, БЭСМ-6,
практическая ценность рассмотренного алгоритма возрастет весьма
существенно благодаря значительному расширению базиса.
27.3. Применение метода поперечных сечений. В последние
годы А. Г, Свешников и его сотрудники разработали и реализовали
ряд универсальных алгоритмов на основе метода поперечных
сечений.
В работе [11] имеются результаты вычисления элементов матрицы
рассеяния волноводного трансформатора в виде переходного
устройства для двух разных прямоугольных волноводов и переходного
устройства для волноводов круглого и квадратного. Для
применения метода поперечных сечений переходный участок преобра-

456
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ
[ГЛ. 7
зовывался к отрезку регулярного волновода (см, п. 15.1). Обе
задачи исследовались в скалярном варианте. Первая из них имеет
Рис. 7.68.
электродинамическое содержанке, вторая является акустической.
В [11] дано подробное описание алгоритмов для обеих задач. Мы
дадим лишь краткое изложение
некоторых из приведенных там
результатов.
На рис. 7.68 схематически
показано рассмотренное в [11]
соединение прямоугольных
волноводов; переход является
«линейным», т. е. образован
системой плоскостей. В методе
поперечных сечений
использовалось представление поля по
четырем гармоникам.
Соответственно этому вычислялись
элементы матрицы рассеяния
I г>21 I 1п21 I I 7Э21 I I П21 Г
\Rnl· 1^211. |«3i| и |/?4i|. где
нижние индексы соответствуют
нумерации полей в порядке:
Ню, Н20, Н30, Я40, Программа
была составлена для ЭВМ
V/o
too
УЬ
30
85
80
75
70
65
35~\
30
25
го
15
10
5
вгУ°
%С?^~а^10
iFV^i
-ψ^~Ι,25
■L
-Pn/4#
-
" \[\^w
- V
-
-
~
•
•
-
-
r Ρ
[
f~~^aP=l,50
/
7Λ Γ^'·35
■ \s*
- Ifw^ w
>-/Ц ι, w
тс 2л Зтс 4гс ha, тс 2л Зге 4rt ka;
Рис. 7.69.
Рис. 7.70.
«Стрела». На рис. 7.69 представлены полученные для различных
условий задачи элементы матрицы рассеяния \R\\\ и | Яц ],
пересчитанные в коэффициенты передачи мощности Q (смысл обозначений
понятен из рис. 7.68).

ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 7
457
Для плавного соединения круглого и квадратного акустических
волноводов (рис. 7.70) вычислялся коэффициент отражения \R\]\
основной волны. Результаты даны на рис. 7.71, где три кривые
соответствуют различным формам α (ζ) плавного перехода при одних
\„тг
0/5
то
от
oc(zhf(stnz)
— к(в)=Р3(г)
ос(г)=Р6(г)
5 6 7
Рис. 7.71.
Ю к
и тех же размерах соединяемых волноводов и постоянной длине
перехода (α* = λ, α/2/? =1,5). Программа была составлена для ЭВМ
«Стрела».
Цель приведенных примеров — продемонстрировать широкие
возможности преобразования координат при применении прямых
методов к граничным задачам. Для детального ознакомления с
алгоритмами надо обратиться к оригинальной работе1).
Литература к гл. 7
1. И. С. Б е ρ е з и н и Н. П. Жидков, Методы вычислений, I, Физматгиз,
1959.
2. И. С. Б ер ез и н и Н. П. Ж и д к о в, Методы вычислений, II, Физматгиз,
1960.
3. Б. П. Д е м и д о в и ч и И. А. Марон, Основы вычислительной
математики, Физматгиз, 1960.
[) В самое последнее время были опубликованы результаты [14] весьма
интересной реализации метода поперечных сечений для круглого
электродинамического волновода с осесимметричным анизотропным заполнением,
алгоритм ранее был подробно описан в [13].

458 ПРИМЕРЫ'ПГИМПППШЯ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ [ГЛ 7
4. Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеев а, Вычислительные методы
линейной алгебры, Физматгяз, 1963.
5. С. Г. Μ и χ л и и и X. Л. С м о л и ц к и й. Приближенные методы решения
дифференциальных и интегральных уравнений, «Наука», 1965.
6. В. В. Никольский, О современной постановке задач электродинамики,
Труды ВЗЭ14, вып. 26, Радиотехника, 1964.
7. В. В. Никольский, В. Г. С у χ о в, Д. И. К о ρ и и е и к о, В. П. О ρ л о в,
Расчет прямоугольного волновода методов собственных функций при
наличии продольно намагниченного феррита, Радиотехника и электроника
9, № 8, 1345, 1964.
8. В. В. Никольский, В. Г. С у χ о в, Д. И. К о ρ н и е н к о, В. П. Орлов,
Расчет прямоугольного волновода методом собственных функций при
наличии продольно намагниченного феррита, Радиотехника и электроника
10, № 4, 618, 1965.
9. В. В. Никольский, В. Г. С у χ о в, Д. И. К о ρ н и е н к о, В. П. О ρ л о в,
Расчет прямоугольного волновода с ферритовым и ферритодиэлектриче-
ским заполнением при продольном намагничивании, Радиотехника и
электроника 10, № 11, 1992, 1965.
10. В. П. Орлов, Расчет постоянной распространения прямоугольного вол-
повода с поперечно намагниченным ферритовым стержнем методом Га-
леркина—Ритца, Радиотехника и электроника 12, № 1, 41, 1967.
11. А. Г. Свешников, Г. С. И л ь и и с к и й, И. П. К о τ и к,
Распространение колебаний в нерегулярных волноводах с боковой поверхностью
сложной формы, Вычислительные методы и программирование, Изд. МГУ,
1965.
12. Справочник по волноводам, Советское радио, 1952.
13. А. Г. С в е ш н и к о в и В. П. Моденов, Распространение
электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропным заполнением,
Вычислительные методы и программирование, Изд. МГУ, 1965.
14. В. П. Моденов и Л. И. К а л и н и н а, К расчету круглого волновода
с переменным анизотропным заполнением, Журн. вычисл. мат. и мат.
физ. 6, № 4, 1966.
15. В. П. Орлов и Ю. П.Никитин, Численное решение задачи о
прямоугольном волноводе с несколькими поперечно намагниченными ферри-
товыми стержнями, Вычислительные методы и программирование, вып. 11,
Изд. МГУ, 1967.
16. В. В. Никольский, Д. И. К о ρ н и е и к о и И. П. Котик,
Рассеяние па гиротропном теле в волноводиых системах, Вычислительные
методы и программирование, вып. 11, Изд. МГУ, 1967.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цели этой книги были достаточно подробно обсуждены во
введении, однако некоторые замечания общего характера будут более
уместны в данном кратком резюме.
Подход к краевым задачам электродинамики, составляющий
основное содержание книги, отражает стремление к универсальности
вычислительных алгоритмов. Составление и отладка сложной программы для
ЭВМ требуют длительного времени, и результаты принесут
ощутимую практическую пользу лишь в том случае, если обслуживается
целый класс родственных задач, отличающихся конфигурацией,
свойствами среды и т. д. Степень универсальности алгоритма,
построенного на основе уравнений Галеркииа — Ритца, может быть весьма
высокой, поскольку в конечном счете она определяется максимальным
числом базисных функций /V. Все возрастающая эффективность ЭВМ
дает здесь вполне ясные перспективы. Очевидно, через какое-то
время можно будет ставить и задачи синтеза электродинамических
систем по заданным свойствам. Как видно из гл. 7, реализация
алгоритмов, в значительной степени универсальных, возможна и при
сравнительно скромных вычислительных средствах (ЭВМ «Стрела»
и М-20). Время счета одного варианта в большинстве случаев
составляло 3—10 мин, например, для задачи о волнонодном
трансформаторе на М-20 при jV = 54 обычно около 8 мин. Следует
подчеркнуть, что автор не ставил целью продемонстрировать только самые
удачные примеры реализации алгоритмов. Примеры, являющиеся
наиболее простыми и грубыми, также полезны для уяснения общих
возможностей. При описании примеров —за недостатком места —
давалась главным образом фактическая сторона: исходные данные и
результаты вычислений. Мотивы действий и, в частности, выбора
того или иного базиса во всех случаях нетрудно понять, исходя
из общих соображений, изложенных в гл. 1—3.
В книге не нашли отражения некоторые важные методы,
существенно уступающие рассмотренным в универсальности (например,
метод частичных областей, вариационный метод Швингера и др.),
Что касается конечноразностных методов, то они пока неэффективны
для трехмерных задач.
Содержание гл. 4 и 5 не имеет прямого отношения к
последующим примерам реализации алгоритмов. Но теория возмущений (помимо
причин, указанных в гл. 4) включена в эту книгу потому, что

460
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
в пределах применимости она в высокой степени универсальна.
Вопросы же оценок (гл. 5) играют, в определенном смысле,
теоретическую роль и могут составить принципиальную основу для построения
новых универсальных алгоритмов. Это относится во всяком случае
к неравенству Като (п. 21.2).
Можно подчеркнуть, что в книге нигде не встает вопрос о
соотношении методов Галеркина и Ритца, поскольку последний не
рассматривается как один из способов получения минимизирующей
последовательности. Вариационные принципы сопоставляются самым
различным задачам электродинамики; решения нх доставляют функционалам
вообще лишь стационарные значения. Алгебраические формулировки,
к которым приводят схемы Галеркина и Ритца, идентичны, и в знак
того, что вопрос о их происхождении нельзя решить в пользу одной
из этих схем, употребляется выражение «уравнения Галеркина —
Ритца».
Не все затронутые в книге вопросы рассмотрены одинаково
подробно, и далеко не все описанные методы были реализованы. Надо
отметить также, что имеющийся опыт еще недостаточен для их
полной сравнительной характеристики. Однако представленный материал
дает отправные моменты для дальнейшей работы.
Предмет книги объединяет вопросы радиотехнической
электродинамики и вычислительной математики. Естественное различие
традиций этих дисциплин (т. е. сложившихся представлений о
допустимости, целесообразности, значимости и т. п.) автор, будучи специалистом
по электродинамике, старался преодолевать все же не односторонне.
Вряд ли можно сомневаться, что всевозможные «издержки» окупятся,
если книга будет способствовать применению ЭВМ при решении
электродинамических задач.

ариационные
методы
для внутренних
задач
электродинамики
В.В.НИКОЛЬСКИЙ